Stevin, Simon, Tomus quartus mathematicorum hypomnematum de statica, 1605

Bibliographic information

Author: Stevin, Simon
Title: Tomus quartus mathematicorum hypomnematum de statica
Year: 1605
City: Leiden
Number of Pages: 196

Permanent URL

Document ID: MPIWG:PNF8PQ1A
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:PNF8PQ1A

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. TOMVS QVARTVS MATHEMATICORVM HYPOMNEMATVM DE STATICA. Quo comprehenduntur ea in quibus ſeſe exercuit ILLVSTRISSIMVS Illuſtriſsimo & antiquiſsimo ſtemmate ortus Princeps ac Dominus M*AURITIUS* Princeps Auraicus, Comes Naſſoviæ, Catti melibocorum, Viandę, Moerſii, & c. Marchio Veræ & Vliſſingæ, & c. Dominus Civitatis Gravæ & ditionis Cuyc, Civitatum Vyt, Daesburch, & c. Gubernator Geldriæ, Hollandiæ, Zelandiæ, Weſ@friſiæ, Zutphaniæ, Vltrajecti, Tranſiſalanæ, & c. Imperator exer-citus Provinciarum fœdere conſociata-rum Belgii, Archithalaſſus Generalis, & c. Conſcriptus à S*IMONE* S*TEVINO* Brugenſi. Page: 1
3. LVGODINI BATAVORVM, Ex Officinâ Ioannis Patii, Academiæ Typographi. Anno cI@ I@ cv. Page: 1
4. BREVIARIVM. Page: 2
5. LIBER PRIMVS STATIC AE DE STATICÆ ELEMENTIS. Page: 3
6. LIBRI I. Page: 4
7. PARS PRIOR DE DEFINITIONIBVS. I DEFINITIO. Page: 5
8. DECLARATIO. Page: 5
9. 2 DEFINITIO. Page: 5
10. DECLARATIO. Page: 5
11. 3 DEFINITIO. Page: 5
12. DECLARATIO. Page: 5
13. 4 DEFINITIO. Page: 6
14. DECLARATIO. Page: 6
15. 5 DEFINITIO. Page: 6
16. DECLARATIO. Page: 6
17. NOTATO. Page: 6
18. 6 DEFINITIO. Page: 7
19. DECLARATIO. Page: 7
20. 7 DEFINITIO. Page: 7
21. DECLARATIO. Page: 7
22. 8 DEFINITIO. Page: 7
23. DECLARATIO. Page: 7
24. 9 DEFINITIO. Page: 7
25. DECLARATIO. Page: 7
26. 10 DEFINITIO. Page: 8
27. DECLARATIO. Page: 8
28. 11 DEFINITIO. Page: 8
29. DECLARATIO. Page: 8
30. 12 DEFINITIO. Page: 8
31. DECLARATIO. Page: 8
32. 13 DEFINITIO. Page: 8
33. 14 DEFINITIO. Page: 9
34. DECLARATIO. Page: 9
35. NOTATO. Page: 9
36. *POSTVLATA.* Page: 10
37. 1 POSTVLATVM. Page: 10
38. 2 POSTVLATVM. Page: 10
39. 3 POSTVLATVM. Page: 10
40. DECLARATIO. Page: 10
41. 4 POSTVLATVM. Page: 11
42. 5 POSTVLATVM. Page: 11
43. DECLARATIO. Page: 11
44. PARS ALTERA DE PROPOSITIONIBVS. 1 THE OREMA. I PROPOSITIO. Page: 12
45. 1 Exemplum. Page: 12
46. DEMONSTRATIO. Page: 12
47. 2 Exemplum. Page: 12
48. DEMONSTRATIO. 1 MEMBRVM. Page: 13
49. 2 MEMBRVM. Page: 13
50. 3 MEMBRVM. Page: 13
51. 3 Exemplum. Page: 14
52. C*ONSECTARIUM*. Page: 14
53. 1 PROBLEMA. 2 PROPOSITIO. Page: 14
54. 1 Exemplum. Page: 15
55. PRAGMATIA. Page: 15
56. 2 Exemplum. Page: 15
57. *PRAGMATIA*. Page: 15
58. 3 Exemplum. Page: 15
59. *PRAGMATIA.* Page: 15
60. *PRAGMATIA ALIVSMODI.* Page: 15
61. 4 Exemplum. Page: 16
62. PRAGMATIA. Page: 16
63. PRAGMATIA ALIVSMODI. Page: 16
64. PRAGMATIA ALIVSMODI. Page: 16
65. 5 Exemplum. Page: 16
66. PRAGMATIA. Page: 16
67. DEMONSTRATIO. Page: 17
68. NOTATO. Page: 17
69. 2 PROBLEMA. 3 PROPOSITIO. Page: 17
70. 1 Exemplum. Page: 17
71. PRAGMATIA. Page: 17
72. 2 Exemplum. Page: 17
73. PRAGMATIA. Page: 18
74. DEMONSTRATIO. Page: 18
75. 3 PROBLEMA. 4 PROPOSITIO. Page: 18
76. PRAGMATIA. Page: 18
77. DEMONSTRATIO. Page: 18
78. 4 PROBLEMA. 5 PROPOSITIO. Page: 18
79. NOTATO. Page: 19
80. PRAGMATIA. Page: 19
81. DEMONSTRATIO. Page: 19
82. NOTATO. Page: 19
83. 2 THEOREMA. 6 PROPOSITIO. Page: 19
84. DEMONSTRATIO. Page: 19
85. 3 THEOREMA. 7 PROPOSITIO. Page: 20
86. DEMONSTRATIO. Page: 20
87. 4 THEOREMA. 8 PROPOSITIO. Page: 20
88. DEMONSTRATIO. Page: 21
89. 1 NOTA. Page: 21
90. 2 NOTA. Page: 21
91. 5 THEOREMA. 9 PROPOSITIO. Page: 22
92. DEMONSTRATIO. Page: 22
93. 1 C*ONSECTARIUM.* Page: 22
94. 2 C*ONSECTARIUM.* Page: 22
95. 5 PROBLEMA. 10 PROPOSITIO. Page: 22
96. PRAGMATIA. Page: 23
97. DEMONSTRATIO. Page: 23
98. 6 PROBLEMA. 11 PROPOSITIO. Page: 24
99. 1 NOTA. Page: 24
100. 2 NOTA. Page: 24
101. PRAGMATIA. Page: 25
102. 7 PROBLEMA. 12 PROPOSITIO. Page: 25
103. 1 Exemplum. Page: 25
104. PRAGMATIA. Page: 26
105. DEMONSTRATIO. Page: 26
106. 2 Exemplum. Page: 26
107. PRAGMATIA. Page: 26
108. DEMONSTRATIO. Page: 27
109. 6 THEOREMA. 13 PROPOSITIO. Page: 27
110. I Exemplum rectorum ponderum. Page: 27
111. DEMONSTRATIO. Page: 27
112. 2 Exemplum obliquorum ponderum. Page: 28
113. DEMONSTRATIO. Page: 28
114. 3 Exemplum. Page: 28
115. DEMONSTRATIO. Page: 28
116. 8 PROBLEMA. 14 PROPOSITIO. Page: 29
117. PRAGMATIA. Page: 29
118. DEMONSTRATIO. Page: 29
119. NOTATO Page: 29
120. 1 C*ONSECTARIUM*. Page: 29
121. 2 C*ONSECTARIUM*. Page: 30
122. 7 THEOREMA. 15 PROPOSITIO. Page: 31
123. DECLARATIO. Page: 31
124. 8 THEOREMA. 16 PROPOSITIO. Page: 31
125. DEMONSTRATIO. Page: 31
126. 9 THEOREMA. 17 PROPOSITIO. Page: 32
127. DEMONSTRATIO. Page: 32
128. C*ONSECTARIUM*. Page: 33
129. 10 THEOREMA. 18 PROPOSITIO. Page: 33
130. C*ONSECTARIUM*. Page: 34
131. HACTENVS RECTORVM PONDERVM GENERA DICTA SVNT; OBLI-QVORVM PROPRIETATES DEINCEPS deſcribendæ ſunt, quarum omnium genera-lem veritatem tanquam fundamentum istud theoremata complectitur. 11 THEOREMA. 19 PROPOSITIO. Page: 34
132. DEMONSTRATIO. Page: 35
133. 1 C*ONSECTARIUM*. Page: 35
134. 2 C*ONSECTARIUM*. Page: 35
135. 3 C*ONSECTARIUM*. Page: 35
136. 4 C*ONSECTARIUM*. Page: 36
137. 5 C*ONSECTARIUM*. Page: 36
138. 6 C*ONSECTARIUM*. Page: 36
139. 7 C*ONSECTARIUM*. Page: 38
140. 8 C*ONSECTARIUM*. Page: 38
141. 9 C*ONSECTARIUM*. Page: 39
142. 10 C*ONSECTARIUM*. Page: 40
143. 11 C*ONSECTARIUM*. Page: 40
144. 12 C*ONSECTARIUM*. Page: 40
145. 12 THE OREMA. 20 PROPOSITIO. Page: 41
146. NOTATO Page: 42
147. 13 THEOREMA. 21 PROPOSITIO. Page: 42
148. DEMONSTRATIO. Page: 42
149. 9 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO. Page: 43
150. PRAGMATIA. Page: 43
151. DEMONSTRATIO. Page: 44
152. 1 NOTA. Page: 44
153. 2 NOTA. Page: 44
154. 14 THE OREMA. 23 PROPOSITIO. Page: 44
155. DEMONSTRATIO. Page: 45
156. 15 THEOREMA. 24 PROPOSITIO. Page: 45
157. DEMONSTRATIO. Page: 45
158. C*ONSECTARIUM*. Page: 46
159. 16 THEOREMA. 25 PROPOSITIO. Page: 46
160. 1 Exemplum. Page: 46
161. DEMONSTRATIO. Page: 46
162. 2 Exemplum. Page: 46
163. DEMONSTRATIO. Page: 46
164. 3 Exemplum. Page: 47
165. DEMONSTRATIO. Page: 47
166. 4 Exemplum. Page: 47
167. DEMONSTRATIO. Page: 47
168. 17 THEOREMA. 26 PROPOSITIO. Page: 47
169. DEMONSTRATIO. Page: 48
170. 18 PROBLEMA. 27 PROPOSITIO. Page: 48
171. DEMONSTRATIO. Page: 49
172. C*ONSECTARIUM*. Page: 49
173. NOTATO. Page: 49
174. 19 THEOREMA. 28 PROPOSITIO. Page: 49
175. DEMONSTRATIO. Page: 50
176. C*ONSECTARIUM*. Page: 51
177. FINIS LIBRI PRIMI. Page: 51
178. STATICES LIBER SECVNDVS QVI EST DE INVENIENDO GRAVITATIS CENTRO. Page: 53
179. DE INVENIENDO GRAVITATIS CENTRO IN PLANIS, PARS PRIOR. Page: 56
180. 1 THEOREMA. 1 PROPOSITIO. Page: 56
181. 1 Exemplum. Page: 56
182. DEMONSTRATIO. Page: 56
183. 2 Exemplum. Page: 56
184. DEMONSTRATIO. Page: 57
185. 3 Exemplum. Page: 57
186. DEMONSTRATIO. Page: 57
187. 2 THEOREMA. 2 PROPOSITIO. Page: 57
188. DEMONSTRATIO. Page: 57
189. 1 PROBLEMA. 3 PROPOSITIO. Page: 58
190. PRAGMATIA. Page: 58
191. DEMONSTRATIO. Page: 58
192. 3 THEOREMA. 4 PROPOSITIO. Page: 58
193. DEMONSTRATIO. Page: 59
194. 4 THEOREMA. 5 PROPOSITIO. Page: 59
195. DEMONSTRATIO. Page: 59
196. 2 PROBLEMA. 6 PROPOSITIO. Page: 59
197. 1 Exemplum. Page: 59
198. PRAGMATIA. Page: 60
199. 2 Exemplum. Page: 60
200. PRAGMATIA. Page: 60
201. 3 Exemplum. Page: 60
202. PRAGMATIA. Page: 60
203. NOTATO Page: 60
204. 4 Exemplum. Page: 61
205. PRAGMATIA. Page: 61
206. 5 Exemplum. Page: 61
207. PRAGMATIA. Page: 61
208. 6 Exemplum. Page: 61
209. PRAGMATIA. Page: 61
210. DEMONSTRATIO. Page: 61
211. NOTATO. Page: 62
212. 5 THEOREMA. 7 PROPOSITIO. Page: 62
213. DEMONSTRATIO. Page: 62
214. 6 THEOREMA. 8 PROPOSITIO. Page: 63
215. DEMONSTRATIO. Page: 63
216. 3 PROBLEMA. 9 PROPOSITIO. Page: 63
217. 1 Exemplum. Page: 63
218. CONSTRVCTIO. Page: 64
219. DEMONSTRATIO. Page: 64
220. 2 Exemplum. Page: 64
221. CONSTRVCTIO. Page: 64
222. 7 THEOREMA. 10 PROPOSITIO. Page: 65
223. DEMONSTRATIO. Page: 65
224. 8 THE OREMA. 11 PROPOSITIO. Page: 65
225. DEMONSTRATIO. Page: 66
226. 4 PROBLEMA. 12 PROPOSITIO. Page: 67
227. CONSTRVCTIO. Page: 67
228. DEMONSTRATIO. Page: 67
229. NOTA. Page: 68
230. 5 PROBLEMA. 15 PROPOSITIO. Page: 68
231. CONSTRVCTIO. Page: 68
232. DEMONSTRATIO. Page: 68
233. CENTROBARICA SOLIDORVM DEINCEPS SVCCEDVNT. 9 THE OREMA. 14 PROPOSITIO. Page: 69
234. DEMONSTRATIO. Page: 69
235. 10 THE OREMA. 15 PROPOSITIO. Page: 69
236. 1 Exemplum. Page: 69
237. DEMONSTRATIO. Page: 69
238. 2 Exemplum. Page: 70
239. 11 THEOREMA. 16 PROPOSITIO. Page: 70
240. DEMONSTRATIO. Page: 71
241. 6 PROBLEMA. 17 PROPOSITIO. Page: 71
242. CONSTRVCTIO. Page: 71
243. DEMONSTRATIO. Page: 71
244. 12 PROBLEMA. 18 PROPOSITIO. Page: 72
245. DEMONSTRATIO. Page: 72
246. 7 PROBLEMA. 19 PROPOSITIO. Page: 73
247. CONSTRVCTIO. Page: 73
248. 8 PROBLEMA. 20 PROPOSITIO. Page: 73
249. CONSTRVCTIO. Page: 73
250. DEMONSTRATIO. Page: 73
251. 9 PROBLEMA. 21 PROPOSITIO. Page: 74
252. CONSTRVCTIO. Page: 74
253. 13 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO. Page: 74
254. DEMONSTRATIO. Page: 74
255. 10 PROBLEMA. 23 PROPOSITIO. Page: 75
256. CONSTRVCTIO. Page: 75
257. DEMONSTRATIO. Page: 75
258. NOTA. Page: 76
259. 11 THE OREMA. 24 PROPOSITIO. Conoïdalis curtigravitatis centrum invenire. Page: 76
260. CONSTRVCTIO. Page: 77
261. DEMONSTRATIO. Page: 77
262. Atque hic Liber ſecundus nobis explicitus esto. Page: 77
263. LIBER TERTIVS DE STATIC AE PRAXI. Page: 79
264. BREVIARIVM. Page: 82
265. 1 Exemplum. Page: 83
266. CONSTRVCTIO. Page: 83
267. 2 Exemplum. Page: 84
268. CONSTRVCTIO. Page: 84
269. 2 PROPOSITIO Page: 84
270. CONSTRVCTIO. Page: 84
271. 3 PROPOSITIO. Page: 86
272. CONSTRVCTIO Page: 87
273. DEMONSTRATIO. Page: 87
274. 4 PROPOSITIO. Page: 87
275. CONSTRVCTIO. Page: 87
276. DEMONSTRATIO. Page: 88
277. NOTA. Page: 88
278. 5 PROPOSITIO. Page: 89
279. CONSTRVCTIO. Page: 89
280. 6 PROPOSITIO. Page: 90
281. CONSTRVCTIO. Page: 90
282. 7 PROPOSITIO. Page: 90
283. 1 Exemplum@. Page: 91
284. CONSTRVCTIO. Page: 91
285. NOTATO. Page: 91
286. 2 Exemplum@. Page: 91
287. CONSTRVCTIO. Page: 92
288. 3 Exemplum. Page: 92
289. CONSTRVCTIO. Page: 92
290. 4 Exemplum. Page: 93
291. CONSTRVCTIO. Page: 93
292. 8 PROPOSITIO. Page: 94
293. CONSTRVCTIO. Page: 94
294. 9 PROPOSITIO. Page: 97
295. THEOREMA. Page: 97
296. DEMONSTRATIO. Page: 97
297. 2 Exemplum. Page: 97
298. 3 Exemplums. Page: 98
299. 4 Exemplum. Page: 99
300. NOTA. Page: 100
301. 10 PROPOSITIO. Page: 101
302. DE VSV ALIISQVE PANCRATIO ACCIDENTIBVS. Page: 103
303. RATIO VERSATIONVM MANVBRII AD AXEM. Page: 104
304. RATIO POTENTIÆ MANVBRIVM VER-SANTIS AD PONDVS TRACTVM, QUALE EST NAVIS X. Page: 104
305. DE VERSATIONVM MANVBRII MVLTI-TVDINE, ET TEMPORIS SPATIO QVEIS OPVS EST AD NAVEM TRANS AGGEREM PERTRAHENDVM. Page: 105
306. NOTATO Page: 105
307. ASSERTIO EORVM QVÆ SVPRA DEMONSTRATVROS NOS RECEPIMVS. Page: 106
308. T*ERTII* L*IBRI* FINIS. Page: 108
309. LIBER QVARTVS STATICAE DE HYDROSTATICES ELEMENTIS. Page: 109
310. 1 DEFINITIO. Page: 111
311. 2 DEFINITIO. Page: 111
312. 3 DEFINITIO. Page: 111
313. 4 DEFINITIO. Page: 111
314. 5 DEFINITIO. Page: 111
315. 6 DEFINITIO. Page: 111
316. 7 DEFINITIO. Page: 111
317. 8 DEFINITIO. Page: 111
318. 9 DEFINITIO. Page: 111
319. INTERPRETAMENTVM. Page: 112
320. 10 DEFINITIO. Page: 112
321. 11 DEFINITIO. Page: 112
322. *POSTVLATA.* 1 POSTVLATVM. Page: 112
323. 2 POSTVLATVM. Page: 112
324. 3 POSTVLATVM. Page: 112
325. 4 POSTVLATVM. Page: 112
326. 5 POSTVLATVM. Page: 112
327. INTERPRETAMENTVM. Page: 113
328. 6 POSTVLATVM. Page: 113
329. INTERPRETAMENTVM. Page: 113
330. 7 POSTVLATVM. Page: 113
331. INTERPRETAMENTVM. Page: 113
332. PROPOSITIONES. 1 THEOREMA. 1 PROPOSITIO. Page: 114
333. DEMONSTRATIO. Page: 114
334. 2 THE OREMA. 2 PROPOSITIO. Page: 114
335. DEMONSTRATIO. Page: 114
336. 3 THEOREMA. 3 PROPOSITIO. Page: 115
337. DEMONSTRATIO. Page: 115
338. 4 THEOREMA. 4 PROPOSITIO. Page: 115
339. DEMONSTRATIO. Page: 115
340. 5 THE OREMA. 5 PROPOSITIO. Page: 116
341. DEMONSTRATIO. Page: 116
342. 1 PROBLEMA. 6 PROPOSITIO. Page: 116
343. CONSTRVCTIO. Page: 116
344. DEMONSTRATIO. Page: 116
345. 6 THE OREMA. 7 PROPOSITIO. Page: 117
346. DEMONSTRATIO. Page: 117
347. 7 THE OREMA. 8 PROPOSITIO. Page: 117
348. DEMONSTRATIO. Page: 117
349. 2 PROBLEMA. 9 PROPOSITIO. Page: 118
350. 1 Exemplum cum corpus ſolidum materiæ levioris erit quam aqua. Page: 118
351. CONSTRVCTIO. Page: 118
352. 2 Exemplum cum ſolidum corpus materiæ gravioris erit quam aqua, cujus pragmatia antecedenti affinis eſt. Page: 118
353. CONSTRVCTIO. Page: 118
354. 8 THE OREMA. 10 PROPOSITIO. Page: 119
355. DEMONSTRATIO. Page: 119
356. 1 C*ONSECTARIVM.* Page: 119
357. 2 C*ONSECTARIUM.* Page: 120
358. 3 C*ONSECTARIUM.* Page: 120
359. 4 C*ONSECTARIUM.* Page: 120
360. 5 C*ONSECTARIUM.* Page: 120
361. NOTATO Page: 121
362. 9 THEOREMA. 11 PROPOSITIO. Page: 121
363. 1 Exemplum. Page: 121
364. DEMONSTRATIO. Page: 122
365. 2 Exemplum. Page: 123
366. DEMONSTRATIO. Page: 123
367. 3 Exemplum. Page: 124
368. DEMONSTRATIO. Page: 124
369. 4 Exemplum. Page: 125
370. DEMONSTRATIO. Page: 125
371. NOTATO. Page: 126
372. 10 THEOREMA. 12 PROPOSITIO. Page: 127
373. I Exemplum. Page: 127
374. DEMONSTRATIO. Page: 127
375. ALTERA DEMONSTRATIO. Page: 128
376. 2 Exemplum. Page: 128
377. NOTATO. Page: 128
378. 3 PROBLEMA. 13 PROPOSITIO. Page: 129
379. CONSTRVCTIO. Page: 129
380. DEMONSTRATIO. Page: 129
381. 11 THEOREMA. 14 PROPOSITIO. Page: 129
382. DEMONSTRATIO. Page: 130
383. 4 THEOREMA. 15 PROPOSITIO. Page: 130
384. NOTATO. Page: 130
385. 1 Exemplum. Page: 130
386. CONSTRVCTIO. Page: 131
387. 2 Exemplum. Page: 131
388. CONSTRVCTIO. Page: 131
389. 3 Exemplum. Page: 131
390. CONSTRVCTIO. Page: 131
391. 4 Exemplum. Page: 131
392. CONSTRVCTIO. Page: 131
393. DEMONSTRATIO. Page: 132
394. 1 C*ONSECTARIUM*. Page: 132
395. 2 C*ONSECTARIUM*. Page: 132
396. 5 PROBLEMA. 16 PROPOSITIO. Page: 132
397. 1 Exemplum. Page: 132
398. CONSTRVCTIO. Page: 132
399. 2 Exemplum. Page: 133
400. CONSTRVCTIO. Page: 133
401. 3 Exemplum. Page: 133
402. CONSTRVCTIO. Page: 133
403. 4 Exemplum. Page: 133
404. CONSTRVCTIO. Page: 133
405. DEMONSTRATIO. Page: 133
406. 1 C*ONSECTARIUM*. Page: 134
407. 2 C*ONSECTARIUM*. Page: 134
408. 6 PROBLEMA. 17 PROPOSITIO. Page: 134
409. 1 Exemplum. Page: 134
410. CONSTRVCTIO. Page: 134
411. 2 Exemplum. Page: 134
412. CONSTRVCTIO. Page: 135
413. 3 Exemplum. Page: 135
414. CONSTRVCTIO. Page: 135
415. 4 Exemplum. Page: 135
416. CONSTRVCTIO. Page: 135
417. DEMONSTRATIO. Page: 135
418. 1 C*ONSECTARIUM*. Page: 135
419. 2 C*ONSECTARIUM*. Page: 135
420. NOTATO. Page: 136
421. 12 THEOREMA. 18 PROPOSITIO. Page: 136
422. 1 Exemplum. Page: 136
423. DEMONSTRATIO. Page: 136
424. 2 Exemplum. Page: 137
425. 13 THEOREMA. 19 PROPOSITIO. Page: 138
426. DEMONSTRATIO. Page: 139
427. 7 PROBLEMA. 20 PROPOSITIO. Page: 139
428. CONSTRVCTIO. Page: 140
429. 8 PROBLEMA. 21 PROPOSITIO. Page: 140
430. NOTA. Page: 140
431. CONSTRVCTIO. Page: 140
432. DEMONSTRATIO. Page: 140
433. 9 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO. Page: 140
434. CONSTRVCTIO. Page: 141
435. DEMONSTRATIO. Page: 141
436. C*ONSECTARIUM*. Page: 141
437. FINIS ESTO. Page: 141
438. LIBER QVINTVS STATICAE DE INITIIS PRAXIS HYDROSTATICES. Page: 143
439. AD LECTOREM. Page: 144
440. 1 PROPOSITIO. Page: 145
441. 2 PROPOSITIO. Page: 145
442. 1 Exemplum. Page: 145
443. 2 Exemplum. Page: 146
444. 3 Exemplum. Page: 147
445. NOTATO. Page: 147
446. 4 Exemplum. Page: 147
447. 5 Exemplum. Page: 148
448. NOTATO. Page: 148
449. 3 PROPOSITIO. Page: 148
450. FINIS ESTO. Page: 149
451. *APPENDIX* STATICES, VBI INTER ALIA ERRORES quidam Στατπκών I’ {δι}ω{μά}των refelluntur. AD LECTOREM. Page: 150
452. C*APVT I.* Cauſam æquilibritatis ſitus non eſſe in circulis ab extre= mitatibus radiorum deſcriptis. Page: 151
453. C*APVT II.* Res motas impedimentis ſuis non eſſe propor-tionales. Page: 151
454. C*AP. III.* Staticam eſſe Mathematicarum Liberalium artium unam. Page: 153
455. C*APVT IV.* Demonstrationum ſupraſcriptarum nonnullas per nume@ rosinstitutas, Mathematicas eſſe. Page: 154
456. C*APVT V.* Vbi Propoſitio 8 Hydrostatices illustratur, & clariùs exponitur. Page: 155
457. A*PPENDICIS* F*INIS*. Page: 155
458. ADDITAMENTVM STATICÆ. Page: 157
459. BREVIARIVM ADDITAMENTI. Page: 158
460. ADDITAMENTI STATICÆ PARS PRIMA DE SPARTOSTATICA. Page: 159
461. BREVIARIVM SPARTOSTATICES. Page: 160
462. PRIMVM CONSECTARIVM è 27 propoſitione 1 Libri S*TATICÆ*. Page: 161
463. 2 C*ONSECTARIVM*. Page: 161
464. 3 C*ONSECTARIVM*. Page: 161
465. 4 C*ONSECTARIVM*. Page: 162
466. 5 C*ONSECTARIVM*. Page: 162
467. 6 C*ONSECTARIVM*. Page: 162
468. 7 C*ONSECTARIUM*. Page: 163
469. 8 C*ONSECTARIVM*. Page: 164
470. 9 C*ONSECTARIUM*. Page: 165
471. 10 C*ONSECTARIUM.* Page: 166
472. 11 C*ONSECTARIUM.* Page: 167
473. NOTATO Page: 167
474. 12 C*ONSECTARIUM.* Page: 167
475. S*PARTOSTATICES* FINIS. Page: 168
476. ADDIT AMENTI STATICÆ PARS SECVNDA. DE TROCHLEOSTATICA. Page: 169
477. BREVIARIVM TROCHLEOSTATICES. Page: 170
478. PROPOSITIO. Page: 171
479. I Exemplum ponderum quærectà attolluntur. Page: 171
480. 2 Exemplum {λο}ξοβα{ρί}ας Page: 174
481. T*ROCHLEOSTATICÆ* FINIS. Page: 176
482. ADDITAMENTI STATICÆ PARS TERTIA DE FLVITANTIBVS ACROBARICIS. Page: 177
483. BREVIARIVM Fluitantium Acrobaricorum. Page: 178
484. THEOREMA. Page: 179
485. DEMONSTRATIO. Page: 179
486. 1 C*ONSECTARIUM.* Page: 180
487. 2 C*ONSECTARIUM.* Page: 180
488. 3 C*ONSECTARIUM.* Page: 180
489. NOTATO. Page: 180
490. F*LVITANTIVM* A*CROBARICORVM* FINIS. Page: 180
491. ADDITAMENTI STATICÆ PARS QVARTA, DE CHALINOTHLIPSI. Page: 181
492. BREVIARIVM CHALINOTHLIPSIS. Page: 182
493. DEFINITIONES. Page: 183
494. 1 DEFINITIO. Page: 183
495. 2 DEFINITIO. Page: 183
496. 3 DEFINITIO. Page: 183
497. 4 DEFINITIO. Page: 183
498. 5 DEFINITIO. Page: 184
499. 6 DEFINITIO. Page: 184
500. 7 DEFINITIO. Page: 184
501. 8 DEFINITIO. Page: 184
502. 9 DEFINITIO. Page: 184
503. 10 DEFINITIO. Page: 184
504. 11 DEFINITIO. Page: 184
505. INTER PRETAMENTVM. Page: 184
506. 12 DEFINITIO. Page: 184
507. INTERPRETAMENTVM. Page: 185
508. SEQVENTES DEFINITIO-NES NOVÆ, ET THEORIÆ QVASI PROPRIÆ SVNT. 13 DEFINITIO. Page: 185
509. 14 DEFINITIO. Page: 185
510. 15 DEFINITIO. Page: 185
511. 16 DEFINITIO. Page: 185
512. 17 DEFINITIO. Page: 185
513. 1 PROPOSITIO. Page: 186
514. 2 PROPOSITIO. Page: 186
515. NOTA. Page: 187
516. 3 PROPOSITIO. Page: 187
517. 4 PROPOSITIO. Page: 187
518. DEMONSTRATIO. Page: 188
519. 1 NOTA. Page: 188
520. 2 NOTA. Page: 189
521. 3 NOTA. Page: 189
522. 5 PROPOSITIO. Page: 190
523. NOTA. Page: 190
524. 6 PROPOSITIO. Page: 190
525. Quomodo ope {προ}πςραςιχ{οῦ} frenum uſuifiat accommodatum. Page: 193
526. NOTA. Page: 193
527. DEMONSTRATIO. Page: 194
528. C*HALINOTHLIPSIS* FINIS. Page: 196
529. TOMVS QVINTVS MATHEMATICORVM HYPOMNEMATVM, DE MISCELLANEIS. Quo comprehenduntur ea in quibus ſe exercuit ILLVSTRISSIMVS, ILLVSTRIS- Page: 197
530. Conſcriptus à S*IMONE* S*TEVINO*. L*VGDVNI* B*ATAVORVM*, Ex Officinâ Ioannis Patii, Academiæ Typographi. Anno cIↄ. Iↄ. c. *VIII*. Page: 197
1
TOMVS
QVARTVS
MATHEMATICORVM
HYPOMNEMATVM
DE
STATICA.
Quo comprehenduntur ea in quibus ſeſe exercuit
ILLVSTRISSIMVS
Illuſtriſsimo & antiquiſsimo ſtemmate ortus Princeps ac
Dominus M*AURITIUS* Princeps Auraicus, Comes
Naſſoviæ, Catti melibocorum, Viandę, Moerſii, & c. Marchio Veræ
& Vliſſingæ, & c. Dominus Civitatis Gravæ & ditionis Cuyc,
Civitatum Vyt, Daesburch, & c. Gubernator Geldriæ,
Hollandiæ, Zelandiæ, Weſ@friſiæ, Zutphaniæ,
Vltrajecti, Tranſiſalanæ, & c. Imperator exer-
citus Provinciarum fœdere conſociata-
rum Belgii, Archithalaſſus
Generalis, & c.
Conſcriptus à S*IMONE* S*TEVINO* Brugenſi.
1[Figure 1]
LVGODINI BATAVORVM,
Ex Officinâ Ioannis Patii, Academiæ Typographi.
Anno cI@ I@ cv.
22QVARTI TOMI
BREVIARIVM.
CV*M* jam olim de S*STATICA* librum
conſcripſiſſem, & I*LLUSTRISS. *
P*RINCEPS,* ad varias res quæ in praxi
occurrunt, ejus notitiam neceſſariam
comperiſſet, magni illius deſiderio, &
cognoſcendiſtudio accenſus fuit, adeo ut
poſt alias Mathematicæ materia diſci-
plinas, naturâ & notitiâ priores, quàm
avidißimè ſtudioſiſsimeq́, ad S*TATICES* praxin ſeſe con-
tulerit: ut poſt primam editionem præter erratorum emenda-
tionem magna mult arum inventionum acceſsio facta ſit, quod
ex additamento liquebit: ut oper æprecium facturus mihi vi-
derer ſi S*TATICEN* ad I*LLUSTRISSIMI* P*RINCIPIS*
M*ATHEMATICA* H*YPOMNEMATA* adderem in ſex libros
it a partitam, ut I. de primis S*TATICES* elementis ſit. II. de
ratione inveniendi centrum gravitatis. III. de 11centro ba-
rycâ. *CES* praxi. IV. de primis elementis Hydrostatices. v. 22aquam
ponderandi. Hydrostatices praxi. VI. denique additamentum habeat.
3
LIBER PRIMVS
STATIC AE
DE
STATICÆ ELEMENTIS.
44BREVIARIVM
LIBRI I.
ST*ATICES* elementa, quæſunt degra-
vitate à phyſico corpore ſolâ cogita-
tione ſejunctâ, bipartitò ſunt diſtri-
buta. Prior pars 14 definitiones ha-
bet: poſterior 28 propoſitiones de
ponderum affectionibus, quorũ alia
recta, alia obliqua ſunt. Recta porro
duorum generum, elevantia ſcilicet,
& deprimentia, quæ primis octodecim propoſitionibus
ſunt comprehenſa. Obliqua quoque totidem ſunt, ele-
vantia item, & deprimentia, quæ reliquá propoſitionum
multitudine declarantur, ſed majoris evidentiæ cauſâ ta-
bula eſto, quæ primilibri breviarum ob oculos ponat.
2[Figure 2]
55
PARS PRIOR
DE DEFINITIONIBVS.
I DEFINITIO.
Statica eſt quæ ponderis & gravitatis corporum ratio-
nes, proportiones, & qualitates interpretatur.
DECLARATIO.
QVemadmodum Geometria figurarum magnitudi-
nes non autem gravitates conſiderat, illas æ quales
vel inæquales ſolummodo judicans, quarum ma-
gnitudines æquales vel inæquales ſunt: Ita contra
Statica gravitates earundem nõ magnitudines ex-
pendit, easq́ue æquales vel inæquales habet, qua-
rum gravitates & pondera æqualia, vel inæqualia
ſunt. Et quemadmodum Geometriæ munus eſt in
Rationes, Proportiones, & affectiones Magnitu-
dinum inquirere: ita Statices eſt Rationes, Pro-
portiones, & affectiones gravitatum ſive ponde-
rum interpretari; quænoſtræ ſcriptionis finis eſt, & ſcopus.
2 DEFINITIO.
Gravitas corporis eſt potentia deſcenſus in dato loco.
DECLARATIO.
Gravitas & levitas, quam in corpore ineſſe vulgò dicimus, non eſt propria
& eſſentialis ejus forma, ſed ex relatione ad aliud nata, cujus pleniorem decla-
rationem alii loco ac tempori deſtinavimus. Nam nonnulla Materia, & cor-
pora in aëre gravia, in aquâ levia, in aëre vero levia, alibi eſſegravia depre-
henduntur. Cum itaque dicimus lignum centum pondo eſſe, potentiam
deſcenſus intelligi volumus in dato loco, hoceſt, in loco ſubjecto ubi ponde-
ratum eſt.
Ex definitionis conſectario, levitatem corporum potentiam elationis in al-
tum eſſe intelligimus; ſed in dato loco, naturâ enim quodvis corpus grave eſt.
3 DEFINITIO.
Nota gravitas eſt quæ notâ ponderitate exprimitur.
DECLARATIO.
Vt cum corpus vel gravitatem ſex librarum, octo marcarum, vel trium un-
ciarum, & c. eſſe dicimus; quod hujuſmodi notâ ponderitate ſit definita, no-
tam gravitatem appellamus.
661 L*IBER* S*TATICÆ*
4 DEFINITIO.
Gravitati centrum eſt ex quo, vel ſola cogitatione,
ſuſpenſum corpus quemcumque ſitum dederis, illum re-
tinet.
DECLARATIO.
ABC globus eſto, æquabili ubique & materiâ & pondere,
3[Figure 3] quem cogitatione noſtra ex centro D, lineâ E D ſuſpenſum
fingamus, qui quoquo modo verſatus, motusq́ue, quem de-
deris ſitum, retinebit, ſi enim B ad locum A aliæq́ue partes
alio transferantur immotæ manebunt, ſecus materia inæqua-
bilis eſſet, & alio loco denſior graviorq́ue, alio verò rarior &
levior, quod contra theſin eſſet. D itaque, ex definitionis ſen-
tentia, centrum gravitatis fuerit globi A B C. Idem judicium
deomnibus eſto, nullum enim non corpus inordinatæ figuræ
& materiæ inæquabilis gravitatis ſit ſive figuræ ordinatæ, &
æquabilis gravitatis, hujuſmodi punctum habet, à quo ſuſpenſum eandem po-
ſitionem ſervat quæ data fuit, quod gravitatis centrum appellatur. Vt autem
ſuis proprietatibus magis innoteſcat hoc addemus. Gravitatis centrum in cor-
poribus, ut columnis, ſphæris ſphæroïdibus, & quinque ordinatis, & c. ſi ſunt
ex materia æquabiliter ubique ponderoſa, idem eſt cum figuræ vel magnitu-
dinis puncto quod Geometricè centrum appellatur. Corporum vero inæqua-
biliter ponderosâ hæc puncta magnitudinis & gravitatis eodem loco non ha-
bent. In pyramidibus enim, & inordinatis ſolidis non magnitudinis centrum,
ſed gravitatis tantum eſt. Multa etiam corpora ſunt, ut annuli, unci, pelves, &
alia hujuſmodi, quæ gravitatis centrum, non intra verũ extra materiam habĕt.
In definitione, vel ſolâ cogitatione, dicitur, quod in definitioneilla poni de-
bent, quæ definiti naturam maximè declarant, quod & in Pappus 8 lib. ubi
gravitatis centrum definit, cogitatione commodiſſime fecit. Etiam iſto pacto
definire licet: Gravitatis centrum eſt, per quod plana quavis ducta corpus in duas
partes aquilibres dividunt. Quid autem æquilibritas ſive ęquipondium ſit 11 de-
finitione dicitur.
5 DEFINITIO.
Gravitatis corporeæ diameter eſt recta infinita per gra-
vitatis centrum acta: Et gravitatis diameter horizonti
perpendicularis, diameter gravitatis pendula appellatur.
DECLARATIO.
Vtin 4æ definitionis figurâ, quævis recta infinita per gravitatis centrum D
acta, corporis A B C diameter gravitatis appellatur: Verum gravitatis diame-
ter ad horizontem recta ut A D gravitatis diameter pendula dicatur.
NOTATO.
In priore editione gravitatis diameter definita nobis fuit infinita per gravitatis
ſue centr@ m pendens, ſufficere enim propoſitæ nobis ſcriptioni videbatur. Verum-
eni@@ver@ in ſequenti additamenio ponderoſorũ genera non paulo diligentius
77*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS.* neceſſarium duximus quamvis rectam infinitam per centrum diametrum gravita-
tis appellare, distinguere{q́ue} inter pendulam, & non pendulam diametrum: unde
etiam diſcrimen inter 5 & 13 definitionem bujus & ſuperior is edition is nature eſt.
6 DEFINITIO.
Gravitatis planum diametrum eſt quodcunque corpus
per gravitatis ſuæ centrum ſecat.
DECLARATIO.
Vt quodvis planum quod 4tæ definitionis globum per centrum D ſecat, ejus
ipſius gravitatis diametrum planum appellatur. Idem de aliis corporibus ju-
dicium eſto. Affectio hujus propria eſt, quomodolibet ſecet corpus, in duas
æqueponderantes partes ſecare.
7 DEFINITIO.
Recta duabus pendulis diametris terminata, jugum
ſive T*RABS* dicatur.
DECLARATIO.
4[Figure 4]
A & B duo corpora ſunto, & pendulæ gravitatis dia-
metri C D & E F, inter quas contingentibus punctis du-
ctæ rectæ G H, A B, I K aliæq́ue infinitæ pendulis dia-
metris terminatæ, quas jugum vocamus unde A, B gra-
vitates dependent, ad Bilancis jugum alludentes.
8 DEFINITIO.
Iuga@ à pendulâ gravitatis diametro diviſi partes, ex qui-
bus pondera ſitu æquilibria dependĕt, Radii appellantur.
DECLARATIO.
5[Figure 5]
A, B duo corporaſunto, & jugum illorum C D partitum
in E, à pendula diametro F, duo jugi membra ut E C, &
E D, ex quibus iſorropa pondera ſunt ſuſpenſa, radiiappel-
lantur.
9 DEFINITIO.
Amborum autem ponderum pendula gravitatis dia-
metrosanſa nobis dicitur.
DECLARATIO.
Vt FE, in 8 definit. Anſa eſt.
881 L*IBER* S*TATICÆ*
10 DEFINITIO.
Et Anſæ punctum in jugo fixum. Punctum firmum.
DECLARATIO.
Vt E, in 8 definitione, punctum eſt ſtabile.
11 DEFINITIO.
Dicta autem pondera ſitu æquilibria dicimus.
DECLARATIO.
Vt A & B, in tertiæ definitionis figurâ, ſive ambo ſuo pondere ſint æqui-
pondia, ſive inæquipondia, ex ſitu æquilibria vocamus, quòd poſitu æque-
ponderantia ſunt, A enim ex jugo dependens tantum poteſt ob ſitum, quan-
tum B, & viciſſim B quantum A.
Iſta ex ſitu æquilibritas neceſſariò notanda, & , quia diverſæ ſunt, ab æqui-
ponderitate dirimenda. Nam, exempli causâ, pondus ex minore radio in ſta-
tera dependens nonnunquam decuplum eſt ad alterum, æqualem tamen gra-
vitatem præ ſe ferunt, ſed ſpecie tantum non propriè, & tantummodo propter
ſitum.
12 DEFINITIO.
Pondus elevans dicitur quicquid eſt cauſa ponderis in
altitudinem elati.
DECLARATIO.
6[Figure 6]
Columna A pondus eſto,
B C linea ex qua ſuſpen-
ſa tenetur, /oriſmatis pun-
ctum in quo quieſcat D, E
vero pondus, corpus A eo-
dem tenens ſitu. Quapro-
pter E primæ ſecundæq́ue
figuræ pondus elevans, iſto
enim pondere corpus ele-
vatur, aut elevatum eodem
ſitu tenet. E vero tertiæ &
quartæ figuræ pondus de-
mittens, quod corpus la-
tere B affixum deſcendere
faciat, vel illo ſitu demiſſum
detineat.
13 DEFINITIO.
Lineam à gravitate ſublatâ verſus pondus attollens,
99*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS.* eſt inter gravitatis diametrum quæ per firmitudinis pun-
ctum, ejusq́ue parallelam, elevantem: quæ vero à gravita-
te demiſsâ eſt verſus pondus demittens, ſimiliter inter gra-
vitatis diametrum, quæ per firmitudinis punctum, ejusq́;
parallelam, lineam demittentem dicimus.
Vt recta C B in 12 definitione, gravitatis diametro, quæ per firmitudinis
punctum, ut D B, ejusq́ue parallelâ terminata, in 1 & 2 figurâ linea attollens,
in 3 verò & 4 linea demittens nobis appellabitur.
14 DEFINITIO.
Si linea, & attollens, & demittens Horizonti perpendi-
cularis ſit, Recta attollens, & Recta demittens, earumq́ue
pondera, Rectum attollens, Rectum demittens: ſin obli-
qua ſit Horizonti, obliqua attollens, obliqua demittens,
& earum pondera obliquum attollens, obliquum demit-
tens à ſitu nobis appellabuntur.
DECLARATIO.
Vt in primâ tertiaq́ue duodecimæ definitionis figurâ, attollens, & demit-
tenslineæ, quia ex hypotheſi angulos cum Horizonte rectos faciunt, illa Re-
cta attollens, hæc Recta demittens, earumq́ue pondera E Rectum attollens,
Rectum demittens dicantur. Sin linea attollens, & demittens ut C B in 2 & 4
figurâ horizonti ſit obliqua, obliquæ appellabuntur, & obliqua illarum pon-
dera.
NOTATO.
Figura Staticæ & Geometricæ columnæeadem eſt, niſi quod hic materia illius æqua-
bilioris ponderis eſſe ſumatur, operimentum vero & baſis quadrangula. Artis voca-
bula ita nobis Belgis uſurpantur.
11
Materia # # Stof
Forma # # Form
Effectus # # Daet
Subjectum # # Grondt
Adjunctum # # Aencleving
Genus # # Gheſlacht
Species # # Afcomſt
Definitio # # Bepaling
Propoſitio # # Voorſtel
Problema # # Werckſtick
Theorema # # Vertooch
Ratio # # Reden
Proportio # # Everedicheyt
A Equales # Pro qui- # Even
Similes # bus uſur- # Ghelijcke
Exemplum # pavimus #
1110101 L*IBER* S*TATIC Æ* Centrum gravitatis # # Swaerheyts middelpuns
Axis # # As
Diameter # # Middellini
Circumferentia # # Omtreck
Parallela # # Evewijdighe
Homologa latera # # Lijckſtandighe ſijden
Superficies # # Vlack
Planum # # Plat
Columna # # Pylaer
Arithmetica # # Telconſt
Geometria # # Meetconſt
Ars Mathematica # # Wiſconſt
Mathematicus # # Wiſconſtnaer
Mathematicè # # Wiſconſtlick.
Quæ Latina vocabula, & alia nonnulla, major is evidentiæ causâ, in margine non
nunquam ſuis vernaculis apponimus. T res autem literæ P. L. E. in margine aliquan-
do additæ. Propoſitionem, librum, Euclidem notant, ut ex 2 p. 6. l. E. 2 propoſitio-
nem 6 libri Euclidis intelliges.
*POSTVLATA.*
QVandoquidem nonnulla tanquam ſcientiæ principia per communes no-
tiones ſunt nota, neque demonſtrationis indigent; alia vero occultiora
magisq́ue tecta irridendi materiam cavillatoribus ſuppeditare poſſunt quæ
irrideriaut culpari minimè debent: quapropter Mathematicorum more, ante
quam ad propoſitiones accedimus, nobis illa concedi poſtulabimus.
1 POSTVLATVM.
Æqualia pondera ex æqualibus radiis ſuſpenſa etiam
ſitu eſſe æquipondia.
2 POSTVLATVM.
E Mathematicâ lineâ pondus quodvis ſuſpendi, autin
eâ quieſcere poſſe, ut ne frangatur aut flectatur.
3 POSTVLATVM.
7[Figure 7]
Pondus ſive ſublimius, ſive humilius ſit
ſuſpenſum ejuſdem gravitatis eſſe.
DECLARATIO.
Vt pondus A depreſſum in B ejuſdem gravitatis ma-
nere, vel tantundem potentiæ in C D obtinere quantum
in A obtinuit.
1111*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
4 POSTVLATVM.
Perplanum columnæ, quodillam per axis longitudi-
nem dividit, datam columnam intelligi.
Vt AB columna eſto, & ejus axis CD plano
8[Figure 8] aliquo, ut EFGH, per axem ſecta. plano EFGH
nominato, omiſſis cæteris omnibus, totam colum-
nam intelligi poſtulamus.
5 POSTVLATVM.
Omnes perpendiculares parallelas haberi.
DECLARATIO.
Cauſa ejuſmodi eſt. ABCD terræglobus eſto, cujus centrum E, horizon
AC, & FG jugum ad horizontem parallelum, ejusq́; æquales radii HF, HG,
exiisq́; æqualia põdera I, K ſuſpenſa; unde perpĕdiculares FI & GK parallelas
noneſſe manifeſtũ eſt quod inſeriora illarũ magis
9[Figure 9] annuant, quam ſuperiora, neq; diſtent ubiq́ æqualiter.
Super ſtabili puncto H, jugũ FG moveatur,
ut G in locum L, F in M tranſeant, pondusq́ K
adſcĕdat in N, I vero deſcendat in O: & angulus
LME recto propior ſit, quam MLE; ex iſto ſitu
(ut è 24 propoſit. patebit) O quam N gravius
fuerit. Ex his conſequens eſft nullum corpus five
ſolidum in rerum Naturâ eſſe, ut Mathematicè
loquar, præter Globum, quod ex ſuæ gravitatis
centro cogitatione ſuſpenſum, quemlibet datum
ſitum retinet: five, per quod planum quodlibet
ipſum corpus in partes fitu æquipondias dividit, verum propter varios, & in-
finitos ſitus, varia etiam & infinita gravitatis centra erunt. Neque gravius pon-
dus (quod 1 propoſitioni repugnat) eam rationem haberet ad levius, quæ
longioris radii eſt ad breviorem, ſed unum altero ponderoſius eſſe ex ſitu ar-
gueretur, quod angulus ejus major & recto propior eſſet; qu im alterius an-
gulus. Verumenimverò ut exemplo clarius fiat, AB bre-
10[Figure 10] vior radius eſto, ejusq́ue pondus C: AD vero longior, ex
eoque pondus E ſuſpenſum illam rationem habeto ad C;
quam AB ad AD, F autem univerſitatis centrum: ubi an-
gulus FBA hebetior, rectoq́ue propior eſſe apparet, quam
angulus ADE. Hinc (ex 24 propoſitionis ſententiâ) C pon-
deroſius eſſe, quam E, conſequens eſt.
Hæc inconvenientia inde ſuntnata, quòd in primâ figurâ
FE & GE, in ſecundâ verò BF & DF parallelæ non ſint.
Verum, quandoquidem diſcrimen illud, in iis quæ ab homi-
nibus ponderantur, nullum, ſaltem inobſervabile eſt, jugum enim aliquot mi-
lia longum eſſe deberet, antequam deprehendi poſſet, perpendiculares paral-
lelas habendas eſſe concedi nobis poſtulamus. Verum equidem eſt, ex naturâ
fuâ illas æſtimantes, perfectè operari poſſeſecundum illarum ſpeciem, ſed quia
moleſtius illud eſſet, nec tamen ad remipſam, hoc eſt, *STATICES* praxin
utilius, ſuperſedere conſultius eſt.
12121 L*IBER* S*TATICÆ*
PARS ALTERA
DE PROPOSITIONIBVS.
1 THE OREMA. I PROPOSITIO.
Duarum gravitatũ ſitu æquilibriũ ponderoſior illam ra-
tionĕ habet ad leviorĕ, quę lõgioris radii eſt, ad breviorem.
1 Exemplum.
DA*TVM*. ABCD 6 ℔ columna eſto in ſex partes æquales à
planisad baſin AD parallelis partita, ut ſunt EF, GH, IK, LM,
NO, axem PQ in R, S, T, V, X ſecantibus: LMDA gravi-
tas eſto ponderoſior, ejusq́ue centrum S, LMCB verò levior
& centrum X, partium iſtarum ſecundũ 7 de-
11[Figure 11] finitionem jugum erit SX, T autem columnæ
totius centrum, TI anſa, ex qua LMDA
& LMCB ſitu æquilibria dependent, &
TX radius longior, TS autem brevior ex 8
definit. ſententiâ.
Q*VÆSITVM*. Demonſtrandum nobis
eſt ſic longiorem radium TX eſſe ad brevio-
rem TS: q@emadmodum ponderoſior gra-
vitas LMDA eſt ad leviorem LMCB.
DEMONSTRATIO.
LMDA 4 libras pendet, LMCB vero 2, ratio autem longioris radii
TX ad breviorem TS eſtut 2 ad 1 ex dato: Atqui ut 4. ad 2: ita 2 ad 1, ut
igitur ponderoſius LMDA ad levius LMCB: ita TX longior radius ad
TS breviorem.
VErumenimvero ne caſu potius quam ſolidâ ſcientiâ ita habere ſe iſta vi-
deantur, Mathematicam demonſtrationem ſubjungemus.
2 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD iterum eſto columna, ſecta plano EF parallelo ad
AD, ſecanteaxem GH in puncto contingenti, ut I, ſegmentiq́ue EFDA
centrum gravitatis K medium in GI, ſegmentiq́ue EFCB centrum L me-
diumin IH, totiusautem ABCD, M medium in GH, MN verò ſegmen-
torum EFDA & EFCB anſa, unde ſitu æquilibria dependent.
Q*VÆSITVM*. Demonſtrandum eſt,
12[Figure 12] quemadmodum corpus five gravitas (quæ
hic propter illorum proportionem, unum
idemq́ue ſunt ut enim corpus EFDA ad
corpus EFCB: ita illius gravitas, ad gra-
vitatem hujus, columna enim ex poſitu ubiq;
æquabilis gravitatis eſt) EFDA ad EFCB:
ita longiorem radium ML eſſe ad brevio-
rem MK.
1313*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
DEMONSTRATIO.
1 MEMBRVM.
MH ex dato æquatur MG. utrique KM addito KH æquabitur MG
& KM. ſubductoq́ue deinde hinc GK, inde KI (ex dato autem GK & KI
æqualia ſunt) KM & KM reliqua æqualia erunt IH reliquo, eorundemq́ue
dimidia æqualia fuerint.
2 MEMBRVM.
MI ad KM & IL addito tota ML & IK æqualia erunt.
3 MEMBRVM.
Vt GI ad ſui dimidium KI: ſic IH ad ſui dimidium IL. & proportio-
ne alternatâ, ut GI ad IH: ita KI ad IL, atqui KI æquatur ML juxta 2
membrum, & IL ſegmento MK, juxta primum, ideoq́ue ut GI ad IH: ita
ML ad MK. Atqui ut GI ad IH: ita corpus five gravitas EFDA ad
EFCB, itaque ut ponderoſior gravitas EFDA, ad leviorem EFCB: ita
longior radius ML, ad breviorem MK.
OCcurrerit hic non nemo. Propoſitionĕ deſegmentis ejuſdem columnæ,
& quidem æquabilis gravitatis à meeſſe demõſtratam, ignorari tamen an
veritas in aliis, & variis ſegmentis ſigurarum irregularium, & materiæ inæqua-
bilis cadem futura ſit: quapropter propoſitionis generalitatem ita dein-
ceps demonſtrabimus. Iugum KL primi modi immotum manere ima-
ginemur, ſegmentum autem EFDA demitti, lineâ è gravitatis centro edu-
ctâ ſuſpenſum è puncto K, reliquumq́ue ſe-
13[Figure 13] gmentum EFCB conſimiliter depreſſum
è gravitatis centro L ſuſpendi, ſegmen-
tumq́ue EFCB ab EFDA diſtare, & ſi-
tum corũ eſſe qualem diagramma exhibet.
Quando corpus primi modi ex anſa MN
penderet, ſegmenta EFCB & EFDA
ſitu æquipondia erant: neque in ſecundo
pondus EFDA depreſſius altero, plus mi-
núsve gravitatis quam in primo adſert jugo
KL, ex 3 poſtulati ſententiâ. Neque EFCB pondus ſecundi modi plus gra-
vitatis jugo adfert quam prius. Quapropter gravitates tam primi, quàm ſecun-
di modi eædem manent, jugiq́ue ſitus idem qui erat prius. ideoq́ue EFDA
& EFCB ſitu æquilibria. ſegmentaq́ue columnæ tam diviſa, quam conjun-
cta fitu æquipondia, atque radii eandem rationem, quam habuerunt, reti-
nent.
Hoc probato, corpora EFDA & EFCB ſe-
14[Figure 14] cundi modi aliter premendo ſingendoq́ue figure-
mus (materiam ceream, argillaceam, aliamve tra-
ctabilem eſſe ponamus) ut EFDA & EFCB
modi ſecundi, EFDA & EFCB fiant tertii;
KL jugum eundem poſitum ſervare, radiosq́ue
ML, & KM eandem rationem manifeſtum eſt,
ideoq́ue EFDA & EFCB ſitu æquilibria ma-
nere conſequens eſt, quia manente materiâ, muta-
tio ſormæ mutationem gravitatis non adfert.
14141 L*IBER* S*TATICÆ*
Deniq; EFDA & EFBC tertiimodi mutatis, pro illo corpus plumbeum,
pro hoc ligneum ejuſdem ponderis ſuſpĕduntor,
15[Figure 15] eritq́ue modus quartus, uthîcvidere eſt. Iugum
in eodem ſitu manere, ideoq́; EFDA & EFCB
ſitu æquipondia, radiosq́ue ejuſdem rationis eſſe
nemini dubium eſſe poteſt.
3 Exemplum.
Ponderibus corporeo etiam jugo ſuſpenſis
idem demonſtrari poteſt, & quidem iſto pacto.
Columna ABCD plano per axem EF eſto bi-
ſecta, axisq́ue inferioris biſegmĕti EC, eſto GH.
EC porro ſecta plano IK, ad baſin ED
16[Figure 16] parallelo, axem GH ſecante in L, cen-
trúmque gravitatis ſegmĕti IKDE eſto
M, in medio GL, ſegmĕti verò IKCF
ſit N, in medio LH, O denique totius
ABCD, in medio EF. OP gravitatis
diameter, totius corporis ABCD, MQ
ſegmĕti IKDE, NR ſegmĕti IKCF.
His poſitis, obſcurum eſſe non poteſt,
quin columnæ ſegmentum dextrum ſi-
niſtro æquilibre ſit ſitu.
Inferiore ſegmento EFCD deorſum detracto, & ex MQ & NR lineis,
ut in paradigmate exhibetur, ſuſpenſo, ABFE corporeum jugum antiquum
nihilo minus obtinere ſitum dubium non eſt. Segmentum IKDE ab IKCF
diviſum ſingamus, & utrumque ab altero ita
17[Figure 17] ſeparatum, ut quò Natura ſert cadere poſſit,
verum cum utrumq; è ſuo gravitatis centro
M, N dependeat, primum obtinebit ſitum
per 4 deſinitionem, & propterea neque in
ABFE quicquam mutabitur. Sed IKDE
eandem rationem ad IKCF habere, quam
radium OR ad OQ, jam antea experien-
tia docuit, adeo quidem ut quod prius in
S*TATICO* jugo (hoc eſt lineâ) exhibui-
mus, id jam nunc in corporeo exhibeamus. C*ONCLVSIO*. Quapropter
duarum gravitatum ſitu æquilibrium ponderoſior, illam rationem habet ad
leviorem (cujuſcunque vel materiæ, vel formæ ſint corpora) quæ longioris
radii eſt ad breviorem, quod nobis demonſtrandum fuit.
C*ONSECTARIUM*.
E` primæ propoſitionis converſo conſequens eſt; Si ponderis gravio-
ris ea ratio eſt ad levius, quæ longioris radii ad breviorem, pondera eſſe ſitu
æquipondia.
1 PROBLEMA. 2 PROPOSITIO.
Dati & cogniti ponderis anſam invenire.
1515*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
1 Exemplum.
D*ATVM*. Pondus A ſuſpenſum è C libras tres, pondusalterum B ſuſpen-
ſum è D unam pendeat, denique CD jugum ſit.
Q*VAESITVM*. Anſa invenienda nobis eſt.
PRAGMATIA.
18[Figure 18]
CD ita dividitor, ut majus ſegmentum quod minoris
ponderis eſt pendulam diametrum verſus, illam rationem
habeat ad minus, quam majus pondus ad minus. Sitq́ue
in E, ut quemadmodum 3 ℔ A, ad 1 ℔ B: ſic ſit ED,
ad EC. Dico lineam per E pendulam, eſſe anſam.
2 Exemplum.
D*ATVM*. Datum pondus eſto columna ABCD 6 ℔ pendens, ſimiliter
columnæ primæ propoſitionis diviſa. & ex Q ſuſpenſum pondus Y ℔ 12.
Q*VAE SITVM*. Anſa invenienda eſt.
*PRAGMATIA*.
19[Figure 19]
Columnæ pendula gravitatis diametrus
eſt IT, ponderis verò Y eſt BQ, TQ ju-
gum ita dirimédum eſt, ut ejus ſegmenta ra-
tionem habeant, quæ eſt inter 12 ℔ Y, &
6 ℔ columnæ, breviusq́; ſegmentum pon-
deroſioris Y diametrum verſus ſit, quæ eſt
in X. ut NX anſa ſit quæſita.
3 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD iterum columna eſto. ſecta ut paulò ante, & Y 6 ℔
ex X pendeto.
20[Figure 20]
Q*VAESITVM*. Anſa eſt nobis quærĕda.
*PRAGMATIA.*
Columnę pendula diameter eſt IT pon-
deris verò Y, NX, TX jugum ita parti-
tum, ut ſegmenta rationem habeant 6 ℔ Y,
ad 6 ℔ columnæ, quod in V incidit, eritq́ue
VL anſa quæſita.
*PRAGMATIA ALIVSMODI.*
PEndula diametros ponderis MLBCY eſt NX, MLAD verò eſt SG,
& jugum XS, quod ita ſecandum eſt, ut ſegmentorũ ratio ſit eadem quæ
8 ℔ pondens MLBCY ad 4 ℔ MLAD, & illorum brevius à diametro pen-
dulâ quæ eſt V gravius pondus verſus ſit, atque hoc modo VL quæſita erit
anſa, ut prius.
1616*I* L*IBER* S*TATICÆ*
4 Exemplum.
*Datvm. * ABCD columna eſto, partita, ut prius, pendeatq́ue Y 6 ℔ ex
X, Z vero 24 ℔ ex R. *QVAESITVM. * Anſa quærenda eſt.
PRAGMATIA.
Diametros pendula põderis ABCDY
21[Figure 21] eſt L V, ex 3 exemplo, ponderis autem
Z, R E, R V itaque jugum in duo ſe-
gmenta ſecandum, ut ratio illorum ſit 12
A B C D Y ad 24 Z. & à pendulâ dia-
metro quæ incidet in S, brevius ſegmen-
tum gravius pondus verſus ſit, eritq́; S G
quæſita anſa.
PRAGMATIA ALIVSMODI.
PEndula gravitatis diametros ponderis A B C D Z eſto Æ W ex 3 propo-
ſitione, ut S Æ valeat {2/3} S R, pendulaq́ue diametros Y, X N eſto, jugum
vero Æ X ita partitum ut ſegmentorum ratio ſit 30 ℔ A B C D Z ad 6 ℔ Y,
& illorum brevius ponderum gravius verſus ſità pendula diametro, quæ eſt S,
atque iſto pacto S G quæſita erit anſa.
PRAGMATIA ALIVSMODI.
PEndula gravitatis diametros Y Z (per primum exemplum) eſt Φ Δ, ut S Φ
ſit {1/5} S R, & columnæ diametros pendula T I, & T Φ jugum ita partitum,
ut ratio ſegmentorum ſit 30 ℔ Y cum Z, ad 6 ℔ columnæ, & S G hoc modo,
ut prius, erit anſa quæſita.
5 Exemplum.
*DATVM. * A B C D columna eſto partita ut prius, & Y 6 ℔ ex X, Z vero
24 ℔ ex R pendeat, & Æ 12 ℔ è Q. *QVAESITVM. * Anſanobis quæ-
renda eſt.
PRAGMATIA.
Diametros pendula A B C D Y Z eſt S G, ex 4 exempliſententiâ, & Æ,
Q B, S Q eſt jugum in duo ſegmenta partiendum ut illorum ratio ſit, quæ eſt
36 ℔ columnæ cum Y & Z, ad 12 ℔ Æ minus ſegmentum pendulam diame-
trum verſus gravioris ſegmenti, quæ incidit in T, ut T I anſa ſit quæſita.
Si ex P præterea 24 ℔ eſſent ſuſpenſæ, S G eſſet anſa, & ita deinceps cum
quovis alio pondere, quod ex jugo ſuſpendi poteſt.
1717*DE STATICÆ* ELEMENTIS.
DEMONSTRATIO.
Gravioris põderis A, in primo paradigma-
22[Figure 22] te, ea eſt ratio ad levius B, quę longioris radii
E D ad breviorem E C. E F itaque per 9
definitionem anſa erit. Reliquorum exem-
plorum eadem demonſtratio fuerit, quibus
brevitatis cauſa ſuperſedemus.
*CONCLVSIO. * Cognitis igitur ponde-
ribus datis anſam illorum invenerimus.
NOTATO.
Si ad γ, 2 paradigmatis pondus, 1 ℔ adderetur, & ex V 1 ℔ ſuſpenderetur, at
hîc infra ponitur, ex antecedentibus manifeſtum
23[Figure 23] eſt X N anſam nibilo minus manere, & quæcung
ex ea dependĕt ſitu æquilibria eſſe. Idem N X ma-
nebit ſi Z 1 ℔ pendeat ex T, & γ 14 ℔ valeat;
aut Z 1 ℔ ex S, & γ ſit ℔ 15: itidem Z 1 ℔ ex
R, & γ ſit 16 ℔, aut ex P, & γ ſit 17 ℔. &
ita deinceps ſi jugum longius fuerit, perpetuo 1 ℔
ad γ addendo, pro longitudine cujus{q́ue} partis
æquantis X V, quò Z promovetur. Vnde quali-
tates & affectiones Stater æ cognoſcuntur, ut ple-
nius in Statices praxi tr actabitur.
2 PROBLEMA. 3 PROPOSITIO.
Datis ponderibus ſitu æquipondiis, altero cognito, al-
tero incognito, unà cum ansâ: incognitum cognitum
reddere.
1 Exemplum.
*DATVM. * A & B duo pondera ſitu æquipondia ſunto
24[Figure 24] quorum A ex C ſuſpenſum 3 ℔ pendeat, B verò ſuſpenſum
ex D ignorator, E F anſa. *QVAESITVM. * Pondus B
innoteſcat.
PRAGMATIA.
In rationem radii E D ad radium E C inquirendum eſt,
ſit autem ex hypotheſi, ut 3 ad 1, dico igitur quemadmodum
E D 3, ad E C 1: ita & 3 ℔ ad quem? proportione conclu-
ditur 1 ℔.
2 Exemplum.
*DATVM. * Quemadmodum 2 propoſitionis 2 exemplo, columna A B C D
pro altero pondere 6 ℔ pendeat, reliquum pondus incognitũ, & inde ſuſpen-
ſum Y ſit, anſa autĕ X N. *QVAESITVM. * In põdus X inquirendũ nobis eſt.
1818*I* L*IBER* S*TATICÆ*
PRAGMATIA.
Quandoquidem TI columnę diameter pendula eſt, Q B autĕ ponderis Y,
T Q jugum erit, ejusq́ue radius brevior X Q, X T vero longior. Inquiren-
dum igitur quæ ſit ratio X Q radii ad radium X T: eſto ex hypotheſi 1 ad 2.
Dico igitur ut X Q 1 ad X T 2: ita columna 6 ℔ ad quem? pro Y conclu-
ditur 12 ℔. Hujuſmodi plura exempla 2 propoſitionis exemplorum conſimi-
lia proponi poſſent, niſi jam ex antecedentibus innotuiſſent.
DEMONSTRATIO.
B primi exempli, ſi poſſit fieri, 1 ℔ ponderoſius ſit, non erit gravioris pon-
deris ea ratio adlevius, quæ longioris radii eſt ad breviorem, quod 1 propoſi-
tioni repugnat. B igitur 1 ℔ ponderoſius non eſt. eodemq́ue pacto nequele-
vius eſſe demonſtrabitur. Ideoq́ue unam tantum ℔ pendebit, quod demon-
ſtrandum erat. *CONCLVSIO. * Datis igitur duobus ponderibus ſitu æ qui-
pondiis cognito ſcilicet, & incognito, datâ item anſâ. Incognitum pondus
cognitum fecimus, quod fuit quæſitum.
3 PROBLEMA. 4 PROPOSITIO.
Datis ponderibus cognitis ſitu æquipondiis, unàcum
lõgitudine radii alterius: reliqui radii lõgitudinĕ invenire.
*DATVM. * A & B pondera ſitu æquipõdia ſunto, A quidem ex C ſuſpen-
ſum 3 ℔, B vero ex D 1 ℔ pendeat, & radius D E 6 pedes ſit longus.
*QVAESITVM. * Reliqui radii longitudo nobis invenienda eſt.
PRAGMATIA.
Proportio ſic erit, ut A 3 ℔ ad B 1 ℔. ita D E 6 pedes ad
25[Figure 25] E C 2. Plura exempla 2 propoſitionis exemplis conformia
hucadducere poſſemus, niſi ex antecedente doctrinâ ſatis no-
ta eſſent.
DEMONSTRATIO.
Si E C duobus pedibus longior eſſe fingatur, longioris ra-
dii minor ratio fuerit ad breviorem, quam gravioris ponderis
ad levius, quod contra primam propoſitionem eſt. E C igi-
tur 2 pedibus nequaquam longior eſt. Similiter neq; brevior
eſſe demonſtrabitur, ut duos tantum pedes longum eſſe conſequens ſit, quod
erat demonſtrandum.
*CONCLVSIO. * Datis igitur duobus ponderibus ſitu æquipondiis, & al-
terius radiorum longitudine: etiam reliqui longitudinem invenerimus, ut
petitum erat.
4 PROBLEMA. 5 PROPOSITIO.
Datâ columnâ pondus invenire, quod ad columnam
habeat datam rationem.
*DATVM. * A B C D columna eſto, cujus axis E F, centrum G ſit, data au-
tem ratio 2 ad 3. *QVAESITVM. * Pondus ejus rationis erit ad datam co-
lumnam: quæ eſt 2 ad 3, hoc eſt columnæ {2/3}.
1919*DE STATICÆ ELEMENTIS.*
NOTATO.
Quemadmodum Arithmeticæ & Geometricæ propoſitiones diverſas pra-
gmatias habent, ita etiam *STATICAE*, de columna enim ſegmentum deſe-
cari poſſet, cujus ratio ad totam eſſepoſſet,
26[Figure 26] quæ eſt 2 ad 3. Aut etiam columnâ integrâ
manente quævis alia materia contra illam
ponderari poſſet, indeq́ue {1/3} auferri, verum
Staticè illud ipſum efficere volumus, hoc
pacto.
PRAGMATIA.
A centro G, F verſus 5 puncta (5 ſcilicet
pro toto datorum terminorum 2 & 3) ut
H, I, K, L, M æqualiter ſpacio inter ſe diſſi-
ta, ſignanda erunt, & in ſecundo puncto I (à ſecundo puncto inquam, quia
2 datorum numerorum alter eſt) columna è pendulâ gravitatis diametro I N
ſuſpendenda, necnon ex quinto puncto M aliquod pondus demittendum,
ut O tantæ gravitatis, ut omnia in ſitus æquilibritate pendeant. Dico pondus
O eâ eſſe in rationead columnæ pondus, in qua eſt 2 ad 3, aut O æquare {2/3} co-
lumnæ.
DEMONSTRATIO.
G gravitatis centrum eſt columnæ A B C D, M P vero pendula gravi-
tatis diametros ipſius O, propterea ut radius I G ad radium I M: ita O ad co-
lumnam per primam propoſitionem. Atqui I G rationem habet ad I M,
quam 2 ad 3, ergo & O ad columnam habet eandem rationem 2 ad 3, quod
nobis fuit demonſtrandum.
NOTATO.
Etiam incommenſurabilium terminorum exempla in medium 11 aſymmetre-
rum. poſſemus, niſi ex antecedentibus manifeſta eſſent, etiam ex iis, quæ de incom-
menſurabilibus magnitudinibus alibi præcepimus.
2 THEOREMA. 6 PROPOSITIO.
Pendulâ columnâ per gravitatis centrum à plano ad
baſin parallelo ſectâ, firmitudinis autem puncto ſupra
gravitatis centrum fixo: Axis horizonti eſt parallelus.
27[Figure 27]
*DATVM. * A B C D columna eſto
per gravitatis centrum à plano F G ad
baſin A D parallelo ſecta, H autem
firmitudinis punctum in pendulâ gra-
vitatis diametro I G fixum, ſupra gra-
vitatis centrum E. & K L axis, M N
denique horizon.
*QVAESITVM. * K L axem ad ho-
rizontem M N parallelum eſſe demon-
ſtrari oportet.
DEMONSTRATIO.
Axis K L, ſi fieri quidem poteſt ab horizonte M N inæqualiter
2020*I LIBER STATICÆ* eſto, ut ſecunda figura exhibet, & I H producatur in O, A B ſecans in P, ſe-
gmentumq́ue columnæ P O C B contra P O D A æquilibre pendeat, atqui
illud iſto & majus & ponderoſius eſt (C F G D A enim æquatur F G C B,
triangulum autem FHI deſectum de F G C B minus eſt triangulo O H G
de F G C B deſecto, ideo & c.) ponderoſius itaque ſeleviori æquilibre erit,
quod planè abſurdum eſt. Quapropter K L
28[Figure 28] ad horizontem M N parallelus eſt, ut in
primo diagrammate.
Illud quoque tanquam Statices generale
theorema habendum eſt.
Gravitatis centrum pendentis corporis in pen-
dulâ gravitatis diametro eſſe.
Atqui gravitatis centrum E ſecundi dia-
grammatis non eſt in I O pendulâ gravitatis
diametro. Impoſſibile igitur.
*CONCLVSIO. * Columnâigitur ſecta, & c.
3 THEOREMA. 7 PROPOSITIO.
Si punctum firmitudinis centrum gravitatis ſit penden-
tis columnæ, quemcunque ei ſitum dederis, ſervat.
*DATVM*. A B C D columna eſto, ejusq́;
29[Figure 29] centrum E firmum fixumq́ue, quo de linea
E F ſit ſuſpenſa, axis G H ad horizontem I K
parallelus. *QVAESITVM. * Columnam
A B C D, quemcunqueſitum dederis, reti-
nere demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
Datæ columnæ (E puncto immoto) alium
affingamus ſitum, quam prius, ut ſecundâ
hæc figurâ exhibetur, producaturq́ue F E, ut in L uſque, ſecans A B in M,
eq́ue ſuo ſitu, ſi quidem poſſit, emoveatur, & ſegmentum M L D A, vel
M L C B nutet deſcendatq́ue. Atqui duo iſta ſegmenta magnitudine æqua-
lia ſunt, ideoq́ue æquilibria, æquilibrium
30[Figure 30] igitur alterum ponderoſius eſſe altero conſe-
quens erit, quod prorſus abſurdum eſt. Co-
lumna igitur ſitum ſuum obtinet, aut alium
quemvis, quicunque ei tributus fuerit.
*CONCLVSIO. * Si itaque firmitudinis
punctum columnæ centrum fuerit, quemli-
bet datum ſitum ſervabit.
4 THEOREMA. 8 PROPOSITIO.
Sicolumna per gravitatis punctum ſit ſecta à plano
2121*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. bafin parallelo, fueritq́ue firmitudinis punctum in ſecan-
te plano, infra gravitatis centrum: Columna (naturæ du-
ctu) ſeſe invertit donec gravitatis centrum in pendulâ gra-
vitatis diametro ſit.
D*ATVM*. A B C D columna eſto, per gravitatis centrum E ſecta, plano
FG ad baſin A D parallelo, G autem fir-
mitudinis punctum infra gravitatis cen-
31[Figure 31] trum E, quo faſtigio H incumbit, &
quieſcit, I K porro axis horizonti L M pa-
rallelus. Q*VAESITVM*. Columnam in-
vertere ſe probandum eſt, uſque dum gra-
vitatis centrum in pendulâ gravitatis dia-
metro fuerit. Sed naturæ, ut dixi, ductu
nutuq́; , Mathematicè enim in eo quieſce-
repoteſt.
DEMONSTRATIO.
A. Luicquid jacet ſolum aliquod neceſſe eſt habeat ubi quieſcat.
E. Atqui columnæ nihil eſt ubi quieſcat.
F. Columnia igitur jacere nequit.
Syllogiſmi hujus aſſumptio inde manifeſta eſt, quòd punctum non ſit ma-
gnitudo, ideo neque ſolum. Verum quidem eſt, fingere nos ali quando corpus
ex hypotheſi ita quieſcere, ſed re verâ effectum illud reddere hominum nemo
poteſt. Adeo ut quantumvis axis I K horizonti L M parallelus ſtatuatur;
columnatamen ( puncto G immoto) in illud latus ſeſe invertet à quo motus
principium exſtiterit. Quod autem eo uſque ſeſe motabit atq; invertet, donec
gravitatis centrum in pendulam gravitatis diametrum incidat, è 6 propoſitio-
ne manifeſtum eſt. C*ONCLVSIO. * Sectâ igitur columnâ, & c.
1 NOTA.
Hic ſi aliquis diſcriminationem inter jacere, & pendère declar ari ſibi postulaverit,
hoc reſponſum à nobis ferat. Pendere corpus, quando gravitatis centrum deorſum eſt,
vel in propinquo puncti in quo quieſcit; ſin gravitatis centrum ſurſum eſt jacere, ſtare,
ſedere existimamus. Iacere quidem quando longius latus ſecundum horizontem ſeſe
exporrigit, ſtare quando horizonti perpendiculare eſt, hinc illud eſt quod cubum (quia
latera habet æqualia) tam ſtare quam jacere, tam{q́ue} jacere quam ſtare propriè dici-
mus. Sedere inter utrumque medium eſſe.
2 NOTA.
Si quis argumentum trium propoſitionum experientiâ edoceri cupidus eſt, regulam
ex ligno, aliáve quâlibet materiâ æquabiliter & craßâ & põderosâ ſumat, ut A B C D.
in ea{q́ue} punctis E, F, G, H in mediis lineis A B, B C, C D, D A ſignatis, rectas E G,
& H F ſeſe in I ſecantes ducat. Deinde exiguum
foramen, & tanquam acu punctum, terebretur in
I, item ſupra I in K, denique infra in L. Tum
32[Figure 32] acu in K inſertâ, ut liberè moveri poßit, diame-
trum H F, nunquã non horizonti parallelam mu-
nere; in I verò tranſlatâ, regulam quemcunque
ſitum dederis ſervare, denique in L inditâ, omnia
@@ illud latus inverti, unde primum motus incipit, donec I in gravitatis ſuæ
2222*I* L*IBER* S*TATICÆ* fuerit, experientia testabitur, cujus rei cauſa è 6, 7, 8 propoſitionibus mani-
festa eſt.
5 THEOREMA. 9 PROPOSITIO.
Anſa infinitum cõtinuata binorum ponderum jugum
quodvis in ſuos radios ſecat.
D*ATVM. * A, B duo pondera ſunto, C D & E F eorum diametri. & ju-
gum CE, anſa denique G H, ita ut C G ſit ad G E, ut pondus B ad A.
Eſto & I K jugum inæqualiter à C E diſtans, & G H infinitum continuator
L verſus ſecans jugum I K in M. Q*VAESITVM. * Demonſtrandum nobis
eſt I M & M K etiam radios eſſe ponderum A, B. id eſt, ut B ad A: ſic etiam
M I eſſe ad M K.
P*RAEPARATIO. * C N ducaturad I K parallela, ſe-
cans H L in O.
33[Figure 33]
DEMONSTRATIO.
Quemadmodum C G ad G E: ita C O ad O N. Atqui
C O æquatur I M, & N O ipſi M K, quapropter ut C G
ad G E: ita I M ad M K. Atqui ut B ad A: ita ex con-
ceſſo C G ad G E, ideoq́ue ut B ad A: ita M I ad M K:
eadem cujuſvis jugi demonſtratio eſt lineis C D & E F ter-
minati, ut P Q ſecti in R, & quæcunque alia lineari poſſuntinter dictos ter-
minos. C*ONCLUSIO. * Anſa in infinitum cõtinuata ſecat quodvis jugum
in ſuos radios, quod nobis demonſtrandum fuit.
1 C*ONSECTARIUM.*
Hinc conſequens eſt, ut duorum ponderum pendula gravitatis diametros
inveniatur, non neceſſe eſſe ut jugum horizonti ſit parallelum. Verum quoli-
bet modo ſitum iſti uſui ſufficere.
2 C*ONSECTARIUM.*
Quandoquidé centrum gravitatis in pendulâ gravitatis diametro eſt, quam-
libet rectam inter duo gravitatis centra terminatam, etiam ponderum jugum
eſſe cõſequens eſt, & radiorum jugi diſcriminationem gravitatis centrum eſſe
amborum ponderum.
5 PROBLEMA. 10 PROPOSITIO.
Datis, firmitudinis puncto notæ columnæ, notisque
ponderibus ſitu æquipondiis inde dependentibus: inveni-
rian axis parallelus futurus eſt horizonti; an quem dede-
ris ſitum fervaturus: an verò ſe inverſurus, donec gravita-
tis centrum in pendul à gravitatis diametro ſit.
D*ATVM. * A B C D columna eſto 4 ℔, fecta per gravitatis centrum E. pla-
no F G ad baſin A D parallelo, H firmitudinis punctum inſra centrum
2323*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS.* medio inter E, Gloco, è columnâ
34[Figure 34] autem duo pondera I, K, depen-
dento, ſingula 4 ℔, & diametro-
rum firmitudinis puncta C, D,
axis L M, horizon N O.
Q*VAESITVM. * Inveniendum
nobis, an axis L M ad horizon-
tem N O parallelus futurus ſit;
an quicunque datus fuerit ſitus,
retinebit; an denique invertet ſe
donec, E centrum gravitatis in
pendulâ gravitatis diametro ſit,
quæ eſt per H, quæ diverſitates
evenire poſſunt, pro variâ ratio-
ne gravitatis columnæ ad ponde-
ra, quæ inde dependent.
PRAGMATIA.
Ducatur P Q pendula gravi-
tatis diameter columnæ per E,
hinc per G pĕdula diameter R S
ponderum I, K, jugum erit E G, deinde ſecundæ propoſit. adjumento, quo
firmum anſae; punctum incidat, cognoſcetur. Si enim infra H ſit locus ejus,
movet ſe L M donec ad horizontem N O parallelus ſit; ſi in H, quicunque
datus fuerit ſitus retinetur; ſin ſupra H, omnia invertuntur. Atqui columna
4 ℔ pendet, ponderum I, K, item ſingula 4 ℔, ut amborum totus 8 ℔ ſit ex
conceſſo, E G itaque ſecta in T, ut E T ad T G illam rationem habeat quæ
eſt 8 ad 4. Dico L M ſeſe moturum (quod T infra H ſit) donec ad horizon-
tem parallelus frierit. Columna 4 ℔ pendeat, pondera vero I, K binas, ſumma
utriuſque 4 ℔ fuerit: ſectâ igitur E Gín H (eſt autem H ex cõceſſo inter E G
medium) utratio E H ad H G eaſit: quæ eſt 4 ad 4; dico L M (quòd in H
incidit) quemcunque ſitum dederis ſervare. Deniq; columna 4 ℔ eſto, pon-
dera I, K, vero ſingula 1 ℔, ut ſimul utrumque ſit 2 ℔. quapropter E G ſecta
in V, ut E V eam rationem habeat ad V G: quæ eſt 2 ad 4: inquio columnam
& ſe, & omnia reliqua inverſuram (quòd V ſupra H ſit) uſque dum H in ſua
gravitatis diametro fuerit.
DEMONSTRATIO.
Primum L M movere ſe donec horizonti ſit parallela, I & K 4 ℔ penden-
tibus, ita liquet. Perpendicularis per T, ut T X, eſt pendula gravitatis diame-
ter totius, eâ igitur omiſsâ, totoq́ue ex perpendiculari per H, ut H Y, ſuſpen-
ſo (H autem firmitudinis punctum eſt) ſegmentum B A, K, verſus ponde-
roſius erit, quam quod A D, I, verſus eſt, ideòque B A, K, deorſum verget,
donec H in pendulâ gravitatis diametro totius fuerit, atque tunc L M ad ho-
rizontem N O parallela fuerit.
Secundò, I & K binas ℔ pendentibus, L M quemvis datum ſitum ſerva-
re, iſto pacto arguitur. I & K in altitudinem elata eſſe fingamus, ut pro I & K,
D & C centra gravitatis ſint, nulla, ex 3 poſtulato, gravitatis mutatio
2424*I* L*IBER* S*TATICÆ* adferetur: Eoq́uepoſito & conceſſo, H gravitatis centrum eſt corporis è co-
lumnâ, & duobus ponderibus I & K compoſiti, & ſuper eo centro quem de-
deris ſitum ſervabit per 4 definitionem, quod quovis in ſitu, in quo L M col-
locabitur, demonſtrari poterit.
Denique I & K 1 ℔ pendentibus ſingulis, omnia inverti ita demonſtratur.
Perpendicularis per V, ut V Z, pendula gravitatis diameter eſt totius, eâ igi-
tur omiſsâ, totoq́ue è perpendiculari H Y, per H datum firmitudinis pun-
ctum, ſuſpenſo, ſegmentum A D I verſus ponderoſius erit illo, quod B C K
verſus eſt, ideoq́ue idem illud deorſum verget, donec H in pendulâ diame-
tro totius fuerit, & tametſi maximè L M (toto in H firmitudinis puncto mo-
to) ad horizontem N O parallela collocetur, iſtum tamen ſitum per 8 propo-
ſitionem non retinebit, ſed totum invertetur, quod nobis probandum fuit.
C*ONCLVSIO. * Dato firmitudinis puncto notæ columnæ, & c.
Satis ex antecedentibus liquet, quomodo in aliis procedendum operan-
dumq́ue ſit, ut in columnis quarum firmitudinis punctum extra G F lineam
eſt, ponderum puncta firmitudinis alio loco quam in C & D. Verumenim-
vero, quia cauſas qualitatum & affectionum libræ è fundamĕtis eruere & ape-
rire potiſſimum hic contendimus (qua de re in Statices exercitatione & praxi
fuſius dicetur) nulla admodum irregularium formarum exempla damus.
6 PROBLEMA. 11 PROPOSITIO.
Datis, notâ columnâ, notisq́; ponderibus inde ſuſpen-
ſis: invenire ſirmitudinis punctum, in quo quemlibet
datum ſitum ſervabit.
1 NOTA.
Si duorum æqualium ponderum, ut A, B, firmitudinis
puncta in columnæ axe ſint à centro E æquidi stantia, ut in
35[Figure 35] istâ figurâ; dubium non eſt, quin E per ſecundam demen-
ſtrationis partem 10 propoſitionis, quæſitum ſit punctum.
Sed exemplum irregularis formæ esto.
2 NOTA.
Firmitudinis punctis ut C, D, duorum ponderum, item
anſæ ut E, in unâ rectâ lineâ conſtitutis, ut paulo ſupra, e{q́ue}
C, D ponderibus æquipondiis ſuſpenſis contingentis, ſive
cujuſlibet magnitudinis, E perpetuò firmitudinis punctum manere manifestum eſt, in
quo quemcunque dederis ſitum ſervabunt: & tribus istis punctis C, E, D in eadem
recta conſtitutis, C vero & D non æqualiter ab E diſtantibus, & deillis ſuſpenſis
ponderibus ad radios proportionalibus, E firmitudinis punctum nihilo minus manere
certum eſt, in quo datum ſitum ſervabunt.
D*ATVM. * A B C D columna 10 ℔ pendeat, cujus centrum gravitatis E,
pondera inde ſuſpenſa F 1 ℔, H 4 ℔ pendeant, firmitudinis punctum illius
G, hujus autem H.
Q*VAESITVM. * Inveniendum nobis firmitudinis punctum, in quo quem-
vis datum ſitum ſervant.
2525*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS.*
PRAGMATIA.
Iugum G I ponderum F, H
36[Figure 36] lineetur, hinc radii 2 propoſi-
tionis adjumento inveniantur,
quorum K I ad K G ratio ſit,
quæ eſt F 1 ℔ ad H 4 ℔, tum
F K, hinc columnæ, inde pon-
derum F & H, jugum ducatur,
ita fectum in L, ut radius E L
ſit ad L K: quemadmodũ 5 ℔
F, & H ad 10 ℔ columnæ. L
optatum erit punctum, in quo
quemlibet datum ſitum ſerva-
bunt, cujus demonſtratio ex 7
propoſitione manifeſta eſt.
7 PROBLEMA. 12 PROPOSITIO.
Datis, notâ columnâ cum firmitudinis puncto, notis
item ponderibusinde ſuſpenſis, quę axem horizonti paral-
lelum ſervant: pondus invenire, quod optato columnæ
loco ſuſpenſum axem in dato ſitu ſervabit.
1 Exemplum.
D*ATVM. * A B C D columna 6 ℔
pendeat, cujus firmitudinis punctum E,
37[Figure 37] anſa verò E F, duoq́ue pondera G, H
quorum utrumque 3 ℔ ſit, I K axis ad
horizontem L M parallelus, D optati lo-
ci punctus. Axis denique I K (univer-
ſa in puncto E mobilia intellige) ſuſtol-
latur ut in ſecundâ formulâ.
Q*VAESITVM. * Inveniendum nobis
pondus eſt, quod ſuſpenſum è D, axem
in dato ſitu teneat.
2626I L*IBER* S*TATICÆ*
PRAGMATIA.
Inveniendum eſt, ex 11 propoſitio-
38[Figure 38] nis doctrinâ, firmitudinis punctum, ſu-
per quo quemvis datum ſitum axis reti-
net, ſitq́ue N, hinc recta D N ducen-
da, perpendicularisq́; E O, ſecans N D
in O, poſtea ratio N O ad O D expen-
denda, ſitq́ue 1 ad 2, ex D igitur pon-
dere P 6 ℔ ſuſpenſo, quod ad columnã
unà cum G, H ponderibus, quæ ſimul
12 ℔ pendent, eam rationem habeat,
quæ eſt 1 ad 2, dico P 6 ℔ quæſitum
pondus eſſe.
DEMONSTRATIO.
Gravius pondus 12 ℔ radii O N, il-
lam rationem habet ad levius 6 ℔ radii
O D, quam longior radius O D ad bre-
viorem O N. Igitur ex anſa E F ſitu
æquipondia dependent per 1 propoſit.
& per conſequens axis I K datum ſitum
ſervat.
2 Exemplum.
Columna A B C D 6 ℔ pendeat, cujus firmitudinis punctum E, anſa E F
G pondus 2 ℔, I pondus 1 ℔, firmitu-
dinis punctum illius H, hujus verò K,
39[Figure 39] axis L M, parallelus horizonti N O.
Punctum autem P in columnâ quæſi-
tus locus eſto. Hinc axis L M (univer-
ſis in puncto E mobilibus) ut in ſecun-
dâ formulâ ſuſtollitur.
Q*VAE SITVM*. è P ſuſpendendum
pondus, quod axem L M in dato ſitu
ſervet.
PRAGMATIA.
Firmitudinis punctum, ex 11 propo-
ſitionis doctrinâ, invenitor, in quo ſi
vertitur, datus ſitus quilibet retinetur.
eſto autĕ Q. Hinc P Q ducitur, perpen-
dicularisq́ue E R, ſecans P Q in R,
inventaq́ue ratione R Q ad R P, eſto
autem 1 ad 2, de P põdus S 4 {1/2} ℔, ſuſpen-
ditur, eâ ſcilicet ratione ad
2727*DE* S*TATIGÆ ELEMENTIS*. unà cum ponderibus G & I, quorum
40[Figure 40] omnium totus eſt 9 ℔, quæ eſt 1 ad
2. S 4 {1/2} quæſitum pondus eſſe dico.
DEMONSTRATIO.
Gravius pódus 9 ℔ radii R Q eam
habet rationem ad levius 4 {1/2} ℔ radii
R P, quæ longioris radii eſt R P ad
breviorem R Q, ſitu igitur æquipon-
dia ſunt ex ansâ E F per 1 propoſitio-
nem, & , quod inde conſequitur, axis
L M in dato ſitu manet, quod demon-
ſtrandum fuit.
C*ONCLUSIO*. Datâ igitur &
cognitâ columnâ unà cum pun-
cto, & c.
6 THEOREMA. 13 PROPOSITIO.
Æqualia pondera, unumelevans, alterum demittens
æqualibus & angulis, & radiis, æquales potentias habent.
I Exemplum rectorum ponderum.
D*ATVM*. A punctum eſto, in jugo ſive trabe B C firmum, A B & A C
æquales radii, pendeatq́ue de B rectum pondus demittens ſive deſcendens,
de C vero adſcendens ſive attollens, hujusq́ue jugum F G, firmumq́ue ejus
punctum H, æquales autem radii H F, H G, angulusq́ue A B I æquetur an-
gulo A C F. Q*VAESITVM*. Rectum pondus deſcendens D, rectumq́ue
adſcendens E, ex æqualibus radiis A B, A C æquales potentias habere de-
monſtrandum nobis eſt. P*RAEPARATIO*. DeC pondus K, æquale pon-
deri D, pendeto.
DEMONSTRATIO.
Amoto E, potentiam D eſſe radios A B,
41[Figure 41] A C in dato ſitu retinere, manifeſtum
eſt, pondera enim D & K, item radii A B
& A C æqualia ſunt. Amoto viciſſim D,
appenditor E, & hujus potentia eſt, radios
A B & A C in dato ſitu retinere, pondera
enim K & E, radiiq́ue H F & H G æquan-
tur, Eigitur & D pari potentiâ & vi in ra-
dios A B & A C agunt.
2828I L*IBER* S*TATIGÆ*
2 Exemplum obliquorum ponderum.
D*ATVM*. A firmum anſæ punctum eſto, A B verò & A C radii, D pon-
dus deſcendĕs obliquũ, ex B ſuſpenſum, cujus
42[Figure 42] linea deſcendens obliqua B E, è Cautem obli-
quum pondus attollens F, ponderi Dæquale,
cujus linea attollens obliqua C G, anguliq́ue
A B E & A C G æquentur.
Q*VAESITVM*. Demõſtrandum nobis eſt,
D pondus deſcendens obliquum, & F obli-
quum attollens, ex paribus radiis A B, A G æ-
quales habere potentias. P*RAEPARATIO*. Ex C pondus H deſcendens
obliquum ſuſpenditor, æquale ponderi D, & illius linea C I obliqua deſcen-
dens parallela ſit ad B E, & C B in K continuata.
DEMONSTRATIO.
Amoto F, dubium non eſt, quin potentia D contra H ſit radios A B, A C
in dato ſitu retinere, æquatur enim ipſi H, radii A B, & A C, itemq́ue angu-
li A C I & K B E æquales ſunt. Amoto viciſſim D, appenditor F, cujus iti-
dem potentia eſt radios A B, A C in dato ſitu retinere quod pondus H æque-
tur ponderi F.
3 Exemplum.
D*ATVM*. A firmum anſæ punctum eſto, A B verò & A C æquales radii,
& de B pondus D obliquè deſcendens, cujus obliqua linea B E, de C verò
pondus F obliquè attollens dependeat, cujus linea obliquè attollens ſit C G,
angulusq́ue K C G angulo K B E æqualis.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandum nobis pondus D obliquè deſcendens,
pondúſque F obliquè attollens, in æquales radios A B, A C æqualem po-
tentiam obtinere. P*RAEPARATIO*. De C pondus H obliquè deſcen-
dens, ponderi D æquale, dependeto, cujus obliquè deſcendens linea C I, ut
angulus A C I æquet angulum A B E.
DEMONSTRATIO.
Amoto F, potentiam ponderis D eſſe, ra-
43[Figure 43] dios A B, A C in dato ſitu ſervare non eſt inco-
gnitum, quod D æquale ſit H, & A B radius,
A C radio, angulúſque A C I angulo A B E.
Amoto viciſſim D, ponderi F appenſo eadem
potentia erit, A B & A C radios in dato ſitu
ſervare, quod pondus H ponderi F ſit æquale.
C*ONCLVSIO*. Pondus igitur deſcendens,
& attollens illi æquale, æqualibus angulis in
æquales radios æqualem potentiam exercent.
2929*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
8 PROBLEMA. 14 PROPOSITIO.
Datis, columnâ, inque ejus axe duobus punctis, uno
fixo, altero in longiore ſegmento mobili: invenire pondus
rectè attollens ex puncto mobili, quod datam columnam
in dato ſitu conſervet, retineatque.
D*ATVM*. A B C D columna, ſecta utin 1 propoſit. initio, 6 ℔ pendeat,
punctum ejus firmum R, mobile autem in longiore axis R Q ſegmento, V
eſto, in breviore enim ſieri neutiquam poteſt, ut ullum pondus rectè attollens
axem in dato ſitu detineat.
Q*VAESITVM*. Pondus recte attollens nobis eſt inveniendum, quod in
ſuo ſitu columnam ſervet.
PRAGMATIA.
Linea Q R continuanda
44[Figure 44] eſt in Y, ut R Y æquet R V:
hinc pondus Z invenien-
dum, quod de Y ſuſpen-
ſum columnæ ſit ſitu æqui-
libre: illud ipſum, quia R
eſt punctum firmum, per 3
propoſit 4 ℔ pendebit. Dico
itaque Æ quæſitum pondus
rectè attollens 4 ℔ eſſe.
DEMONSTRATIO.
Quandoquidem radius R V ponderis Æ rectè attollentis æquatur radio
R Y ponderis Z. ipſaq́ue pondera Æ & Z æqualia, iſtorum quoque poten-
tias, ex 13 propoſit. æquari conſequens eſt. Atqui potentia Z eſt (amoto Æ)
columnam in ſuo ſitu retinere: itaque & potentia Æ (amoto Z) eadem eſt,
quod nobis fuit demonſtrandum.
C*ONCLUSIO*. Datis igitur, columnâ, & in axe duobus punctis, altero
fixo, reliquo ſegmenti longioris mobili: rectum pondus attollens invenimus
quod in puncto mobili columnam in dato ſitu conſervat, quod fuit quæ-
ſitum.
NOTATO
Compendio concludi poſſe quemadmodum V R 3, ad R T 2: ita columna 6 ℔ ad
quem terminum quartum? concluditur pro Æ 4 ℔, utpaulò ante, cujus cauſa 15
propoſit. patebit.
1 C*ONSECTARIUM*.
QVandoquidem univerſa columna ex conceſſo 6 ℔ pendet, quarum 4 ℔
Æ attollit, neceſſariò ſequitur in puncto R, hoc eſt, faſtigio coni, vel py-
ramidis OE reliquas 2 ℔ quieſcere.
3030I L*IBER* S*TATICÆ* 45[Figure 45]
VEl, ſiad R, pro cono OE,
pondus rectè attollĕs ad-
datur, ut hic videre eſt, II 2 ℔
pendebit.
46[Figure 46]
VEl, ſi ad V, loco ponderis OE rectè
attollentis, conus Φ adjungatur, ut
videre hic eſt, quod ſuper OE quieſcit
2 ℔, quod verò ſuper Φ 4 ℔ fuerit.
VEl, ſi è duabus parallelis OE R, & Φ V
47[Figure 47] columna ſuſpenſa ſit: quod quidem
de OE R dependet 2 ℔, quod verò de Φ V
4 ℔ eſt.
2 C*ONSECTARIUM*.
48[Figure 48]
SI de columnâ (R puncto,
utſupra, fixo) pondus, vel
pondera ſuſpenſa ſint, etiam
pondus rectè attollens inno-
teſcet. Exempli gratiâ, ſi de X
6 ℔ dependent, Z 12 ℔ erit,
per 3 propoſit. ideoq́ue & Æ
totidem.
3131*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
7 THEOREMA. 15 PROPOSITIO.
Duorum punctorum in axe columnæ altero fixo, alte-
ro mobili: Pondus rectèattollĕs ex mobili cum columnâ
ſitu æquipondium, illam habet rationem ad columnam,
quæ eſt ſegmenti axis quod inter centrum gravitatis &
punctum fixum eſt, ad ſegmentum ejuſdem quod inter
fixum & mobile intercipitur.
DECLARATIO.
Figuras è 14 propoſit. repetamus, è quibus patet ita eſſe T R ad R V:
quemadmodum Æ 4 ℔ ad columnam 6 ℔. Sed ut cauſam hujus Mathema-
iicèaperiamus, ſciendum eſt, ita eſſe R T ad R Y: ut pondus Z ad pondus
columnæ, per 1 propoſit. Atqui Æ æquale eſt Z, & R V ex conceſſo æquale
eſt R Y, itaque ut Æ ad columnam: ita T R ad R V. C*ONCLVSIO*. Duo-
rum igitur punctorum altero fixo, altero mobili, & c.
8 THEOREMA. 16 PROPOSITIO.
Duorum punctorum in axe columnæ, altero fixo, al-
tero mobili: Pondus rectèattollens è puncto mobili ſer-
vans columnam in uno aliquo ſitu, in quovis alio ſervare
poterit.
D*ATVM*. Columnam 14 propoſitionis cum ſuis póderibus, in fixo pun-
cto R non nihil vertamus mutemusq́ue, maneatq́ue Æ pondus rectum ex-
tollens, cæteráque ſint bujuſmodi, quemadmodum hîc exhibentur.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandum nobis eſt, Æ pondus rectè attollens
columnam in dato ſitu ſervare.
DEMONSTRATIO.
Amoto Æ, Z vero 4 ℔ ap-
49[Figure 49] penſo, columna ex 10 propoſ.
in dato manebit ſitu. Atqui
Æ in puncto V, & Z in pun-
cto Y vim potentiamq́ue pa-
rilem columnæ adferunt ex
13 propoſit. Amoto itaque Z,
Æ appenſum eodem in ſitu
columnam tenebit.
C*ONCLVSIO*. Duorum
igitur punctorum in axe, alte-
ro fixo, altero mobili, rectè attollens pondus mobili appenſum in uno aliquo
ſitu columnam ſervans, in quovis alio ſervare poterit.
32321 L*IBER* S*TATICÆ*
9 THEOREMA. 17 PROPOSITIO.
Columnâ ſuper duobus in axe punctis quieſcente:
quemadmodum axis ſegmentum inter gravitatis cen-
trum punctumq́ue ſiniſtrum, ad ejuſdem ſegmentum in-
ter gravitatis centrum punctumq́ue dextrum: ita co-
lumnæ pondus ſuper puncto dextro quieſcens, ad reli-
quum ponderis ſuper ſiniſtro quieſcentis.
D*ATVM*. ABCD columna 6 ℔ pendeat, ſecta quemadmodum in 1 pro-
poſitione, duobus punctis R, V, ſuper OE, Æ quieſcens.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandũ nobis eſt, quemadmodum axis ſegmen-
tum T R ad ejuſdem T V: ita eſſe pondus puncto V quieſcens in Æ, ad re-
liquum ponderis puncto R, ſuper OE quieſcentis.
DEMONSTRATIO.
T R duplum eſtad T V extheſi, & ſuper
50[Figure 50] Æ 4 ℔ ſuper OE verò 2 ℔ quieſcunt, ex
1 conſect. 14 propoſitionis, atqui 4 ℔ ad
2 ℔ etiam dupla eſtratio; quemadmodum
T R ad T V: ita & pondus quod ſuper pun-
cto Æ eſt, ad reliquum ponderis quieſcen-
tis ſuper OE.
Verumenimvero generalis conſectarii
neceſſitas demonſtretur; V R in Z cõtinua-
tor, ut R Z æquetur R V, ſumptoq́ue R
pro puncto fixo, ex Z pondus
51[Figure 51] 114 ℔ ſuſpendi neceſſe eſt, ut
columna ſuo in ſitu cõſervetur,
ex 3 propoſit. quod verò ex V,
columnam eodĕ in ſitu, quo Æ,
ſervat, parem cum 11 potentiam
habere ex 13 propoſitione ne-
ceſſe eſt. In Æ igitur pondus par
ipſi 11 quieſcit. Cõſimiliter R V
in Φ continuator, ut V Φ æque-
tur V R, ſumptoq́ue V pro pun-
cto firmo, de Φ ſuſpendi Δ 2 ℔
neceſſe eſt, ut columna eodem in ſitu ſuſtineatur, per 3 exemplum. quod
verò ex R columnam ſive vectem eodem in ſitu ſuſtinet, quo OE, rantun-
dem potentiæ habet, quantum Δ, per 13 propoſit. pondus igitur in OE quieſ-
cens æquatur ponderi Δ. Quandoquidem autem 11, ex R communi fulci-
menti puncto, contra columnam ſitu æquilibre eſt, ratio radii T R eſt ad ra-
dium R Z, quæ eſt 11 ad columnam, per 1 propoſitionem. Cõſimiliter V pro
firmo puncto uſurpato, ratio radii T V ad radium V Φ eadem eſt cum ra-
zione Δ, ad columnam, atque R Z æquatur V Φ Duæ igitur proportiones
nobishic ſunt quaternûm terminorum, quorum ſecundi quartique
3333*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. funt. Verum quæcunque binæ proportiones quaternûm terminorum, ſecun-
dos quartosq́ue terminos equales habent, reliquos æquè rationales, id eſt pro-
portionales habebunt. Vt T R igitur ad T V: ita 11 ad Δ. Atqui pondus 11
æquatur columnæ ponderi, quod puncto V, ſuper puncto Æ quieſcit;
pondusq́ue Δ ponderi, quod R puncto quieſcit ſuper OE. Ideoq́ue ut T R
ad T V: ita pondus puncto Æ innitens, ad pondus OE innixum.
C*ONCLVSIO*. Columnâigitur duobus punctis axis quieſcente, & c.
C*ONSECTARIUM*.
Si puncta, in quibus columna quieſcit, in perpendicularibus ſint per R &
V ductis, pondera quæ antea ſuper quieſcent@bus punctis erant, etiam nunc
eſſe poſſunt. Per puncta R & V perpendiculares, exempli cauſa, ducantur,
in iiſque puncta ut Y, & λ ſignentur. Si columna in Y & λ quieſcit, in
Y 2 ℔, in λ 4 ℔ quieſcere manifeſtũ eſt, unde theorematis veritas manifeſta eſt.
10 THEOREMA. 18 PROPOSITIO.
Columna duobus in punctis quieſcĕte: erit ut ſegmen-
tum axis inter gravitatis centrum & perpendicularem per
punctum ſiniſtrum, ad eju ſdem ſegmentum inter gravi-
tatis centrum & perpĕdicularem per punctum dextrum:
ita ſuſtentatum pondus columnæ dextro puncto, ad pon-
dus quod ſuſtinetur ſiniſtro.
D*ATVM*. A B C D columna eſto,
52[Figure 52] ejusq́ue axis E F gravitatis centrum G,
puncta quibus columna ſuſtinetur H, I, quà
perpendiculares K L, M N ductæ axem
in O, P ſecant. Dico quemadmodũ G O ad
G P: ita pondus puncto I ſuſtentatum, ad
pondus reliquum quod H ſuſtinet: cujus
demonſtratio ex conſectario 17 propoſit.
manifeſta eſt. Verumenimverò, ut paulo
fuſius de neceſſaria hujus veritateagatur, ſi
Hloco O eſſe fingamus, ratio põderis pun-
53[Figure 53] cto H ſuſtentati ad pondus P ſuſtentatum
erit, quæ eſt G P ad G O, per 17 propoſit.
Puncto H ſixo, columnam in dato ſitu
deſcĕdere ponamus intervallo ab H uſque
in O, pondus H puncto ſuſtentatũ per 3 po-
ſtulatum, idem manèt. Cõſimiliter pondus
quod in puncto P quieſcit, etiam puncto I
quieſcere oſtĕdetur, ut igitur G O ad G P:
ita põdus quod I ſuſtinet ad pondus quod
ſuſtinetur in H. C*ONCLVSIO*. Quieſcente igitur columnâ in duobus
punctis, & c.
34341 L*IBER* S*TATICÆ*
C*ONSECTARIUM*.
Vnde conſequitur. Si ratio ponderis in I quieſcentis, ad pondus H quære-
retur, ductis perpendicularibus K L, M N, ſecantibus E F axem in O, P, ra-
tionem G O ad G P fore quæſitam. Vnde & iſtud deducitur, columnæ gra-
vitate cognitâ: pondera quoque cognoſci quæ cuique puncto, ut H & I, in-
nituntur.
HACTENVS RECTORVM
PONDERVM GENERA DICTA SVNT; OBLI-
QVORVM PROPRIETATES DEINCEPS
deſcribendæ ſunt, quarum omnium genera-
lem veritatem tanquam fundamentum istud
theoremata complectitur.
11 THEOREMA. 19 PROPOSITIO.
Si triangulum planum horizonti eſt perpendiculare, ba-
ſis parallela, reliquis autem lateribus globi ſinguli addan-
11Intellige ſaco-
ma põdus eſſe
quod additur
ad æquipon-
dium faci@n-
dum. Cui an-
tiſacoma op-
poſuimus. trum ad ſiniſtrum: ita ſacoma globi ſiniſtri ad antiſacoma
globi dextri.
D*ATVM*. A B C triangulum eſto cujus planũ ad horizontem ſit rectum
baſis vero parallela. additorq́ue lateri A B, quod ad B C eſt duplum, globus
D. lateri vero B C globus E & ponde-
54[Figure 54] re & magnitudine æqualis cum D.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandũ no-
bis eſt, quemadmodum latus A B 2, ad
latus B C 1: ita ſacoma globi E, ad an-
tiſacoma globi D.
P*RAEPARATIO*. Triangulũ A B C
quatuordecim globorum pondere &
magnitudine æqualium, quaſi coronâ
ut E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D,
cunctum ſingamus, qui omnes lineâ per
cĕtro ipſorum, ut in illis moveri poſſint,
tranſeunte, colligati æquali inter ſeſpa-
cio diſtent, ut illorũ bini lateri B C, qua-
terni vero B A accommodentur, hoc eſt, quemadmodum linea ad lineam; ita
globi ſint ad globos. Inſuper in S, T, V tria ſint puncta immota ac ſixa, quæà
lineâ ſive globorum funiculo, cum movetur, raduntur, ac ſtringuntur: duæq́
funiculi partes, quæ ſupra trianguli baſin, lateribus A B, B C ſint parallelæ,
ut, quando connexio illa ſeriesq́; globorum adſcendit, deſcenditve, globi pes
crura A B, B C volui poſſint.
3535*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
DEMONSTRATIO.
Si ſacoma quaternûm globorum D, R, Q,-P, non æquaretur antiſacoma-
ti binorum, E F. alterutri graviores erunt: ſunto autem (ſi fieri poteſt) quatuor
iſti D, R, Q, P; Atqui O, N, M, L, æquiponderant quatuor G, H, I, K. Latus
igitur octo globorum D, R, Q, P, O, N, M, L, ponderoſius eſt latere ſex glo-
borum E, F, G, H, I, K. Quia vero gravius præpõderat leviori, octo deorſum
volventur, ſex vero reliqui ſurſum. Deſcenderit D, in O, & E, F, G, H ſint,
loco P, Q, R, D, denique I, K, loco E, F. Atqui hoc ſi ſit, globorum ſeries
ſive corona eundem ſitum cum priore habebit, eadem q́ue de cauſa octo glo-
bi ſiniſtri ponderoſiores erunt ſex dextris, ideoq́ue rurſus octo illi deſcen-
dent, ſex iſti adſcendent, ipſiq́ue globi ex ſeſe continuum & æternum motum
efficient, quod eſt falſum. Pars igitur coronæ D, R, Q, P, O, N, M, L, parti
E, F, G, H, I, K, ſitu æquilibris eſt. Si verò ab æquilibribus æquilibria tollantur
reliqua manent æquilibria. illinc igitur O, N, M, L, hinc vero G, H, I, K, qui
æquantur O, N, M, L ſublatis, reliqui D, R, P, Q, reliquis E, F ſitu æquilibres
erunt. Atqui duobus iſtis quatuor illis æquilibribus, E duplo ponderoſior erit
ſitu, quam D. Quemadmodum igitur latus B A 2 ad latus B C 1, ita ſaco-
ma globi E ad antiſacoma globi D. C*ONCLUSIO*. Si igitur trianguli
planum horizonti ſit perpendiculare & c.
1 C*ONSECTARIUM*.
Si A B C triangulum ſit, ut ante, ejusq́ue latus A B duplum lateris B C,
inq́ue A B jaceat globus D, in B C verò globus E, ſubduplus ponderi D, &
in F fixus ſit punctus quâ linea ſive funiculus DFE
55[Figure 55] (è centro ſcilicet D, per F, in centrum E uſque)
motus radit F fixum punctum, ut D F ab A B,
& F E à B C æquidiſtans ſit: quia quatuor globi
P, Q, R, D, ſitu æquilibres fuerunt duobus E, F,
etiam globus D ſitu æquilibris erit globo E. Vt
enim P, Q, R, D ad E, F: ita D ad E. Igitur quem-
admodum latus A B, ad B C: ita globus D ad globum E.
2 C*ONSECTARIUM*.
56[Figure 56]
SI latus trianguli B C, cui A B duplum eſt, re-
ctum ad A C collocetur, ut expreſſum hîcvi-
des; globus D duplus ad globum E, cum E ſitu
æquilibris erit, utenim A B ad B C: ita globus D
ad globum E.
3 C*ONSECTARIUM*.
57[Figure 57]
SI loco puncti F trochlea ita collocetur,
ut linea D F, obliquè extollens, ad A B
ſit parallela, & proglobo E pondus ſit con-
tingĕti quidem figura, ſed eodem cum illo
po dere, erit cum D ſitu æquilibre. Ideoq́;
quemadmodum A B ad B C: ita globus
D ad pondus E.
36361 L*IBER* S*TATICÆ*
4 C*ONSECTARIUM*.
QVandoquidem 3 confectarii globus li-
58[Figure 58] neam A B tangit in puncto G, tanquam
firmo, globi axis G H perpendicularis eſt ad
A B: quapropter amoto globo, loco ejus co-
lumna D ejuſdem ponderis cum globo po-
natur, ut axis G H (cujus punctum firmũ G)
perpendicularis ſit lateri A B, & D F linea
obliquè extollens ad A B parallela ſecans la-
tus columnæ in I; erit etiam nunc, quemad-
modum A B ad B C (ratio autem eſt dupla,
utante) ita columna D ad pondus E.
5 C*ONSECTARIUM*.
PErpendiculari D K è columnæ centro D productâ, ut ejus latus in L ſe-
cet, triangulum LDI ſimile erit triangulo A B C, anguli enim A C B &
L I D recti ſunt, & rectæ L D, D I, pa-
59[Figure 59] rallelæ ſunt ad BC, AB. Vtigitur AB
ad B C: ita L D ad D I. Atquiut A B
ad B C: ita columna ad pondus E, per
4 confectarium, & propterea ut L D
ad D I: ita columna eſt ad E. Ad li-
neam K D ſi pondus M, quod rectè
extollat, & columnæ ſitu æquilibre eſt,
adjungatur, ad columnam etiam æqui-
pondium erit, per 14 propoſit. utigitur
L D ad D I: ita M ad E.
6 C*ONSECTARIUM*.
B N ducatur, ſecans A C continuatam in N, conſimiliter D O ſecans
continuatam L I, hoc eſt, latus columnæ in O, ut angulus I D O æqualis ſit
angulo C B N. Appendatur quoque ad D O pondus P obliquè attollens,
quod (amotis M, E ponderibus) columnam in ſuo ſitu conſervet. Quia vero
D L & B A, item D I & B C latera trian-
60[Figure 60] gulorum D L I & B A C homologa
ſunt, hujuſmodi concluſio inde dedu-
citur. Quemadmodum B A ad B C:
ita ſacoma lateris B A ad antiſacoma
lateris B C (per 2 conſectarium.) item
quemadmodum D L ad D I: ita ſaco-
ma lateris D L ad antiſacoma lateris
D I, hoc eſtita M ad E. Sed homolo-
ga latera triãgulorum ſimilium A B N,
L D O ſunt A B & D L, item B N, &
D O. Itaque ut ſupra, quemadmodum B A ad B N: ira ſacoma B A ad an-
tiſacoma B N (per 1 confectarium) Et quemadmodum D L ad D O: ita il-
lius ſacoma ad hujus antiſacoma, id eſt, M ad P. Si linea B N à puncto B
aliovorſum; A ſcilicet verſus, ultra B C fuiſſet ducta, etiam recta D O à
3737*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. u@@a D I cecidiſſet, hoc eſt, ut nunc citra: ita tunc ultra cecidiſſet, & præce-
dens demonſtratio etiam iſtiſitui accommoda fuiſſet, hoc eſt, quemadmodum
B A ad B N ita ſacoma lateris B A, ad antiſacoma lateris B N eſſet: & quem-
admodum D L ad D O: ita ſacoma lateris D L, ad antiſacoma lateris D O.
hoc eſt M ad P. Vtiſta proportio non tantum in exemplis valeat, in quibus
linea attollens, ut D I, perpendicularis eſt axi, ſed etiam in aliis cujuſmodi-
cunque ſint anguli.
ISta etiam deglobo in lineâ, ut A B, jacente intelligi poſſunt, nam & hic, ut
L D ad D O: ita M ad P (modo C L ad A B perpendicularis ſit, hoc eſt,
patallela ad axem G H globi D) atqui pon-
61[Figure 61] dus Mglobo D æquatur, ideo etiam ut L D
ad D O: ita pondus globi ad pondus P. Ve-
rumenimvero, quia L D & D O intra glo-
biſoliditatem re ipſa delineari cõmodè non
poſſunt, perpendiculari C E ductâ, extra
globi ſolidum comprehĕdetur C E O trian-
gulum L D O triangulo ſimile, cujus latera
L D & C E, item D O & E O homologa
erunt. Quemadmodum igitur L D ad D O:
ita C E ad E O, & per conſequens ut C E ad E O: itaglobi pondus ad P.
VT major claritudo hujus ſit, ſublatis aliis li-
62[Figure 62] neis omnibus dicatur ut C E ad C O: ita
pondus globi D ad pondus P.
NEque illud de globis tantum verum eſt, ſed
etiam de quibuſvis corporibus, puncta vel li-
neas ſtringentibus, aut etiam per illa volutis, ut in-
fra videre eſt. Sed de his in S*TATICES* praxi
63[Figure 63] preſſius dicemus. Nam & hîc dicimus quemadmodum C E ad E O: ita pon-
dus corporis D, ad pondus P.
VNde etiam hoc manifeſtum: Si recta A B horizonti eſt parallela, qua-
lem figuram hic juxta poſitam videre eſt, rectas C E & C O in unam &
candem lineam coïre, ideoq́ue inter E & O nullam longitudinĕ & propterea
rectæ C E ad rectam E O nullam rationĕ fore. Hinc intelligere in proclivi
38381 L*IBER* S*TATICÆ* nullum pondus, quantulumcunque fuerit in P, ſitu æquipondium eſſe poſſe
cõtra corpus D, verùm (mathematicè intel-
64[Figure 64] ligitor) loco promovere poſſe quantumvis
póderoſium fuerit. Vnde cõſequitur, quæ-
vis põdera ſecundum horizontem promo-
ta, cujuſmodi ſunt naves in aquis, plauſtra
in camporũ æquoribus, & c. ne muſcæ qui-
dem potentiam ad motum ſui requirere,
niſi quantum circumſtantia obſtacula offi-
ciunt, motumq́; impediunt. ut Aqua, Aër,
axium in modiolos ſuos, rotarumq́; in via-
rum ſtrata offenſationes, & impactiones, & alia hujuſcemodi.
SEd triangulũ A B N 6 conſectarii, quan-
65[Figure 65] doquidem ad proportionem hanc nihil
adjumenti, neque adfert, nequeinde aufert,
ſublatum fingamus, & G firmum columnæ
punctum coni, aut pyramidis faſtigio inniti,
ut vides; nihilo tamen minus erit, quemad-
modum L D ad D O: ita M ad P.
7 C*ONSECTARIUM*.
VErum ne iſta proportio ſolius columnæ eſſe videatur, ubilinea rectè ex-
tollens, ut D L, è centro eſt ducta, & firmum punctum axis extremitas
eſt, ut G 6 conſectarii: Triangulum A B C eſto, cujus latus A B duplum
ſit lateris B C, & hoc ipſum B C perpendiculare reliquo A C: D E co-
lumna eſto, ejusq́ue axis F G, perpendicularis in latus A B, illudq́ue ſecans in
H; I verò contingens in eodĕ axe punctum.
66[Figure 66] Eſto & altera K L æqualis & ſimilis D E
columnæ, ejusq́; axis M N, & O punctum
tangens B C, eodem ſitu in ſua columna,
quo H in D E. P quoque punctum alterum
eo ſitu eſto in K L, quo I in D E. Q fir-
mum punctum ſtatuitor, quod linea I Q P
ducta ac reducta ſtringat, radatq́ue, ut I Q
ad A B, Q P vero ad B C parallela ſit. Pro-
pter cauſas, 19 propoſitione de quatuorde-
cim globis enucleatas, (quæ etſi hic quoque de columnis ſimiliter motis, &
puncta firma ſtring entibus demonſtrari poſſunt, præterire tamen animus eſt,
quia iſtinc repetita facile intelligi poſſunt) ſacoma columnæ K L duplum eſt,
ad antiſacoma columnæ D E.
8 C*ONSECTARIUM*.
A D I, 7 confectarii pondus R rectè extollens, & columnæ æquilibreap-
penditor, cujus linea rectè attollens I S ſit, ſecans latus columnæ in T, &
I Q idem latus ſecet in V, & de P Q pondus X, pro columna K L,
3939*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. deto, ſub duplum æquilibris ponderis ejuſdĕ
67[Figure 67] columnæ, ſublatoq́ue triangulo A B C, co-
lumna D E quieſcat in H, ut hîc vides. Ob
cauſas jam nunc cõmem oratas, quemadmo-
dum T I ad IV: ita R eritad X. neque hoc
tantũ quando I V perpĕdicularis eſt & recta
ad axem F G, verum etiam quando contin-
gĕter obliqua. Cujus rei argumĕta documĕ-
taq; ſpeciatim dari poſſent, niſi hoc è 6 con-
fectario clarum ſatis ac manifeſtum eſſet.
9 C*ONSECTARIUM*.
8 Confectario proportio declarata fuit, ubi I mobile punctum ſupra H fuir
punctum fixum, & linea IV obliquè extollens H firmum punctum verſus
inclinata: eadem proportio in alio quovis ſitu demonſtranda eſt, & primum
quidem in illis, ubi mobile punctum infra fixum eſt, lineaq́ue obliquè extol-
lens à firmo inclinata eſt. & quidem iſto pacto.
A B columna eſto, ejusq́ue axis C D, punctum firmum E, mobile vero F,
68[Figure 68] pondus obliquè extollens G, cujus
obliqua linea FH, FI verò linea re-
ctè attollens, cujus rectum pondus K.
Etiam L M columna æqualis & ſimi-
lis eſto A B columnæ, ejusq́ue axis
N O, punctum firmum E, mobile F,
ut E N æquetur E D, E F verò E P,
pondus obliquè extollens Q æquale
G, cujus linea obliqua ſit parallela ad
F H: pondus rectè extollens S æqua-
le ponderi K, & linea illius recta P T. His ita poſitis & conceſſis A B & L M
addantur, fiantq́ue una columna AM, cujus centrum gravitatis erit E, ex theſi-
Ponderibus K, G, S, Q, amotis, columna A M quemvis datũ ſitum ſervabit
in E puncto, per 7 propoſit. eritq́ columna A B cõtra L M columnam æquili-
bris. Rurſus pondera Q, G æquiponderantia æquipõderantibus & quidem
ſimili ſitu appendamus, Q & G, per 13 propoſitionem, in A M columnam
cjuſdem potentiæ ſunt, ideoq́ue quantum potentiæ eſt ponderi Q in L M
columnam, tantundem quoque & G fueritin ſuam A B. Atqui potentia G
eſt, in ſitu ſuo retinere A B, per 6 confect. eadem igitur & Q erit in L M.
Conſimiliter eadem potentia K eſt in A B, eadem igitur S fuerit in L M.
Quemadmodum itaque IF ad FH ita K ad G per 8 conſectar. atqui TP
æquatur IF, & PR, ipſi FH, item pondus S ponderi, K, pondusq́ue Q
ponderi G: ut igitur TP ad PR ita S ad Q. Quapropter iſta proportio,
ut diximus, non minus conſtans eſt in exemplis, ubi mobile punctum P in-
fra E firmum eſt, quam ubi ſupra, ubiq́ue linea P R rectè extollens à latere
firmi puncti E declinat, quam ubiſupra eſt, & obliquè extollens linea idem
firmum punctum verſus inclinat.
40401 L*IBER* S*TATICÆ*
10 C*ONSECTARIUM*.
Eſto exemplat 9 conſectarii fimile, eo
69[Figure 69] tantũ diſſimile, quod F H ultra F I, ver-
ſus C declinet, quodq́; H F C angulus
R P O angulo ſit æqualis, quapropter
põderi G in columnam A M tantumdĕ
potentiæ eſt, quantũ ponderi Q: & pro-
pter cauſas 9 cõſect. cõmemoratas (quas
brevitatis causâ omittimus) G tantam
vim columnæ A B adfert: quantam Q
columnæ L M. Itaque ut T P ad P R: ita
S ad Q, per 9 conſectarium: at qui I F
æquatur T P, & F H ipſi P R, pondusq́;
K ponderi S, & G ipſi Q. Quemadmo-
dum igitur I F ad F H: ita K ad G.
11 C*ONSECTARIUM*.
ESto & 10 conſectarii ſimile exemplũ,
70[Figure 70] eo tantũ diſſimile quod P R in alterũ
latus à P T declinet & P R ad F H pa-
rallela ſit, ut Q & G columnæ A M æ-
qualem vim inferant, & , propter cauſas 9
conſectario dictas, quantum potentię eſt
ponderi G in columnam A B, tantundĕ
& põdus Q obtinet in columnam L M.
Vtigitur I F ad F H: ita, per 6 conſecta-
rium, K ad G. Atqui T P æquatur I F, &
P R ipſi F H, & pondus S ponderi K, &
Q ipſi G. Quemadmodum igitur TP ad
P R: ita S ad Q. Similiter aliorum
omnium ſituum proportio ex contrario demonſtrabitur.
12 C*ONSECTARIUM*.
HAncautem proportionem etiam in illis
71[Figure 71] locum obtinere ubi axis horizõti paral-
lelus eſt, ita demõſtratur. A B columna eſto,
ejusq́; axis C D ad horizontem parallelus, E
punctũ firmum, F mobile, G põdus obliquè
extollens, quod columnam eo in ſitu ſervat,
cujus obliqua linea F H, I vero pondus rectè
extollens, columnam itidem eodem ſervans
in ſitu, ejusq́; linea recta F K. His poſitis, diſ-
ſimilis ratio eſto (ſi fieri poteſt) K F ad F H,
atq; I ad G: exempli gratià, ratio K F ad F H
ſit 1 ad 2: ratio verò I ad G 3 ad 7. Et hoc ita
poſito, prioris exempli columna demittitor,
aut poſterioris extollitor, uſq; dum ratio K F
ad F H, ſit 3 ad 7: tunc G contra columnam
æquilibre erit, per antecedentia conſectaria,
ut columna ſive altius elata, ſive humilius de-
preſſa contra G æquilibris manſura ſit: At-
qui illud @@ ἀδύναπις eſſe manifeſtum
4141*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. quod Mathematicè quoque ex 22 propoſit. patebit. Quapropter ratio KF
ad FH non eſt alia, quam I ad G.
Ex hifce jam dictis hujuſmodi theoremata deducimus.
12 THE OREMA. 20 PROPOSITIO.
Siaxis columnæ puncta habeat, firmũ, & mobile, & ex
iſto dependentia pondera, unum rectè, alterum obliquè
extollens, in dato ſitu columnam cõſervant: erit quemad-
modum linea rectè extollens ad lineam obliquè extollen-
tem; ita illius pondus, ad pondus hujus.
D*ATVM*. AB columna eſto, cujus axis ſit C D, in eoq́ue E punctum fir-
mum, F mobile, cui G pondus rectè extollens appenſum columnam in dato
ſitu ſervat; indidĕ etiam obliquum pondus H dependens (coërcito vel amo-
to G) in ſuo ſitu eandem detinet. Latus columnæ à lineâ rectè extollente in I,
ab obliquè extollente in K ſecatur. Dico igitur quemadmodũ rectè extollens
I F ad obliquè tollentem FK: ita rectum pondus G, ad pondus obliquum
H. Proportionis iſtius demonſtratio, ex doctrinâ antecedĕtemanifeſta eſt.
72[Figure 72]
42421 L*IBER* S*TATICÆ*
C*ONCLVSIO*. Si igitur axis columnæ puncta habeat firmum & mo-
bile, & c.
NOTATO
Si linearum alteralatus columnæ non ſecet, eò uſque continuandum eſſe
latus donec ſecetur, ut in proximè antecedentium figurarum noviſſimâ vi-
dere eſt.
13 THEOREMA. 21 PROPOSITIO.
Si axis columnæ puncta habeat firmum, & mobile, ex
quo dependentia pondera, unum rectè, alterum obliquè
demittens in dato ſitu columnam conſervant: erit quem-
admodum linea rectè demittens ad lineam obliquè de-
mitten tem: ita pondus rectum ad pondus obliquum.
D*ATVM*. AB eſto columna, cujus axis ſit CD, in eoq́ue E punctum fir-
mum, F mobile, cui G pondus rectè demittens appenſum columnam in da-
to ſitu ſervat: indidem quoque dependĕs pondus H obliquè demittens (coër-
cito velamoto G) in ſitu ſuo eandem ſervat: linea rectè demittens ſecat la-
tus illius in I, obliquè autem demittens in K.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandum nobis eſt, quemadmodum I F rectè de-
mittens, ad FK obliquè demittentem: ita eſſe pondus G rectè demittens, ad
pondus H demittens obliquè.
P*RAEPARATIO*. Punctum L ſignator, ut EL æquetur EF, hinc pun-
cto L accommodetur pondus M rectè attollens, columnamq́ue in ſitu ſer-
vans, cujus recta attollens L N: itidem pondus O obliquè attollens, colu-
mnamq́ue in ſitu ſervans, cujus linea obliquè attollens LP parallela ſit ad F K.
DEMONSTRATIO.
Quemadmodum N L ad L P: ita M
73[Figure 73] ad O per 20 propoſitionem, atqui po-
tentia G in columnam æquatur poten-
tiæ M, & potentia H potentiæ O per
13 propoſitionĕ, & recta I F rectæ L N,
atque F K æqualis eſt LP. Quemad-
modum igitur IF rectè demittens ad
F K obliquè demittentem : ita pondus
G rectè demittens, ad H demittens
obliquè. eadem demonſtratio erit alio-
rum omnium, ut videre eſt in ſubje-
ctis exemplis.
4343*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. 74[Figure 74]
C*ONCLVSIO*. Si igitur axis columnæ puncta habeat.
9 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO.
Datis, notâ columnâ, punctisq́ue in axe, altero firmo,
altero mobili, ex quo ignotum pondus ſuſpenſum in dato
fitu columnam conſervat: pondus notum facere.
D*ATVM*. Columna ABCD 6 ℔ pendeat, ſecta ut in 1 propoſit. cujus
punctum X ſit firmum, S mobile, ex quo ſuſpenſum ignotum pondus Y,
obliquè extollens, columnæ ſit ſitu æquilibre, cujus linea obliquè extollens
ſecat latus columnæ A B in OE.
Q*VAESITVM* Ignotum pondus Y obliquè extollens notum facien-
dum eſt.
PRAGMATIA.
Primum omnium quodnam pondus rectè extollens de S ſuſpenſum co-
lumnam in dato ſitu fervet, videndum eſt: invenitur autem, per 14 propoſitio-
nem, 4 ℔ eſſe: deinde quæ ratio ſit perpendicularis lineæ, ut Z Æ, ad Z OE,
eſto autem 2 ad 1. quare dico, quia 2 dant 1: pondus rectè extollens 4 ℔, da-
bit Y 2 ℔. illudq́ue quæſitum pondus eſſe affirmo.
P*RAEPARATIO*. Perpendicularis per S, nimirum AS, ducatur.
44441 L*IBER* S*TATIC Æ*
DEMONSTRATIO.
Quemadmodũ AS ad S OE: ita rectè extol-
75[Figure 75] lens põdus ad Y extollĕs obliquè, per 20 propoſ.
Atqui triangulũ Æ OE Z triangulo OE S A ſimi-
le eſt, quorum homologa latera ſunt, OE Z cum
OE S, & Z Æ, cum S A. erit igitur quemadmo-
dum A S ad S OE: ita Æ Z ad Z OE, & con-
ſequenter quemadmodum Æ Z 2 ad Z OE 1: ita
pondus rectè extollens 4 lib. ad Y. Innotuit igi-
tur Y 2 ℔ pendere, quod probandum ſuit. Si-
militer in quibuſvis aliis exemplis proceditur.
C*ONCLVSIO*. Datis igitur, notâ columnâ
punctis q́ue in axe ſirmo, & c.
1 NOTA.
Etiamiſto pacto concludere licuiſſet: AS 2 dat S OE 1: ego pondus 4 ℔ rectè ex-
tollens dabit γ 2 ℔. Verum ut operatio ipſirei & natur æ magis conformis ſit (intra
ſolidxm corpus enim AS & S OE delineari nequeunt ) externam perpendicularens
in exemplo pro internâ aſſumere placuit.
2 NOTA.
Quomodo autem terminus ignotus, ut pondus rectè extollens, linea tam rectè. quàns
obliquè extollens, columna, datis tribus inversâ & alternâ proportione innoteſcat, igno-
tum eſſe non poteſt, quapropter brevitati ſtudentes, omittemus.
14 THE OREMA. 23 PROPOSITIO.
Æqualia pondera ſuſpenſa de ductariis lineis, quæ ex
eodem axis puncto in contrarias partes ductę æquales cum
axe angulos faciunt: in columnam æqualem vim poten-
tia mq́ue exercent.
D*ATVM*. A B columna, C D axis, E firmum, F mobile punctum eſto,
unde G obliquè extollens pondus dependeat, in ſuo ſitu columnam ſervans,
cujus obliqua linea F H. Indidem à puncto
76[Figure 76] ſcilicet F, & pondus I itidem obliquum,
aliovorſum depĕdeat, ejuſdem cum G pon-
deris, cujus obliqua linea F K, æquans K F D
angulum H F C angulo.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandũ eſt pon-
deris I tantundĕ potentiæ eſſe in columnam
A B, quantum eſt ponderis G, id eſt, & I
pondus (coërcito eſt amoto G) columnam
eodem in ſitu tenere.
P*RAEPARATIO*. Adidem punctum F, pondus L rectè extollens adda-
tur, quod non minus, in illo ſitu columnam ſuſpendat, cujus recta extol-
lens eſt F M.
4545*DE* S*TATIC Æ ELEMENTIS*.
DEMONSTRATIO.
Quoniam rectæ F H, F K inter eaſdem ſunt parallelas angulusq́ue HFC,
ex conceſſo, æqualis eſt angulo K F D, etiam F H & F K æquales ſunt; un-
de conſequens eſt, ita eſſe M F ad F K: quemadmodum eſt M F ad F H.
Atqui quemadmodum eſt M F ad F H: ita eſt L ad G: ideoq́ue ut M F ad
F K: ita L ad G. I autĕ æquatur G extheſi. itaque ut M Fad F K: ita L ad I:
quo poſito, etiam I columnamin eodem ſitu ſuſtinet. per 20 propoſitionem.
Conſimilis planè in quibuſvis aliis exemplis demonſtratio fuerit.
C*ONCLVSIO*. Æqualia pondera ſuſpenſa de ductariis lineis, quæ ex co-
dem axis puncto in contrarias partes ductæ æquales cum axe angulos faciunt:
in columnam æqualem vim potentiamq́ue exercent; quod nobis erat demon-
ſtrandum.
15 THEOREMA. 24 PROPOSITIO.
Potentia ponderis, cujus ductaria linea axi perpendi-
cularis eſt, in columnam dati ſitus omnium eſt maxima.
D*ATVM*. AB columna, CD axis, E firmum, F mobile punctum eſto,
eique G pondus obliquè extollens affigatur in ſitu columnam conſervans,
ut linea extollens H F horizonti obliqua axi C D ſit recta. eidemq́; F pondus
I obliquè extollens, æquali cum G pondere, obliquâ linea K F affigatur.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandum eſt ponderis G in columnam majo-
rem eſſe potentiam, quam ponderis I, eamq́ue potentiam omnium eſſe maxi-
mam. P*RAEPARATIO*. A D punctum F pondus L rectè extollens ad-
figatur, quod columnam in ſitu ſuo retineat, cujus rectè extollens ſit F M.
DEMONSTRATIO.
A. Quodcunque pondus extollens minorem rationem habet ad L, quam ſua linea
extollens ad F M, levius eſt quam ut columnam in ſuo ſitu detineat. per
20 propoſit.
I. Atqui I pondus extollens minorem rationem habet ad L, quam ſua linea K F
extollens ad F M.
I. I pondus extollens igitur levius eſt, quam ut columnam in ſuo ſitu detineat.
Syllogiſmi aſſumptio ita approbatur. Pondus G (quod columnam in ſuo
ſitu ſuſtinet) eam habet rationem ad L; quam H F ad F M, atqui I æquatur
G, K F vero major eſt quam F H. I igitur
77[Figure 77] minorem rationem habet, ad L: quam K F
ad F M. & propter ea, ut paulo ante monui-
mus, I levius eſt, quàm ut columnam eo ſitu
ſuſtineat: at G ſuſtinere poteſt, potentia igi-
tur G major eſt, quam potentia I. Poten-
@iam vero ponderis G majorem effe nõ poſſe
@nde cõſtat, quod ab F, ea quidem columnæ
parte, brevior linea quam F H ducinon poſ-
ſit, quandoquidem perpendicularis eſt.
C*ONCLVSIO*. Si igitur ductaria linea axi perpendicularis eſt, maximam
potentiam in columnam dati ſitus habet, quod demonſtrandum fuit.
46461 L*IBER* S*TATICÆ*
C*ONSECTARIUM*.
Hinc facile iſtud deducitur. Quò anguli ductariarum linearum unde pon-
dera ſuſpenſa ſunt, recto angulo proximiores ſunt: eò ponderum porétias eſſe
majores. Et contra, quo longius indidem, id eſt ab angulo recto diffident, po-
tentias eorundem eò quoque minores eſſe.
16 THEOREMA. 25 PROPOSITIO.
Duæ annuentes lineæ, unde columna dependet, 11Inaæquali-
ter diftantes,
non paral-
le@e. nitùm continuatæ, in columnæ pendula gravitatis dia-
metro ſeſe interſecant.
1 Exemplum.
D*ATVM*. AB columna, ex duabus lineis annuentibus C D, E F, depen-
deto, quæ in G & H continuatæ, ſeſe inutuò in I ſecant.
Q*VAESITVM*. Punctum I in columnæ A B pendulâ gravitatis diame-
tro eſſe, demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
Anguli FEC, IEC, HEC unus idemq́;
78[Figure 78] eſt angulus; idem de DCE, ICE, GCE
judicum eſto, ut quicunq; punctus in rectis
HE, GF pro extremo ſumptus fuerit, co-
lumna, ex eo datum ſitum ſervet. Eſto autern
I extremus punctus, utriuſque lineæ com-
munis, ex illo igitur columna ſitum ſuum
retinebit. Atqui columnâ ex I dependente,
perpendicularis per I columnæ pendula
gravitatis diametris fuerit, in qua eſt I.
2 Exemplum.
D*ATVM*. AB columna ex duabus lineis annuentibus CD, EF depen-
deto, continuatis in G, H uſque, mutuò ſe in I ſecantibus.
Q*VAESITVM* Punctum I in columnæ AB pendulâ gravitatis diame-
tro eſſe, demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
DG, & FH tibicines & fulcra ſunto, vel
79[Figure 79] rigidæ & inflexibiles lineæ, per 2 poſtulat.
quibus columna ſuffulcitur; quarũ potentiæ
æquales ſunt potétiis CD. DF, ut enim iftę,
ita etiam illæ columnam in ſuo ſitu ſuſtinent.
Et quodcun que punctum in illis extremum
nobis fuerit, illud columnam in ſuo ſitu ſer-
vaverit. Eſto autem I extremus & utriuſque
lineæ communis punctus; ex iſto igitur co-
lumna (Mathematicè intelligas) datum ſi-
rum retinet, & pendula gravitatis diametrus
per I fuerit, & in eâ punctum I.
4747*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
3 Exemplum.
D*ATVM*. AB columna, lineis CD, & EF, obliquè illâ demittente, hae
extollente in dato ſitu conſervetur, iſtæ autem continuatæ in I ſe interſecent.
Q*VAESITVM*. Punctum I in columnæ AB pendulâ gravitatis diame-
tro eſſe, nobis demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
Primum GC tibicen, & inflexibilis li-
80[Figure 80] nea, deinde potétia ducendi deorſum, quæ
erat in D, eſto deorium, contingenti inter
C & G puncto, quoquo loco ſumatur. Co-
lumna itaq; AB quovis puncto inter GC
& EH medio, quod pro extremo ſumitur,
datum ſitum ſervabit. I autem extremus,
& communis utriuſque lineę terminus fue-
rit; columna itaq; inde ſuſpenſa datũ ſitum
retinebit, & propterea ipſius pendula gra-
vitatis linea per I erit: & I in ipsâ.
4 Exemplum.
D*ATVM*. Columnam AB in fitu ſuo ſervent, hinc quidem CD obli-
què demittens, illinc EF obliquè extollens, quæ continuatæ interſecant ſe
in I. Q*VAESITVM*. I in columnæ pendulâ gravitatis diametro eſſe nobis
demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
HE pro tibicine nobis eſto, & linea inflexibili, potentia quoque ſurſum
ducendi, quæ fuerat in E, eſto ſurſum contingenti inter C & G puncto,
quoquo loco ſumatur. Columna AB quo-
vis puncto inter CG, & EH medio, quod
81[Figure 81] pro extremo ſumitur, datum fitũ retinebit.
I autem extremus, & utriuſque lineæ com-
munis terminus fuerit, in quo datum ſitum
columna retinebit, atqui in eo quieſcĕte co-
lumnâ, pĕdula gravitatis diametrus eſt per I,
& I in ipsâ diametro. C*ONCLUSIO*. Dua-
bus igitur lineis annuĕtibus, unde columna
dependet, in infinitum continuatis, in co-
lumnæ pendulâ gravitatis diametro ſeſe in-
terſecant, quod nobis demóſtrandum erat.
17 THEOREMA. 26 PROPOSITIO.
Si duarum linearum unde columna dependet, altera
horizontieſt perpendicularis, erit & reliqua: ſin
48481 L*IBER* S*TATICÆ* obliqua. Siilla huic annuit; annuet & hæcilli: ſin 11Ann@@ere &
abnudere pa-
ralleliſmo op-
ponuntur.abnuet.
D*ATVM*. AB columna duabus lineis eſto ſuſtentata, CD quidem ad
horizontem perpendiculari, EF vero (ſi poſſit) ad eandem obliquâ, & GH
columnæ pendula gravitatis diametrus. Q*VAESITVM*. Veritas propofitio-
nis à nobis demonſtrari debet. P*RAEPARATIO*. CD, & EF infinitum
continuantor mutuo ſe in I interſecantes.
DEMONSTRATIO.
Quocunque in ſitu columna de lineis CD, EF fuerit ſuſpenſa, eundem
in quovis puncto firmo continuatarũ linearum ſervabit, quod anguli I CE &
IEC non mutentur. Poſito igitur, I firmum pun-
82[Figure 82] ctum eſſe duarum linearum commune, columna
ex eo ſuſpenſa datum ſitum retinebit, & IC pen-
dula gravitatis diametrus erit. Atqui illud neuti-
quam fieri poteſt, quod GH iſti parallela, ea ipſa
ſit. Eadem demonſtratio fuerit, rectà EF in oppo-
ſitam partem inclinatâ. Si igitur IC horizonti eſt
perpendicularis reliqua EF eidem nó poteſt eſſe
obliqua, neceſſariò igitur perpendicularis etiam
fuerit: Et per conſequens ſi EF horizonti eft
obliqua, etiam reliqua obliqua fuerit.
Porro, quia EF, A verſus annuit, etiam reliquam, quæ in dato ſitu co-
lumnam ſervat, EF verſus annuere neceſſe eſt. Ab ea enim (ſi poteſt) decli-
net, ut CK, ſecans EI continuatam in K, perpendicularis per K, ob dictam
cauſam, columnæ pendula gravitatis diametrus erit, quod magis abſurdũ eft,
quam eandem illam per I cadere. Neque hic igitur reliqua linea, columnam
in dato ſitu ſervans, ab EF declinat, neque parallela eſt, quod antea demon-
ftratum eſt, in latum autem decedere manifeſtè abſurdum eſt. Quapropter ne-
ceſſariò EF verſus annuit. Si vero EF in oppoſitam partem abiret, conſimi-
liter etiam reliquam ab illa abire, & abnuere demonſtrabitur.
C*ONCLVSIO*. Siigitur, & c.
18 PROBLEMA. 27 PROPOSITIO.
Si columna, & duo pondera obliquè extollentia ſitu
æquilibria ſunt, erit quemadmodum linea obliquè extol-
22Pondus obls-
quium & re-
ctum intelli-
ge rectè &
obliquè extol-
lens. lans, ad lineam rectè extollĕtem: ita ponderum quodq́ue obliquum ad ſuum pondus rectum.
D*ATVM*. AB columna, CD ejus axis eſto, & in iſto E, F puncta, quo-
rum pondera, columnam in dato ſitu detinentia, ſunt G, H, quidem obliquè,
I, K verò rectè extollentia, & lineæ EL, FM obliquè, EN & FO rectè ex-
tollentes. Q*VAESITVM*. Quemadmodum LE ad EN: ita eſſe G ad I,
& quemadmodum MF ad FO: ita eſſe H ad K, demonſtrabimus.
4949*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*.
DEMONSTRATIO.
F firmum nobis eſto punctum, Eautem
83[Figure 83] mobile. Itaque (per 20 propoſit.) Quem-
admodum LE ad EN: ita G ad I. E
nunc firmum nobis eſt punctum, F mobile.
itaque (per dictam 20 propoſit.) ut MF
ad FO: ita H ad K.
C*ONCLVSIO*. Igitur, ſi columna, &
duo pondera obliquè extollentia ſitu æqui-
libria ſunt, erit quemadmodũ linea obliquè
extollens ad lineam rectè extollentem: ita
quodque pondus obliquum ad ſuum pon-
dus rectum, quod nobis demonſtrandum
erat.
C*ONSECTARIUM*.
84[Figure 84]
Cognitâ columnâ è duabus lineis non
parallelis ſuſpensâ, ut hîc juxtà vides, quan-
tum ponderis de quaque lineâ pendeat,
quantumve potentiæ quæque linea obti-
neat, innotelcere poſſe manifeſtum eſt.
85[Figure 85]
NOTATO.
Pleriſque omnibus in propoſitionibus hujus libri, columnam nos loco exempli uſurpa-
viſſe, tanquam figuram ad propoſiti no ſtri declar ationem accommodatißimam, in axe
prœterea fixum & mobile punctum effinxiſſe: hac novißimâ tandem propoſitione ge-
neralem illarum veritatem, omnium{q́ue} figurarum, qualiacunque corpora, & quocung
loco puncta, fixum & mobile fuerint, communem eſſe oſtendere.
19 THEOREMA. 28 PROPOSITIO.
Quæcunque proportiones ſunt columnæ ad pondera
inde ſuſpenſa, ponderumq́; lineas: eaſdem cujuſvis etiam
corporis eſſe ad ſua pondera, conſimiliter inde pendentia,
ponderumq́ue lineas.
D*ATVM*. Exempli loco proportionem 20 propofitionis repetamus, iſto
pacto. Columnæ AB, axis eſto CD, gravitatis centrum E, punctum fixum
50501 L*IBER* S*TATICÆ* mobile G, cuipondus H obliquè extollens
86[Figure 86] affixum ſuo in ſitu ſervat columnam, & linea
obliquè extollens GI. Pondus autem rectè
extollens K, quo columna ſuo in ſitu conſi-
militer retinetur, ejusq́ue rectè extollens li-
nea GL. Dico igitur quemadmodum IG
ad GL: ita H ad K.
Q*VAESITVM*. Demonſtrandum eſt,
proportionem iſtam, non ſolum in corpore
AB, quæ eſt columna: ſed etiam in quoli-
bet corpore contingentis figuræ veram & conſtantem eſſe.
DEMONSTRATIO.
Lineis FG & IL loco immotis, co-
87[Figure 87] lumna AB deorfum deducitor è ſuo gra-
vitatis centro E ſuſpenſa, quemadmodum,
hîc vides. Iſta loci mutatio, ex 3 poſtulato,
aliam gravitatis & ponderis contentionem
punctis FG non adfert, omniaq́ue ſitu
æquilibria manent, atque etiam nunc ut
GI ad GL: ita H ad K.
Figura columnæ, manente materiâ, in
88[Figure 88] aliam & quidem irregularem transforme-
tur, qualem hîc juxta vides in AB, cujus
centrum gravitatis E, & recta per illud
CD (quorum inventio in S*TATICES*
praxi Mechanicè non Mathematicè doce-
bitur) omnia ſitu æquilibria manent,
atque ut GI ad GL: ita A ad K etiam
nunc eſt.
Corpus AB ſurſum reducatur, donec
89[Figure 89] FG in rectam CD incidat, ut ſitus ejus ſit,
quem vides, omnia ſitu manent ęquilibria.
Solidum enim AB five altius, ſive humi-
lius pendeat, per 3 poſtulatum, nihilo mi-
nus ejuſdem ponderis eſt, & per cõſequens
etiam hic, ut IG ad GL ita H ad K. Pro-
portio enim 20 propoſitionis non tantum
columnæ eſt, ſed cujuſlibet etiam
5151*DE* S*TATICÆ ELEMENTIS*. ris. Atque conſimiliter cætera omnia, quæ de columnâ aliæ propoſitiones
præceperunt, demonſtrabuntur.
C*ONCLVSIO*. Quæcunq; proportiones ſunt columnæ ad pondera inde
ſuſpenſa, ponderumq́ue lineas: eædem ſunt corporis cujuſvis ad ſua pondera,
ponderumq́ue lineas conſimiliter dependentia.
C*ONSECTARIUM*.
Dato puncta F, G neceſſariò in C D non eſſe, ſed contingenti etiam loco
eſſe poſſe manifeſtum eſt, ut in extremo etiam, exempli gratia, corpore M N.
Lineâ enim I N continuata in rectam uſque C D, incidat autem in G: per-
pendiculari etiam per M in rectam C D ductâ, cadat autem in F; dicta pro-
portio (quemamodum I G ad G L: ita H ad K) firma & conſtans manet.
FINIS
LIBRI PRIMI.
52
[Empty page]
53
STATICES
LIBER SECVNDVS
QVI EST
DE INVENIENDO
GRAVITATIS CENTRO.
54
[Empty page]
5555
PRimo quidem libro in ponderum affe-
ctionibus deſcribendis, ut institutæ do-
ctrinæ fidem faceremus, pro omnibus
unam columnam uſurpavimus, cujus
gravitatis centrum, vel gener ali noti-
tiâ, notum eſſe poteſt, in mult is tamen
aliis co poribus multò aliares eſt. Brevi
& gener alipræcepto, in omnibus mecha-
nicè reperiri poſſe verum equidem eſt, ut prima propoſit.
πζάξεως patebit, ſed Mathematicæ inventionis diſpar ratio
eſt, quam rem in planis Archimedes, in ſolidis verò Frede-
ricus Comandinus monumentis ſuis nobis prodiderunt. Ad
utrunque (quia utriuſque ſpeciei idem principium, anteceden-
ti doctrinæ non inutile, conſequenti verò, tam H*YDROSTA-
TICÆ* quam S*TATIC Æ PRAXI* valde neceſſarium) noſtra
inventa adjunximus, omnia{q́ue} nostro more, & methodo diſto-
nentes fecundum element orum librum conſcripſimus.
Definitiones Geometricarum figurarum, filector fortè de-
ſideras, it a habeto: illas ipſas ex Geometrià, tanquam ex by-
potbeſinotas, à nobis aſſumi; illud tantum monendus. Para-
bolam, ſive Rectam coni ſectionem, *Biantinee*/ Conoi-
dale Rectangulum *Bianber* vocabulo nobis vernaculo nos
appellaſſe, nominum autem etymologiam ab effectis eſſe, vis
enim istarum figur arum in accendendo, urendo{q́ue} potiſsimum
conſiſtit.
5656
DE INVENIENDO
GRAVITATIS CENTRO
IN PLANIS, PARS PRIOR.
SI planis vel minimum pondusineſſet, illudq́ue ratio-
nem adipſorum magnitudinem habere cõcederetur,
de planorum ponderibus, ponderũ centris, diametris, & c.
accuratè præcipi poſſet. Quia vero nullum pondus plano
ineſt, neque gravitas igitur, neque gravitatis centrum, aut
diameter, propriè & ſecundum naturam conſiderata. Mo-
dificatè igitur, & quidem metaphoricè, intelligenda ſint,
quaſiex theſi gravitas planis, pro ipſorum magnitudine,
ineſſet. Falſum enim conceditur, ut verum inde adstruatur.
1 THEOREMA. 1 PROPOSITIO.
In omni plano figuræ centrum, gravitatis quoque cen-
trum eſt.
1 Exemplum.
DATVM. ABC triangulum æquilaterum eſto, & figuræ centrum D.
QVAESITVM. Idem D gravitatis quoque centrum eſſe trianguli A B C
demonſtrandum eſt. PRAEPARATIO. Ab angulo A recta A E in me-
dium latus B C, conſimiliter ab angulo C recta C F in medium latus A B
ducatur.
DEMONSTRATIO.
90[Figure 90]
Triangulo A B C lineâ A E ſuſpenſo, ſegmentum A E C
ſegmento A E B æquilibre erit, ſunt enim æqualia, ſimilia,
& ſimiliter ſita: quapropter A E gravitatis diameter eſt trian-
guli A B C. Eademq́ue de causâ F C quoque ejuſdem trian-
guli gravitatis diameter fuerit. Atqui iſtæ in figuræ centro
D ſeſe interſecant, quarum quæque gravitatis centrum in ſe
habet, illud ipſum igitur D fuerit.
2 Exemplum.
A B C D Quadrangulum parallelogrammum eſto, & figuræ centrum E.
Q*VAESITVM*. E etiam gravitatis centrum eſſe demonſtrandum eſt.
P*RAEPARATIO*. Rectæ F G & HI inter laterum A D & B C, item
A B & D C puncta media ducuntor.
5757DE INVENIENDO GRAVITATIS CENTRO.
DEMONSTRATIO.
Quadrangulo delineâ HI ſuſpenſo, ſe-
91[Figure 91] gmentum H I D A ſegmĕto H I C B æqui-
libre pendebit, quia æqualia ſunt, ſimilia, &
ſimiliter ſita. H I igitur in parallelogrammo
A B C D gravitatis diameter eſt, eandemq́;
ob cauſam & F G. Atqui iſtæ in E mutuo
ſe interſecantes gravitatis centrum in ſeſe
habent. Quapropter E illud eſſe conclu-
ditur.
3 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D E ordinatum ſive circulo inſcriptũ quinquangulum
eſto, & figuræ centrum F. Q*VAESITVM*. F gravitatis centrum quoq; eſſe
demonſtrandum eſt. P*RAEPARATIO*. Ab A in medium latus D C recta
A G; conſimiliter à B in medium latus E D recta B H ducatur.
DEMONSTRATIO.
Quinquangulo de A G ſuſpenſo, ſegmentũ A G D E ſegmento A G C B
æquilibre erit. ſunt enim æqualia, ſimilia, & ſimiliter ſi-
92[Figure 92] ta. A G igitur nec non B H in codem quinquangulo
gravitatis diametereſt. Atqui mutuò ſe in F figuræ cen-
tro interſecant, & illarum quæq́ue gravitatis centrum in
ſe habet. F igitur illud ipſum eſt. Eadem demonſtratio
aliarum omnium fuerit, quæcunque figuræ, centrum
habebunt, cujuſmodi ſunt ſexangulum, Circulus, & c.
C*ONCLVSIO*. In omni igitur plano figuræ cen-
trum, gravitatis quoque centrum eſt, quod nobis de-
monſtrandum fuit.
2 THEOREMA. 2 PROPOSITIO.
Trianguli cujusq́ue gravitatis centrum eſt in rectâ ab
angulo in oppoſitum latus medium ductâ.
D*ATVM*. A B C contingentis figuræ triangulum eſto, ab ejusq́ue angu-
lo, A in D medium oppoſiti lateris B C punctum, recta A D ducta.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum dati trianguli in rectâ A D eſſe, de-
monſtrandum eſt. PRAEPARATIO. Rectæ E F, G H, I K ad B C paral-
lelæ ducuntor, ſecantes A D in L, M, N. ducuntor conſimiliter E O, G P,
I Q, K R, H S, F T ad A D parallelæ.
DEMONSTRATIO.
Quandoquidem E F ad B C parallela eſt, idemq́ue E O & F T ad L D,
quadrang ulum E F T O parallelogrammum erit, in quo E L, L F, O D &
D T æqualia ſunt, ideoq́ue gravitatis centrum in D L per 1 hujus propoſit.
eandemq́ue ob cauſam parallelogrammi G H S P gravitatis centrum in L M.
58582 LIBER STATICÆ& I K R Q in N M, & per conſequens idem centrum figuræ I K R H S F T
O E P G Q, è tribus parallelogrammis compoſitæ, erit in recta N D vel A D.
Quemadmodum vero in dato triangulo tria quadrangula in-
93[Figure 93] ſcripta ſunt, ita infinita inſcribi poſlunt, & inſcriptæ figuræ
gravitatis centrum nihilo minus, ob cauſas jam commemo-
ratas, in A D rectâ erit. Verumenimvero quò plura quadran-
gula inſcribuntur, eo minor trianguli A B C ab inſcriptis
differentia fuerit. Parallelis enim à latere A B per media ſe-
gmenta A N, N M, M L, L D. ductis, differentia poſterio-
ris ſitus erit dimidium differentiæ prioris. Quapropter infinita hujuſmodi
progreſſione, & appropinquatione figura tandem invenietur, ut differentia in-
ter ipſam & triangulum quovis plano, quantumvis minimo, minorſit. Vnde
ſequitur, Si A D gravitatis diameter eſt, differentiã põderis ſegmenti A D C
à pondere ſegmenti A D B quovis plano, quantumvis minimo, minorem
eſſe. Quare ſic argumentor.
A. Inæqualibus ponderibus aliquod pondus inveniri poteſt, quod ipſorum diffe-
rentiâ ſit minus.
O. Atqui hiſce ponderibus A D C, A D B nullum pondus inveniri poteſt,
quod differentia ipſorum ſit minus.
O. Ponder a igitur A D C, A D B non differunt.
Ideoq́ue A D gravitatis diameter eſt, in eaq́ue propterea etiam gravitatis
centrum trianguli A B C. C*ONCLVSIO*. Cujusq́ue trianguli gravitatis
centrum eſt in rectâ, ab angulo in medium oppoſiti lateris punctum ductâ,
quod demonſtrari oportuit.
1 PROBLEMA. 3 PROPOSITIO.
Dato triangulo, gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. A B C triangulum eſto.
Q*VAESITVM*. Centrum gravitatis inveniendum eſt.
PRAGMATIA.
Ab A in medium B C recta A D ducatur, conſimiliter à C in medium
A B recta C E: Gravitatis centrum F eſſe dico.
DEMONSTRATIO.
Gravitatis centrum trianguli A B C eſt in re-
94[Figure 94] ctis A D & C E per 2 propoſ. quod demonſtran-
dum fuit.
C*ONCLVSIO*. Dato igitur triangulo, gravi-
tatis centrum invenimus, quod quærebatur.
3 THEOREMA. 4 PROPOSITIO.
Centrum gravitatis cujusq́ue trianguli, rectam ab an-
gulo in oppoſitum latus medium ita ſecat: ut ſegmentum
interipſum & angulum, duplum ſit reliqui.
5959DE INVENIENDO GRAVITATIS CENTRO.
D*ATVM*. Ab angulo B, trianguli A B C recta ducatur in D, medium
punctum oppoſiti lateris, conſimiliter & à C recta in E punctum medium la-
teris A B, ſecans B D in F, gravitatis centro trianguli A B C.
Q*VAESITVM*. C F ad F E duplum eſſe demonſtrandum eſt.
DEMONSTRATIO.
Subductâ ratione E B 1 ad B A 2, de 95[Figure 95]11 Per inver-
ſionĕ cap. 12.
Almag. Pto-
lem. D C 1 ad D A 1 (id eſt ratione {1/2} de ratione {1/1})
C F ad FE reliqua eſt. Atqui ratione {1/2} ſubductâ
de ratione {1/1} relinquitur ratio {2/1}. C Figitur ad F E
eſt, ut 2 ad 1. C*ONCLVSIO*. Gravitatis igitur
centrum in triangulo ita ſecat rectam ab angulo in
medium oppoſiti lateris, ut ſegmentũ inter ipſum
& angulum ad reliquum duplum ſit, quod fuit demonſtrandum.
4 THEOREMA. 5 PROPOSITIO.
Trianguli duorum laterum unumquoq; in tria æqua-
lia ſegmenta partito: recta per ſectionum puncta tertio la-
teri proxima, pergravitatis centrum eſt ducta.
D*ATVM*. A B C trianguli duo latera A B & A C utrumq; in tria æqua-
lia ſegmenta ſecta ſunto, illud punctis D, E, iſtud vero F, G. perq́ue E, G, ter-
tio lateri B C proxima, recta E G ſit ducta.
Q*VÆSITVM*. E G per trianguli A B C gravitatis centrum eſſe, demon-
ſtrandum eſt. P*ARASCEVE*. Ab A in medium B C recta A H ducatur,
ſecans E G in I.
DEMONSTRATIO.
Quandoquidem ratio A E ad E B, eſt ratio A G ad G C recta E G 96[Figure 96]221. prop. 62
lib. Eucl. rectam B C parallela erit, item E I ad B H. Quemadmo-
dum igitur A E ad E B: ita A I ad I H, atqui A E ad E B
ex conceſſo, eſt dupla; dupla igitur erit & A I ad H I. Quia
vero A I dupla eſt ad I H, I gravitatis centrum eſt triangu-
li A BC per 4 propoſit. E G igitur per gravitatis centrum
eſt ducta. C*ONCLVSIO*. Trianguli igitur duorum la-
terum unoquoque in tria æqualia ſegmenta partito: recta
perſectionum puncta tertio lateri proxima, per gravitatis
centrum eſt ducta.
2 PROBLEMA. 6 PROPOSITIO.
Dato plano rectilineo; gravitatis centrum invenire.
1 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D inordinatum quadrangulum eſto.
Q*VÆSITVM*. Gravitatis centrum inveniendum nobis eſt.
60602 LIBER STATICÆ
PRAGMATIA.
Quadrangulum rectâ A C in duo triangula dividun-
dum eſt, & cujusq́ue gravitatis centrum, per 3 propoſit. in-
97[Figure 97] veniendum: trianguli A B C eſto E, A C D vero F, re-
ctaq́ue E F jugum , hinc duo quadrãgula 1145 propoſ.
z. lib. Euclid. ma æquæalta cõſtituenda, ut G H I K & G H L M, æqua-
lia triangulis, illud quidem A C D hoc vero A C B, de-
2210. propoſ.
G. lib. Euclid. nique jugo F E in N ita ſecto, utradius N E ſit ad radium
N F: quemadmodum HI, ad HL: N quæſitum gravi-
tatis centrum eſſe dico.
2 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D F inordinatum quinquangulum eſto.
Q*VÆSITVM*. Gravitatis centrum quærendum eſt.
PRAGMATIA.
Ductâ A C, centrum gravitatis trianguli A C B,
per 1 propoſitionem, inveniendũ ſit vero F: itemq́ue
98[Figure 98] quadranguli A C D E, per 1 hujus exemplum, ſitq́ue
G, & recta F G jugum, hinc duo quadrangula paral-
lelogramma æquealta conſtituenda, ut H I K L &
HIM N, quorum illud quadrangulo A C D E iſtud
vero triangulo A C B æquetur. Denique jugo G F
diviſo in O, ut radius O F ſitad radium O G; quem-
admodum I K ad IM: O quæſitum gravitatis cen-
trum eſſe ajo.
3 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D E F inordinatum ſexangulum eſto.
Q*VÆSITVM*. Gravitatis centrum nobis quærendum eſt.
PRAGMATIA.
Ductâ A C gravitatis centrum trianguli A C B,
99[Figure 99] per 3 propoſit. quærendum, eſtq́ue G, nec non &
quinquanguli A C D E F, per 2 exemplum hujus,
eſtq́ue H. & recta G H jugum. Deinde duo quadran-
gula parallelogramma æquealta fabricanda ſunt, ut
I K L M æquale quinquãgulo A C D E F, & I K N O
æquale triangulo A C B: diviſoq́ue jugo H G in P,
ut P G radius illam rationem habe at ad P H radium;
quæ eſt K L ad K N: P quæſitum gravitatis centrum
eſſe dico. Atque iſta pragmatiæ ratio in reliquis mul-
tilateris planis planiſſime eadem eſt.
NOTATO
Etſi hactenus exempla fuere, in quibus datum planum in quadrangula pa-
rallelogramma æquealta mutatur, poſſe tamen abſque transfiguratione hujuſ-
modirem expediri: ejusq́ue rei nos varia exempla ſubjungere.
6161*DE* S*TATICÆ PRINCIPIIS*.
4 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD irregulare & inordinatum quadran-
gulum eſto. Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum nobis lin-
veniendum eſt.
100[Figure 100]
PRAGMATIA.
Quadrangulum rectâ A C in duo triangulaſecto ipſorum
gravitatis centra, 3 propoſ. adjumento, inveniuntor. Trian-
guli A B C, eſto E; A C D vero F; recta denique E F jugum. quo facto D G,
B H perpendiculares ducuntor in A C. jugo F E, ſecto in I, ut radius I E, ſit
ad radium I F, quemadmodum D G ad B H; I gravitatis centrum eſſe dico.
5 Exemplum.
D*ATVM*. ABCDE quinquangulum inordinatum eſto.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum inveniendum eſt.
PRAGMATIA.
Quinquangulo duabus diagoniis AC, AD in tria triangula reſoluto, qua-
dranguli A C D E gravitatis centrum F per 4 propoſ. & trian-
101[Figure 101] guli A C B, G per 3 propoſ. inveniuntor, quæ connectat ju-
gum F G; tum B G in A C, CI & E K in A D perpendicu-
lares ſunto, & tribus rectis A D, A C, H B in eadem analogia
quarta inveniatur LM, deniqueſecato jugum F G in N ut
ratio ſegmentorum GN, NF eadem ſit quæ C I & E K ad
ipſam L M. N optatum gravitatis centrum eſſe dico.
6 Exemplum.
D*ATVM*. ABCDEF inordinatum ſexangulum eſto.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum inveniendum eſt.
PRAGMATIA.
Sexangulum tribus diagoniis in quatuor triangula dirimito, & quadrangu-
lorum ADCB, ADEF gravitatis centra G, H per 4 propoſ. invenito, quæ
connectat jugum GH. deinde in AC perpendiculares
demittuntor BI, DK. ſimiliter AL, EM in FD, jam
102[Figure 102] tribus rectis quarum prima F D ſecunda AC, tertia
compoſita ex BI & K D, in eâdem analogiâ invenito
quartam N O, tumq́ue jugum H G ſecato in P ut ratio
ſegmentorũ G P, P H eadem ſit quæ compoſitæ ex A L
& E M ad ipſam N O. Ajo P quæſitum eſſe gravi-
tatis centrum. Atque ita deinceps in cæteris multangulis.
DEMONSTRATIO.
In primo exemplo eſtradius N E ad radium N F, ſicut H I ad H L, at ſic
quoque eſt parallelogrammum ut G H I K ad parallelogrammum G H L M;
& æqueordinatè ut G H I K ad G H L M, hoc eſt per conſtructionem triangu-
lum A C D ad triangulum A C B ſicut N E ad N F. Punctum igitur N
(per primam 1 lib. propoſitionem) eſt expoſiti quadranguli gravitatis cen-
trum. Simillima eritſecundi tertiiq́ue exempli demonſtratio.
62622 L*IBER* S*TATICÆ*
Atquarti exempli demonſtratio pendet è proportione rectarum D G, H B
& triangulorum A C D, A C B; Et enim ut D G ad H B ſic erit, ſumpta com-
muni altitudine A C, rectangulum ſub D G in A C ad rectangulum ſub H B
in A C, hoc eſt (quia iſtorum dimidia ſunt) triangulum A C D ad triangu-
lum A C B.
Pari ratione quinti exempli demonſtratio, pendet ab analogia rectæ EK
cum I C ad L M & quadranguli A C D E ad triangulum A C B. Enimverò
cum L M ſit quarta in analogia rectarum A D, A C, H B rectangulum extre.
marum A D in L M æquatur mediarum rectangulo A C in H B. Hinc tres
rectæ E K, I C, L M pro baſibus parallelogrammorum nobis ſunto, quarum
altitudo ſit eadem A D, ideoque ut E K & C I ad L M ſic rectangula duo
E K in A D & CI in A D ad L M in A D ſed duo illa rectangula ſunt dupli-
cia ſuorum triangulorũ hoc eſt quadranguli A E D C; & rectangulum L M in
A D duplum eſt trianguli A B C quia æquale eſt rectangulo A C in H D ut
ſupra jam patuit; quamobrem erit quadrangulum A E D C ad triangulum
A B C ſicut E K & I C ad B H ſed ſic quoque eſt propter conſtructionem,
G N ad N F quare N eſt optatum gravitatis centrum.
Sexti exempli demonſtratio huic affinis eſt. C*ONCLVSIO*. Itaque dati
rectilinei cujuſcunque gravitatis centrum invenimus. Quod oportuit.
NOTATO.
Interim dum hæc pralo ſubjiciuntur nactus ſuns Federici Commandini Com-
mentarium in Archimedis quadraturam paraboles, ubi ad 6 propoſitionem recti-
lineorum gravitatis centrum invenire docet, modo ab horum utroque diverſo. Siquis
cognoſcendi ſit cupidus ipſum conſulat.
5 THEOREMA. 7 PROPOSITIO.
Securiculæ gravitatis centrum eſt in recta laterum paral-
lelorum biſectionem connectente.
D*ATVM*. A B C D ſecuricula eſt qualem in Geometricis definivimus,
duobus lateribus A B, D C parallela, recta ab E biſegmento A B, connexa cum
F biſegmento ipſius D E. Q*VAESITVM*. Quadrilateri A B C D gravitatis
centrum in jungente E F conſiſtere demonſtretur.
P*RAEPARATIO*. Tres rectæ D A, E F, C B, propter homologiam ſeg-
mentorum A E, E B, D F, F C eodem coïbunt in G.
DEMONSTRATIO.
Triangulum G D C ſuſpenſum ex rectâ G F faciet ſegmen-
103[Figure 103] ta GFC, G F D per 2 propoſ. ſitu ęquilibria; ideoq́ue triangu-
li G D C gravitatis centrum in recta G F conſiſtet. Sed G E B
triangulum triangulo G E A itidem ſitu æquilibre eſt, æqualia
igitur & ſitu ęquilibria utrimque deducta relinquent quadran-
gula A E F D, E F B C quoque ſitu æquilibria, & gravitatis
centrum in ipſa G E, neque tamen in ſegmento exteriore
E G, quamobrem in ipſâ E F. C*ONCLVSIO*. Itaque ſecu-
riculæ gravitatis centrum eſtin rectâ parallelorum laterum bi-
ſectrice.
6363*DE* S*TATICÆ PRINCIPIIS*.
6 THEOREMA. 8 PROPOSITIO.
Securiculæ gravitatis centrum rectam parallelorum la-
terum biſectricen ita ſecat, ut ſegmentum biſectricis mi-
nori latericon terminum ad reliquum ſit, ut majoris pa-
ralleli lateris duplum minore auctum, ad duplum mino-
ris cum majore.
D*ATVM*. Latera A B, D C, ſecuriculæ A B C D parallela ſunto, biſectrix
E F, & gravitatis centrum G, Q*VAESITVM*. Duplam D C auctam ipſa
A B, & Duplam A B cum D C, ſegmentis G E, G F proportionales eſſe de-
monſtrandum eſto. P*RAEPARATIO*. Diagonia D B tripartito dividatur
in punctis H, I, parallelæ ab his terminis K L, M N, contra latus D C inter-
ſecent E F in O & P. Deniqueacta E D interſecet M I in Q; F B verò ipſam
K L in puncto R, atque harum interſectionum puncta connectat Q R.
DEMONSTRATIO.
Quandoquidem centrum gravitatis trianguli B D C per 2 propoſ. eſt in
recta B F, & per 5 propoſ. etiam in recta
K L, centrum erit in concurſu R, eâdem ra-
tione Q erit centrum gravitatis trianguli
104[Figure 104] A B D. Quamobrem Q R horum triangu-
lorum jugum crit, in quo utriuſq; ſeu quod
idem eſt ſecuriculæ A B C D gravitatis cen-
trum conſiſtit, ſed idem per propoſ. 7 quoq;
eſtin F E; Itaque G centrum gravitatis erit
quadranguli A B C D. Triangula autem
C D B, A B D, intra eaſdem parallelas ex
hypotheſi cõſiſtentia, erunt ut baſes, hoc eſt, D C ad A B, ut C D B ad A B D,
ſed ſic per 1 propoſ. 1 lib. radius G Q ad G R, atque ita P G ad G O (quia
clauduntur parallelis M N, K L) omiſſis itaque mediis, ut D C ad A B ſic
G P ad G O. Ideoq́ue (per 15, 16 & 24 propoſ. 5. lib. Euclid.) ut dupla D C
cum A B, ad duplam A B auctam ipſa D C, ſic dupla G O, aucta G P, ad du-
plam G P plus ipſa G O. Verum G E æquatur duplici G P cum G O; Et
G F item duplici G O plus G P. Quamobrem ut D C bis plus A B, ad A B
bis plus D C, ſic G E ad G F. C*ONCLVSIO*. Itaque ſecuriculæ gravi-
tatis centrum, & c.
3 PROBLEMA. 9 PROPOSITIO.
Dato cum totius plani, tum ſegmenti cujus ad reliquum
ratio ſit nota, gravitatis centro; ejuſdem reliqui centrum
invenire.
1 Exemplum.
D*ATVM*. Rectilinei plani A B C D gravitatis centrum E, ſegmenti verò
B D A, F centrum eſto. Q*VAESITVM*. Reliqui ſegmenti B D C gravita-
tis centrum invenire.
64642 L*IBER* S*TATICÆ*
CONSTRVCTIO.
Continuator F E in G, ita ut ratio F E ad E G, ſit eadem rationi ſegmen-
ti B D C ad ſegmentum B D A; ajo G reliqui ſegmenti B D C optatum eſſe
gravitatis centrum.
DEMONSTRATIO.
Cum F centrum ſit B D A, & E totius A B C D, reliqui ſegmenti centrum
erit in F E infinitum continuata. (Secus enim, ſi fieri poſsit, cadat extra in H,
totius igitur rectilinei gravitatis centrum conſiſteret
in recta F H, quod tamen theſi repugnat, nam ſta-
105[Figure 105] tuitur in E) quamobrem inquam cum ſit in ipſa F E
infinitum continuata autultra aut citra G, E verſum
cadet, ſi citra ceciderit ut in I ratio lõgioris radii E F,
ad breviorem E I, major fuerit, quam gravitatis pon-
deroſioris B C D ad leviorem B A D contra 1 pro-
poſ. lib. 1 quamobrem citra G, E verſus non cadet: neque ultra G quod ſi-
millima ratione evincetur. Neceſſariò itaque in puncto G. Quod demon-
ſtrari oportuit.
2 Exemplum.
D*ATVM*. Circuli A B C D ſemidiameter eſt E A, E centrum gravitatis,
circelli A F G H eidem inſcripti gravitatis centrum I, diameter A G.
Q*VAESITVM*. Reliqui ſegmenti A B C D H G F gravitatis centrum in-
venire.
CONSTRVCTIO.
Continuator I E in K, ut I E ad continuationem E K habeat rationem
quam ſpatium A B C D H G F ad circulum A F G H; ajo K eſſe optatum gra-
vitatis centrum, cujus demon-
ſtratio ſimillima ſuperiori. Ve-
106[Figure 106] rùm quô arbeli hujus ad reli-
quum circulum ratio ad rectas li-
neas revocetur, ſic ages; Si inſcri-
ptæ C L diametro A G æqualis
terminum L cum reliquo dia-
metri termino C connectat adia-
metrum A L, & rectis A L, L C
diametro & inter ſe conterminis
tertia proportionalis ſit M, ratio
ſpatii ad circulum AFGH (cùm
A L C angulus in ſemicirculo ſit
rectus) erit eadem quæ primæ re-
ctæ A L ad tertiam M, & circulus
diametri A L, ſpatio dicto æqua-
lis, nam A L ad M ratio eſt dupli-
cata A L ad L C, hoc eſtad A G.
Eadem planè ratio fuerit ſi plures circelli ex integro A B C D forent exem-
pti; dicis gatia, deſit præterea circulus N O, cujus centrum erat P. Continue-
tur P K centra connectens ad Q uſque ut P K ad K Q ſit quemadmodum re-
liquum ad circulum N O. Quare erit optatum gravitatis centrum, atque
6565DE INVENTIONE GRAVITATIS CENTRO. deinceps in cæteris ſimili machinatione, quorum ſegmentorum ratio per ar-
tem cognoſci poſsit. C*ONCLVSIO*. Quamobrem datis planę ſuperficiæ
& ſegmenti ejuſdem gravitatis centris & C.
7 THEOREMA. 10 PROPOSITIO.
Parabo. æ gravitatis centrum eſt in diametro.
D*ATVM*. Parabola A B C, axis A D. Q*VÆSITVM*. Centrum gravita-
tis in A D conſiltere demonſtrato. P*RAEPARATIO*. E F, G H, I K baſi
B C parallelæ interſecent diametrum A D in punctis L, M, N, & eædem in-
tercipiant rectas E O, G P, I Q, K R, H S, F T axi A D parallelas.
DEMONSTRATIO.
Cum enim parallelæ E F, B C, claudantur E O, F T, parallelis, E F T O
parallelogrammum erit, cujus oppoſita latera E F, O T in L & D bifariam
dividuntur, quare centrum gravitatis per 1 propoſ. in L D conſiſtet. Eadem ra-
tione centrũ gravitatis quadranguli G H S P erit in L M, itemq́; ipſius IKR Q
in M N. Quamobrem gravitatis centrum rectilinei I K R H S F T O E P G Q
è tribus iſtis parallelogrammis cõflati in DN,
107[Figure 107] ſeu D A conſiſtet. Sed quò frequentiora hu-
juſmodi parallelogramma in parabolam in-
ſcribuntur, eò minor erit inſcriptæ figuræ à
parabola defectus. Quamobrem infinita hac
parallelogrammorum inſcriptione eo adſcen-
ditur ut ejus à parabola defectus quacunque
minima propoſita ſuperficie minor ſit, conſe-
quens igitur eſt, ſumpta A D gravitatis dia-
metro, æquilibritatem ſitus ſtgmenti A D C
ab æquilibritate ſitus ſegmenti A D B, mi-
nori intervallo abeſſe quam vel minimæ quæ
dari poſſit ſuperficiei planę differentia: unde
concludo.
Ponderum inaqualium ſitu gravium differentiâ minus pondus exhiberi poteſt:
Atqui ponderum horum A D C, A B D ſitu gravium differentiâ pondus minus
exhiberinullum poteſt.
Ponderum igitur A D C, A B D ſitu gravium differentia nulla eſt.
A D igitur crit diameter gravitatis, & propterea parabolæ A B C gravitatis
centrum in ipſa. C*ONCLVSIO*. Itaque paraboles gravitatis centrum eſt in
diametro. Quod demonſtraſſe oportuit.
8 THE OREMA. 11 PROPOSITIO.
Parabolarum diametri à gravitatis centro in homologa
fegmenta dirimuntur.
D*ATVM*. Sunto A B C D & a b c d, diſſimiles parabolæ, harum diame-
@ri A D, & a d, denique gravitatis centra E & e.
Q*VAESITVM*. Segmenta A E, E D, ſegmentis a e, e d proportionalia
@ſſe demonſtrator. P*RÆPARATIO*. Rectas A B, A C, à vertice
6666L*IBER* S*TATICÆ* ad baſis terminos eductas biſecet F G, in G & F, & diametrum A D in H, &
ab ipſis biſectionum punctis ſint F I, G K parallelæ contra A D, quarum ver-
tices cum verticeſectionis & termino baſis proximo connectantur rectis I A,
I B, K A, K C; deinde eædem illæ F I, G K æquales (parallelæ diameter enim
A D, parallelarum I F, K G ſi ad B C baſin educantur ſeſquitertia eſſet per
19 propoſ. Archimed. de quad. parab. & ſublatis æqualibus, reliquæ I F, K G
æquales erunt) fecentur ratione dupla in L & M, tum recta L M connexa, in-
108[Figure 108] terſecet diametrum A D in N, & I K eandem in O. Præterea tota diameter
A D ſecetur dupla ratione in P, parallela autem I F continuata occurrat baſi
B C in Q. Quandoquidem igitur A P dupla eſt ipſius P D, P erit trianguli
A B C gravitatis centrum, eadem ratione L, M, erunt centra gravitatis trian-
gulorum A B I, A C K, Ideoq́ue N (ſunt enim triangula æqualia) utriuſque
commune centrum, quare N P jugum erit, quod ſecetur in R, ut ratio N R
ad R P ſit eadem quæ trianguli A B C ad duo triangula A B I, A C K, hoc
eſt ut 4 ad 1 (parabola enim trianguli æquealti in eadem baſi ſeſquitertia eſt,
demonſtrante Archimede propoſ. 24. de quadratura paraboles. Simili planè viâ
fecetur parabola a b c.
DEMONSTRATIO.
Vt A D ad A O, ſic per 20 prop. 1 lib. Apoll. quadratum D B ad quadra-
tum O I, hoc eſtad Q D, ſed Q D dimidia eſt ipſius B D, nam F Q parallela
contra A D biſecat inſcriptam A B, quadratum itaque D Q hoc eſt O I ſub-
quadruplum erit quadrati B D, & ſegmentum igitur A O {1/4} erit totius A D, cui
O H æqualis eſt, nam integra A D biſecatur in H, & N H {1/12} ejuſdem, quæ
ad H D {1/2} addita exhibet N D {7/12} de qua deducta P D {1/3} relinquet P N {1/4}, fed
R P ſubquadrupla eſt ipſius N R, & totius igitur A D ſubvigecupla, quæ ad-
dita ad P D {1/3} dabit D R {23/60} & reliquam R A {37/60}. Quamobrem ut 37 ad 23 ſic
A R ad R D. eodem modo evincetur ſegmenta alterius parabolæ a r, r d, eſſe
ut 37 ad 23. Itaque rectilinea ſimili ratione in diſſimilibus parabolis inſcripta
centrum gravitatis habent in diametris, à quibus ipſæ diametri in homologa
ſegmenta dividuntur. Ac denique ſi in parabolæ ſegmentis B I, I A, A K, K C
triangula itidem ut in ſegmentis B I A, A K C inſcribantur, & rectilineorum
gravitatis centra S & ſ inveniantur, tandem ſimiliter concludes A S, S R, ſeg-
mentis aſ, ſr proportionalia eſſe, verum infinita hujuſmodi inſcriptione con-
tinuô ad E & e propius acceditur. Itaque hujuſmodi rectilineorum γνωζί-
11Deſinit
Archimed.
prop. 1. lib. 2.
iſerrhopiewr. μως ſcitè (ut cum Archimeàe loquar) in parabolas inſcriptorum gravitatis cen-
tra, diametros A D & a d in ſegmenta homologa perpetuò tribuent; atque
adeò ipſæ quibus inſcribuntur parabolæ A B C, a b c, ſegmenta diametri
6767DE INVENTIONE GRAVITATIS CENTRO. portionalia habebunt. Etenim ſi T ſumatur centrũ gravitatis parabolæ A B C,
hinc t ita quidem ftatuatur in a d, ut E T, T S, ipſis et, & t s, proportionales
ſint, cùm multilaterarum figurarum inſcriptione in hac ad t deventum erit,
in illa itidem ad T devenietur, Quamobrem T centrum erit inſcripti multan-
guli, & ipſius quoque parabolæ A B C, quod abſurdum eſt.
C*ONCLVSIO*. Itaque omnium parabolarum diametri à gravitatis centro
in homologa ſegmenta dividuntur. Quod demonſtraſſe oportuit.
4 PROBLEMA. 12 PROPOSITIO.
Datæ parabolæ gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. A B C parabola, ejus diameter A D.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
Fiat ut 3 ad 2 ſic diametri ſegmentum A E ad E D.
P*RAEPARATIO*. Biſectrix rectarum A B, A C, interſecet A D in H, hinc
F I, G K diametro parallelæ quasq́ue in antecedentis theorematis conſtructio-
ne æquales oſten dimus in L & M, ita ſecentur ut I L, L F, item K M, M G,
diametri ſegmentis A E, E D proportionales ſint; hinc I F continuata occur-
rat baſi B C in Q, & fiat A P ſegmentum duplum P D, P erit trianguli A B C
gravitatis centrum: ſiquidem M, L centra gravitatis ſint portionum A C K,
A B I, igitur N (nam per 4 propoſ. Arch. de Conoid. & Sphæroïd. portiones
parabolicæ iſtæ inter ſe æquantur) harum commune gravitatis centrum eſt.
Quamobrem Iugo P N, ſecundum rationem trianguli A B C ad duas para-
bolicas portiones, diviſo, habebimus optatum: ſed integra parabola A B C eſt,
per 24 propoſ. Archimed. de quadr. parab.
109[Figure 109] ſeſquitertia trianguli A B C, quamobrem
A B C triangulum triplum erit duarum pa-
raboles portionum, ſecetur igitur P N in E
ratione tripla, hoc eſt ut ſegmentum N E
vertici vicinius triplum ſit reliqui E P. Di-
co E optatum eſſe parabolæ centrum: &
& ſegmenti A E ad E D rationem eſſe ſeſ-
quialteram, quod ex opere & ſectionis ra-
tione patet.
DEMONSTRATIO.
A O, O H ſunt quartæ partes totius A D, quod 11 prop. oſtendimus; Ve-
rum ut 3 ad 2 ſic A E ad E D, ſic item I L ad L F, ſic quoque O N ad N H,
quamobrem N H erit {1/4}, hoc eſt ſubdecupla totius A D, hinc N H {1/10} addita
ad A D {1/2} exhibet N D {1/3} quæ multata P D {1/3} relinquit N P {4/23}. Verum hæc
ex fabrica in E ita diviſa eſt ut N E tripla ſit ipſius E P. Itaque E P valet {1/15} hæc
addita ad P D {1/3} dabit E D {2/3} diametri A D. Et E A valebit ejuſdem {3/5}. Quam-
obrem A E ad E D eſt ut 3 ad 2, & conſequenter E gravitatis eſt centrum pa-
rabolæ A B C. quod fuit propoſitum. C*ONCLVSIO*. Itaque. Data ellipſi
centrum gravitatis invenimus.
6868L*IBER* S*TATICÆ*
NOTA.
Videtur Archimedes, @altero horum modorum problematis hujus inventionens
aſſecutus, ut dum aut parabolici ſui ſpeculi exemplar fabricatur, aut alterius gratia pa-
rabolam ſolidam, boc eſt conoïdale rectangulum efformat, reapſe edoctus ſit, ſegmentums
vertici co nterminum reliqui eſſe ſeſquialterum, in cujus cauſam hâc viâ inquiſierit &
quaſi inſpexerit: Cum ambæ B A I, B A C parabolæ ſint, diametros I F, A D àgra-
vitatis centris in homologa ſegmenta per 11 propoſ. ſecari neceſſe erit, ideo{q́ue} I L, L F,
hoc eſt O N, N H ipſis æquales, rectis A E, E D proportionales erunt: ſed ſi N com-
mune utriuſque par abolicæ portionis gravitatis centrum foret, P verò centrum trian-
guli A B C, quia triangulum ſimulutriuſque portionis eſt triplum, etiam jugum N E
jugi E P quoque triplum erit. Vnde propoſitio iſtiuſmodi exiſtit. Invenire duo puncta
N, E, quæ ſegmentorum O N, N H rationem faciant eandem quam A E habet
ad E D. aſſumpta deinde A E {3/5} totius A D, & E D {2/5}, facto{q́ue} periculo, quid ex his dedu-
catur; tandem iſtudipſum veritati congruere comperit. Aut ſi coniectur â huius ſeſ-
quialteræ rationis id ipſum aſſecutus non ſit, verùm arte duce in hæc penetralia pene-
traverit, videtur numeris hæc primùm expertus: Dati duo numeri O H {1/4}, H P {1/6} am-
bo ita dividuntor, ut minus ſegmentum rectæ O H cum majore ipſius H P, tri-
plum ſit ſegmenti minoris rectæ H P cum majore ipſius H O, ea lege ut majus
ſegmentum rectæ O H ad minus habeat rationem, quam majus ſegmentum
H P + {1/3} habet ad minus ſegmentum H P + {1/3}.
5 PROBLEMA. 15 PROPOSITIO.
Datâ parabolâ curtâ, gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. A B C D parabola curta, oppoſitas rectas habeat parallelas, quas
biſecat diameter E F. Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
Parabolam curtam abſolvito, defectu A B G addito, hinc G E ſecetur in
H ut ſegmentum G H vertici vicinum reliqui H E ſit ſeſquialterum, itemq́uc
G I ipſius I F; denique fiat ut A B C D ad A B G ſic H I ad I K: Ajo K
optatu m gravitatis centrum eſſe.
DEMONSTRATIO.
Integræ parabolæ gravitatis cen-
trum eſt I, & H portionis, quia verò
110[Figure 110] eſt H I ad I K ut parabola curta ad
dictam portionem, K curtæ parabolæ
centrum erit.
C*ONCLVSIO*. Itaque, ut opor-
tuit, curtæ parabolæ centrum gravita-
tis invenimus, Generaliter autem ſive
A B parallela ſit contra D C, ſive an-
nuat ita efficies. inveniatur H centrum
gravitatis parabolæ A G B & I centrum totius D G C quæ connectantur ju-
go H I & fiat H I ad continuationem I K ſicut parabola curta A B C D ad
complementum ſui A G B. utriuſque autem ratio ad rectilineas figuras revo-
cari poteſt, cum utraque D G C, A G B trianguli quæ ipſis & baſin & altitu-
dinem habet æqualem ſeſquitertia ſit; Et demonſtratio antecedens huic omni-
no congruet.
6969*DE* S*TATICÆ PRINCIPITS.*
CENTROBARICA SOLIDORVM
DEINCEPS SVCCEDVNT.
9 THE OREMA. 14 PROPOSITIO.
Solidi cujuſlibet, & figuræ & gravitatis idem eſt cen-
trum.
D*ATVM*. Tetraë dri A B C D centrum ſit E, axis autem ab A per E cen-
trum occurrens baſi B C D in F, ſit A F.
Q*VALSITVM*. Ipſum E gravitatis quoque centrum eſſe oſtenditor.
DEMONSTRATIO.
Solidum hoc ſuſpendito ex A E; cum igitur tetraëdrum componatur è qua-
tuor pyramidibus ſimilibus & inter ſe æqualibus quorum vertex communis ſit
E, ipſa A F erit ejus gravitatis diameter; eadem ratio erit rectæ
111[Figure 111] C E; quare E centrum erit in concurſu diametrorum. Similis
demonſtratio erit in reliquis corporibus cum auctis & immi-
nutis tum etiam abſolutè ordinatis quæ centrum ſoliditatis
habebunt, nam ipſa ex diametris vel per angulum ſolidum, vel
per hedrarũ centra eductis ſuſpenſa, ratio ſitus componentum
pyramidum (quarum quidem vertices eodem coëunt, & baſes
ſolidi ipſius ſint hedræ) ad latera omnia par erit, quamobrem
ex communi notitia, & 1 poſtulatum 1 lib. univerſa ab hac recta
æquilibria dependebunt; & conſequenter mutua in centro
figuræ iſtiuſmodi diametrorum interſectio, ceutrum quoque gravitatis erit.
C*ONCLVSIO*. Itaque in ſolido & figuræ & gravitatis idem eſt centrum.
10 THE OREMA. 15 PROPOSITIO.
Priſmatis gravitatis centrum eſt in axis medio.
1 Exemplum.
D*ATVM*. Eſto A B priſma baſis triangulæ A C D.
Q*VAESITVM*. Axem à gravitatis ſuæ centro biſecari demonſtrator.
P*RAEPARATIO*. D E biſecet latus A C, parallelæ autem H I, F G, ipſam
biſectricem interſecent in punctis K, L, & parallelæ ſint F M, H N, I O, G P
ad ipſam D E; dein de A Q oppoſitam D C bifariam ſecet in Q Ac denique
reliquæ he@ræ parallelogrammæ biſecentur plano R S baſi A D C parallelo,
à quò C B bifariam dividatur in puncto S.
DEMONSTRATIO.
Planum actum per D E & rectam ſibi parallelam in plano R S reliquas he-
dras biſecante, tribuit priſma H N F M P G I in duo priſmata æqualia & ſimi-
lia; tranſit igitur per hujus inſcriptæ priſmatis gravitatis centrum, quo
70702 L*IBER* S*TATICÆ* plura priſmata baſis quadrangulæ in datum
112[Figure 112] inſcribuntur eo minus ab eodem differunt;
quamobrem infinita iſta inſcriptione eô
tandem adſcenditur ut inſcripti & circum-
ſcripti differentia quamcunque minimo ſo-
lido minor adhuc ſit. Vnde efficitur gravi-
tatem ſitus unius ſegmenti D F C B, a gra-
vitate ſitus reliqui ſegmenti abeſſe etiam mi-
nori differentia quam cujuſcunque minimi
corporis quod quidem exhiberi poſſit.
quamobrem ſic ediſſero.
Inæqualium & ſitu @ravium ponderum differentiâ pondus minus exhiberi poteſt.
Sed horum ponderũ ſitu gravium differentiâ pondus minus exhiberi nullum poteſt.
Itaque horum ponderum ſitu gravium differentia nulla eſt.
Ideoq́; planum actum per D E & rectam in plano R S ſibi homologam, dati
priſmatis gravitatis centrum tranſit, ſimillimo argumento planum A Q per in-
clinationem laterum A D, A C, & biſectionem rectæ D C eductum, idem
gravitatis centrum induere evinces; ſed horum planorum communis ſectio, eſt
recta cõnectens centra gravitatis oppoſitarum baſium, qui axis eſt d@ti priſmatis
itaq; centrum gravitatis conſiſtit in axe, eſt item in plano per R S oppoſitis
baſibus parallelo, hoc enim & priſma & axem bipartitò & ſimili partium ſitu
diſpeſcit; Quare centrum gravitatis ex in axis medio.
2 Exemplum.
D*ATVM*. Priſma A B eſto quadrangulæ baſis A C D E.
Q*VÆSITVM*. Gravitatis centrum in axe conſiſtere.
P*RAEPARATIO*. Solidum datum plano A D B in priſmata triangulę ba-
ſis ipſum componentia dirimatur. Singulorum igitur gravitatis centrum per
1 exempl. axem ſuum biſecat, Quare jugum cen-
tra connectens, pro ratione ponderum reciproce
113[Figure 113] tributum, centrum quæſitum exhibebit, punctum
autem ipſum incidet in centro gravitatis plani priſ-
ma biſecantis & baſibus paralleli, hoc eſt in ipſum
ſolidi axem quem medium ſecat.
C*ONCLVSIO*. Itaq; priſmatis gravitatis cen-
trum axem medium incîdit.
11 THEOREMA. 16 PROPOSITIO.
Pyramidis gravitatis centrum eſt in axe.
D*ATVM*. Pyramidis A B C D baſis triangula B C D, gravitatis centrum
E, axis eſto A E. Q*VÆSITVM*. Centrum gravitatis in ipſa A E conſiſtere
demonſtrator. P*RAEPARATIO*. Planum F G H baſi B C D parallelum,
ſecet datam pyramidem, ejuſque axem A E in I; deinde F K, G L, H M, axi
parallelæ terminentur in baſi B C D. Similiter pyramis ſecundo interſecetur
plano N O P baſi parallelo, & axis in Q, hinc ſimiliter centra A E eductis pa-
rallelis N R, O S, P T, comprehendatur pyramis N O P R S T.
7171*DE* S*TATICÆ PRINCIPIIS*.
DEMONSTRATIO.
Triangula NOP, RST, FG, KLM, ſimilia ſunt triangulo BCD, &
puncta Q, I, E, in iſtis ſimili ſitu reſpondent puncto E in triangulo BCD,
quod ejuſdem gravitatis eſt centrum, ideo Q, I, E, ſuorum triangulorum
114[Figure 114] gravitatis ſunt centra, & I E axis priſmatis
FGHKLM quem medium, per 15 pro-
poſ. gravitatis centrum incîdit; ſic item
Q I axis priſmatis NOPRST medius à
centro ſuo dividetur, quamobrem ſolidum
ex utroque priſmate compoſitum centrum
habet in Q E hoc eſt in A E, verumenim-
vero hujuſmodi priſmatum frequentiſſima
inſcriptio, componet ſolidum quod ad py-
ramidis ſoliditatem proximè accedat, cujus
tamen gravitatis centrum in axe A E ſem-
per hæreat. Sed ſolidum tale poteſt intra py-
ramidem inſcribi ut ejus à pyramide diffe-
rentia quocunque dato corpore minor ſit,
unde efficitur, poſita diametro A E gravita-
tis ſitum unius partis à reliqua minori etiam
quam dari poſlit differentiâ abeſſe; Quod
eodem quo ſupra ſyllogiſmo evincam.
Ineæqualium ſitu gravium ponderum differentiâ minus pondus dari poteſt.
Sed borum ponderum differentiâ pondus minus exhiberi nullum poteſt.
Itaque horum ponderum differentia nulla eſt.
Simillima demonſtratio erit in cæteris quorum baſes erunt quadrangulæ,
aut quomodocunque multangulæ, vel rotundæ denique.
C*ONCLVSIO*. Itaque, centrum gravitatis pyramidis eſt in axe.
6 PROBLEMA. 17 PROPOSITIO.
Pyramidís triangulæ baſis gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. Pyramidis ABC baſis ſit BCD.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
Duarum hedrarum BCD, ABC gravitatis
115[Figure 115] centra EF, oppoſitis verticibus connexa rectis AE,
BF ſeſe incîdent in G & cum utraque ſit diameter,
Ajo G eſſe centrum optatum.
DEMONSTRATIO.
Etenim pyramidis gravitatis centrum eſt in AE,
itemq́ue in B F per 16 propoſ. eſt itaque in G ipſa-
rum mutua interſectione.
C*ONCLVSIO*. Pyramidis igitur à triangula baſi aſſurgentis, centrum gra-
vitatis, ut petebatur, invenimus.
72722 L*IBER* S*TATICÆ*
12 PROBLEMA. 18 PROPOSITIO.
Centrum gravitatis pyramidis axem ita ſecat ut ſegmen-
tum vertici vicinius reliqui ſit triplum.
D*ATVM*. Pyramidis ABCD baſis triangulæ, vertex A, baſis BCD, axis
à B ad E centrum gravitatis trianguli ADC eſto BE, hinc ab A ad cen-
trum gravitatis oppoſitæ hedræ BCD eſto AF quæ per antecedentem pro-
poſ. ſecet priorem BE in G centro gravitatis pyramidis.
DEMONSTRATIO.
Recta AH, angulum A & punctum H baſis me-
116[Figure 116] dium connectens, ita ſecatur ab E trianguli ADC
gravitatis centro per 4 propoſ. ut AE ſegmentum
vertici conterminum reliqui E H ſit duplum, pari ra-
tione BF dupla erit rectæ FH. Quod cum ita ſit, ra-
tio B F ad FH, per Ptolemaicam {δι}αςρεσιν lib. 1. cap. 12.
μεγάλης σ{μν}θαξ. componetur è ratione BG ad GE
& EA ad AH, ſubducta igitur ratione EA 2 ad
AH 3 de ratione B F 2 ad FH 1 reliqua erit ratio
BG 3 ad GE 1.
Verumenimverò in pyramide baſis quadrangulæ demonſtratio hinc deriva-
ta hujuſmodi erit: Etenim ABCDE pyramis
117[Figure 117] aſſurgat à baſi BCDE, & axis ſit AF. Diviſa
igitur hac in pyramides componentes quarum
baſes ECB, ECD & axes AG, AH, centra
item gravitatis I, K, etiam totius pyramidis cen-
trum fuerit per 16 propoſ. in jugo IK, videlicet in
L cõmuni axis & jugi interſectione, ſed in trian-
gulo AGH, recta IK baſi GH parallela eſt, la-
tera enim A G, AH proportionaliter ſecantur in
I & K per priorem partem, itaque AL quoque
tripla erit ipſius L F nam ob ſimilitudinem ut AI
ad IG, ſic AL ad LF, ſimillima in ceteris à
quamlibet multangula baſi aſſurgentibus pyrami-
dibus ratio quoque fuerit.
Denique coni tum circularis quam ellipticæ baſis demonſtratio eodem re-
dit, cum enim ex antecedente parte pyramis baſis quoquomodo polygonæ
axem gravitatis incîdat ratione tripla, in cono verò baſis ellipticæ vel cir-
cularis pyramis poteſt inſcribi quæ à dato cono quamcunque minimi ſolidi
differentia abſit, itaque intervallum centrorum gravitatis dati & inſcripti ſolidi
minus erit quâcunque minima diſtantia, unde ſyllogiſmus talis inſtituitur.
Duorum distantium punctorum intervallo minus intervallum dari poteſt.
Sed horum centrθrum intervallo minus dari nullum poteſt.
Itaqueista puncta nullo intervallo à ſe mutuò abſunt.
C*ONCLVSIO*. Quamobrem axis pyramidis cujuſcunque ratione tripla
à gravitatis centro ſecatur, videlicet utſummum & vertici vicinius imiſit tri-
plum. Quod facere oportuit.
7373*DE* S*TATICÆ PRINCIPIIS.*
7 PROBLEMA. 19 PROPOSITIO.
Solidi gravitatis centro & ſegmenti ſui cujus ad reli-
quum ratio ſit data cognitis, ejuſdem reliqui ſegmenti gra-
vitatis centrum quoque invenire.
D*ATVM*. Corporis ABCD centrum gravitatis ſit E, ſegmenti verò BDA
centrum F. Q*VAESITVM*. Reliqui ſegmenti BCD gravitatis centrum in-
venire.
CONSTRVCTIO.
Fiat FE ad continuationem EG ut ſolidum BDC ad BDA; ajo G eſſe
optatum gravitatis centrum reliqui ſegmenti BDC, cujus demonſtratio ſimil-
lima erit 9 propoſ. Sed ſphæræ ſegmenti cujus ad re-
118[Figure 118] liquam ratio ſit data cum è ſecundo 9 propoſ. exem-
plo ſatis plana ſit nullum paradigma proponam.
C*ONCLVSIO*. Quamobrem datis gravitatis
centris totius ſolidi & ſui ſegmĕti cujus ad reliquum
ratio inveniri poſſit, ejuſdem reliqui gravitatis cen-
trum, invenimus. Quod feciſſe oportebat.
8 PROBLEMA. 20 PROPOSITIO.
Pyramidis curtæ gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. Eſto ABCDEF pyramis curta, cujus ſumma baſis ABC,
ima DEF. Q*VAESITVM*. Ejus gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
Abſolvito curtam pyramidem, expleto defectu ABCG, & axis ductus à
vertice G ad H centrum baſis D E F ſecet planum ABC in I, ſegmen verò
GL ita ſecetur in K ut GK ipſius KL ſit tripla,
119[Figure 119]& L totum axem ita incîdat ut pars ſumma GL
imæ LH ſit item tripla, denique eadem ſit ratio
jugi KL ad LM quæ curtæ pyramidis ABCDEF
ad complementum ABCG; ajo M eſſa gravita-
tis optatum centrum.
DEMONSTRATIO.
L centrum eſt totius, K verò ſegmenti, ut au-
tem imum ſegmentum ad ſummum, ſic KL ad
LM. Quare per 1 propoſ. 1 lib. M fuerit optatum
gravitatis centrum. Demonſtratio in cæteris cur-
tis pyramidibus multangulæ vel circularis baſis huic affinis eſt.
C*ONCLVSIO*. Quamobrem datæ curta pyramidis gravitatis centrum, ut
decuit, invenimus.
74742 L*IBER* S*TATICÆ*
9 PROBLEMA. 21 PROPOSITIO.
Dato ſolido epipedoëdro quocunque; gravitatis centrum
invenire.
D*ATVM*. Eſto epipedoëdrum A quotcunque planis ſuperficiebus com-
prehenſum. Q*VÆSITVM*. Gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
Solidum ipſum tribuito in pyramides componentes, quam fieri poterit pau-
ciſſimas. Summa autem eo caſu difficultas hucredit, utſi neceſſum ſit ſolidum
ipſum in totpyramides dirimatur quot hedris clauditur, pun-
120[Figure 120] cto quocunque intra corpus pro vertice aſſumpto; quibus cõ-
ſtitutis, pyramidum centra ſigillatim per 17 propoſ. invenian-
tur. deinde duorum pyramidum centris rectâ linea connexis,
jugum hoc ſecetur ratione ipſorũ pyramidum, ut tamen mi-
nus ſegmentum ponderoſiori pyramidi ſit vicinum, deinde
centrum hoc inventum cum tertiæ pyramidis centro conjungatur, quarũ com-
mune centrum cum quarto connectes, atque eò in reliquis omnibus ordine
continuato, noviſſima jugi ſectio exhibebit optatum dati ſolidi gravitatis cen-
trum; cujus demonſtratio ipſo operis ſucceſſu manifeſta eſt.
C*ONCLVSIO*. Itaque, dato qualicunque ſolido planis hedris compre-
henſo, gravitatis centrum invenimus. Quod feciſſe oportuit.
13 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO.
Conoïdalis gravitatis centrum eſt in axe.
Conoïdalis recti centrum gravitatis eſſe in axe, per ſe & communi quaſi no-
titiâ manifeſtum eſt, quamobrem duntaxat eo caſu cum axis baſi obliquus erit
demonſtrationem formabimus.
121[Figure 121]
D*ATVM*. ABC conoïdale, baſis BC,
axis AD dictæ baſi obliquus.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum in
AD conſiſtere demonſtrandum.
P*RAEPARATIO*. Conoïdale inter-
ſecetur planis duobus FF, GH baſi pa-
rallelis quæ axem AD incîdant in I & K,
deinde ducantur rectæ EL, FM, GN,
HO, quare LM, NO, GH exipsâ ſe-
ctione ellipſes erunt ſimiles baſi BC: &
EM, GO cylindri baſis ellipticæ
DEMONSTRATIO.
LD ſemidiameter ellipſis LM, æquatur ſemidiametro DM, æquatur item
ipſis EI, IF; Igitur ID axis fuerit cylindri EM in quo ejus gravitatis cen-
trum conſiſtit; pari ratione cylindri GO gravitatis centrum erit in axe KI.
quamobrem centrum ſolidi ex utroque compoſiti erit in KD, atque adeò in
axe AD. ſed quò crebriores cylindri in conoïdale inſcribentur, eò
7575*DE* S*TATICÆ PRINCIPIIS*. ſolidi ex inſcriptis cylindris compoſiti à dato minus erit. Itaque infinita hac in-
ſcriptione tandem eò adſcenditur ut ſolidum factitium à conoïdali ablit diffe-
rentiâ, quæ ſolido dato quocunque minor ſit, cui conſequens eſt AD dati co-
noïdalis gravitatis eſſe diametrum, itaque gravitas ſitus unius lateris à gravita-
te lateris alterius minus aberit, quam vel minimi ponderis differentiâ. Quod
legittimo ſyllogiſmi judicio ita concludam.
Ponderum ſitu gravium differentiâ minus pondus dari poteſt.
Sed borum ſegmentorum ſitu gravium differentiâ pondus minus nullu dari poteſt.
Itaque borum conoïdalis ſegmentorum ſitu gravium differentia nullaeſt.
Et AD gravitatis erit diameter. C*ONCLVSIO*. Quamobrem conoïda-
lis gravitatis centrum eſt in axe. quod demonſtraſſe oportuit.
10 PROBLEMA. 23 PROPOSITIO.
Conoïdalis gravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. ABC conoïdale, A vertex, AD axis.
Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum invenire.
CONSTRVCTIO.
A D axis ſecetur in E ratione dupla videlicet ut ſegmentum vertici conter-
minum reliqui ſit duplum, ajo E eſſe centrum quæſitum cujus demonſtrario-
nem ſolers & ſubtilis Mathematicus Fredericus Commandinus de ſolidorũ cen-
trobaricis propoſ. 29 exhibet, quæ noſtro more & modo digeſta ita habet.
DEMONSTRATIO.
Conoïdale ſecetur plano FG axem in H biſecante, baſiq́ue BC parallelo,
atque planiſecantis & ſuperficiei ſectio eſto in I, K, deinde BCGF, IKLM
cylindri circa conoïdale circumſcribantur, quorum gravitatis centra N, O:
præterea intra ipſum cylindri IKPQ inſcripti O itidem gravitatis erit centrũ.
Cum per 20 prop. 1 lib. Apoll. & 2. pr. 12. lib.
122[Figure 122] Eucl. igitur ſit ut DA ad AH videlicet 2
ad 1, ſic circulus BC ad circulũ IK, etiam
cylindri BC ad cylindrum IL (propter æ-
qualĕ altitudinem) ratio dupla erit, quam
obrem ſi BG 2 librarum ſtatu@ur IL erit
1 libræ, ſed centra gravitatis ſunt N, O,
ideoq́ue NO jugo in R ſecto ut NR
radii RO duplus ſit, ipſum circumſcripto-
rum cylindrorum gravitatis erit centrum,
ſed & O inſcripti cylindri eſt centrum, E verò ab O & ab R eodem intervallo
diſtat, videlicet {1/12} totius AD. Acſimilis erit cæterorum ſimilium paradigma-
rum eventus. Verumenimverò quo res ſit manifeſtior, altero exemplo idem ex-
plicabimus.
Denuò iſta axis biſegmenta AH, HD, bifariam dividantur, unde tres cy-
lindri inſcribantur & quatuor circumſcribantur, ut in ſecundo diagrammate
ubi AD conoïdalis axis ſit, centra verò cylindrorum I, K, L, M, AE verò
dupla ſit ipſius ED ut ſupra. Itaque cum ſit ut AD ad AN (nempe ut 4 ad 3)
ſic circulus BC ad circulum OP, erit quoque cylindrus BF ad OQ in
76762 L*IBER* S*TATICÆ* dem ratione ſeſquitertia ſunt enim æquealti, ſimillima ratione BF cylindrus
rertii circumſcripti cujus centrum K erit du-
123[Figure 123] plus, quarti verò cujus centrum I quadru-
plus. poſito itaque imo cylindro 4 librarum,
ſecundus erit 3 ℔, tertius 2 ℔, ſummus de-
nique I ℔: Pari ratione ſi imus inſcriptorum
ſit 3 librarum, ſecundus erit 2 ℔, ultimus ver
tici proximus I ℔. Quæ cum ita ſint, & cen-
tra cylindrorum, & ipſorum ponderoſitas
nota, centrum gravitatis circumſcriptorum
cadet in L ut LE occupet {1/24} totius AD;
Trium itidem inſcriptorum gravitatis centrum cadet in S, ut S E {1/24} totius A D
obtineat. Quamobrem L & S ab E rurſum æquidiſtant.
Verumenimvero ſi biſectio & cylindrorum iſta ſiguratio continuentur, ut
octo datum conoïdale ambiantac ſeptem induant, diſtantia centrorum & in-
ſcriptorum & circumſcriptorum ſecabunt axem æquidiſtanter à puncto E, ab-
erunt enim {1/48} totius A D.
Denique ſi ſectio iſta viciſſim duplicetur ut ſedecim cylindri circumſcriban-
tur, & quindecim intra includantur, nihilo ſecius centra gravitatis ſolidorum
inſcriptorum & circumſcriptorum pari diſtantia ab E puncto utrimque diſta-
bant, videlicet {1/96} axis A D. Atque adeò ſequens biſectio antecedentem di-
ſtantiam continuò bipartito ſecat, cujus conſecutionis veritatem & neceſſita-
tem inductione continuatâ demonſtrarem, niſi brevitatis ſtudio ductus, cum
cuilibet in promptu ſit, iſtud omitterem.
Quamobrem E gravitatis centrum dati conoïdalis erit: Enimverò ſi cen-
trum aliud ſumatur in ipſa E L aut E S tandem continua biſectione & cylin-
drorum circumſcriptione & inſcriptione eò devenitur ut centrum ſolidi ex cir-
cumſcriptis conflati deſcĕdat infra conoïdalis centrum; vel inſcripti ſupra ejuſ-
dem conoïdalis centrũ adſcendat. Quod impoſſibile per ſe clarum fuerit; cum
enim ſolidum tale è cylindris circumſcriptis componi poſſit ut ejus à conoï-
dali differentia minor ſit quocunque ſolido, poſſit item tale ſolidum inſcribi,
utriuſque ab E puncto differentia tantulo utrimque intervallo aberit ut minus
nullum effingi poſſit. Quamobrem eodem coïbunt in E. Vnde efficitur E dati
conoïdalis gravitatis eſſe centrum.
C*ONCLVSIO*. Itaque conoïdalis gravitatis centrum invenimus. Quod
feciſſe oportuit.
NOTA.
Cum recta ab angulo trianguli ad medium oppoſitæ baſis educta per 4 pro-
poſ. item ſecetur ratione dupla, conſequens eſt, ſimilem à centro æquidiſtan-
tiam iſtic ab inſcriptis & circumſcriptis parallelogrammis argui, qualis hic in
cylindris adſcriptis demonſtrata eſt.
11 THE OREMA. 24 PROPOSITIO.
Conoïdalis curtigravitatis centrum invenire.
D*ATVM*. ABCD conoïdale curtum, baſis ima D C, ſumma A B, axis
verò EF. Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum invenire.
7777*DE* S*TATIGÆ PRINGIPIIS*.
CONSTRVCTIO.
Conoïdale curtum abſolvito, addito ſegmento A B G; deinde ſtatuatur GH
dupla ipſius H E, item G I ipſius I F; denique fiat ut conoïdale curtũ A B C D,
ad complementum A B G ſic H I ad I K; Ajo K gravitatis cupitum eſſe cen-
trum.
DEMONSTRATIO.
124[Figure 124]
Etenim I eſt centrum gravitatis totius
D C G, & H ſegmenti A B G: verum ut
reliquum ſegmentum A B C D, ad comple-
mentum A B G ſic H I ad I K; ideo K per
19 propoſ. optatum erit centrum, Quod de-
monſtraſſe oportuit.
C*ONCLVSIO*. Itaque curti conoïdalis centrum invenimus.
Atque hic Liber ſecundus nobis explicitus esto.
78
[Empty page]
79
LIBER TERTIVS
DE
STATIC AE
PRAXI.
80
[Empty page]
8181AD LECTOREM
QVandoquidem nonnullis bujus Praxis
propoſitionibus de corporum motu dictu-
riſumus, paucis priuſquam in rem ingre-
dimur lectoriaperire viſum fuit Stati-
cem duntaxat potentiæ moventis & pon-
derismotiſitus æquilibritatem ſeu æqua.
mentum docere; quanta verò moventis
potentiæ vis præterea deſideretur, (nam
cuilibet movendoimpedimentũ ſola cogitatione tantũ ſepar abi-
le perpetuò inbæret, quod & ipſum ſuperari quoque neceſſe eſt,)
quò datum pondus commoveatur & impellatur, à Staticæ do-
ctrina alienũ fuerit; cum via & ratione mathematica iste po-
tentiæ exceſſus invenirineque explicari poſsit, etenim impedi-
menta & res mot æ constantem analogiam nullam babent. Ve-
rùm quò ratio iſta ſit magis perſpicua, eſto currus gravitatis
notæin cognitæ acclivitatis collem pertrabendus. Ajo ſtaticam,
ut 4 exemplo 9 propaſ. perſpicitur; docere quæpotentiaſit currui
æqualis, boc eſt, ſitu æquiponderet non habita motus aut impe-
dimentorumratione, cujus generis ſunt illa ſingularium par-
tium ut axium in ſuis ſyringibus, rotarum in plateis, ac deni{q́ue}
totius currus in aere. Impedimentorum inquam potentia cum
catholica non ſit à ſtaticæ præceptis rejicienda, quia eius ad po-
tentiam moventem ratio unica & certa nulla apparet. Quod
refutatis eorum argumentis qui in ponderibus deprimentibus
ſecus ſtatuunt, arguerem, niſi in ſtatica tantum doctrinæ præ-
cepta instituere ſatius ducerem, alibi priſtinũ & inveteratum
de ponderũ affectionibus errorem firmis rationibus retecturus.
Cæterum æquilibritatis cognitio hic ſufficit; enimverò ſiin li-
bræ utrâque lance tantundem ponderis collocetur, quamvis
librile ſeu jugum ſua habeat motus impedimenta, levi tamen
momento lances huc at que illuc impelluntur: idque in cæteris
omnibus evenire certum eſt.
At que bæc quidem de motus impedimentis dicta ſunto,
8282 quis uſu magistro eruditus potentiam moventem moto pon-
dere majorem eſſe, vitium boc arti adſcribat ſiquidem poten-
tia motrix movendo tanto ſit maior oportet, ut ipſum quoque
impedimentum ſuper are poſsit. Neve quis hoc æquilibritatis
prætextu fiſus in errorem præceps ruat, quod his contingit
maximè quifalſas ſententias pro veris amplexantur.
BREVIARIVM.
PR*AXIS* Statices gravitatis planum diametrale, gravi-
tatis rectam diametrum & centrum pragmaticè five
mechanicè invenire docebit, hinc libræ & ſtateræ perfectif-
fimæ fabricas atque affectiones nõnullas, quibus vectium
genera, & ponderum tum geftatorum tum attractorum
& trochlearum formas, ac denique infinitam potentiam
ſubjunget.
8383I PROPOSITIO.
Dati cujuſcunque corporis planum diametrale, diame-
trum perpendicularem & centrum pragmaticè invenire.
1 Exemplum.
D*ATVM*. A B corpus figurâ qualicunque.
Q*VAESITVM*. Planum diametrale, diametrum perpendicularem, cen-
trum denique mechanicè anquirere.
CONSTRVCTIO.
Solidum datum ſuſpendatur è fune CD, acta deinde recta EF per ſum-
mum punctum C, ab utroque ejus termino perpendiculares E G, F H è plum-
bo & filo ſuſpendantur, quæ corpus ipſum A B proximè ſtringant, planum
125[Figure 125] inter parallelas E G, F H comprehenſum, ſiſolidum ſecare intelligatur, dati
corporis diametrale planum erit, verùm ut ipſæ lineæ in ſolidi ſuperficie inſcri-
bantur, fila tenſa & creta infecta impreſſionem faciant uti à materiariis fabris
fieri confuevit, illæ igitur ſunto I K, L M quæ connexæ optatum LIK M pla-
num continuebunt.
Sed ad diametri perpendicularis inventionem corpus ex eadem recta C D
dependens pauxillum convertito & ſimile aliud diametrale planum delineato,
à quo prius infra in N ſupra autem in D interſecetur, recta D N, ipſorum com-
munis fectio, erit perpendicularis gravitatis diameter. Denique ad centri inve-
ſtigationem corpus tranſverſim alicunde ex O ſuſpenſum exhibeat alteram
perpendicularem diametrum O P, quæ priorem incîdatin Q, idipſum gra-
vitatis erit centrum.
84842 *LIBER STATICÆ*
2 Exemplum.
D*ATVM*. Eſto A B ſolidum quodcunque datum.
Q*VAESITVM*. Gravitatis planum diametrale, diametrum perpendicula-
rem, atque ipſum denique centrum mechanicè invenite.
CONSTRVCTIO.
Oblatum corpus A B in acie C D verſato donec æquamentum utriuſque
partis adeptus videbere, ſitq́ue in E, planum igitur per E horizonti normale
erit quæſitum diametrale planum, quod altero ſimili interſectum gravitatis
perpendicularem diametrum in communiſe-
ctione deſcribet, denique tertium tranſver-
ſum diametrale planum eandem in gravitatis
centro incîdet. Quarum demonſtratio ex an-
tecedentibus perſpicitur.
126[Figure 126]
C*ONCLVSIO*. Itaque ſolidi cujuſcun-
quegravitatis diametrale planum, diametrum
perpendicularem, & centrum invenimus.
Quodfacere oportebat.
2 PROPOSITIO
Libram perfectiſsimam fabricari.
CONSTRVCTIO.
In medio ſcapiſeu librilis A B, cujus examen loco convenienti ſit, rectam
C D ſub examinis mediolateribus ſcapi perpendicularem inſcribito, tantum
deinde materię à parte præponderante auferto donecſcapus ſecundum rectam
C D aciei impoſitus utroque radio æquamentum nactus erit. hinc E D duci-
to lateri perpĕdicularem, in qua perpendicularem diametrũ inquires, ſcapo ſeu
librili acutiſſimo mucroni impoſito atque huc illuc ſecundum rectam D E im-
pellens donec æquilibritas inventa ſit, ut puta in puncto F, punctum deinde
ſimile in oppoſito latere imprimito, recta ea connectens erit ſcapi perpendicu-
laris diameter notans aciem, axis tranſverſi quod eſtferramentum tranſverſim
librili infixum extremæ aginæ fibulis inhærens deinde quia lances è librili un-
cis ſuſpenduntur, horum confinia A, B & tranſverſi axis terminus conſtituan-
tur in eàdem recta A F B, confinia inquam uncorum illa quâ librile contin-
gunt. Sin verò lances non uncis ſed alius generis retinaculis è jugoſeu librili
dependeant, ipſorum ſimile confinium conſiderandum, quibus & aginæ fibu-
lis loco convenienti conſtitutis, libra iſta ponderibus æqualibus in utramque
lancem impoſitis, ſervabit eum quem dederis ſitum, quamdiu axis tranſverſus
aciei ſuæ innitetur, cujus veritas è 10 propoſ. I libri de Staticæ principiis clare
perſpicitur.
Verumenimverò libram hanc eſſe perfectiſſimam patet è I exemplo, 12 pro-
poſ. I lib. ubi demonſtratum eſt, poſito E firmitudinis puncto quantum
8585DE S*TATICÆ PRAXI*.127[Figure 127] dusad D applicari oporteat utjugum in data theſi permaneat, ſi verò N iſtic
fuiſſet firmitudinis punctum, hoc eſt, dati corporis gravitatis centrum, quod-
libet vel minimum pondus, mathematicum videlicet, è D ſuſpenſum iſtud
latus omnino depreſſerit: Idem hic evenire intelligas utrumlibet æquiponde-
rantium radiorum minimo pondere auctum ab æquamento deorſum vergere;
qui tamen in aliis nonnullis bilancibus tantulo pondere vix impellerentur.
Sin autem fabrica hæc in iſta aciei tranſverſi axis & retinaculorum confinii
tam accurata inveftigatione nimium negotii faceſſat, huc tamen omnia quam
poterit fieri accuratiſſimè dirigantur; Et ſi pauxillum ab iſta perfectione abeſle
velint, librilis & uncorum confinia infra rectam A B potius quam ſupra collo-
cantor, iecus enim hinc illud incommodi exſtiterit ut cuncta inter librandum
invertantur; Imo quod ponderoſius fuerit leviſſimum quandoq́ue videbitur,
præcipuè ſi axis propter librilis longitudinem horizonti non ſit parallelus,
omnia ſiquidem eò redeunt unde motus ſumpſerint principium.
Librilis radios à medio axis tranſverſi pari intervallo abeſſe oportere, vel
hinc patet quod pondera ſuis radiis per I propoſ. I lib. ſunt reciproca, ideoq́ue
ſi radius alter centeſima parte reliquum excedat libram doloſam efficiet, quæ
enim pondera æquipondia viderentur revera centeſima parte differrent; hinc
ſi radii parte quinta & vigeſima longitudinis diſcreparent ponderum inter ſe
diſcrepantiæ ratio foret eadem quæ 4 ad 100 atque ita deinceps in cæteris.
Præterea ſcapi teretes & oblongi ad accuratum librilis judicium non pa-
rum momenti afferunt. Etenim è duobus ſcapis gravitate quidem pari, ſed
impari longitudine ut puta dupla, certum eſt unciæ, ſemunciæve, aut
86863 L*IBER* S*TATICE*cujuſcunque ponderis potentiam in ſcapo longiore duplam eſſe ejus, quæin
minore. C*ONCLVSIO*. Itaque perfectiſſimam libram deformavimus.
Quod feciſſe oportuit.
3 PROPOSITIO.
Data libra cujus librile horizonti maneat parallelum:
pondus invenire quod alteræ lanci impoſitum librile in
optato ſitu retineat.
Libræ nonnullæ difficilius impelluntur, cujus cauſa nulla nobis apparet,
cum tamen acies axis tranſverſi accuratâ ratione aptata ſit. Cujus cauſam dein-
ceps detegemus, oſtendentes quantum pondus in hujuſmodi lancem imponi
debeat, quô optatum retineat ſitum.
D*ATVM*. Iugum libræ A B C D liberum neque impeditum, ad horizon-
tis paralleliſmum perpetuò redeat, cujus tranſverſi axis acies ſit E.
Q*VAESITVM*. Pondus inveniendum quod lanci D impoſitum librile in
dato ſitu retineat.
128[Figure 128]
8787DE S*TATICÆ PRAXI*.
CONSTRVCTIO
Remotis lancibus, uncis, & agina tantum librilis cum examine gravitatis
diametrum illam, per 1 prop. hujus lib. inveſtigato, quæ aciei axis tranſverſi E
æquidiſtet, ſitq́ue F, deinde jugi & uncorum confinia connectito recta G H,
ejusq́ue medium ſit F, hinc ſecato F I ratione quam gravitas librilis cum exa-
mine puta 1 ℔ habetad lances, uncos, & funes è quibus dependent quæ item
1 ℔ ponderent, biſecta igitur F I in K, ipſum K erit punctum unde libra ſuſpen-
ſa quamcunque dederis theſin retinebit, tum jungito K G, hanc pendula dia-
metro E L per E ducta interſeces in M. Ajo, pondus illud cujus ratio ad 2 ℔
(etenim 1 ℔ pro jugo altera pro lancibus additæ 2 ℔ valent) eadem ſit, quæ
M K ad M G, lanci D impoſitum, libram tali ſitu retinere. Dicis gratia fue-
rit M K pars quinta & vigeſima radii M G, etiam {1/23} duarum ℔ efficiet ne li-
bra ab iſta theſi recedat, cujus cauſa è 12 propoſ. 1 lib. evidens eſt; attamen
majoris perſpicuitatis ergô paucula hic in medium afferemus.
DEMONSTRATIO.
Siquidem K centrum gravitatis ſit dati, etiam perpendicularis per K edu-
cta erit ejuſdem gravitatis diameter, ſed perpendicularis per G eſt item ponde-
ris in lancem injecti diameter, ideoq́ue K G ipſorum jugum, quod in M pun-
cto ita partiti ſumus, ut ratio ſegmentorum M G, M K ea ſit quæ ponderum
reciprocè quare perpendicularis per M demiſſâ, erit utriuſque communis gra-
vitatis diameter ſeu anſa, atqueideo librile iſtum ſervabit ſitum.
C*ONCLVSIO*. Itaque data libra cujus librile horizonti æquidiſtet, pon-
dus invenimus quod alteræ lanci impoſitum ipſum librile in optata theſi con-
ſervet. Quod facere oportebat.
4 PROPOSITIO.
Dato librili quod lancibus appenſis horizonti æquidi-
ſtet, ſine quibus aciei axis tranſverſi inniti non poſsit; lan-
ces invenire ut ipſum librile datum retineat ſitum.
Experientia edocemur nonnulla librilia aciei axis tranſverſi inhærere non
poſſe, ſed declinare, additis autem lancibus rectè inniti, cujus rei cauſa pragma-
ticè nobis inveſtiganda eſt.
D*ATVM*. Librile A B cujuſmodi propoſitio depoſcit, axis tranſverſi
acies C. Q*VAESITVM*. Geminas lances (ſuis uncis & funibus perfectas in-
telligito) ejus ponderis invenire, quæ jugum eo quem dederis ſitu conſervent.
CONSTRVCTIO.
Etjugi, & examinis gravitatis diametrum, aciei tranſverſi axis C parallelam
per 1 propoſ. inquirito, hæc eſto D, ſupra ipſam C, nam neque in C necin-
tra cadet, ſiquidem ex hypotheſi librile in C quieſcere nequit, atque adeò mul-
tò minus inſra C. tum confinia uncorum & jugi connectar recta E F, videli-
cet infra C, ſecus enim ſi vel in C vel ſupra caderet, nullæ lances quantum-
cunque graves jugi datum ſitum aut ad horizontem æquidiſtantiam tueri poſ-
ſent, deinde G biſecet E F & jungatur recta D C G, & fiat ut C G, ad C D,
ſic librile ad quæſitarum lancium gravitatem, dicis gratia ſi C D æquetur C
88883 L*IBER* S*TATICÆ* etiam pondus lancium librilis ponderi æquale fuerit. Cujus demonſtrationem
129[Figure 129] mathematicam 10 propoſ. 1 lib. exhibuimus, attamen majoris evidentiæ gra-
tiâ, nonnulla huc afferemus.
DEMONSTRATIO.
Perpendicularis per D eſt librilis gravitatis diameter, & quæ per G educitur
eſt diameter lancium, ideoq́ue G D jugum fuerit. ſed ut radius C D, ad C G,
ſic pondera ſe habent reciprocè; quare ex C datam quamcunque theſin reti-
nebit C*ONCLVSIO*. Itaque. Librilis quæ appenſis lancibus horizonti æqui-
diſtat, abſque his vero ab axis tranſverſi acie declinat, lancium gravitatem in-
venimus, quibus librile in dato ſitu permaneat. Quod erat faciendum.
NOTA.
Ex quibus evidens eſt ſi lances gravitatem iſtam pauxillo ſuperent, vel utræq;
æquali pondere augeantur, librile in dato ſitu non perſiſtere, ſed duntaxat ho-
rizonti æquidiſtare. Quamobrem iſtiuſmodi libra non fuerit omnibus nume-
ris perfectiffima.
8989DE S*TATICÆ PRAXI.*
5 PROPOSITIO.
Stateram perfectiſsimam fabricari.
CONSTRVCTIO.
Scapi cujuſdam ſolidi ſummum latus A B continuetur in C, ſitq́ue acies
tranſverſorum axium D, E, in rectâ B C, & quidem acies D deorſum E verò
ſurſum vergat; deinde tantum materiæ præponderantis è ſcapo, B C verſum
auferto, donec ex agina F ſuſpenſus æquamentum nanciſcatur, ut tamen acies
tranſverſi axis D (dempta agina F) diameter ſit gravitatis ſcapi A C. Quibus
conſtitutis, ſcapoq́ue ex agina F ſuſpenſo, quemcunque dederis ſitum (dum
tranſverſus axis D aciei ſuæ incumbet) perpetuò ſervabit. Conſiderandum
deinde pondus unci H, & G æquipondii per ſcapum mobilis, & G quidem
libram, H unciam id eſt ipſius G ſextamdecimam partem valeat; ſignato dein-
de I ut interſtitium inter ipſum & aciem tranſverſi axis D interjectum {1/6} rectæ
D E obtineat, atque idem intervallum D E inter utroſque tranſverſos axes in-
termedium, initio ab I facto verſus A toties iterabis quoties commode de-
130[Figure 130] ſcribi poſſe animadvertes, ut in punctis K, L, M, N, O, P, Q, R, quæ ſingula
rurſum in tot æquales particulas ſubdividantur, quot ipſorum longitudo per-
mittet, duas, quatuor, octo ſedecim, atque ſtateræ fabrica fuerit perfecta.
Attamen ſi tanta accuratio nimium afferat laboris, huc tamen (ut 2 propoſ.
monuimus) quam poterit fieri accuratiſſime omnia referantur, atque aciem
axis tranſverſi D potius pauxillum ſupra rectam A C attollito quàm deprimas.
Vſus verò hujuſmodi eſt, ſi σφαίρωμαa G ex O & pondus huic ſitu æquili-
bre ex unico H dependeat, iſtud ipſum fuerit 5 librarum, ſi præterea unaquæq;
rectarum I K, K L, L M, in ſedecim particulas tributa eſſet quælibet particula
unciam adderet. Exemplũ tale eſto, æquipondiũ G quintam partem PQ rectæ
obtineto, tum pondus H 6 ℔ & 5 unciarũ erit atq; ita in cęteris. C um igitur ſta-
tera hæc (ſi pondus mobile altera parte depreſſa haud deorſum prolabi fingas)
qualibet gravitate ſitu æquiponderante quemcunque dederisſitum conſervet,
ob cauſas antecedente propoſitione de perfectiſſimæ libræ fabrica, expoſitas;
etiam hæc ſtatera fuerit perfectiſlima. Demonſtratio verò è 2 propoſ. 1 lib. evi-
dens eſt. C*ONCLVSIO*. Stateram itaque, ut decuit, perfectiſſimam con-
ſtruximus.
90903 L*IBER* S*TATICÆ*
6 PROPOSITIO.
Libram obliquam fabricari.
Quia pondera non perpetuò recta ſurſum aut deorſum, ſed in latus non-
nunquam & obliquè moventur, cujus varia exempla, partim in antecedentibus
partim in conſequentibus exhibentur, quæque ideo libram non vulgarem il-
lam ſed peculiarem depoſcunt quam obliquam propterea dicimus, cuju præ-
cipuus ſeopus eſt, ut uſus & experientia rationem proportionemq́; hujuſmodi
ponderum 1 lib. theorematicè propoſitam deinceps comprobet, ac fidem fa-
cíat, quo minus dubii ſimus & certius iis fidem habere peſſimus quæ ad huma-
ni generis utilitatem hinc derivantur.
CONSTRVCTIO.
Fiat baſis ſive ſuſtentamentum A cui inſerta regula B crebris locis perfore-
tur, hinc orbiculus C ambitu cavo ut ducta-
131[Figure 131] rium funem recipiat, pér cujus centrum indu-
ctus axiculus D cardinibus ſuis in tigno ex-
cavato verſetur, qui tylo E foraminibus regu-
læ B pro voto altius aut humiliusvé inſertari
poſſit; orbiculus vero & axiculus ipſi infixus ne
craſſi ſed quam tenuiſſimi ſunto, ne ambitus
orbiculi uſquã ſedem ſuam ſtringat, ſed ſpatiũ
axiculi inter orbiculum & ſedem interjectum
paulò craſſius ſit cardinibus circa quos cõver-
titur: Ipſe privato uſui orbiculum è buxo de-
formandum dedi ſemidiametro digitorum
quinque cujus ſpiſſitudo tenuiſsimi cultri ter-
gum non excedebat, axiculum autem ſolido
elephanto tornatili opere effectum craſsitie
acus, id eſt, quam potuit torno confieri te-
nuiſsimus.
7 PROPOSITIO.
Vectium rationem & formas inquirere.
Poſtquam longioribus palangis, vectibusq́ue vim & effectum majorem, con-
tra verò brevioribus minorem efficientiam ineſſe vulgò animadverſum fuit di-
verſæ machinæ & diverſa inſtrumenta molitionibus variis utilia efformari coe-
pta ſunt; quia verò ſolo uſu magiſtro confirmante experientia, cauſis tamen, ut
ratione & proportione, ignotis expedita ſunt; ideò majores & novæ machina-
tiones pari ſucceſſu caruere, magno autorum incommodo, arque adeò infe-
lici eventu. Quamobrem ut ante quanta vectium in perfecto opere potentia
ſit perſpici comodè poſſit, etiam præter mathematicas 1 libri ratioaes, mecha-
nicè ſeu pragmaticè paucis exemplis eadem confirmare ſtatui. Principiò quia
naves minori detrimento longioribus vectibus per aggeres tran ſverſos pertra-
hi nonnullis placuit quàm vel ſuculis vel ergatis, quæ uſurpantur, hoc ipſum
plenius paulo ſcrutabimur ut quid hinc ſequatur planum ſit, iſto qui ſequitur
modo.
9191*DE* S*TATICÆ PRAXI.*
1 Exemplum@.
Eſto agger A, B C ſuſtentamentum ligneum, cui D navis pondere 24000 ℔
inſideat (quomodo aute@@ navis oneratæ gravitas in aquis inveniatur in hydro-
ſtatica dicetur) hujus medium E, medio aggeris A incumbat ſitq́ue B F ſcapus
& ab altera parte ei æqualis C G, jam navi remota ſegmenta F E, E G ſuntæ-
quipondia, quamobrem utnavis aggerem trajiciat, ſcapus ex F deprimendus
velex G ſublevandus erit, velutræque vires conjungendæ, fitq́ue H I navis
gravitatis diameter, & F E ſextupla ipſius E H, unde concludendum quanta
potentia vel ex F vel ex G navi ſit æquilibris.
132[Figure 132]
CONSTRVCTIO.
Cùm F G ſit librilis inſtar cujus firmitudinis punctum E, & H I gravitatis
diameter, F E autem ſextupla ipſius E H, navis ſextupla erit ponderis ſibi ex F
puncto æquipondii, ſed ex hypotheſi navis librarum eſt 24000, itaque pondus
ab F dependens 4000 ℔, & 25 homines ſinguli 160 ℔ pendentes ex F navi æ-
quepõderabunt, atque id quidem hoc ſitu, verum ſi K navis ſtatuatur centrum,
& E G attollatur, ab F minore quam 4000 ℔ pondere opus erit, nam ex K
perpendicularis, in planum E C horizonti parallelum, demiſlà gravitatis erit
diameter & ipſi E vicinior, eſto igitur E F ſeptupla ſegminis E L, quare
3428 {4/5} ℔ pondus ab F ſuſpenſum iſtic ſitus æquilibritatem vindicabit.
NOTATO.
Exemplum hoc quidem nobis expoſitum eſt, unde machinationis exemplar
ad imitandum derivari queat, conſiderandum tamen ſcapum E F ſextuplum
ipſius E H nobis ſumi, qui ſanè longitudine ampla & craſſitudine ſymmetra
fabricandus foret: non tamen exiſtimo in majoribus navigiis (aliarum machi-
narum ratione habita) perinde felici eventu uſurpari, licet in minoribus moli-
tio hæcforſan uſui fuerit. Et quamvis ſuculæ ergatævèad terminos F, G con-
ſtitutæ non parum ſubſidii huic machinationi attulerint, nunc tamen hic per
numeros expoluiſſe ſatis eſſe duxi, aliam commodiorem rationem 10 propoſ.
demonſtraturus.
2 Exemplum@.
Antecedente paradigmate exhibui rationem ſcaporum cum pondere tum
etiam longitudine æqualium inæquales deinceps ſuecedunt.
D*ATVM. * Sunto ſcapi ABC, ABD, ſubnixi hypomochlio E ſecundum
rectam A B, quam axis totius vectis ABCD ponderantis 400 ℔ interſecet
in F, hujus gravitatis centrum ſit G, (& quamvis planum diametrale ex
92923 L*IBER* S*TATICÆ* pendicularetam hoc quam ſequentibus 3 & 4 exemplis in opere ſufficiat, atta-
men quò evidentius ſit centrum ipſum ſumpſimus) tumq́ue ſegmento ABD
incumbat pondus H 2000 ℔ cujus gravitatis diameter IK eſto ut K termi-
netur in axe C D; quæritur potentia quæ ex C, attollat datum pondus H.
CONSTRVCTIO.
Oneris H & machinæ D A C B ſimulutriuſque gravitatis centrum inve-
nies, diviſa K G in L, ut ſegmentorum G L, L K ratio ſit eadem quæ 2000 ℔
ad 400 ℔, hoc eſt, 5 ad 1, perpendicularis per L educta eſt gravitatis diameter;
præterea F C dicis gratia duodecupla aſſumatur ipſius F L, unde concludo, ut
FC 12 ad FL 1, ſic 2400 ℔ videlicet vectis & oneris conjunctum pondus, ad
200 ℔ quæ ex C ſuſpenſæ iſtis æquipondiæ forent iſtoc duntaxat ſitu, poſito
133[Figure 133] enim M centro gravitatis H, & aſſurgente ſegmento A B D, non opus erit
200 ℔ pondere, cujus illuſtrandi gratia perpendicularis N O per centrum M
plano A B D horizonti parallelo terminetur in O, tributa igitur O G in P ut
P G itidem quintupla ſit reliqui P O, atque eo ſitu perpendicularis per P edu-
cta totius ponderis erit pendula gravitatis diameter, eſto autem F C q́uintupla
rectæ F P, unde concludes, ut F C 15 ad F P 1, ſic 2400 ℔ ad 160 ℔ quæ tunc
ſitus æquiponderantiam tuebuntur.
3 Exemplum.
Verumenimverò quia haſtarum ſimiliumve ſcaporum humeris geſtatorum
ratio antecedenti exemplo non ſit admodum adſimilis, hanc ipſam tertio para-
digmate perſequemur.
D*ATVM. * Palangrarius humero B geſtet haſtile librarum 12, cujus axis ſit
C D, centrum gravitatis E, atque ab haſtilis & humeri contactu acta B F ho-
rizonti perpendicularis ſecet axem DC in G, manus haſtile rectà deprimens
ſtatuitior in puncto axis H, ſitq́ue G H dupla G E.
Q*VAESITVM. * Quanta potentia manus ſit inquirere.
CONSTRVCTIO.
Quandoquidem G H dupla eſt ſegmenti G E, etiam pondus ab E, quod
eſt haſtilis univerſi duplum erit ejus quod ad H collocatur, videlicet manus;
9393*DE* S*TATICÆ PRAXI.* haſtile eſt 12 ℔, itaque manus
potĕtia tanta erit quanta pon-
134[Figure 134] dus 6 ℔ ab H dependentium.
Sed ſi ab haſtili ex K depen-
deat jucundum raptori præ-
mium gallus I 3 ℔ ut K G
ipſius G H ſit tripla palam eſt
prædam 9 ℔ pondus adjicere,
atque univerſim manus po-
tentiam 15 ℔ præmere.
Verùm hæc manu recta
deorſum premente intelligan-
tur, atqui ſi in obliquum duca-
tur, quæ ratio erit rectà deſcĕ-
dentis ad deſcendentem obliquè, ea erit per 21 propoſ. I lib. ſtatices ponde-
ris recti deſcendentis ad deſcendens obliquè, unde reliqua per ejuſdem lib.
propoſ. 22. perſpiciuntur.
4 Exemplum.
Hactenus quidem affectiones expoſitæ nobis ſunt, ubi utrimque à ſirmitu-
dinis puncto ſcapi extenduntur. ſequitur unicum unici ſcapi exemplum.
D*ATVM. * A B axis eſto ſcapi 10 pedes longi pondere 400 ℔, fixi termino
A cætera verò mobilis, cui pondus 1000 ℔ infideat & ſcapi quidem ſeu vectis
gravitatis diameter ſit C D, ponderis vero F G. Quæritur quantis viribus ad
B, pondus E commoveatur.
135[Figure 135]
CONSTRVCTIO.
Inveſtigato conjunctim utriuſque gravitatis diametrum, jugo G D quæ
connectit diametros E G, C D ita diviſo in H, ut ſegmentorum H G, H D
ratio ſit quæ vectis 400 ℔ ad onus F 1000 ℔ ſeu quod idem ſit ratione ſubdu-
pla-ſubſeſquialtera, Si v. g. A H aſſumatur pedum 2, concludes ut A B 10 pe-
des ad A H 2, ſic onus ponderis & vectis 1400 ℔, ad 280 ℔ potentiam videlicet
quaad B opus ſit ut cæteris vi æquipolleat, hoc eſt quaſi 280 ℔ attollendæ fo-
rent, cujus demonſtratio è 14 propoſ. 1 lib. Statices manifeſta eſt.
Verumenimverò ſi Staticus ſimpliciſſima cauſæ cognitione computum in-
ſtituere malit, Iſorropica diagrammata ſibi effingat, ut Geometra ad juvandam
memoriam geometrica depingit. Sit igitur IK vice vectis decempedalis A B,
hinc I L referat bipedalem rectam A H & loco H quod centrum gravitatis
notat, hic erit L, unde M 1400 ℔ dependent: deinde ab 1, quod firmitudinis
punctum intelligitor, deſcribatur I N æqualis priori IK, & quantum
94943 L*IBER* S*TATICÆ* ipſi M æquipondium hinc ſuſpendi opus ſit per 3 propoſ. I lib. inquirito, hoc
modo, cum I L ſubquintupla ſit rectæ IN,
136[Figure 136] quinta pars ponderis M 1400 ℔ ex N pun-
cto, ſcilicet O 280 ℔, priori æquipondia
concludetur, ſed ponderis O ab N deſcen-
dentis per 13 propoſ. I lib. Statices tanta po-
tentia eſt, quanta ejuſdem ad K attollentis,
I K enim & I N ex hypotheſi æquantur.
Quamobrem vis qua K attollitur, tollet
pondus 280 ℔ in vecte ad punctum B. Si-
milibus diagrammatis Staticus mechanicorum paradigmatum, quæ brevitatis
ſtudio in hæc paucula contraximus, cauſas inquiret.
8 PROPOSITIO.
Ponderum geſtatorum formas & rationes inquirere.
D*ATVM. * Exponantur ſcalæ A B quarum extrema, ut ferè ſolent, diſpari
ſintgravitate, cujus onus duobus palangariis æquali pondere partiendum, ut
axis C D horizonti parallelus perpetuò maneat.
CONSTRVCTIO.
Scalas in acie aliqua huc illuc verſato donec partium æquamentum invene-
ris in E, & ſi crebrò alio transferendę ſint notam iſtic incidito, deinde perpen-
dicularis ab E ducta occurrat axi C D in F, denique ſignato duo puncta G, H,
æquidiſtanter ab E F, ajo hic in G iſtic in Hæquale pondus à palangariis ſu-
ſtineri.
137[Figure 137]
Sin autem alterum alterius duplum perferre opus ſit, unius ab E F diſtantia
reliqui fiat dupla ut A E ipſius E I; atque is qui ad I duplo pondere premetur
reſpectu ejus qui ad H. Simili via onera diſtribuentur palangariis pro ratio-
ne data.
QV *Æ* ſcalarum ſpeciali exemplo oſtendimus, de quolibet ſolido corpore
intelligas, ut in diagrammatis ſubjectis perſpicitur; memineris autem li-
neas planorum quę per perinordinatorum corporum gravitatis centrum ducuntur
in ipſorum ſuperficie per I prop. deſignari; perpendiculares item per G, H actas
ipſi E F parallelas eſſe.
9595*DE* S*TATICÆ PRAXI.* 138[Figure 138]
ATque axe quidem C D ad horizontem parallelo ratio hujuſmodi fuit,
at qui eo ad horiz ontem obliquo ut in adſcenſu montis ponderoſitatis ra-
tio quidem diverſa, ex antecedentibus tamen in promptu erit. I gitur in clivi
adſcenſu qui ad G præcedat, alter ad H ſubſequatur.
139[Figure 139]
96963 L*IBER* S*TATICÆ*
Perpendiculares per G, H, eductæ ſecent axem C D in K, L, hîc pondus
non tribuitur, ut ante, æquis partibus, namque F K in duobus primis diagram-
matis major eſt quam F L, in reliquis verò minor, ſed ut F K ad F L ſic pon-
dus palangarii H, ad palangarium ſeu vectiarium G. Vnde evidens eſt ſi firmi-
tudinis puncta G, H ſub axe C D conſtituantur antecedentem minus premi,
ſin verò ſupraſit, ſequentem leviore pondere urgeri. Denique ſi firmitudinis
puncta in ipſo axe C D figantur ponde-
ris varietatem, neque in clivo neque in
140[Figure 140] planitie ullam eſſe. Quarum demonſtra-
tiones è 14, 15, 16, 17, 18, 27, 28 propoſ.
1 lib. repetantur.
Veruntamen cum multorum inſti-
tutum non patiatur iſtas cognoſcere,
qui nihilominus id optant mechani-
ca ratione edoceri, ii ſumant baculum
quomodocunque incurvum A B, quod
funiculo C D ſuſpendant ex C. De-
miſſis deinde à C D æquali diſtantia
duobus perpendiculis G H, I K, ut H L,
LK ęquales ſint, baculum eandem ſerva-
bit theſin; idem erit ſi ſpatium N L di-
midium quidem ſit ipſius L K, pondus
verò M ponderis F duplum, atque ita
deinceps in cæteris. Qua via experientia
comprobante, quæ ſupta nobis expoſi-
ta ſunt facillimè intelligentur.
REctas quibus in ſuperioribus dia-
grammatis corpora geſtari finxi-
141[Figure 141] mus, horizonti perpendiculares collo-
cavimus; ſi vero obliquę ſumantur plus
virium deſiderabitur quam ſit corporis
ipſius gravitas, quantum verò unuſ-
quiſq; ferat ductis perpendicularibus
I M, N O, evidens erit, namque per
27 propoſ. 1 lib. ut M I ad I G ſic pon-
dus rectà ſublatum ad idem ſublatum
obliquè hoc eſt potentiam hominis in
G; conſimili modo ut O N ad N H,
ſic ejus pondus cum rectà attollitur ad
idem obliquatum quæ efficientia eſt palangarii ad H, unde ſingulorum effe-
ctus per 22 propoſ. 1 lib. concludetur.
A pluribus & magis variis geſtatorum ponderum paradigmatis cum brevi-
tatis ſtudio ſuperſedemus, tum quia ex antecedentibus lucem & demonſtra-
tionem accipiunt compendi facimus.
9797DE S*TATICÆ* PRAXI.
9 PROPOSITIO.
Axium in peritrochio & tractorum ponderum rationes
inquirere.
Pondus movens & motum ſemidiametris tympani & axis proportionales
ſunt, unde majoris evidentiæ gratia, theorema tale inſtituimus.
THEOREMA.
Si & ab axe & ab extremâ tympani ſemidiametro horizonti par allelâ.
ponder a ſitu æquipondia dependeant, hæc erunt ſemidiametris reciproce pro-
portionalia.
D*ATVM. * Eſto tympanum A B C D E F G, quod verſetur circa axem
E F G cujus diameter E F, centrum H, pondus I ab axe dependeat, A B C D
ſit ipſa rota ſeu tympanum, cujus ſemidiameter horizonti parallela A C, & à
termino A pondus K dependeat ſitu æquipondium ipſi I; L autem axis &
ſuſtentaculi ſui infimus contactus. Q*VAESITVM. * Demonſtrato, H A, H F,
& I, K, in eadem analogia eſſe.
DEMONSTRATIO.
Enimverò tympanum A B C D librilis iſtar eſto, cujus anſa L B, ut ſublatis
ponderibus K, I, partes tympa-
142[Figure 142] ni B D A, B D C ſint æquili-
bres. Siigitur pondus I ab F de-
pendere fingas, quia hic tantæ
eſt potentiæ quantæ ſuo loco, K
autem è loco ſuo A, per 1 prop.
1 lib. eadem ratio erit radii lon-
gioris H A, ad breviorem H F,
quæ ponderis majoris I ad mi-
nus K. Quamobrem ſi H A ſex-
tuplus ſit ipſius H F, etiam I
ſextuplum fuerit ipſius K, ut ſi
I ponatur 600 librarum, K erit
100, ideo q́ue potentia hominis
ad A æquivalens 100 libris, ſitu
æquipondia foret 600 libris ad
I, & quo attolli poſſit (propter
impedimenta contactus axis & ſuſtentaculi C) paulo potentius quam 100 ℔
agat neceſſe erit.
2 Exemplum.
Hinc tympanorum qui Græcis γέζανθι ſimiliumq́ue rotarum ratio, quæ à
calcantibus hominibus verſantur, manifeſta eſt. Exponatur enim tympanum
A B C D, diametro A C horizonti parallela, cujus axis craſſities ad tornum
rotundati ſit E F, centrum G, pondus ab axe H; homo ad I ſitu æquilibris
ponderi H, & I K gtavitatis ejus perpendicularis in A C. Notumautem G K,
ad G F eſte, ſicut pondus H ad gravitatem hominis qui ad I, ſi igitur G K
98983 L*IBER* S*TATICÆ* drupla ſit ipſius G F etiam pondus H quadruplum erit ipſius hominis, quare
poſita gravitate hominis I librarum 150, atque H 600 ℔, eo ſitu æquiponde-
143[Figure 143]rabunt, neque H quoquam impelletur, ſed ſi ulterius tendat verſus A, etiam
H neceſſariò attolletur, quia ratio ipſius G K ad G F tum major foret quam in
theſi. Si plures tympanum calcent, vicinior ipſi A aget potentius remotiore;
atque per 3 prop. 1 lib. cum ſingulorum tum etiam univerſorum potentia con-
cludetur.
3 Exemplums.
Atqui ponderum quæ rectà attolluntur, ut ſunt onera quæcunque, ſarcinæ,
vaſa, quæ tympanorum ſubſidio è navibus eximuntur, ratio hujuſmodi eſt.
Pondera verò obliquè adſcendentia, cujus generis ſunt naves quæ in Belgio ſæ-
pe trans aggeres & aquarum obices traducuntur, rationem non paulò diver-
ſam habent. Enimverò ſit agger A, B navis trans aggerem pertrahenda, C D
tympanum, diameter C D horizonti parallela, homo navi B ſitu ἰ{σό}ῤῥοπ &
ſeu æquilibris habeat gravitatis diametrum F E, funis ductarius G H, axis ſo-
liditas I K. & centrum L: deinde eſto M N normalis aggeris clivo, horizonti
autem perpendicularis ad idem punctum N ſit N O. præterea L F ſextupla
eſt ſemidiametri L K; & N O tripla ipſius M O, pondus autem hominis tym-
panum calcantis ℔ 150. Quæ cum ita ſint, erit ut L F ad L K, ſic ex antece-
dente I heoremate pondus è fune ductario ſuſpenſum rectà deſcendens, ad
gravitatem hominis 150 ℔, L F autem ex hypotheſi ſextupla eſt ipſius L K,
quamobrem pondus è fune H G recta deſcendens ſextuplum quoque eſſet
150 ℔, quæ ſunt 900 libræ, & homo tympanum verſans tam potenter agit
quam 900 ℔ obliquâ trutinâ ſuſpenſæ. Itaque per 20 propoſ. 1 lib. pondus na-
vis B ita ſe habet ad 900 ℔, ut N O ad O M, ſed N O tripla eſt ipſius O
9999DE S*TATICÆ PRAXI.*144[Figure 144] ex theſi, itaque navis eſt tripla 900 ℔, hoc eſt pendet 2700 ℔, cujus ratio ad gra-
vitatem hominis verſantis eſt octupla. Atque hoc-quidem tali ſitu, ſed ſi navis
promoveatur & ſurſum attollatur, ductarius funis eò adſcendet rectius (niſi for-
tè alibi in navi firmetur) & conſequenter recta M O ad N O majorem habue-
rit rationem, & propterea ſitus æquamentum paulò majus foret quam 900 ℔.
Qui igitur & axem & tympanum juſtæ quantitatis fabricari cupiet, quod nec
mole ſua excedat, aut exilitate deficiat, rationem inibit ſitus, quo navis graviſ-
ſima cum erit, maxima potentia opus habebit.
Advertendum autem è 24 propoſ. 1 lib. hominis E potentiam, ſe tum exe-
rere maximè cum funis ductarius G H plano aggeris P N parallelus erit, tum
enim H G navis axi perpendicularis inſiſtit, hoc eſt, rectæ per navis gravitatis
centrum plano P N perpendiculari. Quamobrem quanto G H, P N rectæ
ad paralleliſmum magis accedunt, tantò faciliús, & ſi recedant difficilius ponde-
ra movebuntur.
4 Exemplum.
Indidem planum eſt, quanto majori pondere æquus curru junctus clivumq́;
adſcendens afficiatur, quam ſi eundem in planitie trahat. Exponatur enim A B
montis clivus, currus C D 2000 ℔, E F funis eſto, G equus currui hoc ſitu
æquivalens, tum H I, I K perpendiculares plano A B, & H I quadrupla ipſius
H K; his poſitis, per 20 propoſ. 1 libri erit, ut K H ad H I, ſic pondus obliquè
attollens cujus vicem equus explet, ad gravitatem currus, ſed K H quarta pars
eſt H I ex theſi; quamobrem pondus obliquè tollens foret 500 ℔ nimirum
quarta pars currus; itaque antilena pectus equi non tam præmit, quam onus
145[Figure 145] @0 ℔ dorſum, atque hoc quidem (videlicet cum promovebitur) præter im-
preſtionem iſtam quâ afficitur in campi planitie trahens.
1001003 L*IBER* S*TATICÆ*
Præterea per 24 prop. 1 lib. & per ea quæ de navi paulo ante diſſeruimus pater,
tum equorũ potĕtiam eſſe maximam cum lora currus parallela erunt viæ æqua-
bili videlicet & duræ, nam in aſperis, inæqualibus, & arenoſis ſatius eſt lora po-
nè paulò inferiora eſſe quam ante. Quod Batavicis ciſiariis experientia eruditis
uſitatũ eſt, qui currubus ita aptatis lora cum per littus maris aut per alias planas
duraſq́ue vias vehuntur ponealtius firmant quàm in aſperis arenoſisq́ue, hic
enim quamvis horizonti parallela ſint ſalebris tamen non ſunt, quod in pertra-
hendo ponderoſius & difficilius eſt quam ſi poſtilenæ pone humiliores fo-
rent quiatum ad ſalebrarum paralleliſmum propius accedunt. In locis areno-
ſis ubi currus altius arenæ inſidet, etiam rotæ deſcendunt, ac propterea quoq;
ſilora horizonti parallela ſint plus negotii faceſſunt quam ſi pone depreſſiora
fuerint.
NOTA.
Objiciat autem quis primò, Cur dixerimus H K eſſe ad H I, ſicut pondus libræ
obliquæ ſi quâ hîc eſſet (cujus vicem equus ſubit) ad currus gravitatem; Fortean ratus
im proprie uſurpari gravitatem currus pro pondere rectâ attollĕte gravitatem currus.
Secundò cur funis E F nul-
146[Figure 146] lam ſitus differentiam annota-
verim, qui per currus gravitatis
centrum trajectus equum fortè
leviore aut ponderoſiore gra-
vitate afficiat, quam ſi vel ſupra
id vel infra meet. His igitur ra-
tionibus quî commodè occurri
poſſit, & ſimul {νρ}αμμιχῶς evin-
ci proportionem expoſitam eſſe
legittimam, A B C currus eſto
è mathematicis lineis efforma-
tus & quaſi μουό{νρ}αμμ& , rotæ
D, E, via cui inſiſtit F G, de-
nique funis ductarius libræ obliquè attollentis poſt paulò exprim endæ ſit A H.
HVic currui μουο{νρ}ἀμμω& imponito priſima I K, quale in ſubjecta figurâ vi-
dere licet, ut A H continuatus, occurrat priſmatis centro L: Eſto item
147[Figure 147] abliquè attollens pondus M priſmati ſitu æquilibre; centroq́ue L
101101*DE STATICÆ PRAXI.* aliud pondus N rectâ attollens priſmati expoſito ſitu quoque æquipondium;
horizonti autem perpendicularis B O rectam A H interſecet in O: quæ cum
ita ſint, Ajo per 20 propoſ. 1 lib. A O, O B ponderibus M, N, proportionales
eſſe, ſed quia N connexum eſt cum L expoſiti priſmatis I K gravitatis centro,
ipſum N per 14 propoſ 1 lib. priſmati erit æquipondium, unde efficitur A O
eſſe ad O B, ſicut M ad priſma I K. Atqueita primæ objectioni occurrimus ſi
A H ductarius funis per L gravitatis centrum tranſeat.
Secundæ objectioni autem
148[Figure 148] cum AH infra ſuprave centrum
L conſiſtet hoc modo obviam
imus. Priſma I K pendulæ ſuæ
gravitatis diametro L P innixũ
recta ſurſum tollitor. jam per 3
poſtulatum ipſum currui A B C
non eſt majori pondere onero
ſum quam fuerat in priore ſitu,
atque ideo non erit opus ut M
nunc potentius agat quam ante;
ſed H A continuatus meat ſub
centro L, quamobrem M idem
pondus ducit quod ante, cum
H A ad ipſum gravitatis cen-
trum pertineret. Demonſtratio huicaffinis erit quando AH continuatus ſupra
gravitatis centrum L meabit, boc eſt, cum priſma IK recta deorſum ſub curru
trahetur. Quamobrem utramque iſtam {απο}ρίαυ rationibus mathematicis ex-
plicavimus.
10 PROPOSITIO.
Infinitæ potentiæ formas & accidentia exponere.
Variæ machinæ humano ingenio ad effectiones mechanicas excogitantur,
quarũ potentia infinite augeri poſſit unde & nomen ſortitas infinitas potentias
appellant, quarũ hic ſcopus eſt, videlicet quę potĕtia effectrix dato inſtrumento,
æquivalens ſit põderi mobili. Vel quanto tempore pondus ad datum interval-
lum promoveatur atq; his conſimilia; huic negotio exprimam inſtrumentum
ſimpliciſſimũ quidem quantũ res ipſa feret, quo tamen commodiſſimè inſtitu-
tum meum explicem, ubi ante de machina Archimedis infinitæ potentiæ, cujus
Plutarchus aliiq́ meminerunt, pauca retulero. Cum enim Hiero Siciliæ Tyran-
nus navem immenſæ magnitudinis, formaq́ue in ſpeciem perquam eleganti,
cõſtruxiſſet uteam Ptolomæo Æ gypti Regi dono mitteret; Hanc univerſæ Sira-
cuſæ ſummo conamine è littore in altum deducere nequibant; ſed poſtquam
Archimedes inſtrumenta machinaſq́ue admoviſſet Rex Hiero ſola manu navem
impulit. Machina autem hæc Archimedea Charistion dicta, (cujus formam &
deſcriptionem in Regia Bibliotheca inventam Iacobus Beſſonius publicavit) axes
habebat cum infinitis cochleis, inventum ſane dignum quod ad poſteritatem
tranſmittatur, cujus deſcriptio quia præſenti inſtituto aſſidet, huic loco conve-
niret, in ipſi ſubſtituerem infinitam hanc potentiam, quâ communis cæterarum
ſimilium infinitæ potentiæ machinarum affectio commodiffime explicabitur,
quæque, ut mihi quidem videtur, iſti operi ſit aptior. Cum ſit materiâ
102102*3 LIBER STATICÆ*folidioreq̀ue & impenſis minoribus parabilis, quâque eodem temporis ſpatio
plus efficiatur, potentiæ tamen infinitæ conſimiliter ipſi chariſtio.
Sumito trabem A B ſoliditate & magnitudine operi inſtituto & effectioni-
bus mechanicis congruente; efformato deinde tympanum ferreum C per am-
bitum dentatum, cujus diameter ſit dicis gratiâ, digitorum trium, inque ambi-
tu dentes ſex, per centrum tranſidetur axis ferreus CD ad rerminos C & D
quadrangulus, ſcapus autem intermedius rotondus eſto; hinc tympana E v. g.
dentibus 18, F dentibus ſex traji-
149[Figure 149] ciantur eodem axe EF qui ſimilis
ſit antecedenti CD, terminis vi-
delicet quadrangulis teretem ſca-
pum claudentibus. huic EF effin-
gantur ſimiles axes GH, IK, ut
tympana G, K, ambiantur denti-
bus ſex, H, I, 18. Et quia tympana
ſuperiora plus ponderis ſuſtine-
bunt, ut poſtea intelligetur, etiam
firmiora majoraq́; deformantor,
atque ideo cum axes ordinabun-
tur paralleli H quidem mordicus
implicabitur ipſi F, diſtabit autem
à tympano K, item G implicabi-
tur tympano I non autem tym-
pano E, quod ipſum partiũ diſpo-
ſitio quo que poſtulabat.
Fiat deinde manubriũ L M N,
cavo quadrangulo cui quadran-
gula axium capitula D, F, H, K
exactè congruant, ſitq́ue flexura
M L pedem longa, ſchapus autem
M N fiat longitudine mox paulò infra definien-
150[Figure 150] dâ. Denique in trabe A B tranſverſim quatuor
foramina terebrĕtur eâdem inter ſe diſtantia qua
axes, ut tympanorum dentes commodè inter ſe
implicati & mutuo ſeſe impellere poſſint, cujuſ-
modihic ſunt O, P, Q, R quibus axes IK, GH,
EF, CD inſerti congruant, axium autem ſcapi,
teretes inter duos tympanos intermedii longitu-
dine ſuâ trabis craſſitiem æquent; quadrati autĕ
iſti axium termini K, H, F, D, tres aut ſum-
mum quatuor digitos extra tympanos promi-
neant. His ita deformatis detracto tympano I
axem I K inſerito in foramen O, ſimiliter GH
in P, EF in Q, CD in R, affigantur deinde
cuique axi ſua tympana, dentesq́ue tympani F
in fronte mordicus impliciti dentibus H ipſum
impellant; ſimiliter in tergo ut C impellat tym-
panum E, & G ipſum I, formaq́ue perfecti Pan-
cratii (ſic enim inſtrumentum hoc à ſuâ
103103*DE STATICÆ PRAXI.* tia appellare liceat) erit qualem in ſubjectâ figurà expreſſimus.
Exemplum verò hoc quod quatuor duntaxat axibus effinximus augeri mi-
nuive, & ratio dentium 18 majoris tympani quæ minori comparata tripla eſt,
ad libitum item mutari poterit pro modo mechanicis effectionibus quibus
Pancration iſtud deformabis congruente.
DE VSV ALIISQVE PANCRATIO
ACCIDENTIBVS.
PAncratii noſtri uſum unico duntaxat exemplo quod cæteris facem prælu-
ceat, reddemus illuſtriorem; videlicet quâ ratione ipſo in ſuculam transfor-
mato ejus adjumento naves trans aggeres ſeptaq́ue ſeu aquarum obices tradu-
cantur; neque enim hinc parum utilitatis ad regiones has, præcipuè verò Hol-
landos redundabit. Eſto igitur Pancration A B, tympana dentata K, H, F in
fronte trabis; I, G, E, C in tergo, L M N manubrium ſeu ut Pappus in me-
chanicis loquitur λάβη, axis autem cui funis ductarius obvolvitur S craſſitie
ſeſquipedali per trabem trajectus emineat capitulo quadrato cui affigatur den-
151[Figure 151] tatum tympanum T, diametri bipedalis per ambitum 36 dentibus diſtinctus,
arque aſteriſcus hic minimum tam amplus formandus axe S ne rotatus ejus ab
I tympano impediatur. Deniq; ſummitas aggeris V iuperet imam carinam na-
vis X aquę innatantis pedibus quatuor, hoc eſt, ut perpendicularis à ſummo
aggere demiſſa in planum horizonti parallelum per imam carinam actum, ſit
pedum quatuor. Iam ut navis trans aggerem traducatur circumducito manu-
brium LMN, oportebit igitur ſcapum MN tantâ longitudine conſtrui ut
omnes quorum opera opus erit commodè hinc inde conſiſtant.
104104*3 LIBER STATICÆ*
RATIO VERSATIONVM MANVBRII
AD AXEM.
QVia manubrum L M N ter rotatum ſemel circumagit tympanum F, at no-
vies ſemel in orbem aget H, & 27 tympanum K, hinc 162 circumductum
convertet ipſum T hoc eſt axem S. Eodemq́ue modo manubrium L M N
affixum ad F id tympanum 54 circumducendum erit ut axis S ſemel converta-
tur. ad H 18, K ſexies, T autem toties in orbem vertitur quoties ipſemet axis S.
Cum autem manubrium altius inſeres quam in D, verbi gratiâ in K, ne infe-
riora tympana, quæ difficultatem operi inducunt, unà convertere ſit opus, pro-
ximè inferius quod in expoſito caſu eſt G loco ſuo depelles ne dentes ejus den-
tibus I amplius implicentur, atque ita inferior machinæ pars univerſa immota
conſiſtet.
RATIO POTENTIÆ MANVBRIVM VER-
SANTIS AD PONDVS TRACTVM,
QUALE EST NAVIS X.
CVm flexura LM ex hypotheſi pedem longa, octupla ſit aſteriſci C, etiam
potentia quâ C agit in E æquivalens potentiæ impellentis manubrium
LM erit ut 8 ad I, eodemq́ue modo propter efficientiam H in F, ut 24 ad I
atque deinceps ab I in G, ut 72 ad I, denique à T in K ut 216 ad I. Sed or-
biculus T æquivalet axi S, (æquivalere dixi, reverâ enim diameter axis
S eſt ſeſquipedalis, T autem bipedalis ex hypotheſi, ſed quia dentes aſte-
riſci T ſextupli ſunt ipſius K, etiam diameter ſextuplum peterit diametri K
quæ propterea erit 3 digitorum, & quiad T digitorum 18, ſive ſeſquipedalis,
quemadmodum diameter axis S) quare pondus ab axe S rectà deſcendens
eandem habebit rationem ad pondus ſitu ſibi æquipondium, ſeu potentiam
æquivalentem in M N quam 216 ad I. Ratiocinium hoc ab axe S deſcenden-
do deorſum inire licebit, eodem modo quo ſurſum adſcendendo nunc nobis
inſtitutum fuit.
Sedidem etiam hoc pacto explicari poterit. Cum manubrum M N 162 in
orbem gyratum ſemel circumducat axem S, ut ſupra jam aſſertum eſt, & ra-
tio diametri circuli à verſura manubrii M N deſcripti ad radium axis S ſit ſeſ-
quitertia (namque LM ſcapus pedalis eſt, ſemidiameter autem axis S {3/4} pedis)
exporrecti ambitus 162 verſationum manubrii M N, ad ambitum circuli in
axe S ſe habet ut 216 ad I, atque in iſta ratione quoque ſunt ſemidiametri 216
iſtius circuli ad hujus circuli ſemidiametrum. quare per I propoſ. 1 lib. pondus
iſtius ad pondus hujus rationem habebit eandem quam 216 ad I. Vnde effici-
tur ſi M N tantâ verſetur potentiâ quanta eſt 25 librarum deſcendendo, quæ
nobis v. g. hominis viribus æſtimetur, & major ubi collibitum erit (quamvis
enim longè infra viri vires ſubſiſtat expoſita potentia, ita tamen exempli gra-
tia ſumpſiſſe placuit) iſta inquam potentia æquivalebit, 5400 libris (nam 216
ſumpta 25 hanc ſummam efficiunt) ab axerectà deorſum tendentibus. Iam ve-
rò navis X ſit ſextupla ponderis ab axe S rectà dimiſſi, itaque X navis 32400
librarum (quod pondus eſt 9 modiorum, ſi 3600 libras ſingulis modiis tribua-
mus) æquiponderabit priori ponderi ſeu quod idem eſt potentiæ manubrium
MN continuè verſantis.
105105*DE STATICÆ PRAXI.*
DE VERSATIONVM MANVBRII MVLTI-
TVDINE, ET TEMPORIS SPATIO QVEIS OPVS
EST AD NAVEM TRANS AGGEREM
PERTRAHENDVM.
SEd quand oquidem ex hypotheſi navis ſextupla ſit ponderis ab axe S ſuſpen-
ſi, etiam inclinatio aggeris quà navis adſcendit ſextupla erit altitudinis ſuæ,
quod è per 19 prop. 1 lib. cognoſcere eſt; atqui altitudinem iſtam 4 pedum ſu-
pra ſtatuimus, hæcigitur ſexies ſumpta efficit 24 pedum inclinatam longitudi-
nem. Ea longitudo axi S obvolvi debet ut navis gravitatis centrum trans agge-
ris medium traduci poſſit. Quare ſi ut ante ambitus circuli in axe triplus ſtatua-
tur ſuæ diametri (nam in expoſito caſu ratio hæc verò ſatis vicina eſt) ſeſquipe-
dalis, is eritipſe 4 {1/2} pedum, qui in dictis 24 pedibus cõtinentur 5 {1/3}. quamobrem
axis S 5 {1/3} verſandus; ſingulis autem ejus verſationibus reſpondent 162 verſatio-
nes manubrii M N, utſupra patuit, itaque in univerſum manubrium M N 864
circumducendum erit.
Vel ſie. Singulæ verſationes manubrii promovĕt 25 ℔ per intervallum 6 pe-
dum, hoc eſt, ſi pondus 5400 ℔ dependeat ab axe S ſingulæ verſationes manu-
brii MN tantundem efficiunt ac ſi 25 ℔ 6 pedes attolleret, & conſequenter
quaſi ſexies 25 ℔ navis quę ſunt 150 ℔ iſtos 6 pedes attolleret, diviſisq́; 32400 ℔
per 150 ℔ quotus erit 216, navis igitur univerſæmoles 216 verſationibus manu-
brii MN 6 pedes promovebitur, atqui quater ſenos pedes promovenda eſt,
itaque quater 216, hoc eſt 864 verſationibus opus eſt. Vel (quia navis 4 pedes
attollendaſit) proportione hujuſmodi concludere poteris. una verſatione at-
tolluntur 25 ℔ 6 pedes. quotigitur opus erit ut 32400 ℔ attollantur pedes 4-
concludes ut ante 864.
Sed millies manubrium unico unius horæ quadrante circumagi poſſe ſta-
tuimus, quamobrem ſi omnia ſupra expoſitis congruant, univerſam molem na-
vis ſarcinarumq́ue, pondere 9 modiorum, homo unicus minori quàm quadran-
tis ſpatio trans aggerem pertraxerit. Si verò à tribus hominibus verſetur manu-
briumq́ue inſertent ipſi F intra quadrantis trientem, hoc eſt, {1/12} horæ partem ab-
ſolverint. ſiab hominibus 9 manubrium ipſi H affixum circumducatur {1/16} ho-
ræ navis pertrahetur. Poterit autem ſi ſit opus Pancratium hoc geminari atque
alterum oppoſito ſcapo Y inſeri quale ipſi AB inſertum vides, atque ita ipſos
verſantes bipartiri ne tanta hominum manus mutua opera interturbentur.
NOTATO
Navem hoc exemplo nobis ita conſiderari tanquam in traductione æquali
ſemper pondere operas afficeret, cum tamen ipſum pro ſitu variari per tertium
exemplum 9 propoſ. in confeſſo ſit, ponderoſius enim moleſtiusq́ue in fine
quàm ſub initium navis adducitur. Quamobrem hoc tanquam exemplo dun-
taxat, quomodo in ſingulis ratiocinium ineundum ſit, uſos nos eſſe cogitabis.
Tympana autem iſta dentata ſeu aſtericos quos in Pancratio eadem ſerieſur-
ſum collocavimus, etiam tranſversè, etiam binos binisjunctos, prout operis
commoditas concinnitasq́ue exiget, conſtituere licebit.
106106*3 LIBER STATICÆ*
ASSERTIO EORVM QVÆ SVPRA
DEMONSTRATVROS NOS RECEPIMVS.
PAncration hoc firmius ſolidiusq́ue & impenſæ minoris quam Chariſtion
Archimedeum mihi videri initio hujus propoſitionis dixeram; quoque mi-
nori temporis ſpatio plus efficeretur; potentiamq́; infinitam ipſi ad extremum
tribueram.
Operis quidem firmitudinem per ſe claram (meliora tamen non cõtemnens)
cuilibet eſſe exiſtimo, quid enim huic machinationi ſolidius excogitari poteſt
ſolido arboris trunco? cujus partes arctius longe tenaciusq́ue cohærent, quam
trabes inter ſe compactæ & coagmentatæ. Impenſæ quantulæ? quas ne verbis
quidem explicare opus eſt.
Quid, temporis ſpatium cujuſmodi? . manubrium, quod proratione opera-
rum ipſum verſantium cuilibetaſteriſco inſertare licet, nobis argumento erit; le-
vioribus enim oneribus ducendis altius, ponderoſioribus verò humilius inſer-
to manubrio, onus trahendum quamlibet ponderofum convenienti labore ju-
giq́ue motu commovetur. Cui abſimilis eſt iſte Chariſtii & tympanorũ motus,
nam leviculæ navi etiam adhibetur potentia majoribus ponderibus congrua,
quæque ideo temporis moram prolatat; imò cum trahendum pondus majus
ſit quam ut commodè commoveri poſſit, magna hominum equorumq́ue ma-
nus adhibenda, quæ nonnunquam laboriosè procedit, quandoq́; ſubſiſtit atq;
ita tempus ducitur, navibus autem damnum infertur: nam una è maximis tre-
decem aut quatuordecim modiorum capax, quę per Lugodinenſem 11Iepbtfchen
Dam. obicem traducuntur, viginti hominibus tympanum calcando verſantibus opus
habet, qui ſæpè facta ſtatione ſimul ſe demittunt, navesq́ue ſubjecto ſtrato gra-
viter illidunt. Quod in Pancratio ſecus eſt, quia navis jugiter æquabiliterq́ue
impellitur.
Sed potentia, quam pancratio infinitam aſſignavimus, hic tanta eſt in D,
quanta Tympani diametro 324 pedum. Enimverò per centrum tympani tan-
iæ diametri inducatur axis æqualis ipſi S diametri ſeſquipedalis, unde ratio ſe-
midiametrorum exiſtet ea quæ eſt 216 ad 1, atque ideò per 9 propof. pondus ab
axe ęquilibre ponderi, è tympani diametro horizonti parallela dependenti, ha-
bebit ad ipſum rationem eandem quam 216 ad 1; atqui eadent ratio eſt poten-
tiæ manubrii M N ad pondus ab axe S: itaque manubrii ad D efficientia in
axem S tanta erit, quanta tympani diametri 324 pedum, qui ne in maximo qui-
dem tympano 30 pedes æquat nedum excedit, unde expeditè concludere li-
cet quanto Pancratii efficientia potior ſit potentia tympanorum, & quamvis
iympanum minorelabore à calcante verſetur, non tamen, ut jam ediſſeruimus,
ideo utiliſſimum quoque fuerit. At ſi quis commoditatem iſtam calcandi in
pancratio majoribus molibus ſubvectantis promovendisq́; deſideret, aeriſco-
rum D, F, H, K, T axiculo cuicunque libebit pro manubrio rotulam, quam
majus tympanum dentanti ambitus verſet affigere quidem licebit, ſed utilita-
tem ſuperante impenſa.
Atquiſi potentia jam deformati pancratii oneri trahendo cedat, non tamen
labor, non impenſæ perierint: alter enim aſteriſcus triplicans numerum poten-
tiæ dictæ 216 ipſi D ſubjiciatur, tum manubrium ejus axiculo affixum efficiet
hic potentiam unius libræ ponderi 648 librarum ab S dependentium æquili-
brem, qua via ad optatam efficientiam tandem adſcenditur.
107107*DE STATICÆ PRAXI*
Quamobrem ſi in ſtitueretur pancration 30 orbiculis axiculisq́ue, cujus maxi-
mus aſteriſcus minimi eſſet decuplus, tum manubrii flexura maximi aſteriſci ſe-
midiametro, & ſucula S minimo aſteriſco æqualis, quę in ſpeciem machina ad-
modũ magnę molis nõ foret, põdus ab iſtiuſmodi ſucula ad alterũ ſibi æquilibre
è manubrio ſuſpensũ eſſet in ratione 1000000000000000000000000000000
ad 1. Poſita igitur perimetro minimi aſteriſci pedis unius tum tympani perime-
ter (per cujus centrum inductus eſt axis perimetri pedalis) inſtituti pancratii
manubrio æquepotĕtis eſſet pedũ 1000000000000000000000000000000,
Atqui maximi in terreno globo circuli ambitus nõ excedit pedes 108000000,
gradu æſtimato ſtadiis 480, ſtadio paſſibus geometricis 12@, paſſu denique pe-
dibus 5. Itaque ambitus tympani huic tantulo pancratio æquivalentis aliquot
millies millenis modis maximum terreſtrem circulũ excederet. Iam verò pan-
cratii manubrium infimo aſteriſco affixum, verſet aliquis puſio qui paulò effi-
cacius in id agat quam unius libræ pondus, is ſummo axi abſolvet funem
100000000000000000000000000000000 libras ducentem (adverte tamen
ſummum iſtum axem die uno ne ſemel quidem integrè circumductum iri) quę
univerſæ terræ molem cæteraq́ue hac comprehenſa quater millies ſuo pondere
excederent, cujus demonſtratio hujuſmodi affertur. Ambitus maximi terreſtris
circuli eſt pedum 108000000, ut jam ſupra docuimus, unde efficitur aream mi-
norem eſſe pedibus 1000000000000000, at que ſphæricam terræ ſuperſiciem
minorem 4000000000000000 pedibus; ſextans autem ſemidiametri globi
terreſtris minor eſt pedibus 6000000 quæ multiplicata cũ 4000000000000000
efficiunt 24000000000000000000000 cubicos pedes lõgè majores univer-
ſæterræ ſoliditate, jam ſingulorũ pedum pondere (liceteò neutiquã pertingat)
100 libris taxato, univerſiterrarum orbis põdus 2400000000000000000000000
libris cedere intelliges qui numerus per 4000 multiplicatus longè infra expo-
ſitum 1000000000000000000000000000000 conſiſtit.
Meritò igitur machinæ huic infinitam potentiam tribuimus. Neque Archi-
medis exclamatio, δός μοι π{omi; ῦ} ςῶ {καὶ}, κινῶ τ{ὴν} γ{ήν} da mihi ubi conſiſtam & ter-
ram hanc eo pertraham, in quam ob inventũ à ſe Chariſtion quondam ovans
erupit, impoſſibilis autabſona videri debet. imò rationi conſentaneam jam evi-
cimus, ſecus radiorum & ponderum reciproca proportio quæ prima primi li-
bri propoſitionenobis demonſtrata ſuit, à veritate diſſideret, quod ipſum & fal-
ſum & impoſſibile eſt. Vt tamen etiam exemplo veritas ejus eluceſcat; demus
Chariſtio, vel huic Pancratio locum extra hanc terram ubi defigi poſſit, glo-
bumq́; hunc terrenũ ponderi jam dicto 2400000000000000000000000 ℔
æqualem, atque hominem ſingulis manubrii verſuris 100 libras tres pedes ſu-
blimè attollere, horisq́ue ſingulis 4000 verſationes conficere idque decem cõ-
tinuorum annorum jugi motu, annis ſingulis 365 diebus definitis, manifeſtum
eſt terram iſto temporis ſpatio {10512/24000000000000000000} unius pedis ſua ſede emotum
iri, & quamvis quantitas iſta nec cerni nec notari poſſit, potentia tamen infinita
nobis ita demonſtratur & animo concipitur, quæ multis annorum ſeculis con-
tinuata motum oculis quoque notabilem produceret.
Deinceps verò in cæteris Pancratii formis humano uſui accommodis, quo-
modo in navi machina impenſa exigua loco γepávß ſeu tympani qua onera
imponantur atque eximantur, qua anchoræ majores adducantur cõſtitui poſ-
ſit; Quomodo præla olearea vinaria atque hujus generis cætera vehementiffi-
mè comprimantur; quomodo ſplendidis ſtructionibus maximi lapides
1081083 L*IBER* S*TATICÆ* ctari attolliq́ue poſſint, aliaq́ueid genus, non exhibemus quia quilibet Pan-
cration hoc ſibi ſuoq́ue uſui commodius reapſe aptabit quam nos longis ver-
borum ambagibus explicare poſſemus. Atque hic eſto
T*ERTII* L*IBRI*
FINIS.
109
LIBER QVARTVS
STATICAE
DE
HYDROSTATICES
ELEMENTIS.
110110BREVIARIVM.
VO*CES* at que ἄιτημα{ρα} huic arti propria 11Poſtulata. mum exponemus: tum ſuccedentibus novem
primis propoſitionibus corporum in aquis 22Ponderita-
tu proprie-
tates. ἰ{δι}ώμα{ρα}: 6 alteris aquæ contra ſubjectum fun-
dum preſsionis potentiam: duabus ſequentibus
fundi laterum longitudinem ut habeatur aquæ contra ipſum
optata preſsio: 18, 19 & 20 preſſuum aquæ gravitatis centra per
ſua funda collectorum: 21 ex aquæ pondere, ejus magnitudinis
inventionem: 22 denique proportiones quæ ſunt inter corporum
magnitudines, materiæ gravitatem, & ipſorum pondera.
Quibus tandem ad pleniorem intelligentiam Appendicem de
by drostatices praxi attexemus.
111111DEFINITIONES.
1 DEFINITIO.
Notam gravitatem hîc dicimus, cujus nota magnitudo
cognitâ ponderitate exprimitur.
2 DEFINITIO.
Materie æquiponderantia corpora ſunt, quæinaërema-
gnitudine & ponderitate æquantur.
3 DEFINITIO.
Materiâ ponderoſius corpus, quod magnitudine æqua-
libus præponderat.
4 DEFINITIO.
Materiâ levius corpus, quod æqualibus magnitudine,
pondere cedit.
5 DEFINITIO.
Æqualium magnitudine corporum pondere majus,
materiâ eſt ponderoſiore.
6 DEFINITIO.
Solidum corpus eſt cujus materia non ſit fluxa, quodq;
necaqua necaër penetrat.
7 DEFINITIO.
Vas ſuperficiarium eſt ſuperficies corporis cogitatione
ab eo ſeparabilis.
8 DEFINITIO.
Fundum eſt ſuperficies quævis, quâ aqua ſubnixa eſt.
9 DEFINITIO.
Regulare fundum, eſt planum omni diametro biſe-
ctile.
1121124 L*IBER* S*TATICÆ*
INTERPRETAMENTVM.
Hujus generis ſunt circuli, ellipſes, parallelogramma, cæteræq́ue figuræ or-
dinatæ quas circulus recipit laterum numero pari, denique quâcunque ſint
forma, ut ſubjectæ A, B, atque iſtis ſimi-
152[Figure 152] les infinitæ, quæ rectâ quâcunque per
centrum acta perpetuò bipartito divi-
duntur. contra igitur irregulares dicen-
tur illæ quas quælibet ſua diametros bi-
fariam non partitur, huc referes triangu-
la reliquaque polygona laterum numero
impari, atque id genus cætera. Defini-
tionem iſtam propoſui, quia ut in ſe-
quentibus perſpicitur, columna cujus baſis ſit fundum regulare, plano per pun-
cta in ambitu oppoſitarum hedrarum tranſverſim ſimiliter ſita trajecto, in duas
æquas partes perpetuò diſſecatur.
10 DEFINITIO.
Inane eſt locus corporis expers.
11 DEFINITIO.
Vacuum in quo aër duntaxa tineſt.
*POSTVLATA.*
1 POSTVLATVM.
Ponderitatem corporum in aëre appellari propriè, in
aqua autem ſecundum hy potheſin.
2 POSTVLATVM.
Aquam propoſitam omnibus partibus eſſe ponderitatis
homogeneæ.
3 POSTVLATVM.
Pondus à quo vas minus altè deprimitur, levius: quo al-
tiùs, graviùs: quo æquèaltè, æquipondium eſſe.
4 POSTVLATVM.
Vas ſuperficiarium aquam, aliamq́ue materiem conti-
nere utipſum nec frangatur, nec flectatur.
5 POSTVLATVM.
Vas ſuperficiarum effuſa aqua vacuum eſſe.
113113*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
INTERPRETAMENTVM.
Vacuitatem non inanitatem dico, cæteroquin aëris adhuc pondus deeſſet.
6 POSTVLATVM.
Cujuſvis aquæ ſuperficiem ſummam, planam & hori-
zonti parallelam eſſe.
INTERPRETAMENTVM.
Licet enim quatenus pars eſt ſphæricæ ſive mundanæ ſuperficiei, mundanam
autem ſuperficiem dicimus ſphæræ cujuſvis mundo concentricæ, itemq́ue in
guttula, aut aqua qua corpus aliquod oblitum ſit, hocipſum àverò diſſentiat;
tamen nec tantilla hæc quantitas, nec illa copia poſtulata noſtra evertunt. Cer-
tè aquæ ſuperficiem ſummam, ſecundum Archimedis demonſtrata, pro parte
mundanæ ſuperficiei adſumere atque hac forma cuncta eſſerre poſſemus, ſed
quia majore tædio atque adeò nullo Hydroſtatices compendio hoc fieret, ſim-
pliciter & apertè poſtulamus, omnis aquæ ſuperficiem ſummam eſſe planam &
horizonti parallelam.
7 POSTVLATVM.
Rectas connecten tes aqueæ columnæ ſummæ imæque
hedræ horizonti parallelæ puncta ὸμο{ρα}γῆ & 11ſimiliter
ſita. continuatas in mundi centro concurrere; ipſasq́ue adeò
hedras mundanæ ſuperficiei eſſe partes.
INTERPRETAMENTVM.
Columnæ A B C D hedræ ſumma imaquè ſunto A B, C D horizonti pa-
rallelæ atque B, C duo puncta ὸμο{ρα}γῆ, ut cum Ptolomæo loquar, connectat re-
cta B C horizonti perpendicularis, mundi autem centrum E ad quod adjun-
gantur A E, B E, baſin D C ſecantes in F & G inter hæc puncta deſcribito
figuram F G ipſe D C ſimilem ſimiliterq́, ſitam. Quæ cum ita ſint, manifeſtum
eſt nequerectas B C continuatas coïre in centro E, cum A F & B G iſtic con-
currant, neque plana A B, D C mundanæ ſuperficies par-
153[Figure 153] tes eſſe: poſtulamus tamen A D, B D iſtic concurrere, pla-
naq́ue A B, C D mundanæ ſuperficiei partes eſſe, quia in
hydroſtatices praxi hujus differentiæ ratio nulla erit, quæq;
nullo modo inter columnam A B C D & curtam pyrami-
dem A B G F notari poſſit, etiamſi A B, F G tanquam mun-
danę ſuperficiei partes aſiumãtur. Et quamvis pro columna
A B C D curtam pyramidem A B F G uſurpare poſſimus
atque ita ſuccedentia theoremata enuntiare, tamen eadem
cauia, quam 6 poſtul. retulimus, nos ab iſto labore deterruit.
Et profectò tam ineptum fuerit hæc ipſa non admittere,
quàm poſtulantibus Aſtrologis, terram eſſe mundi centrum, fidem derogare.
1141144 L*IBER* S*TATICÆ*
PROPOSITIONES.
1 THEOREMA. 1 PROPOSITIO.
Aquam datam, datum ſibi intra aquam locum ſervare.
D*ATVM*. Aqua data vaſe ſuperficiario contenta collocator in aqua B C.
Q*VAESITVM*. Aquam A eo loco ſubſiſtere.
DEMONSTRATIO.
A igitur (ſi ullo modo per naturam ſieri poſſit) locum ſibi tributum non fer-
vato, ac delabatur in D; quibus poſitis aqua quæ ipſi A ſucceffit eandem ob
cauſam deſluet in D, eademq́ue ab alia iſtinc expelletur, atque adeo aqua bæc
(cum ubique eadem ratio ſit) motũ inſtituet perpetuurn, quod
abſurdum fuerit. Similiter demonſtratur A nec adſcendere
154[Figure 154] neque in latus moveri. Proinde manifeſtum jam eſt, ſi A ſtatua-
tur alicubi intra aquam in D, E, F vel G iſtic in loco ſibi tribu-
to ſeſe ſiſtere.
C*ONCLVSIO*. Itaque data aqua quemlibet datum ſibilo-
cum ſervat. Quod demonſtrare oportebat.
2 THE OREMA. 2 PROPOSITIO.
Solidum corpus materia leviore quam ſit aqua non
omnino mergitur, ſed eminet aliqua ſui parte.
D*ATVM*. Solidum corpus A materiam habeat leviorem aquâ B C, cujus
ſumma ſuperficies B D. Q*VAESITVM*. A aquæ impoſitum non universè
mergi ſed aliqua parte eminere demonſtrandum eſto.
P*RAEPARATIO*. EF vas ſuperſiciarium, cujus pars G F demerſa &
plena aquæ æqualis ſimilisq́ue ſit ipſi A, itaque aquæ ejus ſuperſicies G H erit
in plano B D, quia ſuperſiciarium vas E F gravitatis levitatisq́ue ſit expers.
DEMONSTRATIO.
Cum igitur A ex hypotheſi materiam habeat leviorem aquâ G F, & hæc
dato corpori A ſit æ qualis, G F neceſſariò ipſi A præponderabit, jam in vaſe
ſuperſiciario locoaquæ ſubſtituitor corpus A ipſi congruum, nam ex fabrica
parti G F æquale eſt & ſimile; cumq́ue A corpus levius ſit aqua effusâ pro-
pterea vas ſuperficiarium E F per 3 poſtul non tam alte
155[Figure 155] mergetur ab A atque ab F G: atqui quantò minus altè
corpus ſuperſiciarium E F ſubſidit, tantum corporis A
ſupra aquam extare neceſſe eſt.
C*ONCLVSIO*. Quamobrem corpus ſolidum ma-
teriæ levioris quàm aqua non totum mergitur, ſed ali-
qua ſui parte ſupereminet. Quod demonſtraſſe oportuit.
115115*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
3 THEOREMA. 3 PROPOSITIO.
Corpus ſolidum materiæ ponderoſioris quàm aqua ad
fundum uſque demergitur.
D*ATVM*. Efto corpus ſolidum A materiâ ponderoſiore quàm aqua B C,
cujus ſuperſicies ſumma B D, ima E C. Q*VAESITVM*. A aquæ B C im-
poſitum ad fundum E C uſque deſcendere demonſtrator.
P*RÆPARATIO*. Vas ſuperſiciatium F G aqua plenum ipſi A ſimile &
æquale deſormato, cujus ſuperſicies ſumma F H in plano B D collocetur.
DEMONSTRATIO.
Cum A materiæ quidem ponderoſioris ſit ex hy potheſi quam aqua F G,
magnitudinis verò æ qualis; A quoque gravius erit quam F G. Iam ſi in locum
aquæ F G ſubſtituatur ipſi pro pter fab team congruum corpu; A attamen, ut
patet, illo ponderoſius, vas ſuperſiciarium F G per 3 poſtul. ab A corpore al-
tius demergetur quam ab aqua F G. demonſiravimus igitur corpus A mergi;
fed ad fundum E C uſque demergi ita evincam. Si enim fiem poſſit ne deſcen-
dat ad E C, ſed interinedio loco hæreat ut in I. Iam ſi vice ſolidi corporis I
vas ejus ſuperſiciarium aquâ compleatur, eodem loco per I propoſ. ſubſiſtet:
fed æ qua hæc levior eſt iſto ſolido; quamobrem gravius
156[Figure 156] leviusq́ue in humido eodem hærebuntloco, quod abſur
dum 3 poſtulato repugnat. Itaque eorpus A inter B D,
E C, ſummam imamq́ue ſuperſiciem conſiſtere nequit,
ac neceſſariò deſcendet donec ſundo ſubjecto E C im-
pactum quieſcat. C*ONCLVSIO. * Solidum corpus igi-
tur materiæ ponderoſioris quam aqua ad fundum uſque demergitur. Quod
demonſtraſſe oportuit.
4 THEOREMA. 4 PROPOSITIO.
Corpus ſolidum materiâ aquæ æquiponderante, datum
inaqua locum ſervat.
D*ATVM*. Corpus ſolidum A materiam habeat gravitate æqualem aquæ
BC. Q*VAESITVM*. Corpus A ubicunque in aqua ſtatuetur ſubſiſtere de-
monſtrato. P*RAEPARATIO*. Eſto vas ſuperſiciarium D, ipſi A æquale &
ſimile.
DEMONSTRATIO.
Cum A materię ponderitate & corporis mole æquale ſit aquæ D, ideo
D ipſi A pondere quoque æquatur. Iam in vaſe ſuperſiciario D loco aquæ
ſubſtituitor corpus A ipſi propter fabricam per omnia congruum, quare per
3 poſſul. vas ſuperficiarium D ab corpore A nec ma-
157[Figure 157] gis nec minus demergetur quam ab aqua D; ſed aqua
D per 1 propoſ datum ſibi locum ſervat. Itaque etiam
ſolidum corpus A in aqua B C tributum ſibi locum
retinebit, neque aliò delabetur.
C*ONCLVSIO*. Quamobrem corpus ſolidum, cujus
materies ponderitate aquæ eſt æqualis, datum ſervat locum. Quod erat de-
monſtrandum.
1161164 L*IBER* S*TATICÆ*
5 THE OREMA. 5 PROPOSITIO.
Corpus ſolidum materiæ levioris quamaqua cuiinnatat,
ponderitate æquale eſt tantæ aqueæ moli, quantâ ſui
parte demergitur.
D*ATVM. * AB corpus ſolidum materiam habeat leviorem aqua BC in
quam immittiur, ſolidi autem ſuperficies AB, pars in aquam immerſa EB.
Q*VAESITVM*. Demonſtrato ſolidum AB pondere æquari aquæ EB
quæ æqualis eſt parti in aquam CD immerſæ.
DEMONSTRATIO.
In vaſe ſuperficiario AB loco ſolidi corporis AB ſubſtituitor aquæ copia
tanta, quę ipſum eadem altitudine qua priùs in aquam immer-
gat. quibus poſitis, aqua EB (cujus ſuperſicies eſt in ſuperfi-
158[Figure 158] cie reliquæ aquæ cum vas ſuperficiarium nullius ſit ponderita-
tis) contenta vaſe ſuperficiario EB per 3 poſtul. æquiponde-
rabit ſolido corpori AB quia vas idem eadem altitudine im-
mergunt. C*ONCLVSIO. * Itaque ſolidum corpus materia
leviore quam aqua in quam immittitur æquiponderat tantæ
aqueæ moli, quantâ ſui parteaquæ immergitur.
1 PROBLEMA. 6 PROPOSITIO.
*Corpore ſolido ſui partenotæ magnitudinis in aquam*
*cognitæ ponderitatis immerſo, totius ſolidi pondus in-*
*venire. *
D*ATVM. * ABCD ſolidum corpus formæ contingentis, EF aqua cujus
pes cubicus ponderet 65 ℔, nam experientia edoctus Delfenſem pedem Del-
fenſis aquæ tanti ponderis eſſe cognovi, ſicq́ue deinceps in ſequentibus exem-
plis uſurpabimus; ſolidi corporis pars aquæ immerſa ACD, cujus magni-
tudo ſit 10000 pedum cubicorum. Q*VAESITVM*. Quantum pondus ſit
univerſi corporis ABCD quæq́; illo vel continentur velinnituntur invenien-
dum eſto.
CONSTRVCTIO.
Multiplicatis 10000 cum 65 ℔ efficiuntur pro quęſito 650000 ℔.
DEMONSTRATIO.
159[Figure 159]
Vniverſum ſolidum ABCD æquiponderat per
5 propoſ. aquæ æquali corpori ACD, ſed tanta
aquæ moles pendet 650000 ℔, itaque etiam corpus
ABCD erit librarum totidem.
C*ONCLVSIO. * Quamobrem corpore ſolido
ſui parte notæ magnitudinis in aquam cognitæ pon-
deritatis immerſo, etiam totius ponderitatem inveni-
mus. Quod oportuit.
117117*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.*
6 THE OREMA. 7 PROPOSITIO.
In aquis ponderitatis heterogeneæ erit ut ponderitas ma-
teriæ aquæ ponderoſioris ad ponderitatem materiæ aquæ
levioris, ſic pars corporis ſolidi in aquam materiæ levioris
immerſa ad partem ſolidi ejuſdem in aqua graviore de-
merſam.
D*ATVM. * Aqua AB materiæ ſit gravioris quam DC, corpus ſolidum EF
materiâ utrâlibet ipſarum leviore, quod in aquam AB immiſſum parte GF
aquæ inſideat, idemq́ue immiſſum in aquam CD mergatur parte KI.
Q*VAESITVM. * Demonſtrandum materiæ gravitatem aquæ AB, adgra-
vitatem materiæ aquæ CD eſſe, ſicut KI ad GF.
DEMONSTRATIO.
Moles aquæ ex AB æqualis ipſi GF, ponderitate æquabit corpus EF; ſic
item moles aquea ex CD æqualis ipſi KI æquiponderat pci 5 propoſ. corpo-
ri HI ſive EF cum ex hypotheſi ſit unum
idemq́ue corpus; & moles igitur aquæ ex AB
160[Figure 160] ęqualis ipſi GF ponderitate quoque æquat
molem aqueam ex CD ęqualem ipſi KI. Sed
poſitis duabus aquis gravitatis æqualis erit ma-
gnitudinum & materię ponderitatum propor-
tio reciproca, quod neceſſariò deduciturè de-
finitione 5. quare ratio ponderoſitatis materiæ
aquæ AB ad ponderitatem materię aquæ CD eadem erit, quæ magnitudinis
KI ad mag itudinem GF. C*ONCLVSIO. * Itaque in aquis ponderitatis
heterogeneæ ut ponderitas materiæ, & c.
7 THE OREMA. 8 PROPOSITIO.
Corpus ſolidum in aqua levius eſt quàm in aëre, pon-
dere aquæ magnitudine ſibiæqualis.
D*ATVM. * Eſto A corpus ſolidum, aqua BC.
Q*VAESITVM*. Demonſtrato corpus A in aquam immiſſum iſticlevius
eſſe quam in aëre gravitate aqueę molis magnitudine ſibiæqualis.
P*RAEPARATIO. * Sit D vas ſuperficiarium aquæ plenum, ſimile & æqua-
leipſi A.
DEMONSTRATIO.
Vas ſuperficiarium D aqua repletum per 1 propoſ. in ipſa aqua nec gravi-
tatis neque levitatis habet momentum, quare eſſusâ aquâ D vastanto aquę
pondere erit levius, id eſt, perſectè leve; in hocſubſti-
tuito corpus A ipſi congruum, jam vas ſuperficia-
161[Figure 161] rium cum corpore A ſibi inſerto pendet pódus ipſius
A ſimul cum dicta levitate, hoc eſt, pendet pondus
A dempto pondere aquæ prius effuſę, ſed aqua iſta
mole æquat corpus A. Quamobrem A
1181184 L*IBER* S*TATICÆ* aquæ magnitudine ſibi æqualis levius eſt in aqua BC quam foret in aëre. Quod
demonſtraſſe oportuit.
2 PROBLEMA. 9 PROPOSITIO.
Data corporis ſolidi gravitate, ejusque materiæ ponde-
ritatis ratione ad ponderitatem aqueam; ejuſdem in aqua
ſitus gravitatem invenire.
1 Exemplum cum corpus ſolidum materiæ levioris erit
quam aqua.
D*ATVM. * Aqua AB, corpus ſolidum Cpendens 2 ℔, hinc ponderitatis
aqueæ ad corporis ſolidi materiæ ponderitatem ratio quintupla eſto.
Q*VAESITVM. * Invenire ſolidi C ſitus gravitatem in aqua AB.
CONSTRVCTIO.
162[Figure 162]
Quanta gravitas ſit aqueæ molis ipſi C æqualis ex-
pendito, ea erit bis quinarũ librarú hoc eſt 10 ℔ quibus
deductis de 2 ℔, relinquentur -- 8 ℔ ſolidi corporis
C, quæ ſunt levitas ſeu aſcenſus corporis C in data
aqua AB.
Sed ut clarius exprimam, cogitatione fingito C in
aquam AB immiſſum, contra quod, ut in diagramma-
te perſpicis, ſuſpenſum ſit pondus D 8 ℔ hocſitu D &
C æquiponderabunt.
2 Exemplum cum ſolidum corpus materiæ gravioris erit
quam aqua, cujus pragmatia antecedenti affinis eſt.
D*ATVM. * Ratio ponderitatis aqueæ, ut ſupra AB, ad ponderitatem ma-
teriæ ſolidi C nunc ſumitor ſubquadrupla, atque ipſum corpus C 12 ℔.
Q*VAESITVM. * Invenire ſolidi ſitus gravitatem in aqua AB.
CONSTRVCTIO.
163[Figure 163]
Conſiderato quanta ſit gravitas aquæ magnitudinis
ipſi C æqualis, eaque deprehendetur {1/3} 12 librarum quas
C pendet, eæ igitur erunt 3 ℔, quæ deductæ de 12 ℔ ſo-
lidi C, reliquas faciunt 9 ℔ pro pondere C in aqua AB.
Cujus illuſtrandi gratia aquæ AB immergatur cor-
pus C, cui ex oppoſito ſuſpendatur D 9 ℔; hoc ſitu D
& C æquiponderabunt.
119119*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.*
Tertium quoddam exemplum excogitari potuit, cum ratio ponderitatum
utriuſque materiæ aqueæ ſcilicet & ſolidę ęqualis erit: ſed eo caſu, normam for-
mamq́ue antecedentis pragmatiæ ſecutus, deprehendes ſolidum corpus in tali
aqua nec grave eſſe neque leve. demonſtratio autem omniũ horum per 8 prop.
manifeſta eſt. C*ONCLVSIO. * Itaq; corporis ſolidi gravitate, ejuſdemq́; ma-
teriæ ponderitatis ad ponderitatem aqueam ratione data; ejus ſitus gravitatem
in aqua invenimus. Quod faciendum erat.
8 THE OREMA. 10 PROPOSITIO.
Aquæ fundo horizonti parallelo tantum inſidet pon-
dus, quantum eſt aqueæ columnæ cujus baſis fundo, alti-
tudo perpendiculari ab aquæ ſuperſicie ſumma ad imam
demiſſæ æqualis ſit.
D*ATVM. * ABCD aquæ figura ſolida rectangula, AB ſuperficies ſumma,
EF pars fundi horizonti paralleli, GE perpendicularis à ſumma ad imam aquæ
ſuperficiem, columna GHFE comprehenſa ſub baſi EF & altitudine EG.
Q*VAESITVM. * Demonſtrato baſe ſeu fundo EF ſuſtineri pondus æqua-
le columnæ aqueæ GHFE.
DEMONSTRATIO.
Sifundo EF plus ponderis inſideat quàm aquæ GHFE, id erit ab aqua
finitima, atque ideò ſi ſieri poſſit eſto ab AGED & HBCF; quibus poſitis
fundo DE quoque, propter aquam finitimam GHFE
(cum utrobiq; ſit parratio) plus pó deris incumbet quàm
164[Figure 164] ſit aquæ AGED, perinde quoque baſi FC plusinſi-
det ponderis quam aquæ HBCF; quare toti fundo
DC majus quoddam pondus inſidet quam aquæ totius
ABCD, quod tamen, cum ABCD corpus rectan-
gulum ſit, abſurdum ſuerit. Eadem ratione evinces fun-
do EF non minus pondus ſuſtentari quam ſit aquæ GHFE; quare tantun-
dem duntaxat ponderis neceſſario ipſi incumbet.
1 C*ONSECTARIVM.*
Immittito in aquam ABCD hujus propoſitionis corpus ſolidum IKLM,
materiæ levioris quam aqua, quodque ideo ipſi innatet parte NOLM
immersâ, reliquâ NOKI ſupereminente, ut in ſubjecta ſigura apparet. Iam
ſolidum IKLM per 5 propoſ. gravitate æquale eſt tan-
165[Figure 165] tæ aqueæ moli, quanta eſt pars ſui demerſa NOLM;
quare ſolidum IKLM cum reliqua ipſum ambiente
aqua pondere æquat corpus aqueum magnitudinis
ABCD. Itaque etiamnum aſſerimus ſecundùm pro-
poſitionis ſententiam, ſundo EF inniti pondus æquale
corpori aqueo magnitudinis columnæ, cujus baſis ſit
EF, altitudo perpendicularis GE à ſumma ſuperficie
aquæ AB adimum fundum EF demiſſa. Vnde efficitur à materia qualibct
aquæ innatante fundum nec magis nec minus affici, quam ab aqua in eadem
altitudine conſtituta.
1201204 L*IBER* S*TATICÆ*
2 C*ONSECTARIUM.*
Secundò in aquam ABCD immittitor corpus ſolidum, ſolidavé quot-
cunque materiâ aquæ æquipondiâ, inter quæ, reliqua omnia aqua expulſa,
tantùm comprehendatur IKFELM; quæ cum ita ſint, hæc corpora fundum
EF nec aggravant neque relevant
ab eo pódere quo aqua prius ipſum
166[Figure 166] afficiebat. quare etiamnum ex ſen-
tentia propoſitionis dicimus, fun-
do EF inſidere pondus æquale
aqueo ponderi, magnitudine co-
lumnam æquante, cujus baſis EF,
altitudo perpendicularis GE abaquæ ſummo AB ſeu MI ad imum EF de-
miſſa.
3 C*ONSECTARIUM.*
Sittertiùm ABCD mera aqua, & in ipſa EF fundum horizonti parallelum.
Quibus poſitis, aqua ſub fundo EF tam potenter ipſum ſurſum premit, quam
aqua ſupra inſidens deorſum; ſecus enim per 1 propoſ. infirmius validiori con-
cederet, quod hîc non fit quia utrumque loco ſuo permanet. lam corpus ſoli-
dum iſti aquæ pondere homogeneum ita collocator ut
167[Figure 167] aqua IKEFLM ab inferiori parte preſſet fundum EF,
ut hîc. Quibus poſitis, aqua ſubter EF nunc tam validè
premit fundum EF, ſive ipſum ſolidum, quàm prius
ipſam aquam oppoſitam: ſed impreſſio tanta tunc erat
quanta ſuperioris aquæ ad EF depreſſio, ut ſupra pa-
tuit, ſuperioris autem aquæ depreſſio æqualis erat ponderi columnæ aqueæ
cujus baſis EF, altitudo perpendicularis GE, à ſuperficie AB ſeu MI ad
fundum EF demiſſa. Itaque aquæ ſubter EF conſtitutæ impreſſio erit quoque
tanta.
4 C*ONSECTARIUM.*
Corpora ſolida ſecundi tertiiq́ue conſectatii iſtic ita firmentur, effuſaq́ue
aqua ſpatium IKFELM vacuum nullo amplius pondere afficiet fundũ EF;
unde apparetaqua in vacuum locum rurſum infusâ fundũ EF tam validè pre-
mi, ac ſi integrũ vas ABCD, ſublato iſto corpore ſolido, aquâ repletum foret.
5 C*ONSECTARIUM.*
Atverò quia immiſſa ſolida 2 & 3 conſectarii ſunt ſuo loco defixa, ipſorum
materia extrema nec gravitate nec levitate ulla afficiet fundum EF, quam-
obrem ſublata omni aquam ambiente materia, relinquentur internæ iſtæ aqueæ
figuræ MIKFEL, quales hic vides.
168[Figure 168]
Atque hic etiam ex ſententia propoſitionis dicimus baſe EF ſubnixum
121121*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*. pondus, æquale ponderi aqueæ columnæ cujus baſis E F, altitudo perpendicu-
laris ab M I aquæ ſummo in fundum E F demiſſa. Atque ita in cæteris omni-
bus figuris quarum fundum fit in plano horizonti parallelo.
C*ONCLVSIO*. Itaque in fundo hofizonti parallelo, & c.
Inſpice exorſum Praxis Hydroſtatices ubi experientia hæc clarius compro-
bantur.
NOTATO
Propoſitionem 10 magis propriè efferri hoc modo:
Aquæfundo in ſuperficie mundana cõſtitu to inſidet pon-
dus æquipondiũ aquæ cujus magnitudo ſit ęqualis ſegmĕ-
to ſphærę comprehenſæ à fundo & mundana ſuperficie per
ſummitatem aquæ eductę, quæ cõjungat ſuperficies inter
ipſa interjecta, deſcripta à linea infinita in mundi centro
fixa & circa fundi ambitum obvoluta.
Cujus demonſtratio eadem cum antecedente; ſed propter cauſas 7 poſtulato
expoſitas, iſto modo proponere non placuit.
9 THEOREMA. 11 PROPOSITIO.
Si fundi regularis punctum altiſsimum in aquę ſuperfi-
cie ſumma conſiſtat, inſidens ipſi pondus æquatur ſemiſsi
aqueæ columnæ cujus baſis fundo, altitudo autem per-
pendicularì, à ſummo fundi puncto in planum per ejuſ-
dem imum punctum horizonti æquidiſtanter eductum,
demiſſæ æqualis ſit.
1 Exemplum.
D*ATVM*. A B vasaqua plenum, A C D E fundum inclinatum ad hori-
zontem & primò quidem in angulo recto, cujus ſupremum latus A C ſit in ſu-
perficie ſumma aquæ A C F G; unde perpendicularis A E demiſſa in planum
per fundi imum punctum, ut E D, horizonti æquidiſtanter eductum. Sitq́ue
recta D B horizonti parallela, à qua abſumatur D H ipſi D C æqualis, & con-
nectatur C H; atq; A C H D E fit dimidia illa columna, cujus fundũ A C D E,
altitudo D H æqualis ipſi A E.
169[Figure 169]
Q*VAESITVM*. Demonſtrato
impreſſionem gravitatis aquę cõ-
tra fundũ A C D E æquari expoſi-
tæ dimidiæ columnæ A C H D E.
Vel ut clariùs dicam: ſi I ſit pon-
dus obliquè ducens gravitate ipſi
A C H D E æquale, funisq́; du-
ctorius K L parallelus cõtra D H,
K autem preſſionis potentiæ cen-
trum in fundo collectæ (cujus
1221224 L*IBER* S*TATICÆ* ventio 18 propoſ. inſtituitur) pondus I aquæ preſſui erit æquilibre, fundum
A C D E (ſilabi poſſe fingas) eo ſtatu conſervans.
Vel, ut idem adhuc clarius illuſtrem. M N O P fundum eſto, ipſi A C D E
æquale & ſimile, lateribus M P, A C, M N, A E, homologis, cui inſidet ſolidum
M N O P Q ponderitate & magnitudine dimidiæ
170[Figure 170] columnæ A C H D E æquale ipſiq́ue ſimile, ac
recta Q O æqualis D H horizonti ad perpendi-
culum normata inſiſtat. Ajo, quemadmodum ſo-
lidum M N O P Q baſin M N O P premit pon-
deroſiùs verſus N O quam ad M P, quia iſtic
corpus ipſum ſpiſſius graviuſq́ue ſit; ita quoque
aquam A B ponderoſiore validioreq́ preſſu con-
niti contra E D quàm contra A C.
P*RÆPARATIO*. Dirimito latus A E in qua-
tuor quadrantes, in R, S, T, unde parallelæ ſint
R V, S X, T Y contra A C; ſint item V Z, X α, Y β parallelæ contra D H,
ſecentq́ue C H in γ, δ, ε, ut quælibet eductarum γ Z, δ α, ε β æquent rectam
V γ; tum ζ η per γ parallela contra C D interſecet X α in θ & V β in 1, ſi-
militer Z κ per δ educta ſecet Y β in λ, ad extremum eodem ordine ducan-
tur parallelæ α μ per ε, & β H per H.
DEMONSTRATIO.
Primùm fundo A C V R aliquod pondus incumbit, quia tuncſolum one-
re vacaret ſi in aquæ ſuperficie ſumma conſiſteret; at infra eſt; non igitur ponde-
ris preſſu vacat. Secundò minore quàm A C ζ γ V R, aquei corporis pondere
afficitur, etenim per 10 propoſ. ſi horizonti æquidiſtaret iſtud pondus ſuſtine-
ret, at nunc altiorem locum obtinet, minus igitur ſuſtinet. Conſimiliter fundo
R V X S majus quoddam pondus incumbit quàm corporis A C ζ γ V R; ete-
nim ſi fundum iſtud per R V horizonti æquidiſtaret iſtic per 10 propoſ. tan-
tum corpus ſuſtineret: at nunc cùm loco ſit inferiore plus quoq; ſufferet, quam
pondus corporis A C ζ γ V S hoceſt ſibi æqualis R V γ θ X S. Et rurſum mi-
nus ipſi inſidet quam corpus A C ζ θ X S, quia per 10 propof. opus eſſet fun-
dum id, per S X ad horizontis paralleliſmum eductum eſſe; jam verò cum fun-
dum R V X S ſublimius ſit, minus ponderis perpetitur quàm A C ζ θ X S, hoc
eſt, ipſi æquale R V Z δ X S. Eodem raticinio, adhibito 10 propof. & plano per
X S horizonti parallelo, cõcludes fundo S X Y T plus ponderis inſidere quàm
corporis A C ζ θ X S, hoc eſt ipſi æqualis S X δ λ Y T; & minus tamen (pro-
pter eandem 10 prop. & planũ per T Y horizonti parallelũ) quam A C ζ. Y T
hoc eſt quam ipſi æquale S X α ε Y T. Denique eadem via, ſubſidio 10 propof.
& plano per T Y horizonti parallelo, evincesfundo T Y D E inſidere pondus
majus corpore A C ζ. Y T ſeu ipſi æquali T Y ε μ D E: attamen (propter ean-
dem 10 propoſ. & planum per E D horizonti parallelum) minus corpore
A C ζ η D E hoc eſt ipſo T Y β H D E. Iam autem cum his demonſtrationi-
bus effectum ſit fundo A C V R aliquod pondus inſidere neque vacare omni-
no, fundo R V X S plus corpore R V γ θ X S; item fundo S X Y T plus cor-
pore S X δ λ Y T, ultimùm fundo T Y D E plus corpore T Y ε μ D E, toti
quoque fundo A C D E plus inſidet quàm pondus omnium iſtorum corpo-
rum, quæ addita cõſtituunt corpus R V γ θ δ λ ε μ D E in dimidiam columnam
inſcriptum. Et cum iiſdem demonſtrationibus cõcluſerimus fundo A C V
123123*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*. minus inſidere pondus quàm A C ζ γ V R, fundo R V X S minus quàm
R V Z δ X S, item fundo S X Y T minus quam S X α ε Y T, denique ſundo
T Y D E minus quàm T Y β H D E, toti quoq; fundo A C D E minus inſide-
bit ponere omniũ horũ, hoc eſt, corpore circumſcripto A C ζ γ Z δ α ε β H D E.
Atqui fundo A C D E, qui in diagrammate quadrãtibus diſtinguitur, ſic in octo
æqualia ſegmenta divio palam eſt corporum dimidiæ columnæ A C H E D
hujus inſcripti illius circumſcripti ab ipſa differentiam dimidio minorem fore
quàm nunc ſit: quare hujuſmodi fundi ſectione infinita eo devenitur, ut differĕ-
tia ponderis (ſi qua tamen hîc ſit) fundo A C D E incumbĕtis a põdere dimidiæ
columnæ A C D E quolibet minimo põdere adhuc minor ſit. Vnde ita ediſſero.
Gravitas cujus à pondere fundo A C D E inſidente differentia minor eſt quolibet
pondere dato, æquatur ponderi fundo A C D E inſidenti.
Sed pondus dimidiæ columnæ A C H D E eſt gravitas minus differens à pondere
fundo A C D E inſidente quam quodlibet datum.
Itaque pondus dimidiæ columnæ A C H D E æquatur ponderi in baſe A C D E.
2 Exemplum.
D*ATVM*. Exponatur ſecundo A B vas plenum aquæ, fundumq́ue A C D E
quadrangulum ad horizontem in angulo obliquo inclinatum, ejusq́ue ſupre-
mum latus A C conſiſtar in A C F G aquæ ſuperficie ſumma. Iam aqua
ipſiusq́ue fundum dividatur conſimiliter antecedenti 1 exemplo, & A υ per-
pendicularis ſit àſummo fundi latere in planum, per inſimum latus E D ad ho-
rizontis paralleliſmum eductum, demiſſa. Q*VAESITVM*. Pondus aquæ
fundo A C D E ſubnixum dimidiæ columnæ cujus baſis A C D E, altitudo
A υ, æquari demonſtrato. P*RAEPARATIO*. Perpendicularis A υ à tribus
punctis ο, π, ρ in quatuor æquas partes diſſecator.
DEMONSTRATIO.
Fundo A C V R, cum nõ ſit in
171[Figure 171] aquę ſummitate, inſidet aliquod
pondus, minus tamen quàm co-
lumna aquea baſis A C V R, alti-
tudinis A ο, nam ſi per R V planũ
horizonti æquidiſtanter duce-
retur per 10 propof id hoc pon-
deris ſuſtineret, nuncverò cum
ſublimiori ſit loco minus ſuffert
quam columnam iſta baſi & al-
titudine, hoc eſt, A C ζ γ V R.
Simili deductione ut in primo exemplo
cætera proſequeris; unde tandem con-
172[Figure 172] cludes fundo A C D E inſidere corpus
æquale ipſi A C H D E, hoc eſt, colum-
næ baſis A C D E, altitudinis A υ (nam
A υ æqualis eſt perpendiculari ab H
in planum A C D E) tandem inquam
concludes fundo A C D E inſidere a-
queam molem magnitudine æqualem
columnæ cujus baſis A C D E, altitu-
do A υ.
1241244 L*IBER* S*TATICÆ*
3 Exemplum.
D*ATVM*. Fundum regulare A B ellipſis eſto, cujus ſupremum punctum
A ſit in aquæ ſuperficie ſumma, B in ima, A C perpendicularis à ſummo A in
planum horizonti parallelum per imum B.
Q*VAESITVM*. Pondus aquæ fundo A B
173[Figure 173] incumbentis æquari dimidiæ columnæ, cu-
jus baſis A B, altitudo A C.
P*RAEPARATIO*. Circumſcribito ellipſi
A B parallelogrammum quadrangulum
D E F G ut D E in aquæ ſummo tangat ejus
ſummum A, & G F imum B; ſitq́ue F I
perpendicularis in F G æqualis lateri F E, &
horizonti parallela; jam reliqua latera G H,
H I claudant parallelogrammum F G H I &
connecto E I, D H.
Conſtruito deinde alteram figuram non tan-
tum forma ſimilem, ſed etiam magnitudine &
174[Figure 174] ponderitate ipſi æqualem, cujus latus F I hori-
zonti ad perpendiculum inſiſtat, ut in ſubjecto
diagrammate. ſitq́ue corpus hoc ſolidum ſub-
nixum fundo D E F G.
DEMONSTRATIO.
Quanto preſſu ſolidum D E F G H I afficit
ſuam hedram D E F G, tanto quoq, afficitaqua
primæ ſiguræ ſuum fundum D E F G, quod
paulò ante nobis demonſtratum eſt, & conſe-
quenter quantâ preſſione ellipſis A B ſecundæ
formæ afficitur, tantâ quoque omninò inerit ellipſi A B primæ formæ: Atqui
preſſio quam ellipſis ſecunda perpetitur, eſt ſemiſſis columnæ (ut jam mox de-
monſtraturi ſumus) cujus baſis ellipſis, altitudo æqualis rectę A C, nam per-
pendicularis à K in planum ellipſis A B demiſſa æqualis foret dictę A C; qua-
re aquę in primam ellipſin A B impreſſio, æquatur dimidiæ columnæ cujus ba-
ſis ipſa ellipſis ſit, altitudo autem A C.
Pondus autem ſecundæ ſiguræ inſidens ellipſi A B, æquari dimidiæ colum-
næ, cujus baſis iſta ipſa ſit ellipſis, & altitudo æqualis A C, hoc pacto arguo.
Ducito B K æqualem & parallelam rectæ F I, & ípſam ita circum ellipſin A B
circumducito ut tamen perpetuò contra F I parallela ſit, eâque converſione in-
ter duas hedras oppoſitas figurabit columnam A B K L, quæ plano D E I H
per duo puncta A, K ſimili ſitu atque tranſverſim in parallelarum ellipſium am-
bitu ſibi mutuo reſpondentia incidetur: ſed quęlibet columna cujus baſis eſt
planum regulare, ſectum plano per duo puncta in oppoſitis iſtis hedris tranſver-
ſim ὁμοταγῆ ab ipſo in duas æquas partes dirimitur: Quare ſegmentum 11Similiter
fita. lumnæ hujus infra planum D E I H, eſt ſemiſſis columnæ A B K L in ellipſi
A B tanquam baſe inſidentis. Columnam autem A B K L æquari columnæ
baſis A B, altitudinis A C, hinc palam eſt quia ipſius altitudo altitudini A C
æqualis ſit. Pondus itaque ſubnixum ellipſi A B ęquatur dimidiæ columnæ
cujus baſis ellipſis A B, altitudo æqualis rectæ A C.
125125*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
4 Exemplum.
Quamvis tribus diagrammatis {γρ}αμμικῶς theorematis hujus veritatem evi-
cerimus atque iſta via rationes & cauſæ plenius uberiuſque pateſcant, uberta-
tem tamen iſtam arithmetico calculo 4 hoc exemplo fœcundiorem efficere pla-
cuit. D*ATVM*. Vaſis A B aqua pleni fundum A C D E quadratum hori-
zonti perpendiculare eſto, cujus ſupremum labrum A C pedalis longitudinis
ſit in ſummitate aquæ A C F G, ſitq́ue altitudo A E item pedalis; reliqualon-
gitudo A B pro libitu exporrigatur.
Q*VAESITVM*. Pondus aquæ fundo
175[Figure 175] A C D E annixum dimidię aqueæ columnæ,
baſe iſti fundo, altitudine perpendiculari A E
æquali æquari demonſtrator. At cum columna
iſta hîc cubus ſit pedalis, demonſtrandum erit
fundo A C D E incumbere pondus cubici pe-
dis dimidium.
P*RAEPARATIO*. Tres parallelę H I, K L, M N, contra A C æquali diſtan-
tia rectam A E quadripartitò dividant.
DEMONSTRATIO.
Manifeſtum eſt fundo A I plus inſidere quam o, nam ſi iſtiuſmodi fundum
horizonti effet parallelum nihil ſeu o ipſi inſideret, at nunc cùm infra conſiſtat
plus nihilo ſeu o ipſi incumbit: Et tamen pondus illud citra {1/16} pedis eſt, cum
enim ad horizontem parallelum agitur per H I tantò urgetur pondere: quare
cum in hâc theſi ſuperiori loco conſiſtat, minus ſuſtinet quam pedis cubici {1/16}.
ſimili ratione efficitur in fundo H L plus inſidere quàm {1/16}, minusq́ue {2/16}: item
fundo K N plus {2/16}, minus autem {3/16}: denique fundo M D plus {3/16}, at mi-
nus {4/16}. Addita igitur quatuor pondera (ſi o huc annumeres) in ſingulis termi-
nis priora & minora, hoc eſt, o, {1/16}. {2/16}. {3/16}, danttotum {6/16}: item quatuor poſte-
riora & majora {1/16}, {2/16}, {3/16}, {4/16}, colligunt {10/16}. Quamobrem fundo A C D E inſi-
detpondus quoddam majus quàm {6/16} pedis, at minus quàm {10/16}, interq́ue hos
terminos pes dimidius medius conſiſtit, quem fundo A C D E inſidere de-
monſtrare neceſſum eſt.
Cæterùm qua ratione tribus parallelis fundum quadrifariam diſſecuimus,
eadem omninò via in partes quotlibet optatas dirimetur. ſit denarius ſegmen-
torum optatus numerus. Iam ob cauſas ante expoſitas, decem priora in colla-
tione & minora pondera quæſingulis inſident fundis, uto, {1/100}, {2/100}, {3/100}, {4/100},
{5/100}, {6/100}, {7/100}, {8/100}, {9/100}, collecta efficiunt ſummam {45/100}: ſimiliter poſteriora &
graviora ut {1/100}, {2/100}, {3/100}, {4/100}, {5/100}, {6/100}, {7/100}, {8/100}, {9/100}, {10/100}. dant ſumman; {55/100}.
quamobrem fundo A C D E plus inſidet quàm {45/100} & minus quàm {55/100}, qui
termini utrimque à dimidio pede, propter quem demonſtratio inſtituitur, ab-
ſunt pari intervallo. Atqui quemadmodum hi proprius abſunt à pede dimidio
prioribus illis, nam {45/100} differentia ab {1/2} minor eſt quàm {6/16}; & {55/100}, minor item
differentia quam {10/16}: ita in quo plura ſegmenta æqualia fundum A C D E par-
titus eris, continuò magis magisq́ue ad ipſum dimidium pedem accedes.
Quibus ritè intellectis, fingamus (ſi ſieri poſſit) fundo A C D E plus minusvé
{1/1000} pondere dimidii pedis inſidere: veritatem igitur, fundo in 1000 partis lineis
parallelis ut ante diſtributo, ratione viaq́ue jam uſitata inquiramus. Hîc propter
antecedentes cauſas mille ponduſcula priora mille particulis inſidentia erunt
O {1/1000000}, {2/1000000}, atque ita deinceps, ultimumq́; {999/1000000}, horum omniũ ſumma
1261264 L*IBER* S*TATICÆ* colligendæ compendium infra damus) erit {499500/1000000}: Similiter mille ponduſcula
graviora {1/1000000}, {2/1000000}, {3/1000000}, & c. quorum noviſſimum {1000/100000}, in ſummam colle-
cta efficiunt {500500/1000000}. Quamobrem fundo inſidet põdus majus quàm {499500/1000000}, minus
autem quàm {500500/1000000} unius pedis cubici, atqui {499500/1000000} abeſt duntaxat {1/1000} ab {1/27}, quare
pondus quod inſidet fundo ACDE deficit à dimidio pede defectu minore
quam fit {1/10000}; ſic {500500/1000000} excedit {1/2} pedis ſemiſſem {1/1000}, itaq; ipſi non inſidet pon-
dus {1/1000} dimidium pedem excedens. Simile ratiocinium inſtitues in cæteris,
etiam poſitis quibuſliber quam minimis particulis. Quare evidens eſt difſeten-
tiam (ſi quæ tamen eſſet) inter aquam fundo ACDE inſidentem, & cubici
aquei pedis dimidium, minorem eſſe qualibet quæ animo concipi aut cogita-
tione comprehendi poſſit. Vnde ſyllogiſmum inſtituo.
Pondere, quod ab aquæ dimidio pede abeſt, aliud minore ab eo differentia distans
exhiberi poteſt:
Sed pondere aqueo fundo A C D E inſidente, nullum ab aquæ pede dimidio minus
differens exhiberi poteſt:
Itaque pondus aquæ inſidens fundo A C D E, à dimidio aquæ pede nihil differt.
C*ONCLVSIO*. Itaque fundi regularis, cujus ſummum punctum in aquæ
conſiſtit, & c.
CAuſa cur ſemiſſis iſte inter duos numeros perpetuò magis vicinos, nun-
quam tamen concurrentes conſiſtar, hujuſmodi theoremate exprimitur.
Numeris quotcunqueab unitate deinceps continuatis,
dimidius noviſsimi numeri quadratus cedat ſummæom-
nium, eandemq́ue noviſsimo numero multatam excedit.
SEd ut fidem exſolvam, & compendium in tanta numerorum multitudine
addenda nunc explicem, ita habe. primùm partium iſtarum nomen unum
eſſe & commune, quare hoc poſthabito ipſarum numeris animũ intendamus,
ii igitur ab unitate continuò progreſſu unitate mutuò ſe ſuperant. Itaque ad fa-
ctum à noviſſimo in ſui ſemiſſem multiplicato, is ipſe ſemiſſis additus dabit
optatam ſummam. Exemplum hujuſmodi eſto; quæritur ſumma numerorum
1, 2, 3, 4, 5, 6. Factus à noviſſimo 6 in ſuũ ſemiſſem 3 ad eundem 3 additus dabit
21 optatam ſummam. Vel ſi noviſſimus ſit impar, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: 7 in ſuum ſe-
miſſem 2 {1/2} ductus facit 24 {1/2}, qui cum ſemiſſe 3 {1/2} compoſitus dat 28 optatũ ſum-
mæ totius numerum. At cum noviſſimus iſle impar erit, quî partium numeratio
declinetur, unitatead noviſſimum addito eodemq́; noviſſimo per hujus ſemiſ-
ſem multiplicato commodius abſolves. utſi in eodem exemplo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
quæratur ſumma; adde 1 ad 7 fit 8, cujus ſemiſsis 4 cum noviſsimo 7 multipli-
catus dabit 28 ut priùs. atque ita in cæteris.
NOTATO.
Luia ſupraſcriptus columnæ ſemißis, æquatur integræ item columnæ cujus baſis ſit
fundum datum, altitudo autem ſemißis perpendicularis à ſummo fundi puncto, in pla-
num per imum eius punctum borizonti parallelum demiſſæ; 11 pr opoſhoc modo quoque
enuntiari poterit.
Si fundi regularis ſupremum punctũ ſit in ſumma
127127*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.* ſuperficie, pondusipſi inſidens æquatur columnæaqueæ,
cujus baſis ſit huic fundo æqualis, altitudo ſemiſsi perpen-
dicularis à fundi ſummo in planum per imum ejus pun-
ctum horizonti æquidiſtanter eductum, demiſſæ.
Lua formula poſtremam partem buius 12 propoſitionis efferemus.
10 THEOREMA. 12 PROPOSITIO.
Si fundi regularis ſupremum punctum infra ſummam
aquæ ſuperficiem deliteſcat, pondus ipſi inſidens æquatur
columnæaqueæ cujus baſis huicſundo, altitudo perpendi-
culariab aquæ ſummo in planum per ſummũ ſundi pun-
ctum horizonti parallelum, demiſſæ, atque inſuper ſemiſsi
perpendicularis indidem in alterum planũ perimum fun-
di punctum, horizonti parallelum, continuatæ.
I Exemplum.
D*ATVM*. Fundum regulare A B C D primùm quadrangulum parallelo-
grammum latere ſummo A B infra aquam abditum horizonti parallelum ſumi-
tor, perpendicularis E A per ſummum A utrimque continuata illic aquæ ſum-
mo, hic plano per D C horizonti parallelo occurrat in F, ſitq́ue AG ipſius in-
ferioris continuationis ſemiſsis.
176[Figure 176]
Q*VAESITVM*. Pondus aquaæ
molis nixæ fundo A B C D colum-
næ cujus baſis dicto fundo, altitudo
rectæ E G æqualis ſit, æquari demõ-
ſtrato. P*RAEPARATIO*. Latera
D A, C B uſque ſuperam aquæ ſu-
perficiem in H, I continuata conne-
ctantur recta H I; hinc C K, D L æ-
quales lateri C I & horizonti paral-
lelæ acta L K compleant parallelo-
grammum C D L K & jungantur rectę I K, H L; denique B M, A N lateri
C O, item M O, N P ipſi B C æquales & parallelæ conſtituantur.
Tumq́ue altera figura huic aqueæ ſimilis, magnitudine autem & pondere
æqualis deformetur C D H I K L, hac lege ut C K horizontiad perpendicu-
lum immineat. ut hic.
DEMONSTRATIO.
Eadem eſt corporis ſolidi C D H I K L ſecundi diagrammatis per 11 propoſ.
in C D H I fundum impreſsio, quæ humidi primæ figuræ in fundum ſuum
C D H I, & conſequenter qualis preſſus eſt in illius parte A B C D, talis in hu-
jus parte A B C D quoque erit: ſed impreſsio illius in A B C D eſt ſolidum
A B C D L K M N æquale columnę cujus baſis A B C D; altitudo G E: quare
aquæ põdus inſidens primæ figuræ fundo A B C D æquatur quoque columnę
baſis quidem H B C D, altitudinis verò G E. Corpus autĕ A B C D L K N
1281284 L*IBER* S*TATICÆ* æquari columnæbaſis A B C D, altitudinis GE,
177[Figure 177] patebit demiſſa O Q perpendiculari in planum
A B C D: nam priſma A B C D P O M N æqua-
le eſt ſolido cujus baſis A B C D altitudo O Q:
ſed quia rectæ A H, O C, itemq́ue anguli HAE,
C O Q ſunt æquales, & AE plano per H, E, pun-
cta trajecto perpendicularis, item O Q ei quod
per C, Q, propterea A E & æquatur ipſi O Q:
ideoq́ue parallelepipedum A B C D P O M N,
parallelepipedo in baſin A B C D altitudine
A E inſiſtente erit æquale. At (quemadmodum
jam 11 propoſ. demonſtratum fuit) priſma
M N P O K L æquatur parallelepipedo baſis
A B C D altitudinis A G. quare duo iſta ſolida
addita conſtituunt priſma A B C D L K N M æquale parallelepipedo dictæ
baſis A B C D, altitudinis autem G E.
ALTERA DEMONSTRATIO.
Si per A B agas planum horizonti parallelum ipſi A B C D ſimile & æquale;
huic incumbet per 10 prop. põdus aquæ æquale columnæ baſis A B C D, altitu-
dinis AE: atqui minimùm tantũ põderis inſidet cuilibet fundo humiliori ipſiq́;
æquali: primùm igitur fundo A B C D incumbit columna baſis dictæ A B C D,
altitudinis A E. remota igitur aqua iſta quæ ſuperiori fundo inſidet quodque
ipſi A B C D formavimus æquale, erit A B in reliquę aqu@ ſummitate, atque
ideo per 11 prop. dicto fundo A B C D inſidebit aquea columna baſis A B C D
altitudinis A B; quæ ad ſuperiorem addita cõſtituet columnam baſis A B C D,
altitudinis autem E G, quæ quantitas eſt ponderis fundo A B C D inſidentis.
2 Exemplum.
178[Figure 178]
Fundi regularis A B ſupremum punctum A in aquæ
ſummo, B ſit in imo; perpendicularis A C ab A ſurſum
ad C aquæ ſuperficiem extimam, & deorſum in D ad
planum per B imum punctum horizonti parallelũ con-
tinuata, continuationisq́ue inferioris ſemiſſis eſto A E.
Ajo tantum pondus fundo inſidere, quantum eſt colum-
næ baſis A B altitudinis C E. cujus demonſtratio ante-
cedenti ſimilis eſt.
C*ONCLVSIO*. Itaqueſi fundi regularis ſupremum
punctum, & c.
NOTATO.
Hoc T heoremate, adhibita perpendiculari per ſummum fundipunctum educta, quan-
tum eſſet pondus regulari plano inſidens demonſtr avimus, ſed fundo non regulari pon-
dus hoc istiuſmodi perpendiculari non invenitur. Certum eſt ipſi pondus inſidere æquale
aqueæ columnæ, cuius baſis iſtud ſit fundum, & altituào perp endicularis à ſupremo cius
fundi puncto ad aquæ ſub qua deliteſcit ſummitatem educta, ſedpræterea jamreliguum
@llud pondus non æquatur alteri, columnæ cuius baſis ſit idem fundum altitudo dimidiæ
perpendicularis ab altiſsimo fundi puncto in planum per infimum punctum
129129*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*. parallelum demiſſa. Cuius cauſa hæc eſt, quod columna baſis irregularis, planoper pun-
ctain oppoſitarum baſium ambitu tranſverſim ὸμο{τα}{γῆ} (ut in columnis baſis regularis)
neceſſariò bifariam non dividatur. Cæterùm ut generaliter pondus, etiam cuicunqueir-
regulari fundo inſidens cognoſcatur, Problema huiuſmodi exigimus.
3 PROBLEMA. 13 PROPOSITIO.
Aqueam molem ponderi fundo plano, formæ contin-
gentis inſidenti æqualem invenire.
D*ATVM*. A B fundum planum ſub aqua regularené an irregulare ſit nihil
intereſt. Q*VAESITVM*. Corpus aqueum, quod ponderi fundo A B inſi-
denti æquetur invenire.
CONSTRVCTIO.
Plani A B infinitè continuati & ſupremæ aqueæ ſuperficiei communis ſe-
ctio eſto C, hinc fundi planique alterius & horizonti & fundo perpendicula-
ris communis ſectio per C, ſit C D, ipſiq́ue in plano per D horizonti paralle-
lo agatur æqualis D E quæ hujus & plani per A B communi lectioni perpen-
dicularis ſit: deinde plano C D E excitetur perpendiculare planũ per C & E.
Hinc infinita A F circumagatur æquidiſtanter contra D E per ambitum fun-
179[Figure 179] di A B, qua converſione deformatur corpus
A G H B a duabus infinitorum planorũ par-
tibus A B, G H & ſuperficiemotu lineæ de-
ſcriptâ comprehenſum. Iam ajo molem aquæ
corpori A G H Bæqualem, gravitate æquari
ponderi fundo dato inſidenti.
P*RAEPARATIO*. Alteram figuram prio-
ri ſimilem, æqualem, & iſtiaquæ æquipondiam
figurato, hac lege ut D E horizonti ad perpendiculum immineat.
DEMONSTRATIO.
180[Figure 180]
Quale pondus incumbit ſecundo fundo A B tale inſi-
det primo fundo A B, ut ſupra demonſtratum fuit, ſed
ſecundo A B inſidet pondus corporis A G H B: itaque
etiam primo A B incumbit pondus æquale aqueæ moli
A G H B. Quod inveniſſe & demonſtraſſe fuit propoſi-
tum. C*ONCLVSIO*. Quamobrem aqueam molem,
ponderi fundo plano, formæ contingentis inſidenti,
æqualem invenimus. Quod poſtulabatur.
11 THEOREMA. 14 PROPOSITIO.
Si duo parallelogramma æqualis latitudinis ab aquæ
ſumma ſuperficie deorſum æquali altitudine abdantur,
ipſorum longitudines preſsibus proportionales erunt.
D*ATVM*. In aqua A B C D duo parallelogramma E F, G H, æquali la-
titudine, & infra aquam altitudine, hoc eſt ut perpendiculares FI, H K
1301304 L*IBER* S*TATICÆ* æquales, & ſumma latera E, G in ſuperna aquæ ſuperficie collocentur.
Q*VAESITVM*. Longitudines EF, G H preſſibus aquæ, quibus fundã
EF, GH afficiuntur æquales eſſe.
DEMONSTRATIO.
Pondus aquæ fundo E F inſidentis æquatur per 11 propoſ. aqueæ columnæ
cujus altitudo I F, baſis autem fundum E F. ſimiliter pondus aquæ quod in-
ſidet fundo G H æquatur columnæ aqueæ altitudinis K H baſis G H fundo
1132. p. 11.
t. E. æqualis. quarę ſunt ut baſes: ſed baſis ſeu fun- dum E F eſt ad fundum G H, ut recta E F ad re-
181[Figure 181] ctam G H, nam perhypotheſin æqualem habent
latitudinem: ex æquo itaque longitudo E F erit
ad longitudinem G H ut illius columna, ad co-
lumnam hujus, & conſequenter ut pondus aquæ
illi inſidentis, ad pondus huic inſidentis. C*ONCLVSIO*. Itaque ſi duo pa-
rallelogramma ęqualis latitudinis ab aquæ ſuperficie deorlum altitudine æqua-
li recedunt, ipſorum longitudines preſſibus aquæ ipſi inſidentis proportionales
erunt. Quod demonſtrandum fuit.
4 THEOREMA. 15 PROPOSITIO.
Si parallelogrammi ad horizontem inclinati, cujus
ſupremum latus in aquæ ſuperficie ſumma conſiſtat, duæ
perpendiculares altera in latus imum, altera in planum per
imum latus horizonti parallelum notæ ſint; aquæ ipſi inſi-
dentis pondus invenire.
NOTATO.
Parallelogrammum eſſe aut rectangulum aut obliquangulum, cum{q́ue} ſummo latere
in aquæ ſuperficie collocato ipſa ad horizontem inclinabuntur, id fiet in angulo recto, vel
obliquo. unde quadruplex exemplorum ratio exiſtit, cuius varietatis tam in hoc, quam
duabus ſequentibus propoſitionibus quatuor dabimus exempla. Primum rectanguli ad
horizontem recti, ubi alterum laterum horizonti annuentium & perpendicularis duæ
altera in imum latus, altera in planũ per imum latus horizonti parallelum, una eodem{q́ue}
recta ſunt. Secundum parallelogrammi obliquanguli itidem ad horizontirecti ubi duæ
perpendiculares altera à ſummo latere in imum, altera indidem in planum per imum
latus horizonti parallelum, eadem ſunt linea. Tertium parallelogrammi rectanguli ad
horizontem obliquati ubi latus unam horizonti annuens & perpendicularis a latere
ſummo in imum eadem ſunt recta. Quartum denique parallelogrammi obliquanguli,
ubi dictæ tres lineæ inter ſe diverſae; ſunt.
1 Exemplum.
D*ATVM*. Rectanguli A B C D ad horizontem recti latus extimum A B
inaquæ ſuperficie 4 eſto pedum, A D 3.
Q*VAESITVM*. Aquæ inſidentis fundo A B C D pondus invenire.
131131*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
CONSTRVCTIO.
Latus A B 3 per A D multiplicatum efficit 12 quæ ſecundò
182[Figure 182] per A D 3 multiplicata dabunt 36 cubicos pedes, ejus ſemiſſis
18 numerus optatus. Idem aliter. quadratum ab A B 3 in dimi-
dium lateris A B 4 exhibet 18 pedes, ut ſupra. ſingulis autem
pedibus æſtimatis 65 ℔, efficitur pondus 1170 ℔ iſti fundo in-
nixum.
2 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD parallelogrammum obliquangulum horizonti per-
pendiculare, cujus latus A B in aquæ ſuperficie quatuor ſit pedum, perpendi-
cularis à ſummo latere A B in imum D C eſto A E 3.
Q*VAESITVM*. Aquæ ſundo A B C D ſubnixæ pondus invenire.
CONSTRVCTIO.
A E 3 multiplicata per A B 4 faciunt 12 quæ rur-
183[Figure 183] ſum in A E 3 multiplicata dabunt 36 pedes cubicos,
ejus ſemiſſis 18 ſunt quæſitus pedum cubicorum nu-
merus. Vel, quadrato à 3 in ſemiſſem lateris A B 4
multiplicato, redit idem 18.
3 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD rectangulum ad horizontem obliquatum, ejus latus
A B, in ſuperficie aquæ 6 pedum, A D 4, A E per-
184[Figure 184] pendicularis ab A in planum per D C horizonti pa-
rallelum 3 eſto pedum.
Q*VAE SITVM*. Aquæ fundo A B C D innixæ
pondus invenire.
CONSTRVCTIO.
Quater ſena ſunt 24 hæc per 3 multiplicata fa-
ciunt 72, ejus ſemiſſis 36 optati cubici pedes. Velſic.
factus à ter quaternis in dimidium numeri 6 multiplicatus efficit 36 ut ſupra.
4 Exemplum.
D*ATVM*. ABCD parallelogrammum obliquangulum ad horizontem
obliquum, cujus latus A B in ſuperficie aquęſit pedum 6, A E 4 perpendicu-
laris in latus C D, A F 6 perpendicularis plano ho-
rizonti per C D parallelo.
185[Figure 185]
Q*VAESITUM*. Aquæ fundo A B C D in-
cumbentis pondus invenire.
CONSTRVCTIO.
A E 4 in A B 6 faciunt 24, quæ multiplicata
cum A F 3 efficiunt 72 cubicos pedes, ſemiſſis 36
quæſitus pedum numerus. Velſic. factus à ter qua-
ternis per ſenarii ſemiſſem dabit eoſdem 36 pedes.
1321324 L*IBER* S*TATIC Æ*
DEMONSTRATIO.
Columnæ baſis pedum 12, altitudinis 3, ſoliditas eſt 36 pedum ſemiſſis 18.
rale autem corpus inſidet, per 11 propoſ. fundo A B C D primi exempli. Itaque
ſuſtinet pondus 18 pedum. Cæterorum exemplorum demonſtratio huic ger-
mana eſt.
1 C*ONSECTARIUM*.
Ex quo perſpicitur latere parallelogrammi etiam infra aquam abdito, quo
ratiocinio pondus aqueum ipſi inſidens concludi poſſit. nam additâ, ad pondus
ſupra inventum, columnâ cujus baſis ſit iſtud fundum, & altitudo perpendicu-
laris à ſupremo fundi latere in ſummam aquę ſuperficiem totum hoc erit opta-
tum.
186[Figure 186]
Exemplum tale eſto. Quadranguli A B C D latus
ſupremum A B infra aquæ ſummam ſuperficiem E F
conſiſtat, perpĕdicularis G A, ab A ad ſuperficiem E F,
pedum 3, area parallelogrammi A B C D 20. Iam quod-
ſi A B in ſumma aquæ ſuperficie ſtatuatur, tum ipſi
40 cubicos aqueos pedes inſidere tanquam perantece-
dentem doctrinam concluſum aſſumo; quæritur igitur
quot nunc ſuſtineat@ multiplicato plano A B C D 20
pedum in altitudinem G A 3 fit columna 60 pedum,
quæ compoſita cum 40 exhibet 100 pedes, quorum pondere A B C D fun-
dum prematur.
2 C*ONSECTARIUM*.
Atque cum fundum irregulare dabitur, invenito per 13 propoſ aqueam mo-
lem ponderi fundo illi inſidenti æqualem; ex cujus dimenſione deinde quæſi-
tam gravitatem concludas.
5 PROBLEMA. 16 PROPOSITIO.
Si parallelogrammi ad horizontem inclinati, cujus ſu-
premum latus in aquæ ſuperficie ſumma conſiſtat, duæ
perpendiculares altera à ſummo in latus imum, altera in-
didem in planum per imum latus horizonti parallelum,
cum põdere quod ipſi inſidet nota ſint; ſummum ejuſdem
latus invenire.
1 Exemplum.
D*ATVM*. Quadrangulo rectangulo A B C D ad horizontem recto, cujus
ſummi lateris A B in aquæ ſuperficie ſuprema conſiſtentis lon-
187[Figure 187] gitudo ignoratur, incumbat moles aquea ponderis 18 pedum,
atque A D ſit 3. Q*VAESITVM*. Lateris A B longitudinem
invenire.
CONSTRVCTIO.
Diviſis 18 per quadratum A D 3, redibunt 2, cujus duplum
4 pedes, lateris A D longitudinem definiunt.
133133*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
2 Exemplum.
D*ATUM*. Parallelogrammum obliquangulum
188[Figure 188] A B C D horizonti perpendiculare, huic moles aquea
ponderis 18 pedum incumbit, ejusq́ue ſummi lateris
A B in aquæ extima ſuperficie longitudo ignoratur; at-
qui perpendicularis A E in baſin imam D C datur
pedum. Q*VAESITVM*. Invenire latus A B.
CONSTRVCTIO.
18 per quadratum A E 3 diviſis, quotique 2 duplum erit 4 pro A B.
3 Exemplum.
D*ATVM*. Rectangulum parallelogrammum
189[Figure 189] A B C D horizonti obliquum, cui inſidet moles
aquea pondere pedum 36, ejusq́ue latus ſupremum
in aquæ ſuperficie ſumma longitudinis ſit ignotæ
ſed latus A D 4, & perpendicularis A E à ſummo
latere in planum per latus imum horizonti paralle-
lum, 3 pedum dantur.
Q*VAESITVM*. Invenire latus A B.
CONSTRVCTIO.
Planus ab A E 3 in A D 4 eſt 12, per quem diviſis 36 quotoque 3 duplicato
ſit A B pedum 6.
4 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D parallelogrammum obli-
190[Figure 190] quangulum ad horizontem obliquatum, cui inſi-
det moles aquea ponderis 36 pedum, ejusq́ue ſu-
premum latus A B in aquæ ſumma ſuperficie, lon.
gitudinis ſit ignotæ; ſed A E perpendicularis à
ſummo latere in imum pedum 4, & altera indidem
in planum per imum latus horizonti parallelum
ſit pedum 3.
Q*VAESITVM*. Invenire latus A B.
CONSTRVCTIO.
Planus ab A F 3 in A E 4 eſt 12, qui dividens 36, dabit quotum 3, isq́ue
duplicatus facit A B 6 pedum.
DEMONSTRATIO.
Si in primo exemplo latus A B majus minusvé eſſet 4 pedibus, pondus item
aqueum ipſi inſidens majus minusvé eſſet pedibus 18, quod theſi repugnat.
quare A B eſt pedum 4. REliquorum exemplorum demonſtratio huic eſt ger-
mana. C*ONCLVSIO*. Itaque ſi parallelogrammi ad horizontem incli-
nati, & c.
1341344 L*IBER* S*TATIC Æ*
1 C*ONSECTARIUM*.
Fx quo perſpicitur, quis modus inveniendi ſummilateris erit quando ipſum
infra aquam abſcondetur: nam cum ſubduces à toto aqueæ molis pondere illi
inſidente columnam, cujus baſis ſit ipſum fundum, altitudo perpendicularis à
ſummo latere ad ſupernam aquæ ſuperficiem, reliquum hoc pondus tantum
erit quaſi ſummum iſtud latus in aquæ ſuperficie conſiſteret, unde anteceden-
tem factionem imitatus longitudinem ejus concludes.
Ad inventionem autem iſtius columnæ quam diximus ſubducendam, hac
via inſiſtes. Secato integrum illud datum pondus, integramvé columnam ra-
tione ea, quam habet perpendicularis ab aquæ ſuperficre ſumma in ſupremum
fundi latus demiſſa, ad perpendicularem candem auctam ſemiſſe perpendicu-
laris indidem continuatæ uſque in planum per imum latus horiz onti paralle-
lum. Quod lucem accipiet à 12 propoſ. 1 exemplo. nam ſi pars hæc ſubducen-
da iſtic quæreretur, ſic concluderes. ut EG ad EA, ſic datum pondus ad ſui
partem ſubducendam.
2 C*ONSECTARIUM*.
Et licet hinc invenire longitudinem ſupremi lateris, quando fundum linea
alteri laterum ad horizontem annuentium parallela interſecabitur. Sit, dicis
gratia, in diagrammate 4 exempli agenda G H parallela contra A D, ut in
A G H D inſideat pondus aqueum 12 pedum, jam quę ratio eſt ponderis 12 ad
36 ea eſt ſegmenti A G ad totum latus A B. quare A G erit 2 pedum.
6 PROBLEMA. 17 PROPOSITIO.
Si parallelogrammi ad horizontem inclinati, cujus ſu-
premum latus notum in ſupera aquæ ſuperficie conſiſtat,
perpendicularis à ſummo in planum per latus imum hori-
zonti parallelum, cum pondere ipſi inſidente nota ſint; re.
liquam perpendicularem à latere ſummo in imum demiſ-
ſam invenire.
1 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D rectangulum ad horizontem perpendiculare, cui pon-
dus aqueum 18 pedum inſideat, latusq́ue A B in ſuprema
191[Figure 191] aquæ ſuperficie pedum 4.
Q*VAESITVM*. Invenire A D.
CONSTRVCTIO.
Diviſis 18 per 2 ſemiſſem lateris A B quotus erit 9, cujus
quadrati latus 3 pro A D.
2 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D parallelogrammum obliquãgu-
192[Figure 192] lum horizonti perpendiculare, cui inſiſtit moles aquea
18 pedum ejusq́ue latus ſummum A B, quod in aquę
ſummitate conſiſtit, ſit pedum 4.
Q*VAESITVM*. Invenire rectam A E.
135135*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
CONSTRVCTIO.
Diviſis 18 per 2 ſemiſſem lateris A B, quotus erit 9 hujus quadrati latus 3
pro A E.
3 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D rectangulum horizonti obliquum, cui pondusaquæ
36 pedum inſidet, ejusq́ue ſupremum latus A B
193[Figure 193] 6 pedum in aquæ ſummitate jaceat, unde per-
pendicularis A E in planum per imum latus ho-
rizonti parallelum ſit pedum 3.
Q*VÆSITVM*. Invenire A D.
CONSTRVCTIO.
Diviſis 36 per 3 ſemiſſem lateris A B, quotus
eſt 12, qui per A E 3 diviſus exhibet A D 4 pedum.
4 Exemplum.
D*ATVM*. A B C D parallelogrammum obliquangulum ad horizontem
obliquatum, ſuſtineat pondus molis aqueæ 36 pedum, latusq́ue ſummum A B
in aquæ ſummitate conſtitutum ſit pedum 6, unde A E perpendicularis in la-
tus imum, at A F perpendicularis in planum per
194[Figure 194] imum latus horizonti parallelum ſit pedum 3.
Q*VAESITVM*. Invenire lineam A E.
CONSTRVCTIO.
Diviſis 36 per 3 ſemiſſem ſenarii lateris A B,
quotoq́ue deinceps per A F 3, exibit tandem
A E 4 pedum.
DEMONSTRATIO.
Si A D primi exempli 3 pedibus cederet excederetvé, pondus quoque fun-
do iſti innixum 18 pedibus aut cederet aut præſtaret, quod contra theſin dixiſſe
abſurdum fuerit. quare A D erit pedum 3. Ratio & demonſtratio reliquorum
huic ſimillimè inſtituetur. Itaque ſi parallelogrammi ad horizontem inclina-
ti, & c.
1 C*ONSECTARIUM*.
Ex quo perſpicitur, quæ ratio ſit factionis ubi ſummum latus ſub aqua deli-
teſcit. etenim cum de toto aquæ pondere fundo inſidentis deducetur columna,
cujus baſis ſit ipſum fundum, altitudo autem perpĕdicularis à ſummitate aquæ
in fundi ſupremum latus. relinquetur pondus illud quod inſideret ſi ſummum
latus in aquæ ſuperſicere conſiſteret. unde ſecundum demonſtrata dicta per-
pendicularis concludetur.
2 C*ONSECTARIUM*.
Et licet hinc, cùm recta ſupremo lateri parallela deſecabit fundi partem datus
ſuſtinens pondus, invenire longitudinem perpendicularis à ſummo latere in
parallelam dictam demiſſæ. Vt ſi in 4 exempli paradigmate G H parallela
1361364 L*IBER* S*TATICÆ* tra A B interſecet A D in I, & ſegmento A B H I incumbat pondus aquæ 24
pedum cubicorum. diviſis 24 per 3, quæ femiſſis eſt lateris A B, quotus erit 8:
tumq́ue invenito duos numeros in ratione A F 3 ad A E 4 quorum planus ſit
dictus octonarius; numeriq́ue iſti erunt √ 6 & √ 10 {2/3}, poſterior hic definiet
quantitatem A G: namque G H parallela ex G contra A B auferet planum
A B H I cui per 1, propoſ. molcsaquea 24 pedum innitetur.
NOTATO.
Tribus deinceps continuis propoſitionibus, ex ſententia Breviarii, agendum nobis de
centris gravitatis preſſuum in fundis collectorum Vbi jure funda borizonti parallela
primum ſibi locum depoſcerent, ſed quia ipſorum gravitatis centra (quæ ex ſecundi li-
bri doctrina pateſcunt) à centris preſſuum diverſa non ſint, brevitatis ſtudio novum
nullum de iis theorema inſtituimus. Quare initio ducto à fundis in clinatis, ita or dimur.
12 THEOREMA. 18 PROPOSITIO.
Si parallelogrammiad horizonrem inclina ti recta ſupre-
mum ejus latus, in ſumma aquæ ſuperficie conſiſtens, &
imum ſibi oppoſitum biſecet, hæc à preſſus gravitatis cen-
tro ita tribuitur ut pars ſumma reliquæ ſit dupla.
1 Exemplum.
D*ATVM. * Exponatur aqua A B, fundumq́ue ACDE figura parallelo-
gramma ad horizontem annuens, cujus ſuperũ
195[Figure 195] latus A C ſit in aquæ ſuperficie ſumma, tumq́;
ſuperum inferumq́ue latus A C, E D, biſecen-
tur in F & G, quæ jungat F G in puncto H ita
diviſa ut ſegmentum F H reliqui H G ſit du-
plum.
Q*VAESITVM. * H preſſus quo fundum affi-
citur gravitatis eſſe centrum demonſtrator.
196[Figure 196]
P*RAEPARATIO. * Acta CI ſubtendat an-
gulum C D I æquicrurum; ut priſima A C I D E
ſit dimidia columna, cujus baſis A C D E, alti-
tudo perpendicularis ab A uſque ad planum per
E D horizonti parallelum.
Figurato item alterum corpus K L M N O P
ſimile priori A C I D E, planumque K L M N
plano A C E, & M O horizonti perpendi-
cularis lateri D I homologa ſunto, itemq́ue Q R
ipſi F G: hinc ab S medio lateris O P agantur S Q, S R, atque trianguli Q S R
gravitatis centrum T, unde V X horizonti perpendieularis ſit.
DEMONSTRATIO.
Iam per 11 propof. qua to preſſu corpus K L M N O P afficit fundum
K L M N, tanto afficit aqua A B fundum A C D E; quare preſſuum gravita-
tis centra in fundis K L M N, A C D E ſimili erunt ſitu. Cæterùm T quod
137137*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.* fabrica centrum eſt trianguli Q S R, idem quoque per 15 propoſ. lib. 2. Elem.
Statie. gravitatis centrum eſt corporis K L M N O P, quare V X, cum per cen-
trum T horizonti ad perpendiculum immineat, erit ejus pendula gravitas
diameter, quâ deorſum continuatâ in Y, corpus K L M N O P in puncto X
rectæ X Y innixum (quod mathematicè intelligatur) datum ſervabit ſitum.
ideoq́ue X eſt dicti corporis in fundo K L M N preſſionis gravitatis centrum;
cumque V X educta per centrum T horizonti perpendicularis ſit, etiam pa-
rallela erit contra S R, ideoq́ue per 5 propoſ. 2. lib. Ele. Static. fecat rectam Q R
ratione dupla, ut Q X dupla ſit reliquæ X R. Atqui, ut ſupra jam expoſitum
eſt, centra gravitatis in fundis A C D E, K L M N ſimili ſitu reſpondent. Itaq;
F G ſecabitur ratione dupla ſcilicet in H, atque iſtic erit gravitatis centrum
aqueæ preſſionis collectæ in fundo A C D E.
2 Exemplum.
Propter cauſas 4 exemplo 11 propoſ. expoſitas, linearem hanc demonſtra-
tionem aritbmetico calculo comprobabimus, hoc modo.
Fundum A B C D ſecetur recta E F biſecante oppoſita latera A B, C D,
hinc fundum in aliquot æquas partes (quas menſuras appellabimus) lineis pa-
rallelis diſtribuatur, primumq́ue bipartitò rectâ G H, quæ ſecet E F in I, inq́ue
eâdem ſtatuitor punctum K ut E K reliquæ K F ſit dupla. atque
197[Figure 197] id centrum eſſe preſſionis demonſtrandum eſto, hoc qui ſequi-
tur modo. Si in A B H G una libra aquæ inſideat, in reliquo
G H C D 3 inſidebunt: quæ cum ita ſint, fingo primùm preſ-
ſus gravitatis centrum A B H G conſiſtere in I, ipſiusq́ue
G H C D in F (quamvis certum ſit centra ſublimiora eſſe) tum
igitur I K jugum foret, qui in ſuos radios rationis triplæ divi-
ſus in puncto L, fiet F L {1/4} menſuræ, hoc eſt rectæ I F. Secundò
fingo gravitatis centrum preſſionis A B H G eſſe in E, ipſiusq́;
G H C D in I (quamvis centra manifeſtò infra conſiſtant) itaque commune
ipſorum gravitatis centrum ſupra I cadet in M. Quare verum ipſorum centrum
neceſſariò inter M & L interjacet. ſed quâ viâ fundum hic bipartitò diviſimus,
ita in ſegmenta infinita ipſum poterit diſtingui, inter quæ verum gravitatis cen-
trum perpetuò conſiſtat. Simili inquam ſectione continuata infinitò propiùs
acceditur, & cum experientia ipſa clamet, L punctũ nunquam congruere cum
K, ſed aliquantillum infra ſubſiſtere; itemq́; altrinſecus punctum M nunquam
ad K deſcendere ſed ſupra conſiſtere, concludemus K verum eſſe centrum. Ve-
rumenimverò quia iſta omnium fundorum communis centri inveſtigatio tæ-
dii moleſtiæq́ue plena eſt, aliam compĕdiariam deſcripſimus. Formato ab uni-
tate arith meticam binarii intervallo progreſſionem continuam 1, 3, 5, 7, 9, & c.
nam per 15 propoſ. ſegmentorum fundi A B C D æqualium preſſiones in iſtiuſ-
modi ſunt progreſſu, deinde {1/4} (quæ quantitas eſt ſegmenti F L ante inventa)
ſubjiciatur 3 ut hic vides.
{1/4}
1. 3. 5. 7. 9. 11.
Tumad 4 nomen {1/4} addito tertium ordinis numerum 5, totusq́ue inſcriba-
tur tertio loco, ipſiq́ue pronumeratore ſuperſcribatur 5, qui totus eſt compo-
ſitus ex {1/4} nomine ad numeratorem ſuum addito. ut hic:
{1/4} {3/5}
1. 3. 5. 7. 9. 11.
1381384 L*IBER* S*TATICÆ*
Similiter in cæteris, nam ad numerum qui ipſi 7 inſcribatur inveniendum,
addes nomen 9 ad 7, totus 16 eſt nomen novum, cuiſuperſcribes 14 à 9 & 5 (qui
ſunt numerus nomenq́ue {5/9}) compoſitum. atque ita {14/16} erit numerus debitus ipſi
7, ut infra vides:
{1/4} {5/9} {14/36}
1. 3. 5. 7. 9. 11.
Qua ratione in cæteris continuata, numeros ipſis 9 & 11 inſcribendos inve-
neris. quales hic vides:
{1/4} {5/9} {14/36} {30/29} {55/36}.
1. 3. 5. 7. 9. 11.
Quibus intellectis, ſi quæratur quo punctum L aſcendat fundo in quinque
ęquas partes diſtributo. Sumito numerum quinto loco, hoceſt ipſi 9 inſcriptum
is erit {30/25} ſeu in minimis terminis {6/5}, hic indicabit L F talis fundi quinque-partiti
fore {6/5} menſuræ cognominis partibus, in quas fundum tributũ erit. Sed eam mi-
norem eſſe quam {1/3} E F, punctumq́ue ejus ſummũ L hærere infra K demõſtra-
bitur hoc modo. {6/5} partis unius in quas fundũ ſecatur hoc eſt {6/5} {6/5} ſunt totius EF
{6/25} quas {1/3} excedit {7/75} ejuſdem. tantoq́ue intervallo tunc L punctum in citra K
conſiſtet. porro ut in eadem ſectionelocum ipſius M invenias, addito integram
menſuram ad ſui {6/5} ſumma erit {11/9}, quæ ſunt {11/25} totius E F & majores quam {1/3}
ejuſdem, nam de {11/28} deducta {1/3} relinquitur {8/75}, tantumq́ue M punctum ſupra K
conſiſtet, punctumq́ue hoc ſupernate M cadet ab K {1/75} diſtantius quam in-
fernate L. atque ita in cæteris omnibus. ut cum A B C D ſecabitur in partes
40, F L deprehen detur {20550/1600} unius menſuræ hoc eſt unius quadrageſimæ ipſius
E F. Quo ratiocinio infinitè continuato punctorum L, M acceſſio ad K infi-
nitè quoque vicinior invenietur, quæ tamen nunquam eo pertingat. cujus
neceſſitas ſuperiore exemplo γραμμικως demonſtrata eſt. Cauſam compendii
hujus noſtri, is facilè animadvertet, qui modum 2 propoſ. 1 lib. Elem. Static.
factione prolixa perſequetur. C*ONCLVSIO*. Itaque ſi parallelogrammi ad
horizontem inclinati, & c.
13 THEOREMA. 19 PROPOSITIO.
Si parallelogrammi ad horizontem inclinati ſummum
latus horizonti parallelum intra aquam abditum recta &
ipſum & latus oppoſitũ biſecet; preſſus gravitatis centrum
in iſto fundo collecti partem dictæ rectæ inter ſui ſemiſ-
ſem & trientem inferiorem interjectam ita ſecat, ut pars
trienti inferiori vicina ad reliquam ſit, quemadmodum per-
pendicularis à ſupero fundi latere uſque ad aquæ ſuperfi-
ciem ſummam, ad ſemiſſem perpendicularis indidem de-
miſſæ in planum per imum latus horizonti parallelum.
D*ATVM*. Fundum A B C D ad horizontem inclinatum, ejuſq́ue ſupe-
rum latus A B intra aquam E F deliteſcens horizonti parallela eſt, unde G A
perpendicularis eſt in ſuperam aquæ ſuperficiem, eademq́ue continuata deor-
ſum in ſuperficiem per D C horizonti parallelam ſit A H, ſemiſſis A I,
139139*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*. K L biſecet latera A B, D C, cujus triens inferior L M, atque L N ſemiſſis,
ſeu quod idem eſt N ſit centrum fundi parallelogrammi A B C D: Denique
intervallum M N itaſecetur in O, ut M O ad O N ſit quemadmodum G A
ad H I. Q*VAESITVM*. Gravitatis centrum preſſus aquæ in fundo A B C D
in O conſiſtere demonſtrator. P*RAEPARATIO*. C B, D A uſqueadaquæ
ſuperficiem in P & E, continuan-
198[Figure 198] tor; ſit q́ue C Q horizonti paralle-
la lateri C D perpendicularis ipſiq́;
adeò C P æqualis; denique B R,
A S, lateri C T, item R T, S V ipſi
B C æquales conſtituantur & pa-
rallelæ.
Hanc alteram figuram antece-
denti E P C D Q æqualem, ſimi-
lem, & æquipondiam deformato,
cujus latus C D horizonti ad per-
199[Figure 199] pendiculũ immineat ſitq́; X centrũ
gravitatis columnę ABCDRSVT,
atque Y centrum gravitatis priſma-
tis R S V T Q; denique jungito
X N, Y M.
DEMONSTRATIO.
Cum in ſecundo hoc diagram-
mate X gravitatis centrum ſit pa-
rallelepipedi A B C D R S V T, &
N baſis A B C D, itemq́ue C T
horizonti perpendicularis, etiam
X N horizonti perpendicularis ejusq́; gravitatis pendula diameter erit. ideoq́;
N eſt columnæ iſtius preſſionis centrum, quod autem M ſit preſſus corporis
S R T V Q gravitatis centrum è 18 propoſ. perſpicitur, quamobrem M N erit
ipſorum jugum, iſtud autem in O ita eſt ſectum ut ratio ſegmentorum O M,
O N eadem ſit quæ A G ad A I, ſed ita quoq e eſt parallelepipedum
A B C D R S V T ad priſma S R T V Q: itaq; æqueordinatè ut ABCDRSVT
ad S R T V Q ſic O M ad O N. quare per 1 propoſ. 1 lib. Elem. Static. O cen-
trum erit preſſionis hujus ſecundæ figuræ. Et cum, propter cauſas jam ſæpe di-
ctas, primæ ſecundæq́; figuræ centra ſimili ſitu congruant, O quoque in prima
figura gravitatis erit centrum.
C*ONCLVSIO*. Itaque ſi parallelogrammi ad horizontem inclinati, & c.
7 PROBLEMA. 20 PROPOSITIO.
Dati fundi plani rectilinei, preſſus gravitatis centrum
invenire.
D*ATVM*. Aquæ A B ſuperficies ſuperna A C, datumq́ue fundum recti-
lineum D E. Q*VAESITVM*. Preſſus gravitatis centrum in fundo iſtoc col-
lecti invenire.
1401404 L*IBER* S*TATICÆ*
CONSTRVCTIO.
Primùm corpus aqueum preſſu fundo
200[Figure 200] D E inſidenti æquepondium per 13 propoſ.
inveniatur, idque eſto D E F G, cujus gra-
vitatis centrum per 21 propoſ. 1 lib. Static.
inventum ſit H, unde H I parallela agatur
contra G E, ejus in fundo D E terminus I
optatũ erit preſſus gravitatis centrum; cujus
demonſtratio antecedentium 18 & 19 propoſ. ſimilis erit.
C*ONCLVSIO*. Itaque dati fundi plani rectilinei, & c.
8 PROBLEMA. 21 PROPOSITIO.
Data aqua magnitudinis ignotæ, gravitatis verò notæ;
magnitudinem ex ſua propriaq́ue ponderitate invenire.
NOTA.
Quamvis magnitudinis inventio Geometrica ratione inveniri & explicari
poſſit, quia tamen Statica factio expeditior certiorq́ue ſit, & in corporibus, præ-
ſertim inordinatis propius verum collimet, eam hic exponere ſtatui.
D*ATVM*. Aquæ A magnitudo ignoretur, gravitas autem nota eſto,
hoc eſt per 1 defin. hujus cujus nota magnitudo cognita ponderitate expri-
mitur. Itaque pedem cubicum 65 ℔ pondere taxabo.
Q*VAESITVM. * Magnitudinem A ex ſua ponderitate concludere.
CONSTRVCTIO.
Ponderato aquam A, ſitq́ue 5 ℔, quæ per 65 ℔ diviſæ efficiunt 1 {1/3} pedis
cubici pro quæſita magnitudine corporis A.
DEMONSTRATIO.
Cum enim A ſit 5 ℔, pes autem aquæ ejuſdem 65 ℔ pendeat,
201[Figure 201] ipſaq́ue per 2 poſtul. ponderitatis ſit homogeneæ, ratio ponderi-
tatis ſuæ ad 65 ℔ eadem erit, quæ magnitudinis ad pedem cubi-
cum; atqui 5 ℔ & 65 ℔ eſt ſubtredecupla, itaque etiam magnitu-
dine æquatur 1 {1/3} pedis. quod demonſtraſſe oportebat.
C*ONCLVSIO. * Quare ex aquæ gravitate nota, licet ignota
magnitudine; ipſam magnitudinem eruimus.
9 PROBLEMA. 22 PROPOSITIO.
Datis duorum corporum magnitudinis & materiæ gra-
vitatis rationibus inter ſe, cum pondere alterius, reliqui
quoque pondus invenire.
D*ATVM*. Exponantur corpora A B & C, ſitq́ue A B ad C ut 3 ad 1,
materiæ autem gravitas ut 1 ad 2, atque A B librarum 6.
Q*VAESITVM*. Corporis C pondus invenire.
141141*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS*.
CONSTRVCTIO.
Deſignato D B æquale ipſi C, cum igitur D B triens ſit totius A B 6 ℔,
ipſum D B erit 2 ℔: ſed gravitas materiæ D B ad C, ut 1 ad 2; quare C pen-
det 4 ℔.
DEMONSTRATIO.
Etenim ſi C majoris eſſet ponderis quam 4 ℔, gravi-
tas ejus ad C quæ eſt 2 ℔ (nam C five D B æquantur
202[Figure 202] tertiæ parti A B) erit majore ratione quam dupla; quod
tamen theſi repugnat. quare C non eſt majus eſt 4 ℔.
Sed neque minus eſſe eadem ratione concludes. Itaque
ipſis 4 ℔ æquale. C*ONCLVSIO*. Datis itaque duo-
rum corporum magnitudinis & ſoliditatis rationibus, cum pondere alterius;
reliqui corporis pondus, ut petcbatur, invenimus.
C*ONSECTARIUM*.
Ex his liquet,
Magnitudinis ratione ſublatâ à ratione ponderis, relinqui materiæ gravitatis ra-
tionem.
Et, Materiæ gravitatis ratione ſublatâ à ratione ponderis, relinqui magnitudinis
rationem.
Et, Materiæ gravitatis ratione addita ad rationem magnitudinis binc ponderis ra-
tionem existere.
EX quibus perſpicitur, datis quinque harum rationum terminis ſextum con-
ſtanti ratione inveniri. In exemplo A 6 ℔ eſto,
203[Figure 203] magnitudine 5 pedũ; ponduſq́ue alterius corporis B
ignoretur, aſt magnitudine eſto 2 pedũ, ponderitatis
autem materiæ A ad B ratio, ut 4 ad 7. Iam ad in-
ventionem ignorati ponderis B, addes rationem materiæ ponderitatis, nempe
{4/7} ad rationem magnitudinis {5/2} unde oritur ratio ponderis {10/7}, pondus igitur A
ad B eſt ut 10 ad 7. Itaque quia A pendet 6 ℔, concludes ut 10 ad 7 ſic 6 ℔ ad
pondus B 4 {1/5} ℔.
SEcundò ignoretur magnitudo B, cujus inventio è cæteris quinque terminis
inveſtiganda. Deducito materiæ ponderitatis rationem {4/7}, de ponderis ra-
tione {10/7}, relinquetur magnitudinis ratio {5/2}. Itaque magnitudo A eſt ad B ut 5
ad 2, atqui A eſt 5 pedum, unde concludes etiam B 2 eſſe pedum.
DEnique ignoretur materiæ gravitatis ratio, quę è cognitis reliquis duabus
rationibus ſit eruenda. Subducito magnitudinis rationem {5/2} de ratione
ponderis {11/7}, reliqua erit materiæ gravitatis ratio 4 ad 7.
Quamvis propoſitio iſta & antecedens omni materiæ homogeneæ genera-
lis ſint, maximus tamen uſus circa aquea Zetemata verſari videtur. Atque ita
quarti libri
FINIS ESTO.
142
[Empty page]
143
LIBER QVINTVS
STATICAE
DE
INITIIS PRAXIS
HYDROSTATICES.
1441445 L*IBER* S*TATICÆ*
AD LECTOREM.
EX*PLICATIS* Hydrostatices Elementis, Praxis
ejus bunc ſibi depoſcit locum, vel ſaltem illa quæ
ſuper hâc nobis ſunt cognita; quæ tamen nondum
ſcripto viſum fuit publicare, aſt pragmatice ſolùm
exercere: tribus his propoſitionibus exceptis, quas
modò in lucem damus, cum{q́ue} ex antecedentibus tanquam con-
ſectaria quædam deducantur Hydrostatices praxis nomine
judicamus indignas, ſed quia ipſiaſsident istac parte opusboc
non perfectum, ſed tenui orſu aff ectum exbibemus, quem ami-
ce Lector æquiboni{q́ue} conſulas, cæteraſuo tempore cumfænere
recepturus.
1451455 L*IBER* S*TAT. DE INITIIS PRAXIS* H*YDROSTAT*.
QVomodo navis rerumq́ue quas vehit, aut cujuſlibet ſolidi aquæ innatan-
tis pondus, è data parte demerſa inveniri & concludi queat, jam ſupra 6
propoſitione apertè ſatis ediſſerui; his igitur omiſſis paucula quædam 7 propo-
ſitioni cognata & ab ea dependentia etiam hic proponemus.
1 PROPOSITIO.
Invenire quantò idem corpus materiæ levioris quàm
aqua, in hacaltiùs demergatur, quàm in illa.
Verbigratia, Quæritur quantò altiùs navis Lugodini Batavorum in Rheno
flumine immergatur quam in mari propè Cattorum vicum haud lõgè iſtinc. 11@ att Primum aquæ utriuſque, Rhenanæ ſcilicet & marinæ, materiæ gravitatem in-
quirito, ea erit ut 42 ad 43, ita enim menſe Sextili experientia approbante edo-
ctus ſum. Sumptis enim duobus corporibus parili magnitudine, Rhenanum
pendebat ſcruptula 4260, marinum autem 4362, quorum ratio in minoribus
terminis, ut 42 ad 43 ſatis vicina eſt.
Vnde concludes partem in Rheno demerſam, ad eam quæ in mari juxta
Catto-vicum mergeretur eſſe, ut 43 ad 42, hinc Geometra pro datæ navis for-
mâ rationem altitudinis hujus ad illam judicabit. Cujus concluſionis neceſſitas
è 7 propoſ. hydroſtat. perſpicitur.
2 PROPOSITIO.
Exemplis pragmaticis 10 propoſitionis Hydroſtatices
veritatem comprobare.
Quinto conſectario 10 propoſ. Hydroſtat. mathematicè demonſtratum no-
bis eſt, fundum aquæ characteribus E F iſtic inſignitum, aqua copioſiore, pau-
cioreq́ue in eadem altitudine perindeaffici. Quia tamen non nemo hoc à vero
alienum & naturæ contrarium ſuſpicari poſſet, Mathematicam illam demon-
ſtrationem quinque exemplis, cujus experientia cuilibet in procinctuſit, dein-
ceps ſumus illuſtraturi.
1 Exemplum.
Fundum A B fundo C D ſimilis eſto & æqualis, itemq́ue altitudo E F al-
titudini G H; ſed pars I E inſiſtens ſujectæ aquæ K L B A minor ſit, quam pars
ipſius G C D ſibi reſpondens, pendatq́ue aqua E A B
204[Figure 204] 1 ℔, G C D 10 ℔, ſitq́ue G C D cylindrus, is igitur
ipſius E A B erit decuplus, hujus tamen in fundum
A B impreſſum eſſe tantum aſſerimus, quantus ſit to-
tius G C D in fundum C D. Quod reapſe pragma-
tica machinatione ita demonſtratur.
1461465 L*IBER* S*TATICÆ*
M N O libra eſto, cujus lances M, O;
205[Figure 205] atque M quidem figuræ cylindraceæ æ-
qualis expoſito G C D ideoq́ue 10 li-
brarum aquæ capax; tum Pſolidum ſimi-
le lanci M & minus, ſcapo affigatur uthic
vides.
Inſeratur igitur ſolidum P in lancem
M, ut in ſecunda figura, lanciq́ue O im-
ponatur pondus Q 10 ℔; jam fundum
M tam validè impingetin corpus P quàm
à 10 ℔ impelletur. ſit autĕ corpus P deci-
ma parte minus quam M, ut vacuus inter
utrumque locus 1 ℔ aquæ expleatur, hoc
eſtaquea mole æquante corpus E A B. Itaque 1 ℔ aquæ in lancem infuſa hanc
deprimet, reliquamq́ue attollet, id ipſum teſtante experientia, & 10 propoſi-
tionis demonſtratione approbante. Quare 1 ℔ aquæ in lance M iſtic tantæ erit
potentiæ, quàm 10 ℔ plumbiferrivé aut alterius materiæ ſolidæ eidem lanci M
affixæ. Atque eadem ratione 1 ℔ aquæ, hujuſmodi partium diſpoſitione ma-
joris erit efficaciæ, quam millæ libræ materiæ alterius. Quæ cum ita ſint, aqua
quæ inter utriuſque fundum, corporis P lancisq́ue M interceſſit, fundum M
nunc tam validè preſſat ac prius fun dum corporis P, hoc eſt, ac 10 ℔; cùm pon-
206[Figure 206] dus Q 10 ℔ in reliqua lance O immiſſum ſit.
Itemq́ue contra aqua tanta vehementia premit
fundum lancis M, quanta eſt efficientia 10 ℔
Q. ponamus autem aquam in fundo M æqua-
riipſi K L B A, reliquam autem ipſi P circum-
fuſam, reliquæ I E. Quare aqua E A B tam
potenter preſiat fundum A B, quàm hæc aqua
fundum M, ideoq́ue E A B premit ſuum fun-
dum A B æquivalenter 10 ℔, ſed tantus eſt
item preſius aquæ G C D contra fundum
C D. Quamobrem, quod pragmaticè con-
firmare ſtatueramus, aqua E A B pondere 1 ℔
ſuum fundum A B æquè validè premit, atque
G C D 10 ℔ fundum C D. Pari ratione evin-
ces, vel 1 ℔ preſſare potentiùs mille libris.
2 Exemplum.
Tubulus eſto A B C D, & C D E F vas amplum ac ſpiſſum, utraque aquæ
plena, ſuperficiebus in eadem mundana ſuperficie conſi-
207[Figure 207] ſtentibus, inſidentia communi fundo C D. hîc fundum
C D ab amplo vaſe C D E F non validius premi quam à
tubulo A B C D, patebit ipſo ablato, ut aqua aquam
tangat; nam ſi ante aqua C D E F fundum D C preſſit va-
lidiùs quàm A B C D, idem quoque nunc fiet, & poten-
tior debiliorem loco pellet, quare aquam A B C D aſcen-
dere, & C D E F deſcendere neceſſe fuerit: atque ita ipſa-
rum ſupernæ ſuperficies inæquali altitudine ſupra horizontem extarent,
147147*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.* experientiæ manifeſtè repugnat. Quamobrem minor aquæ copia A B C D
premit fundum C D æquivalenter majori C D E F.
3 Exemplum.
Vas A B C D aquæ plenum, cujus fundum D C horizonti parallelum ro-
tundo foramine pertundatur, quod ligneus tegat orbis G H materie quàm
aqua levior. Exponatur deinde vas alterum I K L ſuperiori quidem æquealtum,
ſed minus & aquæ item plenum, cujus fundũ ad M N perforatum æqualiter an-
tecedenti E F, & orbe quoque O P ipſi G H æquali obtegatur. Quibus poſitis,
orbis G H contra communem ligni naturam vimq́ue ingenitam ex aqua non
emerget, ſed foramini E F incumbens tam valenter premet quàm columna
aquea E F Q R multata differentiâ ponde-
208[Figure 208] rũ lignei orbis G H & aquæ ipſi æqualis. Et
quî experimento hoc cognoſcas, orbi G H
libram affigito, cujus pondus S ponderi di-
cto æquale ſit, eritq́ue orbis G H ipſi æqui-
libris. Similiter firmato ad orbem O P li-
bram, cujus pondus T ſuperiori S æque-
ponderet, orbisq́ue hic O P ponderi T ma-
nebit æquilibris. auctis autem ponderibus
S, T, orbes G H, O P attollentur, atque
adeò hâc viâ deprehĕdes orbes iſtos in fun-
da ſubjecta æqualem impreſsionem facere; unde propoſiti veritas perſpicitur
videlicet minorem aquæ molem I K L tam validè quàm majorem A B C D
premere fundum ſibi ſubjectum.
NOTATO.
Si differentia ponderis orbis G H à pondere ãquæ ſibi æqualis, excederet
columnam aqueam E F Q R, orbem G H iſtic non hæſurum ſed à foramine
ſurſum emerſurum.
Præterea ſi diſcus G H eſſet è plumbo, fervovè, aut alia materiâ graviore
quam aqua formatus, ejus in ſubjectum foramen impreſsionem fore tantam,
quanta ſit columnæ aqueę E F Q R auctæ differentia ponderis, quę inter H or-
bem dictum & aquæ molem ſibi æqualem intercedit.
Denique ſi G H materiâ eſſet aquæ æquilibri, impreſſionem ejus in fora-
men E F, columnæ aqueæ E F Q R, æqualem fore.
4 Exemplum.
Eſto A B C D vas aquę plenum, cujus fundum C D pertuſum ſit ſpatio E F
atque ipſi incumbat orbis diſcusve materię levioris quam
209[Figure 209] aqua, is tantam impreſſionem faciet in foramen E F quan-
tam ſupra oſten dimus: exponatur item tubulus I K L cu-
jus ſummum foramen I eâdem ſit altitudine cum A B,
imum eſto E F. Canaliculus hic aqua oppletus tam vali-
dè parte inferna preſſabit orbem G H quam univerſa aqua
A B C D ipſi inſidens parte oppoſita, quia orbis G H ad-
ſcendet. Atque adeò 1 ℔ aquę (tantæ enim aquæ capacem
fingo canaliculum) in orbe G H majorem efficientiam exerere poterit
1481485 L*IBER* S*TATICÆ* centies millenę libræ, cujuſmodi in ſuperiore figura S: cujus ſi cauſa ignota
eſſet, naturæ arcanum meritiſſimò dici poſſet.
5 Exemplum.
210[Figure 210]
Denique quî etiam pragmaticè exempla 3 conſ. 10
propoſ. ubi aqua fundum premit inſernâ parte, com-
probemus; exponatur aqua A B C D, & tubus E F,
G orbis plum beus materię põderioſioris quàm aqua,
ut vides in priore diagrammate.
Is orbis foramini F fubditus accuratè cõgruat, jam tubo
211[Figure 211] cum orbe in aquam immiſſo, orbis G ſecundum naturam
plumbo ingenitam non mergetur, ſed tubo affixus hære-
bit, ac tam valide aquam premet, quàm pondus aqueæ co-
lumnæ cujus fundum F, altitudo H I, multatum differentia
ponderum orbis G atque aquæ ſibi æqualis. Sin verò orbis
G non ſatis arctè claudat tubum ut aqua ingrediatur, non
ante G à tubo recedet, quam dictum pondus ab aqua in tu-
bum admiſſa ſuperetur.
Et ne quis arbitretur magnam aquę molem quâ cir-
212[Figure 212] cumquaque tubus cingitur, majori preſſu tubum af-
ficere, quàm minorem ejuſdem altitudinis. tollatur
omnis aqua circumfuſa ut reliqua duntaxat ſit quan-
tulam in ſubjecto diagrammate vides, nihilominus ta-
men cognoſces aquam minorem (exploratâ preſſio-
nis potentiâ tubo G modo in hoc, modo in illud vas
impoſito) tam potenter tubum premere, quàm iſtam
majorem. Cujus cauſa ſupra accuratè expoſita eſt.
C*ONCLVSIO. * Itaque exemplis 10 propoſitionem Elementorum Hy-
droſtatices pragmaticè illuſtravimus.
NOTATO.
Ex II propoſitione præter cætera etiam hoc cognoſci poteſt quantum aquæ pondus
emiſſariorum cataractis, & ſimilibus incumbat. Præterea aquam vel unguis unius la-
titudine ab una parte æquè potenter premere, atque altrinſecus alteram cuius latitudo
vel ipſi Oceano æqualis ſit, modo in eâdem altitudine conſistant. Quæ cum per ſe ſint
ſatis manifeſta nullis exemplis ea declaramus.
3 PROPOSITIO.
Cauſam reddere cur homo altè infra aquam natans
maximo ejus pondere non opprimatur.
Humani corporis planum occupet pedes 10, is infra aquam 20 pedes de-
merſus, aquę pede cubico 65 ℔ æſtimato, ſuſtinebit per 10 & 11 prop. de Elem.
Hydroſtat. 13000 ℔. Quamobrem qui poteſt, ut tanto pondere preſſus non
opprimatur; Cauſa autem hæceſt:
149149*DE* H*YDROSTATICES ELEMENTIS.*
Omni preſſu quo corpus dolore afficitur, pars aliqua corporis luxatur.
Sed isto preſſu nulla corporis pars luxatur.
Iſto igitur preſſu corpus dolore nullo afficitur.
Aſſumptio ſyllogiſmi reipſa manifeſta eſt, nam ſi pars aliqua ut caro, ſanguis,
humor aut quodlibet denique membrum luxaretur, in alium locum concedat
neceſſe eſſet; atqui locus ille non eſt extra corpus, cum aqua undique æquali
preſſu circumfuſa ſit (quod verò pars ima per 11 propoſ. Hydroſtat. paulò vali-
diùs prematur ſuperiore, id hoc caſu nullius momenti eſt, quia tantula differen-
tia partem nullam ſede ſua dimovere poteſt) neque item intra ipſum corpus
concedit, cum iſtic corpore omnia oppleta ſint, unde ſingulæ partes ſingulis
partibus æqualiter reſiſtunt, namq́ue aqua undiquaque eadem ratione corpus
totum circumſtat. Quare cum locus is nec intra neque extra corpus ſit, abſur-
dum imò impoſsibile fuerit partem ullam ſuo loco emoveri, ideoq́; nec corpus
hinc afficietur ullo dolore.
Sed in exemplo clarius ita intelliges, eſto A B C D aqua cujus fundũ D C,
in quo foramen E habeat epiſtomium ſibi inſertum, cui dorſo incumbat ho-
mo F. Quæ cum ita ſint, ab aquæ pondere ipſi inſidente nulla pars corporis
luxari poterit, cùm aqua ut dictum eſt, undique urgeat æqualiter.
Si vero ejus veritatem explorare libeat, eximito epiſto
213[Figure 213] mium E, tumq́ue tergum nulla re fultum ſuſtinebitur, ut in
locis cæteris; ideoq́ue iſtic tanto preſſu afficietur, quantus
3 exemplo 2 propoſitionis hujus demonſtratus eſt, vide-
licet quantam efficit columna aquea cujus baſis ſit foramen
E altitudo autem eadem quæ aquæ ipſi inſidentis. Quo
exemplo propoſiti veritas manifeſtò declaratur. Itaque hic
Quinti Libri
FINIS ESTO.
150150
*APPENDIX*
STATICES,
VBI INTER ALIA ERRORES
quidam Στατπκών I’ {δι}ω{μά}των refelluntur.
AD LECTOREM.
COgitanti mihi & memoria repetenti quantùm
ſæpenumero contentiones autorum concer ta-
tiones{q́ue} in diſputando pertinaces diſplicuiſſent,
cùm animi pervicacia impulſi aliorum erratis
adeò contemptim inſultarent, ut morum ſuo-
rum vitia longè deteriora proderent; quamvis amplum cam-
pum & tanquam Mar at honium ad errores in Staticis idio-
matis à ſcriptoribus commiſſos refellendum, apertum cerne-
rem: ſcrupulus tamen ille injectus mihi eſt ne iis detegendis Le-
ctori in idem vitium, quod in aliis reprehendo, ipſemet impin-
gere viderer. Contra autem conſider anti taciturnitate nostra
(nam ſuperioribus libris ſtudiosè cavimus, ne doctrina iſtiuſ-
modi argumentorum velit atione obſcur aretur) nonnullos in
errores falſas{q́ue} opiniones incidere poſſe; medium quoddam ge-
nus ſecutus ſum, ut pro ſingulis variorum erroribus, ſumma
duntaxat genera, & communes cauſas duobus proximis capi-
tibus explicarem: non quì adeò celebrium ſcriptorum exiſtima-
tioni aut famæ quidquam derogem; ſed potius ut eam gratare-
cordatione augeam, utpote qui ſectatores ſuos ad horum inve-
ſtigationem commoverint, ſine quibus eſſet, multa egregia &
ſcitu neceſſaria in occulto abdita laterent.
151151S*TATICES.*
C*APVT I.*
Cauſam æquilibritatis ſitus non eſſe in circulis ab extre=
mitatibus radiorum deſcriptis.
CVr pondera æqualia in æqualibus radiis ſitu æquiponderent, communi
notioneſcitur: at non perinde patet cauſa æquamenti ponderum inæ-
qualium in radiis diſparibus, quique ponderibus ſuis reciprocè propor-
tionales ſint. hanc veteres circulis decircinatis à radiorum extremitatibus ineſſe
crediderunt, quemadmodum apud Ariſtotelem in Mechanicis ejusq́ueſectato-
res videre licet, quod falſum eſſehoc pacto redarguimus.
Quieſcens nullum deſcribit circulum:
Duo ſitu æquilibria quieſcunt:
Itaque duo ſitu æquilibria nullum deſcribunt circulum.
Et conſequenter nullus erit circulus; atqui ſublato circulo etiam cauſa tolli-
tur quæ ipſi ſubeſt, quare cauſa æquilibritatis ſitus in circulis hîc non latet. Mo-
tus autem iſte (ut aſſumptionem noſtri ſyllogiſmi confirmemus) ſivè circulo-
rum deſcriptio qui hic cernitur, æquiponderantibus propriè non ineſt; ſed
cafu contingit, ut vento aliove impulſu quo non hæc ſolùm, ſed ἀνιοὀῤῥοπα
pondera quælibet etiam circulos deſcribent. Quamobrem in his circulis cauſa
æquilibritatis nulla eſt: ſed iis quæ 1 propoſ. 1 lib. Elem. Staticor. Mathematicè
demonſtravimus: minimeq́ue mirum ſi ii, qui errores iſtiuſmodi pro veritate
uſurpabant, ad cauſarum cognitionem non penetrarint, aut nulla Statices for-
mâ inventa, à verò adeò diverſi abierint, multis falſis propoſitionibus ſeſe exer-
centes, quas ſigillatim, propter cauſas ſupra expoſitas, nuncnõ refellimus; atque
eo magis quod à contraria veritatis norma facillimè coarguantur.
Propoſitiones item Cardani nonnullas lib. 5. Proportion. de ponderibus
obliquatis, quarum judicium è certis quibuſdam angulis, lineis, planisq́ue in-
ſtituit, falſas & à vero alienas eſſe, ne longior hic ſim, è 19 propoſ. 1 lib. Static.
facillime perſpicitur.
C*APVT II.*
Res motas impedimentis ſuis non eſſe propor-
tionales.
IN Praxis Statices ad Lectorem præfatione diximus res motas ſuis impedi-
mentis non eſſe proportionales, ejusq́ue demonſtrationi hunc locum de-
ſtinavimus, ut argumenta aliter ſentientium refutemus. Principiò Ariſtoteles
ejusq́ue ſectatores 4 Phyſic. cap. de inani exiſtimat corporibus duobus ſimili-
bus, & materiâ æquipondiis per aërem delapſis eandem eſſe rationem ponde-
ris ad pondus quæ velocitatis illius ad velocitatem hujus, id eſt quæ ſit impe-
dimenti ad impedimentum. Quam ſententiam variis locis clarius proponit, ut
6 Phyſic. item 1, 2, 3 4 de Cælo, aliisq́ue compluribus. ſententiam hanc Ioannes
Taiſnerus Hannonius oppugnavit, proportionem quidem hactenus admittens
ut corpora iſta æquali temporis ſpatio æqualia permeent intervallo. Cui opi-
nioni Cardanus lib. 5. Proportion. propoſ. 110. conſentit. Sed utroſque hallucinari
ipſa experientia demonſtrabimus, ac deinde ejus cauſam declarabimus.
152152A*PPENDIX* rientia verò contra Ariſtotelem iſtiuſmodi eſt; ſumito duos plumbeos globos
(quod Cl. vir I*OANNES* G*ROTIVS* ſedulus naturæ indagator, & ego
quondam experti ſumus) ponderis ratione decupla, eos altitudine 30 pedum
pariter demittito in ſubjectum aſſerem, aliudve ſolidum unde ſonus clarè red-
datur; manifeſtè cognoſces leviorem non decuplo tardius graviore, ſed pariter
in aſſerem incidere ut ſonitus utriuſque illiſu redditus unus idemq́ue videatur.
Idem contingit in corporibus magnitudinis æqualis, gravitatis verò decuplæ:
Quare dicta iſta Ariſtotelis proportio à vero aliena eſt. Sed alterum experimen-
tum hujuſmodi cõtra T aiſnerum facit: Sumito è goſſipio lanavè tenue quoddam
& exile filum, atq; ſarcinulam ex eadem materia pondere unius libræ densè fir-
miterq́ue colligatam, & formâ filo ſimili, hęc pariter quinque aut ſex pedum al-
titudine demittito, re ipſa cognoſces filum longe diutius in aëre morari, quàm
ſarcinulam, etſi fili materia longe compactior denſiorq́; ſit ſarcinulâ quæ mul-
tum aëris admittit. Quare æquale ſpacium ab ipſis pari velocitate nõ tranſitur.
Altera item experientia T aiſnerum redarguit in pondere adſcĕ dente ſive emer-
gente, in phialâ enim vitreâ aquæ plenâ agitatâ, ut multæ excitentur bullulæ
ſimulac quievit videbis majores bullas citiſſime atque unico momento, mino-
res verò emergere tardiùs, minimas autem bullulas inſtar tenuiſſimarum arenu-
larum lentiſſimè, & tanquam teſtudineo gradu ſurſum prorepere, quarum om-
nium motus ab æquali velocitate vel tarditate longè abeſt. Atque hactenus de
experientia. Supereſt ut dicamus cur hîc nulla ſit proportio, hoc modo. Quod-
libet corpus movens habet quoddam motus ſui impedimentum, quod in cor-
pore per aërem delato eſt aëris & ſuperficiei ſuæ contactus; ideoq́ue ſimilium
corporum majus, majore quoque afficitur impedimento, ſed quia ſimilia ſolida
ſuperficiebus ſuis non ſunt proportionalia (nam cubi in ratione octupla, ha-
bent ſuperficies ratione quadrupla) nec impedimentis proportionalia eſſe poſ-
ſunt: atque hinc eſt quod minora corpora majus impedimentum patiantur, ra-
tione proportionis, & propterea tardiùs deſcendant quam majora.
Imò quamvis ſuperficies corporibus ſuis eſſent proportionales, medium ta-
men per quod cadunt, quodammodo proportionem hanc evertit, ut in duobus
corpo ribus altero in aqua innatante, altero mergente animad erti facilè poteſt,
in quibus impedimenta ſuperficierum quandam inter ſe habent rationem, tem-
pora verò nullam, ideoq́ue proportionalia non ſunt. ſed dicat aliquis id intelli-
gi ſolum cæteris paribus, videlicet quando utrumque corpus mergetur. Nego
tamen in his ullam proportionem conſiſtere. Sumptis enim duobus corporibus
A, B quarum utrumque in aqua mergatur, ſintq́ue in dicta proportione. his po-
ſitis, manifeſtum eſt infinita poſſe inveniri corpora inæquali gravitate minori
quàm B, & quæ in aqua demergantur, paulatimq́ue ita propius accedetur ad
corpus immerſabile, cujus nulla cum corpore quod mergitur ſit proportio. Sed
illis eò contimè accedentibus, atque A, B in data proportione conſiſtentibus,
certè nullum infinitorũ illorum corporum ipſi A comparatum proportionem
iſtam habebit; quia ſi in his eſſet, certè ad alterum non accederent quod theſi
cõceſſæ repugnat. Quamobrem medium quoque per quod corpora permeant
dictam proportionem prohibet.
Cumq́ue in mediis ordinatiſſimis & ubique homogeneis nullam motus &
impedimentorum proportionem ineſſe demonſtraverimus, ubi ſimplex ſuper-
ficiei cum aëre vel aqua ſit contactus. longè firmiori ratione nulla proportio
inerit exemplis magis inordinatis materiæq́ue non unius generis ſed variæ, ut
in machinis partim ligneis partim ferreis cæterisq́ue ſimilibus, namq́ue ibi
153153S*TATICES*. axungia illud oleo perungitur; aliud humido aëre turgeſcit, aliud erugine cor-
ripitur, quæ omnia (ut multa alia omittam) machinarum motus modò expe-
diunt, modò impediunt. Itaque ut in Statices Praxis præfatione dictum eſt, hu-
juſmodi proportioni, quæ probabilis videtur, nullo modo fidendum eſt: quin
omnia iſta quæ Cardanus 5 Proport. lib. in variis propoſitionibus, aliiq́ue quam
plurimi hinc deducunt, falſa & veri vana habenda ſunt. Eoſohis motus & mo-
vendi æquilibrio contenti ſimus, quippe quæ his abundè ſatis faciat.
C*AP. III.*
Staticam eſſe Mathematicarum Liberalium
artium unam.
QVamvis de iſtarum rerum nominibus quibus doctrina nihil obſcuratur
controvertere, aut in diſceptationem vocare ſupervacaneum ſit; non eſt
tamen cur hæc eò pertinere quis arbitretur; nam nos cum uſui erit Staticam li-
beralem artem appellabimus, atq; ideo ejus appellationis rationem redderene-
ceſſe fuerit. Quemadmodum igitur numeri & magnitudinis materia diverſa,
meritiſſimò quoque artium ſuarum limites & confinia ſecernenda diſtinguit;
illaq́ue Arithmeticæ hæc Geometriæ terminis circumſcribitur, ut ſingulæ con-
venientiori ordine, magis propriè, magisq́; perſpicuè deſcribantur & docean-
tur: cumq́ue ſubtilis materies iſtis artibus ſubjecta à natura nobis ingenita aut
cognita non ſit; ſed è variorum ſcriptis qui ſummo ſtudio maximaq́ue diligen-
tia in his ſeſe exercuere, imò non rarò caſu notitiam excellentium rerum ſunt
adepti, perdiſcenda ſit; atque illarum cognitio humano uſui perquam neceſſa-
ria, ideoq́ue homine ingenuo digna, unde ipſæ liberales artes appellantur, &
ſua certitudine reliquas artes longè antecellant; meritò Mathematicæ appellan-
tur, cum ita eſſe non perſuadeant, ſed demonſtrando cogant, doceantq́ue. Pari
ratione etiam Statica iſtis connumeranda, partim quia hujus materia gravitas,
ſit ab illarum utraque, numero ſcilicet & magnitudine, diverſa; partim etiam
quia proprietates hujus ſubtilitate quoque illis non cedant, cujus vel hoc ar-
gumentum ſit, quod omnium tardiſſimè è tenebris eruta, in lucem ſit edita. De-
nique cum ab ultimis uſque initiis tantæ certitudinis ſit, quantæ illæ pari jure
peculiaris quædam ars Liberalis Mathematica, & propria quoque cenſebitur.
Objiciat autem quis, Geometricas figurationes in ipſius demonſtrationibus
non rarò adhiberi, ideoq́; ejus eſſe quandam ſpeciem. Reſpondeo idem Arith-
meticæ accidere; etenim quæ habet theoremata quarum cognitio non penitus
ex ipſa Geometria ſit repetenda? Imo ne Geometria quidem ipſa ſe abſq; nu-
meris tuebitur, aut defendet. Inſpice ſodes elementa Geometrica, quoties quæ-
ſo figura figuræ dupla, item tria plana duobus æquari dicuntur? unde conſtat
propoſitiones Geometricas abſque numeris demonſtrari non poſſe, quamvis
artes inter ſe ſint diverſæ & diſtinctæ; atque eadem Staticæ doctrinæ ratio erit.
Præterea Opticæ & Catoptricæ, quæ non peculiares artes Mathematicæ ſed
Geometrici generis omnino cenſentur, alia eſt ratio, quam Staticæ, & multùm
diſſimilis. nam Staticæ materia ſeu ſubjectum quæ eſt gravitas, non ſecus quàm
magnitudo, & numerus (quia omnia, ut eſt in veteri proverbio conſtant pon-
dere, numero, & menſura) in qualibet ſubſtantia magno hominum commodo
deprehenduntur; ſed ſuperiores iſtæ non item. Quare ut diximus Statica me-
ritò liberalium Mathematicarum artium unafuerit.
154154A*PPENDIX*
C*APVT IV.*
Demonstrationum ſupraſcriptarum nonnullas per nume@
rosinstitutas, Mathematicas eſſe.
MAthematicæ & Mechanicæ demonſtrationis à doctis annotatur differen-
tia, neque injuria. Nam illa omnibus generalis eſt, & rationem cur ita ſit
penitus demonſtrat, hæc verò in ſubjecto duntaxat paradigmate numeris de-
clarat. Vt ſi demonſtraturus in rectangulo triangulo baſin recti æquè poſſe cru-
ribus, aſſumat triangulum cujus minimum latus ſit 3, ſecundum 4, tertium 5 pe-
dum, hocq́ue rectangulum eſſe deprehendatur; tumq́ue oſtendat maximi la-
teris quadratum 25, æquari reliquorum laterum quadratis 16 & 9. Sed demon-
ſtratio hujuſmodi tantum eſt propoſiti exempli, unde non concluſeris omnibus
rectangulis triangulis idem contingere, neque hinc cur id fiat evidens eſt; &
quia opus hujuſmodi machinationein ſpeciali exemplo inſtituitur, mechanica
demonſtratio appellatur: ſed illa quam Euclides 47 propoſ. 1 lib. uſurpat ca-
tholica eſt & univerſalis, cauſam repetens ab ipſis elementis cur ita neceſſariò, &
non aliter ſe habere poſſit: hæc propter certitudinem in demonſtrando, & do-
cendo infallibilem Mathematica dicitur; ideoq́ue etiam ab ipſis Mathematicis
potior cenſetur & frequentiùs uſurpatur, quam illa per numeros mechanica.
Vnde objectionem mihi paratam intelligo, cur 4, 11, 12, 18 propoſitiones 2. lib.
Elem. Statices numeris adhibitis explicarim & demonſtrarim. Cui occurritur,
demonſtrationem in numeris dupliciter inſtitui; alteram ubi tanquam termini
rationem, proportionemq́ue partium expoſitæ figuræ declarant; alteram ubi
quantitatem. Illa Mathematica eſt quia univerſim ſpeciei datæ figuræ conve-
niat, & in ipſis cauſam declaret; hæc autem non item, ob rationes iſtis contra-
rias. Quain re Eutochius in ſuis in Apollonium cõmentariis 11 prop. lib. 1. mecum
facit, dum ait: Non perturbentur qui in hæc inciderint, quodillud ex Arithmeticis de-
monſtretur: antiqui enim hujuſmodi demonſtrationibus ſæpe uti conſueverunt; quæ ta-
men Mathematicæ potius ſunt, quam Arithmeticæpropter analogias. adde quod quæſi-
tum Arithmeticam ſit; nam rationes & rationum quantitates, & multiplicationes pri-
mò numeris, ſecundo loco per numeros & magnitudinibus inſunt, ex illius ſententia
qui ita ſcripſit: Ταῦ{τα} {γὰρ} τὰ μα{θή}μα{τα} δοκ{οῦ}ν{τι} {εἶ}μεν ἀδελφά. hoc eſt, hæ enim Ma-
thematicæ diſciplinæ germanæ eſſe videntur. Inſuperautĕ objiciatur in Archimedis,
Ptolomæi, Apollonii, & inter recentiores Comandini, Regiomontani, aliorumq́ue
ſimilium propoſitionibus ipſam rationem, non autem rationis terminos in nu-
meris nominatim proponi, quod à nobis factitatum ſit; cui reſponſio expedita
eſt & in promptu; eodem jure atque ab illis citatur ratio dupla, tripla, quadru-
pla, eodem in quam jure, citari etiam rationem duodecuplam, quale illud in di-
cta 23 propoſ. A D ad R D; item rationem 37 ad 23 ſive ſuperquatuordecu-
partientem vigeſimastertias ipſius A R ad R D in ſupraſcripta propoſitione 11,
cum idem ſit rationem, & rationum terminos proponere. nam iſtarum li-
nearum in expoſitis figurarum illarum generibus alia ratio nulla eſt. Cum au-
tem numerorum uſus ſit in perveſtigandis iſtiuſmodi figurarum proprietati-
bus, ut his ducibus & commõſtratoribus facilè & perſpicuè res ipſas pernoſca-
mus, etiam neceſſe fuit in illarum deſcriptione numeros eoſdem adſcribere, ne
aliis obſcurum ſit, quod earum autoribus & inventoribus clarum fuerit, namq́;
hæc ipſa eſt vera & Mathematica demonſtratio, propoſiti veritatem ab ipſis
cauſis repetere.
155155S*TATICES*.
Notandum autem nonnullas demonſtrationes 1 lib. Static. itemq́ue Hydro-
ſtat. ubi gravitas numero, notaq́ue librarum menſura exprimitur, ut mechanicis
demonſtrationibus accenſeri debere videantur, geminas à nobis exhibitas eſſe;
alteras Arithmeticas ut 1 exemplo 1 propoſ. 1 lib. ubi propoſitionis ſententia
Arithmetico calculo oſtenditur, quam Mathematica demonſtratio ſecundo
exemplo ſtatim ſubſequitur. Vt Mechanica demonſtratio Mathematicæ non-
nunquam tanquam miniſtra facem alluceat.
C*APVT V.*
Vbi Propoſitio 8 Hydrostatices illustratur,
& clariùs exponitur.
OCtava propoſitio Hydroſt. docet: Solidum in aqua levius eſſe quam in aëre
pondere aquæ magnitudine ſibi æqualis. Vnde quis conſectaria hujuſmodi de-
duceret: Solidum quodlibet in hydrargyro levius eſt quàm in aqua magnitudine hy-
drargyriſibi æqualis. Velaliud hoc modo: Solidum quodlibet in aqua levius eſt quam
in oleo magnitudine aquæ ſibi æqualis; ſimiliq́ue analogia in cæteris. Quæ vera de-
ductio, re ſimpliciter conſiderata experiĕtiæ contraria videtur; nam libra plum-
binõ erit in aqua levior quam in oleo, põdere aquę ſibi æqualis, ſed tantò dun-
taxat levior quanta erit differentia aquæ & olei dictæ plumbeæ libræ magnitu-
dine æqualium. Sed tamen re penſiculatius expenſa theorema noſtrum omni-
bus numeris perfectum animadvertet, ſiquidem 1 poſtul. Elem. Hydroſt. petie-
rim concedi, Ponderitatem corporum in aëre appellari propriè, item 5 poſt. Vas ſu-
perficiarium effuſa aqua vacuum eſſe, hoc eſt per 11 defin. aëris duntaxat plenum.
ſi igitur media, in quibus gravitas æſtimatur, hydrargyrum & aqua ponantur,
ac tum poſtuletur, Corporum gravitatem in aqua dici propriè. Item, Vas ſuperſicia-
rium effuſo hydrargyro aquæplenam eſſe, certè his ita conſtitutis dicta propoſitio
(Solidum quodlibet in hydrargyro levius eſſe quam in aqua, pondere aquæ magnitudine
ſibi æqualis) omninò vera fuerit. Vtres hæc magis fiat perſpicua, cogitatione
fingito hominem ſub aqua conſtitutum ſecum habere hydrargyrum & aurum,
ſitq́ue aqua vice aëris, Ajo aurum iſtictantò fore levius, quam in hydrargyro
quantum erit pondus hydrargyri aurum magnitudine æquantis: quod ſanè
manifeſtum eſt. At verò ſi Corporum pondus in inani verè dici ſumatur, ut revera
ſe res habet, ſecundum hac inquam affectionem ita enuntiari poſſet. Omne ſoli-
dum in aqua gravius eſt, quàm in inani pondere aquæ ſibi æqualis. Verùm cum uſus
& effectio (quò theoriam perpetuò dirigere decet) non in vacuo ſed in aëre
fiant, ſatiùs eſt ſecun dum modum nobis ſupra uſitatum, pondus rei proprium
in aëre ſupponi, cujus ratione & reſpectu 8 noſtra propoſitio cæteræq́ue inde
derivatæ omnibus numeris perfectæ ſunt. Quod annotaſſe fuit operæ pre-
tium.
A*PPENDICIS* F*INIS*.
156
[Empty page]
157
ADDITAMENTVM
STATICÆ.
158
BREVIARIVM
ADDITAMENTI.
APrima Staticæ editione varia cùm in Praxi, tum
etiam in Theoria mihi occurrerunt, quæ ſingula
ſecunda hâc editione ſuo quæque loco diſponi,
inq́ue unum corpus digeſta ordinari potuere: ſed cùm vero
conſentaneum videatur, etiam plura hujuſmodi uſum &
tempus nobis paritura, quorum ordinatio iterum ite-
rumq́ novanda foret, idq; ſine fine, quamvis fortaſſe illud
ſatius eſſet; nunc tamen magis neceſlaria diſpoſitioni huic
me vacare nõ ſinunt. Ideoq́; de priore forma Staticæ omni-
nò nihil (iis exceptis quæ mutare neceſſe erat) detraxi, aut
immutavi. reliquas appendiculas, quarum acceſsione au-
cta eſt, hîc uno A*DDITAMENTI* titulo complexus ſum.
Cujus hoc eſt argumentum:
Primò de Spartoſtatica.
11Funium Sta-
tica.
Secundò de Trochleoſtatica.
22Trochlearum
Statica.
Tertiò de Fluitantibus Acrobaricis.
33Ponderis in
ſummo verti-
ce gravitate.
Quartò de Chalinothlipſi.
44Freni preſſura
& tenacia.
Quintò de Hydatholcia.
55Aque attra-
ctu.
Sextò de Aëroſtatica.
66Aëris Stati-
ca.
159
ADDITAMENTI
STATICÆ
PARS PRIMA
DE
SPARTOSTATICA.
160
BREVIARIVM
SPARTOSTATICES.
NOviſsimis tribus 1 libri Staticæ propoſitionibus ex-
poſuimus affectiones ponderum de rectis duabus,
quæ duobus diverſis locis fixæ ſunt, dependentium:
ſed quia ponder a pluribus modis èrectis ſuſpendi poſsint, qua-
rum quantũ quæ{q́ue} ferat ſcire expetas, istud ad ſpecialem bunc
tractatum retulimus. Cum autem linearum vicem funes ple-
rumque ſubeant, ab uſu vulg atiſsimo S*PARTO STATI CEN*
appellamus, qua appellatione intellig as doctrinam declar antem
quantum ponderis diverſorum funium, ex quibus idem cogni-
tum pondus dependet, quilibet ſufferat. Totius autem argu-
menti ſumma hujuſmodi eſt. Cum propoſitione 27 lib. 1 Staticæ
demonstratum ſit, columnâ contra duo obliqua pondera in
æquilibrio conſtitutâ, eſſe ut linea obliquata ad lineam rectam,
ſic pondus obliquè ducens ad pondus ducens rectà, hinc prima
istaparte varia deducemus conſectaria, quorum loco propoſi-
tiones formare licuit; ſed partim brevitatis gratiâ, partim
quiaistinc manifeſtiſsime deducuntur, id negotii omiſſum eſt.
161161
PRIMVM CONSECTARIVM
è 27 propoſitione 1 Libri S*TATICÆ*.
SI in figura 27 propoſitionis 1 lib. in E
loco ponderis obliquè attollentis ſub-
ſtituatur firmitudinis punctum quale
hic vides, perſpicuum eſt hoc affici
preſſu ponderi G æquali, atque iſtiuſmodi obliqui-
tate niti, qualem oſtendit obliqua linea L E.
214[Figure 214]
2 C*ONSECTARIVM*.
Item ſi in eadem figura 27 propoſ. LE, MF continuatæ concurrant,' pun
ctum concurſus per 25 propoſ. incidet in pendulam
215[Figure 215] gravitatis ejus diametrum. Quamobrem ut cognoſ-
catur quanta obliqua preſſio puncto E infideat; du-
cito pendulam diametrum à centro P quæ occur-
rat continuatæ M F in Q, hinc ab Q per E rectam
Q R ut R ſit in A M. quæ cum ita ſint, preſſio erit
ab R verſus E. Atqui ut etiam quanta ea ſit cognoſ-
cas, uſurpato E R tanquam lineam obliquè tollen-
tem, & ES tanquam tollentem rectè, unde reliqua
erunt in proclivi.
3 C*ONSECTARIVM*.
Sed ut rationem ponderum è funibus dependentium explicemus, eſto co-
lumna AB, cujus centrum C, eq̀ue duobus firmi-
216[Figure 216] tudinis punctis D, E ſuſpenſum, eductis ex cen-
tro C duabus lineis C D, CE, quare iſtæ per 5 defin.
ſunt columnæ gravitatis diametri, ideoq́ue H I paral-
lela contra C E inter C D, C F educta erit C I per 13
defin. linea rectà attollens, C H autem obliquè, unde
efficitur ut C I ad C H ſic pondus illius recta attol-
lens ad pondus hujus attollens obliquè. Sed pondus re-
ctà tollens quod pertinetad C I, totius columnæ pon-
deri æquatur; itaque ut C I ad C H, ſic totius columnæ
pondus, ad pondus quod pertinetad D. Eademq́ue via
concludetur pondus pertinens ad E ductâ ab I in C E
rectâ IK contra D C parallelâ; atque tum erit ut rectà
tollens C I ad tollentem obliquè C K, ſic totius columnæ pondus, ad pon-
dus ſubnixum ipſi E.
Verùm quia C K perpetuò eſt æqualis HI, nihil eſt neceſſe ducere hanc
poſtremam I K, omnesq́ue neceſſarii cogniti termini inſunt tribus trianguli
H I C lateribus: unde ita fari licet.
Vt CI ad C H, ſic pondus columnæ ad pondus pertingens ad D. Item
ut C I ad I H, ſic pondus columnæ ad id quod pertinet ad E. Et denique ut
CH ad HI, fic pondus quod ab D ad pondus quod ab E ſuſtinetur.
162162A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS PRIMA*
4 C*ONSECTARIVM*.
Verumenimverò ut propiùs ad ra-
tionem ponderum è funibus depen-
217[Figure 217] dentium accedamus; columna A B
paulum infra deſcĕdat utin hâc figu-
râ, & per 3 poſtulatum hoc loco non
erit ponderis diverſi ab antecedente,
ubi ſublimiùs pendebat. Itaque etiam
proportio 3 conſectario expoſita in
hoc 4 ſine ulla varietate etiamnum
permanet.
5 C*ONSECTARIVM*.
Tandem in locum columnæ 4 conſectarii aliud pondus ipſi æquale ſubſtitui-
tor, ſed formæ & gravitatis materiæ cujuſliber, ut hîc AB. atque etiamnum
ratum eſt, & perſpicuum C I eſſe ad
218[Figure 218] C H, ut pondus A B ad partem quæ
pertinet ad D. Item ut C I ad I H,
ſic pondus A B ad id quod ex E
ſuſtinetur, denique ut C H ad HI
ſic pondus ex D ad id quod ex E.
Vnde in promptu erit, ſi ex D C E
tanquam fune dependeat notũ pon-
dus AB, notiq́ue ſint anguli F C D,
F C E, concludere quantum ponderis quilibet iſtorum DC, CE perferat.
6 C*ONSECTARIVM*.
Si verò eodem modo è lineis duo pluravé pondera dependeant, ut in ſubje-
ctâ figurâ A B C D E F, cujus extima firmitudinis puncta ſint A, F, è qua li-
nea quatuor pondera G, H, I, K ſuſpenſa ſint, etiam ponderis potentiam ab il-
219[Figure 219] larum quinque linearum ſingulis AB, BC, CD, DE, EF dependentem
inveniri poſſe manifeſtum eſt: namq́ue cõtinuata ſurſum dicis gratiâ, G B in
163163*DE* S*PARTOSTATICA*. ductaq́ue M N parallela contra B C, concludes ut B N ad B M, ſic Gadpon-
dus ſuſtentatum ab A B.
Item ut B M ad B N, ſic pondus G ad pondus quod ſuſtinetur à B C.
Secundò continuata etiam H C ſurſum vorſum in O, & B P parallela du-
cta contra C D: concludes ſimiliter ſuperiori, ut C P ad C B, ſic H ad pondus
ſui partem quod pertiner ad C B. Ex quo perſpicitur idem quod ſupra pro
B C concluſum eſt nunc redire. Factio cæterarum concluſionum his ſimiliter
inſtituetur. In his & aliis ſimilibus I*LLVSTRISSIMVS* P*RINCEPS* cer-
tiſſimis experimentis cognovit, Praxin Theoriæ exactiſſimè conſentire.
Proportionem 17 propoſitione à nobis deſcriptam, aliter quoq; efferre & effa-
ri poſſumus, unde uſus paulo facilior emanet Cujus explicationi diagramma id
oculis hic ſubjeci. ubi pro eo quodita enuntia-
tur, ut põdus oblique attollĕs ad pondus attol-
220[Figure 220] lens rectè, ſic propriũ cujuſq́; pondus obliquè
tollĕs ad pondus tollĕs rectè ut aliter efferam,
unde factio expeditior derivetur: agatur LP,
inter lineas rectè & obliquè attollentes, paral
lela contra F M, his poſitis, dico ut linea rectè
attollens, ad tollentem oblique, ſic totius co-
lumnæ pondus ad pondus ipſum tollens obli-
què, hoc eſt, ut EP ad EL, ſic pondus columnę
totius ad G. & rurſum ut E P ad P L, ſic pon-
dus columnæ ad H. qua via ignotorum ter-
minorum inventio multò fit brevior & ſuccin-
ctior. Animadvertas item pro LP potuiſſe duci M Q, inter alteras rectè & obli-
què extollentes lineas, parallelam contra EL, quâ ratiocinium, ut ſupra cum
L E, inire liceat. namq́ue ut P E ad EL, ſic Q F ad FM, cùm triangula
FMQ & L P E ſimilia ſint, ob parallelas Q F PE, MF LP.
7 C*ONSECTARIUM*.
Hactenus pondera è duabus lineis de-
pendĕtia expoſita ſunt, ſequuntur deinceps
221[Figure 221] quæ pluribus lineis ſuſpenduntur. Cui fini
quinti conſectarii diagramma aſſumamus,
hâc tantùm difſerentiâ, utrecta C G troch-
leam K hîc ſtrictim tangat, utrecta K C F
horizonti ſit obliqua, cæterum pondus AB
idem eſto, iidemq́ue anguli aſſumantur
D C F, F CE. jam per 5 conſectarium patet
C I ad C H eſſe, ut pondus A B ad id quod
ſuſtinetur à D. porro ut CI ad I H, ſic A B
ad id quod pertinet ad E. Denique ut C H
ad H I, ſic id quod ab D ad id quod ab E
ſuſtinetur.
Ex quo efficitur ſi ab D C E, tanquam
fune, dependeat pondus A B manifeſtum
eſſe quantum pars quæq́ue D C, C E ſuffe-
rant.
164164A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS PRIMA*
8 C*ONSECTARIVM*.
Si pondus tribus lineis ſuſpenſum ſit, ut hîc, ubi A B ſuſtinetur duabus C D,
C E, tumq́ue C E ab alteris dua-
bus EF, E G, ut univerſim totum
222[Figure 222] pondus A B è tribus lineis C D,
E F, E G dependeat, etiam tum
ſciri poterit quantum quæq́ue
ferat namq́ue per 5 conſ. conclu-
detur quid ad C D & C E perti-
neat: deinde per 7 cõſectarium ſin-
gulis EF, EG ratam partem pon-
deris quod ad C E pertinet di-
ſtribues.
Præterea etiam C D in duo alia
retinacula D H, D I diviſa, quid
illorum cujuſque propriumſit, eo-
dem quoque modo concludes. quare quantum ponderis ſingulis lineis E F,
E G, DH, DI cedat ſiverectæ iſtæ in eodem ſint plano, ſeu in diverſis, co-
gnoſcere licebit.
Notato autem lineas C E G, C E F ac cæteras ſimiles non porrigi in di-
rectum, ſed ab ipſis ad E angulum neceſſariò comprehendi, cum E F ex
223[Figure 223] hypotheſi alicujus efficientiæ ſit, unde angulus exiſtit ad E, eadem mode
quoque recta E G aget in rectam C E F.
Præterea ſi ab F alia duo retinacula adjungantur F K, F L, etiam hic quan-
@m ponderis ad utramlibet ipſarum pertingat invenire in promptu eſt.
165165*DE* S*PARTOSTATIOA*.224[Figure 224] quantum cuique harum quinque linearum D H, D I, F K, F L, E G cedat,
cognoſces. quæ ratio infinitè continuari poteſt.
9 C*ONSECTARIUM*.
Dictum fuit hactenus de pondere, ut A B, quæ ab una continua linea uſque
ad C dependeat, unde deinde duæ alteræ exiſtant. Sed quando ex eo puncto
tres lineæ educentur, conſideratio paulo diverſa erit; utque hoc diſtinctè pro-
ponam, ſic habe, tres iſtas lineas vel eſſein uno plano, vel in diverſis: atque cum
in eodem erunt plano, nihil certò concludi poſſe. Sit enim pondus A B, tresq́;
225[Figure 225] lineæ ex quibus pendet C D, C E, C F, à quarum communi termino C ſit
CG, unde pondus ſuſpendatur. I am ſublato medio retinaculo F C, à duabus
duntaxat lineis C D, C E pondus A B ſuſtineatur. quibus poſitis, pondus A B
tamen loco non movetur, anguliq́ue D C G, E C G, iidem permanebunt,
quamvis plus ponderis ab iſtis duabus C D, C E, quàm prius addita C F ſu-
ſtineatur; cum hæc ſua potentia iſtas allevet: ſed ad C F potentiæ variæ &
166166A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS PRIMA* tùm diverſe collocari poſſunt, unde, ut dixi, palam eſt unam certamq́ue con-
cluſionem non admittere.
10 C*ONSECTARIUM.*
Cumautem tresiſtæ retinaculorum lineæ in duobus conſtituentur planis,
concluſio duntaxat unica, certaq́; erit. Vtſi pondus A B è tribus lineis C D,
C E, C F dependeat, quæ omnes tamen in eodem plano non ſint, & ab harum
concurſu unicalinea C G porrigatur, unde pondusex G dependeat. Iam quî
invenias, quantum quæq́ue ponderis ferat, ut v. g. CF. fingas cogitatione, ſo-
lummodo à recta C F & à H C cõmuni ſectione planorũ D C E. G C F pon-
dus A B eſſeíuſpenſum. reliquis lineis ſublatis, patet igitur angulum G C F
omninò non mutari, ſed eundem eſſe qui priùs fuerat, itemq́ue C F pondus
226[Figure 226] idem ferre quod ante. fiinquam, fingas pondus A B è duabus lineis, C F, C H
dependere, tumq́; pers conſectarium, quanto in ſuſtinendo pondere recta C
167167*DE* S*PARTOSTATICA.* diſtendatur concludes. ac pari ratione quo pondere reliquæ C D, C E diſti-
neantur cognoſces.
Præterea ſi hæ retinaculorum lineæ in alias inſuper lineas diducantur, pon-
dus quo ipſarum unaquæque diſtenditur, conſimiliter 9 conſectario conclu-
detur.
11 C*ONSECTARIUM.*
Si quatuor lineæ adidem punctum cohæreſcant, cujuſmodi antecedenti cõ-
ſectario tres, propoſitio hæc unam certamq́ue determinationem non habet.
Sic A, B, C, D tanquam ſuprema linearum, è quibus pondus dependet,
puncta intelligantor. lam pendula ejus diameter vel incidet in rectam A D, vel
extra ipſam intra trian gulum A D B, vel intra A D C (fieri enim non poteſt ut in
ambitu quadranguli A B C D cadat, nedum extra) ſi incidat in A D, conſtat
rectas ad B & C pertingentes, potentiam quâ iſtæ ſub A & D diſtenduntur
quiddam allevare; ſed cùm triangulũ dua-
rum iſtarum linearum quæ ſub A, B, con-
227[Figure 227] ſiſtunt & tertiæ A D, nullam admittat mu-
tationem varietatemvé, diverſę & multipli-
ces potĕtiæ, ad C & B adjungi poſſunt quę
linearũ ſub A, D diſtenſionem immutent,
manente tamen eâdĕ datæ formæ diſpoſi-
tione, adeò ut certa ſingularũ partium de-
terminatio nulla hic inveniri poſſit Cumautem pendula gravitatis diameter in
E intra triangulum A D B cadet, tum quarta C à mutatione ſitus ponderum
quæ ad A, B, C pertinent planè erit immunis. ex quibus efficitur propoſitio-
nem hujuſmodinullam partium ratam determinationem admittere.
Advertendum autem inſuper, cùm quatuor lineæ certam aliquam determi-
nationem reſpuant, multò firmioriratione complurium linearum concluſio-
nem incertam eſſe. Similiq́ue ratione, cum 9 conſectario demonſtratum ſit,
tres lineas in eodem plano nullam certam cõcluſionem habere, etiam quatuor,
aliasq́ue plures longè minùs determinatione aliqua certa circumſcribi.
NOTATO
Corpus etiam modo ab 11 conſectario diverſo è tribus lineis depĕdere poſſe,
cùm ſcilicet tribus diſtantibus locis ipſæ corpori affigentur, ut continuatæ ta-
men in eodem puncto non concurrant; quod per 25 propoſ. lib. 1. ſide duabus
tantum lineis ſuſpendantur neceſſariò cõtingit. Sed quâ viâ inveniatur pondus
iſtarum unicuique debitum, nondum etiam, dum hæctypis excuderentur, aſſe-
cutus eram: ſi quid vel à meipſo, vel ab alio quopiam hoc problema juvabi-
tur, id temporis proceſſu fiet palam.
12 C*ONSECTARIUM.*
Ponderis igitur ab unâlineâ ſuſpenſi, ex qua deinde duæ treſvé aliæ in partes
diverſas diſtractæ exiſtant, ratio hujuſmodi fuit; unde affectiones Staticæ dua-
rum triumvé itidem linearum, eidem ponderi affixarum & ſurſum tendentium,
inq́ue idem pendulæ gravitatis diametri punctum incurrentium, in procinctu
erunt. enimverò A B pondus eſto, de duabus lineis D C, E C ſuſpenſum, inq́
C puncto concurrunto, pendulaq́ue diameter F C. quantum igitur
168168A*DDIT.* S*TAT. PARS PRIMA DE* S*PARTOSTAT.* D C, E C utrique cedat. Cognoſces continuatâ F C deorſum in G, actâque
H I, interipſam & D C, parallelâ contra C E. Iam enim per 5 conſectarium erit
C I ad C H, ut pondus A B ad id quod ſuſtinetur ex D: item C I ad I H, ut
228[Figure 228] pondus A B ad id quod ex E. Denique etiam C H ad H I, ut pondus quodâ
D, adid quod ſuſtinetur ab E.
Inſuper autem liquet proprietates, cujuſmodi 8, 9, 10, & 11 conſectario ac-
cidunt, etiam in ſimiles 13 hujus conſectarii figuras incidere.
S*PARTOSTATICES*
FINIS.
169
ADDIT AMENTI
STATICÆ
PARS SECVNDA.
DE
TROCHLEOSTATICA.
170
BREVIARIVM
TROCHLEOSTATICES.
CV*M* I*LLVSTR ISSIMVS* P*RIN CEPS*
perſpexiſſet librum delle Fortificationi di Buo-
najuto Lorini, inter cæter a etiam trochlearum
doctrinam perlegit, ubitantummodo ponderum
rectà adſcendentium, à potentiis rectà ad per-
pendiculum deſcendentibus explicatur: quia verò non ſemper
iſtarectà ſurſum, deorſumvé, ſed in obliquum nonunquam
moventur, harum quoque potentiarum, rationum, cauſa-
rumq́ue cognoſcendi cupiditas ipſum inceſsit, ut doctrinam
hanc omnibus numeris haberet perfectam. Et ſane cognitionis
& ſcientiæ hujus cupiditas juſtis rationibus innixa videtur,
cùm trochlearum uſus in majorum ponderum ſubvectationi-
bus permagnus ſit; & utile nonunquam fuerit præſciri, quæ
potentia dato ponderi attollendo ſit congrua. Quare poſtquam
in Statica, & prima hujus additamĕtiparte ſeſe I*LLUSTRISS*.
P*RINCEPS* exercuiſſet, quibus cognitis trochlearum proprie-
tates & affectiones deinceps eſſent in promptu, at ſe jam huic
negotio daret; ista quoque, quæ ſuper his tractata nobis ſunt,
inter Mathematica ejus Hypomnemata referenda cenſui.
171171
PROPOSITIO.
Ponderum trochleis ſublimè tractorum formas inqui-
rere.
PRiuſquam rem ipſam exordimur generaliter intelligito, & cogitatione
concipito, datum pondus hic conſtitui à trochlea infima cum pon-
dere ipſi alligato: præterea differentiam gravitatis quæ à funibus exiſtit,
nullius momentià nobis nunc æſtimari.
I Exemplum ponderum quærectà attolluntur.
Eſto in primo hoc diagrammate trochlea A, ex qua dependet pondus B, fu-
nis C D E F, cujus duæ partes C D, F E parallelæ ſint, & utraque horizonti
perpendicularis, Quibus poſitis, totoq́ue pondere B ita è duabus iſtis partibus
C D, F E ſuſpenſo, ututraque pars pari potentia afficiatur, etiam ſingulis pro-
229[Figure 229] pter orbiculi volubilitatem cedet ſemiſſis ponderis B. quamobrem ſi quis ma-
nu ſua funem in F ſuſtineat, is ferret gravitatem dimidii ponderis B, ex quo
172172A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS SECUNDA* quet, cur etiam unica trochlea facilius, quam ſine ea pondus attollatur. Notato
autem hic illud Staticum axioma etiam locum habere:
Vt ſpatium agentis, ad ſpatium patients:
Sic potentia patientis, ad potentiam agentis.
Nam manu F, quæ hîc agit; duos pedes promota, pondus, quod patitur uni-
cum duntaxat pedem procedet: cujus cauſa manifeſta eſt.
Ex his ubi unici orbiculi rotatu pondus attollitur, facilè cognoſcetur ſimi-
lium formarum rauo in trochlea geminata, ut hic. ubirurſum C alterum funis
230[Figure 230] terminum denotat. Et cùm pondus B de tribus funibus dependeat ſingulis
duntaxat cedit ponderis una tertia, quare manus F tertiam tantum partem
ſuſtinebit ponderis B.
173173*DE* T*ROCHLEOSTATICA*.
Similiter cum tribus orbiculis fanis ductorius obvolvetur, ſingulis partibus
cedet ponderis B pars quarta, ideoq́ue F manus feret partem quartam pon-
231[Figure 231] deris B. Vnde ſimili proceſſu generale axioma ponderum pluribus etiam
trochleis tractorum inſtitui & efformari poteſt.
Advertendum autem rariſſimè F hoc modo ſurſum duci, quod nos in tribus
expoſitis diagrammatis clarioris demonſtrationis gratia fecimus, ſed plerumq;
additur inſuper orbiculus unus, ut per ejus ambitum ductus funis deorſum tra-
hatur, ut quarto hoc diagrammate ſpectandum exhibemus. notandum tamen
quartum iſtum adventitium orbiculum manui nullam ponderis allevationem
mutationem vé in ducere; quia pondus B è quatuor tantùm funibus, perinde
atque in tertiâ diagraphâ ſuſtinetur; nam noviſſimus iſte funis qui quintus vi-
deri poſſet, ipſe unus idemq́ue eſt cum quarto. Ex quo intelligitur etiamſi fu-
nis ductorius per centum iſtiuſmodi trochleas traducatur, trahentem planè ni-
hil juvari.
Verumenimverò ſi hujus mechanicam veritatem deſideres, in F loco ma-
nus, quartâ hâc figurâ ſubſtituito pondus æquale quartæ parti ponderis attol-
lendi, & hæc (ſi opus rite inſtitutum ſit) inter ſe ſitu erunt æquilibria. pondus
autem tollendum, ut accuratè definiatur, notato id hic conſtitui à dato ponde-
re B, trochleâ imâ A, atque inſuper a gravitate funis. atqui ut funis
174174A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS SECUNDA* fuſius explicem, ſunto D, E extimi ejus contactus contra orbiculum A; Ttem
G, H funis novifſimi contactus contra trochleam ſupremam, itemq́ue L, M,
contactus trochleæ ultimæ atque N ſit loco contactuum G, H, interme-
232[Figure 232] dio, ſic O inter I K. ſitq́ue C finis ipſius funis. Hinc P ſtatuatur in G ut G P
ipſi H F æquetur; ſic Q in K D, ut K Q, I L æquales ſint. Quibus poſitis,
N G P pondere & magnitudine ęquatur ipſi N H F; itemq́; O I L ipſi O K Q.
ſed C M omninò nec degravat nec allevat; adeò ut ad pondus datum & gravita-
tem trochleæ accedant inſuper ſemicircularia funis ſegmenta L M, D E, cum
recto ſegmento D Q.
Denique animadvertito cum trochlearum ope quid attollitur, ut pars com-
moti funis in aëre ſuſpenſus à ſolo abſit: quanta erit iſtius ductorii funis gravi-
tas, tantò minori potentia ductori opus eſſe.
2 Exemplum {λο}ξοβα{ρί}ας
11nbi pondera
in obliquum
@mmovisht
Primum hoc diagramma cætera ſimile eſto primo primi exempli diagram-
mati, ſolummodo hîc manus F non recta ſurſum ſed obliquè & in latus non
nihil commoveatur; quibus poſitis, pondus quod à funium unoquoque ſuffer-
tur, per 5 conſectariũ primæ partis hujus ad Staticam additamenti pateſcet. Sed
@t explicatione fiat illuſtrius; continuato rectam, ex quâ pondus B
175175*DE* T*ROCHLEOSTATICA*. ſurſum in G; itemq́ue B G, F E donec ſeſe interſecent in H; atqueipſas in-
terſecet I K parallela contra D C. His ita diſpoſitis, ajo eſſe I K ad K H, ut
pondus ab F manu ductum ad datum B; itemq́ue ut H I ad I K, (quæ in exem-
plis unius trochleæ, quale hoc eſt, perpetuò æquantur, quia continuatam C D
in H occurrere neceſſe eſt; angulumq́ue G H I angulo G H C æquari) ſic
pondus quod à manu F ad id quod ſuſtinetur à C. has potentias ob cauſas
jam expoſitas itidem in unius trochleæ exemplo æquari manifeſtum eſt, ſingu-
233[Figure 233] lis quippe ponderis ſemiſſem perferentibus; ponderis inquam, cujus ad datum
pondus ratio ſit, per 5 conſectarium 1 partis additamenti ad Staticam, quæ H K
ad H I.
Sed fune ductorio hoc obliquo circa duas pluresvé trochleas voluto, uni-
verſa item ponderum ratio cognoſcetur. Etenim, dicis gratia, ſecunda figura
omninò ſimilis effingatur ſecundæ figuræ primi exempli, tantum hoc uno di-
verſæ ſint, quod manus F hîc obliquè & in latus ſurſum trahat. Iam igitur per
5 conſectarium 1 partis hujus Additamenti quantum ponderis ſingulis funibus
cedat manifeſtè liquet. Cujus declarationi exemplum tale eſto. Recta ex qua
pondus dependet ſurſum educitor in G ut B G, tumq́ue F E continuata, ſe-
cet infinitam B G in H. & à puncto I ſuprema trochlea dependeat, unde
ad H adjungatur recta H I, cui inter F H & G H parallela agatur K L.
His poſitis, ajo ut K H ad L H, ſic pondus à manu ſuſtentatum ad pondus
176176A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS SECUNDA* tum: ſed K H in exemplo geminarum trochlearum, quale hoc eſt, æquatur di-
midiæ K L; quare potentia pertinens ad F, eſt dimidia ejus quæ ſuſtinetur ab
I, quare ſingulis funibus par cedit onus, ſcilicettriens ponderis, cujus ad da-
234[Figure 234] tum ratio eſt quæ L H ad H K. quamobrem in ſimilibus exemplis concludes
hoc modo, ut K H ad H L, ſic datum pondusad quod aliud? ejus, quod hinc
efficitur, pars tertia dabit vim ponderis ab F ſuſtentati; itemq́ue quantum reli-
quorum funium ſingulis cedat. Cum autem tres proponenturtrochleæ, ma-
nifeſtum eſt quartam partem ponderis, hujuſmodi proportione concluſi, aſſu-
mendam. atque eo deinceps in cæteris progreſſu continuo.
Curautem K L potiùs parallela nobis ſit conſtituta contra H I, quàm con-
tra funes ductorios, id ex his quæ deſimilibus, adſecundum tertiumq́ue con-
ſectarium primæ partis hujus additamenti dicta nobis ſunt, in promptu erit.
nam totius machinæ & ponderis pendula diametros tendit per punctum H, à
quo manifeſtò duæ lineæ, ex quibus ratiocinium inſtituendum, ſunt educen-
dæ. C*ONCLVSIO*. Itaque ponderum trochleis ſublatorum tormas, ut po-
ſtulabatur, inquiſivimus.
T*ROCHLEOSTATICÆ*
FINIS.
177
ADDITAMENTI
STATICÆ
PARS TERTIA
DE
FLVITANTIBVS
ACROBARICIS.
178
BREVIARIVM
Fluitantium Acrobaricorum.
ACcidit aliquando, ut in navibus ſcalæ 20 pedes altæ
erigendæ eſſent, per quas milites ar matiadſcenderĕt;
quia autem verendum erat ne in ſummo prægraves
naviculæ everterentur, milites ſimul in aquam præcipita-
rentur, unius fabrica, unde experimentum tutò ſumipoſſet
primùm fuit instituta. Quæ res mihi cogitationis hujus ini-
tium injecit, utrum id Statico rationcinio data figura, data{q́ue}
gravitate demonſtrari & concludi poſſet. Cuifini hoc Theore-
ma invenimus deſcripſimus{q́ue}: Et ſipeculiari appellatione pla-
ceret inſigniri, à finè & uſu potiſsimo Theorema de Fluctuan.
tibus Acrobaricis indigitari poſſet, ideſt de Acrobaricis, ſive in
ſummo prægravibus, quæ aquæ inſident innatant{q́ue}: nam de cæ-
teris Acrobaricis, quæ in ſolido ſolo ponuntur, quæque tum ca-
dunt, cùm pendula gravitatis diameter in latus incidit atque
extra baſin propendet, diſſerere nunc noninstitui.
179179
THEOREMA.
Corpus fluitans hunc ſibi vindicat ſitum, ut ſuæ gravi-
tatis centrum ſit in ſegmenti in aqua demerſi pendula gra-
vitatis diametro.
DA*tum. * Corpus ABCD innatetaquæ EFGH, ſuperna ſuper-
ficies EF, in quam corpus uſquead IK demerſum ſit, arque adeò
ICK cavitatem aqueam denotet, & hujus gravitatis centrum L,
pendula autem diameter MLN, denique totius corporis ABCD
centrum O. Q*VAESITVM. * Corporis ABCD gravitatis centrum O in
cavitatis aqueæ ICK pendula gravitatis diametro MN conſiſtere demon-
ſtrato.
DEMONSTRATIO.
Exempto exaqua ſolido ABCD, animo concipito iſtam cavitatem aqueam
ICK, quaſi fixam immotamq́ueſubſiſtere; atque inſuper majoris perſpicuitatis
235[Figure 235] gratiâ eam cavitatem vas ſuperficiarium eſſe fingito, ſecundum 7 definitionem
hydroſtatices. hocipſum corporeſuo orbum, aqua infuſâ compleatur. &
180180A*DDIT.* S*TAT. PARS TERTIA DE* F*LUIT.* A*CROB.* per 1 propoſ. hydroſtat. aqua quemlibet ſibi datum in aqua locum ſervat, vas
iſtud ſuperficiarium in iſto ſitu permanebit; atqueadeò, ſiveaqua, ſeu corpore
ABCD oppletum ſit, retinebit ſitum. ſed infuſæ aquæ centrum, itemq́ue va-
ſis ſuperficiarii unum idemq́ue eſt, utpote L; quare corporis ABCD gravita-
tis centrum, erit neceſſariò in vaſis ſuperficiarli pendula diametro M N. Enim-
verò ſi fieri poſſit ſumatur extra, utin P; id fieri plané nequit abſque mutatione
figuræ cavitatis aqueæ ICK, cum enim hunc habeat ſitum totius corporis cen-
tro conſtituto in O ex hypotheſi, tranſpoſita corporis materia, ut gravitatis cen-
trum deveniret ad P neceſſum eſſet B deſcendere, D autem adſcendere, & C
converti verſus K, quod omnino theſi repugnat, atque alia eſſet aquæ cavitas,
quàm ea de qua quæſtio inſtituitur. Quare corporis gravitatis centrum erit in
MN, videlicet infra cavitatis aqueæ gravitatis centrum L, vel ſupra, vel in ipſo.
C*ONCLUSIO. * Itaque corpus fluitans iſtum ſibi vendicabit ſitum ut gra-
vitatis ſuæ centrum ſit in ſegmenti ſui in aquâ demerſi pendula gravitatis dia-
metro.
1 C*ONSECTARIUM.*
Cum corporis gravitatis centrum ſupra aqueæ cavitatis gravitatis centrum
cõſiſtet, palam eſt ita ſumma prægravari ut omnia invertantur (ni ſuſtineantur)
donec corporis gravitatis diameter ſubeat cavitatis aqueæ gravitatis centrum
in pendula ejuſdem diametro. Nam, verbi gratiâ, baculum incurvum aquæ in-
natans certum ſervabit ſitum, ut quamvis partem inferiorem vertas ſurſum, non
tamen ita permanebit, ſed ad priorem, quem ab initio obtinebat, ſitum redibit,
quia baculi gravitatis centrum tum non conſiſtit in aqueæ cavitatis gravitatis
diametro infra ejuſdem gravitatis centrum.
2 C*ONSECTARIUM.*
Et pondere in navi aliove vaſe tranſpoſito ut aqueæ cavitatis figura mutetur,
aqueæ cavitatis centrilocum quoque mutari manifeſtum eſt.
3 C*ONSECTARIUM.*
Liquetitem omne pondus, quod infra aqueæ cavitatis planum diametrale
horizonti parallelum collocatur, navem ſtabiliorem, quoque minus in ſummo
gravis, ſit efficere. Contra autem, quod ſupra collocabitur ſummitatem aggra-
vat, ut facilius ſubvertatur.
NOTATO.
Siduo gravitatis centra, videlicet altera aqueæ cavitatis, altera navis cætera-
rumq́ue rerum quas fert, ſint cognita, inveniri poſſe factione Staticâ nulla ad-
hibitâ experientiâ, quis oneratæ navis ſitus, quævé obliquitas futura ſit; atque
utrum margines ejus infra aquam abdentur, nec ne, cui fini theorema iftud à
nobis inſtitutum fuit. Sed quia inveſtigatio centrorum gravitatis adeò diverſa-
rum rerum, quibus navis ut plerumque oneratur, moleſta tædiiq́ue maximi
plena eſt, iſti negotio fuerit inutile Attamen quia Acrobaricorum in aqua flui-
tantium corporum cognitio alterubi forté uſui eſſe poſſit, autſi cui in inveſti-
gando ſubſidio eſſe poſſit, hoc pacto commentationem noſtram deſcribere
placuit.
F*LVITANTIVM* A*CROBARICORVM*
FINIS.
181
ADDITAMENTI
STATICÆ
PARS QVARTA,
DE
CHALINOTHLIPSI.
11Frenorum
preſſu.
182
BREVIARIVM
CHALINOTHLIPSIS.
CV *M* ab ineunte ætate P*RINCEPS* I*LLV*-
*STRISSIMVS* ἱ{πω}ικ{η\‘ν} non minus ſtudiosè,
quam aſsidue tractarit exercuerit{q́ue}, ut non ſo-
lum cum peritiſsimo{q́ue} quoque ſuper eâ ſermones
conferret: ſed etiam, ſi quidquam literarum
monumentis à quoquam conſignatum eſſet diligentiſsimèlege-
ret, veteres iuxta & novos. nunquam tamen χαλινοθλίψεως
preſſuræ frenorum cauſas cognoſcere penitus, vel aſſequi po-
tuit. quod freni partium aliquâ imminutâ, auctâ, inflexâ,
ſubitò magnæ & incertæ mutationes in equi duct u exiſterent.
Vt, cum ob alias, tum potiſsimum quoque banc ipſam ob cau-
ſam non parva ſtaticæ cognoſcendæ cupiditate flagraret. ſpera-
bat enim istâ ſibi viâ ad cognitionem cauſarum planiorem
aditum fore, quæ ſpes eum baud fefellit. ut nunc frenos fabri-
cet, non incertis (ut olim) conjecturis ſolum ductus, ſedcauſis
ante perſpectis & cognitis. Et quia istæ matbematicæ demon-
ſtrationis ratiocinio nituntur, banc de frenorum preſſudoctri-
nam, quam voce græca χαλινοθλί{ψι}ν dicìmus, inter mathe-
matica I*ILVST*. P*RINCIPIS* hypomnemata referen-
dam cenſui. Idque eò magis, ut aliibis initiis incitati ulteri{us}
banc artem promoveant explicentque.
183183
DEFINITIONES.
FReni partes & earum appellationem characteribus & notis tantum indi-
camus.
236[Figure 236]
1 DEFINITIO.
AB Scapus.
2 DEFINITIO.
C Axiculus anſatus.
3 DEFINITIO.
D Annellus.
Pollux. Οἱ δὲ {σι}δηροὶ κύκλοι δἰ ὧν {δι}{εί}ροντ{αι} {αἱ} ἡνί{αι}, δακτύλιοι.
4 DEFINITIO.
EF Scapipars ſumma, ſeu capitellum.
184184A*DDITAMENTI* S*TATICÆ PARS QVARTA*
5 DEFINITIO.
G Ocellus.
6 DEFINITIO.
HI Lupus.
7 DEFINITIO.
KL Ψέ{λλ}ιον.
Catena eſt. Poll. {τὸ} ὶ {πξὶ} τὸ {γρν}{εί}ον {δι}{ει}ρόμενον, ψέ{λλ}ιον.
8 DEFINITIO.
KM Sigma.
Nihil aptius adhuc quidem nobis occurrit. Sigma autem helicem
iſtam dicimus, non quod veteris, ſed quodnoſtri ævilitteræ ſimili-
tudine reſpondeat.
9 DEFINITIO.
NO Pſellii uncinus.
10 DEFINITIO.
P, Q Catellæ duæ intermediæ.
11 DEFINITIO.
Aſperum frenum, frenivè partes aſperæ ſunt, quæ lupum
vehementius inferiori mandibulæ, mentoq́ue in primunt.
remiſſæ quæ lenius.
INTER PRETAMENTVM.
Freni ab habena adducti preſſuræ variis partibus variæ ſunt, nam præter
iſtas in mandubulis mentoq́ue, catenæ intermediæ pectus, annelli ſcapos
preſſant. nobis tamen aſperitas hîc haud aliam ſibi habet notionem ſubjectam,
quam vehementiam preſſus illius, quo mandibula inferior à lupo, & men-
tum à ψελλίω afficiuntur, nam his equus ducitur, maloq́; ſuo cogitur: eamq́
ob cauſam
-- equi frenato eſt auris in ore.
nam quî dolorem iſtum declinet mentum pectori adducit collumq́ue flectit.
ponamus enim equi mentum ab habena palmum adduci, cervicis flexu vehe-
mentiorem preſſum eludet. indidem quoq; retro agetur, ut ita dolori ſeſe ſub-
ducat, dum veretur ſi prorſum gradus promoveat, ne is ingraveſcat. Hæciſta
aſperitas eſt quam deſinivimus. unde & freni, frenorumq́; partes aſperę appel-
lantur, quæ lupum mandibulæ inferiori mentoq́ue vehementius inprimunt:
remiſſæ quæ lenius. ut frenum aſperius ſeu lupatum, frenum lenius: ſcapus
aſperior, lenior: & ejuſdem pars ſumma aſperior leniórve.
12 DEFINITIO.
Inverſuræ ſunt ſcaporum curvaturæ
185185*DE* C*HALINOTHLIPSI.*
INTERPRETAMENTVM.
Frenorum ſcapos & rectos & curvamine inflexos fabricant. rectorum de-
formationem ſupra expreſſimus. inflexorum hîc ob
oculos ponimus; ſic enim deformantur ut ab X verſus
237[Figure 237] Y curvamine aſſurgant, deinde ab Y in Z, & ab Z in a
ſinuamine inflectantur, unde inverſuræ illis nomen à
nobis inditum.
SEQVENTES DEFINITIO-
NES NOVÆ, ET THEORIÆ QVASI
PROPRIÆ SVNT.
13 DEFINITIO.
Mediumid punctum R, quo frenato
equo adductis habenis, annellus D tan-
git axiculum anſatum C, annelli conta-
ctus dicatur.
14 DEFINITIO.
Medium punctum S, quo frenato
equo adductis habenis ſigma ocellum,
& T medium punctum uncini ſuum
ocellum contingit, ocellicontactus di-
catur.
15 DEFINITIO.
H axiculum olivæ medio infixum cir-
ca quem lupus verſatur, lupi axiculum
dicimus.
16 DEFINITIO.
Angulum R H S, ab contactu annelli R ad lupiaxicu-
lum H & inde ad ocelli contactum S eductis lineis inter-
ceptum, angulum ſub eductis contingentibus dicemus.
17 DEFINITIO.
Frenum {προ}πιραςικὸν eſt omnibus equis explorandis
oportunum quale nam frenum illorum tenaciæ infre-
nandæ commodum ſit, utinde certa ratione frenum ido-
neum confieri poſsit.
Freni propeiraſtici deformationĕ & qualitates infra oportuniore loco dicemus.
186186A*DDITAMENTI* S*TATICÆ* P*ARS QVARTA*
1 PROPOSITIO.
Scaporum inverſuris aſperitatem neque augeri neque
leniri.
I*LLVSTRISSIMVS* P*RINCEPS* haud ignarus hos, qui ſcaporum in-
verſuras, tribus punctis R, H, S eodem loco manentibus, frenorum aſperita-
ti lenitudinive quidquam momenti afferre credunt, falſos opinionis & veri va-
nos eſſe. eoſdem quoque his rationibus ſolet refellere. Affigas enim, ajebat,
ſcapo directo, cujus figuram ſupra expreſſimus, laminam aliquam ferream,
quæ ſcapum tanquam majuſculis inverſuris deformatum exhibeat. jam ſi quis
eſt ab hac mente, ut inde aſperitatem augeri ſuſpicetur: id perinde foret ac ſi
credat inductam illam lamellam occulta quadam vi (magnetis inſtar) vel preſ-
ſim vel punctim aliquid agere. porrò ſi qui pertinacius affirmĕt id re ipſa uſuq́;
comprobari, iſtos negando facile eſt refutare: quid enim habent dicere@ Cæ-
terum ſi equiſones, χαλινέρ{γα}{πο}, quique ὶ{πω}ικ{ὴν} ſolo uſu tractant, tritum il-
lud, tanquam ex Apollinis tripode nobis occinant. Luam quiſque novit ar-
tem, in hac fidem ei habendam. illi ſciant hoc in ſe ipſos quadrare maximè.
nam de ſtaticis effectionibus ſentĕtiam ferunt, quarum tamen ſint ignariſſimi.
ex hac enim facile docerentur mutationem omnem & varietatem exiſtere ab
tribus punctis R H S. quibus eodem loco manentibus, & propter eas lineis
imaginariis R H, H S ſede ſua haud emotis, anguloq́ue R H S invariato, ea-
dem & par ſemper eritab ſcapo aſperitas. niſi fortè quid momenti afferat la-
mellæ affixæ ponduſculum. verum id à propoſita quæſtione alienum eſt. & ſi
hoc urgeant, eares forte non magis eorum ſententiæ patrocinabitur, quam
adverſabitur.
Præterea animadverſione dignum eſt, non latus V W in ſcapi capitello, ſed
rectam imaginariam H S ad generalis cujuſdam theorematis ordinationem,
unde inflexurarum modus capiatur, aliquid momenti afferre. nam latitudo
ocelli diverſa, diverſos quoque effectus inducit.
2 PROPOSITIO.
Scapi quo breviores tanto ſuntaſperiores.
Cauſa ejus rei ferè gemina. prima quod adductis tantundem habenis ſcapi
breviores plus commoveantur quam longiores. cujus veritatem diagramma-
te demonſtrabo. A B ſcapus longior, A C brevior, quo-
rum ſit idem capitellum A D, ejuſque ocelli contactus D:
238[Figure 238] adductis habenis in ſcapo breviore aſſurgat annelli conta-
ctus in E per peripheriam C E, & ocelli contactus D de-
ſcendat in F per peripheriam D F. Conſimiliter in ſcapo
longiore annelli contactus adducatur ad G, ut peripheriæ
C E, B G æquales ſint, hîc D deſcendet ſolummodo in H
per peripheriam D H. ſed D F major eſt quàm D H, ſunt
enim inter ſe rationeſcaporum inverſa, id eſt, quemadmo-
dum longior ſcapus A B ad breviorem A C. Itaque pſellia
ocellis affixa minoribus ſcapis moventur validius. verum
quantum pſellia moventur magis, hoc mandibula à lupo,
mentumq́ue à pſellio preſsius premitur conſtringiturq́ue. unde eſſicitur ut
ſcapi breviores longioribus ſint aſperiores.
187187DE C*HALINOTHLIPSI:*
Alrera cauſa pendet ab equi cervice inflexa, nam hinc eſt quod catellæ in-
@ermediæ in ſcapo breviore lõgius ab equi pectore diſtent, quam in longiore.
ideoque habenæ ſcapi brevioris magis adducendę ſunt ut catellæ intermediæ
pectus tangant, quam in ſcapo longiore. ideoque etiam cum tangent ſua aſpe-
ritate moleſtiores erunt.
NOTA.
Neceſt quod hic aliquis ſuſpicetur placita hæc cum ſtaticis theorematis
pugnare, quæ longioribus jugis plus virium tribuebant, hoc eſt, ſi B D libri-
le fingatur, cujus brevior radius ſit A D, longior, unde & motus principium
exiſtat, A B. tum ſupra dictis contrarium effici. Nam ſcrupulus iſte facile
tolletur, ſi in mentem revocemus, quod hic in conſiderationem non veniat
vis ea, quam eques adducendis ſua manu habenis præſtat (nam ut in brevio-
re ſcapo ocelli contactum tantundem commoveat, magis allaborandum erit,
quam in longiore) ſed hoc, quod ſi ſatis intentæ ſint habenæ utri ſcapi ſuo
preſſu plus aſperitatis moleſtiæ q́ue faceſſant.
3 PROPOSITIO.
Capitella quo longiora ſunt tanto plus aſperitatis
habent.
Nam habenis tantundem adductis pſellium longiore capitello plus com-
movetur quam breviore. diagrammate res illuſtrior fiet. A B ſit capitellum
longius, ejuſque ocelli contactus B, A C vero ſit capitellum brevius, ejuſque
ocelli contactus C, communis utrique hic ſcapus intel-
239[Figure 239] ligatur A B. jam adductis habenis annelli contactus ad-
ſcendat in E. & ocelli contactus B deſcendatad F per
peripheriam B F. Sed ocelli contactus ab C uſque G
peragrata peripheriá C G minor eſt quam B F; nam ut
A C ad A B, ſic G C ad B F. Itaque pſellium ocello
B longioris capitelliaffixum, æquali habenarum ductu
plus movetur, quam ſi ocello C minoris capitelli fixum
hæreret. quanto autem pſellrum magis ſurſum commo-
vetur, eò arctius mento hæret, & ipſius lupi in man-
dibilam impreſſionem facit validiorem. Ideoq́ue lon-
giora capitella plus aſperitatis habent. quod ſi quiſpiam
quęrat cauſam, cur motus initio poſito in D longior ra-
dius A B, cõtra ſtatica principia vehementiores effectus
producat, quam brevior A C. eum monemus videat
annotatiunculam 2 propoſitionis, ubi haud abſimilem
quæſtionis nodum diſſolvimus.
4 PROPOSITIO.
Quanto contactus annelli à pectore longius diſtat tan-
to plus aſperitatis habet.
D*ATVM. * A lupi eſto axiculus, A B ſcapus, B C habena, Bannelli con-
tactus. A D ſcapus alter æqualis priori A B, D C habena, D annelli
188188A*DDITAMENTI* S*TATICÆ* P*ARS QVARTA* ctus: ſitq́ue prioris annelli contactus B ab equi pectore diſtantior, quam po-
240[Figure 240] ſterioris D. Q*VÆSITVM. * Demonſtrandum eſt contactum annelli B plus
habere aſperitatis, quam D. P*RÆPARATIO. * Centro A, intervallo A B de-
circinetur peripheria B D E: Iam annelli contactus B adducatur in F, & D
in E, peripheriæq́ue D E B F ſunto æquales.
DEMONSTRATIO.
Non dubium videtur, quin quanto B C linea longioreſt quam F C, tan-
to altius retrorſum adducta fuerit manus cum annelli cõtactus eſſet in loco F,
quam cum eſlet in B. Haud aliter quanto D C major quam E C, tanto ma-
nus C elatius adducenda ſuit cum annelli contactus eſſet in E, quam cum in
D. ſed E C, D C rectarum differentia major eſt, quam F C, B C. Et quanta
ipſarum differentiarum differentia eſt, tanto elatius manus attollitur adducto
annelli contactu ab D in E, quam ab B in F. Motus autem, ſeu peripheria
D E per conſtructionem æqualis eſt peripheriæ B F. quare manus C, æqua-
libus ductuum peripheriis ab punctis B & D altius tollitur ab D, quam à B.
ideoque ſi utrobique manus D æquali altitudine attollenda eſſet, major eſſet
motus peripheria ab B in F, quam ab D in E. Sed majorem motum ab B
verſus F major ocelli motus ſequitur: atque hunc quoq; ipſius pſellii. Quam-
obrem ſi utroque caſu manus pari altitudine attollatur, motus pſellii ex B, F
verſum, major erit motu pſellii ab D verſus E. ſed majore motu vel elatio-
ne pſellii plaga in equi mentum fit vehementior, unde lupi quoque in mandi-
bulam impreſſio exiſtit violentior. Itaque æquali manus C elatione, ſi annelli
contactus obtineat locum B in ſcapo A B plus aſperitatis habet, quam ſi eſſet
in D in ſcapo A D. atque adeò aunelli contactus B, quia diſtantior eſt ab
equi pectore, aſperior eſt viciniore D.
1 NOTA.
Quia angulus A D C minus à recto abeſt, quam A B C, qui
189189DE C*HALINOTHLIPSI.* eſt, vis manus C clariores effectus habet in ſcapo A D, quam in ſcapo A B
per converſam 24 prop. 1 lib. Staticæ. & quia hæc minus attentum fallere
poſſet tanquam expoſitæ propoſitioni contraria ſciſceret, monemus ut anno-
tatiunculam 2 propoſitionis adeat, indeq́; lucem petat. Nõ enim in hoc theo-
remate quæritur quantanam ſit potentia manus C, ſed ſi manus utroque caſu
æqualiter attollatur (quamvis ſub angulo A B C ei magis ſit allaborandum,
quam ſub angulo A D C) uter ductus tum plus aſperitatis habeat.
2 NOTA.
Ad eam quam rettulimus aſperitatis cauſam nonnunquam & alia accedit.
iſta videlicet. ut quanto annelli contactus ad equi pectus propius adducitur,
tanto in frenis, quales vulgo fabricant, intermediæ catellæ pectori quoq; fiant
viciniores; Sed cum jam eo adductæ ſunt ut pectus tangant, poſlea freni du-
ctus aſperitatis amplius nihil habet. quamvis enim deinceps plus annitaris
omnis plaga equi pectore avertitur, neque mento mandibulæve impreffio va-
lidior ulla infertur. Sed ſiannelli contactus, atque ideo quoque intermediæ
catellæ longius à pectore abſint, conſequens eſt ſcapos longius retrorſum pe-
ctus verſum adduci poſſe ut catellæ intermediæ pectus non tangant, unde
major aſperitas exiſtit. Veruntamen annotatiuncula hæc locum non habet ſi
catellæ intermediæ neutro modo pectus contingant.
3 NOTA.
Nonnulli equi (quorũ deformationem hic vides) caput ſurſum jactãdo ſeſe
frenorum preſſuræ eripiunt, neque tum illorum tenacia infrenari poteſt, ſed
equitem invitum rapiunt: cum tamen annelli contactus eo ſitu longius à pe-
ctore abſit, ideoq́ue frenum eo caſu aſperitate ſua plus moleſtiæ faceſſere de-
beat. Verum objectiunculam illam facile eſt diſſolvere, nam cum tenſa habe-
241[Figure 241] na A B parallela erit lineæ imaginariæ ab annelli cõtactu A ad lupiaxiculum
C eductæ, quemadmodum in hoc diagrammate notare potes, tum quan-
topere annitaris ductu habenæ capitellum ne hilum quidem commoveris,
neque pſellium elevâris, ideoq́ue omnis aſperitas conciderit nam quamvis
lupus retrorſum adducatur, inde tamen ſupraſcriptæ aſperitatis cauſa non de-
pendet. Imo ſi habena ſupra ſitum jam delineatum adſcendat, quanto vehe-
mentius habena tum adducetur, tanto pſellium magis remittet. Vt hæc à præ-
miſſo theoremate exceptio haud dubiis, aut obſcuris rationibus nitatur.
190190A*DDITAMENTI* S*TATICÆ* P*ARS QVARTA*
5 PROPOSITIO.
Pſellia quo breviora eo ſunt aſperiora.
Vero conſentaneum eſt lupi in mandibulam impreſſionem tum demum
incipere cum pſellium mento primulum admovetur, ſed ut pſellium longiuſ.
culum mentum tangat manus magis adducenda, quam ſi ſit brevius. quare æ-
qualiter mota manu preſſus brevioris pſellii arctior eſt, quam longioris: ideoq́;
pſellium brevius plus habet aſperitatis.
NOTA.
Diximus vero ſimile videri lupi preſſuram illic initium habere, ubi pſellium
mento primum affligitur. nonnulli tamen equi ante afflictionem iſtam preſſu
quopiam afficiuntur, etiam ſolo freno abſque pſellio, alius alio citius, prout
ore eſt teneriore durioréve, vel ut frenum materiæ eſt mollioris duriorisve,
laxius ſtrictiúsve. Verum hæc tam exigua tamq́ue inæqualis preſſura, non eſt
tanti ut accuratioribus qualitatum & affectionum ſuarum rationibus inveſti-
gandis & demonſtrandis opus ſit.
6 PROPOSITIO.
Frenum {προ}πςραςιχὸν fabricari.
11pr@tentati-
vum.
Definitionem freni {προ}πειραςιχ{οῦ} ſupra ſuo loco 17 def. rettulimus. nunc
fabricam ejus docemus. deformatio quidem eſt qualem ante oculos expreſ-
ſam vides, ubi A B ſcapos deſignant, qui vel augeri vel etiam imminui ob
partes C B immiſſas poterunt, quæq́; cumopus erit cochleis ad D ſiſtuntur.
porro ſcapi ſuos habent axes ad E circa quos verſentur, quorum ope ad an-
gulum optatum cum capitello inflectentur, deinde cochleis E ſiſtuntur. Ca-
pitella G H pari craſſitudine & mole ſunt deformata, longitudinis porro tan-
tæ, quanta maxima opus erit: Ocelli I ſurſum deorſumve adduci poſſunt, &
ubi commodum videtur cochleis ad K quoque ſiſtuntur. Vt hac deformatio-
ne & ſuprema & ima pars ad juſtam longitudinem augeri vel contrahi com-
mode poſſint.
191191DE C*HALINO THLIPSI*. 242[Figure 242]
Hactenus freni {προ}πςραςιχ{οῦ} deſcriptio & deformatio univerſo quaſi cor-
pore, & junctis jam partibus nobis eſt conſiderata. Sed ut ipſas partes quoque
examinemus, eas ſigillatim hic ante oculos ponimus: ubi iidem characteres
eaſdem notiones ſibi habent ſubjectas quas prius.
192192A*DDITAMENTI* S*TATIC Æ* P*ARS* *QVARTA* 243[Figure 243]
Hæc eſt freni {προ}πς-
ραςιχ{οῦ} deformatio, quã
I*LLVSTRISSIMVS*
P*RINCEPS* effinxit, &
re ipſa atque uſu com-
modiſsimam deprehĕ-
dit. ſi verò deincepsali-
quid accedat aut inve-
niatur commodius, æ-
quiſsimũ fuerit id ſuo
ſibi commodo uſur-
pare.
193193DE C*HALINO THLIPSI.*
Quomodo ope {προ}πςραςιχ{οῦ} frenum uſuifiat
accommodatum.
Freno {προ}πςραςιχ{\~ο} lupum, qualem equo idoneum judicabis, adaptato,
deinde ope ſcapi per cavum mobilis, reliquiſque partibus {προ}πςραςιχ{οῦ} mo-
bilibus, longitudo & ſcapi, & capitelli, & angulus ſub rectis à punctis conta-
ctuum eductis comprehĕſus inſtituantur primò tanta, quemadmodum equo
commodiſſimum judicabis: poſt autem cum indito ei freno edoctus eris ali-
quam harum quatuor partium, aut inſimul omnes mutatione opus habere, ut
vel ſcapi, vel capitella producenda ſint minuendave, vel angulus ſub lineis à
contactuum punctis eductis amplior arctiórve inſtituendus, vel pſellium au-
ctius contractiusve fabricandum. iſta in ſingulis labore minimo nec fallenti-
bus indiciis novari poterunt. ut neque frenum equo dematur, nec eques ab
equo deſcendat. Cum igitur προπςραςιχὸν ita formaris prout equo erit com-
modiſſimum, ſimili partium præcipuarum poſitu & reſponſu, hoc eſt, ut an-
gulus ſub rectis à tactuum punctis eductis comprehenſus, rectæq̀ue imagina-
riæ eum comprehendentes illis æquales ſint. reliqua pro libitu adornentur
phaleræ enim ſcaporumq́ue inverſuræ cæteraq́; varietatem nullam inducunt,
modo catellæ intermedię, pſellium, lupuſq́ue ſimiliter convenienti ſitu & for-
ma confiant. Frenum ita deformatum equo non minus congruum erit quam
προπδυςιχὸν fuerat, eodemq́ue plané malo equum coget
Ire viam quam docet eques ---
quod I*LLVSTRISSIMVS* P*RINCEPS* reapſe expertus comprobavit.
Nonnulli eorum, qui hancipſam artem libris editis tractarunt, frenos fa-
bricant in quos varii ſcapi inæqualium verſurarum inſeri poſsint. ſed ſi illic an-
nelli contactus eodem maneat loco, majores minorésve inverſuræ ad rem ni-
hil afferent momenti, quemadmodum prima propoſitione docuimus. vel ut
aliis verbis eandem ſententiam exponam, ſi annelli contactus alio ſit loco,
major minórve ſcapi inflexio non eſt cauſa effectus varietatis ejus, quam in
equi ductu ſentimus, qui inde exiſtit quod annelli contactus alio loco cõ ſiſtat
unde inveſtigatio iſtiuſmodi latentibus & ignoratis cauſis incertiſsima eſt &
obſcura, ut perquam rarò hac via freni idonei congruiq́ue confiant.
NOTA.
Qui catholicum ſtatices theorema de machinarum effectionibus conſide.
rabit, inde ita inferet. quia pari manus ductu, etiamſi capitella ſint inæqualia,
par pſelliorum motus exiſtat, hinc quoq; æqualem preſſus effectionem con-
ſequi. exemplo res erit clarior. ſi enim duo freni conſtruantur, quorum an-
guli ſub rectis à punctis contactuum eductis comprehenſi inter ſe æquentur,
pſelliaq́ue utrobique parem habeant laxitatem, ſcapiq́ue capitellis proportio-
nales quidem ſed inæquales ſint, in illis utrobique pſellium æquali manus du-
ctu tantundem commovebitur, unde par preſſus eſſicientia exiſtet. quod po-
ſuo diagrammate illuſtiius erit.
194194A*DDITAMENTI* S*TATICÆ* P*ARS QUARTA*
D*ATVM. * A B ſcapus ſit præ-
244[Figure 244] longus, A C prælongum ejuſdem
capitellum, in cõtinuata A B: con-
tra A D ſcapus breviuſculus, &
A E ejus capitellum breviuſculum;
ſed ita, ut A E A D, A C A B.
proportionales ſint. agatur deinde
ipſi A B æqualis A F, & A G ipſi
A C: ſintq́ue ab F & G in B C
perpendiculares, F H, G C.
deinde A K æqualis rectæ A D
tantum attollatur ut K L perpen-
diculatis ſit æqualis ipſi H F. ſimi-
liter ut altrinſecus A M, in con-
tinuata K A, æquetur ipſi A E,
& ab M perpendicularis cadat
M N. his conſtitutis, ponamus
annellum B ſcapi longioris ab B
adductum in F ut diſtantia à prio-
ri ſcapi ſitu ſit F A: minoris au-
tem ſcapi annellum ab D didu-
ctum in K, ut diſtantia ſit L K. his
ductibus ocellus majoris ſcapi mi-
grabit ab C in G, eritq́ue diſtan-
tia à priori ſitu I G: ocellus verò E
capitelli minoris diſcedet in M, cu-
jus à capitelli primo ſitu diſtantia
eſt M N. Sed motus intervalla H F
L K pro manus ductibus (quiaillis
æquantur) cenſenda ſunt: item
IG M N pro pſelliorum motibus-
quod illis æquentur. Quæ cum ita
ſint demonſtrandum eſt N M æ,
quari ipſi I G. unde, quod propo-
ſitum nobis fuerat, par preſſus vio-
lentia neceſſariò concluditur.
DEMONSTRATIO.
Triangulum A K L ſimile eſt triangulo A M N; ideoq́ue latera quæ ſimili
ſitu reſpondent proportionalia,
Sic A K ad A M eſt, ut K L ad M N.
Triangulum A F H ſimile eſt triangulo A I G, ideoq́; latera ſimiliter ſita
erunt proportionalia.
hoc eſt, A F ad A G, ut FH ad GI,
ſed ut A F ad A G, ſic A K ad A M. itaque
ut A K ad A M, ſic F H ad G I.
atqui F H & K L per hypotheſin æquantur. erit igitur
ut A K ad A M, ſic K L ad GI.
Vt G I & M N quartæ proportionales ſint, poſitis iiſdem tribus
195195DE C*HALINO THLIPSI.* dentibus terminis. videlicet M N in prima proportione, & G I in noviſsima.
ideoq́ue ipſæ inter ſe æquales.
Quamobrem, cum pſellium utroq; freno tantundem impellatur, inde par
preſſus alperitas exiſtere videri poſſet, cum tamen hæc res ſe longe ſecus ha-
beat, quare non alienum videtur iſta paulo fuſius explicare.
Experientia teſtatur, quod à quibuſdam quoque annotatum memini, lon-
gioribus capitellis quoſdam æquos cervicem erectiorem geſtare quam bre-
vioribus. cujus cauſam P*RINCEPS* I*LLVSTRISSIMVS* hanc eſſe arbi-
tratur. A B deſignet capitellum longius, A C brevius; longioris pſellium
BD, brevioris autem C D. jam longius pſellium B D angulum cum capi-
tello conſtituit acutiorem, quam C D. nam A B D angulus minor eſt angu-
245[Figure 245] lo A C D. conſtat itaque quod (cum ductu habenæ E F capitellum A B
commovebitur) pſelliũ C D directius, at B D obliquius & ſurſum verſus equi
mentũ preſſet: quamobrem ut preſſum hunc evitet cervicem fert erectiorem.
Occurrat aliquis, ſi hæclongioris capitelli foret affectio id non ſolum in
quibuſdam equis (quemadmodum nos monuimus) ſed in omnibus omnino
re ipſa comprobatum iri, quod tamen ſecus eſſe multi teſtantur, atque inter
alios quoque le Sieur de la Brouë libro 3 peculiari tactatu cuititulum fecit
Occaſions pour leſquelles on doit faire l'æil de la branche plus baut ou plus ba@
que la meſure ordinaire.
Ipſum quoque I*LLVSTRISSIMVM* P*RINCIPEM* teſtantem audivi
ſeſe experientia edoctum capitello productiore quoſdam equos cervicem at-
tollere, nonnullos contra demittere, quodq́; ipſum tum nõ leviter ſit miratus.
ſed cum poſtmodum ſtaticen edoctus idem conſideraret diligentius, hanc eſſe
tam diverſi effectus cauſam ſibi perſuaſit. quod productio capitelli, quæ plus
aſperitatis mento mandibulæq́ue per 3 propoſ. infligit, cõtrarios ſimul habeat
effectus. nam validiore lupi in mandibulã impreſſione equus caput demittit,
quî aſperitatem illam declinet; at cõtra validiore pſelli contra mentum preſſu
caput arrigit, ut dolori huic ſeſe quoque ſubducat, quod jam ſupra demõſtra-
vimus. cum autem utraque aſperitas concurrat dolori graviſsimo celerrimè
medicinam parat. verum nonnulli equi ſunt mandibulæ gingivæq́ue
196196A*DDITA.* S*TAT*. P*ARS QVARTA DE* C*HALIN*. ris, & menti durioris; at contra alii duriore ſunt gingiva, teneriore mento.
conſequens igitur eſt quoſdam equos caput erigere, quoſdam demittere. Ve-
runtamen ut theorema iſtud generaliter definiamus: longius capitellum (ſi
pſellium, quâ ſurſum ſuo preſlu tendit tantum conſideremus) non parum af-
fert momenti ut equus caput erigat, quamvisalio graviore malo coactus con-
tra nonnunquam ſe demittat.
Quamobrem conſequens videtur equis, qui capite ſatis arrecto incedunt,
quorumq́ue gingivæ non ſit nimia teneritudo, breviora capitella & pſellia
ſtrictiora eſſe idonea, nam longiora capitella cum laxiore pſellio ſubito fortè
adducta quaſi plagam faciunt, & equorum ora magis corrumpunt quam
breviora ſtrictiori pſellio. quæminore quidem impetu eorum pectoriaddu-
cuntur & tamen parem preſſionis habent efſecientiam. Huc adde, longiora
pſellia ut B D facileab mento delabi, ut tum equus ſeſſoris imperio non ob-
temperet, quod brevioribus pſelliis C D non contingit.
Notato & hoc. cum non erit opus longioribus capitellis quîequus erectior
incedat (quod evenitubi mandibulæ teneritudo eadem erit quæ menti) per-
beve capitellum uſurpandum, ſcaporum autem longitudinem, quanta com-
modiſſima videbitur: aſperitatem deinde amplitudine, vel brevitate pſellio-
rum pro placito tem perandam.
Verumenimverò, quia I*LLVSTRISSIMVS* P*RINCEPS* affectiones
has diligentiſſime indagavit, coronidis loco aliam quandam anomaliam de
frenis quorum ſcapi & capitella proportionalia ſunt annotabo.
Cui fini ponatur A B
246[Figure 246] longior ſcapus ejusq́ue
habena B C, A D bre-
vior cujus habena D E.
partes ſupremæ inferio-
ribus ſcapis ſtatuantur
proportionales. quam-
vis jam duo iſti ſcapi lõ-
giores ob analogiam pa-
rem efficiant preſſum,
tamen manifeſtum eſt
manumnõ eodem utro-
bique loco verſari: ſed
ſi, dum B adducet, ea in
C conſiſtat, cum D du-
cet oportebit eam ſta-
tui in E, ut D E paral-
lela ſit contra B C. Nam adducta habena ſecundum D C eaalium compre-
henderet angulum cum A D quam D E, quæres mutationem aliquamne-
ceſſariò inducet.
C*HALINOTHLIPSIS*
FINIS.
197
TOMVS
QVINTVS
MATHEMATICORVM
HYPOMNEMATVM,
DE
MISCELLANEIS.
Quo comprehenduntur ea in quibus ſe exercuit
ILLVSTRISSIMVS, ILLVSTRIS-
ſimo & antiquiſſimo ſtemmateortus Princeps, ac Dominus
M*AURITIUS*, Princeps Auraïcus, Comes Naſſoviæ,
Cattimelibocorum, Viandæ, Moerſii, & c. Marchio Veræ, & Vliſſingę, & c.
Dominus civitatis Gravæ, & ditonis Cuyc, civitatum Uyt,
Daeſburch, & c. Gubernator Geldriæ, Hollandiæ, Zelandiæ,
Weſtfriſiæ, Zutphaniæ, Vltrajecti, Tranſiſalanę, & c.
Imperator exercitus Provinciarum fœdere
conſociatarum Belgii, Architalaſſus
Generalis, & c.
Conſcriptus à S*IMONE* S*TEVINO*.
L*VGDVNI* B*ATAVORVM*,
Ex Officinâ Ioannis Patii, Academiæ Typographi.
Anno cIↄ. Iↄ. c. *VIII*.