Huygens, Christiaan, Christiani Hugenii opera varia; Bd. 1: Opera mechanica, 1724

Bibliographic information

Author: Huygens, Christiaan
Title: Christiani Hugenii opera varia; Bd. 1: Opera mechanica
Year: 1724
City: Lugduni Batavorum
Publisher: Janssonios Vander
Number of Pages: [14], 308 S.: Taf.
Series Volume: 1
Number of Volumes: 2
Series title: Christiani Hugenii opera varia

Permanent URL

Document ID: MPIWG:KF5SR7Q5
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:KF5SR7Q5

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. @@VM MANT, OB MERITA Page: 1
3. CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, Dum viveret Zelemii Toparchæ, OPERA VARIA. Volumen Primum. Page: 7
4. Lugduni Batavorum, Apud JANSSONIOS VANDER Aa, Bibliopolas, MDCCXXIV. Page: 7
5. MAX-PLANCK-INSTITUT FOR WISSENSCHAFTSGESCHICHTE Bibliothek Page: 8
6. ADMONITIO BIBLIOPEGIS, ubi locandi ſint Tituli. AVIS AU RELIEUR, Pour placer les Titres ſuivant les Pages marquées ci-deſſous. BERIGT AAN DEN BOEKBINDER, Om en alwaar de Titels te plaatſen. Page: 9
7. G. J.’s GRAVESANDE L. S. Page: 11
8. HUGENII VITA. Page: 15
9. CHRISTIANI HUGENII OPERA MECHANICA. Tomus Primus. Page: 23
10. Tomi primi contenta. Page: 24
11. CHRISTIANI HUGENII A ZULICHEM, Const, F. HOROLOGIUM. Page: 25
12. ILLUSTRISSIMIS AC POTENTISSIMIS HOLLANDIAE Et WESTFRISIAE ORDINIBUS Dominis ſuis, Christianus Hugenius à Zulighem Felicitatem omnem. Page: 27
13. CHRISTIANI HUGENII A ZULICHEM, Const. F. HOROLOGIUM. Page: 29
14. FINIS. Page: 38
15. CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CONST. F. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. SIVE DE MOTU PENDULORUM AD HOROLOGIA APTATO DEMONSTRATIONES GEOMETRICÆ Page: 42
16. Dividitur liber hic in partes quinque, quarum Page: 43
17. LUDOVICO XIV, FRANCIÆ ET NAVARRÆ REGI INCLYTO. Page: 44
18. HADRIANI VALLII DAPHNIS, ECLOGA. Page: 48
19. CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CONST. F. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM, SIVE DE MOTU PENDULORUM AD HOROLOGIA APTATO Demonſtrationes Geometricæ. Page: 56
20. HOROLOGII OSCILLATORII PARS PRIMA, Deſcriptionem ejus continens. Page: 60
21. HOROLOGII OSCILLATORII PARS SECUNDA. De deſcenſu Gravium & motu eorum in Cycloide. HYPOTHESES. I. Page: 84
22. II. Page: 84
23. III. Page: 84
24. PROPOSITIO I. Page: 85
25. PROPOSITIO II. Page: 90
26. PROPOSITIO III. Page: 91
27. PROPOSITIO IV. Page: 93
28. PROPOSITIO V. Page: 96
29. PROPOSITIO VI. Page: 98
30. PROPOSITIO VII. Page: 99
31. PROPOSITIO VIII. Page: 100
32. PROPOSITIO IX. Page: 104
33. PROPOSITIO X. Page: 105
34. PROPOSITIO XI. Page: 105
35. PROPOSITIO XII. Page: 106
36. PROPOSITIO XIII. Page: 107
37. PROPOSITIO XIV. Page: 107
38. PROPOSITIO XV. Page: 111
39. PROPOSITIO XVI. Page: 114
40. PROPOSITIO XVII. Page: 118
41. PROPOSITIO XVIII. Page: 118
42. PROPOSITIO XIX. Page: 119
43. PROPOSITIO XX. Page: 119
44. PROPOSITIO XXI. Page: 121
45. PROPOSITIO XXII. Page: 125
46. LEMMA. Page: 126
47. PROPOSITIO XXIII. Page: 127
48. PROPOSITIO XXIV. Page: 129
49. PROPOSITIO XXV. Page: 141
50. PROPOSITIO XXVI. Page: 142
51. HOROLOGII OSCILLATORII PARS TERTIA. Page: 143
52. DEFINITIONES. I. Page: 143
53. II. Page: 143
54. III. Page: 143
55. IV. Page: 144
56. PROPOSITIOI. Page: 144
57. PROPOSITIO II. Page: 146
58. PROPOSITIO III. Page: 150
59. PROPOSITIO IV. Page: 151
60. PROPOSITIO V. Page: 152
61. PROPOSITIO VI. Page: 153
62. PROPOSITIO VII. Page: 157
63. PROPOSITIO VIII. Page: 159
64. PROPOSITIO IX. Page: 160
65. Conoidis parabolici ſuperficiei curvæ circulum æqualem invenire. Page: 162
66. Sphæroidis oblongi ſuperſiciei circulum æqualem invenire. Page: 163
67. Sphæroidis lati ſive compreſſi ſuperficiei circulum æqualem invenire. Page: 163
68. Conoidis hyperbolici ſuperficiei curvæ circulum æqualem invenire. Page: 164
69. Curvæ parabolicæ æqualem rectam lineam invenire. Page: 168
70. PROPOSITIO X. Page: 173
71. PROPOSITIO XI. Page: 174
72. HOROLOGII OSCILLATORII PARS QUARTA. De centro Oſcillationis. Page: 189
73. DEFINITIONES. Page: 191
74. I. Page: 191
75. II. Page: 191
76. III. Page: 191
77. IV. Page: 191
78. V. Page: 191
79. VI. Page: 192
80. VII. Page: 192
81. VIII. Page: 192
82. IX. Page: 192
83. X. Page: 192
84. XI. Page: 192
85. XII. Page: 193
86. XIII. Page: 193
87. HYPOTHESES. I. Page: 193
88. II. Page: 198
89. PROPOSITIO I. Page: 198
90. PROPOSITIO II. Page: 200
91. PROPOSITIO III. Page: 200
92. PROPOSITIO IV. Page: 201
93. PROPOSITIO V. Page: 202
94. PROPOSITIO VI. Page: 208
95. DEFINITIO XIV. Page: 210
96. DEFINITIO XV. Page: 210
97. PROPOSITIO VII. Page: 210
98. PROPOSITIO VIII. Page: 211
99. PROPOSITIO IX. Page: 213
100. PROPOSITIO X. Page: 214
101. PROPOSITIO XI. Page: 218
102. PROPOSITIO XII. Page: 218
103. PROPOSITIO XIII. Page: 221
104. PROPOSITIO XIV. Page: 223
105. PROPOSITIO XV. Page: 228
106. PROPOSITIO XVI. Page: 232
107. PROPOSITIO XVII. Page: 233
108. PROPOSITIO XVIII. Page: 234
109. PROPOSITIO XIX. Page: 237
110. PROPOSITIO XX. Page: 238
111. PROPOSITIO XXI. Page: 238
112. Centrum oſcillationis Circuli. Page: 247
113. Centrum oſcillationis Rectanguli. Page: 247
114. Centrum oſcillationis Trianguli iſoſcelis. Page: 248
115. Centrum oſcillationis Parabolæ. Page: 248
116. Centrum oſcillationis Sectoris circuli. Page: 248
117. Centrum oſcillationis Circuli, aliter quam ſupra. Page: 250
118. Centrum oſcillationis Peripheriæ circuli. Page: 250
119. Centrum oſcillationis Polygonorum ordinatorum. Page: 254
120. Loci plani & ſolidi uſus in hac Theoria. Page: 254
121. PROPOSITIO XXII. Page: 261
122. Centrum oſcillationis in Pyramide. Page: 262
123. Centrum oſcillationis Coni. Page: 266
124. Centrum oſcillationis Sphæræ. Page: 266
125. Centrum oſcillationis Cylindri. Page: 267
126. Centrum oſcillationis Conoidis Parabolici. Page: 267
127. Centrum oſcillationis Conoidis Hyperbolici. Page: 268
128. Centrum oſcillationis dimidii Coni. Page: 268
129. PROPOSITIO XXIII. Page: 274
130. PROPOSITIO XXIV. Page: 279
131. PROPOSITIO XXV. Page: 280
132. PROPOSITIO XXVI. Page: 284
133. HOROLOGII OSCILLATORII PARS QUINTA. Page: 287
134. Horologii ſecundi conſtructio. Page: 288
135. DE VI CENTRIFUGA ex motu circulari, Theoremata. I. Page: 290
136. II. Page: 290
137. III. Page: 290
138. IV. Page: 294
139. V. Page: 294
140. VI. Page: 294
141. VII. Page: 295
142. VIII. Page: 295
143. IX. Page: 295
144. X. Page: 296
145. XI. Page: 296
146. XII. Page: 296
147. XIII. Page: 297
148. FINIS. Page: 297
149. BREVIS INSTITUTIO DE USU HOROLOGIORUM AD INVENIENDAS LONGITUDINES. Page: 298
150. Adr. Metius in Geographicis Inſtitutionibus Cap. 4. Page: 299
151. Fournier in Hydrographia 1. 12. C. 35. Page: 299
152. Didericus Rembrantz a Nierop in Animadverſionibus de inveniendis longitudinibus. Page: 299
153. BREVIS INSTRUCTIO DE USU HOROLO-GIORUM AD INVENIENDAS LONGITUDINES. I. Page: 300
154. II. Page: 300
155. III. Page: 300
156. IV. Page: 300
157. V. Reducere horologia ad rectam dierum menſuram vel cogno-ſcere quanto citius vel tardius ſpatio 24 horarum movean-tur. Page: 301
158. VI. Ope Horologiorum mari invenire longitudinem loci in quo verſaris. Page: 307
159. VII. Mari invenire horam diei. Page: 309
160. VIII. Quomodo ex obſervatione ortus & occaſus Solis & ex hora horologiorum longitudo mari inveniri queat. Page: 310
161. IX. Page: 314
162. X. Page: 314
163. XI. Page: 315
164. XII. Page: 315
165. FINIS. Page: 316
166. EXCERPTA EX LITERIS DATIS LONDINI {13/23} JANUARII MDCLXV. Page: 316
167. EXCERPTA EX LITERIS HAGÆ CO-MITUM, DIE XXVI. FEBRUAR MDCLXV. DATIS. Page: 318
168. DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA. Page: 320
169. DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA. I. Obſervationes Abbatis Catelani in propoſitio-nem, quæ fundamentum eſt 4æ. partis tra-ctatus de Pendulis, Hugenii. Page: 322
170. II. Domini Abbatis Catelani Examen Ma-thematicum Centri Oſcillationis. Page: 324
171. MONITUM. Page: 327
172. III. Excerpta ex literis Domini Hugenii, quibus re-ſpondet obſervationi Abbatis Catelani in 4am. pro-poſitionem Tractatus de centris Oſcillationis. Page: 327
173. IV. Exceptio Abbatis Catelani ad reſponſionem Hugenii. Page: 330
174. V. Objectio Abbatis Catelani contra motum Pendulorum in Cycloidibus. Page: 332
175. VI. Reſponſio ad objectiones Hugenii adverſus me-thodum Abbatis Catelani de determinan-do Centro Oſcillationis. Page: 333
176. VII. Excerpta ex litteris D. Bernoullii datis Baſileæ ad Autorem Diarii Pariſienſis, de Controverſia, inter Abbatem Catelanum & Hugenium, de Centro Oſcillationis. Page: 335
177. VIII. Excerpta ex literis Dni. Hugenii ad Auctores Diarii Pariſienſis, datis Hagæ 8. Funii 1684. quæ continent ejus reſponſionem ad exceptio-nem Dni. Abbatis Catelani, de cen-tro Oſcillationis. Page: 337
178. IX. Reſponſio Dni. Abbatis Catelani ad literas Dni. Bernoulli de Controverſia ſua cum Dno. Hu-genio de centro Oſcillationis . Page: 340
179. X. Dn. Bernouillii narratio controverſiæ inter Dn. Hugenium & Abbatem Catelanum agitatæ de Centro Oſcillationis, quæ loco Anim-adverſionis eſſe poterit in Reſpon-ſionem Dn. Catelani. Excerpta ex Litteris Dn. Bernoullii Lipſiam miſſis. Page: 342
180. XI. Litteræ Dni Marchionis de l’Hôpital ad Dum Huge-nium, in quibus contendit, ſeregulam hujus Au-ctoris de Centro oſcillationis penduli compoſiti demonſtrare per cauſam Phyſicam, & re-ſpondere ſimul Dno Bernoulli. Page: 347
181. XII. Obſervationes Dni Hugenii in liter as præcedentes & in relationem Dni Bernoulli, cujus in iis fit mentio. Page: 351
182. FINIS. Page: 353
183. MACHINÆ QUÆDAM, ET VARIA CIRCA MECHANICAM. Page: 357
184. MACHINÆ QUÆDAM, ET VARIA CIRCA MECHANICAM. I. Excerpta ex Literis Domini Hugenii, novam quan-dam Inventionem Horologiorum exactiſſino-rum ac portatilium concernentibus. Page: 359
185. II. Nova Libella, Teleſcopio inſtructa, propriam ſecum ferens probationem, & quæ in unica ſtatione verificatur, & rectificatur. Page: 360
186. Rectificationis Libellæ Demonſtratio. Page: 364
187. III. Aſtroſcopia Compendiaria, Tubi Optici molimine liberata. Page: 367
188. AUCTARIUM. Page: 385
189. IV. Excerpta ex literis Dni Hugenii de novâ methodo conſtruendi Barometrum. Page: 388
190. V. Nova vis movens mediante pulvere nitrato & aëre. Page: 395
191. VI. Demonſtratio Æquilibrii bilancis. Page: 397
192. VII. De potentiis fila funesve trahentibus. Page: 405
193. VIII. Solitio problematis a G G. Leibnitio propoſiti in diario (cui titulus Nouvelles de la Republi-que des Lettres) menſis Sept. 1687. PROBLEMA. Page: 408
194. Solutio. Page: 408
195. IX. Chriſtiani Hugenii, Solutio Problematis de linea in quam flexile ſe pondere pro-prio curvat. Page: 409
196. X. Hugenii Annotationes in librum Pariſiis 1689. editum, de Manuaria Nautica. Page: 410
197. XI. Reſponſum Dni Renaldi ad Dominum Hugenium. Page: 414
198. XII. Exceptio Dni Hugenii ad Reſponſum Dni Renaldi. Page: 423
199. FINIS. Page: 426
1
@@VM MANT,
OB
MERITA
2
[Empty page]
311[Handwritten note 1]
422[Handwritten note 2]
5
[Empty page]
61[Figure 1]CHRISTIANUS HUGENIUSnatus 14 Aprilis 1629.denatus 8 Junii 1695.Lugd. Bat. Apud Janssonios Van der Aa. Bibliopolas.
7
CHRISTIANI HUGENII
ZULICHEMII,
Dum viveret Zelemii Toparchæ,
OPERA VARIA.
Volumen Primum.
2[Figure 2]
Lugduni Batavorum,
Apud
JANSSONIOS VANDER Aa,
Bibliopolas
, MDCCXXIV.
33[Handwritten note 3]
844[Handwritten note 4]
MAX-PLANCK-INSTITUT
FOR
WISSENSCHAFTSGESCHICHTE
Bibliothek
55[Handwritten note 5]
9
ADMONITIO BIBLIOPEGIS,
ubi
locandi ſint Tituli.
AVIS AU RELIEUR,
Pour
placer les Titres ſuivant les Pages marquées ci-deſſous.
BERIGT AAN DEN BOEKBINDER,
Om
en alwaar de Titels te plaatſen.
1. Chriſtiani Hugenii Opera Mechanica. Tomus Primus. (ante) (de-
vant
) voor Pag.
1. (& poſt Hugenii Vitam) (apres Hugenii Vi-
ta
) agter Hugenii Vita.
2. Chriſtiani Hugenii a Zulichem, dum viveret Zelhemi Toparchæ,
Opera
Varia.
Volumen Secundum. (ante)(devant) voor Pag.
309.
3. Chriſtiani Hugenii Opera Geometrica. Tomus Secundus. (etiam an-
te
) (auſſi devant) mede voor Pag.
309. (& poſt Titulum
Voluminis
Secundi) (&
après le Titre de Volumen Secun-
dum
) en na de Titel van Volumen Secundum.
4. Chriſtiani Hugenii Opera Aſtronomica. Tomus Tertius. (ante) (de-
vant
) voor Pag.
521.
5. Chriſtiani Hugenii Opera Miſcellanea. Tomus Quartus. (ante) (de-
vant
) voor Pag.
723.
10
[Empty page]
11 3[Figure 3]
G. J.’s GRAVESANDE
L
. S.
ILlos de re litteraria bene mereri, ſem-
per
perſuaſum habui, qui doctorum vi-
rorum
ſcripta diſperſa colligunt;
&
minoribus
, ſeorſim perituris, in ma-
jori
volumine collocatis poſteritatem
quaſi
donant.
Hac de cauſa cùm Bibliopolæ bujus Urbis, Jan-
ſonii
vander Aa, mihi declararent, ſe in men-
te
habere Hugenii opus, olim Pariſiis editum, de
Horologio
Oſcillatorio typis mandare, &
hac de
re
quid ſentirem ego quærerent, Ipſis Auctor fui,
ut
non modo in propoſito perſeverarent, ſed ut
omnia
ante edita ejuſdem Auctoris opera minora buic
adjungerent
.
12PRÆFATIO.
In me libenter ſuſcepi curam colligendi hæc, &
diſponendi
;
ſchedaſque ſemel & altera vice a cor-
rectore
examinatas, ipſe attente relegi, &
cum
figuris
contuli;
ſcripta etiam quædam, in Diariis
non
ſub Auctoris oculis edita, ſæpe mendis variis
purgavi
.
Opera quæ hic exſtant, in quatuor diſperſi to-
mos
;
quæ Mechanicam Machinaſque ſpectant to-
mo
primo continentur:
Geometrica ſecundo: A-
ſtronomica
tertio:
Miſcellanea pauca quarto.
Tractatus varios Auctor ſeparatim ediderat; ſcri-
pta
minora multa in Diariis diſperſa dantur:
in-
ter
hæc quædam ſpectant controverſias quæ Aucto-
ri
cum viris doctis intercedere, &
quæ ad ean-
dem
controverſiam pertinent, aliquando in variis
regionibus
publicata exſtant, partim Gallicè conſcri-
pta
, partim Latinè.
In edendis libris, ſeparatim ab Auctore publici
juris
factis, exemplaria manu ipſius recognita, &

in
variis locis aucta, &
emendata, ſecutus ſum;
quod etiam referri debet ad ſcripta pauca ex iis quæ
in
Diariis fuere tradita.
Exemplaria hæc accepi à Nob. Dno Hugenio Ze-
lemii
Toparchâ, qui patrui Chriſtiani opera
13PRÆFATIO. cum cura ſervaverat, & qui libenter mibi hæc ea
lege
conceſſit, ut abſoluta editione in Bibliotbeca
publica
Acad.
Lugd. Bat. jungantur cum ejuſdem
Auctoris
manuſcriptis quæ ibi ſervantur.
In Indice, ad calcem libri adjecto, monui ubi ſcri-
pta
ſingula antea edita fuere.
Tractatus ſepara-
tos
Latine Auctor conſcripſit, præter Inſtitutionem
de
Uſu Horologiorum , quæ Belgico ſermone in 11pag. 193. cem prodiit.
Ex Gallicis Diariis excerpta ſcripta
Gallico
ſermone conſcripta dantur.
Illorum autem
quæ
inter opera Acad.
Reg. Paris. Artium &
Scient
.
cum publico communicata fuere, quædam Gal-
lica
ſunt reliqua Latina, nempe;
De potentiis funeſve trahentibus :
22pag. 287.
Conſtructio loci ad Hyperbolam :
33pag. 485.
De maximis & minimis :
44pag. 490.
De inveniendis tangentibus .
55pag. 498.
Ut omnia Latino ſermone exhiberentur, quæ
Belgicè
, aut Gallicè, edita fuere, Latinè reddidit
Clariſſ
.
Hermanni Ooſterdyk Schacht, Med. Profeſſo-
ris
in hac Acad.
Celeberrimi, Filius Digniſſimus Johan-
nes
Ooſterdyk Schacht, qui ad ſtudia ſubtiliora
14PRÆFATIO. tus, à naturâ acceptum, adhuc dum juvenis, di-
ligentiâ
pulcherrime excoluit ingenium.
Si collectioni huic volumen operum poſthumorum
Hugenii
, &
tractatus duos de Lumine & Gravitate,
addas
, omina B.
L. habebis Hugenii opera.
Hæc autem quæ hìc deficiunt, eâdem formâ cum
hiſce
, brevi edituri ſunt Bibliopolæ Amſtelodamenſes
Waesbergii
.
Dabam Lugd. Bat. . Id. Mart. MDCCXXIV.
15
HUGENII VITA.
CHriſtianus Hugenius, natus eſt Ha-
Comitum in Hollandia, 14.
A-
pril
.
1629. Patrem habuit Conſtan-
tinum
Hugenium, Equitem, To-
parcham
Zulichemii, Zelhemi,
&
in Monikenlandt, qui tribus Auriacis Principi-
bus
a ſecretis &
conſiliis fuit. Mater erat Su-
ſanna
van Baerle.
In ſtudiis Mathematicis integram conſumſit vi-
tam
, non tantum ſpeculationibus deditus, ſed
harum
diſciplinarum ſubtiliſſima ad vitæ uſum re-
ferens
.
Ab ipſa infantia huic ſtudio applicavit
animum
, vix natus annos novem, ipſo Patre du-
ce
, in Muſicis, Arithmeticis, Geographicis, mi-
ros
, &
vix credibiles, progreſſus fecit, Latinis
&
Græcis litteris interim animum applicans.
Anno ætatis decimo tertio quàm ingenium ſtu-
dio
Mechanices eſſet aptum, quod tanta deinde
hominum
utilitate excoluit, in examinandis ma-
chinis
, haſque, quantum infanti liceret, imitan-
do
, demonſtravit.
Anno 1644, ſtudium Matheſeos aggreſſus eſt,
Mathematicumque
Belgam Stampioen præcepto-
rem
habuit.
Sequenti anno Academiam petiit quæ Leidæ
eſt
apud Batavos.
Ibi Vinnium jus civile expli-
cantem
audivit, &
magiſtro Schotenio
16HUGENII VITA. Matheſeos continuavit, ingeniique ad hæc ſtu-
dia
nati varia tunc temporis dedit ſpecimina,
brevique
famam inter Mathematicos, annos ſu-
perantem
, acquiſivit.
Studium autem Juridicum Bredæ proſecutus
eſt
annis 1646, 1647, 1648, occaſione ſcho-
illuſtris, tunc temporis ibi erectæ, &
cu-
Patris ipſius pro parte commiſſæ.
Hagam anno ſequenti redux, Henricum Co-
mitem
Naſſavium ſecutus, Holſatiam, &
Da-
niam
, inviſit.
Vehementi tenebatur deſide-
rio
in Sueciam uſque iter ſuum producendi,
Carteſium
ut videret, quod ipſi non licuit, bre-
vi
finitâ Comitis legatione.
Anno 1651. Tractatum edidit de quadratu-
ra
Hyperboles, Ellipſis, &
Circuli, ex dato portio-
num
gravitatis centro.
11Vide pag.
309
.
Ut librum hunc perluſtrent Lectores rogo Ma-
thematicos
, &
videant an non merito, in ipſa
juventute
, inter ſummos Mathematicos relatus
fuerit
Hugenius.
Eodem anno & ſequentibus varia de refractio-
nibus
&
Dioptrica conſcripſit, quæ in operibus
poſthumis
edita exſtant.
Anno 1655. Galliam petiit, & Andegavi Do-
ctor
Juris renunciatus eſt.
Eodem anno cum fratre Conſtantino vitris for-
mandis
, quæ Teleſcopiis majoribus
17HUGENII VITA. operam dedit. Teleſcopium decem pedum con-
ſtruxit
quod, ut ipſe perſuaſum habebat, omnia
illius
temporis ſuperabat.
Hujus auxilio comi-
tem
Saturni detexit.
Omnes hujus Planetæ ſa-
tellites
tunc temporis Aſtronomos latebant, &

niſi
multis annis ſerius, reliquos quatuor, inter
quos
unus Hugeniano à Saturno remotior, de-
texit
Caſinus.
Non ſtatim ſibi novum ſidus cognitum dari
cum
Aſtronomis communicavit, ad quoſdam
tamen
inventum, hiſce verbis &
litteris invo-
lutum
, miſit.
Admovere oculis diſtantia ſidera noſtris VVVVVVV
CCCRRHNBQX
.
Quæ verba cum adjectis litteris ipſo vitro in-
ſcripſit
.
Explicatio eſt Saturno Luna ſua circumducitur
diebus
ſexdecim horis quatuor.
Exactius tamen
in
ſequentibus hujus Lunæ periodum determina-
vit
.
11Vide pag.
551
.
Tranſpoſitione litterarum Ænigma explica-
tur
.
Per multos annos vitris formandis quibus no-
va
in cœlis detegeret ſedulam cum fratre impen-
dit
operam, præcipuè ab anno 1681 ad an-
num
1687, artemque hanc perfectiorem red-
didere
;
multa ex acuratè admodum elaboratis
vitris
majora conſtruxere Teleſcopia.
Inter
18HUGENII VITA. tra hæc duo præ ceteris antecellunt, magnitu-
dine
Teleſcopiorum quibus inſervire debent, &
, ſi
Auctori
noſtri fidem habeamus, excellentiâ ;
11Vide pag.
698
.
jus deſtinatum erat Teleſcopio ducentorum &
de-
cem
pedum, alterum Teleſcopio centum &
ſe-
ptuaginta
.
Hæc duo nunc poſſidet Anglia. Mul-
ta
alia Teleſcopiis, centum pedes excedentibus,
ut
&
minoribus, inſervientia apud heredes adhuc-
dum
ſuperſunt.
Anno 1656 tractatum conſcripſit de ratiociniis
in
ludo aleæ , editus hic fuit ad calcem 22Vide pag.
723
.
tionum Mathematicarum Schotenii.
Methodum
in
hoc tractatu demonſtravit ipſam ſortem com-
putationi
Mathematicæ ſubjiciendi, primuſque pu-
blici
juris fecit principia artis poſt illum ad vix
ſperandam
perfectionem prolatæ.
Anno 1657 primus mortalium tempus exactiſ-
ſime
menſuravit, pendula dum Horologiis appli-
cavit
.
Ante illum Aſtronomi adhibitis pendulis
tempus
quidem menſurabant, ſed ad exigua in-
tervalla
, cum pendula talia homine indigerent
qui
curaret ut in motu perſeverarent.
Ipſe au-
tem
ope Horologiorum perpetuum quaſi pendu-
lis
motum communicavit, ponderibus enim Horo-
logia
agitabantur, quæ, non mutata actione in
Horologia
, elevari poterant.
Perſuaſum habebat talia Horologia & mari uſu
venire
poſſe, &
nil præter hæc in nave requiri
ad
determinandas longitudines.
19HUGENII VITA.
Notum enim eſt, utilis hujus longitudinum pro-
blematis
diu deſideratam, &
forte deſiderandam,
ſolutionem
, ab exacta temporis menſura pende-
re
.
Non tamen ſatis erat Horologiorum motus le-
gibus
fixis adſtrinxiſſe, ſed ut ipſe notabat, mo-
tum
æquabilem ſervare, navim jactantibus auſtris,
hoc
opus, hic labor erat;
difficultatem tamen ſu-
perari
poſſe ſemper ſperavit, multa tentavit, &

ad
mortem fere uſque nova, ut ad ſcopum per-
veniret
, molitus eſt;
ſed licet ad hunc pertin-
gere
non potuerit, quo ingenio, qua perſpicacitate,
rem
proſecutus eſt, qui horum operum tomum
primum
perleget dijudicabit;
non omnia tamen
tentamina
publici juris facta fuere.
Anno 1659. Syſtema Saturnium edidit, 11Vide pag.
527
.
quo veram cauſam anſarum hujus planetæ tradi-
dit
, quam ante illum nemo ne ſuſpicione qui-
dem
attingere potuerat, hancque invictis firmavit
argumentis
.
Sequenti anno altera vice Galliam petiit, unde
in
Angliam anno 1661.
profectus eſt. lbi artem
ſuam
laborandi vitra demonſtravit, cum inter
omnes
conſtaret, Hugenii Teleſcopia, longitu-
dinem
viginti quatuor pedum tunc temporis non
excedentia
, ceteris omnibus perfectiora eſſe.
Novum tunc temporis inventum erat Antlia
pneumatica
, hujus, ab ipſo ex Anglia
20HUGENII VITA. perfectioris redditæ, auxilio varia inſtituit experi-
menta
.
11Vide pag.
765
.
Eodem anno regulas de colliſione corporum
Elaſticorum
detexit, quas eaſdem poſtea etiam
detexere
in Anglia viri celeberrimi Walliſius &

Wrennius
, cum quo tamen ultimo contentionem,
ſuper
hoc invento, habuit Hugenius noſter.
Anno 1663. Lutetiam Pariſiorum iterum pe-
tiit
, &
cum Patre in Angliam iter ſuſcepit, ubi
Sociorum
numero Regiæ ſocietatis Londinienſis
adſcriptus
eſt.
Per paucos tantum ibi ſtetit menſes & in Gal-
liam
rediit.
Anno 1664 Hagam redux de invento applica-
tionis
pendulorum ad Horologia ipſi cum invidio-
ſo
quodam lis fuit.
Hoc tempore, in Gallia, ſtudiorum ſe Mæce-
natem
demonſtrabat vir illuſtris Colbertus;
cu-
jus
conſilia de ſtudiis promovendis libenter au-
diebat
Galliarum Rex.
Undique viri ſcientiâ illu-
ſtres
in Galliam vocabantur, inter quos Hugenius.
Hic anno 1665, nomine Regis, Colberti lit-
teris
, ut Lutetiam peteret, ibique domicilium
eligeret
, promiſſo largo annuo ſtipendio, oblatâ-
que
habitatione in ædificio ſervandis Regiis bi-
bliothecis
deſtinato, invitatus eſt.
Ibi vixit ab anno 1666. ad annum 1681. Du-
rante
hoc tempore pulcherrima,
21HUGENII VITA. multa, in Mathematicis detexit, variaque ex iis
operibus
conſcripſit, quæ nunc in unum corpus
collecta
, quid in variis Matheſeos partibus præſti-
terit
, ſub oculis ponunt.
Præter ipſius jam memorata inventa præclara
inter
alia duo inſigni uſu eminent.
Libellam
Teleſcopio
munitam ita conſtruxit, ut ipſi præ ce-
teris
fides haberi poſſit .
Inventum aliud 11Vide pag.
254
.
temporis menſuram, Horologiis portatilibus fi-
lum
, chalybeum, ſpirale, elaſticum, adapta-
vit
;
quo nunc nullum portatile 22Vide pag.
253
.
deſtituitur, quo etiam ſublato, accuratiſſimè con-
ſtructa
omnem motus æquabilitatem amittunt.
Nimium verò ſtudiis Mathematicis deditus,
menti
gratum Corpus non potuit ſuſtinere laborem.
Bis Hollandiam hac de cauſa petiit, annis 1670, &
1675
, iterumque recuperatâ ſanitate in Galliam
rediit
, ſed tandem valetudini ut conſuleret illi
in
perpetuum dixit vale anno 1681, omnibuſque
Regis
beneficiis nuncium remiſit.
Reliquum vitæ curſum iiſdem occupatus ſtudiis
abſolvit
.
Anno 1682. conſtrui curavit Automaton Pla-
netarium
in quo planetarum motus in plano pul-
cherrime
æmulatus eſt.
Machina hæc in operibus poſthumis delineata,
&
accuratiſſimè deſcripta, datur. Exſtat adhucdum
apud
hæredes.
22HUGENII VITA.
Anno 1689. Angliam tertia vice inviſit.
Sequenti anno tractatus duos, alterum de Lumi-
ne
, de Gravitate alterum edidit.
Coſinotheoros tempore mortis ſub prælo ſudabat,
editio
tamen inchoata tantum erat.
Vitam finivit Hagæ Comitum octavo Junii 1695.
Scripta omnia legato dedit Bibliothecæ Acade-
miæ
Ordinum Hollandiæ quæ eſt Lugd.
Bat. vi-
roſque
duos, inſignes Mathematicos, Burcherum
de
Volder, in eâdem Acad.
Philoſophiæ & Math.
Profeſſorem celebrem, & Bernhardum Fullenium,
in
Academiâ Friſiâ Franequeræ Profeſſorem, ro-
gavit
ut ex ſcriptis eligerent, quæ prælo committi
poſſent
, cui petitioni volumen debemus operum
poſthumorum
, anno 1700.
editorum.
4[Figure 4]
23
CHRISTIANI HUGENII
OPERA

MECHANICA
.
Tomus Primus.
24
Tomi primi contenta.
11
Horologium. # pag. 1.
Horologium Oscillatorium, ſive de motu pendulorum, ad
horologia
aptato, demonſtrationes Geometricæ. # 15.
Brevis Institutio de usu Horologiorum, ad inveniendas
longitudines
. # 193.
De
Hugeniana centri oſcillationis determinatione CONTROVER-
SIA
. # 215.
Machinæ quædam, & varia circa Mechanicam. # 249.
25
CHRISTIANI
HUGENII A ZULICHEM,
Const, F.
HOROLOGIUM
.
26
[Empty page]
27
ILLUSTRISSIMIS AC POTENTISSIMIS
HOLLANDIAE
Et

WESTFRISIAE

ORDINIBUS
Dominis ſuis,
Christianus Hugenius à Zulighem
Felicitatem
omnem.
PRoditum eſt memoriæ primum Ro-
ſolare horologium fuiſſe, quod
è
capto Siciliæ oppido quodam, an-
nis
poſt urbem conditam CCCCLXXVII,
cum
cætera præda deportatum ſit,
locoque
publico dedicatum.
Cui non
planè
ad Latii clima deſcripto, eo-
que
nec lineas horis congruentes ex-
hibenti
, quum neceſſitate tamen &

meliorum
penuria undecentum annis
Pop
.
Romanus paruiſſet, Cenſorem tandem Q. Marcium Phi-
lippum
diligentius ordinatum juxta poſuiſſe, idque munus in-
ter
cenſoria opera gratiſſime acceptum.
Mihi, Proceres Am-
pliſſimi
, rem haud abſimilem nec minore publico bono hodie
agitanti
, ut qui non in una modo urbe, ſed omnium ubivis
horologiorum
inſtabilem motum correxerim, ſimilem quoque ab
univerſis
gratiam expectandam cenſuiſſem atque à civibus ſuis
Q
.
Marcius reportavit, ſi, quemadmodum res eventusque ii-
dem
ex intervallo redire ſolent, ita priſcus candor &
ingenui-
tas
in terris aliquando reduces cernerentur.
Verum cum
jam
diu apud majorem hominum partem deſitæ ſint
28DEDICATIO. contraque impoſtura & obtrectatio late omnia obtineant; quæ-
nam
fortuna maneret inventum noſtrum, ſimul ac vulgò in-
noteſcere
cœpiſſet, facile equidem prævidi, neque me fefellit
augurium
.
Ecce enim jam primum in patria hac noſtra eo ex-
ceſſit
quorundam tum audacia tum impudentia, ut nihil in-
terdicto
veſtro deterriti, interpolare acceptum à nobis inven-
tum
, ac dein tanquam novum prorſus, noſtroque etiam, ſi
diis
placet, præſtantius jactare auſi ſint.
Atque hæc qui co-
ram
&
ante oculos nobis fieri viderunt, nihilo meliora ab ex-
teris
regionibus imminere crebro admonuerunt.
Nempe alibi
quoque
exorituros, &
in gloriolam hanc noſtram involaturos
homines
inique invidos, qui, forte an &
ſibi ipſis, certe orbi
univerſo
perſuadere conentur, non hæc noſtr atium ingeniis de-
heri
, ſed à ſua ſuorumve alicujus induſtria diu ante profecta
fuiſſe
.
Cujus rei indignitas cum ad gentem omnem noſtram,
eoque
ad vos etiam, Domini Illuſtriſſimi, ſpectare videretur,
qui
nunquam æquo animo tuleritis inventorum longe præcla-
riſſimorum
, typographiæ inquam &
telescopii, laudem à Ba-
tavia
veſtra, plagiariorum fraude, averti;
fateor me non le-
vi
ſtimulo impulſum fuiſſe, ut eidem hujus quoque qualiscun-
que
reperti decus adſererem.
Itaque eam quæ ſola ad hoc pate-
re
viſa eſt, viam ſecutus, rationem omnem &
conſtructionem
novi
automati, autor ipſe, paucis deſcribendam &
in publi-
cum
producendam ſuſcepi;
exiguo ſanè volumine, ſed quod
brevius
etiam fuiſſet niſi obiter ad ea quoque reſpondendum
duxiſſem
quæ à nonnullis objici mihi, ipſumque artificii noſtri
fundamentum
laceſſcre poſſe, proſpiciebam.
Hoc vero quicquid
eſt
operæ, quum melioribus auſpiciis lucem aſpicere non poſſet,
veſtro
Illuſtriſſimo Nomini actutelæ, ea qua decet veneratione,
dicatum
commiſſumque venio, neque tam pagellas haſce paucu-
las
, quam inventum ipſum, ut videtur, non incelebre futurum,
dedico
conſecroque.
Vos pro ſolita benignitate veſtrafavete, ad
publicam
utilitatem, quoquo modo ſtudia ſua referenti, neque
aliud
magis in votis habenti, quam ut majoris momenti in rebus
eadem
poſthac approbare vobis conting at.
Ita Rempublicam ſub
imperio
veſtro incolumem ſervet, beneque fortunet Deus.
295 5[Figure 5]
CHRISTIANI
HUGENII
A ZULICHEM,
Const. F.
HOROLOGIUM
.
TEmporis dimetiendi rationem novam, quam
exeunte
Anno 1656.
excogitavimus, pauciſque
deinde
menſibus in patria divulgare inſtituimus,
etſi
dubitandum non erat, propter egregiam uti-
litatem
, brevi longe lateque manaturam, quip-
pe
pluribus jam distractis, ac dimiſſis quaqua-
verſum
novi operis exemplaribus;
nos tamen haud in-
viti
conſiliis eorum obtemperamus, qui ut ſcripto compre-
henſam
in lucem ederemus, autores fuere.
cum ut illos de-
mereamur
, ad quos, ob locorum intervalla, tardius fortaſſe
perventura
erat:
tum ut male feriatorum hominum audaciæ
obviam
eamus, ne, quod ſolenne ipſis eſt, alienis inſidien-
tur
inventis, ac per ſummam injuriam pro ſuis venditent.
Quanquam hos, ſi fuerit opus, & dati Privilegii tempus
refellere
poſſit, quod à Celſiſſimis Fœderatarum Provincia-
rum
Ordinibus die 16.
Junii Anno 1657. impetratum eſt; &
teſtes
præterea non pauci, quos de oblato nobis recens in-
vento
ſubinde certiores fecimus.
Occaſionem ei præbuiſſe
Aſtronomorum
pendula, facile quivis conjiciet, qui non
neſcierit
aliquot jam retro annis hæc uſurpari illis cœpta.
306CHRISTIANI HUGENII Nimirum fallentibus clepſydris automatiſque quibuslibet,
quæ
inter obſervandum adhibere conſueverant, tandem, do-
cente
primum Viro ſagaciſſimo Galileo Galilei, hunc mo-
dum
inierunt, ut è catenula tenui pondus appenſum manu
impellerent
, cujus vibrationibus ſingulis dinumeratis, toti-
dem
colligerentur æqualia temporis momenta.
Hac metho-
do
Obſervationes Eclipſium ſcrupuloſius quam antea pere-
gere
, Soliſque item diametrum, &
Stellarum diſtantias di-
menſi
ſunt non infeliciter.
Sed præterquam quod deficiebat
neceſſario
pendulorum motus, niſi adſtantis opera identidem
juvaretur
, tædioſus inſuper labor evadebat, omnes eorum
itus
redituſque numerantibus;
cui ſane integris noctibus mi-
rabili
patientia nonnullos invigilaſſe, ipſis prodentibus, con-
ſtat
.
Nos autem æquabiliſſimum hocce genus motus cernen-
tes
, ac veluti unicum in rerum natura datum, quod ad Me-
chanicam
conſtructionem poſſet traduci, quæſivimus quo
pacto
hoc ipſum breviſſime aſſequi liceret, atque ita reme-
dium
inven@re gemino quod retulimus incommodo.
Ac mul-
ta
fabricæ varietate animo perpenſa, hanc denique, quam
deinceps
tradituri ſumus, ut cæteris planiorem faciliorem-
que
ſelegimus.
Qua percepta & in publicum porro priva-
tumque
uſum, ſicut jam fieri cœpit, converſa, ad univer-
ſos
quidem hic fructus redundabit, quod horologiorum,
cum
inter ſe, tum cum Sole ipſo, quantus nunquam antehac,
imo
quantus pene optari poſſet, conſenſus animadvertetur.
Aſtronomi vero id conſequentur, ut nulla poſthac agitando-
rum
perpendiculorum moleſtia, numerandive ſolicitudine,
&
illa omnia exequantur, quorum paulo ante meminimus,
&
alia illis ſubtiliora, ipſam puta dierum de meridie in me-
ridiem
inæqualitatem, ſcrutentur;
quam qui negare audent,
ratione
hactenus magis quam certa experientia refutati ſunt.

Ut
jam de Longitudinum, quam vocant, ſcientia dicere
omittam
:
quæ ſi unquam extitura eſt, deſideratumque tan-
topere
uſum curſui navigantium præbitura, non aliter, quam
vectis
per mare exquiſitiſſimis atque omni errore vacuis ho-
rologiis
, id obtineri poſſe, multi nobiſcum exiſtimant.
317HOROLOGIUM. rum hæc res vel ipſi mihi, vel aliis quandoque curæ erit.
Nunc automaton noſtrum & figura oculis ſubjiciam, & figu-
ram
verbis quam potero dilucide explicabo.
Præcipuam operis partem binæ laminæ continent oblongæ
11TAB. 1. atque inter ſe æquales, A B, C D;
quibus rotarum axes u-
trinque
inſerti ſunt.
laminæ lateribus tantum hic ſunt
conſpicuæ
:
columellas autem quatuor, quibus verſus angu-
los
connexæ ſunt, de induſtria exprimere neglexi, ut ne re-
liquis
officerent.
Prima rota ſeu tympanum dentatum eſt E,
cujus
axi orbiculus quoque F affixus eſt.
Huic circumjectus
funis
cum appenſo pondere Δ, eo quem poſtea dicemus mo-
do
.
Ponderis itaque vi tympanum E vertitur. Hoc movet
proximum
tympanum H.
hoc rotam L, cujus dentes ad inſtar
ſerræ
dentium formati ſunt.
Hujus prope axem erectus ſtat
axis
M N, cum affixis lamellis ſive auriculis binis, quarum
alteri
occurrunt ſuperiores rotæ L dentes, alteri inferiores,
idque
perpetua viciſſitudine, ita ut non in gyrum axis hic
circumagatur
, ſed reciproco motu, nunc in hanc, nunc in il-
lam
partem libretur, dum interim rota L in orbem vertitur.
Quem motum pluribus exponere ſuperſedeo, quod in vul-
garibus
paſſim horologiis reperiatur.
à quibus equidem huc-
uſque
noſtrum hoc non diſcrepat;
at plurimum in his quæ
ſequuntur
.
Axi enim N M infigitur O tympanum, cujus den-
tibus
aptantur dentes rotæ P, ejus generis quas coronarias
vocant
artifices noſtri.
Nec vero toto ambitu dentata ut ſit
neceſſe
eſt, ſed parte ſuperiori duntaxat.
quippe tympanum
O
, haud aliter atque axis N M cui cohæret, reciprocam li-
brationem
habet, unde &
rotam P ſimili motu agitat. Cum-
que
major ſit hujus diameter quam tympani O, ſequitur ut
minori
etiam circuitus parte rota quam tympanum dictum
gyretur
.
quod quo pertineat alibi indicabimus. Porro ejuſ-
dem
rotæ P axis trans laminam C D aliquantum extenditur,
habetque
conjunctam clavulam Q R, inferius itidem inflexam
&
terebratam ad R, ita ut per foramen hoc laxiuſculum vir-
gula
ænea I T libere transmeet.
Hæc vero virgula ſuperius
ad
S ſuſpenſa eſt filo S I, ex inferiori parte pondus T.
328CHRISTIANI HUGENII nens, quod cochleæ ſubjectæ converſione ſurſum propellitur
cum
opus eſt, vel ulterius deſcendit.
Quibus expoſitis ut motus ratio, totiuſque adeo inventi
percipiatur
(nam quæ præterea in Schemate notata apparent,
poſtea
exequemur) advertendum eſt in primis, quod ſi per-
pendiculum
S I T per foramen R trajectum non eſſet, neque
omnino
adeſſet, tunc quidem clavula Q R concitato motu
ultro
citroque jactaretur, vi ponderis Δ, omnes rotas auto-
mati
agitantis.
Transmiſſa autem virgula I T, cum appenſo
pondere
T per foramen R, impeditur eo dictus clavulæ mo-
tus
, totumque horologium quieſcit, donec pondus T ſemel
impulſum
principium agitationis nanciſcatur.
Quo facto,
pendulum
quidem S I T oſcillatorio motu fertur juxta planum
laminæ
C D.
clavula vero Q R, momentum ſentiens ponderis
Δ
, ultro obſequitur penduli motui, ita ut pauliſper etiam
vibrationibus
hunc ſingulis adjuvet.
Atque hoc modo peren-
nis
efficitur penduli agitatio, quæ niſi illud horologio con-
junctum
foret, brevi deficeret vergeretque ad quietem.
Ad
ſingulos
autem recurſus penduli, percipientur ictus totidem
ex
appulſu dentium rotæ L ad lamellas M, N.
Et hæc qui-
dem
de motu automati noſtri, quæ præcipue explicationem
requirebant
, quoniam in eo ſumma totius inventi vertitur.
In ſchemate porro tertia lamina eſt Y Z, prioribus paral-
lela
, &
à lamina A B ſpatio diſtans. quo in ſpatio conſpici-
tur
tympanum dentatum V, communem cum rota E axem
habens
.
Huic congruunt dentes rotæ X, quæ media ſui par-
te
conjunctum habet tubulum cavum Γ ultra laminam Y Z
prominentem
, impoſitumque gerentem horologii indicem
primarium
Λ.
Ipſi vero Γ tubulo alius itidem cavus introrſus
conſtitutus
eſt, laminæque Y Z conſertus, axis nimirum quo
rota
X volvatur, &
per quem ſimul transmittatur axis rotæ
H
, cui impoſitus eſt index alius Σ longior indice Λ.
Is ſe-
cunda
ſcrupula demonſtrat.
Primorum vero ſcrupulorum ſeu
minutorum
index prioribus illis utriſque multo brevior Ψ,
extremo
axi D V, ultra laminam Y Z producto, affixus eſt.
Et hic quidem indiculus, laminæ, Y Z proximus
339HOROLOGIUM. parvo in circello ſingula prima ſcrupula diſtinguens. Hoc
verò
ſuperior index horarum Λ convertitur:
& ſupra hunc
denique
Σ index, quem dixi, ſecundorum.
Hæc autem,
uti
&
tympanorum omnium diſpoſitio ac dentium numerus,
cum
multimodis variari poſſint, nos hunc unum in exem-
plum
proponere ſatis habuimus, eumque experientia com-
probatum
.
Itaque & dentium multitudinem in ſingulis tym-
panis
deſignabimus, eam quæ huic formæ optime convenire
viſa
eſt.
In circumferentia rotarum ſingularum E H ſeptua-
geni
bini ſunt, ſeni in tympanis G &
K. rota L viginti
quinque
habet, tympanum O decem.
rota P viginti, vel
tantum
partem horum aliquam, quia, ut dixi, totam den-
tibus
inſecari nihil opus eſt.
Penduli longitudo S I T pedis
Rhenolandici
, qui ad Romanum veterem proxime accedit,
dextantem
circiter æquat, &
cuique vibrationi ſimplici im-
pendit
ſemiſcrupulum ſecundum.
ad quam menſuram obſer-
vationibus
ad ſolem vel ad aliud hujus generis horologium
comparatis
non difficile perducitur.
Ea longitudo rotis ita
ordinatis
convenit:
& exquiſitam motus æqualitatem, quæ-
que
etiam Aſtronomicis uſibus ſufficiat, præſtare valet.
Quod ſi tamen concinnitate operis inſuper habita, quadru-
plo
majus pendulum adhibeatur, vel ultra etiam producatur,
rotis
interim majoribus quoque adſumptis, haud dubiè len-
tioribus
oſcillationibus tutius etiam fidemus.
Et jam in ma-
gnis
publicis Horologiis, egregio ſucceſſu, perpendicula
ejusmodi
prælonga uſurpari vidimus, alibi duodecim, alibi
vicenûm
pedum, cum appenſa ſphæra 25 vel 30 librarum.

Cæterum
revertendo ad ea quæ hic poſita fuere, apparet
quidem
, rota E ſemel circumacta, duodecies converti ro-
tam
H.
centies vero quadragies & quater eam quæ ſequitur
L
.
Quæ cum dentes 25 habeat, 3600 vicibus alternatim im-
pellit
lamellas M.
N. ac totidem recurſus duplices facit pen-
dulum
S I T.
Cumque 3600 ſcrupula ſecunda, horâ unâ
contineantur
;
hinc horæ ſpatio rota E ſemel convertetur.
Quamobrem
&
circulus indici Ψ ſubjectus in 60 partes divi-
ditur
, quæ prima ſcrupula ſignificent.
Rota vero H
3410CHRISTIANI HUGENII duodecies in hora, hoc eſt, ſemel ſpatio 5 ſcrupulorum pri-
morum
verſatur, unaque index Σ, ideo circulum huic in-
dici
ſuppoſitum in 5 partes primum diſpeſcimus, &
harum
deinde
ſingulas in 60 minores, quæ ſecunda ſcrupula deno-
tent
.
Denique index Λ in ſuo circulo duodecim horas diſtin-
guere
debet;
ac proinde, ut harum tempore ſemel circum-
eat
, tympano V ſex dentes tribuuntur, rotæ X ſeptuageni
bini
.
Nunc qua ratione pondera Δ, Ξ, horologio appendan-
tur
docebimus.
Hæc enim novo artificio ita ordinavimus,
ut
cum ſurſum retrahitur pondus primarium Δ, non pro-
pterea
ceſſet aut ullatenus impediatur horologii curſus.
Quod in hac inventione apprime neceſſarium erat, ne par-
ticula
temporis aliqua quotidie ſubduceretur, neve penduli
motus
interea dum pondus attollitur langueſceret.
Paratur
itaque
funis continuus atque in ſe rediens, extremitatibus
apte
inter ſe connexis.
Is primo orbiculum F amplexus,
aculeis
ferreis aſperum, quo melius funis inhæreat, parte
altera
trochleæ, cui pondus primarium Δ alligatum eſt, cir-
cumvolvitur
.
Hinc aſcendens ſuper orbiculo Ω tranſit, ac
rurſus
deſcendens ſuſtinet trochleam alteram cum appenſo
minori
pondere Ξ;
unde denuo ad F redit. Orbiculus Ω
(quem demonſtrandi gratia hic inter laminas A B, Y Z,
ſuſpendimus
, nam alioqui commodius thecæ quæ toti horo-
logio
circumdatur affigi ſolet) circumferentiam verſus den-
ticulos
habet, ut in rota L, ſerratos, ac deſuper premen-
tem
elaterem Θ, quo fit ut in alteram tantummodo partem
volvipoſſit
, attracto nimirum fune Π, ac pondere propter-
ea
Δ aſcendente:
Nam contrarium motum elater dentibus
occurrens
prohibet.
Crenam autem ſecundum circumferen-
tiam
dicti orbiculi ita cavari oportet, ut funem immiſſum
nonnihil
coarctet conſtringatque, quo minus poſſit immo-
to
orbiculo delabi;
quem in finem etiam pondus Ξ ad-
hibetur
.
His ſic conſtitutis, ſemper Δ dimidia ſui gra-
vitate
incumbet funi Φ, motumque horologio continuabit
etiam
dum attracto fune Π in altum attollitur.
Et
3511HOROLOGIUM. quidem quæ ad conſtructionem automati pertinent declaravi-
mus
.
Reliquum eſt, ut, quantum idem iis omnibus, quæ ad
hanc
diem in uſu fuere, antecellat, perſpicuum facia-
mus
.
Satis conſtat plurimas in his erroris & inæqualita-
tis
cauſas eſſe.
Nam & in diſponendis rite elimandiſque
tympanis
vel leviſſimum peccatum, continuo motus in-
conſtantia
notabilis conſequitur.
Tum vero & ſiccato
atque
evaneſcente oleo, quod axibus addi ſolet, tardius
horæ
procedunt.
atque ut hæc abſint, varias tamen, an-
ni
tempeſtatum &
aeris, mutationes horologia ſentiunt,
imo
præſentiunt nonnunquam:
& frigore quidem plerun-
que
pigriora comperiuntur, æſtu plus æquo properant.
Penduli vero cum ſit ea vis ac proprietas, ut neceſſario eo-
dem
ſemper tenore feratur, neque ab eo niſi mutata lon-
gitudine
unquam declinet;
apparet ſane omnia illa quæ
diximus
incommoda invento noſtro penitus nos ſuſtuliſſe,
adeo
ut niſi tale quod interveniat impedimentum, quo
horologii
motus omnis ſiſtatur, nulla jam curſus ejus
retardatio
aut inæqualitas timenda ſit.
At enimvero non
nemini
duplicem hic dubitandi cauſam oboriri poſſe
ſcio
.
Primum, quod differre à pendulo libero no-
ſtrum
hoc videatur, quippe ad ſingulas vibrationes vim
quandam
ac nixum clavulæ Q R ſentiens.
Deinde
quod
, etiamſi penduli ſimplicis proprietates retineat,
perque
omnia æmuletur, hujus tamen ipſius geminæ
inæqualitates
à nonnullis, qui ſubtiliter hæc perquiſive-
runt
, animadverſæ ſint.
Hìc illud quod de clavulæ im-
preſſione
dicitur verum eſſe non diffitemur.
Sed leviſſi-
mam
utique hanc eſſe novimus ratione gravitatis T, quæ
ſic
temperatur, ut tantum non deficiat penduli agita-
tio
, ſed quam minimâ, &
eâdem tamen latitudine per-
ſeveret
.
Proinde nihilo concitatior aut minus æquabilis
hic
ipſius motus evadit, quam ſi clavulæ prorſus obno-
xius
non eſſet, pendulumque ſimplex S I T, ut adhuc
fieri
conſuevit, manu impelleretur.
Et hoc quidem
3612CHRISTIANI HUGENII perientia optime comprobat. Penduli vero ipſius, quas ad-
notant
, binas inæqualitates, alii autem contra pernegant,
earum
alteram admittimus, ſed vix quicquam horologio no-
ſtro
officientem, alteram plane nullam eſſe adſeverare non
dubitamus
.
Illud itaque vere aſſerunt, non prorſus æquali
tempore
latiores ejusdem penduli ac anguſtiores vibrationes
tranſire
, ſed his illas paulo plus inſumere, quod facili ex-
perimento
demonſtrari poteſt.
Nam ſi pendula duo, pon-
dere
ac longitudine æqualia, alterum procul à perpendicu-
lo
, alterum parumper dimoveantur, ſimul dimiſſa, non
diu
in partes eaſdem una ferri cernentur, ſed prævertet il-
lud
cujus exiliores erunt recurſus.
Verum huic inæqualitati
noſtrum
, uti dixi, horologium minus obnoxium eſt, eo
quod
omnes oſcillationes æquali ſpatio à perpendiculo ex-
currant
.
Nec tamen in totum expers remanſit, ſi minutiſ-
ſima
quæque, ſicut hac in re fieri neceſſe eſt, conſectari ve-
limus
.
Contingit ſiquidem vel aëris intemperie, vel operis
vitio
aliquo, ut non ſemper pari vi agitetur clavula Q R,
unde
&
oſcillationes penduli (licet exiguo diſcrimine) cre-
ſcere
ac rurſus imminui neceſſe eſt.
Cumque ampliores re-
curſus
arctioribus, ſicut modo dicebam, plus temporis im-
pendant
;
idcirco nonnulla hinc in horologii motu inæquali-
tas
exiſtit.
Et huic quidem, utut contemptibilis videri poſ-
ſit
, remedium etiam adhibere ſolebamus, quamdiu ita con-
ſtructa
erant horologia, ut majuſcula eſſet penduli agitatio.
Poſtmodum vero, ne remedio opus eſſet, effecimus adhi-
bito
tympano O rotaque P:
quibus hoc conſequimur, ut
quamlibet
anguſtæ ſint penduli vibrationes, neque eo ſecius
axis
M N, quantum neceſſe eſt, reciproco motu converta-
tur
.
Nam cum tympani O diametro dupla vel tripla pona-
tur
diameter rotæ P, ſequitur ut hujus exigua licet oſcilla-
tione
, illud tamen ſatis magnam circuitus partem abſolvat.

Sic
igitur oſcillationibus univerſis exilioribus redditis, etiam-
ſi
harum aliæ alias latitudine quandoque excedant, ſingula-
rum
tamen tempora, experientia teſte, nullo memorabili
diſcrimine
differunt.
Qua ex re & hoc contingit, ut
3713HOROLOGIUM. vel ad duplum pondere Δ, non propterea penduli motus
acceleretur
, aut horologii curſus alteretur, quod in omni-
bus
aliis hactenus uſitatis ſecus accidit.
Alteram penduli in-
æqualitatem
, vir Aſtronomiæ ſtudiis clarus, Gothofr.
Wen-
delinus
, primus &
ſolus, ut opinor, prodidit; expertum
ſeſe
ſcribens, ejuſdem penduli velociores eſſe oſcillationes
hyemali
tempore quam æſtivo idque notabili differentia.
Sed quoniam in eo examine arenaria tantum horologia,
vulgariaque
automata ſeſe adhibuiſſe fatetur, cum ſcioteri-
cis
, fortaſſe non nimia cura deſcriptis;
multi, quam recte
ſe
haberet hæc ipſius obſervatio, dubitarunt.
Mihi certe
nihil
ejusmodi licuit animadvertere.
Quin contra, & mino-
ribus
horologiis, quibus ſemipedale eſt pendulum, &
ma-
joribus
, in quibus 24 fere pedes æquat, eandem perpetuo
longitudinem
, brumæ tempore ac æſtate media, convenire
expertus
ſum.
Quæ longitudo ſaltem ſeptima ſui parte per
hyemem
productior eſſe deberet, ſi Wendelini vera foret
opinio
.
Aſſerta igitur & hac in parte automati noſtri motus æ-
quabilitate
&
conſtantia, finem jam deſcriptioni impone-
mus
;
multa quæ his addi præterea poſſent, artificum indu-
ſtriæ
relinquentes, qui rationem inventi hujus edocti, non
difficile
reperient quo pacto illud varii generis horologiis,
atque
iis etiam quæ pridem ad veterem formam fabricata
ſunt
, applicari queat.
Nos quidem apud eum, cujus opera
primum
in his fabricandis uſi ſumus, talia quoque confecta
vidimus
, quæ non pondere, ſed elateris vi moverentur.
In
quibus
, cum antehac pyramide illa æquatoria, chordaque
huic
circumvoluta opus eſſet, quorum ope adæquarentur
primi
ac poſtremi elateris impetus;
nunc iis omiſſis, ipſi
tympano
, cui elater incluſus eſt, dentes adduntur.
Nam
licet
hoc modo non æque in fine ac principio vigeat pendu-
li
motus, non tamen eo lentiores ſub finem oſcillationes effi-
ciuntur
, uti ſuperius fuit demonſtratum.
Elater vero ea
parte
, qua ad centrum convolutus eſt, intenditur, atque
ita
cavetur ne quo temporis momento curſus horologii
3814CHRISTIANI HUGENII HOROLOGIUM. flaminetur. Mitto quod & ſonitu horas edentia automata
hujusmodi
machinatus eſt, ita ut uno eodemque, ſive pon-
dere
, ſive elatere, pars utraque, tam quæ ad hoc compa-
rata
eſt, quam quæ indicem horologii verſat, moveretur.
Etenim hæc omnia ad inventum noſtrum haud aliter ſpe-
ctant
, quam quod occaſionem iis atque opportunitatem
præbuerit
.
FINIS.
6[Figure 6]
39
[Empty page]
407[Figure 7]Pag. 14
TAB
. I.
Y A S C O I Q P M Σ Λ L K R H N G Γ Ψ X E V D F Ω B Θ Φ Z Π Δ T Ξ
41
[Empty page]
42
CHRISTIANI
HUGENII
ZULICHEMII, CONST. F.
HOROLOGIUM
OSCILLATORIUM
.
SIVE
DE MOTU PENDULORUM
AD
HOROLOGIA APTATO
DEMONSTRATIONES

GEOMETRICÆ
43
Dividitur liber hic in partes quinque,
quarum
Prima Deſcriptionem Horologii Oscillatorii continet.
Secunda agit de Deſcenſugravium, & motu eorum in Cycloide.
Tertia de Evolutione & Dimenſione linearum curvarum.
Quarta de Centro Oſcillationis ſeu Agitationis.
Quinta alterius Horologii conſtructionem, in quo circularis
eſt
penduli motus, exhibet, &
Theoremata
de
Vi Centrifuga.
44 8[Figure 8]
LUDOVICO XIV,
FRANCIÆ
ET NAVARRÆ
REGI
INCLYTO.
RENATAM, Rex maxime,
reſtitutamque
hoc ſæculo
Geometriam
, Galliæ præ-
cipue
debemus.
Hinc enim
orti
, qui magna meliorique
ſui
parte deperditam, ac
veluti
ſepultam, inſtaura-
runt
primi, &
in lucem re-
duxerunt
.
Quorum veſti-
giis
inſiſtentes, ita eam deinde, per totam Eu-
ropam
, excoluere viri ſubtiliſſimi, ut pauca
jam
poſterorum induſtriæ ab his relicta videan-
tur
;
veterum vero inventa longiſſime præter-
vecti
ſint.
In hac ſcientia, quam ſemper admi-
ratus
ſum &
amavi plurimum, quandocunque
ad
eam animum applicui, illa mihi præ cæteris
propoſui
inveſtiganda, quæ vel ad vitæ com-
moda
, vel ad Naturæ cognitionem,
4518DEDICATIO. prodeſſe poſſent. Tunc verò optimè operam me
collocaſſe
exiſtimavi, cum in ea incidiſſem, in
quibus
utilitas cum inveniendi difficultate, ac
ſubtilitate
aliqua, conjuncta foret.
Quod ſi com-
mendationis
nonnihil accerſere muneri noſtro
permittitur
, ne prorſus indignum tua magnitudi-
ne
appareat;
non alias felicius, quam in hoc Ho-
rologii
invento, utrumque illud me conſecu-
tum
eſſe profiteor.
Etenim, cum ex parte me-
chanicum
ſit inventum;
ex parte altera, eaque
multò
præcipua, geometricis principiis conſtet;
id quod ad hanc attinet, non levi conamine,
ex
intimis artis receſſibus petendum fuit:
adeo
quidem
, ut inter omnia, quæ impenſiore ſtu-
dio
hactenus pertractaverim, haud dubie pri-
mum
huic ſpeculationi locum tribuam.
Quæ-
nam
vero in his ſit utilitas, non eſt quod mul-
tis
, Rex potentiſſime, oſtendere tibi laborem.

Non
ſolum enim diutinâ experientiâ comper-
tum
habes, ex quo regiæ tuæ penetralibus reci-
pi
meruere Automata noſtra, quantum, æqua-
bili
horarum demonſtratione, cæteris hujuſmo-
di
machinationibus excellant:
ſed & potiores
uſus
eorum, quibuſque jam inde à principio
mihi
deſtinata fuere, non ignoras.
Illos ſcili-
cet
, quos &
in Cæleſtium obſervationibus, &
in
Longitudinibus locorum inter navigandum
dimetiendis
, præſtare apta ſunt.
Tuo enim
juſſu
, non ſemel, per mare vecta fuere
4619DEDICATIO. logia noſtra. Tuis auſpiciis eadem nec pauca,
Aſtronomiæ
uſibus dicata, viſuntur in præclara
illa
Uraniæ arce, quam inſigni nuper magniſicen-
tia
, quantaque antehac regum nemo, exædiſi-
candam
curaſti.
Quæ quoties mecum reputo,
toties
de fortuna hujus inventi, quod in tua
tempora
inciderit, non parum mihi gratulari
ſoleo
.
Nec jam requiret quiſquam, opinor,
qui
quantum tibi illud debeat intelliget, cur
lucubrationes
has, quibus rationem ejus omnem
deſcriptionemque
explicui, auguſto Nomini
tuo
inſcribendas duxerim.
Ac minus etiam id
mirabitur
, qui mihi, ad hæc atque alia medi-
tanda
, tranquillum otium benignitate tua con-
tigiſſe
didicerit.
Namque & hujus, ut mihi ali-
quatenus
apud te ratio conſtaret, adnitendum
erat
;
& quoquo modo conandum, ut, multis
continuiſque
à te beneficiis affectus, nonnulla
grati
animi ſignificatione defungerer.
Scio equi-
dem
, rebus maximis, negotiiſque iis intento,
quæ
in illo rerum faſtigio poſitum agitare con-
venit
, haudquaquam tibi liberum eſſe, ut ad
hujuſmodi
contemplationes animum, alioqui
rerum
omnium capacem, advertas.
Sed non
ideo
minus grata hæc fore, minusve tibi pro-
batum
iri arbitror, Rex auguſtiſſime;
cui illa
maxime
placere videmus, quæ plurimum publi-
proſunt;
neque aliud magis curæ eſſe, quam
ut
nova incrementa ſumant optimæ
4720DEDICATIO. noviſque illuſtrentur inventis. Hoc enim ſatis
declarat
eximia illa tua, ac ſingularis, tum in
ipſis
promovendis, tum in his qui cognitione
earum
præminent remunerandis, liberalitas.
Quam non immenſæ, ac ſolito majores, bello-
rum
impenſæ quidquam imminuunt:
non Gal-
liæ
tuæ fines circunſcribunt.
Ut plane te hoc
agere
appareat, quo non ſolum ſub imperio
tuo
viventes, ſed &
Orbis univerſus, quacun-
que
beneficio tuo dignus eſt, te regnante, eru-
ditior
, ornatior, felicior evadat.
Cui veriſſi-
præclariſſimæque gloriæ tuæ, ita aliquid
fortaſſe
etiam hæc literaria monumenta condu-
cent
;
ut, ſi viguiſſe hoc tempore ſtudia iſta,
arteſque
, poſteris teſtari poſſint, ſimul illos
edoceant
, tuæ hoc virtuti, atque animi magni-
tudini
, ante omnia acceptum ferendum eſ-
ſe
.
Lutetiæ Pariſiorum; XXV. Mart. A.
CIƆIƆCLXX III.
4821 9[Figure 9]
HADRIANI VALLII
DAPHNIS
,
ECLOGA
.
Ad Chriſtianum Hugenium Zulichemium,
Conſtantini
F.
FInitimum tutela, ſimul jucunda voluptas,
Dilectæ
Phæbo, Sceverinides Oceaninæ;
Hunc quoque Pierium mihi fortunate laborem:
Pervigilem noctem quo carmine duxerit Ancon
Navita
, d1cemus:
veſtro ſic gurgite numquam
Pan
lavet, aut turpes inceſtent æquora Fauni.
Te, quem Fama vehit ſuper aurea ſidera curru,
Ne
pigeat nobis aurem præbere faventem,
Hugenide, decus Hugenidum, fratrumque patrisque:
Haud indigna tuo ferimus donaria ſenſu,
Siceliſin
aptata modis à vate Batavo
Mixta
Palæphatio commenta Solenſia verſu,
Teque
intertextum tuaque præclara reperta.
Jam caput Oceano, ſtipata minoribus aſtris,
Extulerat
radiis fraternis æmula Phæbe,
Cum
reditum molirentur paſtoria pubes,
Sidere
quam pleno conchas legiſſe marinas
Juverat
, hærentesque vadis captare paguros.
In celſo tamen advertunt Ancona morantem
Colle
, reum toties promiſſi carminis.
ipſum
Theſtylis
&
Corydon, quos cætera turba ſecuti,
A
tergo circumveniunt, cinguntque corona.
1
11Sceverina, Pagus apud Batavos, mari adjacens.
4922DAPHNIS ECLOGA.
Ecquid agat, rogitant blande: tum fauſta precantur;
Et damnant voti, promiſſaque carmina poſcunt.
Contra
ille;
O Pueri, quid portet craſtinus Eos,
Sedi
explorator:
turmales agmine mergi,
Solivaga
aut cornix, aut alcyones deſertæ
Si
qua darent mihi ſigna.
maris cras æquor arandum.
Detinuit
nunc uſque fovis clementia ſudi,
Et
picturatus tot circum animalibus æther.

Quæ
nos in vitreo miramur monſtra profundo,
Fert
radians æther, vultus formasque natantum.

Cancer
ibi eſt, delphinque;
eſt grandi corpore cetus.
Ad
Boream piſces, &
contemplere ſub Auſtro
Piſces
;
nuper ubi numero creviſſe feruntur.
Sunt
urna, fluviusque, &
apluſtris comta carina
Illic
.
quin operis ſimulamina plurima veſtri,
Luminaque
in cœlo pecori debentia nomen.

Sunt
hœdi parvæque ſues, materque capella.

Et
fuſe ſparſo quæ candet ſemita lacte.

Veſtibulum
ſervant, elucens vellere fulvo
Dux
aries, ingensque auratus cornua taurus.

Bini
cernunturque canes, pernoxque bubulcus;

Plauſtraque
;
quique auriga ſuis excuſſus habenis.
Stellatum
volat alatus per inane caballus:

Ac
præſepe ſuum juxta ſtabulantur aſelli.

Illic
virgo, manum Cereali inluſtris ariſta,
Et
, tranſmutatus faciem, Pan ipſe renidet;

Daphnin
amans veſtrum, ſecretæ rupis in umbra,
Uranie
velut edocuit:
me ſingula Daphnis.
Singula
quæ (carmen quia poſcitis) ordine pandam.
Extemplo tentat vocem: numerosque modosque
Perpendens
mulcet variis concentibus auras.
Tum venti poſuere. jacet ſine fluctibus æquor;
Factaque
ſunt terris, ſunt facta ſilentia ponto.

Mox
interfatur:
Quod proſperet; ab fove magno
Ordiar
:
ordiri conſuerunt ab fove vates.
Vos
, nec enim rerum brevis hic mihi naſcitur
5023DAPHNIS ECLOGA. Nocturnum chorea defendite corpore frigus.
Inde fovis magni cunas, veteriſque celebrat
Saturni
juſſum crudele, dolumque Cybelles;
Ortaque Dictæis Corybantia ſacra latebris:
Ut
puero nutrix ſit olentis lecta mariti
Uxor
;
& ipſa recens hædos enixa gemellos;
Queis
comitata polum modo lucida ſtella frequentet,
Quæ
prius Oleniis balavit beſtia campis;

Sub
pedibusque terat formoſi limen Olympi.

Tantus
amor fovis, &
percepti gratia lactis.
Nec tamen hoc niveum manaſſe fluore nitorem,
In
duo ſecta vias, oculis manifeſta videntum,
Semita
quo candet ducens ad tecta Tonantis;
Tergeminam ſed noctem productumque canebat
Alciden
mundo;
Deus immortalis haberi
Haud
pote qui fuerat, ſopitæ parvula mammis
Labra
pater gnati niſi conjugis admovißet:

Quæ
, ſimul experrecta, ſimul conterrita, ſurgens
Uvidulas
tenero mammas ſubtraxerit ori,
Indignata
.
pavimentum tabulataque cæli
Deciduus
maculis ut tunc infecerit albis
Per
convexa ruens in ſe revolubilis humor.

Orbita
cycneo nunc unde bifurca colore,
Ducta
per æquales medio diſcrimine partes,
Cæruleum
velut argento ferruminet axem:

Axem
, cervices qui quum laſſaret Atlantis,
Haud
gravis Herculeo requierit ſarcina collo;

Atque
tot ærumnas quem poſt, maneſque ſubactos,
Ipſe
ſuis ornet jam portio magna triumphis;

Heſperidum
contra cuſtodem divitis horti
Inſurgens
Anguem pede nixus;
apertaque retro
Terribili
rictu nil curans ora Leonis;

Lerneæque
audacem Hydræ ſuccurrere Cancrum;

Monſtra
novercales teſtantia jugiter iras
Et
fruſtra bacchatum odium funonis iniquæ.
Hinc aliam memorat graſſatam fraude novercam;
5124DAPHNIS ECLOGA. Et tranſmittendi pavidam nimis æquoris Hellen:
In thalamos ſit ut illa tuos, Neptune, recepta:
Phryxeumque
pecus, fætamque heroibus Argo
Phaſidos
ad fluctus deducit &
æthera cantu.
Nec ſilet Europæ vectoris præmia; vel te,
Bigarum
Pelopis perjuri, Myrtile, rector.
Myrtoum pelagus ſignaras ante caduco
Funere
;
ſublimem nunc tollunt cornua Tauri.
Haud procul his Hyades notat exardeſcere: ſed, quæ
Sunt
Hyades Grajis, Suculas dixiſſe Latinos;
Atque duas ſeptem mutaſſe Trionibus Arctos;
Arctophylaca
pigro, ſua plauſtra ſequente, Bubulco;

Quando
bovem priſco vocitabant more trionem,
Quod
tereret duro proſciſſam vomere terram.
Hanc adeo ſortem miſerans, ſuſpiria ducit;
Buceriumque genus queſtu compellat inani;
Ah
pecus infelix, armentum! ſæcla fuerunt,
Pondere
quum duro neque vos gemeretis aratri,
Navita
nec veſtro vocitaret nomine ſtellas.

Tunc
neque ſidus erat terris pia Virgo relictis,
Quæ
Cereale manu ſpicum gerit;
Icariotis
Sive
ſit Erigone@ cui fida Canicula patrem
Quærenti
indigna monſtravit cæde peremtum;

Atque
, comes dominæ, domino comitem Oarioni
Aſtra
minor ſocium majorem repperit inter:

Seu
magis Aſtræi ſit ſanguine creta, perenne
De
genitore ſuo quæ nomen contulit aſtris:

Sive
ſit antiquæ Themidis juſtiſſima proles,
Averſata
jugo vos aſpectare gravari,
Tempora
dum, pulſis melioribus, ærea ſurgunt:

Sive
ſit alma Ceres;
horrens fugitiva videre
Vos
quoque mactari;
nil pejor linquit inauſum
Ferrea
dum ſoboles, ipſorum inimica Deorum:

Quos
, quaſi de terra (nam Dii coluiſtis &
illam)
Sit
pepuliſſe parum, tentavit pellere cælo.
Tum deteſtatur ſuffultos angue Gigantas;
5225DAPHNIS ECLOGA. Porphyriona, ſtatu terrentem cuncta minaci;
Rhæcumque; immanemque Gygen, validumque Mimanta;
Enceladumque
;
manusque rotantem Ægeona centum;
Et
, cui par nemo feritate, Typhöea dirum,
Auſos
invaſiſſe Deos tellure fugatos,
Ac
totum magno cælum compleſſe tumultu,
Undique
divulſas jaculantes torviter ornos
De
tumulis cumulorum montibus ex aggeſtis.

Terrigenam
ut pubem, Divûm penetralia ſancta
Rimantem
, Superi mentito fallere vultu
Quæſierint
, addit;
dispertitosque pavore:
Donec
apud late ſtagnantis flumina Nili
Horrificam
faciem Pan ſumſerit Ægocerotis;

Ambiguoque
ſono Superos animarit ad arma,
Anguipedesque
metu dare terga coëgerit omnes:

Cælo
donandos Aſinos auxiſſe timorem
Congerie
vocum, perterricrepoque fragore:

Illa
cælicolis nam tempeſtate fuiſſe
Auxilio
Satyros, Silenorumque phalangem,
Evantes
in aſellis cum Bacchæo ululatu,
Thyrſis
armatos, tectos colocynthide parma.
Parvus ut interea volucer cum matre Cupido
Venerit
Aſſyrii fugiens Euphratis ad undam;
Induerintque gregis (Syriæ poſt numina genti)
Squammigerum
formas, gemini nunc aurea Piſces
Lumina
, ſigniferum Capricorno juncta per orbem,
Ni
fuſa medius ſecernat Aquarius Urna;

Deucalioneos
neque non ediſſerit imbres,
Nectaris
aut quanti Ganymedes pocula verſet;

Sive
ſit is Cecrops, peplo præſignis Athenæ;

Paſtor
Ariſtæus ſeu plena alvearia geſtet,
Quæ
ſubter volitetis apes examine denſo.
Qualiter & pandus vectarit Ariona Delphin,
Ac
aliter vectum Danaeium Perſea narrat;
Cepheaque, Andromedenque, & mæſtam Caſſiopeiam;
Inſertumque
polo vaſtum Piſtricis hiatum:
5326DAPHNIS ECLOGA. Quem Phaëthonteus longo ſinuamine propter
Fulgeat
Eridanus declivi proximus Auſtro:
Nuper ad occulti Batavos ubi verticis axem
Intuitos
nova ſquammigerum ſimulacra micare:

Sollertes
Batavos, imo ſeu gurgite piſcem
Venari
ſit opus, vel in alto ſidera cælo.
Tum canit, ut Daphnis ſacra ſub rupe docentem
Viderit
Uranien:
argutas carmina ſilvas,
Et
repetita cavos ediſcere carmina montes:
Ut Chaldæa vetus, mira dulcedine capti,
Stent
auditores circum, &
Babylonia turba;
Dein
quos Graja tulit, quos aut Nilotica tellus,
Itala
quos, ac pulchra ſuo cum Cæſare Roma;

Poſt
Arabum de ſtirpe viri &
regnator Iberus;
Ac
tandem quos conſultos Germania miſit
Aſtrorum
cælique, ſuæ qui ſidera terræ;

Inferior
nullis ut item neque Gallia deſit;

Gallia
magnanimi Regis ſplendore ſuperba,
Borbonios
ignes cui parturit arduus æther:
Tum Dea quo Daphnin, Divam quo Daphnis amore
Complexus
, quanti non conſcia Latmia ſaxa:
Utque Conon juveni radium donarit, utrimque
Multo
inſignem auro, &
pellucidulis cryſtallis;
Per
quas quod ſpectes, prope fiat;
& augmina ſumat:
Dixerit
&
: Sollers, en, primus quale Batavus
Munus
adornarit;
ſed Etruſci quo decus Arni
Eſt
Antenorea ſenior Tyrrhenus in urbe
Regna
fovis princeps metatus, ab æthere vobis
Nunquam
nota prius miracula nuntia portans;

Lunaï
montes;
vultus tibi, Phoſphore, ternos;
Quove
ſatellitio ſubluſtri nocte vagetur
Stella
Deûm regis per cærula templa ſuperne.

Hoc
quoque tu non nota prius miracula prodes:

Hujus
erat tibi ſervatus ſollertior uſus;

Arcanumque
Chroni mortalibus omne recludes.

Accipe
fruſtra olim nobis optabile donum.
5427DAPHNIS ECLOGA.
Daphnidis ad gratum nomen pernice chorea
Exſultant
alacres Pueri:
neque ſegnius ipſe
Proſequitur
;
Geminas imitantia lumina falces
Hactenus
ut vane Saturni credita ſidus
Oblongo
tam diverſa ſub imagine diſco
Fingere
, quando globum teretem teres annulus extra
Splendet
, &
ambo nigror ſpatii diſterminat intus;
Exiguo circum quos erret ſtellula gyro:
Omnia
divino quæ fretus munere Daphnis
Extulerit
, non ante novam vulgata per artem:

Adjungitque
;
quod his meritis permulſus, eundem
In
ſua magna Chronus ſit adire ſacraria paſſus:

Heic
oculis luſtrarit ut omnia;
promſerit atque
Inventum
ſubtile ſecandi temporis illinc;

Partes
quo minimas ac momina dividat horæ,
Oſcilla
ex tenui ſuſpendens mollia filo:

Id
labyrintheos curſus qui dirigat alni,
Ignarumque
viæ ratis haud ſinat eſſe magiſtrum:

Cui
neque quotidie tam certus ſpondeat auctor,
Oceano
quantum Titan altiſſimus exſtet;

Ac
quibus emergat, queis tunc ſimul occidat oris,
Daphnidos
egregio norint conamine docti.
Ille canit: chorus in numerum ſua brachia quaſſant,
Alternoque
ſolum pede pulſant.
at freta ſaltu
Librabant
hilares ſeſe ſuper humida thynni.
Auritus leporum populus tunc creditur ultro
Iliceas
liquiſſe domos, carasque quietes
Vicini
nemoris:
nulloque frequentior unquam
Caricis
arroſor prodiiſſe cuniculus antris
Tempore
narratur;
narrent ſi vera puellæ
Littoreæ
, quæ ſiccandis cuſtodia paſſim
Retibus
ad ventos expanſis forte ſedebant.

Pectore
Nereïdes nudo, laſciva caterva,
Viſa
per incertam Lunam, viſæve putantur,
Et
Triton, Glaucusque, procul ſub luce maligna;

Tuque
, cubans juxta ſtratas prope littora
5528DAPHNIS ECLOGA. Neptuninarum pecudum fidiſſime cuſtos:
Neu quisquam ſeræ meminit decedere nocti.
Interea
tenebræ denſantur;
& abdita nimbo
Cynthia
dum latitat, cæli de parte ſerena
Cinctum
non ſolitis proceſſit crinibus aſtrum,
Prolixumque
trahens albore notabile ſyrma.

Mirantur
chorus attoniti.
miratur & ipſe;
Præſertim
tantum capiti cum demſit honorem,
Ornatumque
ſequacem omnem mox reddita Luna.

Infit
&
: Ad ſua quisque mapalia tendite nota,
Prodigio
nil ſolliciti, curamve foventes.

Inſuetos
alias tales cantabimus ignes,
Et
trepidantem nequicquam formidine vulgum.
Hæc Ancon: mihi viſa tibi quæ digna referri,
Hugenide, decus Hugenidum, cui ſidera curæ,
Nec
Phæbum ac Pimplæ fas eſt contemnere Divas,
Queis
tua tota domus, fratres, genitorque dicati.
Sic neque te facies peregrini terreat aſtri,
Idemve
anne alius vario fulgore cometes.
A. CIƆ IƆC LXV.
56 10[Figure 10]
CHRISTIANI HUGENII
ZULICHEMII, CONST. F.
HOROLOGIUM
OSCILLATORIUM
,
SIVE
DE
MOTU PENDULORUM
AD
HOROLOGIA APTATO
Demonſtrationes Geometricæ.
ANNUS agitur ſextus decimus ex quo fabricam
horologiorum
, tunc recens à nobis inventorum,
edito
libello publicam fecimus.
Ab illo 11Vide
ſupra

pag
. 5.
tempore cùm multa invenerimus ad perfectio-
nem
operis ſpectantia, viſum eſt ea ſingula hoc
libro
exponere.
Quæ quidem adeo ad perfectionem ejus in-
venti
pertinent, ut potiſſima ejus pars cenſeri poſſint, ac
velut
fundamentum totius mechanicæ hujus, quo prius
5730CHRISTIANI HUGENII ſtituta erat. Menſura enim temporis certa atque æqualis,
pendulo
ſimplici naturâ non inerat, cum latiores excurſus
anguſtioribus
tardiores obſerventur;
ſed geometria duce di-
verſam
ab ea, ignotamque antea penduli ſuſpenſionem re-
perimus
, animadverſâ lineæ cujusdam curvaturâ, quæ ad
optatam
æqualitatem illi conciliandam mirabili planè ratione
comparata
eſt.
Quam poſtquam horologiis adhibuimus,
tam
conſtans certusque eorum motus evaſit, ut poſt crebra
experimenta
terra marique capta, manifeſtum jam ſit &

Aſtronomiæ
ſtudiis &
arti Nauticæ plurimùm in iis eſſe
præſidii
.
Hæc ea eſt linea quam defixus in circumferentia
currentis
rotæ clavus, continua circumvolutione, in aëre
deſignat
;
à Geometris noſtri ævi cycloidis nomine donata,
&
ob alias multas ſui proprietates diligenter expenſa; à no-
bis
verò propter eam quam diximus menſurandi temporis
facultatem
, quam nihil tale ſuſpicantes, ac tantùm artis ve-
ſtigiis
inſiſtentes, ineſſe ipſi comperimus.
Hanc cum jam
pridem
amicis horum intelligentibus notam fecerimus (nam
non
multo poſt primam horologii editionem animadverſa
fuit
) nunc eandem, demonſtratione quàm potuimus accu-
ratiſſima
firmatam, omnibus legendam proponimus.
Itaque
in
hac tradenda demonſtratione potiſſima pars hujus libri
verſabitur
.
Ubi primùm neceſſe fuit novis nonnullis demon-
ſtrationibus
ſtabilire &
promovere ulterius viri maximi Ga-
lilei
de deſcenſu gravium doctrinam, cujus fructus deſidera-
tiſſimus
, atque apex veluti ſummus, hæc ipſa quam inve-
nimus
cycloidis eſt proprietas.
Quæ porro ut ad pendulorum uſum aptari poſſet, nova cur-
varum
linearum conſideratio adhibenda fuit, earum
5831HOROLOG. OSCILLATOR. quæ ſui evolutione alias curvas generant. Unde comparatio in-
ter
ſe longitudinis curvarum cum rectis naſcitur, quam ulterius
etiam
quam præſens neceſſitas poſtulabat proſecutus ſum, pro-
pter
theoriæ, ut mihi viſum eſt, elegantiam &
novitatem.
Cæterùm ad explicandam Penduli Compoſiti naturam,
cujus
utilitatem in conſtructione horum automatôn demon-
ſtro
, adjungenda fuit Centrorum Oſcillationis contemplatio,
à
pluribus quidem, ſed minus feliciter, hactenus tentata;
in qua theoremata complura animadverſione, ni fallor, di-
gna
reperientur, ad figuras lineares, planas, ſolidasque per-
tinentia
.
Ante hæc omnia vero præmittitur ipſa horologii
mechanica
conſtructio, pendulique applicatio, formâ quæ
ad
uſus aſtronomicos aptiſſima reperta eſt, ad cujus inſtar re-
liquæ
omnes, mutatis quæ opus eſt, facile ordinari poſ-
ſint
.
Quia vero contigit egregio hujus inventi ſucceſſu, quod
fieri
plerumque ſolet, quodque futurum prædixeram, ut
plures
ſeſe ejus auctores eſſe cuperent, aut ſi non ſibi ipſis,
ſuæ
tamen nationis alicui potius quàm nobis eum honorem
tribui
vellent, iniquis eorum conatibus tandem aliquando
occurrendum
hic arbitror.
Nec ſanè aliud fere opponere iis
neceſſe
fuerit præterquam id unum, nempe ante annos ſex-
decim
, cum nec dicto nec ſcripto cujusquam de horologiis
hujusmodi
mentio facta eſſet, aut rumor ullus omnino ferre-
tur
(loquor autem de penduli ſimplicis uſu ad horologia
translato
, nam de Cycloidis additione nemo credo contro-
verſiam
movebit) conſtructionem eorum propria meditatio-
ne
me adinveniſſe &
perficiendam curaſſe. In ſequenti anno,
qui
nempe hujus ſæculi quinquageſimus octavus fuit,
5932CHR. HUGENII HOROL. OSCILL. neationem automati deſcriptionemque typis vulgaſſe; exem-
plaria
, tum operis ipſius, tum libelli, quaquaverſum dimi-
ſiſſe
.
Nam cum hæc ita omnibus nota ſint, ut nec teſtimo-
niis
eruditorum, nec Bataviæ Ordinum actis, quibus poſ-
ſent
, confirmari opus habeant, facile apparet quid de illis
exiſtimandum
ſit, qui ſeptem poſt annis eandem conſtru-
ctionem
, quaſi à ſe ſuisve amicis profectam, libris ſuis ven-
ditarunt
.
Qui vero Galileo primas hic deferre conantur, ſi
tentaſſe
eum, non vero perfeciſſe inventum dicant, illius
magis
quam meæ laudi detrahere videntur, quippe qui rem
eandem
, meliore quam ille eventu, inveſtigaverim.
Cum
autem
vel ab ipſo Galileo, vel à filio ejus, quod nuper vo-
luit
vir quidam eruditus, ad exitum perductum fuiſſe con-
tendunt
, horologiaque ejusmodi re ipſâ exhibita, neſcio
quomodo
ſibi creditum iri ſperent, cum vix veriſimile ſit
adeo
utile inventum ignoratum manere potuiſſe annis totis
octo
, donec à me in lucem ederetur.
Quod ſi deditâ operâ
celatum
fuiſſe dicant, idem hoc intelligunt à quolibet alio
poſſe
obtendi, qui ſibi originem inventi arrogare cupiat.
Itaque probandum quidem id foret, neque eo magis ad me
tamen
quicquam pertineret, niſi unà quoque oſtendatur, id
quod
omnes latebat, mihi ſoli innotuiſſe.
Et hæc quidem
neceſſariæ
defenſionis cauſa dicenda fuere.
Nunc ad ipſius
automati
conſtructionem pergamus.
11[Figure 11]
60 12[Figure 12]
HOROLOGII OSCILLATORII
PARS PRIMA,
Deſcriptionem
ejus continens.
FIGURA adſcripta horologium à latere inſpiciendum præ-
11TAB. II.
Fig
. 1.
bet, ubi primum laminæ binæ ſunt A A, B B, ſemipe-
dali
aut paulo ultra longitudine, latæ pollices duo &
ſemis,
quarum
anguli quatuor columellis coaptantur, ut ſesquipol-
lice
inter ſe diſtent.
His laminis rotarum præcipuarum axes
utrinque
inſeruntur.
Prima atque infima eſt quæ notatur C,
dentibus
80 inciſa, cujus axi orbiculus quoque D affixus
eſt
, aculeis ferreis aſper, ut funem cum appenſis ponderi-
bus
contineat, quæ qua ratione ordinentur poſtea dicetur.
Ponderis itaque vi rota C vertitur; hæc movet proximum
tympanum
E dentium octo, unáque rotam F eodem axe hæ-
rentem
, cui dentes 48.
Hanc excipit tympanum aliud G,
&
in eodem axe rota H, quibus dentium numerus idem qui
tympano
rotæque præcedenti.
Sed hæc rota ejus eſt generis
quas
à forma coronarias vocant artifices noſtri.
Hujus den-
tibus
agitatur tympanum I ſimulque rota K, quæ eodem
axe
tenetur, ad perpendiculum erecto.
Tympano dentes 24;
rotæ
15, atque hi ad inſtar ſerræ dentium inciſi.
Supra me-
diam
rotam K transverſus jacet axis pinnatus L M, cujus
extrema
ſuſtinent hinc inde gnomones N Q &
P, ſeorſim
affixi
laminæ B B.
Notanda vero in gnomone N Q pars de-
orſum
prominens Q, quæ oblongo foramine patens trans-
mittit
axem L M, ſimulque retinet eum quem rotæ K tym-
panoque
I communem eſſe diximus, inferiori ſui parte gno-
moni
R innitentem.
In lamina B B foramen amplum excava-
tum
eſt, quo ultra ipſam extendatur axis pinnatus L M, qui
ſubtili
cuſpide inſertus gnomoni P, liberius ita movetur quam
ſi
ab ipſa lamina B B ſuſtineretur ſimulque ultra eam
6134CHRISTIANI HUGENII mineret, debet enim prominere neceſſario ut affigi poſſit cla-
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
vula S, quæ ſimul cum eo verſationes faciat.
Eſt autem hic
motus
reciprocus, nunc in hanc nunc in illam partem,
quum
dentes rotæ K alternatim occurrant pinnulis L L, no-
vulgo ratione, quæque proinde diligentiori explicatione
non
indiget.
Porro clavula S, ima ſui parte reflexa ac foramine ob-
longo
terebrata, penduli virgam ferream, cui plumbum X
affixum
eſt, amplectitur.
Hæc vero virga ſupernè duplici
filo
ſuſpenſa eſt inter geminas lamellas, quarum una T hic
tantum
cernitur;
itaque alteram figuram juxta deſcripſi-
mus
, quæ utriusque formam flexumque &
totam hanc
22TAB. II.
Fig
. 2.
ſuſpendendi penduli rationem exprimeret.
Quanquam de
vera
laminarum iſtarum curvatura pluribus poſtea agendum
erit
.
Nunc autem ut de motu horologii dicamus, nam reliquas
figuræ
partes poſtea exequemur, facile equidem apparet &

vi
rotarum, à pondere tractarum, perpendiculi V X mo-
tum
ſuſtentari, poſtquam ſemel manu incitatum fuerit;
&
ſimul
perpendiculi ſtatos recurſus rotis univerſis, totique
adeo
horologio movendi legem normamque præſcribere.
Clavula enim, quantumvis levi rotarum impulſu acta, non
tantum
obſequitur trahenti perpendiculo, ſed &
ſingulis re-
curſibus
paulisper ejus motum adjuvat, atque ita perennem
reddit
, qui alioqui ſua ſponte, vel verius occurſu aëris,
deficeret
paulatim, vergeretque ad quietem.
Rurſus vero,
quum
ejusmodi ſit natura penduli ut eodem ſemper tenore
feratur
, neque ab eo ulla ratione præterquam mutata longi-
tudine
dimoveri poſſit;
utique poſtquam flexu lamellarum,
inter
quas ſuſpenſum eſt, æqualitatem illam conſequuti fui-
mus
;
nequaquam permittitur rotæ K, ut nunc citius nunc
tardius
incedat, etſi ſæpe, ut in vulgaribus horologiis, id
facere
conetur;
ſed neceſſario ſinguli dentes ejus coguntur
æqualibus
tranſire temporibus.
Hinc vero manifeſtum eſt,
&
reliquarum quæ præcedunt rotarum, & denique etiam
indicum
æquabiles converſiones effici, cum omnia
6235HOROLOG. OSCILLATOR. tionaliter moveantur. Quamobrem ſiquid in fabrica vi-
11Descri-
PTIO HO-
ROLOGII.
tii fuerit, vel, ob aëris mutatam temperiem, diffici-
lius
rotarum axes volvantur;
dummodo non eo usque ut
omnis
horologii motus interrumpatur;
nulla propter
hæc
inæqualitas aut motus retardatio timenda erit, ſem-
perque
aut rectè tempus metietur aut omnino non metie-
tur
.
Indices porro hoc pacto circumaguntur atque ordinantur.
Tertia lamina prioribus parallela eſt Y Y, pollicis quarta
parte
diſtans ab ea quæ notatur A A.
In ea circuli horarii
deſcripti
ſunt centro eodem α quo protenditur axis rotæ C.

Quorum
circulorum interior duodecim horarum diviſionem
habet
, alter ſcrupulorum 60.
Axi vero rotæ C aptatur, ul-
tra
laminam A A, rota ß, tubulo cohærens qui usque ad ε
continuatur
trans laminam Y Y;
atque ita inſidet axi illi,
ut
una cum illo circumferatur;
ſine illo tamen, ubi opus
fuerit
, converti poſſit.
Ad ε index imponitur, horæ ſpa-
tio
circuiturus atque ita ſcrupula prima, ſeu ſexageſimas ho-
rarum
, demonſtraturus.
Rota vero quam diximus ß, aliam
rotam
, totidem quot ipſa habet dentium, impellit, atque
una
affixum ei tympanum cui dentes ſex, axiculo eorum
communi
hinc laminâ A, inde gnomone δ ſuffulto.
Hoc
tandem
tympano rota ζ movetur, dentes habens 72, tubu-
lumque
affixum qui &
ipſe ultra laminam Y ad θ porrigitur,
paulo
citra quam deſinit tubulus rotæ ß, quem intra ſe com-
plectitur
.
Parte extrema θ apponitur horarius index, brevior
aliquanto
illo quem ſcrupula prima ſignare diximus, cum in-
teriore
gyro ferri debeat.
Secunda vero ſcrupula ut absque
errore
demonſtrentur, imponitur axi rotæ H, usque ad la-
minam
Y producto, orbis λ, cui circulus in ſexaginta par-
tes
diviſus inſcribitur, inciſoque in laminâ Y foramine
ad
Z, diviſiones, cuspide in ſummo foramine defixâ,
prætereuntes
notantur.
Hæc vero tota indicum circulo-
rumque
horariorum diſpoſitio ex figura minori (fig.
3.) cla-
rius
perſpicitur, exteriorem horologii formam referen-
te
.
6336CHRISTIANI HUGENII
Cæterum penduli longitudinem, rotis quemadmodum di-
11Descri-
PTIO Hc-
ROLOGII.
ximus ordinatis, eam eſſe oportet ut ſcrupula ſecunda ſin-
gulis
recurſibus metiatur, quæ longitudo tripedalis eſt,
&
commodè in ſchemate exhiberi non potuit. Tripedalem
dico
, non alicujus reſpectu pedis qui apud Europæ gentem
hanc
illamve in uſu ſit, ſed certo æternoque pedis modulo
ab
ipſa hujus penduli longitudine deſumpto, quem Pedem
Horarium in poſterum appellare liceat, ad illam enim
omnium
aliorum pedum menſuræ referri debent quas incor-
ruptas
poſteris tradere voluerimus.
Neque enim, verbi gra-
tiâ
, ignorabitur unquam venturis ſæculis Pariſini pedis mo-
dus
, dum conſtabit eum ad Pedem Horarium eſſe ut 864
ad
881.
Sed de hujus menſuræ exactiſſima conſtitutione plu-
ribus
agemus in iis quæ de Centro Oſcillationis.
nunc tem-
pora
converſionum in ſingulis rotis indicibusque obiter de-
ſignabimus
, ut rectè omnia ad dentium ſupra deſcriptorum
numerum
quadrare intelligantur.
Ergo una quidem converſione rotæ C, decies circumire
apparet
rotam F, ſexagies vero rotam H, &
centies vicies
ſupremam
K:
cui quum dentes ſint quindecim, iisque
alternatim
pulſentur pinnulæ L L, una converſione rotæ K
numerabuntur
ictus 30, quibus reſpondent totidem itus re-
ditusque
penduli V X.
ideoque converſionibus 120, reſpon-
debunt
oſcillationes ſimplices 3600, qui numerus eſt ſcru-
pulorum
ſecundorum unam horam efficientium.
Itaque ho-
tempore ſemel circumit rota C, cumque ea ſimul index
ad
E impoſitus, qui ſcrupula prima demonſtrat.
Et quo-
niam
eodem temporis ſpatio etiam rota ß, &
per eam γ,
convertitur
, cum tympanidio ſuo dentium ſex, ad quem
numerum
duodecuplus eſt numerus dentium rotæ ζ, appa-
ret
duodecim demum horis hanc circumduci, totidemque
indicem
illi conjunctum in θ.
Denique cum rotæ H ſexa-
ginta
converſiones reſpondere oſtenderimus ſingulis conver-
ſionibus
rotæ C, hinc illa, una cum affixo orbe λ, ſexagies
in
ſingulas horas circumferetur, hoc eſt, ſemel unius ſcru-
puli
primi tempore, ideoque partes ſexageſimæ orbiculi
6437HOROLOG. OSCILLATOR.11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
ſecunda ſcrupula tranſitu ſuo oſtendent:
atque ita omnia rectè
ſe
habere manifeſtum erit.
Pondus X in imo perpendiculo
trilibre
eſt, plumbeum totum, vel ænea ſuperficie plumbum
continente
.
Nec tantum metalli gravitate ſed & figurâ in-
ſuper
proſpiciendum (plurimi enim refert) ut quam mini-
mum
occurſu aëris impedimentum ſentiat.
Eoque in cylin-
22TAB. II.
Fig
. 3.
dri jacentis oblongi &
utrinque præacuti formam fingitur,
qualis
cernitur ad a ſchemate horologii minore.
Quanquam
in
his quæ ad navigationem parantur, forma lentis erectæ
aptior
viſa eſt.
Porro eodem ſchemate & ponderis alterius b, quo motus
horologii
continuatur, ſuſpendendi ratio expreſſa eſt, quam,
incognitam
prius, inveſtigare nobis neceſſe fuit, ne interim
dum
ſurſum retrahitur pondus iſtud, ceſſaret vel impedire-
tur
aliquatenus horologii curſus, quod hic omnino caven-
dum
erat.
Paratur itaque funis continuus atque in ſe rediens,
extremitatibus
apte inter ſe connexis.
Is primum orbiculum
rotæ
infimæ conjunctum, qui in ſchemate majori notatus eſt
D
, amplectitur;
inde deſcendens, altera ſui parte trochleam
c
, cui pondus b appenſum eſt, ſubit.
Hinc ſuper orbicu-
lum
d aſcendit, extrinſecus horologio affixum, qui ferreos
per
circumferentiam aculeos habet, atque inſuper ſerratis
dentibus
ita eſt aptatus ut volvatur tracto fune e;
nequa-
quam
vero in partem contrariam revolvi poſſit.
Ab hoc or-
biculo
deſcendit funis ad alteram trochleam f, cui pondus
exiguum
g appenditur, quantum ſufficit continendo majori
b
, ne aliter quam revoluto orbiculo deſcendat.
Namque à
trochlea
f rurſus ad ipſum orbiculum D, unde deſcenderat,
funis
revertitur.
Quibus ita ſe habentibus, manifeſtum eſt
ſemper
pondus b dimidia ſui gravitate conari ut rotas horo-
logii
circumagat, nec tunc quidem ceſſare cum manu fu-
nem
e trahente aſcendere cogitur;
adeoque horologii mo-
tum
nusquam interrumpi, nec momentum temporis de-
perdi
.
Gravitatis modus in pondere b definiri certo non poteſt,
ſed
quo minor conſervando motui ſuffecerit, eo melius
6538CHRISTIANI HUGENII curatiusque fabrefactum automaton arguet. In noſtris, quæ
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
optima hactenus habemus, ad ſex libras redactum eſt, po-
ſita
nimirum orbiculi D diametro pollicari fere;
uti exhibi-
ta
fuit;
item perpendiculi pondere trilibri, ac totidem pe-
dum
longitudine.
Quæ longitudo, ut hoc etiam admonea-
mus
, trans capſam horologii dependet, oblongo foramine
perviam
, quantum oſcillationibus peragendis neceſſe eſt,
Ipſum
vero horologium, ad hominis altitudinem ſuſpenſum,
horis
30 moveri perſeverat.
Supereſt nunc forma lamellarum deſcribenda inter quas
perpendiculum
affigi diximus, quarumque ad æquabilem
horologio
motum præſtandum vel præcipua eſt opera.
Abs-
que
his enim Penduli ſimplicis oſcillationes (etſi nonnullis
aliter
viſum eſt) non erunt æque diuturnæ, ſed brevioris
temporis
quæ per minores arcus incedent;
idque primùm
experimento
hujusmodi facile deprehenditur.
Si enim fila
accipiantur
ejusdem longitudinis duo, paribusque in parte
ima
ponderibus religatis, utrumque ſeorſim ſuſpendatur,
tumque
alterum eorum procul à linea perpendiculari, alte-
rum
parumper duntaxat extrahatur, ſimulque è manu di-
mittantur
;
non diu utrumque ſimul in partes easdem ferri
videbitur
, ſed prævertet illud cujus exiliores erunt recur-
ſus
.
Sed & temporum per quoslibet arcus rationes numeris
definiri
poſſunt, certâ ſcientiâ nixis, &
vero quam libuerit
propinquis
, veluti quod tempus deſcenſus per totum circu-
li
quadrantem eſt ad tempus per arcum minimum fere ut
34
ad 29.
Adeo ut nequaquam reſiſtentiæ aëris ea diverſitas
imputanda
ſit, ut quidam voluere, ſed ex ipſa motus natu-
ra
circulique proprietate naſcatur.
Quod alio quoque argu-
mento
concludi poſſit ex ipſa Penduli iſochroni conſtructio-
ne
, ubi à circulari linea haud parum receditur, uti mox
patebit
.
Sed videatur forſan in noſtris horologiis hiſce, ubi eadem
ſemper
eſt oſcillationum latitudo, nullius momenti futura
quam
diximus inæqualitas, adeoque nec correctione ulla
perpendiculi
opus fore.
Quod ſane ita eſſet ſi latitudo
6639HOROLOG. OSCILLATOR. um planè eadem conſtanter maneret. Sed cum pauxillum
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
quandoque excedat vel deficiat, ex multis minimis differen-
tiolis
tandem magna ſatis conflatur, idque ita eſſe reipſa
atque
experimentis evincitur.
Etſi enim eadem ſemper ſit
ponderis
vis, rotæ ſibi proximæ reſpectu, tamen per tot
alias
transdita, quantâcunque curâ limatæ fuerint, non
ſemper
eadem ad perpendiculum usque pervenit.
Præter-
quam
quod frigore quoque difficilior motus rotarum effici-
tur
;
itemque evaneſcente aut ſordeſcente quod illis additur
oleo
.
Sed præcipue inæquales fiunt oſcillationes horologiis
quæ
mari vehuntur, ob jactationem navis continuam, adeo
ut
omnibus quidem in univerſum, ſed his maxime omnium
remedio
opus ſit, quo reciprocationum Penduli latiorum
anguſtiorumque
tempora æqualia evadant.
Ad definiendam ergo lamellarum formam in quibus poſi-
tum
eſt remedium iſtud, in primis Penduli longitudinem
ſtatuiſſe
oportet, quæ facile ex eo habetur, quod ſint inter
ſe
longitudines perpendiculorum, ſicut temporum quæ in
ſingulos
recurſus impenduntur quadrata.
Adeo ut cum tri-
bus
pedibus definiverimus longitudinem perpendiculi quod
ſcrupula
ſecunda metitur, ejus quarta pars, ſive unciæ no-
vem
debeantur ei quod ſemiſecunda notaturum ſit.
Item ſi
Penduli
longitudo quæratur, cujus recurſus ſimplices 10000
horæ
ſpatio peragantur, hoc modo ratio inibitur.
Penduli
nempe
tripedalis ſcimus 3600 recurſus in horas ſingulas nu-
merari
:
ergo hujus recurſuum tempora ſingula, majora ſunt
temporibus
Penduli quæſiti, proportione 10000 ad 3600,
ſive
25 ad 9.
Quare ut quadratum numeri 25 ad quadra-
tum
9, hoc eſt, ut 625 ad 81, ita erit longitudo pedum 3
ad
eam quæ quærebatur, nempe unciarum 4 cum {66/100}.
Poſita ergo longitudine perpendiculi, puta pedum trium
in
horologio à nobis propoſito, inde Cycloïs linea, quæ
curvaturam
laminarum T datura eſt, hoc modo deſcribe-
tur
.
Super tabula plana affigatur regula A B, ſemidigiti craſſitu-
22TAB. III.
Fig
. 1.
dine.
Deinde fiat cylindrus C D E eadem illa altitudine,
6740CHRISTIANI HUGENII metrum vero baſeos, dimidiæ perpendiculi longitudi-
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
ni, æqualem habens;
ſitque F G H E faſciola, ſeu
potius
bractea tenuis, affixa regulæ in F, cylindro verò in
circumferentiæ
puncto aliquo E, ita ut partim huic circum-
voluta
ſit, partim extendatur juxta latus regulæ A B.
Cy-
lindro
autem infixa ſit ferrea cuſpis D I, pauxillum ultra
baſin
inferiorem prominens, atque ita ut circumferentiæ ejus
exacte
reſpondeat.
His ita ſe habentibus, ſi cylindrus ſecundum regulam A B
volvatur
, bracteolæ tantum F G craſſitudine intercedente,
eâque
ſemper quantum poteſt extensâ, deſcribet cuſpis I in
ſubjecto
tabulæ plano lineam curvam K I, quæ Cyclois vo-
catur
.
Circulus vero genitor erit C D E, cylindri adhibiti
baſis
.
Quod ſi jam laminam K L ad regulam A B appli-
cuerimus
;
exaratâ primum in ea cycloidis portione K I, in-
vertemus
deinde ipſam, &
in ſuperficie adverſa ſimilem li-
neam
K M, ab eodem puncto K egredientem, incidemus.
Tum figuram M K I, accurate ſecundum lineas iſtas, ef-
formabimus
, cui figuræ lamellarum interſtitium aptari opor-
tet
, inter quas perpendiculum ſuſpenditur.
Sufficiunt au-
tem
ad horologiorum uſum portiones exiguæ arcuum K M,
K
I;
reliquo flexu inutili futuro, ad quem perpendiculi fi-
lum
accedere non poteſt.
Verum, ut mirabilis lineæ natura atque effectus plenius
22TAB. III.
Fig
. 2.
intelligantur, integras ſemicycloides K M, K I, alio ſche-
mate
hic exprimere viſum fuit, inter quas ſuſpenſum agita-
tumque
Pendulum K N P, diametri circuli genitoris du-
plum
, cujuscunque amplitudinis oſcillationes, usque ad
maximam
omnium per arcum M P I, iisdem temporibus
confecturum
ſit:
atque ita, ut appenſæ ſphæræ P centrum,
in
linea M P I, quæ &
ipſa cyclois integra eſt, ſemper
verſetur
.
Quæ proprietas inſignis, neſcio an alii præter hanc
lineæ
data ſit, ut nempe ſe ipſam ſui evolutione deſcribat.
Hæc autem quæ dicta ſunt, in ſequentibus, ubi de deſcen-
ſu
gravium, deque evolutione curvarum agemus, ſingula
demonſtrabuntur
.
6841HOROLOG. OSCILLATOR.
Licebit autem aliter quoque, per inventa puncta, cy-
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
TAB. III.
Fig
. 3.
cloidem deſignare.
Deſcribatur circulus diametro A B, quæ
dimidiæ
longitudini perpendiculi æqualis ſit.
In cujus cir-
cumferentia
ſumptis partibus æqualibus quotlibet, A C,
C
D, D E, E F, A G, G H, H I, I K, jungantur
G
C, H D, I E, K F, quæ erunt inter ſe parallelæ.
Deinde arcui A F ſumatur æqualis linea recta L M, eaque
in
partes æquales totidem dividatur quot ſunt in arcu A F,
earumque
partium uni æquales ponantur ſingulæ C N,
G
O in recta C G;
duabus vero partibus rectæ L M, æ-
quales
fiant ſingulæ D P, H Q in recta D H.
Tribus ve-
ro
, ſingulæ E R, I S in recta E I;
atque ita porro ſi par-
tes
plures fuerint acceptæ ac tandem toti L M æquales
fiant
ſingulæ F T, K V in linea extrema F K.
Jam ſi
curvæ
deſcribantur per puncta A O Q S V, A N P R T,
rurſus quæſitæ cycloidis partes erunt, inter quas per-
pendiculum
affigi oportet.
Recta autem L M æqualis arcui A F invenitur, ſi pri-
mum
duabus rectis, quæ ſemiſſibus arcus A F ſubtendun-
tur
, æqualis ponatur X Z, totius vero arcus ſubtenſæ A F
æqualis
ab eodem termino accipiatur X Y, differentiæque
Y
Z triens Z Δ ad totam X Z adponatur.
Nam tota X Δ
toti
arcui A F tam prope æqualis erit, ut licet ſextans fue-
rit
circumferentiæ, (neque major hic unquam requiritur)
non
una ſexies milleſima parte ſuæ longitudinis deficiat,
uti
in his, quæ de Circuli Magnitudine antehac ſcripſimus,
demonſtratum
eſt.
Explicitis quæ ad horologii fabricam attinent, nunc quo-
que
illud declarandum eſt, quo pacto ad veram horarum
menſuram
componi debeat.
Ergo primum, an recte ſe ha-
beat
motus ejus, hoc modo examinabitur.
Oculo obſervatoris certus eligatur locus, unde ſidera de-
ſpici
poſſint, ſimulque tecta parietesve vicinarum ædium,
ſic
poſita, ut, cum appulerint ſtellæ quædam è fixarum
numero
, ſimul videri deſinant.
Eo loco foramen, ad pu-
pillæ
magnitudinem, conſtituatur, ut ſequentibus
6942CHRISTIANI HUGENII absque errore, oculus ad idem punctum reponi poſſit. Jam
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
ad momentum ipſum, cum ſtellarum aliqua è conſpectu abit,
notetur
tempus horologio indicatum.
Atque idem poſtero
die
, vel potius aliquot diebus intermiſſis, fiat.
Quod ſi
tantum
unius diei ſpatium duabus obſervationibus interceſſe-
rit
, oportet in poſtrema obſervatione tempus horologii de-
ficere
ab illo, quod prima obſervatione annotatum fuerat,
ſcrupulis
primis 3, ſecundis 56.
Ita enim rectè ſe habere
perpendiculi
longitudinem conſtabit;
quum tanto ſuperetur
quælibet
ſiderum fixorum revolutio à die ſolari mediocri.
Mediocri dico, quoniam dies ſolares, de meridie ad meri-
diem
, non omnes inter ſe æquales ſunt, ut mox amplius
exponetur
.
Si vero poſt plures demum dies obſervatio re-
petatur
, in ſingulos tantundem differentiæ cauſa computan-
dum
erit.
Sit, exempli gratiâ, in prima obſervatione, ad
momentum
evaneſcentis ſtellæ, adnotata horologii hora 9,
cum
ſcrupulis primis 30, ſecundis 18;
deinde, ſeptimo
poſt
die, eâdem diſparente ſtellâ, indicet horam 8, cum
ſcrupulis
pr.
50, ſec. 24. Hæc hora deficit à priore ſcrupu-
lis
pr.
39, ſecundis 54. Quæ, in ſeptem diviſa, dant retar-
dationem
diurnam ſcrupulorum 5′.
42″. Debebat autem eſſe
ſcrupulorum
3′.
56″. quæ illâ minor eſt ſcrupulis 1′. 46″. Ita-
que
tantundem quotidie deficit horologium à vera, ſeu me-
dia
, dierum menſura.
Cæterum alio quoque modo, ad ſolem, horologii motum
examinare
licebit.
Sed hic jam inæqualitatis dierum natu-
ralium
ratio habenda erit.
Sunt enim, ut jam dixi, non
omnes
ejusmodi dies inter ſe æquales;
& quanquam exi-
guum
ſit diſcrimen, tamen plurium dierum intervallo ſæpe
eo
usque excreſcit, ut haudquaquam contemni poſſit.
Ete-
nim
ſi &
ſolarium quam perfectiſſime deſcriptum habeatur,
&
horologii automati motus ad veriſſimam dierum menſu-
ram
exactus ſit, neque ab ea recedat;
eveniet tamen neceſ-
ſario
ut, certis anni temporibus, ſæpe horæ quadrante, aut
etiam
ſemihora, inter ſe diſcrepent, ac rurſus ſtatis tempo-
ribus
ultro concordent.
Hoc enim ita eſſe, ex tabula
7043HOROLOG. OSCILLATOR. poris æquatoria quam ſubjicimus, intelligetur; poſtquam
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
uſum ejus oſtenderimus, qui eſt hujusmodi.
Accipiatur æquatio tabulæ, aſſignata diei qua primum
cum
ſole, ſive cum ſciotherico, horologium ut conveniret
fecimus
.
Itemque æquatio diei, qua quæritur quam bene
ad
dierum menſuram temperatum ſit.
Quod ſi jam prior æ-
quatio
major fuerit ſequente, ſuperare debebit hora auto-
mati
horam gnomonis eo, quo inter ſe æquationes iſtæ dif-
ferunt
.
At ſi poſterioris diei æquatio major inveniatur, erit
exceſſus
penes horam gnomonis, ſive eam quæ ex ſole ob-
ſervatur
.
Ut ſi, exempli gratiâ, die 5 Martii in eandem
horam
conveniant ſciothericum horologium atque automa-
ton
, cujus diei æquatio invenitur, in tabula, ſcrupulorum
primorum
3, ſecundorum 11.
lubeatque ſcire ejusdem menſis
die
20, an automaton horas æquales rectè metiatur necne:
invenietur die poſteriori adſcripta æquatio ſcrupulorum pri-
morum
7, ſecundorum 27.
quæ quia ſuperat præcedentem
ſcrupulis
primis 4, ſecundis 16, debebit tanto ſerior eſſe
hora
ſciotherici, quam quæ automato indicatur.
Unde, ſi
diverſum
reperiatur, facile inde colligetur, quantum in dies
ſingulos
exuperet automaton, aut retardet.
In computanda tabula hac duplicem cauſam adhibui, u-
tramque
Aſtronomis notam, Eclipticæ nimirum obliquita-
tem
;
& ſolaris motus anomaliam. Quod cum ratio poſtulat,
tum
experientia quoque, his ipſis horologiis ſuperſtructa,
quæque
ſine his nequaquam haberi poterat, evincit;
quan-
doquidem
, cum æquatione hìc propoſita, obſervationes ſo-
lis
, quas ſæpe per complures menſes, quotidie ad momen-
tum
quo meridianum circulum ſol occuparet, inſtituimus,
planiſſime
conſentire inventæ ſunt.
7144TABULA ÆQUA.11
## Dies. ## Januar. ## Febr. ## Mart. ## Apr. ## Maj. ## Jun.
" # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec.
1
# 10 # 40 # 0 # 32 # 2 # 15 # 11 # 18 # 18 # 32 # 18 # 10
2
# 10 # 10 # 0 # 24 # 2 # 28 # 11 # 37 # 18 # 39 # 18 # 1
3
# 9 # 41 # 0 # 18 # 2 # 42 # 11 # 56 # 18 # 46 # 17 # 51
4
# 9 # 13 # 0 # 13 # 2 # 56 # 12 # 15 # 18 # 53 # 17 # 41
5
# 8 # 45 # 0 # 9 # 3 # 11 # 12 # 34 # 18 # 59 # 17 # 30
6
# 8 # 17 # 0 # 6 # 3 # 26 # 12 # 53 # 19 # 4 # 17 # 19
7
# 7 # 50 # 0 # 3 # 3 # 41 # 13 # 12 # 19 # 9 # 17 # 8
8
# 7 # 23 # 0 # 1 # 3 # 56 # 13 # 31 # 19 # 14 # 16 # 57
9
# 6 # 58 # 0 # 0 # 4 # 12 # 13 # 49 # 19 # 18 # 16 # 46
10
# 6 # 34 # 0 # 0 # 4 # 29 # 14 # 6 # 19 # 22 # 16 # 35
11
# 6 # 10 # 0 # 0 # 4 # 46 # 14 # 23 # 19 # 25 # 16 # 24
12
# 5 # 47 # 0 # 2 # 5 # 4 # 14 # 39 # 19 # 28 # 16 # 13
13
# 5 # 24 # 0 # 4 # 5 # 22 # 14 # 55 # 19 # 29 # 16 # 1
14
# 5 # 2 # 0 # 8 # 5 # 40 # 15 # 10 # 19 # 29 # 15 # 49
15
# 4 # 41 # 0 # 12 # 5 # 58 # 15 # 25 # 19 # 29 # 15 # 37
16
# 4 # 21 # 0 # 16 # 6 # 16 # 15 # 39 # 19 # 28 # 15 # 24
17
# 4 # 2 # 0 # 21 # 6 # 33 # 15 # 53 # 19 # 26 # 15 # 11
18
# 3 # 44 # 0 # 26 # 6 # 51 # 16 # 7 # 19 # 24 # 14 # 58
19
# 3 # 27 # 0 # 32 # 7 # 9 # 16 # 21 # 19 # 21 # 14 # 45
20
# 3 # 11 # 0 # 40 # 7 # 27 # 16 # 34 # 19 # 18 # 14 # 32
21
# 2 # 55 # 0 # 48 # 7 # 45 # 16 # 47 # 19 # 15 # 14 # 19
22
# 2 # 39 # 0 # 57 # 8 # 3 # 16 # 59 # 19 # 11 # 14 # 6
23
# 2 # 23 # 1 # 6 # 8 # 22 # 17 # 11 # 19 # 7 # 13 # 53
24
# 2 # 7 # 1 # 16 # 8 # 41 # 17 # 22 # 19 # 2 # 13 # 40
25
# 1 # 52 # 1 # 26 # 9 # 1 # 17 # 33 # 18 # 57 # 13 # 27
26
# 1 # 38 # 1 # 37 # 9 # 21 # 17 # 43 # 18 # 51 # 13 # 15
27
# 1 # 25 # 1 # 49 # 9 # 41 # 17 # 53 # 18 # 45 # 13 # 3
28
# 1 # 13 # 2 # 2 # 10 # 1 # 18 # 3 # 18 # 39 # 12 # 52
29
# 1 # 2 ### 10 # 21 # 18 # 13 # 18 # 33 # 12 # 41
30
# 0 # 51 ### 10 # 40 # 18 # 23 # 18 # 26 # 12 # 30
31
# 0 # 41 ### 10 # 59 ### 18 # 18
7245TIONIS DIERUM.11
## Dies. ## Jul. ## Aug. ## Sept. ## Octob. ## Nov. ## Dec.
" # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec.
1
# 12 # 19 # 10 # 4 # 16 # 23 # 26 # 30 # 31 # 55 # 25 # 34
2
# 12 # 8 # 10 # 8 # 16 # 42 # 26 # 49 # 31 # 55 # 25 # 10
3
# 11 # 58 # 10 # 13 # 17 # 1 # 27 # 8 # 31 # 54 # 24 # 45
4
# 11 # 48 # 10 # 18 # 17 # 21 # 27 # 26 # 31 # 52 # 24 # 20
5
# 11 # 38 # 10 # 23 # 17 # 41 # 27 # 43 # 31 # 50 # 23 # 55
6
# 11 # 28 # 10 # 28 # 18 # 1 # 28 # 0 # 31 # 47 # 23 # 30
7
# 11 # 18 # 10 # 34 # 18 # 21 # 28 # 16 # 31 # 43 # 23 # 4
8
# 11 # 9 # 10 # 41 # 18 # 41 # 28 # 32 # 31 # 37 # 22 # 38
9
# 11 # 0 # 10 # 49 # 19 # 1 # 28 # 47 # 31 # 30 # 22 # 11
10
# 10 # 52 # 10 # 58 # 19 # 21 # 29 # 2 # 31 # 22 # 21 # 43
11
# 10 # 47 # 11 # 7 # 19 # 41 # 29 # 16 # 31 # 13 # 21 # 14
12
# 10 # 38 # 11 # 16 # 20 # 1 # 29 # 30 # 31 # 3 # 20 # 44
13
# 10 # 31 # 11 # 25 # 20 # 22 # 29 # 43 # 30 # 53 # 20 # 14
14
# 10 # 25 # 11 # 36 # 20 # 43 # 29 # 56 # 30 # 43 # 19 # 44
15
# 10 # 19 # 11 # 48 # 21 # 4 # 30 # 9 # 30 # 32 # 19 # 14
16
# 10 # 13 # 12 # 1 # 21 # 25 # 30 # 22 # 30 # 20 # 18 # 44
17
# 10 # 7 # 12 # 14 # 21 # 47 # 30 # 34 # 30 # 8 # 18 # 14
18
# 10 # 2 # 12 # 28 # 22 # 9 # 30 # 45 # 29 # 55 # 17 # 44
19
# 9 # 58 # 12 # 42 # 22 # 31 # 30 # 55 # 29 # 40 # 17 # 14
20
# 9 # 54 # 12 # 57 # 22 # 52 # 31 # 4 # 29 # 23 # 16 # 44
21
# 9 # 51 # 13 # 12 # 23 # 13 # 31 # 12 # 29 # 6 # 16 # 14
22
# 9 # 49 # 13 # 27 # 23 # 33 # 31 # 19 # 28 # 48 # 15 # 44
23
# 9 # 47 # 13 # 43 # 23 # 53 # 31 # 26 # 28 # 30 # 15 # 14
24
# 9 # 46 # 13 # 59 # 24 # 13 # 31 # 32 # 28 # 11 # 14 # 43
25
# 9 # 46 # 14 # 16 # 24 # 33 # 31 # 38 # 27 # 51 # 14 # 12
26
# 9 # 46 # 14 # 33 # 24 # 53 # 31 # 43 # 27 # 30 # 13 # 41
27
# 9 # 47 # 14 # 50 # 25 # 13 # 31 # 47 # 27 # 8 # 13 # 10
28
# 9 # 49 # 15 # 8 # 25 # 33 # 31 # 50 # 26 # 45 # 12 # 40
29
# 9 # 52 # 15 # 26 # 25 # 52 # 31 # 53 # 26 # 22 # 12 # 10
30
# 9 # 56 # 15 # 45 # 26 # 11 # 31 # 55 # 25 # 58 # 11 # 40
31
# 10 # 0 # 16 # 4 ### 31 # 55 ### 11 # 10
7346CHRISTIANI HUGENII
Jam poſtquam utrovis modo eorum quos diximus, ſed
11Descri-
PTIO Ho-
@OLOGII.
priore potius, examen inſtitutum fuerit, ſi multum aberra-
re
à media dierum longitudine horologium reperiatur, adeo
ut
differentia ultra tria quatuorve prima ſcrupula aſcendat,
remedium
adhibebitur aucta aut diminuta ipſius penduli longi-
tudine
.
Ubi hæc tenenda eſt regula, tot ſcrupulis primis,
in
ſingulos dies, motum horologii acceleratum aut retarda-
tum
iri, quot {7/10} unius lineæ auferentur pendulo aut adden-
tur
.
Cumque ad veram menſuram hoc pacto jam prope re-
22TAB. II.
Fig
. I.
ductum erit, reliqua correctio transpoſitione exigui ponde-
ris
Δ, virgæ V V adhærentis, commode peragetur.
Id
pondus
lentis formam habet, cujus ſectionem ſecundum
axem
in figura 1.
expreſſimus. Et quia tantum viceſimam
triceſimamve
, aut etiam minorem, partem æquat ponderis
X
, hinc fit ut ſat magnis ſpatiis è priore loco diſcedens,
haud
multum tamen perpendiculi motum afficiat, acceleran-
do
nempe quoties verſus mediam virgæ longitudinem attra-
hitur
, retardando cum inde ſurſum aut deorſum movetur.
Ne vero diu punctum illud quærendum ſit quo veriſſimam
daturum
ſit dierum menſuram, diviſimus certa ratione, ex
motus
legibus petita, inferiorem virgæ medietatem, poſito
nimirum
pondere Δ parte quinquageſima ponderis X, pari-
que
gravitate ipſius virgæ V V.
Quæ quidem diviſiones fi-
33TAB. II.
Fig
. 4.
gura 4 exhibentur, ubi penduli portio inferior in tres partes
ſecta
cernitur, quarum, quæ infimo loco ponenda, eſt A B.
Punctum A eſt centrum gravitatis ponderis X, à puncto
autem
C, centro oſcillationis, partes ſingulæ, quindecim
ſcrupulorum
ſecundorum differentiam diurnam efficiunt, ubi
tali
intervallo mota fuerit lens Δ.
Demonſtratio autem divi-
ſionumque
inventio, dabitur in iis quæ de Centro Oſcilla-
tionis
.
Cæterum illorum quoque quæ mari vehuntur, longitu-
dinum
inveſtigandarum gratiâ, formam hic deſcriberemus,
ſi
quænam maxime ad hunc uſum accommodata ſit, æque
ac
in præcedentibus, exploratum determinatumque habere-
mus
;
etſi quidem jam nunc eo res deducta ſit, ut
74
[Empty page]
7513[Figure 13]Pag. 46.
TAB
.II.
Fig
. 1.
A Y B P N Q L L M T λ K 15 Z I 24 H S R G 8 48 F 48 48 8 V E λ C 72 D 30 ß 80 θ ε ε θ ß V γ ζ D C Δ 9 γ 30 δ A B Y X
14[Figure 14]Fig. 2.
Fig
. 4.
Fig
. 3.
B 2′ 30″ 4″ 3′ 30″ 15″ 4″ 1′ 30″ 15″ 45″ d 30″ 15″ e 15″ c C 2′ 3′ b A a f g
76
[Empty page]
7747HOROLOG. OSCILLATOR. deeſſe videatur ad perficiendum tantæ utilitatis inventum.
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
Quid autem &
qua fortuna hìc tentatum fuerit, quidve de-
inceps
tentandum reſtet, exponere non pigebit.
Prima duo hujusmodi horologia Britannica navi vecta
fuere
anno 1664, quæ vir nobilis è Scotia nobisque amicus
ad
noſtrorum exemplum fabricari curaverat.
Hæc ponderis
loco
laminam chalybeam habebant in ſpiram convolutam,
cujus
vi rotæ circumagerentur, quemadmodum in exiguis
illis
quæ circumferri ſolent automatis adhiberi ſolent.
Ut
autem
jactationem navis perferre poſſent, è chalybea pila,
cylindro
æneo incluſa, horologia ſuſpenderat, clavulamque
quæ
penduli motum continuat (erat autem ſemipedali longi-
tudine
pendulum) deorſum productam geminaverat, ut li-
teræ
F inverſæ formam referret;
ne videlicet in gyrum
evagari
poſſet penduli motus, unde ceſſationis pericu-
lum
.
Navis hæc, cum tribus aliis quas itineris ſocias habue-
rat
, poſtquam in Britanniam reverſa eſt, Præfectus claſſis
hæc
retulit.
Se nempe, cum à Guineæ littore ſolviſſet, at-
que
ad inſulam, ſancti Thomæ dictam, perveniſſet, quæ
æquinoctiali
circulo ſubjacet, compoſitis hìc ad ſolem horo-
logiis
, occidentem verſus curſum inſtituiſſe, atque ad ſe-
ptingenta
circiter milliaria continuo tramite progreſſum, tum
rurſus
vento favente Libonoto ad Africæ littora declinaviſ-
ſe
.
Cum autem ad ducenta trecentave milliaria curſum
tenuiſſet
, magiſtros aliarum navium, veritos ne priuſ-
quam
Africam attigiſſent aquâ ad potum deficerentur, ſua-
ſiſſe
ut ad inſulas Americanas, Barbatorum dictas, aquan-
di
gratiâ deflecteret.
Tum ſeſe concilio nauclerorum habito,
juſſiſque
ut Ephemeridas ac ſupputationes ſinguli ſuas pro-
ferrent
, reperiſſe cæterorum calculos à ſuis diverſos abire,
unius
quidem 80 milliaribus, alterius centenis, tertii am-
plius
etiam.
Ipſum vero, cum ex horologiorum indicio
collegiſſet
non amplius quam triginta circiter milliaribus ab-
eſſe
inſulam del Fuego dictam, quæ una eſt earum, non
procul
ab Africa diſtantium, quæ à Viridi promontorio no-
men
habent, eamque poſtero die teneri poſſe;
7848CHRISTIANI HUGENII pendulis ſuis curſum dirigi imperaſſe, ac die inſequenti
11Descri-
TLO Ho-
ROLOGII.
ſub meridiem eam ipſam in conſpectum veniſſe inſulam,
paucisque
poſt horis navibus ſtationem præbuiſſe.
Et hæc
quidem
ex Præfecti illius relatu.
Ab eo vero tempore aliquoties tum Batavorum tum Gallo-
rum
opera, idque Regis Sereniſſimi juſſu, repetita ſuere ex-
perimenta
, vario eventu, ſed ita ut ſæpius negligentia eo-
rum
quibus horologia commiſſa erant quam ipſamet automa-
ta
culpari poſſent.
Optimus vero ſucceſſus fuit in Mediter-
raneo
mari, expeditione in Cretam inſulam, quò illuſtriſſi-
mus
Dux Belfortius, Candiæ à Turcis obſeſſæ auxilium la-
turus
, cum Gallorum copiis miſſus erat, ubi &
in prælio
occubuit
.
Is in ea qua vehebatur navi, horologia hujuſce ex-
perimenti
gratiâ habebat, virumque Aſtronomiæ peritum
iis
præfecerat, è cujus obſervationibus, in ſingulos dies habi-
tis
, longitudines locorum ad quæ in ea profectione aut ap-
pulerunt
naves, aut quæ prætervecti dignoſcere oculis po-
tuerant
, horologiorum operâ exacte dimenſas fuiſſe compe-
rimus
, atque ita ut Geographicis deſcriptionibus quæ melio-
ris
notæ habentur eædemmet longitudinum differentiæ diſi-
gnatæ
reperiantur.
Namque inter Toloni portum Candiam-
que
oppidum differentia hor.
1. ſcrup. 22′; reperta fuit, hoc
eſt
graduum longitudinis 20.
ſcrup. 30′; . ac rurſus à Candia
Tolonum
revertentibus differentia proxime eadem.
qui con-
ſenſus
certiſſimum veritatis eſt indicium.
Inter eundem Toloni portum & inſulam quandam cui Ma-
retimo
nomen eſt, prope promontorium Siciliæ quod Occi-
dentem
ſpectat, Lilybæum olim vocatum, differentia horaria
obſervata
eſt ſcrup.
prim. 25, ſec. 20, quibus reſpondent gra-
dus
longitudinis 6, ſcrup.
20′; . Item à Tolono ad inſulam Sa-
pienza
dictam, quæ juxta Peloponneſum eſt Occidentem
verſus
, hora 1, ſcrup.
prima 5′; , ſec. 45″; , quibus reſpon-
dent
longitudinis gradus 16, ſcrup.
26.
Horologia ad ſolem examinata fuerant, mane ad Orien-
tem
, veſpere ad Occidentem, ſupputato ex data poli alti-
tudine
utroque temporis momento.
Atque hæc ratio cum
79
[Empty page]
8015[Figure 15]Pag. 48.
TAB
. III.
Fig
. 1.
A B G C K H M D I L E
16[Figure 16]Fig. 2.K N M I P17[Figure 17]Fig. 3.A G C N O H D P Q R S I E T V K F B L M X Y Z Δ
81
[Empty page]
8249HOROLOG. OSCILLATOR. ves in anchoris ſtant omnium optima videtur, quod, abs-
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
que inſtrumentorum ope, ſolis oculis obſervationes per-
agantur
.
Pendulum vero unciarum novem longitudine inerat horolo-
giis
hiſce, pondere ſemiſſis.
Rotæ ponderum attractu cir-
cumagebantur
, eademque cum illis theca incluſæ erant quater-
num
pedum longitudine.
In ima theca plumbum inſuper
centum
atque amplius librarum additum erat, quo melius
perpendicularem
ſitum ſuſpenſa in navi machina ſervaret.
Quanquam autem æquabilis admodum ſibique conſtans
automati
motus per hæc experimenta comperiebatur, tamen
alia
quoque ratione ulterius illud perficere aggreſſi ſumus,
quæ
erat hujuſmodi.
Rotæ illi quæ ſerratos dentes habet,
penduloque
proxima eſt, pondus exiguum ex catenula affa-
bre
conſtructa appendimus, quo ſola ipſa moveretur, reli-
qua
omni machina nihil aliud agente quam ut ſingulis ſemi-
ſcrupulis
horariis plumbum illud exiguum ad priorem alti-
tudinem
reſtitueret;
eadem fere ratione atque in conſtructio-
ne
horologii ſuperius expoſita videre eſt, ubi pondus al-
tero
fune attollitur, dum altero gravitatem ſuam horolo-
gii
motui impertit.
Quibus ita conſtructis, cum veluti ad
unicam
rotam omnia eſſent redacta, major adhuc quam an-
tea
apparuit horologiorum æqualitas, illudque accidit me-
moratu
dignum, quod cum duo ad hanc formam conſtructa
ex
eodem tigno ſuſpendiſſemus, tignum vero fulcris duobus
impoſitum
eſſet;
motus penduli utriuſque ita ictibus adver-
ſis
inter ſe conſenſere, ut nunquam inde vel minimum rece-
derent
, ſed utriuſque ſonus una ſemper exaudiretur:
imo
ſi
data opera perturbaretur concordia illa, ſemetipſam brevi
tempore
reduceret.
Miratus aliquandiu rem adeo inſolitam,
inveni
denique, inſtituto diligenti examine, à motu ti-
gni
ipſius, licet haudquaquam ſenſibili, cauſam petendam
eſſe
.
Nempe pendulorum reciprocationes horologiis, quanto-
libet
pondere gravatis, motum aliquem communicare;
hunc
vero
motum, tigno ipſi impreſſum, neceſſario efficere ut
ſi
aliter quam contrariis ad unguem ictibus pendulum
8350CHRISTIANI HUGENII trumque moveatur, eo tamen neceſſario tandem deveniant,
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
ac tum demum tigni motum penitus interquieſcere.
Quæ ta-
men
cauſa non ſatis efficaciæ haberet, niſi &
horologiorum
motus
aliunde æquabiliſſimus foret atque inter ſe conſen-
tiens
.
Cæterum experimentis in Oceani navigatione habitis, ac
præſertim
procella vehementiore aquas agitante, compertum
fuit
primam ac præcipuam curam de motu horologiorum
abſque
interruptione conſervando habendam eſſe, quod jacta-
tionem
navis tantam ægrè tunc perferre illa animadverſum ſit.
Quamobrem nova denique ratione & penduli formam immuta-
vimus
, &
aliter horologia ipſa ſuſpendimus. Pendulum trian-
guli
formam habet, in cujus vertice deorſum ſpectante plum-
bea
lens affixa eſt.
Anguli utrique reliqui filis inter laminas
cycloidales
ſuſpenſi ſunt.
Baſis clavulam bifurcatam puncto
ſui
medio recipit ab eaque movetur, illa vero ab rota ſerra-
ta
horizonti parallela motum accipit.
Motus rotarum omni-
um
non à pondere ſed à chalybea lamina, tympano incluſa,
principium
habet.
In figura adjecta pendulum triangulare eſt
22TAB. IV.
Fig
. 1.
A B C;
lens plumbea B; laminæ cycloidales E D, F G.
Clavula bifurcata H K; rota ſerratis dentibus N, quæ cæ-
teris
horologii rotis inferior eſt.
Lenticulæ ad temperandum
penduli
motum L L.
33TAB. IV.
Fig
. 2.
Suſpenſionis modum altera hæc figura exhibet; ubi theca
A
B axibus primum duobus, quorum alter C tantum appa-
ret
, rectangulo ferreo D E inſerta eſt;
quod deinde rectan-
gulum
rurſus axibus ſuis F G ferreo gnomone F H K G
ſuſtinetur
, qui contignationi navis immobiliter affixus eſt.
in
ima
theca pondus 50 librarum appenſum eſt.
Quibus ita ſe
habentibus
, quacunque navis inclinatione perpendicularem
poſitum
ſervat horologium.
Axis autem C, cum ſibi oppo-
ſito
, ita collocati ſunt, ut ad rectam lineam reſpondeant
punctis
ſuſpenſionum penduli ejus quod diximus:
quo fit ut
motus
ipſius oſcillatorius machinam nequaquam commovere
poſſit
, quo nihil eſt alioqui quod magis penduli motum de-
ſtruat
.
Porro axium C C, & F G craſſitudo, quæ
8451HOROLOG. OSCILLATOR. cem æquat, gravitaſque plumbi inferius appenſi, nimiam
11Descri-
PTIO Ho-
ROLOGII.
movendi libertatem horologio adimunt, faciuntque ut ſi for-
te
ſuccuſſu navis graviore commotum fuerit, continuo ad
quietem
perpendiculumque ſuum revertatur.
Et hæc quidem ita adaptata machina ut in mare deduca-
tur
experientiæque committatur ſupereſt, quæ &
certam pe-
ne
ſucceſſus ſpem præbet, quod iis quæ hactenus inſtituere
licuit
experimentis, multo melius quam priores illæ omnem
motus
diverſitatem perferre reperta ſit.
18[Figure 18]
HOROLOGII OSCILLATORII
PARS SECUNDA.
De deſcenſu Gravium & motu eorum in Cycloide.
HYPOTHESES.
I.
SI gravitas non eſſet, neque aër motui corporum
officeret
, unumquodque eorum, acceptum ſe-
mel
motum continuaturum velocitate æquabili, ſe-
cundum
lineam rectam.
II.
Nunc vero fieri gravitatis actione, undecunque
illa
oriatur, ut moveantur motu compoſito, ex æ-
quabili
quem habent in hanc vel illam partem, &

ex
motu deorſum à gravitate profecto.
III.
Et horum utrumque ſeorſim conſiderari poſſe,
neque
alterum ab altero impediri.
8552CHRISTIANI HUGENII
Ponatur grave C è quiete dimiſſum, certo tempore,
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
TAB
. IV.
Fig
. 3.
quod dicatur F, vi gravitatis tranſire ſpatium C B.
Ac
rurſus
intelligatur idem grave accepiſſe alicunde motum quo,
ſi
nulla eſſet gravitas, transiret pari tempore F motu æqua-
bili
lineam rectam C D.
Accedente ergo vi gravitatis non
perveniet
grave ex C in D, dicto tempore F, ſed ad pun-
ctum
aliquod E, recta ſub D ſitum, ita ut ſpatium D E
ſemper
æquetur ſpatio C B, ita enim, &
motus æquabilis,
&
is qui à gravitate oritur ſuas partes peragent, altero alte-
rum
non impediente.
Quamnam vero lineam, compoſito il-
lo
motu, grave percurrat, cum motus æquabilis non recta
ſurſum
aut deorſum ſed in obliquum tendit, è ſequentibus
definiri
poterit.
Cum vero deorſum in perpendiculari con-
tingit
motus æquabilis C D, apparet lineam C D, acce-
dente
motu ex gravitate, augeri recta D E.
Item, cum ſur-
ſum
tendit motus æquabilis C D, ipſam C D diminui recta
D
E, ut nempe, peracto tempore F, grave inveniatur
ſemper
in puncto E.
Quod ſi, utroque hoc caſu, ſeorſim,
uti
diximus, duos motus conſideremus, alterumque ab al-
tero
nullo modo impediri cogitemus, hinc jam acceleratio-
nis
gravium cadentium cauſam legesque reperire licebit.
Et
primum
quidem duo iſta ſimul oſtendemus.
PROPOSITIO I.
ÆQualibus temporibus æquales celeritatis par-
tes
gravi cadenti accreſcere, &
ſpatia æqua-
libus
temporibus ab initio deſcenſus emenſa, augeri
continue
æquali exceſſu.
Ponatur grave aliquod, ex quiete in A, primo tempore
22TAB. V.
Fig
. 1.
lapſum eſſe per ſpatium A B, atque ubi pervenit in B, ac-
quiſiviſſe
celeritatem qua deinceps, tempore ſecundo, mo-
tu
æquabili, percurrere poſſet ſpatium quoddam B D.
Sci-
mus
ergo ſpatium ſecundo tempore peragendum majus fore
ſpatio
B D, quia vel ceſſante in B omni gravitatis
86
[Empty page]
8719[Figure 19]Pag. 52.
TAB
. IV.
Fig
. 1.
N H G E F D C A K L L B
20[Figure 20]Fig. 2.A B E F D C L21[Figure 21]Fig. 3.D D D E E E D E C D B E D E D D D E E E
88
[Empty page]
8953HOROLOG. OSCILLATOR. ſpatium B D percurreretur. Feretur vero motu compoſito
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
ex æquabili quo percurſurum eſſet ſpatium B D, &
ex mo-
tu
gravium cadentium, quo deprimi neceſſe eſt per ſpatium
ipſi
A B æquale.
Quare ad B D addita D E, æquali A B,
ſcimus
tempore ſecundo grave perventurum ad E.
Quod ſi vero inquiramus quam velocitatem habeat in E,
in
fine ſecundi temporis, eam inveniemus duplam eſſe debe-
re
velocitatis quam habebat in B fine temporis primi.
Dixi-
mus
enim moveri compoſito motu ex æquabili cum celerita-
te
acquiſita in B, &
ex motu à gravitate producto, qui
cum
tempore ſecundo idem plane ſit ac primo, ideo decur-
ſu
temporis ſecundi æqualem celeritatem gravi contuliſſe
debet
atque in fine primi.
Quare cum acquiſitam in fine pri-
mi
temporis celeritatem conſervaverit integram, apparet in
fine
ſecundi temporis bis eam celeritatem ineſſe quam acqui-
ſiverat
in fine temporis primi, ſive duplam.
Quod ſi jam, poſtquam pervenit in E, pergeret deinceps
tantum
moveri celeritate æquabili, quantam illic acquiſivit,
apparet
tempore tertio, prioribus æquali, percurſurum ſpa-
tium
E F, quod duplum futurum ſit ſpatii B D;
quia hoc
percurri
diximus dimidia hujus celeritatis, motu æquabili,
&
temporis parte æquali. Accedente autem rurſus gravitatis
actione
, percurret tempore tertio, præter ſpatium E F,
etiam
ſpatium F G, ipſi A B vel D E æquale.
Itaque in
fine
tertii temporis grave invenietur in G.
Velocitatem vero
hîc
habebit triplam jam ejus quam habebat in B, in fine pri-
mi
temporis:
quia præter celeritatem acquiſitam in E, quam
diximus
duplam eſſe acquiſitæ in B, vis gravitatis, tempo-
ris
tertii decurſu, æqualem rurſus atque in fine primi cele-
ritatem
contulit.
Quamobrem utraque celeritas, in fine tem-
poris
tertii, triplam celeritatem conſtituet ejus quæ fuerat
in
fine temporis primi.
Eodem modo oſtendetur tempore quarto peragi debere &
ſpatium
G H triplum ſpatii B D, &
ſpatium H K ipſi A B
æquale
:
velocitatemque in K, in fine quarti temporis, fo-
re
quadruplam ejus quæ fuerat in B, in fine temporis primi.
9054CHRISTIANI HUGENII Atque ita ſpatia quotlibet deinceps conſiderata, quæ æqua-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
libus temporibus peracta fuerint, æquali exceſſu, qui ipſi
B
D æqualis ſit, creſcere manifeſtum eſt;
ſimulque etiam
velocitates
per æqualia tempora æqualiter augeri.
PROPOSITIO II.
SPatium peractum certo tempore à gravi, è quie-
te
caſum inchoante, dimidium eſt ejus ſpatii
quod
pari tempore transiret motu æquabili, cum
velocitate
quam acquiſivit ultimo caſus momento.
Ponantur quæ in propoſitione præcedenti, ubi quidem
22TAB. V.
Fig
. 1.
A B erat ſpatium certo tempore, à gravi cadente ex A, per-
actum
.
B D vero ſpatium quod pari tempore transiri intel-
ligebatur
celeritate æquabili, quanta acquiſita erat in fine
primi
temporis, ſeu in fine ſpatii A B.
Dico itaque ſpatium
B
D duplum eſſe ad A B.
Quum enim ſpatia primis quatuor æqualibus temporibus
à
cadente transmiſſa ſint A B, B E, E G, G H, quorum
inter
ſe certa quædam eſt proportio:
ſi eorum temporum du-
pla
tempora ſumamus, ut nempe pro primo tempore jam
accipiantur
duo illa quibus ſpatia A B, B E, peracta fue-
re
;
pro ſecundo vero tempore duo reliqua quibus peracta
fuere
ſpatia E G, G K, oportet jam ſpatia A E, E K,
quæ
ſunt æqualibus temporibus à quiete peracta, inter ſe
eſſe
ſicut ſpatia A B, B E, quæ æqualibus item tempori-
bus
à quiete percurrebantur.
Quum igitur ſit ut A B ad B E, ita A E ad E K; &
convertendo
, ut E B ſive D A ad A B ita K E ad E A:
erit quoque, dividendo, D B ad B A ut exceſſus K E ſu-
pra
E A ad E A.
Quum ſit autem, ex oſtenſis propoſitione
præcedenti
, K E æqualis tum duplæ A B, tum quintuplæ
B
D:
E A vero æqualis tum duplæ A B, tum ſimplici B D;
apparet
dictum exceſſum K E ſupra E A æquari
9155HOROLOG. OSCILLATOR. B D. Sicut igitur D B ad B A ita erit quadrupla D B ad
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
E A:
unde E A quadrupla erit ipſius B A: eadem vero E A
æquatur
, uti diximus, &
duplæ A B & ſimplici B D. er-
go
B D duplæ A B æqualis erit;
quod erat demonſtran-
dum
.
PROPOSITIO III.
SPatia duo, à gravi cadente quibuslibet tempo-
ribus
transmiſſa, quorum utrumque ab initio
deſcenſus
accipiatur, ſunt inter ſe in ratione du-
plicata
eorundem temporum, ſive ut temporum qua-
drata
, ſive etiam ut quadrata celeritatum in fine
cujusque
temporis acquiſitarum.
Quum enim oſtenſum ſit propoſitione antecedenti ſpa-
22TAB. V.
Fig
. 1.
tia A B, B E, E G, G K, quotcunque fuerint, æqualibus
temporibus
à cadente, peracta, creſcere æquali exceſſu, qui
exceſſus
ſit ipſi B D æqualis:
Patet nunc, quoniam B D eſt
dupla
A B, ſpatium B E fore triplum A B;
E G quintu-
plum
ejuſdem A B;
G K ſeptuplum; aliaque deinceps au-
ctum
iri ſecundum progreſſionem numerorum imparium ab
unitate
, 1, 3, 5, 7, 9, &
c. cumque quotlibet horum nu-
merorum
, ſeſe conſequentium, ſumma faciat quadratum,
cujus
latus eſt ipſa adſumptorum numerorum multitudo (ve-
lut
ſi tres primi addantur, facient novem, ſi quatuor ſexde-
cim
) ſequitur hinc ſpatia, à gravi cadente tranſmiſſa, quo-
rum
utrumque à principio caſus inchoetur, eſſe inter ſe in
ratione
duplicata temporum quibus caſus duravit, ſi nempe
tempora
commenſurabilia ſumantur.
Facile autem & ad tempora incommenſurabilia demonſtra-
33TAB. V.
Fig
. 2.
tio extendetur.
Sint enim tempora hujuſmodi, quorum inter
ſe
ratio ea quæ linearum A B, C D.
ſpatiaque temporibus
his
tranſmiſſa ſint E, &
F, utraque nimirum ab initio de-
ſcenſus
adſumpta.
Dico eſſe, ut quadratum A B ad quadra-
tum
C D, ita ſpatium E ad F.
9256CHRISTIANI HUGENII
Si enim negetur; habeat primo, ſi poteſt, ſpatium E ad F
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
majorem rationem quam quadratum A B ad quadratum
C
D, nempe eam quam quadratum A B ad quadratum C
G
, ſumta C G minore quam C D, &
à C D auferatur
pars
D H, minor quam D G exceſſus C D ſupra C G,
atque
ita ut reliqua H C commenſurabilis ſit ipſi A B;
hoc enim fieri poſſe conſtat. Erit ergo C H major quam
C
G.
Atqui ut quadratum temporis A B ad quadratum tem-
poris
C H, ita ſpatium E, quod tempore A B peractum
eſt
, ad ſpatium peractum tempore C H, per ſuperiùs oſten-
ſa
.
Hoc vero ſpatio majus eſt illud quod tempore C D per-
curritur
, nempe ſpatium F.
ergo ſpatii E ad ſpatium F mi-
nor
eſt ratio quam quadrati A B ad quadratum C H.
Sicut
autem
ſpatium E ad F, ita ponebatur eſſe quadratum A B
ad
quadratum C G;
ergo minor quoque erit ratio quadrati
A
B ad quadratum C G, quam quadrati A B ad quadra-
tum
C H, ac proinde quadratum C G majus quadrato C
H
;
quod eſt abſurdum, quum C H major dicta ſit quam
C
G.
Non habet igitur ſpatium E ad F majorem rationem
quam
quadratum A B ad quadratum C D.
Habeat jam, ſi poteſt, minorem; ſitque ratio ſpatii E ad
F
eadem quæ quadrati A B ad quadratum C L, ſumptâ C L
majore
quam C D, &
à C L auferatur L K minor ex-
ceſſu
L D, quo C D ſuperatur à C L, atque ita
ut
reliqua K C ſit commenſurabilis A B.
Quia ergo ut qua-
dratum
temporis A B ad quadratum temporis C K, ita eſt
ſpatium
E, peractum tempore A B, ad ſpatium peractum
tempore
C K.
Hoc vero ſpatio minus eſt ſpatium peractum
tempore
C D, nempe ſpatium F.
erit proinde ſpatii E ad
F
major ratio quam quadrati A B ad quadratum C K.
Sic-
ut
autem ſpatium E ad F, ita ponebatur eſſe quadratum
A
B ad quadratum C L.
Ergo major erit ratio quadrati A B
ad
quadratum C L quam ejuſdem quadrati A B ad quadra-
tum
C K, ideoque quadratum C L minus erit quam qu.
C K.
quod eſt abſurdum, quum C L major ſit quam C K.
Ergo
neque minorem rationem habet ſpatium E ad F
9357HOROLOG. OSCILLATOR. quadratum A B ad quadratum C D. quare neceſſe eſt ut
11De de-
SCENSU
@RAVIUM.
eandem habeat.
Porro cum celeritates in fine temporum A B,
C
D acquiſitæ ſint inter ſe ſicut ipſamet tempora;
apparet
rationem
ſpatiorum E ad F eandem quoque eſſe quæ qua-
dratorum
temporum A B, C D, quibus transmiſſa ſunt.
Itaque conſtat propoſitum.
PROPOSITIO IV.
SI grave celeritate ea quam in fine deſcenſus ac-
quiſivit
ſurſum tendere cœperit, fiet ut paribus
temporis
partibus, ſpatia quæ prius ſurſum, ea-
dem
deorſum transeat, adeoque ad eandem unde
deſcenderat
altitudinem aſcendat.
Item ut æquali-
bus
temporis partibus æqualia amittat celeritatis
momenta
.
22TAB. V.
Fig
. 1.
Sunto enim ut in propoſitione 2, ſpatia quotlibet, æqua-
libus
temporis partibus cadendo è quiete peracta, quorum
primum
A B;
ſecundum compoſitum ex B D, quod celeri-
tate
æquabili acquiſita per A B tranſeundum erat, &
ex D E
ipſi
A B æquali;
tertium compoſitum, ex E F, duplo
ipſius
B D, &
ex F G, eidem A B æquali; quartum com-
poſitum
ex G H, triplo ipſius B D, &
ex H K ipſi itidem
A
B æquali, atque eadem ratione porro creſcentia, ſi plu-
ra
fuerint.
Dico totidem æqualibus temporibus eadem ſpatia
K
G, G E, E B, B A, ſingula ſingulis peragenda eſſe à
gravi
ſurſum tendente, atque incipiente cum celeritate in
fine
deſcenſus K acquiſita.
Brevitatis autem gratia celeritas quæque deſignetur de-
inceps
longitudine ſpatii quod grave motu æquabili, cum
celeritate
illa, atque temporis parte una, quales in deſcen-
ſu
conſideravimus, tranſmiſſurum eſſet.
Itaque ex oſtenſis dicta propoſitione, cum in K grave
pervenerit
, habet celeritatem G H auctam celeritate B
9458CHRISTIANI HUGENII hoc eſt celeritatem K F, quia K F æquatur ipſis H G, B D,
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
ſunt enim partes ſingulæ H K, F G, æquales ipſi A B,
ac
proinde utraque ſimul ipſi B D, quam eſſe duplam
A
B oſtendimus propoſitione 2.
Itaque celeritatem in fine
deſcenſus
K acquiſitam ſurſum convertendo, ſi grave æqua-
bili
motu ferretur, conficeret una temporis parte ſpatium
K
F.
Atqui, gravitatis actione accedente, diminuetur
aſcenſus
K F ſpatio F G ipſi A B æquali, ut patet ex di-
ctis
ad hypotheſin initio ſumptam.
Ergo parte prima tempo-
ris
aſcendet grave tantum per K G, quo eodem ſpatio parte
temporis
noviſſima deſcenderat.
Simul vero & celeritati tan-
tum
deceſſiſſe neceſſe eſt, quantum acquiritur temporis parte
una
deorſum cadendo, hoc eſt celeritatem B D.
Itaque gra-
ve
, ubi ad G aſcenderit, habet celeritatem reliquam H G,
cum
initio aſcenſus habuerit celeritatem H G una cum cele-
ritate
B D.
Eſt autem ipſi H G æqualis G D; quum æque-
tur
ipſi F E una cum D B, hoc eſt una cum dupla A B,
hoc
eſt una cum duabus F G &
E D; Ergo ſi ex G, cum
celeritate
æquabili, quantam illic habet, ſurſum pergeret,
conficeret
una parte temporis ſpatium G D.
Accedente au-
tem
gravitatis actione, diminuetur aſcenſus iſte ſpatio D E,
ipſi
A B æquali.
Ergo, hac ſecunda parte temporis, aſcendet
per
ſpatium G E, quod ſimili temporis parte etiam cadendo
tranſierat
.
Simul autem celeritati tantum deceſſiſſe denuo de-
bet
quantum temporis parte una ex caſu acquiritur, nempe
celeritas
B D.
Itaque ubi uſque ad E aſcenderit, habet dun-
taxat
celeritatem F E, quæ nimirum relinquitur quum à
celeritate
G D aufertur celeritas B D.
Nam B D, ut jam
diximus
, æqualis eſt duabus D E, F G.
Eſt autem ipſi F E æqualis E A, quum F E æquetur ipſi
B
D bis ſumptæ, hoc eſt ipſi B D una cum dupla A B,
hoc
eſt una cum duabus A B, D E.
Ergo ſi ex E cum ce-
leritate
æquabili, quantam illic habet, ſurſum pergeret, con-
fecturum
eſſet una temporis parte ſpatium E A.
Sed acce-
dente
actione gravitatis, diminuetur aſcenſus iſte ipſo ſpatio
A
B.
Proinde hac parte temporis per ſpatium E B
9559HOROLOG. OSCILLATOR. aſcendet, quod ſimili parte temporis deſcendendo quoque
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
tranſierat.
Hic vero rurſus celeritati tantum deceſſiſſe neceſſe
eſt
quantum una temporis parte cadendo deorſum acquiritur,
hoc
eſt celeritatem B D.
Itaque grave, ubi uſque ad B a-
ſcenderit
, habet celeritatem ipſam B D reliquam, cum in E
habuerit
celeritatem F E ipſius B D duplam.
Si ergo ex B
cum
celeritate æquabili, quantam illic habet, ſurſum per-
geret
, confecturum eſſet parte una temporis ſpatium æquale
ipſi
D B, hoc eſt duplum A B.
Sed accedente gravitatis
actione
, diminuitur aſcenſus iſte ſpatio quod ipſi A B æqua-
le
ſit.
Igitur hac parte temporis aſcendet tantummodo per
ſpatium
B A, quod etiam primo deſcenſus tempore trans-
ierat
.
Atque in fine quidem extremi temporis hujus neceſſa-
rio
grave in A puncto reperietur.
Sed dicetur forſan altius
aſcendiſſe
quam ad A, atque inde eo relapſum eſſe.
At hoc
abſurdum
eſſet, cum non poſſit, notu à gravitate profecto, al-
tius
quam unde decidit aſcendere.
Porro quum celeritati quam
in
B habebat rurſus deceſſerit celeritas B D, patet jam gra-
vi
in A conſtituto nullam celeritatem ſupereſſe, ac proinde
non
altius excurſurum.
Itaque oſtenſum eſt ad eandem unde
decidit
altitudinem perveniſſe, &
ſingula ſpatia, quæ æqua-
libus
deſcenſus temporibus tranſmiſerat, eadem totidem a-
ſcenſus
temporibus remenſum eſſe:
ſed & æqualibus tempo-
ribus
æqualia ipſi deceſſiſſe celeritatis momenta apparuit.
Ergo
conſtat
propoſitum.
Quia vero in demonſtratione propoſitionis ſecundæ, ex
qua
pendet præcedens, adſumptum fuit certam quandam eſ-
ſe
proportionem ſpatiorum quæ continuis æqualibus tempo-
ribus
à gravi cadente transeuntur, quæque eadem ſit, quæ-
cunque
æqualia tempora accipiantur;
quod quidem & ex
rei
natura ita ſe habere neceſſe eſt, &
ſi negetur, fatendum
fruſtra
proportionem iſtorum ſpatiorum inveſtigari.
Tamen,
quia
propoſitum etiam absque hoc demonſtrari poteſt, Ga-
lilei
methodum ſequendo, operæ pretium erit demonſtra-
tionem
, ab illo minus perfecte traditam, hic accuratius
conſcribere
.
itaque rurſum hic demonſtrabimus.
9660CHRISTIANI HUGENII
11De de-
SOENSU
GRAVIUM.
PROPOSITIO V.
SPatium peractum certo tempore, à gravi è quie-
te
caſum inchoante, dimidium eſſe ejus ſpatii
quod
pari tempore transiret motu æquabili, cum
celeritate
quam acquiſivit ultimo caſus momento.
Sit tempus deſcenſus totius A H, quo tempore mobile
22TAB. V.
Fig
. 3.
peregerit ſpatium quoddam cujus quantitas deſignetur plano P.
ductaque H L perpendiculari ad A H, longitudinis cujus-
libet
, referat illa celeritatem in fine caſus acquiſitam.
Dein-
de
completo rectangulo A H L M, intelligatur eo notari
quantitas
ſpatii quod percurreretur tempore A H, cum ce-
leritate
H L.
Oſtendendum eſt igitur planum P dimidium
eſſe
rectanguli M H, hoc eſt, ducta diagonali A L, æqua-
le
triangulo A H L.
Si planum P non eſt æquale triangulo A H L, ergo aut
minus
eo erit, aut majus.
Sit primo, ſi fieri poteſt, pla-
num
P minus triangulo A H L.
dividatur autem A H in tot
partes
æquales A C, C E, E G &
c. ut, circumſcriptâ tri-
angulo
A H L figurâ è rectangulis quorum altitudo ſingulis
diviſionum
ipſius A H partibus æquetur, ut ſunt rectangula
B
C, D E, F G, alterâque eidem triangulo inſcriptâ, ex
rectangulis
ejusdem altitudinis, ut ſunt K E, O G &
c. ut,
inquam
, exceſſus illius figuræ ſupra hanc, minor ſit exceſ-
ſu
trianguli A H L ſupra planum P.
hoc enim fieri poſſe
perſpicuum
eſt, cum totus exceſſus figuræ circumſcriptæ ſu-
per
inſcriptam æquetur rectangulo infimo, baſin habenti H L.
Erit itaque omnino exceſſus ipſius trianguli A H L ſupra
figuram
inſcriptam minor quam ſupra planum P, ac proin-
de
figura triangulo inſcripta major plano P.
Porro autem,
quum
recta A H tempus totius deſcenſus referat, ejus par-
tes
æquales A C, C E, E G, æquales temporis illius par-
tes
referent.
Cumque celeritates mobilis cadentis creſcant
33Prop. I.
huj
.
eadem proportione qua tempora deſcenſus ;
ſitque
9761HOROLOG. OSCILLATOR. in fine totius temporis acquiſita H L; erit ea, quæ in fine
11De de-
SCEN U
GRAVIUM.
primæ partis temporis A C acquiretur, C K;
quia ut A H
ad
A C, ita H L ad C K.
Similiter quæ in fine partis tem-
poris
ſecundæ C E acquiritur, erit E O, atque ita dein-
ceps
.
Patet autem, tempore primo A C, ſpatium aliquod à
mobili
transmiſſum eſſe, quod majus ſit nihilo;
tempore ve-
ro
ſecundo C E transmiſſum eſſe ſpatium quod majus ſit
quam
K E, quia ſpatium K E transmiſſum fuiſſet tempore
C
E, motu æquabili, cum celeritate C K.
habent enim ſpa-
tia
, motu æquabili transacta, rationem compoſitam ex ra-
tione
temporum, &
ratione velocitatum, ideoque cum tem-
pore
A H, celeritate æquabili H L percurri poſuerimus ſpa-
tium
M H, ſequitur tempore C E, cum celeritate C K,
percurri
ſpatium K E, quum ratio rectanguli M H ad re-
ctangulum
K E componatur ex rationibus A H ad C E, &

H
L ad C K.
Quum ergo, ut dixi, ſpatium K E ſit illud quod trans-
mitteretur
tempore C E, cum celeritate æquabili C K, mo-
bile
autem feratur tempore C E motu accelerato, qui jam
principio
hujus temporis habet celeritatem C K;
manifeſtum
eſt
iſto accelerato motu, tempore C E, majus ſpatium quam
K
E confecturum.
Eadem ratione, tempore tertio E G, ma-
jus
ſpatium conficiet quam O G, quia nempe hoc confectu-
rum
eſſet tempore eodem E G, cum celeritate æquabili E O.
Atque ita deinceps, ſingulis temporis A H partibus, à mo-
bili
majora ſpatia quam ſunt rectangula figuræ inſcriptæ,
ipſis
partibus adjacentia, peragentur.
Quare totum ſpatium
motu
accelerato peractum majus erit ipſa figura inſcripta.

Spatium
vero illud æquale poſitum fuit plano P.
Itaque fi-
gura
inſcripta minor erit ſpatio P.
quod eſt abſurdum; eo-
dem
enim ſpatio major oſtenſa fuit.
Non eſt igitur planum
P
minus triangulo A H L.
At neque majus eſſe oſtendetur.
Sit enim, ſi poteſt; & dividatur A H in partes æquales,
atque
ad earum altitudinem, inſcripta circumſcriptaque rur-
ſus
, ut ante, ſit triangulo A H L figura ex rectangulis, ita
ut
altera alteram excedat minori exceſſu quam quo
9862CHRISTIANI HUGENII P ſuperat triangulum A H L, erit igitur neceſſario figura
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
circumſcripta minor plano P.
Conſtat jam, prima temporis
parte
A C, minus ſpatium à mobili transmitti quam ſit B C,
quia
hoc percurreretur eodem tempore A C cum celeritate
æquabili
C K, quam demum in fine temporis A C mobile
adeptum
eſt.
Similiter ſecunda parte temporis C E, minus
ſpatium
motu accelerato transmittetur quam ſit D E, quia
hoc
percurreretur eodem tempore C E, cum celeritate æ-
quabili
E O, quam demum in fine temporis C E mobile aſ-
ſequitur
.
Atque ita deinceps, ſingulis partibus temporis
A
H, minora ſpatia à mobili trajicientur quam ſunt rectan-
gula
figuræ circumſcriptæ, ipſis partibus adjacentia.
Quare
totum
ſpatium motu accelerato peractum, minus erit ipſa fi-
gura
circumſcripta.
Spatium vero illud æquale poſitum fuit
plano
P;
ergo planum P minus quoque erit figura circum-
ſcripta
.
quod eſt abſurdum, cum figura hæc plano P minor
oſtenſa
fuerit.
Ergo planum P non majus eſt triangulo A H L,
ſed
nec minus eſſe jam oſtenſum fuit.
Ergo æquale ſit neceſ-
ſe
eſt;
quod erat demonſtrandum.
Et hæc quidem omnia quæ hactenus demonſtrata ſunt,
gravibus
per plana inclinata deſcendentibus atque aſcenden-
tibus
æque ac perpendiculariter motis convenire ſciendum
eſt
:
cum, quæ de effectu gravitatis poſita fuerunt, eadem
ratione
utrobique ſint admittenda.
Hinc vero non difficile jam erit demonſtrare propoſitionem
ſequentem
quam concedi ſibi, ut quodammodo per ſe ma-
nifeſtam
, Galileus poſtulavit.
nam demonſtratio illa quam
poſtea
adferre conatus eſt, quæque in poſteriori operum
ejus
editione extat, parum firma meo quidem judicio vide-
tur
.
Eſt autem propoſitio hujusmodi.
PROPOSITIO VI.
CEleritates gravium, ſuper diverſis planorum
inclinationibus
deſcendendo acquiſitæ, æquales
ſunt
, ſi planorum elevationes fuerint æquales.
9963HOROLOG. OSCILLATOR.
Elevationem plani vocamus altitudinem ejus ſecundum
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
perpendiculum.
Fig. 4. 22Prop. 4.
huj
.
ſit aſcendere per totam B C. Ideoque cadens ex F in B, ſi continuet porro motum per B C; quod repercuſſu ad ſu- perficiem obliquam fieri poteſt; aſcendet usque in C, hoc eſt, altius quam unde decidit, quod eſt abſurdum.
Eodem modo oſtendetur neque per planum A B deciden-
ti
minorem velocitatem acquiri quam per C B.
Ergo per
utraque
plana eadem velocitas acquiritur, quod erat demon-
ſtrandum
.
Quod ſi vero, pro plano alterutro, ſumatur perpendicu-
lum
ipſum planorum elevationi æquale, per quod decidere
mobile
ponatur, ſic quoque eandem quam per plana incli-
nata
velocitatem ei acquiri conſtat;
eadem namque eſt de-
monſtratio
.
Porro hinc jam recte quoque procedet demonſtratio alte-
rius
theorematis Galileani, cui reliqua omnia, quæ de de-
ſcenſu
ſuper planis inclinatis tradidit, ſuperſtruuntur.
Nempe
PROPOSITIO VII.
TEmpora deſcenſuum ſuper planis diverſimode
inclinatis
, ſed quorum eadem eſt elevatio, eſſe
inter
ſe ut planorum longitudines.
10064CHRISTIANI HUGENII
Sint plana inclinata A C, A D quorum eadem elevatio
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
A B.
dico tempus deſcenſus per planum A C ad tempus
22TAB. V.
Fig
. 5.
deſcenſus per A D eſſe ut longitudo A C ad A D.
Eſt enim
tempus
per A C æquale tempori motus æquabilis per ean-
dem
A C, cum celeritate dimidia ejus quæ acquiritur caſu
per
A C .
Similiter tempus per A D eſt æquale 33Prop. 1.
huj
.
motus æquabilis per ipſam A D, cum dimidia celeritate ejus
quæ
acquiritur caſu per A D.
Eſt autem hæc dimidia celeri-
tas
illi dimidiæ celerirati æqualis , ideoque dictum 44Prop.
præced
.
motus æquabilis per A C, ad tempus motus æquabilis per A D,
erit
ut A C ad A D.
Ergo & tempora ſingulis iſtis æqualia,
nimirum
tempus deſcenſus per A C, ad tempus deſcenſus
per
A D, eandem rationem habebunt, nempe quam A C
ad
A D.
quod erat demonſtrandum.
Eodem modo oſtendetur & tempus deſcenſus per A C, ad
tempus
caſus per A B perpendicularem, eſſe ut A C ad
A
B longitudine.
PROPOSITIO VIII.
SI ex altitudine eadem deſcendat mobile conti-
nuato
motu per quotlibet ac quælibet plana con-
tigua
, utcunque inclinata;
ſemper eandem in fine
velocitatem
acquiret, quæ nimirum æqualis erit ei
quam
acquireret cadendo perpendiculariter ex pa-
ri
altitudine.
Sint plana contigua A B, B C, C D, quorum terminus
55TAB VI.
Fig
. 1.
A, ſupra horizontalem lineam D F per infimum terminum
D
ductam, altitudinem habeat quanta eſt perpendicularis E F.
deſcendatque mobile per plana illa ab A uſque in D. Di-
co
in D eam velocitatem habiturum quam, ex E cadens, ha-
beret
in F.
Producta enim C B occurrat rectæ A E in G. Itemque
D
C producta occurrat eidem A E in E.
Quoniam
101
[Empty page]
10222[Figure 22]Pag. 64.
TAB
. V.
Fig
. 1.
A B D E F G H K
23[Figure 23]Fig. 2.C A G H B D K L E F24[Figure 24]Fig. 3.A B M C K D E O F G P H L25[Figure 25]Fig. 4.A C F E B D26[Figure 26]Fig. 5.A C D B
103
[Empty page]
10465HOROLOG. OSCILLATOR. per A B deſcendens eandem acquirit velocitatem in termi-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
no B, atque deſcendens per G B ;
manifeſtum eſt, 22Prop. 6.
huj
.
flexus ad B nihil obſtare motui ponatur, tantam velocitatem
bahiturum
ubi in C pervenerit, quantam ſi per G C planum
deſcendiſſet
;
hoc eſt, quantam haberet ex deſcenſu per E C.
Quare & reliquum planum C D eodem modo tranſibit ac ſi
per
E C adveniſſet, ac proinde in D denique parem veloci-
tatem
habebit, ac ſi deſcendiſſet per planum E D, hoc eſt,
eandem
quam ex caſu perpendiculari per E F.
quod erat
demonſtrandum
.
Hinc liquet etiam per circuli circumferentiam, vel per cur-
vam
quamlibet lineam deſcendente mobili (nam curvas tan-
quam
ex infinitis rectis compoſitæ eſſent hic conſiderare li-
cet
) ſemper eandem illi velocitatem acquiri ſi ab æquali al-
titudine
deſcenderit:
tantamque eam eſſe velocitatem, quan-
tam
caſu perpendiculari ex eadem altitudine adipiſceretur.
PROPOSITIO IX.
SI grave, à deſcenſu, ſurſum convertat motum
ſuum
, aſcendet ad eandem unde venit altitudi-
nem
, per quascunque planas ſuperſicies contiguas,
&
quomodocunque inclinatas, inceſſerit.
Cadat grave ex altitudine A B, & ex puncto B inclinata
33TAB. VI.
Fig
. 2.
ſint ſurſum plana B C, C D, D E, quorum extremitas E
ſit
eadem altitudine cum puncto A.
Dico ſi mobile, poſt ca-
ſum
per A B, convertat motum ut pergat moveri per dicta
plana
inclinata, perventutum uſque in E.
Dicatur enim, ſi fieri poteſt, tantum ad G perventurum.
Producantur B C & C D, donec occurrant horizontali G F
in
F &
H. Cum igitur mobile, ſuperatis planis B C, C D,
habeat
tantum eam velocitatem quâ poſſit aſcendere per
D
G, vel per D H;
nam ad hæc utraque eadem velocitate
opus
eſſe conſtat ex propoſitione 6;
Ergo, ſuperato plano
B
C, eam duntaxat habebat qua potuiſſet aſcendere per C
10566CHRISTIANI HUGENII vel per C F. Ergo in B duntaxat eam qua potuiſſet aſcen-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
dere per B F, hoc eſt, eandem quam acquireret deſcendendo
per
F B.
Atqui in B habet velocitatem qua poteſt aſcende-
re
uſque in A.
Ergo illa velocitate quam acquirit grave de-
ſcendendo
per F B, poſſet aſcendere per B A, hoc eſt, al-
tius
quam unde diſceſſerat, quod fieri non poteſt.
Eſt autem eadem prorſus demonſtratio quotcunque plana
fuerint
per quæ mobile aſcendat.
Unde & ſi infinita fuerit
planorum
multitudo, hoc eſt, ſi ſuperficies aliqua curva
ponatur
, per hanc quoque ad eam ex qua venit altitudinem
mobile
aſſurget.
PROPOSITIO X.
SI mobile cadat perpendiculariter, vel per quam-
libet
ſuperficiem deſcendat, ac rurſus impetu
concepto
per quamlibet aliam feratur ſurſum, ha-
bebit
aſcendendo ac deſcendendo in punctis æque al-
tis
eandem ſemper velocitatem.
Ut ſi mobile ex altitudine A B decidens, motum deinde
22TAB. IV.
Fig
. 3.
continuet per ſuperficiem B C D, in qua punctum C ſit
pari
altitudine atque in A B eſt punctum E.
Dico in C ean-
dem
velocitatem ineſſe mobili atque in E fuerat.
Quum enim in C ea velocitas ſuperſit mobili qua porro
aſcendat
usque ad D punctum, æque altum ac A :
33Prop.
præced
.
que &
ex deſcenſu per A E velocitatem eam acquirat qua,
converſo
motu, aſcenſurum ſit per C D ;
Patet cum 44Prop.
præced
.
venit ad C aſcendendo, eandem ipſum habere velocitatem,
quam
habebat in E deſcendendo;
quod erat demonſtran-
dum
.
PROPOSITIO XI.
SI mobile per ſuperficiem aliquam deorſum ten-
dat
, ac deinde converſo motu ſurſum per
10667HOROLOG. OSCILLATOR. dem ſuperficiem vel aliam ſimilem ſimiliter que po-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
ſitam feratur, æqualibus temporibus per idem ſpa-
tium
deſcendet atque aſcendet.
Velut ſi per ſuperficiem A B deſcendat mobile, atque, ubi
22TAB. VI.
Fig
. 4.
ad B pervenerit, converſo motu ſurſum per eandem A B, vel
ei
ſimilem &
reſpectu plani horizontalis ſimiliter poſitam
B
C, aſcendat, conſtat ex ante demonſtratis, perventurum
ad
eandem ex qua venit altitudinem.
Cum autem perpetuo,
in
punctis quorum eadem altitudo, eandem velocitatem ha-
beat
aſcendendo ac deſcendendo ;
apparet eandem 33Prop.
præced
.
bis eadem velocitate ſingulis ſui partibus percurri:
unde &
tempora
utriusque motus æqualia eſſe neceſſe eſt;
quod erat
demonſtrandum
.
PROPOSITIO XII.
ESto circulus A B C, diametro A C, cui ad an-
44TAB. VI.
Fig
. 5.
gulos rectos ſit F G;
huic vero occurrat à ter-
mino
diametri A educta A F extra circulum, quæ
quidem
neceſſario ſecabit circumferentiam, puta
in
B.
Dico arcum B D, lineis G F, A F inter-
ceptum
, minorem eſſe recta D F.
Jungatur enim B C, & ducatur ex B puncto tangens cir-
cumferentiam
recta B E, quæ neceſſario occurret rectæ F G
inter
F &
D. Eſt igitur angulus B A C in circulo æqualis
angulo
E B C .
quare & angulus F B E, qui una 55Prop. 32.
Lib
. 3. Eucl.
E B C conſtituit angulum rectum F B C, erit æqualis B C A.
Quia autem ſimilia ſunt triangula A B C, A G F, erit &
angulus
F æqualis angulo A C B.
Ergo idem angulus F æ-
qualis
angulo F B E.
Itaque iſoſceles eſt triangulus F E B,
habens
crura æqualia F E, E B.
Addita ergo utrique eo-
rum
recta E D, fiet F D, æqualis duabus B E, E D.
Has-
ce
vero duas majores eſſe conſtat arcu B D, iisdem
10768CHRISTIANI HUGENII nis intercepto, & in eandem partem cavo. Ergo & F D
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
eodem arcu B D major erit:
quare conſtat propoſitum.
PROPOSITIO XIII.
IIsdem poſitis, ſi recta A B occurrat ipſi D G in-
22TAB. VI.
Fig
. 6.
tra circulum;
Dico arcum B D, rectis G D,
A
B interceptum, majorem eſſe recta D F.
Jungatur enim D C & ducatur arcui D B ſubtenſa D B.
Quoniam ergo angulus A B D æqualis A C D, hoc eſt,
angulo
A D G;
angulus autem D F B major angulo A D F,
ſive
A D G;
erit idem D F B etiam major D B F. Ergo
in
triangulo D F B latus D B majus latere D F;
unde mul-
to
magis arcus D B ſuperabit eandem D F.
Quare conſtat
propoſitum
.
PROPOSITIO XIV.
SIt cyclois A B C cujus baſis A C axis B D.
Quomodo autem generetur ex definitione &
deſcriptione
mechanica ſuperius traditis ſatis ma-
nifeſtum
arbitror.
Et circa axem B D, circulus
deſcriptus
ſit B G D, &
à quolibet puncto E in cy-
cloide
ſumpto agatur E F baſi A C parallela, quæ
occurrat
axi B D in F, ſecetque circumferentiam
B
G D in G, Dico rectam G E arcui G B æqua-
lem
eſſe.
Deſcribatur enim per E punctum circulus L E K ipſi
B
G D æqualis, quique tangat baſin cycloidis in K, &
du-
catur
diameter K L.
Eſt igitur recta A K arcui E K æqua-
lis
;
ſed tota A D æqualis ſemicircumferentiæ K E L; ergo
K
D æqualis arcui E L ſive G B.
Eſt autem K D ſive N F
æqualis
E G, quoniam E N æqualis G F, &
communis
utrique
N G.
Ergo conſtat & G E æqualem eſſe arcui G B.
108
[Empty page]
10927[Figure 27]Pag. 68.
TAB
. VI.
Fig
. 1.
A G E B C D F
28[Figure 28]Fig. 2.A E F H G D C B29[Figure 29]Fig. 3.D A E C B30[Figure 30]Fig. 4.A C B31[Figure 31]Fig. 5.A B F E D G C32[Figure 32]Fig. 6.A D G F B C
110
[Empty page]
11169HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO XV.
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
DAto in Cycloide puncto, rectam per illud du-
cere
quæ Cycloidem tangat.
Sit cyclois A B C, & punctum in ea datum B, per quod
22TAB. VII.
Fig
. 2.
tangentem ducere oporteat.
Circa axem cycloidis A D deſcribatur circulus genitor
A
E D, &
ducatur B E parallela baſi cycloidis, quæ dicto
circulo
occurrat in E, &
jungatur A E, cui denique paral-
lela
per B agatur H B N.
Dico hanc cycloidem in B con-
tingere
.
Sumatur enim in ea punctum quodlibet, à B diverſum,
ac
primo verſus ſuperiora velut H, &
per H ducantur re-
cta
baſi cycloidis parallela, quæ occurrat cycloidi in L, cir-
culo
A E D in K, rectæ A E in M.
Quia ergo K L eſt
æqualis
arcui K A, recta autem K M minor arcu K E, erit
recta
M L minor arcu A E, hoc eſt, rectâ E B, ſive M H;
unde apparet punctum H eſſe extra cycloidem.
Deinde in recta H N ſumatur punctum N inferius B, &
per
N agatur, ut ante, baſi parallela, quæ occurrat cycloi-
di
in Q, circulo A E D in O, rectæ A E productæ in P.
Quia ergo O Q, æqualis eſt arcui O A; O P autem major
arcu
O E;
erit P Q minor arcu E A, hoc eſt, rectâ E B,
ſive
P N.
Unde apparet rurſus punctum N eſſe extra cycloi-
dem
.
Cum igitur quodlibet punctum præter B, in recta
H
B N ſumptum, ſit extra cycloidem, conſtat illam in
puncto
B cycloidem contingere;
quod erat demonſtrandum.
Huic demonſtrationi an locum ſuum hic relinquerem dubi-
tavi
, quod non multum ei abſimilem à clariſſimo Wrennio
editam
inveniam in libro Walliſii de Cycloide.
Poteſt autem
&
univerſali conſtructione propoſitum abſolvi, quæ non cy-
cloidi
tantum ſed &
aliis curvis, ex cujuſlibet figuræ circum-
volutione
genitis, conveniat;
dummodo ſit figura in ean-
dem
partem cava, &
ex iis quæ geometricæ vocantur.
Sit enim curva N A B, orta ex circumvolutione figuræ
33TAB. VII.
Fig
. 3.
11270CHRISTIANI HUGENII O L ſuper regula L D; deſcribente nempe puncto N, in cir-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
cumferentia figuræ O L ſumpto.
Et oporteat ad punctum cur-
A tangentem ducere.
Ducatur recta C A à puncto C,
ubi
figura regulam tangebat cum punctum deſcribens eſſet
in
A:
quod punctum contactus ſemper inveniri poteſt, ſiqui-
dem
eo reducitur problema ut duæ rectæ inter ſe parallelæ
ducendæ
ſint, quarum altera tranſeat per punctum deſcri-
bens
in figuræ ambitu datum, altera figuram tangat, quæ-
que
inter ſe diſtent quantum diſtat punctum datum A ab re-
gula
L D:
dico ipſam C A occurrere curvæ ad angulos
rectos
, ſive circumferentiam M A F deſcriptam centro C
radio
C A, tangere curvam in puncto A, unde perpendicula-
ris
ad A C, per punctum A, ducta curvam ibidem continget.
Ducatur enim C B primum ad punctum curvæ B, quod
diſtet
ultra punctum A ab regula L D, intelligaturque figu-
poſitus in B E D, cum punctum deſcribens eſſet in B,
contactus
regulæ in D.
& punctum curvæ quod erat in C,
cum
punctum deſcribens eſſet in A, hìc jam ſublatum ſit in
E
;
& jungantur E C, E B, tangatque figuram in E recta
K
H, occurrens regulæ in H.
Quia ergo recta C D æqualis eſt curvæ E D; eâdem ve-
ro
curva major eſt utraque ſimul E H, H D;
erit E H ma-
jor
quam C H.
Unde angulus E C H major quam C E H,
&
proinde E C L minor quam C E K. Atqui addendo an-
gulum
K E B, qui æqualis eſt L C A, ad K E C, fit an-
gulus
C E B:
& auferendo ab E C L angulum L C B, fit
E
C B.
Ergo angulus C E B major omnino angulo E C B.
Itaque in triangulo C E B, latus C B majus erit quam E B.
ſed
E B æquale patet eſſe C A, cum ſit idemmet ipſum unà
cum
figura transpoſitum.
Ergo C B etiam major quam C A,
hoc
eſt, quam C F.
unde conſtat punctum B eſſe extra cir-
cumferentiam
M A F.
Sit rurſus punctum N in curva ſumptum inter regulam
L
D &
punctum A. Cumque punctum deſcribens eſſet in N,
ponatur
ſitus figuræ fuiſſe in V L, punctumque contactus L,
punctum
verò quod tangebat prius regulam in C, ſit
11371HOROLOG. OSCILLATOR. fublatum in V: & jungantur C N, N V, V C, V L. E-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
rit ergo V N æqualis C A;
imo erit ipſa C A translata in
V
N.
Jam quia recta L C æquatur curvæ L V, ac proin-
de
major eſt recta L V, erit in triangulo C L V angulus
L
V C major quam L C V.
Quare addito inſuper angulo
L
V N ad L V C, fiet totus N V C major utique quam
L
C V, ac proinde omnino major angulo N C V, qui pars
eſt
L C V.
Ergo in triangulo C V N latus C N majus erit
latere
V N, cui æquatur C A, ideoque C N major quo-
que
quam C A, hoc eſt quam C M.
Unde apparet pun-
ctum
N cadere extra circulum M A F, qui proinde tanget
curvam
in puncto A.
quod erat demonſtrandum.
Eſt autem eadem quoque tum conſtructio tum demonſtra-
tio
, ſi curva genita ſit à puncto deſcribente, vel intra vel
extra
ambitum figuræ circumvolutæ ſumpto.
Niſi quod,
hoc
poſteriori caſu, pars quædam curvæ infra regulam de-
ſcendit
, unde nonnulla in demonſtratione oritur diverſitas.
Sit enim punctum A, per quod tangens ducenda eſt, da-
22TAB. VIII.
Fig
. 1.
tum in parte curvæ N A B, quæ infra regulam C L de-
ſcendit
, deſcripta nimirum à puncto N extra figuram revo-
lutam
ſumpto, ſed certam poſitionem in eodem ipſius pla-
no
habente.
Invento igitur puncto C, ubi figura revoluta
tangit
regulam C D quum punctum deſcribens eſſet in A,
ducatur
recta C A.
Dico hanc curvæ N A B occurrere ad
rectos
angulos, ſive circumferentiam radio C A centro C
deſcriptam
tangere curvam N A B in puncto A.
Oſtendetur
autem
exterius ipſam contingere, cum in curvæ parte ſupra
regulam
C D poſita interius contingat.
Poſitis enim & deſcriptis iisdem omnibus quæ prius, os-
tenditur
rurſus angulus E C H major quam C E H.
atqui
ad
E C H addito H C B fit angulus E C B;
& à C E H
auferendo
H E B, qui æqualis eſt D C A, fit angulus
C
E B.
Ergo E C B major omnino quam C E B. unde in
triangulo
E C B latus E B majus quam C B.
ſed ipſi E B
æqualis
eſt C A, ſive C F.
Ergo & C F major quam C B:
ideoque punctum circumferentiæ F eſt ultra curvam N A B
à
centro remotum.
11472CHRISTIANI HUGENII
Item rurſus oſtenditur angulus L V C major L C V. Qua-
11De de-
SCENSU
GRAVIUM.
re C V P, qui cum L V C duos rectos æquat, minor erit
quam
V C D.
Atqui addendo ad V C D angulum D C N,
fit
V C N;
& auferendo ab C V P angulum P V N, fit
C
V N.
Ergo angulus V C N omnino major quam C V N.
In triangulo itaque C V N, latus V N majus erit quam
C
N.
Eſt autem ipſi V N æqualis C A ſive C M. Ergo &
C
M major quam C N, ideoque punctum circumferentiæ
M
erit ultra curvam N A B à centro C remotum.
Itaque
conſtat
circumferentiam M A F tangere curvam in puncto A.

quod
erat demonſtrandum.
Quod ſi punctum curvæ per quod tangens ducenda eſt,
ſit
illud ipſum ubi regula curvam ſecat, erit tangens quæſi-
ta
ſemper regulæ perpendicularis;
ut facile eſſet oſtendere.
PROPOSITIO XVI.
SI circuli circumferentiam, cujus centrum E, ſe-
22De motu
IN Cy-
CLOIDE.
cent rectæ duæ parallelæ A F, B G, quarum
33TAB. VIII.
Fig
. 2.
utraque ad eandem partem centri transeat, vel
altera
A F per centrum ipſum:
& à puncto A,
quo
centro propior circumferentiam ſecat, ducatur
recta
ipſam contingens:
dico partem hujus A B, à
parallela
utraque interceptam, minorem eſſe arcu
A
C, ab utraque eadem parallela intercepto.
Ducatur enim arcui A C ſubtenſa recta A C. Quia ergo
angulus
B A F eſt æqualis ei quem capit portio circuli A H F,
quæ
vel major eſt ſemicirculo vel ſemicirculus, erit proinde
angulus
B A F, vel minor recto vel rectus;
ideoque angu-
lus
A B C vel major recto vel rectus.
Quare in triangulo
A
B C latus A C, angulo B ſubtenſum, majus erit latere
A
B.
ſed idem latus A C minus eſt arcu A C. Ergo omni-
no
&
A B arcu A C minor erit.
115
[Empty page]
11633[Figure 33]Pag. 72.
TAB
. VII.
Fig
. 1.
L B E N G F A K D C
34[Figure 34]Fig. 2.A H L K M B E N Q P O C D35[Figure 35]Fig. 3.B F A K O N M E V L C H D
117
[Empty page]
11873HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO XVII.
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
IIsdem poſitis, ſi tertia recta prioribus parallela
22TAB. VIII.
Fig
. 3.
D K, circulum ſecuerit, quæ ab ea quæ centro
propior
eſt A F, tantundem diſtet quantum hæc à
reliqua
B G:
dico partem tangentis in A, à pa-
rallela
ultimo adjecta, &
media interceptam, nem-
pe
A D, arcu A C à primis duabus parallelis in-
tercepto
minorem eſſe.
Hoc enim patet quum A D ipſi A B æqualis ſit, quam
antea
oſtendimus arcu A C minorem eſſe.
PROPOSITIO XVIII.
SI circulum, cujus centrum E, duæ rectæ paral-
33TAB. VIII.
Fig
. 4.
lelæ ſecuerint A F, B G;
& à puncto B, ubi
quæ
à centro remotior eſt, vel tantundem atque
altera
diſtat, circumferentiæ occurrit, ducatur
recta
circumferentiam tangens:
erit pars hujus
B
A, à parallelis intercepta, major arcu ab iis-
dem
parallelis intercepto B C.
Ducatur enim in puncto C, recta M C L circumferentiam
tangens
, quæ occurrat tangenti B A in L.
In triangulo igi-
tur
A C L, angulus C æqualis eſt angulo M C F, hoc eſt,
ei
quem capit portio circuli C B F.
angulus autem A æqua-
tur
angulo quem capit portio circuli B C G, quæ portio
quum
ſit major vel æqualis portioni C B F, quippe quum
B
G vel ulterius diſtet à centro quam C F, vel tantun-
dem
:
erit proinde trianguli A C L angulus A minor vel
æqualis
angulo C:
& conſequenter latus C L vel minus
vel
æquale lateri A L.
Atqui C L una cum L B majores
ſunt
arcu C B.
Ergo & A L una cum L B, hoc eſt,
11974CHRISTIANI HUGENII gens A B, eodem arcu C B major erit. quod erat demon-
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
ſtrandum.
PROPOSITIO XIX.
IIsdem poſitis, ſi tertia recta prioribus parallela
22TAB. VIII.
Fig
. 5.
D K circulum ſecet, quæ tantundem diſtet ab ea
quæ
remotior eſt à centro quantum hæc à reliqua
A
F:
Erit pars tangentis in B, à parallela me-
dia
, &
ultimo addita D K, intercepta, nimirum
B
D, major arcu B C.
Hoc enim manifeſtum eſt cum B D fiat ipſi B A æqualis,
quam
oſtendimus arcu B C majorem eſſe.
PROPOSITIO XX.
SI arcus circuli, ſemicircumferentia minor, A B,
33TAB. VIII.
Fig
. 6.
in partes quotlibet ſecetur lineis rectis paralle-
lis
, quæ &
inter ſe, & cum rectis ſibi parallelis
per
terminos arcus ductis, æqualia intervalla con-
ſtituant
, quales ſunt C D, E F, G H, K L &
c.
ducanturque ad terminum arcus alterutrum A, &
ad
reliqua omnia ſectionum puncta rectæ circumfe-
rentiam
tangentes, omnes in eandem partem, &

ut
unaquæque occurrat proximæ dictarum paralle-
larum
;
cujusmodi ſunt tangentes A C, D E, F G,
H
K &
c. Dico has tangentes, dempta prima A C,
ſimul
ſumptas, minores eſſe arcu propoſito A B.

Easdem
vero omnes, non omiſſa A C, majores eſſe
arcu
A B diminuto parte extrema N B, hoc eſt,
majores
arcu A N.
Ponamus enim primo perallelarum aliquas tranſire ab
12075HOROLOG. OSCILLATOR. traque parte centri Z, & ſit G H, earum quæ ſunt à parte
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
B, centro proxima, vel per ipſum centrum tranſeat.
Itaque
tangentes
omnes inter G H &
B O comprehenſæ, ut H K,
L
M, N O, ſingulæ ſuis arcubus minores ſunt .
22Prop. 16.
huj
.
autem &
tangens G F, arcu ſequente F D minor eſt , & 33Prop. 17.
huj
.
ſimiliter tangens E D arcu D A.
Itaque tangentes omnes
inter
B O &
C D interjectæ, minores ſunt arcubus B H &
F
A, ac proinde omnino minores arcubus B H, H A, ſive
arcu
B A, quod erat primo oſtendendum.
Porro jam demonſtrabimus tangentes omnes inter B O & A
majores
eſſe arcu A N.
Enimvero parallela G H, vel pro-
pius
centrum Z tranſit quam parallela E F, quam pono
proximam
eſſe earum quæ à parte A tranſeunt, vel erit re-
motior
, vel æque diſtabit.
Quod ſi E F longius à centro vel æque remota eſt ac G H,
erit
tangens F G major arcu ſuo F H, &
reliquæ tangen-
tes
verſus A, nimirum E D, C A majores ſingulæ arcubus
44Prop. 15.
huj
.
ſuis ;
adeo ut omnes ſimul G F, E D, C A majores ſint arcu H A. ſed & arcu H L major erit tangens L M , & 55Prop. 19.
huj
.
arcu L N tangens N O;
itaque tangentes omnes, præter
H
K, majores ſimul erunt arcu A N;
multoque magis, ac-
cedente
ipſa H K, tangentes omnes inter A &
B compre-
henſæ
arcu eodem A N majores erunt.
Si vero G H à centro longius diſtat quam E F, erit tan-
gens
K H major arcu H F , &
tangens M L ut ante 66Prop. 19.
huj
.
jor arcu L H, &
tangens O N major arcu N L, & omnes
proinde
tangentes O N, M L, K H majores arcu N F.
Sed & tangens E D major eſt arcu ſuo F D , & 77Prop. 11.
huj
.
C A major ſimiliter arcu ſuo D A.
Itaque tangentes omnes
inter
B O &
A, præter G F, majores erunt arcu N A;
multoque magis tangentes eædem, accedente G F, hoc eſt,
omnes
quæ inter B O &
A interjiciuntur, eodem arcu N A
majores
erunt.
Ex his vero etiam demonſtratio manifeſta eſt in caſibus
aliis
, qualiscunque ſemicircumferentiæ arcus accipiatur,
quippe
cum vel eadem ſit ubique, vel pars tantum præce-
dentis
demonſtrationis.
12176CHRISTIANI HUGENII
PROPOSITIO XXI.
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
SI mobile deſcendat continuato motu per quælibet
plana
inclinata contigua, ac rurſus ex pari al-
titudine
deſcendat per plana totidem contigua, ita
comparata
ut ſingula altitudine reſpondeant ſingu-
lis
priorum planorum, ſed majori quam illa ſint
inclinatione
.
Dico tempus deſcenſus per minus in-
clinata
, brevius eſſe tempore deſcenſus per magis
inclinata
.
Sint ſeries duæ planorum inter easdem parallelas horizon-
22TAB. IX.
Fig
. 1.
tales comprehenſæ A B C D E, F G H K L, atque ita ut
bina
quæque ſibi correſpondentia plana utriusque ſeriei iisdem
parallelis
horizontalibus includantur;
unumquodque vero ſeriei
F
G H K L magis inclinatum ſit ad horizontem quam pla-
num
ſibi altitudine reſpondens ſeriei A B C D E.
Dico bre-
viori
tempore abſolvi deſcenſum per A B C D E, quam
per
F G H K L.
Nam primo quidem tempus deſcenſus per A B, brevius
eſſe
conſtat tempore deſcenſus per F G, quum ſit eadem
ratio
horum temporum quæ rectarum A B ad F G , 33Prop. 7.
huj
.
A B minor quam F G, propter minorem inclinationem.
Producantur jam ſurſum rectæ C B, H G, occurrantque
horizontali
A F in M &
N. Itaque tempus per B C poſt
A
B, æquale eſt tempori per eandem B C poſt M B, cum
in
puncto B eadem celeritas contingat, ſive per A B, ſive
per
M B deſcendenti .
ſimiliterque tempus per G H 44Prop. 6.
huj
.
F G, æquale erit tempori per eandem G H poſt N G.
Eſt
autem
tempus per B C poſt M B ad tempus per G H poſt
N
G, ut B C ad G H longitudine, ſive ut C M ad H N,
cum
hanc rationem habeant &
tempora per totas M C, N H,
&
per partes M B, N G , ideoque etiam tempora reliqua. 55Prop. 7.
huj
.
Eſtque B C, minor quam G H propter minorem inclina-
tionem
.
Patet igitur tempus per B C poſt M B ſive
122
[Empty page]
12336[Figure 36]Pag. 76.
TAB
. VIII.
Fig
. 1.
O P E V D H C L M N A B F
37[Figure 37]Fig. 2.A B C E H G F38[Figure 38]Fig. 3.D A B C E H G K F39[Figure 39]Fig. 4.A L C M B E G F40[Figure 40]Fig. 5.A B C D K F G41[Figure 41]Fig. 6.G E C K H F L D M N A O B Z
124
[Empty page]
12577HOROLOG. OSCILLATOR. A B, brevius eſſe tempore per G H poſt N G ſive poſt F G.
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
Similiter oſtendetur, productis D C, K H ſurſum, do-
nec
occurrant horizontali A F in O &
P, tempus per
C
D poſt A B C, ſive poſt O C, brevius eſſe tempore per
H
K poſt F G H ſive poſt P H.
Ac denique tempus per
D
E poſt A B C D, brevius eſſe tempore per K L poſt
F
G H K.
Quare totum tempus deſcenſus per A B C D E,
brevius
erit tempore per F G H K L.
quod erat demon-
ſtrandum
.
Hinc vero manifeſtum eſt, conſiderando curvas lineas
tanquam
ex innumeris rectis compoſitas, ſi fuerint duæ ſu-
perficies
, ſecundum lineas curvas ejusdem altitudinis incli-
natæ
, quarum in punctis quibuslibet æque altis major ſem-
per
ſit inclinatio unius quam reliquæ, etiam tempore bre-
viori
per minus inclinatam grave deſcenſurum quam per ma-
gis
inclinatam.
Velut ſi ſint duæ ſuperficies inclinatæ ſecundum curvas
22TAB. IX.
Fig
. 2.
A B, C D, æqualis altitudinis, quarumque in punctis æ-
que
altis quibuslibet E, F, major ſit inclinatio ipſius C D
quam
A B, hoc eſt, ut recta tangens curvam C D in F,
magis
inclinata ſit ad horizontem, quam quæ curvam A B
tangit
in puncto E.
erit tempus deſcenſus per A B brevius
quam
per C D.
Idemque continget ſi altera linearum recta fuerit: dum-
modo
inclinatio rectæ, quæ ubique eſt eadem, major mi-
norve
fuerit inclinatione curvæ in quolibet ſui puncto.
PROPOSITIO XXII.
SI in Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus
ſtat
, vertice deorſum ſpectante, duæ portiones
curvæ
æqualis altitudinis accipiantur, ſed quarum
altera
propior ſit vertici;
erit tempus deſcenſus
per
ſuperiorem, brevius tempore per inferiorem.
Sit Cyclois A B, cujus axis A C ad perpendiculum ere-
33TAB. IX.
Fig
. 3.
ctus, vertex A deorſum ſpectet;
& accipiantur in ea
12678CHRISTIANI HUGENII tiones B D & E F, æqualis altitudinis, hoc eſt, ejusmodi
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
ut parallelæ horizontales B C, D H, quæ ſuperiorem por-
tionem
B D includunt, æque inter ſe diſtent ac E G,
F
K, inferiorem partionem E F includentes.
Dico tempus
deſcenſus
per curvam B D brevius fore tempore per E F.
Sumatur enim in B D punctum quodlibet L, & in E F
punctum
M, ita ut eadem ſit altitudo E ſupra M quæ B
ſupra
L.
Et deſcripto ſuper axe A C ſemicirculo, occurrant
ei
rectæ horizontales L N, M O, in N &
O, & jungan-
tur
N A, O A.
Itaque quum punctum N ſit altius puncto
O
, manifeſtum eſt rectam N A minus ad horizontem incli-
nari
quam O A.
Eſt autem ipſi N A parallela tangens curvæ
in
L puncto , &
ipſi O A parallela tangens curvæ in M. 22Prop. 15.
huj
.
Ergo curva B D in puncto L minus inclinata eſt quam curva
E
F in puncto M.
Quod ſi igitur portio E F, invariata in-
clinatione
, altius extolli intelligatur velut in e f, ita ut in-
ter
eaſdem parallelas cum portione B D comprehendatur,
invenietur
punctum M in m, æquali altitudine cum puncto
L
.
eritque etiam inclinatio curvæ e f in puncto m, quæ ea-
dem
eſt inclinationi curvæ E F in M, major inclinatione
curvæ
B D in L.
Similiter vero, & in quolibet alio puncto
curvæ
e f, major oſtendetur inclinatio quam curv æ B D
in
puncto æque alto.
Itaque tempus deſcenſus per B D bre-
vius
erit tempore per e f, ſive, quod idem eſt, per E F.
33Prop.
præced
.
quod erat demonſtrandum.
LEMMA.
ESto circulus diametro A C, quem ſecet ad an-
44TAB. IX.
Fig
. 4.
gulos rectos D E, &
à termino diametri A e-
ducta
recta A B occurrat circumferentiæ in B, ipſi
vero
D E in F.
Dico tres haſce, A B, A D, A F,
proportionales
eſſe.
Sit enim primo interſectio F intra circulum; & arcui B D
recta
ſubtenſa ducatur.
Quia igitur arcus æquales ſunt A
12779HOROLOG. OSCILLATOR. A D, erunt anguli ad circumferentiam ipſis inſiſtentes,
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
E D A, A B D æquales.
Itaque in triangulis A B D,
A
D F, æquales anguli A B D, A D F.
Communis au-
tem
utrique eſt angulus ad A.
Ergo dicti trianguli ſimiles
erunt
, ideoque B A ad A D ut A D ad A F.
Sit jam punctum interſectionis f extra circulum, & du-
catur
b H parallela D E, quæ occurrat rectæ A D in H.
Itaque ſecundum jam demonſtrata erit ut D A ad A b, ita
A
b ad A H, hoc eſt, ita A f ad A D:
Ideoque rurſus
proportionales
erunt A f, A D, A b.
Quare conſtat propo-
ſitum
.
PROPOSITIO XXIII.
SIt Cyclois A B C, cujus vertex A deorſum con-
22TAB. IX.
Fig
. 5.
verſus ſit, axe A D ad perpendiculum erecto;
ſumptoque in ea quolibet puncto B, ducatur inde
deorſum
recta B I quæ Cycloidem tangat, terminetur-
que
recta horizontali A I.
recta vero B F ad axem
perpendicularis
agatur, &
diviſa bifariam F A in
X
, ſuper ea deſcribatur ſemicirculus F H A.
Du-
ctâ
deinde per punctum quodlibet G in curva B A
ſumptum
, rectâ Σ G parallelâ B F, quæ circum-
ferentiæ
F H A occurrat in H, axi A D in Σ, in-
telligantur
per puncta G &
H rectæ tangentes u-
triusque
curvæ, earumque tangentium partes iis-
dem
duabus horizontalibus M S, N T interceptæ
ſint
M N, S T.
Iisdemque rectis M S, N T in-
cludantur
tangentis B I pars O P, &
axis D A
pars
Q R.
Quibus ita ſe habentibus, dico tempus quo gra-
ve
percurret rectam M N, celeritate
12880CHRISTIANI HUGENII quanta acquiritur deſcendendo per arcum Cycloi-
11De motu
IN Cy-
CLOIDE.
dis B G, fore ad tempus quo percurretur recta
O
P, celeritate æquabili dimidia ejus quæ acqui-
ritur
deſcendendo per totam tangentem B I, ſicut
eſt
tangens S T ad partem axis Q R.
Deſcribatur enim ſuper axe A D ſemicirculus D V A ſe-
cans
rectam B F in V, &
Σ G in Φ, & jungatur A V ſe-
cans
rectas O Q, P R, G Σ in E K &
Λ. Jungantur item
H
F, H A, H X &
A Φ; quæ poſtrema ſecet rectas O Q,
P
R in punctis Δ &
Π.
Habet ergo dictum tempus per M N ad tempus per O P,
rationem
eam quæ componitur ex ratione ipſarum linearum
M
N ad O P, &
ex ratione celeritatum quibus ipſæ per-
curruntur
, contrarie ſumpta , hoc eſt, &
ex ratione 22Prop. 5.
Galil
. de
motu
æ-
quab
.
diæ celeritatis ex B I ſive ex F A, ad celeritatem ex B G, ſive
ex
F Σ .
Atqui tota celeritas ex F A ad celeritatem ex F 33Prop. 8.
huj
.
eſt in ſubduplicata ratione longitudinum F A ad F Σ , 44Prop. 3.
huj
.
proinde eadem quæ F A ad F H Ergo dimidia celeritas ex
F
A ad celeritatem ex F Σ erit ut F X ad F H.
Itaque tem-
pus
dictum per M N ad tempus per O P habebit rationem
compoſitam
ex rationibus M N ad O P, &
F X ad F H.
Harum vero prior ratio, nempe M N ad O P, eadem oſten-
detur
quæ F H ad H Σ.
Eſt enim tangens Cycloidis B I parallela rectæ V A, ſi-
militerque
tangens M G N parallela rectæ Φ A;
ac proinde
recta
M N æqualis Δ Π, &
O P æqualis E K. Ergo dicta
ratio
rectæ M N ad O P eadem eſt quæ Δ Π ad E K;
hoc
eſt
, Δ A ad E A;
hoc eſt, Φ A ad Λ A; hoc eſt V A ad
Φ
A .
Eſt autem ut V A ad A Φ ita F A ad A H; 55Lemma
@ræced
,
quia quadratum V A æquale eſt rectangulo D A F, &
qua-
dratum
A Φ æquale rectangulo D A Σ, quæ rectangula ſunt
inter
ſe ut F A ad Σ A, hoc eſt ut quadratum F A ad qua-
dratum
A H, erit proinde &
quadratum V A ad quadra-
tum
Φ A ut quadratum F A ad quadratum A H;
12981HOROLOG. OSCILLATOR. etiam V A ad A Φ longitudine, ut F A ad A H. Ratio
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
itaque M N ad O P, eadem erit quæ F A ad A H, hoc
eſt
, propter triangula ſimilia F A H, F H Σ, eadem quæ
F
H ad H Σ, ut dictum fuit.
Itaque dicta ratio temporis
per
M N ad tempus per O P, componitur ex rationibus
F
X ad F H &
F H ad H Σ, ideoque eadem erit quæ
F
X ſive X H ad H Σ.
Sicut autem radius X H ad H Σ,
ita
eſt tangens S T ad rectam Q R;
hoc enim facile perſpi-
citur
.
Igitur tempus motus qualem diximus per M N, ad
tempus
per O P conſtat eſſe ſicut S T ad Q R.
quod erat
demonſtrandum
.
PROPOSITIO XXIV.
SIt rurſus ut in præcedenti propoſitione Cyclois
22TAB. X.
Fig
. I.
A B C, cujus vertex A deorſum ſpectet, axis
A
D ad borizontem erectus ſit;
& ſumpto in ea
quovis
puncto B, ducatur inde deorſum recta B Θ
quæ
Cycloidem tangat, occurratque rectæ horizon-
tali
A Θ in Θ:
recta vero B F ad axem perpendi-
cularis
agatur, &
ſuper F A deſcribatur ſemicir-
culus
F H A.
Deinde alia recta G E, parallela
F
B, ſecet Cycloidem in E, rectam B Θ in I, cir-
cumferentiam
F H A in H, &
denique axem D A
in
G.
Dico tempus deſcenſus per arcum Cycloidis B E,
eſſe
ad tempus per tangentem B I cum celeritate di-
midia
ex B Θ, ſicut arcus F H ad rectam F G.
Si enim hoc verum non eſt, habebit tempus per arcum
B
E ad dictum tempus per B I, vel majorem rationem quam
arcus
F H ad rectam F G vel minorem.
Habeat primo, ſi
fieri
poteſt, majorem.
13082CHRISTIANI HUGENII
Itaque tempus aliquod brevius tempore per B E (ſit hoc
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
tempus Z) erit ad dictum tempus per B I ut arcus F H ad
rectam
F G.
Quod ſi jam in Cycloide ſupra punctum B ſu-
matur
punctum aliud N, erit tempus per B E poſt N B,
brevius
tempore per B E.
Manifeſtum eſt autem punctum N
tam
propinquum ſumi poſſe ipſi B, ut differentia eorum
temporum
ſit quamlibet exigua, ac proinde ut minor ſit
ea
qua tempus Z ſuperatur à tempore per B E.
Sit ita-
que
punctum N ita ſumptum.
unde quidem tempus per
B
E poſt N B majus erit tempore Z, majoremque pro-
inde
rationem habebit ad tempus dictum per B I cum di-
midia
celeritate ex B Θ, quam arcus F H ad rectam
F
G.
Habeat itaque eam quam arcus F H O ad rectam
F
G.
Dividatur F G in partes æquales F P, P Q, & c. qua-
rum
unaquæque minor ſit altitudine lineæ N B, atque item
altitudine
arcus H O;
hoc enim fieri poſſe manifeſtum eſt;
& à punctis diviſionum agantur rectæ, baſi D C parallelæ,
&
ad tangentem B Θ terminatæ P Λ, Q Ξ, & c. Quibus-
que
in punctis ſecant circumferentiam F H, ab iis,
itemque
à puncto H, tangentes ſurſum ducantur usque
ad
proximam quæque parallelam, velut Δ Χ, Γ Σ &
c. Si-
militer
vero &
à punctis, in quibus dictæ parallelæ Cy-
cloidi
occurrunt, tangentes ſurſum ducantur velut S V,
T
M &
c. additâ vero ad rectam F G parte una G R æ-
quali
iis quæ ex diviſione, ductaque R Φ parallelâ ſimi-
liter
ipſi D C, patet eam occurrere circumferentiæ F H A
inter
H &
O, quia G R minor eſt altitudine puncti H ſupra
O
.
Jam vero ſic porro argumentabimur.
Tempus per tangentem V S cum celeritate æquabili quæ
acquireretur
ex B S, majus eſt tempore motus continue ac-
celerati
per arcum B S poſt N B.
Nam celeritas ex B S mi-
nor
eſt celeritate ex N B, propterea quod minor altitudo
B
S quam N B.
At celeritas ex B S æquabiliter continuari
ponitur
per tangentem V S, cum celeritas acquiſita ex N B
continue
porro acceleretur per arcum B S, qui arcus
131
[Empty page]
13242[Figure 42]Pag. 82.
TAB
. IX.
Fig
. 1.
AMO FNP B G C H D K L
43[Figure 43]Fig. 2.A C E F B D44[Figure 44]Fig. 3.C B e N L m E O M D f F A45[Figure 45]Fig. 4.C B E G F D f H b A46[Figure 46]Fig. 5.C V B E S Δ M O Λ H Φ G Π T N P I
133
[Empty page]
13483HOROLOG. OSCILLATOR. inſuper eſt tangente V S, omnibusque partibus ſuis magis
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
erectus quam ulla pars tangentis V S.
Adeo ut omnino ma-
jus
ſit futurum tempus per tangentem V S cum celeritate ex
B
S, tempore per arcum B S poſt N B.
Similiter tempus
per
tangentem M T, cum celeritate ex B T, majus erit
tempore
per arcum S T poſt N S, &
tempus per tangen-
tem
Π Y cum celeritate ex B Y, majus tempore per arcum
T
Y poſt N T.
Atque ita tempora motuum æquabilium
per
tangentes omnes usque ad infimam quæ tangit cycloi-
dem
in E, cum celeritatibus per ſingulas quantæ acquirun-
tur
cadendo ex B adusque punctum ipſarum contactus, ma-
jora
ſimul erunt tempore per arcum B E poſt N B.
Eadem
vero
&
minora eſſent, ut nunc oſtendemus.
Conſiderentur enim denuo tempora eadem motuum æqua-
bilium
per tangentes cycloidis.
Et eſt quidem tempus per
tangentem
V S cum celeritate ex B S, ad tempus per re-
ctam
Β Λ cum celeritate dimidia ex F A, ut tangens cir-
cumferentiæ
Δ Χ ad partem axis F P .
Similiterque 22Prop.
præced
.
pus per tangentem M T, cum celeritate ex B T, ad tem-
pus
per rectam Λ Ξ cum eadem dimidia celeritate ex F A,
ut
tangens Γ Σ ad rectam P Q.
Atque ita deinceps ſingula
tempora
per tangentes cycloidis, quæ ſunt eadem ſupradi-
ctis
, erunt ad tempora motus æquabilis per partes ſibi re-
ſpondentes
rectæ B I cum celeritate dimidia ex B Θ, ſicut
tangentes
circumferentiæ F H, iisdem parallelis compre-
henſæ
, ad partes rectæ F G ipſis reſpondentes.
Sunt igitur quantitates quædam rectæ F P, P Q, & c. &
totidem
aliæ, tempora ſcilicet quibus percurruntur rectæ
Β
Λ, Λ Ξ &
c, motu æquabili cum celeritate dimidia ex
Β
Θ;
Et unaquæque quantitas in prioribus ad ſequentem ea-
dem
proportione refertur, qua unaquæque poſteriorum ad
ſuam
ſequentem;
ſunt enim utrobique inter ſe æquales. Qui-
bus
autem proportionibus priores quantitates ad alias quas-
dam
, nempe ad tangentes circuli Δ Χ, Γ Σ, &
c. referun-
tur
, iisdem proportionibus &
eodem ordine poſteriores quo-
que
referuntur ad alias quasdam, nempe ad tempora
13584CHRISTIANI HUGENII qualem diximus per tangentes cycloidis V S, M T & c. Er-
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
go, ſicut ſe habent omnes ſimul priores ad omnes eas ad
quas
ipſæ referuntur, hoc eſt, ſicut tota F G ad tangentes
omnes
Χ Δ, Γ Σ, &
c. ita tempus quo percurritur tota B I
cum
celeritate dimidia ex Β Θ, ad tempora omnia motuum
quales
diximus per tangentes cycloidis V S, M T, &
c . 22Prop. 2.
Archimedis

de
Sphæ-
roid
. &
Conoid
.
Et invertendo itaque, tempora motuum dictorum per tan-
gentes
cycloidis, ad tempus per rectam B I cum celeritate
dimidia
ex B Θ, eandem rationem habebunt quam dictæ tan-
gentes
omnes circumferentiæ F H ad rectam F G;
ac mi-
norem
proinde quam arcus F O ad rectam eandem F G;
quia arcus F Φ, ideoque omnino & arcus F O major eſt
dictis
omnibus arcus F H tangentibus .
Atqui tempus 33Prop. 20.
huj
.
B E poſt N B, ad tempus per B I cum celeritate dimidia ex
B
Θ, poſuimus eſſe ut arcus F O ad rectam F G.
Ergo
dicta
tempora omnia per tangentes cycloidis minora ſimul
erunt
tempore per B E poſt N B, cum antea majora eſſe os-
tenſum
ſit;
quod eſt abſurdum. Itaque tempus per arcum
cycloidis
B E, ad tempus per tangentem B I, cum celerita-
te
dimidia ex Β Θ vel ex F A, non habet majorem rationem
quam
arcus circumferentiæ F H ad rectam F G.
Habeat jam, ſi poteſt, minorem. Ergo tempus aliquod
majus
tempore per arcum B E, (ſit hoc tempus Z) erit ad
tempus
dictum per B I, ut arcus F H ad rectam F G.
Quod ſi jam ſumatur arcus N M æqualis altitudine cum
44TAB. X.
Fig
. 2.
arcu B E, ſed cujus terminus ſuperior N ſit humilior puncto
B
, erit tempus per arcum N M majus tempore per arcum
BE
.
Manifeſtum autem quod punctum N tam 55Prop. 22.
huj
.
ſumi poteſt puncto B, ut differentia dictorum temporum ſit
quamlibet
exigua, ac proinde minor ea qua tempus Z ſupe-
rat
tempus per arcum B E.
Sit itaque punctum N ita ſum-
ptum
.
Unde quidem tempus per N M minus erit tempore Z,
habebitque
proinde ad dictum tempus per B I, cum dimi-
dia
celeritate ex Β Θ, minorem rationem quam arcus F H ad
rectam
F G.
Habeat ergo eam quam arcus L Had rectam F G.
Dividatur jam F G in partes æquales F P, P Q, & c.
13685HOROLOG. OSCILLATOR. quarum unaquæque minor ſit arcus cycloidis B N altitudine,
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
itemque minor altitudine arcus circumferentiæ F L;
& ad-
ditâ
ad F G unâ earum partium G ζ, ducantur à punctis di-
viſionum
rectæ baſi D C parallelæ, &
ad tangentem B Θ
terminatæ
, P O, Q K, &
c; itemque à puncto ζ recta ζ Ω
quæ
ſecet cycloidem in V, circumferentiam in η;
quibus-
que
in punctis ductæ parallelæ ſecant circumferentiam F H,
ab
iis tangentes deorſum ducantur usque ad proximam quæ-
que
parallelam, velut θ Δ, Γ Σ:
Quarum infima à puncto
Η
ducta occurrat rectæ ζ Ω in X.
Similiter vero & à pun-
ctis
, in quibus dictæ parallelæ occurrunt cycloidi, ducan-
tur
totidem tangentes deorſum, velut S Λ, T Ξ, &
c. qua-
rum
infima, tangens nempe à puncto E ducta, occurrat re-
ctæ
ζ Ω in R.
Quia igitur P ζ æqualis eſt F G altitudini arcus B E,
cui
æqualis eſt ex conſtructione altitudo arcus N M, erit &

P
ζ æqualis altitudini arcus N M.
Eſt autem recta P O ex
conſtructione
ſuperior termino N.
Ergo & ζ Ω, & in ea
punctum
V, ſuperius termino M.
Quare, cum arcus S V
æqualis
ſit altitudinis cum arcu N M, ſed termino S ſubli-
miore
quam N, erit tempus per S V brevius tempore per N M.
22Prop. 22.
huj
.
Atqui tempus per tangentem S Λ, cum celeritate æqua-
bili
ex B S, brevius eſt tempore deſcenſus accelerati per ar-
cum
S T, incipientis in S.
Nam celeritas ex B S, qua to-
ta
S Λ transmiſſa ponitur, æqualis eſt celeritati ex S T 33Prop. 8.
huj
.
quæ motui per arcum S T in fine demum acquiritur;
ipſa-
que
S Λ minor eſt quam S T.
Similiter tempus per tangen-
tem
T Ξ, cum celeritate æquabili ex B T, brevius eſt tem-
pore
deſcenſus accelerati per arcum T Y poſt S T;
quum
celeritas
ex B T, qua tota T Ξ transmiſſa ponitur, ſit æqua-
lis
celeritati ex S Y, quæ in fine demum acquiritur motui
dicto
per arcum T Y poſt S T;
ipſaque T Ξ minor ſit arcu
T
Y.
Atque ita tempora omnia motuum æquabilium per
tangentes
cycloidis, cum celeritatibus per ſingulas quantæ
acquiruntur
deſcendendo ex B usque ad punctum ipſarum
contactus
, breviora ſimul erunt tempore deſcenſus
13786CHRISTIANI HUGENII per arcum S V. Eadem vero & longiora eſſent, ut nunc
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
oſtendemus.
Eſt enim tempus dictum per tangentem S Λ, cum cele-
ritate
æquabili ex B S, ad tempus per rectam O K cum ce-
leritate
æquabili dimidia ex B Θ, ſicut tangens ſemicirculi
θ
Δ ad rectam P Q .
ſimiliterque tempus per 22Prop.
præced
.
Τ Ξ, cum celeritate æquabili ex B T, eſt ad tempus per
rectam
Κ Ψ cum celeritate æquabili dimidia ex B Θ, ut tan-
gens
Γ Σ ad rectam Q Π.
Atque ita deinceps ſingula tem-
pora
per tangentes cycloidis, quæ ſunt eadem ſupra dictis,
erunt
ad tempora motus æquabilis per partes ſibi reſponden-
tes
rectæ O Ω, cum celeritate dimidia ex B Θ, ut tangen-
tes
circumferentiæ θ η, iisdem parallelis incluſæ, ad partes
rectæ
P ζ ipſis reſpondentes.
Unde, ut in priori parte de-
monſtrationis
, concludetur omnes ſimul rectas P Q, Q Π
&
c. hoc eſt, totam P ζ eſſe ad omnes ſimul tangentes θ Δ,
Γ
Σ, &
c. ſicut tempus quo percurritur tota O Ω, cum ce-
leritate
dimidia ex B Θ, ad tempora omnia motuum quales
diximus
per tangentes cycloidis S Λ, T Ξ, &
c. Quare &
convertendo
, tempora omnia per tangentes cycloidis, eam
rationem
habebunt ad tempus dictum motus æquabilis per
rectam
Ο Ω, ſive per B I, quam dictæ tangentes omnes ar-
cus
θ η ad rectam P ζ vel F G, ac proinde majorem quam
arcus
L H ad rectam F G;
eſt enim arcus θ H, adeoque
33Prop. 20.
huj
.
etiam omnino arcus L H, minor dictis tangentibus arcus θ η .
Sed tempus per N M poſuimus ab initio ad idem tempus per
B
I ſe habere ut arcus L H ad rectam F G.
Ergo tempus per
N
M, multoque magis tempus per S V, minuserit tempore
per
tangentes cycloidis.
Quod eſt abſurdum, cum hoc tempus,
illo
per arcum S V, antea minus oſtenſum fuerit.
Patet igi-
tur
tempus per arcum cycloidis B E ad tempus per tangen-
tem
B I cum celeritare æquabili dimidia ex B Θ, non mi-
norem
rationem habere quam arcus F H ad rectam F G.
Sed nec majorem habere oſtenſum fuit. Ergo eandem habeat
neceſſe
eſt.
quod erat demonſtrandum.
138
[Empty page]
13947[Figure 47]Pag. 86.
TAB
. X.
Fig
. 1.
D C N F X B V P Δ Σ S M Λ Q Γ T Π Ξ Y G H E I R Φ O A Θ
48[Figure 48]Fig. 2.D C F B P Θ S O N Q L Δ K Γ T Λ Π Σ Y Ψ Ξ G H E I ζ η X V R Ω A M Θ
140
[Empty page]
14187HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO XXV.
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
IN Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus
eſt
, vertice deorſum ſpectante, tempora deſcen-
ſus
quibus mobile, à quocunque in ea puncto dimis-
ſum
, ad punctum imum verticis pervenit, ſunt in-
ter
ſe æqualia;
habentque ad tempus caſus perpen-
dicularis
per totum axem cycloidis eam rationem,
quam
ſemicircumferentia circuli ad diametrum.
Eſto cyclois A B C cujus vertex A deorſum ſpectet, axis
22TAB. XI.
Fig
. 1.
vero A D ad perpendiculum erectus ſit, &
à puncto quovis
in
cycloide ſumpto, velut B;
deſcendat mobile impetu na-
turali
per arcum B A, ſive per ſuperficiem ita inflexam.
Di-
co
tempus deſcenſus hujus eſſe ad tempus caſus per axem
D
A, ſicut ſemicircumferentia circuli ad diametrum.
Quo
demonſtrato
, etiam tempora deſcenſus, per quoslibet cy-
cloidis
arcus ad A terminatos, inter ſe æqualia eſſe conſta-
bit
.
Deſcribatur ſuper axe D A ſemicirculus, cujus circumfe-
rentiam
ſecet recta B F, baſi D C parallela, in E;
junctâ-
que
E A, ducatur ei parallela B G, quæ quidem cycloidem
tanget
in B.
Eadem vero occurrat rectæ horizontali per A
ductæ
in G:
ſitque etiam ſuper F A deſcriptus ſemicirculus
F
H A.
Eſt igitur, per præcedentem, tempus deſcenſus per ar-
cum
cycloidis B A, ad tempus motus æquabilis per rectam
B
G cum celeritate dimidia ex B G, ſicut arcus ſemicirculi
F
H A ad rectam F A.
Tempus vero dicti motus æquabilis
per
B G, æquatur tempori deſcenſus naturaliter accelerati
per
eandem B G, ſive per E A, quæ ipſi parallela eſt &

æqualis
, hoc eſt, tempori deſcenſus accelerati per axem
D
A.
Itaque tempus per arcum B A, erit quoque ad 33Prop. 6.
Galil
. de
motu
Accel.
pus deſcenſus per axem D A, ut ſemicirculi circumferentia
F
H A ad diametrum F A.
quod erat demonſtrandum.
14288CHRISTIANI HUGENII
Quod ſi tota cycloidis cavitas perfecta ponatur, conſtat
11De motu
IN CY-
CLOIDE.
mobile, poſtquam per arcum B A deſcenderit, inde conti-
nuato
motu per alterum ipſi æqualem arcum aſcenſurum 22Prop. 9.
huj
.
atque in eo tantundem temporis atque deſcendendo conſum-
pturum
.
Deinde rurſus per A ad B perventurum, ac 33Prop. 11.
huj
.
larum ejusmodi reciprocationum, in magnis parvisve cycloi-
dis
arcubus peractarum, tempora fore ad tempus caſus per-
pendicularis
per axem D A, ſicut circumferentia circuli tota
ad
diametrum ſuam.
PROPOSITIO XXVI.
Iisdem poſitis, ſi ducatur inſuper recta horizonta-
44TAB. XI.
Fig
. 1.
lis H I quæ arcum B A ſecet in I, circumferen-
tiam
vero F H A in H:
dico tempus per arcum
B
I, ad tempus per arcum I A poſt B I, eam ra-
tionem
habere quam arcus circumferentiæ F H ad
H
A.
Occurrat enim recta H I tangenti B G in K, axi D A in
L
.
Eſt itaque tempus per arcum B A, ad tempus motus æ-
quabilis
per B G cum celeritate dimidia ex B G, ſicut arcus
F
H A ad rectam F A .
Tempus autem dicti motus 55Prop. 24.
huj
.
bilis per B G, eſt ad tempus motus æquabilis per B K, cum
eadem
celeritate dimidia ex B G, ſicut B G ad B K longi-
tudine
, hoc eſt, ſicut F A ad F L.
Et rurſus tempus mo-
tus
æquabilis, cum dicta celeritate, per B K, ad tempus
per
arcum B I, ſicut F L ad arcum F H .
Igitur ex 66Prop. 24.
huj
.
quo erit tempus per arcum B A ad tempus per B I, ut ar-
cus
F H A ad F H.
Et dividendo, & convertendo, tem-
pus
per B I, ad tempus per I A poſt B I, ut arcus F H
ad
H A.
quod erat demonſtrandum.
143 49[Figure 49]11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
HOROLOGII OSCILLATORII
PARS TERTIA.
De linearum curvarum evolutione & dimenſione.
DEFINITIONES.
I.
LINEA in unam partem inflexa vocetur quam
rectæ
omnes tangentes ab eadem parte contin-
gunt
.
Si autem portiones quasdam rectas lineas ha-
buerit
, ipſæ productæ pro tangentibus habentur.
II.
Cum autem duæ hujusmodi lineæ ab eodem pun-
cto
egrediuntur, quarum convexitas unius obverſa
ſit
ad cavitatem alterius, quales ſunt in figura
adſcripta
curvæ A B C, A D E, ambæ in ean-
22TAB. XI.
Fig
. 2.
dem partem cavæ dicantur.
III.
Si lineæ, in unam partem cavæ, filum ſeu linea
flexilis
circumplicata intelligatur, &
manente una
fili
extremitate illi affixa, altera extremitas ab-
ducatur
, ita ut pars ea quæ ſoluta eſt ſemper ex-
tenſa
maneat;
manifeſtum eſt curvam quandam
aliam
hac fili extremitate deſcribi.
Vocetur autem
ea
, Deſcripta ex evolutione.
14490CHRISTIANI HUGENII
IV.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
Illa vero cui filum circumplicatum erat, dicatur
Evoluta
.
In figura ſuperiori, A B C eſt evoluta,
22TAB. XI.
Fig
. 2.
A D E deſcripta ex evolutione A B C, ut nempe
cum
extremitas fili ex A venit in D, pars fili ex-
tenſa
ſit D B recta, reliqua parte B C adhuc ap-
plicata
curvæ A B C.
Manifeſtum eſt autem D B
tangere
evolutam in B.
PROPOSITIOI.
R Ecta omnis, quæ evolutam tangit, occurret li-
@eæ
ex evolutione deſcriptæ ad angulos rectos.
Sit A B evoluta, A H vero quæ ex evolutione illius de-
33TAB. XI.
Fig
. 3.
ſcripta eſt.
Recta autem F D C, tangens curvam A D in D,
occurrat
in C curvæ A C H.
Dico ei occurrere ad angulos
rectos
:
hoc eſt, ſi ducatur C E recta perpendicularis C D,
dico
eam in C tangere curvam A C H.
Quia enim D C
tangit
evolutam in D, apparet ipſam referre poſitionem fili
tunc
cum ejus extremitas pervenit in C.
Quod ſi igitur o-
ſtenderimus
filum, in tota reliqua deſcriptione curvæ A C H,
nusquam
pertingere ad rectam C E præterquam in C pun-
cto
, manifeſtum erit rectam C E ibidem curvam A C H
contingere
.
Sumatur punctum aliquod in A C præter C, quod ſit H,
ſitque
primo remotius à principio evolutionis A quam pun-
ctum
C, &
intelligatur pars libera eſſe H G, cum extremi-
tate
ſua ad H pervenit.
Tangit ergo H G lineam A B in G.
Cumque interea dum deſcribitur pars curvæ C H, evolu-
tus
ſit arcus D G, occurret C D à parte D producta ipſi
H
G, ut in F.
Ponatur autem G H occurrere rectæ C E
in
E.
Quia igitur duæ ſimul D F, F G, majores ſunt quam
D
G, ſive curva ea fuerit ſive recta:
fiet addendo utrinque
rectam
D C, ut rectæ C F, F G ſimul majores ſint
14591HOROLOG. OSCILLATOR. C D & ipſa D G. Sed propter evolutionem, apparet utris-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
que ſimul, rectæ C D, &
lineæ D G, æquari rectam H G.
Ergo duæ ſimul C F, F G majores quoque erunt recta H G.
&
ablata communi F G, erit C F major quam H F. Sed
F
E major eſt quam F C, quia angulus C trianguli F C E
eſt
rectus.
Ergo F E omnino major quam F H. Unde ap-
paret
, ab hac quidem parte puncti C, fili extremitatem non
pertingere
ad rectam C E.
Sit jam punctum H propinquius principio evolutionis A
22TAB. XII.
Fig
. 1.
quam punctum C, ſitque fili poſitio H G, tunc cum ejus
extremitas
eſſet in H, &
ducantur rectæ D G, D H, qua-
rum
hæc occurrat rectæ C E in E:
apparet autem D G re-
ctam
non poſſe eſſe in directum ipſi H G, adeoque H G D
fore
triangulum.
Jam quia recta D G vel minor eſt quam
D
K G, vel eadem, ſi nempe evolutæ pars D G recta ſit;
additâ utrique G H, erunt rectæ D G, G H ſimul mino-
res
vel æquales duabus iſtis, ſcilicet D K G &
G H, ſive
his
æquali rectæ D C.
Duabus autem rectis D G, G H mi-
nor
eſt recta D H.
Ergo hæc minor utique erit rectâ D C.
Sed
D E major eſt quam D C, quia in triangulo D C E
angulus
C eſt rectus.
Ergo D H multo minor quam D E.
Situm
eſt ergo punctum H, hoc eſt extremitas fili G H, in-
tra
angulum D C E.
Unde apparet neque inter A & C us-
quam
illam pertingere ad rectam C E.
Ergo C E tangit
curvam
A C in C;
ac proinde D C, cui C E ducta eſt
perpendicularis
, occurrit curvæ ad angulos rectos.
quod
erat
demonſtrandum.
Hinc etiam manifeſtum eſt curvam A H C in partem u-
nam
inflexam eſſe, &
in eandem partem cavam ac ipſa A G B,
cujus
evolutione deſcripta eſt.
Omnes enim tangentes lineæ
A
H C, cadunt extra ſpatium D G A H C:
omnes vero
tangentes
lineæ A G D, intra dictum ſpatium.
unde liquet
cavitatem
A H C reſpicere convexitatem A G D.
14692CHRISTIANI HUGENII
PROPOSITIO II.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
TAB
. XII.
Fig
. 2.
OMnis curva linea terminata, in unam partem
cava
, ut A B D, ut poteſt in tot partes dividi, ut
ſi
ſingulis partibus ſubtenſæ rectæ ducantur, velut
A
B, B C, C D;
& à ſingulis item diviſionis
punctis
, ipſaque curvæ extremitate rectæ ducan-
tur
curvam tangentes, ut A N, B O, C P, quæ
occurrant
iis, quæ in proxime ſequentibus diviſionis
punctis
curvæ ad angulos rectos inſiſtunt, quales
ſunt
lineæ B N, C O, D P;
ut inquam ſubtenſa
quæque
habeat ad ſibi adjacentem curvæ perpendi-
cularem
, velut A B ad B N, B C ad C O, C D
ad
D P, rationem majorem quavis ratione propo-
ſita
.
Sit enim data ratio lineæ E F ad F G, quæ recto angulo
ad
F jungantur, &
ducatur recta G E H.
Intelligatur primo curva A B D in partes tam exiguas ſe-
cta
punctis B, C, ut tangentes quæ ad bina quæque inter
ſe
proxima puncta curvam contingunt, occurrant ſibi mutuo
ſecundum
angulos qui ſinguli majores ſint angulo F E H;
quales ſunt anguli A K B, B L C, C M D. quod quidem
fieri
poſſe evidentius eſt quam ut demonſtratione indigeat.

Ductis
jam ſubtenſis A B, B C, C D, &
erectis curvæ
perpendicularibus
B N, C O, D P, quæ occurrant pro-
ductis
A K, B L, C M, in N, O, P:
dico rationes ſin-
gulas
rectarum, A B ad B N, B C ad C O, C D ad D P,
majores
eſſe ratione E F ad F G.
Quia enim angulus A K B major eſt angulo H E F, erit
reſiduus
illius ad duos rectos, nimirum angulus N K B,
minor
angulo G E F.
Angulus autem B trianguli K B N
eſt
rectus, ſicut &
angulus F in triangulo E F G.
147
[Empty page]
14850[Figure 50]Pag. 92.
TAB
. XI
Fig
. 1.
D C F E B L H I K A G
51[Figure 51]Fig. 2.E D A B C52[Figure 52]Fig. 3.E H C A D F G B
149
[Empty page]
15093HOROLOG. OSCILLATOR. major erit ratio K B ad B N quam E F ad F G. Sed A B
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
major eſt quam K B, quoniam angulus K in triangulo A K B
eſt
obtuſus, eſt enim major angulo H E F qui eſt obtuſus
ex
conſtructione.
Ergo ratio A B ad B N major erit ratio-
ne
K B ad B N, ac proinde omnino major ratione E F ad
F
G.
Eodem modo & ratio B C ad C O, & C D ad D P,
major
oſtendetur ratione E F ad F G.
Itaque conſtat pro-
poſitum
.
PROPOSITIO III.
DUæ curvæ in unam partem inflexæ & in eas-
dem
partes cavæ ex eodem puncto egredi ne-
queunt
, ita ad ſe invicem comparatæ, ut recta
omnis
quæ alteri earum ad angulos rectos occurrit,
ſimiliter
occurrat &
reliquæ.
Sint enim, ſi fieri poteſt, hujuſmodi lineæ curvæ A C E,
22TAB. XII.
Fig
. 3.
A G K, communem terminum habentes A, &
ſumpto in ex-
teriore
illarum puncto quolibet K, ſit inde educta K E recta,
curvæ
A G K occurrens ad angulos rectos, ac proinde
etiam
curvæ A C E.
Poteſt jam recta quædam ſumi major curva K G A, quæ
ſit
Q.
Diviſa autem intelligatur ipſa K G A, ut in propo-
ſitione
antecedenti dictum fuit, in tot partes punctis H G F,
ut
ſubtenſæ ſingulæ K H, H G, G F, F A, ad perpen-
diculares
curvæ ſibi contiguas H M, G N, F O, A P
majorem
rationem habeant quam linea Q ad rectam K E.
Itaque & omnes ſimul dictæ ſubtenſæ ad omnes dictas per-
pendiculares
majorem habebunt rationem quam Q ad K E.

Producantur
autem perpendiculares eædem &
occurrant cur-
A C E in D, C, B, nimirum ad angulos rectos ex
hypotheſi
.
Erit jam K E minor quam M D. Etenim, ducta
E
L ipſi K E perpendiculari, quoniam K E occurrit lineæ
curvæ
E C A ad angulos rectos, tanget E L curvam A C E,
occurretque
neceſſario rectæ M D inter D &
M.
15194CHRISTIANI HUGENII cum K E ſit breviſſima omnium quæ cadunt inter parallelas
11De linea
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO
NE.
E L, K M, erit ea minor quam M L, ac proinde minor
quoque
omnino quam M D.
Eodem modo & H D minor
oſtendetur
quam N C, &
G C minor quam O B, & F B
minor
quam P A.
Cum ſit ergo P A major quam F B, erunt
duæ
ſimul P A, O F majores quam O B.
Item quum O B
ſit
major quam G C, erunt duæ ſimul O B, N G, majo-
res
quam N C.
Sed duæ P A, O F majores erant quam O B.
Itaque tres ſimul P A, O F, N G omnino majores erunt
quam
N C.
Rurſus, quia N C major quam H D, erunt duæ
ſimul
N C, M H majores quam M D.
Unde, ſi loco N C
ſumantur
tres ipſa majores P A, O F, N G, erunt omni-
no
quatuor P A, O F, N G, M H majores quam M D:

ac
proinde eædem quoque omnino majores recta K E, quia
ipſa
M D major erat quam K E.
Diximus autem ſubtenſas
omnes
A F, F G, G H, H K majorem rationem habere ad
omnes
perpendiculares P A, O F, N G, M H, quam linea
Q
ad K E.
Ergo cum dictis perpendicularibus minor etiam
ſit
K E, habebunt dictæ ſubtenſæ ad K E omnino majorem
rationem
quam Q ad K E.
Ergo ſubtenſæ ſimul ſumptæ
majores
erunt rectâ Q.
Hæc autem ipſa curvâ A G K major
ſumpta
fuit.
Ergo ſubtenſæ A F, F G, G H, H K ſimul
majores
erunt curva A G K cujus partibus ſubtenduntur;

quod
eſt abſurdum, cum ſingulæ ſuis arcubus ſint minores.

Non
igitur poterunt eſſe duæ curvæ lineæ quæ quemadmo-
dum
dictum fuit ſeſe habeant.
quod erat demonſtrandum.
PROPOSITIO IV.
SI ab eodem puncto duæ lineæ exeant in partem
unam
inflexæ, &
in eandem partem cavæ, ita
vero
mutuo comparatæ ut rectæ omnes, quæ alte-
ram
earum contingunt, alteri occurrant ad angu-
los
rectos;
poſterior hæc prioris evolutione, à pun-
cto
communi cœpta, deſcribetur.
15295HOROLOG. OSCILLATOR.
Sunto lineæ A B C, A D E, in partem unam inflexæ,
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
&
quarum uttraque in eaſdem partes cava exiſtat, habeant-
que
communem terminum A punctum.
Omnes autem rectæ
tangentes
lineam A B C, velut B D, C E, occurrant
22TAB. XII.
Fig
. 4.
lineæ A D E ad angulos rectos.
Dico evolutione ipſius
A
B C, à termino A incepta, deſcribi A D E.
Si enim fieri poteſt, deſcribatur dicta evolutione alia
quædam
curva A F G.
Ergo lineæ rectæ quælibet, evolu-
tam
A B C tangentes, ut B D, C E, occurrent ipſi A F G
ad
angulos rectos, puta in F &
G. Sed eædem 33Prop. 1.
huj
.
etiam ad rectos angulos occurrere ponuntur lineæ A D E.
Sunt igitur lineæ curvæ A D E, A F G, eodem puncto
A
terminatæ, inque partem unam flexæ, &
ambæ in ean-
dem
partem cavæ, quippe utraque in eandem atque ipſa
A
B C;
nam de linea A D E conſtat ex hypotheſi, de
A
F G vero ex propoſitione prima hujus;
& omnes quæ
uni
earum occurrunt ad angulos rectos, etiam alteri ſimili-
ter
occurrunt.
quod quidem fieri non poſſe antea oſtenſum
eſt
.
Quare conſtat ipſam A D E deſcriptum iri 44Prop. 3.
huj
.
lineæ A B C.
quod erat demonſtrandum.
PROPOSITIO V.
SI Cycloidem recta linea in vertice contingat, ſu-
per
qua, tanquam baſi, alia cyclois priori ſimi-
lis
&
æqualis conſtituatur, initium ſumens à pun-
cto
dicti verticis;
recta quælibet inferiorem cycloi-
dem
tangens, occurret ſuperioris portioni, ſibi ſu-
perpoſitæ
, ad angulos rectos.
Tangat cycloidem A B C in vertice A recta A G, ſuper
55TAB. XVI.
Fig
. 1.
qua, tanquam baſi, ſimilis alia cyclois conſtituta ſit A E F,
cujus
vertex F.
Cycloidem autem A B C tangat recta B K
in
B.
Dico eam productam occurrere cycloidi A E F ad an-
gulos
rectos.
Deſcribatur enim circa A D, axem cycloidis A B C,
15396CHRISTIANI HUGENII culus genitor A H D, cui occurrat B H, baſi parallela, in
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
H, &
jungatur H A. Quia ergo B K tangit cycloidem in B,
conſtat
eam parallelam eſſe rectæ H A .
Itaque A H B K parallelogrammum eſt, ac proinde A K æqualis H B, hoc
22Propoſ. 15.
partis
2.
eſt, arcui A H.
Sit porro jam deſcriptus circulus K 33Propoſ. 14.
partis
2.
genitori circulo, hoc eſt ipſi A H D, æqualis, qui tangat
baſin
A G in K, rectam vero B K productam ſecet in pun-
cto
E.
Quia ergo ipſi A H parallela eſt B K E, ac proin-
de
angulus E K A æqualis K A H, manifeſtum eſt B K
productam
abſcindere à circulo K M arcum æqualem ei
quem
à circulo A H D abſcindit recta A H.
Itaque arcus
K
E æqualis eſt arcui A H, hoc eſt rectæ H B, hoc eſt
rectæ
K A.
Hinc vero ſequitur, ex cycloidis proprietate,
cum
circulus genitor M K tangebat regulam in K, punctum
deſcribens
fuiſſe in E.
Itaque recta K E occurrit cycloidi in
E
ad angulos rectos .
Eſt autem K E ipſa B K producta. 44Propoſ. 15.
partis
2.
Ergo patet productam B K occurrere cycloidiad angulos re-
ctos
.
quod erat demonſtrandum.
PROPOSITIO VI.
SEmicycloidis evolutione, à vertice cœpta, alia
ſemicyclois
deſcribitur evolutæ æqualis &
ſimi-
lis
, cujus baſis eſt in ea recta quæ cycloidem evolu-
tam
in vertice contingit.
Sit ſemicyclois A B C, cui ſuperimpoſita ſit alia ſimilis
55TAB. XVI.
Fig
. 1.
A E F, quemadmodum in propoſitione præcedenti.
Dico,
ſi
linea flexilis, circa ſemicycloidem A B C applicata, evol-
vatur
, incipiendo ab A, eam deſcribere extremitate ſua i-
pſam
ſemicycloidem A E F.
Quia enim ex puncto A egredi-
untur
ſemicycloides A B C, A E F, in unam partem in-
flexæ
, &
ambæ in eandem cavæ, ac præterea ita comparatæ,
ut
omnes tangentes ſemicycloidis A B C occurrant ſemicy-
cloidi
A E F ad angulos rectos, ſequitur hanc evolutione
illius
, à termino A incepta, deſcribi .
quod erat 66Propoſ. 4.
huj
.
ſtrandum.
154
[Empty page]
15553[Figure 53]Pag. 96.
TAB
. XII.
Fig
. 1.
C E H A G K D B
54[Figure 54]Fig. 2.N O L K B C M P G D A E F H55[Figure 55]Fig. 3.N M H G K O F L C D B E P A Q56[Figure 56]Fig. 4.A D F E G B C
156
[Empty page]
15797HOROLOG. OSCILLATOR.
Et apparet, ſi dimidiam cycloidem, ipſi A B C gemel-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
lam, contrario ſitu ab altera parte lineæ C G diſponamus,
velut
C N, ejus evolutione, vel etiam dum filum, jam
extenſum
in C F, circa eam replicatur, alteram ſemicy-
cloidem
F N fili extremitate deſcriptum iri, quæ ſimul
cum
priore A E F integram conſtituat.
Atque ex his, & propoſitione 25 de deſcenſu gravium, ma-
nifeſtum
jam eſt quod ſupra in Conſtructione Horologii de
æquabili
penduli motu dictum fuit.
Patet enim perpendicu-
lum
, inter laminas binas, ſecundum ſemicycloidem inflexas,
ſuſpenſum
agitatumque, motu ſuo cycloidis arcum deſcri-
bere
, ac proinde æqualibus temporibus quaſlibet ejus reci-
procationes
abſolvi.
Non refert enim utrum in ſuperficie,
ſecundum
cycloidem curvata, mobile feratur, an filo alliga-
tum
lineam ipſam in aëre percurrat, cum utrobique eandem
libertatem
, eandemque in omnibus curvæ punctis inclina-
tionem
ad motum habeat.
PROPOSITIO VII.
Cyclois linea ſui axis, ſive diametri circuli ge-
nitoris
, quadrupla eſt.
Repetita enim figura præcedenti: cum poſt totam ſemi-
22TAB. XVI.
Fig
. 1.
cycloidem A B C evolutam, filum occupet rectam C F,
quæ
dupla eſt A D, proptarea quod axes cycloidum A B C,
A
E F ſunt æquales;
apparet ſemicycloidem ipſam A B C,
filo
ſibi circum applicito æqualem, duplam eſſe ſui axis A D,
ac
totam proinde cycloidem axis ſui quadruplam.
Apparet etiam tangentem B E, quæ refert partem fili ex-
tenſam
, antea curvæ parti B A applicatam, huic ipſi longi-
tudine
æquari.
Eſt autem B E dupla ipſius B K, ſive A H,
quoniam
in propoſitione quinta oſtenſum eſt K E ipſi A H
æqualem
eſſe.
Itaque pars cycloidis A B rectæ A H, ſive
B
K, dupla erit:
exiſtente nimirum B H parallela baſi
cycloidis
:
idque ubicunque in ea punctum B ſumptum fue-
rit
.
15898CHRISTIANI HUGENII
Hanc cycloidis dimenſionem primus invenit, via tamen
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
longe alia, eximius geometra Chriſtophorus Wren Anglus,
eamque
deinde eleganti demonſtratione confirmavit, quæ
edita
eſt in libro de cycloide viri clariſſimi Ioannis Walliſij.
De eadem vero linea, alia quoque multa extant pulcherrima
inventa
noſtri temporis mathematicorum, quibus præcipuè
occaſionem
præbuere problemata quædam à Blaſio Paſchalio
Gallo
propoſita, qui in his ſtudiis præcellebat.
Is cum ſua,
tum
aliorum inventa recenſens, primum omnium Merſennum
lineam
hanc in rerum natura advertiſſe ait.
Primum Roberval-
lium
tangentes ejus definiviſſe, ac plana &
ſolida dimenſum eſſe.
Item
centra gravitatis tum plani, tum partium ejus inveniſſe.

Primum
Wrennium curvæ cycloidis æqualem rectam dediſ-
ſe
.
Me quoque primum reperiſſe dimenſionem abſolutam por-
tionis
cycloidis, quæ rectâ, baſi parallelâ, abſcinditur per
punctum
axis, quod quarta parte ejus à vertice abeſt.
quæ
nimirum
portio æquatur dimidio hexagono æquilatero, intra
circulum
genitorem deſcripto.
Seipſum denique ſolidorum
ac
ſemiſolidorum, tam circa baſin quàm circa axem, centra
gravitatis
definiviſſe, itemque partium eorum.
Lineæ etiam
ipſius
(Sed hæc poſt acceptam à Wrennio dimenſionem)
centrum
gravitatis inveniſſe, &
dimenſionem ſuperficierum
convexarum
, quibus ſolida iſta eorumque partes comprehen-
duntur
;
earumque ſuperficierum centra gravitatis. Ac denique
dimenſionem
curvarum cujuſvis cycloidis, tam protractæ quam
contractæ
:
hoc eſt earum quæ deſcribuntur à puncto intra
vel
extra circumferentiam circuli genitoris ſumpto.
Et ho-
rum
quidem demonſtrationes à Paſchalio ſunt editæ.
A qui-
bus
ſuas quoque, de eadem linea, ſubtiliſſimas meditationes
expoſuit
Cl.
Walliſius, atque eadem illa omnia ſuo Marte
ſe
reperiſſe, ac problemata à Paſchalio propoſita ſolviſſe con-
tendit
.
Quod idem & doctiſſimus Lovera ſibi vindicat. Quan-
tum
vero unicuique debeatur, ex ſcriptis eorum eruditi dijudi-
cent
.
Nos propterea tantum præcedentia retulimus, quod ſi-
lentio
prætereunda non videbantur egregia adeo inventa, qui-
bus
factum eſt, ut, ex lineis omnibus, nulla nunc melius
15999HOROLOG. OSCILLATOR. penitiùs quam cyclois cognita ſit. Methodum vero noſtram,
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUT@@-
NE.
qua in hac metienda uſi ſumus, in aliis quoque experiri li-
buit
, de quibus porro nunc agemus.
PROPOSITIO VIII.
CUjus lineæ evolutione parabola deſcribatur os-
tendere
.
Sit paraboloides A B, cujus axis A D; vertex A; pro-
22TAB. XIII,
Fig
. 1.
prietas autem iſta, ut ordinatim ad axem applicatâ B D,
cubus
abſciſſæ ad verticem D A æquetur ſolido, baſin ha-
benti
quadratum D B, altitudinem vero æqualem lineæ cui-
dam
datæ M;
quæ quidem curva pridem geometris nota
fuit
;
& ponatur axi D E juncta in directum A E, quæ ha-
beat
{8/27} ipſius M.
Jam ſi filum continuum circa E A B ap-
plicetur
, idque ab E evolvi incipiat, dico deſcriptam ex
evolutione
eſſe parabolam E F, cujus axis E A G, vertex
E
, latus rectum æquale duplæ E A.
Sumpto enim in curva A B puncto quolibet B, ducatur
quæ
in ipſo tangat curvam recta B G, occurrens axi E A
in
G.
& ex G ducatur porro G F, quæ ad rectos angulos
occurrat
parabolæ E F in F;
& ſit ipſi G F perpendicula-
ris
F H, quæ parabolam in F continget;
& denique F K
ordinatim
ad axem E G applicetur.
Eſt igitur K G æqualis dimidio lateri recto, hoc eſt, ipſi
E
A;
ac proinde, additâ vel ablatâ utrimque A K, erit
E
K æqualis A G.
Eſt autem A G triens ipſius A D, quo-
niam
B G tangit paraboloidem in B:
illud enim ex natura
curvæ
hujus facile demonſtrari poteſt.
Ergo & E K æqualis
eſt
trienti A D:
& K H, quæ ex natura parabolæ dupla eſt
K
E, æquabitur duabus tertiis A D.
Itaque cubus ex K H
æqualis
eſt {8/27} cubi ex A D, hoc eſt, ſolido baſin habenti
quadratum
D B, altitudinem vero æqualem {8/27} M, hoc eſt,
ipſi
A E.
Quamobrem ut quadratum D B ad quadratum
K
H, ita erit K H longitudine ad A E, hoc eſt ad K G.
Erat autem K H æqualis {@/3} A D, hoc eſt ipſi G D.
160100CHRISTIANI HUGENII ut quadratum B D ad quadratum D G ita eſt H K ad K G.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
Ut autem H K ad K G, ita eſt quadratum F K ad quadra-
tum
K G.
Ergo ſicut quadratum B D ad quadratum D G,
ita
quadratum F K ad quadratum K G.
Et proinde ſicut
B
D ad D G longitudine, ita F K ad K G.
Unde ſequitur
B
G F eſſe lineam rectam.
Sed G F occurrit parabolæ E F ad
angulos
rectos.
Ergo apparet B G, tangentem paraboloidis,
productam
occurrere eidem parabolæ ad angulos rectos.
Idque
ſimiliter
de quavis illius tangente demonſtrabitur.
Ergo con-
ſtat
ex evolutione lineæ E A B, à termino E incepta, de-
ſcribi
parabolam E F .
quod erat demonſtrandum.
22Propoſ. 4.
huj
.
PROPOSITIO IX.
REctam lineam invenire æqualem datæ portioni
curvæ
paraboloidis, ejus nempe in qua qua-
drata
ordinatim applicatarum ad axem, ſunt in-
ter
ſe ſicut cubi abſciſſarum ad verticem.
Quomodo hoc fiat ex prop. præcedenti manifeſtum eſt.
33TAB. XIII.
Fig
. 2.
Parabola vero E F ad conſtructionem non requiritur, quæ
ſic
peragetur.
Data quavis parte paraboloidis hujus A B, cui
rectam
æqualem invenire oporteat, ducatur B G tangens in
puncto
B, quæ occurrat axi A G in G.
Tanget autem ſi
A
G fuerit tertia pars A D, inter verticem &
ordinatim ap-
plicatam
B D interceptæ.
Porro ſumpta A E æquali {8/27} lineæ
M
, quæ latus rectum eſt paraboloidis A B, ducatur E F
parallela
B G, occurratque lineæ A F, quæ parallela eſt
B
D, in F.
Jam ſi ad rectam B G addatur N F, exceſſus
rectæ
E F ſupra E A, habebitur recta æqualis curvæ A B.
Cujus demonſtratio ex ante dictis facile perſpicitur.
Semper ergo curva A B tantum ſuperat tangentem B G,
quantum
recta E F rectam E A.
Rurſus autem hic in lineam incidimus, cujus longitudi-
nem
alii jam ante dimenſi ſunt.
Illam nempe quam anno 1659
Joh
.
Heuratius Harlemenſis rectæ æqualem oſtendit, cujus
demonſtratio
poſt commentarios Joh.
Schotenii in
161101HOROLOG. OSCILLATOR. Geometriam, eodem anno editam, adjecta eſt. Et ille qui-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
dem omnium primus curvam lineam, ex earum numero qua-
rum
puncta quælibet geometricè definiuntur, ad hanc men-
ſuram
reduxit, cum ſub idem tempus Cycloidis longitudi-
nem
dediſſet Wrennius, non minus ingenioſo epicheremate.
Scio equidem, ab edito Heuratii invento, Doctiſſimum
Walliſium
Wilhelmo Nelio, nobili apud ſuos juveni, idem
attribuere
voluiſſe, in libro de Ciſſoide.
Sed mihi, quæ il-
lic
adfert perpendenti, videtur non multum quidem ab in-
vento
illo Nelium abfuiſſe, neque tamen plane id adſecutum
eſſe
.
Nam neque ex demonſtratione ejus, quam Walliſius
affert
, apparet illum ſatis perſpexiſſe quænam foret curva
illa
, cujus, ſi conſtrueretur, menſuram datam fore videbat.
Et credibile eſt, ſi ſciviſſet ex earum numero eſſe quæ jam-
pridem
Geometris cognitæ fuerant, vel ipſum, vel alios ejus
nomine
, tam nobile inventum Geometris maturius imperti-
turos
fuiſſe, quod, ſi quod aliud, merebatur ut Archime-
deum
illud εὕρη{κα} exclamarent.
Sane ejusdem inventi, tan-
quam
à ſe profecti, etiam Fermatius, Tholoſanus ſenator
ac
Geometra peritiſſimus, demonſtrationes conſcripſit, quæ
anno
1660 excuſæ ſunt;
ſed illæ ſero utique.
Cum vero in his ſimus, etiam de nobis dicere liceat, quid
ad
promovendum tam eximium inventum contulerimus:
ſi-
quidem
&
Heuratio ut eo perveniret occaſionem præbuimus, &
dimenſionem
curvæ parabolicæ ex hyperbolæ data quadratura,
quæ
Heuratiani inventi pars eſt, ante ipſum atque omnium
primi
reperimus.
Etenim ſub finem anni 1657 in hæc duo ſi-
mul
incidimus, curvæ parabolicæ quam dixi dimenſionem,
&
ſuperficiei conoidis parabolici in circulum reductionem.
Cumque Schotenio, aliisque item amicorum, per literas indi-
caſſemus
, duo quædam non vulgaria circa parabolam inven-
ta
nobis ſeſe obtuliſſe, eorumque alterum eſſe conoidicæ ſu-
perficiei
extenſionem in circulum, ille literas eas cum Heu-
ratio
, quo tum familiariter utebatur, communicavit.
Huic
vero
, acutiſſimi ingenii viro, non difficile fuit intelligere,
conoidis
iſtius ſuperficiei affinem eſſe dimenſionem ipſius
162102CHRISTIANI HUGENII parabolicæ. Qua utraque inventa, ulterius inde inveſti-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
gans, in alias iſtas curvas paraboloides incidit, quibus rectæ
æquales
abſolute inveniuntur.
Ac de Conoidis quidem ſuperficie in planum redacta, ne
quis
forte teſtimonium deſideret, pauca hæc adſcribere vi-
ſum
eſt ex literis viri clariſſimi, atque inter præcipuos ho-
die
Geometras cenſendi, Franc.
Sluſii, quibus eo ipſo anno
mihi
inventum illud, ac prolixius forte quam pro merito,
gratulatus
eſt.
In quibus literis 24. Decemb. anni 1657. da-
tis
, iſta habentur.
Duo tantum addo, unum & c. Alterum
eſt
, me has omnes curvas, ipſumque adeo locum linearem in-
tegrum
, nihili pene facere præ invento hoc tuo, quo ſuperfi-
ciei
in conoide parabolico rationem ad circulum ſuæ baſeos de-
monſtraſti
.
Hanc pro circuli quadratura pulcherrimam {πα}-
{γ@}{γὴ}ν præfero libens iis omnibus, quas ex loco lineari nec pau-
cas
olim deduxi, &
quas tecum, ſi ita juſſeris, data occa-
ſione
communicabo.
Anno autem inſequenti etiam ſuperficies conoidum hyper-
bolicorum
&
ſphæroidum reperi, quomodo ad circulos re-
duci
poſſent, conſtructionesque eorum problematum, non
addita
tamen demonſtratione, Geometris quibuscum tunc
literarum
commercium habebam, in Gallia Paſchalio aliis-
que
, in Anglia Walliſio impertii, qui non multo poſt ſua
quoque
ſuper his, una cum aliis multis ſubtilibus inventis
in
lucem edidit, fecitque ut noſtris demonſtrationibus per-
ficiendis
ſuperſederem.
Quoniam vero non inelegantes viſæ
ſunt
conſtructiones noſtræ, neque adhuc publice extant,
placet
hoc loco illas adſcribere.
Conoidis parabolici ſuperficiei curvæ circulum
æqualem
invenire.
SIt datum conoides cujus ſectio per axem parabola A B C;
22TAB. XIII.
Fig
. @.
axis ejus B D, vertex B, diameter baſis A C, quæ ſit axi
B
D ad angulos rectos.
Et oporteat ſuperficiei portionis cur-
invenire circulum æqualem.
163103HOROLOG. OSCILLATOR.
Producto axe à parte verticis, ſumatur B E æqualis B D,
11De linea
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
&
jungatur E A, quæ parabolam A B C in A continget.
Porro ſecetur A D in G, ut ſit A G ad G D ſicut E A ad
A
D.
Et utrisque ſimul A E, D G æqualis ſtatuatur recta
H
.
Item trienti baſis A C æqualis ſit recta L, & inter H
&
L media proportionalis inveniatur K. qua tanquam radio
circulus
deſcribatur.
Is æqualis erit ſuperficiei curvæ conoi-
dis
A B C.
Hinc ſequitur, ſi fuerit A E dupla A D, ſu-
perficiem
conoidis curvam ad circulum baſeos fore ut 14 ad
9
.
Si A E tripla A D, ut 13 ad 6. ſi A E quadrupla A D,
ut
14 ad 5.
Atque ita ſemper fore ut numerus ad numerum,
ſi
A E ad A D ejusmodi rationem habuerit.
Sphæroidis oblongi ſuperſiciei circulum æqualem
invenire
.
ESto ſphæroides oblongum cujus axis A B, centrum C,
22TAB. XIII.
Fig
. 4.
ſectio per axem ellipſis A D B E, cujus minor diame-
ter
D E.
Ponatur D F æqualis C B, ſeu ponatur F alter focorum
ellipſeos
A D B E, rectæque F D parallela ducatur B G,
occurrens
productæ E D in G.
centroque G, radio G B,
deſcribatur
ſuper axe A B arcus circumferentiæ B H A.
In-
terque
ſemidiametrum C D &
rectam utrisque æqualem, ar-
cui
A H B &
diametro D E, media proportionalis ſit recta
K
.
Erit hæc radius circuli qui ſuperficiei ſphæroidis A D B E
æqualis
ſit.
Sphæroidis lati ſive compreſſi ſuperficiei circulum
æqualem
invenire.
SIt ſphæroides latum cujus axis A B, centrum C, ſectio
33TAB. XIII.
Fig
. 5.
per axem ellipſis A D B E.
Sit rurſus focorum alteruter F, diviſâque bifariam F C
in
G, intelligatur parabola A G B quæ baſin habeat axem
A
B, verticem vero punctum G.
Sitque inter dimatrum D E,
&
rectam curvæ parabolicæ A G B æqualem, media
164104CHRISTIANI HUGENII portionalis linea H. Erit hæc radius circuli qui ſuperficiei
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLURIO-
NE.
ſphæroidis propoſiti æqualis ſit.
Conoidis hyperbolici ſuperficiei curvæ circulum
æqualem
invenire.
ESto conoides hyperbolicum cujus axis A B, ſectio per
22TAB. XIV.
Fig
. 4.
axem hyperbola C A D, cujus latus tranſverſum E A,
centrum
F, latus rectum A G.
Sumatur in axe recta A H, æqualis dimidio lateri recto
A
G.
& ut H F ad A F longitudine ita, ſit A F ad F K
potentiâ
.
Et intelligatur vertice K alia hyperbola deſcripta
K
L M, eodem axe &
centro F cum priore, quæque late-
ra
rectum &
transverſum illi reciproce proportionalia habeat.
Occurrat autem ipſi producta B C in M, ſitque A L paralle-
la
B C.
Erit jam ſicut ſpatium A L M B, tribus rectis lineis
&
curva hyperbolica comprehenſum, ad dimidium quadra-
tum
ex B C, ita ſuperficies conoidis curva ad circulum ba-
ſeos
ſuæ, cujus diameter C D.
Unde conſtructio reliqua
facile
abſolvetur, poſitâ hyperbolæ quadraturâ.
Quum igitur conoidis parabolici ſuperficies ad circulum
redigatur
, æque ac ſuperficies ſphæræ, ex notis geometriæ
regulis
;
in ſuperficie ſphæroidis oblongi, ut idem fiat, po-
nendum
eſt arcus circumferentiæ longitudinem æquari poſſe
lineæ
rectæ.
Ad ſphæroidis vero lati, itemque ad conoidis
hyperbolici
ſuperficiem eadem ratione complanandam, hy-
perbolæ
quadratura requiritur.
Nam parabolicæ lineæ lon-
gitudo
, quam in ſphæroide hoc adhibuimus, pendet à qua-
dratura
hyperbolæ, ut mox oſtendemus.
Verum, quod non indignum animadverſione videtur, in-
venimus
absque ulla hyperbolicæ quadraturæ ſuppoſitione,
circulum
æqualem conſtrui ſuperficiei utrique ſimul, ſphæ-
roidis
lati &
conoidis hyperbolici.
Dato enim ſphæroide quovis lato, poſſe inveniri conoi-
des
hyperbolicum, vel contra, dato conoide hyperbolico,
poſſe
inveniri ſphæroides latum ejusmodi, ut utriusque
165
[Empty page]
16657[Figure 57]Pag. 104.
TAB
. XIII.
Fig
. 1.
H E M A F K G B D
58[Figure 58]Fig. 2.A F N E G B D59[Figure 59]Fig. 4.A G D C H E K F B60[Figure 60]Fig. 3.E B H X L D C A G D C61[Figure 61]Fig. 5.A D C G F E B H
167
[Empty page]
168105HOROLOG. OSCILLATOR. mul ſuperficiei exhibeatur circulus æqualis. cujus exemplum
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
in caſu uno cæteris ſimpliciore ſufficiet attuliſſe.
Sit ſphæroides latum cujus axis S I, ſectio per axem el-
lipſis
S T I K;
cujus ellipſis centrum O, axis major T K.
22TAB. XIV.
Fig
. 2.
ponatur autem ellipſis hæc ejusmodi, ut latus transverſum
T
K habeat ad latus rectum eam rationem, quam linea ſe-
cundum
extremam &
mediam rationem ſecta, ad partem ſui
majorem
.
Sumatur B C potentia dupla ad S O, item B A potentia
dupla
ad O K.
& ſint quatuor continue proportionales
B
C, B A, B F, B E, &
ponatur E P æqualis E A. In-
telligatur
jam conoides hyperbolicum Q F.
N, cujus axis
F
P;
axi adjecta, ſive {1/2} latus transverſum F B; dimidium
latus
rectum æquale B C.
Hujus conoidis ſuperficies curva, unà cum ſuperficie ſphæ-
roidis
S I, æquabitur circulo cujus datus erit radius M L,
qui
nempe poſſit quadratum T K cum duplo quadrato S I.
Curvæ parabolicæ æqualem rectam lineam
invenire
.
SIt parabolæ portio A B C, cujus axis B K, baſis A C
33TAB. XIV.
Fig
. 3.
axi ad angulos rectos;
& oporteat curvæ A B C rectam
æqualem
invenire.
Accipiatur baſi dimidiæ A K æqualis recta I E, quæ pro-
ducatur
ad H, ut ſit I H æqualis A G, quæ parabolam in
puncto
baſis A contingens, cum axe producto convenit in G.
Sit jam portio hyperbolæ D E F, vertice E, centro I de-
ſcriptæ
, cujusque diameter ſit E H;
baſis vero D H F or-
dinatim
ad diametrum applicata.
Latus rectum pro lubitu
ſumi
poteſt.
Quod ſi jam ſuper baſi D F intelligatur paral-
lelogrammum
conſtitutum D P Q F, quod portioni D E F
æquale
ſit;
ejus latus P Q ita ſecabit diametrum hyperbolæ
in
R, ut R I ſit æqualis curvæ parabolicæ A B, cujus du-
pla
eſt A B C.
Apparet igitur hinc quomodo à quadratura hyperbolæ
pendeat
curvæ parabolicæ menſura, &
illa ab hac viciſſim.
169106CHRISTIANI HUGENII
Quæcunque vero problemata ad alterum è duobus hiſce
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
reducuntur, quamlibet veræ proximam ſolutionem per nu-
meros
accipiunt, logarithmorum admirabili invento.
Cum
per
hos hyperbolæ quadratura, ut olim invenimus, numeris
quam
proxime explicetur.
Eſt autem regula hujusmodi.
Sit D A B portio hyperbolæ, cujus aſymptoti C S, C V,
22TAB. XV.
Fig
. 1.
ductis D E, B V parallelis aſymptoto S C.
Accipiatur differentia logarithmorum qui conveniunt nu-
meris
, eandem inter ſe rationem habentibus quam rectæ D E,
B
V;
ejusque differentiæ quæratur logarithmus. Cui adda-
tur
logarithmus hic (qui ſemper eſt idem) 0,36221,56887.
Summa erit logarithmus numeri qui ſpatium D E V B A D
deſignabit
, tribus rectis &
curva D A B comprehenſi, in
partibus
qualium parallelogrammum D E eſt 100000,00000.

Unde
porro facile quoque habebitur area portionis D A B.
Sit ex. gr. proportio D E ad B V ea quæ 36 ad 5.
33
Ab
# 1,55630,25008, logaro. 36.
auferatur
# 0,69897,00043.logarus. 5.
Erit
# 0,85733,24965.differ.logarorum.
Et
# 9,93314, 92856.logarus.differentiæ.
Cui
addatur # 0,36221,56887.logarus.ſemper addendus.
Fit
# 10,29536,49743. logarus. ſpatii D E V B A D.
Habebit hujus logarithmi numerus 11 characteres, quum
characteriſtica
ſit 10.
Quæratur itaque primo numerus pro-
xime
minor, conveniens invento logarithmo, qui numerus
eſt
19740.
Deinde ex differentia logarithmi ejusdem, & pro-
xime
eum in tabula ſequentis, reliqui characteres eliciantur
81026
, ſcribèndi poſt priores, ut fiat 197408, 10260, addi-
to
ad ſinem zero, ut efficiatur numerus characterum 11.
Eſt
ergo
area ſpatii D E V B A D proxime partium 197408,
10260
, qualium partium parallelogrammum D C eſt 100000,
00000
.
170
[Empty page]
17162[Figure 62]Pag. 106.
TAB
. XIV.
Fig
. 2.
T B M S O I C A F K E L Q P N
63[Figure 63]Fig. 1.E F K L A G H M C B D64[Figure 64]Fig. 3.I G E B P R Q A K C D H F
172
[Empty page]
173107HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO X.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
LIneas curvas exhibere quarum evolutione elli-
pſes
&
hyperbolæ deſcribantur, rectasque in-
venire
iisdem curvis æquales.
Sit ellipſis vel hyperbole quælibet A B, cujus axis trans-
22TAB. XV.
Fig
. 2. & 3.
verſus A C;
centrum figuræ D; latus rectum duplum ipſius
A
E.
Et ſumpto in ſectione quovis puncto, ut B, applice-
tur
ordinatim ad axem recta B K, &
ad dictum punctum B
tangens
ducatur quæ conveniat cum axe in F;
ſitque B G
ipſi
F B perpendicularis, axique occurrat in G;
& produ-
catur
B G usque ad H, ut B H ad H G habeat rationem
eam
quæ componitur ex rationibus G F ad F K, &
A D
ad
D E.
Dico curvam E H M, cujus puncta omnia inveniuntur
eodem
modo quo punctum H, eſſe eam cujus evolu-
tione
, unà cum recta E A, deſcribetur ſectio A B.
Ipſam
autem
B H tangere curvam in H, &
eſſe toti H E A æqua-
lem
.
Quamobrem, ſi ab H B auferatur E A, reliqua recta
portioni
curvæ H E æquabitur.
Apparet autem, cum cur-
puncta quævis indifferenter, certaque ratione invenian-
tur
, eſſe eam utrobique ex earum genere, quæ merè geo-
metricæ
cenſentur.
Unde & relatio horum omnium puncto-
rum
ad puncta axis A C, æquatione aliqua exprimi poterit,
quam
æquationem ad ſextam dimenſionem aſcendere invenio;
minimumque habere terminorum, ſi fuerit A B hyperbola
cujus
latera transverſum rectumque æqualia.
Tunc enim du-
cta
ex quovis curvæ puncto, ut H, ad axem C A N per-
pendiculari
H N;
vocatâque A C, a; C N, x; & N H,
y
;
erit ſemper cubus ab x x-y y-a a æqualis 27 x x y y a a.
Sed
hoc caſu brevius quoque multo, quam prædicta con-
ſtructione
, curvæ E H M puncta reperiri poſſunt, ut in ſe-
quentibus
oſtendetur.
Cæterum notandum eſt, in ellipſi ſingulos quadrantes ſin-
gularum
linearum evolutione deſcribi;
ſicut quadrans A B
174108CHRISTIANI HUGENII evolutione lineæ A E H M, quadrans C L evolutione ſimi-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
lis huic oppoſitæ C O M.
Eſt enim hæc in ſectione utraque
diverſitas
, quod cum principium quidem curvæ E H M,
tam
in ellipſi quam in hyperbola, ſit punctum E, ſumpta
A
E æquali {1/2} lateris recti;
in hyperbola in infinitum inde
dicta
linea extenditur, at in ellipſi finitur in puncto axis
minoris
M, ſumpta L M æquali {1/2} lateris recti, ſecundum
quod
poſſunt ordinatim applicatæ ad dictum minorem axem.
Namque hos terminos eſſe hujus curvæ, facile apparebit or-
tum
ejus conſideranti, quodque in ellipſi eſt ſicut A D ad
D
E, ita L M ad M D.
Horum autem demonſtrationi non immorabimur, ſed ad
ipſam
methodum tradendam pergemus, qua &
curvæ ex
ſectionibus
conicis, &
aliæ innumeræ ex aliis quibuſcun-
que
datis inveniuntur.
PROPOSITIO XI.
DAtâ lineâ curvâ, invenire aliam cujus evolu-
tione
illa deſcribatur;
& oſtendere quod ex
unaquaque
curva geometrica, alia curva itidem
geometrica
exiſtat, cui recta linea æqualis dari
poſſit
.
Sit curva quæpiam, vel pars ejus, in partem unam infle-
22TAB. XV.
Fig
. 4. & 5.
xa A B F, &
recta K L, ad quam puncta omnia referan-
tur
;
& oporteat invenire curvam aliam, ut D E, cujus
evolutione
ipſa A B F deſcribatur.
Ponatur jam inventa; & quoniam tangentes omnes curvæ
D
E, neceſſe eſt occurrere lineæ A B F, ex evolutione de-
ſcriptæ
, ad angulos rectos;
patet quoque viciſſim eas quæ
ipſi
A B F ad rectos angulos inſiſtunt, ut B D, F E, ta-
cturas
evolutam C D E.
Intelligantur autem puncta B, F, inter ſe proxima; & ſi-
quidem
à parte A evolutio incipere ponatur, ulteriuſque in-
de
diſtet F quam B, etiam contactus E ulterius quam
175109HOROLOG. OSCILLATOR. ſtabit ab A; interſectio vero rectarum B D, F E, quæ eſt
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
G, cadet ultra punctum D in recta B D.
Nam concurrere
ipſas
B D, F E neceſſe eſt, cum curvæ B F ad partem ca-
vam
inſiſtant rectis angulis.
Quanto autem punctum F ipſi B propinquius fuerit, tanto
propius
quoque puncta D, G &
E convenire apparet; ideo-
que
, ſi interſtitium B F infinite parvum intelligatur, tria
dicta
puncta pro uno eodemque erunt habenda;
ac præterea,
ductâ
rectâ B H, quæ curvam in B tangat, eadem quoque
pro
tangente in F cenſebitur.
Sit B O parallela K L, &
in
hanc perpendiculares cadant B K, F L:
ſecetque F L
rectam
B O in P, &
ſint puncta notata M, N, in quibus
rectæ
, B D, F E, occurrant ipſi K L.
Quia igitur ratio
B
G ad G M eſt eadem quæ B O ad M N, data hac dabi-
tur
&
illa; & quia recta B M datur magnitudine ac po-
ſitione
, dabitur &
punctum G in producta B M, ſive D
in
curva C D E, quia G &
D in unum convenire diximus.
Datur autem ratio B O ad M N, ſimpliciter quidem in
Cycloide
, ubi primùm omnium illam inveſtigavimus, inve-
nimuſque
duplam;
in aliis vero curvis, quas hactenus exa-
minavimus
, per duarum datarum rationum compoſitionem.

Nam
quia ratio B O ad M N componitur ex rationibus B O
ad
B P, ſive N H ad L H, &
ex B P ſive K L ad M N;
patet
, ſi rationes utræque dentur etiam ex iis compoſi-
tam
rationem B O ad M N datum iri.
Illas vero dari in o-
mnibus
curvis geometricis, in ſequentibus patebit;
ac proin-
de
iis ſemper curvas adſignari poſſe, quarum evolutione de-
ſcribantur
, quæque ideo ad rectas lineas ſint reducibiles.
Ponatur primò parabola eſſe A B F, cujus vertex A,
22TAB. XVI.
Fig
. 2.
axis A Q.
Cum igitur lineæ B M, F N, ſint parabolæ ad
angulos
rectos;
ductæque ſint ad axem A Q perpendicula-
res
B K, F L;
erunt, ex proprietate parabolæ, ſingulæ
M
K, N L dimidio lateri recto æquales;
& ablata commu-
ni
L M, æquales inter ſe K L, M N.
Hinc, quum ratio
B
G ad G M componatur ex rationibus N H ad H L, &

K
L ad M N, uti dictum fuit, ſitque earum poſterior
176110CHRISTIANI HUGENII æqualitatis; liquet rationem B G ad G M fore eandem quæ N H
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
ad H L;
& dividendo, B M ad M G, eandem quæ N L
ad
L H, ſive M K ad K H;
nam L H, K H pro eadem
habentur
, propter propinquitatem punctorum B, F.
Data
autem
eſt ratio M K ad K H, dato puncto B;
quoniam
tam
M K, quam K H dantur magnitudine;
nam M K
æquatur
dimidio lateri recto, K H vero duplæ K A.
Dataque
etiam
eſt poſitione &
magnitudine recta B M. Ergo & M G
data
erit, adeoque &
punctum G, ſive D, in curva R D E;
quod nempe invenitur productâ B M uſque in G, ut ſit
B
M ad M G ſicut {1/2} lateris recti ad duplam K A.
Et ſic quidem, adſumptis in parabola A B F aliis quotli-
bet
punctis præter B, totidem quoque puncta lineæ R D E,
ſimili
ratione, invenientur;
atque hoc ipſo lineam R D E
geometricam
eſſe conſtat, unáque proprietas ejus innoteſcit,
ex
qua cæteræ deduci poſſunt.
Ut ſi inquirere deinde veli-
mus
, quanam æquatione exprimatur relatio punctorum
omnium
curvæ C D E ad rectam A Q:
ducta in hanc perpen-
diculari
D Q, vocatoque latere recto parabolæ A B F, a;
A K, b; A Q, x; Q D, y. Quoniam ratio B M ad M D,
hoc
eſt, K M ad M Q, eſt ea quæ {1/2} a ad 2 b, eſtque ipſa
K
M = {1/2} a, erit &
M Q æqualis 2 b. Eſt autem M A = {1/2}
a
+ b.
ergo A Q ſive x æqualis 3 b + {1/2} a. Unde b = {1/3} x
-
{1/6} a.
Porro quoniam, ſicut quadratum M K, hoc eſt, {1/4} a a
ad
quadratum K B, hoc eſt, a b, ita qu.
M Q, hoc eſt,
4
b b ad qu.
Q D; erit qu. Q D, ſive y y = {16b3/4}. Ubi, ſi in
locum
b ſubſtituatur {1/3} x - {1/6}a, quod illi æquale inventum eſt,
fiet
y y = 16.
cub. {1/3} x - {1/6} a diviſis per a. Ac proinde {27/16} a y y
= cubo ab x - {1/2} a.
Accipiatur A R in axe parabolæ = {1/2} a;
eritque
R Q = x - {1/2} a.
Curvam igitur C D ejus naturæ eſſe
liquet
, ut ſemper cubus lineæ R Q æquetur parallelepipedo,
cujus
baſis qu.
Q D, altitudo {27/16} a; ac proinde ipſam para-
boloidem
eſſe, cujus evolutione deſcribi parabolam A B ſu-
pra
oſtendimus;
cujus nimirum paraboloidis latus rectum æ-
quetur
{27/16} lateris recti parabolæ A B.
tunc enim hujus latus
rectum
æquale fit {15/27} lateris recti paraboloidis, quemadmo-
dum
ibi fuit deſinitum.
177111HOROLOG. OSCILLATOR.
Quomodo porro ratio O B ad B P, ſive N H ad H L,
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
non tantum cum A B F parabola eſt, ſed etiam alia quæli-
bet
curva geometrica, ſemper inveniri poſſit manifeſtum eſt.
Quoniam tantum recta F H ducenda eſt, quæ curvam in
22TAB. XV.
Fig
. 4. & 5.
adſumpto puncto F tangat, &
F N ipſi F H perpendicu-
laris
:
unde N H & H L datæ erunt, ac proinde ratio quo-
que
earum data.
At non æque liquet quo pacto ratio K L ad M N innoteſcat,
quam
tamen ſemper quoque reperiri poſſe ſic oſten-demus.
Sint rectæ K T, L V, perpendiculares ſuper K L, ſit-
que
K T æqualis K M, &
L V æqualis L N, & ducatur
V
X parallela L N, quæ occurrat ipſi K T in X.
Quo-
niam
ergo ſemper eadem eſt differentia duarum L K, N M,
quæ
duarum L N, K M, hoc eſt, quæ duarum L V, K T;
eſt autem differentiæ ipſarum L V, K T æqualis X T, &
X
V ipſi L K;
erit proinde N M æqualis duabus ſimul
V
X, X T, vel ei quo V X ipſam X T ſuperat.
Atque
adeo
, ſi data fuerit ratio V X ad X T, data quoque erit
ratio
V X ad utramque ſimul V X, X T, vel ad exceſſum V X
ſupra
X T, hoc eſt, data erit ratio V X ſive L K ad N M.
Sciendum eſt autem, quoniam K T ipſi K M, & L V
ipſi
L N, æquales ſumptæ ſunt, locum punctorum T, V,
fore
lineam quandam vel rectam vel curvam datam, ut mox
oſtendetur
.
Et ſiquidem ſit linea recta; ut contingit ſi A B F
coni
ſectio fuerit, &
K L axis ejus; conſtat rationem V X
ad
X T datam fore, data poſitione ipſius lineæ V T, quæ
locus
eſt puuctorum V, T;
ſemperque eandem tunc haberi
dictam
rationem, qualecunque fuerit intervallum K L.
At ſi locus alia linea curva fuerit, diverſa erit ratio V X
ad
X T, prout majus minuſve fuerit intervallum K L.
In-
quirendum
eſt autem quænam futura ſit iſta ratio, cum K L
infinite
parvum imaginamur, quoniam &
puncta B, F, pro-
xima
invicem poſuimus.
Similiter itaque & puncta V, T,
lineæ
curvæ minimam particulam intercipere intelligendum
eſt
;
unde recta V T, cum ea quæ in T curvam contingit,
coincidet
.
Sit ergo tangens illa T Y; poteſt enim duci
178112CHRISTIANI HUGENII niam curva, ad quam ſunt puncta T, V, geometrica eſt.
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
Ratio igitur Y K ad K T data erit, adeoque &
V X ad
X
T.
ex qua etiam rationem L K ad N M dari oſtendimus.
Quænam vero ſit linea ad quam ſunt puncta T, V, in-
venitur
ponendo certum punctum S in recta K L, &
vocan-
do
S K, x;
K T, y. Nam quia data eſt curva A B F,
eique
B M ad angulos rectos ducta, invenietur inde quanti-
tas
lineæ K M, per methodum tangentium à Carteſio traditam,
quæ
ipſi K T, ſive y æquabitur, &
ex ea æquatione, natura
curvæ
T V innoteſcet, ad quam deinde tangens ducenda
eſt
.
Sed clariora omnia fient ſequenti exemplo.
Sit A B F paraboloides illa, cui ſuperius rectam æqua-
22TAB. XVI.
Fig
. 3.
lem invenimus;
in qua nempe cubi perpendicularium in
rectam
S K, ſint inter ſe ſicut quadrata ex ipſa S K abſciſ-
ſarum
.
Et oporteat invenire curvam C D E cujus evolu-
tione
paraboloides S B F deſcribatur.
Hic primum ratio B O ad B P facile invenitur, quia
tangentem
paraboloidis in puncto B duci ſcimus, ſumpta S H
æquali
{1/2} S K.
Cui tangenti cum B M ad angulos rectos in-
ſiſtat
, dantur jam lineæ M H, H K, ac proinde earum in-
ter
ſe ratio, quæ eſt eadem quæ O B ad B P.
Ut autem ratio B P, ſive K L ad M N innoteſcat, po-
nantur
ad K L perpendiculares rectæ K T, L V, æquales
ſingulis
K M, L N, ſitque V X parallela L K.
Jam quia
ex
duabus ſimul K L, L N, auferendo K M, relinquitur
M
N ;
hoc eſt, auferendo ex duabus X V, V L, ſive

3
33In Exemplari ſuo ad marginem ſcripſit Auctor. ſupponitur hic rectam L N
majorem
eſſe quam K M, quod melius fuerat antea probari, etſi verum eſt.
Demonſtratio
autem haud difficilis eſt, ſit abſciſſa S K = x; perpendicularis K B
= u; Tatus rectum paraboloidis = a. Quia S H = {1/2} SK, eſt H K = {3/2} S K
({3/2}x). Propter angulum rectum H B M, triangula rectangula H B K, K B M
ſimilia
ſunt, & H K ({3/2}x), K B (u), K M, ſunt in continua proportione; ergo
K
M = {2uu/3x}, cujus quadratum eſt {4u4./9xx} = {4au4./9axx}; ſed ut notavit auctor ex natu-
ra
Paraboloidis A B F, u3 = axx; ergo quadratum lineæ K M = {4au4/9axx} = {4au4/9u3} =
{4/9} a u unde ſequitur ipſam K M, augeri ſi creſcat B K (u). Cum autem L F exce-
dat
B K, L N ſuperabit K M, quod demonſtrandum erat.
179
[Empty page]
18065[Figure 65]Pag. 112.
TAB
. XV.
Fig
. 1.
S D A B C E V
66[Figure 66]Fig. 2.F A E B K G H N L D M O C67[Figure 67]Fig. 3.C D F A B K E G N H68[Figure 68]Fig. 5.S M A N B K X T P L F V O C Y D E G H69[Figure 69]Fig. 4.Y H A S B K T X F L V P O M N C D G E
181
[Empty page]
182113HOROLOG. OSCILLATOR. X V, X K, ipſam K T; hinc autem relinqui apparet V X
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
&
X T: erunt igitur duæ V X, X T ipſi M N æqua-
les
, ac proinde ratio K L ad M N eadem quæ V X ad
duas
ſimul V X, X T.
Ut autem hæc ratio innoteſcat cum
intervallum
K L eſt minimum;
oportet ſecundum prædicta
inquirere
quis ſit locus, ſive linea ad quam ſunt puncta
T
, V.
Quod ut fiat ſit latus rectum paraboloidis A B F = a;
S K = x; K T = y.
Quia igitur proportionales ſunt K H, K B, K M, eſt-
que
H K = {1/2} x:
K B ex natura paraboloidis æqualis R.
cub. a x x: fiet K M, hoc eſt K T = {2/3} R. cub. a a x = y,
ac
proinde {8/27} a a x = y3.
Unde patet locum punctorum T,
V
, eſſe paraboloidem illam, quam cubicam vocant geome-
træ
.
Cui proinde ad T tangens ducetur, ſumptâ S Y duplâ
ipſius
S K, junctâque Y T.
Et jam quidem ratio V X ad
duas
ſimul V X, X T, quam diximus eandem eſſe ac K L
ad
M N, erit ea quæ Y K ad utramque ſimul Y K, K T.

Hæc
autem ratio data eſt, ergo &
ratio K L ad M N. Sed
&
rationem O B ad P B datam eſſe oſtenſum eſt. Ergo,
cum
ex duabus hiſce componatur ratio B D ad D M, ut ſu-
pra
patuit, dabitur &
hæc; & dividendo, ratio B M ad
M
D;
adeoque & punctum D in curva D E.
Ad conſtructionem autem breviſſimam hoc pacto hic per-
veniemus
.
K T ſive K M dicta fuit y. Itaque M H erit y
+ {3/2} x.
Et M H ad H K, ſive O B ad B P, ut y + {3/2} x
ad
{3/2} x.
ſive, ſumptis omnium duplis, ut 2 y + 3 x ad 3 x.
Deinde quia Y K = 3 x, erit Y K ad Y K + K T, ſi-
ve
per prædicta, K L ad M N, ut 3 x ad 3 x + y.
Atqui
ex
rationibus O B ad B P, &
K L ad M N, componi di-
ximus
rationem B D ad D M.
Ergo ratio B D ad D M erit
compoſita
ex rationibus 2 y + 3 x ad 3 x, &
3 x ad 3 x
+ y;
ideoque erit ea quæ 2 y + 3 x ad 3 x + y. & divi-
dendo
, ratio B M ad M D, eadem quæ y ad 3 x + y.
Sit S Z perpendicularis ad S K, eique occurrat M B pro-
ducta
in Z.
Quia ergo ratio B M ad M D inventa eſt ea quæ
y
ad y + 3 x, hoc eſt quæ M K ad M K + 3 K S.
Sicut
183114CHRISTIANI HUGENII tem M K ad M K + 3 K S, ita M B ad M B + 3 B Z:
11De linea-
RUMCUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
erit proinde M B ad M D ut M B ad M B + 3 B Z.
Un-
de
liquet M D æqualem ſumendam ipſi M B + 3 B Z.
At-
que
ita quotlibet puncta curvæ C D E invenire licebit.
Cu-
jus
curvæ portio quælibet ut D S, rectæ D B, quæ para-
boloidi
S A B ad angulos rectos occurrit, æqualis erit.
Conſtat autem geometricam eſſe, & ſi velimus, poſſumus
æquatione
aliqua relationem exprimere punctorum omnium
ipſius
ad puncta axis S K.
Simili modo autem, ſi inquiramus in paraboloide illa ſive
22TAB. XVII.
Fig
. 1.
parabola cubica, in qua cubi ordinatim applicatarum ad
axem
, ſunt inter ſe ſicut portiones axis abſciſſæ, inveniemus
curvam
cujus evolutione deſcribitur, quæque proinde rectæ
lineæ
æquari poterit, nihilo difficiliori conſtructione per pun-
cta
determinari.
Nam ſi fuerit illa S A B; axis S M; (di-
citur
autem improprie axis in hac curva, cum forma ejus ſit
ejusmodi
, ut ductâ S Z, quæ ſecet S M ad angulos rectos,
ea
portiones ſimiles curvæ habeat ad partes oppoſitas;)
aga-
rur
per punctum quodlibet B, in paraboloide ſumptum, re-
cta
B D, quæ curvam ad angulos rectos ſecet, axique ejus
occurrat
in M, rectæ vero S Z in Z.
Deinde ſumatur B D
æqualis
dimidiæ B M, unà cum ſesquialtera B Z.
Eritque
D
unum è punctis curvæ quæſitæ R D vel R I, cujus evo-
lutione
, juncta tamen recta quadam R A, deſcribetur para-
boloides
S A B.
Sunt autem hic, quod notatu dignum eſt,
quodque
in aliis etiam nonnullis harum paraboloidum con-
tingit
, duæ evolutiones in partes contrarias, quarum utra-
que
à puncto certo A initium capit;
ita ut evolutione ipſius
A
R D, in infinitum porro continuatæ, deſcribatur para-
boloidis
pars infinita A B F;
evolutione autem totius A R I,
ſimiliter
in infinitum extenſæ, tantum particula A S.
Pun-
ctum
autem A definitur, ſumptâ S P quæ ſit ad latus re-
ctum
paraboloidis, ſicut unitas ad radicem quadrato-qua-
draticam
numeri 91125, (is cubus eſt ex 45) applicatâque
ordinatim
P A.
Unde porro punctum R, confinium dua-
rum
curvarum R D, R I, invenitur ſicut cætera omnia
184
[Empty page]
18570[Figure 70]Pag. 114.
TAB
. XVI.
Fig
. 1.
M F E A K G N H B D C
71[Figure 71]Fig. 2.H A K B R P F L O M N D Q G E72[Figure 72]Fig. 3.Y H A S Z X T K B V L P F O C M N D G E
186
[Empty page]
187115HOROLOG. OSCILLATOR. rum curvarum, hoc eſt, ſicut punctum D modo inventum
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
fuit.
Denique, quæcunque fuerit ex paraboloidum genere cur-
va
S A B, ſemper æque facile curvam aliam, cujus evolu-
tione
ipſa deſcribatur, quæque propterea rectæ adæquari
poſſit
, per puncta inveniri comperimus.
Atque adeo con-
ſtructionem
univerſalem ſequenti tabella exhibemus;
quæ
quousque
libuerit extendi poterit.
22
# a x = y2 # # B M + 2 B Z
# a2 x = y3 # # {1/2} B M + {3/2} B Z
Si
# a x2 = y3 # Erit # 2 B M + 3 B Z # = # B D.
# a x3 = y4 # # 3 B M + 4 B Z
# a3 x = y4 # # {1/3} B M + {4/3} B Z
Sit S B parabola, vel paraboloidum aliqua, cujus vertex
33TAB XVII.
Fig
. 2.
S;
recta S K vel axis, vel axi perpendicularis, ad quam re-
feruntur
æquatione puncta paraboloidis;
& ipſa quidem S K
ſemper
ad partem cavam ducta intelligitur;
cui perpendicu-
laris
S Z.
Ponendo jam S K = x; B K = y, quæ à pun-
cto
quovis curvæ perpendicularis eſt ipſi S K;
& latere re-
cto
curvæ = a;
prior pars tabellæ, quæ ad ſiniſtram eſt,
naturam
ſingularum paraboloidum ſingulis æquationibus ex-
plicat
.
Quibus reſpondent in parte dextra quantitates lineæ
B
D, quæ ſi curvæ S B inſiſtat ad angulos rectos, exhibi-
tura
ſit punctum D in curva quæſita C D.
Exempli gratia,
ſi
S B eſt parabola quæ ex coni ſectione fit, ei ſcimus con-
venire
æquationem tabellæ primam, a x = y2;
cui reſpon-
det
ab altera parte B M + 2 B Z = B D.
Unde longitudo
lineæ
B D cognoſcitur, adeoque inventio quotlibet puncto-
rum
curvæ C D.
Quam quidem, hoc caſu, paraboloidem
eſſe
ſupra demonſtratum fuit, eam nempe, cujus æquatio
tertia
eſt hujus tabellæ.
Conſtruitur autem tabella hoc pacto, ut B M ſumatur
multiplex
ſecundum numerum qui eſt exponens poteſtatis x
in
æquatione;
B Z vero, multiplex ſecundum exponentem
poteſtatis
y;
ex his autem utrisque compoſitæ accipiatur
pars
denominata ab exponente poteſtatis a.
188116CHRISTIANI HUGENII
Præter haſce autem paraboloides lineas, alias item inve-
11De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
nimus, à quibus, non abſimili conſtructione, deducuntur
curvæ
rectis comparabiles.
Aſſimilantur autem hyperbolis,
eo
quod aſymptotos ſuas habent, ſed tantum angulum re-
ctum
conſtituentes.
Et harum primam quidem ſtatuimus hy-
perbolam
ipſam, quæ eſt è coni ſectione.
Reliquarum vero naturam ut explicemus; ſunto P S, S K,
22TAB. XVII.
Fig
. 3.
aſymptoti curvæ A B, rectum angulum comprehendentes,
&
à curvæ puncto quolibet B ducatur B K parallela P S,
ſitque
S K = x;
K B = y. Si igitur hyperbola ſit A B,
ſcimus
rectangulum linearum S K, K B, hoc eſt, rectan-
gulum
x y ſemper eidem quadrato æquale eſſe, quod voce-
tur
a a.
Proxima vero hyperboloidum erit, in quaſolidum ex qua-
drato
lineæ S K, in altitudinem K B ductum, hoc eſt, ſo-
lidum
x x y, cubo certo æquabitur, qui vocetur a3.
Atque
ita
innumeræ aliæ hujus generis hyperboloides exiſtunt, qua-
rum
proprietatem ſequens tabella fingulis æquationibus ex-
hibet
, ſimulque rationem conſtruendi curvam D C, cujus
evolutione
quæque generetur.
33
# x y = a2 # # {1/2} B M + {1/2} B Z
# x2 y = a3 # # {2/3} B M + {1/3} B Z
Si
# x y2 = a3 # Erit # {1/3} B M + {2/3} B Z # = B D
# x3 y = a4 # # {3/4} B M + {1/4} B Z
# x y3 = a4 # # {1/4} B M + {3/4} B Z
Recta D B M Z curvam A B, ut antea quoque, ſecat
ad
angulos rectos, occurritque aſymptotis S K, S P, in M
&
Z. Si igitur exempli gratia hyperbola fuerit A B, cujus
æquatio
eſt x y = a2, ſumetur B D = {1/2} B M + {1/2} B Z,
quemadmodum
tabella præcipit.
Eritque punctum Din cur-
va
D C quæſita, cujus alia quotlibet puncta ſic inveniri po-
terunt
, &
portio ejus quælibet rectæ lineæ adæquari. Et
hæc
quidem eadem illa eſt curva, cujus relationem ad axem
hyperbolæ
ſuperius æquatione expreſſimus.
Conſtructio au-
tem
tabellæ hujus plane eadem eſt quæ ſuperioris.
Cæterum, quoniam tum ad harum curvarum, tum ad
189117HOROLOG. OSCILLATOR. rum quæ ex paraboloidibus naſcuntur conſtructionem, du-
11De linea-
RUMCUR.
VARUM
EVOLUTIO-
NE.
cendæ ſunt lineæ D B Z, quæ ad datum punctum B ſecent
curvas
A B, ſive ipſarum tangentes B H, ad angulos re-
ctos
;
dicemus in univerſum quomodo tangentes inve-
niantur
.
In æquatione itaque, quæ cujusque curvæ naturam
explicat
, quales æquationes duabus tabellis præcedentibus
exponuntur
, conſiderare oportet quæ ſint exponentes pote-
ſtatum
x &
y, & facere ut, ſicut exponens poteſtatis x ad
exponentem
poteſtatis y, ita ſit S K ad K H.
Juncta enim
H
B curvam in B continget.
Velut in tertia hyperboloide,
cujus
æquatio eſt x y2 = a3:
quia exponens poteſtatis x eſt
1
, poteſtatis autem y exponens 2;
oportet eſſe ut 1 ad 2 ita
S
K ad K H.
Horum autem demonſtrationem noverunt
analyticæ
artis periti, qui jam pridem omnes has lineas con-
templari
cœperunt;
& non ſolum paraboloidum iſtarum,
ſed
&
ſpatiorum quorundam infinitorum, inter hyperboloi-
des
&
aſymptotos interjectorum, plana ſolidaque dimenſi
ſunt
.
Quod quidem & nos, facili atque univerſali metho-
do
, expedire poſſemus, ex ſola tangentium proprietate ſum-
pta
demonſtratione.
Sed illa non ſunt hujus loci.
73[Figure 73]
HOROLOGII OSCILLATORII
PARS
QUARTA.
De centro Oſcillationis.
CEntrorum Oſcillationis, ſeu Agitationis, inveſtigatio-
nem
olim mihi, fere adhuc puero, aliiſque multis, do-
ctiſſimus
Merſennus propoſuit, celebre admodum inter illius
temporis
Geometras problema, prout ex litteris ejus ad me
datis
colligo, nec non ex Carteſii haud pridem editis, qui-
bus
ad Merſennianas ſuper his rebus reſponſum continetur.
Poſtulabat autem centra illa ut invenirem in circuli
190118CHRISTIANI HUGENII bus, tam ab angulo quam à medio arcu ſuſpenſis, atque in
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
latus agitatis, item in circuli ſegmentis, &
in triangulis,
nunc
ex vertice, nunc ex media baſi pendentibus.
Quod eo
redit
, ut pendulum ſimplex, hoc eſt, pondus filo appenſum
reperiatur
ea longitudine, ut oſcillationes faciat temporum
eorundem
ac figuræ iſtæ, uti dictum eſt, ſuſpenſæ.
Simul
vero
pretium operæ, ſi forte quæſitis ſatisfeciſſem, magnum
ſane
&
invidioſum pollicebatur. Sed a nemine id quod deſi-
derabat
tunc obtinuit.
Nam me quod attinet, cum nihil re-
perirem
quo vel primus aditus ad contemplationem eam pa-
teſceret
;
velut à limine repulſus, longiori inveſtigatione tunc
quidem
abſtinui.
Qui vero rem ſeſe confeciſſe ſperabant viri
inſignes
, Carteſius, Honoratus Fabrius, aliique, nequaquam
ſcopum
attigerunt, niſi in paucis quibuſdam facilioribus,
ſed
quorum tamen demonſtrationem nullam idoneam, ut mi-
hi
videtur, attulerunt.
Idque comparatione eorum quæ hic
trademus
manifeſtum fore ſpero, ſi quis forte quæ ab illis
tradita
ſunt, cum noſtris hiſce contulerit;
quæ quidem &
certioribus
principiis demonſtrata arbitror, &
experimentis
prorſus
convenientia reperi.
Occaſio vero ad hæc denuo ten-
tanda
, ex pendulorum automati noſtri temperandorum ratio-
ne
oblata eſt, dum pondus mobile, præter id quod in imo
eſt
, illis applico, ut in deſcriptione horologii fuit explica-
tum
.
Hinc melioribus auſpiciis atque à prima origine rem
exorſus
, tandem difficultates omnes ſuperavi, nec tantum
problematum
Merſennianorum ſolutionem, ſed alia quoque
illis
difficiliora reperi, &
viam denique, qua in lineis, ſu-
perficiebus
, ſolidiſque corporibus certa ratione centrum illud
inveſtigare
liceret.
Unde quidem, præter voluptatem inve-
niendi
quæ multum ab aliis quæſita fuerant, cognoſcendique
in
his rebus naturæ leges decretaque, utilitatem quoque
eam
cepi, cujus gratia primo animum ad hæc applicueram,
reperta
illa horologii temperandi ratione facili &
expedita.
Acceſſit autem hoc quoque, quod pluris faciendum arbitror,
ut
certæ, ſæculiſque omnibus duraturæ, menſuræ defini-
tionem
abſolutiſſimam per hæc tradere poſſem;
qualis eſt ea
quæ
ad finem horum adjecta reperietur.
191119HOROLOG. OSCILLATOR.
DEFINITIONES.
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
I.
PEndulum dicatur figura quælibet gravitate præ-
dita
, ſive linea fuerit, ſive ſuperficies, ſive ſo-
lidum
, ita ſuſpenſa ut circa punctum aliquod, vel
axem
potius, qui plano horizontis parallelus intel-
ligitur
, motum reciprocum vi gravitatis ſuæ con-
tinuare
poſſit.
II.
Axis ille horizontis plano parallelus, circa quem
penduli
motus fieri intelligitur, dicatur axis Oſcil-
cillationis
.
III.
Pendulum ſimplex dicatur quod filo vel linea in-
flexili
, gravitatis experte, conſtare intelligitur,
ima
ſui parte pondus affixum gerente;
cujus pon-
deris
gravitas, velut in unum punctum collecta,
cenſenda
eſt.
IV.
Pendulum verò compoſitum, quod pluribus pon-
deribus
conſtat, immutabiles diſtantias ſervantibus,
tum
inter ſe, tum ab axe Oſcillationis.
Hinc figura
quælibet
ſuſpenſa, ac gravitate prædita, pendu-
lum
compoſitum dici poteſt, quatenus cogitatu in
partes
quotlibet eſt diviſibilis.
V.
Pendula iſochrona vocentur, quorum
192120CHRISTIANI HUGENII nes, per arcus ſimiles, æqualibus temporibus per-
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
aguntur.
VI.
Planum Oſcillationis dicatur illud, quod per cen-
trum
gravitatis figuræ ſuſpenſæ duci intelligitur,
ad
axem oſcillationis rectum.
VII.
Linea centri, recta quæ per centrum gravitatis
figuræ
ducitur, ad axem oſcillationis perpendicula-
ris
.
VIII.
Linea perpendiculi, recta in plano oſcillationis,
ducta
ab axe oſcillationis, ad horizontis planum per-
pendicularis
.
IX.
Centrum oſcillationis vel agitationis figuræ cu-
juslibet
, dicatur punctum in linea centri, tantum
ab
axe oſcillationis diſtans, quanta eſt longitudo
penduli
ſimplicis quod figuræ iſochronum ſit.
X.
Axis gravitatis, linea quævis recta, per cen-
trum
gravitatis figuræ tranſiens.
XI.
Figura plana, vel linea in plano ſita, in pla-
num
agitari dicatur, cum axis oſcillationis in eo-
dem
cum figura lineave eſt plano.
193121HOROLOG. OSCILLATOR.
XII.
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
Eædem vero in latus agitari dicantur, cum axis
oſcillationis
ad figuræ lineæve planum rectus eſt.
XIII.
Quando pondera in rectas lineas duci dicentur,
id
ita eſt intelligendum, ac ſi numeri lineæve,
quantitates
ponderum rationemque inter ſemutuam
exprimentes
, ita ducantur.
HYPOTHESES.
I.
SI pondera quotlibet, vi gravitatis ſuæ, moveri
incipiant
;
non poſſe centrum gravitatis ex ipſis
compoſitæ
altius, quam ubi incipiente motu repe-
riebatur
, aſcendere.
Altitudo autem in his ſecundum diſtantiam à plano hori-
zontali
conſideratur, graviaque ponuntur ad hoc planum,
ſecundum
rectas ipſi perpendiculares, deſcendere conari.
Quod idem ab omnibus, qui de centro gravitatis egerunt,
vel
ponitur expreſſe, vel à legentibus ſupplendum eſt, cum abs-
que
eo centri gravitatis conſideratio locum non habeat.
Ipſa vero hypotheſis noſtra quominus ſcrupulum moveat,
nihil
aliud ſibi velle eam oſtendemus, quam quod nemo un-
quam
negavit, gravia nempe ſurſum non ferri.
Nam primo,
ſi
unum quodpiam corpus grave proponamus, illud vi gravi-
tatis
ſuæ altius aſcendere non poſſe extra dubium eſt.
aſcen-
dere
autem tunc intelligitur ſcilicet, cum ejus centrum gra-
vitatis
aſcendit.
Sed & idem de quotlibet ponderibus, in-
ter
ſe per lineas inflexiles conjunctis, concedi neceſſe eſt,
quoniam
nihil vetat ipſa tanquam unum aliquod conſiderari.
194122CHRISTIANI HUGENII Itaque neque horum commune gravitatis centrum ultro aſcen-
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
dere poterit.
Quod ſi jam pondera quotlibet non inter fe connexa po-
nantur
, illorum quoque aliquod commune centrum gravita-
tis
eſſe ſcimus.
Cujus quidem centri quanta erit altitudo,
tantam
ajo &
gravitatis ex omnibus compoſitæ altitudinem
cenſeri
debere;
ſiquidem omnia ad eandem illam centri gra-
vitatis
altitudinem deduci poſſunt, nullâ accerſitâ po-
tentiâ
quam quæ ipſis ponderibus ineſt, ſed tantum lineis
inflexilibus
ea pro lubitu conjungendo, ac circa gravitatis
centrum
movendo;
ad quod nulla vi neque potentia deter-
minata
opus eſt.
Quare, ſicut fieri non poteſt ut pondera
quædam
, in plano eodem horizontali poſita, ſupra illud
planum
, vi gravitatis ſuæ, omnia æqualiter attollantur;
ita
nec
quorumlibet ponderum, quomodocunque diſpoſitorum,
centrum
gravitatis ad majorem quam habet altitudinem per-
venire
poterit.
Quod autem diximus pondera quælibet,
nulla
adhibita vi, ad planum horizontale, per centrum
commune
gravitatis eorum tranſiens, perduci poſſe, ſic
oſtendetur
.
Sint pondera A, B, C, poſitione data, quorum commu-
22TAB. XVII.
Fig
. 4.
ne gravitatis centrum ſit D.
per quod planum horizontale
ductum
ponatur, cujus ſectio recta E F.
Sint jam lineæ in-
flexiles
D A, D B, D C, quæ pondera ſibi invariabiliter
connectant
;
quæ porro moveantur, donec A ſit in plano
E
F ad E.
Virgis vero omnibus per æquales angulos dela-
tis
, erunt jam B in G, &
C in H.
Rurſus jam B & C connecti intelligantur virgâ H G, quæ
ſecet
planum E F in F;
ubi neceſſario quoque erit centrum
gravitatis
binorum iſtorum ponderum connexorum, cum
trium
, in E, G, H, poſitorum, centrum gravitatis ſit D,
&
ejus quod eſt in E, centrum gravitatis ſit quoque in pla-
no
E D F.
Moventur igitur rurſus pondera H, G, ſuper
puncto
F, velut axe, absque vi ulla, ac ſimul utraque ad
planum
E F adducuntur, adeo ut jam tria, quæ prius erant
in
A, B, C, ad ipſam ſui centri gravitatis D
195
[Empty page]
19674[Figure 74]Pag. 122
TAB
. XVII.
Fig
. 1.
S A P B R M D I
75[Figure 75]Fig. 2.H S Z K B C M D76[Figure 76]Fig. 3.P S Z M A B K D H77[Figure 77]Fig. 4.H C A E D F B G
197
[Empty page]
198123HOROLOG. OSCILLATOR. ſuo ipſorum æquilibrio, translata appareat. quod erat oſten-
11De centr@
OSCILLA-
TIONIS.
dendum.
Eademque de quotcunque aliis eſt demonſtratio.
Hæc autem hypotheſis noſtra ad liquida etiam corpora
valet
, ac per eam non ſolum omnia illa, quæ de innatanti-
bus
habet Archimedes, demonſtrari poſſunt, ſed &
alia ple-
raque
Mechanicæ theoremata.
Et ſanè, ſi hac eadem uti
ſcirent
novorum operum machinatores, qui motum perpe-
tuum
irrito conatu moliuntur, facile ſuos ipſi errores depre-
henderent
, intelligerentque rem eam mechanica ratione haud-
quaquam
poſſibilem eſſe.
II.
Remoto aëris, alioque omni impedimento mani-
feſto
, quemadmodum in ſequentibus demonſtratio-
nibus
id intelligivolumus, centrum gravitatis pen-
duli
agitati, æquales arcus deſcendendo ac aſcen-
dendo
percurrere.
De pendulo ſimplici hoc demonſtratum eſt propoſitione 9
de
Deſcenſu gravium.
Idem vero & de compoſito tenendum
eſſe
declarat experientia;
ſiquidem, quæcunque fuerit pen-
duli
figura, æque apta continuando motui reperitur, niſi in
quantum
plus minusve aëris objectu impeditur.
PROPOSITIO I.
POnderibus quotlibet ad eandem partem plani
exiſtentibus
, ſi à ſingulorum centris gravitatis
agantur
in planum illud perpendiculares;
ſin-
gulæ
in ſua pondera ductæ, tantundem ſimul effi-
cient
, ac perpendicularis, à centro gravitatis pon-
derum
omnium in planum idem cadens, ducta in
pondera
omnia.
Sint pondera A, B, C, ſita ad eandem partem plani,
22TAB. XVII@
Fig
. 1.
199124CHRISTIANI HUGENII cujus ſectio recta D F, inque ipſum à ſingulis ponderibus
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ducantur perpendiculares A D, B E, C F.
Sit autem G
punctum
centrum gravitatis ponderum omnium A, B, C,
à
quo ducatur perpendicularis in idem planum G H.
Dico
ſummam
productorum, quæ fiunt à ſingulis ponderibus in
ſuas
perpendiculares, æquari producto ab recta G H in
omnia
pondera A, B, C.
Intelligantur enim perpendiculares, à ſingulis ponderibus
eductæ
, continuari in alteram partem plani D F, ſintque
ſingulæ
D K, E L, F M, ipſi H G æquales;
omnesque
lineæ
, inflexiles virgas referant, ad horizontem parallelas;
& ponantur in K, L, M, gravitates ejusmodi, quæ ſingu-
cum ſibi oppoſitis A, B, C, æquilibrium faciant ad in-
terſectionem
plani D E F.
Omnes igitur K, L, M, æqui-
ponderabunt
omnibus A, B, C.
Erit autem, ſicut longitu-
do
A D ad D K, ita pondus K ad pondus A, ac proinde
D
A ducta in magnitudinem A, æquabitur D K, ſive G H,
ductæ
in K.
Similiter E B in B æquabitur E L, ſive G H,
in
L;
& F C in C æquabitur F M, ſive G H, in M. Er-
go
ſumma productorum ex A D in A, B E in B, C F in
F
, æquabitur ſummæ productorum ex G H in omnes
K
, L, M.
Quum autem K, L, M, æquiponderent ipſis A,
B
, C, etiam iisdem A, B, C, ex centro ipſorum gravita-
tis
G ſuſpenſis, æquiponderabunt.
Unde, cum diſtantia
G
H æqualis ſit ſingulis D K, E L, F M, neceſſe eſt ma-
gnitudines
A, B, C, ſimul ſumptas, æquari ipſis
K
, L, M.
Itaque & ſumma productorum ex G H in omnes
A
, B, C, æquabitur productis ex D A in A, E B in B, &

F
C in C.
quod erat demonſtrandum.
Etſi vero in demonſtratione poſitæ fuerint rectæ A K, B L,
C
M, horizonti parallelæ, &
planum ad horizontem ere-
ctum
;
patet, ſi omnia ſimul in alium quemlibet ſitum trans-
ponantur
, eandem manere productorum æqualitatem, cum
rectæ
omnes ſint eædem quæ prius.
Quare conſtat propo-
ſitum
.
200125HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO II.
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
TAB
. XVIII.
Fig
. 1.
POſitis quæ prius, ſi pondera omnia A, B, C,
ſint
æqualia;
dico ſummam omnium perpendi-
cularium
A D, B E, C F, æquari perpendicula-
ri
, à centro gravitatis ductæ, G H, multiplici
ſecundum
ponderum numerum.
Quum enim ſumma productorum, à ponderibus ſingulis
in
ſuas perpendiculares, æquetur producto ex G H in pon-
dera
omnia;
ſitque hìc, propter ponderum æqualitatem,
ſumma
illa productorum æqualis producto ex uno pondere
in
ſummam omnium perpendicularium;
itemque productum
ex
G H in pondera omnia, idem quod productum ex pon-
dere
uno in G H, multiplicem ſecundum ponderum nume-
rum
:
patet ſummam perpendicularium neceſſario jam æquari
ipſi
G H, multiplici ſecundum ponderum numerum.
quod
erat
demonſtrandum.
PROPOSITIO III.
SI magnitudines quædam deſcendant omnes, vel
aſcendant
, licet inæqualibus intervallis;
alti-
tudines
deſcenſus vel aſcenſus cujusque, in ipſam
magnitudinem
ductæ, efficient ſummam producto-
rum
æqualem ei, quæ fit ex altitudine deſcenſus
vel
aſcenſus centri gravitatis omnium magnitudi-
num
, ducta in omnes magnitudines.
Sunto magnitudines A, B, C, quæ ex A, B, C, deſcen-
22TAB. XVIII.
Fig
. 2.
dant in D, E, F;
vel ex D, E, F, aſcendant in A, B, C.
Sitque earum centrum gravitatis omnium, dum ſunt in
A
, B, C, eadem altitudine cum puncto G;
cum vero ſunt in
D
, E, F, eadem altitudine cum puncto H.
Dico ſummam
productorum
ex altitudine A D in A, B E in B, C F in C,
æquari
producto ex G H in omnes A, B, C.
201126CHRISTIANI HUGENII
Intelligatur enim planum horizontale cujus ſectio recta
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
M P, atque in ipſum incidant productæ A D, B E, C F
&
G H, in M, N, O, P.
Quia igitur ſumma productorum ex A M in A, B N in B,
C
O in C, æqualis eſt facto ex G P in omnes A, B, C .
22Prop. 1.
huj
.
Similiterque ſumma productorum ex D M in A, E N in B,
F
O in C, æqualis facto ex H P in omnes A, B, C;
ſe-
quitur
&
exceſſum priorum productorum ſupra poſteriora,
æquari
facto ex G H in omnes magnitudines A, B, C.
Di-
ctum
vero exceſſum æquari manifeſtum eſt productis ex A D
in
A, B E in B, C F in C.
Ergo hæc ſimul etiam æqua-
lia
erunt producto ex G H in omnes A, B, C.
quod erat
demonſtrandum
.
PROPOSITIO IV.
SI pendulum è pluribus ponderibus compoſitum,
atque
è quiete dimiſſum, partem quamcunque
oſcillationis
integræ confecerit, atque inde porro
intelligantur
pondera ejus ſingula, relicto communi
vinculo
, celeritates acquiſitas ſurſum convertere,
ac
quousque poſſunt aſcendere;
hoc facto, centrum
gravitatis
ex omnibus compoſitæ, ad eandem alti-
tudinem
reverſum erit, quam ante inceptam oſcil-
lationem
obtinebat.
Sit pendulum compoſitum ex ponderibus quotlibet
33TAB. XVIII.
Fig
. 3. 4.
A, B, C, virgæ, vel ſuperficiei pondere carenti, inhæren-
tibus
.
Sitque ſuſpenſum ab axe per D punctum ducto, qui
ad
planum, quod hic conſpicitur, perpendicularis intelliga-
tur
.
In quo eodem plano etiam centrum gravitatis E, pon-
derum
A, B, C, poſitum ſit;
lineaque centri D E, incli-
netur
ad lineam perpendiculi D F, angulo E D F:
attra-
cto
, nimirum, eo uſque pendulo.
Hinc vero dimitti jam
ponatur
, ac partem quamlibet oſcillationis conficere, ita ut
pondera
A, B, C, perveniant in G, H, K.
Unde,
202127HOROLOG. OSCILLATOR. cto deinceps communi vinculo, ſingula intelligantur acqui-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ſitas celeritates ſurſum convertere, (quod impingendo in pla-
na
quædam inclinata, fieri poterit,) &
quouſque poſſunt
aſcendere
, nempe in L, M, N.
Quo ubi pervenerint, ſit
centrum
gravitatis omnium punctum P.
Dico hoc pari alti-
tudine
eſſe cum puncto E.
Nam primum quidem, conſtat P non altius eſſe quam E,
ex
prima ſumptarum hypotheſium.
Sed nec humilius fore ſic
oſtendemus
.
Sit enim, ſi poteſt, P humilius quam E, &
intelligantur
pondera ex iiſdem, ad quas aſcenderunt, alti-
tudinibus
recidere, quæ ſunt L G, M H, N K.
Unde
quidem
eaſdem celeritates ipſis acquiri conſtat, quas habe-
bant
ad aſcendendum ad iſtas altitudines , hoc eſt, eas 22Propoſ. 4.
part
. 2.
pſas quas acquiſierant motu penduli ex C B A D in
K
H G D.
Quare, ſi cum dictis celeritatibus ad virgam ſu-
perficiemve
, cui innexa fuere, nunc referantur, eique ſi-
mul
adhæreſcant, motumque ſecundum inceptos arcus con-
tinuent
;
quod fiet, ſi priuſquam virgam attingant, à planis
inclinatis
Q Q repercuſſa intelligantur;
abſolvet, hoc modo
reſtitutum
pendulum, oſcillationis partem reliquam, æquè
ac
ſi abſque ulla interruptione motum continuaſſet.
Ita ut
centrum
gravitatis penduli, E, arcus æquales E F, F R,
deſcendendo
ac aſcendendo percurrat, ac proinde in R ea-
dem
ac in E altitudine reperiatur.
Ponebatur autem E eſſe
altius
quam P centrum gravitatis ponderum in L, M, N,
poſitorum
.
Ergo & R altius erit quam P: adeoque ponde-
rum
ex L, M, N, delapſorum centrum gravitatis, altius,
quam
unde deſcenderat, aſcendiſſet.
quod eſt abſurdum . 33Hypoth. @
huj
.
Non igitur centrum gravitatis P humilius eſt quam E.
Sed
nec
altius erat.
Ergo æque altum ſit neceſſe eſt. quod erat
demonſtrandum
.
PROPOSITIO V.
DAto pendulo ex ponderibus quotlibet compoſito,
ſi
ſingula ducantur in quadrata
203128CHRISTIANI HUGENII ſuarum ab axe oſcillationis, & ſumma producto-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
rum dividatur per id quod fit ducendo ponderum
ſummam
, in diſtantiam centri gravitatis commu-
nis
omnium ab eodem axe oſcillationis;
orietur lon-
gitudo
penduli ſimplicis compoſito iſochroni, ſive di-
ſtantia
inter axem &
centrum oſcillationis ipſius
penduli
compoſiti.
Sint pondera pendulum componentia, (quorum nec figura
22TAB. XIX.
Fig
. 1. 2.
nec magnitudo, ſed gravitas tantum conſideretur), A, B, C,
ſuſpenſa
ab axe, qui per punctum D, ad planum quod conſpi-
citur
, rectus intelligitur.
In quo plano ſit quoque eorum cen-
trum
commune gravitatis E;
nam pondera in diverſis eſſe ni-
hil
refert.
Diſtantia puncti E ab axe, nempe recta E D, vo-
cetur
d.
Item ponderis A diſtantia A D, ſit e; B D, f;
C D, g. Ducendo itaque ſingula pondera in quadrata ſua-
rum
diſtantiarum, erit productorum ſumma a e e + b f f
+ c g g.
Et rurſus, ducendo ſummam ponderum in diſtan-
tiam
centri gravitatis omnium, productum æquale erit a d
+ b d + c d .
Unde, productum prius per hoc 33Prop. 1.
h@
.
do, habebitur {a e e + b f f + c @ @/a d + b d + c a}.
Cui longitudini ſi æqualis ſta-
tuatur
longitudo penduli ſimplicis F G, quæ etiam x vo-
cabitur
;
dico hoc illi compoſito iſochronum eſſe.
Ponantur enim tum pendulum F G, tum linea centri
D
E, æqualibus angulis à linea perpendiculi remota, illud
ab
F H, hæc ab D K, atque inde dimiſſa librari, &
in
recta
D E ſumatur D L æqualis F G.
Itaque pondus G
penduli
F G, integra oſcillatione arcum G M percurret,
quem
linea perpendiculi F H medium ſecabit.
punctum ve-
ro
L arcum illi ſimilem &
æqualem L N, quem medium
dividet
D K.
Itemque centrum gravitatis E, percurret ſi-
milem
arcum E I.
Quod ſi in arcubus G M, N L, ſum-
ptis
punctis quibuslibet, ſimiliter ipſos dividentibus, ut O
&
P, eadem celeritas eſſe oſtendatur ponderis G in O, &
puncti
L in P;
conſtabit inde æqualibus temporibus
204
[Empty page]
20578[Figure 78]Pag. 128.
TAB
. XVIII.
Fig
. 1.
A G C B D E H F K I M
79[Figure 79]Fig. 2.A C G B E F D H M N O P80[Figure 80]Fig. 3.D L Q A G Q M R E P. Q B F N H Q C Q K Q81[Figure 81]Fig. 4.N Q K C Q D L R E P F A Q G M Q Q H B Q
206
[Empty page]
207129HOROLOG. OSCILLATOR. que arcus percurri, ac proinde pendulum F G, pendulo
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
compoſito ex A, B, C, iſochronum eſſe.
Oſtendetur au-
tem
hoc modo.
Sit primo, ſi poteſt, major celeritas puncti L, ubi in P
pervenit
, quam ponderis G in O.
Conſtatautem, dum pun-
ctum
L percurrit arcum L P, ſimul centrum gravitatis E
percurrere
arcum ſimilem E Q.
Ducantur à punctis Q, P, O,
perpendiculares
ſurſum, quæ occurrant ſubtenſis arcuum
E
I, L N, G M, in R, S, Y.
& S P vocetur y. Unde,
cum
ſit ut L D, x, ad E D, d, ita S P, y, ad R Q;
erit
R
Q æqualis {d y/x}.
Jam quia pondus G eam celeritatem ha-
bet
in O, qua valet ad eandem unde deſcendit altitudinem
aſcendere
, nempe per arcum O M, vel perpendicularem
O
Y ipſi P S æqualem;
punctum igitur L, ubi in P per-
venerit
, majorem ibi celeritatem habebit, quam qua aſcen-
ditur
ad altitudinem P S.
Dum vero L tranſit in P, ſimul
pondera
A, B, C, ſimiles arcus percurrunt ipſi L P, nimirum
A
T, B V, C X.
Eſtque puncti L celeritas in P, ad celeri-
tatem
ponderis A in T, quum vinculo eodem contineantur,
ſicut
diſtantia D L ad D A.
Sed ut quadratum celeritatis
puncti
L, quam habet in P, ad quadratum celeritatis pun-
cti
A in T, ita eſt altitudo ad quam illa celeritate
aſcendi
poteſt, ad altitudinem quò hac celeritate aſcendi
poteſt
.
Ergo etiam, ut quadratum diſtantiæ D L, 22Prop. 3.
& 4. part. @.
eſt x x, ad quadratum diſtantiæ D A, quod eſt e e, ita eſt
altitudo
quo aſcenditur celeritate puncti L, quum eſt in P,
(quæ altitudo major dicta eſt quam P S ſive y,) ad altitu-
dinem
quo aſcenditur celeritate ponderis A in T;
ſi nempe
poſtquam
in T pervenit, relicto pendulo, ſeorſim motum
ſuum
ſurſum converteret.
Quæ proinde altitudo major erit
quam
{e e y/x x}.
Eadem ratione, erit altitudo ad quam aſcenderet pondus
B
, celeritate acquiſita per arcum B V, major quam {f f y/x x}.
Et
altitudo
ad quam aſcenderet pondus C, celeritate acquiſita
per
arcum C X, major quam {g g y/x x}.
Unde, ductis ſingulis
208130CHRISTIANI HUGENII titudinibus iſtis in ſua pondera, erit ſumma productorum
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
major quam {a e e y + b f f y + c g g y/x x}.
quæ proinde major quoque
probatur
quam {a d y + b d y + c d y/x}.
Nam quia poſita eſt longitudo
x
æqualis {a e e + b f f + g g/a d + b d + c d};
erit a d x + b d x + c d x æquale
a
e e + b f f + c g g.
Et ductis omnibus in y, & dividen-
do
per x x, erit {a d y + b d y + c d y/x} æquale {a e e y + b f f y + c g g y/x x}.
Unde
quod
dictum eſt conſequitur.
Eſt autem ſumma iſta produ-
ctorum
æqualis ei, quod fit ducendo altitudinem, ad quam
aſcendit
centrum gravitatis commune ponderum A, B, C, in
ſummam
ipſorum ponderum, a + b + c;
ſi nempe ſingu-
la
, uti dictum, ſeorſim quousque poſſunt moveantur.
Quan-
titas
vero {a d y + b d y + c d y/x} producitur ex deſcenſu centri gravi-
tatis
eorundem ponderum, (qui deſcenſus eſt R Q, ſive {d y/x},
ut
ſupra inventum fuit,) in eandem quoque ponderum ſum-
mam
a + b + c.
Ergo quum prius productum altero hoc
majus
oſtenſum fuerit, ſequitur aſcenſum centri gravitatis
ponderum
A, B, C, ſi, relicto pendulo ubi pervenere in
T
, V, X, ſingula celeritates acquiſitas ſurſum convertant,
majorem
fore ejusdem centri gravitatis deſcenſu, dum ex
A
, B, C, moventur in T, V, X.
quod eſt abſurdum, cum
dictus
aſcenſus deſcenſui æqualis eſſe debeat, per anteceden-
tem
.
Eodem modo, ſi dicatur celeritatem puncti L, ubi per-
venerit
in P, minorem eſſe celeritate ponderis G quum in O
pervenerit
;
oſtendemus aſcenſum poſſibilem centri gravitatis
ponderum
A, B, C, minorem eſſe quam deſcenſum, quod
eidem
propoſitioni antecedenti repugnat.
Quare relinquitur
ut
eadem ſit celeritas puncti L, ad P tranſlati, quæ ponde-
ris
G in O.
Unde, ut ſuperius dictum, ſequitur pendulum
ſimplex
F G compoſito ex A, B, C, iſochronum eſſe.
PROPOSITIO VI.
DAto pendulo ex quotcunque ponderibus æqua-
libus
compoſito;
ſi ſumma quadratorum
209131HOROLOG. OSCILLATOR. rum à diſtantiis, quibus unumquodque pondus ab-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
eſt ab axe oſcillationis, applicetur ad diſtantiam
centri
gravitatis communis ab eodem oſcillationis
axe
, multiplicem ſecundum ipſorum ponderum nu-
merum
, orietur longitudo penduli ſimplicis compo-
ſito
iſochroni.
Sint poſita eadem quæ prius, ſed pondera omnia inter ſe
æqualia
intelligantur, &
ſingula dicantur a. Rurſus vero
nulla
eorum magnitudo conſideretur, ſed pro minimis ha-
beantur
, quantum ad extenſionem.
Itaque penduli ſimplicis iſochroni longitudo, per propo-
ſitionem
antecedentem, erit {a e e + a f f + a g g/a d + a d + a d}.
Vel, quia quanti-
tas
diviſa ac dividens utraque per a dividitur, fiet nunc ea-
dem
longitudo, {e e + f f + g g/3d}.
Quo ſignificatur ſumma quadra-
torum
à diſtantiis ponderum ab axe oſcillationis, applicata
ad
diſtantiam centri gravitatis omnium ab eodem oſcillatio-
nis
axe, multiplicem ſecundum numerum ipſorum ponde-
rum
, qui hic eſt 3.
facile enim perſpicitur numerum hunc,
in
quem ducitur diſtantia d, reſpondere neceſſario ipſi pon-
derum
numero.
Quare conſtat propoſitum.
Quod ſi pondera æqualia in unam lineam rectam conjun-
cta
ſint, atque ex termino ejus ſuperiore ſuſpenſa;
conſtat
diſtantiam
centri gravitatis, ex omnibus compoſitæ, ab axe
oſcillationis
, multiplicem ſecundum ponderum numerum,
æquari
ſummæ diſtantiarum omnium ponderum ab eodem
oſcillationis
axe ;
ac proinde, hoc caſu, habebitur 22Prop. 2.
huj
.
longitudo penduli ſimplicis, compoſito iſochroni, ſi ſumma
quadratorum
à diſtantiis ponderum ſingulorum ab axe oſcil-
lationis
, dividatur per ſummam earundem omnium diſtan-
tiarum
.
210132CHRISTIANI HUGENII
DEFINITIO XIV.
11De centro
OSOILLA-
TIONIS.
SI fuerint in eodem plano, figura quædam, & li-
nea
recta quæ ipſam extrinſecus tangat;
& per
ambitum
figuræ alia recta, plano ejus perpendicu-
laris
, circumferatur, ſuperficiemque quandam de-
ſcribat
, quæ deinde ſecetur plano per dictam tan-
gentem
ducto &
ad dictæ figur æplanum inclinato;
ſolidum comprehenſum à duobus planis iſtis, & par-
te
ſuperficiei deſcriptæ, inter utrumque planum in-
tercepta
, vocetur Cuneus ſuper figura illa, tan-
quam
baſi, abſciſſus.
In ſchemate adjecto, eſt A B E C figura data; recta eam
22TAB. XXI.
Fig
. 3.
tangens M D;
quæ vero per ambitum ejus circumfertur,
E
F;
cuneus autem figura ſolida planis A B E C, M F G,
&
parte ſuperficiei, à recta E F deſcriptæ, comprehenſa.
DEFINITIO XV.
D Iſtantia inter rectam, per quam cuneus abſciſ-
ſus
eſt, &
punctum baſeos, in quod perpen-
dicularis
cadit à cunei centro gravitatis, dicatur
cunei
Subcentrica.
Nempe in figura eadem, ſi K ſit centrum gra-
33TAB. XIX.
Fig
. 3.
vitatis cunei, recta vero K I ad baſin ejus A B E C
perpendicularis
ducta ſit, &
rurſus I M perpen-
dicularis
ad M D;
erit I M, quam ſubcentri-
cam
dicimus.
PROPOSITIO VII.
CUneus ſuper plana figura qualibet abſciſſus,
plano
inclinato ad angulum ſemirectum,
211133HOROLOG. OSCILLATOR. lis eſt ſolido, quod fit ducendo figuram eandem, in
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
altitudinem æqualem diſtantiæ centri gravitatis fi-
guræ
, ab recta per quam abſciſſus eſt cuneus.
Sit, ſuper figura plana A C B, cuneus A B D abſciſſus
22TAB. XI.
Fig
. 4.
plano ad angulum ſemirectum inclinato, ac transeunte per
E
E, rectam tangentem figuram A C B, inque ejus plano
ſitam
.
Centrum vero gravitatis figuræ ſit F, unde in rectam
E
E ducta ſit perpendicularis F @.
Dico cuneum A C B æ-
qualem
eſſe ſolido, quod fit ducendo figuram A C B in al-
titudinem
ipſi F A æqualem.
Intelligatur enim figura A C B diviſa in particulas mini-
mas
æquales quarum una G.
Itaque conſtat, ſi harum ſin-
gulæ
ducantur in diſtantiam ſuam ab recta E E, ſummam
productorum
fore æqualem ei quod fit ducendo rectam A F
in
particulas omnes , hoc eſt, ei quod fit ducendo 33Prop. 1.
huj
.
ipſam A C B, in altitudinem æqualem A F.
Atqui particu-
ſingulæ ut G, in diſtantias ſuas G H ductæ, æquales
ſunt
parallelepipedis, vel prismatibus minimis, ſuper ipſas
erectis
, atque ad ſuperficiem obliquam A D terminatis, qua-
le
eſt G K;
quia horum altitudines ipſis diſtantiis G H æ-
quantur
, propter angulum ſemirectum inclinationis plano-
rum
A D &
A C B. Patetque ex his parallelepipedis totum
cuneum
A B D componi.
Ergo & cuneus ipſe æquabitur ſo-
lido
ſuper baſi A C B, altitudinem habenti rectæ F A æ-
qualem
.
quod erat demonſtrandum.
PROPOSITIO VIII.
SI figuram planam linea recta tangat, diviſaque
intelligatur
figura in particulas minimas æqua-
les
, atque à ſingulis ad rectam illam perpendicula-
res
ductæ:
erunt omnium harum quadrata, ſimul
ſumpta
, æqualia rectangulo cuidam, multiplici ſe-
cundum
ipſarum particularum numerum;
212134CHRISTIANI HUGENII nempe rectangulum fit à diſtantia centri gravitatis
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
figuræ ab eadem recta, &
à ſubcentrica cunei, qui
per
illam ſuper figura abſcinditur.
Poſitis enim cæteris omnibus quæ in conſtructione præce-
22TAB. XIX.
Fig
. 4.
denti, ſit L A cunei A B D ſubcentrica in rectam E E.
O-
portet
igitur oſtendere, ſummam quadratorum omnium à di-
ſtantiis
particularum figuræ A C B æquari rectangulo ab
F
A, L A, multiplici ſecundum particularum numerum.
Et conſtat quidem ex demonſtratione præcedenti, altitu-
dines
parallelepipedorum ſingulorum, ut G K, æquales eſ-
ſe
diſtantiis particularum, quæ ipſorum baſes ſunt, ut G,
ab
recta A E.
Quare, ſi jam parallelepipedum G K ducamus
in
diſtantiam G H, perinde eſt ac ſi particula G ducatur in
quadratum
diſtantiæ G H.
Eodemque modo ſe res habet in
reliquis
omnibus.
Atqui producta omnia parallelepipedorum
in
diſtantias ſuas ab recta A E, æquantur ſimul producto ex
cuneo
A B D in diſtantiam L A , quia cuneus gravitat 33Prop. 1.
huj
.
per puncto L.
Ergo etiam ſumma productorum à particulis
ſingulis
G, in quadrata ſuarum diſtantiarum ab recta A E,
æquabitur
producto ex cuneo A B D in rectam L A, hoc
eſt
, producto ex figura A C B in rectangulum ab F A, L A.
Nam cuneus A B D, æqualis eſt producto ex figura A C B
in
rectam F A .
Rurſus quia figura A C B æqualis eſt 44Prop.
præced
.
ducto ex particula una G, in numerum ipſarum particula-
rum
;
ſequitur, dictum productum ex figura A C B in re-
ctangulum
ab F A, L A, æquari producto ex particula G
in
rectangulum ab F A, L A, multiplici ſecundum nume-
rum
particularum G.
Cui proinde etiam æqualis erit dicta
ſumma
productorum, à particulis ſingulis G in quadrata
ſuarum
diſtantiarum ab recta A E, ſive à particula una G in
ſummam
omnium horum quadratorum.
Quare, omiſſa utrin-
que
multiplicatione in particulam G, neceſſe eſt ſummam
@andem
quadratorum æquari rectangulo ab F A, L A, mul-
tiplici
ſecundum numerum particularum in quas figura A C B
diviſa
intelligitur.
quod erat demonſtrandum.
213135HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO IX.
11De centro-
OSCILLA-
TIONIS.
DAtâ figurâ planâ & in eodem plano lineâ re-
ctâ
, quæ vel ſecet figuram vel non, ad quam
perpendiculares
cadant à particulis ſingulis minimis
&
æqualibus, in quas figura diviſa intelligitur;
invenire ſummam quadratorum ab omnibus iſtis per-
pendicularibus
;
ſive planum, cujus multiplex, ſe-
cundum
particularum numerum, dictæ quadrato-
rum
ſummæ æquale ſit.
Sit data figura plana A B C, & in eodem plano recta
22TAB. XIX.
Fig
. 5. 6.
E D;
divisâque figurâ cogitatu in particulas minimas æqua-
les
, intelligantur ab unaquaque earum perpendiculares du-
ctæ
in rectam E D, ſicut à particula F ducta eſt F K.
O-
porteatque
invenire ſummam quadratorum ab omnibus iſtis
perpendicularibus
.
Sit datæ E D parallela recta A L, quæ figuram tangat,
ac
tota extra eam poſita ſit.
Poteſt autem figuram vel ab ea-
dem
parte ex qua eſt E D, vel à parte oppoſita contingere.
Diſtantia vero centri gravitatis figuræ ab recta A L ſit recta
G
A, ſecans E D in E;
& ſubcentrica cunei, ſuper figura
abſciſſi
plano per rectam A L, ſit H A.
Dico ſummam qua-
dratorum
quæſitam æquari rectangulo A G H una cum qua-
drato
E G, multiplicibus ſecundum particularum numerum,
in
quas figura diviſa intelligitur.
Occurrat enim F K, ſi opus eſt producta, tangenti A L
in
L puncto.
Itaque primum, eo caſu quo recta E D à ſi-
gura
diſtat, &
tangens A L ad eandem figuræ partem ducta
eſt
, ſic propoſitum oſtendetur.
Summa omnium quadrato-
rum
F K æquatur totidem quadratis K L, una cum bis to-
tidem
rectangulis K L F, &
totidem inſuper quadratis L F.
Sed quadrata K L æquantur totidem quadratis E A. Et re-
ctangula
K L F æqualia eſſe conſtat totidem
214136CHRISTIANI HUGENII E A G, quia omnes F L æquales totidem G A . Et 11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
que quadrata L F æquantur totidem rectangulis H A G , hoc eſt, totidem quadratis A G cum totidem rectangulis
22Prop. 2.
huj
.
A G H.
Ergo quadrata omnia F K æqualia erunt totidem
33Prop.
præced
.
quadratis E A, cum totidem duplis rectangulis E A G, at-
que
inſuper totidem quadratis A G cum totidem rectangulis
A
G H.
Atqui tria iſta; nempe quadratum E A cum duplo
rectangulo
E A G &
quadrato A G; faciunt quadratum E G.
Ergo apparet quadrata omnia F K æquari totidem quadratis
E
G, una cum totidem rectangulis A G H.
Quod erat oſten-
dendum
.
Porro in reliquis omnibus caſibus, quadrata omnia F K
44TAB. XX.
Fig
. 1. 2.
æquantur totidem quadratis K L, minus bis totidem rectan-
gulis
K L F, plus totidem quadratis L F;
hoc eſt, toti-
dem
quadratis E A, minus totidem duplis rectangulis E A G,
plus
totidem quadratis A G, cum totidem rectangulis A G H.
Atqui, omnibus hiſce caſibus, fit quadratum E A, plus qua-
drato
A G, minus duplo rectangulo E A G, æquale qua-
drato
E G.
Ergo rurſus quadrata omnia F K æqualia erunt
totidem
quadratis E G, una cum totidem rectangulis A G H.

Quare
conſtat propoſitum.
Hinc ſequitur, rectangulum A G H eadem magnitudine
eſſe
, utriusvis cunei ſubcentrica fuerit A H;
hoc eſt, ſive
per
hanc, ſive per illam tangentium parallelarum A L ab-
ſciſſi
.
Itaque A G unius caſus ad A G alterius, ut H G hu-
jus
ad H G illius.
Sicut autem rectæ A G inter ſe, ita in
utroque
caſu cunei per A L abſciſſi, ut colligitur ex prop.
7.
huj. Ergo ita quoque reciproce G H ad G H.
Apparet etiam, dato figuræ planæ centro gravitatis G, &
ſubcene
rica cunei, per alterutram tangentium parallelarum
A
L abſciſſi, dari quoque cunei, pertangentem alteram A L
abſciſſi
, ſubcentricam.
PROPOSITIO X.
Poſitis quæ in propoſitione præcedenti; ſi data
55TAB. XX.
Fig
. 3.
recta E D transeat per G, centrum
215
[Empty page]
21682[Figure 82]Pag. 136.
TAB
. XIX.
Fig
. 1.
D C X B Y E R I Q L S N K P A T
F
G Y M H O
83[Figure 83]Fig. 2.X C D A T E R I Q L S N K P B Y84[Figure 84]Fig. 3.F G K C D I E M A B D85[Figure 85]Fig. 4.D K E F L B A H G C E86[Figure 86]Fig. 5.D C K L F E A G H D B87[Figure 87]Fig. 6.C D K F L E H G A D B
217
[Empty page]
218137HOROLOG. OSCILLATOR. tis figuræ A B C; erit ſumma quadratorum à di-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ſtantiis particularum, in quas figura diviſa intel-
ligitur
, ab recta E D, æqualis rectangulo ſoli
A
G H, multiplici ſecundum ipſarum particula-
rum
numerum.
Hoc enim manifeſtum eſt, quum nullum tunc ſit quadra-
tum
E G.
PROPOSITIO XI.
POſitis rurſus cæteris ut in præcedentium penul-
22TAB. XX.
Fig
. 4.
tima;
ſi D E ſit axis figuræ planæ A B C, in
duas
æquales ſimilesque portiones eam dividens, ſit-
que
inſuper V G diſtantia centri gravitatis dimi-
diæ
figuræ D A D ab recta E D, cunei vero, ſu-
per
ipſam abſciſſi per ipſam E D, ſubcentrica G X;
erit rectangulum X G V æquale rectangulo A G H.
Eſt enim rectangulum X G V, multiplex ſecundum nu-
merum
particularum figuræ D A D, æquale quadratis omni-
bus
perpendicularium à particulis ejusdem figuræ dimidiæ in
rectam
E D cadentium .
Ac proinde idem 33Prop. @.
huj
.
X G V, multiplex ſecundum numerum particularum totius
figuræ
A B C, æquale erit quadratis perpendicularium, ab
omnibus
particulis figuræ hujus in rectam E D demiſſarum;
hoc eſt, rectangulo A G H multiplici ſecundum eundem
particularum
numerum, ut conſtat ex propoſ.
præcedenti.
Unde
ſequitur rectangula X G V, A G H inter ſe æqualia
eſſe
.
quod erat demonſtrandum.
PROPOSITIO XII.
DAtis in plano punctis quotlibet; ſi ex centro
gravitatis
eorum circulus quilibet deſcribatur;
219138CHRISTIANI HUGENII ducantur autem ab omnibus datis punctis, ad pun-
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
ctum aliquod in circuli illius circumferentia lineæ
rectæ
erit ſumma quadratorum ab omnibus ſem-
per
eidem plano æqualis.
Sint data puncta A B C D: centrumque gravitatis eorum,
22TAB. XX.
Fig
. 5.
ſive magnitudinum æqualium ab ipſis ſuſpenſarum, ſit E;
& centro E deſcribatur circulus quilibet F f, in cujus cir-
cumferentia
ſumpto puncto aliquo, ut F, ducantur ad id,
à
datis punctis, rectæ A F, B F, C F, D F.
Dico earum
omnium
quadrata, ſimul ſumpta, æqualia eſſe plano cuidam
dato
, ſemperque eidem, ubicunque in circumferentia pun-
ctum
F ſumptum fuerit.
Ducantur enim rectæ G H, G K, angulum rectum con-
ſtituentes
, &
quarum unicuique omnia data puncta ſint po-
ſita
ad eandem partem.
Et à ſingulis in utramque harum
perpendiculares
agantur A L, A K;
B M, B O; C N,
C
P;
D H, D Q. A centro autem gravitatis E, & à pun-
cto
F, in alterutram duarum, G H vel G K, perpendi-
culares
E R, F S.
Et item, à datis punctis, in ipſam
F
S perpendiculares A V, B X, C Y, D Z.
Et F T per-
pendicularis
in ipſam E R.
Porro ſit jam
33
A
L = a # A K = e # radius # E F = z
B
M = b # B O = f # # G S = x
C
N = c # C P = g
D
H = d # D Q = h
Quia autem E eſt centrum gravitatis punctorum A, B, C, D;
ſi addantur in unum perpendiculares A L, B M, C N, D H,
compoſitaque
ex omnibus dividatur in tot partes, quot ſunt
data
puncta;
earum partium uni æqualis erit E R . 44Prop. 2.
huj
.
terque, divisâ in totidem partes ſummâ perpendicularium
A
K, B O, C P, D Q, earum uni æqualis erit perpendi-
cularis
, ducta ex E in rectam G K, ſive ipſa R G .
55Prop. 2.
huj
.
que, ſi ſumma omnium A L, B M, C N, D H, ſive
a
+ b + c + d vocetur l:
ſumma vero omnium, A K, B O,
C
P, D Q ſive e + f + g + h, vocetur m:
&
220139HOROLOG. OSCILLATOR. datorum punctorum multitudinem exprimens, dicatur θ; erit
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
E R = {ι/θ};
& R G = {μ/θ}. Cumque G S ſit x, erit R S ſive
F
T = x - {μ/θ};
vel {μ/θ} - x, ſi G R major quam G S; & ſem-
per
quadratum F T = xx - 2 {/θ} + {μμ/θθ}.
quo ablato ab qua-
drato
F E = zz, relinquetur quadratum T E = zz - xx
+ 2 {/θ} - {μμ/θθ}.
Et proinde T E = zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ}.
Erat autem E R = {ι/θ}. Itaque T R = {ι/θ} + vel - zz - xx
+ 2 {/θ} - {μμ/θθ}
.
quæ T R, brevitatis gratia, dicatury y. Colli-
gamus
jam porro ſummam quadratorum omnium F A, F B,
F
C, F D.
Quadratum A F æquatur quadratis A V, V F.
Eſt
autem A V æqualis differentiæ duarum V K, A K, ſi-
ve
duarum S G, A K;
ac proinde A V = x - e vel e - x; &
qu
.
A V = xx - 2 ex + ee. V F vero æqualis eſt differen-
tiæ
duarum F S, V S ſive duarum F S, A L;
ac proinde
V
F = y - a vel a - y;
& qu. V F = yy - 2 ay + aa. Ad-
ditisque
quadratis A V, V F, fit quadratum F A = xx - 2 ex
+ ee + yy - 2 ay + aa.
Eodemque modo invenientur qua-
drata
reliquarum F B, F C, F D;
atque omnia ordine diſ-
poſita
erunt hæc;

qu
.
F A = xx - 2 ex + ee + yy - 2 ay + aa.
qu
.
F B = xx - 2 fx + ff + yy - 2 by + bb.
qu
.
F C = xx - 2 gx + gg + yy - 2 cy + cc.
qu
.
F D = xx - 2 hx + hh + yy - 2 dy + dd.
Horum vero ſumma; ſi ponamus quadrata ee + ff + gg
+ hh = nn;
& quadrata aa + bb, + cc + dd = kk;
erit iſta, θ x x - 2 mx + nn + θ yy - 2 ly + kk. Siquidem
θ
erat numerus datorum punctorum ideoque &
quadratorum,
poſitumque
fuerat e + f + g + h = m, &
a + b + c + d = l.
In iſta vero ſumma, ſi in terminis θ y y & 2 l y, pro y,
ponatur
id cujus loco poſitum erat, nempe {ι/θ} + vel -
zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ}
fiet
+ θ y y = {ιι/θ} + 2 l zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ} + θ zz - θ xx
+ 2 x m-{μμ/θ}.
221140CHRISTIANI HUGENII& - 2 ly = - 2 {ιι/θ} - 2 l zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ}.
11De centro
O@CILLA-
TIONIS.
vel + θ yy = {ιι/θ} - 2 l zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ} + θ zz - θ x x
xm
- {μμ/θ}
.
+ 2 & - 2 ly = - 2{ιι/θ} + 2 l zz - xx + 2 {/θ} - {μμ/θθ}.
Ac
proinde, utroque caſu, pro θ y y - 2 l y habebitur - {ιι/θ}
+ θ z z - θ x x + 2 x m - {μμ/θ}.
Quò appoſitis reliquis quantita-
tibus
, ſumma prædicta contentis, θ x x - 2 x m + n n + k k,
fiet
tota ſumma, nempe quadratorum F A, F B, F C, F D,
= θ z z + nn + k k - {μμ - ιι/θ}.
Quod apparet eſſe planum da-
tum
, cum quantitates omnes datæ ſint;
ſemperque idem
reperiri
, ubicunque in circumferentia ſumptum fuerit pun-
ctum
F.
quod erat demonſtrandum.
Quod ſi puncta data diverſas gravitates habere ponantur,
invicem
commenſurabiles, ut ſi punctum A ponderet ut 2,
B
ut 3, C ut 4, D ut 7, eorumque reperto gravitatis cen-
tro
, circulus rurſus deſcribatur, ad cujus circumferentiæ
punctum
, à datis punctis rectæ ducantur, ac ſingularum
quadrata
multiplicia ſumantur ſecundum numerum ponderis
puncti
ſui;
ut quadratum A F duplum, B F triplum, C F
quadruplum
, D F ſeptuplum;
dico rurſus ſummam omnium
æqualem
fore ſpatio dato, ſemperque eidem, ubicunque in
circumferentia
punctum ſumptum fuerit.
Patet enim hoc ex
præcedenti
demonſtratione, ſi imaginemur puncta ipſa mul-
tiplicia
ſecundum numeros attributæ cuique gravitatis;
quaſi
nempe
in A duo puncta conjuncta ſint, in B tria, in C qua-
tuor
, in D ſeptem, atque illa omnia æqualiter gravia.
PROPOSITIO XIII.
SI figura plana, vel linea in plano exiſtens, ali-
ter
atque aliter ſuſpendatur à punctis, quæ, in
eodem
plano accepta, æqualiter à centro gravitatis
ſuæ
diſtent;
agitatamotu in latus, ſibi ipſi iſochrona eſt.
222141HOROLOG. OSCILLATOR.
Sit figura plana, vel linea in plano exiſtens A B C, cu-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
TAB
. XX.
Fig
. 6.
jus centrum gravitatis D.
quo eodem centro, circumferentia
circuli
in eodem plano deſcribatur, E C F.
Dico, ſi à quo-
vis
in illa puncto, ut E, C, vel G, ſuſpenſa figura agite-
tur
in latus;
ſibi ipſi, ſive eidem pendulo ſimplici, iſochro-
nam
eſſe.
Sit prima ſuſpenſio ex E puncto, quando autem eſt extra
figuram
, ut hic, putandum eſt lineam E H, ex qua figura
pendet
, rigidam eſſe, atque immobiliter ipſi affixam.
Intelligatur figura A B C diviſa in particulas minimas æ-
quales
, à quarum omnium centris gravitatis, ad punctum
E
, rectæ ductæ ſint;
quas quidem manifeſtum eſt, quum
moveatur
figura motu in latus, eſſe ad axem agitationis per-
pendiculares
.
Harum igitur omnium perpendicularium qua-
drata
, diviſa per rectam E D, multiplicem ſecundum nu-
merum
particularum in quas figura diviſa eſt, efficiunt lon-
gitudinem
penduli ſimplicis, figuræ iſochroni , quæ ſit K L.
22Prop. 6.
huj
.
Suſpensâ autem figurâ ex puncto G, rurſus longitudo pen-
duli
ſimplicis iſochroni invenitur, dividendo quadrata omnia
linearum
, quæ à particulis figuræ ducuntur ad punctum G,
per
rectam G D, multiplicem ſecundum earundem particu-
larum
numerum .
Quum igitur puncta G & E ſint in 33Prop. 6.
huj
.
cumferentia deſcripta cetnro D, quod eſt centrum gravitatis
figuræ
A B C, ſive centrum gravitatis punctorum omnium,
quæ
centra ſunt particularum figuræ æqualium;
erit proinde
ſumma
quadratorum à lineis, qnæ à dictis particulis ad pun-
ctum
G ducuntur, æqualis ſummæ quadratorum à lineis quæ
ab
iiſdem particulis ducuntur ad punctum E .
44Prop.
præced
.
quadratorum ſummæ, utraque ſuſpenſione, applicantur ad
magnitudines
æquales:
quippe, in ſuſpenſione ex E, ad re-
ctam
E D, multiplicem ſecundum numerum omnium par-
ticularum
;
in ſuſpenſione autem ex G, ad rectam D G,
multiplicem
ſecundum earundem particularum numerum.
Ergo patet, ex applicatione hac poſteriori, quum nempe
ſuſpenſio
eſt ex G, fieri longitudinem penduli iſochroni ean-
dem
atque ex applicatione priori, hoc eſt, eandem ipſi K L.
223142CHRISTIANI HUGENII Eodem modo, ſi ex C, vel alio quovis puncto circumfe-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
rentiæ E C F, figura ſuſpendatur, eidem pendulo K L iſo-
chrona
eſſe probabitur.
Itaque conſtat propoſitum.
PROPOSITIO XIV.
DAtâ figurâ ſolidâ, & lineâ rectâ interminatâ,
quæ
vel extra figuram cadat, vel per eam
transeat
;
divisâque figurâ cogitatu in particulas
minimas
æquales, à quibus omnibus ad datam re-
ctam
perpendiculares ductæ intelligantur;
invenire
ſummam
omnium quæ ab ipſis fiunt quadratorum,
ſive
planum, cujus multiplex ſecundum particula-
rum
numerum, dictæ quadratorum ſummæ æ-
quale
ſit.
Sit data figura ſolida A B C D, & linea recta quæ, per
22TAB. XXI.
Fig
. 1.
punctum E tranſiens, ad planum hujus paginæ erecta intel-
ligatur
:
quæque vel ſecet figuram, vel tota extra cadat. In-
tellectoque
, à ſingulis particulis minimis æqualibus, ſolidum
A
B C D conſtituentibus, velut F, rectas duci perpendi-
culares
in datam rectam per E, quemadmodum hic F E,
oporteat
omnium quadratorum F E ſummam invenire.
Secetur figura plano E A C, per dictam datam lineam &
per
centrum gravitatis figuræ ducto.
Item aliud planum in-
telligatur
per eandem lineam datam, perque E G, quæ ipſi
eſt
ad angulos rectos.
Conſtat jam, quadratum rectæ cujuſque, quæ à particula
dictarum
aliqua, ad lineam datam per E perpendicularis du-
citur
, ſicut F E, æquari quadratis duarum F G, F H,
quæ
, ab eadem particula, in plana per E G &
E C ante di-
cta
, perpendiculares aguntur .
Quare, ſi cognoſcere 3347. lib. 1.
Eucl
.
mus ſummam quadratorum, quæ fiunt ab omnibus perpen-
dicularibus
, quæ à particulis univerſis cadunt in plana dicta
per
E G &
E C; habebimus etiam huic æqualem
224
[Empty page]
22588[Figure 88]Pag. 142.
TAB
. XX.
Fig
. 1.
D L F K A E G H C L K F D B
89[Figure 89]Fig. 2.D F K L C H E G A K F L D B90[Figure 90]Fig. 3.L D C A E H G B L D91[Figure 91]Fig. 4.D L C E A X V G H L D B92[Figure 92]Fig. 5.T F K A V Q Z D E O B X P C Y f I G M L R N S H93[Figure 93]Fig. 6.K E A H C L D F G B
226
[Empty page]
227143HOROLOG. OSCILLATOR. mam quadratorum à perpendicularibus, quæ ab univerſis
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
iiſdem particulis cadunt in rectam datam per E punctum.
Illa vero prior quadratorum ſumma colligetur hoc modo.
Ponatur primò figuram planam dari O Q P, ad latus figu-
ſolidæ A B C D, ejuſdem cum ipſa altitudinis, quæque
ſit
ejuſmodi, ut ſecta lineis rectis Q Q, R R, quæ reſpon-
deant
planis figuram ſolidam A B C D ſecantibus M M,
N
N, &
his parallelis; eadem ſit dictarum linearum inter
ſe
, quæ &
planorum horum ratio, ſi nempe ſumantur utrin-
que
quæ in ordine ſibi reſpondent.
Ut ſi linea R R ſit ad
Q
Q quemadmodum planum N N ad M M.
Quod ſi igitur
figura
plana O Q P, in totidem particulas minimas æquales
diviſa
intelligatur, quot intelliguntur in ſolido A B C D,
erunt
etiam in unoquoque ſegmento figuræ planæ, velut
Q
Q R R, tot numero particulæ, quot ſunt in figuræ ſoli-
ſegmento M M N N, iſti ſegmento reſpondente;
ac
proinde
&
ſumma quadratorum, à perpendicularibus o-
mnium
particularum figuræ O Q P in planum E G, æqua-
bitur
ſummæ quadratorum, à perpendicularibus omnium par-
ticularum
figuræ ſolidæ, in idem planum E G productis.
Il-
la
autem quadratorum ſumma data erit, ſi dentur in figura
O
Q P, cuneoque illius, quæ propoſ.
9. huj. requiri dixi-
mus
.
Ergo his datis, dabitur quoque ſumma quadratorum,
à
perpendicularibus quæ, à particulis omnibus ſolidi A B C D,
ducuntur
in planum E G.
Ponatur nunc alia item figura plana S Y T Z, cjuſdem cum
ſolido
A B C D latitudinis, hoc eſt, quam includant plana B Y,
D
Z ſolidum contingentia, ac parallela plano E A C, quæque
ſit
ejuſmodi, ut, ſecta lineis rectis V V, X X &
c. quæ reſpon-
deant
planis figuram A B C D ſecantibus, K K, L L, &
his
parallelis
, faciat eandem inter ſe rationem linearum harum
atque
illorum planorum, ſi ſumantur quæ ſibi mutuo reſpon-
dent
.
Itaque rurſus quadrata ſimul omnia perpendicularium,
à
particulis figuræ S Y T Z in rectam S T cadentium,
æqualia
erunt quadratis omnibus perpendicularium quæ, à
particulis
ſolidi A B C D, ducuntur in planum A C.
228144CHRISTIANI HUGENII rum autem ſumma quadratorum data erit, ſi detur diſtantia
11De centro
O@CILLA-
TIONIS.
centri gravitatis figuræ S Y T Z ab recta B Y vel D Z;
nec non diſtantia indidem centri gravitatis cunei ſui abſciſſi
plano
per eandem rectam .
Vel, figura S Y T Z 22Prop. 9.
huj
.
exiſtente, ut S T ſit axis ejus, eadem quadratorum ſumma da-
bitur
, ſi detur diſtantia centri gravitatis figuræ dimidiæ S Z T
ab
axe S T, item centri gravitatis cunei, ſuper eadem di-
midia
figura, abſciſſi plano per axem ducto .
Ergo, 33Prop. 11.
huj
.
datis, dabitur quoque ſumma quadratorum à perpendicula-
ribus
quæ, à particulis omnibus ſolidi A B C D, ductæ
intelliguntur
in planum E A C.
Invenimus autem & ſum-
mam
quadratorum, à perpendicularibus omnibus in planum
per
E G ductis.
Ergo & aggregatum utriuſque ſummæ ha-
bebitur
, hoc eſt, per ſuperius oſtenſa, ſumma quadratorum
perpendicularium
quæ, à particulis omnibus ſolidi A B C D,
cadunt
in rectam datam per E tranſeuntem, &
ad paginæ
hujus
planum erectam.
quod erat faciendum.
PROPOSITIO XV.
IIsdem poſitis, ſi ſolidum A B C D ſit ejusmodi, ut
44TAB. XXI.
Fig
. 1. & 2.
figura plana S Y T Z, ipſi proportionalis, non ha-
beat
notam diſtantiam centri gravitatis à tangenti-
bus
B Y vel D Z, vel, ut ſubcentrica cunei ſuper ipſa
abſciſſi
, plano per easdem B Y vel D Z, ignoretur;
in figura tamen proportionali, quæ à latere eſt,
O
Q P, detur diſtantia Φ P, qua centrum gravita-
tis
figuræ dimidiæ O P V abeſt ab axe O P;
li-
cebit
hinc invenire ſummam quadratorum à diſtan-
tiis
particularum ſolidi A B C D à plano E C.
O-
portet
autem ut ſectiones omnes, N N, M M, ſint
plana
ſimilia;
utque per omnium centra gravitatis
transeat
planum E C;
quemadmodum in prismate,
pyramide
, cono, conoidibus, multisque aliis
229145HOROLOG. OSCILLATOR. ris contingit. Atque eorum planorum diſtantias cen-
11De centr@
OSCILLA-
TIONIS.
tri gravitatis, ſuper tangentibus axi oſcillationis
parallelis
, datas eſſe neceſſe eſt;
uti & ſubcentri-
cas
cuneorum, qui ſuper ipſis abſcinduntur, ductis
planis
per easdem tangentes.
Veluti, ſi maxima dictarum ſectionum ſit B D, & in B
22Fig. 2 intelligatur recta parallela axi E, hoc eſt, erecta ad planum
quod
hic conſpicitur, oportet datam eſſe diſtantiam centri
gr
.
ſectionis B D à dicta linea in B, quæ ſit B C; itemque
ſubcentricam
cunei, ſuper ſectione B D abſciſſi, plano du-
cto
per eandem lineam in B, quæ ſubcentrica ſit B K.
Etenim his datis, divisâque P V bifariam in Δ, ſi fiat
ſicut
Δ P ad P Φ, ita rectangulum B C K ad ſpatium quod-
dam
Z;
dico hoc ipſum, multiplex per numerum particu-
larum
ſolidi A B C D, æquari ſummæ quæſitæ quadrato-
rum
, à diſtantiis earundem particularum à plano E C.
Quadrata enim à diſtantiis particularum planæ ſectionis
B
D, à plano E C, quod per centrum gravitatis ſuæ tranſit;
ſive quadrata à diſtantiis particularum ſolidarum ſegmenti
B
N N D à plano eodem, æquari conſtat rectangulo B C K,
multiplici
per numerum dictarum particularum .
33Prop. 10.
huj
.
ſi planæ ſectionis N N diſtantia centri gravitatis, ab recta
quæ
in N intelligitur axi E parallela, ſit N X;
ſubcentrica
vero
cunei ſuper ipſa abſciſſi, plano per eandem rectam, ſit
N
F;
erunt quadrata à diſtantiis particularum planarum ſe-
ctionis
N N à plano E C, ſive quadrata à diſtantiis parti-
cularum
ſolidarum ſegmenti N M M N, à plano eodem,
æqualia
rectangulo N X F, multiplici per numerum parti-
cularum
ipſarum ſectionis N N, vel ſegmenti N M M N.
Eſt autem B D diviſa ſimiliter in C & K, atque N N in X
&
F. Ergo rectangulum B C K ad rectangulum N X F,
ſicut
quadratum B D ad quadratum N N.
Eſt autem & numerus particularum ſectionis B D, ad nu-
merum
particularum ſectionis N N, ſicut ſectiones ipſæ;
230146CHRISTIANI HUGENII hoc eſt, ſicut quadratum B D ad quadratum N N. Itaque
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
rectangulum B C K, multiplex per numerum particularum
ſectionis
B D, ad rectangulum N X F, multiplex per nu-
merum
particularum ſectionis N N, duplicatam habebit ra-
tionem
quadrati B D ad quadratum N N;
hoc eſt, eam
quam
quadratum V V ad quadratum R R, in figura pro-
portionali
.
Erit igitur & dicta prior ſumma quadratorum, à
diſtantiis
particularum ſegmenti B N N D à plano E C, ad
ſummam
alteram quadratorum, à diſtantiis particularum ſe-
gmenti
N M M N, ut qu.
V V ad qu. R R. Eademque
ratione
oſtendetur, ſummas quadratorum à diſtantiis parti-
larum
in reliquis ſegmentis ſolidi A B C D, eſſe inter ſe in
ratione
quadratorum quæ fiunt à rectis in figura O V V,
quæ
baſi cujusque ſegmenti reſpondent.
Quare ſumma qua-
dratorum
, à diſtantiis particularum omnium ſegmentorum
ſolidi
A B C D à plano E C, erit ad ſummam quadrato-
rum
, à diſtantiis particularum ſegmentorum totidem, maxi-
mo
ſegmento æqualium, hoc eſt, cylindri vel prismatis
B
D S S, eandem cum ſolido A B C D baſin altitudinem-
que
habentis, ſicut quadrata omnia rectarum V V, R R, Q Q,
&
c. ad quadrata totidem maximo V V æqualia, hoc eſt,
ſicut
ſolidum rotundum O V V circa axem O P, ad cylin-
drum
V V Ω Ω, qui baſin &
altitudinem habeat eandem.
Hanc vero rationem ſolidi O V V ad cylindrum V V Ω Ω,
componi
conſtat ex ratione planorum quorum converſione
generantur
, hoc eſt, ex ratione plani O P V, ad rectangu-
lum
P Ω, &
ex ratione diſtantiarum quibus horum plano-
rum
centra gravitatis abſunt ab axe O P;
hoc eſt, & ex ra-
tione
P Φ ad P Δ.
Et prior quidem harum rationum, nem-
pe
plani O P V ad rectangulum P Ω, eadem eſt quæ ſolidi
A
B C D ad cylindrum vel prisma B D S S, hoc eſt, ea-
dem
quæ numeri particularum ſolidi A B C D, ad nume-
rum
particularum cylindri vel prismatis B D S S.
Altera
vero
ratio, nempe P Φ ad P Δ, eſt eadem, ex conſtru-
ctione
, quæ ſpatii Z ad rectangulum B C K.
Habebit ita-
que
dicta ſumma quadratorum, à diſtantiis omnium
231147HOROLOG. OSCILLATOR. larum ſolidi A B C D à plano E C, ad ſummam quadrato-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
rum, à diſtantiis omnium particularum cylindri vel prisma-
tis
B D S S ab eodem plano, rationem eam quæ componi-
tur
ex ratione numeri particularum ſolidi A B C D, ad nu-
merum
particularum cylindri vel prismatis B D S S, &
ex
ratione
ſpatii Z ad rectangulum B C K:
hoc eſt, rationem
quam
habet rectangulum Z, multiplex per numerum parti-
cularum
ſolidi A B C D, ad rectangulum B C K, multi-
plex
per numerum particularum cylindri vel prismatis B D S S.
Atqui quarta harum magnitudinum æqualis eſt ſecundæ
nempe
rectangulum B C K, multiplex per numerum parti-
cularum
cylindri vel prismatis B D S S, æquale ſummæ
quadratorum
, à diſtantiis particularum ejusdem prismatis
vel
cylindri B D S S à plano E C;
ſiquidem rectangulum
idem
B C K, multiplex per numerum particularum ſegmen-
ti
B N N D, æquatur quadratis diſtantiarum particularum
ejusdem
ſegmenti à plano E C .
Ergo & tertia primæ 22Prop. 10.
huj
.
quabitur;
nempe planum Z, multiplex per numerum parti-
cularum
ſolidi A B C D, ſummæ quadratorum, à diſtantiis
particularum
ſolidi ejusdem A B C D à plano E C .
33Prop. 14.
lib
. 5. Eucl.
erat demonſtrandum.
Notandum vero, quando ſolidum A B D rotundum eſt
circa
axem A C, fieri ſemper rectangulum B C K æquale
quartæ
parti quadrati B C;
quoniam ſubcentrica cunei, ab-
ſciſſi
ſuper circulo B D, plano per tangentem in B, nempe
recta
B K, æquatur {5/4} radii B C.
Unde, ſi P V æqualis
poſita
ſit B C, ſequitur, faciendo ut Ρ Δ ad Ρ Φ ita rectan-
gulum
B C K, hoc eſt, {1/4} quadrati B C, hoc eſt, qu.
Ρ Δ
ad
planum aliud Z, fore hoc rectangulo Δ Ρ Φ æquale.
Ac
proinde
tunc ipſum rectangulum Δ Ρ Φ, multiplex ſecun-
dum
numerum particularum ſolidi A B D, æquari ſummæ
quæſitæ
quadratorum à perpendicularibus omnibus, quæ à
particulis
iisdem cadunt in planum E C.
232148CHRISTIANI HUGENII
PROPOSITIO XVI.
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
FIgura quævis, ſive linea fuerit, ſive ſuperſi-
cies
, ſive ſolidum;
ſi aliter at que aliter ſuſpen-
datur
, agiteturque ſuper axibus inter ſe paralle-
lis
, quique à centro gravitatis figuræ æqualiter di-
ſtent
, ſibi ipſi iſochrona eſt.
Proponatur magnitudo quævis, cujus centrum gravitatis
E
punctum, ſitque primo ſuſpenſa ab axe, qui per F intel-
22TAB. XXI.
Fig
. 3.
ligitur hujus paginæ plano ad angulos rectos.
Itaque idem
planum
erit &
planum oſcillationis. In quo ſi centro E, ra-
dio
E F, deſcribatur circumferentia F H G, ſumptoque in
illa
puncto quovis, ut H, magnitudo ſecundò ſuſpendi intel-
ligatur
ab axe in hoc puncto infixo, atque agitari, manente
eodem
oſcillationis plano.
Dico iſochronam fore ſibi ipſi agi-
tatæ
circa axem in F.
Intelligatur enim dividi magnitudo propoſita in particu-
las
minimas æquales.
Itaque, quia in utraque illa ſuſpenſio-
ne
idem manet oſcillationis planum, reſpectu partium ma-
gnitudinis
;
manifeſtum eſt, ſi ab omnibus particulis, in quas
diviſa
eſt magnitudo, perpendiculares cadere concipiantur
in
dictum oſcillationis planum, illas utraque ſuſpenſione oc-
currere
ipſi in punctis iisdem.
Sint autem hæc puncta ea
quæ
apparent in ſpatio A B C D.
Quum igitur E ſit centrum gravitatis magnitudinis pro-
poſitæ
, ipſaque proinde circa axem, qui per E punctum
erectus
eſt ad planum A B C D, quovis ſitu æquilibrium
ſervet
;
facile perſpicitur, quod ſi punctis omnibus ante di-
ctis
, quæ in ſpatio A B C D ſignantur, æqualis gravitas
tribuatur
, eorum quoque omnium centrum gravitatis futu-
rum
eſt punctum E.
Quod ſi vero, ut fieri poteſt, in pun-
cta
aliqua plures perpendiculares coincidant, illa puncta
quaſi
toties geminata intelligenda ſunt, gravitatesque toties
multiplices
accipiendæ.
Atque ita conſideratorum, patet
rurſus
centrum gravitatis eſſe E punctum.
233149HOROLOG. OSCILLATOR.
Porrò ſummam quadratorum ab rectis, quæ ducuntur à
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
dictis punctis omnibus ad punctum F, eandem eſſe patet cum
ſumma
quadratorum ab iis rectis, quæ à ſingulis particulis
magnitudinis
propoſitæ ducuntur perpendiculares in axem
oſcillationis
per F transeuntem;
quippe cum lineæ ipſæ,
quarum
quadrata intelliguntur, utrobique eandem habeant
longitudinem
.
Similiter etiam, cum ſuſpenſio eſt ex axe per
H
, patet ſummam quadratorum ab rectis, quæ ab omnibus
punctis
, in ſpatio A B C D ſignatis, ducuntur ad punctum
H
, eandem eſſe cum ſumma quadratorum, ab iis quæ, à
particulis
omnibus magnitudinis propoſitæ, ducuntur per-
pendiculares
in axem oſcillationis per H transeuntem.
Ergo
utroque
caſu, ſi ſumma quadratorum ab rectis quæ, à pun-
ctis
omnibus prædictis, ducuntur ad puncta F vel H;
di-
vidatur
per rectas E F vel E H, multiplices ſecundum nu-
merum
particularum in quas magnitudo propoſita diviſa in-
telligitur
, orietur ex applicatione hac longitudo penduli ſim-
plicis
, quod magnitudini ſuſpenſæ ex F vel H iſochronum
fit
.
Eſt autem ſumma quadratorum utroque caſu æqualis ; 22Prop. 13.
huj
.
&
rectæ quoque E F, E H, inter ſe æquales; & particu-
larum
idem numerus.
Ergo, quum & applicatæ quantitates,
&
quibus illæ applicantur, utrobique æquales ſint, etiam
longitudines
ex applicatione ortæ æquales erunt, hoc eſt,
longitudines
pendulorum iſochronorum magnitudini propoſi-
ſuſpenſæ ex F vel ex H.
Quare conſtat propoſitum.
PROPOSITIO XVII.
DAto plano, cujus multiplex per numerum par-
ticularum
, in quas ſuſpenſa figura diviſa in-
telligitur
, æquetur quadratis omnium diſtantia-
rum
ab axe oſcillationis;
ſi illud applicetur ad re-
ctam
, æqualem diſtantiæ inter axem oſcillationis
&
centrum gravitatis ſuſpenſæ magnitudinis, orie-
tur
longitudo penduli ſimplicis ipſi iſochroni.
234150CHRISTIANI HUGENII
Sit figura A B C, cujus centrum gravitatis E, ſuſpenſa
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ab axe qui, per F punctum ad planum quod conſpicitur,
erectus
ſit.
Ponendoque diviſam figuram in particulas mini-
22TAB. XXII.
Fig
. 1.
mas æquales, à quibus omnibus, in dictum axem, perpen-
diculares
cadere intelligantur:
eſto, per ſuperius oſtenſa,
inventum
planum H, cujus multiplex per numerum dicta-
rum
particularum, æquetur quadratis omnibus dictarum
perpendicularium
.
Applicatoque plano H ad rectam F E,
fiat
longitudo F G.
Dico hanc eſſe longitudinem penduli
ſimplicis
, iſochronas oſcillationes habentis magnitudini
A
B C, agitatæ circa axem per F.
Quia enim ſumma quadratorum, à diſtantiis ab axe F,
applicata
ad diſtantiam F E, multiplicem ſecundum par-
tium
numerum, facit longitudinem penduli ſimplicis iſo-
chroni
.
Iſti vero quadratorum ſummæ æquale ponitur 33Prop. 6.
huj
.
num H, multiplex per eundem particularum numerum.
Er-
go
&
planum H, multiplex per eundem particularum nu-
merum
, ſi applicetur ad diſtantiam F E, multiplicem ſe-
cundum
particularum numerum;
ſive, omiſſa communi mul-
tiplicitate
, ſi planum H applicetur ad diſtantiam F E;
o-
rietur
quoque longitudo penduli ſimplicis iſochroni.
Quam
proinde
ipſam longitudinem F G eſſe conſtat.
quod erat de-
monſtrandum
.
PROPOSITIO XVIII.
SI ſpatium planum, cujus multiplex ſecundum
numerum
particularum ſuſpenſæ magnitudinis,
æquetur
quadratis diſtantiarum ab axe gravitatis,
axi
oſcillationis parallelo;
id, inquam, ſpatium
ſi
applicetur ad rectam, æqualem diſtantiæ inter
utrumque
dictorum axium, orietur recta æqualis
intervallo
, quo centrum oſcillationis inferius eſt
centro
gravitatis ejusdem magnitudinis.
Eſto magnitudo A B C D, cujus centrum gravitatis E;
44TAB. XXII.
Fig
. 2.
235151HOROLOG. OSCILLATOR. quæque ſuſpenſa ab axe, qui per punctum F ad planum hu-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
jus paginæ erectus intelligitur, habeat centrum oſcillationis
G
.
Porrò axi per F intelligatur axis alius, per centrum gra-
vitatis
E transiens, parallelus.
Diviſaque magnitudine cogita-
tu
in particulas minimas æquales, ſit quadratis diſtantiarum,
ab
axe dicto per E, æquale planum I, multiplex nempe ſe-
cundum
numerum dictarum particularum;
applicatoque pla-
no
I ad diſtantiam F E, fiat recta quædam.
Dico eam æ-
qualem
eſſe intervallo E G, quo centrum oſcillationis infe-
rius
eſt centro gravitatis magnitudinis A B C D.
Ut enim univerſali demonſtratione quod propoſitum eſt
comprehendamus
:
intelligatur plana figura, magnitudini
A
B C D analoga, ad latus adpoſita, O Q P;
quæ nempe,
ſecta
planis horizontalibus iisdem cum magnitudine A B C D,
habeat
ſegmenta intercepta inter bina quæque plana, in ea-
dem
inter ſe ratione cum ſegmentis dictæ magnitudinis, quæ
ipſis
reſpondent;
ſintque ſegmenta ſingula figuræ O Q P,
diviſa
in tot particulas æquales, quot continentur ſegmentis
ipſis
reſpondentibus in figura A B C D.
Hæc autem intel-
ligi
poſſunt fieri, qualiscunque fuerit magnitudo A B C D,
ſive
linea, ſive ſuperficies, ſive ſolidum.
Semper vero cen-
trum
gravitatis figuræ O Q P, quod ſit T, eadem altitu-
dine
eſſe manifeſtum eſt cum centro gravitatis magnitudinis
A
B C D;
ideoque, ſi planum horizontale, per F ductum,
ſecet
lineam centri figuræ O Q P, velut hic in S, æquales
eſſe
diſtantias S T, F E.
Porrò autem conſtat quadrata diſtantiarum, ab axe oſcil-
lationis
F, applicata ad diſtantiam F E, multiplicem ſecun-
dum
numerum particularum, efficere longitudinem penduli
iſochroni
;
quæ longitudo poſita fuit F G. Illorum 22Prop. 6.
huj
.
quadratorum ſummam, æqualem eſſe perſpicuum eſt, qua-
dratis
diſtantiarum à plano horizontali per F, unà cum qua-
dratis
diſtantiarum à plano verticali F E, per axem F &
cen-
trum
gravitatis E ducto .
Atqui quadrata diſtantiarum 33Prop. 47.
lib
. 1. Eucl.
gnitudinis A B C D à plano horizontali per F, æquantur
quadratis
diſtantiarum figuræ O Q P ab recta S F.
236152CHRISTIANI HUGENII quadrata (ſi O ſit punctum ſupremum figuræ O Q P, &
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
O H ſubcentrica cunei ſuper ipſa abſciſſi, plano per rectam
O
V, parallelam S F) æqualia ſunt rectangulo O T H &

quadrato
S T, multiplicibus ſecundum numerum particula-
rum
dictæ figuræ, ſive magnitudinis A B C D.
22Prop. 9.
huj
.
vero diſtantiarum magnitudinis A B C D à plano F E,
quantumcunque
axis oſcillationis F diſtet à centro gravita-
tis
E, ſemper eadem ſunt:
quæ proinde putemus æquari
ſpatio
Z, multiplici ſecundum numerum particularum ma-
gnitudinis
A B C D.
Itaque quoniam quadrata diſtantiarum magnitudinis
A
B C D, ab axe oſcillationis F, æquantur iſtis, quadrato
nimirum
S T, rectangulo O T H, &
plano Z, multipli-
cibus
per numerum particularum ejusdem magnitudinis;
ſi
applicentur
hæc omnia ad diſtantiam F E ſive S T, orietur
longitudo
F G penduli iſochroni magnitudini A B C D .
33Prop. 6.
huj
.
Sed ex applicatione quadrati S T ad latus ſuum S T, orie-
tur
ipſa S T, ſive F E.
Ergo reliqua E G eſt ea quæ ori-
tur
ex applicatione rectanguli O T H, &
plani Z, ad ean-
dem
S T vel F E.
Quare ſupereſt ut demonſtremus rectangulum O T H,
cum
plano Z, æquari plano I.
Tunc enim conſtabit, etiam
planum
I, applicatum ad diſtantiam F E, efficere longitu-
dinem
ipſi E G æqualem.
Illud autem ſic oſtendetur. Re-
ctangulum
O T H, multiplex ſecundum numerum particu-
larum
figuræ O Q P, ſive magnitudinis A B C D, æ-
44Prop. 10.
huj
.
quatur quadratis diſtantiarum figuræ ab recta X T , quæ per centrum gravitatis T ducitur ipſi S F parallela;
ac pro-
inde
etiam quadratis diſtantiarum magnitudinis A B C D,
à
plano horizontali K K, ducto per centrum gravitatis E;
cum diſtantiæ utrobique ſint eædem. At vero planum Z, ſi-
militer
multiplex, æquale poſitum fuit quadratis diſtantia-
rum
magnitudinis A B C D à plano verticali F E.
Ac pa-
tet
quidem quadrata hæc diſtantiarum à plano F E, una cum
dictis
quadratis diſtantiarum à plano horizontali per E, æ-
qualia
eſſe quadratis diſtantiarum ab axe gravitatis per
237153HOROLOG. OSCILLATOR. qui ſit axi F parallelus . Itaque rectangulum O T H 11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
cum plano Z, multiplicia ſecundum numerum particularum
22Prop. 47.
lib
. 1. Eucl.
magnitudinis A B C D, æqualia erunt quadratis diſtantia-
rum
ejusdem magnitudinis à dicto axe per E.
Sed & planum
I
, multiplex ſecundum eundem particularum numerum, æ-
quale
poſitum fuit iisdem diſtantiarum quadratis.
Ergo pla-
num
I æquale eſt rectangulo O T H &
plano Z ſimul ſum-
ptis
.
quod oſtendendum ſupererat.
Hinc rurſus manifeſtum fit, quod propoſitione 16 demon-
ſtratum
fuit;
nempe magnitudinem quamlibet, ſi aliter at-
que
aliter ſuſpendatur atque agitetur, ab axibus parallelis,
qui
à centro gravitatis ſuæ æqualiter diſtent, ſibi ipſi iſo-
chronam
eſſe.
Sive enim magnitudo A B C D ſuſpendatur ab axe F, ſi-
ve
ab axe L illi parallelo;
patet eadem utrobique eſſe qua-
drata
diſtantiarum ab axe per E, qui ſit axibus F vel L pa-
rallelus
.
Unde & planum I, cujus multiplex, ſecundum
numerum
particularum, æquatur quadratorum ſummæ, u-
troque
caſu idem erit.
Hoc vero planum, applicatum ad di-
ſtantiam
centri gravitatis ab axe oſcillationis, quæ utroque
caſu
eadem ponitur, efficit diſtantiam qua centrum oſcilla-
tionis
inferius eſt centro gravitatis;
Ergo etiam hæc diſtan-
tia
utroque caſu eadem erit.
Velut ſi, facta ſuſpenſione ex
L
, fuerit dicta diſtantia E Y, erit ipſa æqualis E G;
& to-
ta
Y L æqualis G F;
adeoque, in ſuſpenſione utraque,
idem
pendulum ſimplex iſochronum fit magnitudini A B C D.
PROPOSITIO XIX.
SI magnitudo eadem, nunc brevius nunc longius
ſuſpenſa
, agitetur;
erunt, ſicut diſtantiæ axi-
um
oſcillationis à centro gravitatis inter ſe, ita
contraria
ratione diſtantiæ centrorum oſcillationis
ab
eodem gravitatis centro.
Sit magnitudo, cujus centrum gravitatis A, ſuſpenſa pri-
33TAB. XXII.
Fig
. 3.
238154CHRISTIANI HUGENII mum atque agitata ab axe in B, deinde vero ab axe in C;
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ſitque in prima ſuſpenſione centrum oſcillationis D, in po-
ſteriori
vero centrum oſcillationis E.
Dico eſſe ut B A ad
C
A ita E A ad D A.
Quum enim, in ſuſpenſione ex B, efficiatur diſtantia A D,
qua
nempe centrum oſcillationis inferius eſt centro gravita-
tis
, applicando ad diſtantiam B A ſpatium quoddam, cujus
multiplex
ſecundum numerum particularum minimarum æ-
qualium
, in quas magnitudo diviſa intelligitur, æquatur
quadratis
diſtantiarum ab axe per A, parallelo axi in B ;
22Prop.
præced
.
erit proinde rectangulum B A D dicto ſpatio æquale.
Item,
in
ſuſpenſione ex C, quum fiat diſtantia A E, applicando
idem
dictum ſpatium ad diſtantiam C A;
erit & rectangu-
lum
C A E eidem ſpatio æquale.
Itaque æqualia inter ſe re-
ctangula
B A D, C A E;
ac proinde ratio B A ad C A
eadem
quæ A E ad A D.
quod erat demonſtrandum.
Hinc patet, dato pendulo ſimplici, quod magnitudini
ſuſpenſæ
iſochronum ſit in una ſuſpenſione, datoque ejus
centro
gravitatis;
etiam in alia omni ſuſpenſione, longiori
vel
breviori, dummodo idem maneat planum oſcillationis,
longitudinem
penduli iſochroni datam eſſe.
PROPOSITIO XX.
CEntrum Oſcillationis & punctum ſuſpenſionis
inter
ſe convertuntur.
In figura ſuperiori, quia, poſita ſuſpenſione ex B, cen-
33TAB. XXII.
Fig
. 3.
trum oſcillationis eſt D;
etiam invertendo omnia, ponendo-
que
ſuſpenſionem ex D, erit tunc centrum oſcillationis B.
Hoc enim ex ipſa propoſitione præcedenti manifeſtum eſt.
PROPOSITIO XXI.
QUomodo in figuris planis centra oſcillationis in-
veniantur
.
Intellectis quæ hactenus demonſtrata ſunt, facile jam
239
[Empty page]
24094[Figure 94]Pag. 154.
TAB
. XXI.
Fig
. 1.
G E G O A K L Q Q M M H F R R N N B D L K C P S V X Z Y X V T
95[Figure 95]Fig. 3.F A D E B C G H96[Figure 96]Fig. 2.G E Ω O Ω S A S Q Q M M R R N X F N V P Φ Δ V B C K D Z
241
[Empty page]
242155HOROLOG. OSCILLATOR. in plerisque figuris, quæ in Geometria conſiderari conſueve-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
runt, definire oſcillationis centra.
Atque ut de planis figu-
ris
primum dicamus;
duplicem in iis oſcillationis motum
ſupra
definivimus;
nempe, vel circa axem in eodem cum
figura
plano jacentem, vel circa eum qui ad figuræ planum
erectus
ſit.
Quorum priorem vocavimus agitationem in pla-
num
, alterum agitationem in latus.
Quod ſi priore modo agitetur, nempe circa axem in eo-
22TAB. XXII.
Fig
. 4. & 5.
dem plano jacentem, ſicut figura B C D circa axem E F;
hic, ſi cuneus ſuper figura intelligatur abſciſſus, plano quod
ita
ſecet planum figuræ, ut interſectio, quæ hic eſt D D,
ſit
parallela oſcillationis axi;
deturque diſtantia centri gra-
vitatis
figuræ ab hac interſectione, ut hic A D;
itemque
ſubcentrica
cunei dicti ſuper eadem interſectione, quæ hic
ſit
D H.
Habebitur centrum oſcillationis K, figuræ B D C,
applicando
rectangulum D A H ad diſtantiam F A;
quo-
niam
ex applicatione hac orietur diſtantia A K, qua cen-
trum
oſcillationis inferius eſt centro gravitatis.
Eſt enim re-
ctangulum
D A H, multiplex ſecundum numerum particu-
larum
figuræ B C D, æquale quadratis diſtantiarum ab re-
cta
B A C, quæ per centrum gravitatis A parallela ducitur
axi
oſcillationis E F.
Quare, applicando idem 33Prop. 10.
huj
.
lum ad diſtantiam F A, orietur diſtantia A K, qua centrum
oſcillationis
inferius eſt centro gravitatis A .
44Prop. 18.
huj
.
Hinc manifeſtum eſt, ſi axis oſcillationis ſit D D, fieri
centrum
oſcillationis H punctum;
adeoque longitudinem
D
H, penduli ſimplicis iſochroni figuræ B C D, eſſe tunc
ipſam
ſubcentricam cunei, abſciſſi plano per D D, ſuper
ipſam
D D.
Quod unum ab aliis ante animad verſum fuit,
non
tamen demonſtratum.
Quomodo autem centra gravitatis cuneorum ſuper figuris
planis
inveniantur, perſequi non eſt inſtituti noſtri, &
jam
in
multis nota ſunt.
Velut, quod ſi figura B C D ſit circu-
lus
, erit D H æqualis {5/8} diametri.
Si rectangulum, erit D H
.
= {2/3} diametri. Unde & ratio apparet cur virga, ſeu linea
gravitate
prædita, altero capite ſuſpenſa, iſochrona ſit
243156CHRISTIANI HUGENII dulo longitudinis ſubſesquialteræ. Conſiderando nempe li-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
neam ejusmodi, ac ſi eſſet rectangulum minimæ latitudinis.
Quod ſi figura triangulum fuerit, vertice ſurſum conver-
ſo
, fit D H {3/4} diametri.
Si deorſum, {1/2} diametri.
Quod autem propoſitione 16 demonſtratum fuit, id ad hu-
jusmodi
figuræ planæ motum ita pertinere ſciendum.
Nem-
pe
, ſi aliam atque aliam poſitionem demus figuræ B C D,
invertendo
eam circa axem B A C, ut vel horizonti paral-
lela
jaceat, vel oblique inclinetur, manente eodem agitatio-
nis
axe F E, etiam longitudo penduli iſochroni F K eadem
manebit
.
Hoc enim ex propoſitione illa manifeſtum eſt.
Porro quando figura plana, circa axem ad planum figu-
22TAB. XXIII.
Fig
. 1. & 2.
erectum, agitatur;
quam vocavimus agitationem in latus;
velut ſi figura B C D moveatur circa axem, qui per pun-
ctum
F intelligitur ad planum D B C erectus;
hic jam ha-
benda
eſt ſumma quadratorum a diſtantiis particularum
omnium
ab recta quæ per centrum gravitatis A intelligitur
axi
oſcillationis parallela;
ſecundum ea quæ prop. 18. ex-
poſita
fuere.
Hoc eſt ſumma quadratorum a diſtantiis ab ipſo
A
centro gravitatis, quoniam figura plana eſt.
Sive etiam
ſummæ
quadratorum a diſtantiis tam ab recta B A C quam
ab
recta D A.
Conſtat enim quadratum rectæ O A, quam
pono
eſſe diſtantiam unius cujusdam particulæ a centro A,
æquari
quadratis diſtantiarum O N, O V, quibus eadem
particula
abeſt a rectis B A C, D A .
Atqui ſumma 33Per 47.
lib
. 1.
Elem
.
dratorum a diſtantiis ab recta B A C æquatur rectangulo
D
A H, ſi D H ſit ſubcentrica cunei ſuper figura abſciſſi
per
tangentem D D, parallelam B A .
item ſumma 44Prop. 10.
huj
.
dratorum a diſtantiis ab recta D A æquatur rectangulo B A L,
ſi
B L ſit ſubcentrica cunei abſciſſi per tangentem B D pa-
rallelam
A D.
Oportetque dari, præter figuræ centrum gra-
vitatis
A, ſubcentricamque H D cunei prioris, etiam ſub-
centricam
L B cunei poſterioris.
Ita enim nota erunt rectan-
gula
D A H, B A L, quæ ſimul ſumpta faciunt hic ſpa-
tium
applicandum, quod deinceps etiam rectangulum oſcil-
lationis
vocabitur.
Quod nempe, applicatum ad
244
[Empty page]
24597[Figure 97]Pag. 156.
Fig
. 2.
S F Z V O V L A Q Q M M I R R N N X T X K E K Y H G P B C D
98[Figure 98]Fig. 1.F H A E G B C99[Figure 99]Fig. 3.C B A E D100[Figure 100]Fig. 4.E F E D D D V O B A N C K H101[Figure 101]Fig. 5.D D D E F E B A C H K
246
[Empty page]
247157HOROLOG. OSCILLATOR. F A, dabit diſtantiam A K, qua centrum oſcillationis K in-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ferius eſt centro gravitatis A.
Si vero F A ſit axis figuræ B C D, poteſt, pro cuneo
22TAB. XXIII.
Fig
. 1.
abſciſſo per B D ſuper figura tota, adhiberi cuneus ſuper
figura
dimidia D B M abſciſſus plano per D M.
Nam, ſi cunei
hujus
ſubcentrica ſuper D M ſit O A, diſtantia vero centri gr.
figuræ planæ D B M ab eadem D M ſit N A, æquale eſſe
conſtat
rectangulum O A N rectangulo B A L .
33Prop. 11.
huj
.
rectangulum O A N, additum rectangulo D A H, conſti-
tuet
quoque planum applicandum ad diſtantiam F A, ut
fiat
diſtantia A K.
Et horum quidem manifeſta eſt demonſtratio ex præce-
dentibus
, quippe cum rectangula D A H, B A L, vel
D
A H, O A N, multiplicia ſecundum numerum particu-
larum
figuræ, æqualia ſint quadratis diſtantiarum à centro
gravitatis
A;
ſive, quod idem hic eſt, ab axe gravitatis axi
oſcillationis
parallelo;
ac proinde rectangula dicta, ad diſtan-
tiam
F A applicata, efficiant longitudinem intervalli A K .
44Prop. 18.
huj
.
Centrum oſcillationis Circuli.
Et in circulo quidem rectangula D A H, B A L, inter
ſe
æqualia eſſe liquet, ſimulque efficere ſemiſſem quadrati à
ſemidiametro
.
Unde, ſi fiat ut F A ad ſemidiametrum A B,
ita
hæc ad aliam, ejus dimidium erit diſtantia A K, à cen-
tro
gravitatis ad centrum oſcillationis.
Si igitur circulus ab
axe
D, in circumferentia ſumpto, agitetur, erit D K æqua-
lis
tribus quartis diametri D M.
Ad hunc modum & in ſequentibus figuris planis centra o-
ſcillationis
quæſivimus, quæ ſimpliciter adſcripſiſſe ſufficiet-
Nempe
,
Centrum oſcillationis Rectanguli.
In rectangulo omni, ut C B, ſpatium applicandum, ſive
55TAB. XXIII.
Fig
. 3.
rectangulum oſcillationis, invenitur æquale tertiæ parti qua-
drati
à ſemidiagonio A C.
Unde ſequitur, ſi
248158CHRISTIANI HUGENII ab aliquo angulorum ſuſpendatur, motuque hoc laterali agi-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
tetur, pendulum illi iſochronum eſſe {2/3} diagonii totius.
Centrum oſcillationis Trianguli iſoſcelis.
In triangulo iſoſcele, cujuſmodi C B D, ſpatium appli-
22TAB.XXIII.
Fig
. 4.
candum æquatur parti decimæ octavæ quadrati à diametro
B
E, &
vigeſimæ quartæ quadrati baſeos C D. Unde, ſi
ab
angulo baſeos ducatur D G, perpendicularis ſuper latus
D
B, quæ occurrat productæ diametro B E in G;
ſitque
A
centrum gravitatis trianguli;
diviſoque intervallo G A
in
quatuor partes æquales, una earum A K apponatur ipſi
B
A;
erit B K longitudo penduli iſochroni, ſi triangulum
ſuſpendatur
ex vetrice B.
Cum autem ex puncto mediæ ba-
ſis
E ſuſpenditur, longitudo penduli iſochroni E K æquabi-
tur
dimidiæ B G.
Atque hinc liquet, triangulum iſoſceles rectangulum, ſi
ex
puncto mediæ baſis ſuſpendatur, iſochronum eſſe pendu-
lo
longitudinem diametro ſuæ æqualem habenti.
Similiterque,
ſi
ſuſpendatur ab angulo ſuo recto, eidem pendulo iſochro-
num
eſſe.
Centrum oſcillationis Parabolæ.
In parabolæ portione recta, ſpatium applicandum æqua-
tur
{12/175} quadrati axis, una cum quinta parte quadrati dimi-
diæ
baſis.
Cumque parabola ex verticis puncto ſuſpenſa eſt,
invenitur
penduli iſochroni longitudo {5/7} axis, atque inſuper
{@/3} lateris recti.
Cum vero ex puncto mediæ baſis ſuſpenditur,
erit
ea longitudo {4/7} axis, &
inſuper {1/2} lateris recti.
Centrum oſcillationis Sectoris circuli.
In circuli ſectore B C D, ſi radius B C vocetur r: ſemi
33TAB.XXIII.
Fig
. 5.
arcus C F, p:
ſemiſubtenſa C E, b: fit ſpatium applican-
dum
æquale {1/2} rr - {4b b r r/9 p p}, hoc eſt, dimidio quadrati B C,
minus
quadrato B A;
ponendo A eſſe centrum gravitatis ſe-
ctoris
.
Tunc enim B A = {2 b r/3 p}. Si autem ſuſpendatur
249159HOROLOG. OSCILLATOR. ex B, centro circuli ſui, fit pendulum ipſi iſochronum {3 pr/4b},
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
hoc eſt, trium quartarum rectæ, quæ ſit ad radium B F ut
arcus
C F D ad ſubtenſam C D.
Hæc autem inveniuntur
cognitis
ſubcentricis cuneorum;
tum illius qui ſuper ſectore
toto
abſcinditur, plano ducto per B K parallelam ſubtenſæ
C
D, cujus cunei ſubcentricam ſuper B K invenimus eſſe
{3/8} y - {3/8} a + {3 p r/8 b}, vocando a ſinum verſum E F;
tum illius.
qui ſuper dimidio ſectore B F C abſcinditur plano per
B
F, cujus nempe cunei ſubcentricam ſuper B F invenimus
{3/8} b - {3 b r/8 a} + {3 p r/8 a}.
Sed & alia via, ſectoris centrum oſcillationis, facilius in-
22TAB.XXIII.
Fig
. 6.
venitur, quæ eſt hujusmodi.
Intelligatur ſectoris B C D
pars
minima ſector B C P, qui trianguli loco haberi poteſt.
Quadrata autem, à diſtantiis particularum ejus à puncto B,
æqualia
ſunt quadratis diſtantiarum ab recta B R, bifariam
ſectorem
dividente, una cum quadratis diſtantiarum ab recta
B
Q, quæ ipſi B R eſt ad angulos rectos.
Sed, horum
quadratorum
ad illa, ratio quavis data eſt major, quoniam
angulus
C B P minimus;
ideoque illa pro nullis habenda
ſunt
.
Poſitâ vero B O duarum tertiarum B R, hoc eſt, poſito
O
centro gravitatis trianguli B C P;
& B N trium quar-
tarum
B R:
ut nempe N ſit centrum gravitatis cunei, ſu-
per
triangulo B C P abſciſſi plano per B Q.
His poſitis,
conſtat
quadrata, à diſtantiis particularum trianguli B C P
ab
recta B Q, æquari rectangulo N B O multiplici ſecun-
dum
particularum ejuſdem trianguli numerum.
Itaque rectan-
gulum
N B O, ita multiplex, æquale cenſendum quadratis
diſtantiarum
à puncto B particularum trianguli B C P.
Sunt
autem
quadrata diſtantiarum harum, ad quadrata diſtantia-
rum
totius ſectoris B C D, ſicut ſector B C P ad ſectorem
B
C D, hoc eſt, ſicut numerus particularum ſectoris B C P,
ad
numerum particularum ſectoris B C D;
hoc enim facile
intelligitur
, eo quod ſector B C D dividatur in ſectores qua-
lis
B C P.
Ergo rectangulum N B O, multiplex
250160CHRISTIANI HUGENII numerum particularum ſecctoris B C D, æquale erit quadra-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
tis diſtantiarum particularum ejus à puncto B.
Ideoque re-
ctangulum
N B O, applicatum ad B A, diſtantiam inter
ſuſpenſionem
&
centrum gravitatis ſectoris, dabit longitudi-
nem
penduli iſochroni, cum ſector ex B ſuſpenditur .
22Prop. 17.
huj
.
autem rectangulum N B O = {1/2} r r:
diſtantia autem B A, ut
jam
ante diximus, = {2 br/3 p}.
Unde, facta applicatione, oritur {3 p r/4 b},
longitudo
penduli iſochroni, ut ante quoque inventa fuit.
Centrum oſcillationis Circuli, aliter quam ſupra.
Eodem modo etiam ſimpliciſſime, in circulo, centrum
33TAB.XXIV.
Fig
. 1.
oſcillationis invenire licet.
Sit enim circulus G C F, cujus
centrum
B;
ſectorque in eo minimus intelligatur B C P,
ſicut
ante in ſectore B C D.
Cum igitur, ſecundum modo expoſita, quadrata, à di-
ſtantiis
particularum ſectoris B C P ad centrum B, æquen-
tur
rectangulo N B O, hoc eſt, dimidio quadrato radii,
multiplici
ſecundum ſectoris ipſius particularum numerum;
circulus autem ex ejusmodi ſectoribus componatur; erunt
proinde
quadrata, à diſtantiis particularum circuli totius ad
centrum
B, æqualia dimidio quadrato radii, multiplici ſe-
cundum
numerum earundem circuli particularum.
Eſt autem B centrum gravitatis circuli. Ergo dictum di-
midium
quadratum radii, hic erit ſpatium applicandum di-
ſtantiæ
inter ſuſpenſionem &
centrum B, ut habeatur inter-
vallum
, quo centrum oſcillationis inferius eſt ipſo centro B .
44Prop. 18.
@uj
.
quod &
ſupra ita ſe habere oſtendimus.
Centrum oſcillationis Peripheriæ circuli.
Facilius etiam, centrum oſcillationis circumferentiæ cir-
55TAB.XXIV.
Fig
. 2.
culi, hoc pacto reperitur.
Eſto enim circumferentia deſcri-
pta
centro B, radio B R.
Quadratum igitur B R, multi-
plex
ſecundum numerum particularum in quas circumferen-
tia
diviſa intelligitur, æquatur quadratis à diſtantiis
251
[Empty page]
252102[Figure 102]Pag. 160.
Fig
. 1.
F D D @ N A L C H K M
103[Figure 103]Fig. 2.D D D F B A L C H K104[Figure 104]Fig. 3.C A B105[Figure 105]Fig. 4.B A K C E D G106[Figure 106]G D E C A K B107[Figure 107]G D K C A B108[Figure 108]Fig. 5.K B K A C E D F109[Figure 109]Fig. 6.Q B Q O N A C E D R P F
253
[Empty page]
254161HOROLOG. OSCILLATOR. earum particularum ad centrum B. Quare quadratum B R
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
erit hic ſpatium applicandum .
Patetque hinc, ſi 22Prop. 18.
huj
.
ſit ex G, puncto circumferentiæ, penduli iſochroni longitu-
dinem
æquari diametro G F.
Centrum oſcillationis Polygonorum ordinatorum.
Haud abſimiliter & polygono cuivis ordinato, ut A B C,
33TAB XXIV.
Fig
. 3.
pendulum iſochronum invenitur.
Fit enim, ſpatium appli-
candum
, æquale ſemiſſi quadrati perpendicularis ex centro
in
latus polygoni, una cum vigefima quarta parte quadrati
lateris
.
At, ſi perimetro polygoni pendulum iſochronum
quæratur
, fit ſpatium applicandum æquale quadrato perpen-
dicularis
à centro in latus, cum duodecima parte quadrati
lateris
.
Loci plani & ſolidi uſus in hac Theoria.
Eſt præterea & Locorum contemplatio in his non injucun-
44TAB.XXIV.
Fig
. 4.
da.
Ut ſi propoſitum ſit, dato puncto ſuſpenſionis A, &
longitudine
A B, invenire locum duorum ponderum æqua-
lium
C, D, æqualiter ab A &
à perpendiculari A B diſtan-
tium
, quæ agitata circa axem in A, perpendicularem plano
per
A C D, iſochrona ſint pendulo ſimplici longitudinis
A
B.
Ponatur A B = a, ductâque C D, quæ ſecet A B ad
angulos
rectos in E, ſit A E indeterminata = x:
E C vel
E
D = y.
Ergo quadratum A C = x x + y y. Hoc vero
multiplex
ſecundum numerum particularum ponderum C, D,
quæ
hic minima intelliguntur, æquatur quadratis diſtantia-
rum
earundem particularum ab axe ſuſpenſionis A.
Ergo
quadratum
A C, ſive x x + y y, applicatum ad diſtantiam
A
E, quæ nempe eſt inter axem ſuſpenſionis &
centrum gra-
vitatis
ponderum C, D, efficiet {xx + yy/x}, longitudinem pen-
duli
iſochroni ;
quam propterea oportet æqualem eſſe A 55Prop. 17.
huj
.
ſive a.
Itaque {x x + y y/x} = a. Et y y = a x - x x. Unde patet,
locum
punctorum C &
D, eſſe circumferentiam circuli,
255162CHRISTIANI HUGENII jus centrum F, ubi A B bifariam dividitur, radius autem
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
= {1/2} a, ſive F A.
Ergo, ubicunque in circumferentia
A
C B D duo pondera æqualia, æqualiter ab A diſtantia,
ponentur
, ea, ex A agitata, iſochrona erunt pendulo lon-
gitudinem
habenti æqualem diametro A B.
Atque hinc manifeſtum quoque, & circumferentiam
A
C B D, ſi gravitas ei tribuatur, &
quamlibet ejus por-
tionem
, æqualiter in A vel B diviſam, &
ab axe per A ſuſ-
penſam
, eidem pendulo A B iſochronam eſſe.
Loci vero ſolidi exemplum eſto hujusmodi. Sit A N linea
22TAB.XXIV.
Fig
. 5.
inflexilis ſine pondere.
Propoſitumque ſit, ad punctum in
ea
acceptum, ut M, affigere ipſi ad angulos rectos lineam,
ſeu
virgam, pondere præditam O M L, ad M bifariam divi-
ſam
, cujus in latus agitatæ oſcillationes, ex ſuſpenſione A,
iſochronæ
ſint pendulo ſimplici longitudinis A N.
Ducatur O H parallela A N, & A H parallela O M,
&
ſit O R æqualis {2/3} O L. Itaque cunei ſuper recta O L,
abſciſſi
plano per O H ducto, ſubcentrica erit O R.
Sed
cunei
alterius ſuper eadem O L, abſciſſi plano per rectam
A
H, (eſt autem cuneus hic nihil aliud quam rectangulum)
ſubcentrica
erit ipſa A M.
Quare rectangulum illud, quod
ſupra
Oſcillationis vocavimus, erit ſolum rectangulum O M R.
quod nempe, applicatum ad longitudinem A M, dabit di-
ſtantiam
centri oſcillationis lineæ O L, ex A ſuſpenſæ, in-
fra
punctum M.
Sit jam A N = a: A M = x: M O vel M L = y. Eſt
ergo
rectangulum O M R = {1/3} yy.
quo applicato ad A M, fit
{1 y y/3x}.
quæ longitudo itaque ipſi M N æqualis eſſe debebit,
cum
velimus centrum oſcillationis virgæ O L eſſe in N.
Fit
ergo
æquatio {1 yy/3x} + x = a.
Unde y = 3 a x - 3 x x. Quod
ſignificat
puncta O &
L eſſe ad Ellipſin, cujus axis minor
A
N;
latus rectum vero, ſecundum quod poſſunt ordinatim
ad
axem hunc applicatæ, ipſius A N triplum.
Hinc vero manifeſtum fit, cum omnis virga ipſi O L pa-
rallela
, &
ad Ellipſin hanc terminata, oſcillationes
256163HOROLOG. OSCILLATOR. nas habeat pendulo ſimplici A N, etiam totum Ellipſeos
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
planum, ex A ſuſpenſum &
in latus agitatum, ipſi A N
pendulo
iſochronum fore.
Sed & partem Ellipſeos quamli-
bet
, quæ lineis una vel duabus, ad A N perpendicularibus,
abſcindetur
.
Cæterum adſcribemus & aliud loci plani exemplum, in
quo
nonnulla notatu digna occurrunt.
Sit virga A B ponderis expers, ſuſpenſa ex A; oporteat-
22TAB.XXIV.
Fig
. 6.
que, ad datum in ea punctum B, affigere triangula duo pa-
ria
, &
paribus angulis ab axe A B recedentia, quorum an-
guli
ad B minimi, ſive infinite parvi exiſtimandi, quæque,
ita
ſuſpenſa ab A, oſcillationes iſochronas faciant pendulo
ſimplici
datæ longitudinis A L.
Hic, ducta C G perpendiculari in B G, & ponendo
A
B = a;
A L = b; B G = x; C G = y: invenitur æqua-
tio
y = 2 a b - 2 a a - {8/3} a x + {4/3} b x - x x ex qua patet, baſes
triangulorum
C, &
D, quæ baſes hic ut puncta conſide-
rantur
, eſſe ad circuli circumferentiam;
quia nempe habetur
terminus
ſimplex - x x.
Licet autem hic animadvertere, quod ſi a ſit nihilo æqua-
33TAB. XXV.
Fig
. 1.
lis, hoc eſt, ſi punctum, ubi affiguntur trianguli B C,
B
D, ſit idem cum puncto A;
tum futura ſit æquatio
y
= {4/3} b x - x x.
Ac proinde, hoc caſu, ſi ſumatur A O
= {2/3} b, hoc eſt, = {2/3} A L, centroque O per A circulus de-
ſcribatur
A D N;
erunt baſes triangulorum A C, A D, ad
illius
circumferentiam.
Cum igitur quælibet duo triangula
acutiſſima
, quæ ex A ad circumferentiam A C N D conſti-
tuuntur
, magnitudine &
ſitu ſibi reſpondentia, centrum
oſcillationis
habeant punctum L, poſitâ A L = {3/4} diametri
A
N;
cumque circulus totus ex ejusmodi triangulorum pa-
ribus
componatur;
uti & portio ejus quælibet, ut A C N D,
latera
A C, A D æqualia habens;
manifeſtum eſt, tum cir-
culi
totius, tum portionis qualem diximus, centrum oſcilla-
tionis
eſſe in L.
Rurſus, ſi in æquatione inventa ponatur {8/3} a = {4/3} b, ſeu
44TAB. XXV.
Fig
. 2.
257164CHRISTIANI HUGENII 2 a = b; hoc eſt, ſi triangula affigi intelligantur in B, quod
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
longitudinem A L ſecet bifariam, erit y = 2 a a - x x.
quæ
æquatio docet, quod ſi centro B, radio qui poſſit du-
plum
B A, circumferentia deſcribatur, ea erit locus baſium
triangulorum
acutiſſimorum B C, B D, quorum nempe,
ex
A ſuſpenſorum, centrum oſcillationis erit L punctum.
Cumque & circulus totus, & ſector ejus quilibet, axem
habens
in recta A L, ex hujusmodi triangulorum paribus
componatur
, manifeſtum eſt &
horum, ex A ſuſpenſorum,
centrum
oſcillationis eſſe punctum L.
Adeoque quilibet circuli ſector, ſuſpenſus à puncto quod
diſtet
, à centro circuli ſui, ſemiſſe lateris quadrati circulo
inſcripti
, pendulum iſochronum habebit toti eidem lateri æ-
quale
.
Atque ita, hoc uno caſu, absque poſita dimenſione
arcus
, pendulum ſectori iſochronum invenitur.
Porro, ad univerſalem conſtructionem æquationis primæ,
22TAB.XXV.
Fig
. 3. & 4.
y = 2 a b - 2 a a - {8/3} a x + {4/3} b x - x x, dividatur A L bifariam
in
E, &
adponatur ad B E pars ſui tertia E F; eritque F
centrum
deſcribendi circuli;
radius autem F O æqualis ſu-
mendus
ei, quæ poteſt duplum differentiæ quadratorum
A
E, E F.
Si itaque, ex puncto B, ad deſcriptam circumferentiam
triangula
duo paria acutiſſima conſtituantur, ut B C, B D;
illorum, ex A ſuſpenſorum, centrum oſcillationis erit L.
Quare
&
portionis cujuslibet deſcripti circuli, cujus portio-
nis
vertex ſit in B, axis vero in recta A L, quales ſunt u-
traque
C B D;
poſita ſuſpenſione ex A; centrum oſcilla-
tionis
idem punctum L eſſe conſtat.
Atque adeo etiam cir-
culi
ſegmentorum K O N, K M N, quæ facit recta K B N
perpendicularis
ad A B.
Et hæc quidem de motu laterali planorum, ac linearum,
animadvertiſſe
ſufficiat.
Quibus hoc tantum addimus; in-
ventis
centris oſcillationis figurarum rectarum, ſeu quæ æ-
qualiter
ad axem utrinque conſtitutæ ſunt;
ut trianguli iſo-
ſcelis
, vel parabolicæ ſectionis rectæ etiam
258
[Empty page]
259110[Figure 110]Pag. 164.
Fig
. 1.
G B O N C R P F
111[Figure 111]Fig. 2.G B R F112[Figure 112]Fig. 3.A E C F B113[Figure 113]Fig. 4.A C E D F B114[Figure 114]Fig. 6.A B C G D L115[Figure 115]Fig. 5.H A O M R L N
260
[Empty page]
261165HOROLOG. OSCILLATOR. quæ velut luxatione illarum efficiuntur, ut trianguli ſcaleni,
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
&
parabolæ non rectæ, centra oſcillationis haberi. Ut ſi,
22TAB.XXVII.
Fig
. 1.
exempli gratia, triangulum B A C iſoſceles, cujus axis
A
D, à puncto E ſuſpenſum intelligatur;
ſit vero & aliud
triangulum
ſcalenum F A G, axem eundem habens A D, &

baſin
F G æqualem baſi B C;
etiam hoc triangulum, ex E
ſuſpenſum
, priori B A C iſochronum eſſe dico.
Quia enim virga, ſeu linea gravis, F G, affixa virgæ ſi-
ne
pondere E D in D, ſitu obliquo, ſuſpenſaque ex E,
iſochrona
eſt virgæ B C, ſimiliter in D affixæ ;
33Prop. 16.
huj
.
evenit in virgis cæteris trianguli útriusque, quæ axem A D
ſecant
in iisdem punctis, atque inter ſe æquales ſunt:
ne-
ceſſe
eſt tota triangula, quæ ex lineis, ſeu virgis iisdem
compoſita
intelligi poſſunt, iſochrona eſſe.
In aliis figuris ſi-
milis
eſt demonſtratio.
PROPOSITIO XXII.
QUomodo, in ſolidis figuris, oſcillationis centra
inveniantur
.
In ſolidis porro figuris facile quoque, per ante demon-
44TAB. XXV.
Fig
. 5.
ſtrata, centrum oſcillationis invenire licebit.
Si enim ſit ſc-
lidum
A B C, ſuſpenſum ab axe, qui, per punctum E,
intelligitur
hujus paginæ plano ad rectos angulos;
centrum
autem
gravitatis ſit F:
ductis jam per F planis E F D, G F H,
quorum
poſterius ſit horizonti parallelum, alterum vero per
axem
E transeat;
inventisque, per propoſitionem 14, ſum-
mis
quadratorum à diſtantiis particularum ſolidi A B C à
plano
G F H, itemque à plano E F D;
hoc eſt, inven-
tis
rectangulis utrisque, quæ, multiplicia ſecundum numc-
rum
dictarum particularum, æqualia ſint dictis quadratcrum
ſummis
;
rectangula hæc applicata ad diſtantiam E F, qua
nempe
axis ſuſpenſionis diſtat à centro gravitatis, dabunt
intervallum
F K, quo centrum agitationis K inferius eſt
centro
gravitatis F.
Hoc enim patet ex propoſitione 18. Da-
bimus
autem &
horum exempla aliquot.
262166CHRISTIANI HUGENII
Centrum oſcillationis in Pyramide.
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
Sit primum A B C pyramis, verticem habens A, axem
22TAB.XXVI.
Fig
. 1.
A D, baſin vero quadratum, cujus latus B C.
ponaturque
agitari
circa axem qui, per verticem A, ſit hujus paginæ
plano
ad angulos rectos.
Hic figura plana proportionalis O V V, à latere adpo-
nenda
, ſecundum propoſitionem 14, conſtabit ex reſiduis
parabolicis
O P V, quæ nempe ſuperſunt, cum, à rectan-
gulis
Ω P, auferuntur ſemiparabolæ O V Ω, verticem ha-
bentes
O.
Sicut enim inter ſe ſectiones pyramidis B C, N N, ita
quoque
rectæ V V, R R, ipſis in figura plana reſponden-
tes
.
& ſicut centrum gravitatis E diſtat, à vertice pyrami-
dis
, tribus quartis axis A D, ita quoque centrum gravita-
tis
F, figuræ O V V, diſtabit tribus quartis diametri O P
à
vertice O.
Intellecto porro horizontali plano N E, per centrum gra-
vitatis
pyramidis A B C, quod idem figuram O V V ſecet
ſecundum
R F;
inventâque ſubcentricâ cunei, ſuper figura
O
V V abſciſſi plano per O Ω, quæ ſubcentrica ſit O G,
(eſt autem {4/5} diametri O P) erit rectangulum O F G, mul-
tiplex
per numerum particularum figuræ O V V, æquale
quadratis
diſtantiarum ab recta R F , ac proinde 33Prop. 10.
huj
.
quadratis diſtantiarum à plano N E, particularum ſolidi
A
B C.
Fit autem rectangulum O F G æquale {3/80} quadrati
O
P, vel quadrati A D.
Deinde, ad inveniendam ſummam quadratorum à diſtan-
tiis
à plano A D, noſcenda primo ſubcentrica cunei, ſuper
quadratâ
baſi pyramidis B C abſciſſi, plano per rectam quæ
in
B intelligitur axi A parallela;
quæ ſubcentrica ſit B K;
eſtque {2/3} B C. Noſcenda item diſtantia centr. gr. dimidiæ fi-
guræ
O P V ab O P;
quæ ſit Φ P; eſtque {3/10} P V. Inde,
diviſà
bifariam P V in Δ, ſi fiat ut Δ P ad P Φ, hoc eſt,
ut
5 ad 3, ita rectangulum B D K, quod eſt {1/12} quadrati
B
C, ad aliud ſpatium Z;
erit hoc, multiplex
263
[Empty page]
264116[Figure 116]Pag. 166.
TAB
.XXV.
Fig
. 1.
A O C G D L N
117[Figure 117]Fig. 2.A B C G D L N118[Figure 118]Fig. 3.O C D A K B N E F C D L M119[Figure 119]Fig. 4.O A C D F E K B N C L D M120[Figure 120]Fig. 5.E A G F H K B D C
265
[Empty page]
266167HOROLOG. OSCILLATOR. numerum particularum ſolidi A B C, æquale quadratis di-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ſtantiarum à plano A D .
Apparet autem, fieri ſpatium 22Prop. 15.
huj
.
æquale {1/20} quadrati B C.
Itaque, totum ſpatium applicandum, æquatur hic {3/80} qua-
drati
A D, cum {1/20} quadrati B C.
Unde, ſi ſuſpenſio, ut
hic
, poſita fuerit in A, vertice pyramidis, ideoque diſtan-
tia
, ad quam applicatio facienda, A E æqualis {3/4} A D;
fiet
hinc
E S, intervallum quo centrum agitationis inferius eſt
centro
gravitatis, æquale {1/20} A D, atque inſuper {1/15} tertiæ
proportionalis
duabus A D, B C.
ſive tota A S æqualis {4/5}
A
D, præter dictam {1/15} tertiæ proportionialis.
Centrum oſcillationis Coni.
Quod ſi A B C conus fuerit, omnia eodem modo @e habe-
bunt
, niſi quod ſpatium Z hic fit æquale rectangulo Δ Ρ Φ 33Prop. 15.
huj
.
hoc eſt {3/2@} quadrati P V vel B D, ſive {3/80} quadrati B C.
Quare, totum ſpatium applicandum, in cono erit {3/80} qua-
drati
A D, una cum {3/80} quadrati B C.
Ac proinde, poſita
ſuſpenſione
ex vertice A, fiet E S, qua centrum agitationis
inferius
eſt centro gravitatis, æqualis {1/20} A D, &
{1/20} tertiæ
proportionalis
duabus A D, B C.
ſive tota A S æqualis {4/5}
A
D, una cum {1/5} tertiæ proportionalis duabus A D, D B.

Atque
hinc manifeſtum eſt, ſi A D, D B æquales ſint, hoc
eſt
, ſi conus A B C ſit rectangulus, fieri A S æqualem axi
A
D.
Sequitur quoque porro, ex propoſitione 20, conum hunc
rectangulum
, ſi ex D centro baſeos ſuſpendatur, iſochro-
num
fore ſibi ipſi ex vertice A ſuſpenſo, quemadmodum &

de
triangulo rectangulo ſupra oſtenſum fuit.
Centrum oſcillationis Sphæræ.
Si A B C ſit ſphæra, erit figura plana proportionalis, à
44TAB. XXVI.
Fig
. 2.
latere adponenda, O V H, ex parabolis compoſita, qua-
rum
baſis communis O H, æqualis ſphæræ diametro A D.
Sectâ vero ſphærâ planis per centrum E, quorum B C
267168CHRISTIANI HUGENII horizonti parallelum, A D vero verticale: ut inveniatur
11De centro
OSCILLA
TIONIS.
ſumma quadratorum à diſtantiis à plano A D, noſcenda eſt
diſtantia
centri gr.
parabolæ O V H ab O H, quæ ſit Φ P,
eſtque
{2/5} V P.
Deinde, diviſâ P V bifariam in Δ, conſtat
rectangulum
Δ Ρ Φ, multiplex per numerum particularum
ſphæræ
A B C, æquari quadratis diſtantiarum à plano A D .
22Prop. 15.
@n
fine.
Eſt autem rectangulum Δ Ρ Φ æquale {1/5} quadrati P V, vel
quadrati
B E.
Atqui, quadrata diſtantiarum à plano B C, æqualia eſſe
liquet
quadratis diſtantiarum à plano A D, ac proinde ei-
dem
rectangulo Δ Ρ Φ, multiplici per dictum particularum
numerum
.
Ergo ſpatium applicandum, in ſphæra A B C,
erit
duplum rectanguli Δ Ρ Φ;
ideoque æquale {2/5} quadrati à
radio
E B.
Itaque, ſi ſphæra ſuſpenſa ſit ex puncto in ſuperficie ſua
A
, erit E S, à centro ſphæræ E ad centrum agitationis S,
æqualis
{2/5} ſemidiametri A E.
Totaque A S æqualis {7/10} dia-
metri
A D.
Si vero ex puncto alio, ut L, ſphæra ſuſpenſa
ſit
;
erit E S æqualis {2/5} tertiæ proportionalis duabus L E, E B.
Centrum oſcillationis Cylindri.
In cylindro, invenimus ſpatium applicandum æquari {@/12}
quadrati
altitudinis, una cum {1/4} quadrati à ſemidiametro ba-
ſis
.
Unde, ſi cylindrus à centro baſis ſuperioris ſuſpendatur,
fit
longitudo penduli iſochroni æqualis {2/3} altitudinis, una cum
ſemiſſe
ejus, quæ ſit ad ſemidiametrum baſis ut hæc ad alti-
tudinem
.
Centrum oſcillationis Conoidis Parabolici.
In conoide parabolico, rectangulum oſcillationis eſt {@/18}
quadrati
altitudinis, cum {1/6} quadrati à ſemidiametro baſis.
Unde, ſi à puncto verticis fuerit ſuſpenſum, fit longitudo
penduli
iſochroni {3/4} axis, cum {1/4} ejus quæ ſit ad ſemidiame-
trum
baſis, ſicut hæc ad axem, id eſt, una cum {1/4} lateris re-
cti
parabolæ genitricis.
268169HOROLOG. OSCILLATOR.11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
Centrum oſcillationis Conoidis Hyperbolici.
In conoide quoque hyperbolico centrum oſcillationis inve-
22TAB. XXVI.
Fig
. 3.
niri poteſt.
Si enim, exempli gratia, ſit conoides cujus ſe-
ctio
per axem, hyperbola B A B;
axem habens A D, la-
tus
tranſverſum A F:
erit figura plana ipſi proportionalis
B
K A K B, contenta baſi B B, &
parabolicæ lineæ por-
tionibus
ſimilibus A K B, quæ parabolæ per verticem A
tranſeunt
, axemque habent G E, dividentem bifariam latus
tranſverſum
A F, ac parallelum baſi B B.
Et hujus quidem
figuræ
B K A K B, centrum gravitatis L, tantum diſtat à
vertice
A, quantum centrum gravitatis conoidis A B B;
eſt-
que
axis A D ad A L, ſicut tripla F A cum dupla A D,
ad
duplam F A cum ſesquialtera A D.
Deinde & diſtantia
centri
gr.
figuræ dimidiæ A D B K, ab A D, inveniri po-
teſt
, atque etiam ſubcentrica cunei ſuper figura B K A K B,
abſciſſi
plano per A P, parallelam B B;
hujus inquam cu-
nei
ſubcentrica, ſuper ipſa A P, inveniri quoque poteſt;
atque ex his conſequenter centrum agitationis conoidis, in
quavis
ſuſpenſione;
dummodo axis, circa quem movetur,
ſit
baſi conoidis parallelus.
Atque invenio quidem, ſi axis
A
D lateri tranſverſo A F æqualis ponatur, ſpatium appli-
candum
æquari {1/20} quadrati A D, cum {31/200} quadrati D B.

Tunc
autem A L eſt {7/10} A D.
Unde, ſi conoides hujuſmodi ex vertice A ſuſpendatur,
invenitur
longitudo penduli iſochroni, A S, æqualis {2/3}{7/5} A D,
cum
{31/140} tertiæ proportionalis duabus A D, D B.
Centrum oſcillationis dimidii Coni.
Denique & in ſolidis dimidiatis quibuſdam, quæ fiunt
33TAB. XXVII.
Fig
. 2.
ſectione per axem, centrum agitationis invenire licebit.
Ut
ſi
ſit conus dimidiatus A B C, verticem habens A, diame-
trum
ſemicirculi baſeos B C:
ejus quidem centrum gravita-
tis
D notum eſt, quoniam A D eſt {3/4} rectæ A E, ita divi-
dentis
B C in E, ut, ſicut quadrans circumferentiæ
269170CHRISTIANI HUGENII ad radium, ita ſint {2/3} C B ad B E. Tunc enim E eſt cen-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
trum gravitatis ſemicirculi baſeos, ideoque in A E centra
gravitatis
omnium ſegmentorum ſemiconi A B D, baſi pa-
rallelorum
.
Et figura quidem porro proportionalis à latere ponenda,
O
V V, eadem eſt quæ in cono toto ſupra deſcripta fuit:
per quam nempe invenietur ſumma quadratorum, à diſtan-
tiis
particularum ſemiconi à plano horizontali N D, per
centrum
gravitatis ducto.
Verum quadrata diſtantiarum, à
plano
verticali M D O, ut colligantur, altera quoque figu-
ra
proportionalis S Y Z, ſicut ſupra prop.
14. adhibenda
eſt
, cujus nempe ſectiones verticales, exhibeant lineas pro-
portionales
ſectionibus ſibi reſpondentibus in ſemicono A B C.

&
hujus figuræ cognoſcenda eſt diſtantia centri gr. F ab S Y,
quam
æqualem eſſe conſtat diſtantiæ D N, centri gr.
ſemiconi
à
plano trianguli A B.
poſitâque H G ſubcentricâ cunei ab-
ſciſſi
ſuper figura S Z Y, ducto plano per S Y, noſcendum
eſt
rectangulum G F H, cujus nempe multiplex, ſecundum
numerum
particularum ſemiconi A B C, æquabitur quadra-
tis
diſtantiarum ſemiconi in planum M D O.
Licebit vero
cognoſcere
rectangulum illud G F H, etiamſi ſubcentricæ
H
G longitudo ignoretur, hoc modo.
Diximus ſupra, cum de cono ageremus, quadrata diſtan-
tiarum
à plano per axem ejus, æquari {3/80} quadrati à diametro
baſis
, ſive {3/20} quadrati à ſemidiametro, multiplicis per nu-
merum
particularum coni totius.
Unde & hic, in ſemicono
A
B C, quadrata diſtantiarum à plano A B æqualia erunt
{3/20} quadrati B C, multiplicis per numerum particularum i-
pſius
ſemiconi.
Sed & rectangulum H G F, multiplex per nu-
merum
particularum ſemiconi A B C, æquatur quadratis
diſtantiarum
à plano A B, ut patet ex propoſitione 9.
Ergo
rectangulum
H G F æquale {3/20} quadrati B C.
Ponendo autem
A
B = a;
B C = b; & quadrantem circumferentiæ, radio
B
C deſcriptæ, = q;
fit E B = {2 b b/3 q}. Cujus cum N D
tribus
quartis æquetur, fiet proinde N D, ſive G F = {1 b b/2 q @}.
270
[Empty page]
271121[Figure 121]Pag. 170.
TAB
. XXVI.
Fig
. 1.
Ω O Ω A Z R F R N E N R G S V P Φ Δ V B D K C
122[Figure 122]Fig. 2.L O A V P Φ Δ V B E C S H D123[Figure 123]Fig. 3.F G E G P A P K K L B D B S
272
[Empty page]
273171HOROLOG. OSCILLATOR. Cujus quadratum auferendo à rectangulo H G F, quod erat
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
{3/20} quadrati B C, fiet rectangulum G F H = {3/20} b b - {1b4/4 q q}.
Hoc
autem
rectangulum, multiplex per numerum particularum
ſemiconi
A B C, æquatur quadratis diſtantiarum à plano
M
D O.
At quadratis diſtantiarum à plano N D æquantur,
ut
in cono, {3/80} quadrati A B, ſive {3/80} a a, multiplices per
numerum
particularum ſemiconi A B C.
Itaque, totum ſpa-
tium
applicandum, æquabitur hic {3/80} a a + {3/20} b b - {1 b 4/4 q q}.
Unde quidem centrum agitationis invenitur in omni ſuſpen-
ſione
ſemiconi, dummodo ab axe qui ſit parallelus baſi trianguli
à
ſectione A B.
Notandum vero, cum figura S Z Y ſit ignotæ
prorſus
naturæ, ſubcentricam tamen G H, cunei ſuper ipſa ab-
ſciſſi
plano per S Y, hinc inveniri.
Nam, quia rectangulum H G F
æquale
erat {3/20} b b, ſive quadrati B C, &
G F æqualis {1b b/2 q},
fit
inde G H æqualis {3/10} q.
Porro, etiam ſemicylindri, & ſemiconoidis parabolici,
centra
agitationis inveniri poſſunt, atque aliorum inſuper ſe-
miſolidorum
;
quæ aliis inveſtiganda relinquimus.
Quemadmodum autem in figuris planis, ita & hic in ſo-
lidis
figuris locum habet, quod de obliquarum centris agi-
tationis
illic diximus, quæ veluti luxatione rectarum conſti-
tuuntur
, quarum centra oſcillationis non differunt à centris
oſcillationis
rectarum.
Sic, ſi coni duo fuerunt A B C, A F G,
22TAB. XXVII.
Fig
. 1.
alter rectus, alter ſcalenus;
quorum & diametri & baſes
æquales
;
hi ex vertice ſuſpenſi, vel à quibuſcunque axibus,
æqualiter
à centris eorum gravitatis diſtantibus, iſochroni
erunt
;
dummodo axis, unde conus ſcalenus ſuſpenſus eſt,
rectus
ſit ad planum trianguli per diametrum, quod planum
baſi
eſt ad angulos rectos.
274172CHRISTIANI HUGENII11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
PROPOSITIO XXIII.
HOrologiorum motum temperare, addito ponde-
re
exiguo ſecundario, quod ſuper virga pen-
duli
, certa ratione diviſa, ſurſum deorſumque
moveri
poſſit.
Ut hoc expediamus, primo penduli ipſius, ex virga gra-
22TAB. XXVII.
Fig
. 3.
vitate prædita, &
appenſo parte ima pondere, compoſiti,
centrum
oſcillationis inveniendum eſt.
Sit virga, cum appenſo pondere, A C, cujus longitudo
dicatur
a.
Intelligantur autem, tum virga ipſa, tum pondus
appenſum
C, in particulas minimas æquales diviſa, earum-
que
particularum virga habeat numerum b, pondus vero C
numerum
c, ponendo nempe b ad c, ſicut gravitas virgæ ad
gravitatem
appenſi ponderis.
Longitudo igitur penduli ſim-
plicis
, dato iſochroni, habebitur, ſi ſumma quadratorum à
diſtantiis
particularum omnium à puncto ſuſpenſionis A, di-
33Prop. 6.
huj
. in fine.
vidatur per ſummam earundem diſtantiarum .
Secetur A C bifariam in M; tum vero in T, ut A T ſit dupla T C. Quia
ergo
M eſt centrum gravitatis lineæ A C, &
A T ſubcen-
trica
cunei ſuper ipſa abſciſſi plano per A D, perpendicu-
larem
ad A C;
qui cuneus hîc revera triangulum eſt; erit ſum-
ma
quadratorum, à diſtantiis particularum virgæ à puncto
A
, æqualis rectangulo A M T, una cum quadrato A M;
hoc eſt, rectangulo T A M, multiplici ſecundum numerum
particularum
b;
hoc eſt, {1/3} a a b; quia M A eſt {1/2} a, & T A
{2/3} a, ac proinde rectangulum T A M = {1/3} a a.
Summa vero
quadratorum
, à diſtantiis particularum ponderis C ab eo-
dem
puncto A, æquabitur quadrato A C, multiplici ſecun-
dum
numerum particularum ipſius ponderis;
hoc eſt, a a c.
Adeoque
ſumma quadratorum omnium, tam à diſtantiis par-
ticularum
virgæ, quam ponderis C, erit {1/3} a a b + a a c.
Porro, diſtantiæ omnes particularum virgæ A C à pun-
cto
A, æquantur {1/2} b a;
longitudini ſcilicet virgæ ipſius,
275173HOROLOG. OSCILLATOR. eſt a, multiplici ſecundum ſemiſſem numeri particularum
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
quas continet.
Et diſtantiæ omnes particularum ponderis C,
ab
eodem puncto A, ſunt a c.
Ita ut ſumma utrarumque di-
ſtantiarum
ſit {1/2} a b + a c.
Per quam dividendo ſummam
quadratorum
prius inventam, {1/3} a a b + a a c, fit
{{1/3} a a b + a a c/{1/2} a b + a c} ſive {{1/3} a b + a c/{1/2} b + c}, longitudo penduli iſochroni.
Quæ
itaque
habebitur, ſi fiat, ut dimidia gravitas virgæ, una
cum
gravitate appenſi ponderis, ad trientem gravitatis virgæ,
una
cum gravitate ejuſdem appenſi ponderis, ita longitudo
A
C ad aliam.
Oportet autem ſumere longitudinem A C,
à
puncto ſuſpenſionis A ad centrum gravitatis ponderis C;
cum magnitudinis ejus ratio hic non habeatur, ac veluti
minimum
conſideretur.
Quod ſi jam, præter pondus C, alterum inſuper D virgæ
22TAB. XXVII@
Fig
. 4.
inhærere intelligatur, cujus gravitas, ſeu particularum nume-
rus
ſit d:
diſtantia vero A D ſit f. Ut pendulum ſimplex
huic
ita compoſito iſochronum inveniatur, addenda ſunt ad
ſummam
ſuperiorem quadratorum, quadrata diſtantiarum
particularum
ponderis D à puncto A, quæ quadrata apparet
eſſe
d f f.
Adeo ut ſumma omnium jam ſit futura {1/3} a a b +
a
a c + f f d.
Item, ad ſummam diſtantiarum, addendæ
diſtantiæ
particularum ponderis D, quæ faciunt d f.
Ac ſum-
ma
proinde diſtantiarum omnium erit {1/2} b a + c a + d f;
per quam dividenda eſt iſta quadratorum ſumma, & fit
{{1/3} a a b + a a c + f f d/{1/2} a b + a c + f d}, longitudo penduli iſochroni.
Quod ſi vero, hæc longitudo penduli iſochroni, datæ æqualis
poſtuletur
, quæ ſit p, &
reliqua omnia quæ prius data ſint,
præter
diſtantiam A D ſeu f, quæ determinat locum pon-
deris
D:
ſitque invenienda hæc diſtantia, id fiet hoc modo.
Nempe, cum poſtuletur {{1/3} a a b + a a c + f f d/{1/2} a b + a c + f d} æquale p, orietur ex
hac
æquatione f f = p f + {{1/2} a b p + c a p - {1/3} a a b - a a c/d}.
Et f = {1/2}
276174CHRISTIANI HUGENII11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
+ vel - {1/4} p p + {1/2} a b p + a a p - {1/3} a a b - a a c/d}.
Ubi animadverten-
dum
, duas eſſe veras radices, ſi {1/2} a b p + c a p minus ſit
quam
{1/3} a a b + a a c;
hoc eſt, ſi longitudo p minor ſit quam
{{1/3} a b + a c/{1/2} b + c}, quæ antea inventa fuit longitudo penduli iſochro-
ni
, ſive diſtantia centri oſcillationis à ſuſpenſione, in pen-
dulo
compoſito ex virga A C &
pondere C.
Unde patet, ſi velimus efficere, ut, applicato pondere D,
acceleretur
penduli motus;
poſſe duobus locis, inter A & C,
illud
diſponi, quorum utrolibet eadem celeritas pendulo
concilietur
:
velut in D vel E. Quæ loca æqualiter diſtabunt
à
puncto N, quod abeſt ab A, ſemiſſe longitudinis p, hoc
eſt
, ſemiſſe penduli ſimplicis, cui compoſitum hoc iſochro-
num
poſtulabatur.
Apparet autem, quando hæc longitudo p
tantum
exiguo minor ponitur quam A C, etiam punctum N
exiguo
ſuperius eſſe puncto medio virgæ A C.
Porro, ex æquatione ſuperiori, f = {1/2} p + vel -
{1/4} p p + {1/2} a b p + a c p - {1/3} a a b - a a c/d} habetur determinatio longitudi-
nis
p.
Patet enim, {1/4} p p + {1 a b p + a c p/2 d} non minus eſſe debere
quam
{1 a a b - a a c/3 d}.
Unde non debebit eſſe minor quam
{a/d} {4/3} b d + 4 c d + b b + 4 b c + 4 c c @ a b - 2 a c/d}.
Quod ſi p æquetur
huic
quantitati, hoc eſt, ſi {1/4} p p + {1 a b p + a c p/2 d} fuerit æquale
{1 a a b + a a c/3 d}, erit jam, in eadem ſuperiori æquatione, f = {1/2} p,
hoc
eſt, {a/2 d} {4/3} b d + 4 c d + b b + 4 b c + 4 c c -{a b - 2 a c/2 d}.
Quo
determinatur
diſtantia ponderis D à puncto A, ex qua ma-
xime
omnium acceleret motum penduli.
Atque hæc ad horologiorum uſum ſic porro adhibentur.
Sit, exempli gratia, pendulum horologii, quod ſingulis
oſcillationibus
ſcrupula ſecunda notet.
Virgæ autem gravitas
ſit
50 gravitatis appenſi ponderis in imo pendulo:
& , præ-
ter
hoc, ſit aliud exiguum pondus mobile ſecundum virgæ
longitudinem
, cujus gravitas eadem ponatur quæ ipſius
277175HOROLOG. OSCILLATOR. . Quæritur jam, quo loco hoc virgæ imponendum, ut
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
uno ſcrupulo primo acceleretur horologii motus, ſpatio 24
horarum
.
Item, ubi collocandum, ut duorum ſcrupulorum
primorum
ſit acceleratio;
item, ut trium, quatuor, atque
ita
porro.
Ductis viginti quatuor horis ſexagies, fiunt 1440, quot
nempe
ſcrupula prima una die continentur.
Ex his unum
aufer
, quando unius ſcrupuli acceleratio quæritur:
ſuper-
ſunt
1439.
Ratio autem 1440 ad 1439 duplicata, proxime
eſt
ea quæ 1440 ad 1438.
Ergo, ſi penduli ſimplicis, ſe-
cunda
ſcrupula notantis, longitudo diviſa intelligatur in par-
tes
æquales 1440, earumque 1438 alii pendulo tribuantur,
hoc
præcedet alterum illud, in 24 horis, uno ſcrupulo pri-
mo
.
Adeo ut hic p valeat partes 1438.
Quia autem pendulum horologii, ex virga metallica &
pondere
appenſo compoſitum, iſochronum ponitur pendulo
ſimplici
partium 1440;
invenienda primum eſt virgæ illius
longitudo
, ex æquatione ſuperius poſita.
Erat nempe
{{1/3} a b + a c/{1/2} b + c} æquale longitudini penduli ſimplicis, quod iſochro-
num
compoſito ex virga habente longitudinem a, gravita-
tem
b, &
pondere affixo cujus gravitas c. Ergo ſi longitu-
do
penduli ſimplicis iſochroni dicatur ſ.
Erit {{1/2} b ſ + c ſ/{1/3} b + c} = a.
poſitoque, ut hic, c = 50; b = 1; ſ = 1440; fiet, a = 1444 {4/5},
longitudo
virgæ.
Jam, quia erat f = {1/2} p + vel @ {1/4} p p + {1/2} a b p + a c p - {1/3} a a b - a a c/d,
fiet
f = {1/2} p + vel - {1/4} p p + 72962 p - 105061210.
Unde porro, ſi p ſit, uti diximus, partium 1438; invenie-
tur
f = 1331 {1/2}, qualium nempe ſ, ſeu pendulum ſimplex,
ſecunda
ſcrupula oſcillationibus deſignans, continet 1440.
Cu-
jus
longitudo ſi pedum trium ſtatuatur, quos horarios voca-
vimus
, habebit f uncias 33, &
3 unciarum uncias, quas
lineas
vocant.
Vel, auferendo hanc longitudinem f à tota
trium
pedum longitudine, ſupererunt unciæ duæ, lineæ
278176CHRISTIANI HUGENII à centro oſcillationis penduli compoſiti ſurſum ſumendæ, ut
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
habeatur locus ponderis D, unius ſcrupuli primi accelera-
tionem
præſtans tempore 24 horarum.
Eodem modo reli-
quas
diſtantias, quibus virga dividenda eſt, calculo inveſti-
gavimus
, aliam atque aliam ponendo longitudinem p:
eas-
que
ſubjecta tabella exhibemus, ſecundum cujus numeros
etiam
virga penduli diviſa eſt, quæ ſuperius in deſcriptione
horologii
fuit exhibita.
Procedunt autem accelerationes diur-
, ut jam illic advertimus, per 15 ſcrupula ſecunda, ſeu
primorum
ſcrupulorum quadrantes.
Ex. gr. ſi, pondere mo-
bili
D hærente in parte 73, 4, inveniatur horologium tar-
dius
juſto incedere, in 24 horis, differentiâ 15 ſecundorum
ſcrupulorum
;
oportebit ſurſum adducere pondus D, usque
ad
numerum 85, 6, ut corrigatur.
22
Acceleratio
horolog@i \\ ſpatio 24 horarum. # Partes, à centro oſc. \\ ſurſum accipiendæ.
Scrup
. pr. Sec. # Lineæ & decima linearum pedis horarii.
0
, 15 # 7, 0
0
, 30 # 15, 2
0
, 45 # 23, 7
1
, 0 # 32, 6
1
, 15 # 41, 9
1
, 30 # 51, 7
1
, 45 # 62, 2
2
, 0 # 73, 4
2
, 15 # 85, 6
2
, 30 # 99, 0
2
, 45 # 114, 1
3
, 0 # 131, 8
3
, 15 # 154, 3
3
, 30 # 192, 6
Centrum oſcillationis altius eſt centro gravitatis C parti-
bus
1, 4.
279177HOROLOG. OSCILLATOR.
PROPOSITIO XXIV.
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
CEntri oſcillationis rationem haberi non poſſe,
in
pendulis inter Cycloides ſuſpenſis;
& quomo-
do
hinc orta difficultas tollatur.
Si quis, ſubtili examine, contulerit ea quæ in ſuperiori-
bus
, de pendulo inter cycloides ſuſpenſo, demonſtravimus,
cum
his quæ ad centrum oſcillationis pertinent;
videbitur ei
deeſſe
aliquid ad perfectam illam, quam præferimus, oſcil-
lationum
æqualitatem.
Ac primo dubitabit, an, ad inveni-
endum
circulum cycloidis genitorem, pendulilongitudo ac-
cipienda
ſit à puncto ſuſpenſionis ad centrum gravitatis ap-
penſi
plumbi, an vero ad centrum oſcillationis;
quod, abal-
tero
illo, ſæpe ſenſibili intervallo diſtat, atque eo majore,
quo
major fuerit ſphæra aut lens plumbea.
Quid enim, ſi
ſphæræ
diameter quartam, aut tertiam partem, pendulilon-
gitudinis
æquet?
Quod ſi ad centrum oſcillationis illam lon-
gitudinem
accipiendam dicamus, non tamen expediet quo
pacto
ea, quæ de centro oſcillationis oſtenſa ſunt, conve-
niant
pendulo continue longitudinem ſuam immutanti, qua-
le
illud quod inter cycloides movetur.
Poſſet enim videri, et-
iam
centrum oſcillationis mutari, ad ſingulas diverſas longi-
tudines
;
quod tamen hoc modo intelligendum non eſt. Res
ſane
explicatu difficillima, ſi omnimodam ἀκ{ρί}βει{αν} ſecte-
mur
.
Nam in demonſtratione temporum æqualium in cycloi-
de
, mobile, per eam delatum, veluti punctum gravitate præ-
ditum
conſideravimus.
Sed, ſi ad effectum ſpectemus, non
magni
facienda eſt difficultas hæc;
cum ponderis, quo pen-
dulum
conſtat, magnitudo in horologiis tanta non requiratur
(etſi quo majus eo melius) ut differentia centrorum gravita-
tis
, &
oſcillationis, aliquid hic turbare poſſit. Quod ſi ta-
men
effugere prorſus has tricas velimus, id ita conſequemur,
ſi
ſphæram lentemve penduli, circa axem ſuum horizontalem,
mobilem
efficiamus:
axis extrema utrinque, virgæ penduli
imæ
, inſerendo:
quæ idcirco ut bifida hac parte ſit
280178CHRISTIANI HUGENII eſt. Fit enim hoc modo, ex motus natura, ut eandem per-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
petuo poſitionem, reſpectu horizontalis plani, ſphæra pen-
duli
ſervet, atque ita puncta ejus quævis, æque ac cen-
trum
ipſum, cycloides eaſdem percurrant.
Unde ceſſat hic
jam
centrorum oſcillationis conſideratio;
nec minus perfectam
temporum
æqualitatem tale pendulum conſequitur, quam ſi
puncto
unico omnis ejus gravitas contineretur.
PROPOSITIO XXV.
DE menſuræ univerſalis, & perpetuæ, conſti-
tuendæ
ratione.
Certa, ac permanens magnitudinum menſura, quæ nullis
caſibus
obnoxia ſit, nec temporum injuriis, aut longinquita-
te
aboleri aut corrumpi poſſit, res eſt &
utiliſſima, & à
multis
pridem quæſita.
Quæ ſi priſcis temporibus reperta
fuiſſet
, non tam perplexæ nunc forent, de pedis Romani,
Græci
, Hebræique veteris modulo, diſceptationes.
Hæc ve-
ro
menſura, Horologii noſtri opera, facile conſtituitur;
cum
ſine
illo nequaquam, aut ægre admodum, haberi poſſit.
Etſi
enim
, ſimplici pendulorum oſcillatione, hoc à quibuſdam
tentatum
fuerit, numerando recurſus qui tota cæli conver-
ſione
continentur, vel parte ejus cognita, per fixarum ſtel-
larum
diſtantias, ſecundum aſcenſionem rectam;
nec certi-
tudo
eadem hoc modo, quæ adhibitis horologiis, contingit,
&
labor longe eſt moleſtiſſimus ac tædioſiſſimus, propter
numerandi
ſolicitudinem.
Quia autem, præter horologia,
aliquid
, ad exactiſſimam hujus menſuræ inquiſitionem,
etiam
centrorum oſcillationis notitia confert;
ideo hic de-
mum
, poſt eorum tractationem, hanc determinationem ſub-
jicimus
.
Aptiſſima huic rei ſunt horologia, quorum oſcillationes
ſingulæ
ſecunda ſcrupula, vel eorum ſemiſſes, notant, quæ-
que
indicibus etiam, ad ea demonſtranda, inſtructa ſunt.
Poſtquam enim, ad mediocrem dierum longitudinem,
281179HOROLOG. OSCILLATOR. modi horologium, fixarum ſtellarum obſervationibus, com-
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
poſitum fuerit, methodo illa quam in horologii deſcriptione
oſtendimus
:
aliud pendulum ſimplex, hoc eſt, ſphæra plum-
bea
, aut alia materia gravi conſtans, ex tenui filo religata,
juxta
ſuſpendenda eſt, motuque exiguo impellenda;
ac tan-
tiſper
producenda, aut contrahenda fili longitudo, donec
recurſus
ejus, per quadrantem horæ, aut ſemiſſem, una feran-
tur
cum reciprocationibus penduli horologio aptati.
Dixi
autem
exiguo motu impellendum pendulum, quia oſcilla-
tiones
exiguæ, puta 5 vel 6 partium, ſatis æqualia tempora
habent
, magnæ vero non item.
Tunc, acceptâ menſurâ di-
ſtantiæ
, à puncto ſuſpenſionis ad centrum oſcillationis pen-
duli
ſimplicis;
eâque, ſi recurſus ſinguli ſcrupula ſecunda
valeant
, in tres partes divisâ;
facient ſingulæ longitudi-
nem
pedis, quem Horarium in ſuperioribus vocavimus:
quique, hoc pacto, non ſolum ubique gentium conſtitui
poſſit
, ſed &
venturo ævo redintegrari. Adeo ut & moduli
pedum
omnium aliorum, ſemel ad hunc proportionibus ſuis
expreſſi
, certò quoque in poſterum cognoſci poſſint.
Sicut
jam
ſupra, pedem Pariſienſem ad hunc horarium eſſe diximus,
ut
864 ad 881;
quod idem eſt ac ſi, poſito prius pede Pa-
riſienſi
, dicamus tribus hujuſmodi pedibus, cum octo lineis
&
dimidia, conſtitui pendulum ſimplex, cujus oſcillationes
ſcrupulis
ſecundis horariis reſponſuræ ſint.
Pes autem Pari-
ſienſis
ad R henanum, quo in Patria noſtra utuntur, ſe habet
ut
144 ad 139;
hoc eſt, quinque lineis ſuis diminutus, al-
terum
illum relinquit.
Atque ita & hic pes, & alii quilibet,
perpetuo
duraturas menſuras accipiunt.
Quomodo autem centrum oſcillationis in ſphæra, ex
qualibet
longitudine ſuſpenſa, inveniatur, in ſuperioribus
demonſtratum
eſt.
Nempe, ſi fiat ut diſtantia inter punctum
ſuſpenſionis
&
ſphæræ centrum, ad ſemidiametrum ejus,
ita
hæc ad aliam;
ejus duas quintas, à centro deorſum ac-
ceptas
, terminari in quæſito oſcillationis centro.
Facile au-
tem
apparet cur neceſſaria ſit hujus centri conſideratio, ad
accuratam
pedis Horarii conſtitutionem.
Nam, ſi à
282180CHRISTIANI HUGENII cto ſuſpenſionis ad ſphæræ centrum diſtantia accipiatur,
11De centro
OSCILLA-
TIONIS.
ſphæræ autem magnitudo non definiatur proportione ad fili
longitudinem
, non erit certa menſura penduli cujus recurſus
ſecunda
ſcrupula metiantur;
ſed quo major erit ejus ſphæra,
hoc
minor invenietur menſura illa, inter centrum ſphæræ &

punctum
ſuſpenſionis intercepta.
Quia in iſochronis pendu-
lis
, centra quidem oſcillationis à punctis ſuſpenſionum æ-
qualiter
diſtant;
amplius autem deſcendit centrum oſcilla-
tionis
infra centrum ſphæræ majoris, quam minoris.
Hinc neceſſe fuit illis, qui, ante hanc centri oſcillatorii
determinationem
, menſuræ univerſalis conſtituendæ ratio-
nem
inierunt;
quod, jam inde à prima Horologii noſtri
inventione
, nobilis illa Societas Regia Anglicana ſibi nego-
tium
ſumpſit, &
recentius doctiſſimus Aſtronomus Lugdu-
nenſis
, Gabriel Moutonus;
his, inquam, neceſſe fuit deſi-
gnare
globuli ſuſpenſi diametrum, vel proportione certa ad
fili
longitudinem, cujus nempe triceſimam vel aliam partem
æquaret
;
vel menſura quadam cognita, ut digiti vel polli-
cis
.
Sed hoc poſteriore modo, ponitur jam certi aliquid,
quod
id ipſum eſt quod quærendum eſt:
etſi ſcio vix ſenſi-
bilem
errorem fore, dummodo ſphæræ iſtam, quam jam di-
xi
, magnitudinem non multum excedant.
Priore autem
poſſet
quidem aliquo pacto res explicari;
ſed ita, ut nu-
merandarum
oſcillationum labor ſubeundus ſit, calculoque
etiam
utendum.
Quamobrem præſtat, centra oſcillationis
adhibendo
, certam rationem ſequi, nulliſque præter neceſ-
ſitatem
legibus obligari.
atque hic jam majoribus ſphæris
quam
exiguis potius utendum, quod illæ occurſu aëris mi-
nus
impediantur.
Cæterum, non ſphæræ tantum ex filo ſuſpenſæ, ſed &
coni
, cylindri, aliaque omnia ſolida, planaque, quorum
centra
oſcillationis ſuperius exhibuimus, ad hanc menſuram
inveſtigandam
, apta ſunt;
quoniam, à puncto ſuſpenſionis
ad
centrum oſcillationis, certum idemque omnibus iſochronis
pendulis
eſt intervallum.
Neque etiam illa duntaxat horolo-
gia
, quæ ſecunda ſcrupula aut eorum ſemiſſes ſingulis
283181HOROLOG. OSCILLATOR. recurſibus indicant, ad hæc uſurpare poſſumus; ſed & aliâ
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
quàcunque penduli longitudine inſtructis propoſitum obti-
nebitur
, dummodo ex rotarum proportionibus, ſeu dentium
numero
, cognoſcatur numerus oſcillationum certo tem-
pore
peragendarum.
Invento enim pendulo ſimplici, cu-
jus
librationes ſingulæ conveniant vel ſingulis, vel binis
terniſve
recurſibus horologii, conſtabit jam hinc, quot
penduli
illius vices horæ ſpatio tranſigantur.
Quarum nume-
rus
ſi quadretur, erit ut quadratum è 3600, numero ſcru-
pulorum
ſecundorum horam unam efficientium, ad qua-
dratum
illius numeri, ita longitudo penduli ſimplicis in-
venti
, (quæ longitudo ſemper à puncto ſuſpenſionis ad
centrum
oſcillationis accipienda eſt) ad longitudinem pen-
duli
illius horarii tripedalis, quod diximus.
Hoc enim inde
conſtat
, quod duorum quorumvis pendulorum longitudines
ſunt
inter ſe, ſicut quadrata temporum quibus ſingulæ o-
ſcillationes
tranſeunt;
ideoque contrariam rationem habent
quadratorum
à numeris, quos efficiunt oſcillationes æquali-
bus
temporum intervallis peractæ.
Nam, cum hactenus ex-
perientiâ
tantum comprobatum fuerit Theorema illud, de
pendulorum
longitudinibus;
eas nempe duplicatam habere
rationem
temporum, quibus oſcillationes ſingulæ peragun-
tur
;
nunc ejus demonſtratio ex ſuperius traditis manifeſta
eſt
.
Cum enim oſtenderimus, ſingulos recurſus penduli, in-
ter
cycloides ſuſpenſi, ad caſum perpendicularem, è dimi-
dia
penduli longitudine, certam rationem habere;
eam ſci-
licet
quam circumferentia circuli ad diametrum ſuam;
faci-
le
hinc colligitur, tempora oſcillationum in duobus pendulis
eſſe
inter ſe, ſicut tempora deſcenſus perpendicularis ex di-
midiis
eorum altitudinibus.
Quæ altitudines dimidiæ, ſive
etiam
totæ, cum habeant rationem duplicatam temporum,
quibus
ipſæ deſcenſu perpendiculari percurruntur ;
22Prop. 3.
Part
. 2.
quoque duplicatam rationem habebunt temporum, quæ o-
ſcillationes
ſingulas metiuntur.
Ab oſcillationibus autem mini-
mis
penduli, inter cycloides ſuſpenſi, non differunt ſenſi-
biliter
oſcillationes minimæ penduli ſimplicis, cujus
284182CHRISTIANI HUGENII ſit longitudo. Itaque & pendulorum ſimplicium longitudi-
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
nes, duplicatam rationem habebunt temporum, quibus o-
ſcillationes
minimæ tranſiguntur.
Quod ſi quis oſcillationum numerandarum, quæ horæ aut
ſemihoræ
tempore tranſeunt, laborem non defugiat;
horo-
logiumque
adſit, cujus index ſecunda ſcrupula demonſtret;
quæcunque accipiatur penduli ſimplicis longitudo, ejus nu-
merus
oſcillationum, quæ hora una continentur, hoc modo
cognoſcetur
;
atque inde longitudo penduli tripedalis, ad
ſecunda
ſcrupula, ut antea, calculo prodibit.
PROPOSITIO XXVI.
SPatium deſinire, quod gravia, perpendiculari-
ter
cadentia, dato tempore percurrunt.
Hanc menſuram quicunque hactenus inveſtigarunt, expe-
rimenta
conſulere neceſſe habuerunt;
quibus, prout hacte-
nus
inſtituta fuere, non facile ad exactam determinationem
pervenitur
, propter velocitatem cadentium, ſub finem mo-
tus
acquiſitam.
Ex noſtra autem prop. 25, de Deſcenſu
gravium
, cognitaque longitudine penduli ad ſecunda ſcru-
pula
, abſque experimento, per certam conſequentiam,
rem
expedire poſſumus.
Ac primo quidem ſpatium il-
lud
inquiremus, quod unius ſcrupuli ſecundi tempore grave
præterlabitur
;
ex quo quælibet alia deinde colligere lice-
bit
.
Quia igitur penduli, ad ſecunda ſcrupula, longi-
tudinem
diximus eſſe pedum Horariorum 3:
tempus au-
tem
unius oſcillationis minimæ, eſt ad tempus deſcenſus
perpendicularis
ex dimidia penduli altitudine, ut circumfe-
rentia
circuli ad diametrum, hoc eſt, ut 355 ad 113:
ſi
fiat
, ut numerus horum prior ad alterum, ita tempus unius
ſecundi
ſcrupuli, ſive ſexaginta tertiorum, ad aliud;
fient
19″′
{1/@0}, tempus deſcenſus per dimidiam penduli altitudinem,
quæ
nempe eſt pedis unciarum 18.
Sicut autem quadrata
temporum
, ita ſunt ſpatia illis temporibus peracta,
285183HOROLOG. OSCILLATOR. modum ſuperiori propoſitione fuit oſtenſum. Ergo, ſi fiat ut
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
quadratum ex 19″′ {1/10} ad quadratum ex 60″′, hoc eſt, ut 36481
ad
360000, ita 18 unciæ ad aliud, fient ped.
14. unc. 9.
lin. 6, altitudo deſcenſus perpendicularis, tempore unius
ſecundi
.
Cum autem pes Horarius ſit ad Pariſienſem, ut
881
ad 864;
erit eadem altitudo, ad hanc menſuram redu-
cta
, proxime pedum 15 &
unciæ unius. Atque hæc cum
accuratiſſimis
experimentis noſtris prorſus conveniunt.
in
quibus
punctum illud temporis, quo cafus finitur, non au-
rium
aut oculi judicio diſcernitur;
quorum neutrum hic ſa-
tis
tutum eſt;
ſed ſpatium deſcendendo peractum, alio mo-
do
, quem hic exponere tentabimus, abſque ullo errore cog-
noſcitur
.
Penduli, ad parietem tabulamve erectam, ſuſpenſi dimi-
dia
oſcillatio moram temporis, cadendo abſumpti, indi-
cat
.
Cujus ſphærula, ut eodem momento ac plumbum caſui
deſtinatum
dimittatur, utraque filo tenui connexa tenentur,
quod
admoto igne inciditur.
Sed prius, caſuro plumbo, fu-
niculus
alius adnectitur, ejus longitudinis, ut, cum totus
exierit
à plumbo tractus, nondum ad parietem illidatur pen-
dulum
.
Funiculi ejus caput alterum, regulæ chartaceæ,
aut
ex tenui membrana paratæ, cohæret;
ita ad parietem ta-
bulamve
applicatæ, ut trahentem funem facile ſequi poſſit,
rectáque
ſecundum longitudinem ſuam deſcendere;
eo loci
tranſiens
, quo penduli ſphæra ad tabulam accidet.
Abſum-
pto
igitur funiculo toto, pars inſuper regulæ deorſum tra-
hitur
à cadente plumbo, priuſquam pendulum ad tabulam
pertingat
.
Quæ quanta ſit pars, ſphæra fuligine leviter in-
fecta
, regulamque præterlabentem ſignans, indicat.
Huc
autem
addita funiculi longitudine, ſpatium cadendo emen-
ſum
certò definitum habetur.
Aëris autem occurſum, quaſi nullus eſſet in his intelligi-
gimus
, ut menſura cadentibus corporibus præfixa cum ex-
perimentis
exacte conſentiat.
Nec ſane tantus eſt ille, ut in
altitudinibus
his, quò aſcendere datur, ſenſibile diſcrimen
inducere
poſſit;
dummodo ſolida corpora è metallo, aut,
286184CHR. HUGENII HOROL. OSCILL. leviore materia conſtent, mole grandiuſcula accipiantur Le-
11Decentro
OSCILLA-
TIONIS.
vitas enim materiæ, in iis quæ cadendo aërem ſecant, ita
magnitudine
corporis penſatur, ut ſphæra lignea, vel etiam
è
ſubere formata, paria faciat cum plumbea:
quando nimi-
rum
diameter harum ad plumbeæ diametrum eam rationem
habuerit
, quam gravitas plumbi propria ad ligni ſuberisve
gravitatem
.
Tunc enim gravitates ſphærarum erunt inter ſe
ſicut
earum ſuperficies.
Veruntamen, ut æquali celeritate,
quantum
ſenſu percipi poteſt, decidant corpora, quæ mul-
tum
intrinſeca gravitate differunt nequaquam opus eſt ut
proportio
illa diametrorum ſervetur.
Poſſunt enim inter ſe
æqualia
eſſe, dummodo utraque ſatis magna ſint;
aut ex
non
nimia altitudine decidant.
Etenim illud quoque hic
animadvertendum
eſt, tantam vel altitudinem eſſe poſſe;
vel, in mediocri etiam altitudine, tantam projecti corporis
levitatem
;
ut ob aëris renitentiam, acceleratio motus tan-
dem
ab illa, quam in ſuperioribus demonſtravimus, pro-
portione
plurimum receſſura ſit.
Namque in univerſum,
corpori
cuilibet, per aërem aliudve liquidum labenti, certus
celeritatis
modus, pro ratione ponderis ac ſuperſiciei ſuæ,
conſtitutus
eſt;
quem excedere, aut potius ad quem perve-
nire
nunquam poſſit.
Quæ nempe celeritas ea eſt, quam ſi
aër
, aut liquor ille ſurſum tendens, haberet, ſuſpenſum cor-
pus
idem ſibi innatans ſuſtinere poſſet.
Verum de his, alias
fortaſſe
, pluribus agendi occaſio erit.
124[Figure 124]
287185 125[Figure 125]
HOROLOGII OSCILLATORII
PARS QUINTA.
Conſtructionem aliam, è circulari pendulorum
motu
deductam, continens;
& Theoremata
de
Vi Centrifuga.
EST & aliud Oſcillatorii motus genus, præter id quod
hactenus
pertractavimus.
Ejuſmodi nempe, quo, per
circuli
ambitum, pendulum pondus circumfertur.
Unde ali-
ud
quoque horologii commentum deduximus, eodem fere
tempore
quo prius illud;
certoque itidem æquabilitatis prin-
cipio
nixum;
ſed cujus uſus minus percrebuit, propter al-
terius
illius conſtructionem, quodammodo ſimpliciorem fa-
cilioremque
.
Plura tamen hujus quoque generis de quo nunc
loquimur
, nec ſine ſucceſſu, conſtructa fuere:
eſtque in
his
ſingulare illud, quod continuo atque æquabili motu cir-
cumferri
cernitur index poſtremus, qui ſecunda ſcrupula
deſignat
;
cum in priore noſtro horologio, omnibuſque aliis,
ſubſultim
quaſi feratur.
Item hoc quoque, quod abſque ſtre-
pitu
, ſonoque omni, moveantur hac ratione conſtructa au-
tomata
.
quanquam, ad obſervationes aſtronomicas, ſonus
ad
ſingula ſecunda ſcrupula repetitus, utilitate non careat.
Et conſtitueram quidem, deſcriptionem horum cum iis de-
mum
edere, quæ ad motum circularem &
Vim Centrifu-
gam
, ita enim eam vocarelibet, attinent;
de quo
288186CHRISTIANI HUGENII to plura dicenda habeo, quam quæ hoc tempore exequi va-
11Secundi
@OROLO-
GII DE-
SORIPTIO.
cet.
Sed, ut nova nec inutili ſpeculatione maturius fruantur
harum
rerum ſtudioſi, neve caſu aliquo intercidat, hanc
quoque
partem, præter deſtinatum, cæteris adjunxi, qua
machinæ
hujus fabrica breviter exponitur, ſimulque Theo-
remata
traduntur, ad Vim Centrifugam pertinentia;
demon-
22Vide Au-
ctoris
Opera
poſthuma

p
. 401.
& ſeq.
ſtratione ipſorum in aliud tempus dilata .
Horologii ſecundi conſtructio.
Non neceſſarium duxi, ut rotarum, quibus interiora ho-
33TAB.XXVII.
Fig
. 5.
rologii conſtant, diſpoſitionem hic exhiberem;
cum ea ab
artificibus
facile ordinari, variiſque modis mutari poſſit;
ſed eam partem explicari ſatis eſſe, quæ motum ejus certa
ratione
moderatur.
Cujus partis hic figura expreſſa eſt.
Axis D H ad horizontem erectus intelligendus eſt, ac
ſuper
polis duobus mobilis.
Huic ad A affixa eſt lamina,
latitudine
aliqua prædita, curvataque ſecundum lineam
A
B;
quæ eſt paraboloides illa de qua oſtendimus, Propoſ. 8.
partis 3, evolutione ejus, poſtquam ipſi recta quædam juncta
fuerit
, deſcribi parabolam.
Earecta hic eſt A E; parabolam
vero
, ex evolutione totius B A E deſcriptam, refert linea
E
F.
Filum curvæ B A applicatum, cujus extremo puncto
parabola
deſcribitur, eſt B G F.
Pondus illi affixum F.
Dum
autem axis D H in ſeſe vertitur, filum B G F, in re-
ctam
lineam extenſum, ſphærulam F una circumducit,
ita
ut circulos horizonti parallelos percurrat;
qui majores
minoreſve
erunt, prout majori aut minori vi axis D H,
ab
rotis horologii in tympanidium K agentibus, incitabitur:

ſed
ita, ut omnes in ſuperficie conoidis parabolici continean-
tur
.
Atque hoc ipſo æqualia ſemper circuitus tempora eva-
dent
, ut ex iis, quæ de hoc motu poſtea dicemus, appa-
rebit
.
Quod ſi circuitus ſingulos, ſecundorum ſcrupulorum ſe-
miſſes
notare velimus, oportet latus rectum parabolæ E F
eſſe
4{1/2} unciarum pedis Horarii noſtri, hoc eſt
289187HOROLOG. OSCILLATOR. longitudinis penduli, cujus ſingulæ oſcillationes ſemiſcru-
11Secundi
HOROLO-
GII DE-
SCRIPTIO.
pulum ſecundum impenderent.
Ex parabolæ autem latere
recto
, pendet magnitudo lateris recti paraboloidis A B;
quippe quod illius {27/16} continet: atque item longitudo A E,
quæ
lateris recti parabolæ dimidium eſt.
Si vero ſecunda
ſcrupula
unoquoque circuitu expleri deſideremus, quadru-
pla
priorum accipienda ſunt, tum latera recta, tum linea
A
E.
Porro, etſi filum B G F veluti unicum ac ſimplex hacte-
nus
deſignavimus, ſciendum tamen longe præſtare ut parte
ſuperiori
duplex ſit, ac F versùs in angulum coëat, 20 vel
30
partium.
In quem finem & laminæ A B latitudo ad B
tanta
eſſe debet, quanta iſti filorum divaricationi ſufficit,
vel
&
ipſa bifida facienda. Hoc pacto enim motus circularis
ponderis
F, abſque alio ullo adminiculo, continuatur, ac filum
utrumque
ſibi annexum in rectum extendit;
quod non face-
ret
, ſi unico tantum filo teneretur.
Ubi tamen vim illam ab
horologii
rotis, vel pondere vel alia potentia motis, ad con-
tinuationem
hujus motus circularis requiri ſciendum.
Quæ
nempe
vis per tympanidium K ad axem K H pervenit, ac
minimo
niſu, motum ſphæræ F ſemel inditum, conſervat.
Hoc autem quo facilius poſſit, liberrimam axis K H re-
volutionem
eſſe oportet.
Quod nulla ratione melius perfici
compertum
, quam ſi, parte ſui ima, durato chalybe con-
ſtet
, ſuppoſitamque habeat adamantis ſuperficiem planam;
cujus minima quævis particula hic ſufficit, ſubter laminam
perforatam
collocanda.
Cæterum in locum fili B G F, qua parte curvæ A B appli-
cari
debet, catenulam tenuem ex auro, aliove metallo, adhi-
bere
licebit, quo melius invariata ſervetur longitudo.
Atque
hoc
in priore quoque horologio, ubi pendulum inter cycloi-
des
ſuſpenſum eſt, experti ſumus.
Sed ibi flexus catenulæ
continuus
, attritu annulorum, perexiguo licet, non parum
impedit
liberam penduli agitationem.
290188CHRISTIANI HUGENII
DE VI CENTRIFUGA
ex motu circulari, Theoremata.
I.
SI mobilia duo æqualia, æqualibus temporibus
circumferentias
inæquales percurrant;
erit vis
centrifuga
in majori circumferentia, ad eam quæ
in
minori, ſicut ipſæ inter ſe circumferentiæ, vel
earum
diametri.
II.
Si duo mobilia æqualia, æquali celeritate fe-
rantur
, in circumferentiis inæqualibus;
erunt eo-
rum
vires centrifugæ in ratione contraria diame-
trorum
.
III.
Si duo mobilia æqualia in circumferentiis æqua-
libus
ferantur, celeritate inæquali, ſed utraque
motu
æquabili, qualem in his omnibus intelligi vo-
lumus
;
erit vis centrifuga velocioris, ad vim tar-
dioris
, in ratione duplicata celeritatum.
291
[Empty page]
292126[Figure 126]Pag. 188.
TAB
.XXVII.
Fig
. 1.
O V V
A
M N D N B O E C
E
A G B D C F
127[Figure 127]Fig. 2.S Z G F H Y128[Figure 128]Fig. 3.D A D M T C129[Figure 129]Fig. 4.A E N D C130[Figure 130]Fig. 5.K D B G A F E H
293
[Empty page]
294189HOROLOG. OSCILLATOR.11De vi
Centri-
FUGA.
IV.
Si mobilia duo æqualia, in circumferentiis in-
æqualibus
circumlata, vim centrifugam æqua-
lem
habuerint;
erit tempus circuitus in majori cir-
cumferentia
, ad tempus circuitus in minori, in
ſubdupla
ratione diametrorum.
V.
Si mobile in circumferentia circuli feratur ea
celeritate
, quam acquirit cadendo ex altitudine,
quæ
ſit quartæ parti diametri æqualis;
habebit
vim
centrifugam ſuæ gravitati æqualem;
hoc eſt,
eadem
vi funem quo in centro detinetur intendet,
atque
cum ex eo ſuſpenſum eſt.
VI.
In cava ſuperficie conoidis parabolici, quod axem
ad
perpendiculum erectum habeat, circuitus omnes
mobilis
, circumferentias horizonti parallelas per-
currentis
, ſive parvæ ſive magnæ fuerint, æqua-
libus
temporibus peraguntur:
quæ tempora ſingula
æquantur
binis oſcillationibus penduli, cujus longi-
tudo
ſit dimidium lateris recti parabolæ genitricis.
295190CHRISTIANI HUGENII11De vi
Crentri-
FUGA.
VII.
Si mobilia duo, ex filis inæqualibus ſuſpenſa,
gyrentur
ita ut circumferentias horizonti paralle-
las
percurrant, capite altero fili immoto manente;
fuerint autem conorum, quorum ſuperficiem ſila
hoc
motu deſcribunt, altitudines æquales;
tempo-
ra
quoque circulationum æqualia erunt.
VIII.
Si mobilia duo, uti prius, motu conico gyren-
tur
, filis æqualibus vel inæqualibus ſuſpenſa;
fue-
rintque
conorum altitudines inæquales;
erunt tem-
pora
circulationum in ſubduplicata ratione ipſarum
altitudinum
.
IX.
Si pendulum, motu conico latum, circuitus mi-
nimos
faciat;
eorum ſingulorum tempora, adtem-
pus
caſus prpendicularis ex dupla penduli altitu-
dine
, eam rationem habent, quam circumferentia
circuli
ad diametrum:
ac proinde æqualia ſunt
tempori
duarum oſcillationum lateralium, ejusdem
penduli
, minimarum.
296191HOROLOG. OSCILLATOR.
X.
11De vi
CENTRE-
FUGA.
Si mobile in circumferentia feratur, circuitus-
que
ſingulos abſolvat eo tempore, quo pendulum,
longitudinem
ſemidiametri circumferentiæ ejus ha-
bens
, motu conico circuitum minimum abſolveret,
vel
duplicem oſcillationem minimam lateralem:
ha-
bebit
vim centrifugam ſuæ gravitati æqualem.
XI.
Penduli cujuslibet, motu conico lati, tempora
circuitus
æqualia erunt tempori caſus perpendicula-
ris
, ex altitudine penduli filo æquali;
cum angu-
lus
inclinationis fili, ad planum horizontis, fuerit
partium
2.
ſcrup. 54, proxime. Exacte vero, ſi
anguli
dicti ſinus fuerit ad radium, ut quadra-
tum
circulo inſcriptum ad quadratum à circumfe-
rentia
ejus.
XII.
Si pendula duo, pondere æqualia, ſed inæquali
filorum
longitudine, motu conico gyrentur, fue-
rintque
conorum altitudines æquales;
erunt vires,
quibus
fila ſua intendent, in eadem ratione quæ
eſt
filorum longitudinis.
297192CHRIST. HUGENII HOROL. OSCILL.11De vii
Centri-
FUGA.
XIII.
Si pendulum ſimplex oſcillatione laterali maxi-
ma
agitetur, hoc eſt, ſi per totum circuli quadran-
tem
deſcendat:
ubi ad punctum imum circumfe-
rentiæ
pervenerit, triplo majori vi filum ſuum
trahet
, quam ſi ex illo ſimpliciter ſuſpenſum fo-
ret
.
FINIS.
131[Figure 131]
298
BREVIS
INSTITUTIO
DE
USU
HOROLOGIORUM
AD
INVENIENDAS LONGITUDINES.
299
Adr. Metius in Geographicis Inſtitutionibus
Cap
. 4.
ET hæc ſane facillima & aptiſſima eſt methodus (ſcilicet qua adhibitis Horologiis longitudines de-
teguntur
) quam acquirere poſſis;
niſi quod difficultas & error conſiſtat in irregulari Horolo-
giorum
motu:
ideoque diligentes inquiſitores & inventores rerum naturalium id curate, neque
laboris
veſtri vos pæniteat, quo hunc errorem tollere tentetis.
Inquirite in hunc verum & æqua-
bilem
naturæ curſum;
quo potiti verum lapidem Philoſophorum inveniſtis, neque fortes Nau-
cleri
ad ſcopulos toties offendent.
Fournier in Hydrographia 1. 12. C. 35.
UNde tandem colligo, ſi via inveniri queat ad Horologia perficienda, & laborem ſuſcipere ve-
limus
iis bene utendi, nullam praxim (ad inveniendas longitudines) cum hac comparandam eſſe.
Didericus Rembrantz a Nierop in Animadverſionibus
de
inveniendis longitudinibus.
HOc modo laudabiliora cenſerem nova excogitata Horologia Domini Chriſtiani Hugenii a Zuy-
lichem
, quæ, loco liberamenti, a plumbo pendulo oſcillato moderantur, de quibus per certa
teſtimonia
certus ſum, quod hæc tempus exacte ad hebdomadas, imò ferè ad menſes juſte di-
metiri
queant;
Unde confiderem, quod ope horum Horologiorum maximum perciperemug
commodum
, imò quod, niſi agitatio navis impediret, ſatis attingere poſſemus ad inventionem
longitudinum
.
300
BREVIS INSTRUCTIO DE USU HOROLO-
GIORUM
AD INVENIENDAS
LONGITUDINES
.
I.
AD minimum bina nova Horologia O-
ſcillatoria
in navem ferantur:
ut ſi al-
terutrum
forte fortunâ vel ex negli-
gentia
quieſcat;
vel ſi diuturnitate
temporis
contractis ſordibus, purgan-
dum
ſit, alterum nihilominus movea-
tur
;
præſtaret autem 3 vel 4 adhibere
horologia
.
II.
Cui cura horologiorum committetur, diſcat a fabro quæ
ſpectant
indices horarum minutarum primarum &
ſecunda-
rum
, internas etiam horologiorum partes intelligere, &
redu-
cendi
ea methodum.
III.
Horologia in navi ſuſpendenda ſunt in loco arcte clauſo,
ubi
tuta ſunt ab humore vel ſordibus, &
ne diſturbentur con-
tactibus
:
Et ſi locum illum in media navi prope malum
principem
ordinare poſſemus, multum præſtaret, quoniam
ibi
motus minimus eſt.
IV.
Antequam horologia in navem inferantur, conabimur ea
aptare
ad rectam dierum menſuram, tum enim uſus eſt facil-
limus
, nulluſque fabris labor eſt ad unum bene adaptatum
horologium
alia accommodare.
Sed ſi tamen tempus vel op-
portuna
id præſtandi occaſio defuerit, nihilominus poterunt
æque
certe mari uſurpari, dummodo obſervaveris vel ſcias,
quanto
citius vel tardius ſpatio 24 horarum moveantur, ut
poſtea
docebitur.
301196CHRIST. HUGENII INSTITUTIO
V.
Reducere horologia ad rectam dierum menſuram vel cogno-
ſcere
quanto citius vel tardius ſpatio 24 horarum movean-
tur
.
Obſerva, dies ab una ad alteram meridiem aliquantulum
differre
quæ cauſa eſt cur horologium, licet prorſus exactum
&
ſecundum mediorum dierum menſuram moveatur, non ſem-
per
cum ſole conveniat.
Sed ut hæc inæqualitas æquetur, &
ſemper
ope Horologii ſcire poſſimus, quam horam indicat Sol,
&
conſequenter num horologium ad rectam mediorum die-
rum
menſuram diſpoſitum ſit, conducit ſequens tabula cu-
jus
uſus talis eſt.
Quando primum horologium conſtituendum
eſt
, ſubtrahe ex hora ſolari obſervatâ æquationem ejus diei quæ
in
tabula reperitur, &
diſpone horologium ad reſiduas horas,
minuta
prima &
ſecunda: ubi poſt aliquot dies quæritur
hora
ſolaris, adde ad horam horologii æquationem diei ul-
timi
, &
aggregatum erit hora ſolaris, ſi horologium exacte
fuit
adaptatum, ſecundum menſuram dierum mediorum;
ve-
rum
ut obſervationes quam certiſſime inſtituantur, &

horologia
ad menſuram adaptentur antequam in navem infe-
rantur
, methodus ſequens aptiſſima eſt.
Duc lineam meridianam in pavimento, cujus operationis
methodi
ſatis notæ ſunt;
obſervandum præterea ſummam hic
non
requiri exactitudinem;
Porro, directe ſuper lineam meri-
dianam
, ſuſpende 2 fila appenſis infra ponderibus, vel aliter
verticaliter
tendantur, certosque a ſe mutuò diſtent pedes,
quo
plures eo melius.
Ubi dein medietas ſolis videtur exacte ex adverſo ambo-
rum
ſilorum (ad quod requiritur vitrum obſcuri coloris, vel
in
fuligine candelæ denigratum) eo momento horologiorum
indices
diſponendi ſunt, non exacte in 12 horas, ſed tanto ma-
gis
retrorſum, quanta eſt æquatio illius diei in Tabula:
ex. gr.
ſi fuerit 22 dies Martii, cujus æquatio in Tabula eſt 8 min.
3
ſec:
hæc ſunt ſubducenda ex 12 horis, & reſiduum erit
11
horæ 51 min.
57 ſec: in quot horas minuta & ſecunda
diſponendi
ſunt indices Horologiorum quam primum ſol
302197DE USU HOROLOG. dius ex adverſo 2 filorum conſpicitur. Dein poſt aliquot dies
obſervatio
rurſus eodem modo eſt inſtituenda, ubi ſol ex
adverſo
filorum cernitur, &
ſimiliter notanda hora minu-
ta
&
ſecunda horologiorum, quibus adde æquationem ejus
diei
excerptam ex Tabulâ, &
ſi aggregatum exacte compo-
nat
12 horas Horologium ad rectam menſuram accommoda-
tum
eſt.
Si vero differat dividenda ſunt minuta & ſecunda
iſtius
differentiæ, per numerum dierum inter utramque ob-
ſervationem
, ad obtinendam quotidianam differentiam.
Supponamus hanc ſecundam obſervationem fieri 30. Mar-
tii
ſcil.
octo diebus poſt primam & comperiatur medietate
ſolis
viſa in meridiano ex adverſo 2.
filorum,
11
h
. # m. # ſ.
11
. # 51. # 7.
0
. # 10. # 40.
12
. # 1. # 47.
horologium indicare
Æquatio
30.
Martii in tabula eſt
præbet
ſummam
Si hæc ſumma exacte fuiſſet 12 horarum, horologium re-
cte
dispoſitum fuiſſet, ſed cum excedat 12.
horas 1. minuto 47.
ſecundis, tanto citius promotum fuit ſpatio octidui; &
hoc
1 minutum &
47 ſecunda, aut 107 ſecunda, diviſa per
8
.
efficiunt 13. {3/8} ſecundorum, differentiam in ſpatio 24. hora-
rum
.
Quâ differentià cognitâ, ſi non otium nec animus ſit
ſuſcipiendi
moleſtiam ut adaptetur horologium ad veram men-
ſuram
, neceſſe hoc non eſt;
ita enim in navim inferre licet,
modo
prædicta quotidiana differentia annotetur, &
ad eam
nosmet
componamus ut ſtatim dicetur.
Sed ſi accuratius Horologium diſponere velimus, removen-
dum
eſt minus pondus penduli parumper deorſum, quo tardius
movebitur
:
& tum de novo obſervatio per ſolem inſtituenda
eſt
ut antea;
ſi tarde nimis motum fuiſſet, ſupra memora-
tum
pondus parumper ſurſum promovendum fuiſſet,
ita
tamen, ne ſupra punctum medium penduli promoveatur.
quippe gaudet proprietate, quod inde ſurſum promotum
horologium
lentius iterum promoveat, cujus rei in deſcri-
ptione
Horologii datur demonſtratio ;
ut & æquationis 22Vide ſu-
pra
pag 172.
poris, cujus ſolummodo hic docemus uſum.
Præter
303198TABULA ÆQUA.11
Dies
. ## Fanuar. ## Febr. ## Mart. ## Apr. ## Maj. ## Fun.
" # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec.
1
# 10 # 40 # 0 # 32 # 2 # 15 # 11 # 18 # 18 # 32 # 18 # 10
2
# 10 # 10 # 0 # 24 # 2 # 28 # 11 # 37 # 18 # 39 # 18 # 1
3
# 9 # 41 # 0 # 18 # 2 # 42 # 11 # 56 # 18 # 46 # 17 # 51
4
# 9 # 13 # 0 # 13 # 2 # 56 # 12 # 15 # 18 # 53 # 17 # 41
5
# 8 # 45 # 0 # 9 # 3 # 11 # 12 # 34 # 18 # 59 # 17 # 30
6
# 8 # 17 # 0 # 6 # 3 # 26 # 12 # 53 # 19 # 4 # 17 # 19
7
# 7 # 50 # 0 # 3 # 3 # 41 # 13 # 12 # 19 # 9 # 17 # 8
8
# 7 # 23 # 0 # 1 # 3 # 56 # 13 # 31 # 19 # 14 # 16 # 57
9
# 6 # 58 # 0 # 0 # 4 # 12 # 13 # 49 # 19 # 18 # 16 # 46
10
# 6 # 34 # 0 # 0 # 4 # 29 # 14 # 6 # 19 # 22 # 16 # 35
11
# 6 # 10 # 0 # 0 # 4 # 46 # 14 # 23 # 19 # 25 # 16 # 24
12
# 5 # 47 # 0 # 2 # 5 # 4 # 14 # 39 # 19 # 28 # 16 # 13
13
# 5 # 24 # 0 # 4 # 5 # 22 # 14 # 55 # 19 # 29 # 16 # 1
14
# 5 # 2 # 0 # 8 # 5 # 40 # 15 # 10 # 19 # 29 # 15 # 49
15
# 4 # 41 # 0 # 12 # 5 # 58 # 15 # 25 # 19 # 29 # 15 # 37
16
# 4 # 21 # 0 # 16 # 6 # 16 # 15 # 39 # 19 # 28 # 15 # 24
17
# 4 # 2 # 0 # 21 # 6 # 33 # 15 # 53 # 19 # 26 # 15 # 11
18
# 3 # 44 # 0 # 26 # 6 # 51 # 16 # 7 # 19 # 24 # 14 # 58
19
# 3 # 27 # 0 # 32 # 7 # 9 # 16 # 21 # 19 # 21 # 14 # 45
20
# 3 # 11 # 0 # 40 # 7 # 27 # 16 # 34 # 19 # 18 # 14 # 32
21
# 2 # 55 # 0 # 48 # 7 # 45 # 16 # 47 # 19 # 15 # 14 # 19
22
# 2 # 39 # 0 # 57 # 8 # 3 # 16 # 59 # 19 # 11 # 14 # 6
23
# 2 # 23 # 1 # 6 # 8 # 22 # 17 # 11 # 19 # 7 # 13 # 53
24
# 2 # 7 # 1 # 16 # 8 # 41 # 17 # 22 # 19 # 2 # 13 # 40
25
# 1 # 52 # 1 # 26 # 9 # 1 # 17 # 33 # 18 # 57 # 13 # 27
26
# 1 # 38 # 1 # 37 # 9 # 21 # 17 # 43 # 18 # 51 # 13 # 15
27
# 1 # 25 # 1 # 49 # 9 # 41 # 17 # 53 # 18 # 45 # 13 # 3
28
# 1 # 13 # 2 # 2 # 10 # 1 # 18 # 3 # 18 # 39 # 12 # 52
29
# 1 # 2 # # # 10 # 21 # 18 # 13 # 18 # 33 # 12 # 41
30
# 0 # 51 # # # 10 # 40 # 18 # 23 # 18 # 26 # 12 # 30
31
# 0 # 41 # # # 10 # 59 # # # 18 # 18
304199TIONIS DIERUM.11
Dies
. ## Jul. ## Aug. ## Sept. ## Octob. ## Nov. ## Dec.
" # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec.
1
# 12 # 19 # 10 # 4 # 16 # 23 # 26 # 30 # 31 # 55 # 25 # 34
2
# 12 # 8 # 10 # 8 # 16 # 42 # 26 # 49 # 31 # 55 # 25 # 10
3
# 11 # 58 # 10 # 13 # 17 # 1 # 27 # 8 # 31 # 54 # 24 # 45
4
# 11 # 48 # 10 # 18 # 17 # 21 # 27 # 26 # 31 # 52 # 24 # 20
5
# 11 # 38 # 10 # 23 # 17 # 41 # 27 # 43 # 31 # 50 # 23 # 55
6
# 11 # 28 # 10 # 28 # 18 # 1 # 28 # 0 # 31 # 47 # 23 # 30
7
# 11 # 18 # 10 # 34 # 18 # 21 # 28 # 16 # 31 # 43 # 23 # 4
8
# 11 # 9 # 10 # 41 # 18 # 41 # 28 # 32 # 31 # 37 # 22 # 38
9
# 11 # 0 # 10 # 49 # 19 # 1 # 28 # 47 # 31 # 30 # 22 # 11
10
# 10 # 52 # 10 # 58 # 19 # 21 # 29 # 2 # 34 # 22 # 21 # 43
11
# 10 # 47 # 11 # 7 # 19 # 41 # 29 # 16 # 31 # 13 # 21 # 14
12
# 10 # 38 # 11 # 16 # 20 # 1 # 29 # 30 # 31 # 3 # 20 # 44
13
# 10 # 31 # 11 # 25 # 20 # 22 # 29 # 43 # 30 # 53 # 20 # 14
14
# 10 # 25 # 11 # 36 # 20 # 43 # 29 # 56 # 30 # 43 # 19 # 44
15
# 10 # 19 # 11 # 48 # 21 # 4 # 30 # 9 # 30 # 32 # 19 # 14
16
# 10 # 13 # 12 # 1 # 21 # 25 # 30 # 22 # 30 # 20 # 18 # 44
17
# 10 # 7 # 12 # 14 # 21 # 47 # 30 # 34 # 30 # 8 # 18 # 14
18
# 10 # 2 # 12 # 28 # 22 # 9 # 30 # 45 # 29 # 55 # 17 # 44
19
# 9 # 58 # 12 # 42 # 22 # 31 # 30 # 55 # 29 # 40 # 17 # 14
20
# 9 # 54 # 12 # 57 # 22 # 52 # 31 # 4 # 29 # 23 # 16 # 44
21
# 9 # 51 # 13 # 12 # 23 # 13 # 31 # 12 # 29 # 6 # 16 # 14
22
# 9 # 49 # 13 # 27 # 23 # 33 # 31 # 19 # 28 # 48 # 15 # 44
23
# 9 # 47 # 13 # 43 # 23 # 53 # 31 # 26 # 28 # 30 # 15 # 14
24
# 9 # 46 # 13 # 59 # 24 # 13 # 31 # 32 # 28 # 11 # 14 # 43
25
# 9 # 46 # 14 # 16 # 24 # 33 # 31 # 38 # 27 # 51 # 14 # 12
26
# 9 # 46 # 14 # 33 # 24 # 53 # 31 # 43 # 27 # 30 # 13 # 41
27
# 9 # 47 # 14 # 50 # 25 # 13 # 31 # 47 # 27 # 8 # 13 # 10
28
# 9 # 49 # 15 # 8 # 25 # 33 # 31 # 50 # 26 # 45 # 12 # 40
29
# 9 # 52 # 15 # 26 # 25 # 52 # 31 # 53 # 26 # 22 # 12 # 10
30
# 9 # 56 # 15 # 45 # 26 # 11 # 31 # 55 # 25 # 58 # 11 # 40
31
# 10 # 0 # 16 # 4 # # # 31 # 55 # # # 11 # 10
305200CHRIST. HUGENII INSTITUTIO demonſtrationem etiam revera exactis Pendulis compertum
eſt
, quod ad inæqualitatem dierum ad rectam menſuram re-
ducendam
, æquatio, prout eam hic per præcedentem Ta-
bulam
inſtituimus, exacte cum experientia conveniat, ita ut
tuto
ei confidere liceat.
Idque tanti momenti eſt in inve-
niendis
longitudinibus, ut, ſi non fuerit obſervatum, non-
nunquam
ſpatio 3 menſium in calculo errorem committas 7
graduum
&
amplius, ſine ulla tamen horologiorum culpa:
qui gradus ſub Tropicis ultra 100 Germanica milliaria conti-
nent
.
Oſtenſo, quomodo horologia poſſint adaptari terrâ, vel
quomodo
eorum differentia quotidiana ſit invenienda, pro-
ximum
erit dicere, quomodo idem faciendum ſit in navi fixa
ad
anchoram, cum minime poſſibile ſit idem præſtare in ve-
lificatione
.
Obſervabimus quodam die ortum & occaſum Solis, & in
utraque
obſervatione ubi ejus medietas exacte ſupra Horizon-
tem
apparet, notabimus horam quam indicat horologium,
&
ſupputabimus quot horæ interea fuerint præteritæ, cujus
numeri
dimidio addito ad horam obſervationis matutinæ,
habebimus
horam quam indicavit horologium cum Sol eſ-
ſet
in meridiano:
cui addens Tabulæ æquationem iſtius diei,
ſummam
notabimus, &
horologium ulterius promoveri pa-
tiemur
.
dein quibusdam diebus, elapſis (quo autem plures
præterierint
, eo melius eſt) idem omnino faciemus;
Et ſi
hora
hujus ultimi diei ſit eadem, cum ea quæ antea fuerat
notata
, horologium recte accommodatum eſt.
Sin vero ma-
jor
vel minor ſit, vel lentius vel celerius movetur, &
diffe-
rentia
diviſa per numerum dierum interim dilapſarum dabit
quotidianam
differentiam, quam annotabimus, &
ſi velimus
horologium
relinquemus in illo ſtatu;
vel alioquin remo-
vendo
minus pondus penduli ut ſupra dictum eſt, melius
horologium
accommodabimus.
Ex. Gr. pone 21. Martii mane cum ſolis medie-
11
h
. # m. # ſ.
5
. # 30. # 10.
5
. # 20. # 6.
tas apparet ſupra horizontem horologium indicare.
Et veſperi ubiSolis medietas latet infra horizontem.
306201DE USU HOROLOG.
Ut ſcias ope horologii horas inter binas
11
h
. # m. # ſ.
5
. # 30. # 10.
ex
12. # 0. # 0.
Reſtant
6. # 29. # 50.
5
. # 20. # 6.
obſervationes elapſas, ſubtrahe horam ortus
Cui ſi addas horam occaſus
Prodeunt horæ inter binas obſervationes
elapſæ
22
11
. # 49. # 56.
5
. # 54. # 58.
5
. # 30. # 10.
Quarum dimidium eſt
Quo addito ad horam ortus
Prodit hora horologii, cum ſol eſſet in Me-
ridiano
33
11
. # 25. # 8.
0
. # 7. # 45.
11
. # 32. # 53.
Cui addita æquatione 21. Martii
Summa eſt
Septem diebus poſt ſc. 28. Martii obſervetur
ortus
ſolis, quum horologium indicat
44
5
. # 19. # 4.
5
. # 25. # 4.
Et occaſus quum indicat
Ad habendas horas interim elapſas, ſubtra-
he
horam ortus
55
5
. # 19. # 4.
ex
12. # 0. # 0.
Reſtant
6. # 40. # 56.
5
. # 25. # 4.
12
. # 6. # 0.
6
. # 3. # 0.
5
. # 19. # 4.
Cui ſi addas horam occaſus
Prodeunt horæ interea delapſæ
Quarum dimidium eſt
Quo addito ad horam ortus
Prodit hora horologii cum Sol erat in me-
ridie
66
11
. # 22. # 4.
0
. # 10. # 1.
11
. # 32. # 5.
Cui addita æquatione 28. Martii
Summa eſt
Quæ ſumma ſi fuiſſet eadem cum priori ſcilicet 11. 32. 53.
ad rectam menſuram diſpoſitum fuiſſet horologium; ſed cum
poſterior
minor ſit priori, differentiâ exiſtente 49.
ſecundo-
rum
, horologium ſpatio 7 dierum tanto tardius fuit promo-
tum
, quæ 49 ſecunda diviſa per 7 numerum dierum, dant
quotientem
7 ſecunda differentiam diurnam, quâ
307202CHRIST. HUGENII INSTITUTIO gium tardius movetur; poſſumus etiam loco ortus & occaſus
Solis
duas æquales Solis altitudines obſervare ante &
poſt me-
ridiem
, &
hora horologii annotatâ utriuſque obſervationis
tempore
, eodem modo, ac hic dictum eſt procedemus.
VI.
Ope Horologiorum mari invenire longitudinem loci in
quo
verſaris.
Singulis horologiis nomina vel ſigna impone ut A. B. C.
& antequam velifices, diſpone eadem ſecundum tempus ob-
fervatum
per Solem in loco, ubi moraris, diminutum æquatio-
ne
ejus diei, quo obſervas;
quem annotabis.
Dein ubi in mari verſaris ſi vis ſcire longitudinem loci, in
quo
es;
quot gradibus Meridianus loci hujus ſit orientalior vel
occidentalior
meridiano loci illius in quo adaptaſti horologia;
obſerva Solem vel Stellas, ut determines horam, & vide quam
horam
eodem momento indicent horologia;
quam horam, ſi ho-
rologia
non fuerint diſpoſita ad rectam menſuram æquabis co-
gnitâ
diurnâ differentiâ, ei porrò addens æquationem præſen-
tis
diei, quo ita habeas horam in loco illo, ubi horologia fue-
re
diſpoſita.
Si hæc hora eadem ſit cum illa quæ obſervata
fuit
in loco præſente, conſiſtis ſub eodem Meridiano, ac ubi
horologia
fuere diſpoſita ad Solem:
Si vero hora obſervata
major
ſit illâ quam horologia oſtendunt, certus es, te per-
veniſſe
ſub Meridianum Orientaliorem;
ſin denique fuerit mi-
nor
, perveniſti ſub Meridianum Occidentaliorem:
& com-
putatis
in ſingulas quasque horas differentiæ temporis 15 gra-
dibus
longitudinis vel in ſingula minuta 15 minutis, vel to-
tidem
quadrantibus gradus, cognoſces, quot gradibus dicti
Meridiani
ab invicem diſtent.
E. Gr. pone Horologia A. B. C.
fuiſſe
aptata ad Solem in loco ex quo abiiſti, 2 Martii, id
eſt
ad horam obſervatam, ſed in tantum diminutam, quanta
eſt
æquatio 2 Martii, 2 min.
28 ſec. & pone horologium A
fuiſſe
dispoſitum ad veram menſuram, ſed B moveri ſingu-
lis
diebus 7 ſecundis tardius, &
C ſingulis diebus 12 ſecun-
dis
citius.
308203DE USU HOROLOG.
Aliquot diebus poſt E. G. 15. Maji, ut detegas longi-
tudinem
loci in quo in mari verſaris;
obſerva
11
h
. # m. # ſ.
5
. # 18. # 10.
2
. # 6. # 0.
1
. # 57. # 22.
horam diei, quæ ſit
Et comperis horologium A indicare
Sed horologium B. indicare
Sed cum ſingulis diebus 7. ſec. tardius mo-
veatur
, prodeunt ſpatio 74.
dierum nempe a
2
.
Martii ad 15. Maji
22
0
. # 8. # 38.
Quæ addita ad horam a B. demonſtratam
prodit
hora eadem ac indicavit horologium A
33
2
. # 6. # 0.
2
. # 20. # 48.
Invenis etiam horologium C. indicare
Sed cum moveatur 12. ſec. ſingulis diebus
citius
, habemus ſpatio 74.
dierum
44
0
. # 14. # 48.
Quæ ſubtracta ab hora a C. indicata, iterum
prodeunt
55
2
. # 6. # 0.
2
. # 6. # 0.
0
. # 19. # 29.
2
. # 25. # 29.
5
. # 18. # 10.
2
. # 52. # 41.
Cum itaque hora horologiorum ſit
Adde illi æquationem 15. Maji
Prodit hora loci ubi horologia diſpoſita ſunt
Sed hora obſervata eſt
Excedens priorem
Ergo Meridianus loci in quo verſaris 15.
Maji Orientalior eſt, Meridianoloci, in quo
horologia
fuere aptata
66
2
. # 52. # 41.
gr
. # min. # ſec.
43
. # 0. # 15.
Quæ horæ in gradus reductæ, ponendo 15.
gradus valere unam horam, prodeunt
Verum eſt ex eodem calculo poſſe concludi te eſſe ſub Me-
ridiano
hôc ipſo 180.
gradus Orientaliori, quia index hora-
rius
revolutionem ſuam abſolvit ſpatio 12.
horarum in ho-
rologiis
, ſed differentia tanta eſt, ut nequeas in ea decipi.
Alioquin enim horologium poſſet conſtrui, cujus index cir-
cuitum
ſuum ſemel abſolveret ſpatio 24 horarum.
Obſervandum quoque hic eſt, cum dico, locum tot gradibus
Orientaliorem
eſſe illo ex quo abiiſti, illud dicieo reſpectu quod
illuc
veneris ad Orientem navigans, verſus quam partem gra-
dus
numerari poſſunt usque ad 360;
alioquin enim ſatis
309204CHRIST. HUGENII INSTITUTIO tum eſt: locum, qui 180. gradus Orientem verſus ab alio
diſtat
, tantum etiam Occidentem verſus inde diſtare:
& pa-
riter
, qui 300.
gradus Orientaliter ab alio diſtat etiam 60.
gradus Occidentaliter inde diſtare.
VII.
Mari invenire horam diei.
Quandoquidem pro invenienda longitudine requiritur ut
hora
loci, in quo es, cognita ſit, ut ſupra dictum eſt, di-
cta
hora ſumma exactitudine eſt obſervanda;
unumquodque
enim
minutum quo in calculo aberras conſtituit errorem {1/4}.
gradus in longitudine, id eſt, prope Æquatorem 3{1/4}. Germa-
nicorum
milliarium ſed minus ubi longe inde abes:
Quare ad certam horæ inventionem, ne fidas obſervationi
maximæ
Solis altitudinis, ut inde concludas præciſe meridiem
eſſe
vel Solem in Meridiano, niſi inter Tropicos Sol fuerit in
ipſo
puncto Zenith vel ei quam proximus.
Nam alias Sol
exiſtens
prope Meridianum aliquamdiu perſeverat ſine ulla
ſenſibili
mutatione altitudinis ſuæ;
ideoque altitudo meri-
dialis
idonea ſatis eſt ad latitudinem vel elevationem Poli
loci
alicujus dimetiendam, non tamen ad longitudinem ejus
exacte
inveniendam.
Multo minus niti potes pyxidibus nau-
ticis
in accurato meridiei tempore inquirendo.
Neque annuli Aſtronomici vel alia horologia ſolaria certa
ſatis
ſunt in oſtendenda hora ad minuta &
ſecunda. Sed me-
lius
eſt obſervare ſolis altitudinem, ubi eſt in Oriente vel
Occidente
, quo autem Orienti aut Occidenti propior eſt,
eo
melius;
ibi enim cum eſt, mutatur ejus altitudo ſen-
ſibiliter
magis quam ante vel poſt &
ita, ex inventa Poli ele-
vatione
, &
nota Solis declinatione, hora poteſt computatione
detegi
, cujus modus ab aliis ſatis deſcriptus eſt;
quia tamen
computatio
illa moleſta eſt &
nonnulli errores in menſuranda
altitudine
Solis committi poſſunt faciliorem hic methodum
oſtendam
&
demonſtrabo.
310205DE USU HOROLOG.
VIII.
Quomodo ex obſervatione ortus & occaſus Solis & ex
hora
horologiorum longitudo mari inveniri
queat
.
Hæc ſane methodus meo judicio omnium eſt certiſſim@,
cum
ad eam neque notitia Poli elevationis, neque Solis de-
clinationis
, neque ulla inſtrumenta ad obſervandum requi-
rantur
;
cum neque refractio quid nocere poſſit, quoniam
hæc
in ortu &
occaſu Solis ejusdem diei parum aut nihil
differre
poteſt.
Sicuti ergo antea docuimus horologia in naviadaptare, &
obſervare
quâ horâ eorundem horologiorum Sol fuerit in
meridiano
;
hic eodem modo procedendum eſt, id eſt, in or-
tu
&
occaſu ſolis, ubi ejus medietas eſt ſupra horizontem,
annotabis
horam demonſtratam tunc temporis per horolo-
gia
;
& licet interea velificando fueris progreſſus, nil re-
fert
, uti poſtea demonſtrabitur:
dein computans quot in-
terea
horæ horologiorum dilapſæ ſint, earumque dimidium
addens
ad horam ortus, habebis horam quam horologium
indicabat
quum Sol erat in Meridiano;
ad quam addenda eſt
æquatio
iſtius diei ex tabula deſumta;
& ſi ſumma æqualis
ſit
12 horis, fuiſti meridie ſub eodem Meridiano, ſub quo
horologia
ad ſolem fuere adaptata;
ſed ſi ſumma excedat 12.
horas, fuiſti meridie ſub occidentaliori meridiano, quam
loci
ejus in quo horologia ſunt diſpoſita;
ſed ſi ſumma fuerit
minor
12.
horis fuiſti ſub orientaliori Meridiano, idque toties
quindecim
gradibus, quot horis ſumma fuerit minor vel exceſſe-
rit
12.
horas, prout iſtius rei computationem antea jam docuimus.
E. G. Ponatur Horologia A. & B, ut ante, fuiſſe ad-
aptata
ad Solem in loco ex quo deceſſiſti 2.
Martii, id
eſt
ad horam Solis diminutam æquatione iſtius diei ſcil.
2.
min. 28. ſec. Horologio A. ad rectam menſuram redacto;
B
.
vero ſingulis diebus 7. ſecundis tardius moto; Poſtea
ſcire
deſiderans longitudinem loci in quem
311206CHRIST. HUGENII INSTITUTIO (pone 1. Junii,) obſervetur mane ſol medius
11
h
. # m. # ſ.
2
. # 30. # 37.
ſupra horizontem quando horologium indicat
Et
Veſperi iterum medius Sol infra horizon-
tem
, cum idem horologium indicat
22
3
. # 9. # 7.
Ad inveniendashoras interea elapſas, ſub-
trahe
horam ortus
33
2
. # 30. # 37.
ex
12. # 0. # 0.
9
. # 29. # 23.
3
. # 9. # 7.
12
. # 38. # 30.
6
. # 19. # 15.
2
. # 30. # 37.
Reliquum eſt
Huic adde horam occaſus
Prodeunt horæ interea elapſæ
Quarum dimidio
Addito ad horam ortus
Habebis horam Horologii A, quum Sol erat
in
Meridiano
44
8
. # 49. # 52.
Eodem modo quæratur hora horologii B,
cum
Sol erat in Meridiano, quæ ſit
55
8
. # 38. # 5.
Sed hoc horologium ſingulis diebus 7. ſe-
cundis
tardius motum retardatur ſpatio 101.
dierum a 2. Martii ad 1. Junii
66
0
. # 11. # 47.
Quæ propterea ad inventam horam addita,
datur
77
8
. # 49. # 52.
Id eſt, eadem hora, quæ per horologium
A
.
inventa eſt; ad quam nunc addita æqua-
tione
1.
Junii
88
0
. # 18. # 10.
9
. # 8. # 2.
Prodit
Hæc eſt diei hora loci in quo horologia ad-
aptata
ſunt, quæ cum coincidit cum meridie
loci
obſervationis;
Differentia eſt
99
2
. # 51. # 58.
Quare hic ultimus Meridianus tanto orienta-
lior
eſt;
quibus horis reductis ad gradus,
1010
gr
. # min. # ſec.
42
. # 59. # 30.
uti ſupra docuimus prodeunt
Patet te hoc modo invenire longitudinem loci, in
quo
meridie vel Sole exiſtente in Meridiano fuiſti;
quæ
differt
a longitudine loci, in quo obſervas Solis
312207DE USU HOROLOG. ſum, ſed ſine ſenſibili errore æſtimare potes, quantum pau-
cis
horis progreſſus fueris, vel longitudo mutata fuerit:
Po-
tes
etiam, loco obſervationis ortus &
occaſus Solis, prius So-
lis
occaſum, veſperi obſervare, &
dein proximo mane ortum,
utroque
tempore notando horam Horologiorum;
& inde
computa
eodem modo horam in loco diſpoſitionis, quum
media
nox erat in loco obſervationis, &
detege differen-
tiam
longitudinis ut ante.
Tandem potes quoque loco
ortus
&
occaſus Solis obſervare duas æquales ſolis altitu-
dines
ante &
poſt meridiem, annotando horam horologio-
rum
, &
computando eodem modo, quo diximus de or-
tu
&
occaſu; conſiderandum tamen eſt, Solis altitudines
optime
obſervari, quando Orienti vel Occidenti proximus
eſt
, ut antea notatum.
Licet forte quis cenſeat, in praxi hujus methodi, inter ante
&
pomeridianam obſervationem, quieſcentem navem deſide-
rari
, aut quæ parum transferatur;
certum tamen eſt, progre-
diendo
nullum ſenſibilem errorem cauſari poſſe, in quan-
tum
interea eundem teneas curſum, æquabili velocitate.
Primum enim, ſi curſum Orientem vel Occidentem ver-
ſus
dirigas, nullus omnino error erit, ſed certo conclu-
dere
poteris, qua longitudine meridie vel mediâ nocte fue-
ris
, unde ergo, uti antea dictum eſt, ſatis exacte æſtimare
potes
, ubi ſis ultimæ obſervationis tempore.
V. G. pone, quod ante meridiana Solis altitudo 10 gra-
duum
obſervata ſit, quum horologia indicant 8.
horas &
pomeridiana
æqualis altitudo quum horologia indicant 2.
horas; & quod inter utramque obſervationem æquabili ve-
locitate
Orientem verſus navigaverim, licet inſcius me 1.
gra-
dum
in longitudine progreſſum eſſe, id eſt, 1.
gradum paral-
leli
juxta quem navigo:
Agens jam ſecundum præſcriptam
regulam
, comperio longitudinem 15.
gradus Orientem ver-
ſus
, calculum ineundo a loco, in quo Horologia fuere diſpo-
ſita
.
quam longitudinem 15. graduum dico eſſe loci, ubi
meridie
fui.
Quod ita demonſtratur. Quoniam locus veſpertinæ
313208CHRIST. HUGENII INSTITUTIO vationis uno gradu Orientalior eſt, quam matutinæ cer-
tum
eſt in loco veſpertinæ obſervationis Solem 4.
minuta
prius
perventurum eſſe, ad altitudinem 10.
graduum, quam in
loco
matutinæ.
Duorum enim locorum ſub eodem paralelo
ſitorum
, quot gradus unus altero Orientalior eſt, totidem
4
.
minutis prius in illo obſervantur ſingulæ Solis altitudines;
ideo ſi in priori loco cum navi ſubſtitiſſem, Solem veſperti-
obſervatione reperiſſem ad altitudinem 10.
graduum quum
horologia
indicabant non 2.
horas, ſed 2. horas 4. min. ubi
tum
loci ejus longitudinem, juxta regulam, inveniſſem 14 {1/2}.

gradus
Orientem verſus.
Sed certum eſt, me in priori temporis
dimidio
inter 2.
obſervationes progreſſum fuiſſe {1/2} gradum,
quoniam
ponitur, me toto tempore profeciſſe 1.
gradum,
velocitatemque
fuiſſe æquabilem.
Eram igitur meridie in
longitudine
15.
graduum Orientem verſus, ſicuti prius erat
inventum
.
Pariter poteſt demonſtrari, progreſſum navis Occiden-
tem
verſus nil obſtare, ſed regulam ſequendo, iterum in-
venire
longitudinem loci, quem meridie præternavigaſti.
Si jam curſus inter 2. obſervationes Meridiem verſus
vel
Septentrionem deſciſcat, imo licet fieret directe Septen-
trionem
vel meridiem verſus, modo ponatur æquabilis velo-
citas
, nullus inde orietur error ſi Solis altitudo ſumatur,
quando
prope Orientem vel Occidentem eſt, quibus in lo-
cis
alibi quoque dictum eſt optime fieri obſervationem.
Ratio hæc eſt, quando 2. loca Septentrionaliter vel Au-
ſtraliter
a ſe mutuò diſtant, &
ſolummodo 1. vel 2. gra-
dus
in latitudine differunt, ſi Sol reſpectu unius loci in O-
riente
vel Occidente verſetur, ad certam ſupra horizon-
tem
altitudinem, etiam quam proxime eodem tempore ad
eandem
altitudinem ſupra horizontem alterius loci appare-
bit
.
Ita ut comperiam, licet navis inter matutinam &
veſpertinam
obſervationem 2.
gradus navigaret, quod ra-
ro
vel nunquam accidit, nullum tamen in longitudine er-
rorem
hinc oriri poſſe, vel tantum paucorum minuto-
rum
.
314209DE USU HOROLOG.
Præſcriptis ergo modis, vel per ortum & occaſum Solis,
vel
per occaſum &
ortum Solis, vel per 2 æquales Solis altitu-
dines
, tuto ſemper uti poſſumus, non obſtante progreſſu
navium
;
quemcunque teneant curſum.
Si autem procul ab Æquatore Septentrionem vel Meri-
diem
verſus naviges, præſertim hyeme, altitudo Solis lente
mutatur
, unde incertæ ſunt obſervationes;
ſed iis in locis
gradus
longitudinis ſunt breviores, vel pauciora milliaria
continent
quam prope Æquatorem, ideoque errores in in-
veniendis
longitudinibus eo minus ſenſibiles ſunt.
IX.
Potes verò, præſertim in iis oris, quæ procul ab Æqua-
tore
Septentrionem vel Auſtrum verſus remotæ ſunt, vel
etiam
ubicunque velis, præſcriptam regulam ad praxin vo-
care
, obſervando 2 æquales altitudines cognitæ alicujus ſtel-
, quæ multum attollitur ſupra Horizontem.
Nam inde
ſecundum
memoratam regulam, diſces quâ horâ Horologio-
rum
in Meridiano fuerit ſtella, &
porro cognita ejuſdem
aſcenſione
recta, ut &
aſcenſione recta Solis, facile inde ſup-
putabis
horam ſolarem, qua comparatâ cum horâ Horolo-
giorum
, ut ante, habebis longitudinem loci, ubi fuiſti ſtella
exiſtente
in Meridiano.
X.
Quando Horologia, quorum aliquamdiu motus fuit accu-
ratus
, ab invicem paululum differunt, prout diuturnitate
temporis
facile accidit, ut unum vel alterum minuto cir-
citer
deficiat, eo in caſu computatio ineunda eſt erit ſe-
cundum
iſtud, quod celerius movetur:
niſi noris cauſam
veriſimilem
ob quam citius moveatur;
facilius enim Pendu-
li
motus retardatur, quàm acceleratur:
nam filum, cui Pen-
dulum
appendet, poterit forſan per violentam navis agitatio-
nem
nonnihil extendi, ſed nequit contrahi.
315210CHRIST. HUGENII INSTITUTIO
XI.
Quando videndam ſe offert regio cognita, ne negli-
gas
annotare longitudinem illius, quantum exacte fieri
poterit
, ex inventa longitudine loci in quo verſaris;
Pri-
mo
ad corrigendas inde mappas marinas, poſtquam longitu-
do
loci fuerit diverſis temporibus comperta eadem, ita ut
nil
amplius de ea dubites.
In his enim mappis quantum atti-
net
ad ſitum locorum Orientem &
Occidentem verſus, multa ſu-
perſunt
emendanda.
Secundo ut ſcias, in proſecutione tui
itineris
, quantum reſpectu loci viſi velificando progreſſus
fueris
ad Orientem vel Occidentem:
etiamſi infortun@o,
vel
negligentia, omnia quieſcant Horologia, poteris eadem
ad
motum rurſus adaptare, &
diſponere ad horam per So-
lem
compertam.
computando porro longitudinem ab ejus-
dem
loci viſi Meridiano.
Nam nullatenus teneris certum
Meridianum
alicujus loci cogniti, pro initio computationis
longitudinum
habere, cujus uſus tantum eſt in mappis vel
Tabulis
longitudinum, in quo caſu uſu venit Meridianus
montis
Pici in inſula Teneriffa, vel Meridianus inſularum
Corvo
&
Flores, occidentaliſſimarum Azorum vel inſula-
rum
Flandricarum, vel cujusvis alterius loci:
& foret egre-
gium
(quod non obtinet) ſi omnes auctores unum eundem-
que
Meridianum pro primo eligerent, ut ſingula loca iis-
dem
gradibus longitudinis pariter ac latitudinis determina-
rentur
:
ſed in itinere ſatis eſt longitudinum differentiam ob-
ſervare
, initio computationis facto a Meridiano cujuscunque
loci
.
XII.
Si accidat, ut mari medio omnia Horologia quieſcant,
quam
primum fieri poteſt, rurſus eadem ad motum
316211DE USU HOROLOG. ut illorum ope ſcias, quantum dein ad Orientem vel Occi-
dentem
progreſſus ſis, quod non parvi eſt momenti, nam
defectu
hujus notitiæ, nonnunquam violentis fluctibus ita
abriperis
, ut, licet vento ſecundo naviges, tamen retror-
ſum
abigaris, cujus rei varia dantur exempla.
FINIS.
132[Figure 132]
EXCERPTA EX LITERIS DATIS
LONDINI
{13/23} JANUARII
MDCLXV
.
IAndem Navarchus Holmius huc advenit, & re-
latio
, quam ipſe mihi communicavit de experimen-
to
, quod de noſtris Horologiis fecit, plane nos cer-
tos
facit de bono, quiſperandus eſt, ſucceſſu;
Cum
ad
inſulam St.
Thomæ ſub æquatore eſſet, ut inde huc veni-
ret
, coactus fuit, longiſſime Occidentem verſus curſum diri-
gere
, proſperum ut obtineret ventum;
cum ergo ſub ejus au-
ſpiciis
quatuor darentur naves, omnes ſimul navigarunt per
600
milliaria non mutato curſu:
cum dein ſecundum ventum
nacti
eſſent quo peterent littora Africæ, eo tendebant, curſum
ſuum
Orientem inter &
Septentrionem dirigentes; cumque hoc
curſu
4 vel 500 milliaria confeciſſent, judicabant navitæ 3
navium
quæ ſub ejus erant auſpiciis, ſe procul a prædictâ or â
eſſe
, ita ut non ſufficientem aquæ quantitatem haberent, dum
eo
pervenient;
Navarchi Holmii navis ſatis h@bebat; ſed
ubi
audiret, quid ſentirent cæteri, qui tribus reliquis præ-
erant
navibus, omnes nautas &
gubernatores convocari
317212EXCERPTA EX LIT. CHRIST. HUGENII. ſit, ut deliberarent de eo quod faciendum eſſet. Ubi verò vidiſſet
commentarios
, &
ephemerides, quas illi, qui præerant 3 iis na-
vibus
proferebant, &
conjecturam de loco in quo verſaban-
tur
;
cumque poſt longas deliberationes, omnes cenſerent, præ-
ſtare
ad Barbadas trajicere, quam oras Africæ quærere,
quia
ventus longe citius eos illuc transferret, dixit ille:
Viri
computatio
veſtra cum noſtra minimè convenit;
nam ſecun-
dum
Horologia mea proceſſi, unde concludo, vos errare
omnes
, ſtatuendo nos multò longius Occidentem verſus eſſe pro-
greſſos
, quam revera ſumus, unius error eſt 120 milliaria, alîus
100
, alîus 80:
verùm ita Horologiis confido ut hac vice experi-
mentum
facere velim;
nam ſecundum meam computationem in-
ſula
del Fuogo (quæ una eſt ex inſulis Capoverdæ ſeu promontorii
Heſperii
,) non ultra 30 milliaria a nobis abeſt;
Ibi nobis a-
quam
poſſumus curare, &
eo curſum dirigere conſtitui; Si
vera
eſt computatio, multum præſtabit nobis hanc viam in-
gredi
, quam a vobis oſtenſam;
ſin evenerit aliter, biduum
tantum
producemus navigationem, ſatisque aquæ interim ſu-
pererit
, ut Barbadas perveniamus;
quoniam tanta mihi in
navi
copia eſt, ut vobis defectum veſtrum ſupplere queam;
Addens quem curſum tenere vellet, mandavit ut ſequerentur
ipſum
cæteri.
Poſtero mane detegebant iuſulam del Fuogo, &
opportuno
illuc advenêre tempore, uti prædixerat:
Cogor hic
deſinere
, communicaturus tecum reliquos omnes caſus peculia-
res
, quos ſcriptis mandare promiſit, quamprimum illos nactus
fuero
.
Nota, hæc Horologia fuiſſe ex primo Pendulorum gene-
re
, nec tam exacta quam recentiora.
318213
EXCERPTA EX LITERIS HAGÆ CO-
MITUM
, DIE XXVI. FEBRUAR
MDCLXV
. DATIS.
CUm per aliquot dies neceſſe mihi foret cubiculum
tenere
, &
variis obſervationibus circa duo
mea
novæ fabricæ Horologia pendula tempus im-
penderem
, mirum quendam eorum effectum, &
a
nemine
unquam vel cogitandum, detexi.
Suſpenſa enim juxta
ſe
invicem ad diſtantiam unius aut duorum pedum, tam accu-
rate
congruebant, ut ſine ullâ variatione pendulorum vibra-
tiones
ſimul peragerentur.
Quod cum per aliquod tempus im-
penſe
miratus fuiſſem, tandem reperi ex aliquâ quaſi ſympa-
thiâ
id oriri;
ita ut ſi pendula moviſſem vibrationibus diverſis
&
ut ita dicam intermixtis, intra dimidiæ horæ ſpatium con-
ſona
rurſus fierent, &
ſibi mutuo, quamdiu motum non tur-
babam
, reſponderent.
Remotis deinde à ſe invicem Horologiis,
&
ad diſtantiam 15. pedum ſuſpenſis, uno die quinque ſecun-
dorum
diſcrepantiam animadverti, quæ clare demonſtravit,
priorem
pendulorum convenientiam, uti dixi, à ſympathia
quadam
debuiſſe proficiſci, quæ, meo quidem judicio, unicè
inſenſili
aëris agitationi, per pendulorum motus productæ, ad-
ſcribi
poteſt.
Continentur tamen Horologia ſuis Capſis, quarum
utraque
ſi omne plumbum contentum numeres, centum fere
319214EXCERPTA EX LIT. CHRIST. HUGENII. brarum pondus æquat. Et hoc obſervandum, pendula,
cum
congruunt, non parallelis motibus ferri, ſed contra-
riis
, nunc accedendo, nunc recedendo.
Quando autem horolo-
gia
ad parvam diſtantiam rurſus à me fuere poſita, pendula,
priorem
convenientiam brevi tempore recuperarunt.
Nec hisce contentus, aſſerem latum tres pedes, craſ-
ſum
unum pollicem, ita interpoſui, ut pars inferior fun-
dum
tangeret, ſuperior Horologia excederet &
quaſi ſepararet.
Non turbata tamen fuit motuum concordia, ſed dies noctes
que
perduravit, imò ſi ipſe turbaſſem, brevi inſtaurata fuit.

Nunc
in id incumbo, ut quam accuratiſſime Horologia con-
cordent
, experturus deinde ad quam usque diſtantiam ſympa-
thia
hæc ſeſe exerat;
ſed, ut ex obſervatis auguror, non in-
fra
5.
aut 6. pedes ſubſiſtet. Major tamen horum omnium eſt
expectanda
veritas, quam præſtabit diligentia mea, &
ac-
curatior
in rei cauſas inquiſitio.
Quicquid ſit, habemus duo Horologia, quæ nunquam inter
ſe
diſcrepant:
quod etiamſi mirum ſit, tamen eſt veriſſimum.
Addo, præter Horologia quæ novo hoc invento conſtructæ
ſunt
, nulla alia idem præſtitiſſe;
unde ſimul patet, quam
accurata
illa ſint, quæ ad perpetuum conſenſum tantillum re-
quirunt
.
133[Figure 133]
320
DE
HUGENIANA

CENTRI

OSCILLATIONIS

DETERMINATIONE

CONTROVERSIA
.
321
[Empty page]
322 134[Figure 134]
DE
HUGENIANA

CENTRI
OSCILLATIONIS
DETERMINATIONE

CONTROVERSIA
.
I.
Obſervationes Abbatis Catelani in propoſitio-
nem
, quæ fundamentum eſt 4æ. partis tra-
ctatus
de Pendulis, Hugenii.
DOminus Hugenius in tractatu ſuo de Pendulis, ut nil
quod
ad materiam ſpectat intactum relinqueret, hanc
diviſit
in 5 partes, in quarum 4a.
fuſe examinat quæ-
ſtionem
de Centro Oſcillationis vel vibrationis.
Sed
cum
difficile ſit animo ſemper æqualiter attento abſtruſas ve-
ritates
, quales ſunt Mathematicæ, perpendere;
non eſt quod
miremur
, ſi quæſtionem illam non æque accurate, quam
quidem
reliquas ejusdem operis, examinaverit.
Principium
autem
, quo nititur totum ejus Syſtema Oſcillationis hoc eſt.
Si Pendulum e pluribus ponderibus compoſitum at que e quie-
te
dimiſſum, partem quamcunque Oſcillationis integræ con-
fecerit
;
at que inde porro intelligantur pondera ejus ſingula,
relicto
communi vinculo, celeritates acquiſitas ſurſum con-
vertere
, ac quo usque poſſunt aſcendere;
hoc facto centrum
gravitatis
ex omnibus compoſitæ, ad eandem altitudinem re-
verſum
erit, quam ante inceptam Oſcillationem obtinebat .
11Vide ſ@-
pra
pag. 126.
Ut parum firmam propoſitionem hanc demonſtremus, ſuffi-
ciet
obſervaſſe;
vim, quam vocamus gravitatem, longe ali-
ter
agere in pondera inter ſe juncta quam in pondera a ſe in-
vicem
ſeparata.
Sint A & B æqualia pondera, quorum
22TAB XXVIII.
Pig
. 1.
323218DE CENTRO OSCILL non conſiderantur neque magnitudo neque figura, quaſi ſin-
gula
in unicum punctum reducta forent;
ſi ſeparatim ſuſ-
penſa
ex eodem puncto D, &
elevata ad idem planum Ho-
rizontale
D A B, dimittantur usque ad F &
G, gravitates
eorum
, ex ratione Mechanica, quæ cum experimentis, &
prin-
cipiis
Phyſices congruit, augebuntur in tali ratione, vel quod
idem
eſt, acquirent velocitates tales, ut harum quadrata ſint
inter
ſe ut altitudines A H &
B I. unde illa pondera per-
pendiculariter
deſcendunt ad Horizontem.
Quod ſi dein pondera hæc duo, lineâ aut virgâ inflexi-
li
A B, quam pondere expertem ponimus, conjungamus,
&
ex eodem puncto D, ad memoratas diſtantias D A & D B,
ſuſpenſa
, dimittamus ad F &
G ab eâdem, quâ ante, alti-
tudine
.
Pendulum ex illis compoſitum, acquiret tantum
velocitatis
quantum ſumma duorum Pendulorum ſimplicium,
quoniam
commune gravitatis centrum E idem, quod antea,
manebit
, &
ponderum non mutatur ſitus reſpectu centri Telluris;
ſed partes, in quas tota illa velocitas ſe diſtribuet ponderibus
A
&
B, erunt inter ſe ut arcus A F, B G, vel ut radii D F, D G;
quoniam
in hoc caſu ratio inter motus ponderum pendebit
ab
eorum ſitu reſpectu puncti ſuſpenſionis D, quod eſt mo-
tuum
centrum.
Triangula autem H A F & I B G, ut &
triangula
A F D, B G D cum ſint ſimilia, latera eorum
A
H &
B I, A F & B G, D F & D G ſunt proportio-
nalia
, id eſt datur eadem ratio inter altitudines, unde pon-
dera
A &
B deſcendunt, & inter velocitates quas acquirunt
deſcendendo
;
ſed altitudines ſunt eædem ac in priori ſup-
poſitione
;
ergo velocitates ſunt diverſæ, quoniam illæ altitu-
dines
, quæ ſunt proportionales velocitatibus ponderum ſimul
appenſorum
, non ſunt proportionales niſi quadratis veloci-
tatum
, quando ſunt ſeparata.
Porro ponamus pendulum compoſitum in vibratione ſuâ
occurrere
plano duro D F G, quo rumpatur, ita ut a ſe in-
vicem
pondera ſolvantur, erunt hæc reflexa juxta tangentes ar-
cuum
F A &
G B ad altitudines, quæ inter ſe erunt ut quadrata
velocitatum
, quas cadendo acquiſivere, id eſt, ut
324219CONTROVERSIA. radiorum D F & D G, vel horum proportionalium A H & B I
nam
ſeparatio ponderum non mutat quantitatem motus eo-
rum
:
efficit ut moveantur juxta legem corporum cadentium,
quæ
non inter ſe conjuncta ſunt.
Demonſtratur in Me-
chanicis
, altitudinem perpendicularem ad horizontem, un-
de
deſcendit, vel ad quam aſcendit, commune gravitatis
centrum
multorum ponderum, æqualem eſſe ſummæ altitu-
dinum
, quarum reſpectu (gallice par raport auquelles).
pondera deſcendunt vel aſcendunt, diviſæ per eorundem nu-
merum
:
ſed probavimus pondera, quæ ſeparantur, rupto
pendulo
percuſſione in planum oſcillationi illius oppoſitum,
iterum
aſcenſura eſſe, ad altitudines diverſas ab iis, unde
deſcenderunt
, &
quidem tales, ut ſummæ ad utramque partem æ-
quales
eſſe nequeant;
nam ultimæ altitudines ſemper habent pro ra-
dicibus
quantitates primis proportionales, &
præterea eandem, quam
eorum
radices componentes ſummam, quæ exprimit totam celerita-
tem
penduli A B;
ſi ergo diverſas illas ſummas ſeparatim divi-
damus
per numerum ponderum, habebimus altitudinem ad
quam
centrum commune gravitatis iterum aſcendit, diver-
ſam
ab illa, unde deſcendit;
quoniam ſunt partes aliquotæ
ſimiles
quantitatum inæqualium.
Propoſitio igitur Domini Hugenii falſa eſt, & conſequenter
quidquid
concluſit circa centrum Oſcillationis corruit;
vera
autem
Mathematica hujus quæſtionis ſolutio hæc eſt.
II.
Domini Abbatis Catelani Examen Ma-
thematicum
Centri Oſcillationis.
QUæſtio de determinando centro Oſcillationis, ſi bene in-
tellecta
fuerit, haud difficilis eſt.
Centrum Oſcillationis
vocatur
punctum mobile in Pendulo ad talem ab axe,
vel
centro ſuſpenſionis, diſtantiam, ut ſi omnes aliæ Penduli
partes
deſtruerentur, illa ſola pergeret in vibrationibus ut
antea
;
id eſt eodem tempore ac totum Pendulum; Quod ita
non
fiet cum aliis partibus ſingulis ſeparatim ſumtis;
325220DE CENTRO OSCILL. quæ axi viciniores ſunt, breviores & frequentiores vibrationes
peragent
quam remotiores, ſi arcus ſimiles deſcribant, &
aër non
reſiſtat
.
Cujus rei ratio eſt, quod viciniores deſcribant arcus mi-
nores
&
acquirant celeritates majores reſpectu arcuum quam
remotiores
:
nam arcus ſunt proportionales quadratis, &
velocitates
radicibus eorum;
quo autem radices minores ſunt
inter
ſe, eo majores ſunt reſpectu quadratorum ſuorum.
Cum in Pendulo omnes partes niſi ſimul, propter earum
conjunctionem
, moveri nequeant, vibratio minus diſtantium
ab
axe ita retardata eſt a vibratione remotiorum, &
vibratio
remotiorum
ita accelerata eſt a vibratione aliarum, ut inter
illas
detur compenſatio velocitatum proportionalis arcubus
quos
deſcribunt;
ita ut tempus vibrationis totius Penduli
medium
ſit inter tempus, quo Oſcillationem peragunt ejus
partes
a ſe invicem ſolutæ, ut ſit æquale ſummæ illorum
temporum
, diviſæ per numerum partium, quas ut Mathema-
tice
&
exactiſſime procedamus conſideramus, ac ſi reductæ
eſſent
in puncta.
Conſtat experimentis, & per Philoſophiam Carteſianam
demonſtrari
poteſt, omnia gravia tellurem verſus cadere in
temporibus
quæ ſunt in ratione ſubduplicatâ, vel ſicuti radi-
ces
, altitudinum, unde deſcendunt, ſi verticaliter deſcendant,
quod
etiam &
ex principiis Galilæi demonſtrari poteſt, ſi cadant per
arcus
ſimiles, qui incipiunt omnes in eodem plano.
altitudines in Pendulis, quæ deſcribunt arcus ſimiles cir-
ca
axem, quocum forrmant idem planum, ſunt inter ſe ut diſtantiæ
ab
axe, circa quem moventur.
Propoſita ergo quæſtio eo redit, ut dividamus, per nume-
rum
partium Penduli, ſummam radicum diſtantiarum partium
ab
axe.
vel generaliter ſummam linearum rectarum quæ repræſentant
tempora
vibrationium partium ſeparatim ſumtarum, ut habeamus lineam
rectam
, quæ ſit menſura temporis, quo vibrationes ſuas per-
agit
Pendulum, cujus conſequenter quadratum vel 3a.
propor-
tionalis
erit diſtantia inter axem &
centrum Oſcillationis.
Applicatio hujus principii tribus magnitudinibus quas ha-
bet
Geometria pro objecto ſatis facilis eſt.
326221CONTROVERSIA.
1. Ad determinandum centrum Oſcillationis lineæ rectæ ſuſ-
penſæ
ex axe, debemus illam concipere, diviſam in partes æ-
quales
infinite parvas, vel in omnibus ſuis punctis.
Para-
bola
dein ſuper maximâ lineæ ab axe diſtantiâ deſcribenda
eſt
, cujus vertex ſit punctum axis in quod terminatur hæc di-
ſtantia
&
parameter linea quæ eſt unitas reſpectu ejusdem di-
ſtantiæ
.
E quovis lineæ puncto ducenda eſt axi parallela quæ
occurrat
parabolæ, ejusque applicata fiat, ſumma omnium
applicatarum
ſimilium eſt æqualis rectangulo, cujus altitudo
eſt
linea propoſita, &
baſis radix diſtantiæ inter axem & cen-
trum
Oſcillationis quæſitum;
nam ſumma illa eſt Parabola, vel Para-
bolæ
portio, cujus Diameter eſt linea data, &
Parameter tertia proportio-
nalis
illi lineæ &
maximæ ab axe diſtantiæ; vel 4a. proportionalis poſitis
hiſcc
tribus, linea, maxima diſtantia, &
differentia hujus cum minimâ.
2. Ut habeamus diſtantiam quâ centrum Oſcillationis
Plani
remotum eſt ab axe, debemus concipere partem ſo-
lidi
Parabolici, cujus Parabolæ habeant pro Diametris ma-
ximas
diſtantias inter axem &
unamquamque linea-
rum
parallelarum, quæ implent planum.
Si ſolidum hoc
in
duas partes æquales ſecetur juxta Axis longitudinem, &
dimidia
pars
ſecta fuerit inter applicatas ad diſtantias ab Axe, &
inter Plani
latera
, ſegmentum æquale erit Prismati, quod pro baſi habet
planum
, &
pro altitudine radicem diſtantiæ axis a centro
Oſcillationis
ejusdem plani.
ſi vibratio fiat circa Punctum vel
ſi
, quum fit circa Planum, Pendulum ſit compoſitum e partibus,
quæ
ſint in planis diverſis reſpectu Axis, determinabitur, me-
thodo
quâ diximus, quodvis centrum Oſcillationis partium, quæ
ſunt
in eâdem lineâ rectâ transeunte per punctum ſuſpenſionis, vel in
eodem
plano transeunte per Axem;
omnia illa Oſcillationis centra fa-
cient
Pendulum multo ſimplicius &
habens idem Oſcillationis cen-
trum
, ac primum.
Invenietur Oſcillationis centrum dividendo per
numerum
aliorum Oſcillationis centrorum ſummam linearum recta-
rum
, quæ repræſentant tempora, quibus conficerent peculiares ſuas
vibrationes
.
Tempora illa pendent ab arcubus, vel curvarum portio-
nibus
, deſcriptis ab omnibus Oſcillationis centris in vibratione Pendu-
li
, qui arcus conſiderari debent ſinguli velut infinita plana diverſi-
mode
ad Horizontem inclinata.
3. Quod ad ſolida attinet, concipe illa dividi in
327222DE CENTRO OSCILL. inter ſe ſuperficies. & ad axem perpendiculares; formari debet, ſecun-
ſectione, planum vel ſuperficies curva diſtantiarum inter il-
lorum
centra Oſcillationis &
axem , circa cujus puncta mo-
ventur
.
Sic in ſummâ centrorum, quæ ab unâ parte rectas lineas ter-
minant
, ex quibus planum hoc, vel ſuperficies illa curva, compoſita
eſt
, habetur Pendulum magis ſimplex quam ſolidum, &
cujus vibra-
tio
æque diuturna eſt.
Centrum Oſcillationis novi illius Penduli de-
terminabitur
transferendo omnia illa centra Oſcillationis particularia
ad
Axem qui eſt eorum numerus, &
ponendo illum axem ita mo-
veri
, ut puncta ejus percurrant eosdem arcus ac centra.
Si ſoli-
da
propoſita ſint Prismata recta, habebunt eadem Oſcil-
lationis
centra, ac eorum baſes, ſi fuerint perpendicula-
res
ad axem.
Sic centrum Oſcillationis ſolidi pendet a centris Oſcillationis certa-
rum
ſuperficierum motarum circa punctum, quarum commune O-
ſcillationis
centrum eſt centrum Oſcillationis lineæ rectæ motæ circa
aliam
rectam vel curvam;
ita ut non requirantur aliæ regulæ pro cor-
poribus
quam pro lineis &
ſuperficiebus.
MONITUM.
Obſervationes Abbatis Catelani primum editæ fuere in
25
diario Pariſienſi anni 1681, &
examen Mathematicum in
29
diario ejusdem anni.
Scripta ambo in primo diario
ſequentis
anni iterum extant, cum monitu varia defici in
prima
editione, quam ſolam Hugenius viderat cum reſpon-
dit
;
& in qua non reperiuntur ea quæ minori charactere hic
edita
ſunt.
Sola verba ſequentia in prima dantur & in ſe-
cunda
fuere omiſſa poſt .
centrum Oſcillationis hujus plani
coincidet
cum centro Oſcillationis ſolidorum illorum.
III.
Excerpta ex literis Domini Hugenii, quibus re-
ſpondet
obſervationi Abbatis Catelani in 4am. pro-
poſitionem
Tractatus de centris Oſcillationis.
ADmiratus vidi, Theoriam meam de centro Oſcillationis
oppugnari
, contra quam per 9 annos, a quibus
328223CONTROVERSIA. mandata fuit, nemo quid protulit; ſed conſiderata refutatione,
qua
Abbas Catelanus 4am.
meam propoſitionem aggreditur,
non
vidi, quod ullatenus me feriat.
nam ut paucis di-
cam
, in quo fallitur;
negat, datis duabus lineis & præter
has
, duabus aliis, quæ diverſam quam primæ inter ſe ratio-
nem
habent, ſummam duarum ultimarum æqualem unquam
fore
ſummæ duarum priorum.
Concipe priores 5 & 10 pedum, & alteras 3 & 12 & vi-
de
num harum ſumma æque ac illarum non ſit 15:
ut autem
pateat
errorem ejus inde oriri, utar eodem, quod ille propo-
ſuit
, exemplo.
A & B ſunt duo pondera applicata virgæ vel lineæ D B,
11TAB. XXVIII.
Fig
. 2.
quæ conſiderari debet ut inflexibilis &
ſine pondere; quæ
libere
notetur circa punctum D:
tale Pendulum compoſitum
voco
e ponderibus A &
B; ſi hoc peragat partem vibrationis,
Ex
.
Gr. usque ad D F G, & occurrat plano, ad quod
frangatur
, ut pondera a lineâ inflexili ſeparentur, &
tendat
ſurſum
eorum unumquodque cum velocitate acquiſita, ad
maximam
quam poteſt altitudinem, velut ad L &
M, ſuper
planis
inclinatis ſi velimus, quæ tangant arcus A F, B G;
dico commune centrum gravitatis ponderum A & B quæ aſcen-
dunt
in L &
M tunc ad eandem fore altitudinem, ac erat
in
E, ante vibrationem inchoatam.
Abbas Catelanus ut falſam hanc probet propoſitionem,
demonſtrat
, altitudines, ad quas duo pondera ſoluta aſcen-
dunt
, ut hic N L, O M, diverſas eſſe ab iis unde de-
ſcenderunt
, ſcilicet A H, B I.
id quod veriſſimum eſt ex ra-
tione
ab ipſo datâ, quod alteræ ſint inter ſe ut lineæ D F,
D
G, alteræ vero ut quadrata harum linearum;
ſi ergo divi-
damus
, inquit diverſas illas ſummas per numerum illorum
ponderum
, id eſt, ſi ſumamus dimidium linearum L N, M O,
&
dimidium linearum A H, B I. habebimus ab una parte al-
titudinem
ad quam centrum commune gravitatis aſcendit, &

ab
altera altitudinem unde deſcendit:
id verum eſt, per divi-
ſionem
has duas altitudines detegi.
ſed minime concedo, duas
ſummas
diviſas differre inter ſe;
quod Abbas Catelanus
329224DE CENTRO OSCILL. bare nequit; neque igitur, duas inventas altitudines centri
gravitatis
inæquales eſſe, id quod in concluſione contendit,
nam
licet altitudines L N, M O, diverſam habeant rationem
inter
ſe quam altitudines A H, B I, non ſequitur ſummas
primarum
&
ſecundarum differre.
Poſſem præter hunc alium locum obſervare, ubi fallitur
Abbas
Catelanus, ſed non hærebo, quoniam id, quod pro-
fert
non ſpectat ea quibus me aggreditur.
Unicum verbum
addam
de examine ejus Mathematico, ut vocat, de centro
Oſcillationis
edito in diario 15.
Dec. 1681. ubi contendit ſe
inveniſſe
regulam hanc generalem, ſcilicet, per nume-
rum
partium Penduli dividi debere ſummam radicum diſtan-
tiarum
partium ab axe;
ut habeamus lineam rectam, quæ ſit
menſura
temporis quo vibrationem peragit illud Pendulum,
cujus
conſequenter quadratum vel 3a.
proportionalis erit di-
ſtantia
inter axem &
centrum Oſcillationis.
11TAB. XXVIII.
Fig
. 3.
Relicto omni peculiari examine, ſatis erit ad vitium re-
gulæ
detegendum, notaſſe, juxta hoc principium, duas li-
neas
graves ut A B, B C, junctas &
inter ſe angulum quem-
cunque
efficientes, ſuſpenſas in B ſemper idem Oſcillatio-
nis
centrum habere;
ideoque vibrationes ſemper fore æque ve-
loces
, uti facile intelligunt hi, qui in hiſce materiis parum ſunt
verſati
;
ſed & illi videbunt, quod æqualitas illa vibratio-
num
locum habere nequeat, quoniam augendo angulo tan-
dem
duæ lineæ ſimul junctæ unicam efficiunt rectam a B c,
cujus
vibrationes forent æque diuturnæ cum vibrationibus
anguli
A B C, linea vero recta in puncto medio ſuſpenſa,
nullas
peragit vibrationes, aut ſaltem velocitate infinite exi-
gua
movetur.
Porro credo Abbati Catelano ſatis difficile fore, ſuâ regulâ,
centrum
Oſcillationis in quibusvis particularibus figuris, etiam
ſimpliciſſimis
, determinate, ſed, ſi id forte perficiat, inveniet,
ſuam
Theoriam cum experientiâ nunquam convenire, &

meam
ſemper ſummâ exactitudine eidem reſpondere, ſi mo-
do
experimenta exactiſſimè inſtituta fuerint.
Non poſſum hac occaſione ſilentio præterire, P.
330225CONTROVERSIA. in quodam magni ſui Curſus Mathematici loco, memorando
experimentum
cum Pendulo compoſito ex duobus ponderi-
bus
inſtitutum, in quo computans rationem non habuit
(ut debebat) ponderis baculi, cui pondera erant applicata,
immerito
regulas noſtras de determinando centro gravitatis
culpare
, quaſi non convenirent cum iis quæ ille revera obſer-
varat
.
IV.
Exceptio Abbatis Catelani ad reſponſionem
Hugenii
.
NOn debebat Hugenius a ſuo principio ſeparare conſe-
quentiam
, ut hanc aliter intelligat, quam ego in ſcri-
ptis
meis.
Prorſus deberem oblitus eſſe Arithmetices, ſi ab-
ſolute
negarem, ut me facere contendit, quod 4 magnitudi-
nes
inæquales poſſint efficere 2 ſummas æquales, quum nil a-
liud
concludo in ſcriptis, præterquam quod propoſitio Hu-
genii
vera eſſe nequeat, niſi pars ſit æqualis toti.
Ut hoc
melius
pateat, debemus hic proferre propoſitionem illam ge-
neralem
propriis terminis.
Si Pendulum e pluribus ponderibus compoſitum, at que e quie-
te
demiſſum, partem quamcunque Oſcillationis integræ confece-
rit
, atque inde porro intelligantur pondera ejus ſingula, reli-
cto
communi vinculo, celeritates acquiſitas ſurſum convertere,
ac
quousque poſſunt aſcendere;
hoc facto, centrum gravitatis
ex
omnibus compoſitæ, ad eandem altitudinem reverſum erit,
quam
ante inceptam Oſcillationem obtinebat.
Cum hæc propoſitio terminis generaliſſimis concepta ſit,
ita
ut numerus ponderum, ſitus eorum, duratio Vibrationis,
ipſam
non mutent, pono, Exempli cauſâ, Pendulum compoſi-
tum
e ponderibus duo bus æqualibus, &
inter ſe ad quam li-
buerit
a ſe invicem diſtantiam junctis.
Conſidero porro al-
titudines
, quæ ſunt proportionales quadratis velocitatum in
duobus
Pendulis ſimplicibus, eſſe inter ſe ut velocitates
331226DE CENTRO OSCILL Pendulo compoſito. Nam eandem habent proportionem,
quam
arcus deſcripti a duobus ponderibus æqualibus, ex
quibus
Pendulum formatur;
duo illi arcus ſunt ſpatia, quæ
duo
pondera percurrunt, eodem tempore, velocitatibus,
quæ
neceſſario ſunt ipſis ſpatiis proportionales.
Celeritas totalis Penduli compoſiti, quæ inter partes dis-
tribuitur
proportionaliter ad arcus, quos ipſæ deſcribunt,
ſemper
æqualis eſt ſummæ celeritatum, quas eædem partes
acquirerent
, ſi a ſe invicem fuiſſent ſejunctæ, &
omnes ſepa-
ratim
ex iisdem altitudinibus &
ad easdem ab axe, diſtantias
deſcendiſſent
.
Altitudines ſemper ſunt ut quadrata velocitatum,
ſive
pondera ſeparatim adſcendant, ſive deſcendant.
Omni-
bus
his bene intellectis facile patet, ad hanc propoſitionem
redire
quæſtionem.
Si habeamus du@s magnitudines inæquales
a
a &
b b, ſummam radicum ipſarum a b, & quadrata
partium
illius ſummæ, quæ ſint proportionales dictis magni-
tudinibus
, quæque adeo communem denominatorem habeant
a
a b b, &
numeratores diverſos a3 a a b & b3 a b b,
demonſtrare
, ſummam harum duarum magnitudinum, quæ
altitudines
, unde duo pondera æqualia Pendulo alligata
dimittuntur
, repræſentant, non eſſe æqualem ſummæ quadra-
torum
illarum partium, quæ altitudines exhibent, ad quas
duo
pondera, poſtquam percuſſione fuerint ſeparata, redeunt,
niſi
minor ex hiſce magnitudinibus a a &
b b ſit æqualis majo-
ri
, id eſt, quia iſtæ magnitudines in quæſtione propoſitâ ſem-
per
inæquales ſunt, niſi pars æqualis ſit, toti.
Maxime ſenſibilis hujus veritatis demonſtratio eſt compa-
ratio
terminorum quæſtionis per regulas Algebraicas, id
quod
examinandum relinquo iis, qui uſum illarum regula-
rum
norunt.
Quod rem ipſam ſpectat, nullius eſt momenti;
ſive centrum Mathematicum Oſcillationis bene ſive male de-
terminatum
ſit, inventio Penduli nec minus utilis homini-
bus
, nec minus auctore ſuo digna eſt.
332227CONTROVERSIA.
V.
Objectio Abbatis Catelani contra motum
Pendulorum
in Cycloidibus.
Si vis gravitatis ageret in corpora tanquam in puncta Ma-
thematica
, vel ſi ſpatium contentum ſub Cycloide eſſet
diviſibile
in infinitas alias Cycloides, ſimiles &
parallelas,
quidam
Geometræ revera demonſtraſſent, uti contendunt,
pendula
illam debere deſcribere curvam ut Vibrationes, æ-
qualibus
temporibus, peragant;
ſed nulla datur pars in cor-
pore
gravi, quale eſt Pendulum ex cupro vel plumbo, quæ
non
æque ac centrum Tellurem verſus propellatur magis mi-
nusve
pro inclinatione, juxta quam movetur;
Præterea
ſpatium
, quod continet Cyclois, non poteſt repleri infini-
tis
aliis Cycloidibus ſimilibus, quoniam tripla circuli ſuperfi-
cies
æqualis eſſet duplo quadrato diametri.
Latet igitur@adhuc
Geometras
, quamnam lineam curvam deſcribat Pendulum,
cujus
Vibrationes ſunt iſochronæ.
Conſequentia hæc patet,
ſi
conſideremus, in corpore Pendulo, quando centrum vel
alia
quælibet pars Cycloidem percurrit, partes viciniores
Axi
, vel inde remotiores, eodem tempore, deſcribere lineas
curvas
inter ſe ſimiles, ſed quæ non ſunt Cycloides;
ut
patet
ex dictis, &
quia in quovis arcu perpendiculares
ductæ
e tangentibus ſuis ad tangentes Cycloidis ſunt æqua-
les
.
Omnes itaque partes non habent æqualem inclinationem
in
deſcenſu, neque Tellurem verſus cum eâdem velocitatis
proportione
propelluntur;
unde ſequitur, Vibrationem to-
tius
Penduli, quæ neceſſario pendet a Vibrationibus, quas
peragunt
partes ejus ſeparatim ſumtæ, differre a Penduli
Vibratione
, ſi reductum foret ad illam partem, quæ move-
tur
in Cycloide.
Videtur huic potius cauſæ, quam craſſitudini fili, cui
pondus
alligatur, adſcribendam eſſe artificum praxin, quos
experientia
cogit curvaturam a Cycloide diverſam laminis
tribuere
, inter quas ſuſpendunt Pendulum.
333228DE CENTRO OSCILL.
Non tamen mihi animus eſt, hic abſolute oppugnare ſen-
tentiam
illorum, qui credunt corpora gravia moveri, veluti
puncta
, quæ in Cycloide, ad Horizontem perpendiculari,
peragunt
ſuas Oſcillationes, temporibus æqualibus, a qua-
cunque
dimittantur altitudine.
Contendo tantummodo, il-
lud
nondum eſſe demonſtratum, niſi alterutrum horum pro-
betur
, vel quod curvæ parallelæ Cycloidi eandem habent
proprietatem
quantum ad motum corporum, licet non ſint
Cycloides
, vel quod inæqualitas temporis, quod brevius eſt
in
parallelis, interioribus &
Cycloide viciniores Axi, ita
moderetur
contraria inæqualitate temporis, quod majus eſt
in
parallelis exterioribus &
ipſâ curvâ remotioribus ab Axe,
ut
compenſatio inæqualitatum ambarum in Cycloide detur,
quæ
tanquam medium locum tenet inter omnes curvas ipſi
parallelas
.
Geometræ hanc difficultatem examinabunt ſi di-
gnam
ſuâ attentione judicent;
nec, niſi poſtquam eorum ſen-
tentiam
novero, obſervationes meas hac de re dare potero.
VI.
Reſponſio ad objectiones Hugenii adverſus me-
thodum
Abbatis Catelani de determinan-
do
Centro Oſcillationis.
HUgenius propoſuit objectionem adverſus propoſitionem
deductam
ex principio, a me, ad determinandum Mathe-
matice
centrum Oſcillationis Penduli, propoſito;
ſed de-
buit
examinare id, quod præcedit locum, quem e ſcri-
ptis
meis profert, nec generalem habere regulam ad
caſum
particularem tantum accommodatam, quem elegi, ut
uterer
exemplo ſimpliciſſimo &
facillimo; ſcilicet quando
Pendula
compoſita ſunt ex partibus, quæ deſcribunt arcus
ſimiles
circa Axem, quocum faciunt idem planum;
tum
enim
diſtantiæ ab illo Axe ſunt radii arcuum, qui habent
eandem
inter ſe proportionem, ac perpendiculares ad Hori-
zontem
, vel ſinus, qui ſunt altitudines, a quibus ſingulæ
partes
in Oſcillatione deſcendunt.
Itaque cum Pendula,
334229CONTROVERSIA. quibus Hugenius loquitur, ut probet propoſitionem meam
falſam
, ſint anguli rectilinei agitati circa verticem, non
habentes
requiſitam conditionem, me non feriunt.
Si
concipiamus
tales angulos moveri circa Axem, per verti-
ces
illorum transeuntem, patet ſummas diſtantiarum Axis ab
omnibus
punctis linearum, quæ Pendula componunt, eſſe
inæquales
, prout illæ lineæ efficiunt cum Axe angulos ma-
gis
minusve acutos.
Et meâ regulâ detego ſummas diſtantia-
rum
eſſe æquales Parabolis habentibus pro Diametro maxi-
mam
ab Axe diſtantiam, &
pro Parametro 4am proportiona-
lem
poſitis hiſce tribus, linea datâ, quæ eadem eſt in quo-
vis
Pendulo, maximâ diſtantiâ, quæ variat pro variis angu-
lis
, &
unitate; unde ſequitur, tempus Oſcillationis valere {2/3} ma-
ximæ
ab Axe diſtantiæ, &
non in omni caſu idem eſſe; tanto
enim
brevius eſt, quanto angulus eſt obtuſior, id eſt, quan-
to
Pendulum magis Axi vicinum eſt.
Si Hugenius deſiderat propoſitionem quæ conveniat Pen-
dulis
, circa punctum motis, mutanda tantum erunt verba
quædam
in principio Pendulorum habentibum Axem;
loco
radices
diſtantiarum illarum, legendum ſummæ linearum re-
ctarum
, quæ repræſentant tempora Oſcillationum omnium par-
tium
ſeparatim ſumtarum.
Hoc modo propoſitio inſerviet ambobus caſibus. Sed res
melius
intelligitur per generale Principium, quod propoſui
&
ita ſe habet. In eodem Pendulo, cum omnes partes niſi
ſimul
moveri nequeant, propter ſuam conjunctionem, vibra-
tio
minus diſtantium ab Axe, vel puncto ſuſpenſionis, ita
retardatur
a vibratione remotiorum, &
reciproce Oſcillatio
remotiorum
ita acceleratur per Oſcillationem aliarum, ut de-
tur
inter illas compenſatio celeritatum proportionalis arcubus,
vel
cur varum portionibus, quas deſcribunt, ita ut tempus Oſcil-
lationis
totius Penduli ſit medium inter tempora Vibratio-
num
, quas peragerent illæ partes, ſi non inter ſe forent con-
junctæ
, id eſt, ut ſit æquale ſummæ temporum illorum diviſæ
per
numerum partium, quas debemus conſiderare ut æquales
&
infinite parvas.
335230DE CENTRO OSCILL.
Demonſtrare potero in ſequentibus, non adeo difficile eſſe,
ut
quidem Hugenio videtur, accommodare illud Principium
ad
particulares magnitudinum Geometricarum ſpecies ſuſpen-
ſarum
ex Axe vel puncto.
Quod ad experimenta attinet, paratus ſum demonſtrare hæc
ita
non poſſe inſtitui, ut perfecte conveniant cum regulis ſim-
plicibus
&
generalibus, quæ deducuntur e principiis Mathe-
maticis
, eandem ob cauſam ob quam generalis regula, ſta-
biliri
nequit, certa, &
conſtans, in caſibus particularibus, qui
dependent
a pluribus cauſis, non exacte notis.
VII.
Excerpta ex litteris D. Bernoullii datis Baſileæ ad
Autorem
Diarii Pariſienſis, de Controverſia,
inter
Abbatem Catelanum & Hugenium,
de
Centro Oſcillationis.
QUum nondum obſervaverim, Hugenium reſpondiſſe, ad
exceptionem
Abbatis Catelani, quæ ſpectabat primariam
ejus
de centro Oſcillationis propoſitionem, te haud
ægre
laturum credo, ſi verbulum ad ejus defenſionem ad te
ſcribam
.
Quicquid D. Catelanus diſputat, eo redit ut probet,
ſummam
radicum duarum magnitudinum quarumvis non poſſe
in
duas partes ita dividi, ut proportionales ſint ad magnitu-
dines
datas, utque ſumma quadratorum ipſorum ſit æqualis
ſummæ
magnitudinum.
Id vero neutiquam in dubium ab
Hugenio
vocatur, qui tantum affirmat, ſummam harum ma-
gnitudinum
poſſe eſſe æqualem ſummæ duarum aliarum, quæ
quadratis
priorum proportionales ſunt.
Quod & veritati con-
ſonum
eſt.
Atque ut oſtendam, controverſiæ omnis cardinem hic
verti
, utar eodem exemplo de duobus ponderibus æquali-
bus
, &
quidem poſitis numeris, ut veritates abſtractæ
ſenſui
magis obviæ fiant.
336231CONTROVERSIA.
Sint A & B duo corpora ex Axe D ſuſpenſa ita, ut unius
11TAB. XXVIII.
Fig
. 4.
diſtantia ab Axe quadruplo major ſit alterius diſtantiâ.
Adeoque ſi altitudo perpendicularis B I, ex qua deſcendit
corpus
B deſcribendo arcum B G, ponatur quatuor pedum,
altera
A H, unde corpus A delabitur, unius pedis erit.
Celeritates igitur, quas ſeparatim cadendo acquirunt, quo-
niam
ſunt ut radices altitudinum, ſe habent ut 2 ad 1.
Summa
3
, quæ totalem Penduli celeritatem manifeſtat, quando pro-
portionaliter
ad altitudines, ſive ad arcus B G &
A F divi-
ditur
, dat gradus celeritatis, quos obtinent pondera, quan-
do
conjunctim in tabulam D G decidunt, videlicet {12/5} &
{3/5},
quorum
quadrata ſunt {144/25} &
{9/25}, unde quæ prodit ſumma,
ſane
a ſumma altitudinum, e quibus pondera dimittuntur,
differt
.
Veruntamen hæc quadrata proportionem ſolummodo
altitudinum
O M &
N L, ad quas pondera, dum a tabula
reſiliunt
, adſcendunt, non ipſas altitudines exprimunt;
quas
inter
ratio quidem eſſe poteſt, quæ eſt inter {144/25} &
{9/25}, hoc eſt
inter
16 &
1, dum ipſa ſumma eſt quinque, quæ eſt ſum-
ma
altitudinum B I &
A H unde pondera delapſa ſunt.
Nam ſi ponamus altitudinem O M 4{17/1@} pedum eſſe, & alte-
ram
N L {5/17}, O M ſe habebit ad N L, ut 16 ad 1;
& O M
N L erit æqualis B I A H.
Idcirco centrum gravitatis
commune
ponderum A &
B, ubi in L, M pervenere, erit
ad
eandem altitudinem, quam obtinebat ante Oſcillationis ini-
tium
.
Id clare ex inſpectione figuræ apparet. Pondus enim
M
tantum ſupra lineam Horizontalem B D elevatur, quan-
tum
L infra eam deprimitur, videlicet {12/17} unius pedis;
ſe-
quitur
hinc in triangulis ſimilibus M P Q &
L Q R latera
M
Q &
Q L eſſe æqualia, hoc eſt medium lineæ M L, quæ
duo
pondera conjungit, eſſe in interſectione lineæ Horizon-
talis
.
135[Figure 135]
337232DE CENTRO OSCILL.
VIII.
Excerpta ex literis Dni. Hugenii ad Auctores Diarii
Pariſienſis
, datis Hagæ 8. Funii 1684. quæ
continent
ejus reſponſionem ad exceptio-
nem
Dni. Abbatis Catelani, de cen-
tro
Oſcillationis.
HUc usque diſtuli reſpondere ad exceptionem Dni. Abbatis
Catelani
, &
fere omnis noſtræ controverſiæ oblitus eram,
quoniam
non audiveram, ullum ex iis qui tales ponderant
quæſtiones
in illius partes iviſſe.
Sed cum ex amicis quidam
deſiderarent
, ut Geometris facilius redderem litis noſtræ exa-
men
;
& eo impedirem quo minus illi, qui hanc norunt,
ſilentium
meum reprehendant, vos rogo ut diariis veſtris, ſe-
quentia
velletis inſerere, cum quibusdam veſtrum jam du-
dum
communicata.
Abbas Catelanus, viſâ meâ reſponſione ad primam obſer-
vationem
, ſuoque errore cognito, credidit ſe illam poſſe
diſſimulare
, ſi diceret, obſervationes ſuas ex vitioſo auto-
grapho
editas eſſe, in quo non ſolum quædam verba dee-
rant
, ſed etiam ſex ſeptemve ordine ſequentes lineæ;
cumque
illæ
ſuppletæ ſint in ſecunda Editione, ubi addidit, &
qui-
dem
tales, ut ſummæ cum ſex aliis lineis, propoſitam obje-
ctionem
omnino mutavit.
Non opportunum tamen duxit hac de re lectorem mone-
re
, ne quidem in ſuâ exceptione, in qua poſitâ hac muta-
tione
ratiocinatur.
Cùm enim antea ſe demonſtraturum pro-
miſerat
, propoſitionem meam 4am.
de centris Oſcillationum
falſam
eſſe niſi pars ſit æqualis toti, in præſens ut illud
probet
, non tantum ponit axioma hoc irrefragabile totum
eſſe
majus parte, ſed præter hoc pro vero habet quoddam,
quod
ſibi finxit, de motu Pendulorum, principium.
338233CONTROVERSIA.
Rem ita ſe habere oſtendam, & ut mutatam ejus objectio-
nem
ſolvam, demonſtrabo principium, quod ponit, ve-
rum
eſſe non poſſe.
Etiam falſum eſſe oſtendam alterum ejus
principium
generale, quo utitur in ſuâ verâ ſolutione Mathe-
matica
Problematis de centris Oſcillationis, &
tandem ambo
hæc
principia ſibi mutuò contrariare:
non deſpero fore ut
ipſe
Abbas Catelanus mecum conveniat, ſi ad ſequentia at-
tendat
.
Quæſtio ſecundum illum ad hanc propoſitionem redit. Si
habeamus
duas magnitudines inæquales a a &
b b, & ſummam
harum
radicum dividamus in duas partes, quæ ſint inter ſe
ut
a a ad b b, quæ partes ideo ſunt {a3+a a b/a a+b b} &
{b3+a b b/a a+b b},
ut
facile per Algebram invenitur, demonſtrare, ſummam
magnitudinum
a a &
b b, quæ repræſentant altitudines, un-
de
deſcendunt pondera duo æqualia eidem Pendulo alligata,
non
poſſe æquari ſummæ quadratorum partium {a3+a a b/a a + b b} &

{b3+a b b/a a+b b}, quarum quadrata repræſentant altitudines, ad quas
pondera
, percuſſione ſeparata, redeunt, niſi pars a a æque-
tur
b b;
id eſt (quoniam quantitates in quæſtione propoſita
ſunt
inæquales) niſi pars æqualis ſit toti.
Hæc eſt propoſitio Abbatis Catelani, quam tantum cla-
rius
exprimere conatus ſum, quâ demonſtratâ, ut facile fit
comparando
duas illas ſummas per calculum Algebraicum,
contendit
, fundamentalem meam de centris Oſcillationis
propoſitionem
ruere.
Sed etiam relictâ Algebrâ demonſtrari poteſt illius propo-
ſitio
;
nam ſi ponatur a a æquale eſſe 1; & b b æquale 4;
ſumma radicum a + b eſt 3, & partes proportionales hujus
ſummæ
ſunt {3/5} &
{12/5}, faciunt enim junctim {15/5} hoc eſt 3. Qua-
drata
earundem partium ſunt {9/52} &
{144/25}. Hoc igitur ſolum re-
ſtaret
demonſtrandum, ſummam 1.
& 4. non eſſe æqualem
ſummæ
, quæ prodit ex additione {9/25} ad {144/25}, ſive 5 &
6{3/25} non
eſſe
æqualia inter ſe;
quod ſane per ſe clarum eſt.
Vera ergo eſſet Abbatis Propoſitio niſi affirmaret quadra-
ta
partium {a3+a a b/a a + b b} &
{b3 + a b b/a a + b b}, quæ hic ſunt {9/25} & {144/25},
339234DE CENTRO OSCILL præſentare altitudines, ad quas pondera ſejuncta redeunt.
Non diſſentiet & facile probari poteſt illud deductum eſſe
ex
Principio, quod ſibi finxit, &
pro fundamento habet pro-
poſitionis
ſuæ;
ſcilicet, celeritatem totalem Penduli compoſiti,
quæ
inter partes diſtribuitur proportionaliter ad arcus, ques
ipſæ
deſcribunt, ſemper æqualem eſſe ſummæ celeritatum, quas
eædem
partes acquiſiviſſent, ſi ſejunctæ ſingulæ ſeparatim ex
iisdem
altitudinibus, &
in eadem diſtantia ab Axe deſcendiſ-
ſent
.
Ponit ergo, ut me refellat, principium hoc, quod fal-
ſum
contendo;
in demonſtratione computationem memora-
tam
ſequar.
Dnus Abbas novit & concedit, detegi altitudinem, unde
commune
ponderum gravitatis centrum deſcendit, ſi divi-
damus
ſummam altitudinum 1.
& 4. (unde duo pondera ſi-
mul
alligata deſcenderunt) per 2 numerum ponderum, quæ
ergo
eſt {5/2}.
Concedit pariter, dari altitudinem, ad quam re-
vertitur
commune eorum gravitatis centrum, ſcilicet {153/50}, vel
3
{3/503}, ſi per numerum ponderum duo, dividamus ſummam al-
titudinum
{9/25} &
{144/25}, ad quas pondera percuſſione ſeparata re-
deunt
.
Centrum ergo gravitatis revertetur altius quam unde de-
ſcenderat
, quantum 3{3/50} excedit 2{1/2}, quod primario adverſa-
tur
Mechanices Principio.
Hoc ſi Dnu. Abbas efficere poſ-
ſit
, detectum habebit perpetuum mobile:
Quum ergo ejus
Principium
ex quo falſa ſequitur concluſio, falſum ſit, ex-
inde
nil quo mea labefactetur Propoſitio, poteſt inferri
vel
deduci.
Quod ad alterum ejus Principium attinet,
quod
pro fundamento habet regulæ generalis de determi-
nandis
centris Oſcillationis, in eundem inducit errorem.
Hoc Principium eſt, tempus Vibrationis Penduli compoſi-
ti
eſſe medium inter tempora Vibrationum partium, id eſt,
æquale
eſſe ſummæ illorum temporum, diviſæ per numerum
partium
.
In Pendulo, quale conſideravimus, ubi ponderum
diſtantiæ
, a puncto ſuſpenſionis, ſunt 1 &
4, ſi ponamus
tempus
minoris ex partibus ſeparatis eſſe unum, (unde ſe-
quitur
, tempus alterius partis ſeparatim agitatæ eſſe duo;)
340235CONTROVERSIA. ſecundum ejus principium, ſumma illorum temporum, quæ
eſt
tria, diviſa per duo, numerum partium, erit tempus
Penduli
compoſiti, ſcilicet {3/2}.
Hiſce poſitis, nil præterea po-
nendo
præter id quod concedit Dus.
Abbas, deteguntur alti-
tudines
, ad quas revertuntur pondera, poſtquam a Pendulo
compoſito
ſunt ſejuncta;
nempe {4/9} & {64/9}; quarum ſumma {68/9},
diviſa
per duo, numerum ponderum, dat {34/9}, vel 3{7/9}, alti-
tudinem
, ad quam adſcendit commune gravitatis centrum,
quæ
etiam ſuperat {5/2} vel 2{1/2} unde demonſtravimus centrum
deſcendiſſe
.
Non addo methodum computationis quæ facilis
eſt
.
Dnus. Abbas ergo dum quærit principium bis male divi-
navit
;
proprie enim divinare eſt, ratiocinia deducere ex
principiis
, quæ levem tantum veri ſpeciem præ ſe ferunt;
& verum eſſet, quæſtionem de centro Oſcillationis non dif-
ficulter
reſolvi, ſi, ut ipſe fecit, tantum ponendum foret id,
quod
ſtatim rem quæſitam determinat.
De cætero, contraria eſſe inter ſe ambo principia clarum
eſt
;
quoniam ut patet, ex his diverſæ ſequuntur concluſio-
nes
, altitudines enim, ad quas centrum commune gravitatis
aſcendit
, diverſæ ex utroque deteguntur, nempe 3 {3/50}, 3 {7/9}.
Unum hoc addam, ut reſpondeam difficultati, quam Dnus. Ab-
bas
propoſuit, contra motum in Cycloide , hanc 11Vide ſu-
pra
pag. 227.
tem ſolutam dari in ipſo meo tractatu de centro Oſcillationis
in
cujus propoſitione 24 explicavi, quomodo efficiqueat, ut
omnia
ponderum Penduli puncta moveantur in Cycloidibus
æqualibus
;
licet in praxi minime neceſſaria ſit correctio hæc.
IX.
Reſponſio Dni. Abbatis Catelani ad literas Dni.
Bernoulli
de Controverſia ſua cum Dno. Hu-
genio
de centro Oſcillationis .
22Vide ſu-
pra
pag. 23@.
UT reſpondeam ad has literas, idem repetam, quo utitur
D
nus.
Bernoulli, exemplum Penduli compoſiti ex pon-
deribus
æqualibus eidem virgæ applicatis, &
ex eodem
341236DE CENTRO OSCILL. ſuſpenſis, a quo pondus unum quater magis quam alterum
diſtat
;
ita ut altitudines perpendiculares, unde deſcendunt
ſint
ut 1 ad 4.
Convenit inter nos de proportione inter has altitudines, &
de
ſumma velocitatum, quas illa pondera acquirerent, ſi ſe-
paratim
ab iis altitudinibus caderent;
ſed contendimus de
exprimendis
his altitudinibus reſpectu ſpatii, quod ſit com-
munis
earum menſura, &
pro unitate habeatur. Cum omni-
bus
, qui ante me de ſimilibus quæſtionibus ſcripſerunt, po-
no
veros numeros, quibus exprimuntur altitudines, eſſe qua-
drata
ipſorum numerorum qui velocitates deſignant, in illis
caſibus
, in quibus inter altitudines &
inter velocitates non
alia
datur ratio, præter generalem experientiâ detectam.
Patet autem ex numeris quos in computatione mea detexi,
(cum 9 &
144 ducta in {1/25} pedis, id eſt 6 pedes cum 1 digito
5
lineis &
quod excedit, differant cum 1 pede & 4 pedibus,
aut
5 pedibus,) ſummas altitudinum, ad quas adſcendunt pon-
dera
in exemplo propoſito, non eſſe æqualem ſummæ alti-
tudinum
unde deſcendunt, quam æqualitatem Dus.
Huge-
nius
ponit in generali propoſitione, quâ utitur pro princi-
pio
in ſuo tractatu de centro Oſcillationis.
Dus. Bernoulli reſpondet, quadrata numerorum, qui
exprimunt
velocitates ponderum, tantum exprimere pro-
portionem
altitudinum, ad quas revertuntur poſt illo-
rum
ſeparationem, &
non ipſas altitudines, quæ qui-
dem
inter ſe habere poſſunt rationem, {144/25} ad {9/25} dum ta-
men
harum ſumma eſt 5, quæ eſt ſumma altitudinum,
unde
pondera deſcenderunt.
Nam altitudines, ad quas
revertuntur
ſeparata, ſunt juxta illum 4{12/17} &
{5/17}, quarum
ſumma
valet 5, ut ſumma primarum altitudinum 1.
& 4.
Iterum reſpondere non difficile erit. Rogatum velim
D
um.
Bernoulli, dum contendit, proportionem quadra-
torum
numerorum, qui velocitates exprimunt, tantum
conſiderandam
eſſe, quâ motus lege, &
per quodnam
principium
Mechanicum pondera, de quibus agimus, po-
tius
redeant ad altitudines, quas ille notavit, &
342237CONTROVERSIA. quæ cum ipſius ſententia congruunt, quam ad illarum propor-
tionales
5{11/17} &
{6/17}, quarum ſumma eſt 6; vel ad 3{13/17} & {4/12} qua-
rum
ſumma eſt 4;
vel ad innumeras alias ſimiles, quæ ha-
beant
inter ſe eandem proportionem, {144/25} ad {9/25}, ſed ex qui-
bus
altitudo centri gravitatis reverſi major minorve, quam
unde
deſcendit deducitur.
Certè pondera non revertentur ad
omnes
altitudines proportionales quadratis velocitatum, quas
deſcendendo
acquiſiverunt, quoniam gravitas gradatim re-
tardat
, &
tandem deſtruit velocitates, cum quibus reflectun-
tur
pondera.
Quid ergo eveniet? rogo Dum. Bernoulli ut illud explica-
re
velit?
An Natura per ſe incerta de eo quod ſibi agendum
eſt
, pro voluntate Dni.
Bernouilli actura eſt? Cum ipſius ve-
niâ
, hac de re dubitabo, donec ſententiam ſuam ſolidis argu-
mentis
, ex Phyſica deductis probet.
Interim credo me jure
concludere
, rationibus quas affert pro D.
Hugenio hoc con-
firmari
, propoſitionem hujus generalem &
fundamentalem
de
centris Oſcillationis non eſſe omni exceptione majorem.
X.
Dn. Bernouillii narratio controverſiæ inter Dn.
Hugenium
& Abbatem Catelanum agitatæ
de
Centro Oſcillationis, quæ loco Anim-
adverſionis
eſſe poterit in Reſpon-
ſionem
Dn. Catelani.
Excerpta ex Litteris Dn. Bernoullii
Lipſiam
miſſis.
Menſe Septembri A. 1681. Abbas Catelanus propoſitio-
nem
quandam tractatus Cl.
Hugenii, quem de
343238DE CENTRO OSCILL. logio Oſcillatorio inſcripſerat, adortus eſt, formata contra il-
lam
objectione;
in qua quia mentem ſuam minus feliciter
expreſſit
, anſam dedit iſti controverſiæ, quæ hucusque fere
inter
illos viguit.
Verum quidem eſt, eum initio A. 1682.
objectioni ſuæ, additis paucis lineis, variationem quandam in-
duxiſſe
;
ſed quoniam ejus partes ſatis adhuc male cohæren-
tes
reliquit, eam in mente Lectoris ſui excitavit opinionem,
quaſi
perſuaſum haberet, ſummas altitudinum, e quibus pon-
dera
alicujus penduli junctim deſcendunt, &
ad quas poſt-
modum
ſeparatim aſcendunt, inæquales eſſe debere hanc ſo-
lam
ob cauſam, quod priores altitudines ſint proportionales
ipſis
ponderum celeritatibus, poſteriores vero non niſi quadra-
tis
iſtarum celeritatum.
Quare etiam Hugenius, id unicum
Catelano
ſcrupulum movere ratus, reſpondere abſtinuit, us-
que
in menſem Junium, quo tandem calamum arripuit, ac
exemplo
duorum numerorum 5 &
10, duorumque aliorum 3
&
12 breviter monſtravit, fieri utique poſſe, ut binæ quan-
titates
eandem cum binis aliis conficiant ſummam, etiamſi di-
verſam
ab illis rationem habeant, neque tum temporis in
dubium
revocavit πρῶ{το}ν Catelani {ψε}ῦδ{ος} quod tamen in pri-
ma
jam objectionis ſuæ impreſſione manifeſte ſatis prodide-
rat
, dum ſuppoſuit:
Pendulum ex duobus ponderibus compo-
ſitum
, eandem acquirere celeritatem, quantam acquir at ſum-
ma
pendulorum ſimplicium;
id vero ſicco pede præteriit Hu-
genius
, vel quod non penetrarit ſtatim, ob nullam periodo-
rum
connexionem, quorſum falſa iſta Catelani ſuppoſitio
tenderet
, vel potius quod illi ceu veriſimili admodum tum
ipſemet
adſtipularetur.
Catelanus interea Hugeniano reſpon-
ſo
non contentus, excepit 20 Julii 1682, ac terminis Alge-
braicis
rem aggreſſus eſt, eodem innixus fundamento:
Quod
totalis
celeritas penduli compoſiti æquet ſummam celeritatum
partium
ejus ſeparatarum.
Quo facto controverſia iſta ultra
annum
ſopita jacuit.
Me quod ſpectabat, cui Hugenii liber
tum
nondum viſus, nedum lectus fuerat, ſcopum alium non
habebam
, quam illuſtrare ejus reſponſionem, remque exa-
minare
, qualiter ab ipſo examinata, atque in Actis
344239CONTROVERSIA. fuerat. Animadvertens itaque, Catelani principium ab Hu-
genio
non refutatum eſſe, &
ego illud intactum reliqui,
ſufficere
mihi ratus, ſi Hugenianum reſponſum ſimpliciter
applicarem
ad præſentem controverſiam, propoſito eum in
finem
exemplo penduli, e duobus æqualibus ponderibus
compoſiti
;
ubi innuere ſaltem volui, quod ſuppoſito pro
totali
ejus celeritate numero ternario (quicquid ſtatuatur de
celeritatibus
utriusque ſeparatim ſpectati ponderis, dummo-
do
ſint in ratione 2 ad 1) quadrata {144/25} &
{9/25} ex mente Hu-
genii
ſignificare debeant non niſi rationem altitudinum, ad
quas
aſcendant ſeparata pondera, minime vero ipſas altitu-
dines
(quod ipſe quoque poſtmodum indigitavit Hugenius
in
ſecunda reſponſione, 8 Jun.
1684. ) partim quoniam 11Vide ſu-
pra
pag. 232.
leritates atque altitudines, utpote quantitates heterogeneæ,
ſe
mutuo menſurare non poſſunt;
partim etiam, quia ipſe
Catelanus
urgere ſaltem videbatur, altitudines eſſe propor-
tionales
quadratis, vel ſicut quadrata celeritatum;
tametſi in
proxime
ſequenti calculo quadrata iſta pro ipſis altitudini-
bus
adhibuerit.
Comparato mihi paulo poſt, & perlecto
Hugenii
libro, animadvertebam, Propoſitionem controver-
ſam
ex priore Hypotheſium, quas Auctor initio ſtabiliverat,
adeo
evidenter inferri, ut neutra infringi poſſit, quin ſimul
evertatur
altera;
quocirca judicabam, ſi Catelano falſa fuiſ-
ſet
viſa propoſitio, eum potius ipſam adoriri debuiſſe Hy-
potheſin
, magnumque illud inibi contentum Principium Me-
chanicum
.
Verum enim vero cum hujus principii veritatem
nullo
jure in dubium revocare poſſem, atque ſimul etiam ſe-
riem
ratiocinii a Catelano ſatis confuſe propoſiti evolvere
cœpiſſem
, errorem ejus detexi illico, falſamque cognovi eſ-
ſe
, qua nitebatur, regulam, nimirum:
Celeritatem totalem
penduli
compoſiti æqualem eſſe ſummæ celeritatum partium ejus
ſeparatarum
.
Atque ut oſtendam, animadverſum mihi fuiſ-
ſe
errorem, priusquam Hugenii epiſtola de 8.
Jun. lucem a-
ſpexiſſet
, afferam hic cauſam phyſicam, omiſſam ab Huge-
nio
, qua fit, ut penduli compoſiti celeritas perpetuo minor
ſit
celeritate partium ejus ſeparatarum:
Ponamus majoris
345240DE CENTRO OSCILL. dentiæ ergo, pondera penduli A & B in linea inflexili D B
11TAB. XXVIII.
Fig
. 5.
libere hinc inde moveri poſſe, ſic ut linea hæc, dum rotatur
circa
axem D, quamvis ſecum rapiat pondera, non tamen
impediat
deſcenſum illorum in linea recta centrum Terræ
verſus
.
Quo poſito, conſtat, utrumlibet pondus ſigillatim
dimiſſum
, eadem celeritate latum iri, qua ferretur absque
virga
D B, utpote nec a virga, nec ab ejus axe ullo modo
impeditum
;
id eſt ſi pondus A absque virga certo tempore
conficit
ſpatium A H, &
pondus B ſpatium æquale B N,
utrumque
etiam cum virga, ſed ſigillatim, dimiſſum eodem
tempore
idem ſpatium A H &
B N conficiet. Conſtat in-
ſuper
, quod ſi gravitas in utrumque pondus ageret viri-
bus
, quæ proportionatæ forent ipſorum reſpectivis ab axe
diſtantiis
, virga nullum adhuc ipſorum deſcenſui afferret im-
pedimentum
, propterea quoniam exacto certo tempore unum
eorum
reperiretur in H &
alterum in I, vel prius in L, po-
ſterius
in N, ſive absque virga, ſive cum virga, ſive ſigil-
latim
ſive conjunctim dimitterentur.
Verum enim vero
quoniam
gravitas in utrumque pondus agit viribus æquali-
bus
, ſic ut pondera eodem tempore æqualia ſpatia A H &

B
N transigere annitantur, &
tamen interea pondus A jun-
ctim
dimiſſum, ob inflexilem virgam, nequit pertingere niſi
ad
L, dum pondus B jam eſt in N, hinc ſequitur, gravita-
tis
vim in pondere A non eſſe exhauſtam;
adeoque reſiduum
harum
virium, ex una parte urgere debere corpus B, ex al-
tera
ipſum axem D, eundemque premendo aliquam ſui par-
tem
ibidem inſumere &
deperdere; ſiquidem virga hocce
caſu
inſtar vectis conſiderari poſſit, prout extra dubium eſt;
quod ſi corpus B infinite tarde moveri, id eſt, firmum &
ſtabile
eſſe intelligatur ſicut axis D, corpus A partem ſui
ponderis
æque in axem D atque in corpus B transferret.

Ex
hactenus dictis colligere proclive eſt, ſi quis examinare
vellet
, quantam partem celeritatis ſuæ pondus A in premen-
do
axe D conſumere debeat, eum exinde, imitando Dn.
Ca-
telani
ratiocinium, veritatem aut falſitatem Hugenianæ Hy-
potheſeos
, inque hac fundatæ Propoſitionis, detegere poſſe.
346241CONTROVERSIA. Rogantur hac occaſione eruditi, ut examinent, qualem le-
gem
communicationis celeritatum obſervent corpora mota,
quæ
ex una parte innituntur firmo fulcimento, ex altera alii
corpori
itidem, ſed tardius moto:
ſi namque celeritatis ex-
ceſſus
, qui hinc inde communicandus eſt, in eadem ratione
diſtribueretur
, in qua diſtribuitur onus aliquod, quod vecti
duobus
ſuſtento fulcris impoſitum eſt, nimirum in ratione
reciproca
diſtantiarum mobilis a fulcris, tum imitando ra-
tiocinium
Dn.
Catelani, deprehenderemus, ſummam altitu-
dinum
, ad quas aſcendunt ſeparata penduli pondera, viciſ-
ſim
nunc minorem eſſe ſumma altitudinum, e quibus antea
conjunctim
deſcenderant, quod iterum Hugenianam Propo-
ſitionem
everteret.
En calculum: Eſto altitudo A L = 1 ped.
Altitudo B N = 4 ped.
11
Celeritas
ponderis A acquiſita in puncto L, ubi deſcendit
ſeparatim
# = 1
Celeritas
ponderis B acquiſita in puncto N, quando cadit
ſeparatim
# = 2
Celeritas
ponderis A acquiſita in puncto L, quando deſcen-
dit
conjunctim # = x
Igitur
Exceſſus celeritatis ponderis A, qui tam in axem,
quam
in pondus B redundat # = 1 - x
Et
pars hujus exceſſus, quæ ſoli ponderi B communicatur
# = {1/4} - {1/2} x
Tota
ergo celeritas ponderis B in puncto N cum conjun-
ctim
cadit # = 2 {1/4} - {1/4} x
Atqui vero 2 {1/4} - {1/4} x, x: : 4, 1. Igitur x = {9/17} & 4 x = {36/17} eorum-
que
quadrata {81/289} &
{1296/289} quorum ſumma 4 {13/17} minor eſt 1 + 4 = 5.
Antequam finiam, in favorem Dn. Catelani hoc monebo,
quod
etiamſi commune gravitatis centrum juxta illum altius
aſcendere
deberet, quam deſcendit, nondum tamen ſequa-
tur
, repertum fore motum perpetuum, ut ſibi perſuadet Ill.

Hugenius
;
quoniam in iſtis abſtrahi ſolet ab aëris reſiſtentia,
a
diminutione celeritatis, quæ neceſſario ſequitur disruptio-
nem
vinculi, quo connectebantur partes penduli,
347242DE CENTRO OSCILL. que obſtaculorum; prout ipſa quoque hæc aëris reſiſtentia
in
cauſa eſt, cur ſimplex pendulum motum ſuum non con-
tinuet
, ut maxime in Hypotheſi Hugeniana ad eandem
aſcendere
debeat altitudinem, a qua deſcendit.
XI.
Litteræ
Dni Marchionis de l’Hôpital ad Dum Huge-
nium
, in quibus contendit, ſeregulam hujus Au-
ctoris
de Centro oſcillationis penduli compoſiti
demonſtrare
per cauſam Phyſicam, & re-
ſpondere
ſimul Dno Bernoulli.
Ante aliquot annos, cum admiratione legi eruditum tuum
de
centris Oſcillationis tractatum, &
pleniſſime mihi
perſuaſum
eſt veras eſſe demonſtrationes tuas.
Interea cum
Acta
Lipſienſia nuper mihi ad manus venerint, inveni in actis
menſis
Julii anni 1686.
relationem tuæ hac de re cum Dno
Abbate
Cateleno controverſiæ, à Dno Bernoulli factam, qui
tuam
ſententiam amplectitur, uti certe debent, quicunque
aliquem
inter Geometras locum ſe tenere contendunt.
Sed
attonitus
vidi, finem ratiocinii quo utitur, contrarium eſſe
tuis
demonſtrationibus:
unde ad illud ſedulo examinandum
perductus
fui, &
cognovi, quod utatur principio veriſſimo,
licet
in eodem applicando fallatur;
illud enim principium,
uti
demonſtrabo, ducit ad eandem veritatem, quam probaſti
in
5a tua propoſitione.
Sit D A B virga inflexilis & ſine gravitate, mobilis circa
11TAB. XXVIII.
Fig
. 6.
punctum fixum D, ad quam annexa ſint 2 pondera æqualia
A
&
B; & ſit diſtantia B D a puncto fixo quadrupla di-
ſtantiæ
A D, quæritur longitudo D G penduli ſimplicis
iſochroni
, id eſt, quod movetur cum eâdem celeritate ac pen-
dulum
compoſitum.
Ad ſolvendum hoc problema, conſidero velocitates, cum
quibus
corpora A &
B incipiunt deſcendere in primo
348243CONTROVERSIA. ti caſus ſui, vel potius, ſpatia, quæ percurrunt eodem tem-
pore
, utut parvo;
hoc ſenſu ſumo 1 pro velocitate, quacum
omne
corpus grave ſive magnum ſive parvum incipit deſcen-
dere
ſuper planis æqualiter inclinatis;
nam, ut ſatis notum
eſt
, illa velocitas eſt æqualis in omnibus corporibus.
Concipio etiam, quantitatem motus corporis initio deſcen-
ſus
ſui oriri ex maſſâ multiplicatâ per illam primam velocitatem;
His ſuppoſitis, conſtat, quod corpus A conetur deſcendere
cum
eâdem celeritate, quâ corpus B;
quod cum non poſ-
ſit
, quoniam virgæ junctum eſt in puncto A, cujus veloci-
tas
tantum eſt 4ta pars velocitatis B, debet accelerare mo-
tum
corporis B in pendulo compoſito.
Tota ergo difficultas
conſiſtit
in rite determinandâ motûs augmentatione;
quod
hoc
pacto facio.
Sit x quantitas motus corporis A in pendulo compoſito,
reſiduus
exceſſus quantitatis ejus motus erit ergo A - x, vis
hæc
applicata in A exerit actionem in punctum fixum D &

corpus
B, quod conſiderari debet ut immobile ipſius reſpe-
ctu
(quoniam clarum eſt, corpus B debere cenſeri immobile
reſpectu
illius exceſſus) &
conſequenter virga B D debet
conſiderari
ut vectis cujus extremitates ſuſtinentur in B &
D.
habebimus ergo B D, 4. ad A D, 1. ut A - x ad {1/4} A -{1/4} x portio-
nem
exceſſus quantitatis motus corporis A, quæ communi-
catur
corpori B;
ita ut quantitas motus corporis B in pen-
dulo
compoſito ſit B + {1/4} A - {1/4} x id eſt {5/4} A - {1/4} x;
Jam vero
propter
virgam inflexilem D B velocitas corporis B in pen-
dulo
compoſito debet neceſſario eſſe quadrupla velocita-
tis
corporis A, &
conſequenter etiam quantitas ejus motus,
quoniam
corpora ſunt æqualia;
unde ſequitur æqualia eſſe
4
x &
{5/4} A - {1/4} x unde deducitur valor ipſius x, {5/17} A, qui ex-
primit
quantitatem motus corporis A in pendulo compoſito;

Jam
ſi fiat, ut {5/17}, velocitas corporis A in pendulo compoſi-
to
, eſt ad 1, velocitatem, omnium corporum gravium in
extremitate
pendulorum ſimplicium, ita D A, 1;
eſt ad
D
G, {17/5}, erit hæc longitudo penduli ſimplicis iſochroni;
ſi
enim
ſpatia ſunt inter ſe ut velocitates, tempora æqualia
ſunt
.
349244DE CENTRO OSCILL
Si addamus ad pendulum compoſitum D A B novum pon-
11TAB. XXVIII.
Fig
. 7.
dus C æquale cuivis ponderi A &
B, ita ut D C duplum
ſit
D A, conſiderari debent pondera A &
B tanquam ap-
penſa
ad G commune ſuum Oſcillationis centrum, in extre-
mitate
penduli ſimplicis D G;
& tunc ponendo x, quanti-
tatem
motus corporis C in pendulo compoſito D C G, ha-
bebimus
C-x pro reſiduo exceſſu quantitatis motus corporis
C
.
Quantitas hæc reſidua applicata in C exercet vim in pun-
ctum
fixum D, &
punctum G, quod conſidero ut fixum
ipſius
reſpectu;
habebimus ergo D G, {17/5}, eſt ad D C, 2, ut C-x
eſt
ad {10 C - 10 x/17}, portionem ejus exceſſus, quæ diſtribuitur in
G
;
unde ſequitur, quantitatem motus corporum A & B in
pendulo
compoſito D A C B futuram {5/17} A + {20/17} B + {10 C - 10 x/17}
id
eſt {35 C - 10 x/17};
Ob virgam autem inflexilem D B, velocitas
corporis
A in pendulo compoſito erit neceſſario dimidia ve-
locitatis
corporis C, &
velocitas corporis B erit dupla ve-
locitatis
corporis C, &
eædem quoque inter motus quanti-
tates
rationes dantur, cum tria corpora ſint æqualia inter ſe;
datur ergo æqualitas inter 2 x + {1/2} x & {35 C - 10 x/17}, unde de-
ducitur
quantitas {2/7} x = C, exprimens quantitatem motus
corporis
C in pendulo compoſito D A C B.
Jam ſi fiat, ut
{2/3}, velocitas corporis C in pendulo compoſito, eſt ad 1, ve-
locitatem
cujusvis corporis gravis in extremitate penduli ſim-
plicis
;
ita D C, 2. eſt ad D E, 3, erit hæc longitudo pen-
duli
ſimplicis iſochroni.
Si pondera A, B, C eſſent inæqualia, inveniretur ſemper,
ſequendo
hoc ratiocinium, centrum Oſcillationis.
ita ut hæc
methodus
ſit generalis, quicunque ſit ponderum numerus,
&
quæcunque eorundem inæqualitas. Oſtendendum nunc,
methodum
hanc etiam uſu venire, ſi pondera ſint ad puncti
fixi
partem utramque diſpoſita.
Sit pendulum compoſitum A D B mobile circa punctum
fixum
D, &
oneratum ponderibus æqualibus A & B, ſitque
D
B quadrupla ipſius D A, patet quod corpus A debeat
retardare
motum corporis B in pendulo compoſito;
&
350245CONTROVERSIA. præciſe inveniatur quantum retardet, voco x quantitatem
motus
corporis B in pendulo compoſito A D B, &
conſe-
quenter
exceſſus reſiduus quantitatis ejus motus erit B x;
ſed ob virgam B A, velocitas corporis A debet neceſſario
eſſe
quarta pars velocitatis corporis B:
quantitas ergo ejus
motûs
in pendulo compoſito erit {1/4} x (cum enim corpora A
&
B ſint æqualia quantitates motus ſunt proportionales ve-
locitatibus
.
Illa autem motus quantitas produci non potuit,
niſi
per reſiduum exceſſum quantitatis motus corporis B.
Pa-
tet
ergo, quod ille exceſſus B - x debeat ſuperare quantitatem
motus
corporis A inferiora verſus, &
eidem præterea imprimere
quantitatem
motus {1/4} x ſuperiora verſus;
id eſt quod debeat
agere
in corpus A ac ſi vis A + {1/4} x immediate applicita in
A
, illud ſurſum propelleret.
Sed vis B x ob punctum fixum D
agit
in A acſi vis 4 B - 4 x immediate applicita in A, illud ſurſum
propelleret
;
dabitur ergo æqualitas inter 4 B - 4 x & A + {1/4} x;
unde
deducitur quantitas x = {12/17} B, quæ præciſe exprimit
quantitatem
motus corporis B in pendulo compoſito A D B,
Porro
ſi fiat, ut {12/17}, velocitas corporis B in pendulo compo-
ſito
, eſt ad 1, velocitatem corporis omnis gravis in extremi-
tate
penduli ſimplicis, ita D B, 4.
eſt ad D G {17/3}, erit hæc
longitudo
penduli ſimplicis Iſochroni.
Facile concluditur ex his omnibus, principium Dni Ber-
noulli
eſſe verum;
ſed eundem falli in concluſione quam in-
de
deducit;
quoniam conſiderat velocitates acquiſitas corpo-
rum
A &
B, cum conſiderare deberet, uti nos fecimus illo-
rum
velocitates incipientes &
præterea motus quantitates.
Alias enim nunquam poſſet applicari hoc principium, quod
non
differt à principio, quod obtinet circa vectem, quum
corpora
ſunt inæqualia;
Adeo ut credam me plane petitioni
ejus
ſatis feciſſe, Rogantur hac occaſione eruditi &
c.
Vides, quo pacto diverſæ viæ ducant ad cognitio-
nem
ejusdem veritatis;
nolim tamen meam tuæ æquiparare,
quæ
ultra omnem comparationem eruditior eſt &
magis Geo-
metrica
;
Interim ſi exiſtimes, non inutile fore demonſtrare
rationes
Phyſicas, quas hic affero, perfecte convenire
351246DE CENTRO OSCILL. tuis demonſtrationibus, idque inſervire poſſe tollendo
D
ni Bernoulli dubio, per me licet publici juris fieri has lit-
teras
, ſed ſimul peto, ut iisdem obſervationes tuas ſubjun-
gere
digneris, &
perſuaſum habeas me a judicio tuo non
provocaturum
, quod procul dubio doctum ſimul clariſſimum
&
æquiſſimum futurum eſt: ſum ex animo & c.
XII.
Obſervationes Dni Hugenii in liter as præcedentes &
in
relationem Dni Bernoulli, cujus in iis fit mentio.
Semper credidi difficile eſſe inventu centrum Oſcillationis
alia
methodo, quam quâ ipſe uſus ſum;
neminem quo-
que
vidi, qui id proſpero ſucceſſu tentârit, ſive reſpectu ſo-
lutionis
generalis, ſive in caſu pendulorum compoſitorum,
quorum
pondera ſunt in lineâ recta cum puncto ſuſpenſionis.
Hunc caſum Dnus Marchio de l’Hôpital ſibi poſt plures alias
propoſuit
, &
primus, quod vere poſſum dicere, ſperatum
ſortitus
eſt eventum;
nam Di. Walliſius, Mariotte, & Pa-
ter
Deſchales quæſiverunt tantum centrum Percuſſionis, nec
potuerunt
demonſtrare idem eſſe cum Centro Oſcillationis,
licet
id revera ita ſe habeat.
Cæterum licet demonſtratio Domini Marchionis valida ſit
&
legitima, & naturæ rei congrua videatur, multa ta-
men
continet quæ Lectorem aliquantum detinere queant;
ut, quando conſiderat quantitatem motus corporis in primo
initio
caſus, &
quum diſtinguit & dividit, reſiduum motum
corporis
A, ſcilicet quem haberet cum ſeparatim caderet,
præ
illo quem haberet, ſi deſcenderet veluti pars penduli
compoſiti
, &
tandem, quum in pendulo trium ponderum
vult
A &
B tanquam fixa conſiderari in G, centro Oſcilla-
tionis
illorum.
cum hæc omnia non ſint prorſus evidentia,
patet
viam, quam ingreſſus eſt Marchio, ſatis eſſe difficilem,
&
accuratum valde ratiocinium fuiſſe requiſitum, ne hic de-
viaretur
;
Dus Bernoulli in ſua relatione controverſiarum me
inter
&
Abbatem Catelanum, de qua in ſequentibus
352247CONTROVERSIA. quid obſervabo, eandem viam fuerat ſecutus, ſed cum nec
illam
ad finem usque ſequi potuerit, novo inde ratiocinio
ejusdem
difficultas colligitur.
Obſtrictus ſum Do. Bernoulli, quod ſemper in hac con-
troverſiâ
a meis partibus ſteterit adverſus Dum Abbatem Ca-
telanum
.
Interea non potui concipere, quo pacto, poſt-
quam
dixit propoſitionem meam fundamentalem de centro
Oſcillationis
pendere a magno illo principio, ſcilicet quod
commune
centrum gravitatis plurium ponderum non poſſit a-
ſcendere
altius per gravitatis eorum effectum, quam unde de-
ſcendit
, in ſequentibus vertat contra me quoddam ratioci-
nium
, quemadmodum ipſe confitetur, incertum, ac ſi poſ-
ſet
in dubium vocare veritatem hujus ipſius propoſitionis;
cum potius deberet concludere, ſe erraſſe in ſuo ratiocinio.
Ad id vero, quod mihi imputat, me in prima reſponſio-
ne
non refutaſſe falſum Dni Abbatis principium, idque in
ultima
non refelliſſe per cauſam ejus Phyſicam, reſpondeo me
in
prima reſponſione credidiſſe, ſufficere, ſi evidens vitium
oſtenderem
in ratiocinio, quod mihi opponitur, licet ulte-
rius
hanc materiam non examinarem;
In exceptione autem
8
.
Junii 1684. pari jure cum Dno. Bernoulli poſſem perten-
dere
me id principium refutaſſe per ſuam cauſam Phyſi-
cam
, quoniam oſtendi, repugnare illud magno principio
naturali
quod corpora gravia ſponte non poſſint aſcendere.
Credo enim, in hoc æque conſiſtere cauſam Phyſicam hujus
phænomeni
, ſcilicet quod in pendulo compoſito pondera A &

B
, cum deſcenderint junctim ad partem infimam vibrationum
ſuarum
, non acquirant ſimul tantam velocitatem, quantam
acquiſiviſſent
ſeparatim ex iisdem altitudinibus cadentia, quam
in
eo, quod pondus A conſumat partem ſui motus agendo in
punctum
fixum F, juxta demonſtrationem Dni.
Bernoulli &
D
ni Marchionis de l’Hoſpital;
Et ad hoc credendum ex eo ad-
ducor
, quod ſæpe pereat pars motus, licet hunc in aliquo affe-
ctu
edendo conſumi, affirmare non poſſumus, ut in multis caſi-
bus
percuſſionis duorum corporum durorum, juxta id quod
353248DE CENTRO OSCILL. CONTROVERSIA. ſervavi, quum in lucem ederem leges ejusmodi motuum in
diariò
Pariſienſi 1669 menſis Februarii, ita ut minime pro lege
naturæ
habendum ſit, eandem motus quantitatem ſemper con-
ſervari
, niſi alicui impendatur &
conſumatur, ſed hæc con-
ſtans
lex eſt, corpora ſervare vim ſuam adſcendentem, &
idcir-
co
ſummam quadratorum velocitatum illorum ſemper manere
eandem
;
Hoc autem non ſolum obtinet in ponderibus pen-
dulorum
, &
percuſſione corporum durorum, ut ibidem ob-
ſervavi
, ſed in multis quoque aliis mechanicis experimentis.
Demonſtraveram admittendo principium Abbatis Catelani,
vim
aſcendentem ponderum penduli augeri, &
ita commune
eorum
gravitatis centrum altius poſſe reverti quam unde de-
ſcenderat
, unde inferebam, hoc poſito inventum fore perpetu-
um
mobile.
Dus. Bernoulli non concedit hanc conſequentiam
ob
aëris obſtaculum, &
quædam alia, quæ effectum impedi-
rent
:
ſed conſiderare debuiſſet, cum altitudo illa major,
quam
acquirit centrum gravitatis, ſemper determinata ſit quan-
titas
, &
effectus obſtaculorum non ſit determinatus, imo mi-
nui
magis magisque poſſit, facile conſtrui poſſe machinam,
in
qua commodum ex elevatione centri gravitatis deriva-
tum
, præponderaret impedimento obſtaculorum;
ſed revera
i
d experiri neceſſe erit nunquam.
FINIS.
136[Figure 136]
354
[Empty page]
355137[Figure 137]Pag. 248.
TAB
. XXVIII.
Fig
. 1.
B A E D H F I G
138[Figure 138]Fig. 2.M B A E D L N H F O I G139[Figure 139]Fig. 4.O P M I B G Q N L R H A F D140[Figure 140]Fig. 5.B A D L N H I141[Figure 141]Fig. 3.a B c A C142[Figure 142]Fig. 7.D A C B E G143[Figure 143]Fig. 6.D A G B
356
[Empty page]
357
MACHINÆ
QUÆDAM
,
ET

VARIA
CIRCA

MECHANICAM.
358
[Empty page]
359 144[Figure 144]
MACHINÆ
QUÆDAM
,
ET

VARIA

CIRCA

MECHANICAM
.
I.
Excerpta ex Literis Domini Hugenii, novam quan-
dam
Inventionem Horologiorum exactiſſino-
rum
ac portatilium concernentibus.
CUm invenerim artificium diu deſideratum quo fiant
Horologia
&
exactiſſima ſimul & portatilia, credo
rem
gratam me facturum publico, ſi id communicem.
Quamobrem mitto Tibi & deſcriptionem & picturam formæ,
continentem
id quod in hoc invento habetur ſingulare, ut
inter
cæteras novitates ſcientiarum, hanc quoque poſſis in-
ſerere
, ſiquidem ita collubuerit, Ephemeridibus Tuis.
Horologia formâ modicâ ad hunc modum conſtructa,
erunt
horarum indices portatiles quam exactiſſimi, ſub ma-
jori
forma autem ubique utiliter adhibebuntur, ac ſpeciatim
in
longitudinibus terrâ marique inveniendis, ſiquidem ipſo-
rum
motus regitur à principio quodam æquabilitatis, non
aliter
ac aliorum cum pendulis, per cycloidem quippe ita cor-
rectorum
ut nullum vecturæ genus illa poſſit ſiſtere aut ſuf-
flaminare
.
360254MACHINARUM
Arcanum inventionis conſiſtit in pinna quadam ſpirali quæ
altera
ſui extremitate interiore affixa eſt haſtæ animulæ ſeu
raſtri
æquilibris, ſed majoris ac ponderoſioris quam pro ſo-
lito
, ac ſupra ſuos cardines ultro citroque mobilis;
alterâ
vero
extremitate cohæret particulæ cuidam ſupra Horologii
ſuperius
tegmen eminenti:
quæque vibrato ſemel Horologii
libramento
, ſpiras ſuas alternis comprimit ac relaxat, ac ac-
cedente
ſibi parvulo adjumento ab Horologii rotis veniente,
raſtri
, ſeu æquilibrii, motum conſervat, ita quidem, ut, licet
majores
aut minores faciat excurſus, ejus reciprocationes
tamen
una alteri ſint tempore prorſus æquales.
In figura,
11TAB.XXIX.
Fig
. 1.
ſuperius Horologii planum eſt A B, circulus æquilibrii vel
libramentum
circulare C D, hujusque axis ſeu haſta E F:
Pinna ſeu elaterium in ſpiram contortum G H M, ferrumi-
natum
ad haſtam æquilibrii in M, &
lamellam ſupra planum
Horologii
ſupremum in G, ita quidem ut ſpiræ omnes elaterii
è
duobus iſtis ſuſtentaculis in aëre ſuſpenſæ hæreant, infernè
nihil
attingentes:
N O P Q eſt quædam coronis aut fultura
in
qua vertitur alter cardo æquilibrii ſeu libramenti:
R S eſt
una
ex rotis dentatis Horologii, habens motum quendam
libratorium
ab occurrente rota proxima ſibi impreſſum.
Et
hæc
rota R S implicatur tympano T, ad axem ſeu haſtam
libramenti
firmato, cujus adeo motus hoc medio conſervatur
quantum
opus eſt.
II.
Nova Libella, Teleſcopio inſtructa, propriam ſecum
ferens
probationem, & quæ in unica ſtatione
verificatur
, & rectificatur.
Hujus inſtrumenti præcipua pars eſt Teleſcopium A B,
22TAB.XXIX.
Fig
. 2.
unius, duorum, aut plurium pedum longitudinis, pro-
ut
ab eo plures exſpectantur effectus:
ex duobus,
361255DESCRIPTIONES. convexis vitris modo ordinario, ſat ſuperque cognito, per-
ficitur
;
duo ad inverſa objecta videnda, quatuor ad ea
erigenda
inſerviunt.
Tubus ex Bractea, aut alio metallo
ad
Cylindri formam componitur, tranſitque in annulum aut
Cylindrum
minorem Cupreum C, qui ipſum in medio in-
cludit
&
illi conferuminatur. Cum annulo duo plana & ſimi-
lia
cohærent brachia D &
E, unum in ſuperiori parte, alte-
rum
in inferiori, utriusque longitudo eſt fere quartæ partis
longitudinis
Teleſcopii, adeo ut tota Machina Crucem imi-
tetur
.
In brachiorum extremitatibus duplicia fila, per parvu-
los
annulos transeuntia, &
inter laminas inſerta cum brachiis
cohærent
.
Harum laminarum altera brachio affixa eſt, dum
altera
ſeparari poteſt ut fila inter illas inſerantur.
Annulo
crux
ſuſpenditur ex hamo F, dum ope alterius annuli cruci,
uti
poſtmodum notabitur, annectitur pondus ejusdem circi-
ter
gravitatis cum illa, &
in pyxide G incluſum. Ex hac
pyxide
ſolus egreditur ponderis uncus.
Spatium in pyxide
vacuum
oleo nucum, lini, aut alio quocunque quod fri-
gore
non coaleſcit repletur, quo motus ponderis &
Teleſco-
pii
illico reprimuntur.
In interiori Teleſcopii parte filum ſericum horizontaliter
ad
vitri objectivi focum expanſum eſt, ſive unum, duo, aut
tria
adſint ocularia;
hoc filum ope cochleæ, quæ circum-
vertitur
in foramine H in Teleſcopii tubo, elevatur, &

deprimitur
.
Methodus diſponendi filum poſtea explica-
bitur
.
I levis admodum ex Cupro annulus eſt, non majoris
ponderis
, quam {1/8@} aut {1/100} partis ponderis ipſius crucis, &
qui
juxta
Teleſcopii tubum movetur, &
ubi libuerit hæret; inſuper
ſi
Crux non in æquilibrio eſt, alter annulus in interiori Tele-
ſcopii
parte ſufficientis ponderis apponitur, ut æquilibrium
detur
, id eſt, ut Teleſcopii tubus Horizonti parallelus
fiat
, in quo tamen ſumma cura haud requiritur.
Plana Crux ex ligno Machinæ ſuſpenſioni inſervit, ad
hoc
ſuperne uncus F habetur, &
in brachiorum altero furca
K
majorem Teleſcopii motum lateralem reprimens, ita ut
per
ſpatium ſemilineæ, id eſt {1/24} pollicis, tantum agitari poſſit.
362256MACHINARUM
Pyxis plumbum, & oleum continens eidem Cruci anne-
ctitur
, ad latera, &
fundum incluſa; ut autem ventus a Libel-
la
arceatur, cava crux L planæ ligneæ cruci cum duobus
aut
tribus hamis annectitur, adeo ut integra tum conficiatur
pyxis
.
Ut uſui libella accommodetur, ac rectificetur, ut dictum
ſuſpenditur
, plumbo non infernè annexo, &
in quoddam
diſtans
objectum collineatur, attendendo ad punctum quod
Horizontale
filum obtegit, filum enim diſtincte, ut obje-
ctum
ipſum obſervari poteſt.
Deinde plumbum addatur, id
eſt
annulo inferiori jungatur, ſi tum Horizontale filum eidem
objecti
puncto reſpondeat, conſtabit crucis centrum gravita-
tis
exacte dari in recta linea quæ duo ſuſpenſionis puncta
conjungit
, id eſt quæ tranſit per puncta quibus fila brachiis
annectuntur
.
Hæc eſt primaria requiſita præparatio: verum
ſi
hoc minime reperitur, res facilè perficitur ope annuli I,
obſervando
, annulum vitrum objectivum verſus promoveri
debere
, ſi Teleſcopium declinat, dum pondus annexum
eſt
;
contra retrahi debere, ſi Teleſcopium poſt annexum
pondus
elevetur.
Ubi ergo ita conſtituta eſt Machina, ut ad idem punctum
appenſo
&
ſublato pondere viſum dirigamus, invertenda eſt,
ſuſpendendo
eam ex annulo inferiori, &
plumbum brachio
alteri
annectendo;
quia citius motum ſiſtere jubet, & quia
hoc
ad reliqua quæ ſuperſunt perficienda plurimum conducit.
Quod ſi tunc filum in Teleſcopio, uti antea collineando,
punctum
idem ac in præcedenti obſervatione obtegat, pun-
ctum
hoc in eodem plano Horizontali cum centro tubi Te-
leſcopii
exiſtere certiffimum eſt, quemadmodum demonſtra-
bitur
.
Verum ſi filum punctum idem collimando non obtegat,
elevando
&
declinando filum, opecochleæ huic uſui adapta-
, eo poterit reduci, elevando nempe filum ſi ad punctum
magis
elevatum viſus dirigatur, &
contra, Teleſcopium
poſt
ſingulas fili mutationes invertendo.
His peractis Inſtrumentum perfecte erit rectificatum,
363257DESCRIPTIONES. obſtat (quod notabile eſt) ſi lentium axes non per harum
centra
transeant, aut ſi ipſæ non exacte in recta linea col-
locentur
;
& conſequenter ſecure Machinâ utemur, dummo-
do
nulla ſuperveniat mutatio;
filum namque Horizontale
cujuscunque
objecti, ad quem fiet collimatio, indicabit lo-
cum
qui eſt in eodem plano Horizontali cum centro Te-
leſcopii
;
ſi autem mutatio quædam detur, in ſingulis obſer-
vationibus
detegi poteſt, primo cum plumbo annexo, dein-
de
ſine plumbo collineando, &
tandem Teleſcopium in-
vertendo
.
Et hoc utique præcipuum eſt, quo Libella præ
cæteris
gaudet commodum, quod in uſu erroris periculum
nullum
detur.
Pes, quo Machina innitatur, eſt rotunda ferri, aut bra-
cteæ
lamella modice concava, cui annectuntur tres baculi
longitudinis
circiter trium pedum cum ſemiſſe, pyxis huic
lamellæ
impoſita hanc in tribus punctis, tangit, quare facile
movetur
, &
ita conſtituitur, juvante cavitate lamellæ, ut
plumbum
in pyxide ſua libero fruatur motu, quod videtur
trans
aperturam M in operculo ligneo.
Gravitas plumbi, ut pyxis firmiter pedi inhæreat, inſervit,
verum
ſi firmius eam ſuſtentari velimus in lamellæ cavæ me-
dio
foramen f@at.
Si totum pondus in pyxide G recludi nolumus, tertia vel
quarta
tantum pars huic includatur &
reliquum eidem ferreæ
caudæ
annectatur, ſed extra pyxidem;
primo tunc obſerva-
bitur
cum minori pondere ſolo, pyxide contento, tum cum
altero
deſuper addito, in conſtituendo filo Horizontali am-
bobus
utentum.
Hac methodo Teleſcopii agitationes promptiſſime, in
omnibus
obſervationibus quæ ad rectificandam Machinam in-
ſtituuntur
, ceſſant;
ſi autem nullum in quibusdam obſerva-
tionibus
imponatur pondus, motiones difficilius ſiſtuntur.
Uncus F, cui Libella appenditur, ſimpliciter ligneæ pla-
cruci annecti poteſt, licet hic annexus apparet annulo,
qui
ope cochleæ adhærentis annulo, quo Machina defertur,
elevari
&
deprimi poteſt.
364258MACHINARUM
Quantum hoc proſit, experitur in ipſius tranſlatione, nam
tum
crucis fila laxari queunt curando, ut ſupra furcam K, &

brachium
exiguum curvatum R, deſcendat Teleſcopium,
ne
quidem thecam ligneam aperiendo.
Ne oleum pyxide G contentum ex hac defluat, dum Li-
bella
in itineribus confertur, pyxidis hujus foramen ipſo
pondere
incluſo claudi poteſt;
curabitur ad hoc, ut pondus
illud
deſuper planum admodum ſit, &
detineatur juxta
pyxidis
operculum ope annuli cochleati S.
Tubus N, illum in magno repræſentat, cui in interiori
11TAB.XXIX.
Fig
. 3.
Teleſcopii parte Horizontale filum cohæret, continet ela-
ſtrum
O P furcæ Q annexum, cui ſericum filum cera affi-
gitur
;
hoc elaſtrum furcam ad fruſtum bracteæ T trahit,
quod
ingreditur cochlea, quæ reſpondet foramini H in tubo
Teleſcopii
, quo dato foramine etiam modice tubus N verti
poteſt
, ut filum exacte fiat Horizontale, de quo judicatur
per
Teleſcopium videndo.
Rectificationis Libellæ Demonſtratio.
Rectificationis requiſitum primum fuit hoc; ut centrum
gravitatis
ſuſpenſæ crucis in recta linea per puncta, qui-
bus
fila brachiis annectuntur, transeunte daretur.
Ut hujus
præparationis
neceſſitas concipiatur, ſciri oportet, non ſufficere
ſi
Teleſcopium ex utroque annulo ſucceſſive ſuſpenſum ad
idem
objecti punctum dirigatur, hoc enim fieri poteſt, licet
objecti
punctum multum infra, aut ſupra Horizontale pla-
num
inveniatur.
Sit A B Cylindri Teleſcopiani axis; ſit
22TAB.XXIX.
Fig
. 4.
C I ſuſpenſionis, aut nexuum filorum linea, quarum linea-
rum
longitudinum hic non habetur ratio, quoniam, cujus-
cunque
magnitudinis Teleſcopium ſit, nihil hoc ad ſuſpen-
ſi
corporis ſitum conferre, notum eſt:
ponimus A B, C I
ſe
mutuo ad angulos perfectè rectos ſecare in puncto H.
De-
ſuper
centrum gravitatis crucis in E, ponatur in axe A B,
magis
tamen verſus B, quam punctum H;
Cruce itaque ſu-
ſpenſa
in C, linea quæ a C ad centrum terræ tendit erit C
365259DESCRIPTIONES. ita ut axis A B declinaturus ſit infra Horizontale planum,
cui
C E perpendicularis eſt, &
cum quo efficiet angulum æ-
qualem
angulo H C E;
ſi vero viſus radius A B filum Hori-
zontale
, &
vitri objectivi B centrum pertranſiens continuetur
in
recta linea ad objecti punctum usque;
iſtud punctum infra
Horizontale
planum tunc eſſe futurum, evidens eſt;
In-
vertendo
interim Teleſcopium, &
hoc per I ſuſpendendo,
ita
tamen, ut extremitas B ad eandem partem remaneat, fa-
cile
patet eundem ſitum, quem ſuſpenſum per C habebat,
eum
acquirere;
quia, directionis linea denuo per pun-
ctum
E tranſibit:
igitur juxta filum Horizontale, uti antea
collineabimus
ad idem objecti punctum;
licet minime æqua
ſit
Libella.
Per primariam rectificationis partem, defectus hic detegi-
tur
, &
corrigitur: nam primo ſi gravitatis Crucis centrum
exiſtit
in H, directionis linea erit C I, &
conſtat, pon-
dere
in I annectendo, crucis ſitum non mutari;
& idcirco
per
Teleſcopium ad idem punctum, collineabimus;
ſed ſi cen-
trum
gravitatis crucis ſit in E, &
pondus in I appendatur,
extremitas
B elevabitur, &
ideo viſus per Teleſcopium ad
punctum
magis elevatum, quam ante, dirigitur.
Quod
aperte
videtur ducendo lineam I E, eamque dividendo in
K
, ita ut pars I K ſit ad K E, uti crucis pondus eſt ad
pondus
in I annexum;
nam commune centrum gravitatis erit
K
, &
C K directionis linea: & angulus K C E æqualis
erit
illi, quo elevabitur Axis A B.
Quia linea C E ſupra
C
K tali angulo elevatur, &
quia A B cum C E eundem
quem
ante efficit angulum.
Ut vero clare pateat, appendendo pondus in I ſufficienter
detegi
, an centrum gravitatis crucis detur extra ſuſpenſionis
lineam
;
dico, angulum K C E, poſito pondere appenſo æ-
quale
ponderi ipſius crucis, ſenſibiliter æquari {2/3} anguli I C E,
qui
æqualis eſt angulo quo Axis A B, &
ideo quoque Vi-
ſus
Radius, magis deprimitur verſus partem B, quam fe-
ciſſet
, ſi centrum gravitatis crucis in H fuiſſet;
nam ducendo
K
L parallelam ad E H, in duas partes æquales dividet H I, &
366260MACHINARUM H N valebit {2/3} lineæ L K, aſt L K eſt dimidium H E;
ergo H N eſt {1/3} ex H E, & N E ideo {2/3} ex H E, ſed uti
E
N eſt ad E H, ita ſenſibiliter angulus E C N eſt ad an-
gulum
E C H quia exigui ſunt, id eſt E C K ad E C I.
Cum autem angulus E C K illi æqualis eſt, quo Tele-
ſcopium
elevatur addendo pondus in I, ſequitur exiguum
pondus
P verſus H retro trahendum eſſe ut magis elevetur
Teleſcopium
, ita tamen ut prima elevatio dupla ſit ſecundæ,
quia
angulus K C E duplus eſt K C I;
& tunc directionis li-
nea
erit C I, in qua neceſſario gravitatis centrum crucis exi-
ſtet
, quandoquidem centrum gravitatis ponderis in I appen-
ſi
, in hac datur, uti &
centrum gravitatis commune ejus-
dem
ponderis &
crucis, cujus pars eſt exiguum pondus P.
Si annectendo pondus in I Teleſcopii extremitas B depri-
matur
, dimidia ſua parte augenda erit depreſſio, quod eo-
dem
modo demonſtratur.
Hæc angulorum cognitio, ad pri-
mam
Libellæ præparationem faciliorem reddendam uſu venit.
Quod aliam verificationis partem ſpectat, ubi centrum
gravitatis
crucis eſt in C I, ſuſpenſionum linea, ex ante ex-
plicatis
ſequitur, hanc lineam eſſe perpendicularem ad Ho-
rizontem
, ſive crux per C, ſive per I ſuſpendatur, &
ſive
illi
ad infra pondus annectatur, ſive crux ſola ſuſpendatur.
Tandem, poſitâ brachiorum ut & filorum æqualitate,
11TAB.XXIX.
Fig
. 5.
certiſſimum eſt, centrum Cylindri Teleſcopii, quod ſit H,
ad
eandem in utraque ſuſpenſione altitudinem dari:
ſint ita-
que
D H M, E H P, axis Cylindri in una, &
altera ſuſ-
penſione
, ponendo primo, quod differentibus gaudeat po-
ſitionibus
, ſit O objecti punctum, ad quod juxta filum Ho-
rizontale
collineamus, &
O M, O P, Radii luminis, qui a
puncto
O tendunt ad centrum aperturæ vitri objectivi, &

inde
æque ac omnes alii radii, qui a puncto O ad vitrum
objectivum
perveniunt, Horizontali filo obviam proficiſcun-
tur
, ſive filum iſtud Teleſcopii axem pertranseat, ſive non;
hoc namque per Dioptricæ leges ſequitur, cum filum pun-
ctum
O tegere videatur, &
utrumque diſtincte appareat. Ductis
lineis
rectis H O, M P, ultima parallela erit C I, quia H
367261DESCRIPTIONES. H P ſunt æquales, ac æqualiter inclinatæ ad C I. Ergo an-
guli
M, P, trianguli M H P ſunt æquales;
aſt angulos H M O,
H
P O etiam eſſe æquales certum eſt, nullo habito reſpectu
ad
id, quod radiis O M, O P intra Teleſcopium accidit,
nec
ſi vitri objectivi axis per hujus centrum transeat, id eſt,
an
maximam ſuam in centro habeat craſſitudinem.
Anguli
igitur
M, P, trianguli M O P ſimiliter æquales ſunt, &

triangulum
hoc eſt Iſosceles, uti M P H;
recta idcirco H O
ſecabit
M P ad angulos rectos;
ſed M P parallela erat C I;
O H ergo perpendicularis eſt C I, & idcirco punctum O
in
eodem plano Horizontali cum centro H Teleſcopii, quod
probandum
erat.
Si nunc centrum vitri objectivi M, P, in utroque caſu
detur
in eodem puncto ut S, recta H S perpendicularis erit
C
I, quandoquidem anguli C H S, I H S tum æquales
ſint
, propter Teleſcopii inverſionem, verum quia S O tendit
ad
idem punctum O in ambabus ſuſpenſionibus, neceſſario
erit
in eadem recta linea cum H S, ſi enim lineæ angu-
lum
conficerent, angulus iſte ſuperne in una ſuſpenſione eſ-
ſet
dum in altera ſitum contrarium haberet, ſicque juxta
filum
ad duo diſtincta puncta collinearemus, cum ad uni-
cum
punctum id fieri poſuimus;
ſed integra igitur linea O S H
eſt
perpendicularis ad C I, ideoque punctum O in eodem
datur
plano Horizontali cum puncto H.
III.
Aſtroſcopia
Compendiaria, Tubi Optici
molimine
liberata.
QUod pleriſque omnibus accidit novis inventis, ut, à par-
vis
orta initiis, cura &
tractatione hominum auctiora fiant
ac
perfectiora, id vel præcipue, in admirando illo pro-
ferendi
viſus artificio, uſu veniſſe animadvertimus.
Notum
eſt
enim quàm fuerit à prima origine tenue ac pene nihili,
cum
rudimenta ejus quædam, in Portæ Neapolitani
368262MACHINARUM obſcure expoſita conſpicerentur; quibus tantum præcelluere
noſtratium
hominum conatus, ut non ſane immerito primi
ejus
inventores haberentur.
Hos vero rurſus longiſſime præ-
vertit
Galilæus, tot tantiſque rebus, tubi ſui opera, in cæ-
lo
deprehenſis, quarum nihil quidquam ante ipſum fuerat
perceptum
.
Videbatur nihil præſtantius iis, quæ ſibi para-
verat
, organis repertum iri.
At, ſi nunc in vitam redeat,
quis
dubitet quin ſuis ipſe multo præpoſiturus ſit ea quæ de-
inde
exſtiterunt;
tum noſtra, quibus Saturni planetæ veras
figuras
annulumque primi conſpeximus;
tum magis etiam,
quæ
his ſucceſſerunt Italica, ab egregiis artificibus elaborata.
Quibus uſus Vir Clariſſimus Dominicus Caſſinus, alia in-
ſuper
nova phænomena cœlo deduxit;
planetariorum glo-
borum
in ſeſe revolutiones, comiteſque Saturni duos, præ-
ter
eum quem nos repereramus, reliquis manifeſtiorem.
Quod ſi attendamus quibus acceſſionibus in tantum hæc ars
continue
creverit, nihil aliud reperiemus niſi auctam tubo-
rum
longitudinem, lenteſque, quas vocant, vitreas in ſphæ-
majoris convexitatem diligentius conformatas.
Etſi enim
modos
quoſdam alios, compendiaque inveſtigaverint viri ſub-
tiliſſimi
;
jam conicarum ſectionum præſcriptis figuris, quæ
vitro
inducerentur;
jam ſpeculorum reflexionibus radios lu-
cis
colligendo;
certum eſt hæc omnia vel fruſtra fuiſſe, vel
votis
&
expectatione longe minora, ob cauſas quas expo-
nere
non eſt hujus loci;
unamque adeo rationem, qua profi-
ceretur
, hactenus eſſe relictam, tuborum productionem.
Et
ſane
, quanto magis rei ipſius naturam intueor, tanto pro-
pius
eſt ut exiſtimem, nihil alia via ne impoſterum quidem
eſſe
ſperandum.
Optime igitur operam ſuam ij collocaſſe videntur, qui pa-
randis
tubi majoris lentibus incubuerunt.
Quorum diligentiæ
ſucceſſus
hac in parte non defuit.
Sed aliunde non exiguum
oblatum
fuit incommodum, nimia, tuborum longiorum gra-
vitas
ac moles;
quibus movendis neceſſario machinæ in auxi-
lium
advocandæ fuerunt.
vero & in iis quæ nunc extant,
pedum
triginta aut quadraginta, longitudinibus difficile
369
[Empty page]
370145[Figure 145]Pag. 262.
TAB
.XXIX.
Fig
. 1.
P E O D C Q H M G N B S R T F
146[Figure 146]Fig. 4.C A H N E P B L K I147[Figure 147]Fig. 3.N Q O P T148[Figure 148]Fig. 2.F D I C A B H K E R S G149[Figure 149]Fig. 5.L M C M E H O D P I
371
[Empty page]
372263DESCRIPTIONES. ſtruuntur tractanturque; & , ſi ulterius progrediendum ſit,
multo
plus exhibituræ ſint negotii.
Adeo ut hic velut obex
quidam
fixus fuiſſe videatur ad majora tendentibus.
Quare
rem
inprimis gratam me facturum arbitror hæc ſtudia colen-
tibus
, ſyderumque obſervationi intentis, ſi, quod nuper in-
veni
, oſtendero qua ratione impedimentum illud omne ac
tædium
tollatur;
magnoque temporis, operæ & ſumptuum
compendio
, maxima quæque teleſcopia ad hæc ſpectacula
adhibeantur
.
Scio inter cætera quæ in hunc finem propoſita
fuere
, hoc quoque, quod hic adferimus, aliis in mentem
jam
à multis annis veniſſe, ut ſine tubo lentes diſponerentur;
ſed quod volebant efficere eos nequiiſſe, niſi machinatione
quadam
difficili nimium, quæque propterea adhuc exitum
non
habuerit.
Nos autem quæ docebimus, reipſa utilia eſſe
invenimus
, idque magno commodo noſtro quotidie experi-
mur
.
Ea vero ſic ſe habent.
Loco patente & undique aperto, malus in terram defigi-
tur
, ad perpendiculum erectus.
Noſter, quo primum uſi ſu-
mus
, pedum quinquaginta altitudinem habebat;
teleſcopiis
nempe
pedum 70 &
amplius ſuffecturus, quanquam non in
omni
ſyderum ſupra horizontem aſcenſu.
Deberet enim non
multo
infra totam teleſcopii longitudinem produci.
Hujus,
priuſquam
erigatur, latus unum dolabra complanatur at-
que
ibi regulæ binæ affiguntur inter ſe parallelæ, ac ſeſqui-
pollice
diſtantes, itaque canalem efficientes, interius paulo
latiorem
, qui à ſummo malo ad imum fere pertingat, reli-
quis
tantum pedibus tribus vacuis.
Præterea in ipſo mali ca-
cumine
, orbiculus imponitur, circum axem mobilis, inque
eum
funis ducitur dupla mali longitudine, craſſitudine mi-
nimi
digiti dimidia.
Utque eo, ſi forte opusſit, aſcendi poſ-
ſit
, triangula lignea æqualibus ſpatiis defiguntur, quibus
ſcandentis
pedes inſiſtant.
Ita demum paratus malus erigitur,
parte
ea, qua terra tegendus, illita pice, circumdataque
arena
, quo minus putredine corrumpatur.
Uſus mali eſt,
ut
lens major ejus opera in altum tollatur quouſque opus eſt;
quod fit hoc modo.
373264MACHINARUM
Aſſerculus bipedalis uno latere ita inciditur, ut intra cana-
lem
, quem diximus, liberrime moveri queat.
Hujus medio
affigitur
brachium itidem ligneum, pedem unum à malo ex-
ſtans
, cujus in extremo aliud ſesquipedale, media item ſui
parte
, conjungitur rectis angulis.
Utrumque vero Horizon-
ti
parallelum extenditur.
Huic tranſverſo brachio lens impo-
nitur
ea qua dicemus ratione, atque omnia ſurſum adducuntur,
adnexis
aſſerculi extremis ad funem ante demonſtratum;
qui
ab
imo malo ad ſummum aſcendens, ac ſuper orbiculum trans-
iens
, inde deſcendit rurſus ac, priuſquam terram attingat,
in
ſui ipſius caput alterum innectitur.
Habet autem funis is
adjectum
plumbum, pondere æquali quantum eſt brachii mo-
bilis
cum lente impoſita;
eoque loco deligatum, ut ad ſum-
mum
malum pertingat, cum lens in imo conſiſtit.
Ita hæc
facillime
ad eam quæ requiritur altitudinem erigitur &
, omiſ-
ſo
fune, ſponte ibi ſuſpenſa manet.
Forma plumbi parte u-
traque
in coni apicem deſinit, ne obhæreat ad triangula quæ
per
malum defixa diximus.
Cæterum lens hæc teleſcopii major collocatur aptaturque
hoc
modo.
Primum in annulum ſeu cylindrum cavum, è
ferri
bractea fabricatum, ipſa includitur, longum digitos
quaternos
.
Huic cylindro, ſive alteri potius in quem hic in-
ſeritur
, bacillus pedalis, digiti craſſitudine, extrinſecus ſe-
cundum
latus affigitur, totus in partem unam prominens.
Hæc omnia globulo æneo inſiſtunt, avellanæ nucis magni-
tudine
, qui bacillo cohæret, inque ſubjecto ſui moduli ca-
vo
liberrime volvitur;
ita tamen ut excidere nequeat. Ca-
vum
partibus duabus conſtat, quæ, ſuper pediculo tereti,
cochlea
junguntur adſtringunturque, ſed ita ut globulum ni-
hil
prorſus premant.
Lens igitur, cum bacillo ſibi adfixo,
hoc
modo mobilis efficitur.
Quæ porro ut æqualiter librata
conſiſtat
, pondus unius libræ circiter infra bacillum appen-
ditur
, filo æneo craſſiore ſemipedali conjunctum atque infi-
xum
.
Cujus flexu facile ita pondus temperatur, ut centrum
commune
, ſuæ lentisque gravitatis, cum centro Sphærulæ
conveniat
, atque hoc pacto quocunque poſitu lens
374265DESCRIPTIONES. maneat, attactuque leviſſimo moveatur. Qua in re potiſſima
verſatur
inventi pars.
Pede enim globuli in foramen transverſi
brachii
, quod ſupra deſignavimus, immiſſo, (duo autem vel
plura
ejusmodi foramina fiunt, ut in omnem cæli partem
commode
lens obverti poſſit) filum vel funiculus tenuiſſi-
mus
bacillo, ſive caudæ extremæ, illigatur;
juncturus nem-
pe
lentem majorem cum ea quæ oculo proxima ponitur, ac
proinde
futuri teleſcopii longitudinem æquans, vel potius
paulo
excedens.
Hinc, ubi ſublata ad malum fuerit lens,
quocunque
id filum, manu leviter tractum, circumferetur,
lentem
una movebit, eamque hoc modo ad aſtrum quodcun-
que
recta opponet.
Quod certe absque hoc libramento fieri
non
poſſet.
Cæterum ut extento filo cauda ſeu bacillus,
quem
lenti adpoſuimus, parallelus fiat, quod omnino neceſ-
ſe
eſt, inſigitur parti ejus extremæ ſtylus æreus digiti longi-
tudine
, cui deorſum flexo, donec cuſpide ſua tantundem ac
centrum
globuli infra bacillum deſcendat, ita demum filum,
quod
diximus, adnectitur.
Cur autem ſtylo flexili hic uta-
mur
poſtea dicetur.
Jam vero & de oculari lente explicandum, quomodo cum
priore
componatur;
quod multis verbis non indiget, ſiqui-
dem
eadem fere omnia, quæ in majori lente, obſervanda ſunt.
Similiter enim tubo, ſeu cylindro brevi, hæc quoque in-
cluditur
;
item bacillo ſeu caudæ conjungitur; quæ porro
globulum
ſuum cui innitatur habet.
Sed hujus loco axiculus
transverſus
adhiberi poteſt.
Infra bacillum vero pondus exi-
guum
rurſus appenditur, quanto opus eſt ad faciendum li-
bramentum
.
Porro capulus, globulum vel axiculum ferens,
manu
obſervatoris apprehenditur;
bacillus lentem majorem
ſublime
poſitam verſus, directus eſt, filo eidem, quod
inde
deſcendit, illigatus.
Adducta vero manu, contento-
que
leviter filo, parallelas inter ſe fieri lentes perſpicuum eſt.

At
non eodem modo, bacilli hujus extrema parte, filum ad-
nectitur
, ac ſuperiori illi, qui lentem majorem dirigit, ſed
per
foramen trajectum, inde verticillo involvitur, cujusmo-
di
ſunt quibus teſtudinum chordas intendunt;
qui
375266MACHINARUM medio bacillo à latere infixus eſt. Hujus converſione, inter
obſervandum
, fili longitudo producitur contrahiturve, do-
nec
intervallum inter lentem utramque, oculo ſpectatoris
exacte
conveniat, poſtquam antea prope verum fuerit reper-
tum
, quod eſt facillimum.
Cæterum, quo poſſit obſervator immotam detinere lentem
11Vide Aucta-
@um
. p@g.
274
.
ſibi proximam, quod apprime neceſſe eſt, fulcrum quoddam
præſto
eſt è levi materia compactum, duobus pedibus inſi-
ſtens
, ac ſuperiori parte transverſum habens baculum, cui
brachia
utraque, ſive ſtantis ſive ſedentis, innitantur;
dum
altera
manus, quomodo diximus, lentem ſuſtinet.
Multoque
expeditior
eſt hæc ratio, atque ad uſum accommodatior,
quam
ſi tertius pes fulcro accedat, inque ipſum lens ocula-
ris
imponatur.
Ut vero noctu, atque in tenebris, ſtellæ quævis teleſco-
pio
noſtro facile reperiantur, lumine utimur laternæ incluſo,
quales
jam vulgo notæ ſunt, vitri convexi vel ſpeculi opera
longe
lucem projicientes.
Hujus radiis ad malum lentemque
in
eo hærentem directis, ubi circulus ipſam continens con-
ſpectus
fuerit, facile eo transfertur viſus, ut ſtella ipſi me-
dia
lente tegatur, ſimulque admota lente minori, per u-
tramque
ſe ſpectandam præbeat.
Ac ſane multo citius hoc per-
agitur
, quam factum ſit hactenus teleſcopiis tubo inſtructis.
Adeo ut hoc quoque nomine longe præſtet nova hæc obſer-
vandi
ratio.
Lunam vero contemplari volentibus, lucerna ni-
hil
opus eſt, quod ipſius aſtri luce lens conſpici poſſit.
Sed
hic
ob diſci lunaris amplitudinem;
ne partem quampiam in-
tuenti
, ab alia parte lux, aliaque via quam per majorem
lentem
, ad oculum accidat;
circulus papyraceus lenti huic
circumponitur
, paulo majore quam dupla diametro ad eum
quo
tota Luna tegeretur.
Quod niſi fiat, dilutiores apparent
umbræ
tractuſque ii qui, cæteris obſcuriores, in ejus globo
conſpici
ſolent.
Atque ita jam teleſcopii noſtri aërii ratio-
nem
omnem &
apparatum explicuimus, non ſane operoſum;
filoque
illo, velut Ariadnæo, unde hactenus inventus non
erat
, exitum reperimus.
376267DESCRIPTIONES.
Cæterum quo clarius ea, quæ diximus, intelligantur,
delineationem
hic ſubjicimus, in qua
Malus eſt, a b.
11TAB.XXX.
Aſſerculus in canali mobilis, c d.
Brachium ipſi ad angulos rectos infixum, e.
Baculus tranſverſus in quem lens imponitur, f f.
Funis in ſe rediens, g g.
Plumbum funi innexum, h.
Orbiculus in ſummo malo, a.
Cylindrus cavus lentem primariam continens, i.
Bacillus cylindro affixus, k l.
Globulus æneus bacillo hærens & in ſubjecto cavo volubilis, m.
Plumbum filo æneo junctum, n.
Stylus brevis ac flexilis, extremo bacillo inſertus, l.
Tubulus minorem ſeu ocularem lentem ferens, o.
Bacillus tubulo affixus, p.
Axiculus mobilis, q.
Capulus manu tenendus, r.
Glans plumbea, ſ.
Verticillus cui filum involvitur, t.
Pinnulæ decuſſatim poſitæ, atque ita foramen efficientes quo filum
trajicitur
, u.
Filum tenue bombycinum, l u.
Fulcrum cui ſpectator innititur, x.
Laterna, y.
Triangula per malum diſpoſita, quibus conſcendi poſſit,
omiſſa
ſunt, ne figuram obſcuriorem redderent.
Supereſt ut nonnulla, quæ fortaſſe nondum expertis ſcru-
pulum
injicere poſſent, paulo accuratius examinemus.
Vere-
buntur
primum ne, ſubſidente filo quod ad utramque len-
tem
pertingit, flexus ejus, quanquam exiguus, in magnis
tamen
illis, pedum centum aut ducentorum, longitudinibus
impediat
poſitum earum parallelum.
Et profecto, ſi fune
graviore
opus foret, non parum noceret curvatura ejus,
nullaque
fere tendendi vehementia ſuperari poſſet hoc incom-
modum
.
Nunc verò, ſuſpenſa librataque lente majori ut à
377268MACHINARUM bis factum eſt, leviſſimi tantum fili bombycini tractueam di-
rigimus
;
cujus pondus in pedes quinquaginta ſemidrachmam
non
ſuperat;
quodque idem appenſas libras ſeptem ſuſtinet
priuſquam
rumpatur.
Quare flexus ejus neque in hac, ne-
que
in multo majori lentium diſtantia quidquam officit, etſi
non
niſi modica vi trahatur, duabus tribuſve æquipollente li-
bris
;
utique cum geometrica perfectio nequaquam hic requi-
ratur
, ut cuilibet experto notum.
Etenim certum eſt eadem ratione, qua funis fune levior eſt,
vim
tenſionis diminui, qua utrumque ad rectam lineam æqua-
liter
accedat.
Ut proinde funiculus quinquaginta pedes lon-
gus
, atque unciam pendens, vi librarum quadraginta octo o-
pus
habeat, ubi filum noſtrum, longitudine pari, non niſi tri-
bus
libris indigebit.
Atque hoc per ſe clarius eſt quam ut
demonſtratione
comprobetur.
Idem enim eſt prorſus cum
ſexdecim
funiculi ſemidrachmales trahuntur ſinguli trium li-
brarum
pondere, atque cum uncialem funiculum ſimul com-
ponentes
, is à conjunctis itidem ſexdecies ternis libris conten-
ditur
.
Sed ulterius quoque hæc, quæ ad fili flexum attinent,
geometriæ
rationibus, experimentiſque expendi poſſunt.
Nempe contentum ſilum, flexu illo exiguo, parabolicam li-
neam
tam prope exprimit, ut pro vera abſque errore habea-
tur
.
Cujus parabolæ profunditatem, in longitudine pedum
centum
quinquaginta, invenimus pedis unius circiter quar-
tam
partem;
cum filum horizonti parallelum tenderetur, nec
11TAB.XXXI.
Fig
. 1.
niſi vi librarum duarum &
ſemis. Sit fili parabola a b c, pro-
funditas
ejus d b, ducta nimirum recta a d c.
Porro tangant
parabolam
rectæ a e, c f:
quibus occurrant c e, a f, paral-
lelæ
d b.
Intuenti igitur ex a puncto, ſecundum rectam a e,
notatum
fuit ſpatium c e fieri pedis unius;
unde fit d b pe-
dis
quarta pars.
Ipſi vero c e æquale eſt a f. Itaque lentem
in
c poſitam ita trahit filum c b a, ut non ad oculum, qui
eſt
in a, ſed ad f punctum directe oppoſita ſit.
Ut proinde
pedis
unius intervallo à vero loco oculus abſit:
quod in illa
pedum
150 diſtantia nihil obeſſe poteſt.
Fit enim
378
[Empty page]
379150[Figure 150]Pag. 268.
TAB
. XXX.
a a I L K M g N l O c k P Q T S Q V T S R f f e n l d h g b
380
[Empty page]
381269DESCRIPTIONES. deflexionis c a e vel a c f tantum duarum quintarum unius
gradus
;
adeo ut remedio, quod tamen dabimus, non ſit
opus
.
Sumpta autem g h diſtantia prioris dupla, ſeu pe-
dum
trecentorum, ut filum incurvum ſit g b h, erit cavita-
tis
menſura k b, prioris d b quadrupla quidem, ſed angulus
deflexionis
tantummodo duplus, hoc eſt, {4/5} unius gradus;
ut facile perſpicitur, ducta tangente g l, quæ cum perpen-
diculari
h l conveniat.
Ipſa enim h l quadrupla erit ad k b
ſive
c e;
diſtantia vero g h ad a c erat dupla. Quare angu-
lus
deflexionis h g l, antea inventi c a e, duplus cenſeri po-
teſt
.
Hæc verò ſcrupulorum 48, aberratio nullius adhuc mo-
menti
eſt, neque neglecta nocebit.
Attamen, quo minus
cauſandi
locus hic ſuperſit, oſtendam jam quænam adhiberi
poſſit
correctio, atque ejusmodi quidem ut, una opera,
omnem
aliam lentis declinationem reſtituat.
Igitur ſemel ab initio, ad ſuperiorem lentis magnæ præ-
parationem
, hoc quod dicemus, adjungatur.
Nempe lente
quemadmodum
præcepimus librata, atque ad oculi altitudi-
nem
defixa, filum caudæ adnexum manu altera capiatur,
eaque
oculo admoveatur;
altera lucernam juxta teneat.
Tum paulatim recedendo, extentumque filum producendo,
obſervetur
an duplex flammæ imago circa mediam lentem
appareat
, ab utraque nimirum ſuperficie ejus reflexa.
Id ſi
contingat
ubi jam tota fili longitudo exierit, quanta nimi-
rum
futuro teleſcopio debetur, indicio eſt rectiſſime lentem
ad
oculum converti.
Quod ſi altera tantum flammæ reflexio
conſpiciatur
, male collocata erit, ſin neutra, pejus.
Hic ve-
ro
jam remedium adhibebitur, ubi cognitum fuerit in quam
partem
lens declinet.
Stylus enim æneus extremæ caudæ ad-
jectus
, filumque innexum habens, in partem eandem pa-
rumper
flectendus eſt;
ac rurſus, ut ante, lucernæ reflexio
tentanda
;
idque ita repetitis vicibus faciendum, quoad u-
traque
flammulæ imago in unum convenire conſpiciatur.

Tenſione
autem fili utendum mediocri, qualem ſupra defi-
nivimus
, duarum aut trium librarum vim referente,
382270MACHINARUM quatenus licet adſueſcendum. Hoc modo correcta ſemel len-
tis
poſitio ad omnes obſervationes valebit.
Neque hic ſubti-
liter
nimium objiciat quiſquam quod obliquo fili aſcenſu,
cum
ad aſtra dirigitur, paulo minor efficitur flexus ejus à
gravitate
ortus, quam cum filum idem horizonti parallelum
extenditur
.
Eſt enim differentia hæc perexigua, præſertim
in
tanta fili levitate;
& lentium paralleliſmus, ut jam dixi-
mus
, ad geometriæ leges exactus non requiritur.
Multo magis ventus obeſſe dicendus foret, filum ſinuans
atque
in latus impellens, præſertim in magnis, quas dixi-
mus
, longitudinibus;
niſi quod tubis quoque idem ventus
adverſus
eſt, qui concuſſu ejus tremunt ac vacillant, magno
ſpectantis
incommodo;
ut propterea ſæpe obſervationibus
ſuperſedendum
fuerit.
Sed quo æquiore animo hæc diſpen-
dia
feramus, ſciendum eſt, flantibus ventis, ſemper fere
aëris
pelluciditatem adeo turbari, etiamſi ſerenus videatur,
ut
hoc uno omnis teleſcopiorum proſpectus impediatur;
quod exercitatis ignotum eſſe nequit. Imo & tranquillo in-
terdum
ac prorſus ſereno cœlo, ſcintillantibus cum maxime
ſideribus
, fruſtra tamen teleſcopia adhibentur;
humido vapo-
re
quodam aërem obſidente, quo fit ut ad Planetarum corpo-
ra
reſpicienti, undatio quædam tremula &
fluctuans omnem
viſus
aciem intercipiat.
Poſſetque, ubi hoc accidit, ipſa len-
tium
bonitas ſuſpecta eſſe, niſi alio tempore ac puriore cœlo
fuiſſet
cognita.
Idem vapor, ut hoc quoque obiter admo-
neam
, non raro, lenti majori adhæreſcens, radiorum lucis
partem
avertit:
cui malo, calefacto modice ad ignem vitro,
occurritur
.
Videamus nunc & illud quod de illuſtranda lente eadem
diximus
ad malum ſubrecta.
Quæ ſi valde procul diſtet,
puta
ad ducentorum &
amplius pedum intervallum, vix vi-
detur
tantum luminis, ut ab obſervatore cerni poſſit, acce-
ptura
, etiamſi lucerna convexo vitreo juvetur, uti præcepi-
mus
.
Sed hic intendere amplius lumen licebit, vel aucto lu-
cernæ
ipſius ellychnio, vel latiori lente adhibita leniusque
convexa
, quæ lucem transmiſſam, etiamſi pari
383271DESCRIPTIONES. accipiat, minus tamen diffundet, longiusque proinde ejacu-
labitur
.
Quantum igitur ad hæc attinet, nihil admodum referre
liquet
quænam fuerit teleſcopii longitudo, ſed æque facile
qualiacunque
in uſum deduci.
Aliquod tantum diſcrimen in
varia
mali altitudine poſitum eſſe.
Cujus quidem parandæ
plures
modi ſuppetunt.
Poſſumus enim, uno ſtatuto malo,
alium
ejus opera duplo altiorem juxta attollere, ac ſimul fir-
miorem
reddere, transverſis fibulis utrumque conſerendo.
Ac firmiſſima quidem fuerit compages hujusmodi, ſi duo
mali
humiliores, cum tertio duplæ altitudinis, binis ternis-
ve
pedibus inter ſe diſtent, in triangulum diſpoſiti, atque
uti
diximus religati.
Qua ratione facile ad centum pedum
altitudinem
perveniemus.
Ad multo majores vero, vel vali-
diori
malorum ac trabium ſubſtructione utendo, vel ad tur-
rim
aut ædificii altioris angulum inferiora ligna applicando;

ita
ut nihil tamen obſtet, quo minus, ab imo ad ſummum,
lens
primaria adducatur, per continuum canaliculum, uti
diximus
, aſcendens.
Sed & ſuper turri aut domus culmine
erigi
malus poteſt, ut ibi adſtet is cui funis cura demandata
eſt
, ad evehendam demittendamve lentem.
Nec vero præpropera aut ſupervacua cura hæc à nobis a-
gitari
quis putet, quod veriſimile non ſit his altitudinibus
opus
fore.
Ecce enim, dum hæc ſcribo, Caſſini literis certior
fio
, lentes quatuor, quarum maxima teleſcopio pedum cen-
tum
quadraginta deſtinata ſit, à Joſepho Campano, eaſque
præſtantiſſimas
Romæ eſſe perfectas, &
ad magnum Galliæ
Regem
miſſas.
Etſi enim ad cœleſtium obſervationem non-
dum
fuere admotæ, non dubitandum tamen interdiu inſtitu-
tum
fuiſſe earum examen, in atriis porticibuſve prælongis
unde
lux excluſa eſſet.
Nunc vero, hoc noſtro invento, uti-
litas
ſua tum his lentibus, tum ſi quæ has longitudine exce-
dentes
prodeant, conſtabit.
Quod ſi cogitemus quibus modis teleſcopiorum efficaciam
alii
augere ſtuduerint;
quæ fruſtra illi quæſiverunt, ea nos
levi
hac opera conſecutos eſſe videri poſſit.
Sive enim
384272MACHINARUM ris lentium hyperbolicis ellipticiſve, ut Carteſius, ſive ſpe-
culis
cavis, ut Neutonus, ſive alia quavis ratione id aggreſſi
ſint
, huc omnia redibant ut brevioribus teleſcopiis, ac mi-
nori
molimine uſurpandis, multum amplificarentur res viſæ.
Nam neque accurata illa ac ſcrupuloſa ſuperficierum forma-
tio
devitari poterat, neque etiam lentium ſpeculorumve
magnitudo
.
quoniam obſcuritate nimia, quicquid machinati
fuerimus
, inutile reddi neceſſe eſt, niſi pro ratione perce-
pti
augmenti creſcant aperturæ quibus primum lux ſubintrat.

Nos
vero longitudines quidem non imminuimus, ſed ne obeſ-
ſent
effecimus, quod fere eodem redit.
Si quis vero jam requirat quouſque & quo operæ pretio
extendi
porro teleſcopia poſſe exiſtimem, &
num productis
longe
ultra modum eorum quæ paulo ante diximus, ſpe-
randum
ſit adhuc decuplo propius ad lunam cæteraque
aſtra
nos acceſſuros, quam quo triginta pedes habentibus pro-
ceſſimus
;
quibus tanti itineris partes centum quadraginta
novem
, una duntaxat reliqua, confectæ ſunt:
reſpondebo
me
certos quidem arti terminos præfinire non poſſe;
huc ta-
men
, quo dixi, nec maximo hominum conatu perventum
iri
.
multoque minus futurum, quod aliqui videntur non de-
ſperaſſe
, ut lunam ac Planetas cæteros velut è propinquo
inſpiciamus
, &
utrum animalibus habitentur, an præter
vaſtas
ſolitudines nihil habeant, viſu penetremus.
Primum
enim
, in parandis lentibus, ſcio quantopere creſcat cum ma-
gnitudine
formandi difficultas;
ipſiusque inveniendi vitri
quod
vitiis iis careat, quæ maxime huic operi infeſta ſunt.
Quanto enim ulterius radii colligentur, tanto magis hæc vi-
tia
ſe prodant neceſſe eſt.
Conſtat præterea, ut jam iſta ni-
hil
obſtent, non amplificari res viſas, niſi pro ratione diame-
trorum
aperturæ lentis exterioris.
Quæ diametri nequaquam
creſcunt
cum teleſcopiorum longitudine;
ſed, quantum vi-
deo
, rationem longitudinum ſubduplam ſequuntur.
Adeo
ut
data apertura pollicum trium, in teleſcopio triginta pe-
des
longo;
quantam circiter experientia concedi ſinit; alia,
ad
trecentos pedes, non niſi novem unciarum &
ſemis
385273DESCRIPTIONES. ſutura, ac propterea tantum triplo majora fere omnia ſint
apparitura
, prægrandi hoc teleſcopio, quam illo pedum
tricenum
.
At ſi decuplo exceſſu idem ſuperandum ſit, jam
ter
mille pedum longitudine opus erit, quo quidem nulla
humana
ope perveniri poſſe, vel ſolius altitudinis cauſa,
manifeſtum
eſt.
Sane majores multo forent, & majori proportione creſce-
rent
, , quas diximus, aperturæ, ſi nihil aliud obſtaret
quam
figuræ ſphæricæ parum idonea, in colligendis radiis,
curvatura
.
Nunc vero alia quædam, ex ipſa refractionis na-
tura
, oritur radiorum aberratio, quam ante annos aliquot
Neutonus
egregiis quibusdam experimentis &
priſmatum
vitreorum
coloribus comprobavit.
Hæc vero & ipſa leges
ſuas
habet, quibus, ſi recte eas perſpicio, ſubdupla illa,
quam
dixi, aperturarum ad longitudines ratio colligitur.
AUCTARIUM.
VIdebatur jam perfecta abſolutaque omnibas numeris nova
Aſtroſcopia
noſtra;
typisque excuſa, nondum tamen edita
erat
;
cum ſecundis cogitationibus, ut fit, alia quædam nobis
in
mentem venere, quibus ea melior commodiorque fieret.
Quæ
cum
auctarii vice hic adponere viſum ſit, ſimul hoc monemus,
ut
, ſicut poſterius reperta fuere, ita ultimo loco, poſtquam
reliqua
deſcriptio ac delineatio percepta fuerit, legantur.
Cum primum ſpectatores invento noſtro, ac Planetis na-
cti
ſumus, teleſcopicis obſervationibus minus aſſuetos, docuit
experientia
, eos quidem per ſe difficilius ſtellæ conſpectum
conſequi
;
ſicut antehac quoque, ubi in grandiores tubos
inciderant
, eveniebat.
Quod autem hic fieri ſolitum, ut, re-
perto
prius ſidere, ac manente tubo, tantummodo oculum
ei
ſpectator juſſus admoveret, id non perinde nobis nunc
imitari
licebat;
cum lens oculo proxima, ubi defigeretur,
non
haberet.
Itaque hic quoque ratio fuit excogitanda, qua
poſitum
ſuum ſervaret ocularis lens.
Quod quidem
386274MACHINARUM mus machinæ exiguæ opera, quæ fulcro bipedi, in deſcri-
ptione
deſignato affigitur;
ut in figura adjecta videre eſt.
Tranſverſarii namque in ſummo fulcro pars eſt a a. Rhom-
bus
plicatilis ex ære b b, binis lateribus ad duplam longitu-
11TAB.XXXI.
Fig
. 2.
dinem productis.
Longitudo laterum pollices 5 {1/2}, latitudo
paulo
major pollice dimidio;
craſſitudo parte ejus decima.
Hunc rhombum tranſverſarii medio applicitum tenet cochlea
ferrea
f, ſuppoſita æris vel ferri particulâ g, ac præterea or-
biculo
ex ære tenui, leniter convexo, cujus preſſu lentus æ-
quabiliſque
efficitur motus rhombi ac diductio.
Porro ex an-
gulo
ejus ſuperiore, axis ſeu columella prominet c, per-
pendiculariter
inſiſtens, longitudine ſesqui pollicis.
Cujus
capite
altero lamella mobilis adhæret, 4.
pollices longa, di-
midium
lata;
quæ hic conſpici nequit, quippe tecta capulo
ligneo
d, paris longitudinis, cui conſerta eſt.
Huic demum
capulo
, plano ac parte anteriori leviter inciſo, inſeritur la-
mella
altera ænea e, quæ ſuper axiculo mobili bacillum ſu-
ſtinet
, cum affixa oculari lente, tubulo ſuo incluſa.
Ut au-
tem
thombus cum impoſito onere æqualiter libretur ſuper
axe
f, adjiciuntur in productis lateribus extremis pondera
paria
h h, quantis ad hoc opus eſt.
Quibus ita ſe habentibus, quocumque perducta fuerit ob-
fervantis
manu lens ocularis, capulo d ſemper deorſum con-
verſo
, ibi ſponte ſua conſiſtit;
atque ita, invento ſidere,
facile
imperitior ſpectator in prioris locum ſuccedit, eodem-
que
fruitur ſpectaculo.
Facit enim funiculus utramque len-
tem
conjungens, ut poſitum ſuum fulcrum ſervet, ſpecta-
torem
verſus reclinans, etſi duobus tantum pedibus inſiſtat;
ſimulque fulcri pondere, eorumque quæ ipſi impoſita do-
cuimus
, idem funiculus intenditur;
adeo ut nihil aptius com-
modiusve
hac in re optari queat.
Altitudo fulcri eſt pedum 4. poll. 9. Gravitas ejus libra-
tum
2 {3/4}.
Lentis ocularis, cum tubulo & bacillo, gravitas libra
dimidia
.
Rhombi cum ponderibus h h, libræ 2 {1/4}. Quæ pro-
ptetea
adſcribo, ut conſtructionem noſtram, experientia
comprobatam
, eo facilius cuivis imitari liceat.
387275DESCRIPTIONES.
Nunc vero aliud præterea addemus, quo perfectior evadat
hæc
noſtra obſervandi ratio.
quod licet, omiſſum, nihil
plerumque
noceret, curioſo tamen ſyderum inſpectori ne-
quaquam
eſt negligendum.
Nempe cum Saturni comites il-
los
Caſſinianos diligentius requirerem, eoſque difficulter ad-
ſequerer
, præſertim noctibus non admodum obſcuris, intel-
lexi
in cauſa eſſe lucem tenuem quandam, ab aëre ad ocu-
lum
manantem;
non eam quæ per lentem majorem advenit,
ſed
quæ extrinſecus circum latera præterlabitur.
Huic impor-
tunæ
luculæ excludendæ, nonnihil quidem conducere ſcie-
bam
, ſi circulum illum papyraceum, quo in luna obſervan-
da
utebar, etiam hic lenti majori circumponerem.
Sed aliud
efficacius
remedium, circa hæc occupato incidit, priori il-
li
jungendum;
ut nempe, perforatæ laminæ oppoſitu, ocu-
li
pupilla arctaretur, quæ alioqui per tenebras late patere ſo-
let
.
Cujus ſimul ac experimentum feci, jam clare tres Satur-
ni
Lunulas conſpexi;
cum amoto exiguo foramine media il-
la
noſtra tantum cerneretur.
Quia vero, ita reductâ pupil-
, minus facile propoſitum ſydus inveſtigatur, quam cum
tota
patet, idcirco orbiculum illum perforatum, ac ſemipol-
licem
latum, brachiolo quodam mobili, ac Græco Λ hæren-
tem
ſimili, cui in figura hac adſcriptum eſt k, ita conjun-
ximus
tubuli fundo per quem lens ocularis inſpicitur, qui-
que
latiori foramine pervius eſt, ut non ante quam hoc fora-
mine
ſydus inventum fuerit, ſuperinducatur alterum illud an-
guſtius
.
Credidiſſet fortaſſe aliquis hac oculi contractione non pa-
rum
viſum obſcurari.
cum tamen certum ſit, ſi diameter exi-
gui
foraminis, ad diametrum aperturæ lentis majoris eam ra-
tionem
habeat, quam habent inter ſe focorum utriuſque diſtan-
tiæ
, nihilo obſcurius teleſcopio ejuſmodi omnia cerni, quam
ſi
apertus ac liber oculus relinquatur.
Sed præſtat duplicare
tantillam
hanc latitudinem, vel paulo etiam augere ampli-
us
, quo minus difficilis ſit rei videndæ inquiſitio, nec ni-
mium
cito inventa ſtella elabatur, ob mundi converſionem
diurnam
.
Nobis in teleſcopio 34 pedes longo, foraminuli
388276MACHINARUM meter decimam ſextam circiter pollicis partem habet. Ipſum
vero
duos pollices cum dimidio ab oculari lente abeſt, quan-
ta
eſt præciſe in hac lente foci diſtantia.
Quod diligenter cu-
randum
, quia alias non poterit amplum ſpatium, ut ſolet,
uno
obtutu comprehendi.
Facile autem deltoidis brachii fle-
xu
, qui quidem in ſchemate noſtro conſpici nequit, quan-
tum
opus eſt, lamellaperforata removetur, quæ nobis ſemi-
pollice
à tubuli fundo extat.
Porro circulus lenti magnæ circumdatus, teleſcopii partem
longitudinis
quadrageſimam quintam circiter diametro æquet.
Cujus circuli objectu quia paulo impeditiorem reddi neceſſe
erat
aſtri inveſtigationem, viſum fuit imponere bacillo, ſeu
caudæ
lentis ocularis, ſtylum m, perpendiculariter erectum;

cujus
apex tantundem ſupra axem lentium attollitur quantus
eſt
circuli illius ſemidiameter.
Hinc enim fit, ut ſi oculum
prius
ibi collocemus, unde cum ſummomargine circuli in ean-
dem
rectam lineam ſtella conveniat;
tumque, apprehenſo ca-
pulo
d, moveamus lentem ocularem cum adjuncto bacillo, do-
nec
in eandem quoque rectam quadret extremum ſtyli m;

fit
inquam ut, ad tubulum ocularem viſum referenti, ſtella
eadem
per teleſcopium ſeſe conſpiciendam det, vel certe pa-
rum
abſit.
Uſu vero & exercitatione tum hæc, tum cæte-
ra
quæ ad hanc obſervandi rationem pertinent, facilia
fiunt
.
IV.
Excerpta ex literis Dni Hugenii de novâ
methodo
conſtruendi Barometrum.
Quod novam meam methodum Barometri ſpectat, noſti,
diverſas
aëris atmoſphæræ preſſiones multo magis fore
viſibiles
, &
faciliores diſtinctu, ſi in tubo 30 pedes alto
fiat
barometrum ope aquæ quam ſunt in barometris vulgari-
bus
, quæ cum Hydrargyro conſtruuntur.
Cum enim maxima
diverſitas
ſit circiter duorum pollicum in barometris
389
[Empty page]
390151[Figure 151]Pag. 276.
TAB
.XXXI.
Fig
. 2.
a a m f k b e @ b a g a f b b h
152[Figure 152]Fig. 1.h g k h d a b c f e l
391
[Empty page]
392277DESCRIPTIONES. garibus, in novo hoc barometro erit viginti octo pollicum
id
eſt decies &
quater major erit, aliæque variationes auge-
buntur
eadem ratione, quæ ipſa datur inter Mercurii &

aquæ
gravitates ſpecificas.
Sed uti difficile eſt bene diſponere hæc barometra ob ma-
gnam
tubi altitudinem, quæ impeditetiam, quo minus com-
modè
locari poſſint, aut de loco in locum transferri.
Cogita-
vi
, quo pacto conſtrui poſſet barometrum mediocris magni-
tudinis
&
portatile, cujus effectus quam proxime idem eſſet
ac
aliorum illorum magnorum barometrorum, &
duas diver-
ſas
conſtructiones inveni.
Prima eſt, ut fiat tubus vitreus A B quatuor pedum cum
11TAB.XXXII.
Fig
. 1.
ſemiſſe, qui clauſus ſit in extremitate A, &
cujus cavitas
ſit
circiter duarum linearum;
requiritur ut latior ſit in loco
medio
, ubi detur quaſi pyxis cylindrica C D, cujus altitu-
do
ſit circiter unius pollicis, &
Diameter E E 14 vel 15 li-
nearum
, id eſt ſepties vel octies major diametro tubi;
in-
funditur
in apertam extremitatem tantum aquæ, quantum
requiritur
ad replendum dimidium receptaculi C D cum
partis
ſuperioris tubi dimidio C F;
Porro repletur quid-
quid
ſupereſt Mercurio;
qui etiam infunditur in vas G ad al-
titudinem
ſemipollicis, deinde immergitur in hunc extre-
mitas
tubi B;
tum pro parte exit Mercurius, & qui ſu-
per
eſt manet ad altitudinem E E;
aqua, quæ ſupernatat,
deſcendit
usque in F, relinquens reliquum tubi F A aëre
vacuum
, &
ſuperficies aquæ, adſcendendo & deſcendendo
denotat
diverſum atmoſphæræ pondus, gradibus fere æqua-
libus
iis quibus aqua illud denotat in barometro 32 pe-
dum
.
Altera conſtructio partim ſimilis eſt priori, ſed multo me-
22TAB. XXXII.
Fig
. 2.
lior eſt;
detur tubus in medio incurvatus H M N, duæ in
hoc
tubo requiruntur pixides cylindricæ æquales K &
M,
quarum
una, ſc.
K, quæ eſt ad tubi extremitatem, hermetice
ſit
clauſa ſuperius, &
M, quæ eſt paululum ſupra curvatu-
ram
, ſit utrinque aperta in locis in quibus cum tubo jungi-
tur
;
longitudo crurum determinata eſt per diſtantiam
393278MACHINARUM dum K, M, quæ ſit circitcr 27{1/2} pollicum , menſurando diſtan- tiam inter harum media. Altitudo cujusvis pyxidis eſt præter-
propter
unius pollicis cum ſemiſſe;
diameter interior unius polli-
cis
vel 15 linearum;
diameter cavitatis reliqui tubi {1/10} vel {1/12} ejusdem
magnitudinis
.
Primo infunditur ſolus Mercurius in tubum per
aperturam
N, ut fiat barometrum vulgare ex iis quæ inferius re-
curvata
ſunt.
Infundendum vel tollendum eſt Hydrargyrum
donec
ſuperficies dentur circiter in medio pyxidum K &
M,
ſi
tempore quo fit hæc operatio aër mediæ ſit gravitatis, id
eft
in barometris vulgaribus Mercurius ſit ad altitudi-
nem
27{1/2} pollicum;
alioquin enim ſi preſſio aëris ſit major vel
minor
ordinariâ, ad hocattendendum, computando pro uno
pollice
variationis, in vulgari barometro, lineam unam cum
ſemiſſe
variationis in quavis pyxide:
Poſtquam Mercurius
bene
aëre depurgatus erit, ita ut nullus detur in pyxide K
infundetur
per aperturam N quidam liquor, qui hieme non
congelatur
, &
qui nequit diſſolvere Mercurium; E. G. aqua
communis
mixta cum {1/8} aquæ fortis:
ſpiritus vini quidem
poſſidet
has duas qualitates, ſed non conveniret barometro,
quia
per calorem dilatatur.
Hoc etiam referri debet ad pri-
mam
formam Barometri.
Quod attinet ad liquoris quantitatem, debet illa adſcendere ad
pedem
unum circiter in tubum B C poſitâ mediâ aëris preſſione.
Diſpoſito ita hoc Barometro videbimus, maximam diffe-
rentiam
preſſionis aëris, quæ notabitur per ſuperficiem li-
quoris
in tubo M N, fore propemodum 22 pollicum, ſi
diametri
pyxidum cylindricarum, ſint decies majores diametro
tubi
.
Et ut inveniamus quantum differentiæ quas indicatæ ba-
rometrum
hoc noſtrum excedantillas, quas poteſt indicare ba-
rometrum
vulgare, generalis eſt regula, differentias noſtrinovi
Barometri
eſſe ad differentias Barometri vulgaris, ut decies &

quater
quadratum diametri pyxidum ad idem quadratum plus
vicies
octies quadratum diametri tubi, qui aquam continet;
& hinc ſequitur, cujuſcunque magnitudinis ſint pyxides,
maximas
differentias non poſſe excedere 28 pollices, quan-
doquidem
differentiæ Barometrorum ordinariorum non ex-
cedunt
duos pollices.
1
11Pollices hi ſunt partes duodecimæ pedis Regii Gallici.
394279DESCRIPTIONES.
Ut transferatur commode hoc Barometrum, aſſeri adjun-
gendum
eſt.
vel Thecâ includendum; & notari debent in
ligno
diviſiones æquales ad indicandas altitudinum differen-
tias
, quæ augebuntur eadem ratione, in quâ minuetur at-
moſphæræ
pondus.
Sic parvæ mutationes, in pondere atmoſphæræ, & quæ
non
percipiuntur in Barometris ordinariis, in his ſenſibiles
fiunt
.
Exempli gratiâ ſi ferantur in Turrim de Noſtre Dame vel
Montmartre
videbimus fuperficiem aquæ deſcendere in primo
Barometro
quosdam pollices, &
tantum in altero adſcende-
re
;
ſi ferantur in domum elevatam tantum 50 pedes, & porro
inde
deſcendamus, habebimus notabilem mutationem {1/2} pro-
pemodum
pollicis, ita ut poſſimus ope hujus inſtrumenti ſa-
tis
bene menſurare diverſam altitudinem montium a ſe invi-
cem
diſſitorum, &
regionum, quarum ſitus non ſinit, ut has
metiamur
aliter.
Si mutationes temporum ope Barometrorum,
prævideri
poſſint uti ſperandum videtur, certum eſt, quod
illa
, quæ hoc modo conſtructa ſunt, magnam utilitatem
habebunt
præ aliis, quæ adhibita ſunt huc usque.
Verum eſt quod quædam novorum horum Barometrorum
ſenſibiliter
quodammodo mutentur ex calore vel frigore aëris
exterioris
, quamcunque etiam ad@ibeamus operam ad illa
interiori
aëre purganda;
ſed Barometra ordinaria ſunt etiam
eidem
varietati obnoxia, &
ſi in noſtris magis conſpicua ſit,
hoc
inde venit, quod multo majores differentias indicent,
quam
Barometra vulgaria:
ſed ut occurramus huic malo,
quod
plane nobis impedimento eſſet, ſi vellemus metiri alti-
tudines
, poſſumus Thermoſcopium includere in parte Baro-
metri
aëre vacuâ, &
efficere calefaciendo aërem, qui
utrumque
cingit, ut Thermometrum redeat ad eandem no-
tam
in utraque operatione;
& hac viâ certi erimus, quod
aër
externus nullam inducat mutationem Barometro, &
quod
omnis
varietas, quæ ibi apparebit, oriatur ex diverſâ atmo-
ſphæræ
gravitate.
Dixi poſteriorem conſtructionem alterâ meliorem eſſe,
395280MACHINARUM ſolum, quia ultimum Barometrum multo minoris voluminis
eſt
, ſed &
, quia obſervavi, quod in priori parum aëris,
quem
aqua exhalat in vacuo, pedetentim augeatur temporis
diuturnitate
;
cui vitio certum eſt Barometrum 32 pedum,
de
quo ſupra dixi, pariter obnoxium eſſe;
Et, ut huic ma-
lo
occurratur, quærendus eſt liquor, qui non producit aë-
rem
, ut faciunt aqua &
ſpiritus vini. Sed patet, quod po-
ſterius
noſtrum Barometrum hoc vitio non laboret, quoniam
aqua
in vacuo non eſt incluſa:
Quod ſi percipiamus aquam,
quæ
eſt in poſteriore Barometro, vapores emittere, tantum
ſuperius
infundenda eſt gutta olei, quod frigore non inſpiſ-
ſatur
, quodque calore non emittit vapores, ut oleum amy-
gdali
dulcis.
V.
Nova vis movens mediante pulvere nitrato
& aëre.
Deſideratum a longo tempore eſt artificium quo vis pul-
veris
pyrii aliis, quam quibus huc uſque inſerviit, uſibus
applicari
poſſet, in quibus omnibus vis admodum ſubita re-
quiritur
, qualem obſervamus in exploſione bombardæ &
ſclo-
peti
&
disruptione cuniculorum: ſi impetus ille promtus poſſet
moderari
&
reduci ad vim magis placidam, maximam in me-
chanicis
utilitatem haberet, &
in multis occaſionibus, in qui-
bus
vim hominum, equorum, venti, aliarumque potentia-
rum
adhibemus, inſerviret.
Ad hunc effectum excogitavi ma-
chinam
, hic delineatam.
Hanc non propono, acſi in omni-
bus
partibus perfecta foret, ſedtanquam inventum, quod cum
pro
parte ſucceſſit, poterit ad majorem proferri perfectionem.
A A cylindrus cavus eſt, intus bene politus, & ubique
11TAB. XXXII.
Fig
. 3.
æqualis magnitudinis;
B eſt embolus in ſuperiori parte Cy-
lyndri
, &
qui in hoc poteſt moveri; in C C cylindrus eſt per-
foratus
duobus foraminibus, quorum diametri circiter ſunt {1/4}
diametri
cylindri;
tubi D, D, corii madidi & mollis,
396281DESCRIPTIONES. miter alligati ſunt duobus cylindris minoribus, qui cum majo-
ri
cohærent, &
circumdant foramina; tubus unus exhibetur
pendens
, alter extenſus.
In fundo cylindri cum hoc conjun-
gitur
ope cochleæ interpoſito annulo coriaceo pyxis H;
ita
ut
exacte claudat apperturam cylindri;
E E ſunt retinacula,
quæ
cylindrum in inferiori parte conjungunt cum theca,
qua
includitur, ſed quæ hic non eſt exhibita, ne turbetur
figura
:
E F eſt funis annexus embolo B, circumponitur
trochlea
G, &
inſervit ad movendum id, quod ei applica-
tur
.
Obtecto parvâ aquæ quantitate embolo, qui ſuperius fir-
miter
debet conſiſtere, ne poſſit exire ex cylindro, immittitur
in
ciſtam H parum pulveris tormentarii cum parva quantitate
igniarii
Germanici accenſi, &
clauditur bene ciſta mediante
ſua
cochleâ.
Pulvis ille paulo poſt accenſus implet cylindrum flammâ
&
fugat aërem per tubos coriaceos C D, C D, qui exten-
duntur
, quique ſtatim clauduntur iterum ab aëre exteriore;
ita ut cylindrus maneat aëre vacuus, ſaltem maximâ parte;
porro
embolus B eſt adactus per preſſionem aëris, qui ſupra
gravitat
ad deſcendendum, &
ſic trahit funem F F pariter
illud
quod ei appenditur.
Quantitas ejus preſſionis cognita eſt, & determinata, per
gravitatem
aëris, &
per magnitudinem diametri emboli, qui,
ſi
ſit unius pedis, ita premitur, ut ſuſtineat pondus 1800
circiter
librarum;
poſito, quod cylindrus totus fiat aëre va-
cuus
, quod huc uſque efficere non potui;
etiam experi-
menta
eo reſpectu in magnis &
parvis cylindris non eodem
modo
proceſſere.
Cylindrus diametri 2{1/2} pollicum, & 20 poll. longus, pon-
dere
6 granorum pulveris aëre, evacuatus fuit {5/6} partibus;
in cylindro ejusdem latitudinis, ſed longitudinis 44 poll. ,
requiruntur
36 grana pulveris ut ejiciantur {4/6} aëris;
Et in
cylindro
diametri unius pedis, &
3{1/2} altitudinis, 1{1/2} drachma
pulveris
ad fugandum {1/2} aëris;
& duplicata pulveris quanti-
tate
vix magis evacuatus fuit cylindrus.
397282VARIA CIRCA
Aër vero ille qui ſupereſt in cylindro, impedit magnam
partem
effectus, quem exereret machina, ſi omnis aër pror-
ſus
exhauriretur;
ut ſatis videre eſt, & ſimul determinari
computatione
poteſt.
Ideo deberet examinari, quæ ratio in-
ter
altitudinem &
diametrum cylindri ſit optima in hâc ma-
china
ad h@nc maxime evacuandam adhibitâ minima quan-
tum
poſſet pulveris quantitate, nam licet totus cylindrus
non
evacuetur, vis hujus preſſionis nihilominus magnum
ederet
effectum.
Poterit hæc inſervire non tantum elevationi magnorum
ponderum
quorumcunque &
aquarum. Sed etiam ad pro-
jicienda
globos &
ſagittas magna vi, juxta methodum bali-
ſtarum
veterum.
Ulterius, cum propter cylindri convexitatem, non ſit neceſſe,
ut
ſit valde ſolidus ad reſiſtendum preſſioni aëris externi, cer-
tum
eſt totam machinam exigui ponderis eſſe poſſe, quæ levi-
tas
conjuncta cum magna vi, quam habet, poterit forte uſui
eſſe
ad effectus edendos quos huc uſque impoſſibiles duximus.
VI.
Demonſtratio Æquilibrii bilancis.
In demonſtratione, quam Archimedes dedit de propoſitione
11TAB. XXXII.
Fig
. 4.
fundamentali Mechanices, tacite ponit quid, de quo jure
aliquo
poſſumus dubitare;
eſt autem hoc, ſi plura pondera
æqualia
annexa ſint libræ ad diſtantias æquales a ſe invicem;
ſive omnia ſint ad eandem partem puncti ſuſpenſionis, ſive quæ-
dam
transferantur ad patrem oppoſitam, ut in hac figura, ubi
punctum
ſuſpenſionis eſt A, pondera habere eandem vim
ad
deflectendam libram quam ſi forent omnia ſuſpenſa in pun-
cto
, ubi eſt commune eorum centrum gravitatis, ut hic eſt
punctum
B.
adeo ut ſi ſeparatim ſuſpenſa in æquilibrio fo-
rent
cum contrario pondere C, hoc etiam obtineret ſuſpen-
@is
omnibus ponderibus in puncto B, vel eorum loco pon-
dus
D, quod æquat omnium gravitatem.
398283MECHANICAM.
Quidam Geometræ parumper mutando hanc demonſtra-
tionem
tentarunt defectum minus ſenſibilem reddere, ſed
in
totum fuiſſe ſublatum mihi non videtur.
Igitur conatus
ſum
alio modo eandem propoſitionem demonſtrare uti ſequi-
tur
.
. Poſtulatur cum Archimede, duo pondera æqualia
appenſa
extremitatibus brachiorum æqualium libræ fore in
æquilibrio
.
. Poſitis ponderibus æqualibus, & brachiis libræ, cui
appenſa
ſunt, inæqualibus, illam inclinari ad latus brachii
longioris
.
. Poſtulatur poſſe concipi, lineas & plana, de quibus
loquimur
in hac demonſtratione, inflexilia &
ſine gravitate
eſſe
.
PROP. I. Si ſuper planum Horizontale quod imponitur
lineæ
rectæ, quæ id dividit in duaspartes, applicetur pondus,
vis
, quam illud pondus habebit ad deflectendum planum par-
tem
verſus ad quam applicatur erit major, quam ſi poſitum
ſit
prope dictam lineam.
Sit planum Horizontale A B impoſitum lineæ rectæ
11TAB. XXXII.
Fig
. 5.
C D, &
cui applicetur pondus E, cujus diſtantia a C D li-
neâ
perpendiculari E H menſuratur;
& cui porro applice-
tur
idem pondus in F, ita ut diſtantia F H minor ſit quam
E
H, dico, quod habebit plus virium ad planum deflecten-
dum
, ſi ſit applicatum in E quam in F.
Nam producta recta E F H in G & poſitis H G & H F
æqualibus
, certum eſt, pondus æquale illi, de quo locuti
ſumus
, applicatum in G in æquilibrio futurum cum altero
in
F, propter æqualia brachia F H, H G.
Sed pondus tranſlatum ex F in E deflectet planum, quo-
niam
plano exiſtente ſine gravitate effectus idem eſt ac in
bilance
brachiorum inæqualium quæ æqualibus ponderibus
gravantur
, idem ergo pondus poſitum in E plus virium ha-
bet
ad planum deflectendum quam ſi eſt in F;
Q. E. D.
PROP. II. Si planum Horizont@le; oneratum plurimis pon-
deribus
, maneat in æqualibrio, impoſitum lineæ rectæ,
399284VARIA CIRCA id ſecat in duas partes, centrum gravitatis plani ſic onerati
erit
in ipſa lineâ rectâ.
Sit planum Horizontale A B oneratum ponderibus C C,
11TAB. XXXII.
Fig
. 6.
D D &
quod manet in æquilibrio, impoſitum rectæ E F;
dico centrum ejus gravitatis eſſe in illa linea E F; nam poſi-
to
, ſi fieri poteſt, centrum gravitatis eſſe alibi in puncto G,
ducatur
per id punctum recta H K parallela ipſi E F.
Tunc ergo, quia planum fultum in puncto G, manet
in
ſuo ſitu Horizontali, debent, ducta linea recta qua-
cunque
in plano per punctum G, pondera ad utramque par-
tem
lineæ eſſe in æquilibrio.
Idcirco pondera C C facient æquilibrium cum ponderibus
D
D, quando planum fulcitur a recta H K:
id quod fieri
nequit
, quoniam manet in æquilibrio fultum a recta E F;
nam patet, omnes diſtantias ponderum ad unam partem eſſe
diminutas
, ſcilicet ponderum C C, &
conſequenter etiam
effectus
gravitatis eorum;
& diſtantias ponderum oppoſito-
rum
D D eſſe auctas, &
eodem tempore effectum eorum
gravitatis
, adeo ut ultima pondera deflexura ſint planum ad
ſuam
partem, &
multo magis ſi unum vel plura pondera
C
C ſint ad alteram partem lineæ H K;
Centrum ergo gra-
vitatis
plani onerati erit in linea E F.
Q. E. D.
PROP. III. Duo gravia commenſur abilia appenſa ad extre-
mitates
brachiorum Libræ erunt in æquilibrio, ſi brachia ſint
in
ratione reciproca gravium.
Sint gravia commenſurabilia A & B, quorum A ſit ma-
22TAB. XXXII.
Fig
. 7.
jus;
& libra C D E, cujus brachium D E ſit ad D C, ut
grave
A ad grave B;
dico, libram eſſe in æquilibrio appenſo
A
ad extremum C, &
B ad extremum E, ſi C E ſuſtineatur in D.
Concipiatur planum parallelum ad horizontem tranſiens
per
lineam C E, in eo plano ſint ductæ per puncta E
&
C rectæ L E G, K C M perpendiculares ad C E; fiat
ulterius
E F æquale C D, &
ducantur G F K, M D L
quæ
cum C E angulos ſemirectos efficiunt &
ſeſe mutuò ad
angulos
rectos ſecant in N;
illæ lineæ neceſſario occurrunt
duabus
prioribus, quas duximus per E &
C; ponamus
400285MECHANICAM. cta occurſus eſſe G, K & M, L; manifeſtum eſt, E G æquale
eſſe
E F, &
C K, C F; uti etiam G K, M L, ſe mutuo
ſecare
in medio in puncto N;
& triangula G N L,
K
N M eſſe ſimilia &
æqualia: ſumatur E H æquale E G, &
C
O æquale C K;
tum, quia E D eſt ad D C ut pondus A
ad
B, patet quod lineæ E D &
D C, ſint commenſurabiles, ut
&
H G & K O, cum inter ſe ſint ut E F ad F C, id eſt ut
C
D ad D E.
Sint ergo K O & H G diviſæ in partes æqua-
les
per maximam earum communem menſuram, &
quantita-
tes
A &
B pariter diviſæ; idcirco habebuntur tot partes
ponderis
A, quot habentur partes in linea K O, &
tot par-
tes
ponderis B, quot habentur partes in linea H G, quæ
partes
ponderum, æquales inter ſe, ſint ſingulæ appenſæ in me-
dio
unius ex partibus linearum K O, H G.
Jam demonſtrabimus, quod gravibus ita diſpoſitis, pla-
num
maneat in æquilibrio, quando fulcitur a puncto D, un-
de
veritas propoſitionis erit manifeſta;
quoniam concipere
poſſumus
omnes partes plani eſſe ſublatas &
ſolas lineas K O,
H
G, oneratas ponderibus æqualibus ipſis A &
B, ſuſtineri
in
extremitatibus libræ C &
E, nam cum planum ſit ſine
gravitate
, partes ſublatæ non poſſunt mutare æquilibrium.
Ad demonſtrandum igitur, æquilibrium plani, ut di-
ctum
eſt gravati, dari in puncto D, ſint ductæ ex quovis
pondere
perpendiculares ad lineam L M, quantum neceſſe
eſt
, productam, uti R S, Z I, T V, X Y.
Perpendi-
culares
T V &
R S, quæ ducuntur a ponderibus ma-
xime
vicinis punctis G &
K erunt inter ſe æquales; nam tri-
angula
G N L, K N M ſunt æqualia &
ſimilia, uti di-
ctum
eſt, &
latera G L & K M ſunt etiam æqualia inter ſe, ut
&
intervalla G T & K R, quæ ſingula æqualia ſunt dimidio u-
nius
ex partibus æqualibus in quas diviſæ ſunt lineæ H G, K O;
unde patet lineas T V, R S, etiam fore æquales, uti di-
ctum
eſt;
Tunc ſi fulciatur planum in linea L M Q,
pondus
T in æquilibrio erit cum pondere R.
Pariter, ob æqualitatem perpendicularium X Y & Z I,
pondus
X erit in æquilibrio cum pondere Z, &
ſic
401286VARIA CIRCA ſequenter omnia pondera lineæ G H cum tot ponderi-
bus
ſumtis poſt K in linea K O;
id eſt, ſi ſumatur pars
K
P æqualis lineæ G H, pondera appenſa inter K
&
P, æquiponderabunt cum omnibus ponderibus lineæ
G
H.
Si ergo pondera reliqua in linea P O etiam faciant æqui-
librium
unum cum altero in plano fulto a linea L M Q,
ſequetur
planum oneratum omnibus ponderibus manſurum in
æquilibrio
ſuper eandam illam lineam.
Æquilibrium autem ponderum reliquorum ita invenitur: cum
ſit
K O = 2 C F;
& K P = H G, id eſt 2 C D, erit
P
O = 2 D F;
ſed M O = D F; quoniam C M = C D;
ergo M P eſt dimidium P O; Adeo ut lineâ P O, quæ con-
tinet
numerum partium, quibus K O ſuperat H G, in 2 par-
tes
æquales dividatur per rectam L M Q, manifeſtum ergo
eſt
æqualem numerum ponderum illorum quæ continet illa
linea
P O dari ad partem utramque puncti M, &
ſimiliter
diſponi
;
ideo ſi numerus, illorum ponderum ſit impar, illud
quod
in medio eſt, erit in puncto M, unde ſequitur, ſingulas
perpendiculares
quas duximus ab iiſdem ponderibus ad lineam
L
M Q æquales eſſe ſibi reſpondentibus, &
conſequenter pon-
dera
eſſe in æquilibrio, quando planum fulcitur a linea L M Q;

quod
cum ita ſit demonſtratum de aliis ponderibus linearum
P
K &
H G, ſequitur planum cum omnibus ponderibus man-
ſurum
in æquilibrio fultum a linea L M Q;
Centrum er-
go
gravitatis plani ſic onerati eſt in illa linea;
ſed centrum
gravitatis
etiam eſt in linea C E, quoniam evidens eſt pla-
num
etiam futurum in æquilibrio ſi in hac linea ſuſtinea-
tur
, Erit ergo centrum gravitatis punctum commune illis
duabus
lineis L M Q &
C E, ſcilicet punctum D in quo
ſi
planum ſuſtineatur manet in æquilibrio.
patet ergo, veritas
Theorematis
.
402
[Empty page]
403153[Figure 153]Pag. 286.
TAB
.XXXII.
Fig
. 1.
A E C E E D B G
154[Figure 154]Fig. 2.H N K M155[Figure 155]Fig. 4.B A D C156[Figure 156]Fig. 5.A E E C H D G B157[Figure 157]Fig. 6.A C C C C H G K E F D D D D158[Figure 158]Fig. 3.G F F B D D C D A F A E E H159[Figure 159]Fig. 7.K L R Z Y H V N S P A C E B X T M G Q O
404
[Empty page]
405287MECHANICAM.
VII.
De potentiis fila funesve trahentibus.
PROP. I. Si puuctum A trahatur a filis duobus A B, A C
11TAB. XXXIII.
Fig
. 1.
angulum B A C facientibus, ſintque potentiæ trahentes ut fi-
@orum
ipſorum A B, A C, longitudines multiplices ſecundum
numeros
datos N &
O; juncta vero B C dividatur in E,
ut
ſit reciprocè C E ad E B ſicut numerus N ad O, &
jun-
gatur
A E:
dico filis A B, A C ita trahentibus, æquipol-
lere
filum A E tractu@ à potentia quæ ſit ut longitudo A E
multiplex
ſecundum numerum æqualem utriſque N &
O.
Producantur enim A B, A C ad F & G, ut ſit
A
F multiplex A B ſecundùm numerum N, &
A G multi-
plex
A C ſecundùm numerum O;
junctæque F G occur-
rat
A E producta in H, &
ſint B K, C L parallelæ A H.
Quia ergo F Had H K ut F A ad A B, hoc eſt, ut nu-
merus
N ad unitatem;
H K vero ad H L ut B E ad E C,
hoc
eſt, ut numerus O ad numerum N:
erit, inproportio-
ne
turbata F H ad H L, ut numerus O ad unitatem, hoc eſt
ut
G A ad A C, ſive ut G H ad H L.
Itaque F H ad
H
L ut G H ad H L, ac proinde F H æqualis H G.
Sit jam A H continuata uſque in P, ut ſint æquales A H,
H
P, &
jungantur G P, F P: eritque F A G P paralle-
logrammum
, ad cujus diametrum P A ducantur F Q, G R,
parallelæ
B C.
Manifeſtum igitur eſt fieri triangula ſimilia
&
æqualia F P Q, G A R, quorum latera inter ſe æqualia
P
Q, R A.
Eſt autem A E ad A R ut A C ad A G, hoceſt,
ut
unitas ad numerum O.
Eadem verò A E ad A Q ut
A
B ad A F, hoc eſt, ut unitas ad numerum N.
Ergo erit
A
E ad utramque ſimul A Q, A R, ſive A Q, Q P, hoc eſt,
ad
A P, ut unitas ad utrumque ſimul numerum N &
O.
Cùm ergo potentiæ fila A B, A C trahentes, ſint ut A F,
A
G, quibus æquipollet attractio per filum A E à potentia
quæ
ſit ut A P, ex theoremate Mechanico ſatis noto, ma-
nifeſta
eſt propoſiti veritas.
406288VARIA CIRCA
PROP. II. Datis poſitione quotlibet punctis; ſive in eodem
plano
fuerint, ſive non:
ſi à puncto quod eorum commune eſt
gravitatis
centrum, ad unum quodque datorum fila extendan-
tur
, eaque ſingula trahantur à potentiis quæ ſint inter ſe ut
filorum
longitudines, fiet æquilibrium manente nodo commu-
ni
in dicto gravitatis centro.
Sint data puncta A, B, C, D, E, quæ vel in eodem
11TAB. XXXIII.
Fig
. 2.
plano vel aliter utcunque collocata intelligantur:
attributâ
autem
ſingulis æquali gravitate, conſtat commune eorum
gravitatis
centrum inveniri hoc modo.
Jungantur nempe duo quælibet datorum punctorum rectâ
A
B, quâ bifariam ſectâ in F, erit hoc centrum gravitatis
punctorum
A, B.
Ducatur deinde ad punctum aliud C re-
cta
F C quæ ſecetur in G, ut ſit C G dupla G F;
& erit
G
centrum gravitatis punctorum trium A, B, C.
Rurſus
ducatur
ad aliud punctum recta G D, ſeceturque in H, ut
ſit
D H tripla H G, &
fiet H centrum gravitatis punctorum
quatuor
A, B, C, D.
Similiterque ductâ H E ad punctum quintum E, ſectâque
in
K, ut K E ſit quadrupla K H, erit K centrum gravi-
tatis
punctorum quinque A, B, C, D, E.
Ac ſimili ratione
quotcunque
punctorum centrum gravitatis invenire licebit.
Porro extentis filis à puncto K ad A, B, C, D, E,
quæ
trahantur ſingula à potentiis quæ ſint inter ſe ut ipſæ
longitudines
K A, K B, K C, K D, K E:
dico fieri æ-
quilibrium
manente nodo communi in K.
Ducantur enim à
centris
gravitatis inventis F, G, H, ad centrum gravitatis
omnium
punctorum K, rectæ F K, G K, H K.
Itaque con-
ſtat
filis A K, B K, punctum K trahentibus cum potentiis quæ
ſint
ut longitudines eorum filorum, æquipollere filum F K,
tractum
à potentia quæ ſit ut dupla longitudo F K.
Rurſus
verò
duobus his, filo F K trahenti cum potentia quæ ſit ut
dupla
F K, &
filo C K trahenti cum potentia quæ ſit ut
ſimplex
longitudo C K, æquipollet filum G K tractum à
potentia
quæ ſit ut tripla K G per præcedentem:
ergo
filum
G K ita tractum æquipollet filis tribus K A, K
407289MECHANICAM. K C. Similiter verò duobus his, filo G K tracto à potentia
quæ
ſit ut tripla G K, &
filo D K tracto à potentia quæ ſit
ut
ſimplex longitudo D K, æquipollet filum H K tractum
à
potentia quæ ſit ut quadrupla H K.
Ergo hoc æquipollet
filis
onmibus K A, K B, K C, K D, punctum K uti di-
ctum
eſt trahentibus.
Atqui filo K H in directum opponitur
filum
K E tractum à potentia quæ eſt ut longitudo K E, id
eſt
ut quadrupla K H.
Ergo cum filis K E, K H, in partes
directè
oppoſitas trahentibus cum potentiis æqualibus, pun-
ctum
K neceſſario in locum ſuum ſervatum ſit, ſequitur &
filis
K
A, K B, K C, K D, uti dictum eſt trahentibus &
ex
alia
parte filo K E nodum reſtare immotum.
Quod erat de-
monſtrandum
.
Poſſunt autem & binorum quorumque punctorum centra
gravitatis
primò deſignari, &
per hæc deinceps centra gra-
vitatis
quaternorum, &
per hæc octonorum & ſic porro;
qua ratione ſimplicior plerumque efficitur demonſtratio, ac
præſertim
ſi datorum punctorum numerus fuerit pariter
par
.
Ut ſi quatuor data fuerint A, B, C, D; ſive in eodem
11TAB. XXXIII.
Fig
. 3.
plano, ſive non:
junctis A B, C D, diviſisque bifariam in
E
&
F; ductâque inde F E, quæ rurſus bifariam ſecetur in
G
;
conſtat G eſſe centrum gravitatis punctorum A, B, C,
D
.
Quod ſi jam nodus G trahatur filis G A, G B, G C,
G
D, à potentiis quæ ſint inter ſe ut ipſæ filorum longi-
tudines
;
dico fieri æquilibrium.
Conſtat enim filis G A, G B, æquipollere filum G E
tractum
à potentia quæ ſit ut dupla G E;
filis verò G C,
G
D, æquipollere filum G F tractum à potentia quæ ſit ut
dupla
G F.
Cum ergo G E, G F æquales ſint, unamque
lineam
rectam efficiant, eodem modo nodus G trahitur, ac
ſi
traheretur à potentiis æqualibus per fila G E, G F.
Un-
de
immotum manere neceſſe eſt.
Conſtat verò ſi puncta A, B, C, D non ſint in eodem
plano
, fore G centrum gravitatis pyramidis cujus anguli hæc
ipſa
quatuor puncta;
cum in omni pyramide idem ſit
408290VARIA CIRCA trum gravitatis ipſius ſolidi & quatuor punctorum angularium,
uti
oſtendere facillimum eſt.
Et hinc patet veritas theorema-
tis
Robervalliani, Si à centro gravitatis pyramidis fila ten-
dantur
ad quatuor angulos, quæ trahantur à potentiis quæ
ſint
inter ſe ut filorum ipſorum longitudines, fieri æquilibrium
manente
nodo in dicto gravitatis centro.
VIII.
Solitio problematis a G G. Leibnitio propoſiti in
diario
(cui titulus Nouvelles de la Republi-
que
des Lettres) menſis Sept. 1687.
PROBLEMA.
Detegere lineam juxta quam ſi corpus deſcendat tem-
poribus
æqualibus æqualiter tellurem verſus accedat.
Solutio.
Impoſſibile eſt problema ſi requiratur ut corpus motum in
tali
linea inchoet a quiete.
11TAB.XXXIII.
Fig
. 4.
Sed ſi ponamus corpus quandam, quantumvis exiguam, ve-
locitatem
habere ex.
gr. quam acquirit cadendo ab altitu-
dine
A B, quæſito ſatisfacit curva B C, cujus hæc eſt pro-
prietas
ut cubus altitudinis B D æqualis ſit quadrato perpen-
dicularis
C D ad A B continuatam ducto in {9/4} A B.
Præter curvam hanc B C, in numeræ aliæ dantur ejuſdem
generis
, &
quæ ſacile deteguntur, in quibus corpus etiam,
temporibus
æqualibus, æqualiter, ſed lentius quam per B C,
ad
Tellurem accedit.
Si B D ſit dupla ipſius B A, tempus deſcenſus per cur-
partem B C aquale erit tempori caſus per A B.
409291MECHANICAM.
IX.
Chriſtiani Hugenii, Solutio Problematis de
linea
in quam flexile ſe pondere pro-
prio
curvat.
Si Catena C V A ſuſpenſa ſit ex filis F C, E A utrin-
11TAB.XXXIII.
Fig
. 5.
que annexis, ac gravitate carentibus, itaut capita C &
A
ſint
pari altitudine, deturque Angulus inclinationis filorum
productorum
C G A, &
catenæ totius poſitus, cujus vertex
ſit
V, axis V B.
1. Licebit hinc invenire tangentem in dato quovis catenæ
puncto
.
Velut ſi punctum datum ſit L, unde ducta appli-
cata
L H dividat æqualiter axem B V.
Jam ſi angulus C G A
ſit
60°, erit inclinanda a puncto A ad axem recta A W, æ-
qualis
{1/2} A B, cui ducta parallela L R, tanget curvam in pun-
cto
L.
Item ſi latera G B, B A, A G ſint partium 3, 4, 5,
erit
A W ponenda partium 4 {1/2}.
2. Invenitur porrò & recta linea catenæ æqualis, vel da-
cuilibet ejus portioni.
Semper enim dato angulo C G A,
data
erit ratio axis B V ad curvam V A.
Velut ſi latera
G
B, B A, A G ſint ut 3, 4, 5, erit curva V A tripla
axis
V B.
3. Item definitur radius curvitatis in vertice V, hoc eſt,
ſemidiameter
circuli maximi, qui per verticem hunc deſcri-
ptus
totus intra curvam cadat.
Nam ſi angulus C G A ſit 60°,
erit
radius curvitatis ipſi axi B V æqualis.
Sin vero angulus
C
G A ſit rectus, erit radius curvitatis æqualis curvæ V A.
4. Poterit & circulus æqualis inveniri ſuperficiei conoidis,
ex
revolutione catenæ circa axem ſuum.
Ita ſi angulus C G A
ſit
60°, erit ſuperficies conoidis ex catena C V A genita æ-
qualis
circulo, cujus radius poſſit duplum rectangulum
B
V G.
5. Inveniuntur etiam puncta quotlibet curvæ K N, cujus
evolutione
, una cum recta K V, radio curvitatis in
410292VARIA CIRCA ce, curva V A deſcribitur; atque evolutæ ipſius K N lon-
gitudo
.
Velut ſi angulus C G A fuerit 60°, erit K N tripla
axis
B V.
Si vero latera G B, B A, A G ſint ut 3, 4, 5,
erit
illa {9/4} axis B V.
6. Præterea ſpatii N K V A N quadratura datur. Poſi-
to
enim angulo C G A 60°, erit ſpatium illud æquale rectan-
gulo
ex axe B V, &
ea quæ poteſt triplum quadratum
ejusdem
B V.
Si vero latera G B, B A, A G ſint ut 3, 4, 5,
erit
idem ſpatium æquale ſeptuplo quadrato B V, cum par-
te
octava.
7. Porro puncta quotlibet catenæ inveniri poſſunt, poſi-
ta
quadratura curvæ alterutrius harum:
x x y y = a4 a a y y,
vel
x x y y = 4a4 x4.
Vel etiam data diſtantia centri gravi-
tatis
ab axe, in portionibus planis, quas abſcindunt rectæ
axi
parallelæ in curva harum priore.
Quadratura autem hu-
jus
curvæ pendet a ſummis ſecantium arcuum per minima
æqualiter
creſcentium:
quæ ſummæ ex Tabulis ſinuum egre-
gio
quodam adhibito compendio inveniuntur quamlibet pro-
xime
.
Hinc ex. gr. inventum, quod ſi angulus C G A ſit
rectus
, &
ponatur axis B V partium 10000; erit B A,
21279
, non una minus.
Curva autem V A, per ſuperius
indicata
cognoſcitur hic eſſe partium 24142, non una minus.
In his omnibus non niſi ad caſus ſingulares ſolutiones pro-
blematum
dedi, vitandæ prolixitatis ſtudio &
quoniam non
dubito
quin regulas univerſales Viri docti affatim ſint exhi-
bituri
.
Quod ſi tamen aliquæ ex noſtris requirentur, eas lu-
benter
mittam.
Ac jam pridem omnes apud Clariſſimum Vi-
rum
G.
G. Leibnitium involucro quodam obtectas depoſui.
X.
Hugenii Annotationes in librum Pariſiis 1689.
editum
, de Manuaria Nautica.
Auctor hujus librieſt D. Renaldus (M. Renau, Ingenieur ge-
neral
de Marine), ſumma cura &
methodo conſcriptus
411293MECHANICAM.& auctoris peritia in Geometricis, & analyſi in hoc patet; nulla
ponuntur
principia, quæ vera non fatear, &
integra ſi Theo-
ria
inde legitime deducta foret, nihil in opere culpandum
eſſet
;
hoc tamen deficiente, utile credidi de notabili quem
notavi
errorem, monere, cum enim ſpectet ad maximam partem
regularum
, quæ in hoc libro Nautis præſcribuntur poſſet hos
in
maximos, &
periculoſos admodum errores inducere.
Initium faciam memorando quæ in Art. 1. cap. 2. conti-
11TAB. XXXIII.
Fig
. 6.
nentur, in quo Auctor navem H B M ponit, in qua linea
recta
D C Veli poſitionem repræſentat, quod tanquam pla-
na
ſuperficies concipitur, perpendiculariter ſuper iſtam li-
neam
elevatam;
A B eſt directio venti qui velum propellit;
B G eſt perpendicularis ad D C; G K eſt perpendicularis
ad
B K, carinam navis productam;
G E A eſt arcus circuli
centro
B deſcripti;
B K G eſt circuli peripheria cujus Diame-
ter
eſt B G.
Veriſſimum eſt quod Auctor notat, ſuperficiem C D a vento
A
B propelli juxta lineam B G, ita ut navis per B G ad pun-
ctum
G tenderet, ſi nullibi magis quam ad proram aqua re-
ſiſteret
.
Addit, navem iſtam lineam percurrendo directe
progredi
per B K, &
ad latus per K G; ſed cum navis ma-
jori
difficultate aquam lateribus, quam prorâ ſecet, non
poterit
juxta directionem K G per integram hanc lineam
progredi
, ſed deerit pars, quæ ſequetur rationem exceſſus quo
difficultas
ſecandi aquam ad latus ſuperat difficultatem qua
navis
hanc prorâ ſecat;
ex. gr. ſi difficultas ſecandi aquam
ad
latus ſe habeat ad difficultatem qua prora illam ſecat ut
decem
ad unum, ſi fiat K G ad K L ut 10 ad 1, &
ducatur
B
L, dicit Auctor navem moveri per B L, hancque lineam
percurrere
eo tempore quo potuiſſet in G pervenire, ſi reſi-
ſtentia
ab omni parte fuiſſet æqualis.
Auctorem huc uſque nos fuiſſe ſecutos ſufficiat. Con-
tendo
ipſius errorem in eo dari, quod dicat navem per-
venire
ex B in L eodem tempore, quo perveniſſet ex B in G.
Nam ſi deviatio nullam eſſe ponamus, ut ambages remo-
veantur
, certiſſimum eſt navem, juxta Auctorem,
412294VARIA CIRCA ex B in K, eodem tempore, quo pergeret ex B in G, ſi
undequaque
aquam eadem facilitate ſecaret, aut directe per
B
G, æque ac per B K progrediretur.
In his ſic ratiocinatum fuiſſe auctorem videtur, ſcilicet,
ſi
in motu ex B in G, navis feratur ad latus per K G &
di-
recte
progrediatur per B K, oportet, ut ſublato motu per
K
G, motus per B K ſuperſit, quo motu linea B K percur-
rebatur
eodem tempore quo B G.
Sed notandum erat, licet motus navis per B G poſſit con-
cipi
tanquam compoſitus ex motibus per B K, &
K G,
inde
non ſequi ſi in re ipſa tantum ſuperſit motus per B K
(ſive figura ipſius navis in cauſa ſit, ſive hæc cohæreat
cum
fune infinito B R, perpendiculari ad B M) ventum
qui
navem ex B in G tranſtuliſſet, hanc æquali tempore
poſſe
transferre ex B in K.
Ut enim determinemus viam
juxta
B K percurſam, vim propellentem debemus determi-
nare
, &
attendere ad reſiſtentiam quam ex actione aquæ pa-
titur
navis.
Conſtat autem in Mechanicis, vim, qua velum D C, na-
vem
pellit per B K, eſſe ad vim qua idem velum, &
in ea-
dem
poſitione reſpectu venti, illam pelleret per B G, uti
B
K ad B G:
ut Auctor ipſe ponit in his, quæ ſcripſit
de
impreſſionibus aquæ in gubernaculum Art.
5. hujus ſecun-
di
Cap.
Sed celeritates quoque eſſent ſicuti B K ad B G;
quia point Auctor lineas æqualibus temporibus percurri.
Vires
ergo forent ut celeritates, quod impoſſibile eſt, dictis-
que
Auctoris repugnat in 13° Art.
primi Cap. ubi dicit,
ut
corpus diverſis velocitatibus in fluido moveatur, requiri
vires
in ratione quadratorum celeritatum:
lineæ ergo B K,
B
G, non percurruntur æquali tempore.
Ut autem determi-
netur
, ſpatium juxta B K percurſum continuanda eſt B K
in
S, ita ut B S ſit media proportionalis inter B K, B G.

Tum
B S erit ſpatium, quod eo tempore permeabit navis
quo
pergeret per B G;
ſi aquam juxta hanc directionem
eadem
facilitate ſecaret.
nam quadrata celeritatum
413295MECHANICAM. B G, & B S, & conſequenter etiam aquæ reſiſtentiæ ſunt
inter
ſe ut B G ad B K;
aſt, uti modo oſtendi, virium ratio
eſt
etiam ut B G ad B K;
vires igitur ſunt ut reſiſtentiæ, &
etiam
ut quadrata velocitatum.
ergo ſunt velocitates,
quæ
ſunt ut B G ad B S, quas Navis in ambobus motibus
acquirere
debet ſecundum ipſam Auctoris ſtatim memoratam,
nec
in dubium revocandam, regulam.
Non ergo ut credidit
Auctor
circumferentia circuli B K G determinat ſpatia a navi
permeanda
in diverſis carinæ poſitionibus, manente eadem veli
C
D poſitione reſpectu directionis venti, ſed determinantur
hæc
ſpatia curvâ B I S G T, cujus puncta eodem modo ac S,
facile
inveniuntur.
Hic autem notandum eſt, ſpatia quæ hac
curvâ
deteguntur, eo magis abiis differre, quæ Auctor adhibitâ
circumferentiâ
B K G determinat, quo angulus quem carina
cum
venti directione efficit acutior eſt;
ita juxta B N navis
progredietur
per B I, quæ dupla eſt ipſius B N circulo
inſcriptæ
, ſi B N ſit {1/4} B G;
& tripla ſi B N ſit {1/9} B G.
Error a me notatus in toto fere tractatus reliquo locum ha-
bet
, quo varia labefactantur Theoremata quæ de cætero ele-
gantia
videntur.
Quale eſt inter alia hoc. Dato O B A angu-
lo
veli cum vento, carinæ ſitum, quo in adverſum venti ma-
xime
progreditur navis, determinari dividendo æqualiter in
duas
partes complementum O B E anguli dati;
unde Au-
ctor
deducit, ponendo quod deviatio nulla ſit, carinæ &

veli
ſitum in hoc caſu omnium maxime utilem dari, quando
angulus
quem carina cum vento efficit eſt 60 gr.
, & angulus
venti
cum velo 30 gr.
, quod a vero abeſt; nam per Regu-
lam
, quam veram novi detego, quando venti &
carinæ an-
gulus
eſt graduum 60, navem celerius moveri, ideoque in
adverſum
venti magis progredi, ſi angulus veli &
venti. 38
gr
.
23′. fiat, quam ſi angulus hicce foret 30 graduum. Regu-
la
qua detego veli ſitum, ut navis omnium celerrime movea-
tur
, ubi carinæ cum vento angulus datus eſt, talis eſt
x
4 = a a x x + {1/3} p p x x {4/9} a a p p.
ſcilicet, ſi x deſignat ſi-
num
O Q anguli veli cum vento, a radius B A, p ſinus F P
anguli
carinæ cum vento.
Et congruit hgc regula cum illa
414296VARIA CIRCA D. Fatio antea invenit, cum aliis pulcherrimis circa hanc
materiam
, ut percepi in tabula quadam, in qua quorun-
dam
iſtorum angulorum rationes deſignarat.
Duas veras ra-
dices
continet æquatio hæc inſervientes duobus caſibus, in
quibus
carina cum venti linea eundem angulum efficit, ut-
pote
, quando navis vento ſecundo aut adverſo utitur.
Cæterum quin vera ſit noſtra regula non poterit, D.
Renaldus dubitare, cum per eam angulus gubernaculi cum
carina
, quo navis omnium celerrime circumvolvitur, idem
detegatur
, quem determinavit in capite .
Quod ipſius in-
ventum
certe utiliſſimum eſt.
Ponendo enim p = a, id eſt
ponendo
venti lineam ad carinam perpendicularem, noſtrâ
regulâ
habetur x = V {2/3} a a, quem ille detexit ſinum an-
guli
carinæ aut directionis motus aquæ cum gubernaculo,
quod
ſic neceſſario ſeſe habere facile patet.
Licet Theoria hæc poſt a me indicatam correctionem dif-
ficilior
evadat, quam in tractatu Dni Renaldi, percipio nihil-
ominus
regulam detegi poſſe, qua &
navis & veli ſitus de-
terminarentur
, ut in adverſum venti omnium maxime pro-
grediatur
, ſed computatio nimium longa foret, quare hanc
nunc
non aggredior.
Quibus addendum navis deviationem
in
hac computatione non conſiderari, ex qua conſideratione
maxima
daretur difficultas.
Quia non modo cum auctore at-
tendendum
eſt ad relationem inter reſiſtentias quas patitur
navis
proram verſus &
ad latus, ſed etiam ad actionem venti
in
ipſam navem, præcipue in hujus latus;
ita ut ex unica ob-
ſervatione
quæ ad deviationem ſpectant non poſſent deduci.
XI.
Reſponſum Dni Renaldi ad Dominum
Hugenium
.
Dnus Hugenius hæc ponit, licet motus navis per B G poſſit
concipi
tanquam compoſitus ex motibus per B K &
K G, inde
non
ſequi, ſi re ipſa tantum ſuperſit motus per B K, ventum,
qui
navem ex B in G iranſtuliſſet, hanc æquali tempore
415297MECHANICAM. transferre ex Bin K. Et primo in eo mihi videtur falli. Nam
ut
navis poſſit ferri ex B in G tempore determinato, neceſſe
eſt
ut reapſe celeritatem habeat, quâ eodem tempore ſecun-
dum
determinationem B K, lineam B K, &
ſecundum deter-
minationem
K G, lineam K G poſſit percurrere.
Et ne hoc
in
dubium vocari poſſit, concipiamus navim pelli ſecundum
determinationem
B K, vi quâ certo tempore ex B poſſit
pervenire
in K;
concipiamus eandem ſimul pelli ſecundum
K
G, vi quâ eodem tempore poſſit percurrere lineam K G:
cum duæ vires nec ſibi contrarientur nec etiam concur-
rant
(eſt enim B K perpendicularis ipſi K G) neceſſe eſt
ut
harum unicuique navis ex toto obſecundet;
& per con-
ſequens
celeritas, quam ſingulis momentis habebit ſecundum
B
K, erit ad celeritatem, quam iisdem momentis habebit,
ſecundum
K G, ut B K ad K G;
& ita navis utrique vi ſatis-
faciens
, movebitur per B G, &
tempore determinato perveniet
in
G;
Etideo ſi in effectu ipſi relinquatur ſolus motus per B K,
vis
quæcunque, quâ pelleretur ex B in G, illam tempore
æquali
pellet ex B in K.
Inutilem enim reddendo illam im-
preſſionis
partem, quæ requiritur ut eodem tempore navis
percurrat
K G, neque augetur, ut diximus, neque minui-
tur
celeritas per B K.
Fateor, ſi angulus B K G eſſet acu-
tus
, vim peculiarem quâ pelleretur navis ſecundum K G,
aliquid
detracturam celeritati, quam haberet ſecundum B K
utpote
ſibi contrariæ;
& contra, ſi angulus B K G foret obtu-
ſus
, eandem celeritatem utpote cum altera concurrentem, eſſe
augendam
;
ſed cum angulus B K G rectus ſit, vis illa ce-
leritatem
navis ſecundum B K neque auget, neque minuit.
Addit Dnus Hugenius; Ut enim determinemus viam ju-
xta
B K percurſam, vim propellentem debemus determina-
re
, &
attendere ad reſiſtentiam quam ex actione aquæ patitur
navis
.
Statim oſtendi relationes celeritatum in variis de-
terminationibus
ſibi invicem perpendicularibus, ſufficere ad
detegendam
viam, quam navis eſt ſecutura;
nec per con-
ſequens
ad id requiri relationem virium, nec reſiſtentiarum;
ſed cum dictæ celeritates à viribus dependeant, idem
416298VARIA CIRCA relatione virium facile probabo.
Demonſtravi Articulo 13° Cap. 1. Theoriæ manuariæ
nauticæ
, de quo Articulo Dnus Hugenius mecum conſentit,
vires
navem propellentes eſſe inter ſe ut quadrata veloci-
tatum
;
& propterea vis requiſita, ut navis certo tempo-
re
ſecundum determinationem B K conficiat B K, eſt ad
vim
, quâ ſecundum determinationem K G conficiat K G,
ut
quadratum B K, ad quadratum K G;
unde ſequi-
tur
, navem, ſi ſecundum duas illas determinationes ſimul
pelleretur
, habituram vim duabus illis viribus æqualem;
cum ſcilicet neutra neutri quicquam vel addat vel detra-
hat
;
per conſequens vis illa exprimetur per quadratum ipſius
B
G, quod æquale eſt quadratis B K &
K G; & ita na-
vis
habebit celeritatem ex illa vi ortam, id eſt, dicto
tempore
quantitatem B G peragrabit.
Et propterea, ſi na-
vis
pelleretur ſecundum B G, vi quæ exprimitur per qua-
dratam
B G, perveniret in G eodem tempore, quo perve-
niret
in K, ſi pelleretur ſecundum B K, vi quam exprimit
quadratum
B K.
Pergit Dnus Hugenius hoc modo; Conſtat autem in me-
chanicis
, vim, quâ velum D C pellit navem per B K, eſſe
ad
vim, quâ idem velum, &
in eadem poſitione reſpectu
venti
, navem pelleret per B G, ut B K ad B G.
Non
ego
fateor id ex regulis Mechanices ſequi;
è contra certum
eſt
, virium illarum relationem inter ſe eſſe ut quadratum
B
K ad quadratum B G, non vero ut B K ad B G;
& ut
omne
hic dubium eximatur, concipiamus aërem ſecundum
lineam
A B duplo citius moveri uno tempore quam alte-
ro
.
Quando duplo citius movebitur quadruplo fortius in
velum
impinget, quoniam unaquæque particula duplo for-
tius
impingit propter velocitatem duplam, propter quam
etiam
duplo plures particulæ eodem tempore impingunt.
Quare ſi velocitas ſit dupla, & maſſa itidem dupla, vis ſeu
potentia
eſt quadrupla.
Si tripla foret velocitas, unaquæ-
que
particula triplo fortius impingeret, quia tripla eſſet ve-
locitas
;
& ſimul quia tripla eſſet velocitas, triplo
417299MECHANICAM. particulæ ſimul impingerent; unde triplâ exiſtente velocitate,
maſſâ
etidem triplâ, potentia aut vis erit noncupla;
ex quo
patet
maſſam augeri in eadem ratione, qua velocitas auge-
tur
;
& cum unaquæque pars etiam fortius impingat in ratio-
ne
auctæ velocitatis, potentia aut vis venti in velum, eſt in
ratione
duplicata celeritatum venti, id eſt, in ratione qua-
dratorum
velocitatum venti in velum.
Agnoſcit hocce prin-
cipium
Cl.
Hugenius; reſtat ergo tantum, ut illud ap-
plicemus
.
Prima applicatio oſtendet, quare vis venti in velum, cum
ventus
velo perpendicularis eſt, ſeſe habeat ad vim ejuſdem
venti
in velum, quando illud inclinatum vento opponitur,
ut
quadratum radii ad quadratum ſinûs anguli incidentiæ;
aut, quod idem eſt, cur vires ejuſdem venti in vela varia in-
clinatione
ipſi obtenſa, ſint inter ſe in ratione quadratorum
ſinuum
angulorum incidentiæ, quod demonſtravi Articulis
7
.
8. & 9. Cap. 1. , & quod etiam hoc modo nunc demonſtro.
Probatum
dedi in Theoria Manuariæ Nauticæ, Artic.
6. Cap.
1
.
corpus motum ab A in B non occurrere ſuperficiei C D
niſi
ſecundum determinationem ſuam A V, ponendo ſcilicet
A
V perpendicularem ipſi D C productæ, &
in illam ſuper-
ficiem
nullam vim exſerere niſi ſecundum hanc determinatio-
nem
;
quod agnoſcit Dnus Hugenius. Hoc poſito, ventus A B
in
velum non agit, niſi ſecundum hanc determinationem, id
eſt
, cum velocitate A V.
Si velum C D vento A B per-
pendiculare
eſſet, ventus in velum ageret velocitate A B;

&
per conſequens ex principio quod ſtatim adſtruxi, vis
cum
qua ventus in velum ageret, ſi vento eſſet perpendicula-
re
, eſt ad vim venti in velum D, quod inclinatè vento ob-
tenditur
, ut quadratum A B ad quadratum A V, id eſt,
ut
quadratum radii ad quadratum ſinûs anguli incidentiæ.
Secunda applicatio inſervit ſolvendæ quæſtioni, de qua
lis
eſt inter Dnum Hugenium &
me, id eſt oſtendit, quod,
velo
conſtituto in ſitu C D, &
navi in ſitu B K, vis, qua
ventus
ope veli, navim ſecundum B G propellit, ſit ad vim,
qua
idem ventus, ope ejuſdem veli navim propellit
418300VARIA CIRCA dum B K, ut quadratum B G ad quadratum B K, & non
quemadmodum
ſuſtinet Hugenius, ut B G ad B K.
Quod ut pateat, concipiamus ventum in velum impin-
gere
cum velocitate B G;
quoniam in illud impingit ſolum-
modo
per motum, qui dirigitur ſecundum B G ſpectan-
dus
eſt ventus, tanquam latus ex B in G velocitate B G.
ſed quando illa velocitate fertur ex B in G, fertur veloci-
tate
B K ſecundum determinationem B K, &
velocitate
K
G ſecundum determinationem K G;
quare ex iis quæ ſu-
perius
a me dicta ſunt, vis qua navis pellitur ſecundum B G
eſt
ad vim qua pellitur ſecundum B K, ut quadratum B G
ad
quadratum B K;
& ad vim, qua pellitur ſecundum K G,
ut
quadratum B G ad quadratum K G.
Obſervandum au-
tem
eſt, eandem vim venti in velum, id eſt, vim totalem ſe-
cundum
B G, quam vim exprimit quadratum B G, divi-
viſam
eſſe ſecundum B K, &
K G, in duas partes, quarum
ſumma
vim totalem adæquat;
& illa vis, potentia, ſeu
motus
, quibus tribus una eademque res ſignificatur nomi-
nibus
, nullum vel augmentum vel imminutionem accipit,
ex
noſtris motum conſiderandi modis, qui motus non in ſola
corporum
velocitate conſiſtit, ſed ex eorundem maſſis quo-
que
conſtituitur.
Ergo potentia, vis, ſeu motus, eſt pro-
ductum
quadrati celeritatis per maſſam.
Quare potentia ex
duabus
aliis potentiis conflata, iis æqualis eſt, dummodo unius
determinatio
determinationi alterius ſit perpendicularis, quia
eo
in caſu duæ illæ potentiæ, nec quicquam addere, nec
detrahere
quicquam altera alteri, poſſunt, duabus deter-
minationibus
, uti diximus, nihil oppoſiti habentibus.
Inde
fit
ut potentia ſecundum B K eadem manere poſſit, idem-
que
per conſequens illius effectus, licet in infinitum augea-
tur
ſeu minuatur potentia ſecundum K G.
Eo in caſu ſola
potentia
totalis B G mutationem patietur, quia ſemper æ-
qualis
erit ſummæ potentiarum, ex quibus producta fue-
rit
.
Ex omnibus, quæ a me nunc dicta ſunt, ſequitur, na-
vem
H B M, ſi pellatur ſecundum B G ope veli D C, &
419301MECHANICAM. ſi velocitas, quâ movetur ad latus, ſit ad velocitatem quâ
directè
progreditur, ut G K ad L K, ſequitur, inquam,
navem
juxta B L proceſſuram, &
in L perventuram eo-
dem
tempore, quo peryeniſſet in G, ſi ab omni parte aquas
ſecaret
eadem facilitate, quâ ſecat has à parte proræ;
& ſi,
quemadmodum
poſuit Dnus Hugenius, navis fune B R in-
finite
longo, &
ipſi B K perpendiculari adſtringere-
tur
, ad tollendum omnem motum ſecundum determi-
nationem
K G, ſequeretur etiam perventuram navim ad
punctum
K eodem tempore quo perveniſſet ad punctum
G
;
quod erat in quæſtione, & quod erat demonſtran-
dum
.
Si vera foret mechanices regula, quam memorat Dnus Huge-
nius
, ſcilicet vim cum qua velum D C navim propellit ſe-
cundum
B K eſſe ad vim, cum qua idem velum navem ſe-
cundum
B G propellit, ut B K ad B G, non ſolum navis
non
perveniret in K eodem tempore, quo perveniſſet in G,
poſitis
circumſtantiis, de quibus ſupra, ſed &
navis aquam
æqualiter
ab omni parte ſecans, &
a velo D C, ſecundum
B
G ipſi perpendicularem propulſa, non ferretur juxta li-
neam
B G:
nam ex eadem mechanices regula, vis, qua fer-
retur
navis juxta B K ope veli, foret ad vim qua ferretur
ſecundum
K G, ut B K ad K G, &
velocitates navis eſſent
inter
ſe ut radices virium.
Ergo velocitates quæ ex illis viri-
bus
orirentur, ſcilicet velocitas quam ſingulis momentis ac-
quiſiviſſet
navis in motu juxta B K, eſſet ad velocitatem
quam
iiſdem momentis haberet ex motu juxta K G, ut ra-
dix
B K ad radicem K G.
Sed ut navis moveatur ſecun-
dum
B G, quando inæquales ſunt velocitates inter ſe, qua-
les
hic a nobis ponuntur, requiritur, ut ſint inter ſe ſin-
gulis
momentis, ut B K ad K G, &
non ut eorundem radi-
ces
.
Ergo navis non ferretur juxta B G, quod eſt abſurdum;
nam cum vis totalis, quæ navem impellit, ſit juxta B G,
ponendo
navem ab omni parte æqualiter aquam ſecare,
non
poteſt non illam lineam ſequi.
Ita pergit Cl. Hugenius, Error à me notatus in
420302VARIA CIRCA fere tractatus reliquo locum habet, quo varia labefactan-
tur
theoremata, quæ decætero elegantia videntur.
Quale eſt
inter
alia hoc.
Dato O B A angulo veli cum vento, Carinæ ſi-
tum
, quo in adverſum venti maxime progreditur navis, de-
terminari
dividendo æqualiter in duas partes complementum
O
B E anguli dati.
Unde Auctor deducit & c.
Siquidem, quem errorem credidit Dnus Hugenius, errorem
non
eſſe oſtenderim, intacta remanent tractatus mei theo-
remata
.
Addit; Cæterum, quin vera ſit noſtra regula non poterit
dubitare
Dnus Renaldus;
cum per eam angulus gubernaculi, quo
navis
omnium clerrime circumvolvitur, idem detegatur, quem
Cap
.
7. determinavit. Quod certe ipſius inventum vtiliſſimum
eſt
.
Ponendo enim p = a, id eſt ponendo venti lineam ad carinam
perpendicularem
, noſtrâ regula habetur x = V {2/3} a a, quem il-
le
detexit ſinum anguli carinæ aut directionis motus aquæ cum
gubernaculo
, quod ſic neceſſario ſeſe habere facile patet.
Et hic à Dno Hugenio diſſentire cogor, & ab ipſo meo
conſequenter
tractatu, in quo error datur maximus, ſtatim
à
me, detectâ prius ingenue ejuſdem cauſâ, oſtendendus.
Compoſueram primo libru meum, pro vero ponendo prin-
cipium
falſum, à P.
Pardies, art. 118. ſcientiæ virium motri-
cium
prolatum;
præter quod nil continet de navis motu tracta-
tus
illius, &
quod nec ipſum ulli rei applicatur; imonullam
auctor
viam aperit ſolvendi vel unam, quæ ſpectat theoriam
Manuariæ
Nauticæ, propoſitionem.
Cum jam ſub prælo ſu-
darent
ultimæ libri I.
paginæ; principii memorati falſita-
tem
animadverti, &
quoniam per omnes tractatûs propoſi-
tiones
diſperſum, falſas reddebat reſolutiones omnes, totam
editionem
ſuppreſſi.
Solidiori poſtea fundamento nixus eaſ-
dem
denuo ſolvi, præloque ſubjeci, ſunt quæ in lucem
ſunteditæ
.
Sed aliis diſtentus negotiis, vocem vis, loco velo-
citatis
, quæ erat ſubſtituenda, in demonſtratione Art.
5. Cap.
2
.
incogitanter reliqui; quod Dnus Hugenius non attendit.
Fateor
me, in Art.
6. Cap. 1. promiſcue vocibus virium &
velocitatum
uti, ſed unius tantum corporis in vacuo
421303MECHANICAM. ibi conſidero, & in eo caſu velocitas & vis eandem ſem-
per
relationem habent.
Capitis autem 7. errorem, poſt al-
teram
tantum libri mei editionem animadverti, neque tunc
illum
corrigere per negotia mihi licuit.
Falſitatem vero ita
demonftro
.
Centro B deſcribatur circulus A D R E C, & repræſen-
11TAB. XXXIII.
Fig
. 7.
tet linea A B carinam navis, B R vero carinam productam.
Supra B R, tanquam diametrum deſcribatur ſemicirculus
B
G R, &
ſimiliter ſupra A B ſemicirculus A V B. Sit B D
certus
gubernaculi ſitus, &
B C gubernaculum productum;
B
E perpendicularis ſupra A B;
B G & A V perpendicu-
lares
ſupra D C;
& G H perpendicularis ad B E. Po-
nendo
alium gubernaculi ſitum, qualis eſt B d producta in
c
;
ducantur in iisdem circumſtantiis lineæ B g, A u, &
g
h.
Si navis antrorſum moveatur ſecundum lineam B A,
anguli
A B C, &
A B c æquales angulis G B E, & g B E,
ſunt
anguli incidentiæ aquæ in gubernaculum.
Unde ſequi-
tur
, aquam, poſito gubernaculo in ſitu B D, impingi ſe-
cundum
determinationem &
cum velocitate A V, & per con-
ſequens
cum vi, quam exprimit quadratum ipſius A V.
Et
quoniam
velocitas navis ſeſe habet tantum ut radix ipſius vis,
propter
aquæ reſiſtentiam, propellitur navis ſecundum deter-
minationem
B G, velocitate quæ exprimitur per B G, quia
B
G eſt æqualis &
parallela ipſi A V. Sed quando propel-
litur
navis ſecundum B G velocitate B G, propellitur ſecun-
dum
B E velocitate B H.
Si gubernaculum foret in alio ſi-
tu
B d, iisdem ratiociniis probaretur, navem pellendam fo-
re
ſecundum B E velocitate B h.
Sed quando majori velo-
citate
navis pellitur ſecundum B E, citius etiam convertitur.

Quare
ſi B G, quæ perpendicularis eſt ad gubernaculi ſitum,
ſecet
ſemicirculum B G R bifariam, id eſt, ſi angulus G B E,
æqualis
angulo incidentiæ A B C, ſit 45.
graduum, G H
perpendicularis
ipſi B E, erit tangens ſemicirculi.
Ergo G H
quæ
exprimit celeritatem, quâ navis pellitur ſecundum B E,
eſt
omnium maxima.
Nam ſi gubernaculum conſtituatur in
alio
ſitu, ut in B d, tunc B g ipſi perpendicularis,
422304VARIA CIRCA ſemicirculum in g, unde ſi ducatur perpendicularis g h, erit
illa
propior puncto B, quam ipſa G h, &
navis pelletur
ſecundum
B E velocitate B h, quæ minor erit quam B H.
Quare, ut navis citiſſime convertatur, neceſſe eſt ut vectis
gubernaculi
B C cum carinâ navis faciat angulum 45.
gra-
duum
, non autem, ſicut Cap.
VII. Theoriæ dicitur, angu-
lum
graduum circiter 55.
Concludit Cl. Hugenius hiſce verbis, licet theoria hæc
poſt
indicatam à me correctionem difficilior evadat, quam in
tractatu
Dni Renaldi, percipio mhilominus regulam detegi
poſſe
, qua &
navis & veli ſitus determinarentur, ut in ad-
verſum
venti omnium maxime progrediatur, ſed computatio
nimium
longa foret quare hanc nunc non aggredior.
In meo certe tractatu facillima foret determinatio ſitûs
11TAB.XXXIII.
Fig
. 8.
navis velique, non tantum ſi in adverſum venti omnium
maxime
ſit progrediendum, ſed &
conveniens cuicun-
que
viæ inſtituendæ, ſi deviatio navis à calculo ſeclu-
deretur
;
quod ut pateat, ſit linea venti A B, & ſit
data
via B K, cum vento conſtituens angulum quencunque
A
B K.
Ut inveniatur, quo veli ſitu, navis illâ viâ citiſſime
poſſit
progredi, ſi ſcilicet nulla ſit deviatio;
ſumatur B R
tanquam
diameter, &
centro M deſcribatur ſemicirculus B G V;
ab eodem puncto M ducatur M G viæ B K parallela; a pun-
cto
B ad punctum G ducatur B G, &
tandem ducatur D B C
perpendicularis
ipſi B G.
Dico D C repræſentare veli ſitum,
quo
per viam B K navis omnium citiſſime poſſit progredi.

Ad
id probandum, ducatur G K perpendicularis ipſi B K.

Ex
omnibus quæ ſuperius dicta ſunt, patet ventum A B
propellere
navem ope veli D C, ſecundum B G velocitate
B
G, eodem tempore quo eandem propelleret ſecundum B K
velocitate
B K.
Et quoniam G K eſt perpendicularis ipſi B K,
erit
itidem perpendicularis ipſi M G.
Ergo G K eſt tangens
ſemicirculi
.
Ergo quotcunque ducantur perpendiculares ex
aliis
circumferentiæ ſemicirculi punctis, ſupra B K, cadent
omnes
inter B &
K. Ergo navis celeritas in veli ſitu D C
erit
omnium maxima.
Addo, velum D C ſecare
423305MECHANICAM. angulum A B K, qui eſt angulus venti cum viâ. Ad quod
demonſtrandum
ducatur M N perpendicularis ipſi B G.
ſe-
cat
M N angulum B M G angulo A B K æqualem,
bifariam
;
& quoniam M N eſt parallela ipſi D C, angulus
B
M N dimidius anguli B M G, qui æqualis eſt angulo
A
B K, æqualis eſt angulo A B C, qui ipſe per conſe-
quens
æqualis eſt dimidio angulo A B K.
Unde ſequitur,
veli
ſitum ſemper bifariam debere ſecare angulum venti &

viæ
, &
cum agitur de progrediendo in adverſum venti, de-
bere
illum cum velo conſtituere angulum 30.
graduum, pro-
ramque
itidem cum velo angulum 30.
grad. ; quia, ut de-
monſtratum
fuit in Theoria Manuariæ Nauticæ, quocunque
in
ſitu reſpectu venti diſponatur velum, neceſſe eſt ut ejus
complementum
prora bifariam ſecet.
Et exinde apparet, quo-
cunque
in ſitu conſtituatur prora, quæ ſemper cum via con-
gruit
;
quia ponitur navem non deviare, neceſſe eſſe ut angulum
quem
cum prora, ventus conſtituit, velum bifariam ſecet.
Unde ſequitur angulum rectum debere à prora & velo in
tres
partes æquales ſecari, id eſt, ventum cum velo 30.

gradus
conſtituere, proram itidem cum velo 30.
gradus,
&
cum vento per conſequens 60.
XII.
Exceptio Dni Hugenii ad Reſponſum
D
ni Renaldi.
Mihi evidens videbatur illud quod in obſervationibus de
errore
primario, qui reperitur in tractatu de manuaria nauti-
ca
Dni Renaldi, propoſueram, &
cenſuerunt viri in re Ma-
thematicâ
verſatiſſimi, argumentum meum omni exceptione
majus
eſſe;
idcirco neque credideram, velle ipſum quidpiam
reſpondere
, quo ſuam confirmaret Theoriam;
interim ex iis,
quæ
in lucem edidit, apparet eum minime de ſuo errore mecum
ſentire
;
& quandoquidem rationibus utitur, e quibus haud
ita
facile ſe expedire poſſent illi, qui non ſatis hæcce o-
mnia
excuſſerunt, obſtrictum me credidi ad
424306VARIA CIRCA majori evidentiâ, quam antea, ejus Theoriam ſuſtineri non
poſſe
, niſi principia mechanices, jam dudum ſtabilita, quo-
rumque
veritatem negare nec auderet, nec vellet, evertan-
tur
.
Ne inutiliter protraham controverſiam noſtram reſponden-
do
argumentis quæ Dus Renaldus mihi objicit, oſtendam tan-
tum
illum, ut jam obſervaram, erraſſe in propoſitione, qua
nititur
tota ejus Theoria, deinde paucis indicabo, quid
huic
errori anſam dederit.
Ut oſtendam, quinam ſit quæſtionis ſtatus, hic maximam
11TAB. XXXIII.
Fig
. 9.
partem eorum, quæ noſtras figuras ſpectant, repeto,
ſcil
;
H M eſt navis carina; C D velum; A B linea venti
velum
inflantis;
B G eſt perpendicularis ad C D; G K per-
pendicularis
ad B K, quæ indicat carinam prolongatam;
continuo G B ad Z, & M H ad X.
Dus Renaldus in Theoria cap. II. Art. 1. dicit, ſi pona-
tur
navem undique eâdem, qua puppis, facilitate aquam
findere
, illam ita a vento propelli, ut progreſſura ſit per re-
ctam
B G, quod eſt verum;
ſed ſi juxta ſitum carinæ navis
tantum
progredi queat in recta B K, vel ſi funis B R per-
pendicularis
ad B K, &
cujus longitudo cenſetur infinita,
eam
cogat inſiſtere in via B K, contendit, velo &
vento
iiſdem
ac antea manentibus, navem percurſuram ſpatium B K,
eodem
tempore quo percurriſſet B G;
ego autem defendo,
quod
percurreret ſpatium B S, medium proportionale in-
ter
B K &
B G; Et hic eſt controverſiæ noſtræ ſtatus.
In probatione, quam affert in reſponſione ſuâ, loco venti
A
B oblique cadentis in velum C D, ſubſtituit ventum Z B,
qui
in id perpendiculariter agit;
quod poteſt, & minime
controverſiam
mutat, quum certum ſit, quod quocunque
ſenſu
ventus in velum C D cadat, conetur navem propelle-
re
per viam B G perpendicularem ad C D;
neque ullius
uſus
ſunt, quas habet D.
Renaldus, diverſas conſiderationes
de
motu venti.
Ratiocinando dein invenit, quod vis, quâ
navis
pellitur a vento ſecundum B G ope veli, ſit ad vim,
qua
pellitur ab eodem vento ope ejuſdem veli ſecundum B
425307MECHANICAM. ut quadratum B G ad quadratum B K, non vero ut B G
ad
B K, quod ego contendo, &
inde tota res pendet.
Ut determinemus cujus ſententia veraſit, concipiamus pla-
num
, in quo noſtra figura exiſtit, ita ad Horizontem erectum,
ut
linea B G ad eundem ſit perpendicularis, &
ſit R B X funis
affixus
in R, ad quem in B alligatum &
ſuſpenſum ſit pon-
dus
Q:
Ponamus ulterius portionem B X perpendicularem
ad
R B a manu retineri in X;
clarum eſt, id exacte re-
præſentare
caſum navis, de quo eſt quæſtio;
nam loco ven-
ti
, qui impingendo in velum C D propellat navim ſecun-
dum
B G, hic habemus pondus Q quod trahit punctum B
juxta
B G;
& funis B R, qui cenſetur infinitæ longitudinis,
&
impedit, quo minus navis aliam plagam versùs, quam
B
K poſſit progredi, hic eundem edit effectum reſpectu no-
di
B.
Utergo vis, qua ventus propellit navem ſecundum B G, eſt
ad
vim, qua hanc propellit ſecundum B K, ita eſt pondus Q
ad
gravitatem, quæ agit in manum quæ in X cohibet, quò
minus
nodus B moveatur verſus B K;
illa enim gravitas æ-
quipollet
vi, qua nodus ſecundum B K trahitur.
Cum au-
tem
G K parallela ſit ipſi B R, certum eſt ex notiſſimis Me-
chanicæ
regulis, quod pondus Q ſit ad id quod retinet chor-
dam
B X, vel ad gravitatem quæ in X agit in manum ut
B
G ad B K.
Vis ergo, qua navim propellit ventus ſecun-
dum
B G, eſt ad vim, qua propulſa eſt verſus B K, ut
B
G ad B K non vero, ut illarum linearum quadrata, ut
D
nus Renaldus contendit.
Ponamus porro, navem H M, quæ undas eadem undi-
que
facilitate ſecat, propelli per ventum Z B vel A B
(perinde enim eſt) quo naviget certo tempore per B G,
velo
exiſtente in C D, &
determinandum eſſe, quan-
tum
progreſſura ſit ſecundum B K æquali tempore eodem
vento
, eodemque veli ſitu.
Cum celeritates navis in dua-
bus
illis viis tales debeant eſſe, ut reſiſtentiæ, quas in-
ferit
ipſi aqua, ſint ut vires, quibus propellitur (nam in eo
caſu
ſolo motu æquabili progreditur), &
cum
426308VARIA CIRCA MECHANICAM. ſint ut quadrata celeritatum, ideo requiritur ut quadrata ce-
leritatum
ſint ut vires, id eſt ut G B ad B K;
& conſequen-
ter
ut velocitates ſint ut G B ad B S;
quandoquidem
quadrata
G B &
B S ſunt ut lineæ G B, B K per conſtructio-
nem
.
Probavi ergo ex ordinariis Mechanices principiis, id,
quod
in obſervatione mea propoſueram.
Superfluum foret alia argumenta Dni Renaldi examinare,
quibus
vult hanc eandem, quam refutavi propoſitionem, con-
firmare
;
ſolummodo indicabo originem erroris, qui in iis oc-
currit
, præſertim naſci ex eo, quod in Articulo 7.
Cap. 1.
Theoriæ ſuæ concludat, vires relativas materiæ fluidæ ad
ſuperficies
diverſimode inclinatas eſſe inter ſe, ut quadrata ſi-
nuum
angulorum incidentiæ;
debuiſſet addere ad ſuperficies æ-
quales
diverſimode inclinatas;
cujus vocis æquales paulo ante in
eodem
Articulo pag.
7. quoque non meminerat; quod ſi ſup-
pleatur
, tum demonſtratio optime congruit cum concluſione
cumque
veris principiis P:
Pardies in Art. 118. Tracta-
tus
de Viribus moventibus.
Pater hic tantum in eodem illo
Articulo
deceptus fuit, quod ignorarit vel ſaltem non recor-
datus
fuerit, reſiſtentias aquæ in corpus eſſe ut quadrata ve-
locitatum
ejus corporis;
ideo enim p. 225. facit a f ad a u in
duplicatâ
ratione b o ad m p cum ſimpliciter facere debuerit
a
f ad a u, ut b o ad m p.
Quod attinet ad utiliſſimum Gubernaculi ſitum, Dnus Re-
naldus
ſe ipſum nullo jure culpat, &
dum quæ primo deter-
minaverat
corrigere conatur, male ratiocinatur;
in reſponſio-
ne
p.
303, nam tantum determinandum eſt, in quonam Gu-
bernaculi
ſitu aqua id propulſura ſit maximâ vi, juxta per-
pendicularem
ad carinam;
unde neceſſario ſequetur maxima
puppis
velocitas juxta illam perpendicularem.
Errat etiam,
quum
vult, p.
25 Theoriæ ſuæ de Manuaria Nautica, legi
velocitas
loco vis.
Quod ſupereſt, obſervo, totam hanc Theoriam, ut edi-
derat
, veram fore ſi reſiſtentiæ aquæ eſſent ut velocitates
navis
, ſunt autem ut quadrata illarum velocitatum.
FINIS.
427
[Empty page]
428160[Figure 160]Pag. 308.
TAB
.XXXIII.
Fig
. 1.
P F Q K H L R G B E C N O 3 A 2
161[Figure 161]Fig. 8.R G M K N D B V C A162[Figure 162]Fig. 7.R d D G g B h H E V C u A c163[Figure 163]Fig. 2.B F G C H A K D E164[Figure 164]Fig. 4.A B G F E C D165[Figure 165]Fig. 6.T G D H B E M L N C K I S P F V R Q O A166[Figure 166]Fig. 3.A E G B D F C167[Figure 167]Fig. 5.N K F E C B A H L V W R G168[Figure 168]Fig. 9.Z R A X H C B D M K S Q G
429
[Empty page]
430
[Empty page]
431
[Empty page]
432
[Empty page]
433
[Empty page]