Ghetaldi, Marino, Marini Ghetaldi Promotus Archimedis seu de varijs corporum generibus gravitate et magnitudine comparatis, 1603

Bibliographic information

Author: Ghetaldi, Marino
Title: Marini Ghetaldi Promotus Archimedis seu de varijs corporum generibus gravitate et magnitudine comparatis
Year: 1603
City: Roma
Publisher: Zannetti
Number of Pages: 4 Bl., 72 S.: Ill.

Permanent URL

Document ID: MPIWG:NX4MRC1M
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:NX4MRC1M

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. MARINI GHETALDI PATRICII RAGVSINI PROMOTVS ARCHIMEDIS SEV De varijs corporum generibus grauitate & magnitudine comparatis. Page: 5
3. ROM AE, Apud Aloyſium Zannettum. MDCIII. SVPERIORV M PERMISSV. Page: 5
4. REVERENDISSIMO SERAPHINO OLIVARIO RAZZALIO. PATRIARCH AE ALEXANDRINO. Marinus Ghetaldus. S. P. D. Page: 7
5. BENEVOLO LECTORI. Page: 11
6. Seu, DE VARIIS CORPORVM GENERIBVS Grauitate, & magnitudine comparatis. THEOREMA I. PROPOS. I. Page: 13
7. THEOREMA II. PROPOS. II. Page: 14
8. THEOREMA III. PROPOS. III. Page: 14
9. THEOREMA IV. PROPOS. IV. Page: 16
10. THEOREMA V. PROPOS. V. Page: 17
11. THEOREMA VI. PROPOS. VI. Page: 17
12. THEOREMA VII. PROPOS. VII. Page: 18
13. PROBLEMA I. PROPOS. VIII. Page: 19
14. Exemplum. Page: 20
15. PROBLEMA II. PROPOS. IX. Page: 23
16. Exemplum. Page: 23
17. PROBLEMA III. PROPOS. X. Page: 24
18. Exemplum. Page: 26
19. PROBLEMA IV. PROPOS. XI. Page: 27
20. Exemplum. Page: 28
21. PROBLEMAV. PROPOS. XII. Page: 29
22. Exemplum. Page: 30
23. PROBLEMA VI. PROPOS. XIII. Page: 31
24. Exemplum. Page: 33
25. PROBLEMA VII. PROPOS. XIV. Page: 34
26. Exemplum. Page: 34
27. PROBLEMA VIII. PROPOS. XV. Page: 37
28. Exemplum. Page: 38
29. THEOREMA VIII. PROPOS. XVI. Page: 40
30. ALITER. Page: 42
31. THEOREMA IX. PROPOS. XVII. Page: 43
32. Ad comparandum inter ſe duodecim corporum genera grauitate, & magnitudine tabella. Page: 44
33. Altera, ad comparandum inter ſe duodecim corporum genera, grauitate, & magnitudine, tabella. Page: 45
34. Hic ſequitur tabula, ad inueniendas ſphærarum grauita-tes, ex data diametrorum magnitudine, cuius hæc eſt explicatio. Page: 46
35. Qua ratione hanc Tabulam compoſuimus. Page: 47
36. Ad inueniendas ſphæra-diametrorum TAB Page: 48
37. Sequitur, ad inueniendas diametrorum magnitudines ex data ſphæ-rarum grauitate, tabula. Page: 53
38. Hactenus Vitruuius. Page: 64
39. PROBLEMA IX. PROPOS. XVIII. Page: 66
40. Exemplum. I. Page: 67
41. Exemplum. II. Page: 67
42. THEOREMA X. PROPOS. XIX. Page: 68
43. Alia breuior Theorematis demonſtratio. Page: 71
44. Item. Page: 74
45. Velin eadem denominatione. Page: 75
46. Compoſitio eiuſdem tabulæ. Page: 82
47. FINIS. ERRATA SIC CORRIGE. Page: 84
1
[Empty page]
2
[Empty page]
3
[Empty page]
411[Handwritten note 1]22[Handwritten note 2]33[Handwritten note 3]
5
MARINI GHETALDI
PATRICII
RAGVSINI
PROMOTVS ARCHIMEDIS
SEV
De varijs corporum generibus
grauitate & magnitudine
comparatis.
1[Figure 1]
ROM AE,
Apud Aloyſium Zannettum. MDCIII.
SVPERIORV M PERMISSV.
6
[Empty page]
7
REVERENDISSIMO
SERAPHINO OLIVARIO
RAZZALIO.
PATRIARCH AE
ALEXANDRINO.
Marinus Ghetaldus. S. P. D.
EGREGIA ſanè Reuerendiſsime
PRÆSVL quod probe noſti, vete-
rum ſapientum ſoelicitas fuit. Eam
enim cum ingenij præſtantia, tum
prærogatiua temporis laudem occu-
parunt, quã vel ſperare poſterioribus
temerariũ ſit. Et vero illis non ſolum nos plurimum de-
bemus, quod plurima ipſi perfecere: verum etiam quod
quædam quaſi fundamenta iecere, quibus dum rerum
nouarũ molem conamur imponere, nos quoque experi-
ri noſtras vires, exercere induſtriam, remque ſapientiæ
publicam amplificare poſsimus. Quo in genere magno-
rum ego virorum ſtudium potius quam gloriam æmu-
latus ſuper vnum ex Archimedeis fundamentis, de ra-
tione, qua varia corporum genera inter ſe grauitate &
magnitudine comparantur, fabricatus nonnulla ſum:
8 quæ nunc omnium oculis expoſiturus, vt eam ſuſtineã,
perſonam, quam ſemper recuſaui, patrocinium huiuſ-
modi quærendum mihi exiſtimaui, quod & imbecillita
tem meam contra obtrectatorum, ſi qui forte exiſterent,
calumnias ſuſtineret; & imminentem famæ, exiſtimatio
niſque iacturam auerteret. Vnus igitur tu occuriſti SE-
RAPHINE qui & cõmodiſsime mihi patrocinari poſ-
ſes, & quodam quaſi iure deberes. Cum enim tu me ad
emittendum id opus hortatu tuo compuleris, videbatur
quodam iure ad tuam fidem eius tutela pertinere. Tuq;
is es, quem non modo rudes, ſed etiam docti ſuſpiciunt.
Habet noſtra hæc ætas, quos admiretur; habet quos ex-
tollat præclaros viros, ſed quos tibi anteponat, non facile
inueniet. Degis ea in Vrbe, quæ laudis mediocritatem
vel nunquam agnouit, vel ſemper contempſit: neque in
tanta maieſtate, tua deficit virtus, ſed bono in lumine po
ſita collucet magis. In primis enim tua vitæ integritas
eiuſmodi eſt, vt non contenta domeſtico præconio latiſ-
ſime peruagetur. Habent omnes quod prædicent, & imi
tentur; habet quod excipiat gratiſsima memoria poſte-
ritas vniuerſa. Doctrinæ vero ea excellentia es, vt ea ſatis
omnibus clarus, & illuſtris, non ſatis tibi, tecum aſsidue
certes. nec mirum, qui vel à primis incunabulis ad ſum-
ma contendebas, ſi prouecta iam ætate vix habeas, quo
altius contendas. Præclarum ſanè & eximium vno do-
ctrinæ genere; ſublime, atque admirabile multiplici ex-
cellere. Tu vero in omni genere laudem egregiam aſſe-
cutus es abſolutam videlicet tibi gloriam propoſitam
voluiſti; quiq; intelligebas hominem ad honeſta
9 genitum, nullam tibi rerum glorioſarum partem con-
temnendam putaſti. Placet incredibili rerum humana-
rum vſui diuinarum rerum cognitionem adiungere; vt
habeat animus à caducis ad æterna, ſe conferendo, vnde
oblectamentum capiat, & admirationem. Philoſophiam
ita tenes, vt qui in maximis negocijs aſsidue verſatus es,
videaris ſemper fuiſſe otioſus. Quid dicam de ſingulari
eaq; eximia rerum cœleſtium, totiuſq; mundi cognitio-
ne? quam tu tanta cum auiditate ex reconditiſsimis Ma-
thematicorum fontibus hauſiſti, vt illud aſſecutus in eo
genere iam ſis, quod alij in maxima tranquillitate, in
ſummo otio vix auſint optare? Exitum tuorum labor um
fœliciſsimum vides: gloria multiplici frueris, neque illa
precaria ſed tua. & quibuſdam quaſi gradibus ad ampliſ-
ſimos honores euehendus, in ea conſtitueris dignitate; in
qua pro ſacroſanta Eccleſia nunquam non excubando,
in peramplo tot illuſtrium virorum Theatro non alienæ
gloriæ ſpectator, ſed actor tuæ conſiſtas. Tu vero, quod
rarum eſt, laudem ſapientiæ, quæ vix vllos habeb at ter-
minos, humanitatis tuæ terminis circumſcribis; & expo-
nis omnibus: vt extanto fonte perennes ad omnium or-
dinum homines riuuli deducantur. Fœlix qui ſolidæ
fœlicitatis cauſam & initium in te conſtitutum ita foues,
vt cum alijs illam communicando, non imminuas, ſed
amplifices. prægrande videlicet non ſuccreſcentis, ſed
adultæ iam virtutis fœnus honorem ex honore, laudem
ex laude conſequi vberiorem, hæc illa ſapienti viro non
indigna liberalitas, quæ rerum preſtantiſsimarum poſ-
ſeſsione non imminuta, in copia tenuitatem non
10 rens vbertatis ipſa ſuæ domina nunquam debilitatur,
nunquam deficit. Quin etiam iſto loco conſtitutus bo-
narum literarum ſtudioſos complecteris, ac tueris. Hæc
eſt vera germanæ nota ſapientiæ, cum, quas vires nanci-
ſcitur, ijs ſapientiam alit, tuus animus & tuæ ſapientiæ, &
alienæ par eſt. Hæc ſunt firmiſsima & ſolidiſsima funda-
menta ad æternam poſteritatis memoriam, quam licet
proficiſci iam videas ex ijs quibus abundas animi orna-
mentis, neſcio tamen quo pacto gratior nobis acccidit,
cum ex aliorum etiam præconio ſuſcipit incrementum.
Hinc domus tua floret doctiſsimorum familiaritatibus;
hinc nulli ad tuam conſuetudinem præcluditur aditus;
hinc plurimorum ſtudia commouentur; hinc illa ſapien
tum æmulatio & admiratio: hinc omnium omnino or-
dinum ad te concurſus tanquam ad ſapientiſsimum hu-
mani diuiniq; iuris patronum, & interpetem. Quid ego
igitur quem tibi ſexcentis eximiæ beneuolentiæ argu-
mentis obligatum voluiſti, perexiguum hunc ingenij
mei partum expoſiturus, vnum te nominis & exiſtima-
tionis meæ patronum non ſuſcipiam? equidem in am-
pliſsimi Theatri lucem ſapientiſsimorumq; hominum
conſpectum quibus abundat hæc noſtra ætas inferre me
non magnopere cogitabam: Tu hortatus es dubitan-
tem impuliſti vel reluctantem: tuere igitur obſequen-
tem iam nunc mihi videor in exigua vel nulla ſpe lau-
dis ex ingenio meo, fempiternam nominis immortali-
tatem ex tuo patrocinio conſecutus. Vale.
Romæ VII. Kal. Maij. MDCIII.
11
BENEVOLO
LECTORI.
DIVERSA corporum genera duplici ra-
tione comparari inter ſe à Mathematicis
poſſunt mole ac pondere. Pondere compara-
tio fit, cum inter corpora diuer ſi generis mo
le æqualia, quæritur, quę ſit ratio ponderis:
quanto videlicet, vnum altero grauius, aut leuius ſit. Ma-
gnitudine autem fit collatio, cum poſita pari grauitate, quæ-
ritur, quæ ſit ratio magnitudinis; quanto ſit alterum altero
maius, aut minus. Quæ comparatio mihi cum videretur &
iucunda cognitu, & vſum nonnullum habere, nec fuſe à quo
piam explicata, non ita pridem ſuper ea non nihil cœpi mo-
liri; ſed nibil de luce ac publico cogitabam. Is enim ego ſum,
qui malim ſcire, quam noſci; diſcere, quam docere. Sed ta-
men cum Michael Coignetus in rebus Mathematicis ex-
cellens vir, ac Magiſter meus, cui ego plurimum debere me
fateor, ab eo enim prima elementa habui, repoſcere à me pu-
blicum aliquem doctrinæ ſuæ fructum videretur. ac Fede-
ricus Saminiatus cuius morum ſuauitatem, & beneuolen-
tiam erga me diu, dum ſimul hiſce studijs condiſcipuli ope-
ram dedimus, expertus ſum, me vt aliquid auderem tum
oratione, tum exemplo ſuo excitaret, cœpi minus ab ea cogi-
tatione alienus eſſe. Deinde vero ſummos viros
12 hortatores. Etenim cum Clauium, quod iam diu cupiebam,
vidiſſem, nec minorem tanta ſcientia, & fama viri beni-
gnitatem comperiſſem. Ab eo ſimul ac Theodoſio Rubeo ho-
mine mihi tum ex ſtudior um ſimilitudine, tum præcipue ex
eius humanitate amiciſsimo, ad Reuerendiſsimum Sera-
phinum deductus ſum. Iſq; me tantus Præſul non ſolum
bumaniſsime complexus est, verum etiam ita hortatus ad
euulganda, quæ ſcripſeram; plane vt mihi nefas putauerim
non parere. Accipe igitur & tu Lector optime amico ac be-
nigno animo laborem hunc, quem à me talium virorum
ſumma benignitas expreſsit. Argumentum quidem, v@
dicebam non iniucundum eſt, nec ab vſu alienum. Huiuſ-
modi enim comparatione Archimedes mixtionem argenti
in auro deprehendit, & furtum Aurificis in corona aurea
pateſecit. de quare ſuo loco ego tractabo, & facilem mon-
strabo viam, qua vel argentum in auro, vel q́uod vis me-
tallum in quolibet admistum deprehendi queat, & alte
rum ab altero diſcerni; & ſimul explicabo, quo pacto ex au-
ri grauitate eius qualitas, nota, ac perfectio intelligi poſsit.
Toti vero opuſculo nomen ab Archimede, quem Ducem ſe-
quor, impoſui. Nam cum ille, vt erat ſummus Magiſter, ſa-
tis habuiſſet hanc totam quaſi fabricam, poſito fundamen-
to delineare in primo lib. vbi agit de ijs quæ vehuntur in
aqua. Opus ego promouere; eiq; fundamento molem inijce-
re conatus ſum partibus ſuis elaboratam, atque distin-
ctam. Qua in re ſi quid aſſequutus ſum, quod publice pro-
beiur, gaudeo cauſa & mea & publica: illud quidem ſpe-
ro fore vt conatus non diſpliceat.
131MARINI GHETALDI PROMOTVS ARCHIMEDES
Seu,
DE VARIIS CORPORVM GENERIBVS
Grauitate, & magnitudine comparatis.
THEOREMA I. PROPOS. I.
SI duorum Grauium Corporum eiuſdem ge-
neris alterum alterius fuerit multiplex, quo-
tuplex maius fuerit minoris, totuplex erit
maioris grauitas, grauitatis minoris.
SINT duo corpora eiuſdem generis ABC, D, quorum grauita-
tes, EFG, ipſius ABC, & H, ip-
2[Figure 2] ſius D, ſit autem corpus ABC,
multiplex corporis D. Dico quo
tuplex eſt corpus ABC, corporis
D, totuplicem eſſe grauitatem
EFG, grauitatis H, diuidatur
enim corpus ABC, in partes ip-
ſi D, æquales, quæ ſint A, B, C,
quoniam igitur corpus A, æqua
le eſt corpori D, magnitudine,
& ſunt eiuſdem generis, erit grauitas vnius æqualis grauitati alterius.
Sumatur grauitas E, æqualis grauitati H, erit igitur corporis A, gra-
uitas E, & reliqui corporis BC, grauitas FG. Rurſus quoniam cor-
pora B, D, ſunt magnitudine æqualia, erunt æquè grauia, ſumatur
grauitati H, æqualis grauitas F, erit igitur corporis B, grauitas F, &
reliqui corporis C, grauitas G, & ſic fiat, donec perueniatur ad vlti-
mam partem corporis ABC, æqualem ipſi D, ſit ea vltima pars C, quo
niam igitur corpus C, æquatur magnitudine ipſi D, æquabitur, & gra-
uitate, quare grauitas G, æqualis erit grauitati H, ſequitur igitur
quot partes ſunt in corpore ABC, æquales ipſi D, tot eſſe partes in.
grauitate EFG, æquales ipſi H, quoties enim ſumpſimus in corpore.
ABC, corpus ipſi D æquale, toties & in grauitate EFG,
142PROMOTVS grauitatem æqualem ipſi H. Si duorum igitur grauium corporum
eiuldem generis, & c. quod erat demonſtrandum.
THEOREMA II. PROPOS. II.
COrpora grauia eiuſdem generis magnitudine com
menſurabilia, eandem in grauitate rationem ha-
bent, quam in magnitudine.
SINT corpora commenſurabilia eiuſdem generis A, B, quorum
grauitates C, ipſius A, & D, ipſius B, Dico eſſe vt A, ad B, ita C, ad D,
quoniam enim, A, B, commenſura-
3[Figure 3] bilia ſunt, metietur ipſa aliquod
corpus, metiatur, & ſit E, cuius
grauitas F, ſitque corpus E, eiuſdĕ
11Ex an-
teced. generis cum corporibus A, B, ergo quotuplex eſt corpus A, ipſius E,
totuplex erit grauitas C, grauitatis
22Ex an-
teced. F, & quotuplex B, ipſius E, totuplex D, ipſius F, ſi igitur diuidantur cor-
pora A, B, in partes æquales ipſi E,
& grauitates quoque C, D, in partes æquales ipſi F, erit vt corporis
A, pars vna, ad corpus E, ita pars vna grauitatis C, ad grauitatem F,
æquale videlicet ad æquale, & æque multiplicatis antecedentibus
erit vt A, ad E, ita C, ad F, ſunt enim antecedentium, hoc eſt, illarum
partium æque multiplicia A, C, eadem ratione, vt B, ad E, ita erit D,
ad F, & conuertendo vt E, ad B, ita F, ad D. quoniam igitur vt A, ad
E, ita eſt C, ad F, & vt E, ad B, ita F, ad D, erit ex æquali vt A, 3322. 5.
Elem. B, ita C, ad D. corpora igitur commenſurabilia eiuſdem generis ean-
dem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat
demonſtrandum.
THEOREMA III. PROPOS. III.
ET incommenſurabilia corpora eiuſdem generis
eandem in grauitate rationem habent, quam in
magnitudìne.
SINT incommenſurabilia corpora A, BC, quorum grauitates
D, ipſius A, & EF, ipſius BC. Dico eſſe vt A, ad BC, ita D, ad EF,
153ARCHIMEDES. enim non eſt vt A, adBC, ita D, ad EF, erit vt A, ad BC, ita D, vel ad
minorem quam EF,
4[Figure 4] vel ad maiorem, ſit
primum ad minorĕ,
nempe ad EG, & ex-
ponatur aliquod cor
pus K, eiuſdem gene-
ris cum corporibus
A, B C, cuius graui-
tas ſit æqualis ipſi
GF, & à corpore BC,
auferatur aliqua
pars HC, quæ ſit mi-
nor corpore K, ita vt reliqua pars BL, ſit commenſurabilis ipſi A. &
ſit partis HC, grauitas IF, ergo reliquæ partis BL, grauitas erit EI.
Quoniam igitur corpus A, commenſurabile eſt ipſi BL, erit vt A, 11Ex an-
tecedĕ-
te. BL, ita D, ad EI, ſed vt A, ad BC, ita eſt D, ad EG, atque A, primus,
proportionalium terminus in ſerie prima, maiorem habet ratio nem ad BL, ſecundum terminum, quam A, primus terminus in ſerie
228. 5.
Elem. ſecunda ad BC, ſecundum; ergo & D, tertius terminus in ſerie prima
ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius termi-
nus in ſerie ſecunda ad I G, quartum, quoniam igitur D, maiorem
habet rationem ad EI, quam ad EG, erit EI, minor quam EG, 3310. 5.
Elem. eſt abſurdum. non igitur eſt vt A, ad BC, ita D, ad minorem quam E F.
Deinde ſit vt A, ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, nempe ad
EG, & expoſito cor-
5[Figure 5] pore K, vt dictum
eſt, cuius grauitas,
ſit æqualis grauita-
ti FG, addatur cor-
pori BC, aliquod
corpus CH, quod ſit
minus corpore K, &
eiuſdem generis cũ
corporibus A, BC,
ita vt totum corpus
BL, ſit commenſurabile ipſi A, & ſit ipſius CH, grauitas FI, ergo to
tius corporis BL, grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori A, com-
menſurabile eſt corpus BL, erit vt A, ad BL, ita D, ad EI, ſed vt A, 44Ex an
teced. BC, ita eſt D, ad EG, atque A, primus proportionalium terminus in
ſerie prima, minorem habet rationem ad BL, ſecundum 558. 5. Ele
164PROMOTVS quam A, primus terminus in ſerie ſecunda ad BC, ſecundum, ergo, &
D, tertius terminus in ſerie prima ad EI, quartum, minorem habebit
rationem quam D, tertius terminus in ſerie ſecunda ad EG, quartum.
Quoniam igitur D, minorem habet rationem ad EI, quam ad EG,
erit EI, maior quam EG, quod eſt abſurdum. Non igitur eſt vt 1110. 5.
Elem. ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, oſtenſum autem eſt neque ad mi-
norem; quare vt A, ad BC, ita erit D, ad EF. & incommenſurabilia igi-
tur corpora eiuſdem generis eandem in grauitate rationem habent,
quam in magnitudine, quod erat demonſtrandum.
ID QVOD nos duobus præcedentibus Theorematis de-
monſtrauimus, nõnulli, vt per ſe notum, & vt commune quod-
dam axioma ſupponunt, quam bene & rationabiliter ipſi vide-
rint; melius enim Euclides propoſitionem 20. primi libri Ele-
mentorum ſuppoſuiſſet vt pronunciatum; vnicuique enim no-
tius eſt duo trianguli latera reliquo eſſe maiora (cum & Aſino
illud ſit notum) quam corpora grauia eiuſdem generis eandem
in grauitate rationem habere, quam in magnitudine, & tamen
illam propoſitionem demonſtrat Euclides, non ſupponit, non
igitur hæc, quæ minus ad principij rationem accedit, ſuppo-
nenda fuit, ſed demonſtranda.
THEOREMA IV. PROPOS. IV.
SI quatuor corporum grauium primum ad ſecundũ
eandem in magnitudine rationem habeat, quam
tertium ad quartum, primum autem, & ſecundum ſint
eiuſdem generis, itidem tertium, & quartum; & in gra-
uitate primum ad ſecundum eandem rationem habebit,
quam tertium ad quartum.
PRIMVM enim A, ad ſecundum B, eandem in magnitudine ra-
tionem habeat, quam tertium C, ad quartum D, ſint autem A, B,
eiuſdem generis, itidem C, D. Dico & in grauitate primum A, ad
ſecundum B, eandem rationem habere, quam tertium C, ad D, quar-
tum. Sint enim earum grauitates E, ipſius A, & F, ipſius B, ipſius
vero C, ſit grauitas G, & ipſius D, grauitas H, quoniam igitur
175ARCHIMEDES. pora A, B, eiuſdem ſunt generis,
6[Figure 6] ſimiliter, & corpora C, D, erit vt A, ad B, ita E, ad F, & vt C, ad D, ita G, ad H. Sed poni-
tur vt A, ad B, ita eſſe C, ad D,
ergo vt E, ad F, ita erit G, ad
H. Si igitur quatuor corporum
grauium, primum ad ſecundum
eandem in magnitudine ratio-
nem habeat: etcæt. quod demon-
ſtrare oportebat.
THEOREMA V. PROPOS. V.
SOlida corpora liquido grauiora demiſſa in liquidum
ferentur deorſum, donec deſcendant, & erunt in li-
quido tanto leuiora, quanta eſt grauitas liquidi magni-
tudinem habentis ſolido corpori æqualem.
HOC autem demonſtratum eſt ab Archimede propoſ. 7. primi li-
bri de ijs, quæ vehuntur in aqua.
THEOREMA VI. PROPOS. VI.
SI quatuor grauium corporum primum, & ſecundum
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar-
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiuſdem generis, itidem ſecundum, & quartum; erit, vt
grauitas corporis primi, ad grauitatem ſecundi, ita gra-
uitas liquidi æqualis magnitudine corpori quarto, ad gra
uitatem liquidi tertio corpori æqualis.
SINT quatuor corpora A, B, C, D, quorum A, primum, & B, ſe-
cundum ſint magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quartum,
æque grauia, ſint autem A, & C, eiuſdem generis, itidem B, & D. Di-
co vt grauitas corporis A, ad grauitatem corporis B, ita eſſe grauita-
tem liquidi æqualis magnitudine corpori D, ad grauitatem liquidi
magnitudine corpori C, æqualis. Accipiantur enim tria eiuſdem
186PROMOTVS neris liquidi corpora E, F, G, quorum E, ſit æquale corpori A, vel B,
magnitudine, ipſum vero F, æqua
7[Figure 7] le corpori C, & ipſum G, æquale
corpori D. Quoniam igitur eſt vt
D, ad G, ita B, ad E, æquale vi-
delicet ad æquale, erit permutan-
do vt D, ad B, ita G, ad E, & quo-
niam ſunt eiuſdem generis corpo
ra D, B, ſimiliter & corpora G, E,
erit vt grauitas corporis D, 112. & 3.
huins. eſt ipſius C, ponuntur enim æque
grauia corpora C, D, ad grauita-
tem corporis B, ita liquidi G, gra-
uitas ad grauitatem liquidi E.
Similiter quoniam eſt vt A, ad E,
ita C, ad F, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando vt A, ad
C, ita E, ad F, & quoniam ponuntur eiuſdem generis corpora A, C,
222. & 3.
huius. itidem E, F, erit vt grauitas corporis A, ad grauitatem ipſius C, ita liquidi E, grauitas ad grauitatem liquidi F, ſed vt grauitas corporis
C, ad grauitatem corporis B, ita eſt grauitas liquidi G, ad grauita-
tem liquidi E, vt eſt demonſtratum, ergo in perturbata 3323. 5.
Elem. erit vt grauitas corporis A, ad ipſius corporis B, grauitatem, ita liqui
di G, grauitas, ad grauitatem liquidi F. ſi igitur quatuor grauium
corporum primum, & ſecundum, & c. quod erat demonſtrandum.
THEOREMA VII. PROPOS. VII.
SI quatuor grauium corporum primum, & ſecundũ,
fuerint magnitudine æqualia, tertium vero, & quar-
tum æque grauia, fuerint autem primum, & tertium
eiuſdem generis, itidem ſecundum, & quartum; primum
ad ſecundum eandem in grauitate rationem habebit,
quam habet in magnitudine quartum ad tertium.
SINT quatuor grauia corpora A, B, C, D, quorum A, primum
& B, ſecundum ſint magnitudine æqualia, tertium vero C, & D, quar-
tum æque grauia, ſint autem A, & C, eiuſdem generis, itidem B, &
D. Dico corpus A, eandem in grauitate rationem habere ad
197ARCHIMEDES. B, quam corpus D, habet in magnitudine ad C, corpus. Sit enim li-
quidi magnitudine æqualis corpo-
8[Figure 8] ri C, grauicas E, ſimiliter, & liqui-
di æqualis magnitudine corpori D,
grauitas F, quoniam igitur gra-
uia corpora eiuſdem generis, ean-
dem in magnitudine rationem ha- bent, quam in grauitate, erit vt ma-
gnitudo liquidi æqualis corpori D,
ad magnitudinem liquidi æqualis
corpori C, hoc eſt, vt magnitudo
corporis D, ad magnitudinem cor-
poris C, ita grauitas F, ad grauita-
tem E, ſed vt grauitas F, ad grauitatem E, ita eſt grauitas 11Ex an-
teced. A, ad grauitatem corporis B, ergo vt grauitas corporis A, ad graui- tatem corporis B, ita erit magnitudo corporis D, ad corporis C, ma-
2211. 5.
Elem. gnitudinem. Si quatuor igitur grauium corporum primum, & ſecun-
dum, & c. quod erat demonſtrandum.
PROBLEMA I. PROPOS. VIII.
PRopoſitis duobus corporibus magnitudine æquali-
bus, vno ſolido, altero liquido, data ſolidi corporis
grauitate, grauitatem liquidi inuenire.
SINT duo propoſita corpo-
9[Figure 9] ra magnitudine æqualia A, B,
quorum A, ſit ſolidum, B, vero
liquidum, & ſit ſolidi data graui-
tas CD, Oportet inuenire quan-
ta erit grauitas liquidi B. Si ſo-
lidum A, grauius ſit liquido, de-
mittatur in liquidũ, & habeat in
liquido grauitatem ED, quoniam
igitur ſolidum A, grauius eſt li-
quido, demiſſum in liquidum
erit in liquido tanto leuius, quã- ta eſt grauitas liquidi magnitu-
dine æqualis ſolido A, ſed ſolidũ
A, leuius eſt in liquido,
208PROMOTVS eſt grauitas CE, ergo grauitas liquidi magnitudine æqualis folido A,
erit CE.
Si vero ſolidum A, ſit leuius liquido, accipiatur aliquod aliud cor-
pus ſolidum F, grauius liquido, ita vt ſolidum conſtans ex vtriſque,
ſolidis A, F, demiſſum in liquidum feratur deorſum, & ſit ſolidi F,
grauitas DG, item eiuſdem ſolidi F, in liquido videlicet exiſtentis ſit
115. huius grauitas HG, ergo liquidi magnitudine æqualis ſolido F, erit gra- uitas DH.
Et quoniam ſolidi A, grauitas eſt CD, ſolidi vero F, grauitas DG,
erit vtrorumque ſolidorum A, F, grauitas CG. coniungantur ſolida
A, F, & ſolidum ex vtriſque conſtans demittatur in liquidum, & ha-
beat in liquido grauitatem GI, (habebit autem in liquido minorem
grauitatem, quam ſolum ſolidum F, quoniam ſolidum F, grauius li-
quido fertur deorſum nullo prohibente, & coniunctum cum ſolido A,
leuiori liqnido ab eo ſuſtinetut, ne deorſum feratur tãta vi, qua ſeiun-
ctum) quoniam igitur ſolidi, quod conſtat ex vtriſque ſolidis A, F,
225. huius grauitas eſt CG, in liquido vero exiſtentis grauitas GI, erit liquidi habentis magnitudinem æqualem vtriſque ſolidis A, F, grauitas CI,
ſed grauitas liquidi æqualis magnitudine ſolido F, eſt DH, ergo reli-
qui liquidi æqualis ſolido A, erit grauitas CD, IH, ſed liquidum B,
æquatur magnitudine folido A, ergo grauitas liquidi B, erit CD, IH,
inuenta igitur eſt liquidi corporis B, grauitas CD, IH, de qua quæ-
rebatur.
Placet huic Problemati exemplum apponere, vt vnicuique
etiam diſciplinæ Mathematicæ experto ad vſum pateat adi-
tus; quare etiam ſequentibus Problematis apponemus ſimilia
exempla.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus ſolidum notæ
grauitatis, & vult ſcire quanta erit grauitas liqui-
di, magnitudinem habentis propoſito Corpori ſolido æ-
qualem.
Sit primum propoſitum aliquod corpus plumbeum A, cuius graui-
tas ſit 23. & oporteat ſcire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem
babentis æqualem propoſito plumbo A, ponderetur plumbum A, in
aqua (modum quo ponderanda ſint corpora ſolida in aqua, inferius
apponemus) & babeat grauitatem 21. quoniam igitur numerus 23.
219ARCHIMEDES. juperat numerum 21, numero 2, erit grauitàs aquæ magnitudinem
habentis æqualem plumbo A, 2.
Eadem via omnium liquidorum inuenitur grauitas, quan-
do nimirum corpus ſolidum ſit grauius liquido, cuius liquidi
quærenda eſt grauitas, hoc eſt quando corpus ſolidum demiſ-
ſum in liquidum feratur deorſum.
Quando vero corpus ſolidum fuerit leuius liquido, hoc eſt
demiſſum in liquidum non deſcendat, per adiectionem alicuius
alius ſolidi corporis liquido grauioris, quæſita liquidi grauitas
inuenietur.
Sit igitur propoſitum aliquod cereum corpus A, cuius grauitas ſit
21. & oporteat ſcire quanta erit grauitas aquæ magnitudinem haben-
tis æqualem ceræ A. Quoniam cera leuior est, quam aqua, ſi demitta-
tur in aquam non feretur deorſum, accipiatur aliquod corpus ſolidum
F, grauius quam aqua, ita vt corpus constans ex vtriſque corporibus
A, F, demiſſum in aquam feratur deorſum, ſit igitur corpus F, plum-
beum, cuius grauitas ſit v. g. 23, & eiuſdem in aqua ponderati 21,
ergo aquæ magnitudinem habentis æqualĕplumbo F, erit grauitas 2,
Et quoniam ceræ A, grauitas est 21, plumbi vero F, 23, erit vtro-
rumque corporum A, F, ceræ nimirum, & plumbi grauitas 44, coniun
gatur cera, & plumbum, & ita coniuncta ponderentur in aqua, &
habeant grauitatem 20, quoniam igitur numerus 44, ſuperat nume-
rum 20, numero 24, erit grauitas aquæ habentis magnitudinem æqua-
lem vtriſque corporibus ceræ & plumbi 24, ſed grauitas aquæ magni-
tudinem habentis æqualem plumbo F, est 2, ergo reliquum quod est
22, erit grauitas, aquæ magnitudine æqualis propoſitæ cera A.
At vero ſi propoſitum fuerit aliquod corpus ſolidum ma-
gni ponderis, ita vt difficile poſſit ponderari in aqua, hac via
inuenietur aquæ quæſita grauitas.
Sit aliquod corpus plumbeũ A, cuius grauitas 2300, & oporteat in
uenire grauitatem aquæ magnitudinem habentis æqualĕ plumbo A,
accipiatur aliquod paruum plumbi corpus F, cuius grauitas ſit v. g.
23, & inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis plumbo F, vt
dictum est, quæ ſit. 2, & fiat vt 23, ad 2, ita 2300, ad alium numerum
qui ſit 200. grauitas igitur aquæ magnitudinem habentis æqualem
plumbo A, erit 200.
Similiter ſit aliquod cereum corpus A, cuius grauitas 2100, & opor
teat facere, quod imperatùm eſt. accipiatur aliquod paruum ceræ cor-
pus F, cuius grauitas ſit v. g. 21, & inuenta grauitate aquæ
2210PROMOTVS tudinem habentis æqualem ceræ F, quæ ſit 22, fiat vt 21, ad 22, ita
2100, ad alium numerum qui ſit 2200; erit igitur grauitas aquæ ma
gnitudinem habentis æqualem ceræ A, 2200.
Neque neceſſe eſt, vt illud corpus ſolidum magni ponderis
reipſa proponatur, ſufficit enim vt eius grauitas notificetur
numero tantum.
Si autem propoſitum fuerit inuenire quanta erit graui-
tas argenti viui magnitudine æqualis propoſito corpori ſo-
lido A; ratione qua ſupta, non inuenietur ipſa grauitas, quo-
niam nullum corpus demiſſum in argentum viuum fertur
deorſum, niſi aurum, aurum vero in ipſo argento viuo perrum-
pitur, ſed qua ratione inuenienda ſit ipſa argenti viui graui-
tas, dicemus ad finem exempli propoſitionis decimæquartæ.
Quomodo ponderanda ſint corpora ſolida in aqua.
COrpus quod ponderandum proponitur ſeta equina ex altera li-
bræ lance appendatur, in altera lance ponantur pondera, & cor-
pus appenſum demittatur in aquam, ita vt in aqua libere pendeat, ne-
que lancem, cui appenſum est corpus, neque aliam in qua ſunt pondera
aqua contingat, & ita ponderetur propoſitum corpus, ac ſi in aere pen
deret.
Dixi ſeta equina corpus ponder andum debere appendi, quia fere
æque grauis eſt atque aqua, & ideo nihil addet, vel minuet grauita-
tis in ipſo corpore ponderando.
Quod ſi corpus ponderandum fuerit, tam graue, vt ſeta ſimplici ſu-
stineri nequeat, appendatur pluribus ſimul iunctis ſetis, & ne aliquid
grauitatis ſetarum coniunctio addat corpori ponderando, ponantur
in altera lance totidem ſetæ æquales eis, quæ ex lance, cui appenſum eſt
corpus pendent, vſque ad corpus appenſum, hac igitur ſetarum addi-
tione æque ponderabunt lances, & quamuis illæ ſetæ, quibus appen-
ſum est corpus, ſint longiores, quam aliæ alteri lanci additæ, longitudi-
ne partium, quibus ligatum est corpus, tamen quoniam illæ partes
æque graues ſunt, atque aqua, exiſtentes cum ipſo corpore in aqua, nul-
lam grauitatem habebunt, & ideo illæ ſetæ quæ alias ſuperant dictis
partibus, & ſi longiores, non erunt grauiores quam aliæ, existenti-
bus, nempe, vt dictum eſt, illis partibus cum ipſo corpore in aqua Sic
igitur in aqua ponderanda erunt ſolida corpora, quod animaduertiſſe
fuit operæ pretium.
2311ARCHIMEDES.
PROBLEMA II. PROPOS. IX.
PRopoſitis duobus corporibus magnitudine æquali-
bus, vno ſolido, altero liquido, data corporis li-
quidi grauitate, grauitatem ſolidi inuenire.
SINT duo propoſita corpora
magnitudine æqualia, A, quidem ſo-
10[Figure 10] lidum, B, vero liquidum, ſit autem li-
quidi B, data grauitas F, & oporteat
inuenire grauitatem ſolidi A, accipia
tur aliquod corpus ſolidum D, eiuſdĕ
generis, cum ſolido A, cuius grauitas
ſit H, deinde liquidi eiuſdem generis
cum liquido B, magnitudine æqualis
ſolido D, inueniatur grauitas quæ 118. hu-
ius. G, & fiat vt G, ad H, ita F, ad aliam
grauitatem, quæ ſit C. Dico ſolidi A,
grauitatem eſſe C, accipiatur enim aliquod corpus liquidum E, eiuſ-
dem generis cum liquido B, grauitatem habens æqualem ſolido D,
Quoniam igitur ſunt quatuor corpora grauia B, A, E, D, quorum pri-
mum B, & ſecundum A, ſunt magnitudine æqualia, tertium vero E,
& quartum D, æquegrauia, & ſunt eiuſdem generis corpora B, E, ſi-
militer, & corpora A, D, erit vt grauitas liquidi æqualis 226. huius ne ſolido D, hoc eſt vt G, ad grauitatem liquidi E; hoc eſt ad H, ponũ-
tnr enim æque grauia corpora D, E, ita grauitas F, ad ſolidi A, graui-
tatem, ſed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita eſt grauitas F, ad C,
grauitatem, ergo grauitas C, æqualis erit grauitati ſolidi A. Inuenta
igitur eſt ſolidi A, grauitas C, quod facere oportebat.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult ſcire quanta erit grauitas alicu-
ius ſolidi, magnitudinem habentis propoſito Corpori li-
quido æqualem.
Sitpropoſitum aliquod corpus aqueum B, euius grauitas ſit 100. &
2412PROMOTVS oporteat ſcire quanta erit grauitas plumbi magnitudinem habentis
æqualem propoſitæ aquæ B, verbi gratia ſit vas aliquod plenum aqua,
cuius aquæ grauitas ſit 100, & oporteat ſcire, ſi illud idĕ vas replea-
tur plumbo, quanta illius plumbi erit grauitas. Accipiatur aliquod
plumbeum corpus D, cuius grauitas ſit 23, deinde aquæ magnitudinĕ
habentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas, quod quomodo fie-
ri oporteat iam dictum eſt in antecedentis problematis exemplo: ſit igi
tur ea inuenta grauitas 2, & fiat vt 2, ad 23, ita 100, ad alium nume-
rum qui ſit 1150, is igitur numerus erit grauitas plumbi magnitu-:
dinem habentis propoſitæ aquæ B, æqualem, hoc est illius plumbi, quod
in vaſe continetur.
At vero ſi propoſitũ fuerit inuenire quãta erit grauitas ceræ,
aut ligni, aut cuiuſcũque ſolidi leuioris quam aqua, nihil diuer
ſi in opere accidet, niſi quod ratio inueniendi grauitatem
aquæ magnitudinem habentis æqualem corpori ſolido leuio-
ri, quàm aqua, differt in aliquo à ratione, qua inuenitur graui-
tas aquæ magnitudinem habentis æqualem ſolido corpori
grauiori, quam aqua, ſed vtramque rationem exemplo ante-
cedentis Problematis illuſtrauimus, in eo enim ſatis explica-
tum eſt de vtraque.
Sed ne exemplorum inopia laborare videamur, ſit inuenienda gra-
uitas ceræ magnitudinem habentis æqualem propoſitæ aquæ B, acci-
piatur aliquod cereum corpus D, cuius grauitas ſit 21, deinde aquæ
magnitudinem habentis æqualem ceræ D, inueniatur grauitas, vt in
antecedentis Problematis exemplo dictum est, quæ grauitas ſit 22, &
fiat vt 22, ad 21, ita 100, hoc est grauitas aquæ B, ad alium numerum
qui ſit 95 {5/11}. is igitur numerus indicabit quanta erit grauitas ceræ
magnitudinem habentis æqualem propoſitæ aquæ B.
Similiter ſi propoſitum liquidum corpus B, fuerit olei, aut
vini, aut cuiuſcumque liquidi, præter argenti viui, eadem om-
nino via, qua ante, inuenietur quæſita corporis ſolidi grauitas,
ſed de argento viuo tractabimus ad finem propoſitionis deci-
mæ quartæ.
PROBLEMA III. PROPOS. X.
PRopoſitis duobus corporibus æque grauibus, vno
ſolido, altero liquido, data ſolidi corporis
2513ARCHIMEDES. dine, magnitudinem liquidi inuenire.
SINT duo propoſita corpora
11[Figure 11] æque grauia, A, quidem ſolidum B,
vero liquidum, ſit autem ſolidi A, da-
ta magnitudo C, & oporteat inuenire
quanta erit magnitudo liquidi B, Ac-
cipiatur aliquod corpus ſolidum D,
eiuſdem generis cum ſolido A, & ſit
eius grauitas G, & liquidi, quod ſit E,
eiuſdem generis cum liquido B, ma-
gnitudinem habentis æqualem ſolido
D, inueniatur grauitas quæ ſit H, & 118. buius fiat vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita magnitudo C, ad aliam magnitudinem quæ ſit F. Quoniam igitur
ſunt quatuor corpora grauia E, D, B, A, quorum primum E, & ſecun-
dum D, ſunt æqualia magnitudine, tertium vero B, & quartum A,
æque grauia, & ſunt eiuſdem generis corpora E, B, ſimiliter, & corpo-
ra D, A, erit vt grauitas H, ad grauitatem G, ita magnitudo C, ad 227. huius quidi B, magnitudinem, ſed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita eſt
magnitudo C, ad magnitudinem F, ergo magnitudo F, æqualis erit
magnitudini liquidi B, inuenta igitur eſt liquidi corporis B, magni-
tudo F, quod facere oportebat.
Sed quoniam corporum regularium magnitudo quo-
que exprimitur latere eiuſdem corporis, vel diametro, ſi
propoſita duo corpora A, B, ſuerint regularia, vtpote ſphę
rica, fuerit autem ſphæræ A, data diameter C, & oporteat
inuenire quanta erit diameter ſphæræ B. ita faciendum
erit.
Accepto, vt diximus, aliquo corpore ſolido D, eiuſdem generis cũ
ſphæra A, & inuenta grauitate liquidi E, vt ſupra, fiat vt grauitas H,
ad grauitatem G, ita cubus ex C, ad alium cubum, cuius latus ſit F,
dico ipſum latus F, æquale eſſe diametro ſphæræ B. Quoniam enim
eadem ratione qua ſupra demonſtrabitur, vt grauitas H, ad grauita-
tem G, ita eſſe magnitudinem ſphæræ A, ad ſphæræ B, magnitudinem,
ſed magnitudo ſphæræ A, ad magnitudinem ſphæræ B, 3318. 12.
Elem. rationem habet eius, quam C, diameter ſphæræ A, ad diametrum
ſphæræ B, ſimiliter & cubus ex C, ad cubum ex diametro ſphæræ
2614PROMOTVS1113. 12.
Elem. triplicatam rationem habet eius, quam C, ad diametrum ſphæræ B, ergo vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum
ex diametro ſphæræ B, ſed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita eſt cu
bus ex C, ad cubum ex F, ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diame-
tri ſphæræ B; quare & latus F, æquabitur ſphæræ B, diametro. inuen-
ta igitur eſt quantitas diametri liquidæ ſphæræ B, quod facere opor-
tebat.
Exemplum.
Q Vidam proponit aliquod corpus ſolidum notæ
magnitudinis, & vult ſcire quanta erit magnitudo
alicuius liquidi, grauitatem habentis propoſito corpori
ſolido æqualem.
Sit propoſitum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo ſit
10, & oporteat ſcire quanta erit magnitudo aquæ grauitatem haben-
tis æqualem propoſito plumbo A, accipiatur aliquod corpus plumbeũ
D, cuius grauitas 23, deinde aquæ magnitudinem habentis æqualem
plumbo D, inueniatur grauitas, vt in exemplo propoſ. 8. dictum eſt,
quæ ſit 2, & fiat vt 2, ad 23, ita 10, ad alium numerum qui ſit 115, is
igitur indicabit quanta erit magnitudo aquæ grauitatem habentis
æqualem propoſito plumbo A.
Quod ſi propoſitũ corpus plumbeum A ſit regulare vt po-
te ſphæricum, cuius ſphæræ diameter ſit 10, & oporteat inue-
nire quanta erit diameter ſphæræ ex aqua, grauitatem haben-
tis æqualem propoſitæ ſphæræ A, ita faciendum erit.
Accipiatur, vt diximus, aliquod corpus plumbeum D, cuius gra-
uitas 23, deinde aquæ habentis magnitudinem æqualem plumbo D,
inueniatur grauitas quæ ſit 2, & fiat vt 2, ad 23, ita cubus ex 10, qui
eſt 1000, ad alium numerum qui ſit 11500, is igitur numerus erit
cubus diametri ſpbæræ ex aqua grauitatem habentis æqualem propo-
ſitæ ſpbæræ A, quare eius latus cubicum, quod est 22 {57/100}, proximũ
vero indicabit ipſam diametrum.
Similiter ſi propoſitum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inueniemus latus cu
bi ex aqua grauitatem habentis æqualem propoſito cubo A, nam ſi cu-
bi A, datum ſit latus 10, erit numerus 11500, cubus ex aqua æqualis
grauitate propoſito cubo A, quare latus cubicum numeri 11500,
2715ARCHIMEDES. est 22 {57/100}. proxìmũ vero indicabit quæſitum latus cubi ex aqua.
Neque diſſimili ratione inuenietur magnitudo olei, aut ar-
genti viui, aut cuiuſcumque generis liquidi grauitatem habĕ-
tis propoſito corpori ſolido æqualem, ſed quomodo inuenien-
da ſit grauitas argenti viui magnitudinem habentis æqualem
corpori ſolido, docebimus poſt exemplum propoſitionis de-
cimæ quartæ.
PROBLEMA IV. PROPOS. XI.
P Ropoſitis duobus corporibus æque grauibus, vno ſo
lido, altero liquido, data liquidi corporis magnitu-
dine, magnitudinem ſolidi inuenire.
SINT propoſita duo corpora æ-
12[Figure 12] quæ grauia, A, quidem ſolidum, B,
vero liquidum, ſit autem liquidi B;
data magnitudo F, & oporteat ſolidi
A, magnitudinem inuenire. Accipia-
tur aliquod corpus ſolidum D, eiuſdĕ
generis cum corpore ſolido A, cuius
grauitas ſit G, deinde liquidi quod ſit
E, eiuſdem generis cum corpore liqui
do B, magnitudinem æ qualem haben-
tis ſolido D, inueniatur 118. huius quæ ſit H, & fiat vt grauitas G; ad gra-
uitatem H, ita F, magnitudo, ad aliam magnitudinem, quæ ſit C;
quoniam igitur ſunt quatuor corpora D, E, A, B, quorum primum D,
& ſecundum E, ſunt magnitudine æqualia, tertium vero A, & quartũ
B, æquæ grauia, & ſunt eiuſdem generis ſolida D, A, ſimiliter, & liqui-
da E, B, erit vt grauitas G, ad grauitatem H, ita F, magnitudo ad 227. huius gnitudinem ſolidi A, ſed vt grauitas G, ad grauitatem H, ita eſt ma-
gnitudo F, ad C, magnitudinem, ergo magnitudo C, æqualis erit ma-
gnitudini corporis ſolidi A, inuenta igitur eſt corporis folidi A, ma-
gnitudo C, quod erat faciendum.
Q Vod ſi propoſita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia vtpote ſphærica, fuerit autem
2816PROMOTVS dæ ſphæræ B, data diameter F, & oporteat inuenire quan
ta erit diameter ſolidæ ſphæræ A, ita faciendum erit.
Accepto vt ſupra corpore ſolido D, & liquidi E, inuenta grauitate,
vt dictum eſt, fiat vt grauitas G, ad prauitatem H, ita cubus ex F, ad
alium cubum, cuius latus ſit C, Quoniam igitur eadem ratione qua
ſupra oſtendetur, vt grauitas G, ad grauitatem H, ita eſſe magnitudi-
nem ſphæræ B, ad ſphæræ A, magnitudinem, ſed magnitudo ſphæræ B,
ad magnitudinem ſphæræ A, triplicatam rationem habet eius, 1118. 12.
Elem. F, diameter ſphæræ B, ad diametrum ſphæræ A, ſimiliter, & cubus ex
F, ad cubum ex diametro ſphæræ A, triplicatã rationem habet 2233. 11.
Elem. quam F, ad diametrum ſphæræ A, ergo, vt grauitas G, ad grauitatĕ
H, ita erit cubus ex F, ad cubum ex diametro ſphæræ A, ſed vt graui-
tas G, ad grauitatem H, ita eſt cubus ex F, ad cubum ex C, ergo cubus
ex C, æqualis erit cubo diametri ſphæræ A, quare, & latus C, æquabi-
tur ipſius ſphæræ A, diametro, inuenta igitur eſt quantitas diametri
ſolidæ ſphæræ A, quod facere oportebat.
Exemplum.
Q Vidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire quanta erit magni-
tudo alicuius ſolidi grauitatem habentis propoſi-
to corpori liquido æqualem.
Sit propoſitum aliquod corpus aqueum B, cuius magnitudo ſit 115,
& oporteat inuenire quanta erit magnitudo plumbi grauitatem ha-
bentis æqualem propo ſitæ aquæ B, accipiatur aliquod corpus plumbeũ
D, cuius grauitas ſit verbi gratia 23, deinde aquæ magnitudinem ha-
bentis æqualem plumbo D, inueniatur grauitas quæ ſit 2. id autem do-
cuit propoſitionis octauæ exemplum, & fiat vi 23, ad 2, ita 115, ad
alium numerum qui ſit 10, is igitur numerus indicabit quanta erit
magnitudo plumbi grauitatem habentis æqualem propoſitæ aquæ B.
Quod ſi propoſitum corpus aqueum B, ſit ſphæricum, cuius
ſphæræ diameter ſit 10, & oporteat inuenire quanta erit dia-
meter ſphæræ ex plumbo, grauitatem habentis æqualem pro-
poſitæ ſphæræ B, ita faciendum erit.
Accepto, vt diximus aliquo corpore plumbeo D, cuius grauitas 23,
& aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo D, inuenta
2917ARCHIMEDES. tate 2, fiat vt 23, ad 2, ita cubus ex 10, boc est 1000, ad alium nume-
rum qui ſit 86 {22/23}. is igitur numerus erit cubus diametri ſpbæræ ex
plumbo, grauitatem æqualem babentis propoſitæ ex aqua ſpbæræ B,
quare eius latus cubicum, quod est 4 {43/100}. ferè, indicabit ipſam
diametrum.
Similiter ſi propoſitum corpus aqueum B, fuerit cubicum, vel alicu
ius alterius formæ regularis, eadem ratione vtemur ad inueniendum
latus cubi ex plumbo, grauitatem babentis æqualem propoſito ex aqua
cubo B, nam ſi ex aqua cubi B, datum ſit latus 10, erit numerus
86 {22/23}. cubus ex plumbo æqualis grauitate propoſito ex aqua cubo B,
quare latus cubicum numeri 86 {22/23}. quod eſt 4 {43/100}. ferè, indicabit
quæſitum latus cubi ex plumbo.
Neque diſſimili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, ceræ, aut cuiuſcunque ſolidi, grauitatem habentis
propoſito corpori liquido æqualem.
PROBLEMAV. PROPOS. XII.
PRopoſitis duobus ſolidis corporibus magnitudine
æqualibus, data grauitate vnius, grauitatem al-
terius inuenire.
SINT propoſita duo corpora ſo-
13[Figure 13] lida magnitudine æqualia A, B, ſit au-
tem vnius, vtpote ipſius A, data gra-
uitas C, & oporteat inuenire grauita-
tem ipſius B. Accipiatur aliquod ſoli-
dum corpus D, eiuſdem generis cum
corpore ſolido A, cuiæquale grauita-
te accipiatur alterum E, eiuſdem ge-
neris cum corpore B, deinde liquidi
magnitudine æqualis corpori D, 118. buius ueniatur grauitas, quæ ſit G, item li-
quidi eiuſdem generis, æqualis ma-
gnitudine corpori E, inueniatur grauitas, quæ ſit H, & fiat vt H, 228. buius G, ita C, ad aliam grauitatem, quæ ſit F. Quoniam igitur ſunt qua-
tuor corpora A, B, D, E, quorum A, B, primum videlicet, & ſecundum
ſunt æqualia magnitudine, tertium vero D, & E, quartum æque gra-
uia, & ſunt eiuſdĕ generis ſolida A, D, itidem ſolida B, E, erit vt 336. buius uitas C, ad ſolidi B, grauitatem, ita grauitas H, ad grauitatem G,
3018PROMOTVS vt grauitas H, ad grauitatĕ G, ita eſt grauitas C, ad F, grauitatem; er-
go grauitas F, æqualis erit grauitati ſolidi B, inuenta igitur eſt cor-
poris ſolidi B, grauitas F, quod ſacere oportebat.
Hoc Problema magni momenti eſt, pleriſque artificibus
maximo vſui eſſe poteſt. in arte fuſoria propoſito operis modu
lo, ex illius grauitate, facile metalli ad opus faciendum, gra-
uitatem inueniet, ſi enim hoc ignoret artifex, periculum eſt, ne
metallum, aut deficiat, vel ſi multum eſt, ob nimiam graui-
tatem difficile tractetur.
Neque tormenti bellici magiſtro inutile erit, is enim cogni-
ta grauitate alicuius globi, exempli gratia ex plumbo, ſtatim
alterius globi eiuſdem magnitudinis, vel ſit ex lapide, vel ex
ferro, vel ex qua cunque alia materia, grauitatem inueniet.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus ſolidum notæ
grauitatis, & vult ſcire quanta erit grauitas alicu-
ius ſolidi, alterius generis, magnitudinem habentis pro-
poſito corpori ſolido æqualem.
Sit propoſitum aliquod corpus plumbeum A, cuius grauitas ſit
1150, & oporteat inuenire quanta erit grauitas stanni magnitudinĕ
babentis æqualem propoſito plumbo A. Accipiantur duo corpora æque
grauia, D, plumbeum, E, stanneum, deinde duarum quantitatum,
aquæ, quarum vna ſit æqualis magnitudine plumbo D, altera ſtanno
E, inueniãtur grauitates, quæ ſint, primæ videlicet quantitatis aquæ
74, ſecundæ vero 115, & fiat vt 115, ad 74, ita 1150, ad alium nume-
rum, qui ſit 740, is igitur numerus indicabit grauitatem stanni, ma-
gnitudinem habentis propoſito plumbo A.
Etiam ſi non accipiantur duo corpora, plumbeum videlicet
& ſtanneum, æque grauia, ſed grauitate quacunque, grauitas
ſtanni magnitudinem habentis æqualem propoſito plumbo
D, inuenietur ſic.
Accipiantur duo corpora D, plumbeum, E, ſtanneum grauitate
quacunque, ſit vcrbi gratia plumbi D, grauitas 23, ſtanni vero E,
grauitas 37, deinde duarum quantitatum aquæ, quarum vna ſit ma-
gnitudine æqualis plumbo D, altera stanno E, inueniantur graui-
tates, quæ ſint, primæ videlicet quantitatis 2, ſecundæ vero 5, &
3119ARCHIMEDES. vt 23, ad 2, ita 37, ad 3 {5/23}. grauitas igitur aquæ, magnitudinem
habentis æqualem plumbo, cuius grauitas est 37, erit 3 {5/23}.
Et quoniam aquæ, magnitudinem habentis æqualem stanno E, cu-
ius grauitas est 37, eft grauitas 5, erunt grauitates duarum quan-
titatum aquæ 3 {5/23}, & 5, quarum quantitatum prima eſt æqualis
magnitudine corpori plumbeo, ſecunda stanneo, quæ ſunt æque gra-
uia, vtriuſque enim grauitas ect 37. Fiat igitur vt 5, ad 3 {5/23}, ita
1150, ad alium numerum, qui ſit 740, tanta igitur erit grauitas
ſtanni, magnitudinem habentis æqualem propoſito plumbo A, quanta
etiam inueniebatur & ſupra.
Quod ſi propoſitum ſit cereum corpus aliquod, aut cuiuſ-
cunque generis ſolidi, ſiue leuioris quam aqua, ſiue grauio-
ris, & oporteat inuenire grauitatem alicuius ſolidi alterius
generis, magnitudine æqualis propoſito corpori ſolido. Ea-
dem ratione qua ſupra inuenietur quæſita ſolidi grauitas, ſed
hoc ſolum animaduertendum eſt, quod non eadem ratione
inuenitur grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem
propoſito cuiuſcunque generis ſolido, alia enim tenenda eſt
ratio ad inueniendam grauitatem prædictæ aquæ, quando
propoſitum ſolidum ſit grauius quam aqua, alia vero quando
leuius, ſed ſiue ſit leuius, ſiue grauius, de inuentione huiuſ-
modi grauitatis, in exemplo propoſitionis octauæ, ſatis eſt ex-
plicatum.
PROBLEMA VI. PROPOS. XIII.
PRopoſitis duobus ſolidis corporibus æque graui-
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte-
rius inuenire.
SINT propoſita duo corpora ſolida æque grauia A, B, ſit au-
tem vnius, vtpote ipſius A, data magnitudo C, & oporteat inueni-
re magnitudinem ipſius B, Accipiatur aliquod ſolidum corpus D,
eiuſdem generis cum ſolido A, & ſit eius grauitas G, deinde ſolidi
corporis quod ſit E, eiuſdem generis cum ſolido B, magnitudine
æqualis ipſi D, inueniatur grauitas, quæ ſit H, hoc autem, Proble-
ma antecedens docuit, & fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita
magnitudo C, ad aliam magnitudinem, quæ ſit F. Quoniam
3220PROMOTVS ſunt quatuor corpora grauia E, D, B,
14[Figure 14] A, quorum E, D, primum videlicet,
& ſecundum, ſunt æqualia magnitu-
dine, tertium vero B, & quartum A,
æquegrauia, & ſunt eiuſdem generis
corpora E, B, ſimiliter & corpora
117. buius D, A, erit vt grauitas H, ad graui- tatem G, ita magnitudo C, ad corpo-
ris B, magnitudinem, ſed vt grauitas
H, ad grauitatem G, ita eſt magnitu-
do C, ad F, magnitudinem, ergo ma-
gnitudo F, æqualis erit magnitudini
corporis B. inuenta igitur eſt corporis B, magnitudo F, quod facere
oportebat.
Quod ſi propoſita duo corpora æque grauia A, B, fue
rint regularia, vtpote ſphærica, fuerit autem ſphæræ A,
data diameter C, & oporteat inuenire, quanta erit dia-
meter ſphærę B, ita faciendum erit.
Accepto corpore ſolido D, & inuenta ſolidi corporis E, grauita-
te, vt ſupra dictum eſt, fiat vt grauitas H, ad grauitatem G, ita cu-
bus ex C, ad alium cubum, cuius latus ſit F. Quoniam igitur eadem
ratione, qua ſupra, demonſtrabitur, vt grauitas H, ad grauitatem G,
ita eſſe magnitudinem ſphæræ A, ad ſphæræ B, magnitudinem, ſed
2218. 12.
Elem. magnitudo ſphæræ A, ad ſphæræ B, magnitudinem triplicatam ra- tionem habet eius, quam C, diameter ſphæræ A, ad diametrum ſphæ-
3333. 11.
Elem. ræ B. Similiter & cubus ex C, ad cubum, ex diametro ſphæræ B, tri- plicatam rationem habet eius, quam C, ad ſphæræ B, diametrum; er-
go vt grauitas H, ad grauitatem G, ita erit cubus ex C, ad cubum ex
diametro ſphæræ B, ſed vt grauitas H, ad grauitatem G, ita eſt cubus
ex C, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo diametri
ſphæræ B; quare & latus F, æquabitur ſphæræ B, diametro. inuenta
igitur eſt quantitas diametri ſphæræ B, quod facere oportebat.
Neque hoc Problema inutile erit tormenti bellici magiſtro,
is enim cognita diametro alicuius globi, exempli gratia, ex
plumbo, ſtatim alterius globi eandem habentis grauitatem,
diametrum inueniet, ſit globus ille, vel ex lapide, vel ex fer-
ro, vel ex quocunque alio ſolidorum genere.
3321ARCHIMEDES.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus ſolidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit magni
tudo alicuius ſolidi alterius generis, grauitatem
habentis propoſito corpori ſolido æqualem.
S I T propoſitum aliquod corpus plumbeum A, cuius magnitudo
740, & oporteat inuenire quanta erit magnitudo ſtanni, grauita-
tem babentis æqualem propoſito plumbo A. Accipiatur aliquod cor-
pus plumbeum D, cuius grauitas ſit 115, deinde stanni, magnitudi-
ne æqualis plumbo D, inueniatur grauitas, quæ ſit 74, quod quomo-
do fieri oporteat, dictum est in antecedentis Problematis exemplo, &
fiat vt 74, ad 115. ita 740, ad alium numerum qui ſit 1150, is igitur
numerus indicabit quanta erit magnitudo ſtanni, grauitatem baben
tis æquatem propoſito plumbo A.
Quod ſi propoſitum corpus plumbeum A, ſit ſphæricum, cu
ius ſphæræ diameter ſit 10, & oporteat inuenire quanta erit
diameter ſphæræ ex ſtanno, grauitatem habentis æqualem
propoſitæ ſphæræ A, ita faciendum erit.
Accipiatur vt diximus aliquod corpus plumbeum D, cuius graui-
tas ſit 115, & ſtanni, magnitudinem habentis æqualem plumbo D, in-
ueniatur grauitas, quæ ſit 74. & fiat vt 74, ad 115, ita cubus ex 10,
qui eſt 1000, ad alium numerum qui ſit 1554 {2/37}, is igitur numerus
erit cubus diametri ſphæræ ex stanno, grauitatem babentis æqualem
propoſitæ ex plumbo ſpbæræ A, quare eius latus eubicum, quod est
11 {58/100}, vero proximum, indicabit ipſam diametrum.
Similiter ſipropoſitum corpus plumbeum A, fuerit cubicum, vel
alicuius alterius formæ regularis, eadem ratione inuenietur latus cu
biex stanno, grauitatem babentis æqualem propoſito plumbeo cu-
bo A, ſi enim ipſius cubi plumbei A, datum ſit latus 10, erit numerus
1554 {2/37} cubus ex ſtanno æqualis grauitate propoſito plumbeo Cu
bo A, quare latus cubicum numeri 1554 {2/37} quod est 11 {58/100} pro
ximum vero, indicabit quæſitum latus.
Neque diſſimili ratione inuenienda erit magnitudo auri,
argenti, cæræ, aut cuiuſcumque ſolidi, grauitatem habentis
propoſito corpori ſolido æqualem.
3422PROMOTVS
PROBLEMA VII. PROPOS. XIV.
PRopoſitis duobus liquidis corporibus magnitudine
ęqualibus, data grauitate vnius, grauitatem alte-
rius inuenire.
SINT propoſita duo cor-
15[Figure 15] ra liquida, magnitudine æqualia
A, B, ſit autem vnius, vtpote li-
quidi A, data grauitas G, &
oporteat alterius liquidi B, gra-
uitatem inuenire. Accipiatur
aliquod corpus ſolidum C, & li-
quidi, quod ſit H, eiuſdem ge-
neris cum liquido A, magnitu-
118. huius dine æqualis ſolido C, inuenia- tur grauitas, quæ ſit D, ſimiliter
& liquidi, quod ſit I, eiuſdem
generis cum liquido B, magni-
tudine æqualis eidem ſolido C,
228. huius inueniatur grauitas, quæ ſit & fiat vt D, ad E, ita G, ad aliam grauitatem, quæ ſit F. Quoniam
igitur eſt vt A, ad B, ita H, ad I, æquale videlicet ad æquale, erit per-
mutando vt A, ad H, ita B, ad I, & quoniam eiuſdem ſunt generis cor-
334. buius pora A, H, ſimiliter & corpora B, I, erit vt grauitas G, ad grauita- tem D, ita liquidi B, grauitas, ad grauitatem E, & permutando vt
grauitas G, ad grauitatem liquidi B, ita D, grauitas, ad grauitatem
E, ſed vt grauitas D, ad grauitatem E, ita eſt grauitas G, ad graui-
tatem F; ergo grauitas F, æqualis erit grauitati liquidi B. inuenta
igitur eſt liquidi corporis B, grauitas F, quod facere oportebat.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
grauitatis, & vult ſcire, quanta erit grauitas alte-
rius liquidi, magnitudinem habentis propoſito corpori
liquido æqualem.
Sit propoſitum aliquod olei corpus A, cuius grauitas 550, &
oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magnitudinem
3523ARCHIMEDES. tis æqualem propoſito oleo A, Accipiatur aliquod corpus ſolidum C,
vtpote plumbeum, & aquæ, magnitudinem babentis æqualem plumbo
C, inueniatur grauitas, quæ ſit 12, vt in exemplo propoſ. 8. dictũ eſt.
Similiter & olei, magnitudinem æqualem babentis, eidem plumbo C,
inueniatur grauitas, quæ ſit 11, & fiat, vt 11, ad 12, ita 550, ad aliũ
numerum qui ſit 600. is igitur numerus indicabit quanta erit graui-
tas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propoſito oleo A.
Si vero propoſitum ſit aliquod argenti viui corpus A, cuius
grauitas 95, & oporteat inuenire, quanta erit grauitas aquæ, magni-
tudinem babentis æqualem propoſito argento viuo A. Accipiatur ali-
quod vas vitreum mundum, & politum, cuius grauitas ſit v. g. 91.
ipſumq; vas plenum aqua ponderetur in aqua, & habeat grauitatem
55, quoniam igitur numerus 91, ſuper at numerũ 55, numero 36, 115. buius grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem ipſivaſi, boc est ſoli-
ditati ipſius vaſis 36, ponatur deinde in ipſum vas propoſitum argen-
tum viuũ A, nibil interest, vt vas ſit plenum, vel non, & quoniam ar
genti viui A, grauitas est 95, & vaſis vitrei grauitas 91, erit argenti
viui ſimul cum ipſo vaſe, grauitas 186. ponderetur itaque ipſum vas,
ſimulcum argento viuo A, in aqua, ita vt aqua repleat vaſis partem
vacuam, & ſit vaſis grauitas in aqua ſimul cum argento viuo 143,
quoniam igitur numerus 186, ſuperat numerum 143, numero 43, 225. buius grauitas aquæ, magnitudinĕ babĕtis æqualem argento viuo, ſimul cũ
vaſe 43, ſed grauitas aquæ babentis magnitudinem æqualem vaſi est
36, ergo reliquum quod est 7, erit grauitas aquæ, magnitudinem ba-
bentis æqualem propoſito argento viuo A.
Sed ſi propoſitum fuerit aliquod magnum argenti viui cor
pus, ita vt difficile poſſit ponderari in aqua, hac via inuenietur
aquæ quæſita grauitas.
Sit propoſitum aliquod magnum argenti viui corpus A, cuius gra-
uitas 5700. & oporteat facere, quod imperatum eſt. Accipiatur ali-
quodparuum argenti viui corpus C, cuius grauitas ſit 95, & aquæ,
magnitudinem babentis æqualem argento viuo C, inueniatur graui-
tas, eo modo quo dictum est, quæ ſit 7, & fiat vt 95, ad 7, ita 5700, ad
alium numerum, qui ſit 420, is igitur numerus indicabit quanta erit
grauitas aquæ, magnitudinem babentis æqualem propoſito argento
viuo A.
Contra, ſit propoſitum aliquod corpus aqueum A, cuius grauitas
420, & oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui, magni-
tudine æqualis propoſitæ aquæ A. facto, vt ſupra, & inuenta graui-
tate 7, aquæ ſcilicet magnitudinem babentis æqualem argĕto viuo
3624PROMOTVS ſiat vt 7, ad 95, ita 420, ad alium numerum, qui ſit 5700, is igi-
tur indicabit quanta erit grauitas argenti viui, magnitudine æqua-
lis propoſitæ aquæ A.
Inueniemus etiam aliter, & expeditius grauitatem
aquæ, magnitudinem habentis æqualem propoſito ar-
gento viuo A.
Accipiatur enim aliquod corpus aureum, cui ſuperinducatur ce-
rea tunica tenuiſſima, ne fiat argento viuo leuius, neue ab eodĕ diſſol-
uatur, deinde aquæ, magnitudinem babentis æqualem ipſi corpori au
reo inueniatur grauitas, vt dictum est in propoſ. 8. exemplo, quæ ſit 7,
ſimiliter & argenti viui, vt aquæ, magnitudinem babentis æqualem
eidem corpori aureo, inueniatur grauitas, quæ ſit 95, & fiat vt 95, ad
7, ita 5700, ad 420, grauitas igitur aquæ, magnitudinem babentis æ-
qualem argento viuo A, erit 420.
Contra. ſit propoſitum aliquod corpus aqueum, cuius grauitas
420, & oporteat inuenire, quanta erit grauitas argenti viui, magni-
tudine æqualis propoſitæ aquæ A. Superinducta corpori aureo cerea
tunica, vt ſupra, & inuentis grauitatibus 7, & 95, aquæ nimirum, &
argenti viui, magnitudine æqualium prædicto aureo corpori, fiat vt
7, ad 95, ita 420, ad 5700. grauitas igitur argenti viui, magnitudine
æqualis propoſito corpori aqueo A, erit 5700.
Qua ratione inuenienda ſit grauitas argenti viui, ma-
gnitudinem habentis propoſito cuicunque corpori ſoli-
do æqualem.
Sit propoſitum aliquod corpus ſolidum, vtpote plumbeum A, cuius
grauitas 161, & oporteat inuenire quanta erit grauitas argenti viui
magnitudine æqualis propoſito plumbo A. inueniatur grauitas aquæ
magnitudinem babentis æqualem plumbo A, vt in exemplo propoſi-
tionis 8, dictum eſt, quæ ſit 14, & inuenta grauitate argenti viui, ma-
gnitudine æqualis ipſi aquæ, ea erit de qua quæritur, ſit enim inuen
ta argenti viui grauitas 190. Quoniã igitur argentum viuum, cuius
grauitas est 190, magnitudine æquatur aquæ, cuius grauitas eſt 14,
ipſique aquæ æquatur magnitudine plumbum A, erit argentum vi-
uum, cuius grauitas 190, magnitudine propoſito plumbo A, æquale;
quare inuenta est grauitas argenti viui, magnitudine æqualis propo-
ſito plumbo A, quod facere oportebat.
Quomodo inuenienda ſit grauitas cuiuſcunque
3725ARCHIMEDES. póris ſolidi, magnitudinem habentis propoſito corpori
ex argento viuo æqualem.
Sit propoſitum aliquod corpus ex argento viuo A, euius grauitas
190, & oporteat inuenire quanta erit grauitas plumbi, magnitudine
æqualis propoſito argento viuo A. inueniatur grauitas aquæ, magni-
tudinem habentis æqualem argento viuo A, quæſit 14, deinde inuen-
ta grauitate plumbi, magnitudine æqualis ipſi aquæ, vt in exemplo
propoſ. 9. dictum est, ea erit de qua quæritur. ſit enim inuenta plum-
bi grauitas 161, quoniam igitur aqua, cuius grauitas est 14, æqua-
tur magnitudine plumbo, cuius grauitas est 161, & æquatur quoque
argento viuo A, plumbum cuius grauitas eſt 161, æquabitur magni-
tudine argento viuo A. quare inuenia, eſt grauitas plumbi, magnitu-
dine æqualis propoſito argento viuo A, quod facere oportebat.
PROBLEMA VIII. PROPOS. XV.
PRopoſitis duobus liquidis corporibus æquè graui-
bus, data magnitudine vnius, magnitudinem alte-
rius inuenire.
SINT propoſita duo cor-
16[Figure 16] pora liquida a què grauia A,
B, ſit autem vnius vt pote li-
quidi A, data magnitudo G,
& oporteat inuenire quanta
erit magnitudo liquidi B. Ac-
cipiatur aliquod ſolidum cor
pus C, & liquidi quod ſit H,
eiuſdem generis cum liquido
A, magnitudinem habentis
æqualem ſolido C, 118. huius tur grauitas quæ ſit D, ſimili-
ter & liquidi, quod ſitI, eiuſdĕ
generis cum liquido B, magni
tudinem habentis æqualem eidem ſolido C, inueniatur 228. huius quæ ſit E, & fiat vt grauitas E, ad grauitatem D, ita magnitudo G, ad
ad aliam magnitudinĕ, quæ ſit F. Quoniam igitur ſunt quatuor cor-
pora grauia I, H, B, A, quorum primum, & ſecundum ſunt magnitu-
dine æqualia, tertium vero, & quartum æque grauia, & ſunt eiuſdem
generis primum videlicet, & tertium, ſimiliter eiuſdem generis
3826PROMOTVS117. buius cundum & quartum, Erit vt grauitas E, ad grauitatem D, ita ma- gnitudo G, ad liquidi B, magnitudinem, ſed vt grauitas E, ad graui-
tatem D, ita eſt magnitudo G, ad F, magnitudinem; ergo magnitudo
F, æqualis erit magnitudini liquidi B. inuenta igitur eſt corporis li-
quidi B, magnitudo F, quod facere oportebat.
Quod ſi propoſita duo corpora æque grauia fuerint
regularia, vtpote ſphærica, fuerit autem ſphęræ A, data
diameter G, & oporteat inuenire, quanta erit diameter
ſphæræ B, ita faciendum erit.
ACCEPTO aliquo cor
17[Figure 17] pore ſolido C, & inuentis
grauitatibus D, E, liquidorũ
H, I, vt ſupra, fiat vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita cu-
bus ex G, ad alium cubum,
cuius latus ſit F. Quoniam
igitur eadem ratione, qua
ſupra oſtendetur, vt grauitas
E, ad grauitatem D, ita eſſe
magnitudinem ſphæræ A, ad
ſphæræ B, magnitudinem, ſed
magnitudo ſphæræ A, ad
2218. 12.
Elem. ſphæræ B, magnitudinem, triplicatã rationem habet eius, quam G, diameter ſphæræ A, ad dia-
metrum ſphæræ B, ſimiliter & cubus ex G, ad cubum diametri ſphæ-
3333. 11.
Elem. ræ B, triplicatam rationem habet eius, quam G, ad ſphæræ B, dia- metrum; ergo vt grauitas E, ad grauitatem D, ita erit cubus ex G, ad
cubum diametri ſphæræ B, ſed vt grauitas D, ita grauitatem D, ita
eſt cubus ex G, ad cubum ex F; ergo cubus ex F, æqualis erit cubo
diametri ſphæræ B; quare & latus F, æquabitur diametro ipſius ſphæ
ræ B. inuenta igitur eſt quantitas diametri ſphæræ B, quod facere
oportebat.
Exemplum.
QVidam proponit aliquod corpus liquidum notæ
magnitudinis, & vult inuenire, quanta erit ma-
gnitudo liquidi alterius generis,
3927ARCHIMEDES. habentis propoſito corpori liquido æqualem.
Sit propoſitum aliquod olei corpus A, cuius magnitudo 600. &
oporteat inuenire quanta erit magnitudo aquæ, grauitatem babentis
æqualem propoſito oleo A, accipiatur aliquod ſolidum corpus C, vt
pote plumbeum, & aquæ magnitudinem habentis æqualem plumbo
C, inueniatur grauitas, vt in exemplo prop. 8, dictum eſt, quæ ſit 12.
ſimiliter & olei æqualem habentis magnit udinem eidem plumbo C,
inueniatur grauitas quæ ſit 11, & fiat vt 12, ad 11, ita 600, ad alium
numerũ quiſit 550. is igitur numerus indicabit quanta erit magni-
tudo aquæ grauitatem habentis æqualem propoſito oleo A.
Similiter ſi propoſitũ ſit aliquod corpus aqueum A, cuius magnita
do 5700, & oporteat inuenire, quanta erit magnitudo argecti viui,
grauitatem habentis æqualem propoſitæ aquæ A. Accipiatur aliquod
corpus ſolidum C, ſi aureum, ſuper inducatur ei cerea tunica propter
iam dictã rationem, deinde argenti viui, magnitudine æqualis ipſi C,
inueniatur grauitas quæ ſit 95, ſimiliter & aquæ magnitudinĕ ha.
bentis equalem eidem C, inueniatur grauitas quæſit 7, & fiat vt 95,
ad 7, ita 5700, ad alium numerum, qui ſit 420, is igitur numerus in-
dicabit quanta erit magnitudo argenti viui grauitatem habentis
æqualem propoſitæ aquæ A.
Quod ſi propoſitum corpus aqueum A, ſit ſphæricum, cuius
ſphæræ diameter ſit 10, & oporteat inuenire quanta erit dia-
meter ſphæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem
propoſitæ ſphæræ A, ita faciendum erit.
Accepto vt diximus aliquo corpore ſolido C, & inuentis grauita-
tibus liquidorũ aquæ ſcilicet & argent viui magnitudinem æqua-
lem habentium corpori C, quæ ſint 14, grauitas aquæ, & 190, graui-
tas argenti viui, fiat vt 190, ad 14, ita cubus ex 10, hoc est ita 1000,
ad alium numerum, qui ſit 73 {13/19}, is igitur numerus erit cubus dia-
metriſphæræ ex argento viuo, grauitatem habentis æqualem propo-
ſitæ ex aqua ſphæræ A: quare latus cubicum numeri 73 {13/19}, quod eſt
4 {19/100}. proxime indicabit ipſam diametrum.
Similiter ſipropoſitum corpus aqueum A, fuerit cubicum, aut
alicuius alterius formæregularis, eadem ratione, qua ſupra inuenie-
tur latus cubi ex argento viuo, grauitate æqualis propoſito ex aqua
cubo A, nam ſi ipſius cubi A, datũ ſit latus 10, erit numerus 73 {13/19},
cubus ex argento viuo æqualis grauitate propoſito ex aqua cubo A;
quare latus cubicum numeri 73 {13/19}, quod est 4 {19/100}. proxime in-
dicabit quæſitum latus cubi, ex argento viuo.
4028PROMOTVS
Neque diſſimili ratione inuenietur magnitudo reliquo-
rum omnium liquidorum, grauitate propoſito corpori cuiuſ-
cumque generis liquidi, æqualium, quare dicta ſufficiant.
DVm adhucOpuſculum ſub prælo eſſet, dubitandi anſam,
ex eo vir doctiſsimus, cui percurrendum illud tradi-
deram, arripuit, quod ex grauitate, corporum in aqua
exiſtentium, non poſſet vera ratio, quam habent diuerſa
ipſorum corporum genera in grauitate, deprehendi, niſi
corpora fuerint ſimilia. ſi enim (aiebat) accipiantur duo
corpora eiuſdem generis, & grauitatis, quorum vnum ſit
planum, alterum conicam formam habens, & ponderen-
turin aqua, ita vt coni vertex deorſum verſus pendeat, baſis
vero ipſius coni, & latæ corporis plani ſuperficies æquidiſtent
horizonti. conus in aqua maiorem habebit grauitatem, cor-
pore plano, quia corpus planum magis ab aqua ſuſtentatur,
quam conus, & hoc quidem manifeſtum eſt, quoniam ſi am-
bo demittantur eodem tempore in aquam, conus citius ad
imum deſcendet, quam corpus planum. Hoc argumentum
licet primo aſpectu probabilevideatur, tamen falſo concludit.
verum eſt quod aqua ſuſtentat magis corpus planum, quam
conum, ipſum tamen ſuſtentat, netanta velocitate feratur
deorſum, non ideo ipſius grauitati aliquid detrahit, neque
enim ex velociori motu ſimpliciter inferri poteſt maior gra-
uitas, illud enim valeret etiam in aere, quod eſt falſum, ſed
ne huiuſmodi dubitatio veritatis ſpecie aliquem decipiat, ſe-
quenti Theoremate eam deſtruere agrediar.
THEOREMA VIII. PROPOS. XVI.
COrpora eiuſdem generis, & grauitatis grauiora
quam aqua, etſi diſsimilia, æqualem in aqua
grauitatem habent.
SINT duo eiuſdem generis, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & ſint diſſimilia, dico ipſa corpora æqualem in aqua
grauitatem habere. ſit enim ſi fieri poteſt corpus A, leuius corpore
4129AR CHIMEDES.& accipiatur aliquod corpus L, leuius quam aqua, ita vt cum ipſi
corpori I. , appendatur corpus B, & ambo ſimul demittantur in aquã,
ſint æque grauia atque aqua, neque ſurſum, neque deorſum feran-
tur, ſimiliter accipiatur alterum corpus M, eiuſdem generis cum
corpore L, ipſique ſimile, &
18[Figure 18] æquale, & corpori M, appen
datur corpus A. Deinde in-
teligatur aqua conſiſtens, &
manens, eiuſque ſuperfi-
cies ſphærica C D E, cuius
ſphæræ centrum K, aquæ
enim conſiſtentis, atque
manentis ſuperficies ſphæ-
rica eſt, cuius ſphæræ cen-
trum idem eſt, quod centrũ
terræ, hoc autem demonſtratum eſt ab Archimede Prop. 2. lib. 1. de
ijs, quæ vehuntur in aqua. Inteligantur etiam duæ pyramides con-
iunctæ, & continuatæ, æquales, & ſimiles KCD, KDE, pro baſibus
habentes in ſuperficie aquæ parallelogramma, vertices autem pun-
ctum K, & corpora L, B, comprehendantur à pyramide KDE, corpo-
ra vero M, A, à pyramide KCD, & ſub corporibus L, B, deſcribatur
quædam alterius ſphæræ ſuperficies FGH, in a qua, circa centrum K,
poterit autem huiuſmodi ſuperficies ſub corporibus L, B, deſcribi,
quoniam & ſi ipſi corpora demerguntur tota, non ideo feruntur
deorſum, ponuntur enim æque grauia @atque aqua. Quoniam
igitur eiuſdem generis ponuntur corpora M, L, & æqualia, & ſimilia,
erunt æque grauia, tum in aqua, tum in aere, & quoniam corpus
A, leuius eſt in aqua, corpore B, erunt corpora M, A, ſimul, in aqua
leuiora corporibus L, B, ſed corpora L, B, ſimul, æque grauia ſunt at-
que aqua, ergo corpora M, A, ſimul, leuiora erunt quam aqua; quare
corpus M, non demergetur totum, ſed aliqua pars ipſius ex aquæ ſu-
perficie extabit.
Et quoniam eiuſdem generis, & grauitatis ponuntur corpora A, B,
erunt magnitudine æqualia, & per additionem æqualium æquali-
bus, corpora M, A, erunt æqualia corporibus L, B,
Quoniam igitur corpora M, A, æqualia ſunt corporibus L, B, pars
autem corporis M, extat ex aquæ ſuperficie, & corpora L, B, tota de-
merguntur, minus loci ocupabunt in aqua corpora M, A, quam cor-
pora L, B, quare maior erit grauitas corporum M, A, & aquæ conti-
nentis ipſa corpora, quæ eſt in loco pyramidis CDGF, quam corpo-
rum L, B, & aquæ ipſa corpora continĕtis in loco pyramidis
4230PROMOTVS magis igitur aquæ pars premetur, quæ eſt ſub ſuperficie FG, quam
ea quæ eſt ſub ſuperficie GH; quare expellet partem minus preſſam,
(æqualiter enim & continuatæ iacent inter ſeſe) & nõ manebit aqua,
quod eſt abſurdum, ponebatur enim manens. non igitur corpus A,
leuius eſt in aqua corpore B. eadem ratione oſtendetur neque corpus
B, leuius eſſe in aqua corpore A, quare conſtat propoſitum.
ALITER.
Sint duo eiuſdem generi@, & grauitatis corpora A, B, grauiora
quam aqua, & ſint diſſimilia. oſtendendum eſt ipſa corpora æqualem
in aqua grauitatem habere, ſit enim corporis A, vel ipſius B, graui-
tas CD, aquæ vero magni-
19[Figure 19] tudinem habentis æqua-
lem ipſi A, vel B, ſit graui-
tas C, & accipiatur ali-
quod corpus L, leuius quã
aqua, cuius grauitas ſit
ipſi C, æqualis, aquæ ve-
ro, magnitudinem haben-
tis æqualem corpori L, ſit
grauitas æqualis ipſi CD,
itaque appenſo corpore
B, corpori L, corpus ex
vtriſque conſtans æque graue erit atque aqua, grauitas enim vtro-
runque corporum B, L, eſt æqualis vtriſque grauitatibus CD, & C, &
grauitas aquæ, magnitudinem habentis æqualem vtriſq; corporibus
L, B, æqualis eſt eiſdem grauitatibus CD, & C, corpora igitur B, L,
demiſſa in aquam, neque ſurſum, neque deorſum ſerentur, quia cor-
pus B, grauius quam aqua fertur deorſum tanta vi, quanta à corpo-
re L, ſurſum retrahitur.
Rurſus accipiatur alterum corpus ſolidum M, eiuſdem generis
cum corpore L, ipſique ſimile, & æquale, & corpore A, appenſo ipſi
M, & demiſſis ambobus in aquam, eadem ratione qua ſupra oſten-
detur, corpora A, M, ſimul, eſſe æque grauia atque aqua, & corpus
A, tanta vi deorſum ferri, quanta retrahitur ſurſum à corpore M,
ſed corpora M, L, æqualem vim habent retrahendi ſurſum, cum
ſint eiuſdem generis, & æqualia, & ſimilia, ergo æquali vi retra-
hentur corpora A, B, ne deſcendant; quare conſtat ipſa corpora A,
B, æqualem in aqua grauitatem habere quod erat oſtendendum.
4331ARCHIMEDES.
THEOREMA IX. PROPOS. XVII.
SPhære eiuſdem generis inter ſe ſunt in grauitate, vt
diametrorum cubi in magnitudine.
SINT ſphæræ eiuſdem gene-
20[Figure 20] ris ABC, DEF, quarum diame
tri BC, EF. dico vt ſphęra ABC,
ſe habet in grauitate, ad ſphæram
DEF, ita ſe habere in maguitudi-
ne cubum ex BC, ad cubum ex
EF, ſit enim ſphæræ ABC, graui-
tas G, & ſphæræ DEF, grauitas H,
quoniam igitur eiuſdem generis
ponuntur ſphæræ ABC, DEF,
erit vt ſphæra ABC, ad ſphæram DEF, ita grauitas G, ad H, 112. & 3.
huius. tatem, ſed ſphæra ABC, ad ſphæram DEF, triplicatam habet 2218. 12.
Elem. tionem eius, quam diameter BC, ad EF, diametrum, ergo & graui-
tas G, ad grauitatem H, triplicatam habebit rationem eius, quam
habet BC, ad EF, ſed & cubus ex BC, ad cubum ex EF, 3333. 11.
Elem. rationem habet eius, quam BC, ad EF, ergo vt grauitas G, ad graui-
tatem H, ita erit cubus ex BC, ad cubum ex EF. ſphæræ igitur eiuſ-
dem generis inter ſe ſunt in grauitate, vt diametrorum cubi in ma-
gnitudine, quod erat demonſtrandum.
4432PROMOTVS
Ad comparandum inter ſe duodecim corporum genera
grauitate, & magnitudine tabella.
11 # Aurũ. # Ar. Vi. # Plum. # Arg. # Aes. # Ferrũ. # Stann. # Mel. # Aqua. # Vinũ. # Cera. # Ole@@
Oleum. # 20 {8/11} # 14 {62/77} # 12 {6/11} # 11 {3/11} # 9 {9/11} # 8 {8/11} # 8 {4/55} # 1 {32/55} # 1 {1/11} # 1 {4/55} # 1 {5/121} # 1
Cera. # 19 {19/21} # 14 {32/147} # 12 {1/21} # 10 {52/63} # 9 {9/21} # 8 {8/21} # 7 {89/105} # 1 {109/210} # 1 {1/21} # 1 {13/420} # 1
Vinum. # 19 {19/59} # 13 {331/413} # 11 {41/59} # 10 {30/59} # 9 {9/59} # 8 {8/59} # 7 {31/59} # 1 {28/59} # 1 {1/59} # 1
Aqua. # 19 # 13 {4/7} # 11 {1/2} # 10 {1/3} # 9 # 8 # 7 {2/5} # 1 {9/20} # 1
Mel. # 13 {3/29} # 9 {73/203} # 7 {27/29} # 7 {11/87} # 6 {6/29} # 5 {15/29} # 5 {3/29} # 1
Stannum. # 2 {21/37} # 1 {221/259} # 1 {41/74} # 1 {44/111} # 1 {8/37} # 1 {3/37} # 1
Ferrum. # 2 {3/8} # 1 {39/56} # 1 {7/16} # 1 {7/24} # 1 {1/8} # 1
Aes. # 2 {1/9} # 1 {32/63} # 1 {5/18} # 1 {4/27} # 1
Argentum. # 1 {26/31} # 1 {68/217} # 1 {7/62} # 1
Plumbum. # 1 {15/23} # 1 {29/161} # 1
Arg. Viuũ. # 1 {38/95} # 1
Aurum. # 1
Quæro exempli gratia, quam habet rationem in grauitate plumbum ad aurum. In-
teligatur plumbum, quoniam leuius est auro, grauitatem habere 1, & in line a plumbi,
in prima columna nominati, ſub titulo auri, quæratur auri grauitas, ea erit 1 {15/23}. plum
bum igitur ad aurum rationem babebit in grauitate vt 1, ad 1 {85/23}, ſi enim ſumantur
duo corpora magnitudine æqualia, vnum plumbeum alterum aureum, ſit autem plum
bei corporis grauitas 1, aurei erit 1 {15/23}, quare corpus plumbeum ad corpus aureum
eiuſdem magnitudinis rationem habebit in grauitate vt 1, ad 1 {15/23}. comparantur au-
tem inter ſe genera diuerſa grauitate, in corporibus magnitudine æqualibus.
Rurſus, quæro quam habet rationem in grauitate aqua ad argentum viuum. inteli-
gatur aqua, vt leuior argento viuo grauitatem habere 1, & in line a aquæ, ſubtitulo ar-
genti viui, quæratur argenti viui grauitas, ea erit 13 {4/7}, aqua igitur ad argentum viuũ
rationem habebit in grauitate vt 1, ad 13 {4/7}.
Contra, quæro quomodo ſe habent in magnitudine aurum, & plumbum. inteligatur
aurum, quoniam grauius eſt plumbo, magnitudinem habere 1, & in linea plumbi, ſub ti-
tulo auri, quaratur plumbi magnitudo, ea erit 1 {15/23}, aurum igitur ad plumbum ſe
4533ARCHIMEDES. bebit in magnitudine vt 1, ad 1 {15/23}, ſi enim ſumantur duo corpora aque grauia, vnum
aureum, alterum plumbeum, ſit autem corporis aurei magnitudo 1, plumbei erit 1 {15/23},
quare corpus aureum ad corpus plumbeum eiuſdem grauitatis ſe babebit in magnitudi-
ne vt 1, ad 1 {15/23}, comparantur autem inter ſe genera diuerſa magnitudine, in corpori-
bus æque grauibus.
Quæro denique quomodo ſe babent in magnitudine ferrum, & aqua, ponatur ferrum,
vt grauius aqua, magnitudinem babere 1, & in linea aquæ, ſub titulo ferri, quæratur
aquæ magnitudo, ea erit 8, ferrumigitur ad aquam ſe babebit in magnitudine vt 1, ad 8.
Altera, ad comparandum inter ſe duodecim corporum genera,
grauitate, & magnitudine, tabella.
11 # Oleũ. # Cera. # Vinũ. # Aqua. # Mel. # Stann. # Ferrũ. # Aes. # Arg. # Plum. # Ar. Vi. # Aurũ.
Aurum. # 4 {47/57} # 5 {5/209} # 5 {10/57} # 5 {5/19} # 7 {12/19} # 38 {18/19} # 42 {2/19} # 47 {7/19} # 54 {22/57} # 60 {10/19} # 71 {3/7} # 100
Arg. Viuũ # 6 {43/57} # 7 {7/209} # 7 {14/57} # 7 {7/19} # 10 {13/19} # 54 {10/19} # 58 {18/19} # 66 {6/19} # 76 {8/57} # 84 {14/19} # 100
Plumbum. # 7 {67/69} # 8 {76/253} # 8 {38/69} # 8 {16/23} # 12 {19/23} # 64 {8/23} # 69 {13/23} # 78 {6/23} # 89 {59/69} # 100
Argentum. # 8 {27/31} # 9 {81/341} # 9 {16/31} # 9 {21/31} # 14 {1/31} # 71 {19/31} # 77 {13/31} # 87 {3/31} # 100
Aes. # 10 {5/27} # 10 {20/33} # 10 {25/27} # 11 {1/9} # 16 {1/9} # 82 {2/9} # 88 {8/9} # 100
Ferrum. # 11 {11/24} # 11 {41/44} # 12 {7/24} # 12 {1/2} # 18 {1/8} # 92 {1/2} # 100
Stannum. # 12 {43/111} # 12 {366/407} # 13 {32/111} # 13 {19/37} # 19 {27/37} # 100
Mel. # 63 {19/87} # 65 {265/319} # 67 {71/87} # 68 {28/29} # 100
Aqua. # 91 {2/3} # 95 {5/11} # 98 {1/3} # 100
Vinum. # 93 {13/59} # 97 {47/649} # 100
Cera. # 96 {2/63} # 100
Oleum. # 100
Quæro exempli gratia, quæ nam ſit ratio in grauitate, auri ad argentum. intelliga-
tur aurum, quoniam grauius est argento, grauitatem babere 100, & in linea auri, ſub
titulo argenti, reperietur argenti grauitas 54 {22/57}, aurum igitur ad argentum rationem
babebit in grauitate vt 100, ad 54 {22/57}, ſi enim ſumantur duo corpora, magnitudine
æqualia, vnum aureum, alterum argenteum, ſit autem aurei corporis grauitas 100,
4634PROMOTVS argentei 54 {22/57}, quare corpus aureum ad corpus argenteum eiuſdem
magnitudinis, rationem babebit in grauitate, vt 100, ad 54 {22/57}.
Quæro, quomodo ſe babet in grauitate aqua ad vinum quoniam
aqua grauior est vino, intelligatur eius grauitas 100, & quoniam in
linea aquæ, ſub titulo vini, datur vini grauitas 98 {1/3}, aqua ad vinum
ſe babebit in granitate, vt 100, ad 98 {1/3}.
Contra quæro quomodo ſe babent in magnitudine argentum, &
aurum. intelligatur argentum, vt leuius auro, magnitudinem babere
100, & in linea auri, ſub titulo argenti, quæratur auri magnitudo, ea
erit 54 {22/57}, argentum igitr ad aurum ſe babebit in magnitudine, vt
100, ad 54 {22/57}, ſi enim ſumantur duo corpora æque grauia, vnum
argenteum, alterum aureum, ſit autem argentei corporis magnitudo
100, erit aurei 54 {22/57}, quare corpus argenteum, ad corpus aureum
eiuſdem grauitatis, ſe babebit in magnitudine, vt 100, ad 54 {22/57}.
Quæro denique quomodo ſe babent in magnitudine aqua & ar-
gentum viuum. quoniam aqua leuior est argento viuo, intelligatur
eius magnitudo 100, & in linea argenti viui, ſub titulo aquæ, quæ-
ratur argenti viui magnitudo, & reperietur 7 {7/19}, aqua igitur ad
argentum viuum ſe babebit in magnitudine, vt 100, ad 7 {7/19}.
Hic ſequitur tabula, ad inueniendas ſphærarum grauita-
tes, ex data diametrorum magnitudine, cuius hæc eſt
explicatio.
In dimetiendis ſphærarum diametris vtimur pede Romano anti-
quo, cuius menſuram in margine appoſuimus, eaque reſpondet ad Ro-
mani palmi, quo bodie vtimur, menſuram vt 4, ad 3, buiuſmodi pe-
dem diuidimus in duodecim partes æquales, ſeu vncias, quas inuenies
in prima Columna ſub titulo magnitudinis.
Ponderibus autem vtimur bac nostra tempeſtate vſitatis, libram
enim diuidimus in 12, vncias vnciam vero in 24, ſcrupula, & ſcru-
pulum in 24, grana. Ad inueniendas igitur ſpbærarum grauitates ex
data diametrorum magnitudine, bæc eritratio.
Quæris grauitatem ſphæræ plumbeæ, diametrum babentis 3, vn-
ciarum, inſpice tabulam, & in linea trium vnciarum, ſub titulo gra-
uitatis plumbeæ ſphæræ, deprebendes ipſam ſphæram grauitatem ba-
bere lib. 7, vnc. 4, ſcru. 13, gran. 22 {26/37}.
Rurſus, quæris grauitatem ſphæræ aureæ, diametrum babentis 6,
vnciarum. in linea 6, vnciarum, ſub titulo grauitatis aureæ
4735ARCHIMEDES. datur quæſita grauitas lib. 97, vnc. 6, ſcrup. 19, gran. 11 {1/37}.
Quæris denique grauitatem ſphæræ stanneæ, diametrum babentis
vnius pedis. in linea vnius pedis, ſeu 12, vnciarum, ſub titulo graui-
tatis ſphæræ ſtanneæ, datur quæſita ſphæræ grauitas lib. 304, adun-
quem. Atque ita reliquarum ſphærarum in tabula nominatarum, ex
data diametrorum magnitudine, grauitates inuenies.
Qua ratione hanc Tabulam compoſuimus.
Primum inueniendam curauimus grauitatem alicuius ſphæræ, da-
tam babentis diametrum, & ad boc faciendum, oportebat aliquam
ſphæram efficere, ſed quoniam ad ill am efficiendam, exactam bumana
diligentia non ſufficit, fieri curauimus Cylindrum ex ſtanno, altitu-
dine æqualem diametro circuli, qui baſis eſt ipſius Cylindri, is enim
torno fieri poteſt multo exactior quam ſphæra, & facilius. buius au-
tem Cylindri altitudo, vel diameter ipſius baſis, erat duarum vncia-
rum prædicti pedis Romani, grauitas vero duarum librarum, cum
vna vncia, & octo ſcrupulis, ſiue vt boc pondus ad grana reducamus,
Cylindri grauitas erat Gran. 14592. abstulimns ab bac Cylindri
grauitate partem tertiam, id est 4864, reliquum, quod est 9728. ſer-
uauimus, pro grauitate ſphæræ, diametrum babentis æqualem altitu-
dini Cylindri, oſtenſum enim est ab Archimede propoſ 32, lib. 1, de
ſphæra, & Cylindro, Cylindrum, qui baſim babeat maximo in ſphæra
circulo æqualem, & altitudinem æqualem diametro ſphæræ, ad ipſam
ſphæram ſeſquialterum eſſe; itaque grauitatem ſphæræ, diametrum
babentis duarum vnciarum inuenimus eſſe gran. 9728.
Inuenta igitur grauitate ſphæræ, cuius diameter est duarum vn-
ciarum, facile inuenientur reliquarum ſphærarũ grauitates, ſi enim
inuenienda ſit grauitas ſphæræ stannea babentis diametrum {1/4}. vn-
ciæ. fiat vt cubus ex 2, ad cubum ex {1/4}, boc est vt 512, ad 1, ita 9728,
ad alium numerum, qui ſit 19, ſphæræ igitur cuius diameter eſt {1/4},
vnciæ, grauitas erit gran. 19, ostenſum enim est prop. 17, buius, ſphæ-
ras eiuſdem generis inter ſe eſſe in grauitate, vt diametrorum cubi in
magnitudine.
Rurſus ſit inuenienda grauitas ſphæræ stannæ babentis diame-
trum {1/2}, vnciæ, fiat vt cubus ex {1/4}, ad cubum ex {1/2}, boc est vt 1, ad 8,
ita 19, ad 152, ſphæra igitur, cuius diameter eſt {1/2}, vnciæ, babebit gra-
uitatem gran. 152.
Sit denique inuenienda grauitas ſphæræ stannæ, diametrum ba-
bentis {3/4}, vnciæ, fiat vt cubus ex {1/4}, ad cubum ex {3/4}, boc eſt vt 1, ad 27,
ita 19, ad 513, grauitas igitur ſphæræ babentis diametrum {3/4}, vnciæ,
4836
Ad inueniendas ſphæra-
diametrorum
TAB
11Diametri \\ magnitu- \\ do. #### Aureæ ſpheræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sphęræ \\ grauitas. #### Argentea Sphæræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scru. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
{1/4} # 0 # 0 # 2 # {29/37} # 0 # 0 # 1 # 5 {39/74} # 0 # 0 # 1 # 2 {59/111}
{1/2} # 0 # 0 # 16 # 6 {10/37} # 0 # 0 # 9 # 20 {8/37} # 0 # 0 # 8 # 20 {28/111}
{3/4} # 0 # 2 # 6 # 21 {6/37} # 0 # 1 # 9 # 5 {17/74} # 0 # 1 # 5 # 20 {13/37}
1 # 0 # 5 # 10 # 2 {6/37} # 0 # 3 # 6 # 17 {27/37} # 0 # 2 # 22 # 18 {2/111}
1 {1/4} # 0 # 10 # 14 # 1 {36/37} # 0 # 6 # 9 # 18 {65/74} # 0 # 5 # 18 # 4 {49/111}
1 {1/2} # 1 # 6 # 7 # 1 {11/37} # 0 # 11 # 1 # 17 {31/37} # 0 # 9 # 22 # 18 {30/37}
1 {3/4} # 2 # 5 # 1 # 4 {31/37} # 1 # 5 # 13 # 23 {57/74} # 1 # 3 # 19 # 4 {35/111}
2 # 3 # 7 # 8 # 17 {5/37} # 2 # 2 # 5 # 21 {31/37} # 1 # 11 # 14 # 0 {16/111}
2 {1/4} # 5 # 1 # 17 # 19 {14/37} # 3 # 1 # 8 # 19 {63/74} # 2 # 9 # 13 # 21 {18/37}
2 {1/2} # 7 # 0 # 16 # 15 {29/37} # 4 # 3 # 6 # 7 {1/37} # 3 # 10 # 1 # 11 {59/111}
2 {3/4} # 9 # 4 # 17 # 11 {8/37} # 5 # 8 # 5 # 12 {35/74} # 5 # 1 # 7 # 9 {52/111}
3 # 12 # 2 # 8 # 10 {14/37} # 7 # 4 # 13 # 22 {26/37} # 6 # 7 # 14 # 6 {18/37}
3 {1/4} # 15 # 6 # 1 # 17 {36/37} # 9 # 4 # 14 # 22 {65/74} # 8 # 5 # 4 # 17 {76/111}
3 {1/2} # 19 # 4 # 9 # 14 {26/37} # 11 # 8 # 15 # 22 {6/37} # 10 # 6 # 9 # 10 {58/111}
3 {3/4} # 23 # 9 # 2 # 5 {10/37} # 14 # 5 # 0 # 5 {53/74} # 12 # 11 # 10 # 23 {34/37}
4 # 28 # 10 # 21 # 17 {3/37} # 17 # 5 # 23 # 6 {26/37} # 15 # 8 # 16 # 1 {13/111}
4 {1/4} # 34 # 8 # 2 # 10 {27/37} # 20 # 11 # 20 # 10 {21/74} # 18 # 10 # 7 # 5 {46/111}
4 {1/2} # 41 # 1 # 22 # 11 {1/37} # 24 # 10 # 22 # 14 {30/37} # 22 # 4 # 15 # 3 {33/37}
4 {3/4} # 48 # 4 # 21 # 23 {36/37} # 29 # 3 # 14 # 13 {65/74} # 26 # 3 # 22 # 11 {86/111}
4937 rum grauitates ex data
magnitudine
V L A. 11Diametri \\ magnitu. #### Aereæ Sphæræ \\ grauitas. #### Ferreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Stanneæ ſphęræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
{1/4} # 0 # 0 # 0 # 23 {4/37} # 0 # 0 # 0 # 20 {20/37} # 0 # 0 # 0 # 19
{1/2} # 0 # 0 # 7 # 16 {32/37} # 0 # 0 # 6 # 20 {12/37} # 0 # 0 # 6 # 8
{3/4} # 0 # 1 # 1 # 23 {34/37} # 0 # 0 # 23 # 2 {22/37} # 0 # 0 # 21 # 9
1 # 0 # 2 # 13 # 14 {34/37} # 0 # 2 # 6 # 18 {22/37} # 0 # 2 # 2 # 16
1 {1/4} # 0 # 5 # 0 # 8 {19/37} # 0 # 4 # 10 # 23 {21/37} # 0 # 4 # 2 # 23
1 {1/2} # 0 # 8 # 15 # 23 {13/37} # 0 # 7 # 16 # 20 {28/37} # 0 # 7 # 3 # 0
1 {3/4} # 1 # 1 # 18 # 6 {3/37} # 1 # 0 # 5 # 13 {15/37} # 0 # 11 # 3 # 13
2 # 1 # 8 # 12 # 23 {13/37} # 1 # 6 # 6 # 4 {28/37} # 1 # 4 # 21 # 8
2 {1/4} # 2 # 5 # 5 # 21 {30/37} # 2 # 1 # 23 # 22 {2/37} # 2 # 0 # 1 # 3
2 {1/2} # 3 # 4 # 2 # 20 {4/37} # 2 # 11 # 15 # 20 {20/37} # 2 # 8 # 23 # 16
2 {3/4} # 4 # 5 # 9 # 12 {33/37} # 3 # 11 # 11 # 3 {17/37} # 3 # 7 # 21 # 17
3 # 5 # 9 # 7 # 18 {30/37} # 5 # 1 # 14 # 22 {2/37} # 4 # 9 # 0 # 0
3 {1/4} # 7 # 4 # 3 # 8 {19/37} # 6 # 11 # 0 # 22 {10/37} # 6 # 0 # 11 # 7
3 {1/2} # 9 # 2 # 2 # 0 {24/37} # 8 # 1 # 2 # 11 {9/37} # 7 # 6 # 12 # 8
3 {3/4} # 11 # 3 # 9 # 13 {32/37} # 10 # 0 # 8 # 12 {12/37} # 9 # 3 # 7 # 21
4 # 13 # 8 # 7 # 18 {30/37} # 12 # 2 # 1 # 14 {2/37} # 11 # 3 # 2 # 16
4 {1/4} # 16 # 5 # 2 # 10 {5/37} # 14 # 7 # 4 # 19 {25/37} # 13 # 6 # 1 # 11
4 {1/2} # 19 # 5 # 23 # 6 {18/37} # 17 # 3 # 23 # 8 {16/37} # 16 # 0 # 9 # 0
4 {3/4} # 22 # 11 # 4 # 29 {19/37} # 20 # 4 # 14 # 7 {21/37} # 18 # 10 # 6 # 1
5011Diametri \\ magnitu. #### AEreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Ferreæ Sphæræ \\ grauitas. #### Stanneæ ſphęræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
5 # 26 # 8 # 22 # 17 {32/37} # 23 # 9 # 6 # 20 {12/37} # 21 # 11 # 21 # 8
5 {1/4} # 30 # 11 # 12 # 20 {7/37} # 27 # 6 # 6 # 1 {35/37} # 25 # 5 # 11 # 15
5 {1/2} # 35 # 7 # 4 # 7 {5/37} # 31 # 7 # 17 # 2 {25/37} # 29 # 3 # 5 # 16
5 {3/4} # 40 # 8 # 2 # 20 {13/37} # 36 # 1 # 21 # 4 {28/37} # 34 # 3 # 8 # 5
6 # 46 # 2 # 14 # 6 {18/37} # 41 # 0 # 23 # 8 {16/37} # 38 # 0 # 0 # 0
6 {1/4} # 52 # 2 # 20 # 8 {7/37} # 46 # 5 # 4 # 17 {35/37} # 42 # 11 # 9 # 19
6 {1/2} # 58 # 9 # 2 # 20 {4/37} # 52 # 2 # 18 # 12 {20/37} # 48 # 3 # 18 # 8
6 {3/4} # 65 # 9 # 15 # 12 {33/37} # 58 # 5 # 21 # 19 {17/37} # 54 # 3 # 0 # 0
7 # 73 # 4 # 16 # 5 {7/37} # 65 # 2 # 19 # 17 {35/37} # 60 # 4 # 2 # 16
7 {1/4} # 81 # 6 # 10 # 15 {24/37} # 72 # 5 # 17 # 11 {9/37} # 67 # 0 # 11 # 23
7 {1/2} # 90 # 3 # 4 # 14 {34/37} # 80 # 2 # 20 # 2 {22/37} # 74 # 2 # 15 # 0
7 {3/4} # 99 # 7 # 3 # 21 {24/37} # 88 # 6 # 8 # 19 {9/37} # 81 # 10 # 16 # 13
8 # 109 # 6 # 14 # 6 {18/37} # 97 # 4 # 12 # 16 {16/37} # 90 # 0 # 21 # 8
8 {1/4} # 120 # 1 # 17 # 12 {3/37} # 106 # 9 # 12 # 21 {15/37} # 98 # 9 # 10 # 3
8 {1/2} # 131 # 4 # 19 # 8 {3/37} # 116 # 9 # 14 # 13 {15/37} # 108 # 0 # 11 # 16
8 {3/4} # 143 # 4 # 1 # 16 {5/37} # 127 # 4 # 22 # 19 {25/37} # 117 # 10 # 6 # 17
9 # 155 # 11 # 18 # 3 {33/37} # 138 # 7 # 18 # 19 {17/37} # 128 # 3 # 0 # 0
9 {1/4} # 169 # 4 # 2 # 15 # 150 # 6 # 7 # 16 # 139 # 2 # 20 # 7
9 {1/2} # 183 # 5 # 8 # 20 {4/37} # 163 # 0 # 18 # 12 {20/37} # 150 # 10 # 0 # 8
9 {3/4} # 198 # 3 # 18 # 13 {32/37} # 176 # 3 # 8 # 12 {12/37} # 163 # 0 # 16 # 21
10 # 213 # 11 # 13 # 14 {34/37} # 190 # 2 # 6 # 18 {22/37} # 175 # 11 # 2 # 16
10 {1/4} # 230 # 4 # 23 # 17 {34/37} # 204 # 9 # 18 # 10 {22/37} # 189 # 5 # 10 # 11
10 {1/2} # 247 # 8 # 6 # 17 {19/37} # 220 # 2 # 0 # 15 {21/37} # 203 # 7 # 21 # 0
10 {3/4} # 265 # 9 # 16 # 8 {13/37} # 236 # 3 # 6 # 12 {28/37} # 218 # 6 # 15 # 1
5111Diametri \\ magnitu- \\ do. #### Aureæ ſphæræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sphæræ \\ grauitas. #### Argenteæ ſphęræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
5 # 56 # 5 # 13 # 6 {10/37} # 34 # 2 # 2 # 8 {8/37} # 30 # 8 # 11 # 20 {28/111}
5 {1/4} # 65 # 4 # 8 # 10 {23/37} # 39 # 6 # 16 # 23 {59/74} # 35 # 6 # 13 # 20 {19/37}
5 {1/2} # 75 # 1 # 19 # 17 {27/37} # 45 # 5 # 20 # 3 {29/37} # 40 # 10 # 11 # 3 {33/111}
5 {3/4} # 85 # 10 # 11 # 8 {11/37} # 51 # 11 # 16 # 23 {25/74} # 46 # 8 # 10 # 9 {16/111}
6 # 97 # 6 # 19 # 11 {1/37} # 59 # 0 # 15 # 13 {23/37} # 53 # 0 # 18 # 3 {33/37}
6 {1/4} # 110 # 3 # 8 # 6 {23/37} # 66 # 8 # 23 # 7 {59/74} # 59 # 11 # 17 # 3 {20/111}
6 {1/2} # 124 # 0 # 13 # 23 {29/37} # 75 # 0 # 23 # 15 {1/37} # 67 # 5 # 13 # 21 {43/111}
6 {3/4} # 138 # 11 # 0 # 19 {8/37} # 84 # 0 # 22 # 7 {73/74} # 75 # 6 # 15 # 4 {5/37}
7 # 154 # 11 # 4 # 21 {13/37} # 93 # 9 # 7 # 9 {11/37} # 84 # 3 # 3 # 12 {20/111}
7 {1/4} # 172 # 1 # 14 # 11 {26/37} # 104 # 2 # 6 # 3 {7/74} # 93 # 7 # 9 # 13 {58/111}
7 {1/2} # 190 # 6 # 17 # 18 {6/37} # 115 # 4 # 1 # 21 {27/37} # 103 # 7 # 15 # 23 {13/37}
7 {3/4} # 210 # 3 # 2 # 21 {26/37} # 127 # 3 # 3 # 15 {49/74} # 114 # 4 # 5 # 8 {95/111}
8 # 231 # 3 # 5 # 16 {24/37} # 139 # 11 # 18 # 5 {23/37} # 125 # 9 # 8 # 8 {104/111}
8 {1/4} # 253 # 7 # 15 # 14 {31/37} # 153 # 5 # 4 # 18 {57/74} # 137 # 11 # 7 # 3 {24/37}
8 {1/2} # 277 # 4 # 19 # 13 {31/37} # 167 # 10 # 19 # 10 {1@/37} # 150 # 10 # 9 # 19 {55/111}
8 {3/4} # 302 # 7 # 6 # 4 {27/37} # 183 # 1 # 20 # 19 {21/74} # 164 # 6 # 21 # 11 {46/111}
9 # 329 # 3 # 11 # 16 {8/37} # 199 # 3 # 12 # 22 {18/37} # 179 # 1 # 1 # 7 {5/37}
9 {1/4} # 357 # 6 # 0 # 5 # 216 # 4 # 14 # 0 {1/2} # 194 # 5 # 3 # 21 {2/3}
9 {1/2} # 387 # 3 # 7 # 23 {29/37} # 234 # 4 # 20 # 15 {1/37} # 210 # 7 # 11 # 22 {22/111}
9 {3/4} # 418 # 7 # 23 # 5 {10/37} # 253 # 4 # 19 # 17 {53/74} # 227 # 8 # 7 # 21 {18/37}
10 # 451 # 8 # 10 # 2 {6/37} # 273 # 4 # 18 # 17 {27/37} # 245 # 7 # 22 # 18 {2/111}
10 {1/4} # 486 # 5 # 4 # 19 {6/37} # 294 # 5 # 1 # 0 {17/74} # 264 # 6 # 14 # 19 {76/111}
10 {1/2} # 522 # 10 # 19 # 12 {36/37} # 316 # 5 # 21 # 22 {14/37} # 284 # 4 # 14 # 20 {4/37}
10 {3/4} # 561 # 1 # 18 # 12 {11/@@} # 339 # 7 # 16 # 21 {25/@} # 305 # 2 # 5 # 10 {53/@}
5211Diametri \\ magnitu. #### Aureæ Sphæræ \\ grauitas. #### Plumbeæ Sphæræ \\ grauitas. #### Argĕteæ ſphęræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
11 # 601 # 2 # 13 # 21 {31/37} # 363 # 10 # 17 # 6 {10/37} # 326 # 11 # 17 # 5 {29/111}
11 {1/4} # 643 # 1 # 17 # 22 {11/37} # 389 # 3 # 6 # 10 {25/74} # 349 # 9 # 8 # 21 {30/37}
11 {1/2} # 686 # 11 # 18 # 18 {14/37} # 415 # 9 # 15 # 18 {26/37} # 373 # 7 # 11 # 1 {17/111}
11 {3/4} # 732 # 9 # 4 # 14 {29/37} # 443 # 6 # 4 # 16 {39/74} # 398 # 6 # 6 # 7 {22/111}
12 # 780 # 6 # 11 # 16 {8/37} # 472 # 5 # 4 # 12 {36/37} # 424 # 6 # 1 # 7 {5/37} erit gran. 513. & ſic reliquarum ſpbærarum ex ſtanno, diametros ba- bentium magnitudine quacunque, inuenientur grauitates.
Aliter quoque & expeditius reliquarum ſphærarum ex ſtanno in-
uenientur grauitates.
Inuenta grauitate ſpbæræ, diametrum babentis {1/4}, vnciæ, ſi mul-
tiplicetur ipſa grauitas, per 8, boc est per cubum ex 2, numerus pro-
ductus dabit grauitatem ſphæræ, diametrum babentis {2/4}, vnciæ, boc
2218. 12.
Elem. eſt {1/2}, ſpbæræ * enim inter ſe in triplicata ſunt ratione ſuarum dia-
metrorum. deinde ſi multiplicetur eadem grauitas per 27, boc est per
cubum ex 3, numerus productus dabit grauitatem ſpbæræ, babentis
diametrum {3/4}, vnciæ, & ſi multiplicetur per 64, boc est per cubum
ex 4, numerus productus dabit grauitatem ſpbæræ, cuius diameter eſt
@, boc est vnius vnciæ, & eo deinceps continuo ordine,
Porro ad inueniendas grauitates ſpbærarum ex reliquis metallis,
@ex quacunquæ alia materia, bæc erit ratio.
Fiat vt 1, ad 1 {41/74}, boc eſt vt 74, ad 115, (ſi degrauitate ſpbæræ
plũbeæ quæritur cuius diameter est {1/4}, vnciæ) ita 19. grauitas vide-
licet ſpbæræ stanneæ diametrũ babentis {1/4}, vnciæ, ad aliũ numerum
qui ſit 29 {39/74}, grauitas igitur ſpbæræ plumbeæ, diametrum baben-
tis {1/4}, vnciæ, erit gran. 29 {39/74}. ſtannum enim ad plumbum rationem
babet in grauitate vt 1, ad 1 {41/74}, vt conſpicitur in prima tabella.
quam ad comparandum inter ſe duodecim corporum genera, grauita-
te, & magnitudine, appoſuimus.
Si vero quæratur de grauitate ſpbæræ plumbeæ, diametrum.
babentis 2, vnciarum, fiat vt 74, ad 115, ita 9728, id est
5341ARCHIMEDES.11Diametri \\ magnitu. #### AEreæ Sphæræ \\ grauitas #### Ferreæ Sphęrę \\ grauitas #### Stanneæ Sphęræ \\ grauitas.
# Lib. # Vn. # Scr. # Gran. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra. # Lib. # Vn. # Scr. # Gra.
11 # 284 # 9 # 10 # 9 {3/37} # 253 # 1 # 17 # 5 {15/37} # 234 # 1 # 21 # 8
11 {1/4} # 304 # 7 # 18 # 14 {13/37} # 270 # 9 # 13 # 20 {28/37} # 250 # 5 # 2 # 15
11 {1/2} # 325 # 4 # 22 # 18 {30/37} # 289 # 3 # 1 # 14 {2/37} # 266 # 1 # 9 # 0
11 {3/4} # 347 # 1 # 4 # 17 {4/37} # 308 # 6 # 9 # 12 {20/37} # 285 # 4 # 17 # 5
12 # 369 # 8 # 18 # 3 {33/37} # 328 # 7 # 18 # 19 {17/37} # 304 # 0 # 0 # 0
ſphæræ stanneæ, cuius diameter est 2, vnciarum, ad alium numerum,
qui ſit 15117 {31/37}, ſphæra igitur plumbea, cuius diameter est 2, un-
ciarum grauitatem habebit gran. 15117 {31/37}, atque hæc erit obſer-
uanda in reliquis ratio.
V el ſi ipſa grauitas 29 {39/74}, multiplicetur per ſingulos cubos, vt
dictum est de ſphera ſtannea, numeri producti dabunt grauitates
ſphærarum ex plumbo, ad quarum diametros latera cubica rationem
babebunt vt 4, ad 1, quoniam 29 {39/74}. est grauitas ſpbæræ plumbeæ,
diametrum habentis {1/4}, vnciæ.
Sequitur, ad inueniendas diametrorum
magnitudines ex data ſphæ-
rarum grauitate,
tabula.
5442PROMOTVS11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
Lib. 1 # 1 {30./100} # 1 {54./100} # 1 {59./100} # 1 {67./100} # 1 {74:/100} # 1 {78./100}
2 # 1 {64./100} # 1 {94./100} # 2 {1./100} # 2 {11:/100} # 2 {19./100} # 2 {25:/100}
3 # 1 {88./100} # 2 {22./100} # 2 {30./100} # 2 {41./100} # 2 {50./100} # 2 {57:/100}
4 # 2 {7:/100} # 2 {45:/100} # 2 {53./100} # 2 {65./100} # 2 {76./100} # 2 {83./100}
5 # 2 {22./100} # 2 {63./100} # 2 {73./100} # 2 {86./100} # 2 {97./100} # 3 {5./100}
6 # 2 {36./100} # 2 {80:/100} # 2 {90./100} # 3 {4:/100} # 3 {16:/100} # 3 {24./100}
7 # 2 {49./100} # 2 {95:/100} # 3 {5./100} # 3 {20:/100} # 3 {32./100} # 3 {41./100}
8 # 2 {60./100} # 3 {8./100} # 3 {19./100} # 3 {34./100} # 3 {47./100} # 3 {57:/100}
9 # 2 {71./100} # 3 {21:/100} # 3 {32./100} # 3 {48:/100} # 3 {61./100} # 3 {71./100}
10 # 2 {81:/100} # 3 {31./100} # 3 {44:/100} # 3 {60./100} # 3 {74./100} # 3 {84./100}
11 # 2 {90:/100} # 3 {42./100} # 3 {55./100} # 3 {72./100} # 3 {86./100} # 3 {97:/100}
12 # 2 {98./100} # 3 {53:/100} # 3 {65./100} # 3 {83./100} # 3 {98./100} # 4 {9:/100}
13 # 3 {6./100} # 3 {62./100} # 3 {75./100} # 3 {93./100} # 4 {9:/100} # 4 {20:/100}
14 # 3 {14./100} # 3 {71./100} # 3 {85:/100} # 4 {3./100} # 4 {19./100} # 4 {30./100}
15 # 3 {21./100} # 3 {80:/100} # 3 {94:/100} # 4 {12./100} # 4 {29:/100} # 4 {40./100}
16 # 3 {28./100} # 3 {88./100} # 4 {2./100} # 4 {21./100} # 4 {38./100} # 4 {49./100}
17 # 3 {35./100} # 3 {96./100} # 4 {11:/100} # 4 {30:/100} # 4 {47./100} # 4 {59:/100}
18 # 3 {41./100} # 4 {4:/100} # 4 {18./100} # 4 {38./100} # 4 {55./100} # 4 {67./100}
19 # 3 {47./100} # 4 {11./100} # 4 {26./100} # 4 {46./102} # 4 {64./100} # 4 {76./100}
20 # 3 {53./100} # 4 {18./100} # 4 {33./100} # 4 {54:/100} # 4 {72./100} # 4 {84./100}
5543ARCHIMEDES.11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
21 # 3 {59./100} # 4 {25./100} # 4 {40./100} # 4 {61./100} # 4 {80:/100} # 4 {92./100}
22 # 3 {65./100} # 4 {32:/100} # 4 {47./100} # 4 {68./100} # 4 {87./100} # 5.
23 # 3 {70./100} # 4 {38./100} # 4 {54./100} # 4 {75./100} # 4 {94./100} # 5 {7./100}
24 # 3 {75./100} # 4 {44./100} # 4 {60./100} # 4 {82./100} # 5 {1./100} # 5 {15:/100}
25 # 3 {81./100} # 4 {50./100} # 4 {67:/100} # 4 {89:/100} # 5 {8./100} # 5 {22:/100}
26 # 3 {86./100} # 4 {56./100} # 4 {73./100} # 4 {95./100} # 5 {15./100} # 5 {28./100}
27 # 3 {91:/100} # 4 {62./100} # 4 {79./100} # 5 {1./100} # 5 {22:/100} # 5 {35./100}
28 # 3 {95./100} # 4 {68:/100} # 4 {85:/100} # 5 {8:/100} # 5 {28./100} # 5 {42:/100}
29 # 4. # 4 {73./100} # 4 {90./100} # 5 {14:/100} # 5 {34./100} # 5 {48./100}
30 # 4 {5:/100} # 4 {79:/100} # 4 {96./100} # 5 {20:/100} # 5 {40./100} # 5 {54./100}
31 # 4 {9./100} # 4 {84./100} # 5 {1./100} # 5 {25./100} # 5 {46./100} # 5 {60./100}
32 # 4 {13./100} # 4 {89./100} # 5 {7:/100} # 5 {31./100} # 5 {52./100} # 5 {66./100}
33 # 4 {18./100} # 4 {94./100} # 5 {12./100} # 5 {36./100} # 5 {58:/100} # 5 {72./100}
34 # 4 {22./100} # 4 {99./100} # 5 {17./100} # 5 {42:/100} # 5 {63./100} # 5 {78./100}
35 # 4 {26./100} # 5 {4:/100} # 5 {22./100} # 5 {47:/100} # 5 {69./100} # 5 {84:/100}
36 # 4 {30./100} # 5 {8./100} # 5 {27./100} # 5 {52./100} # 5 {74./100} # 5 {89./100}
37 # 4 {34./100} # 5 {13./100} # 5 {32./100} # 5 {57./100} # 5 {79./100} # 5 {95:/100}
38 # 4 {38./100} # 5 {18:/100} # 5 {37:/100} # 5 {6./100} # 5 {84./100} # 6
39 # 4 {42:/100} # 5 {22./100} # 5 {41./100} # 5 {67:/100} # 5 {89./100} # 6 {5./100}
40 # 4 {46:/100} # 5 {26./100} # 5 {46./100} # 5 {72:/100} # 5 {94./100} # 6 {10./100}
5644PROMOTVS11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
41 # 4 {49./100} # 5 {31./100} # 5 {50./100} # 5 {76./100} # 5 {99./100} # 6 {15./100}
42 # 4 {53./100} # 5 {35./100} # 5 {55./100} # 5 {81./100} # 6 {4./100} # 6 {20./100}
43 # 4 {56./100} # 5 {39./100} # 5 {59./100} # 5 {85./100} # 6 {9./100} # 6 {25./100}
44 # 4 {60./100} # 5 {43./100} # 5 {63./100} # 5 {90./100} # 6 {14:/100} # 6 {30./100}
45 # 4 {63./100} # 5 {48./100} # 5 {68:/100} # 5 {95:/100} # 6 {18./100} # 6 {35:/100}
46 # 4 {67:/100} # 5 {52./100} # 5 {72./100} # 5 {99./100} # 6 {23./100} # 6 {39./100}
47 # 4 {70./100} # 5 {56./100} # 5 {76./100} # 6 {3./100} # 6 {27./100} # 6 {44:/100}
48 # 4 {73./100} # 5 {59./100} # 5 {80./100} # 6 {8:/100} # 6 {32:/100} # 6 {49:/100}
49 # 4 {77:/100} # 5 {63./100} # 5 {84./100} # 6 {12:/100} # 6 {36./100} # 6 {53./100}
50 # 4 {80./100} # 5 {67./100} # 5 {88./100} # 6 {16:/100} # 6 {40./100} # 6 {57./100}
51 # 4 {83./100} # 5 {71./100} # 5 {92./100} # 6 {20./100} # 6 {45:/100} # 6 {61./100}
52 # 4 {86./100} # 5 {75./100} # 5 {96:/100} # 6 {24./100} # 6 {49./100} # 6 {66./100}
53 # 4 {89./100} # 5 {78./100} # 6: # 6 {28./100} # 6 {53./100} # 6 {70./100}
54 # 4 {92./100} # 5 {82./100} # 6 {3./100} # 6 {32:/100} # 6 {57./100} # 6 {74./100}
55 # 4 {95./100} # 5 {85./100} # 6 {7./100} # 6 {36:/100} # 6 {61./100} # 6 {79:/100}
56 # 4 {98./100} # 5 {89./100} # 6 {11:/100} # 6 {40:/100} # 6 {65./100} # 6 {83:/100}
57 # 5 {1./100} # 5 {92./100} # 6 {14./100} # 6 {43./100} # 6 {69./100} # 6 {87:/100}
58 # 5 {4./100} # 5 {96./100} # 6 {18./100} # 6 {47./100} # 6 {73./100} # 6 {91:/100}
59 # 5 {7./100} # 5 {99./100} # 6 {22:/100} # 6 {51:/100} # 6 {77:/100} # 6 {95:/100}
60 # 5 {10./100} # 6 {3./100} # 6 {25./100} # 6 {34./100} # 6 {81:/100} # 6 {99:/100}
5745ARCHIMEDES.11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
61 # 5 {13./100} # 6 {6./100} # 6 {28./100} # 6 {58./100} # 6 {84./100} # 7 {2./100}
62 # 5 {16:/100} # 6 {9./100} # 6 {32:/100} # 6 {62:/100} # 6 {88./100} # 7 {6./100}
63 # 5 {18./100} # 6 {13./100} # 6 {35./100} # 6 {65./100} # 6 {91./100} # 7 {10./100}
64 # 5 {21./100} # 6 {16./100} # 6 {38./100} # 6 {69:/100} # 6 {95./100} # 7 {14:/100}
65 # 5 {24./100} # 6 {19./100} # 6 {42:/100} # 6 {72./100} # 6 {99./100} # 7 {17./100}
66 # 5 {27:/100} # 6 {22./100} # 6 {45./100} # 6 {76:/100} # 7 {3:/100} # 7 {21./100}
67 # 5 {29./100} # 6 {25./100} # 6 {48./100} # 6 {79./100} # 7 {6./100} # 7 {25:/100}
68 # 5 {32;/100} # 6 {28./100} # 6 {52:/100} # 6 {82./100} # 7 {10;/100} # 7 {28./100}
69 # 5 {34./100} # 6 {31./100} # 6 {55:/100} # 6 {86:/100} # 7 {13./100} # 7 {32:/100}
70 # 5 {37./100} # 6 {35:/100} # 6 {58./100} # 6 {89./100} # 7 {16./100} # 7 {35/100}
71 # 5 {40:/100} # 6 {38./100} # 6 {61./100} # 6 {92./100} # 7 {20./100} # 7 {39:/100}
72 # 5 {42./100} # 6 {41./100} # 6 {64./100} # 6 {96:/100} # 7 {23./100} # 7 {42./100}
73 # 5 {45:/100} # 6 {44:/100} # 6 {67./100} # 6 {99:/100} # 7 {27:/100} # 7 {46:/100}
74 # 5 {47./100} # 6 {47:/100} # 6 {70./100} # 7 {2:/100} # 7 {30./100} # 7 {49./100}
75 # 5 {49./100} # 6 {50:/100} # 6 {73./100} # 7 {5./100} # 7 {33./100} # 7 {53:/100}
76 # 5 {52./100} # 6 {52./100} # 6 {76./100} # 7 {8./100} # 7 {36./100} # 7 {56:/100}
77 # 5 {54./100} # 6 {55./100} # 6 {79./100} # 7 {11./100} # 7 {39./100} # 7 {59./100}
78 # 5 {57:/100} # 6 {58./100} # 6 {82./100} # 7 {14./100} # 7 {43:/100} # 7 {62./100}
79 # 5 {59./100} # 6 {61./100} # 6 {85./100} # 7 {17./100} # 7 {46./100} # 7 {66:/100}
80 # 5 {61./100} # 6 {64:/100} # 6 {88:/100} # 7 {20./100} # 7 {49./100} # 7 {69:/100}
5846PROMOTVS11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
81 # 5 {64:/100} # 6 {66./100} # 6 {91:/100} # 7 {23./100} # 7 {52./100} # 7 {72./100}
82 # 5 {66./100} # 6 {69:/100} # 6 {93./100} # 7 {26./100} # 7 {55./100} # 7 {75./100}
83 # 5 {68./100} # 6 {@2./100} # 6 {96./100} # 7 {29./100} # 7 {58./100} # 7 {78./100}
84 # 5 {71:/100} # 6 {74./100} # 6 {99./100} # 7 {32./100} # 7 {61./100} # 7 {81./100}
85 # 5 {73./100} # 6 {77./100} # 7 {2./100} # 7 {35./100} # 7 {64./100} # 7 {85:/100}
86 # 5 {75./100} # 6 {80./100} # 7 {5:/100} # 7 {38:/100} # 7 {67./100} # 7 {88:/100}
87 # 5 {77./100} # 6 {82./100} # 7 {7./100} # 7 {41:/100} # 7 {70./100} # 7 {91:/100}
88 # 5 {80;/100} # 6 {85./100} # 7 {10./100} # 7 {44:/100} # 7 {73./100} # 7 {94:/100}
89 # 5 {82:/100} # 6 {88:/100} # 7 {13:/100} # 7 {46./100} # 7 {76./100} # 7 {97./100}
90 # 5 {84./100} # 6 {90./100} # 7 {15./100} # 7 {49./100} # 7 {79./100} # 8:
91 # 5 {86./100} # 6 {93./100} # 7 {18./100} # 7 {52./100} # 7 {82./100} # 8 {3:/100}
92 # 5 {88./100} # 6 {95./100} # 7 {21:/100} # 7 {55:/100} # 7 {85:/100} # 8 {6:/100}
93 # 5 {90./100} # 6 {98./100} # 7 {23./100} # 7 {57./100} # 7 {88:/100} # 8 {9:/100}
94 # 5 {92./100} # 7. # 7 {26:/100} # 7 {60./100} # 7 {90./100} # 8 {11./100}
95 # 5 {94./100} # 7 {3./100} # 7 {28./100} # 7 {63:/100} # 7 {93./100} # 8 {14./100}
96 # 5 {97:/100} # 7 {5./100} # 7 {31./100} # 7 {65./100} # 7 {96./100} # 8 {17./100}
97 # 5 {99./100} # 7 {8:/100} # 7 {34:/100} # 7 {68./100} # 7 {99./100} # 8 {20./100}
98 # 6 {1:/100} # 7 {10./100} # 7 {36./100} # 7 {71;/100} # 8 {2:/100} # 8 {23:/100}
99 # 6 {3:/100} # 7 {13:/100} # 7 {39:/100} # 7 {74:/100} # 8 {4./100} # 8 {26:/100}
100 # 6 {5:/100} # 7 {15./100} # 7 {41./100} # 7 {76./100} # 8 {7./100} # 8 {28./100}
5947ARCHIMEDES.11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
101 # 6 {7:/100} # 7 {17./100} # 7 {44:/100} # 7 {79:/100} # 8 {10:/100} # 8 {31./100}
102 # 6 {9:/100} # 7 {19./100} # 7 {46./100} # 7 {81./100} # 8 {12./100} # 8 {34:/100}
103 # 6 {11:/100} # 7 {22./100} # 7 {48./100} # 7 {84;/100} # 8 {15./100} # 8 {37:/100}
104 # 6 {13:/100} # 7 {24./100} # 7 {51:/100} # 7 {86./100} # 8 {18:/100} # 8 {39./100}
105 # 6 {15:/100} # 7 {27:/100} # 7 {53./100} # 7 {89:/100} # 8 {20./100} # 8 {42:/100}
106 # 6 {17:/100} # 7 {29./100} # 7 {55./100} # 7 {91./100} # 8 {23:/100} # 8 {45:/100}
107 # 6 {19:/100} # 7 {31./100} # 7 {58./100} # 7 {94:/100} # 8 {25./100} # 8 {47./100}
108 # 6 {21:/100} # 7 {33./100} # 7 {61:/100} # 7 {96./100} # 8 {28./100} # 8 {50./100}
109 # 6 {23:/100} # 7 {36:/100} # 7 {63:/100} # 7 {99:/100} # 8 {31:/100} # 8 {53:/100}
110 # 6 {24./100} # 7 {38./100} # 7 {65./100} # 8 {1./100} # 8 {33./100} # 8 {55./100}
111 # 6 {26./100} # 7 {40./100} # 7 {67./100} # 8 {3./100} # 8 {36:/100} # 8 {58:/100}
112 # 6 {28./100} # 7 {42./100} # 7 {70:/100} # 8 {6:/100} # 8 {38./100} # 8 {60./100}
113 # 6 {30./100} # 7 {45:/100} # 7 {72:/100} # 8 {8./100} # 8 {41:/100} # 8 {63:/100}
114 # 6 {32:/100} # 7 {47./100} # 7 {74./100} # 8 {11:/100} # 8 {43./100} # 8 {65./100}
115 # 6 {34:/100} # 7 {49./100} # 7 {76./100} # 8 {13./100} # 8 {46:/100} # 8 {68:/100}
116 # 6 {36:/100} # 7 {51./100} # 7 {79:/100} # 8 {15./100} # 8 {48./100} # 8 {70./100}
117 # 6 {37./100} # 7 {53./100} # 7 {81:/100} # 8 {18:/100} # 8 {50./100} # 8 {73:/100}
118 # 6 {39./100} # 7 {55./100} # 7 {83./100} # 8 {20./100} # 8 {53:/100} # 8 {75./100}
119 # 6 {41./100} # 7 {57./100} # 7 {85./100} # 8 {22./100} # 8 {55./100} # 8 {78./100}
120 # 6 {43:/100} # 7 {60:/100} # 7 {87./100} # 8 {24./100} # 8 {57./100} # 8 {80./100}
6048PROMOTVS11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
121 # 6 {44./100} # 7 {62./100} # 7 {90:/100} # 8 {27:/100} # 8 {60./100} # 8 {83:/100}
122 # 6 {46./100} # 7 {64./100} # 7 {92:/100} # 8 {29./100} # 8 {62./100} # 8 {85./100}
123 # 6 {48./100} # 7 {66./100} # 7 {94./100} # 8 {31./100} # 8 {65:/100} # 8 {88:/100}
124 # 6 {50:/100} # 7 {68./100} # 7 {96./100} # 8 {34:/100} # 8 {67./100} # 8 {90:/100}
125 # 6 {52:/100} # 7 {70./100} # 7 {98./100} # 8 {36:/100} # 8 {69./100} # 8 {92./100}
126 # 6 {53./100} # 7 {72./100} # 8. # 8 {38./100} # 8 {72:/100} # 8 {95:/100}
127 # 6 {55./100} # 7 {74./100} # 8 {3:/100} # 8 {40./100} # 8 {74./100} # 8 {97./100}
128 # 6 {57:/100} # 7 {76./100} # 8 {5:/100} # 8 {43:/100} # 8 {76./100} # 8 {99./100}
129 # 6 {58./100} # 7 {78./100} # 8 {7:/100} # 8 {45:/100} # 8 {79:/100} # 9 {2./100}
130 # 6 {60./100} # 7 {80./100} # 8 {9:/100} # 8 {47:/100} # 8 {81:/100} # 9 {4./100}
131 # 6 {62:/100} # 7 {82./100} # 8 {11:/100} # 8 {49./100} # 8 {83./100} # 9 {6./100}
132 # 6 {64:/100} # 7 {84./100} # 8 {13:/100} # 8 {51./100} # 8 {85./100} # 9 {9;/100}
133 # 6 {65./100} # 7 {86./100} # 8 {15./100} # 8 {53./100} # 8 {88:/100} # 9 {11:/100}
134 # 6 {67:/100} # 7 {88./100} # 8 {17./100} # 8 {56:/100} # 8 {90:/100} # 9 {13./100}
135 # 6 {69:/100} # 7 {90./100} # 8 {19./100} # 8 {58:/100} # 8 {92./100} # 9 {16:/100}
136 # 6 {70./100} # 7 {92./100} # 8 {21./100} # 8 {60:/100} # 8 {94./100} # 9 {18:/100}
137 # 6 {72:/100} # 7 {94./100} # 8 {23./100} # 8 {62:/100} # 8 {96./100} # 9 {20./100}
138 # 6 {74:/100} # 7 {96./100} # 8 {25./100} # 8 {64:/100} # 8 {99:/100} # 9 {22./100}
139 # 6 {75./100} # 7 {98./100} # 8 {27./100} # 8 {66./100} # 9 {1:/100} # 9 {24./100}
140 # 6 {77:/100} # 8. # 8 {29./100} # 8 {68./100} # 9 {3:/100} # 9 {27:/100}
6149ARCHIMEDES.11Graui- \\ tasſphę \\ ræ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ \\ ræ aureæ # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ plum- \\ beæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ argen \\ teæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ æreæ. # Magnitu- \\ do diame \\ tri ſphæ- \\ ræ Fer- \\ reæ. # Magnitu \\ do diame \\ tri ſphæ \\ -ræ ſtan. \\ -neæ.
141 # 6 {78/100} # 8 {2/100} # 8 {31/100} # 8 {70/100} # 9 {5/100} # 9 {29/100}
142 # 6 {80/100} # 8 {4/100} # 8 {33/100} # 8 {72/100} # 9 {7/100} # 9 {31/100}
143 # 6 {81/100} # 8 {6/100} # 8 {35/100} # 8 {74/100} # 9 {9/100} # 9 {33/100}
144 # 6 {83/100} # 8 {8/100} # 8 {37/100} # 8 {76/100} # 9 {11/100} # 9 {35/100}
145 # 6 {85/100} # 8 {9/100} # 8 {39/100} # 8 {78/100} # 9 {14/100} # 9 {38/100}
146 # 6 {86/100} # 8 {11/100} # 8 {41/100} # 8 {80/100} # 9 {16/100} # 9 {40/100}
147 # 6 {88/100} # 8 {13/100} # 8 {43/100} # 8 {82/100} # 9 {18/100} # 9 {42/100}
148 # 6 {89/100} # 8 {15/100} # 8 {45/100} # 8 {84/100} # 9 {20/100} # 9 {44/100}
149 # 6 {91/100} # 8 {17/100} # 8 {46/100} # 8 {86/100} # 9 {22/100} # 9 {46/100}
150 # 6 {92/100} # 8 {19/100} # 8 {48/100} # 8 {88/100} # 9 {24/100} # 9 {48/100}
EST bœc tabula, quemadmodum & eius vſus, præcedentis con-
nuerſa, in ea enim inueniuntur ſphærarum grauitates ex data
diametrorum magnitudine, in bac vero deprebenduntur diametro-
rum magnitudines ex data ſpbærarum grauitate.
Quæro exempli gratia magnitudinem diametri ſpbæræ aureæ,
grauitatem babentis 10, lib. Numeri in prima columna ſub titulo
grauitatis denotant ſpbærarum grauitates, reliqui vero in reliquis
columnis denotant diametrorum magnitudines; itaque in linea 10,
lib. ſub titulo magnitudinis diametri ſpbæræ aureæ, datur quæſita
diametri magnitudo partium 2 {81/100} qualium pes vnus ect 12.
Quæro magnitudinem diametri ſphæræ ferreæ, grauitatem baben-
tis 50, lib. in linea 50, lib. ſub titulo magnitudinis diametri ſpbæræ
ferreæ, datur quæſita diametri magnitudo 6 {40/100}.
Quæro magnitudinem diametri ſpbæræ argenteæ, grauitatem ba-
bentis 60, lib. in linea 60, lib ſub titulo magnitudinis diametri ſpbæræ
argenteæ, datur ipſa magnitudo 6 {25/100}.
6250PROMOTVS
Quæro denique magnitudinem diametri ſpbæræ ctanneæ, graui-
tatem babentis 38, lib. in linea 38, lib. ſub titulo magnitudinis dia-
metri ſpbæræ ctanneæ, datur quæſita diametri magnitudo 6, ad
vnguem.
Notandum autem ect, quod numeri, qui diametrorum magnitu-
dines denotant, non ſunt veri, ac certi, ſed veris bene proximi, quoniã
numeri, quorum ipſi ſunt radices cubicæ, non ſunt cubi, & ideo ipſæ
radices non explicantur accurate, ſed vel veris maiores, velminores,
atque vt cognoſcantur quæ ſint maiores, queue minores, maioribus
duo puncta adiecimus, minoribus vnum, accuratis nullum. inter om-
nes autem vnus ect accuratus, is ſcilicet, qui magnitudinem indicat
diametri ſpbæræ ctanneæ, grauitatem babentis 38, lib.
De compoſitione huius Tabulæ.
Huius tabulæ compoſitio pendet ex præcedenti tabula, & ex pro-
poſ. 17, buius, ſienim fiat vt grauitas ſphæræ ctanneæ, diametrum
babentis vnius vnciæ, id ect, vt grana 1216, ad grauitatem ſphæræ
vnius libræ, idect, ad grana 6912, ita cubus diametri vnius vnciæ,
boc eſt, ita 1, ad alium numerum, qui ſit 5 {13/19} is erit cubus diametri
ſpbæræ ctanneæ, grauitatem babentis 1, lib. demonctratum enim
ect prop. 17, buius, ſpbæras eiuſdem generis inter ſe eſſe in grauitate,
vt diametrorum cubi in magnitudine; quare radix cubica numeri
5 {13/19}, dabit ipſam diametrum, ſed quoniam numerus 5 {13/19}, non ect
præciſe cubus, eius radix non explicabitur accurata, ſed vt explicetur
veræ bene proxima, multiplicetur 5 {13/19}, per 1000000. & ex producto
5684210 {10/19}, neglecto fracto {10/19}, eruatur radix, tanquam ex accu-
rato numero cubo, ea erit 178, proxime, & erit centupla radicis nu-
meri 5 {13/19}, nam numerus 1000000, per quem fuit multiplicatus
5 {13/19}, cubus eſt ex 100; magnitudo igitur diametri ſpbæræ ſtanneæ,
grauitatem babentis 1, lib. erit 1 {78/100}. reliquarum autem ex ſtanno
ſpbærarum, grauitatem babentium duplam primæ, triplam, quadru-
plam & c. ita inuenientur diametri.
Duplum numeri 5684210 {10/19}, id ect 11368421 {1/19}, erit cubus
centupli diametri ſpberæ ctanneæ, grauitatem babentis duplam pri-
mæ, boc ect 2, lib. ex ſupra nominata enim prop. 17, buius, eſt vt gra-
uitas ſpbæræ vnius libræ, ad grauitatem ſpbæræ duarum librarum,
ita cubus diametri primæ ſpbæræ, ad cubum diametri ſecundæ. Si
vero triplicetur numerus 5684210 {10/19}, eius triplum, quod ect
17052631 {11/19}, erit cubus centupli diametri ſpbæræ ſtanneæ, graui-
statem babentis triplam primæ, idect 3, lib. & ſi quadruplicetur,
6351ARCHIMEDES. quadruplum erit cubus centapli diametri ſphæræ ctanneæ, grauita-
tem babentis quadruplam primæ, & ſic deinceps. itaque ſi ex eius
multiplicibus, neglectis fractis, eruãtur radices, tanquam ex accura-
tis numeris cubis, ipſæ indicabunt diametrorum magnitudines in
ratione centupla. Sed vt etiam euitetur labor multiplicandi prædi-
ctum numerum 5684210 {10/19}, bac ratione inuenientur eius multi-
plicia.
Prædicto numero 5684210 {10/19}, addatur eius duplum, idect,
11368421 {1/19}, ſumma 17052631 {11/19}, dabit eius triplum, ſi vero ei
addatur eius triplum, id eſt, 17052631 {11/19}, ſumma 22736842 {2/19},
dabit eius quadruplum, & ſieius quadruplum ei addatur, ſumma
dabit eius quintuplum, & ſic ſola additione inuenientur eius quot-
cunque multiplicia.
Eadem ratione inuenientur diametri ſpbærarum ex quacunque
alia materia, ſi enim quæratur de magnitudine diametri verbi gra-
tia ſpbæræ ferreæ, grauitatem babentis 1, lib. fiat vt grana 1314 {22/37},
id ect vt grauitas ſpbæræ ferreæ, cuius diameter eſt vnius vnciæ, ad
grauitatem vnius libræ, id ect ad grana 6912, ita cubus diametri
vnius vnciæ, boc eſt ita 1, ad alium numerum qui ſit 5 {49/190}, is igi-
tur numerus* erit cubus diametri ſpbæræ ferreæ, grauitatem baben-
1117.
buius. tis 1, lib, quare radix cubica numeri 5 {49/190}, dabit quæſitam dia-
metrum, & quoniam numerus 5 {49/190}, non eſt præciſe cubus, & ideo
non explicabitur eius radix accurate, multiplicetur per 1000000, &
ex producto 5257894 {14/19}, neglecto fracto {14/19}, eruatur radix, tan-
quam ex accurato numero cubo, ea erit 174: ferè, & erit centupla ra-
dicis numeri 5 {49/190}, quia numerus 5 {49/190}, multiplicatus fuit per
cubum ex 100; diameter igitur ſpbæræ ferreæ, grauitatem babentis
1, lib. erit 1 {74/100}: deinde ſi duplicetur 5257894 {14/19}, & ex ita du-
plicato eruatur radix cubica 219, ea dabit centuplum diametri ſpbæ-
ræ ferreæ, grauitatem babentis 2, lib. & ſi triplicetur, triplicati radix
cubica 250 dabit centuplum diametri ſpbæræ ferreæ, cuius grauitas
erit 3, lib. & ſic reliquarum ſpbærarum in infinitum inuenientur
diametri. multiplicia autem numeri 5257894 {14/19}, ſola additione in-
uenientur, vt dictum ect ſupra de inuentione multiplicium numeri
5684210 {10/19}. Atque bac ratione prædictam tabulam compoſuimus.
QVomodo Archimedes argenti mixtionem depre-
hendit in auro.
Hiero (referente V itruuio lib. 9. Cap. 3.) Siracuſis auctus
6452PROMOTVS poteſtate, rebus bene geſtis, cum auream coronam votiuam, dijs im-
mortalibus in quodam fano conſtituiſſet ponendam, immani precio
locauit faciendam, & aurum ad ſacoma appendit redemptori. is ad
tempus opus manufactum ſubtiliter, regi approbauit, & ad ſacoma
pondus coronæ viſus eſt præſtitiſſe. Poſtea quam inditium eſt factum,
dempto auro, tantundem argenti in id coronarium opus admixtum
eſſe: indignatus Hiero ſe contemptum, neque inueniens, qua ratione
id furtum deprebenderet, rogauit Archimedem, vti in ſe ſumeret de
eo cogitationem. tunc is cum baberet eius rei curam, caſu venit in
balneum, ibique cum in ſolium deſcenderet, animaduertit quantum
corporis ſui in eo inſideret, tantum aquæ extra ſolium effluere. itaq;
eum eius rei rationem explicationis offendiſſet non ect moratus, ſed
exiliuit gaudio motus de ſolio, & nudus vadens domum verſus, ſigni
ficabat clara voce inueniße quod quæreret. nam currens identidem
grece clamabat {δι}”ρη{κο} {δι}”ρη{κο} tum vero ex eo inuentionis ingreſſu
duas dicitur feciſſe maſſas æquo pondere, quo etiam fuerat coro-
na, vnam ex auro, alteram ex argento. cum ita fecißet, vas amplũ
ad ſumma labra impleuit aqua, in quo demiſit argenteam maſſam.
cuius quanta magnitudo in vaſe depreſſa ect, tantum aquæ effluxit.
ita exempta maſſa, quanto minus factum fuerat refudit, ſextario
menſus, vt eodem modo, quo prius fuerat, ad labra æquaretur. ita ex
eo inuenit, quantum ad certum pondus argenti certa aquæ menſura
reſponderet.
Cum id expertus eſſet tum auream maſſam ſimiliter pleno vaſe
demiſit, & ea exempta, eadem ratione menſura addita, inuenit ex
aqua non tantum defluxiſſe, ſed tantum minus, quantum minus ma
gno corpore eodem pondere auri maſſa eſſet quam argenti. Poctea
vero repleto vaſe, in eadĕ aqua ipſa corona demiſſa, inuenit plus aquæ
defluxiſſe in coronam, quam in auream eodem pondere maſſam, &
ita ex eo quod plus defluxerat aquæ in corona, quam in maſſa ratio-
cinatus, deprebendit argenti in auro mixtionem, & manifectum fur-
tum redemptoris.
Hactenus Vitruuius.
Mirum certe Archimedis fuit inuentum, ipſius tamen
modus ad inueniendam illam aquæ menſuram, quæ ad
certum pondus auri, vel argenti, vel coronæ reſponderet,
maiori diligentia indiget, quam quæ ab hominibus adhiberi
poteſt, impoſſibile enim eſt, exempta corona, vel aurea maſſa,
vel argentea, tantum aquæ refundere, quantum è vaſe efflu-
xerat ad vnguem, nam repoſita aqua in vaſe, non
6553 affirmare ipſum vas eſſe plenum, niſi aqua incipiat effluere,
cum autem incipit, effluit aliquando totus ferè cumulus, ita-
que vel plus aquæ additur eo, quod deficit, vel minus, niſi
coniectura aſſequatur: at vero coniectura pro veritate non ac-
cipitur. præterea exempta corona, vel aurea maſſa, vel argen-
tea, eximitur etiam ſimul cum ipſa aliquantum aquæ, quæ cir-
cum ipſam remanet, atque huiuſmodi defectus errorem indu-
cit ſenſibilem.
Neque per collectionem quæſita aquæ menſura inueniri
poteſt: æquè enim impoſſibile eſt vniuerſam illam æquam col-
ligere, quæ extra vas effluit, quando corona, vel aurea maſſa
vel argentea in ipſo vaſe deprimitur, cum enim aqua è vaſe
effluat, pars ipſius aquæ vaſi, ex quo effluit, pars vaſi in quod
influit adhæret, & ſi vniuerſa omnino ſemper non colligatur,
erit non parui erroris cauſa, præter quam quod, non ſemper
adeo facile inuenitur par auri, argentique maſſa, quando co-
rona, vel alia auri maſſa, quæ examinanda proponitur, medio-
crem excederet magnitudinem.
Neque præterea poteſt diſcerni prædicta argenti portio in
aliqua auri parua maſſa, differentiæ enim aquarum, quæ ex-
tra vas effluunt, ſunt adeo exiguæ, vt ne cognoſci quidem
poſſint, quod ſi cognoſcerentur, non ſemper erunt veræ,
ſiquidem non ſemper in vaſis medio in cumulum creſcens
æqualis aquæ copia remanet, ſed maior interdum, inter-
dum minor, vt conſpicitur. fit enim vt aliquando cumulus
ille frangatur pluribus in locis, & ideo aqua diffundatur, vt
ferè nihil ipfius cumuli ſuperſit, aliquando vero frangatur
in vno tantum loco, & aqua colligens ſe in cumulum, parum
diffluat.
Sed ponderandis corporibus in aere & aqua, eo modo, quo
dictum eſt in fine exempli prop. 8. inuenitur quæſita aquæ,
grauitas, ita exactè, vt requiritur, ſiue ſit corpus illud paruum,
ſiue magnum nihil intereſt, & præterea facillima eſt operatio,
nec adinueniendæ ſunt auri, & argenti maſſæ æque graues,
6654PROMOTVS corona, ſed quælibet particulæ, grauitate quacunque, ctiam
differentes interſe, ſufficiunt.
Deratione autem, qua Archimedes, cognitis grauitatibus
trium corporum ex aqua, magnitudine æqualium, coronæ
ſcilicet vnum, alterum maſſæ auree, tertium argenteæ, potue-
rit furtum aurificis in regia corona deprehendere, atque ar-
gentum quod erat in ea permixtum ab auro diſcernere, pluri-
mi ſcripſerunt, modos etiam ad id faciendum excogitarunt
varios, longa tamen methodo, atque difficili vſi ſunt, & quod
maximam confuſionem, & obſcuritatem parit, nullum opera-
tionis tradunt præceptum firmum, ac ſtabile. ego autem vni-
ca tantum proportionis ratiocinatione, ſeu regula trium (vt
vulgo dicitur) breuiter, & expedite idem conſequor, eamque
geometrica ratione demonſtro. Problema igitur ad hoc facien
dum ita concipio & abſoluo.
PROBLEMA IX. PROPOS. XVIII.
POrtionem metalli, alterimetallo miſtam, ponde-
ris ratiocinatione diſcernere.
QVONIAM de Hieronis corona facta eſt mentio, ſit ea B,
eiuſque grauitas EK, & oporteat argentum, quod ſit in ea permixtũ,
ab auro diſcernere, hoc eſt oporteat inuenire quanta erit portio ar-
21[Figure 21] genti, & quanta auri. In-
telligantur duo corpora
A, D, vnum aureum, al-
terum argenteum æque
grauia atque corona,,
deinde trium corporum
ex aqua, magnitudine,
æqualium, aureo ſcili-
cet corpori vnum, alte-
rum coronæ, tertium
corpori argenteo, inue-
niantur grauitates, id autem poterit fieri facillime, ſi accipiãtur duo
corpora vnum ex auro, alterum ex argento, grauitate quacunque,
6755ARCHIMEDES. dictum eſt in propoſitionis octauæ exemplo, non enim neceſſe eſt ha-
bere duo corpora ex auro & argento, grauitatem habentia eandem
quam & corona, & hac de cauſa diximus ſupra intelligãtur duo cor-
pora, non autem accipiantur. ſit igitur primi corporis aquei æqualis
aureo A, inuenta grauitas G, ſecundi vero æqualis coronæ B, graui-
tas F, & tertij æqualis corpori argenteo D, grauitas H, & fiat vt dif-
ferentia inter G, & H, ad EK, ita differentia inter G, & F, ad aliam-,
grauitatem, quæ ſit K. Dico K, grauitatem eſſe portionis argenti,
quod eſt in corona, E vero grauitatem auri.
Vel ſi pro tertio proportionis termino ſumatur differentia inter F,
& H, & quartus terminus ſit E, Dico E, grauitatem eſſe portionis au-
ri, K vero argenti.
Quartus autem vtriuſque proportionis terminus * minor eſt ſe-
1114. 5.
Elem. cundo EK, quod & tertius minor eſt primo, primus enim terminus
eſt differentia inter G, & H, tertius vero, vel eſt differentia inter G, &
F, vel differentia inter F, & H, vter que minor primo. Exemplis autem
res fiet illuſtrior.
Exemplum. I.
Sit coronæ grauitas 95, lib. & oporteat facere quod imperatum eſt.
Intellig antur duo corpora, vnum aureum, alterum argenteum, æque
grauia atque corona, deinde trium corporum ex aqua, magnitudine
æqualium, aureo ſcilicet corpori vnum, alterum coronæ, tertium cor-
pori argenteo, inueniantur grauitates, vt in exemplo prop. 8. dictum
est, quæ ſint primi nimirum corporis aquei @, ſecundi vero 6, & terty
9 {8/31}, & fiat vt differentia inter 5, & 9 {6/31}, boc eſt vt 4 {6/31}, ad 95,
grauitatem videlicet coronæ, ita differentia inter 5, & 6, boc est 1, ad
22 {17/26}, ergo 22 {17/26}, erit grauitas portionis argenti quod est in coro-
na, qua detracta ex totali grauitate coronæ, reliquum 72 {9/26}, erit
grauitas portionis auri.
Vel ſi pro tertio proportionis termino ſumatur differentia inter 6,
& 9 {6/31}, quæ eſt 3 {6/31}, quartus terminus 72 {9/26}, erit grauitas por-
tionis auri, quæ ſi dematur ex totali grauitate coronæ, remanebit
22 {17/26}, pro grauitate portionis argenti.
Exemplum. II.
Sit aliquod corpus mistum ex auro. & ære, & babeat grauitatem
171. lib. & oporteat inuenire quanta erit portio æris in ipſo
6856PROMOTVS& quanta auri. Intellig antur duo corpora, vnum ex auro puro, al-
terum ex are, æque grauia atque corpus mistum, & trium corporum
ex aqua, quorum vnum ſit æquale corpori aureo magnitudine, alte-
rum misto, tertium æreo, inueniantur grauitates, vt in exemplo pro-
poſ. 8. dictum est, quæ ſint 9, 11, & 19, & fiat vt differentia inter 9, &
19, ad 171, grauitatem videlicet corporis misti, ita differentia inter
9, & 11, ad 34 {1/5}, portio igitur corporis miſti ærea grauitatem babebit
34 {1/5}, quæ ſi auferatur ex totali corporis misti grauitate, remanebit
136 {4/5}, pro grauitate portionis auri.
Vel ſi pro tertio proportionis termino ſumatur differentia inter 11,
& 19, quartus terminus 136 {4/6}, erit grauitas portionis auri, qua ab-
lata ex totali corporis miſti grauitate, reliquum 34 {1/5}, dabit grauita-
tem portionis æreæ.
At vero huiuſmodi ratio cinationem ad diſcernendum ar-
gentum ab auro, vel aliud metallum ab altero metallo, recte
eſſe inſtitutam, ſequenti Theoremate demonſtrabitur.
THEOREMA X. PROPOS. XIX.
SI trium corporum æque grauium primum & ter-
tium fuerint generis diuerſi, ſecundi autem portio
fuerit eiuſdem generis cum corpore primo, reliqua ve-
ro eiuſdem generis cum corpore tertio, fuerint etiam
tres quantitates aquæ prædictis corporibus æquales, pri-
ma videlicet corpori primo, ſecunda ſecundo, & tertia
tertio. erit vt differentia grauitatum primæ & tertiæ
quantitatis aquæ, ad grauitatem corporis ſecundi, ita
differentia grauitatum primæ & ſecundæ quantitatis
aquæ, ad grauitatem portionis corporis ſecundi, quæ eſt
eiuſdem generis cum corpore tertio.
Et ita differentia grauitatum ſecundæ & tertiæ quan
titatis aquæ, ad grauitatem portionis eiuſdem generis
cum corpore primo.
6957ARCHIMEDES
SINT tria corpora æque grauia A, BC, D, quorum A, primum,
& tertium D. ſint generis diuerſi, portio vero ſecundi B, ſit eiuſdem
generis cum corpore A. & portio C, eiuſdem generis cum corpore
22[Figure 22] D, ſint etiam alia tria
corpora aquea P, OL,
& Q, quorũ P, ſit æqua-
le corpori A, magnitu-
dine, ipſum vero OL,
æquale corpori BC, &
ipſum Q, æquale cor-
pori D, & ſint earum
grauitates, G, ipſius P,
& FV, ipſius OL, & H,
ipſius Q. Dico vt diffe-
rentia grauitatum G,
H, ad grauitatem cor-
poris BC, ita eſſe diffe-
rentiam grauitatum
G, FV, ad grauitatem
portionis C; & ita differentiam grauitatum FV, H, ad portionis B,
grauitatem. Sit enim portionis B, grauitas E, & portionis C, gra-
uitas K; ergo totius corporis BC, grauitas erit EK, ſitq; portionis O,
quæ ſit æqualis portioni B, grauitas F, ergo reliquæ portionis L,
æqualis portioni C, grauitas erit V, Quoniam igitur eſt, vt A, ad P,
ita B, ad O, æquale videlicet ad æquale, erit permutando, vt A, ad B,
ita p. ad O, & quoniam ſunt eiuſdem generis A, B, ſimiliter & P, O,
* erit vt grauitas corporis A, hoc eſt vt EK, (ponuntur enim cor-
114. huius pora A, BC, D, æque grauia,) ad E, ita G, ad F, quod igitur fit ex EK,
& F, nempe ex extremis, æquale erit ei, quod fit ex E, & G, hoc eſt
ex medijs.
Similiter quoniam eſt, vt D, ad Q, ita C, ad L, æquale videlicet ad
æquale, erit permutando, vt D, ad C, ita Q, ad L, & quoniam ſunt
eiuſdem generis D, C, ſimiliter & Q, L, * erit vt grauitas ipſius D,
224. huius hoc eſt vt EK, ad K, ita H, ad V; quare quod fit ex EK, & V, ex extre-
mis, æquabitur ei, quod ex H, fit & K, ex medijs.
Sed oſtenſum eſt id quod ex EK, fit & F. æquale eſſe ei quod fit ex
G, & E, ergo quod fit ex EK, & F, vna cum eo, quod ex EK, & V, hoc
eſb id quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod ex G, fit & E, vna
cum eo quod ex H, & K, ſed quod ex G, fit & E, æquale eſt ei quod fit
ex G, & EK, minus eo quod ex G, & K, quod enim additur, idem &
7058PROMOTVS minuitur; ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit ex G, &
EK, vna cum eo quod ex H, & K, minus eo quod fit ex G, & K. aufe-
ratur vtrinque id quod fit ex G, & EK, quod igitur fit ex FV, & EK,
23[Figure 23] minus eo quod ex G, &
EK, æquabitur ei quod
ex H, & K, minus eo
quod fit ex G, & K, ſed
quod fit ex H, & K,
minus eo quod fit ex
G, & K, æquale eſt ei
quod ex differentia ip-
ſarum H, G, fit & K,
ſimiliter, & quod fit ex
FV, & EK, minus eo
quod ex G, & EK,
æquale eſt ei quod ex
differentia ipſarum
FV, G, fit & EK, ergo
quod ex differentia
ipſarum H, G, fit & K, æquale erit ei quod ex differentia ipſarum
FV, G, fit & EK; æqualitatem ad proportionem reuocando, erit vt
differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK, ita differentia
grauitatum FV, G, ad grauitatem K, quod erat primo loco: demon-
ſtrandum.
Dico quoque vt differentia grauitatum H, G, ad grauitatem EK,
ita eſſe differentiam grauitatum H, FV, ad grauitatem E. Quoniam
enim oſtenſum eſt, quod fit ex EK, & FV, æquale eſſe ei quod ex G, fit
& E, vna cum eo quod ex H, & K, quod autem fit ex H, & K, æquatur
ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex H, & E, quod enim additur
idem & minuitur: ergo quod fit ex EK, & FV, æquale erit ei quod fit
ex H, & EK, vna cum eo quod ex G, & E, minus eo quod ex H, & E.
addatur vtrinque quod ex H, fit & E, & ſubducantur ea quæ fiunt ex
G, & E, & ex EK, & FV; quod igitur fit ex H, & E, minus eo quod cx
G, & E, æquabitur ei quod ex H, fit & EK, minus eo quod ex FV, &
EK, ſed quod fit ex H, & E, minus eo quod ex G, & E, æquale eſt ei
quod ex differentia ipſarum H, G, fit & E, ſimiliter & quod ex H, fit
& EK, minus eo quod ex FV, & EK, æquale eſt ei quod ex differentia
ipſarum H, FV, fit & EK; ergo quod ex differentia ipſarum H, G, fit
& E, æquabitur ei quod ex differentia ipſarum H, FV, fit & EK; qua-
re æqualitatem ad proportionĕ reuocando erit vt differentia
7159ARCHIMEDES. tatum H, G, ad grauitatem EK, ita differentia grauitatum H, FV,
ad grauitatem E. quod ſecundo loco fuit demonſtrandum.
Alia breuior Theorematis demonſtratio.
RESVMATVR eadem figura vt ſupra. Quoniam igitur
corpus D, æquale eſt corpori Q, magnitudine, & portio C, æqualis
portioni L, erit vt D, ad Q, ita C, ad L, & permutando vt D, ad C, ita
Q, ad L, & quoniam eiuſdem ſunt generis D, C, ſimiliter & Q, L, * erit
114. huius vt grauitas corporis D, hoc eſt vt EK, ad K, ita H, ad V.
Similiter quoniam ponuntur æqualia magnitudine corpora A, P,
& æquales quoque portiones B, O, erit vt A, ad P, ita B, ad O, & per-
mutando vt A, ad B, ita P, ad O, ſed eiuſdem ſunt generis A, B, ſimili-
ter & P, O, * vt igitur grauitas corporis A, id eſt vt EK, ad E, ita erit
224. huius G, ad F, & per conuerſionem rationis erit vt EK, ad K, ita G, ad G,
minus F, ſed demonſtratum eſt, vt EK, ad K, ita eſſe H, ad V, ergo vt
H, ad V, ita erit G, ad G, minus F, & permutando vt H, ad G, ita V,
ad G, minus F, & diuidendo vt H, minus G, ad G, ita erit FV, minus
G, ad G, minus F, rurſus permutando erit vt H, minus G, ad FV, mi-
nus G, ita G, ad G, minus F, ſed vt EK, ad K, ita eſt G, ad G, minus F,
vt eſt demonſtratum, ergo vt H, minus G, ad FV, minus G, ita erit
EK, ad K, quare permutando vt H, minus G, ad EK, ita erit FV, mi-
nus G, ad K, quod eſtò primum.
Dico quoque vt H, minus G, ad EK, ita eſſe H, minus FV, ad E.
Quoniam enim oſtenſum eſt vt EK, ad K, ita eſſe H, ad V, erit per
conuerſionem rationis vt EK, ad E, ita H, ad H, minus V, ſed demon-
ſtratum eſt vt EK, ad E, ita eſſe G, ad F, ergo vt H, ad H, minus V, ita
erit G, ad F, & permutando vt H, ad G, ita H, minus V, ad F, & diui-
dendo vt H, minus G, ad G, ita erit H, minus FV, ad F, & permutan-
do vt H, minus G, ad H, minus FV, ita G, ad F, ſed vt EK, ad E, ita eſt
G, ad F, vt eſt demonſtratum, ergo vt H, minus G, ad H, minus FV,
ita erit EK, ad E, quare permutando, erit vt H, minus G, ad EK, ita
H, minus FV, ad E, quod erat ſecundo loco demonſtrandum.
SVpereſt igitur vt dicamus, qua ratione ex grauitate auri
cognoſci poſſit eius qualitas; id quod ex ijs, quæ dicta
ſunt facile colligitur; ſi videlicet nota fiat cuiuſuis maſſæ auri
grauitas, quam habet tum in aere, tum in aqua. Sed ante
omnia, duo nobis ſunt præmittenda, & explicanda. nimirum
quid ſit aurum 24. partium, ſeu (vt vulgo dicitur) di 24.
7260PROMOTVS ratti, quidue pauciorum, hoc eſt penes quid attendatur di-
uerſa auri qualitas. Deinde quomodo aurum alligent Auri-
fices, vel alij ad quos alligandi officium ſpectat. His enim
cognitis, non erit difficile, id quod proponitur, certa aliqua
ratione, aſſequi.
Aurum igitur 24. partium appellacur aurum purum, pauciorum
vero àicitur non purum, ſed aliquo alio metallo, vel pluribus affe-
ctum. & quia hæc affectio multiplex eſt, ideo etiam auri qualitas,
quæ ex varia mixtione naſcitur, varia ſit est neceſſe: quamuis vna
tantumſit qualitas auri puri. Qualitas enim auri in quouis cor-
pore propoſito, exprimitur partibus auripuri, quæ ſunt in ipſo corpo-
re, non in magnitudine, ſed in grauitate ſumptis, qualibus totum cor-
pus constat 24: vel quod idem est, auri qualitas exprimitur in ra-
tione quam habent illæ partes in grauitate ad totum corpus: quod
exemplo clarius explicabitur in bunc modum.
Sit aliquod corpus aureum, exempli gratia 24. vnciarum, quod
expurgatum & ad aurum purum reductum, amiſerit ex priſtina
grauitate nempe ex 24, vncijs, quatuor vncias, ita vt remanſerint
tantum 20, vnciæ auri puri, reliquum vero vel eu anuerit in fumum,
vel fuerit alterius metalli. Totum igitur illud corpus aureum ab
initio propoſitum, ſi adbuc intelligatur tale quale fuit ante expurga-
tionem, appellabitur 20. partium, ſeu, (vt vulgo dicitur) di 20. ca-
ratti. eo quod tota illa maßa mista, 20. tantum vncias auri puri con-
tinuerit. Immo non ſolum illa maſſa auri, ſed etiam illa cuius ipſa
fuiſſet pars, vel quæ ipſius fuiſſet quæcunque pars dicetur 20, par-
tium. Neque enim in alligationibus metallorum, alia est alli-
gatio partium, alia totius, ſed vtrorunque vna eademque eſt qua-
litas.
Et hoc est quod Aurifices in inuestigatione qualitatis auri ob-
ſeruant. Nonenim purificant totum corpus propoſitum, ſed ali-
quam eius particulam etiam perexiguam, quam ſolam ad aurum pu-
rum reducunt. hac enim reducta, non ſolum recte definiunt cuius
fuerit qualitatis particula illa purificata ante purificationem; ve-
rum etiam cuius fuerit qualitatis, & quot partium fuerit illud cor-
pus, à quo eadem particula detracta fuit, & illud, quod adbuc ſu-
pereſt, diminutum ſcilicet illa parte purificata, vt in eodem ex emplo
propoſito, corporis aurei 24. vnciarum apparet. Eius enim quali-
tatem ſi forte aurifices inuestigare velint, detrabent ex eo particu-
lam, verbi gratia, vnius vnciæ, vel quod idem est particulam 24.
7361ARCHIMEDES. ſcrupulorum; & banc particulam excoquent ad qualitatem vſque
auripuri. Et ſi quidem inuenerint, ex priori grauitate 24. ſcru-
pulorum, deperiſſe nibil: pronunciabunt aurum illud, boc est, non
ſolum particulam illam excoctam, ſed etiam illud à quo fuit detra-
cta, nec non & illud quod reman ſit post ſubtractionem eſſe velfuiſ-
ſe aurum primæ qualitatis ſeu 24, partium, vel quod idem est au-
num purum. Sivero deprebenderint grauitatem diminutam, ver-
bi gratia, nunc eſſe 20. ſcrupulorum, quæ ante defæcationem fuit 24:
dicturi ſunt aurum propoſitum 24. vnciarum fuiſſe 20. partium &
illud quod remanſit eſſe 20. partium, & denique particulam expur-
gatam nunc quidem eſſe aurum purum, fuiſſe vero particulam auri
20. partium.
Et eodem modo pronunciabunt de quibuſcunque alys auri quali-
atibus, ſecundum partes auri puri, quas in qualibet maſſa auri in-
uenerint, eaſque vigeſimas quartas totius grauitatis, non magnitu-
dinis. Nam cum in bac comparatione qualitatum, ſeorſim babea-
tur ratio partium auri, & ſeorſim metallorum alligatorum; manife-
stum est ſi grauitas totius corporis intelligatur diuiſa in 24. partes
æquales, ex quibus 20. ſint auri, duæ argenti, & duæ æris; quamli-
bet partem auri cum qualibet parte argenti & æris collatam, magni-
tudine eſſe minorem; & ſimiliter partem argenti minorem parte,
æris; propterea quod aurum omnia reliqua metalla ſuperet grauita-
te quemadmodum & argentum ipſum æs, vt constat experientia.
atque binc constat quam apte ac conuenienter Aurifices vtantur
vocabulo partium. bac enim ratione eodem numero exprimunt vnam
quamque qualitatem auri cuiuslibet maſſæpropoſitæ. Sed nunc ad
ſecundum veniamus & modum alligationis quem ijdem obſeruant
breuiter adnotemus.
Inter varias autem & multiplices auri compoſitiones quibus
cum alijs metallis alligari potest, eam retinuere aurifices, quam diu-
turna experientia deprebenderunt omnibus alijs eſſe commodiorem,
eam nimirum quæ ab auri ſimilitudine vel minimum diſcedat; qua-
lis eſt quæ ſolius argenti atque æris mixtione perficitur. Et quidem
ſi partes auri excipias, æris atque argenti partes, quæ auro ſunt per-
miſcendæ ſemper volunt eſſe æquales in grauitate: propterea quod
eadem experientia Magiſtra didicerunt bunc eſse mixtionis modum
longe optimum.
Quando ergo aurifices volunt producere aurum cuiuſcunque.
qualitatis, accipiunt tot partes auri puri æquales, quot partium fu-
turum eſt aurum producendum, pauciores tamen partibus 24, &
7462PROMOTVS reliquas partes quæ deſunt ad 24, explent argento & ære, ſumendo
ex vtroque metallo partes æquales in grauitate: atque bis rite interſe
permixtis componunt aurum deſideratæ qualitatis: eamque deno-
minant à partibus auri puri in mixtione aſumptis. Et quoniam.
non prodiret tale prorſus quale facere intendunt, ſed paulo perfe-
ctius; propterea quod auri quidem partes in mixtione maneant, ex
argento vero & ære ali quid deper datur, ſolent Aurifices tanto plus
miſcere argenti & æris quantum perdi poſſe deprebenderunt.
V erum nostra intentio non est omnia quæ ad eiuſmodi mixtiones
pertinent boc loco exponere; ſed illud tantum vt receptum apud om-
nes ad ferre voluimus, ex quo manifeste constat, quæ metallorum
mixtio in ſingulis qualitatum generibus statuatur: quæquidem eſt
illa quam adduximus nempe in auro 23, partium, partes 23, eſſe
auripuri, & reliquam quæ deest ad 24, partes conſtare dimidia
parte argenti, & dimidia æris in grauitate. In auro vero 22, par-
tium, auri eſſe 22, argenti vnam, & æris vnam, ſic entm iterum
fumma omnium partium est 24, eademque est ratio de reliquis ita
vt numerus partium auri, ſemper denominet qualitatem auri, &
vna medietas reliquarum partium, quæ partibus auri deſunt ad
complendas partes 24, ſit argenti, & reliqua medietas ſit æris. bæc
enim ſatis est ſuppoſuiſſe, ad nouum illud artificium, quo paulo poſt
inuestig aturi ſumus auri qualitatem ex ſola grauitate quam habet
in aere & aqua, eamque qualitatem duplici via inuestigabimus,
vna per calculum, per tabellam altera: & quia ad calculum ſpe-
ctant ea, quæ ſuperius inuenimus de grauitate metallorum bucre-
ferenda cenſuimus quæ bic ſunt neceſſaria, cuiuſmodi ſunt auri,
argenti, atque æris grauitas, quam obtinent in aere, & aqua, quæ
quidem ita ſe babet vt ſequitur.
Auri puri grauitas, quæ in aere eſt 19, erit in aqua 18.
Argenti grauitas, quæ in aere eſt 31, erit in aqua 28.
Aeris grauitas, quæ in aere est 9, erit in aqua 8.
Item.
Aurum ad aquam ſe babet in grauitate vt 19, ad I.
Argentum ad aquam ſe babet in grauitate vt 31, ad 3.
Aes ad aquam ſe babet in grauitate vt 9, ad 1.
Ex quibus clariſſime colligitur, ſi aliquod corpus mistum con-
stet partibus æqualibus argenti, & aeris in grauitate, quantam
grauitatem babeat in aqua. & quæ ſit ratio in grauitate ipſius mi-
sti ad aquam ſi enim grauitas aeris in aere ſit 9, eius grauitas in
aquaerit 8, & ſi grauitas argenti in aere ſit quoque 9, erit eius
7563ARCHIMEDES vitas in aqua 8 {4/31}, est enim vt 9, ad 8 {4/31}, vt 31, ad 28: Quare ſi
grauitas corporis miſti ex argento, & ære iuxta mixtionem prædi-
ctam, quæetiam ſubintelligenda erit in ſequentibus, in aere fuerit
18, erit in aqua 16 {4/31}, & conſequenter* grauitas aquæ magnitu-
115. huius dinem babentis æqualem tali corpori misto erit 1 {27/31}; quare corpus
mistum ex argento & ære ad corpus aqueum eiuſdem magnitudi-
nis, rationem babebit in grauitats vt 18, ad 1 {27/31}, vel vt 1, ad
{29/279}, vel denique in numeris integris vt 279, ad 29, omnium enim
iſtorum numerorum eadem eſt ratio.
Quibus ſic conſtitutis inuenietur qualitas auri cuiuſcumque boc
modo. Sit exemp. gratia propoſita aliqua maſſa aurea, cuius gra-
uitas in aere ſit vnc 24, & oporteat inuenire cuius qualitatis ſit ip-
ſum aurum. Ponderetur ea maſſain aqua & babeat grauitatem
vnciarum 22 {2818/5301}, ergo* grauitas aquæ magnitudinem baben
225. buiuse tis æqualem propoſit æ maſſæ erit vnc. 1 {2483/5301}.
Deinde inueniatur grauitas aquæ magnitudine æqualis auro
puro 24, vnciarum: boc eſt vt 19, ad 1, ita fiat 24, ad alium, nempe ad
vnciam 1 {5/19}, bic enim numerus erit grauitas illius aquæ
Fiat denique vt 279, ad 29, ita rurſus 24, vnciæ, ad alium, nume-
rus enim quartus, nempe vnc. 2 {138/279} erit grauitas aquæ, magnitu-
dine æqualis corpori miſto ex argento & ære, cuius grauitas est in
ære vnc. 24, corpus enim ita miſtum, ad corpus aqueum eiuſdem ma-
gnitudinis rationem babet in grauitate vt 279, ad 29.
Atque ita babebuntur tres grauitates trium aquæ quantitatum,
quarum prima æquatur auro puro 24, vuciarum, ſecunda maſſæ
propoſitæ 24, vnciarum, & reliqua corpori misto ex argento & ære
ſimiliter 24, vnciarum quæ quidem tres grauitates in numeris di-
ſponantur eo ordine, quo ſequitur.
33Grauitas aquæ magnitu- \\ dine & qualis auro puro. # Grauitas aqu & magnitu- \\ dine & qualis maſſæ propo- \\ ſite. # Grauitas aque magnitu- \\ dine & qualis corpori miſto \\ ex argento & ære.
Vnc. 1 {5/19} # Vnc. 1 {2483/5301} # Vnc. 2 {138/279}
Velin eadem denominatione.
44Vnc. 1 {1395/5301} # Vnc. 1 {2483/5301} # Vnc. 2 {2622/5301}.
Deinde quæratur differentia inter primam & tertiam aquæ gra-
uitatem, quæ est vnc. 1 {1227/5301}, & bæc differentia statuatur pro
primo proportionis termino, pro ſecundo termino ponatur grauitas
maſſæ propoſitæ, idest vnc. 24, & protertio denique termino ponatur
differentia inter ſecundam aquæ grauitatem & tertiam, quæ est
vnc. 1 {139/5301} quartus enim proportionalium terminus nempe
7664PROMOTVS11I. # II. # III. # IIII.
1 {1227/5301}, # 24, # 1 {139/5301}, # 20, erit denominator qualitatis auri de qua quæritur quia ille termi-
nus indicat partes auri puri in grauitate, qualibus maſſa propoſita
constat 24. Hoc autem demonstratum eſt prop. 19, buius.
Et quia in propoſito exemplo bæ partes, nempe vnc. 20, ſunt par-
tes vigeſimæ quartæ 24, vnciarum, quæ constituunt grauitatem to-
tius maſſæ. binc fit quod eædem 20, vnc. immediate denominent au-
rum propoſitum eße 20, partium. Quando vero grauitas totius maſ-
ſæ non exprimitur per numerum 24, tunc opus erit inquirere quot
partes vigeſimas quartas totius grauitatis efficiat quartus ille pro-
portionis terminus vt in ſequenti exemplo clarius apparebit.
Sit enim propoſita alia auri maſſa cuius grauitas in aere ſit 5301
in aqua vero 4988, ſi igitur bic numerus ſubtrabatur ex numero to
225. buius tius grauitatis 5301, rcliqaus numerus 313,* erit grauitas aquæ
propoſitæ maſſæ magnitudine æqualis. Inueniantur quoq; duæ aliæ
grauitates aquæ, vnare ſpondentis auro puro magnitudine, altera.
corpori miſto ex argento & ære, ita tamen vt grauitas tum auri pu-
ri, tum corporis misti ſit eadem quæ maſſæpropoſitæ, non ſecus ac in
præcedenti exemplo factitatum est. boc eſt primo fiat vt 19, ad 1, ita
5301, ad 279, bic enim numerus erit grauitas aquæ magnitudinem
babentis æqualem auro puro, cuius grauitas eſt 5301. Deinde fiat
vt 279, ad 29, ita rurſum grauitas 5301, ad aliam, bac enim ratione
producetur numerus 551, debitus grauitati aquæ, magnitudine,
æqualis corpori miſto ex argento & ære, grauitatem babenti eandem
cum eadem maßa propoſita. Atque bæ tres grauitates aquæ ſcriban-
tur eo ordine quoſupra; inuentiſque differentijs inter primam &
33Grauitas aqu & magnitu- \\ dine & qualis auro puro. # Grauitas agua & qualis \\ maſlæ propoſita. # Grauitas aquæ æqualis \\ corpori miſto.
279 # 313 # 551 tertiam, nec non inter ſecundam & tertiam, quæ ſunt 272, 238; sta-
tuatur pro primo proportionis termino prior differentia 272, & pro
tertio posterior 238. grauitas vero maſſæ propoſitæ 5301, ponatur
pro ſecundo termino, & quæratur terminus quartus, qui inpræ-
44I. # II. # III. # IIII.
272, # 5301, # 238, # 4638 {51/136}. ſenti exemplo eſt 4638 {51/136}, is* enim indicabit grauitatem auri
5519.
buius. puriin maſſa propoſita. Sed quoniam bæc grauitas non est expreſ-
ſa in partibus vigeſimis quartis totius grauitatis, id quod ad
7765ARCHIMEDES. manam qualitatis auri pronunciationem requiritur, vt ſupra mul-
tis oſtendimus, reuocanda erit ad partes vigeſimas quartas boc est
ad partes, qualium tota propoſita maſſa est 24, quod factu non est
difficile. N am ſi fiat vt tota grauit as maſſæ propoſitæ 5301, algra-
uitatem auri puri 4638 {45/136}, vel vt 272, ad 238, cum vtrobique
eadem ſit ratio ita 24, ad a lium numerum. proculdubio quartus nu-
merus proportionalis, erit ille qui quæritur. Est autem bic quar-
tus numerus 21. Quare aurum maſſæ propoſitæ appellabitur par-
tium 21.
Ex his igitur patet in inuenienda auri qualitate primum pro-
portionis terminum 272, & ſecundum 5301, perpetuo manere eoſ-
dem, quia primus terminus est differentia inter grauitates primæ,
& tertiæ aquæ, quæ nunquam mutantur, nam illæ aquæ magnitu-
dine ſunt æquales altera auro puro, reliqua miſto ex argento & ære,
quæ corpora aureum ſcilicet & mistum ſemper ponuntur eiuſdem
grauitatis nempe 5301, Secundus vero terminus 5301, eſt grauit as
maſſæ propoſitæ, quæ ſi maior fuerit, vel minor, ad eam facile reuo-
cabitur. V nde in posterum ſolum opus erit inuenire tertium pro-
portionis terminum, boc est differentiam inter grauitates ſecundæ
& tertiæ aquæ.
Sed vt boc etiam exemplo illustretur, proponatur aliqua maſſa
auri, cuius inue ſtigãda ſit qualitas, & ſit ipſius maſſæ grauitas qui-
dem in aere 837, in aqua vero 784, ergo * grauitas aquæ magnitu-
115. huins dinem babentis æqualem propoſitæ maſſæ erit 53, differentia enim
inter primam, & ſecundam grauitatem est 53.
Ad inueniendum igitur tertium proportionis terminum manen-
tibus primis duobus 272, 5301, bæc erit ratio. Reuocetur primum
ptopoſitæ maſſæ grauitas 837, ad grauitatem 5301, boc est intelli-
gatur ipſa maſſa grauit atem babere 5301. deinde fiat vt 837, ad 53,
grauitatem videlicet aquæ ipſi maſſæ æqualis, ita 5301, ad 335 {2/3},
ergo 335 {2/3}, erit grauitas aquæ magnitudinem babentis æqualem
aureæ maßæ, cuius grauitas 837, reuocata est ad grauitatem 5301;
quare grauitas ſecundæ aquæ erit 335 {2/3}, & conſequenter differen-
22Grauitas primæ aquæ. # Grauitas ſecundæ aquæ. # Grauitas tertiæ aquæ.
279, # 335 {2/3}, # 551. tia inter ipſam grauitatem ſecundæ aquæ & grauitatem tertiæ 551,
erit 215 {1/3}, ſed ipſa differentia ponitur pro tertio proportionis ter-
mino; ergo 215 {1/2}, erit quæſitus terminus, nempe proportionis
7866PROMOTVS11I. # II. # III. # IIII.
272, # 5301, # 215 {1/3}, # 4196 {25/136}, tius. Quartus autem terminus 4196 {25/136}, indicabit grauitatcm
auri puri, quod est in maſſa propoſita, eam tamen indicabit in par-
tibus, qualibus tota maſſa constat 5301, quæ quidem grauitas vt
auri qualitatem indicet, reuocanda erit ad partes qualium tota
maſſa propoſita est 24. ſi enim. fiat vt 5301, ad 4196 {85/136}, ita 24,
ad 19, aurum propoſitæ maſſæ appellabitur partium 19.
Denique ſi quis bunc modum conferat cum illo, quem ſupra tradi-
dimus, cum argentum explorauimus, quod miſtum in aurea corona
credebatur; is liquido intelliget bic nibil aliud acceſſiße, niſi quod
loco argenti, aſſumptum ſit corpus ex argento & ære mistum, eo
quod bæc duo metalla tantum in alligationibus auri ſoleant adbibe-
ri, vt diximus. Quod ſi conſtaret plura alia aſſumpta eſſe, etiam in
quauis alia ratione, facile erit cuiuis ad ſimilitudinem buius, for-
mare alium modum, ſed nos, ne longiores ſimus, ad vſum ſequentis
tabulæ nos conferamus, quaillis conſultum volumus qui minus in
præceptis Aritbmeticis ſunt exercitati, vel illis, qui alias ob cauſas
tabulis vti malunt, quam calculis.
Hæc tabula accommodata eſt primarie ad aurum vnius libræ, vt
apparet in ſecũda ipſius columna in qua omnes numeri ſunt unita-
tes, reſpon dentes ſingulis Denominatoribus qualitatum auri, à deno
minatore partium 24, vſque ad denominatorem qualitatis partis ò,
quamuis proprie loquendo nulla ſit qualitas auri partis nullius, quia
tunc non eſſet aurum, ſed mistum ex argento & ære. Hos denomi-
natores auri omnes inuenies in prima columna ſub titulo qualitatis.
In columna vero ſub titulo misti placuit etiam deſcribere denomi-
natores miſti ex argento & ære, vt vnico intuitu appare at quot par-
tes auri puri, & quot partes misti ex argento & ære contineantur
in ſingulis qualitatibus.
Porro in area tabulæ ſub titulo grauitatis auri in aqua poſita est
grauitas auri cuiuslibet qualitatis quam obtinet in aqua, quæ qua
ratione inueniatur, dicetur inferius vbi agetur de compoſitione,
eiuſdem tabulæ.
V ſus eius ſunt duo, quorum alterum titulus indicat, nimirum vt
tabulæ beneficio reperiatur ex grauitate auri quam babet in aere &
aqua, eius qualitas. Alter vero est vt cognoſcatur grauitas in aqua,
quando vnà cum grauitate quam aliquod aurum babet in aere da-
tur ipſius qualitas. & de boc vfu cum ſit ſimplicior prius nobis erit
agendum.
7967ARCHIMEDES.11 ####### Tabula ad inueniendam qualitatem \\ Auri, ex grauitate quam ha- \\ bet in aere & aqua.
Qualitas \\ Auri. # Grauitas Auri \\ in aere. #### Grauitas Auri in aqua. # Miſtũ ex Arg. \\ & ære.
Part. # Lib. # Vnc. # Scrup. # Gran. # Num. Fract. # Part.
24 # 1 # 11. # 8. # 20. # 372 # 0
23 # 1 # 11. # 8. # 5. # 765 # 1
22 # 1 # 11. # 7. # 14. # 1158 # 2
21 # 1 # 11. # 6. # 23. # 1551 # 3
20 # 1 # 11. # 6. # 9. # 177 # 4
19 # 1 # 11. # 5. # 18. # 570 # 5
18 # 1 # 11. # 5. # 3. # 963 # 6
17 # 1 # 11. # 4. # 12. # 1356 # 7
16 # 1 # 11. # 3. # 21. # 1749 # 8
15 # 1 # 11. # 3. # 7. # 375 # 9
14 # 1 # 11. # 2. # 16. # 768 # 10
13 # 1 # 11. # 2. # 1. # 1161 # 11
12 # 1 # 11. # 1. # 10. # 1554 # 12
11 # 1 # 11. # 0. # 20. # 180 # 13
10 # 1 # 11. # 0. # 5. # 573 # 14
9 # 1 # 10. # 23. # 14. # 966 # 15
8 # 1 # 10. # 22. # 23. # 1359 # 16
7 # 1 # 10. # 22. # 8. # 1752 # 17
6 # 1 # 10. # 21. # 18. # 378 # 18
5 # 1 # 10. # 21. # 3. # 771 # 19
4 # 1 # 10. # 20. # 12. # 1164 # 20
3 # 1 # 10. # 19. # 21. # 1557 # 21
2 # 1 # 10. # 19. # 7. # 183 # 22
1 # 1 # 10. # 18. # 16. # 576 # 23
0 # 1 # 10. # 18. # 1. # 969 # 24
Part. # Lib. ### Communis Denomin. fract. # 1767 # Part.22 ### Tabella Partis pro \\ portionalis Deno- \\ minatorum Auri.
Pars proportio \\ nalis Auri in \\ partibus. 24. ## Differĕtia Gra \\ uitatum Auri \\ in aqua.
Part. # Gran. # Num: Fract.
1 # 0. # 1088
2 # 1. # 409
3 # 1. # 1497
4 # 2. # 818
5 # 3. # 139
6 # 3. # 1227
7 # 4. # 548
8 # 4. # 1636
9 # 5. # 957
10 # 6. # 278
11 # 6. # 1366
12 # 7. # 687
13 # 8. # 8
14 # 8. # 1096
15 # 9. # 417
16 # 9. # 1505
17 # 10. # 826
18 # 11. # 147
19 # 11. # 1235
20 # 12. # 556
21 # 12. # 1644
22 # 13. # 965
23 # 14. # 286
24 # 14. # 1374
Part. # Denom. # Fract. com.
# ## 1767
8068PROMOTVS
Quæratur exempli gratia quam babet grauitatem in aqua aurũ
purum ſeu aurum 24, partium cuius grauitas in aere est lib. 1. Hæe
in ſupremo ordine è regione denominatoris partium 24, ſub titulo
grauitatis auri in aqua, datur vnc. 11. Scrup. 8, Gran. 20 {372/1767},
quæ fractio licet exprimi poſſit minoribus numeris nĕpe {4/19}, libuit
tamen illam maiorem in tabula ponere, vt omnes fractiones totius
tabulæ eſſent eiuſdem denominationis, & reſponderent denomina-
toribus fractionum quæ babentur in tabella partis proportionalis.
Rurſum guæratur quam babet grauitatem in aqua aurum ite-
rum vnius libræ, qualitatis vero 20, partium. quam ſi in tabula
quæras, inuenies ſub eodem titulo è regione denominatoris 20, par-
tium. vnc. 11, Scrup. 6, Gran. 9 {177/1767}. eademque est ratio de re-
liquis.
Quando vero propoſitum aurum non est unius Libræ; tunc opus
erit ratiocinatione proportionis, in qua pro primo termino ponatur
vna libra auri propoſitæ qualitatis, pro ſecundo termino, grauitas
eidem reſpondens in aqua quam tabula exbibet, pro tertio vero ter-
mino collocetur vera grauitas auri propoſiti. Quartus enim ter-
minus exbibebit grauitatem ipſius auri in aqua. Vt ſipropoſitum
aurũ ſit trium lib. qualitatis vero 18, partium. fiat vt lib. 1. ad vne
11, Scrup. 5, Gran. 3 {963/1767}, ita lib. 3. ad alium numerum, is erit
lib. 2, vnc. 9, Scrup. 15, Gran. 10 {1122/1767}. & tanta erit grauitas au-
ripropoſiti in aqua. Et ſic de alijs.
Quod vero ad priorem vfum attinet, is perſimilis est præcedenti,
& æquè facilis quando grauitas auri quam in aere & aqua babet, in
tabula reperitur precisè. Nam ſi proponatur exemp. gratia aurum
vnius lib. babens in aqua grauitatĕ vnc. 11. Scr. 7, Gra. 14 {1158/1767},
quoniam bæc grauitas reperitur in tabula è regione qualitatis auri
22, partium; manifeſtum eſt totidem partium eſſe aurũ propoſitum.
Quando vero grauitas auri in aere quiaem eſt vnius lib. in aqua
vero grauitatem babet, quæ in tabula non reperitur, indicium erit
aurum propoſitum non eſſe aliquot partium præcisè, ſed annexam
babere aliquam fractionem, quæ per partem proportion alem inue-
nietur boc modo.
Proponatur aurum vnius libræ in aqua babens grauitatem vnc.
11. Scrup. 6, Gran. 16 {864/1767}, qualis in tabula non reperitur Gra-
uitas enim proxime maior est vnc. 11. Scrup. 6, Gran. 23 {1551/1767},
reſpondens auro 21, partium, & grauitas proxime minor eſt vnc. 11,
Scrup. 6, Gran. 9 {177/1767}, earumq; differentia eſt Gran. 14 {1374/1767},
quem admodum & inter quaſcunque duas alias grauitates
8169ARCHIMEDES. mas eadem eſt differentia, propterea quod omnes grauitates in tabu-
la procedunt per æqualem exceſſum, vel defectum, vt inferius de-
monſtrabitur. Inueniatur quoque differentia inter eandem gra-
uitatem proxime minorem & inter grauitatem auri propoſiti quam
babet in aqua, quæ quidĕ eſt Gran. 7 {627/1767}, & fiat vt 14 {1374/1767},
ad 1, ita 7 {637/1767}, ad alium numerum & inuenietur bæc fractio
{1/2}, eademque adijcienda erit ad denominatorem 20, partium, vt
componatur totus denominator auripropoſiti partium 20 {1/2}, & eo-
dem modo inueniendus erit denominator cuiuſcunq; alterius auri,
cuius grauitas in aqua, in tabula non reperitur.
Ceterum qui volet contentus eſſe partibus vigeſimis quartis de-
nominatorum auri, is multo breuius aſſequetur quod quæritur, per
tabellam partis proportionalis. illic enim vnico ingreſſu offendet
partem proportionalem, quam quærit, vt in eodem exemplo apparet,
in quo differentia grauitatum auri erat Gran. 7 {687/1767}, quæ in
tabella partis proportionalis babetur præcisè è regione particularum
12. V nde concluditur, denominatorem auri propoſiti eſſe partium
20 {12/24}, vel quod idem est partium 20 {1/2}, vt prius. Quando vero
differentia grauitatum in tabella partis proportionalis non babetur
præcisè. accipiatur alia ipſi propinquior & particula illi in latere
reſpondens addatur denominatori auri ex primaria tabula extr a-
cti. ſic enim ſaltem non errabitur in vna particula vigeſimaquarta
vnius partis denominatoris auri.
Denique ſi proponatur aurum non vnius libræ ſed vel plurium,
vel ſolum aliquot vnciarum. R educenda erit eius grauitas quam
babet in aqua, ad grauitatem quam haberet ſi eßet vnius libræ, id
quod abſoluetur per proportionis ratiocinationem, ſi pro termino
primo ponatur vera grauitas auri propoſiti, pro ſecundo, e iuſdem
grauitas in aqua, & pro tertio lib. 1, quartus enim terminus indic a-
bit grauitatem in aqua reſpondentem vni libræ auri propoſiti. &
bac inuenta reliqua expedientur vt prius.
Exemplum buius caſus bic non affero, quod per ſe res ſit clara.
Sed illud tantum obiter aduertere placet, quod videtur pertinere.
ad commodiorem vſum tabulæ, videlicet vt ijs in caſibus in quibus
neceßarius est calculus, fractiones granorum ommittantur quando
minus valent quam {1/2}, & quando valent plus, eorum loco, addatur
vnum granum reliquis granis, & ſi quando accidat binc procreari
grana 24. tunc etiam grana ommittantur addita prius vnitate ad
ſcrupula in tabula inuenta. bac enim ratione calculus erit expedi-
tior & error qui binc oborietur erit inſenſibilis.
8270PROMOTVS
Compoſitio eiuſdem tabulæ.
Si ea quæ bactenus ſunt dictarectè intelligantur liquido appare-
bit compoſitionem tabulæ in eo conſistere, vt inueniatur grauitas
quam aurum cuiuſuis qualitatis babet in aqua, boc eſt ſi intelligan-
tur propoſitæ plures maſſæ auri, ſingulæ ſingularum librarum, &
alia ſit qualitatis 24, partium alia 23, alia 22, & c. quanta ſit gra-
uitas vniuſcuiuſque in aqua, id quod boc extremo loco inuestig are.
docebimus.
Et primum ſit propoſitum aurum purum, ſeu 24, partium. quo-
niam igitur grauitas auri in aere, ad grauitatem eiuſdem in aqua
ſe babet vt 19, ad 18, fiat vt 19, ad 18, ita lib. 1, auri puri ad aliam
grauitatem nempe lib. {18/19}, quæ grauitas ad vncias, ſcrupula, &
grana reuocata valet vnc. 11, Scrup. 8. Gran. 20 {4/19}, atque bæc est
grauitas auri puri in aqua, quam in tabula è regione denominatoris
24, poſuimus; fractione excepta cuius loco ſubſtituta est fractio
{372/1767}, propter cauſam ſuperius allatam.
Sit deinde propoſitum quod vis aliud corpus aureum vnius libræ,
ſitque exemp. gratia illud aurum 20, partium, patet igitur ex defi-
nitione qualitatis, ex 24, ſemiuncijs totius grauitatis, 20, ſemiuncias
eſſe auri puri, duas argenti, & reliquas duas æris & quoniam gra-
uitas misti in aere, ad grauitatem eiuſdem in aqua rationem babet
vt 279, ad 250, vt ex iam dictis patet, fiat vt 279, ad 250, ita qua-
tuor ſemiunciæ, vel potius 2, vnciæ misti quod componit qualitatem
auri 20, partium, paulo ante propoſitam ad alias vncias. inuenien-
tur enim pro grauitate illius miſti in aqua vnc. 1 {221/279}. Est autem
grauitas auri puri 20, ſemiunciarum vel 10, vnciarum in aqua vnc.
9 {9/19}, eo quod ita ſe babeant 10, ad 9 {9/19}, vt 19, ad 18, Quare ſi bæ
duæ grauitates inuentæ collig antur in vnam ſummam, inueniemus
totam maſſam auri propoſitam, cuius grauitas in aere ponebatur lib.
1, in aqua babere grauitatem vnc. 11 {1409/5301}. & facta reductione
fractionis ad ſcrupula, & grana, vnc. 11, Scrup. 6. Gran. 9 {177/1767},
vt videre eſt in tabula è regione denominatoris 20, partium. Atqus
eodem modo deprebendentur grauitates auri in aqua quarumcunq;
aliarum qualitatum.
Quia vero permolestum videri poſſet omnes grauitates totius
tabulæ bac via eruere; obſeruari quidem poterit prædicta Metbodus
quando ſeorſim inuestiganda fuerit alicuius auri grauitas in aqua,
in cõpoſitione vero tabulæ ſic fortaſſis cõpendioſius quis proceſſerit.
Equidem, cum buius tabulæ conſtructionem diligentius
8371ARCHIMEDES pertracto, video grauitates illas, quæ in eius area deſcriptæ ſunt ne-
ceſſario eadem differentia procedere, ſicut & denominatores quali-
tatum eadem differentia procedunt; atque adeo differentiam illam
eſſe eam, qua grauitas ſemiunciæ auri puri in aqua ſuperat in aqua
grauitatĕ ſemiunciæ miſti, quæ quidĕ differentia eſt Gra. 14 {1374/1767}.
Conſiderentur enim quæcunque duæ grauitates proximæ in tabula
expreßæ, vt exemp. gratia, grauitates auri 20, & 19, partium. Quo-
niam igitur in auro 20, partium ſunt auri puri 20. ſemiuneiæ, misti
vero 4, & in auro 19, partium ſunt' auri puri 19. ſemiunciæ, misti
vero 5, erit in auro 20, partiũ vna ſemiuncia auri puri pluſquam in
auro 19, partium, in auro autem 19, partium erit vna ſemiuncia
misti plus quam in auro 20, partium; quare grauitas auri 20, par-
tium in aqua ſuperabit in aqua grauitatem auri 19, partium gra-
uitate, qua ſemiuncia auri puri ſuperat ſemiunciam miſti. Quod
erat demonſtrandum. Et eadem est ratio de alijs gr auitatibus, non
ſolum quæ in bac tabula deſcribuntur, ſed etiam de illis, quæ deſeri-
bentur in alijs, copioſioribus, in quibus videlicet denominatores non
eſſent partes integræ, ſed partes partium; dummodo etiam illæ partes
per vnam eandemque differentiam progrederentur.
Quibus in bunc modum præ ostenſis. ſi construenda fuerit tabula
per continuam additionem eiuſdem numeri, ſic erit progrediendum.
Primo inuenienda erit grauitas quam babet ſemiuncia auri puri in
aqua, quæ inuenietur ſi fiat vt 19, ad 18, it a ſemiuncia ad alium
numerum qui ſit vnc. {9/19}, is enim dabit grauitatem quæſitam, quæ
valet ſcrup. 11, Gran. 8 {16/19}.
Secundo quærenda est grauitas ſemiuncie misti in aqua, quæ ba-
bebitur fi fiat vt 279, ad 250, it a ſemiuncia, ad alium numerum, qui
ſit vnc. {125/279}, is enim dabit grauitatem quæſitam, quæ reducta ad
ſcrupula, & grana valet ſcrup. 10, Gran. 18 {2/3}.
Tertio exploranda est differentia inter duas grauitates proximè
inuentas, quam per ſubtractionem inuenies Gran. 14 {458/589}, cuius
tamen fractio reducta eſt ad partes 1767, nempe ad {1374/1767}, propter
tabellam partis proportionalis.
Postremo inuestig anda erit grauitas in aqua vnius libræ misti,
quæ inuenietur ſi grauitas ſecundo loco reperta per 24, multiplice-
tur, productus enim numerus vnc. 10, ſcrup. 18, Gran. {969/1767}, da
bit quæſitam grauitatem. Qua in calce tabulæ deſcripta, compo-
nentur reliquæ grauitates omnes per continuam additionem diffe-
rentiæ tertio loco inuentæ. Si enim addatur ad grauitatem auri
partis o, idest ad grauitatem misti vnius libræ in aqua,
8472PROMOTVS grauitas auri 1, partis. addita veroad grauitatem 1, partis, procrea-
bit grauitatem 2, partium, & c. propter rationem quam paulo ante
aperuimus.
Hoc eodem artificio compoſita est quoque tabella partis propor-
tionalis, primo enim inuenta e@ vigeſima quarta pars differentiæ
ſecundum quam tabula progreditur quam ſupra inuenimus eſſe.
Gran. 14 {1374/1767}, cuius pars vigeſima quarta est {10@8/1707}, deinde
banc particulam addidimus primum ſibi ipſi, & produximus diffe-
rentiam 2, particularum Gran. 1 {409/1767} & buic differentiæ iterũ
adiecimus eandem particulam, & inuenimus pro tribus particulis
gran. 1 {1497/1767}. & ita deinceps progreſſi ſumus vſque ad differen-
tiam Gran. 14 {1374/1767}, quæ reſpondet 24, particulis, ſeu differentiæ,
ſecundum quam tabula progreditur.
FINIS.
ERRATA SIC CORRIGE.
11Pagina # Linea # Errata # Correcta
6 # 10 # 2. &. 3. # 4. huius.
6 # 20 # 2. & 3. # 4. buius.
7 # 25 # ſolidi data # ſolidi A, data.
16 # 4 # prauitatem # grauitatem
26 # 28 # grauitas D, ita # grauitas E, ad
38. & 39. # deſunt ſui numeri.
58 # 21 # æqualitatem # quare & qualitætem
61 # 13 # qualiatibus # qualitatibus
62 # 4 # aſumptis # aſſumptis
62 # 38 # aeris # æris
63 # 1 # vt 31. ad # ita 31. ad
63 # 22 # ære # æere
Contractiorĕ quoq. ad inuenies dimidij pedis menſurã in margine pag. 34. appoſitã,
quia madefacta papyrus, dũ imprimeretur recipiebat verã menſurã, exſiccatæ
breuiorem reddidit. Itaque ſi quartadecima pars vnius vnciæ addatur ipſi meæ
ſura componetur dimidij pedis menſura; vel ſi ipſa menſura duplicetur, & ei ad-
datur ſeptima pars vnius vncia fiet menſura vnius pedis, ad cuius rationem one
æes calculi in tabulas optime reſpondebunt.
Denique pagina 38. & 39. tabularum præpoſterus eſt ordo. ex quo tæmen nibil er-
reris ſequitur ſi tituli recte accipiantur.
85
[Empty page]
86
[Empty page]
87
[Empty page]
88
[Empty page]