Bernoulli, Daniel, Hydrodynamica, sive De viribus et motibus fluidorum commentarii, 1738

Bibliographic information

Author: Bernoulli, Daniel
Title: Hydrodynamica, sive De viribus et motibus fluidorum commentarii
Year: 1738
Number of Pages: 304

Permanent URL

Document ID: MPIWG:V9RUYWZ9
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:V9RUYWZ9

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. DANIELIS BERNOULLI Joh. Fil. Med. Prof. Basil. ACAD. SCIENT. IMPER. PETROPOLITANÆ, PRIUS MATHESEOS SUBLIMIORIS PROF. ORD. NUNC MEMBRI ET PROF. HONOR. HYDRODYNAMICA, SIVE DE VIRIBUS ET MOTIBUS FLUIDORUM COMMENTARII. OPUS ACADEMICUM AB AUCTORE, DUM PETROPOLI AGERET, CONGESTUM. Page: 7
3. ARGENTORATI, Sumptibus JOHANNIS REINHOLDI DULSECKERI, Anno M D CC XXXVIII. Typis Joh. Henr. Deckeri, Typographi Baſilienſis. Page: 7
4. CELSISSIMO ATQUE SERENISSIMO PRINCIPI ET DOMINO DOMINO ERNESTO JOHANNI DEI GRATIA IN LIVONIA CURLANDIÆ ET SEM - GALLIÆ DUCI. Page: 9
5. CELSISSIME ATQUE SERENISSIME PRINCEPS, DOMINE GRATIOSISSIME. Page: 10
6. SERENISSIME & CELSISSIME PRINCEPS DOMINE GRATIOSISSIME Page: 11
7. PRÆFATIO. Page: 12
8. HYDRODYNAMICÆ SECTIO PRIMA. Quæ introitus eſt, variaque continet prænotanda. §. 1. Page: 15
9. HYDRODYNAMICÆ SECTIO SECUNDA, Quæ agit de fluidis ſtagnantibus eorundemque æquilibrio tum inter ſe, tum ad alias po-tentias relato. Theorema 1. §. 1. Page: 31
10. Demonſtratio. Page: 31
11. Corollarium. Page: 31
12. Theorema 2. Page: 32
13. Demonſtratio. Page: 32
14. Scholium 1. Page: 32
15. Scholium 2. Page: 32
16. Lemma. Page: 34
17. Demonſtratio. Page: 34
18. Theorema 3. Page: 34
19. Demonſtratio. Page: 34
20. Scholion. Page: 35
21. Caſus I. Page: 36
22. Caſus II. Page: 37
23. Sequuntur Experimenta quæ ad Sectionem pertinent Secundam. Ad §. 5. Page: 41
24. HYDRODYNAMICÆ SECTIO TERTIA. De velocitatibus fluidorum ex vaſe utcumque for-mato per lumen qualecunque effluentium. §. 1. Page: 44
25. Problema. Page: 44
26. Solutio. Page: 45
27. Problema. Page: 45
28. Solutio. Page: 46
29. Scholion. Page: 46
30. Problema. Page: 46
31. Solutio. Page: 46
32. Problema. Page: 47
33. Solutio. Page: 47
34. Problema. Page: 48
35. Solutio. Page: 48
36. Corollarium 1. Page: 48
37. Corollarium 2. Page: 49
38. Corollarium 3. Page: 49
39. Scholium Generale. Page: 49
40. De his quæ pertinent ad effluxum aquarum ex Cy-lindris verticaliter poſitis, per Lumen quod-cunque, quod eſt in fundo horizontali. §. 13. Page: 51
41. De Effluxu Aquarum ex Cylindris verticaliter po-ſitis, qui in alios tubos ſtrictiores pariter verticales deſinunt. §. 21. Page: 58
42. Problema. Page: 58
43. Solutio. Page: 58
44. Problema. Page: 62
45. Solutio. Page: 62
46. Scholium. Page: 63
47. Experimenta quæ ad Sect. 3. pertinent. Prænotanda. Page: 67
48. Lemma. Page: 67
49. De Velocitatibus maximis fluidorum per foramina valde ampla effluentium. Ad §. 16. & 20. Experimentum Primum. Page: 68
50. De velocitate aquæ ex vaſe ampliſſimo erumpentis. Ad §. 17. Page: 69
51. De vaſis quæ ſunt Tubis verticalibus inſtructa. Ad §. 22. & 23. Page: 69
52. De iisdem vaſis, quibus tubi horizontales inſeruntur. Ad §. 24. Page: 71
53. De canalibus recurvis. Ad §. 27. Page: 72
54. HYDRODYNAMICÆ SECTIO QUARTA. De variis temporibus, quæ in effluxu aquarum deſiderari poſſunt. §. 1. Page: 75
55. Experimenta quœ ad Sect. IV. pertinent. Page: 92
56. Ad Theoriam Contractionis Venarum aquearum Experimentum 1. Page: 93
57. Experimentum 2. Page: 94
58. Experimentum 3. Page: 94
59. Experimentum 4. Page: 95
60. Experimentum 5. Page: 96
61. Ad Theoriam aquarum per tubos effluentium. Experimentum 6. Page: 96
62. Experimentum 7. Page: 97
63. Experimentum 8. Page: 98
64. Ad theoriam aquarum, quæ ex vaſis ampliſsi-mis à puncto quietis usque ad datum veloci-tatis gradum effluunt. Experimentum 9. Page: 99
65. Experimentum 10. Page: 100
66. Experimentum 11. Page: 101
67. Experimentum 12. Page: 103
68. HYDRODYNAMICÆ SECTIO QUINTA. De motu aquarum ex vaſis conſtanter plenis. §. 1. Page: 104
69. Problema. Page: 105
70. Solutio. Page: 105
71. Caſus 1. Page: 105
72. Caſus II. Page: 107
73. Scholion 1. Page: 108
74. Scholion 2. Page: 110
75. Scholion 3. Page: 111
76. Scholion 4. Page: 111
77. Corollarium 1. Page: 112
78. Corollarium 3. Page: 113
79. Corollarium 4. Page: 113
80. Problema. Page: 113
81. Solutio. Page: 114
82. Scholium. Page: 114
83. Problema. Page: 116
84. Solutio. Page: 117
85. Corollarium 1. Page: 118
86. Corollarium 2. Page: 119
87. Scholium. Page: 120
88. Experimenta quæ ad Sectionem V. pertinent. Ad §. 5. Page: 122
89. HYDRODYNAMICÆ SECTIO SEXTA. De fluidis non effluentibus ſeu intra latera vaſorum motis. §. 1. Page: 125
90. De motu aquarum per canales indefinite longos. Caſus 1. Page: 125
91. Exemplum 1. Page: 126
92. Exemplum 2. Page: 126
93. De oſcillationibus fluidorum in tubisrecurvis. Caſus II. Page: 128
94. Lemma. Page: 129
95. Solutio. Page: 129
96. Problema. Page: 130
97. Solutio. Page: 130
98. Corollarium 1. Page: 131
99. Corollarium 2. Page: 131
100. Corollarium 3. Page: 131
101. Corollarium 4. Page: 131
102. Theorema. Page: 132
103. Demonſtratio. Page: 132
104. Problema. Page: 132
105. Solutio. Page: 132
106. Corollarium. 1. Page: 133
107. Corollarium 2. Page: 133
108. Scholion. Page: 133
109. Theorema. Page: 134
110. Demonſtratio. Page: 134
111. Problema. Page: 134
112. Solutio. Page: 134
113. Scholium. Page: 134
114. Corollarium 1. Page: 135
115. Corollarium 2. Page: 135
116. Scholion Generale. Page: 136
117. HYDRODYNAMICÆ SECTIO SEPTIMA. De motu aquarum per vaſa ſubmerſa, ubi exem-plis oſtenditur, quam inſigniter utile ſit princi-pium conſervationis virium vivarum, veliis in caſibus, quibus continue aliquid de illis perdi cenſendum eſt. PARS PRIMA. De deſcenſu aquarum. §. 1. Page: 138
118. PARS SECUNDA. De aſcenſu aquarum. Page: 146
119. Corollarium. Page: 152
120. Scholium Generale. Page: 153
121. EXPERIMENTA Ad ſect. ſept. referenda. Experimentum 1. Page: 154
122. Experimentum 2. Page: 154
123. Experimentum 3. Page: 155
124. De iſto tubo experimentum ita ſumſi: Page: 155
125. Experimentum 4. Page: 156
126. Experimentum 5. Page: 156
127. HYDRODYNAMICÆ SECTIO OCTAVA. De motu fluidorum cum homogeneorum tum hetero-geneorum per vaſa irregularis & præruptæ ſtru-cturæ, ubi ex theoria virium vivarum, quarum pars continue abſorbeatur, explicantur præcipue Phæno-mena ſingularia fluidorum, per plurima foramina trajecto-rum, præmiſsis regulis generalibus pro motibus fluido-rum ubique definiendis. §. 1. Page: 157
128. Regula 1. Page: 158
129. Regula 2. Page: 158
130. Problema. Page: 159
131. Solutio. Page: 159
132. Scholium 1. Page: 159
133. Scholium 2. Page: 160
134. Corollarium. Page: 160
135. EXPERIMENTA Ad ſectionem octavam pertinentia. Experimentum 1. Page: 175
136. Experimentum 2. Page: 176
137. HYDRODYNAMICÆ SECTIO NONA. De motu fluidorum, quæ non proprio pondere, ſed potentia aliena ejiciuntur, ubi præſertim de Machinis Hydraulicis earundemque ultimo qui da-ri poteſt perfectionis gradu, & quomodo mecha-nica tam ſolidorum quam fluidorum ulterius perſici poſsit. §. 1. Page: 177
138. Definitiones. Page: 178
139. (A) De machinis aquas cum impetu in altum projicientibus. Regula 1. Page: 178
140. Demonſtratio. Page: 178
141. Scholium. Page: 179
142. Regula 2. Page: 180
143. Demonſtratio. Page: 180
144. Scholium. Page: 181
145. Regula 3. Page: 181
146. Demonſtratio. Page: 181
147. Scholium. Page: 181
148. Regula 4. Page: 182
149. Demonſtratio. Page: 182
150. Scholium. Page: 182
151. Regula 5. Page: 182
152. Demonſtratio. Page: 183
153. Regula 6. Page: 183
154. Demonſtratio. Page: 184
155. Scholium. Page: 184
156. Regula 7. Page: 184
157. Scholium. Page: 185
158. Exemplum 1. Page: 185
159. Exemplum 2. Page: 186
160. Digreſſus continens aliquas commentationes in Ma-chinam Hydraulicam quam repræſent at figura 51. Page: 187
161. Regula 8. Page: 190
162. Scholium. Page: 191
163. Regula 9. Page: 191
164. Scholium. Page: 191
165. Scholium Generale. Page: 192
166. (B) De machinis hydraulicis aquas ſine not abili impetu ex loco humiliori in altiorem tranſportantibus. Regula 10. Page: 192
167. Demonſtratio. Page: 193
168. Corollarium. Page: 193
169. Scholium 1. Page: 193
170. Scholium 2. Page: 194
171. Scholium Generale. Page: 194
172. Commentationes ſpeciales de Cochlea Archimedis. Page: 197
173. Problema. Page: 200
174. Solutio. Page: 200
175. Scholium 1. Page: 200
176. Scholium 2. Page: 201
177. Scholium 3. Page: 202
178. Scholium 4. Page: 202
179. Problema. Page: 203
180. Solutio. Page: 203
181. Scholium 1. Page: 205
182. Scholium 2. Page: 205
183. (C) De Machinis, quæ ab impetu fluidi, veluti vi venti moventur. Page: 207
184. HYDRODYNAMICÆ SECTIO DECIMA. De affectionibus atque motibus fluidorum elaſti-corum, præcipue autem aëris. §. 1. Page: 214
185. Digreſsio de refractione radiorum per atmoſphæ-ram transeuntium. Page: 233
186. Problema. Page: 238
187. Solutio. Page: 238
188. Problema. Page: 240
189. Solutio. Page: 240
190. Corollarium 1. Page: 241
191. Corollarium 2. Page: 241
192. Problema. Page: 241
193. Solutio. Page: 242
194. De vi aëris condenſati & auræ pulveris pyrii ac-cenſi ad globos projiciendos in uſu ſclopetorum pneumaticorum & tormentorum bellicorum. Page: 248
195. HYDRODYNAMICÆ SECTIO UNDECIMA. De fluidis in vorticem actis, tum etiam de iis, quæ in vaſis motis continentur. §. 1. Page: 258
196. HYDRODYNAMICÆ SECTIO DUODECIMA. Quæ ſtaticam fluidorum motorum, quam hy-draulico - ſtaticam voco, exhibet. § 1. Page: 270
197. Problema. Page: 272
198. Solutio. Page: 272
199. Corollarium 1. Page: 274
200. Corollarium 2. Page: 274
201. Scholium. Page: 275
202. Corollarium 3. Page: 276
203. Problema. Page: 276
204. Solutio. Page: 277
205. Corollarium. Page: 278
206. Exemplum 1. Page: 279
207. Exemplum 2. Page: 279
208. Exemplum 3. Page: 280
209. Exemplum 4. Page: 281
210. EXPERIMENTA Hydraulico - ſtatica pro Sectione XII. Ad §. §. 3. & 4. Page: 287
211. Experimentum 1. Page: 288
212. Experimentum 2. Page: 288
213. Experimentum 3. Page: 289
214. Experimentum 4. Page: 289
215. Experimentum 5. Page: 289
216. Experimentum 6. Page: 290
217. Experimentum 7. Page: 291
218. Experimentum 8. Page: 291
219. Experimentum 9. Page: 291
220. Experimentum 10. Page: 291
221. HYDRODYNAMICÆ SECTIO DECIMA TERTIA. De reactione fluidorum ex vaſis efflluentium eo-rundemque, poſtquam effluxerunt, impetu in plana quibus occurrunt. §. 1. Page: 292
222. Problema. Page: 308
223. Solutio. Page: 308
224. Problema. Page: 309
225. Solutio. Page: 309
226. Corollarium. Page: 309
227. Problema. Page: 310
228. Solutio. Page: 310
229. Scholium. Page: 311
230. Problema. Page: 311
231. Solutio. Page: 311
232. Corollarium. Page: 312
233. Scholium. Page: 313
234. EXPERIMENTA In Sectionem decimam tertiam. Page: 316
235. Experimentum 1. Page: 317
236. Experimentum 2. Page: 317
237. Experimentum 3. Page: 317
238. Experimentum 4. Page: 318
239. FINIS. Page: 318
1
[Empty page]
2
[Empty page]
3
[Empty page]
411[Handwritten note 1]
522[Handwritten note 2]
6
[Empty page]
7
DANIELIS BERNOULLI Joh. Fil.
Med. Prof. Basil.
ACAD. SCIENT. IMPER. PETROPOLITANÆ, PRIUS MATHESEOS
SUBLIMIORIS PROF. ORD. NUNC MEMBRI ET PROF. HONOR.
HYDRODYNAMICA,
SIVE
DE VIRIBUS ET MOTIBUS FLUIDORUM
COMMENTARII.
OPUS ACADEMICUM
AB AUCTORE, DUM PETROPOLI AGERET,
CONGESTUM.
1[Figure 1]
ARGENTORATI,
Sumptibus JOHANNIS REINHOLDI DULSECKERI,
Anno M D CC XXXVIII.
Typis Joh. Henr. Deckeri, Typographi Baſilienſis.
833[Handwritten note 3]
9
CELSISSIMO
ATQUE
SERENISSIMO
PRINCIPI ET DOMINO
DOMINO
ERNESTO
JOHANNI
DEI GRATIA IN LIVONIA
CURLANDIÆ
ET
SEM - GALLIÆ
DUCI.
10
CELSISSIME ATQUE SERENISSIME
PRINCEPS,
DOMINE GRATIOSISSIME.
NOn auſus fuiſſem Sereniſſimo Nomini
Tuo Hydrodynamicam hanc in-
ſcribere, niſi illa Academiæ Scien-
tiarum, ſub umbone Tuo Petropoli
florentis, conſilio & ſubſidiis a me
conſcripta fuiſſet. Novimus quan-
tum Tibi, Sereniſſime Princeps,
Magnanime Academiæ Protector, poſt Auguſtam illam
orbis borealis Palladem, debeamus, idque cum toto orbe
literato, qui præclara ſibi porro ab Academia, amœnis
benevolentiæ Tuæ radiis colluſtrata, pollicetur, pia &
immortali recolemus memoria. Florebit in æternitatis
ſacrario apud Ruſſicam gentem Tuorum in illam
11 rum magnitudo, apud Curlandos felicium, quæ divina
illis providentia ſub Sceptro Tuo deſtinavit, fatorum me-
moria: apud univerſas denique gentes glorioſiſſimæ Tuæ
vitæ perpetua admiratio. Quam cara ſit ſuperis Ruſſici
Sceptri Majeſtas populique Tui felicitas, illuſtria tempo-
rum præſentium fata nos docent. Hi proſperos magno-
rum conſiliorum eventus; hi vitæ Tibi & Principatus
diuturnitatem; hi ſucceſſores ex ſanguine Tuo, virtu-
tum Tuarum æmulos, longa ſerie ad omnem temporum
profunditatem, orbe univerſo plaudente, largiantur.
lta vovet
SERENISSIME & CELSISSIME PRINCEPS
DOMINE GRATIOSISSIME
Celſitudinis Tu@
Scrib. Baſileæ
10. Mart. 1738.
Humillimus & Obſequioſiſſimus
Servus
DANIEL BERNOULLI.
12
PRÆFATIO.
PRodit tandem in publicum Hydrodynamica noſtra,
ſuperatis omnibus, quæ impreßionem ejus ab octo fere
annis morata ſunt, obſtaculis; lucem fortaßis haud
aſpectura, ſiad me ſolum omnis iſte labor pertinuiſſet. Præci-
puas enim huius operis partes auſpiciis, conſiliis, ſubſidiisque
Academiæ Scientiarum Petropolitanæ deberi lubens profiteor.
Anſam libro dedit ipſum ejus inſtitutum, quo primi, qui ad
@am formandam convenerunt, Profeſſores, de argumento
quodam utili & , quantum fieri poſſet, novo Diatribam con-
ſcribere tenebantur, certe admonebantur. Theoriam de vi-
ribus & motibus fluidorum, niſi invita Minerva fuerit
ſuſcepta, argumentum eſſe nec inutile nec tritum, quisque facile
largietur. Vt autem Lectoris tædium diſcuterem, rerum va-
rietati inprimis operam dedi, præſertim in quinque poſteriorbus
ſectionibus, atque ſpecimina inſerui analytica, phyſica, me-
chanica, cum theoretica tum practica, nonnulla geome-
trica, nautica, aſtronomica & alia, quorum tamen ex-
poſitionem operis ſuſcepti ratio non tam ferre quam poſtu-
lare viſa fuit. Quæ feſtinanti exciderunt ſphalmata, æquus
harumque rerum intelligens Lector facile corriget. Vnicus
hujus ſcripti finis eſt, ut Academiæ inſervirem, cujus
omnes labores eo collimant, ut bonarum literarum incre-
menta & publica commoda promoveat.
13 2[Figure 2]11
# INDEX SECTIONUM.
# SECTIO PRIMA.
Introitus eſt variaque continet prænotanda. # pag. 1.
# SECTIO SECUNDA.
Agit de fluidis ſtagnantibus eorundemque æquilibrio tum inter ſe tum
# ad alias potentias relato. # 17.
# SECTIO TERTIA.
De Velocitatibus fluidorum ex vaſe utcunque formato per foramen
# qualecunque effluentium. # 30.
# SECTIO QUARTA.
De variis temporibus, quæ in effluxu aquarum deſiderari poſſunt. # 61.
# SECTIO QUINTA.
De motu aquarum ex vaſis conſtanter plenis. # 90.
# SECTIO SEXTA.
De fluidorum motu non effluentium ſeu intra latera vaſorum moto-
# rum, ubi præſertim de oſcillationibus fluidorum. # 111.
# SECTIO SEPTIMA.
De motu aquarum per vaſa ſubmerſa, ubi præſertim exemplis oſten-
# ditur, quam inſigniter utile ſit principium conſervationis virium
# vivarum, vel iis in caſibus, quibus continué aliquid de illis perdi
# cenſendum eſt. # 124.
1411
# SECTIO OCTAVA.
De motu fluidorum, cum homogeneorum, tum heterogeneorum, per
# vaſa itregularis & præruptæ ſtructuræ, ubi ex theoria virium
# vivarum, quarum pars continué abſorbeatur, explicantur præci-
# pue phænomena ſingularia fluidorum per plurima foramina tra-
# jectorum, præmiſſis regulis generalibus pro motibus fluidorum
# ubique definiendis. # 143.
# SECTIO NONA.
De motu fluidorum, quæ non proprio pondere, ſed potentia aliena
# ejiciuntur, ubi potiſſimum de machinis hydraulicis earundemque
# ultimo, qui dari poteſt, perfectionis gradu. # 163.
# SECTIO DECIMA.
De affectionibus atque motibus fluidorum claſſicorum, præcipue
# aëris. # 200.
# SECTIO UNDECIMA.
De fluidis in vorticem actis, tum etiam de iis, quæ in vaſis motis con-
# tinentur. # 244.
# SECTIO DUODECIMA.
Novam ſtaticam fluidorum motorum, quæ hydraulico - ſtatica vocari
# poteſt, exhibet. # 256.
# SECTIO DECIMA TERTIA.
De reactione fluidorum ex vaſis effluentium, de menſura effectus, qui
# inde obtineri poteſt ad navigationem, ubi ſimul theoria nova
# pro fluidorum, poſtquam effluxerunt, impetu in plana quibus
# occurrunt definiendo exhibetur. # 278.
15 3[Figure 3]
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO PRIMA.
Quæ introitus eſt, variaque continet prænotanda.
§. 1.
DUplex cum ſit Theoria Fluidorum, quarum altera Hydroſtati-
ca, liquorum ſtagnantium preſſiones & æquilibria varia, altera
Hydraulica, fluidorum motum ſpectans, ſeorſum pertractari a
ſcriptoribus conſueverunt, utramque vero tam arcto nexu in-
ter ſe cohærere perciperem, ut altera alterius ope plurimum
egeat, haud dubitavi eas confundere, quantum id ordo rerum
poſtulare videbatur, ambaſque nomine communi & generaliori Hydrodynami@
cæ complecti. Quamvis autem ab antiquiſſimis temporibus fuerit continuo
exculta Theoria fluidorum, incrementa tamen non admodum notabilia ce-
pit; veterum quidem Mathematicorum cognitio eo terminabatur, quod
162HYDRODYNAMICÆ quilibrium commune fluidorum ſtagnantium, aut etiam corporum cum flui-
dis, quibus inſident, de quibus Archimedes ſcripſit, intelligebant; & cum
præterea per ſe pateat, ubi æquilibrium non eſt, motum verſus partem mi-
noris preſſionis fieri, varios luſus, machinaſque hydraulicas hinc excogitare
potuerunt, partim oblectationi, partim publicis commodis egregie inſervi-
entes, qua quidem in re peringenioſos ſe monſtrarunt; videbant etiam, ſed
quaſi per tranſennam motus illos, qui preſſioni aëris debentur: Veras autem
rationes accuratasque menſuras in Hydraulicis rebus plane ignorabant, atque
ſic fere in limine ſubſiſtebant.
§. 2. Motui fluidorum determinando inſervit præcipue effluxus aquæ
ex vaſe per foramen valde parvum: tametſi vero non omnino fugeret Fron-
tinum alioſque, uti aliqui credunt, velocitatem aquarum ex vaſe vel caſtello
effluentium creſcere ab aucta altitudine aquæ ſupra effluxus locum, negari
tamen non poteſt, quin idem Frontinus in computandis aquarum modulis,
ſeu erogandis aquis turpes & injuſtos commiſerit errores. Benedictus Caſtel-
lius primus de nexu velocitates inter & altitudines cogitare, falſam autem
legem ſuſpicatus eſt, putans, ambas eandem rationem ſequi. Poſt hunc de-
@um Torricellius obſervavit, velocitates creſcere in ſubduplicatâ ratione alti-
tudinum, quem ſecuti ſunt omnes; nec dum vero conveniebant de abſoluta
velocitatis menſura, experimenta tamen inſtituerunt, qua iſtam menſuram
definiri exiſtimarunt, inter quæ potiſſimum allegari ſolet illud, quod a Gulielmino
ſumtum, octieſque repetitum fuit, quamvis id ab aliis experimentis ex illo tempore
factis admodum recedat: ſolent autem omnia inter ſe differre, quæ ſub diver-
ſis fiunt circumſtantiis, nec ſemper tutum eſt, uti ſuo loco dicemus plu-
ribus, ex quantitate aquæ, definito tempore per definitum lumen effluentis, ju-
dicium ferre de ejuſdem velocitate. Sic cum ad calculum revocamus expe-
rimentum Gulielminianum, cujus modo mentionem fecimus, concludendum
eſſet ex quantitate aquæ, quæ per lumen datum tempore dato effluxit, ve-
locitatem ejus non majorem fuiſſe illa, quæ debetur quartæ parti altitudinis
ſuperficiei aqueæ ſupra foramen. Et alia ſunt eodem Auctore experimenta,
quæ recenſentur Lib. 2. prop. 1. menſ. aquarum fluent: vi quorum aqua ef-
fluens velocitate ſua aſcendere poſſit ad duas tertias iſtius altitudinis; Apud
Mariottum alioſque extant, quæ pro dimidia altitudine faciunt; qua non ob-
ſtante velocitatum ita æſtimatarum diverſitate, mihi perſuadeo, vix a ſe
173SECTIO PRIMA. vicem veras velocitates diſcrepaſſe, ratione habita ad altitudines aquæ & ubi-
que tales proxime fuiſſe, quæ integræ altitudini debeantur: illa autem, quæ
loco ultimo fuere citata, quæque pro dimidia altitudine prima fronte viden-
tur ſtare, numero apud Authores plurima, movebant procul dubio Newto-
num, Virum meritis ſuis immortalem, ut paulo confidentius loqueretur de
Theoria, qua aquam per lumen minimum ex vaſe verticaliter ſurſum exili-
entem ad dimidiam altitudinem aquæ in vaſe ſtagnantis aſcendere poſſe inve-
nerat, etſi aſſertum iſtud omnibus experimentis, quæ de his altitudinibus im-
mediate ſumta fuere, contradicat: Theoriam expoſuit in edit. prima princ.
Math. phil. nat. , eamque petiit ex preſſione, qua aqua præ foramine poſita
moxque egreſſura ad motum cietur. Quoniam vero natura rei haud ſemper
permittere videtur, ut a priori definiatur vis aquam ad effluxum animans, a@-
que potius de ea vix aliter, quam ex phænomenis motus, id eſt, a poſterio@i,
quod ſæpe expertus ſum, judicare licet, ſuſpectum eſſe debet ratiocinium@ſti
principio innixum. Hinc etiam Vir modo laudatus ſententiam ſuam muta-
vit in ſecunda Operis ſui editione, rurſuſque aliquantum in tertia, affirmans
aquam ad totam quidem altitudinem aſcendere, venam autem, quam efformat,
præ foramine contrahi ſeu gracileſcere, atque ſic utrique phænomeno velo-
citatis quantitatisque dato tempore effluentis, quæ ſibi contradicere videban-
tur, ſatisſaciens. Quamvis autem contractionem iſtam fili aquei veram eſſe
cauſam, ob quam velocitas a@uæ effluentis non poſſit æſtimari ex quanticate,
negandum non ſit, puto tamen, Theoriam ipſi non eſſe ſuperinſtruendam,
quia accidentalis eſt, nec ſibimet ubique conſtans, dum velocitas non variat
niſi a cauſis alienis veluti attritu, tenacitate aquæ, aliisque ſimilibus. Sic cum
aqua non per ſimplex foramen, ſed per tubulum cylindricum effluit, vena
notabiliter non contrahitur ſalva velocitate, excepto eo, quod propter attri-
tum ei demitur: ſi quis autem hoc non obſtante putet, ex preſſione poſſe re-
cte & tuto aquarum fluxum deduci, hunc rogarim, ut ad caſus magis com-
poſitos animum advertat, v. gr. ad fluxum aquæ, quem mira@lem vocat Ma-
riottus, ex vaſe, quod diaphragma aliquod foramin@ perforatum in duas ca-
vitates aqua implendas diſpeſcit, ſic ut aqu@ per duo foramina transfluere co-
gatur: de hoc motu loquitur Mari@@@us in tractatu ſuo egregio de motu aqua-
rum part. IV. pag. m. 442.
184HYDRODYNAMICÆ
§. 3. Hæc cum ita ſint, facile quiſque ſecum judicabit, quam parum
ſpei ſuperſit, aliquando Leges motuum pro fluidis ad regulas Geometriæ pu-
ræ reductum iri, ſine ulla hypotheſi phyſica, cum vel in ipſo limine effuge-
rint perſpicaciam Viri ingenio præpotentis & incomparabilis: neque ego cre-
do poſſe ea, quæ in hoc opere expoſiturus ſum, omnem rigorem mathema-
ticum ſubire: Principia Theoriæ phyſica ſunt & non ſine largitione acceptan-
da ut proxime vera; admiſſis autem principiis, omnia erunt Geometrica, &
nullis obnoxia reſtrictionibus, neceſſario nexu inter ſe cohærebunt. Non
poſſum tamen, quam bene ſentire de phyſicis iſtis poſitionibus, in quas forte
incidi, quandoquidem me manuduxerunt ad plurimas novas proprietates,
cum de æquilibrio tum de motu fluidorum detegendas, quæ, niſi me amor
ſuſcepti laboris fallit, aliquando Hydrodynamicam inſigniter promovebunt,
@@ magis excolantur, quam mihi licuit; ubi monuiſſe conveniet, quando mul-
tis, quicquid novum eſt, ſuſpectum eſſe ſolet, totam me Theoriam animo
concepiſſe, tractatum conſcripſiſſe, pleraque cum amicis privatim commu-
nicaſſe, quædam etiam coram Societate noſtra prælegiſſe, priuſquam ullum
experimentum inſtituerim, ne ex præconceptis menſuris opinione falſa, pro-
xime tamen illis ſatisfaciente, me falli paterer, quandoque etiam Viros per-
ſpicaciſſimos intellectis theorematis aperte faſſos eſſe, ſe ſibi talia perſuadere
non poſſe, nec experimentis confirmatum iri exiſtimare; hisque omnibus ge-
ſtis, facta demum fuiſſe experimenta coram Amicis, hæcque ita conveniſſe
cum Theoria, quantum ipſe vix ſperare poteram. Nunc vero redeamus il-
luc, unde divertimus.
§. 4. Poſtquam certi fuerunt Authores de diverſitate velocitatum a mu-
tatis altitudinibus, vaſa conſiderare cœperunt magis compoſita, fiſtuiis nempe
varie inclinatis atque inæqualiter amplis inſtructa. Harum autem indolem
jam ſuo tempore quodammodo cognovit Frontinus, non ignarus, modulum
augeri a declivitate vel humilitate calicis, id eſt, fiſtulæ ſignatæ, quæ caſtel-
lo, aut aliquando etiam rivo induebatur: unde etiam calices ad lineam, uti
loquitur, ordinari & in eadem altitudine poni juſſit. Et hoc quidem reſpe-
ctu injuſte poſtulatur Fronti@@@s a quibusdam, velocitatis nullam habuiſſe ra-
tionem; ubi vero calculum ponit om@@is aquæ acceptæ, illamque comparat
@um eroganda, non video, quomodo excu@@@ poſſit. Experientia quoque
@@@ctus fuerat, quod notari meretur, plus debito aq@@@ erogari per
195SECTIO PRIMA. legitimæ tum menſuræ, tum poſitionis, cui ſtatim ſiſtulæ amplioris moduli
ſubjectæ ſint, quod ita eſſe, recteque a Fabretto indicatum fuiſſe, ſuo loco
monſtrabo, quamvis Viri alias acutiſſimi, id non ſatis ſibi liquere vel potius
de eo ſe dubitare, innuerint.
§. 5. Quod autem veteres obſcure & ſine veris menſuris viderunt, id
demum Cl. Gulielminus in Tract. de aquarum fluentium menſura propoſitione ac-
curatiori & generaliori complexus eſt tali, eandem velocitatem, inquiens, eſſe
aquæ fluentis per canalem inclinatum, ac ſi fluxerit e vaſe per lumen ſimile, & æquale ſe-
ctioni, tantundem a ſuperficie aquæ remotum, quantum ſectio ab Horizontali per initium
alvei, quam propoſitionem impugnavit Dionyſius Papinus, ipſe multum a ve-
ritate aberrans. Quoniam autem in eo ſumus, ut commenta, tum Hydroſtatica,
tum Hydraulica præcipua recenſeamus, hoc loco etiam numerandum eſt il-
lud, de preſſione fluidorum ex impetu cognoſcenda, nempe vim fluidi, in pla-
num ad angulum rectum irruentis data velocitate, æqualem eſſe ponderi cylindrici fluidi
ſuper illo plano extructi, cujus altitudo talis ſit, ex qua mobile libere cadendo a quiete
fluidi velocitatem acquirat. Problematis hujus utiliſſimi ope æſtimare licet vim
fluidorum machinas agitantium, aut, quale eſt ventus, naves propellentium,
motus corporum in mediis reſiſtentibus plurimaque alia. De Hydroſtatica au-
tem, quæ tubulis tenuiſſimis ſeu capillaribus particularis eſt, nihil dico, quia
hactenus ad Leges generales omnibus fluidis communes reduci non potuit:
Incertus præterea eſt Author, qui primus horum tubulorum indolem obſer-
vaverit; conſtat tamen recentem eſſe obſervationem, quia de illa in libris an-
te hos 70. vel 80. annos editis nihil videre eſt.
§. 6. Authores præter citatos a Galilæi temporibus, in rebus aquariis
celebriores ſunt Torricellius, Borellus, Vivianus, Paſcalius, Boilius, recen-
tioris ætatis ſunt Varignonius, Newtonus, Polen@@@, Hermannus, Jacobus &
Johannes Bernoulli, quorum inventa extant in Comment. Acad. Reg. Sc.
Pariſ. Princ. Math. phil. @@@. @ractatu de Caſtellis notiſque ad Frontinum, Pho-
ronomia, Actis Lipſ. , aliisque operibus variis. Quæ vero circa curvatura@
ex preſſione fluidi genitas aliaque hujusmodi inventa a Geometris exhibita fue-
runt, quia facile ad Geometriam puram reducuntur, utut de reliquo omni
laude digna ſilentio prætereo.
Expoſitis his, quæ ad alios pertinent, æquum eſſe ſentio, ut meorum quo-
que ratione ſubducta, dicam ſincere, an aliqua & quanta Hydrodynamicæ
206HYDRODYNAMICÆ crementa ab illis ſperari poſſint aut debeant. Breviter igitur, quantum po-
tero, momenta operis ſuſcepti indicabo.
§. 7. Exhibentur primo loco Theoremata præcipua, quæ ad æquili-
brium fluidorum ſtagnantium pertinent: viſa mihi fuit inſtituti ratio id poſtu-
lare, quamvis libenter fatear, nullas a me novas adjectas fuiſſe propoſitiones:
Demonſtrandi quidem modus, quantum ſcio, mihi proprius eſt, ſed cum facile
ſit, innumeras ſibi fingere demonſtrationes, parum eſt, hac quoque in parte,
quod mihi arrogo. Phænomena præterea aliqua tubulorum capillarium obi-
ter recenſentur, & denique occaſione preſſionis, quam fluida in latera vaſis
exercent, Theoremata varia & nonnulla nova adduntur, circa figuram veſica-
rum liquore impletarum, circa earundem potentias ad onera elevanda, circa
conſtructionem & firmitatem aquæductuum, aliaque affinia.
§. 8. Agitur poſtea de motu fluidorum ex vaſe effluentium, & cum om-
nes, qui hactenus de hacre egerunt, caſum unicum maxime obvium, quo
foramen ratione amplitudinis vaſis internæ infinite parvum cenſetur, in Theo-
ria ſua conſideraverint, noſtra non parum commendatur ſua latitudine; ex-
tendit enim ſe ad poſitionem foraminis cujuſcunque magnitudinis, imo &
vaſis cujuscunque figuræ. Quamvis enim figuræ vaſis internæ conſideratio mi-
nime requiritur, cum foramen ut infinite parvum conſiderari poteſt, attamen
ſine illa motus aquæ definiri nequit, cum eſt notabilis magnitudinis. Ex Theo-
ria generali corollaria deducuntur, quæ motum aquarum variabilem ejusdem-
que affectiones egregie illuſtrant, confirmantque, quicquid aut experientia do-
cuit, aut rei attributiones per ſe manifeſte indicant. Docet quidem Theoria,
quando amplitudines internæ vel mediocriter ſuperant amplitudinem luminis,
errorem eſſe inſen@@@@em, qui ex conſideratione foraminis ut infinite parvi
naſcitur, atque ſic noſtræ additiones nonnullis fortaſſe videbuntur ſatis inutiles.
Hos vero, ſi modo qui futuri ſint, @@@@m cogitare velim, præter quod non ſo-
lum aquariis ſcribo, ſed & Geometris, qui veritatibus nudis etiam delectan-
tur, uſum noſtrarum meditationum aliis in rebus maximum eſſe, quod magis
intelligent, cum perpenderint, motum incipere a quiete, & per infinitos tran-
ſire gradus, priuſquam certam celeritatem obtineat, maximas mutationes ſæ-
pe quidem tam brevi fieri temporis momento, ut ſenſibus nullo plane modo
percipi poſſint, determinandas tamen eſſe ad ſingula puncta, tum ut motus
animo recte percipiatur, tum quia exinde varia deduci poſſunt Theoremata.
217SECTIO PRIMA. Ita animadverti, (quod exemplum ob rei momentum ſit inſtar omnium,) fie-
ri non poſſe, ut preſſio aquæ, per canalem data velocitate fluentis, in ejusdem
latera definiatur, niſi mutationes iſtæ, quas momentaneas dicam, utcunque ſen-
ſibus inperceptibiles recte animo intelligantur. De his ego, ut primus cogi-
tavi, ita optatiſſimo cum ſucceſſu novam Theoriæ aquarum partem addidi, quæ,
quia fluidorum tum motum tum preſſionem ſimul reſpicit, hydraulico - ſtatica
aptiſſime vocari viſa fuit. Poſt hæc Theoriæ generalis ſpecimina, de vaſis cy-
lindricis tam ſimplicibus, quam iis, quæ tubis inſtructa ſunt, exhibentur, &
in his poſterioribus præſertim determinantur mutationes, quæ ab initio fluxus
oriuntur, dum datus velocitatis gradus attingitur, & id quidem in hypotheſi
vaſorum ampliſſimorum; notandum autem eſt, has mutationes ſenſibiles ad-
modum eſſe, etiamſi vaſa ſunt infinitæ amplitudinis, poſſeque illas experimen-
tis demonſtrari, dum aquæ ex vaſe ampliſſimo per foramen ſimplex effluentes
primo ſtatim temporis puncto totam, quantam poſſunt, velocitatem habent.
Pendent prædictæ mutationes tum a longitudine tum a figura tubi. Denique
etiam calculi analytici pro varii generis temporibus inveniendis una cum an-
notationibus phyſicis eo pertinentibus adjiciuntur. Indicante denique Theo-
ria, fieri non poſſe, ut aquæ multum ultra ſupremam ſcaturiginis ſuperficiem
aſcendant, monſtratur ſub fine ſectionis, non pertinere ad hypotheſes noſtras
phænomenon ſingulare, quod ipſe ſæpius obſervavi, & pro lubitu imitari poſ-
ſum, cujusque mentio injicitur in Hiſt. Reg. Acad. Sc. Pariſ. ad ann. 1702. ubi
dicitur, accidere quandoque, ut aquæ in fontibus ſalientibus aſſurgant ad al-
titudinem triplam, aut quadruplam ejus, quæ reſpondet aquæ ſuperficiei ſupre-
mæ, mox tamen enormem aquæ jactum ad confuetam altitudinem deprimi,
poſteaque genuina iſtius phænomeni ratio cum veris menſuris ex Theoria no-
ſtra petitis affertur, modusque indicatur ſaltum inſolitum producendi,
imo & ad lubitum augendi.
§. 9. Porro Theoria extenditur ad examen motuum ex vaſis conſtanter
plenis, quibus nempe tantum aquæ continue affunditur, quantum ex illis ef-
fluit: horum indoles in eo potiſſimum conſiſtit, ut fluida emanantia magis
magisque accedant ad illum velocitatis gradum, qui toti altitudini ſuperficiei
fluidi ſupra foramen debetur, eum vero nunquam omnino attingant, niſi poſt
tempus infinitum: vergere tamen demonſtrantur aquæ tam cito ad velocitatem
iſtam, ut poſt tempusculum inſenſibile tantum non totam acquirant,
228HYDRODYNAMICÆ cum per longiſſimos rivos aut aquæductus feruntur, magnoque lumine eji-
ciuntur; tunc enim accelerationes tam celeres non ſunt, quin percipi poſſin@
quod ſingulari exemplo ex Cl. Mariotti libro de motu aquarum deſumto con-
firmatur. Quoniam vero motus a quiete incipit & perpetuo creſcit, formu-
læ dantur, quarum ope vel ex fluxus tempore vel ex quantitate aquarum e-
jectarum velocitas ſingulis temporis punctis definiri poſſit & viciſſim.
§. 10. In ſequentibus fluida conſiderantur, quæ intra vaſa moventur,
@bi præſertim motus fluidorum reciproci ſeu oſcillatorii ad menſuras revocan-
tur, earumque affectiones indicantur. Dedit autem Newtonus Theorema ſimile
pro oſcillationibus fluidi, in tubo uniformis amplitudinis (cujus crura duo ex-
trema verticalia, intermedia pars horizontalis) oſcillantis, quod Theorema
Pater meus in Comm. Acad. Imp. Sc. Petrop. tom. 2. p. 201. generalius reddidit
poſita inclinatione qualicunque crurum extremorum verſus horizontem. No-
ftra Theoria totam rem ſine ulla reſtrictione complectitur, tubos conſiderans
in ſingulis locis directione ſeu poſitione atque amplitudine pro lubitu variabi-
les: oſtenditur dein, quibus in caſibus fiat, ut oſcillationes diverſæ excurſionis
ſint Iſochronæ, quibus ſtantibus longitudo penduli ſimplicis Iſochroni gene-
raliſſime determinatur. Sed & præter hoc oſcillationum genus in ſubſequente
ſectione quædam aliæ examini ſubjiciuntur, veluti illæ, quæ fiunt in tubis a-
quæ infinitæ vel etiam terminatæ immerſis, in quibus ſingulari circumſpectio-
ne opus eſt, qua adhibita omnia phænomena calculo ad amuſſim reſpondent,
eadem vero neglecta tantus fit inter ea diſſenſus, quantus eſt inter leges mo-
tus, quæ pro corporibus perfecte elaſticis, iisque quæ pro mollibus valent.
§. 11. Poſt hæc ad alia magis compoſita progredior, motum nempe flui-
dorum conſiderans ſive homogeneorum ſive heterogeneorum, quæ per unum
aut plura foramina transfluere coguntur, priuſquam ejiciantur in aërem, ubi
regula illa communiter recepta de ſaltu aquæ ad ſupremam aquæ libellam ve-
liementer fallit, ceſſantibus etiam legibus preſſionis ordinariis. Horum autem
omnium apud Authores ne veſtigium quidem reperitur, niſi quod Mariottus
habet, loco ſupra citato part. IV. p. m. 442. de motu aquar. ubi quidem fluxum
aquarum retardari, fuiſſe ſe experientia edoctum, teſtatur, ſimul autem ma-
nifeſtat, quam procul abfuerit a vera horum motuum Theoria, & videtur ſane
hæc Theoria omnium fere principiorum, adhuc in rebus ſimilibus adhiberi ſo-
litorum, vim eludere, ita ut nihil ſit, quod noſtrorum præſtantiam magis
239SECTIO PRIMA. firmet: de eorum veritate enim experimenta inſtituta me amplius dubitare
non ſinunt. Non deeſt autem hiſce meditatis ſua utilitas, quandoquidem
magni momenti eſſe poſſint in perficiendis machinis hydraulicis.
§. 12. Sequuntur commentationes de machinis hydraulicis, quibus potis-
ſimum monſtratur, certum quendam perfectionis terminum eſſe, ultra quem
ire non liceat; defectus autem ab ultimo hoc perfectionis gradu in multis ma-
chinis maxime receptis calculo numerico ſubjiciuntur, additis regulis ſeu
præceptis, ad quæ in conſtruendis novis machinamentis animus ſit adverten-
dus: exempli loco affertur notiſſima per totum orbem machina Marlyenſis,
de qua monſtratur, ſi modo deſcriptionibus fidendum ſit, quod non ultra
quinquageſimam ſextam prope partem ſuppeditet ejus aquæ quantitatis, quam
cæteris paribus machina perfectiſſima theoretice ſubminiſtrare queat. Specia-
le etiam examen inſtituitur de machina ab antiquiſſimis temporibus ad no-
ſtram uſque ætatem uſitatiſſima, Cochlea nimirum Archimedis, attentione
Geometrarum non indigna, tam ratione eorum, quæ ad Geometriam puram,
quam quæ ad Hydraulicam pertinent.
§. 13. Succedunt ſpecimina quædam de motu fluidorum elaſticorum,
veluti aëris & pulveris pyrii accenſi, præmisſis iis, quæ ad naturam horum
fluidorum pertinent; quæ vero ipſe non aliter, quam ut hypotheſes phyſicas
conſidero, de quibus nihil confidenter affirmabo. Propoſitiones & Problema-
ta hujus ſectionis nova ſunt, & eo ſelecta animo, ut multis quæſtionibus phy-
ſicis illuſtrandis, aut etiam ſolvendis occaſionem præbere posſint. Adjiciun-
tur quædam de æſtimatione virium vivarum fluidis elaſticis inſitarum, quæ
aliquando fortaſſe in praxi mechanica nonnullius uſus erunt: monſtratur enim,
unius v. gr. libræ pulveris pyrii accenſi effectum in elevandis ponderibus ma-
jorem eſſe poſſe, quam vel centum homines robuſtisſimi labore continuo in-
tra unius diei ſpatium efficere posſint.
§. 14. Agitur porro de fluidorum motu circulari, ut & de fluidis, quæ
in vaſis motis ſtagnant; variaque alia intermiſcentur. Quæ autem de motu
circulari proferuntur, inſervire quodammodo poſſunt ad phænomena gravi-
tatis per vortices explicanda; cætera valeant, quantum poterunt.
§. 15. Præmiſſa Theoria motuum, rurſus ad æquilibria fluidorum deſcen-
ditur, ſed fluidorum motorum, quorum leges exhibitæ nondum fuerunt.
Mirum eſt, cum alias motus ex presſione definiatur, hic inverſa methodo
2410HYDRODYNAMICÆ ſionem ex motu peti, prius ex circumſtantiis definiendo; nec crediderim ali-
am viam tuto iniri poſſe præter eam, quam ego ſecutus ſum: conſideravi au-
tem canalem, per quem aquæ fluunt eo in loco eoque temporis puncto, quæ
quæſtioni conveniunt, amputatum; poſteaque per regulas noſtras præmiſſas
accelerationem indagavi particulæ aquæ imminentis, proximeque effluxuræ. Ex
iſta acceleratione colligere licebat compresſionem illius particulæ aqueæ, quæ
compresſio per naturam fluidorum æqualis eſt presſioni in latera canalis. Co-
gnita hac presſione apparet, quid fieri debeat, ſi canalis eodem in loco per-
foratus fuerit, tubulusque foramini reſpondeat; fore nempe, ut aqua in eo
aſcendat ad certum uſque gradum ſtagnans in tubulo, & ab aqua inferius per
canalem præterfluente ſuſtenta, ſic, ut hic æquilibrium adſit inter aquas flu-
entes & ſtagnantes: hoc vero nomine Theoriam iſtam hydraulico-ſtaticam com-
mode vocari poſſe exiſtimavi. Notari porro meretur, ipſam hanc Theoriam
fundamentum rurſus eſſe & fontem aliorum motuum antehac incognitorum.
Theoremata, quæ exponuntur, non nova ſolum, ſed & pleraque inexpectata
ſunt, quorum omnium veritatem nec ipſe plane mihi perſuadere potui, pri-
uſquam experimenta inſtituiſſem, quæ mihi omnem ſcrupulum demebant.
Habent autem inſignem uſum, quandoquidem iis innititur vera presſionis
aquarum, per aquæductus ſeu rivos fluentium, æſtimatio, hincque deducendæ
tuborum firmitates requiſitæ. Inde quoque pendent accuratæ menſuræ aqua-
rum per modulos, rivo lateraliter inſertos, erogatarum: in Phyſiologia re-
ctius jam intelligentur, quæ pertinent ad motum humorum in corpore animali,
& quæ ſunt alia.
§. 16. Denique progredior ad alios quosdam modos, quibus aqua ni-
ſum facere poteſt, explicandos: ita nempe aqua, dum per foramen effluit, in
contrarium premit vas non aliter, atque globus retropellit tormentum, ex
quo exploditur: iſtius retropulſionis plures proprietates deteguntur novæ,
quæ presſionum naturam egregie illuſtrant, earumque leges, quas affectant, ge-
nerales in mechanicis rem iſtam ſerio meditantibus indicabunt. Has diſqui-
ſitiones feci, quia mihi viſum eſt, poſſe ea novæ aliquando navigationi ſine
remorum, aut venti adminiculo excogitandæ occaſionem præbere; qua de
re ſuo loco pauca quædam afferam, etſi non ignoro, omnium hujusmodi re-
rum primordia per ſe pleriſque videri ridicula. Tandem etiam de vi aqua-
rum ex impulſu hincque nato renixu, quam corpora in fluidis mota offen-
dunt, Theoremata quædam adjiciuntur.
2511SECTIO PRIMA.
§. 17. Et hæc quidem ſunt, quæ mihi ex admisſis principiis geometri-
cam deductionem pati viſa ſunt. Quoniam vero nihil eſt in Theoria tam
rigoroſe demonſtratum, quod non in applicatione ad corpora reſtrictionem
aliquam poſtulet, ideo facile apparet, nec ullam Theoriam de fluidis expectan-
dam eſſe, quæ omnibus menſuris experientia cognitis plenisſime ſatisfaciat;
cujus rei memores eſſe velim, qui Theoremata noſtra experimentis confirmare
voluerint. Ubique invenient quidem aliquem conſenſum, ſed non perfectum,
eumque modo ſtrictiorem, modo laxiorem, pro rerum circumſtantiis. Quo-
ties autem ipſe aliquod experimentum effeci, ante omnia mecum perpendi,
quousque principia Theoriæ cum caſu propoſito congruerent; atque ſic me
nunquam aut rarisſime eventus fefellit. Non ſolum enim prævidere ſolebam,
in quam partem futura eſſet differentia, ſi quæ notabilis eſſe debebat, ſed
& quanta; quod ipſum, ſi recte judico, ſatis manifeſtat, fluida affectare quidem
leges, quas ipſis præſcriptas eſſe ponimus, obſtacula autem ubique offendere
nunc majora, nunc minora. Cæterum experimenta inſtitui non pauca, quo-
rum ſingula in fine ſectionis, ad quam pertinent, locavi: præſertim vero ſol-
licitus fui, in propoſitionibus antea incognitis & plerisque ſat paradoxis con-
firmandis. De experimentorum fide non eſt, quod quis dubitet, cum præ-
cipua coram Amicis eaque poſt publicatam Theoriam fecerim; magnam ta-
men experimentorum, quæ animo concepi, partem, quando per ſingula ire
non licet, aliis relinquens inſtituendam. Perlectis noſtris propoſitionibus quisque
ſibi finget innumera, neque proin opus eſſe judicavi, omnia, qualia ſunt a
me deſiderata, exponere; expoſui tamen aliqua.
§. 18. Jam vero tandem principiorum, quorum toties mentionem fe-
cimus, ratio reddenda eſt. Præcipuum eſt conſervatio virium vivarum, ſeu, ut
ego loquor, æqualitas inter deſcenſum actualem aſcenſumque potentialem: Utar hac
poſteriore voce, quia idem quod altera ſignificat, ſortem autem apud non-
nullos Philoſophos, qui vel ad ſolum vis vivæ nomen moventur, magis be-
nignam fortaſſe experietur. Puto, hic e re noſtra fore, hac de re paulo co-
pioſius dicere.
§. 19. Poſtquam Galilæus docuiſſet, corpus, ſive verticaliter, ſive ſuper
plano utcunque incurvato, deſcendens eandem velocitatem acquirere, modo
altitudo lapſus ſit eadem, quod ex natura preſſionum demonſtrari poteſt,
Hugenius eadem hac propoſitione, ſed generaliori pro hypotheſi feliciter
2612HYDRODYNAMICÆ eſt in eruendis legibus motuum corporum elaſticorum ex percuſſione, nec
non in ſtabiliendo centro oſcillationis penduli compoſiti; protulit autem axio-
ma hoc ſuum talibus verbis: Si pondera quotlibet vi gravitatis ſuæ moveri incipiant
utcunque, ſmgulaque rurſ{us} ad quietem ſponte reducantur, centrum gravitatis ex ipſis
compoſitæ ad priſtinam altitudinem rediturum eſſe, ubi per vocem utcunque intelligit,
ſive ſe percutiant inter deſcenſum, ſive premant, aliove modo in ſe invicem agant corpora.
Ex iſto axiomate ſtatim ſequitur principium conſervationis virium vivarum,
quod ipfe etiam Hugenius demonſtravit, & quo aſſumitur: Si pondera quotli-
bet vi gravitatis ſuæ moveri incipiant utcunque, ſingulorum velocitates ubique tales fore,
ut producta, ex earum quadratis in ſu{as} maſſ{as} collecta, ſint proportionalia altitudini
verticali, per quam centrum gravitatis ex corporib{us} compoſitæ deſcendit, multiplicatæ per
maſſas omnium. Mirum eſt, quantam habeat hæc hypotheſis in Philoſophia me-
chanica utilitatem, quod, ſi quis alius, ſane Pater meus recte animadvertit,
qui id ſparſim, imprimis autem in Diſſertatione Pariſiis edita de legib{us} motuum &
in Tom. 2. Comment. Acad. Imp. Sc. Petrop. oſtendit , idemque eſt, quod pro in-
veſtigandis Legibus motuum, ex propria gravitate ortorum, in fluidis adhibui;
poſui enim velocitates particularum conſtanter tales eſſe, ut, ſingulis vertica-
liter ſurſum motis ad ſtatum quietis usque, centrum earum gravitatis com-
mune ad priſtinam altitudinem aſcendat: malui autem ob rationem ſupra di-
ctam hanc hypotheſin verbis Hugenianis quam Paternis accommodare, eam-
que nomine æqualitatis inter deſcenſum actualem aſcenſumque potentialem inſignire,
quam altero conſervationis virium vivarum, quod etiamnum aliqui, præſertim in
Anglia, neſcio quo fato, faſtidiunt. Mihi quidem in tota doctrina Leibni-
tiana de viribus vivis nihil eſſe videtur, de quo non omnes, ſuo tamen qui-
vis loquendi modo, conveniant, quod, ni fallor, clare oſtendi in Comm. Acad.
Sc. Imp. Petrop. Tom. I. p. 131. & ſeq. quem locum hic allegare volui, ne qui@
Lectorum ſe verbis offendi patiatur, ſciatque nihil a me accipi, quod in Me-
chanica receptum non ſit ab omnibus, & quod non neceſſario nexu cohæreat
cum eo, quod jam Galilæus poſuit, cum ſtatueret, incrementa velocitatum
proportionem ſequi compoſitam ex preſſionibus & momentis temporum.
§@ 20. De cætero quamvis principium prædictum univerſale ſit, non
tamen eſt ſine circumſpectione adhibendum, quia ſæpe contingit, ut motus
tranſeat in materiam alienam. Ita verbi gratia poſitio illius valet pro regu-
lis motuum ex percuſſione eruendis, ſi modo corpora ſint perfecte elaſtica;
2713SECTIO PRIMA. ſed cum talia non ſunt, facile eſt videre, partem virium vivarum ſive aſcenſ{us}
potentialis in compreſſionem corporum impenſam corporibus non reſtitui, ſed
materiæ cuidam ſubtili, ad quam tranſiit, impreſſam hærere: ſi tamen res
recte conſideretur, quum ratio cognoſcitur, quæ eſt inter partem corporibus
reſiduam, eamque quæ ad materiam ſubtilem tranſiit; apparebit, facile occur-
ri poſſe iſti incommodo, ſicque recte definiri leges motuum pro corporibus
mollibus. Simile quid ſuccedit in motu aquarum computando, ubi quan-
doque manifeſtum eſt, partem aſcenſ{us} potentialis continue perdi; cujus utique
rei in ſubducendo calculo ratio habenda eſt: ad quod probe attento multa
de aquarum fluxu Theoremata nova mihi contigit detegere, quæ videre eſt in
Sect. Sext. & Sept. & de quibus nondum video, an ulla alia methodo demon-
ſtrari nedum excogitari poſſint.
§. 21. Sic igitur non incautus principio noſtro uſus ſum, hocque mo-
do non ſolum de motu aquarum, ſed & de earum preſſione, quod mirum
videri poteſt, multa antea incognita ſe offerunt, quæ nondum inſtituta Ana-
lyſi nemo facile præviderit nec expectarit. Quum vero fit, ut aſcenſ{us} poten-
tialis nec omnis conſervari poſſit ex rei natura, nec prævideri, quanta pars
abſorbeatur, non ſatis accurate motus fluidorum determinari poteſt, nec pu-
to, ulla alia methodo poſſe. Igitur Lectorem cautum eſſe velim in corolla-
riis ex Theoria noſtra deducendis, quæ ſæpe propter mutatas circumſtantias
non accurate cum experimentis convenire poterunt.
§ 22. Ex præmemoratis jam ſatis liquet, ex noſtra methodo requiri,
ut ſingularum particularum fluidi definiatur velocitas ex aſſumta velocitate,
quæ eſt aliquo in loco, veluti in loco effluxus. Neceſſe proin fuit, aliam
ſuperaddere hypotheſin, quæ hæc eſt: poſtquam ſcilicet mente concepimus
diviſum fluidum in ſtrata, ad directionem motus perpendicularia, ponemus
fluidi particulas ejusdem ſtrati eadem velocitate moveri, ita, ut ubique velo-
citas fluidi reciproce proportionalis ſit amplitudini vaſis reſpondenti. Uſita-
ta eſt hæc hypotheſis, quamvis cæterum notum ſit, fluidum ad latera vaſis
paullo tardius, in medio autem velocius moveri, quod ab attritu fit, alias-
que etiam exceptiones ſubinde eſſe faciendas; error tamen notabilis ab hujus-
modi defectibus rariſſime poteſt oriri.
§. 23. Finiam hæcce de hypotheſibus noſtris præmonita recenſione
phænomenorum, quæ conſervationem virium vivarum in motu fluidorum
2814HYDRODYNAMICÆ quantum & illuſtrare & confirmare poterunt: eorum quidem in ipſo opere
plurima occurrent, quæ autem ob calculum, quem poſtulant, non allegabo.
Triviale autem & obvium eſt, quod de gutta, in aquam ſtagnantem delapſa,
obſervatur: orbes nempe excitat in ſuperficie aquæ ſtagnantis, horumque eo
plures, quo vel major fuerit gutta, vel altius delapſa, nec dubium eſt, quin
iſti orbes ſine fine ſe propagaturi eſſent, niſi tenacitas fluidi, aliaque ſimilia
obſtaculo eſſent. Quandoque etiam alium effectum ab hujusmodi ſtillis ob-
ſervare licet, dum plures guttulæ minores a ſuperficie aquæ inferioris in al-
tum projiciuntur, tuncque conſtanter apparet, quod præſertim huc pertinet,
eo altius aſſurgere guttulas, quo pauciores numero atque minores volumine
fuerint, & cum altitudo lapſus eſſet duorum pedum, ſæpius guttulæ minores
ultra altitudinem lapſus aſcendebant, ſtillante præſertim aqua per foramen
magnum. Hic notatu quoque dignum eſt illud, quod de particula aquæ per
canalem tenuem, eumque v. gr. horizontalem, atque in ea extremitate, ver-
ſus quam aqua fluit, operculo perforato opertum obſervatur. Scilicet eo
temporis puncto, quo aqua ad operculum usque pervenit, magno impetu
paucæ guttulæ exiliunt, moxque omnis aquæ motus ſiſtitur; facile autem quis
ſuſpicari poſſet, aquam foramini imminentem ſua velocitate moveri pergere,
reliquam ſiſti, id vero conſervationi virium vivarum minime reſponderet; re-
ſpondet autem egregie vehemens iſte aquæ effluxus momentaneus, vel quaſi
exploſio: de his alibi plura.
§. 24. Hæc ſunt, quæ de hypotheſibus noſtris, earumque tum præſtan-
tia tum defectu volui in anteceſſum monere. Supereſt ut quædam dicam de
indole fluidorum, quippe circa quæ lucubrationes noſtræ verſabuntur, non
quod eam me aliis magis perſpectam habere putem, ſed quod nefas exiſti-
mem, a more hoc ſcriptoribus omnibus ſolenni recedere. Et primo quidem
hoc omnes convenire ſolent, motum fluidis quibusvis ineſſe inteſtinum, ſine
quo nemo profecto tantam fluiditatem, efferveſcentias diverſorum fluidorum,
diſſolutiones ſolidorum fluidis ſubmerſorum, evaporationes, aliaque phæno-
mena infinita recte aſſequetur; hinc pleræque res ſolidiſſimæ a ſufficiente ca-
lore, qui omnia in motum rapit, liqueſcunt: facit autem motus iſte inteſti-
nus, ut particulæ ſibi non ſint contiguæ, ſed quaſi volitent, quo fit, ut ſine
frictione a minimo impulſu loco cedant, quod minime ſuccederet, poſitis
iisdem particulis inter ſe, ſicut in acervo arenæ, contiguis. Ita facile
2915SECTIO PRIMA. lectu eſt, pollinem ex putaminibus ovorum in patella igni ſuperimpoſitum
lac bulliens, quod dicitur, mentiri. Quo intenſior autem eſt calor, eo ve-
hementior utique eſt motus particularum, hæque majori intervallo a ſe in-
vicem diſperſæ; quod convenit cum dilatatione omnium fluidorum ab aucto
calore, eorundemque contractione ex frigore, cui legi ipſa etiam aqua non-
dum congelata ſubjicitur: quod autem, dum congelatur, contrariæ ſit in-
dolis, id ex alia cauſa, fortuito ſuperveniente, deducendum videtur, nempe
ex eo, quod aqua in interſtitiis ſuis particulas foveat aëreas, quæ ſic volumen
aquæ non augent, prouti ſaccharum in aqua ſolutum non auget ejusdem vo-
lumen; quod tempore inſtantis congelationis particularum aquearum motus
minuatur; quod ſic eædem particulæ magis ad ſe invicem accedant, adeo-
que ex interſtitiis ſuis particulas aëreas pellant, quæ alibi minus commode
locatæ volumen augere poſſunt, prouti ſaccharum nondum ſolutum volu-
men auget aquæ, cui permiſtum eſt. Hinc commode ratio deducitur, cur
glacies aquæ ab aëre ante congelationem bene purgatæ non ſpecifice levior,
quin potius gravior fiat. Egregia autem experimenta circa ſolutionem ve-
ram aëris in aqua ad punctum ſaturationis usque inſtituit Mariottus, eaque
in Tractatu ſuo de motu aquarum recenſuit. Suſpicioni igitur locus eſt, flui-
da (ut dixi) congelari, cum ceſſat vel valde diminuitur motus inteſtinus,
tum enim particulæ in ſe invicem collabuntur, fiuntque contiguæ, ſimulque
ex interſtitiis particulas heterogeneas, ſi quæ ibi commorentur, expellunt;
nec tamen clarius hinc intelligitur durities corporum congelatorum, quin-
imo videtur, ceſſante iſto motu corpus mediæ naturæ inter fluidum & ſoli-
dum, niſi aliud quid accedat, fieri, & comparandum cum acervo arenæ:
quid autem id rei ſit, ne conjectura quidem aſſequor, licebit interim finge-
re quaslibet particulas ad ſe gravitare, vel, ut voce Anglis uſitata utar, ſe
invicem attrahere, attractionemque inſigniter creſcere, accedentibus ad ſe
invicem particulis; diverſæ eſſe virtutis in diverſis corporibus, minoris v. g.
in oleis quam in aquis, quarum glacies durior eſt; fluida citius & facilius
congelari, quorum particulæ vel fortius ſe attrahunt vel motu lentiori agi-
tantur. Exinde conjicere liceret, aquam ſaccharo vel ſale imprægnatam tar-
dius congelari, quod particulæ ſacchari vel ſalis, particulis aqueis interpoſitæ,
harum attractionem diminuant, neque hæ conjungi poſſint, ſiccidumque con-
gelari, quin particulæ heterogeneæ loco pellantur: & certe omnibus in
3016HYDRODYNAMICÆ quæ particulis heterogeneis ſunt imprægnata, tempore congelationis fit quæ-
dam partium ex poris expulſio, ſeu ſecretio atque præcipitatio. Infinita ſunt
alia corporum tum ſolidorum tum fluidorum phænomena, quæ mire admo-
dum cum principio mutuæ gravitationis conveniunt, ita, ut dolendum ſit,
principium ipſum tam alte ſupra mentem humanam poſitum eſſe, ut nemi-
nem eſſe putem, qui id ullo modo intelligere poſſit.
§. 25. Denique hic monuiſſe conveniet, tractatum hunc ut Phyſicum
potius quam Mathematicum mihi conſiderari, nec proin conſultum me duxif-
ſe, methodum Geometricam in hypotheſibus, definitionibus cæterisque ap-
paratibus præmittendis nimium affectare, & ubique ordinem ſermonemque
Geometrarum ſequi, qui ſolent ab ovo ordiri, propoſitionibus complecti, &
eo ordine omnia pertractare, ut ex primis præmiſſis ſingula rite deducantur,
nihilque indemonſtratum poſt ſe relinquant, quamvis id a tot aliis jam de-
monſtratum fuerit. Non mihi hæc cura fuit ratione eorum, quæ ab aliis
tradita ſunt, ſive definitiones fuerint & axiomata, ſive etiam theoremata, non
omiſi tamen demonſtrationes eorum, quæ nova ſunt, imo etiam in prima
ſectione apponuntur demonſtrationes Theorematum, ab aliis paſſim demon-
ſtratorum; & cum quidam occurrant termini, ab aliis non explicati nec uſi-
tati, horum definitiones in ipſo textu exhibebo. Cætera modo ſub forma
Propoſitionum, Theorematum, Problematum, Corollariorum, Scholiorum-
que pro more Geometrarum proponam, modo etiam ſermone continuo ex-
plicata dabo.
Unum ſupereſt, de quo Lectorem præmonitum potiſſimum volo: non
potuiſſe me huic operi eam adhibere ſive diligentiam ſive attentionem, quam
debuiſſem, & quam ipſe deſideravi. Nullus adeoque dubito, quin nonnul-
li irrepſerint errores, dum calculos ponerem, quos, ſpero, nemo ſiniſtre
explicabit: aliquos, qui in oculos incurrerunt, dum tractatum leviter relege-
rem, ipſe correxi; alios tamen etiamnum ſupereſſe mihi perſuadeo.
3117(o)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO SECUNDA,
Quæ agit de fluidis ſtagnantibus eorundemque
æquilibrio tum inter ſe, tum ad alias po-
tentias relato.
Theorema 1.
§. 1.
SUperficies fluidi ſtagnantis horizonti eſt parallela.
Demonſtratio.
Contineat vas A B C D (Fig. 1.) fluidum E B C F, cu-
11Fig. 1. jus ſuperficies E G F, ſi fieri poſſit, horizonti non ſit parallela: conſi-
deretur guttula in loco eminentiori a, quæ gravitate ſua verticaliter
deorſum ſollicitatur vi repræſentata per a c, reſolvatur hæc vis in duas
collaterales a d & a b alteram perpendicularem ad ſuperficiem, alte-
ram quæ tangat illam: Cum autem nihil adſit, quod huic vi poſteriori
reſiſtat, hæc non poteſt non effectum ſuum exerere, ipſamque adeo
guttulam verſus E trahere, quod eſſet contra hypotheſin ſtagnationis, ſeu
ſtatus permanentis: Igitur neceſſe eſt, ut vis tangentialis a b ubique nulla
ſit, quod non aliter contingit, quam cum ſuperficies tota horizonti eſt
parallela. Q. E. D.
Corollarium.
§. 2. Hinc intelligitur veritas propoſitionis generalis, quod nempe
ſuperficies fluidi, cujus partes viribus quibuscunque ſollicitantur, ſe
ita ſemper componat, ut quælibet guttula, in ſuperficie poſita, trahatur
ſub directione, ad ſuperficiem perpendiculari.
3218HYDRODYNAMICÆ.
Theorema 2.
§. 3. Fluidum homogeneum, duobus tubis @ communicantibus
utcunque formatis incluſum, ad æquilibrium eſt compoſitum, quando
ambæ ſuperficies ad libellam poſitæ ſunt, id eſt, æqualem à puncto vaſis
infimo diſtantiam verticalem ſervant.
Demonſtratio.
Sit fluidum vaſi ABC, (Fig. 2.) ex duobus cruribus ſeu tubis
11Fig. 2. communicantibus compoſito incluſum, ponaturque in utroque crure
ad eandem altitudinem poſitum: dico non poſſe ſitum hunc mutari, quin
corpus aliquod grave ex ſitu inferiori in altiorem ſe recipiat, quod eſſet
contra naturam gravium; Nam ſi ſuperficies E deſcendat in e, & ab al-
tera parte D ex D elevetur in d, quoniam pars vaſis reliqua eodem fluido
ante & poſt ſitum mutatum plenum eſt, omnis mutationis effectus in hoc
ſitus eſt, quod particula E e aſcenderit in D d.
Cæterum idem quoque liquet ex Theoremate primo, quandoquidem
in aqua ſtagnante tubus utcunque formatus fingi poteſt, in quo utique aqua
ſitum ſervabit, quem antea habuit, cum perinde ſit, ſive aqua tubo incluſa,
coërceatur lateribus tubi, ſive circumſtagnante aqua.
Scholium 1.
§. 4. Si in demonſtratione prima præcedentis paragraphi tota
maſſa D B E ſitum ſuum commutaſſe concipiatur cum ſitu d B e, facile de-
monſtratur centrum gravitatis totius maſſæ in ſitum altiorem aſcendiſſe,
quod non minus abſurdum eſt: Quoniam autem in noſtra demonſtratio-
ne nulla eſt particula in E e, quæ non aſcenderit poſt mutatum ſitum, exi-
ſtimavi ſtrictiorem & clariorem fore demonſtrationem, ſi centri gravitatis
nulla conſideratio habeatur.
Scholium 2.
§. 5. De tubis capillaribus phænomena habemus ſingularia;
3319SECTIO SECUNDA. aqua enim aſcendit ſupra libellam in tubo ſtrictiori, cujus altera extre-
mitas aquæ ſubmergitur; Mercurius vero libellam non attingit. Hæc vero
cum aliquando attente perpenderem, in eandem præter propter incidi cau-
ſam, quam olim Patruus meus Jacobus Bernoulli, beate defunctus
dederat in tractatu ſuo de gravitate ætheris, nempe aquam in tubo ſtrictiori
ideo ultra libellam aſcendere, quod numerus particularum aëreo-ætherea-
rum in baſi columnæ, quæ aquæ in tubo ſupereminet, minor ſit nume-
ro particularum in ſimili baſi extra tubum; hoc vero intelligitur ex eo,
quod poſitis juxta ſe globulis in tabula horizontali, ſi circino cirulus fiat,
globulorum aliquot neceſſario excludantur, quia dividi nequeunt: Sunt ve-
ro preſſiones columnarum aëreo- ætherearum (quarum baſis altera eſt in
tubo, altera extra tubum) ut baſes, id eſt, ut numeri globulorum in baſi-
bus: unde ſi numerus globulorum in prima baſi ſit = a, in altera = a + b,
preſſio columnæ prioris = g, erit preſſio alterius columnæ = {a + b/a}g, hinc dif-
ferentia preſſionum = {b/a}g, cui æquari debet altitudo aquæ ſupra libellam.
Hæc ut rectius intelligantur, conſiderandum erit eſſe g proportionalem qua-
drato diametri, quæ reſpondet ſuperficiei fluidi tubo incluſi, & eidem
quadrato ob extremam globulorum parvitatem proportionalem quoque eſſe a,
ſic ut ratio g ad a cenſenda ſit conſtans, atque proin altitudo aquæ ſupra li-
bellam proportionem ſequi debeat ipſius b; eſt vero, quod per ſe patet,
b ut peripheria ſuperficiei fluidi tubo incluſi, erit igitur altitudo ſupra libel-
lam, ut eadem illa peripheria, id quod experientia jam diu confirmavit. Si
porro nunc diverſa conſideremus fluida, videbimus eo tortuoſiorem atque
proin majorem eſſe præmemoratam peripheriam, quo majores ſunt fluidi
particulæ, & cum à magnitudine hujus peripheriæ pendeat altitudo fluidi
ſupra libellam, percipimus, cur hæc altitudo in eodem tubo non ſequatur
rationem gravitatis ſpecificæ inverſam: ita ſi idem tubulus immergatur ſpi-
ritui vini & aquæ, ille minus aſcendit, quam hæc, cum tamen ob mino-
rem ſuam gravitatem ſpiritus aſcendere deberet magis; hoc vero indicat, ſi
recte rem aſſecutus ſum, minores eſſe particulas ſpiritus vini, quam aquæ:
Nunquam tamen meo judicio aſcenſus ſupra libellam in ullo fluido mutari
poteſt in deſcenſum, & omnia fluida ejusdem eſſe hac in re indolis, credi-
derim, niſi alia quædam cauſa, nondum hactenus conſiderata,
3420HYDRODYNAMICÆ. niat, & ſi ex noſtra hypotheſi argumentamur, dicendum erit, Mercurium
quoque ſupra libellam fuiſſe aſcenſurum, ſi modo particulæ ejus non majo-
ri vi ſe invicem attraherent, quam particulæ aquæ; huic enim attractioni
omnia tribuo, quæ Mercurium in diverſa ire faciunt. Experimenta, quæ
ad hanc ſententiam me manuduxerunt, apponam in fine hujus ſectionis.
Lemma.
§. 6. Sit tubus cylindricus A B D C (Fig. 3.) utcunque verſus
11Fig. 3. horizontem inclinatus, cujus fundum CD ad latera tubi ſit perpendiculare,
plenusque intelligatur aquâ usque in AB; dico preſſionem omnis aquæ in
fundum CD eſſe æqualem ponderi cylindri aquei, cujus baſis eſt CD, &
cujus altitudo eſt verticalis DE, terminata ab horizontali BE.
Demonſtratio.
Cum forma tubi ſit cylindrica, & fundum inſuper ad late-
ra tubi perpendiculare, quilibet videt, quod actio fluidi in fundum ea-
dem ſit, quam haberet cylindrus ſolidus ejusdem ponderis ſuper plano in-
clinato, conſtat autem ex mechanicis, preſſionem cylindri ſolidi in fundum
eam eſſe, quæ in propoſitione definitur, ergo & talis erit actio fluidi, ſi
modo non reſpiciatur adhæſio fluidi in lateribus tubi, ejusdemque indoles
ratione tubulorum capillarium, à quibus animum abſtrahimus. Q. E. D.
Theorema 3.
§. 7. Sit jam generaliter vas utcunque formatum A H M B (Fig. 4.)
22Fig. 4.& aqua repletum usque in D E, erit preſſio aquæ in ſingulas vaſis
particulas, veluti in G aut H, ſemper æqualis ponderi cylindri aquei, cu-
jus baſis eſt ſuperficies illius particulæ, & cujus altitudo æqualis eſt diſtan-
tiæ verticali ejusdem particulæ à ſuperficie aquea.
Demonſtratio.
Primo concipiatur in G tubulus cylindricus CG perpendicula-
riter vaſi inſiſtens, productaque ED, intelligatur hic tubus ſimili
3521SECTIO SECUNDA. plenus usque in C. Si nunc fingatur vas perforatum in G; erit utrumque flui-
dum in æquilibrio (per §. 3.) tantum ergo premit fluidum tubuli C G ver-
ſus interiora, quantum premit fluidum vaſis verſus exteriora. Sed prior
preſſio convenit propoſitioni (per §. 6.) ergo & altera.
II. Si vero loco puncti G ſumatur aliud H tale, ut linea, quæ eo in
loco vaſi perpendiculariter inſiſtit, cadat intra vas; tunc poteſt vas integrum
concipi R H S O N, priori unitum in H, & aqua repletum usque in P O. Sic
enim apparet, ſi particula H, quæ utrique vaſi communis eſt, perforetur,
fluida ſic fore in æquilibrio (§. 3.) adeoque utriusque preſſionem in H eſſe
æqualem. Preſſio autem fluidi in R S N ea eſt, quæ indicatur in propoſi-
tione (per partem primam hujus demonſtrationis) ergo & preſſio fluidi,
quod eſt in vaſe A M B. Q. E. D.
Scholion.
§. 8. Ex his propoſitionibus facile deducuntur æquilibria flui-
dorum ſtagnantium in caſibus magis compoſitis. Nolo autem omnia
proſequi, neque enim inſtituti noſtri ratio id poſtulat, contentus demon-
ſtrationibus, quas modo dedi, propoſitionum fundamentalium in hydroſtatica.
Quod vero attinet ad preſſiones fluidorum non ſtagnantium, funt certe hæ
altioris indaginis. Nec dum à quoquam recte determinata fuit preſſio fluido-
rum, par canales ſeu tubos dato velocitatis gradu fluentium, quamvis id ar-
gumenti genus tam in rebus aquariis, quam multis aliis ſit utiliſſimum.
De his vero prius agere non licet, quam de motu fluidorum commentati
ſimus.
§. 9. Patet ex præcedentibus ratio potentiarum veſicularium, qui-
bus ingentia pondera ſuperari poſſunt: Inde etiam noſcitur vis, quam ſu-
ſtinent latera tubi, in quo aquæ ſtagnant; quod argumentum, quoniam
pertractari ſolet ab hydroſtaticæ ſcriptoribus, nunc percurremus, præſer-
tim cum multa alia eo innitantur, de quibus nobis dicendum erit.
Sit Primo veſicaonmp, (Fig. 5.) pavimento & ponderi B interpoſita, in
11Fig. 5. quam aqua infundatur per tubum FRo, cujus crus verticale FR brevitatis
gratia incomparabiliter longius ponemus, quam diametrum veſicæ: Non ele-
vabitur ſtatim pondus B; Atſi aqua porro infundatur usque v. gr. in
3622HYDRODYNAMICÆ demum attolletur pondus; erit autem æquilibrium, cum locus contactus
c d ſe habet ad orificium o, ut pondus B ad pondus cylindri aquei altitudi-
nis FR ſuper baſi o inſiſtentis. Pendet itaque abſoluta elevationis determi-
natio à ſtructura veſicæ, quæ ſi exempli gratia compoſita fuerit ex filamen-
tis perfecte flexibilibus, extenſionemque nullam admittentibus, ſimulque
figuram naturalem habuerit Sphæricam, facile apparet, fore ſpatia conta-
ctus cnd & gpe æqualia & corrugata, partemque reliquam expanſam,
habituram eſſe formam Zonæ ſphæricæ; Atque hinc per Geometriam dedu-
citur quantitas elevationis np, quæ nulla erit, quamdiu circulus maximus
veſicæ minorem habuerit rationem ad orificium o illa, quæ eſt inter pon-
dus B & pondus præfati cylindri aquei, nec prius tota explicabitur veſi-
ca quam altitudo fuerit infinita, id eſt, nunquam. Si vero fibræ alius ſunt
indolis, aliter ſe res habet, quod multi non ſatis conſiderarunt, quibus de
figura veſicæ inflatæ ſermo fuit, eamque cavernulis muſcularibus in œcono-
mia animali applicare voluerunt, quâ de re nunc paullo fuſius agam.
§. 10. Fuerit vèſica DC (Fig. 6.) eidemque appenſum pondus P, ſi-
11Fig. 6. mulque alligata tubulo DA, cujus rurſus longitudinem compendii ergo in
comparabiliter majorem longitudine DC fingemus. His poſitis facile qui-
dem quivis perſpicit, repletis veſica & tubulo fore, ut illa intumeſcat,
pondusque appenſum P elevet: nemo autem intelliget ſtatum æquilibrii,
figuramque ventricoſam, niſi plane intelligatur ſtructura veſicæ ejusdemque
fibrarum, quæ cum ita ſint, caſus aliquot ſingulares examinabimus, qui
frequentius occurrere poſſunt.
Caſus I.
§. 11. Si veſica compoſita fuerit ex fibris longitudinalibus DpC,
DmC & c. inſtar meridianorum in punctis D & C, ceu Polis concurren-
tibus æqualibus, perfecte flexibilibus & uniformibus, quarum ſingu-
læ inter ſe proximæ minimis connectantur fibrillis transverſalibus, hisque ita
laxis, ut minima vel quaſi nulla vi ſufficientem extenſionem admittant. Sic
quælibet fibra DpC incurvabitur in figuram elaſticæ, totaque veſica formam
aſſumet ſolidi, quod generatur ex revolutione iſtius curvæ circa axem DC.
Si porro altitudo AD eſt infinita, fit elaſtica DpC rectangula & tunc eſt
graſſities maxima veſicæ ad longitudinem axis DC ut 25 ad 11 præter
3723SECTIO SECUNDA. pter atque longitudo arcus DpC eſt ad eundem axem proxime ut 5 ad 2,
ita ut maxima elevatione ponderis veſica tribus quintis partibus decurtetur.
Caſus II.
§. 12. Si poſitis cæteris, ut antea, minima filamenta trans-
verſalia n o, m p, & c. quæ ſunt perpendiculares ad fibras longitudinales, ex-
tenſioni reſiſtant, apparet non poſſe figuram fibræ DopC determinari, quin
duo potentiarum genera unicuique puncto applicata conſiderentur, quo-
rum alterum curvæ perpendiculariter inſiſtit, & filum extrorſum premit,
alterum ad axem curvæ DC, eſt perpendiculare & introrſum trahit: faci-
le etiam intelligitur infinitas poſſe harum preſſionum excogitari leges, ut
ad curvam quamvis datam fibra DopC ſe componat, atque adeo etiam v.
gr. ad circularem, quæ figura à plerisque Phyſiologis tribuitur fibrillis, quæ
pertinent ad machinulas muſculares: Sed eſt alius etiam modus, quo fibra
longitudinalis DopC acquirere poteſt figuram arcus circularis, nempe cum
omnino abſunt fibrillæ transverſales np, mp, & c. Sic enim dum inflatur ve-
ſica, hiatus fit inter duas fibras longitudinales proximas DopC & DnmC,
per quem fluidum erumpit, ſimul autem, cum non ſatis cito effluere poſ-
ſit, fibras extendit, easque ad figuram circularem componit: atque hoc in
caſu maxima veſicæ decurtatio, quæ in priori caſu fuit {3/5} totius longitudi-
nis veſicæ non inflatæ, nunc tantum eſt proxime {4/11}.
§. 13. Sequitur ex hiſce, difficile eſſe, ut figura veſicæ inflatæ, cui pon-
dus appenſum eſt, recte determinetur, quandoquidem nemo ſit, qui indo-
lem minimarum fibrillarum perfecte cognoſcere poſſit: tranſcribam tamen
huc exempla quædam, quæ maxime videntur probabilia, ex ſchedis meis
ſine demonſtratione, quam ſi quis deſideret, reperiet in tom. 3. Comm.
Acad. Sc. Petrop. Ante omnia autem æquationem dabo ad curvam, quæ ex
duobus potentiarum generibus, ut dixi in præcedente paragrapho, iisque
quamcunque legem obſervantibus formatur.
§. 14. Sit igitur filum AEG (Fig. 7.) duobus punctis A & G affixum;
11Fig. 7. ducatur recta AG: ſintque duo puncta in filo infinite propinqua D & E, ex
quibus agantur ad AG perpendiculares D B & E C; lineola autem D F ſit li-
neæ AG parallela. Intelligatur ſingulis punctis D vel E applicatas eſſe
3824HYDRODYNAMICÆ. potentias utcunque variabiles, quarum altera ſit ubique ad curvam, altera
ad A G perpendicularis: priorem ponemus in puncto D æqualem A, in
puncto E æqualem A + dA, alteram in puncto D = C, in puncto E = C + dC:
Sit porro AB = x, BD = y, AD = s, BC = dx, FE = dy, DE = ds, quod
elementum curvæ conſtantis magnitudinis ponatur; Radius Oſculi in puncto
D = R, in puncto E = R + dR. Dico æquationem ad curvam fore hanc - AdR
- R d A = (RdCdx + 2Cdyds + CdxdR) ds, vel poſito CRddx pro Cdyds
(eſt enim R = {dyds/ddx}) habebitur - AdR - RdA = (RdCdx + CRdds + Cdyds
+ Cdx dR): ds, ſive {-ARds - RCdx/dx} = ſCdy.
§. 15. Intelligitur ex præcedente æquatione, quod cum potentiæ,
quæ ſunt ad curvam perpendiculares, ſolæ agunt, fiat AR = conſtanti quan-
titati, quia nempe ſic fit C = o: tunc igitur radius oſculi ubique ſequitur ra-
tionem inverſam potentiæ reſpondentis. At ſi potentiæ ad axem perpendi-
culares ſolæ adſunt, tunc evaneſcente littera A fit - {RCdx/ds} = ſCdy. Po-
teſt autem hæc æquatio integrari & ad hanc reduci formam RCdx2 = con-
ſtanti quantitati; ex qua apparet potentiam ductam in radium oſculi ubique
eſſe in ratione reciproca quadrati ſinus, quem applicata facit cum curva.
Similiter æquatio canonica integrationem admittit, cum potentiæ, quæ ad
axem perpendiculares ſunt, omnes inter ſe ſunt æquales ſeu proportionales
elemento curvæ d s. Ita enim poſito d C = o, obtinetur - AdR - RDA =
2ndyds + ndxdR, intelligendo per n conſtantem quantitatem, qua æqua-
tione recte tractata fit nydy + mmdy - nsds = dsſAdx, ubi m conſtans eſt
ab integratione proveniens.
Si præterea potentiæ ad curvam normales ponantur applicatis y pro-
portionales, poterit ulterius reduci poſtrema æquatio ad hanc
- dx = (2ff - {gyy/h}) dy: √(2ny + 2mm)2 - (2ff - {gyy/h})2,
cujus conſtantes f & m caſibus particularibus erunt applicandæ, dum n & g pen-
dent à relatione potentiarum in puncto aliquo: unde ſi g = o, oritur catenaria, &
ſi n = o prodit elaſtica: generaliter vero inſervit æquatio ad curvaturam
lintei uniformiter gravis, cui fluidum ſuperincumbit, determinandam:
3925SECTIO SECUNDA. ſus ſimpliciſſimus hujus rei eſt, cum ſupponitur f = m = o, tunc enim fit
- dx = {-gydy/√(4nnhh - ggyy)} ſeu facta integratione cum additione debitæ conſtan-
tis, x = - √({4nnhh/gg} - yy) + {2nh/g}, quæ eſt æquatio ad ſemicirculum, ad
quem nempe ſe linteum accommodabit in ſequenti hypotheſi: Sit filum lin-
tei gravis AEG (Fig. 8.) in ſemicirculum incurvatum. cujus diameter AG
11Fig. 8. ad libellam poſita ſit; ſuperincumbat ſilo fluidum usque ad AG, dico ſi
fluidi pondus ſit æquale ponderi fili, fore ut filum perfecte flexile & uni-
formis craſſitiei figuram ſemicircularem conſervet. Quomodo autem pon-
dera fili & fluidi, ut æqualia fiant, efficiendum ſit ex elementis Geometriæ
conſtat. Denique ſi ſtatuatur tam potentias A quam C eſſe ubique applica-
tæ reſpondenti y proportionales (quæ hypotheſis ſane maxime convenire vi-
detur cum vera figura veſicæ in figura ſexta) poterit rurſus æquatio canoni-
ca, quæ continet differentialia tertii Ordinis, reduci ad æquationem ſimpli-
citer differentialem eamque per quadraturas facile conſtruendam. Sit nem-
pe A = my & C = ny, dico naturam curvæ A D G in fig. 7. exprimi hâc æquatione
dx = (g3 + {1/2} myy) dy: √[(f3 + {1/2} nyy)2 - (g3 + {1/2} myy)2]
in qua literæ conſtantis magnitudinis f & g rurſus ab integrationibus pro-
dierunt: fit autem valor literæ n negativus, cum æquatio ad veſicæ inflatæ
figuram determinandam adhibetur.
§. 16. Nolui his nimis inſiſtere, quod non proxime pertinent ad Hy-
drodynamicam: Nihil etiam addo de fluidis elaſticis, quia horum theoriam
ſeorſim tradere conſtitui; attamen quod ad preſſiones fluidorum elaſtico-
rum attinet, poterunt illæ ex natura fluidorum ſimpliciter gravium ſupra ex-
poſita facile deduci & demonſtrari, fingendo fluidum elaſticitate eſſe deſti-
tutum, cylindrumque fluidi ſimilis altitudinis infinitæ vel quaſi infinitæ ſu-
perimcumbere; hæc autem quomodo intelligenda ſint ſuo loco dicemus:
Nunc quidem pergo ad id, quod in rebus aquariis potiſſimum quæri ſolet,
quanta nempe debeat eſſe firmitas canalium, ut preſſioni aquæ reſiſtere poſ-
ſint, ubi præſertim conſiderantur canales, qui aquas ad fontes vehunt, de
quibus ego quoque pauca monebo.
§. 17. Probe diſtinguendæ ſunt preſſiones aquarum in canalibus
4026HYDRODYNAMICÆ. nantium à preſſionibus fluentium, quamvis id nemo adhuc animadverterit,
quod ſciam; hinc eſt, quod regulæ à variis exhibitæ valeant tantum pro
aquis ſtagnantibus, tametſi verbis utantur, quæ perinde eas pertinere ad
aquas fluentes perſuadere poſſint. Ut vero diſcrimerr utriusque Theoriæ ap-
pareat in ipſo limine, exemplum quoddam afferam, cujus demonſtratio ex
inferioribus patebit. Sit loco caſtelli vas ampliſſimum A B C D (Fig. 9.) aqua
11Fig. 9. repletum usque in EF, & in parte inferiori tubulo cylindrico horizontali
M O m o inſtructum, per quem aquæ ſine impedimento transfluere poſſe intel-
ligantur; ducatur verticalis N G terminata ab horizontali E H. His ita præ-
paratis, dico ſi orificium O o totum digito obſtruatur, punctum N premi
extrorſum ſecundum totam altitudinem N G; ſi dimidium orificium obtu-
retur, hanc preſſionem quarta ſui parte diminui, & ſi denique remoto
digito aquæ liberrime effluant, omnem preſſionem evaneſcere, ſic ut to-
tum cum parte aut etiam cum nihilo confundi ab Authoribus ſoleat. Sed
demonſtrabo poſſe preſſionem vel negativam fieri, atque ita in ſuctionem
mutari. Quoniam vero id agere non poſſum priusquam integram theoriam
de aquis fluentibus præmiſerim, nunc aquas conſiderabo ſaltem ſtagnantes,
veluti ſi orificium O o totum fuerit obſtructum.
§. 18. Conſtat autem ex Mechanicis latera tubi M O m o (cujus diame-
trum incomparabiliter cenſebimus minorem altitudine N G) non aliter ten-
di, quam ſi explicata eſſent in figuram rectangularem M O m o (Fig. 10.)
22Fig. 10 appenſumque haberent pondus P, quod ſit æquale ponderi prismatis aquei,
cujus tria latera ſint 10. radius tubuli, 20. longitudo ejusdem & 3°. altitu-
do aquæ ſupra tubum; Ex hac propoſitione intelligitur nonſolum ratio
tenſionum, ſi diverſæ fuerint altitudines aquæ aut diametri tuborum, ſed
& ipſa tenſionum menſura: Quod ſi proin firmitas tuborum major ſit iſta
tenſione, nullum erit rupturæ periculum; ſi ſecus certo rumpetur tubus. Cæ-
terum de firmitate tuborum experimenta inſtituta fuerunt à variis; ſunt au-
tem ejusmodi experimenta difficilia & ſumtuoſa; poterit igitur facilius fir-
mitas tuborum ſive plumbeorum ſive ferreorum cognoſci, ſi experimento
innoteſcat, quantum pondus filum plumbeum aut ferreum datæ craſſitiei
ſuſtinere poſſit ſine rupturæ periculo. Experimentum ſimile à me inſtitu-
tum apponam in fine ſectionis oſtenſurus quomodo inde firmitas tubi datæ
craſſitiei & diametri deduci poſſit.
4127SECTIO SECUNDA.
Sequuntur Experimenta quæ ad Sectionem
pertinent Secundam.
Ad §. 5.
DE tubulis capillaribus: Experimenta innumera de horum tubulorum
indole à variis ſumta fuerunt, quos inter eminet Georgius Bernhar-
dus Bulffingerus, qui non ſolum præcipua collegit, ſed & pluri-
ma de ſuis addidit, vid. Comm. Acad. ſc. Petrop. tom. 2. pag. 233. & ſeqq.
I. Ut oculis recte appareret, quam contrariæ ſint Indolis hâ in par-
te mercurius & reliqua fluida, confici curavi vas vitreum A B C (Fig. 11.)
11Fig. 11. ex duobus cruribus verticalibus compoſitum, quorum alterum A B diame-
trum habebat trium linearum vel quatuor, alterum B C vix tertiæ partis
lineæ. Cum vas liquore quocunque implebatur, ſuperficies altius erat in
crure ſtrictiore quam ampliore, veluti in D & G, mercurius autem ſolus
depreſſior eſt in ſtrictiore quam ampliore, veluti in F & G.
II. Oſtenſurus mercurium non aliam ob rationem à natura aliorum
fluidorum recedere, quam ob fortiorem particularum ſuarum mutuam at-
tractionem cogitavi de his experimentis: tubulum nempe gracilem mercu-
rio ſuctione implevi eumque horizontaliter poſitum ſenſim erexi; Sic
effluxit mercurius, nunquam tamen omnis & altitudo verticalis mercurii in
tubulo reſidui in omni ſitu ſibi conſtabat. Quod ſi autem, cum mercu-
rius in tubulo ſic ſuſpenditur, extremitas tubi mercurio in vaſe ſtagnanti ad-
movetur, protinus omnis effluit. Priora Phœnomena, ni fallor, indicant
mercurio & aliis fluidis idem contingere, cum vi attractrici nullus eſt lo-
cus; mercurium autem fortiſſime ſe attrahere docet phœnomenon ultimum.
III. Sumatur tubus cylindricus vitreus diametri 3 aut 4 linearum,
fundo inſtructus ex Charta ſubtili, aut tenuiſſima lamina ferrea parato &
in medio minimo foraminulo perforato, ut oſtendit (Figura 12.) Inclinetur
22Fig. 12. tubus A C B D & impleatur totus mercurio, dein ſenſim erigatur; fiet quod
antea, & quamvis tubus ſit ampliſſimus, non tamen effluet omnis mercu-
rius, ſed ſuſpenſa hærebit ejus pars, veluti M C D N, hæcque eo major
erit quo minus eſt ejus foraminulum o. Dein cum fundum
4228HYDRODYNAMICÆ. mercurio, in vaſe alio ſervato, tantillum, ſic ut pars ſubmerſa tubi ſit C α,
non ſolum non aſcendit mercurius in tubo uſque in β (ſumta ſcilicet C α =
M β) ſed & omnis fere effluit, donec ſuperficies M N pervenit in α. Por-
ro tubum A C D B vacuum ſat profunde mercurio, qui erat in vaſe alio,
ſubmerſi, nec tamen prius quicquam influere cœpit ex vaſe in tubum,
quam ad altitudinem C M eſſet ſubmerſus; & tunc ſtatim eo usque influit
donec ab utraque parte ad libellam ſit conſtitutus, nempe usque in M N, ſi
ad eum locum usque erat ſubmerſus. Omnia hæc ex mutua particularum
mercurialium attractione facile deducuntur. Cæterum dedi operam ut in-
veſtigarem relationem, quæ eſt inter altitudinem M C & amplitudinem
foraminuli o; veriſimile utique eſt altitudinem illam eſſe in ratione recipro-
ca diametri ad foraminulum pertinentis; nec tamen experimento conjectu-
ram ſatis confirmare potui, tum ob impuritatem mercurii quo utebar, quæ
faciebat, ut non variato foramine in iteratis experimentis altitudo ſuſpenſi
mercurii ſibimet ipſi non omnino conſtaret, tum etiam, quod difficile eſt
foraminula minima accurate metiri; debent enim foraminula eſſe minima,
quandoquidem altitudo mercurii ſuſpenſi vix eſt ſex octove linearum, cum
diameter foraminis ſextam partem lineæ æquat, dicam tamen qua metho-
do uſus fuerim. Filis nempe æneis, quibus in inſtrumentis muſicis utun-
tur, diverſæ craſſitiei, quorum diametros minimas ex longitudine & pon-
dere eorum rectiſſime cognovi, chartulam C D perforavi; ſed ſic ſolent
oriri circa latera foraminis fimbriæ quæ effluxum impediunt, & facile ſucce-
dit ut foramen majus ſit quam eſt craſſities fili.
Ad §. 18. De firmitate tuborum. Filum æneum rotundum, cujus dia-
meter erat {2/11} lin. Paris. cui ſucceſſive pondera continue majora appende-
bantur, prius non diſruptum fuit, quam ad 18. lib. Norimb. pondus ex-
creviſſet. Dein tenuiſſimam lamellam plumbeam, cui rectangularis figura
erat, {5/4} lin. latam, {1/131} lin. craſſam rumpi obſervavi cum eidem appenſum
eſſet pondus trium unciarum cum dimidia. Ex hiſce obſervationibus dua-
bus ſequitur cæteris paribus filum ex ære plus quam 28. vicibus fortius eſſe,
quam filum ex plumbo. Ex priori experimento quoque deducitur, ſi tubus
æreus diametrum habuerit unius pedis, & craſſities laterum fuerit {2/11} lin. poſſe
eum aquam ſuſtinere ad altitudinem 518. pedum priusquam rumpatur. In
hoc calculo dedi pedi cubico aquæ pondus 70. librarum. Si vero
4329SECTIO SECUNDA. tubus fuerit plumbeus, ſuſtinebit aquam ad altitudinem 18. ped. vi alte-
rius obſervationis, poteritque altitudinem aquæ ferre 99. ped. ſi latera tubi
habeant in craſſitie lineam integram. Convenit hoc cum eo quod Mariot-
tus in tract. de motu aquarum p. 472. habet, ubi nempe dicit tubum plum-
beum, cujus diameter unius erat pedis, & laterum craſſities duarum li-
nearum cum dimidia ſine ruptura aquam tuliſſe ad altitudinem centum pe-
dum, quod cum obſervaret abraſit ſenſim latera, donec tandem ad lineæ
craſſitiem eſſent diminuta, & tum denique vim aquæ tubum disrupiſſe.
Ex obſervata fili ænei firmitate colligitur etiam firmitas tormentorum
bellicorum: fuerit v. gr. tormentum bellicum cujus animæ diameter habeat
tres poll. ſolent autem haud procul à lumine accenſorio, ubi maxima eſt
vis pulveris, craſſities laterum eſſe præterpropter æquales diametro ani-
mæ, ita ut diameter tota ſit tripla diametri animæ. Quia igitur craſſities
hæc non eſt negligenda præ diametro animæ, cenſebimus materiam omnem
concentratam in medio atque ſic ab axe animæ diſtantem tribus pollicibus.
Hoc poſito erit altitudo maxima aquæ quam tormentum haud procul à lu-
mine accenſorio ferre poteſt = {11/2} x 12 x 3 x 2 x 518 = 205128, quæ vis
fere ſepties millies ſuperat elaſticitatem aëris naturalis. Oſtendam autem
in ſequentibus, pulverem pyrium accenſum vim exercere poſſ@ ad rum-
pendum tormentum aliquantum quidem majorem, quam quæ dicta fuit,
ſed non multum tamen excedentem. Reliquum autem firmitatis, quod re-
quirunt tormenta, habent à cingulis ſeu faſciis, quæ dicuntur plattes ban-
des & moulures, præter id quod in primo ortu tormenti (à l’endroit de
la culaſſe) craſſities major ſit quam quæ à nobis aſſumta fuit. Interim non
pauca tormenta diſrumpi, ſic non mirabimur.
4430(o)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO TERTIA.
De velocitatibus fluidorum ex vaſe utcumque for-
mato per lumen qualecunque effluentium.
§. 1.
PRiusquam motum aquarum à gravitate propria ortum definire
tentemus, ruminabimur quod in Sectione prima §. §. 18. 19.
20. 21. & 22. à nobis allatum fuit de principiis ad hoc adhi-
bendis.
Recordabimur nempe aſcenſum potentialem Syſtematis, cujus ſingulæ
partes velocitate qualicunque moventur, ſignificare altitudinem verticalem,
ad quam centrum gravitatis illius Syſtematis pervenit, ſi ſingulæ particulæ
motu ſurſu@ converſo ſua velocitate, quantum poſſunt, aſcendere intelli-
gantur, & deſcenſum actualem denotare altitudinem verticalem, per quam
centrum gravitatis deſcendit, poſtquam ſingulæ particulæ in quiete fuerant.
Tum etiam memores erimus neceſſario aſcenſum potentialem æqualem eſſe
deſcenſui actuali, quando omnis motus in materia ſubſtrata hæret, nihilque
de eo in materiam inſenſibilem aut aliam ad ſyſtema non pertinentem tran-
ſit, & denique motum fluidorum talem proxime eſſe, ut ubique veloci-
tas reciproce ſit proportionalis amplitudini vaſis reſpondenti, quâ de re ſuo
loco alia quædam interjiciemus. Nunc convenit examinare ſequentem pro-
poſitionem.
Problema.
§. 2. Si aqua per canalem utcunque formatum fluat, ejusque ve-
locitas cognita ſit aliquo in loco, invenire aſcenſum potentialem omnis aquæ
in canali contentæ.
4531SECTIO TERTIA.
Solutio.
Sit canalis utcunque formatus S T (Fig. 13. & 14.) per quem aqua fluit
b c f g; aſſumitur, ſi in axe a e accipiatur punctum quodcunque n, per
11Fig. 13.
& 14. quod planum ad axem perpendiculare p m tranſeat, fore, ut omnes parti-
culæ aqueæ in illo plano exiſtentes æquali velocitate fluant, & quidem ta-
li, quæ ſit ubique reciproce proportionalis magnitudini ſectionis p m. Sit
autem velocitas aquæ in g f talis, quæ debetur altitudini verticali q s, id eſt,
ſit aſcenſus potentialis ſtrati aquei in g f æqualis lineæ q s, & quoniam hujus-
modi altitudines ſunt in ratione quadrata velocitatum, ſequitur eſſe aſcen-
ſum potentialem aquæ in p m æqualem quartæ proportionali ad quadratum
amplitudinis p m, quadratum amplitudinis g f & altitudinem q s, nempe
= {gf2/pm2} X qs. His ita præmonitis ponemus in figura decima quarta eſſe
curvam B P G, ſcalam amplitudinum canalis, ita ut poſita A N = a n, denotet
N P amplitudinem in p m: dein curvam H I K eſſe ſcalam aſcenſuum poten-
tialium, ita ut ſit N I = {EG2/NP2} X qs. fingatur nunc elementa ſingula curvæ
H I K habere pondus æquale ponderi ſtrati aquei reſpondentis, & cadere
centrum gravitatis iſtius curvæ in punctum L, & ducatur L O perpendicu-
laris ad axem A E; ſic erit L O aſcenſus potentialis totius aquæ quæſitus. Ex
mechanicis autem conſtat, fi fiat tertia curva U X Z, cujus applicata N X
ſit ubique æqualis {EG2/NP}, fore L O æqualem quartæ proportionali ad ſpa-
tium A E G B & A E Z U atque lineam q s vel E K. Patet igitur quæſitum.
Q. E. I.
§. 3. Fuerit v. gr. canalis conicus, in quo ſuperficies anterior g f
& poſterior b c diametros habeant ut m ad n, erit aſcenſus potentialis aquæ
= {3m3/n(mm + mn + nn)} X qs.
Problema.
§. 4. Datis variationibus infinite parvis tam ratione ſitus quam ve-
locitatis, quæ ſuperficiei aquæ anteriori reſpondent, invenire variationes
ad aſcenſus potentiales totius aquæ pertinentes.
4632HYDRODYNAMICÆ.
Solutio.
Sit ſpatium A E G B = M, ſpatium A E Z U = N, qs = v, erit
aſcenſus potent. = {Nv/M}: quia vero quantitas aquæ in canali conſtanter eadem
ponitur, erit ſpatium A E G B invariabile, adeoque d M = o ita ut diffe-
rentiale aſcenſus potent. ſit ſimpliciter = {Ndv + vdN/M}, habetur autem d N
ex variatione ſitus aquæ. Patet igitur propoſitum. Q. E. I.
Scholion.
§. 5. Poterunt hæ propoſitiones inſervire pro motu |fluidi intra vaſa
moti, id eſt, non effluentis definiendo, uti ſuo loco oſtendam: at ve-
ro cum fluidum per foramen effluit, aptius inſtituetur aliter calculus,
nempe ut ſequitur.
Problema.
§. 6. Invenire differentiam aſcenſus potentialis poſtquam guttula
per foramen effluxit.
Solutio.
Fingamus aquam effluere ex vaſe aimb (Fig. 15.) utcunque for-
mato, fundum ſit im perforatum foramine pl: quantitas aquæ, poſtquam
11Fig. 15. jam data ejus quantitas effluxit, reſidua in vaſe ſit cimd; effluat autem
tempusculo infinitè parvo guttula pnol, ſuperficie cd deſcendente in ſitum
ef: concipiatur in medio aquæ ſectio gh parallela ſuperficiebus cd vel ef
ipſique fundo im; ſitque velocitas unius cujusvis particulæ in gh talis,
ut poſſit aſcendere ad altitudinem qs ſeu v, cum nondum effluxit guttula
& ad altitudinem qz ſive + dv, poſtquam ea ipſa guttula effluxit.
Omnibus his ita poſitis, quæritur incrementum aſcenſus potentialis aquæ poſt-
quam ſitum cimd commutavit cum ſitu eipnolmf, id eſt, poſtquam gut-
tula emanavit.
Fiat, ut antea, curva C G I (Fig. 16.) ceu ſcala amplitudinum, ubi
22Fig. 16. adeoque C D vel E F repræſentabunt magnitudinem ſuperficiei aqueæ
4733SECTIO TERTIA. vel poſt effluxum guttulæ, G H amplitudinem illam aſſumtam, I L mag-
nitudinem fundi, P L magnitudinem foraminis, dum adhærens parallelo-
grammum minimum P N O L reſpondet guttulæ cylindricæ pnol: dein con-
ſtruatur alia curva T R U, cujus applicatæ ſint rurſus æquales quadrato lineæ
G H, diviſo per applicatam reſpondentem curvæ C G I, cui curvæ eadem
conditione annexum eſt parallelogrammulum L O Y X, cujus nempe latus
L X eſt æquale quadrato lineæ G H diviſo per lineam PL.
Jam igitur apparet aſcenſum potent. aquæ ante effluxum guttulæ eſſe =
quartæ proportionali ad ſpatium D C I P L, ſpatium D T U L & altitudi-
nem qs, eundemque poſt effluxum guttulæ eſſe = quartæ proportionali
ad ſpat. FEIPNOL, ſpat. FWUXYOL & altit. qz: ſunt autem in utra-
que analogia termini primi (nempe ſpat. DCIPL & ſpat. FEIPNOL) in-
ter ſe æquales, igitur ſi quodvis horum ſpatiorum indicetur per M, ſpa-
tium D T U L per N, ſpat FWUXYOL per N + dN, altitudo qs per
v& qz per v + dv, erit incrementum aſcenſus potentialis durante guttulæ efflu-
xu = {Ndv + vdN/M}. Quod ſi nunc ponatur L D = x, F D = - dx, D C
= y, H G = m, P L = n, erit D T = {mm/y}, L X = {mm/n}, L O = {-ydx/n}
(quia ſpatium D F E C = ſpatio L O N P), hincque dN = L O Y X -
D F W T = - {mmydx/nn} + {mmdx/y}, unde nunc incrementum quæſitum
aſcenſus petentialis eſt = (Ndv - {mmvydx/nn} + {mmvdx/y}): M. Q. E. I.
Problema.
§. 7. Retentis iisdem poſitionibus inven@re deſcenſum actualem infi-
nitè parvum aquæ, dum guttula effluit.
Solutio.
Cum in Figura decima quinta aqua ſitum cdmi mutat cum ſitu efml
onpi, patet in utroque ſitu centrum gravitatis partis aquæ efmi in eodem
loco eſſe, poſſeque proin concipi ſolam particulam cdfe, (quæ eſt = - ydx
dum tota aquæ maſſa eſt = M) deſcendiſſe in lonp. Sit jam altitudo
4834HYDRODYNAMICÆ. ticulæ aqueæ cdfe ſupra guttulam lonp = x, altitudo centri gravitatis aquæ
efmi a fundo = b, erit altitudo centri gravitatis omnis aquæ in ſitu cdmi
ſupra fundum = b - {ydx/M} X (x - b) & in ſitu efmlonpi erit eadem
altitudo = ({M + ydx/M}) X b; unde differentia altitudinum ſeu deſcenſus actualis
quæſitus = - {ydx/M} X x, quæ æquatio indicat, guttulam quæ effluxerit
multiplicandam eſſe per altitudinem aquæ ſupra foramen, productumque
dividendum per quantitatem aquæ, ut habeatur deſcenſus actualis, qui fit
dum guttula effluit, Q. E. I.
Problema.
§. 8. Determinare motum fluidi homogenei ex vaſe dato per fo-
ramen datum effluentis.
Solutio.
Quoniam per hypotheſin noſtram aſcenſus potentialis ſingulis mo-
mentis æqualis eſt Deſcenſui actuali, erit incrementum prioris dum guttula
effluit æquale incremento poſterioris, quod ſimili tempuſculo oritur. Igi-
tur ſi rurfus ſuperficies aquæ, poſtquam data ejus quantitas effluxit, pona-
tur = y, amplitudo vaſis quocunque in loco ad libitum aſſumta = m, am-
plitudo foraminis = n, altitudo aquæ ſupra foramen = x; ſi præterea
quantitas N ea lege conſtruatur, quæ §. 6. indicata fuit, atque per v in-
telligatur altitudo debita velocitati aquæ in loco aſſumto, ubi nempe am-
plitudo vaſis eſt = m, erit per §. 6. incrementum aſcenſus potentialis =
(Ndv - {mmvydx/nn} + {mmvdx/y}): M, minimusque deſcenſus actualis = {- yxdx/M}
(per præced. §.) ; unde habetur (Ndv - {mmvydx/nn} + {mmvdx/y}): M =
- yxdx: MſeuNdv - {mmvydx/nn} + {mmvdx/y} = - yxdx, quæ æquatio ge-
neraliter integrari poteſt, quandoquidem litteræ N & y ſunt functiones datæ
ipſius x & litera v unius tantum dimenſionis eſt.
Corollarium 1.
§. 9. Quum velocitates ſint in ratione reciproca
4935SECTIO TERTIA. patet fore altitudinem, quæ velocitati aquæ effluentis reſpondet = {mm/nn} v,
quæ proin, ſi vocetur z, erit nnNdz - mmzydx + {mmnnzdx/y} = mmyxdx.
Corollarium 2.
§. 10. Si foramen ſit valde parvum, ratione amplitudinum vaſis,
fit n = o, totaque æquatio abit in hanc - mmzydx = - mmyxdx vel
z = x; tunc igitur aqua ea conſtanter effluit velocitate, qua ad altitudinem
ſupremæ ſuperficiei usque aſcendere poſſit, quem ſolum caſum Geometræ
hactenus fuerunt recte aſſecuti: valetque hæc propoſitio pro omnibus vaſis
utcunque formatis: at cum foramen non ut infinite parvum conſideratur,
nequaquam negligenda eſt vaſis figura. Notari tamen poteſt, quod niſi fo-
ramen ſit ampliſſimum, ſine notabili admodum errore idem ut infinitè par-
vum conſiderari poſſit.
Corollarium 3.
§. 11. Cum fluidum non eſt ubique idem, ſimili modo inſtituen-
dus eſt calculus, inquirendo nimirum tum in incrementum aſcenſus poten-
tialis fluidi compoſiti, tum in Deſcenſum actualem, eaque inter ſe æquando.
Quod ſi autem foramen ſit valde parvum, per ſe patet, quod etiam calcu-
lus oſtendit, fore ut fluidum velocitate exiliat altitudini debita tali, ut ſi vas
ad eandem altitudinem liquore eodem, qui exilit, repletum ſit, eandem
preſſionem latera foraminis ſuſtineant.
Scholium Generale.
§. 12. Priusquam Corollaria ſpecialiora ex theoria noſtra dedu-
camus circa motum fluidorum ex vaſis cylindricis, conveniet hic examina-
re, quousque hypotheſes aſſumtæ cum rei natura conſpirent & quænam aliæ
intervenire poſſint cauſæ, quarum in computo nullam rationem habuimus,
motum fluidum diminuentes.
Quod primo attinet ad Principium conſervationis virium vivarum ſeu
perpetuæ æqualitatis inter aſcenſum potentialem deſcenſumque actualem nihil hîc vi-
deo, quod ei notabili impedimento eſſe poſſit, ſi modo à frictionibus, te-
nacitate, aëris reſiſtentia hujuscemodique aliis obſtaculis mentem
5036HYDRODYNAMICÆ. hamus. Sæpe quidem fit, ut principium iſtud non ſine limitatione adhibe-
ri poſſit, quod in ſequentibus oſtendemus, nempe cum particulæ aquæ
motu ſingulæ diverſo ſeruntur, quo fit ut ſingulis momentis aliquid de mo-
tu, vel ſi mavis de aſcenſu potentiali, perdatur. Sed in præſenti caſu nihil
ſimile accidit, quandoquidem omnes particulæ ſimiliter fere moventur &
præſertim, quando foramen eſt valde parvum, motus particularum inter-
narum fere nullus eſt, nihilque adeo inde detrimenti venire poteſt. Alterum
autem principium, quo aſſumitur velocitatem cujuslibet particulæ eam eſſe,
quæ reſpondet inverſæ rationi amplitudinum, duplici quidem laborat in-
comniodo, primo nempe, quod motus circa latera vaſis tardior paulo ſit
quam in medio nec proin omnes particulæ eidem amplitudini vaſis reſpon-
dentes, æquali velocitate ferantur, & ſecundo, quod aqua à fundo non ad-
modum remota motum, quem principium hoc poſtulat, habere non poſ-
ſit: Utrumque autem nullum ſenſibilem errorem poſt ſe trahit, quando in
hoc problemate ſimplici figura vaſis interna nihil fere ad motum aquæ efflu-
entis attineat; Ex eadem ratione intelligitur non multum diverſum eſſe poſ-
ſe motum aquæ ſub alia quacunque directione effluentis, quia ſcilicet mo-
tus aquæ internus in ima vaſis parte tantum diverſus fit, hæcque diverſitas
nullius momenti fere eſſe poteſt. Apparet ergo hypotheſes, quibus calcu-
lus noſtri hujus Problematis innititur, ita convenire cum natura quæſtionis,
ut error inde nullus ſenſibus perceptibilis oriri poſſit. At vero impedimen-
ta ſupra memorata, attritus, tenacitas fluidi aliaque ſimilia majoris efficaciæ
ſunt, præſertim cum foramen, per quod fluida exiliunt, per quam exi-
guum, aut altitudo aquæ ſupra foramen admodum magna, aut denique
tubus valde gracilis eſt, qua de re experimenta plurima extant apud Mariot-
tum in tract. de mot. aquarum. Jam vero progredior ad examinandum mo-
tum aquarum ex vaſis Cylindricis per foramina cujuscunque magnitudinis
effluentium. Vaſa autem compendii & elegantioris ſolutionis cauſa conſi-
derabimus verticaliter poſita.
5137SECTIO TERTIA.
De his quæ pertinent ad effluxum aquarum ex Cy-
lindris verticaliter poſitis, per Lumen quod-
cunque, quod eſt in fundo horizontali.
§. 13.
GEometræ, quibus de aquis ex vaſe erumpentibus ſermo fuit, con-
ſiderare potiſſimum ſolent cylindros verticaliter poſitos: Igitur haud
abs re erit ex theoria noſtra generali conſectaria illa, quæ huc per-
tinent, deducere. Sit amplitudo cylindri ad amplitudinem foraminis ut m
ad n; altitudo aquæ ſupra foramen, cum fluxus incipit = a; altitudo aquæ
reſiduæ = x, altitudo velocitati aquæ internæ debita = v; erit in æquatio-
ne canonica paragraphi octavi y = m, N = mx (per §. 6.) quæ adeoque
abit in hanc æquationem.
mxdv - {m3/nn}vdx + mvdx = - mxdx, vel
(1 - {mm/nn})vdx + xdv = - xdx
multiplicetur hæc poſterior æquatio per x{- mm/nn}, ut habeatur
(1 - {mm/nn})x- {mm/nn} vdx + x1 - {mm/nn}dv = - x1 - {mm/nn}dx.
Poteſt jam hæc æquatio integrari: obſervanda autem eſt in Integratio-
ne conſtantis additio, talis nempe, ut a fluxus initio, id eſt, cum x = a,
ſit velocitas fluidi nulla, ipſaque proin v pariter = o: ita vero oritur:
x1 - {mm/nn} v = {nn/2nn - mm}(a2 - {mm/nn} - x2 - {mm/nn}) vel
v = {nna/2nn - mm}(({a/x})1 - {mm/nn} - {x/a})
§. 14. Ex hâc igitur æquatione cognoſcitur altitudo generans velocita-
tem aquæ internæ; ubi notari meretur, ſi vas ſit ampliſſimum, mox poſſe
cenſeri v = {nn/mm}x, poſtquam ſcilicet vel tantillum deſcendit aqua, id
5238HYDRODYNAMICÆ. ſtatim ac x paulo minor eſt quam a. Regula hæc fallit notabiliter tantum cir-
ca primum motus initium & ſi primum iſtud motus elementum conſidera-
tur (quo nempe altitudo a - x ut infinite parva cenſeri poteſt) indicat æ-
quatio, eſſe tunc v = a - x. Unde ſequitur, in omni cylindro, quodcun-
que fuerit foramen, aquam internam inſtar corporum libere cadentium ac-
celerari ab initio motus. Si vero motus aliquantulum continuet, eo minus
fallet hæc Regula, quo majus fuerit foramen, & quo altior eſt aqua in tubo; ſi
porro deſideretur altitudo ea, quæ velocitati aquæ effluentis reſpondeat,
quam §. 9. poſuimus = z, erit z = {mm/nn}v, ſeu
z = {mma/2nn - mm} (({a/x})1 - {mm/nn} - {x/a})
§. 15. Cum n eſt = m, id eſt, cum nullum eſt fundum, apparet
ex ipſa rei natura, aquam inſtar corporum gravium libere cadere atque ac-
celerari, id ipſum autem indicat etiam æquatio; fit enim in hâc poſitione
z = a - x. Si vero foramen eſt veluti infinite parvum ratione amplitudinis
vaſis, quem caſum jam ſupra conſideravimus, ponendum eſt n = o, & tunc
fit z = x, quod indicat, aquam ea conſtantur effluere velocitate, qua ad
totam aquæ altitudinem aſcendere poſſit. Denique cum mm = 2nn, pro-
dit z = {mm/o} (x - x), ex quo valore cum nihil cognoſci poſſit, deſcenden-
dum eſt ad æquationem differentialem §. 13. quæ nunc hæc eſt:
- vdx + xdv = - xdx, vel {xdv - vdx/xx} = {- dx/x},
quæ integrata cum debitæ conſtantis additione dat {v/x} = log. {a/x}, vel v =
xlog. {a/x}, aut z = 2v = 2xlog. {a/x}.
§. 16. Velocitas aquæ effluentis ab initio creſcit poſteaque decreſcit,
eſtque alicubi maxima, nempe eo in loco, quo aqua deſcendit ad altitudinem
a: ({mm - nn/nn})nn: (mm - 2nn); id quoque experientia edoctus indicavit Ma-
riottus in tract. de motu aquarum part. 3. diſc. 3. exp. 5, ipſaque velocitas ma-
xima talis eſt, quæ debetur
5339SECTIO TERTIA. {mma/mm - 2nn} X [({nn/mm - nn})nn: (mm - 2nn) - ({nn/mm - nn})(mm - nn): (mm - 2nn)]
quæ quantitas reducta fit =
{mma/mm - nn}({nn/mm - nn})nn: (mm - 2nn)
Intelligitur ex iſtis formulis tempus, quo velocitas à nihilo in maxi-
mam vertitur, plane imperceptibile eſſe, quando foramen vel mediocriter
parvum tubusque non admodum longus eſt: notabile autem fieri, cum res
ſecus ſe habet, quod videmus in fontibus ſalientibus, ad quos aquæ per
longos tractus vehuntur; hæc vero quæ ad tempora pertinent, magis in
ſequenti ſectione explicabuntur, atque ſimul oſtendetur, quam parum aquæ
ex vaſis ampliſſimis ejiciatur, priusquam maxima velocitate effluant.
Natura velocitatum melius intelligitur ex appoſita Figura decima ſepti-
11Fig. 17. ma, in quâ ſi A B repræſentet totam altitudinem fluidi ſupra foramen ab initio
fluxus, expriment curvæ A 1 C B, A 2 C B, A 3 C B, A 4 C B, ſcalas altitudi-
num reſpondentium, ad quas fluidum effluens ſua velocitate aſcendere poſſit in
diverſis foraminum magnitudinibus: nempe ſcala accedet ad figuram A 1 C B, ſi
foramen habeat exiguam rationem ad vaſis amplitudinem & ad figuram A 2 C B,
cum aſſumitur fundum majori lumine perforatum; & ſi jam ratio foraminis
ſit ad amplitudinem vaſis ut 1 ad √ 2, erit ſcala illa ut A 3 C B (quo in caſu
minor fit maxima velocitas quam in quocunque alio, eſtque nominatim ea
quæ debetur altitudini {2a/c}, intelligendo per c numerum cujus Logarithmus
eſt unitas, id eſt, altitudini paulo minori quam {3/4}a) ac denique erit ſcala ut
A 4 C B cum fere nihil fundi ſupereſt.
§. 17. Jam vero exemplo quodam illuſtrabimus, quod ſupra §. 10.
indicatum fuit, nempe niſi foramen ſit ampliſſimum, poſſe id ſine valde
ſenſibili errore in calculo conſiderari ut infinitè parvum, atque adeo aſſumi
z = x, ut §. §. 10. & 15. dictum fuit. Videtur id tantum apud nonnullos
Auctores valuiſſe, ut cenſuerint, nullam magnitudinis in foramine rationem
unquam eſſe habendam, quantumvis magnum ponatur foramen, quæ res
certe ridicula eſt: faltem nemo hactenus quod ſciam magnitudinem forami-
nis pro hoc negotio recte conſideravit. Ponamus igitur cylindrum, cujus
diameter quadrupla tantum ſit diametri foraminis, cujusmodi magna
5440HYDRODYNAMICÆ. mina in inſtrumentis hydraulicis raro occurrere ſolent, & fingamus ſuperfi-
ciem aquæ per centeſimam partem deſcendiſſe tantum totius altitudinis ini-
tialis (deſcendiſſe autem aliquantulum aſſumo, quia à primo initio motus
aquæ nullus ineſſe poteſt, nedum tantus, ut aqua effluens ad totam alti-
tudinem aſcendere motu ſuo poſſit) hæ poſitiones faciunt m = 16n & mm =
256nn, atque x = {99/100}a, unde prodit
z = {128/127}({99/100} - ({99/100})255)a = {92/100}a,
quæ quidem aliquantulum differt à quantitate x, ſeu {99/100}a, ſed tamen non
multum admodum, fitque differentia multo minor, cum minus eſt foramen,
& paullo magis deſcendit ſuperficies aquæ. Igitur differt hæc Theoria à vul-
gari potiſſimum circa fluxus initium, quo minor eſt motus, quam ſtatutum
fuit: è contrario circa fluxus finem majori velocitate aqua ejicitur, quam ſe-
cundum principia ſolita deberet.
§. 18. Hactenus conſideravimus motum aquæ à propria ſua gravitate
ortum; ponamus nunc vi aliena aquam ejectam fuiſſe præter vim gravitatis,
talemque aquæ effluenti communicatam fuiſſe velocitatem, qua ad altitudi-
nem multo majorem aſcendere poſſit, quam ſi ſola aquæ gravitas motum
produxiſſet; dein ſubito vim illam alienam evaneſcere, & aquam ſibi relin-
qui; Id autem ſi fiat, experientia docet citiſſime aquæ velocitatem decreſce-
re & mox talem eſſe, ut notabililer non ſuperet velocitatem eam, quæ ex
ſola aquæ gravitate oritura fuiſſet. Ita videmus fieri aliquando in fontibus
ſalientibus (de cujus rei cauſa vera atque menſura alibi dicam) ut aquæ ad
triplam vel quadruplam majoremve altitudinem aſſiliat, quam eſt ordinaria;
quod cum ita contingit, ſaltus iſte protinus ceſſat ſolitamque altitudinem,
quantum id ſenſibus percipi poteſt, non excedit: loquor autem de tubis
foraminibus non valde magnis perforatis; nam cum foramen eſt ali-
quanto majus, non ita cito decreſcit aquæ ſaltus. Jam itaque examinabi-
mus, quousque theoria cum iſtis phænomenis conveniat, accuratasque
menſuras eorum, quales inde ſequuntur, ſubjungemus. Ut vero rem ge-
neraliter proſequamur, ponemus rurſus amplitudinem cylindri ad amplitu-
dinem foraminis ut m ad n: aquam ea explodi velocitate qua aſſurgere poſſit
ad altitudinem a, eoque ipſo temporis puncto altitudinem aquæ ſupra
5541SECTIO TERTIA. eſſe = a, cujus ſola gravitas nunc aquam expellat; deinde deſcendere ſuper-
ficiem aquæ in Cylindro per altitudinem verticalem a - x, ita ut altitudo
reſidua ſit = x & tunc velocitatem aquæ ejectæ talem eſſe, quæ debeatur al-
titudini z. His ita poſitis utemur æquatione generali differentiali §. 9. quæ
hæc eſt nn N dz - mmzydx + {mmnnzdx/y} = -mmyxdx (ubi rurſus, ut
§. 13. indicatum fuit, eſt y = m & N = mx) quæque in caſu noſtro particu-
lari talis fit
(1 - {mm/nn}) zdx + xdz = - {mm/nn}xdx,
quæ multiplicata x - {mm/nn} poſteaque ſic integrata, ut poſita x = a, fiat z = α
dabit æquationem deſideratam finalem
z = ({mm/2nn - mm + {α/a}) a{2nn - mm/nn} X x{mm - nn/nn} - {mm/2nn - mm}x
vel z = {mma/2nn - mm}(({a/x})1 - {mm/nn} - {x/a}) + ({x/a}){mm - nn/nn}α
quæ altitudo ſi comparetur cum illa, quæ paragrapho 14. indicata fuit, in-
venitur exceſſus unius ſuper alteram = ({x/a}){mm - nn/nn}α unde jam omnia ea
confirmantur Phænomena, quæ modo indicata fuerunt; exceſſus enim iſte,
cum m numerus eſt multo major quam n, inſenſibilis ſtatim fit, poſtquam
aqua vel tantillum deſcendit, id eſt, poſt breviſſimum temporis ſpatium,
nunquam tamen omnis evaneſcit, quam diu durat fluxus, & denique eo
notabilior continue eſt, quo magis ratio numeri m ad n ad æqualitatem ac-
cedit. Fuerit v. gr. diameter tubi decies major diametro foraminis, expel-
laturque aqua vi tali, ut velocitate ſua aſſilire poſſit ad altitudinem quæ ſit
quadrupla altitudinis a ſeu aquæ ſupra foramen, quæritur ad quam altitudinem
ſua velocitate aqua effluens aſcendere poterit, poſtquam per milleſimam
partem ipſius a ſuperficies aquea deſcenderit in tubo, ſi interea aqua ſola
propria gravitate ad effluxum ſolicitetur, dein quænam ſimilis altitudo futu-
ra fuiſſet, ſi aqua nullum motum ab initio habuiſſet: eſt autem m = 100n,
mm = 10000nn, x = {999/1000}a, α = 4a, unde in priori caſu
5642HYDRODYNAMICÆ. z = [{10000/9998} ({999/1000} - ({999/1000})9999) + 4({999/1000})9999] a,
ſive z = {99915/100000}a + {18/100000}a, in poſteriori caſu autem fit z = {99915/100000}a,
ex quo exemplo patet, quam exiguus & plane inſenſibilis ſit exceſſus prio-
ris altitudinis ſupra alteram, & quam cito diminuatur jactus ille aqueus,
quandoquidem tota mutatio fiat, dum ſuperficies aquæ per milleſimem par-
tem altitudinis a deſcendit, quod tempus in machinis hydraulicis ſolitis non
poteſt non eſſe admodum breve. Tum etiam confirmatur, quod ſupra Pa-
ragrapho 17. dictum fuit, eſſe ſcilicet proxime z = x, quando foramen eſt
vel mediocriter parvum, cum in præſenti caſu, ubi motus à quiete incipit,
differentia inter z & x ſit tantum quindecim centies milleſimarum partium
ipſius altitudinis a; quoniam interim paululum major eſt altitudo z quamx,
patet ad majorem altitudinem aſcendere poſſe aquam effluentem, poſtquam
aliquantiſper effluxit aqua, quam eſt altitudo aquæ ſupra foramen.
§. 19. Poſtquam ſic ex Theoria noſtra generali deduximus, quæ mo-
tum fluidorum ex cylindris verticaliter poſitis ſpectant, jam etiam conſi-
derabimus tubos oblique poſitos, qui prælongi eſſe ſolent in fontibus ſali-
entibus. In his enim id ſingulare eſt, quod acceleratio motus non ita repen-
te fiat, veluti cum Cylindri ſunt verticales atque ſic liceat ſenſibus percipe-
re conſenſum Theoriæ, cum motu aquarum reali.
§. 20. Fingamus canalem utcunque incurvum, ſed tamen Cylindri-
cum, cujus amplitudo habeatrurſus ad amplitudinem foraminis rationem m ad n-
Incipiat motus à quiete, ſitque altitudo verticalis aquæ ſupra foramen ab initio
motus = a; Effluxerit certa aquæ quantitas, ponaturque altitudo verticalis aquæ
reſiduæ ſupra foramen = x, longitudo canalis, quæ eo ipſo momento plena eſt
= ξ, habeatque tunc aqua interna (cujus ſingulas particulas motu axi canalis pa-
rallelo feri hîc aſſumo) velocitatem, quæ reſpondeat altitudini v; His ita poſitis,
ſi ſimili ratiocinio utamur quo ſupra, quærendo nimirum incrementum aſcenſus
potentialis dum guttula effluit, uti paragrapho 6. fecimus, idemque ponen-
do = deſcenſui actuali, obtinetur nunc talis æquatio
ξdv - {mm/nn} vdξ + vdξ = - xdξ,
5743SECTIO TERTIA. (1 - {mm/nn})vdξ + ξdv = - xdξ
cujus integralis, quod patet multiplicatis terminis per ξ - {mm/nn} hæc eſt
v = ξ{mm/nn} - 1 ſ - xξ- {mm/nn} dξ.
Fuerit v. gr. canalis rectus & ita inclinatus verſus horizontem, ut ſinus anguli
intercepti inter utrumque ſit ad ſinum totum ut 1 ad g, erit ξ = gx; unde
v = {nna/2nn - mm} (({a/x}){nn - mm/nn} - {x/a})
quæ æquatio cum non differat ab æquatione §. 13. pro Cylindris verticalibus
data, ſequitur in utroque caſu velocitates aquæ easdem eſſe, poſtquam deſ-
cenſus verticales ſuperficiei aquæ iidem ſunt: Igitur accelerationes in locis
homologis utrobique ſimiles ſunt ratione altitudinum verticalium, & hoc tan-
tum diſcriminis intercedit, quod in canali inclinato lentius fiant, idque in
ratione ut 1 ad g: facile igitur ſenſibus percipi poterunt hæ accelerationes in
canalibus valde inclinatis, quæ in verticalibus ob nimiam mutationum celeri-
tatem non poſſunt. Cœterum patet per ſe ex eo, quod frictiones à longitu-
dine tubi augeantur, non poſſe non velocitates inde diminui, ad quod ani-
mum advertent ii, quibus experimenta hâc de re inſtituere animus erit.
5844HYDRODYNAMICÆ
De Effluxu Aquarum ex Cylindris verticaliter po-
ſitis, qui in alios tubos ſtrictiores pariter
verticales deſinunt.
§. 21.
COnſtat experientia, inter duos Cylindros omnino æquales ſimiliterque
poſitos, quorum alterius foramini tubus ſtrictior reſpondeat, hunc
citius depleri, qui tubum appenſum habet, & quidem eo citius, quo
magis tubus à loco inſertionis verſus extremitatem amplitudine creſcit, quæ
pluribus expoſuit D. s’Graveſande in Phyſ. Elem. Math. lib. 2. cap. 8. Totam rem
ſequenti Problemate comprehendemus.
Problema.
§. 22. Fuerit vas cylindricum A E H B (Fig. 18.) verticaliter poſi-
11Fig 18. tum perforatum in F G, quo lumine communicet cum tubo conico F M N G,
per cujus demum orificium M N aquæ effiuant. Quæritur velocitas ſuperfi-
ciei aqueæ C D, poſtquam à quiete deſcendit per A C vel B D.
Solutio.
Sit altitudo aquæ ſupra M N initialis, nempe N G + H B = a, altitu-
do ſuperficiei aqueæ in ſitu C D ſupra M N, id eſt, N G + H D = x; lon-
gitudo tubi annexi ſeu N G = b; amplitudo orificii M N = n; amplitudo
orificii F G = g, amplitudo Cylindri ſuperioris = m; ſit velocitas ſuperficiei
aqueæ in C D talis quæ debeatur altitudini v, erit in æquatione generali §. 8.
y = m & N = m (x - b) + {bmm/√gn}, quæ ſubſtitutiones inſtituto calculo con-
formes eſſe patebunt cum §. 6. reliquæ autem poſitiones eædem ſunt quæ an-
te. Abit igitur æquatio paragraphi 8 in hanc
m(x - b)dv + {bmm/√gn}dv - {m3vdx/nn} + mvdx = - mxdx
quæ porro diviſa per m factoque x - b + {mb/√gn} = z,
5945SECTIO TERTIA. (1 - {mm/nn})vdz + zdv = - zdz - bdz + {mbdz/√gn}
quæ multiplicata per z{-mm/nn} facit
(1 - {mm/nn})z- {mm/nn} vdz + z1 - {mm/nn} dv = - z1 - {mm/nn} dz - bz- {mm/nn} dz +
{mbz- {mm/nn} dz/√gn}
poſt cujus integrationem addita conſtante Coritur
z{nn - mm/nn} v = C - {nn/2nn - mm} z{2nn - mm/nn} - {nnb/nn - mm} z{nn - mm/nn}
+ {mnnb/(nn - mm)√gn} z{nn - mm/nn}
in quo valor quantitatis conſtantis C ex eo definitur quod ab initio fluxus
(cum nempe x = a ſive z = a - b + {mb/√gn}) ſit v = o quia non poteſt motus
oriri in inſtanti temporis puncto; hinc igitur fit C =
[(a - b + {mb/√gn}) X {nn/2nn - mm} + {nnb√gn - mnnb/(nn - mm)√gn}] X (a - b + {mb/√gn}){nn - mm/nn}
Ex his quidem æquationibus definiuntur omnia; quia verò calculus fit paullo
prolixior, niſi amplitudo vaſis ſuperioris indicata per m tanta ſit, ut poſſit ra-
tione amplitudinum g & n infinita cenſeri, hunc ſolum conſiderabimus caſum,
idque eo magis quod error notabilis inde non oriatur, etſi mediocris ſit ma-
gnitudinis numerus {m/n} aut {m/g}
§. 23. Quod ſi proinde ponamus m = ∞, ſimulque utamur pri-
mâ æquatione differentiali proximi paragraphi, atque in hâc ponatur
v = {nn/mm}s, ut ſic inveniatur ex valore litteræ s altitudo ad quam aqua per ori-
ficium M N effluens ſuâ velocitate aſcendere poſſit, erit primo
{nn/m} (x - b)ds + {bnn/√gn}ds - msdx + {nn/m}sdx = - mxdx
& quia m = ∞ atque facile prævidetur rationem ſore finitam inter s & x, at-
que inter ds & dx, hæc eadem æquatio mutabitur rejectis terminis rejiciendis
rurſus in hanc - msdx = - mxdx vel s = x, quod pariter paragr. 10.
6046HYDRODYNAMICÆ. jam fuit demonſtratam. E re vero duxi id de novo hic demonſtrare, quia ca-
ſus præſens diverſus videri poterat ab illo, de quo in præfato paragrapho dici-
tur. His intellectis non opus eſt pluribus explicare Phænomena circa hanc
rem §. 21. Auctore s’Graveſande indicata; patet enim, aquam non aliter efflue-
re per vas compoſitum A E F M N G H B, quam per vas ſimplex A O M N P B,
cum nempe orificium M N eſt valde parvum, atque hinc majorem eſſe veloci-
tatem ſuperficiei aqueæ C D, quam ſi per vas A E F G H B aquæ effluerent, po-
ſito orificio M N = F G, multoque magis ſi M N fuerit majus quam F G,
quod fit cum tubus verſus inferiora amplitudine creſcit: attamen obſervari de-
bet, ab initio motus aquam tardius deſcendere, quam ſic definitum fuit, nec
regulam iſtam prius locum habere quam ſuperficies C D per ſpatiolum ali-
quod deſcenderit, quod tamen brevi fit tempore: mutationes, quæ ab initio
motus fiunt, in hoc caſu, examinabimus in ſectione ſequente.
§, 24. Eodem modo computus eſſet inſtituendus, ſi vaſi, quod ſem-
per nunc amplitudinis infinitæ ponimus, implantatus eſſet tubulus non verti-
calis ſed horizontalis, veluti in fig. 19. aut ſub alia directione qualicunque, ſem-
11Fig. 19. per autem reperietur aquas per orificium M N mox, poſtquam ſuperficies aquæ
in vaſe principali aliquantulum deſcendit, ea proxime effiuere velocitate, quæ re-
ſpondeat altitudini iſtius ſuperficiei ſupra orificium; Inde liquet quod manen-
tibus tam altitudine aquæ ſupra tubulum G N, quam ipſo orificio F G, au-
geatur quantitas aquæ dato tempore effiuens ab aucta amplitudine orificii M N:
Sic igitur demonſtratum hic dedimus, quod dictum fuit in fine §. 5, Sect. 1. Fron-
tinum experientia fuiſſe edoctum, nempe, plus debito aquæ erogari per cali-
cem legitimæ tum menſuræ tum poſitionis, cui ſtatim fiſtulæ amplioris moduli
ſubjectæ ſint. Et quidem quantitates aquæ cæteris paribus erogari deberent ip-
ſis orificiis M N proxime proportionales, niſi multa eſſent impedimenta; quæ
hanc quantitatem valde diminuant, de quibus proxime dicam: facere poſſunt
hæc impedimenta; ut admodum parum fluxus aquarum promoveatur ab au-
cto orificio extremo; ſemper tamen promovebitur aliquantum.
§. 25. Ex præmiſſis liquet velocitatem, qua ſuperficies aquæ C D in
utroque, de quo diximus, caſu deſcendit cæteris paribus pendere ab am-
plitudine orificiorum M N; Hæc autem ea innituntur hypotheſi, quod aqua
lateribus tubulorum G N ubique adhæreat & pleno orificio M N effluat,
6147SECTIO TERTIA. hypotheſis locum amplius habere non poſſet, ſinimium orificium iſtud auge-
retur. Dein patet quoque, cum aquæ per tubum verticalem in fig. 18. effluunt,
earum fiuxum accelerai à longitudine hujus tubi auctâ: poſſet tamen hæc
quoque ita augeri, ut tandem aquæ deſinant eſſe continuæ in tubo, quin po-
tius in columnas dividantur, quod fiet, ſi tubus longitudinem habeat plus
quam triginta duorum pedum aut minorem etiam, ſi ſimul amplitudine creſcat
verſus M N; ita ſi orificium M N duplum ſit orificii alterius F G, non poterit lon-
gitudo majoreſſe quam octo pedum, ſine periculo ſubſecuturæ aquarum ſepara-
tionis in ſuprema tubi parte, quam rem alibi demonſtrabo: ſed eſt alia inſu-
per cauſa præter nimiam tubi longitudinem, quæ aquæ ſeparationem produ-
cere poteſt, nempe quod altitudo aquæ C E H D minor ſit, quam ut ſat
cito in tubum irrumpere poſſit, quo fit, ut aër una cum aqua ſimul ſuperne
influat, dum ſuperficies aquæ formam cataractæ ſeu infundibuli cavi aſſumit,
ſic ut non totum orificium F G aqua obtegatur; Hæc quidem res facit, ut
aqua minori copia effluat, non autem ut minori velocitate, quod poſterius
putavit Auctor quidam Italus, nomine Carolus Fontana, qui hác de re Lin-
guâſua vernacula ita ſcripſit: mâ ſe non vifoſſe, inquit, tant’ acqua, che ba-
ſtaſſe à mantenere piena detta canna, l’acqua attraherà l’aria dentro di ſe in
tanta quantità, quanto gli mancherá l’acqua intermettendoſi fra l’acqua dà
ogni banda; mà la velocità dell’ acqua mancherá tanto, quanto ſará l’altezza
di tutta l’aria raccolta inſieme che ſarà in eſſa canna. Rationem ejus, quod
dixi, non inde velocitatem aquæ diminui poſſe, quilibet perſpicit ex eo, quod
alias non poſſet aſcenſus poteniialis eſſe æqualis deſ@enſui actuali poteritque res
facili experimento confirmari, incurvata tubi extremitate M N, ut aquæ ho-
rizontaliter effluant, & ex amplitudine jactus velocitas aquæ dignoſci poſſit.
Quomodo autem pro lubitu fieri poſſit, ut nullis mutatis aliis circumſtantiis
aër aquis circa ſummitatem tubi miſceatur, ſic habe: fiat nempe parvulum fo-
ramen in tubo haud procul ab orificio F G (Fig. 18. & 19.) quod ſi autem du-
rante aquæ fluxu digito obturaveris iſtud foraminulum, aquæ transfluent pu-
ræ, & ſi removeris digitum, mox aër per foraminulum idem irrumpet ſeque
cum aqua præterfluente miſcebit. His intellectis facile erit rationem reddere
Phænomenorum, quæ in caminis ſeu fumi-ductibus obſervantur, fumus
enim altum petit, quia aëre levior eſt, quod conſtat experimentis de fumo
in vacuo, ubi deſcendiſſe viſus fuit, ſumtis: idem igitur eſt de fumo
6248HYDRODYNAMICÆ. dente, quod de aqua deſcendente: hæc autem in fig. 18. eo celerius effluit per
orificium M N, quo amplius eſt, & quo humilius poſitum: ergo etiam fumus
eo celerius caminum tranſibit, eoque magis ignis in foco accendetur, quo
altius ducetur caminus, & quo magis ſuperiora verſus divergit, ſi modo non
nimis divergat; quod utrumque experientia confirmat; Ipſe deinde inſuper
expertusſum, ſi caminus alicubi perforetur, tantum abeſſe, ut fumus per fora-
men iſtud exitum tentet, quin potius aër magno impetu irruat, ſeque fumo
miſcens per caminum aſcendat, non ſecus atque aërem per foraminulum e in
tubum F G N M (Fig. 18. & 19.) irrumpere indicavimus. Ita vero fumus mino-
ri certe copia, aut ſaltem difficilius aſcendet ignisque remittet.
Cæterum duæ ſunt potiſſimum cauſæ, altera aliena altera naturæ rei
propria, quæ motum aquæ valde retardare poſſunt in fig. 18. & 19. Prior eſt
adhæſio aquæ ad latera tubi, & altera, quod cum tubus amplitudine creſcit
velocitas aquæ, nullibi ſibi conſtans in quovis tubi loco mutetur, quæ mutatio
ſi oriri cenſeatur ab impulſibus infinite parvis aquæ velocius motæ in aquam
minus velociter motam, apparet ſingulis momentis ab impulſibus his corpo-
rum mollium aliquid de aſcenſu potentiali perdi, unde neceſſario aquarum ef-
fluxus notabiliter diminuitur.
§. 26 Loco ultimo nunc dicam quædam de vaſis recurvis, ex quibus
aquæ non omnes effluunt: brevitatis autem gratiâ canalem conſiderabimus
cylindricum, & cujus quidem pars, quam ſuperficies aquea non tranſgreditur,
ſit recta.
Problema.
Sit nempe canalis cylindricus C E D B (Fig. 20.) cujus pars C E quan-
ta ſufficit eſt recta, reliqua E D B utcunque incurvata; fuerit canalis totus aqua
11Fig. 20. plenus effluxura per foramen B, perveneritque ſuperficies aquæ ex C in F,
quæritur altitudo reſpondens velocitati aquæ in F.
Solutio.
Ducantur verticalis B H & horizontales C H, F G, A B, ſitque ſinus
anguli H C E ad ſinum totum ut 1 ad g: Jam vero ſi rem recte perpendamus,
videbimus contineri problema præſens in altero generaliori, quod ſuprà pa-
ragrapho 20. tractavimus, ubi habuimus hanc æquationem:
v = ξ{mm/nn - 1} ſ - xξ{- mm/nn}
6349SECTIO TERTIA. ubi pro noſtro caſu præſente intelligitur per v altitudo quæſita reſpondens ve-
locitati ſuperficiei aqueæ in ſitu F, per ξ longitudo B D E F & per x altitudo
B G, atque per {m/n} index rationis inter amplitudines tubi & foraminis B: Quod
ſi vero dicatur longitudo B D A = αerit x = {ξ - α/g}, unde nunc habetur
v = ξ{mm/nn} - 1} ſ - ({ξ - α/g}) ξ{- mm/nn} dξ
Indicetur longitudo totius canalis B D E C per β, & erit
ſ - ({ξ - α/g} ξ{- mm/nn} dξ = {nnα/g(nn - mm)} (ξ{nn - mm/nn} - β{nn - mm/nn}})
{- nn/g(2nn - mm)} (ξ{2nn - mm/nn} - β{2nn - mm/nn})
atque proinde
v = {nnα/g(nn - mm)}(1 - ({β/ξ}){nn - mm/nn})
- {nnξ/g(2nn - mm)}(1 - ({β/ξ}){2nn - mm/nn}). Q. E. I.
Scholium.
§. 27. Quoniam hæ æquationes ſunt paullo prolixiores @non immora-
bimur generali earundem contemplationi, conſideraturi potius caſus iſtos
particulares, qui calculum abbreviant, nec ultima iſta æquatione definiri
poſſunt.
Si operculum in B omne abeſſe ponamus, fit m = n & (quod ſeorſim
pro hoc pariter atque @altero caſu mox dicendo erui debet)
v = {b - ξ + αlog. ξ - αlog. β/g}
tuncque velocitas maxima eſt in A, nominatimquæ talis, quæ reſpondet al-
titudini {β - α + αlog. α - αlog. β. /g}
6450HYDRODYNAMICÆ.
Denique punctum E maximo reſpondens deſcenſui obtinetur ope hu-
jus æquationis,
ξ - αlog. ξ = β - αlog. β
Alter caſus ſeorſim ſubducendus calculo eſt, cum mm = 2nn, ubi
oritur
v = {αξ - αβ - ξβlog. ξ + ξβlog. β/gβ}
atque ſi capiatur, poſito c pro numero, cujus logarithmus eſt unitas,
ξ = c{α - β/β}β determinabitur ſic locus maximæ velocitatis, cujus altitudo
generatrix eſt = c{α - β/β}β - α, dum maximus deſcenſus, qui proportiona-
lis eſt toti aquæ effluenti, definitur faciendo
αξ - αβ - ξβlog. ξ + ξβlog. β = o
Non dubito, quin hæc ad amuſſim experientiæ eſſent reſponſura, ſi
modo adhæſio aquæ ad latera tubi motum non retardaret; puto tamen, even-
tum experimentorum talem eſſe poſſe, ut intelligenti, qui horum impedi-
mentorum rationem habeat, ſatis @ſtendant propoſitionum veritatem.
§. 28. Ultimo loco communicabo veram ſolutionem phænomeni ali-
cujus, quod primo aſpectu valde videtur paradoxon. Poſtquam enim ex
omnibus hactenus dictis luculenter apparet fieri non poſſe, ut aquæ multo
majori velocitate effluant quam qualis altitudini aquæ ſupra foramen debetur,
(poſſunt tamen aliquanto majori, præſertim ſi foramina ſunt magna, con-
fer ea quæ dixi de velocitatibus maximis §. 16.) multis mirum fortaſſe videbitur,
contingere aliquando in fontibus ſalientibus, ut aqua ad temporis momen-
ium jactum faciat longe altiorem, quam ſecundum regulas noſtras fieri poſſe
videtur. Verum tantum abeſt, ut hæ inde aliquid roboris perdant, quin
potius egregie confirmentur. Solutio autem paradoxi in eo conſiſtit, quod
nos hactenus aquas conſideraverimus continuas, & nullo vacuo aëreo ſepara-
tas: Recteque obſervavit Dus. De la Hire non fieri hujusmodi ſaltus irrregu-
lares, niſi aër una cum aqua tubum prope ſcaturiginem fuerit ingreſſus,
quod ſæpe fieri indicavi §. 25. Iſte vero aër ſimul cum aqua fertur usque ad
orificium effluxus, per quod mox erumpit: id dum fit, maſſa aquea
6551SECTIO TERTIA. tum acquirit, qui in expellendas aquas ſolus impenditur, hocque pacto
enormem jactum producit. Hanc phænomeni cauſam mox clarius una cum
debitis menſuris explicabo, poſtquam præmiſero verba, quæ hâc de re ex-
tant, in hiſtor. Acad. Reg. ſc. Paris. ad An. 1702. On voit quelques fois, dici-
tur in loco citato, l’eau qui ſort par un ajutage ſaillir trois ou quatre fois
plus haut que ne lui permét la hauteur du réſervoir, ausſi ſe rémet - elle bien
vite à la hauteur, que lui preſcrivent les loix de l’hydroſtatique. Mais com-
ment a-t-elle pu en ſortir en un inſtant. Mſr. De la Hire l’attribue a de
l’air enfermè dans la conduite, qui aγant été preſſé & mis en reſſort par
l’eau, qui deſcendoit toujours, s’eſt debandé contre celle qui montoit & lui
a donné cette viteſſe momentanée.
Recte itaque animadvertit Dn. De la Hire aëri ſaltum deberi, dubium-
que nullum eſt quin veram rationem, quâ aër id producere poſſit, fuiſſet
eruturus, ſi phænomenon, quod obiter attigit, attentius conſideraſſet, fa-
cile utique perſperſpecturus, aërem inter medias aquas nullam ſuſtinere preſſio-
nem, niſi ſuper incumbentis aquæ (imo ne hanc quidem in aquis fluentibus,
uti inferius in ſect. XII. demonſtrabo) nec adeoque aërem compreſſum for-
tius expellere poſſe aquam ſibi præcedentem, quam ſi ſui loco aqua eſſet. Ego
quidem prævidi (quod facillimo experimento ſæpe poſtea ſum expertus) non
eſſe aquam ante aërem poſitam ſolito altius aſſurgentem, ſed illam, quæ aërem
ſequitur, quod nunc clarius faciam.
Sit igitur in Figura vigeſima aquæ ductus C A D B cylindricus, ut eſſe
ſolet, isque totus aquâ plenus, præter particulam m n B aëre plenam. Du-
cantur lineæ horrizontalis & verticalis C H & H B: ponamus brevitatis ergo
aëris gravitatem præ gravitate aquæ nullam cenſeri poſſe, ita ut tranſitus aëris
per orificium B nihil reſiſtat fluxui aquæ, quamvis de cætero facile foret in-
ertiæ aëris rationem habere, niſi calculi prolixitatem evitare vellemus in re,
ubi nullam quærimus præciſionem. Sit longitudo canalis C A D f vel C A D m
(ponimus enim differentiolam mf aëre repletam valde parvam) = β mf vel
ng = δ: H B = a; amplitudo tubi = m, amplitudo orificii B = n; Denique
demus aquæ, cum ſuperficies eſt in mn, nullum eſſe motum, quæſituri
6652HYDRODYNAMICÆ. titudinem velocitati debitam, quam ſuperficies mn habet, cum pervenit in
ſitum fg; ſit iſta altitudo = v, erit aſcenſus potent. omnis aquæ eo ipſo mo-
mento pariter = v: Deſcenſus actualis autem eſt per §. 7. = tertiæ propor-
tionali ad totam maſſam aquæ, particulam aquæ mngf & altitudinem verti-
calem HB, id eſt, = {δ/β}a; eſt igitur v = {δ/β}a. Hæc quidem altitudo dicto
citius minuitur ſtatim atque aqua per orificium B fluere cogitur, quod de-
monſtravi §. 18. ſed primo tamen temporis puncto aqua ſervabit motum
quem acquiſivit, & ſic guttula orificio proxima ejicietur velocitate, quæ de-
beatur altitudini{mmδ/nnß} a. Poteſt autem hæc altitudo non ſolum eſſe tripla
aut quadrupla ipſius a, ſed & quantumcunque magna: ego certe cum tubis
vitreis pro lubitu jactus feci decies aut vigeſies altiores ipſius a; fuerit v. gr.
δ = 100 pedum, β = uni pollici, diameter autem tubi decupla diametri,
quam orificium habet; & erit {mmδ/nnß} = {10000/1200} a, ita ut in his circumſtan-
tiis prima guttula aſſilire demta aëris reſiſtentia debeat ad altitudinem plus-
quam octies majorem altitudine ſolita a. Sunt cœterum multa impedimenta
eaque maximi momenti, quæ jactus enormes cohibeant; perditur nempe ali-
quid de motu ab impulſu ſuperficiei aqueæ mn in latera fg, dein etiam ab
ingenti attritu quem aqua per foraminulum, quod parvulum eſſe debet,
tam celeriter lata patitur: multum etiam abeſt, quominus aqua C A D m
omni ſua celeritate moveatur ob adhæſionem aquæ ad latera tubi, quæ ad-
hæſio in tam longo tractu valde notabilis eſt.
Interim veram hanc eſſe ſolutionem phænomeni nullum poteſt eſſe
dubium, iſtique ſolutioni experimenta quæ feci in omni extenſione ſatisfa-
ciunt. Dein hâc theoria etiam recte ſolvitur alterum phænomeni momen-
tum, quod nempe jactus iſte ſit quaſi momentaneus, poſtque breviſſimum
tempusculum ad ſenſus non major ſolito: ita in præſenti, quem modo
finximus, caſu ſi per regulam §. 18, paullo mutatam (ibi enim de vaſis
verticaliter poſitis tantum dicitur) exploremus, quantum aquæ effluere de-
beat ut jactus non amplius milleſimâ parte (quæ utique obſervari in hujus-
modi experimentis minimè poteſt) ſuperet jactum ſolitum, cum ab initio
fuerit eodem octies major, invenimus tam parvam eſſe illam quantitatem, ut
tempus, quo tota ejicitur, nullo modo percipi poſſit.
6753SECTIO TERTIA.
Experimenta quæ ad Sect. 3. pertinent.
Prænotanda.
PLurima quidem ſunt in hâc Sectione eaque fere præcipua, quæ vix
ad experimenta revocari immediate poſſunt; Etenim cum Auctores ha-
ctenus motum in fluidis effluentibus alium non conſideraverint,
quam qui fiunt per foramina valde parva, cumque proin nova ſit theoria
quam dedimus pro amplitudinibus foraminum qualibuscunque, hæc ipſa
eſt, cujus confirmatio maxime juvaret. At non video, quomodo in Cy-
lindris verticalibus, de quibus potiſſimum egimus, velocitas aquæ effluen-
tis obſervari poſſit, præſertim cum foramen eſt valde amplum (ſecus enim
ex tempore depletionis aliquod de velocitatibus judicium ferri poteſt.) Hæc
ita perpendens cogitavi demum ſcopo noſtro inſervire poſſe paragraphos 16.
& 20. in quorum priore determinata fuit velocitas maxima aquæ effluentis
ex cylindris verticaliter poſitis, in altero autem demonſtratum eſt, eundem
eſſe motum ex cylindris oblique poſitis & verticalibus, ſi utrobique altitudi-
nes verticales ſimiles aſſumantur: Commode igitur utemur cylindris oblique
poſitis, ut ex maxima amplitudine jactus aquei poſſit velocitas maxima aquæ
ſeu altitudo eidem debita experimento haberi: & hâc quidem ratione accu-
rate velocitas illa maxima, qualis revera eſt, explorari poteſt, etiamſi ſo-
ramina ſint quantumlibet magna, quæ proin ſi convenire obſervetur cum re-
gulis noſtris, de integra theoria dubium ſupereſſe nullum poterit.
Priusquam vero rem ipſam aggrediar, præmittendum erit theorema
mechanicum, quod ſequitur.
Lemma.
Sit A B (Fig. 21.) linea verticalis, B D horizontalis; linea autem A D
11Fig. 21. directionem habeat qualemcunque, ſub cujus directione corpus in A proje-
ctum intelligatur, arcum deſcribens parabolium A C, cujus nempe tangens
in A eſt recta A D, erit altitudo debita velocitati, qua corpus in A proje-
ctum fuit, = {BC2 X AD2/4AB. BD. CD} atque ſi AD fuerit horizontalis ſive angulus B A D
rectus, erit eadem illa altitudo = {BC2/4AB}.
Jam vero quæ mihi obſervata fuerint exponam.
6854HYDRODYNAMICÆ.
De Velocitatibus maximis fluidorum per foramina
valde ampla effluentium.
Ad §. 16. & 20.
Experimentum Primum.
TUbum Cylindricum F A (Fig. 22.) longitudinis quatuor pollicum
11Fig. 22. oblique ad horizontem poſui, in eoque ſitu firmavi, erat autem
amplitudo tubi ad amplitudinem luminis in A ut 2 ad 1. & quidem dia-
meter tubi præter propter ſeptem lineas exæquabat; Dein menſuris acceptis
in particulis æqualibus linearum F E, A B & B D (quarum lex ex ipſa figura per
ſe patet) illas inveni 81. 619. & 740.
His ita præparatis, tubum aquâ replevi, digito interim obturato ori-
ficio A, eoque confeſtim remoto aquæ breviſſimo tempuſculo effluxere om-
nes: obſervare tamen potui, primas & ultimas propius ad verticalem AB,
quam medias cecidiſſe; guttas autem longiſſime projectas incidiſſe in locum
C invenique poſt ſæpius repetitum experimentum BC particularum, qui-
bus antea uſus fueram, 235.
Jam vero ſi per præmiſſum lemma quæratur altitudo E G, ad quam guttæ
maxima velocitate ejectæ aſcendere poſſint, reperitur E G = 56. part. de-
beret autem vi §. §. 16. & 20. eſſe. = 62. niſi attritus aquæ ejusquæ adhæ-
ſio ad latera tubi impedimentum motui afferret: majorem conſenſum non
expectavi.
II. Poſitis quæ prius, diminuto tantum ad dimidium foramine A,
ita ut amplitudo tubi eſſet quadrupla amplitudinis ad lumen pertinentis, ob-
ſervavi B C = 252; Hinc deducitur E G = 68 per experimentum; per
theoriam autem debuiſſet eſſe = 70; numeri hi minus differunt quam
præcedentes, quia hîc multo minus fuit attritus impedimentum ob diminu-
tam velocitatem internæ aquæ. Utrumque autem experimentum egregie
profecto theoriam confirmat.
6955SECTIO TERTIA,
De velocitate aquæ ex vaſe ampliſſimo
erumpentis.
Ad §. 17.
IN iſto paragrapho dicimus, ſi vas ſit ampliſſimum, aquam mox, poſt-
quam ſuperficies interna aliquantulum deſcendit, erumpere velocitate,
quæ conſtanter reſpondeat altitudini aquæ ſupra foramen. Sinas autem
ſub quâcunque directione (neque enim in vaſis ampliſſimis directio venæ
quicquam velocitatem mutare poteſt) aquam effluere, & obſerves quocun-
que temporis puncto, in quanta diſtantia ab verticali vena in horizontem
impingat, & exinde per præmiſſam regulam quære altitudinem velocitati
aquæ effluentis eo temporis puncto reſpondentem, ſic ſemper iſtam altitu-
dinem invenies æqualem altitudini aquæ ſupra centrum foraminis, ſi modo
excipias primas guttulas, quæ vi §. 16. minori velocitate effluere debent &
actu effluunt: Neque impedimenta, quorum ſæpius mentionem injecimus,
ullam notabilem moram fluxui injicient, ſi modo diameter foraminis duas
aut tres lineas minimum exæquet, & diameter ipſius vaſis non ſit infra ali-
quot pollices, & denique altitudo aquæ nimia non ſit, veluti plurium pedum.
Hæc omnia ſæpe expertus ſum, experimenti autem genus nimis eſt tri-
viale, quam ut prolixe deſcribi mereatur.
De vaſis quæ ſunt Tubis verticalibus inſtructa.
Ad §. 22. & 23.
DE his experimenta ſumſit Cel. s’Graveſande in Phyſ. Elem. Math. quæ
repetii; ea vero quæ ad rem præſentem faciunt huc potiſſimum re-
deunt.
In Figuris nempe 23. 24. 25. 26. ſunt ſingulæ aperturæ littera A notatæ,
11Fig. 23.
24. 25.
& 26. inter ſe æquales, ſolâ B exiſtente paullo majore in ratione ut 16 ad 25, am-
plitudines quoque, ut & altitudines cylindrorum ſunt æquales excepto ul-
timo, cujus longitudo quadrupla eſt: tubi autem duobus cylindris interme-
diis annexi, triplam habent longitudinem cylindrorum. His igitur vaſis
aqua repletis de ejus effluxu obſervatum fuit.
I. Superficiem aquæ à principio non citius deſcendere in Fig. 23. quam
Fig. 24. poſtquam vero utrobique aliquid aquæ effluxit, multo celeriorem
7056HYDRODYNAMICÆ
fieri motum in vaſe compoſito quam in ſimplici; utrumque præmonui in fine
§. 23. Res autem melius & accuratius intelligitur ex æquationibus differen-
tialibus, quas §. §. 22. & 23. dedimus, quibus ſi utamur ad prima motuum in-
crementa invenienda, tam in cylindro ſimplici Fig. 23. quam in compoſito
Fig. 24. atque hunc in finem ponamus amplitudines cylindri & tubi eſſe ut
m ad n, erit incrementum, quod vocavimus d v in vaſe ſimplici ad incre-
mentum in vaſe compoſito, ut 1 + {3m/n} ad 4, adeoque longe majus in iſto
caſu quam in hoc. Si proin primum motum recte percipere liceret, cele-
riorem ſtatim illum obſervaturi eſſemus, qui fit in Cylindro ſimplici; Cum
vero in §. 15. & 23. porro demonſtratum fuerit, ſuperficiem aquæ, poſt-
quam paululum deſcendit in utroque vaſe proxime tales eſſe, quæ reſpon-
deant altitudinibus {nn/mm} x, intelligendo per x altitudines aquæ ſupra orificia,
per quæ effluit, ſequitur mox multo majori velocitate aquam deſcendere in
Fig. 24. quam Fig. 26. Sic igitur Theoria plane convenit cum obſervatis.
II. Superficiem aqueam non parum velocius deſcendere in Figura 26.
quam 24. ita ut velocitas in caſu Fig. 24. ſit quaſi media inter caſus Figuræ
23. & 26. Hic vero rurſus patet, primas quidem accelerationes multo tar-
dius fieri in cylindro Fig. 24. quam 26. Hoc igitur reſpectu ipſa theoria in-
dicat, quod obſervatum fuit; at certe differentia multum abeſt, ut tanta
inde oriri poſſit, quantam expertus fui, neque amplius ſenſibilis eſſe debe-
ret, poſtquam utrobique ſuperficies paullulum deſcendit, per §. 23.
debet autem reliquum impedimento tribui, quod ab attritu aquæ in Fig. 24.
oritur: aqua enim per tubum A A magna velocitate fertur, ſicque tam ob
velocitatem auctam, quam ob amplitudinem vaſis diminutam impedimentum
motui aquæ validiſſimum offertur.
III. Denique velociſſime, ſi prima temporis puncta excipias, aqueam
ſuperficiem deſcendere in Cylindro Fig. 25. & notanter velocius quam in Fig. 26.
Id vero conforme eſt cum his quæ §. 23. demonſtrata ſunt; deberent
autem mox poſt commune motus initium, poſitis nempe altitudinibus aquæ
ſupra orificia effluxus fere æqualibus, velocitates in Figuris 25. & 26. pro-
xime eſſe ut amplitudines orificiorum B & A, id eſt, ut 25. ad 16. & quod
minor obſervetur velocitatum differentia, rurſus impedimento frictionis eſt
tribuendum præter aliam cauſam in fine §. 25. indicatam.
7157SECTIO TERTIA.
De iisdem vaſis, quibus tubi horizontales
inſeruntur.
Ad §. 24.
CUm aquæ ex vaſe valde amplo veluti C D G (Fig. 19.) per tubum ho-
rizontalem G M ampliorem in extremitate N M quam ortu G F fluunt,
majori velocitate illas ferri per orificium G F (ſi rurſus excipias pri-
mas guttas) quam ſi vel tubus abeſt, vel Cylindricus eſſet. Id etiam Frontinus
experientiâ procul dubio edoctus affirmavit, alii vero moderni negarunt.
Igitur operæ pretium duxi rem experimento explorare. Erat autem
altitudo vaſis, quo uſus ſum, ſupra axem tubi = 5 {1/3} poll. Angl. longitudo tu-
bi G N = 2 poll. 5 lin. diameter orificii G F erat = 3, 36. lin. diameter
aperturæ M N = 5, 48. lin. erant proin amplitudines orificiorum ut 3. ad
8 proxime, amplitudo vaſis ſat magna erat, ut infinita cenſeri poſſet præ
amplitudine tubi. Volui omnes menſuras allegare, ut quivis experimentum
repetere poſſit. Hoc autem vaſe aqua repleto obſervavi amplitudinem jactus,
& ex hâc poſtquam omnes menſuras cognoviſſem requiſitas calculum poſui
de altitudine, quæ velocitati aquæ transfluentis tum in G F, tum in N M
deberetur: hanc inveni proxime undecim linearum, atque proin alteram
= poll. 6. lin. cum duabus nonis lineæ partibus, quas easdem altitudines alio
etiam experimenti genere inveni. Quoniam autem major eſt altitudo 6. poll.
cum 6 {2/9} lin. quam 5 {1/3} poll. confirmatur theoria noſtra de acceleratione aquæ
internæ ab amplificatione tubi verſus extrema, quamvis multum abſit, ut
duabus potiſſimum rationibus §. 25. allegatis inductus præmonui, quin tan-
tum revera acceleretur quantum vi §. 24. remotis obſtaculis, quorum in cal-
culo nulla ratio habita fuit, deberet.
Ad §. 25. Hoc paragrapho in tranſitu monui, multis modis fieri poſ-
ſe, ut aër aquæ per tubos fluenti miſceatur. Inde autem futurum, ut aquæ
minori copia effluant quidem, ſed non minori velocitate, quod utrumque
ut experirer primo in tubis A A & A B (Fig. 24. & 25.) non procul ab eorun-
dem Origine parvulum utrobique feci foramen; factum eſt, ut aquæ per
tubos, cum aliquo ſtrepitu ferrentut & turbidæ effluerent, ſuperficies au-
tem ſolito multo lentius deſcenderet; Deinde tubum Figuræ 19. pariter
7258HYDRODYNAMICÆ. quantulum perforavi, haud procul à G, rurſusque obſervavi, paullo lentius
deſcendere ſuperficiem internam, cujus rei me certum fecit quod numera-
bam oſcillationes alicujus penduli, quibus ſuperficies per datum ſpatium
deſcendit: ratione autem aquarum effluentium vidi aliquando aquas pleno
orificio effluere & tunc aquas ſolito minus eſſe pellucidas, jactum autem or-
dinarium vel ordinario paullo majorem facere; ſæpiſſime autem aquam &
aërem juxta ſe ferri, illam in parte tubi inferiore juxta latus F M, hunc in
ſuperiori juxta G N & tunc aquas eſſe limpidas atque velocitate ejici ſolito
non ſolum haud minori, ſed & multo majori, quod fieri poſſe haud obſcu-
re prævideram. De hâc re in ſequenti Sectione aliud experimentum majori
præciſione inſtitutum apponam.
Dabitur autem fortaſſe alibi locus demonſtrandi aquas ſufficienti aëris
quantitate permiſtas, ea proxime effluere copia, qua effluerent reſciſſo tu-
bo eo in loco ubi eſt perforatus, cui rei ipſam quoque experentiam reſpon-
dere animadverti.
De canalibus recurvis.
Ad §. 27.
DUcta in pariete horizontali M N (Fig. 27.) tubum cylindricum C D B
11Fig. 27. totum aquâ plenum, cruraque ambo inter ſe parallela habentem, ita
poſui, ut extremitas altera B horizontalem M N raderet, ſimulque
crura eſſent verticalia, dum interea orificium C digito obturabam aquæ ef-
fluxum ſic compeſcens.
Dein remoto digito obſervavi, altitudinem maximam B P, ad quam
aquæ effluentes aſcendebant, aliisque vicibus attendi ad locum E, ad quem
deſcendit aquæ ſuperficies; feci autem fub duabus diverſis circumſtantiis ex-
perimentum; primo enim loco nullum in B poſueram operculum; dein-
de operculum adhibui tali lumine perforatum, quod amplitudinem haberet
ratione amplitudinis tubi ut 1. ad √ 2. Interim menſuræ tales fuere: C A
= 345; A D B = 530; B P = 33; & A E = 88. particulis, quarum 375
longitudinem Pedis Lond. exæquabant. Hæc ita fuere in caſu priori, in al-
tero autem manentibus reliquis vidi B P = 64 & A E = 54. Notabo hîcin tran-
ſitu, quod alio explorare cupiens modo maximum deſcenſum A E, poſt fini-
tum experimentum inclinaverim tubum, donec aqua jam jam effluxui per B
7359SECTIO TERTIA. xima videbatur, quo temporis puncto diſtantiam menſuravi ſuperficiei à loco
A antea notato; diſtantia illa, quam eandem cum maximo deſcenſu A E fore pu-
tabam, opinione longe minor fuit; unde edoctus fui partem aquæ, quæ
in experimento jam per B effluxerat, tubum rurſus ingreſſam fuiſſe.
His ita obſervatis, magnitudines B P & A E calculo quæſivi ad normam
§. 27. ponendo m primo = n deinde mm = 2nn, inveni autem in caſu prio-
re B P = 79. quæ in experimento non ſuperavit 33. maximumque deſcen-
ſum AE proxime reperi = 250. quem experimentum dedit 88. dein pro
caſu mm = 2 nn oritur B P præter propter dupla illius, quæ obſervata
fuit & A E = 186. quæ 54. particularum obſervata fuit.
Enormes has differentias maxima ex parte adhæſioni aquæ ad latera tu-
bi tribuo, quæ certe adhæſio in hujusmodi caſibus incredibilem exercere po-
teſt effectum, uſus enim ſum tubo vix ultra duas lineas in diametro haben-
tem, majorem utique conſenſum experturus cum tubo ampliore. Interim
veriſimile eſt, curvaturam tubi in parte inferiore, aliquid etiam motui derogare.
Ad §. 28. Eodem tubo recurvo, quem modo deſcripſi, uſus ſum: oper-
culum autem poſui in B minimo foramine pertuſum: feci ut totus aquâ
eſſet plenus præter particulam F G B, in quo ſitu aquam detinui ope digiti
orificio C appoſiti. Remoto digito deſcendit aqua, & cum perveniſſet in
ſitum H D B, guttulæ aliquot tanto impetu per foraminulum in B fuerunt
veluti exploſæ, ut ad altitudinem plusquam decem pedum aſcenderint, quam-
vis altitudo H A altitudinem dimidii pedis vix ſuperaret. Interim ob exigui-
tatem foraminuli tantam reſiſtentiam offendit aqua dum tranſiret orificium, ut
fracto impetu aqua non ſolum non ad altitudinem A H aſcenderit (ſupra quam
tamen remotis omnibus impedimentis aſſilire paullulum continue debuiſſet)
ſed vix guttula una aut altera notabili temporis mora fuerit expreſſa, ita ut mihi
perſuadeam, ſi absque impetu ſola aquæ preſſione naturali tantus jactus pro-
ducendus fuiſſet, id fieri non potuiſſe niſi altitudine minimum centum pedum.
Dein etiam obſervavi jactum aquæ diminui eo magis quo minus ante
experimentum relinquitur ſpatium G B; quæ omnia theoriæ ſunt conformia.
Menſuras ſuperfluum fuiſſet ſumere, quia ob nimia impedimenta tantus eſſe
utique nequit jactus aquæ, quantus illis remotis futurus fuiſſet. Attamen ut
& has convenire cum formulis experimento confirmarem, tubum C D B
ſumſi ampliorem, ut impedimenta adhæſionis maxima parte auferrem,
7460HYDRODYNAMICÆ. D F B parvula erat, minorque etiam pars G B, quam in experimento ab aqua
relinquebam vacuam: ac denique operculum foramine non admodum parvo
erat pertuſum. Et tunc vidi ſaltum non multum admodum defeciſſe ab altitu-
dine {mmδ/nnß} a, quam §. 28. pro hoc negotio dedi, imo memini me præſenti
Amico altitudinem ſaltus recte prædixiſſe, poſtquam perpendiſſem, quantum
in calculo præter propter impedimentis eſſet dandum.
Similem aquæ exploſionem momentaneam eamque à ſimili cauſa oriun-
dam facillime obtinebis cum fontibus, qui aquas per fiſtulam pleno orificio eji-
ciunt. Si enim digitum orificio fiſtulæ ſubito ita apponas, ut pars orificii aper-
ta maneat, protinus aquas magno impetu expelli videbis, moxque tenue aquæ
filum intra priſtinos velocitatis limites reduci. Obſervabis etiam aquas eò ma-
jori impetu atque longius projici quo minus digito relinquas foramen, atque
pro eodem relicto foramine, jactum inſolitum eò magis protrahi (utut ſemper
breviſſimum) fierique oculis ſenſibiliorem, quo longior eſt fiſtula, ita ut in
fontibus ſalientibus, ad quos aquæ ex caſtello per longiſſimos canales ferun-
tur, ſi canales non eſſent admodum ampli & aquæ pleno effluerent orificio,
non dubito quin ſic per notabile temporis ſpatium vehemens aquæ jactus pro-
trahi poſſet, gradatim ad ſolitam velocitatem rediturus: Hæc omnia confor-
mia ſunt cum iis, quæ §. §. 28. & 18. monita fuerunt.
Experimentum hoc me aliquando & prima quidem vice feciſſe memi-
ni coram V. V. Cel. D. D. De Maupertuis & Clairaut, cum quibus antea in ſer-
monem de rebus iſtis aquariis forte delapſus eram. Quamvis autem hic nullus
ſit aër, qui accuſari poſſit, revera tamen phænomenon iſtud ab eo, quod D.
de la Hire obſervatum fuit, non differt, & utrumque ab eo provenit, quod
motus aquæ in canali contentæ, vel ſaltem motus iſtius pars perire non poſſit,
fine ullo inde proveniente effectu, quem ipſe enormis aquarum jactus con-
ſtituit.
75(61)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO QUARTA.
De variis temporibus, quæ in effluxu aquarum
deſiderari poſſunt.
§. 1.
REs videbitur multis omnino Geometrica, quæ ſcilicet nulla conſide-
ratione phyſica opus habeat, ut, cum aquæ ex dato vaſe per lumen co-
gnitum velocitatibus in omniſitu determinatis effluunt, tempus de-
finiatur, quo data effluat aquæ quantitas. Attamen experientia contra-
rium docet; nam multo minori quantitate aquæ effluunt perforamina, quæ ſunt
in lamina tenui, quam ex ſimplici velocitatum conſideratione ſequeretur, idque
plerumque (nec enim res ſibi conſtat in diverſis circumſtantiis) in ratione ut
1 ad √ 2; movit hoc Newtonum, ut affirmaret in prima Princ. math. editio-
ne aquam ex vaſe ea effluere velocitate, quæ generetur altitudine dimidia aquæ
ſupra foramen, cui opinioni omnia experimenta de velocitatibus immediate
ſumta, contradicunt. Explorans poſtmodum ipſe magnus Vir hujus contra-
dictionis originem, eam poſitam eſſe obſervavit in contractione venæ aqueæ,
quæ contractio mox præ foramine fieri ſolet. Alia quoque mihi obſervata fuit
venæ mutatio priori nunc ſimilis nunc contraria. Nempe cum aquæ non per
fimplex foramen, verum per tubulum effluunt, rurſus contrahitur vena, ſi
tubus exteriora verſus convergit, ſed dilatatur ſi idem divergit. De contra-
ctione venæ aqueæ per tubos convergentes effluentis accuratiſſima ſumſit ex-
perimenta Joh. Polenus in libro de caſtellis p. 15. & ſeqq. contractio venæ eo
major à Viro Celeberrimo obſervata fuit, quo amplius erat orificium tubi co-
nici internum manentibus orificio externo atque longitudine tubi, quæ ratio eſt,
quod ſimilis aquæ quantitas ceteris paribus eò tardius effluxerit, quò amplius
fuerit orificium internum, quamvis impedimenta ab adhæſione aquæ ad
7662HYDRODYNAMICÆ. ra tubi minorem continue habuerit effectum: fecerunt autem iſtæ impedimen-
torum diminutiones, ut aquæ majori velocitate in loco, quo vena maxime
erat contracta, fluerent, & nihilominus parcius erogarentur: verum id eſſe
colligitur ex obſervatis effluxus temporibus & venarum, ubi maxime contra-
huntur, amplitudinibus. Igitur cum in hiſce venæ mutationibus cardo reiver-
tatur, è re erit phænomena uberius examinare & explicare.
§. 2. Aſſumamus v. gr. cylindrum verticalem, qui in medio fundi
horizontaliter poſiti, habeat foramen, aqua autem interna diviſa concipiatur
in ſtrata horizontalia: His ita poſitis, cenſuimus motum cujusvis ſtrati eun-
dem eſſe & talem quidem, ut ſitus horizontalis in illis conſervetur, ubi tamen
monui, non poſſe hanc hypotheſin extendi ad ſtrata foramini proxima, quo-
niam vero inde nullus error ſenſibilis oriri poſſit ratione velocitatis aquarum
effluentium, operæ pretium non eſſe, ut ejus rei ratio habeatur. Nunc vero,
quando alia phænomena à motu aquæ internæ obliquo, qualis præſertim in
prædictis ſtratis foramini proximis eſt, pendent, hunc paucis luſtrabimus.
§ 3. Mihi autem videtur motum@ aquæ internæ talem eſſe conci-
piendum, qualis foret ſi aqua ferretur per tubulos infinitos juxta ſe poſitos,
quorum intermedii proxime rectà à ſuperficie verſus foramen deſcendunt, re-
liquis ſenſim ſe incurvantibus prope foramen, uti Fig. 28. a oſtendit, ex quâ
11Fig. 28. a. apparet, ſingulas particulas hoc modo deſcendere motu tantum non verticali,
donec fundum prope attingant, eaſque tunc curſum ſuum ſenſim verſus fo-
ramen inflectere, ita ut particulæ fundo proximæ motu fere horizontali, alte-
ræ magis verticaliter ad foramen effluant. Hujuſmodi motus ſæpe oculis ob-
ſervare potui, cum particulæ ceræ, quam vocant Hiſpanicæ, innatabant aquæ.
Exinde autem intelligitur non poſſe ſingulas particulas foramini adſtantes dire-
ctionem ſuam integram ſervare, neque tamen ita eam inflectere, ut motum axi
plane parallelum aſſumant, ſed fore potius, ut vena aquæ effluentis contra-
hatur uſque in d e, ubi ſic notabiliter gracilior erit, quam in ortu circa fora-
men a c. Hæc autem contractio venæ verticaliter fluentis non confundenda eſt
cum alia contractione, quæ fit ab acceleratione aquæ. Dein patet quoque,
quod cum ſingularum particularum foramini adſtantium diverſa ſit directio,
neceſſario ab impetu, quem in ſe mutuo faciunt eædem particulæ, vena
7763SECTIO QUARTA. primatur, atque ſic gracileſcat. Et ab iſta compreſſione fit, quod alias con-
tradictionem involveret, ut aqua jam jam egreſſa, etiamnum præ foramine ac-
celeretur, & ſic aſcenſ{us} potentialis creſcat, etiamſi ad alteram accelerationem
omnibus corporibus cadentibus communem non attendamus, ceu huc non
pertinentem, & cujus deinceps mentionem non faciemus. Hæc autem niſi me
fallat opinio, res erit porro hunc in modum tractanda.
(I.) Eouſque vena aquæ conſideranda eſt, donec particularum velo-
citates amplius non mutentur, quod quamvis nunquam fiat omni rigore, at-
tamen non procul à foramine fieri cenſendum eſt, veluti in d e. Hoc
autem ſi ita fuerit & aquæ ex vaſe A B C D per foramen a c effluere
ponantur, erit loco vaſis ſimplicis A B C D concipiendum aliud com-
poſitum A B a d e c C D.
Quicquid igitur in præcedente ſectione præmiſſum fuit, pro determi-
nandis ubique velocitatibus, id omnino locum habebit, ſi loco vaſis ſubjecti
concipiatur vas, quod dixi tubulo contracto inſtructum. Nec tamen hæc cor-
rectio, ratione præmiſſæ noſtræ methodi velocitatum aquæ effluentis determi-
nandarum, ſenſibilem mutationem producere poteſt ob brevitatem tubuli a d c e,
poteſt autem valde notabilem ratione quantitatis, quia aquæ non tam per ori-
ficium a c, quam per d e effluere cenſendæ ſunt.
(II.) Sic erunt velocitates in diverſis locis ipſius venæ reciproce ut
amplitudines ſectionum reſpondentium & cum in vaſis ampliſſimis velocitas
in d e talis ſit quæ toti altitudini aquæ conveniat, ſimulque experimentis con-
ſtet, amplitudines a c & d e proxime eſſe ut √ 2 ad 1, putavit Newtonus ſic
confirmari poſſe theoriam ſuam, qua ſtatuit aquam ex foramine vero veloci-
tate effluere quæ debeatur dimidiæ altitudini aquæ ſupra foramen, quamvis in
progreſſu velocitas aquæ creſcat: quâ in re mihi videtur nimium adhæſiſſe præ-
conceptæ opinioni: neque enim ratio orificii a c ad d e ſemper eadem eſt, ne-
que ſic explicari poteſt motus aquarum ex vaſe, cui tubulus adhæret: verbo!
attenuatio venæ prorſus accidentalis eſt, poteſt enim tota impediri, apponen-
do foramini parvulum tubulum cylindricum vel augendo tantum craſſitiem la-
minæ, cui foramen ineſt, & tunc ſine ulla correctione locum habent tam
7864HYDRODYNAMICÆ. tione velocitatum quam quantitatum theoremata, quæ in præcedente ſectione
exhibita fuerunt.
(III.) Patet autem ex ipſa explicatione ſupra data de contractione venæ,
non poſſe non illam à diverſis circumſtantiis mutari; ita experimenta docent,
diminui eandem ab auctâ laterum foraminis craſſitie: an altitudo aquæ ſupra
foramen aliquid conferat non ſatis ſcio: crediderim fere creſcere aliquantulum
contractionem ab aucta altitudine aquæ internæ, quamvis facile parum id fore
prævideam: veriſimile quoque eſt, eo minorem cæteris paribus fore contra-
ctionem venæ, præſertim verticalis, quo majorem rationem habuerit amplitudo
foraminis ad amplitudinem cylindri, quia motus aquæ internæ fundo proximæ
eo minus fit obliquus, ita ut ſi foramen totam amplitudinem cylindri occupet,
nulla utique attenuatio venæ aqueæ oriri poſſit. Ad hoc animum advertant ve-
lim, qui hujus contractionis in ipſa velocitatum determinatione rationem ha-
bendam eſſe fortaſſe cogitabunt. Cum enim foramen non multo minus eſt
amplitudine vaſis, nulla oriri poteſt contractio notabilis & cum foramen eſt
parvum, nulla rurſus oritur fere differentia circa velocitates ſive foramen ali-
quantum augeatur ſive diminuatur.
§. 4. Eadem propemodum ratio eſt aquarum horizontaliter, ut de
aliis directionibus taceam, effluentium: nam ſimili modo ab omni parte af-
fluet aqua ad foramen; imo etiam ex inferiori parte aſcendet uſque ad foramen
ut effluere poſſit, quod ipſe ſæpe fieri obſervavi. Simili igitur cauſa ſimilis
fiet in vena effluente attenuatio, quam eo facilius eſt oculis perſpicere, quod
hîc locum non habeat altera atteuuatio ab acceleratione aquæ jam egreſſæ
oriunda. Et ob hanc rationem, ſi quis obſervationes circa contractionem
venæ facere inſtituat, is meo judicio melius faciet, utendo venis horizontali-
ter, quam ſub aliâ directione effluentibus.
§. 5. Quanta autem ſit contractio, id eſt, quænam ratio intercedat
inter amplitudinem orificii ſectionemque venæ horizontaliter effluentis mini-
mam experiri licet vel ſumendo actu menſuras diametrorum iſtis amplitudini-
bus reſpondentium, vel etiam mediante quantitate aquæ dato tempore, da-
tisque velocitatibus effluentis, ubi tamen velocitates non tam ex altitudine
aquæ ſupra foramen, quam ex amplitudine jactus deducenda erunt,
7965SECTIO QUARTA. quidem impedimenta nunc majora nunc minora nunquam omnem aquæ ve-
locitatem permittant, quam vi theoriæ, qua horum impedimentorum ra-
tio nulla habetur, acquiere deberet.
§. 6. Ex præmiſſis nunc ſatis patere puto perfectum conſenſum fore
inter quantitatem aquæ effluentis ejuſque velocitatem, ſi modo foramini, quod
eſt in vaſe, ſubſtituatur aliud foramen eo uſque diminutum, donec ſectionem
venæ maxime contractæ non ſuperet: atque perinde erit, in quonam venæ
loco, aut in quânam profunditate à ſuperficie aquæ foramen hoc eſſe conſti-
tuatur, ſive in a c ſive in d e, quandoquidem velocitates ſemper proxime re-
ſpondebunt toti altitudini aquæ ſupra eum locum, quo foramen fingitur: am-
plitudinem hujus foraminis mente concipiendi vocabo deinceps Sectionem ve-
næ aqueæ contractæ.
§. 7. Quod ſi jam Sectio iſta, de quâ modo diximus, conſtantem
haberet rationem ad orificium, in eadem ratione diminuendum cogitatione
foret foramen effluxus, poſtmodumque calculus de quantitate aquæ dato tem-
pore effluentis inſtituendus. Ita nempe poſita iſta ratione = {1/α} nominatâque
amplitudine orificii n, cenſenda eſſet Sectio venæ ſolidæ = {n/α}.
At variabilis cum ſit ſub diverſis circumſtantiis, regulas in hanc'rem à
priori dare non licet: mutatur autem maxime à craſſitie laminæ, in quâ fora-
men eſt, aucta vel diminuta: aliquid etiam, quamvis id parum, conferre po-
teſt magnitudo foraminis, amplitudines vaſis, hæque tam abſolutæ, quam rela-
tivæ, ut & fortaſſe altitudo aquæ ſupra foramen. Interim aſſumtis lamina te-
nui, vaſe ampliſſimo, foramine ad 4. vel 6. lineas in diametro aſſurgente; ſolet
ratio inter foramen & Sectionem venæ contractæ non multum recedere ab illâ,
quam Newtonus ſtatuit, nempe ut √ 2 ad 1. Sæpe autem ab aliis major ob-
ſervata fuit, atque ab aliis etiam minor.
§. 8. Quæcunque vero ſit, in quolibet caſu illam indicabimus, ut an-
te, per {α/1. } Huicque poſitioni nunc calculum pro temporibus ſuperinſtruemus;
brevitatis autem gratia conſiderabimus tantum vaſa cylindrica, atque in his
duo potiſſimum examinabimus temporum genera; primum quod punctum
maximæ velocitatis definit, alterum, quod depletioni reſpondet. In utroque
vero caſu motum à quiete incipere ponemus.
8066HYDRODYNAMICÆ
§. 9. Fuerit igitur vas cylindricum verticaliter poſitum aqua ple-
num, ſitque altitudo aquæ ab initio fluxus = a, amplitudo cylindri = m, am-
plitudo foraminis = n, Sectio venæ ſolidæ = {n/α} effluxerit jam aqua per tempus
t; ſitque tunc altitudo aquæ reſidua ſupra foramen = x, eodemque temporis
puncto habeat ſuperficies aquæ internæ velocitatem, quæ reſpondeat altitudini
v: erit velocitas ipſa = √ v, eſt autem elementum temporis d t proportio-
nale elemento ſpatii - d x diviſo per velocitatem √v, unde dt = {- dx/√v}.
Determinatus @equidem fuit valor ipſius v in ſect. 3. ubi iisdem denomi-
nationibus uſi ſumus, quibus nunc utimur. At quoniam pro recta aquarum
erogatarum menſura requiritur, ut foramini n ſubſtituatur ſectio venæ con-
tractæ {n/α}, ſequitur, ut in valore ipſius v eadem fiat ſubſtitutio atque ſic ſta-
tuatur v = {nna/2nn - mmαα}(({a/x}){1 - mmαα/nn} - {x/a})
Hic vero valor ſi ſubſtituatur in æquatione
dt = {- dx/√v}, oritur
dt = - dx: √[{nna/2nn - mmαα} (({a/x}){1 - mmαα/nn} - {x/a})]
ope cujus æquationis omnia tempora deſiderata definiri poſſunt per approxi-
mationes, ſeu ſeries, ſi modo in ſingulis punctis valor ipſius α innoteſcat:
Aſſumemus autem eſſe illum conſtantis valoris, quandoquidem in præſenti
caſu nihil ſit, à quo mutari poſſit præter diverſas altitudines & velocitates
fluidi, quæ parum vel nihil quantum ſenſibus percipi poteſt ad id negotii
conferunt.
§. 10. Jam ut æquatio deſiderata per ſeries exhiberi poſſit, conſiderabi-
mus quantitatem.
1: √[{nna/2nn - mmαα} (({a/x}){1 - mmαα/nn} - {x/a})] fub hâc forma
({nnx/mmαα - 2nn})- {1/2} X (1 - ({x/a}){mmαα/nn} - 2) - {1/2}
8167SECTIO QUARTA. poſteriorem per regulas ſolitas reſolvemus in hanc ſeriem
1 + {1/2} ({x/a}){mmαα/nn} - 2 + {1. 3/1. 2. 4} - ({x/a}){2mmαα/nn} - 4 + {1. 3. 5/1. 2. 3. 8}({x/a}){3mmαα/nn} - 6
+ & c. unde nunc habetur mutata paullulum æquationis forma:
dt = - {dx√mmαα - 2nn}/n√a} X [({x/a})- {1/2} + {1/2} ({x/a}){mmαα/nn} - {@/z}
+ {1. 3/1. 2. 4} ({x/a}){2mmαα/nn} -{9/2} + {1. 3, 5/1. 2. 3. 8} ({x/a}){3mmαα/nn} - {13/2} + & c. ]
Hæc æquatio ita eſt integranda, ut poſita x = a fiat t = 0; ſic autem oritur
t = [2 + {nn/2mmαα - 3nn} + {3nn/16mmαα - 28nn} + & c. ] X {√(mmαα - 2nn). a/n}
- [2{(x/a)}{1/2} + {nn/2mmαα - 3nn} ({x/a}){mmαα/nn}-{3/2}
+ {3nn/16mmαα - 28nn} ({x/a}) {2mmαα/nn} - {7/2} + & c. ] X
X {√(mmαα - 2nn). a/n},
ubi 2 √ a exprimit tempus quod corpus impendit dum libere delabitur per
altitudinem a. Si vero in iſta æquatione ponatur
x = a: ({mmαα - nn/nn})nn: ({mmαα - 2nn})
quæ eſt altitudo aquæ cum velocitas maxima eſt (per §. 16. ſect. 3. & §. 8. ſect
4.) , tum obtinetur tempus quod à fluxus principio ad punctum maximæ ve-
locitatis usque præterit; & cum ponitur x = o, oritur tempus, quo vas to-
tum depletur, ac denique ſi ponatur x = cuicunque quantitati c, exprimet t
tempus quod ſuperficies inſumit in deſcenſum per altitudinem a - c; Videbi-
mus autem pro his caſibus, quid fieri debeat, cum vas eſt valde amplum,
numerusque m alterum n ſic pluries continet.
§. 11. Fuerit primo {m/n} numerus infinitus, erit altitudo aquæ puncto
maximæ velocitatis reſpondens ſeu
8268HYDRODYNAMICÆ.
a: ({mmαα - nn/nn}){nn: (mmαα - 2nn)} = a: ({mmαα/nn})nn: mmαα
quoniam autem {mmαα/nn} eſt numerus infinitus, poterit cenſeri:
({mmαα/nn})nn: mmαα = 1 + (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn};
cujus rei demonſtratio talis eſt: propoſita ſit quantitas infinita A habeaturq; ut in
noſtro exemplo A1: A, facile quisque videt eſſe hanc quantitatem paullo majo-
rem, quam eſt unitas, & quidem exceſſu infinite parvo, quem vocabimus
z; habetur itaque A1 : A = 1 + z, ſumantur utrobique logarithmi & erit
{log. A/A} = log. (1 + z) = (ob infinitè parvum valorem ipſius z) z; Igitur
eſt A1: A = 1 + {log. A/A}: proindeque ſimiliter eſt, ut diximus,
({mmαα/nn})nn: mmαα = 1 + (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}
Porro quia quantitas hæc unitati addita eſt infinitè parva, erit
a: ({mmαα/nn})nn: mmαα ſeu
a: [1 + (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}) = a - a (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}:
eſt igitur ſpatium per quod ſuperficies aquæ deſcendit, dum à quiete maxi-
ma oritur velocitas = a (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}, ſeu = {2nna/mmαα} log. {mα/n}.
Indicat hæc æquatio deſcenſum aquæ in vaſe infinite amplo infinite par-
vum eſſe, cum aqua jam maximum velocitatis gradum attigerit: Potuiſſet au-
tem hoc non obſtante dubitari, an non interea quantitas aquæ finita effluat,
quandoquidem cylindrus ſuper baſi infinita erectus, utut altitudinis infinite
parvæ magnitudinem poſſit habere infinitam: at ſequitur ex noſtra æquatio-
ne, hanc quoque quantitatem infinite parvam eſſe, & nominatim æqualem
{@nna/mαα}log. {mα/n}.
Atque convenit hoc egregie profecto cum phænomenis, quæ in ef-
fluxu aquarum ex caſtellis per ſimplex foramen toto die experimur.
8369SECTIO QUARTA. enim foramen digito obturamus, moxque remoto digito aquas horizontali-
ter effluere ſinimus, nullam guttulam in terram delapſam obſervamus me-
diam inter jactum longiſſimum & locum, qui foramini ad perpendiculum
reſpondeat.
§. 12. Prouti in proximo paragrapho determinavimus quantitates ut-
ut infinite parvas, deſcenſus aquæ internæ uti & effluentis aquæ dum maxi-
ximum velocitatis gradum aqua attingit, ita nunc idem præſtabimus ratione
tempusculi. Dico eutem ſufficere in æquatione §. 10. tempus exprimente,
ut in utraque ſerie unicus accipiatur terminus primus, quod apparebit cum
quis calculum ad duos extenderit terminos: eſt igitur tempuſculum quæſi-
tum ſive
t = (2 - 2√{x/a}) X {√(mmαα - 2nn). a/n}
hinc poſito pro x valore huc pertinente, qui in præcedente paragrapho fuit
definitus, fit
t = [2 - 2√1 - (log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}] X √({mmαα - 2 nn/nn})·a
vel poſito 1 - (log. {mmαα/nn}): {2mmαα/nn} pro reſpondente quantitate ſigno ra-
dicali involuta prodit
t = [(log. {mmαα/nn}): {mmαα/nn}] X √({mmαα - 2nn/nn})·a}
aut denique rejecta quantitate 2 nn in ſigno radicali, oritur t = {2n√a/mα}. log. {mα/n}.
Eſt autem hoc tempusculum infinite parvum, quia, ut notum eſt, lo-
garithmus quantitatis infinitæ infinities minor eſt ipsâ quantitate. At vero
cum ſic ſtatim ab initio fluxus, aqua maxima ſua velocitate expellitur, mi-
rum prima fronte videbitur fortaſſe aliquibus, motum in inſtanti generari
finitum: nemo tamen abſurdum putabit, maſſam infinitam, cujusmodi
eſt quantitas aquæ in vaſe infinito contentæ, poſſe tempuſculo infinitè parvo
motum producere finitum, idque ſolâ gravitatis actione.
§. 13. Si præterea in iſta vaſis infinite ampli poſitione tempus deple-
tionis, quod utique infinitum erit, exprimere velimus, erit, ut ſupra
8470HYDRODYNAMICÆ. catum fuit, in æquatione paragraphi decimi ponendum x = o, ſintulque
ſolus primus ſeriei terminus adhibendus rurſusque ponendum m α pro
√(mmαα - 2nn); atque ſic fit
t = {2mα/n}√a.
Tum denique tempus, quod impenditur in deſcenſum ſuperficiei per
altitudinem a - c exprimetur in ſimili hypotheſi hac æquatione
t = {2ma/n} (√a - √c). }
§. 14. Præmiſſæ æquationes non accurate quidem, proxime tamen
ſatisfacient, cum vas non infinitæ, permagnæ tamen amplitudinis eſt: imo
non multum admodum defieient, cum numerus m vel mediocriter ſuperat
numerum n. Liceat quædam hic verba adjicere circa experimentum quod in
fine paragraphi undecimi indicavi, deturque hæc venia inſtituto noſtro,
quod in phænomenis motuum experientia cognitis potiſſimum verſatur il-
luſtrandis examinandisque. Dixi autem in citato paragrapho cum aqua ho-
rizontaliter effluit, primam guttulam totam ſtatim obtinere amplitudinem
jactus; atque idem hoc quidem indicat theoria pro vaſis ampliſſimis; at ve-
ro in vaſis mediocriter amplis, quædam guttulæ minori impetu effluere de-
berent, priusquam punctum maximæ velocitatis adſit, hæque guttulæ in-
cidere deberent in locum aliquem medium inter maximum jactum & pun-
ctum, quod foramini verticaliter reſpondet; atque hoc etiam ita fieri ob-
ſervavi, ex vaſis amplitudinis veluti decies foramine majoris. Verum cum
experimentum aliquando ſumerem de vaſe pedem dimidium alto, quod am-
plitudinem præter propter centuplam haberet foraminis, ne minima quidem
particula aquæ, quantum videre potui, notabiliter à jactu aquæ pleno de-
fecit. Videamus itaque quænam aquæ quantitas in hoc caſu effluere deberet
ante punctum maximæ velocitatis; erit autem tanta, quantam continet cy-
lindrus ejusdem amplitudinis in altitudine
a - a: ({mmαα - nn/nn})nn: (mmαα - 2nn)
(vid. §. 10. ſub. fin.) ; nec differt fere hæc minima altitudo ab hac multo com-
pendioſiori, nempe {2nna/mmαα} log. {mα/n} (vid. §. 11.) ubi nunc per {n/m}
8571SECTIO QUARTA. tur {1/100} & per a pes dimidius, dum pro a ſubſtitui poteſt √2. (non deſide-
ramus enim hic ſummam accurationem) & per log. indicatur logarithmus
hyperbolicus, ita vero fit,
{2nna/mmαα}log. {mα/n} = {1/20000} (log. 100. + {1/2} log. 2.) =
0, 0002475 ped. ſeu, 0, 000297 poll. & quoniam amplitudinem vaſis
æqualem inveneram 6 {1/5} poll. quadratis, intellexi quantitatem aquæ quæſitam,
quæ nempe effluere debuiſſet priusquam jactus maximus oriretur, exæquare
circiter partem quinquageſimam ſecundam unius pollicis cubici, ſeu, poſito
guttam mediocrem ſex lineas cubicas efficere, plusquam quinque guttas. In ex-
perimento autem nullam obſervavi, cujus rei rationem eſſe ſuſpicor, quod primæ
guttulæ, quam vis jam ejectæ ab aqua ſubſequente tamen etiamnum propellantur;
nimis enim celeriter alteræ ſubſequuntur, quam ut primæ ab illis interea divelli
poſſint. Huc autem facit, quod tempusculum à fluxus initio ad maximam ex-
Pulſionem usque (quod nempe per §. 13. eſt proxime = {2n@√a/mα} log. {mα/n}, ubi
per 2√a hic intelligitur tempus, quo corpus per altitudinem dimidii pedis
labitur, id eſt, circiter {2/11} unius minuti ſecundi) quod inquam tempuſculum
illud non ultra partem centeſimam quinquageſimam octavam unius minuti
ſecundi excurrat.
Fortaſſe aliquid contribuit, quod non poſſit digitus ſat celeriter à fo-
ramine removeri. Præſertim vero huc pertinet, quod maxima pars illius
aquæ, quæ ante præſentem maximam velocitatem erumpit, ita ad maximam
jactum accedat, ut nulla differentia obſervari poſſit & ſic vix unica guttula
notabili diſcrimine ab illo defectura fuiſſet, ſi ſe libere ab aqua ſubſequente
ſeparare potuiſſet.
§. 15. Hactenus de aquis per foramina effluentibus: progrediamur
nunc ad effluxum aquarum ex vaſis per conos ſeu convergentes ſeu diver-
gentes. Quod ſi autem aquæ effluant per tubum convergentem, dictat ea-
dem ratio à motu particularum convergente petita §. 3. pro foraminibus ſim-
plicibus expoſita, fore ut aquæ vena præ foramine contrahatur etiam-
num ejusque particulæ accelerentur & ſic quantitas aquæ dato tem-
pore effluentis minor ſit quam menſuræ orificii effluxus & velocitatum,
nulla habita ratione ad contractionem venæ, indicant. Parva autem
8672HYDRODYNAMICÆ. eſſe iſta contractio in tubis longioribus. In tubis divergentibus omnia fiunt
modo contrario: dilatatur enim vena præ foramine; aquæ motus retarda-
tur & major aquæ quantitas dato tempore effluit, quam ſine iſta dilatatione
ſequeretur ex obſervatis amplitudine orificii & velocitatibus aquæ per illud
effluentis. Ex tubis denique cylindricis effluens vena aquea nec contrahitur
nec dilatatur.
Probe eſt itaque attendendum ad has ſive contractiones ſive dilatatio-
nes in æſtimandis quantitatibus aquæ dato tempore effluentis, quam quæ-
ſtionem obiter tractabimus in fine ſectionis.
Nunc autem libet examini ſubjicere mutationes quæ in effluxus aquarum
ſuccedunt ab initio motus. In his vero compendii cauſa non attendemus ad
mutationes venæ; neque enim res ita eſt comparata ut poſſit experimentis ſatis
accurate confirmari neque magni momenti hic ſunt præfatæ mutationes; res
autem ipſa digna eſt, quæ ſollicite perquiratur ut ejus natura animo recte in-
telligi poſſit.
De vaſis, quæ tubos hahent annexos, jamjam egimus in ſuperiori ſe-
ctiones §. 31. §. 32. §. 33. & quidem paragrapho 31. æquationes dedimus ge-
neraliores, quæcunque fuerit ratio inter amplitudines vaſis & tubi: ſed ni-
mis ſunt perplexæ calculumque poſtulant admodum operoſum: In paragra-
pho, qui hunc ſequitur, hypotheſin pertractavi, quæ vas ubique amplitudi-
nis infinitæ ratione tubi facit, in qua hypotheſi dixi, aquam effluere velocita-
te, qua ad integram altitudinem aquæ ſupra orificium effluxus aſcendere poſ-
ſit; ſed tamen in fine paragraphi expreſſe monui, ab initio motus aquam
tardius deſcendere, quam ſic definitum fuit, nec regulam iſtam prius locum
habere, quam ſuperficies per ſpatiolum aliquod deſcenderit, quæ res per ſe ſa-
tis patet, quandoquidem non poſſit in inſtanti velocitas maxima produci à
ſtatu quietis in tubo, quamvis fiat in vaſe foramine ſimplici perforato.
Hæc ita perpendens animo concepi mutationes initiales explorare, eas-
que ad certas menſuras reducere. Ad hoc autem minime ſufficit præmemorata
regula, quâ iſtarum mutationum initialium nulla ratio habetur, quamvis cæ-
terum exacte vera in vaſe infinite amplo; omnes enim mutationes quæ ſta-
tum maximæ velocitatis præcedunt, fiunt dum ſuperficies per ſpatiolum infi-
nite parvum deſcendunt; attamen deſcenſus iſte, ſi modo vas fuerit
8773SECTIO QUARTA. Geometrico infinitum, non ſolum non fit tempore infinite parvo, prouti in
caſu foraminis ſimplicis, ſed tempore infinitè magno, intereaque etiam quan-
titas aquæ infinita effluit, cum per foramen quantitas cæteris paribus infinite
parva effluat. Hæc autem ut eruerem, opus habui aliam elicere æquationem
ex æquatione generali §. 23. ſect. 3. quam ſimpliciſſimam hanc s = x, poſita
s pro altitudine, quæ velocitati aquæ effluentis reſpondeat & x pro altitudi-
ne aquæ ſupra orificium effluxus; intelliget autem quisque rem pro inſtitu-
to noſtro ita eſſe efficiendam, ut habeatur ratio incrementorum velocitatis,
quod antea non requirebatur.
§. 16. Fuerit igitur ut in paragrapho 22. ſect. 3. cylindrus A E H B
(Fig. 18.) is que cenſeatur infinite amplus & aqua plenus, habeatque tubum
annexum F M N G finitæ amplitudinis formæ coni truncati, ſive creſcentis
amplitudine ſive decreſcentis verſus orificium M N, per quod aquæ effluunt:
ſit ut ibi altitudo initialis aquæ ſupra foramen M N, nempe N G + H B = a;
altitudo ſuperficiei aqueæ in ſitu C D ſupra M N, id eſt, N G + H D = x;
longitudo tubi annexi ſeu N G = b, amplitudo orificii M N = n, amplitudo
orificii F G = g, amplitudo cylindri, quæ eſt infinita, = m; ſitque tandem
velocitas ſuperficiei aquæ in ſitu C D talis quæ conveniat altitudini v, quæ
altitudo utique infinite parva erit. His poſitis vidimus loco citato obtinere
generaliter hanc æquationem:
m(x - b)dv + {bmm/√gn}dv - {m3/nn}vdx + mvdx = - mxdx
in quâ patet, poſſe nunc negligi terminum primum m(x - b)dv præ ſe-
cundo {bmm/√gn}dv, ut & quartum mvdx præ tertio - {m3/nn}vdx, atque ſic aſſumi
{bmm/√gn}dv - {m3v/nn}dx = - mxdx.
in qua æquatione ſi rurſus negligatur primus terminus, quod fieri poteſt,
niſi mutationes etiam deſiderentur, quæ durante primo deſcenſu, etſi infi-
nite parvo fiunt, orietur regula vulgaris aſcenſus potentialis aquæ effluentis ad
altitudinem integram aquæ: nunc vero pro noſtro negotio, quo mutatio-
nes illas primas deſideramus, terminus iſte retinendus erit, atque ſic æqua-
tio ultima in tota ſua extenſione pertractanda.
8874HYDRODYNAMICÆ
Ponatur autem pro ſeparandis ab invicem indeterminatis {mm/nn}v - x = s, ſive
v = {nn/mm}(s + x), atque dv = {nn/mm} (ds + dx) ſicque fiet
dx = {- nnbds/nnb - ms√gn},
quæ ita eſt integranda, ut facta x = a, prodeat v = o, hincque s = - a,
ita vero fit
x - a = {nnb/m√gn}log. {nnb - ms√gn/nnb + ma√gn}
& poſito pro s valore ejus aſſumto {mm/nn}v - x, prodit
x - a = {nnb/m√gn}log. {n4b - m3v√gn + mnnx√gn/n4b + mnna√gn}
Hic rurſus in quantitate ſigno logarithmicali involuta poteſt ex nume-
ratore eliminari terminus n4b, infinities nempe minor termino mnnx√gn
nec non ex denominatore terminus n4b infinities pariter minor altero
mnna√gn. Et ſic fit
x - a = {nnb/m√gn}log. {nnx - mma/nna}
Inde habetur, poſito c pro numero cujus logarithmus eſt unitas:
v = {nnx/mm} - {nna/mm} X c {m. (x - a)√gn/nnb}
aut poſita a - x = z, ſic ut z denotet ſpatium, per quod ſuperficies aquæ
jam deſcendit, poterit æquationi hæc conciliari forma:
v = {nn. (a - z)/mm} - {nna/mm}: c{mz/nb}√{g/n}
de qua iterum liquet quod cum z vel minimam habuerit rationem ad b, fiat
denominator alterius termini infinitus & v = {nn. (a - z)/mm} = {nnx/mm}: at vero ali-
ter ſe res habet, quamdiu deſcenſus z infinite parvus eſt, quem caſum nunc
conſideramus.
§. 17. Hiſce præmiſſis facile nunc eſt definire per quantulum ſpatium
deſcendat fluidum, dum maximam velocitatem acquirit, faciendo
8975SECTIO QUARTA. dv = o, ſive - {nndz/mm} + {na/mb}√{g/n}: c{mz/nb}√{g/n} = o, id eſt,
z = {nb/m}√{n/g}, X log. ({ma/nb}√{g/n})
Hæc autem altitudo multiplicata per altitudinem cylindri m dat quan-
titatem aquæ interea effluentis, nempe nb√{n/g} X log. ({ma/nb}√{g/n},) quæ quan-
titas, ut ſupra §. 15. præmonui, eſt infinita, quamvis tantum logarithmica-
liter, cujusmodi infinitum minus eſt, quam radix cujuscunque dimenſionis
datæ ex eodem infinito; eſt ſcilicet log. ∞ minor quam ∞ {1/n}, quantuscunque
fuerit numerus n aſſignabilis. Atque hoc ideo moneo, ut ſic intelliga-
tur, qui fiat, ut, ſi à vero infinito ratiocinamur ad quantitates valde ma-
gnas, quantitas iſta aquæ ſat parva evadat. Cæterum corollaria formulæ
hæc ſunt.
(I) Si tubus annexus eſt cylindricus, fit z = {nb/m}log. {ma/nb}:
Igitur cæteris paribus hæc quantitas ſe habet, ut longitudo tubi annexi, quod
generaliter etiam verum eſt: nam à mutato valore ipſius b cenſenda eſt non
mutari quantitas log. {ma/nb}√{g/n} ob valorem infinitum numeri {m/n}.
(II) Pro eodem orificio g cæterisque etiam paribus, ſequitur quantitas z
ſesquiplicatam rationem orificii extremi: atque ſi idem tubus modo orifi-
cio ſtrictiori modo ampliori vaſi applicetur, erit quantitas aquæ in caſu prio-
ri ad ſimilem quantitatem in poſteriori, ut quadratum orificii amplioris, ad
quadratum orificii minoris.
(III) Denique obſervandum eſt valere totum ratiocinium pro omnibus
directionibus tubi, quod quivis perſpiciet qui §. 22. ſect. 3. recte examinabit.
Poterit igitur tubus adhiberi etiam horizontalis aut ſub quâcunque alia di-
rectione & utcunque incurvus, ad quod præſertim in inſtituendis experimen-
tis animus erit advertendus. Semper autem intelligetur per b longitudo tu-
bi, per a vero altitudo aquæ verticalis ſupra orificium extremum.
§. 18. Venio nunc ad tempus, quo iſtæ mutationes à quiete ad
9076HYDRODYNAMICÆ ximam velocitatem fiunt: Dico autem poſſe in calculo hujusmodi tempo-
rum ſimpliciter poni v = {nn/mm}a; Reliquæ enim quantitates in æquatione ul-
tima §. 16. evaneſcunt, quantumlibet parva ſumatur altitudo z, modo ha-
beat rationem vel minimam aſſignabilem ad altitudinem illam infinite par-
vam, quæ reſpondet maximæ velocitati, nempe ad {nb/m}√{n/g} X log. ({ma/nb}√{g/n}).
Sequitur exinde eſſe prædictum tempus, quod vocabo
t = {b√n/√ga} X log. ({ma/nb}√{g/n})
& proinde infinitum, quamvis idem tempus admodum exiguum ſit, quum
amplitudo vaſis non eſt infinita, ſed utcunque magna, quod rurſus ex na-
tura infiniti logarithmicalis eſt deducendum.
§. 19. Quia altitudo velocitatis, ut vidimus in proximo paragrapho, poteſt
ſtatim cenſeri = {nn/mm}a, id eſt, æqualis maximæ, cum ſuperficies per minimam
partem aſſignabilem deſcenſus infinite parvi, poſt quem velocitas maxima
plena adeſt, deſcendit, ſequitur mutationes plerasque à quiete usque ad ſta-
tum maximæ velocitatis eſſe inſenſibiles, id eſt, infinite parvas, imo non
ſolum plerasque, ſed & omnes præter particulam infinite parvam: res ſci-
licet ſic ſe habet: velocitas à primo initio plane nulla eſt, & poſtquam aqua
per ſpatiolum infinite parvum deſcendit, jam eſt tantum non maxima; dein
dum per aliud ſpatiolum rurſus quidem infinite parvum priori tamen infinite
majus, deſcendit, pergit velocitate ſua moveri, incrementa ſumens infinitè
parva, & tunc demum vere maximam velocitatem attingit: Cum vero po-
ſteriores illæ mutationes ceu infinite parvæ non poſſint ſenſibus percipi, aliter
pertractabimus ea quæ à §. 17. dedimus theoremata, conſiderando loco mu-
tationum à quiete usque ad punctum maximæ velocitatis, easdem mutatio-
nes usque ad datum gradum velocitatis.
§. 20. Indagabimus itaque, per quantum ſpatiolum z ſuperficies aquæ
à ſtatu quietis deſcendere, quantaque aqua effluere, ac denique quantum
tempus præterire debeat, ut aqua interna velocitate moveatur, quæ gene-
retur lapſu libero per datam altitudinem, quam vocabimus {nn/mm}e, ita ut ip-
fa e denotet ſimilem altitudinem pro velocitate aquæ effluentis. Ad hoc
9177SECTIO QUARTA. quiritur, ut in æquatione ultimâ paragraphi decimi ſexti ponatur {nne/mm} pro
v, ſic autem erit
{nne/mm} = {nn(a - z)/mm} - {nna/mm}: c{mz/nb}√{g/n}
hincque deducitur {mz/nb}√{g/n} = log. {a/a - e - z}; hic vero cum e ponatur defice-
re notabiliter ab a poteſt rejici littera z ſigno logarithmicali involuta, unde
obtinetur
z = {nb/m}√{n/g} X log. {a/a - e}
Hæc vero æquatio jam indicat ſpatiolum, quod eſt infinite parvum,
& per quod deſcendit ſuperficies aquæ, dum à quiete velocitas aquæ effluen-
tis tanta ſit, quæ debeatur altitudini e; ſeque habet hoc ſpatiolum ad illud pa-
ragrapho decimo ſeptimo indicatum, quo nempe velocitas maxima oritur, ut
log. {a/a - e} ad log. ({ma/nb}√{g/n}) ita ut primum ſit infinities minus altero, etſi
pariter infinite parvo.
Si porro definita quantitas z multiplicetur per m, obtinetur quantitas
aquæ effluentis dum illa velocitas altitudini e debita producitur, quæ proin
quantitas eſt æqualis
nb√{n/g} X log. {a@/a - e}
atque ſic finitæ magnitudinis, & quidem eo majoris, quo longior ſumitur tu-
bus, & quo major jactus expectatur.
Denique tempus, quo idem fit, ſi recte ſeligantur termini rejiciendi,
reperitur æquale
2√({nbb/ag} log. {a/a - e})
atque ſic finitum ſed admodum parvum & in nullo exemplo ultra minutum ſe-
cundum facile extendendum.
§. 21. Hæc omnia accurate examinare ac proſequi volui, tum quod
multorum phænomenorum, quæ in effluxu aquarum obſervari ſolent, ſolu-
tio inde pendeat, tum etiam ut illas mutationes, quæ ſenſibus plane ſunt im-
perceptibiles, animo recte aſſequeremur. Multi fuerunt, qui tranſitus ab
9278HYDRODYNAMICÆ to ad finitum aut viciſſim à finito ad infinitum in aquis fluentibus non recte aſ-
ſecuti à plurimis difficultatibus ſe extricare non potuerunt, quæ aliâs facilè ad-
mittunt ſolutionem, ſi autem loco vaſis fere infiniti, cujuſmodi nulla ſunt, ſu-
matur vas valde amplum, aut etiam quod in multis caſibus ſufficit, medio-
criter amplum, erunt formulæ proxime veræ, & modo magis modo minus
ad verum accedent pro indole quæſtionis: de his quædam monebo in ſequen-
tibus experimentis. Interim ſic ſatis jam apparet ex theoria, quod potiſſimum
explicare conſtitueram, cur aqua ex vaſe ampliſſimo ſimplici omni ſtatim ve-
locitate effluat, & cur ſecus ſit de aquis ex vaſe per tubum ejectis: Menſuræ
vero præcilæ de his quæſtionibus ex æquationibus ipſis erunt deducendæ.
§. 22. Tandem quod pertinet ad tempus depletionis, patet cum am-
plitudo vaſis vel mediocriter ſuperat amplitudinem tubi annexi, poſſe ſine
ſenſibili errore cenſeri illud = {mα/n} θ intelligendo per θ tempus, quo corpus à
quiete libere cadendo abſolvit altitudinem, quam aqua ab initio fluxus habuit
ſupra orificium tubi extremum, atque ſumendo pro {mα/n} rationem quæ eſt
inter amplitudinem vaſis & ſectionem venæ, ſive contractam ſive dilatatam. Impe-
dimenta vero, quæ in his caſibus fortuito ſuperveniunt, tempus iſtud admo-
dum augent. Si vero tempus deſideretur, quo ſuperficies aquæ per datam de-
ſcendat altitudinem erit illud ſumendum = {mα/n} (θ - Τ) ſumto pro Τ tem-
pore quod corpus inſumit libere cadendo per altitudinem, quam aqua in fine
fluxus ſupra foramen habet.
Experimenta quœ ad Sect. IV. pertinent.
QUum magna pars hujus ſectionis poſita ſit in contractione venæ aqueæ
per foramen in lamina tenui factum fluentis, animo concepi de iſta
contractione experimenta inſtituere accurata, non quidem menſuras
accipiendo diametrorum, quam methodum non ſuſſicienti accuratione fieri
poſſe expertus ſum, ſed obſervando velocitates actuales ex amplitudine jactus,
& quantitates datis temporibus effluentes; In experimentis automato uſus
ſum, quod tempore unius minuti primi 144. vicibus pulſabat, atque ſic ſe-
quentia ſumſi.
9379SECTIO QUARTA.
Ad Theoriam Contractionis Venarum aquearum
Experimentum 1.
Tubum cylindricum adhibui, cujus diameter erat 4. poll. 3. lin. menſ.
Angl. è lamina tenui factum quique foramen habebat in latere, id eſt, in ſuper-
ficie cylindrica: erat diameter foraminis = 4 {52/125} lin. aquæ effluebant hori-
zontaliter ex cylindro verticaliter poſito, & fuit ab initio fluxus altitudo aquæ
ſupra centrum foraminis = 4. poll. 8. lin. ſimiliſque altitudo in fine fluxus =
3. poll. duravit autem omnis fluxus intervallo undecim automati pulſuum, quæ
proxime efficiunt tempus 4. minutorum ſecundorum cum dimidio.
Porro repetito ſæpius experimento obſervatiſque tum altitudine fora-
minis ſupra tabulam horizontaliter poſitam, tum amplitudine jactus, hacque
tam in principio quam in fine fluxus, vidi ex Lemm. in principio Experimento-
rum præcedentis Sect. indicato velocitatem aquæ effluentis in loco venæ maxime
contractæ conſtanter talem fuiſſe, quantum quidem ſenſibus dijudicari potuit,
quæ deberetur altitudini aquæ ſupra eundem locum, qui in eadem altitudine
eſt quâ foramen.
Igitur ſi contractionem venæ aqueæ ubique eandem fuiſſe ponamus &
huic caſui applicemus æquationem ultimam paragraphi decimi tertii, nempe
t = {2mα/n}(√a - √c) erit ponendum t = 4 {1/2} min. ſec. {m/n} = 133; 2√a(= tem-
pori quod corpus inſumit libere cadendo per altitudinem aquæ initialem) =
o, 1483 & 2 √c (= tempori ſimili pro altitudine aquæ ultima) = o, 1246: fit
4 {1/2} = 3, 15 α unde α = 1, 43. Exinde conſequens eſt, amplitudinem fora-
minis fuiſſe ad ſectionem venæ contractæ ut 143. ad 100; hæc ratio tantillo
major eſt quam quæ intercedit inter √ 2 & 1 nempe inter 141 & 100; ſed ſi
accuratiſſime velocitates obſervari potuiſſent, dubium non eſt, quin illæ paul-
lo minores futuræ fuiſſent, quam quæ toti altitudini aquæ debeantur; & cum
hujus rei ratio habetur, deprehenditur valorem ipſius α ſic pauxillum dimi-
nuendum eſſe; poteſt igitur ex toto experimento colligl tutiſſime rationem
præmemoratam fuiſſe ut √ 2 ad 1.
9480HYDRODYNAMICÆ
Experimentum 2.
Deinde experimento explorare volui, an in omnibus jactibus ſub qua-
cunque directione contractio eadem ſit, & hunc in finem exiſtimavi rem ſic
eſſe aggrediendam, ut præter directionis iſtius mutationem circumſtantiæ cæ-
ræ omnes eſſent prorſus ſimiles. Id vero ſic obtinui.
Eodem ſcilicet, quo antea cylindro uſus ſum, eum autem arcæ pris-
maticæ verticaliter poſitæ implantavi, ita, ut axis cylindri eſſet horizontalis,
ſicque implantatum circumverti, ut centrum foraminis, aqua@um effluxui de-
ſtinati, modo locum ſummum, modo medium, modo imum occuparet: in
primo caſu aquæ verticaliter ſurſum effluebant, in ſecundo horizontaliter, in
tertio verticaliter deorſum ejiciebantur; in ſingulis vero feci ut altitudines aquæ
in arca ſupra centrum foraminis eſſent perfecte æquales: ſucceſſus hic fuit.
Obſervavi æqualibus temporibus ſuperficiem aquæ in ſingulis caſibus per
ſpatia æqualia in arca deſcendere. Igitur in venis ſurſum projectis aqua uperior
non reſiſtit ſenſibiliter aquæ inferiori ſubſequenti, quod idem alio intellexi modo,
quod ſcilicet, ſi ad parvam à foramine diſtantiam veluti 3. linearum nummo
aliquo venam aqueam cujuſcunque directionis excipiebam, ita ut vena in num-
mum perpendiculariter incideret, effluxus aquarum non fuerit retardatus.
Porro nec aqua in venis verticaliter deſcendentibus anterior poſteriorem poſt ſe
trahit; ipſaque venæ contractio ſimilis ubique eſt, non conſiderata retarda-
tione accelerationeque aquarum ſurſum vel deorſum ejectarum, quæ faciunt
ut vena in aliqua à foramine diſtantia vel intumeſcat, vel gracileſcat. Hic
enim ſermo eſt de illa modo contractione, quæ oritur à motu particularum
obliquo in regione foraminis.
Experimentum 3.
Eadem machina prædicto modo præparata uſus ſum ad explorandum,
num contractio venæ cæteris paribus mutaretur ab aucta altitudine aquæ ſupra
foramen. Hunc in finem duas acus infixi lateribus internis arcæ ad perpen-
diculum ſibi reſpondentes, prior eminebat ſupra centrum foraminis 13 poll.
cum 10. lineis, altera 12. poll. 1 {3/5} lin. menſ. Angl. amplitudo arcæ erat ad am-
plitudinem foraminis ut 404. ad 1. vidi autem ſuperficiem aquæ à
9581SECTIO QUARTA. acu ad inferiorem deſcendiſſe poſt intervalla 24. automati pulſuum, quæ faciunt
tempus 10. minutorum ſecundorum.
Quod ſi vero tempus idem quæratur ad Hypotheſin, venam ſe nihil
contraxiſſe, ſimulque aquas omni velocitate, quam vi theoriæ nullo præſen-
te impedimento alieno habere debuiſſent, effluxiſſe, reperitur illud = 6 {7/8}
min. ſec.
Sic igitur concludi poteſt, fuiſſe amplitudinem foraminis ad ſectionem
venæ contractæ ut 10. ad 6 {7/8}, id eſt, α = 1, 45, cum in primo experimento fue-
rit pro eodem foramine perpenſis omnibus circumſtantiis α = 1, 41.
Poſtquam hæc ita expertus fuiſſem, reſiduum erat explorare, an aquæ
omni velocitate ad ſenſus effluxerint, qua de re eo magis dubitavi, quod
creſcentibus velocitatibus aquæ, creſcant ſimul impedimenta, hæcque proin
notabilia eſſe poſſint in majoribus aquæ altitudinibus, qualia in minoribus
non ſunt.
Feci itaque omni adhibita cura (quod potiſſimum ad præciſionem ex-
perimenti requiritur) ut aquæ ſub directione perfecte horizontali effluerent,
& acceptis menſuris tum amplitudinis jactus, tum altitudinis foraminis ſupra
tabulam horizontalem, vidi ſubducto calculo, quod cum altitudo aquæ erat
= 13. poll. cum 10. lin. ſeu 166. lin. aquæ effluxerint, ſeu potius per ſectionem
venæ contractam transfluxerint, velocitate, quæ convenit altitudini 158 {1/2} lin.
igitur velocitas in calculo diminuenda eſt in ratione ſubduplicata harum altitu-
dinum atque in eadem ratione proxime decreſcit valor inventus litteræ α, qui
ita fit paullo minor quam 1, 42 ſeu rurſus 1, 41 & ſic colligere licet, ſolam al-
titudinem aquæ mutatam ad ſenſus non mutare contractionem venæ.
Experimentum 4.
Tubum habui cylindricum altitudinis 4 poll. cujus ſectio per axem re-
preſentatur per (Fig. 28. b.) C A B D, amplitudo cylindri erat ad amplitudinem
foraminis a c ut 110 ad 1. Cylindrus iſte aqua plenus omnis evacuatus fuit tem-
11Fig. 28. b pore 21. minutorum ſecundorum cum dimidio. Notari autem debet, non
prius aquis effluxum concedendum eſſe, quam nullus in illis motus turbina-
torius obſervetur; ſecus enim aqua mox in turbinem vertitur, durante
9682HYDRODYNAMICÆ ſat celerem, effluxuſque valde retardatur, eoque magis, quo celerius aqua
interna in Gyrum agitur: quia porro nunquam omnis aqua effluit, effluxus
tempus conſideravi, uſquedum ſtillatim effluere inciperet.
Indicat hoc experimentum minorem hic aquæ fuiſſe contractionem
quam pro ratione √2 ad 1; Expectaveram tempus evacuationis fore admodum
23. min. ſec. ſed eventus paullo alius fuit ut dixi, cujus rei rationem eſſe poſt-
modum animadverti, quod labia foraminis elongata tubulum fere quamvis
breviſſimum formarent, ut Figura oſtendit, qui venæ aqueæ contractionem
impediebat: interim latitudo iſtorum labiorum duas tertias lineæ non attin-
gebat.
Experimentum 5.
Feci ut aquæ ex vaſe ampliſſimo per tubulum effluerent horizontali-
ter: erat autem tubus breviſſimus, longitudinem nempe 3. lin. non excedens,
habebatque in diametro fere 5. lin.
Effluxit data aquæ quantitas tempore 11 {1/4} min. ſec. quæ effluere debuiſ-
ſet tempore 10 {2/3} min. ſec. ſi neque contractam fuiſſe venam, neque ulla adfuiſſe
impedimenta ſtatuatur.
Velocitates reales aquæ non cenſui opus eſſe ut experirer, nullus du-
bitans tales fuiſſe, quales eſſe debeant, ut obſervato tempore per obſervatum
orificium data quantitas aquæ, nulla facta ad contractionem venæ attentione,
efflueret.
Alios inſuper alîus diametri longitudinisque adhibui tubulos & vidi
quantitates aquæ dato tempore datisque velocitatibus effluentis recte reſponde-
re orficiis effluxus: velocitates autem eo magis defeciſſe à velocitate integræ
altitudini aquæ debita, quo ſtrictior & quo longior erat tubus, ut & quo altior
erat aqua.
Ad Theoriam aquarum per tubos effluentium.
Experimentum 6.
Vaſa, quorum ſectiones per axem repreſentant Fig. 24. & 25. cylin-
drica, altitudinem habebant 4. poll. Angl. tubosque annexos longitudinis unius
pedis, amplitudines cylindrorum erant ad amplitudines orificiorum A, ut
9783SECTIO QUARTA. ad 1; Orificium autem B eratad orificium A proxime ut 25 ad 16; tempus eva-
cuationis repletis antea cylindris fuit in Fig. 24, ſex min. ſec. cum dimidio, in
altera præterpropter 4 hujuſmodi minutorum cum triente.
In his caſibus vaſa ſatis ampla ſuere ratione tuborum annexorum, ut
veluti infinita cenſeri poſſent; debuiſſetque proin per Regulas paſſim à no-
bis indicatas aqua effluere per orificia extrema velocitatibus reſpondentibus
toti altltudini aquæ, ſi modo excipias prima fluxus momenta, quæ ipſa tam
brevia hic ſunt, ut obſervari non poſſint. Et cum præterea, ut paſſim mo-
nui, quantitas aquæ dato tempore per tubos effluentis ſimpliciter æſtiman-
da ſit ex celeritatibus & magnitudine orificiorum inveni per regnlam §. 22.
exhibitam, tempus evacuationis in primo caſu 4 {1/3} minſec. in poſteriori =
fere 3. m. ſec.
Quod in experimento majora paullo fuerint obſervata in Fig. 24. ma-
ximam partem adhæſioni aquæ ad latera tubi, in Fig. autem 25. alii in ſuper
rationi in paragrapho 34. ſect. 3. indicatæ eſt tribuendum.
Phænomena alia in his vaſis ſunt notanda: nempe cum vaſa ſunt tan-
tum non evacuata, percipitur ſonus quidem ab aëre, qui tunc aquæ in ori-
ficio ſuperiori ſe miſcet. hunc vero ſonum pro ultimo fluxus momento acce-
pi: facile fit porro, ut aquæ effluxus concedatur priusquam ad perfectam
quietem fuerit reducta (nam ab impletione agitantur & in turbinem mo-
ventur aquæ); tunc autem effluxus admodum retardatur & cataractæ ſpecies
interne formatur, continueque aër aquæ effluenti ſe permiſcet. Ita poteſt
pro lubitu retardari effluxus, ſi in vorticem aquæ agantur antequam effluant.
Experimentum 7.
Vaſe uſus ſum Prismatico, cui tubulus infixus erat horizontaliter ut in
Fig. 19. Habebat orificium G F in Diametro præciſe quinque lineas; alterum
N M 6 {1/2} lin. Erant proin ipſæ amplitudines orificiorum G F & N M ut 100.
ad 169. amplitudo vero vaſis continebat amplitudinem orificii N M ducentis
& una vicibus. Longitudo tubuli G N erat 4. poll.
Denide vas aquâ implevi usque in C D, cujus altitudo ſupra axem tu-
bi erat 13. poll. 10, lin. Aperto orificio N M effluxerunt aquæ
9884HYDRODYNAMICÆ ſuperficies usque in E H tempore 8 {1/3} min. ſec. erat vero altitudinum differentia
C E vel D H duorum pollicum cum octo lineis.
Subducto calculo ad normam paragraphi 22. ubi neque ad impedimen-
ta, neque ad mutationem venæ attenditur, videmus prædictum tempus de-
ſcenſus eſſe debuiſſe proxime = 5 min. ſec. cum fere dimidio. Igitur ſtatu-
endum eſt hoc modo, velocitatem mediam totalem ſe habuiſſe ad velocita-
tem integram, quam theoria indicat, ut 5 {1/2} ad 8 {1/3} ſeu proxime ut 2 ad 3;
hincque concludi poteſt, aquam per orificium M N effluxiſſe velocitate, quæ
conveniat ({2/3})2, ſeu quatuor nonis partibus altitudinis aquæ ſupra foramen
M N, per alterum vero orificium G F transfluxiſſe velocitate quinque præter
propter quartis ejusdem altitudinis partibus debita.
Apparet itaque rurſus effluxum aquarum promoveri ab auctâ amplitu-
dine orificii tubi verſus exteriora, quamvis nec orificium quo tubus in vas
eſt implantatus, nec ſitus tubi ſit mutatus.
Porro in tabula horizontaliter poſita P Q obſervavi amplitudinem jactus
P Q pro altitudine o P, quæ erat 4. poll. 8. lin. Inveni autem P Q = 9. poll.
6. lin.
Sequitur ex iſta obſervatione, quod ſi dilatationis venæ conſideratione
ſepoſita aquæ in N M velocitatem debuerint habere, qualis debetur altitudi-
ni 4. poll. 10. lin. cum tamen vi præmiſſi experimenti certe habuerit velocita-
tem debitam altitudini fere 6. poll. 2. lin. Confirmat hæc obſervatio id quod
§. 15. dixi, nempe in tubis divergentibus venam aqueam dilatari veluti in
m, ipſiusque motum retardari. In præſenti vero caſu, ut ambæ obſervatio-
nes concilientur, dicendum erit venam ita dilatatam fuiſſe, ut amplitudi-
nem haberet ratione orificii N M reciproce ut prædictæ velocitates ſeu reci-
proce ut radices altitudinum iſtis velocitatibus debitarum, nempe ut √ 74.
ad √ 58. proindeque diametros venæ dilatatæ & orificii fuiſſe ut ∜74 ad ∜ 58.
ſeu ut 100 ad 941.
Experimentum 8.
Aliud feci experimentum quod, quamvis huc nondum pertineat, ni-
hilominus recenſebo: nempe in ortu prope orificium G F tubum perforavi
foramine e duarum fere linearum, rurſusque deſcenſum ſuperficiei ex C D
9985SECTIO QUARTA. E H obſervavi effluente aqua per N M, ſimulque amplitudinem jactus exa-
minavi.
Duo hæc vidi, quæ prima fronte ſibi contradicere fere videntur; de-
ſcenſus ex C D in E H tardior factus eſt quam in præcedenti experimento
fuerat, & nunc duravit 10. min. ſec. & tamen amplior fuit jactus P Q pro ea-
dem altitudine o P; jam enim erat P Q = 10. poll. 10. lin.
Ambo Phænomena ita explico: ob foramen e, quod fuit factum prope
G F quodque aëri liberum tranſitum concedit, ſolvitur nexus, quem alias
inter ſe habent aquæ in tubo, nec proin aliter transfluunt aquæ ubi eſt fo-
raminulum e, quam ſi eo ipſo in loco eſſet reſciſſus tubus; fluerent autem
tardius, quod paſſim demonſtravi, ſi tubus G N M F ceu divergens brevior
fieret. Quod porro aquæ quamvis minori quantitate, tamen majori impetu per
orificium N M non mutatum fluere poſſint ſine implicita contradictione, ra-
tio eſt permixtio aëris cum aqua; nam aër perpetuo irruit in tubum per fo-
raminulum e & una cum aqua effluit per N M. Denique phænomenon illud,
quod aquæ actu celerius fluant per M N aperto, quam clauſo foramine e,
aliter explicari non poſſe mihi videtur, quam quod impedimenta extrinſeca
minus agant in aquam aëre rarefactam quam naturalem.
Ad theoriam aquarum, quæ ex vaſis ampliſsi-
mis à puncto quietis usque ad datum veloci-
tatis gradum effluunt.
Experimentum 9.
Quum aquæ per foramen in lamina tenui factum ex vaſe ampliſſimo
effluunt, prima ſtatim guttula omni velocitate, quæ altitudini aquæ ſupra fo-
ramen debetur, erumpit.
Conforme hoc eſt cum theoria §. 11. indicata, ſi vas ſit revera
infinitum, & quamvis etiam non fuerit ſenſu Geometrico infinitum,
dummodo ſit valde amplum, nulla pariter guttula ab initio fluxus ob-
ſervari poteſt, quæ non maxima velocitate effluxerit: Phænomenon hoc
explicui §. 14. cum nempe vi theoriæ in caſu particulari aliquo ibidem re-
cenſito vix una aut duæ guttulæ ſenſibiliter à jactu maximo deficere
10086HYDRODYNAMICÆ ſent, dixi non poſſe tantillam aquæ quantitatem ſe ab aqua ſubſequente ſepa-
rare ob mutuam aquearum particularum attractionem ſeu adhæſionem.
Experimentum 10.
Quum vero aquæ ex vaſe ampliſſimo per tubum vaſi horizontaliter in-
ſertum effluebant, obſervavi priusquam vena effluens jactum formaret, ma-
ximum o m Q (vid. Fig. 19,) ſat notabilem aquæ quantitatem in tabulam ho-
rizontalem ſubjectam delabi mediam inter P. & Q. eo majorem eſſe hanc quan-
titatem quo longior eſt tubus G N & quo magis verſus N divergit, ac deni-
que inæqualiter aquam illam diſtribui, multo copioſius ſcilicet decidere in
locum, qui eſt remotior à puncto P, quam qui eidem eſt propior; Ratio-
ne autem temporis, quo omnes iſtæ mutationes fiunt, vidi illud breviſſimum
eſſe, & tale ut ejus menſura percipi non poſſet.
Omnia iſta phænomena ex aſſe ſatisfaciunt propoſitionibus, quas dedi-
mus à paragrapho undecimo usque ad finem ſectionis. Menſuræ autem ibi-
dem exhibitæ experimentis recte confirmari non poſſunt, præſertim illæ,
quæ §, §. 15. 16. & 17. indicatæ ſunt, ubi ſcilicet formulæ communicantur,
quæ exprimant quantitatem aquæ effluentis, dum à quiete maximus fit ja-
ctus: ratio eſt primò, quod primæ guttulæ quæ prope punctum P in tabu-
lam decidere deberent ab aqua ſubſequente non libere ſe ſeparent; ſecundo,
quod aquæ quantitas venæ O Q proxima (quæ quidem maximam vi ipſius
theoriæ partem conſtituit) intercipi non queat, & denique, quod motus
aquarum per tubos admodum tetardari ſolet, ab impedimentis extrinſecis,
imprimis ſi tubi divergant, atque ſic motus realis ſit admodum diverſus à
motu quem aquæ habituræ eſſent, remotis omnibus impedimentis. Reli-
quæ menſuræ à nobis indicatæ paucioribus iisque minoris momenti difficnl-
tatibus ſunt ſubjectæ; continentur autem §. 20. & exprimunt potiſſimum aquæ
quantitatem, quæ à primo motus puncto effluit, dum aqua datum velocita-
tis gradum attingit.
Quamvis ob rationes modo dictas, præſertim in caſu tuborum diver-
gentium perfectus conſenſus theoriæ cum experimentis minime expectari
poſſit, talem tamen expertus fui ſucceſſum, ut facile intellexerim integrum
futurum fuiſſe conſenſum ſi impedimenta omnia una cum aquearum
10187SECTIO QUARTA. cularum mutua adhæſione præveniri potuiſſent. Experimenta autem ſunmſi
tum de tubo divergente, tum de cylindrico: ſingula nunc exponam:
Experimentum 11.
In Figuræ 19. tubus formâ coni truncati horizontaliter vaſi erat in ſer-
tus, vas ipſum aqua implevi usque in C D, ita, ut altitudo ejus ſupra axem
tubi eſſet æqualis 433. particulis æqualibus, quibus in toto experimento
uſus ſum. Pro illa altitudine experimento inquiſivi in punctum Q maximo
jactui reſpondens, & fuit P Q = 287. part. dum altitudo o P erat = 146.
part. Sic vidi motum aquæ tum propter aquæ adhæſionem, tum propter Fi-
guram tubi fuiſſe valde retardatum, quod in his caſibus fieri debere aliquo-
ties monui. Debuiſſet autem, ſi nihil obſtitiſſet motui, eſſe P Q = 503. part.
Deinde Patinam poſui in tabulam horizontalem, cujus ora erant in S
& R: Patinam autem prius madefeci, omnemque aquam ex illa depluere rur-
ſus ſivi: ſumtaque menſura P R, illam inveni 206 part.
Denique diameter G F erat = 13. part & M N = 17 part. longitudo
tubi autem erat = 125 part.
His omnibus ita præparatis, dum orificium M N dignito obturarem,
remoto confeſtim digito aquæ ejiciebantur, earumque pars aliqua in patinam
decidebat: hanc ſollicite in tubum vitreum collegi cylindricum, cujus diame-
ter erat = 8 {1/2} part. tubus iſte impletus fuit ad altitudinem 210 part. fuit igitur
quantitas aquæ in patinam delapſæ = 11922 particulis cubicis.
Jam vero deberet iſta quantitas per §. 20. eſſe = nb√{n/g} X log. {a/a - e},
ubi per n intelligitur amplitudo orificii N M ſeu 227. part. quadratæ per g am-
plitudo orificii G F = 133. part. quadr. denotat porro b longitudinem tubi,
quæ fuit = 125 part. per a proprie intelligitur altitudo ſuperficiei C D, ſupra
axem tubi, hic vero intelligenda potius eſt altitudo conveniens velocitati
aquæ in punctum Q incidentis, ſeu 141. part. ſimiliterque pro e ſumenda eſt
altitudo conveniens velocitati particulæ in punctum R incidentis, nempe 73 part.
Denique vox abbreviata log. ſignificat logarithmum Hyperbolicum. Factis
iſtis ſubſtitutionibus numericis, fit
nb√{n/g} X log. {a/a - e} = 227 X 125 X {17/13} X log. {141/68} = 26830.
10288HYDRODYNAMICÆ
Fuit igitur quantitas aquæ experimento inventa ad quantitatem, quam
theoria ſepoſita impedimentorum conſideratione indicat, ut 11922 ad 26830;
qui numeri, quamvis non parum differant, tamen egregie theoriam confir-
mant, quod ipſum nunc clare ob oculos ponam.
In formula nb√{n/g} X log. {a/a - e}, poſuimus pro a altitudinem velo-
citati maximæ aquæ effluentis debitam, qualis revera fuit in experimento,
non qualis remotis obſtaculis futura fuiſſet; fecimus nempe a = 141: in theo-
ria vero eſt a = 433. Quod ſi autem valor iſte poſterior aſſumatur, retinen-
do valorem altitudinis e = 73, fit nb√{n/g} log. {a/a - e} proxime = 6700, qui
numerus nunc multo minor eſt numero per experimentum eruto, cum antea
fuerit admodum major. Talis autem fit cum altitudo e ſervare valorem ponitur:
Verum prouti altitudo a aucta fuit ab 141 uſque ad 433, ita certe etiam altitu-
do e eſt augenda, foretque utraque altitudo in eadem ratione augenda, ſi im-
pedimenta primis guttulis æqualiter reſiſterent & ſequentibus: ſed minorem
reſiſtentiam offendunt cæteris paribus particulæ, quo tardius moventur, atque
proin etiam guttulæ quæ cadunt cis terminum R minus retardantur, quam quæ
terminum iſtum tranſgrediuntur: Facile eſt exinde colligere in minori ratione
augendam eſſe altitudinem e quam alteram a, ipſam vero rationem dicere non
poſſumus, niſi à poſteriori, faciendo ſcilicet, ut theoria conveniat cum ex-
perimento; ita reperitur ponendum eſſe e = 120, qui numerus animo ad om-
nes circumſtantias bene attento plane ſatisfacit.
Sic igitur manifeſtum mihi videtur, experimenti ſucceſſum talem
fuiſſe, ut plane cum theoria conveniat. Hujusmodi autem exempla omni-
no demonſtrant, veras motuum leges in fluidis nos tradidiſſe, eaque inter
infinita alia ſelegi, quod nullam habent nexum neque affinitatem cum regu-
la communi, quæ fluida ubique velocitate effluere ſtatuit, toti altitudini
aquæ ſupra foramen debita, neque poſſint principiis conſuetis ſolvi. Cæte-
rum quoniam in hoc experimento motus aquæ retardatus fuit, aliud inſtitue-
re volui, quo omnia impedimenta admodum diminuerentur, ut ſic appare-
ret eo magis ad ſe invicem accedere numeros experimenti & regulæ, quo
minora eſſent impedimenta.
10389SECTIO QUARTA.
Experimentum 12.
Jam itaque uſus fui tubo cylindrico per quem facilior fit transfluxus eo-
que ob eandem rationem ampliore: erat præterea arca cui tubus inſertus fuit
multo amplior, & denique altitudo aquæ in arca contentæ ſupra axem tubi
multo minor fuit, ut minori velocitate aquæ transfluerent, ſicque obſtacu-
la minoris momenti offenderent: Cætera fuerunt, ut ante.
Fuit igitur altitudo aquæ ſupra axem tubi = 130. part. o P = 553. part.
P Q = 453. part. P R = 297. diameter G F vel M N = 19. part. tubique longi-
tudo 130. part.
Vidi aquam in patinam delapſam cylindrum expleviſſe, qui 8 {1/2} part.
in diametro continebat ad altitudinem 281. part. & cujus proinde capacitas
erat 15950. part. cub. In hoc caſu ponendum eſt a = {453. 453/4. 553} = 93. part.
e = 40. part. n = g = 284. particulis quadratis & b = 130. His vero factis
ſubſtitutionibus fit
nb√{n/g} X log. {a/a - e} = 284. 130. log. {93/53} = 20760,
cui numerus in experimento reſpondet, ut vidimus, 15950. Hic vero nu-
merus fere quatuor quintas alterius explet, ſicque eidem proxime accedit,
cum in præcedenti exemplo ob rationes allatas ſimilis numerus à ſimili plus
quam dimidio defecerit,
Jam igitur abunde patet, ſolis obſtaculis extrinſecis attribuendum eſſe,
quod experimenta non ad amuſſim reſpondeant formulis; interim tamen ta-
lia eſſe, ut non poſſint melius harum formularum robur demonſtrare.
104(90)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO QUINTA.
De motu aquarum ex vaſis conſtanter plenis.
§. 1.
VAſa plena ſervantur, cum continue totidem affunduntur aquæ,
quot effluunt; affuſio autem eſſe poteſt vel in eadem cum mo-
tus ſuperficiei aqueæ directione eademque ſingulis momentis
velocitate, quaſi ſcilicet nova continue crearetur ſuperficies,
cui velocitas aquæ proximæ jam inſit, vel lateralis & ſine im-
petu, veluti ſi ſuperficies, quæ continue nova creari fingitur, nullo motu
prædita ſit & demum ab aqua inferiore ad motum cienda. Reliquos affun-
dendi novas aquas, qui infiniti ſunt, modos præteribo.
Regula interim circa hunc motum, præſertim poſteriorem, recepta eſt,
aquam effluere velocitate conveniente altitudini ſuperficiei ſupra lumen: fa-
cile tamen eſt prævidere illam valere non poſſe, niſi pro vaſe ubique infini-
te amplo, in reliquis autem fore, ut motus à quiete incipiens ſenſim ſenſim-
que per aliqua temporis intervalla augeatur, & poſt infinitum demum tem-
pus omnem velocitatem acquirat. Attamen, ſi dicendum, quod res eſt,
fiunt iſtæ accelerationes plerunque tam celeriter, ut minimo tempusculo tan-
tum non tota velocitas adſit: Verum res ſecus ſe habet in prælongis aquæ
ductibus, in quibus velocitatum augmenta oculos non effugiunt & cum
diſtinctis menſuris obſervari poſſunt.
Quicquid autem ejus rei ſit, cum nullibi diſplicere poſſit accuratio
mathematica, conſtitui motum aquarum à principio ad quemvis datum ter-
minum conſiderare & proſequi.
§. 2. Omnes hujus motus proprietates ad tres præcipue æquationes ſe
reduci patiuntur 1⁰. inter quantitatem aquæ ejectæ reſpondentisque velocitatis;
2⁰. inter tempus & velocitatem & 3⁰. inter quantitatem aquæ & tempus.
Harum æquationum ſi una habeatur reliquæ inde ſua ſponte fluunt.
10591SECTIO QUINTA.
Primam igitur ſolam accuratius ſcrutabimur: Hic vero memores ſimus
eorum, quæ in præcedente ſectione monita fuerunt circa contractionem venæ
per ſimplicia orificia, aut tubos convergentes effluentis, & dilatationem ejuſ-
dem, cum per tubos divergentes ejicitur. Indicavimus autem §. 3. Art. 1. Sect.
IV. eò uſque venam conſiderandam eſſe, donec particularum velocitates (ab-
ſtrahendo animum à mutationibus quas gravitas in particulis extra vas producit)
amplius non mutentur, & omnem illam venæ partem ceü intra vas motam
æſtimandam eſſe, quaſi ſcilicet ſuperficies venæ eouſque indureſcat. Igitur dein-
ceps cum de vaſe per quod aquæ effluunt ſermo erit, ſubintelligendum erit
vas illud ideale, cujus orificium effluxus ſit ſectio venæ nulli deinceps muta-
tioni ſubjectæ, niſi quæ deſcenſui vel aſcenſui venæ debetur.
Problema.
§. 3. Invenire velocitatem aquæ effluentis ex vaſe conſtanter pleno, poſtquam
jam data aquæ quantitas effluxit.
Solutio.
Duo ſunt modi affundendæ aquæ præcipue conſideratu digni, quorum
quivis aliam poſtulat problematis ſolutionem: vel enim aqua verticaliter in
vas depluere ponitur & ita quidem, ut eâdem præciſe affluat velocitate, quam
habet aquæ ſuperficies, vel lateraliter affluit aqua, ſicque caret impetu, quo
ſua ſponte aquæ ſuperficiem inſequi poſſit & in motum demum eſt cienda.
Caſus 1.
Ut pro primo caſu æquationem inveniamus inter quantitatem aquæ
ejectæ, velocitatemque reſpondentem, iiſdem unica mutata circumſtantia ve-
ſtigiis inſiſtendum erit, quæ in primis paragraphis ſectionis tertiæ ſecuti ſumus.
Sit igitur ut in §. 6. Sect. 3. vas propoſitum aimb (Fig. 15. & 16.)
quod affuſione aquarum conſtanter plenum ſervatur uſque in c d; effluant au-
tem aquæ per foramen pl; ponaturque eam aquæ quantitatem jam effluxiſſe,
quæ contineri poſſit in cylindro ſuper foramine p l erecto altitudinis x, ulti-
mam autem guttulam effluxiſſe velocitate, qua aſcendere poſſit ad altitudinem
q s ſeu v; ſic jam exhibenda erit æquatio inter x & v.
Sit curva C G I ſcala amplitudinum, talis nempe, ut, denotante H
10692HYDRODYNAMICÆ altitudinem ſupra foramen, exprimat H G amplitudinem vaſis in illo loco.
Deinde fiat tertia curva t r u, cujus applicata H r ſit ubique æqualis tertiæ con-
tinue proportionali ad G H & P L ſeu cujus applicata H rſit = P L2: G H.
Dicatur ſpatium D C I L = M, ſpatium D t u L = N, & erit aſcen-
ſus potentialis aquæ in vaſe contentæ, poſtquam prædicta quantitas jam efflu-
xit (per §. 2. ſect. 3.) = {N/M}v. Effluere porro intelligatur particula p l o n, ſu-
perficiesque c d deſcendere in e f, erit jam velocitatis altitudo pro particula p l o n
= v + d v; atque ſi nunc conſtruatur parallelogrammum L x y O, cujus latus
L O ſit = l o & alterum L x = P L, erit aſcenſus potentialis ejusdem aquæ
in ſitu e f m l o n p i e æqualis tertiæ proportionali ad ſpatium E F L O N P I E,
(quod rurſus eſt = M, quia P L O N exprimit magnitudinem guttulæ p l o n,
dum C D F E exprimit quantitatem minimam c d f e iſti guttulæ æqualem)
ſpatium w u x y O L F (quod eſt = ſpatio N - D t w F + L x yO, unde ſi
P L ſeu L x ponatur = n, C D = m, L O = lo = dx, erit D t = {nn/m},
D F = {n/m} dx, hinc ſpatiolum D tw F = {n3/mm} dx & ſpatium L xy O =
ndx & denique ſpatium w uxy O L F = N - {n3/mm} dx + ndx) & altitudi-
nem v + dv. Eſt igitur aſcenſus potentialis modo dictus = (N - {n3/mm} dx + ndx) X
(v + dv): M = rejectis differentialibus ſecundi ordinis {N/M} v + {N/M} dv
- {n3/mmM} vdx + {n/M}vdx, ſic ut incrementum aſcenſus potentialis, quod aquæ
acceſſit dum guttula plon effluxit, ſit = {N/M}dv - {n3/mmM}vdx + {n/M}vdx, ubi
ſpatia N & M ſunt conſtantis magnitudinis ob aquæ continuam affuſionem. Non
conſideramus in hoc caſu primo aſcenſum potentialem guttulæ cdfe, quæ af-
funditur dum altera æqualis plon effluit, quia iſte aſcenſus non generatur vi
interna, neque enim aqua inferior poſt ſe trahere ponitur particulam cdfe,
quin potius hanc vi quadam extrinſeca continue affundi conſideramus, idque
nec majori nec minore velocitate quam quæ eſt ſuperficiei ef. Ergo omne
incrementum hic conſiderandum, eſt ut diximus
{N/M}dv - {n3/mmM}vdx + {n/M} vdx.
10793SECTIO QUINTA.
Debet vero iſtud incrementum æquari deſcenſui actuali centri gravitatis;
Atqui iſte deſcenſus, poſita D L = a, eſt per paragraphum ſeptimum ſect. 3.
= {nadx/M}; habetur igitur talis æquatio
{N/M}dv - {n3/mmM}vdx + {n/M}vdx = {nadx/M}, ſeu
dx = Ndv: (na - nv + {n3/mm} v);
Hæc vero ſi ita integretur, ut v & x ſimul evaneſcant, dat
x = {mmN/n3 - nmm} log. {mma - mmv + nnv/mma}
quæ æquatio, poſito c pro numero cujus logarithmus eſt unitas, æquivalet
huic @alteri
v = {mma/mm - nn} X (1 - c{n3 - nmm/mmN} x)
Hæc vero ſolutio quadrat pro caſu primo, ubi aqua ſuperne motu af-
ſunditur communi cum deſcenſu ſuperficiei proximæ.
Caſus II.
Quod ſi jam particula c d f e lateraliter continue affundi ponatur, tunc
propter inertiam ſuam motui aquæ inferioris reſiſtit atque proinde aſcenſus
potentialis ipſius aliter in computum venit. Tunc autem prius conſideran-
dus eſt aſcenſus potentialis maſſæ aqueæ c d m l p i c auctæ guttula mox affunden-
da; deinde indagandus aſcenſus potent. ejusdem aquæ in ſitu c d m l o n p i c,
poſtquam nempe guttula jam effluxit, eorumque differentia eſt æquanda cum
deſcenſu actuali. {nadx/M}. Verum aſcenſus potentialis omnis prædictæ aquæ ante
affuſionem particulæ ejusdemque poſt affuſionem ita invenitur: nempe aſcen-
ſus potentialis aquæ c d m l p i c eſt = {Nv/M}, & aſcenſus potent. particulæ affundi
paratæ nullus eſt, quia lateraliter affuſa motum communem nondum habet
cum maſſa inferiore; Igitur aſcenſus potentialis utriusque aquæ (qui ſcilicet
habetur multiplicando maſſam reſpective per ſuum aſcenſum potentialem, di-
videndoque productorum aggregatum per aggregatum maſſarum) eſt
10894HYDRODYNAMICÆ (M X {Nv/M} + ndx X o): (M + ndx) = {Nv/M + ndx}. Poſtquam vero particula
n d x ſuperne jam affuſa eſt, communem acquiſivit motum cum aqua proxi-
me inferiori, ſicque fit aſcenſus potentialis ejusdem aquæ in ſitu c d m l o n p i c
æqualis tertiæ proportionali ad ſpatium C D L O N P I C (M + ndx), ſpa-
tium D t u x y O L D (N + ndx) & altitudinem v + dv, id eſt, =
{(N + ndx) x (v + dv)/M + ndx}, cujus exceſſus ſupra priorem aſcenſum potentialem eſt =
{Ndv + nvdx + ndxdv/M + dx} =, rejectis differentialibus ſecundi ordinis, {Ndv + nvdx/M}.
Habetur igitur talis æquatio {Ndv + nvdx/M} = {nadx/M}, quæ ut prior per tra-
ctata & ad finem deducta dat
x = {N/n} log. {a/a - v}, vel
v = a X (1 - c {-nx/N})
quæ ſolutio valet pro affuſione laterali.
Scholion 1.
§. 4. Sunt hæ æquationes inter ſe admodum diverſæ; diverſitas au-
tem eo major quo minoris eſt amplitudinis vas; & ſi quidem amplitudo va-
ſis ſuprema in cd quaſi infinita ſit præ amplitudine foraminis, evaneſcit n
præ m fitque in priori caſu ſicut in poſteriori.
v = a X (1 - c{-n/N}x)
Eſt igitur hâc in hypotheſi motus utrobique idem quod haud difficulter
quisque prævidere potuerit. Celerior autem ſemper eſt cæteris paribus mo-
tus in priori affuſione, quam in altera.
Conveniet hic rem etiam phyſice explicare, ut eam diſtinctius in omni-
bus phænomenis percipere poſſimus.
Sit loco vaſis cujuſcunque & quamcunque directionem habentis bre-
vioris delineationis gratia cylindrus verticalis cum foramine in fundo, nempe
G H N D (Fig. 29.) ſitque dein vas E F P Q perforatum in R S; fingantur orifi-
11Fig. 29, cia RS & GD perfecte æqualia, & ad minimam diſtantiam ſibi perfecte
10995SECTIO QUINTA. ſpondentia, ita ut aquæ ex ſuperiori vaſe effluentes omnes in cylindrum ſubje-
ctum influant.
Incipiant aquæ ex utroque vaſe effluere, ex ſuperiori autem conſtanter ea
effluere velocitate ponantur, quam habet ſuperficies aquæ in cylindro ſuppoſito.
Ita patet ſatisfieri primæ affuſionis conditioni. Jam vero hujus motus
phænomena inveſtigabimus, viſuri num cum præcedentibus conveniant.
Conſideremus igitur vas ſuperius eſſe veluti infinitum, ut aquæ per R S
effluentes ſingulis momentis habeant velocitatem quæ conveniat altitudini P B
ſeu F A: ſic fingendum erit eſſe hanc altitudinem P B ab initio infinite parvam,
quia tunc aquæ velocitate infinite parva effluere debent, deinde vero ſenſim
creſcere, idque continue magis magisque, donec poſt tempus infinitum mo-
tus uniformis maneat, quæritur autem an altitudo aquæ P B tandem infinita
futura ſit an vero certum terminum non tranſgreſſura. Id ſic cognoſcetur.
Sit altitudo G H vel R H (neque enim illas inter ſe differre cenſendum
eſt) = a, A F = x, amplitudo orificii L M = n, amplitudo orificii R S = m;
quia vero, ut manifeſtum eſt, utrumque vas cohærere & unum efficere puta-
ri poteſt, erit poſt tempus infinitum (per §. 23. Sect. III.) velocitas
aquæ in L M = √a + x, & in R S = √ x, (quod poſterius patet, ſi nunc iterum
ſeparata vaſa cenſentur, nam utrumque ſine errore fingi poteſt) debent autem
velocitates eſſe in inverſa ratione amplitudinum orificiorum: eſt itaque
√a + x. √x: :m. n, unde a + x. x: mm. nn, vel a. x: : mm - nn. nn, ergo
x = {nna/mm - nn} & a + x = {mma/mm - nn}, videmus igitur altitudinem, velocitati
aquæ in LM debitam, eſſe hoc modo = {mma/mm - nn}, poſtquam ſcilicet infi-
nita aquæ quantitas jam effluxit: ſuperius autem habuimus eandem altitudinem,
ſeu v = {mma/mm - nn} X (1 - c{n3 - nmm/mmN}x), ubi ſi ponitur x = ∞ (infinito
enim tempore infinita quantitas transfluit) evaneſcit terminus exponentialis, ſi
modo m major ſit quam n & ſic fit pariter v = {mma/mm - nn}. Mirabilis eſt iſte con-
ſenſus, quia valde diverſæ ſunt viæ, quas ſecuti ſumus. Cæterum ſi m non ſit ma-
jor quam n motus nunquam fit permanens nequidem poſt tempus infinitum,
creſcit enim tunc velocitas in infinitum cum ſecus altitudo velocitatis
11096HYDRODYNAMICÆ tranſgrediatur altitudinem {mma/mm - nn}. De his igitur caſibus nihil eſt quod di-
camus.
Scholion 2.
§. 5. Quæſtio hic nunc alia occurrit notatu digna; nempe quis eſſe
poſſit modus affuſionis mechanicus, ut vas ſuperius ad debitam durante toto
fluxu altitudinem plenum ſervetur. Difficile foret iſtud Problema ob incon-
ſtantiam altitudinis quæſitæ, niſi peculiare hic artificium occurreret, quod
nunc tradam.
Nititur autem ſuper eo, quod aqua in ſpatio minimo RSDG nullam
patiatur compreſſionem neque affirmativam neque negativam, quia ex hypo-
theſi communi velocitate movetur cum aqua proxime ſubſtrata, atque ſic nul-
la particula nullam nec propellere nec retinere tentet.
Fiat igitur vas quod dixi utrumque, ſitque tubus cum vaſe ſuperiore
firmatus (neque enim aliter quam demonſtrationis gratia illa poſuimus antea
ſeparata) habeat autem tubus in ſummitate a (Fig. 30.) foraminulum, cui re-
11Fig. 30. ſpondeat tubulus a m, in hunc tubulum immittatur tubus vitreus recurvus
a b c d g, obtectis cera oris m n: ducatur horizontalis a e noteturque punctum e.
His ſic præparatis, ſic erit faciendum, ut durante toto experimento ſummitas
aquæ conſtanter permaneat in puncto e; & ad hoc requiri videbis, ut ab initio
ſuperficies aquæ ſit fundo F P proxima, deinde, ut continue elevetur, & de-
nique ut poſt tempus etſi infinitum nunquam tamen tranſcendat altitudinem
{nna/mm - nn}, facile autem erit aquarum affuſionem ita moderari, ut ſuperficies
à puncto e non admodum divagetur, @ſi modo circumſtantiæ non ſint ita com-
paratæ, ut aquæ ab initio nimis celeriter ſint affundendæ.
Quod ſi autem ſuperficiem in tubulo ſupra e elevatam animadvertis, in-
hibe paullo affuſionem, quod faciendum eſſe alibi demonſtrabo, ſi ſecus fuerit,
largius aquas affunde.
Nihil habet difficultatis iſtud experimenti genus cujuſmodi ſæpe feci,
ſed ne error in experimentum irrepat, examinandus eſt tubi vitrei effectus ca-
pillaris; hunc effectum invenies, ſi obturato orificio L M, priusque madefa-
cto tubo, cylindrus aqua impleatur uſque ad ſummitatem, atque ſic invenies
ſuperficiem aquæ in tubo pertingere uſque in f, locum nempe altiorem quam
11197SECTIO QUINTA. hoc autem punctum f illi, de quo modo diximus, abſtrahendo animum à
natura tubulorum capillarium, ſubſtitues.
Hoc igitur modo recte efficietur affuſio ad normam hypotheſeos no-
ſtræ & ſic deinceps de hoc motu experimenta ſumi poterunt. Poſt quam
vero ſic prolixe ſatis rem explicuimus, non opus puto monere vas ſuperius
non aliter pertinere ad vas cylindricum inferius, quod ſolum conſideramus,
quam ut cylindrus eo, quo fieri debet, modo plenus ſervetur atque ſic per m
non intelligendam eſſe amplitudinem vaſis ſuperioris ſed amplitudinem orificii
R S, quæ proprie nobis eſt ſuperficies aquæ, cum aquæ ſupra R S tantum de-
bitæ affuſioni in cylindrum inferiorem inſerviant.
Scholion 3.
§. 6. Non debeo hic præterire, quod ſic caſus habeatur qui pertinet
ad hydraulico-ſtaticam, de qua ſcientia quædam monui in Sect. I. §. 8. cognoſci-
mus nempe nunc quanta velocitate aqua in a præterfluere debeat ut preſſio
ejus in latera tubi præciſe nulla ſit. Hæc vero dum ſcriberem, jam detexeram
leges hydraulico-ſtaticæ generales, & non ſine voluptate vidi, quod iſte caſus
ceu corollarium ex theoria plane alia deductus ſimilem acquirat ſolutionem ex
theoria generali. Sic omnia ubique mutuo cohærent nexu, legitimamque
principiorum applicationem demonſtrant.
Scholion 4.
§. 7. Sequuntur nunc quædam de alio aquæ affundendo modo. Ponatur
cylindrus R H N G pro vaſe quocunque, ſitque is conſtanter plenus conſervan-
dus affuſione laterali: poterit id fieri injiciendo ſufficientem aquæ quantitatem
per tubulum m a; quamvis autem id non fiat ſine motu, attamen, quia hic
horizontalis eſt, moxl omnis tollitur, & per ſe neque promovet fluxum per
cylindrum neque eundem retardat; ſed eſt alius inſuper modus, quem ſub-
ducto recte calculo eodem recidere intelligimus: nempe ſi vas E F P Q infini-
te amplum cenſemus, & ejus fundum aqua continue obtectum intelligimus,
ſed ita, ut aquæ altitudo in vaſe ſuperiori ſit pro infinite parva habenda; ſubmi-
niſtrabit vas ſuperius aquam tubo ſibi annexo, neque alius inde motus orietur,
quam ab affuſione laterali, ſi modo orificium R S ſemper obtectum maneat;
facile autem fit ut ibi cataracta quædam formetur, ſi orificium L M amplum,
tubusque R S N H longus ſit. Quod hic alter modus eundem cum priori
11298HYDRODYNAMICÆ ctum in motum aquarum exerere debeat, quiſque videt ex eo, quod in utro-
que modo omnis aquæ tubum ingredientis inertia ſit ab aqua inferiore ſupe-
randa. Sed idem etiam à priori demonſtrari poterit inquirendo in motum, qui
inde oriri debeat, ſecundum æquationem paragraphi octavi Sect. III. quæ hæc eſt:
Ndv - {mmvydx/nn} + {mmvdx/y} = - yxdx;
accommodabitur autem ad præſentem caſum, ſi pro m, x & - d x ſubſtituas re-
ſpective n, a, & {ndx/y}, (cujus rei ratio patebit, ſi hæc cum illis contuleris) ſi-
mulque y infinitum ponas; tunc enim evaneſcit tertius æquationis terminus,
fitque omnino, ut pro præſenti negotio ſupra invenimus,
Ndv + nvdx = nadx.
Poſtquam in his ſcholiis motus utriuſque indolem, quantum ſimplexrei
conſideratio phyſica permittit, eorumque differentiam oſtendimus, ſimulque
modum illos producendi ad legem hypotheſeos mechanicum tradidimus, ſu-
pereſt, ut reliqua phænomena notabiliora etiam indicentur, quod nunc faciam.
Corollarium 1.
§. 8. Si in vaſe R S N H omnè fundum abſit, erit orificium L M =
orificio R S; poteſt etiam hoc ab illo ſuperari, ſi nempe vaſis divergant late-
ra. In his autem caſibus nullum habet terminum altitudo v in æquatione
v = {mma/mm - nn} X (1 - c{n3 - nmm/mmN} x)
& fit infinita, ſi quantitas aquæ ejectæ indicata per n x eſt infinita.
Id quidem per ſe patet ex æquatione, cum n eſt major quam m; at
cum amplitudines orificiorum ſunt æquales, recurrendum eſt ad æquationem
differentialem paragraphi tertii, ex qua iſta æquatio proxima deducta fuit, nempe
{N/M}dv - {n3/mmM}vdx + {n/M}vdx = {n/M}adx,
quæ poſito n = m dat N d v = n a d x, id eſt, v = {nax/N}, ubi v fit manifeſte in-
finita ſi x eſt infinita.
§. 9. Sin autem vaſi propoſito fundum ſit, atque in eo foramen,
11399SECTIO QUINTA. amplitudo indicata per n minor ſit amplitudine orificii R S expreſſa per m,
habet v valorem quem nunquam attingit quidem, ſed tamen proxime aſſe-
quitur, & ad quem tam cito convergit, niſi data opera vaſa huic rei contra-
ria excogitata adhibeantur, ut poſt minimum fluxus tempuſculum, quod
ſenſibus percipi poſſit, notabiliter ab eo non deficiat. Eſt autem terminus il-
le talis, v = {mma/mm - nn}: igitur in caſu Scholii ſecundi §. 5. ultimus ter-
minus P B eſt = v - a = {nna/mm - nn}. Exemplo citiſſimam velocitatis ad ultimum
ſuum terminum acceſſionem illuſtrabo, poſtquam æquationem inter v &
tempus altitudini v reſpondens appoſuero.
Corollarium 3.
§. 10. In caſu affuſionis, quam vocamus, lateralis, fit ultima altitu-
do v = a, quæcunque inter utrumque vaſis orificium ratio interceſſerit.
Corollarium 4.
§. 11. Si vas eſt cylindricum ejusque longitudo ponatur = b, fit (vid.
§. 3.) N = {nnb/m}: notetur autem non confundendos eſſe valores litterarum a
& b, primus enim exprimit altitudinem ſupremi orificii ſupra inferius, alter
longitudinem canalis; Sic itaque conveniunt inter ſe valores in hoc ſaltem
caſu, cum axis vaſis linea eſt recta & verticalis; at ſi axis tortuoſus eſt, vel
ſaltem non verticalis, differunt à ſe invicem: Hæc ideo expreſſe monere
volui, ne quis ſibi a figuris vaſorum, quorum axes ubique rectos & verti-
cales feci, imponi patiatur.
Quod ſi igitur pro vaſis cylindricis ponatur N = {nn/m}b fit pro affuſio-
ne verticali
v = {mma/mm - nn} X (1 - c{nn - mm/mnb} x)
& pro altera laterali fit v = a (1 - c{- mx/nb}).
Problema.
§. 12. Invenire velocitatem aquæ, ex vaſe conſtanter pleno effluentis,
poſtquam fluxus per datum tempus duravit.
114100HYDRODYNAMICÆ
Solutio.
Retentis hypotheſibus & denominationibus omnibus, quas in §. 3. adhi-
buimus, poſitoque inſuper tempore à fluxus initio præterito = t, mutan-
das habebimus æquationes in dicto paragrapho datas in alias, quæ relatio-
nem exprimant inter t & v, eliminatis quantitatibus x & d x. Eſt vero elemen-
tum tempuſculi d t proportionale minimo ſpatiolo d x, quod percurritur, di-
viſo per velocitatem √v: ponemus igitur d t = {γdx/√v}, & ſic mutabitur æquatio
dx = Ndv: (na - nv + {n3/mm} v)
quæ data fuit pro affuſione verticali debita velocitate inſtituenda in hanc
(I) dt = N γdv: (na√v - nv√v + {n3/mm} v√v)
altera vero affuſioni inſerviens laterali, nempe dx = Ndv: (na - nv)
abit in hanc poſt eandem ſubſtitutionem
(II) dt = N γdv: (na√v - nv√v)
Hæ vero æquationes debito modo integratæ dant pro prima
(α) t = {mNγ/n√(mma - nna)} X log. {m√a + √(mmv - nnv)/m√a - √(mmv - nnv)}
& pro altera, quæ ex priori deducitur, poſito m = ∞
(β) t = {Nγ/n√a} X log. {√a + √v/√a - √v}. Q. E. I.
Scholium.
§. 13. Si vas de quo ſermo eſt ſit cylindricum utcunque intortum &
inclinatum, cujus longitudo ponatur = b, manente altitudine ſuperficiei
aqueæ ſupra foramen = a, erit rurſus, ut §. 11. N = {nn/m}b.
Quoniam autem, ut conſtat, 2γ√A exprimit tempus, quod corpus
inſumit cadendo libere & à quiete per altitudinem A, patet quantitatem
{2mNγ/nn√a} (= 2γ√{bb/a}) exprimere tempus quo corpus moveri incipiens à
quiete liberè deſcendit per altitudinem {bb/a}: accipiemus iſtud tempus
115101SECTIO QUINTA. communi menſura idemque ponemus = θ, & mutabitur pro vaſis ſeu ca-
nalibus cylindricis æquatio (α) in hanc
t = {nθ/2√(mm - nn)} X log. {m√a + √(mmv - nnv)/m√a - √(mmv - nnv)}
altera vera ſignata (β) talis fit
t = {nθ/2m} X log. {√a + √v/√a - √v},
ex quarum utraque apparet, non poſſe non breviſſimo tempore aquas om-
nem fere velocitatem acquirere, idque eo citius quo amplior eſt tubus,
quo brevior, & quo magis verticalis: Neque accelerationes ullo modo eſſe
perceptibiles, niſi prælongi ſtatuantur aquæ ductus & tunc quoque brevi
tempore omnes fere accelerationum gradus percurri, quod utrumque nunc
exemplo illuſtrabo.
(I) Quæritur tempus quo fluidum ex cylindro conſtanter pleno verticali,
ſedecim pedes anglicos longo & cujus diameter quintupla ſit diametri fo-
raminis, velocitatem acquirit quæ debeatur altitudini {99/100}a, idque in hypo-
theſi, ad quam æquatio ſecunda pertinet; ſic eſt {n/m} = {1/25}, v = {99/100}a,
b = a, unde tempus quod corpus inſumit cadendo libere per ſpatium {bb/a},
ſeu θ = uni minuto ſecundo; hinc fit t = {1/50} log. 399. id eſt, proxime no-
næ parti unius minuti ſecundi, quod tempusculum utique imperceptibile
eſt; Cum vero tempus notabile aſſumitur, fiunt mutationes altitudinum v,
inſenſibiles. Si tempus ſimile (quo nempe velocitas pariter nonaginta no-
vem centeſimis partibus altitudinis, quanta poſt tempus infinitum fit, debi-
ta generetur) in prima hypotheſi quæratur, nempe tempus quo obtinetur
v = {99/100} X ({mma/mm - nn}) reperitur illud præcedente paullulum majus,
ſed exceſſu inſenſibili: unde patet in hujusmodi vaſis non poſſe fere aquas
ſat celeriter affundi in vas ſuperius, ut hypotheſi ſatisfiat, nec adeoque ratio-
ne ejusdem hypotheſeos experimenta alia ſumi poſſe, quam ut exploretur,
num revera tanta ſit altitudo B P in figura trigeſima, quanta vi paragraphi
quinti eſſe debet, ut punctum e aut f, durante fluxu ſitum ſervet, quem
ante fluxum obturato orificio L M, nullaque exiſtente aqua in vaſe ſuperiore
habuit.
116102HYDRODYNAMICÆ
(II) Quæritur nunc idem tempus pro ſecunda rurſus hypotheſi, ſi
tubus ejusdem fuerit amplitudinis eodemque foramine inſtructus, ſed oblique
ſitus longitudinemque b habuerit 184 perticarum ſeu 1104 pedum Pariſ. dum al-
titudo ſuperficiei aqueæ ſupra orificium effluxus ſit 16. ped. Pariſ. Ita fiet b =
1104, & {bb/a} = 76176. atque præterpropter θ = 72 ſec. min. unde tempus
quæſitum medium eſt inter octo novemque minuta ſecunda, quod certe ſatis
notabile eſt. Si vero tempus deſideretur, quo altitudo v exæquet tantum quar-
tam partem altitudinis a, reperietur illud æquale {72/50} log. 3 = proxime uni mi-
nuto ſecundo cum dimidio.
Neſcio an hæc conveniant cum iis, quæ Mariottus à ſe obſervata refert
in tract. de mot. aquar. part. 5. diſc. 1. ubi mentionem facit alicujus fontis ſa-
lientis, qui eſt à Chantilly, ad quem aquæ devehuntur per canalem 184. pertic{as}
longum, ſi modo recte ex antecedentibus conjeci, eratque ſumma ſuperficiei
aqueæ altitudo ſupra orificium effluxus indicata per a ſedecim pedum: diame-
ter aquæductus erat 5. poll. orificium autem habebat diametrum unius pollicis.
Videtur mihi Mariottus ita loqui ac ſi accelerationes multo fuiſſent tardiores,
quam ab formula noſtra indicantur, quod neſcio an tribuendum ſit huic quod
fortaſſe alium, præter orificium de quo hic ſermo eſt, exitum habuerint aquæ,
an, quod aquæ ductus dum fluxus inciperet non fuerit aqua plenus, quod
poſterius multa faciunt, ut credam; ſi neutrum fuerit, confido phænomena
qualia à Mariotto obſervata fuerunt & quotidie de novo obſervari poterunt pla-
ne conveniſſe cum calculo noſtro. Cæterum verba Mariotti hæc ſunt:
Illud inſuper, ait, ſingulari eidem jactui accidit, quod obturato manu orifici@
per decem aut duodecim ſcrupulorum ſecundorum temporis ſpatium eodem{q́ue}; po-
ſtea reſerato, aqua non protin{us} erumpat, ſed paullatim aſſurgens jact{us} aſcen-
dat ad 3. poll. poſtea ad pedis altitudinem & deni ad du@s pedes ſucceſsive no-
tabilibus intervallis. .. .. .. Sedtandem tamen toto impetu ſuo aquæ exiliebant.
Problema.
§. 14. Invenire quantitatem aquæ per datum vas, conſtanter plenum
conſervandum, dato tempore transfluentem.
117103SECTIO QUINTA.
Solutio.
Adhibitis rurſus poſitionibus & denominationibus paragraphi tertii &
duodecimi, invenienda nunc erit æquatio inter x & t: quia vero, ut vidi-
mus §. 12. eſt d t = {γdx/√v}, erit √ v = {γdx/dt}, hicque valor ſubſtituendus
erit in æquationibus, quas dedimus §. 3. integratis; prior harum æquationum
hæc fuit: v = {mma/mm - nn} X (1 - c{n3 - nmm/mmN} x)
quæ pro præſecuti inſtituto mutatur in hanc
(I) {γγdx2/dt2} = {mma/mm - nn} X (1 - c{n3 - nmm/mmN} x)
altera ex §. 3. allegatarum æquationum talis fuit
v = a X (1 - c{- n/N} x)
quæ adeoque ſubminiſtrat in præſenti caſu ſequentem
(II) {γγdx2/dt2} = a X (1 - c{- n/N} x)
Erunt nunc æquationes (I) & (II) integrandæ, quod quidem facile
eſt & quia prior alteram continet (utraque enim eadem eſt ſi m = ∞)
hanc ſolam pertractabimus, eamque nunc ſub hâc forma conſiderabimus.
dt = {γ√(mm - nn)/m√a}dx: √(1 - c{n3 - nmm/mmN}x)
Ponatur autem ut integrationis modus eo magis pateſcat
c{n3 - nmm/mmN}x = z, atque proin dx = {mmNdz/(n3 - nmm)z},
dein brevitatis ergo indicetur quantitas conſtans
{γ√(mm - nn)/m√a} X {mmN/n3 - nmm}, ſeu {- γmN/n√(mm - nn) a} per α,
& habebitur dt = {αdz/z√(1 -
118104HYDRODYNAMICÆ. in quâ ſi præterea fiat 1 - z = qq, ſeu z = 1 - qq, dz = - 2qdq,
oritur
dt = {- 2αdq/1 - qq} = {- αdq/1 + q} {- αdq/1 - q}
cujus integralis eſt
t = - α log. (1 + q) + α log. (1 - q) = α log. {1 - q/1 + q}.
Nec opus eſt conſtante, quandoquidem ex natura rei t & x, ſimul
evaneſcere debent, poſito autem x = o, fit z = 1, & q = o, igitur pa-
riter t & q ſimul à nihilo incipere debent, cui conditioni ſatisfacit æquatio
inventa t = α log. {1 - q/1 + q}: Supereſt ut retrogrado ordine valores priſtinos
reaſſumamus, ita vero fit
t = α log. {1 - √(1 - z)/1 + √(1 - z)} vel
t = {γmN/n√(mm - nn)a} X log. {1 + √(1 - z)/1 - √(1 - z)} vel denique
(I) t = {γmN/n√(mm - nn) a} X [log. [1 + √(1 - c{n3 - nmm/mmN} x)]
- log. [1 - √(1 - c{n3 - nmm/mmN} x)]]
Iſtaque æquatio poſito m = ∞ dat alteram æquationem quæſitam
(II) t = {γN/n√a} X [log. [1 + √(1 - c{- n/N} x)]
- log. [1 - √(1 - c{-n/N} x)]] Q. E. I.
Corollarium 1.
§. 15. Si ponatur x = ∞, ut appareat natura rei, cum infinita jam
transfluxit aquæ quantitas aſſumaturque m major quam n, prouti plerumque
eſſe ſolet, evaneſcere cenſenda eſt, in utroque logarithmo affirmative ſum-
to, quantitas exponentialis & habebitur utrobique log. 2. At vero in logarith-
mo negative ſumto ſtatuenda eſt
√(1 - c{n3 - nmm/mmN} x) = 1 - {1/2} c{n3 - nmm/mmN} x &
119105SECTIO QUINTA. log. [1 - √(1 - c{n3 - nmm/mmN} x)] = log. {1/2}c{n3 - nmm/mmN} x = {n3 - nmm/mmN} x - log. 2@
Hæ ſubſtitutiones ſi recte fiant, erit pro primo quem finximus affuſio-
nis modo
(I) t = {γmN/n√(mm - nn) a} X (2 log. 2 + {mmn - n3/mmN} x)
quæ poſito rurſus m = ∞ dat pro altero caſu
(II) t = {γN/n√a} X (2. log. 2 + {n/N} x).
Sequitur ex iſtis formulis, minori quidem quantitate transfluere aquas,
ac ſi ſtatim ab initio omni velocitate, quam in utroque caſu poſt tempus
infinitum acquirunt, effluerent: differentiam tamen nunquam certum trans-
gredi terminum & poſt tempus infinitum finitis comprehendi terminis.
Corollarium 2.
§. 16. Quum convertimus æquationes inventas, obtinemus
(I) x = {2mmN/mmn - n3} - [log. (1 + c{-t/α}) - log. 2 + {t/2α}], &
(II) x = {2N/n} X [log. (1 + c{-t/β}) - log. 2 + {t/2β}]
ubi α, ut ſupra, = {-γmN/n√(mm - nn)a} & β = {-γN/n√a}.
Si præterea, ut in proximo Corollario, ponatur t = ∞, evaneſcit
unitas præ quantitatibus, exponentialibus, quæ ſupra omnem ordinem infinitæ
ſunt, & fit log. (1 + c{-t/α}) = -{t/α} atque log. (1 + c{-t/β}) = -{t/β}:
unde tunc erit reſumtis valoribus litterarum α & β.
(I) x = {mt√a/γ√(mm - nn)} - {2mmN/mmn - n3} log. 2. &
(II) x = {t√a/γ} - {2N/n} log. 2.
Igitur ſi ſtatim à fluxus initio utrobique aquæ omni, quam
120106HYDRODYNAMICÆ poſſunt, velocitate conſtanter effluerent, non excederet earum quantitas poſt
tempus infinitum quantitatem pro eodem tempore theoriæ reſpondentem, niſi
parvula quantitate, quæ in prino caſu exprimitur per {2mmN/mm - nn} log. 2. & in
ſecundo per {aN/n} log. 2. Atque ſi loco temporis infiniti ſumas tempus tantum
aliquot ſcrupulorum ſecundorum, idem theorema proxime locum habebit; ita
ut ſi v. gr. poſt decem prima minuta ſecunda effluxerit quantitas Q, effluxura
fere ſit totidem minutis ſecundis proxime ſequentibus Q + {2mmN/mmn - n3} log. 2. vel
in altero caſu Q + {2N/n} log. 2.
Scholium.
§. 17. Ad theoriam hactenus expoſitam pertinet etiam motus aquarum per
ſiphones. Indicat autem theoria, poſſe ſiphonis axem utcunque inflecti, ne-
que inde motum aquarum deturbatum iri, modo altitudo ſuperficiei aqueæ ſu-
pra orificium effluxus eadem maneat; cum præterea aquæductus, ſiphones
aut diabetæ hujuſcemodique vaſa alia ſoleant eſſe cylindrica erit ut monui §.
13. quoties id contingit, ponendum N = {nn/m} b, intelligendo per b longitu-
dinem canalis aut ſiphonis: in formulis quoque paragraphorum 14, 15, & 16,
erunt quantitates ſic interpretandæ, ubi de temporibus quæſtio eſt, ut 2 γ √ A
repræſentet tempus quod corpus impendit in deſcenſum per altitudinem ver-
ticalem A à quiete cœptum.
Cæterum, ut dixi paſſim, nihil indicat ſingulare theoria hujus ſectionis,
quod ſub ſenſus cadat, niſi in aquæ ductibus admodum longis, ad horizonta-
lem valde obliquis & orificium non admodum ſtrictum habentibus; hæctria
enim concurrunt ad retardandas ſicque notabiles efficiendas accelerationes,
quarum menſuræ potiſſimum theoriam commendant.
Eſt tamen & in his circumſtantiis medium aliquod obſervandum, ne
impedimenta ab adhæſione aquæ oriunda nimia ſint
Quod attinet ad affuſionem aquarum, mihi viſus ſum animadvertere,
121107SECTIO QUINTA. verticaliter fiat & cum impetu, tantum abeſſe, ut inde motus acceleretur, quin
potius retardetur, niſi aquarum affuſio fiat in totam ſuperficiem æquabiliter eo,
quem §. 4. expoſui, modo, ſi enim aliter affundantur, motus aquarum in va-
ſe perturbatur, iſque motus confuſus effluxum retardat.
§. 18. Denique huc quodammodo pertinent experimenta ab Clar.
Joanne Poleno inſtituta, ut refert in libro primo de motu aquæ mixto, p. 21. &
ſeqq. quæ ideo hic alleganda eſſe cenſui, quod egregie demonſtrant, ubique
celeritatem ultimam in vaſis conſtanter plenis eam eſſe, quæ integræ aquæ al-
titudini conveniat, ſi vaſa non ſint ſubmerſa, aut differentiæ altitudinum aquæ
internæ & externæ in vaſis ſubmerſis, quamvis de cætero nihil in illis ſit, quod
nunc novum adhuc ſit, quia nullæ illic conſiderantur accelerationes.
Finge cylindrum, cujus axis habeat ſitum verticalem, amplitudinis ve-
luti infinitæ; fundum integrum ſit: in pariete autem fiſſura ſit axi parallela, fo-
ramen habens parallelogrammi rectanguli, quæ à fundo ad cylindri uſque ſum-
mitatem extendatur. Puta porro aquam in cylindrum affundi æquabiliter, ita,
ut æqualibus temporibus quantitates injiciantur æquales, effluent aquæ ex cy-
lindro per fiſſuram: nec tamen ab initio eadem effluent quantitate, qua ſuper-
ne affunduntur, ſed minori: igitur aſſurget ſuperficies aquæ in cylindro ad
certam uſque altitudinem aſſymptoton; ſi vero is jam intelligatur adeſſe ter-
minus, immutata manebit altitudo aquæ & eadem quantitate effluent conſtan-
ter aquæ, qua affunduntur: Apparet quoque, altitudinem aquæ in cylindro
eo majorem fore, quo largius affundantur: Quæritur itaque auctis quantitati-
bus aquarum dato tempore affundendis, in quanam ratione creſcere debeant
altitudines, ad quas aquæ in cylindro aſſurgent.
Solutio hæc eſt. Sit altitudo aquæ, cum eſt in ſtatu permanente = α:
& abſcindatur à ſuperficie pars quæ ſit = x, una cum differentiali d x: ſit lati-
tudo rimæ = n, habebimus veluti foramen amplitudinis = n d x, per quod
aquæ effluunt velocitate √ x: igitur quantitas aquæ dato tempore ibi effluen-
tis eſt ut n d x √ x, cujus integralis eſt {2/3} n x √ x; quæ exprimit quantitatem
aquæ dato tempore per rimæ longitudinem abſciſſam x effluentem: & ſic quan-
titas aquæ eodem tempore per rimam integram effluens exprimetur per {2/3} n α
√ α: tantum autem effluit, quantum affunditur; hinc ſi quantitas aquæ dato
illo tempore affuſæ dicatur q, erit {2/3} n α √ α = q. Id indicat quantitates
122108HYDRODYNAMICÆ rum dato tempore affundendarum ſequi rationem ſeſquiplicatam altitudinum,
ad quas aquæ à fundo cylindri aſcendunt: aut viciſſim altitudines ſequi ra-
tionem ſubtriplicatam quadratorum quantitatum, quibus aquæ dato tempore
affunduntur.
§. 19. Soluto hoc problemate venio ad alterum Cl. Poleno conſide-
ratum.
Sit idem cylindrus, ſed aquis in foſſa veluti vaſe infinito ſtagnantibus,
ſubmerſus; dicaturque altitudo ſubmerſionis = a, quæritur nunc iiſdem po-
ſitis, ut antea, rurſus æquatio inter altitudinem α ſuperficiei aqueæ internæ ſu-
pra externam, & quantitatem q dato tempore affundendam.
Quod ad illam rimæ partem α, quæ aquas ejicit & ſupra aquam exter-
nam eminet, illam jam vidimus dato tempore erogare quantitatem {2/3} n α √ α:
reſidua autem rimæ pars ſubmerſa aquas ubique communi velocitate tranſimit-
tit, ut ex infra dicendis patebit, & quidem velocitate √ α, ita, ut multiplica-
ta hâc velocitate per magnitudinem rimæ ſubmerſæ n a, habeatur quantitas,
quam dato tempore ejicit = n a √ α. Si utraque quantitas in ſummam conji-
ciatur, habebitur ({2/3} α + a)n√α = q.
Ope hujus æquationis cognoſcitur q ex datis altitudinibus a & α: aut
viciſſim altitudo α ex cognitis quantitatibus a & q.
Convenire autem hanc æquationem admodum accurate cum experi-
mentis, ipſe oſtendit celeberrimus eorum auctor, cujus ſolutio ab hâc no-
ſtra non differt. Sequitur ex iſta æquatione, elevationes α eo majores eſſe pro
iiſdem aquarum affuſionibus, quo minor eſt altitudo ſubmerſionis a.
Experimenta quæ ad Sectionem V. pertinent.
Ad §. 5.
VAſe uſus ſum §. 5. deſcripto cum tubulo vitreo (Fig. 30.) Primo autem
obturavi orificium L M, tubumque R N aqua implevi, donec ſuper-
ficies ejus raderet foraminulum in a: aquam tunc tubo ingreſſam ob-
fervavi extremitate attigiſſe punctum f: poſtea reſerato orificio L M, & aquis ef-
fluentibus novas affundebam in vas ſuperius E F P Q adhibita diligentia, ut
extremitas aquæ in f interea nec aſcenderet nec deſcenderet. Hæc dum
123109SECTIO QUINTA. rent elevabatur ſuperficies A B, nunquam autem certum terminum tranſgredie-
batur; fuit nempe quantum videre potui, maxima altitudo P B ſeu F A =
{nn/mm - nn}a, denotante {n/m} rationem inter orificium inferius L M & ſuperius
R S, & a altitudinem verticalem orificii poſterioris ſupra alterum.
Id vero ſolum eſt, quod ipſemet inſtitui experimentum, quamvis mul-
tæ ſint propoſitiones in hâc ſectione contentæ, quæ mereantur attentionem
eæque ſatis inexpectatæ, non potui tamen de illis experimenta ſumere; ſunt
enim ita comparatæ in vaſis brevioribus, ut quod ſingulare habent, id ſenſus
effugiat, rem autem experiri in longis aquæductibus commode non potui:
cum aliis hæc dabitur occaſio, theoriam hanc examinaturis, animum adver-
tent ad ſequentia:
I0. In fontibus ſalientibus obſervetur altitudo jactus integra; poſtmo-
dum obturato prius orificio eodemque mox reſerato videatur aquæ quanti-
tas, quæ effluat, dum aqua ad dimidiam altitudinem jactus integri, aut
aliam partem quamcunque perveniat, quod quidem breviſſimo eveniet tem-
pore, illius quantitatis menſura ſit longitudo cylindri ſuper foramine, per
quod aquæ exiliunt, exſtructi, quam longitudinem vocavimus x, alti-
tudinem vero jactus integram nominavimus a, altitudinemque jactus qui
nondum totam attigerit altitudinem, obſervatam deſignavimus per v. Tum
denique inſtituto calculo exploreter, num hæ quantitates recte reſpondeant
æquationibus pro utroque affundendi modo exhibitis in paragrapho tertio.
II0. Fiant omnia, ut ante, hoc ſaltem diſcrimine, quod loco quanti-
tatis effluentis tempus effluxus notetur, ut ſic examinari poſſint formulæ
paragraphi decimi tertii, & denique comparetur quantitas cum tempore
fluxus, ut appareat num recte reſpondeat formulæ §. 14.
III0. Tum præcipue fiat id experimenti genus, quod indicavi para-
grapho decimo ſexto, obſervando ſcilicet, quantitates aquarum dimidiis
temporibus reſpondentes; dixi autem, quantumvis magnum ſumatur tem-
pus, differentiam harum quantitatum nunquam exæquare {2mmN/mmn - n3} log. 2.
in priori, quem finximus, affundendi modo; aut {2N/n} log. 2. in poſteriori.
124110HYDRODYNAMICÆ Iſtas autem differentias, utut nunquam perfecte orituras, minimo tamen
tempore proxime adfuturas eſſe.
Quæ reliqua funt in hâc ſectione Corollaria & Scholia quisque facile
videbit, quo modo ad experimenta vocari poſſint: Velim autem, prius-
quam judicium ferat, attentus ſit ad omnes circumſtantias ratione impedi-
mentorum, contractionis venæ, aliorumque, quas nolo ubique repetere.
Ad §. §. 17. & 18. Experimenta pro confirmatione problematis §. 17. ad
vaſa non ſubmerſa pertinentis, vide p. 26. lib. cit. Jll. Poleni.
Cum vero in vaſe ſubmerſo eſſet altitudo a = 55. lin. Paris. (quæ altitu-
do ei dicitur mortua) quinque inſtituit experimenta, in quibus altitudo,
quam dicit, viva ſeu α erat ſucceſſive linearum 8 {3/4}; 25; 42; 58 & 73 {1/2}:
his ſubſtitutis valoribus in æquatione §. 18. exhibita ſequitur, quantitates
aquarum dato tempore affuſarum fuiſſe ut 100; 199; 299; 396 & 495:
actu affuſæ fuerunt in ratione ut 100, 200, 300, 400, & 500: differen-
tia tantilla eſt, ut dubitari poſſit, an non perfectus conſenſus futurus
fuiſſet, ſi omnes menſuræ rectiſſime haberi potuiſſent.
Reliqua etiam experimenta à viro Cl. inſtituta cum theoria perfecte
conſentiunt: calculum eorum videre eſt apud ipſum Auctorem. E re au-
tem duxi eadem hic apponere, quia ad argumentum hujusce ſectionis per-
tinent, quamvis cæterum libenter fatear, me magis deſiderare illa experi-
menta, quæ à calculo mutationem momentanearum, nemini quod ſciam ad-
huc conſideratarum, pendent, quam quæ ſtatum permanentem ſupponunt.
125111
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO SEXTA.
De fluidis non effluentibus ſeu intra latera
vaſorum motis.
§. 1.
HActenus conſideravimus aquas effluentes; nunc vero contem-
plabimur motus aquarum, quæ vaſorum limites non præterfluunt.
Omnes hos motus ad duo reducam genera, ambo ſeorſim per-
tractanda:
10. Cum fluidum in tubo infinite longo continue movetur verſus
eandem plagam.
20. Cum motibus reciprocis ſeu oſcillatoriis agitatur.
De motu aquarum per canales
indefinite longos.
Caſus 1.
§. 2. Sit primo canalis horizontaliter poſitus, ſed amplitudinibus data
quacunque varians lege: ponatur fluidum in illo ita poſitum, quod fieri
ſolet in tubis ſtrictioribus, ut ambæ ſuperficies extremæ ſitum obtineant
ad axem canalis perpendicularem & ſic datâ quadam velocitate moveri in-
cipere. Hæc ſi ita ſint, nullaque plane motus impedimenta adeſſe fingan-
tur, perſpicuum eſt, motui aquarum nullum finem fore, quemadmodum
globus ſuper tabula horizontali liberrime progrediens motum ſine fine con-
continuat. Attamen inſignis inter utrumque motum intercedit differentia:
globi nempe partes omnes uniformi continue progrediuntur velocitate, in
aqua perpetuo motum mutant: Neque difficile erit motum iſtum definire,
cum conſiderabimus, motum talem eſſe debere, ut aſcenſus potentialis totius
aquæ idem conſervetur, qui ab initio motus fuit: Determinavimus autem
aſcenſum potent, aquæ certâ velocitate in canali quocunque motæ in ſectionis
126112HYDRODYNAMICÆ tiæ paragrapho ſecundo: Igitur nihil ad ſolutionem quæſtionis amplius re-
ſiduum eſt: Neque tamen abs re erit unum alterumve ejus rei exemplum
attuliſſe.
Exemplum 1.
Si v. gr. canalis B g f C (Fig. 31.) qui figuram habeat coni-truncati; in
telligatur pars ejus B G F C fluido plena moto verſus g f; habeantque parti-
culæ fluidi in G F velocitatem debitam altitudini v; ac denique pervenerit
fluidum in ſitum b g f c: His poſitis quæritur velocitas fluidi in g f. Voca-
bo autem altitudinem velocitati aquæ in g f debitam = V; Sit vertex coni
in H; diameter in B C = n; diameter in G F = m: longitudo B G = a;
Gg = b, erit diameter g f = {m a - m b + n b/a}. Deinde quia ſolidum B G F C
eſt æquale ſolido b g f c erit B C2 X B H - G F2 X G H = b c2 X b H
- g f2 X g H: unde b c2 X b H = B C2 X B H - G F2 X G H
+ g f2 X g H: eſt vero b H = {BH/BC} X b c: igitur b c3 = B C3-.
{GF2 X GH X BC/BH} + {gf2 X gH X BC/BH} = B C3 - G F3 + g f3, ſeu
b c = √Cub. n3 - m3 + ({m a - m b + n b/a})3},
Eſt vero per §. 3. ſect. 3. aſcenſus potent. aquæ in ſitu B G F C
= {3 m3 v/n(mm + mn + nn)}; pariterque aſcenſus potent. ejusdem aquæ in ſitu b g f c
reperitur = {3 α3 v; /β(αα + αβ + ββ)}, poſito brevitatis ergo α & β pro inventis valo-
ribus diametrorum g f & b c. Erit igitur
V = {m3 X (αα + αβ + ββ) X β X v/α3 X (mm + mn + nn) n}.
Ex hâc formula facile colligitur, majori continue velocitate moveri
particulas anteriores, minori poſteriores, & ſic, ut ſi foraminulum g f cen-
ſeatur infinite parvum, fiat velocitas aquæ in g f infinita & in b c infinite parva.
Exemplum 2.
Fuerit canalis compoſitus ex duobus tubis cylindricis B N & O
127113SECTIO SEXTA. (Fig. 32.) inæqualis amplitudinis; in ramo ampliore moveri ponatur flui-
11Fig. 32. dum B G F C verſus P velocitate quæ reſpondeat altitudini v. Ita perſpi-
cuum eſt nullam motus mutationem adfore, priusquam ſuperficies G F
pervenerit in M N; ab hoc autem temporis puncto motum continue variari
donec fluidum omne ſubingreſſum fuerit tubum ſtrictiorem. Quæritur ita-
que cum fluidum fitum tenet b g f c, quænam futura ſit velocitas ſuperficiei
f g; altitudinem autem hujus velocitatis deſignabimus per V.
Sint diametri G F & g f ut n & m: longitudo B G vocetur = a;
b M = b, erit O g = {nn/mm} X (a - b); aſcenſus potent. aquæ B G F C = v;
aſcenſus potent. aquæ b g f c = {n4 a - n4b + m4b/n4a} X V; ergo
V = {n4a/n4a - n4b + m4b} v.
Ex his intelligitur velocitatem primæ guttulæ in tubum ſtrictiorem ir-
rumpentis reſpondere altitudini {n4/m4} v, hanc vero velocitatem citiſſime decre-
ſcere, ita ut poſtquam parvula fluidi pars transfluxit, jam poſſit cenſeri V = {a/a - b} v,
& cum omne fluidum transfluxerit, priſtinam aſſumat velocitatem. Fuerit
v. gr. diameter tubi amplioris decupla@ alterius, & effluet prima guttula ex
tubo ampliore in ſtrictiorem velocitate debita altitudini 10000 v: ſi vero de-
cimam fluidi partem jam transfluxiſſe ponas, invenies altitudinem, quæ con-
veniat velocitati fluidi in tubo ſtrictiori progredientis, proxime æqualem {10/9} v.
Sitempus quæras, quo fiat transfluxus fluidi O f, invenies illud æquale
{2(n4a - n4b + m4b){3/2} - 2m6a√a/3mm(n4 - m4)√av}. Igitur omne fluidum transfluit tempore
{2n6a√a = 2m6a√a/3mm(n4 - m4)√av} = {2(n4 + mmnn + m4)a/3mm(nn + mm)√v}, ubi per {a/√v} intelligitur tem-
pus, quo fluidum in tubo ampliori libere motum abſolvit ſpatium a. Hæc
vero, ut dixi, ſe ita habebunt ſi nulla ſint motus impedimenta, ſimulque
in toto tractu canalis compoſiti velocitates amplitudinibus reciproce propor-
tionales ponantur. Interim jam alibi monui non poſſe aquas lateri M N
128114HYDRODYNAMICÆ ximas hanc legem ſervare. Cum itaque talis caſus occurrit, eo magis con-
veniet motus realis cum theoria, quo longior fuerit pars b m & quo paucio-
ra adfuerint obſtacula.
§. 3. Quod ſi nunc canalis fuerit non horizontaliter ſed oblique ad
horizontem poſitus, apparet omnia ſimiliter ſe habere, niſi quod aſcenſus potent.
aquæ in omni ſitu æquandus ſit aſcenſui potent. initiali aucto deſcenſu actuali, id
eſt, deſcenſui verticali centri gravitatis. Atque ſi nullo impulſu aqua ſua ſponte
ſe movere incipiat, erit ſimpliciter deſcenſus actualis æqualis aſcenſui potent.
Igitur aqua continue progredi perget, quamdiu centrum gravitatis lo-
co humiliori poſitum eſt, ac fuit ab initio motus. At vero cum tubus ita
fuerit formatus & inflexus eaque fluidi quantitate repletus, ut centrum gravi-
tatis priſtinam altitudinem reaſſumere poſſit, tunc fluidum motum obtinebit
retrogradum & ſine fine oſcillabitur. De iſto motu præcipuam hujus ſectionis
partem faciente mox dicemus. Interea obſervare licet, fieri poſſe, ut aqua
omnis ex loco humiliore per altiorem ſua ſponte ſine prævia ſuctione præter-
fluat, ſi modo omnia debito modo ſe habeant.
De oſcillationibus fluidorum in tubisrecurvis.
Caſus II.
§. 4. Dedit Pater meus in Comm. Acad. Scient. Petrop. tom. 2. theore-
mata quædam, quæ inſignem manifeſtant uſum quem theoria virium vivarum
habet in rebus mechanicis. Illud vero quod tertio loco poſitum eſt ita ſe
habet.
Sit tubus cylindricus A B C H (Fig. 33.) utrobi{q́ue} apertus at{q́ue} infle-
11Fig. 33. xus in duo crura B A & C H ad partem horizontalem B C; ſit ſinus anguli
A B C = p, & ſinus anguli H C B = q; exiſtente nimirum ſinu toto = 1;
ſit porro ille tubus aqua plenus uſ{q́ue} ad horizontalem M N; vocetur{q́ue} L longi-
tudo partis tubi M B C N aqua plenæ: Erunt agitati liquoris in hoc tubo oſ-
cillationes tam majores, quam minores omnes tautochronæ at{q́ue} ejuſdem duratio-
nis cum oſcillationibus minimis penduli alicujus ſimplicis, cujus longitudo
= {L/p + q}.
Huic theoremati eodem auctore ſubnectitur tale corollarium.
129115SECTIO SEXTA.
Si anguli A B C & H C B ſunt recti, qui unicus caſus est; à Newta-
no ſolutus, erit longitudo penduli ſimplicis, quod oſcillanti aquæ iſochronum eſt,
= {1/2} L, ut invenit Newtonus.
§. 5. Hæc ſunt quæ adhuc cum publico communicata fuerunt circa
oſcillationes fluidorum, & quidem primo à Newtono, ut undarum naturam,
à Patre meo, ut fertilitatem principii virium vivarum oſtenderet. Quia vero
noſtrum inſtitutum eſt pleniorem dare de motibus aquarum theoriam, è re
erit iſtud argumenti genus in tota ſua extenſione proſequi: Igitur diſquiram,
quibus modis oſcillationes fluidi inæquales fiant iſochronæ, & quibus non
item? Dein pro prioribus dabo longitudinem penduli ſimplicis tautochroni,
pro alteris tempus durationis indicabo: tubos autem utcunque inflexos & inæ
qualiter amplos conſiderabo.
Lemma.
§. 6. Sit c A d (Fig. 34.) uter ſeu canalis aqua plenus formæ cujuſcun-
11Fig. 34. que datæ deſinens utrobique in duos canales cylindricos a c & f d, utcunque ad
horizontem inclinatos & cujuſcunque amplitudinis, quorum alterum plenum
aqua ponam uſque in a, alterum uſque in f; oporteat determinare altitudinem
centri gravitatis omnis aquæ, ex data altitudine centri gravitatis aquæ in u-
tre c A d contentæ, cæteriſque quantum ſufficit præcognitis.
Solutio.
Fuerit centrum gravitatis aquæ in vaſe c A d contentæ in C, ductaque in-
telligatur per iſtud punctum C verticalis A B, deinde ducantur horizontales
a m, c g, f n, & d h una cum verticalibus c b & d e. Ponatur a c = a: f d = α:
b c = b; e d = β: amplitudo tubi a c = g; amplitudo tubi f d = γ: ſit porro
maſſa aquea ſeu capacitas canalis c A d = M, linea A g = f; A h = φ: A C =m:
Dividantur lineæ m g & n h bifariam punctis D & E & ſic erunt centra gravitatis
aquarum in tubis cylindricis contentarum in altitudinibus punctorum D & E.
His poſitis fit A D = f + {1/2}@b; A E = φ + {1/2}β: maſſa aquæ in a c =
g a: in f d = γ α: Igitur ſi centrum gravitatis quæſitum pro omni aqua a c A d f
intelligatur in altitudine F poſitum, habebitur, ut conſtat in mechanicis, A F
multiplicando maſſam aquæ in a c per D A, maſſam aquæ f d per E A &
130116HYDRODYNAMICÆ aquæ in c A d per C A, aggregatumque horum productorum dividendo per
ſummam harum maſſarum. Unde invenitur. A F = {ga X (f + {1/2}b) + γα X (φ + {1/2}β) + Mm/ga + γα + M}
Problema.
§. 7. Determinare ubique velocitates aquæ oſcillantis, poſito oſcilla-
tiones ultra terminos tuborum cylindricorum non divagari.
Solutio.
Sit aqua oſcillationem inchoans in ſitu a c A d f perveneritque poſtmo-
dum in ſitum o c A d p, retentiſque denominationibus |in præcedente paragra-
pho factis, ponatur a o = x; erit f p = {gx/γ}: unde (ſi nempe centrum gravita-
tis omnis aquæ deſcendiſſe putetur ex F in O) erit vi præcedentis paragraphi
A O = {g X (a - x) X (f + {1/2}b - {bx/2a}) + γ X (a + {gx/γ}) X (φ + {1/2}β + {βgx/2αγ}) + Mm/ga + γα + M}
Inde deducitur deſcenſus centri gravitatis ſeu deſcenſus actualis
F O = {(b - β + f - φ)gx - ({bg/2a} + {bgg/2αγ}) xx/ga + γα + M}
Sit nunc velocitas aquæ in tubo a c (cum nempe ſuperficies eſt in o) ta-
lis quæ reſpondeat altitudini v, & erit tunc aſcenſus potent. aquæ in altero tubo
= {gg/γγ} v: pariterque aſcenſus potent. aquæ c A d, erit proportionalis altitudini v,
eamque proinde ponemus = N v (ubi N pendet à figura utris c A d & deter-
minari poteſt per §. 2. Sect. 3.) Jam vero ſi multiplicatis ubique aſcenſibus po-
tentialibus per ſuas maſſas producta dividantur per ſummam maſſarum, habebi-
tur aſcenſ{us} potent. omnis aquæ o c A d p =
{(ga - gx + {αgg/γ} + {g3x/γγ} + MN)v/ga + γα + M}
Et quia hic aſcenſus potentialis eſt æqualis deſcenſui actuali F O paullo ante
invento,
131117SECTIO SEXTA. v = {(b - β + f - φ) gx - ({bg/2a} + {bgg/2αγ)} xx/ga - gx + {αgg/γ} + {g3/γ} {x/γ} + MN} Q. E. I.
Corollarium 1.
§. 8. Quia linea mn = mg - nh + gh = h - β + f - m, ponemus
mn = c, ſimulque multiplicabimus denominatorem & numeratorem per
2γγαα: Ita vero habebimus
v = {2gγγaαcx - (gγγαb + ggγaß)xx/2gγγaaα - 2gγγaαx + 2ggγaαα + 2g3aαx + 2γγaαMN}
Corollarium 2.
§. 9. Si fiat v =o, patet tunc valorem x denotare totam fluidi ſuper-
ficiei excurſionem in tubo ac, quæ ſic invenitur æqualis {2γaαc/γαb + gαβ}, in altero
vero tubo fit = {2gaαc/γαb + gαβ}.
Igitur poterit aqua in tubo ſtrictiori ad quamcunque elevari altitudi-
nem, ſi modo ratio amplitudinum g & γ ſat magna ſumatur.
Corollarium 3.
§. 10. Pars illa vaſis c A d, quam neutra ſuperficierum unquam attin-
gi ponimus, nihil pertinet ad iſtas fluidi excurſiones ſive augendas ſive dimi-
nuendas: facere tamen poteſt, ut inferius oſtendetur, ad accelerandas retar-
dandaſque oſcillationes.
Corollarium 4.
§. 11. Ponatur uterque tubus communis amplitudinis, erit, poſito
nempe g = γ,
v = 2gaαcx - (gαb + gaβ)xx/2gaaα + 2gaαα + 2aαMN}.
In hoc caſu maxima ſuperficiei utriuſque velocitas eſt, cum in medio
totius excurſionis poſitæ ſunt, ſecus ac fit, cum tubi ſunt inæqualis amplitu-
dinis.
132118HYDRODYNAMICÆ
Notandum quoque eſt, ſimiles eſſe inter ſe retardationes & accelera-
tiones in diſtantiis ſimilibus ſuperficierum à punctis mediarum excurſionum,
id eſt, à locis maximarum velocitatum.
Theorema.
§. 12. Cum amplitudines tuborum cylindricorum prædicto modo
ſunt æquales, erunt oſcillationes tam majores quam minores inter ſe Iſochro-
næ, modo ſuperficies nunquam deſcendant infra orificia eorundem tuborum.
Demonſtratio.
Ex mechanicis conſtat, quod ſi mobile oſcillans ſpatium perfecerit
= x, habeatque in ſingulis locis elementum temporis dt = {mdx/√nx - xx}, intel-
ligendo per m & n quantitates conſtantes, id faciat oſcillationes ſuas tam majo-
res quam minores eodem tempore.
Quia vero in noſtro caſu eſt
v = {2gaαcx - (gαb + gaβ)xx/2gaaα + 2gaαα + 2aαMN},
& quia velocitas ipſa eſt æqualis √ v, erit
dt = dx√({2gaaα + 2gaαα + 2aαMN/gαb + gaβ}): √({2aαcx/gαb + gaβ} - xx),
ubi pariter omnes litteræ conſtantem habent valorem præter x, quæ ſpatium
percurſum denotat; patet has quoque fluidi oſcillationes iſochronas fore
Q. E. D.
Problema.
§. 13. Invenire longitudinem penduli ſimplicis, quod ſit tautochro-
num cum oſcillationibus fluidi præfatis.
Solutio.
In mechanicis demonſtratur, quod, cum dt = {mdx/√nx - xx}, ſit longitu-
do penduli ſimplicis tautochroni = {1/2} mm: Erit igitur in noſtro caſu de quo
ſermo eſt longitudo penduli quæſita = {gaaα + gaαα + aαMN/gαb + gaβ}. # Q. E. I.
133119SECTIO SEXTA.
Corollarium. 1.
§. 14. Si ponatur canalis c A d ejuſdem amplitudinis cum tubis con-
junctis, ejuſque longitudo vocetur l, erit maſſa aquæ in eo contentæ, quam
vocavimus M = gl; & aſcenſuspotent. aquæ in illo contentæ, quem poſuimus =
N v, erit = v, ita ut habeatur N = 1. Subſtitutis autem, iſtis valoribus pro
litteris M & N, prodit longitudo penduli tautochroni pro iſto caſu particulari =
{aaα + aαα + aαl/αb + aβ} = {aα/αb + aβ} X (a + α + l) = {a + α + l/{b/a} + {β/α}
Quia vero a + α + l eſt longitudo totius tractus aqua pleni & {b/a} ſigni-
ficat rationem ſinus anguli bac ad ſinum totum pariter atque {β/α} denotat ra-
tionem ſinus anguli efd ad ſinum totum, videmus non differre noſtram ſo-
lutionem ab illa, quam Pater meus pro iſto caſu dedit, quamque ſupra
recenſui §. 4.
Corollarium 2.
§. 15. Si ponatur canalis c A d infinitæ ubique amplitudinis, erit
MN = o (per §. 2. ſect. 3.) & longitudo penduli tantochroni = {a + α/{b/a} + {β/α}}, qua-
ſi nempe totus canalis intermedius c A d abeſſet, tubique cylindrici inter ſe
immediate eſſent conjuncti.
Eſt tamen hîc ſpeciale aliquid conſiderandum, quod infra monebo.
Scholion.
§. 16. Complectitur hoc theorema omnes caſus, qui oſcillationes tan-
tochronas faciunt, ubi tubi a c & p d ſunt recti: cum vero hi tubi, in qui-
bus fluidi ſuperficies excurrunt, incurvati ſunt, dantur alii inſuper tanto-
chronismi caſus, quos facile foret determinare, ſi hiſce diutius immorari
vellemus. Cæterum cum tubi hi inæqualis amplitudinis ſunt, fiunt quoque
tempora oſcillationbus diverſarum magnitudinum reſpondentia inæqualia,
& quomodo tempus tale definiri debeat unicuique apparet ex §. 8. ubi velo-
citatem fiuidi in quolibet puncto dedimus.
134120HYDRODYNAMICÆ
Hæc autem de oſcillationibus finitis. Si nunc oſcillationes minimas
eſſe cenſeamus, videbimus illas fieri omnes inter ſe tantochronas, manen-
te eadem fluidi quantitate, eodemque canali, quæcunque interea ſint cana-
lis figura & amplitudines. Id exponam in ſequenti paragrapho.
Theorema.
§. 17. Oſcillationes minimæ fluidi in quocunque canali oſcillantis,
quamvis inæquales inter ſe, ſunt omnes Iſochronæ.
Demonſtratio.
Cum oſcillationes ſunt minimæ, poſſunt illæ canalis particulæ, in qui-
bus ſuperficies fluidi agitantur, pro cylindricis haberi, igitur manentibus
denominationibus iisdem, manebit valor, quem aſſignavimus litteræ v in
§. 8. & ex eadem ratione ſequitur, litteras a, b, α, β & x ceu infinite parvi
valoris negligi poſſe præ {M/g}, ſic ut in præſenti caſu cenſeri debeat
v = {2gγaαcx - (gγαb + ggab)xx/2γaαMN}
Sunt igitur vi paragraphi duodecimi oſcillationes omnes, quoad mi-
nimæ ſunt, inter ſe Iſochronæ. Q. E. D.
Problema.
§. 18. Determinare longitudinem penduli ſimplicis tautochroni cum
oſcillationibus minimuis fluidi in canali quocunque agitati.
Solutio.
Quia in omni motu eſt elementum temporis dt = {dx/√v}, erit nunc
dt = dx√(2γaαMN/gγαb + ggab}): √({2γaαcx/γαb + gaβ} - xx)
Igitur vi Paragraphi decimi tertii erit longitudo quæſita penduli cum præ-
dictis oſcillationibus tautochroni = {γaαMN/gγαb + ggaβ}. Q. E. I.
Scholium.
§. 19. Quamvis jam paſſim monuerim, quid intelligendum ſit
135121SECTIO SEXTA. quantitates M & N, tamen hic apponam totam conſtructionem, ut natura
rei eo magis unicuique pateat.
Fuerit canalis qualiscunque A B C D E, (Fig. 35. a & b) aqua plenus us-
11Fig. 35.
a & b. que in B & D; ponatur ſinus totus = 1, ſinus anguli D B C = {b/a} = m,
ſinus anguli B D C = {β/α} = n, erit longitudo penduli tautochroni = {γMN/mgγ + ngg},
ubi g denotat amplitudinem canalis in B & γ amplitudinem ejus in D.
Concipiatur nunc longitudo canalis B C D fluido plena in rectam ex-
tenſa bcd, ſuper qua ceu axe fiat curva F G H, quæ ſit ſcala amplitudinum
in locis homologis, ita, ut poſita bc = B C ſit c G ad b F, ut amplitudo in
C ad amplitudinem in B. Igitur ſi b F repræſentet amplitudinem in B, tunc
ſpatium bd H F repræſentabit magnitudinem M. Deinde ſuper eodem axe bd
conſtruatur alia curva L M N, cujus applicata c M ſit ubique {bF2/cG} & erit
(per §. 2. ſect. 3.) N = ſpatio b d N L diviſo per ſpatium bd H F, ita ut ſit
M X N = ſpatio b d N L, quod multiplicatum per {γ/mgγ + ngg} dabit longitu-
dinem penduli tautochroni.
Corollarium 1.
§. 20. Si tubus B C D ſit ubique ejusdem amplitudinis, ejusque lon-
gitudo dicatur l, erit F H linea recta ipſi bd parallela, pariter atque L N:
hinc ſpatium bd N L = gl & longitudo penduli tautochroni = {l/m + n}.
Corollarium 2.
§. 21. Sit B C D canalis conicus longitudinis l; erit c G (poſita bc = x)
= ({x/l}[√γ - √g] + √g)2; unde cM = gg: ({x/l}[√γ - √g] + √g)2;
ergo ſpatium bcML = {ggl/√gγ - g} - {ggl/√γ - γg}: ({x/l}[√γ - √g] + √g) &
proinde totum ſpatium bdN L = {ggl/√gγ - g} + {ggl/√gγ - γ} = {ggl/√gγ}: Eſt
igitur longitudo penduli tautochroni cum oſcillante aqua = {l√gγ/mγ + ng}.
Hinc intelligitur cæteris paribus oſcillari aquam tardiſſime cum
136122HYDRODYNAMICÆ tudines in B & D ſunt in ratione reciproca ſinuum angulorum reſpondentium
D B C & B D C: dein quo longior ſit pars aqua plena & quo minores angu-
li modo dicti, eò pariter tardiores fieri oſcillationes.
Porro comparatis inter ſe tubis cylindricis & conicis, poſitisque an-
gulis B D C & D B C æqualibus, perſpicuum eſt, citius oſcillari aquam cæ-
teris paribus in conicis quam cylindricis, quia nempe {l√gγ/γ + g} ſemper mi-
nor eſt quam {1/2}l, quæcunque ratio inæqualis intercedatinter g & γ. Si porro
prædicti anguli inæquales ponantur, fieri poteſt tam ut tardius quam ut ci-
tius oſcilletur aqua in uno tuborum genere reſpectu alterius, quod ut exem-
plo confirmem, ponam angulum D B C rectum, id eſt, m = 1, & ſinum
alterius anguli B D C ſeu n = {1/4}, ita erit longitudo penduli pro tubis cylin-
dricis = {4/5}l: Si vero ſub iisdem reliquis circumſtantiis tubo cylindrico ſub-
ſtituas conicum, qui amplitudinem in B habeat quadruplo majorem, quam eſt
amplitudo in D, habebis, poſito γ = {1/4}g, longitudinem penduli = l: longius eſt
itaque cæteris paribus pendulum tautochronum pro tubo conico quam pro cy-
lindrico, & tardius fiunt oſcillationes in illo, quam in hoc: ſed ſi nunc,
manentibus rurſus reliquis, tubum conicum ſtrictiorem ponamus in B quam
in D, contrarium erit: fuerit v. gr. γ = 4g, erit longitudo penduli = {8/17}l,
& proinde minor, quam ſi tubus cylindricus foret; rurſusque minor erit,
ſi amplitudinem in B admodum majorem ponas, quam eſt in D: ita ſi fuerit
γ = {1/64}g, erit longitudo penduli = {8/17}l, ut ante. Notabile eſt, ut in præ-
cedente etiam vidimus exemplo, quod, manentibus amplitudine in B, ſitu
canalis B C D ejusdemque longitudine, duæ ſemper diverſæ definiri poſſint
amplitudines in D pro eadem penduli tautochroni longitudine, niſi cum an-
guli D B C & B D C ſunt æquales. Hujus rei exemplum eſt particulare, quod,
ſive amplitudo in D æqualis ſit amplitudini in B, ſive rationem ad eandem ha-
@eat quadratam ſinus ang. B D C & ſin. ang. D B C, eodem tempore oſcilla-
tiones fluidi abſolvantur in tubo utroque.
Scholion Generale.
§. 22. Experimenta de oſcillantibus fluidis ita ſumpſi, ut crebra tenta-
tione longitudinem penduli ſimplicis Iſochroni invenirem, hancque longitu-
dinem in diverſis caſibus talem præter propter eſſe obſervare potui,
137123SECTIO SEXTA. theoria in hâc ſectione indicat; aliquando tamen longitudinem illam debitâ
paullo majorem inveni; cujus rei rationem haud @ difficulter hanc eſſe vidi,
quod frictiones fluidi excurſiones non ſolum diminuant, ſed & retardent@, ut
& , quod tubi eo in loco, quo inflectuntur, ſtrictiores eſſe ſoleant: Id poſte-
rius, ſi omni cura evitetur, ſique ipſæ @inflexiones non uno angulo ſed lente
fiant, & ſi denique pro liquore oſcillante mercurius puriſſimus adhibeatur,
dubium mihi nullum ſupereſt, fore ut experimenta præmiſſam theoriam ad
amuſſim confirment, ita, ut operæ pretium non duxerim anxie de illis in-
quirere.
Id tamen ratione experimentorum à me inſtitutorum ſuperaddam,
quod amplitudines tuborum ante experimentum in diverſis eorum locis accu-
rate exploraverim ope columellæ mercurii, quæ dum gradatim totam longi-
tudinem tubi percurreret, longitudinibus ſuis diverſis, quarum menſuras aſ-
ſiduè accipiebam, amplitudinum variationes ubique manifeſtabat: Et hæ
quidem amplitudines ita in tubo erunt explorandæ, poſtquam jam fuerit in-
curvatus, nam ab incurvatione amplitudines admodum decreſcunt. Hæc
ratio fuit, quod in primo hanc in rem à me ſumto experimento, ſucceſſus
expectationem meam fefellerit: Tubum nempe vitreum, cujusmodi pro
barometris conficiendis adhibere ſolent, ſatis amplum eundemque fere per-
fecte cylindricum, incurvare feci, ut oſtendit propemodum Figura vigeſi-
ma ſeptima, eoque deinde mercurio maximam partem repleto, oſcillatio-
nes ejus longe tardius fieri vidi, quam expectaveram, quia non attendi,
tubum ab incurvatione in D inſigniter fuiſſe conſtrictum, præſertim ubi an-
guli formantur. Hujus igitur rei, ut rationem haberem, tubis deinceps
lente incurvatis uſus fui, quales oſtendit Fig. 35. a. in iisque amplitudines
poſt incurvationem diligenter exploravi.
138(124)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO SEPTIMA.
De motu aquarum per vaſa ſubmerſa, ubi exem-
plis oſtenditur, quam inſigniter utile ſit princi-
pium conſervationis virium vivarum, veliis in caſibus, quibus continue
aliquid de illis perdi cenſendum eſt.
PARS PRIMA.
De deſcenſu aquarum.
§. 1.
FInge cylindrum aquâ plenum, cujus fundum perforatum ſit, illudque
ad certam altitudinem aquæ ſtagnanti veluti infinitæ ſubmerſum, &
facile intelliges ſuperficiem aquæ in cylindro contentæ deſcenſuram,
& quidem infra ſuperficiem aquæ exterioris, dein rurſus aſcenſuram
& ſic porro. Hæ vero oſcillationes admodum differunt ab oſcillationibus in præ-
cedente ſectione conſideratis, in quibus nempe motus reciproci ſemper ſunt
inverſo ordine iidem cum motibus, qui præceſſerunt. Quis autem hic præſumat
refluxum aquarum ſeu aſcenſum eundem fore, qui fuerat deſcenſus. Talia
ſi quis ſtatueret, is certe vehementer falleretur, etiamſi vel nihil motus di-
minuatur ab adhæſione aquarum ad latera vaſis hujuscemodique aliis impe-
dimentis, non ſecus atque regulæ motuum à percuſſione pro corporibus
elaſticis valde diverſæ ſunt ab iis, quæ pro corporibus mollibus valent, utut
in utroque caſu corpora liberrime moveri cenſeantur. Utor hoc ſimili, quod
argumentum noſtrum egregie illuſtrat: Prouti enim regulæ motuum in cor-
poribus mollibus recte determinatur, ſi poſt colliſionem ea vis vivæ
pars deperdita cenſeatur quæ in compreſſionem corporum impenſa fuit
(neque enim hæc ut in corporibus elaſticis reſtituitur motui progreſſivo) ita
aſcenſus fluidi non minus recte definietur, ſi accurate examinetur, quantum vis
vivæ ſingulis momentis motui particularum aquearum inteſtino communi-
cetur, nunquam rediturum ad motum progreſſivum, de quo ſermo eſt.
§. 2. Cum itaque res eo deducta ſit, ut exploretur, quantum vis vivæ
in motibus iſtis reciprocis continue perdatur, diſquiſitionem ab hoc incipie-
mus.
139125SECTIO SEPTIMA.
Primò autem patet omnem vim vivam quæ particulis effluentibus ineſt
tranſire ad aquam externam nec ullo modo promovere ſubſequentem aſcenſum
ſeu influxum aquæ externæ in tubum: Nimis hæc eſt clara hypotheſis, quam
ut majori explicatione opus habeat: reſpicit autem aquarum effluxum & in hoc
unica eſt conſideranda. Venit jam altera, quæ pertinet ad aquarum influxum.
Secundò igitur non minus perſpicuum mihi quidem eſt, quod ir-
ruente aqua per foramen majori velocitate, quam quæ aquæ internæ aſcen-
denti ineſt, exceſſus ille rurſus motum quendam inteſtinum in eadem aqua
interna cieat, parum aut nihil ad aſcenſum conferentem. Hoc ſi ita ſit, pona-
turque amplitudo foraminis = 1, amplitudo cylindri = n, aſcenſus potent.
guttulæ irrumpentis = n n v, ejusque velocitas = n√v, retinebit hæc par-
ticula motu ſuo, quem cum reliqua aqua interna communem habet, velocitatem
√v, conſervabitque proinde aſcenſum potent. v; reliquum autem aſcenſus potent.
nempe n n v - v ad motum particularum inteſtinum transiiſſe cenſendum eſt.
Hypotheſis iſta, quamvis Phyſica ſit & proxime tantum vera, tamen mag-
nam habet utilitatem ad motus fluidorum ſine notabili errore determinandos,
quoties in vaſe uniformis continuitas, quæ hactenus aſſumta fuit, prærum-
pitur, veluti cum aqua per plura foramina tranſire cogitur; Imo credide-
rim unicam eſſe, cujus ope hujusmodi motus mira phænomena recte expli-
cari poſſint. Quapropter velim, ut recte animo perpendatur, antequam ad
alia divertatur lector.
§. 3. Jam igitur quæſtionem ipſam examinabimus, incipiendo ab a-
quarum deſcenſu. Concipiatur cylindrus A I M B, (Fig. 36.) aqua plenus
11Fig. 36. usque in X Y & aquæ infinitæ R T V S ſubmerſus, ita ut longitudo ejus ſit
in ſitu verticali habeat ejus fundum lumen P L, per quod aqua ex vaſe in
aquam circumfluam effluere poſſit. Quæritur velocitas aquæ internæ, poſt-
quam ſuperficies ejus per datum ſpatium X C vel Y D deſcendit, poſita
M Y vel I X = a, M V = b, M D = x, amplitudine foraminis = 1, &
denique amplitudine cylindri = n.
Solutio eadem erit, quam pro ſimili quæſtione, ſed ea admodum
generali, dedimus in ſectione tertia: obſervetur tantum, quod ſumta par-
ticula aquæ infinitè parva C D F E æquali guttulæ P L O N eo ipſo tempore
ejectæ, deſcenſus actualis ſit nunc æſtimandus ex altitudine D V vel C T,
cum in altero caſu definiendus erat ex tota altitudine D M.
Sit nempe velocitas ſuperficiei aqueæ C D ea, quæ
140126HYDRODYNAMICÆ altitudini v, & in ſitu infinite propinquo E F reſpondebit eadem velocitas
altitudini v - d v; Et cum aſcenſus potentialis aquæ C D M L P I C ſit v, obti-
nebitur aſcenſus potent. ejusdem aquæ in ſitu proximo E F M L O N P I E, ſi
multiplicetur maſſa E F M L P I E (n x - n d x) per ſuum aſcenſum potent.
(v - d v) ut etiam guttula L O N P (n d x) per ſuum itidem aſcenſum poten-
tialem n n v, aggregatumque productorum dividatur per ſummam maſſarum
(n x): habetur itaque iste aſcenſus potentialis = {(n x - n d x) x (v - d v) + n d x x n n v/nx}
ſeu {xv - vdx - xdv + nnvdx/x}.
Eſt proinde incrementum aſcenſus potent. = {- vdx - xdv + nnvdx/x}.
(conf. §. 6. ſect. 3.) Iſtud vero incrementum æquale cenſendum eſt cum de-
ſcenſu actuali infinitè parvo, qui (per §. 7. ſect. 3. & per annotationem modo
datam) eſt = {(x - b)dx/x}. Habetur itaque talis æquatio
- vdx - xdv + nnvdx = (x - b)dx,
quæ debito modo integrata mutatur in hanc
v = {1/nn - 2} X (x - {xnn - 1/ann - 2}) - {b/nn - 1} X (1 - {xnn - 1/ann - 1}).
Ex iſta vero æquatione talia ſequuntur corollaria.
§. 4. Fuerit amplitudo cylindri veluti infinita ratione foraminis, &
erit cènſendum v = {x - b/nn}; ipſaque altitudo pro velocitate aquæ, dum
effluit, eſt = x - b. Unde conſequens eſt, aquam effluere velocitate,
quam grave acquirit cadendo ex altitudine ſuperficiei internæ ſupra externam,
& eo usque effluet, donec ambæ ſuperficies ſint ad libellam poſitæ, tunc-
que omnis motus ceſſabit: adeoque eadem lege aquæ effluunt, quaſi fun-
dum ſitum I M mutaret cum T V.
Cum vero foramen non poteſt ceu infinite parvum conſiderari, deſcen-
dit ſuperficies aquæ internæ infra externam; atque ut innoteſcatad quamnam
profunditatem x y ſit deſcenſura ſuperficies C D, facienda eſt v = o, ſeu
(nn - 1)(ann - 1x - xnn - 1a) = (nn - 2) X (ann - 1b - xnn - 1b),
nunquam autem ſuperficies interna tantum deſcendet infra ſuperficiem
141127SECTIO SEPTIMA. nam, quantum ſuper eandem elevata fuerat, provenit iſte defectus ab aſcenſu
pot. aquæ durante deſcenſu ejectæ, cui debet eſſe proportionalis.
§. 5. Notabile eſt, quod cum eo profundius deſcendat aqua in cylin-
dro, quo magis ab initio deſcenſus fuerit elevata & quo majori lumine perfo-
ratum eſtfundum, nunquam tamen omnis aqua ex cylindro effluere poſſit
quantumvis fuerit ante deſcenſum elevata & pars cylindri ſubmerſa utlibet
parva, ipſumque ſimul foramen vel totum fundum exhaurire ponatur.
§. 6. Velocitas ſuperficiei aquæ internæ maxima eſt, cum ſumitur
x = ({ann - 1/nna - nnb - a + 2b})1: (nn - 2)
Si proinde n = 1, exiſtente ſcilicet orificio cylindri toto aperto, fit
x = b, & maxima eſt velocitas, cum ambæ ſuperficies ſunt in eadem altitu-
dine poſitæ.
Quia vero multa ſunt, quæ ex hiſce æquationibus dignoſci nequeunt
in duobus caſibus, nempe nn = 1 & nn = 2, hique multa habent particula-
ria, eoſdem ſeorſim jam attingam.
§. 7. Sit primo nn = 1, & erit - xdv = (x - b) dx (per §. 3.) vel
- dv = dx - {bdx/x}, quæ ſic integrata, ut ſit ſimul v = o & x = a, dat - v =
x - a + b log. {a/x}, ſeu v = a - x - b log. {a/x}: Exinde talia deduci poſſunt.
I0. Ut obtineatur maximus deſcenſus, faciendum eſt a - x - b log. {a/x}
= o; patet autem ex iſta æquatione, nunquam negativum valorem obtinere
litteram x, imo nequidem totam evaneſcere ſine contradictione, niſi pona-
tur {a/b} = ∞, quod indicat fieri non poſſe, ut omnis effluat aqua durante de-
ſcenſu in iſto caſu & multo minus in reliquis, quod confirmat paragraphum
quintum.
II0. Velocitas maxima talis eſt, quæ debetur altitudini a - b - b log. {a/b},
atque ſi differentia inter a & b, quam ponam = c, ſit valde parva, exiſten-
tibus nimirum excurſionibus fluidi perexiguis ratione longitudinis, ad
142128HYDRODYNAMICÆ cylindrus eſt ſubmerſus, poterit log. {a/b} cenſeri = {c/b} - {cc/2bb} ipſaque proinde
altitudo maximæ debita velocitati ſeu a-b-blog. {a/b} = {cc/2b}, quod motum ad-
modum lentum fore arguit.
Demonſtrabo autem in ſequentibus, totum motum cæteris paribus
eundem manere, cum cylindri cenſentur infinite ſubmerſi, quocunque fora-
mine fundum fuerit perforatum, ita ut motus aquæ internæ à diminuto fora-
mine non retardetur; quod quamvis prima fronte admodum paradoxum vi-
deatur, non poterit tamen vera ejus ratio phyſica effugere animum lad hæc
attentiorem. In eo ſcilicet verſatur, quod vis viva, quæ in tubo generatur,
veluti infinita ſit præ vi viva aquæ per foramen tranſeuntis nec adeoque hujus
foraminis conſideratio computum diverſum faciat.
Demonſtrabimus etiam ſimiles eſſe motus reciprocos & oſcillationes
tam majores quam minores inter ſe eſſe Iſochronas, atque pro hiſce longitu-
dinem penduli ſimplicis tautochroni determinabimus.
§. 8. Fuerit nunc nn = 2; Ita vero habetur vi §. 3. v d x - x d v =
(x - b) dx, vel {xdv - vdx/xx} = {(b - x)dx/x x}, quæ recte integrata abit in hanc v =
{bx/a} - b + x log. {a/x}. Si fiat {bx/a} - b + x log. {a/x} = o, dabit x locum maximi de-
ſcenſus; locus autem maximæ velocitatis habebitur, faciendo x = c{b - a/a}a,
ubi per c intelligitur numerus, cujus logarithmus eſt unitas.
Poſtquam ſic varios perſtrinximus caſus pro diverſis foraminum ma-
gnitudinibus, ſupereſt ut etiam conſideremus, quid in diverſis altitudinum
a & b caſibus ſuccedere poſſit.
§. 9. Et primo quidem ſi b nulla ſtatuatur præ a, quod fit cum cylin-
dri fundum tantum radit ſuperficiem aquæ exterioris, tunc prodit
v = {1/nn - 2}(x - {xnn - 1/ann - 2})
quæ quidem æquatio non niſi forma differt ab illa, quæ §. 14. Sect. 3. data fuit
pro eo caſu, quo aquæ ex cylindro in aërem ejici ponuntur. Et ſæpe
143129SECTIO SEPTIMA. expertus ſum cylindrum eodem tempore evacuari, ſive aquæ in aërem eji-
ciantur, ſive fundum aquæ ſtagnanti tantillum ſubmergatur. Docet hæc ex-
perientia parum aut nihil obſtare aërem externum effluxui, cum reſiſtentia
plus quam octingenties major notabiliorem effectum non exerat. Quia adeo-
que iſte caſus nihil particulare habet, quod non loco citato monitum fuerit,
huic non ulterius immorabimur: Inquiremus potius, quid fieri debeat, cum
elevatio aquæ internæ ſuper externam, quanta ab initio deſcenſus eſt, ſumi-
tur valde parva & negligenda præ immerſione cylindri; cui hypotheſi ſatisfit,
cum exceſſus altitudinis a ſuper altitudinem b (quem exceſſum rurſus vocabi-
mus (ut §. 7.) c) eſt admodum parvus.
§. 10. Cum itaque ponitur a - b = c, ponendum etiam erit a - x = z,
tumque utraque quantitas, nempe c & z, erunt negligendæ præ quantitatibus
a & b, ſed ſi a - x = z, erit x = a - z & xnn - 1 = (a - z)nn - 1 =
ann - 1 - (nn - 1)ann - 2z + ({nn - 1. nn -2/2})ann - 3zz
- ({nn - 1. nn - 2. nn - 3/2. 3. })ann - 4 z3 + & c.
Hæc ſeries quantum ad inſtitutum noſtrum ſufficit eſt continuanda;
ſufficiet autem ad tres usque terminos. Igitur in æquatione integrata quam
dedimus §. 3. ponemus, x = a - z &
xnn - 1 = ann - 1 - (nn - 1)ann - 2 z + ({nn - 1. nn - 2/2})ann - 3zz &
ſic erit
v = {1/nn -2} [a - z - a + (nn - 1) z - ({nn - 1. nn -2/2}){zz/a}]
- {b/nn - 1}[1 - 1 + (nn - 1){z/a} - ({nn - 1. nn - 2/2}){zz/aa}]
In qua æquatione ſi termini ſe deſtruentes deleantur, atque ponatur a - c
pro b, rejiciaturque terminus qui affectatur quantitate {czz/aa}, prodit ſimpliciter
v = {2cz - zz/2a}.
ex quâ formula, cum littera n evanuerit, indicium habemus, nihil
144130HYDRODYNAMICÆ tudinem orificii pertinere ad motum aquæ internæ, cujus rei originem jam
ſupra (§. 7.) indicavi.
In ſequentibus autem demonſtrabimus, non differre hunc motum à
ſubſequente motu refluo, hincque oſcillationes fieri tautochronas. Prius-
quam vero ad alia pergam monendum duxi, in iſto calculo quantitates
{c/a} & {z/a} non ſolum præ unitate, ſed & præ {1/nn} ceu infinite parvas poſitas fuiſ-
ſe, ad quod animus probe eſt advertendus in inſtituendis experimentis;
licet utique theoriam infinite parvorum ad experimenta, ſine notabili erro-
re revocare diminuendo admodum quantitates, quæ in theoria ceu infinite
parvæ conſideratæ fuerunt, ſed faciendum eſt, ut in experimento omnia
huic legi ſint ſubjecta. Ita v. gr. ſi in cylindro omne fundum abſit, poſito
n = 1, idque ſubmerſum ponatur ad altitudinem triginta quinque pollicum,
ſatis accurate ſumetur experimentum, cum aqua ante oſcillationes elevata
tantum fuerit ad altitudinem unius pollicis ſupra ſuperficiem aquæ circum-
fluæ nec dum error notabilis erit, ſi vel orificiium inferius ad dimidium
obſtruatur exiſtente tunc {c/a} ad {1/nn} ut 1. 9, quæ ratio in noſtro experimento
tuto adhuc negligi poteſt: at ſi jam diametrum tubi duplam ponas diame-
tri orificii, occluſis tribus quartis aperturæ integræ partibus, jam fiet n = 4
& {c/a} ad {1/nn} ut 4 ad 9, quæ ratio non ſatis parva amplius erit, ut experimentum
conditionibus theoriæ cum ſufficienti præciſione ſatisfacere affirmari poſſit.
Hic itaque jam porro inquirere conveniet, quid de his caſibus ſtatuen-
dum ſit, quibus {c/a} & {1/nn} notabilem quidem inter ſe habent rationem, utra-
que vero quantitas fit admodum exigua, quod nimirum fit, cum cylindrus
profundiſſime ſubmergitur, ſimul autem fundum parvulo eſt pertuſum fo-
ramine.
§. 11. Sed iſte, quem modo finximus, caſus melius ex æquatione
differentiali paragraphi tertii, quam ex integrali, ut antea factum, deduci-
tur: poteſt autem pro his circumſtantiis rejici terminus - v d x præ n n v d x,
atque ſic aſſumi - x d v + n n v d x = (x - b) d x, in quâ ſi rurſus ponitur
a - b = c & a - x = z, prodit
adv + zdv + nnvdz = (c - z)
145131SECTIO SEPTIMA. cujus ſecundus terminus z d v rurſus præ primo negligi poteſt, ita vero
habetur
adv + nnvdz = (c - z)dz.
Ponatur hic (ſumto α pro numero, cujus logarithmus hyperbolicus eſt
unitas) v = {1/nn}α{-nnz/a}q; hoc modo mutabitur poſtrema æquatio in hanc
α{-nnz/a}adq = nn (c - z)dz, vel
adq = nnα{nnz/a} X (c - z)dz:
Hæc vero ita eſt integranda, ut z & v vel etiam z & q ſimul evane-
ſcant; habebitur igitur
q = (c + {a/nn} - z)α{nnz/a} - c - {a/nn}, vel denique
v = {1/nn} (c + {a/nn} - z) - {1/nn} (c + {a/nn})α{-nnz/a};
Ex iſta vero æquatione deducitur:
I. Oriri rurſus, ut paragrapho decimo alia mathodo inventum fuit,
v = {2cz - zz/2a}, ſi nempe rurſus ponatur {nnz/a} numerus valde parvus, Id ve-
ro ut pateat, reſolvenda eſt quantitas exponentialis α{-nnz/a} in ſeriem, quæ
eſt ipſi æqualis, 1 - {nnz/a} + {n4zz/2aa} - {n6z3/2. 3a3} + & c. ex quâ pro noſtro
ſcopo tres priores termini ſufficiunt; eo autem ſubſtituto valore rejectoque
termino rejiciendo, reperitur ut dixi
v = {2cz - zz/2a}
II. At ſi viciſſim {nn/1} infinites major ponatur quam {a/z} aut {a/c}, quia tunc
α{-nnz/a} = o, ut & {a/nn} = o, fieri intelligitur v = c - z, ſive v = x - b,
ut §. 4.
III. Neutram vero præmiſſarum formularum ſine notabili errore lo-
cum habere patet, cum {nnc/a}, numerus eſt mediocris, nempe nec infinitus,
nec infinite parvus, & tamen utraque quantitas {nn/1} & {a/c} infinita.
146132HYDRODYNAMICÆ
Fuerit v. gr. elevatio indicata per c unius pollicis, immerſio cylindri b
80. poll. ipſaque a 81. poll. dein ponatur diameter tubi tripla diametri forami-
nis, id eſt, nn = 81, erit v = {2 - z - 2α- z/nn}, atque ſi porro ponatur
z = c = 1, ut habeatur altitudo velocitatis, cum utraque ſuperficies eſt ad
libellam poſita, erit v = {α - 2/nnα}, id eſt, proxime v = {1/307} poll. cum ſecundum
paragraphum decimum debuiſſet oriri v = {1/162} poll. & ſecundum paragraphum
quartum v = o. In eodem exemplo fit ſpatium integrum, quod ſuperficies
percurrit non omnino octo quintarum partium unius pollicis, locusque
maximæ velocitatis eſt præterpropter ſexaginta novem centeſimarum partium
ejusdem menſuræ infra altitudinem initialem.
§. 12. Non difficilius eſſet ad omnes vaſorum figuras extendere, quæ
hactenus dicta ſunt, imo etiam ad ſpatia finita, quibus aqua externa deter-
minetur: fiunt autem formulæ plerumque adeo prolixæ, ut conſultius du-
xerim easdem ſilentio præterire, & ſpecimine ſaltem aliquo particularem oſten-
dere modum, quo theoria ad quoslibet caſus alios eruendos applicanda ſit.
Attentionem particulariorem merentur, quæ de motu aquarum in tu-
bis inferius largiter apertis, & profundiſſime ſubmerſis indicavi, quia in his
motus oſcillatorius, ut in pendulis, conſtantis durationis eſt, & undarum
in mari fluxus illuſtratur ab illis. Exiſtimavi autem prius de refluxu aquarum
in cylindris ſubmerſis generaliter tractandum eſſe, atque oſtendendum in iſta
hypotheſi refluxum non differre à præcedente fluxu, quam motus totus
oſcillatorius examinetur. Jam igitur de iſto refluxu commentabimur, dein-
ceps utrumque motum in diverſis caſibus combinaturi, ne aliquid in argu-
mento deſiderari poſſit.
PARS SECUNDA.
De aſcenſu aquarum.
§. 13. Poſtquam aquæ deſcenderunt in vaſe ſubmerſo, quantum id
ipſis natura rei permittit, duo potiſſimum conſideranda ſe offerunt; primo
exceſſus altitudinis ſuperficiei externæ ſupra internam & ſecundo vis viva ſeu
productum ex aſcenſu potentiali in maſſam illius aquæ, quæ ex cylindro in
147133SECTIO SEPTIMA. circumſtagnantem durante deſcenſu ejecta fuit: hæc enim vis viva, quæ redi-
re non poteſt ad aquam in cylindro, facit potiſſimum ut aquæ multum abſint,
quo minus priſtinam, ex quâ ceciderant, in refluxu attingant altitudinem:
nec tamen unica eſt hæc ratio, etiamſi vel nihil obſtent impedimenta tenaci-
tatis, adhæſionis, hujuſmodique alia: Altera ratio indicata fuit §. 2. Iſtius
vero rationis menſura ex ipſo aſcenſu eſt deducenda, cum prior ad deſcenſum
pertineat & ſola, abſtrahendo animum ab impedimentis extrinſecis, in cauſa
eſt, cur non aqua in aſcenſu tantum ſupra ſuperficiem externam elevetur,
quantum infra eandem depreſſa fuerat. Notandum enim eſt, futurum fuiſſe,
aquis vel per minimum foramen influentibus, ut eadem velocitate aſcende-
rent, tanquam ſi omne fundum deeſſet, plenoque orificio irrumperent, ſimo-
do poſt influxum impetum, quem in aquas internas faciunt, totum exererent
ad earum aſcenſum promovendum: Verum quicunque hanc rem recte perpen-
dit facile videt, plerumque impetum iſtum totum fere impendi in motum ali-
quem inteſtinum, qui nihil aſcenſum promoveat; dico autem notanter ple-
rumque (quod bene notetur velim) quia cum foramen magnum admodum
eſt, non difficulter prævidetur, impetum aquarum influentium ita apte fieri,
ut motus internus haud parum inde promoveatur; at cum foramen minus eſt,
liquet, rem ſecus ſe habere. Recte igitur adhibetur hypotheſis noſtra, cum vel
fundum omne abeſt, aut fere totum eſt perforatum (ſic enim exceſſus velocita-
tis aquæ influentis ſupra velocitatem aquæ internæ nullus, aut valde exiguus eſt,
& nullum illa in hanc impetum facit) vel etiam cum foramen minimum eſt, quia
ſic omnis impetus infringitur. Sed ſi foramen rationem habuerit ad amplitudi-
nem tubi, veluti ut √ 2. ad 1, vel ut 2. ad 1, aut circiter, major paululum
erit motus quam qui ex iſta hypotheſi ſequitur, quia tunc notabilem impetum
faciunt aquæ irruentes, nec is omnis per rei naturam perditur.
Facile igitur eſt ſine inſtituto calculo prævidere ſequentes in aquarum,
poſtquam ex certa altitudine delapſæ fuerunt, refluxu affectiones.
I. Nullum nempe fore refluxum ſenſibilem, ſi foramen ſit valde par-
vum.
II. Cum pars cylindri ſubmerſa non mutata maneat, nunquam aquas in
refluxu certum terminum prætergreſſuras, ſi vel in infinitum elevatæ fuerint
aquæ in prævio deſcenſu: nunquam enim, ex quâcunque altitudine incipiat
deſcenſus, omnes aquæ ex cylindro effluunt, ut vidimus, §. §. 5. & 7.
148134HYDRODYNAMICÆ
III. Cum deſcenſus incipere intelligatur ab altitudine X Y, ſubſe-
quenſque aſcenſus fieri uſque in CD, fore productum deſcenſus actualis maſſæ aquæ
X Y D C uſque ad T V in maſſam, menſuram rationis utriuſque combinatæ,
quæ, ut §. 2. dictum, aſcenſum à præcedente deſcenſu differre faciunt, & cum
ratio ſecundo loco recenſita evaneſcat, ſi omne auferatur fundum IM, fore
tunc iſtud productum æquale vi vivæ omnis aquæ, durante deſcenſu ejectæ, ita
ut ſine alio calculo, præter hactenus jam poſitos, aſcenſus aquarum in cylin-
dro toto aperto definiri poſſit.
IV. Aſcenſum fore æqualem deſcenſui, cum cylindrus infinite ſub-
merſus intelligitur evaneſcentibus tunc præfatis diminutionis cauſis.
V. Hinc igitur oſcillationes ſine fine fore, quia poſtremæ oſcillatio-
nes ſemper ſint veluti infinite parvæ ratione ſubmerſionis altitudinum: faciunt
autem impedimenta aliena, quorum nullam hucuſque rationem habuimus, ut
omnis motus cito admodum ceſſet.
§. 14. His generatim præmonitis, problema accuratiori calculo ſub-
jiciemus: duplicem autem dabo ſolutionem, alteram ad principia modo ex-
poſita accommodatam, alteram ſpecie quodammodo diverſam.
Igitur retentis tum figura, tum denominationibus §. 3. conſiderabi-
mus aquam ex altitudine X Y deſcendiſſe uſque in x y, & ab hoc termino aſ-
cenſum ſuum inchoare; dicatur M y vel I x = α & poſtquam jam aſcendit uſ-
que ad c d vel e f, ponatur M d = ξ, df = dξ: His ita ad calculum præpa-
ratis, deſignataque rurſus per v altitudine debita velocitati aquæ in c d & per
v + d v ſimili altitudine in ſitu proximo e f, inquiremus in incrementum aſcen.
ſus potentialis aquæ accedens, dum cylindrum ſubit guttula L O N P, ſuperfi-
cieſque ex c d aſcendit in e f; Perſpicuum autem eſt, cum ubique aſcenſus po-
tent. aquæ internæ multiplicatus per ſuam maſſam exprimatur per n ξ v (nec
enim ulla attentio adhibenda eſt ad motum inteſtinum) fore ejusdem produ-
cti incrementum n ξ d v + n v d ξ: Si vero præterea conſideretur aſcenſus po-
tent. n n v - v, (vid. §. 2.) quem guttula influens n d ξ perdit, quique pariter
debetur deſcenſui actuali particulæ aqueæ n d ξ per altitudinem b - x, patet eſſe
ponendum
nξdv + nvdξ + (nnv - v) ndξ = (b - ξ) ndξ, vel
ξdv + nnvdξ = (b - ξ) dξ.
149135SECTIO SEPTIMA.
Idem vero aliter ſic invenitur.
Conſideretur ſcilicet guttulæ L O N P quaſi nullam velocitatem fuiſſe,
priuſquam influere inciperet, eandem vero ſtatim atque influere incipiat, ac-
quirere aſcenſum potentialem, qui ſit = n n v, quamvis mox poſt ſui influxum
(per annot. ſec. §. 2.) cenſenda ſit motum continuare velocitate communi
√ v. Quo facto ſic erit ratiocinandum. Ante influxum guttulæ, eſt aſcenſus
potent. aquæ c d M L P I c (cujus maſſa = n ξ) = v. & aſcenſ. potent. guttulæ
L O N P (cujus maſſa = n d ξ) = o; ergo aſcenſus potentialis omnis aquæ
c d M L O N P I c = {nξv/nξ = ndξ} = {ξv/ξ + dξ}.
At vero poſtquam guttula L O N P influxit ſitumque aſſumſit L on P,
eſt ejus aſcenſ. potent. = n n v, reliquæ autem aquæ e f M L o n P I e (cujus
quidem maſſa rurſus = n ξ) aſcenſus potent. eſt = v + d v; igitur aſcenſus
potent. omnis aquæ hic conſideratæ poſt influxum guttulæ eſt
= {ndξ x nnv + nξx(v + dv)/nξ + ndξ} = {ξv + ξdv + nnvdξ/ξ + dξ}, cum ante eundem influ-
xum fuerit {ξv/ξ + dξ}: cepit igitur incrementum {ξdv + nnvdξ/ξ + dξ}, vel ſimplicius
{ξdv + nnvdξ/ξ}. Iſtud vero incrementum æquandum eſt cum deſcenſu actuali
quem aqua facit mutando ſitum c d M L O N P I c ſitu e f M L O N P I e, qui
deſcenſus æqualis eſt quartæ proportionali ad maſſam aquæ internæ n ξ, ad
guttulam n d ξ & altitudinem V f vel b - ξ, ſic ut præfatus deſcenſus ſit =
{(b - ξ)dξ/ξ}: unde iterum habetur talis æquatio
ξdv + nnvdξ = (b - ξ)dξ;
Hujus vero integralis poſt debitæ conſtantis additionem talis fit
v = {b/nn} (1 - ({α/ξ})nn) - {1/nn + 1} (ξ - ({α/ξ})nn α),
quam nunc pro diverſis ejus circumſtantiis perpendemus.
§. 15. Et quidem cum fuerit amplitudo tubi infinities major, quam
amplitudo foraminis; patet fieri v = {b - ξ/nn}, & irruere proinde aquam velo-
citate quæ debeatur altitudini ſuperficiei externæ fuper internam, neque
tunc ultra ſuperficiem aquæ externæ fiet aſcenſus.
150136HYDRODYNAMICÆ
Cum vero amplitudo foraminis rationem habet finitam ad amplitudi-
nem tubi, aſcenſus fit ultra ſuperficiem R S veluti usque in s t: minor au-
tem ſemper erit Vt quam Vy, niſi cum omne fundum abeſt, tunc enim
erit V t = V y. Prouti monuimus §. 5. in deſcenſu differentiam inter V Y &
V y, proportionalem eſſe & originem debere aſcenſui potentiali aquæ durante
deſcenſu ejectæ, ita nunc obſervari poteſt in aſcenſu differentiam inter V y
& V t originem habere ab illiſione guttularum L o n P in maſſam aquæ ſu-
perjacentis, quæ quidem illiſio non promovet aſcenſum, ſed in inutilem mo-
tum inteſtinum impenditur, prouti indicatum fuit §. 2. Ergo cum omne
fundum I M abeſt, aqua tubum eadem velocitate ingreditur, qua jam gau-
det aqua tubum antea ingreſſa & nulla fit colliſio, quæ cauſa eſt cur in iſto
caſu tantum aſcendat aqua ultra ſuperficiem R S, quantum fuerat infra il-
lam depreſſa, quod æquatio, uti mox videbimus, indicat.
§. 16. Determinabitur maximus aſcenſus s t, faciendo v = o. Igitur
ut motus omnis recte definiatur, alternatim adhibendæ erunt formulæ §. §. 3.
& 14. erutæ, quod nunc hoc unico illuſtrabo exemplo, quo nn = 1.
Si proinde nn = 1, fit v = b (1 - {α/ξ} - {1/2} (ξ - {αα/ξ}): eritque
v = o, cum ſumitur ξ = 2b - α, id eſt, cum ſumitur V t = V y. Igi-
tur ſi verbi gratia tubus A B M I aqua plenus, omnique fundo deſtitutus fue-
rit ad medietatem usque immerſus aquæ exteriori, atque tota ipſius longi-
tudo dicatur a, aqua ſic agitabitur ut primo infra T V deſcendat, ſpatio
o, 297a, deinde ſimili ſpatio ſuper eandem T V elevetur, rurſusque infra eam
deprimatur ſpatio o, 240a, eodemque lineam illam iterum tranſcendat, &
ſic porro.
§. 17. Patet etiam cum α eſt = o, tubo ſcilicet ab omni aqua va-
cuo, fore generaliter v = {b/nn} - {ξ/nn + 1}: aſcenſumquè integrum conſequen-
ter fore {nn + 1/nn}b vel aſcenſum ſupra ſuperficiem exteriorem aquæ = {b/nn}.
§. 18. Venio nunc ad tubos infinite ſubmerſos, in quibus deſcenſum
cum ſuis affectionibus determinavimus §. 10. Utemur autem eadem plane
methodo ad hunc caſum definiendum quâ ibi uſi ſumus: erit nobis igitur
depreſſio initialis V y(= b - α) = c, aſcenſus inde factus y d (= ξ - α) = z.
151137SECTIO SEPTIMA. Sic eſt ξ = α + z & b = α + c, ubi quantitates z & c ſunt ceu infinite par-
væ conſiderandæ ratione quantitatis α. Habetur hinc
({α/ξ})nn = ({α/α + z})nn = (1 + {z/α})-nn = adhibendo ſeriem notam
& ex illa ſumendo tres primos terminos 1 - {nnz/α} + {nn. nn + 1zz/2αα}. Subſtitu-
tis iſtis valoribus pro b, ξ & ({α/ξ})nn mutatur æquatio ultima paragraphi de-
cimi quarti in hanc, v = {α + c/nn} X ({nnz/α} - {nn x nn + 1zz/2αα}) -
{1/nn + 1} X (α + z - α + nnz - {nn. nn + 1zz/2α}) =
(α + c) X ({z/α} - {nn + 1zz/2αα}) - (z - {nnzz/2α}) =
{cz/α} - {zz/2α} - {nn + 1czz/2αα}: Poteſt autem negligi iſte ultimus terminus & ſic
fit ſimpliciter
v = {2cz - zz/2α},
quam æquationem n non amplius ingreditur: Neque illa differt ab æquatio-
ne pro deſcenſu §. 10. data, nempe v = {2cz - zz/2a}, quandoquidem quan-
titas a & α non differunt niſi quantitate minima 2 c.
Cæterum hic omnia etiam ſunt ſubintelligenda, quæ eodem §. 10. de
tubo non nimis obſtruendo dicta ſunt.
§. 19. Sunt igitur deſcenſus & aſcenſus ſibi æquales; nam ex æquatio-
nibus noſtris patet, liquorem æqualiter librari ultra ſuperficiem aquæ externæ.
Deinde vero potiſſimum ſequitur ex iſtis formulis, eſſe vel oſcillationes inæqua-
les inter ſe iſochronas, modo omnes poſſint infinite parvæ cenſeri ratione ſub-
merſionis: Pendulum autem ſimplex tautochronum eſſe ejuſdem longitudinis
cum parte tubi ſubmerſa.
Differt iſtud theorema ab illo, quod §. 4. ſect. 6. de oſcillationibus in
tubo cylindrico ex duobus cruribus verticalibus compoſito citatum fuit, in eo,
quod ibi oſcillationes omnes non excluſis oſcillationibus finitæ magnitudinis
ſint tautochronæ, cum@in præſenti caſu oſcillationes finitæ ſint inæqualis
152138HYDRODYNAMICÆ tionis; deinde quod ibi longitudo penduli ſit æqualis dimidiæ longitudini tubi,
cum hîc ſit æqualis integræ, quamvis ſi recte res perpendatur, hic potius ſit con-
ſenſus quam diſſenſus dicendus ob tubi, quæ in priori caſu eſt, duplicationem.
§. 20. Utroque oſcillationum genere illuſtratur natura undarum ven-
to agitatarum: neque enim aliter moventur, quam quod aquæ in illis conti-
nue aſcendant rurſuſque deſcendant. Ita patet quod dicit Newtonus, tem-
pora undulationum eſſe in ratione dimidiata latitudinum undarum, quia ponit
undarum formam ſibi conſtanter eſſe ſimilem & proinde earum latitudinem
proportionalem profunditati, ad quam aquæ agitantur. Veriſimile autem eſt
profunditatem eam eſſe, quæ pendulo ſimplici cum undis tautochrono, nempe
v. gr. 60 {1/3} ped. Pariſ. ſi ſingulis binis ſecundis fiat undarum aſcenſus deſcenſuſve.
§. 21. Quamvis noluerim ad prolixitatem calculi evitandam, hoc ar-
gumentum in omni ſua extenſione proſequi, propterque ea de cylindricis va-
ſis tantum egerim, attamen quia in caſu ſubmerſionis infinitæ, enunciationes
& theoremata parum de ſua concinnitate perdunt, ſuperaddam theorema ge-
nerale pro oſcillationibus aquæ in tubo utcunque inæquali, omiſſa tamen de-
monſtratione, quæ ex alibi dictis unicuique obvia erit, præſertim vero ex iis
quæ in Sect. 6. §. §. 6. 7. & ſeqq. uſque ad 20. expoſita fuerunt. Faciendum au-
tem eſt, ut cylindricæ ſit ſtructuræ pars illa vaſis ſuperior, in quâ excurſiones
fiunt.
§. 22. Fuerit igitur bd longitudo vaſis ſubmerſi (Fig. 35. b) Repræſentet
b F ejus amplitudinem in loco ſuperficiei, ponaturque vas ita formatum, ut ſit
curva FGH ſcala amplitudinum: ſumatur linea b c fiatque curva L M N,
cujus applicata c M ſit ubique = {bF2/cG}, & erit longitudo penduli iſochro-
ni cum oſcillationibus aqueæ ſuperficiei = ſpatio bd NL diviſo per b L.
Corollarium.
§. 23. Ex præcedente paragrapho ſequitur, ſi tubus ſubmerſus coni-
cus fuerit, habeatque amplitudinem in regione aquæ ſuperficiei, quæ ſit ad
orificium ſubmerſum ut m ad n, fore longitudinem penduli Iſochroni cum
vibrante aqua ad longitudinem ſubmerſi tubi, ut √m ad √n, id eſt, ut ra-
dices prædictarum amplitudinum, atque ſi tubus idem ſitu, modo recto
153139SECTIO SEPTIMA. do inverſo, ſubmergatur tantum non totus, fore longitudines pendulorum
iſochronorum in ratione contraria orificiorum ſubmerſorum.
Scholium Generale.
§. 24. Quæ in hac ſectione continentur, quia novis hypotheſibus inni-
tuntur pleraque, eo magis operæ pretium erit experimentis tentare. Ego
quidem diverſa inſtitui, non vacavit autem ſingula quæ mente conceperam
exequi: quæ feci inferius recenſebo; Interim ut tutius judicium ferri poſſit
de conſenſu experimentorum cum theoria, diſpiciendum prius erit pro re-
rum circumſtantiis, an & quantum fere contractio venæ effluentis (cujus
naturam expoſui in ſect. 4.) calculum turbare poſſit: quod incommodum
maxima parte tolli poterit, ſi fiat ut orificii inferioris latera parvulum ali-
quem cylindrum efforment, vix dimidiæ lineæ altitudinis, qua de re animo
revolvatur experimentum quartum ad ſectionem quartam pertinens. Deinde
etiam animus advertendus ad reſiſtentias ab adhæſione aquæ oriundas, quæ
quidem parum retardant motus, ſitempora oſcillationum reſpicias, multum
autem excurſionibus detrahunt, præſertim ſi tubi ſtrictiores & longiores ſu-
mantur. Igitur magis fidendum erit experimentis, quæ circa oſcillationum
tempora facta fuerint, quia hæc tempora à diminutione excurſionum non
multum admodum alterantur. Ratione primi experimentorum generis, quo
excurſiones fluidorum in tubis, tam deſcenſus quam aſcenſus inquirendi ob-
ſervandique veniunt, hâc uſus fui circumſpectione, ut filum tubo circumvol-
verem eo in loco, ad quem aquas deſcenſuras vel aſcenſuras eſſe expectabam,
idemque filum poſt ſæpe repetitum experimentum ita tandem locavi, ut ſu-
perficies fluidi oſcillantis nec ultra nec citra excurreret. Reliqua etiam loca,
quæ in tubo obſervanda erant, pariter filo circumvoluto notavi. Quod deinde
ad tempora oſcillationum pertinet, quia hæ citiſſime decreſcunt fiuntque im-
perceptibiles & plane nullæ, non potui illa aliter inquirere, quam exploran-
do poſt ſæpiſſime iteratum experimentum longitudinem penduli ſimplicis iſo-
chroni, quod dum oſcillabat digitum orificio tubi ſuperimpoſui eumque eo
præciſe temporis puncto removi, ut & pendulum & fluidum oſcillationem ſi-
mul inciperent.
154140HYDRODYNAMICÆ
EXPERIMENTA
Ad ſect. ſept. referenda.
Experimentum 1.
TUbum adhibui vitreum cylindricum diametri fere quatuor linearum,
inferius totum apertum. Eum aquæ, in vaſe pellucido ampliſſimo
ſtagnanti, ſubmerſi ad altitudinem 44. lin. digitumque orificio admo-
vi ſuperno, ne extrahendo tubi partem deſcenderet in illo aqua: extraxi
deinceps tubum ad alt. 22. lin. ita ut tam pars tubi ſubmerſa, quam altitudo
aquæ internæ@ſupra externam eſſet 22. lin. moxque remoto digito obſervavi
deſcenſum ſuperficiei in tubo infra ſuperficiem aquæ ſtagnantis eumque vidi
fuiſſe 9 {1/2} lin,
Debuiſſet autem vi §. §. 7. & 17. deſcendere tredecim lineis; Defectus
trium linearum cum dimidia unice fere adhæſioni aquæ ad latera tubi tribuen-
dus videtur.
Obſervato deſcenſu totum experimentum repetii, ut aſcenſum quoque
proximum experirer: Viſus autem mihi fuit 8. lin. qui vi paragraphi deci-
mi ſexti, habito reſpectu ad prævium deſcenſum, eſſe debuerat 9 {1/2} lin.
nempe tantus, quantus fuit præcedens deſcenſus. Hic vero experimentum
unica tantum linea cum dimidia defecit, cum in prima experimenti parte ad
tres uſque lineas cum dimidia defectus adfuit, quia nimirum major ibi facta
fuit excurſio eaque velocitate majori, ita ut impedimenta, quæ una cum velo-
citatibus creſcunt, admodum majora offenderit.
Experimentum 2.
Eodem tubo uſus ſum, ſed eo lamina munito, quæ foramine erat per-
tuſa amplitudine √ {1/2} ratione amplitudinis tubi, cum ſuperficies tubi eſſet
octodecim lineis elevata ſupra aquam ſtagnantem, totidemque lineis fundum
ſubmerſum, vidi ſuperficiem tubi in deſcenſu quinque fere lineis infra aquam
ſtagnantem deſcendiſſe.
Paragraphus octavus autem deſcenſum arguit 7 {1/2} lin. defectum, qui
plusquam 2 {1/2} lin. fuit, rurſus adhæſioni aquæ ad latera tubi adſcribo.
155141SECTIO SEPTIMA.
Deinde tubum hunc eadem lamina inſtructum admoto ſuperius digi-
to aquæ immiſi@ad profunditatem 18. lin. totum ab aquâ vacuum: remoto
digito emerſit ſuperficies tubi ſupra aquam ſtagnantem integris octo lineis,
cum §. 17. earum novem indicat pro iſto caſu.
Quod hic defectus minor admodum fuerit, quam in deſcenſu, ratio-
ni adſcripſi, quam prolixe paragrapho decimo tertio indicavi, cum dicerem
motum paullo majorem oriturum, cum foramen amplitudinem reſpectu tu-
bi notabilem veluti in ratione √ {1/2} ad 1, aut circiter habuerit, quam qui ex
hypotheſi ſequitur: atque ut ea de re certus plane fierem, tubum adhibui
breviorem & ampliorem, ut omnis fere impedimentis alienis effectus præri-
peretur, & experimentum cepi, quod ſequitur.
Experimentum 3.
Tubum adhibui cujus diameter erat plus quam ſeptem linearum, quem
ex ferro confieri curavi, quia vitreus bene cylindricus non fuit ad manus:
longitudo ejus fuit quatuor pollicum cum ſex lineis & ſemiſſe: amplitudo
ejus ratione foraminis indicata per n fuit = 1, 860 & nn = 3, 4 5 8.
De iſto tubo experimentum ita ſumſi:
Obturato ſcilicet orificio ſuperiori identidem tentavi, ad quam pro-
funditatem ſubmergendus eſſet aquæ in arca ampliſſima ſtagnanti, ut re-
moto protinus digito, qui orificium obtegebat, aqua ad limbum ejus-
dem orificii præciſe aſcenderet, nihilque præterflueret. Iſtam vero pro-
funditatem expertus ſum 3. poll. cum tribus lineis; fuit igitur aſcenſus ſupra
aquam externam unius pollicis & trium linearum cum dimidia, cum vel
omnibus remotis impedimentis parum ultra undecim lineas aſcenſus fieri
debuerit vi paragraphi 17. Recte igitur præmonitum fuit §. 13. non poſſe
non aſcenſus fieri paullo majores in iſtiusmodi caſibus, quam hypotheſis
poſtulat. Mox eidem tubo aliud applicui fundum; erat jam n = 3, 68,
& nn = 13, 54: difficile fuit experimenti ſucceſſum recte dignoſcere, quia
ſuperficies in tubo aſcendens ſemper fuit bullata: viſum tamen fuit, tubum
nunc immergendum fuiſſe ad altitudinem 4. poll. cum duabus tribuſue lineis,
manentibus ſic extra aquam præterpropter quatuor lineis, prorſus ut theo-
ria indicat.
156142HYDRODYNAMICÆ
Experimentum 4.
Tubum cylindricum vitreum, qui tres præterpropter lineas habebat
in diametro immerſi ad altitudinem 20. poll. fecique, ut aqua in illo libraretur,
elevata prius aquâ ad altitudinem unius fere pollicis. Ultra quatuor vel
quinque itus reditusque bene notabiles non fecit, nec adeoque omni rigore
longitudinem penduli ſimplicis iſochroni examinare potui; mihi tamen illa
viſa fuit 22. aut 23. pollicum; ex quo intuli adhæſionem aquæ ad latera tu-
bi non ſolum diminuere excurſiones, ſed & morari pauliſper tempora
oſcillationum: debuiſſet enim ſecundum § 19. eſſe præfata longitudo vi-
ginti tantummodo pollicum. Idem expertus ſum in oſcillationibus, quas
in ſuperiori ſectione pertractavimus.
Cæterum obturato vel ad dimidium fere orificio inferiori, obſervare
non potui, excurſiones inde fuiſſe diminutas aut oſcillationes retardatas,
quod conforme eſt cum iis, quæ §. §. 7. & 18. habentur.
Experimentum 5.
Tubum conicum longitudine 21. poll. immerſi aquæ orificio ampliore,
ita ut unicus pollex extra aquam emineret: fuit autem alterum orificium al-
terius paululum plusquam duplum. Longitudinem penduli iſochroni cum
vibrationibus aquæ in tubo libratæ inveni quindecim poll. debuiſſet autem ſe-
cundum §. 23. eſſe eadem longitudo paullo minor quatuordecim pollicibus.
Denique ſimiliter eodem tubo uſus, ſed ſitu inverſo, deprehendi longitudi-
nem penduli iſochroni tantillo plusquam duplam ejus, quæ antea fuerat,
prouti citato paragrapho indicatur.
157(143)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO OCTAVA.
De motu fluidorum cum homogeneorum tum hetero-
geneorum per vaſa irregularis & præruptæ ſtru-
cturæ, ubi ex theoria virium vivarum, quarum pars
continue abſorbeatur, explicantur præcipue Phæno-
mena ſingularia fluidorum, per plurima foramina trajecto-
rum, præmiſsis regulis generalibus pro motibus fluido-
rum ubique definiendis.
§. 1.
ALiis adhuc principiis præter quam in ſectione proxime præceden-
te uſi non ſumus, quam hiſce duobus quod velocitates fluidorum
ſint ubique reciproce proportionales amplitudinibus vaſorum, cujus
ope invenitur aſcenſus potentialis totius aquæ ex dato aſcenſu po-
tentiali cujusvis particulæ; tum quod aſcenſus pot. totius aquæ perpetuo æqua-
lis maneat deſcenſui actuali. Quoties ambo hæc principia locum habent, mi-
nime dubitandum eſt, quin methodo à nobis adhibita motus fluidorum
recte definiatur. Non diffitebor tamen, hujusmodi fieri poſſe ſtructuræ va-
ſa, in quibus fluida moventur, ut neutrum iſtorum principiorum recte pro-
cedat. Prius equidem raro aut nunquam notabiliter à vero abducit, quia
ubicunque locum non habet, ibi nullum fere aquæ habere ſolent motum,
poſſuntque ſine ſenſibili errore ceu ſtagnantes conſiderari: Longe vero ali-
ter comparatum eſt alterum principium, quod apparebit exinferioribus ex-
emplis, & cujus rei luculentum eſſe poſſunt teſtimonium ea, quæ in ſupe-
riori ſectione protulimus circa refluxum aquarum; tantum enim abeſt, ut
aquæ in vaſe ſubmerſo ex data altitudine delapſæ, ad hanc altitudinem re-
gredi poſſint, prouti vi iſtius principii deberent, ſublatis impedimentis ex-
trinſecis, quin potius plerunque vix ſenſibilis ſit earum aſcenſus præ deſcen-
ſu, quem antea fecerunt: imo nequidem aſcendere ſuperficies aquæ
158144HYDRODYNAMICÆ tantum ſupra aquam, cui tubus immergitur, quantum infra eandem de-
preſſa fuerat, niſi cum tubus totus eſt apertus: iſta vero ſuperficies multo
minus deprimitur quam antea fuerat elevata. Horum rationem dedimus in
ſuperiori ſectione: Hæc quia ita ſunt, regulas nunc dabo duas pro motu
aquarum ubique definiendo, easque porro exemplis illuſtrabo talibus, quæ
nulla adhuc theoria explicari potuerunt, cum noſtra autem egregie admo-
dum conveniunt.
Regula 1.
§. 2. Diſpiciendum eſt, aſſumta alicubi in vaſe propoſito velocitate
fluidi ceu cognita, quænam reliquis fluidi partibus futura ſit velocitas. Ita
enim cognoſcetur aſcenſus potentialis totius fluidi ejusque incrementum. Ha-
ctenus conſideravimus fluida in infinita ſtrata parallela vel potius ad latera
vaſis ubique perpendicularia diviſa, ſtatuimusque velocitates hiſce ſtratis re-
ciproce proportionales: Facile quidem eſt vaſa effingere, ubi aliter moven-
tur fluida; crediderim autem his in locis motum notabilem nunquam ha-
bere fluida ita, ut error ex iſta hypotheſi ſenſibilis naſci fere non poſſit:
poterit tamen majoris accurationis ergo præfata regula adhiberi. Præſertim
vero huc pertinet contractio venarum, cum fluida per foramina in tenuibus
admodum laminis facta transire coguntur, qua in re magna eſt adhibenda
circumſpectio: Effectus hujusmodi contractionum haud male, puto, prævi-
debuntur, cum recte perpenſa fuerint, quæ in ſectione quarta de illis monui.
Regula 2.
§. 3. Singulis momentis diſpiciendum eſt, quantum vis vivæ, ſeu
quodnam productum ex aſcenſu potentiali in maſſam oriatur ad fluxum præ-
cipuum, cujus natura quæritur, nihil conferens. Id vero rurſus uniuscu-
jusque circumſpectæ æſtimationi relinquendum eſt. Quod ſic oritur, ad-
dendum eſt facto ex aſcenſu potentiali, quem motus præcipuus involvit, in
maſſam, aggregatumque productorum demum æquale cenſendum eſt facto
ex maſsâ omnis aquæ in ejusdem deſcenſum actualem.
Magni profecto eſt momenti hæc regula, & ut puto, fere unica ad mo-
tuum menſuras obtinendas, quiin vaſis irregularibus, pluribusque cavitatibus
inter ſe communicantibus diviſis fiunt, quod nunc pluribus illuſtrabo exemplis.
159145SECTIO OCTAVA.
Problema.
§. 4. Propoſitum fuerit vas A C R B (Fig. 37.) infinitæ quaſi ratione
11Fig. 37. foraminum mox dicendorum ubique amplitudinis & diaphragmate aliquo E F
in duas diſtinctum cavitates inter ſe communicantes, mediante foramine G:
habeat præterea vas iſtud in infima ſui parte aliud foramen D: deinde pona-
tur vas aquâ plenum uſque in P Q, ſic ut cavitas inferior C E F R tota ſit hu-
mido repleta, atque inſuper diaphragmati ſuperjaceat pars altera P Q F E. His
poſitis, fluidoque jam moveri incipiente, quæritur velocitas aquæ per foramen
D in aërem effluentis velaltitudo genitrix hujus velocitatis.
Solutio.
Fuerit altitudo ſuperficiei P Q ſupra foramen D = x, amplitudo fo-
raminis D = n, alteriusque G = m. Perſpicuum autem eſt aſcenſum potentia-
lem cujuſvis guttæ per G transfluentis nihil promovere effluxum per D, totum-
que impendi in motum aliquem excitandum inteſtinum, qui mox abſorbetur
ſine alio effectu: neceſſe igitur eſt ut ſingulis momentis motus generetur no-
vus in particulis foramen G tranſeuntibus, non minus atque in particulis per
D effiuentibus. Sed ſi aſcenſus potentialis guttulæ per D effluentis dicatur v, id
eſt, ſi aqua exilire ponatur per D velocitate, cujus altitudo genitrix ſit v, erit
ſimilis altitudo ratione guttulæ mole ſua priori æqualis, per G eodem tempo-
re transfluentis {nnv/mm}. Multiplicatis iſtis aſcenſibus potentialibus per maſſam, quam
æqualem habent, quamque vocabo M, erit aggregatum productorum =
Mv + {Mnnv/mm}. Et cum ob infinitam amplitudinem vaſis alius motus non
generetur, erit præfatum aggregatum (per reg. 2.) cenſendum æquale facto ex
maſſa omnis aquæ in ejusdem deſcenſum actualem. At vero ſi maſſa omnis aquæ
dicatur μ, erit (per § 7. Sect. 3.) deſcenſus actualis, qui fit dum guttula M ef-
fluit = {Mx/μ}, ita ut productum commune ſit = M x. Igitur habetur
Mv + {Mnnv/mm} = Mx, ſive v = {mmx/nn + mm}. Q. E. F.
Scholium 1.
§. 5. Apparet ex iſto exemplo, motum ſine calculo differentiali
160146HYDRODYNAMICÆ terminari poſſe, cum figura vaſis ubique ampliſſimi motum hunc mutare non
poteſt. Interim difficile futurum non fuiſſet, conſideratione quoque habita ad
amplitudines vaſis, fluxum definire, & ſolo brevitatis ſtudio id vitavimus pa-
riterque omittemus in ſequentibus, niſi fortaſſe motus notabiliter à figura vaſis
varia mutetur, quod fieri poteſt in tubis ſatis amplis, ſed iis longiſſimis, in
quibus fluidum movetur, præſertim ſi motus determinandi ſint oſcillatorii.
lmo vidimus in præcedente Sectione, ſi oſcillationes ſint valde parvæ in tubis
profundiſſime ſubmerſis, tunc tantum abeſſe, ut ad ſolum foramen fundi ſit
attendendum, neglectis amplitudinibus etiamſi ſatis magnis, quin potius ad
has ſolas fere ſit reſpiciendum.
Scholium 2.
§. 6. Quia in calculo, quem poſuimus, vis viva cujuſvis guttulæ per
G transfluentis ab aqua cavitatis inferioris abſorberi debet, perſpicuum eſt,
propoſitionem non eſſe extendendam ad illos caſus, qui hypotheſi repugnent,
veluti cum diaphragma E F fundo C R proximum eſt ſimulque foramina ſibi
directe reſpondent: ita enim non arduum eſt providere, motum longe diver-
ſum fore ab eo, quem præſens theoria indicat. At vero, ſi diſtantia D G ma-
gna ſit, ſique ſimul foraminum ſitus ſit obliquus & latera foraminum venis
aqueis negent contractionem; dubium nullum eſt, quin theoria accurate om-
@@bus phænomenis reſpondeat.
Corollarium.
§. 7. Si foramen G eſt admodum amplum præ altero, fit fere v = x,
ſed hæc altitudo v, cui nimirum reſpondet velocitas aquæ per D effluentis,
non parum decreſcit, creſcente foramine D, ita ut ſi fuerit v. gr. duplum fo-
raminis G, ſit v = {1/5}x & tantum non tota evaneſcat, cum foramen G eſt
valde exiguum reſpectu foraminis D.
His ita inventis, jam quivis veram perſpiciet rationem motuum illo-
rum, quos Mariottus primus obſervavit, & quibus ceu valde admirabilibus te-
ſtatur ſe ſupra modum fuiſſe delectatum, ſimulque intelliget, quam longe
Auctor iſte in reliquis perſpicaciſſimus à viâ aberraverit in hiſce diſquiſitioni-
bus. Non abs re fore puto obſervata Mariotti hic apponere.
§. 8. Vas adhibuit, quale repræſentat Figura trigeſima octava, quæ
11Fig. 38.
161147SECTIO OCTAVA. non differt â priori niſi in eo, quod in ima parte cylindro A B C tubus hori-
zontalis M D inſertus ſit perforatus lumine D, per quod aquæ verticaliter exi-
liunt: Diaphragma vero E F in medio perforatum eſt lumine G ut antea: in-
fra illud parvulum erat foramen K, ut facilius cavitas inferior aquis impleri poſ-
ſet, quo facto idem obturabatur, reliquumque vaſis replebatur.
His ita præparatis, effluentibusque aquis per D, obſervavit Mariottus,
mox illas aſcendiſſe uſque in I, deinde ſenſim imminuta velocitate uſque in
N & tandem, imminente depletione tota cavitatis ſuperioris, A B F E uſque
in O, tuncque aſſumtis confeſtim novis viribus aſſiliviſſe fere uſque in F. Animad-
vertit etiam, ſi bene memini, altitudinem jactus initialis eo minorem eſſe, quo mi-
nus ſit foramen G, ratione alterius D. Videatur ejus tract. de motu aquarum part. IV.
diſc. 1. Putat autem horum motuum mutationes explicari poſſe fingendo vaſi
A B F E ampliſſimo tubum ſtrictiorem adhærere G L M D, per quem aquæ fluant.
At vero demonſtravimus & experientia quotidie docet, motum aquarum ex
vaſe A B G L M D admodum diverſum eſſe ab eo, qui modo indicatus fuit.
Non minus falleretur ſi quis putaret aquam eadem velocitate exilire per fora-
men D, quaſi illud in diaphragmate E F poſitum eſſet, nam fieri poteſt, ut
altitudo jactus initialis ſit major & minor altitudine F B. Nec denique ea effluent
aquæ quantitate, uti facile quis ſuſpicari poſſet, qua eodem tempore effluerent
ex vaſe ſuperiori ſimplici reſciſſa parte E F D C quamvis ita proxime ſe res ha-
beat, cum foramen G admodum minus eſt foramine D.
§. 9. Noſtra vero æquatio, nempe v = {mmx/nn + mm}, recte omnino
reſpondet phænomenis: indicat enim aquam mox ab initio fluxus ad certam aſ-
cendere altitudinem, eamque tanto minorem, quanto minus eſt foramen
diaphragmatis p@æ foramine altero; dein iſtum aſcenſum ſenſim diminui, do-
nec aqua omnis ex cavitate ſuperiori effluxerit, quo ipſo momento protinus
augmentum capit, totamque aquæ ſuperincumbentis altitudinem tantum non
attingit, quia tunc ex vaſe ſimplici eoque infinite amplo effluere cenſendæ ſunt
aquæ: pauliſper tamen etiamnum retardantur aquæ à tranſitu aëris per fora-
men G, & ſane notabiliter retardantur, cum foramen ſuperius valde parvum
eſt, de quo argumento mox quædam dicemus, cum de fluidis heterogeneis
ſermo erit. Si figura Mariotti debita proportione reſpondeat argumento in-
ſtituto, oportet, ut foramen G alterius fecerit paullo pluſqnam dimidium.
162148HYDRODYNAMICÆ
§. 10. Indicat porro formula noſtra, quod multis fortaſſe nondum
perſpectâ hâc theoriâ ſatis paradoxum videri potuiſſet, ſitum diaphragmatis
E F ſive altiorem ſive humiliorem nullo modo mutare impetum ſive veloci-
tatem aquæ effluentis; ratio autem iſtius phænomeni omnibus nunc, puto,
manifeſta eſt.
§. 11. Jam vero examinabimus inſuper motum aquarum, cum plura
ſunt diaphragmata foraminibus pertuſa, per quæ aquæ tranſire cogantur, ut
effluxus per foramen D fieri poſſit. Poterit id eodem abſolvi modo, quo uſi
ſumus in problemate §. 4. Ita autem inſtituto recte calculo retentisque deno-
minationibus ibidem adhibitis apparebit eſſe
v = x: (1 + {nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c.)
ubi per α, β, γ & c. intelliguntur amplitudines foraminum, quæ ſunt in dia-
phragmatibus, dum n exprimit ut antea amplitudinem foraminis D, per quod
aquæ effluunt.
§. 12. Si proinde loco unius diaphragmatis ſint in ſimili vaſe, quale
(Fig. 39.) repræſentat, plura diaphragmata veluti in B, C, R & c. per quæ
11Fig. 39. aqua transfluat, dum per infimum foramen D effluit, mutabitur & augebi-
tur confeſtim velocitas aquæ effluentis, quoties aliqua cavitas depletur: talis
autem eſſe poteſt proportio inter altitudines A B, B C, C R, R E & c.
atque amplitudines foraminum D, G, F, H & c. ut ſemper, quoties
nova depleri incipit concameratio, vena effluens ad eandem altitudinem
O aſſurgat, ſeu eadem velocitate effluat. Id vero obtinetur (deſignatis am-
plitudinibus foraminum D, G, F, H & c. per n, α, β, γ, & c.) faciendo
B C = {nn/αα} A B; C R = {nn/ββ} A B; R E = {nn/γγ} A B & c.
ita ut poſitis ſoraminibus inter ſe æqualibus ſint pariter lineæ A B, B C, C R,
R E & c. inter ſe æquales faciendæ. Facile quoque erit in vaſe cylindrico
eam conciliare foraminibus magnitudinem, ut ſuperficies fluidi eodem tem-
pore ab uno diaphragmate ad ſubſequens quodcunque deſcendat, & cum
hæc diaphragmata æqualiter à ſe invicem & à fundo diſtant, uniformis clep-
ſydrarum ſtructura excogitari poteſt.
§. 13. Si vero omnia diaphragmata altiſſime poſita ſint, jucundus
163149SECTIO OCTAVA. luſus hydraulicus, venam proſilientem D O videre, quæ æqualibus incre-
mentis æqualibusque temporum intervallis, quod utrumque fieri poteſt,
ſubſultim creſcat.
§. 14. Propoſitum nunc ſit motum fluidi exilientis indagare, cum per
ſingula foramina alia atque alia fluida transfluunt. Fluida autem leviora con-
tinue ponenda eſſe apparet, quo ſunt altius poſita, ne motus turbetur,
quod fit cum eodem tempore fluidum inferius aſcendit, ſuperiore deſcen-
dente, per commune foramen. Innoteſcet hoc modo quisnam ſit motus
in aquis ex vaſe effluentibus undique clauſo præter foraminulum aliquod ſu-
perne exiſtens, quod aëri tranſitum concedit. Hypotheſin vero infinitæ va-
ſis cylindrici amplitudinis ratione foraminum retinebimus, atque porro
gravitatem ſpecificam fluidi per D exilientis deſignabimus per A, illiusque
quod per G transfluit notabimus littera B, ſimiliterque gravitates ſpecificas
fluidorum per foramina, F, H, & c. fluentium indicabimus reſpective litte-
ris C, D, & c. Denique cum etiam conſiderandæ hic ſint altitudines diver-
ſorum fluidorum, quorum quidem, ob figuram vaſis cylindricam ſolum
infimum effluens altitudinem mutat, vocabimus x altitudinem fluidi infimi
ſupra foramen D, fluidorum reliquorum, eo quo ſibi ſuperincumbunt or-
dine, altitudines deſignabimus reſpective per b, c, d & c. reliquas denomi-
nationes paragraphi undecimi retinebimus; quibus ita præparatis compu-
tus inſtituetur ut §. 4. factum eſt, neque enim quicquam aliud inſuper ob-
ſervandum eſt, quam ut maſſæ guttularum iisdem tempusculis per diverſa
foramina transeuntium non ſimpliciter ex mole, ſed etiam ex gravitate ſpe-
cificia æſtimentur: deſcenſus autem actualis pro ſingulis fluidis erit ſeorſim ſu-
mendus: Hiſce veſtigiis inſiſtendo reperitur talis primo æquatio
A v + {nn/αα} B v + {nn/ββ} C v + {nn/γγ} D v + & c. = A x + B b + C c + D d, + & c.
quæ reducta dat
v = (A x + B b + C c + D d + & c.) : (A + {nn/αα} B + {nn/ββ} C + {nn/γγ} D + & c.)
§. 15. Si duo ſint liquores, erunt duo termini tam in numeratore
quam in denominatore ſumendi & tres termini cum tres fuerint liquores, atque
ſic porro: Si proinde liquor effluens ſit, v. gr. mercurius, ipſique ſuperin-
cumbat aqua ſtatuanturque gravitates ſpecificæ horum liquorum ut 14. ad 1.
164150HYDRODYNAMICÆ v = {14x + b/14 + {nn/αα}}
atque ſi ratio foraminum D & G ſuerit ex gr. ut 3 ad 1, fiet
v = {14x + b/23}
§. 16. Patet quoque ratiocinium iſtud non excludere eos caſus, qui-
bus fluida ſuperiora ſunt inferioribus ſpecifice graviora, modo fluida infe-
riora non aſcendant per eadem foramina, per quæ ſuperiora deſcendunt:
neque vero id futurum eſſe præſumo (nec tamen affirmo) cum loco ſimpli-
cis foraminis tubulus ſit quamvis exiguæ altitudinis, per quem liquor ſupe-
rior deſcendat in inferiorem cavitatem, velutiin fig. 40. ubi quidem duo tantum
liquores conſiderantur.
Hic autem altitudo C R variabilis eſt, & altitudo A C conſtans; in-
terim tamen uniformitatis litterarum gratia vocabimus alt@tudinem A C = x,
alteram C R = b; gravitatem ſpecificam fluidi per D erumpentis faciemus rur-
ſus = A, alteriusque fluidi per G transeuntis = B, & erit altitudo D O
ſeu
v = {Ax + Bb/A + {nn/αα}B}
Igitur ſi per foramina D & G reſpective fluant aqua & mercurius erit nunc
v = {x + 14b/1 + {14nn/αα}}
§. 17. Ut porro innoteſcat motus fluidi ſimplicis ex vaſe ſuperne
parvulo foramine aërem admittente, obſervandum eſt, nullam hic altitudi-
nem eſſe b; quia aër utrique orificio incumbere ad eandem altitudinem cen-
ſeri poteſt, erit proinde
v = {Ax/A + {nn/αα}B
atque ſi fuerit {A/B} = 850, quæ præterpropter ſolet eſſe proportio inter
gravitates ſpecificas aquæ & aëris, erit
v = {850x/850 + {nn/αα}};
165151SECTIO OCTAVA.
§, 18. Omnia hæc principia, quæ hactenus adhibuimus, facile ut
jam dixi extenduntur ad vaſa, quæ finitam ratione foraminum habent am-
plitudinem; Poteſt autem eorum veritas alio etiam modo admodum diverſo
evinci, uti oſtendam, cum ad hydraulico-ſtaticam pervenero, quia altero il-
lo demonſtrandi modo preſſiones fluidorum in ſingulis vaſis partibus magis
fiunt perſpicuæ; differunt autem horum fluidorum regulæ ſtaticæ vehemen-
ter à legibus, quæ fluidis ſtagnantibus debentur.
Cæterum habent hæc ſuam utilitatem ad machinas hydraulicas recte
perſpiciendas; neque enim ſatis ad hæc attenti fuiſſe videntur artifices: da-
bitur autem occaſio de iis uberius diſſerendi in ſequenti ſectione, ubi cal-
culum ponemus, quantum vis in propellendis aquis adhibitæ perdatur à
tranſitu aquæ per plura foramina, oſtenſuri ſimul remedia adhibenda, ut illud
virium detrimentum, quantum fieri poteſt, diminuatur. Prius vero alia quæ-
dam vaſa compoſita in hâc Sectione conſiderabimus, quam ad hæc deſcen-
damus.
§. 19. Fit aliquando, ut vaſa juxta ſe poſita aquas unum ex altero re-
cipiant effluxuras demum ex ultimo. Hoſce vero motus jam exemplo illuſtra-
bimus.
Propoſitum fuerit vas cujuſcunque formæ A G M B (Fig. 41.) quod
11Fig. 41. nova aquarum affuſione conſtanter plenum conſervatur uſque in A B. Ex eo-
dem interim vaſe fluidum tranſire intelligatur per foramen M in aliud vas con-
tiguum B M N C & ex hoc rurſus in aliud C N R D per foramen N & ſic porro,
donec tandem aquæ in aërem ejiciantur, quæranturque loca ſuperficierum H L,
P Q, & c. poſtquam fuerunt ad ſtatum permanentiæ reducta. Quæſtio autem
ſic ſolvetur.
Perſpicuum nempe eſt ex eo, quod ſuperficies A B, H L, P Q, & c. in eo-
dem loco permanent, aquas iis tranſire per foramina M, N, R velocitatibus, quæ
debeantur altitudinibus B H, L P, Q R, ſi modo tranſitus aquarum per unum fo-
ramen non acceleret earundem fluxum per foramen proximum, quod certe non
fiet, niſi expreſſe opera detur, ut id aliquantum fiat. Præterea vero conſiderandum
eſt, velocitates aquarum per foramina transfluentium reciproce eſſe forami-
nibus proportionales, quia in ſtatu permanentiæ eodem tempore eædem aqua-
rum quantitates per fingula foramina trajiciuntur. Ex iſtis intelligitur,
166152HYDRODYNAMICÆ natis amplitudinibus foraminum M, N, R, per m, n, p, fore L P
= {mm/nn} X B H; Q R = {mm/pp} X B H: Eſt vero B H + L P + Q R æqualis al-
titudini ſuperficiei A B ſupra foramen ultimum R ſeu D R; erit igitur
B H + {mm/nn} X B H + {mm/pp} X B H = D R,
& proinde B H = D R: (1 + {mm/nn} + {mm/pp}); pariterque
L P = {mm/nn} X D R: (1 + {mm/nn} + {mm/pp}) atque
Q R = {mm/pp} X D R: (1 + {mm/nn} + {mm/pp}), ſeu
B H = D R: (1 + {mm/nn} + {mm/pp})
L P = D R: (1 + {nn/mm} + {nn/pp})
Q R = D R: (1 + {pp/nn} + {pp/mm})
atque ſic determinantur ſitus invariabiles ſuperficierum H L, P Q, & c. At
quanto tempore id fiat, ſi aliter ſuperficies illæ ſint poſitæ & quænam inte-
rea aquæ quantitas per ſingula foramina fluat, inferius examinabimus unà cum
aliis quæſtionibus eo pertinentibus: Jam vero ex allatis valoribus altitudi-
num B H, L P, Q R & c. præcipuas affectiones deducemus.
§. 20. I. Cum ſingula foramina ſunt inter ſe æque ampla, erit B H =
L P = Q R & c. & quævis iſtarum altitudinum toties continebitur in altitu-
dine D R, quoties vaſa replicantur.
II. Si vero aliquod foraminum ſit infinite parvum ratione reliquorum,
erunt omnes ſuperficies, quæ ſunt cis foramen poſitæ, in eadem altitudine
cum prima ſuperficie A B: reliquæ autem fundo G R erunt proximæ.
III. Si canalis fingatur continuus per ſingula foramina M, N, R & c.
tranſiens, intelligitur, aquam per orificium canalis effluere debere velocitate,
quæ debeatur toti altitudini D R. In noſtro vero caſu ea velocitas reſpondet
tantum altitudini Q R, cujus rei ratio & origo eſt, quod aſcenſus pot ntialis ſin-
gularum guttularum per foramina, excepto ſolo foramine effluxus,
167153SECTIO OCTAVA. tium abſorbeatur. Igitur vis viva quæ ſingulis momentis perditur eſt ad vim
vivam quæ ſingulis momentis generatur, ut D Q ad D R. Altitudines vero
B H, L P, & c. repræſentant reſpective vim vivam, quæ continue guttulis per
foramina M, N transfluentibus ſeparatim demitur. Puto tamen ſi foramina
fuerint fere æqualia, eorumque centra in rectam lineam poſita, ac denique pa-
rietes B M, C N, D R non admodum à ſe invicem remoti ſint, fieri poſſe, ut
aliquanto majori velocitate aquæ erumpant, quam theoria iſta indicat: In re-
liquis caſibus non dubito de ejusdem accuratione, abſtrahendo animum ab im-
pedimentis ſæpe indicatis.
IV. Denique perſpicuum eſt, quoties ſuperficies aquæ H L, P Q & c.
ſitum ſuum mutant ſive plures, ſive una ſola, mox omnes ſuperficies loca
mutaturas eſfe, donec eo quo dictum fuit modo fuerint ad æquilibrium repo-
ſitæ. Mutationes autem iſtas generaliter definire nodoſi æque ac prolixi eſt
calculi, niſi vaſa ponantur priſmatica & infinitæ quaſi amplitudinis ratione
foraminum, ut nempe incrementa aſcenſuum potentialium aquarum M L, N Q & c.
quæ locum mutant, negligi poſſint ratione aſcenſuum potentialium, qui in
guttulis per M, N, R transfluentibus perpetuo generantur. Neque profecto
reſtrictio hæc afficere nos debet, cum paſſim jam viderimus in vaſis vel me-
diocriter admodum amplis poſſe ſine ſenſibili errore incrementa motus maſſa-
rum internarum rejici in calculo. Omittam igitur ſolutionem generalem,
quæ mihi eſt, ob nimiam ejus prolixitatem, atque ut in hâc ſectione adhuc
feci, vaſa ceu infinite ampla & quidem ad majorem concinnitatem priſmatica
ponam. Incipiam autem à vaſe bifido.
§. 21. Repræſentatur hujusmodi vas bifidum (Fig. 42.) cujus pars A M
11Fig. 42. aquis plena, altera B N ſaltem usque ad H L repleta ponitur, cum jam flu-
xus per utrumque orificium M & N incipit: affundanturque aquæ in A H,
ut vas conſtanter plenum ſervetur, ſic autem fiet, ut aquæ in B N aſſurgant
(aut etiam deſcendant pro rerum circumſtantiis) quod cum ita ſit, quære-
mus velocitatem ſuperficiei aqueæ, cum perveniet in ſitum h l.
Hunc in finem exprimemus amplitudinem orificii M per m, orificii N
per n & amplitudinem h l (quæ quidem ubique eadem ponitur) per g. Dein-
de ponemus B M = a, H M = b, B h = x, atque proinde h M = a - x.
Sic vero patet ex poſitione infinitæ veluti vaſorum A M & B N
168154HYDRODYNAMICÆ cum ſuperficies aquæ variabilis eſt in h l, fore altitudinem debitam velocitati
aquæ per M transfluentis = B b = x, velocitatemque ipſam = √x, ſi-
milemque altitudinem ratione orificii N = h M = a - x, atque velocita-
tem aquæ per N transfluentis = √a - x; eſt igitur quantitas dato tempu-
ſculo per M in vas B N influentis ad quantitatem eodem tempuſculo ex vaſe
effluentis ut m√x ad n√a - x, harumque quantitatum differentia diviſa
per amplitudinem g dat velocitatem ſuperficiei h l, quæ proinde velocitas,
quam vocabimus v, exprimetur hâc æquatione,
v = {m√x - n√a - x/g}
§. 22. Ut jam innoteſcat tempus, quo ſuperficies fluidi ex H L venit in
h l, vocabimus illud tempus t: quia autem eſt dt = {-dx/v}, erit, poſito
pro v valore modo invento,
dt = {-gdx/m√x - n√a - x}
Poteſt quidem hæc formula immediate rationalis fieri ponendo x = {4aqq/(1 + qq)2},
atque deinde debito modo conſtrui: Iſta vero methodus paullo prolixior eſt
hâc altera, qua quantitas reducenda dividitur in duo membra ſeorſim inte-
granda, nempe præmiſſa æquatio non differt ab hâc:
dt = {mgdx√x/nna - (mm + nn) x} + {ngdx√a - x/nna - (mm + nn) x}:
Et autem ſ{mgdx√x/nna - (mm + nn) x} = - {2mg/mm + nn}√x + {mng√a/(mm + nn)√(mm + nn)} X
log. {n√a + √mm + nn√x/n√a - √mm + nn√x}; alteriusque membri integrale
nempe ſ{ngdx√a - x/nna - (mm + nn) x} fit = {-2ng/mm + nn}√(a - x) +
{mng√a/(mm + nn) X √(mm + nn)} log. {m√a + √mm + nn X √a - x/m√a - √mm + nn X √a - x};
Patet exinde addita debita conſtante fore
t = {2mg√a - b - 2mg√x + 2ng√b - 2ng√a - x/mm + nn} +
{mng√a/(mm + nn) X √(mm + nn)}
169155SECTIO OCTAVA. log. {mna + (mm + nn) X √(ax - xx) + m√(mm + nn)√ax + n√(mm + nn)√(aa - ax)/mna + (mm + nn) X √(ax - xx) - m√(mm + nn)√ax - n√(mm + nn)√(aa - ax)}
- {mng√a/(mm + nn) X √(mm + nn)} X
log. {mna + (mm + nn) X √(ab - bb) + m√(mm + nn)√(aa - ab) + n√(mm + nn)√ab/mna + (mm + nn) X √(ab - bb) - m√(mm + nn)√(aa - ab) - n√(mm + nn)√ab}:
§. 23. Ex paragrapho 19. liquet ſuperficiem h l in ſitu ſuo permanere
cum eſt B h (= x) = {nna/mm + nn}. At vero ſi in æquatione integrata præce-
dentis paragraphi ponitur x = {nna/mm + nn}, fit denominator in quantitate lo-
garithmicali = o, ipſaque proinde quantitas infinita: tempus igitur totius
motus infinities majus eſt, quam cujuscunque partis.
Sed ut alium inſuper caſum determinemus, videbimus quanto tempo-
re ſuperficies aquæ ex infimo ſitu M N (poſito nempe b = o) aſcendat quan-
titate {1/2} a, poſito m: n = 4: 3. fit autem
t = {8g√a - 14g√{1/2}a/25} + {12g√a/125} log. ({49 + 35√2/49 - 35√2}) - {12g√a/125} log. - 4, ſeu
t = {8g√a - 7g√2a/25} + {12g√a/125} log. ({49 + 35√2/140√2 - 196}),
id eſt, proxime t = {15g/100} X 2√a, quod indicat, eſſe tempus iſtud ad tem-
pus quo grave libere cadit per altitudinem B M proxime ut 15g ad 100:
Pariter tempus deſcenſus invenitur, ſi ab initio ſuperficies h l fuerit ultra ſitum
æquilibrii poſita. Fuerit v. gr. utrumque vas aquis totum repletum, orificia
autem M & N rationem nunc habeant quæ eſt inter 3 & 4, ſitque tempus
determinandum, quo ſuperficies ex B deſcendat per dimidiam B M: hypothe-
ſes hæ faciunt m = 3; n = 4; b = a, atque x = {1/2}a, ita vero fit
t = {8g√a - 7g√2a/25} + {12g√a/125} log. ({49 + 35√2/49 - 35√2}) - {12g√a/125} log. - 4. Ex
quo apparet in utroque exemplo idem eſſe tempus.
§. 24. Priusquam deſcendamus ad vaſa multifida indagaſſe conveniet,
quænam aquæ quantitas per utrumque orificium M & N fluat, dum ſuperfi-
cies aquæ ex ſitu H L venit in h l. Et primo quidem, quod ad orificium
170156HYDRODYNAMICÆ pertinet, perſpicuum eſt quantitatem aquæ dato tempuſculo (dt) per illud
transfluentem proportionalem eſſe velocitati (√x) ductæ in magnitudinem
orificii (m) ipſumque tempuſculum d t, ita ut hæc quantitas ſit
(ob dt = {gdx/m√x - n√a - x} per §. 22.) = {-mgdx√x/m√x - n√a - x},
atque proinde omnis quantitas quæ ab initio effluxerit
= - ſ{mgdx√x/m√x - n√a - x}. Eſt autem - ſ{mgdx√x/m√x - n√a - x} =
{mnga/(m + n)2} log. ({ma - mb - nb/mx + nx - na}) + {mg/m + n} X (a - b - x).
Eodem modo eruitur quantitas aquæ interea per orificium N effluen-
tis (quæ ſcilicet eſt = - ſ{ngdx√a - x/m√x - n√a - x}) =
{mnga/(m + n)2} log. ({ma - mb - nb/mx + nx - na}) - {ng/m + n} X (a - b - x).
Atque inde etiam innoteſcit quantitas aquæ, quæ in A B affunditur, ne-
que enim differt ab illa, quæ per M transfluit: aqua denique in vaſe B N col-
lecta exprimitur per g (a - b - x,) & cum differentia ſumitur aquarum per
M & N transfluentium, oritur eadem iſta quantitas g (a - b - x).
§. 25. Prouti §. 21. velocitatem ſuperficiei locum continue mutantis
determinavimus pro vaſe bifido, ita nunc in vaſis multifidis velocitatès ſingu-
larum ſuperficierum definiemus. Fuerit nempe altitudo ſuperficiei ſupremæ ſu-
pra proximam = x, altitudo hujus ſupra ſequentem = y, deinde = z, rur-
ſuſque altitudo proxima = s, & ſic porro. Amplitudines vero orificiorum
deſignentur per m, n, p, q. & c. amplitudines vaſis ſecundi, tertii, quarti & c.
ſint M, N, P. & c. Sic patet fore velocitatem ſuperficiei ſecundæ = {m√x - n√y/M};
veloc. ſuperf. tert. = {n√y - p√z/N}; velocit. ſuperfic. quartæ = {p√z - q√s/P} & c.
Porro cum ſpatiola iiſdem tempuſculis à ſuperficiebus percurſa ſint ut
velocitates, apparet fic ſingulis momentis determinari ſitus iſtarum ſuperfi-
cierum, quamvis æquationes ſint intractabiles fere. Id ex ſe patet, ſi vel
171157SECTIO OCTAVA. ca ſuperficies extra ſitum æquilibrii, ſupra §. 19. definiti poſita fuerit, fore ut
omnes reliquæ motibus reciprocis agitentur, donec poſt tempus infinitum in
priſtinum ſitum redierint ſimul.
§. 26. Sit porro vas ita formatum, ut oſtendit Fig. 43. diviſum ſcilicet
11Fig. 43. in duas partes A B E G & L Q N E inter ſe, mediante foramine M communi-
cantes; ſintque præterea foramina H & N per quæ aquæ exiliant, dum in A B
totidem affunduntur. Sint autem amplitudines in utroque vaſe veluti infinite
amplæ ratione foraminum M, H & N; Hiſque poſitis propoſitum ſit veloci-
tates invenire, quibus aquæ tam per H, quam per N ejiciantur ſeu altitudines
iſtis velocitatibus debitas. Erunt autem velocitates invariabiles, quia vas aquis
plenum conſervatur, ſimulque vaſis amplitudines reſpectu foraminum infini-
tæ cenſentur.
Solutio iſtius problematis ex præcedentibus facile colligetur, ſi modo
concipiatur foramen M in duas diviſum partes o & p, quarum altera o aquas
foramini H, altera p foramini N mittat: partes autem o & p (quia per utram-
que eadem fluunt velocitate aquæ) eam habebunt rationem, quam inter ſe ha-
bent quantitates aquarum eodem tempore per H & N effluentium, id eſt, ra-
tionem compoſitam ex ratione amplitudinis H ad amplitudinem N & veloci-
tatis in H ad velocitatem in N. Quibus præmonitis perſpicuum eſt, fi amplitu-
dines foraminum M, H & N indicentur per α, β, γ, altitudines autem velo-
citatibus in H & N debitæ deſignentur per x & y, ipſæque proinde velocitates
per √x & √y fore amplitudinem o = {β√x/β√x + γ√y} α & amplitudinem
p = {γ√y/β√x + γ√y} α.
Ponatur nunc altitudo ſuperficiei A B ſupra orificium H = a, & habebi-
tur@, ut demonſtratum fuit §. 4. ſi quadratum foraminis o dividatur per ſum-
mam quadratorum foraminum o & H & quod oritur multiplicetur per a; ſic
igitur fit x = {ααax/ααx + (β√x + γ√y)2}, ex quo oritur hæc æquatio
(A) ααx + (β√x + γ√y)2 = ααa.
Eodem modo ratione foraminum p & N, poſita altitudine A B ſupra
N = a + b, obtinetur hæc altera æquatio:
172158HYDRODYNAMICÆ (B) ααy + (β√x + γ√y)2 = αα X (a + b).
Subtractâ æquatione (B) ab æquatione (A) prodity = x + b, ex quo
ſequitur, ſi venæ ambæ verticaliter ſurſum dirigantur, utramque ad eundem lo-
cum aſſilire. Deinde ſi in æquatione (A) ſubſtituatur pro y valor ejus x + b,
erit
(C) ααx + (β√x + γ√x + b)2 = ααa,
unde deducitur valor ipſius x æquatione quadrata.
§. 27. Ex præcedentis paragraphi æquationibus ſequentes fluunt affe-
ctiones.
I. Quia velocitas aquæ per M transfluentis eſt = {β√x + γ√y/α}, eritalti-
tudo generans hanc velocitatem = ({β√x + γ√y/α})2; ſed ſi addantur æqua-
tiones (A) & (B) fit:
({β√x + γ√y/α})2 = {2a + b - x - y/2} = ob(y = x + b)a - x.
II. Si foramen H ſit valde exiguum ratione foraminum M & N, id eſt, ſi
β poſſit cenſeri nulla ratione α & γ, abit æquatio (C) in hanc
ααx + γγx + γγb = ααa, ſeu
x = {ααa - γγb/αα + γγ};
Id vero egregie convenit cum paragrapho decimo nono, cum manife-
ſtum ſit aquam per foramen valde exiguum ad eandem altitudinem aſſilire,
quam haberet aqua, ſi hæc laminam L Q tantum deorſum premat, quantum
ab aqua interna ſurſum premitur; Iſta vero præfata altitudo vi paragraphi 19.
eſt {ααa - γγb/αα + γγ}; Eſt porro in iſta hypotheſi altitudo velocitatis aquarum in N
ſeu x + b = {ααa + ααb/αα + γγ}
& denique altitudo velocitatis aquarum in M, ſeu
a - x = {γγa + γγb/αα + γγ};
quæ poſteriores æquationes in iſto caſu particulari pariter ex §. 19. immediate
colligi aut prævideri potuiſſent.
173159SECTIO OCTAVA.
III. Si vero nunc alterum foramen N admodum exiguum præ ambo-
bus reliquis ponatur, erit facto γ = o
x = {ααa/αα + ββ}; deinde
x + b = {ααa + ααb + ββb/αα + ββ}, &
a - x = {ββa/αα + ββ}.
IV. Si γγb = ααa, fit x = o. Nullam igitur in hoc caſu preſſionem
ſuſtinent partes laminæ L Q: imo inferiora verſus premitur, ſi γ ſit majus
quam {ααa/b}, & lamina nullibi ſit perforata.
Iſta vero omnia ſimiliter ex §. 19. facile colliguntur.
V. Ita quoque ope ejusdem paragraphi ſine calculo novo prævideri po-
tuiſſet, quid fieri debeat, cum poſitis foraminibus H & N in eadem altitudi-
ne ſumma foraminum eorum, ceu unicum amplitudinis β + γ conſiderari
poteſt: Indicant nempe tam §. 19. quam §. 26. eſſe
x = {ααa/αα + (β + γ)2},
VI. Notari etiam poteſt, cum valor ipſius x fit imaginarius, id pro-
venire ex eo, quod aquæ non ſolum non effluant, in aliquibus caſibus per
H, ſed quod ſuperficies L Q etiam deſcendat; unde fieri poteſt, ut infra
orificium M deſcendat, quo ipſo ceſſat aqua@um contiguitas contra hypothe-
ſin propoſitionis. Si autem valor x eſt realis, tum dupliciter exprimitur,
ſed alter valor inutilis eſt reputandus; ſic igitur cavendum ne præpoſtera
radix ceu utilis aſſumatur.
VII. Denique ut caſum ſpecialiſſimum attingamus, ponemus om-
nia foramina inter ſe æqualia, & prodibit 5xx + (2b - 6a) x = - aa +
2ab - bb, ſeu x = {3a - b - 2√ (aa + ab - bb)/5}; atque ſi fuerit præterea
a = 3b, erit x = (proxime) {4/15} b, deinde altitudo velocitatis in forami-
ne N ſeu x + b = {19/15}b atque altitudo velocitati in M debita ſeu a - x = {41/15}b.
Sunt itaque velocitates ſeu etiam, quia foramina æqualia ſunt,
174160HYDRODYNAMICÆ aquarum iisdem temporibus per foramina M, H & N transfluentium proxi-
me ut √ 41. 2. & √ 19.
§. 28. Ex his omnibus patet methodus determinandi motum in fluidis
tum etiam, cum quantitas virium vivarum non conſervatur; & ſimili modo
ſemper abſolvetur computus, quoties ex natura ſubjectæ quæſtionis præſu-
mi poteſt (uti in quæſtionibus hujus ſectionis accurate potuit) quantum vis
vivæ ſingulis momentis inutilis ad motum determinandum evaneſcat. Neque
enim ſoli ſunt caſus, quos adhuc examinavimus: lubet itaque alium addere,
qui oſcillationes fluidorum ſpectat, ut innoteſcat quantum inde decremen-
tum excurſiones fluidi capiant.
Sint duo tubi amplitudine æquales & cylindrici A L & B H (Fig. 44.)
11Fig. 44. verticaliter inſerti vaſi ampliſſimo horizontali A B O P. Sit vas iſtud totum
aqua repletum: tubi autem aquam habeant usque in C & F; deinde ſubla-
to æquilibrio hæreat altera ſuperficies in G altera in E; moxque aqua ſibi re-
licta moveri incipiat. His poſitis tantum deberet ſuperficies G deſcendere
infra locum C, alteraque ſuperficies E aſcendere ſupra F, quanta eſt altitudo
G C ſeu E F ſi omnis vis viva conſervaretur (ab impedimentis frictionum aliis-
que ſimilibus nunc animum abſtrahimus): Verum patet, vim vivam omnis
aquæ per A in vas horizontale fluentis abſumi ſine alio effectu ab aqua ibi-
dem ſtagnante, indeque ſequitur deſcenſum ſuperficiei G alteriusque aſcen-
ſum minorem fore, quam modo dictum fuit: id igitur decrementum nunc
explorabimus.
Ponatur ad hunc finem ſuperficiem ex G perveniſſe in M, ponaturque
G M = x, G C = b, C A = a: erit B E = a - b, E N = x; M C = F N =
b - x; Deinde fiat altitudo debita velocitati ſuperficiei in M = v, in ſitu
proximo m = v + dv; eritque incrementum vis vivæ aquæ (dum ſuperficies
percurrunt elementa M m, N n, ſeu dx) = 2 adv, cui addenda eſt vis viva
guttulæ, quæ ab aqua vaſis horizontalis abſumitur, nempe v d x, & eritſum@
ma 2adv + vdx æqualis deſcenſui actuali aquæ multiplicato per maſſam aquæ,
quod productum eſt æquale deſcenſui actuali guttulæ dx, multiplicato per
2b - 2x. Eſt igitur
2adv + vdx = 2bdx - 2xdx.
Hæc vero æquatio recte integrata abit in
175161SECTIO OCTAVA. v = 4a + 2b - 2x - c{- x/2a} X (2b + 4a)
unde ſi ponatur 4a + 2b - 2x - c{- x/2a} X (2b + 4a) = o,
dabit valor ipſius x totam excurſionem, à qua ſi auferatur b, reſiduum indi-
cabit deſcenſum infra punctum æquilibrii C.
§. 29. Ut vero exemplo quodam appareat, quantum hâc ratione oſ-
cillationes diminuantur, ponemus a = b, facta ſcilicet C A = G C & B E = o.
Ita oritur
3a - x = c{- x/2a} X (3a) ſive
c{x/2a} = {3a/3a - x} vel x = 2a log. 3a/3a - x},
cui æquationi prope admodum ſatisfacit valor x = {7/4} a. Eſt igitur decremen-
tum excurſionis ſeu a - b = quartæ parti elevationis fluidi ſupra punctum me-
dium: ſi majus obſervetur experimento, reliquum adhæſioni aquæ ad latera
tuborum tribuendum erit.
§. 30. Neque iſta diminutarum excurſionum ratio plane, ut ſuſpicor,
auferetur, ſi vel æqualis fiat amplitudinis tubus horizontalis cum verticalibus,
ob mutatam fluidi directionem in punctis A & B.
Cæterum infiniti alii fingi poſſent caſus iiſdem principiis ſolvendi, velu-
ti ſi natura oſcillationum indaganda ſit in vaſe Fig. 44. cum id in parte horizon-
tali diaphragmate in duas diſpeſcitur partes ſolo lumine, quod diaphragma ha-
beat, inter ſe communicantes & hujuſmodi alii. Puto autem hæc jam ſufficere,
ut quiſque ſibi facile regulas generales pro iſtiuſmodi quæſtionibus ſolvendis
formare poſſit.
EXPERIMENTA
Ad ſectionem octavam pertinentia.
Experimentum 1.
PAragraphum quartum, quo dicitur altitudinem velocitati aquæ per
orificium D effluentis (Fig. 37.) eſſe {mmx/nn + mm} eo confirmavi modo,
176162HYDRODYNAMICÆ utrumque orificium G & D limbum haberet inſtar Zonulæ paullulum
elevatum, ne contractioni venarum locus eſſet, tutumque fieri poſſet judi-
cium à quantitate aquæ dato tempore effluentis ad velocitates. Deinde ſum-
tis accuratè menſuris, obſervatoque tempore quo ſuperficies per datum ſpa-
tium A P deſcenderet, vidi tempus iſtud recte reſpondere velocitatibus dicto
paragrapho definitis: obſervavi etiam nihilo mutari motum ab elevatione
aut depreſſione diaphragmatis. Reliqua ad experimentum pertinentia me-
moria exciderunt, neque ea in chartam conjeci: ſuperfluum autem duxi ex-
perimentum repetere, quod unicuique facile erit imitari: fundamentum au-
tem id eſt reliquis, quæ adeoque ulteriori diſquiſitione experimentali vix
opus habent: volui tamen ſequentia præterea tentare.
Experimentum 2.
Vaſe uſus|ſum, quale fere adhibuit Mariottus (vid. fig. 38.) rurſusque
confirmavi æquationem noſtram hunc in modum: feci ut aquæ per orificium
D horizontaliter effluerent, tuncque menſuras cepi altitudinis orificii D ſu-
pra pavimentum & diſtantiam loci, ubi vena in pavimentum incidebat à
puncto in eodem pavimento, cui orificium D verticaliter imminebat; Inde
cognovi altitudinem velocitati aquæ in D effluentis debitam: eandem autem
hanc altitudinem experimento proxime inveneram, quam theoria hujus ſe-
ctionis indicat §. IV. Similia experimenta apponam in fine experimentorum
ad ſectionem duodecimam pertinentium, quæ ſimul theoriam noſtram hy-
draulico - ſtaticam confirmabunt.
Denique cum multa ſint in §. §. 26. & 27. quæ ſingulari calculo eruta
fuerunt, operæ pretium erit de illis quoque experimenta ſumere, præſertim
cum alia ſimul eadem opera ſumi poterunt experimenta, quæ in ſect. XII.
recenſebuntur, ſi vas, quale Fig. 43. ſiſtit, ad hunc finem fieri curetur.
Cæterum hæc theoria etiam confirmatur experimentis in Sectione Septima
recenſitis, quæ de oſcillationibus fluidorum in tubos per foramina influen-
tium ſumſi.
177(163)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO NONA.
De motu fluidorum, quæ non proprio pondere,
ſed potentia aliena ejiciuntur, ubi præſertim de
Machinis Hydraulicis earundemque ultimo qui da-
ri poteſt perfectionis gradu, & quomodo mecha-
nica tam ſolidorum quam fluidorum ulterius perſici poſsit.
§. 1.
IN hâc ſectione, qua Machinas examinare hydraulicas, uſumque
earum, quantum fieri poteſt, perficere potiſſimum conſtitui,
animum abſtrahemus à variationibus motus, quæ originem du-
cunt à potentia vel inertia fluidi interni, quia ut vidimus mo-
tus aquæ internæ tantum non æquabilis eſt à primo fere fluxus initio, ſi ori-
ficium exile ſit, uti eſt in Machinis hydraulicis plerisque ratione amplitudi-
num internarum. Res enim foret ridicula in rebus practicis ſollicitos eſſe
de mutationibus, quæ primis fluxus momentis fiunt, quasque jam determi-
navimus in ſectione quarta, quod ibi operæ pretium eſſe poterat ut omnis
theoriæ vis inde eluceſceret. Igitur durante toto motu, brevitatis gratiâ, po-
nemus aquam conſtanter velocitate expelli, quæ ſe habeat ut radix potentiæ
internæ prementis, poſtquam hæc potentia ad pondus cylindri aquei foramini
ſuperincumbentis reducta fuerit: nam quæcunque fuerit iſta potentia, con-
ſiderandum erit pondus cylindri verticalis aquei ſuperficiei aqueæ internæ ſu-
perincumbentis, atque altitudo iſtius cylindri dabit altitudinem velocitati
aquæ exilientis debitam, ſi modo nulla adſint obſtacula extrinſeca, & aqua
ex@vaſe ampliſſimo ejiciatur. Hoc ita intelligendum eſt, ut ſi operculum
A B pondere P oneratum (Fig. 45.) aquam per orificium F expellat, pon-
11Fig. 45. dus autem P æquale ſit ponderi cylindri aquei H A B I, tunc vena aquea F G
altitudinem H I attingere debeat.
178164HYDRODYNAMICÆ
Definitiones.
§. 2. Per potentiam moventem deinceps intelligam principium illud agens,
quod conſiſtit in pondere, preſſione animata aliisve hujuscemodi viribus,
uti dicuntur, mortuis.
Productum autem quod oritur à multiplicatione potentiæ iſtius moventis
per ejusdem velocitatem æque ac tempus durante quo preſſionem ſuam exe-
rit, deſignabo per potentiam abſolutam. Vel quia productum ex velocitate &
tempore proportionale eſt ſimpliciter ſpatio percurſo, licebit etiam potentiam
abſolutam colligere ex potentia mouente multiplicata per ſpatium, quod eadem
percurrit. Id vero productum ideo voco potentiam abſolutam, quia ex illo de-
mum æſtimandi ſunt labores hominum operariorum in elevandis aquis exant-
lati, quod mox demonſtratum dabo in regulis, quæ mihi in hanc rem ob-
ſervatæ fuerunt. Interim viſæ mihi fuerunt machinæ hydraulicæ commode ſe
reduci pati ad duo genera, quorum alterum aquas cum impetu ejicit, alte-
rum de loco in locum placide veluti transportat. Utrumque ordine ſuo
pertractabo genus & denique ſub finem quædam addam de diverſis poten-
tiis moventibus.
(A) De machinis aquas cum impetu in altum projicientibus.
Regula 1.
§. 3. Labores hominum operariorum, qui machinis hydraulicis pro
aquis elevandis apponuntur, æſtimandi ſunt ex potentia abſoluta, id eſt, ex
potentia movente ſeu preſſione quam exerunt, ex tempore & ex velocitate
puncti, cui potentia movens applicatur.
Demonſtratio.
(α) De potentia movente res eſt perſpicua: labores enim cæteris omni-
bus paribus ſunt utique proportionales numero operariorum ſeu potentiæ mo-
venti. (β) Ratione temporis res eſt non minus manifeſta ex omnium cir-
cumſtantiarum replicatione, quæ ex duplicatione temporis oritur. (γ) De-
nique quod ad velocitatem attinet res ex eo eſt deducenda, quod ſive poten-
tiam moventem duplices, ſive ejus velocitatem non diverſus oriatur
179165SECTIO NONA. nempe duplus ab utraque parte. Finge pondus P deſcenſu ſuo aquam per ori-
ficium F ejicere ad altitudinem F G: deinde manentibus reliquis duplica-
tum puta orificium F, & vides ad eandem altitudinem F G eodemque tem-
pore duplam aquæ quantitatem ejectum iri ab eadem potentia movente P, ſed
ea duplo celerius deſcendente. Pariter quantitas aquæ manentibus reliquis
duplicabitur, ſi & orificium F & amplitudinem A B & pondus ſeu potent. mo-
vent. P duplices, tunc vero velocitas hujus potentiæ duplicatæ invariata ma-
net. Igitur utroque modo effectus geminatur. Q. E. D.
Scholium.
§. 4. Propoſitio præcedens non ſenſu phyſiologico ſed morali eſt in-
terpretanda: moraliter neque plus neque minus æſtimo laborem hominis, qui
eadem celeritate conatum duplum exercet, quam ejus qui eodem conatu ce-
leritatem duplicat, quia nempe uterque eundem edit effectum, fieri tamen po-
teſt, ut alterius labor, quamvis altero non minus robuſti, ſenſu phyſiologi-
co ſit admodum major. Si quis conatu 20. librarum ſingulis minutis primis ſpa-
tium 200. ped. faciat, is facile conatum geminabit, difficillime vero velocita-
tem. Ex hoc conſequens eſt in omni machinarum genere diſpiciendum præ-
ſertim eſſe, quomodo debeant eſſe conſtitutæ, ut pro eodem tempore minima
hominum defatigatione productum ex conatu eorum in velocitatem omnium
maximum ſit: atque exinde patebit, quænam in ergatis longitudo vectibus
ſit tribuenda, quantus in rotis ſeu tympanis calcatoriis radius ſit faciendus,
quanta remis longitudo ſit concilianda, & ſic de aliis machinis.
Ratione uſus autem tympanorum calcatoriorum, quæ frequentiſſime
adhibentur ut momentum noſtræ animadverſionis eo magis fiat perſpicuum,
hoc experimentum intelligatur:
Ponamus in Fig. 46. altitudinem verticalem multorum milliarum, ad
11Fig. 46. quam homo dato tempore aſcendere debeat: tempus autem ſumemus decem
horarum, quia talis laboribus diurnis terminus eſſe ſolet, dein fingamus plu-
res vias, A C, A D & c. diverſe ad horizontalem B D inclinatas: His poſitis
intelligimus eò celerius viatori progrediendum eſſe, quo viam ſelegerit mi-
nus inclinatam, ut eodem tempore culmen montis A attingat, & patet viam
aliquam fore veluti A C, ſuper quâ minima defatigatione iter abſolvet,
180166HYDRODYNAMICÆ doquidem nemo nec ſuper plano verticali incedere nec dato tempore viam in-
finitam abſolvere poteſt; Statuamus viam hanc minimæ defatigationis cum
horizontali angulum facere A C B 30. graduum.
Quod ſi ita ſit, erit tympanum calcatorium ita fabricandum, ut pon-
dus deſiderata velocitate ſuperetur, cum calcator perpetuo triginta gradib{us} à
puncto tympani infimo diſtat.
Ex eodem principio etiam inter machinas diverſi generis ſelectus eſt
faciendus: ita v. gr. ſi in ergatis vectiarius potentiam exerat, ſeu preſſionem
horizontalem, quæ efficiat quartam ſui proprii ponderis partem, hocque niſu
ſingulis minutis primis ſpatium 200. ped. abſolvat, is fere ut puto eodem de-
fatigabitur modo, ac ſi eadem velocitate tympanum rotatorium ad angulum
30. grad. calcet; interim tamen pondus duplum eodem tempore ad eandem al-
titudinem hoc modo feret calcator, quia cæteris paribus preſſionem duplam
exerit.
Regula 2.
§. 5. Exiſtente eadem potentia abſoluta dico omnes machinas, quæ
nullas patiuntur frictiones & quæ nullos motus ad propoſitum finem inutiles
generant, eundem effectum præſtare neque adeo unam alteri præferendam
eſſe.
Demonſtratio.
Ex mechanicis conſtat machinam utcunque compoſitam reduci poſſe
ad vectem ſimplicem: igitur omnem machinationem hydraulicam repræſen-
tare licebit ſimplici antlia vecte inſtructa Fig. 47. ubi nempe embolus ope ve-
11Fig. 47. ctis M N mobilis circa punctum M detruditur, atque ſic aqua per orificium F
expellitur. At vero ſi potentia movens P vecti applicata intelligatur in N, vi-
demus ex præcedente propoſitione nihil lucri accedere potentiæ abſolutæ ab aucta
vel diminuta longitudine vectis M N: & certe quæcunque ſit iſta longitudo
fieri poteſt, ut potentia movens eadem atque invariata velocitate mota eandem
aquæ quantitatem eodem impetu expellat, ſi modo amplitudo antliæ A B ra-
tionem habeat conſtantem ad longitudinem vectis M N. Ex quibus perſpi-
cuum eſt, omnes machinas eadem potentia abſoluta eundem effectum præſtare,
ſi modo à frictionibus motibuſque ad deſtinatum finem inutilibus animus ab-
ſtrahatur.
181167SECTIO NONA.
Scholium.
§. 6. Non deſunt qui putent machinam excogitari poſſe, cujus ope
minimo labore maxima aquæ quantitas ad quamcunque altitudinem elevari
poſſit, animumque excrucient, in anquirendis rotis, vectibus, ponderibus
appendendis: ſed operam perdunt, neque audiendi ſunt hujuſmodi promiſſo-
res, cum magni quid ſibi videntur inveniſſe: Optima machina eſt, ſi ſolum
ejus effectum reſpiciamus, quæ minimas patitur frictiones, nullosque gene-
rat motus inutiles, de quo utroque evitando præcepta trademus infrà,
Regula 3.
§. 7. In antliis, quales Figuris 45. & 47. repræſentantur, in quibus ſu-
perficies aquæ interna A B in eadem propemodum altitudine eſt cum foramine
F, ſunt potentiæ abſolutæ pro iiſdem temporibus in triplicata ratione velocita-
tum aquarum exilientium.
Demonſtratio.
Sunt enim potentiæ moventes in duplicata ratione velocitatum, quibus
aquæ per foramen F erumpunt & velocitates potentiarum moventium ſequuntur
ipſam rationem velocitatum aquarum exilientium: Sed pro iiſdem temporibus
ſunt potentiæ abſolutæ ut potentiæ moventes multiplicatæ per ſuas velocitates,
ergo patet propoſitio.
Scholium.
§. 8. Sequitur ex iſta regula, ſi animus ſit aquam per foramen F ad
altitudinem F G elevare, magnam potentiæ abſolutæ partem ſine fructu perdi,
cum aquæ majori impetu erumpunt, quam quæ altitudini F G reſpondeat;
fac enim aquas dupla velocitate expelli, requiretur potentia abſoluta octupla,
neque tamen ratione finis propoſiti effectus plus quam duplus eſt cenſendus,
quia nempe eodem tempore dupla aquarum quantitas elevatur: potuiſſetque
iſte effectus obtineri potentia abſoluta ſubquadrupla exprimendo aquas ſimplici
velocitate per foramen duplum; Hoc igitur nomine tres quartæ partes iſtius
potentiæ inutiliter impenſæ dicendæ ſunt. Originem hujus detrimenti indicavi
§. 5. eaque conſiſtit in motu qui generatur ad propoſitum finem inutili:
182168HYDRODYNAMICÆ pe omnis motus qui aquis reſiduus eſt poſtquam altitudinem G attigerunt in
noſtro caſu ſuperfluus eſt dicendus.
Regula 4.
§. 9. Cum aquæ expelluntur per canalem D F (Fig. 48.) habentque
11Fig. 48. in orificio F velocitatem quæ debeatur altitudini verticali G F, eſt potentia abſo-
luta eodem tempore impenſa proportionalis velocitati aquæ in F ductæ in alti-
tudinem G ſupra A B.
Demonſtratio.
Eſt enim potentia movens P proportionalis præfatæ altitudini & velo-
citas iſtius potentiæ eſt ut velocitas aquæ in F.
Scholium.
§. 10. Pòtentiæ abſolutæ majori ratione creſcunt quam velocitates
aquarum effluentium, id eſt, quam quantitates eodem tempore ejectæ: atta-
men differentia rationum fere inſenſibilis eſt, cum altitudo F G parva admo-
dum eſt ratione altitudinis canalis F D: Sit ex. gr. F G æqualis {1/4} F D (negli-
gendo altitudinem B D) mox vero ejiciantur aquæ velocitate dupla, ita, ut
nunc ſit F D = F G; ſic erunt potentiæ abſolutæ ut 1 X {@/4} ad 2 X 2 ſeu ut 5 ad 16
ſic ut ad ejiciendam duplam aquæ quantitatem potentia abſoluta requiratur pluſ-
quam tripla: Si vero F G ſtatuatur prius = {1/100} F D, & deinde aquæ rurſus
dupla velocitate exprimi ponantur, erunt nunc potentiæ abſolutæ ut 1 X 101
ad 2 X 204 ſeu ut 101 ad 208, quæ ratio à ſubdupla parum deficit. Sequitur
inde, quo minori velocitate aquæ hauriantur, eo majori cum fructu potentiam
abſolutam impendi, & tunc demum eam propemodum omnem utiliter impen-
di, cum fere inſenſibili velocitate aquæ per orificium F effluunt: poterit au-
tem magnitudo orificii compenſare velocitatis exiguitatem, ut dato tempore
notabilis aquarum quantitas hauriri poſſit. Diſpendium potentiæ abſolutæ ſic de-
finietur.
Regula 5.
§. 11. Conſtitutum fuerit ope antliæ A B D F, valvula in fundo in-
ſtructæ & aquæ impoſitæ, aquas ex loco humiliori A D in altiorem F trans-
fundere, fueritque velocitas media aquæ in F effluentis debita altitudini F
183169SECTIO NONA. erit diſpendium potentiæ abſolutæ ad integram hanc potentiam ut F G ad alti-
tudinem G ſupra A B.
Demonſtratio.
Fingamus augeri admodum orificium F diminuta in eadem ratione ve-
locitate aquarum effluentium in F; ſic non mutabitur quantitas aquæ dato
tempore effluentis, ſi velocitas potentiæ moventis eadem ſit, atque proinde idem
erit effectus. Sed ſi velocitas ita diminuatur, ut altitudo ipſi debita ſit inſenſi-
bilis, exprimetur potentia movens per altitudinem F ſupra A B, cum antea po-
tentia movens erat æqualis altitudini G ſupra A B; & cum in utroque caſu ea-
dem ſit velocitas potentiæ moventis, erunt potentiæ abſolutæ pro iiſdem tempori-
bus ut altitudo G ad altitudinem F ſupra communem A B. Igitur differentia
altitudinum G & F exprimet diſpendium, cum integra altitudo G ſupra A B
repræſentat totam potentiam abſolutam.
§. 12. Idem ratiocinium valet pro omni machinationum genere: Quo-
ties nempe aquæ in locum, ad quem elevandæ ſunt, evectæ notabilem habent
velocitatem, magnum fit potentiæ abſolutæ diſpendium: poſita enim altitudine
elevationis = A; altitudine debita velocitati aquarum in loco quo effundun-
tur = B, integra potentia abſoluta = P, perdetur {B/A + B} X P.
Notari etiam poteſt, cum aquæ trans altitudinem aliquam, cujus cul-
men in F poſitum ſit, fundi debent ope antliæ tubo inſtructæ, continuandum
eſſe tubum D F inferiora verſus quantum id liceat, nec abrumpendum in F,
prouti id apparet ex Fig. 49. Nam ſi v. gr. punctum F duplo altius poſitum ſit,
11Fig. 49 quam extremitas tubi G, duplo major potentia abſoluta requiritur pro transfun-
dendis aquis per canalem abruptum in F, quam per continuatum uſque in G;
ſi parvula utrobique velocitate effluant, cujus nempe altitudo genitrix parva
ſit ratione altitudinum F D vel G D.
Regula 6.
§. 13. Cum in antliis quas hucusque conſideravimus opercula A B
ſeu potius emboli non bene lateribus machinarum reſpondent, hiatus relin-
quitur, & ab hoc aliud diſpendii genus in potentiis abſolutis oritur, quod
in antliis, in quibus altitudo orificii ſuprà embolum negligi
184170HYDRODYNAMICÆ ſic determinatur. Ut aggregatum ex foramine effluxus & prædicto hiatu,
ad eundem hiatum, ita potentia abſoluta, quæ impenditur, ad partem illius
quæ inutilis eſt, ſeu ad ejusdem diſpendium.
Demonſtratio.
Nam aquæ per foramen & hiatum æqualiter premuntur, & æqualive-
locitate fluunt; perditur autem omnis potentia abſoluta, quæaquas per hiatum
cogit, & hæc ſe habet ad integram potentiam abſolutam, ut hiatus ad ſum-
mam foraminis & hiatus.
Scholium.
§. 14. Convenit utique embolis uti bene formatis & politis; neceſſe
quoque eſt ut cavitas antliæ ſit plane cylindrica, ejusdemque latera pariter
perpolita. Vix autem crediderim, niſi id fiat alio fine, è re eſſe, ut embo-
li cavitates@ultima accuratione expleant, quia fortaſſe ſic majus oritur virium
diſpendium à frictionibus, quam ſi circumcirca parvulus relictus fuiſſet hia-
tus: Si enim hiatus ille centeſimam v. gr. partem foraminis effluxus efficiat,
vix amplius locus erit frictionibus & non niſi centeſima præterpropter poten-
tiæ abſolutæ pars inde perditur, & fortaſſe à frictione emboli cavitatem antliæ
exacte occupantis majus diſpendium oritur. Igitur hoc reſpectu non eſt quod
nimis ſollicite evitemus tranſitum aquæ per hiatum ab embolo relictum. Non
reſpicit autem hæc animadverſio illas machinas, in quibus emboli retractio-
ne aquæ in antliam attrahendæ ſunt. Hic enim juſta & plena emboli ma-
gnitudo omnino eſt neceſſaria.
Regula 7.
§. 15. In machinis quæ plura habent foramina aquas transmittentia ex una
cavitate in alteram, aliquid de potentia abſoluta perditur, cujus rei rationem
in præcedente ſectione eſſe diximus, quod ſingularum guttularum ex una
cavitate in alteram per foramen commune fluentium aſcenſus potentialis perit.
Quo plura ſunt & quo minora hujusmodi foramina, eo majus oritur
potentiæ abſolutæ diſpendium, quod magni momenti eſſe ſolet, idque fortaſſe
præter communem opinionem, in machinis, quas Vitruvius ab
185171SECTIO NONA. vocat, Cteſibianis. Loquor autem de foraminibus ita diſpoſitis, ut omnis
aqua effluxura per illa tranſire debeat. Iſtud jam detrimenti genus tali de-
finietur calculo.
Sit amplitudo foraminis ultimi aquas in aërem emittentis = n, ampli-
tudines autem reliquorum foraminum, per quæ aquæ trajiciuntur intra ma-
chinam, deſignentur litteris α, β, γ, & c. & erit, poſita utrobique eadem
potentia movente, altitudo debita velocitati aquæ effluentis ad ſimilem altitu-
dinem nullis obſtantibus foraminibus internis, ut
1 ad 1 + {nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c. (per §. 11. ſect. 8.) ſequitur inde factis iſtis
altitudinibus inter ſe æqualibus, fore potentias moventes ut
1 + {nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c. ad 1, & quia utrobique velocitates potentiarum
moventium eædem ſunt, ſimilem quoque pro iisdem temporibus rationem
habebunt potentiæ abſolutæ. Superflua igitur eſt pars ejus {nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c.
unde diſpendium potentiæ abſolutæ erit ad totam hanc potentiam ut
{nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c. ad 1 + {nn/αα} + {nn/ββ} + {nn/γγ} + & c.
Scholium.
§. 16. Quoties idea machinæ foramina poſtulat, per quæ aquæ ex
uno modiolo in alium transfluant (quod fit in omni antliarum genere; velu-
ti aſpirantium, aſpirantes gallice aut prementium, foulantes & c.) ſunt illa
foramina quantum id reliquæ circumſtantiæ permittunt, ampliſſima facienda,
ita ut amplitudo orificii effluxus parva admodum ſit reſpectu illorum forami-
num internorum: Ut vero uſus regulæ clarius pateat, exempla conſidera-
bimus machinarum aliarum non minus uſitatarum.
Exemplum 1.
Propoſita ſit machina (quam repræſentat Figura 50.) in qua emboli C
11Fig. 50.& F alternatim deprimuntur, atque per diabetas A B, D E aquæ in modio-
lum B E H intruduntur, ut ſic jactus fiat continuus per orificium H. Cum
hic emboli alternatim agant, alterutrum conſiderabimus quaſi ſolum ſed con-
tinue agentem; ita vero conſiderandum eſt foramen effluxus H,
186172HYDRODYNAMICÆ nis n, & alterutrum foraminum o, p, quibus ſingulis ſit amplitudo α; ita erit
diſpendium potentiæ abſolutæ = {nn/αα}, poſita potentiâ integra = 1 + {nn/aα},
quæ quantitates ſunt ut n n ad n n + α α. Conſiderabile certe eſt hoc diſpen-
dium, ſi iconibus harum machinarum fidere licet, in quibus fæpe orificia
o & p minora ſunt orificio effluxus H, quod ſi foret plus quam dimidium
perderetur potentiæ abſolutæ. Erunt autem canales A B & D E per totum tra-
ctum, quantum id licet, amplificandi, ut machina parum de ſuâ præſtantia
perdat.
Ceterum fuit hæc machina excogitata, ut jactus fieret continuus per H.
Quia tamen fieri non poteſt, quin aliquod temporis intervallum intercedat
inter ultimum emboli elevationis punctum, inſtantisque ejusdem depreſſio-
nis initium, non poterit jactus omnino eſſe continuus & æquabilis. Huic
vero incommodo optimum remedium attulit auctor machinæ illius, cujus
mentionem facit D. Perrault in Comment. ad Vitruvium pag. 318. edit. 2. Paris.
quamque in Bibliotheca Regia Paris. aſſervari dicit; inſerviet nobis hæc ma-
china alterius exempli loco: figuram autem deſumam una cùm ejusdem de-
ſcriptione ex ipſo Perraultio.
Exemplum 2.
„ Machina eſt referente præfato Perraultio, in quâ aqua expellitur ex
modiolo A (Fig. 51.) mediante embolo B in catinum F G, ex quo aër,
11Fig. 51. ſi modo aliquid aquæ jam adſit, egredi non valet; quia tubus E F us-
que ad fundum fere deſcendit: ſic enim fit, ut aqua propulſa ex modio-
lo A per diabeten D, imumque catini occupans claudat orificium tubæ in
F, aërique tranſitum neget. Igitur cum embolus novas intrudit aquas
in mediolum, partim aëre partim aqua, repletum, hæ aquæ de novo af-
fuſæ vim exerunt in utrumque fluidum, & cum aqua non poſſit exilire
per tubum F E eadem velocitate qua irruit ex antlia per diabeten D, quia
ſcilicet (ſunt verba Perraultii) tubus F E in extremitate ſua E orificio per-
forata eſt multo minori, quam eſt orificium tubi D, aqua in catino ac-
cumulata aërem comprimit, ab eodemque reciproce preſſa, etiam dum
embolus elevatur, per tubam F E exilit.”
Perditur in hâc machina magna potentiæ abſolutæ pars à tranſitu aquæ per dia-
beten D, hocque diſpendium eo majus erit, quo anguſtior eſt iſte tubulus:
187173SECTIO NONA. fiat igitur amplus aut etiam plures tubi conſtruantur aquas transmittentes: ma-
joris eſt momenti hæc annotatio in præſenti caſu, quod multo majus diſpen-
dium ab anguſtia diabetes D oritur, quam in aliis machinis; fac enim am-
plitudinem hujus diabetes eandem, quæ eſt orificio E, & pone inſuper æqua-
libus temporis intervallis embolum deprimi, retrahique non perdetur jam ſo-
lum dimidia potentiæ abſolutæ pars, ut aliàs, ſed plane quatuor quintæ partes
inutiles fient. Quia vero multa ſunt in hâc machina, quæ ſingularem po-
ſtulant calculum, placet illam ſeorſim perluſtrare.
Digreſſus continens aliquas commentationes in Ma-
chinam Hydraulicam quam repræſent at figura 51.
(α) Non poteſt jactus aqueus per E eſſe omnino æquabills, durante
tota emboli agitatione: Dum enim embolus elevatur, novæ aquæ non acce-
dunt, atque ſic diminuitur quantitas aquæ in catino G E contentæ, aërque
eidem ſuperincumbens dilatatur ac denique elater ipſius diminuitur: hinc
quoque velocitate continue minori aqua erumpit donec rurſus ab embolo
intruſo acceleretur.
Verum ſi ponatur ſpatium, quod aër in catino occupat longe ma-
jus ſpatio illo ab aqua, quæ durante una emboli elevatione ejicitur, occu-
pato, ceſſat fere tota hæc inæqualitas, poſito embolum uniformiter agitari
& diu ante fuiſſe agitatum, quæ poſterior hypothſis ideo neceſſaria eſt, quod
primæ agitatione valde differant à ſequentibus. Igitur brevitatis ergo om-
nibus hiſce hypotheſibus ſatitfaciemus, ideſt, ubique ſtatum, qui dicitur,
permanentiæ ponemus.
(β) Cum igitur primis emboli agitationibus ſenſim augeatur velocitas
aquæ per E effluentis, mox fit ut jactus aqueus velocitatem tantum non in-
tegram attingat; quo rei ſtatu poſito, patet tantum aquæ depreſſione em-
boli impelli in catinum, quantum ex eodem tota emboli agitatione ejicitur.
Primis autem agitationibus plus intruditur, quam ejicitur, idque non
ideo, ut putavit Dn. Perrault, quod orificium in E altero in G minus ſit
(idemque enim ſuccederet ſi vel majus eſſet) ſed quod cauſa efficiens non p of-
ſit ſtatim omnem ſuum exerere effectum in ejiciendis aquis.
188174HYDRODYNAMICÆ
(γ) Videbitur forta@@e rem non ſatis perluſtrantibus fore, ut omni-
bus in ſtatu permanente jam poſitis, nullisque præſentibus obſtaculis alienis,
aqua per foramen E velocitate exiliat, qua aſcendere poſſit ad altitudinem co-
lumnæ aqueæ in æquilibrio poſitam cum preſſione emboli: atque ita ſane fo-
ret, ſi preſſio emboli ſine interr uptione adeſſet, nullusque in aqua aſcenſus po-
tentialis perderetur: quia vero in utroque res aliter ſe habet, non poteſt non
alia oriri in jactu aqueo velocitatis æſtimatio: Hinc quiſque non obſcure videt
animum advertendum eſſe ad temporum rationem, quibus embolus deprimi-
tur, retrahiturque, tum etiam ad rationem amplitudinum in canaliculo D &
orificio E.
(δ) Ponamus igitur tempus quo embolus deprimitur = θ tempus
unius integræ agitationis = t, amplitudinem orificii E = μ, & diabetes D = m:
deinde comparata potentia embolum detrudente cum ſuperincumbente colum-
na aquea, faciamus hujus columnæ altitudinem = a, altitudinem vero aquæ
exilientis velocitati debitam = x. His ita ad calculum præparatis licebit duo-
bus indagare modis rationem quæ futura ſit inter velocitates aquarum in
orificio E & diabete D, atque hinc valorem incognitæ x; elicere. Primò enim
patet tempore θ (quo ſcilicet embolus detruditur) tantum aquæ fluere per
diabeten D, quantum tempore t (quo embolus deprimitur retrahiturque) ef-
fluit per E. Eſt igitur velocitas in D ad velocitatem in E ut {1/mθ} ad {1/μt}: &
quum poſterior hæc velocitas ſit = √ x, erit altera = {μt/mθ} √ x. Secundò quia
velocitas aquæ effluentis debetur preſſioni aëris in catino, ſequitur hanc preſ-
ſionem æquivalere ponderi columnæ aqueæ altitudinis x; ſed ſi à preſſione
emboli auferas preſſionem aëris, habebis preſſionem, quæ velocitatem aquæ
in D generet; hinc quia differentia preſſionum exprimitur per a - x, repræ-
ſentabitur velocitas aquæ in D per √ (a - x); Igitur nunc eſt velocitas aquæ
in D ad velocitatem aquæ in orificio E ut √ (a - x) ad √ x. Combinatis ratio-
nibus utroque modo inventis, fit
√ (a - x): √x = {1/mθ}: {1/μt}, ſive
x = {mmθθ/mmθθ + μμtt} X a.
189175SECTIO NONA.
Patet ex iſta æquatione altitudinem jactus duplici titulo deficere ab alti-
tudine columnæ prementis a, magis nempe deficit, cum celerius deprimitur,
tardiuſve elevatur embolus tum etiam cum orificium E ratione canaliculi D
amplitudine creſcit. Fuerit v. gr. amplitudo iſtius orificii æqualis amplitudini
tubuli D atque pari celeritate embolus deprimatur eleveturque & prodibit
x = {1/5} a, ſic ut ad quintam partem tantum aſſurgat vena effluens altitudinis a.
(ε) Diſpendium potentiæ abſolutæ jam hoc modo eruetur, poſito prius
nullum laborem in elevandum embolum impendi. Sit velocitas quâ embolus
deprimitur = v, & erit potentia abſoluta tempore unius agitationis integræ im-
penſa = a v θ (per paragraphum tertium) quia vero effectus in eo conſi-
ſtit, ut effluxus fiat per E durante tempore t ipſaque aqua ad altitudinem
{mmθθ/mmθθ + μμ tt} X a elevetur, potuiſſet id antlia ſimplex figuræ quadrageſimæ
quintæ efficere, ſi pro potentia premente in illa ſumtus fuiſſet cylindrus aqueus
altitudinis {mmθθ/mmθθ + μμtt} X a, atque hæc potentia durante tempore t velocitate
{θ/t} v egiſſet; unde potentia abſoluta in hâc machina ſimplici, qua nihil de illa
perditur, requiſita futura fuiſſet =
{mmθθ/mmθθ + μμtt} X a X {θ/t} v X t = {mmθθ/mmθθ + μμtt} X a v θ.
Eſt igitur tota potentia abſoluta ad partem ejus inutiliter perditam ut a v θ ad
a v θ - {mmθθ/mmθθ + μμtt} X a v θ ſeu ut mm θθ + μμtt ad μμtt. Igitur ſi in-
tegra potentia abſoluta deſignetur per P, erit ejus diſpendium = {μμtt/mmθθ + μμtt} X P.
Neceſſe igitur eſt in hâc præ aliis antliis, ut diabetes amplitudine ad-
modum ſuperet orificium E, vel ut multiplex adſit. Si enim unicus adeſſet,
isque amplitudine orificio E æqualis, ſimulque uniformi velocitate ſurſum de-
orſumque agitari ponatur embolus, diſpendium oriretur quatuor quintarum
totius partium: atque ſi vel duplo amplior fiat, etiamnum perdetur dimi-
dium potentiæ abſolutæ.
(ς) Denique perſpicuum eſt minorem preſſionem ſuſtinere latera catini
G E, quam modioli A A, quippe preſſiones iſtæ ſint ut x ad a, id eſt,
190176HYDRODYNAMICÆ mmθθ + μμtt ad m m θ θ, ex qua ratione artifices judicabunt de firmitate
laterum, quæ pro utroque requiritur.
Regula 8.
§. 17. Quando embolus in antliis retrahitur & aqua in modiolum in-
fluit, non ſolum proprio pondere ſolicitata ſed maximam partem ab embo-
lo attracta, tunc omnis potentia abſoluta in hanc attractionem impenſa caſu
ſupervenit, quia antlia, ſub aquis, ut fit, poſita, ſua ſponte impleretur ſi ſuf-
ficiens huic impletioni tempus concederetur; nec adeoque attractio illa ita
pertinet ad ejiciendas aquas certa cum velocitate, quin tota vitari poſſit, hoc-
que nomine labor in illam impenſus mihi inutilis dicitur.
Quia vero influxus aquarum partim proprio pondere fit, partim
etiam elevatione emboli, non poteſt diſpendium potentiæ abſolutæ ab effectu
æſtimari: Quin potius calculus ita eſt ponendus, ut poſitis potentia embo-
lum in certo ſitu elevante = π, velocitate emboli = v, tempuſculoque
quantitatibus π & v reſpondente d t, dicatur omnis potentia abſoluta in eleva-
tionem emboli impenſa = ſ π v d t vel = ſ π d x, ſi per d x intelligatur ele-
mentum ſpatioli tempuſculo d t percurſi. Sequitur inde, ſi conſtantis mag-
nitudinis ſit, uti fere eſt conatus, quo embolus elevatur, fore potentiam abſo-
lutam æqualem potentiæ moventi ductæ in ſpatium percurſum: ſimile autem ra-
tiocinium cum valeat etiam pro depreſſione emboli ſimulque tantum eleve-
tur embolus quantum deprimitur, apparet potenti{as} abſolut{as}, quæ in attrahen-
das expellendaſque alternatim aquas impenduntur, proxime eſſe ut potentiæ
utrobique moventes; unde diſpendium oritur quod eſt = {π/π + p} X P, factis ſci-
licet potentia elevante = π, potentia deprimente = p & potentia abſoluta in
elevationem depreſſionemque emboli impenſa = P.
Poteſt aliter diſpendium potentiœ abſolutæ proxime æſtimari ex eo, quod
omnis aſcenſ{us} potentialis aquæ in antliam influentis inutiliter generatus cenſeri
debeat. Sed ſi iiſdem temporibus, ſive eadem velocitate embolus ſurſum de-
orſumque movetur, erit velocitas quâ aquæ admittuntur ad velocitatem quâ
ejiciuntur reciproce ut foramina reſpondentia, ipſique aſcenſus potentiales utro-
bique erunt in ratione quadrata inverſa foraminum reſpondentium. Si
191177SECTIO NONA. diverſis temporibus fiant emboli elevatio & depreſſio, ſunt velocitates recipro-
ce ut tempora & aſcenſus potentiales reciproce ut quadrata temporum. Eſt igi-
tur aſcenſus potentialis aquæ influxu generatus ad aſcenſum potent. qui ab effluxu
oritur ſolusque intenditur, in ratione reciproca quadrata compoſita ex ratio-
ne foraminis influxus ad foramen effluxus & temporis, quo hauriuntur aquæ ad
tempus quo expelluntur.
Scholium.
§. 18. Ex utraque æſtimandi ratione ſequitur lente embolum eſſe ele-
vandum: ita enim parva fit potentia movens ratione primæ methodi aut magnum
fit tempus elevationis ratione ſecundæ, atque ſic operarii ſingulis elevationis
emboli intervallis à conatu præcedentis depreſſionis exantlato reficientur. Po-
ſterior porro methodus indicat foramina, per quæ aquæ attrahuntur amplian-
da & multiplicanda eſſe; id vero etiam priori conforme eſt methodo, quia
ſic ſufficiens fere aquæ quantitas ſua ſponte influit, minorique adeo potentia mo-
vente opus eſt.
Regula 9.
§. 19. Denique jactum aqueum verticaliter aſſurgentem nunquam
eam attingere altitudinem obſervandum eſt, quæ debeatur aquæ velocitati ini-
tiali, id eſt, ſi vena fluidi verticaliter aſſurgere incipiat ab ſua origine veloci-
tate tali, quam grave libere cadendo ex altitudine a acquirat, non poterit flui-
dum aſcendere ad totam altitudinem a, etiamſi aëris reſiſtentiam removeas, aut
quicquid excogitare velis, quod caſu motum retardare queat. Ipſa enim rei na-
tura defectum aliquem exigit neceſſario, cujus rei ratio phyſica hæc eſt: Nem-
pe quælibet guttula etiamſi aſcenſum incipiens verticalem, non poteſt tamen,
quin ſenſim ad latera deflectatur & tandem, cum ad ſummum pervenit, motu
feratur horizontali, qui notabilis eſſe debet, quia per ſupremum limbum vel
ſectionem venæ aqueæ omnis aqua tranſit, quæ per foramen effluxit: fac igi-
tur unicuique guttulæ eo temporis puncto quo horizontaliter movetur veloci-
tatem ineſſe, quam grave lapſu libero per altitudinem b acquirit: ita vides non
poſſe venam ultra altitudinem a - b aſſurgere: Atque hoc titulo diſpendium
oritur ratione potentiæ abſolutæ totius ut b ad a.
Scholium.
§. 20. Obſervatum fuit inter aquas communi velocitate ex tubulis
192178HYDRODYNAMICÆ verſimode formatis ejectas alias aliis altius aſſurgere: Ergo hic attendendum eſt
ad ultimorum tubulorum aquas emittentium (des ajutages) conformationem
aptiſſimam.
Hâc de re experimenta inſtituit D. Mariotte in tract. de mot. aquar.
Scholium Generale.
§. 21. Examinavimus adhuc impedimenta, quæ caſu ſuperveniunt in
machinis hydraulicis aquas cum impetu ejicientibus: Præcipua illa eſſe puto,
quæ expoſui; poterunt tamen alia inſuper excogitari, ſed, ut credo, mino-
ris admodum momenti. Ubique fere menſuras dedimus omnino geometricas
ſimulque modum indicavimus, quo iiſdem impedimentis maximâ ex parte
obviam iri poſſit. Qui majoribus intendit, putans poſſe minimo labore ſeu
(quod eodem recidere demonſtravi § 3.) minima potentia abſoluta quemvis ef-
fectum in elevandis aquis deſideratum præſtari, opinione fallitur, atque oleum
& operam perdet. Si enim ab impedimentis iſtis expoſitis aliiſve ſimilibus for-
taſſe excogitandis animum abſtrahas, machina in rerum natura perfectiſſima
erit ſimplex antlia figuræ quadrageſimæ quintæ, atque ſi aquæ ejus ope in al-
tum projectæ colligantur in G, dico fieri non potuiſſe ut minori labore eadem
aquarum quantitas ad eandem altitudinem F G elevarentur.
Eſt deinde aliud machinarum genus, quod à machinationibus adhuc
pertractatis differt in eo, quod hæ aquas cum impetu ejiciant, illæ placide ſi-
ne motu notabili transferant. Sed & in his ultimus perfectionis qui dari poteſt
gradus eodem recidit. Sunt autem pleræque multis obſtaculis iiſque maximi
momenti obnoxiæ. De his igitur nunc directe nobis erit agendum.
(B) De machinis hydraulicis aquas ſine not abili impetu ex loco humiliori in
altiorem tranſportantibus.
Regula 10.
§. 22. Si pondus aliquod per datam altitudinem verticalem (a) potentia
movente utcunque variabili ſed directe applicata elevetur nulluſque motus in
fummitate altitudinis propoſitæ corpori ſuperſit, conſtanter erit eadem potentia
abſoluta in elevationem ponderis impenſa, nempe æqualis producto ex ponde-
re corporis elevati & altitudine elevationis a.
193179SECTIO NONA.
Demonſtratio.
Nam ſi pondus, quod vocabo A, aſcenderit per altitudinem y, eoque
in loco animari ponatur potentia movente variabili P directe applicata, move-
rique velocitate v, erit tempuſculum, quo pondus per elementum d y eleva-
tur = {dy/v}, quod ductum in potentiam moventem P, ejuſdemque velocitatem
v, dat elementum potentiæ abſolutæ (per defin. §. 2.) = P d y, ergo ſ P dy dabit
totam potentiam abſolutam, ſi poſt integrationem fiat y = a; in omni vero motu
incrementum velocitatis d v eſt æquale potentiæ animanti ſeu moventi, quæ
hîc eſt {P - A/A} ductæ in tempuſculum quod nunc eſt {dy/v}; habemus igitur d v =
({P - A/A}) X {dy/v} vel A v d v = P d y - A dy, id eſt, {1/2} A v v = ſ P d y - A y, ſive
ſ P d y = {1/2} A v v + Ay, ubi faciendum eſt y = a & v = o (per hypoth.) ita ut
ſit ſ P d y = A a.
Quia autem, ut vidimus, ſ P d y exprimit integram potentiam abſolu-
tam in elevandum pondus impenſam @ erit eadem hæc potentia conſtanter
eadem, nominatimque æqualis producto ex pondere A & altitudine a, ut
habet propoſito. Q. E. D.
Corollarium.
§. 23. Ex demonſtratione noſtra apparet, eſſe quoque potentiam abſo-
lutam eandem, quoties velocitas in ſummitate eſt eadem, id eſt, quoties
altitudo ad quam corpus velocitate ſua reſidua aſcendere poteſt, nempe {1/2} vv
eſt conſtans: atque ſi altitudo iſta dicatur b, erit potentia abſoluta = A (a + b).
Igitur patet nunc, quanta pars potentiæ abſolutæ perdatur, cum animus ſit
pondus A ad altitudinem a elevare, idemque in ſummitate velocitatem reſi-
duam habeat debitam altitudini b; erit nempe diſpendium potentiæ ad in-
tegram potentiam ut b ad b + a.
Scholium 1.
§. 24. Cavendum itaque eſt, ne machinæ ita ſint conſtructæ, ut ve-
hementi motu aquæ ad locum deſtinatum transportentur. Parvum autem
eſſe ſolet iſtud diſpendii genus in plerisque machinis.
194180HYDRODYNAMICÆ
Scholium 2.
§. 25. Omnia ſimiliter ſe habent ſi corpus non verticaliter, ſed ſu-
per plano utcunque inclinato, aut etiam curva qualicunque elevetur, ſem-
per enim tota potentia abſoluta erit æqualis A (a + b), id eſt, producto ex
pondere in altitudinem elevationis auctam altitudine velocitati corporis in
ſummitate reſiduæ debita, cujus rei demonſtratione ſuperſedeo, quod pa-
rum differt à præcedente demonſtratione.
Scholium Generale.
§. 26. Quia omnium machinarum utcunque compoſitarum effectus
reduci poſſunt ad naturam plani inclinati, perſpicuum eſt omnes machi-
nas, ſi à frictionibus iisque potentiarum abſolutarum diſpendiis, quæ hactenus
recenſuimus, animum removeamus eodem recidere, quia potentia abſoluta ſim-
pliciter pendet ab altitudine ad quam corpus eſt elevandum ejusdemque pon-
dere. Habet hoc commune potentia abſoluta cum vi viva ſeu cum aſcenſu de-
ſcenſuve actuali. Isque ultimus eſt perfectionis machinarum gradus, quem
transgredi non licet, imo nec attingere quidem, ſemper enim remotis om-
nibus frictionibus diſpendiisque, potuiſſet eadem potentia abſoluta majus pon-
dus ad eandem altitudinem elevari. Ut jam comparatio inſtitui poſſit quæ-
dam circa machinarum defectum, tam illarum quæ aquas ad deſideratam
altitudinem veluti projiciunt, quam quæ easdem transportant, nunc ha-
rum poſteriorum defectus maxime notabiles quoque indicabimus.
(I.) Frictiones tanto obſtaculo ſunt in plerisque hujusmodi machinis,
ut ſolæ maximam potentiæ partem abſorbeant, præſertim autem cum aſſerculi
quadrati aut globi ovales, catena in circulum redeunte connexi, per cana-
lem, cui ſunt accommodati, transeuntis aquas elevant.
(II.) Pleræque machinæ, præſertim vero rurſus quas modo indicavi-
mus, roſariorum nomine deſignari ſolitæ ita ſunt comparatæ, ut aqua dum
elevatur continue pars ejus deſtillet, ſive plane decidat in locum ex quo
hauſta fuit ſive ſaltem ex loco ſuperiori in inferiorem, uti in roſariis; ſi in
his globuli aut aſſerculi canali ſunt bene adaptati frictio fit fere inſuperabi-
lis, ſin minus maxima aquæ quantitas per hiatus relictos deſtillat, ex
195181SECTIO NONA. rioribus diviſionibus in inferiores, ita ut minima aquæ pars in illis ſuperſit,
cum culmen attigerunt, ejus quantitatis quam in toto itinere receperunt.
Videntur itaque vel ſolo hoc nomine iſtæ machinæ admodum improbandæ,
præſertim vero ſi aquæ limpidæ ſint elevandæ, quæ antliis hauriri poſſint.
(III.) Solent quoque machinæ ejus eſſe indolis, ut aquam ultra altitu-
dinem propoſitam attollant: Perditur autem potentia quæ exceſſui reſpon-
det, atque ſi aquæ trans molem ſunt evehendæ, difficulter id obtinetur,
quod indicavi §. 12.
(IV.) Sunt & machinæ, quæ directam potentiæ moventis applicatio-
nem non admittunt, ex quâ obliquitate rurſus diſpendium aliquod oritur.
§. 27. Iſtaque fere ſunt, quæ notabilis momenti mihi viſa fuerunt, ob-
ſtacula; neſcio autem an illis in tantum obviam iri poſſit, quantum de pri-
mo machinarum genere demonſtravimus: frictionum diminuendarum artifi-
cia quædam norunt mechanici: machinas quæ ſitulis aquas hauriunt atque
elevant prætulerim roſariis: ſitulæ autem ita ſint fabricatæ, ſi modo id fieri
poſſit, ut in ſitu infimo ſtatim impleantur nihilque emittant priusquam
ad ſitum ſupremum pervenerint. Cum aqua transfundenda eſt trans locum
altiorem in alium minus altum, opera danda eſt, ut impetus aquæ labentis
promoveat motum tympani ſeu rotæ in gyrum agendæ, quamvis multum
abſit ut ſic omnis potentia abſoluta utiliter impendatur, prouti fieri antlia figu-
ræ 49. indicavimus (§. 12.) Principium actionis conſiſtet, ſi recte judicio,
aptiſſime in calcatura: homines enim iſti labori maxime ſunt aſſueti; perti-
net huc, quod monui §. 4. occaſione regulæ primæ de angulo acclivitatis,
ſub quo viator dato tempore minima defatigatione certam attingere poſſit
altitudinem verticalem. Crediderim hominem mediocris ſtaturæ, ſanum
& robuſtum ſuper via ad 30. gradus acclivi incedentem non dificulter ſin-
gulis horis 3600. pedes confecturum, atque proinde ad altitudinem vertica-
lem 1800. pedum pondus corporis ſui, quod ponam 144 librarum ſeu
duorum pedum cubicorum aquæ, elevaturum. Talis igitur homo poterit ope
machinæ calcatura circumagendæ & perfectiſſimæ (in qua ſcilicet nihil de
potentia abſoluta perdatur) ſingulis horis duos pedes cubicos aquæ ad altitu-
dinem verticalem 1800. pedum elevare, ſeu quod idem eſt, ſingulis minutis
ſecundis unum ped. cub. ad alt. unius pedis: machinas quæ multo
196182HYDRODYNAMICÆ ſunt effectus, officium facientibus operariis, parum puto commendabiles:
Interim inſtituto experimento in ædibus Ill. D. General de Coulon cum antlia,
quod in fine ſectionis apponam, effectum haud parum minorem expertus
ſum, quo confirmatus ſum in ſententia mea operarios calcatura plurimum
præſtare: facile autem prævideo in machinis admodum compoſitis longe
minorem effectum prodire, quia in his maxima potentiæ abſolutæ pars inutilis
impenditur. Notabile iſtius rei nunc afferam exemplum à notiſſima machi-
na Marlyenſi, oſtenſurus quam incredibile fere potentiæ abſolutæ diſpendium
ab omnibus impedimentis collectis oriatur.
Tractatum edidit Weidlerus de machinis hydraulicis in quo plenam de-
ſcriptionem facit machinæ Marlyenſis, atque refert omnes aquas elevari à
motu 14 rotarum, quarum alæ ab impetu ſequanæ propellantur: hunc
impetum facit pro omnibus rotis æqualem ponderi 1000594 librarum, is-
que eſt quem nos deſignavimus nomine potentiæ moventis. Præterea alas mo-
tu ferri ex aliquibus circumſtantiis colligere potui, quo conficiant 3 {3/4} pe-
des ſingulis minutis ſecundis, atque hæc velocitas habenda eſt pro velocita-
te potentiæ moventis; deinde addit ſingulis diebus elevari vi illius machinæ
11700000 libras aquæ ad altit. 500 ped. His ita poſitis videamus nunc in
machina ſimpliciſſima fig. 45, qua nihil de potentia abſoluta perdi intelligatur,
quanta ad iſtam effectum potentia P pariter velocitate ut 3 {3/4} mota requira-
tur. Erit autem altitudo F G = 500 ped. & quoniam tempore 24 horarum
ejici debeant per lumen F 11700000 libræ, id eſt, 162500 ped. cub. ma-
gnitudo iſtius luminis ponenda erit = 0, 0108 partium pedis unius qua-
drati: Velocitas aquæ in F tanta eſt, ut abſolvat ſingulis minutis ſecundis
173 ped. Igitur continet velocitatem 3 {3/4}, quam pondus P habere ponitur,
46 vicibus & toties ſuperare debet amplitudo antliæ A B amplitudinem lu-
minis F: Erit proinde amplitudo A B fingenda 0, 4968, part. ped, quadrat.
ex quo conſequens eſt, pondus P æquale futurum ponderi cylindri aquei
ſuper baſi A B ad altitudinem 500 ped. conſtructi ſeu ponderi 248, 4 pe-
dum cub. aquæ, id eſt, ponderi 17885 librarum, quæ tantum quinqua-
geſimam ſextam partem efficit potentiæ moventis quam eadem velocitate mo-
tam applicari oſtendit Weidlerus. Sic igitur in tota machina diſpendium
fit quod {55/56} integræ potentiæ abſolutæ. exæquat.
Poſtquam ita naturam machinarum hydraulicarum, quantum illud
197183SECTIO NONA. generalibus fieri poteſt, examinavimns, haud abs re erit exemplum aliquod
ſpeciale accuratius pertractare, & quia cochlea Archimedis multis gaudet
egregiis proprietatibus, quas nemo ſatis, quantum ſcio, aperuit, ab hac
exemplum deſumam idque eo libentius, quod multi ſint, qui contra no-
ſtras regulas putant ſingularem huic cochleæ virtutem ineſſe pro elevanda
magna aquæ quantitate brevi tempore parvaque vi: falluntur autem qui ita
cogitant: nam ſi obſtaculorum accidentalium nulla habeatur ratio, idem
præſtat eadem potentia abſoluta, quod reliquæ machinæ omnes.
Commentationes ſpeciales de Cochlea Archimedis.
(I.) Varii ſunt auctores, qui modum docuerunt conſtruendi hanc co-
chleam: ſumma huc redit, ut canalis quidam aut plures ſuperficiei cylindricæ
circumflectantur, & ita quidem ut canalis ubique eandem habeat inclinationem
ratione axis cylindri, quam Vitruvius præter neceſſitatem in omnibus cochleis
fieri jubet ad angulum ſemirectum. Requiritur ergo ante omnia, ut in ſuperfi-
cie cylindri linea ſpiralis ducatur ad cujus normam canalis ſit ponendus, id quod
facillime meo judicio in ſuperficie admodum polita fieri poterit (præſertim cum
helices non parum à ſe diſtare debent) circumvolvendo eidem aliquoties funi-
culum: hic enim tenſus ſua ſponte deſideratam lineam faciet, neque enim ſpi-
ralis ſibi ſimilis ubique eſſe pote ſt, aut conſtantem habere ad axem cylindri in-
clinationem, quin arcus inter duo puncta interceptus ſit omnium arcuum eoſ-
dem terminos habentium minimus, quam indolem funiculo extenſo compe-
tere palam eſt: ſi vero frictiones impedimento ſint, filum ad minora interval-
la extendi poterit. Sed non eſt, cur in re per ſe pluribus modis facillima ſcru-
puloſi ſimus.
Lex ſpiralis primaria eſt, ut ubique æqualiter ad axem cylindri incli-
net, cui legi ſequens innititur conſtructio, quam in gratiam infra dicendorum
apponam:
Finge cylindrum rectum M a f N (Fig. 52. (1)) cujus ſuperficiei ſit in-
11Fig. 52.
(1.) ſcribenda deſiderata ſpiralis a 1 b 2 c 3 d & c. eandemque ſuperficiem puta ex-
plicatam in planam figura præditam parallelogrammi rectanguli A a f F
(Fig. 52. (2)), ſumantur hic ab una parte A B, B C, C D, D E, & E F, ab al-
22Fig. 52.
(2.)
198184HYDRODYNAMICÆ tera ab, bc, cd, de, & ef, ſingulæ ſingulis æquales; jungantur lineis rectis
puncta B, C, D, E & F cum punctis a, b, c, d, & e: his ita factis, ſi ſuperfi-
cies plana rurſus in cylindricam convolvatur, junctis lineis A F & a f, coinci-
dentibuſque punctis A & a; B & b & c. fiet ut lineæ a B, b C, c D & c. in ſuper-
ficie cylindrica lineam continuam forment, quæ ipſa erit ſpiralis deſiderata. Ad
faciliorem intellectum in utraque figura puncta homologa communibus litteris
diſtinxi.
(II.) Propoſitus jam fuerit cylindrus M a f N (Fig. 52. (1)), habens ad
ductum ſpiralis modo deſcriptæ circumflexum canalem, cujus diametrum ve-
luti infinite parvum cenſebimus ratione diametri ad cylindrum pertinentis: at-
que ſic habebitur cochlea Archimedis, quâ ſi uti velimus ad elevandas aquas ex
M in N, cylindrus erit horizontem verſus inclinandus, & ita quidem ut an-
gulus a M H (interceptus inter diametrum baſeos M a, quæ eſt in plano verti-
cali, & horizontalem M H) ſit major quam angulus s a o, quem faciunt tan-
gentes circuli & ſpiralis in communi puncto a. Deinde converſo cylindro cir-
ca axem ſuum in directione a g h M s aquæ influent per inferius canalis circum-
ducti orificium effluentque per ſuperius.
(III) Ut naturam hujus elevationis recte intelligamus, tria ſe nobis of-
ferunt puncta in qualibet ſpiralis helice examinanda, nempe puncta o, p & q,
quorum primum o maxime diſtat ab horizonte, alterum p eidem proximum eſt,
& q in eadem altitudine poſitum eſt cum puncto o in helice proxime inferio-
ri ſumto: per ſingula puncta o ducta eſt recta g n; per puncta p recta h m & per
puncta q recta s t. Situs vero harum linearum determinabuntur in ſequentibus.
(IV) Sit radius, qui pertinet ad baſin cylindri, = 1 ſumatur-
que pro ſinu toto; ſinus anguli sao = m, ejuſdemque coſinus = M, ſinus an-
guli a M H = n, ejuſdemque coſinus = N; arcus a g = X; coſinus illius arcus
= x, erit perpendiculum ex o in horizontem demiſſum, nempe o r = {mNX/M}
+ n (1 + x). Quia vero or maxima eſt, fit {mNdX/M} + ndx = o, & cum ex
natura circuli ſit dX = {-dx/√1 - xx}, erit {- mNdx/M√(1 - xx)} + ndx = o, ergo
√1 - xx = {mN/Mn}. Eſt igitur ſinus arcus quæſiti a g = {mN/Mn} aut
199185SECTIO NONA. x = ± {√(nn - mm)/Mn}: ſignum ſuperius dat arcum a g, inferius arcum a b de-
terminantem puncta infima p.
Atque ſic determinavimus tum puncta ſuprema o, tum ima p, patetque
arcus M b & a g eſſe inter ſe æquales, ſimul autem ex quantitate irrationali
√ (nn - mm) valorem litteræ x afficiente colligitur fieri non poſſe, ut m ſit
major quam n: neque enim in hoc caſu punctum datur infimum, quod tota
ſpiralis ubique aſcendit continue: Neque etiam inſerviet ſic cochlea ad ele-
vandas aquas; unde jam patet ratio ejus, quod monui in articulo hujus di-
greſſionis ſecundo, de requiſito exceſſu anguli a M H ſupra angulum sao.
(V) Ponamus nunc globum alicubi eſſe in cavitate canalis, cochleam-
que in ſitu ſuo firmari: ſic minime quieſcet globus, quin exiſtat in puncto
aliquo p. Quod ſi vero cochlea non retineri ponatur, globus deſcendet,
deſcenſuque cochleam circumaget, atque ſi præterea fingatur, nullius eſſe
ponderis cochleam motumque globi liberrime fieri nihil obſtantibus ſrictio-
nibus, deſcendet globus ſuper recta m b non alia lege, quam globus libere
ſuper plano inclinato deſcendens. Apparet itaque potentiam requiri ad im-
pediendum globi deſcenſum, firmandamque cochleam. Iſtam potentiam
applicatam ponemus in puncto f in plano circuli & perpendiculariter ad ra-
dium inquiſituri in rationem, quam habeat ad pondus globi in puncto ali-
quo p quieſcentis.
Sit pondus globi = p: quia vero actio globi eſt verticalis, reſolven-
da erit in duas alias ad perpendiculum ſibi inſiſtentes, quarum una commu-
nem habeat cum axe cochleæ directionem, altera eidem perpendicularis ſit,
prior cum nihil ad circumagendam cochleam conferat rejicienda, poſterior-
que ſola conſideranda erit; eſt vero actio illa reſidua = n p & agit in ve-
ctem, qui eſt = ſinui arcus M b ſeu arcus a g, hicque ſinus (per. art. IV.) eſt
={mN/Mn}. Eſt igitur momentum actionis = {mN/Mn} X np = {mNp/M}; hoc ſi di-
vidas per radium baſeos, qui eſt vectis pertinens ad potentiam applicatam
in f in æquilibrio pofitam cum actione globi, habebis iſtam potentiam quæ-
ſitam = {mNp/M}. Sic igitur directe ex natura vectis deducere licet,
200186HYDRODYNAMICÆ alii ex principio alieno petere ſolent. Præmiſſis iſtis præmittendis uſum ma-
chinæ conſiderare nunc incipiemus, quem habet pro elevandis aquis.
Problema.
(VI) Quæritur quænam maxima ſit aquæ quantitas quam cochlea qua-
vis revolutione ejicere poteſt.
Solutio.
Conſideremus helicem integram a 1 b, ſitque quantitas aquæ quam
plena continet = q: Notandum autem eſt non poſſe helicem eſſe totam aqua re-
pletam, ſi enim totus canalis plenus eſſet, effluerent aquæ per orificium
inferius, igitur quivis ramus, qualis eſt a 1 b, partim aëre partim aqua oc-
cupatur, erit autem altera aquæ extremitas in o ceu puncto ſupremo, alte-
ra in q, ceu puncto ad libellam cum priori compoſito: pars igitur aqua ple-
na eſt o p q, atque ſi hæc pars ponatur ad longitudinem totius helicis a 1 b
ut g ad h, erit maxima aquæ quantitas una revolutione ejicienda = {g q/h}. Q. E. I.
Scholium 1.
(VII) Quoniam, ut diximus, fieri non poteſt ut aqa per totum ca-
nalis tractum ſit contigua, cavendum eſt, ne ſeparatio aquæ impediatur,
quod facile fieri poteſt cum totum cylindri fundum aquæ immergitur, quia
ſic aëri prohibetur ingreſſus per orificium inferius canalis: Neque faciendum
eſt, ut nimia fundi pars extra aquam promineat, quia ſic cochlea non om-
nem, quam una revolutione alias poſſet, aquam haurit; imo nihil hauriet,
ſi immerſio punctum h non attingat: Debita autem fiet immerſio usque ad
punctum g, quia ſic arcus helicis o p q, qui aquam retinere valet, maximus
fit. Etſi enim nunquam rei periculum fecerim, & plerique auctores aliter
de illa loqui videantur, malim tamen rationi, quam auctoritati illorum, qui
ad immerſionem hanc animum non adverterunt, credere.
Regula igitur ratione immerſionis hæc obſervabitur, fundum nempe ſub-
mergetur, donec chorda arcus extra aquam eminentis ſit = {2mN/Mn}, ubi lit-
teræ m, N, M, & n idem ſignificant, quod in articulo quarto.
201187SECTIO NONA.
Scholium 2.
(VIII) Apparet quidem poſt levem rei contemplationem eò majorem
eſſe rationem inter arcum helicis o p q & integram helicem a 1 b, id eſt, inter
g & h, atque proinde eo majorem ceteris paribus aquæ quantitatem ſingulis
revolutionibus ejici, quo minor eſt angulus s a o & quo major angulus a M H,
ſeu quo minor eſt diſtantia inter duas proximas helices & quo magis cochlea
verſus horizontem inclinat: Veram autem illam rationem algebraice expri-
mere non licet: In omni tamen caſu particulari id facili appropinquatione
obtinetur.
Exemplum præcedentis regulæ deſumam à cochlea, qualem Vitruvius ad-
hibere & conſtruere docet. Facit autem angulum s a o ſemirectum & ſic
m = M = √{1/2} = o, 70710: deinde inter N G & M G rationem ſtatuit,
quæ eſt ut 3 ad 4; inde deducitur angulus G N M vel a M H = 530, 81, ejus-
que ſinus n = o, 80000 atque conſinus N = o, 60000: ergo (per art. III.)
eſt ſinus arcus a g altiſſimum punctum o definientis = {m N/M n} = {3/4}, ipſeque
arcus a g = 480, 351. Debet adeoque vi regulæ art. VII. arcus extra aquam
eminens in fundo eſſe 970, 101; immergeturque arcus 2620, 501.
Ut jam præterea definiamus rationem inter arcum helicis o p q & helicem
integram a 1 b, notandum eſt, eandem eſſe illam rationem, quæ intercedit in-
ter arcum circularem g h M s & circumferentiam circuli, quod ex figura ſocia
manifeſtum eſt. Determinatur autem arcus g h M s hunc in modum. Eſt nem-
pe arc. g h M s = arc. a g h M s - arc. a g. Sed vidimus in articulo tertio, ſi ex
quocunque puncto ſpiralis, veluti o & q perpendicula ad horizontem punctum
M radentem demittantur, qualia ſunt o r & q x, fore iſtud perpendiculum
= {mNX/M} + n (1 + x) ſeu in noſtro caſu = o, 60000 X + o, 80000(1 + x),
denotante X arcum circularem, puncto in ſpirali aſſumto reſponden-
tem, nempe arcum a g aut arc. a g h M s & x ſignificante ejusdem arcus co-
ſinum. Eſt vero arc. a g = 480, 351 = (quia radius exprimitur unitate)
o, 84797, ejuſque coſinus = o, 66153: Igitur in noſtro caſu fit or =
o, 50878 + 1, 32922 = 1, 83800. Quia porro puncta o & q ſunt in eadem
altitudine poſita, atque lineæ o r & q x inter ſe æquales, apparet quæſtionem
nunc eo eſſe reductam, ut alius arcus a g h M s inveniatur puncto q
202188HYDRODYNAMICÆ qui ſi vocetur X, ejuſque coſinus x, ſit o, 60000X + o, 80000 (1 + x)
= or = 1, 83800: pro iſta conditione invenitur arcus a g h M s proxime
175 {1/2} grad. incidente puncto s in plagam a g M: Et cum arcus a g fuerit 480,
351, erit tandem arcus g h M s 1260, 551, qui proinde erit ad circumfe-
rentiam circuli præterpropter ut 10 ad 29: ſimiliſque ratio intercedit inter ar-
cum helicis o p q integramque helicem.
Conſequens inde eſt, ſingulis revolutionibus cochlea à Vitruvio de-
ſcripta proxime ejici {10/29} illius quantitatis, quam helix integra & plena con-
tinet, ſeu paullulum ultra trientem.
Scholium 3.
(IX) Notandum tamen eſt, quæcunque ſit aquæ quantitas, quæ qua-
libet cochleæ revolutione canalem inferius ingreditur, ſuperiuſque ex eodem
eſſluit, nullum nec detrimentum nec lucrum propterea cadere in potentiam ab-
ſolutam ſi nulla habeatur frictionum ration, quia potentia movens cæteris paribus
illi quantitati proportionalis eſt. At vero quia frictiones ſemper obſtant, eædem-
que fere ſunt ob pondus machinæ proprium, ſive major ſive minor quantitas
aquæ hauriatur, opera utique danda eſt, ut iſta quantitas cæteris paribus fiat
maxima: Hâc de re nunc agam paullo diſertius.
Scholium 4.
(X) Jam innui ſuprà, creſcere rationem arcus g h M s ad circumferen-
tiam circuli decreſcentibus angulis s a o & N M G: uterque igitur minimus eſſet
conſtruendus, niſi alia obſtarent incommoda, præſertim ratione anguli N M G.
Quod ad angulum s a o attinet, poteſt is fere ad lubitum diminui, neque aliud
inde incommodum reſultat, niſi quod latera canalis circumflectendi nimis ad
ſe invicem accedere poſſunt: E contrario à diminutione iſtius anguli aliud ob-
tinetur compendium, nempe quod tunc eo verticalius poſſit erigi machina ip-
ſaque aqua eo altius elevari, etenim angulus a M H ſemper major eſſe debet
angulo s a o: à verticaliori autem cochleæ poſitione ſimul obtinetur, ut mino-
ri incommodo ſit machinæ proprium pondus eaque facilius ſuſtineatur.
Hæc ita perpendens crediderim fere ſufficere poſſe angulum 5 graduum,
quem faciat canalis cum baſe nuclei. Cardanus quoque minorem iſtum
203189SECTIO NONA. angulum quam Vitruvius, & cum eo pauciores ſuper eodem nucleo circum-
flecti poſſint canales, quo obliquius ſunt inſerti, Vitruvius octo, Cardanus
tres tantum ponendos ſtatuit: ſunt autem canales longiores in cochlea Car-
dani, ita ut longitudinibus accedat, quod numero canalium decedit. Ra-
tione alterius anguli N M G obſervari meretur, aquam altius elevari poſſe,
quo major iſte fiat angulus, ſed e contrario minorem aquæ quantitatem
ſingulis ejici revolutionibus. Juſtum fortaſſe tenebunt medium, qui angu-
lum iſtum 60. facient gradum.
(XI.) Subducemus nunc hujus noſtræ quoque ad normam præceden-
tis articuli conſtructæ cochleæ calculum, prouti fecimus de cochlea ad Vi-
truvii præceptum conſtructa, art. VIII. Quia vero per hypotheſin angulus
s a o eſt 50 & angulus N M G = 600; reperietur per art. IV. arcus a g 80, 431,
& linea verticalis o r = 1, 00574, cui æqualis erit altera verticalis q x, ſi
dentur arcui a g h M s 2840, 571, a quo ſi ſubtrahatur arcus a g, remanet ar-
cus g h M s 2760, 141: qui reſpondet arcui helicis aquam retinere valenti: eſt
igitur hæc pars ad totam helicem ut 16574 ad 21600 vel ut 8287 ad 10800,
ſic ut ſingulis revolutioniqus ejici poſſint plus quam quatuor quintæ partes
integræ helicis capacitatis, duplumque cum triente præterpropter hac ma-
china efficiatur, quam obtinetur ſimili machinatione ad mentem Vitruvii fa-
bricata: altius quoque eodem nucleo elevantur aquæ in ratione ut √3 ad √2.
Venio jam ad potentiam tum moventem tum abſolutam, quæ in elevandis aquis
impenditur.
Problema.
(XII.) Dato pondere aquæ in helice quieſcentis, invenire potentiam
tangentialem in f in æquilibrio cum illo pondere poſitam.
Solutio.
Vidimus quomodo problema hoc geometrice ſolvendum ſit ratione
globi in puncto infimo p quieſcentis. In præſenti vero caſu paullo aliter ſe
res habet, quod pondus aquæ per magnum helicis arcum eſt diſtributum,
neque in puncto aliquo dato concentratum. Facile quidem eſt in anteceſ-
ſum prævidere, in utroque caſu easdem fore potentias ex regulis
204190HYDRODYNAMICÆ cæ indirectis; placet tamen hujus rei demonſtrationem dare ex natura vectis
petitam, quia mechanici eo omnia reducere amant.
Helicem conſiderabimus a 1 b ex figura quinquageſima ſecunda ſeor-
ſim deſumtam, ad evitandam linearum confuſionem, conſervatis denomi-
nationibus art. IV. adhibitis. Sic igitur in Figura 53. erit rurſus angulus
11Fig. 53. N M G angulus quem facit nucleus cum horizonte, cujus ſinus = N, ſi-
nusque anguli a M H = n; a 1 b eſt una ſpiralis circumvolutio: baſis nuclei
eſt circulus a c M p a; ſinus anguli p a l eſt ut ante = m, ejusque coſinus M;
puncta vero l & o ſunt extremitates aquæ in ſpirali quieſcentis & in ea-
dem altitudine ab horizonte poſita, ex iſtis punctis ductæ ſunt ad periphe-
riam baſis rectæ l c & o p ad baſin perpendiculares. In parte helicis quam
aqua occupat ſumta ſunt duo puncta infinite propinqua m & n & per hæc du-
ctæ ſunt rectæ n f & m g rurſus ad baſin perpendiculares. Denique ex pun-
ctis c, f, g, p ductæ ſunt ad diametrum a M perpendiculares c d, f h, g i &
p q; atque centrum baſis ponitur in e, radiusque e a = 1. Sit jam arcus
ſpiralis l 1 o aqua plenus = c & conſequenter arcus circularis eidem reſpon-
dens c M p = M c; a l = e; a c = M e; a d (ſeu ſinus verſus arcus ac) = f;
a q = g; pondus aquæ in l s o = p: arcus a l n = x; n m = d x; a c f = M x;
f g = M d x; a b = y; h i = d y; h f = √2y - yy, erit pondus guttulæ in
nm = {p d x/c}; ſi vero linea h f multiplicetur per ſinum anguli a M H, divida-
turque per ſinum totum, habetur vectis quo particula n m cochleam circum-
agere tentat: eſtigitur vectis iſte = n √ (2y - yy) qui multiplicatus per præ-
fatum guttulæ pondus {p d x/c} dat ejusdem momentum {n p d x/c} √ (2y - y y)}.
Sed ex natura circuli eſt M d x = {dy√ (2y - yy): hoc igitur valore ſubſtituto
pro d x, fit idem guttulæ n m momentum = {n p d y/M c}, cujus integralis, ſub-
tracta debita conſtante, eſt {n p (y - f)/Mc}, denotatque momentum aquæ in ar-
cu l n; hinc igitur momentum omnis aquæ in l 1 o eſt = {n p (g - f)/Mc}: quod
diviſum per vectem potentiæ in f applicatæ ſeu per 1 relinquit potentiam
iſtam quæſitam pariter = {n p (g - f)/Mc}. Q. E. I.
205191SECTIO NONA.
Scholium 1.
(XIII.) Ut appareat, non differre valorem iſtius potentiæ ab illa, quam
pro globo ejusdem ponderis p invenimus articulo V. nempe {m N p/M}, demon-
ſtranda eſt æqualitas inter {n p (g - f)/Mc} & {m N p/M} ſeu inter n (g - f) & m N c: iſta
vero æqualitas deducenda eſt ex eo, quod extremitates aquæ l & o in eadem
ab horizonte altitudine poſitæ ſint; inde enim ſequitur, ut demonſtravi-
mus art. IV. eſſe aggregatum ex arcu a c multiplicato per {m N/M} & ex linea M d
multiplicata per n = aggregato ex arcu a c M p pariter multiplicato per {m N/M}
& ex linea M q multiplicata per n. Adhibitis itaque denominationibus præ-
cedentis articuli, fit M e X {m N/M} + (2 - f) X n = (M e + M c) X {m N/M} +
(2 - g) X n, vel n (g - f) = m N c; quæ æqualitas demonſtranda erat ad
demonſtrandam æqualitatem potentiarum tum pro globo tum pro aqua in
f applicandarum.
Scholium 2.
(XIV) Quia potentia {n p (g - f)/M c} non differt ab {m N p/M} & quantitas {m N/M}
eadem manet, quæcunque aquæ quantitas una revolutione hauriatur aut eji-
ciatur, erit potentia iſta proportionalis eidem quantitati aquæ ſingulis revolu-
tionibus ejectæ ſeu ponderi p. Facile quoque demonſtratu eſt, ſi eadem aqua-
rum quantitas, eadem potentia movente eademque velocitate ad parem altitudi-
nem verticalem elevetur ſuper ſimplici plano, quod ad hunc finem debite ver-
ſus horizontem inclinatum ſit, fore ut tempus elevationis quoque idem ſit.
Igitur eadem potentia abſoluta requiritur in cochlea Archimedis, quam
ſuper plano inclinato, ad quod omnes machinæ reduci poſſunt, nec ullam
habet iſta cochlea prærogativam præ reliquis machinis in theoria ſpectatis.
Fortaſſe in praxi minus eſt obnoxia incommodis §. 26. indicatis: nequaquam
improbo ejus uſum, ſed nec eam præfero præ antliis Cteſibianis.
206192HYDRODYNAMICÆ
§. 28. Intelligitur ex hactenus dictis, quibus titulis una machina alte-
ri præferenda ſit, quemnam machinæ perfectionis gradum admittant; ad quid
potiſſimum attendendum ſit in illarum conſtructione & uſu; quanta potentiæ ab-
ſolutæ pars perdatur, aliaque ſimilia: Equidem machinas tantum conſidera-
vimus potentiis ut dicuntur animatis motas: facile autem apparet iiſdem legibus
ſubjectas eſſe machinas, quæ ab impetu aquarum, venti, aut ab aquarum gra-
vitatione hujusmodique aliis principiis ſunt movendæ; ſemper enim potentia
movens ducta in tempus & velocitatem puncti cui potentia eſt applicata, dabit
productum ex quantitate aquæ & altitudine ad quam iſta quantitas aſſumto
tempore elevari poſſit ope machinæ propoſitæ, ſepoſitis impedimentis alienis.
Loquor autem de machinis, quibus nihil de potentia abſoluta perditur; fieri enim
poteſt, ut maxima pars pereat, quod ſatis oſtendimus in ſuperioribus.
§. 29. Apparet exinde aquam ad certam altitudinem elevatam poſſe
rurſus ſuo deſcenſu eundem præſtare effectum: effectus autem erit æſtimandus
ex quantitate aquarum elevandarum & ex altitudine elevationis, ſic ut v. gr.
deſcenſu 8. pedum cubicorum ex altitudine unius pedis poſſint totidem rur-
ſus elevari pedes cubici ad ſimilem altitudinem aut 4. pedes cubici ad altitudi-
nem duorum pedum, aut unus pes cubicus ad altitudinem 8. pedum & ſic ut-
cunque libuerit. Specimen machinæ, quæ poſſit aquam ad quamcunque al-
titudinem elevare minimo aquarum deſcenſu, videre eſt apud D. Perrault in
Comment. ad Vitruvium lib. 10. cap. 12. quam machinam ut incredibile fere para-
doxon affert ejusque inventorem facit D. Franchini Italum, cujus induſtria &
conſiliis in horto Bibliothecæ Regiæ cum ſucceſſu conſtructa fuit. Fundamen-
tum machinæ in eo conſiſtit, ut ſitulæ concatenatæ, & in circulum redeuntes
aquam excipiant eamque in locum tranſportent infimum, ibique effundant,
dum alia ſitularum ſeries aquas hauriunt & ad locum longe altiorem, minori
tamen copia ferunt atque effundunt: perſpicuum autem eſt, ſeriem priorem
ſi omnes ſitulæ deſcendentes graviores ſint omnibus ſitulis aſcendentibus, alte-
ram perpetuo in gyrum acturam eſſe; Machinæ etiam ſunt, quæ idem præ-
ſtant per ſimplices tubos ope epiſtomiorum ſtatis temporibus convertendorum,
in quam quidem converſionem nulla potentia impenditur. Hujuſmodi ma-
chinationes deſcribit Carolus Fontana.
At ſi quis credat poſſe ex impetu aquarum ex certa altitudine delapſa-
rum & in machinæ alas impingentium idem obtineri, is longe aberrabit.
207193SECTIO NONA. lis machinatio pertineret ad illarum claſſem, quibus maxima potentiæ obſolutæ
pars evaneſcit ſine fructu.
Non abs re erit iſtud argumentum accuratius proſequi, & oſtendere
quantus effectus ab impetu aquarum aut venti obtineri poſſit & ſub quibus cir-
cumſtantiis effectus iſte ſit omnium maximus dicendus.
(C) De Machinis, quæ ab impetu fluidi, veluti vi venti moventur.
§. 30. Poſtquam aquæ ad certam altitudinem elevatæ ex eâdem rur-
ſus decidunt, continueque in alas rotæ circumagendæ impingunt, fieri aliter
non poteſt, quin potentia abſoluta ad rotam ſic circumagendam requiſita multo
minor ſit illa, quæ in elevationem aquarum impenſa fuit, cujus rei præci-
pua ratio eſt, quod aquæ poſt impulſum ad latera deſilientes velocitatem
etiamnum conſervent, quæ ad rotæ rotationem nihil confert. Igitur magna
potentiæ abſolutæ pars inutilis fieret, ſi elevatione aquarum efficiendum eſſet,
ut ab impetu earundem machina circumagatur & ab hac denique aquæ rurſus
aliæ ad certam altitudinem eleventur; & quidem major minorve pars perit
pro diverſis circumſtantiis, nunquam vero, ut monſtrabo, minus quam {23/27}
totius perdetur, ſi ad normam vulgaris impulſus aquarum æſtimationis com-
putus fiat.
§. 31. Statuitur autem communiter ſi aquæ ex cylindro valde amplo
per ſimplex foramen tota ſua velocitate, id eſt, quæ toti altitudini aquæ ſu-
pra foramen debeatur, fluant, atque vena ſtatim præ foramine directe impin-
gat in planum, fore ut impetus fluidi contra planum in æquilibrio ſit cum pon-
dere cylindri aquei, ſuper foramine ad altitudinem aquæ erecti. Experimento
quidem fallaci auctores ſeducti hanc ſtabiliverunt theoriam omnino falſam.
Nolui tamen hîc ab illa recedere, quia veram theoriam nondum expoſui at-
que deinceps facile erit expoſita noſtra theoria calculum corrigere. Liceat igi-
tur, donec ſuo loco rem rectius perpenderimus, vulgari ſententiæ, quamvis
erroneæ, adhærere. Quo major eſt impetus fluidi, eo majori ratione erit po-
tentia abſoluta, quam dabimus, augenda.
§. 32. Finge nunc (Fig. 54.) vas A B C ceu antliam quæ aquas per
11Fig. 54. foramen C in directione tantum non verticali expellat: aquas autem, cum ad
ſummum pervenerint, ab alio vaſe E D F excipi. In alterius hujus vaſis
208194HYDRODYNAMICÆ concipe foramen D, priori C æquale, & in eadem altitudine poſitum, ita ut
tanta aquarum copia effluat per D, quanta fuperius injicitur, ipſumque vas
E D F conſtanter plenum ſervetur. Porro puta aquas per D effluentes perpe-
tuo impingere in alas alicujus rotæ, quæ hoc modo circumacta aquas alias ele-
vet: Loco iſtius machinæ deſcribitur in figura ſimplex vectis volubilis circa H,
ponendo talem vectem continue alium atque alium adeſſe præ foramine D,
qui aquas excipiat, atque altera ſua extremitate aquas hauriat, eaſdemque ad
datam altitudinem elevet.
His ita poſitis inquiram primo in potentiam abſolutam, quæ aquas per fo-
ramen C ad altitudinem C E elevat; deinde quoque in potentiam abſolutam, quæ
requiritur in G ad vectem eadem velocitate movendum, quâ movetur ab im-
pulſu aquarum D G.
§. 33. Sit amplitudo foraminis C vel D = n, amplitudo A B = m, ve-
locitas aquarum in C vel D = v, pondus cylindri ſuper foramine C aut D ad
altitudinem C E extructi = p: tempus fluxus = t; erit pondus P = {m/n} p: ve-
locitas, qua pondus dum aquæ expelluntur deſcendit = {n/m} v: eſt igitur (per
§. 3.) potentia abſoluta in aquas per C ejectas impenſa = {m/n} p X {n/m} v X t = p v t.
§. 34. Ut jam potentia abſoluta in gyrationem vectis G L circa punctum
Himpenfa determinetur, notandum eſt illam minime ſibimet conſtare; mutari
enim à mutata velocitate, quacum vectis circumagitur. Igitur faciemus ve-
locitatem qua extremitas ejus in G movetur = V. Hoc autem modo aquæ
impingere cenſendæ ſunt in G velocitate v - V, atque ſic preſſionem exerce-
re, quæ fit = ({v - V/v})2 p: (ſunt enim preſſiones in ratione quadrata velo-
citatum fluidi impingentis atque pro velocitate v ponitur preſſio = p). Iſta
vero preſſio eſt loco potentiæ moventis; poſſumus nempe loco preſſionis fluidi
ponere pondus vecti ſuperincumbens in G, quod ſit = ({v - V/v})2 p. Iſtud
vero pondus eadem velocitate movebitur quâ punctum G, nempe velocitate V,
agitque durante tempore t: Eſt igitur potentia abſoluta ad rotationem vectis du-
rante tempore t & velocitate V requiſita = ({v - V/v})2 p X V X t.
209195SECTIO NONA.
§. 35. Quod ſi igitur vectis L G non immediate circumagitur, ſed
fluidum ad altitudinem C E elevatur, eo animo, ut vena fluidi ſuo impulſu
in G vectem circumagendo ab altera parte aquam elevet, erit potentia abſoluta
integra ad potentiam abſolutam utilem, ut p v t ad ({v - V/v})2 p V t, ſeu ut v3
ad (v - V)2 V: eademque ſe habebit ad partem ſui inutilem ut v3 ad v3 -
vv V + 2 v V V - V3.
§. 36. In omnibus fere machinis, quarum principium motus conſiſtit
in impulſu fluidi fieri ſolet, ut velocitas vectis, ubi fluidi impetum ſuſtinet,
ſeu V ſit admodum parva ratione velocitatis fluidi v; in his autem maxima
pars effectus, qui ab eadem fluidi quantitate pari velocitate moti obtineri poſ-
ſet, perditur.
§. 37. Maximus oritur ab impulſu fluidi effectus, ſive, quod idem
eſt, maxima fit potentia abſoluta §. 34. definita, ſi ſit V = {1/3} v; & tunc eſt iſta
potentia abſoluta = {4/27} p v t, atque etiamnum viginti tribus vigeſimis ſeptimis
partibus deficit, à potentia ſimili, quæ in elevandas aquas ex C in E F im-
penditur.
Si proinde naturalis habeatur aquarum deſcenſus, atque illo utendum
ſit ad elevandas aquas aliudve ſimile quid præſtandum, faciendum eſt ut ma-
china eo in loco, quo fit impulſus, velocitate moveatur ſubtripla velocitatis flui-
di impingentis. Huic vero conditioni ſemper ſatisfieri poteſt, quod ex alla-
to vectis exemplo patet. Si enim majori velocitate moveatur punctum G, di-
minue partem H G manentibus reliquis aut eam auge, ſi minori moveatur
velocitate punctum G. Vel etiam ſalva longitudine H G fac, ut aquæ in ex-
tremitate L majori minorive quantitate hauriantur.
§. 38. Iſta vero ratione fluidorum ad perpendiculum in alas impin-
gentium: alius eſt computus pro fluidis oblique incidentibus in alas moletri-
narum vi venti agitandarum aliarumque ſimilium machinarum. De his nunc
pauca quædam ſuperaddam atque iis ſectioni huic finem imponam.
Quum fluidum in ſuperficiem totius alæ utcunque poſitæ & in dire-
ctione ad motum fluidi perpendiculari rotaturæ impingit, docent auctores, flui-
dum maximum in alam exercere niſum ad promovendam rotationem, quando
ala cum directione venti angulum facit, cujus ſinus ſit ad ſinum totum ut √
210196HYDRODYNAMICÆ ad √ 3; Si vero vena fluidi eadem atque tota excipiatur ab ala, modo ſic mo-
do aliter ad directionem fluidi inclinatâ, maximam preſſionem ſuſtinebit in
directione rotationis ala, quæ facit angulum ſemirectum cum directione fluidi.
Prima Regula pertinet ad machinas quæ à vento omnia ambiente cir-
cumaguntur: altera ad illas, quæ à vena ſolitaria & à certa determinataque flui-
di quantitate moventur. Utraque vero hypotheſi innititur, quod motus ala-
rum admodum parvus ſit reſpectu motus fluidi, ſi enim ad motum alarum re-
ſpicias, ambæ regulæ falſæ ſunt; neque profecto iſte motus negligendus eſt, in
moletrinis enim ſæpe obſervavi, extremitates alarum velocitate ferri, ipſam
fere venti velocitatem exæquante.
Hæc cum ita ſint, calculum nunc ita ponemus, ut utriuſque motus
rationem habeamus.
§. 39. Sit igitur fluidum D E B A (Fig. 55.) quod ſub directione E B
11Fig. 55. impingit in totum planum A B: moveri autem ponitur planum motu paral-
lelo in directione B b ad E B perpendiculari: Sint porro velocitates ejusmo-
di, ut dum particula fluidi percurrit lineam E B, punctum plani B abſol-
vat lineam B b. His poſitis fingere licet totum ſyſtema, fluidum nempe
cum plano moveri à b verſus B & quidem velocitate b B: Ita vero fiet, ut
planum A B quieſcat, particula autem fluidi in punctum B incidens cenſen-
da ſit veniſſe expuncto e, ſumta E e = B b, & ſic de omnibus guttulis.
Igitur loco fluidi D E B A in planum motum A B incidentis velocitate E B
concipiendum erit fluidum d e B A in idem planum A B ſed immotum inci-
dens velocitate e B: Producatur jam A B usque in b agaturque D E d e b per-
pendicularis ad E B, erit motus particulæ fluidi repræſentatus per e B reſol-
vendus in e g & g B, ſibi invicem perpendiculariter inſiſtentes, quorum po-
ſterior nihil in planum A B agit, alter vero e g rurſus ex duobus compoſi-
tus eſt motibus e f & f g, quorum poſterior f g planum A B inutiliter in di-
rectione E B propellere tentat; dum prior e f ſolus idem planum in dire-
ctione B b propellit. Demonſtratum itaque eſt, quamlibet particulam face-
re impulſum proportionalem lineæ e f: Dein patet quoque, ſi linea A B
repræſentet totum planum, fore numerum particularum dato tempore in
planum impingentium repræſentandum per lineam B N perpendicularem ad
A d ſeu B e. Unde tandem niſus aquarum ad movendum planum in dire-
ctione B b eſt proportionalis lineæ e f ductæ in B N.
211197SECTIO NONA.
Ut jam determinetur inclinatio plani ad fluidum ſub his circumſtantiis
maxime favorabilis ut motus plani in directione B b promoveatur: ponemus
A B = 1, D E ſeu A C = x, B C = √1 - xx; lineam E B, quæ repræ-
ſentat motum fluidi, = v, & B b ceu menſuram motus plani = V; atque
ſic inſtituto calculo invenitur
ef = xv √ (1 - xx) - (1 - xx) V, atque BN = [xv - V √ (1 - xx]:
√ (vv + VV); unde e f X B N = [xv - V √ (1 - xx)]2 X {√ (1 - xx)/√ (vv + VV)}, quæ
quantitas maxima erit, cum fit
(9v4 + 18vvVV + 9V4)x6 - (12v4 + 30vvVV + 18V4) x4
+ (4v4 + 16vvVV + 9V4) xx - 4vvVV = o.
§. 40. Calculus ratione inclinationis alarum in moletrinis alius eſt,
quia velocitates in diverſis alarum locis variæ ſunt; ſunt enim proportiona-
les diſtantiis à centro, facile autem nunc cuivis erit computum pro mole-
trinis inſtituere, huic caſui non ulterius inſiſtam, ſufficiat id notaſſe, quod
non ſatis accurate ſtatuatur ab auctoribus x x = {2/3}, & quod verus valor ip-
ſius x ſemper minor ſit quam √ {2/3}. Si fuerit v. gr. V = v, & omnia alæ
puncta ſimili velocitate moveri cenſeantur, fiet x = √ {1/2}, quod indicat in-
clinandam eſſe alam ad directionem venti ſub angulo ſemirecto. Optima
alarum conſtructio foret, ſi incurvarentur, ita, ut ſub angulo minori ventus
in illas impingat ſuperius quam inferius, aut ſi fiat ut alæ ubique ventum
ſub angulo medio quinquaginta præterpropter graduum excipiant.
§. 41. Pergo ad alterum caſum, quo omne fluidum à plano, utcun-
que id inclinatum ſit, excipi ponitur. Hic autem patet; quia numerus
particularum dato tempore impellentium ſemper idem eſt, nullam eſſe at-
tentionem faciendam ad linem B N, atque ſic niſum quem aquæ faciunt ad
movendum planum A B in directione B b ſimpliciter repræſentari per e f ſeu
xv√1 - xx - (1 - xx) V. Igitur niſus iſte maximus obtinebitur ſumendo
xx = {1/2} + {V/2√(vv + VV)}, atque erit ipſe niſus tunc = {1/2}√(vv + VV)
- {1/2} V, ſi per v intelligatur preſſio directa, quam vena exerit in planum cui
perpendiculariter occurrit.
§. 42. Conſideremus nunc venam D E B A tanquam immediate ex
212198HYDRODYNAMICÆ ficio D in figura 54. egreſſam & vocemus rurſus directam preſſionem venæ
ita conſideratæ p, ſicut §. 33; atque erit niſus iſtius aquæ, quo conatur
planum debito modo, ut niſus maximus fiat, inclinatum propellere in di-
rectione ad venam perpendiculari = {p/2 v} X (√vv + VV - V): Et ſi porro
iſte niſus multiplicatur per velocitatem plani V atque tempus, obtinetur
potentia abſoluta, qua planum eadem velocitate per idem temporis ſpatium
moveri queat; ſic igitur præfata potentia abſoluta erit = {pVt/2v} X (√vv + VV - V).
§. 43. Potentia abſoluta, quam modo definivimus, ita eſt comparata,
ut continue creſcat creſcente V, atque ſi velocitas V infinita ſumatur, fit
eadem potentia = {1/4} X p v t. Igitur cum in figura 54 vena D G uti volu-
mus ad rotandam machinam per impulſum obliquum, nunquam plusquam
quarta pars obtineri poteſt illius potentiæ abſolutæ, quæ in elevationem aqua-
rum ex C in E F impenditur. Impulſu vero directo, nunquam plus quam
{4/27} obtineri vidimus §. 37. Ergo effectus fere duplo major impulſu obliquo
ſeu motu rotæ horizontali quam impulſu directo, ſeu motu rotæ verticali
obtineri poteſt.
Si vero impulſus fluidorum aliter æſtimetur quam §. 31. indicatum
fuit, erit ubique in eadem ratione mutandus valor litteræ p, qua impulſus
æſtimatio fuit mutata.
Experimentum, de quo §. 27. ſect. 9, mentionem feci, hoc eſt. Nem-
pe unus operarius ope antliæ intra ſeptem minuta prima cum dimidio pe-
des cubicos ſedecim cum dimidio ad altitudinem quatuordecim pedum evexit.
Iſte vero effectus æqualiter diſtributus æquivalet huic actioni, qua di-
midius præter propter pes cubicus ſingulis minutis ſecundis elevatur ad alti-
tudinem unius pedis: Hic igitur effectus dimidius admodum eſt illius, quem
hominem ſanum & robuſtum calcatura dare poſſe ex aliis deduxi principiis
in paragrapho decimo ſeptimo. Non crediderim defectum petendum eſſe
omnem à decrementis, quæ in potentiam abſolutam ex variis cauſis in iſta ſe-
ctione expoſitis cadere poſſunt, ſed potius ab eo, quod plus defatigentur
homines ab agitatione emboli in antlia, quam à calcatura in rota calcatoria.
213199SECTIO NONA.
Experimentum plane ſimile, ſed cum antlia longe perfectiori artifi-
cioque ſingulari fabricata, ante aliquot demum menſes Genevæ ſumſi præ-
ſentibus Viris Clariſſimis D. D. De la Rive, Calendrin, Cramer & Jala-
bert Acad. Genev. Profeſſ. ſucceſſus experimenti talis fuit, ut intellexerim
operarium unum ſingulis minutis ſecundis quatuor quintas partes unius pe-
dis cubici ad altitudinem unius pedis elevaſſe vel potius effectum æqualem
præſtitiſſe. Notabile eſt experimentum, nec puto ulla alia machina effe-
ctum obtineri poſſe admodum majorem. Mirabile quoque id eſt, quod
ſic omnis generis machinas, quacunque potentia animatas, ſi obſtacula demas
effectum haud multo diſſimilem præſtare appareat. Re bene perpenſa ſta-
tuo, hominem machina perfectiſſima ſingulis minutis ſecundis pedem cu-
bicum aquæ ad altitudinem unius pedis elevare poſſe aut effectum ſimilem
producere.
Huc etiam pertinerent, præſertim ratione paragraphi trigeſimi primi,
experimenta quæ accuratiſſime inſtitui ad æſtimandum impetum venæ flui-
dæ in planum impingentis, quibus confirmatus fui in theoria nova, quam
hac de re ſtabiliveram ſimulque edoctus, errorem è Mariotti temporibus
communem fuiſſe commiſſum. Quia vero in fine hujus ſectionis hac de re
non diſertè ſermo fuit, atque in fectione decima tertia expreſſe eam pertra-
ctare animus eſt, ideo eo usque diſquiſitiones haſce, ex principiis mecha-
nicis nondum obſervatis, erutas differemus.
214200
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO DECIMA.
De affectionibus atque motibus fluidorum elaſti-
corum, præcipue autem aëris.
§. 1.
FLuida nunc elaſtica conſideraturis licebit nobis talem iis affinge-
re conſtitutionem, quæ cum omnibus adhuc cognitis conveniat
affectionibus, ut ſic ad reliquas etiam nondum ſatis exploratas
detur aditus. Fluidorum autem elaſticorum præcipuæ affectio-
nes in eo poſitæ ſunt: 10. ut ſint gravia, 20. ut ſe in omnes plagas expli-
cent, niſi contineantur, & 30. ut ſe continue magis magisque comprimi
patiantur creſcentibus potentiis compreſſionis: Ita comparatus eſt aër, ad
quem potiſſimum præſentes noſtræ pertinent cogitationes.
§. 2. Finge itaque vas cylindricum verticaliter poſitum A C D B
(Fig. 56.) atque in illo operculum mobile E F, cui pondus P ſuper in-
11Fig. 56. cumbat: contineat cavitas E C D F corpuſcula minima motu rapidiſſimo
hinc inde agitata: ſic corpuſcula, dum impingunt in operculum E F idem-
que ſuis ſuſtinent impetibus continue repetitis fluidum componunt elaſticum
quod remoto aut diminuto pondere P ſeſe expandit: quod eodem aucto
condenſatur & quod in fundum horizontalem C D haud aliter gravitat, ac ſi
nulla virtute elaſtica eſſet præditum: ſive enim quieſcant corpusſcula ſive agi-
tentur, non mutant gravitatem, ita ut fundum tum pondus tum elaſticita-
tem fluidi ſuſtineat. Tale igitur fluidum quod cum primariis convenit flui-
dorum elaſticorum affectionibus ſubſtituemus aëri, atque ſic alias, quæ jam
in aëre detectæ fuerunt explicabimus aliasque nondum ſatis perpenſas ulte-
rius illuſtrabimus proprietates.
§. 3. Corpuſcula cavitati cylindri incluſa conſiderabimus tanquam nu-
mero infinita, & cum ſpatium E C D F occupant, tunc aërem illa dicemus
formare naturalem, ad cujus menſuras omnia ſunt referenda: atque ſic
215201SECTIO DECIMA. dus P operculum detinens in ſitu E F non differt à preſſione Atmoſphæræ ſuper-
incumbentis, quam proinde per P in ſequentibus deſignabimus.
Notetur autem hanc preſſionem minime æqualem eſſe ponderi abſo-
luto cylindri verticalis aërei operculo E F in atmoſphæra ſuperincumbentis,
quod hactenus inconſiderate affirmarunt auctores: ſed eſt preſſio iſta æqualis
quartæ proportionali ad ſuperficiem terræ, magnitudinem operculi E F & pon-
deri totius atmoſphæræ in ſuperficiem terræ.
§. 4. Quæratur jam pondus π, quod aërem E C D F in ſpatium e C
D f condenſare valeat, poſitis velocitatibus particularum in utroque aëre,
naturali ſcilicet & condenſato, iisdem: ſit autem E C = 1 & e C = s: Cum
vero operculum E F transponitur in e f, majorem à fluido patitur niſum duplici
modo: primo quod numerus particularum ratione ſpatii, cui includuntur,
major nunc eſt, & ſecundo quod quævis particula ſæpius impulſum repetit:
ut recte calculum ponamus incrementi, quod à prima pendet cauſa, parti-
culas conſiderabimus ceu quieſcentes, atque numerum earum, quæ opercu-
lo in ſitu E F ſunt contiguæ, faciemus = n, & erit numerus ſimilis pro ſi-
tu operculi in e f = n: ({eC/EC}){2/3}, ſeu = n: s{2/3}:
Notetur autem fluidum à nobis conſiderari non magis condenſatum
in parte inferiori, quam in ſuperiori, quale eſt, cum pondus P veluti infi-
nitè majus eſt pondere proprio fluidi: Perſpicuum hinc eſt, hoc nomine
vim fluidi eſſe, ut ſunt numeri n & n: s{2/3}, id eſt, ut s{2/3} ad 1. Quod vero
attinet ad alterum incrementum à ſecunda proveniens cauſa, invenitur id re-
ſpiciendo motum particularum; atque ſic apparet impulſus eo ſæpius fieri,
quo propius ad ſe invicem ſitæ ſunt particulæ: Erunt ſcilicet impulſuum nu-
meri reciproce ut diſtantiæ mediæ inter ſuperficies particularum: Iſtæque di-
ſtantiæ mediæ ita determinabuntur.
Particulas ponemus eſſe ſphæricas, diſtantiamque mediam inter cen-
tra globulorum pro ſitu operculi E F vocabimus D; diametrumque globuli
deſignabimus per d: ita erit diſtantia media inter ſuperficies globulorum =
D - d: patet vero in ſitu operculi e f fore diſtantiam mediam inter centra
globulorum = D ∛ s, atque proinde diſtantiam mediam inter ſuperficies
globulorum = D ∛ s - d. Igitur reſpectu ſecundæ cauſæ erit vis aëris
216202HYDRODYNAMICÆ turalis E C D F ad vim aëris compreſſi e C D f ut {1/D - d} ad {1/D∛s - d}, ſeu ut
D∛s - d ad D - d: Conjunctis vero ambabus cauſis erunt prædictæ vires,
ut s{2/3} X (D ∛s - d) ad D - d.
Rationi D ad d aliam ſubſtituere poſſumus magis intelligibilem:
nempe ſi putemus operculum E F pondere infinito depreſſum deſcendere
usque in ſitum mn, in quo particulæ omnes ſe tangunt, atque lineam mC
vocemus m, erit D ad d ut 1 ad ∛ m, quâ ratione ſubſtituta, erunt tandem
viresaëris naturalis E C D F & compreſſi e C D fut s{2/3} X (∛s - ∛m) ad 1 - ∛m,
ſeu ut s - ∛mss ad 1 - ∛m. Eſt igitur π = {1 - ∛m/s - ∛mss} X P.
§ 5. Ex omnibus phænomenis judicare poſſumus aërem naturalem
admodum condenſari poſſe, & fere in ſpatiolum infinite parvum comprimi;
facta igitur m = o, fit π = {P/s}, ita ut pondera comprimentia ſint fere
in ratione inverſa ſpatiorum, quæ aër diverſimode compreſſus occupat;
quod multiplex experientia confirmavit. Et poteſt certe hæc regula tuto
accipi in aëre rariore quam eſt naturalis; an vero etiam poſſit in aëre ad-
modum denſiori, non ſatis exploratum habeo: nec dum enim fuerunt ex-
perimenta ea accuratione, quæ hic requiritur, inſtituta: unico opus eſt ad
definiendum valorem litteræ m, ſed eo accuratiſſime inſtituendo & quidem
cum aëre vehementer compreſſo; gradus autem caloris in aëre, dum com-
primitur, ſollicitè invariatus conſervetur.
§. 6. Elaſticitas interim aëris nonſolum à condenſatione augetur, ſed
& ab aucto calore, & quia conſtat calorem intendi ubique creſcente motu par-
ticularum inteſtino, ſequitur, elaſticitatem aëris ſpatium non mutantis auctam,
intenſiorem arguere motum in particulis aëris, quod cum hypotheſi noſtra re-
cte convenit: perſpicuum enim eſt, eo majus requiri pondus P ad continen-
dum aërem in ſitu E C D F, quo majori velocitate particulæ aëreæ agitantur:
lmo non difficile eſt videre pondus P ſecuturum rationem duplicatam iſtius ve-
locitatis, ideo quod ab aucta velocitate tum numerus impetuum tum intenſitas
corundem æqualiter creſcat, utrumq; veroſeorſim proportionale ſit ponderi P.
217203SECTIO DECIMA.
Igitur ſi velocitas particularum aërearum dicatur v, erit pondus, quod
in ſitu operculi E F ſuſtinere valet, = v v P & in ſitu ef = {1 - ∛m - ∛mss} X vvP,
vel proxime = {vvP/s}, quia ut vidimus m numerus admodum exiguus eſt ra-
tione unitatis & numeri s.
§. 7. Iſtud theorema, quod in præcedente paragrapho appoſui, quo
nempe indicatur, in omni æëre cujuſcun denſitatis ſed eodem caloris gradu
prædito elaſticitates eſſe ut denſitates, at{q́ue} proinde etiam incrementa elaſticita-
tum, quæ fiunt à calore æqualiter aucto proportionalia eſſe denſitatibus,
Iſtud, inquam, theorema experientia edoctus fuit D. Amontons idemque re-
cenſuit dans les mémoires de l’Acad. R. des Sc. de Paris pour l’année 1702. Senſusiſtius
theorematis eſt, ſi v. gr. aër naturalis mediocris caloris pondus 100lb. datæ
ſuperficiei impoſitum ſuſtinere valeat, atque deinde calor ipſius augeatur do-
nec 120 lb. eadem ſuperficie eodemque volumine ferre poſſit, fore ut idem
aër in dimidium ſpatium condenſatus, & iiſdem caloris gradibus præditus re-
ſpective ferre poſſit 200 lb. & 240 lb. ita ut incrementa 20 lb. & 40 lb, utrobique
ab aucto calore genita ſint denſitatibus proportionalia. Affirmat porro aëris,
quem vocat temperatum, elaterem eſſe ad elaterem aëris ejusdem cum aqua
bulliente caloris, proxime ut 3. ad 4 vel accuratius ut 55 ad 73. At ego inſtitu-
tis experimentis cognovi aërem calidiſſimum, qualis maxime fervente in hiſce
terris eſt æſtate, tanti nondum eſſe elateris, quantum D. Amontons aëri tribuit
temperato; imo nec ſub ipſo æquatore aërem unquam ejus eſſe caloris mihi
perſuadeo. Meis autem magis fidendum eſſe puto experimentis quam Amon-
tonianis, ideo quod in his aër non conſervarit ſuum volumen ejuſque variatio-
nis nulla ab Auctore habita fuerit ratio in calculo. Aëris qui hic Petropoli frigi-
diſſimus fuit die 25. Decembr. 1731. st. vet. elaterem deprehendi eſſe ad elate-
rem ſimilis aëris, communi cum aqua bulliente calore præditi, ut 523 ad 1000.
Sed anno 1733. d. 21. Jan. multo intenſius fuit frigus eique reſpondere
obſervavi aëris elaſticitatem infra dimidiam ejus quam habet ſimilis aër ad
aquam bullientem calefactus. Sed cum eſſet maximus aëris calor in loco um-
broſo ann. 1731. elaſticitatem habuit proxime {4/3} & accuratius {100/76}, ejus quam
habuit aër frigidiſſimus & {2/3} ejus quam habet aër ejusdem cum aqua
218204HYDRODYNAMICÆ caloris: maximæ igitur caloris variationes in aëre hic locorum continentur
intra terminos 3 & 4, quos in Anglia non ultra terminos 7 & 8 excurrere legi.
Calor autem aëris, cujus elaſticitas tres quartas exæquet partes elaſticitatis aë-
ris inſtar aquæ bullientis calidi, corpori animali fere intolerabilem eſſe puto.
§. 8. Ex cognita ratione inter diverſas ejusdem aëris eodemque ſpatio
incluſi elaſticitates, facile eſt deducere menſuram caloris, qui ad aërem perti-
neat, ſi modo conveniamus in definiendo calore duplo, triplo & c. quæ defi-
nitio arbitraria eſt, neque in rerum natura poſita; mihi quidem videtur non
incongrue aëris calorem ſi communis ſit denſitatis proportionalem ſtatui ejus
elaſticitati. Primus autem caloris gradus, à quo reliqui menſuram accipiant,
ſumetur ab aqua pluviali bulliente, quia huic procul dubio ubique terrarum
idem proxime caloris gradus eſt.
His ita acceptis erunt calores aquæ bullientis, aëris tempore æſtivo cali-
diſſimi & aëris tempore hyemali frigidiſſimi in hiſce terris proxime ut 6, 4 & 3.
Dicam nunc quemadmodum hoſce invenerim numeros, ut de accuratione ex-
perimentorum, quorum ſucceſſus ab Amontonianis diverſus admodum eſt, ju-
dicium ferri poſſit.
§. 9. Barometro nempe uſus ſum ordinario A C B E, (Fig. 57.) id-
11Fig. 57. que hermetice ſigillari curavi in m; hoc modo inſtrumentum mutavi in ther-
mometrum aëreum mutationibus barometricis non obnoxium: Creſcente
enim calore intenditur elaterium aëris A m F altiorque fit columna mercurii
B D, quam aër captus ſuſtinet & ſi ſpatium A m F veluti infinitum cen-
ſeri poſſet, eſſet calor in ratione altitudinis B D (per §. §. 7. & 8.) atque
hujus thermometri ope poterit menſura caloris ubique ſpecifice definiri. Si
enim immergatur inſtrumentum aquæ bullienti pluviali in ſitu verticali obſer-
veturque punctum G ad quod ſuperficies mercurii aſcendit; fueritque dein-
de alius caloris gradus qualiscunque definiendus, qui mercurium ſuſtinuiſſe
ad punctum D usque obſervatus fuerit, erit utique calor iſte ad calorem
aquæ ferventis ut B D ad B G. Et cum ratio B D ad B G conſtans ſit, quæ-
cunque fuerit altitudo B G, erit idem caloris gradus, de quo ſermo eſt,
ubique locorum facile imitabilis. Poterit autem B G in centum aut mille
dividi particulas atque hujusmodi particulis altitudo B D definiri.
219205SECTIO DECIMA.
Nihil dico de modis hujusmodi thermometra ſenſibiliora reddendi; eo-
rum quisque facile excogitabit plures, qui volet. Curetur autem, ut alti-
tudo B E non ſit infra 4 pedes, imo ut major ſit, ſi etiam aliorum fluidorum
bullientium gradus caloris, qui ſæpe major eſt quam in aqua, experiri ani-
mus ſit. Si minora hujusmodi thermometra deſiderentur, poterunt ea ita
fieri, ut tempore ſigillationis in m ampulla vitrea A F igni lampadis appona-
tur ad rarefaciendum aërem in illa contentum, tuncque protinus ſigillatio
fiat, & ne ſigillationi mora injiciatur, poterit prius ampulla vitrea in tubu-
lum capillarem duci, qui vel leviter flammæ admotus illico colliqueſcat. Hoc
modo thermometra obtinui non ultra quatuor aut ſex pollices longa, ſed
parvæ virtutis. Cæterum multum refert, ut ſpatium E D ſit ab omni aëre,
quantum fieri poteſt, vacuum, neque de iſto vacuo ſatis certi erimus cum
viderimus in ſitu inſtrumenti horizontali mercurium extremitatem Eattinge-
re, quia fieri poteſt, ut aër, qui antea in ſpatio E D fuit, ſeſe in poros
mercurii recipiat, rurſusque priſtinum ſpatium occupet deſcendente mercu-
rio: tutius erit examen admovendo partem D E flammæ: ſi enim à calore
flammæ ſuperficies D locum non mutet, indicium erit certum vacuum eſſe ab
aëre ſpatium E D.
§. 10. In præcedente paragrapho conſideravimus ſpatium A m F ab
aëre occupatum veluti infinitum ratione ſpatii D G aut D E: Quod ſi vero
fuerit tantum octuplo vel decuplo majus, nondum licebit illud ſine notabi-
li errore tanquam infinitum conſiderare: atque hinc conjicio ortum eſſe
errorem aliquem in definiendo elatere aëris mediocriter calidi in experimen-
tis Amontonianis.
Ut igitur accuratiſſime fiat experimentum, ita procedendum erit: Fue-
rit ſuperficies mercurii inferior in A F ducaturque horizontatis in A L: dein-
de pro caloris gradu qualicunque definiendo inclinetur inſtrumentum, donec
ſuperficies mercurii ſit in puncto g, (quod idem eſt in quo mercurius ſubſi-
ſtebat à gradu caloris aquæ ferventis in ſitu thermometri verticali) tuncque
capiatur menſura altitudinis verticalis gh, quæ erit ad altitudinem G B vere
ut elater aëris, cujus calor definiendus eſt, ad elaterem aëris inſtar aquæ fer-
ventis calidi. Sic igitur calores erunt proprie in ratione altitudinem gh.
Priusquam hoc argumentum abrumpam, notaſſe conveniet (quandoquidem
aliquibus fortaſſe videbitur primum, qui à nobis poſitus fuit, caloris gradum ab
aqua bulliente deſumtum non ſemper nec ubique ſibi omnino conſtare)
220206HYDRODYNAMICÆ loco caloris aquæ bullientis thermometrum etiam poſſit certis & fixis men-
ſuris fieri, ſi experimento denſitas aëris exploretur ſeu ejus gravitas ſpecifi-
ca ſimulque altitudo barometri notetur. Si enim thermometrum inclinetur,
donec ſuperficies mercurii fuerit in g & eo tempore altitudo barometri fue-
rit 28. poll. Paris. atque pes cubicus aëris, in quo thermometrum poſitum eſt,
pondus habuerit 600. gran. Norimb, poterit altitudo verticalis gh ceu pri-
mus caloris gradus conſiderari. Si autem alio loco & tempore altitudo baro-
metri fuerit 29. poll. Paris. & pondus pedis cub. aëris, qui ambit aliud ther-
mometrum (in quo primum caloris gradum definire animus eſt) ſit 500. gran.
Norimb. ac denique ſuperficies mercurii in thermometro rurſus ſiting, erit
altitudo verticalis primo caloris gradui conveniens {29. 600/28. 500} X gh. In uſu
thermometri inclinetur ſemper inſtrumentum, donec ſuperficies mercurii ſit
ing: Volui methodum hanc apponere ut appareret quam facile ſit in theo-
ria fixam dare caloris menſuram: In praxi vero alteram multo faciliorem
ſatisque accuratam huic prætulerim.
§. 11. Veniamus nunc ad aëris conſiderandam atmoſphæram, quæ
non à ſuperincumbente pondere alieno, ſed propria coërcetur mole: Primè
autem examinabimus preſſiones columnarum aërearum verticalium atque æqui-
libria earum tum inter ſe tum cum columna mercuriali in barometris: Secundò
elaſticitates aëris in variis atmoſphæræ altitudinibus ſupra mare atque altitudi-
nes reſpondentes barometricas rimabimur: Atque his præmiſſis, plurimis ſa-
tisfaciemus phænomenis aliis ad mutationes atmoſphæræ pertinentibus.
§. 12. Sint duo tubi æqualis amplitudinis verticales A C & B D
(Fig. 58.) uterque indefinitæ altitudinis: Deinde finge tubulos ſtrictiores ho-
11Fig. 58. rizontales ab, cd, ef, gh, lm, & c. numero veluti infinitos, utrinque apertos &
hiantes in tubos verticales. Puta præterea ubique aëreas particulas hos tubos
occupantes eadem velocitate agitari, eundemque adeo caloris gradum habe-
re: Ita dubium nullum eſt, quin funda A & B æqualiter premantur ſimulque
ipſis æquale pondus (quod ſcilicet ipſum eſt pondus columnæ aëreæ indefini-
tæ A C vel B D) ſuperincumbat.
Intelligis etiam, ſi in æqualibus altitudinibus veluti in g & h diaphrag-
mata fingas atque abeſſe putes aërem inferiorem g A & h B, etiamnum iſta
221207SECTIO DECIMA. phragmata utrinque æqualiter premi & æqualia eſſe pondera columnarum aë-
rearum g C atque h D diaphragmatibus ſuperjacentium. Siigitur pondus totius
columnæ aëreæ A C vel B D dicatur A, & pondus columnæ aëreæ g C vel h D
ponatur B, erit pondus aëris inter A & g ſive B & h intercepti = A - B, pon-
dus fundo A vel B ſuperjacens = A, & pondus diaphragmatiing vel h incum-
bens = B.
§. 13. At ſi inæquali velocitate in tubis A C & B D particulæ agitentur,
res alia erit: tamen quæcunque fingatur velocitatum & calorum in ſingulis lo-
cis diverſitas, patet nihilominus utrobique æqualiter preſſum iri partes tubi
in eadem altitudine poſitas, velutiing & h, atque proinde diaphragmata, ſi
fingantur utrobique in eadem altitudine poſita, æqualem preſſionem ſuſtentu-
ra eſſe. Si enim dicas minorem eſſe preſſioneming quam in h, nihil erit
quod fluxum aëris ex B D in A C per tubulum tranſverſum hg impediat, ſicque
iſta poſitio contra ſtatum permanentiæ, quem ſupponimus, pugnabit.
Cum itaque loca in eadem altitudine poſita æqualiter à ſuperincumben-
te aëre premantur, erunt (p. §. 6.) denſitates in locis homologis quibuſcun-
que, velutiing & h, proxime in reciproca ratione quadrata velocitatum, quibus
in illis locis particulæ agitantur.
§. 14. Conſequens eſt ex præcedente paragrapho, ubique locorum
eandem eſſe aëris preſſionem in æqualibus à ſuperficie maris altitudinibus, ſi
atmoſphæra in ſtatu permanente æquilibrii poſrta nulliſque agitata ventis pute-
tur, quæcunque fuerit caloris differentia in diverſis atmoſphæræ partibus: Igi-
tur ubique terrarum ſub æquatore & ſub polo eadem ſit oportet altitudo mer-
curii in barometris, quæ in ſuperficie maris aut in æqualibus ſuper illam alti-
tudinibus poſita ſunt, ſi atmoſphæra nullis obnoxia ſit mutationibus. Pono
autem aquas à ſuperficie maris terminatas ad commune æquilibrium eſſe poſi-
tas, non quod id omnino neceſſe ſit, ſed quod nulla adhuc obſervata fuerit
differentia: imo curſus (les courans) aquarum in multis oceani locis, qui ad
eandem perpetuo diriguntur plagam, hanc hypotheſin non omni rigore ac-
cipiendam eſſe oſtendunt.
§. 15. Jam notavi denſitatem aëris in quovis tuborum verticalium loco
pendere à calore reſpondente: Et cum diverſi eſſe poſſint caloris gradus
222208HYDRODYNAMICÆ nente æquilibrio, diverſæ quoque eſſe poterunt denſitates: ponantur itaque
denſitates in g = D, in h = δ; finganturque utrobique duo ſtrata altitudinis
æqualis & infinitè parvæ dx, poſita altitudine A g vel B h = x: Ita erit pon-
dus columnæ aëreæ A g = ſD dx & columnæ B h = ſδdx: atque hoc mo-
do poterit tum integræ columnæ tum cujusvis partis pondus definiri: Interim
apparet, minime requirere rei naturam, ut ſint pondera columnarum A C
& B D vel A g & B h vel denique g C & h D inter ſe æqualia, quamvis (per
§. 13.) preſſiones tam in funda A & B quam in diaphragmatr g & h ſint inter
ſe æquales; mirum id primo intuitu quibusdam fortaſſe erit, fieri poſſe ut
fundum A aliam ſuſtineat preſſionem quam eſt pondus columnæ aëreæ inde-
finitæ A C ei ſuperincumbentis, quandoquidem omnibus in ſtatu ſuo perma-
nentibus, ut fere videtur, concipi poſſint orificia a, c, e, g, & c. ſingula
obturata, quo ſane in caſii dubium nullum eſt, quin preſſio fundi A ſit ip-
ſum columnæ aëreæ ſuperjacentis pondus: hunc vero ſcrupulum ſibi quisque
eximet hunc in modum: fingamus utramque columnam terminatæ altitudi-
nis (quamvis enim ſine fine aſſurgant quamdiu particulæ motum aliquem ſer-
vant, attamen terminatæ erunt, ſi eædem particulæ in ſuprema columnarum
parte motu deſtitutæ ſint, ſicque ſimplex fluidum grave omni elaſticitate de-
ſtitutum efficient) hoc poſito apparet 10. columnam utramque ad commu-
nem aſſurgere altitudinem apertis tubulis transverſalibus, qui ubique adſunt.
20. ſuprema ſtrata utrobique eſſe æque denſa, quia ſunt ad æquilibrium po-
ſita & communem habent altitudinem. Ex hoc jam obvium eſt, quare non
liceat tubulos transverſales conſiderare ceu obturatos, quod oſtendere con-
ſtitui. Perſpicuum quoque eſt exſe, preſſiones ubique proportionales eſſe
ponderi ſupremi ſtrati, ex quo conſequens eſt, quod jam §. 13. indicatum
fuit, preſſiones ab utraque parte æquales inter ſe eſſe ſub æqualibus altitudi-
nibus. Si jam columnæ nusquam terminatæ ſint, licebit mente ultima con-
cipere ſtrata aut ſub æqualibus altitudinibus diaphragmata fingere utrobique
æquali pondere onerata, ſic ut nihil vi demonſtrationis inde decedat.
§. 16. Igitur quum in barometro ex loco humiliori veluti A in altiorem
g transportato mercurius deſcendit, non ſequitur pondus columnæ mercu-
rialis, quæ in barometro deſcendit æquale eſſe ponderi columnæ aëreæ ejus-
dem diametri & altitudinis A g, qnod ab aliquibus ita aſſeritur. Et profe-
cto cæteris paribus columna mercurii deſcendens eadem erit tam
223209SECTIO DECIMA. hyemali quam æſtivo cum ex ſententia illa deberet tempore calido eſſe mi-
nor, quam tempore frigido: Eadem quoque erit in locis meridionalibus & ſep-
tentrionalibus.
Patet exinde quid cenſendum ſit de illa methodo, qua in Anglia ali-
quando uſos eſſe recenſet D. Du Hamel in hiſt. Acad. Sc. Pariſ. ad indagandam ra-
tionem inter gravitates ſpecificas aëris & mercurii: Obſervata nimirum altitu-
dine mercurii in loco humiliori, tum etiam in altiori, gravitates ſpecificas in
aëre & mercurio ſtatuerunt, ut erat differentia altitudinum mercurii in baro-
metro ad altitudinem inter locos obſervationum interceptam: Etiamſi aër
ejuſdem denſitatis ponatur ab imo obſervationis loco ad alterum uſque, non li-
cet tamen inde judicare de ejus gravitate ſpecifica ratione mercurii. Quicquid
ab experimento colligere licet, hoc ſolum eſt:
Conſideremus ſcilicet integram cruſtam aëream terram ambientem at-
que inter ambo obſervationis loca interceptam, & erit pondus iſtius cruſtæ
ad ſuperficiem terræ, ut pondus columnæ mercurialis, qualis in barometro
deſcendit ad baſin ejus; Manifeſta hæc ſunt ex eo quod ſumma baſium A & B
ſuſtinent quidem ſummam ponderum, quæ habent columnæ aëreæ A C & B D,
neque tamen quævis baſis premitur ſuæ columnæ pondere ſeorſim, & quod
idem reſectis columnis A g & B h intelligi debet de columnis g C & h D, dia-
phragmatis in g & h poſitis, incumbentibus. Igitur experimentum non tam
gravitatem ſpecificam aëris, in quo factum eſt, indicat quam omnis aëris terræ
proximi gravitatem ſpecificam mediam determinat; prior admodum variabilis
eſt, altera procul dubio conſtanter eadem fere permanet.
Faciamus computum gravitatis ſpecificæ iſtius mediæ aëris omnis, quiter-
ram ambit: Multis vero experimentis, quæ in diverſis locis parum ſupra mare
elevatis ſumta fuerunt, id conſtat, elevationi 66 pedum proxime deſcenſum
reſpondere unius lineæ in barometro. Sequitur inde, quod aëris gravitas ſpe-
cifica media ratione mercurii ſit, ut altitudo unius lineæ ad altitudinem 66. ped.
id eſt, ut ut 1 ad 9504; ergo poſita gravitate ſpecifica mercurii = 1, erit
gravitas ſpecifica media aëris = 0, 000105. Notabile eſt profecto tantam
eſſe hanc gravitatem mediam aëris: certus enim ſum vel maxime ſæviente hic
locorum frigore, aëris gravitatem ſpecificam vixdum tantam eſſe, quantam
nunc exhibuimus pro ſtatu medio omnis aëris terram ambientis: at ſub
224210HYDRODYNAMICÆ tore multo erit minor & omnibus recte perpenſis non crediderim gravitatem me-
diam aëris, qui inter utramque latitudinem 60. gr. continetur, ultra 0, 000090
excurrere; quo poſito erit gravitas media aëris ab utroque polo ad 30. gradus,
terram cingentis, (quod ſpatium paullo pluſquam octavam totius terræ ſuper-
ficiei efficit partem) = 0, 000210, quæ dupla eſt aëris hic locorum denſiſſi-
mi: ſub ipſo autem polo, præſertim antarctico admodum gravior erit aër &
fortaſſe aqua vix decies levior, cum eſt frigidiſſimus atque denſiſſimus.
§. 17. Veniamus nunc ad mutationes tum atmoſphæræ tum barometri:
Conſiderabimus ergo duo barometra utrobique in imo aëris loco poſita, alte-
rum in A, alterum in B, & in utroque mercurium ad eandem altitudinem ſu-
ſpenſum ponemus: Poſtea in A ſubito aërem admodum calefieri fingamus: Ita
videmus fore, ut idem aër rarefiat: neque tamen inde ulla barometri mutatio
proditura eſſet, ſi nullam aër haberet inertiam ad motum, etiamſi omnis aër
ex A C in B D tranſpellatur: poſita autem iſta inertia ſupervenit quædam preſ-
ſio in omnes plagas eaque maxime ſenſibilis in regione A. Creſcet igitur ad
tempus altitudo mercurii in utroque barometro, magiſque creſcet in A quam
in B. Contrarium erit, ſi extemplo magna quædam aëris maſſa barometro A
vel B vicina à frigore condenſetur.
§. 18. Hæc unica videtur cauſa, quæ aliquam in barometris in A vel
B poſitis, efficere poſſit mutationem, quia hâc remotâ funda A & B ſemper
æqualiter premuntur, nempe unuſquiſque pondere, quod ſit dimidium co-
lumnarum aërearum A C & B D ſimul ſumtarum, quæ quidem ponderum
ſumma conſtans eſt. Si hæc ad atmoſphæram applicare velimus, notandum
eſt funda A & B repræſentare loca ima atmoſphæræ, quæ quidem in ſuperficie
terræ poſita forent, ſi aër terræ viſcera penetrare nequiret: quia vero res ſecus
ſe habet, erunt loca fundis A & B analoga intra ſuperficiem terræ cenſenda.
§. 19. Putentur nunc barometra in g & h poſita; ſitque in ambobus
mercurius ad eandem altitudinem ſuſpenſus: his poſitis cauſa fingatur ſuper-
venire, qua columna A g ſive ſola ſive conjunctim cum ſocia B h calefiat atque
ſeſe expandat. His perſpicuum eſt, ſi vel nulla aëris ſit inertia fore, ut preſ-
fiones aëris in g & h creſcant, quia his locis major nunc aëris quantitas ſuper-
eminet quam antea; acceſſit nimirum pondus omnis aëris, qui ex A g & B h à
calore fuit ſurſum propulſus. Atque ut hæc ſymbolis indicemus, faciemus
225211SECTIO DECIMA. dus columnæ A g, antequam novus caloris gradus ſuperveniret, = A, alte-
rius B h = α, pondus columnæ g C = B, columnæ h D = β: pondus co-
lumnæ A g rarefactæ = C, pondus columnæ B h itidem rarefactæ = γ: al-
titudo mercurii in g ante expanſionem aëris A g & B h = l, altitudo ſimilis
poſt iſtam expanſionem = x & habebimus hanc analogiam
B + β: l: : B + A - C + β + α - γ: x: unde eſt
x = {B + A - C + β + α - γ/B + β}l.
Igitur aſcendet mercurius ab rarefacto aëre inferiore per altitudinem
x - l = {A - C + α - γ/B + β} l = (poſitis omnibus in utroque tubo paribus) {A - C/B} l.
Refrigeſcente autem rurſus aëre in A g & B h iterum deſcendet mercu-
rius in utroque barometro.
Notandum hic eſt, poſſe hoc modo à parvula caloris mutatione in A g
atque B h notabilem oriri in barometro variationem ob inſignem aëris denſi-
tatem in partibus inferioribus, qua fieri poteſt, ut in parte A g multo plus
aëris contineatur (imo infinities, ſi aër vi infinita preſſus in infinitè parvum
ſpatium condenſari ponatur) quam in reliqua g C, etiamſi longitudine infini-
ta. Unde ſi pondus A admodum majus ſit pondere B, ſimulque manente
cauſa aërem rarefaciente, pondus C datam ſervet rationem ad A, quod ita
fere fit, apparet aſcenſum mercurii à minimo caloris gradu ſuperveniente in
A g poſſe utcunque magnum eſſe.
Equidem ſi fingatur, partes A g & B h ſtrictiores admodum eſſe præ
amplitudinibus in g C & h D, intelligitur variationes barometi ab aucto di-
minutove caloris gradu in A g & B h ita fieri minus notabiles, quia ponde-
ra A & α ipſaque C & γ prioribus proportionalia hocmodo decreſcunt; atta-
men variationes barometricæ, quæ ab hac cauſa proveniant, etiamnum ut-
cunque magnæ concipi poterunt.
§. 20. Hæc dum ita perpenduntur, veriſimile fit variationes barome-
tricas maxima parte petendas eſſe à celeribus caloris mutationibus in cryp-
tis ſubterraneis. Multas eſſe eaſque permagnas hujuſmodi cryptas jam diu
notum eſt: in terra etiam ſolida pori facere poſſunt quod cryptæ: ſi om-
nes cavitates (tum quæ à cavernis, tum quæ à poris aërem continentibus
226212HYDRODYNAMICÆ mantur) ad altitudinem infra ſuperficiem terræ 20000. aut 30000. pedum col-
ligas earumque capacitatem compares cum ſoliditate cruſtæ terreſtris ejuſ-
dem altitudinis, hancque vel millies aut centies millies altera majorem ponas,
erit profecto etiamnum ſufficiens cauſa iſta ad maximas barometri mutatio-
nes explicandas. Hæc ut puto ex præcedente paragrapho unicuique perſpi-
cua erunt.
Cæterum loca quæ ſunt cryptis propiora, ea magis & ventis & baro-
metri mutationibus erunt obnoxia, ob aëris ad motum inertiam, quæ for-
taſſe ratio eſt, quod verſus æquatorem, ubi omnia fere pontus, minores
variationes in barometro obſerventur quam in locis hiſce ſeptentrionalibus.
§. 21. Ex eodem fonte deducitur, aliquid etiam ad variationes baro-
metricas conferre poſſe exhalationes aqueas ex terræ poris: ſed certe parum
id erit: ſi enim tantum aquæ vapores ſuppeditarint, quantum maxima plu-
ria decidere poteſt, vix inde unica linea mercurius aſcendet in barometro,
præterquam quod hæc cauſa non ſit ita celeris, quin illius effectus in totam
atmoſphæram ſimul fere diſtribuatur, atque ſic pro certo quodam loco to-
tus evaneſcat. Si enim totam conſideramus Atmoſphæram, quæ terram am-
bit, animadverti certe non poterit eſſe eam vaporibus nunc minus nunc ma-
gis oneratam. Equidem rationem §. 20. expoſitam omnibus reliquis prætu-
lerim, magnas enim & celeres in terræ viſceribus fieri poſſe mutationes indi-
cant terræ motus, qui ſæpe ad centum usque milliaria eodem tempore ſen-
tiuntur, & alia hujuscemodi phænomena.
Ad mutationes barometricas explicandas imprimis requiritur cauſa quæ-
dam ſubita; jam enim monui lentas in integram diſtribui aëris maſſam nul-
liusque eſſe effectus, idque demonſtravi §. 14. Atque hanc ob cauſam parvi
faciendas eſſe mutationes, quæ immediate fiant in atmoſphæra ſupra terræ
ſuperficiem.
§. 22. Et hæc videtur pariter cauſa quod luna, quæ tantæ eſt efficaciæ
ad oceani aquas agitandas, nullum, qui obſervationibus diligentiſſimis ob-
ſervari potuerit, effectum exerat in barometrum: ſique cauſæ etiam reli-
quæ, quæ mutationem aliquam alicubi in Atmoſphæra producere valent
paullatim agerent, foret procul dubio in omnibus locis à ſuperficie maris æque
diſtantibus eadem conſtanter mercurii altitudo ad ſenſus. Hæc altitudo
227213SECTIO DECIMA. vocari poteſt & proxime determinabitur eo modo quo uſus eſt Joh. Jacobus
Scheuchzer, obſervando quotidie altitudinem barometricam per longum
temporis tractum ſumendoque inter omnes mediam.
Atque hâc circumſpectione uſus celeberrimus Auctor ex multis obſerva-
tionibus, quæ ad ipſum ex pluribus transmiſſæ fuerunt locis, poſuit altitu-
dinem mediam.
11
Patavii ------ # 27 poll. 11 {1/2} lin. Pariſ.
Pariſiis ------ # 27 poll. 9 {1/2} l.
Turini ------ # 27 poll. 1 {1/4} l.
Baſileæ ------ # 26 poll. 10 {1/8} l.
Tiguri ------ # 26 poll. 6 {1/2} l.
In monte Gothardi - # 21 poll. 27 {1/2} l.
§. 23. Diverſitates iſtarum altitudinum mediarum ab inæqualibus loco-
rum ſupra mare elevationibus provenire notum eſt. Jam enim Paſcalii tempo-
re experimenta ſumta fuere de deſcenſu mercurii in barometro ex loco profun-
diori in altiorem lato. Inde Philoſophi in mutuam cauſæ & effectus propor-
tionem inquirere: Diverſæ in hanc rem variis auctoribus prodiere regulæ:
Præcipua, cui etiamnum plurimi adhærent, hæc eſt, quod altitudines loco-
rum proportionem ſequantur logarithmorum, qui altitudinibus barometri re-
ſpondent. Fundata eſt hæc regula præcipue ſuper eo, quod denſitas aëris ubi-
que proportionalis ſit ponderi aëris ſuperincumbentis: male autem hic appli-
catur iſtud principium, quod pro aëre ejuſdem caloris tantum valet, neque
res certa eſt in omni altitudine aëris, quamvis in eadem columna verticali exi-
ſtentis; ſi vero ita ſit, calorem æqualem eſſe, fatendum eſt, ſic ſatis recte regu-
lam ſe habere.
At experimenta regulæ plane ſunt contraria; igitur non eſt ubiquè idem
caloris gradus per totam columnæ aëreæ verticalis altitudinem, quod ut nunc
planum faciam, apponam experimenta quædam accurate, ut mihi perſuadeo,
inſtituta, ſed tamen, quod doleo, diverſis temporibus lociſque: magis utique
inſtituto noſtro convenirent experimenta eodem tempore in eodemque mon-
te, diverſis tantum altitudinibus, ſumta; talia autem, niſi pro mediocribus
locorum altitudinibus, nulla adhuc quantum ſcio extant cum omnibus quæ
ſcire oportet circumſtantiis.
228214HYDRODYNAMICÆ
(I) In altitudine 1070 ped. Pariſ. à ſuperficie maris barometrum deſcen-
dit 16 {1/3} lin. cum in ſuperficie maris altitudinem teneret 28 poll. 4 {2/3} lin. (alii po-
nunt ſimpliciter 28 poll. in ſchedis autem quas D. De Lisle mecum communi-
cavit habetur 28 poll. 4 {2/3} lin.) . Igitur poſita elaſticitate aëris in ſuperficie ma-
ris, uti deinceps ſemper ponam, = 1; inventa fuit elaſticitas in loco ſuperiori
quam deſignabo per E = 0, 9520.
(II) In altitudine à ſuperficie maris 1542 ped. Pariſ. deſcendit Mercurius in
barometro 21 {1/2} lin. qui in mari ad altitudinem 28 poll. 2 lin. ſuſpenſus hæſit: hic
igitur fuit E = 0, 9364.
(III) In altitudine montis Pici ſuper Inſula Teneriffa 13158 ped. Pariſ. à ſu-
perficie maris ſtetit mercurius ad altitudinem 17 poll. 5. lin. dum in ſuperficie
maris teneret altit. 27 poll. 10 lin. unde eo in loco fuit E = 0, 6257.
(IV) Si in minoribus altitudinibus accurate deſcenſus Mercurii obſer-
ventur, reperitur deſcenſum unius lineæ reſpondere altitudini 65 aut 66 ped.
Igitur in altitudine 65 ped. eſt E = 0, 9970. Extant paſſim hæ obſervationes:
tertiam autem habeo à Dno. De Lisle fuitque à R. P. Feuillée inſtituta atque co-
ram Societate Reg. Scient. Pariſ. prælecta: eſtque illa ſcopulus, ad quem omnes,
quæ adhuc lucem aſpexerunt, theoriæ illidunt.
§. 24. Ut jam pateat, quouſque hæc cum poſitione logarithmicæ,
ceu ſcalæ altitudinum elaſticitatibus reſpondentium conveniant, ponemus al-
titudinem loci à ſuperficie maris certo numero pedum Pariſinorum definien-
dam = x: elaterem aëris in ſuperficie maris deſignabimus per 1, & elaterem
aëris in altitudine x ponemus = E. Notetur autem atmoſphæram nunc nobis
conſiderari invariatam aut ſaltem ſibi conſtanter ſimilem, ita ut elateres aëris
in ſuperficie maris & in altitudine quacunque x conſtantem ſervent rationem.
Si enim admodum inæqualiter in diverſis atmoſphæræ altitudinibus, nulla ſer-
vata proportione elateres inconſtantia temporis mutentur, ſane nulla excogi-
tari poterit regula. His præmiſſis ponamus nunc æquationem α log. E = x ubi
coëfficiens α unica determinabitur obſervatione: utamur obſervatione prima
& erit α log. 0, 9520 = 1070, hincque α (ſecundum logarithmos Vlacquia-
nos) = - 50194. Igitur pro hoc negotio, ſi logarithmica ſatisfacere de-
beat, ponendum eſſet - 50194 log. E = x, ſive log. {1/E} = {x/50194}:
229215SECTIO DECIMA. hujus autem æquationis normam, ſi ponatur pro ſecunda obſervatione
x = 1542, invenitur E = 0, 9317, ipſa autem obſervatio indicat E = 0,
9364: differentia inter hypotheſin & obſervationem eſt plus quam ſeſquilineæ,
quæ ſane notabilis eſt reſpectu habito ad differentiam parvam altitudinum ver-
ticalium.
Si jam porro pro tèrtia obſervatione ponatur x = 13158, fit ex hypo-
theſi E = 0, 5469, dum experimentum indicavit E = 0, 6257: quæ diffe-
rentia nimia eſt, quam ut ullo modo logarithmica ſervari poſſit: valet enim
hæc differentia plus quam duos pollices cum duabus lineis.
§. 25. Rejecta logarithmica conſequens eſt elaſticitates in diverſis at-
moſphæræ altitudinibus nequaquam eſſe denſitatibus proportionales, aut quod
eodem recidit, diverſum eſſe in diverſis altitudinibus medium caloris gradum.
Aliæ igitur ab aliis, quibus defectus iſte probe fuit notatus, fuerunt excogita-
tæ regulæ: earum tamen nulla ad experimentum III. (§. 23.) ſatis accommo-
data dici poteſt. Veram, quam natura ſequatur, legem invenire, rem eſſe pu-
to vix ſperandam: quis enim aliter quam levibus conjecturis aſſequetur@ ra-
tionem velocitatum mediarum in particulis aëreis: Incidi tamen forte in ali-
quam hypotheſin, quæ phænomenis non male reſpondet: prius autem pro
quacunque velocitatum lege curvam dabo, quam ad ſpecialem iſtam hypothe-
ſin deſcendam.
§. 26. Sit linea verticalis A D (Fig. 59,); Q F horizontalis radat ſu-
11Fig. 59. perficiem maris: Denotet B F velocitatem mediam particularum aërearum in
ſuperficie maris: B M denſitatem mediam & B Q elaſticitatem, quæ in omni
loco æque alto eadem eſt. Deinde per puncta F, M, Q ductæ concipiantur
curvæ E F H, L M O, P Q S ceu ſcalæ, quæ in omnibus altitudinibus, veluti
B C, applicatis C G, C N, C R denotent velocitates medias particularum aë-
rearum, denſitates medias & elaſticitates medias. Datis nunc duabus curvis ter-
tiam licet determinare ex eo, quod elaſticitates (ceu experientia docuit &
§. §. 3. 4 5. & 6. explicatum fuit) ſint proxime in ratione compoſita ex qua-
drato velocitatum modo dictarum & ſimplici denſitatum.
Ipſe quidem monui prædicto loco hanc proportionem non poſſe exa-
cte eſſe veram, quia aër quidem elaterem poteſt habere infinitum ſeu vi in-
finita comprimi, non poteſt autem in ſpatium plane infinite parvum
230216HYDRODYNAMICÆ ſari: quia tamen in aëre qui ſit naturali vel quadruplo denſior, hæc proprie-
tas, quod nempe elaſticitates ſint in ratione compoſita ex quadrato velocita-
tum particularum & ſimplici denſitatum experimentis etiamnum ad ſenſus
omnino reſpondere viſa fuit, illa ſine ullo ſenſibili errore uti poterimus
pro aëre naturali atmoſphæræ mari incumbentis, ſiquidem eo accuratius
vera ſit quo rarior eſt aër.
His ad calculum præparatis ponemus B F = a, B M = b, B Q = c,
B C = x, C c = dx; C G = v, C N = z, C R = y, & erit y: c = vvz:
aab ſeu y = {cvvz/aab}. Quia porro elaſticitatis menſura eſt pondus ſuperin-
cumbentis aëris, erit q R (- dy) = ponderi ſtrati aërei intercepti inter C &
c, quod proportionale eſt aëris denſitati z & altitudini ſtrati dx: eſt igitur
- dy = {zdx/n} ſeu z = {- ndy/dx}, quo valore ſubſtituto in æquatione
(y = {cvvz/aab}) habetur y = {cvv/aab} X {- ndy/dx} vel
- {dy/y} = {aabdx/ncvv}.
§. 27. Si ponatur velocitas particularum aërearum in omni altitudine
eadem, nempe = a, fiet {- dy/y} = {bdx/nc}, vel, facta debita integratione,
log. {c/y} = {bx/nc}; Iſtam vero hypotheſin non ſatis experimentis confirmari vi-
dimus §. 24. Igitur alia tentata, poſui v = √(aa + mx) vel vv = aa + mx,
quæ lex eſt in motibus corporum libere cadentium: neque id ſine ſucceſſu;
ita vero fit
{- dy/y} = {aabdx/naac + mncx}
vel log. {c/y} = {aab/mnc} log. {aa + mx/aa}.
In hac æquatione paullo generaliori in qua m & n etiamnum arbitra-
riæ ſunt, porro periculum feci, num non poſſet poni {aab/mnc} = 1, atque id
etiam apte fieri vidi: ſic vero obtinui
log. {c/y} = log. {aa + mx/aa} vel {c/y} = {aa + mx/aa} aut {y/c} = {aa/aa + mx}.
231217SECTIO DECIMA.
Indicat iſta hypotheſis eſſe elaſticitates aeris ubique in ratione reciproca qua-
drata velocitatum, quibus particulæ aëreæ agitantur, ſive eſſe C R ad B Q
ut B F² ad C G², atque cum E F H ex hypotheſi parabola eſt ſuper axe
A D verticem habens infra punctum B ad diſtantiam {aa/m}, ſequitur eſſe cur-
vam P Q S hyperbolam; Dictam vero diſtantiam {aa/m} ſumendam eſſe = 22000
pedum animadverti, ut obſervationibus §. 23. proxime ſatisfiat. Inde talis
jam prodit æquatio ſpecifica
{y/c} = {22000/22000 + x}.
Pro curva vero LMO invenitur {z/b} = (per §. 26.) {aay/cvv}, ſeu
(quia {aa/vv} = {22000/22000 + x} = {y/c}) prodit poſt hanc ſubſtitutionem
{z/b} = ({22000/22000 + x})2.
§. 28. Ut appareat, quousque hypotheſis noſtra conveniat cum expe-
rimentis §. 23. ponemus in æquatione pro elaſticitatibus ſucceſſive pro x,
1070; 1542; 13158, & 65; ita invenitur reſpective {y/c} = o, 9536;
{y/c} = o, 9345; {y/c} = o, 6257, atque {y/c} = o, 99705: obſervatio-
nes autem indicant {y/c} = o, 9520; {y/c} = o, 9364; {y/c} = o, 6257,
atque {y/c} = o, 9970. Obſervatio tertia aliis hypotheſibus inimiciſſima
cum noſtra plane conſpirat, nec reliquæ plusquam o, 0019 particulis diſ-
ſentiunt, quæ in altitudine barometri tres quintas unius lineæ partes valent.
Nemo autem qui expertus fuerit, quam vagæ & parum inter ſe conſentien-
tes fuerint obſervationes barometricæ, tantillam differentiam admodum cu-
rabit. Ipſe interim hanc rem non aliter quam hypotheſin precariam conſi-
dero, neque aliam ob cauſam calculum §. §. 26. & 27. præmiſi, quam ut
rationem darem, quâ fieri poſſit ut altitudines verticales non reſpondeant
logarithmis altitudinum barometricarum, prouti deberet fieri, ſi per totam
atmoſphæram uniformis eſſet calor: inſtituto enim calculo factaque compa-
ratione ejus cum experimentis mihi videre viſus ſum, non poſſe rem hanc
232218HYDRODYNAMICÆ diverſa particularum aërearum gravitatione in diverſis à centro terræ diſtantiis
ſufficienter explicari, prouti Newtonus tentavit ſtatuendo gravitationes ha-
rum particularum decreſcere in ratione quadrata diſtantiarum à centro terræ,
quæ hypotheſis in altitudinibus 13000 pedes Pariſ. non excurrentibus ſenſibi-
lem differentiam non efficit ab hypotheſi uniformis gravitationis. Similiter
ego aliquando incidi in opinionem auctam vim centrifugam particularum
aërearum in majoribus altitudinibus aliquid hic contribuere poſſe; at pariter
inſtituto calculo opinioni huic non amplius adhæſi. Interim non puto, ab-
ſurdum eſſe, ſi dicamus calorem aëris medium eo majorem eſſe, quo ma-
gis à ſuperficie maris diſtet. Velim autem ut probe notetur, hic ſermonem
eſſe de calore medio in libera atmoſphæra: ſic enim fieri poteſt, ut calor realis
quidem in montibus non creſcat ex cauſis aliis, nec tamen inde hypo-
theſis evertatur, quandoquidem §. §. 15. & 16. jam demonſtratum fuerit,
pondus columnæ mercurii in barometro non præciſe cenſendum eſſe æquale
ponderi columnæ aëreæ in illa regione fumtæ, ſed ponderi medio omnium
columnarum terræ inſiſtentium: De diverſis denſitatibus itaque ſic ſentio.
§. 29. Si æqualis eſſet ubique calor, forent utique denſitates elaſticita-
tibus ad ſenſus proportionales, reſponderentque altitudines verticales loga-
rithmis altitudinum barometricarum: At vero id experimentis repugnare po-
no: neque tamen crediderim in duobus locis parum à ſe invicem diſſitis no-
tabilem intercedere poſſe caloris differentiam, quia calor in corpore rariore
ut eſt aër, mox uniſormiter diſtribuitur, niſi perpetua adſit cauſa, quæ aërem
vicinum calefaciat.
Alia autem res eſt in locis remotioribus, nec enim abſurdum puto aë-
rem vel decies denſiorem ſtatuere ſub polis, quam ſub æquatore, ſi modo
aër utrobique accipiatur ſuperficiei terræ proximus; at in magnis altitudini-
bus minor utique erit differentia inter denſitatem aëris qui polis & ejus qui
æquatori reſpondet cæteris paribus, & propterea inæqualiter admodum
decreſcent à ſuperficie terræ denſitates aëris & multo magis decreſcent ſub
polis quam ſub æquatore: hoc igitur modo fieri poſſet, ut ſub polis denſitates
aëris reales in parvis altitudinibus v. gr. decreſcant in ratione ut (22000 + x)4
ad 220004 ob auctum calorem, & ſub æquatore vix ſenſibiliter decre-
ſcant, ob diminutum calorem, quæ caloris diminutio prope
233219SECTIO DECIMA. confirmatur ex eo quod culmen montis Pici per decem fere menſium ſpa-
tium ſit nive obtectum, dum in ipſa Teneriffæ inſula nunquam ut ferunt
ningit. Igitur non abſurde denſitates mediæ cenſeri poſſunt diminui in ratio-
ne ut (22000 + x)2 ad 220002, ut §. 27. aſſumtum fuit; dum elaſtici-
tates ubique decreſcant in ratione ut 22000 + x ad 22000; neque enim hæ
in iisdem à ſuperficie terræ altitudinibus differre poſſunt, niſi à cauſis fortuito
ſupervenientibus & parum durantibus.
§. 30. In terris, quæ intra quadrageſimum & ſexageſimum latitudi-
nis gradum continentur, probabile eſt denſitates in eadem proxime ratione
decreſcere qua elaſticitates; hancque ob rationem volui periculum facere,
quænam inde refractionum theoria oriatur, qua de re nunc quædam adjiciam.
Digreſsio de refractione radiorum per atmoſphæ-
ram transeuntium.
(α) Proprietas eſt notiſſima radiorum ex uno medio in aliud inciden-
tium eaque innumeris experimentis confirmata, quod angulus incidentiæ ad
angulum refractionis conſtantem ſervat rationem: præterea etiam patet,
ſi refractio fiat infinite parva, id eſt, ſi differentia utriusque ſinus rationem
habeat infinite parvam ad alterutrum ſinum, fore ut ſinus anguli, qui inter-
cipitur inter radium incidentiæ prolongatum & radium refractum, eandem
habeat rationem ad ſinum totum, quam habet differentia ſinuum angulo-
rum incidentiæ & refractionis ad coſinum anguli incidentiæ. Illum vero,
quem modo allegavi, angulum interceptum inter radium incidentiæ prolon-
gatum & radium refractum, deinceps vocabo angulum refractionis differentia-
lem. Exinde ſequitur, quod ſit cæteris paribus ſinus anguli refractionis differen-
tialis proportionalis ſinui anguli incidentiæ diviſo per coſinum ejusdem anguli.
(β) Experimenta porro docent, ſi radius ex aëre in aërem diverſæ ab
altero denſitatis incidat, eſſe angulum refractionis differentialem cæteris pari-
bus differentiæ denſitatum proportionalem.
Experimenta autem hanc in rem, quantum fieri poteſt, ſumta fuerunt
à D. Hauksbée, accuratiſſime, tum de aëre admodum condenſato,
234220HYDRODYNAMICÆ etiam de aëre rariſſimo, qui tandem pro nullo haberi poterat: modus quo
inſtituta fuerunt deſcribitur in transactionibus Anglicanis: Succeſſus autem om-
nium experimentorum huc redit, ut arguant fuiſſe ſinum anguli refractionis
differentialis ad ſinum totum ut 5 {1/8} pollices ad 2588. pedes, cum radius inci-
deret ex aëre naturali in ſpatium ab aëre vacuum ſub angulo triginta duorum
graduum, id eſt, ut 1 ad 6060 & iisdem poſitis, mutato angulo triginta
duorum graduum in ſemirectum, ut 1 ad 3787 (per §. a). Inde deducitur,
ſi radius ex aëre naturali in vacuum ſub angulo quocunque incidat, eſſe ſi-
num anguli incidentiæ ad ſinum anguli refractionis ut 3787 ad 3786.
Neutonus loco hujus rationis aſſumit in tract. ſuo optico illam, quæ eſt
inter 3201 & 3200, eamque deducit ex refractionum quantitate ab Aſtrono-
mis obſervata: ſtatuit autem quantitatem refractionis eandem eſſe, ſi ſtrata ra-
dium refringentia ſint parallela, in quacunque cæterum ratione denſitates
medii decreſcant, ſi modo in primo & ultimo ſtrato denſitatum differentia
eadem maneat (vid. Neut. tract. opt. pag. 321. edit. gall.) . De reliquo ſub di-
verſis circumſtantiis non poteſt non admodum eſſe variabilis refractio, quod
aër, quem vocamus naturalem, multis mutationibus ſit obnoxius, tum à
calore & frigore, tum à preſſione atmoſphæræ, quæ ambo concurrunt
ad denſitatem aëris formandam, cui denſitati refractiones radiorum in va-
cuum incidentium ſunt proportionales cæteris paribus. Eadem etiam mo-
nuit D. Hauksbée in recenſione experimentorum, quæ modo allegavimus,
eamque ob rationem ſtatum aëris, qui erat, cum experimenta ſumeret, pro-
be definivit.
(γ) Fuerit nunc A C (Fig. 60.) arcus circuli terreſtris centro B ductus, in
11Fig. 60. cujus plano radius luminis A G eſt: erit autem iſte radius incurvatus AG ejus in-
dolis, ut convergat ad aſymptoton, huicque aſymptotæ parallela putetur
AH; ducatur horizontalis A E, rectaque A F quæ tangat in A curvam AG.
Ita videmus fore angulum H A E menſuram altitudinis aſtri veræ, & angu-
lum F A E menſuram altitudinis apparentis, angulumque F A H fore angu-
lum refractionis: eſt autem angulus F A H idem quod ſumma omnium an-
gulorum refractionis differentialium, ſeu augulorum contactus qualis eſt angu-
lus c b o.
Conſiderentur duo elementa curvæ ab, bo, & per puncta a, b, o,
ducti inteligantur centro communi B arcus αα, ββ, γγ: ſitque
235221SECTIO DECIMA. aëris ααββ = D; denſitas aëris ββγγ = D - d D, erit (per §. §. α, β)
ſinus anguli contactus in b diviſus per ſinum totum, ſeu ipſe angulus conta-
ctus proportionalis differentiæ denſitatum d D multiplicatæ per rationem ſi-
nuum angulorum incidentiæ & refractionis, id eſt, multiplicatæ per {be/eo}. Si
vero ducatur B D perpendicularis ad FA productam, perſpicuum eſt, vix
differre {be/eo} & {BD/Do}, ideo quod radius fere ſit rectus ſicque poſſit trian-
gulum B D o pro rectilineo haberi & ſimili cum triangulo beo. Igitur erit
angulus quæſitus F A H proportionalis ſ{BD/Do} X dD.
(δ) Hiſce veſtigiis inſiſtendo ponendoque eſſe ubiquel denſitatem
D = {22000/22000 + x}G, ubix exprimit lineam na numero pedum Pariſinorum
& G denotat denſitatem aëris in loco obſervationis, inveni quod ſequitur.
Sit ſinus altitudinis aſtri apparentis = f, coſinus = F, radius terræ = r
numero pedum Pariſinorum exprimendus: indicetur numerus 22000 per a:
ponatur porro ſinus totus = 1, angulus refractionis differentialis pro radio ex
aëre naturali in vacuum ſub angulo ſemirecto incidentis = g: Denique bre-
vitatis ergo fiat 2r - 2a = α; - FFrr + 2ar - aa = β: & erit β aut nu-
merus affirmativus aut negativus; affirmativus erit, ſi altitudo apparens ſide-
ris parva fuerit & quidem infra 20, 441: ſecus erit negativus: In priori ca-
ſu obtinebitur angulus quæſitus F A H hunc in modum: Fiat nempe ſemicir-
culus M L F (Fig. 61.) cujus radius A M = 1: ſumatur A C = {α/2fr};
11Fig. 61. AB = {2β - αa/2afr}, ducanturque C D, B T ad M C perpendiculares & erit an-
gulus F A H = {- fFrr/2β}g + {far/β}g + {farα x DT/2β√β}g.
In caſu, quo β eſt negativus, erit idem angulus
F A H = {-far/β}g + {fFrr/β}g + {farα/2β√β}g x log. {(α - 2√β) x (Fr - a + √β)/(α + 2√β) x (Fr - a - √β)}.
(ε) Secundum iſtas hypotheſes ponendo pro radio terræ 19600000.
poterit pro omni altitudine ſideris apparentis ejus determinari refractio aſtro-
nomica, ſi bene experimento inventus fuerit valor anguli g: quia vero difficile
admodum eſt hunc valorem cum ſufficiente accuratione definire,
236222HYDRODYNAMICÆ erit in caſu aliquo particulari aſtronomice refractionem definire, & ex hoc re-
liquos calculo ſubducere. Aſſumamus v. gr. in altitudine decem graduum re-
fractionem eſſe 5 min. 28 ſec. cui hypotheſi plerique Aſtronomi Pariſiis adhærent.
Inveniemus hancce refractionis tabulam.
11
altit. ſid. appar. # refract. # altit. ſid. appar. # refract.
0 grad. # 34 min. # 53 ſec. # 50 grad. # 0 min. # 53 ſec.
5 # 9 - - - - # 59 - - # 55 # - - - - - # 44 {1/3}
10 # 5 - - - - # 28 - - # 60 # - - - - - # 36 {1/2}
15 # 3 - - - - # 44 - - # 65 # - - - - - # 29 {1/2}
20 # 2 - - - - # 52 - - # 70 # - - - - - # 23
25 # 2 - - - - # 12 - - # 75 # - - - - - # 17
30 # 1 - - - - # 47 - - # 80 # - - - - - # 11 {1/4}
35 # 1 - - - - # 29 - - # 85 # - - - - - - # 5 {1/2}
40 # 1 - - - - # 15 - - # 90 # - - - - - - # 0.
45 # 1 - - - - - # 3- -
Quia vero @refractiones ſequuntur rationem litteræ g. id eſt, anguli re-
fractionis differentialis radii ſub angulo ſemirecto ex aëre naturali in vacuum in-
cidentis & quia iſte angulus proportionalis eſt denſitati aëris naturalis, ſeu aëris,
quem obſervator reſpirat, patet ſi vel aër conſtanter ſimiliter vaporibus eſſet
oneratus (à quibus animum adhuc abſtraximus) non poſſe tamen fieri, quin
refractiones aſtronomicæ ſint admodum variabiles. Majores nempe erunt in
ſuperficie maris quam in montibus, eritque notabilis differentia vel in me-
diocribus montium altitudinibus: majores præterea erunt tempore frigido
quam calido, hæcque ſola cauſa in hiſce terris refractiones minimum quarta
parte augere poteſt: denique majores etiam erunt refractiones barometro al-
to quam humili. Poterunt autem ſi vapores nullo ſint obſtaculo, refractiones
omni tempore recte definiri, ſi inſtrumentum, quod §. 9. deſcriptum fuit
quodque Fig. 57. repræſentat ſimul adhibeatur cum barometro; ſi enim alti-
tudinem mercurii in barometro dividas per altitudinem mercurii in altero in-
ſtrumento, habebis denſitatem aëris, cui cæteris paribus refractio proportio-
nalis eſt facienda. Neque dubito, quin refractio ſolis minor ſit refractionibus
reliquorum ſiderum, quod calor ſolis aërem non mediocriter expandit aëriſ-
que denſitatem diminuit.
237223SECTIO DECIMA.
§. 31. Ex iis quæ de agitatione particularum aërearum, à quâ utique
calor aëris pendet, præſertim vero, quæ §. 10. monita fuerunt, apparet gra-
dum eundem caloris aëri ineſſe, quoties eadem ratio intercedit inter ejus ela-
ſticitatem atque denſitatem; elaſticitatem indicat barometrum; denſitatem
concludimus ex gravitate aëris ſpecifica; atque inde ut vidimus §. 10, gradus
obtineri poterit caloris fixus, ſi aquæ bullientis calor incertus videatur, prouti
D°. Fahrenheid obſervatus fuit pendere à pondere atmoſphæræ incumbentis.
Inſtrumenta quæ ſingulis momentis denſitatem aëris indicant facile excogitari
poſſunt atque à multis deſcripta fuerunt.
Notandum hic eſt rationem illam modo dictam inter aëris elaſticitatem
ejuſque denſitatem ſimul exhibere altitudinem aëris homogenei, & quia nobis
deinceps ſermo erit de iſta altitudine, convenit illam recte prius definire, quam
ad alia pergamus.
§. 32. Si fingamus columnam aëream verticalem uniformis denſitatis
& cum mercurio barometri ad æquilibrium compoſitam, erit altitudo illius
columnæ altitudo quam voco aëris homogenei pro data denſitate.
Et quia aëris mediocriter denſi gravitas ſpecifica eſt ad gravitatem ſpe-
cificam mercurii ut 1 ad 11000 ipſaque altitudo media mercurii in barometro
pro locis parum à ſuperficie maris elevatis ſit 2 {1/3} ped. Pariſ. erit altitudo aëris
homogenei mediocriter denſi 25666 pedum.
Patet ex iſta definitione altitudines illas, de quibus nunc dicimus, eo
minores eſſe, quo denſior eſt aër, cui altitudo reſpondere debet, & quo mi-
nor eſt altitudo mercurii in barometro. Igitur ſi idem ſit caloris gradus in mon-
tibus & in ſuperficie maris, eadem quoque erit utrobique altitudo aëris ho-
mogenei, quia pro eodem caloris gradu aëris denſitas rationem ſequitur aëris
elaſticitatis ſeu altitudinis mercurii in barometro. Apparet porro altitudinem
aëris homogenei in ſuperficie maris admodum decreſcere ab æquatore verſus
polos, quia frigus intenditur denſitaſque aëris augetur manente elaſticitate &
in iiſdem regionibus minorem eſſe tempore hyemali quam æſtivo.
§. 33. Multa ſunt quæ ad motum aëris definiendum pertinent, quo-
rum ſolutio pendet ab altitudine aëris homogenei: Inter hæc etiam eſt propa-
gatio ſoni ejuſque celeritas: Quamvis enim celeritas ſoni diverſimode
238224HYDRODYNAMICÆ niatur à diverſis, quos concipere poſſumus de ejus propagatione modis ita, ut
nunc videatur celeritatem eam eſſe quæ debeatur altitudini aëris homogenei,
nunc quæ dimidiæ altitudini reſpondeat, aut etiam dimidiæ altitudini multipli-
catæ per rationem quadrati circulo circumſcripti ad aream circuli, omnes ta-
men opiniones in eo conveniunt, quod celeritas ſoni proportionalis ſit radici
altitudinis aëris homogenei cum eo, in quo propagatur. Si ita ſe res habeat,
celerius propagatur ſonus in aëre calido quam frigido, barometro alto quam
humili, (nihil dicam de ventis ſecundis aut contrariis); multa in hanc rem
partim in Italia partim in Anglia ſumta fuerunt experimenta, hæcque poſterio-
ra docuerunt celeritatem ſoni mediam reſpondere 1140 ped. Angl. intra minu-
@um ſecundum perficiendis. At quia in uno eodemque loco variabilis eſt al-
titudo atmoſphæræ homogeneæ nominatimque hic locorum excurrit à muta-
tionibus barometricis junctis cum mutationibus caloris à 3 uſque ad 4, variabi-
lis erit ubique celeritas ſoni, ſi vel nihil mutent venti, eaque celeritas in hiſce
terris continebitur intra terminos √ 3 & √ 4, ſeu 173 & 200.
§. 34. Venio jam ad varias quæ fingi poſſunt de motu aëris quæſtio-
nes ſolvendas ſimiles illis, quas de motu fluidorum non elaſticorum in præce-
dentibus habuimus.
Problema.
Sit motus definiendus aëris ex vaſe per foramen exiguum erumpentis
in ſpatium infinitum ab aëre vacuum.
Solutio.
Apparet ex natura quæſtionis inſenſibilem eſſe motum localem aëris
interni quo ſeſe expandit, dum certa ſui quantitas per foramen erumpit: Igi-
tur hic ſolus aſcenſus potentialis, quem particula aërea, dum expellitur, acqui-
rit conſiderandus eſt, atque comparandus cum deſcenſu actuali vel potius cum
diminutione elaſticitatis, quam aër internus habet. Ut vero totam rem ad
methodum noſtram pro fluidis non elaſticis adhibitam reducamus, conſidera-
bimus cylindrum verticalem communis cum vaſe propoſito amplitudinis atque
tantæ altitudinis, quanta eſt altitudo aëris homogenei cum aëre interno, is ve-
ro cylindrus, ſi ſimili aëre plenus cenſeatur, ſed non elaſtico, eadem
239225SECTIO DECIMA. tate ſuo pondere aërem infimum expellet per foramen, qua aër in vaſe pro-
poſito ſua elaſticitate ſe ipſum expellit. In priori autem caſu ejicitur veloci-
tate quæ debetur ipſi altitudini cylindri, ergo & in poſteriori. Notandum
autem eſt, altitudinem quam pro cylindro finximus, perpetuo eandem eſſe,
quia aëris elaſticitas & denſitas in eadem ratione diminuuntur, calorem autem
non mutari ponimus. Igitur ſi altitudo aëris homogenei (quæ à calore aëris
interni pendet) dicatur A, effluet aër conſtanter velocitate √ A. Nec tamen,
quod calculus oſtendit, vas ipſum unquam evacuatur, quia aër effluens fit
continue rarior, quod ut æquatione comprehendamus, ponemus denſitatem ſeu
quantitatem aëris à fluxus initio = 1; denſitatem ſeu quantitatem aëris poſt de-
finitum tempus reſidui = x, tempusque ipſum = t, erit, quia velocitas
conſtans eſt, - d x = a x d t, ubi per a intelligitur quantitas conſtans defi-
nienda ex magnitudine vaſis, amplitudine foraminis & altitudine A: hinc
{- dx/x} = adt & log. {1/x} = at. reperitur autem valor coëfficientis a hoc modo.
Quia poſitum à nobis fuit - d x = a x d t; erit ab initio effluxus - dx = a d t.
Jam mutetur elementum primum (- d x) in cylindrum foramini ceu baſi ſu-
perinſtructum; erit autem altitudo iſtius cylindruli = - L d x, ſi L ſit altitu-
do cylindri ſuper eodem foramine extructi & communem cum vaſe propo-
ſito capacitatem habentis: hæc porro longitudo - L d x illa eſt, quæ tem-
puſculo d t percurritur, & quia poni ſolet tempuſculum æquale ſpatio percur-
ſo diviſo per velocitatem, erit hic d t = {- L d x/√ A}; ſubſtituatur iſte valor in
æquatione - d x = a d t & habebitur - d x = {- a L d x/√A}, ſive a = {√A/L}. Eſt
proinde æquatio finalis hæc:
log. {1/x} = {t√A/L}.
Si tempus exprimere lubeat per certum minutorum ſecundorum nu-
merum, quem vocabimus n, & intelligatur per s ſpatium quod mobile ab-
ſolvit cadendo libere à quiete intra unum minutum ſecundum, erit ponen-
dum t = 2n√s, ſicque fiet
log. {1/x} = {2n√As/L}.
240226HYDRODYNAMICÆ
Problema.
§. 35. Quæritur motus aëris denſioris in aërem externum rariorem
infinitum ex vaſe per foramen valde parvum erumpentis, poſito in utroque
aëre eodem caloris gradu.
Solutio.
Sit denſitas aëris interni initialis = D; denfitas aëris externi = δ:
denſitas aëris interni poſt datum tempus t reſidui = x, altitudo aëris homo-
genei, (ſive ratione aëris interni ſive externi, nec enim diverſa eſſe poteſt,
ſi uterque aër eodem calore præditus ſit, ſicque denſitates & elaſticitates in
pari ratione decreſcant) = A. Quæratur ubique altitudo aëris homogenei,
qui habeat eandem preſſionem ſeu elaterem cum aëre externo & cujus den-
ſitas eadem ſit cum aëre interno: hæc altitudo ab initio erit {δA/D}, & poſt
tempus t erit {δA/x}. Patet autem velocitatem aëris erumpentis talem ubique
fore, quæ reſpondeat differentiæ definitarum altitudinum A & {δA/x}; eſt itaque
poſt tempus t velocitas aëris erumpentis = √(A - {δA/x}).
Sunt porro decrementa denſitatum (- d x) proportionalia quantitati-
bus aëris erumpentis, quæ rationem habent compoſitam ex velocitate
(√(A - {δA/x})) ex denſitate (x) & ex tempuſculo (d t): ſic igitur eſt - d x
= a (√(A - {δA/x})) x d t, ubi a eſt numerus conſtans qui per metho-
dum præcedentis paragraphi fit = {1/L}, retenta ſignificatione hujus litteræ
ibidem adhibita; hocque valore ſubſtituto oritur
- d x = {dt/L} X √ (Axx - δAx) ſeu {- dx/√ (xx - δx)} = {dt√A/L}:
Factaque debita integratione fit:
log. {[√x - √(x - δ)] x [√D + √(D - δ)]/[√x + √(x - δ)] x [√D - √(D - δ)]} = {t√A/L}, aut poſito rurſus, ut in
præcedente paragragho, t = 2 n √ s,
241227SECTIO DECIMA.log. {[√x - √(x - δ)] x [√D + √(D - δ)]/[√x + √(x - δ)] X [√D - √(D - δ)]} = {2n√As/L}
Corollarium 1.
§. 36. Omnis effluxus fit tempore finito quâ in re iſta quæſtio ab alte-
ra præcedente differt: Ceſſat autem aër effluere, cum eſt x = δ, & tunc fit
n = {L/2√As} X log. {√D + √(D - δ)/√D - √(D - δ)}.
Sit v. gr. A = 26000 ped. Paris. contineat vas propoſitum unum pedem
cubicum, foramen autèm habeat amplitudinem unius lineæ quadratæ, erit
L = 20736; ponatur inſuper aërem intèrnum ab initio duplo fuiſſe den-
ſiorem externo; eſt autem ut conſtat s = 15 {1/12} ped. Paris. Fiet igitur
n = {20736√3/√(181. 26000)} log. {√2 + 1/√2 - 1} = 29, 2,
quod ſignificat aërem utrumque ad æquilibrium compoſitum iri tempore
paullo majori quam viginti novem minutorum ſecundorum, poſt idque
omnem effluxum ceſſaturum. Fieri autèm poteſt à contractione, quam flui-
da præ foramine patiuntur (vid. ſect. IV.) & ad quam nullam fecimus in com-
puto attentionem, ut tempus iſtud augeatur fere in in ratione ut 1 ad √ 2.
Corollarium 2.
§. 37. Si fingatur aërem non immediate per foramen effluere, ſed
per longum tubum, non mutabitur propterea velocitas, ſi modo totius tubi
capacitas ſit veluti infinite parva ratione capacitatis, quæ in vaſe ipſo eſt;
Videtur autem denſitatem aëris, quamdiu in tubo eſt, eandem eſſe cum denſitate
aëris vaſi incluſi, nectamen, quod demonſtrabo inferius, elaſticitas aëris in tubo
major eſt elaſticitate aëris externi, qui tubum circumdat. Conſequens inde
eſt, ventum aërem eſſe denſiorem aëre quieſcente, ſed non magis elaſticum:
attamen denſitatum differentia parvula quoque erit; ventus enim, qui vel
30. pedes ſingulis minutis ſecundis conficit, aërem vicinum, æque calidum
& quietum, vix una milleſima ſeptingentiſſima parte denſitate ſuperabit.
Problema.
§. 38. Definire influxum aëris per foramen valde parvum in vas aëre
rariore plenum, poſito rurſus utrobique eodem caloris gradu.
242228HYDRODYNAMICÆ
Solutio.
Fuerit vas ab initio omnino vacuum, & poſt tempus t ponatur denſitas
aëris interni = x; ſic reperietur iiſdem fere veſtigiis inſiſtendo, quibus in tri-
geſimo quinto paragrapho uſi ſumus retentisque iisdem denominationibus
{dx/√(δ - x)} = {dt√AD/L} ſive t = 2n√s = {2L/√A} - {2L√(D - x)/√AD}.
Numerus igitur minutorum ſecundorum, quo totum vas impletur,
donec inter utrumque aërem æquilibrium ſit exprimitur per {L/√As}: & eſt tem-
pus repletionis duplum illius quo repleretur ſi velocitate initiali conſtanter in-
flueretaër. In caſu quo capacitas vaſis pedem cubicum continet & foramen lineam
quadratam æquat, fit repletio tempore propemodum triginta trium minutorum
ſecundorum, niſi contractione venæ aëreæ influentis repletio retardetur.
§. 39. Expoſuimus varias fluidorum elaſticorum ſive motorum ſive
quieſcentium proprietates: Unum ſupereſt non omittendum, quo fluida ela-
ſtica differunt à non - elaſticis, hoc ſcilicet, quod fluido elaſtico vel quieſ-
centi vis viva inſita ſit, non quod inſtar aliorum corporum motorum ſe ad cer-
tam altitudinem elevare poſſit, neque enim motum localem in illo hic conſi-
deramus, ſed quod elatere ſuo talem aſcenſum in aliis corporibus gravibus ge-
nerare poſſit. Licebit autem, quod ſpero, in ſequentibus uti vocabulo vis vi-
væ corpori elaſtico compreſſo inſitæ, quando nihil aliud eo intelligitur quam aſcen-
ſus potentialis, quem corpus elaſticum aliis corporibus communicare poteſt
priuſquam totam ſuam vim elaſticam perdiderit.
Meretur hic in anteceſſum notari, quod ſicut deſcenſus corporis dati
per datam altitudinem, utcunque fiat, eandem conſtanter vim vivam in cor-
pore producit, ita quoque elaſtrum ſive fluidum elaſticum poſtquam à dato
tenſionis ſeu condenſationis gradu ad datum alium gradum fuit reductum ut-
cunque, id ſemper eandem vim vivam in ſe recipiat rurſuſque contraria muta-
tione alii corpori communicare poſſit.
De hujuſmodi viribus vivis fluido elaſtico compreſſo inſitis earundem-
que menſuris paucis nunc agam: dignum attentione argumentum eſt, quod
eo reducantur menſuræ virium prò machinis aëre, aut igne aut aliis
243229SECTIO DECIMA. di viribus motricibus, quarum fortaſſe plures novæ non ſine inſigni mechani-
cæ practicæ incremento & perfectione excogitari poterunt, movendis.
§. 40. Ut incipiamus ab aëre in vacuo, conſiderabimus cylindrum ver-
ticaliter poſitum A B C D (Fig. 62.) cum ſuſtentaculo E F, quod omni pon-
11Fig. 62. dere deſtitutum liberrime ſurſum dèorſumque moveri poſſit. Sit ſpatio E B C F
aër incluſus, totus autem cylindrus in vacuo poſitus fingatur: Sit preſſio aëris
E B C F tanta qua ſuſtinere poſſit pondus p, quod æquale erit preſſioni colum-
næ atmoſphæræ, ſi aër iſte ſit naturalis. Superveniat jam aliud pondus P: ita
fiet ut operculum deſcendat in G H motibuſque reciprocis ad puncta H & F
agitetur. Ut motum definiamus, utemur hypotheſi ordinaria, quod preſſio-
nes aëris cæteris paribus ſint denſitatibus proportionales.
Fuerit itaque F C = a, F H = x; velocitas ſuſtentaculi in ſitu G H = v,
erit preſſio, qua ſuſtentaculum G H ad ulteriorem deſcenſum urgetur = P + p
- {a/a - x} p, huicque preſſioni æqualis cenſenda eſt vis, quæ pondus ſuſtenta-
culo incumbens animat; igitur ſi hanc vim dividas per maſſam habebis vim
accelerantem, quæ multiplicata per tempuſculum ſeu per {dx/v}, dabit incre-
mentum velocitatis dv, eſt itaque
dv = (P + p - {ap/a - x}) X {dx/v}: (P + p), vel
{1/2} (P + p) vv = (P + p) x - ap log. {a/a - x}.
Sed ex deſcenſu ponderis (P + p) per altitudinem x generatur vis viva
potentialis (P + p) x, & cum ſuſtentaculum eſt in ſitu G H, ineſt corpori (P + p)
vis viva actualis {1/2} (P + p) vv, id eſt, (P + p) x - ap log. {a/a - x}, quæ à prio-
ri deficit quantitate ap log. {a/a - x}, hæcque in compreſſionem aëris tranſiit.
Dico itaque non poſſe aërem occupantem ſpatium a condenſari in ſpa-
tium a - x, quin vis viva impendatur, quæ generatur ex deſcenſu ponderis
p per altitudinem a log. {a/a - x} quocunque modo illa compreſsio facta fuerit; po-
teſt autem modis fieri infinitis. Iſtam vero regulam uno nunc alterove exem-
plo illuſtrabo.
244230HYDRODYNAMICÆ
Sit baſis cylindri unius pedis quadrati, altitudo initialis F C duorum
pedum: contineaturque in ſpatio B F aër qualis in ſuperficie terræ medius eſſe
ſolet, qui ferre poſſit ſuperficie E F 2240 libras: ponatur x = 1, ut ſic ha-
beatur vis viva, qua duo pedes cubici aëris naturalis in ſpatium unius pedis
cubici coërceri poſſunt in vacuo: eritque iſta vis viva = 2 X 2240 X log. 2
= 3105, id eſt, talis quæ generatur lipſu libero corporis 3105 librarum
per altitudinem unius pedis. Ergo & viciſſim, ſi habeatur pes cubicus aëris
naturali duplo denſioris, poterit illius ope pondus elevari 3105 librarum ad
altitudinem unius pedis in vacuo, dum aëris naturalis denſitatèm aſſumit.
Sit porro ſub iisdem reliquis circumſtantiis idem aër in ſpatium duplum,
quam antea fuit, expanſum, occupans nunc in cylindro altitudinem quatuor
pedum, iſque rurſus condenſetur in ſpatium unius pedis cubici, requiretur
ad hanc compreſſionem vis viva, quæ exprimitur per 4 X 1120 log. 4, quæ
priore duplo major eſt. Igitur in vacuo ſi habeatur pes cubicus aëris naturali
duplo denſioris, poterit illius ope pondus elevari 6210 librarum ad altitud.
unius pedis, dum aëris naturalis dimidiam denſitatem aſſumit, aut pondus
9315 lib. dum aëre naturali fit quadruplo rarior.
Conſequens inde eſt, ſi aër in ſpatium expandere ſe poſſit infinitum &
ubique elaſticitatem ſervet denſitati proportionalem, quantitati aëris finitæ
vim vivam ineſſe infinitam.
§. 41. Hæc autem pertinent ad æſtimationem vis vivæ, quæ aëri in
vacuo poſito inſita ſit: paullo alius fit computus pro aëre denſiore, qui in at-
moſphæra poſitus eſt: hic enim maximus expanſionis gradus non ultra æquili-
brium cum aëre atmoſphæræ extendi poteſt: facile hinc eſt in anteceſſum præ-
videre, ſi v. gr. habeatur pes cubicus aëris naturali duplo denſioris, vim vi-
vam quæ in atmoſphæra ab hoc aëre compreſſo elici poſſit, minime eſſe in-
finitam. Poterunt autem hujuſmodi vires vivæ hunc in modum determinari.
§. 42. Sit aër E B C F naturalis & in æquilibrio cum aëre externo; in-
telligatur autem per p preſſio atmoſphæræ, in ſuſtentaculum E F, quæ quidem
cum preſſione aëris interni nondum condenſati in æquilibrio eſt. Imponatur
eidem ſuſtentaculo pondus P; fuerit jam aër condenſatus in ſpatium G B C H;
habeatque ſuſtentaculum pondere P oneratum in ſitu G H velocitatem v, erit
retentis reliquis
245231SECTIO DECIMA. dv = (P + p - {ap/a - x}) X {dx/v}: P, vel
Pvdv = (P - {xp/a - x}) dx, quæ integrata dat
{1/2} P vv = Px + px - ap log. {a/a - x}.
Jam vero deſcenſu ponderis P per altitudinem x genita fuit vis viva P x,
de qua eidem ponderi ceu velocitate v moto ineſt pars {1/2} P v v ſeu P x + p x -
ap log. {a/a - x}; pars igitur vis vivæ quæ ad aërem tranſiit, eſt = - p x +
ap log. {a/a - x}, quæ minor eſt altera §. 40. definita.
Habeatur v. gr. pes cubicus aëris naturali duplo denſioris, inveniètur
vis viva, quam iſte aër amittit, dum aëris naturalis circumfuſi denſitatem aſſu-
mit, ea quæ lapſu libero corporis 865. lib. per altitudinem unius pedis gene-
ratur.
Pari ſenſu pes cubicus aëris naturali triplo denſioris vim vivam habere
intelligitur talem quæ reſpondeat lapſui libero corporis 2898 lib. per altitud.
unius pedis, qui numerus nempe prodit cum ponitur p = 2240, ut §. 40;
a = 3. & x = 2.
§. 43. Perſpicuum eſt ex hoc conſenſu inter conſervationem virium vi-
varum aëri compreſſo & corpori à data altitudine delapſo inſitarum, nullam
eſſe ad uſum machinarum perficiendum prærogativam ſperandam ex principio
aëris comprimendi, & ubique valere regulas in præcedente ſectione exhibi-
tas. Quia vero multis modis fit, ut aër non vi ſed natura ſit compreſſus aut
elaterem naturali majorem acquirat, ſpes certe eſt, poſſe hujuſmodi rebus na-
turalibus magna ad machinas movendas compendia excogitari, prouti D.
Amontons jamjam docuit modum movendarum machinarum vi ignis. Mihi
perſuadeo ſi omnis vis viva, quæ in carbonum pede cubico latet, ex eodem-
que combuſtione elicitur, utiliter ad machinam movendam impendatur, quod
plus inde profici poſſit, quam labore diurno octo aut decem hominum. Etenim
carbones dum comburuntur aëris elafticitatem nonſolum inſigniter augent, ſed
& ingentem aëris novi quantitatem generant.
Ita Haleſius in veget. ſtatiks deprehendit ex ſemipollice carbonis 180.
246232HYDRODYNAMICÆ pollices aëris ejuſdem cum aëre naturali elaſticitatis fuiſſe generatos; ergo pes
cubicus carbonum aërem dabit ad 360. ped. cub. Sed ſi §. 41. quæratur vis vi-
va quæ generari poſſit à pede cubico aëris naturali 360. vicibus denſioris, in-
venietur illam convenire cum pondere 3938000. librarum ab altitudine unius
pedis delapſo: atque ſi præterea aëris illius elaſticitas à calore carbonum in-
cenſorum quadruplo fieri major ponatur, conveniet iſta vis viva cum pondere
15752000. lib. ab eadem altitudine delapſo. Difficile autem eſt machinam ad
hunc finem aptam excogitare. Multæ præterea aliæ ſuntres naturales, quæ non-
ſolum aërem fovent compreſſum, ſed & aërem circumfuſum calefaciendo eun-
dem magis elaſticum reddere valent: tales ſunt calx viva cum aqua dulci miſta,
omniaque fermentantia, aquæ in vapores vi ignis redactæ incredibilis vis ineſt;
machina ad hoc eſt Londini ingenioſiſſima quæ hoc principio motus aquas toti
urbi erogat eamque deſcripſit Cl. Weidlerus. Præſertim vero conſiderari mere-
tur ſtupendus, qui à pulvere pyrio expectari poſſit effectus: Calculo enim quo-
rundam ſumtorum experimentorum ſubducto, quem infra adjiciam, edoctus
fui elaſticitatem pulveris pyrii accenſi plus decies millies ſuperare elaſticita-
tem aëris naturalis, imo omnibus bene perpenſis probabile fit, elaſticitatem ejus
eſſe incredibiliter majorem: ponamus autem auræ pulveris pyrii accenſi ex-
panſæ elaſticitatem decreſcere in ſimili ratione cum denſitate: hiſce poſitis in-
venietur vis viva pedi cubico pulveris pyrii inſita, ſi in §. 42. ponatur a = 10000;
x = 9999, p = 2240 & ſumatur - p x + a p log. {a/a - x}, quæ quantitas ſic fit
æqualis 183913864. Igitur machina datur in theoria, quæ ope unius pedis cu-
bici pulveris pyrii poſſit elevare 183913864 libras ad altitudinem unius pedis,
quem laborem vel centum homines robuſtiſſimi intra unius diei ſpatium perfi-
cere poſſe non crediderim, quâcunque machina utantur. Probabile autem eſt,
ut dixi, effectum pulveris pyrii longe majorem eſſe; certe autem non mi-
nor eſt, calculus enim innititur altitudini, ad quam globus ferreus ex tor-
mento bellico ejectus in vacuo aſcendere poſſit, in quo experimentorum ge-
nere maxima pulveris pyrii pars perit.
Iſta vero magis percipientur, ſi notetur eundem calculum (quem an-
tea fecimus pro effectu, qui ex aëre condenſato ſeſe reſtituente oritur, de-
monſtrando) procedere etiam pro aëre qui naturali circumfuſo non quidem
magis denſus ſed tamen ab aucto calore magis elaſticus fit: ita v. gr. quoties
pes cubicus aëris ordinarii augmento caloris duplum elaterem
247233SECTIO DECIMA. poteſt ejus ope pondus 865 librarum ad altitudinem unius pedis elevari, ſi
modo machina adhibeatur perfectiſſima.
Ab auctis autem aëris tum denſitate tum calore pendent omnium re-
rum hic expoſitarum effectus.
§. 44. Interim non ſolum ab aëre condenſato calefactove vis viva pro
machinis movendis impendenda obtineri poteſt, ſed & ab aëre rariore aut
frigidiore. Ubicunque enim æquilibrium ſublatum eſt, vis viva adeſt, quæ
impendi poteſt, ſi debita machina excogitetur, ad onera elevanda machina-
mentaque circumagenda. Methodus autem determinans vim vivam, quæ ab
aëre datæ denſitatis datique caloris ſpatium datum occupante elici poteſt,
mutatis mutandis eadem eſt cum illa quam §. 42. adhibuimus.
45. Fuerit nempe rurſus cylindrus verticalis A B C D (Fig. 63.) cum dia-
11Fig. 63. phragmate mobili E F: puta aërem E B C F, ut §. 42. naturalem & in æquili-
brio cum aëre externo: preſſio autem aëris cujusvis in E F dicatur p0: Finge
dein pondus P, quod mediante fune trans duas trochleas M & N ducto cum
diaphragmate cohæreat, idemque verſus A D trahat, perveneritque ſic dia-
phragma ex ſitu E F in G H: Denique ponatur rurſus F C = a, F H = x:
velocitas diaphragmatis in ſitu G H ſeu ponderis in ſitu P = v; His poſitis
ſi conferantur §. §. 40. & 42. patebit fore nunc
dv = (P + {ap/a + x} - p) X {dx/v}: P vel
Pvdv = (P - {px/a + x}) dx, quæ integrata dat
{1/2}Pvv = Px - px + ap log. {a + x/a}.
At rurſus deſcenſus ponderis P per altitudinem x producta fuit vis viva
P x, dum ipſi interim ponderi velocitate v moto ineſt tantum vis viva {1/2} P v v
ſeu Px - px + ap log. {a + x/a}, Igitur vis viva, quæ reſidua eſt, nempe p x -
a p log. {a + x/a}, ad aërem tranſiit rurſusque reſtitutione æquilibrii inter aërem
internum & externum, illa vis viva ad alia corpora pro lubitu transfundi po-
terit: Igitur ſi habeas ſpatium G B C H aëre plenum cujus denſitas ſit ad
denſitatem aëris externi ut C F ad C H, in poteſtate erit vis viva p x -
a p log. {a + x/a}.
248234HYDRODYNAMICÆ
An vero iſta vis viva aëri inhæreat proprie externo an interno, logoma@
chia eſt; ſufficit quod à ſublato æquilibrio inter utrumque aërem talis vis viva
obtineri poteſt, dum reſtitutio permittitur.
Habeatur v. gr. pes cubicus aëris naturali duplo rarioris, cui hypotheſi
quadrabunt poſitiones p = 2240 lib. a = {1/2} ped. & x = {1/2} ped. & erit vis viva, de
qua ſermo eſt, = 1120 - 1120 log. 2 = 344, id eſt, ea quæ generatur lapſu li-
bero 344 lib. ab altitudine unius pedis.
Si pes cubicus ſit aëre repletus, qui naturali ſit quadruplo rarior, erit
jam vis viva quæſita (poſito nempe p = 2240, & a = {1/4}, x = {3/4}) = 1680 -
560. log. 4 = 904, ſeu talis quæ oritur lapſu libero ponderis 904 lib. per altit.
unius pedis.
Si denique habeatur pes cubicus ab aëre omnino vacuus, ponendum
eſt p = 2240; a = 0, & x = 1: atque ſic erit vis viva quæſita = 2240 X
(1 - 0 log. {1/0}) conſtat autem eſſe 0 log. {1/0} infinite parvum præ unitate; eſt igitur
numerus iſte = 2240, qui indicat poſſe hac vi viva 2240 libras ad altitudinem
unius pedis elevari.
§. 46. Pertinet ad præſens argumentum ſtupenda vis aëris admodum
condenſati, ſed præſertim auræ pulveris pyrii accenſi in uſu ſclopetorum pneu-
maticorum & tormentorum bellicorum. De his quæ ſeorſim commentatus ſum
huic ſectioni adjiciam.
De vi aëris condenſati & auræ pulveris pyrii ac-
cenſi ad globos projiciendos in uſu ſclopetorum
pneumaticorum & tormentorum bellicorum.
(I) Sit A G (Fig. 64.) longitudo animæ in tormento ſclopetove hori-
11Fig. 64. zontaliter poſito, voceturque = a: denotet A C longitudinem ſpatii, quod
aër condenſatus ſeu aura pulveris pyrii accenſi occupat ab initio exploſionis,
ſitque A C = b: pondus globi ejiciendi E = 1; ponimus autem, globum ca-
vitatem animæ exacte replere & liberrime in illa moveri: denſitas aëris con-
denſati in ſpatio A D ſe habeat ad denſitatem aëris naturalis ut n ad 1:
249235SECTIO DECIMA. que ponatur pondus columnæ mercurii (cujus baſis eſt C D & cujus altitudo
eadem ſit quæ in barometro) = P. Utemur autem hypotheſi, ſive globus pro-
pellatur ab aëre condenſato ſive à pulveris pyrii aura, potentiam illius fluidi
propellentis proportionalem eſſe denſitati.
His ad calculum præparatis, globum conſiderabimus in ſitu e, poneu-
do A c = x, velocitatemque globi in hoc ſitu = v, ſic erit potentia globum
in ſitu e propellens = ({nb/x} - 1) X P, quæ diviſa per maſſam 1 ductaque in ele-
mentum ſpatii d x dat incrementum dimidium quadrati velocitatis; unde fit v d v
= ({nb/x} - 1) X P d x, ſive {1/2} v v = (b - x + nb log. {x/b})P. Ponatur x = a,
habetur altitudo debita velocitati, quacum globus exploditur; vocetur iſta
altitudo α & erit
α = (b - a + nb log. {a/b}) X P.
(II) Sit v. gr. in ſclopeto pneumatico longitudo animæ ſeu a = 3 ped.
Paris. longitudo A C = 4 poll. fueritque aër captus in A D naturali decies den-
ſior ſeu n = 10, diameter animæ ſeu globuli ejiciendi trium linearum ejus-
que gravitas ſpecifica ratione mercurii ut 10 ad 17. Erit P præterpropter =
286; indeque invenitur α = 2788, indicio globum ejectum iri velocitate
qua in vacuo ad altitudinem 2788 ped. aſcendere poſſit. Ex præcedente for-
mula colligitur jactum globi vehementiſſimum fore pro eadem auræ elaſticæ
quantitate, ſi longitudo animæ fiat = n b. Si vero animus ad impedimenta
alia, quæ globus præter inertiam ſuam & reſiſtentiam aëris externi in tranſitu
ſuo per Sclopeti animam patitur, advertatur, apparet longitudinem animæ
ad jactum vehementiſſimum producendum requiri longe minorem. Si longi-
tudo n b admodum major ſit longitudine a, quod ita eſt in jactibus fortiori-
bus, erit ſine ſenſibili errore α = n b P log. {a/b}.
Si tormentum ſit verticaliter erectum, fit aliquantum diverſus calculus
ſed pro vehementioribus jactibus differentia nequit eſſe ſenſibilis. Igitur quia
jactus deinceps conſiderabimus tantum vehementiſſimos, brevitatis ergo po-
nemus a = nb P X log. {a/b}.
(III) Prouti in præcedentibus altitudinem determinavimus debitam
250236HYDRODYNAMICÆ locitati qua globus exploditur, ex data vi elaſtica auræ globum ejicientis, ita
viciſſim patet, ex obſervata illa altitudine vim auræ elaſticam deduci poſſe,
eſt enim
n = α: (b P log. {a/b}).
Exinde poterit vis elaſtica pulveris pyrii ſi non accurate definiri, ſaltem
ad terminos reduci, quos certe ſuperabit. At quæres, qui altitudo a expe-
rimento determinari poſſit; ad quod reſpondeo, poſſe eam ſat accurate col-
ligi ex tempore, quod globus verticaliter ſurſum ejectus ab exploſionis pun@
cto inſumit, dum in terram delabitur habita in calculo aëris reſiſtentiæ ratio-
ne. Transſcribam huc experimenta in comm. Acad. Petrop. tom. 2. p. p. 338 &
339 recenſita, quorum calculum inſtitui factis, ratione aëris reſiſtentiæ hy-
potheſibus, gravitates ſpecificas ferri & aëris eſſe ut 7650 ad 1 & aërem, in
quo globus aſcendit, uniformis eſſe denfitatis: gravitatum ſpecificarum ratio
paullo major aſſumta fuiſſe videtur quam debebat, ſed compenſabitur in al-
tiſſimis jactibus error à diminutione aëris denſitatum verſus ſuperiora.
„Tormenti ſitus omni accuratione ad perpendiculum erat accommo-
datus & ſingulis vicibus in hunc ſitum reponebatur atque firmabatur: ſin-
gula experimenta fuerunt repetita: Erat autem longitudo animæ 7, 7. ped.
angl. diameter globi erat 0, 2375 ped. diameter animæ menſurata non fuit
neque magnitudo luminis accenſorii: qualibet vice ponderabatur quantitas
pulveris pyrii adhibiti & pendulo definiebatur tempus à puncto exploſionis
ad punctum, quo globus in terram cecidit: tabula ſequens exhibet, tum
quæ obſervata, tum quæ calculo inde eruta fuerunt.
11
quant. pulv. \\ pyr. numero \\ unciar. holl. \\ expreſſ. # tempus aſc. \\ & deſcens. in \\ min. ſec. ob-\\ ſerv. # altit. jactus \\ in aëre reſiſt, \\ per calculum \\ in ped. Angl. # temp. aſc. in \\ aëre reſiſt. \\ per calculum \\ in min. ſec. # temp. deſc. in \\ aëre reſiſt. \\ per calculum \\ in min. ſec. # altit. jactus in \\ vacuo per \\ calculum in \\ ped. Angl. # temp. aſcenſ. \\ & deſc. in va- \\ cuo per calc. \\ in min. ſec.
I # II # III # IV # V # VI # VII
{1/2} # 11 # 486 # 5, 42 # 5, 58 # 541 # 11, 6
2 # 34 # 4550 # 14, 37 # 19, 63 # 13694 # 58
4 # 45 # 7819 # 16, 84 # 28, 16 # 58750 # 121
251237SECTIO DECIMA.
„Pro eodem tormento eodemque globo, ſed priori diminuto pede uno
cum ſeptem decimis partibus, ſic ut longitudo animæ reſidua eſſet præciſe
6. ped. Angl. inſervit ſequens tabula eadem lege conſtructa.
11
I # II # III # IV # V # VI # VII
{1/2} # 8 # 257 # 3, 95 # 4, 05 # 274 # 8, 2
2 # 20, 5 # 1665 # 9, 74 # 10, 76 # 2404 # 24, 5
4 # 28 # 3187 # 12, 5 # 15, 5 # 6604 # 40, 5
6 # 32, 5 # 4304 # 13, 9 # 18, 6 # 11810 # 54, 3
8 # 38 # 5643 # 15, 54 # 22, 46 # 22394 # 74
Multa ſunt, quæ ſucceſſum horum experimentorum ita reddunt dubium,
ut nullum ſit, quod eandem auræ elaſticitatem arguat. Maximam ego in-
æqualitatem ex eo oriri crediderim; quod minima pars pulveris inflammetur
ſtatim ab exploſionis initio, quod magna pars tum demum accendatur, cum
globus orificio tormenti jam proximus eſt, & quod maxima denique pars non
inflammata ejiciatur: facit fortaſſe hæc ſola ratio, ut vis elaſtica auræ globum
propellentis ſit centies major, quam quæ vi experimenti, nulla habita iſtius
rei ratione, prodit: id mihi valde probabile fit, ex eo quod adhibito in tor-
mento 7, 7 ped. longo pulvere ad 4 uncias globus in vacuo jactu ſuo aſcen-
dere potuerit ad altitudinem 58750 ped. cum eadem pulveris quantitate eo-
demque tormento ſed 1, 7 pede decurtato jactus reſponderit altitudini in va-
cuo 6604 pedum, quæ altitudo vix ultra nonam partem prioris excurrit: Ex
comparatione utriusque experimenti conjicio, maximam pulveris quantita-
tem in tormento longiore inflammatam fuiſſe dum globus jamjam eſſet ori-
ficio proximus neque ab ipſo ultra 1, 7 ped. amplius diſtaret.
Diminuitur quoque jactus globi à magnitudine luminis accenſorii, ut
& ab hiatu qui inter globum & internam animæ ſuperficiem relinquitur, per
quod utrumque notabilis auræ pars inutilis avolat: tanta autem inde dimi-
nutio non oritur, quantam illam nondum poſito calculo præſumſeram: ad-
jiciam tamen inſequentibus calculum, ut methodus habeatur vi pulveris
pyrii longiſſimos ſtatuendi limites, quos etiamnum certe transgrediatur.
252238HYDRODYNAMICÆ
(IV) Quod maximam oſtendit auræ elaſticitatem eſt experimentum ter-
tium cum tormento nondum decurtato ſumtum, quod indicat aſcendere
potuiſſe globum accepto impetu ad altitudinem α = 58750 ped. Angl. Erat
autem longitudo animæ A G ſeu a = 7, 7: longitudo A C (quantum ex
amplitudine animæ & gravitate pulveris pyrii conjicio) erat = 0, 08. De-
nique valor ipſius P (ſeu ponderis columnæ mercurialis, cujus baſis ſit cir-
culus maximus globi & cujus altitudo ſit 30. poll. Angl. ratione ponderis glo-
bi ferri deſignati per unitatem) invenitur poſita gravitate ſpecifica inter mer-
curium & ferrum ut 17 ad 10 = 26, 8: Et cum per §. III. ſit proxime n =
α: (b P log {a/b}) erit n = 6004. Unde ſequitur, ſi aura pulveris pyrii inflamma-
ti elaſticitatem habeat ſuæ denſitati proportionalem, eſſe illius maximam ela-
ſticitatem minimum ſexies millies majorem elaſticitate aëris ordinarii.
(V) At vero ſi jam conſideremus partem auræ inutilem, quæ avolat per
lumen accenſorium & hiatum à globo relictum, majorem elaſticitatem inve-
niemus: Calculus qui ad hanc quæſtionem ſolvendam requiritur, cum non
parum prolixus atque intricatus ſit, non hæſitavi hypotheſes adhibere paul-
lo liberiores, quibus admodum facilitatur: quamvis ipſæ hypotheſes non
ſint omni rigore veræ, errorem tamen notabilem producere non poſſunt.
Primo ponam utramque aperturam, per quam aura evolare poſſit, eſſe ve-
luti infinite parvam ratione animæ amplitudinis; hoc poſito poterit ſingulis
momentis velocitas, cum qua aura avolat, æſtimari immediate ex preſſione
ſola: hujusmodi autem hypotheſin ſine ullo ſenſibili errore fieri poſſe pro
omni fluido, tunc etiam cum foramina non ſunt admodum exigua, paſſim
ut corollarium ex theoria noſtra deduximus, & multo facilius aſſumi poſſe in
fluido valde elaſtico facile quisque videbit ex eo, quod incrementum aſcen-
ſus potentialis ratione motus interni longe minus eſt ratione aſcenſus potentialis
particulæ per foramen exilientis in fluido, quod à propria elaſticitate ex-
pellitur, quam quod gravitatis vi ejicitur: in priori enim minor eſt motus
localis internus quam in altero. Secundo auræ pulveris pyrii inflammati vim
elaſticam tantam eſſe, ut niſus atmoſphæræ contrarius attendi non mereatur:
tertio velocitatem globi in tormento utut permagnam, tamen minimam cen-
ſeri poſſe ratione velocitatis, qua aura per hiatum utrumque avolat, quia
nempe inertia iſtius auræ non poteſt non admodum eſſe exigua ratione
253239SECTIO DECIMA. ertiæ quæ globo ineſt: vi iſtius hypotheſeos avolabit aura per utramque aper-
turam eadem velocitate, cum alias poſita velocitate in lumine accenſorio
= √ A, & velocitate globi = v, velocitas auræ in hiatu a globo ad ſuperfi-
ciem animæ relicto dicenda eſſet = √ A - v. Venio nunc ad ſolutionem.
(VI) Primo notandum eſt, ſi elaſticitates auræ cenſeantur denſitatibus
proportionales, fore ut aura conſtanter eadem velocitate per utramque
aperturam avolet, uti vidimus in problemate §. 34. iſtaque velocitas no-
minatim talis erit, quæ generetur ab altitudine auræ homogeneæ, cu-
jus pondus auram captam coërcere poſſit, ne ſe expandat. Igitur deter-
minabitur dicta velocitas hoc modo: ſit gravitas globi = 1, elaſticitas
ſeu pondus quod auram pulveris modo inflammati A C D B in illo com-
preſſionis ſtatu coërcere poſſit = P: pondus pulveris adhibiti = p;
erit pondus auræ pulveris modo inflammati etiam = p: ſique lon-
gitudo A C ponitur = b, patet altitudinem auræ homogeneæ, quæ pondus
P habeat, fore = {P/p} b; Igitur velocitas quacum aura recens nata per lumen
accenſorium avolat eſt = √({P/p} b), eademque velocitate durante tota ex-
ploſione ejicietur, idque non ſolum per lumen accenſorium, ſed & proxime
per hiatum inter globum & animam relictum.
(VII) Sit nunc porro amplitudo animæ = F; hiatus interceptus inter
globum & animam = f: amplitudo luminis accenſorii = Φ: longitudo ani-
mæ = a, quantitas auræ ab initio exploſionis = g. Intelligatur deinde glo-
bus perveniſſe ex E in e, dicaturque A C = x: quantitas auræ eo temporis
puncto in tormento reſidua = z: velocitas globi in iſto ſitu = v, reliquæ de-
nominationes fuerunt jam antea explicatæ.
Quoniam elaſticitas per hypotheſin eſt directe ut quantitas & recipro-
ce ut ſpatium, erit elaſticitas auræ in A c d B reſiduæ = {zb/gx} P: quæ quidem
non tota in propellendum globum impenditur, ſed tantum pars ejus, quæ
ſe habeat ad totam ut F - f ad f. Eſt itaque poſito d t pro elemento temporis
dv = {F - f/F} X {zb/gx} P X dt.
Per methodum autem §. 34. exhibitam, ubi quantitas aëris dato tempuſculo
effluens ſpecifice definita fuit,
254240HYDRODYNAMICÆ - dz = {f + φ/F} X {z/x} X √ ({P/p} b) xdt;
Ex comparatione harum duarum æquationum oritur
- dz = {f + φ/F - f} X {g/b} X {√b/√Pp} X dv,
quæ cum debitæ conſtantis additione integrata dat
z = g - {f + φ/F - f} X {g/b} X {√b/√Pp} X v.
Si jam in æquatione prima ſubſtituatur valor iſte inventus pro z, ſimulque
ponatur {dx/v} pro dt, fiet
vdv = {F - f/F} X {b/x} X P X dx - {f + φ/F} X {√(bP)/x√p} X vdx, ſive
{Fvdv√p/(F - f) X bP√p - (f + φ) X v√ (bP)} = {dx/x},
quæ æquatio poſt debitam ſui integrationem, facta x = a, abit in hanc
log. {a/b} = [-F(f + φ) v√ p - F (F - f) p√ (Pb) X log. (1 - {(f + φ)v/(F - f) √ (bPp)})]:
(f + φ)2 X √Pb.
(VIII) Si jam per experimentum innotuerit valor ipſius v, poterit in-
de deduci valor ipſius P, qui denotat elaſticitatem auræ pulveris pyrii non-
dum expanſæ: Quod ut exemplo illuſtremus, eodem utemur experimento,
quod jam articulo IV. expoſuimus, ut appareat inde, quodnam ab avolatione
auræ elaſticitatis augmentum arguat. Sic igitur ponetur calculus.
Quia pondus globi, quod erat trium librarum, indicavimus per uni-
tatem, erunt quatuor unicæ pulveris adhibitæ exprimendæ per {1/12}: igitur
p = {1/12}. Menſuras aperturarum, quas conſideramus, non accepi: ſolet autem
hiatus à globo relictus conſtituere in ſimili tormento præterpropter partem
decimam quintam amplitudinis animæ; amplitudinem luminis accenſoriihic
fere negligi poſſe puto; itaque ſtatuam F = 15; f = 1; φ = 0: Deinde
habetur rurſus a = 7, 7; b = 0, 08; altitudo ad quam globus in vacuo
aſcendere poſſit ſeu {1/2} vv = 58750, ſeuv = 343: Igitur æquatio ultima
ſuperioris articuli hæc erit
log. 96 = { - 5251/√P} + 17, 5 log. {√P/√P-300},
cui proxime ſatisfit cum ſumitur √ P = 534 & proinde P = 285156,
quod efficit pondus columnæ mercurialis ejusdem cum anima tormenti
255241SECTIO DECIMA. plitudinis, cujus altitudo ſit plusquam 10000 vicibus major altitudine com-
muni barometri, invenimus autem ſupra art. IV. numerum n ( qui idem ſi-
gnificabat) = 6004. Ergo jam tuto affirmabimus ( ubique enim quæ negle-
ximus majorem vim pulveri arguunt) ineſſe pulveri pyrio vim elaſticam,
minimum decies millies majorem vi elaſtica aëris ordinarii. Apparet autem
ſimul ex comparatione numerorum 10000 & 6004, quantum circiter vi pul-
veris decedat ab hiatibus ſæpe dictis. Equidem iſtud decrementum majus pu-
taſſem: Confirmatus autem ſum hoc calculo in re de qua aliquando me cer-
tiorem voluit vir harum rerum gnarus, nullum nempe ſe in tormentis nota-
bile obſervaſſe decrementum, cum lumen accenſorium diuturno uſu ſupra
modum amplificatum eſſet in obſidio.
(IX) Verum ut ex æquatione noſtra quædam corollaria deduci poſ-
ſint faciliora quam vis proxime tantum vera, mutabimus quantitatem lo-
garithmicalem in ſeriem. Eſt autem
- log. (1 - {(f + φ)v/(F - f)√(bPp)}) = {(f + φ)v/(F - f)√(b P p)}
+ {(f + φ)2 vv/2(F - f)2 X b P p} + {(f + φ)3v3/3(F - f)3 X b P p√(b P p)} + & c.
Iſtoque valore ſubſtituto in æquatione ultima art. (VII) fit
log. {a/b} = {Fvv/2(F - f). b P} + {F. (f + φ)v3/3. (F - f)2bP√(bPp)} + & c.
Notabimus hic iſtam æquationem perfecte convenire cum æquatione ultima
art. (II) ſi aperturæ f & φ ponantur = 0: quod enim hic indicatur per {1/2} vv
& n P ibi eſt α & P, convenientibus denominationibus reliquis.
(X) Ut appareat, quantum proxime altitudo jactus ab aperturis dimi-
nuatur, ſi iſtæ aperturæ ſint minimæ, inſerviet hæc æquatio. Intelligatur per
α altitudo ad quam globus pervenire poſſit in vacuo, ſi nulla auræ quantitas
per aperturas avolare ponatur, & erit decrementum iſtius altitudinis ab erup-
tione auræ per easdem aperturas oriundum proxime hoc
[(2α){3/2} X (f + φ)]: [3F X √ (bPp].
256242HYDRODYNAMICÆ
Unde in eodem tormento adhibitaque eadem pulveris quantitate &
manente globi pondere, erunt decrementa jactuum proportronalia ampli-
tudinibus aperturarum.
Decrementa eadem fere ſequuntur rationem ſubduplicatam quantita-
tum pulveris adhibitarum cæteris paribus; quia enim logarithmi magno-
rum numerorum in multo minori creſcunt ratione ac numeri ipſi & quo-
niam inſuper eſt α = b P log. {a/b}, poterit cæteris paribus ſtatui α propor-
tionale ipſi b, quia P non afficitur à b. Sed decrementum, de quo ſermo eſt,
ceteris paribus rationem ſequitur quantitatis (α{3/2}): (√ bp) ſeu rationem
quantitatis {b/√p}; ipſum vero p, quod pondus denotat pulveris adhibiti eſt ut b;
igitur decrementum prædictum ſequitur proxime rationem √ b, quæ ſub-
duplicata eſt quantitatis pulveris adhibiti. Igitur ratione habita jactuum, de-
crementa multo majora ſunt in jactibus debilibus, quam vehementioribus,
idque etiam experimenta art. (III) recenſita confirmare videntur: non video
enim aliam rationem, cur in prima tabula experimentorum globi jactus in
vacuo, ſumtis duabus pulveris unciis, plus quam vigeſies ſexies altior eſſe
debuerit, quam cum uncia dimidia ſumeretur, & cur mox duplicata pul-
veris quantitate ad 4. uncias jactus tantum quadruplo altior poſt calculum pro-
deat, quam quantitate duarum unciarum.
(XI) Quæ reliquæ in utraque tabula comparent experimentorum in-
æqualitates, eas ut ſupra dixi, maximam partem derivo ab eo, quod pulvis
non omnis inflammatur, nec is qui inflammetur omnis ſtatim ab initio ex-
ploſionis flammam concipiat. Neque certe id mirabimur, cum perpendimus
totum exploſionis tempus in exper. 4. tab. 1. nequidem centeſimam unius minuti
ſecundi partem efficere. Igitur cum certum ſit maximam pulveris partem non
inflammatam ejici, nec exiguam partem reliqui tardius inflammari, quam in
calculo poſitum fuit; cumque præterea notabilis pulveris pars fucata ſit vapo-
ribus materiaque terreſtri, quæ non accenditur, ſequitur longe majorem in-
efſe elaſticitatem partibus accenſis, quam quæ experimenti calculo art. (X.)
determinata fuit, fortaſſe decies aut centies major eſt.
At vero ſit tantum talis, quam experimentum oſtendit,
257243SECTIO DECIMA. nempe aëris ordinarii decies millies major; ſequitur inde auram illam elaſti-
cam, quæ ex pulvere pyrio accenſo elicitur aut non aërem eſſe communem
aut elaſticitates in majori ratione creſcere quam denſitates: non poteſt enim
denſitas aëris, qui à pulvere modo inflammato oritur, eſſe plus quam millies
denſitate aëris ordinarii major, ſi pulvis vel totus ex aëre compreſſo compo-
ſitus ſit, quod ex gravitate pulveris ſpecifica ratione aëris concludo.
Quæſtio interim jamdudum eſt agitata, an aura elaſtica factitia, quæ ex
corporibus deducitur, aër ſit ordinarius nec ne, quam ego quæſtionem non
decidam.
Si tamen ponatur, pulverem pyrium aërem eſſe naturali millies den-
ſiorem & decies millies magis elaſticum, tum ex §. 4. ſequetur, aërem vi infi-
nita compreſſum non poſſe pluribus quam 1331. vicibus condenſari & ſecun-
dum eandem regulam foret aëris naturali quadruplo denſioris elaſticitas ad ela-
ſticitatem aëris naturalis ut 4 {1/4} ad 1.
An vero experimenta ab aliis inſtituta, quæ harum elaſticitatum ratio-
nem faciunt accurate ut 4 ad 1 ſufficiente accuratione facta fuerint & an calor
aëris dum comprimebatur idem permanſerit? neſcio. Veroſimile autem eſt.
eandem auram quæ in poris pulveris pyrii latet, cauſam eſſe elaſticitatis cor-
porum elaſticorum aut villorum contractilium: dum enim in cavernulis ſcatet,
ſi corpora in figuram inſolitam vi quadam redigantur, comprimitur aura ela-
ſtica, cavernuliſque dum reddit figuram capaciſſimam corpus reſtituit in pri-
ſtinam figuram & longitudinem.
258244
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO UNDECIMA.
De fluidis in vorticem actis, tum etiam de iis, quæ
in vaſis motis continentur.
§. 1.
EX eo tempore quo Keplerus & Carteſius vortices adhibuere pro
variis naturæ phænomenis explicandis, multi operam ſuam haud
male ſe collocaturos rati ſollicite iſtud argumentum ruminati ſunt:
primus autem, ni fallor, naturam ejus recte penetravit Huge-
nius in tract. ſur la peſanteur; ſuperaddam quædam, quæ ad in-
ſtitutum meum pertinent, ab aliis fortaſſe non ſatis examinata.
Poni autem ſolent vortices ad ſtatum permanentiæ ſeu durationis redu-
cti, ita ut nulli mutationi ſubjectum lege conſtanter eadem moveatur flui-
dum.
§. 2. Sit cylindrus A B C D (Fig. 65. & 66.) verticaliter poſitus, cujus
11Fig. 65. axis G H, iſque ad certam altitudinem plenus ſit, concipiatur aqua in vorti-
22& 66. cem acta ſintque omnia jam ad ſtatum durationis reducta: Ita ſuperficies aquæ
deprimetur verſus axem & elevabitur verſus latera: Sectionem per axem termi-
natam à ſuperficie aquæ repræſentabimus curva E O F, hujuſque curvæ nunc
indolem dabimus ex data relatione, quam inter ſe habent velocitates ſub certis
ab axe diſtantiis.
Ducantur g a & f n infinite propinquæ & horizontales, agaturque a m
verticalis: Sit O g = x, gf ſeu am = dx, ga = y, mn = dy: Patet autem
quamlibet guttulam in ſuperficie poſitam niſu ſuo, ex vi centriſuga horizontali
& vi gravitatis verticali, compoſito perpendiculariter ſuperficiei inſiſtere, quia
ſi oblique contranitatur nihil ſit, quod guttulam in loco ſuo conſervet.
Igitur ſi vis centrifuga guttulæ in a poſitæ exprimatur per
259245SECTIO UNDECIMA. b a & vis gravitatis per verticalem c a compleaturque rectangulum a b e c, erit
diagonalis a e ad curvam perpendicularis; unde triangulum e c a ſimile eſt tri-
angulo a m n & ſic d x: dy = ec: ca = ba: ca, vel ut vis centrifuga in
puncto a ad vim gravitatis.
Demonſtravit autem Hugenius vim centrifugam corporis in gyrum acti
celeritate, quam lapſu libero per altitudinem dimidii radii acquirere poſſit, æqua-
lem eſſe vi ſuæ gravitatis: quod ſi proinde altitudo reſpondens guttulæ veloci-
tati gyratoriæ dicatur V; vis gravitalis g: erit vis centrifuga = {2gV/y}, unde
dx: dy = {2gV/y}: g, vel dx = {2Vdy/y}.
§. 3. Si ponatur V = {1/2} y, fiet x = y & proinde linea E O erit
recta conſtituens cum axe G H angulum ſemirectum habebitque cavitas for-
mam coni: Si vero ſervata eadem proportione velocitatum, quæ nempe ſint
ubique radicibus diſtantiarum ab axe proportionales, aquæ celerius tardiuſve
circumagantur, fiet angulus E O G eo acutior, quo celerius moventur, ita ut
ſi infinita fuerit velocitas, tunc aquæ perpendiculariter fundo inſiſtere debeant
inſtar muri, cavitatemque cylindricam interius formare, ſi modo operculum
ſit in A D, quod impediat, quominus aquæ omnes ejiciantur.
§. 4. Si ponatur paullo generalius 2 V = fye, fiet dx = fye - 1 dy
vel x = {f/e}ye: Hinc ſequitur curvam ſemper fore verſus axem conca-
vam, ut in figura 65, ſi ſit e major unitate atque convexam, ut in fig. 66. ſi ſit
minor. In priori cafu eſt angulus E O G ſemper rectus, in altero ſemper nul-
lus: in ſolo caſu quo e = 1 poteſt angulus iſte eſſe qualiſcunque.
§. 5. Inſervire poſſunt hæc ad dignoſcendam quodammodo ſcalam
velocitatum in vortice artificioſe producto: ſi enim ſuperficiem videas conca-
vam, recte judicabis velocitates majori creſcre ratione, quam diſtantiæ ab axe
creſcant, ſi convexam contrarium deduces. Si curva non videatur ad parabo-
licum genus pertinere, indicium erit velocitates non poſſe comparari cum di-
ſtantiarum determinata aliqua potentia. Quo major obſervata fuerit linea E M
terminata ab horizontali O M, eo major putabitur velocitas particularum ab-
ſoluta ſeu littera f.
260246HYDRODYNAMICÆ
§. 6. Exiſtimo autem non poſſe vorticem in ſtatu ſuo per tempus aliquod
notabile permanere, ſi vires centrifugæ partium æqualium in fluido homoge-
neo creſcant ab axe verſus peripheriam: hoc enim ſi eſſet, cum nihil ſit, quod
partium axi viciniorum vim centrifugam ſufficienter coërceat, fieret utique, ut
partes illæ viciniores perpetuo ab ax@ recederent, remotioresque ad illum
propellerent, neque unquam in hoc ſtatu æquilibrium aut ſtatus durationis
obtineri poſſet. Apparet inde quantitatem hanc {2gV/y} (quæ nempe in fluidis
homogeneis vim centrifugam partium æqualium exprimit) aut una creſcere
cum γ aut ſaltem non decreſcere, atque ſic ſi rurſus ad ſpecialem hypotheſin
antea factam (2V = fye) deſcendamus, non poterit e eſſe minor unitate. Igi-
tur in omnibus vorticibus, de quibus hic ſermo eſt, ad ſtatum durationis re-
ductis, ſuperficies nunquam convexa erit, ut in figura 66, ſed ſemper aut con-
cava, ut in figura 65. aut conica: & quia e vel major eſt unitate vel eidem æqua-
lis, aliter fieri non poteſt, quin velocitates aut æquali aut majori ratione cre-
ſcant cum radicibus diſtantiarum ab axe. Hæc cum ita mecum perpendo, non
intelligo quemadmodum Newtonus fingere ſibi potuerit duos vortices fluidi
ubique homogenei ad ſtatum perpetuæ durationis reductos, in quorum altero
tempora periodica partium ſint ut earum diſtantiæ ab axe cylindri, in altero au-
tem ut quadrata diſtantiarum à centro ſphæræ: Nam in horum vorticum altero
velocitates ubique eſſent æquales, & in altero plane decreſcerent ab axe ver-
ſus peripheriam.
Magis veroſimile eſt, in pleriſque vorticibus, qui ſtatum perduratio-
nis jam attigerint, fluidi ſive homogenei ſive heterogenei partium ſingularum
tempora periodica eadem fore, quaſi totus cylindrus ſolidus fuerit, partes au-
tem quæ ſint ſpecifice graviores circumferentiæ, viciniores futuras eſſe. In hoc
caſu fit v proportionale ipſi y & V proportionale ejusdem quadrato, curvaque
E O F erit parabola Apolloniana, cujus vertex in O & cujus axis ſit O G.
Præſertim hæc ita proxime fore præſumo, ſi vortex generetur à rota-
tione vaſis cylindrici circa axem H G, vel etiam ab agitatione uniformi baculi
juxta latera vaſis, cujuſmodi vorticum phænomena expoſuit D. Saulmon i@
Comm. Acad. Reg. ſc. Pariſ. a. 1716.
§. 7. Preſſiones quas diverſæ cylindri A B C D partes à fluido
261247SECTIO UNDECIMA. proportionales ſunt altitudinibus columnarum verticalium iisdem partibus re-
ſpondentium: neque enim requiritur, ut huic ponderi conatum fluidi à vi
centrifuga oriundum addamus, quia conatus iſte effectum jam obtinuit in ele-
vandis aquis: Atque ſi vas non fuerit cylindricum ſed irregularis utcunque
ſtructuræ, licebit cylindrum fingere, cujus axis coincidat cum axe rotatio-
nis, fluido ita plenum, ut punctum Otam in vaſe propoſito quam in cylindro
fictitio in eodem loco poſitum ſit: tanta enim in quovis cylindri puncto preſ-
ſio erit, quanta eſt in eodem puncto, quatenus id ad vas propoſitum pertinet.
Apparet ex hoc ipſo, poſſe ſuperficies vorticum ex alio principio quam quo an-
te uſi ſumus definiri: Ducta nempe linea horizontali O M & verticali N a cum
ſua infinite propinque p n ſequitur altitudinem N a ſeu O g proportionalem eſſe
vi centrifugæ omnium particularum quæ ſunt in O N & differentiam altitudi-
num duarum proximarum, nempe a m ſeu gf, proportionalem vi centrifugæ
particulæ N p: Unde rurſus derivatur æquatio finalis, quam §. 2. dedimus, nem-
pe dx = {2 V dy/y}.
§. 8. Videamus nunc quid accidere debeat corporibus vortici inna-
tantibus; ut autem quæſtio eo diſtinctior atque ſimplicior fiat, corporis loco
conſiderabimus globulum parvum ejusdem cum fluido vorticoſo gravitatis ſpe-
cificæ.
Globulus talis fluido commiſſus duabus ſtatim potentiis ſollicitatur,
altera tangentiali ab impetu fluidi ortum trahente, altera centripeta, quæ à
vi fluidi centrifuga naſcitur. Iſtæ vires conſtantem ſervant inter ſe rationem,
quadratam nempe velocitatis fluidi reſpectivæ; ſive quieſcat corpus ſive motu
circulari feratur.
Notari autem meretur ab iis, qui in explicandis gravitatis phænomenis,
adhærent principiis Carteſianis, vim tangentialem eſſe incomparabiliter majo-
rem vi centripeta: eſt enim illa ad hanc, ut diſtantia corporis ab axe vorticis
ad octo tertias partes diametri globi; demonſtrationem videre eſt in Comment.
Acad, Petrop. tom. II. p. 318. & 319.
§. 9. Quamvis ſciam multa à variis allegata fuiſſe, ut oſtenderent, ma-
teriam ſubtilem celerrime in vorticem actam corpora quidem verſus axem de-
trudere poſſe neque tamen inde ſequi, ut ſimul à vortice deferantur iſta
262248HYDRODYNAMICÆ ra, non potui tamen hunc mihi ſcrupulum eximere, poſtquam cognovi vim
tangentialem vi centripeta eſſe pene infinite majorem. An non melius huic dif-
ficultati occurritur, ſi duos ſuper eodem axe vortices ſtatuamus contrarios &
æqualis virtutis: Videtur enim, phænomena naturæ plurima conciliari non
poſſe cum vorticum hypotheſi, niſi ponamus duos plureſve vortices liberri-
me ſub qualicunque directione ſe invicem trajicere poſſe: vel ſola gravitatio
communis omnium corporum cæleſtium verſus ſe invicem, quæ in dubium
vocari nequit, ſatis oſtendit aut valedicendum eſſe hypotheſi vorticum, aut li-
berrimam vorticum plurium in omnes plagas decusſationem ſtatuendam eſſe-
Si igitur duo vortices æqualis virtutis contrarii ſuper eodemque axe fingerentur,
tunc impetus contrarii deſtruerent vires utriuſque vorticis tangentiales; ſimul
autem uterque vortex concurreret ad corpus verſus axem communem depri-
mendum.
§. 10. Altera accedit difficultas, quominus poſſit corporum gravitas
peti ex effectu duorum vorticum contrariorum ſuper eodem axe motorum. Ita
enim corpora non verſus punctum commune aut quaſi punctum ſed verſus
axem gravitarent, motuque ad eundem perpendiculari laberentur, quod cum
deſcenſu corporum verticali & rotunditate vel quaſi rotunditate terræ corpo-
rumque cœleſtium pugnat.
Huic alteri quoque difficultati occurretur, ſi fingantur duo axes ad ſe
invicem perpendiculares aut proxime tales, circa quorum utrumque duo vor-
tices contrarii æqualis virtutis circumagantur. Namque vis compoſita omnium
vorticum ita intelligi poteſt comparata, ut corpus detrudat proxime verſus pun-
ctum, quo ambo axes ſe invicem interſecant; ſemper tamen foret terra ali-
quantum compreſſa verſus planum per ambos axes tranſiens. Poterit autem vel
huic incommodo, ſi modo incommodum ſit, obviam iri, multiplicando ad-
modum vorticum numerum: nam ſi vel infiniti fere ſtatuantur vortices, pote-
runt omnes eadem facilitate ſe trajicere, ac radii luminis, qui ſe minime im-
pediunt.
Volui iſta hic adjicere in gratiam eorum, qui vorticibus delectantur,
ut videant, an motus iſte facilius concipi poſſit eo, quem Hugenius finxit:
utroque enim phænomena naturæ æqualiter explicari poſſunt. Hanc ſenten-
tiam paullo accuratius expoſui in diſſertatione, quam Academia Reg. Sc. Pariſ.
præmio a. 1734. affectam imprimi curavit.
263249SECTIO UNDECIMA.
§. 11. Quia dubitari nequit, quin omnes planetæ verſus ſolem & ſatellites ver-
ſus ſuos planetas ad mentem Newtoni gravitent, hujusque gravitatis cauſa affinis
ſit cum illa qua corpora terreſtria verſus centrum terræ tendunt, erit vorticum
hypotheſis ad totum ſyſtema mundi extendenda, ſi pro gravitate corporum
terreſtrium explicanda adhibeatur. Ita vero planetæ, materiæ ſubtili innatan-
tes, moverentur in medio reſiſtente, paulatimque de motu ſuo aliquid per-
dentes ad centrum ſolis accedere ſub forma ſpiralis deberent: hoc vero cum ex
antiquiſſimis obſervationibus non appareat, poſtulat vorticum hypotheſis, ut
fluidum vorticoſum ponatur ſupra modum rarum atque ſubtile idque veloci-
tate, quam mens humana vix aſſequi poſſit, motum: quo enim rarius flui-
dum, eo celerius motum fingas neceſſe eſt. Fortaſſe oportunius motuum
perennitas explicabitur à communicatione quadam motus reciproca, ita ut
quas modo corpus cœleſte propulſit particulas, ab his alio tempore vi ſimili
propellatur.
§. 12. Venio jam ad reliquas corporum gravitantium proprietates, quæ
ex hypotheſi vorticum ſequuntur. Ponamus itaque corpus in fluido vortico-
ſo quieſcens, quod nullas fluidi particulas per poros ſuos tranſmittat: ita ten-
det corpus verſus centrum vorticis, eritque vis ejus centripeta præciſe æqua-
lis vi centrifugæ fluidi vorticoſi, quod ſub ſimili volumine in eadem à centro
diſtantia poſitum ſit. Ergo corpora quæcunque in ſimili vorticis loco conſtitu-
ta eandem habent vim centripetam ſi idem habeant volumen, etiamſi quanti-
tates materiæ in uno quoque corpore ſint utcunque inæquales, & ſi hujusmo-
di corpora libere verſus centrum vorticis moveri poſſint, ferentur velocitati-
bus inæqualibus reciproce ſcilicet proportionalibus quantitatum materiæ ra-
dicibus quadratis, ſi ſpatia emenſa ſint æqualia.
§. 13. Quæ in præcedente paragrapho monita ſunt, facile applicantur
gravitati corporum, ſi modo principium gravitatis ſit vis centrifuga alicujus
materiæ ſubtilis celerrime in vorticem actæ. Quia vero experientia docet om-
nia corpora terreſtria in vacuo ſimili deſcendere velocitate omniaque corpora
è filo ſuſpenſa æquali vibrationes facere tautochronas, inde concludemus, par-
ticulas ultimas graves, per quas nempe fluidum gravificum penetrare nequeat,
in omnibus corporibus terreſtribus eſſe æqualis denſitatis ſpecificæ, id eſt, ſub
æqualibus voluminibus æquales materiæ ſolidæ quantitates continere, idque non
minus in particulis gravibus, quæ aurum quam quæ plumas componunt.
264250HYDRODYNAMICÆ vero hæc ſecus ac volo explicentur dicendum mihi erit, quid intelligam per
ultimas particulas graves & per ma@eriam ſolidam ipſis inſitam.
§. 14. Sunt igitur particulæ graves proprie ſic dictæ illæ, quæ impene-
trabiles ſunt materiæ ſubtili vorticoſæ: hujuſmodi enim particulæ idem faciunt,
quod corpora in vortice poſita, de quibus §. 12. diximus: quamvis autem
impenetrabiles ſint materiæ ſubtili modo dictæ, non crediderim tamen illas
perfecte ſolidas, quales Hugenius præſumſiſſe videtur in tract. ſuo de gravitate,
id eſt tales quorum ſpatium totum materia repletum ſit ſine poris aut fluido
interfluo: exiſtimo potius has particulas graves ſuos rurſus habere poros, at-
que in illis fluidum aliud eſſe longum ſubtilius, quod particulas graves ea-
dem libertate trajicit, qua fluidum gravificum fluit per corpora ſenſibilia: re-
ſiduum vero quod in particulis gravibus ſibi cohæret voco materiam ſolidam ad
particulas easdem pertinentem.
§. 15. Perſpicuum ex his eſt, diverſas corporum gravitates ſpecificas
minime petendas eſſe ex diverſa denſitate particularum gravium, ſed ex eo,
quod hæ particulæ poſſint eſſe in diverſis corporibus ſub eodem volumine nu-
mero inæquales, aut etiam magnitudine, ſic ut in corporibus compactiori-
bus majorisve gravitatis ſpecificæ particulæ graves, vel minoribus interſtitiis
poſitæ vel volumine majores ſint.
Etſi vero diverſas denſitates ſpecificas habuiſſent particulæ graves in diver-
ſis corporibus, non propterea diverſas habitura fuiſſent gravitates ſpecificas
corpora cæteris poſitis paribus: talia autem corpora ex alto delapſa diverſa in-
ter ſe velocitate fuiſſent deſcenſura verſus centrum terræ: Fieri itaque potuiſ-
ſet, ut corpora æqualis gravitatis ſpecificæ, vel in vacuo communiter ita di-
cto inæquali velocitate deſcendiſſent non minus atque corpora videmus diver-
ſæ gravitatis ſpecificæ æquali velocitate deſcendentia: In hujuſmodi autem cor-
poribus leges motuum longe aliæ forent, atque nunc ſunt, ubi mafſæ ex ſo-
lis ponderibus æſtimantur.
§. 16. Cæterum quia omnia, quantum experientia conſtat, corpora
terreſtria habent ſuas particulas graves æqualis denſitatis ſpecificæ, ut §. 13. mo-
nitum fuit, facile quidem inducar, ut credam idem in omnibus planetis fieri
ſeorſim conſideratis: Planetas vero inter ſe comparatos particulas ſuas graves
265251SECTIO UNDECIMA. verſæ habere denſitatis ſpecificæ mihi admodum eſt probabile, quia nullam vi-
deo rationem, cur in omnibus planetis ſimiles eſſe debeant iſtæ particulæ. Sed
à particularum gravium denſitate in quolibet planeta pendet hujus vis centrifuga
ſeu conatus recedendi à ſole. Igitur nondum licet colligere planetarum vires
centrifagas ſe habere, in ratione quadr ata reciproca eorundem diſtantiarum à
ſole ex eo, quod tempora periodica rationem ſequantur ſeſquiplicatam diſtan-
tiarum: talis enim concluſio ſupponit ſimilem in omnibus planetis particula-
rum gravium denſitatem.
§. 17. Planetarum vires centrifugæ æquales utique ſunt viribus contra-
riis quibus verſus ſolem trahuntur: Quia autem, ut dixi in ſuperiori paragra-
pho, nondum certum eſt, in quanam ratione reſpectu diſtantiarum à ſole vi-
res planetarum centrifugæ mutentur, ideo neque de eorum viribus gravitatis
verſus ſolem aliquid certi ſtatuere licet; Et plurima quidem ſunt in vorticum
hypotheſi, quæ vires gravitatis in diverſis diſtantiis conſtituunt & determinant.
Cum enim vis gravitatis ſit æqualis vi centrifugæ materiæ ſubtilis, quæ
particulas corporis graves penetrare nequit, ſequitur eo majorem eſſe vim gra-
vitatis, quo majori materiæ ſubtilis quantitati tranſitus negatur; quia vero ſci-
mus corpus ſæpe fluido uni impenetrabile eſſe, quod alii fluido ſubtiliori li-
berrimum concedit transfluxum, fieri poteſt, ſi modo materiam vorticoſam
in diverſis à centro vorticis diſtantiis inæqualiter ſubtilem putemus, ut unus
idemque planeta in inæqualibus à ſole diſtantiis inæqualiter ad ſolem pellatur,
quod idem facilius contingere poteſt @in diverſis planetis, quia accedit diverſa
quæ eſſe poteſt particularum gravium, ſtructura.
Præter hæc ſunt etiam diverſa materiæ vorticoſæ denſitas, velocitas di-
ftantiaque à centro, quæ concurrunt ad vim gravitatis formandam. Si vero
eorum ratio habeatur, apparebit poſſe quidem vires gravitatis decreſcere
creſcentibus diſtantiis à centro virium, neque tamen propterea vires centrifugas
æqualium materiæ vorticoſæ voluminum pariter decreſcere, quod poſterius
ob rationem §. 6. expoſitam fieri non poſſe exiſtimo.
lſta vero quæ generaliter & obiter diſputavimus de natura vorticum eo-
rumque ad Phænomena gravitatis applicatione, ſufficiant: animus non
266252HYDRODYNAMICÆ vorticum commendare hypotheſin, ſed quasdam tantum inde concluſiones
facere, ſine quibus ipſam hypotheſin ſubſiſtere non poſſe crediderim.
Venio jam ad alteram ſectionis partem, qua breviter conſiderabimus
ſtatum fluidorum, quæ intra vaſa mota continentur: Argumentum eſt fertiliſ-
ſimum infinitiſque modis variabile: Sed pauca attingemus, ceu exempla, ad
quæ multa alia revocari poterunt.
§. 18. Si aqua in vaſe perforato contineatur ipſumque vas libere ca-
dat, ex ſe patet, nihil aquæ durante vaſis lapſu eſſe effluxurum, quia nem-
pe particulæ ſuperiores non gravitant in inferiores: Si vas motu quidem acce-
lerato deſcendat ſed tardiore quam quo corpora naturaliter in vacuo accele-
rantur, effluet aqua, ſed minori velocitate ac ſi vas quiescat: Contrarium erit,
ſi vas motu accelerato ſurſum trahatur: Denique ſi vas horizontaliter accele-
rato motu feratur (jam enim ad reliquas non attendemus directiones) fieri po-
teſt, ut velocitas aquæ effluentis major ſit vel minor velocitate ordinaria pro
ratione ſitus foraminis: Velocitates autem aquæ ſic determinabuntur.
§. 19. Sit v. gr. cylindus A C D B (Fig. 67.) aqua plenus usque in A B,
11Fig. 67. cujus fundum C D foramen habeat in E valde parvum per quod aquæ effluant,
dum interea totum vas ſurſum trahaturà pondere P deſcendente mediante funi-
culo ſuper duabus trochleis H & G excurrente. Denique conſtanter tantum
aquæ ſuperius affundi ponatur, quantum effluit per foramen E: pondus vero
cylindri & aquæ in eo contentæ indicetur per p. lta apparet quamlibet gut-
tam aquæ in vaſe veluti ſtagnantis vi animari ad aſcenſum quæ ſe habeat ad vim
gravitatis naturalem ut {P - p/P + p} ad 1: Quia vero reactio guttulæ in fundum æqua-
lis eſt vi, qua ad aſcenſum animatur quævis guttula, præter preſſionem natu-
ralem aliam exeret in fundum, quæ exprimenda erit per {P - p/P + p}. Utraquè vero
preſſio ſimul ſumta erit ad preſſionem ſolam naturalem ut {2P/P + p} ad 1, adeo
ut fundum haud ſecus ab incumbente aqua prematur, quam ſi cylindrus quieſ-
ceret eſſetque altitudo aquæ = {2P/P + p} X A C, ex quo ipſo ſequitur altitudinem
velocitati aquæ uniformiter effluentis debitam eſſe = {2P/P + p} X A C.
267253SECTIO UNDECIMA.
Igitur ſi P = o, nulla effluet aqua, cadente vaſe motu naturaliter acce-
lerato: ſi P = p, effluet aqua, velocitate ordinaria, quia tunc vas quieſcit;
atque ſi P = ∞, erit velocitas aquæ effluentis ad velocitatem ordinariam ut
√ 2 ad 1.
§. 20. Quæritur nunc quid accidere debeat fluido, quod in vaſe con-
tinetur, cui motus horizontalis uniformiter acceleratus imprimitur. Id vero
facillimum eſt videre ex hoc ſolo, quod nunc inertia particularum ceu dire-
ctioni, ſub qua vas movetur, contraria ſit horizontalis, dum gravitatis ea-
rundem eſt verticalis: Utraque vero manet conſtanter eadem.
Igitur poſtquam fluidum ad ſtatum durationis ſeu permanentiæ perve-
nit, ſuperficies ejus plana erit, ſed inclinata verſus plagam motus. Angulus
autem inclinationis determinabitur ut ſequitur.
Sit vas cylindricum A C D L (Fig. 68.) verticaliter poſitum, quod ſu-
11Fig. 68. per plano horizontali C D H, mediante pondere P ope trochleæ G vaſi anne-
xo in S movetur motu uniformiter accelerato, ſitque pondus vaſis & aquæ in
illo contentæ ad pondus P ut p ad P: gravitatio naturalis = 1; eritque niſus
cujuslibet guttulæ in directione G S ratione ſuæ gravitationis = {P/P + p}: Igi-
tur ſi A B ſit in eodem plano cum S G & cum ſuperficie aquæ, ducaturque A L,
patet actionem gravitatis naturalis fore ad reactionem à pondere P oriundam,
ut B L ad A L ſeu ut 1 ad {P/P + p}: vocatoque ſinu toto 1, fore ſinum anguli
L A B = {P/√(2PP + 2P p + pp)}.
Hinc etiam intelligitur fundum C D majorem ab incumbente aqua
preſſionem pati in C quam in D, idque in ratione altitudinum A C & B D:
ſique idem fundum perforetur minimo foraminulo, aquam ejectum iri velo-
citate, quæ reſpondeat altitudini columnæ verticalis ſuperincumbentis. Ita
vero erit, poſtquam omnia jam ad ſtatum permanentiæ pervenerint; ſi pon-
dus P veriabile ſit, nunquam in eodem ſitu permanebit ſuperficies A B: à
pondere autem iſto pendet velocitas, qua vas movetur in ſingulis locis. Igi-
tur ſi totum pondus auferatur, poſtquam vas jam motum acquiſiverit,
268254HYDRODYNAMICÆ get vas ſuâ velocitate moveri, ſuperficies autem aquæ declivitatem deponet,
rurſusque ad ſitum horizontalem componetur, veluti ſi quieſcat vas; in his
adeoque caſibus non eſt vaſis motus, qui fluidorum ſtatum permutet, ſed
motus variatio.
§. 21. Quod in præcedente paragrapho monuimus de vaſe cylindrico
verticaliter poſito facile extenditur ad vas cujuscunque figuræ: qualis enim
eſt inclinatio ſuperficiei aqueæ A B ad horizontem in vaſe cylindrivo, talis
erit in omnibus reliquis vaſis: preſſio autem aquæ in latera vaſis ubique de-
finietur, ſi columna concipiatur verticalis ab eo puncto, pro quo preſſio
aquæ definienda eſt, usque ad ſuperficiem aquæ, quæ cogitatione producen-
da erit, ſi id opus fuerit. Si loco vaſis ſumatur v. gr. tubus ab utraque par-
te inflexus, veluti A C D L (Fig. 69.) isque moveatur in directione C D,
11Fig. 69. tum utraque ſuperficies M, N ſitum mutabit in A, B, donec recta A B debi-
tam obtineat inclinationem antea definitam; fieri etiam poteſt ut pars aquæ
efflat per A, priusquam æquilibrium adſit: ſi crus D L deorſum ſpectet,
ut in figura 70. aqua manebit veluti ſuſpenſa: in utroque enim caſu inclina-
tio lineæ A B cæteris paribus eadem erit.
In figura autem 69. erit linea M A eo major, quo longius eſt crus ho-
rizontale C D: ſic ut minimæ accelerationes aut etiam retardationes obſer-
vari poſſint, quod ſæpe aliis rebus inſervire poteſt, veluti dignoſcendis ac-
celerationibus navium, niſibusque quos exercent ſingulis remorum ſub-
merſionibus remiges; in his tamen caſibus, quia non poteſt ſtatus ſuppo-
ni durationis ſeu permanentiæ, omnis fluidi motus, qui ſingulis vicibus re-
plicatur, eſſet inquirendus.
Facit eadem hæc ratio, ut nondum liceat omnino ex præmiſſis deter-
minare, quid fieri debeat cum vaſa fluidum continentia percutiuntur.
Poſſunt autem regulæ percuſſionum ex ordinariis legibus preſſionum de-
duci, quandoquidem percuſſio nihil aliud ſit, niſi ingens preſſio parum durans.
§. 22. Sit v. gr. tubus cylindricus horizontaliter ſitus A B C D (Fig. 71.)
22Fig. 71. aqua plenus, impingatque globus P in tubi prominentiam A P: tunc aqua
ſubito premet vehementer fundum B A verſus P: ut hanc preſſionem
269255SECTIO UNDECIMA. intelligamus, ponemus primo nullum ineſſe pondus tubo: ita apparet ex
æqualitate inter actionem & reactionem fundum durante globi impulſu non
aliter impelli ab aqua, quam pelleretur in contrariam partem à globo, ſi
hic immediate in fundum impingat. Si vero pondera aquæ & tubi rationem
habere ponantur ut p ad π, diminuetur impulſus aquæ in fundum, eritque
impulſus totus ad impulſum reſiduum ut p + π ad p; diſtribuitur enim im-
pulſus æqualiter in omnem tum aquæ tum tubi materiam, ſolumque fluidum
in fundum reagit.
Nunc autem in fundo B A parvulum fingamus foramen m, ſed per id
tamen aqua liberrime fluere putetur; ita intelligimus, particulam aquæ per
foraminulum m ejectum iri durante impulſu; neque tamen quantitas iſtius
aquæ determinari poterit; pendet enim à rigiditate materiæ A P impulſum
recipientis: ſi nempe materia iſta rigidiſſima ſit, fortior preſſio ſubſtituenda
eſt impetui, ſed minus durans; conſideretur v. gr. idem impetus in duobus
diverſis caſibus: ſit autem in uno preſſio quadrupla, in altero duratio preſ-
ſionis quadrupla, quod fieri poteſt cum materia rigidior eſt in caſu priori
quam poſteriori: ita effluet in impulſu preſſionis minoris magisque durantis
dupla circiter quantitas quam in altero. Poſſunt hoc modo rigiditates ma-
teriarum explorari: ſed poſſunt etiam ex ſono.
270256
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO DUODECIMA.
Quæ ſtaticam fluidorum motorum, quam hy-
draulico - ſtaticam voco, exhibet.
§ 1.
INter eos, qui preſſionis fluidorum intra vaſa ſubſiſtentium men-
ſuras dederunt, pauci regulas Hydroſtaticæ vulgares, quas in
ſectione ſecunda demonſtravimus, transgreſſi ſunt: multa tamen
alia ſunt, quæ ad Hydroſtaticam proprie ſic dictam pertinent,
veluti cum actioni gravitatis vis centrifuga conjuncta eſt, aut vis inertiæ,
quod utrumque in præcedente ſectione commentati ſumus: poſſentque hu-
jusmodi vires mortuæ excogitari & combinari infinitis aliis modis. Non
vero hæc ſunt, quæ maxime deſideranda mihi videntur: cum difficile non
ſit regulas ad id negotium dare generales. Deſidero potius fluidorum ſtati-
cam, quæ intra vaſa moventur motu progreſſivo, veluti aquarum per cana-
les ad fontes ſalientes fluentium: multiplicis enim uſus eſt, nec ab ullo tra-
ctata aut ſi qui mentionem de illa feciſſe dici poſſunt, ab his minime rectè
fuit explicata: qui enim de preſſione aquarum per aquæ ductus fluentium
horumque requiſita firmitate ad preſſionem illam ſuſtinendam dixerunt, non
alias, quam pro fluidis nullo motu latis leges tradiderunt.
§. 2. Singulare eſt in iſta hydraulico - ſtatica, quod niſus aquarum
prius definiri non poſſit, quam motus recte fuerit cognitus, quæ ratio eſt,
quod tam diu latuit hæc doctrina; parum enim ſolliciti hactenus fuerunt Au-
ctores in motu aquarum diſquirendo, & velocitates ubique fere ex ſola aquæ
altitudine æſtimarunt: quamvis autem ſæpe motus tam cito ad hanc veloci-
tatem tendat, ut accelerationes ſenſibus plane diſtingui nequeant, & in in-
ſtanti omnis motus generari videatur, intereſt tamen, ut hæ accelerationes
recte intelligantur, quia aliter preſſiones aquarum fluentium definiri ſæpe
non poſſunt, proptereaque exiſtimavi, rem eſſe maximi momenti à motus
principio usque ad datum terminum mutationes illas utcunque
271257SECTIO DUODECIMA. omni cura perpendere, experimentisque confirmare, quod paſſim in hoc
tractatu, præſértim autem in ſectione tertia, feci.
§. 3. Si ubique motus definiri poſſet, facile foret ſtaticam in fluidis
motis generaliſſimam formare: ſi enim foramen, ſed id infinite parvum fin-
gas, eo ipſo in loco pro quo preſſio aquarum deſideratur, quæres primo
quanta velocitate aquæ per illud foraminulum ſint erupturæ & cui altitudini
illa velocitas debeatur: intelligis autem huic ipſi altitudini proportionalem
eſſe preſſionem, quam quæris.
Ex hoc principio petenda eſt preſſio quam ſuſtinet lamina horizonta-
lis L Q in figura quadrageſima tertia, ſi perforata non fuerit: poſtquam enim
demonſtratum à nobis fuit in corollario ſecundo paragraphi trigeſimi primi
Sectionis octavæ, ſi foraminulum H infinite parvum fuerit ratione foraminum
M & N: ratioque horum foraminum M & N indicetur per α & γ, fore altitu-
dinem velocitati aquæ per H erumpentis debitam = {αα X LB - γγ X NQ/αα + γγ}, inde
judicabimus niſum aquæ in laminam L Q non perforatam huic ipſi altitudini
proportionalem eſſe: quod idem alio modo demonſtratum dedimus in para-
grapho decimo nono citatæ Sectionis: Hinc ſequitur fieri poſſe, ut lamina L Q
nullam preſſionem patiatur, quantumvis magna ſupra eam fuerit altitudo aquæ,
ſcilicet quando γ = α √ (L B: N Q), imo preſſionem in ſuctionem mutari
poſſe.
§. 4. Similiter obtinetur preſſio aquæ in laminam L Q, ſi vel hæc per-
forata fuerit foramine finitæ ratione amborum reliquorum magnitudinis. Si
enim foraminulo infinite parvo lamina præter illud, quod eſt in H, perforata
fuerit, non poteſt non velocitate communi aqua per utrumque erumpere: Et
cum hæc velocitas cognita ſit (per §. 30. Sect. 8.) pro foramine H, habetur
quoque velocitas, qua aqua per foraminulum, quod nempe concipimus,
erumpere debeat, atque ſic preſſionem aquæ cognoſcimus. Fuerint v. gr. fora-
mina M, H & N inter ſe æqualia, altitudo autem B L habuerit ad altitudi-
nem L Q rationem ut 10 ad 3, erit preſſio in laminam L Q ſubdecupla illius,
quæ eſt obturatis foraminibus H & N.
Denique ſi in alio loco preſſionem aquæ deſideres, addes ſaltem alti-
tudinem, qua lamina L Q ſupra illum locum eminet, altitudini jactus per
272258HYDRODYNAMICÆ ficium H. Eadem methodus inſervit ad preſſiones aquarum in reliquis vaſis,
quæ in Sectione octava tractavimus, determinandas. Differunt autem omnes
hæ quæſtiones ab iis, quæ ad motum fluidorum per canales pertinent, quod
aquæ ob infinitam vaſorum à nobis poſitam amplitudinem veluti quieſcant in
cavitatibus & nihilominus preſſionem longe aliam exerceant, quam aliter ſo-
lent. In canalibus autem aquæ preſſionem ſuam eo magis mutant, quo majo-
ri velocitate præterfluunt, & omnem fere conſuetam preſſionem exerunt, ſi
velocitas iſta ſit valde parva.
Hæc ita, cum velocitates fluidorum determinari poſſunt per methodos
jam ſuprà à nobis traditas. Singulari autem methodo res pertractanda eſt, cum
aquæ per canales fluunt, hancque doctrinam potiſſimum titulo hydraulico-ſtati-
cæ intelligo: Hic non tam preſſio ex velocitate quam reciproce velocitas, ſi
foraminulum in lateribus canalis fiat, ex preſſione definiri poteſt. Et de iſta
hydraulico-statica, cujus uſus ampliſſimus eſt, in præſenti ſectione potiſſimum
agere conſtitui.
Problema.
§. 5. Fuerit vas ampliſſimum A C E B (Fig. 72.) aqua conſtanter ple-
11Fig. 72. num conſervandum, tubo inſtructum cylindrico & horizontali E D; ſitque in
extremitate tubi foramen o aquas velocitate uniformi emittens; quæritur preſſio
aquæ in latera tubi E D.
Solutio.
Sit altitudo ſuperficiei aqueæ A B ſupra orificium o = a; erit velocitas
aquæ in o effluentis, ſi prima fluxus momenta excipias, uniformis cenſenda
& = √a, quia vas conſtanter plenum conſervari aſſumimus; poſitaque ratio-
ne amplitudinum tubi ejusque foraminis = {n/1}, erit velocitas aquæ in tu-
bo = {√a/n}: Si vero omne fundum F D abeſſet, foret velocitas ultima aquæ in
eodem tubo = √a, quæ major eſt quam a; Igitur aqua in tubo tendit ad ma-
jorem motum, niſus autem ejus ab appoſito fundo F D impeditur: Ab hoc
niſu & reniſu comprimitur aqua, quæ ipſa compreſſio coërcetur à lateribus
tubi, hæcque proinde ſimilem preſſionem ſuſtinent. Apparet ſic
273259SECTIO DUODECIMA. laterum proportionalem eſſe accelerationi ſeu incremento velocitatis, quod
aqua ſit acceptura, ſi in inſtanti omne obſtaculum motus evaneſcat, ſic ut
immediate in aërem ejiciatur.
Res igitur jam eo perducta eſt, ut ſi durante fluxu aquæ per o, tubus
E D in temporis puncto abrumpatur in c d, quæratur quantam acceleratio-
nem guttula a c b d inde ſit perceptura: tantam enim preſſionem ſentiet par-
ticula a c in lateribus tubi ſumta à præterfluente aqua: Hunc in finem con-
ſiderandum eſt vas A B E c d C, atque pro eo invenienda acceleratio particu-
læ aqueæ effluxui proximæ, ſi hæc habuerit velocitatem {√a/n}: Iſtud nego-
tium fecimus generaliſſime in paragrapho tertio ſect. V. Attamen quia in hoc
caſu particulari brevis eſt calculus, motum in vaſe decurtato A B E c d C hic
iterum calculo ſubducemus.
Sit velocitas aquæ in tubo Ed, quæ nunc ut variabilis conſideranda eſt,
= v: amplitudo tubi ut antea = n, longitudo E c = c: indicetur longi-
tudo a c particulæ aqueæ infinite parvæ & effluxui proxime per d x: Erit
guttula æqualis in E tubum ingreſſura eodem temporis puncto quo altera
a c d b ejicitur: dum autem guttula in E, cujus maſſa = n d x, tubum in-
greditur acquirit velocitatem v, atque vim vivam n v v d x, quæ vis viva tota
fuit de novo generata; nullum enim, ob amplitudinem vaſis A E infinitam,
motum guttula in E habuit tubum nondum ingreſſa: huic vi vivæ n v v d x
addendum eſt incrementum vis vivæ, quod aqua in Eb accipit, dum gut-
tula a d effluit, nempe 2 n c v d v: aggregatum debetur deſcenſui actuali guttu-
læ n d x per altitudinem B E ſeu a: habetur igitur nvvdx + 2ncvdv = nadx
ſive {vdv/dx} = {a - vv/2c}.
In omni autem motu eſt incrementum velocitatis d v proportionale
preſſioni ductæ in tempuſculum quod hic eſt {d x/v}: igitur in noſtro caſu eſt
preſſio, quam guttula ad patitur, proportionalis quantitati {vdv/dx}, id eſt, quan-
titati {a - vv/2c}.
Eſt vero in eo temporis puncto, quo tubus abrumpitur, v = {√α/n}
vel vv = {a/un}, hic igitur valor @ſubſtituendus eſt in expreſſione {a - vv/2c},
274260HYDRODYNAMICÆ ſic abit in hanc alteram {nn - 1/2 nnc}a. Et hæc eſt quantitas, cui preſſio aquæ con-
tra particulam tubi a c proportionalis eſt, quamcunque amplitudinem tubus
habuerit, aut quocunque foramine ipſius fundum perforatum fuerit. Igitur
ſi in unico caſu preſſio aquæ cognita fuerit, innoteſcet ſimul in omnibus re-
liquis: talem autem habemus, nempe cum foramen eſt infinite parvum aut
n infinite magna ratione unitatis: tunc enim ex ſe patet, aquam exercere
integram ſuam preſſionem, quæ toti altitudini a convenit, hancque preſſio-
nem deſignabimus per a: ſed quando n eſt infinita, evaneſcit unitas præ nu-
mero nn, fitque quantitas cui preſſio eſt proportionalis = {a/2c}: Ergo ſi ge-
neraliter ſcire velimus, quanta ſit preſſio cum n eſt numerus qualiscunque,
talis inſtituenda eſt analogia. Si quantitati {a/2c} convenit preſſio a, quænam
erit preſſio pro quantitate {nn - 1/2 nnc} a: Et ſic invenitur preſſio quæſita = {nn - 1/nn} a.
Q. E. I.
Corollarium 1.
§. 6. Quia litera c ex calculo abiit, ſequitur omnes partes tubi, tam
eæ quæ ſunt vaſi A G propiores, quam quæ remotiores, æqualiter ab aqua
præterfluente premi, & quidem minus quam partes fundi C G: differen-
tiamque eo majorem eſſe, quo majus ſit foramen o: nullamque amplius
preſſionem ſuſtinere latera tubi, ſi in hoc omnis obex F D abſit, ſic ut ple-
no orificio aquæ effluant.
Corollarium 2.
§. 7. Si alicubi foraminulo minimo, & quidem tali ratione foraminis
o, perforetur tubus, exiliet aqua velocitate, qua ad altitudinem {nna - a/nn} aſcen-
dere poſſit, ſi modo impedimenta aliena nihil obſtent: Erit nempe altitudo
jactus, in figura 73, ſeu ln = {nna - a/nn}. Si vero tubulus adſit verticalis, aut
etiam utcunque inclinatus g m, communicans cum tubo horizontali, ſed ita
tamen, ut extremitas tubuli inſerti non promineat intra cavitatem tubi hori-
zontalis, ne aqua præterfluens illidat in illam extremitatem, erit altitudo
275261SECTIO DUODECIMA. verticalis gh in tubo inſerto hærentis pariter æqualis {nna - a/nn}: neque neceſſe
eſt in hoc poſteriori caſu, ut tubulus g m ſit admodum ſtrictus.
Scholium.
§. 8. Poterit ergo hæc theoria experimento confirmari facillimo, eo
majoris futuro momenti, quod nemo adhuc hujusmodi æquilibria, quorum
uſus latiſſime patet, definiverit: quod eadem methodo niſus aquarum per ca-
nales fluentium generaliſſime obtineri poſſit pro aquæ ductibus utcunque in-
clinatis, incurvatis, amplitudinisque variatæ ac velocitate aquarum quali-
cunque; tum etiam, quod nonſolum hæcce preſſionum, ſed tota inſuper
motuum theoria, quam ſupra dedimus, hujusmodi experimentis confirme-
tur, quia arguunt, recte à nobis definitas fuiſſe accelerationes aquarum. Cu-
randum autem eſt in experimento, ut tubus horizontalis ſit interius bene
politus, perfecte cylindricus atque horizontalis: ſitque ſatis amplus, ut ab
adhæſione aquæ ad latera tubi notabile motus decrementum oriri non poſſit:
vas ipſum ſit ampliſſimum atque continue plenum conſervetur. Obſervan-
dum quoque eſt, quanta ſit virtus tubulo vitreo g m aquas ſtagnantes elevan-
di, quæ virtus omnibus tubis capillaribus aut admodum ſtrictis ineſt: hæc
enim elevatio ab altitudine g h eſt ſubtrahenda: aut potius aſſumendus eſt tu-
bus æqualis craſſitiei & obturato orificio o, notandum eſt punctum m, tum-
que fluxu aquis conceſſo notandum quoque eſt punctum h: erit autem ſe-
cundum theoriam deſcenſus m h = {1/nn} X a = {1/nn} X E B.
Tandem etiam attendendum eſt ad venam aquæ in o effluentis; hujus enim
contractio etiam facit, ut aqua in tubo horizontali minori transfluat velocita-
te, quam {√a/n}. De iſta contractione eamque præveniendi modo egi in Sect. IV.
His autem quamvis ita occurri poſſit incommodis, ut error ſenſibilis in ex-
perimento ſupereſſe nequeat, tamen ſi majorem adhibere velimus accuratio-
nem, experimento indaganda erit quantitas aquæ dato tempore effluentis,
quæ cum amplitudine tubi comparata rectiſſime dabit velocitatem aquæ intra
tubum fluentis, quam in calculo poſuimus = {√a/n}: Si vero experimento mi-
nor inventa fuerit, talis nempe, quæ debeatur altitudini b, tunc erit proxi-
me preſſio aquæ præterfluentis = a - b.
276262HYDRODYNAMICÆ
Corollarium 3.
§. 9. Si orificium in o prius digito obturetur, poſteaque fluxus aqui@
concedatur, mutatur à primo fluxus momento preſſio a in preſſionem {nna - a/nn}:
iſta vero preſſionum mutatio non fit in inſtanti; imo ſi accurate loquendum
eſt, fit demum poſt tempus infinitum, quia, ut vidimus in ſectione quinta,
omnis aquarum velocitas, quanta in calculo à nobis poſita fuit integræ altitu-
dini a reſpondens, nunquam accurate adeſt: attamen incredibili acceleratio-
ne ſtatim poſt primas ejectas guttulas ad hanc velocitatem tendunt, ita ut
totam, quantum ſenſibus dijudicari poteſt, ſine mora ulla ſenſibili acquiſiviſſe
videantur, niſi prælongi ſint aquæ ductus, tum enim aquarum acceleratio-
nes oculis diſtincte dijudicari poſſunt, cujus rei exemplum dedi in Sect. V.
§. 13. In his igitur canalibus aquas ex caſtello longiſſime ſito ad fontem ſa-
lientem ducentibus, ſi preſſiones alicubi experimento explorentur eo quo ſu-
pra dixi modo, invenietur preſſionem celeriter quidem, nec tamen in in-
ſtanti diminui, preſſionumque intervalla dignoſcere licebit.
Ut vero generaliter niſus aquarum definiatur, ponenda eſt, pro v ea ve-
locitas, quam aqua eo ipſo in loco temporisque puncto, quibus niſus deſi-
deratur, habet, ſique ea velocitas convenire intelligatur altitudini b, erit niſus
aquarum = a - b. Unde collatis cum præſentibus his quæ in ſectione quinta
tradita fuerunt, definire licebit quanta ſingulis momentis preſſio futura ſit.
Ex his non obſcurum eſt prævidere leges hujuſce hydraulico-ſtaticæ, ſi &
figura vaſis & aquarum per canales transfluentium velocitas pro lubitu fingan-
tur qualeſcunque. Erit nempe preſſio aquarum conſtanter = a - b, ubi per
a intelligitur altitudo debita velocitati, quacum aqua abrupto canali vaſeque
conſtanter pleno conſervato poſt tempus infinitum effluxura ſit, & per b al-
titudo debita velocitati, qua cum aqua actu transfluit. Mirum ſane eſt ſim-
pliciſſimam hanc regulam, quam natura affectat, adhuc latere potuiſſe. Ja@@
igitur illam demonſtrabo expreſſius.
Problema.
§. 10. Invenire preſſionem aquæ, per canalem utcunque formatum at-
que inclinatum, velocitate quacunque fluentis uniformi.
277263SECTIO DUODECIMA.
Solutio.
Sit canalis A C D (Fig. 74.) per cujus foramen o transfluere ponantur
11Fig. 74. aquæ velocitate uniformi & tali quæ debeatur altitudini verticali o S: ducatur
S N & fingatur vas infinite amplum N M Q Paquis plenum usque in N P, ex
quo canalis aquas ſuas perpetuo & æquabiliter hauriat: hæc ideo ſic fingo, ut
cauſa adſit ſeu vis propellens uniformis, quæ aquas data velocitate propellat
ſeu fluxum aquarum conſervet æquabilem: Et ſine hac hypothefi problema
noſtrum foret indeterminatum, quia velocitas eadem in eodem canali infini-
tis modis ad temporis punctum generari poteſt & propterea, ut habeatur
menſura cauſæ aquas propellentis, fingenda eſt uniformitas in motu aquarum.
Fuerit nunc aquarum preſſio definienda in C F (aut c f): huncque in
finem putabimus rurſus abrumpi canalem in C E (aut c e) ſectione ad cana-
lem perpendiculari examinaturi, quamnam accelerationem retardationemve
guttula C E G F (vel c e g f) poſt primum rupturæ momentum receptura ſit:
quâ de cauſa generaliter motum momentaneum per vas decurtatum N M E C A
Q P (vel N M c e A Q P) definiendum habemus. Sitigitur velocitas guttulæ in-
finite parvæ CEGF (ſeu c e g f) ipſo decurtationis puncto = v: maſſa ejus
= dx: erit vis viva aquæ in vaſe decurtato motæ proportionalis quantitati
v v, eamque proinde faciemus = α v v, intelligendo per litteram a quantita-
tem quamcunque conſtantem, quæ pendet ab amplitudinibus canalis abrupti;
præciſa autem ejus determinatio hic non requiritur. Notetur vim vivam aquæ
in vaſe ficto N M QP negligi ob infinitam ejus amplitudinem: nulla tamen ſi
vel infinitæ non eſſet amplitudinis inde in calculo oritura fuiſſet variatio. Ha.
bemus jam incrementum vis vivæ aquæ in vaſe decurtato motæ = 2avdv, cui
ſi addatur vis viva ſimul genita in guttula ejecta, oritur 2avdv + vvdx, quod
eſt incrementum vis vivæ totale, debitum deſcenſui actuali guttulæ dx per alti-
tudinem verticalem aquæ ſupra punctum C (vel c,) quam deſignabimus per a:
hinc igitur iſtud incrementum vis vivæ totale faciendum eſt æquale adx, ſic
ut ſit
2avdv + vvdx = adx vel
{vdv/dx} = {a - vv/2a}.
Reliqua ſi fiant, ut in paragrapho quinto & ponatur velocitas v talis
quæ debeatur altitudini b, invenietur preſſionem aquæ in C F (aut cf)
278264HYDRODYNAMICÆ eſſe, quanta in aqua ſtagnante ad altitudinem a - b. Ubi notari poteſt eſſe al-
titudinem b ad altitudinem o S, ſi nulla motus impedimenta aliena ſint, vena-
que effluens in o non contrahatur, in ratione quadrata foraminis o & ſectionis
CE (aut c e).
Corollarium.
§. 11. Cùm b major eſt quam a, fit quantitas a - b negativa atque ſic
preſſio in ſuctionem mutatur, id eſt, latera canalis introrſum premuntur: tunc
autem res ita conſideranda eſt, ac ſi loco columnæ aqueæ CT ſuperincumben-
tis & in æquilibrio poſitæ cum aqua præterfluente, ſit columna aquea appen-
ſa e t, cujus niſus deſcendendi impediatur ab attractione aquæ præterfluentis:
veluti ſi v. gr. amplitudo canalis c e æqualis ſit orificio o, tunc erit b = o S, nul-
la habita ratione motus impedimentorum accidentalium: hinc ſi tubulus ex ca-
nali deſcendat c r, hicque ſit aqua plenus à ſua origine c uſque in punctum t
cum orificio o ad libellam poſitum, manebit aqua c t ſuſpenſa ſine motu: ſi verò
punctum t infra o poſitum ſit, deſcendet aqua per tubulum cr, & effluet perpe-
tuo in r, neque tamen ut facile quis exiſtimare potuiſſet nondum hâc viſa theo-
ria, velocitas aquæ in r effluentis talis erit, quæ debeatur altitudini N P ſu-
pra r, etiamſi omnia impedimen@a auferantur, reſpondebit potius hæc velo-
citas, ſi modo tubulus admodum ſtrictus ſit ratione canalis, altitudini t r.
Si punctum t altius poſitum ſit puncto o, aqua ſua ſponte aſcendet & cum
omnis canalem ingreſſa erit, aër per tubulum attrahetur, moxque vena aquea
in o effluens ab admixto aëre turbabitur pelluciditate atque ſoliditate orbata. Ap-
paret igitur, quando preſſio futura ſit affirmativa & quando negativa: nempe
eo major eſt in tubo preſſio, quo amplior eſt & quo humilius poſitus: Al-
titudo b eſt quidem in theoria = {1/nn} X oS, ſi {1/n} denotet rationem inter am-
plitudinem orificii & ejus tubi ſectionis, pro qua preſſio eſt definienda. Cum vero
obſtacula notabiliter diminuunt motum, conveniet potius in æſtimandis preſ-
ſionibus, ut'velocitas aquæ, qualis actu eſt, experimento cognoſcatur & alti-
tudo illi velocitati debita pro b ſubſtituatur: ſimiliter accuratius æſtimabitur
preſſio, ſi pro a non tam ponatur altitudo ſuperficiei aqueæ N P ſupra
effluxus locum, quam altitudo velocitatis, quacum aquæ actu effluant
ex canali eodem in loco abrupto: Hæ tamen correctiones non ſemper locum
habent: Iſtam vero theoriam generalem jam exemplis quibuſdam illuſtrabo.
279265SECTIO DUODECIMA.
Exemplum 1.
§. 12. Sit vas A B F G (Fig. 75.) ex cujus fundi medio deſcendit tubus
11Fig. 75. D E formam habens coni truncati inferiora verſus divergentis: Affundantur
perpetuo aquæ in A G, ita ut ſic vas plenum conſervetur.
Sit autem altitudo ſuperficiei aqueæ ſupra orificium E = a, & ſupra D
(qui locus eſt pro quo preſſio aquæ quæritur) = c: amplitudo orificii in E = m;
& amplitudo ſeu ſectio horizontalis in D = n. Erit preſſio aquæ in D =
c - {mm/nn} a, quæ quantitas vi hypotheſium eſt negativa, ſic ut latera canalis
introrſum premantur à columna aquea altitudinis {mm/nn} a - c.
Igitur ſi concipiatur tubus incurvus D L N alteri D E inſertus, erit aqua
præterfluens in D in æquilibrio cum aqua D L N, quando altitudo D ſupra N
eſt = {mm/nn} a - c. Si altitudo hæc minor eſt, ſua ſponte aqua aſcendet nec aſ-
cendere deſinet, quamdiu aquis orificium N ſubmerſum eſt, ita ut ſic aquæ
ex loco humiliori in ſublimiorem ſine ulla vi externa elevari poſſint, ſi in A G
aquæ ſufficiente copia affluant. At vero cum altitudo verticalis D ſupra N ma-
jor eſt quam {mm/nn} a - c, aſcendet aqua in crure L N, donec illi fuerit æqualis.
Cæterum hic in memoriam revocandum eſt, quod paſſim monui ex-
perientiam docere, nempe multum abeſſe quominus aquæ per tubos à vaſe,
cui implantati ſunt, divergentes tota ſua velocitate, quam vi theoriæ obtinere
deberent, effluant; cujus rei rationes indicavi paragrapho 26. Sect. 3.
Fit inde ut altitudo D ſupra N admodum minor ſit, quam vi theoriæ
expoſita eſſe deberet: Error corrigetur ſi loco {mm/nn} a ponatur altitudo velo-
citatis, quam aqua in D habet; quæ altitudo per experimentum de quantitate
aquæ dato tempore effluentis ſumtum obtinetur.
Exemplum 2.
§. 13. Si ſimili vaſi appenſus ſit tubus verticalis, qualis repræſentatur
in Fig. 76. per C E, in quo amplitudines ubique rationem habeant inverſam
22Fig. 76.
280266HYDRODYNAMICÆ ſubduplicatam altitudinum aquæ ſuperincumbentis, tubus iſte nihil afficitur ab
aqua præterfluente, neque ullibi vel preſſionem ſive ſuctionem ſuſtinet.
Sequitur inde figuram naturalem fili aquei verticalis, quamdiu hoc'con-
tiguum eſt, eandem eſſe, quæ tubi C F E, quod & ratio & experientia con-
firmat: filum autem eo citius attenuabitur quo minor eſt altitudo ſuperficiei
aqueæ ſupra orificium C, ſeu quo tardius effluunt aquæ: apparet filum aqueum
ejus eſſe indolis, ut eadem aquæ quantitas per ſingulas ſectiones transfluat, nec
velocitas ullibi mutetur, ubicunque filum abrumpatur, quæ eadem proprietas
etiam in tubum C F E cadit, adeo ut rectiſſime hæc inter ſe conveniant.
Exemplum 3.
§. 14. Devehantur aquæ e caſtello per canalem, in cujus fundum fo-
ramen ſit per quod aquæ veluti in fonte ſaliente verticaliter exiliant, dico preſ-
ſionem aquæ in ſingula canalis puncta ubique æqualem fore, ſi amplitudines
ejus ſint reſpective ut √{a/x - b}, ubi a exprimit altitudinem aquæ in caſtello ſu-
pra orificium effluxus; x altitudinem ejuſdem aquæ ſupra locum ad libitum in
canali ſumtum & b altitudinem arbitrariam conſtantem, & tunc fore ubique
preſſionem aquæ fluentis ad preſſionem aquæ ſtagnantis ut b ad a. Quia vero cæ-
teris paribus canales ampliores minus rupturæ reſiſtunt quam ſtrictiores, & id
quidem in ratione radiorum ſeu quia conatus aquæ ad canalem rumpendum cæ-
teris paribus rationem ſequitur ſubduplicatam amplitudinum, patet canalem
idem rupturæ periculum in ſingulis locis ſubiturum eſſe, ſi amplitudo (y) ratio-
ne orificii aquas ejicientis (1) ubique ſequatur legem hujus æquationis
(x - {a/yy}) √y = b vel
xxy4 - bby3 - 2axyy + aa = o.
In canali per totum ſuum tractum æquabilis amplitudinis aquarum niſus
ad rumpendum canalem ubique proportionalis erit firmitati canalis, ſi craſſities
laterum canalis rationem ſequatur ut x - {a/mm}, intellecta per m amplitudine ca-
nalis ratione orificii (1).
281267SECTIO DUODECIMA.
Exemplum 4.
§ 15. Fieri poteſt, ut altitudo ſuperficiei aqueæ ratione loci, pro quo
preſſio indaganda eſt, ſit negativa, veluti in ſiphonibus recurvis aquas ex vaſe
uno in aliud humilius poſitum ducentibus: Tuncque preſſio fit duplici titulo
negativa, nempe = - a - b, denotante a altitudinem loci ſupra ſuperficiem
aquæ & b altitudinem velocitati aquæ in illo loco debitam.
Iſta vero ſufficient, ut puto, ad recte intelligendam fluidorum moto-
rum ſtaticam: Venio jam ad alia quædam phænomena, quorum ſolutio ab
iſtis, quas dedimus modo, regulis pendet.
§. 16. In Sectione tertia §. 25. mentionem feci cohæſionis aquæ per
tubos fluentis: veras autem iſtius cohæſionis menſuras ubique definire res eſt,
quæ ſine iſta præmiſſa hydraulico-ſtatica expediri nequit: neque enim altitudi-
nes conſideraſſe verticales ſupra orificium effluxus ſufficit, ut vulgo putatur, ſed
oportet etiam noſſe velocitates aquis convenientes, hæque cognoſcuntur ex
amplitudinibus. Ut vero ſtatim appareat lex generalis in definienda vi cohæ-
ſionis ſeu conatu, quo fluida ad mutuam ſeparationem ſolicitantur, dico il-
lam vim cohæſionis æqualem eſſe vi, qua latera canalis introrſum premuntur,
quam definivimus §. 10. Propoſitio hæc alia demonſtratione egere mihi non
videtur; prouti enim compreſſio aquæ, ſeu vis quâ ejus partes ad ſe invicem
comprimuntur, æqualis eſt ſuperincumbenti columnæ aqueæ ſtagnanti, ita
viciſſim conatus fluida ſeparandi æqualis cenſendus eſt appenſæ columnæ ver-
ticali aqueæ ſtagnanti, quæ cum aquis præterfluentibus in æquilibrio ſit. Exem-
plorum loco eadem accipiemus, quibus ſupra pro indicandis aquarum preſſio-
nibus negativis uſi ſumus.
(I) In Figura ſeptuageſima quinta §. 12. explicata, ſi in tubulo D L N
altitudo D ſupra N talis ſit, ut aqua in eo ſtagnans cum aquis in D præterflu-
entibus in æquilibrio ſit, tanta debet eſſe vis cohæſionis in D, ne aqua ibi-
dem diſcerpatur, quantam habet pondus columnæ aqueæ ſimilis baſis & alti-
tudinis verticalis D N. Inde intelligitur quod dixi §. 25. Sect. 3. poſſe longi-
tudinem tubi ita augeri, ut tandem aquæ deſinant eſſe continuæ in tubo, quin
poti{us} in column{as} dividantur, idque fieri in tubis cylindricis cum infra
282268HYDRODYNAMICÆ ginta duos pedes deſcendant; in tubis divergentib{us} autem minorem deſcenſum
requiri: ita ſi v. gr. orificium inferius duplo majus fuerit orificio ſuperiori in
caſtellum hiante non poſſe tubos infra octo pedes deſcendere, quin periculum
adſit aquarum diſſolutionis. In his tamen exemplis theoretice conſideratis
aquæ omni ſua velocitate ſine diminutione motus effluere ponuntur.
(II.) Ex eadem ratione patet, ſi tubi inferiora verſus convergant, tunc
illos majorem quam 32. ped. admittere deſcenſum: imo ſine fine tubum con-
tinuari poſſe in caſu Figuræ 76. §. 13. explicatæ, ut & infinitis aliis modis.
(III) Si vero altitudo ſuperficiei aqueæ in caſtello ratione loci propo-
ſiti negativa fuerit, veluti fit, cum aquæ trans montem vehendæ ſunt, nun-
quam poterit quomodocunque res inſtituatur, altitudo excedere triginta duos
pedes, quod patet ex § 15. Si enim aquæ vel plane infinitè parva transfluant
velocitate, vis cohæſionis jam requiritur, quæ ſit æqualis toti columnæ aqueæ,
atque major vis requiritur, ſi notabili velocitate transfluxerint. Hinc remedia
ab aliquibus Scriptoribus allata vana puto: ſcio quidem ſine alio artificio aquas
ſæpe ſuſpenſas hærere ultra altitudinem 32. pedum, & Mercurium ultra 30.
pollices; ſed is effectus incertus eſt nec ſibi conſtans. Quidam etiam affirmant
fluxum aquarum per ſiphones recurvos fieri in vacuo: an vero vacuum tale
fuerit, ut ne ſexageſima quidem aëris pars in recipiente remanſerit, & num al-
titudo tubi plus quam dimidio pede ſuperficiem aquæ hauriendæ exceſſerit
ignoro. Sic igitur, quæ de ſubſecutura aquarum ſolutione dixi, non aliter
quam hypothetice dicta velim conſiderentur. Sufficiet quod accurate determi-
naverim quanta vi aquæ ad ſeparationem mutuam urgeantur.
§. 17. Sunt porro alia naturæ phænomena, quorum vera explicatio
ab iſta theoria hydraulico-ſtatica pendet: veluti quod fumus per caminum aſ-
cendens aërem per foramen in camino factum magno poſt ſe trahat impe u:
quod ventus ex loco anguſtiori in apertiorem flans aliquid de ſua elaſticitate
perdat, prouti id colligitur ex eo, quod feneſtræ apertæ ab aëre, è camera
egreſſum ob majorem ſuam elaſticitatem, tentante claudantur; & hujusmodi
alia, quæ examinare ſingula non licet.
Poſſunt fluidorum motorum preſſiones quidem infinitis variari modis;
puto tamen omnia ad principia noſtra reduci poſſe: duas iſtius theoriæ
283269SECTIO DUODECIMA. navimus ſpecies; primam deduxi ex cognito motu, quem fluidum habiturum
ſit, ſi in loco determinandæ preſſionis foraminulo infinite parvo vas perfore-
tur: alteram à priori, ut dicunt, ex theoria noſtra generali deduxi; fæpe utra-
que ſimul locum obtinet, ut altera alterius opem requirat, & tunc alia ori-
tur preſſionum æſtimatio, quam unico indicabo exemplo.
§. 18. Putemus in vaſe, quod figura 72. ſiſtit, tubum horizontalem
nonſolum in extremitate, ſed & in ſua inſertione E G laminam habere in pla-
no verticali in medio perforatam, manentibus cæteris poſitionibus § 5. in-
dicatis: aliam patientur preſſionem latera tubi E D à transfluente aquâ, quam
nulla appoſita lamina E G & quidem minorem, quamvis minori velocitate
transfluant. Ut preſſio hæc accurate definiatur, via calcanda eſt eadem,
quæ in citato paragrapho quinto: nempe ante omnia quærenda eſt velocitas,
quâ aquæ in tubo E D transfluunt, poſtquam hæc jam uniformis facta eſt.
Deinde etiam inquirendum eſt in valorem {vdv/dx}, ſi tubus alicubi abrumpi
ponatur.
Quomodo autem hoc inveniri poſſit, res eſt quæ potiſſimum pertinet
ad ſectionem octavam, adhibitis ſimul cautelis §. 14. ſectionis ſeptimæ: In ſe-
ctione octava generaliter oſtenditur motus fluidorum per plura foramina
transfluentium & in §. 14. ſect. 7. in ſpecie monſtratur, quomodo æſtiman-
dus ſit aſcenſus potentialis, qui in guttulis generatur, quando hæ per foramen,
non in aquam veluti ſtagnantem, ſed in aquam motu, qui negligi nequit,
latam influit.
Si recte indicatis hiſce inſiſtas veſtigiis, reperies velocitatem, quacum
aqua uniformiter per tubum E D transfluit, convenire huic altitudini
{mmppa/mmnn + nnpp - mmpp},
ubi per m, p, & n indicantur reſpective amplitudines foraminum in laminis
E G & F D factorum ut & tubi E D: per a autem intelligitur altitudo aquæ
ſupra tubum E D horizontaliter poſitum.
Si porro tubum abrumpi ponas in cd, guttulamque ad velocitate mo-
veri v ſeu altitudinem huic velocitati debitam = vv, ſimulque lo gitudi-
nem E c indices per c, longitudinem minimam ac per dx: æquationem in-
venies
284270HYDRODYNAMICÆ 2cvdv + {nn/mm} vvdx = adx, ſive
{vdv/dx} = {mma - nnvv/2mmc};
ſtubſtituatur nunc pro vv valor modo indicatus {mmppa/mmnn + nnpp - mmpp},
& erit
{vdv/dx} = {mmnn - mmpp/2c(mmnn + nnpp - mmpp)}a,
cui preſſio quæſita eſt proportionalis. Sed ſi amplitudo orificii extremi in-
dicata per p eſt veluti infinite parva, preſſio fit = a; Igitur eſt generaliter
preſſio quæſita vi paragraphi quinti æqualis
{mmnn - mmpp/mmnn + nnpp - mmpp} a.
§. 19. Si amplitudo tubi n eſt veluti infinita ratione amplitudinum
in laminarum foraminibus, fit preſſio = {mma/mm + pp}: & tanta etiam eſt altitudo,
ad quam aqua in o effluens velocitate ſua aſcendere poteſt: id igitur con-
forme cum paragrapho quarto ſectionis octavæ, quia figura vaſis ceu ubique in-
finitæ amplitudinis non differre facit velocitatem aquæ exilientis.
Cum nulla eſt lamina in F, fit p = n, totaque preſſio evaneſcit. No-
tari id meretur, quia rationem oſtendit, cur in tubis divergentibus ſuctio
tanta non ſit, quanta vi hypotheſeos, qua omnis vis viva conſervari ponitur,
eſſe deberet: In præſenti enim caſu rationem habuimus illius vis vivæ, quæ
continue abſumitur. Ita quoque nullam preſſionem patiuntur latera tubi,
cum lamina quæ eſt in E G foramen veluti infinite minus, illo, quod eſt in
F D, habet. Denique notari id quoque meretur, quod quamvis fluida per
canales nullis laminis inſtructos mota generaliter affectent preſſionem, quæ
reſpondeat differentiæ altitudinum illis velocitatibus debitarum, qua flui-
dum effluat poſt tempus infinitum per canalem abruptum & qua actu transfluit
per canalem non abruptum, hanc legem tamen in præſenti caſu minime valere,
ad quod animum attendere velim hos, qui viſa theoria noſtra hydraulico-ſtatica,
propoſitionem generalem §. 10. ſynthetice demonſtrare volent. Erunt enim for-
taſſe, quibus res hæcita per ſe obvia videbitur, ut vix demonſtranda ſit: hos autem,
ſi qui futuri ſint, ex falſa quadam veriſimilitudine ſibimet imponere, oſten-
dunt hujus modi leges particulares, quæ in hydraulico-ſtatica occurrunt.
285271SECTIO DUODECIMA.
§. 20. E re erit de his quoque, quæ §. 18. dicta ſunt, experimenta ſumere,
tum pro velocitate aquarum in o effluentium, tum pro preſſione; inde enim
præter preſſionum leges confirmabitur etiam illa accelerationum theoria, quæ
obtinet, cum continue pars quædam vis vivæ inutiliter abſumitur, quod ar-
gumentum in ſectione octava præſertim pertractavimus; In experimento au-
tem ſumendo evitentur, quantum fieri poteſt, impedimenta, quorum jam
ſæpe mentionem fecimus.
§. 21. Adjiciam hic quæſtionem quæ quidem non ad ſtaticam fluidorum
pertinet, ſed ad hydraulicam ſeu motum fluidorum, quæ vero ſine iſtis
præmiſſis regulis hydraulico-ſtaticis ſolvi nequit. Quæritur in figura ſeptuage-
ſima ſecunda (nullam hic-amplius in E G laminam conſidero) ſi tubus fora-
mine in ac perforetur finitam rationem habente tum ad amplitudinem tubi
tum ad amplitudinem foraminis o, motusque aquarum jam uniformis factus
fuerit, quæritur, inquam, quanta velocitate aquæ per utramque aperturam
erupturæ ſint.
Sit jam rurſus altitudo B E = a, amplitudo tubi = n amplitudo ori-
ficii in o = p: amplitudo foraminis ac = m: velocitas aquæ per o effluen-
tis = v: Erit velocitas aquæ quæ foramen ac præterfluit = {p/n} v. Igitur
ibidem in latera tubi exercet preſſionem, quæ eſt = a - {ppvv/nn} (per§. 5.) &
propterea ſuppono proxime fore tantam quoque altitudinem, quæ generare
poſſit velocitatem, qua aqua per foramen ac exilit: ipſam vero hanc velocitatem
eſſe = √(a - {ppvv/nn}). Hoc poſito erunt velocitates in foraminibus o & ac
ut v ad √(a - {ppvv/nn}): ſicque quælibet guttula tubum in G E ingre-
diens, cum pervenit ad regionem primi foraminis, in duas diſpeſcitur par-
tes, quarum altera per ac, altera per o effluit: ſuntque hæ partes reſpective,
ut velocitates, quibus fit effluxus utrobique ductæ in amplitudines forami-
num. Igitur ſi maſſa guttulæ integræ G E dicatur g, erit pars ejus per ac
effluens æqualis
gm √(a - {ppvv/nn}): [pv + m√(a - {ppvv/nn})]
& pars altera per o effluens
286272HYDRODYNAMICÆgpv: [pv + m√(a - {ppvv/nn})].
Si hæ partes multiplicentur reſpective per quadrata ſuarum velocitatum,
habebuntur earundem vires vivæ, quarum aggregatum æquandum eſt
cum g X a, id eſt, cum deſcenſu actuali guttulæ g per altitudinem a. Sic ob-
tinetur talis æquatio, ſi reducatur
n3vv - n3a = mpv√(nna - ppvv) ſive
vv = {2n6 + mmnnpp + nnmp√4n4 + mmpp - 4nnpp)/2n6 + 2mmp4. }a,
hæcque quantitas exprimit altitudinem pro velocitate aquæ in o effluentis, qua
cognita habetur quoque altitudo ſimilis pro altero foramine ac, quæ nempe
eſt = a - {ppvv/nn}.
§. 22. Si p = n, fit vv = a; ergo tunc aquæ tota velocitate exiliunt
ſolita per foramen o, & per alterum foramen a c nihil effluit. In utroque
porro foramine velocitas reſpondet integræ altitudini a, ſi p eſt veluti infini-
te parva: Si vero m eſt infinite parva, fit quidem v v = a, ſed altitudo ve-
locitatis pro foraminulo ac eſt = a - {pp/nn}a, ut §. 7. jam indicatum fuit:
Si m = p, fit vv = {n4a/n4 - nnpp + p4}; & a - {ppvv/nn} = {(nn - pp)2a/n4 - nnpp + p4}.
Denique obſervari poteſt, aquas per foramen o ſemper majori velo-
citate ejici, quam quæ altitudini a reſpondet, quod utique fit, quia aquæ
in E d veluti impetum faciunt in aquas d F.
Interim quamvis omnia hæc Corollaria egregie cum indole argumenti
conſentiunt, non poteſt tamen ſolutio iſtius problematis aliter quam proxi-
me vera cenſeri.
287273SECTIO DUODECIMA.
EXPERIMENTA
Hydraulico - ſtatica pro Sectione XII.
Ad §. §. 3. & 4.
PReſſiones, quæ dictis expoſitæ fuerunt paragraphis, facili experimen-
to confirmari poterunt, ſi vas, quale figura quadrageſima tertia ſi-
ſtit, quodque §. 30. ſect. 8. deſcribitur, confici curetur, ejusdemque
laminæ L Q tubus vitreus verticaliter implantetur, cujus orificium utrum-
que apertum ſit: obſervabitur ſic obturatis foraminibus H & N totoque ſy-
ſtemate aquis repleto, aquam in tubo vitreo ad libellam A B aſcendere, aut illam
propter naturam tubulorum capillarium tranſcendere. Dein autem ſi digitus ab
orificio N removeatur, obſervabitur, aquam in tubo vitreo deſcendere &
captis menſuris, invenietur, ni fallor, altitudinem aquæ in tubo vitreo re-
ſiduam (detracta altitudine virtuti tuborum capillarium debita) eſſe =
{αα x LB - γγ x NQ/αα + γγ}, uti dictum eſt §. 3. ubi denominationes harum litte-
rarum explicantur.
Si porro ab utroque orificio H & N digitus removeatur, tunc erit ea-
dem altitudo aquæ in tubo vitreo reſidua talis, quæ §. 4. indicatur. Simi-
liter poteſt tubus vitreus laminæ Q N inſeri, isque deinde inflecti, ut cognoſ-
ci poſſit, an preſſiones quoque in lamina Q N recte definitæ fuerint.
Experimenta vero quæ ad preſſiones aquarum per tubos latarum per-
tinent ipſemet coram Societate noſtra inſtitui & deſcripta ſunt in tom. IV.
Commentariorum pag. 194. Illa igitur, ut ibi deſcripta ſunt, hic allegabo.
„Uſus ſum arca lignea, cujus latitudo erat unius pedis, longitudo trium
pedum, altitudo 14. pollicum. Hanc aqua implevi ejuſque parti infimæ
fiſtulam accurate cylindricam ex ferro fabricatam infixi horizontaliter. Ita
autem factus erat tubus iſte ferreus: longitudinem nempe habuit A B
(Fig. 77.) 4. poll. 2. lin. Angl. diametrum B C 7. lin. in medio tubus
11Fig. 77.
78 & 79. foraminulo m erat perforatus, ibidemque tubulus D E pariter ferreus ſex li-
neas longus acſesquilineam in diametro habens afferruminatus erat, ita
288274HYDRODYNAMICÆ foraminulum m in medio baſis foveret: Huic poſtmodum tubulo impoſui
tubum vitreum aquabilis amplitudinis, ut apparet in figura 79. quæ modum
totius experimenti indicat. Porro tria opercula confieri curavi tubo fer-
reo adaptata, foramine diverſæ magnitudinis pertuſa: tale operculum repræ-
ſentatur Figura 78.
„Hiſce omnibus conjunctis eum in modum, quem oſtendit figura 79,
factoque, ne aqua per alias rimas, quam per aperturam in B C efflueret, ob-
turavi orificium in B C, tumque obſervavi in tubo vitreo verticaciter poſi-
to punctum n, ad quod aquæ aſcendebant, idque filo ſericeo circumvolu-
to notavi: prius autem exploraveram virtutem capillarem iſtius tubi vitrei,
hancque inveneram quinque linearum, ita ut tubo aquæ verticaliter immiſ-
ſo differentia inter utramque aquæ ſuperficiem eſſet quinque linearum:
propterea punctum n ſupra ſuperficiem E F elevatum fuit totidem lineis,
hincque in calculo quævis altitudo D n, D g, quinque lineis diminuta cen-
ſenda eſt.
„In ſingulis experimentis arca aquis ita plena conſervata fuit, ut alti-
tudo A F eſſet 9. poll. 7. lin. altitudo autem D n 10. poll. His omnibus ita
ad experimentum præparatis, tunc aperto orificio in B C aquis effluxus
concedebatur & protinus deſcendit aqua in tubo vitreo, veluti ex n in g, quem
locum g rurſus alio filo ſericeo antea tubo circumvoluto notavi. Et ſic de-
nique talia cepimus experimenta quæ reſpondent §. 5. & ſeqq.
Experimentum 1.
„Cum diameter foraminis in operculo B C eſſet 2 {1/5} lin. fuit deſcenſus
n g tantillo major una linea, ita ut nulla differentia inter theoriam & ſucceſ-
ſum experimenti obſervari potuerit.
Experimentum 2.
„Aſſumto alio operculo, in quo diameter foraminis erat 3 {2/5} lin. aut poul-
lulum major, deſcenſus n g obſervatus fuit ſex linearum cum duabus ter-
tiis, plane rurſus, ut theoria indicat.
289275SECTIO DUODECIMA.
Experimentum 3.
„Adhibito tertio operculo, in quo diameter foraminis erat 5. lin. aut
aliquantulum minor, deſcenſum n g obſervavimus 28. lin. Vi theoriæ de-
bebat eſſe circiter 29. lin. nec enim foramen omnino quinque lineas in dia-
metro habere viſum fuit. Differentia parvula tribuenda eſt impedimentis,
quæ aqua in transfluxu per fiſtulam patitur, majoribus quam in præceden-
tibus experimentis, ob auctum motum intra fiſtulam.
Experimentum 4.
„Denique nullo appoſito operculo aquas pleno orificio effluere ſivi-
mus, tuncque omnis fere aqua è tubo vitreo egreſſa fuit: pars tamen ali-
qua remanſit, quam deprehendimus octo lineas altam: Earum autem quin-
que tribuendæ ſunt virtuti tubi capillaris, tres reliquæ debentur impedimen-
tis, quæ aqua in transfluxu à D uſque ad B offendit.
„Sic igitur experimenta ad amuſſim cum theoria conveniunt: Inde
autem non difficile eſt prævidere, fieri poſſe, ut latera fiſtulæ non ſolum
non premantur verſus exteriora, ſed & ut verſus axem fiſtulæ introrſum
comprimantur (confer. §. 11.) . Id autem edoctus ſum hoc alio experi-
mento.
Experimentum 5.
„Loco tubi cylindrici A B adhibui conicum, cujus orificium exter-
num erat majus orificio interno, ſimulque uſus ſum tubo vitreo incurvato,
qualem oſtendit Figura 80. Et cum ante fluxum aqua hæſit in tubo vitreo
11Fig. 80. in n, deſcendit in eodem tubo aqua uſque in g, cum aquæ effluerent per tu-
bum conicum: fuitque punctum g infra D, indicio compreſſum fuiſſe du-
rante fluxu tubum conicum. In his autem caſibus impedimenta motus ſunt
inſignia, quæ faciunt ut velocitates aquæ in orificio externo admodum
minores ſint, quam quæ reſpondent altitudini aquæ: hancque ob rationem
altitudo puncti D ſupra g tanta non fuit, quanta alias futura fuiſſet, fuit ta-
men aliqua. Similem effectum alio obtinui modo, ſed admodum notabi-
liorem (confer. §. 12.) . Experimentum hoc alterum ſubſequente anno coram
Academicis inſtitui, præſente Sereniſſimo Portugaliæ Principe Emanuele.
290276HYDRODYNAMICÆ
Experimentum 6.
„In Figura 81. repræſentat A C F B cylindrum, in cujus fundo im-
11Fig. 81. plantatus erat tubus conicus D G H E; hicque ad latus habuit parvulum tu-
bulum in l, qui reciperet extremitatem tubi vitrei incurvati l m n; altitudo
C A erat 3. poll. 10. lin. E l 4. lin. l H 2. poll. 9 {1/2}. lin. amplitudo tubi conici in l
erat ad amplitudinem orificii G H ut 10. ad 16. ln erat 5. poll. 6. lin. ejuſque
orificium n erat aquæ in vaſculo M ſubmerſum.
„Appoſito digito orificio G H impletoque vaſe ſtillabat aqua per tu-
bum vitreum l m n in vas M: remoto autem digito & effluentibus jam aquis
per G H, motu reciproco aqua ſponte ex vaſculo M aſcendit per tubum
n m l, & una cum reliquis effluxit per G H, donec totum vaſculum M eva-
cuatum eſſet. Affundebantur autem ſuperius continue aquæ, ut vas plenum
conſervaretur. Si digito pars orificii G H obtegebatur, facile erat efficere ut
pro lubitu aquæ in tubo vitreo l m n ſurſum deorſumve moverentur.
Si quis etiam experimentis explorare voluerit, num theoria cum pro-
blemate §. 18. conveniat, non male operam ſuam collocaverit, quandoqui-
dem non ſolum ſic novam hanc noſtram hydraulico-ſtaticam, ſed & theoriam
Sect. 8. novam pariter & à nemine tractatam egregio exemplo eoque facil-
limo illuſtraverit.
Hiſce jam in chartam conjectis ipſe experimenta ſumſi, quorum mo-
do mentionem feci: Machina ad id uſus ſum eadem, quam modo deſcrip-
ſi, quæque Figura 79. repræſentatur: ſed inſuper, ut natura rei poſtulat,
in A tubo aliud operculum impoſui: eratque altitudo aquæ A F 8. poll. Lond.
diameter tubi ferrei A C rurſus 7. lin. Operculis quoque iiſdem uſus ſum, qui-
bus ante: In quovis autem experimento deſcenſum obſervavi, quem ſuper-
ficies n fecit, cum digitus ab operculo B C removeretur: ſimul autem men-
ſura capta altitudinis verticalis orificii C ſupra pavimentum obſervavi diſtan-
tiam iſtius lineæ verticalis à loco, in quem vena aquea incidebat. Hanc diſtan-
tiam vocabo amplitudinem jactus: altitudo autem hæc verticalis erat in ſingulis
experimentis 19. poll. His ita præparatis experimenta feci talia.
291277SECTIO DUODECIMA.
Experimentum 7.
Cum diameter orificii interioris operculi eſſet 2 {1/5}. lin. & diameter orifi-
cii exterioris orificii 3 {2/5}. lin. fuit deſcenſus n g paullo minor, quam 7. poll. ampli-
tudo jactus 9. poll. In theoria autem §. 18. expoſita, indicatur deſcenſus ng
6. poll. 10. lin. & amplitudo jactus 9 {1/2}. poll.
Experimentum 8.
Deinde fuit diameter orificii interni 5. lin. & diameter alterius orifi-
cii 3 {2/5}. lin. fuit deſcenſus n g fere 17. lin. & amplitudo jactus 24. poll. In theoria
eſt ng 17 {3/4}. lin. & amplitudo jactus 23. poll.
Experimentum 9.
Porro cum eſſet diameter orificii interni 3 {2/5}. lin. & diameter orificii ex-
terioris 5. lin. fuit deſcenſus n g fere idem, qui in experimento 7. nempe circi-
ter 7. poll. Verum amplitudo jactus fuit major, ſcilicet 11. poll. In theoria eſt n g
6. poll. 11. lin. & amplitudo jactus fere 11. poll.
Experimentum 10.
Denique exiſtente diametro orificii interioris 3 {2/5}. lin. & diametro ’ori-
ficii exterioris 2 {1/5}. lin. fuit deſcenſus n g circiter unius pollicis atque amplitudo
jactus 23. poll. In theoria eſt ng = 14. lin. & amplitudo jactus = 22 {1/2}. poll.
Omnia profecto hæc experimenta egregiè cum theoria conveniunt;
fortaſſe major conſenſus futurus fuiſſet, ſi majori accuratione foraminum men-
furas accipere licuiſſet; nemo tamen, ut puto, minimis iſtis numerorum dif-
ferentiis offendetur. Oriuntur autem maximè à compreſſione aquæ in A C,
quæ producitur, dum guttulæ per orificium interius canalem ingredientes
partem motus amittunt, hinc amplitudo jactus tantillo major & deſcenſus
n g minor funt in theoria quam in experimentis, nolui hujus rei menſuram
adjicere, quamvis id in poteſtate fuiſſet, ne calculus fierit intricatior.
292278(278)
HYDRODYNAMICÆ
SECTIO DECIMA TERTIA.
De reactione fluidorum ex vaſis efflluentium eo-
rundemque, poſtquam effluxerunt, impetu in
plana quibus occurrunt.
§. 1.
AQuæ dum ex vaſe ejiciuntur ſimili agunt modo in vas, ex quo effluunt,
quo globus in tormentum bellicum aut ſclopetum, ex quo explodi-
tur: vas nempe retropellunt: & id quidem jam annotavit Newtonus
in princ. Math. phil. nat. edit. prim. p. 332. recteque inde deducit aſ-
cenſum pilarum, quæ pulvere pyrio, carbone temperato implentur; materia
enim inflammata, dum per foramen paullatim expirat, pilas in altum projicit.
Sed nec ſatis generaliter pro rei momento argumentum pertractavit ci-
tatus auctor (cum id ex ipſius inſtituto non erat) nec veram rei menſuram de-
dit. Imo in duabus editionibus poſterioribus id prorſus ſilentio præteriit: pu-
tavit autem vim illam repulſionis eſſe æqualem ponderi cylindri aquei, cujusbaſis
ſit orificium aquas tranſmittens & cujus altitudo ſit æqualis altitudini ſuperfi-
ciei aqueæ ſupra foramen. Recte quidem hæc menſura deducitur ex opinio-
ne, quam tunc temporis fovebat Newtonus, circa velocitatem aquæ ex vaſe
effluentis, dum ſtatueret aquam ad dimidiam ſuperficiei altitudinem ſua velo-
citate aſcendere poſſe.
Prouti autem hujus propoſitionis falſitas nemini amplius nunc ignota
eſt, ita & alterius defectum inde quivis facile colliget, quamvis prima fronte
ſatis veriſimilis.
§. 2. Conſiderabimus primo rem in caſu ſimpliciſſimo, quo nempe
aquas ex vaſe infinitæ amplitudinis horizontaliter effluere ponemus. Habeo
autem demonſtratum repulſionis vim non ſtatim à fluxus initio totam adeſſe,
niſi quatenus & ipſa velocitas in aquis effluentibus tota adſit, ita ut ſi vas
293279SECTIO DECIMA TERTIA. ſit infinitæ amplitudinis, vis repulſionis una cum velocitate aquarum effluen-
tium ſenſim ſenſimque creſcat, aut etiam decreſcat pro circumſtantiarum na-
11Fig. 74. tura: Ab his autem mutationibus momentaneis animum primo abſtrahemus,
fluxum ex vaſe infinito fieri æquabilem ponendo. Atque ſic optime definietur
vis repulſionis, ſi inquiratur, quænam ſit vis ad motum producendum re-
quiſita: Hunc vero in finem non ſolum ad velocitatem aquæ effluentis, ſed &
ad illius quantitatem erit reſpiciendum; quantitas autem pendet partim à ma-
gnitudine orificii, partim à contractione venæ, quæ poſterior variabilis eſt:
Vidimus quidem in Sect. IV. poſſe totam evitari; ſi tamen quædam ſit, erit
Sectio venæ maxime contractæ ſive attenuatæ ceu orificium conſiderandum &
tunc dico fore vim repulſionis æqualem ponderi cylindri aquei, cujus baſis ſit
orificium aquas tranſmittens (id eſt, Sectio venæ horizontalis maxime con-
tractæ) & cujus altitudo ſit æqualis duplæ altitudini ſuperficiei aqueæ ſuprafo-
ramen vel accuratius, duplæ altitudini, velocitati aquæ effluentis debitæ.
Igitur ſi nulla ſit venæ contractio, prouti nulla eſt, cum per tubulum brevem
aquæ effluant, repulſio duplo aut fere duplo major erit, quam à Newtono de-
finita fuit.
§. 3. Ut hanc propoſitionem demonſtremus, conſiderandum hic erit
principium aliquod Mechanicum cujus uſum in aliis etiam quæſtionibus ſol-
vendis ſæpe expertus ſum: principium hoc eſt:
Si corpus à quiete velocitatem eandem per preßiones motrices directas
utcunque variabiles acquiſiverit, at que ſingulæ preßiones in tempuſcula ſua mul-
tiplicentur, erit ſumma omnium productorum ſemper eadem, id eſt, ſi preßio
fit = p, tempuſculum = dt, erit ſ p d t conſtans. Hanc rem clarius expoſui
in Comment. Acad. Imp. Petrop. tom. 1. pag. 132.
§. 4. Ponamus jam cylindrum infinitæ veluti amplitudinis, ex quo
aquæ horizontaliter effluant velocitate uniformi, abſtrahendo ab actione, quam
gravitas exerit in particulas, poſtquam jam effluxerunt, ita ut ſingulæ hori-
zontaliter & uniformiter moveri pergant; particulæ autem accelerantur preſ-
ſionemque patiuntur, quamdiu maximus velocitatis gradus nondum adeſt,
huncque obtinent cum ad locum venæ maxime contractæ pervenerunt; hæc
eſt ratio, quod ſectionem venæ ibidem conceptam ceu orificium effluxus
294280HYDRODYNAMICÆ ſiderandum eſſe dixi. Sit amplitudo iſtius Sectionis = 1, habeantque ibi aquæ
velocitatem quæ debeatur altitudini A: ponatur, cylindrum aquæ effluxiſſe,
qui pro baſe habeat 1 & pro longitudine L: ſi tempus exprimatur per ſpa-
tium diviſum per velocitatem, erit velocitas altitudini A debita exprimenda
per √ 2 A, tempuſque fluxus per {L/√2A}. His præmiſſis indagabimus in preſ-
ſionem motricem, quæ poſſit tempore ({L/√2a}) cylindro L communicare ve-
locitatem √ 2 A: ſit illa preſſio = p: putetur brevioris calculi ergo egiſſe
tempore t cylindroque dediſſe velocitatem v; erit d v = {pdt/L} & v = {pt/L},
hinc p = {Lv/t}; ponatur jam √ 2 A pro v & {L/√2A} pro t atque erit p =
(L √2A): (L/√2A} = 2 A. Eſt igitur preſſio aquam ad effluxum conſtanter
ſollicitans æqualis ponderi cylindri aquei, cujus baſis ſit orificium aquas tranſ-
mittens ſupra definitum & cujus altitudo ſit æqualis duplæ altitudini velocitati
aquæ effluentis debitæ: & tanta quoque eſt reactio, quæ vas repellit. Q. E. D.
§. 5. Eadem eſt demonſtratio ſi aquæ non per orificium ſed per tubum
horizontalem cylindricum velocitate uniformi effluant, aut etiam per tubum
utcunque inæqualiter amplum: poſterius id directe demonſtrari etiam poteſt,
ſi bene exprimatur preſſio requiſita in ſingulis guttis, ut hæ debita velocita-
tum incrementa aut decrementa ſuſcipiant.
§. 6. Altitudo, quam vocavimus A, parum quidem differt in experi-
mentis ab altitudine aquæ ſupra orificium effluxus, præſertim ſi aquæ ex vaſe
valde amplo per orificium ſimplex, idque non admodum parvum effluant:
differt autem ſæpius notabiliter orificium effluxus à ſectione minima venæ, quam
nos ceu orificium aquas tranſmittens conſideramus; id quantitas aquæ dato
tempore effluentis cum velocitate ſua comparata in experimentis indicat.
Hinc fit ut propoſitio noſtra §. 3. ad experientiam vocata ordinario
non multum diſcrepet ab propoſitione Newtoni §. 1. expoſita; ſi vero omnia
ſollicite evitentur, quæ contractionem venæ producere & quæ velocitatem
diminuere poſſunt, vis repellens ſecundum theoriam noſtram fiet tantum non
duplo major, quam quæ à Newtono fuit definita & tunc talis etiam experi-
mentis confirmatur.
295281SECTIO DECIMA TERTIA.
At ut rem plane in apricum ponamus, eam generalius nunc proſe-
quemur, idque tentabimus, ut vim repellentem à fluxus initio, dum veloci-
tates continue mutantur, determinemus: neque enim primum noſtrum theo-
rema aliter quam cum velocitas invariata manet locum habet. Ut in quæſtio-
ne hâc paullo intricatiore pertractanda eo intelligibiliores ſimus, hîc quædam
generaliora præmonuiſſe juvabit.
§. 7. Quantit{as} mot{us} eſt factum ex velocitate in maſſam: ſi velocitates
ſint inæquales, habebitur quantitas mot{us} abſoluta, ſi ſingulæ particulæ per ſuam
reſpective velocitatem multiplicentur productorumque fumma accipiatur.
Quantitas mot{us} generatur à preſſionibus motricibus dato tempore urgentibus &
effectus cauſæ eſt æqualis cenſendus: Igitur ſumma preſſionum motricium per
ſua tempuſcula multiplicatorum æſtimanda eſt ex genita quantitate motus. Et
quia quælibet preſſio motrix reagit in vas, ex quo aquæ effluunt, erit tota vis re-
pellens pro quovis momento æqualis novæ quantitati motus diviſæ per tempuſ-
culum, quo generatur. His præmonitis ad quæſtionem ipſam progredior.
§. 8. Sit igitur vas infinitæ amplitudinis A C D B (Fig. 82.) eique ho-
11Fig. 82. rizontaliter infixa fiſtula E H I D, cujus amplitudines utcunque inæquales po-
nuntur: amplitudo orificii H I fuerit = 1, longitudo fiftulæ = m; velocitas
utcunque variabilis in H I = √ 2 v, ſeu talis, quæ debeatur altitudini v: dico
primo, fore quantitatem motus abſolutam aquæ in fiſtula contentæ æqualem
m√2v, id eſt, talem ac ſi fiſtula eſſet cylindrica ſuaque amplitudine orificium
H I exæquaret, quia nempe cujuslibet ſtrati F G gf velocitas eſt maſſæ reci-
proce proportionalis.
Jam vero fingamus dato tempuſculo infinite parvo exilire per orificium
H I columellam H L M I, cujus longitudinem H L vel I M ponemus = a:
erit maſſa hujus columellæ = a, habebitque quantitatem motus = a√2v:
fed eodem tempore maſſa aquæ in fiſtula contentæ acquiſivit quantitatem mo-
tus {mdv/√2v} (habuit enim m√2v); eſt igitur quantitas motus abſoluta dato tem-
puſculo genita = a√2v + {mdv/√2v}; hæc vero ſi dividatur per idem tempuſ-
culum (quod exprimendum eſt per {a/√2v}) habebitur, ut vidimus §. 7. preſſio
quæſita vas repellens, quæ proinde ſi vocetur p,
296282HYDRODYNAMICÆ p = (α√2v + {mdv/√2v}): {a/√2v}, ſive
p = 2v + {mdv/a}.
(α) Apparet inde ultimam definitionem quæſtionis pendere à ratione
quæ intercedit inter d v & α; hanc vero in Sectione tertia generaliter defini-
vimus, nulla tamen impedimentorum, quæ debentur caſui, facta attentione.
Igitur & figura fiſtulæ hic aliquid confert.
(β) Sequitur porro, ſi fluxus uniformis factus ponatur, eſſe p con-
ſtanter = 2v, quia tunc dv = o: Id vero conforme eſt cum eo, quod
demonſtravimus §. 5. Donec vero fluxus incrementa accipit (quod qui-
dem facit notabiliter, idque diu ſatis, ſi canalis E I longior fuerit) vas aliam
atque aliam patitur vim repellentem.
(γ) Habet dv ad α ſemper rationem realem: ergo vis repellens nun-
quam eſt nulla, ſic ut à primo fluxus tempore vas repellatur, etiamſi tunc
aquæ fere nullæ effluant ob exiguam earundem velocitatem. Verum, ut
uſus regulæ noſtræ generalis unicuique pateat, eam nunc ad caſum ſpecia-
lem applicabimus, tribuendo fiſtulæ EHID figuram cylindricam amplitu-
dinis 1.
§. 9. Si igitur fiſtula ponatur cylindrica tota aperta in H I retentis
cæteris poſitionibus & denominationibus, erit vis viva aquæ in fiſtula con-
tentæ = mv; hujus incrementum = mdv, cui addenda vis viva columel-
læ H L M I ſeu a v, eorumque ſumma æqualis facienda facto ex altitudine,
quam habet ſuperficies aquæ A B ſupra orificium H I, quamque vocabimus
a, & ex maſſula α. Eſt igitur mdv + αv = αa, unde hic fit {dv/α} = {a - v/m}.
lſto autem valore ſubſtituto in æquatione ſuperioris paragrahi fit
p = a + v.
unde talia deduco conſectaria.
(α) Longitudo fiſtulæ nihil ad vim repellentem, quam vas ſuſtinet,
tribuit, ſi velocitas eadem ponatur, quia littera m è calculo evanuit, facit
autem hæc longitudo (ſicuti in ſuperioribus ſatis ſuperque demonſtravimus)
ut velocitates citiora aut lentiora incrementa capiant; quo longior enim
297283SECTIO DECIMA TERTIA. rit fiſtula, eo tardius accelerantur aquæ & viciſſim, ſic ut in inſtanti à quiete
maximum ſuum celeritatis gradum acquirant, ſi longitudo fiſtulæ nulla fue-
rit; at ſi infinitæ fuerit eadem hæc fiſtula longitudinis, aquæ nonniſi poſt
tempus infinitum notab lem celeritatis gradum acquirere poſſunt.
(β) Fieri igitur poteſt non mutata aquarum altitudine, ut diſpendio
aquarum quantumvis parvo, vis repellens notabilis ſit, eaque pro lubitu
duret; & id quidem duplici obtineri poteſt modo, tum prolongando fiſtu-
lam, tum etiam obturando ſæpius orificium, antequam aquæ notabilem ve-
locitatis gradum attigerint; prior tamen modus liberum aquarum fluxum
per fiſtulam ponit: retardato enim ab impedimentis extrinſecis, in prælon-
gis fiſtulis nunquam vitabilibus, aquarum fluxu, diminuitur quoque vis
repellens.
(γ) Liceat hic paucis attingere verbis propoſitionem aliquam ex princ.
math. phil. nat. edit. 2. Newtoni: Auctor hic poſtquam ſententiam ſuam de ve-
locitate aquarum ex vaſe effluentium in prima citati operis editione exhibi-
tam mutaſſet, easque, ſi verticaliter ſurſum ejiciantur, ad integram ſuper-
ficiei aquæ altitudinem aſcendere agnoviſſet in editione ſecunda, talia ſubje-
cit verba in libro ſecundo propos. 36. coroll. 2. Vis qua totus aquæ exilientis
motus generari poteſt, æqualis eſt ponderi cylindricæ columellæ aquæ, cujus
baſis eſt for amen E F (vid. fig. Nevvt.) & cujus altitudo eſt 2 G I vel 2 C K.
Iſta ſententia à me olim & ab aliis fuit impugnata, ab aliis rurſus confirma-
ta. Nunc autem poſtquam hanc aquarum motarum theoriam medita-
tus ſum, lis ita dirimenda mihi videtur, ut cum aquæ ad motum unifor-
mem pervenerint, quæ quidem hypotheſis eſt Newtoni, tunc recte altitu-
dine 2 G I vis illa definiatur, ſed ab initio fluxus, ubi velocitas adhuc nulla
eſt, vis ſimplici altitudini G I reſpondeat, moxque creſcente velocitate ſi-
mul vis aquam ad effluxum animans creſcat, & tandem ad eam magnitudi-
nem exſurgat, quam Newtonus aſſignavit. Hæc nunc ſunt unicuique ob-
via, quia vis motum aquæ generans, de qua Newtonus loquitur, non po-
teſt non eſſe æqualis vi repellenti, quam vidimus eſſe æqualem a + v. Re-
cte etiam Jll. Riccatus, cum quo mihi de hoc argumento res erat interro-
gatus, unde vis illa duplæ aquarum altitudini conveniens oriri po{ſsi}t,
298284HYDRODYNAMICÆ obturato orificio gutta eidem imminens vi ſimplicis altitudinis urgeri manife-
ſte appareat, reſpondit, diſtinguendum eſſe ſtatum quietis à ſtatu motus.
§. 10. Si fiſtula vaſi implantata non ſit cylindrica, calculus ita erit po-
nendus.
Sit amplitudo canalis in F G vel fg = y; diſtantia ſtrati F G gf ab ori-
ficio E D = x, retineanturque cæteræ denominationes: erit vis viva aquæ in
fiſtula contentæ = vſ {dx/y}, ejusque incrementum = dvſ {dx/y}, cui ut in §.
præcedente factum eſt, addatur vis viva columellæ H L M I ſeu a v, eritque
d vſ {dx/y} + αv = αa; unde ſic oritur
{d v/α} = (a - v): ſ {dx/y},
quo valore ſubſtituto in æquatione §. 8. fit
p = 2v + m (a - v): ſ{dx/y}.
Igitur cum in fluxu aquarum uniformi ſit v = a, erit tunc rurſus
p = 2a. Cæterum quamdiu aquarum fluxus acceleratur, motus aquæ in
vaſe A C D B orificio D E proximæ, à quo in toto hoc opere animum ab-
ſtraximus, hic non eſt negligendus: determinari autem recte motus iſte non
poteſt, nec igitur accurate quadrat expreſſio quam dedi pro vi repellente ſi
aquæ nondum uniformiter fluere ceperint, ſed cum æquabiliter fluunt aquæ
valet expreſſio accuratiſſime.
§. 11. Poſtquam ſic demonſtravimus pro effluxu aquarum uniformi,
vim repellentem ſemper eſſe æqualem ponderi cylindri aquei foramini ſuper-
inſtructi & ad duplam aquæ altitudinem exſurgentis, lubet id etiam indire-
cte demonſtrare per deductionem ad abſurdum, ut & regularum mechanicarum
ignari propoſitionis hujus ſatis paradoxæ veritatem perſpiciant.
Hunc in finem conſiderabimus aquas verticaliter defluentes ex cylindro,
abſtrahendo animum ab impedimentis velocitati aquarum aliquid deroganti-
bus & ab illa contractione venæ, quæ vitari poteſt. Foramini reſpondeat tu-
bus verticalis, qualis conſpicitur Fig. 76. habeant ſe omnia, ut in Sect. XII.
§. 13. dictum fuit: aquæ habeant fluxum æquabilem: latera vaſis &
299285SECTIO DECIMA TERTIA. gravitate carere intelligantur, altitudo cylindri ponatur = a, & altitudo fiſtu-
læ = b, altitudo c F = x, amplitudo in E = 1; erit amplitudo in F = {√(a + b)/√(a + x)}
& in C = {√(a + b)/√a}: Denique ponatur amplitudo cylindri = M. His poſitis
quæremus pondus omnis aquæ A B C E: exprimemus pondus aquæ A B C per
M a & ſic erit pondus aquæ C E = 2a + 2b - 2√(aa + ab); ergo pon-
dus omnis aquæ A B C E = Ma + 2a + 2b - 2√(aa + ab): Sic igitur
poſito aquas ſtagnare in vaſe & fiſtula, vis requiſita ad ſuſpendendam aquam
eſt = Ma + 2a + 2b - 2√(aa + ab).
Jam vero indagabimus vim ſimilem cum aquæ per E tota ſua velocitate
(quâ nempe ad altitudinem a + b aſcendere poſſunt) effluunt: hæc autem ha-
bebitur, ſi à priori vi ſubtrahatur vis repellens: Si proinde hæc vis repellens
ponatur, ut nos ſtatuimus, = 2a + 2b, erit vis aquas, durante fluxu ſuſpen-
dens = Ma - 2√(aa + ab).
At vero finge abeſſe tubum C E, & erit per eaſdem noſtras regulas vis ſu-
ſpenſoria, dumaquæ per orificium C erumpunt, rurſus = Ma - 2√(aa + ab).
ideo, quia pondus aquæ A B C eſt Ma & quia amplitudo foraminis C eſt {√a + b/√a},
quæ multiplicata per duplam altitudinem a dat 2√(aa + ab). Monſtrat igi-
tur noſtra virium repellentium æſtimatio, vim ſuſpenſoriam durante aquarum
effluxu eandem eſſe, ſive nulla ſit fiſtula, ſive adſit & quamcunque habeat lon-
gitudinem, modo fiſtula figuram habeat §. 13. Sect. XII. deſcriptam: atque hujus
conſenſus & identitatis neceſſitas apparet quoque ſine calculo ex ipſa rei natu-
ra, quando fiſtula ita formata nullam in aquis transfluentibus facit mutationem,
cum vena aquæ ſua ſponte eandem figuram induit, quam habet fiſtula, quam-
diu aquæ cohærent. Sed ſi aliter vim repellentem æſtimemus, nunquam con-
ſenſum illum inter vires ſuſpenſorias generaliter obtinebimus: Ita v. gr. ſi ſe-
cundum ſententiam communem dicamus vim repellentem eſſe æqualem pon-
deri ſimplicis cylindri ſæpe nominati, erit vis repellens, dum aquæ per cana-
lem C E ex vaſe A C B effluere finguntur = a + b; & hæc vis ſi ſubtrahatur à
pondere totius aquæ A B C E ſeu Ma + 2a + 2b - 2√(aa + ab), relinqui-
tur Ma + a + b - 2√(aa + ab) quæ eſt vis requiſita ad ſuſpendendum ſy-
ſtema A B C E, dum aquæ fluunt: Vidimus autem hanc vim eandem eſſe
300286HYDRODYNAMICÆ re, ſi canalis C E abſit: Sed tunc eſt vis ſuſpenſorra = Ma - √(aa + ab),
quia pondus aquæ A B C eſt = Ma & vis repellens per hypotheſin eſt ſimplex
cylindrus foramini C ad altitudinem a ſuperinſtructus. Deberet igitur in hâc
hypotheſi ſemper eſſe Ma + a + b - 2√(aa + ab) = Ma - √(aa + ab)
ſeu a + b = √(aa + ab), quod eſt abſurdum. Similis abſurditas demonſtra-
ri poſſet, ſi vena ſurſum verticaliter aſcendere putetur: & fruſtra hic excipe-
retur pro communi ſententia firmanda, venam effluentem C E fingi non poſſe
tanquam continuam, niſi aliqua aquæ tenacitas fingatur ſimul (aliàs enim ve-
nam mox præ orificio in guttulas abruptum iri) & tenacitatem rei ſtatum per-
mutare: nam profecto nec velocitates aquæ à cohæſione mutua aquæ in C E
mutantur nec latera canalis C E preſſionem ullam ſentiunt, ſicut demonſtravi
Sect. XII. §. 13. ut taceam cohæſionem aquæ non oriri à tenacitate ſed ab ali-
qua virtute magnetica ſeu à mutua attractione, à qua virtute centrum gravita-
tis in nullo ſyſtemate nec majorem nec minorem velocitatem acquirere poteſt.
Sed hæc porro adverſariorum exceptio in venis verticaliter aſcendentibus nul-
lum plane locum habet, cum aquæ ibi continuè maneant, ſi vel nulla aquisin-
ſit tenacitas aut mutua attractio.
At poſſem infinitis aliis modis & exemplis particularibus ſententiam
noſtram confirmare, ſi hiſce diutius inſiſtere vellem. Ita v. gr. in Fig. 29. Sect.
V. §. 4. deſcripta, ſi ſit altitudo N S = 1, orificium L M = 1, & orificium
R S = 2, erit P B = {1/3}, vis repellens, quæ oritur ab effluxu aquæ per R S
= 2 X {2/3} = {4/3}, & demonſtrare poſſum vim repellentem, quæ prodit ab ef-
fluxu aquæ ex ſimplici cylindro R N per L M eſſe etiam = {4/3}, & ſic vim re-
pellentem totalem eſſe = {8/3}, quæ præciſe facit duplum cylindrum aqueum fo-
ramini L M ad altitudinem N S + P B inſiſtentem. Talis autem conſenſus ex
aliis theoriis falſo receptis minime prodit, ita ut de noſtra amplius non poſ-
ſint dubitare, niſi harum rerum penitus ignari: Id vero, quod dixi, vim re-
pellentem aquæ ex ſimplici cylindro R N per L M effluentis eſſe = {4/3}, ſi de-
monſtrare velim, poſtulat ut vis repellens definiatur, cum aquæ ex vaſe non
infinito data velocitate quacunque non variata fluunt: Ne vero prolixior ſim
in hâc re, id aliis efficiendum relinquo; neque id nunc amplius magnam fa-
ceſſet operam; Pergo ad alia.
§. 12. Demonſtrationes quas adhuc dedimus non valent niſi pro
301287SECTIO DECIMA TERTIA. lis rectis, in quibus nempe uniuscujuſque guttulæ vis motrix, indeque ori-
unda vis repellens, inter ſe ſingulæ conſpirant, communemque habent dire-
ctionem: at cum fiſtulæ vaſi implantatæ, per quas aquæ effluunt, ſunt incur-
vatæ, alius adhibendus eſt demonſtrandi modus: Ut nihil in iſto argumento
prorſus novo omittamus, hunc quoque caſum docebimus: nec erit, quod
laboris pœniteat, cum inde veræ preſſionum leges, quas natura non ſolum in
his caſibus, ſed & multis aliis ſequatur, apparebunt.
§. 13. Concipiamus itaque vaſi infinito fiſtulam implantatam eſſe uni-
formis quidem amplitudinis, ſed incurvatam ſecundum curvaturam qualem-
cunque A S (Fig. 83.) ita ut A locus ſit inſertionis, S locus effluxus: Du-
11Fig. 83. cantur tangentes in A & S, nempe A R & S B, ſitque A B ad S B perpendi-
cularis: fuerit velocitas aquæ per fiſtulam transfluentis uniformis & talis,
quæ debeatur altitudini A; amplitudo fiſtulæ ubique = 1: Dico totam vim
repellentem in directione S B ſumtam fore rurſus = 2 A, hancque ſolam adfore.
Demonſtrationis gratia ducantur infinite propinquæ nq, ep ad S B per-
pendiculares; n m parallela eidem S B; ſit S q = x, qp = dx; qn = y;
e m = dy: erit radius oſculi in e n = {- dsdy/ddx}, ſumtis elementis en quæ
vocabo ds pro conſtantibus; habet autem columella aquæ intercepta inter e & n
vim centrifugam, ſic determinandam: gravitas columellæ eſt = ds (quia
baſis ejus = 1 & altitudo = ds) atque ſi radius oſculi foret = 2 A, ha-
beretur per theorema Hugenianum vis centrifuga particulæ æqualis ejusdem
gravitati, & ſunt vires centrifugæ cæteris paribus in reciproca ratione radio-
rum: eſt igitur vis centrifuga columellæ = {- 2 Addx/dy}: exprimatur hæc vis
centrifuga per ec ad curvam perpendicularem, ducaturque co ipfi B S paral-
lela: reſolvatur vis e c in oc & eo; erit (ob ſimilitudinem triangulorum eoc
& nme) vis oc = {- 2 Addx/ds}, vis eo = {- 2 Adxddx/dyds} = (ob d s conſtans)
{2 Addy/ds}.
Sed vis elementaris oc agit ſola in directione S B, dum altera e o pro
hac directione eſt negligenda: ſumatur integrale vis elementaris oc cum con-
ſtanti tali, ut integrale una cum abſciſſa evaneſcat: integrale hoc eſt =
302288HYDRODYNAMICÆ - {2 Adx/ds}, quia in S eſt dx = d s: Nunc ut habeatur vis in directione
tangentis S B pro tota fiſtula, ponendum eſt {RB/RA} pro {dx/ds}, ergo tota vis ſe-
cundum tangentem SB = 2A - {2A x RB/RA}. Hæc vero oritur à vi centrifu-
ga cujusvis guttulæ: ſed alia vis ſupereſt conſideranda; nempe dum aqua
ex vaſe infinite amplo continue in fiſtulam influit velocitate uniformi reſpon-
dente altitudini A, vas repellitur ſecundum directionem R A vi 2 A (per §. 4.)
quâ reſoluta in tangentialem ſecundum S B eique perpendicularem ſecundum
B A, prior {2A x RB/RA} erit ſola conſideranda; & quia habet directionem com-
munem cum vi 2A - {2A x RB/RA} à vi centrifuga oriunda & modo definita, erit
eidem addenda: ſicque ſumma 2A - {2A x RB/RA} + {2A x RB/RA} vel 2A expri-
met vim repellentem ſecundum directionem S B.
Ut porro demonſtremus ſub nulla alia directione vas repelli, recurre-
mus ad vim elementarem eo, quam vidimus = {2Addy/ds}, cujus integrale =
{2A x AB/AR}, quæ præciſe annihilatur à vi 2A vas repellente ſecundum directio-
nem R A, poſtquam hæc debite reſoluta fuit. Q. E. D.
§. 14. Hæc theorematis generaliſſimi ſimplicitas, quâ nempe vis re-
pellens in directione aquis uniformiter effluentibus contraria indicatur con-
ſtanter = 2A, argumentum eſſe poteſt, quod dicitur ad hominem pro ejus-
dem bonitate, iis qui ratiocinium noſtrum aut non aſſequentur aut exami-
nare non cupient ſufficienti attentione. Si vero vim repellentem aquæ ex
vaſe infinito in fiſtulam influentis ſub directione A R ſtatuas = A, vides ſy-
ſtema repelli in directione S B vi quæ ſit = 2A - {A x RB/RA}, quod abſurdum
eſſe vel ipſa mihi indicare videtur formula. Neque in hâc opinione nulla eſ-
ſet vis in directione ad priorem perpendiculari: Nam vas deberet reprimi ſe-
cundum directionem B A vi {A x AB/AR}, quod iterum mihi eſt abſurdum & cu-
jus falſitatem experimento cognovi, in caſu quo angulus A R S erat rectus &
A B = A R.
303289SECTIO DECIMA TERTIA.
Multa alia theoremata pro hoc argumento in tota ſua, quam habere
poteſt, extenſione, ſumto erui & demonſtrari poterunt, pro fluxu aquarum
nondum uniformi eoque per fiſtulam utcunque inæqualem, modo ſimul at-
tendatur ad ea, quæ §. 8. monita fuerunt. Quia vero per ſingula ire non va-
cat, ad aliam progredior vim examinandam priori ſub directione contraria
æqualem, illam nempe quam vena effluens in planum exerit, dum in illud
perpendiculariter impingit.
§. 15. De impetu venæ aqueæ in planum impingentis multi commen-
tati ſunt, plurimaque ſumſere experimenta. Ego quoque hâc de re quæ-
dam dedi in Comm. Acad. Sc. Petrop. tom. 2. Experimenta extant apud Mariot-
tum in tract. de mot aquarum, in hiſt. Acad. Sc. conſcripta a D. du Hamel. p. 48.
& alibi. Equidem non admodum conveniunt, plurima tamen indicare prima
fronte videntur niſum venæ aqueæ uniformiter fluentis æqualem eſſe ponderi
cylindri aquei, cujus baſis ſit foramen, per quod aquæ effluunt & cujus al-
titudo ſit æqualis altitudini aquæ ſupra foramen: Huic ſententiæ plerique imo
omnes, adhæſerunt & adhuc adhærent, quia cum aliis quoque experimentis,
præſertim quæ de globis in medio reſiſtente motis ſumi ſolent, mire conve-
nit: Eandem igitur ipſemet ſecutus ſum, quamvis plura animum ſuſpende-
bant, in cit. Comm. Petrop. nec hæſitavi in ipſo hoc opere, quod ſub mani-
bus habeo, Sectione nempe IX. §. §. 31. 32. illa inſtar exempli uti. Ve-
rum enim vero re attentius perpenſa, novisque adhibitis principiis, ſimulque
aliis novi generis experimentis inſtitutis, clare tandem vidi communem iſtam
opinionem de impetu venæ aqueæ eodem modo mutandam eſſe, ſicuti New-
toni de vi repellente, ſcilicet ut loco orificii conſideretur ſectio venæ contra-
ctæ & loco altitudinis aquæ adhibeatur dupla altitudo velocitati aquarum reali
reſpondens: Demonſtratum enim habeo, vim repulſionis §. 2. , expoſitam
omnino æqualem eſſe impetui venæ, ſi hæc tota in planum perpendiculariter
incidat: ſequitur inde impetum venæ majorem eſſe, quo minor fuerit venæ
contractio, hâcque plane evanescente, & aquis ſimul tota ſua velocitate, quam
in theoria habere poſſunt, erumpentibus, tum impetum duplo majorem eſſe,
quam vulgo ſtatuitur: quia vero ſemper & velocitati aliquid decedit & vena non
raro ad dimidium fere contrahitur, factum eſt ut experimenta pleraque ſimplam
in Cylindro altitudinem arguere viſa fuerint in impetu illo æſtimando. Velim
autem probe notetur, de venis ſolitariis tantum mihi hic ſermonem eſſe,
304290HYDRODYNAMICÆ plana totas excipiant, non autem de fluidis corpora ambientibus in eademque
impetum facientibus, veluti de Ventis aut fluminibus: dico enim hos dupli-
cis generis impetus quos auctores adhuc confuderunt, probe à ſe invicem di-
ſtinguendos eſſe, ob rationes infra breviter exponendas.
§. 16. Ratione venæ aqueæ ſic cenſeo: aquas velocitate uniformi ex
cylindro infinite amplo verticali A B M (Fig. 84.) per foramen laterale C M
11Fig. 84. horizontaliter effluere pono, venamque perpendiculariter impingere in lami-
nam E F: ita facile video, quia particulæ inſequentes priores impediunt ne
reſilire poſſint, fore ut ſingulæ ad latera deflectantur, idque motu laminæ E F
(ſi modo hæc ſat magna fuerit, ut vena tota quamvis diſperſa excipiatur) pa-
rallelo vel tantum non tali: Et quia omnia ſunt in ſtatu permanentiæ, fingere
licet laminam E F vaſi eſſe affirmatam, venamque lateribus C H D G L M
circumdatam, ita, ut aquæ per hiatum circularem D E G F effluere ex vaſe
A B C H D E F G L M cenſeri poſſint. Hoc ſi ita fuerit, demonſtravimus
§. 13. guttulas in D E effluentes vim repellentem quidem producere ſecun-
dum E F; ſed ſimul apparet vim repellentem eſſe in G F priori contrariam
ita ut ad hanc virium repellentium claſſem hic non ſit attendendum. Quod
vero ad directionem, laminæ E F vel cylindro B C, perpendicularem atti-
net, demonſtravimus in fine ejuſdem §. 13. ſub ea directione plane nullam
fieri repulſionem: Igitur tantum lamina E F propellitur, quantum cylindrus
repellitur. Idque eſt quod demonſtrare volui: Atque inde jam ſequitur, preſ-
ſionem venæ aqueæ, quæ tota in laminam incurrit, tantam eſſe quanta pon-
dus cylindri aquei, qui pro baſe habeat ſectionem venæ (poſtquam hæc unifor-
mem acquiſivit amplitudinem) & pro altitudine duplam altitudinem velocita-
ti aquarum (poſtquam hæc ſimiliter uniformis facta eſt) debitam.
§. 17. Non dubito multos fore, quibus propoſitio hæc plane nova
ſuſpecta videatur atque experimentis contraria: Hos vero perpendere velim,
experimenta hactenus ſumta nequaquam regulæ communi accurate reſponde-
re, & in pleriſque caſibus noſtram Regulam parum differre à communi, quam-
vis in theoria maxime ſint diverſæ: tum etiam eos in anteceſſum monitos cu-
pio, alia me inſtituiſſe experimenta, quæ ſingula meam ſententiam exactiſſime
confirmant, veteremque plane refellunt! experimenta a me ſumpta in fine Se-
ctionis recenſebo. Demonſtrandi modus quo uſus fui, fortaſſe etiam
305291SECTIO DECIMA TERTIA. videbitur quibusdam accuratus, habeo autem aliam demonſtrationem directam,
quæ nova proprietate innititur Mechanica mihi aliquando obſervata, quam-
que hic communicabo, tum quia dictam demonſtrationem facillime quivis in-
de deducere, tum etiam quia ad alios uſus eandem impendere poterit: Ita au-
tem ſe habet.
Si cerpus movetur velocitate uniformi, directiones autem ſuas con-
tinue mutat à cauſis quibuſcunque & utcunque agentibus, donec directionem
acquiſiverit perpendicularem ad primam directionem, ſique ſingulæ preßiones
corpus deflectentes reſolvantur in duas claſſes, alteram parallelam primæ dire-
ctioni, alteram perpendicularem; Denique ſi preßiones ſingulæ parallelæ multi-
plicantur per ſuatempora; dico fore ſummam productorum conſtanter eandem,
& quidem æqualem ei, quæ totum motum à quiete generare aut generatum
totum abſorbere valet.
Hâc affectione Dynamica, cum utimur in præſenti noſtro negotio, con-
ſideranda eſt lamina E F, quæ ſua in aquas reactione, earundem directionem
mutat, uſque dum perpendicularis ad primam facta fuerit: Ergo propoſitio
præcedentis paragraphi ope hujus affectionis eodem modo demonſtrabitur,
quo uſi ſumus §. 4. ad determinandam vim repellentem ope principii §. 3. ex-
poſiti. Hæc igitur vera idea videtur, quam de impetu aquarum mente conci-
pere debemus: ponit autem guttas aquæ ſingulas ſecundum directionem lami-
næ ad latera reſilire, à quâ indole aquas non recedere ſemper obſervavi: vidi
tamen etiam guttulas aliquas ſed paucas retrorſum reſilire; hæ autem majorem
preſſionem producunt, quam quæ ad latera deflectuntur: Et eo ipſo inducor, ut
firmiter credam, ſi vena aquea magno impetu oblique contra planum impin-
gat, v. gr. ſub angulo triginta graduum, preſſionem inde orituram pluſquam
dimidiam ejus, quæ à vena eadem directe impingente oritur, cum ſecundum
regulas ordinarias exactè dimidiam vim exerere deberet: ratio ejus rei eſt, quod
in impulſu obliquo plures particulæ reſilire poſſint, quam in directo, imo fe-
re omnes, ſi magna fuerit velocitas.
Si autem omnes ita reſilire ponantur, ut angulus incidentiæ angulo
reflexionis æqualis ſit, tunc uterque impulſus idem cenſendus erit. Optimus
hic aquarum preſſiones æſtimandi modus eſt, qui ratiocinio à poſteriori inni-
titur.
306292HYDRODYNAMICÆ
§. 18. Sequitur porro ex præfata affectione probe intellecta, eundem
oriri à preſſionibus effectum ſive lamina aquas ad latera deflectat, ſive cauſa
fingatur motum omnem, quem particulæ aqueæ cylindrum egreſſæ acquiſive-
runt, abſorbens: Inde intelligitur quid futurum ſit, ſi orificium C M (Fig. 85.)
11Fig. 85. per quod aquæ ex cylindro A B M effluunt, aliis aquis in vaſe P Q F E ſtagnan-
tibus ſubmerſum fuerit: repelletur nempe cylindrus A B M verſus P Q intra vas
P Q F E, ſi hoc cum cylindro non cohæreat; At ſi vaſa inter ſe fuerint firmata,
nullam patietur ſyſtema preſſionem prævalentem; quanta enim eſt preſſio ver-
ſus P Q ab effluentibus aquis, tanta quoque oritur preſſio contraria verſus E F
à continua deſtructione motus, quem particulæ cylindrum egreſſæ acquiſivere.
§. 19. Dixi de preſſione venæ, quam lamina totam etiamſi expanſam
excipit: Venio ad alteram ſpeciem impetus aquarum, quem ſcilicet ſuſtinent
laminæ fluido undique ſubmerſæ: puto autem hanc non poſſe abſolute defini-
ri, quia ſingulæ particulæ in laminam impingentes aliter deflectuntur. Si vero
cujuslibet particulæ deviatio cognita ponatur, non difficilis erit amplius quæ-
ſtionis ſolutio, mutato paullum theoremate, quo §. 17. uſi ſumus eoque ge-
neraliori reddito, nempe tali: ſi angulus mutatæ in corpore moto directionis non
fuerit rectus, ſed recto minor, tunc quoque minor erit ſumma productorum (de
quâ antea ſermo fuit) in ratione ut ſinus verſus mutatæ directionis ad ſinum
totum.
Igitur pro quâvis guttula indagandum eſſet, quantum directionem mo-
tus ab obice, ſeu lamina curſui oppoſita mutare cogatur. At in theoria hu-
juſmodi definitiones exhiberi accurate vix poſſunt; nec experientia probattheo-
remata hanc in rem exhiberi ſolita; veluti quod conatus fluminis directe con-
tra circulum impingentis duplo ſit major conatu ejuſdem fluminis contra ſphæ-
ram ejuſdem diametri, & quæ ſunt ſimilia: quod autem quantitas preſſionis
pro ſphæra, qualis dari ſolet ab auctoribus, cum experimentis à Newtono
aliiſque inſtitutis & in princ. math. phil. nat. recenſitis, ſatis accurate conveniat,
id omnibus bene perpenſis caſui fortuito tribuendum eſſe cenſeo.
Theoremata quæ ad motum in mediis reſiſtentibus theoretice conſideratum
faciunt, tum etiam varias obſervationes phyſicas dedi in tom. II. Comm. Acad. Sc.
Petrop. & ſeqq. Neque proinde ea hic repetam, quamvis ad inſtitutum no-
ſtrum pertineant; diutius meditationibus hiſce hydrodynamicis immorari
307293SECTIO DECIMA TERTIA. vacat: Igitur ad finem propero. Novam hanc circa reactionem & impetum
fluidorum theoriam, quæ receptam ab omnibus adhuc auctoribus opinionem
evertit in re magni momenti, ſingulari Diſſertatione proſecutus ſum, quæ ſuo
tempore Commentar. Academ. Scient. Imp. Petropol. inſeretur eandemque indubita-
tis confirmavi experimentis. Venio nunc ad argumentum aliud, Geome-
trarum attentione minime indignum.
§. 20. Mentem aliquando ſubiit, poſſe ea quæ de vi repellente flui-
dorum, dum ejiciuntur, meditatus fueram, quæque hic maximam partem
expoſui, utiliter applicari ad novum inſtituendum navigationis modum: ne-
que enim video, quid obſtet, quo minus maximæ naves ſine velis remiſque eo
modo promoveri poſſint, ut aquæ continue in altum eleventur effluxuræ per
foramina in ima navis parte, faciendo ut directio aquarum effluentium verſus
puppim ſpectet. Ne quis vero opinionem hanc in ipſo limine rideat, ceu ni-
mis inſulſam, è re erit noſtra argumentum iſtud accuratius excutere & ad cal-
culum revocare: utile enim eſſe poteſt multisque diſquiſitionibus geometri-
cis eſt fertiliſſimum.
Incipiam ab eo, ex quo deinde apparebit, ſub quibus circumſtantiis
maximus ſucceſſus à nova iſta navigatione expectari debeat.
§. 21. Notandum igitur eſt, navem ab hauſtis aquis continue retarda-
ri ob inertiam earundem, quando illis eadem velocitas communicatur qua-
cum navis fertur & dum communicatur, navis à reactione aquarum retrorſum
urgetur, ſimul ac ab earundem effluxu antrorſum premitur. Iſte actionum con-
trariarum concurſus limites ponit vi naves propellenti à data potentia abſoluta
obtinendæ: niſi enim actio prior adeſſet (de qua ut verum fatear diu non co-
gitavi) poſſet labore hominum quantumvis parvo vis naves propellens utcun{q́ue}
magna obtineri, quod ſic demonſtro.
In ſectione nona (vide præſertim §. 26.) oſtendi, laborem hominum
in elevandis aquis impenſum, quem voce potentiæ abſolutæ deſigno, æſtiman-
dum eſſe ex producto quantitatis aquarum in altitudinem elevationis, ita ut
verbi gratia labore ſecundum omnes menſuras eodem poſſint & quatuor pedes
cubici ad altitudinem ſedecim pedum & ſedecim pedes cubici ad alitudinem
quatuor pedum elevari: Dico nunc porro preſſionem uniformem, naves
antrorſum propellentem adeſſe, quamdiu fluida velocitate æquali effluunt,
quæ preſſio æſtimanda ſit ex quantitate aquarum effluentium & ex radice
308294HYDRODYNAMICÆ titudinis aquarum in vaſe ſupra foramen poſitarum: fuerit enim quantitas
aquarum dato tempore effluentium = Q; altitudo earum = A, erit ma-
gnitudo foraminis aquas eructantis proportionalis cenſenda quantitati {Q/√ A}
pro eodem tempore: at vero vis repellens, quæ hic navem promovet, æqualis
eſt magnitudini foraminis ductæ in duplam altitudinem aquarum (per §. 4.)
id eſt, æqualis quantitati {Q/√ A} X 2 A ſeu 2 Q √ A. Ex comparatione utrius-
que propoſitionis ſequitur laborem hominum in elevandis aquis exantlatum
eſſe ad vim naves propellentem inde obtinendam, ut Q A ad 2 Q √ A ſive ut
√ A ad quantitatem aliquam conſtantem: igitur quo minor eſt altitudo ad
quam aquæ elevantur, eò major vis naves promovens ab eodem labore obti-
netur, ita ut labore hominum quantumvis parvo vis naves propellens utcun-
que magna obtineri poßit. Verum etiam inertia aquarum, quæ hauriuntur,
(de qua ab initio hujus paragraphi diximus) naves retardans eo majorem
obtinet rationem ad vim naves propellentem, quo minor aſſumitur altitudo
A, ad quod animus hic probe eſt advertendus.
§. 22. Perſpicuum eſt ex præcedente paragrapho, altitudinem ad quam
aquæ ſunt elevandæ eſſe ex earum claſſe, quæ alicubi maximæ ſunt. Ut ve-
ro altitudo maxime ad propoſitum proficua determinetur, aliæ nobis ſe of-
ferunt quæſtiones prius examinandæ.
Problema.
Ponatur navis uniformi progredi velocitate, quæ generatur lapſu li-
bero per altitudinem B, fingaturque aquas continue affluere in navem, ve-
luti ſub forma pluviarum, & quidem tanta quantitate, quantam remotis om-
nibus impedimentis alienis ſuppeditaret cylindrus conſtanter plenus ad alti-
tudinem A per orificium magnitudinis M. Quæritur quantam reſiſtentiam
navis ab iſto perpetuo & uniformi aquarum affluxu earundemque inertia pa-
tiatur.
Solutio.
Aſſumatur tempus quodcunque t, quod ſi æſtimetur ex ſpatio, quod
fluidum affluens ſua velocitate percurrit, diviſo per eandem velocitatem,
309295SECTIO DECIMA TERTIA. velocitas eſt exprimenda per √ 2 A & erit quantitas aquæ tempore t affluens
æqualis cylindro ſuper baſi M conſtructo longitudinis t √ 2 A: iſta vero
quantitas tempore t, dum à nave aufertur, accipit velocitatem debitam alti-
tudini B & exprimendam per √ 2 B: quærenda itaque eſt vis uniformis, quæ
poſſit tempore t, cylindro aqueo M t √ 2 A communicare velocitatem √2 B
& erit iſta vis ob reactionem, quæ in navem reagit, æqualis cenſenda reſi-
ſtentiæ quæſitæ. Sit præfata vis = p, puteturque dediſſe tempore θ veloci-
tatem v cylindro aqueo M t √ 2 A & erit d v = {pdθ/Mt √ 2A}, atque v = {pθ/Mt √2A}:
ponatur jam √ 2 B pro v & t pro θ eritque √ 2B = {p/M √2A} ſivè p = 2M √A B.
Eſt igitur reſiſtentia quæſita æqualis ponderi cylindri aquei, cujus ba-
ſis eſſet æqualis orificio M & cujus longitudo æqualis duplæ mediæ propor-
tionali inter altitudines A & B.
Problema.
§. 23. Sit in navi cylindrus altitudinis ſupra ſuperficiem maris A, per
cujus orificium in eadem ſuperficie poſitum amplitudinis M aquæ verſus pup-
pim effluant ſine ullo impedimento, conſerveturque cylindrus aqua conſtan-
ter plenus, determinare potentiam navem continue propellentem.
Solutio.
Potentia navem propellens eſt æqualis reactioni aquarum dum effluunt,
ſeu vi repellenti diminutæ potentia in præcedente paragrapho definita ab in-
ertia aquarum, quæ continue hauriuntur, oriunda. Vis repellens eſt æqua-
lis, per paragraphum hujus ſectionis quartum, 2 M A & hæc navem pro-
movet: vis altera quæ navem retardat eſt per præcedentem paragraphum
= 2 M √ A B. Eſt igitur potentia abſoluta navem promovens = 2 M -
2 M √A B.
Corollarium.
§. 24. Si navis nullam habeat velocitatem, erit vis navem urgens =
2 M A; atque ſi navis eadem velocitate movetur qua aquæ in plagam contra-
riam effluunt, fit B = A & tunc navis nulla vi propellitur. Si proinde
310296HYDRODYNAMICÆ vis vel liberrime moveretur ſuper mari, non acquireret tamen ab actione
aquarum, quæ continue hauriuntur inferiusque effluunt, majorem velocita-
tem quam eam, qua aquæ effluunt, non quod aquæ ex vaſe uniformiter mo-
to effluentes vas minori vi quam ex vaſe immoto repellant, ſed quod tunc in-
ertia aquarum reſiſtentiam producat vi repellenti æqualem.
Problema.
§. 25. Data potentia operariorum, qui aquas elevant, & data altitudi-
ne ad quam aquæ elevantur, invenire amplitudinem foraminis effluxus & vim
repellentem.
Solutio.
Sit potentia talis, qua ſingulis minutis ſecundis numerus pedum cu-
bicorum aquæ N poſſit ad altitudinem unius pedis elevari, quam potentiam
vi experimenti ſecundi ſectioni nonæſubjuncti exerere poteſt operariorum nu-
merus deſignandus per {5/4} N. Sit altitudo ad quam aquæ continue elevantur
= A in pedilus expreſſa: amplitudo orificii in pedibus quadratis = M; erit
numerus pedum cubicorum aquæ, quem operarii data potentia ad altitudi-
nem A ſingulis minutis ſecundis elevare poſſunt, = {N/A} (per §. 22. ſect. 9.)
erit igitur orificium ejus amplitudinis conſtruendum, ut ſingulis minutis
ſecundis numerus iſte pedum cubicorum aquæ per id effluere poſſit, ſi liber-
rime effluant. Sumamus autem loco minutorum ſecundorum tempus, quod
corpus inſumit, dum libere cadit per altitudinem A: tempus id eſt hic expri-
mendum {1/4} √ A, (poſito concinnioris calculi gratia corpus à quiete libere
cadens intra minutum ſec. abſolvere 16. ped.) & hoc tempore debet effluere
numerus pedum cubicorum aquæ deſignandus per {N/A} X {1/4} √ A ſeu {N/4 √ A}:
effluit autem revera 2 M A, nempe cylindrus aqueus cujus baſis eſt M & cu-
jus longitudo facit duplicem altitudinem A: eſt igitur {N/4 √ A} = 2MA; unde
amplitudo orificii ſeu
M = {N/8A √ A}.
Vis autem repellens fit æqualis 2 M A ſeu = {N/4 √ A}.
311297SECTIO DECIMA TERTIA.
Scholium.
§. 26. In quavis nave aquæ ad aliam atque aliam altitudinem ſunt ele-
vandæ, ut eadem potentia, quæ in hauriendis aquis inſumitur, vis navem
promovens maxima obtineatur & duo requiruntur ad altitudinem illam uti-
liſſimam definiendam pro certo operariorum numero. Primo ut cognitum
ſit quamnam velocitatem propoſita navis à data potentia acquirat: ratione
hujus poſtulati, ponemus navem à preſſione, quæ ſit æqualis ponderi unius
pedis cubici aquæ ſeu circiter 72 librarum acquirere velocitatem, quæ gene-
retur lapſu libero per altitudinem C, & quia deinceps ſemper in pedibus
menſuras omnes exprimemus, erit pondus unius pedis cubici aquæ expri-
mendum per unitatem. Secundo pro cognita aſſumenda eſt relatio inter ce-
leritates navis & potentias navem propellents: ſtatuitur hic vulgo velocita-
tes habere rationem ſubduplicatam virium propellentium, experimenta qui-
dem hanc hypotheſin non exactè confirmant in motibus lentis; interim ta-
men eam reliquis omnibus præferendam cenſemus. Si quis velit rem ſub alia
hypotheſi explorare, is poterit eodem modo, quo nunc utemur, calculum
inſtituere.
Problema.
§. 27. Invenire altitudinem, ad quam aquæ continue elevandæ ſunt,
inſtituto utiliſſimam, nempe talem, ut eadem potentia in elevandis aquis
adhibenda vis navem promovens maxima oriatur.
Solutio.
Serventur denominationes omnes in hoc argumento adhibitæ: erit an-
te omnia inquirenda velocitas navis ſeu altitudo huic velocitati debita quam
vocavimus B. Quia vero velocitates navis ponuntur proportionales radici-
bus potentiarum navem urgentium, erunt altitudines velocitatum ipſis po-
tentiis proportionales. Erit igitur talis analogia inſtituenda.
Sicuti pondus unius pedis cubici ad altitudinem C (conf. §. 26.) ita
preſſio navem urgens ſeu 2MA - 2M√AB (vid. §. 23.) ad altitudinem ve-
locitati navis reſpondentem, quæ proinde erit 2MC X (A - √AB): Hanc
vero altitudinem vocavimus B: Eſt itaque
312298HYDRODYNAMICÆ
B = 2 MC X (A - √AB).
Exinde fit preſſio navem urgens = {B/C}, atque adeo’ proportionalis
altitudini B, quia C eſt quantitas conſtans: ergo & preſſio navem promo-
vens & altitudo navis velocitati reſpondens ſimul fiunt maximæ: Igitur ſi pro
præſenti inſtituto differentietur quantitas 2MA - 2M√AB, quæ preſſionem
navem propellentem exprimit, poterit poni d B = o. Prius vero quam dif-
ferentiatio inſtituatur oportet pro M ſubſtituere valorem ejus §. 25. & tunc
fit preſſio navem promovens = {N/4√A} - {N√B/4A}, in qua littera N eſt con-
ſtans, litteræ vero B & A variabiles. Sumatur nunc ejus differentiale, facien-
do d B = o, idque fiat = o; atque ſic reperietur A = 4B.
Eſt igitur vis navem promovens maxima cum altitudo, ad quam aquæ
elevantur, eſt quadrupla altitudinis velocitati navis debitæ.
Ponatur in æquatione B = 2 M C X (A - √AB) ſuperius inventa
A = 4B & reperietur
M = {1/4C},
& quia (per §. 25.) eſt M = {N/8A√A}, fit tunc
A = ({1/2} NC){2/3}, atque
B = {1/4}({1/2} NC){2/3}.
Corollarium.
§. 28. Si ad præceptum præcedentis paragraphi orificio, per quod
aquæ inferius ex canali verſus puppim effluunt, concilietur amplitudo {1/4C},
id eſt, talis, quæ ſe habeat ad amplitudinem unius pedis quadrati, ſicuti men-
ſura unius pedis, ad altitudinem quadruplam velocitati navis, vi 72. libra-
rum animatæ, debitam, fiet tunc ut navis dimidia velocitate feratur ejus qua
aquæ effluunt & erit vis repellens aquarum effluentium
2MA = {1/2C} X ({1/2} NC){2/3}
313299SECTIO DECIMA TERTIA. vis vero navem promovens hujus erit dimidia, adeo ut dimidius effectus
perdatur ab inertia earundem, quæ continue hauriuntur, aquarum.
Scholium.
§. 29. Poſtquam ſic demonſtravimus, quomodo utiliſſime maximo-
que cum ſucceſſu iſte navigandi modus ſit inſtituendus, nunc porro rem iſtam
exemplo illuſtrandam eſſe puto tali, quod cum ipſa rei natura non male con-
venire crediderim ut ſimul appareat, qualis præterpropter eventus futurus
ſit.
Conſideremus triremem, vulgo galeram, cum 260 remigibus: pona-
mus hanc galeram pondere unius pedis cubici aquæ ſeu 72. librarum tractam
perficere ſingulis minutis ſecundis ſpatium duorum pedum, cujus velocita-
tis altitudo genitrix indicata per C eſt = {1/16}, poſito corpus grave libere à quie-
te decidens primo minuto ſecundo perficere 16. ped. Quia porro 260. ope-
rarii adhibentur, quorum quivis vi experimenti ſecundi ad Sect. 9. pertinentis
poteſt ſingulis minutis ſecundis quatuor quintas partes pedis cubici ad altitu-
dinem unius pedis elevare, erit N = {4/5} X 260 = 208. Fiat igitur orificium,
per quod aquæ effluant, amplitudinis 4 pedum quadratorum: poteruntque
operarii aquam in canali ſupra orificium elevatam conſervare ad altitudinem
proxime 3 {1/2} ped. quæ indicatur litera A, & ſi ſumas hujus altitudinis quar-
tam partem habebis B = {7/8} ped. adeo ut navis tali velocitate ſit iſta navigatione
progreſſura, quam grave acquirit lapſu libero per altitudinem {7/8} ped. ſic ergo
navis ſingulis minutis ſecundis ſpatium 7 {1/2} ped. perficiet & ſingulis horis 27000
ped. id eſt, plus duobus milliaribus gallicis: tanta navis velocitas remigatio-
ne vix ac ne vix quidem obtineri poteſt.
Jam vero calculum alia hypotheſi ſuperſtruam, quam rei nauticæ intel-
ligentes non admodum improbaturos eſſe, confido: quadrat enim cum mul-
tis, quos ipſe ſuper mari feci, obſervationibus: ſupponam vela triremis perpen-
diculariter ad carinam expanſa ſuperficiem habere 1600 pedum quadratorum,
hæcque ventum excipere directe impingentem, qui ſingulis minutis ſecundis
ſpatium percurrat 18. ped. navem vero in eadem directione ſic ſingulis minu-
tis ſecundis ſpatium perficere 6 pedum. Ita ventus in vela incurret
314300HYDRODYNAMICÆ te reſpectiva 12 pedum: vim iſtius venti æſtimo = ponderi {9 x 1600/850} ped. cub.
aquæ, ſeu fere 17. ped. cub. aquæ.
Hæc ſi ita ſint, ſequitur navem ab elevatione aquarum 260. operario-
rum poſſe ea velocitate propelli, qua ſingulis minutis ſecundis ſpatium per-
currat 6 {1/2}. pedum.
Æſtimatio non admodum diverſa ſequitur ex iis, quæ D. Chazelles
habet in Comm. Acad. Reg. Sc. Pariſ. ad ann. 1702. p. 98. edit Pariſ. Ut vero recte
ad inſtitutum noſtrum applicari poſſint, notandum erit in remigatione, vim
triremem propellentem non eſſe æſtimandam ex preſſione remigum in remos,
ſed ex preſſione, quam remorum extremitates aquis ſubmerſæ contra aquas
exerunt. Ut hanc proxime definiamus, hæc prius erunt obſervanda. Remiges
fuere adhibiti 260. totis viribus remigantes: ſingulis minutis primis remorum
impulſus (gallicè palades) facti ſunt 24: integra remorum agitatio tribus abſol-
vitur motibus, quos ejuſdem durationis ponam, eorumque unus ſolus
triremem promovet: hoc modo triremis velocitate fuit provecta, qua
ſingulis minutis ſecundis ſpatium 7 {1/5}. ped. abſolvebat, pars remi intra navem
fuit 6. pedum & extra navem 12. pedum: ſuperficies autem (gallicè les pales)
omnium remorum, quæ contra aquas impelluntur, in unam collectæ D.
Chazelles facit 130. pedum quadratorum: notavit porro extremitatem inter-
nam remi ſingulis agitationibus ſpatium deſcribere ſex pedum: & quia quævis
agitatio tempore {60/24}. unius minuti ſecundi abſolvitur ſimulque ex tribus con-
ſtat motibus, quos pono tautochronos, apparet quamvis remi retractionem
fieri tempore {20/24}. ſeu {5/6}. unius minuti ſecundi & hoc tempore extremitas remi
interna abſolvit ſpatium 6. pedum. Porro ob longitudinem ſuperficiei remo-
rum, quæ contra aquas impellitur, non tota eſt ad diſtantiam 12. pedum
cenſenda: illam igitur diſtare ponam 10. pedibus, quaſi nempe pars remi ex-
tra navem promineret 10. pedes longa: hujus partis extremitas deſcribet 10.
pedes tempore {5/6} unius minuti ſecundi: quia vero ipſa triremis velocitatem
habet, qua eodem tempore ſex pedes abſolvit, cenſendum eſt, remorum ex-
tremitates contra aquam impelli velocitate reſpectiva, qua tempore {5/6}. min.
ſec. 4. pedes deſcribat: igitur vis triremem propellens eſt æqualis vi, quam
aqua contra ſuperficiem 130. pedum quadratorum exereret, ſi velocitate in illam
incurreret, qua tempore {5/6} min. ſec. 4. ped. abſolvat: hanc vim ſecundum
315301SECTIO DECIMA TERTIA. garem æſtimationem invenio præter propter æqualem ponderi 40. ped. cub.
aquæ; iſta vero vis non continue applicatur, ſed tantum eo tempore quo re-
mi retrahuntur: ſunt igitur duo trientes iſtius vis auferendi, ita ut vis quæ tri-
remem continue propellat, cenſenda denique ſit æqualis ponderi 13 {1/3}. ped. cub.
aquæ.
Exinde ſequitur, ſi velocitates navis rationem ſequi ſubduplicatam vi-
rium propellentium ponantur, quod eadem hæc triremis pondere unius pedis
cubici aquæ impulſa velocitatem habitura fuiſſet, qua poſſit ſingulis minutis
ſecundis perficere proxime duos pedes; quæ hypotheſis eadem eſt, cum illa
quam primo loco adhibuimus, ita ut rurſus exinde ſequatur triremem velo-
citatem ab iſta navigatione acquiſituram eſſe, qua poſſit perficere ſingulis mi-
nutis ſecundis 7 {1/2} pedes, quæ velocitas tantillo major eſt illa, quæ triremi re-
migatione fortiſſima 260. remigum data fuit.
Rebus bene perpenſis hæſito, utrum navigationis genus ſit præferen-
dum, an remigatio, an aquarum elevatio, ſucceſſum fere æqualem credide-
rim utriuſque, & pro certo affirmare audeo, ſi minus promoveatur navis ab
aquarum elevatione, defectum parvum fore: fortaſſe autem promovebitur
magis. Interim non dubito, quin nova iſta navigationis idea harum rerum
ignaris vana & ridicula appareat. Ego vero aliter ſentio velimque ut animus
porro ad ſequentia advertatur.
Primo. Quod aquæ in omni navium genere, ubi remi plane adhiberi
nequeunt, commode elevari poſſunt, ita ut nova iſta navigatione naves etiam
bellicæ prægraves, quibus in pugnis navalibus utuntur, deficiente omni vento,
quo lubet agi poſſint.
Secundo. Quod ſic in theoria exemplum habetur, dari vires motrices
ſive propellentes, quæ dici poſſunt intrinſecæ: Excitabuntur iſto exemplo
ingenia ad excogitanda hujuſmodi alia motus principia eaque magis perficien-
da & ad navigationis uſum adhibenda.
Tertio. Quod multis modis ſublevari poteſt labor hominum in elevan-
dis aquis ſecus atque fieri poteſt in remorum uſu: ſunt nempe res naturales
inſigni & fere incredibili virtute præditæ eæque mediocri pretio comparandæ,
quibus idem quod labore hominum effici poteſt: harum uſus præſertim
316302HYDRODYNAMICÆ vibus trajectibus ſerena & tranquilla tempeſtate inſtituendis inſervire poſſet.
De virtute iſtiuſmodi rebus naturalibus inſita, de effectibus inde obtinendis
horumque menſuris egi in Sect. X. §. 40. & ſequentibus: imprimis autem ve-
lim ut attendatur ad §. 43. quo omnes quibus ingenium à natura datum fuit
felix ad machinas excogitandas, excitari deberent ad rei iſtius perfectionem
tentandam.
Quarto. Quod nonnulla alia compendia purè mechanica adhiberi poſ-
ſint ſimilia illi quod §. 27. datum fuit, quorum nempe ope ab eodem labo-
re effectus in promovendis navibus non parum creſcit: Verum non licet jam
ſecundum veram rei indolem omnia pertractare.
EXPERIMENTA
In Sectionem decimam tertiam.
UT vim repelle@tem experimento recte cognoſcere liceat, adhiberi pote-
rit vas quod habeat formam parallelopipedi ejuſque pondus ſumi tam
vacui quam aqua pleni, poſteaque indagari ratio inter amplitudinem
vaſis & amplitudinem foraminis, quod in latere vaſis eſſe debet, ſicut & ratio in-
ter altitudines aquæ ſupra foramen & ſupra baſin: Inde deducere licebit ratio-
nem inter pondus vaſis aqua pleni & cylindri aquei foramini verticaliter ſuper-
incumbentis. Porro ex obſervata amplitudine jactus habebitur velocitas aquæ:
ex hac, ſi ſimul jungas quantitatem aquæ dato tempore effluentem pariter
obſervandam, colliges amplitudinem venæ contractæ, quam comparare pote-
ris cum amplitudine orificii.
His omnibus exploratis ſuſpendatur vas ex filo prælongo adhibita ſi-
mul cura, ut alium motum habere non poſſit, quam qui ſit directioni aqua-
rum effluentium contrarius. Tum demum aquis effluxus concedatur & ob-
ſervabitur filum ſitum verticalem deſerere & ex angulo declinationis cognoſ-
cetur vis repellens eaque cum menſuris, quas indicavimus, comparari poterit.
317303SECTIO DECIMA TERTIA.
Experimentum 1.
Feci ipſe aliquando omnia, ut nunc monui, viſumque fuit regulam
noſtram §. 2. recte confirmari: non potui tamen tum temporis fufficiente
accuratione experimentum inſtituere, nec illud poſtea repetii.
Experimentum 2.
Alio tempore rem aliter tentavi: vas nempe de quo omnes menſuras
requiſitas ſumſeram aqua plenum naviculæ impoſui in puppi: navicula aquis
in alveo innatabat: Deinde aquis ex vaſe effluentibus (ita tamen ut in navicu-
lam non illiderent) navicula in plagam contrariam progreſſa eſt: velocitatem
naviculæ ex ſpatio dato tempore percurſo rectiſſime exploravi. Deinde in-
quiſivi quantum ponduſculum naviculæ eſſet appendendum, ut illo pondere
ſollicitata eandem velocitatem acquireret. Inſtituta deinde comparatione iſtius
ponderis cum pondere cylindri aquei datæ diametri, inde rectiſſime theoriam
noſtram confirmari vidi.
Experimentum 3.
Effluentibus aquis ex vaſe naviculæ ſuperimpoſito in naviculam, hæc
omnino immota permanſit: Id indicat impetum venæ aqueæ æqualem eſſe vi
repellenti, ut demonſtravi §. §. 16. & 17. Tum etiam ſi vena aquea directe
impingebat in planum naviculæ affixum, hæc fimiliter immota ſtetit, quod
rurſus æqualitatem impetus & vis repellentis probat: at ſi vena oblique in pla-
num incidebat, navicula quidem motum obtinuit ſed lentiorem.
Denique ſi aquæ effluentes à navicula excipiebantur, ita ut orificium
aquis in navicula ſtagnantibus eſſet ſubmerſum, ſimiliter abſque motu perſte-
tit navicula, documento, quod eadem preſſio à vena oriatur, ſive fiat ut om-
nis ejus motus cohibeatur, ſive ut ad angulum rectum declinetur, prouti de-
monſtratum fuit §. 18. æqualitatem inter vim repellentem & vim venæ aqueæ
perpendiculariter in planum incidentis plurimis aliis modis exactiſſime confir-
mavi. Hanc autem vim theoriæ noſtræ conformem opinionique omnibus
318304HYDRODYNAMICÆ communi contrariam experimento omni exceptione majori confirmavi, quod
præſentibus D. Emanuele Kœnig, Patrueli meo Nicolao Bernoullio atque
Patre meo in ædibus meis inſtitui tanta cum fiducia, ut acceptis omnibus
menſuris, preſſionem venæ aqueæ, quanta futura eſſet, etſi nunquam antea
à me capto experimento, omni præciſione prædixerim. Hæc omnia novis
principiis mechanicis eruta communicavi cum Academia Scientiarum Petro-
politana, cujus Commentariis a liquando inſerentur.
Experimentum 4.
Ut etiam oſtenderem falſitatem regulæ receptæ tum de vi repellente
tum de impetu aquarum, adhibui vas quale oſtendit Figura 86. inſtructum ca-
11Fig. 86. nali A B uniformis amplitudinis & incurvato, cujus directio in A erat horizon-
talis, in B verticalis: vidi vas plane non repelli horizontaliter; ergo per §. 14.
falſa eſt regula, quæ ſimplici cylindro ibidem definito adhæret.
FINIS.
4[Figure 4]
319 5[Figure 5]
320 6[Figure 6]
321
[Empty page]
322 7[Figure 7]
323 8[Figure 8]
324
[Empty page]
325 9[Figure 9]
326 10[Figure 10]
327
[Empty page]
328 11[Figure 11]
329 12[Figure 12]
330
[Empty page]
331 13[Figure 13]
332 14[Figure 14]
333
[Empty page]
334 15[Figure 15]
335 16[Figure 16]
336
[Empty page]
337 17[Figure 17]
338 18[Figure 18]
339
[Empty page]
340 19[Figure 19]
341 20[Figure 20]
342
[Empty page]
343 21[Figure 21]
344 22[Figure 22]
345 23[Figure 23]
346 24[Figure 24]
347
[Empty page]
348 25[Figure 25]
349 26[Figure 26]
350
[Empty page]
351 27[Figure 27]
352 28[Figure 28]
353
[Empty page]
354
[Empty page]
355
[Empty page]
356
[Empty page]
357
[Empty page]
358
[Empty page]
359
[Empty page]