ris Serenißimi patris tuæ Celſitudinis, ac-
cerſitus ex vrbe Parmenſi in banc me ciui-
tatem contuli. Is aduenientem tam bumanè
excepit, tanta deinde liberalitate fuit com-
plexus ego vicißim ei deſeruiendi, tam vebe-
menti cupiditate fui accenſus, vt ſub eius ditione quodſuper-
eßet vitæ agere conſtituerem. Cuius in me benignitas, mea
in illum obſeruantia mirum in modum mutuo vſu, & conſue-
tudine eſt adaucta, vt idem Dux me ſecum dum ruſticaretur
eße vellet, ſæpè etiam ſecum pernoctare; quo quidem tempo-
re de Matbematicis ſcientijs mecum agebat, in quibus perdi-
ſcendis mea opera vtebatur, quæſtiones, Arithmeticam, Geo
metriam, Opticen, Muſicam, aut Astrologiam ſpectantes
proponens. Cui vt quod in me eßet ſatisfacerem, acrius
quàm anteainea studia (adquætamen ſemper fui propenſißi-
mus) incubui.
studiaimitantur) non pauci aut præſentes, aut per litter as me
de his, atque illis Mathematicis quæstionibus conſuluerunt. Cùmque ego nunquam laborem amicorum cauſa defugerim,
euenit vt post tot annorum curricula, mea ſcrinia ſcrutatus,
inuenerim tot abſolutas quæſtiones, vt ex eis corpus mediocre
effici poſſe videretur. Quas, cùm rationibus in epiſtola ſub-
ſequenti allatis edere constituiſſem, non ſub cuiuſque alte-
rius nomine, & auſpicijs quam tuæ Celſitudinis volui apparere; tum quòd patri debitum libellum filio reddere par erat, tum
benignit atem ineße ſemper ſum expertus, tum quòd tuæ Celſi-
tudinis interrog ationibus excitatus non pauca quæ hoc volu-
mine continentur, elucubraui. Acceßit, quod ego ſemper in
his dedic ationibus ſpectandum put aui, tuam Celſitudinem t
tos progreßus in Mathematicis feciſſe, vt vel idonea æſtima-
trix mearum vigiliarum eſſe poßit. Quare, & veterum Per-
ſarum Regum gloriam æquauit, & nos veluti in ſpem certam
fælicitatis buius ſæculi induxit, ſi verum eſt Platonis va-
ticinium, beat am eam futuram Rempublic am in qua
Principes Philoſophentur. Tua igitur celſi-
tudo libellum tot ei nominibus debitum,
ea qua ſolet bumanitate accipe-
re nè grauetur. Deus tuas
omnes cogitationes,
& conatus ad
fœlicißi-
mos
ſemper exitus perducat,
uet incolu-
mem.
diſciplinis contemplatus ſim, partim à præ-
ſtantibus viris patronis ac amicis meis exci-
tatus, quiſuper eis ſententiam meam exquire-
bant, partim, abingenito mihi deſiderio, ra-
tionem, & cauſam eorum percipiendi, com-
mittendum non putaui, quin qualiacunque
meaſcripta in illis ſcientijs, ſtudioſis impartirer,
non dubitans quin illis aliquid commodi atque vtilitatis allatura ſint, prę
ſertim cum in eiuſmodi quæſtionibus inueſtigandis atque perpendendis,
nemo ( quod ſciam ) hactenus elaborauerit. Nihil enim his libris à me
traditum eſt, quod aut legiſſe, aut ab alijs audiuiſſe meminerim, nam ſi
aliena attigi, ea, aut cum aliqua differentia demonſtrationis, aut diluci-
dius ſcripſi, quod ſi forte alius eadem tradidit, aut eius lucubrationes ad
me non peruenerunt, aut earum perlectionis memoria excidit. Vtenim
etiam Ariſtoteles ipſe ſenſit facilè fieri poteſt, vt pluribus, eædem opinio-
nes in mentem veniant. Immo multa ſcribenti euenire poteſt, vt cum
iamdiu aliquid ſcripſerit, iam oblitus, idem repetat, quod mihi etiam
nonnunquam accidit. In his autemlibris non ſuſcepi munus integræ ali
cuius ſcientiæ tradendæ, ne, quæ abalijs iam tradita ſunt, ipſe inutiliter re
peterem, mihiq́ue viderer exalienis laboribus laudem voluiſſe comparare. Singularum enim ſcientiarum volumina, iam ab alijs collecta, at-
que in ordinemſunt digeſta, & ſi pauciſſimi ſint libri quorum omnes
ſententiæ, omniaq́ue inuenta vnius ſint authoris, excipio Archime-
dis volumina. Cumque multi ſint, qui vel vnam rem à ſe inuentam
in publicum proferre non dubitent, multo magis mihi qui multa ex-
cogitaui, & ſi inter ſe hætereogenea, atque vtcunque expreſſa, idem
licere ſum arbitratus. In his autem meditandis, ex Arithmeticis autho-
ribus quos inſpexi, præcipuus fuit Nicolaus Tartalea, quippe quem fe-
rè omnia ab alijs ſcripta collegiſſe conſtat, nec alios ex præcipuis, quos le-
gere potui omittendos duxi, inter quos ſunt Hieronymus Cardanus, Mi-
chael Stifelius, Gemma Friſius, Ioannes Nouiomagus, Cuthebertus
Tonſtallus, Quorundam tamen volumina illorum
qui à Tartalea citantur, vt Leonardi Piſani, Proſdocimi, Ioannis Infor-
tunati, Fratris Lucæ, Petri Borgi, aliorumq́ue aliquot inſpiciendorum,
Præterea, licet in his libris nonnullę inueniantur
propoſitiones, quæ diſiunctam ab alijs habeant rationem, eæ non ſper-
nendæ tamen ſunt, viam fortaſſe alicui aperient vlterius progrediendi. Quemadmodum enim, exempli gratia, ex ſub contraria coni ſectione,
ſumpta poſtea fuit diuina illa Planisferijdelineation, quæ ſub Ptolomæi no-
mine legitur, & ſicuti ex penultima primi Euclidis, quam Pythagoras
excogitauit propè innumeræ pulchræ conſequentiæ in Aſtronomia, in
Architectura, in
modum ex ſingulis propoſitionibus à noſtris maioribus excogitatis mul-
ta egregia ſunt deducta, ita fortaſſe continget, vt ex mearum muentio-
num aliqua, Si quid verò, hic in-
ueneris, quod tuo genio non arrideat, illa prudentiſſimi hominis ſen-
tentia in mentem veniat.
tingere, vt idem omnibus probari, atque placere queat, & perdifficulter
inueniri hominem cui placeant omnia quæ alteri ſatisfaciunt. Nec te mo
ueat, quodhęc Theoremata ſiue excogitationes non videas ordine illo di-
ſpoſitas, quo collocari debere exiſtimaueris, tum in Arithmeticis, tum in
cæteris. Cum enim in huiuſmodi rebus ordo non ſit neceſſarr
ſum eſt mihi poſſe me, ſine repræhenſione, illum negligere, cum ſpe-
culationi, ſiue inuentioni preęcipuè adeo mihi incumbendum decreuerim
vtin collocatione operam ponere, & tempus abſumere operæpretium
non duxerim, quod idem in epiſtolarum collocatione feci, in quibus per-
ſonarum ad quas ſcribo nullus ferè graduum ordo ſeruatus eſt, nec tem-
poris, quo ſunt ſcriptæ, quæſitorum tantummodo ratione habita. Nec
admirari quenquam velim, quod in ſpeculandis numerorum paſſioni-
bus, figuris vtar geometricis, ita enim in .2. libr. fecit Euclides, qui mo-
dus, eo magis mihi arridet, quo minus eſt abſtractus,
telligentem phantaſmata ſpeculari
omne, ex continui diuiſione aliquo modo oriri, ſiue actu, ſiue potentia. Deinde ſi forte meis in deinonſtrationibus tibi videbor aliquando bre-
uior, illud in cauſa fuiſſe ſcias, quod ibi ad viros ſcribebam in his diſcipli-
nis exercitatos, quibus ſatis fuit rem ſignificare. Libuit autem mihi om-
nes voluminis Arithmetici propoſitiones potius vocabulo theorema-
tum appellare, quam problematum, quia pars earum ſpeculatiua tan-
tum mea eſt, & ſi ex varijs eiuſmodi propoſitionibus etiam operatiuam
adinuenerim. Quoniam verò multis in locis accidit, vt veritatis iudi-
candæ cauſa neceſſe mihi fuerit quorundam ſententijs aduerſari nolim te
bere quod alienos errores aperiam, cum potius habenda ſit mihi gratia,
quod in ijs interdum laborans (quę Antiſthenes in diſciplinis magis ne-
ceſſaria eſſe dixit,
lere ſtudeam,
telis exemplo, pluris quam cuiuſuis hominis authoritatem, aut gratiam
facere debet. Cumq́ue in hoc volumine aliquid eiuſmodi legeris
te oratum volo, vt in iudicando, affectum omnem exuas,
Salluſtianum illud præ oculis habens. Omnes qui dere-
bus
miſericordia vacuos eſſe decet. Hinc fiet, vt
non perſonæ (vt multiſolent) ſed
veritati, quę ſummo ſtudio di-
gniſſima eſt, ſemper po
tius faueas. Vale
noſtrisq́ue
labo-
ribus vtere, ſi quem inde fructum,
ſicuti ſpero tuleris, illi præ-
cipuè habeas gratiam à
quo omnes fluunt
ſcientiæ.
meris eorumq́ue effectibus excogitata poſteris tradide-
runt, quorum cum vix vllam rationem reddiderint, aut
certè per exiguam, occaſione diuerſorum problematum
mihi à Sereniſſimo Sabaudiæ Duce propoſitorum præbi-
ta, de ijs quæ ab antiquis propoſita fuerunt contemplanda
nonnulla occurrerunt, quæ poſteritati comendare non
inutile arbitratus fum, ne hæ meæ cogitationes intercide-
rent, & occaſionem præberem quamplurimis abſtruſa hęc
indagandi, quæ problematibus & thæorematibus inuoluta, vix aliquem qui euol-
ueret nacta funt.
Inter cætera vero à me queſita, hoc fuit theorema.
ſet ſcientificè & ſpeculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris,
quolibet producentium minus eſſe. Cui reſpondi, mente & cogitatione conci-
piendum eſſe fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiuſdemq́ue na-
turæ eſſe, imò longè diuerfæ.
Exempli gratia, fractis numeris propofitis .a.i. et .a.c. quorum integri ſint .a.
b. et .a.d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè eſſet productum .c.i. fu-
perficiale futurum, quod nomen caperet à producto ſuperficiali .d.b. generato ex
vno in aliud totorum linearium, nam ſi conſtitueretur .a.i. octauum ipſius .a.b. et .a.
c. dimidium .a.d. multiplicato .a.i. cum .a.c. produceretur fextumdecimum ipſius .
d.b. Quare .d.b. eſſet totum
Mirum itaque non eſt ſi productum .c.i. minus videatur fuis producentibus, cum
toto, diuerſæ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiuſdem
naturæ, linearis, ſuperficialis, aut corporeæ denominatur.
Quòd ſi amplioris cognitionis gratia ex ſcientiæ præceptis ſpeculari voluerit a@
ſuo integro .a.b. aut fracto .a.c. in ſuo integro .a.d. conſideret is quo pacto pro-
portio .c.i. ad .d.b. minor ſit proportione .a.i. ad .a.b. et .a.c. ad .a.d. hac ratione. Ma-
nifeſtum eſt ex prima ſexti de quantitate
continua, aut .18. ſeptimi Euclidis de diſcre
cut .a.i. ad .a.b. & cum .c.i. minor ſit .d.i.
velut pars ſuo toto, proportio, c.i. ad .d.b.
minor erit proportione .d.i. ad .d.b. ex .8.
quinti, quare minor erit pariter proportio-
ne .a.i. ad .a.b. ex .12.
portio .c.i. ad .d.b. minor erit .a.c. ad .a.d.
ex eiſdem cauſis, medio .c.b. Ex quibus pa-
tet ratio, cur fracti diuerſarum denomina-
tionum ad vnicam reducantur. Cur etiam
numeros integros in partes fractis ſimiles
frangere liceat, quæ omnia ex ſubſequenti
figura facilè cognoſci poſſunt.
ligere volunt, & in ſummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus
per denominatorem alterius, & poſtmodum denominatores adinuicem, quorum
vltimum productum, commune eſt denominans duorum priorum productorum,
quæ collecta in ſummam efficiunt quod quærebatur.
Qua in re ſciendum eſt, denominantes conſiderari tanquam partes vnius
q́ue
in longitudine, Quare ſi colli-
gere voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus .a.c. duo tertia,
cum .a.b. diuiſa in 4. partes, produceturq́ue .c.b. octo partium ſuperficialium, de-
hinc multiplicando .a.i. tres quartas cum .a.d. diuiſa in .3. partes producetur .i.d. pri
mis ſingulis æqualis, nouem partium ſuper
ficialium, multiplicata deinde a.b. diui-
cetur quadratum .d.b. in continuo, in 12.
partes diuiſum, quod erit totum commune
ſingulis productis, quorum primum erat .c.
b. Quare .c.b. ita ſe habet ad totum .d.b. ſi-
cut .a.c. ad .a.d. ex prima ſexti in continuis,
aut .18. ſeptimi in diſcretis quantitatibus,
et .d.i. ad .d.b. ſicut .a.i. ad .a.b. ex eiſdem
propoſitionibus. Collectis deinde parti-
bus producti .c.b. cum partibus producti .
d.i. manifeſtè depræhendetur eiuſmodi
ſummam componi ex partibus vnius totius
communis ſingulis earum.
multiplicare
debeant numeratores adinuicem & ita etiam denominatores, ex quo produ-
ctum ex numeratoribus nomen capiat à producto denominatorum.
Huius ſi cauſam noſce vis, ſume .o.i. & .o.u. pro totis denominatoribus, tum .o.e.
& .o.a. pro numeratoribus (exempli cauſa) ſit .o.i. ſenarius .o.u. quaternarius .o.e.
quinarius .o.a. ternarius. Si noſce vis quæ ſint tres quartę partes quinque ſextarum,
patet ex regulis practicis oriri quindecim vigeſimaſquartas. Id quomodo fiat, ex
ſubſcripta ſigura depræhendetur, memores tamen eſſe oportet, quodlibet
conſiderari
quam lineas. In hac igitur ſigura productum ex totis
productum aggregatum ex .20. Quodita ſe habebit
ad productum totale .u.i. ſicut .o.e. ad o.i. ex prima
ſexti aut .18. ſeptimi, ita .u.e. erunt quinque ſextæ par
tes .u.i. quarum in propoſito exemplo, tres quartæ Si
productum .a.e. ita
o.u. reperitur, ex prædictis rationibus. Quòd ſi
eſt .o.a. tres quartas partes eſſe ipſius .u.o.
quartæ partes
ſius .u.i. ex quo ſequitur bonum eſſe huiuſmodi opus.
cti per numerum integrorum, partianturq́ue productum per
fracti, ex quo numerus quæſitus colligitur.
Propter quod mente concipiamus in ſubſequenti figura, numerum integrorum
tanquam lineam .a.e. qui, verbigratia, ſit denarius, quorum vnuſquiſque ſit æqualis
a.i. cogiteturq́ue productum ipſius .a.e. in .a.i. ſitq́ue .u.e. quod quidem erit dena-
rius ſuperficialis, conſtituta prius .a.u. æqualis .a.i. & .a.o. ſint duæ tertiæ .a.u.
duarum tertiarum productum in numerum .a.e. ſit .o.e. pariter .u.i. vnitas ſit ſuper-
ficialis prout .a.i. vnitas eſt linearis, quam .u.i. reſpicere debet productum .o.e. ex
quo integer ſuperficialis .u.i. erit tanquam ternarius, & productum .o.i. tanquam bi
narius, & quia quælibet pars è viginti ipſius .o.e. æqualis eſt tertiæ parti .u.i. vnita-
tis ſuperficialis; ſi cupiamus ſcire quot integræ vnitates ſint in partibus .o.e. conſul-
tum eſt eaſdem diuidere per denominantem .u.i. compoſitum ex tribus partibus ſu
perficialibus, & cum tam linea u.a. quam ſuperficies .u.i. diuidatur in 3. partes
les
ipſius .u.i. non .u.a. ex prædictis cauſis.
teſcere poteſt, cuius rei gratia for-
metur ſequens figura .e.o.a.u.n.
eiuſmodi, vt a.e. ſit numerus li-
linearis integrorum, & o.e. produ-
ctum numerantis ipſorum
in integris, ex quo .a.o. erunt duæ
tertiæ, verbigratia, a.i. aut a.u. qua-
rum
les vnitati lineari, ſuperficies autem
parallelogramma .u.n. conſtituatur
æqualis magnitudinis ſuperficiei .o.
e. ex quo .u.n. erit nobis cognita ſu-
perficies. Cognoſcetur pariter quan
titas partium .a.u. quam in propoſi-
to exemplo diximus eſſe trium par-
tium. ex regula igitur de tribus, di-
cemus ſi .u.a. dat .a.e. ſine dubio .o.
a. dabit .a.n. numerum linearem.
quæ regula ex 15. ſexti in continuis,
& ex 20. ſeptimi in diſcretis, depro-
mitur. rectè igitur
cti numerantes cum integris, & productum diuiditur per
tiplicantes enim has duas tertias per decem, debemus conſide-
20. tertia, quandoquidem ſingulæ vnitates, tunc pro duobus ter-
tijs ſumuntur, ſed c
ideo ex ratione partiendi quoties ternarius ingrediatur viginti,
ſtatim cognoſcemus quod optabamus.
Id ipſum accideret ſi integri in eiuſmodi ſpecie fractorum diui-
derentur. quo facto hi multiplicandi eſſent cum numerante propo
ſito, &
Cuius rei hæc eſt ſpeculatio.
Sit linea .a.e. conſtans ex
integris numeris, quorum
ſint duo tertia vnitatis integræ linearis. cogitemus nunc hos
integros diuidi in ſua
erunt 15. multiplicatis iam 15. cum propoſitis, videlicet a.o. orie-
tur productum .o.e. triginta fragmentorum ſuperficialium,
in ſingulos integros ſuperficiales
notauerimus quoties
ſequemur.
beant integros reducere ad ſpecies fractorum, eos colligendo cum fractis: deinde multiplicare hos vltimos numerantes adinuicem & productum partiri
per productum denominantium.
Vt (exempli cauſa) ſi volumus multiplicare vnum & duo tertia, per duo & tria
quarta, reducentur omnia in fractos, ex quo vna ex parte eſſent quinque ter-
tia, multiplicanda cum vndecim quartis ex altera, quo facto oriretur productum
quinquagintaquinque fractorum, quod diuiſum per
productum ternarijin quaternarium, videlicet per duode
cim, quatuor integri proferentur cum ſeptem duodeci-
mis fractis vnius integri.
Detur ſubſequens figura in qua linea a.i. æqualis ſit li-
neæ .u.a. quarum
ro:
u. tria: detur deinde linea .a.o. æquipollens vni integro
duobus tertijs, & a.e. æquipollens duobus integris & tri-
bus quartis. Iam ſi hæ duæ lineæ in ſuos fractos redu-
cantur, multiplicata (vt in ſequenti figura apparet.) a.o.
a.e. orietur productum o.e. fractorum ſuperficialium
let duodecim, ſcilicet .u.i. vt cuique manifeſtum eſt, ex
quo, quærenti media partitione, quoties duodecim in-
grediatur quinquagintaquinque, citra errorem, quæſitum
occurret.
tur, qui poſtmodum ſimul multiplicarentur, productumq́ue partiremur per qua-
dratum denominantis communis.
Exempli cauſa, ſint eadem quinque tertia, & vndecim quarta adinuicem multi-
plicanda, quæ ſi reducantur ad vnam & eandem denominationem quinarius
numerans vnius, multiplicabitur cum quaternario deno-
minante alterius, & vndenarius ſecundi cum ternario de-
nominante primi. ex quo vna ex parte eſſent viginti, ex
eſſet productum ternarij in quaternarium, videlicet duo-
decim, vt ex veteri regula patet. Iam ſi multiplicentur vi
ginti cum trigintatribus, dabuntur 660. fracti, quorum in-
teger erit quadratum duodenarij, nempe 144. quibus qui-
dem 660. diuiſis per 144. proferentur quatuor integri &
ſeptem duodecimi.
Cuius rei gratia ſit in ſubſcripta figura linea .a.i. & ei
æqualis .a.u. pro integro lineari, quæ .a.i. diuidatur in qua-
tuor partes, & .a.u. in tres, & linea .a.e. ſit vndecim
talium qualium .a.i. eſt quatuor, & .a.o. ſit quinque pro-
ut .a.u. eſt trium. nunc multiplicato .a.o. & .a.i. orietur pro-
ductum .o.i. viginti partium ſuperficialium. tum multipli-
ad hæc quadratum .u.i. conſtabit ex duode-
cim partibus eiuſdem rationis cum reliquis duobus
productis, quod quadratum .u.i. vnitas eſt ſuperficia-
lis, & communis denominans duorum productorum. quod ſi in præſentiarum cogitabimus lineam .c.d. tri-
gintatrium partium æqualium, et .c.t. duodecim ſimi-
lium, et .c.f. viginti .c.n. duodecim, multiplicato .c.
d. cum .c.f. dabitur ſuperficies .f.d. 660. fractorum
ſuperficialium, quorum vnitas integra ſuperficialis
erit quadratum .n.t. 144. partium cuiuſmodi .f.d.
partes habet .660. diuiſo itaque .f.d. per .n.t. pro-
poſitum conſequetur. eo quòd eadem proportio erit
a.e. in .a.o. ad .u.i. nam proportio .c.d. ad .c.t. ea-
dem eſt quæ .a.e. ad .a.i. & c.f. ad .c.n. vt .a.o. ad .a.
u. ex prima ſexti vel 18. ſeptimi, ſed vt .f.d. ad id
fit ex .f.c. in .c.t. eſt vt .c.d. ad .c.t. & vt eius
f.c. in .c.t. ad .n.t. eſt vt .f.c. ad .c.n. ex dictis pro-
poſitionibus quare ex æqua proportionalitate, eodem
modo diſcurrendo in figura .o.a.e. ita ſe habebit .f.d.
ad .n.t. vt .o.e. ad .u.i. Porrò ex ijs, quæ hactenus de
fractorum multiplicatione conſiderata fuerunt, apertè
ratio deprehenditur, cur productum, ſingulis producen
tibus ſemper minus ſit, cum producta ſint ſuperficialia
producentia verò ſemper linearia, omiſſis productis
corporeis, quæ omnia ad ſuperficialia reducuntur.
ſemper æquales inuicem eſſe debere, vnius ſcilicet ſpeciei, quòd ſi æquales non
fuerint, neceſſe eſt via multiplicationis ipſorum denominantium adinuicem effice-
re æquales vt ſint, ex quo productum oritur eiuſmodi, vt aptum ſit habere partes
fractorum, quæ deſiderabantur.
Exempli gratia, ſi proponerentur diuidenda ſeptem octaua per tria quarta præ-
cipit antiquorum regula, vt ad vnam tantum denominationem reducantur. quare
multiplicant denominantes inuicem. ex quo productum in materia propoſita ori-
tur triginta duarum partium commune denominans, cuius duo numerantes ſunt vi-
gintiquatuor & vigintiocto, producti ex multiplicatione vnius numerantis in deno
minantem alterius, ex quo dantur vigintiquatuor tamquam tria quarta trigintaduo
rum, & vigintiocto tanquam ſeptem octaua particularum vniformium, prout ope
primæ ſexti aut decimæoctauæ ſeptimi in ſubſcripta figura cognoſci poteſt.
Sit itaque linea .a.i. diuifa in partes octo, & ei æqualis in longitudine .a.u. in qua-
tuor, productum verò vnius in alteram
fuperficialium fimilium &
inuicem. fit deinde .a.e. ſeptem
lineæ .a.i. & .a.o. trium partium .a.u. tunc productum .a.e. in .a.u. erit .u.e.
particularum ſuperficialium vigintiocto
& productum .a.o. in .a.i. erit .o.i. par
ticularum
eiuſdem naturæ cum partibus triginta-
duabus totius denominantis communis. vnde diuifo numerante vigintiocto per-
numerantem vigintiquatuor, dabitur
vnum cum fexta parte illius vnius.
eiuſmodi partem numeri diuifibilis inuenire refpectu totius numeri diuifibilis,
cuiuſmodi eſt vnitas in diuidente refpectu totius diuidentis, partem inquam numeri
diuiſibilis ſic ſe habentem ad totum numerum diuiſibilem ſicut vnitas ad totum di-
uidentem, quod ſimiliter ex regula de tribus præſtamus dicentes, ſi tantus numerus
diuidens dat
ſeu .20. ſeptimi licet ſpeculari, Idcircò quotieſcunque minorem numerum per
maiorem diuidimus, ſemper qui prouenit fractus eſt.
Exempli gratia, ſi cogitaremus lineam .a.e. diuiſam in octo partes æquales, qua
rum vna ſcilicet vnitas effet .a.i. & cupere-
mus eam diuidere in nouem partes, ac ſcire
manifeſtum eſſet,
nonam partem ipſius .a.e. minorem futuram
ipſa .a.i. cum .a.i. diminui debeat à ſua inte-
gritate eadem proportione, qua .a.e. minor
reperitur vna linea nouem partium æqualium
fingularum .a.i.
Quod vt dilucidè cuiuis innoteſcat, hoc
etiam modo licebit videre ſitlinea .n.c. no-
nupla ad .a.i. & parallela ad .a.e. dubium non
eſt quin .n.c. maior futura ſit ipſa .a.e. iam ſi
earum extrema congiungantur medijs duabus
lineis .n.a. et .c.e. quæ ſimul concurrant in
puncto .o. (quod eſt probatu facillimum) da-
buntur certe duo trianguli fimiles .a.o.e. et .n.o.c. Sit deinde .n.t. vna è partibus
ipſius .n.c. quæ .n.t. æqualis erit .a.i. ex præſuppoſito. ducatur deinde .o.t. quę
interſecet .a.e. in puncto .x. dico .a.x. tanto minorem futuram .a.i. quanto .a.e.
minor eſt .n.c. neque enim dubium eſſe poteſt quin proportiones .n.t. ad .a.x. et .
litudine æqualis eſt proportioni .o.n. ad .o.a. itaque .n.t. hoc eſt .a.i. tanto maior erit .a.x.
quanto .n.c. maior eſt .a.e. vnde ficut .a.e. con-
ſtat octo nonis ipſius .n.c. ita pars .a.x. ipſius .
a.e. octo nonis conſtabit ipſius .a.i.
Hinc patet ratio cur partituri numerum mino
rem per maiorem collocent minorem fupra
virgulam & maiorem infra & zerum ad
Sciendum eſt præterea diuidere numerum
per numerum: eſſe inuenire
producitur, ſuppoſito ſemper quòd numerus
diuifibilis ſuperſicialis ſit, & rectangulus.
Exempli gratia, ſi proponantur triginta diuidenda per quinarium, nihil aliud erit
hæc diuiſio, quam inuentio alterius numeri, qui multiplicatus per quinarium produ-
cat triginta ſuperficies rectangulas, huiuſmodi verò eſt ſenarius, cuius ſingulæ vnita-
tes ſuperficiales erunt.
Cuius rei gratia ſit ſubſcriptum rectangulum .a.e. triginta vnitatum
cuius latus .e.n. ſit quinque vnitatum. hinc latus .a.n. erit ſex vnitatum;
ita diuiden-
tes rectangulum .e.a. nihil a iud faciemus, quam vt inue-
Sin verò diuiſerimus per latus .a.n. quæremus latus .e.n.
quinque vnitatum. ex quo, proportio totius numeri diuifi-
bilis ad numerum qui oritur, erit ſicut diuidentis ad vnita-
tem, ex prima ſexti, aut .18. vel .19. ſeptimi, & permutatim
ita ſe habebit diuiſibile ad diuidentem, ſicut numerus qui
oritur ad vnitatem.
Partiri igitur nihil aliud eſt, quam inuenire latus rectanguli, quod productum in
diuidente, numerum diuiſibilem compl at, ex quo numerus diuiſibilis ſuperficialis
eſt, diuidens autem, & qui oritur, numeri lineares & latera producentia huiuſcemodi
numerum diuiſibilem. nam multiplicare & diuidere opponuntur inuicem, cum au-
tem ex multiplicatione laterum ſiue linearum generatur ſuperficies, ex diuiſione po-
ſtea ipſius ſuperficiei inuenitur alterum latus. quare mirum non eſt, ſi proueniens ex
vna diuiſione (via fractorum) ſit ſemper maius numero diuiſibili.
Exempli gratia, diuidendo dimidium per tertiam partem, reſultat vnus integer nu
merus cum dimidio pro numero qui oritur. Sit itaque dimidium ſuperſiciale diuiſi-
bile .b.c. cuius totum ſit .b.p. quadratum. tertium verò lineare diuidens, b.n. cuius to-
tum lineare ſit .b.d. quærendum nobis eſt latus .b.s. quod cum latere .b.n. producat re
ctangulum .n.s. æquale dimidio ſuperſiciali propoſito .b.c. quod ſi ſiat, ex .15. ſexti,
aut .20. ſeptimi. erit eadem proportio .b.n. ad .b.q. quæ eſt .q.c. ad .b.s. dicemus itaque
ſi .n.b. dat .b.q. quid dabit .q.c? certè .b.s. ſed .n.b. eſt tertium lineare et .b.q. lineare
tegrũ& quia .b.c. dimidium ſuperficiale, producitur à .q.c.
dimidio lineari in .q.b. integro lineari. quare cum .n.s. ſit ęqualis .b.c. & productum ex .
b.n. minori .q.c. neceſſe eſt, vt producatur in .b.s. maiore .q.b. quod .q.b. maius eſt .q.c.
quod quidem .q.c. ita appellatur ſicut .b.c. quare mirum non eſt ſi proueniens per fra-
ctos numeros ex diuiſione, maior ſit numero diuiſibili.
Hinc manifeſte patet quamlibet
bus, quandoquidem ſinguli diuidentes æquipollent vni integro, & loco illius ſu-
muntur. Perinde enim eſt diuidere centum per viginti, ac
bus Hoc autem ex ſub
ſequenti figura facile deprehendetur, in qua linea .a.b. ſignificat viginti, et .a.o.
tatẽo.c. verò centum vnitates ſuperficiales,
et .a.d.
ftè deprehenditur quòd quemadmodum multiplicare, nihil aliud eſt, quam inueni
re
to vno latere inuenire aliud latus producti propoſiti.
Nam
mus ſuperficiem,
ducatur in vnitatem, mente concipiendus eſt tanqua m linearis, tanquam linea in-
quam diuiſa in totidem particulas lineares, ſingulas continuas & æquales vnitati
propoſitæ.
ſent vnitates quadratæ, quod ſi ita non eſſet, nulla mentio facienda eſſet quo-
rumuis Ex
Quare cupientes ſcire quæ ſint illæ partes, quæ ſunt tres quartę, ipſarum quin-
que ſextarum, dicemus ſi quatuor dant tria, quid dabunt dabunt .15.
vigeſimas quartas, quæ quindecim ſunt tres quartæ ipſius .20. viginti
tæ vigintiquatuor, quandoquidem nos numerum quęrimus, cui ita proportionentur
cut .4. ad .3. ipſe autem .20.
Ex eadem regula de tribus, huiuſmodi quęſito reſponderi poteſt, ſi conſtituamus
prædictas
integer dat tres quartas, quid dabunt quare ſequentes regulam de
tribus, dabuntur quindecim vigeſimæ quartæ. Valet eadem regula de tribus;
vt quis
ſcire poſſit, quæ pars aut partes numeri propoſiti ſit aliquis numerus.
Exempli gratia, ſcire cupienti, quæ pars aut partes ipſius vigintiquatuor ſint ſex-
decim, conſtituentur .24. tanquam vnum totum, cuius pars aut partes ſint ſexdecim,
dicemus igitur ſi .24. dant ſexdecim, quid dabit vnum? ſexdecim videlicet vigeſi-
masquartas, quæ cum ad primos numeros reductæ fuerint, erunt duæ tertiæ. Eadem ratione qui ſcire uellet, quæ partes aut pars eſſent tres quartæ, octo no-
narum, diceret, ſi octo nonæ danttres quartas, quid dabit vnum? prouenient .27.
trigeſimęſecundæ.
Subſeruit pariter ad
Exempli cauſa, ſi quis
quærat, cuius numeri, duodecim ſint duæ tertiæ partes. Dicet ſi duo dant tria, quid
nempe dabunt decemocto, numerum quæſitum ſcilicet,
Tunc autem nil aliud pręſtamus quam quòd quærimus numerum ad quem ita ſe
habeant duodecim, ſicut duo ad tria. Ita etiam ſi quis quærat, cuius numeri duo
tertia ſint tres quintę, dicet, ſi tria dant nempe da-
bunt integrum cum fracto nono. Hoc erit
habeant duo tertia ſicut tria ad
Eadem ratione qui ſcire vellet, cuius numeri duæ ſeptimæ, eſſent octo integra-
rum cum duabus quintis, diceret, ſi duo dant ſeptem quid dabunt octo integra cum
duabus quintis? nempe dabunt .29. integra cum duabus quintis numerum quæſi-
tum. Sic etiam qui transferre uellet fractum numerum in fractum, id perficeret
ex regula de tribus.
Exempli gratia ſi proponerentur vnde cim tertiædecimæ vnius totius, toto diui-
ſo in .13. partes,
mænem
pe
quam querere numerum, ad quem ſic ſe habeat totum in 4. partes diuiſum, ſicut
idem totum diuiſum in tredecim ſe habet ad undecim tertiasdecimas, Porrò ad
alia etiam multa hæc regula accommodata eſt.
Hæc enim
rationum, quæ à practicis circa fractos numeros ſcriptæ ſunt, omnem à diuina illa
regula de tribus originem trahere ut etiam in ſequentibus videbimus.
diuiſibili ſi queras ita accipe.
Sit numerus diuiſibilis .b. quod oritur ſit .c. diuidens .d. & vnitas diuidentis .t. cum
igitur, vt in præcedenti theoremate dictum
fuit, eadem ſit proportio .b. ad .c. quæ eſt .d.
mi, productum ex .b. in .t. æquale eſſe pro-
ducto .c. in d.
ID ipſum alia ratione contemplari licet.
Numerus diuiſibilis ſignificetur per lineam .n.e. diuidens verò per lineam .a.e.
quod oritur linea .u.e. vnitas diuidentis .o.e. ad hæc productum ex .u.e. in .a.e. ſit ſuperficies .u.a.
Dico ſuperficiem .u.a. componi
ex tot vnitatibus ſuperficialibus quot linearibus conſtat linea .n.e. nam ex ijs quæ
diuidendi ratione notauimus,
eandem proportionem eſſe .n.e. ad .u.e.
At ex prima ſexti aut
18. ſeptimi ſic ſe habet totale
u.a. ad partiale .u.o. ſicut .a.e. ad .o.e. quare ſic ſe habebit .u.a. ad .u.o. ſicut .n.
e. ad .u.e. ſed .u.e. et .u.o. numero non differunt, cum ſint vnius & eiuſdem ſpeciei, (ta-
met ſi numerus .u.o. ſit ſuperficialis et .u.e. linearis).
u.a. æqualis erit numero .n.e.
dens?
Sit ſubſcriptus rectangulus .o.e. numerus diuiſi
e. in .a.o. quare ſi .a.o. diuidens fuerit .a.e. proue-
niens erit, ſi veró .a.e. diuidens extiterit, a.o. pro-
ueniens erit futurum.
HOcipſum, alia
Sit linea .a.
mi diuidentis .u. ſecundi prouenientis ideſt cum .o. pro diuidente ſumetur. Iam ex
indicata definitione diuiſionis nono theoremate huius libri, dabitur proportio .a.
ad .o. prout datur .e. ad vnitatem ſignificatam li-
nea .i. & permutatim .a. ad .e. ſicut .o. ad .i. ſed .a.
ne diuiſionis,
e. vnde .u. æqualis erit .e. ex .9. quinti.
VNde prouenit, vt qui velit cognoſcere cuius numeri quatuor quintæ par-
tes, ſint duæ tertię, aut quid ſimile,
denominationem reduxerit.
Prout in propoſito exemplo,
tiæ ſunt
candus ſit per quatuor quintas, ſcilicet duodecim, & productum diuidendum per
duas tertias, hoc eſt decem, ex quo oriantur decemocto quęſitus numerus?
Quod ad
ea de cauſa fit quo uti poſſimus regula de tribus, quæ tribus tantummodo notis ter-
minis indiget, quo quartus à prędictis dependens, inueniri poſſit, quandoquidem
bini illi reſpectus, tribus terminis comprehendi At quod ad multiplicatio-
nem ſpectat denominantis
ſionem producti per numerantem
inuenire, ita proportionatum tertio, vt ſecundus primo.
Excmpli gratia, ſit .a.
rantem denominantis cogniti, qui ſigni
cogniti numerans, denotati linea .u. imò
verò & cogniti .o. nempe quatuor
quintæ, Iam ſi .o. cum .e. multiplicemus, & productum per .a. diuidemus dabitur .u.
ſic ſe habens ad .e. ſicut .o. ad .a. ex .20. ſeptimi.
INuenire autem cupienti cuius numeri, duæ tertiæ, ſint quatuor quintę partes, mul
tiplicandę eſſent duæ tertiæ per denominantem communem, & productum diui-
dendum per quatuor quintas ipſius de-
nominantis. Ac ſi quis diceret ſi .e. dat .
nempe dabit .u. nam in
propoſito exemplo, terminus .a. loco .e.
duos ſortietur denominantes, cognitum
videlicet .o. et .u. incognitum quod po-
ſtea cognitum oritur ex regula de tribus, vt dictum eſt.
QVA ratione cognoſci poterit proportionem quantitatis cenſicæ cenſicæ ad
ſimilem quantitatem quadruplam eſſe ad eam, quæ eſt ſuarum radicum; pro-
portionem
Cuiusrei gratia,
ctione primæ radicis in ſeipſam, prout qui
to, & orietur cubus, hæc poſtea ducta in cubum,
hanc, prædictam radicem, dabit quantitatem primam relatam. Quod vbi ſciueri-
mus, meminiſſe oportet Euclidem decimaoctaua ſexti aut .11. octaui docere, pro-
portionem quadrati ad
vndecimi aut .11. octaui, cubi ad
ſici ad radicum proportionem quadruplam eſſe, primi verò relati ad primum re-
latum quintuplam
Cuius ſpeculationis gratia, detur linea .d. quæ cubum maiorem ſignificet. et .b.
minorem .c. verò ſit radixipſius .d. et .e. ipſius .b. ita ordinate adinuicem, vt in ſub-
ſcripta figura cernitur. Iam .c. cum .d. producatur
cum, tum producatur .e. cum .b. et dabitur .p. alterum cenſicum cenſicum. Dico
igitur proportionem .q. ad .p. quadruplam eſſe proportioni .c. ad .e. hac de
cauſa quòd proportio .q. ad .p. compo-
natur ex proportione .d. ad .b. et .c. ad .e.
depręhenditur. Quare
b. proportioni .c. ad .e. tripla ſit, patet pro-
portionem .q. ad .p. quadruplam eſſe pro-
portioni .c. ad .e. Idem de cæteris dignitati
bus dico, ſumptis ſemper .d et .b. pro duo-
bus cenſibus cenſuum, aut duobus primis relatis, aut alio quouis axiomate.
CVR diuidentibus nobis dignitatem, per dignitatem, radix prouenientis:
pro
ueniens ſit diuiſionis vnius radicis per alteram?
Sint exempli gratia duę lineæ .b.q. et .f.g. quæ ſignificent duas radices cuiuſuis
dignitatis;
per quadratum ipſius .f.g. diuidatur; quadrataq́ue radix prouenientis ſit .d.q.
vnitas verò linearis ſit .i.g. Dico ipſam .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .b.q.
per .f.g. Patet enim ex definitione diuiſionis nono theoremate tradita quadra-
eſt quadrati ipſius .f.g. Scimus pręterea ex .19. ſexti, aut vndecima octaui, propor-
tioné quadrati ipſius .b.q. ad
d.q. ſuarum radicum (cuborum enim tripla eſſet & cenſuum cenſuum, quadrupla,
f.g. et .i.g. reſpectu radicum .f.g. et .i.g. Vnde
cum proportio dignitatis ipſius .b.q. ad il-
lam .d.q. ęqualis ſit proportioni dignitatis
tia apertè cognoſcemus ſimplices propor-
tiones eſſe interſe æquales, nempe eam quę
eſt .b.q. ad .d.q. æqualem eſſe ei, quæ eſt .f.
g. ad .i.g.
b.q. per .f.g.
CVR productum ex duabus radicibus quadratis, eſt quadrata radix, producti
ſuorum quadratorum ſimul?
In cuius rei gratiam, ſint duo quadrata .d.a. et n.o. coniuncta ſimul, prout in ſub-
ſcripta figura apparet, ita tamen vtangulus .a.n.u. ſitre
ctus, quare ex quartadecima primi, duo latera .n.c. et .
qua duo latera .n.u. et .n.d. Cogitato deinde .a.u. pro
ducto ipſius .a.n. in .n.u. duarum videlicet radicum
quadratarum ſimul, dabitur ex prima ſexti, aut de-
cimaottaua ſeptimi, productum .a.u. medium propor
tionale inter quadratum .a.d. et .u.c. quod ſi cogi-
temus has tres ſuperficies, tres numeros eſſe, pate-
bit ex vigeſimaprima ſeptimi productum .a.u. in ſe-
ipſum, quadratum ſcilicet .a.u. æquale eſſe producto .
a.d. in .u.c. ex quo propoſiti euidentia conſequetur.
QVA ratione id ipſum in cubis cognoſci poterit.
Sit cubus .l.b. & cubus .o.p. quorum productum ſit .u.g. quod aſſero eſle
in .4. noni. cuius radicem demonſtra-
bo eſſe numeri æqualis numero .m.q.
qui .m.q. productum eſt ipſius .m.e. in .e.
q. radicum propoſitorum cuborum. Pa-
tet enim ex præcedenti theoremate .m.
corporeum .c.g. cogitemus pariter duo quadrata .l.e. et .e.p. eſſe pariter corpo-
rea, tantę profunditatis, quantam, vnitas linearis radicum .m.e. et .e.q. requirit. Hæc duo corpora producentur à ſuperficie in vnitatem,
facto, cogitemus corpus .a.g. tamquam productum cubi .l.b. in quadratum .e.p. Vn-
de ex decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eadem erit proportio .a.g. ad .c.g.
quæ eſt .l.b. ad .l.x. corporeum, ſed ex .25. vndecimi & prima ſexti, ita ſe habet .a.K.
ad .K.c. vnitatem linearé ſicut .a.g. ad .c.g. & ex
tem linearem, ſicut .l.b. ad quadratum .l.x. corporeum. Itaque ſic ſe habebit .b.e. ad
vnitatem linearem .e.x. videlicet .K.c. ſicut .a.K. ad ipſam .K.c. Vnde ex nona quinti .
a.K. æqualis erit .e.b. & conſequenter æqualis .m.e. Iam verò ſit .u.g. productum .l.b.
cubi, in cubum .o.p. vt ſupra dictum eſt, Hinc patebit ex quauis duarum propoſitio-
num, decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eandem futuram proportionem .u.g.
ad .a.g. quæ eſt .o.p. ad .x.p. quadratum corporeum. Quare ex poſtremis, dictis ratio-
nibus, eadem erit proportio .u.K. ad .a.K. quæ eſt .o.e. ad vnitatem linearem .e.x. at
ex dictis decimaoctaua & decimanona ſeptimi, ita ſe habet
rus .q.e. ad ſuam vnitaté, ſed
erit ergo ex vndecima & nona quinti, numerus .u.K. æqualis numero .m.q. At .f.g.
pariter æqualis eſt numero .m.q. ex præcedenti theoremate, vnde .K.u. pariter æqua
lis erit .f.g. Itaque ſequitur .u.g. cubum eſſe, & f.g. radicem ipſius, æqualem numero .
m.q. quod quærebatur.
VT autem in uniuerſum ſciri poſſit totum
producti duarum dignitatum ſimilium, productum eſſe duarum radicum ea-
rundem dignitatum.
Ponamus, exempli gratia, duas radices quadratas .q.p. et .g.K. incognitas, quas
qui velit adinuicem multiplicare, cogatur earum quadrata cognita .n. cum .i. multi-
plicare, quorum productum ſit quadratum .m. radix cuius ſit .b.d. quam dico æqualé
Patet enim
cum proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-
nona ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-
ties in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen
ti exemplo quadrata dignitas ſumatur.
ua aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Scimus pręterea
m. ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.
d. ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum
fuit ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u.
b.d. ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t.
tũ
ſicut .g.k. ad .t.
ſicut .b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d.
Hocipſum cęteris dignitatibus conueniet,
mutatis tantummodo proportionibus .m.
n. ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-
tionibus duarum dignitatum .i.u. ad pro-
portionem ſuarum radicum .g.k.t.
fuerit,
rit: differentia prouenientium ſemper vnitas erit.
quodquidem veriſſimum eſt.
Detur enim .b.d. propoſitus numerus in duas partes inæquales diuiſus .b.c. et .c.d.
& in primis
ficetur, tum pars ipſa .b.c. Sanè ex defini-
tione diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a.
ſicut .c.d. ad .i.o. Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d.
ad .e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a. Quare ex .11. quinti ſic ſe
habebit .b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9.
cti
Quare ſequitur propoſitum verum eſ
ſe. Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri
poteſt, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-
te diuiſibili,
quandoquidem altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.
HOcipſum alia ratione contemplari po
Significetur enim totalis numerus per .a.e.
in duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u.
totius verò Patet enim in primis, eandem propor
tionem eſſe .a.e. ad .a.c. quæ eſt .u.e. ad .a.i. ex definitione diuiſionis, et eandem
eſſe .a.u. ad .a.n. quæ eſt .u.e. ad .a.i. vnde ex .
11. quinti ſic ſe habebit .a.e. ad .a.c. ſicut .a.
bit .u.e. ad .n.c. ſicut .a.e. ad .a.c. ſed. ſic ſe
habebat .u.e. ad .a.i.
i. Quare ex .9. eiuſdem .n.c. æqualis erit .a.i. etidcirco .n.c. pariter vnitas erit.
tibus ſimul, productum, ſemper eſt vnitas ſuperficialis? Nempe ex .20. ſeptimi,
quoniam vnitas linearis ſemper media proportionalis eſt inter bina prouenientia. Quodita ſpecularilicet.
tem .b.p. per .b.d. diuiſum ſit .b.n. tum proueniens .b.d. diuiſum per .b.p. ſit .b.a.
et .b.t. ſit vnitas .b.p. et .b.e. vnitas .b.d. ex quo .b.t. æqualis erit .b.e.
Iam ex definitio ne diuiſionis, dabitur eadem proportio .b.p. ad .b.n. quæ eſt .b.d.
ad .b.e. et proportio .b.d. ad .b.a. quæ eſt .b.p. ad .b.t. Sed cum ſic ſe habeat .b.
p. ad .b.n. ſicut .b.d. ad .b.e. permutando ſic ſe habebit .b.p. ad .b.d. ſicut .b.n. ad .b.
e. hoc eſt ad .b.t. et cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.a. ſicut .b.p. ad .b.t: permutando ſic ſe
habebit .b.d. ad .b.p. ſicut .b.a. ad .b.t. Quare euerſim ſic ſe habebit .b.p. ad .
b.d. ſicut .b.t. ad .b.a. ſed .b.n. ad .b.t. ſic
ſe habebat vt .b.p. ad .b.d.
quintiſic ſe habebit .b.n. ad .b.t. ſicut .b.
Dictum autem eſt .b.e. et .b.t. idem omnino eſſe.
Quare ex .20. ſeptimi pro-
poſiti veritas innoteſcet.
IDipſum & hac altera uia patebit.
Duo illi numeri per .o. et .u. ſignificentur mutuo diuiſi, proueniens
u. ſit .e. et proueniens .u. per .o. ſit .x. vnitas uerò per .i. ſignificetur, quas tamen quanti-
tates ſubſcripto modo ad inuicem diſponi-
to.
eſt .u. ad .x. Quare ex æqualitate
c. ad .i. ſic ſe habebit ſicut .i. ad .x. erit enim .i.
media proportionalis inter .e. et .x. ex .20.
ſeptimi propoſitum concludetur. Huiuſmodi rei cauſa etiam eſt, quod proueniens
diuiſionis vnius eſt numerator æqualis denominatori diuiſionis alterius.
cem, & per hanc ſummam, diuiſa ſumma quadratorum dictorum
m erorum ſimul.
Sint exempli gratia propoſiti numeri .2. et .8. qui mutuo diuiſi in primis dent pro
uenientia quatuor integra, tum quartam partem pro altero proueniente, hæc colle-
cta dabunt ſummam quatuor integrorum et quartæ partis vnius, ſumma autem qua
dratorum binarij & octonarij erit .68. qui quidem numerus per quatuor & quar
tam partem vnius diuiſus dabit .16. pro proueniente, quæ .16. æqualia erunt pro
ducto binarii in octonarium.
Cuius rei hæc erit ſpeculatio, ſint duæ lineæ .o.e. et .o.n. quæ duos numeros pro-
poſitos ſignificent, inuicem ad angulum rectum .o. coniunctæ, quarum quadrata
ſint .o.a. et .o.p. ipſorum productum ſit .n.e. tum .o.t. ſit proueniens ex diuiſione .o.e.
per .o.n. Hęc ſingulatim conſideremus (
ciderit, id ipſum in compoſitis conſequenter eueniet) quamobrem ex definitione di
uiſionis dabitur eadem proportio .o.e. ad .o.t. quæ eft .o.n. ad vnitatem, quæ ſit .o.
x. Nunc cogitemus
tunc numerus .
c.t. proueniens erit, ut patet, ex diuiſione numeri quadrati .o.a. per
aut .20. ſeptimi.
11. quinti ſic ſe habebit .c.t. ad .o.e. ſicut .o.n. ad .o.x. Sed ex prima ſexti, aut .18. vel .
19. ſeptimi, ſic ſe habet quare denuo ſic ſe ha-
bebit numerus .c.t. ad numerum .o.e. ſicut nume-
rus .n.e. ad numerum .x.e. Sed numerus .o.e. cum
merus .c.t. numero .n.e. æqualis erit.
Id ipſum de quadrato ipſius .o.n. videlicet .p.o.
dico. Nam ſi proueniens .o.n. diuiſo per .o.e. ideſt .
o.i. proportionale reſpondens ad .o.t. cum .o.t.
quadratorum .o.a. et .o.p. patet per ſe proueniens
futurum eiuſdem numeri .c.t.
niens ſemper ſuturum.
Quo autem lucidius res hæc innoteſcat.
Cogi
temus proueniens quadrati .o.p. diuiſi ab .o.i. re-
nitur æqualis eſſe numero .n.e. ex quo conſe-
quenter æquale .c.t: cogitato deinde rectangu-
lo .o.u. æquali .o.p. coniuncto .o.c:totum .t.u. æqua-
le erit compoſito duorum quadratorum .o.a. et .o.
p. cum in nullo numerus .c.t. mutetur, tam ex com-
poſito .t.u.
ſe ueritas profert.
gebraticam effectionem, aut neſcierunt, aut noluerunt diſſoluere, quod nihi-
lominus facillimum eſt.
Proponunt hi numerum in binas eiuſmodi partes diuidendum, vt ſumma qua-
dratorum dictarum partium, alteri numero poſsibili propoſito æqualis ſit, poſſi-
bili inquam, etenim ſi eiuſmodi numerus propoſitus, minor eſſet producto totius
primi in ſuum dimidium, eſſet huiuſmodi factum impoſſibile. Quod nos exequi
cupientes, ſumamus primum
mus. ab hoc quadrato deducamus ſecundum numerum propoſitum, tum quod re-
manſerit duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra-
hi, accepta poſtea radice quadrata reſidui & dempta ex priori numero propoſito, tunc dimidium reſidui vna pars erit ex duabus primi numeri quæſita.
Exempli gratia proponantur .20. diuidenda in duas eiuſmodi partes, vt ſumma
quadratorum ipſarum partium æqualis ſit .272. qui numerus maior eſt .200. maior
inquam dimidio quadrati .400. ipſorum .20. hic autem numerus .272. è quadra-
to .400. deducatur,
256.
volo, quæ erit .12. & dempta ex .20. priori numero dato remanebit .8. cuius di-
midium erit .4: pars vna ex quæſitis, quæ ex primo numero propoſito .20. detra-
hetur,
Cuius demonſtrationis cauſa, in primis cogitemus quadratum .a.c. cognitum nu-
meri .a.b. primò propoſiti, qui cogitetur diuiſus in duo quadrata .d.e. et .e.b.
q́
b. pro ſecundo propoſito datur; ex quo, ſumma duorum ſupplementorum .a.e.c.
conſequenter erit cognita, quę cum duplicata fuerit, & quatuor hæc ſupplementa
cogitatione accommodata, prout in
quadrato .f.g. apparet (
aptaretur) æquali quadrato .a.c. ita vt
cogitatis quatuor ſupplementis numeri
cogniti in quadrato .f.g. ex conſequen-
ti cognoſcetur numerus quadrati partia
lis .h.i. & vna etiam eius radix qua de-
tracta ex numero .a.b. aut .f.n. (quod
idem eſt) primo propoſiti, relinquetur numerus cognitus duplum .x.k.n. aut .t.b.
pars vna totius .a.b. ex quo uerum erit hoc meum problema.
SI quis & aliam rationem perficiendæ
to numero huius ſupplementi, cum in
præcedenti theoremate dictum fuerit,
qua ratione manifeſtetur duplum ſupple-
menti ipſius.
Cogitemus in ſubſcripta figura lineam .
a.b. tanquam primum numerum propoſi-
tum, & productum .a.e. ſupplemento .a.e. primæ præcedentis figuræ æquale ſit,
ac deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio .
a.b. videlicet .b.c. quod erit .b.d. ex quo detrahatur deinde .a.e. quare remane-
dio .c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
cem
eſt duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum
eſſet .128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret .144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore .q.g.
et minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p.
in quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-
cto .n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta
ducto .q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum, quod ſatis Cogitemus deinde .n.
o. æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.
c. quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in
quantitate quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e.
vna cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-
cti .q.g. in .g.p. ſed hæ duæ quantitates, ſunt par-
tes duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt .m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet conſiderare. Itaque veritas hæc manifeſta
erit.
proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4.
datur, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis .x.u. et .x.s. maiore
nore ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-
uidatur, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua-
x. ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m. Patet
enim ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem .u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem,
& quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha-
quare ex 11.
quinti ita ſe habebit .o.x. ad .e.x. ſicut .s.x. ad vnitatem; ſed ſicut ſe habet .s.x. ad.
vnitatem, ita ſe habet pariter .o.x. ad .m. vnde ex .11. prædicta ita ſe habebit .o.
x. ad .m. ſicut idipſum .o.x. ad .e.x. itaq́ue ex .9. prædicti quinti .m. æqualis erit .o.x.
CVR propoſito aliquo numero in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus per
quamlibet ipſarum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum
multiplicata efficiant.
Exempli gratia, ſit denarius prop oſitus numerus, per binarium & octonarium
diuiſus, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta
crunt .6. cum quarta parte lineari, quæ ſi mul multiplicata, pariter erunt .6. cum
quarta parte ſuperficiali.
Cuius ſpeculationis cauſa, totalis numerns, linea .q.p. ſignificetur, eius duæ
partes, per .k. maiorem et .u. minorem, ipſa vnitas per .t: proueniens ex diuiſio-
ne .q.p. per .k. ſit .q.i. proueniens autem ipſius .q.p. per .u. ſit .q.f. quare ex defini-
tione diuiſionis ita ſe habebit .q.p. ad .q.i. ſicut .k. ad .t. et .q.p. ad .q.f. ſicut .u. ad .t.
hoc eſt .q.f. ad .q.p. ſicut .t. ad .u. vnde ex æqualitate
ad .q.i. ſicut .k. ad .u. et conuerſim. Ad hæc in linea .q.p. vnitas, per lineam .q.o. ſigni-
ficetur, quo facto, dicamus, ſi .q.p. ad .q.i. ſic ſe habet vt .k. ad .q.o. itaque permu-
tando, ſic ſe habebit .q.p. ad .k. ſicut .q.i. ad .q.o. hoc eſt .k.u. ad .k. ſicut .i.q.f. ad .
q.f. (nam .k.u. partes ſunt integrales totius .q.p. et .k.u. ad .k. eſt ſicut .i.q.f. ad .q.f.
ex .18. quinti) Quare ita erit .i.q.f. ad .q.f. ſicut .q.i. ad vnitatem .q.o. ex .11. quinti
Addatur deinde .q.i. ad .q.f. et .q.i. per .
q.f. multiplicetur, cuius multiplicatio-
æquale eſſe ſummæ .f.q. cum .q.i. Sece-
tur enim linea .q.x. in puncto .s. ita. vt .
q.s. æqualis ſit .q.o. ſigneturq́ue pro-
ductum .s.f. quare
tio quantitatis .x.f. ad .s.f. quæ eſt .q.x.
ad .q.s. ex prima ſexti, aut .18. vel 19.
ſeptimi, hoc eſt, ſicut .q.i. ad .q.o. et
ex .11. quinti (vt dictum eſt) ſicut .i.q.
f. ad .q.f. ſed numerus .s.f. fuperficia-
lis tantus eſt, quantus linearis .q.f. quare ex .9. quinti tantus erit (ſu-
perficialiter) numerus .x.f. quantus
(lineariter). f.q.i. quod erat pro-
poſitum.
CVR numero aliquo in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus diuidatur per
ſingulas partes, ſumma duorum prouenientium per binarium, ſemper ma-
ior ſit ſumma prouenientium ex diuiſione vnius partis per alteram.
niens ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium per binarium.
Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea .q.p. ſignificetur, eius duę
partes lineis .q.x. et .x.p.
q.i. ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens,
ex diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-
niensex diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi-
niés.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per
vnitaté, & proueniens .h.k. minus proue-
niente .q.i. per alteram vnitatem. Itaque .
f.q.i. maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.
proportionalis inter numerum
Detur enim numerus propoſitus,
qui linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-
dratum ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a.
et ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti
aut 11. octaui proportionem .u.n. ad .
o. futuram duplam proportioni .u.a.
ad .i.a. ſed .i.a. e
res
ad .u.a. æqualis erit proportioni .u.a.
ad .i.a. Quare numerus .u.a. inter nu-
merum .u.n. & vnitatem, medius erit
proportionalis.
Propoſitus numerus, nunc etiam per .a.u. ſignificetur, eius quadratum per .
u.n. vnitas linearis per .a.i. quare
n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .
18. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-
merus .a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt. Itaque medius eſt proportiona-
lis inter .u.n. & vnitatem.
tionalis inter productum multiplicationis, & proueniens diaiſionis.
Exempli gratia, ſi .20.
productum erit .100. proueniens .4. inter quos numeros .20. medius eſt propor-
tionalis.
Hoc vt ſpeculemur, proponatur numerus multiplicandus & diuidendus, qui ſi-
gnificetur linea .u.e. multiplicans autem & diuidens linea .a.u. multiplicationis
productum ſit .e.a. proueniens ex diuiſione ſit .o.e. Nunc proueniens .e.o. per
merũ
quare, eadem erit proportio numeri .a.e.
ad numerum .e.i. quæ eſt numeri .u.e. ad
19. ſeptimi. Sed cum numerus .u.e. ex .11. theoremate præſentis libri, numero .e.
i. æqualis ſit. verum eſſe, quod propoſi-
tum fuit conſequetur.
CVR ij, qui propoſitum numerum ita multiplicare & diuidere cupiunt, vt pro
ductum multiplicationis, tam ſit multiplex prouenienti ex diuiſione, quam
quæritur, rectè ſumant aliquem numerum pro multiplicante & diuidente, qui ſit ra
dix quadrata denominantis quęſitę multiplicitatis.
Exempli gratia, proponuntur .20. multiplicanda atque diuidenda, ita vt pro-
ductum multiplicationis nonuplum ſit prouenienti ex diuiſione, nempè, vt pro-
ueniens, nona pars ſit eiuſmodi producti, quare quadratam radicem ipſorum no-
uem, ideſt denominantis ſumunt, tria ſcilicet, multiplicant igitur & diuidunt
data .20. ex quo productum erit .60. proueniens autem .6. cum duabus tertijs. &
propoſitum ſequitur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſignificetur numerus propoſitus linea .u.e. multipli-
cans autem & diuidens linea .u.a. productum ſit .e.a. proueniens .e.o. quadratum
verò .a.u. ſit .x.a. erit igitur proportio .a.e. ad .e.o. dupla proportioni .a.e. ad nume
rum .u.e. ex præcedenti theoremate: Adhæc, cogitemus in linea .u.a. vnitatem .
u.i. quare eadem erit proportio .a.e. ad .e.i.
quæ eſt .a.e. ad .u.e. numerus enim .e.i. (quamuis ſuperficialis) idem eſt cum nume-
ro lineari .u.e. ſed .a.e. ad .e.i. ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .u.i. ex prima ſexti aut .18.
vel .19. ſeptimi, (quod ipſum dico de .a.x. ad .x.i.) quare proportio .a.x. ad .x.i. hoc
eſt .x.u. ęqualis erit
remate probatum eſt proportionem numeri .a.x. ad vnitatem, duplam eſſe propor-
tioni eiuſdem numeri .a.x. ad .u.x. ſequitur
igitur cum dimidia ſint æqualia, tota etiam
æqualia eſſe: hoc eſt proportionem numeri .
tioni numeri .a.x. ad vnitatem. Itaque rectè
ſumitur numerus .a.u. eiuſmodi vt
e.o. multiplicem eſſe.
CVR inuenire cupientes duos numeros, quorum quadrata in ſummam colle-
cta, æqualia ſint numero propoſito, & ijſdem numeris multiplicatis ad-
inuicem, productum alteri numero propoſito ſit æquale, rectè ſumant dimidium
primi numeri propoſiti, cui ſumma quadratorum æquari debet,
in ſeipſum multiplicent, vnà etiam alterum numerum propoſitum in ſeipſum
multiplicent, quod quadratum detrahunt de primo, & reſidui quadratam radicem,
dimidio primi numeri propoſiti coniungunt, ex qua ſumma, quadratam radicem
detracto, & exreliquo erutaradice quadrata, detur minor numerus, duorum
ſitorum
Exempli gratia, ſi proponerentur .34. pro primo numero cui æquari de-
beret ſumma duorum quadratorum, quorum radicum productum æquale eſſe de-
beret alteri numero, verbi gratia .15. iubet antiquorum regula, dimidium primi
numeri in ſeipſum multiplicari, cuius dimidij quadratum erit .289. è quo ſi detra-
has quadratum ſecundi numeri, nempe .225. remanebit .64.
tam radicem ſumas nempe .8. quam dimidio primi numeri, nempe .17. coniun-
gas, dabitur duorum quadratorum numerorum quęſitorum maior numerus .25. hac
deinde radice è dimidio detracta, minus quadratum dabitur .9. ſcilicet, quorum
radices .5. et .3. eſſent ij numeri, qui quæruntur.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus primum numerum, cui quadratorum fum
ma æquari debet, ſignificari linea .a.n. tum concipiamus quæſita quadrata ſignifi-
cari,
ſignificari producto .d.b. Iam nil ſupereſt aliud quam vt quantitates .d.p. et .b.p.
quæramus.
Itaque cum in linea .a.n. ſummæ quadratorum numerus detur, quadratum di-
midij .o.a. ſit .s.a. quod nobis erit cognitum; ſit etiam .a.u. numerus quadrati ma
ioris, et .u.n. minoris, et .a.z. productum vnius in alterum; qui quidem numerus .a.
z. æqualis erit
quadrato nume
theoremate hu-
ius libri.
a.z. cognitum
erit, cum eius
radix .d.b. ſit
cũdus
propoſitus, quæ
minor erit .a.s. ex quinta ſecundi, aut ſeptima conſequentia poſt .16. noni Eucli-
dis. Iam ſubtracta quantitate .z.a. è quadrato .a.s. cognoſcetur quadratum .t.x.
cuius radix æqualis erit .o.u. ex poſtremo adductis, Itaque cognoſcemus .o.u. qui
numerus coniunctus dimidio .o.a. cognito, dabit quadratum .a.u. cognitum, at-
queita .u.n. pariter cognoſcetur, & eorum radices conſequenter.
Hoc ipſum & alia ratione perfici poteſt, nempe, iuncta ſumma .k.b: b.d: ec
b.t. alteri rectangulo æquali .b.d. quod ſit .b.c. ex quo totum quadratum lineæ .d.k.
cognitum erit,
ope ac producti .d.b. cognoſcemus .d.p. et .p.k. prout ex theoremate quadrageſi-
moquinto huius libri patebit.
Michael Stifelius, vndecimo cap. tertij libri, problema eiuſmodi proponit,
quod tamen ipſe via algebræ diſsoluit.
CVR ij, qui duos numeros inuenire volunt, quorum productum alicui nu-
mero propoſito æquetur, & quadratorum eorundem differentia alteri nu-
mero propoſito æqualis ſir. Rectè dimidium ſecundi numeri propoſiti in ſeipſum
multiplicent, cui quidem numero differentia quadratorum æquari debet; porrò
huic quadrato primi propoſiti numeri, cui æquandum eſt productum numerorum
quæſitorum, quadratum adiungant; tum radicem quadratam huius ſummæ co-
pulet dimidio ſecundi numeri propoſiti, ei inquam, cui differentia quadratorum
æqualis eſſe debet, ex quo quadratum maius conſurgit, à quo, detracto ſecundo
numero, ſupereſt quadratum minus.
Exempli gratia, ſi proponeretur primo loco numerus .8. cui æquandum eſt
productum numerorum quæſitorum, tum proponeretur numerus .12. cui, detra-
cto minore à maiore, differentia quadratorum vtriuſque quæſiti numeri æqualis
eſſe debet, oportet huius vltimi numeri .12. dimidium in ſeipſum multiplicare,
q́ue
numeri .8. quod eſſet .64. quæ cum .36. efficerent .100. cuius centenarij radice, nem
pe .10. collecta in ſummam cum dimidio ſecundi numeri, nempe .6. daretur qua-
dratum maius, nempe .16. ex quo, detracto ſecundo numero, nempe .12. rema-
neret quadratum minus .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, maius quadratum
pariter incognitum linea .g.i. quare .q.i. eorum
differentia, tanquam data remanebit cognita,
vnà etiam .b.i. et .q.b. ſua dimidia; tunc cogite-
tur quadratum .y.g. ſuper .b.g. et
mum
gnomon .u.g.t. prout ſexta ſecundi Euclidis pro
ponitur, ex quo quadratum .b.i. nempe .u.t. co-
gnitum erit, ſed gnomon æqualis eſt rectangulo .g.r. ex prædicta, aut ex .8. poſt .16.
remate huius libri, vnà etiam gnomon .u.g.t. cognoſcetur,
quare totum quadratum .g.y.
data, maius quadratum .q.g. cognoſcetur, ex qua .b.g. detracta .b.i. data, cogno-
ſcetur .i.g. quadratum minus conſequenter, etiam eorum radices notæ erunt.
nempe multiplicatis in ſemetipſis primo & ſecundo, numeris propoſitis, qua-
ri, & ex hac altera ſumma eruta radice quadrata, ex qua detracto ſecundo nume-
ro, & è reliquo ſumpto dimidio, quod erit
ce poſtremo iuncta, ſupererit quadrarum maius.
Exempli gratia, ſi proponeretur numerus .8. cui productum duorum numerorum
quæſitorum æquandum eſt, proponeretur idem .12. cui differentia quadratorum
duorum numerorum æqualis eſſe debet. Iubeo primum numerum, nempe .8. in ſe
ipſum multiplicari, ex quo exurget .64. pro numero ſui quadrati, quod quadru-
plicari volo,
cundi numeri propoſiti, nempe .144.
licet .20. & ex hac detrahetur ſecundus numerus .12.
4.
maius .16.
Cuius ſpeculationis cauſa, quadratum maius per lineam .q.g. minus per .g.p. ſi-
gnificetur: ſuper integram autem .q.p. erigatur quadratum integrum .d.p. diuiſum,
vt quadratum .f.g. vigeſimiſeptimi theorematis huius libri, (idipſum accideret di-
uiſo quadrato modo octauæ ſecundi Euclidis) quæ quidem diuiſio, eſt via quatuor
productorum .q.g. in .g.p. è quibus vnum ſit .g.r. quod erit cognitum ex .19. theore
mate cum ſit Iam
verò ſi cogitemus .q.p. ſectam in puncto .t. ita vt .q.t. æqualis ſit .p.g. dabitur differen
tia .t.g. cognita, vt radix quadrati .e.o. cum ex præſup-
poſito .r.n. æqualis ſit .q.g. et .r.e: g.p. ex quo etiam .q.t.
Collecto
to .e.o. ipſius .t.g. cum quadruplo .g.r: cognitum erit
quadratum .d.p. ipſius .q.p. quare cognoſcetur .q.p. de
quo numero detracta differétia quadratorum cognita .
t.g. ſupererit aggregatum .p.g. et .q.t. cognitum. Qua-
re ex conſequenti, dimidium aggregati, nempe .g.p.
cognoſcetur, tanquam minus duorum quadratorum. cui iuncta .g.t. aut detracta .p.g. ex .p.q. quadratum .q.
g. maius cognitum remanebit.
CVR ijs, qui volunt duos eiuſmodi numeros inuenire, vt eorum maior mi-
norem, numero propoſito ſuperet, & productum vnius in alterum, alteri nu-
mero propoſito adęquetur, conſultiſsimum ſit dimidium primi numeri propoſiti,
multiplicare, atque huic quadrato, ſecundum numerum propoſitum iungere, cui,
productum numerorum quæſitorum æquale eſſe debet, & ex hac ſumma eruere qua
dratam radicem, quæ coniuncta dimidio primi numeri propoſiti, dabit maiorem
duorum numerorum & ex eadem radice detracto dimidio primi numeri, minorem
numerum duorum quæſitorum.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. cui differentia vnius numeri ab altero æqua-
ri deberet, tum proponeretur .64. cui productum multiplicationis duorum quæſi-
torum ſimul Dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicaremus,
ex quo detracta quadrata radice .10. etipſi coniuncto ſenario, dimidio primi nume
ri, & ex eadem detracto eodem dimidio .6. pro maiore numero proueniret .16. &
pro minore .4.
Cuius rei ſpeculatio hæc eſt.
Sit .e.o. differentia cognita duorum incognitorum
numerorum .a.o. et .a.e. quorum productum datum ſiue cognitum ſit .a.s: conſide-
remus nunc .e.i. dimidium .e.o. datæ differentiæ, & ex compoſito .a.i. imaginetur
quadratum .a.x. in quo protracta ſit .t.u. æquidiſtans lateri .a.i. & tam ab ipſa .a.i. re
mota, quam .x.i. ab .s.e. vnde .t.e. quadratum erit .e.i.
dimidiæ ſcilicet differentiæ datæ .e.o. et .t.n. rectan-
per ſe conſiderare, vnde ſequitur gnomonem .e.r.t.
æqualem eſſe producto .a.s. ideo cognitus, qui
gnomon, ſi coniunctus fuerit quadrato .e.t. cognito
ex radice .e.i. cognita (vt dimidia toralis differentię .
e.o. datæ) habebimus quadratum totale .a.x. cogni-
tum, & ita eius radicem .a.i. cognitam & reliqua om
nia conſequenter quæ quidem ſpeculatio eadem eſt
quæ .6. ſecundi ſeu .8. noni Euclidis.
Poteris tamen ex modo & rationibus præceden-
ti theoremate allatis, hocipſum concludere.
CVR ij, qui aliquo propoſito numero, inuenturi ſunt duos numeros inter ſe
differentes, quorum quadratorum ſumma altero numero propoſito æqualis
ſit, rectè primum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicant, quod quadratum
exſecundo numero
multiplicationis duorum numerorum interſe, in reliquis præcedentis theorematis
ordinem ſequuntur.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. tanquam numerus, cui differentia duorum
numerorum quæſitorum æquanda eſt, proponerentur præterea .272. quibus ſum-
ma quadratorum duorum numerorum quæſitorum æquari deberet, oporteret ſanè
primum numerum, nempe .12. in ſeipſum multiplicare, cuius
eſſet .144. atque hoc detrahere ex ſecundo numero, ſupereſſet .128. ſumpto
deinde dimidio huiuſce numeri, népe .64. producto in quam duorum numerorum Cum hoc .64. proſtea et duodenario primo propoſito numero, præceden
tis theorematis ordinem ſequeremur.
Quod vt ſpeculemus, conſideremus ſubſcriptam figuram, vigefiminoni theore-
matis figuræ ſimilem, in qua numeri quæſiti duabus
lineis directè coniunctis .q.g. et .g.p. fignificentur, ho
nitur, quare etiam cognita.
numerorum primo propofita fit .q.i. eius verò qua-
dratum .m.e. quod cognitum eſt ex ſua radice .q.i. quare gnomon .e.n.m. ſimul cum quadrato minori .
g.s. cognitus erit, quæ ſumma æqualis eſt duplo .g.r.
producto datorum numerorum. Itaque & ipſa .g.
r. cognoſcetur, nunc ſi præcedentis theorematis ſpe-
culationem in reliquis conſuluerimus propoſitum
conſequemur.
ADhuc etiam & alia ratione idipſum conſequi poſſemus, non conſulto qua-
drageſimo theoremate. Nam ſubtracto quadrato differentiæ, numeri primi
(
poſito colligendum eſſet reſiduum in ſummam cum prædicto ſecundo numero, &
ex ſumma hac deſumenda quadrata radix, quæ duorum numerorum ſumma erit,
de qua detracto primo numero, remanebit duplum minoris numeri quæſiti, cuius
dimidio addito primo numero propoſito, aut detracto minore inuento ex radice
poſtremo inuenta, dabitur numerus maior, qui quæritur.
Exempli gratia, cum ſuperfuerint .128. hæc ſi cum ſecundo numero
iunxerimus, dabunt .400. quorum radix erit .20. de quo numero detracto primo
propoſito, nempe .12. ſupererunt .8. quorum
aut coniuncto .12. maior numerus orietur.
Cuius rei contemplatio, præcedenti figura aperitur.
Nam reſiduum detractionis
quadrati .m.e. ex ſumma
lem duobus ſupplementis .q.n. et .n.u. ex .8. ſecundi Euclidis. qui coniunctus duo-
bus quadratis (quorum ſumma ſecundo propoſita fuit) cognitionem profert qua-
drati .q.u. & eius radicis .q.p. de qua, detracto primo dato numero, ſcilicet .q.i. ſu-
pereſt .i.p. cuius dimidium nempe .g.p. minor eſt numerus qui quęritur; reſiduum
verò totius .g.q. maior ſcilicet.
CVR ij, qui volunt duos numeros inuenire, quorum ſumma æqualis propo-
fito alicui numero futura ſit, & ſumma quadratorum maior eorum produ-
cto per quantitatem alterius propoſiti numeri, rectè dimidium primi dati numeri in
ſeipſum multiplicant, quod quadratum ex
q́ue tertię partis refidui quadratam radicem, quam dimidio primi numeri coniun-
gunt, ex quo maior numerus
pererit minor.
Exempli gratia, propoſito numero .20. cui æquanda eſt ſumma duorum nume-
rorum quæſitorum,
eſt
ducto Dimidium numeri .20. in ſeipſum multiplicandum eſſet, qua-
drata radix eſſet .6. quæ ſi iuncta fuerit dimidio .20. nempe .10. daretur maior nu-
merus quæſitus .16. quo detracto è .20. darentur .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, datus primus numerus ſignificetur linea .g.h. in qua
maior numerus incognitus ſit .g.h. minor verò .b.h. quorum quadrata ſint .y.t. et .
b.l. in quadrato maximo .g.p. tum productum .g.b. in .b.h. ſit .g.c.
diametri .q.h. et .g.p. diuiſi per medium in puncto .o. per quod duę lineæ ducan-
tur .f.d. et .k.m. parallelæ lateribus maximi quadrati. Hæ dictum quadratum in
quatuor quadrata æqualia diuident, quorum
g.f. dimidij ipſius .g.h. datę, quare eorum
Iterum co
gitemus .s.x. per .e.
tem à .g.k. quantum .y.l. ab .g.h. diſtare inueni-
Cogitetur pariter .z.i.a. per punctum .i.
parallela .d.p. quare .a.t. æqualis erit .f.c. et .y.x.
æqualis .f.e. et .y.s: b.l. æqualis. Ita ſubtractis è
duobus quadratis ſuperius dictis .a.t.y.x. et .b.l.
producto .y.b. æqualibus, ſupererunt .k.d. et .a.c.
x. cognita, tanquam æqualia dato ſecundo nu-
mero, ſed .k.d. quadratum eſt medietatis .g.f.
cognitæ, cognoſcetur igitur reſiduum .a.c.x. vnà
etiam ſingulæ tertiæ partes nempe quadrata .o.
i.o.c. et .o.e. & radix .b.f. vel .f.s. ſingularum,
qua coniuncta dimidio .g.f.
tracta, propoſitum conſequemur.
CVR ſi quis cupiat numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes diuidere, vt
quadratum maioris, quadratum minoris ſuperet quantitate alterius numeri
propoſiti, rectè primum numerum in ſeipſum multiplicabit, & ab eodem ſecun-
dum numerum detrahet, reſiduum verò per duplum primi diuidet, ex quo proue-
niens primi pars minor erit, quæ ex illo primo detracta, partem maiorem
proferet.
Exempli gratia, ſi proponantur .20. diuiſa in duas eiuſmodi partes, vt
maioris ſuperet quadratum minoris numero æquali ipſi .240. oportebit primum
numerum, qui quadratus cum fuerit, erit .400. in ſeipſum multiplicare, & ex hoc
quadrato ſecundum numerum nempe .240. detrahere, tunc remanebunt .160. quę
diuiſa per .40.
duo verò .20. detractis quatuor, erunt .16. pro maiorinumero.
Quod vt exactè conſideremus, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .q.
h. diuidendus in duas partes .q.p. et .p.h. tales quales quærimus. Poſtmodum eriga
bus quadrati, dabuntur imaginaria quadrata .c.t. et .p.a. duarum partium .q.p. et .p.
h. incognitarum. Ad hæc cogitemus quadratum .u.n. æquale quadrato .p.a. è quadra
gnitam, cum ſit ſecundo loco data, cogitemus
detrahi è toto quadrato cognito .q.e. ex quo
ſumma duorum ſupplementorum .q.o. et .o.e.
cognoſcetur, vnà cum quadratis .u.n. et .p.a. du
plo ſcilicet .q.a. quo diuiſo per duplum .q.h. aut
ſimplex .q.a. per .q.h. ſimplicem, dabitur .a.h.
nempe .p.h. minor numerus quæſitus.
CVR volentes diuidere numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt pro
ductum vnius in alteram, alteri numero propoſito æquetur, rectè dimidium
primi dati numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum datum nu-
merum detrahunt,
meri, pars maior datur, ex altero verò dimidio detracta, minorem manifeſtabit.
Exempli gratia, ſi numerus partiendus eſſet .34. alter verò numerus eſſet .64. cui
productum vnius partis in alteram æquale eſſe deberet. Dimidium primi numeri, in
ſeipſum multiplicaremus, cuius quadratum eſſet .289. de quo detracto ſecundo nu-
mero nempe .64. remaneret .225. cuius quadrata radix nempe .15. coniuncta .17.
dimidio .34. proferet .32. maiorem partem,
inquam minor.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .a.d. cu-
ius dimidium .c.d. cognitum erit, vnà etiam eius quadratum .c.f. quo diuiſo per dia
metrum .e.d. ſupponantur partes ignotæ
duci lineam .b.h.g. parallelam .d.f. et .m.
h.k. parallelam .d.a. extructa figura ſimi
li figuræ quintæ ſecundi Eucli. quare da
bitur
k. & proinde cognitus, quo detracto è
quadrato, c.f. remanebit quadratum .g.l.
cuius radice æquali .c.b. coniuncta .a.c.
& detracta ex .c.d. partes .a.b. et .b.d. quæſitæ dabuntur.
CVR propoſitis tribus numeris, quorum prior in duas eiuſmodi partes diui-
dendus ſit, ut mutuò diuiſæ, & per ſummam prouenientium diuiſo ſecundo
numero, proueniens vltimum ſit æquale tertio numerorum propoſitorum. Conſul
tiſsimum ſit ſecundum numerum per tertium diuidere, ex quo proueniens ſit ſum-
ma prouenientium è duabus partibus mutuò diuiſis, quam ſummam ſi quis velit di-
ſtinguere, rectè poſſit medio operationis
ficiali pro ſecundo numero diſtinctis poſtmodum prouenientibus, rectè meo iudi-
cio operabimur per
quid ipſa eadem vnitas dabit? ex quo propoſitum oriatur.
Exempli gratia, proponuntur tres numeri, primus .20. ſecundus .34. tertius .8.
Iam quærimus diuidere primum .20. in duas partes quæ mutuò diuiſæ prębeant duo
prouenientia, quorum ſumma tanta ſit vt per eam diuiſo .34. proueniat numerus
æqualis tertio numero .8. Quod vt præſtemus iubet regula ſecundum .34. per
8.
uenientium ex diuiſione duarum partium quæſitarum, quæ ſi diſtinguere volueri-
mus, præcedentis theorematis methodum ſequemur, vnitate ſuperficiali pro ſecun
do numero propoſito ſumpta, ac ſi diceremus, diuidatur .4. cum vna quarta parte
in duas eiuſmodi partes, vt productum vnius in alteram ſit vnitas ſuperficialis, cer-
tè fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decemſeptem
quartæ lineares, verum cum neceſſe ſit, ex præcedenti theoremate, dimidium in
ſeipſum multiplicare,
modius totum conſtituetur .34. octauarum, quarum dimidium, nempe decemſep-
tem octauæ, in ſeipſum multiplicatum erunt .289. ſexageſimæ quartæ vnius integri
ſuperficialis, quandoquidem
diuiditur eſt .64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi poteſt. Nunc vni-
tate hac ſuperficiali, nempe .64. ex .289. detracta, ſupererit .225. cuius radix qua-
drata, ſcilicet .15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe .17. dabit
maius proueniens .32.
eſt pro maiore proueniente .32. octauas, & pro minore duas, quatuor ſcilicet inte-
gros pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore. Nunc ſi ex regula
de tribus dixerimus, ſi .4. iuncta vni, nempe .5. dant .20. primum numerum, quid
dabunt .4. integra (proueniens inquam maius) Tum ſi dixerimus, ſi quarta pars coniuncta vnitati dat .20:
quid dabit quarta illa
pars (hoc eſt proueniens minus) dabit
ab antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne-
ſcientes ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.
Cuius ſpeculationis gratia, demus primum numerum ſignificari linea .e.u. cuius
partes .e.a. & a.u. ſint quæ quæruntur, alter verò numerus ſignificetur linea .b.
d. tertius linea .g.f. proueniens
per .a.e. ſit .t.o. ſumma erit .n.t.o. vnitas verò .n.i. et .o.i. Iam ſi numerus .f.g. tertiò
propoſitus ex diuiſione ſecundi per .o.t.n. proferri debet. Ex .13. theoremate patet,
quòd ſi .b.d. per .g.f. diuiſerimus, proferetur .o.t.n. qui cum fuerit inuentus,
eſſe oportet
a.e. per .a.u. et .a.u. per .a.e. deinde manifeſtum eſt ex .24. aut .25. theoremate
productum (multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem ſuperficialem futu
ram eſſe. Hactenus igitur, totum .o.n. ex doctrina præcedentis theorematis diui-
ditur in puncto .t. ita vt productum .o.t. in .t.n.
ſolam vnitatem ſuperficialem
t.
t.o. proueniens ex diuiſione .a.u. per .a.e. pa-
tebit ex definitione diuiſionis, quod eadem
erit proportio .a.e. ad .n.t. quæ eſt .a.u. ad vni-
tatem .n.i. et .a.u. ad .o.t. eadem quæ eſt .e.a.
ad a.u. ſicut .t.n.i. ad .n.i: & euerſim .e.a.u. ad .e.a. vt .t.n.i. ad .t.n. Quare, ex .20. ſepti
mi, recte vtimur regula de tribus. Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam
teneat, alteram quo que habiturus ſit. Non mirum tamen ſi huiuſmodi problema
ab antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.
CVR duobus numeris mutuó diuiſis, ſi per ſummam prouenientium, produ-
ctum vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, ſummæ quadra-
tn
Exempli gratia, propoſitis .16. et .4. mutuò diuiſis, ſumma prouenientium erit
4.
numerorum, nempe .64. dabuntur .272. integri ſuperficiales, qui ſummæ quadra-
torum duorum numerorum æquantur.
Hoc vt conſideremus, duo numeri partibus .a.e. et .e.i. in linea .a.i. ſignificentur,
quorum productum ſit .e.d. &
ueniens
rum ſumma ſit .o.u.t. tum productum .e.d: linea .u.n. ſignificetur ad angulum
coniuncta in puncto .u. extremo ipſius .o.u.t. productum Iam
probandum nobis eſt .n.t. æqualem eſſe ſummæ duorum quadratorum .q.e.p. Quod
ſingillatim probo, & aſſero productum .o.n. æquale eſſe quadrato .q.e. &
s.t. quadrato .e.p. Nam ex .35. theoremate patet numerum .e.i. medium eſſe
portionalẽ
& diuidatur, cuius multiplicationis produ-
ctum eſt .d.e: nempe .u.n. & proueniens ex
quare ex dicto theorema-
te .e.i. media proportionalis eſt inter .u.n. et .
u.o.
drato .e.q. ex .16. ſexti vel .20. ſeptimi. Idem
dico de producto .s.t.
drato .e.p. quandoquidem numerus .a.e. ab
e.i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi-
plicationis productum eſt .d.e. nempe o.s. &
proueniens ex diuiſione .o.t: inter quæ ex .
35. theoremate .a.e. media proportionalis
eſt. Quare ex allatis propoſitionibus
productum .n.t. ſumma eſt duorum productorum .o.n. et .s.t. ex prima ſecundi Eucli. Itaque verum eſſe quod dictum eſt, conſequitur.
CVR ſi quis maiorem duorum numerorum ſola vnitate inter ſe differentium,
per minorem diuidat,
Exempli gratia .10 per .9. diuiſo, datur vnum cum nona parte, quo multiplica-
to per proueniens, ipſo nempe .10: datur productum .11. cum nona parte, tantum ſci
Cuius ſpeculationis cauſa, maior numerus ſignificetur .a.i. et minor linea .a.o. ex
quo ex præſupoſito .o.i. vnitas erit. Sit autem proueniens ex diuiſione .a.i. per .a.o.
a.e: quod .e.a. directè coniungatur ipſi .a.i. et productum .a.i. in .a.e. ſit .u.i.
Probabo
numerum ſuperficialem .u.i. æqualem eſſe lineari .i.a.e. quare meminiſſe oportet,
decimotertio theoremate probatum fuiſſe, quod ſi numerus diuiſibilis per pro-
ueniens diuidatur, proueniens futurus ſit numerus diuidens, quare .a.o. erit pro-
ueniens ex diuiſione .a.i. per .a.e. & ex deſinitione diuiſionis ita ſe habebit .e.a. ad .
a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componondo ita .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. quare .a.i. erit me-
dia pportionalis inter .e.i. et .a.o. ſed .a.i. non modò diuiſa
quo ſit proueniens .a.o. ſed etiam per eandem .e.a. multiplicata, ex quo produ-
ctum oriatur .u.i.
te .a.i. media eſt proportionalis inter .u.
Quare. ex .11. quinti. eadem erit
proportio .u.i. ad .a.i. ſicut .e.i. ad eandem .
a.i. Igitur ex .9. prædicti numerus .u.i.
æqualis erit numero .e.i. quod erat propoſitum.
IDipſtim etiam alia ratione conſiderari poteſt.
Linea .u.a. ſecetur in puncto .t. ita vt .a.t. æqualis ſit vnitati .o.i. & media paral
lela .t.n. terminetur productum .t.i. quod conſtabit æquali numero, quamuis ſuperfi-
ciali, numero .a.i. tametſi lineari. Tumparallela ducatur à puncto .o. ipſi .a.u. termi
ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cum ita ſe habeat .a.i. ad .a.u. ſicut .a.o. ad .a.t. ſed .a.i. ad .
a.o. permutando ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .a.t. & ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſepti-
mi ſic ſe habet .u.i. ad .u.o. ſicut .a.i. ad .a.
Iam
ex definitione diuiſionis ita ſe habet .a.e.
ad .a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componendo .
e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. Itaque ex præ-
dicta .11. ſic ſe habebit .e.i. ad .i.a. ſicut .u.
i. ad .t.i. ſed .t.i. numero conſtat æquali .a.
i. quare ex .9. quinti numerus .u.i. numero .e.i. æqualis erit.
CVR diuidentes numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt
vnius in alteram cum i pſarum differentia in ſummam collectum, æquale ſit
alicui alteri numero maiori primo. Rectè primum ex ſecundo detrahunt, reſiduum
verò conſeruant, tum ex primo ſemper binarium deſumunt,
uant, alterum verò dimidium in ſeipſo multiplicant, & ex quadrato numerum con
ſeruatum eruunt,
duum propoſiti numeri quæſita pars minor eſt.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .20. ita
in alteram, cum partium differentia collectum in ſummam, æquale ſit propoſito
nempe .20. ex .92. cuius reſiduum, ſcilicet .72. conſeruetur, tum detrahi iubet bi
narium ex primo, ſic in propoſito exemplo remanebunt .18. huius autem .18. dimi
dium in ſeipſum multiplicari iubet, quod cum ſit .9. datur numerus .81. ex quo .81.
primum numerum conſeruatum, nempe .72. vult regula detrahi, ſic remanebit .9.
tum huius .9. quadrata radix detrahenda eſt ex dimidio ipſius .18. quod fuit ante qua
dratum, ſic ſupererit .6. hoc eſt .9. excepta radice quadrata, qui .6. erit minor pars
quæſita, maior verò .14. quarum productum .84. coniunctum cum partium differen
tia præbet exactè .92.
Cuius rei hæc eſt ſpeculatio.
Primus numerus minor, qui proponitur diuiſibilis
ſignificetur linea .q.g. maior vero linea .x. tum cogitemus .q.g. diuiſam, cuius maior
pars ſit .q.o. minor .o.g. differentia .q.p. ex quo .p.o. æqualis erit .o.g. ſit autem produ-
ctum .b.o. Oportet igitur, ut .b.o. ſimul cum differentia .q.p. æquale ſit numero .x. ſe-
cundò propoſito, qui notus eſt, quare etiam ſumma producti .b.o. cum differentia
q.p. cognita erit, ex qua detracto primo numero .q.g. reſiduum cognitum erit, nunc
igitur quodnam erit hoc reſiduum? attendamus qua ratione ex ſumma .b.o. et .q.p.
detrahenda ſit .q.g. In primis ſi ſubtraxerimus ex dicta ſumma .q.p. quę pars eſt .q.g.
ſupererit detrahenda .p.g. ex .b.o. pars inquam ipſius .q.g. quod fiet quotieſcunque
cogitauerimus .q.o. duabus vnitatibus diminutam, et per .o.g. multiplicatam, ſit au-
tem productum .b.e. nam cum .o.g. toties .b.o. ingrediatur, quot ſunt in .q.o. vnitates
ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi,
eſt .o.g. patebit .o.c. æqualem eſſe .p.g. fu-
pererit ita que .b.e. productum .q.e. in .e.
duabus vnitatibus, remanebit .q.i. nobis
nota, ex quo .e.i. æqualis erit .e.c. Cum
igitur productum .q.e. in .e.i. cognoſcamus
ſimul cum .q.i: Sivoluerimus partes .q.e.
et .e.i. cognoſcere, vtemur .45. theorema-
te huius libri, & propoſitum obtinebimus, nam cognoſcemus .e.i. & ex conſequen-
ti .o.g. eius æqualem.
alterum numerum propoſitum recipiant, primi dimidio minorem, aliud ni
hil eſt, quàm binas primi numeri partes inuenire, quæ inter ſe multiplicatæ quadra
to ſecundi numeri numerum æqualem proferant, ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, quod
tamen .45. theoremate fuit à nobis ſpeculatum.
CVR pro poſitis tribus numeris quibuſcunque, ſi productum primi in ſecun-
dum per tertium multiplicetur, atque ſecundum hoc productum
per primum numerum diuidatur, proueniens erit numerus æqualis producto ſe-
cundi in tertium.
Exempli cauſa, proponantur hi tres numeri .10. 11. 12.
11. dabuntur .110. quo producto multiplicato cum .12. dabuntur .1320. hoc pro
ueniens per primum nempe .10. diuiſum dabit .132. numerum æqualem producto
ſecundi in tertium numerorum propoſitorum, ſcilicet .132.
Hoc vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur line a.o.u. ſecundus .e.o. tertius .
e.a. productum verò .o.u. in .o.e. ſit .o.i. ipſius ve
rò .o.i. per .e.a.
Dico
uiſo numero corporeo .i.c. per
niens æquale erit numero producti .e.c. Qua-
re in primis cogitandum eſt, quod cum produ-
ctum .i.c. ortum fuerit ex multiplicatione .o.i.
in .e.a: dictum .o.i. toties ingredietur .i.c. quo-
ties vnitas reperitur in .e.a. eadem ratione, to-
ties .e.c. in .i.c. quot vnitates erunt in .o.u.
ſequitur quòd diuiſo .i.c. per o.u. proueniens ſit
e.c. corporeum, æquale nihilominus producto .e.c. ſuperficiali.
CVR diuidens propoſitum numerum in tres partes ſic ſe habentes vt produ-
ctum primi in ſecundam, in tertia
mero propoſito æqualem. Rectè ſecundum numerum per quemcunque alium mino
rem primo diuidit, qui diuidens vna erit ex tribus partibus quæſitis, proueniens
autem erit productum vnius in alteram reliquarum duarum, quarum ſumma cogni
ta erit, detracto numero diuidente ex primo dato, quam quidem ſi diſtinguere
quis voluerit, vtetur theoremate .45.
Exempli gratia, proponitur numerus .20. in tres partes diuidendus, quæ ſic ſe
habeant, ut productum primæ in ſecundam in tertia multiplicatum det .90. itaque
ſumenda erit pro prima vna pars ipſius .20. quæcunque illa ſit, verbi gratia .2. qua
ſecundus numerus, nempe .90. diuidatur, dabitur igitur .45. quod erit productum
cæterarum partium inter ſe, quarum ſumma eſt .18. quam ſummam ſi diſtinguere
volueris in cęteris duabus partibus ſeparatis, vteris .45. theoremate, vt quàm citiſ-
ſimè quod cupis exequaris, erunt autem partes .3. et .15.
In cuius ſpeculationis gratiam nihil aliud occurrit, quàm quod præcedenti theo-
remate, & ſuperiore .45. allatum eſt.
producto reliquarum duarum inter ſe, idem omnino eſt cum 51. theoremate. Nam qui ſumet quamlibet partem propoſiti numeri, quæ tertia parte maior tamen
non ſit,
nalis ſit ex probatione .51. theoremate allata, propoſitum conſequetur.
ID ipſum alia ratione ab ea diuerſa
Sumantur enimtres numeri continui proportionales, cuiuſcunque denique pro
portionalitatis, qui in ſummam colligantur, ac poſtmodum, regula de trib. dica-
mus. Si ſumma hæc primo numero propoſito in tres partes diuidendo reſpondet,
cuireſpondebit vna ex tribus partibus huiuſcę idem dereliquis duabus pa
bus dico.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .57. diuidendus in tres continuas partes
proportionales proportione ſeſquialtera, tres numeros in eiuſmodi proportio-
nalitate diſtinctos ſumemus, vt potè .4. 6. 9. qui in ſummam collecti dabunt
mãvnde proueniens vnius partis erit
12Tum ſi dicamus, ſi .19. dat .6. quid dabit .57?
nempe dabit .18.
Poſtremò, ſi
19.nempe .26. atque ita dabitur .18. cuius quadratum æqua-
bitur producto reliquarum duarum partium inter ſe.
Quod vt ſciamus, numerus propoſitus in tres quaſlibet partes diuidendus ſi-
gnificetur linea .a.d. tres autem numeri dictæ proportionalitatis, lineis .e.f: f.g.
et .g.h. directè inter ſe coniunctis denotentur. Cogitemus pariter lineam .d.a. in
tres partes diuiſam .a.b: b.c. et .c.d. eadem cum cæteris proportionalitate, tunc ea-
dem erit proportio .a.d. ad quamlibet ſuarum partium, quæ eſt .e.h. ad reſponden
tem ipſius in .a.d: Verbi gratia reſpondentem .a.b. ipſi .e.f. et .b.c: f.g. et .c.d: g.h. Di
co enim quòd ita ſe habebit .a.d. ad .c.d. ſicut .e.h. ad .g.h. Nam cum ſic ſe habeat .a.
b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. ex præſuppoſito, permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .e.f. ſi-
cut .b.c. ad .f.g. & eadem ratione ſic ſe habe-
bit .c.d. ad .g.h. ſicut .b.c. ad .f.g. &
ſe habebit tota .a.d. ad totam .e.h. ſicut .c.d.
ad .g.h. aut .b.c. ad .f.g. aut .a.b. ad .e.f. per-
mutando itaque propoſitum manifeſtum erit, ipſum autem productum .a.b. in .c.b.
æquale erit quadrato .b.c. ex .15. fexti aut .20. ſeptimi.
more ratione à me definietur, eſt autem eiuſmodi.
Quomodo propoſitus numerus in tres eiuſmodi partes diuidatur, vt
vnius æquale fit fummæ quadratorum reliquarum duarum partium.
Hoc vt efficiamus tria quadrata ſeparata ſumamus,
duobus;
quemur, ratione præcedenti theoremate demonſtrata, & rectè vt infra docebimus,
quod autem dico de quadratis, etiam de cubis, & quibuſuis dignitatibus aſſero.
Exempli gratia, ſi numerus diuiſibilis proponatur .30. in tres eiuſmodi partes di
uidendus, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum
partium, in primis radices trium quadratorum ſumemus, ſic quomodocunque ſe
habentes, vt maius ipſorum æquale ſit ſummæ reliquorum duorum, verbi gratia .25.
16. et .9. nempe .5. 4. et .3. quæ ſi colligantur in ſummam efficiunt .12. Tum ex regu-
la de tribus dicemus, ſi .12. reſpondet .30: cui, 5. radix maior reſpondebit?
nem-
pe .12. cum dimidio.
Deinde ſi dixerimus ſi .12. valet .30. quid valebit .4. radix media?
nempe vale-
bit .10. tertia autem minor .7. cum dimidio. Itaquetota ſumma erit .30. & quadra-
tium, nempe .100. cum .55.
Hoc vt
ma radicum, noſtro modo ſumptarum, linea .e.h. quarum prima & maior ſit .e.f. ſe-
cunda .f.g. tertia .g.h. cogitemus etiam lineam .a.d. ea ratione diuiſam eſſe qua .e.h.
patebit cnim ex modo præcedentis theorematis vnamquanque partium .a.d. ita ſe
habituram ad ſuum totum ſicut ſe habent ſingulæ .e.h. ad ſuum. Quod ideo dico, vt
intelligamus rectè nos dicere. Si .e.h. dat .a.d. ergo .e.f. dabit .a.b.
Quare permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. idem dico de reliquis.
Igitur ex .18. ſexti aut .11. octaui, eadem erit proportio quadrati .a.b. ad
b.c. quæ quadrati .e.f. ad quadratum .f.g. tota enim ſunt æqualia, cum eorum partes
ſimiles inter ſe ſunt æquales. Idem dico de proportione qu@drati .a.b. nempe ita
ſe habere ad .c.d. ſicut quadratum .e.f. ad quadratum .g.h. ex quo ex .24. quinti pro-
portio quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum duarum partium .b.c. et .c.d. ſic ſe ha
bebit ut quadrati .e.f. ad ſummam quadra-
torum .f.g. et .g.h. At quadratum .e.f. æquale
ſic etiam ſe habebit quadratum .a.b. nempe
æquale quadratis .b.c. et .c.g. Idipſum de cæ
teris dignitatibus dices,
modi eſt.
An numerus aliquis in tres eiuſmodi partes di@idi poſſit, vt quadratum vnius æ-
quale ſit ſummæ quadratorum cæterarum duarum partium ſimul cum producto
vnius in alteram.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .50. vt iam dictum eſt diuidendus, repe
riendus erit alius quilibet numerus, qui tamen ſumma ſit trium radicum ſic ſe ha-
bentium, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum duarum partium ſi-
mul cum producto vnius in alteram, eum autem qui primò occurrit ſumamus, utpo
tè .30. qui ſumma eſt numerorum .6. 10. 14. partium ſic ſe habentium, vt quadratum
ipſius .14. æquale ſit ſummæ quadratorum cæterarum partium ſimul cum produ-
cto vnius in alteram, agamusq́ue regula de tribus, ac dicamus, ſi .30. valet
50.Idem efficiemus in cæte-
ris partibus, quarum vna erit .16. cum duabus tertijs, altera verò .10. abſque @ractis,
ex quo quadratum primæ erit .544. cum .4. nonis, ſecundæ .277. cum ſeptem nonis,
tertiæ .100. & productum ſecundæ in tertiam .166. cum .6. nonis, quod productum,
cum quadratis ſecundæ & tertiæ collectum erit .544. cum .4. nonis.
Huius rei ſpeculatio eadem eſt, quę fuit præcedentis theorematis vſquequo no-
ueris eandem proportionem eſſe quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum .b.c. et .c.
d. quæ quadrati .e.f. ad ſummam quadratorum .f.g. et .g.h. Sed cum hic non demus
quadratum .e.f. æquale ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. fed maius ex producto .g.h.
in .f.g. aut quod idem eſt, è contrario, ſubſequentes figuræ cogitandæ erunt, qua-
rum .i. ſit quadratum .a.b: l. ſit quadratum .e.f: x. quadratum .b.c: y. quadratum .f.g: p.
quadratum .c.d: q. quadratum .g.h: k. ſit productum .b.c. in .c.d: m. ſit productum .f.
Nunc ex ſpeculatione præcedentis theorematis, eadem erit proportio .n.
t. ad .o.u. quæ eſt .n.s. ad .o.r. quare pro-
ductum .k. ex definitione ſimile erit
gula, vnde proportio .k. ad .m. ad pro-
portionem .n.t. ad .o.u. ex .18. ſexti du-
pla erit. Igitur proportio .k. ad .m. æ-
qualis erit proportioni .x. ad .y. et .p.
ad .q. et .i. ad .l. & permutando ſic ſe ha-
bebit .k. ad .i. ſicut .m. ad .l. ſed .x.p. ad .i.
ſicſe habere probatum eſt vt .y.q. ad .l. Quare ex eadem .24. quinti ſic ſe habe
bit .x.p.k. ad .i. ſicut .y.q.m. ad .l. ſed .y.q.
m. æqualis eſt .l. Itaque .x.p.k. pariter .i.
æqualis erit.
ALIVD quoque problema, nec tamen definitum, veteres propoſuerunt,
nempe an aliquis numerus in .4. eiuſmodi partes diuidi poſſit, vt ſumma qua-
dratorum duarum partium dupla ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum.
Verum huius effectio & ſpeculatio non erit difficilis,
proximè duobus theorematibus allata fuit, ſumpta nempe ſumma radicum quarun
cunque ſic ſe habentium, prout dictum fuit. Verbigratia .44. cuius partes erunt.
16. 12. 14. 2. Si .44 numerum propoſi-
tum valet, quid .16. pars maior? nempe valebit partem maiorem numeri propoſi-
ti reſpondentem .16. idem de cæteris dico.
Porrò ſpeculatio eadem eſt cum ſuperioribus.
CVR diuidens propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt productum
radicum quadratarum ipſarum partium æquale ſit alteri numero propoſito,
cuius Rectè
ſecundum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicat, &
midij primi detrahit,
mi, ex quo datur minor pars quæſita, quaipſi dimidio coniuncta, maior pars ha-
betur.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus, 20. propoſito modo, in duas partes
eiuſmodi diuidendus, vt productum radicum æquale ſit (verbigratia) 8. Dimi-
dium priminumeri in ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum erit .100. ex
quo quadratum ſecundi numeri, nempe .64. detrahemus,
ce quadrata coniuncta .10. dimidio inquam primi numeri propoſiti, dabitur nume
rus .16. pars maior, & ſubtracta à dimidio, dabitur minor pars, nempe .4.
Hoc vt demonſtremus, primus nu-
uiſam cogitemus in puncto .c. in partes
quæſitas, ex quo præſupponitur duas li-
neas .a.c. et .c.b. duo quadrata eſſe, quæ
in altera figura ſignificetur per .d. et .e.
productum autem radicum cognitum .
f. quandoquidem datum eſt, cuius qua-
dratum æquale erit producto quadra-
torum .d.e. adinuicem, nempe .b.c. in .a.c. ex .19. theoremate huius. Quod verbi
gratia ſit .x.
propoſitum conſequemur.
CVR productum differentiæ duarum radicum in ſummam ipſarum, ſemper
differentia ſit quadratorum ipſarum radicum.
5.
cet .8. multiplicauerimus, dabitur numerus .16. quod productum differentia eſt
ſuorum quadratorum, nempeinter .9. et .25.
Hoc vt ſpeculemur, duæ radices in linea .n.i. ſignificentur, quarum vna ſit .n.c. &
altera .c.i. ipſarum autem differentia .n.t. ex quo .t.
c. æqualis erit .c.i. Tum cogitato toto quadrato .d.i.
puncto .c. & altera à puncto .t. & à puncto .o. tertia
ipſi .n.i. & à puncto .a. quarta .x.a.e. parallela ipſi .
o. inueniemus .b.n. productum eſſe differentiæ .n.
t. in ſumma radicum .n.i. & cum .d.o. et .a.o. ſint
quadrata radicum prædictarum: b.e. æquale erit .
n.u. cum vtrunque horum productorum æquale ſit .
x.u. ex quo gnomon .e.d.u. æqualis erit producto .
b.n. quod ſcire cupiebamus.
CVR propoſitum aliquem numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt diffe-
rentia radicum quadratarum æqualis ſit alteri numero propoſito, cuius ta-
men quadratum dimidij primi quadratum non excedat. Rectè ſecundum numerum
in ſeipſum multiplicant, productum verò ex primo numero detrahunt,
midium reſidui quadrant, & quadratum hoc ex quadrato dimidij primi ſubtrahunt,
atque ita radice quadrata reſidui, dimidio primi coniuncta, pars maior datur, qua
ex ipſo dimidio detracta, pars minor relinquitur.
Exempli gratia, propoſito numero .20. ita ut propoſitum eſt, diuidendo, nem-
pe vt differentia radicum quadratarum dictarum partium æqualis ſit binario, bina-
rium hocin ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum .4. è primo numero .20. de
cabimus,
rit, nempe ex .100. & reſiduo .36. radix quadrata nempe .6. coniuncta denario, di-
midio primi, dabit .16. partem maiorem, & ex denario detracta, partem minorem.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus
propoſitus ſigniſicetur linea .x.y. pro voto diui-
c. in .c.y. pariter etiam .q.p. ſit ſumma radicum
quadratarum, nempe .q.g. ipſius .t.c. et .g.p. ip-
ſius .c.y. Tum ſuper .q.p. extruatur & diuidatur
quadratum .q.u. ea ratione qua .41. theoremate
aut .29. diuiſimus, in quo ſanè quadrato, quadra
tum ipſius .q.i. cernemus datæ differentiæ, & in
eo collocata quadrata .x.c. et .c.y. ita etiam &
rationem, qua cognoſcimus productum .g.r. (vſi
modo .29. theorematis) cuius quidem .g.r. qua-
dratum, ex .19. theoremate æquale erit produ-
cto .x.t. ideo etiam
uerimus .x.y. ſi rationem ſequemur .45. theore
mate cognoſcemus non ſolum ratione .41. theoremate allata hocrectè perfici, ſed
hac etiam alia ratione.
CVR propoſitum numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt differentia
Cuius
dratũRectè
ſecundum multiplicant, & productum ex dimidio primi detrahunt, vt reſiduum
pars quæſita minor ſit, & illud alterum totius reſiduum, pars maior.
Exempli gratia, ſi numerus .50. in
prædictas duas partes diuidendus pro-
dimidij ſecundi numeri eſſet .9. eo detra
cto ex dimidio primi, remaneret .16. cu
ius radix .4. ſcilicet per totum ſecundum
nempe .6. multiplicata, proferet .24.
quo producto ex dimidio primi detra-
cto, nempe .25. dabitur .1. pars minor,
maior
radices autem erunt .1. et .7. differentes
inter ſe, numero ſenario.
Hocvt ſciamus, duo numeri lineis
gnificẽtur
c. duæ autem partes .b. duobus quadra-
tis .q.i. et .i.d. notentur, eorum verò radi-
ces lineis .a.g. et .g.d. differentia porrò ip
ſi .c. æqualis & co gnita ſit .a.h. ex quo .h.
ſecetur æqualis .t.i. quæ omnia ex diametro .q.d. cogitari poſſunt: erit igitur .u.i. æ-
qualis .i.d.
temus diuiſum eſſe in .4. partes æquales medijs diametris .p.r. et .n.e. quare
partium cognoſcetur, & Quòd
ſi aliquod iſtorum quadratorum detrahere voluerimus, nempe .n.r. ex dimidio ſum
mæ .b. duorum quadratorum .q.i. et .i.d. cognitæ, hac via procedemus, primum con
ſiderabimus .t.r. coniunctam .t.i. quæ quantitates erunt ſumma dimidij
dratorum .q.i. et .i.d. quando quidem .t.r.
quadrati .i.d. ex quo .i.t.r. dimidium erit .
b. ex qua quantitate .i.t.r. cogitare debe
mus detrahi quadratum ipſius .K.h. nem
pe .n.r: quare quod ſupereſt cognitum
erit nempe .y.s. cum .n.i. ſed .y.m. æqualis
eſt .n.i. et .y.m. cum .y.s. conſtituunt qua-
dratum .p.m.
conſequenter .p.s. eius radix cognoſce-
tur, ita etiam & productum huius .p.s. in .
s.x. æqualis .c. nempe .p.x:
ctum huiuſmodi ſemper minus quantita
te .r.t.i: per .u.i. æquale quadrato minori .
i.d. quare .i.d. cognoſcetur, conſequen-
ter .i. @q. tanquam reſiduum ex .b. & eo-
rum radices quadratæ cognoſcentur .a.
g. et .g.d.
IDEM præſtari hac alia via, meo iudicio poteſt.
Secundus numerus in
manens erit productum vnius quadratæ radicis in alteram partium primi numeri
quæſitarum, deinde productum hoc duplicetur, & primo numero dato coniunga-
tur,
partium, cui iuncto producto ex quadrageſimoquinto theoremate ſingulæ radices
proferentur.
Exempli gratia, primus numerus diuiſibilis erat .50. alter verò .6.
Iam ſi multi-
plicemus .6. per .3. nempe dimidium proferetur numerus .18. quo ex dimidio pri-
mi, nempe .25. detracto, ſupererit .7. productum vnius radicis in alteram, quod du
plicatum dabit .14. quo coniuncto cum primo numero .50. dabitur numerus .64.
cuius quadrata radix ſcilicet .8. erit ſumma radicum duarum partium quæſitarum,
qua & producto .7. ex quadrag eſimoquinto theoremate dictæ radices diſtinguen,
tur, quarum vna erit .7. & altera .I.
Vtautem hocſpeculemur, præcedenti figura vti poterimus, in qua patet .t.r. pro
ductum eſſe ſecundi numeri .c. nempe .a.h. hoc eſt .t.u. in dimidio .a.e. ſcilicet .p.t. re-
ſiduum autem dimidij primi .b. eſſe .t.i. nempe .a.i. productum radicum, quod ſupple
Quare duplicato .a.i. & coniuncto .b. cognoſci-
mustotum .q.d. & conſequenter .a.d. ſuam radicem, hoc eſt ſummam duarum radi
cum .a.g. et .g.d. quæ medio .a.i. cognito, & quadrageſimoquinto theoremate ſingu-
læ cognoſcuntur.
CVR propoſitum aliquem num erum in duas eiuſmodi partes diuiſuri, vt ſum-
ma radicum dictarum partium æqualis ſit alteri numero propoſito. Rectè ſe-
cundum numerum in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato, primum datum nu-
merum detrahunt,
quartam partem deſumunt,
cemq́ue qua dratam reſidui cum iunxerint, & ex dimidio primi numeri detraxerint,
partes quæſitæ proferuntur.
Exempli gratia, ſi proponeretur primus numerus .20. diuidendus et .6. ſecundus
pro ſumma radicum, hunc ſecundum .6. in ſeipſum multiplicabimus,
merus .36. ex quo quadrato primus numerus detrahetur,
qui quadratus dabit .256. cuius numeri quarta pars ſumetur, nempe .64. quæ ex qua
drato dimidij primi numeri detrahetur, nempe .100.
drata .6. coniuncta & detracta ex .10. dabit .16. partem maiorem et .4. minorem.
Cuius rei hæc ſpeculatio, primus numerus diuiſibilis ſignificetur linea .a.b. diui-
ſa in puncto .e. in partes adhuc incognitas, et .a.c. ſit productum .a.e. in .e.b. item .q.
p. ſecundum numerum ſignificet, æqualem ſummæ radicum, quæ puncto .n. diſtin-
guantur. Poſtmodum totum quadratum .p.d. erigatur (quod nobis eſt cognitum),
in duo quadrata diuiſum .o.p. et .o.d. quorum ſumma .a.b. cum detur, cognita rema-
net ſumma
remate huius libri quadratum eft ipſius .q.o.
dimidium differentiæ .a.b. ab .p.d. nempe quadrato tantummodo ſupplemento .q.
o. Tunc habito .a.c. eius ope tanquam producti .a.e. in .e.b. ex .45. theoremate ſingu
læ partes cognoſcentur.
Quod alia etiam ratione præſtari poterat, nempe cognito ſupplemento .
q.o. diſtinguendæ radices q.n. et .n.p. ex .45. theoremate, quibus cognitis, eorum
etiam quadrata cognoſcuntur.
CVR propoſito numero in tres qualeſcunque partes diuiſo, ſi prima in
tertiam multiplicetur, & huic producto, ſecundæ in primam productum
coniungatur,
productorum ſingularum in cæteras duas.
Exempli gratia, ſi proponatur .20. diuiſus in tres partes nempe .12. 5. 3. multipli-
cato primo .12. per .3. tertiam partem dabitur .36. ſecunda verò multiplicata per re
liquas duas, hoc eſt .5. per .12. et .3. in primis dabitur .60. poſtea .15.
ductorum ſumma erit .111. quæ duplicata dabit .222. qui numerus æqualis eſſe di-
citur ſummæ productorum ſingularum partium in reliquas duas, nempe ſummæ .60.
36. 60. 15. 36. 15. hoc eſt ipſis .222.
Cuius rei per ſe patet ſpeculatio, cum in his ſex vltimis productis, ſingula tria
prima duplicentur.
CVR propoſito numero in .3. qualeſcunque partes diuiſo, ſi in reliquas duas ſin-
gulæ multiplicentur, & hæc producta cum ſumma ſuorum quadratorum con-
iungantur, tota ſumma hæc vltima æqualis erit quadrato totali propoſiti numeri.
Exempli gratia, ſi fuerit idem numerus .20. in .3. partes diuiſus .12. 5. 3.
Si .12. in
5. et .3. producatur, ſumma productorum erit .96. at .5. in .12. et .3. erit .75. poſtmo-
dum .3. in .12. et .5. erit .51. nempe in vniuerſum .222. quadratorum porrò ſumma
erit .178 quæ coniuncta .222. dabit .400. quadratum ipſius .20.
Erit autem huiuſce rei facillima ſpeculatio, ſi ſequentem figuram mente conce-
perimus, in qua .a.b. propoſitum numerum ſignificet, cuius partes diſtinctæ ſint me-
dio .e. et .c. Ip ſum autem .q.b. ſit quadratum
totale parallelis .e.s. et .c.x. diuiſum, quæ qua
primum erit .q.e. compoſitum ex producto .a.
e. in ſemetipſam, nempe quadratum .o.e. &
ex producto eiuſdem .a.e. in .e.b. quod erit re
ctangulum .o.s. ex quo tria rectangula .o.s. et .
n.x. et .t.u. tria producta erunt ſingularum par
tium in cæteras duas, et .e.o: c.n: b.t. tria qua-
drata erunt: quibus ſex quantitatibus quadra
tum totale .q.b. completur.
nobis determinabitur.
Cur diuiſuri propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt mutuò diuiſis, &
per ſummam prouenientium diuiſa ſumma qua dratorum partium, oriatur proue-
niens alter numerus propoſitus.
Propoſito deinde tertio quolibet numero diuidendo per ſingulas partes primi,
rum propoſitum proportio futura ſit ea quæ eſt tertij ad ſecundum. Rectè dimidium
primi numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum numerum detra
hunt, tum reſidui radicem ſumunt, quam iungentes, & detrahentes ex dimidio
primi, partes quæſitas habent, cætera ex neceſsitate ſubſequuntur, prout nunc a
me docebitur.
Exempli gratia, proponitur numerus .20. in duas partes diuidendus, quibus po
ſtea mutuò diuiſis, & per ſummam prouenientium diuiſa ſumma quadratorum,
dent Itaque .10.
dimidium primi in ſeipſum multiplicatur, & ex quadrato .100. eruitur numerus .36.
nempe ſecundus propoſitus reſidui porrò .64. quadrata radix .8. fumitur, quam con
iungimus & detrahimus ex dimidio primi ſcilicet .10. ex quo partes quæſitæ dabun
tur .18. et .2. quæ mutuo diuiſæ dabunt ſuorum prouenientium ſummam .9. cum no-
na parte, per quam diuidentes .328. ſummam quadratorum ipſarum partium,
exactè dabitur numerus .36. qui fuit ſecundò propoſitus. Tum ſi per ſingu-
las iam inuentas partes quilibet numerus diuiſus fuerit, verbi gratia .72. ſumma pro
uenientium erit .40. qui num@rus eandem proportionem cum primo nempe .20. ſer
uabit, quam tertius propoſitus .72. cum ſecundo .36.
Quod vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur linea .n.e. ita diuidendus à
puncto .o. vt diuiſa parte .n.o. per .o.e. et .o.e. per .n.o. & per ſummam prouenien-
tium diuiſa ſumma quadratorum .n.o. et .o.e. detur ſecundus numerus notatus linea .
q.K. Porrò meminiſſe oportet quòd .26. theoremate probatum fuit vltimum hoc
proueniens æquale producto partium inter ſe futurum, nempe producto .n.o. in .o.
e. quod ſignificetur rectangulo .n.e. Itaque datis .n.e. et .q.K. ſi .45. theorema conſu-
luerimus, partes .n.o. et .o.e. cognoſcemus.
Proponitur deinde tertius quilibetnumerus, verbi gratia .x. diuidendus per .o.e.
et .o.n. qui ſi diuidatur per .o.e. dabit pro
ueniens .b.o. Si verò per .n.o. proueniens
horum prouenientium, ſic primo nume-
ro .n.e. dato proportionatam eſſe, ſicut
tertius .x. Producatur enim li-
nea .d.n. donec .n.q. æqualis ſit .o.b. ex
quo .q.d. erit ſumma vltimò prouenien-
tium: item producatur .e.n. donec .n.u. æ-
qualis ſit .o.e.
q.u. quod tertio numero propoſito .x. vt
patet, æquale erit, quare ex .15. ſexti aut .
20. ſeptimi eadem erit proportio .d.n. ad
n.q. quæ .u.n. nempe .o.e. ad .o.n. & com-
ponendo .d.q. ad .q.n. ſicut .e.n. ad .n.o. &
permutando .d.q. ad .e.n. quæ .q.n. hoc eſt .
b.o. ad .o.n. nempe ſicut .b.e. ad .e.n. ſuperficialem, ex prima ſexti aut .18. vel .19.
ſeptimi, ſed rectangulum .e.n. conſtitutum fuit æquale numero .q.K. itaque verum
eſt propoſitum.
CVR numero per numerum diuiſo,
ueniens multiplicato, quod vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua
dratum exiſtat.
Exempli gratia, ſi diuidamus .10. per .2. proueniens erit .5. quo producto ex duo
bus numeris multiplicato, nempe .20. habe
bimus .100. quadratum numeri diuiſi.
Cuius gratia duo numeri ſint .a. et .e. por
rò .a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-
ctum .a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u.
multiplicato dabitur .x. quadratum .a. pro-
ptereà quòd .a. medium eſt proportionale
inter .o. et .u. ex .35. theoremate. itaque
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-
tas eluceſcet.
CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diuiſo, ſi per horum duo-
rum productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-
timum proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.
Exempli gratia, proponitur numerus .24. per .8. et .6. multiplicandus & diuiden
dus ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336.
productorum per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-
rimus, proueniens pariter erit .7.
In cuius
dus numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-
tium autem .a.e: et .a.o. ex .k.m. et .o.e. ex .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.
m. Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e.
Quod cum ſic fuerit, erit
quoque verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis
numero .f.m. ex .13. theoremate huius. Itaque quotieſcunque probauero quòd di-
uiſa .k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con
ſequetur. ex .13. theoremate. Quòd ſi proueniens ex diuiſione .k.z. per .a.e. æqua
le fuerit .f.m. patet ex .7. quinti quòd
proueniens, quæ ad numerum .f.m. Cogitemus
mente concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. ex quo eadem erit proportio .
k.p. ad .k.y. quæ .g.k. ad .k.u. ex .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. erit
proueniens, quod probandum eſt æquale eſſe .f.m.
Probabitur autem ſic, ex .9. quinti, nempe demonſtrato quòd numerus .k.p. ean
dem proportionem habeat ad numerum .k.y. quam habet numerus .f.m. ad eundem
k.y. Sed probatum eſt ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .k.p. ad .k.y. ſufficiet igitur pro-
bare ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .f.m. ad .k.y. Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k.
u; a.e. ſatis erit igitur probare ita ſe habere .q.b. ad .a.e. ſicut .f.m. ad .k.y.
Scimus au-
tem quòd eadem eſt proportio .q.b. ad .a.o. quæ .m.k. ad vnitatem, quæ ſit .x. & quod
proportio .o.e. ad .q.b. eadem eſt, quæ .x. ad .m.y. ex definitione diuiſionis. Quare
ex æqualitate proportionum eadem erit proportio .k.m. ad .m.y. quæ .e.o. ad .o.a. &
a. ſicut .m.y. ad .o.a. & ex .19. quinti ita .k.m. ad .e.o. ſicut .k.y. ad .e.a. & permutando .
k.m. ad .k.y. ſicut .e.o. ad .e.a. Nunc producatur .f.t. donec .t.i. æqualis ſit .k.y.
ctaq́;
bitur proportio numeri .f.m. ad numerum .s.i. compoſita ex .m.t. ad .t.s. et .f.t. ad .t.i.
ex .24. ſexti, aut quinta octaui, ſed ita etiam proportio .q.b. ad .a.e. componitur ex
eiſdem proportionibus, nempe ex .q.b. ad .o.e. æquali .m.t. ad .t.s. & ex proportione .
o.e. ad .a.e. æquali .f.t. ad .t.i. ita que proportio numeri .f.m. ad .s.i. hoc eſt ad
ipſius .k.y. ęqualis eſt proportioni numeri .q.b. ad .a.e.
x.y. ex quo ſequitur .k.p. conſtare numero ęquali .f.m. proueniens igitur ex diuiſione
numeri .k.z. per .f.m. æquale eſt numero ipſius .a.e.
HAEC porrò concluſio alia etiam via demonſtrari poteſt.
Significetur numerus diuidendus atque multiplicandus linea .b.a.
Deinde
diuidentes &
e. atque .a.o. ex .m.y: o.e. verò ex .k.m. proueniat, quorum ſumma ſit .a.e: productum
autem .b.a. in .k.m. ſit .b.p. et .p.s. productum .b.a. in .m.y. ad hæc rectangulum .k.y. ſit
productum .k.m. in .m.y: quo to-
tum productum .a.s. diuidatur, pro
a.s.
k.y. rectangulum ad vnitatem ex
definitione diuiſionis, hoc autem
proueniens .a.c.
quali aſſero ſummæ .a.e. Primum
enim ex dicta definitione diuiſio-
nis habemus eandem eſſe propor-
tionem .b.a. ad .a.o. quæ .m.y. ad
vnitatem, & quod ſic ſe habet .b.a.
ad .o.e. ſicut .k.m. ad eandem vnita
tem. Itaque vnitas hæc linearis ſi-
gnificetur per .m.x. in ſingulis late-
ribus .k.m. et .m.y. producentibus rectangulum .k.y: ſuperficialis autem vnitas ſit.
Itaque dabitur eadem pro
portio .k.m. ad .m.x. nempe .k.x. rectanguli ad .m.g. quæ eſt .b.a. ad .o.e. et .y.x. ad .m.
g. quæ .b.a. ad .a.o. ſed ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, ſic ſe habet rectangu-
lum .k.y. ad .x.y. ſicut .k.m. ad .m.x. quare ſicut .b.a. ad .o.e. ex .11. quinti, & eiuſdem
rectanguli .k.y. ad rectangulum .k.x. ſicut .y.m. ad .x.m. nempe .b.a. ad .a.o. Quare
ex communi ſcientia, ſic ſe habebit duplum rectanguli .k.y. ad ſummam .y.x. cum .
k.x. rectangulorum, ſicut duplum .b.a. ad ſummam .a.o.e. et proportio ſummæ re-
ctangulorum .y.x. et .k.x. duplo .g.m. ſicut duplum .b.a. ad .a.o.e. Igitur ſumma duo-
rum rectangulorum .y.x. et .x.k. media proportionalis erit inter duplum rectanguli .
k.y. & duplum vnitatis ſuperſicialis .g.m. Nunc terminetur rectangulum .a.r. ex quo
dabitur eadem proportio dupli .a.s. ad .a.r. ſicut dupli .b.a. ad .a.e. ex propoſitioni-
bus notatis, ſexti aut ſeptimi. Quare etiam ſicut dupli rectanguli .k.y. ad
rectangulorum .y.x. et .k.x. Iam verò ſi conſtituatur .e.c. pro vnitate lineari ipſius .
e.r. certi erimus numerum .a.c. æqualem eſſe .a.e. & proportionem .r.e. ad .e.c. hoc
eſt .a.r. ad .a.c. eandem quæ .y.x. et .x.k. rectangulorum ad .m.g. ex prædictis rationi-
bus, & ex hypotheſi, nempe quòd .
e.r. æqualis ſit numero .k.m.y.
k. Quamobrem .a.r. ex communi
ſcientia
inter duplum .a.s. & duplum .a.c.
dẽq́;
duplum .a.c. ex æqualitate propor-
tionum ſimul collectarum, eadem
erit qùæ proportio dupli rectangu-
li .k.y. ad duplum .m.g. hoc eſt .a.s.
ſimplicis ad ſimplicem .a.c. quæ ſim
plicis rectanguli .k.y. ad ſimplicem
vnitatem .g.m. ſic enim ſe habet ſim
plex ad ſimplex, ſicut duplum ad
duplum. Sed pariter ita ſe habet .a.s. ad .a. c
ex diuiſione .a.s. per rectangulum .k.y. vt conſtitutum eſt, ſicut .k.y. ad .m.g. ex defi-
nitione diuiſionis vt iam dictum eſt, quare numerus .a.c. æqualis erit numero .a.o.e.
CVR propoſitis .4. numeris, duobus nempe diuidentibus ac duobus diuiden-
dis, ſi
merum producant, qui ſeruetur, ſi deinde ijdem numeri verſa vice mutuo diuiſi fue
rint, & inter ſe multiplicata prouenientia,
æquale erit.
Exempli gratia propoſitis his .4. numeris .20. 30. 5. 10. duo autem .20. ſcilicet
et .30. ſint numeri diuidendi, porrò .5. et .10. numeri diuidentes,
per .5. diuidatur, tum .30. per .10. producetur .4. et .3. qui ſimul multiplicati
12.
plicata producent etiam .12.
Cuius rationem ſi quæris, ſignificentur .4. numeri lineis, a.e.o.u.
per .o. &
proueniat .f. tum .n. ſit productum .z.
in .y. et .m. productum .s. in .f. Dico
n. futurum æquale .m. Sit deinde .
x. vnitas, quare ex definitione diui-
ſionis eadem erit proportio .s. ad .a.
et .z. ad .e. quæ .x. ad .o. Sed ita ſe ha-
bet .a. ad .y. et .e. ad .f. ſicut .u. ad .x. ex
quo ſic ſe habebit .s. ad .a. ſicut .z. ad
e. et .a. ad. y, ſicut .e. ad .f. Itaque ex
æqualitate proportionum ſic ſe ha-
bebit s. ad .y. ſicut .z. ad .f. Igitur ex
15. ſexti aut .20. ſeptimi productum .
n. producto .m. æquale erit.
ALIVD quoque problema à me inuentum eſt, nempe vt proponantur .4.
numeri qualeſcunque tandem, quorum duo diuiſibiles ſint, tertius diuiſor
vnius è duobus pro libito,
ductum duorum prouenientium quarto numero propoſito ſit æquale.
Exempli gratia, proponuntur .4. numeri .20. 48. 5. 12. porrò .20. et .48. numeri
ſint diuiſibiles et .5.
nempe .48. eiuſmodi vt productum prouenientium æquale ſit .12. Diuidam itaque
20.
lem,
fum dabit .16. qui erit diuidens quæſitus, quo diuiſo .48. proueniet .3. ſecundum ſci
licet proueniens, quo per alterum hoc eſt .4. multiplicato producetur quartus nu-
merus .12.
Quod vt ſciamus, primus nume-
rus diuiſibilis ſignificetur
diuidens latere .a.e. quartum nume-
rum rectangulo .i.o. primum proue-
niens latere .e.i. ſecundus diuidens la
tere .e.u. (hic autem eſt quem quæri-
mus) tum alterum proueniens ſigni
ficetur latere .e.o. Iam
portio .e.i. ad .e.u. quæ .o.i. ad .o.u.
Sed cum cognitæ ſint tres quantita-
tes .e.i: i.o: et .o.u. quarta quoque. e
cætera in ſubſcripta figura facillimè patebunt.
HOC etiam problema à me inuentum eſt, nempe ſi duæ radices quadratæ in
ſummam collectæ fuerint, & ex dimidio eiuſmodi ſummæ detracta fuerit mi
nor radix,
plum producti ipſius reſidui in dimidium ſummæ radicum, atque huic ſummæ du-
plum producti eiuſdem reſidui in radicem minorem coniunctum fuerit; vltima hæc
ſumma differentia erit duorum quadratorum propoſitorum.
Exempli gratia duæ radices quadraræ ſint .5. et .11. harum ſumma erit .16. & dimi
dium .8. differentia minoris ab ipſo dimidio erit .3: duplum quadrati huius differen
tiæ erit .18: duplum producti huius differentię in dimidium ſummę radicum erit .48.
item & huius differentiæ duplum in minorem radicem erit .30. quarum omnium
ſumma erit .96. tantaq́ue erit differentia ſuorum quadratorum, quorum vnum
erit .25. alterum verò .121.
Pro cuius rei ſcientia, duæ quadratæ radices ſint .h.o. et .o.d. directæ inter ſe con-
iunctæ, quæ ſumma per medium in puncto .e. diuidatur, tum cogitetur .e.b. æqualis
o.e. perpendicularis .h.d. Iam ex .4. primi .b.h. æqua
lis erit .b.d. & quadratum .b.h. æquale quadrato .h.o. & quadrato .o.b. ſimul cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex .12. ſecundi Eucli. Sed ex .13.
minus eſt quadrato .o.d. cum quadrato .o.b. ex duplo producti .o.e. in .o.d. at duplum
eiuſmodi producti æquale eſt duplo qua-
drati .o.e. & duplo producti .o.e. in .e.d. ex
cet .o.b. et .o.d. maiora erunt duobus qua-
dratis, nempe .o.b. et .o.h. collectis cum du
plo producti .o.e. in .o.h. ex duplo quadrati
o.e. vna Qua
re
o.b. et .o.d. à ſumma duorum o.b. et .o.h. du
plum erit quadrati .o.e. cum duplo produ-
cti .o.e. in .e.d. & duplo producti .o.e. in .o.h.
Quòd ſi ex ſingulis duabus ſummis quadratorum demptum fuerit quadratum .o.b.
eadem producta & quadrata ipſius .o.e. remanebunt, tanquam differentia duorum
quadratorum .o.u. et .h.c.
CVR ſumma duorum
meticè, æqualis eſt ſummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re neceſſa-
rium non eſſe proportionalitatem continuam exiſtere.
Exempli gratia, ſi darentur hi quatuor termini .20. 17. 9. 6. quorum proportio ea
dem eſſet primi ad ſecundum quæ tertij ad quartum, ſumma primi cum quarto eſſet
26.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus
dus .s.q. tertius .u.c. quartus .g.t. differentia porrò inter .e.o. et .s.q. ſit .i.o. quæ æqualis
erit differentiæ .r.c. qua quartus à tertio ſuperatur ex hypotheſi. Itaque aſſero ſum
mam .e.o. cum .g.t. nempe .a.o. æqualem eſſe ſummę .q.s. et .u.c. Nam in .a.o.
quidem ex præſuppoſito .e.i. æqualis eſt .s.q. et
i.o. æqualis .r.c. et .a.e. cum ſit æqualis .g.t. cui
pariter æqualis eſt .r.u. ex quo .a.e. æqualis
eſt .u.r. Itaque illud ſequitur .a.o. ipſi .q.p.
æqualem eſſe.
CVR ſumma duorum terminorum extremorum imparium arithmeticæ pro-
portionalitatis ſemper duplo medij termini æqualis eſt.
Exempli gratia, ſunt hitres termini proportionalitatis arithmeticæ .20. 15. 10
ſumma duorum extremorum erit .30. quæ duplum eſt medij termini .15.
Quod vt ſpeculemur, tres termini, tribus lineis .b.d: n.u. et .q.p.
Di-
co nunc quòd ſumma .b.d. cum .q.p. nempe .
h.d. ſemper duplo .n.u. ſcilicet .g.u. æqualis
Tum differentia .b.d. ad .n.u. ſit .c.d. quæ
æqualis erit .e.u. differentiæ inter n.u. et .q.p.
patet enim in linea .h.d: b.c. æqualem eſſe .n.
u. ſed .n.u. ex .n.e. componitur æquali .q.p. et
ex .e.u. æquali .c.d. cum
h.b. reperiamus æqualem .n.e. gratia .q.p. &
partem .c.d. æquale m.e.u. manifeſtum erit
h.d. æqualem eſſe .g.u.
EX duobus prædictis theorematibus duo problemata oriuntur,
eſt. Datis tribus quantitatibus cognitis, ſi quis quartam inuenire voluerit,
quæ eiuſmodi ſit reſpectu tertiæ, qualis eſt ſecunda reſpectu primæ, ſecunda cum
tertia in ſummam colligenda erit, ex qua detracta prima, ſupererit quarta.
Exempli gratia, cognitis tribus quantitatibus .20. 17. 9. ſi quartam inuenire vo
luerimus eiuſmodi proportionem cum tertia arithmeticè ſeruantem, quam ſecunda
cum prima, ſecundam cum tertia in ſummam colligemus,
qua detracta prima quantitate, quarta relinquetur nempe .6. quod ex .74. theore-
mate dependet.
Idipſum tamen proueniret ſi quis ex tertio termino differentiam primi atque ſe-
cundi detraheret; hæc tamen via non tam vniuerſalis eſtqu àm illa.
N ſi quartus ter
minus incognitus tertio maior eſſe deberet, dictam differentiam cum tertio termi-
mino in ſummam colligere oporteret.
Alterum problema eſt, quòd inuentis duobus terminis, ſi tertius requiratur, ſe-
cundus duplicandus erit, ex qua ſumma detracto primo, ſtatim tertius proferetur,
quod problema ex præcedenti theoremate dependet.
Progredi nihilominus etiam hac in re poſſemus per differentiam primi & ſecun-
di termini, eam detrahendo aut in ſummam cum ſecunda colligendo, attamen prior
ratio magis latè patet, ideſt vniuerſalior eſt.
CVR ſi quis cupiat ſecundum terminum inuenire, quatuor terminorum arith-
meticè proportionalis continuæ, quorum nobis duo extrema proponantur. Rectè primum duplicabit
ma tertiam partem deſumet, quæ erit ſecundus terminus quęſitus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor terminorum .12. 9. 6. 3. duo nobis extrema
proponantur. nempe .12. et .3. quorum ſecundus inueniendus ſit, ſumpto quolibet
pro primo, ſit autem .3. primus numerus, quartus verò .12. quare duplicato 3. vtpo
tè primo, & coniuncto .12. quarto, ſumma erit .18. cuius eſt tertia pars .6. ſecundus
numerus ſcilicet ſumpto principio à minimo. Idipſum euenit ſumpto principio à
maximo. Nam ſi datur ſecundus à minimo aut à maximo, illico tertius datur diffe-
rentia inter hunc & primum, ſecundo coniuncta, aut ex eodem detracta.
Cuius ratio ſic demonſtratur, quatuor termini quatuor lineis .m.g: q.p: u.n: c.t.
ſignificentur, quorum .m.g. et .c.t. tantummodo cognoſcantur.
maior terminus: k.g. verò ſit duplum primi .m.g: cui coniungatur .b.k. æqualis .c.t.
Dico tertiam partem .b.g. quæ ſumma totalis eſt, æqualem eſſe .q.p. In primis enim
certi ſumus .m.f. in .m.g. reperiri æqualem .q.p.
et .q.p. æqualis .e.p. differentiæ inter .q.p. et .u.n. & æqualis .o.n. differen-
tiæ inter .u.n. et .c.t: ſimul etiam in .k.m. habemus .d.m. æqualem .m.f. quare etiam .q.
p. et .k.d. æqualem .f.g. nempe .e.p. aut .o.n: Hactenus in .k.g. reperimus duplum .q.
p. ſimul cum .f.g. et .k.d. æqualibus .e.p. et .o.n. & quia .b.K. æqualis .c.t. fuit coniuncta. conſiderandum eſt an hætres quantitates .f.g: K.d. et .b.K. ſimul æquales ſint .q.p.
quod tamen per ſe manifeſtum eſt. nam .q.p. ſuperat .u.n. per .e.p. et .u.n. ex-
cedit .c.t. per .o.n. æqualem .e.p. quare .q.p. per duplum differentię .f.g. ſuperat .c.t. ita
que .f.g: k.d. et .K.b. ipſi .q.p. ſunt
quales
nus dicta fuerunt, in genere maio-
ris inæqualitatis probata fuerunt. At in genere minoris, ſumpto or-
dinis principio à minimo termino
rum, duplicetur .c.t.
hoc .K.t. cui .k.b. æqualis .m.g. con-
iungatur, quæſumma ſit .b.t. Di-
co .u.n. tertiam eſſe partem ipſius. Nam in primis in .b.t. datur termi
nus .b.K. æqualis vltimo .m.g. in
quo ſemel reperitur .u.n. vnà cum
duabus differentijs, nempe .i.g. in
ipſa autem .b.t: u.n. ſignificetur pri
mo loco per .r.K. ex quo ſupererit .b.r. duabus differentijs prædictis æqualis, ſed ex
præſuppoſito .u.n. componitur ex .o.u. æquali .c.t. et .o.n. ęquali vni differentiæ.
lens, illud efficitur .u.n. pariter ipſius .b.t. eſſe tertiam partem, quod erat
CVR ſi quis velit ſecundum quinque continuorum proportionalium termi-
num inuenire, ſolis extremis cognitis. Rectè
ex qua ſumma quartam partem detraher, quæ erit ſecundus terminus quæſitus. Quod ipſum faciet qui inuenire vult ſecundum terminum ſenarij ſeptenarij, octo-
narij aut alterius cuiuſcunque, creſcente tamen multiplicatione primi,
coniuncto.
Exempli gratia, dantur duo extremi termini, horum quinque numerorum .18.
16. 14. 12. 10. nempe .18. et .10. ſi .18. primus erit, hoc eſt, ſi à genere maioris inæ-
qualitatis progrediemur, triplicabimus terminum .18.
coniuncto quinto termino .10. dabitur numerus .64. cuius quarta pars erit .16. vtpo
tè ſecundus terminus gratia, aut ſecundi ſex terminorum, quadruplicandus eſſet pri
mus .18. deinde adiuncto vltimo, quinta pars ſummæ eſſet ſecundus terminus,
ita deinceps.
Cuius ſpeculationis gratia, dicti termini lineis .z.h: f.s: u.p: e.g. et .r.x.
In primis ex genere maioris inæqualitatis, triplicabimus .z.h.
h. Dico .f.s.
mę .b.h. Nam in .k.h. ſecundus terminus .f.s. ter cum tribus differentijs æqualibus .n.h.
reperitur. Probandum nunc eſt tres has differentias .n.h: a.c. et .d.k. ſimul cum .b.
K. ęquales eſſe .f.s.
uocari
cum .f.s. ſuperet .
r.x. per .o.s: t.p. et .
i.g. At in genere
minoris inæquali
tatis, triplum .r.x.
ſit .x.a. et .a.b. ſit
æqualis .z.h. &
z.h. tribus
tijs .n.h: o.s: t.p. ſu-
peret .e.g. quæ in .
a.b. ſint .b.K: K.d:
d.c. ex quo .a.c.
æqualis erit .e.g.
et .a.x. cum .b.c. tripla .e.g. Itaque tota ſumma .b.x. qua drupla erit .e.g.
QVantitates quæ fuerint inuicem in proportionalitate arithmetica proportio-
nales, permutan do quoque proportionales erunt.
Sint exempli gratia .4. quantitates .a.b: c.d: e.f: et .g.h: inuicem proportionales in
proportionalitate arithmetica. Hoc eſt vt quæ proportio (licet impropriè dicta)
eſt ipſius .a.b. ad .c.d. Tunc permutando dico eandem pro
portionem fore ipſius .a.b. ad .e.f. quæ ipſius .c.d. ad .g.h.
Nam, ex hypotheſi, differentia qua .a.b. ſuperat .c.d. (quæ ſit .m.b.) æqualis eſt
differentiæ qua .e.f. ſuperat .g.h. (quæ ſit .i.f.) vnde .a.m. reſiduum ex .a.b. æquale erit
c.d. & reſiduum .e.i. æquale .g.h. Sit igitur exempli gratia .c.d. maior .g.h. per .c.n.
vnde .n.d. æqualis erit .g.h. quare .a.m. maior erit .e.i. per .a.K. æqualem .c.n. ex com-
muni ſcientia. Vnde .K.m. æqualis erit .n.d. hoc eſt ipſi .g.h. hoc eſt ipſi e.i.
Quare ex
communi conceptu .b.K. æqualis erit ipſi .f.e. ſed .n.d. æqualis eſt .g.h. vt dictum eſt. Cum ergo .b.K. æqualis ſit .e.f. et .d.n. ipſi .g.h. et .a.b. maior ſit ipſa .K.b. per .a.K. æqua-
lem ipſi .c.n. per quam c.n: d.c. maior eſt ipſa .d.n. ſequitur verum eſſe
eſt, quod eadem proportio ſit ipſius .a.b. ad .e.f. quæ .c.d. ad .g.h. arithmetice ſcilicet.
CVR prouenientia duorum numerorum diuidentium eiuſdem numeri diuiſi-
bilis, geometricè
Exempli gratia ſi per ſenarium & octonarium numerus vigintiquatuor diuida-
tur, prouenientia erunt .4. et .3. eadem proportione, qua diuidentes.
Cuius eſt ratio numerus diuiſibilis ſignificetur rectangulis .u.x. et .n.e. diuidentes
autem ſint .u.o. et .e.o. quare ex ijs, quæ .10.
ſo dabit .x.o. & diuiſo .n.e. per .e.o. dabit .o.
n. Dicimus itaque
o.x. ad .o.n. quæ .e.o. ad .o.u. quod patet ſub
ſcriptam figuram conſiderantibus, in qua,
ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi, eadem propor-
tio cernitur .o.x. ad .o.n. quæ .o.e. ad .o.u.
CVR quauis quantitate, tribus
to pluribus diuidentibus numeris di-
uifa, prouenientia eandem prorſus
inter ſe proportionem ſeruabunt,
quam ipſi diuidentes habere compe
riuntur.
Exempli gratia, proponitur nu-
merus .60. quinque numeris diuiden
dus, vtpotè .30. 20. 15. 12. 10. pro-
uenientia erunt .2. 3. 4. 5. 6. eadem
Cuius ratio ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi dependet.
prout in ſubſcripto ordine fa-
cillimè deprehendi poteſt.
CVR quantitate in tres continuas partes proportionales ſecta, & per ſingulas
ipſarum diuiſa, ſumma trium prouenientium quadrato medij prouenientis
æqualis eſt.
Exempli gratia, proponitur .14. diuidendus in tres continuas partes proportio-
nales, nempe .8. 4. 2.
nientia oriuntur, nempe ex prima parte .8.
tibus ex ſecunda .4. datur proueniens .3. cum dimidio vnius, & ex tertia .2. proue-
nient .7. integri, qui in ſummam collecti dant .12. integros & vnam quartam par-
tem tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe .3.
cum dimidio.
Cuius ſpeculationis gratia, totalis numerus ſignificetur linea .n.c. qui in tres par-
tes diuidatur .n.a: a.e. et .e.c. quæ ſint continuæ proportionales, quarum ſingulis,
numerum .n.c. diuiſum eſſe cogitemus, proueniens autem ex diuiſione .n.c. per .n.
a. ſit .i.d. quod verò prouenit ex diuiſione .n.c. per .a.e. ſit .d.u. proueniens quoque ex
diuiſione .n.c. per .e.c. ſit .u.o. quorum ſumma ſit .i.o. quæ aſſeritur eſſe numeri æqua-
lis numero quadrati .d.u. Quod hac ratione probabo, producatur linea .i.o. donec .
o.p. æqualis ſit .o.u.
quæ producatur donec .o.q. vnitati ſit æqualis,
et .q.i. ex quo habebimus rectangulum, aut productum .m.p. æquale quadrato .d.u.
ex .16 ſexti aut .20. ſeptimi, quandoquidem tria prouenientia .o.u: u.d. et .d.i. ex
pręcedenti theoremate ſunt inter ſe continua proportionalia, proportionalitate qua
partes .n.c. Iam verò ſi probauero .q.i. productum, producto .m.p. æquale eſſe, pro-
poſitum quoque probatum erit. Numerus enim producti .q.i. æqualis eſt numero.
ſummæ .i.o.
Habemus autem ex definitione diuiſionis ita ſe habere .n.c. ad .i.d. ſicut .
n.a. ad .o.q. Itaque permutando ſic ſe habebit .n.c. ad .n.a. ſicut .d.i. hoc eſt .m.o. ad .
o.q. ſed ſicut ſe habet .n.c. ad .n.a. ita pariter ſe habet .i.o. ad .o.u. hoc eſt ad .o.p. Ita-
que .i.o. ad .o.p. ſic ſe habebit ſicut .m.o. ad .o.q. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .
q.i. æqualis erit .m.p. & conſequenter quadrato .d.u. Vt autem lector minori labo-
re cognoſcere queat .i.o. ad .o.u. ſic ſe habere, vt .n.c. ad .n.a. ſciendum eſt quòd, ſic
ſe habet .i.d. ad .d.u. ut .c.e. ad .e.a. ex quo componendo ſic ſe habebit .i.u. ad .d.u. ſi-
cut .c.a. ad .a.e. & permutando ita .i.u.
cedẽti
ad .u.o. ſicut .e.a. ad .a.n. permutando
ſic ſe habebit .d.u. ad .a.e. ſicut .u.o. ad
a.n. ex quo ex .11. quinti ſic ſe habe-
bit .i.u. ad .c.a. prout .o.u. ad .a.n. per-
mutandoq́ue .i.u. ad .u.o. vt .c.a. ad .a.n. & componendo, ita .i.o. ad .u.o. ſicut .c.n.
ad .a.n.
CVR quantitate aliqua in quatuor partes
q́ue ſingulas diuiſa, ſumma quatuor prouenientium æqualis ſit producto ſe-
cundi in tertium.
Exempli gratia, ſi triginta in quatuor partes proportionales ſecetur, hoc eſt.
16. 8. 4. 2.
erit .1. cum ſeptem octauis partibus. Secundum .3. cum tribus quartis, tertium .7.
cum dimidio, quartum .15. integri, quorum ſumma erit .28. cum octaua parte, tan
Quod vt ſciamus, quantitas .n.c. in partes continuas proportionales quatuor ſe-
cetur .n.a: a.t: t.e. et .e.c.
ſint .i.d: d.x: x.u: u.o.
ro producti .d.x. in .x.u.
Quod hac ratione probo, cogito productam eſſe lineam .i.o.
lis ſit .o.u.
o.q. vnitati ſit æqualis. Iam terminatis rectangulis .m.p. et .i.q. patebit ex .15. ſexti
aut .20. ſeptimi, productum .m.p. producto .d.x. in .x.u. æquale eſſe. Ita quòd ſi pro-
bauero productum .i.q. producto .m.p. æquale eſſe, facile patebit propoſitum. Cuius
gratia, ſequuti præcedentis theorematis ordinem, primum ex
eadem proportio erit .n.c. ad .i.d. quæ .n.a. ad .o.q. ex quo permutando .n.c. ad .n.a. ſic
ſe habebit vt .i.d. hoc eſt .m.o. ad .o.q. & ſi progrediamur eodem ordine, quo præ-
cedenti theoremate, ſumpto principio ab .i.d. et .e.c. verſus .d.x. et .e.t. gradatimq́ue
permutando ac coniungendo, inue-
c.n. ad .n.a. quæ .i.o. ad .o.u. nempe .
o.p. ex quo ex .11 quinti, ita ſe habe
bit .i.o. ad .o.p. vt .m.o. ad .o.q. quare
ex .15. ſextiaut .20. ſeptimi
ctũ
ex quo etiam æquale erit producto .
d.x. in .x.u. Idem ordo in qualibet
quantitate in quantaſuis partes diuiſa ſeruari poterit, cum huiuſmodi
uerſum pateat.
CVR termini medij cubus, trium continuè proportionalium, ſemper producto
rectanguli compræhenſi à maximo & medio in minimo termino æqualis ſit.
Exempli gratia, datis his tribus terminis continuis proportionalibus .9. 6. 4. ſi
ſumpſerimus productum maximi in medium nempe .54. quod per
plicemus, dabitur numerus .216. cubo medij .6. æqualis.
In cuius gratiam tres numeri continui proportionales tribus lineis .a.e.i.
cẽtur
tẽmetNunc co-
o.c.ſit vnica recta linea, ex quo ex .25.
vndecimi proportio .n.h. ad .n.k. ea-
dem eſt quæ .o.h. ad o.k. ſed ſic ſe ha-
bet .o.h. ad .o.k. vt .h.b. ad .b.k.
ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſe-
ptimi itaque .n.h. ad .n.k. ex .11.
quinti ſic ſe habebit. vt .h.b. ad .b.k.
ſed .n.h. ad .n.d. ex eiſdem ſic ſe habet
ut .h.u. ad .d.u. et .h.u. ad .u.d. ita ut .h.
b. ad .b.k. ex præſuppoſito. Itaque ex
11. prædicta .n.h. ad .n.k. eadem erit
proportio quæ .n.h. ad .n.d. Quare
ex .9. quinti .n.k. æqualis erit .n.d.
Quod erat propoſitum.
CVR quadrato vnius quantitatis radice proportionalis, per ſingulos tres termi
nos diuiſo, prouenientia, ſingulis dictis terminis ſint æqualia.
dratum medij erit .36. quod per .9. diuiſum dabit .4: per .6: 6. per .4: 9.
Cuius gratia, ſint tres termini
medij ſit .e.c. Iam ſi applicetur
ctangulum .q.p. æquale eidem quadrato .e.c. ipſi .c.q. ſi quadratum .e.c. per .a.o. diui
ſerimus, proueniens erit .o.d.
radicem .o.c. diuidatur, proueniens erit .o.
o.d. æqualem eſſe .c.q. Nam ex .16. ſexti aut
20. ſeptimi eadem eſt proportio .a.o. ad .o.
c. quę .o.e. ad .o.d. nempe .o.c. ad .o.d. itaque
o.d. ex .9. quinti æqualis eſt .c.q. quandoqui
dem ex .11. ſic ſe habet .o.c. ad .o.d. ſicut .o.
c. ad .c.q. Applicatis ijſdem rationibus ipſi .
p.c. probabimus .c.p. æqualem eſſe .a.o. cum
o.c. media ſit proportionalis,
c.q. quam inter .a.o. et .c.q. itaque .c.p. æqua-
lis eſt .a.o.
CVR propoſitis tribus quantitatibus continuis proportionalibus proportione
aliarum duarum nobis datarum, multiplicata maiori poſtremarum dua-
rum in ſummam mediæ cum minima trium primarum, productum æqua-
le ſit producto minoris duarum in ſummam maximæ cum media trium.
Exempli gratia proponuntur quantitates .9. 6. 4. proportione numerorum pro-
ductum æquale erit producto .2. per .15. nempe per ſummam 9. et .6.
Quod vt cognoſcamus, tres quan
b.a.p. proportione .d.q. productum
autem .d. in ſummam .a. cum .p. ſit .f.t.
& productum .q. in ſummam .b.a. ſit .
K.h. et .K.n. ſit æqualis .b. et .n.o. æqua
lis .a. & ita etiam .o.u. eidem .a. et .u.t.
æqualis .p. et .h.o. ipſi .q. et .f.o. ipſi .d. quare ita ſe habebit .K.n. ad .n.o. ſicut
o.u. ad .u.t. & componendo .K.o. ad .
n.o. vt .o.t. ad .u.t. & permutando .K.
o. ad .o.t. vt .n.o. hoc eſt .o.u. ad .u.t. &
pariter .f.o. ad .o.h. vt .o.u. ad .u.t. Ita-
que ſicut .k.o. ad .o.t. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .K.h. æqualis erit .f.t.
CVR multiplicatis ſingulis tribus quantitatibus continuis proportionalibus in
reliquas duas, ſex producta æqualia ſint producto dupli ſummæ ipſarum trium
in mediam proportionalem.
Exempli gratia, proponuntur hitres termini continui proportionales .9. 6. 4. pro
ductum .9. in .6. erit .54. at .9. in .4. erit .36. et .6. in .9: 54. et .6. in .4: 24. et .4. in .9: 36. et
4.
ductum dupli ſummæ trium terminorum in ſecundum nempe .38 in .6.
Cuius
b.e. nempe .b.d: d.c: c.e. cuius duplum ſit .u.e. et .b.f. æqualis ſit .b.d. et .f.n: d.c. et .n.u:
c. e productum verò .u.e. in .d.c.ſit .u.s. cui dico æqualem eſſe ſummam productorum
ſingulorum trium terminorum in reliquos duos. Quamobrem ducantur perpendi-
culares .c.g: d.o: b.i: f.a. et .n.p. inter .u.e. et .q.s. ex quo pro producto .c.e. in .c.d. ha-
bebimus rectangulum .c.s. & rectan-
ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi itemq́ue
rectangulum .q.n. pro producto .d.c.
in .c.e. & rectangulum .b.o. ex .d.c. in .
b.d. & rectangulum .b.a. ex .b.d. in .d.
c. et .p.f. ex .d.b. in .c.e. ex .16. aut .20.
prędictas. Quare ſex producta æquantur inter ſe,
verum eſt propoſitum.
QVA ratione cognoſci poſſit
titatum continuarum proportionalium ad ſummam ſecundæ & tertiæ, ean-
dem eſſe, quæ ſummæ primæ & tertiæ ad ſecundam ſimplicem.
Exempli gratia, ſi inue nirentur hæ quatuor quantitates continuæ proportiona-
es .16. 8. 4. 2. earum ſumma erit .30. ſunima verò ſecundæ & tertiæ .12. tum ſumma
ad .12.
Quod vt ſciamus, quatuor prædictæ quantitates ſignificentur linea .a.e.i.o. pro-
babo ita ſe habere .a.e.i.o. ad .e.i. vt .a.i. ad .e. Nam cum ſic ſe habeat .a. ad .e. ut .e.
ad .i. & vt .i. ad .o: ex æqualitate proportionum vel permutando ita ſe habebit .a. ad .i.
vt .e. ad .o. & è conuerſo ita .o. ad .e. vt .i. ad .a. &
i.a. vt .i.e. ad .e. & permutando ita .o.i.e.a. ad .i.e. vt .i.a. ad .e. quod erat propoſitum. Ex quo patet error antiquorum quiidipſum, accidere arbitrati ſunt in quantitatibus
diſcretæ proportionalitatis, quod tamen falſum eſt.
Exempli gratia, ſi proponantur .12. 6. 4. 2. proportio .12. ad .6. eadem eſt quæ .4.
ad .2. Sed à proportione .6. ad .4. frangitur, cum non ſit eadem quæ .12. ad .6. harum
autem ſumma erit .24. & ſumma ſecundæ cum tertia .10. ſed primæ cum tertia erit
16. ex quo .16. ad .6. non ſic ſe habebit vt .24. ad .10.
At in ſpeculatione quatuor quantitatum .a.
quæ .a. ad .e. minimè licuiſſet dicere ita ſe
habere .i. ad .e. vt .e. ad .a.
CVR extribus quantitatibus quibuſlibet, productum duarum in tertiam, vna
ſemper
Exempli gratia, proponuntur .15. 8. 2. ſi multiplicauerimus .15. per .8. tum produ
ctum per .2. tantum erit quantum ſi quis multiplicaret .8. per .2. & hoc per .15. et .15.
per .2.
Quod ut pateat, tres quantitates tri-
Dico
productum .m.f. in .a. multiplicatum. per .o. æquale eſſe producto .a. in .o. mul-
tiplicato per .m.f. aut producto .m.f. in .
o. multiplicato per .a. Sit enim corpus .d.
u.
m.f. et .u.t: a: et .u.c: o. patebit manifeſtè
n.t. eſſe productum .m.f. in .a. quod .n.t.
multiplicatum in .u.c. æquali .o. producit
corpus .d.u. ſed idipſum corpus .d.u. ex
multiplicatione producti .c.t. in latus .n.
u. æquale .m.f. oritur, & idipſum .d.u. ex
multiplicatione .n.c. in latus .u.t. æquale .a. profertur.
CVR quarumcunque quatuor quantitatum, ſi prima in ſecundam multiplice-
tur & hoc productum in tertiam,
productum æquale ſit producto producti ſecundæ in tertiam, in productum primæ
in quartam.
Exempli gratia, caſu ſeſe offerunt hi quatuor numeri .8. 5. 3. 2. multiplicato .8.
per .5. & hoc .40. per .3. rurſus hoc .120. per .2. vltimum productum eſſet .240. æqua
le producto .15. (quod ex .5. in .3. oritur) in productum .16. quod ex .8. in .2. pro-
fertur.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus quatuor numeros quatuor lineis .a.e.i.o.
ſignifi cari, productum autem .e. in .i. eſſe .m.f. et .r.s. ſimiliter & productum .a. in .o. eſ-
ſe .m.z: et .z.f. productum eſſe .m.f. in .m.z. cui productum .a. in .e. multiplicatum per
i. & hoc tandem per .o. æquari debet.
Sit itaque .u.y. productum .a. in .e. quod .u.y. per .i. multiplicatum proferat .u.s.
hocq́ue .u.s. multiplicatum per .o. Dico quod dabit numerum æqualem numero .f.z.
Quamobrem .r.s. aut .m.f. quod idem eſt, in figura præcedentis theore matis ſigni-
ficetur linea .n.u. & linea .r.u. hu-
ius, nempe .a. ſignificetur per .u.t.
ducti .u.s. præſentis, in præcedenti
ſignificabitur producto .n.t. quod
tiplicatum, quod erat in præceden
ti .u.c. ſignificabitur per .d.u. præce
dentis, quod non modo ex multi-
plicatione .n.t. præcedentis, nempe .u.s. præſentis. in .u.c. præcedentis æquali .o. præ-
ſentis oritur, ſed etiam ex .c.t. præcedentis æquali .m.z. præſentis in .n.u. præceden
tis æquali .m.f. præſentis. Itaque verum eſt propoſitum.
CVR quibuſlibet & quantiſuis numeris in ſummam collectis, ſi ab vnitate in ſe-
cunda ſpecie progreſſionis arithmeticę imparium numerorum progreſſi fue-
rimus, eiuſmodi ſumma ſemper eſt quadratus numerus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor diſparium numerorum
greſſione arithmetica quis ſumat, principio ab vnitate ſumpto, nempe .1. 3. 5. 7. ſum-
ma erit .16. numerus quadratus inquam. Idem de cæteris.
Quamobrem animaduertendum eſt, vnitatem, tam ſumi pro ſui ipſius radicem,
quam pro quadrato, cubo, cenſo cenſi, primo relato, & alia quauis dignitate. Nunc autem pro quadrato ſumamus per .o. ſignificato,
includi quadrato vnitatem ſequenti, quod, vt patet, eſt quatuor vnitatum, ac pro-
priè primum quadratum numerorum, ex quo etiam nomen accepit, vnde ex ſimi-
litudine quam cætera quadrata cum hoc primo retinent, ex quaternario denomina-
tionem acceperunt.
gitur gnomon .e.c.u. conſtans tribus vnitatibus, quare primus gnomon, numero im-
pari conſtat. Scimus etiam ex additione numeri binarij ad imparem, numeris di-
ſparibus ſummam excreſcere, cum propius accedere
medio binario, ſibi inuicem ſuccedunt. Dico igitur quòd quinario ternarium ſub
ſequente, coniuncto quadrato .o.u.c.e. profertur quadratum, quod in numeris, bi-
narij quadratum ſequitur,
mo non differre ab .o.c. præter quam gnomone .b.f.d. qui coniungitur quadrato .o.
c. quique duabus vnitatibus maior eſt .e.c.u.
mon .b.o.d. ex præſuppoſito, maior eſt gnomone .e.o.u. duabus vnitatibus .b. et .d.
Itaque etiam gnomon .b.f.d. duabus vnitatibus gnomonem .e.c.u. ſuperabit. Qua-
re .b.f.d. erit impar immediatè ſequens ternarium, qui coniunctus quadrato .o.c.
quadratum ſubſequens componet. Eadem ratione probabitur de quadrato .o.n. ſe
quenti .o.f. & gnomone .i.n.a. cum hic ordo ſpeculationis ſit vniuerſalis. In
quo cernitur quemlibet gnomonem ſibi
tat ibus excedere, cumque quadrata non niſi gnomonibus ſibi inuicem ſuccedant. Sed
Ex qua ſpeculatione, oritur regula ab antiquis tradita
inueniendi vltimi numeri diſparis
Vt ſi quis ſeire deſideret nu-
merum vltimum diſparem, quo mediante quadratum .
o.n. conſtitutum fuit, quod aliud non eſt quam ſcire
quantus ſit numerus vltimi gnomonis .i.n.a. æqualis gno
moni .i.o.a. Itaque vt ſciamus hunc gnomonem .i.o.a.
patet duplicandam eſſe radicem .o.e.b.i.
b.i. et .o.u.d.a. vbi bis reperitur .o. nos autem tantummo
do quærimus ſcire gnomonem .i.b.e.o.u.d.a. Itaque
minor eſt vnitate duplo radicis, cum unitas .o. bis repe-
tatur, quæ tamen in gnomone ſemel tantum ſumebatur.
CVR ſumma quadratorum, quorum radices ſunt in proportione ſeſquitertia
nempe .4. ad .3. quadrata ſit.
Exempli gratia, ſumemus quadratum .3. ſcilicet 9. quod in ſummam cum qua-
drato .4. colligemus, nempè .16.
36.
dratum .9. hoceſt .81. coniunctum quadrato .12. nempè .144. producet quadra-
tum .225.
In cuius gratiam ſint duo quadrata ſubſcripta .q.o. et .q.a. quorum radices ſint .q.
p. trium, ex quo .q.a. erit .16. vnitatum et .q.o.
nouem. Ad hæc cogitemus applicari quadra-
to .q.a. gnomonem .f.s.h. tam amplum ſiue la-
tum
lis .g: g. verò differentia ſit qua .q.g. maior eſt .
q.p.
ſe quadrato .q.o. nam ex preſuppoſito .g. terra
dicem .q.p. ingreditur, & quater .q.g. ex quo,
tres partes .q.k.p. inter ſe æquales ſunt vnde
etiam quadratum .q.o. nouem partibus ſuper-
ficialibus quadratis conſtabit, quarum ſingula
rum radix æqualis erit .g. cumque præcedenti
theoremate didicerimus quemlibet gnomo-
nem quadrati immediatè ſequentis æquę amplitudinis cum gnomone præcedentis,
ceſſariò ſequitur gnomonem .b.a.g. duabus partibus aut vnitatibus gnomonem .d.
o.p. ſuperare, ita vt gnomon .b.a.g. ſeptem vnitatibus, aut partibus ſuperficialibus
quadratis conſtet. Quare eadem ratione gnomon .f.s.h. conſtabit nouem ſimilibus.
Itaque æqualis erit quadrato .q.o.
Quamobrem verum eſt, quòd quadrato .q.o.
coniuncto quadrato .q.a. proueniet quadratum .q.s. cuius radix ita differet à .q.g. vt .
q.g. à .q.p: ex quo tres radices arithmeticè inter ſe continuæ proportionales erunt. Idipſum dico ſi .q.p. fuerit .6. et .q.g: 8:
tunc enim ſingulæ partes .q.k.p.g.h. æquipol
lebunt duabus vnitatibus, quæ cogitabuntur
g.h. integris contemplari liceat. Idem acci-
det fi .q.p. erit .9. et .q.g. 12. fingulæ enim par-
tes .q.K.p.g.h. tripartitæ erunt. Idcircò dixi
gnomonem .f.s.h. tam amplum cogitari de-
bere, quam gnomon .b.a.g. nempè ut .h. æqua
lis ſit .g. Idem occurret ſi .q.g. erit .12. et .q.p.
quinque, quod cum fuerit patebitex præce-
dentis theorematis ſpeculatione, gnomonem
f.s.h: 25. vnitatibus conſtare, cogitatum am-
plitudinis ſimplicis vnitatis denominatæ in .q.
p. aut .q.g. non amplitudinis gnomonis .b.a.g.
qui ſeptem vnitatibus latus eſſet. Cum igitur .
q.p. quinque vnitatibus linearibus conſtet ſcimus .q.o: 25. ſuperficialibus conſtare,
collecto itaque in ſummam quadrato .q.o. cum quadrato .q.a. cognoſcetur quadra-
tum .q.s. vnà etiam eius radix. Eadem ratione, alia multa quadrata ſimilia contem-
plari licebit.
CVR propoſito numero pari maiori binario, qui detrahi & in ſummam colli-
gi debeat ex altero numero quærendo, vt tam reſiduum quam ſumma ſint
quadrata numerorum integrornm. Rectè dimidium propoſiti numeri in ſeipſum
multiplicamus, & quadrato huic addimus vnitatem,
Exempli gratia proponitur .12. numerus detrahendus, & coniungendus nume-
ro inueſtigando, ut reſiduum detractionis, & ſumma ſint quadrati numeri. Addi-
ta vnitate ipſi .36. quadrato dimidij, dabitur .37. numerus quæſitus.
Cuius ſpeculationis gratia, ſubſcripta quatuor quadrata cogitemus .g.p: u.i: t.c: n.
K.
nis: u.i.
o.K. qui inter ſe ſunt æquales. Iam certi erimus .e.i. eſſe plus quam dimidium gno-
monis .n.o.K. Itaque cogitemus rectangulum .r.c. exactum
n.o.K. ex unitatibus ſuperficialibus quarum una erit .m.a.
Cuius numeri quadratum ſit .t.c. vnde etiam cognitum & cum .K.c. ex communi
ſcientia ſit vnitas linearis, propterea quod .m.a. eſt ſuperficialis hoc eſt quadrata,
quæ detracta ex .q.c. dimidio gnomonis .n.o.K. (quamuis lineari) ſupererit .K.q. co
gnita, numerorum integrorum (nota q.K.i. ſemper minor erit duabus vnitatibus li-
nearibus & maior vna ex dictis vnitatibus, ut ex te ipſo contemplari potes) quare .
n.o.K. cognoſcemus numerum .u.i. quæſitum.
Sed cum nobis hæc via, tenenda propoſitum non fuit, hoc eſt primo loco inue
niendi quadrati minoris .n.K. ideo ſupereſt probandum gnomonem .t.o.c. vnitati
qualem
rectangulum .r.c. pro dimidio gnomonis .n.o.K. etenim ſi ſupplemento etiam .n.r. qua
dratulum æquale .m.a. adderetur, pateret gnomonem .n.a.K. cum dicto quadratulo
collectum, æqualem eſſe gnomoni .n.o.K: cum duo ſupplementa .m.t. et .m.c. inter ſe
fint æqualia. Quamobrem inuento quadrato .t.c. ex dimidio gnomonis cognito,
additur vnitas, gnomon ſcilicet .t.o.c. ex quo cognoſcitur numerus .u.i. quæſitus. Quod autem quadratum .g.p. numeris integris conſtet, hac ratione probatur viſum
enim fuit ſupra quadratum .n.K. verè quadratum eſſe, & numeris integris conſtare,
pariter etiam .t.c.
n.a.K. numero diſpari conſtabit, ex ijs quæ .90. theoremate probata fuerunt.
ex eodem theoremate neceſſe eſt gnomonem .t.d.c. etiam numero diſpari conſtare,
ita vt à numero .n.a.K. non niſi duabus vnitatibus differat, nempe vt .c.p. ſit vnitas li-
nearis, ſed ita reuera eſt, numerus enim .u.d.i. ex præſuppoſito par eſt, quare nume
rus .t.d.c. diſpar erit, cum alterum vnitate ſuperet, videlicet gnomone .t.o.c. vnita
ri æquali, tum .n.a.K. minor eſt .n.o.K. ex eodem gnomone .t.o.c. unitati æquali. Ita
que .n.a.K. minor erit .u.d.i. per vnitatem, & minor .t.d.c. per duas unitates, ex quo ſe-
quitur .g.p. eſſe quadratum
t.c. quare .c.p. vnitas erit, & radices .q.K. et .q.p. horum quadratorum numero bina-
rio inter ſe different. Vnà etiam ſcienda eſt cauſa, cur numerus propoſitus neceſſa
Etenim
ſit futurus gnomon .n.o.K. nec poſſit minor eſſe
numero ternario, vt patet ex .90. theoremate,
idcirco ſequitur neceſſariò maiorem eſſe bina-
rio debere. Quòd ſi diſpar numerus propone-
retur, nec forma operis nec ſpeculationis
daNon erit tamen neceſſarium vt ipſa
quadrata .n.K. et .g.p. numeris integris conſta-
rent. Sæpius enim fractis
ex .90. theoremate facile erit ſpeculari nihilo-
minus fractis integris,
fractis ſummæ eſſent quadratæ.
CVR propoſitis duobus numeris altero pari, altero verò diſpari, duplo primi
minore per vnitatem, ſi alium inuenire numerum voluerimus, cui alterum iſto
rum coniunctum proferat quadratum, & altero detracto, quadratum ſuperſit. Re-
ctè datos numeros in ſummam colligemus, quam ſummam in duas quam maximas
poterimus partes diuidemus, quarum vna pari, altera diſpari conſtet, tum vtran-
que in ſeipſam multiplicabimus, & quadrato minori, duorum numerorum propo-
ſitorum quemuis ademus, ex quo cupimus nobis quadratum minus ſupereſſe, & pro
ueniet nobis numerum quæſitum.
Exempli gtatia, proponuntur numeri .11. et .6. quorum alter alicui numero ad-
drata.
ti & maioris. I am ſi ex hoc .17. binas partes fecerimus, altera erit .8. altera .9. qui
bus in ſeipſis multiplicatis alterum quadratum erit .64. alterum .81. addito
64. 11. aut .6. pro libito, propoſitum numerum conſequemur. cui addito .6. vel .11.
dabit nobis .81. vel ex ipſo detracto .11. vel .6. relinquet nobis 64. in pręſenti autem
exemplo talis numerus erit, aut .70. vel .75. Huius autem theorematis ſpeculatio
ex .90. dependet, quo demonſtratum fuit gnomonem proximè quadratum ſequen
tem, vnitate duplo radicis minorem eſſe.
CVR ſi quis cupiat ſummam progreſſionis arithmeticæ quam citiſſimè cogno
ſcere. Rectè coniunget vltimo termino vnitatem primum terminum, huius
poſtea vltimi termini dimidium cum numero terminorum multiplicabit, ex
quo multiplicationis productum, erit omnium propoſitorum terminorum ſumma,
aut eundem vltimum terminum iunctum primo, per dimidium numeri terminorum
multiplicabit. Nam idipſum eueniet.
Exempli gratia, ſi proponerentur .17. termini in prima progreſſione arithmeti-
ca naturali, vltimus eſſet .17. cui coniuncta vnitate primo termino ſumma erit .18.
cuius dimidium cum numero terminorum, nempe .17. multiplicatum cum fuerit,
oritur productum .153. Idpſum eueniet, multiplicato dimidio numeri
per vltimum coniunctum vnitati primo termino.
Quod vt ſciamus, cogitemus terminos progreſſionis collocari, vt in figura ſub-
ſcripta .a.o.n. collocantur,
u.t. atque ita gradatim. Sic cogitato abſoluto parallelogrammo .q.o. ſciemus aper-
tè ſummam progreſſionis tanto maiorem eſſe dimidio totius
tum dimidium numeri diametri .a.e.i.c.u.n. requirit. Nam cum parallelogram-
mum diuidatur à dl
ambientes diametrum inter ſe ſunt æquales. Sumpto
ctarum duarum partium, patet ſumi pluſquam pro
tanta portione, quantum eſt dimidiam occupatam à diametro, qui
reſpondentibus numero terminorum componatur, conſtat numero æquali eſſe di-
cto numero terminorum .o.n. Iam ſi quis multiplicet .a.o. per dimidium .o.n. procul
dubio, ex prima ſexti aut .18. ſeptimi, orietur
quod minus erit ſumma progreſſionis dimidio numeri diametri, aut quod idem eſt
dimidio .o.n. ſed hoc dimidium .o.n. æquale eſt producto dimidij vnitatis .n. in .o.n.
ex .20. ſeptimi, cum dimidium .o.n. ſit eius productum in Itaque multipli-
cato .n.o. per dimidium .o.a. coniunctum dimidio vnitatis .n. oritur ſumma quæſita
propoſitæ progreſſionis. Idipſum accidet multiplicata ſumma .o.a. & vnitate .n.
dimidium .o.n. ex .20. ſeptimi, cum proportio totius ad totum eadem ſit, quæ dimi
dijad dimidium, ex cauſa permutationalitatis. Patet etiam in progreſſionibus,
quæ ab vnitate initium ducunt, ſi fiat aſcenſus per binarium ſumma vltimi termini
cum primo ſemper duplam futuram eſſe numero terminorum, quod ſequentes figu
characteribus .a.e.i.c.u.n.
IN progreſſionibus, quæ ab alio termino quam vnitate incohantur, idipſum vt
monuimus accidit, hoc tamen notato, quòd ex conſequenti quælibet pars dia-
metri
ab vnitate originem ducunt, ſingulæ partes diametri, vnitati ſui primi termini æ-
quales ſunt. At in reliquis progreſſionibus, vt in figura patet, eadem eſt propor-
tio totius diametri ad .o.n. quæ minimi termini ad vnitatem ex .13. quinti, nempe .
a.o. ad .o.n. vt .n.n.n.n. ad .n. In eiuſmodi progreſſionibus accidit quoque
grãmum
ro inter ſe æquales ipſum ambiunt. Ex quo illud etiam ſequitur, productum .a.o. in
dimidium .o.n. æquale eſſe dimidio
ſionis dimidio diametri, quod dimidum ſi inuenire voluerimus, minimum
n.n.n.n. per dimidium .o.n. multiplicabimus, & ex .18. aut .19. ſeptimi ipſum habe-
bimus,
diameter ex .20. prædicti. Etenim vt diximus, eadem eſt proportio totius diame-
tri ad .o.n. quæ minimi termini ad vnitatem. Ita etiam dico ex dicta .20. ſeptimi.
idem dimidium diametri oriri, ſi quis dimidium minimi termini nempè .n.n. per to
tum .o.n. multiplicauerit. Quamobrem qui ſtatim ſummam propoſitæ progreſſionis
cognoſcere voluerit,
num .n.n.n.n. cum .a.o.
coniunget, qua ſumma
per
tiplicata, aut .o.n. per
dimidium dictæ ſum-
mæ, ex prædictis rationibus propofitum conſequemur.
CVR ſi quis numerum terminorum inuenire velit, cognitis tantummodo pri
mo atque vltimo, rectè vltimum per primum diuidet, ex quo proueniens
Quod intelligendum eſttamen quoties primus terminus differentia
eſt, nempe aſcendens ipſorum ter minorum.
Cuius ratio manifeſtè ſpeculari poteſt in figura præcedentis theorematis.
Nam
diuiſa .a.o. per .n.n.n.n. eadem proportio erit .a.o. ad proueniens, quæ. n .n.n.
n. ad vnitatem .n. ex definitione diuiſionis. At ſuperius dictum fuit ita ſe ha bere .a.
o. ad .o.n. vt .n.n.n.n. ad .n. ex quo ſequitur ex .11. et .9. quinti pr oueniens eſſe nume-
rum quæſitum .o.n.
VBI verò primus terminus, reliquorum non erit differentia.
Hac de caufa ne-
ceſſe eſt detrahere primum ex vltimo,
tem differentiam ſcilicet, partiri,
terminorum habere poſſimus. Scimus etenim tam multas vnitates eſſe in vltimo
terminorum quot in omnibus interuallis aut differentijs in ſummam collectis ſimul
cum vnitatibus primi termini,
motermino. Quare fi minimus terminus interuallo æqualis fuerit.
Vltimo per pri-
mum diuiſo, ex a dductis præcedenti theoremate propofitum confequemur.
primo termino ex vltimo detracto
ferentiæ diuifo, proueniens erit numerus terminorum abſque primo quod vnus eft,
coni uncto quoque dicto prouenienti propoſitum conſequemur.
CVR fi quis arithmeticæ progreſſionis dato primo & vltimo fimul cum nume
ro terminorum, afcendentem numerum cognofcere voluerit. Rectè primuin
ex vltimo detrahet,
Huius theorematis ſpeculatio ex .13. theoremate manifeſta crit, nam in præce-
denti cap. numerus terminorum erat proueniens diuiſionis reſidui ſubtractionis pri-
mi termini ex vltimo.
CVR ſi quis maximum omnium terminorum dictæ progreffionis cognofcere
voluerit, dato primo vnà cum numero aſcendenti, Re-
ctè numerum afcendentem cum numero terminorum excepto vno multiplicabit,
Cuius quidem theorematis tum ex vndecimo, tum ex ijs quæ præcedentibus ca-
pitibus dicta fuerunt, aperta eſt ratio.
CVR veteres cupientes obtinere ſummam pr
quæab vnitate initium ducit, dato vltimo termino tantummodo. Dimidium
vltimi-termini
Exempli gratia, ſi vltimus terminus eiuſmodi progreſſionis fuerit .7. multiplica-
pè .8. ſumma dictorum terminorum erit .28.
Huius autem ſpeculatio ex .94. theoremate dependet, in quo facilè depræhen-
dere licet ex figura continuæ progreſſionis naturalis, numerum terminorum maxi-
mo termino ſemper æqualem eſſe; ex quo
quantum maximi dimidium,
tus numerus is, qui vltimum terminum conſequitur.
CVR antiqui idip fum, quod iam dictum eft, in ea progreſſione, cuius vltimus ter
minus diſpar eſt ſcire cupientes, numerum integrorum proximè dimidium
maximi ſequentem ſumebant, quem per maximum multiplicabant, ex quo
ſumma quæſita oriebatur.
Exempli gratia, ſi dimidium maximi fuiſſet .3. cum dimidio, fumebant quatuor,
& per maximum .7. multiplicabant, ex quo pariter proferebatur ſumma .28.
Cuius ratio ex .20. ſeptimi Euclidis oritur, cum eadem ſit proportio numeri fe-
quentis ma ximum ad numerum dimidium maximi ſequentem; quæ maximi ad
dimidium, eſt enim dupla.
TRaditum eſt à nonnullis, à veteribus obſeruatam fuiſſe hancregulam, qua ſci-
re poſſent ſummam alicuius progreſſionis arithmeticæ diſcontinuæ aut inter
cifæ, quæ numero pari terminetur.
pro ximum numerum dimidio dicto maiorem, ex quo
ſummæ quæſitæ æquale eſſe,
choata crefcit per binarium. In qua quidem progreſſione non per fe, fed per acci-
dens regula vera eft. Hoc eſt, non quia ex ſe vnus ex producentibus numeris dimi-
dium termini maioris futurus ſit, alter uerò proximè ſequens dimidium, fed quia
vt dictum eſt .95. theoremate, eadem eſt proportio maximi termini ad numerum
terminorum, quæ minimi ad vnitatem. Cumq́ue in præfenti exemplo minimum
ſit duplum vnitati in eiuſmodi caſu, numerus terminorum, dimidio maximi termini
æqualis eſt, qui terminorum numerus ex ſe, vt patet, vnus eſt ex producentibus, al-
ter verò producens numerus, eſt proximè dimidium ſequens, non exſe, fed quia nu
merus ſequens, dimidium eſt ſummæ maximi, & minimi, quæ per fe alter eſſe de-
bet producens numerus. In cæteris enim progreſſionibus, quæ binario non creſcút
regulafal
nis .95. theorematis ſpeculatus fuerit.
ALIAM quoque tradunt regulam, qua veteres vſos fuiſſe dicunt, quo ſum-
mam ſcire poſſent progreſſionis diſcontinuæ, quænumero diſpari abſolui-
tur. Ea autem eſt eiuſmodi.
Vltimum terminum in duas quam maximè poterant ma-
ximas partes diuidebant, quarum vna ſemper altera maior erat, banc autem maio-
rem in ſeipſam multiplicabant, at que quadratum hoc, ſummam progreffionis effe
Quæ ſanè regula, non ſemper, etſi interdum vera ſit.
Sumebant hi exemplum progreſſionis, quæ ab vnitate incohata creſcit per bina
rium, in qua per accidens euenit vt numerus dimidium vltimi termini proximè ſe-
quens, nempe è duabus partibus vltimi termini maior, æqualis ſit numero termino
rum, qui per ſe vnus è producentibus, ex ijs que .94. theoremate diximus, eſſe debet; alter vero producens, qui per ſe dimidium ſummæ primi & vltimi eſſe debet, per
accidens pars maior eſt duarum vltimi termini, & alteri producenti æqualis.
Aut alio modo ratiocinemur, dicentes, in huiuſmodi progreſſione dimidium
ſummæ vltimi termini cum primo, ſemper medium proportionale eſt inter eam
ſummam & dimidium numeri terminorum, etenim huiuſmodi ſumma numero ter-
minorum ſemper dupla eſt, prout .94. theoremate tradimus. Itaque ex .20. ſeptimi,
quadratum partis maioris, producto ſummæ dictæ in numerum dimidij
æquale erit, quod productum per ſe ſummæ progreſſionis eſt æquale. At in cæte-
ris eiuſmodi progreſſionibus fallit regula, vt ex ſupradictis facilè demonſtratur.
PErmultis terminis ad libitum propoſitis, diſpoſitis nihilominus progreſſio-
ne, aut proportionalitate geometrica continua, ſi minimus ex maximo & exfe-
quenti minimum detrahatur, reſiduum maximi, eam proportionem ad fum-
mam reliquorum omnium terminorum retinebit, quam reſiduum ſecundi ad pri-
mum.
Proponuntur, exempli gratia, quatuor termini .3. 12. 48. 192. continui geome-
tricè proportionales, ſi primum, hoc eſt minimum, ex ſecundo, & maximo detra
has, exſecundo ſupererit .9. ex maximo .189. quod ſi minimum per reſiduum maxi
mi multiplicaueris, hoc eſt .189. orietur .567. tum ſi huiuſmodi productum per .9.
( refiduum ſecundi ) diuiſeris, proueniet .63. quod proueniens æquale erit ſummæ
reliquorum omnium terminorum, maximo excepto. Ex quo inferre licet ex .20. ſe
ptimi eandem proportionem eſſe .189. ad .63. quæ .9. ad .3. aut ſi reſiduum ſecundi
per ſummam dictorum terminorum multiplicaueris produceturidem .567. quare
ex .20. ſeptimi & cætera.
Quod vt
Quatuor termini propo-
ſiti, quatuor ſubſcriptis lineis
co de Nunc minimus terminus .m.s. ex
maximo .b.i. detrahatur,
hatur, Dico proportionem .n.i. ad ſummam reliquorum omnium ter-
minorum .c.a: f.r: m.s. eandem effe, quæ .o.r. ad .m.s. Quamobrem ex tertio & quar-
to ſecundus .f.r.
c.a. ex quarto .b.i.
vt Quare ex
19. quinti ſic ſe habebit .a.t. ad .r.o. vt .
c.a. ad .f.r. & permutando ita .a.t. ad .a.
c. vt .o.r. ad .r.f. & ſeparando ſic .a.t. ad .
a.c. (hoc eſt .f.r.) vt .r.o. ad .o.f. vide-
licet .m.s.
pe ſic ſe habebit .d.i. ad .a.c. vt .a.t. ad .
Itaque ex communi ſcientia ſic ſe habe-
bit .d.i. ad .d.b. vt .e.d. ad .e.b: cum .e.d. æqualis ſit .t.a. Ita etiam vt .e.n. ad .n.b: cum .n.
e. æqualis ſit .o.r. Iam ſi ſic ſe habeat .d.i. ad .d.b. vt .d.e. ad .e.b. permutando
ſe habebit .d.i. ad .d.e. vt .d.b. ad .b.e. & compon endo ita .i.d.e. ad .e.d. vt .d.b.e. ad .e.
b. & permutando ſic .i.d.e. ad .d.b.e. vt. de .a.d.e.b. nempe vt .e.n. ad .n.b. & permutan
do ita .i.d.e. ad .e.n. vt .d.b.e. ad .b.n. & componendo ita .i.d.e.n. ad .n.e. vt .d.b.e. et .b.
n. ad .b.n. & permutando ſic .i.d.e.n. ad .d.b.e. et .b.n. nempe ad .a.c: f.r: m.s: vt .e.n. ad .
n.b. hoc eſt. ut .o.r. ad .m.s. quod erat propoſitum.
CVR deſideranti ſummam quorumcunque terminorum progreſſionis conti-
nuæ geometricæ cognoſcere. Rectè minimus terminus ex maximo detrahen
dus eſt,
Exempli gratia, ſi darentur quatuor termini continui proportionales .8. 12. 18.
27. primum hoc eſt minimum .8. ex vltimo .27. detraheremus:
per denominantem progreſſionis, dempta vnitate, diuideretur. Quo loco animad
uertendum eſt, quamlibet
ſupra vnitatem fieri, nam de proportionibus multiplicibus dubitandum non eſt, &
idipſum de ſuperparticularibus, & ſuperpartientibus eſt intelligendum, vt in præ-
ſenti proportio ſeſquialtera inter duos terminos cogitanda eſt, nempe inter vnum
& dimidium, atque vnum. Seſquitertia autem inter vnum & tertiam partem,
& vnum. Seſquiquinta inter vnum cum quinta parte, & vnum.
De ſuperpartien
tibus idem aſſero quod de proportione
ad .3. quæ cogitanda eſſet inter vnum duas tertias, & vnum, ſuperbipartiens quar-
tas inter vnum tres quartas, & vnum, ita vt minor terminus, numerans ſcilicet, ſem
per ſit vnitas, alter verò denominans. Idem de cæteris.
Quare in præſenti exem
plo, detracta vnitate ex denominante progreſſionis, ſupererit tantummodo dimi-
dium, quo diuiſo .19. proueniet .38. qui numerus æqualis erit ſummæ
omnium terminorum, cui coniuncto vltimo termino .27. dabitur ſumma quæſita .65.
Pro cuius ſpeculatione, quatuor termini ſignificentur, quatuor lineis .m.s: f.r: c.a.
b.i. primus autem terminus .m.s. ex vltimo .b.i. detrahatur,
ſecundo .f.r. cuius reſiduum ſit .o.r. proportio verò progreſſionis ea ſit, quæ .g.h. ad .
y. quo vnitas repræſentatur (ex quo ſic ſe habebit .g.h. ad .y. vt .f.r. ad .m.s.) qua .y. de
tracta ex .g.h. ſuperſit .h. Tum erecta
cogitetur linea .n.u.x. indefinita per
datur in puncto .x. ita vt .n.x. æqualis
ſit vnitati .y. & in puncto .u. ita. vt .n.
u. æqualis ſit .h. ex quo eadem erit
proportio .n.u. ad .n.x. vt .h. ad .y.
peNam cú ſic ſe habeat .
f.r. ad .m.s. hoc eſt ad .f.o. vt .g.h. ad .y
hoc eſt ad .g. permutando
ſe habebit .f.r. ad .g.h. vt .f.o. ad .g. Ita
que ex .19. quinti .o.r. ad .h. vt .f.r. ad .g.h. ex quo ex .11. eiuſdem .o.r. ad .h. vt .f.o. ad
Quamobrem ea-
dem erit proportio .o.r. ad .m.s. quæ .n.u. ad .n.x. Abfoluantur itaque duo rectangu
la .x.i. et .u.z. ita tamen vt
ſuperficialis numerus ex communi conceptione lineari .n.i. æqualis erit, quare ex
quidem numerus in figura rectangu-
la ſuperficialis cognitandus erit, cum
ex quo proueniens ex huiuſmodi di
uiſione erit numerus .n.z. ex ijs
quæ .10. theoremate dicta fuerunt. Sed ex .15. fexti aut .20. ſepti-
mi eadem eſt proportio .n.i. ad .n.z.
quæ .n.u. ad .n.x. hoc eſt .o.r. ad .m.s.
videlicet vt .n.i. ad aggregatum reli-
quorum omnium terminorum .c.a: f.
r: m.s. ex præcedenti theoremate, & ex .11. quinti Euclidis.
Itaque ex .9. eiuf-
dem numerus .n.z. æqualis erit ſummæ trium terminorum .c.a: f. num .s. cui coniuncto
quarto termino .b.i. propoſitum obtinetur.
PRopoſuere veteres quæſita nonnulla de itineribus
Po-
namus duos iter agere per eandem viam quorum alter quatuor milliaria ſin-
gulis diebus conficiat, alter verò prima die milliare vnum, ſecunda duo, tertia tria,
atque ita ſingulis diebus milliare addit; quærimus quot dierum ſpacio ſocium con
ſequetur.
Quamobrem numerus milliarium primi viatoris duplicatur, ſic ſunt .8. milliaria.
ex quo ſemper vnitas detrahicur, quæ in præſenti exemplo erit .7.
quibus ſocius ſocium conſequetur, & milliarium numerum æqualem abſoluerit.
Cuius rei facilis erit ſpeculatio, ſi ſubſcripta figura diligenter conſideretur, in
qua primus viator, die prima, quatuor milliaria linea .q.d. ſignificata conficit, at-
que illa ipſa die alter vnum tantum defignatum per .d. perficit, ita vt primus via-
tor tribus milliaribus ſocium anteceſſerit, altera verò die fecundus uiator cum duo
milliaria
bus primæ diei quinque erunt; tertia die ijſdem de cauſis primus ſex tantum millia-
ribus à ſecundo diſtabit, cum verò quarta die tot ſecundus quot primus milliaria
conficiat, primus à ſecundo amplius quam antea non diſtabit; quinta verò cum ſe
cundus vnum milliare amplius quam primus conficiat. propius accedit ad primum
vno ex ſex milliaribus, quibus anteà diſtabat, tum ſexta cum duobus primum ſupe-
ret, detrahet ex ſex milliaribus præteritæ diſtantiæ tria, ſeptima tandem illa ſex
detraxerit. In quo conſiderandum eſt ſecundum viatorem iter agere progreſſio-
ne arithmetica continua naturali .d.c.f. primum autem per rectangulum .q.f.
duarum figurarum .d.o.p.f. pars
æquales eſſe debent, neceſſe eſt ſeparatas partes .u.q.n. et .t.i.c. inter ſe æquales eſſe,
& quoniam quarta die (hoc eſt die ſic diſtante à primo, nempè numero milliarium
ficetur per .o.s. neceſſe eſtitaque ex communi
conceptione tot dies eſſe poſt .o.s. quotante-
ceſſerant, vt exceſſus æqualis ſit defectui, qui
ſimul collecti, iuncta etiam .o.s. duplum erunt
d.s. dempta vnitate, prout facilè in ſubſcripta
figura qui ſque per ſe ſcientificè poterit ſpecu
lari. Quamobrem conſultum erit duplicare
numerum .o.s. & exduplo vnitatem detrahe-
re, quandoquidem dies ſupra
die .o.s. minores ſunt duplo numeri .d.s. aut .o.
s. (quodidem eſt) vnitate.
agat, nempe ea quæ ab vno per binarium aſcendit, ſemper numerus dierum
æqualis erit numero milliarium diurnorum primi viatoris.
In cuius gratiam animaduertendum eſt numerus ne milliarium diurnorum pri-
mi viatoris par an impar ſit. Etenim ſi par eſt, primus viator in fine ſingulorum die-
rum primæ medietatis numeri omnium dierum ſecundum antecedet numero diſpa
ri milliarium; altero verò dimidio numero dierum, à ſecundo numero etiam diſpa
ri præteribitur, vt in ſequenti figura patet. Nam prima die, ſecundus ex primo
milliare vnum ex numero pari, qui à primo conficitur detrahit; ſecunda verò die
idem ſecundus, duo ſubtrahit milliaria exdiſpari, qui primo reliquus fuerat,
perpetuò diſpar remanet vſque ad vnitatem, ad quam cum peruenerint, nempe ad
illius diei exitum, quo primus ſecundum vnitate tantummodò ſuperat, manifeſtè
depræhendetur ſubſequente dieſecundum vnitate primum ſuperaturum, altera ve
rò tribus vnitatibus, prout penultima die ſecundus à primo tribus vnitatibus ſupera
batur. Quare neceſſe erit, tot diebus ſecundum cum primo iter agere, inchoan-
do ab ea die, qua fecundus primam ſuperabit, quot egerat dum à primo ſuperare-
tur, vt ex communi conceptione, media figura .A. depræhendi poteſt. Quod au-
tem ſingula dimidia dierum, dimi-
rum primi; patebit exſequenti fi-
gura, cogitato termino .u.n. vlti-
mo progreſſionis ſuperatę à primo
vſque ad vnitatem .e. quiterminus
u.n. coniunctus primo .o. nempe .e.
ſemper
rum .o.n. vt .94. theoremate circa
finem dictum fuit. Sed .u.n. cum .e.
numero æquali conſtat numero
milliarium diurnorum primi viatoris, ex quo ſequitur totum numerum dierum, quo
rum .o.n. dimidium eſt, æqualem eſſe numero milliarium diuruorum primi via-
toris.
AT ſi numerus milliarium primi viatoris diſpar fuerit, ſecundum numero pari
ſemper ſuperabit, vt facile erit ſequentem figuram conſideranti intelligere,
ex quo illud ſequetur, futuram quandam diem, qua paria milliaria conficient. Sit-
q́ue illa dies .u.n. ſequitur
quot iter egere anteaquam ad diem .u.n.
peruenirent, vt tanto numero primus à ſe-
ſuperauerat, vnde totalis numerus .o.f. mi
nor erit duplo .o.n. vnitate ex communi
conceptione, ſed ita etiam ſe habet termi-
nus .u.n. hoc eſt minor duplo .o.n. per .o. vt
94. theoremate dictum fuit, itaque .o.f. æ-
qualis erit .u.n. quoderat propoſitum.
SIN verò progreſſio ſecundi viatoris, non ab vnitate ſed à binario inchoata,
per binarium quoque aſcenderet,
toris par eſſet, abſque dubio quadam die paria milliaria
ficetur .u.n. qua tranſacta, tot diebus vtrique
ſecundum ſuperaret, vt totidem alijs pri-
mus à ſecundo ſuperetur, in qua tamen
eſt numero terminorum .o.n. ex .95. theo-
remate,
ad .f. quot ſupra. ex quo illud ſequitur om
nesterminosaut dies .o.n.f. pauciores eſſe
u.n. vnitate, atque ita præcipit, regula de-
trahendam eſſe vnitatem ex numero mil-
liarium diurnorum primi viatoris, ſi dierum numerum habere voluerimus.
SED ſi in eiuſmodi progreſſione numerus milliarium diurnorum primi viato-
ris diſpar fuerit, patet quòd primus ſecundum numero diſpari ſuperabit, do-
necad vnitatem perueniatur
choando ab vnitate, quare nul-
la
que conficiet, ſit itaque vltima
dies, qua primus ſecundum vnita
tem antecedit .u.n. qui terminus
duplus eſt numero terminorum
o.n. & cum illa die primus ſecun-
dum milliario antecedat, ſequen
eſt ſecundum tot diebus
u.n. ſed .u.n. minor eft numero milliarium diurnorum primi vnitate .e. Itaque rectè
ſequemur regulam, quæ iubet ex numero milliarium vnitatem demere, quo nu
merum dierum habere poſſimus.
SI verò ſecundi viatoris progreſſio per ternarium aſcenderet, ſumpto initio ab
ipſo ternario, animaduertendum eſt an numerus milliarium diurnorum primi,
ternario menſuretur necne, etenim ſi menſuretur, tandem aliquando paria millia-
ria conficient, quæ dies ſit .u.n. quare ſub
&
remate. Itaque tota .o.f. minor erit
duabus tertijs .u.n. vnitate, vtiam re-
ctè ſumendæ ſint duæ tertiæ partes .u.n.
ex quibus vnitas detrahatur ſuperſitq́ue
numerus .o.f. dierum quæſitorum.
CVM verò milliarium numerus p rimi viatoris metirinon poterit à numero
aſcendente ſecundi, patet nullam futuram diem qua pari milliaria conficient, quare illa vltima qua primus ſecundum antecedet, vno aut duobus milliaribus an-
tecedet in præſenti caſu. Antecedat itaque duobus milliaribus,
ra .t.i. ſecundus primum vno milliari ſuperabit, ita quod ſub .t.i. non poterunt plu-
res integros dies iter agere, quam ambulauerunt ante diem .u.n. hoc eſt vſquequo
ſecundtis iunctus ſit primo, qui numerus dierum, tertia parte .o.n. ipſius .u.n. vnitate
minor erit, cum ex .95. theoremate .o.n. ſit tertia pars .u.n. ex quo numerus .o.f. ter-
minorum aut dierum intergrorum cognitus erit, qui ſi cum numero alcendente
cognoſcetur, ſtatim ex .99. theoremate deueniemus in cognitionem vltimi diei in
tegri .s.f. atque ita etiam totius ſummæ progreſſionis ex .95. theoremate. Iam verò
cognito numero milliarium diurnorum primi, ſimul cum numero terminorum, aut
dierum conſequenter nouerimus rectanguli ſummam, hoc eſt productum à primo
viatore formatum, quarum duarum ſummarum in præſenti caſu ſemper ea, quæ
huiuſmodi producti eſt, maior erit, cum conſtitutum fuerit ſecundum viatorem à
primo ſuperari ipſa die .u.n. vno milliari amplius quam ſequente die .t.i. primus à ſe
cundo ſuperatur, tum pari gradu iter egerunt ſub .t.i. quo ſupra .u.n. ambulauerant. Hoc animaduertendo, quòd ſi ſumma progreſſionis maior eſſet rectangulo, ex ea
ſumma neceſſe eſſet
liarium vltimi termini in ſumma
rari. Nunc verò ſummam pro-
greſſionis exſumma rectanguli à
primo viatore facti ſubtrahi de-
bet, Ad hæc
ciet
ſeruetur,
vnius diei multiplicetur per primum reſiduum ſeruatum,
reſiduum diuidatur .a.c.
ſiduo primo, tot enim erunt milliaria conficienda a ſecundo ſequenti die, vt
ſeſe conſequantur.
Vtautem ſciamus quantam partem diei
die nec nocte
uidatur, ex quo dabitur
eſt. Idem accideret ſi primum reſiduum reſeruatum cum proueniente in ſummam
colligeretur,
rũI dipſum quo-
que eueniret multiplicato primo reſiduo per .24. & producto per ſecundum reſi-
duum diuiſo.
Exempli gratia, primus viator diurna milliaria vndecim conficit, ſecundus, pri-
ma die tria, ſecunda .6. tertia .9.
pro numero .o.n. dabitur .3. quare: u.n. ab .e.n. duobus milliaribus ſu-
perabitur, et .i.t. dictum .e.n. vno milliario, ex quo ante diem .e.u.n. duobus diebus
iter egerunt,
gris. Ad hęc multiplicato .o.f. hoc eſt .6. per .x.o. hoc eſt .3. habebimus .s.f.
18.
bimus .21. quo multiplicato
progreſſionis .63. ſex dierum integrorum ex .94. theoremate, tum multiplicato .11.
nempe numero
rallelogrammum à primo ſex diebus integris confectum milliariorum .66. ex quo
detracta .63. ſumma inquam progreſſionis, ſupererit pro primo reſiduo .3. ſumptis
poſtea milliaribus .21. pro itinere, quod ſecundus die ſequenti .s.f. conficeret, & ex
ijs detracto numero
erit 10. quod pro diuidenti ſeruabitur. Iam multiplicato .11. cum primo reſiduo
3.
cum primo reſiduo .3. coniunctum, dat .6. cum tribus decimis, quod eſt iter ſecundi
viatoris illa ſequenti die. Ad inueniendam autem quantitatem diei, qua vtrique
ambulandum eſt, perinde erit multiplicare proueniens .3. & tres decimas per .24. ho
ras, & productum per .11. dimidium iter primi viatoris partiri, ac multiplicare ſum
mam .6. & tres decimas cum .24. horis,
ſecundi viatoris ſequentis diei, vtrinque enim ſemper ſeptem horæcum .12. minu
tis prouenient. Idipſum accidet multiplicato per .24. horas primo reſiduo .3. pro-
Quarum ſpeculationum gratia, totum iter parallelogrammi primi viatoris die-
rum integrorum fignificetur linea .n.e. ſumma verò progreſſionis ſecundi linea .f.m.
parallela .n.e. Conſtituamus deinde à termino .f.n. (majoris
d. æqualis ſit itineri diurno primi viatoris, item etiam producatur .f.m. donec .m.K.
æqualis ſit itineri à ſecundo confecto ſequenti die vltimum integrum progreſſio-
Poſtmodum .m.e. et .k.d. dua-
bus lineis rectis coniungantur, quæ productæ concurrentin puncto .b. ducatur pari-
ter .e.g. à puncto .e. parallela .b.k. et .m.a: e.h. et .b.q. parallelæ .f.n. ex quo .f.m. æqua-
lis erit .n.a. et .m.h: a.e. et .h.q: e.o. et .g.k: e.d. et .f.q: n.o. ex .34. primi Eucli. vnde pro
portio .m.h. ad .h.q. erit vt .m.g. ad .g.k. quandoquidem vtraque æqualis eſt propor-
tioni .m.e. ad .e.b. ex .2. ſexti, ſed cum .m.k. et .g.k. notæ ſint, pariter cognoſcetur .m.
g. ſecundum reſiduum, cum etiam notæ ſint .n.e. et .n.a. Itaque cognoſcemus .a.e. hoc
eſt .m.h. cognitis verò .m.g: g.k. et .m.h. ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cognoſcetur .h.
q. erit igitur .a.e. aut quod idem eſt .m. hprimum reſiduum, et .m.g. ſecundum, et .h.
q. aut .e.o. proueniens, et .n.o. et .f.q. itinera vtriuſque viatoris inter ſe æqualia. Nec verò prætermittenda eſt ſpeculatio vltimæ rationis inueniendæ quantitatis
diei, quæ conſtat ope diuiſionis producti .m.h. in .24. per .m.g. Ea autem eiuſmodi
eſt. Probatum fuit ſic ſe habere .m.h. ad .h.q. ut .m.g. ad .g.k.
Itaque componendo
ſic ſe habebit .m.q. ad .h.q. vt .m.k. ad .g.k. & permutando .m.q. ad .m.k. vt .h.q. ad .g.
k. Sed cum ſic ſe habeat .m.h. ad .h.q. vt .m.g. ad .g.k. permutando ſic ſe habebit .m.
h. ad .m.g. vt .h.q. ad .g.k. itaque
ex .11. quinti ita .m.h. ad .m.g. vt .
m.h. ad .m.q. vt .m.g. ad .m.k. ſed
dens, ſecurè dicere poterimus, ſi
m.g. talis eſt reſpectu horarum
24.
tæ parti dieire-
ſpondens: quæ
m.q. quæ, vt
ctũ
reſpectu .m.k.
qualis .m.h. re-
ſpectu .m.g. Reli
quę duæ ſpecula
tiones priorum
eadem eſt, Eodem modo reliquæ omnes
progreſſiones ſecundi viatoris
poterunt.
PRoponitur & aliud, primum ſcilicet viatorem iter incipere diebus aliquot an-
tè ſecundum, primum tamen lentius, quàm ſecundum ambulare, & utrunque
eorum certa quædam milliaria conficere. Iam ſiſcire voluerimus in quot diebus
ſeſe conſequentur, uulgaris regula iubet, inſpici quot milliaria primus ſolus iter a-
gens confecerit, tum animaduerti differentiam diurnam motus vnius ab altero,
milliarium numerum primi viatoris ſoli abundantis per hanc
ueniens autem erit numerus dierum quæſitus.
Exempli gratia, ſi primus octo diebus antequam ſecundus iter arripuiſſet, con-
tiplicandus eſſet numerus .8. cum .20. ex quo darentur .160. milliaria à primo ſolo
32.
Cuius ratio apertiſſima eſt.
Sint enim duo rectanguli .a.n. et .u.i. æquales inter
ſe, quibus motus itinerarium ſignificentur, quorum .a.n. ſit primi, et .u.i. ſecundi, præ
tereà. a.c. numerum milliarium diurnorum primi .et .u.e. ſecundi, ex quo .a.c. minor
erit .u.e. per .o.e. atque ita .o.e. co-
gnoſcetur. Tum .c.o. numerum
conſtituamus .a.n. æqualem eſſe .u.i.
o.i. ęqualis erit .o.a. atque .o.a. cogni
tus ex ſuis producentibus .a.c. et .c.o.
itaque .o.i. etiam cognitus, qui diui-
ſus per latus cognitum .o.e. dabit .e.
i. cognitum numerum ſcilicet dierum, quibus ſecundo ambulandum eſt, vt primum
conſequatur.
AB hoc theoremate ſumpſi ordinem illius operationis, numeris mediantibus, ad
inueniendam exactam temporis quantitatem, ſeu interuallum,
tercedit inter vnam mediocrem coniunctionem & aliam proximam
rum planetarum, vt patet in epiſtola noſtra ad Illuſtrem Bernardum Trottum con-
tra Benedictum Altauillam repræhenſorem Ephemeridum. Verum tamen eſt
cum praxis huiuſmodi theorematis ſit multiplex, viſum fuit vnam proponere, quę
non ita perſpicua ſit, ſed ſubobſcura, non quòd aliquid voluerim latere illum ami
cum mihi dilectiſſimum, cui priuatim omnes modos prius oſtenderam, ſed vt cere-
brum illius mei aduerſarij in laberintum conijcerem inextricabilem vt feci, quam-
uis modus ille egregius etiam ſit, vt nunc oſtendam.
In dicta epiſtola igitur mente cogitaui medium motum tardioris planetæ, pu-
ta ſaturni, illius temporis quo velocior planeta, ſcilicet Iupiter, percurrit ſuo medio
motu totum zodiacum, incipiendo ambo eodem temporis puncto, nec non ab vna
eorum media coniunctione, hoc eſt ab eodem zodiaci puncto, in quo coniunctę fue
runt eorum lineæ mediorum motuum, vbi inueni vi regulæ de tribus, quòd Satur
nus ſpacio dierum vnius mediocris reuolutionis Iouis, qui ſunt .4328. progreditur
medio motu gra .145. min .4. hoc eſt min .8704. pofito quòd ipſe Saturnus perficiat
vnam mediam reuolutionem ſpacio dierum .10740. vt dixi. Incipiendo igitur ite
rum Iupiter aliam reuolutionem percurrere, reperto Saturno per min .8704. ante
ipſum ſpacio .4328. dierum, certus eram hos dies ſignificatos eſſe à linea .a.u. vel .c.
o. (æquales enim inuicem ſunt) in figura huiuſmodi theorematis, & quòd rectangu
lum .a.o. præbebat ſummam graduum .145. min .4. hoc eſt min .8704. et quòd .a.c.
vel .o.u. ſignificabat iter vnius diei ipſius Saturni, et .u.e. iter vnius diei Iouis. Cogi-
temus nunc .u.x. ſignificari dies .30. & à puncto .x. productam eſſe .x.f. parallelam ipſi
u.o.e. vnde certi erimus rectangulum .e.x. ſignificare iter Ionis ſpacio temporis die-
rum .30. rectangulum verò .o.x. iter Saturni eodem temporis interuallo, vnde rectan
20. vt in dicta epiſtola, vnde rectangulum .o.f. erit min .89. & ſecun .23. & quia re-
ctangulum .o.i. æquale eſt rectangulo .a.o. ergo .o.i. ſimiliter continebit min .8704.
Nunc quia .a.c. vel .o.u. denotat iter vnius diei Saturni et .u.e. vnius diei Iouis vt di-
ximus ergo .u.o. erit minutorum .2. ſecun .o. & tertiarum .40. videlicet tertiarum
7240.
4. ſecun .59. & ter .27. vel circa hoc eſt tertiarum .17967. vnde .o.e. erit tertiarum
10727.Nuncſi dixerimus cum .o.e. tertiarum .10727. dat .o.u. vel .a.c. (nam tam
vna quam altera eſt tertiarum .7240.) quid dabit .a.u. vel .o.c. (quia tam vna quam
altera eſt partium .4328.) clarum erit quòd dabit .o.n. vel .u.t. uel .e.i. quia tam vna
quam altera erit partium .2921. quæ partes coniunctæ cum fuerint cum partibus ip-
ſius .a.u. dabunt totam .a.t.
Alia methodo ſimiliter poſſumus idem cognoſcere, ſcilicet dicendo ſi rectangu
lum .f.o. quod eſt minutorum .89. & ſecun .23. hoc eſt ſecundorum .5363. dat rectan
gulum .o.x. minutorum .60. & ſecun .20. hoc eſt ſecun .3620. quid dabit .a.u. partium
4328. vnde veniet .u.t. partium .2921. ſimiliter, eo quod eadem proportio eſt rectan
guli .f.o. ad .o.x. quæ .e.o. ad .o.u. ex prima ſexti, vel .18. 19. ſeptimi ſeu .15. quinti.
Poſſet etiam aliquis dicere ſi .f.o. dat .o.x. quid dabit .o.a. vnde veniet .o.t. quo
diuiſo per .o.u. daret .u.
t. quia ita ſe habet .a.o.
ſupra hic iam citatis.
Sed ego, in dicta epi-
ſtola, aliam methodum
obſeruaui, quæ eſt multi
plicando minuta .8704.
per .30.
uiſi per min .5363. quaſi
dicens. Si .o.f. dat .o.i.
quid dabit .e.f. Vnde exiam ſupradictis propoſitionibus veniet .e.i. & quia permu-
tando ita ſe habet .o.f. ad .e.f. vt .o.i. ad .e.i. ideo dixi, ſi min .89. cum ſecun .23. dat .30
quid dabit min .8704.
PRoponunt veteres & quærunt aliud, nempe ſi duo iter agentes, eodem in-
ſtanti diuerſis è locis proficiſcantur, ita vt vnus locum vnde alter profectus
eſt petat,
Exempli gratia, Patauio profectus quidam Taurinum petit, eodem inſtanti al-
ter Taurino Patauium,
9. motu regulari & vniformi appellit. Quærimus quot milliaria quiſque confece-
rit,
Iubent nos veteres dies vtriuſque inuicem inter ſe multiplicare,
ctum .99. item etiam in ſummam colligere,
99.@diuiſerimus dabuntur dies .4. cum .19. vigeſimis vnius diei. At pro milliaribus
vtriuſque, pro eo qui .11. diebus iter conficit, multiplicatis .400. per .4. et .19. vigeſi
mis, tum diuiſo per .11. dabitur numerus .180. à Patauio Taurinum & è contra, qui
Dum autem hæc ſpecularer attentius, occurrit alius ſoluendi modus, quamuis pro
lixior. Is
dio, & per .400. multiplicetur,
11. ex quo dabuntur .163. cum .7. vndecimis, quo proueniente è dimidio
riorũ
mo
pro itinere ſecundi, qui .9. diebus iter abſoluit. Ad hæc ſi tempus ſcire velimus
eius, qui .11. diebus appellit, multiplicabimus .11. cum .180.
partiemur,
et .48. minutis, quod tempus vtrique viatori inſeruiet, quandoquidem idipſum pro
uenit multiplicato .220. per .9.
Huius autem, qui à me pręſcribitur modi, ſpeculatio talis eſt.
Duo termini duabus
rectis lineis æqualibus, & parallelis inter ſe .b.p. et .d.q. ſignificentur, quæ alijs dua-
bus .b.d. et .q.p.
ficentur duo itinera. Viator primus quidem lentior à. b in .d. velocior à .q. in .p.
Iam
ſumatur
b.p. quod idem eſt, ex quo .b.i. æqualis erit .p.k. ex .34. primi, hoc eſt .q.k.
mus primum viatorem .q.p. in dimidio itineris .q.k. occurrere non potuiſſe viatori ip
ſius .b.i. quandoquidem eo tempore, quo is, qui ipſius .q.p. mouetur per .q.k. (cum ſit
altero velocior) qui per .b.d. nondum peruenerit ad .i: Sit itaque punctum .c. in quo
lentior reperitur, dum velocior eſt in .k. ex quo certi erimus eos inter .c. et .i. ſibi in-
uicem obuiaturos eſſe. Cogito deinde rectam lineam ductam .k.c. & ut ſe habet .i.
c. ad .c.b. ita cogito ſe habere. u
ſtum eſt, lineam .k.c. in puncto .e. interſecabit, à quo cum fuerit ducta .e.o.n. parallela
k.i. habebimus .o.n. ea ſcilicet puncta, quibus occurrunt ſibijpſis, nam cum ſic ſe ha
beat .q.k. ad .k.u. vt .b.c. ad .c.i. et .k.u. ad .k.n. vt .c.i. ad .c.o. ex ſimilitudine manifeſta
triangulorum, ex æqualitate proportionum ſic ſe habebit .q.k. ad .k.n. vt .b.c. ad .c.o.
& permutando ita .k.q. ad .b.c. vt .k.n. ad .c.o. & cum .q.k. et .b.c. ſpatia ſint tempori-
bus æqualibus confecta, itaque ſpatia .k.n. et .c.o. ex communi ſcientia temporibus
æqualibus conficientur.
Quare rectè dicimus, ſi tot diebus à .b. in .d. aliquis peruenit, quot milliaria in di
midio temporis alterius viatoris idem conficiet? ex quo ex regula de tribus quam
primum iter .b.c. cognoſcitur, quo ex dimidio itineris detracto, remanet .c.i. cogni
tus, ſed cum probauerimus .q.k. ad .k.n. hoc eſt .i.o. (cum ſint æquales inter ſe, ex .34
primi) ita ſe habere. vt .b.c. ad .c.o. permutando ſic ſe habebit .q.k. ad .b.c. vt .i.o. ad .
o.c. & quare rectè dicimus ſi ſumma .q.
k. cum .b.c. dat .b.c. quid dabit .i.c? nempe dabit .c.o. quo coniuncto cum .b.c. cogno-
ſcitur .b.o. quo .b.o. detracto ex .b.d. remanet cognitus .o.d. nempe .q.n. illi æqualis
ex .34. prædicta. Gratia verò
tur, aut etiam .q.p: quo .b.o. aut .q.n. abſoluetur.
Vt autem ad ſpeculationem regulæ antiquorum deueniamus, cogitemus pri-
mum viatorem ipſius .q.p. velociorem eo, qui per .b.d. iter agit, tanto tempore præ
tergredi .p. quanto alter .b.d. abſoluit. Is autem ad .g. pertingat, ex quo eadem pro-
portio ſpacij .q.g. ad .q.p. hoc eſt .b.d. dabitur, quæ temporis quo .b.d. abſoluitur ab
tus enim continui regulares & vniformes conſtituuntur) eadem ratione ita-
que ea erit proportio .q.k. ad .b.c. quæ .q.g. ad .q.p. & cum probatum
fuerit ita ſe habere .k.n. ad .c.o. vt .q.k. ad .b.c. itaque ſic ſe habebit .k.n. ad .c.
o. ut .q.g. ad .q.p. probatum etiam fuit ita ſe habere .q.k. ad .k.n. vt .b.c. ad .c.o. ex quo
componendo ſic ſe habebit .q.n. ad .n.k. vt .b.o. ad .o.c. & permutando ita .q.n. ad .b.
o. vt .k.n. ad .c.o. hoc eſt .q.g. ad .q.p. nempe vt tempus lenti ad tempus velocis itine-
rantis, & componendo ita .q.n. cum .o.b. hoc eſt .b.d. ad .b.o. vt ſumma
alterius viatoris ad Breuiter
ſpectu numeri dierum velocioris(9) qualis & cui vn-
de dabitur ſpacium .b.o. vnde reliqua omnia nobis cognita emergent.
Cum autem antiquorum regula iubeat numerum dierum vnius, cum numero die-
rum alterius multiplicari, ac poſtmodum diuidi productum per ſummam omnium
dierum, rectèid quidem fit. Nam cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.o. vt ſumma omnium
dierum ad minorem quantitatem dierum velocioris ſcilicet. Ideo temporis propor
tio à mobili per .b.d. abſumpti ad tempus mobilis per .b.o. eadem erit, quæ ſummæ
omnium dierum ad namerum dierum velocioris. Quarerectè dicemus, ſi eiuſmodi
ſumma talem reſpectum habet ad minorem numerum dierum, quem numerum re-
ſpiciet dies ipſius .b.d? ex quo proferentur dies reſpondentes ipſi .b.o. cætera iam
dicta fuerunt.
Huiuſmodi verò ſpeculationis am-
poteft, in cuius
figura pars
viatores obuient, ex quo ſpacium .q.
n. à ſuo viatore conficietur, eo ipſo
tempore, quo à ſuo ſpacium .b.o. ita
que eadem erit proportio .q.n. ad .b.
proportio .d.o. ad .o.b. quæ numeri
dierum eius, qui à .b. pergit in .d. ad
numerum dierum alterius qui à .q. in
p. proficiſcitur, & componendo
erit proportio .d.b. ad .b.o. quæ ſum-
mæ dierum ad minorem numerum ipſorum, & eadem quæ dierum .b.d. ad dies
ipſius .b.o.
CIRCA hæc ipſa itinera aliud quæritur peruenuſtè, in quo quæſito illud con
ſtituitur cognitum eſſe, nempe interuallum inter duo diuerſa loca, è quibus
duo viatores eodem inſtanti vt ſibi occurrant proficiſcuntur,
gulis diebus conficiant, ita tamen, ut unus ordinatè plura altero ambulet, quæritur
deinde quoto die ſibi occurrent. Hoc autem fit diuiſo toto interuallo locorum per
ſummam milliariorum quam vterque quotidie abſoluit.
Exempli gratia, diſtant loca .100. milliaribus à ſe inuicem;
vnus autem viator
ſingulis diebus .15 milliaria, alter .10. conficit ſi ita que .15. cum .10.
ſumma erit .25. per
rus quæſitus dierum quo viatoribus iter agendum erit prius quam ſibi obuient.
In cuius ſpeculationis gratiam totum iter ſignificetur linea .a.u: primi autem via-
toris iter diurnum fit .a.e. & alterius .u.o: terminus verò .i. ſit occurſus ita vt eodem
tempore, alter ſpacium .a.i. alter .u.i. confecerit, ſpacij autem .a.e. tempus
per .b. ſignificetur & tempus ſpacij .u.o. per .c. quæ tempora erunt inter ſe
æqualia, porrò ſpacij .a.i. tempus per .d. & ſpacij .u.i. per .f. denotetur, æquali
bus inquam, ex quo eadem proportio erit .a.e. ad .a.i. quæ .b. ad .d. et .o.u. ad .u.i. quæ
c. ad .f. vnde permutando eadem erit proportio itineris ipſius .b. ad iter ipſius .c. quæ
itineris .d. ad iter ipſius .f. & componendo itinerum ipſius .b.c. ad iter .c. vt itinerum .
d.f. ad iter .f. & permutando itinerum
b.c. ad itinera .d.f. vt itineris .c. ad. iter
ra .b.c. dat itinera .d.f. quid dabit tem-
pus .c. nempe dabit tempus .f. ſed .c.
ſignatum eſt pro vna die, quare in pro
poſito exemplo .f. ſignificabit 4: dies.
ANtiquorum monumentis traditum motum reperimus diuinandi numeri quem
quis mente conceperit, quo iubemus eum qui numerum cogitauerit, dimi-
dium cogitari numeri addere cogitato, atque huic ſummæ, rurſus eiuſdem ſummę
dimidium adiungere, tum quærimus, quoties noueratius totam eam ſummam ingre
diatur patefactis fractis ſi qui occurrant.
Exempli gratia, ſi quis cogitaſſet numerum .12. iubebant huic dimidium addi,
nempe .6. ex quo ſumma erat .18. iubebant, præterea dimidium huius ſummæ nem-
pe .9. toti ſummæ adiungi, quæ fuiſſet .27. adhæc quærebant ſibi patefieri quoties
9.
vtraque, fracti reperirentur, ac quoties nouem vltimam ſummam ingrediebatur,
toties .4. multiplicabant. Quod ſi in prima diuiſione fracti erant, vltimo produ-
cto addebant vnitatem; ſin verò in ſecunda, binarium adiungebant, ex quo exa-
ctus numerus quæſitus proferebatur.
Pro cuius rei ratione ſit .a. numerus cogitatione compræhenſus et .e. ipſius .a. cum
eiuſdem medietate ſumma et .i. ipſius .e. cum eiuſdem medietate itidem ſumma, vn
de .i.e.a. tres numeri continui proportionales, in ſeſquialtera proportione euadent. Sumantur nunc tres numeri .4. 6. 9. in eadem proportionalitate.
Vnde ratione ęqua
litatis proportionum ita ſe habebit .i. ad .a.
ad .9. quemadmodum .a. ad .4. & ob id .4. toties ingredietur .a. quoties .9. ipſam .i. Sed
quia ſępe contingit, vt in ſecunda diuiſione, aut in ambabus etiam diuiſionibus re
periantur numeri fracti, anima duertendum eſt numerum animo compræhenſum .a.
ſcilicet aut parem aut imparem ſemper futurum. Si par eſt, aut multiplex erit ad
4.Si priori modo ſe habebit in duabus diuiſionibus, nullus numerus fra-
ctus admittetur, ſed ſi ad .4. multiplex non erit, à multiplicibus per duo ſemper dif
feret, & ſi per medium diuidatur, eiuſdem medietas impar ſemper erit, vnde prior
ingredietur, & hanc ob cauſam poſterior ſumma cum fracto ſemper erit, & nume-
rum deſumptum maiorem eſſe multiplici ad quatuor per duo ſignificabit.
At verò ſi inter impares reponatur, aut eorum erit qui ſuperant multiplicem
ipſius quatuor per vnum, ſeu per tria, quod hinc innoteſcet, nempe, quia ſi eorum
erit qui dictum multiplicem per vnum tantum vincunt, ſua medietate ipſi numero
addita, & præter hanc medietatem medio etiam integro adiuncto, tota hæc prior
ſumma in numerum parem ſemper euadet, vnde in poſteriori ſumma nullus nume-
rus fractus conſpicietur, & hanc ob
Sed ſi numerus deſumptus, in ſerie eorum, qui multiplicem ipſius .4. pertria ſu-
perant, collocabitur, hinc compræhendetur, quia primæ ſummæ numerus cum
media vnitate ſemper impar erit, vnde ſecunda ſumma præter integras cum me-
dia vnitate nobis ſemper occur ret.
Quod autem nobis prodere faciamus an in prima diuiſione, & ſecunda numerus
aliquis fractus conſiſtat, eò tantum nobis inſeruit, quò deueniamus in cognitionem
an numerus animo conceptus multiplicem ipſius .4. per vnum, per duo, aut tria ſupe
ret. Quòd etiam medias eas vnitates ad integros reducere faciamus, eò tantum re
fertur, vt minori labore eum, qui numerum imaginatione compræhendit, onere-
mus, quia reuera numerus impar nunquam mente concipi poteſt, quin aliquis fra-
ctus in prima diuiſione, aut in ſecunda ſequatur: vnde à numeris imparibus, qui mul
tiplicem ipſius .4. unitatis tantum exceſſu
vnitatis, præter integros numeros, & ab imparibus qui dictum multiplicem ipſius
4.& à
numeris paribus, qui multiplicem ipſius .4. per duo cum medietate vnitatis præter
integros ſemper procedit. Ita cum is qui numerum ſecum conſiderat, ſi in nume-
terrogat prudenter ſe gereret, ſi ſibi
declarari curaret, quis nam ex fractis
ſu per integros
ret, quia
dæ
gros numerus mente conceptus multiplicem ipſius .4. ſuperaret.
VNDE fiat, vt ſi ali quis quemuis numerum animo compræhendat, eique
numero alium etiam quemlibet numerum propoſitum addat, & à tertia par
te huius ſummæ tertiam partem numeri imaginati detrah et, reſiduum ſecundi nu-
meri adiuncti, ideſt propoſiti, tertia pars erit.
Vt exempli gratia, ſi aliquis de numero denario cogitaſſet,
vnde triginta quatuor efficerent, detra hendo nunc tertiam partem numeri de na-
rij cogitatione concepti, ideſt .3. cum tertia parte vnius, à tertia parte huius ſum mæ
ideſt ab vndecim & vna tertia parte remanerent .8. ideſt tertia pars numeri additi. Id quod mihi inter iocos in honeſtorum hominum cætu in mentem venit.
Pro cuius ratione, prior numerus ima
ditus eſt
c. tertia pars ipſius, b.d. ſecundi numeri propoſiti, vnde coniunctum vnius harum ter
tiarum
primorum ideſt .a.d. aſſero. Iam manifeſtum eſt ipſius .d.b. ad .b.c. eſſe quemadmo
dum ipſius .a.b. ad .b.e. vnde viciſſim ipſius .d.b. ad .b.a. erit quemadmodum ipſius .b.
c. ad .b.e. & coniunctim ipſius .d.a. ad .a.b. quemadmodum ipſius .c.e. ad .e.b. & viciſ-
ſim ipſius .d.a. ad .c.e. quemadmodum ipſius .b.a. ad .b.e. ſed proportio ipſius .b.a. ad .
b.e. eſt tripla, ergo ea quæ eſt ipſius .a.d. ad .e.c. erit quoque tripla; vnde ſumendo .e.
c. pro tertia parte ipſius .a.d. & ab ipſa .e.c. ſubtrahendo tertiam partem ipſius .a.b.
tertia pars ipſius .b.d. remanebit .b.c.
Aut alio hoc modo, ſupponendo .e.c. tertiam partem ipſius .a.d. et .e.b. ipſius .a.
b. exiſter. Dico .b.c. tertiam partem ipſius .b.d. futuram:
quia ſi totius .a.d. ad totum
e.c. ita ſe habet, quemadmodum .a.b. à toto .a.d. diffecti atque diuulſi ad .e.b. à toto .
e.c. diſractum, ergo ex .19. lib. quinti Eu-
totius .e.c. erit, vt totius .a.d. ad
que hic quidem modus rem
culandi mihi aptior & commodior eſſe videtur.
PErmulta ac varia problemata inuenerunt antiqui, longioribus verò vijs reſolu-
ta, proptereà quòd
plicatio. Vt exempli gratia, proponitur numerus .50. diuidendus in tres tales par-
tes, quod ſecunda dupla ſit primę, & adhuc eam ſuperet tribus vnitatibus, tertia ve
rò æqualis ſit aggregato primæ cum ſecunda, & amplius ipſum aggregatum ſuperet
quinque vnitatibus.
Ad hoc autem quæſitum ſoluendum antiqui vtebantur regula falſi, quod reuera
breuiori modo poteſt ſolui, videlicet detra hendo illud ſecundum exceſſum, quin-
que ſcilicet ex .50. ita vt nobis .45. remaneret, cui medietati hoc eſt .22. cum dimidia
vnitate, ſi addiderimus illud quinque habebimus .27. cum dimidia vnitate pro ter-
tia parte quæſita ipſius numeri .50. deinde ſi ab eodem numero .22. cum dimidia
vnitate detractum fuerit illud .3. primus exceſſus datus, remanebit .19. cum dimi-
dia vnitate, cuius tertia pars, hoc eſt .6. cum dimidia vnitate, prima pars, ex tri-
bus quæſita erit, quæ quidem ſi detraxerimus ex .19. cum dimidia vnitate, reli-
quum erit .13. cui Iam propoſitum re-
ſultabit nobis .16. pro ſecunda parte quæſita.
Ratio verò huiuſmodi operationis talis eſt, ſit verbi gratia totalis numerus pro-
poſitus ſignificatus per lineam .a.b. cuius ſecundæ partis numerus datus ſignificetur
per lineam .g. & numerus tertiæ partis propoſitus per lineam .h. Nunc dempta .h. ex
a.b. nobis cognita, remanebit .f.a. qua
cto .e. & ipſi .e.f. addita .f.b. tota .e.b. nobis cognita erit, quæ quidem tertia pars
quæſita ipſius .a.b. erit, proptereà quòd .a.e. (quæ æqualis eſt ipſi .e.f.) erit ſumma
primæ, & ſecundæ partis. Detrahatur poſteà. g. ex .e.a. & remanebit .d.a. cuius ter
tia pars ſit .a.c. quæ quidem prima pars quæſita erit, & nunc cognita, & ita .c.d.
cognita, cui cum addita fuerit .d.e. habebimus ſecundam partem quæſitam, quæ
compo-
tertia verò pars .e.b. compoſita eſt ex .
e.f. æquali .a.e. hoc eſt æquali compoſi-
to ex prima, & ſe cunda parte, & ex .f.
b. numero dato vt proponebatur.
INter alia problemata ab antiquis inuenta, hoc etiam ponitur.
Aliquis inter-
rogat quot ſint horæ, alius verò reſpondit tot eſſe, quot duæ tertiæ præteriti
temporis ſimul iuncta cum tribus quintis futuri temporis totius dieri naturalis effi-
ciunt. Nunc quæritur quot ſint horę.
Antiqui, hoc etiam problema ſoluebant mediante regula falſi, ſed mihi alio mo
do ſoluendum eſſe dictum problema videtur. Accipio enim ex quinque, tres vni-
tates, pro parte futuri temporis, quas quidem in tres vnitates præteriti temporis
duco, vnde proueniunt mihi nouem vnitates, quod productum coniungo
que futuri temporis, vnde veniunt .14. vnitates, ex regula poftea de tribus ita dico
ſi ex .14. mihi prouenit .9. quid reſultabit ex .24. & prouenient mihi horæ .15. cum
tribus ſeptimis vnius horæ, hoc eſt minuta ferè .26.
Pro cuius ratione, quinque vnitates, feu partes temporis futuri ſignificentur à
linea .e.u. quarum trium ſigniſicentur a linea .e.i. ſumpta deinde ſit linea .e.o. æqualis
lineæ .e.i. et .e.a. tripla ſit ad .o.e. vel ad .e.i. quod idem eſt, vnde .a.e. compoſita erit
ex .a.o. (hoc eſt ex duabus tertijs ip ſius .a.e.) & ex o.e. (hoc eſt ex. tribus quintis ip-
ſius .e.u.) vnde .a.u. ad .a.e. eandem rationem obtinebit, quæ .14. ad .9. propterea igi
tur poſſumus recte ratiotinari
qui quidem .24. nobis dabit .15.
cum min .26. quod rectè factum
erit ex .20. ſeptimi Euclidis.
SVpponunt etiam antiqui tres ſocios nummos habere, quorum ſumma primi &
ſecundi cognita ſit, item ſumma primi & tertij cognita & ſumma ſecundi &
tertij item cognita, at que ex huiuſmodi tribus aggregatis veniunt in cognitionem
particularem vniuſcuiuſque illorum.
Gemafriſius ſoluit hoc problema ex regula ſalſi.
At ego tali ordine progredior.
Sit verbi gratia, ſumma primi cum ſecundo .50. & ſecundi cum tertio .70. & primi
cum tertio .60. harum trium ſummarum accipiantur duæ quæuis, vt puta .50. & .70
quæ coniunctæ ſimul dabunt .120. à qua ſumma detrahatur reliqua, ideſt .60. &
reſtabit nobis .60. cuius medietas erit .30. hoc eſt numerus nummorum ſecundi
ſocij quo numero detracto à .70. hoc eſt à ſumma ſecundi cum tertio remanebit .40.
hoc eſt numerus tertij ſocij, & hic numerus deſumptus à .60. reſiduus erit nume-
rus primi ſocij.
Pro cuius ratione conſideremus triangulum hic ſubnotatum .a.b.c. cuius
unumquodque latus ſignificet ſummam duorum ſociorum, vtputa latus .a.b. ſignifi-
cet ſummam primi cum ſecundo, latus verò .b.c. ſummam ſecundi cum tertio, la-
rus autem .a.c. ſummam primi cum tertio, et .a.e. ſeu .a.o. ſit numerus primi ſocij, et .
e.b. vel .b.u. ſit ſecundi ſocij, et .c.u. ſeu .c.o. ſit tertij, cum autem .a.e. æqualis ſit .a.o.
ex ſuppoſito ſi
latus .a.c. datum ex aggregato laterum .
a.b. cum .b.c. reliquarum ſummarum, re
linquet nobis cognitum aggregatum
ex .b.e. cum .b.u. Quare & eius medic-
tas .b.e. ſiue .b.u. nobis cognita erit, qua
detracta exſumma .b.a. relinquetur no
bis cognitus numerus .a.e. detracto ve-
ro numero .a.e. hoc eſt .a.o. ex .a.c. ſum-
ma, ſeu latus, aut .b.u. ex .b.c. remanebit
o.c. ſeu .c.u. cognitus.
HAC etiam methodo hoc facere poſſumus non
de omnibus quotquot volueris, vt exempli gratia,
gnita, vtputà ſumma numeri .a. cum .b. cognita nobis ſit,
& ſumma numeri .b. cum .c. & ſumma .c. cum .d. & ſum-
ma .d. cum .e. & ſumma .e. cum .f. neceſle eft etiam ſcire
ſummam duorum vno relicto, vtputa ſummam .a. cum
c. vt poſſimus triangulum .a.b.c. conſtituere. Vnde ex
præmiffa, cognitus numerus nobis erit vniuſcuiuſque .a.
b.c. Quapropter dempto numero .c. ex ſumma .c. cum
d. & numero .d. ex ſumma .d. cum .e. & numero .e. ex ſum
ma .e. cum .f. habebimus intentum.
CVM aliquando, illud quod Archimedes inuenit, vt furtum Regiab aurifa-
bro in regia corona factum, quemadmodum ſcribit Vitruuius, proderet, con-
templarer, mihi etiam viſum eſt, vt aliquem modum ſcientiſicum inueſtigarem, quo
proportio auri ad argentum, quod in aliquo propoſito corpore exipſis miſto cogni
ti ponderis cognoſci poſſet. Et cum multos diuerſis temporibus excogitarim offi-
cio meo deeſſe nolui in ijſdem literarum monumentis mandandis, quorum hic
vnus erit: propoſita nobis ſint tria corpora .A.M.V. æqualia inter ſe, ſed diuer-
ſarum ſpecierum materiei, vtputa quod .A. ſit argenteum, & omogeneum .V. ve-
rò aureum omogeneum, & M. mixtum exauro, & argento, ideſt heterogeneum,
cupimusergo ſcire
miſto. Ita igitur faciamus.
Videamus primum quantum ſit pondus vniuſcuiuſque
ipſorum corporum, ponamus autem pondus corporis .V. auri eſſe vt .234. pondus
dus .A. ex pondere .V. Reliquum erit .78. quod vocetur prima differentia ſeruan-
da, dematur etiam pondus .M. ex pondere .V. reliquum erit .18. pro ſecunda diffe-
rentia, etiam ſeruanda, multiplicetur poſteà pondus .A. per ſecundam differen-
tiam, productum verò diuidatur per primam differentiam. Vnde in præſenti exem
plo proueniet nobis .36. quiquidem prouentus erit quantitas argenti ipſius corpo-
ris miſti .M. quo etiam detracto ex pondere totali ipſius .M. reliquum erit quanti-
tas auri eius corporis, hoc eſt .180.
In cuius operationis ſpeculatione, aliquid natura ſua prius cognitum præcedere
oportet hoc eſt, quod omnia corpora omogenea eandem proportionem obtinent
inter quantitates, quam inter pondera. Quo ſuppoſito denotetur corpus .A. li-
nea .o.a. corpus autem .V. linea .o.c. & corpus .M. linea .e.u: ſed .e.o. ſignificet par-
tem argenti, et .o.u. partem auri in corpore miſto .M. vnde ex communi conceptu
habebimus .o.e. æqualem .u.c. cum ex hypotheſi .e.u. æqualis ſit .o.c. et .a.o. ſimiliter. Significetur poſteà pondus .a.o. ab .f. & pondus .e.u. ab .b.x. & pondus .o.c. ab .f.g. pon
dus verò .o.e. ab .b. pondus autem .o.u. ab .x. pondus enim .u.c. ab .b.d. et .g. ſit diffe-
rentia, qua .f.g. maior eſt .f: et .d.
Vnde ex ratione omogeneitatis ea
dem proportio erit .a.o. ad .e.o. vt .
f. ad .b. et .o.c. ad .u.c. quæ .x.b.d. ſeu
f.g. (quodidem eſt) ad .b.d. Quare
ex .11. quinti
f. ad .b. vt .f.g. ad .b.d. & permutan-
do ita erit .f. ad .f.g. vt .b. ad .b.d. &
ſeparando ita .f. ad .g. vt .b. ad .d. Sed .g. cognita nobis eſt, vt differentia in
ter .f. g, et .f: cognita nobis eſt etiam .f: cognoſcimus itidem .d. vt differentiam inter .
x.b.d. et .b.x. quapropter cognoſcemus .b. ex .20. ſeptimi Eucli. & ſic .x. reſiduum. ex .b.x.
NVNC ex methodo præcedentis propoſiti deuenire poſſumus in cognitio-
nem veræ quantitatis auri, & argenti confuſi in corona Hieronis conſtituen-
do primum duo corpora ſimplicia æqualia inter ſe, & coronæ hoc modo videlicet,
immergendo coronam, ſeu corpus miſtum in aliquod vas aqua plenum, & diligen-
ter colligere aquam, quæ ex eo effundetur, poſteà verò oportet, aliud vas inuenire
præciſæ capax illius a quæ collectæ, in quod demum infundatur tantum auri, & po-
ſteà tantum argenti, quantum ſieri poteſt, vnde vnumquodque horum duorum cor
porum ſimplicium æquale erit mixto, ſeu coronæ, & ſic quod dictum eſt in præce-
cedenti theoremate exequemur.
SED vt breuiori methodo idem præſtemus, quod in antecedenti propoſito di-
ctum eſt, quædam theoremata præmittenda ſunt, videlicet quòd quotíeſcunque
fuerint tria corpora, quorum duo inuicem æqualia ſint in quantitate, ſed diuerſa-
que illorum, ſed eiuſdem materiæ vnius quod vis illorum, ponderis verò alterius,
tem
Exempli gratia, ſit .b. corpus aliquod aureum æquale corpori .u. argenteo, ſit
etiam corpus .a. argenteum maius corpore .b. vel .u. ſed ponderis eiuſdem, quod au-
ri .b. Tunc dico eandem eſſe proportionem ponde-
gnitudinem .u. Quod ratiocinemur hoc modo, nam
cum proportio corporeitatis .a. ad corporeitatem .u.
eadem ſit, quæ ponderis .a. ad pondus .u. ex ratione
omogeneitatis, ponderis verò .b. ad pondus .u. ex .7.
quinti, eadem quæ ponderis .a. ad pondus .u. ideo ex
11. eiuſdem proportio ponderis .b. ad pondus .u. eadem erit, quæ corporeitatis .a.
ad corporeitatem .u. vel ad corporeitatem .b. quæ æqualis eſt alteri.
QVotieſcunque nobis propoſita fuerint duo corpora cuiuſuis magnitudinis æ-
que ponderantia, ſed diuerſarum ſpecierum materiæ, cum ſcire volueri-
mus proportionem ponderum illarum ſpecierum inter ipſas hoc modo faciemus.
Sint exempli gratia, duo nobis propoſita corpora .a. et .b. (vt dictum eſt) quæ ſi
fuerint æqualium magnitudinum inter ſe, clarum erit quod quæritur, ſed inæqua-
lia erunt, immergatur
effuſa ab vnoquoque illorum, tunc
nis erit ſui corporis impellentis, & proportio ponderoſitatis illarum eadem erit,
quæ earum magnitudinum ex omogeneitate, quapropter ſi vnamquamque illarum
ponderabimus, habebimus propoſitum ex præcedenti theoremate.
SED cum ſcire voluerimus pondus alicuius magnitudinis aquæ æqualis alicui
corpori ponderoſo, breuiſſimus modus erit ponderando ipſum corpus tam in ae-
re, quàm in aqua, & quia ſemper leuius erit in aqua, tunc differentia ponderum ip-
ſius corporis, erit pondus quæſitum, hoc eſt vnius corporis aquei æqualis magnitu-
dinis magnitudini corporis propoſiti ex .7. propoſitione lib. Archimedis de inſi-
dentibus aquæ.
Quare ex præmiſſis quotieſcunque immerſa fuerint in aquam dicti vaſis duo cor
pora æquè ponderantia, ſed diuerſarum ſpecierum, vt dictum eſt, proportio pon-
deris aquæ maioris ad pondus aquæ minoris magnitudinis eadem ſemper erit, quæ
ponderis minoris corporis ad pondus alicuius corporis eidem æqualis, ſpeciei verò
maioris, vel eadem proportio ponderis alicuius corporis æqualis maiori, ſpeciei ve
rò minoris ad pondus ipſius maioris.
Vt puta ſit corpus .a. argenteum æqualis ponderis corpori .b. aurei, & corpus .u.
argenteum æqualis magnitudinis corpori .b. aurei, corpus verò .n. aureum æqualis
magnitudinis corpori .a. argentei, corpus verò .f. aqueum æqualis magnitudinis cor-
Tunc dico proportio-
nem ponderis .f. ad pondus .e. eadem eſſe, quæ pon-
deris .b. ad pondus .u. vt in præcedenti theoremate
iam dictum eſt, vel quæ ponderis .n. ad pondus .a. ex
11. quinti Euclidis. Proptereà quòe ponderis .
n. ad pondus .a. eft vt poderis .b. ad pondus .u. eo
quòd permutando ponderis .n. ad pondus .b. eſt vt
ponderis .a. ad pondus .u. ex corporum omogenei-
tate, & ex æqualitate magnitudinum corporum antecedentium & conſequentium.
SCire etiam nos oportet, quòd quotieſcumque fuerint duo corpora aquea, quo-
rum vnum æqualis magnitudinis ſit alicui miſto, quod quidem miſtum graue
ſit tam in aere, quàm in aqua, alterum verò corpus aquem æqualis ſit magnitudi-
nis alicui corpoli ſimplici, quod quidem corpus ſimplex æqualis ponderis ſit dicto
corpori miſto. Tunc proportio ponderis aquei, cuius magnitudo æquatur magni
tudini corporis miſti, ad pondus corporis aquei, cuius magnitudo æqualis eſt ma-
gnitudini corporis ſimplicis, eadem erit, quæ proportio ponderis alicuius corpo-
ris ſimplicis, cuius magnitudo æqualis ſit magnitudini corporis miſti ſuperius dicti,
ſed ſpeciei corporis ſimplicis iam dicti, ad pondus dicti miſti.
Exempli gratia, ſit corpus aqueum .e. magnitudinis æqualis corpori .m. mixto,
corpus verò aqueum .i. æqualis magnitudinis ſit corpori ſimplici .a. quod quidem
corpus .a. æqualis ponderis ſit cum corpore .m. & corpus .u. ſit æqualis magnitudinis
cum corpore .m. ſed ſpeciei corporis .a. Tunc dico proportionem ponderis .e. ad
pondus .i.
eadem proportio ſit magnitudinis .e. ad magnitudinem .i. quæ magnitudinis .m. ad
a. ſed .m. ad .a. eſt vt .u. ad .a. ex .7. quinti quare
ex .11. eiuſdem proportio .e. ad .i. erit vt .u. ad .a.
tio ponderis .u. ad pondus .a. eadem eſt, quæ ma
gnitudinis .u. ad magnitudinem .a. ex omogenei-
tate. Idem dico de pondere .e. ad pondus .1.
Qua-
re proportio ponderis .e. ad pondus .i. eadem erit
quæ ponderis .u. ad pondus .a. Sed ponderis .u.
ad pondus .m. eadem eſt quæ ponderis .u. ad pondus .a. ex .7. quinti, ergò ex .11.
eiuſdem proportio ponderis .e. ad pondus .i. eadem erit, quæ ponderis .u. ad pon-
dus .m. quod eſt propoſitum.
NVNC ad cognoſcendam proportionem duarum diuerſarum ſpecierum in
corpore miſto propoſito, tribus corporibus aqueis mediantibus, quæ
corpora æqualium magnitudinum ſint alijs tribus corporibus vnius & eiuſdem pon
deris, quorum vnum ſit mixtum, reliqua verò duo ſimplicia, ſed ſpecierum mixti,
hoc ordine procedemus.
Sint exempli gratia, tria corpora æquè ponderantia, & vnumquodque illorum
ſitquinque librarum, quorum vnum ſit aureum, aliud argenteum, reliquum verò
mixtum ex ijs duobus metallis, vnde corpus aureum ſimplex minus erit, & argen
teum maius corpore mixto, quod nulli dubium eſt, ſit nunc pondus corporis aquei
ęqualis corpori aureo,
te, aquei demum æqualisargenteo, librarum .4. cum dimidia, vnde exijs, quæ in præ
cedenti theoremate, & in .126. theoremate diximus, ſi imaginatione concipiemus
alia duo corpora ſimplicia, auri, & argenti, ſed æqualium magnitudinum mixto,
habebimus proportionem ponderis aurei ad pondus corporis mixti vt
cum quarta vnius ad .3. libras, & proportio ponderis mixti ad pondus argentei erit,
vt proportio librarum .4. cum dimidia ad tres libras cum quarta parte vnius libræ,
& proportio ponderis aurei ad pondus argentei vt librarum .4. cum dimidia ad li-
bras .3: hoc eſt aurei ad mixtum, vt .13. ad .12. & mixti ad argenteum, vt .18. ad .13.
& aurei ad argenteum, vt .3. ad .2. ideſt, vt .18. ad .12.
Nunc inueniantur duo numeri ita inter ſe proportionati, vt .3. ad .2. habentes ta-
men inter ipſos numerum ita proportionatum ad maximum, vt .12. ſe habet ad
13.
ueniemus, multiplicabimus .18. per .12. & proueniet nobis .216. pro numero me-
dio, poſteà multiplicabimus .18. per .13. & proueniet .234. pro maximo,
plicando .12. per .13. proueniet .156. pro minimo, ita quod .234. correſpondebit
ponderi corporis aurei: 216. verò ponderi mixti, et .156. ponderi argentei æqua-
lium magnitudinum.
Cum autem proportiones horum trium corporum inuenerimus, ſi ordinem theo
rematis .122. ſequemur, habebimus quod quærebamus, & inueniemus in præſenti
exemplo proportionem ponderis auri ad pondus argenti in corpore mixto eſſe, vt
180.
reà dicemus. Si .216. hoc eſt toti corpori mixto correſpondent quinque libræ tunc
parti .180. hoc eſt auro in ipſo corpore mixto, correſpondent libræ .4. cum duabus
vncijs, ex regula detribus, reſiduum verò quinque librarum, ideſt vnciæ decem,
correſpondent parti .36. hoc eſt argento in dicto corpore mixto.
Sed ſi tria corpora dicta fuiſſent inuicem ita proportionata, vt .40. 47. 60.
tunc
proportio auri ad argentum in corpore mixto eſſet vt .13. ad .7. quapropter
dus mixti fuiſſet .120. librarum, tunc aurum ipſius eſſet librarum .78. argentum ve-
rò librarum .42. ex eadem regula.
Pro quarum rerum ſpeculatione nil aliud oportet nunc dicere cum ſatis dictum à no
bis ſuperius fuerit, vno excepto, hoc eſt rationem reddere, qua motus fui ad inue
niendos illos .3. numeros ita inter ſe diſpoſitos, vt dictum eſt, quæ quidem ratio fuit,
vt haberemus .3. numeros ita inter ipſos ordinatè diſpoſitos, vt ſunt pondera trium
illorum corporum æqualium magnitudinum. Proptereà quòd quamuis inter pri-
mos .3. numeros ponderum corporum aqueorum eædem fuerint proportiones pon
derum corporum metallicorum, nihilominus medius numerus extra proprium lo-
cum, & inordinatè inueniebatur, reſpectu extremorum, vnde medius numerus in
ſuo vero ſitu inter .18. et .12. fuiſſent .16.
moditatem euitemus, præcepi, vt multiplicarentur extrema per .13. vnde produ-
cti fuerunt numeri .234. et .156. in
mi, iuſſi etiam multiplicari .18. per .12. vt nobis prodiret .216. ad quem numerum,
numerus .234. ita ſe haberet, ut .13. ad .12. ex .19. ſeptimi, quod autem ita ſit propor
13.
ALIVD proponitur problema hoc modo:
ſupponitur obſidio alicuius loci, vbi
alimento ad nutriendos .10000. homines ſufficiunt pro quinque menſibus tan-
tum, ſed quia eum locum obſidione non liberari putatur niſi .18. menſibus exactis,
quæritur, quot homines eo tempore illis alimentis nutriri poſſint, hoc eſt .18.
menſibus.
Præcipitregula, vt multiplicetur primus numerus, hoc eſt hominum .10000. cum
ſecundo, hoc eſt menſium quinque, productum verò diuidatur per .18. hoc eſt men-
ſium, tunc proueniet .2777. cum .7. nonis.
Cuius operationis ratio eſt hæc, ſint exempli gratia duo hic ſubſcripta producta
ſuperficialia .a.n. et .o.u. inuicem æqualia, ſed tal@ figura delineata, vt proportio .u.
x. ad .x.o. ſit, vt .10000. ad quinque, & proportio a.x. ad .x.o. ſit vt .18. ad quinque,
ct .x.n. ſit nobis ignota, quæ quidem eſt illa, quæ indagatur, ita
iſtorum productorum ſignificabit alimentum, et .u.x. ſignificabit numerum homi-
num .10000. qui quidem homines comederent totum alimentum .u.o. ſpacio tem-
poris .x.o. quinque menſium, proptereà quòd u.o. ſupponitur productum eſſe ab .
u.x. in .x.o. Deinde
cabit numerum hominum, qui eo tem-
poris ſpacio ali poſſunt, hoc eſt .x.a. ali-
mento .n.a. eo quòd .a.n. producitur ex .
n.x. in .a.x. vnde ex .15. ſexti, ſeu ex, 20.
ſeptimi proportio .x.u. ad .x.n.
quę .a.x. ad .x.o. quapropter rectè factum
erit accipere
eſt in quantitate, quod productum .2. n. & ipſum diuidere per .a.x. vnde nobis
proueniat .n.x.
QVotieſcunque nobis propoſitum fuerit inuenire tertium terminum, trium ter
minorum continuè proportionalium armonicæ proportionalitatis, quo-
tum duo nobis cogniti ſint, ita agemus.
Sint, exempli gratia, tres termini .q.p: a.g. et .e.c. continuæ proportionalium at
monicæ proportionalitatis, quorum .q.p. maior et .a.g. medius ſint nobis cogniti,
cum ergo voluerimus tertium .e.
c. cognitum nobis eſſe: a.g. detra-
p. addatur .q.p. quorum ſumma
erit .q.o. cognita, qua mediante
diuidatur productum, quod ex .a.
g. in .d.p. exurgit, & proueniet no
bis .n.g. hoc e@t minor differentia, eo quòd productum .q.o. in .n.g. æquale eſt pro-
d.p. eſt vt .a.g. ad .g.n. coniunctim cum diſiunctim it a ſit .q.p. ad .p.o. vt .a.n. ad .n.g.
ex Deinde ſi detraxerimus .n.g. ex .a.g.
remanebit .e.c. minor terminus.
Sed ſi .e.c. tertius terminus nobis propoſitus eſſet ſimul cum .a.g. medio, & volue
rimus maiorem inuenire .q.p. ſcilicet, oportebit .e.c. ex .a.g. detrahere, differentiam
verò .n.g. ſimiliter demeremus
ex .e.c. unde remaneret nobis .e.t.
diante diuidemus productum,
furgit ex .a.g. in .t.c. & prouentus .
d.p. erit differentia maior, eo
æquale eſt producto quòd fit ex .a.g. in .t.c. per 20. ſeptimi Eucli. eo quòd .a.g. (id-
eſt .q.d.) ad .d.p. eſt ut .e.t. ad .t.c. diſiunctim, cum coniunctim ita ſit .q.p. ad .d.p. vt .e.
c. ad .t.c. permutando, quia .q.p. ad .e.c. eſt vt .d.p. ad .t.c. hoc eſt ad .n.g. ex legibus
dictis.
ALIA etiam methodo hoc perfici poſſe comperi.
Propoſiti enim cum nobis fue
rint duo termini .c.e. minimus et .g.a. medius, maximus verò quærendus ſit, de
trahatur differentia .g.n. ex .e.c. & per reſiduum .e.t. diuidatur productum
g. in .e.c. prouentus quæ erit .q.p. terminus quæſitus.
Pro cuius ratione, ponamus in eſſe terminum .q.p.
tunc ex forma huius proportio
nalitatis nulli dubium erit quin .q.p. ad .e.c. fit vt .d.p. ad .n.g. hoc eft ad .t.c. vnde ex
19. quinti vel .12. ſeptimi ita eſſet .q.d. ad .e.t. vt .q.p. ad .e.c. quare ex .20. @cptimi pro
ductum
propter ſi diuiſerimus id per .e.t. proueniet nobis .q.p.
Sed
mũTermino .q.p. maximo,
propoſitæ, diuidatur poſtea productum
tus autem ſit .e.c. qui quidem erit terminus quæſitus.
Cuius operationis ſpeculutio hæc erit, ſupponatur terminum .e.c. inuentum eſſe
vnde .n.g. differentia ſit inter .e.c.
et .a.g. ex forma igitur armonicæ
n. vt .p.o. ad .n.g. vnde ex .13. quin-
ti. Ita erit .q.o. ad .a.g. vt .q.p. ad .a.
n. ergo
in .q.p. (ex .20. ſeptimi) æquale erit
producto .q.o. in .a.n. Quare ſi diuiſum fuerit tale productum per .q.o. proueniet no-
bis .e.c. quòd querebamus.
SED quia aliquis poſſet in dubium reuocare, an poſſibile ſit inuenire tertium
terminum rationalem, ſeu communicantem duobus datis terminis inter ſe com
municantibus in tali proportionalitate, hoc eſt harmonica. Vthoc oſtendatur.
Sint duo termini dati .a.o. et .a.e. inter ſe communicantes, tertius verò inuentus
ſit .a.c. qui maximus, primò, ſit in ea proportionalitate, quem dico communicantem
eſſe cum primis datis.
Nam ex conditionibus huiuſmodi proportionalitatis, habebimus primum ean-
dem proportionem eſſe .a.c. ad .a.o. quæ eſt .e.c. ad .e.o. vnde permutando ita erit .a.
c. ad .e.c. vt .a.o. ad .o.e. & quia ex .9. decimi Euclid .a.o. communicat cum .o.e. quare
ex .10. eiuſdem .a.c. communicabit cum .e.c. & per .9. cum .a.e. et per .8. cum .a.o.
quod
Sed ſi datus fuerit maximus .a.c. cum medio .a.e. interſe communicantes mini-
mum verò .a.o. probabo Cogitemus ergo .c.f. æqua-
jem eſſe differentiæ .c.e. cognitæ, vnde habebimus proportionem, a.c. ad .c.f. vt .a.o.
ad .o.e. & componendo .a.f. ad .f.c. vt .a.e. ad .e.o. & quia (ex ſuppoſito). a.c. commu-
nicat cum .e.c. hoc eſt cum .c.f. quare
ex eadem .9. dicti decimi .a.f. et .f.c.
communicabit cum .o.e. & per .9. a.e. cò
municabit cum .a.o. vnde per .8. a.o. communicabit cum .a.c. ſimiliter.
SED ſi nobis duo extremi termini propoſiti fuerint, & medium inuenire deſide
remus in dicta proportionalitate, ita faciendum erit.
Sint, exempli gratia, duo termini dati .q.b. et .b.r. minor .b.r. ex maiori .b.q. de-
trahatur, reſiduum verò .q.x. multiplicetur per .b.r. productum poſteà diuidatur per
q.r. vnde proueniet nobis .x.l. pro differentia minori, quæ addita cum .b.x. minimo
termino, dabit nobis .b.l. mcdium terminum harmonicum.
Pro cuius ratione cogitemus dictum medium terminum .b.l. iam inuentum eſſe,
vnde ita erit proportio .q.l. ad .l.x. vt .q.b. ad .b.r. ex forma huius proportionalitatis, quare coniunctim ita erit .q.r. ad .r.b. vt
q.x. ad .x.l. & proptereà ex .20. ſeptimi
le erit producto .q.x. in .b.r. Rectè igitur
fit cum diuiditur hoc productum per .q.r. vt proueniat nobis .x.l. differentia minor.
POſſumus etiam harmonicè diuidere vnam datam proportionem abſque aliqua
diuiſione productorum, ne nobis fractiones proueniant, hoc modo videlicet. Nobis propoſitum ſit diuidere harmonicè ſeſquialteram
tur primo minimi termini huius proportionis ut putà .3. et .2. quarum ſumma, hoc
eſt quinque, multiplicetur per minorem ideſt .2. vnde proueniet nobis .10. qui qui-
dem erit minor terminus trium quæſitorum, quorum maximus erit productum ſum
Vt
autem medium terminum harmonicum inter iſtos habeamus, accipiatur
ducti, quod fit ex primis minimis terminis, quod erit .12.
Cuius rei ſpeculatio eſt iſta:
ſignificentur duo termini datæ proportionis ab .q.b.
et .b.r. quorum ſumma erit .q.r. cuius quadratum ſit .q.o. ſit etiam imaginata .b.e.
parallela ad .o.r.
r.o. et .u.l. ad .q.x. Tunc habebimus .b.o. æquale ei producto, quod fit ex .q.r. in .b.r.
et .b.y. eidem etiam æquale, et .q.e. pro producto, quod fit ex .q.r. in .q.b. et .q.l. pro
eo, quod fit ex .q.x. in .b.r. Vnde .q.l. cum .b.y. æquale fiet duplo ei, quod fit ex .q.b.
in .b.r. Dico nunc .b.o. eſſe minimum terminum eorum, quos quærimus, et .y.b. cum .
x.u. medium .q.e. verò maximum huiuſmodi proportionalitatis.
Primum ergo certi ſcimus ex prima ſexti vel .18. ſeptimi eandem exiſtere pro-
portionem .q.e. ad .b.o. ſeu ad .b.y. quæ .q.b. ad .b.r: ſed .u.y. ad .u.x. eſt vt .y.l. ad .l.x.
hoc eſt vt .q.b. ad .b.r. ideſt vt .q.e. ad .b.o. & ſumma .u.y. cum .u.x. ideſt .q.y. minor eſt
quam .q.e. maximus terminus per .b.y. minimum ter-
minum. &
Vnde ex ſpeculatione
rematis, ſequitur .u.y. eſſe differentiam inter
& medium terminum, et .u.x. eſſe differentiam inter
medium & minimum dictæ proportionalitatis. Nam
eadem proportio eſt .q.e. maximi termini ad .b.o. mi-
nimi. quæ .u.y. (differentia inter .q.e. & gnomonem .
u.b.y.) ad .u.x. (differentia inter dictum .u.b.y. et .b.y.
minimum terminum, quia ſunt ambæ ut .q.b. ad .b.r.
vt diximus. Quare .b.y.
terminus erit, qui quidem (vt dictum eſt) duplus eſt ei
quod fit ex .q.b. in .b.r.
ALIVM etiam modum ab antiquis traditum ad hoc problema perficiendum
inueni, qui talis eſt. Inueniatur primo inter datos terminos extremos, me-
dius terminus in arithmetica proportione, per
deinde multiplicentur ipſi extremi interſe, vnde
habebimus tria producta eadem proportione inui
cem exiſtentia, vt quærebatur.
Exempli gratia, ponamus duos propoſitos ter-
minos eſſe .3. et .2. quorum medius arithmeticè
eſſet .2. cum dimidia vnitate, per quem cum vnum
quemque priorum multiplicauerimus,
bis duo producta, quorum primum ideſt maius eſſet
7. cum dimidia vnitate, reliquum verò eſſet
quinque, productum poſteà quod ex ipſis extremis
prouenit, erit .6. quod quidem eſt harmonicè collo
catum inter .7. cum dimidia vnitate, & quinque.
Cuius rei ſpeculatio omnis à præcedenti theore-
mate dependet. Sint exempli gratia, duo termini
de clarè patebit .o.k. eſſe dimidium ſummæ dictorum terminorum ex .75. theorema
te huius libri. Sit ergo productum a.t. id quod fit ex .a.e. in .o.k. et .o.t. ſit
quod fit ex .e.o. in .o.k. et .n.m. ſit productum quod ſit ex .a.e. in .e.o. quorum vnum-
quodque erit dimid ium vniuſcuiuſque producti præcedentis theorematis,
ex .18. et .19. ſeptimi Eucli. vnumquodque ſui relatiui. Quare argumentando per
mutando à concluſionibus præcedentis theorematis ad has præſentis, habebimus
productum.
MEDIVM autem contra
propoſitos terminos, ita faciendum erit, hoc eſt per ſummam datorum ex
tremorum diuidatur productum quod fit ex minimo termino in
rum, prouentus poſtea erit differentia inter maximum & med
Vt exempli gratia, ſi nobis propoſiti fuerint hi duo termini .3. et .2. ſumma eo-
rum erit quinque, per quam cum diuiſerimus productum, quod naſcitur ex mini-
mo .2. in differentiam eorum, quæ eſt vnum, quod quidem erit .2. tunc duæ quintæ
partes prouenient, quæ ſi demptæ fuerint ex maximo termino, reliquum erit .2.
3. quintis, hoc eſt medius terminus contta harmonicus.
Pro cuius ratione cogitemus .u.d. et .x.c. eſſe duosterminosnobis propoſitos, in-
ter quos deſideremus inuenire .o.s. medium ita illis
ſius ſupra .x.c. (qui ſit .e.n.) ad exceſ-
ſum .u.d. ſupra .o.s. (qui ſit .n.d.) ea-
Cogitemus igitur .x.c. coniunctum
eſſe cum .u.d. & hæcſumma vocetur .
b.d. vnde habebimus proportionem .
u.d. ad .u.b. vt .e.n. ad .n.d. Quare
ponendo
bis cognitę ſunt, ideò .d.n. ex .20. ſeptimi cognita nobis erit.
SVpponunt antiqui aliquot mercatores dantes pecunias lucro in diuerſis vnius
anni temporibus, tunc in fine anni ſumma torius lucri datur cognita, ſed quæ-
ritur quantuni
Exempli gratia, primus in principio anni poſuit .100. aurcos, ſecundus verò .100
diebus poſt primum poſuit .50. aureos tertius autem .200. diebus poſt primum po-
ſuit .25. aureos ſumma lucri poſtea in fine anni fuit aureorum .60.
Nunc vt ſciamus quantum huius ſummæ vniduique illorum proueniat, præcipit
regula, vt faciamus tria producta, quorum primum ſit ex numero dierum totius an-
ni in numerum aureorum primi, vnde tale productum in præſenti caſu erit .36500.
ſecundum verò ſit ex numero dierum à primo die in quo ipſe ſecundus poſuit uſque
ad finem anni, in numerum ipſorum nummorum, quod erit .13250. tertium autem
productum ex diebus tertij in numerum ſuorum aureorum, quod
quæ producta ſimul collecta faciunt .53875. deinde multiplicetur vnumquodque
producti erit .2190000. multiplicatio verò ſecundi producti erit .795000. tertij po
ſtca erit .247500. quarum multiplicationum vnaquæque diuidatur per ſummam
53875. productori
tegri diuiſi in partes .53875. quod erit lucrum primi, prouentus autem ſecundæ di-
uiſionis erit .14. cum fractis .41050. vnius integri diuiſi in partes .53875. lucrum
diprouentus verò quartæ diuiſionis erit .4. cum fractis .32000. vnius integri, vt ſu
pra diuiſi in partes .53875. hoc eſt lucrum tertij.
Cuius rei ſpeculatio ex ſe in ſub ſcripta figura patet, vbi .a.q. ſignificat numerum
dierum totius anni pro primo mercatore .q.n. autem ſignificat numerum dierum ſe
cundi mercatoris .e.q. poſteà ſignificat numerum dierum tertij ſit etiam .s.a. pro nu-
mero denariorum primi, et .o.n. pro numero ſecundi, et .e.t. pro numero
tertij, productum autem .q.s. ſignificet valorem primi lucri, et .q.o. ſecundi,
et .q.t. tertij .x.y. autem ſignificet ſummam lucri omnium, et .x.i. ſignificet
partem primi, et .i.p. ſecundi, et .p.y. tertij. vnde clarè patebit ex communi
ſcientia quòd eadem proportio erit .x.y. ad .x.i. quæ aggregati omnium producto-
rum .q.s: q.o. et .q.t. ad .q.s. & ita .x.y. ad .i.p. vt aggregati dictiad .q.o. et .x.y. ad .p.y.
vt dicti aggregati ad .q.t. Rectè igitur ex regula de tribus multiplicatio .q.s. in .x.y.
diuiditur per aggregatum omnium
ret, ſi ex dicto aggregato, prouenit
x.y. quid proueniet vnicuique
rũ
riorum
a.s. primi vt putà. n.b. tunc eius
ſignificaretur à rectangulo .q.b. & ita
de tertio dico
ctãgulo
cunias eodem tempore poſuiſſent, tunc rectangula ſignificantia eorum lucra eſlent
q.s.q.d. et .q.f. ſed cum nec eodem tempore, nec eandem quantitatem poſueruntr
ctè eorum lucra ſignificantur à rectangulis .q.s.q.o. et .q.t.
19.
NIcolaus Tartalea in primo libro vltimæ partis numerorum ad .35. quæſitum
docet inuenire quantitatem laterum vnius propoſiti trianguli, cuius la-
r
ipſe Tartalea vtiturregula algebræ, mihi viſum eſt breuiori methodo hoc idein fa
cere, & etiam vniuerſaliori via.
Supp onamus igitur duo triangula, quorum vnum .u.n.i. ſit nobis
cognitæ ſuperficiei, proportiones ſimiliter laterum .i.n. ad .n.u: et .u.n. ad .u.i. ſint no
bis datæ,
er ſe proportionata eodem modo, quo latera prioris trianguli, ſed hæc nobis
cognita ſint, Nunc vero ſi
lateris, ex quadrato .o.u. maximi, relinquet nobis duplum producti .o.u. in .u.e. per
quòd fit ex .o.u. in .u.e. conſequenter nobis cognitum erit, & quia .o.u. nobis cogni-
ſi
tũ
a.e. ſi multiplicata fuerit in dimidium .o.u. dabit nobis
41. dicti libri. Et quia proportio trianguli .a.o.u. ad triangulum .u.i.n. (propter ſimi
litudinem) eſt vt quadrati .o.u. ad quadratum .n.i. ex communi ſcientia cum vna-
quæque iſtarum proportionum dupla ſit proportioni .o.u. ad .n.i. ex .17. et .18. ſexti,
deinde cum nobis cognitæ ſint tres iſtarum quatuor quantitatum hoc eſt ſuperficies
trianguli .a.o.u. ſuperficies trianguli .u.n.i. & quadrati .o.u. quare ex regula de tribus
cognoſcemus etiam quadratum .n.i. & ſic .n.i. latus primi trianguli, vnde reliqua la
tera illicò nobis innoteſcent exipſa regula de tribus, cum dixerimus, ſi .o.u. dat nobis
u.a. tunc .i.n. dabit .u.n. quòd etiam infero de .u.i.
Poſſemus etiam ita hoc perficere,
ſcilicet inuenire .x. quantitatem me-
perficies triangulorum, vnde ſuper-
ficies trianguli .i.a.u.o. ad .x. ſe ha-
beret ut .o.u. ad .i.n. & ita ex regula
detribus cognoſcemus .i.n. Multo
pore poſtquàm hoc theorema conſtruxi, ipſum conſcriptum inueni in decimo
ſecundi libri Ioannis de monte Regio, ſatis tamen obſcurè expreſſum.
IN eodem primo libro vltimæ partis numerorum, Tartalea probat, via algebrę
quòd quælibet duo latera trianguli orthogonij, angulumrectum continentia,
ſint tertio longiora per diame-
ſo triangulo. ſed hoc breuius
geometricè poteſt
quemadmodum in ſubſcripta
hic figura videre eſt, proptereà
quòd cum anguli .A.o.u. et .n.
omnes ſint recti et .A.u. æqualis
o.n. et .A.n. ęqualis .u.o. ipſæ .A.
u. et .A.n. æquales erunt diame-
tro ipſius circuli. Sed eædem .
A.u. et .A.n. ſunt ſuperfluum, quo .A.B. et .A.C. ſunt maiores .B.C. cum .B.u. et .C.n.
ſint æquales .B.C. ex penultima tertij Eucli.
SImiliter in nono capite ſecundi libri nouæ ſcientiæ poterat ipſe Tartalea breuio
ri methodo abſque vlla operatione ipſius Algebræ inuenire .A.H. reſpectu .A.
E. eſſe vt .4. quare
ex penultima primi .A.L. erit radix quadrata quadrati .200. ideſt .14. cum vno ſepti-
mo ferè. quare .A.L. iuncta .A.O. erit .28. cum duobus ſeptimis.
ſed .L.O. ex ſuppoſi-
to erit .20. eo quòd .L.I. ęquatur ipſi .A.I. ſimiliter et .I.O. vt ipſe etiam probauit. qua
dempta ex .L.A.O. relinquetur .H.A.M. (nam .L.H. cum .O.M. æquatur ipſi .L.O. ex .
35. tertij ipſius Eucli. partium .8.
4. cum una ſeptima, quod eſt propoſitum. Reſpice figuram ipſius Tartaleæ.
QVadrageſimum nonum quæſitum ſimiliter poſſumus alio modo ſoluere, vt
putà cum vnumquodque latus rhombi ſimul cum area cognitum, ſeu datum
nobis ſit
quadratorum .a.o. et .o.d. ex penultima primi Euclid. cúmque nobis cognita etiam
ſit totalis ſuperficies rhombi, cognita etiam nobis erit eius medietas, hoc eſt produ-
ctum .o.d. in .o.a. vnde ex methodo .37. Theorematis cognoſcemus .a
etiam eorum dupla, quod quærebatur.
PVlchrum quæſitum fuit id, quod Tartalea ponit pro .18. noni libri in quarto fo-
lio, quod huiuſmodi eſt. Aliquis habet dolium mero plenum, ex quo
duas vrnas extrahit ipſius vini, ſed loco ipſius vini infundit duas vrnas aquæ. Dein
de poſt aliquot dies extrahit iterum alias duas vrnas illius miſti, & iterum infundit
duas vrnas aquæ, & poſt alios aliquot dies idem facit, & hac vltima tertia vice in-
uenit aquam tantam eſſe, quantum vinum. Quæritur nunc quot vrnas capiat il-
lud dolium.
Solutio ipſius Tartaleæ bona eſt, cum ſupponat illas quatuor quantitates vini eſſe
inuicem continuas proportionales, vt putà primò totum vinum merum, poſteà re-
ſiduum pro ſecunda quantitate, deinde pro tertia in ſecunda, & pro quarta in ter-
tia extractione, hoc eſt quòd proportio totius vini meri ad vinum in prima ſit, vt hu
ius ad vinum in ſecunda, & vt huius ad vinum in tertia miſtione. Sed quia ipſe
non probat hanc continuam proportionalitatem ex methodo ſcientifica, mihi
eſt hoc loco illam deſcribere.
Cogitemus igitur a.u. pro capacitate dolij, et .a.i. pro quantitate duarum vrna-
rum. Nunc uerò ſupponamus quamlibet partem huius miſti omogeneam eſſe ſuo
toto, quapropter ſequetur eandem proportionem eſſe vini ad aquam in qualibet
parte, quæ erit in toto, & ideò imaginemur .e.o. æqualem .a.i. Sed in puncto .i. tali
modo diuiſam, vt proportio .i.e. ad .i.o. eadem ſit quæ .i.a. ad .i.u. Supponamus
portio ſit .a.i. ad .i.u. vt .e.i. ad .i.o. ita erit (ex .19. quinti). a.e. ad .o.u. ut .a.i. ad .i.u. &
vt reſidua totorum æqualium) ad .o.u. quemadmodum .a.i.u. ad .i.u. Quare .i.u. erit
media proportionalis inter .a.u. et .o.u. vnde proportio .a.u. ad .o.u. dupla erit pro
portioni .i.u. ad .o.u. Nunc autem cum extracta fuerit quantitas .e.o. ex primo mi-
ſto, & poſteà infuſa aqua vſque ad plenitudinem dolij, proportio ingredientium
huius ſecundi miſti erit ea, quæ eſt inter .o.u. et .o.a. eo quòd in prima miſtione pro-
proportio ingredientium erat ea, quæ eſt inter .o.u. et .a.e. vel inter .a.e. et .o.u.
vt demonſtrauimus. Accipiamus ergo .t.m. huiuſmodi ſecundi mifti, magnitudi-
nis .a.i. vel .e.o. ſignificantis duas vrnas, & permutemus eum in tantam aquam,
tione inuicem relatas, vt ſunt .o.u. et .o.a. vnde habebimus ex ſupradictis rationibus
eandem proportionem ipſius .a.t. ad .m.u. vt .a.o. ad .o.u. & componendo .a.t. cum .m.
u. hoc eſt .i.m.u. (eo quod cum .t.m. æqualis ſit .a.i. per conſequens .i.m. æqualis erit .
a.t.) ad .m.u. vt .a.o.u. ad .o.u. ſed proportio .a.o.u. ad .o.u. dupla erat proportioni .i.o.
u. ad .o.u. quemadmodum ſupra diximus. Ergo proportio .i.m.u. ad .m.u. erit dupla
ſimiliter proportioni .i.o.u. ad .o.
u. quapropter .o.u. erit media pro
Ec-
ce igitur quomodo eadem eſt pro
portio .a.u. ad .i.u. quæ .i.u. ad .o.u. & quæ .o.u. ad .m.u. qui quidem modus neceſſarius
eſt vt intellectus acquieſcat, id quod experientia non facit.
PRæcedens Tartaleæ quæſitum elegans quidem eſt, ſed pulchrum etiam vide-
tur quærere proportionem ingredientium in ultima miſtione, cum cognita fue
rit nobis proportio continentiæ dolij ad capacitatis vrnæ ſimul
extractionum & impletionum.
Exempli gratia, ſi proportio .a.u. ad .a.i. cognita nobis fuerit, cognoſcemus etiam
e.i. ex regula de tribus & per conſequens etiam .i.o. reſiduum ex .e.o. & ſimiliter ag-
gregatum .a.i. cum .i.o. & ſic .o.u. reſiduum totius, et .o.t. ſimiliter, eo quòd .a.u. ad .a.
o. eſt ut .t.m. ad .o.t. vnde cognoſcemus etiam .o.m. vt reſiduum .t.m. & ſimiliter ag-
gregatum .a.o. cum .o.m. hoc eſt .a.m. & etiam .m.u. reſiduum totius.
Cognoſcere autem proportionem totius dolij ad vrnam, vel ècontrà, cum cogni
ta nobis fuerit proportio ingredientium in vltima miſtione ſimul cum numero vi-
tium extractionum, & repletionum, quod ſcribit Tartalea, hoc etiam modo
poſſumus.
Exempli gratia, ſi proportio .m.u. ad .m.a. cognita nobis fuerit, illicò ſcie-
mus proportionem .a.u. ad .m.u. & cum ſciuerimus numerum vitium extractionum,
& impletionum illicò cognoſci-
mus multiplicitatem proportio-
nis .a.u. ad .m.u. ad proportionem .
tio .o.u. ad .m.u. nobis cognita erit
hoc eſt .a.u. ad .i.u. & ſimiliter ea, quæ eſt .a.u. ad .a.i. & è conuerſo ſimiliter.
Vnde cum aliquis diceret priori modo, dolium habeo vrnarum .400. vini, & per
vices .25. extraxi & impleui ipſum, vt dictum eſt. Nunc verò velim ſcire proportio-
nem vini ad a quam hac vltima vice. Nunc igitur ſi procedemus iuxta doctrinam
primi exempli huius theorematis, obtinebimus quod quærebamus.
Sed ſi diceret iuxta Tartaleæ quæſitum, hoc eſt dolium habeo, quod ignoro quot
eſt, ita vt vltima vice proportio vini ad aquam ſit ſeſquialtera. Tunc ſi iuxta mo-
dum ſecundi exempli huius theorematis procedemus habebimus quod cupimus.
Alio etiam modo aliquis quærere poſſet, hoc eſt, habeo
vrnas. Habeo etiam vas trium vrnarum, quo mediante me oportet extrahere, &
implere. Velim tamen ſcire quoties me hoc facere oporteat, ita vt poſtrema vi-
ce vinum ſe habeat ad aquam in proportione ſeſquialtera, vnde multoties accidet
vltimam extractionem, & impletionem mutilatam, ſeu imperfectam, euadere.
Exempli gratia, ſi proportio vini ad aquam in vltima miſtione deberet eſſe vt .n.
u. ad .n.a. ita vt extrema vice fuiſſet .t.m. quæ quidem .t.m. excederet terminum per .
n.m. quæ .n.m. reuera eſſet nobis cognita, eò quòd ex priori modo hic ſupra dicto
proportio .a.m. ad .m.u. nobis in-
noteſceret, & proportio .n.a. ad .
n.u. nobis data eſt ſimul cum
quare quantitas .n.u. &
m.u. nobis cognita, remanebit, et
n.m. eorum differentia ſimiliter, etiam, et .t.n. reſiduum vaſis, quo metimur, vnde
neceſſe erit, quo
HIeronymus Cardanus in lib. ſuæ arithmeticæ cap .66. quæſtione .56. quam Car
danicam vocat, ita inquit.
Quidam perambulauit prima die certam quantitatem ſpatij, & ſecunda die,
tò
ſecunda, quantò proportionaliter portio lineæ diuiſæ ſecundum proportionem ha
bentem medium, & duo extrema excedit minorem portionem, & quarta die in
proportione ad tertiam vt ſecunda ad primam, & quinta die proportionaliter tan-
tò plus quarta, quantò in tertia plus ſecunda, & ita alternatis vicibus in diebus no-
uem peregit nouem milliaria. Quæritur igitur quantum ambulauit die prima.
Hoc autem nihil aliud eſt, quàm ſi aliquis diceret, propono tibi, exempli gratia,
lineam .a.l. nouem partibus inuicem non æqualibus ita diuiſam .a.c: c.d: d.e: & cæte-
ris, quarum partium proportiones tibi etiam do, vt putà. a.c. ad .c.d. et .c.d. ad .d.e. et .
d.e. ad .e.f. & ſic de cæteris vſque ad poſtremam .k.l. quæ quidem proportiones ſint
etiam inuicem diſſimiles, ſeu inæquales, do tibi etiam
ad .a.b. ſuam partem, quæ vt in propoſito exemplo nonupla eſt.
Quæro nunc quam proportionem habebit .a.c. ad .a.b. & ſic de cæteris partibus
eiuſdem ad eandem .a.b.
Quod quidem facillimum erit ſpeculari, nec non operari vnicuique, qui omnino
practicæ numerorum ignarus non fuerit, dum ab ordine ſcientifico non diſcedat.
Cum enim cognoſcimus proportionem .a.c. ad .c.d. conſequenter cognoſcemus
ctiam proportion em aggregati .a.c.d. ad .c.d. cum autem cognouerimus proportio-
proportionem .a.d. ad .d.e. quare etiam eam quæ .a.e. ad .d.e. collocando poſteà.
d.e. inter .e.f. et .a.e. innoteſcet ea, quæ eſt .a.e. ad .e.f. & ita gradatim accedenrus ad
perfectam cognitionem proportionis totius .a.l. ad .k.l. Nunc autem mediante .k.l.
cognoſcemus proportionem totius .a.l. ad .i.k. & hac mediante, cam cognoſcemus,
quæ totius .a.l. ad .g.h. & hac mediante eam quæ totius .a.l. ad .f.g. & ſic gradatim, co
gnita nobis erit proportio totius
lineæ .a.l. ad ſuam partem .a.c. be-
gnoſcemus proportionem a.c. ad
a.b. & ſic aliarum reſpectu lineæ .a.b. vt quærebatur, quæ quidem propoſitio, etſi car
danica uocetur leuiſſima tamen eſt.
QVamuis multi de modo in ſumma colligendi, ſubtrahendi,
uidendi proportiones ſcripſerint, nullus tamen (quod ſciam) perfectè, ac
ſcientificè ſpeculatus eſt has operationes, quapropter hanc rem cum ſilentio tranſi
re nolui, quin aliquid de ipſa conſcribam à ſumma dictarum proportionum in-
cohando.
Quotieſcunque igitur volunt duas proportiones inuicem aggregare, ſimul ea-
rum antecedentia multiplicant, & ſimiliter earum conſequentia. Tunc proportio
terminata ab illis productis euadit in ſummam illarum duarum propoſitarum
proportionum.
Vt exempli gratia, ſi voluerimus colligere proportionem ſeſquialteram cum ſeſ-
quitertia, multiplicando .3. cum .4. antecedentia ſcilicet, pro ductum erit .12. poſteà
multiplicando .2. cum .3. conſequentia, tunc productum erit .6. Proportio igitur,
quæ inter .12. et .6. reperitur. (quæ dupla eſt) eſt ſumma propoſitarum
Cuius rei ſpeculatio erit huiuſmodi ſint .x. et .u.
duo antecedentia quarunruis proportionum .t.
autem antecedentium ſit .a.g. illud verò quod
ſequentium ſit .d.a. vnde proportio .a.g. ad .a.d.
compoſita erit ex proportione .x. ad .t. & ex ea,
quæ eſt .u. ad .n. per .24. ſexti vel quintam octaui. Patet igitur ratio rectè faciendi, vt ſuprà dictum
eſt.
QVotieſcunque deinde detrahere volunt vnam proportionem ex altera mul-
tiplicant antecedens vnius cum conſequenti alterius. Tunc proportio, quę
inter talia duo producta incluſa reperitur, eſt reſiduum, ſeu differentia illarum dua-
rum proportionum datarum.
Vt exempli gratia, ſi aliquis vellet ex proportione dupla detrahere ſeſquialte-
ram, multiplicaret .2. antecedens duplæ cum .2. conſequenti ſeſquialteræ, quorum
productum eſſet .4. pro antecedenti reſiduę proportionis. Deinde multiplicaret .3
antecedens ſeſquialteræ cum .1. conſequenti duplæ, & productum eſſet .3. pro quæ quidem reſidua proportio eſſet vt .4. ad .3. hoc
eſt ſeſquitertia, & ſic de cæteris.
Pro cuius ratione, ſit proportio .x. ad .n. ea quæ (exempli gratia) maior ſit, à
qua volumus demere proportionem .t. ad .u. minorem ſcilicet. Nunc autem
productum .x. in .u. ſit .a.g. illud verò .t. in .
n. ſit .a.d. Tunc dico proportionem .a.g. ad .a.
Sit .b.a. productum
u. in .n. vnde eadem proportio erit producti .a.
g. ad productum .a.b. quę .x. ad .n. et .a.d. ad a.b.
quæ .t. ad .u. ex prima ſexti, ſeu .18. vel .19. ſe-
ptimi, ſed proportio .a.g. ad .a.b. hoc eſt .x. ad .
n. componitur ex ea, quæ eſt .a.g. ad .a.d. & ea,
quæ eſt .a.d. ad .a.b. hoc eſt .t. ad .u. ergò ea, quę
eſt .a.g. ad .a.d. erit quàm quærebamus.
RATIO verò, quòd rectè fiat, quotieſcunque aliquam proportionem dupli-
care volentes, quadramus terminos ipſius proportionis, vel ſi eam triplicare
voluerimus, cubamus ipſos terminos, vel ſi eam quadruplicare voluerimus
inuenimus cenſicos cenſicos terminorum ipſius proportionis, & ſic de ſingulis, in .17
Theo. huiuſmodi tractatus manifeſta eſt.
QVotieſcunque nobis propoſiti fuerint duo numeri ad libitum, deſideraremus
q́ue duas proportiones tali relatione inuicem refertas, quali ſunt hi duo pro
poſiti numeri inter ſe, ita faciendum erit.
Sciendum primo eſt proportionem maioris numeri propoſiti ad minorem ſem-
per eſſe alicuius ex quinque generum, hoc eſt aut erit generis multiplicis, aut ſu-
perparticularis, aut multiplicis ſuperparticularis, aut ſuper partientis, aut multi-
plicis ſuperpartientis.
Nunc autem ſi erit ex genere multiplici, iam ab antiquis traditus eſt modus,
ſequi debemus. Cuius ſpeculatio à me inuenta patet .in .17. Theo. huius libri, vt
in præcedenti dixi.
Sed ſi talis proportio datorum numerorum erit alicuius aliorum generum, ita
agemus, ſi fuerit ſuperparticularis.
Sit exempli gratia, ſeſquialtera, tunc ſumantur duo numeri inuicem inæquales,
quos à caſu volueris .o. et .c. qui quidem cubentur, & eorum cubi ſint .a. et .e. Inuenia
tur poſteà. u. ita proportionatus ad .o. vt .o. eſt ad .c. ex regula de tribus, hoc eſt diui-
dendo quadratum ipſius .o. per .c. vnde nobis proueniat .u. & quia proportio .a. ad .e.
tripla eſt proportioni .o. ad .c. & proportio .u. ad .c. dupla eſt
proportio .a. ad .e. ſeſquialtera erit proportioni .u. ad .c.
Sed ſi proportio numerorum propoſitorum fuerit ſeſquitertia, faciemus .a. et .e.
eſſe cenſica cenſica ipſius .o. et .c. tunc ſumemus .u. conſequentem ad .o. vt dictum eſt,
deinde inueniremus .i. conſequens ad .u. ita ut .u. conſequens ipſius .o. tunc habebi-
mus proportionem .i. ad .c. triplam, & eam quæ eſt .a. ad .e. quadruplam proportio-
Idem dico de reliquis proportionibus ſuperparticularibus.
Sed ſi data proportio numerorum fuerit ex ſuper partientibus, vt exempli gra-
tia de quinque ad tria, efficiemus, vt .a. et .e. ſint prima relata ipſius .o. et .c. vnde
proportio .a. ad .e. ita ſe habe-
bit ad proportionem .o. ad .c.
tio .i. ad .c. ut tria ad Qua-
re proportio .a. ad .e. ad pro-
portionem .i. ad .c. ſe habebit,
vt quinque ad tria, & ſic de reliquis.
Pro alijs, eundem ordinem ſeruando, obtinebimus quod volumus.
QVamuis in .16. ſexti et .20. ſeptimi manifeſtè pateat ratio, quare rectè fiatac
cipiendam radicem quadratam illius producti, quod fit ex duobus datis
terminis, vt medium proportionale geometricè inter ipſos habeamus: nihilomi-
nus, quia per aliam methodum hoc idem ſcire poſſumus, inconueniens non erit a-
liquid circa hoc dicere.
Cogitemus igitur exempli gratia, tres numeros continuè proportionales geo-
metricè .a.b: c.d. et .e.f. quorum .a.b. et .e.f. tantummodo nobis cogniti ſint, imagine-
mur etiam .g.a. eſſe productum quod fit ex .a.b. in .e.f. et .d.k. quadratum .c.d. et .a.h.
id quod fit ex .a.b. vnde eandem proportionem habebimus .a.h. ad .a.g. quæ eſt .h.b.
ad .b.g. ex prima .6. aut .18. vel .19. ſepti-
mi, ſed per .11. octaui ita eſt quadrati .a.
eſt vt .h.b. ad .b.g. ergo per .11. quinti ita
erit .a.h. ad .a.g. vt ad .k.d. vnde .a.g. æqua
le erit .k.d. per .9. quinti. Rectè ergo erit
accipere radicem quadratam .a.g. pro .c.
d. quod etiam eſt diuidere vnam datam
æquales partes, non dubito quin poſſer aliquis dicere non oportere vti poſteriori-
bus Theorematibus ad demonſtrandum priora illis, ſed hoc .148. dictum ſit luden
di loco.
ris continuè, & geometricè proportionalibus, quorum duo extremi tantum-
modo nobis cogniti ſint, rectè factum ſit quadrare primum eorum, & hoc quadra-
tum poſteà per alium terminum cognitum multiplicare, cuius producti demum ac-
cipere radicem cubam pro ſecundo termino quæſito, hocloco videbimus.
Imaginemur quatuor terminos continuè proportionales, vt dictum eſt, eſſe.
a.b: c.d: e.f. et .g.h. quorum .a.b. et .g.h. nobis tantummodo cogniti ſint,
tione deſcriptus cubus .a.q. primi termini,
mus etiam baſim .a.i. quadratam ipſius cubi .a.q. hoc eſt præcedentem dignitatem ip
ſius cubi eiuſdem radicis, quæ quidem baſis .a.i. multiplicetur per quartum
g.h. productum autem ſit .g.a. vnde eadem proportio erit .a.q. ad .a.g. quæ .b.q. ad .b.
g. per .25. vndecimi, ſed per primam ſexti, vel .18. aut .19. ſeptimi ita eſt .q.i. ad .i.g.
vt .b.q. ad .b.g. quare per .11. quinti
ita erit .a.q. ad .a.g. vt .q.i. ad .i.g. ideſt
ſic eſt .a.q. ad .k.d. per .36. vndecimi,
ſeu per .11. octaui, vnde per .11. quin
ti ſic erit .a.q. ad .a.g. vt ad .k.d. Qua-
re per .9. eiuſdem .a.g. ęqualis erit .k.
d. Vnde rectè erit accipere radicem
cubam .a.g. pro
id, quod nobis inſeruit ad inueniendam tertiam partem vnius propoſitæ propor-
tionis.
Supponamus .a.q. et .k.d. eſſe duas dignitates quas volueris vnius, ſed eiuſdem
ſpeciei, et .a.i. dignitas præcedens dignitatem .a.q.a. cuius multiplicatione in .a.b.
eius radix producitur dignitas .a.q. & ab ipſius .a.i. multiplicatione in .g.h. reſultet .a.
g. vnde ex .18. vel .19. ſeptimi eadem proportio erit .a.q. ad .a.g. quæ .a.b. ad .g.h. ſed
eadem etiam eſt .a.q. ad .k.d. ex ijs, quæ in .17. theoremare dixi, vnde ex .11. quinti,
ita erit .a.q. ad .a.g. vt ad .k.d. Quapropter .a.g. æqualis erit .k.d. & ideo cum inuenta
fuerit radix huiuſmodi dignitatis ex quantitate .a.g. habebimus .c.d. ſecundum ter-
minum quæſitum.
nis inuenire, rectè faciat, ſi accipiat radices quadratas illorum datorum rer-
minorum, etſi voluerit tertiam partem, accipiat radices cubas: ſi autem quartam,
accipereradices cenſicas cenſicas ipſorum, & ſic de ſingulis in .17. Theoremate om-
nia patent.
per fractos, rectè faciat prius multiplicando eam per numeratorem, dein-
de productum diuiſerit per denominationem ipſorum fractorum.
Vt exempli gratia, cum aliquis voluerit multiplicare proportionem ſeſquiquar-
tam per duo tertia, multiplicabit prius ipſam proportionem per numeratorem .2.
& productum, erit proportio .25. ad .16. qua poſtea diuiſa per .3. denominatorem,
prouentus erit proportio radicis cubæ .25. ad radicem cubam .16. vel vt proportio.25. ad radicem cubam .10000. quæ quidem proportiones æquales inuicem ſunt, cu
tam vna, quàm alia, ſit tertia pars totius.
Pro cuius ratione cogitem is .a.b. eſſe aliquod totum, quod multiplicare cupimus
per duas tertias, quod
totius ſuperficialis, imaginemur igitur hoc totum .a.b. lineare diuiſum eſſe in tertias
partes mediantibus .e. et .d. & tunc multiplicando ipſum per 2. tertias lineares produ-
ctum erit .a.c. ſex vnitatum ſuperficialium, quod quidem productum poſteà diuiſum
per .3. dabit .d.c. hoc eſt duas tertias ſuperficiales (quæ eſt tertia pars ipſius .a.c.) &
ęquales numero .c.b. duabus vnitatibus linearibus, ideſt duabus tertijs ipſius .a.b. No
tandum etiam eſt, quòd cum ferè omnia reducantur ad regulam de tribus, proptereà
etiam multiplicatio alicuius quantitatis per aliam quantitatem, nihil aliud eſt quàm
quædam operatio ipſius regulæ de tribus, vt eyempli gratia volo multiplicare .25.
per 20. hoc nihil aliud eſt niſi quærere alium numerum ita proportionatum ad .25.
vt 20. ſe habetad vnum, vnde multiplicando .25. cum .20. & productum diuidendo
per vnum exregula de tribus, prouentus eſt idem numerus ipſius producti, & propte
rea cum volumus multiplicare aliquem numerum per fractos hoc nihil aliud eſt
quàm quærere aliquem numerum ita proportionatum ad ipſum numerum datum,
vt ſe habet numerator ad denominatorem, exempli gratia ſi .24. aliquis voluerit mul
tiplicare per duo tertia hoc idem eſt vt ſi quæreret numerum ad quem .24. ita ſe
habeat, vt .3. ad .2. & idem dico de proportionibus, hoc eſt quod aliud non eſt mulri-
plicare aliquam proportionem per fractos, quàm aliam proportionem quærere ad & hoc exregula de tribus
perficitur,
portionem per
proportio, ad quam data ſe habebit, vt denomi-
nator ſe
gulę de tribus. Ratio verò methodi
datam
cum idem ſit modus diuidendi quemhbet nume
rum integrum per fractos. Quare, quæ vnius,
& alterius eſt ratio.
NIcolaus Tartalea in .3. lib. quintæ partis numerorum ſoluit .24. quæſitum ſi-
bi propoſitum à Hieronymo Cardano, via particulari & non generali. Quæ-
ſitum autem tale eſt quamlibet propoſitam rectam lineam in duas partes ita diuide
re via Euclidis, ut cubus totius lineæ ad cubos partium ſe habeat in proportione
tripla.
Tartalea igitur inquit quòd vt ſatisfiat ſpeculatiuis ingenijs ſoluendum ſit huiuſ-
modi quæſitum, ſecando lineam propoſitam .a.b. in tres æquales partes, quarum vna
fit .c.b. vnde problema ſolutum erit.
Verum dicit, ſed hæc non eſt methodus generalis, proptereà, quod cum tale
problema alterius fuiſlet proportionis quam triplæ, talis methodus nihil valeret.Quapropter non tacebo quod mihi in mentem venit circa hoc problema.
Sit ergo linea .a.b. diuiſibilis in puncto .c. ita vt cubum totius dictæ .a.b. lineæ ad
ſummam cuborum
exempli gratia, vt .125. ad .65. vt vitemus fracta pro nunc, notantes talem propor-
tionem quadrupla nunquam maiorem eſſe poſſe, vt quilibet ex ſe contemplari po-
teſt, conſtituendo punctum .c. in medio loco inter .a. et .b. vnde proportio totalis
cubi ad ſummam partialium eſſet omnium maxima quæ poſſint eſſe, collocando .c.
vbi volueris in dicta linea .a.b. & hæc eſſet quadrupla.
Sed vt ad propoſitum reuertamur, conſiderabimus cubum totalem ipſius .a.b.
eſſe vt .125. & ſummam partialium vt .65. quam detrahemus ex cubo totali & nobis
remanebit .60. pro ſumma trium ſolidorum inuicem æqualium, quorum longitu-
do vniuſcuiuſque erit tota linea .a.b. nobis cognita vt radix dati cubi totalis, quæ erit
in hoc exemplo quinque partium, latitudo verò vniuſcuiuſque dictorum
erit .a.c. pars maior ipſius .a.b. quæ quidem .a.c. adhuc nobis ignota eſt, profunditas
ſeu altitudo vniuſcuiuſque illorum ſolidorum, erit .c.b. pars reliqua ipſius .a.b. &
nobis incognita, ſed quia ſumma horum trium ſolidorum nobis manifeſta ſuperius
fuit, quæ erat .60. propterà nobis cognita erit quantitas vniuſcuiuſque illorum ſoli-
dorum, vt tertia pars totius ſummæ ipſorum quæ erit .20. in propoſito
de cum vnumquodque illorum ſolidorum producatur à ſuperficie contenta ſeu pro
ducta ab .c.a. in .c.b. in tota linea .a.b. ſequitur quòd ſi diuiſerimus hoc ſolidum .20.
per lineam .a.b. quinque partium proueniet nobis cognita ſuperficies producta ab .
a.c. in .c.b. quatuor partium, ſed cum quadratum totius .a.b. nobis cognitum ſit, eo
quod .a.b. vt eius latus etiam cognitum eſt. Tunc dictum quadratum erit .25. quod
quidem æquale eſt quadruplo illius quod fit ex .a.c. in .c.b. ſimul cum quadrato diffe
rentiæ inter .a.c. et .c.b. per .8. ſecundi Eucli. Vnde quia quadruplum illius quod fit
ex .a.c. in .c.b. nobis cognitum eſt, vt
16. eo quod ſimplum quod eſt .4.
plum .16. demptum fuerit ex totali
quadrato .25. reliquum erit .9. qua
hoc eſt illius partis, quæ differentia
eſt inter a.c. et .c.b. quæ quidem erit
3.
tracta fuerit ex .a.b. reliquum erit du
plum ipſius .c.b. duo ſcilicet. Quare .
c.b. erit vt .I. et .a.c. vt .4. & productum .a.c. in .c.b. erit .4. vnitatum ſuperficialium. & c.
cum Petreius Tipographus nuper totam ſuam Arithmeticam re
cepiſſet, mox poſteà per literas petijt
Similiter poſt inciſas omnes ſuperiorum Theorematum figu-
ras,
ſcientiarum ornatiſſimus maxima neceſſitudine mecum coniun-
ctus monuit me, vt aliquid de regula falſi ſcribere vellem, cuius
ſuaſu hæc, quæ ſequuntur appendicis vice ponere libuit, nelector, quidpiam quod
ad hancrem pertinet iure merito à nobis deſiderare poſſet; vt autem ad ipſam
gulã
ipſo Stifelio maximè conuenio, putans regulam falſi, ſeu falſarum poſitionum in-
uentam fuiſſe per paruos numeros in quæſtionibus facillimis & cognitis, eodem fer
mè modo, quo ipſe monſtrat illis duobus exemplis, quæ quamuis ipſe appellet theo
remata, nihilominus the oremata ego illa non vocarem, niſi adiuncta fuerit ſpecu-
latio ab ipſo præterita, & non experientia tantummodo, vt ipſe fecit. Primum eius
exemplum eſt, quòd.
Quorumcumque
gatum eorum, producit ipſam differentiam, quæ eſt inter quadrata eorum.
Secundum verò exemplum eſt, quod.
Datis tribus numeris ſecundum progreſſionem arithmeticam diſpoſitis, facit mul
tiplicatio medij in ſe,
ne differentiarum inter ſe.
Talia enim exempla ipſe aliter non probat niſi experientia in aliquibus numeris,
arbitratus ex eo inuentam eſſe regulam falſi, experientia tantummodo confirma-
tam, quod quidem etiam & ego credo. At experientia in philoſophia mathema-
tica, aut
ſuis propoſitionibus, & præcipuè in eius ſecundo libro, ſi ſufficeret experientia. Id-
circo quo magis ad euidentiam ipſius veritatis, quam profiteor, deuenire poſſim,
ipſius Stifelij hic ſuperius citatum,
& pro numero maiori, in prima hic
cuius quadratum ſit .a.c: pro minori
vero numero capio .a.e.
a.i. cuius quadratum fit .a.t. differen
tia autem horum numerorum erit .
e.i. reliqua pars ipſius .a.i: & differen
tia ipſorum quadratorum erit gno-
mon .e.c.o: Nunc autem protraho .
i.c. latus quadrati maioris quouſque
c.n. æqualis ſit .a.e. numero minori,
ductum excedit productum e.c: partem gnomonis dicti per .u.n. quod quidem .u.
n. æquatur ipſi .u.o. reliquæ ſcilicet parti ipſius gnomonis,
re et .a.i. ſed .e.t. ęquatur .e.a. vnde .t.u. æqualis erit .e.i. quare et .u.c: at cum .c.n. æqua
lis ſit ipſi .a.e. erit etiam æqualis ipſi .
o.t. quare .u.n. æqualis erit ipſi .u.o.
& tunc intellectus quieſcit, &
Quorumcumque duorum nume-
rorum differentia, fi fuerit multipli-
cata in aggregatum eorum, producit
ipſam
drata eorum.
Hæcautem propoſitio à me ipſo
etiam in .60. Theoremate huius libri
aliter demonftrata fuit.
DE ſpeculatione autem, etſcientia ſecundi exempli, in ſecunda hic ſubſcripta
figura .ω. cogitemus lineam .u.a. tribusin partibus arithmeticè diuiſam, qua
rum maxima ſit .u.o. media. ſit .o.e. minima verò ſit .e.a. multiplicatio autem mediæ .
o.e. in ſe ſit quadratum .o.t. abſcindatur deinde ex .o.e: e.i. æqualis .e.a. tunc .o.i. erit
differentia inter .o.e. et .e.a. & æqualis differentiæ inter .o.e. et .o.u. ex hypotefi, quæ
quidem .o.i. in ſe ducta procreabit quadratum .o.c. quod erit productum ex differen
tijs ipſarum partium, & erit pars quadrati .o.t. ſuperius dicti, vt exſe patet. Nunc
autem dico gnomonem .i.t.n. æqualem eſſe ei quod fit ex .a.e. in .o.u. Producatur igi
tur .e.t. quouſque .t.r. æqualis ſit ipſi .o.i. tunc .e.r. erit æqualis .o.u. quod etiam clarum
eſt. Claudatur ergo rectangulum .i.r. quod erit æquale producto ipſius .e.a. in .o.u.
Nam .e.i. ſumpta fuit
æqualis .e.a. ſed ex ra
plo allatis,
i.r. æquale erit gno-
moni .i.t.n. Nuncau
tem verè, ſcientifice-
q́ue poſſumus affirma
re, quòd. Datis tribus
numeris
greffionem arithme-
ticam diſpofitis, fa-
cit multiplicatio me-
dij in ſe quantum mul
tiplicatio extremorum inter ſe, cum multiplicatione differentiarum inter ſe.
Et ſic de alijs huiuſmodi inuentionibus infero.
DIcturus igitur aliquid circa
mentionem de origine huiuſcæ regulæ, cum in hoc Stifelius ſatisfecerit, ſed
mendo eadem exempla propoſita abipſis practicis, & maximè à Nicolao Tartalea
viro accuratiffimo, qui vbicunque potuit ſpeculatus eſt cauiſas
etſi de huiuſmodi falſi regula circa finem cap .8. lib. 17. promittat poſtea loqui, nub-
libi tamen loquutus eft. Monendum etiam cenſeo, me nihil de rationibus regulæ
falſi ſimplicis dicturum, cum ex ſeipſis ſatis appareant, quod non ita eſt de poſitio-
nibus duplis. Incipiam ergo à primo problemate lib. 17. ipſius Tartaleæ, quo
ipſe vtitur pro exemplo docendi gratia, ipſam regulam duplæ poſitionis, quod qui
dem problema aliter à me Theoremate huius mei lib. quod ſimi
liter ob hanc demum occaſionem mihi oblatam, alia etiam via, ſpeculatus ſumidem
poſſe fieri, quæ quidem via ſeu methodus generalis erit, & ita ſe habet.
Accipio enim propoſitum numerum diuiſibilem, à quo detraho ſummam
datorum numerorum, primo duplicato, eo quòd tam in ſecunda quam in
tertia parte reperitur, vt in propofito exemplo, datus numerus eft, 50. à
quo detraho ſummam dictorum numerorum, quæ eſt .11. nam tres, & tres, &
quinque ſunt vndecim, eo quòd primus ingreditur in ſecunda, & in tertia parte,
dempto igitur hoc numero .11. ex .50. remanet .39. qui quidem numerus intelligen-
dus eſt pro ſumma trium partium ſimplicium adhuc incognitarum, à quo extrahen
da eſt prima, eo modo quo nunc proponam exregula de tribus, hoc eſt aggregan
do dictas partes ſimplices ſine aliqua additione vtcunque volueris (ſed commodius
erit in minimis numeris) iuxta propoſitum, quod quidem propoſitum eſt, vt ſecun
da pars dupla ſit primæ, tertia verò æqualis fit primæ & ſecundæ, quæ partes in di-
ctis minimis numeris, ita diſpoſitæ erunt .1. 2. 3. quarum ſumma erit .6. Nunc ſi ex
regula de tribus dixerimus, cum hæc ſumma proueniat nobis ab vno, à quo proue-
niet .39. et veniet nobis .6. cum dimidio pro prima parte quæfita in propoſito nume-
ro .39. cum ergo habuerimus primam
Huiuſmodi verò operationis ratio ex ſe manifeſta patet, eo quòd proportio ſum
mæ partium in minimis numeris ad primam eorum partem eadem eſſe debet, quæ
ipſius .39. ad primam partem quæſitam huiuſmodi aggregati partium
quia nemo adhuc, quod ſciam, ſatis animaduertit rationem modorum, qui ab anti-
quis obſeruati ſunt, qui quidem modi duo ſunt circa hoc Helcataym duplæ falſæ
pofitionis, igitur non prætermittam aliquid de hacreſpeculari, & primo de pri-
mo modo.
In primis igitur
rum modo, me diantibus ſimpli
cibus partibus, vt
tibꝰ
plo pro primis pofitionibus ac-
ceperunt .10. et .8. pro ſecundis
verò compoſitis
runt .38. et .32. vnde prima ſum
marefultauit .71. ſecunda verò
59. ita
21.
SEDijdem errores proueniunt exſummis partium ſimplicium.
Vtexempli gratia, in figura .B. ſumma propoſita partium ſimplicium eſt .39.
vt diximus, eo quòd ab ipſo .50. detraxerimus .11. ſumma ſcilicet numerorum adij
ciendorum ad efficiendas partes compofitas, ſumma poſteà fimplicium partium
primæ poſitionis, erit .60. eo quòd prima pars erat .10. ſecunda autem ſimplex 20.
tertia verò fimplex .30. iuxta ordinem propoſiti. Summa deinde ſimplicium
fecundæ poſitionis effet .48. quia prima eius pars erat .8. ſecunda verò ſimplex .16.
tertia autem ſimplex .24. vnde prima ſumma excederet datam .39. per .21. differen-
tiæ, ſecunda verò per .9. vt ſupra vidimus de ſummis compoſitis à dato .50. compo-
fito, & hoc quidem mirandum non eft, quod ſcilicet tres ſummæ fimplicium par-
tium ſintinuicem inæqua-
les, ijſdem differentijs me-
dictæ tres ſummæ compofi
tæ, cum ab vnaquaque
rus .11. æqualiter, vnde ex
neceſſitate, permutando,
dæ erant æquales inuicem
ex .78. theoremate hu-
ius noſtri lib. ſummæ enim
compofitæ erant .71. 59. et
50. fimplices verò .60. 48.
et .39. differentes à primis
per .11. vt dictum eft, qua
re veritas ita manabit à compofitis, quemadmodum à fimplicibus, ſed à fimplici-
bus per ſe, & a compofitis per accidens vtiam iam videbimus.
ANtiquorumigitur primus m odus vtitur regula detribus, hocordine, multi-
plicando ſcilicet ſecundum errorem, qui eft .9. cum differentia primarum par
tium pofitarum, quæ eft .2. & productum diuidendo per differentiam errorum, quæ
eft .12. proueniens poftea quod eft .1. cum dimidio additur hoc loco primæ parti ſe-
cundæ poſitionis. Vbi animaduertendum eſt, quod ille
numerus .12. non eft accipiendus per ſe vt differentia errorum hoc eft .21. et .9. nifi
peràccidens, fed benè perfe, vt
admodum .9. in hoc propoſito eft differentia per ſe inter .48. et .39 per accidens ve-
ro inter .59. et .50.
Cognoſcendum igitur eft mediante .24. quinti Eucli. quod eadem proportio
eft primæ ſummæ (ſimplicium dico) ad ſuam primam partem, quæ ſecundæ ſum-
mæ ad ſuam, & tertiæ ſummæ ad fuam fimiliter (vbi rectè etiam feciffent hoc in lo-
co antiqui ſi multiplicauiffent tertiam ſummam fim plicem cum prima parte prioris
fummæ fimplicis, & productum diuififfent per primam ſummam, vnde prima pars
quæſita tertiæ ſummæ orta fuiffet, abſque ullo negotio ipfius plus velminus) Quare
habebimus tres terminos antecedentes ab vna parte, & tres terminos conſequen-
tesab alia parte continentes vnam
vel .12. ſeptimi eorum differentiæ proportionales erunt, hoc eft,
tiam quæ eſt inter primas earum partes, quæ illius differentiæ, quæ eſt inter ſecun-
dam & tertiam ſummam, ad differentiam, quæ eft inter primas illarum partes, ſed
harum .4. differentiarum, tres nobis cognitæ ſunt, ideft .12. 2. et .9. ergo ex regula de
tribus ab Eucli. in .20. ſeptì
cum dimidio.
A compofitis ſummis idem etiam proueniet, ſed non vt ex proprijs caufis, & per
ſe, ſedper accidens. Nam quamuis eadem differentia fit inter 71. et .59. quæ in-
ter .60. et .48. & Nihilominus non eft
proportio (propriè) ipſius .71. ad .59. quæ ipſius .60. ad .48. nec ea quæ ipſius .59. ad
50.Vnde non erit eadem proportio ipſius .71. ad .59. quæ
ipfius .10. ad .8. ne@ea quæ eft ipfius .59. ad .50. quæ ipſius .8. ad .6. cum dimidio. Sed
minores illis. Nam ex æqualibus additamentis diminuuntur proportiones maio-
ris inęqualitatis.
A fimplicibus igitur ſummis pendet ratio huiuſmodi effectus.
Si vero prima pars fecundæ poſitionis effet .4. tunc ſecunda eius pars effet .8. & ter-
tia .12. quarum ſumma effet .24. (harum fimplicium partium ſeilicet) & minor vera
(39.) per .15. & differens à ſumma primarum. (60.) per .36. & differentia primarum
partium effet .6. differentia vero primæpartis ſecundæ poſitionis, a prima parte quę
fita effet .2. cum dimidio. Vnde in huiuſmodi exemplo videre eft quare colligan-
tur errores inuicem, quando alter eorum eccedit, reliquus vero deficit à numero pro
pofito. Quod quidem ob aliam caufam non fit, nifi vt cognoſcatur differentia .36.
differentia ſcilicet ſimplicium ſummarum ipſarum poſitionum.
Secundus autem modus ab antiquis magis exercitatus eſt, quod multiplicabant
diametraliter errores cum primis partibus, hoc eſt primum errorem cum prima par
te, hoc eſt cum numero ſecundæ poſitionis, ſecundum vero errorem cum prima
parte, hoc eſt cum numero primæ poſitionis, differentiam poſteà vel aggregatum
horum duorum productorum diuidebant per differentiam vel aggregatum dicto-
rum errorum, proueniens poſteà erat prima pars quæſita numeri propoſiti. Vn-
de oriebantur tria producta, quorum
lorum conſtituebatur ex differentia feuaggregato errorum, & ex numero quæ-
fito.
Vtin præfenti exemplo, primus error eſt .21. qui multiplicatus cum prima par-
te ſecundæ poſitionis, quæ eſt .8. producit .168.
plicatus cum prima parte primę poſitionis producit .90. differentia autem horum
productorum eſt .78. quæ diuifa per differentiam errorum, quæ eſt 12. dabit .6.
midio, pro prima parte quæſita dati numeri diuiſibilis, qui erat .50.
Hæc omnia rectè ſe habent.
Sed, vt ſupra dixi diuiſor non eft per ſe differentia
errorum, neque etiam differentia per ſe ſummarum compoſitarum, fed bene fim-
plicium.
Pro cuius rei ſpeculatione, accipiendæ ſunt ſummæ ſimplices, quarum differen-
tiæ per ſe vtiles ſunt in huiuſmodi operatione; & quia etiam rationes veritatis ex
iſtis, & non ex illis fluunt; quamuis tam vnæ, quam aliæ ſint eædem in quantitate,
ideſt æquales.
Diſponantur igitur huiuſmo-
plex ſumma, quæ ab vna reli-
quarum ſuperatur, & aliam ſupe-
rat, medium locum teneat; @t
in propoſito exemplo ſumma
mediocris eft .48. quę à ſumma
60.
mam .39. locata igitur fit hęc .48.
inter illas, ſuæ verò primæ partes
fimiliter conftitutæ ſint ſupra di-
ctas ſummas, cum ſuis
& tria producta iam dicta, vt in fi
guris .C. et .D. arithmeticis
clarè patet: figura enim .C. eft
pro exemplo ipſius plus ſimpli-
citer: figura verò .D. pro exem-
plo ipſius plus, & minus. Et fic
numeros confequentes .60. 48.
39. & tres antecedentes .10. 8.
6. cum dimidio, vnam, & ean-
dem proportionem terminantes,
ex .24. quinti, vt diximus; qua-
re eorum differentiæ fimiliter
proportionales erunt, quod etiam
vidimus. Supponamus nunc nos
ignorare æqualitatem maximi
producti cum reliquis duobus,
accipiendo ſolum pro hypoteſi,
quòd dicta producta oriantur
ex lateribus iam dictis.
Demonſtrandum nobis nunc relinquetur, maximum productum æquale effere-
liquis duobus; hoc eſt productum .168. æquale effe productis .90. et .78. quorum
duorum productorum alterum .90. ſcilicet, generatur à differentia .9. quæ eft ſe-
cundę, & tertię ſummæ, in primum numerum antecedentem, qui eſt .10. alterum vc-
ro productum .78. ſcilicet, generatur à differentia .12. quę eſt primę, & ſecundę, ſum
mę in tertium numerum antecedentem, qui eſt .6. cum dimidio, maximum vero
productum .168. ſcilicet generatur à differentia maxima .21. quę eft primę, & tertię
ſummę (& ſemper ęqualis prioribus duabus differentijs .12. et .9.) in ſecundum nu-
merum antecedentem, qui eſt .8.
Conſtituantur igitur duo producta fimul iuncta ęqualia duobus .90. et .78.
lateralibus ſupra vnam aliquam rectam lineam .q.p.
90.
vel .q.n. erit vt .6. cum dimidio .et .g.d. vel .p.f. vt .10. & ideo .i.d. differentia erit .3.
Cogitemus nunc differentiam .d.i. diuiſam eſſe in puncto .e. ita vt eadem proportio
ſit ipſius .d.e. ad .e.i. quæ ipſius .q.g. ad .g.p. hoc eſt vt .1 2. ad .9. quapropter .d.e. erit
2.
ferentiæ ipſorum antecedentium numerorum, deinde à puncto .e. ducatur imagina-
tione .u.e.o. æ quidiſtans ipſi .q.p. & producatur .q.n. vſque ad .u. vnde ita ſe habebit
u.e. ad .e.o. ut .q.g. ad g.p. quare vt .d.e. ad .e.i. ideo ex .15. ſexti vel .20. ſeptimi .n.e.
rectangulum æquale crit ipſi .e.f. qua propter rectang ulum .q.o. æquale erit duobus
rectangulis .f.g. et .g.n: ſed cum .g.i. ſit vt .6. cum dimidio, et .i.e. vt .1. cum dimidio, er
go .g.e. erit ut .8. qui quidem numerus multiplicatus cum .q.p. 21. producit .168. ve
rum eſt igitur quod dictum fuit, hoc eſt
duobus.
DEmpto poſteà quo volueris horum altero productorum ex maximo,
reliquo per differentiam conſequentium, ipſi diametraliter oppoſitam, pro
ueniet tibi numerus antecedens
Animaduertendum tamen eſt, quòd ſi in figura à me ita ordinata, ſumma ſim-
plex propoſita medium locum occuparet, vt in figura .D. arithmetica videri poteſt; tunc vt habeatur eius productum, addenda ſimul erunt circunſtantia producta .eo
ſitain qua figura .D. manifeſtè patet ratio, quare colligendi ſint
tam errores, quam producta, dum eorum alterum eſt plus, reliquum verò minus.
Speculatio figurę .D. arithmeticę videbitur in figura .D. geometrica, eodem fe
rè modo quo fecimus in figuris .C. mutatis mutandis, reſpectu ipſius plus, & minus.
Collectio namque
diuiſor per ſe, eſt maxima differentia ſummarum ſimplicium, vt in dicta figura .D.
cerni poteſt.
Sed vt ſuperius dixi, nunc etiam repeto, quòd rectè hoc loco multiplicabatur
ſumma ſimplex propoſita, cum prima par
te primę poſitionis, vt productum diuide
retur per primam ſimplicem ſummam,
ta
tribus, vnica poſitione.
Vt exempli gratia, datus numerus diui
dendus ſit .100. in quinque partes, tales
verò,
cum .2. ſimul, tertia autem æqualis ſit pri-
mæ & ſecundæ cum .3. vnitatibus iunctis,
quarta poſteà maior ſit prima ſecunda, &
tertia per .4. vnitates, quinta demum ſu-
peret reliquas omnes per quinque vnita
tes, vt in figura .E. videre eſt, quæ quidem
partes compoſitæ (ſumpta vnitate pro
prima) ita diſpoſitæ erunt .1. 4. 8. 17. 35.
quarum ſumma erit .65. ſimplices autem
cum diſpoſitæ fuerint erunt .1. 2. 3. 6. 12.
quarum ſumma erit .24. dempta igitur
cum fuerit hæc ſimplex ſumma .24. à com
poſita .65. reſiduum erit .41. hoc eſt ſum-
ma numerorum propoſitorum cum ſuis
iterationibus in ipſis partibus, quod cum
per ſe clariſſimum ſit, ſuperſluum eſt
ſummam annatomizare per ſingulas par-
tes, niſi quis habuerit eius cerebrum à fi-
gura Omega
ſemus dicere dictam ſummam .41. in .4.
partes diuidi, cuius prima eſſet .2. pro ad
ditione ad
ſet .11. pro additione ad quartam partem ſimplicium, quarta demum eſſet .23. pro
additione quintæ partis ſimplicium, quarum partium .2. 5. 11. 23. ſumma eſt .41. vt
diximus. Hæc igitur ſumma .41. ſubducenda eſt à numero .100. propoſito, vnde re-
linquetur .59. pro ſumma partium ſimplicium numeri propoſiti, quarum prima erit
2. cum vndecim vigeſimisquartis ex diuiſione huiuſmodi .59. per .24. ſummam par-
tium ſimplicium ex viregulæ de tribus, dicendo ſi .24. prouenit nobis ab .1. prima
partium ſimplicium, à quo proueniet nobis .59? vnde proueniet à .2. cum vndecim
vigeſimisquartis pro prima parte quæſita, ſecunda verò iuxta propoſitum, erit .6.
cum .22. vigeſimisquartis, tertia autem .12. cum nouem vigeſimisquartis, quarta po
ſteà .25. cum .18. vigeſimisquartis, quinta demum erit .52. cum .12. vigeſimisquartis,
quarum omnium ſumma erit .100.
STifelius in primo exemplo regulæ falſi, ita inquit.
Quæratur numerus, à cuius dimidio ſubtractæ partes tertia, & quarta relin-
quatur .300.
Ipſe enim ſupponit .300. pro reſiduo cognito alterius numeri incogniti, deinde
accipit .24. pro prima poſitione numeri cogniti, à cuius medietate abſcindit tertiam
& quartam partem ipſius medietatis, vnde remanet .5. qui quidem numerus .5. ex
22.
bebit ad .24. vt .300. ad
quare cum quis multi
plicauerit .300. per .24. & produ-
ctum diuiſerit per .5. proueniet
1440.
regulæ de tribus.
Conſideremus igitur
ſpoſitionem numerorum huiuſ-
modi exempli, in figura hic ſup-
poſita .F. in qua videre licebit
quo pacto ipſe etiam Stifelius ac
cipiat diuiſorem .5. vt
errorum & non ut differentiam
duorum conſequentium .5. et .10
ſicuti eſt re uera, ut diuiſor dico,
ex rationibus à me hic ſupra ad-
ductis, quamuis vna & eadem ſit
quantitas neceſſariò ut patet.
ACcipiamus adhuc aliud exemplum à Tartalea propoſitione .9.
priori; nam ſicut in illo numerus ſimplex habebatur per ſubtractionem ſum-
mæ numerorum adijciendorum, in hoc fitèconuerſo, hoc eſt per additionem nu-
merorum ſubtrahendorum.
Problema igitur ita ſe habet.
Fuit quidam mercator qui habebat aliquot au-
reos, cuius quantitas poſteà quærenda erit, hic enim fecit duo itinera, ut aliquod
dictis aureis mediantibus lucrum faceret, in primo autem itinere duplicauit nume-
rum ſuorum aureorum, ex quibus poſteà conſumpſit .4. pro aliquibus expenſis, in
8.
ritur
Intali caſu, cum ipſe quolibet itinere duplicabat eius pecuniam, nulli dubium
eſt quòd in fine ſecundi itineris ipſe habuiſſet pecuniam ſuam quadruplicatam, ſi
ex ipſa nihil detractum fuiſſet, ſed quia in fine primi itineris conſumpſit .4. aureos,
quibus alios .4. lucratus eſſet in ſecundo itinere, poſteà conſumpſit iterum
8.
pſerit .16. aureos; qui quidem numerus ex communi conceptu erit differentia in-
ter .24. & quadruplum prioris pecuniæ, cum qua profectus fuit in principio eius iti-
neris; quapropter ſi addiderimus .16. ipſi .24. habebimus .40. pro quadruplo eius
prioris pecuniæ. Rectè igitur dici poteſt, ſi .4. prouenit ab vno, à quo numero pro
ueniet .40.
Videamus igitur nunc quo pacto hoc reſpondeat cum methodo antiquorum.
Ego enim inueni duas poſitiones ſcriptas à Tartalea pro prima pecunia hoc eſt .12.
et .14. ſed à .12. pro primo errore reperi .8. more antiquo à .14. verò pro ſecundo er-
rore proueniebat .16. producta autem horum numerorum diametraliter, ſunt .112.
et .192. quorum differentia eſt .80. pro tertio producto, quo diuiſo per differen-
tiam
Sed hoc mihi viſum eſt ſubtilius examinare mea methodo mediante, vtin figu-
ra .G. videre eſt, prius enim ſuo loco poſuitria producta dicta, deinde duas poſitio
nes .12. et .14. & quia ſciebam productum .112. oriri à multiplicatione .14. cum .8.
ideo poſui talem numerum .8. ſuo loco diametraliter oppoſito ei producto .112.
& quia ſciebam etiam productum .192. naſci ex .12. et .16. ideo ſuo loco poſui hunc
numerum .16. qui eſt maxima differentia inter duos conſequentes ( ita à me ſupra
nominatos) à qua differentia dempta priori .8. iam inuenta, reliqua .8. mihi daba-
tur,
loco ſcripſi .2. differentiam inter
12. et .14. antecedentium. ſed
nem eſſe inter hanc differentiam
&
quæ reperitur inter .12.
tem, & ideo
poſui .48. pro dicto conſequenti,
diuiſi poſtea productum .80. per
8.
oppoſitam, vnde prouenit mihi
10. cui ita proportionatus eſt
numerus conſequens .40. vt .48.
ad .12. et .56. ad .14. exijſdem ra-
tionibus à meſupra dictis. In tali igitur figura videntur nu-
merinaturaliter
ipſis poſitionibus, & hac metho-
do poſſumus inuenire tales numeros conſequentes in omnibus alijs exemplis à no-
ſtris maioribus ſcriptis.
PRoponitur etiam quoddam vas, cuius pes ſit quarta pars totius vaſis cum oper
culo, pars autem media ſine operculo, ſit quinta pars ipſius pedis, operculum
verò .18. libras pendeat. quæritur nunc quantitas dicti pedis.
Ex methodo enim antiquorum inuentus eſt pes .4. cum .14. decimisnonis ta-
lium partium, ſeu librarum, qualium operculus eſt .18. Videamus igitur & nos ex
noſtra figura, quo pacto hoc reſpondeat veritati.
Inuenta enim ſunt tria producta,
locis notaui, vt in ſigura .H. ſubſcripſi etiam duas illorum poſitiones .5. et .10. cum
ſua differentia .5. & cum productum .10. oriretur ab vno latere .10. reliquum erat
1.
5.
quę eſt .19. æqualis eſt ei, quæ inter duo conſequentia duarum poſitionum, etiam
ſuo loco ipſam conſtitui, ſed quia hæc differentia eſt vnum laterum producti .90. er
go reliquum latus ſed cum eadem proportio ſit inter differentiam .5. ſuperiorem, et .19. inferiorem,
quæ eſt vnius
conſequens, quare .10.
habebit pro ſuo conſequenti .38.
cimisnonis habebit .18. rectè
dictum fuiſſet ſi .19. prouenit .à .5.
à quo proueniet .18?
Huiuſmodi autem rei ratio ita
ſe
a. ſit quarta reliquarum .e.u. iuncta
rum, ſed .e. ſit quinta ipſius .a. Tunc
clarum erit quod .e. erit vigeſima
dictarum .e.u. quare erit decima-
nona ipſius .u. ſed
18.
19.
quot ipſius .a. proueniet .u. ut .18.
Quis enim non uidet quod diui
ſa cum fuerit .u. in partes .19. quod
quinque illarum æquabuntur ipſi .
a. cum quælibet fuerit æqualis .e.
quintæ parti ipſius .a.
HAc igitur mea numerorum diſpoſitione mediante reperiuntur ipſi numeri in
feriores naturaliter conſequentes, correſpondentesq́ue ipſis ſuperioribus an
tecedentibus; quamuis multoties
poſitiones ipſorum ignorentur: & quia tam à differentijs errorum, quam ab illis,
quę ſunt inter ueros conſequentes numeros ( propter eorum æqualitatem ) elicitur
ipſa ueritas, proptereà rectè antiqui illis vſi ſunt, quamuis ſint potius ſenſum
ſequuti, uel experientiam, quam rationem: quæ quidem ratio pendet ab ipſis na-
turalibus numeris conſequentibus ( ut ſupra uidimus ) etſi incognitis ut plurimum,
quod ſi ipſos inuenire primò nobis datum fuiſſet, unica
uerſis problematibus .17. lib. ipſius Tartaleæ, vt ex primo, quod aſſumpſimus pro
noſtro etiam primo exemplo, ex .9. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 27. 28. 29. 30. 33. & ex
alijs multis, vbi facillimè inue nitur conſequens ipſius poſitionis, qui quidem nume-
rus eſt diuiſor producti ipſius numeri propoſiti in numerum poſitionis, vnde poſteà
prouenit
de tribus, vt dixi.
Alia verò multa problemata inueniuntur, pro quorum re@olutione poſſumus ali
qua methodo vti, in qua manifeſtè pateant
regulæ rationes non ita promptè ipſi intellectui ſe offerunt, vt ſupra vidimus.
Accipiamus pro exemplo .21. problema ipſius Tartalæ in dicto .17. libr. vbi ſup-
ponit vnum hædum diuiſum in .4. partes, quarum quælibet vendebatur eodem pre
cio, interiora vero .6. denarijs minus quam quælibet dictarum partium, ſumma
autem omnium iſtorum denariorum fuit .127. quæritur nunc precium cuiuſque
partis.
Tale enim problema hoc etiam alio breuiori modo poteſt ſolui, vt rationes ma-
gis pateant, quam ex regula falſi.
Nam ſi illi numero .127. denariorum, additus fuerit numerus .6. ſumma erit .133.
qua diuiſa per quinque, illico proueniet .26. cum tribusquintis pro precio vniuſcu-
iuſque quatuor partium, à quo .26. cum tribusquintis dempto .6. remanebit .20. cum
tribusquintis pro precio interiorum.
Simili modo in .24. problemate inquit.
Duodecim pyra cum .28. pomis venduntur .36. denarijs, et .20. pyra. cum .200 po
mis
Hoc etiam problema, hac alia methodo ſolui poteſt, dicendo exregula de tribus,
ſi ex .20. vtrorunque qui ea vendit, vult .44. quid volet ex .12?
volet .26. cum duobus quintis, quare .12. pyra cum .12. pomis valebunt .26. cum duo
bus quintis, ſed 12. cum .28. pomis valebant .36. ergo .16. poma ſola valebunt .9.
cum tribus quintis, hoc enim clarè ex ſe patet; quare cum dixerimus, ſi .16. poma ſo
la valent .9. cum tribusquintis, vnum valebit .o. cum tribusquintis, ſed quemadmo-
dum .20. pyra cum .20. pomis valent .44. vnum pyrum, cum vno pomo valebunt .2.
cum quinta parte, à quo numero detractus cum fuerit .o. cum tribus quintis, precio
ſcilicet vnius pomi, reliquum .1. cum tribusquintis, erit precium vnius pyri.
Idem etiam dico de .28. problemate, vbi ſupponit quod quidam comparaſſet
quatuor petias, vt vulgo dicitur, panni pro ducatis .96. quarum primæ precium ob-
litus ſit, ſed memoria tenet pro ſecunda ſoluiſſe .6. plusquam pro prima, & pro ter-
tia ſoluiſſe .8. plus quam pro ſecunda, & pro quarta ſoluiſſe .10. plus quam pro ter-
tia, quæritur nunc quantum fuerit precium vniuſcuiuſque illarum.
Quod
ſubſcripta figura .I. videri
poteſt,
exceſſus. Nam exceſſus
dæ ſupra primam eſt .6. ſed
cum exceſſus tertiæ ſupra ſe
cundam ſit .8. ergo exceſſus
tertiæ ſupra primam erit .14
mam erit .24. quæ omnia ſimul addita erunt .44. & in qualibet harum trium remane-
bit una pars æqualis primæ quantitati, quare ſi ex .96. detractus fuerit numerus .44.
reliquus 52. erit quadruplus primæ, quare prima pars valebit .13. ſecunda .19. ter-
tia .27. & quarta .37. quarum omnium ſumma eſt .96.
EX poſitionibus autem Tartaleæ in noſtra figura .K. digeſtis, videre poſſumus
quo pacto
modi
ces .36. et .52. more figuræ .E. quia
tæ .9. 15. 23. 33. ex quarum ſumma
80. ſubtrahitur .36. ſumma ſim-
plex ex ſimplicibus partibus .9. 9.
9. 9. &
citur ex .96. ſumma compoſita &
propoſita, vnde remanet .52. pro
ſumma ſimplici, ex numero dato,
cuius proportio ad .13. eadem eſt
quæ .36 ad .9. & proptereà ſuper-
flua eſt ſecunda poſitio,
mus inuenire tales duos numeros
conſequentes, vt in hoc exemplo
ſunt .36. et .52. quia ex regula de
tribus poſteà elicitur veritas quæ-
ſita.
PRO quo .33. problemate acci
piantur poſitiones primi
pli Tonſtalli hoc eſt .33. et .31. vt in figuris hic ſubiectis .P.Q. facile quis poteſt vi-
dere, vbi in figura P. videbit nume-
ros compoſitos, in figura verò .Q. cer
ueniunt rationes per ſe huiaſmodi
operationis, in figura autem .R. vide
bitur meus ordo, & iſtæ tres figuræ ſi
miles
ita quòd cum quis illas intellexerit, il
lico etiam iſtas cognoſcet, vbi
videbit quam confusè
qui ignorant hunc meum ordinem
ſimplicium
tota ratio (vt ſupra dixi) huiuſcemo
di operationis.
I Dem etiam poteſt dici de .15. problemate (ſicut de alijs multis) vbi ponit tres
homines habentes .40. aureos quorum primus habet duas quintas partes ſecun-
di,
Quis non videt quæſo,
nobis .2. (pro prima portione primi hominis) quid dabit .40? vnde nobis proueniet
5. cum tertia parte.
Et de .29. ſimiliter aſſero, vbi ponit
quarum ſecundam habuit pro dimidio precio primæ, tertiam autem pro quarta
parte ipſius ſecundæ, quare omnes partes erunt .13. quapropter precium tertiæ pe-
tiæ erit tertiadecima pars ipſius .48. hoc eſt .3. cum .9. tertijs decimis.
Adhuc duo exempla videtur mihi proponere, quorum primum eſt .38. eiuſdem
lib. vbi ſupponitur operarium quendam velle perficere opus quoddam ſpacio die-
rum .36. tali pacto, quod qualibet die, in qua ipſe operaturus ſit lucretur ſolidos
16.Tunc accidit, vt exacto
termino Quæritur
quot fuerint dies lucri, quotúe perditionis.
Huiuſmodi problematis operatio breuiſſima abſque vlla falſa poſitione ita erit,
hoc eſt diuidendo productum .36. in .24. per .40. ideſt per aggregatum ipſius .24.
16. & prouentus erit .21. cum tribus quintis pro diebus lucri, vnde reliquum ex .36.
erit .14. cum duabus quintis pro diebus perditionis.
Cuius operationis ratio ex ſe ſatis patet, cum duo producta, vnum lucri, alterum
vero perditio-
nis æqualia eſſe
ex duodecima,
& vigeſimaſepti
mi ex regula de
tribus reperiun
tur partes ipſius
36. eodem mo-
bus quintis, ex quo ſequitur, vt quod fit ex .21. cum tribus quintis, in 16. ęquale ſit ei
quod fit ex .14 cum duabus quintis, in .24. & ita reperiuntur duo producta æqualia,
vnum lucri, reliquum vero perditionis, vt in figura .M. clarè videtur.
A Liud verò exemplum eſt .39. quod quidem à ſuperiori non differt, niſi quod
in fine operationis, operarius dictus lucratus eſt ſolidos .60: quęritur
pra, quot fuerunt dies lucri, & quot perditionis.
Hoc etiam abſque vlla falſa poſitione dicto citius poteſt ſolui, hoc modo,
do ſcilicet illos .60 ſolidos per .40. ideſt per aggregatum .24. cum .16. proueniens
autem, quod erit .1. cum dimidio, adde ad latus ſuperius inuentum, hoc eſt .21. cum
tribus quintis, & ſunima erit .23. cum decima parte pro numero dierum lucri, dein-
de idem prouentum deme ex alio latere ſuperius reperto .14. cum duabus quintis, &
refiduum erit .12. cum nouem decimis, vnde habebis numerum dierum perdi-
tionis.
Pro cuius rei ſpeculatione cogitemus in figura .N. duo dicta producta inuicem
æqualia .o.b. et .n.c. exiſtente latere .u.c. vt .24. u.o. ut .16: b.u. vt .21. cum tribus quin
tis, et .u.n. vt .14. cum duabus quintis. Nunc verò ſi mente concepta fuerit recta .e.
a.t. æquidiſtans .o.c. ita vt rectangulum .o.e. ſit .60. tunc rectangulum, ſeu productum
b.t. ſuperabit rectangulum ſeu productum .n.e. per idem .60. ex communi conceptu,
eo quòd ex producto .n.c. ſublatum eſt productum .a.c. 24. & producto .o.b. additum
eſt productum e.a. 16. rectè igitur feci cum diuiſerim .60 per .40. vnde prouenit mi
hi .u.a. ideſt .1. cum dimidio, quod additum ipſi .b.u. compoſuit .b.a. & dempto ex .u.
n. relinquit .a.n. pro lateribus duorum productorum .b.t. et .n.e.
Sed ſi idem operator perdidiſſet .60. tunc cogitaremus parallelam dictam .e.a. t
ſuperius ductam eſſe ita vt ſecaret .b.u. & non .u.n. vnde adderet .24. ipſi producto .n.
c. & d@meret .16. à producto .b.o.
CIRCA verò talia quæſita videtur mihi non inutile fore ſi aliquid notatu di-
gnum aduerterim, hoc eſt quod ſæpe accidere poterit ut caſus impoſſibiles
proponantur. Quemadmodum ſi aliquis diceret, cupio mihi ueſtimentum con-
ficere ex duobus pannis colore & pretio differentibus, quorum unus exempli gra-
que cubiti, rubeusuerò precij .50. uellemq́ue omnes cubitos eſſe .8. nec plus
nec minus. Vellem etiam ſoluere ſolidos 450. neque minus.
Hic igitur caſus impoſſibilis eſt, eo quòd .8. cubiti totius rubei eſſent precij ſo-
lidorum .400. tantummodo, unde ex alio panno albo minoris precij ſumere ali-
quid non poſſumus.
Idem etiam eueniret ſi uoluiſſet ſoluere ſolidos .320. neque plus, eo quòd .8. cu-
biti illius minoris precij, hoc eſt .40. ſolidorum, eſsent ualoris .320. ſolidorum tan
tummodo, quare pro alio panno nullus eſset locus. Animaduertendum igitur erit
quod numerus poſſibilis ad ſoluendum tale quæſitum erit inter .400. et .320. & non
extra iſtos terminos, vt vnicuique patere poteſt.
Similiter idem in hoc alio caſu accidere poterit, ut ſi quis diceret.
Emi quinque petias panni pro aureis .55. pretium tamen primæ oblitus ſum, ſed
memoria teneo, quòd ſecunda altioris pretij erat quam ipſa prima per .4. & ter-
tia precioſior ſecunda per .7. et quarta carior tertia per .9. quinta verò ſuperabat
quartam per .2.
Hic etiam reperitur impoſſibilitas quædam, eo quòd aggregatum omnium ha-
rum rerum, dato etiam quòd pro prima nihil ſolutum eſſet, ſuperat aureos .55 quòd
quidem nullo pacto fieri poteſt, vt veri ſint ſupra dicti exceſsus, ſi verus eſt numerus
totalis aureorum .55. Nam .4. cum .7. faciunt .11. qui quidem .11. cum .9. efficiunt
20.
eſt quam .55.
CVM nullus adhuc (quod ſciam) veras
operationis perſpectiuæ perſectè docuerit, operæpre-
cium exiſtimaui
Multi enim
præſcribunt, cum eius effectuum veras cauſas igno-
rent, varios
gratia in ſubſcripta figura ſuperficiali .A. volentes degra
dare (vt dicunt) rectangulum .q.a. in triangulo .i.d.q. du-
cunt
o.l. cum latere .i.d. trianguli, & (idem) indifferenter, ean-
dem quoque à puncto .Z. interſecationis ipſius .o.l. cum perpendiculari .x.i. ducunt. neſcientes hunc ſolum eſſe verum modum, n onitem alium, quia ſi alius, talis eſſet,
hic, verus non exiſteret, nam ſi vellent ſeſe excuſ are, quòd ducendo dictam paralle-
lam à puncto .B. hoc fiat præſupponendo planum ipſius .i.d.q. verſus rectangulum .
q.a. orizontale inclinatum, ſecundum angulum .i.d.q. hæc excuſatio accipien-
da non eſſet, quia horum conſenſu, præſupponendo planum .i.d.q. inclinatum,
anguli inferiores rectanguli degradati, non tam acuti, quam ſunt duo .i.d.q. et .i.q.
d. eſſe deberent, quod facilè eorum ratione innoteſcet, quæ de figura corporea .
A. hîc ſubſcripta mox proponam, præter id, quòd volentes deinde aſpicere qua-
dratum degradatum, oporteret huiuſmodi planum reſpectu oculi ita collocare,
quemadmodum ſe habet linea .i.d. reſpectu .o. quod factu nimis arduum eſſet.
Vera igitur ratio erit ducere parallelam .e.r. ad .q.d. à puncto .Z. communi ip-
ſis .o.l. et .x.i. perpendiculari ipſi .l.p.
Pro cuius rei ſpeculatione imaginemur in figura corporea .A: q.a. eſſe figuram re-
ctangulam
orizonti, & cum eo primum coniunctam in linea .q.d. cuius plani triangulum .i.q.d.
pars erit, ſit autem oculus reſpicientis .o. cuius altitudo .o.p. ab orizonte, qui
conſpicit rectangulum dictum orizontale .q.a. in pyramide .o.q: o.u: o.a. et .o.d.
terminata quatuor triangulis .o.q.u: o.u.a: o.a.d. et .o.d.q. ſit verò primum ita
collocatus pes .p. eius qui reſpicit, vt linea .p.l. perpendicularis ipſi .u.a. lateri re-
ctanguli, medio loco poſita ſit, inter .a.n. et .u.s.
plum.
Imaginemur nunc lineas .u.q. et .a.d. indefinitè productas eſſe, quæ in ſuperficie-
bus duorum triangulorum .o.u.q. et .o.a.d. & rectanguli orizontalis .q.a. ex prima
vndecimi Euclid. poſitæ erunt. Imaginemur etiam lineam .p.s.n. perpendicula-
rem ipſi .p.l. quæ etiam cum duabus .u.q.s. et .a.d.n. ex .34. primi Euclid. angulos
rectos conſtituet, cum ex .28. duæ .u.q.s. et .a.d.n. ſint parallelæ ipſi .p.l. et .s.n. ipſi .u.
a. & quia ſupponitur .o.p. perpendicularis plano orizontali, Angulus ergò .o.p.l. re-
ctus erit ex ſecunda definitione .11. Euclid. Imaginemur quoque ductas eſſe
duas .o.s. et .o.n. vnde .l.p. ei ſuperficiei, in qua ſunt duæ lineæ .o.p. et .s.n. ex .4.
11. perpendicularis erit, & ſuperficies orizontalis .a.s. perpendicularis erit cum dicta
o.s.n. ex .18. eiuſdem lib. vnde ex dicta definitione .o.s.u. et .o.n.a. erunt anguli recti
et .o.s. et .o.n. ex communi ſcientia, in ſuperficiebus duorum triangulorum .o.u.q. et .
o.a.d. erunt, ſi noluerimus cogere aduerſarium ad confitendum duas lineas rectas in-
cludere ſuperficiem, quemadmodum cogere-
eadem puncta .o.s.n. tranſire, quæſunt in di-
ctis ſuperficiebus. Vnde .o.s. et .o.n. communes
erunt ſectiones duarum dictarum
cum ſuperficie .o.s.n. Imaginemur nunc has
duas ſuperficies .o.u. et .o.a. quarum commu-
nis ſectio ſit .o.t. (quæ erit linea recta ex .3. lib.
II.) quæ erunt perpendiculares ſuperficiei .o.s.
n. ex .4. et .14. iam dictis. & ex .19. eiuſdem
o.t. perpendicularis eidem ſuperficiei .o.s.n.
erit, & ex .6. eiuſdem hæc linea .o.t. duabus .u.
q.s. et .a.d.n. parallela exiſter, & ex .9. eiuſdem
hæc linea .o.t. duabus .u.q.s. et .a.d.n. parallela
exiſtet, & ex eadem .9. erit parallela ipſi .p.l.
Imaginemur nunc planum, ſuper quod deſide
remus videre quadrangulum orizontale, quod
planum, exempli gratia, ſit primo, vt iam dixi-
mus, locatum in linea .q.d. ad angulos rectos
cum plano orizontali, cuius communes ſectio
nes cum ſuperficiebus .s.t. et .n.t. viſionis la-
terum .u.q. et .a.d. ſint .i.q. et .i.d. & com-
munis ſectio trianguli .o.u.a. ideſt viſionis
lateris .a.u. cum dicto plano, ſit .r.e. Vnde ex
communi ſcientia rectangulum orizontale,
oculo .o. ſeipſum patefaciet in plano .i.q.d. ſe-
Communis autem ſectio ſuperficiei .p.t.
cum dicto plano, ſit .i.x. quæ .i.x. perpendicularis erit .s.a. ſuperficiei orizontali ex
19. lib. 11. quia .p.t. eſt etiam orizonti perpendicularis ex .18. eiuſdem, cum .o.p. ei-
dem perpendicularis exiſtat. Vnde .i.x. erit altitudo trianguli .i.q.d. & æqualis ipſi .
o.p. ex .34. primi. Sit deinde .o.l.
ſuperficie .p.t. quæ .o.l. ſecando lineam .e.r. in puncto .Z. nobis oſtendet quantum di-
ſtare ſeu eminens eſſe debeat latus .e.r. in plano ab .q.d. medio ipſius .z.x. Et quia
præſuppoſuimus .p.l. in eodem medio, inter .u.s. et .a.n. ideo .x.q. ęqualis erit .x.d.
& ex .4. lib. primi .i.q. ipſi .i.d. et .e.r. parallela ipſi .q.d. ex .6. lib. 11. cum ipſa quoque
ſit perpendicularis ſuperficiei .p.t. ex .19. eiuſdem. Hucuſque igitur in figura cor-
porea .A. prodeunt in lucem omnes cauſæ effectuum figuræ ſuperficialis .A. ideſt vn
de fiat, vt in ipſa figura ſuperficiali, triangulum .o.p.l. tale conſurgat, & quid ſignifi-
cet .o. et .o.p. et .p.l. et .o.l. & quam ob cauſam tale quoque formetur triangulum .i.
q.d. atque in tantam altitudinem, quantam obtinet .o.p. & quid ſint latera .i.q. et .i.
d. & quare erigatur .x.i. parallela ipſi .p.o. ab eadem .p.o. tanto ſpatio diſtans, & qua
ratione producatur à puncto .Z. ipſa .Z.r.e. parallela ipſi .q.d.
Nunc obſeruandum eſt, quòd ſi planum ipſius .i.q.d. in figura corporea aliquan-
tulum inclinatum eſſet orizontem verſus, anguli .i.q.d. et .i.d.q. maiores exiſterent,
quàm cum idem eſt ipſi orizonti perpendiculare, quemadmodum clarè demonſtra-
tum fuit in .39. primi Vitelionis.
Non igitur rectè fit ſi in figura ſuperficiali ducatur à puncto .B. parallela ipſi .q.d.
abſque maiori apertura angulorum .i.q.d. et .i.d.q.
CVM verò duæ præcedentes figuræ intellectæ erunt, facilè quoque erit intel-
ligere duas ſubſequentes .B.B. in corporea quarum .p.l. extra lineas .u.s. et .a.n.
reperitur, vbi enim aduertendum erit oportere ſumere ſemper .p.x. figuræ ſuperfi-
cialis æqualem ei, quæ eſt corporeæ, & eidem ſuperficiali, adiungere .x.d. æqualem
ei, quæ eſt corporeæ, & compoſito .p.d. ex dictis duabus lineis, in figura ſuperficiali,
addere .d.q. æqualem ei, quæ eſt figuræ corporeæ, deinde accipere punctum .l. in fu-
perficiali
Po-
concludetur triangulum .i.q.d. & id quod remanet. Vnde ſi longius diſerendo progrediare, patebit ex
4.
corporeæ. Idem dico de .i.q. & de reliquis.
rius poſita, ſecundum communem antiquorum conſuetudinem exemplum
dederim, effectus enim idem eſt. Sed ſi quis vellet conſiderare dictam figuram ſu-
perficialem .A. ſecundum eum modum, quem de figura .B. ſuperficiali pręſcripſi, id
poterit in ſubſcripta figura .C. ſpeculari in hunc modum. Accipiet enim .p.x. ſuper
ficialem, æqualem corporeæ, & quia in ipſa corporea .A. ſuppoſita fuit linea .p.l.
ideſt punctum .x. inter duas .u.s. et .a.n. ſecabimus .p.x. ſuperficialem in puncto .d. ita,
vt .d.x. ſuperficialis, æqualis ſit corporeæ, & ipſi ſuperficiali .p.x. addetur .x.q. æqualis
corporeæ. vnde .q.d. ſuperfi-
cialis æqualis erit corporeę,
x.l. æqualis corporeæ. De
ijs poſtea quæ dicenda ſuper-
ſunt, iam ſatis ſuperq́ue di-
ximus.
Quamobrem, punctum .
x. aut intra, aut extra lineam .
q.d. veniat, hunc modum ſe-
quentes, in errorem non in-
cidemus, imò efficietur qua -
drilaterum .q.r. ſuperficiale,
ſimile, & æquale corporeo.
lent) quid ſit, hac via & ratione ſub noſtram cognitionem cadit: quòd nihil
lus non eſt, quemadmodum multi Pictores, Sculptores, Architecti, & Perſpectiui
ignari, ipſum punctum, oculum appellando, falsò crediderunt, quaſi
ſpectiuæ oculus eſſet.
In ſupradictis igitur figuris manifeſte eluceſcit cauſa diminutionis obiectorum,
& altitudinis trianguli æqualis ei, quæ eſt oculi à plano orizontali, vt etiam diſtantię .
p.l.p.x. & cuiuſuis tandem rei. Sed vt huius effectus ſcientia magis in vniuerſum pa-
retur. Volo duas hic ſubſcriptas figuras .D. corpoream, & .D. ſuperficialem à vo-
bis conſiderari, in quarum corporea, linea .p.l. ſit extra duas .u.s. et .a.n. vt in figu-
ra .B. locata, ita tamen vt planum trianguli .i.q.d. diſiunctum ſit à rectangulo ſuper-
ficiali, ideſt, vt ſeparatum exiſtat à linea .q.d. latere ipſius rectanguli, & ſit etiam obli
quum, reſpectu ipſius rectanguli, ideſt vt communis ſectio dicti plani cum ſuperficie
a.s. orizontalis ipſi .u.a. parallela non ſit, ſed ſit obliqua, ſi tamen idem planuni per-
pendiculare dictæ ſuperficiei orizontali .a.s. erit: & dicta communis ſectio exprima
tur characteribus .q.ω.α.d.x. nunc in figura corporea habebimus figuram .e.r.c.m.
in plano, quod viſualem pyramidem ſecat, medio cuius figuræ .e.r.c.m. oculus po-
ſitus in .o. rectangulum orizontale conſpicit. Volentes vero nunc in figura .D. ſuper-
ficiali eam deſcribere, faciem us .p.x. ſuperficialem, æqualem corporeæ, eiq́ue
addemus .x.l. æqualem corporeæ, aut ſumemus .p.l. eidem corporeæ
lem
tur diuiſa; erigemus deinde .p.o. et .x.i. æquales corporeis.
Secabimus deinde .x.q.
æqualem corporeæ, & ducemus .q.i. et .l.o. vnde habebimus triangulos .o.p.l. et .i.x.
q. ſimiles & æquales corporeis ex .4. primi Eucli. Secabimus deinde .q.x. in pun-
cto .d. eadem ratione, qua ſecta fuit corporea, & ducemus lineam .d.i. vnde habebi-
mus triangulos .i.d.q. et .i.d.x. ſimiles corporeis. & mediante triangulo .i.q.d. hu-
rectanguli degradati, ideſt ſitus ipſius .e.m. et .r.
c. etiam ſi adhuc neſciatur in qua parte ipſius .i.
q. & ipſius .i.d. eſſe Quod ſi ſcire volue
rimus
ſi in ipſa tamen corporea prius protraxerimus
lineam .q.d. latus rectanguli vſque ad .p.l. in pun
cto .g. Ducetur deinde linea .o.g. ſuperficialis,
quæ ſecabit lineam .i.x. in puncto .f. linea vero .
o.l. in puncto .z. punctis ſitis in .i.x. ſuperficiali,
pręcisè vt in corporea,
ex ſe facilè cognoſcere poteſt. Deinde in cor
porea, in ſuperficie orizontali ducatur .p.q. et
diculares orizonti ex .18. lib. 11. et .ω.m. et. α. e. communes ſectiones dictorum
triangulorum cum plano trianguli .i.q.x. ipſi quoque plano ex .19. eiuſdem lib. erunt
perpendiculares. Nuncautem ſecetur .q.x. ſuperficialis in punctis .ω. et .α. eadem ra-
tione; qua corporea ſecta ſuit à duabus .p.q. et .p.u. à quibus punctis .ω. et. α. ſuperficia
libus ductæ ſint duæ ω.m. et .α.e. perpendiculares vſque ad latus .i.q. in punctis .m. et .
e. quę ſitum habebunt in .i.q. ſuperficiali pręcisè, vt in corporea, ex .26. primi, du-
cendo deinde in ſuperficiali duas .m.f. et .e.Z. eæ æquales erunt corporeis ex .4. pri-
mi, & ſic anguli .i.e.z. et .i.m.f. & eę duę lineę .e.z. et .m.f. fectę erunt à linea .i.d. in duo
erunt corporeis ex .26. primi, ſed ita quo-
que ſe habent duę .e.m. et .r.c. ſi verum eſt
ferentię rerum æqualium ſint adinuicem etiam
æquales. Hac ratione igitur habebimus figu-
ram quadrilateram .m.e.r.c. ſuperficialem om
ninò ſinlilem, & ęqualem corporeæ. Is tamen
modus prolixus eſt, & arduus, quam ob cau-
ſam neque ego vnquam
darem, neque alijs, vt eodem vterentur ſua-
derem.
ctiua, eo modo quem nunc proponam, facilè quoque ſciet ſupra quoduis
(quod tamen ſit perpendiculare orizonti) quamlibet rem locare. Quam ob cauſam
imaginemur hic ſubſcriptas duas figuras .E.
drilatero rectangulo orizontali .a.u.q.d. imaginemur eſſe punctum .b. quodlibet col-
locandum in aliquo plano perpendiculari orizonti locato, quemadmodum ſuppo-
nebatur in figura .A. corporea. Imaginemur ergo in ipſa figura .E. corporea radi-
um viſualem .o.b. qui ſectus ſit à noſtro plano in .k. quod quidem .k. quærendum eſt
in triangulo .i.q.d. ipſius plani. Volo ob hanc igitur rem, vt à puncto .b. in figura .E.
ſuperficiali ducatur .b.c. ad rectos
parallela ipſi .q.d. quę ab ipſa .x.l. in puncto .m. erit diuiſa, & hęc .x.m. è directo con-
iuncta cum .p.x. ducatur .o.m. quæ ab .i.x. ſecta erit in puncto .f. à quo ducendo dein-
de .f.g.h. parallela .q.d. ab .i.c. in puncto .K. erit diuiſa. Atque id erit quod nobis
inquirendum propoſueramus.
Ad cuius rei
ſe vſque ad .y. lineæ .s.n. & imaginatione ſit com
ob rationes iam dictas de figura .A. hæ tres li-
neæ .o.y: i.c: et. R
in vna eademq́ue ſuperficie plana, quam cha-
racteribus .y. R
ctio communis cum plano, in quo quæritur
ctum
erit ſectio communis, & parallela ipſi .q.d. ex .
6. lib. 11. quia .k.f. perpendicularis eſt ſuperfi-
ciei .p.t. ex .19. eiuſdem cum triangulus .o.
b.m. eidem ſuperficiei .p.t. ex .18. eiuſdem
perpendicularis exiſtat. Vnde perſpicuè pa-
tet ratio quare protracta
quare ducta ſit .i.c. et coniuncta .x.m. cum .x.
p. directè, & quare ducta ſit .o.m. et .f.k. Lau-
do igitur vt ſemper præſupponatur .p.x. perpen
dicularis baſi ipſius plani & præſupponatur, (vt
rem totam vnò verbo complectar) ſuperficies .
p.t. perpendicularis plano, & orizonti. Quod
reliquum eſt, neceſſariv
culandum. Neceſſariæ ergo non ſunt aliæli-
neæ, quàm.p.x: p.o.x.i: b.c: et .x.m. è dire-
cto coniuncta cum .p.x. (quæ .x.m. coniuncta
k. vt in figura .F. cla
riſſimè patet. Alias
alijs figuris non
ob
facilius
nebris ignorantiæ, &
in cognitionis lucem
proferendas horum
effectuum cauſas, vt
dixi.
vt poſtremo diximus, inueniamus; duas hîc ſubſcriptas figuras conſiderabimus .
G. corpoream, & G. ſuperficialem, ſimiles duabus .E.E. proximè præcedentibus,
in quarum corporea ſit linea .b.M. altitudinis perpendicularis orizonti. Quare ſi
deſiderabis inuenire in noſtro plano ſitum puncti .M. ideſt punctum radij .o.M. vi-
ſualis in quo ipſe radius à plano eſt diuiſus, quod ſit .R. quamuis extra
i.q.d. tibi imaginatione confige ductam eſſe lineam .p.b. quæ erit ſectio commu-
nis orizontis cum ſuperficie .o.p.b.M. quæ ſuperficies erit perpendicularis ipſi ori-
zonti ex .18. lib 11. Quòd autemnon minus .o.p. quàm.M.b. ſit in vna eademq́ue
ſuperficie dubitandum non eſt, quia ſi imaginabimur ductam eſſe lineam .p.M. ha
bebimus triangulum .o.p.b. cum triangulo .M.b.p. communibus partibus in vna ea-
demq́ue ſuperficie conſtantem, vt triangulum quoque .o.p.M. cum triangulo M.b.
o & triangulum .o.p.b. cum triangulo .o.p.M. & triangulum .M.b.p. cum triangulo .
M.b.o. Vnde cum quilibet triangulus in vnica tantum ſuperficie ſit ex .2. lib. 11. ſe-
quetur ſuperficiem .o.p.b.M. planam eſſe, & vnicam, cuius communis ſectio cum no-
ſtro plano ſit. θ.K.R. quæ perpendicularis orizonti exiſtet ex .19. lib. 11. eritq́ue pa-
rallela ipſi .i.x. ex .6. eiuſdem. Imaginare nunc erectam eſſe .m.T. æqualem ipſi .
b.M. orizonti perpendicularem, quæ extenſa erit in ſuperficie .p.t. quod ex ſe ad
conſiderandum admodum facilè, clarumq́ue exiſtit, reducendo ad impoſſibilia
quemlibet hæc negare volentem. Imaginemur quoque ductam eſſe lineam .M.
T. quæ .b.m. ex .33. primi erit parallela, quia .m.T. ęqualis .b.M. parallela eſt
ipſi .b.M. ex .6. lib. 11. præter hæc .b.m. parallela eſt ipſi .q.d. quia ſic fuit ducta
ſuperius, vnde .M.T. parallela erit ipſi .q.d. ex .9. vndecimi, & obid perpendi-
cularis erit ſuperficiei .b.t. ex .8. eiuſdem. Nunc ſit .R.V. communis ſectio trian-
guli .o.M.T. cum noſtro plano, vnde .R.V. perpendicularis erit ſuperficiei .p.t.
ex .19. lib. 11. quam ob cauſam parallela erit ipſi .q.d. ex .6. aut ex .9. eiuſdem
quia ex .6. dicta, parallela eſt ipſi .M.T. Atſi .R.V. parallela eſt ipſi .q.d.
etiam .f.K. probatum iam fuit parallelam eſſe eidem, ergo .R.V. parallela erit
ipſi .K.f. ex .30. primi, Vnde ex .34. æqualis erit ipſi .K.f.
Accedamus nunc
ad
cularem ipſi .m.p. ſed æqualem perfectæ altitudini, & ducamus .T.o. vt ſecet li-
neam .i.x. in puncto .V. ab ipſo ducentes .V.R. parallelam ipſi .q.d. ducendo de-
noſtro plano. Quod cum ſui natura clarum euadat, laborem ratiocinandi de eo,
tia erudito relinquo. ideſt, vt probetur .k.R.
perficialẽSed
fluitatẽ
F. diligenter conſideretur figura .H.
ALiarn tamen inueni viam breuiorem vt in figura .H.H. in qua ſit punctus .
b. perfecti, & .k. degradati plani. Nunc ducatur .b.c.s. ad rectos cum .
p.m. indefinitè, quæ quidem abſcindatur in puncto .s. ita quòd .c.s. æqualis ſit alti
tudini perfectæ, deinde coniungatur rectà. s. cum .i. Tunc ſi ab .k. vſque ad
i.s. ducta fuerit .k.R. parallela li-
quæſita ſeu degradata.
Quod ita probo.
Iam nulli du
bium eſt quin .f.V. ſit æqualis alti-
tudini quęſitæ ſeu degradatę, quo
æqualem eſſe lineæ .f.V. habebi-
mus propoſitum. Quare certum
nobis erit eandem proportionem
eſſe lineæ .c.s. ad .k.R. quam .c.i. ad
k.i. et .c.i. ad .k.i. vt .x.i. ad .f.i. et .x.
i. ad .f.i. vt .m.o. ad .f.o. et .m.o. ad .
f.o. vt .m.T. ad .f.V. ex ſimilitudine
triangulorum. Ergo .m.T. ad .f.V.
erit vt .c.s. ad .k.R. ex .11. quinti,
ſed .c.s. ſumpta fuit æqualis .m.T. quare .c.s. ad .f.V. erit, vt .m.T. ad
dem .c.s. ad .f.V. erit vt .c.s. ad .k.R.
quapropter ex .9. eiuſdem .k.R. æqualis erit .f.V.
MOdus ab antiquis philoſophis obſeruatus, eſt etiam vtilis,
progreditur, cuius ſpeculationem, in ſubſcripta figura, quadam ex parte
dum
ctaIn qua ego diuiſi .x.i. in puncto .s. ab .x. ita eleuato, quanta eſt
antiquos, ideſt angulum ſupremum trianguli antiquorum à punctoq́ue .k. meo duxi
k.f. parallelam ipſi .c.m.p. vſque ad .i.x. in puncto .f. & à puncto à communi ipſis .k.f.
et .i.x. vſque ad .I.s. duxi quoque .A.B. parallelam ipſi .i.x. atque hæc omnia ex more
antiquo præſtiti.
Nunc verò eum conſiderans modum, quem ego de figuris .G.H. antecedentibus
præſcripſi, videndum eſt, an punctum .B. tribus lineis .A.B.I.s. et .R.V. quarum hęc vl
tima à me iam ducta fuit, commune exiſtat, ideſt vtrum .A.B. æqualis exiſtat ipſi .K.
R. quam ſecundum modum à me adinuentum, reuera ſcimus eſſe deſideratam altitu
dinem in perſpectiua. Quod tunc à nobis probatum erit, quando rationibus clarè
patebit ipſam .A.B. æqualem eſſe ipſi .f.V. Quamobrem ducamus .I.f. vſque ad .ω.
lineæ .c.p. vnde ratione ſimilitudinis triangulorum manifeſtè intelligemus, eandem
proportionem eſſe ipſius .m.T. ad .f.V. quæ eſt .m.o. ad .f.o. & eius, quæ eſt .m.o. ad .f.
o. quæ eſt .ω.I. ad .f.I. & eius, quæ eſt .ω.I. ad .f.I. quæ eſt .x.I. ad .A.I. & eius, quæ eſt .x.
I. ad .A.I. quæ eſt .x.s. ad .A.B. ideſt vt eius, quæ eſt .m.T. ad .A.B. ſed idem
de .m.T. ad .f.V. Vnde ſequitur .A.B. æqualem eſſe .f.V. ex .9. quinti Eucli.
ipſi .k.R. quod à nobis propoſitum eſt inquirendum.
perficialibus orizontalibus, ſeu de plantis,
pulcherrimum quendam modum, quem ego ad
locandum quodlibet punctum in perſpectiua,
(degradatum cum fuerit
dam rectangulum, in noſtro plano perpendicula
ri orizonti, quemadmodum in ſuperioribus figu-
ris .A. demonſtrauimus) conſideraui, ſilentio
haud prætereundum eſſe.
Sit igitur in ſubſcripta hîc figura .K. in paralle
in degradato .e.q.d.r. Nunc à duobus quorumli-
bet quatuor angulorum .q.u.a.d. ducuntur duæ li-
neæ occultæ .q.g. et .u.f. per punctum .b. vſque ad
latera .q.d. et .u.a. ita tamen vt eorum extremita-
tes .g. et .f. intus cadant inter .q.d. et .u.a. ipſorum
laterum, ideſt vt non ſecent duo latera .q.u. aut .d.
a. Deinde punctum .f. inter .q. et .d.
cultè cum angulo degradato .e. qui
u. perfecti, mediante linea .e.f. quæ erit .u.f. degra
dita in noſtro plano. Deinde ſumatur punctum .
n. in linea .q.d. tam diſtans à .q. quàm.g. diſtat ab .
u. ducaturq́ue linea .i.n. quæ lineam .e.r. in puncto
c. diuidet, quod exijs, quæ ſuperius iam diximus
ad ipſum .g. referetur. Ducendo poſtea lineam oc
cultam .q.c. patebit eam correſpondere lineæ .q.g. quæ ſecans lineam .e.f. in puncto .
t. hoc, communi ſcientiæ ratione, reſpondebit ipſi .b. vt omnes cognoſcent.
Sed ſi fortè punctum .b. eſſet in aliquo
fecto .q.d.a.u. ducta ſit vna diagonalis quam
volueris puta .q.a. deinde à puncto .b. ad reli-
quum angulum oppoſiti lateris ducta ſit recta .
b.d. ita quod à diagonali ſecetur in puncto .ω.
per quod punctum demum à reliquo angulo la
teris .q.u. ducta ſit .u.ω. vſque ad latus .q.d. in
cto .f. quo facto, ita faciendum erit in rectangu
lo degradato, hoc eſt ducenda erit diagonalis .
q.r. quę correſpondet diagonali .q.a. perfecti
deinde .f.e. quæ correſpondet rectæ .f.u. perfe-
cti, quæ etiam interſecabitur à diagonali .q.r.
in puncto .o. correſpondens .ω. perfecti, per
o. à puncto .d. cum ducta fuerit .d.o. vſque ad .t.
in latere .q.e. hoc
cto .b. perfecti.
Idem eueniet ſi loco diametri .q.a. ſumpta
fuerit diameter .u.d. & loco .b.d. protracta fue
rit .b.a. deinde loco .u.ω.f. ducta fuerit .q.ω.f. vn-
de punctum correſpondens ipſi .f. in figura de-
gradata erit in latere ſupremo .e.r. correſpon-
dens lateri .u.a. & ita ducenda erit diameter .d.
e. correſpondens diametro .d.u. et .q.f. ſurſum
verſus correſpondens .q.f. imum verſus deinde .
r.o. reſpondens .a.ω. quæ terminabicur ab
met
punctum in perſpectiua elicui. Iuſſi enim vt aptaretur tabula quædam rectan-
gula exactè plana, triplo aut quadruplo, aut quanto volueris maioris longitu-
dinis, quàm latitudinis protenſa, quæ quidem latitudo erat ad duos circiter pedes
deſignata ab .A.B.C.D. cuius duobus lateribus .A.B. et .B.C. iuſſi, vt duæ regulæ affi
gerentur, quæ ſuperficiem eiuſdem tabulæ excederent, vt
anguli recti materialis, qui
raui poſtea, ut iuxta angulum .D. in puncto .o. fixo mobilis regula .o.Q. affigeretur
tantæ longitudinis, aut paulò minoris, quantam occupabat latus .D.A. quæ circum .
o. volueretur, in rectitudine poſteà. o.i. parallela ipſi .D.A. in puncto .i. duobus pedi-
bus longè à latere .A.B. aliam quoque mobilem appendere feci .i.M. in tantam ferè
longitudinem extenſam, quanta conſtat .A.B.
ctum materiale tantæ magnitudinis, quanta nobis vſui eſſe poterat ſuper eadem ta-
bula; necnon regula quædam materialis neceſſariæ longitudinis
omnia tenuiſſima, vt fierent curaui. Quandam deinde lineam ad .o.i. parallelam,
ideſt .p.E. ſuper eadem tabula adeò diſtantem ab .o.i. vt inter .E.p. et .B.c. perfe-
ctæ res, quæ degradari debebant, locari poſſent, ſignaui. Hæc autem diſtantia, quæ
Signa-
ui etiam lineam .i.G. perpendicularem lineæ .E.p. cui affigi poſſet non nihil chartæ
quotieſcunque volebam in perſpectiua aliquid delineare. Quod cum facere deſi-
derabam, ponebam perfectum optimè affixum in quadrangulo .E.G: & in quadran
gulo .E.i. aliquod folium papyri affigebam. Ponamus nunc, me voluiſſe conſtitaere
B.c. ponebam, atque aliud per punctum .b. tranſire faciebam, & vbi hoc latus
E.p. diuidebat, punctum .c ſignabam per quod efficiebatur, vt regula .i.M. tranſiret,
quieſceretq́ue aliquantulum aliquo modo in huiuſmodi ſitu, opera deinde circini
interuallum .b.c. ſumebam, & in .p.E. à puncto .x. verſus .E. punctum .m. per
quod faciebam, vt tranſiret regula .o.Q. quæ lineam .x.i. in puncto .f. diuidebat. Angulum deinderectum materialem accipiebam, cuius vnum latus .A.B. ponebam,
aliud verò per punctum .f. tranſibat, quod quidem latus regulam .i.M. in puncto .k.
(quod ſtatim ſuper folio papyri ſignabatur) interſecabat, atque hoc erat
quod quærebam, puncto .b. correſpondens. Huiuſmodi effectus rationes ab ijs, quæ
ſuperius dixi eliciuntur. Atque hæc ad baſes rerum, vt in ſubſcripta figura eluceſcit,
ſpectabant.
vt milii ſeſe offerebat occaſio. In primis ratione modi figuræ .H.
per .m. in rectitudine cuius ſignabam m.T. interuallum æquale altitudini perfecti,
ideſt punctum .T. æqualiter diſtans ab .m. tranſire faciebam, deinde regulam .o.Q.
per punctum .T. tranſire quoque faciebam: & notabam interſectionem ipſius cum
linea .i.x. in puncto .V. efficiebam deinde vt vnum ex lateribus anguli recti, lateri ta-
bulæ .B.C. anniteretur, aliudq́ue per punctum .k. tranſire faciebam, & in huiuſmodi
rectitudine à puncto k. ſignabam quandam menſuram æ qualem lineæ .f.V. quę erat
k.R. pro altitudine degradata.
læ .B.C. vt anniteretur faciebam; aliud verò per punctum .b. perfecti, ideſt ba
ſis eiuſdem perfecti tranſire faciebam. Et in huiuſmodi rectitudine ſignabam .c.s.
æquale interuallum altitudini perfecti, ideſt punctum .s. ita diſtans à .c. efficiendo de
inde, vt latus anguli recti, lateri .B.C. tabulæ anniteretur, aliudq́ue per punctum .k.
tranſire faciens ſignabam .k.R. indeterminatam. Faciens deinde tranſire regulam
i.M. per punctum .s. notabam punctum .R. interſectionis eiuſdem cum linea .k.R.
ducta. Itaque altitudinem .k.R. degradatam habebam.
Hæc autem via aliquan-
tulum breuior, expeditiorq́ue altera.
habuimus, dum animus totus adhuc in his eſſet. Illud in mentem venit quòd exi
mius ille vir, & profundiſſimæ doctrinæ, nec vnquam ſatis laudatus Daniel Barba-
rus ſe accepiſſe profitetur à Ioanne Zamberto patritio Veneto, qui ad verbum om
nia deſumpſerat a Ioanne Cuſino Pariſienſe. Nec parum mirabar peritiſſimum il-
lum Cuſinum, quod in capite quarto ſecundæ partis perſpectiuæ, vt quodpiam pla-
num quadrilaterum in quadratam figuram redigeret, ſuper vnam datam
dratam compoſuiſſe. Non animaduertens diſtantiam aut interuallum .b.c. degra-
datum ín linea .b.f. (quod eſt .b.E.) ita eſſe poſſe latus parallelogrammi rectanguli
magis longi quam lati, aut magis lati quam longi, vt etiam latus quadrati, quod be-
neficio ſubſcriptæ hic figuræ facilè depræhendi poteſt. Vbi .b.c. latitudo eſſe po-
teſt, tam perfecti degradati in triangulo .b.n.m. aut in triangulo .b.q.t. quam in trian
gulo .b.a.c. Sed perfectum degradati in triangulo .b.n.m. magis longum quam
& perfectum degradatum in triangulo .b.q.t. magis latum quam longum, & perfe-
ctum degradati in triangulo .b.a.c. quadratum erit quemadmodum à meis etiam fi-
guris .A. ſcientificè intelligi poteſt. Hinc, ad inueniendum perfectum alicuius pla-
ni degradati, non ſufficere degradationem ſolum interualli inter duos terminos
ſolos, ideſt .b.E. aſſignare, apertè patet, quia non omnia parallelogramma. perfecta
ab vno Ad
igitur perfectum alicuius plani
vniuerſam degradationem tam latitudinis,
aſſignare; Vt
lelogrammum degradati .b.h.l.m. dando diſtantiam orizontalem .b.d. à pede .d. ho-
ſtatim altitudo .A. oculi à pe
de, quæ tanta ſemper eſſe debet quanta eſt altitudo trianguli .b.n.m. qui clauditur,
protrahendo .m.l. et .b.h. vſque ad concurſum in .n. in lucem prodibit. Oporter
deinde erigere lineam .b.o. perpendicularem lineæ .d.b.m. & vſque ad eandem pro
ducere lineam .l.h. in puncto .E. et à puncto .A. per .E. vſque ad .c. ipſius .d.b.m. produ
ctæ ducere .A.E.c. atque deinde protrahere lineam .o.b. vſque ad .T. ita vt .b.T. ęqua
lis ſit ipſi .b.c. & ad ipſam à puncto .m. ducere parallelam .m.R. & à puncto .T. ducere .
T.R. parallelam ipſi .b.m. Vnde ex .34. primi Eucli .m.R. æqualis erit ipſi .b.T. et .R.
T. ipſi .m.b. & anguli in rectos euadent, atque hoc parallelo grammum rectangulum
erit verum perfectum degradati .b.m.l.h. obrationes à me circa
Sed eſt hic quod magis nos commoueat, quia cum ex linea .b.c. quadratum .b.g. pro
duxerit, vult eum poſtea degradare. Quod vt faciat (hanc figuram videbis in cap
4.
quadrati .b.g. collocat. Quod rectè fieti non poteſt, quia oculum hoc mo-
do locantes, viſualesq́ue radios beneficio vnius plani ſituati in .b.f. ſecantes in ipſo
plano, nihil aliud quam Id quod, & ſi
natura ſua ſit omnibus notum, ponit
quarti libri de perſpectiua. Præter hæc, credit latera .b.d. et .c.e. quadrati degra-
dati ſemper videri mediantibus angulis .b.A.c. et .f.A.g. quod fieri
a dmodum ex mea figura corporea .A. facilè cognoſcere poſſumus, propterea quòd
latera .d.r. et .q.e. meæ figuræ, mediantibus angulis .d.o.r. et .q.o.e. qui extra ſuperfi-
ciem .s.a. exiſtunt videntur, vnde ſi quis imaginaretur in puncto .p. oculum eſſe, &
ab ipſo ad .u. et .q. duas lineas duceret, angulus .q.o.u. nunc maior, nunc minor eſſet
angulo .q.p.u. aliquando etiam æqualis, quamuis rariſſime; Sub diuerſis igitur an-
gulis, pro maiori parte, deteguntur latera, à partibus quadrati tam degradati, quàm
perfecti, quæ non ſunt anguli .b.A.c. et .f.A.G. Quod vero idem poſtea dicat eam
proportionem eſſe ab .b.E. ad .f.h. & ſimul ad .c.g. quæ eſt ab .a.g. ad .h.g. id tuo relin
Tibi quoque conſiderandum relinquo;
cum rationabilis degrada-
tio eſſe debeat, qua ratione neceſſarium ſit, vt diſtantiæ reſq́ue, in vna &
portione cum altitudine oculi ad rem degradatam exiſtant? Cum poſtea degrada-
uerit
legibus degradatum fuiſſe probare nititur; ſolum probans .d.e. æqualem eſſe ipſi .
E.h.
quadrati plana degradauiſſe, quia .b.E. degradat .b.c. et .E.h. degradat .c.g. et .f.
h. degradat .f.g. nec quidem de lateribus .b.d. et .c.e. loquitur, quia ſi .c.g.
perfecti, degradatum eſt in .E.h: et .d.e. rectè protracta exiſtit, cum ſit æqua-
lis ipſi .E.h. cum etiam .b.d. et .c.e. rectè protractæ eſſe debeant: qua de cau-
ſa ipſis .b.E. et .f.h. quæ, ex ipſo, ſunt degradationes .b.c. et .f.g. æquales eſſe non de-
bent? Poſſet is mihi quidem reſpondere,
Ergo tria latera .b.c: c.g. et .g.f.
lè intellectæ nil probant. quia ſi dictæ proportionalitates, nobis tutò promitterent
degradationes, ab eo primum effectas, in linea .b.f. eſſe bonas, ergo duæ .b.d. et .e.c.
falſæ exiſterent, quarum quælibet maior eſt .b.E. et .f.h. ex .18. primi Eucli. Omitta-
mus etiam quod vbi is ſcribit eam eſſe rationem, aut comparationem ab .A.d. ad .b.
E. quæ eſt ab .d.c. ad .b.c. eandemq́ue eſſe ab .E.h. ad .c.g. quæ eſt ab .A.E. ad .A.c. nil
probet; nec ſimilitudinem triangulorum, nec aliquam propoſitionem Eucli. citans.
In quo excuſari non poteſt, quòd non ſoleat Euclidem, aut alium quemuis autorem
citare, cum vel in ipſo operis principio capite .3. primæ partis, A pollonium Deinde
lem eſſe ipſi .E.h. eandem inquit eſſe proportionem .a.b. ad .a.d. quæ eſt ipſius .A.c.
ad .A.E. quod & ſi verum ſit, hic tamen modus ratiocinandi nullo ordine nititur,
quia rectius dixiſſet pro clariori intelligentia ipſius .a.c. ad .a.e. eandem proportio-
nem eſſe, quæ eſt .A.c. ad .A.E. propter ſimilitudinem, quæ inter duos triangulos .A.
c.a. et .E.c.e. intercedit, cum .E.e. ſupponatur parallela ipſi .A.a. quod etiam vt de-
monſtraretur longiori oratione ei opus fuiſſet ſi voluiſſet intellectum eorum, qui pa
rum ſunt exercitati, perduci ad
eſt ipſius .A.c. ad .A.E. in hunc modum, ideſt probando primùm duos triangulos .A.
c.a. et .E.c.e. æquiangulos eſſe, mediante .29. primi Eucli. cum .A.a. et .E.e. inuicem
ſint parallelæ. Vnde ex .4. ſexti. idem extitiſſet de .A.c. ad .E.c. vt .a.c. ad .e.c. et. ex
16. quinti idem de .A.c. ad .a.c. vt ipſius .E.c. ad .e.c. & ex .19. eiuſdem de .A.E. ad .a.
e. vt ipſius .A.c. ad .a.c. & ex .16. iam dicta de .A.E. ad .A.c. vt ipſius .a.e. ad .a.c. ideſt
ipſius .A.c. ad .A.E. vt eſt ipſius .a.c. ad .a.e: Aut hoc alio modo, qui breuior eſt pro-
cedendum, incipiendo ſcilicet à ſecunda ſexti Eucli. dicendo
lela ipſi .A.a: ex dicta .2. lib. 6. erit idem de .c.E. ad .E.A. vt de .c.e. ad .e.a. vnde ex
18.Nunc
mediantibus ſupradictis duabus propoſitionibus ideſt .29. primi, & 4. ſexti, cogno-
ſcitur idem planè eſſe de .b.c. ad .d.e. quod ipſius .a.c. ad .a.e. & ex eiſdem idem eſſe
de .c.g. ad .E.h. quod ipſius .A.c. ad .A.E. vnde ex .11. quinti bis repetita idem erit de
b.c. ad .d.e. quod de .c.g. ad .E.h. ſed cum ex ſuppoſito .c.g. ſit æqualis ipſi .c.b. idem
erit de .c.g. ad .e.d. quod ipſius .c.b. ad eandem ex .7. quinti, vnde ex .11. idem erit de
c.g. ad .E.h. quod eiuſdem .c.g. ad .e.d. ex .9. igitur eiuſdem .d.e. æqualis erit ipſi .E.
h. atque hic verus eſt modus ducendi intellectum parum exercitatum in cognicio-
nis campum. quem quidem mihi obſeruandum proponerem ſi onus ſcribendi ſu-
ſciperem ijs, qui in ſcientijs parum verſati ſunt, quos tanquam puerulos manu du-
Ratio verò ab ipſo adducta propter quam .E. repreſentatur oculo al-
tius quam .b. nempe eo quod .A. ſuperſtet ipſi .E. nihil valet, quia ſi inferius eſſet,
idem contingeret, ſed hoc euenit eo quod .E. altius eſt ipſo .b. Idem dico de .h.
vbi ſimiliter decipitur. Idem etiam in .7. cap. fallitur in ſecundo modo, quem oſten
dit pro ſecundo quadrato aliquo degradato à parallelogrammo degradato magis
longo quàm lato, cum ducat parallelam .l.m. ad .b.c. à puncto .l. interſection is ipſius .
o.c. id, quod non rectè efficitur quemadmodum ex rationibus à me allegatis circa
meas figuras .A.A. facilè innoteſcit.
Nono deinde cap. contrario planè ordine, quam oporteret proceſsit, quia
angulus .2. trianguli perfecti magis diſtet à plano ſuper quod degradari debet
triangulum, quàm latus .1. 3. oppoſitum dicto angulo .2. & per confequens longère
motior ſit ab oculo, ipſe in degradato,
tra eap .10. rectè fecit contra id, quod capite .9. tradiderat.
Quod autem deinceps in prima parte .11. & vltimi capitis aſſerit eſt,
Quod verò in ſecunda parte ab eo traditur, ideſt alius quidam modus quem de
ferendis punctis à perfecto in degradato proponit, non eſt modus vniuerſalis; quia
ſi altitudo .T.Q. oculi à plano orizontali, non eſſet æqualis medietati lateris .B.D.
perfecti, interualla .a.b.c.d.e. lateris B.D. admittenda non eſſent.
Pro cuius rei intelligentia ſit in ſubſcripta hic figura corporea .ω. parallelogram-
mum rectangulum A.B.C.D. in plano orizontali, & linea .Q.H. illud per medium
diuidat, quæ ſit parallela duobus lateribus .A.B. et .C.D. in cuius quolibet puncto .
Q. ſit infimus terminus altitudinis oculi, & in .
eiuſdem, tantum eleuatus à .Q. quanta eſt
medietas ipſius .D.B. ſitq́ue figura corpo-
rea finita ſimilis meæ .A. vnde .Q.T. æqualis
erit ipſi .Q.æ. & planum perpendiculare
ti
ſit .R.D.B. ſintq́ue ductæ per imaginationem
lineæ .T.K: Q.K. et ſit .K.N. perpendicularis la-
teri .C.D. à quo puncto .N. imaginatione ſit
præhenſa linea .N.Q. at que hæ tres lineæ ſectæ
ſint à plano in punctis .c.i. et .2. quorum
2. erit quæſitum plani. Imaginemur nunc duos
triangulos .K.T.Q. et .N.Q.æ. qui ſecti
à plano .R.B.D. quorum communes ſectiones
erunt .1. 2. et .D.c. & quia .N.K.D.i. et .æ.Q.
inuicem ſunt parallelæ, ſequitur eandem pro-
portionem futuram ipſius .Q.K. ad .K.i. quæ eſt
ipſius .æ.N. ad .N.D. imaginatione concipien
do a puncto .K. vſque ad .æ.Q. quandam paral-
lelam ipſi .N.æ. quemadmo dum ex te ipſo intel
ligere potes. Sed ratione ſimilitudinis trian-
gulorum ita ſe res habet de .æ.Q. ad .D.c. vt de .
æ.N. ad .N.D. vt quoque de .T.Q. ad .2. 1. quemadmodum ipſius .Q.K. ad .K.i. vn-
de ex .11. quinti, idem erit de .Q.T. ad .1. 2. quod de .Q.æ. ad .c.D. & ex .16. eiuſdem
de .Q.T. ad .Q.æ. quod de .1. 2. ad .c.D. & exiſtente .æ.Q. ex ſuppoſito æquali ipſi.1. 2.
Vnde huiuſmodi regula tunc bona redditur, quando T.Q. æqualis eſt ipſi .œ.
Q. ideſt medietati ipſius .D.B. at verò ſi æqualis non eſſet hoc minime ſequeretur,
vt facilè patet. Quòd verò .2. R.Z. &. ſint benè diſpoſita, dubitandum non eſt, quia
punctum .i. meæ hic ſubſcriptæ figuræ, quod coreſpondet K. eius ſiguræ adeò diſtat
a medio .R.X. trianguli .R.B.D. vt .2. cum .1. 2. dicto medio .R.X. ex .6. Vndecimi fit
parallela. Idem de reliquis dico. quod manifeſtè cognoſci poteſt, ab eo, quod in
ſuperius poſitis figuris corporeis dixi. Huiuſmodi modus ducendi res in perſpectiua,
non ſolum à Gallis, ſed à Germanis etiam in vſum reducitur. Sed quia ad hæc
tempora eiuſdem perfectionis ratio, quam ego ſuperius propoſui,
emerſit, factum fuit, vt
modo minorem medietate lateris .D.B. Cum hunc igitur modum hic Autor
vniuerſalem eſſe putet, labitur in errorem, cum debuiſſet longitudinem ipſius .T.Q.
debere eſſe æqualem medietati ipſius .D.B. proferre. Aſſerit deinde diſtantiam ip-
ſius .T.Q. à latere .B.D. æ qualem eſſe debere lateri .C.D. quod neceſſarium non eſt,
quia in quibuslibet diſtantijs, iuſta operatio fieri poteſt, quemadmodum in ſubſcri-
pta hîc figura facile patet, ideſt, quòd quibuſcunque modis .c.D. æqualis remaneat
ipſi .1. 2. & ſic interualla, quæ
Neque etiam probandus eſt auctor ille, cum pro oculo, ſuum .T. loco .Q. à me poſi-
ti, ponit, cum is locus ſit verus ſitus pedis eius quireſpicit, & non oculi. Quòd
Auctor iſte, modo vniuerſali intelligat, vt iam diximus,
di primi cap. tertiæ partis, in qua ſuum oculum (vt ita dicam) ponit in .o. altius ſeu
diſtans à rectitudine lateris .c.d. plus quam ſit totum latus .d.b.
ſam, quæ me in alijs meis literis impulit ad
iorem, modo verò minorem futurum angulo .q.p.u. meæ figuræ corporeæ .A. hanc
igitur ob cauſam imagineris in ſubſcripta hîc figura duo triangula .q.o.u. et .q.p.u.
quorum .q.p.u. perpendiculariter ſit ſuper ſuperficie trianguli .q.o.p. collocatum,
præcisè vt in mea figura corporea .A. ſuperficies verò trianguli .q.o.p. ſit exempli-
gratia .V.M. & trian-
guli .u.o.p. ſit .V.D.
ctio ſit .V.p.o.x. non
eſt enim
quin triangulum .q.
p.u. ſit perpendicula-
re triangulo .q.o.p.
Eucli. perpendicula-
re ſit ſuperficiei .a.s.
in qua reperitur
gulum
ex linea .o.p. perpendiculari dictæ ſuperficiei .a.s. Nunc dico angulum .q.o.u. modo
maiorem, modo minorem eſſe angulo .q.p.u. Notiſſimum igitur primum nobis
Imaginemur ergo circa triang ulum .p.q.u. circun-
ſcriptum eſſe circulum, cuius portio .p.q.u. minor erit medietate eiuſdem medij cir-
culi, vt iam ex 30. Eucli. lib. tertij nouiſti. nunc imaginemur dictum circulum circum
lineam .q.u. loco axis verſus .x. moueri, vnde girus eiuſdem, per quem tranſibat linea
V.x. remouebitur ab eadem linea non nihil cum motus erit à primo ſitu vſquequò
ad ſecandam dictam lineam .V.x. in alio quodam puncto inter .p. et .x. redibit; quod
quidem punctum ſi
erit inter .o. et .x. angu
angulo .q.p.u. Sed ſi
idem
ter .p. et .o. dictus an-
gulus .q.o.u. minor
erit .q.p.u. de qua
dẽ
te .20. lib. 3. et .16. lib.
primi certior fieri po-
tes. Valde miror
hæc Ioannis Cuſini di
cta ad hæc vſque tempora tanto in prætio ſint habita, vt ab excellentibus ſcriptori-
bus quaſi ſi proprij eorum ingenij partus eſſent, de verboad verbum vt theſauros, in
fuis
gnomonica Orontium, Munſterum,
lare,
eſt caput: vnde fiat, aut quomodo probetur quaſlibet duas facies oppoſitas eiuſ-
dem corporis octoaedri Quamobrem ſit hîc
l. vna ex faciebus, cui opponatur facies .q.k.
ſint aliæ duæ facies, quæ inter has ponuntur .
b.d.k. et .q.p.l. & à punctis extremis .b.q. dia-
metri. ductæ ſint quatuor lineæ .b.a: b.u: q.a: q.
u. ad puncta .a. et .u. diuidentia .k.d. et .l.p. per
medium, vnde ex 4. primi Eucli. quatuor hæ
lineæ adinuicem ęquales erunt
baſes
u. ab .q.a. ex .27. primi;
metrum .b.q. tunc ex .4. aut ex .8. eiuſdem lib.
habebimus angulos .a.b.q. et .u.q.b. æquales
inuicem; ſed ob eaſdem rationes .p.l. paralle-
la eſt ipſi .d.k. vnde ex 15. lib. 11. facies .b.p.l.
parallela fit, aut æquidiſtans ipſi .q.d.k. ideſt
primum propoſitum.
Ad habendam deinde quantitatem diſtantiæ, aut interualli ſimul cum ſitu, in fa-
cie .q.d.k. quem latus .p.l. perpendiculariter reſpicit. Imaginemur à puncto .u. ſuper
q.a. cad ere lineam perpendicularem .u.o. quæ illico reperitur cum triangulum .a.
u.q. ex lateribus datis & cognitis conſtet,
drilateri, ſeu. rumbi .q.a.b.u. cui vnaquæque dictarum quatuor facierum perpendi-
cularis exiſtit ex .4. ct .18. lib. 11. & ob id linea .u.o. extenſa in ſuperficie dicti quadri-
lateri, & perpendicularis lineæ .q.a. perpendicularis erit faciei .q.d.k. & ex .29.
primi, angulus .b.u.o. rectus erit, ut
ex .4. eiuſdem lib .o.u. perpendicularis erit faciei .b.p.l. Ha bebimus ergo ſitum in fa-
cie .q.d.k. qui reſpicietur ad angulos rectos à linea .p.l. quiquidem erit in perpendi-
culari à puncto .o. ad .q.a. ducta.
Quòd autem .a.o. ſit latus exagoni æquilateris circumſcrip tibilis ab eodem circu
lo, qui vnam ex faciebus triangularibus æquilateribus propoſiti corporis circunſcri-
bere pot eſt, ita oſtenditur. ſit
tim, cuius latus .a.u. æquale eſt vni ex lateribus
primi, quo dlibet verò aliorum duorum æquale perpendicularibus dictorum trian-
gulorum, in quo triangulo .a.u.q. ducta ſit perpendicularis .u.o. ab vna
lateris maioris, ad vnum ex minoribus lateribus, quę perpendicularis intra triangu-
lum cadet, quia dictum triangulum oxigonium eſt. quod autem attinet ad duos angu
los .a. et .u. cum æquales ſint ex quinta lib. primi; 17. nos certiores facit;
quod verò an
gulus .q. ſit 30. lib. tertii nos cer-
tos reddit,
dictæ ſphęrę ſuperficiem tangat.
Ad probandum .a.o. ęqualem eſſe lateri
exagoni dicti, ſatis erit probare .a.q. ſeſqui
alteram eſſe ad .a.o. quia ſi in ſubſcripto
hîc circulo ducemus duas ſemidiametros .
n.p. et .n.l. ad. angulos
et .l. & cum quodlibet laterum ipſius exago
ni, ęquale ſit ſemidiametro circuli ex .15.
lib. 4. habebimus ex .8. primi, angulum .n.
p.l. æqualem angulo .q.p.l. Vnde ex .4. eiuſ
dem .o.n. ęqualiserit ipſi .o.q. ideſt .q.a. ſeſ
quialtera erit ad .a.o.
Ad probandum nunc in triangulo .a.q.
u: a.q. ſeſquialteram eſſe ad .a.o. eſt
ſciendum primò omne latus trianguli ęquilateri in potentia ſeſquitertium eſſe ad
perpendicularem eiuſdem trianguli, quod vndecima lib. 14. Eucli. breuiter demon
ſtratum eſt.
Ponamus nunc quadratum lateris .a.u. eſſe .12. clarum erit quodlibet quadratum
aliorum duorum laterum .a.q. et .u.q. futurum nouem, ex ijs quæ poſteriore loco dixi
mus, & quia quadratum ipſius .q.a. eſt tantò minus aliorum duorum quadratorum
ſumma, quantum eſt duplum producti ipſius .q.a. in .a.o. ex .13. ſecundi, ſed alia duo
quadrata ſimul collecta faciunt .21. à quo numero ſubtrahendo quadratum ipſius .a.
q. ideſt nouem, remanebit numerus .12. pro duplo producti ipſius .q.a. in .a.o. cuius
dupli me-
eſt ſimplex
productum
ipſius .q.a.
Sed
dratum ip-
ſius .q.a. eſt
nouem,
eius radix .
q.a. crit .3.
per
uidendo .6.
productum
ipſius .q.a.
in .a.o. pro
latere .a.o.
conſurgent
duo, cum er
go .a.o. ſint
duo tertia
ipſius .a.q.
certi
a.o. eſſe latus dicti exagoni.
Barbari, ſeu Zamberti, eſſe veram
poris octoaedri,
h. vt
diximus, facile percipi poteſt; ex penultima primi .
b.l. in potentia, ſeſquioctaua erit ad .k.l. ipſa et .k.
l. dupla
l. exiſteret in potentia tripla ad .h.k. & ſeſquialtera
ad .l.k. & ſeſquitertia ad .l.b. & ſic ad .h.b. vnde .l.h.
æqualis eſſet vni ex lateribus
cti corporis. Ex rationibus igitur ſuperius hîc poſi-
tis .l.k. erit altitudo dicta, id eſt diſtantia inter duas
facies inuicem oppoſitas, octoaedri.
illius Zamberti: cum
octoacdri rectos eſſe
nicis, at cum natura
Latens in apertum emittere ſoleant, nec ingenui aut grati ſit
animi, posteris inuidere, ſi quid ei contigerit comperuiße prius
tenebris inuolutum: cum tam multa ipſe ex aliorum diligentia
ſit conſequut us. Paucula
qui in biſce mechanicis verſantur, nuſquam ante bac tentata,
aut ſatis exastè explicata in medium proferre volui: quo vel iuuandi deſiderium, vel
ſaltem non ocioſi ingenioli argumentum aliquod exbiberem: at que vel boc vno modo me
inter bumanos vixiſſe testatum relinquerem.
ſit exe
gratia .B. centrum, aut, quod diuidit brachia alicuius libræ, & .A.B.Q. vertica-
lis linea, aut, vt rectius dicam, axis orizontis, & .B.C. vnum brachium dictæ li-
bræ, & in .C. ſit pondus, & .C.O. linea inclinationis, ſeuicineris
trum mundi, cum qua .B.C. angulum rectum conſtituat in puncto .C. Exiſtente
igitur in huiuſmodi ſitu brachio .B.C. dico pondus .C. grauius futurum, quam
in alio quolibet ſitu. quia ſupra centrum .B. omninò non quieſcet, quemadmodum
in quouis alio ſitu faceret. Ad quod intelligendum, ſit dictum brachium, in ſitu .B.
F. cum eodem pondere in puncto .F. & linea itineris ſeu inclinationis dicti ponderis
ſit .F.u.M. per quam lineam dictum pondus progredi non poteſt, niſi brachium .B.F.
breuius redderetur. Vnde clarum erit
trum .B. mediante brachio .B.F. nititur. Eſt quidem verum, quòd pondus .C. nec
ipſum etiam per lineam .C.O. proficiſce-
tur, quia iter extremitatis brachij eſt cir-
cularis, & .C.O. in vno
contingens. Sit hociter .A.C.Q.
Opor-
tet nunc præſupponere pondus extremi-
tatis brachij deberetanto magis
inniti, quanto magis linea ſuæ inclinatio-
nis (ponamus .F.u.M.) propinqua erit di
cto centro .B. quod ſequenti cap. proba-
bo, vt exempli gratia, ſit .F. ſuper .u. pun-
ctum medij ex æquo inter .C. et .B. qua-
propter .u.B. æqualis erit .u.C. vndeſe-
minus ſupra centrum .B. pro dicta parte .F.C. quam pro parte .A.F. quieturum; &
dictum brachium quanto magis orizontale erit à ſitu .B.F. tantò minus-ſupra dictum
centrum .B. quieſcet, & hac ratione grauius quoque erit, & quanto magis vicinum
erit ipſi .A. à dicto .F. tantò magis ſuper centrum .B. quoque quieſcet, vnde
que leuius exiſtet. Idem dico de omni ſitu brachij per girum inferiorem .C.Q. vbi
pondus pendebit à centro .B. dictum centrum attrahendo, quemadmodum ſuperius
illud impellebat. Hæc verò omnia cap. ſequenti melius percipientur.
brachij .B.C. ad partem .B.u. poſitam inter centrum & lineam .F.u.M. inclinatio-
nis, quam pondus ab extremitate .F. liberum verſus mundi Quod
vt facilius intelligamus imaginemur
locatum aliquod pondus minus pondere .C. vt .B.u. pars .B.C.m. nor eſt .B.D. cla-
rè cognoſcetur ex .6. lib. primi de ponderibus Archimedis, quòd ſi in puncto .u. col-
locatum erit pondus ipſius .C. libra nihil penitus à ſitu orizontali dimouebitur. Sed
perinde eſt quòd pondus .F. æquale .C. ſit in extremo .F. in ſitu brachij .B.F.
in puncto .u. in ſitu ipſius .B.u. orizontali. Ad cuius rei euidentiam imaginemur
F.u. perpendiculare, & in cuius extremo .u. pendere pondus, quod erat in .F. vnde cla
rum erit quòd eundem effectum gignet, ac ſi fuiſſet in .F. quod, vt iam diximus re-
manens affixum puncto .u. brachij .B.u. tantò minus graue eſt ſitu ipſius .C. quantò .u.
B. minus eſt ipſo .B.C. Idem aſſero ſi brachium eſſet in ſitu .e.B. quod facilè cogno-
ſcere poterimus, ſi imaginemur filum appenſum ipſi .u. brachij .B.C. & vſque ad .e.
ab .e. brachij .B.e. vnde libra orizontalis manebit. Sed ſi brachium .B.e. conſolida-
tum fuiſſet in tali ſitu cum orizontali .B.D.
quia tantum
eſt quod ipſum ſit appenſum filo,
ab .u. quantum quòd ab ipſo liberum
nſum fuiſſet .e. brachij .B.e. & hoc procede
ret ab eo quòd partim pendereta centro .
B. & ſi
dus centro .B. remaneret appenſum,
admodũ
niteretur. vnde fit vt hoc modo pondus
magis aut minus ſit graue, quò magis
aut minus à centro pendet, aut eidem niti-
tur:
Et quamuis appellem latus .B.C. orizontale, ſupponens illud angulum rectum
cum .C.O. facere, vnde angulus .C.B.Q. fit vt minor ſit recto, ob quantitatem vnius
anguli ęqualis ei, quem duæ .C.O. et .B.Q. in centro regionis
hoc tamen nihil refert, cum dictus angulus inſenſibilis ſit magnitudinis. Ab iſtis au-
tem rationibus elicere poſſumus, quod ſi punctus .u. erit ex æquo medius inter cen-
trum .B. & extremum .C. pondus .F. aut .M. pendebit, aut nitetur pro medietate dicto
centro .B. & ſi dictum .u. erit propius .B. quam puncto .C. pendebit ab ipſo, aut nitetur
ipſi amplius
EX ijs, quæ à nobis hucuſque ſunt dicta, facilè intelligi poteſt,
quæ ferè perpendicularis eſt à centro .B. ad lineam .F.u. inclinationis, ea eſt,
tuens videlicet linea .F.u. cum brachio .F.B. angulum acutum .B.F.u. Vt hoc tamen
melius intelligamus, imaginemur libram .b.o.a. fixam in centro .o. ad. cuius etrema
ſint appenſa duo pondera, aut duæ virtutes mouentes .e. et .c. ita tamen
nationis .e. ideſt .b.e. faciat angulum rectum cum .o.b. in puncto .b. linea verò inclina
tionis .c. ideſt .a.c. faciat angulum acutum, aut obtuſum cum .o.a. in puncto .a. Imagi-
nemur ergo lineam .o.t. perpendicularem lineæ .c.a. inclinationis, vnde .o.t. minor
erit .o.a. ex .18. primi Euclidis. ſecetur deinde imaginatione o.a. in puncto .i. ita ut
o.i. æqualis. ſit .o.t. & puncto .i. appenſum ſit pondus æquale ipſi .c. cuius inclinationis
linea parallela ſit lineæ inclinationis ponderis .e. ſupponendo tamen pondus aut vir
tutem .c. ea ratione maiorem eſſe ea, quæ eſt .e. qua .b.o. maior eſt .o.t. abſque dubio
ex .6. lib. primi Archi. de ponderibus .b.o.i. non mouebitur ſitu, ſed ſi loco .o.i. imagi
nabimur .o.t. conſolidatam cum .o.b. & per lineam .t.c. attractam virtute .c. ſimiliter
quoque continget ut b.o. t; communi quadam ſcientia, non moueatur ſi tu.
Eſt ergo
alterius debere depræhendi à perpendicularibus, quæ à centro libræ ad lineas incli
nationis exiliunt. Hinc autem innoteſcit facillimè, quantum vigoris, & vis pondus,
aut virtus .c. ad angulum rectum cum .o.a. minimè trahens, amitttat. Hinc quoque co
rollarium quoddam ſequetur, quò d quantò propinquius erit centrum .o. libræ cen-
tro regionis elementaris, tantò quo que minus erit graue.
VIs brachij longioris alicuius ſtateræ, aut vectis, maior breuioris, ab ijs, quæ in ſu
perioribus capitibus diximus, ideſt
centro pondus in extremitate brachij maioris poſitum, oboritur. Quamobrem illud
à nobis primò eſt cognoſcendum, ſtateras, aut vectes, puras mathematicas li-
neas non eſſe, ſed naturales, hincque exiſtere corpora cum materia coniuncta. Nunc
igitur imaginemur .n.s. eam ſuperficiem eſſe, quæ ſecundum longitudinem axem ſta
teræ ſcindit. & ſupponamus ipſius centrum eſſe primum in .i. & maius brachium eſſe
.i.u: minus autem .i.n. & lineam verticalem .i.o. quæ tanta ſit, quanta eſt ſpiſſitu-
do, aut craſſities ipſius ſtateræ à ſuperiori latere ad inferius, ad faciliorem intelligen-
tiam, ſupponendo .n.s. Poſitis igitur duobus ponderibus æquali-
ſum, viol entiam faciet ponderi appenſo ad .n.x. ſed nos volumus inueſtigare
huius effectus, quæ à nemine vnquam literarum monumentis,
Iam diximus ſtateram, aut vectem materialem eſſe & .n.s. eius ſuperficiem me-
diam, ſupponendo .i. eſſe centrum quo nititur dicta ſtatera aut vectis; Cum hocer-
go ita ſe habeat, ſint .u.s. et .n.x. lineæ inclinationum ponderum, & imaginemur,
dicta pondera pendeant à punctis .u. et .n. vt reuera pendent, etiam ſi appenſa eſſent
ſub .s. et .x. quia punctum .u. & punctum .n. ita coniuncta ſunt cum .s. et .x. ut qui
trahit alterum quoque trahat. Imaginemur quoque duas lineas .i.u: i.n. et .i.e. quę
i.e. faciat angulum .o.i.e. æqualem angulo .o.i.n. Hinc clarè nobis patebit, ſi quis ipſi
e. pondus ipſius .u. (
ret, quam pondus ipſius .n. habet, & ſtateram neque ſurſum, neque deorſum moue-
ret, quia ambo pondera ad centrum .i. mediantibus lineis .e.i. et .n.i. exęquo annite-
rentur, ſed dicto pondere poſito in .u: linea .u.i. per quam pondus centro annititur,
magis orizontalis quam .e.i. fit, & linea .u.s. inclinationis longius diſtans à centro .i.
magisque ponderoſum, quam cum erat in .e. ratione eorum, quæ primo & ſecundo
capitibus diximus, & ob hanc cauſam ſuperat pondus poſitum in .n. Sed ſi centrum
fuerit .in .o. imaginabimur duas lineas .o.s. et .o.x. & ſupponemus quòd pondera po-
ſita ſint in .s. et .x. vnde exiſtente magis orizontali linea .o.s. quam erit .o.x. & linea
u.s. inclinationis longius diſtante à centro .o. quàm linea .e.t. eius pondus erit
mus, inueniemus eundem effectum verum eſſe. In ſtateris, rectè & propriè appella
ri poteſt .x.i.s. aut .n.o.u. orizontalis, ſed in omni vectium ſpecie, hoc
dam ſimilitudinem dicetur. Idem contemplari licet ſupponendo centrum in medio
inter .o. et .i. quod vnuſquiſque ex ſe abſque alterius auxilio facile præſtare poterit.
NOn omittenda mihi
ſunt neceſſaria. Quod autem quærimus, in eo conſiſtit, quòd aliqui vectes
adhibeantur ad opus, quorum centrum, quod Græci
eſt ex extremis ipſius vectis, & pondus, quod ſurſum eleuari debet, inter ipſa-
met extrema iacet, propinquum tamen hypomochlio, vt exempli gratia, ſi vectis
eſſet infraſcripta figura .o.s.u.x. cuius hypomochlion eſſet in puncto .o. & pondus in
puncto .n. clarum erit,
uari .u. Nunc conſiderandum eſt quomodo pondus .n. annitatur ad .u.
Hanc ob cau
ſam imaginabimur rectas lineas .n.o: n.i: n.e: n.t. et .n.u. quarum .n.i. verſus mundi cen
trum ſit poſita, et .n.t. faciat angulum .i.n.t. æqualem angulo .i.n.o. Nunc ponendo ali
quam virtutem in .i. æquali inclinatione ad ſuperius conſtante, vt .n. ad inferius (re-
mota tamen grauitate materiæ vectis) huiuſmodi virtus, totum pondus ipſius .n. com
muni quadam ſcientiæ notione ſuſtinebit. & ſi
per .o. totum pondus ſuper hypomochlio ſe haberet, & tanta virtus ipſius hypomo-
chlij ſufficeret ad reſiſtendum pro ſuſtinendo, quanta eſt grauitas ipſius ponderis,
ſed ipſum iterum ponamus in .n. ibi clarum erit, quòd ſi alia virtus à parte inſeriori
ad ſuperiorem vectis non opponitur, excepto tamen hypomochlio, oportebit virtu
te cuiuſdam partis ponderis .n. (abſque conſideratione tamen, vt iam dixi, ponderis
materiæ vectis) vt vectis à parte .s.u. deprimatur, & dixi vnius cuiuſdam partis pon-
deris .n. quia alia
o.n. quæ angulos rectos cum .o.x. non facit. Si autem à puncto .t. opponet ſeſe huiuſ-
modi reſiſtentia, vt vectis non deprimatur, clarum erit communi ſcientia,
ponderis .n. diuiſa erit per medium æqualiter, cuius vna medietas ſuper .o. quieſcet,
& alia ſuper .t. mediantibus duabus lineis .n.o. et .n.t. Imaginemur nunc reſiſtentiam
t. ablatam eſſe,
annitetur beneficio lineæ .n.e. quàm ipſi .o. cum linea .n.i. inclinationis ipſi .e. ſit pro
pinquior quam .o. quia omnis reſiſtentia aut in .i. aut in .e. aut in .t. aut in .u. eſt loco
centri, quemadmodum eſt .o. & alter alterius opera iuuatur. Si verò eadem reſiſten
tia poſita erit in .u. clarum quoque erit,
ipſi .o. cum dicta .n.i. à centro .u. longius quam à centro .o. diſter, & proportio partis
ponderis .n. in .o. ad propor-
tionem partis ponderis .n. in
tionem angulorum .u.n.i. et
o.n.i. ſed ſecundum propor
tionem .u.i. ad .i.o. quod cla
rè compræhendi poteſt ab
centra quibus
quo pendeant duo pondera .o. et .u. ſic inuicem proportionata, ut ſunt .u.i. et .i.o.
certe horum ponderum cauſa ſtatera .o.s. quam vectem appellabamus à nulla parte
inclinabitur. Redeuntes nunc ad propoſitum, dicemus
n. minus ad .u. quam ad .o. ideſt ad .t. minori vi opus erit in .u. quàm in .t. ad attollen-
dum pondus ipſius .n. & ſic per conſequens quantò longius erit punctum .u. ab .t. tan
tò minori quoque vi egebit, & conſequenter quando vis, aut reſiſtentia in .u. ita pro
portionata erit illi, quæ eſt ipſius .o. vt eſt .o.i. ad .i.u. vectis non mouebitur. Sed quan
do erit proportio maior, reſiſtentiæ ipſius .u. ad eam, quæ eſt ipſius .o. ea, quæ eſt .o.
i. ad .i.u. tunc vectis à par-
teipſius .u.s. eleuabitur, ſi
quàm.o.i. ad .i.u. tunc ve-
ctis ab eadem parte depri-
metur.
QVibuſdam in locis vtuntur
ſtam, vnius tantum hominis ui adhibita, quæ quidem machina cum mihi di-
gna contemplatione eſſe videatur, eius aliquam rationem proponere volui, pro cu-
ius deſcriptione imaginemur planum, in quo ſedet ille, qui voluit paſtam, & in quo
ipſa paſta eſt repoſita .T.S.D. & triangulum .T.A.S. immobile perpendiculare-
q́ue ſuperficiei dicti plani, angulo autem .A. coniunctum lignum .A.E. vt ſemidiame
trum mobilem, & æqualem perpendiculari ipſius trianguli, unde .A. loco centri erit
et .D.O. ſit ſemidiameter, qui paſtam contundit, & ab eius extremo .O. (quod .O.
quando .D.O. orizontalis eſt, in baſi dicti trianguli reperitur) veniat lignum .O.V.
quod cum .A.V. ſit æquale perpendiculari imaginatæ ab angulo .A. baſi .T.S.
datũ
trum .D.O. poſſit, et .V.O. ſit æqualis .A.V. et .V. medium ſit inter .A. et .E. vnde .A.V.
cum .O.V. æquales erunt .A.E. ſunt deinde duo ligna
fixa, & immobilia inter ſe adeò diſtantia, vt inter ipſa
& infra, ne deuiet ſemidiametrum .D.O. In extremitate deinde ipſius .E. ſit lignum
quoddam tenue, vt digitus polex, ad angulos rectos cum .A.E. quod ab aliquo, qui
antedictam machinam ſtet, manibus teneatur, qui quidem homo idipſum lignum,
ideſt ſemidiametrum .A.E. à ſuperficie trianguli dicti, ad ſe trahendo, & deinde ver
ſus eundem triangulum impellendo, vim quandam maximam mediante ſemidia
metro .D.O. ſuper paſtam excitat.
Pro cuius rei contemplatione volo vt ſecundam hanc ſubſcriptam figuram .b.a.
u.x. imaginemur, in qua .u. exprimat .A. primæ figuræ, & .a. denotet .O. & .o.V. & .x.
E. imaginemur etiam .u.a. baſem trianguli .a.u.o. cui .o.t. perpendicularis dictæ baſi .
u.a. addatur.
vſque ad .b. ita productam vt .o.b. æqualis ſit .o.a. ponamus etiam pondus in .a. impel-
eſſe
proportionalis erit ipſi .o.t. reſpectu virtutis, aut vis imaginatæ in .b. inclinationis
perpendicularis ipſi .b.a. quæ quidem virtus, aut vis in .b. proportionalis erit ipſi .b.
o. ex tertio capite huius tractatus; Si ergo fuiſſet poſita in .b. virtus quædarn ad an-
gulum rectum, trahens lineam .b.o. tam proportionatam virtuti perpendiculari ip-
ſius .a. quam eſt .o.t. proportionata ipſi .o.b. ſtatera .b.o.a. non moueretur, ſed quæuis
portio maior in .b. ſuperaret .a. cum autem fuerit .o.x. æqualis ipſi .o.b.
do virtutem .b. in .x. Quantitas ergo virtu
tis in .x. quæ ſuperare debet reſiſtentiam
in .a. quæ ipſi .u. contraponitur, debet ha-
bere aliquantulum maioris proportionis
ad reſiſtentiam, quæ in .a. angulum re-
ctum efficeret cum .a.o. ea, quæ eſt .o.t.
ad .o.x.
CVm magis amici veritatis eſſe debeamus quàm cuiuſquam hominis, quemad-
modum Ariſto. ſcribit, detegam hoc loco quoſdam errores Nicolai Tartaleę
de ponderibus corporum, & velocitatibus motuum localium. Et primum decipitur
is in .8. lib. ſuarum diuerſarum inuentionum in ſecunda propoſitione, cum non ani-
maduerterit quanti momenti ſint extrinſecæ reſiſtentiæ.
Subiectum quoque tertiæ propoſitionis eſt malè demonſtratum, quia idem pla-
nè ex eius demonſtratione iam dicta corporibus hætereogeneis, aut figura diuerſis
contingeret, quod ad velocitates attinet.
In quarta propoſitione, quod ad
ab eo
Sed in ſecunda parte quintę propoſitionis non uidet
ipſe diſputat, nulla elicitur ponderis differentia. quia ſi corpus .B. deſcendere debet
per arcum .i.l. corpus .A. aſcendere debet per arcum .u.s. æqualem, & ſimilem. eadem
quoque ratione ſituatum, vt eſt arcus .i.l. vnde vt eſt facilè corpori .B. deſcendere
per arcum .i.l. difficile ita erit corpori .A. aſcendere per arcum .u.s. Hęc autem qnin
ta propoſitio Tartaleæ eſt ſecuuda quæſtio à Iordano propoſita.
Quòd autem ad primum corollarium dictæ propoſitionis attinet, verum ille qui
dem ſcribit, eius tamen effectus cauſa & à Iordano prius, & ab ipſo poſtea citata, na-
tura ſua vera non eſt. quia vera cauſa per ſe ab eo oritur,
vt primo cap. huius tractatus oſtendi. Secundum verò corollarium falſum eſſe, ijs ra
tionibus quas nunc ſubiungam, patebit. Imaginemur .u. pro centro regionis ele-
mentaris, & libram .b.o.a. obliquam reſpectu ad .u. & brachijs æqualibus
& pondera in .a. et in .b. etiam æqualia. lineæ autem inclinationum ſint .a.u. et .b.u.
imaginemur etiam lineam .o.u. & à centro .o. libræ duas .o.t. et .o.e. perpendiculares
inclinationum lineis; vnde pondus ipſius .a. in huiuſmodi ſitu tam erit proportiona
tum ponderi .b. quam proportionata erit linea .o.t. lineæ .o.e. ex eo
iustractatus probaui, ſed linea .o.t. maior eſt linea .o.e. quod ſic probo. Imaginemur
triangulum .u.a.b. circunſcriptum eſſe à circulo .u.a.n.b. cuius .c. ſit centrum,
extra lineam .u.o. cum ſupponatur .a.o.b. obliquam eſſe reſpectu ad .u.o. Imagine-
mur deinde à centro .c. lineam .c.o.s. vſque ad circunferentiam, quæ perpendicula-
ris erit ipſi .a.b. ex tertia lib. 3. Eucli. ſi poſteà imaginemur duas lineas .c.a. et .c.b. ha
bebimus ex .8. lib. primi, angulum .a.c.o. æqualem angulo .b.c.o. Vnde ex .25. lib. 3.
arcus .a.s. æqualis erit arcui .b.s. ſed ſi imaginabimur .u.o. ad circunferentiam vſque
productam, clarum erit
arcu .n.a. & ſic etiam angulus .n.u.b. minor erit angulo .n.u.a. ex ultima lib. 6. Imagi-
nemur nunc alium quendam circulum, cuius .o.u. ſit diameter, cuius circunferentia
per duo puncta .e. et .t.
ſeratio cinando colligere poteſt, ſi .30. lib. 3. in mentem reuocauerit. Sed cum angu-
lus .o.u.t. ſit maior angulo .o.u.e. arcus .o.t. maior erit arcu .o.e. ex vltima .6. vnde cor
da .o.t. maior erit corda ipſius .o.e. ex conuerſo .27. lib. 3. quod eſt propoſitum. Pon-
Quod è directo ijs
repugnat quæ Tartalea in 2. parte quinræ propoſitionis ediſerit, & per conſequens
2. corollarij falſitatem oſtendit, vt eam quoque, quæ in 6. propoſitione latet. quia
dusipſius .b. eadem ſit cum
ea quę eſt .o.t. ad .o.e. ſub co
teſt, primum cognoſcendo
angulos obliquitatis librę,
ideſt angulos .b.o.u. et .a.o.
u. quia oportet ſemper ſup-
tum. Si nobis deinde co-
gnita erit proportio ipſius .
o.u. ad .o.b. et. ad .o.a. aſſe-
quemur cognitionem angu
li .b. et .o.a.u. & per conſe-
quens ipſius .o.a.t. eius reſi-
dui, vnde poſtea beneficio
angulorum .e. et .t. rectorum
& laterum .o.b. et .o.a. cogni
torum in cognitionem .o.t.
et .o.e. facile deueniemus.
QVod autem idem Tartalea in .6. propoſitione, & Iordanus in ſecunda parte.
ſecundæ propoſitionis ſcribunt, maximum quoque errorem inſe continet.
Dicunt enim
h.a.f. differentem ab
angulo .d.b.f. alia ra-
tione non eſſe quàm
per angulum conta-
ctus
vt in ſua figura ſcribit
Tartalea; id quod fal-
ſiſſimum eſt.
cauſam in ſubſcripta
figura ſit libra .B.A.
C et .
u.
mentaris, et .A.u. et .B.
u. lineæ Imaginemur deinde
lineam .B.K.
ipſi .A.u. quæ gyrum .
B.F.A. in puncto .K.
communi ſcientiæ
cepto
bimus angulum .K.B.
Z. æqualem angulo .
H.A.F. ideſt .u.A.F.
(quia .H.u. et .D.
ſunt) cum ex .29. libr.
primi Euclidis angu-
angulo .K.B.T. & an-
gulus .C.A.F. æqua-
lis angulo .T.B.Z.
comparatio eſt inter
angulum .D.B.F. & an
gulum .K.B.Z. miſtili-
neos, qui quidem duo
anguli,
bent angulum miſtili
neum .K.B.F. quapro-
miſtilineus maior eſt
angulo .D.B.F. miſti-
lineo per angulum .
K.B.Z. contingentiæ,
circulorum ergo angu
lus miſtilineus com-
munis .K.B.F. æqualis
erit miſtilineo, angu-
lo .D.B.F. pars vide-
licet ſui toto. Omnis
autem error in quem
Tartalea,
lapſi fuerunt ab eo,
pro parallelis viciſſim
ſumpſerunt, emana-
uit.
Septima propoſitio Tartaleæ, quæ eſt
da riſu, cum pondus ipſius .A. ponderi ipſius .B. exiſtens æquale, grauius ſit pondere
eiuſdem .B. ratione minoris aperturæ anguli contingentiæ in .A. quam in .B. in quo
idem error committitur, qui in præcedenti committebatur, cum ſcilicet ipſe putet
lineas .A.E. et .B.D. figuræ ab eo confictæ ſibi inuicem eſſe parallelas, quæ etiam ſi
æquidiſtantes eſſent (vnde angulus .E.A.G. minor eſſet angulo .D.B.F.) non eam ta
men ob cauſam huiuſmodiangulorum differentia cauſa eſſet differentiæ
ipſorum .A. et .B. ob ea quæ cap .4. huius tractatus poſui.
Octaua autem propoſitio, quæ eſt .6. quæſtio Iordani Iongè melius demonſtratur
ab Archi. in .6. lib. primi de ponderibus, cum nec à Iordano, nec à Tartalæa probata
fuerit, cum ijdem non probauerint præcedentes, quas in dicta .8. Tartalęa citat, qui
neque etiam probat nonam .10. 11. 12. et .13. cum ad pręcedentes probandas mini
mè acceſſerit.
Quartadecima verò, quæ eſt .10. quęſtio Iordani, duas ob cauſas eſt falſa, quarum
vna eſt,
eiuſdem, et .D. pondus ęquale ponderi .E. & lineas inclinationum .D.K. et .E.M.) an
guli .K.D.E. et .M.E.G. ſibi
verò extrinſecus & oppoſitus dicto intrinſeco
lus .M.E.G. maior eſt alio, ex .16 lib. primi Eucli. Qua ratione fit, vt hanc ob cauſam
E. grauius ſit ipſo .D. cum minus dependeat à centro .A. vt primo cap. huius tractatus
iam dixi. Alia quoque eſtratio, qua dictum .E. grauius fit ipſo .D. quę quidem eſt
maior diſtantia à centro .A. libræ, per ſimiles rationes capit .4. huius tractatus ci-
tatas.
Decimaquinta
ris opuſculum opera Traiani Bibliopolę Venetijs è tenebris in lucem emerſit.
MAgna cum ratione
vncias, aut quoquo alio modo. Nam ſit ſtatera exempli gratia .a.b.
& punctum,
f. Imaginemur nunc quod pondus brachij .c.b. ab una parte, & pondus brachij .c.a.
eo,
lis. cui ſic orizontali manenti imaginemur ad punctum .a. adiunctum eſſe pondus,
veluti vnius librę. & ad punctum .d. tam diſtanti à .c. ut eſt .a. ab ipſo .c. aliud quoque
pondus vnius libræ
ta cum eſſent .d.b. et .f. abſque dubio .a.d. non mutaret ſitum, ſed .d.b. et, f. in ſitu, in
quo reperiuntur, à centro paribus viribus prędita ſunt. Addendo igitur .d.b. ipſi .d.
et .f. ipſi .a: ſumma earum, æqualibus quoque viribus conſtabunt. ex communi ſen-
tentia, quæ habet ſi ęqualibus addas ęqualia, tota quoque fient ęqualia. Si verò
ponderi ipſius .a. aliud adderetur eidem ęquale, haberemus in .a. duplum pon-
dus ei
talis, ſi dictum pondus ipſius .d. longè diſtabit à centro .c. per duplum ipſius .c.a. ideſt
ipſius .c.d. id
mur, beneficio ſupradictarum ra
mi de Et
ſi quis aliud
geret ipſi .a. æquale illi priori, ad
zontalis maneret, oporteret, vt
diſtantia tripla eſſet primæ, & ſic per quoſdam quaſi gradus interualla redderentur
æqualia.
ARiſtoteles in principio quæſtionum Mechanicarum ait lineam, quæ terminat
eſt: quia huiuſmodi linea partes nullas ſecundum latitudinem habet, (vt ipſe etiam
confirmat) ſed eſt idem conuexum circuli: linea verò quæ terminus eſt ſuperficiei
ambientis, & amplectentis circulum eſt eadem concauitas dictæ ſuperficiei eun-
dem circulum ambientis, quæ nullam conuexitatem habet. & hæ duæ ſunt lineæ,
quarum vna diuerſa eſt ab alia, neque altera alterius, quod ad conuexum, & ad con-
cauum attinet.
Sed illud, quod Ariſtoteles ſcribit de duplici reſpectu motus vnius puncti ſecun
dum vnam datam pro portionem, non ſufficit, ille enim ſic ait.
Sit proportio ſecundum quam latum fertur, quam habet .A.B. ad .A.C. et .A. qui
dem feratur verſus .B: A.B. verò ſubterferatur verſus .M.C. latum autem ſit .A.
ad .D. vbi autem eſt .A.B. verſus .E. Quoniam igitur lationis erat proportio, quam .
A.B. habet ad .A.C. neceſſe eſt & .A.D. ad .A.E. hanc habere rationem. Simile igi
Quamobrem etc.
Cui reſpondeo, punctum .A. quod mouetur in linea .A.M. ab .A. verſus .M. vſque
ad .F. non moueriab aliqua proportione determinata magis quàm ab alia: vnde
ſolum poſſumus imaginari dictum punctum .A. moueri ab .A. vſque ad .F. eiuſdem
velocitatis ſub alia quadam proportione, ſed etiam ſub alia, quæ iam datæ contraria
ſit, vt eſt proportio ipſius .A.C. ad .A.B.
ſus .B.M. delatam. Dico etiam idem .A. moueri vſque ad .F. ſecundum proportio-
nem ipſius .A.O. ad .A.N. Quamobrem imaginemur à puncto .F. lineam .F.H. cum
linea .F.A. efficere angu-
lum æqualem angulo .O.
P.A. & à puncto .A.
re
O.A.P. unde angulus .H.
æqualis erit angulo .O.
ex .32. libr. primi Eucl. &
angulum erit triangulo .
A.O.P. Quam ob
A.H. ad .F.H. quę
A.O. ad .O.P. punctum
igitur .A. vſque ad .F. mouetur ſecundum proportionem etiam ipſius .A.O. ad .O.P.
Huiuſmodi igitur conſideratio, ab Ariſtotele facta, nullius eſt momenti.
QVærens Ariſtoteles vnde fiat, vt eæ libræ, quæ brachia habent alijs longiora,
ſint exactiores cæteris, ait hoc euenire ratione maioris velocitatis extremo
rum earundem. Quod verum non eſt;
quia hîc effectus nil aliud eſt, quam clarius pro
ponere ob omnium oculos obliquitatem brachiorum à linea orizontali, & oſtende-
re etiam facilius à dicto orizontali ſitu exire brachia iam dicta. Quæ quidem per ſe
neque à velocitate, neque à tarditate motus, ſed à ratione vectis, & à ma-
iori interuallo inter ſecundum ſitum extremorum à primo proficiſcuntur. Vt exem-
pli gratia, imaginemur magnam libram .A.B. orizontalem, cuius centrum ſit .E. et
pondus .B. maius ſit pondere ipſius .A. vnde conceditur, quòd ob hanc rationem di-
cta libra ſitum mutabit, qui ſecundus ſitus ſit in .H.F. Imaginemur etiam
dam
ribus alterius libræ & ſecundus ſitus ſit in .h.f. ita tamen vt anguli circa .e. æquales
ſint ijs, qui ſunt circa .E. ideſt .b.e.f. ſit ęqualis .B.E.F. Nunc dico ſitum .H.F.
ctiorẽ
b.f. quod .B.F. in eadem proportione maior eſt ipſo .b.f. in qua .B.E. maius eſt .b.e.
quod autem interuallum .B.F. breuiori, aut longiori temporis ſpacio quam .b.f. ſit fa
ctum, nil planè refert. Ratione vectis deinde, dico
res
dus .B. maiorem vim habebit ad deprimendum brachium .E.B. quàm pondus .b. quia
libræ materiales, cum ſuſtineantur ab .E.e. & non à puncto mathematico, ſed
à linea, aut ſuperficie naturali in materia exiſtente. vnde aliqua reſiſtentia ipſi mo-
tui brachiorum oritur, & hanc ob cauſam, ſupponendo hanc reſiſtentiam æqualem
tam in .E. quàm in .e. clarum erit ob ea, quæ in cap .4. huius tractatus oſtendi .B. cum
minus dependeat ab .E. aut minus quoque eidem .E. annitatur, ponderoſum magis
futurum, quam .b. & hac de cauſa mouebit ad partem inferiorem, maiori cum agilita
te, brachium .E.B. multo magis etiam illud ipſum deprimet, ideſt maiorem etiam an
gulum .B.E.F. quàm erit angulus .b.e.f. faciet.
ARiſtoteles in ſecunda quæſtionum mechanicarum quærens illius rationem ſic
ſcribit.
Cur ſiquidem ſurſum fuerit ſpartum quando deorſum lato pondere quiſpiam id
admouet rurſus aſcendit libra: ſi autem deorſum conſtitutum fuerit non aſcendit,
ſed manet? an quia ſurſum quidem ſparto exiſtente plus libræ extra perpendiculum
ſi (ſpartum enim eſt perpendiculum) quare neceſſe eſt deorſum ferriid, quod plus
eſt, quare & cætera.
Sed vera cauſa, vnde fiat, vt ſi ſpartum fuerit ſurſum, & brachium vnum
ipfius libræ deprimendo, & idem liberum deinde permittendo, ad ſitum ori-
zontalem redeat, non ſolum eſt maior quantitas ponderis brachiorum quæ iam præ
tergreſſa eſt vltra verticalem lineam, ſed etiam eſt longitudo brachij eleuati, quæ vl
tra verticalem lineam reperitur, vnde eius extremi pondus redditur grauius in pro-
portione, quam in hoc exemplo proponam, ſit .A.B. libra in ſitu orizontali, cuius
ſpartum ſit .E. ſuper ipſam. & deprimentes brachium ipſius .A. vſque ad .F. eius ſitus
ſit in .F.H. vnde medium
ſus .B. quæ .V.Z. ſecabit brachium .F.G. in puncto .D. vnde .D.H. longius erit ipſo .
F.D. Nunc nobis ſupponendum eſt id,
quod veriſſimum exiſtit, dictam ſcilicet li
cto .E. idem tamen futurum ac ſi ſuſtenta-
retur in puncto .D. vnde ſequitur, quod
pondus appenſum ex ipſa .H. ita grauius
reddatur, ipſo .F. in eadem propor-
tione, quæ maioreſt .D.H. ipſo .D.F. ob
rationes quas in primis huius tractatus ca-
pitibus poſui, vt etiam ſi .D.H. quodmate
riale eſſe ſupponitur, nullam planſe4; graui-
tatem haberet,
deris in .H. poſiti, longè maior pondere in
F. collocato pro maiorilongitudine ipſius
D.H. ſufficiat. ad præſtandum vt libra ad
ſitum orizontalem redeat.
In ſecunda deinde huius quęſtionis par
ta eſt, firmam manere, toto cęlo aberrat, quia
quò ſpartum ſurſum remaneat: ablato tamen omni impedimento, quod nulla eget
probatione, cum natura ſua clariſſimè pateat.
Cauſa, deinde, vera tertiæ quæſtionis non eſt ea, quam Ariſtoteles ponit, ſed hu-
iuſmodi effectus ab eo, quod capitibus .4. et .5. huius tractatus propoſui originem
habet.
VOlens Ariſtoteles rationem proponere, vnde fiat, vt nauis velocius moueatur
cum antennam altiorem quàm cum depræſſiorem habet, id ad vectis ratio-
nem refert, quod verum Huiuſmodi enim ratione nauis tardius potius, quàm
velocius ferri deberet, quia quantò altius eſt velum, vi venti impulſum,
proram ipſius nauis in aquam demergit. Sed huiuſmodi effectus à maiori potius
quantitate venti quam recipit, quàm ab alia aliqua cauſa oritur, quia ventus liberius
RAtiones etiam ab Ariſtotele propoſitæ pro indaganda octauæ quæſtionis ve-
ritate, in qua quærit vnde fiat, vt corpora rotundæ figuræ, ad
faciliora reliquis, quarum reuolutionum corporum tres ſpecies aſſignat,
eſt, vt rotarum altera vt rotarum puteorum, aut trochlearum, quibus hauri-
tur aqua; & tertia, vt paruorum vaſorum a figulis fabricatorum,
Incipiens autem à prima dico dubium non eſſe, quin tangente corpore aliquo ro
tundo aliquod planum mediante ſolo quodam puncto contingat, quemadmodum
probat Theodoſius in .3. lib. primi & Vitellio in .71. lib. primi, &
ſphæræ lineam vſque ad punctum contactus, ipſa erit perpendicularis plano contin-
genti ſphęram dictam, vt probat
ti, & Vitellio in .7. primi. Verum etiam eſt omnem inclinationem ponderoſam huiuſ
modi corporis homogęnei totam hanc lineam æqualiter omni ex parte circundare; cuius quidem rei exemplum in carta deſcribere poſſumus mediante figura circulari
hîc ſubſcripta .a.n.e.u. contigua lineæ rectæ .b.d. in puncto .a. vnde .e.o.a. perpendicu
laris erit ipſi .b.d. ex .17. lib. 3. Eucli. &
tum ab ipſa .a.n.e. Nuncigitur ſi imaginabimur ductum eſſe centrum verſus .u. per
lineam .o.u. parallelam ipſi .a.d. clarum nobis
erit,
parte ad ſuperiorem, nunquam mutabit ſitum
reſpectu
lineamq́ue .a.d. intercedit,
in ſe colligittotum pondus figurę .a.n.e.u. & be
neficio lineæ .e.o.a. illud ipſum puncto .a. in li-
nea .b.a.d. committit, productum .a. nil refert,
vt magis, aut minus verſus ipſum .d. aut verſus
b. ita vt
ſemper ęqualiter ſuper lineam .b.a.d. quieſcat.
ceptu, nullam nobis difficultatem oborituram, dictum centrum ad quam volueri-
mus partem ducendo, quemadmodum à qualibet alia figura, quæ perfectè rotunda
non eſſet, emergeret; Vt
ſcere
do
centrum .o. à linea .b.d. eleuetur, ab
circuli,
cli. vnde ſi à puncto .K. imaginabimur lineam .K.c. reſpicientem centrum regionis
elementaris, dubium non eſt, quin ſi velimus transferre
ad dictam lineam, oporteat addere pondus parti ipſius .l. quæ à linea .K.c. fuit ſecta,
aut aliquid de ipſo pondere partis centri detrahere. quod quibuſuis modis fiat, ar-
duum certè eſt ad efficiendum; neque hoc etiam accidit figuræ perfectè rotundæ,
cum
pendiculari ipſi plano, in quo animaduertendum eſt,
pellem; pro plano tamen perfecto intelligi nolo, ſed pro ſuperficie perfectè
canam ratione magnæ amplitudi-
nis huiuſmodi ſuperficiei, nullam differentiam notatu dignam à perfecto aliquo pla
no exigui interualli ad curuitatem eiuſdem ſuperficiei imaginari poterimus. Sed ut
redeamus ad ſermonem de reuolutione figuræ rotundæ ſuſceptum,
quamlibet minimam vim (vt ita dicam) quę trahat, aut impellat centrum .o. verſus .u.
huiuſmodi figuram reuoluturam, cuius media pars ad trahendum, aut impellendum
punctum .e. ſufficiere; Imaginemur autem
nea .n.o.u. eſſet libra
trum deberet, diuiſa eſſet per medium, cuius
medietas appenſa eſſet extremitati .u. diame-
tri .n.o.u.
reuolueret figuram ſuper lineam .b.a.d. verſus .
d. quia huius vis, aut pondus
dus haberet vltra centrum .o. uerſus .n.
trum .o. perpetuo quieſcit
a. per medium diuidente ſemper totum pon-
dus figurę ſuppoſitę. Tantò facilius ergo tota
dicta vis ap
tro,
ſus .u.
per lineam
ſi .a.d.
figuram re-
uolueret. Et
ſi linea qua
dictum cen
trum trahi-
tur ab ipſo
cum eſſet vnita cum .a.o.e. aut ad ſuperius, aut ad inferius quantalibet ui, etiam ſi in-
finita, figuram extra ſitum primæ lineæ .a.o.e. non moueret, ſed ſi ſurſum traheret ſe
iungeret eam à linea .b.a.d. non ob id tamen efficeret, ut centrum .o. exiret extra pri
mam lineam .a.o.e.
Secunda verò ſpecies, tribus reuolutionum modis, abſque axis mutatione conſta
re poteſt, ideſt modo, quo reuoluuntur trochleæ mediante fune, & quo reuoluuntur
aliquæ rotæ, in quibus aliquod animal incedit; & quo reuoluuntur illæ, quæ in homi
nis manu circunuoluuntur medio alicuius manubrij inflexi. Hi omnes modi cum
circulari figura magis, Et primò ſi priorem
modum conſiderabimus, vt mediante fune quælibet figura, quæ circularis non ſit,
voluatur, ſupponamus exemplo debere reuolui pentagonum æquiangulum .a.e.i.o.
u. circa centrum .c. mediante fune .q.u.a.e.i.p. neceſſariò occurrent (in hac figura an-
gulorum,
guræ irregularem efficient; quarum vna erit, quod duæ partes funis, ideſt .u.q. et .i.p.
non erunt in vna
ginabimur ductas eſſe lineas .a.i: u.i: et .i.c.t. ſi funis duo pondera habebit alterum
altero maius, ſuis extremis appenſa, vnde debeat figura virtute ponderis maioris cir
cunuolui: dictæ duæ partes .u.q. et .i.p. eiuſdem funis,
nebunt, reſpicient; ſed permittentes pondera libera;
maius, efficiens vt circunuolua-
tur figura; efficiet, vt aliquando vnum exlateribus, eiuſdem figuræ mundi
trum reſpiciet, vt in
linea .i.c.t. (pro
plo
ſtantiæ funium inter
ipſas, & deinde
uoluendo etiam di-
ſtabuntinter ſe per li
figura .B.
plo, & ſic etiam ali-
quando erunt magis
t.i. & minus quàm.i.
a: nunquam tamen minus quam .t.i. neque magis
i.a. aut .i.u. quæ ſunt æquales; Quæ quidem varietas,
tes funis, vnde æqualiter non trahent. Idem dico, ſi
extrema .q. et .p. eſſent quoque ſemper in vna
diſtantia; neque à corpore
quia aliæ partes ipſius .u.q. et .i.p. ex ſupradictis ratio-
nibus vnam vnde fieret vt cum diuerſis angulis tam .i.p.
ſemper traherent ope ſeu virtute anguli æqualis ipſi .
c.i.p. Hæc autem inę qualitas communis eſt omnibus
Sed aliam quandam maiorem
inęqualitatem habent hæ figuræ numeri diſparis, quæ eſt, quòd
.u.q. quàm ipſi .i.p.
ideſt
dictis partibus funis
angulos rectos con-
ſtituerit,
i. maioris quam .t.
c. (quia cum ſit .c.i.
qualis
maior ipſa .c.t: c.i.
etiam maior ſit ipſa .
c.t.) pondus aut vis
ipſius .p. ſuperabit
quæ eſt ipſius .q. ſed
quando .t. erit in oppoſita parte, et .i. in ea, quæ eſt
ipſius .t: q.
& obid
etiam perarduum, præter ictus, quos infligunt an-
guli in partem pendentem
do
Aliam inęqualitatem habent figuræ pares, quæ
etiam in imparibus cernitur, etſi aliquantulum di-
uerſa; quæ ab eo oritur, quod funes ſit modò ma-
gis, modo minus propinquę centro; quæ inæqualis
diſtantia, maiorem
centrum ob rationes in ſecunda parte cap. decimi
huius tractatus propoſitas, gignit. Nulla autem
ex ijs inæqualitatibus circulari figuræ contingit. Illud verò, quod de pentagonis fi-
guris dixi, omnibus aliis figuris diſparibus accommodari poteſt.
Secundus modus eſt earum rotarum, in quibus aliquod animal incedit, quæ ſi cir-
culares non eſſent, tantò difficilius voluerentur, quantò pauciores angulos haberent. quod cum per ſe pateat, non demonſtrabo.
Si ergo quantò plures angulos habebit
dicta figura, tantò ad circunuoluendum hoc modo agilior erit. Circularis igitur fi-
Tertius modus eſt earum rotarum, quæ manubrium habent, quæ etiam quantò
pauciores angulos habebunt, tanto
citiæ: quam exercet cum vacuo natura, quàm
expellendo, vt ipſi occupent locum, quem ipſe Quod nullo modo po
teſt euenire circulari figuræ.
Nunc nobis ad dicendum reſtat de ſpecie reuolutionis rotarum, quæ parallelæ
ſunt orizonri, quibus accidit poſſe volui primo
id ſi circulares non erunt, eadem ſubibunt incommoda, de quibus in ſecunda illa ſpe
cie loquuti ſumus. ſed circulares rotæ huius tertiæ ſpeciei ad reuoluendum erunt re-
liquis eò faciliores, Quod alijs nequaquam conceditur.
Super hac tertia ſpecie formari poteſt problema, vnde fiat, vt quieſcens huiuſ-
modi rota parallela orizonti ſuper vnum punctum, & quantò fieri poteſt exiſtens
qualis
tes non perpetuò circunuoluatur.
Hoc quidem, quatuor fit ob cauſas. quarum prima eſt, quia huiuſmodi motus, eius
rotæ non ſit naturalis. ſecunda eſt, quia etiamſi rota ſuper punctum mathematicum
quieſceret, oporteret tamen vt ſuperius
teneret, qui quidem munimento aliquo corporeo indigeret; vnde fricatio quędam
conſequeretur, ex qua reſiſtentia prodiret.
Tertia eſt, quia aer contiguus eam perpetuò aſtringit,
reſiſtit.
Quarta eſt, quia quęlibet pars corporea, quę à ſe mouetur, impetu eidem à quali-
bet extrinſeca virtute mouente impręſſo, habet naturalem inclinationem ad rectum
iter, non autem curuum, vnde ſi à dicta rota particula aliqua ſuę circunferentiæ
geretur, abſque dubio per aliquod temporis ſpatium pars ſeparata recto itinere fer
retur per aerem, vt exemplo à fundis, quibus iaciuntur lapides, ſumpto, cognoſce
re poſsumus, in quibus, impetus motus impręſſus naturali quadam propenſione
rectum iter peragit, cum euibratus lapis, per lineam rectam contiguam giro, quem
primo faciebat, in puncto, in quo dimiſſus fuit, rectum iter inſtituat, vt rationi con-
ſentaneum eſt.
Eadem, quoque ratione fit, vt quantò maior eſt aliqua rota, tantò maiorem quo
que impetum, & impreſſionem motus eius circunferentiæ partesrecipiant, vnde
pequia
quantò maior eſt diameter vnius circuli, tantò minus curua eſt eiuſdem circunferen
tia, & tantò propius accedit angulum eiuſdem circunferentiæ ad quantitatem duo-
rum angulorum rectorum rectilineorum, ideſt circunferentia ad rectitudinem linea
rem. Vnde earundem partium dictæ circunferentiæ motus ad inclinationem ſibi à
natura tributam, quæ eſt incedendi per lineam rectam, magis accedit.
VEra ratio nonæ quęſtionis à ſecunda parte decimi cap. huius tractatus, & non
aliunde, accerſiri debet.
ARiſtotelis rationes, vnde fiat, vt facilius moueantur libræ vacuæ, quàm plenè
ad propoſitam diſputationem non pertinent; quia ſemper ineunda eſt ratio
proportionis virtutis mouentis ſuper mobile; quod ipſe non fecit.
Sit exempli gratia libra .a.i.e. quæ in vtraque extremitate vnciam vnam ſolum
ponderis obtineat, & ſit libra .n.i.u. æqualis priori, quæ pro ſingula extremitate
Ariſtoteles admiratur, quòd addendo ipſi .e. mediam pon
deris vnciam, brachium .i.e. velocius cadat, quàm
brachij .i.u. Quod à duabus cauſis proficiſcitur, quarum prior eſt, magna differentia
proportionis vnius libræ ad medietatem vnius vnciæ, ad proportionem vnius vnciæ
ad ipſam medietatem, quia ſi pondus adiectum extremo .u. dimidiæ eſſet libræ , &
cum eadem tarditate brachium moueret, optimo iure in admirationem poſſet Ari-
ſtoteles duci. Sed hoc fieri non poſſet, quia ipſum deprimeret cum eadem quaſi ve
locitate, qua media vncia brachium .i.e. Dixi autem quaſi, quia nonnihil diſcrimi-
nis intercederet, quod proficiſcitur à ſecunda ratione. Et hæc, reſiſtentia eſt , quæ
oritur à ſparto, quia quantò maius pondus continet libra, tantò magis præmit ſpar
tum in loco, in quo ſuſtinetur; vnde maior reſiſtentia in circunuolutione
ti, in loco, in quo quieſcit, exoritur, quia ipſum eſt corpus materiale. Si quis autem
vellet, vt brachium .i.u. eadem agilitate, qua .i.e. deſcenderet, oporteret, vt propor-
tio dimidiæ librę adiectæ ponderi ipſius .u.
quæ excederet reſiſtentiam ſui ſparti (me-
dio brachiorum maiorum ijs qui ſunt .a.i.
e.) ita proportionatam, vt proportionata
eſt vis dimidiæ vnciæ ipſi e. iunctæ, reſiſten
tiæ ſui ſparti. Huiuſmodi rationes cum ro-
tis grauioribus
poribus quibuſlibet grauibus impelluntur, accommodatæ fuerint, titubantem intel
lectum confirmabunt.
VEra ratio, cur multò longius corpus aliquod graue impellatur funda, quam
manu, inde oritur, quòd circunuoluendo fundam, maior impræſſio impetus
motus fit in corpore graui, quàm fieret manu, quod corpus liberatum deinde cum
fuerit à funda, natura duce, iter
giro, quem poſtremò faciebat, ſuſcipit.
maior impetus motus dicto corpori imprimi poſſit,
ior ſemper impetus dicto corpori accedat. Manus autem eiuſdem corporis motus,
dum illud ipſum circunuoluitur (pace Ariſtotelis dixerim) centrum non eſt, neque
funis eſt ſemidiameter. Immo manus quam maximè fieri poteſt in orbem cietur;
qui quidem motus in orbem, vt circumagatur etiam ipſum corpus, cogit, quod qui-
dem corpus, naturali quadam inclinatione, exiguo quodam impetu iam incępto,
vellet recta iter peragere, vt in ſubſcripta figura patet, in qua .e. ſignificat manum .a.
corpus .a.b. lineam rectam tangentem girum .a.a.a.a. quando corpus liberum rema-
net. Verum quidem eſt, impręſſum illum impetum, continuò paulatim decreſcere
vnde ſtatim inclinatio grauitatis eiuſdem corporis ſubingreditur, quæ ſeſe miſcens
cum impręſſione facta per vim, non permittit, vt linea .a.b. longo tempore recta per
rum vna eſt, violentia impræſſa, & alia natura, contra opinionem Tartaleæ, qui ne-
gat corpus aliquod motibus violen
poſſe.
hac in re
qui eiuſmodi eſt,
creſcit impetus in corpore .a. cauſa
tus ab augumento velocitatis giri
ipſius .e.
tiat ſe trahi manus à dicto corpore
a. mediante fune, quia quantò ma-
ior impetus motus ipſi .a. eſt impręſ
ſus, tantò magis dictum corpus .a.
ad rectum iter peragendum incli-
natur, vnde vt recta incedat, tantò
maiore quoque vi trahit.
DEcimatertia quæſtio ad vectem omnino eſt referenda.
Imaginari debemus
axem cylindrici iugi, hypomochlion eſſe. Quod reſtat, illud ipſum totum de
pendet à .4. Vna tamen differentia inter hanc machi-
nam,
calcata in loco, in quo voluitur, magis quàm hypomochlion vecti efficiat.
RAtiones etiam decimæquartæ quæſtionis dependent ab ijs, quæ ſunt vectis, vt
exempli gratia ſit lignum .a.b.c.d. frang endum in medio, annitendo genibus
in punctum .o. clariſſimè tunc videbimus,
a. et .c. facilius
dio eiuſdem ligni in locis .e. et .i. poneremus. Cuius rei rationes
primis huius tractatus capitibus propoſitæ fuerunt. Imaginemur lineas rectas ductas
à puncto .o. ad loca .a.e.i. et .c. hinc manifeſtè perſpiciemus eorum, quæ iam diximus
ratione,
tro, quàm loco .a. et .c. vnde vim
quàm in
e. et .i.
DEcimaſeptima quæſtio ab Ariſtotele haud benè percepta fuit, quia is non ac-
commodat partes vectis ſuis locis. Quamobrem imaginemur duos vectes .
a.o.n. et .o.e.u. quorum centra, quæ hypomochlia appellantur ſint .o. & pondera,
quæ ſunt attollenda ſint .a. et .e. inter ſe æqualia, & diſtantię ſint .a.o. et .e.o. ſibi
æquales, ſed .o.n. æqualis ſit ipſi .o.u: clarum erit,
mere .n. & ad eleuandum .e. oportebit attollere .u. Et quia omnia ſupponuntur æ qua
ni ſcientia, tantam virtutem in
a. in .u.
uandum .e. quia
gulis ijs, quibus duæ virtutes .a.
et .n. annituntur .o. centro, ita .e.
et .u. è contrario ſuo centro .o. an
nituntur. & omnes rationes pro
vecte .a.o.n. quarto
ſunt.
Nunc ſit aliqua pars ligni cindenda ſe-
cundum venulas ſuas .d.e.f.g. & ſit cuneus
a.b.c. qui vi mallei .P. vſque ad .t.x. pene-
trarit. Hinc clarum erit, quòd apertura
i.m.r. ligni, poſt quam infigitur cuneus ſe
cundum venas, longíor erit parte .x.b.t. cu
nei, quæ ingreſſa eſt. Oportet nunc ima-
ginari duos vectes ſimiles ſupradictæ .u.e.
o. in hunc modum, vt puncta i.r. lìni ſint
loco .u. extremi
tutis applicatæ ipſi .u. & reſiſtentia circa
punctum .m. loco ponderis .e. vectis .o.e.u.
dicti, & pars .K. quaſi immediata poſt .m.
verſus extremitatem .f.e. ligni, ſit loco hy-
pomochlij .o. Hinc fiet vt quanto longio
res erunt lineæ .i.m.K. et .r.m.K. tantò quo
que facilius virtutes .t.x. impellent .i.r.
PRo intelligenda vera, & intrinſeca ratione, vnde fiat ut multitudo rotularum in
trochleis cauſa ſit, ut exigua vis ſurſum moueat, aut attollat Ima
ginemur duas hîc ſubſcriptas trochlæas explicatas tranſuerſaliter in hunc modum,
ideſt ſit
riori parte ad ſuperiorem
poſſit ab imo ad ſumum, ſuper quod totidem ſint rotulæ aut radij,
fuerit funis puncto .b. fixo, eam faciendo pertranſire per rotulas tam à parte ſupe-
riore, quam ab inferiore; & appenſum deinde cum erit paruo illi tigno .c.d. mobili
pondus .E. ducendo poſtmodum extremum .f. funis tranſeuntis per rotulas, idem pla
nè fiet quod à trochlęis ſimul unitis fieri ſolet. Cuius quidem effectus ratio ſub no-
ſtram cognitionem cadet facilius in huiuſmodi figura. Imaginemur ſeparatim ſta-
teram .g.h. cuius
h. ſupponendo igitur in puncto .g. pondus, aut virtutem mouentem unius libræ, & in
h. duarum librarum,
manebit. Vnde clarum erit,
ſtateram extra orizontalem ſitum. Nunc ſi puncto .i. ex æquo medio inter .g. et .K.
applicata erit virtus ipſius .h. non amplius conſiderato brachio .K.h. inclinante uirtu-
te ipſius .i. eandem partem verſus, in quam inclinabat, quando erat in .h. ſed uirtus ip
ſius .g. inclinet contrario modo, clarum
erit, communi conceptu, & ob ea, quæ cap .5. huius tractatus ſunt dicta .g.h. ſemper
in eodem ſitu abſque motu manſuram,
primam. Imaginemur nunc à puncto .e. fixo deſcendere funem .e.K. quæ fulciat pun
ctum .K. extremum diametri .g.K. quam intelligo pro diametro vnius ex rotulis infe
rioribus trochleæ; & ſit .n.l.m. diameter vnius ex rotulis ſuperioribus alterius parui
tigni defixi à parte inclinationis ipſius .g. & parallela diametro .g.K. cuius diametri
centrum fixum ſit .l. & ſit coniunctum .g. punctum, à fune cum puncto .m. quæ
pendicularis ſit primo diametro .g.i.K. quàm ſecundo .n.m. ideſt ita vt anguli .n.m.g.
Imaginemur
n. cum inclinatione tamen contraria, ideſt ad inferiorem partem, quæ quidem virtus
communi quodam conceptu eandem poſſidebit vim ſuſtentandi immobilem diame
trum .g.i.k. quam habebat,
& ſic etiam diameter .n.l.m. non magis ab una, quàm ab alia parte declinabit, quia
cum quædam virtus in .n. reperiatur æqualis medietati uirtutis ipſius .i. quæ uirtus ip
ſius .i. uim habet deprimendi ipſum .g. ideſt .m. pro dimidia ſui ipſius parte, ſequitur .
n.m. debere immobilem permanere. Nunc ſi alia diameter rotulæ mobilis erit de-
ſumpta, quæ ſit .p.q.o. cuius centrum ſit .q. in ſitu parallelo ipſi .n.l.m. & ſic collocata,
vt coniungendo .o. cum .n. anguli .m.n.o. et .n.o.p. ſint recti: ſi imaginati fuerimus
latum eſſe
ſum, ac ſi eſſet in .n. communi conceptu, ſine alicuius diametri mutatione præſtabit. Et ſi centrum .q. fixum eſſet, & extremo .p. appoſitum fuiſſet pondus ipſius .o. cum in
clinatione ad ſuperiorem partem, idem etiam planè pręſtaret, etiam ſi nullum ullius
diametri ſitum, communi ſcientia, mutaret, cum extremum .m. deorſum ſit ductum
à. g. uirtute dimidiæ partis ipſius .i. & ab alia huic ſimili .m. quoque deorſum ſit tra-
ctum ab .o: quod quidem .o. deorſum eſt alteratum, ob inclinationem ad ſuperius
à uirtute poſita in .p. ſupponendo centrum .q. fixum. Sed ſi loco centri fixi, imagina
bimur in .q. pondus aliquod æquale ipſi .i. quod duplum erit in uirtute ad eam, quæ
eſt ipſius .p. & ipſius quoque .g: ſequetur
metrorum. Quia cum ſit huiuſmodi pondus ſeu virtus in .q. cum inclinatione con-
traria virtuti in .p. quæ æquipollet dimidiæ parti ipſius .q. & ſic ei quæ eſt ipſius .o. ſi-
militer quia .o. tractum eſt ſupra ab .n. virtute ipſius .g. quod .m. deorſum trudit; idcir
co quanta erit vis quam habebit virtus in .q. ferendi deorſum diametrum .p.o. tanta
quoque virtutes ipſorum .p. et .o. æquales, & æqualiter diſtantes à .q. ipſum ad ſupe-
riorem partem inclinabunt. Quamobrem nec aſcender, nec deſcendet, nec locum
mutabit. Supponamus nunc quartum diametrum rotulæ .s.t.r. quæ ſit ſecunda rotu
larum fixarum, parallela ipſi .p.o. & in eo ſitu, quo coniungendo extrema .r.p. anguli
o.p.r. et .p.r.s. ſint recti, & imaginemur virtutem ipſius .p. reperiri in .s. cum inclinatio
ne tamen contraria, ideſt deorſum verſus, ex his
nulla quia eundem
deorſum verſus efficeret dicta virtus in .s. quem in .p. cum inclinatione ſurſum verſus. et iam dictum eſt virtutem ipſius .g. dimidium virtutis ipſius .i. trahere .m. quæ
Hucuſque
tificè
ipſorum .i. et .q. nam quater tantum, quanta ipſamet virtus ipſius .s. eſſe conſpicitur. Et ſi adiunctę nobis eſſent duæ aliæ diametri cum ijſdem planè conditionibus
rationibus vtentes, cognoſceremus quod eadem medietas ipſius .i. ſexies tantum
deris, quanta ipſa exiſteret, ſeſtineret. Vnde
ipſius .i. in .s. nonnihil virtutis addendo, dictæ diametri, illicò Et quia
rotulæ in quolibet puncto, aliquam diametrum habent, neceſſariò ſequitur
riores ad ſuperiores accedere debeant. Attamen ſi forte extremum immobile ip-
ſius funis non pendet à puncto .e. trochleæ ſuperioris, ſed alligatum fuerit ad
inferioris trochleæ ut ad punctum .i. ope unius trochleę ſuperioris immobilis vt in fi
gura .A. videre licet, clarè patebit
ſuſtinebitur: hoc eſt à .g. ab .i. & ab .k.
cpropterea
Quà propter augebitur virtus per numeros impares, hoc modo;
Nam .g.
eſſet tertia pars reſiſtentię, quemadmodum prius media erat. Idem infero de .m.n.
o.p.r. et .s. Sed cum oporteat pondus .q. tantum eſſe vt
ipſum ſuſtinere, idcirco ipſum pondus .q. ſubſeſquialter erit Qua-
propter .s. quinta pars erit ponderum .i. et .q. Deinde ſi adhuc. duo diametri vnus in-
ferior, alter verò ſuperior additi fuerint cum pondere æquali .q. ad medium diame-
tri inferioris, tunc pondus .s. erit ſeptima pars trium ponderum .i.q. & tertij additi, ex
Et quia virtus ſuſti
penſum in tot diuiditur partes æquales,
quot ſunt diametri orbiculorum trochleæ
inferioris, quando extremum immobile fu
nis alligatum fuerit trochleę ſuperiori, vt
puta in puncto .e. cum verò alligatum fue-
rit trochleæ inferiori, virtus primi diame-
tri .g.i.K. trochleæ inferioris ſemper ſeſqui
altera erit vnicuique aliorum
ideò virtus reſiſtentię alterius extremi mo
bilis funis, puta .s. ſubmultiplex erit totalis
ponderis, eo modo quo diximus, cuius vir
tus, ſeu grauitas diuiditur ſeu diſtrubuitur
diametris inferioris trochleæ vt dictum eſt.
VEra cauſa effectus, qui vigeſimaquarta quæſtione exprimitur, adhuc à nemine
(quod ſciam) animaduerſa fuit, licet non ſit admodum ardua vel obſcura. Ima
ginemur ergo duos circulos .c.f. et .b.g. concentricos,
ſorum vnus feratur in orbem, alius quoque circumagatur, eo modo, quo curruum ro
tæ voluuntur. Et imaginemur primò ſuper lineam .f.i. reuolui maiorem, & quando
idem circulus erit in .l. dictam lineam .f.i. tangere circunferentiam eiuſdem in pun-
cto .b: et .K.g. ex .34. primi Eucli. æqualis erit ipſi .f.l. quia ex .17. tertii, anguli .f. et .g.
ſunt æquales, vnde ex .28. primi .f.l. et .g.K. ſunt parallelæ. & ſic erunt .k.l. cum .f.g. ex
eadem ſupradicta. Ratio autem, qua arcus .g.b. tranſierit lineam .g.K. maiorem ipſa,
eſt, quia dum mouetur, quodlibet punctum ipſius .g.b. virtute reuolutionis ipſius .f.c.
omne punctum eiuſdem arcus .g.b. vlterius verſus .K. quam ſi moueretur virtute re-
uolutionis ipſius .g.b. ſuper lineam .g.m. defertur. vt exempli gratia, quando virtute
reuolutionis maioris circuli, centrum .a. reperitur in ſitu lineæ .l.K. punctum .g. confe
cerit iter .g.u. & punctum .b. iter .b.K. etiam reliqua omnia puncta inter .g.b. magna
itinera egerint, cum à magno circulo ſint ante delata. Imaginemur quoque hos cir
culos eſſe delatos virtute reuolutionis circuli minoris, &
ſam fuiſſe ab arcu .g.b.
ciet iter .g.n. quę itinera alijs multò breuiora ſunt, quia breuioribus cruribus reuolu-
ta ſunt dicta puncta; & ſic dico de reliquis omnibus punctis inter .g. et .b. & in hoc ca
ſu punctum .f. erit in .q. & punctum .c. erit in .e. Quamobrem omnia puncta
tiæ
erunt repulſa. Vnde non eſt, quòd in tantam admirationem ducamur ſi dum reuol
uitur circulus maior, arcus .g.b. circuli minoris, totam lineam .g.K. tranſire videtur,
& dum reuoluitur minor, apparet arcum .f.c: maius iter quam ab .f. ad .e. non facere,
cum maiore ſeſe in orbem ferente, quodlibet punctum arcus .g.b. ad vnam
partem duos motus obtineat. vt exempli gratia punctum .b. non ſolum mouetur ver
ſus .m. quòd circa centrum .a. feratur, cum ipſum etiam centrum moueatur verſus .m.
ſed quia pręter hoc deferantur quoque à circulo maiori verſus .m. vſque ad lineam .
k.l. Dum verò minor circulus in girum ducitur, habet quodlibet punctum arcus .f.c.
duos motus contrarios, quorum alter verſus .i. virtute reuolutionis circuli minoris,
& alter ex eo,
contactus circuli maioris cum recta .f.i. tetrorſum pellitur verſus .x.
VEra ratio, cur homo dum ſedet ( non tamen Turcarum more ) ſi velit
ſeſe in pedes erigere, calcaneos retrahit, vt efficiat angulum acutum, cum
moribus
lum acutum in ſuperiori parte, ea eſt; vt totius corporis pondus, ex ęquo, ideſt ab
oppoſitis partibus circundet lineam rectam, quæ tranſit per locum, in quo conquie
ſcunt pedes verſus mundi centrum. ideſt, ut edatur ęquilibrium ponderis ipſius cor-
poris circum lineam illam, quę ſub pedibus inſeruit pro ſparto. Vnde aperiendo,
deinde dictos duos angulos circa dictam
pus, & abſque periculo in alterutram partem cadendi.
VEra ratio, quare, quę reperiuntur in vorticibus aquarum, ſemper verſus
medium ipſarum vertiginum vniuntur, inde promanat, quod media
vertiginum ſemper depreſſiora ſunt. vnde quòd dicta corpora ad medium acce-
dant, nihil aliud eſt, quàm ipſa corpora ſuo pondere grauitateq́ue deſcendere, figu
ra enim vorticibus eſt quaſi conica, & concaua cum angulo deorſum, & gyro baſis
ſurſum. Atque hæc vera eſt huius effectus cauſa, & non ea quam Ariſtoteles ponit,
à
TANTA A eſt certè Ariſtotelis amplitudo at que authoritas, vt dif-
ficillimum ac periculoſum ſit quidpiam ſcribere contra quam
ipſe docuerit, & mihi præſertim, cui ſemper viſa est viri
illius ſapientia admirabilis. Veruntamen studio veritatis im-
pulſus, cuius ipſe amore in ſeipſum ſiviueret excitaretur, in me
dium
baſis, cui ſemper inſiſto, ab eo dißentire coegit.
VOlens Ariſtoreles probare vacuum non eſſe in rerum natura .8. cap. lib. 4. phy
ſicorum ait, idem corpus per varia
ſi moueretur, proportionem velocitatis eiuſdem corporis per aerem, ei, quæ per
aquam fit, vnam
aquæ. In poſtrema autem parte eiuſdem capitis ſic ſcribit:
Nam cum ea quę ma-
iorem vel ponderis velleuitatis pręſtantiam habent, ſi ſimili ſigura ſint,
& æquale, maiore celeritate conficere cernamus, ea quam magnitudines inter ſe ha
bent, proportione: profectò idem etiam perinane fieret.
Aliam quoque rationem
proponit phyloſophus .2. cap. ſexti phyſicorum ſcribens eademmet proportione,
qua tempus diuiditur, magnitudinem etiam diuidi. Sexto autem cap. primi de cœ-
lo ſcribit, tempora eandem proportionem habere, quam habentè conuerſo ponde-
ra; vt ſi media pars vnius ponderis, vnius horæ ſpatio moueretur, vniuerſum pondus
in media hora moueretur. Secundo cap. lib. 3. de cœlo duobus in locis apertè com
monſtrat velocitatem corporis minoris, maiori corpori comparatam, in eadem exi-
ſtere proportione, in qua dicta corpora adinuicem relata exiſtunt. Quinto cap. eiuſ
dem lib. idem affirmat, exemplo ab igne deſumpto. Ex alijs etiam plurimis locis
cognoſci poteſt, ſenſiſſe Ariſtotelem duo corpora eadem ſpecie, & figura prædita
eandem planè proportionem in ſuorum motuum velocitatibus, quam in ſuis ma-
gnitudinibus habent, retinere. Alij quoque permulti eandem opinionem retinue
runt, &
quæſiti octaui libri, vbi profitetur ſe demonſtratiuè probare hanc propoſitio-
nem veram exiſtere;
ex diuerſitate figurarum, quàm ex magnitudinum varietate exoriri poteſt; quas qui
dem diuerſitates ne conſiderat quidem.
CVM ſuſceperimus prouinciam probandi quod Ariſtoteles circa motus
locales naturales deceptus fuerit, ſunt quædam primo veriſſima & obie-
cta intellectus perſe cognita pręſupponenda, ac primum quælibet duo corpora,
grauia, aut leuia, area æquali,
q́ue
les naturales, ut inter ſuamet pondera aut leuitates in vno
ra. Quod quidem natura ſua notiſſimum eſt ſi conſiderabimus non aliunde maio-
rem tarditatem, aut velocitatem gigni, quàm à .4. cauſis (dummodo medium vnifor
mè ſit & quietum) ideſt à maiori aut minori pondere aut leuitate; à diuerſa figura;
à ſitu ciuſdem figuræ diuerſo, reſpectu lineę directionis, quæ recta inter mundi cen-
trum, & circunferentiam extenditur; & ab inæquali magnitudine.
Vnde patebit,
quòd figuram non variando, nec in qualitate nec in quantitate, neque eiuſdem figu-
ræ ſitum, motum fore proportionatum virtuti mouenti, quæ erit pondus aut leuitas. Quod autem de qualitate, de quantitate & ſitu eiuſdem figuræ dico, reſpectu reſi-
ftentiæ ipſius medii dico: Quia diffimilitudo aut inęqualitas figurarum, aut ſitus di-
uerſus non
dat continuitatem medij, quam magna; vt etiam cęlerius idem facit acuta, quàm ob
tufa; & illa quæ cum angulo, qui antecedat mouebitur velocius quàm illa, quæ ſecus.
Quotieſcunque igitur duo corpora vnam
ciebus, aut habebunt aut recipient, eorum motus inter ſeipſos eodem planè modo
proportionati conſurgent, quo erunt ipſorum virtutes mouentes: & è conuerſo, quo
tieſcunque duo corpora vnam
ſtentias habebunt, eorum motus inter ſeipſos eandem
habebunteorum reſiſtentiæ conuerſo modo; quæ quidem reſiſtentiæ inter ſeipſas,
eandem proportionem quàm ipſarum ſuperficies habebunt, aut in qualitate ſola fi
guræ, aut in quantitate ſola, aut in ſitu, aut in aliquibus ex dictis rebus, eo tamen mo
do, quiſuperius poſitus fuit, vt ſcilicet corpus illud quod alteri comparatum, æqua-
lis erit ponderis, aut leuitatis, ſed minoris reſiſtentiæ, exiſtet velocius altero, in
proportione, cuius ſuperficies reſiſtentiam ſuſcipit minorem ea quæ alterius eſt cor-
poris, ratione facilioris diuiſionis continuitatis aeris, aut aquæ; Vt exempli gratia,
ſi proportio ſuperficiei corporis maioris ſuperficiei minoris ſeſquitertia eſſet, pro-
portio velocitatis dicti corporis maioris, velocitati corporis minoris, eſſet ſubſeſqui
tertia; vnde velocitas minoris corporis, maior eſſet velocitate corporis maioris,
admodum quaternarius numerus ternario maior exiſtit.
Aliud quoque ſupponendum eſt, velocitatem ſcilicet motus naturalis alicuius
corporis grauis, in diuerſis medijs, propor-
tionatam eſſe ponderi eiuſdem corporis in
ijſdem medijs; Vt exempli gratia, ſi pondus
crit ab .a.i. quo corpore poſito in aliquo me-
e
tem .e.i. vnde pars .a.e. eiuſdem ponderis libera manear; & poſito deinde eodem cor
pore in aliquo alio medio denſiore, minus tamen denſo quam ipſum ſit corpus,
hoc medium ſubtrahat partem .u.i. dicti ponderis, vnde pars .a.u. ei uſdem
ponderis remanebit. Dico proportionem velocitatis eiuſdem corporis per
minus denſum, ad velocitatem eiuſdem per medium magis denſum futuram vt .a.e.
ad .a.u. vt eſt etiam rationi conſonum, magis quàm ſi dicamus huiuſmodi velocitates
eſſe, vt .u.i. ad .e.i. cum velocitates à virtutibus mouentibus ſolum (cum figura vna, Quæne
planè ſimilia ſuntijs, quæ ſupra ſcripſimus, quia idem eſt dicere, proportionem velo
citatum, duorum corporum hetereogeneorum, ſed ſimilium figura, & magnitudine
æ qualium, in vno ſolo medio, æqualem eſſe
proportioni ponderum ipſorum, vt ſi dicam?
proportionem velocitatum vnius ſolum cor-
quæ eſt
POſſibile eſt in rerum natura corpus aliquod huiuſmodi denſitate præditum re-
periri, vt velocitas eius motus naturalis per aerem, velocitati per aquamita pro
portionata exiſtat, vt eſt Denſitas aquæ notetur (exem-
pli gratia) per .u.i. & ea, quæaeris eſt per .e.i. & pondus alicuius corporis in aere per
e.a. & pondus eiuſdem corporis in aqua per .u.a. ita tamen, quod eadem proportio
ſit .e.a. ad .u.a. vt .u.i. ad .e.i. vnde per vltimam ſuppoſitionem
portio velocitatis prædicti corporis per aerem,
proportioni eiuſdem corporis per aquam erit, vt
EX ſupradictis patet in vniuerſum non eſſe verum quod Ariſto .8. cap .4. lib. phy
ſicorum ſcribit, velocitates ſcilicet motuum alicuius corporis per diuerſa me-
dia, proportionatas eſſe denſitatibus eorundem mediorum. Quocirca, ſit propor-
tio .u.i. ad .e.i. vt
corporis in aere ad pondus eiuſdem in aqua, ita tamen vt maior aut minor propor-
tio ſit .e.a. ad .u.a. quam .u.i. ad .e.i. vnde exiſtente proportione velocitatis per Ob hanc igitur
cauſam nimis diſſentaneum eſt rationi, opi-
nari proportionem velocitatis omnium cor
porum grauium per aerem vnam
quemadmodum Ariſtoteles ſenſit.
POnamus, exempli gratia, aquam eſſe in denſitate dupla ad aerem, & aliquod
graue corpus in aqua duplum ad denſitatem ipſius aquæ, vnde dictum corpus in
denſitate ad aerem quadruplum erit; quam ob cauſam, mediam ſui ponderis tota-
lis partem in aqua, & in aere quartam partem, ex .7. lib. de inſidentibus aquæ ab Ar-
chimede conſcripto, amitteret. Moueretur igitur in aqua virtute illius mediæ partis
vnde proportio facultatis
corporis in aere ad facultatem mouentem eiuſde m in aqua ſeſquialtera erit.
corpus appelletur .A. Sit aliud quoque corpus, quod .B. nominetur, ſimile figura, &
magnitudine corporea corpori .A. ſed
& denſius erit aere in proportione tripla. quamobrem corpus .A. grauius erit cor-
pore .B. in aere in proportione ſeſquialtera, vnde etiam velocius erit ipſo .B. in aere
in eadem proportione, ſed corpus .B. in aere, duplo maius pondus habebit,
aqua, cum in aere remaneant ei duæ ponderis tertiæ partes, & in aqua vna tantum,
ita vt Ariſtoteli concedam corpus .B. in aere, quam in aqua velocius futurum in ea-
dem proportione, in qua, aqua eſt
lib. quinti. Sed præter hæc omnia, ſi corpus .A. eſſet etiam velocius in aere,
aqua, in eadem proportione, ſequeretur ex .16. dicti lib. quinti proportionem velo-
citatis .A. in aqua ad Sed cum
corpus .A. in denſitate ad aquam
ſequetur
tione dupla; Vnde ex primo ſuppoſito capitis ſecundi proportio velocitatis .A. ad
velocitatem .B. in aqua dupla erit, non ſeſquialtera. Si ergo proportio velocitatis .
A. ad eam quæ eſt .B. in aqua dupla eſt, & ea, quæeſt .B. in aere, ad eam, quæ eſt ipſius
per aquam eſt etiam dupla (vnde ea quę eſt .A. per aquam ęqualis erit ei, quæ eſt .B.
peraerem, ex .9. lib. quinti) & cum ea, quæ eſt .A. ſit ei, quæ eſt .B. per aerem ſeſqui-
altera, erit ergo ea, quæ eſt .A. per aerem, ei, quæ eſt ſuimet ipſius per aquam ſeſqui
altera, non autem dupla, ex .7. eiuſdem libr. quinti. Hiſce rationibus accedimus ad
confirmandam veritatem vltimi ſuppoſiti cap .2. proportionem videlicet velocita
tis
dem cum ea, quæeſt inter pondera
tamen medijs intelligendo, quæ un-
ctuoſa, aut pinguia non ſunt, ut ſunt
oleum, lac, aut huiuſmodialia, quæà
qualibet minima qualitate frigoris
aut caloris alterantur, & impermea-
biles fiunt.
OMne corpus graue variat proportionem ponderis per diuerſa media, vnde
proportiones velocitatum inæquales exiſtunt. Vt exempli gratia, ſi fue-
rit corpus .A. cuius pondus totale ſit .o.a. quod in aqua diminutum ſit ratione partis .
e.o. ita vt ei ſolum relinquatur pondus .a.e. & in aeie adempta ſit ei pars .i.o. vnde ſo
lum remaneat pondus .a.i. Supponamus aliud
ne minus denſum, quàm aer, quemadmodum aer minus denſus eſt, aqua, in quo, cor
pus .A. ammittat partem .t.o. ponderis ſui, vnde ex .7. lib. de inſidentibus aquæ Ar-
chimedis, eadem proportio erit .e.o. ad .i.o. quæ eſt .i.o. ad .t.o. Supponamus
eandem proportionem eſſe .a.i. ad .a.e. eſt .e.o. ad .i.o. tunc dico non futuram ean-
dem proportionem .t.a. ad .a.i. quæ eſt .i.o. ad .t.o. Cum ſit ergo proportio .a.i.
ad .a.e. ut .e.o. ad .i.o. erit diſiunctim .e.i. ad .e.a. vt .e.i. ad .i.o. Quare ex .9. libr. quin
ti erit .a.e. æqualis .i.o. ſed cum ita ſehabeat .e.o. ad .i.o. vt .i.o. ad .t.o. ita quoque
ſe habebit, ex vndecima quinti .a.i. ad .e.a. ut .i.o. ad .t.o. Cum autem (vt vidimus). a.e.
ęqualis ſit ipſi .i.o. non poterit eſſe proportio .t.a. ad .i.a. vt eſt .o.i. ad .t.o. quia ſi
hoc eſſet, eſſet etiam diſiunctim proportio .i.t. ad .i.a. vt eſt .i.t. ad .t.o. & ex ſupradicta
9. lib. quinti .a.i. æqualis eſſet .t.o. Maximum autem inconueniens eſſet .t.o. minorem
o.i. ideſt minorem .a.e. æqualem eſſe .a.i. quæ maior eſt .a.e. Oſtenſiuè tamen idem
hoc modo probari poteſt, vt exiſtente .i.o. ęquali ipſi .a.e. per conſequens
minor ipſa .a.i. cum .a.e. pars ſit ipſius a.i.
o.i. Tanto magis igitur minor erit .t.o. ipſa .i.a.
Vnde ex .8. libri quinti maiorem pro
portionem habebit .i.t.
ad .t.o. quam ad .i.a. &
ex .28.
t.o.
ad .i.a. ex .12. igitur di-
cti quinti maiorem pro
portionem habebit .i.a. ad .e.a. quàm.t.a. ad .i.a. ita ergo ſe habebunt ipſorum velo-
citates.
ESt mihi nunc probandum
ſimili figura & materia, mouebuntur naturali motu, diuerſa tamen ratione ab
Sintigitur corpora .a. et .o. inæqualia,
rum .a. maius ſit, & per conſequens in eadem quoque proportione grauius ipſo .o. in
qua eſt maius, communi omnium ſententia.
Scribit ergo Ariſtoteles proportionem velocitatis corporis .a. ad eam, quæ eſt
corporis .o. (naturaliterſe vnoquoque mouente) eandem futuram, quæ eſt magnitu
dinis, aut grauitatis corporis .a. ad magnitudinem, aut grauitatem corporis .o. Ima-
ginemur igitur corpus u. eadem magnitudine & figura, qua corpus .a. præditum eſt,
ſed eandem grauitatem obtinere, quæ communicata eſt corpori .o. quod ex quauis
materia conſter. Hinc ex primo ſuppoſito ſecundi capitis certi erimus proportio-
nem velocitatis corporis .a. ſi comparetur cum velocitate corporis .u. futuram, vt
quæ eſt ponderis corporis .a. ad pondus ipſius corporis .u. Ex .9. igitur lib. quinti Eu-
cli. cogitur fateri Ariſtoteles velocitatem corporis .o. eſſe vnam
cie, quæ eſt corporis .u. Quod primo ſuppoſito cap. ſecundi huius lib. planè repugna
ret. Igitur hæc Ariſtotelis opinio falſa eſt.
Idem quoque probaretur mediante cor
pore .i. æquali magnitudine,
quantitatem attinet, æquali corpori .a. vnde ex primo ſuppoſito cap. ſecundi huius li
bri in eadem pro
portione
eſſet corpore .o.
ex .9. igitur quin-
ti cogitur Ariſto-
teles affirmare
velox eſſe corpus
a.
i. vnde idem pla-
nè inconueniens emergit ex ſecundo ſuppoſito cap. ſecundi huius lib..
QVælibet duo corpora inæqualia ſimili tamen figura & eadem materia con-
ſtantia, naturaliter ſe per diuerſa media mouentia, vnam
per proportionem velocitatum ſeruant.
Sint duo corpora .A. et .B. ſibi inuicem inæqualia quorum .A. ſit maius, ſed ſimile
figura & idem materia,
cuius pondus totaleſit .
ſius .B. ſit .u.s. Imagine-
mur quoque corpus .A.
poſitum in aqua amitte
re
.t.s. Nunc quia corpus aqueum, cui correſpondet .e.o. æquale eſt ipſi .A. & corpus
aqueum, cui correſpondet .c.s. æquale eſt i pſi .B. vt eſt ab Archimede com
muni quadam ſcientiæ ratione, ſequitur eandem proportionem futuram .o.x. ad .e.o.
quæ eſt .u.s. ad .c.s. ob
etiam erit de .o.x. ad .s.u. vt de .e.o. ad .c.s. vt etiam de .o.i. ad .s.t. Vnde ex .19. lib.
quintí erit de .x.i. ad .u.t. quemadmodum de .x.o. ad .u.s. idem dico de .x.e. ad .u.c. Ex
11. igitur dicti lib. erit. de .x.i. ad .u.t. quemadmodum de .x.e. ad .u.c. ex quibus
proportionibus, ſi ſubtra
uenẽtium
quæ remanebunt, exter-
tio communi axiomate
ab Eucli. in principio pri
mi lib. poſito, ad inuicem
erunt æquales, ſecundum quas eorundem corporum ſunt velocitates.
CVm verò Ariſtoteles circa finem cap .8. lib. 4. phyſicorum ſubiungit quod ea-
dem proportione dicta corpora mouerentur in vacuo, vt in pleno, id pace quia in pleno dictis corporibus ſubtrahitur proportio reſi
ſtentiarum extrinſecarum à proportione ponderum, vt velocitatum proportio re-
maneat, quę nulla eſſet, ſi dictarum reſiſtentiarum proportio, ponderum propor-
tioni æqualis eſſet, & hanc ob cauſam diuerſam velocitatum proportionem in va-
cuo haberent ab ea, quæ eſt in pleno.
QVòd ſupradicta corpora in vacuo naturaliter pari velocitate mouerentur,
hac ratione aſſero.
Sint enim duo corpora .o. et .g. omogenea, et .g. ſit dimidia pars ipſius .o. ſint alia
quoque duo corpora .a. et .e. omogenea primis, quorum quodlibet æquale ſit ipſi .g.
& imaginatione compręhendamus ambo poſita in extremitatibus alicuius lineæ, cu
ius medium ſit .i. clarum erit, tantum pondus habiturum, punctum .i. quantum
ipſius .o. quod .i. virtute corporis .a. et .e. in vacuo,
o: cum autem difiuncta eſſent dicta corpora .a. et .e.
à dicta linea, non ideo aliquo modo ſuam velocita
tam velox eſſet quam .o.
EAdem ratione, quam cap. antecedente præſcripſimus, poſſet oſtendi, ſi duo cor-
pora .o. et .g. ſuas reſiſtentias, ita ad inuicem proportionatas haberent, utſunt
eorum pondera, in pleno pari velocitate prædita eſſe, quod in fine capitis noni leui
ter attigi, quia punctum .i. tam velox eſſet, ut centrum ipſius .o. cum à tanto pondere
i. motum eſſet; quanto centrum ipſius .o. atquetan
o. ſolum haberet ex hypotheſi, dicta tamen corpo
ra .a. et .e. tam ſeparata, quam coniuncta, eandem
velocitatem retinerent .g. igitur tam velox eſſet,
quam .o.
PRopoſita nobis cum fuerint duo corpora .A. et .B. area corporea æqualia, quo-
rum .A. denſius ſit ipſo .B. probabo in medio magis denſo, maiorem proportio
nem futuram ponderis ipſius .A. ad pondus .B. quàm in medio minus denſo.
Sit igitur .p.g. pondus totale ipſius corporis .A. et .q.k. ipſius corporis .B. vnde .p.g.
maius erit ipſo .q.k. Sit quoque .o.g. pondus, quod medium magis denſum ſubtra-
hit à pondere .p.g. et .n.k. ſit pondus, quod idem medium ſubtrahit à pondere .q.k. et
f.g. ſit pondus, quod medium minus denſum ſubtrahit à .p.g. et .i.k. illud, quodid@m
attinet, corpora ſupponuntur æqualia, vnde proportio .p.f. ad .q.i. maior erit ea, quæ
eſt .o.f. ad .n.i. communi
ſcinderet
cto .c. ita. vt .c.f. æquale eſ-
ſet ipſi .q.i. proportio .c.f.
ad .q.i. eſſet vt ea, quæ eſt .
o.f. ad .n.i. (hoc eſt nulla)
de ex .12. eiuſdem lib. maior eſſet .p.f. ad .q.i. quàm.o.f. ad .n.i. ex .33. igitur eiuſdem,
maior erit proportio .p.o. ad .q.n. quàm.p.f. ad .q.i. Sic quoque ſe habebunt ad inui
cem velocitates, quod eſt propoſitum. Cum autem proportio .p.o. ad .q.n. maior ſit,
quàm.p.f. ad .q.i. permurando igitur maior erit proportio .p.o. ad .p.f. quam .q.n. ad .
q.i. aut euerſim maior erit proportio .q.i. ad .q.n. quàm.p.f. ad .p.o. vnde ſi proportio
p.f. ad .p.o. eſſet ac ea, quæ eſt .o.g. ad .f.g. non eſſet .q.i. ad .q.n. ut eſt .o.g. ad .f.g. aut
vt .n.k. ad .i.k. quodidem
eſt, de quibus quidem re-
quinto capite
feci.
Velocitatibus autem ſe-
quentibus pondera, ſequi
tur proportionem veloci-
citatum duorum corporum hetereogeneorum eandem non eſſe per diuerſa media,
contra id, quod ſequeretur ſi Ariſtotelis opinionem .8. cap. lib. 4. phyſicorum re-
ciperemus.
NOn tam facile eſt aſſignare proportionem velocitatum duorum corporum na
turalium, quam Ariſtoteles vltimo cap. lib. 7. phyſicorum putauit.
Quamobrem ſint duo corpora .B. et .D. materia
tamen, & figura ſimilia, & proportio reſiſtentiarum, quas recipiunt à medio
uentur, ſit. ut .o.i. ad .a.e. denotentur deinde velocitates totales abſque vlla reſiſten-
tia ab .a.u. et .o.c. quæ æquales erunt ad inuicem per communem ſcientiam ex ſup-
poſito, ſint alia deinde duo corpora .V. et .M. eodem modo ſe habentia ut prima .B.
et .D. in eodem medio, ſed ex diuerſa materia ab ea, quæ eſt illorum duorum corpo
rum, magnitudine tamen & figura ijſdem ſimilia: ſignificentur quoque eo-
rundem reſiſtentiæ per .t.s. et .n.r. & eorundem velocitates à nulla ex reſiſtentijs di-
minutæ, per .n.x. et .t.g. vnde .n.r. æqualis erit .a.e. et .t.s. ipſi .o.i. et .n.x. ipſi .t.g: n.x. ta-
men et .t.g. non erunt ęqualia .a.u. et .o.c. Sed exempli gratia, ponamus ea eſſe mi-
nora. Supponamus nunc .e.u. velocitatem eſſe quæ remanet ipſi .B. cum applicata
erit reſiſtentia .a.e. dicto corpori .B. quæ diminutam facit totam .a.u. per .a.e.
ea, quę remanet ipſi .o.c. corporis .D. et .r.x. ea, quæ remanet .n.x. corporis .V. et .s.g.
ea, quæ eſt ex .t.g. corporis .M. Vnde communi omnium
iorem futuram .r.x. et .i.c. ipſa .s.g. Scindatur deinde .a.m. ad ęqualitatem .n.x. et .o.z.
ipſius .t.g. vnde .a.m. ad .o.z. et .m.u. ad .z.c. æquales habebimus, ut quoque .e.m. ad .r.
x. et .i.z. ad .s.g. quamobrem .e.m. maior erit ipſa .z.i. maior igitur erit proportio .z.c.
ad .z.i. quàm.m.u. ad .m.e. (quia .z.c. ad .z.i. ita ſe habet vt .m.u. ad .i.z. ex .7. lib. quin-
ti, ſed .m.u. ad .i.z. maior eſt quam ad .m.e. ex .8. dicti lib. vnde ex .12. eiuſdem .z.c. ad
ad .z.i. maior erit, quàm.m.u. ad .m.e. Ergo ex .28. maior proportio erit .c.i. ad .z.i.
ad .r.x. quod Ariſtoteli in mentem non venerat. Alijs quoque modis idem proba-
ri poteſt, vt ſi diceret aliquis, maiorem proportionem eſſe .e.m. ad .m.u. quam .i.z. ad
z.c. (quia .e.m. ad .m.u. eadem eſt ratio vt ad .z.c. ex .7. quinti, ſed proportio .e.m. ad .
z.c. maior eſt quam .i.z. ad .z.c. ex .8. eiuſdem, ergo ea, quæ eſt .e.m. ad .m.u. ex .12. ma
for erit, quam .i.z. ad .z.c.) vnde componendo, ea quæ eſt .e.u. ad .m.u. maior erit illa,
quæ eſt .i.c. ad .z.c. &
& ex .33. quinti, ea, quæ eſt .e.m. ad .i.z. maior erit ea, quæ eſt .e.u. ad .i.c.
EX præcedenti capite manifeſtè depræhenditur, in vniuerſum Ariſtotelis opi-
nionem veram non eſſe in prima parte vltimi capitis. lib. 7. phyſicorum; quia
in eo loco ſupponens ipſe corpus .B. pręcedentis capitis eſſe dimidiam partem ipſius
D. quantum ad aream corpoream ſpectat (ſunt tamen pondere ad inuicem æqualia)
ait .B. futurum duplo velocius ipſo .D. Ego verò præcedenti capite accepi .e.u. pro
velocitate reſidua corporis .B. (ſubtracta ea tamen parte, quam ei reſiſtentia adimit,
quæ erat .e.a.) et .i.c. pro ea, quæ eſt corporis .D. et .r.x. pro ea, quæ eſt corporis .V. et .
s.g. pro ea, quæ eſt corporis .M. Dicat nunc Ariſtoteles, quę nam harum duarum pro
portionum dupla erit? quia ſi earum aliqua talis erit, alia nullo modo eſſe poterit,
vt iam oſtendi, etiamſi duo corpora .V. et .M. eaſdem conditiones habeant, quas .B.
et .D. Ratio autem, quæ Ariſtotelem induxerit ad illud credendum, nulla alia eſſe
potuit, quàm quod putarit reſiſtentias proportionatas eſſe magnitudinibus corpo-
reis, ideſt quemadmodum .B. erat corporaliter dimidia pars ipſius .D. ſic etiam habe
ret medietatem eius reſiſtentiæ, quam habuiſſet corpus .D. Quod etſi verum eſſet,
non tamen ſequeretur neceſſariò in quibuſlibet corporibus futuram velocitatum
proportionem eandem, quæ reſiſtentiarum eſt, vt ſuperiore capite oſtendimus.
QVòd Ariſtoteles crediderit reſiſtentias proportionatas eſſe corporibus, erra-
uit. Si ſuperficies ijſdem proportionatæ eſſent, dubium non eſt, quin
reſiſtentiæ quoque ipſæ, ijſdem proportionatæ exiſterent, ſupponendo eas ſimiles
ſitu, dum eadem corpora mouerentur. Sed eadem proportio non eſt inter ſuperfi-
Ariſtoteles igitur in eo defecit.
Quòd
ſuperficies non eadem ſit proportio, quæ inter corpora extat, ſi primo ad ſphęricas
mentem verterimus, intelligemus proportionem eam, quæ inter duas ſphæras repe
ritur triplam ſemper exiſtere ei, quæ eſt inter ipſarum diametros ex vltima .12. libr.
Euclid. Eſt autem proportio, quæ eſt inter ſuperficies ſphęricas ęqualis ei, quæ eſt
ipſorum circulorum maiorum ex .16. lib. quinti, cum ex .31. primi de ſphæra & cy-
lindro Archimedis, omnis ſphærica ſuperficies quadrupla, ſit maiori circulo ipſius
ſphęræ, ſed proportio, quæ eſt inter dictos circulos, eſt dupla ei, quæ eſt inter
dẽergo
ei, quæ eſt ſuperficierum, & non æqualis, ut Ariſtoteles putauit. Idem de corporibus
ſimilibus à ſuperficiebus planis terminatis dico, ratiocinando mediante .36. lib. 11.
et .18. ſexti, vnde cognoſcemus proportionem corporum, proportioni laterum, tri-
plam futuram, & ſuperficierum proportionem, laterum proportioni duplam. Quare
corporum proportio, ei, quæ ſuperficierum eſt, ſeſquialtera erit, ita ut ſi velocitates
extitiſſent ad inuicem proportionatæ, vt ſuperficies, proportio velocitatis corporis .
B. ei, quæ eſt corporis .C. fuiſſet ſubſeſquialtera proportioni corporum, & non æqua
lis eidem.
ALio quoque modo probari poteſt non eſſe in vniuerſum verum id, quod Ari-
ſtoteles in prima parte capitis vltimi lib. 7. phyſicorum ait, ſic ſcribens.
Si .A. quidem ſit id quod mouet .B. verò id quod mouetur, et .C. ſit longitudo per
quam, et .D. tempus in quo eſt motum, in tempore nimirum ęquali, potentia æqua-
lis .A. dimidium ipſius .B. per duplum mouebit ipſius .C. per ipſum autem .C. in dimi
dio temporis .D. ſic enim erit rationis ſimilitudo.
Sit ergo corpus .o. ſeptimi capitis pondere æquali corpori .u. eiuſdem capitis, ſed
area corporea minusipſo .u. pro medietate. Simile tamen figura.
Imaginemur
tertium aliud corpus omogeneum ipſi .u. quod ſit .i. magnitudine & figura ſimile ipſi
o. vnde minor erit ipſo .u. pro media parte, & hanc ob cauſam ipſum .u. erit duplo ma
gis graue, quàm ipſum .i. & per conſequens ipſum quoque .o. duplo grauius erit
ſit ipſum .i. ex .7. libr. quinti Euclidis. Ipſum ergo corpus .o. duplo velocius erit,
quàm ipſum .i. ex primo ſuppoſito cap .2. huius lib. Vnde ex .9. quinti, velocitas ipſius
i. æqualis eſſet ei, quæ eſt ipſius u. cum Ariſtoteles ſcribat .o. quoque futurum duplo
velocius ipſo .u.
SCribit Ariſtoteles in ultimo cap. lib. 7. phyſicorum in hunc modum.
Si duo quædam ſeorſum per tantum ſpatium tanto tempore duo ſeorſum pon
dera mouent, & compoſita per longitudinem æqualem,
poſitum ex ponderibus
Quod in vniuerſum nec etiam poteſt eſſe verum in pleno, quia cap .14. iam pro-
baui, non eandem proportionem eſſe inter ſuperſicies corporum, & ipſa corpora.
ETiam ſi reperire in qua proportione motus naturaliter moueantur duo corpo-
ra, figura & materia ſimilia, inęqualia tamen ad inuicem, non facile ſit, oſten-
dam tamen qua ratione id conſequi poſſimus.
Proponantur nobis, exempli gratia, duo corpora .a. et .o. ſphęrica, inęqualia inui-
cem, omogenea tamen materia, quorum .a. maius ſit; ſi voluerimus inuenire in qua
nam velocitatis proportione naturaliter mouerentur. Volo vt inquiratur corpus .i.
ſphęricum, alia tamen & diuerſa materia conſtans, ſed pondere ęquale corpori .o. &
ſuperſicie tam proportionata ſuperficiei corp oris .a. quàm eſt ea, quæ eſt ſui ponde-
ris ad pondus ipſius .a. Hoc facto, indagetur, quænam erit proportio inter ſu-
perficies corporum .i. et .o. quę ſemper dupla eſt, vel ſubdupla ei quæ eſt diametro-
rum; ut iam cap .15. dixi, & hęc proportio ſuperficierum ſphęricarum
trahatur ab æqualitate, quod igitur remanebit, erit proportio
corpora .o. et .i. ideſt inter .o. et .a. vt exempli gratia, ſi proportio ſuperficiei .o. ſuperfi
ciei ipſius .i. ſeſquitertiα
trahendo eam ab ęqualitate, rema-
velocitas corporis maioris ( quod in
pręſenti loco ſupponitur eſſe .o.) ei,
quę eſt corporis minoris, quale eſt
corpus .i. ſubſeſquitertia eſſet; aut
dicamus quòd .i. eſſet velocius ipſo
o. in proportione ſeſquitertia ex ſe
cundo ſuppoſito ſecundi capitis huius libri. Sed .i. tam velox eſt quam ipſum .a. ex
11.
EX ijs, quæ ſuperius
nem, quam Ariſtoteles .8. cap. lib. 4. phyſicorum ad deſtruendum vacuum,
finxit. Vtigitur idem facilius oſtendamus, compræhendamus imaginatione infini-
ta media corporea, quorum vnum altero rarius ſit, in qua placuerit nobis ex propor
tionibus, incipiendo ab uno, imaginemur etiam corpus .Q. denſius primo medio, cu-
ius corporis, totalis grauitas ſit .a.b. & poſitum in ipſo medio, amittat partem .e.b. ip-
ſius grauitatis, & in ſecundo medio amittat .i.b. & ſic per gradus vnde nobis patebieNunquam remanſuram ſuam totalem grauitatem .a.b. in quolibet
ex-dictis medijs. Nunc ſi quærat à me Ariſtoteles proportionem velocitatis corpo-
ris .Q. per vacuum ad velocitatem dicti corporis per plenum, ego ei proponam pro-
portionem ipſius .a.b. ad .a.e. exempli gratia, dicens,
ip ſo .a.e. ſic etiam corpus .Q. velocius erit in vacuo, quàm in pleno, dicti autem ple-
ni denſitatem appellabimus .e.b. Ariſtoteles dicet nunc,
in eadem proportione ſubtilius ipſo .e.b. deſumatur; quemadmodum .a.e. minus eſt
ipſo .a.b. ſit ergo iſtud .i.b. in quo Ariſtoteles credit corpus Q. futurum tam velox ut
in vacuo, in quo aberrat,
citatem eiuſdem in medio
e.b. ita ſe hàbebit, ut .i.a. ad
pit .2. huius libr. quæ minor
eſſet ea, quæ eſt .a.b. ad .a.e. ex .8. lib. quinti Eucli.
QVæ Ariſtoteles de loco ſcribit multas in ſe continent difficultates.
Primum,
cap .4. lib. 4. phyſicorum ait, omne corpus eſſe in ſuo proprio loco, ſupponen
do vnum centrum pro loco grauium, et unam circunferentiam pro loco leuium cor
porum. Sed quomodo punctum poteſt eſſe locus ipſius corporis, cum omni dimen
ſione vnde ſi
nia dicta corpora grauia, extra proprium locum exiſterent, quia nullum ex iis eſt,
ſit in centro. Adde quod neque hoc cum loci definitione ab ipſo poſita conſentiret
cum ipſe dicat in eodem cap. locum eſſe ſuperſiciem quandam, & non interuallum,
licet huiuſmodi definitio falſa appareat primo ex
ſequuturum dicit, ideſt, quod ſi locus interuallum eſſet, infinita loca exiſterent, quod
reuera nec ob hanc cauſam inconueniens exiſtit, quia eodem planè modo quo ali-
quod corpus poteſt eſſe infinita corpora, (quod ipſe diceret in potentia) ſic etiam in
teruallum aliquod poſſet eſſe infinita interualla. Cum autem dicat ſuperficies cor-
poris ambientis eſſe locum eius corporis, quod continetur, cogitur dicere lineam,
quæ circundat ſuperficiem, ſuperficiei locum eſſe, & puncta ipſius lineæ, quod reue
ra abſurdum eſt. Locus corporis eſt interuallum illud eadem magnitudine & figu-
ra, qua corpus ipſum pręditum eſt, quod ſi non eſſet, ſed eſſet ſuperficies, quemad-
modum Ariſtoteles voluit, maximum inconueniens ſequeretur, ſcilicet æquales lo-
cos capere inęqualia corpora, aut corpora æqualia, locos inęquales occupare, quod
ſcitu facillimum eſt, cum Theon ſuper Ptolomęi Almageſtum iam probarit ſphæ-
ricam ſuperficiem maius interuallum corporeum continere, quàm aliam
perficiem dictæ ſphęricæ æqualem, vnde poſſent facilè reperiri duo loci, quorum al-
ter millies altero maior eſſet, capaces tamen corporum æqualium, aut reperiri duo
corpora, quorum alterum millies maius eſſet altero, quę tamen corpora apta eſſent
ad occupandos locos ęquales, quamuis Ariſtoteles dicat, locum, neque maiorem ne
que minorem eſſe debere locato. Sed interualla corporea ęqualia à quauis figura
terminata, continebunt ſemper corpora ęqualia. Corporeum igitur interuallum eſt
quam @is interuallum corporeum ingrediatur. Et hoc modo
in m@ do aut extra mundum ( dicat autem Ariſtoteles quicquid voluerit ) locum
ſuum non habeat.
TRactans Ariſtoteles in fine quinti cap. lib. 3. phyſicorum de infinito ait, impoſ
ſibile cum ſit inuenire locum infinitum, & omne corpus in loco cum ſit, impoſ
ſibile quoque eſſe in rerum natura aliquod: infinitum corpus reperiri.
Omittamus
quòd cum Ariſtoteles debuerit beneficio loci deſtruere infinitum, ordine peruerſo
de infinito prius, quàm de loco diſputationem inſtituat; ſed dicamus ipſum intelli-
gere de infinito corporeo, & cum probauerimus corporis locum eſſe corporeum in
teruallum, non autem ſuperficiem, neque opus ſit in definitione interualli mentio
nem aliquam facere terminorum, vnde ipſum infinitum eſſe poteſt, neque aliqua ra
tione de hac re dubitari poteſt; hoc modo nullum inconueniens ſequeretur, quòd
extra cęlum reperiri poſſit corpus aliquod infinitum, quamuis, id ipſe nulla euiden-
ti ratione inductus perneget. Senſit quoque, abſque eo,
nat, aliquid extra cœlum reperiri quemadmodum apparet ex fine cap .9. lib. primi
de cœlo, cum etiam ait cap .8. lib. 8. phyſicorum, infinitas partes alicuius continui eſ-
ſe ſolum in potentia, non item in actu, hoc non eſt illico concedendum, quia ſi omne
totum continuum, & re ipſa exiſtens, in actu eſt, omnis quoque eius pars erit in actu,
quia ſtultum eſſet credere, ea quæ actu ſunt, ex ijs, quæ potentia exiſtunt, componi. Neque etiam dicendum eſt continuationem earundem partium efficere, vt poten-
tia ſint ipſæ partes, & omni actu priuatæ; Sit exempli gratia linea recta .a.u. continua
quæ deinde diuidatur in puncto .e. per æqualia, dubium non eſt, quin ante
medietas .a.e. tam in actu (licet coniuncta cum alia .e.u.) reperiretur, quàm totum .2.
u. licet à ſenſu diſtincta non eſſet. Idem affirmo de medietate .a.e. ideſt de quarta
parte totius .a.u. & pariter de octaua, de milleſima, & de quauis, ita vt eſſentia actua
lis infiniti hoc modo tutò concedi poſſit, Sed peius etiam ſenſit
Ariſtoteles eodem loco capitis quinti lib. 3. phyſicorum, negando infinitum poſſe
connumerari inter quantitates, dicens vnam aliquam quantitatem intelligi vt cubi
tum, tricubitum, & cætera; vbi non conſiderat eadem etiam ratione intelligi poſſe
aliquam quantitatem
ſe neceſſitatem terminorum, vt exempli gratia in definitione numeri, non eſt neceſ
ſitas alicuius determinati numeri, quia multitudo, non minus infinita, quàm finita,
intelligi poteſt. Vbi poſteà cap .8. libr .4. phyſicorum ait nullam eſſe differentiam
inter infinitum, & vacuum, reuera nihil abſurdius hoc dicere fingereue poterat.
CVM ſenſerit Ariſtoteles
cẽQuæ
quidem definitio, natura ſua non eſt bona, quia tempus, neque numerus eſt, neque
aliud, quod non ſit
vt
pus; neclinea ſuperficiem
nec corpus
ciem; Sed linea lineam menſurabit;
ſuperficies ſuperficiem;
& corpus corpus;
tam vna ex iis quantitatibus quàm altera ſit continua. Cum verò motus non ſit tem
pus, neque tempus ſit motus, ſed inter ſe maximè differant, ſequetur ex iis, alterum
nullo modo per ſe eſſe menſuram alterius, niſi per accidens. Et ſi alicui videtur,
ad ſignificandam aliquam quantitatem motus, dicere huiuſmodi operationem dua-
rum horarum, aut duorum dierum, aut duorum annorum ſpatio completam eſſe, ſit
ponere tantum tempus: animaduertere debet hoc ſimpliciter non eſſe verum, quia
horarum, dierum. & annorum interualla, imaginatione
rum cęleſtium, ſine quibus, neque anni, neque dies, neque horę exiſterent,
nis motus ſit (vt ita dicam) locatus in tempore, ut corpus in loco, vnde motus motu,
& tempus tempore, non autem aliud ab alio menſuratur. Tempus ex neceſſita-
te (phyloſophicè tamen loquendo) res eſt æterna, motus non item, quia diuerſis mo
dis terminari poteſt & ceſſare, & interim dum ceſſabit quieſcet corpus, quod
primo mouebatur. nihilominus tamen, tempus continuabit curſum ſuum.
Tempus
igitur potius locus motus erit dicendum, quàm numerus aut menſura eius, & tale eſt,
vt conſumatum uideatur à continuò quodam fluxu vnius inſtantis, quemadmodum
iam dixi in .38. capite meę gnomonicæ, & cum dico ab vno inſtanti, vnum in ſpecie,
& non in numero intelligo, quod à ſenſibus noſtris percipi non poteſt,
notari, quia nouum ſemper inſtans nobis occurrit. & ſi aliquis aliquod
go modo) incompræhenſibilitatis ipſius inſtantis deſideraret, imaginetur rotam ali
quam albam, in qua ſit nigrum aliquod punctum ſenſibile, aut è contra rotam
imaginetur, in qua ſit punctum album, quæ rota velociſſimè moueatur; huiuſmodi
punctum, nullo modo aſſignari poterit, magis ab una parte quàm ab altera; immo ſe
ſe nobis offeret ſemper in forma lineæ circularis. poſſumus aliquo modo etiam ſu-
mere exemplum à ſono, quia omnis chorda cuiuſlibet inſtrumenti muſici, dum ſo-
nus editur, tremit, unde huiuſmodi ſonus, appellari poteſt aggregatum aliquod ex
innumerabilibus ſonis. eodem modo ſe habet ſonus, quem ędunt campanę, & omnia
inſtrumenta tam naturalia, quàm artificialia, quæ quantò velocius Neque eſt quòd in ad-
mirationem ducamur, quòd ſenſui unum aliquod continuum appareat id, quod di-
ſcretorum eſt multitudo ( non putet tamen aliquis me negare continuitatem ſucceſ
ſiuam ipſius temporis) quod clare cognoſci poteſt à niue, aut à chryſtallo, aut à vi-
tro, aut à ſaccaro in minutiſſimas partes redacto, quæ continuam aliquam
nobis ad inſpiciendum offerunt, quod nihil aliud eſt, quàm innumerabilis quædam
multitudo minutorum reflexorum. Hæc
Sed ut ad
ſcribit decimo metaphyſicę et .4. cap. ſecundo. libr. de cęlo, omnia videlicet, ab eo,
quod minimum eſt in ſuo genere, menſurari, & ex ſeipſo in phyſicorum libris, tem-
pus non eſt de genere motus; ergo eius ipſius rationum ui, tempus non erit menſura
motus, ſed motus quidem poteſt menſurare motum, videlicet velocior minus velo-
cem, & breuior longiorem; &
tum longum eſt, aut breue, non in quantum velox, aut tardum; Nullum autem in-
conueniens ſequetur ſumendo tempus tam ptoportionale motui, quam locus cor-
pori, quia motus decem milliarium, quæ aliquis vnius horæ ſpatio conficiat, erit pro
portionalis corpori denſo, & motus vnius milliaris eadem hora peracti, proportiona
lis erit corpori raro; & quemadmodum corpus denſum occupat minus interuallum
loci, contra quam fiat in corpore raro: ſic etiam motus velox breuiori temporis ſpa-
tio peragetur, quam tardus.
ARiſtoteles .8. capi .8. phyſicorum ait impoſſibile eſſe aliquid per
nunc vno modo, nunc altero, ideſt eundo, & redeundo per dictam lineam in
extremis abſque quiete moueri. Id quod contrà poſſibile eſſe dico.
Pro ſpecula-
tione cuius rei imaginemur circulum .u.a.n. motu continuo circa centrum .o. in
libet partem, aut & imaginemur
magis nobis videbitur, à quo ducantur duæ lineæ recte .b.u. et .b.n. contiguæ ipſi cir-
culo in punctis .u. et .n. Imaginatione quoque inter has duas lineas, alteram quæ ſit .
u.n. aut .c.d. aut .e.f. aut .g.h. conſtituamus in quali
ferentiæ dicti circuli, à quo vſque ad .b. lineam .
b.a. imaginemur
bile, ſecundum quod mouebitur punctum .a. vn-
de
quando cum .b.n. & aliquando ab .b.u. verſus .b.
n. proficiſcetur, & aliquando ab .b.n. verſus .b.u.
vt accidit lineæ directionis, & retrogradationis
planetarum, vnde circulus .u.a.n. erit vt epiciclus
et .b. vt terræ centrum. Clarum nunc erit, quòd
quando linea .b.a. eadem erit cum .b.u. aut cum
b.n. non quieſcet, quia in inſtanti reuertetur, quia
b.u. et .b.n. in puncto,
dicta .b.a. interſecabit ſemper aliquam ex dictis
u.n. aut .c.d. aut .e.f. aut .g.h. quod interſectionis
punctum ſit .t. Imaginemur nunc quod
punctum .t. aliquid per aliquam ex dictis lineis
tremo. Ariſtotelis igitur opinio, tuta non eſt.
ARiſtoteles in fine .8. phyſicorum ſentit corpus per vim motum, & ſeparatum à
primo mouente, moueri, aut motum eſſe per aliquod tempus ab aere, aut ab
aqua, quæ ipſum quia imo aer, qui in locum defer-
tum à corpore ſubintrat ad fugandum vacuum, non ſolum hoc corpus non impellit,
ſed potius id cohibet à motu, quia aer per vim à corpore ducitur retrò, & diuiſus à
parte anteriori à dicto corpore, reſiſtit ſimiliter, & quantum dictus aer in dicta parte
condenſatur, tantum in poſteriori rarefit, vnde per vim ſeſe rarefaciens non permit-
tit, vt dictum corpus cum ea velocitate fugiat, cum qua aufugeret, quia omne agens
in agendo patitur. Quamobrem cum aer à dicto corpore rapiatur, corpus quoque
ipſum ab aere rapitur. Huiuſmodi autem rarefactio aeris, naturalis non eſt, ſed vio
lenta; & hanc ob cauſam reſiſtit, & ad ſe trahit, ſed non ſufferente natura, vt inter
& aliud ex dictis corporibus reperiatur vacuum; iccirco funt hæc ſemper contigua,
& mobile corpus aerem deſerere cum nequeat, eius velocitas impeditur. Huiuſmo
di igitur corporis ſeparatim à primo mouente velo citas oritur à quadam naturali im
pręſſione, ex impetuofitate recepta à dicto mobili, quæ impręsſio & impetuoſitas,
in motibus rectis naturalibus continuò creſcit, cum perpetuò inſe cauſam
ideſt propenſionem eundi ad locum ei à natura asſignatum habeat. Ariſto .8. cap.
primi lib. de cœlo, dicere non deberet
ad quem, tantò magis ſit velox; ſed potius,
tantò velocius exiſtit. quia tantò maior fit femper impræsfio, quantò magis moue-
tur naturaliter corpus, & continuò nouum impetum recipit, cum in fe motus caufam
contineat, quæ eſt inclinatio ad locum ſuum eundi, extra quem per vim confiftit. Neque etiam rectè ſeripſit Ariſto .9. cap. lib. 8. phyficorum et .2. lib. primi de cœlo
eſſe aliquem motum ex recto & circulari mixtum,
MOtus rectus corporum naturalium ſurſum, aut dcorfum, non eft naturalis pri
mò & per ſe, quia motus naturalis perpetuus eſt, aut vt melius dicam, inceſ-
fabilis, & alius eſſe non poteft quàm circularis,
cta, alium motum naturalem habere poteft, quàm eum, qui eft totius. fi autem à ſuo
toto diuulfa atque difiuncta fit,
via, ad locum, hic motus primò, & per fe di-
cti corporis, naturalis non eft, cum à caufa naturæ fuæ contraria fit generatus, ideft,
Vnde hu-
iuſmodi motus, partim & non omninò, naturalis eft. Is autem proprius eſt & natura
lis motus, qui dicti corporis eſſentiam conſeruat. hoc autem non præſtat hic rectus,
cum deſtruat, ergò hic motus primò & per ſe naturalis non eft.
ARift .4. cap. lib. 4. de cęlo fic ſcribit.
Suo enim in loco grauitatem habent omnia præter ignem, fignum cuius eft
vtrem inflatum plus ponderis, quam vacuum habere, & c.
Quo in loco, manifeftè indicat ſe caufam nec grauitatis, nec leuitatis corporum
naturalium nofce, quæ eft denfitas auto raritas corporis grauis, aut leuis, maior denſi-
tate, aut raritate medij permeabilis, in quo reperitur.
Exemplum
tem, quæ clarisſimè fulget, inſpiciendum aperire. Verisſimum eſt, vtrem inflatum
plus ponderis habere quàm vacuum, aut quando aer in eo non eft per vim inclufus.
Ratio autem huius rei eft, quia quando inflatus eft, ea quantitas aeris, in eum
per vim iniecti, minorem occupat locum, quàm ſi eidem liberè vagari permit-
teretur, vnde violenter, quodam modo, con denfata eft, & quia corpus denfum in
minus denfo, femper deſcendit, & minus denſum in magis denſo aſcendit. Hanc ob
caufam vter inflatus plenus corpore magis denſo, quàm eft medium quod eum cir-
cundat, deſcendit, non quia aer inaere, aut aqua in aqua fit grauis.
CVm Ariftoteles fenſerit circulum eſſe figurarum ſuperficialium
rãSunt enim vltimæ,
non primæ. Sunt quidem (in quò rectè ſentit) perfectè, licet rationem huius rei non
nouerit. Nam
æqualiter circundant, poſſunt appellari perſectæ, ſiue ſint ſuperficiales, ſiue corpo-
reæ, & ècontrà illæ, quæ contrario modo ſe habent, imperfectæ. Quòd autem per-
ſectum eſt, licet natura fit primum, eſt tamen vltimum generatione. Sed quando
Ariftoteles duas dictas figuras pronuntiauit primas, vt perfectas, prioritate ſcilicet
ea, quæ oritur à perfectione, verum dixit; fed quando de figuris ſuperficialibus lo-
quens, vult circulum effe primum, quia ab vna
circulo, quam pro oxigonia ſeu elipſi, aut cucurbitali, aut aliis multis figuris ab vna
tantum linea terminatis concludit. Neque etiam hæc ratio perfectionem circuli
ſtrat, quia aliæ figuræ, à lineis curuis terminatę, eandem conditionem fortiuntur. Circulus ſphę
figurę infinitorum angulorum rectorum, & hanc ob cauſam à me dicuntur vltimæ &
perfectę, quia infinito nihil addi poteſt. Numerus angulorum rectorum circuli, eft
minor duplo infinito per duo infinita angulorum contingentiæ, quæ duo infinita mi
nora funt quouis angulo acuto rectilineo, & numerus angulorum rectorum
ſphęræ, minor eft quadruplo infinito per .4. infinita angulorum ſolidorum
tiæ
nis. Triangulus inter figuras planas ſuperſiciales eft primus, & circulus vltimus;
&
pyramis quadrilatera, inter corpora eft prima, & ſphęra vltima.
VBi Ariſtoteles ait ſcintillationem ſtellarum ſieriratione aſpectus @oſtri ob, ma
ximam diſtantiam, maximum errorem committit, vt etiam facid quum putat
vifionem fieri extramittendo, contra id, quod alio loco, immo contra veritatem ip
ſam afferuit. Scintillatio ergo ſtellarum, neque aſpectus noſtri ratione, neque ali-
cuius mutationis earundem ſtellarum, ſed ab inæqualitate motus corporum diapha
norum mediorum naſcitur,
ctum, & nos, aliquis ſumus, qui aſcendat, intercefferit, videbimus obiectum illud qua
ſi tremere. Hoc autem tantò magis fiet, quantò magis diſtabit obiectum ab ipſo fu
mo; vnde admirationi locus non erit, fi ftellas fixas magis ſcintillare, quam errantes
cernamus. Lumen ſtellæ ad oculum noſtrum accedens, perpetuò per diuerfas dia-
phaneitates penetrat, medio continuorum motuum corporum mediorum, vnde
continuò eorum lumen variatur, & hoc in
lis apparet, quemadmodum ab exemplo de fumo allato, & etiam ab aliquibus vi-
tris ex ſuperficie non plana, ſed irregulari conſtantibus, quilibet cognoſcere poteft.
OMnes hactenus ſenſerunt imposfibile eſſe dari per
tinuum &
finit: in quo
Imaginemur
parallelas .a.b. et .t.x.
b.a. fit
te, & in ea imaginemur pun
ctum .a. moueri continuò ad
quam voluerimus partem,
&
a. vnam lineam rectam .c.a. & inter duas parallelas dictas .r.x. fixam, & motus punct@i
fit ab .b. verfus .a. ita ut .c.a. fecet .r.x. in puncto .i. quod interfectionis punctum mo-
uebitur ab .r. verfus .x. continuò, in tempore infinito, neque vnquam idem erit cum
puncto .x.
JD nullo planè modo eſt admittendum quod Ariftoteles credidit calorem folis à
motu locali ipſiuſmet corporis folaris, & non à lumine, prouenire, quemadmo-
dum manifeftè aſſerit primo metheororum cap .3. circa finem fic fcribens.
Vtigitur repor gignatur atque calor, folis latio duntaxat, ſatis eſt eſſicere, & c. ſed
cap .7. lib. 2. de cælo fic ſeribit, Caliditas autem ab ipſis,
ab illorum motione fricatur.
Vbi non folum oftendit fe opinari, quòd motus corporum cœleſtium fit caufa ca
loris, ſed eriam luminis, paulò autem poſt dicit, ſuperiorum autem corporum vnum
quodque fertur in ſphæra, vt ipſa quidem non igniantur. Opinio profecto abfur-
da. Nam cùm corpus ſolate fixum fit in ſpisfitudine ſui orbis deferentis, fe-
cundum communem opinionem, non mouetur per fe, ſed accidentaliter, cum ſei-
licet fertur à dicto ſuo orbe, vnde fieri poteſt, vt in motu fui orbis, nullum ex
orbibus fuorum deferentium augis fricet, fed fi fricaret, id faceret mediante vno fo
lo puncto, vt cuilibet, aliquantulum in mathematicis verfato patet. Quam ob cau
ſam, rationi Quod
tamen fi posſibile eſſet, quid ergo fricatio ſuperficierum orbis ſui, cum iis, quæ funt
deferentium augis efficeret?
ficierum procederet calor, nil planè diferiminis inter hyemen, & æftatem intercede
ret, nec inter calorem diei, & noctis, nec inter unam horam, aut alteram; fed fecun-
dum Ariftotelis rationes, Venus,
cum ita ſint veloces vt ipſe Sol, & eodem magis propinqua terræ. Verum Ari-
ſtotelis
ſe. Atque etiam
cum huiuſmodi menſe ſolad nos propius accedat, quam menfe Iunii. per differen-
tiam maiorem diametro regionis elementaris, (nam folaris eccentricitas maior eft
ſemidiametro
loris, quæ naſcitur ex eo,
feratur; neque eam, quę à longitudine, aut breuitate diei proficiſcitur.
Sed quia Ari
ſtoteles eodem cap tertio Metheororum intelligit de motu rapto, ideſt diurno, ſiue
dicamus vniuerfali, hinc ſequi deberet,
Septembris, quàm aliis menfibus, profunderet, quia in iiſdem temporibus, ſol virtu
te huiuſmodi motus velocior exiftat, quàm alio quolibet tempore anni, cum tunc
per æquatorem circuũoluatur. Multa quoque alia incommoda ſequerentur ſi Ari
ſtorelis rationes admitteremus. Sed clarè uidemus, mediante refl exione aut refra-
ctione radiorum folarium,
atque omnis res ad comburendum apta accenditur, & inflammatur. In lumine igi-
quieſceret, neque in orbe ſuo circumager etur, infęliciſſima eſſet ea regio, in cuiu; Zenith ipſe reperiretur.
CVm capite ſuperiore oſtenderim calorem ſolis non aliunde, quàm à lumine
prouenire, oſtendam nunc ex ordine, ex quot,
differentia eius caloris æſtatis ad hyemem, quarum nonnullæ ab antiquis obſerua-
tæ fuerunt, aliæ autem à nemine, quod ſciam. Sunt autem quinque ad minus eæ cau
ſæ, quarum vna eft diuturna folis mora, tempore æſtatis ſupra orizontem, quæ cau-
ſa ab antiquis pofita, & citata fuit. Aliam quoque huius rei cauſam iidem antiqui
dicebant eſſe propinquitatem ſolis noftro Zenith, ſed hæc cauſa immediata non
eſt, quia ab ea tres caufæ immediatæ naſcuntur; quarum vna eft maior unio radij re
flexi cum radio incidenti; ſecunda maior quantitas luminis in ſuperficie terrę;
tertia, minor
quarta verò eft impresfio
caloris facta in terra, quæ cum aliis caufis coniuncta calorem adauget. quæ quidem
caufæ nemini adhuc, quod fciam, in Quòd autem attinet ad ma-
iorem coniunctionem radii reſlexi cum incidente, quiſque, uel ſaltem mediocriter
in cathoptricę cognitione verſatus hoc verum eſſe cognoſcet. Vt hoc tamen in-
noteſcat facilius. Imaginemur .q.p. et .b.d. eſſe duas particulas ęquales ſuperficiei
ipfius terræ, ſuper quas cadant duo radii luminofi ſolis .e.q. et .n.d. quorum .e.q. fit ad
modum obliquus, et .n.d. quaſi perpendicularis, vnde radii reſlexi .p.a. et .b.u. aſcen
dent cum angulis æqualibus eis, qui funt ſuorum cadentium, cum omnis angulus re-
flexionis femper æqualis ſit angulo ſuæ incidentię, vt cuilibet in cathoptrica, vel me
diocriter verfato pater. Mixtio autem primorum obliquorum erit .q.o.p. & ea, quæ
eft minus obliquorum .b.i.d. quorum duorum triangulorum nullus unquam erit, qui
dubitare posfit .q.o.p. non eſſe minorem .b.i.d. cum anguli .q. et .p. trianguli .q.o.p. a-
cutiores ſint angulis .b. et .d. trianguli .b.i.d. ex ſuppoſito. Quòd uero attinet ad ma
iorem quantitatem luminis ſuper terræ ſuperſiciem; Imaginemur radium .a.q. cuius
reſpectu etiam imagine mur duos ſuperficiei terræ ſitus, quorum vnus fit .q.o: cui di-
ctus radius fit perpendicularis, & alter .q.p. cui radius .a.q. ex obliquo incidat. Ima-
ginemur ergo triangulum .q.o.p. cuius angulus .o. rectus eſt ex ſuppoſito, unde .q.o.
minor erit .q.p. ex .18. primi Euclidis. hinc fit, vt ſuper .q.o. cadat vniuerſum lumen,
quod ſuper .q.p. diffunditur. Sit .q.u. æqualis .q.o. & fit imaginatione protracta .u.n.
æquidiftans .p.o.a. vnde .q.u. illuminata erit à radio .n.q. minore radio .a.q. ergo mi-
nus calida erit ſuperficies .q.u. ipſius terræ, quàm.q.o. quia maius lumen in ſe maio-
rem calorem includit: quod manifeſtè apparet in radiorum vnione mediante refle-
xione, aut refractione. Sed quod attinet ad minorem refiſtentiam vaporum ad ip-
ſum radium luminoſum, etfi primo capite meæ Gnomonicæ leuiter id attigerim, ni
hilominus tamen, & idem ipſum hoc loco proponam. Denotetur, exempli gratia,
ſuperficies terræ ab .o.g. et ea, quæ eft vaporum ab .n.a. ſupponatur etiam ſol in fitu.q. qui ſit Zenith
duos radios .q.o. et .p.o. Imaginemur, quorum duæ partes .a.o. et .n.o. erunt aliquo
modo ab ipſis vaporibus offuſcatæ, ſed .o.n. breuior eſt .o.a. ex .7. lib. 3. Eucli. mino-
rem ergo reſiſtentiam habebit à vaporibus ſol in Zenith, quàm extra cundem com -
morans, & quantò longius erit idem ab ipſo Zenith, tanto maiorem reſiſtentiam à
dictis vaporibus inferri ex eadem .7. lib. 3. Eucli. dicemus.
POſſe ſonum corpus aliquod, quod ſenſu ſit deſtitutum, vt Ariſtoteles .9. cap. li-
br .2. de cælo putauit, offendere, eſt falſum.
Corpus enim non niſi à corpore poteſt lædi, non ergo à ſono, cum ſonus corpus
non ſit. Sed aer, & ignis, cum è contra ſint corpora, hoc facilè præſtare poſſunt im-
plendo aliquem locum velociter ad excludendum vacuum; vnde generatur ſonus.
Quod hucuſque à nemine animaduerſum fuiſſe comperio.
SEnſerunt Pythagorici orbes cæleſtes dum circunuoluuntur, non autem corpora
ſtellarum ſolum, æd ere ſonu. Quibus dum Ariſtoteles contradicere cogitat,
maximè fauet. Eatamen opinio è phyloſophorum ſcholis eſt explodenda, quia aut
orbes ſunt ſibi ipſis contigui, aut inuicem diſtantes: ſi ab inuicem diſtant (quod
nemo adhuc conceſſit, quia hac ratione vacuum introduceretur) clarum eſt, quod
cum ſe minime tangant, ſonum edere nequeunt: Si verò eorum vnus alteri ſit conti
guus,
ſuperficies tam politas eſſe, ac lenas, vt nihil omnino aſperitatis, aut inæqualitatis
contineant. Vt exempli gratia, ſi aliquis duo ſpecula plana inuicem confricaret, nul
lum planè ſonum audiret, ſed ſi hoc faceret cum duabus ſuperficiebus a ſperis,
perſentiret, & tanto maiorem; quantò aſperiores eſſent dictæ ſuperficies, & qui vult
vtarcus lirę, ex corda ſonum eliciat, colophonia dictum arcum illinet, vt aſperiorem
reddat. Neceſſarium quoque eſt vt tremat ſiue trepidet corpus, quod
debet; Neque etiam abſque aere ſonus efficipotelt, quia aer ſonat ingrediendo
velociter ad implendum locum, vt non remaneat vacuus. Sed ſupponendo in æche
rea regione neque aerem eſſe, neque corpus aliquod fluidum, clarè patebit orbes
cœleſtes ex ſeſe nullum emittere ſonum. Idem affirmo de fricatione ſuperficiei con
cauæ infimi orbis lunaris cum conuexa materiæ à dicto orbe contentæ, ſuperioribus
rationibus fultus, vt etiam experientia à corpore aliquo fluido, quod in alio velociſ
ſimè moueretur deſumpta fretus, cuius corporis ſuperficies tamen lenis eſſet, à quo
ſonus non gigneretur. Et non minus dicere poſſum, corpus fluidum moueri in con-
tinente loco immobili, quam dictum corpus continens illud eſſe, quod moueretur,
& non fluidum corpus. Cuius rei poſſumus etiam exemplum habere à quouis
corpore perfectè rotundo, quod circa ſuum axem velociſſimè moueatur, nullum ſo-
num efficiet, quia nullam aeris partem extra ſuum
ſecundum totum, ſed ſecundum ſuas partes, quarum quælibet abſque reſiſtentia im-
mediatè ſubintrat locum alterius, abſque temporis interpoſitione. nec huiuſmodi
locum aliquo modo eadem materia dicti corporis, quod circunuoluitur: deſtitutum
dimittat. Sed ſi Pythagorici de alia quadam harmoniæ ſpecie ab ea, quæ eſt ſono-
rum, vt à diuerſis velocitatibus motuum, aut à diuerſis magnitudinibus aut diſtantiis,
aut ſtellarum influxibus intellexiſſent, rectè ſenſiſſent exparte, non autem omnino,
quia ea harmoniam efficere nequeunt, quæ ad
ca proportionata non ſunt, vt ſunt dupla, ſeſquial tera, ſeſquitertia, ſeſquiquarta, ſeſ-
quiquinta, ſupertripartientia quintas,
ideſt coniuncta ſunt cum duplis; de conſonantijs loquendo. de diſſonantiis idem di
co, quæ harmonicis inſeruiunt modulationibus, vt
masquintas.
fuiſſe, vt Prolomeus oſtendit, & alii quoque aſſerunt. ineſt tamen huic rei nonnihil
difficultatis. vt exempli gratia, ſi ſubtrahamus diateſſaron extra diapaſon, remanet
diapente, & ſi à diapente ſubtrahamus ſemiditonum, remanet ditonum (quæ duæ
pente, quia quemadmodum ſemiditonum, & ditonum ſimul coniuncta, compo
nunt diapente, ſic diateſſaron, & diapente ſimul vnita componunt diapaſon; &
admodum terminus, qui diuidit diapaſon in
monicus inter extrema diapaſon diuiſi, ſic etiam terminus, qui diuidit
miditonum, & ditonum, mediator eſt harmonicus inter extrema ipſius diapente diui
ſi) ſubtrahendo deinde à diapaſon ſemiditonum remanet exachordum maius, & ab
eodem diapaſon ſubtrahendo ditonum remanet exachordum minus, quę
accidunt aſpectuum circulo, quia ſubtrahendo aſpectum quadratum ab oppoſito,
remanet aliud quadratum, & ſubtrahendo ſextilem à trino remanet quoque alius
ſextilis. Quòd autem attinet ad motus, ad magnitudines, ad diſtantias, & ad influ-
xus, nihil eſt, quod hiſce proportionibus conueniat, ſed quia hæc omnia
ab
diſtantiæ, & influxus, talem ordinem, & reſpectum inter ſeipſa, & vniuerſum
qualis perfectiſſimus ſit.
ANtiqui Peripatetici de videndo in hyeme animalium halitu.
Id, quod in æſta
te non euenit, malè diſputauerunt, quia hoc naſciturà condenſatione hali
tus, quę ab ambiente frigore fit. quia halitus is abore, aut naſo animalis
non eſt purus aer attractus primò, ſed mixtus eſt cum quodam vapore excrementi-
tio, & ſubtili, quo ſemper ab ea parte
cundatur, & denſatur, quam ob cauſam ab ipſo ea luminis pars reflectitur, quæ eum
penetrare non poteſt, quod in hypocauſtis, Idem
exemplo ab aqua ſtatim à ciſternis, aut profundis puteis in hyeme extracta compro
bari poteſt, quia tunc temporis, huiuſmodi aqua, cum magis calida ſit, quàm fri-
gida, emittit vaporem, qui facillimè videtur, ob rationem iam dictam, quod
in æſtate non cernitur in aqua, etſi ea magis calida eſſet, quam ea, quæ in hyeme
hauritur.
Ratio autem, quam ab antiperiſtaſi deſumptam citarunt iidem ad inquirendum,
cur aqua ſubterranea magis calida, aut minus frigida, hyberno tempore, quàm ea,
quæ eſt ſupra terram ſit, vana eſt, quia hoc non aliunde fit, quàm ab eo,
ri à frigoris ſiccitate ſint clauſi, vnde vapores & exalationes non tam facilè exire poſ
ſunt. quamobrem calefiunt ſubterraneæ partes.
Fimum, fœnum, frumentum hac in
re ſunt nobis exemplo, in quibus ſępiſſimè viſum eſt ignem accendi.
Priore illa quoque ratione de antiperiſtaſi dicta, volunt philoſophi maiorem ca-
liditatem hyęme, quàm ęſtate in animalium ſtomacho contineri, non animaduerten
tes ſiccitatem, frigiditatis partes ſuperficiales corporis,
ſus originem ſuam impellere, qui in eo loco copioſior cum ſit, eas partes tunc tem-
poris calefacit magis.
Neque etiam ijdem nouerunt cauſam, vnde fiat, ut in æſtate impleto vaſe vitreo,
aut argenteo, aut ex materia non poroſa conſtante, aqua frigida, vas ſudet, quod
eandem aquam, quæ per porros vaſis exiret, quod falſiſſimum eſt, quia ſi per porros
aqua frigida exiret multò magis exiret calida, cum ſubtilior ſit, & ad penetrandum
aptior. Sed hoc non aliunde oritur, quàm à condenſatione aeris vas circundantis,
cauſata à frigiditate vaſis refrigerati ab aqua, quemadmodum tempore hyberno
clarè videmus mane ſuperficies interiores vitri feneſtrarum ſudare, quia
frigus refrigerando vitrum, intrinſecum aerem ſibi contiguum congelat.
Neque ſilentio inuoluendum eſt, nec Ariſtotelem, neque alium ex ſuis fautoribus
animaduertiſſe denſum, & rarum eſſe cauſam ventorum.
diante calore & frigore fit, & ſi à partibus, in omogeneis, licet
deducat conſequentiam qui velit, obſeruans in calidis æſtatis diebus, dum aliqua nu
becula ad Solem cooperiendum incedit, ibi ſtatim agitationem aeris ſentiri; ea verò
nubecula prætergreſſa cum fuerit, & in ea parte, aer ad priſtinam raritatem cauſa-
tam à calore Solis redierit, quieſcit; huiuſmodi autem aeris agitatio, à nulla certè ex
halatione proficiſcitur, ſed à motu ſolum locali, quem dum condenſatur, facit. Om
ne denſum natura ſua frigidum eſt; omne rarum calidum, & è conuerſo.
Et frigida
aura, quæ à flabellis cauſatur, non ſolum à nouo aere qui nos tangit, ſed etiam à den-
ſo, quod in agitatione eiuſdem aeris fit, naſcitur.
Cum autem de raritate & denſitate diſputationem ſuſceperim, non ſine ratione
mihi
quàm aliquas partes rariores aliis eiuſdem Lunæ partibus, non obſeruantes rarum, &
denſum, proportionabilia lumini, quod ab huiuſmodi corporibus reflectitur, non eſ
ſe. quia corpus aliquod rarum aliquando aptum erit ad reflectendum maius lumen,
quàm corpus minus rarum ut manifeſtè apparet à nubibus reflecti lumen: quod
ab aere non fit. Non defuerunt qui contrarium dixerunt, ideſt, eas Lunę partes, den
ſiores eſſe; neque unquam aliquis fuit qui de diaphano, aut opaco mentionem fece
rit, quia melius eſt credere, eas partes diaphanas, ſiue perſpicuas magis eſſe, quàm a-
lias, quę per aliquod ſpatium, ſolis radio ingreſſum permittant, & alię partes
opacæ ipſum à ſuperficie reflectant. diuerſa tamen ratione à ſpeculo, cum in pleni-
lunio tota ferè Lunę pars illuminata cernatur, quamuis dictum lumen extenſiuè & in
tenſiuè ſit minus eo, quod ipſa in nouilunio recipit. Indignum autem mihi videtur
ijs reſpondere, qui dixerunt huiuſmodi maculas, terræ vmbras exiſtere, cum craſſiſſi-
mæ ignorantiæ tenebris ſint circunfuſi, vt
occulta philoſophia dicens ſe noſſe modum
tum, quo in Luna id totum, quod ipſe ſuper ſpeculum ſcripſiſſet, videretur. oſtendit
manifeſtè ſe ignorare luminum quia nulla vnquam vmbra ge
nerari poteſt à corpore, quod aut opacum non ſit, aut officio opaci non fungatur,
vt nunc dicemus de diaphaneitate aquæ. Neque corpus opacum illuminatum
brare
luminatum extenditur. Neque etiam reſpondebimus ijs, qui ſentiunt quotieſcun-
que nulla eſſet terra, ſed totus hic globus eſſet aqua, toties non futuram eclipſim lu-
narem, ratione diaphaneitatis aquæ. Quod
ricum
frangit, & eos ad inuicem interſecare facit, qui deinde vltra interſectionis
ſgregantur, ita vt amittant illuminationis actum. Adde
aqueum, ſphęricum non eſſet, ſed cubicum, illud ſuper
ad angulos rectos radius ſolaris percuteret, non eum tamen penetraret, quia dictus
radius perpetuò debilitatur, & eò magis, quo maiorem profunditatem in diaphano
ingr editur, cum ab eius ſuperficie magna pars reflectatur. Reſiſtit ergo huiuſmo-
di corpus lumini, & quantò magis ſpiſſum aut profundum exiſtit, tantò, validius reſi
ſtit. Habemus huius rei teſtes, piſcatores vnionum, in ijs mundi partibus, quæ pau-
cis ab hinc annis Hiſpanorum opera nobis innotuerunt, qui aſfirmanu ad maris
fundum lumen Solis non peruenire.
Immediata ratio, cur nebulę in ijs locis in quibus
altiores, nunc vero depręſſiores cernantur, non ea eſt, quam Ariſtoteles cap .3. lib. 1.
metheororum proponit, ſed inde oritur, quòd ſint eædem denſiores ea parte aeris,
quæ ipſis ſupereminet, & rariores e a, quæ ijſdem ſubiacet. Quòd autem alicuius cor
poris denſitas maior ea, quæ eſt medij, in quo reperitur, cauſa ſit, vt ipſum corpus de
ſcendat, & maior raritas eiuſdem corporis, ea, quæ eſt quoque me dij, efficiat, vt di-
ctum corpus aſcendat, iam Archimedes in lib. de inſidentibus aquæ docuit.
(intelligendo ea loca orbicularis figuræ) quæ ad centrum propius accedunt, & rario
ra ad ampliora loca, & maius ſpatium occupantia, ſeſe reciperent. tum quia eadem
quantitas materiæ condenſatæ, eget minori loco quam rarefacta,
corpus denſum non ita ad velocitatem motus localis, vt rarum, idoneum ſit, ad eas
partes accedat, quæ motibus tardioribus magis ſunt aptæ, corpora
quæ velocioribus motibus ſunt aptiores ſeſe transferant. præterquam
pareat pro maiori parte, corpus magis denſum, minus diaphanum; aut magis
futurum, quàm rarum, licet ſæpiſſimè videamus contrarium, vt ſuperius innuimus. eſt tamen naturale
quàm è contra. Quamobrem ſumma ratione inducta natura voluit, vt corpora ma
gis opaca, aut minus diaphana, magis vicina centro colligantur, vt ſpatium, quòd re
manet, abſque vllo impedimento à radijs ſolaribus penetrari poſſit. Tres autem eæ
cauſæ, quas hoc loco poſui, propriæ ſunt, immediatæ, & per ſe, ex quibus fit, vt corpo
ra denſiora deſcendant, & rariora aſcendant in mediis minus denſis, aut minus raris
dictorum corporum, quæ à nemine,
Qui autem aſſerunt cucurbitæ, quam apponunt chirurgi, effectum ex eo naſci,
calidi ſit attrahere, valdè aberrant à vero quia hoc, non niſi à raro, & à denſo imme-
diatè, à calido & frigido cauſatis efficitur, quia aer in cucurbita rarefactus à calore
& per conſequens dilatatus, ſtatim vt à dicto calore deſeritur, iterum condenſatur &
tantò citius, quantò aer ambiens frigidior exiſtet, & quia eadem materia cum con-
denſata fuerit minorem ſemper occupat locum, reſtringens igitur ſeſe in cucurbi-
ta aer dum condenſatur, neceſſariò fit, ne ulla, ſcilicet pars vacua remaneat,
alius aer ingredi cucurbitam nequeat aliud corpus ingrediatur. Idem cum amphora
in qua nullum aliud, quam aèreum ſit corpus experiri poſſumus, ſi
mò calefactam, deinde vino, aut aqua
pleno vbi videbimus huiuſmodi liquorem ſtatim ſurſum ferri, quia dum calefit am-
phora, rarefit quoque aer qui in ea continetur, & quia rateſcit dilaratur, & quia
dilatatur, eget maiore loco; & ideo magna pars eius foras exit;
Cum verò ea aeris
portio, quæ intus remanſerit, iterum condenſatur ob defectum caloris, reſtringitur, Quod cum ita ſe habeat, neceſſarium eſt, ne aliquis locus va
cuus remaneat, vt aliud quoddam corpus ingrediatur, cum ad
patuerit aditus. quod ſi corpus admodum non erit fluxile, aut humidum, ita vt ingre
di amphoram poſſit ita amphorę hærebit, vt non cito diuelli poſſit, & eo modo ſępe
Sed vt ad denſum & ad rarum redeamus, mihi videtur frigidum eſſe conſequentem
qualitatem denſi, & calidum rari, quia quæuis res dum calefit, rarefit, & quælibet
materia dum refrigeratur, ſimul condenſatur. Qua ratione fit, vt terra frigidior
ſit aqua, & ignis calidior ſit aere.
Nec propriè locutus eſt Ariſtoteles .9. & .10. capite primi lib. & ſecundo ſecundi
metheororum cum dixerit
hat, quia Sol nil aliud facit, quam calefacere, cuius caloris ratione, ea materia rarefit,
& ob rarefactionem leuior facta aſcendit, non quia ſurſum à Sole feratur.
Quę ſubſequuntur, cum raro ac denſo ſimbolum habere videntur.
cum raro, ſcili-
cet calidum, humidum, leue, ſublime, diaphanum, lumen, clarum, lux,
tus, velox, ſimplex, diſgregatum, molle, lene, acutum, ſubtile, coctum,
dulce, voluptas, audacia, lætitia, liberalitas, veritas, induſtria, amor, miſericordia, hu-
manitas, ſanitas, vita, & iis ſimilia. Cum denſo verò frigidum, ſiccum, graue, imum,
opacum, vmbra, obſcurum, tenebræ, nigrum, nox, quies, tardum, mixtum, congrega
tum, durum, aſperum, ob tuſum, craſſum, crudum, anguſtum, amarum, dolor, cimor,
& ijs ſimilia.
Verum eſt quod ea ratio, qua Ariſtoteles ait aerem humidum eſſe, parui eſt mo-
menti, quia ſimiliter deigne inferri poſſet, qui facilius à termino alieno,
aqua terminari poteſt.
SEd vt ad
comparabilem non eſſe .4. cap. lib. 7. phyſicorum, vbi errat quoque dicens repe
riri non poſſe lineam aliquam rectam alicuius circuli circunferentiæ æqualem. quia
Archimedes iam probauit in lib. de quadratura circuli, triangulum illum orthogo-
nium, cuius vnum ex lateribus circundantibus angulum rectum æquale eſſet ſemi-
piametro alicuius circuli, & aliud circunferentiæ, æqualem futurum dicto circulo. Il
lud igitur triangulum orthogonium, quod æquale erit alicui circulo, & habebit ali-
quod ex ſuis lateribus circundantibus angulum rectum æquale ſemidiametro dicti
circuli, aliud quoque latus ipſum angulum rectum circundans, ex neceſſitate,
ferentiæPoteſt igitur dari vna quædam recta linea
qualis
quod ſcripſit de relatiuis, cum dixit quadraturam circuli poſſe quidem dari, etſi Si
recta linea ęqualis circunferentiæ Sed ſi Ariſt.
dixiſſet, circularem corporum cęleſtium motum, comparabilem non eſſerecto cor-
porum elementarium, verum dixiſſet, non quia eorum alter circularis, alter ve-
rò ſit rectus, ſed quia cœleſtis regularis ſit, neque modò tardus, modò velox,
ſed vnam ſemper & eandem velocitatem retinens,
rectorum, qui naturales dicuntur, qui tam velociter moueatur, ut motus cœli, quia ſi
voluerimus conſiderare motum diurnum .24. horarum, ſecundum opinionem com-
munem, reperiemus calculando, Lunam in quadraturis cum Sole, dum inuenitur in
æquatore, ſingulis horarum minutis moueri per .500. milliaria Italica vel circa, & in
coniunctionibus, & oppoſitionibus ipſius Solis .1000. vel circa, & Solem tempore
quinoctiorũ
fixis circa æquatorem poſitis quiuis cogitet; quod reuera diffi cillimum quibuſdam
videbitur, quod quidem non occurrit
nionem, diuinitus à Nicolao Copernico expreſſam, contra quam nil planè valent
rationes ab Ariſtotele; neque etiam à Ptolomeo propoſitę.
Motu verò proprio, quo
libet horę minuto, Sol Luna
poſita reperitur Soli .36. milliaria, & in quadraturis .18. Saturnus .24. Iupiter .40:
Mars .100: Venus .26: Mercur .5. Sed Saturnus motu rapido, vno horæ minuto
uet̃
10000, Mercurius .2000. corpus
& velocius etiam corpore cęleſti, non obſeruans
leſte facit, cum eodem nullo modo comparari poſſet, quia rectus dictus naturalis,
ſuam ſemper velocitatem adauget, ob continuam impreſſionem, quam recipit à cau
ſa perpetuò coniuncta cum ipſo corpore, quę eſt propenſio illa naturalis eundi bre-
uiori quadam via ad locum ſuum, ita vt etiam ſi dictum corpus elementare à motu
tardiore ad velociorem, ſuperare poſſet
interſecarent ſeſe in vno ſolo
non niſi in vno ſolo temporis inſtanti redderentur æquales, vt ita dicam.
loquor de circulari cœleſti cum recto elementari, ſed de qualibet alia motuum ſpe-
cie, ſiue ſint ambo recti, ſiue ambo curui, quando aliquis eorum irregularis erit.
MAior ratio, qua Ariſtoteles eorum opinionem, qui plures eſſe mundos dixe
runt, refutare nititur, in eo conſiſtit, quod is credat partes terræ, quæ alijs
mundis aſſignarentur, ad huius mundi centrum inclinationem habere, & ſic ignem
illorum, propenſionem habiturum ad circunferentiam huius.
Quæ certè ratio tam debilis eſt, vt per ſe cadat, non conſideransipſe, quòd ſi
eſſent dicti mundi, eorum quilibet ſuum proprium centrum,
cunferentiam haberet, vt
exempli gratia, ſi doctiſſimi Ariſtarchi opinio eſt vera, rationi
erit maximè, vt quod Lunæ contingit, cuilibet
niat, ideſt, vt quemadmodum Luna ſuorum epicyclorum ope
quaſi per circunferentiam alterius cuiuſdam epicycli, in quo terra ſit inſtar centri
naturalis (ideſt ſit in medio) delati ab orbe annuo circa Solem; Sic etiam Saturnus,
Iupiter, Mars, Venus, atque Mercurius, cir cum aliquod corpus in medio ſui epici-
quod quidem corpus, & aliquem quoque ha-
beat motum circa ſuum axem, ſit opacum, ijs conditionibus, quæ terræ ſunt ſimi-
les, præditum exiſtat, & in dicto epyciclo ſint res ſimiles iſtis lunaribus.
ARriſtoteles ſecundo lib. de anima ſentit
mẽQuod veriſimile
dum&
tòſic
tò magis diaphanum eſt, cum ex perexigua materia conſtet, tantò magis liber tran-
ſitus luminis patet; Vnde quantò minor quantitas materiæ erit in dicto ſpatio, tan
tò nitidius pertranſibit lumen. Sequitur ergo, quòd vbi nulla eſſet materia, totum
lumen libere tranſiret. Color cęruleus quem videmus in profunditate aquæ, & ae-
ris, color eſt a quæ & aeris, qui denotat reſiſtentiam factam ab aere & ab aqua ipſi lu
mini; Quod quidem lumen ubi corpus aliquod non eſſet, minime reflecteretur, ſed
abſque vllo impedimento rectà tranſiret.
ARiſtoteles .8. cap. lib. 3. de cœlo, diſputans contra antiquos de elementorum
figuris, ait pyramidem implere poſſe locum corporeum. quod verum non
eſt. Cubus quidem id facit ab .8. enim cubis perfectè impletur locus, ſed non
item .12. pyramides, ut Ariſtoteles ſenſit (ideſt ſex ſuper aliquam exagonam figu-
ram ſuperficialem & ſexſub eadem) id præſtant, cum potius maius vacuum rema-
neatad quamlibet partium ſupra, & infra, quam plenum. Rectius Ariſtoteles
egiſſet, ſi probaſſet ratione immobilitatis conuenire pyramidem terræ, quam cu-
bum. quamuis, de horum corporum altero, ſit ſtultum hoc credere.
decepti tamen
fuerunt antiqui, credentes cubum ad motum minus idoneum eſſe, quam reliqua
quatuor corpora regularia (loquor autem habita volubilitatis ratione) quia pyra-
midale eſt illud, quod ita ſe habet, vt multis rationibus probari poteſt, quarum vna
hæc nobis ſufficiet. Scimus iam ex communi conceptu corpus ſphęricum eſſe ma-
gis volubile, Illud ergo corpus, cuius figura ad ſphæri-
cam magis accedet, ad uoluendum, & ad mouendum facilius erit quouis alio, quod
æqualis ſit quantitatis, & ſibi omogeneum materia, vt exempli gratia corpus .20. ba
ſium ad voluendum, & ad mouendum promptius erit eo, quod ex .12. conſtat, & id,
quod eſt .12. eo, quod eſt .8. & id, quod eſt .8. eo, quod eſt .6. & id, quod eſt .6. vt
cubus eſt, eo, quod eſt .4. cuiuſmodi eſt pyramidale. Huc accedit, quòd pyrami-
dale corpus aliam conditionem habet, quàm cubicum, cum in quauis facie inalte-
bos
ARriſtoteles textu .22. primi lib. de Cœlo ita inquit.
Accidit autem, & hoc per ſenſum ſufficienter, quo ad humanam dixiſſe fi-
dem, & omni pręterito tempore ſecundum traditam inuicem memoriam, nihil vi-
detur tranſmutatum neque ſecundum totum vltimum cęlum, neque ſecundum par-
tem ipſius propriam vllam.
Hoc autem in loco Ariſto. non conſiderauit,
do ipſa ita eminus proſpiceretur, imo abſque dubio putandum eſt,
lis prædita eſſet, & aliquis ipſam ab octauo orbe vellet videre, nullo pacto cerne-
ret, cum ſidera illa quæ primæ magnitudinis vocantur, & quæ pluſquam centies ma
iora ip
QVamuis omnia libri quinti Euclid. uerißima ſint.
Animaduertimus tamen permultos ſumma
difficultate Prœ
cipuè ubi quint a, aut ſeptima deffinitiones eiuſ-
dem libri neceſſariœIllœ enim adeo obſcurœ
uidentur, ut longè facilius admißuri ſint hœc no-
ſtra poſtulat at anquam clarior a. At que etiam tanquam intellectui
commodiora, quam ſit illud quintum
eiuſdem in primo libro poſitum, de line a duas alias ſecante. Quan-
doquidem
facillima reddentur.
æqualia.
Vtſi quis diceret omnes proportiones quæ
rum proportionum inuicem æqualium, ſunt etiam inuicem æquales, quod Eucli-
des conatur demonſtrare in .22. et .23. quinti libri.
partes inuicem æquales.
Et è conuerſo ſi æqualibus æqualia addas compoſita erunt inuicem æqualia.
Quod in ipſis proportionibus hoc loco ſemper intelligendum eſt.
ſorum ad alium tertium terminum maiorem, minoremúe, ſed eiuſdem generis, erit
cadem quæ cuiuſuis alterius termini ad eundem tertium. Et è conuerſo, quæ fuerit
proportio tertij termini ad vnum prædictorum æqualium, eadem erit, ſpecie, cum
alio eorundem terminorum.
quo tertio eiuſdem generis, eadem fuerit cum ea quæ eſt cuiuſuis alterius dictorum
terminorum cum eodem tertio, aut proportio dicti tertij, cum aliquo dictorum, ea-
dem fuerit cum ea quæ ipſius eſt ad aliquem alium eorundem
modi termini, æquales erunt inter ſe.
rentur alicui tertio eiuſdem generis, proportio maioris adtertium illum, maior erit
ea, quæ eſt minoris ad prædictum tertium, & proportio illius tertij ad maiorem, mi-
nor erit ea quæ eiuſdem tertij ad minorem terminum comparati.
tium, maior fuerit proportione alicuius alterius dictorum cum eodem tertio, primus
ille terminus, altero maior erit. Et quoties proportio tertij termini ad vnum
ad alterum terminum maior fuerit, eiuſmodi terminus altero minor erit.
que inter ſe ſunt æquales. Vtillud, Quæ vni & eidem ſunt æqualia, ſibi inuicem
ſunt æqualia.
pluribus conſequentibus, æqualis fuerit ei cuiuſuis alterius dictorum
cum ſuo plurium
to aggregato conſequentium, dictæ primę proportioni ęqualis erit, nempe illius an
tecedentis ad ſuum conſequens.
lium, tertia aliqua proportione, maior aut minor fuerit, quælibet prædictarum æqua
lium inter ſe, tertia illa proportione maior aut minor pariter erit.
ſiuncti ſint) æquales ſinguli vni tertio termino; ex altera verò parte totidem fuerint
alteri tertio termino æquales, proportio aggregati priorum terminorum ad
tium, æqualis erit proportioni aggregati reliquorum terminorum ad ſuum tertium,
& è conuerſo, ita ſe habebit primus tertius terminus ad ſuos multos terminos, ſicut
ſe habet ſecundus tertius terminus ad ſuos ſimul ſumptos.
Aggregatum ex partibus proportiona litatis continuæ, quod inter maximum, &
minimum terminum omnium terminorum proportionalium compræhenditur, ſem
per multiplex eſt ad ſingulas partiales proportiones, ex quibus ipſum componitur.
Quæuis proportio quocunque modo diuiſa fuerit, ex iis partibus componitur, in
quas diuiditur.
Cum enim bæ præpoſitiones ſint ita conſpicuæ ipſi intellectui, ut
ct a ipſius intellectus connumerari poſſint, nullus ſanæ mentis eas negabit.
PRimum, ſecundum, & tertium theorema quinti Euclidis ab ipſo ſatis exactè de
monſtratur, ſtudioſus itaque autorem conſulat.
QVartum vero Theorema Eu-
ſit, verbi gratia, proportio .a. ad .b.
quæ eſt .c. ad .d. ſumptis multiplici-
bus .e. et .f. ad .a. et .c. æqualiter, item
multiplicibus .g. et .h. ad .b. et .d. dico
proportionem .e. ad .g. eſſe eandem
quæ eſt .f. ad .h. Habemus enim ex .10
poſtulato præmiſſo, eandem futuram
proportionem .e. ad .a. quæ eſt .f. ad .c.
& ita .b. ad .g. quæ eſt .d. ad .h. ex præ-
ſuppoſito verò
b. ſicut .c. ad .d. erit ex primo poſtula-
to
ad .h. Nam proportio .e. ad .g. compo
nitur ex eis quæ ſunt .e. ad .a: et .a. ad .
et .d. ad .h.
THeoremata à .6. in .13. cum ſint de obiectis intelligibilibus, ſine vllo medio,
ab intellectu cognitis, inter axiomata à me relata fuerunt .7. inquam quinti
Euclid. fecimus tertium Poſtulatum, .8. quintum, .9. quartum, .10. ſextum, .11. ſepti
mum, .12. octauum, .13. nonum.
QVartumdecimum Theorema ex Euclide demonſtrabitur, mutatis tantum
theorematibus ab interprete notatis, ita vt loco .7. 8. noni, & decimi citetur
tertium .5. 4. et .6. poſtulatum à me propoſitum.
QVintumdecimum Theorema ſic demonſtrabo;
Sit, exempli gratia, a. termi-
nus antecedens. et .b. conſequens, qui-
bus duo multiplices ſumantur .c. et .d. Dico
quam .a. ad .b. habet. In primis enim manife-
ſtè patet quamlibet partem ipſius .c. habitu-
ram eandem proportionem cum qualibet par
te .d. quam habet .a. ad .b. quare ex .7. et .8. po
ſtulato propoſitum eluceſcet.
SExtumdecimum theorema ſic demonſtrabitur.
Sit, exempli cauſa, eadem pro
portio .a. ad .b. quæ eſt .c. ad .d. Dico
Cogi-
temus itaque alterum iſtorum terminorum .c. aut .b. medium inter .a. et .d. quare
primum intelligamus .b. inter .a. et. d proportio ipſius .a. ad .d. componetur ex ea quę
eſt .a. ad .b. & ea quæ eſt .b. ad .d. ex .12. poſtulato. Et ex eodem, illa ipſa proportio .
a. ad .d. pariter componetur ex ea quæ eſt .a. ad .c. & ea quæ eſt .c. ad .d. ſumpto .c. pro
medio termino. Ex quo ſequitur, aggregatum duarum proportionum, videlicet .a.
ad .b. et .b. ad .d. æquale eſſe aggregato .a. ad .c. et .c. ad .d. ex quibus aggregatis æqua-
libus ſi duas proportiones æquales ſubtraxerimus, eam videlicet quæ eſt .a. ad .b. & il
lam quæ eſt .c. ad .d. ſupererunt duæ proportiones
inter ſe æquales. erit enim proportio .a. ad .c. æqua
ſtulati diuiſim.
Alia etiam ratione idipſum
ſumpto .b. pro medio termino inter .a. et .c: et .c.
pro termino medio inter .b. et .d. quare propor-
tio .a. ad .c. componetur ex .a. ad .b. et .b. ad .c. illa
verò quæ eſt .b. ad .d. ex .b. ad .c. et .c. ad .d. ex .12.
Sed cum proportio .a. ad .b. ęqualis ſit
tio. itaque .a. ad .c. æqualis erit .b. ad .d. ex ſecunda
parte .2. poſtulati compoſitè, & ſic habebimus pro
poſitum, ita quòd quotieſcunque
titates ex una parte proportionales, illæ ipſæ ex
altera proportionales erunt.
DEcimiſeptimi theorematis hæc eſt demonſtratio.
Ita ſe ha beat a.c.b. ad .c.
b. ſicut ſe habet .d.f.e. ad .f.e. Probo ita ſe habere .a.c. ad .c.b. ſicut ſe habet .d.
f. ad .f.e. Cogitemus itaque alterum terminum ſcilicet .n.f. qui ſic ſe habeat. ad .f.e.
ſicut ſe habet .a.c. ad .c.b. Quare ex præcedenti theoremate ita ſe habebit .a.c. ad .n.
f. ſicut ſe habet .c.b. ad .f.e. & ex .8 poſtulato ita ſe habebit .a.c.b. ad .n.f.e. ſicut ſe ha-
bet .c.b. ad .f.e. Sed cum ex præſuppoſito ita ſe habeat .a.c.b. ad .c.b. ſicut ſe habet .
d.f.e. ad .f.e. ideo ex præcedenti theoremate ita ſe habebit .a.c.b. ad .d.f.e. ſicut ſe ha
bet .c.b. ad .f.e. demonſtratum autem eſt ita ſe habere .c.b. ad .f.e. ſicut ſe habet .a.c.b.
ad .n.f.e. Quare ex .7. poſtulato proportio .a.c.b. ad .d.f. e, æqualis erit proportioni .a.
c.b. ad .n.f.e. & ex .4. poſtulato .d.f.e. æqualis erit .n.f.e. Itaque ex 3. poſtulato primi
Euclidis .f.d. æqualis erit .n.f. Quamob
rem proportio .a.c. ad .d.f. ęqualis erit
te tertij axiomatis præmiſſi. Igitur ita
ſe habebit .a.c. ad .d.f. ſicut .c.b. ad .f.e. ex
7. poſtulato. & ſic ex præcedenti theo-
remate ita ſe habebit .a.c. ad .c.b. ſicut .d.f. ad .f.e. quod erat propoſitum: Quotieſ-
cunque igitur dabuntur .4. quantitates coniunctim proportionales, diuiſim quoque
proportionales erunt.
THeorema .18. hac ratione demonſtrari poteſt.
Detur proportio .a.c. ad .c.b. ſi-
milis ei quæ eſt .d.f. ad .f.e. probo ita ſe habere .a.c.b. ad .c.b. ſicut ſe habet .d.f.
e. ad .f.e. In primis notum eſt ex .16. theoremate ita ſe habiturum, a.c. ad .d.f. ſi
cut .c.b. ad .f.e. Quare ex .8. poſtulato ita
ſe habebit .a.c.b. ad .d.f.e. ſicut .c.b. ad .f.e.
Itaque ex .16. theoremate ita ſe habebit .
a.c.b. ad .c.b. ſicut .d.f.e. ad .f.e. Quod erat
propoſitum. Quotieſcunque igitur .4.
quantitates dabuntur vnius
ctim quoque proportionales erunt.
THeorema .19. ſatis quidem apud Euclidem demonſtratur:
eius tamentertia
pars commodius hac ratione demonſtrari poterit (nempe) quod cum ſit pro-
ſe habet .d. ad .c. hoc argumento: ſi .a. ad .b. ita ſe
habet ſicut .c. ad .d. ex .16. theoremate ita ſe ha
Quare ſic ſe habebit
b. ad .d. ſicut .a. ad .c. Itaque ex eodem .16. ita ſe
ſe habebit .b. ad .a. ſicut .d. ad .c.
QVamuis .20. theorema apud Eucli. perfectè demonſtratum fuerit, poteſt ni-
hilominus & hac via demonſtrari. Sic ſe habeat proportio .a. ad .b. ſicut ſe
habet .c. ad .d. & proportio .b. ad .e. ſicut .d. ad .
f. Dico
f. ſin verò ęquale, Nam ex pri
mo poſtulato certi ſumus ita ſe habere pro
p. Quare ex .12. theor
VIgeſimum primum theorema, ſatis apud Eucli. probatum, nihilominus præ-
ſcripto nunc modo demonſtrari poterit.
DVO hæc theoremata in primum poſtulatum collegimus.
Sequentia verò cum exactè apud Eucli. demonſtrentur non eſt cur nos in
ijs immoremur.
VT Nilmagis virtutis eſt proprium, quàm
agitari, & inceßabili motu prodeße. Ac velu
ti fulgidum ſydus ante oculos
micare. Ita mihi mathematicis
mè philoſophicis ſpeculationibus dedito, ſapiſ-
ſimè, ut in principium ſummorum aulis, &
amplißimis ciuitatibus degenti, ubi multa ſem
per Nobilium mir a curioſitate, ſciendi deſiderio, & conferendicu
piditate referta, uerſantur ingenia, contigit, modo ab his, modo ab
illis, aut uerbis tentari, aut literis prouocari ad diſſerendum, de
his, in quorum ſtudijs uerſamur. Quarum concertationum & re
ſponſionum, quoniam non omnino indigna exiſtimaui, quæmemoriæ
comendarentur, partem aliquam apud me conſeruaui. Vbi uerò
per ocium licuit, collegi, relegi, ac tandem de manu mittere decreui. Tum ut ſcientia ipſa quo magis diffundetur, creſcat;
& quicquid
ualeo, ſine inuidia in communem utilitatem conferam. Tum ut ui-
rorum præctantiβimorum, qui me ſuis interrogationibus excitaue
runt, quantum in me erit, gratitudinis ergo, nomina reddam im-
mortalia, & eorum exemplo alios, ocio ſordidiore abiecto, quod ſolet
ourialium præcipuè excelſa ingenia corrumpere, ad ſciſcit andum
conferendum, & diſſerendum, derebus
do eße poßint, & Tuinte-
rim nostris laboribus fruere, & nostram diligentiam boni, & æqui
conſule, & Vale.
N. Gregorij XIII. Pont. Max. quod ad me nuper tua Celſitu
do miſit ex Nicea, vt meam de ea re ſententiam proferrem,
delectatus ſim; ex quo, non tantum recta illius mens ac verè
ſancta cogitatio, ſed etiam aperta
poteſt; qua de re memini cum Celſitudine tua aliquando ſer-
monem habuiſſe. Vidi præterea cum ipſo breui tranſ-
miſſum compendium Domini Aloiſij Lilij: cuius mihi ſententia perplacet, de corre
ctione eius diei, qui 134. quoque anno præter, neceſſitatem, gignitur. qui ſanè dies
perpetuæ retrogradationis ingreſſus Solis in Zodiaci ſigna, cauſa fuit. quod ita per-
ſpicuè patebit. Cum Numa Pompilius anni curſum correxit
mente id videtur præſtitiſſe, vt principium Ianuarij primi menſis anni, præcisè in ip
ſo hyemalis ſoltitij puncto collocaretur. quod hac tempeſtate, dictam ob cauſam
adeò retroceſſit, vt circa vndecimam diem Decembris eſſe reperiatur. quod ſi cen-
teſimo trigeſimo quarto quoque anno detractus dies vnus fuiſſet, nihil erroris pror-
ſus accidiſſet.
to quoque anno addentes nos ad quarti anni dies .365. diem horarum .24. ob erro-
rem annuum horarum quinque minutorum .49. ſecundorum ferè .16. (anni æqualis
ſiue medij) fallimur quarto quoque anno in minutis .42.
quàm par ſit minutis ſcilicet .10. ſecundis ferè .44. ſingulis annis; qui numerus .134.
multiplicatus, diem penè horarum .24. conſtituit; penè inquam, quia minutum
deeſſet
ſent atque perfecta; quæ tamen differentia nullius adeo eſſet momenti, aut certè pe-
rexigui, vt vix exactis .111086. annis, diem vnum afferret.
eiuſmodi eſſet emendatio, Lilio oſtenditur, prout etiam Pe-
trus Pitatus Veronenſis tradidit, in eo, quem de vera anni quantitate tractatu con-
ſcripſit, nempe vt tribus primis centeſimis annis, centeſimus quiſque annus commu-
nis ſit, quartus ſubſequens centeſimus intercalaris: quod ſanè fierineceſſe eſt.
Nam
non enim centeſimo quoque anno, ſed centeſimo trigeſimo quarto, dictus dies de-
trahi debet, poſtquam tres integros dies, qui quadringentis detrahendi erant, tre-
centorum annorum ſpacio detraxerimus; ſitq́ue 134. penè tertia pars .400. quarto
annorum centenario, tres quartæ diei partes recuperabuntur; atque ita in fine qua-
dringentorum annorum omnia exactè ſuo loco reſtituta erunt. Idcirco dictus iam
quadringenteſimus annus intercalaris & non communis conſtituendus erit, non alia
de cauſa, quam vt biſſexti ordinem ſequamur.
Is verò modus, qui à D.
Lilio traditus eſt, de ratione inueniendi ſingulis menſibus
Nouilunij diem, interdum fallere nos poſſet vno die; prout Ianuario proximè
lapſo accidit; quo ex præſcripto modo nouilunij, dies nonus illius menſis eſſe debuiſ
ſet, qui fuit tamen dies ſeptimus, ſexta decima hora cum dimidia poſt meridiem. Ne
que etiam tutum eſt, via integrorum dierum, nulla habita horarum aut minutorum
ratione, nec minus ea, quæ à Pitato tradita eſt, mediorum ſeu æqualium
gredi: At cenſerem potius veros motus ſequendos eſſe ex calculis exactarum tabu-
larum, quales Prutenicas eſſe iudico; Et cum ſolius Paſchæ cauſa laboremus hac in
re, pleniluniorum verorum, in multos annos tabulas formarem, quæ æquinoctia ver
nalia ſequuntur, cum aſſignatione diei Paſchatis præcisè, prout fecit Pitatus; non
via tamen æqualium pleniluniorum ſed verorum. Porrò quod ad Paſchatis cele-
brationem attinet, rationi conſentaneum eſt, concilij Niceni decretum ea de re ſer
uari, prima ſcilicet dominica die poſt primum plenilunium, quod æquinoctium ver-
nale ſequitur; hoc tamen animaduerſo, ſi dictum plenilunium primum poſt æquino-
ctium contingens, nulla ratione tali die Paſcha celebran-
dum eſſe; verum ſubſequenti, ne cum Hębreis conſentiat Eccleſia Chriſti:
quæ fuit
cauſa, vt in decreto concilij Niceni ſtatutum ſit, à quartadecima, in vigeſimam pri-
mam celebrari debere: Quod mihi Petrus Pitatus non animaduertiſſe videtur, cum
ex
fuerit .23. Martij, ipſomet de plenilunij non tantum æqualis, ſed veri.
Dies autem Paſchatum elapſorum, quos hactenus examinaui, reperi omnes con
cordare cum ea regula, quam nonnulli de die carnis priuij tradiderunt. nempe pri-
mum diem martis poſt nouilunium Februarij, carnis priuij diem eſſe; non autem
dum eſſe Paſchatis diem, vt potè qui ſibi perſuaſerunt, circa eum diem
perpetuò eſſe debere; prout tunc temporis erat.
Non
ſcha ex huiuſmodi ſuppoſitione concilij, poſt vigeſimam primam lunę celebretur,
cum ſeruata regula concilij non fuerit. Prout
celebrato .14. Aprilis (quę fuit .24. lunę) quod .7. dicti menſis
Tum
anno .1569. 10. Aprilis ſolenne fuit Paſca, quod tertia eiuſdem eſſe debuerat.
Anno
deinde 1572. 6. Aprilis, dies fuit Paſchatis, quæ .30. Martij futura erat, anno vero
1575. in tertiam Aprilis Paſcha incidit, caſurum in .27. Martii.
Cum igirur (vt ex diplomate ad Celſit. tuam miſſo patet) S.D.N. mens ſit
luntas, ut quiſque liberè in medium proferat quid hac dere ſentiat: quædam mihi
non omnino præmittenda occurrunt, quæ tantis cœptis non nihil adiumenti for-
taſſe adferre queant.
Atque illud in primis non tantum ut corrigatur Calendarium ob Paſcha cætera-
q́ue feſta mobilia ab illo manantia, vt decreto concilij Niceni ſancitum eſt, ſcilicet
vt ipſum Paſcha celebretur prima dominica poſt primum plenilunium, quod æqui-
verum etiam quò anni principium emendetur,
ſcilicet vt ad ſuum verum principium reuocetur annus. Nempè ad diem hyemalis
ſolſtitij, quæ prima Ianuarij dies eſſe debet.
Deinde, tot dierum menſes conſtituantur, quot hac noſtra tempeſtate, ſol in ipſis
Zodiaci ſignis verſatur. Poſtremò, quædam feſta immobilia in alios dies
tur, quod à .S.D.N. mente diſſentire minimè vide-
tur. cum non magis de feſtis mobilibus quam immobilibus agat, imo etiam planè
æquum ſit, vt habeatur vtrorunque ratio, quò ſtatutis temporibus celebrentur.
Vt autem ad primam Ianuarij
cenſerem
ex eo anno, quem corrigere voluerimus, non modò dies .10. eſſe detrahendos,
etiam vnum & uiginti, illo ipſo anno; aut partiendo menſes, atque
ex illis demendo eos dies, qui minus ad rem hanc facere videbuntur, ac tum rema-
neat annus trecentorum quadraginta quatuor dierum ita vt decem menſes ſint die. rum duorum ſpatio ſolito breuiores, alter menſis vno deficiat:
aut conſtituto
bri
primus Ianuarij, & dies ſolſtitij ob quam cauſam exiſtimarem conſultiſſimum eiuſ
modi annum eſſe mileſimum quingenteſimum ſeptuageſimum nonum. Quo quam
primum .S.D.N. Pontifex max. ſuis temporibus huius correctionis manifeſtos effe-
ctus experiri & perpendere, atque diſpoſitionem anni non ſolum principio, ſed
teris
bus, & Eccleſiæ ſacroſanctæ ſanctionibus, ſe authore lætari poſſit.
Omnino
non de
cem tantum, quo hyemmalis conuerſio ad initium Ianuarij reuocetur; idq́ue ne à
communi opinione de ipſo anni principio veritas diſcrepet, quæ principium Ianua-
rij, anni principium arbitratur. etenim cum credant omnes
ri, veritas autem ipſa ſic ſe habeat, vt nobis ſeptentrionalibus tunc inchoet annus,
cum ad nos Sol accedere incipit, aut dies augetur; non conuenit principia eiuſmo-
di ſeparata & diſcrepantia eſſe. Et hanc fuiſſe Numæ Pompilio mentem credibile
eſt, qui ad annum Romuli decem menſium, Ianuarium & Februarium addidit, vt
principium Ianuarij principium eſſet anni: cuius rei argumentum eſſe poteſt, quod
C. Iulij Cæſaris temporibus (qui multis annis poſt Numam fuit)
Max.
corrigendorum feſtorum curam ſuſcepit hyemale ſolſtitium per aliquot dies retro-
ceſſerat; nec mirum tamen eſſet, ſi Numæ temporibus, exactè prima Ianuarij die non
fuiſſet hyemale ſolſtitium, adhuc pubeſcente in Italia Aſtronomia.
Huiuſmodi autem correctio dierum .21. poſt .2300. annos à Numa, quæ ſit per-
petuo ſeruitura, media emendatione ea, quæ de tribus centeſimis annis communi-
bus, & quarto intercalari, ſuperius propoſita fuit, non repudianda ei videatur, qui
ſciet, qua ratione Numæ Pompilij annus corrigeretur, octauo quoque anno, inter-
calando annum vltimum medijs diebus .90. quo prima dies Ianuarij ad verum prin
cipium anni, hoc eſt hyemale ſolſtitium, reduceretur.
Alio item argumento cuique patere poteſt, priſcos Romanos ſtatuiſſe annum ab
hyemali ſolſtitio initium ſumere, vt inquit Ouidius primo Faſtorum.
Bruma noui prima eſt,
Principium capiunt Phębus, & annus idem.
co quod diem naturalem à medio noctis inchoarent, ab eo puncto ſcilicet, quo Sol
ad noſtrum hemiſpherium accedere incipit.
Tribuebant igitur veteres diei, atque anno principium ab eo puncto, quo Sol
cum punctum Zodiaci, quod tropicum hyemalem Capricorni nobis
producit, reſpondeat puncto meridiani ſub terra, in quo Sol ſemel in die reperitur: Quòd apertè norunt hi, qui ſub polo boreali conſtituti ſunt.
re poſſumus, diem ſcilicet & annum, quaſi ſibi ad inuicem medio ſuarum partium
reſpondere; ſolſtitium inquam hyemale, mediæ nocti, æſtiuum meridiei, æquino-
ctium vernale ortui Solis, autumnale occaſui. Quam tamen ſimilitudinem, multò
quam nos manifeſtius deprehendunt, hi qui (ut diximus) ſub polo borcali verſantur.
Quod ſi quis dubitet hac ratione correcto anno, quo nam pacto ad calculos coe-
leſtes motus medijs tabulis aſtronomicis hactenus in lucem æditis redigi poſſint, id
facilimum ſanè erit, exempli gratia; aliquis planetę ſitum, aut alicuius ſtellę fixæ, quo
cunque die menſis anni correcti inuenire cupit, detrahat ex huiuſmodi
21.ſum-
pta quacunque tabula, ſupputatio erit exacta: Cuius ratio cuilibet manifeſta erit,
qui ſciet annum vt potè .1579. dierum .344. tantummodo conſtitutum fuiſſe. Nam
in ijſdem locis cœli prima die Ianuarij correcti, erunt ſtellæ quibus eſſe ſolebant .11
Decembris præcedentis anni ex ſupputatione tabularum: atque ita deinceps.
Alia
præterea via idem perfici poſſet inuentione omnium motuum cęleſtium ipſo princi
pio anni .1580. correcti: hoc ſtatuto, vt hi motus radices eſſent Aeræ S.D.N. Grego
rij XIII. quod ſi alio
ſupputabit ab Aera huiuſmodi, quæ anno .1580. principium habuerit: Quæ vt nobi
lius nomen ſortiatur, exemplo antiquarum, quæ ex Principum nominibus ſunt appellate:
vt tanto Pontifi
ci, cùm ex alijs multi, tum etiam ex hac non infima re, inter mortales immortale no
men comparetur. Ei verò ſummæ, quæ ex huiuſmodi Aera Gregoriana ex tabu-
lis colligetur, ipſiuſmet Aeræ radices addantur, vt exactus calculus habeatur. Et
hæc ſit primæ ſententiæ noſtræ explicatio.
Altera erit numerum dierum menſium anni alia ratione quam nunc ſe habeat, or
dinandum eſſe: nempe vt Ianuarius, Nouember
tineant, Februarius, Martius, & October .30. Aprilis, Maius, Auguſtus, & September
dies .31. Iunius, ac Iulius .32. atque id hac potiſſimum de cauſa, vt Sol unum
ſignum calendis menſrum ingredi poſſit. Nam detractis (ut dictum eſt) diebus .21.
& reuocato ingreſſu Solis in principium Capricorni ad principium Ianuarij, in quo
ſigno hac noſtra tempeſtate, Sol, dies propè .29. & quartam vnam verſatur: ſi Ianua
rius .29. dies continebit, exactis hiſce diebus, ingredietur Aquarium circa princi-
pium Februarii; hæret autem hoc noſtro ſæculo in Aquario Sol dies propè .29. cum
dimidio; quare ſi Februarius erit .30. dierum, elapſis ipſis diebus, Sol ingredietur pi-
ſces circa principium Martii: & ſic de cæteris.
Quamobrem ſi generali correctione annus emendandus erit, pulcherrimè acci-
det, ſi menſes anni cum duodecim partibus cœleſtibus, itineris annui Solis, concor-
dauerint; Qua ex re, varię vtilitates promanabunt, pręſertim
Nautis, Agricolis, Medicis, & alijs qui vera principia, & interualla temporum per
ſpecta habebunt: terminos item & interualla incrementi & diminutionis dierum &
noctium, & eorundem æqualitatis. Exempli cauſa, ſcient omnes principium Ianua-
rij, eſſe non modo anni principium, verum etiam hyemis, eſſe minimam anni diem,
& eius noctem maximam; principium incrementi diei, & diminutionis noctis;
atque
etiam omnia illa, quæ ex huiuſmodi conuerſione Solis ad nos dependent. Pariter
ſcient omnes primam diem Iulij, non tantum æqualiter annum diuidere, ſed prin
princi-
pium diminutionis diei & incrementi noctis, vnà
ad auſtrales ſequuntur.
Neconon intelliget vnuſquiſque primam diem Aprilis,
noctiorum dies eſſe; primam autem diem Aprilis, initium veris;
Octobris Autumni;
Item Aprilis diem eſſe eum, quo dies noctis prolixitatem vincere incipit:
Octobris,
quo nox diei longitudinem ſuperat, & alia huiuſmodi, quæ ab æquinoctijs
Si vero quiſpiam obijciat, modum hunc noſtrum & ordinem perpetuum eſſe non
poſſe, ob motum augis Solis; quod punctum cum fuerit in principio Capricorni,
Sol hærebit in ſigno Sagittarij .32. diebus, totidem in Capricorno, in Geminis vero
29. totidem in Cancro; ex quo ſequetur prioribus
huic ego reſpon
debo, tale
mundus poſthac totidem annis, quot fuit antehac, perdurauerit, punctus augis non
amplius à ſitu præſenti, quàm .45. gradibus diſtabit. Verum demus
& regulam in annos ter, aut quater mille ſubſeruire poſſe, nec amplius, certè hoc
toto tempore nullius momenti penè erit, quæ accidere poterit mutatio, tametſi ela-
pſis quatuor millibus annorum Februarius eſſe debebit .29. dierum. Aprilis & No-
uember .30. Iunius & October .31. Auguſtus .32. in aliis verò menſibus nihil mutan-
dum erit. Ecce quam ſit nullius momenti mutatio.
Quæ ſi Iulij Cæſaris temporibus fuiſſent animaduerſa nunquam omiſſa fuiſſent,
ſed ſcientiæ Aſtronomicæ nondum (vt ita dicam) confirmata ætas, cum alibi,
mè in Italia, quo minus hæc aut ſcirentur aut ſtatuerentur impediebat.
Tertia ratio eſt, vt non
lam (ut dictum eſt) reuocentur, ſi ſuis temporibus celebranda erunt. Quorum
eſt Natiuitas Domini, & quæ ab ea pendent; nempe Circuncifio, Epiphania, Purifi-
catio, Annunciatio, & Natiuitas Io. Baptiſtæ. ita vt dies Natalis Domini celebretur
prima die anni, cum Dei filius naſci voluerit circa verum principium anni, quod à
ſolſtitio hyemali initium ducit, & in ipſo principio diei naturalis ex
tentia, media ſcilicet nocte, tanquam qui ſummæ lætitiæ principium, poſt longos &
graues filiorum Adæ mærores, eſſet allaturus. Nec forſan Ianuarij nomini, à vete-
ribus Iano bifronti dicati hæc mutatio non conueniret, cum in ip ſo ſeruatore, duæ
veluti frontes & formæ vnitæ ſint, duæ ſcilicet naturæ diuina & humana. Hac ratio
ne abuſus tolletur, natus ex diuerſis moribus Tabulariorum, quorum alij monumen-
ta, ſeu quæ uocant Inſtrumenta, à die Natiuitatis Domini incohant, alij à Circunci
ſione, alij à Calendis Martij, nonnulli à Paſchate; quæ varietas innumerabiles lites
affert & abuſus propè infinitos, ob dubiam & ancipitem ſcripturam. Indictionum
præterea ordini, hic noſter modus nihil officiet; celebrato Natali celebrabitur Cir-
cunciſio octaua Ianuarij. Epiphania .13. eiuſdem.
Purificatio .11. Februarij quæ erit
40: dies à Natiuitate ſeruatoris.
Prima Aprilis Annunciatio Virginis ſolennis erit,
ipſo nempè die æquinoctij, natiuitas Diui Io: Baptiſtę celebrabitur Prima Iulij die
quæ erit ſolſtitij æſtiui, cum illa diminutionem capit. vtrectè Diuus Auguſtinus il-
la verba Io: Baptiſtę interpretatus fuerit.
Illum opportet creſcere, me autem minui:
in quibus ſic tantus Doctor philoſophatur, vt tempus etiam natiuitatis ſerui & do-
mini præclare notet dicens, natus eſt ſeruus cum decreſcunt dies, natus eſt Dominus
cùm creſcere incipiunt.
Inſignes etiam Theologi admonuerunt habendam rationem eſſe nonnullorum
feſtorum, vt Diui Antonij, diuorum Fabiani & Sebaſtiani, & aliorum ſanctorum,
Verum hęc .S.D.N. curæ erunt, ut in aptiſ
ſima tempora transferantur.
Admonuerunt præterea transferendos eſſe dies feſtos Beati Stephani, Ioannis,
& Innocentium, vt quemadmodum factum eſt hactenus, diem natalis proximè ſe
quantur, ob multorum Doctorum, non recentium modo, ſed etiam antiquorum ob
ſeruantiam; qui ſuis omelijs & concionibus multa piè, de myſteriis ſucceſſionis Feſto
rum huiuſimodi tradiderunt.
Cuperent etiam præclari Theologi diem Aſſumptionis Beatæ virginis incidere
in primam Septembris, Natiuitatem autem in .25. vt quemadmodum toto illo men
ſe in ſigno Virginis ſol verſabitur, ita Eccleſia Der in cęlebrandi tantæ Virginis ma
tris Deilaudibus occupetur.
Atque hęc ſunt Serenisſime Princeps, quę longa & attenta cogitatione à me exa
minata, atque perpenſa fuerunt; quæſitam diligenter & accuratè expendentur ab
his, quorum intereſt, quam mihi apta & rationi conſentanea, ac vera penitus, imo
(quod me magis afficit) etiam tibi viſa fuerunt; non dubito quin placitura ſint;
& vo
tis ſummi Pont. aliqua ex parte ſatisfactura. eò magis quòd te iubente, & cogitata à
me, & ſcripta fuerint. Vale Princeps Sereniſſime, & qua ſoles hylaritate cętera no
ſtra, etiam has breues vigilias ſuſcipe & foue. Dat. Auguſtæ Taurinorum Kal.
Aprilis.
T. Celſitudinis.
Deditiſſimus Mathematicus.
Io. Bap. Benedictus.
PRoblema quod à celſitudine tua nobis proponitur non ſolum poſſibile eſt, ſed
facile etiam ad ſoluendum, hoc eſt quod circulus talis inueniatur, qui poſſit cir
cunſcribere, ſeu capere quadrilaterum ex quatuor datis rectis lineis terminatum, vel
ſic, datis quatuor rectis lineis ex quibus quadrilaterum poſſit eftici, tale efficiatur vt
circa ipſum, circulus poſſit circunſcribi.
Sint igitur .4. lineæ propoſitæ .b.d: q.b: a.q: et .a.d. ex
rum conſtitui, tale vero conſtituatur, vt aliquis circulus poſſit ipſum circunſcribere. imaginemur autem hoc factum eſſe, quod quidem quadrilaterum ſit .a.d.q.b. cuius
contra ſe poſiti circa .o. æquales inuicem ſint ex .15. primi Eucli. & angulus .a.q.d. æ-
qualis angulo .a.b.d. & angulus .q.b.a. æqualis angulo .q.d.a. et .b.q.d. angulo .b.a.d.
ex .20. tertij tunc triangulus .a.o.q. ſimilis erit triangulo .d.o.b. et .q.o.b. ſimilis trian-
gulo .a.o.d. ex definitione. Vnde eadem proportio erit ipſius .q.o. ad .b.o. quæ ipſius
q.a. ad .b.d. & ipſius .b.o. ad .o.d. eadem quæ .q.b. ad .a.d. & ipſius .q.o. ad .o.a. eadem
quæ .q.b. ad .a.d. proportio igitur .q.o. ad .o.d. cognita nobis erit, vt compoſita ex
ea quæ eſt .q.o. ad .o.b. ex .o.b. ad .o.d. quæ nobis cognitę ſunt, mediante
proportione ipſius .q.a. ad .b.d. & ipſius .q.b. ad .a.d. proportio ſimiliter ipſius .b.o.
ad .o.a. nobis cognita erit, vt compoſita ex proportione ipſius .b.o. ad .o.q. &
ipſius .o.q. ad .o.a. cognitis, mediante proportione ipſius .b.d. ad .q.a. & ipſius .q.b. ad
a.d. cum tunc nobis cognita erit
proportio ipſius .q.d. ad .a.b. Nam ut .q.o. ad .o.b. eſt vt .a.o. ad .o.d. ex ſimilitudine,
quare proportio compoſiti ex primo, & quarto terminorum ad compoſitum ex .2. &
tertio, cognita erit. ſed quod fit ex .q.d. in .a.b. cognitum nobis eſt, vt æquale duobus
productis, hoc eſt ex .q.a. in .d.b. & ex .q.b. in .d.a. ex ſecunda primi Almageſti. quæ
producta nobis cognita ſunt, cum nobis data ſint eorum latera. Quapropter facta
cum fuerit figura quadrilatera rectangula ſimilis alicui alterirectangulæ figuræ pro
ductæ à duobus lateribus inuicem ita proportionatis, vt ſe habet .q.d. ad .a.b. æqua-
lis tamen duobus productis, hoc eſt producto ex .q.a. in .d.b. & ex .q.b. in .d.a. ex
doctrina, 25. ſexti Eucli quæ quidem figura, exempli gratia, ſit .u.t. eius verò latera
ſint .u.n. et .n.t. Hæc enim dico æqualia eſſe .q.d. et .b.a. hoc eſt .n.t. maius maio-
ri .b.a. et .u.n. minus minori .q.d. Quod ita probabo.
cogitemus rectangulum .s.r.
productum eſſe ex duobus lateribus .q.d. et .a.b. ſed, s.n. æqualis ſit .q.d. et .n.r. æqua-
lis .a.b.
coniuncta etiam erit cum .n.r. ex quo rectangulum .u.t. æquale erit rectangulo .s.r. ex
communi conceptu,
ctum fuit, cum autem ita ſit .u.n. ad .n.t. vt .s.n. ad .n.r. tunc permutando ita erit .n.t. ad
n.r. vt .u.n. ad .n.s. ſed quia ita eſt .u.n. ad .n.r. vt .s.n. ad .n.t. ex 15. ſexti, tunc permutan
do ita erit .n.r. ad .n.t. vt .n.u. ad .n.s. quare ex 11. quinti ita erit .n.t. ad .n.r. vt .n.r. ad .n.
t. quapropter ex neceſſitate ſequitur .n.t. et .n.r. inuicem æquales eſſe, et .u.n. ſimiliter
cum .n.s.
Inuentæ nunc cum fuerint duæ diametri .q.d. et .a.b. ipſius quadrilateri, difficile
non erit eius angulos inuenire, eo
tis, faciemus triangulum .a.b.d. vel
gulum .a.q.d. ex .22. primi. Vnde cum centrum circuli circunſcriptibilis cuiuſuis di-
ctorum triangulorum ex quinta quarti inuentum fuerit, triangulum reliquum, ab eo
dem circulo circunſcriptum erit, ex communi ſcientia.
SEd vt ipſa operatio facilior fiat, Sint eędem lineæ .b.d: b.q: a.q. et .a.d. ex quibus
poſſit Videatur deinde primò quas volumus oppoſitas ſibi
inuicem eſſe, ponatur ergò ut .q.a. et .b.d. velimus oppoſitas inuicem facere, et .q.b.
cum .a.d. ſimiliter, accipiemus nunc .K. cuiuſuis magnitudinis, cui comparetur .e.
ita proportionata, vt .q.b. eſt ipſi .a.d. ex doctrina .10. ſexti Eucli. vel accipiatur .a.d.
vice .K. et .q.b. vice .e. quod idem erit, & expeditius, inuenietur ſimiliter .h. ita pro-
portionata ad .e. et .g. ad .k. vt .b.d. eſt ad .q.a. vel .g. ad .h. vt .a.d. ipſi .q.b. quod
Hoc facto coniungantur inuicem directè .g. et .e. quarum compoſitum ſit .g.e. &
ita duæ .K. et .h. ex quibus ſit .K.h. Nunc ex iſtis duabus lineis .e.g. et K.h. fiat paral-
ſit ex .q.a. in .b.d. reliquum verò ſit ex .q.b. in .a.d. quæ quidem ſint .f.m.
Quo facto deſignetur rectangulum .u.t. ex .25. ſexti, quod æquale ſit duobus re-
ctangulis .f. et .m. ſimile tamen .Z. cuius rectanguli vnum latus correſpondet .e.g. reli-
quum verò .K.h. in proportione, ſed in æqualitate, vnum correſpondet .q.d.
vero .a.b. diametris ipſius quadrilateri.
Accipiatur nunc latus illud quod correſpondet .K.h. hoc eſt ipſi .a.b. maius ſcili-
cet, & ſimul cum .b.d. et .a.d. formetur
circunſcribatur circulus ex .5. quarti. & inuentum erit quod quęrebamus.
merito ad te ſcribendum duxi, quod ad eam facultatem perti-
nens excogitaui, ſimul cum quibuſdam alijs inſtrumentis, vt non-
nihil commodi attuliſſe videar maritimis negotijs, & aliqua ex
parte animi mei erga te propenſionem indicauiſſe.
PEr vnum
ctione ſemper nauigari poſſe, omninò nego.
initio ſui operis oſtendit, ideſt nauim verſus æquatorem ſemper declinare: qui
corrigit errorem, fallitur, cum ipſe, eandem nauim, parallelam æquatori in vno ver
ticali ipſi æquatori propinquiori, & non in primo parallelo dirigit, itaque exiſtimat
in fine itineris, vbi deſcribit punctum .o. eam in eodem parallelo priori repe-
riri debere, quod
dus
ad modum in medio & in principio, cum verò ſemper deſcendat, abſque vlla aſcen-
ſione, neceſſariò ſic ſemper procedens, remota cum eſſent impedimenta terræ, ſub
æquatore reperiretur, ſub quo perpetuò circuiret globum.
Idem ſub quolibet meridiano præſtare poteſt, ideſt vno
uerti: ſed per alios circulos quam per hos duos (ſiue circulus magnus ſiue paruus) id
nunquam perfectè efficere poteſt, de parallelis iam manifeſtum eſt, cum impetus na
turalis corporum, quæ mota ſunt ſint ſemper in ſuperficiebus circulorum maiorum,
quorum circunferentię cum circunferentijs minorum, præter quam per vnum quod
dam punctum quando adinuicem contiguæ ſunt, aut per duo ideſt cum ſe ſe interſe-
cant non communicant, ita quod ad efficiendum, vt triremis aliqua, aut nauis, per
aliquem ex parallelis ad æquatorem moueatur, neceſſario ſit futurum, vt ratione
tiguitatisquia ratione continuitatis om-
ninò fieri non Sed per quemlibet
circulum maiorem, qui non ſit aut æquator aut aliquis ex meridianis, eſt penitus im
poſſibile. ideſt vt vnius venti vi nauis impellatur.
Quod vt clarè pateat, ſit orizon .
a.c.b.d. & æquator .c.q.t.d. & vnus meridianorum ſit .a.r.n.t.b. in quo .n. ſit Zenit ſub
quo primum nauis reperiatur et .r. ſit polus ſeptentrionalis. Ponamus etiam quod
vnde tot graduum eruntarcus .a.p. et .b.f. orizontis, quapropter punctum .f. commu-
ne ipſius orizontis cum azimut, erit medio in loco inter .b. et .c. & ideo quarta .n.f. ip
ſius azimut ſecabit quartam .c.t. ipſius æquatoris in puncto .q. & habebimus triangu-
Ium .q.t.n. cuius angulus .t. rectus erit, & angulus .n. cognitus ſimul cum latere .n.t. la-
titudinis loci, quibus rebus mediantibus deueniemus in cognitionem lateris .q.n. la-
teris .q.t. & anguli .q. ex .4. primi Copernici ſi voluerimus.
Ponamus nunc nauem à puncto .n. diſcedere ſeu iter facere verſus .u. punctum, &
bebimus angulum huius ſecundi me-
ridiani .r.u.p. qui quidem in hoc caſu
minor eſſet angulo .r.n.p. extrinſeco
trianguli .r.u.n. ex conuerſo ſecundæ
partis .48.
gulis
nelai, cuius anguli .u. arcus orizontalis
ſit .x.e. qui quidem minor erit arcu .a.
p. vt patet ratione anguli .r.u.e. mino-
ris, ergo alius ventus nauem impellet à
puncto .11. verſus .q. diuerſus ab illo qui
prius ab .n. verſus .u. eam impellebat.
Vnde clarè patet verum eſſe quod
dico, hoc eſt quod aliquo modo fieri
non poteſt, vt nauis ab aliquo loco ad
alium, breuiſſimo interuallo ire poſſit
ideſt per gyrum circuli maioris ſphæræ vno tantummodo
ter quam in ęquatore, ſeu in aliquo quouis meridianorum, nos autem ire per gyrum
alicuius paralleli dementia eſſet, niſi neceſſitas cogeret.
Huiuſmodi demonſtrationis ope, quantum decipiatur Petrus Medina cap .6. lib.
3. cognoſcitur, vbi ſic ſcribit; Vbicunque locorum reperiatur homo, aliquem circu-
lum qui vniuerſum ambiat imaginatione ſibi confingens, per totum eum circulum
vno Ex hac etiam demonſtratione, quàm fal
ſa ſit charta maritima patet, cuius beneficio exiſtimant nautę ſe per breuiſſimum iter
a loco ad locum vehi etiamſi dicti loci non ſint ambo in æquatore, aut in aliquo me
ridiano, ſed extra dictos circulos vnico tantum vento impellente & ſi in paruis æquo
fibus hic error parum depræhenditur, forte tamen in magno Oceano clarè pateret. In ſuperius igitur dicta demonſtratione iam oſtendi, quod ſi velimus vehi ab vno lo
co ad alium beneficio alicuius circuli maioris, præter duos iam dictos, hoc fieri non
poteſt vno Vnde ſequitur, omnia ea interualla quæ vno
æquinoctiali & meridiano.
Cum verò Petrus Medina cap .7. volens probare chartam maritimam bonam eſ-
ſe, planiſphęrium Prolomei & Iordani citat, non animaduertit quam diuerſo mo-
do a charta maritima huiuſmodi inſtrumentum ſit fabricatum, cum exceptis orizon
te recto, & meridiano in dicto inſtrumento quilibet alius circulus ſit circulus, ſiue ſit
almicantarat, ſiue azimur, ſiue æquator, ſiue tropicus, ſiue zodiacus, ſiue alius quiuis
circulus, eum in charta maritima ne vna quidem ſit linea, quę non ſit recta, quolibet
nomine vocetur.
Superius poſitæ meæ demonſtrationis ope, deuenimus in cognitionem magnitu
dinis arcus .n.q. cognoſcimus etiam angulum .n.q.t. vnde nobis
vento oporteret iter facere. cum à puncto .q. nauis aliqua diſceſſura eſſet, in eodem
azimut propoſito. Idem etiam dico de puncto .u. cum cogniti eſſent arcus .n.u. et .n.
r. vt ſupponitur, ſimul cum angulo .r.n.u. vnde cognitus eſſet nobis angulus .n.u.r. ex
11. primi lib. Copernici, ex quo ventus nobis cognitus foret.
Modus autem quem idem Medina cap .9. lib. tertij ad cognoſcendam diſtantiam
vnius meridiani ab alio præſcribit, in genere eſt falſus, etiam ſi is ab antiquis eum de
ſumat, qui, hic non viderunt quam magna inter meridianos differentia ſit interuallo
rum eorum quæ ſunt vicina polis & eorum quæ ſunt circa æquatorem.
Falſus eſt etiam modus ab eo traditus ad cognoſcendos gradus longitudinis per
medium itineris cogniti in quouis parallelo extra æquatorem facti, & hoc cap .14. li
bri tertij eiuſdem, & primo cap. lib. 4.
gradui tam paralleli quàm meridiani aſſignat.
Falſum eſt etiam quod ab eo aſſeritur, Solem, cum reperiretur in æquatore, circa
eos qui ſub ipſo æquatore habitant, vnius diei
cunuolui. quia illis æquator idem eſt cum verticali, qui duos tantum rhumbos pro-
ducit, ideſt orientis, & occidentis: hic verò error, in ſecundo cap. lib. 6. habetur.
Falſum eſt etiam quod profert Solem ijs qui habitant ſphæram obliquam, qua-
libet hora tertia, regulariter ab vno rhumbo ad alium ex præcipuis ideſt ab vno azi
mut ad alium progredi, quemadmodum eadem cap .2. lib. 6. et .7. cap. ſeptimi libr.
ſcribit. Huius autem rei falſitas ita facile depræhendetur, ponamus hemiſphęrium
orientale, verbi gratia, cuius meridianus ſit .p.z.b. æquator
lelorum ſeptentrionalium ſit .c.a. in quo Solem exiſtere ponamus, orizon autem ſit .
b.m. zenit vero .z. polus arcticus .p. ſit poſtea azimut .z.q. à meridiano diſtans per gra
dus .45. qui quidem azimut in hoc hemiſphęrio erit rhumbus illius venti, quem uul-
go Itali Sirocum dicunt, et .z.m. ſit azimut verticalis qui in hoc hemiſphærio erit
bus venti orientalis, ita Solabſoluet
ſpatium
æquale temporis ſpatium abſoluet à
cus .a.o. paralleli eſſet graduum .45. &
item arcus .o.c.
Ponamus
tore, vbi per ipſum Medinam arcus .u.m.
ſimiliter eſſet graduum .45. & ſic .u.e: pro
tracto ergo arcu .p.o.f. palam erit ar-
cum .f.e. fore graduum .45. ſed cum
arcus .e.u. ſit graduum .45. ex ſuppoſito
ipſius Medinæ, ſequeretur arcum .e.f.
æqualem eſſe arcui .e.u. pars igitur æqua
lis erit ſuo toto.
Id etiam quod Petrus Nonius pagina
124. et .125. lib. de arte nauigandi con-
tra nautas de diſtantijs Solis à meridiano ſcribit, hanc opinionem Petrià Medina &
corum qui idem ei perſuaſerunt falſam eſſe demonſtrat.
Falſum eſt etiamid quod cap .3. lib. 6. pronuntiat, ita dicens.
Quod cum verum eſſet à parte
verſus eum ventum qui vulgò Græcus dicitur, & ab occidentali verſus eum qui Ma
giſter dicitur, vergere, huius rei nulla eſt ratio.
Ego enim huiuſmodi rationem reperiri poſſe contendo, quæ talis eſt, quia pars
roſæ (ut vocant) à magnete tacta, ad aliquod punctum, aut ſitum globi terrę, in eo-
dem meridiano inſularum, quæ Azore dicuntur, vltra ſitum poli arctici in terra diri-
geretur, ita vt ſitus dicti poli in terra eſſet in dicto meridiano, inter locum qui ab in
dice roſæ aut pyxidis reſpiceretur, & dictas inſulas, id quod ſuperius ſcripto meridia
no facile cognoſci poteſt, ſumendo pro inſulis ſitum .e. in meridiano et .z. pro polo,
et .p. pro loco qui à pyxide ſit viſus,
li quam eſt .e. clarum eſt lineam quæ reſpicit (ponamus) f.p. verſus Græcum & ab alia
parte verſus Magiſtrum declinare.
CVm ſæpe viderim quam in magnis æquoribus nos fallant,
timæ, ſeu nauigatoriæ chartę, quemadmodum aliquoties inter nos ſermonem
habuimus: in id totus incubui vt aliquam machinam excogitarem, quæ difficilis non
eſſet,
optimè poſſet, ideſt breuiſſimo itinere ab uno loco Id
animi voto ſucceſſurum putaui, beneficio
globum
Mercatore ſtruuntur, qui vno pede cum dimidio diametri conſtet, ideſtſeſquipede.
Sit ergo, exempli gratia, huiuſmodi globus .a.b.d. circa quem duo circuli, aut cir
rectos, quorum prior .f.e.g. in ſe globi polos mediantibus extremitatibus axis mun-
di contineat, qui quidem poli à punctis ſuarum interſectionum per
in punctis .f. et .g. ita diſtent, vt globus circa eoſdem, in ſitu longitudinis mundi vol-
ui poſſit. Huiuſmodi autem circulus, æquatoris deferens appelletur.
Secundus autem circulus ſit .h.e.K. cum primo ad angulos rectos in puncto .e. &
in ſuo oppoſito connexus, & is appellabitur æquator, & poli .f.g. primi poli dicentur.
Circa huiuſmodi duos circulos, alios
ad angulos rectos. In quibus
circulos cum ſecundo priorum ideſt cum æquatore in duobus punctis inuicem op-
poſitis connectant; quæ æquatoris puncta à punctis interſectionis eiuſdem cum ſuo
deferente, ratione vna quarta diſtent, quorum duorum circulorum primus ſit .n.i.
m. quem deferentem azimut appellabimus; ſecundus .r.n.s.m. azimut locorum no
minabimus. eorundem interſectionis rectæ, puncta ſint .n. et .m. à quibus duo poli ex
aurichalco confecti ſimiles primis .n.h. et .m.K. vſque ad puncta .h. et .K. æquatoris
perueniant, qui ſpisſitudinem æquatoris diſtantem à puncto .e. vna quarta
ita vt æquator circum circa .n.h. et .m.K. in ſitu latitudinis mundi verti queat. Et
hos, ſecundos polos nominabimus.
Alius deinde circulus .q.i.p. duos poſteriores circulos ambiat, cum deferente ta-
men azimut mediantibus duobus polis in puncto .i. & in ſuo oppoſito exęquo diſtan
tibus à ſecundis polis vnius quartæ ſpatio iungatur. Ita vt dictum deferens azimut
circa hos tertios polos volui poſſit, atque hunc circulum .q.i.p. orizontem vniuerſa
lem vocabimus. Hic vero orizon ſuper quatuor quartas circuli, aut ſuper quatuor
paruis columnis, ut fieri ſolet innixis ſuæ baſi, ita ponatur, vt moueri non poſſit.
Primus autem circulus .f.e.g. deferens æquatoris in .4. partes æquales diuidatur,
quarum quælibet .90. gradibus conſtet, incipiendo ab interſectionibus .e. & eius op
poſito æquatoris, & numeri in polis .f. et .g. globi finem ſortiantur. Diuidatur etiam
æquator .h.e.K. in .360. partes incipientes à puncto .e. verſus .K. deferens autem azi
mut .n.i.m. ab omni diuiſione liber maneat, ſed azimut .n.s.m.r. in .360. gradus inci
piendo à puncto .n. verſus .r. diuidatur.
Orizon autem .q.i.p. diuidatur in quartas, quarum quælibet ſit nonaginta
incipiendo à puncto .i. & eius oppoſito ideſt à polis poſtremis & terminando in pun-
ctis .q. et .p. in medio ipſorum polorum, & quarta .i.p. orientalis ſeptentrionalis, et .i.
q. orientalis meridiana appellentur. & ſic ordine ſeruato occidentales.
Præterea pręparata ſit quædam quarta, ex aurichalco, circuli æqualis ipſi orizon-
ti, & in .90. gradus diſtincta quæ cum quauis ſuarum extremitatum ipſi zenit, in azi-
mut applicari poſſit, quemadmodum circa globos cęleſtes fieri ſolet; quę quidem ad
cognoſcendam altitudinem poli ipſius globi ab orizonte nobis inſeruiet.
Atque hac ratione hanc noſtram machinam perfectè abſoluemus
dam eſſe Armillam nauticam ſentio. Hic autem illud non omittam, concauum
duorum priorum circulorum à ſuperficie globi non nimis diſtare debere & con-
cauum aliorum à ſuperficie conuexa priorum longe poſitos eſſe
cauam orizontis à conuexa ſecundorum procul abeſſe non debere.
Neque illud etiam prætermittendum eſt, opere pretium fore ſi in interſectione
e. priorum, erit foramen elicum, vt clauo elico ex aurichalco confecto, poſſimus
ſiſtere globum, quando oportuerit, ne amplius circa primos ſuos polos .f.g. circun-
uoluatur, cum Inde etiam laudo vt in azimut .r.n.s.m. è regione deferen
tis æquatoris, ideſt .f.e.g. aliud quoddam foramen huiuſmodi ſit poſitum, in quo
ſecundos polos .h. et .K. amplius moueatur quum noluerimus eum mutare ſitum.
V Tautem noſtra Armilla nautica vti poſſimus pyxidem nos prius oportebit
habere, diuerſam tamen ab ijs, quibus nautæ hactenus vſi fuere: nolo
enim vt
mus, ſed ratione graduum orizontis in .360. partes diſtincti, atque ob hanc cauſam
ſentio, vt ima pars pyxidis penitus detecta videatur, & in .360. partes dinidatur,
aliud quam quandam lanceo lam ſupra eius acum eſſe volo, quæ dum mouebitur na
uis, per gradus quamlibet orizontis partem oſtendet; hos autem .360. gradus, ita ſe
habere volo, vt quęlibet quarta .90. contineat,
piat, & in verticali deſinat, vt huiuſmodi diuiſio cum ea, quæ eſt orizontis Armillæ
eadem ſit.
nis quomodolibet a dinuicem diſtantes, à quorum vno ad alium ſit nauigandum iti-
nere quo ad fieri poterit breuiori, ideſt per gyrum circuli maioris, dixi autem extra
æquatorem, ideſt vt ambo, nec in æquatore, nec in uno
quia vt aliàs dixi in huiuſmodi locis, vnico tantum vento comite, iter conficere
poſſumus.
Volo primum vt mediante
toris circa ſecundos .h.K. hoc eſt per longitudinem, & latitudinem, hi duo loci in
globo propoſiti ſub azimut .r.n.s.m. ſecundorum circulorum
mut orizontem in punctis .q. et .p. ſemper ad angulos rectos diſpeſcit
ita quieſcere vt circa polos .f.g. non voluatur, & æquatorem etiam ſic ſirmare, vt cir-
ca ſecundos polos .h.K. non vertatur faciamus.
Quod cum factum fuerit, ſecundorum circulorum primus, qui eſt .n.i.m. deferens
azimut, circa tertios polos .i. & eius oppoſitum, eo uſque voluatur quouſque prior
globi locus, ideſt is a quo iter eſt incohandum per .90. gradus azimut diſtet ab ori-
zonte, ideſt ſub zenit orizontis .q.i.p. ſit poſitus, quemadmodum, exempli gratia, ſi
punctum .a. dicti primi loci globi rationem indueret, & borealius eſſet, mediante
circunuolutione circuli .n.i.m. circa dictos tertios polos æqualiter diſtans ab .q. et .p.
ideſt per .90. gradus poneretur ſub .r.
Conſideretur deinde vbi æquator .h.e.K. ſecundus circulus duorum primorum,
ab orizonte .q.i.p. ſecabitur, exempli gratia, in puncto .c. quartę orientalis ſepten-
trionalis eiuſdem orizontis. Videatur deinde quot nam gradibus conſtabit ar-
cus .i.c. & per totidem gradus conſtituatur extremitas ſeptentrionalis lineæ meridia-
nę pyxidis nauticę, diſtantis à cuſpide ſeptentrionali ipſius lanceolæ orientem ver-
ſus, mediante nauis circunuolutione. vnde ipſamet nauis in huiuſmodi ſitu azimut,
qui per duos hos loc
voluerimus tendere dirigatur. Cum verò vela ventis dabimus, tot milliarium
ſeu leucarum iter conficiemus, quot quarta pars vnius gradus requirit. & dum
hociter abſoluitur, ille qui pręeſt naui, defferentem azimut .n.i.m. circa ſuos polos .i.
& eius oppoſitum, ſic circunuoluat, vt interſe ctio azimut .r.n.s.m. cum orizonte .q.i.
p. diſtet à prima ratione dictæ quartę partis vnius gradus, conſtituendo ſecundum lo
cum, proximiorem zenit, ratione dictæ quartæ partis gradus azimut. Hiſce ita pera
ctis, obſeruetur deinde vbiæquator .h.e.K. hac ſecunda vice interſecabit orizontem
q.i.p. quod quidem interſectionis punctum ſemper appelletur .c. quod dico non am
plius in eadem diſtantia manſurum, ut prius à puncto .i. ſed aut longius diſtabit, aut
propius accedet, vt in præſenti exemplo. quemadmodum ex ſe manifeſtum eſt, cú
poli globi, ideſt ęquatoris ſint extra azimut, vt præſupponitur, quia loci ſunt in diuer
ſis meridianis.
Pro huiuſmodi autem diſtantiæ ratione denuo dirigatur nauis prout æquator .h.
e.K. in orizonte .q.i.p. nobis oſtendet, atque hoc modo omnium iter quaſi breuiſſi-
mum fiet. dico autem, quaſi, quia omnibus modis neceſſariò conficitur iter contor-
tum & in formam ſerpigineæ lineæ. Applicantes deinde per vices extremitatem
quartæ appoſitæ (de qua ſuperius mentionem fecimus) ipſi zenit .r. efficientes ut per
ſitum poli globi pertranſeat, deueniemus in cognitionem altitudinis eiuſdem ab
orizonte, & per conſequens quantum itineris per latitudinem eiuſdem globi pere-
gerit. mediante deinde interſectione orizontis .q.i.p. cum æquatore, cognoſcemus
ECce tibi vir Illuſtriſs.
gnificaui, quo ſcire poſſis fermè in dies, qua hora (de aſtronomicis loquor) ad
determinatum parallelum & abſque multa ſupputatione, etiam abſque Aſtrolabio
Luna oriatur In quo inſtrumento poteris etiam videre quo in ſigno Sol,
& ſæpius itidem Luna permeat, & huiuſce aſpectus cum Sole, atque longitudinem
diei
Circularis lamina ex argento, aut ære, aliaúe materia paranda eſt, in cu-
ius ſuperficie ambarum facierum Zodiacus delineabitur, modo inferius depicto,
deinde pro anno quinque circuli ſibi inuicem
trici cęlabuntur in ea, adeo vt vtriuſque centri diſtantia ſit pro .32. parte ſemidia-
metri concauitatis Zodiaci è regione locis augis, temporis qui noſtra ætate circa ſi-
nem ſecundi gradus cancri inuenitur, eandem viam, in hoc, ſequuti, quam Stofle-
rus in dorſo Aftrolabij docet. At nomina menſium media ponantur inter duos
maiores circulos, poſtea inter ſecundum, & tertium ab vna facierum laminæ, ar-
cus ſemidiurni, ab altera vero arcus ſeminocturni, per quinos quoſque dies collo-
centur, ita exactè, vt hic ſubtus videbis. adeo vt numeri dierum & ipſorum dierum
ſigna ſint in interuallis vicinioribus centro communi dictorum quinque circulorum.
Poſteaquam ab vna & altera
lares laminæ, magnitudinis ſemidiametri minimi quinque circulorum accipiantur: quarum vna pro ortu, & altera pro occaſu Lunæ deſeruiet.
In qualibet ipſarum
demus in triginta ſpacia æqualia: & in interuallo
tum eſt, triginta dies
Poſtmodum in lamina quæ ortus Lunæ indicabit, ac duorum maiorum
rũ
48.
ſucceſſiuè augendo per min .48. & indicem è diuerſo diei .30.
Lunæ cum Sole ſigniſicabit: atque lineas aſpectuum, vt inferius videre eſt facilè in
ueniemus.
Altera in lamina quæ occaſum Lunæ indicabit, poſtquam diſtincta fuerit, vt alte-
ra .30. dies ac cęteræ lineæ, eo modo quo in ſuperiori collocabuntur, at numeri in-
terualli maioris, aliter diſponentur, vt potè ex aduerſo diei primi ſolum .48. minu-
ta deſcribi debent, è directo ſecundi diei ponenda erit hora vna cum minutis .36. &
è regione tertij inſcribentur .2. horæ, & min .24. & ſic ex ordine per .48. minuta au-
gendo.
Nunc lamina ortus Lunę, cum anno arcuum ſeminocturnorum, & illa occaſus cum
anno arcuum ſemidiurnorum
ctum erit & abſolutum.
Quoties igitur voluerimus medio inſtrumento dignoſcere fermè in tali orizonte
qua hora Luna oriatur, ita neceſſe erit volubilem rotam ortus flectere, ut index ve
niat è regione diei menſis in quo talis operatio fit & talirota ſirma manente perſpi-
ipſius rotæ notatorum, qui cum arcu ſeminocturno anni, quo cum in ipſa rectitudi-
ne centri conueniet colligetur, & ſumma quæ ex tali ſupputatione proueniet aper-
tas faciet horas aſtronomicas, quibus ferè etſi non exactè in die propoſito Luna
orietur. Idipſum fiet pro occaſu Lunæ.
meri Epactę currentis cum numero menſium, ſumpto principio à Martio,
adiunctis diebus menſis currentis, & detracto numero .30. à ſumma prędicta, ſi ab ip
ſa dictus numerns .30. ſuperatur.
Sed ne aliquis putet ſufficere tantummodo additionem quatuor quintarum ho-
rę qualibet die. à nouilunio inchoando, ſciendum eſt huiuſmodi receſſum Lunæ
(quamuis non ita exactæ fiat) non
ſeu à meridiano quod idem eſt, quemadmodum
tere poteſt. At propoſitum nobis non eſt ſcire qua hora Luna in meridiano repe-
riatur, ſed in noſtro obliquo orizonte, in parte orientali ſeu occidentali, propterea
igitur addendus eſt, ei ſummæ temporis, qua Luna diſtat à meridiano, arcus ſemi-
diurnus, vel ſeminocturnus illius loci Zodiaci, in quo Luna reperitur illa die in pro
poſito parallelo, vt ſciatur proximę, qua hora (ex aſtronomicis) Luna erit in ori-
zonte ſupra dicta enim additio quatuor quin
tarum horæ tantummodo, ſufficiens erit temporibus æquinoctij, ſed aliis anni tem-
poribus falli ratione iam dicta.
ter quastamen nullam ſimilem, ei
conſtruxi, deſcribit, quæ quidem fuit Lucerna, & erat huiuſmodi, vt à
magno aliquo vaſe oleo pleno ſupra alicuius triclinij tabulatum poſito,
ſubtilis quidam tubus perpendi-
& in dictum triclinium vſque ad
medium deſcenderet, ita tamcn
vt hic ſolus tubus, non item
vas oleo plenum cerneretur, cu-
ius
tati iunctum eſſet quoddam par-
uum receptaculum olei, ſimile co
operculo alicuius pyxidis, è cuius
ambitu prope baſim multi diuer-
ſi quæ tubi æquales & orizonta-
les, cuiuſuis longitudinis proſili-
rent, quorum quilibet in extremi
tate ſua, exiguam quandam pyra
medio
& per alios tubos ad nutriendas
flammas dum at vero
ne minima quidem olei gutta de
ſcendebat: id quod eos qui aſta-
bant in admirationem trahebat.
Hæcautem lucerna ſic erat
ſtructa. Vas
vt in ſubſcripta figura patet, cuiuſ
uis magnitudinis, omni ex parte
clauſum faciendum curaui, ita ta
men vt eius coopereulum
dio erat foramen .e. quod erat os
tubi .e.g. qui ſub
do vſque ad .g. tranſibat, ſed po-
ſtea ſurſum, quaſi
culum in ſitu .c. ab inferiori parte
reflectebatur, & ibi Vnde oleum quod in vas infundebatur per foramen .e. dictum vas poſtea ingredie-
batur per foramen .c. Habebat deinde tubum .n.u. rectum, qui à ſitu .n. propinquo co
operculo ad libellam extremi .c. incipiebat, & per fundum
ad centrum ſupradictireceptaculi (circa quod
rum pyramides) tranſibat, atque huiuiuſmodi tubi .n.u. extremitates tam ſuperius
quam inferius erant apertæ, & hic tubus aeris erat. Præterea aliud quoddam fora-
paruum
tamen, vt .o. altius eſſet quam .g.
bum .a.o.t. oleum vaſis exibat,
per oſculum .t. in quendam cana-
lem tubo .n.u. inſertum, ab extra
oleum effundebat, & ab exteriori
parte arundinis .n.u. ingredieba-
tur receptaculum appenſum ex-
tremo dicti tubi .n.u. quod extre-
mum
do receptaculi tantum
tum volebamus oleum ab ipſius
receptaculi fundo altum exiſtere
quod quidem oleum ſtatim vt ad
oſculum dicti tubi .n.u. accedebat
id claudebat. Vnde aeri
di vas .q.b. non amplius patebat
aditus, & per conſequens, neque
amplius
bat, nec etiam per
ingredi poterat, cum .c.g. ſemper
oleo exiſteret
Quoties deinde oleum in vas
infundere volebamus, oportebat
lum .t. exiguitubi .a.o.t. vnde aer
per tubum n.u. quouſque oleum
vaſis ad ęquilibrium ipſius .n. per-
ueniebat,
batu. & quando dictum oleum
dictum tubum .n.u. extrinſecè in-
trabat in receptaculum .d.p. nil
amplius olei in vas infundendum
erat, & oportebat alicuius digito
foramen .u. inferius arundinis .n.
u. claudi, & foramen .t. aperiri, vt
ret, quia tunc quædam pars tubi .e.g. vacua reddebatur, & cum per .t. nil amplius
bamus, quantum in receptaculo ad claudendum foramen .u. idoneum exiſteret. Ra-
tio vero, quę me mouit, ut punctum .g. inferius ipſius .t. conſtituam, eſt, quia
ſum erit .u. per dictum .t. oleum non amplius egredietur, quia pondus olei in tubo .c.
g. maius euadet oleo quod vſque ad .t. progrederetur, tubum autem .e.g.c. reflexum
facio, ne cogamur claudere foramen .e. quia hoc difficile præſtaretur, tubum etiam
a.o.t. ſurſum verſusreflexum conſtitui, vt aerem ab ingreſſu per foramen .t.
quia huiuſmodi aer nunquam deſcendit ſi corpus magis denſum non deſcendat.
Verum eſt,
a.o.t. ita curuum vt eſt .ω qui cum ſuo extremo inferiori ipſi .n.u. ſit contiguus ita ta-
men ut dictum extremum inferius
Volui etiam vt ſuperior extremitas .n. tubi .n.u. ſit in aere vaſis & non in oleo, ne
per eam oleum exeat, quia cum extremitas .u. inferior ſit .g. totum oleum quod ſu-
peraret oſculum .n. per dictum tubum .n.u. ratione maioris ponderis egrederetur,
siones in ephemeridas& breuis alia diſputatio de er
roribus calculorum Aſtronomicorum. ac
dam typis datæ .11. Auguſti .1581. quę omnia cum ad manus
meas perueniſſent, non potui, non eis animum admouere,
ibi de his ſtudijs
norum meorum conſumpſi. nec tamen ſcribere aliquid ſta-
tueram; tum quod exiſtimarem viros Aſtronomiæ peritos
facile, quanti facienda eſſent ea quæ edita erant iudicaturos, alijs verò haud gratam
futuram harum rerum tractationem. Tum quod ſi ingenue meam ſententiam profer
re voluiſſemQuandoquidem ſolet vnuſquiſque indignationem concipere ex his, quæ ſuæ opi-
nioni repugnant, id omne maleuolentiæ potius quam veritatis ſtudio tribuens. Qui
nimo cum nec deeſſent qui dicerent in meipſum directa ea tela fuiſſe, nullam fidem
eis adhibendam duxi, nec enim qui in ephemeri das inuehitur, me arguere poteſt,
qui nullas ephemeridas ſcripſi, nec tabulas compoſui. Nec ſi author quidpiam ex
his quæ à nobis edita fuiſſent impugnare voluiſſet, ægrè ferre debuiſſem, modo à ve
ritate nuſquam deuiaſſet. Liberum enim eſt cuique ſcribere quodlibet.
nec Ari-
ſtotelem afficit iniuria, quicunque illi fidem ſuam non accommodat, & ſi valdè ini-
quus ſit, quiſquis maiorum opiniones veras, & ab omnibus merito comprobatas
admittit. Hinc mihi ſatis
rogauerãt
tractanda opus fuiſſet exercitatiore iudicio. Verumtamen cum tu vnus maxime om
nium deſideres tibi clarius, quæ nam de his mea ſit ſententia explicari, non tam tuis
precibus deuictus quam mea ipſius cupiditate de te benemerendi impulſus, non ſu-
ſtineo diutius animum tuum hęſitantem relinquere. Atque vt tibi adeo honeſta cu
pienti
ſus facundia deſtituto exaratis, ſed ex quibus nihilominus facile, atque perſpicue, vt
ſpero, conceptum animi noſtri percipere poſſis, ſi tamen eam præſtantis ingenij tui
aciem adhibueris, qua ſoles intima quæque ſcientiarum penetrare, noſtræ opinio-
nis ſummam perſtrinxi, quę ad te mittere decreui. & quamuis ipſa res de qua agitur,
quæ exactiorem deſiderat expoſitionem, prolixiorem me eſſe cogerit quam voluiſ-
ſem. multa tamen me obmiſiſſe intelliges, non admodum neceſſaria his quibus
Aſtrologiæ noti ſunt termini, vt tuarum occupationum rationem me etiam habere
intelligeres, at que vt ſummam oblectationem
parte ſatisfeciſſe intellexero ita humanitati tuæ gratiam habebo, quę mihi occaſio quæ grata eſſe poſſint tui ſimilibus,
ideſt
bus nunc ſum acturus.
erroribus Ephemeridum, & earum calculos ſequentium, & de ratione qua cognoſci
poteſt ſitus & locus alicuius ſuperioris planetæ, diuerſus ab eo, qui ab ipſis Epheme
ridibus aſſignatus eſt, ita diſputationem hanc meam diuidam in tres partes, quo ſci
licet minus confusè, & magis diſtinctè à me ſcribatur,
tere potes, huius ſcriptoris intentionem, aliam non fuiſſe,
res Ephemeridum diuerſimode eiuſdem temporis locum planetæ aſſignauere, &
quod eum faciant modo nimium velociter currere, modo nimium in vno ſigno mo-
rari, vt (exempli gratia) Martem interdum faciunt morari ſex, aut ſeptem menſibus
in vno ſigno.
careant certis fundamentis rationum quibus futura indicent, & prædicant. Primum
ergo videndum eſt, quam rectè hic vſus ſit arte, & ſcientia, vt aliorum opiniones, &
ſcripta redarguere poſſet. Deinde videbimus quomodo verum ſit, & poſſibile id
quod ab Aſtrologis hactenus creditum, atque traditum eſt, & qua ratione poſſint ſie
ri veri calculi à peritis regularum ſcientiæ.
In primo igitur tractatu inſcripto Animadnerſiones, præſupponit Author pro-
feſſores huius ſcientiæ neſcire inuenire vera loca planetarum, quia vtuntur Ephe-
meridibus, in quibus eorum loca non rectè ſunt notata. Quod ſecundum ipſum ori
tur, ex errore calculatorum, ſeu computiſtarum, potius quam ex varietate tabula-
rum, à quibus Ephemerides ſumptæ ſunt, hoc tamen verum non eſt, Ephemeridas,
ſcilicet, ita inter ſe differre, ratione errorum computiſtarum tantummodo, ſed po-
tius ratione ipſarum tabularum, & ſi interdum contingere poſſit error aliquorum mi
nutorum, nec non graduum, non propterea Ephemerides ita ſpernendæ ſunt. In
multis enim calculis, tales errores excuſabiles ſunt, cum ab innumerabilibus propè
accidentibus oriri poſſint, præſertim in calculis prutenicis.
Videatur deinde vbi is profert quinquageſimum enuntiatum centiloquij Ptole-
męi, ſatis mendoſe. Ptolemęus enim ibi ſic ait.
Non obliuiſcaris eſſe centum viginti coniunctiones, quæ ſunt in ſtellis erraticis,
in illis enim eſt maior ſcientia eorum quæfiunt in huncmũdum ſuſcipiendi incre-
mentum, & decrementum.
Nam, neque eo in loco, neque alibi, Ptolemęus quidquam eius dicere voluit
quod ab hoc profertur.
Pergatur poſtea in pag .2. & videbitur hunc exiſtimare abſurdum quod Saturni,
& Iouis coniunctio vera anni .1563. potuerit eſſe in Leone ſigno igneæ triplicitatis
cum eorum coniunctio vera anni .1544. fuerit in Scorpione, ſigno triplicitatis
aqueæ, & cum coitus eorum anni .1583. futurus ſit in Piſcibus, ſigno pariter tripli-
citatis aqueæ. Ita enim ait.
Nam poſtquam duæ ſtellæ coiuerint, non prius ſub alio alterius triplicitatis ſigno
inter ſe ſunt conuenturæ, quam per omnia ſigna quæ eiuſdem ternarij cum primo ex
titerint priusconiungãtur .Ita ſentit Ptolemęus,cæteriq́; non aſpernendi nominis
Aftronomi.
Et
& Alchibitius de eo
ctè dicunt, quia lineæ eorum mediorum motuum non coeunt in aliquo ſigno alte-
rius triplicitatis, prius quam pertranſiuerint omnia ſigna illius, in qua incęperunt.
gula. Fieri enim poteſt, vt lineæ mediorum motuum coniungantur in vno ſigno, cor
pora verò eorum planetarum coeant in alio, cum rarò eueniat, vt linea medij mo-
tus, eadem ſit cum linea veri.
Nunc quidem
ni .1563. fuiſſe potius in Cancro, quam in Leone. Sed tantum dicam
dere id eueniſſe propter ſimilem naturam, aut qualitatem ſignorum. Hunc enim
reſpectum non habent illi planetæ in verisſuis coniunctionibus. Exempli autem
cauſa ponamus, quod rectè ſupputatæ fuerint coniunctiones annorum .1484. 1504.
& 1524. quod attinet ad differentiam duodecatemorij, ſcilicet prima in .24. gradu
Scorpij, ſecunda in .20. Cancri, tertia in .10. Piſcium. Cum ſecunda anticipauerit
trigonum perfectum cum prima, gradibus .4. & tertia anticipauerit trigonum perfe-
ctum
fuiſſet in .2. gradu eiuſdem,
& tertia in .18. Aquarij, quæ ſigna ſunt diuerſæ triplicitatis ab illa Cancri. Inſuper
ſi coniunctio anni .1544. quæ fuit in .28. gradu Scorpij fuerit recta
cedenti
18. gradu Aquarij, illa anni .1544. fuiſſet in .6. Scorpij ſigni alterius triplicitatis
ſint Gemini. Præterea, vt anno .1544.
in .29. Cancri, ponendo eas eſſe rectas, quod attinet ad ſuperandum trigonum vno
gradu, ſi anno .1544. facta fuiſſet in .30. Scorpij, anno .1563. proculdubio facta fuiſ-
ſet in primo gradu Leonis. Et ſuppoſitis ijs interuallis, quæ ſuperſunt, aut deſunt per
fectis trigonis, ſi coniunctio anni .1524. fuiſſet in .20. gradu Piſcium, anno .1544.
fuiſſet in .8. Sagittarij. Quæ quidem omnia aduerſantur opinioni huius ſcriptoris.
Quodautem opinatur coniunctionem anni .1583. fore in Ariete, ſic dicens pagi
na ſecunda.
Non erit ab re ſi & eandem Saturni, & Iouis coniunctionem in primo igneæ tri-
plicitatis ſigno, quod eſt Aries futuram afferamus anno .1583. ſi ab accidentibus no
bis licet, vt ab omnibus paſſim conceditur, planetarum loca diſcernere.
In eo fallitur,
4.
contra
ſub
tequã
Vbi poſtea meminit magnæ periodi annorum .960. non tantum ei cogitandum
erat
ſed etiam perpendendum an eſſet vera, Hic enim fuit vnus
ex erroribus illius ætatis, quæ nondum penetrauerat intima huius ſcientiæ. Sunt
tamen illi antiqui excuſatione aliqua digni. Ponebant enim vigeſimo quoque an-
no præcisè fieri mediam coniunctionem Saturni
dem triplicitatis Itaque in qualibet triplicitate dicebant eos coire
duodecies.
Quod ſecundum primum ſuppoſitum finiebatur ſpacio annorum .240. qui nume
rus fit. ex .20. duodecies multiplicatis. Et quia triplicitates ſunt .4. ideo credebant
in ſpacio annorum .960. qui numerus fit ex .240. quater multiplicato, perfici .48.
iunctiones
cti fuiſſent. Primum autem ſuppoſitum, quod vigeſimo quoque anno
colligebant ſic ratiocinantes. Si Saturnus annis .30. peragit ſuum curſum per om-
nia ſigna Zodiaci, Iupiter autem peragit eum annis .12. Saturnus ambulauerit .4. ſi
gna, et .4. quintas partes ſigni, ſiue gra .24. dum Iupiter peragit integrum ambitum
ideſt annis .12. Itaque deſunt ei anni .8. ad perueniendum ad .20. quibus .8. annis Sa-
turnus
gnis .4. & gra .24. faciunt ſigna .8. quæ Iupiter item percurrit in annis .8. atque ita in
annis .20. Iupiter percurrit .20. ſigna
dem tempore perfecerit curſum ſignorum .8. Eandem concluſionem etiam fortaſ
ſe collegerant ex dictis ſuppoſitis, dicentes, ſi Saturnus annis .30. ambulat .12. ſigna
proculdubio annis .20. ambulat .8. ſigna, quo tempore Iupiter perambulat .20. ad ra
tionem .12. ſignorum in annis .12.
Verum hoc ſuppoſitum non eſt bonum, quoniam, ſi ita eſſet, coniunctiones
duorum planetarum nunquam exirent ex vna triplicitate, & non modo .960.
anno, ſed etiam ſexageſimo rurſus coniungerentur in eodem puncto. nec coniunctio
nes eorum (ſemper autem intelligo de medijs) unquam egrederentur ex illis tribus
ſignis Zodiaci.
Sed periodus æqualis Saturni, eſt dierum circiter .10740. atque ita minor an .30.
atque etiam .29. cum dimidio periodus autem æqualis Iouis, eſt circiter .4328. vt
ego eam comperio, quidquid alij
iodus Iouis, etiam minor eſt ann .12. prætermittendo in ſupputatione
Iouis quaſdam minutias horarum & earum partium, quæ hac in re pto nihilo habe-
ri poſſunt. Atque his duabus periodis eccentricorum duorum planetarum poſſu-
mus cognoſcere interuallum quod erit inter vtramque mediam coniunctionem, hoc
modo agendo, & ratiocinando.
Si Saturnus diebus .10740. circuit gradus .360. diebus .4328. qui ſunt periodus
Iouis, conficiet gradus .145. & min .4. ideſt min .8704. & eadem regula inueniemus Iupiter autem ſin-
gulis .30. diebus, conficiet min .149. & ſecunda .43. vnde ſubtrahendo minuta Satur-
ni à minutis Iouis, ſupererunt min .89. cum ſecun .23.
bus velocitate curſus, ſuperabit Saturnum minutis .89. cum ſecundis .23.
do, ſi minuta .89. cum ſecundis .23 dant nobis dies .30. ſupradicta, minuta .8704. da-
bunt nobis dies .2921. quibus iunctis cum diebus .4328. periodi Iouis, efficientur dies
7249. ideſt anni Aegiptij .19. cum diebus .314. & hæc erit æqua periodus temporis
inter vtranque coniunctionem horum duorum Altiorum planetarum. Vt autem pla
nius oſtendatur hanc operationem rectam eſſe (nam demonſtrationem
huius operationis in .113. Theoremate noſtræ Arithmeticę
poteſt his alijs calculis.
Si Saturnus diebus .10740. tranſit per gra .360. in ſpacio dierum .2921. tranſibit
per gradus .97. min .54. quibus iunctis cum gra .145. min .4. ſupra notatis, efticientur
gra .242. min .58. Deinde, ſi Iupiter ſpatio dierum .4328. tranſit per gra .360. igitur
ſpatio .2921. per eandem regulam inueniemus eum tranſire gradus .242. mi .58. qui
numerus par eſt illi Saturni. Cum ergo Iupiter confecerit vnum ambitum poſt con
242.
ad rationem graduum .360. diebus .10740. (poſſumus
termiſimus quaſdam exiguas particulas periodorum perfectorum cuiuſque planetę
in ſuperioribus ſupputationibus.) Illos verò gradus .43. Iupiter conſiciet diebus
2921.
ctione ad aliam intererunt anni .19. Aegiptij cum diebus .314. vel circa.
Nunc autem vt videatur an tabulæ Alfonſi conueniant cum hoc
ſiderabimus
rum tertiarum ſexagenarum, ſecundæ nullius, & 53. Et per
Eram colligendo motum mediocrem, tum Saturni, tum Iouis, omiſſis radicibus, & in
cipiendo ab Ariete, comperiemus
bunt per min .56. tertij gradus Sagittarij, ideſt coniunctæ erunt.
In fine poſtea ſecundæ periodi, cuius era erit .4. tertiarum, ſecundæ .1. et .47. pri-
marum ſexagenarum, locus mediocris In
fine verò tertiæ periodi, cuius era erit .6. tertiarum .2. ſecundarum, et .41. primæ, lo-
cus eorum mediocris inuenietur in .56. minuto gradus .9. Arietis.
in fine
diocri præcedentis coniunctionis gradibus .117. ideſt in trigono antecedenti, minus
gra .3. Vnde apparet has coniunctiones procedere in contrariam partem reſpectu or
dinis
dine per ternos gradus nunquam retrogradientes. Hinc ſe quitur, vt non duodecies
in omni triplicitate coniungantur hi duo planetę, vt antiqui putauerunt, ſed decies
tantum. & ad ſummum ter in ſingulo ſigno, ſpatio annorum .198. & dierum .220. aut
circiter, non autem .240. nec .242. Atque decem vices comprehendunt gra .27. &
vltima vice inueniuntur in ſigno ſequenti alterius triplicitatis. Exempli gratia, po-
namus Sagit-
tarij, tertia. in .8. Leonis. quarta in .11. Arietis, quinta in .14. Sagit .6. in .17. Leonis.
ſeptima in .20. Arietis, octaua in .23. Sagittarij, nona in .26. Leonis, decima in .29.
Arietis, et vndecima erit in gra .2. Capricorni ſigni Decem igi
tur interualla ſingula annorum .19. & dierum .314. faciunt annos .198. & dies .220.
Immo pertabulas Alfonſi, eiuſmodi periodus non modo non reperitur
nec .240. vt antiqui credidere, ſed tribus diebus minor annis .198. & diebus .220. id-
eſt per dictas tabulas inuenitur eſſe annorum .198. & dierum .217. tantum, qui nume
rus multiplicatus per .4. triplicitates, efficiet periodum maiorem, quæ erit annorum
794. & dierum .138. quo tempore dicti planetæ redeunt ad eundem locum vbi pri-
mum ſe coniunxere.
Vt exempli gratia, locus mediocris Saturni & Iouis in fine annorum .198. dierum
217. reperitur in gradu .30. Sagittarij. Si quæſiuerimus hunc locum per
annorum .794. & dierum .138. cum annis .198. & diebus .217. quorum ſumma eſt
992.
du Sagittarij. Sed ſi quęſiuerimus eorum locum mediocrem per aggregatum anno
rum .198. & dierum .217. cum annis .960. quod erit ſumma annorum .1158. &
217. reperiemus Iouem in gradu .18. Sagittarij & Saturnum in .16. Leonis diſtanti-
bus inter ſe duabus eorum lineis motuum mediocrium gra. circiter .122.
ter præcedet, & oportebit
omittendo (vt dixi) radices, quia ſatis eſt inuenire interuallum inter lineas eorum me
diorum motuum.
Debebat igitur author animaduerſionum non quaſi cæcus eæcos ſequi, ſed prius
laborare, vt certior fieret, an interuallum annorum .960. Verum eſſet.
Sed peius eſt,
planetarum anni .1493. et .1512. quas neſcio vnde ſumpſerit.
Nam, etſi inter hos annos eſt interuallum annorum .19. tamen tantum abeſt, vt
coiuerint dictis annis, vt Saturnus anno .1493. ante finem Auguſti fuerit in .28. gra-
du Aquarij, Iupiter verò in .28. Leonis ex diametro oppoſiti. Et anno .1512. per to
tum menſem Iunium & Auguſtum, Saturnus fuerit in Libra, Iupiter verò in Ariete,
itaque inter ſe ſimiliter oppoſiti, & ſi perfecta oppoſitio non fuit poſtea niſi ad
Iunij ann .1513. & locus Monteregij ab eo citatus, vbi ait eum ponere coniunctio-
nem anni .1484. in gra .23. min .4. Scorpij, eſt mendoſus.
Nam ipſe Montere gius po
nit dictam coniunctionem in mi .42. gra .24. non autem in min .4. ipſius gradus. Sed
hic error nullius eſt momenti, fortaſſe qui impræſſorum incuria irrepſit.
Pergatur poſtea obſecro ad paginam .3. ipſarum Animaduerſionum, vbi hic co-
natur oſtendere calculatores non obſeruaſſe verum modum, ſic dicens.
Anno .1484. Nouembris .25. Saturno locum conſtituit Monteregius in grad .23.
min .4. Scorpij.Anno poſtmodum ſubſequenti qui eſt .1485. eundem in min .7. Sa-
gitarij collocat .21. Februarij die.Interq́; tempora duo interſunt menſes dies .26.At cum ex motus ſui natura Saturnus hoctemporis ſpacio gradus .4. non debeattrã- , ſit tamen inter
ſcenderevtrunq; tempus differentia graduum .7. minutorum .3. quæ
ratione ſui motus requirunt menſes .6. vt eos perficiat, conſtat pluſquam tribus men
ſibus fallere nos Saturnum.
Hic videre licet quam veram viam hic ſecutus ſit ad aperiendos errores Epheme
ridum, & miſeri Monteregij, qui Saturnum claudum facit tantum itineris conficere
tribus Sed fortaſſe
Si motus naturalis Saturni facit vt circumeat totum cęlum annis .30. igitur menſi-
bus .30. conficiet duodecimam partem circuitus, cum menſes .30. ſint duodecima
pars annorum .30. & quia duodecima pars circuitus cęli intelligitur conſtare ex .30.
gradibus, igitur quilibet menſis poſtulabit gradum vnum. Ideo illi .6. aut .7. gradus
poſtulant tempus, amplius menſium ſex.
Atque eiuſmodi mira ratiocinatio poteſt in .2. exemplo eius, inſcripto.
Deeodem ex eodem
Vbi miratur,
bus .7. & diebus .6. Ad quod iter Saturnc ſeni opus eſſet ſaltem menſibus .9. eius
iudicio.
Sed ſi hoc miratur, quid dicturus fuiſſet, ſi animaduertiſſet, quod idem calculator
Monteregius facit Saturnum ambulare immo volare gra .9. min .48. non in 7. ſed in
2. menſibus cum dimidio, videlicet à .10. die Iunij vſque ad .26. Auguſti
ni .1504.
Quid ſi etiam animaduertiſſet
anni ſequentis, faciunt Saturnum, ſurſum, deorſum curſitare amplius gra .17. mi .54.
Imino ſi animaduertiſſet, quod anno .1524. Stoflerinus ab initio anni,
medium Maium, ideſt menſib .4. cum dimidio, facit Saturnum ambulare gra .15. Pro
fectò ob has velocitates, eius iudicio, tam abſurdas, obſtupuiſſet.
Vbi autem in tergo eiuſdem paginę ait, quod gradibus .13. min .42. reſpondent
menſes .19. errauit in calculo, nam ex eiuſmodi tempore ſecundum eius regulam ef-
Videamus nunc vbi agit de Ioue, & reperiemus
1484. repręhendit Monteregium, quia facit Iouem ambulare gradus .14. cum min
6.
ita ſecundum ipſum, Ioui opus eſſet anno vno pro ſingulo medio ſigno. Vbi bonus
hic vir pariter cæcutit.
Idem in ſecundo exemplo ſumpto à Stoflerino ait,
dus, & min .5. opus eſt diebus .30. non autem menſibus .7. & diebus .28. vbi oſtendit,
ſe paruum diſcrimen facere inter Iouem, & Saturnum.
Miratur poſtea
ſex in vno gradu. Sed multo magis, vt puto, miratus eſſet, ſi vidiſſet, quod idem
Stoflerus in eodem anno facit, quod Iupiter die .4. Ianuarij ſit in eodem puncto, in
quo poſtea reperitur die vltima Auguſti. At fortaſſe dici poſſet, quod Iupiter pro-
pter prudentiam, & bonitatem ſuam factus eſt R ex omnium Deorum, vt ait Home-
rus, & ideo expulit è ſede Saturnum, & aſcendit in altiori cœlo. Vnde euenit vt fa-
ctus fuerit lentior in curſu, Saturnus autem velocior. Aut iam tot annos eſſe na-
tum Iouem, vt iure credi poſſit eum iam factum eſſe ſenem, & pariter tardio-
rem in ſe aut
Caliſto. Aut fortaſſe erat in alta ſpecula intentus audiendo ingenti certami-
ni Timoclis & Damidis, vnde pendebat exitium aut gloria familiæ ſuæ, nam alio-
quin Stoflerus non depræhendiſſet eum tam otioſum & morantem. Sediam relin-
quamus Saturnum & Iouem, & ad Martem veniamus.
Ferox & inquietus Mars, qui ſemper bella & ignes ſpirare ſolet, etiam, & ipſe ab
Aſtrologis factus eſt piger, & languidus, vt velint eum nonnunquam commorari
in vno ſigno ſex aut ſeptem menſibus; quod nullo pacto placet authori Animaduer-
ſionum, cum pag .4. ita ſcribat.
Quod citra notam, ab omnibus creditur poſſe obſeruari, quamuis à nobis non ac
cipiatur.
Itaque ei videtur impoſſibile.
Quia Mars peragit ſuum eircuitum minus .2. an-
nis. Sed audacior fuiſſe videtur, qui voluerit arguere tot egregios viros antiquos,
& recentiores, qui vti diligentes rerum cœleſtium obſeruatores, ipſis oculis certi fa
cti ſunt tam de his effectibus Martis, quam aliorum, vnde coacti ſunt fingere tantam
magnitudinem eius epicycli, cum ipſe nunquam obſeruauerit motum, nec huius nec
alterius planetæ, ſed tantum viderit eius moram in Ephemeride ſcriptam. Si enim
ſaltem diceret, ſe aliquo tempore obſeruaſſe iter Martis, & comperuiſſe aliorum opi
nionem falſam, attuliſſet aliquem colorem ſententiæ ſuæ. Sed ſi obſeruaſſet, non
ſcripſiſſet poſtea contra, vt puto. Res enim ita ſe habet, quod Mars in omni circui
tu ſui epicycli tranſiens per inferiorem partem ipſius epicycli, ſemper commoratur
multis menſibus in vno duodecatemorio Zodiaci, ſcilicet .6. et .7. menſibus, atque
etiam amplius, quod quidem ego ſæpe obſeruaui, præſertim anno .1565. et .1566.
hoc ordine. Primum inſpiciens Ephemeridas ſtadij, reperi
egrediebatur retrogradationem circa diem .12. Ianuarij anni 1566. in .16. grad.
Geminorum. Et ſimiliter quod anno .1565. die vltima Auguſti Mars futurus erat in
eodem ſupradicto loco, priuſquam retrogradi inciperet. Poſtea inueni, quod poſt
retrogradationem die .11. Aprilis .1566. Idem Mars futurus erat in gra .16. Cancri,
menſium .7. & dierum .11.
Quo ſupputato, ſumpſi inſtrumenta, & ad experimentum me paraui, & vltima
nocte menſis Auguſti anni .1565. reperi Martem eſſe in dicto gradu geminorum vt
ſcribebat Stadius. Deinde ſingulis ebdomadibus obſeruans retrogradationem;
vidi
circa finem Octobris quod retrogradi incipiebat, & ea retrogradatio perſeuerauit
vſque ad medium menſem Ianuarium, aut circiter, anni .1566. obſeruaui poſtea
etiam ſitum eiuſdem planetæ die .11. Aprilis ſequentis
Cancri, vti eum poſuerat Stadius. Atque ita experimentum meum conuenit cum
calculo Stadij, Et ſic quiſque binis
rit certior fieri de veritate. Si autem delectationis cauſa id experiri volueris, expe-
ctato primam retrogradationem Martis, cuius initium ſecundum Stadium futurum
eſt circa diem .20. Nouembris anni .1582. & finis circa diem .10. Februar .1583.
circa grad .9. Cancri, & animaduerte quando Mars erit circa dictum gra .9. Can-
cri prius quam retrogradi incipiat, quod erit circa diem .19. Septem .1582. Dein-
de aſpice quum erit in grad .9. Leonis, quod erit circa diem .7. Mai .1583. & vide-
bis
lum facias, obſerua noctem præcedentem diei .19. Septem .1582. locum
eius ſtellæ, & idem poſtea obſerua nocte præcedente diei .7. Mai, aut nocte ſequen-
ti .1583. & inter duos hoſce terminos obſerua aliqua alia nocte ſtatum eius. Mani-
Et quicunque aliquid intelligit in hac facultate quamuis non viderit Ptolomęi
Almageſtum, minori labore poſſet per calculos ſcientificos colligere verita-
tem, ſuppoſitis tamen terminis ſcriptis in theoricis planetarum. Qui enim vidit
Almageſtum vel reuolutiones orbium cœleſtium Nicolai Copernici, non poteſt de
hoc vllo pacto dubitare. Sed qui nondum tantopere progreſſus eſt,
rei notitiam vniuerſalem, hoc modo. Supponat primum eccentricitatem deferen-
tis epicycli Martis, eſſe .6. partium
deferentis, & ſemidiametrum epicycli eſſe, partium
& quod argumenta vera, in temporibus primarum ſtationum ( cum epicyclus eſt in
auge, aut in eius oppoſito, aut in
tata ſint, ſicuti ſunt. Et præſupponat motum diurnum centri epicycli. min .31. cum di
midio, quamuis reuera ſit min .31. & ſecundorum .27. aut circiter, nunc
mittens, quod vnus habeat reſpectum ad augem mediam epicycli, & alter ad cen-
trum æquantis. Atque his præſuppoſitis fingat ( exempli gratia ) quod centrum
epicycli ſit in quauis longitudinum mediarum, & Mars in prima maxima æqua-
tione argumenti, ſcilicet in prima linea, quæ attingens epicyclum, à centro mundi
pergat ad circunferentiam Zodiaci, quæ erit illa linea
Mars perget ad lineam primæ ſtationis, vt poſtea retrogradiatur, veluti ſi in infrapo
ſita figura maiori,
neis medio cribus longitudinum eſſet .o.c.f. & centrum epicycli .c. qui notabitur per
a.f.e.g. & lineæ contingentes epicyclum in punctis .i. et .t. ſint notatæ .o.i. et .o.t. & li-
nea primæ ſtationis .o.n.b. & linea ſecundæ .o.u.d. ſi igitur Mars eſſet in puncto .i. an-
gulus .i.o.e. maximæ æquationis argumenti eſſet gra .40. minut .55.
ma æquatio argumenti in longitudinibus mediocribus Alfonſi ponatur eſſe gra .41.
minut .10. quod euenit quia calculatores ipſarum tabularum interuallum .o.c. quod
in eo ſitu epicycli interponitur inter centrum mundi, & centrum dicti epicycli, ac-
ceperunt partium ſexaginta præcisè, nihili facientes minuta illa .18. aut circiter, quę
verè ſunt præter dictas partes .60. quandoquid em euenit vt dictum interuallum in
ribus eſt ſemidiameter eccentrici partium .60. pręcisè, aliud eſt interuallum eccen-
tricitatis partium .6. eiuſmodi. Angulus ergo .i.o.c. vt dixi, erit partium .40. minu
55.& cum centrum
eius eſt in auge eccentrici. eſt minimus
46.
& ſic continuò variatur, ſecundum ſitum, quem habet epicyclus in eccentrico. Qui
quidem angulus inuenitur per doctrinam .27. et .28. libri primi Monteregij de trian
gulis. Nam triangulus .c.i.o. eſt ſemper rectangulus in puncto .i. & latus .c.i. reſpectu
ſemidiametri eſt datum. Quod .c.i. erit veluti partium .39. cum dimidia, et dictum
interuallum .o.c. veluti pat
veluti partium .60. talium, & cum .c.o. ſit linea veri motus epicycli, & latus ſimiliter
vnius trian guli, cuius duo latera ſunt ſupradicta, ſcilicet ſemidiameter eccentrici, &
eccentricitas, inter ſe compræhendentes angulum datum. Nam ſemper præſuppo
nitur datus locus centri ipſius epicycli, cum ipſe eſt extra augem aut oppoſitum eius
quia in auge linea .o.c. conſtat ex ſemidiametro eccentrici & interualli eccentricita-
tis. & in eius oppoſito, ipſa linea .o.c. eſt minor dicto ſemidiametro eccentrici per in
teruallum dictæ eccentricitatis. Vnde etiam poſſumus extra augem, vel oppoſitum
eius cognoſcere .o.c. tanquam latus dicti trianguli duorum laterum
torum.
angulus Nam ſi fuerit rectus videbitur per .27. et .28. ſupra citatas.
Cum igitur hab eamus angulum .c.o.i. gra .40. mi .55. angulus .o.c.i. tanquam reli-
quus exrecto, erit grad .49. mi .5. cui reſpondet arcus .i.g. epicycli confectus à Marte
in diebus circiter .105. ad rationem min .28. aut circiter in ſingulos dies, prætermiſ-
ſis nunc quidem minutijs cum exigui momenti ſit error .15. aut .20. dierum ad verifi
cationem longæ morę Martis in vno duodecatemorio, atque per hoc tempus cen-
trum epicycli conficit gradus .55. min .7. aut circiter, ad rationem minutorum .31.
dimidio in ſingulos dies. qui numerus graduum .55. min .7: differt à numero
40. min .55. maximæ æquationis argumenti gradibus .14. mi .12. nec refert quod gra
55.
quia differentia non eſt tanta, vt poſſit inducere errorem menſium. Hinc ſequitur
quod in fine dictorum dierum .105. Mars erit in linea .o.c. veri motus epicycli, ſed
gradibus .14. min .12. vlterius quam in primo loco, in quo erat in Zodiaco, & erit in
medio ſuæ retrogradationis. Sed quoniam Mars manifeſtè retrogradi non incipit
in puncto .i. conting entiæ, imo ab illo puncto vſque ad terminum primæ ſtationis li
neæ .o.n. interponitur arcus .i.n. epicycli, qui eſt graduum .32. minu .14.
ſcitur ſubtrahendo arcum .f.i.n. graduum .163. mi .9. qui eſt inter augem, & primam
ſtationem, à gradibus .180. ( qui arcus .f.i.n. erit verum argumentum, quod ſi-
militer variatur ſecundum ſitum epicycli, etſi eiuſmodi varietas, nobis
momenti, vnde poſſumus præſupponere, quod .c. centrum epicycli non alteret
teruallũ
n. graduum .16. min .51. ſubtrahendo ex arcu .g.i. graduum .49. minuti .5. vnde reli-
quus nobis erit arcus .n.i. graduum .32. min .14. in eiuſmodi tamen ſitu mediocrium
longitudinum. Nunc hic arcus epicycli graduum .32. mi .14. fit à ſtella Martis die-
bus .69. ad rationem ſupradictam, omittendo quod ipſa ſtella habeat reſpectum ad
augem mediocrem epicycli, & quod dicta aux mediocris mutet diſtantiam à vera
propter motum epicycli, quod nunc quidem parui refert, in quibus diebus .69. cen-
Reſtat nunc no-
bis inuenire angulum .b.o.c. in centro
eſt primæ ſtationis, altera eſt veri motus epicycli, quod facilè intelligemus per di-
ctam .49. lib. 1. Monteregij, cum duo latera .n.c. et .c.o. & angulus .n.c.o. ſint nobis no
ta. Hoc autem fiet fingendo lineam .n.h. perpendiculerem ad .o.c. quæ tanquam ſi-
nus anguli .n.c.h. erit partium .28986. talium qualium .n.c. eſſet partium .100000. &
c.h. tanquam ſinus anguli .c.n.h. reſtantis ex vno recto, erit partium .95706. dicendo
poſtea ſi .n.e. tanquam ſinus totalis partium .100000. dat nobis .n.h. partium .28986
quid dabit nobis diameter .n.c. tanquam partium .39. mi .30. inueniemus .n.h. venire
nobis ex partibus 11. mi .27. & idem faciendo de .c.h. inueniemus quod veniet no-
bis partium .37. mi .48. quibus ſubtractis extota .c.o. quę eſt
erit nobis .h.o. partium .22. min .30. capiendo poſtea radicem
drati .n.h. cum quadrato .h.o. veniet nobis .n.o. partium .25. min .12. talium qualis .n.
h. eſt partium .11. min .27. ſi igitur ad .o.n. tanquam partium .25. min .12. reſpondet .
n.h. partium .11. minuti .27. linea .n.h. ad .o.n. tanquam partium 100000. reſpon
debit part .45436. tanquam ſinus anguli .n.o.h. qui angulus erit gra .27. minut .1. ſub
tracto poſtea hoc angulo ab angulo .c.o.i. graduum .40. minut .55. remanebit an
gulus .n.o.i. graduum .13. minut .54. inter lineam contingentiæ, & lineam primæ
ſtationis in eiuſmodi ſitu. Et ideo Mars acceſſerit ad lineam .o.c. veri motus epi-
cycli. Sed quia linea .o.i. contingentiæ, propter motum centri epicycli, in dictis die-
bus .69. confecerit gradus .36. minut .13. ( præſuppoſita ſemper eadem di-
ſtantia .o.c. quamuis nonnulla ſit differentia, quam nunc prætermittemus ) & Mars in
dicto tempore retrogreſſus fuerit per dictum angulum gra .13. mi .54. quibus dedu-
ctis, ex .36. & min .13. reſtabunt gra .22. min .19. itaque in diebus .69. Mars promo-
tus fuerit a primo ſitu gra .22. min .19. aut circiter, prius quam retrogradatio eius in-
cipiat eſſe appa-
rens.
Nunc à prima
ſtatione vſque ad
epicycli ſunt gra
16.
epicycli, vt ſupra
tranſit in diebus
36. aut circiter ad
rationem min .28.
in ſingulos dies,
quo tempore cen
trum epicycli, in
tali diſtantia à
tro
ret gra .18. mi .54.
ad rationem min
31.
in ſingulos dies,
gra .27. min .1. an-
Mars erit in linea .o.c. veri motus epicycli. Quibus gradibus .8 min .7. ſubtractis à
grad .22. minu .19. per quos Mars progreſſus erat, ſupererunt grad .14. minut .12.
quibus ipſe in media retrogradatione exiſtens in linea .o.c. veri motus epicycli pro-
motus erit à principio primi ſitus. Quod cum eo concordat quod ſupra diximus cir
ca hos gradus .14. min .12. vltra primum ſitum in ſpatio dierum .105. vt ſupra, ad
tum enim aſcendunt .69. et .36. nunc fingendo
ſito qui conſtat ex his duobus circulis, vi eccentrici, & epicycli ( quanquam
vt dixi omittimus illam ſummam ſubtilitatem ſeu ſcrupuloſi
litatis diſtantiæ centri epicycli à centro mundi, & præterimus etiam
eius circa centrum mundi, propter regularitatem eius circa centrum æquantis,
atque etiam miſſum facimus motum epicycli recti à ſua media auge ) fingendo
inquam, quod Mars dicto motu ſuo pergat, vſque ad punctum ſecundæ ſta-
tionis, præteribunt alij dies .36. vt prius, quibus iunctis cum .105. fiet ſum-
ma dierum .141. & Mars retrogreſſus erit per alios grad .8. minut .7. quibus ſub-
tractis a gradibus .14. m in .12. per quos progreſſus erat ſupererunt. gra .6. min .5. qui
bus ipſe Mars in fine ſuæ retrogradationis promotus erit à primo loco vnde moueri
cœpit. Inter hanc igitur ſecundam ſtationem lineæ .o.u.d. & lineam .o.t. ſecundæ con
tingentiæ, Mars diebus .69. vt prius, confecerit gradus .32. min .14. ſui epicycli, & eo-
dem tempore linea contingens .o.t. ambulauerit gra .36. min .13. vt prius, à quo itine
re ſubtracto angulo ſecundo .d.o.t. graduum .13. min .54. ſupererunt gra .22. min .19
vti prius, quos Mars ambulauerit directè & apparenter, quibus additis ad gra .6. mi
nut .5. quibus Mars progreſſus erat à principio motus, fient gra .28. min. circiter .24.
quibus proceſſerit à priori loco in diebus .177. ideſt in .141. et .36. qui ſunt ferè m. n
ſes .6. Itaque Mars partim ſurſum partim, deorſum ambulans detentus erit
6. in grad .28. Zo-
diaci,
clus
ſus oppoſitum au-
gis,
ra planetæ in eiuſ
modi duodecate-
morio, propter au
gumentum æqua-
tionis argumenti. Itaque probata à
nobis eſt poſſibi-
litas huius moræ
Mattis. Quod qui
dem mihi ſuffice-
re videtur
do cibi, ſed etiam
cuiuis, qui harum
ſcientiarum prin-
cipia teneat. Ne-
que enim
cere volo eos qui
Satis igitur ſit
oſtendiſſe, quod qui ſcripſit Martem commorari poſſe tam multos menſes in vno ſi
gno, non impoſſibilem rem tradidit. Immo per obſeruationes huius veritatis mil-
lies factas, Aſtrologi fecere ſupradictas ſuppoſitiones neceſſarias ad
ſuas cauſas, & ad regulam, eiuſmodi veriſſimos effectus.
Non oportebat autem ſcriptorem harum animaduerſionum tantopere eiuſmodi
mora commoueri, ſed cogitare
ſer Mars à Vulcano rete vinctus erat. Vnde cum nonita celeriter ſe expedire poſſet
iter eius ſegnius peractum fuit. Aut
& agilitas per aliquantulum temporis imminuta fuit. Atque ſi hic etiam intellexiſ
ſet eum
ſes
in illis tuis pulcherimis dialogis. non exiſtimaſſet, credo, tam abſurdum quod alius
ſibi vellet tam longa captiuitas.
Sed vt ad rem redeamus.
Idem pag .4. ait, quod verus motus Martis diſtat à me-
dio circiter dies .8. ſupponens medium motum eſſe dierum .683. Sed vtcunque ſit, fallitur.
Solet enim periodus veri motus Martis eſſe die-
rum circiter .708. modo paulo plus, modo paulo minus, & interdum poteſt etiam
eſſe multo breuior, ſicuti erit à die 3. Decembris anni .1593.
1595.Tunc enim erit tantum dierum .545. & non quidem ſine ratione, nam dicto
initio Decembris Mars paulo ante cæperiteſſe directus, cum centrum epicycli erit
circa medium Tauri, & eius ſtella in principio Arietis & initio Iunij .1595. Mars pa
rum diſtabit ab initio retrogradationis, regreſſus tamen ad initium ipſius Arietis, &
centrum epicycli erit circa medium Aquarij, in cuius ſigni medio, hac ætate repe-
ritur oppoſitum augis, & in quo ſitu, æquationes
poſſint, quum centrum epicycli circuiuerit ſolum circiter tres quartas totius ambi-
tus, & Mars circuiuerit per partem ſuperiorem epicycli circiter gradus .252. Hoc au
tem dico, vt oſtendam poſſibilitatem huius eius extraordinariæ velocitatis. Nam
Vbiautem poſtea idem author miratur interualla, quæ
nes Iouis, & Martis in eodem ſigno,
ctè conſideraſſe motus eorum. Et præcipuè primum miratur
et .1553. Iupiter & Mars nunquam coeant in Leone, cum hæ duæ coniunctiones in
ter ſe diſtent ann .25. afferens pro ratione, quod hæc duo ſydera, altero quoque anno
coniunguntur, ſic dicens.
Qui ſciet has duas ſtellas ſecundo quoque anno inter ſe coniungendas, mirabitur
quomodo non poterunt numeratores, huiuſmodi animaduertere errores.
Et præter hanc
piter Mars
Vnde im
poſſibile eilvidetur eos non conueniſſe in dicto ſigno.
coniunctionibus eorundem planetarum, atque has differentias temporum inter di-
ctas coniunctiones ipſe tribuit erroribus calculorum Ephemeridum, non autem ta-
bularum, vt ſupra dixit. ſed neſcio quare vellet dictos planetas coire in Leone, ſi
quum Iupiter in eo erat anno .1540. et .1541. & in eo
erat
Cancrum, in quo cum repertus fuit anno .1541. cogitans congredi cum loue in Leo
modi Aſtrologos in admirationem induceret.
Idem dico de alijs coniunctionibus horum duorum.
Quod poſtea ait, eos ſecundo quoque anno coniungi, animaduertendum eſt,
(vt
diorum motuum, altera corporum eorum, ſaltem in longitudine, cum ambo inue-
niuntur in eodem circulo, qui tranſit per polos ecclipticæ, nam eos inueniri in
linea recta Atque coniunctio ſupra di-
ctarum linearum vocatur media, & inter Iouem & Martem fieri ſolet ſpatio
816. cum dimidio, aut circiter. Altera
quæ quidem non ſeruat tempus determinatum. Quare quamuis altero
no coniungantur; & Iupiter duodenis annis tranſeat per totum Zodiacum, non ideo
neceſſe eſt, vt in ſpatio .24. annorum coniungantur in ſingulis ſignis, nunquam in eo
deſicientes, vtipſe credit loquens de veris coniunctionibus apparentibus, eo quod
ſint irregulatiſſimæ, vt dixi.
Atque ſi quis velit inuenire periodum coniunctionum mediocrium horum duo-
rum planetarum, ita faciendum erit. Sumat periodum motus mediocris Iouis, quę
eſt dierum .4328. & Martis, quæ eſt dierum .687. in quo tempore Martis, Iupiter am
bulat gra .57. min .8. & diebus .30. conficit. grad .2. minut .29. & ſecun .23. ad ratio-
nem gra .360. in diebus .4328. Mars verò ad rationem
ſingulis .30. diebus conficit. gra .15. mi .43.
duum .13. mi .15.
dies .30. quibus addendo periodum Martis fient
816.Atque hęc eſt periodus infallibilis mediarum con
iunctionum Iouis cum Marte.
Nunc venientes ad tabulas Animaduerſionum, videbimus hæc mirabilia eius, in
quo conſiſtant & vbi ſint tam multi inſignes errores.
Primum igitur neminem later quod calculus Saturni, à Leouitio editus, difert à
calculo Stadij circiter gra .2. aut .3. cum Leouitius faciat eum progredi per
teruallum, modo plus, modo minus, & ſimiliter Iouem. ſed longe minori diffe-
rentia, & ſępe gra .1. minus, atque in alijs planetis differunt, modo plus, modo minus. Huic igitur
ribus menſibus in vno ſigno, & alter in alio, non animaduertens dictam
eſſe eius rei cauſam. Miratur item, quod vnus ex is faciat Saturnum morari paucis
menſibus in vno ſigno, alter vero eum ibi detineat integris annis. Vt exempli gra-
tia, verſus finem ſuæ tabulæ Saturni, dicit quod Leouitius eum carceri includit in
geminis annis .2. menſe vno, & diebus .9. Stadius vero clementior eum liberat intra
menſes .3. & dies .14. Sed hic non cogitat, quod Stadius facit eum ingredi in gemi-
nos anno .1559. die .10. Iunii, & ambulare directum vſque ad diem .6. Septembris,
eiuſdem anni gra .6. min .34.
eiuſdem anni, cum ingreditur in Taurum, vbi partim retrogradus, & partim dire-
ctus manet vſque ad diem .20. Februa .1560. rediens poſtea in geminos, in quibus
manet vſque ad diem Iunii .1561. & inde ingreditur in Cancrum,
ctus. gra .4. min .59. vſque ad diem .4. Octob. Vnde retrogradiens rurſum intratin Ge
minos die .28. Decemb. eiuſdem anni, at que ibi partim retrogradus partim directus
manet vſque ad diem .12. Apr .1562. itaque in pluribus vicibus facit eum morari in
Geminis dies circiter .816. ideſt circiter menſes .27. ſumpſit autem hic ſcriptor bre
apparere maiorem. Tamen in quouis dictorum temporum nunquam inuenietur
Leouitius differre à Stadio plus gradibus tribus integris. Idem fecit in multis alijs lo
cis dictorum virorum eos conferens tum in Saturno tum in Ioue, & Marte,
gnum eſſe errorem,
vel directus vel totum retrogradus. Atque hæc opinio ſimilis eſt ſuperiori de con
iunctionibus veris Saturni, & Iouis, vbi dicit quod nunquam coniunguntur in vno ſi
gno alterius triplicitatis, niſi perfecerit coniunctionem in omnibus ſignis primæ tri
plicitatis. Verum vt ſuperſedeam vlterius diſputare, mihi videtur, quod hactenus
dixi, poſſe tibi ſatisfacere, quod attinet ad ſciendam ſententiam mean ſuper dictis
Animaduerſionibus latinè ſcriptis. Hoc tamen non prætermittam,
maduertit,
& Stadij, euenere, quia vnus ſupputat
Reinoldi ex Copernico recentius obſeruatis, ita idem euenire poterit futuris tem-
poribus, ſi ſupputati fuerint dicti motus, & loci cum recentioribus obſeruationibus
cum impoſſibile ſit tam ſubtiliter, tanq́ue perfectè ſupputare loca &
vtlungo interuallo temporis non comperiantur in eis aliquæ differentię, cuius rei re
medium eſt ſemper ſequi recentiores obſeruationes & tabulas.
Atque vt tibi ſatisfaciam etiam circa alia ſcripta vulgari lingua edita menſibus .4
poſt latina, etſi intelligere potes, qualia poſſint eſſe alia eius ſcripta, ex ijs quæ ſupra
dicta ſunt, atque etiam ex eo, quod dicit ſemiſiſſe multa exempla ſuarum Animad
uerſionum in varias terras, illis qui profitentur has ſcientias, aut earum ſtudioſi ſunt,
nec
quis reſponderit eius rationibus; laudabilem prouinciam, autem puto,
correctionem ephemeridum, verens, ne culpa calculatorum, qui eas ſumpſere e ta-
bulis, tam differentes ſint, vt Videtur, & præcipuè vbi ſic ait.
Perche eſſendo impoſſibile alli ſtudioſi di dette ſcientiæ di non ſeruirſi delle
ephemeridi, maggiormente a quelli che non ſanno ſeruirſi delle tauole, e cono-
ſcendo d'incorrere in errori ſenza hauerui altro rimedio, ſarebbono forzati di ab
bandonare i ſtudij loro.
Quanquam circa finem dicti capitis redeat in meliorem viam & aduerſetur ſi-
bijpſi vbi ſic ait.
Che poi eſſi poſſeſſori della ſcienza, & c.
Etiam aperiam tibi, quæ mea ſit de ijs ſententia.
Hicigitur in ſcriptis Italicis, vt morderet aliquem ex ijs, qui eius ſuperiora ſcripta
non laudauerant, occaſionem capit aperiendi aliquos illius errores, per editionem
collationis quorundam calculorum a ſe collectorum illius, atque etiam aliorum, cu
ius calculi ſunt in ſecunda, & ſeptima figura. Sed prius quam veniamus ad defenſio
nem harum duarum figurarum vide obſecro quam alienum ei videatur, quod alij
dixerint differentiam ephemeridum non eſſe magni momenti, non afferens reſpe-
ctum vllum, qui enim dixerunt eiuſmodi differentiam non eſſe magni momen-
ti id dixerunt habito reſpectu ad ſignum in quo eſt planeta, vt (exempli gra-
tia) quamuis in ponendo loco Saturni Leouitius interdum differat à Stadio gra
dibus .3. quum vterque eum ponat in eodem ſigno, tuncid nullius momenti eſt,
& ſic in coniunctionibus aut alijs aſpectibus duo, aut .3. gradus non faciunt alteratio
nem ſenſibilem, cum virtus coniunctionum, & aſpectuum inſit, & duret per mul-
tos gradus ante aut poſt ipſum punctum. Nec quicquam
præſtaret ſcire ſubtiliter ipſum punctum. Nec vnquam fuit aliquis qui negauerit
Et præterea in ephe
meridibus videntur certè motus & aſpectus luminarium, quamuis inſit
nutorum. Nam non differunt gradibus, præter ſitum parum diſtantem à vero om-
nium planetarum, quorum cognitio in cœlo, quamuis circa eorum locum error eſ-
ſet gra .10. tamen in hoc prodeſſet, & tempus aſpectus eorum, etſinon diei præcisè,
quia influentia eiuſmodi a ſpectuum, præterquam Lunæ durat multis diebus, & non
vno tantum. præterquam quod ipſæ ephemerides
in quo certènon differunt nec diebus nec multis horis, & itidem multa alia.
Non ſunt igitur contemnendæ ephemerides, nec habendæ pro re nullius pretij,
vt hic ait.
Quod attinet ad illa alia, quæ hic vocat errores ephemeridum, tam de apparenti
coniunctione Saturni cum Ioue in ſignis alterius triplicitatis prius quam peręgerit
præcedentem, quam de faciendo currere
do Marte .6. aut .7. menſibus in vno ſigno, de Marte, & Ioue non coeuntibus ſingu-
lis .24. annis in quolibet ſigno, & cius generis alia, minime verum eſt quod ſint er-
rores, quamuis huic præbuerint occaſionem toties errandi.
Comparatio poſtea inter eius calculos ſumptos partim ex tabulis Iunctini, & par
tim ex ephemeridibus Stadij tan quam calculis Copernici, & calculos figurarum ſu-
per eis poſitarum ſupputatarum à diuerſis per ephemeridas Alfonſinas, etiam pro-
poſita ab eo eſt ad oſtendendum magnam & monſtruoſam differentiam, vt ait cap
2.
culatores dictarum figurarum potius eos ſumpſerint à tabulis Alfonſi, quam Coper
nici. Quæ admiratio quam aliena ſit, conſiderandum permittam cuiuis intelligen-
ti harum ſacultatum, cum ſæpe accidere poſſit. vt cum aliquis velit ſcire ſolum vni
uerſalia alicuius geneſis, ſiue natiuitatis, cum non inueniantur ephemerides Coper-
nici, ſed tantum Alfonſi, calculator vtatur tantum ephemeridibus, quas inuenit,
cauſa vitandi tædij calculi tabularum, qui magni laboris eſt, pręcipuè in tabulis Pru
tenicis Reinoldi. tum quia ſuperflua ei eſt ſumma ſubtilitas, cum non curet laborare
circa directiones vt
quo non
1554. præter quam quod ille nobilis vir pro quo ſupputata fuit dicta ſecunda natiui
tas dubitabat de anno, vt hic ſimiliter ſcit. quare potuiſſet perdi tempus, & labor, ſi
ſupputata fuiſſet per tabulas Reinoldi, nam Iunctini tabulæ nondum editæ fuerant. Calculus poſtea ſeptimæ figuræ, qui erat reuolutio dictæ ſecundæ natiuitatis,
de cauſis non factus eſt per tabulas prutenicas, primum, quia eius anni .1580. non
inueniebantur amplius ephemerides Copernicæ. Ephemerides enim Stadij
cipiẽtes
ad annum .1600. non peruenere ad manus calculatoris ante hunc annum .1581. Al-
tera ratio eſt, quia in reuolutionibus, quoniam in eis non fiunt directiones, non po-
nuntur à doctis, ne minuta quidem. quare non ſolum non curant eas ſupputare per
tabulas, ſed nec exquiſitè quidem per ephemeridas. Calculi poſtea ab hoc ſumpti
ex tabulis Iunctini, & poſiti ſub dicta ſecunda figura, adeò rectè facti ſunt, vt cum ſe
cundum ip ſas tabulas oporteat Saturnum eſſe circa .32. minutum gradus .23. Aqua-
rij, ipſe eum ſcribat in gra .11. mi .3. dicti ſigni. Iupiter ſimiliter qui ſecundum dictas
tabulas inuenitur circa finem gradus .5. Cancri, ab eo ponitur in min .28. gra .19. eiuſ
dem. ex quibus planetis Saturnus in figura poſitus eſt in min .27. grad .23. Arietis, Iu
piter autem in min .3. gra .6. Cancri, Vnde ſecun dum verum, inter calculum Alfon
ſecundum calculum huius in Saturno fuiſſet differentia gra .11. minu .54. & in Ioue
grad .13. min .35. Atque hæ ſunt quidem differentiæ magnæ, & monſtruoſæ vtipſe
eas vocat, vt etiam eſtilla Veneris, & Mercurij inter tertiam figuram, & eius calcu-
lum ſumptum, non quidem à tabulis laborioſis, ſed à ſimplicibus ephemeridibus Sta
dij, quæ differentia
quolibet dictotum planetarum.
bulis ſiue ephemeridibus diuerſis, ſed ſunt partus huius authoris.
Pergens poſtea aſſiduè bonus hic vir hominibus dare ſpecimen doctrinæ ſuæ ape
riendo (vt conatur) aliorum errores, proponit duas differentias inter primam fi-
guram, & ſuum calculum ſuppoſitum Saturni, & Iouis. Primum de Saturno ait,
cum differentia ſit gra .1. min .30. oſtendit in directione,
anno vno, & menſibus ſex ante, aut poſt, quaſi eiuſmodi differentia eſſet partium æ-
quatoris, ſicuti eſt partium Zodiaci. Idem dico de differentia Iouis.
Quod quidem,
manifeſtum eſt inditium ſcientiæ ſuæ, & quantum ea intelligat de quibus loquitur.
Quod poſtea attinet ad differentiam inter Copernicum & Alfonſum, circa
nullus eſt harum ſcientiarum peritus, qui id neſciat, & ſimiliter de differentia ſitus
li
Quod vero ait ſeptimam ſiguram malè
tè non eſt minimus monſtruoſorum eius errorum. Vbi itidem videri poteſt, quam
alienus hic ſit ab hac ſcientia. Nam ſi ſaltem curaſſet ſibi ab aliquo ſupputandum
locum Solis per tabulas Alfonſi in inſtanti minutorum .36. pomeridianorum, certior
factus eſſet quod in illo puncto Sol inueniebatur in minu 54. grad .11. Geminorum,
ideſt præterierat gra .10. cum min .54. vel ſi curaſſet ſibi inueniendum tempus, per
dictas tabulas cum grad .10. min .54. Geminorum vt faciendum eſt, ſequendo
Alfonſum, & non per calculum Solis poſitum in ephemeridibus, vt parum periti fa
cere ſolent, vidiſſet Leuis tamen occaſio hu
ic fuit ſuſpicandi eiuſmodi tempus eſſe falſum, quod viderit in illa figura
ſitum eſſe cum gra .11. & non cum gra .10. min .54. non animaduertens ita notatum
fuiſſe Solem vt omnes alios planetas, ſcilicet ſine minutis, quum, vt dixi, in reuolu
tionibus non adhibeatur tanta ſcruploſitas.
Quod deinde ait, in illa figura Solem poſitum eſſe in decima domo, & non in .9.
id relinquam iudicio eorum qui ſciunt numerare domos, ſaltem poſuiſſet authori-
tate ſua Solem in dicta decima diuersè ab exemplo ei dato ab amico, vt oſtenderet
ſe dicere verum, vt in ſecunda figura diſcrepat ab ipſo exemplo in collocando Leo-
ne, Virgine, & Libra, & Scorpio, quos malè locauit, & ſi alii bene ſe habent.
Atque quod hactenus à me dictum eſt, ſatis ſit ad
dictæ eius diſputationis. Sienim velim pergere notare omnia eius errorum loca, eſ
ſet mihi inanis labor, & tibi nimia moleſtia. Et quamuis non defuerint præſtantiſſi-
mi viri, qui viſis eius ſcriptis familiariter eum monuere, & tu ipſe, vt audiui, cum
ſtrumẽto
ſibus in vno ſigno. & præterea cum iam ab initio Taurinum aduenit, mecum com-
municauerit illa ſua prima ſcripta,
tur,
eum hortans, vt potius alijs rebus operam daret, atque ei dixerim quod ad animad-
uerſiones differentiarum ephemeridum attinet, quod id iam Mihi reſpondit ſe decreuiſſe illa edere, vt poſtea fecit, & tot admonitionibus non
Auguſti edidit chartam illam impreſſam inuitans ad diſputa-
tionem quotquot adhęrerent contrariæ ſententiæ, volens ſuſtinere
ſe commorari in vno ſigno amplius duobus menſibus, ſupponens partem princi-
piorum ab omnibus admiſſorum, & in fine paginæ exponens modum, quo vtitur ad
probationem ſuæ intentionis. Puto autem quodſecum ratiocinabatur de Marte,
vt fecit de Saturno in ſcripto latino, hoc modo. Si Mars in duobus annis ambulat
per omnia 12. ſigna, neceſſe eſt igitur, vtin menſibus duobus ambulet per vnum ſi-
gum, cum menſes .2. ſint duo decima pars annorum duorum. Sedibi ſtatim in ipſo
initio commitcit errorem graduum ferè .7. dicens, quod medius motus Martis inue-
niebatur ſignorum .4. & gra .17. cum eo tempore dictus medius motus non eſſet reue
ra plus quam ſign .4. grad .10. mi .36. verum hoc ad ea, quæ ſequuntur exigui eſt mo
menti. Is poſtea particulatim colligit medium motum Martis ad diem .29.
Mai an-
ni .15 14. quem ait eſſe ſignorum .9. gra .27. min .53. & tamen reuera erat
rum .9. gra .21. mi .29. ſed miſſum faciamus etiam hunc errorem
dentem. Cum deinde ibidem ponit centrum epicycli, ſimiliter errat, nam
centrum epicycli nunquam poni debet vbi eſt linea medij motus, niſi ſit in auge, aut
in oppoſito aug is eccentrici, quia debebat collocare ipſum centrum
medij motus, quanta erat æquatio centri, quia medium centrum Martistunc erat mi
nus ſignis ſex, & aux eccentrici eius erat in ſexto minuto grad .16. Leonis. Tamen
hoc etiam leue eſt. Præſupponamus igitur quod centrum epicycli cſſet in grad .28
Capricorni, vt ipſe credidit, ideſt gradibus .7. vlterius quam erat reuera. Ait poſtea
ſe comperiſſe Martem ambulaſſe ſigna .4. & grad .22. eius epicycli, ſed non explicat
an intelligat de argumento medio, an de vero, quod vocatur æquatum, nam ſi intel
ligatur de medio, hoc eſſe non poteſt, cum
ſed ſi intelligatur de vero, vt iure credendum eſt (alioquin etiam erraſſet) cer-
tè falſum eſt. Itaque Mars non di-
ſtabat à linea veri motus epicycli amplius gradibus .30. & minu .21. ipſius epicycli,
& æquatio argumentiſecundo correcta erat gra .44. minu .2. à quo ſubtracta æquatio
ne centri, quæ erat gr .5. minu .4. (cum centrum epicycli deberet tanto ſpacio eſſe
poſt lineam medij motus quantum ſupra dixi) ſupererant gra .38. minu .58. adden-
di gradibus, & minu. medij motus, qui cum reuera eſſent grad .21. & minu .29. Ca-
pricorni, perueniebant ad minu .27. grad .1. Piſcium. Sed præſuppoſito
ipſum, quod medius motus eſſet grad .28. Capricorni, & quod Mars eſſet non
vbi hic ait, ſed etiam in prima linea contingentiæ epicycli, ideſt in prima linea ma
ximæ æquationis argumenti, & præſuppoſito etiam quod dicta æquatio eſſet æqua-
lis illi, quam haberet ad medium Aquarij ſcilicet grad .47. quum centrum epicycli
eſt in oppoſito augis, manifeſtum eſt, quod eiuſmodi linea contingentiæ non tranſi
ret vltra grad .15. Piſcium, & tamen hic ait, quodlinea veri motus Martis vadit ad
grad .16. Arietis. vnde oporteret, quod æquatio argumenti eſſet plus quam grad
78.Quod ſi verum eſſet, & .o.c. etiam eſſet partium .54. ſecundum diſtantiam pro-
ximiorem centro mundi, ſemidiameter epicycli eſſet eiuſmodi partium .52. minut
49.
cycli eſſet in eiuſmodi diſtantia à terra, diſtantia .o.g. ideſt à terra ad Martem non
eſſet plus, quam vna ſola pars ex dictis, cum minut .11. cum partes .52. minu .49.
ad .54. ſint vt ſinus anguli gra .78. qui eſt partium .97814. ad ſinum totalem partium
100000. Nam iam ſupra dixi, quod triangulus .o.c.i. eſt rectangulus.
Hinc ſeque-
teruallo .o.g.
reſpectu .o.c. par-
tium .54. Colloca
retur ſemidiame-
ter terrę cum ſpiſ-
ſitudine aeris, i-
gnis, cęlorum Lu-
næ, Mercurij, Ve-
neris, & Solis,
terquam
inter Solem, &
terram ſunt circa
605. diametri ip
ſius terræ, inter
terram, & Mar-
tem cum eſſet in
auge ſui epicycli,
& epicyclus in au
ge eccentrici, in-
uenirentur cir--
ca .60000. dia--
metri eiuſdem ter
ræ, & tamen ea diſtantia ſiue interuallum non poteſt continere .5000. diametri ter-
ræ. Et quod plus eſt, hic tam vaſtum facit hunc ſuum epicyclum, vt ambiente Mar-
te per inferiorem eius partem, neceſſe ei eſſet manere in vno duodecatemorio mul-
to plus quam .7. aut .8. menſ. vnde hic multo magis miraretur quam prius.
Hinc cer-
nere licet quam rectè facti ſint hi eius calculi.
Vt autem etiam hinc aliqua vtilitas capiatur (prætermiſſis inconuenientibus vna
cum falſis ſuppoſitis huius) Videamus ordine ſcientifico vbi poterat eſſe verus lo-
cus Martis, aut vero proximus, die .29. Mai anni .1514. quem hic exempli cauſa ſu-
mit.
lectarum. quæ quidem exactæ ſunt, vt quiſque peritus ſacile videre poterit, non au-
tem calculatæ à tam ſtupidis hominibus, vt à vero aberrent etiam gradibus .46. vt
hic ait ſe depræhendiſſe.
Primum igitur ſupponemus eoſdem illos terminos, quos ipſe nec d@bet, nec po
teſt negare, præter ea quæ ſupra ſuppoſita ſunt, nempe quod ſemidiameter epicycli
ſit partium .39. minu .30. & eccentricitas partium .6. talium qualium eſt ſemidiame-
ter deferentis diuiſus in .60. & quod dicto tempore aux eccentrici Martis eſſet cir-
ca minutum .5. grad .16. Leonis, ſcilicet graduum .135. min .5. & quod linea motus
meCapricorni, & quod verum
tis eſſet grad .151 minut .20. & quod argumentum verum eſſet grad .149. minu .39.
du, ac ne quidem multis minutis, non modò tam monſtruoſa differentia, vt ipſe
ait.
Quare primum nobis ſcientificè inueniendum eſt, quanta eſſet diſtantia .o.c.
modi ſitu.
Fingemus igitur eccenticum Martis ſignificatum per .p.c.m. cuius centrum ſit .r.
& lineam augis .p.r.o.m. in qua
comprehendatur ab angulo .p.o.c. qui ſit graduum .151. min .30. ſecundum ſuppoſi-
tum. Quare in puncto .c. erit centrum epicycli.
Imaginemur ergo .c.o. productam à
parte .o. quouſque ab .r. centro deferentis veniat linea .r.k. perpendiculariter, faciens
angulum rectum in puncto. k & quoniam angulus .r.o.c. datur nobis graduum .151.
min .30. ideo cognoſcemus angulum .r.o.k. tanquam reliquum ex duobus rectis, qui
erit gra .28. min .30. & ſimiliter angu-
recti, qui erit gra .61. min .30. cuius ſi-
nus ideſt .o.k. erit partium .8788 1. et .k.
r. vt ſinus anguli .r.o.k. partium .47715
talium qualium .o.r. eſſet 100000. ſed
vt .o.r. eſt .6. latus .o.k. erit .5. & min .16
et .r.k. partium .2. min .52. & quia .r.c.
cſt
drato ſubtractum fuerit quadratum ip
ſius .r.k. reliquum erit nobis
ipſius .k.c. cuius radix, ideſt .k. erit par-
tium .59. min .56. à qua .c.k. ſubtrahen-
do poſtea .k.o. partium .5. minu .16. re-
manebit .o.c. partium .54. min .40. pro
diſtantia quæſita.
Fingamus poſtea epicyclum .f.n.g.
in quo argumentum verum graduum
149.
nea .o.n. veri motus Martis. Deinde inueniamus angulum .c.o.n. æquationis
ti, modo iam dicto, ideſt ducendo ſinum .n.h. arcus .n.g. qui arcus tanquam reliquus
argumenti veri, iam præſuppoſiti, ex dimidio circulo, erit graduum 30. minu .21. &
n.h. eius ſinus partium .50528. ſinus ſimiliter anguli .n.c.h. et .c.h. tanquam ſinus an-
guli .c.n.h. reſtantis ex uno recto grad .59. minu .39. erit partium .86295.
lium .c.n. ſinus totus eſſet partium .100000. ſed vt partium .39. & min .30. ſinus .c.h.
erit partium .34. min .5. et .n.h. partium .19. mi .57. reliquum poſtea .h.o. ex .o.c. par-
tium .20. min .35. quia iam ſupra inuenimus .o.c. eſſe partium eiuſmodi .54. minu .40.
vnde .o.n. vt radix quadrata ſummæ duorum .n.h. et .h.o. erit partium .28. minu .41.
talium qualium .n.h. inuenta fuit partium .19. min .57. quæ .n.h. erit poſtea partium,
69552. talium qualium .n.o. partium .100000. & ſumpta dicta .n.h. vt ſinus dictarum
partium, dabit nobis angulum .n.o.h. quæſitum gra .44. min .4. qui per tabulas Alfon
ſi inuentus eſt gra .44. min .2. par huic, vt dici poteſt. Quiangulus gra .44. minu .4.
collectus cum angulo veri centri iam ſuppoſito graduum .151. minu .20. & cum an-
gulo augis eccentrici Martis, ſimiliter ſuppoſitæ grad .135. min .5. dabit nobis ſum-
mam veræ diſtantiæ Martis à principio Arietis grad .330. min .29. quod aliud non
ſignificat, niſi quod Mars inuenietur in minu .29. primi gradus Piſcium. Et Stofle-
rus in ſuis ephemeridibus ponit eum in .22. minuto dicti primi gradus, cuius diffe-
eſt minut .5. tan
culo min .7. vide
licet minima.
Nunc autem
nolui ſumere ip-
ſum angulum æ-
quationis à tabu
lis propter duas
rationes,
quia ne hic qui-
dem repræhen-
for in hoc voluit
credere dictis ta
bulis. Sed id vo-
luit videre pro-
prijs oculis
theorica Martis. Vbi
linea .o.n. tranſit
per gra .16. Arie
tis. Secunda ra-
tio eſt, vt videa-
tur quod dictæ tabulæ rectè ſupputatæ ſunt, ſuper dictis ſuppoſitis.
Sed vt videat quantus ſit medius motus Martis die .29.
Mai colligit fruſtatim,
eleganter colligere poterat, vna opera in columellis ipſius medij motus eiuſmodi
ſtellæ per eram eiuſdem temporis, quæ erat .2. primarum ſexagenarum .33. ſecunda
rum .32. tertiarum, et .52. quartarum.
Primum deinde ſuppoſitum quod ſcribit, ſcilicet, quod diameter epicycli ſum-
ptus in longitudine media ſit ſignorum .2. & grad .19. vti ſuperfluum eſt, ita etiam fal
ſum, nam eiuſmodi diameter in dicto loco, non occupat ad centrum mundi plus
gra .66. min .28. ideſt ſigna .2. gra .6. min .28. quia proportio .o.c. ad ſemidiametrum
epicycli in eiuſmodi loco eſt ut partium .60. minu .18. ad partes .39. min .30. quę duę
lineæ intellectę, vt latera vnius trianguli rectanguli, habebunt pro baſi aliam lineam
partium ſimilium .72. mi .5. Quæ intellecta vt ſinus totus dabit ſemidiametrum epi-
cycli partium .54798. tanquam ſinum ſubiectum angulo gra .33. min .14. pro medie
tate illius, quod quæritur.
Nec prætermittenda mihi videtur ratio, qua credere poſſumus, hunc cogi-
taſſe, quod diameter epicycli compleat ſpatium duorum ſignorum cum gradibus.
19 quæ quidem ratio alia eſſe non poteſt, niſi quod cum iſte inuenerit, in
Theoricarum, ſemidiametr um huiuſmodi epicycli eſſe partium .39 min .30. talium
qualium ſunt .60. illæ quæ ſunt ſemidiametri huius eccentrici, dictas igitur partes .39
mi .30. hic putauit eſſe gradus Zodiaci, & propterea dixit
cli eſſe
hoc autem dixit accidere in longitudinibus medijs, quia ſi hic intellexiſſet de pro-
portione horum duorum diametrorum, quæ eſt ut .120. ad .79. non ſpecificaſſet lo-
ris ipſius circunferentiæ eccentrici, ſed angulus in centro mundi, cui ſubiacet dictus
diameter epicycli, bene alteratur, propter inæqualem diſtantiam centri epicycli
ab ipſo centro mundi. At ſi de tali angulo inferre voluiſſet, iam probaui ipſum
tinere
non gra .79. vt ipſe dicit.
Omitto poſtea, quod vbi mentionem facit coniunctionum Solis cum Marte au-
gium & earum oppoſitorum, non explicat an intelligat de veris an de medijs. Nam
ſi ex eius modo loquendi accipiatur eum loqui de veris multum erraret.
Sed quia iam tibi moleſtum eſſe inciperet ſi diutius te detinerem in his conten-
tionibus aſtronomicis, vlterius non diſputabo. Satis enim hactenus explicaui
tiamIn quo
etiam hnmanitati tuæ gratiam habebo,
efficiendi, vt tum amici tui (amant enim te omnia ſublimia ingenia) tum alij, ſi
falſam opinionem ex huius Benedicti Altæuillæ ſcriptis ſumpſiſſent,
& per te hoc beneficium à me conſequantur, & huiuſmodi occaſionem, & iuuandi
hominum ſtudia & tibi gratum faciendi, honorificum, & per gratum mihi fuiſſe in-
telligant. Vale & me vt ſoles ama.
Taurini pridie Kal.
Octobris .1581.
INter alia quæ à me ſcire cupis, vir doctiſſime, hoc vnum eſt, vt ex literis tuis ac-
cepi, vnde ſit vt priſci noſtri probatione numeri nouenarij potius quam ſepte-
narij vſi fuerint, & qua ratione non idem proueniat ex probatione numerorum
octonarij, ſenarij, vel quinarij, aut cuiuslibet alterius: Vnde pariter oriatur quod in
partitionis probatione neceſſum ſit probationum euentus multiplicare cum proba-
tione diuiſoris, ac eam quæ eſt producti poſtea cum probatione fractionis in ſum-
mam colligere, & c. Ad hæc in primis reſpondeo, cum aliquoties accidere poſſit ta
les probationes nos fallere poſſe,
ptem, aut nouem, plus vel minus æquo iuſtouè poſitus fuerit, attamen per raro eueni
re poteſt, vt quis per nouenarium potius quam per ſeptenarium decipiatur. Exem-
pli gratia, ponamus ſummam eſſe .100. quam numerus nouenarius vndecies ſolum
ingreditur, at ſeptenarius quatuordecies, vnde quis
quam ex nouenario numero ſe poſſe errare facile depræhendet, efſi ex probatione
nouenarij magis quam ſeptenarij, vt practici ſcribunt, duabus de cauſis errare poſſi-
mus. Alia tamen ratio mihi ſuppetit, ob quam credibile eſt ipſos potius nouena-
rio adiutos fuiſſe, quam ſeptenario, quæ eſt ob ſui cum velocitatem tum
non ſit, quam numerorum ordines diuidere (ſi de ſummis primo loquamur) aut è
ſumma ſuperſluum ordinum colligere, & videre an idemmet ſuperfluum ex eadem
ſumma emanet, attamen cum modus, qui in hoc adhiberi poteſt in nouenario
in ſeptenario velocior ſit, & ob id probationem nouenarij ſeligunt potius quam
ſeptenarij.
Verum nolo te in ea, quæfalſa eſt, opinione conſiſtere, nonidem, & cum octona-
rio, ſenario, vel quinario, aut quouis alio numero poſſe efficere, cum eademmet ra
tio, quæ in ſeptenario, aut nouenario, Ponamus
hos tres or dinum numeros velle ſupputare, quorum primus ſit .679. ſecundus .846.
& tertius .935. & illorum
octonario menſi, proijciendo, remanebit .7. deinde maiorem numerum demendo à
ſecundo or dine, reſiduum erit .6. ac ſi idem in tertio ordine fecerimus, erit nobis re-
liquum .7. Demum tria hæc reſidua in vnum collecta .20. efficient, à quibus ſi nume
rum maiorem ab octonario menſum dempſeris, ſupererunt .4. & totidem à ſumma
2460.Atque idem me-
dio quouis alio numero, euenire poteſt.
Cuius ratio tam perſe clara atque euidens eſt, quod ſi ſummam trium
quæ eſt .20. à ſumma .2460. ſubduxeris, remanebunt .2440. pro ſumma trium nume
rorum dictorum trium ordinum ab octonario menſorum, cui numero addito .16. pro
maiori numero ſummę At ſi per
Verum poſſes ſciſcitari, quare velocius, exceſſus ordinum, potius per
nariũ
gregando prius duas figuras numerorum primæ ſummæ, deinde alias duas. Exem-
plum ſit primus ordo .679. colligendo .6. et .7. faciunt 13. & cum hæc ſumma ſit dua
rum figurarum, ſupputantur & ipſæ, è quibus prodeunt .4. & conſimilis erit proba-
tio numeri .67. facta per .9. quod idem eſt, ac ſi quis diuidat .67. per .9. ex quo reli-
qui erunt ſemper .4.
At quo ratio huiuſce perſpicuè dignoſci poſſit, in primis ſciendum eſt, cuique
ex ſe cognitum, atque exploratum eſſe, denarium numerum vnitate nouenarium ſu
perare, & ex hoc ſequitur, ſex denarios continere in ſe ſex nouenarios, & ſex vni-
tates.
At ſex vnitates, vna cum .7. faciunt .13. & quia in .13. eſt denarius, igitur in illo erit
vnitas ſupra .9. Quæ vnitas addita ternario, præbet nobis ſuperfluum, per quod .67.
ſuperat .54. iunctum cum .9. ſcilicet ſummam .63.
Idem dicinon poteſt de octonario, ſeptenario, vel ſenario, & de reliquis, quo-
niam numerus denariorum, in cæteris minoribus nouenario non præbet illico nu-
merum exceſſus maioris numeri, qui à numero probationis menſus eſt. Et quod di
co de probatione aggregationis, idem intelligo de alijs operationibus, vt puta ſub-
tractionis, multiplicationis, & partitionis ſeu diuiſionis.
Vnde autem oriatur, vt in partitionis probatione opus ſit probationem euentus
cum diuiſionis probatione multiplicare, & productum cum fractionis probatione
ſupputare, ſeu aggregare, tibi non erit ignotum, quoties animaduerteris, quod
productum ipſius euentus cum diuiſore, adiunctum fractioni, perpetuo ſe æquat nu
mero diuiſibili. Et quoniam numeri probationum ſunt partes, quæ remanent ex
ipſis totis, detractis maioribus numeris ab eo dimenſis, quo pro communi men-
ſura vtimur (prout .7. vel .9. aut alium numerum, quem voluerimus) par eſt vt ex ip-
ſarum remanentibus partibus, velut ex ipſis totis idem fiat.
QVod diebus præteris tibi ſignificaui, idem nunc confirmo, ſcilicet ſphærico-
rum triangulorum operationem ſæpe nos fallere, vt exempli gratia, ſi pro
poſitus nobis fuiſſet triangulus .A.B.C. cuius angulus .A. nobis datus eſſet graduum
114.
ſi reliquos angulos cum tertio latere etiam cognoſcere voluerimus, ex methodo .11
primi Copernici propoſitum obtinebimus. vnde latus .B.C. eſſet graduum .89. min
30.Qua-
re vltimus hic angulus .B. falſus eſſet, eo quod operatio paruorum triangulorum in
cauſa eſt, quotieſcunque eorum latera tam breuia ſint, ut non eccedant vnum gra-
dum, quare ipſorum angulorum veram quantitatem non tribuunt. propterea igitur
cum voluerimus veram
angulum .C. mediante arcu .D.E. ſupponere alium polum in .B. deinde producere. B
A. vſque ad .d. et .B.C. vſque ad .e. imaginando .B.d. et .B.e. duas quartas eſſe magno-
rum circulorum, extendendo poſtea .d.e. vſque ad interſectionem cum .A.C. &
dem ordinem proſequendo, tunc .e.d. nobis oſtendet angulum .B. eſſe gra .40. mi .22
quæ erit eius vera quantitas. Cuius quidem rei experientiam poſſumus etiam fa-
cere, hoc modo, eſto, exempli gratia, quod nobis datus ſit angulus .C. graduum .57.
min .14. cum latere .A.C. gra .45. min .10. & latus .B.C. gra .89. min .30. Tunc ſi ordi-
nem .11. dicti lib. ſe quemur, obtinebimus intentum, hoc modo ſcilicet ſupponendo
in .A. polum, & non in .B. ducendo etiam .A.B. et .A.C. ſed .A.B.
cendo poſtea .D.E. ita quod ab omni parte concurrat cum latere .B.C. producto, vn
de tam .f.C.B.F. quam .f.D.E.F. erunt ſemicirculi magnorum circulorum. quare .C.
D. nobis cognitus erit gra .44. min .50. & ſic etiam angulus .D.C.f. gra .57. min .14. ex
4. dicti lib. poſtea habebimus .F.l. gra .60. min .54. & angulum .f. gra .53. mi .24. aggre
gatum poſtea .f.C. cum .C.B. habebimus .f.B. gra .150. min .24. qui ſi a ſemicirculo
ptus fuerit, nobis remanebit .B.F. gra .29. mi .36. cum angulo .F. cognito
Vnde ex dicta .4. co-
gnoſcemus angulum .B. gra .40. min .31.
qui ferè æ qualis eſt ſuperiori iam inuen-
to, nec ab ipſo differt niſi per min .9. quæ
quidem differentia parua eſt reſpectu al
Superius enim dixinon eſſe ponendum polum in .B. eo quod .B.C. ſit gra .89. mi
30.
latus .C.D. eſſet gra .o. mi .30. & latus .f.l. gra .o. mi .55. & latus .F.D. gra .o. mi .47. vn-
de angulus .f. gra .32. min .40. falſus eſſet, qui
minu .16. falſum ſimiliter.
DVbitandum quidem
quidem omnes ferè caſu inueniuntur, vt mihi nunc accidit, quam tibi mitto,
hæc autem eſt, quòd quadratum lineæ .a.g. in figura hic ſubſcripta ſemper æquale
eſt ei producto, quod fit ex .a.e. in diametro circuli .g.c.b. ſimul ſumpto cum quadra
to inſcriptibili in dicto circulo, & ſimul cum quadrato lineæ .a.b.
circulum, ſupponendo .a.g. per centrum ipſius circuli tranſire.
Pro cuius demonſtratione à centro .e. duco ſemidiametrum .e.c.
ipſi .g.a. & à puncto .c. ad .a. duco .c.a. quæ ſecabit circunferentiam ipſius circuli in
cto .d. eo, quod angulus .c. acutus eſt. Nunc ex .35. tertij, productum .c.a. in .a.d. æqua
le eſt quadrato .a.b. productum autem .a.c. in .d.c. æquale eſt quadrato inſcriptibili in
circulo .g.c.b. ex .130. primi Vitellionis,
eo, quod in quinta propoſitione libri de lineis ſpirabilibus Archimedis deſideratur,
ſed quadratum .a.c. æquale eſt ijs duobus productis. per .2. ſecundi Eucli. ergo qua-
dratum .a.c. æquale erit quadrato inſcriptibili in circulo .d.c.g. & quadrato .a.b. ſed
quadratum lineæ .a.c. æquale eſt duobus quadratis, hoc eſt lineæ .a.e. & lineæ .e.c. ex
pitagorica, quare ex communi conceptu duo quadrata lineæ .a.e. & lineę .e.c. hoc eſt
lineæ .e.g. quod idem eſt, æqualia erunt duobus iam dictis, hoc eſt inſcriptibili,
& ei, quod fit ex .a.b. ſed quadratum lineæ .a.g. æquale eſt quadrato lineæ .a.e. & qua
drato quod fit ex .e.g. & duplo illius quod fit ex .a.e. in .e.g. hoc eſt producto .a.e. in
diametrum. Quare quadratum lineæ .a.g. æquale eſt quadrato circunſcriptibili, &
quadrato lineæ .a.b. & producto lineæ .a.e. in diametrum circuli .d.c.g.
Breuiori etiam methodo demonſtrare poſſu
ſe quadrato circunſcriptibili, & quadrato lineæ .
a.b. ducendo lineam .e.b. quæ æqualis eſt lineæ .
e.g. tali methodo, hoc eſt, conſiderando, quod
quadratum inſcriptibile ſemper duplum eſt qua
drato ſemidiametri, vel medietati circumſcri-
ptibili, quod quidem nihil aliud eſt, niſi æquale
eſſe ijs duobus quadratis, hoc eſt lineæ .e.b. & li-
neæ .e.g. ſed quadratum lineæ .a.e. æquale eſt iis
duobus quadratis, hoc eſt lineæ .a.b. & lineæ .b.e. vnde quadrat um lineæ .a.e. cum
quadrato lineæ .e.g. æquale eſt quadrato circunſcriptibili, ſimul collecto cum qua-
drato lineæ .a.b.
EA quæ Cardanus in primo cap. lib. 16. de ſubtilitate ita ſcribit, quod ſi diame-
tros producatur extra quantumlibet, alia verò diametro in centro ſecetur ad
rectos, ex huius fine
culi, quoniam te id non intelligere ſcribis,
militer de tribus illis paſſionibus, quas ipſæ communes facit circulo, defectioni, ſeu
ellipſi, & hyperboli, tibi breuiter reſpondebo.
Circa vndecimam proprietatem circuli verum dicit.
Imaginemur circulum .p.
d.q. à duabus diametris, inuicem ad angulos rectos coniunctis, diuiſum .p.d. et .d.g. di
uidatur enim quarta .q.d. per quot partes æquales volueris, mediantibus punctis .b.a.
o.
et .o.s. quæ quidem erunt parallelæ diametro .q.p. coniungatur deinde extremitas .d.
diametri .d.g. cum primo puncto .b. & protrahatur .d.b. vſque ad concurſum cum diz
metro .p.q. protracto in puncto, h. Nunc dico .q.h. quæ adiacet diametro .q.p. æqua-
lem eſſe omnibus dictis perpendicularibus, quapropter coniungantur puncta .m.a:
n.o. et .s.q. & producantur vſque ad adiacentem diametro .q.p. in punctis .c. et .e. vn
de habebimus angulos .b.a.o.q. inuicem æquales ex .26. tertij, cum verò .o.s.a.n. et
b.m. parallelæ ſint ipſi .p.h. tunc anguli .b.h.c: a.c.e: et .o.e.q. æquales erunt angulis .d.
b.m: m.a.n. et .n.o.s. ex .29. primi: quare anguli .h.c.e.q. erunt inuicem æquales, vnde
ex .28. eiuſdem .b.h: m.c: n.e. et .s.q. erunt
o.s. et .e.c. æqualis .n.a. et .m.b. æqualis .c.h. verum eſt igitur propoſitum.
Duodecima vero
rectos coniuncti ſint .a.e. et .q.b. & diameter .a.e. protractus indeterminatè ad partem
e. tunc ſi ab extremo .b. diametri .q.b. ducta fuerit .b.n.u. extra circulum, ſeu .b.u.n. in
tra circulum, vt in ſubiecta figura patet, ita vt ſecta ſit à circunferentia circuli in
cto .n. vel à diametro in puncto .u. ſemper id quod fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit qua-
drato inſcriptibili in dicto circulo, hoc autem diuerſimodè cognoſci poteſt, tribus
enim modis ego inueni, quorum primus ita ſe habet. Nam ſi punctus .u. fuerit ex-
tra circulum, ducantur .b.e. et .e.n. & habebimus duos triangulos .b.n.e. et .b.e.u. ſimi
les inuicem, eo, quod angulus .b. communis ambobus exiſtit, & angulus .b.n.e. æqua
lis eſt angulo .b.e.u. quod ita probatur, nam angulus .b.n.e. cum angulo .b.a.e. (ducta
cum fuerit .b.a.) æquatur duobus rectis ex .21. tertij, ſed ex quinta primi angulus .b.
e.a. ęqualis eſt angulo .b.a.e: quare angulus .b.n.e. cum angulo .b.e.a. ęquatur duobus
rectis, ſed ex .13. eiuſdem angulus .b.n.e. cum angulo etiam .e.n.u. æquatur duobus re
ctis, ergo angulus .e.n.u. æquatur angulo .b.e.a. quare angulus .b.n.e. æquatur
gulo .b.e.u. vnde ex .32. eiuſdem reliquus angulus .b.u.e. æqualis erit reliquo angulo
b.e.n. latera igitur erunt proportionalia ex .4. ſexti, vnde ita ſe habebit .u.b. ad .b.
e. vt .b.e. ad .b.n. ex .16. ſexti igitur
Sed ſi punctus .u. intra circulum fuerit, triangulus .b.e.n. ſimilis erit triangulo .b.u.
e. nam angulus .b. ambobus communis erit. Angulus vero .b.n.e. ęqualis eſt angulo .
b.e.u. ex .26. tertij, quare ex .32. primi reliquus angulus .b.e.n. æqualis erit reliquo
b.u. quare ex .16. eiuſdem patebit propoſitum.
Secundus autem modus ita ſe habet, ducta .q.n. habebimus duo triangula ortho-
gonia ſimilia inuicem .b.q.n. et .b.u.o. eo quod angulus .b. communis ambobus exi-
ſtit, quare ex .4. ſexti ita ſe habebit .u.b. ad .b.o. vt .q.b. ad .b.n. vnde ex .15. eiuſdem
quod fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit ei, quod fit ex .q.b. in .b.o. Sed ex .16. eiuſdem,
fit ex .q.b. in .b.o. ęquatur quadrato .b.e. quia .b.e. media proportionalis eſt inter dia
metrum & ſemidiametrum eiuſdem circuli. ex .4. eiuſdem, quare quod fit ex .u.b. in
b.n. æquale erit quadrato ipſius .b.e.
Tertius modus adiungitur, & eſt quod cum quadratum .u.b. exiſtente .u. extra cir-
culum æquale ſit ei, quod ſit ex .u.b. in .b.n. ſimul ſumpto cum eo,
ex ſecunda ſecundi, & idem quadratum .u.b. æquale duobus quadratis .u.o. et .o.b. ex
penultima primi, ideo duo dicta producta æqualia erunt dictis duobus quadratis .o.
o u. æquatur ei, quod fit ex .a.u.
in .e.u. & ei quod fit. ex .o.e. in ſe
ipſam ex .6. ſecundi, quare duo
duobus dictis quadratis, o.b. ſci
licet. et .o.e. & ei quod fit ex .a.
u. in .u.e. ſed quod fit ex b.u. in .u
n. æquale eſt ei quod fit ex .a.u.
in .u.e. ex .35. 3.
vt id
le ſit
e. quare & quadrato ipſius .b.e.
ex Pitagorica.
Siautem
circulum idem eueniret. Nam
quadrato .b.e.
drata .o.b. et .o.e. ſed vice qua-
drati .o.e. dicemus
u. cum eo quod fit ex .a.u. in .u.e.
ex .5. ſecundi, id eſt quadratum .
o.u.
n. ex .34. tertij, vnde quadratum
b.e. æquale erit quadrato .o.b.
& quadrato .o.u. ideſt quadrato
b.u. ex Pitagorica ſimul
ducto .b.u. in .u.n. ideſt producto
n.b. in .b.u. quod æquale eſt qua
drat o.b.u. cum producto .b.u. in
u.n. ex .3. ſecundi.
Circa tres paſſiones commu-
nes poſtea circulo hyperboli, &
defectioni notandum eſt
patere ex .36: primi Pergei, ſe-
propterea quod in .37. probat mediante maiori
diametro ipſius hyperbolis & defectionis, In .38. autem mediante minori diametro
ordinatè ad maiorem.
Tertia autem paſſio, non niſi circulo conuenit;
pace ipſius Cardani dictum ſit.
Quapropter ſit circulus .q.o.b. cuius diameter ſit .q.b. contingentes vero ab extre
mitate diametri ſint .d.b. et .q.g. per punctum autem .o. quoduis, ipſius
tranſeant .b.o.g. et .q.o.d. tunc dico productum .q.o. in .q.d. vel .b.o. in .b.g. ęquale eſ-
ſe quadrato .q.b. quod ita probo.
Nam angulus .q.b.d. ſeu .b.q.g. rectus eſt ex .17. tertij Eucli. et .b.o.q. ſimiliter re-
ctus ex .30. ipſius lib. angulus verò .b.q.d. ſeu .q.b.g. communis eſt. quare .b.q. media
proportionalis erit inter dictas lineas .q.d. et .q.o. & inter .b.g. et .b.o. Vnde ſequetur
propoſitum ex .16.6. Eucli.
Sed ſi circa diametrum .q.b. mente fingamus aliquam elipſim, quætangat ipſum
diantibus .q. et .b. (nam pluribus
eſſet impoſſibile, ex .27. quarti
Pergei) clarè patebit, quod
ctus .o. erit extra
ipſius defectionis, quare ipſa cir
cunferentia ſecabit .b.g. vel .q.
d. in alio puncto, vnde ipſi non
occurret id quod probauimus
de circulo.
Admiratus etiam ſum, ipſum
Cardanum dicere hyperbolem
ita vocari, eo quod angulus con
tentus ab axe ipſius figuræ, & à
latere trigoni in hyperbole ma-
ior ſit quam in parabole, quod
eriam confirmat paulo inferius,
nam hoc verum non eſt, imo fal
ſiſſimum. Talis enim ſectio ita
nominata fuit, hoc eſt hyperbo
les, ſimili ratione, qua elipſis ſeu
defectio etiam vocata fuit, nam
ſicut in ipſa defectione quadra-
tum ordinatę .l.m. minor eſt pro
ducto lineæ .e.m. in .e.t. per figu
ram ſimilcm producto .d.e. in .e.
t. quæ eandem obtineat
dinẽ
monſtrat in .13. primi lib. ita in
hyperbole
cedit quantitatem illius figuræ,
per ſimilem dictæ vt in .12.
Pergei facilè videre eſt. ſed
ter
cli. ſit paſſio propria ipſius circuli, & idem dico de propoſitione .3. 4. 7. 8. 9. 11. 12.
13. 14. 15. 17. 18. 19. 20. 30. 31. ipſius tertij lib. nec non de .8. 9. ct .10. tertijdecimi, &
de prima .3. 4. 5. 6. et .7. quartidecimi eiuſdem. Idem infero de ea quod ſcrip ſi Ma
rio Nizzolio, Franciſco Vimercato, Franciſco Contareno, Angelo Agrimenſori, &
de alijs nonnullis à me excogitatis.
CVm antea meo nomine Sebaſtianus noſter omnia ferè tibi retuliſſet, inter alia,
quæ relin quebantur tibi
riori, in quem finem facta fuerint corpora cœleſtia ſcire deſideras, & humanam ra-
tionem ſequi volueris, putandum tibi non erit ea ſolum effecta eſſe, vt tam vile cor
pus, vt eſt terra aquis irrigata, animalia, & plantas regant, cum ea corpora ſint diuina,
in numero incompręhenſibilia, maximis ma gnitudinibus, & motibus velocisfimis,
prædita, id etiam minus putabunt hij, qui opinionem Ariſtarchi Samij, & Nicolai
Copernici ſequuntur, quorum ratione fieri non poteſt, vt credant, eius, quod ex vni
uerſo reliquum eſt, alium finem non habere, quam regimen huius centri epicycli Lu
naris, vt illorum more loquar.
planetarum tali regimine priuarentur, id quod nullo modo cum ratione conſentit,
ſi tam vera eſt ea opinio, quemadmodum
quam valet opinio Ariſtotelis, qui corpora cœleſtia, ab ortu, & interitu libera eſſe
fentit. dicens ſuperioribus fęculis, à noſtris antiquis nullam vnquam animaduerſam
fuiſſe alterationem in cœlo, cum non videat ſi quis eſſet in cœlo,
re poſſet alterationes quæ in terra, & circa terram fiunt, quæ in partibus, & non in to
to ſpectantur: vnde etiam fieri poteſt, vt in cœlo ſint particulares alterationes,
quæ à nobis tamen, qui ab illis longè diſtamus, non compręhendantur, terra,
(quamuis minimum reſpectu ipſius terræ) ratione totius ita ſe ſemper
admodum ſeſe habere corpora cœleſtia videmus, ſed alteratio, ratione tantum ali-
quarum minimarum partium quaſi inſenſibilium, ſi cum toto comparentur fit. Quis
enim ſcit, vt iam tibi dixi, quin, quemadmodum Luna circa terram voluitur,
terra ſit veluti centrum epicycli maioris eiuſdem, vt Ariſtarchus Samius, & Nico-
laus Copernicus cenſuerunt; ſic etiam Saturnus, Iupiter, Mars, Venus,
rius circa alia huiuſmodi corpora, huic terræ ſimilia, in orbem agantur, quaſi ſpecu-
la, lumen Solis ſuo centro ex reflexione, deferentia (fuppoſita dico vera illorum opi
nione)
vera eſt, neceſſario
quolibet horę minuto, magis
nus quam .18000. milliaria, Saturnum verò cum ſimiliter eſt in æquatore, eodem
poris
pora velociora alijs moueri; quæ quidem omnia,
rum corporum. Et ita, veluti princeps corporum vniuerſi, intra vnum an-
num circa eam vertitur. Ita etiam ſuſſiceret, vt ipſa terra circa dictum diuinum
corpus ſolare, interſecando axem diurnum cum axe annuali (cum ab eo lumen, ca-
lorem, & influentiam ſuſcipere debeat) Rationes autem a Ptolo-
meo in contrarium adductæ apud ipſos, nullę ſunt, quia quęlibet pars (vt inquiunt)
retinet naturam totius, præterquam
nè eundem naturalem impetum motus obtineant, quitanto lentior eſt, quanto lon
gius diſtat aer ab ipſa terra, ſecundum etiam talem opinionem, nulla neceſſitas fo-
ret, vt locus fixarum terminaretur aliquibus ſuperficiebus, conuexa ſcilicet, & de-
uexa.
QVod proximè quærebas, an ſit lux aliqua, quæ à corpore lucido non proue-
niat, mihi facilè ad conſiderandum videtur. hic enim oportet, vt nos ad id
quod perpetuò videmus referamus, exiſtimo autem te velle dicere lumen, non lu-
cem, quia propriè lux, qualitas ea viſibilis appellatur, quæ eſt in corpore lucido, à
quo quidem corpore lumen effunditur; lumen verò, ea qualitas eſſe dicitur, quæ ex
tra ipſum corpus reperitur, à luce, quæ in dicto corpore manet emanans. vnde pa-
tet, nullam lucem abſque corpore ſubiecto eſſe poſſe, id quod cum fieri quîret,
de quolibet alio accidente dici poſſet, id eſt quod ex ſe, & abſque aliquo ſubiecto
ſubſiſteret.
Lumen deinde à luce proficiſci patet,
do ſuum actum oſtendit, niſi, aut per incidentiam, aut ratione opaci, ex reflexione,
cuius ſuperficiei colorem induit. Atque hæc eſt cauſa, vt inter crepuſculum matu-
tinum, aut veſpertinum, nox etiam ſi ſit ſerena, adeo obſcura nobis appareat, quam-
uis totum vniuerſum diaphanum, extra conum vmbræ, quæ ex terra prouenit ſit vn qui quidem radij, non niſi à ſuamet reflexio
ne à Luna, & ab alijs ſtellis (vt corporibus opacis, quæ reſiſtunt lumini, ne vlterius
penetrare poſſit, vnde retrò redit) comprehenduntur.
Ais etiam propria viſus obiecta plura eſſe, nominans pro vno, colorem, & lucem
pro alio. Ego autem reſpondeo, obiectum oculi eſſe vnicum tantum, ideſt lumen.
Quod ad lucem ſpectat, iam tibi dixi, eam eſſe quandam qualitatem in corpore luci
do, & non extra ipſum poſitam, à quo quidem corpore, cum non exeat, oculi obie-
ctum eſſe nequit, ſed lumen quidem ab ipſa luce productum. Color etiam, qui eſt in
corpore colorato, obiectum oculi eſſe non poteſt, cum dictum corpus non deſerat,
ſed lumen quidem ab eodem corpore reflexum, & huiuſmodi corporis colore tin-
ctum: vnde tam lumen incidens, quam reflexum colore eſt ſemper imbutum.
Illud quidem coloratum eſt qualitate lucis corporis lucidi, a ut medij, per quod
tranſit, ſed hoc colore corporis, à quo reflectitur.
Neque etiam te ignorare volo, lumina reflexa colorata, non reflecti à puris pro-
riuntur, ut immediatè lumen à ſuperficie propriè
coloratur colore corporis illius.
Sed vt ad propoſitum redeamus, dico lum en tantum eſſe viſus obiectum, quod ſi
colore eſt imbutum, aut tale eſt ratione color ris lucis, quæ eum mittit, aut ratione me
dij per quem tranſit, aut ratione corporis, vnde reflectitur, etſi ſuperficies corporis
vnde lumen reflectitur eſſet omnino priuata colore, ſub aſpectum non caderet, vt
etiam cum huiuſmodi ſuperficies læuigata, & polita eſt ſecundum
rum partium, videlicet, vt ſpeculi radio tamen non profundante, & ideo perfectiffi
morum quorundam ſpeculorum ſuperficies non cernuntur, ſed lumen tantum re-
flexum, colore alicuius alterius ſuperficiei, aut à luce, corporis lucidi, aut à me-
dio per quem tranſit, conſpicitur. Ego verò non aſſero colorem non eſſe quid di-
uerſum à lumine, ſed imagineris lumen eſſe veluti animam, aut ſubſtantiam & colo
rem corporis formam accidentalem, cum nullum lumen à ſenſu viſus percipi poſ-
ſit, quod aliquo modo colore non ſit imbutum: & eundem reſpectum quem ſonus
ad auditum, lumen ad oculum habet, quia vt ſonus ſecundum eam velocitatem, quæ
à motione aeris, aut aquæ, ex colliſione
vacuum, a cutus, vel grauis ſentitur, ita lumen originem ducens à corpore lucido per
medium diaphanum aeris, aut aquæ, aut alterius huiuſmodi corporis ad oculum tran
ſit colorem lucis, aut medij per quod tranſit, aut vnde reflectitur induit.
Quod verò Luna nullum ex ſe habeat lumen, ſufficiens inditium eſt nos ipſam
tantò magis obſcuram videre, quantò magis in cono vmbræ terræ immergitur, &
ſi eo tempore ipſam videmus rubeo colore affectam, hoc enim accidit, quia radij ſo
lares vndequaque refranguntur à vaporibus ipſam terram circundantibus, quæ qui-
dem refractio fit verſus axem coni vmbræ terræ, & propterea vmbra dicti coni non
eſt æqualiter obſcura, ſeu tenebroſa, circa vero
que lumen, quod etiam manifeſtè videtur dum ipſa Luna reperitur ſecundum lon-
gitudinem inter Solem, & Venerem, quod pars Lunæ lumine Solis deſtituta, à lumi
ne Veneris aliquantulum illuſtratur, quod ego ſæpè vidi, & multis oſtendi. Propte-
rea dum ipſa Luna in cono vmbræ terræ reperitur adhuc videtur. Rubedo etiam il-
la nubium poſt Solis occaſum, vel ante ortum, aliunde non prouenit, niſi à qualitate
afficiuntur, eomet modo quo radius, cuiuſuis corporis lucidit,
aliud diaphanum coloratum.
EXcogitaui quędam dum ocio frui licuit per abſentiam Ducis Sereniſſimi,
quæ ad te ſcribere placuit, vt ſi probaueris in lucem quandoque profer-
re non dubitem, ſi deſpexeris, ocius ſupprimam, ſunt autem huiuſmodi.
Vnde fiat vt tormentum bellicum vehementi
quam orizontali, vt Tartalea ſcribit, quæſito ſecundo libr. primi quæſitorum, à ne-
mine adhuc (quod ſciam) traditum eſt.
Rationes verò Tartaleæ nullius ſunt momenti, quia ſi validæ eſſent, ſequeretur
vt inclinata bombarda, adeo vt angulus ſub orizonte factus æqualis eſſet ei, qui ſu
pra orizontem eſt, ictum bombardę in vtroque huiuſmodi ſitu eundem eſſe & ſi aliqua differentia oriretur ratione granitatis pilæ ab ipſa bombarda emiſſæ, hoc
fieret, vt ſcilicet velocior eſſet in motu inclinato quam in eleuato cum pondus, mo-
tui adeo non opponatur. Id quod non ita se habet, vera enim cauſa vnde fiat, vt bom
barda eleuata vehementius feriat, quàm ea quæ eſt minus alta, eadem eſt ferè, in ge-
nere, cum ea, qua aliquod corpus materia magis denſa, ſed ſimile & ęquale alteri cor
pori materiæ minus denſæ velocius mouetur ab vna eademq́ue, aut æquali vi
compulſum. Eſt eadem etiam in ſpecie ei, qua maiorem effectum producit
puluis, qui in locis ſubterraneis ponitur quum vaſis optimè colligatis ferro in-
cluditur. Eſt etiam ſimilis ei, qua longius impellitur pila, qua ludimus, ab ali-
quo inſtrumento ligneo, quando percutitur contra, quam cum ſecundum ſuum mo-
tum proijcitur. Id quod inde fit, quia virtus mouens maiori vi, & intenſiori huiuſ-
modi corpus percutit, quia corpus quod moueri debet, quanto magis reſiſtit virtu-
ti mouenti (certum tamen terminum præſcribendo) in exiguo eo temporis ſpatio,
tanto maiorem virtutem colligit, quæ ipſum deinde tanto cum impetu mo-
uet, & tanto magis impellens concomitatur, vt maiorem effectum efficiat, quam ſi
ad mouendum ſeſe facilè reddidiſſet. Atque hoc ſupradictis ictibus eleuatis acci-
dit, quia grauitas pilæ, ea eſt quæ reſiſtens virtuti mouenti, dat ei commoditatem
colligendi dictam virtutem, multo magis quam eſſet ea, quæ ad depreſſiorem eleua
uationem eam Et quia huiuſmodi multiplicatio virtutis, nullam propor
tionem cum pondere pilæ gerit, volo inferre quod dum colligitur tanta virtus, col-
ligitur multo plus eo, quod ad impellendam dictam pilam ſufficeret, ratione magnæ
velocitatis augumenti, quia quanto plus temporis ei conceditur ad commutandam
puluerem in ignem, tanto maior quantitasignis progignitur, vnde fit, vt tanto ma-
iori loco indigeat, quamobrem tanto magis impellit, ſed vt dixi, tanta cum veloci-
tate
fa, ut effectus, quod Sed ea ratio, qua ſeſe
in tertio quæſito ad aliquod impoſſibile, circa iter ipſius pilæ Legatum Hiſpanum
to velocior ſit quædam pila, tanto rectius moueatur, quia ei dici poſſet, vſque ad cer
tum quendam terminum velocitatis, per tantum ſpatij eam aptam eſſe, vt recta per
fectè moueatur, ſed ſi velocius iret, non tamen futurum, vt per idem ſpatium re-
ctius moueretur, ſed quod per longius ſpatium recta motum perageret, & ſic nihil
haberet quod replicaret, præter quam quod ipſe ſupponit id quod in 18. quæſito
negat, in quo ait pilam uicinam orificio, non adeo uelocem eſſe, quam cum aliquan-
tulum ab eodem eſt rem ota, ratione reſiſtentiæ ſui cyllindriaerei. Sed quod pila,
recta eat quanto altior, aut depreſſior
turalis cum linea inclinationis uiolentæ angulum rectum non facit, unde quanto lon
gius diſtat à recto huiuſmodi
habet, eodem planè ferè modo quem tertio capite mei tractatus de rebus mechani
cis deſcripſi. Quia in ictibus eleuatis, iter inclinationis violentæ ipſius pilæ verſus
terminum ad quem, incipiendo à loco ipſius pilæ cum itinere inclinationis natura-
lis, angulum obtuſum, & in ictibus inclinatis acutum conſtituit. Neque etiam hic
prætermittam notatu dignum errorem, quem Tartalea eodem loco committit,
putet indifferenter aliquod corpus impellere, aut percutere maiori
eſt in itinere recto. Quia ſequeretur quod aliquod corpus graue perpendiculari-
ter ſurſum verſus proiectum, in qualibet parte ſui itineris, ſemper fortius percute-
ret, quam in qualibet parte itineris alterius cuiuſuis eleuationis obliquæ, quod
ſit falſum, tibi conſiderandum relinquo.
Eſt etiam falſa ea ratio, quam in quarto quæſito idem adducit, quia aer in motu
non tantum durat, quantum ipſe putat, imò huiuſmodi violenta agitatio, citò ceſſat
& citius etiam, quam ſi extra aliquam bombardam cum tanta violentia impulliſſet
ſaceum plumis plenum.
Ratio etiam quam in .18. quæſito de eo, quod pila pertran ſeat illud corpus cyllin
dricum aereum adducit, eſt planè vana, quia ſtatim aer, qui prius in
incluſus, extra ipſam
duiſſet, neque aer ambiens ei reſiſtit. Sed quod velocior ſit in certa quadam diſtan
tia, quam in principio erat, ſi hoc
milis eſſet ei, quæ efficit, vt corpora in motibus naturalibus, cum longius diſtant à ter
mino vnde naturaliter ſeſe mouerunt, ſint velociora, quia per aliquod ſpatium hu-
iuſmodi corpus moueretur quemadmodum motu naturali cietur.
Ratio autem eius quare pila, aut globus bombardæ ſibiletab eodem in ſeptimo
quæſito nil valet, quia hoc fit cum pila aliquam paruam concauitatem habet.
In .27. autem quæſito ait, quod retrotrahendo ſignum, ictus altius tenderet, quod
poteſt etiam eſſe falſum, cum hocnon ſit neceſſarium, quia pila dum deſcendit, for-
taſſe tangeret ſcopum.
FIguram quam ponit Ioannes Stadius pag .147. in lib. ſuarum tabularum Prute-
nicarum, à Nicolao Copernico ſumpſit pag .64. à tergo in libr. reuolutionum
cœleſtium, ſed ipſe Stadius eam non intellexit, omitto, quod mutauerit characte-
res ipſius figurę, vt illa ſua videatur, quod nihil refert, alterat etiam
ſed ipſum putare .i.K. perpendicularem à centro circuli ſemper dependere, eſt intol
lerabilis error; nec vnquam verificatur hoc, niſi quando punctum .K. interſectionis
diametrorum parallelorum, forte reperitur in axe mundi. Reliqua verò ſuæ demon
ſtrationis, ſi non intelligis, minimè miror, eo quod ipſemet Stadius ſeipſum confun
dit. Veram autem demonſtratio nem huiuſmodi figuræ in dicto libr. Copernici cla-
rè videbis. Quod verò diuersè cogitaui nunc acciptito.
Cum nobis cognita ſit maxima ecclipticæ declinatio, vt puta .a.c. ſi latitudo
ſtellæ nobis data fuerit, vt puta .c.e. cognitus nobis erit totalis arcus .a.e. & eius ſinus .
e.m. & quia notus etiam nobis eſt ſinus arcus .a.c. hoc eſt .c.n. & corda .e.f. medio eius
arcus .e.p.f. minoris media circunferentia, per duplum latitudinis datæ, vnde .e.l. eius
dimidium nobis cognitum erit, vel vt ſinus arcus .e.p. cognitus etiam nobis eſt ſinus .
q.g. declinationis .a.g. datæ, cui æqualis eſt .m.t. ex .34. primi Euclid. vnde .e.t. nobis
cognita remanet, cum verò duo trianguli .i.c.n. et .t.e.K.
parallelas .e.m. et .n.c. ex .28. primi, & propter duas .a.b. et .g.h. & propter duas .c.d.
et .e.f. eo quod ex communi ſcientia anguli .c. et .e. ſunt æquales, cum ex .29. dicti lib.
vnuſquiſque æqualis eſt angulo .ω.x.t. & ſic de alijs dico, co quod vnuſquiſque
æqualis eſt angulo .m. vnde cum cognitum nobis ſit latus .n.c. et .c.i. et .t.e.
nobis erit .e.K. ex .19. ſeptimi, eo
ex .4. ſexti ſunt inuicem proportio-
e.l. cognito, vel ècontra, hoc ab il-
lo, nobis innoteſcet .K.l. ſinus longi
tudinis ſtellæ.
Valde etiam miror id, quod di-
ctus Stadius pag .9. illius libr. ſcri-
bit, hoc eſt, Solem maiorem
eſſe Luna, ſolum .1644. vici-
bus, propterea
lem maiorem eſſe terra (vt etiam
in Almageſto videre eſt) 166. vici
bus cum tribus quartis, terram ve-
ro maiorem Luna .39. vicibus cum
quarta parte, tunc Solem oporte-
ret maiorem eſſe Luna .6545. vici-
bus, & non .1644.
AD cognoſcendam latitudinem ſtellæ,
10. propoſitione .8. li. Almageſti
do hoc idem cognoſcere voluerimus, oportebit nos prius altitudinem poli cogno-
ſcere, deinde altitudinem meridianam ipſius ſtellæ, nec non horam,
la in meridiano ſupra terram reperitur, qua hora mediante, illicò cognoſcemus pun
ctum ecclipticæà meridiano interſecto, eo tempore, quo ſtella cœlum mediat ſu-
pra terram. Et quia ex cognita altitudine poli, illico cognoſcitur altitudo æqua-
toris, cuius altitudinis differentia ab altitudine ſtellæ eſt declinatio ipſius ſtellæ, ha-
bebimus ideo eius declinationem cognitam; qua mediante ad
latitudinem ita faciemus.
Sit exempli gratia .p.o.u. meridianus .u.a. verò æquator .e.a. autem eccliptica, &
o. centrum aſtri .u.o. verò eius declinatio ab æquatore, et .e.a. arcus ęcclipticæ inter
æquatorem, & meridianum, hoc eſt minor quarta, et .a.u. aſcenſio recta ipſius arcus,
et .u.e. ſit declinatio puncti .e. ęcclipticę ab æquatore,
lę ſit .o.e. quæ
ęcclipticam tranſeat quarta .t.i. in qua quęrendus erit arcus .o.i. hoc modo.
Primum arcus .o.u: e.u: e.o: a.e: et .a.u. nobis cogniti ſunt, cum angulo .a. declinatio
nis ęclipticę, & cum angulo .u. recto, vnde ex .4. primi Copernici, cognoſcemus angu
lum .a.e.u. collateralem, & eius .o.e.i. quare in triangulo .o.e.i. cognoſcemus
e. et deinde .i. vt
& ſimiliter arcum .e.i. qui coniunctus vel
ſtellę, ſed quia huiuſmodi operatio in paruis triangulis valde fallit. Ideo tibi ſua-
deo alia methodo, hoc facere, hoc eſt inuenire angulum .o. trianguli .t.p.o. cuius duo
latera .t.p. et .p.o. cognita nobis ſunt, cum angulo .p. Nam .o.p. eſt complementum de
clinationis ſtellæ, et .p.t. eſt arcus coluri ſolſtitiorum inter duos polos, & angulus .p.
reſiduum ex recto .t.p.a. duorum colurum dempto angulo. a, p.u. cognito aſcenſionis
recte, vnde angulus .u.o.s. vt contrapoſitus cognitus remanet. angulus verò .u. rectus
eſt, & arcus .o.u. cognitus, quare cognitus
nobis erit arcus .u.s. & angulus .u.s.o. vnde
gulo .a.s.i. reſiduo ex duobus rectis. Et quia
etiam angulus .s.a.i. cognitus eſt, cum ſit an
gulus maximę declinationis Zodiaci ab
æquatore. Ideo in triangulo .a.s.i. cuius
duo anguli .a. et .s. cum latere .a.s. dantur, fa
cilè inueniemus arcum .s.i.
a.i. erit longitudinis ſtellæ dempto poſtea .
s.i. ex .s.o. iam inuento habebimus arcum .i.
o. latitudinis ipſius ſtellæ.
Hæc autem tibi ſcribo non vt ipſis vta-
ris, ſed potius vt tibi morem
uiſſima methodus ſit illa,
ſcripſit
SVperioribus diebus per tuas literas à me quæſiuiſti, vt modum tibi ſcribere vel-
lem, quo circulus deſignari poſſit circunſcribens alios duos propoſitos circulos. Qua in re vt tibi ſatisfaciam quod maximè cupio ita rem accipe.
Propoſiti circuli ſint, aut inter ſe contigui, aut interſecantes vel ſeparati.
Eſto
mũ
centra ſint .a et .o.
rum ab vna circunferentia ad aliam, quę quidem linea tranſibit per punctum .i. ex
11, tertij Eucli. deinde à diametro maiori abſcindatur .i.e. ad æqualitatem minoris
ſemidiametri, quo facto ſumatur diſtantia inter .e. et .b. circino mediante
tro .o. ſcindatur, alio circini pede, circunferentia maioris circuli in puncto .u. à quo ſi
mente concipiemus duas lineas .u.a.d. et .u.o.f. tranſeuntes per eorum centra .a. et .o.
vſque ad circunferentias in punctis .d. et .f. ipſę
ptaquare .u.f. æqualis erit .b.i. ſed u.d.
lis .b.i. ergo .u.d. æqualis erit u.f. & circulus, cuius u.d. vel .u.f. erit ſemidiameter, con-
tiguus erit ipſis propoſitis circulis ex conuerſo .11. iam dictæ. Idem dico pro circu-
lis ſe inuicem ſecantibus.
Sed ſi circuli propoſiti ſeiuncti fuerint, ſumatur .b.i. diameter maioris, qui fiat ſe-
midiameter vnius circuli circa centrum .o. & hic circulus vocetur .h.x. coniunga-
tur deinde ſemidiameter .o.i. minoris circuli cum ſemidiametro .a.i. circuli maio-
ris, & ex huiuſmodi compoſita linea, fiat vnus ſemidiameter .a.x. circuli .x.n. concen
trici cum maiori, & à puncto .x. interſectionis horum circulorum (poſito quod ſe in-
uicem interſecent) ducantur per eorum centra .x.a. et .x.o. vſque ad ipſorum circun-
ferentias in punctis .d. et .f. duę
lineæ, vnde habebimus .x.d.
æqualem .x.f. eo quod tam in
diametri, & ſemidiametri am-
borum circulorum, facto deni
que centro .x. vnius circuli, cu
ius ſemidiameter ęqualis ſit
vni earum .x.d. vel .x.f. folu-
tum erit problema, dicta ra-
tione.
Si verò diſtantia duorum
propoſitorum circulorum tanta fuerit, quod ſecundi circuli nequeant ſe inuicem
tangere, vel ſecare, tunc alia via incedendum erit, quę talis eſt & generalis. Diuida-
tur tota .q.b. per æqualia in puncto .z. circa quod
ſtantia .K. et .p. diſtantia vero .a.K. facta ſit ſemidiameter eſſe vnius circuli .K.x. circa
centrum .a. diſtantia autem .o.p. ſemidiameter alterius circuli .p.x. circa cen-
trum .o. qui quidem circuli ſe inuicem ſecent in puncto .x. à quo cum ductę fue-
rinc .x.a.d. et .x.o.f. per centra dictorum circulorum, ipſe erunt
cum .b.K. æqualis ſit .q.p. igitur .x.d. et .q.p. erunt inuicem ęquales, ſed .f.x. æqualis eſt
q.p. quare .x.f. æqualis erit .x.d. tunc ſi .x. centrum fuerit vnius circuli, cuius ſemidia-
mer ſit vna dictarum, problema ſolutum erit.
Talis etiam ſoiutio commo-
da erit ad inueniendum dictum
dato tamen
ior ſit .b.z. cum in noſtra poteſta
te ſit accipere puncta .K. et .p. pro
xima vel remota ab ipſo .z. ad li-
bitum. Vnde abſque vlla diuiſio
neipſius .q.b. per medium, ſatis
erit ſignare puncta .K. et .p. dua-
bus diſtantijs mediantibus .b.K.
et .q.p. inuicem æqualibus, &
etiam propoſitis.
FIguram ſuperficialem ellipſi ſimilem, ex datis axibus, circino mediante delinea
re cum volueris, ita facito.
Sit .e.c. ſemiaxis maior .a.e. verò minor, ad angulum rectum inuicem coniuncti,
tunc .a.e. producatur vſque ad .o.
quidem .a.o. poſſet etiam dari, deſcribatur poſtea circulus .a.d.b. circa centrum .o. à
quo puncto protrahatur ſemidiameter .o.b. quæ cum .a.o. angulum rectum conſti-
tuat, quę .o.b. erit æquidiſtans .e.c. ex .28. primi, ducatur poſtea .b.c.d. et .o.t.d. vnde
angulus .t.c.d. ęqualis erit angulo .o.b.d. ex .29. eiuſdem. ex quinta autem anguli .b.
et .d. ſunt inuicem æquales, quare etiam
& anguli .d. et .c. inuicem ęquales erunt,
tur poſtea .d.x.h. perpendicularis lineæ .c.
e. ita diſtans ſub ipſa .c.e. vt arcus circula-
ris circa .t. delineatus ex ſemidiametro .t.
d. aptus ſit eam ſecare, ſumpto poſtea .r.
tam diſtante ab .e. vt .t. reperitur ab ipſo
e. et .z. ab .e. vt .o. ab eodem, ducendo po-
ſtea duos alios arcus magnitudinis
circa centra .r. et .z. habebimus propoſi-
tum.
Sed cum quis voluerit prius arcus mi-
norum circulorum delineare circa maio-
rem axem, fiant cuiuſuis magnitudinis, vt
in ſecunda figura videre eſt, poſito tamen quod eorum diameter, minor ſit minore
axe ipſius figurę, quorum circulorum vnus ſit .c.d. circa .t. eius centrum, deinde in axe
minori ſumatur .a.x. æqualis .c.t. & protrahatur .t.x. quę per ęqualia diuidatur in pun-
cto .n. à quo poſtea ducatur .n.o. ad angulos rectos
cto .o. minori axi producta cum oportuerit, quod
quidem punctum .o. centrum erit arcus .d.a. maio-
ris, eo quod .o.t. æqualis eſſet .o.x. ex .4. primi Eu-
cli. vnde .o.d. æqualis eſſet .o.a. & circuli etiam in-
uicem contingentes in puncto .d. ex .11. tertij tam
in prima, quam in ſecunda figura, ſumpto
puncto .s. tam remoto ab .e. quam .o. reperitur ab
eodem, ipſum, centrum erit alterius arcus oppoſi-
ti, poſſemus etiam
tuere angulum .x.t.o.
6. primi haberemus .o.t. æqualem .o.x.
VTaxem propoſitæ alicuius datæ ſphæræ inuenire poſſis ita tibi operandum eſt
vt gratia exempli. Propoſita nobis eſt ſphæra .c.i.e.t. diametri cognitæ.
pro
poſita etiam eſt nobis eius portio .n.e.u. axis .e.a. cognitæ minoris ſemidiametro, da-
ta etiam nobis eſt proportio alterius portionis minoris hemiſphærio .i.e.t. ad por-
tionem .n.e.u. quæritur nunc quantus ſit axis .e.x. ſecundæ portionis hoc eſt deſidera-
mus cognoſcere proportionem .e.x. ad .e.a. vel ad diametrum ipſius ſpheræ.
Cuius gratia reperiatur primò proportio
ræ
Quo facto, inueniatur quantitas ſuperficialis huiuſmodi maioris circuli, quæ ſem-
per æqualis eſt producto quod fit ex ſemidiametro in dimidium circunferentiæ ip-
fius circuli, ex eodem Archimede. Et ſic cognoſcemus quartam partem ſuperficiei
ſphæricæ ſphærę propoſite ex .31. primi lib. de ſphæra, & cyllindro Archimedis.
Deinde ſumatur tertia pars producti, quod fit ex ſemidiametro in ſuperficiem
maioris circuli, & habebimus conum, cuius baſis erit circulus maior, altitudo verò
ſemidiameter propoſitæ ſphæræ ex .9. duodecimi Eucli.
Quadruplum poſtea huiuſmodi coni, erit quantitas ſoliditatis, ſeu corporeitas to
tius ſphærę ex .32. dicti lib. Archimedis.
Imaginemur poſtea
baſis, cuius .e.u. quantitatem cognoſcemus, hoc modo ſcilicet, fumendo
dratam producti .c.e. in .e.a. eo quod
quadratum .e.u. æquale eſt quadrato
primi Eucli. hoc eſt producto quod
fit ex .c.a. in .a.e. ex .34. tertij
& quadrato .a.e. hoc eſt producto,
quod fit ex .c.e. in .e.a. ex .3. ſecundi
eiuſdem.
Inuenta poſtea .e.u. ponamus eam
vnius circuli ſemidiametrum eſſe, cu
ius ſuperficialis quantitas etiam inue
niatur, vt ſupra dictum eſt, quæ qui
n.e.u. ex .40. primi li. Archimedis de
ſphæra, & cyllindro.
Hæc autem quantitas vltimo
ta multiplicetur cum tertia parte ſe-
midiametri datæ ſphæræ, & habebi-
mus ſoliditatem vnius coni æqualis
aggregato ſoliditatis portionis .n.e.
u. ſimul ſumptę
ni, cuius axis ſit .a.o.
metri noſtræ ſphæræ dempta .a.e. ba
eſt vltima primi Archimedis de ſphæra, & cyllindro.
Nunc autem ex hoc aggregato iam vltimo dicto detrahatur conus, cuius .o.a. eſt
axis et .n.u. diameter baſis, qui quidem conus nobis cognitus eſt, cum .a.n. ſemidia-
meter eius baſis, nobis cognita ſit ex .34. 3. Eucli. & ſic quantitas eius baſis, & ita ter-
tia pars .a.o. eius axis, quę multiplicata cum dicta baſi, cuius .n.u. eſt diameter, produ
cit dictum conum, qui quidem conus, vt diximus, demptus cum fuerit ex dicto ag-
gre gato, relinquet nobis ſoliditatem portionis .n.e.u. vnde cognoſcemus proportio
nem iſtius portionis ad totam ſphæram propoſitam.
Sed cum nobis propoſita ſit proportio portionis .n.e.u. ad portionem .i.e.t. cogno
ſcemus etiam ſoliditatem huius ſecundę portionis .i.e.t. & ſimiliter
ius ad totam ſphęram, & ad
Protrahatur nunc diameter .c.e. à parte .e.
tro ſphęrę, quæ quidem .f.e. diuidatur in puncto .h. ita vt proportio .f.h. ad .h.e. æqua-
lis ſit proportioni portionis .i.c.t. ad portionem .i.e.t. quod quidem hoc modo efficie
tur. applicabimus lineam .f.q. (indeterminatam) cum .f.e. ad quemuis angulum in
cto
portione duæ iam dictæ portiones, hoc eſt, vt .i.c.t. portio ad portionem .i.e.t. ducen
do poſtea .q.e. et .p.h. parallelam ad ipſam .q.e. diuiſam habebimus .f.e. in eadem pro
portione vt dictum eſt ex .2. ſexti, & .11 quinti Euclidis, vnde .c.e: e.f. et .f.h. nobis co
gnitę erunt.
Oportebit nos nunc cognoſcere quantitatem .c.x. hoc modo, videlicet, quęramus
quadratum, cuius .c.x. eius ſit radix, cui quadratum lineę .c.e. cognitum, ita ſit propor-
tionatum, vt eſt linea .x.f. ad lineam .f.h. quę nobis cognita eſt, quod rectè factum erit
ex eo, quod ſcripſit Archimedes in .4. ſecundi de ſphęra, & cyllindro.
Sed quia Archimedes eo in loco ſupponit id, quod necipſe, nec alius adhuc inue
nit, niſi via naturali, hoc eſt tres partes ęquales ex proportione data effici, non erit in
conueniens etiam nobis hac via, circa hoc aliquid dicere.
Accipiemus igitur diametrum .c.e. cum addita .e.f. eius ſemidiametro, diuidemus
q́ue .f.e. in puncto .h. vt ſupra factum fuit, applicabimus poſtea .c.m. indeterminatam
angulariter ad .c.e. à qua .c.m. accipiemus .c.g. æqualem .f.h. quęremus deinde natu-
rali via punctum .b. ita ut protrahendo à puncto .e. (altero extremo diametri) e.m. pa
rallelam ad .b.g. ductam, erigendo .b.d. perpendicularem ad .c.e. in puncto .b. protra
x.f. ęqualem .c.m.
Cuius rei ratio eſt, quia quadratum .c.e. ſe habet ad quadratum .c.d. vt .c.e. ad .c.
b. ex .4. et .18. ſexti Eucl. ſed ex .4. ita ſe habet .m.c. ad .c.g. vt .e.c. ad .b.c. & cum ſit .c.
g. ęq alis .f.h. ſi .c.m. ęqualis fuerit .f.x. habebimus propoſitum. Quod ſi quis per di-
ſcretum vel et hoc facere, ita ei agendum erit.
Ponamus exempli gratia totum diametrum .c.e. propoſitæ ſphæræ eſſe ut decem,
alteram eſſe, vnde .e.h. bis tertia erit ìpſius .f.h.
& quadratum lineæ .c.e. erit .100.
Quærendo poſtea quadratum lineæ .c.x. cui quadratum .c.e. hoc eſt .100. ita pro-
portionatum ſit vt .f.x. ad .f.h. hoc eſt ad .3. ſi autem cogitauerimus .c.x. eſſe nouem
partium talium qualium .c.e. eſt decem, eius quadratum erit .81. et .x.f. erit .6. par-
tium talium qualium .c.f. eſt .15. dicendo poſtea ſi .100. dat .81. (ex regula de tribus)
bis prouenire tria, eo
qua propter deſcendere nos oporte-
bit à nouem ad .8. & ab .8. ad .7. & à.
7. ad .6. tunc inueniemus .c.x. oporte-
re eſſe circiter quinque cum duabus
tertijs,
tribus, ſi dixerimus quando .100. no-
bis dat .32. cum nona parte integri, tunc nouem cum tertia parte integri
dabit .2.
cum circa .49. quinquageſimis, quæ
quidem quantitas, cum propinquiſſi
ma ſit lineæ .f.h. trium integrorum di
cemus .c.x. eſſe quinque integrorum
cum duabus tertijs partibus vnius in
tegri, et .e.x. reſiduum, hoc eſt axem
quæſitum portionis .i.e.t. eſſe circa .4
integra cum tertia parte vnius inte-
gri.
DIj perdant tuas adeo moleſtas, & aſſiduas curas, quæ te nimis à ſuauiori-
bus ſtudijs diſtrahunt, & à nobis longius abducunt. Nam, ut tibi
ita mihi ingentem adimunt voluptatem. Sed ne in aliquo erga te defi-
cere videar, quæ tibi olim promiſi, nunc mitto.
Negari quidem non poteſt, quin fuerit laborioſum opus Porcachij, & Benedicti
Bordonij, hoc eſt inſularium, qui rectè etiam feciſſent, cum loqui eos oportebat de
terminis ſphæræ ratione ſitus locorum, ſi ſeipſos alicuius excellentis Coſmographi
conſilio ſubmiſiſſent. Conſidera quæſo, quomodo admitti poſſit, id quod ait Por-
cachius initio ſui operis, ideſt Iſlandiam ſub Polo arctico iacere, inter auſtrum, &
boream: omittamus etiam quod idem in Proęmio lib. ſecundi, vbi ait Biarmiam,
(& non Iſlandiam) eſſe ſub dicto polo arctico: in
Iſlandiam inter auſtrum, & boream per centum leucas Germanicas extendi, dein-
de verſus occidentem, ea duo ſtupenda miracula conſpici. Vide quæſo, quomodo
incolę ſub aliquo ex polis, habere poſſint occidentem, orientem, magiſtrum, Sed quomodo fieri poteſt, vt in-
ſula Iſlandiæ ſit ſub polo, eius tamen dies, & nox maior non ſit longior ſpatio
menſium? vt ipſe pagina .62. in proęmio ſecundi lib. affirmat, quamuis hoc à Bordo
ne deſumat. In quo
principium geminorum incipere, & in egreſſu à Leone terminari, ideſt à .12. Maij ad
14. Auguſti, quaſi ſi ab æquatore finis Leonis ita declinaret, vt principium gemino-
rum, & finis Aquarij, vt initium Sagittarij, nam ratio poſtulat, tantum de-
clinari ab æquatore finem quantum initium diei, vbi maximus dies .24. horas ex
cedit, & ſic dico de noctibus: vnde in huiuſmodi regione, vbi per tres menſes conti
nuos Sol radios emittit, huiuſmodi dies à medietate Tauri incipit, & in medietate
Leonis terminatur, quæ quidem loca æqualem declinationem habent, & ſic nox
trium menſium incipit à medietate Scorpionis, & in medietate Aquarij, eadem ra-
tione finitur.
Septima verò pag.
tu ipſe videto. Is præterca modus
in eodem proęmio pag .63. eſt tædioſus, cum ſemper expectare nos cogat æquino-
ctij tempus, cum alij modi reperiantur breuiores, qui in qualibet reuolutione primi
mobilis obſeruari poſſunt, quorum vnus erit mediante inuentione lineæ meridiane
orizontalis, eo modo, quo ſcriptum eſt ab antiquis mediante Sole, aut Luna, quæ
luminaria in quolibet alio loco,
rectæ
inter polum, & circulum arcticum, quemadmodum facit, vt alijs, exiſtentibus ipſis
luminaribus extra æquatorem, & circulos arcticos gyrum hyperbolicum reddant. Sed id quod eidem Porcachio impoſſibile eſſe apud eos, qui habitant ſub polo vi-
detur, ideſt vt multis rationibus, vt ipſe dicit, fieri non poſſit, ut fiat immediata quę
dam, & ſubita mutatio à continuo die ad continuam noctem abſque eo quod ijs,
ſaltem ſemel conceſſa ſint dies, & nox terminata duodecim horarum, eſt magis ad
mirandum impoſſibile, quod imaginari poſſimus, nam neceſſarium eſſet, ut orizon-
habitatorum ſub polo ſecaret æquatorem contra id, quod ſuperius admiſerat, id-
eſt Vide etiam quid is ab anti-
quis colligat, loquens de iis, quæ in inſula Taprobana ad finem pag .186. admirabi
lia ſunt, ſcribens eiuſdem inſulę habitatoribus, Lunam ſuper terram non apparere
ab octauo uſque ad decimumſextum diem: pręter quam, quod etiam ſcribit, in
eadem inſula, tramuntanam non uideri, quod falſum eſt, quia hæc à polo arctico
circiter quatuor gradibus diſtat noſtris temporibus. unde ab ijs qui ſunt ſub æqua-
tore, cum ea ſupra orizontem eſt, conſpici poteſt, cum ijſdem ſingulis diebus oria-
tur, & occidat. Idem etiam pro re admirabili ſcribit, uideri Canopum, qui à po-
lo antarctico plus quam quadraginta gradibus diſtat.
QVod Lucillus Philalthęus tam eximius Mathematicus ſit, ut ipſum Anto-
nius Berga facit, ego quidem non uideo. In ſuis enim commentariis de
Cœlo, dicit primum, Pyramidem, quę inter corpora regularia primum locum tenet
Omitto errorem ab eodem com-
miſſum in fine pag .39. ubi oleum grauius eſſe quam aquam fatetur, cum id ad res
mathematicas non ſpectet: Omitto etiam quod idem neget aſtrologiam pag .74.
79. & quod etiam dicat pag .89. Deum eſſe ad orientem, non conſiderans aliqui-
bus populis noſtrum orientem eſſe occidentem.
Quod idem ait pag .241.
Aſtrologiam eſſe antiquiorem Aſtronomia eſt falſiſſi-
mum, quia iudiciaria ſemper præſupponit cognitionem ſitus ſtellarum, quæ ab A-
ſtronomia petitur. Mouebit tibi riſum quod ait pag .307. his verbis.
Verum propriè media dicitur illa, quæ rectam ſphæram omninò habet, quæ eun
dem polum orizontis & mundi obtinet, quæ orizontem habet diuidentemſphærã
æquè ſecundum angulos rectè.
Paulo inferius continuans ſermonem de ſphæra recta, ait.
Et niſi tumor terræ, & gibum eſſet, ijs perpetuus eſſet dies ſine nocte.
Linea verò .56. ait habitatores ſphęrę rectè habere .4. ſolſtitia, ſeſe ipſum huius
rei planè ignarum prodens .310. autem pag. ſic ſcribit.
Quoniam repercutiuntur radij, & peridem centrum tranſeunt, ob id ſtupam ap
poſitam centro radius accendit.
Quem quidem errorem ab Euclide deſumit, et .15. linea pag .636. repetit.
Si vis ridere, legito .16. primas lineas .357. pag.
Quod idem deinde dicat circa fi-
nem 396. pag. lucem eſſe ſubſtantiam corporis lucidi & corpoream, ſubijciam tuo
iudicio, vt etiam quod ait .397. pag. his vetbis vtens.
Idcirco animalia illa, quæ nocte vagantur perpolita, dum volant, aerem terunt
nocturnum, & fulgent.
Et pag .398.
Multitudo radiorum non admodum facit ad excitandum calorem ſi ſolum inci-
dat ſine repercuſſu, neorecta incidere iuuerit.
Quod falſum eſt cum radius incidens longè magis quam reflexus calefaciat.
In fi
ne autem .405. ſic ſcribit.
Sol in ortu & in occaſu longius apparet, iccircò reuolui creditur.Hinc etiam in
abſide ſtare putatur, & in oppoſito abſidis, vnde ſolſtitia vocant, ſed nobis in Can-
cro, antipodibus verò in Capricorno tum Sol abeſſe longius apparet vtriſque.
An hoc quid peius dici poteſt?
Circa vero .40. lineam pag .459. ſic ſcribit.
Si enim alij planetæ, & ſtellæ fixę reciperent à Sole lumen, dum accederent ad So
lem, vel recederent, aut contra, Sol ad eas appropinquaret, & abſcederet, eaſdem-
lucis viciſſitudinis ſubiret, quas Luna.
Hoc autem nondum depręhenſum eſt, quin etiam Mercurius, Venus, ſuo interpo
ſitu, Solem occultarent nobis, vt Luna.
Paulo inferius ſic ait.Rurſus æquè Saturnus, Jupiter, Mars, ſubire deliquium,
more Lunæ, aut ſaltem obiectu terræ inter Solem & ipſos, quia tum ob interpoſitam
terram non poſſent haurire lumen à Sole.
Hæc verò omnia, talia ſunt, qualia ab ijs qui incipiunt intelligere ſphæram non
proferrentur. Omittamus, quod ait deinde.
Accedit quod ſi aſtra lumen à Sole acciperent eiuſdem caloris eſſent.Itaque om
nia ſiccarent, & nulla eſſent frigidæ conſtitutionis contra Aſtrologos.
Quia hac ratione, Luna, quæ negari non poteſt, quin ab ipſo Sole
eiuſdem caloris eſſet cum eodem Sole. Sunt ea etiam ridenda, quæ idem ait pag.
460. lineis .18. 19. 23. 26. 27. 29. quaſi ea lux infinita (vt ita dicam) magni Solis, non
ſius vniuerſi ad vtilitatem hominum, imò, vt rectius dicam, vide etiam
pag .632. et .633. vbi Ariſtotelem de implendo loco non intellexit, cum citet ſphæ-
ram, loco pyramidis, & inter .46. et .47. lineas dicat
cum ſit vnicum tantum in ſpecie, quia ſpecies eſt quadrilateri, & quadranguli, ſed
vbi in .6. linea pag .633. ait.
Item hexagonus.
Magnum errorem committit, vt etiam cum .12. linea .636. pag. ſcribens.
Pyramis, ſiue planum, ſiue ſolidum, habet acutiſſimum, & in .2. libr. de anima
pag .215. dicat de die poſſe videri ſtellas in ſpeculo poſito in vaſe aqua pleno, quod
reuera eſt valde abſurdum. Alios eiuſdem errores tibi non patefacio, quia iam ni-
hil amplius otij mihi eſt, ſed eos tu ipſe perſpicere, & cognoſcere facilè poteris, &
multò plures quidem, quam putas.
EX tuis literis intellexi id, quod etiam ſine ijs exploratum mihi erat.
Sed conce
do tantum eſſe dicere vbi eſt maius lumen, minus non diſcerni, quantum inter
diu ſtellas non videri: immo eſt etiam magis vniuerſale, quia idem multis aliis lumi-
nibus, præter ea quæ ſunt ſtellarum, ea ratione contingit, quia ingrediente per pupil-
lam, tam lumine maiori, quam minori, reflexum ipſius maioris in oculo, in ſitu mino
ris, efficit, vt ipſum minus confundatur, & diſtingui nequeat, quemadmodum aper-
te cognoſci poteſt in aliquo cubiculo, cuius parietes dealbati ſint, in quo, vnicum
tantum ſit exiguum foramen, per quod aliqua lumina reflexa ab obiectis extrinſecis
intra ipſum cubiculum ingredi poſſint, vnde imagines
ſpiciuntur, ſed ſi per idem foramen ingrederetur etiam primarius radius Solis, re-
flexus huiuſmodi radij efficeret, vt dictæ imagines, magis aut minus euaneſcerent,
prout dictus reflexus radij ſolaris, maiori, minoríue vi polleret.
Ad hoc tamen propoſitum, nolo tibi ſilentio inuolui mirabilem quendam effe-
ctum eiuſmodi rei. Hoc eſt vt fiat foramen illud rotundum, magnitudinis tamen
vnius ſpecilli, quod foramen obturetur mediante vno illorum ſpecillorum, quæ pro
ſenibus (non breuis viſionis) conficiuntur, hoc eſt quorum ambæ ſuperficies con
uexæ ſunt, non autem concauæ. Deinde opponatur folium album papiri, adeo di
ſtans à foramine, vt extrinſeca obiecta in eo appareant. Quæ quidem obiecta ſi à
Sole illuſtrata fuerint, tam clara, & diſtincta videbuntur, vt nihil pulchrius dele-Sed ſi ea directa videre voluerimus.
hoc
optimè faciemus, mediante reflexione alicuius ſpeculi plani.
QVod dixi hyemem valde frigidam ſequi
ſcitur, quia calor terrę, aquæ, & aeris, non eſt naturalis horum corporum, vt
eſt frigus, cum calor à Sole procedat, qui ea calefacit ſuo lumine, vnde quod æſtate
Sol præter modum calefaciat
ria ſortiatur, & cum eandem poſtea deſerit, ad aliam partem æquatoris
terra ad ſuam qualitatem reddit, maiori cum impetu, eo modo, quo res in mo-
tibus localibus naturalibus, qui etiam terminos ſibi pręfixos, & conſtitutos exce-
dunt, hinc etiam hyeme fit glacies, ex calefacta prius aqua, quæ durior poſtea eſt
atque frigidior alia. Aeſtas etiàm quæ ſequitur hyemem valde frigidam, non
erit admodum calida, quia Sol inueniens contrarium naturale valde potens, non
tam facile illud pellere poteſt, vnde etiam ſi in Geminis, Cancro, & Leone, moram
trahat, non ſufficit tamen ut magnum calorem imprimere poſſit. Vnde ſequitur duas
æſtates quarum una ſequatur aliam, in eodem loco, uehementi calore præditas eſ-
ſe non poſſe, quemadmodum nec duas hyemes exceſſiuo frigore, remotis tamen
accidentibus uentorum, pluuiarum, & niuium.
EFfectus, quem ſcribit Tattalea quęſito quinto primi lib. necnon quæſito
21. et .24. maxima cum ratione eſſe uidetur, non tamen ea quam ipſe in
quinto profert, quia uerum non eſt, vt quanto aliquid fit calidius,
hementius attrahat, eo quod ſi etiam huiuſmodi res, in eodem calore, in
quo ſemel reperitur, firma maneret; neque attraheret, neque aliquid impelleret.
Nam dum aliquod corpus calefit, dilatatur, & per conſequens circumcirca
trudit, & partes uaſis debiliores cedunt. dum uerò dictum corpus re frigeratur, re-
ſtringitur, & dum in unum cogitur, ſi reperiatur in uaſe, quod aer, aqua, aut aliud
aliquod corpus ingredi nequeat, dictum uas à quo circundatur frangit, ne aliqua
pars loci uacua remaneat, ſed ſi aliquod corpus ingredi poteſt, illud ipſum ad ſe at-
trahit, quemadmodum uidere licet in cucurbitulis. Vnde ſequitur eam propoſi-
tionem, qua dicitur, calidi eſt attrahere, ueram non eſſe, quia ſi hoc fieret, quanto
aliquid calidus efficeretur, tanto magis attraheret, & ècontra, cum tamen planè
contrarium appareat, cum quanto magis aliquid calefit, tanto uehementius impel-
lat, & quanto magis frigefit, tanto plus attrahat. Quapropter uerius dicemus, fri-
gidi eſſe attrahere, calidi uerò expellere, quamuis per accidens. Ex quo ſequitur, ut
quanto calidior facta fuerit materia aliqua, aliquo loco determinata, redeundo po-
ſtea ad ſuam priorem frigiditatem, tanto minori loco indigeat, ſimiliter etiam
è conuerſo accidit, ut quanto frigidior Quod Tartalea in quinto quęſito non animaduer-
terat.
TVas literas accepi,
inueni, quo uerò ad primam, dico te oportere illud Theorema ſpeculari or
dine huiuſmodi methodi, uidelicet quod
cuiufuis amplitudinis, puta .A.R.V. cuius duo latera .R.A. et .R.V. indeterminata
intelligantur, ſi ab aliquo puncto inter ipſas poſito, puta .u. quod etiam uocetur .i. du
ctę fuerint .4. lineę ipſis dictis lateribus, hac ſcilicet
parallelę ipfis
ſeccent ipſa latera, ut V.u.
a. et .I.u.A. Dico nunc pro-
portionem .e.A. ad .e.a. ean
dem eſſe, quę .E.V. ad .E.I.
Nam ſcimus proportionem
E.i. ad .E.i. eandem eſſe quę
e.i. ad .e.A. ex fimilitudine
e.a. ad .e.u. quare aggregata
ex iſtis erunt inuicem
lia
portionalitate, quod idem
eſt, ita ſe habebit .E.I. ad .
E.V. ut .e.a. ad .e.A.
Suppoſito nunc plano orizontali .V.E.
Duę ue-
rò ſtationes oculorum ſint .V. et .I. lineę autem uiſuales ſint .V.A. et .I.A. Et quadra-
tum geometricum ſit .b.e. Supponatur nunc pro prima dubitatione, quod in am-
babus ſtationibus filum perpendiculare ſeccet latus .e.c. non autem .b.c. (nam quan-
do in ambabus ſtationibus filum ſecat latus .b.c. nullum tibi dubium oritur, imo ma
nifeſtè patent partes lateris .b.c. terminatas à .b. & à filo proportionales eſſe .V.E. &
I.E. ſumpto .E. pro .b. et .I.V. pro punctis ſecatis à filo, ex
gulorum quadrati cum triangulis .A.E.V. et .A.E.I.) Sed cum in pręſenti caſu repe-
riatur triangulum .u.e.a. minus, in ſtatione remotiori, ſimile triangulo maiori .V.E.
A. & triangulum maius .i.e.a. proximioris ſtationis, ſimile triangulo minori .I.E.A.
(quod in alio iam dicto, caſu non accidit, ut unum triangulorum, minus ſcilicet, ſi-
mile ſit uno triangulorum, maiori ſcilicet & è conuerſo) Non omnino abſque ratio
ne dubitas quo pacto fieri poſſit ut .a.e. remotioris ſtationis ad .a.e. propinquioris ita
ſe habeat quema dmodum .I.E. ad .E.V. Quapropter ſi pręcedentem figuram dili-
reſpondentiam talium triangulorum inter ſe, nec magis, nec minus quam in infra-
ſcripta hic figura cernere licet, quamuis in hac, triangula quadrati, ſeparata ſint ab
imaginarijs .A.E.V. et .A.E.I. in ſupradicta vero coniuncta, & inuicem communican
tia in puncto .u.i. quod quidem nihil refert. Dempta igitur .a.e. minori ex .a.e. ma-
iori, reliquum ita ſe habebit ad .a.e. minorem, vt, V.I. ad .I.E. quod nunc tibi
clarè patebit. Vnde ex te poteris ordinem operationis proſequi, vt in cognitionem
peruenias ipſius .I.E. ipſius .A.E. & ipſius .I.A. vel .V.A.
Sed
lo (pro ſecunda dubitatione) Tunc oportet imaginatione conſiderare latus .b.c. in
re motiori ſtatione diſtentum eſſe vſque ad filum in puncto .n. vbi videbis
u.b.n. ſimile triangulo .A.E.V. ita vt .i.b.a. ſimile ſuo .A.E.I. reperitur, vbi tam in vno
quapropter iubeo, vt quæras quantum ſit latus .b.n. ex regula de tribus, dicens ſi .a.e.
tribuit mihi .e.u. quid mihi dabit .u.b? eo quod .a.e.u. ſimile eſt .u.b.n. reperto autem
latere .b.n. ex quo dempto .b.a. breuioris diſtantię, reſiduum reſpondebit ipſi .I.V. vt
ſcis, vnde proſequendo operationem tibi cognitam, obtinebis intentum, hoc eſt co
gnoſces reliqua interualla. Nihil enim miror demonſtrationem Tartaleæ circa hu
iuſmodi operationem te minime ſatisfeciſſe.
Quod autem quarta propoſitio illius ſcriptoris, de quo nuper
mihi dixiſti, tua ſit, hoc enimego, nec affirmare, nec negare audeo, quamuis in mul
tis cum tua manuſcripta concordet. Nam ſępæ cogitationes hominum in idem co-
incidunt, vt pluries cenſuit Ariſto.
AMor erga te meus ſanè ſingularis, nullo modo
pta Hæc autem ſunt circa quæ
dam illius Authoris problemata, quorum primum ab ipſo Tartalea
ſcriptum in .3. quæſito libr .4. tale eſt, is vult locare .3500. homines, eodem modo,
quo præſupponit locatos eſſe .1000. ita vt quilibet hominum ordo ſiue vt vulgo di-
citur filtia ſit .49. quapropter multiplicat quadratum ipſius .49. quod eſt .2401.
numero .3500. propoſito, productum verò .8403500. diuidit per .1000. vt proue-
niat .8403. cuius radix quadrata eſt .91. pro numero hominum vniuſcuiuſque ordinis
propoſiti numeri .3500.
Pro cuius operationis ratione, cogitemus rectangulum .a.b. 1000. hominum, et .d.
b. ſit vna filtia ſiue ordo .49.
ctangulum .A.B. 3500. hominum, quod ſupponemus ſimile rectangulo .a.b. et .B.C.
Nunc ſupponendo .A.B. ſimile .a.b. clarum erit ex diffini-
tione ſimilium figurarum, quod eadem proportio erit .A.D. ad .D.B. quę .a.d. ad .d.
b. hoc eſt .A.D. ad .D.C. vt .a.d. ad .d.c. hoc eſt .A.B. ad .B.c. vt .a.b. ad .b.c. ex prima
ſexti, vel .18. ſeu .19. ſeptimi, tunc cum dixerimus ſi .a.b. ita reſpondet ad .b.c. ergo .A.
B. correſpondet etiam ita ad .B.C. quare ex regula de tribus rectè fit multiplicando .
A.B. per .b.c. productum verò diuidendo per .a.b. ex .15. ſexti vel .20. ſeptimi, cuius
prouentus radix quadrata erit quod quærebatur.
Sed aliter idem poſſe fieri ſpeculatus ſum, hoc eſt multiplicando numerum .49.
ordinis .1000. hominum
rò diuidere per radicem quadratam ipſius .1000. vnde prouentus .91. erit numerus
vnius ordinis .3500. numeri
Cuius
Sit .a.b. quadratum .1000. et .a.c. ſua
radix et .a.d. rectangulum propoſi-
tum ipſius .1000. et .a.e. vnus ordo. Sit etiam .A.B. quadratum .3500. &
A.C. eius radix et .A.D.
ipſius numeri .3500. propoſiti, ſimile
tamen rectangulo .a.d. et .A.E. eius
vnus ordo.
a.d. et .A.B: A.D.
proportionalis inter .a.e. et .e.d. & ſic
A.C. erit etiam media proportiona
lis inter .A.E. et .E.D. per .16. ſexti,
ſeu .20. ſeptimi, & quia proporrio. A
E. ad .E.D. æqualis eſt proportioni .
a.e. ad .e.d. cum .A.D. ſupponatur ſi-
mile .a.d. ergo proportio .A.E. ad .A
C. ęqualis erit proportioni .a.e. ad .a.
c. quę medietates ſunt
lium, rectè igitur fiet ſi procedamus
ex regula de tribus, dicendo ſi .a.c.
det .A.E. ex ſupradictis .15. ſexti. vel
20. ſeptimi.
Ratio verò quarti quæſiti per ſe
patet, quod eſt inuenire
ſeu aream quadratam, in qua poſſint
locari quot homines volueris, ita in
ter ſe ſiti, ut vnuſquiſque occupet
7.
et .3. per latitudinem à lateribus.
Seu ex propoſito hominum nume
ro inuenire numerum ipſorum loca-
bilem in aliqua area quadrata, ita,
vt vnuſquiſque occupet .21. pedes
quadratos ipſius areæ.
Sed aliter idem fieri poſſe inueni, hoc eſt
poſiti numeri hominum per .21. & productum item multiplicando per eandem radi
cem, & huiuſmodi producti radicem diuiden do per .3. vnde prouentus eſſet nume-
rus hominum vnius ordinis.
bimus huiuſmodi numeri radicem
quadratam hoc eſt .60. per .21. hoc
3. & reſultabit nobis .1260. quod ſi
multiplicabitur, per .60. hoc eſt per
eandem radicem, reſultabit nobis
75600.
drata eſt ferè .275. qua diuiſa per .3
proueniet nobis .91. pro hominum
numero vnius ordinis.
Cuiusratio eſt iſta, cogitemus nu
merum .3600. propoſitum eſſe qua
dratum .a.b. (ſed non areæ) cuius ra
dix .60. ſit .a.c. & quia hic numerus
60.
rum
quadratos ſuperficiales ex ſuppoſi-
to, & propterea multiplicatur, 60.
cum .21. vnde nobis veniat .1260.
quadrati ſuperficiales pro vnoquo-
que ordine, &
drati .a.b. habet tot ordines homi-
num ſimiliter, hoc eſt .60. igi-
tur multiplicando .60. cum .1260.
habebimus totalem ſuperficiem .a.
b. ex .75600. quadratis ſuperficiali-
bus, quæ quadrata imaginemur lo-
cata eſſe in quodam totali quadra-
to, quod ſit .e.f. cuius radix ſit .e. g
275.
hoc eſt per numerum pedum latitu-
dinis & prouenient nobis .91. pro
numero
nis, diuidendo poſtea latus .f.g. per
numerum ſpatij inter vnum, &
ordinem, quod eſt .7. proueniet
nobis .39. pro numero ordinum.
Aliter, & breuius etiam poſſumus idem inuenire, hoc eſt multiplicando
rũ
mus Cuius ratio
multiplicare totum numerum .3600. per .21. cętera verò facere, vt diximus.
Sed
aliquis cuperet quadratum perfectum ſuperficiale habere,
exceſfu, aliquid aliud adhuc facere oporteret, hoc eſt, inuentum cum fuerit quadra
tum .e.f. cum ſuis radicibus .e.g. et .g.f. pedum .275. vnaquaque, vt in dicto exemplo
factum eſt, oportebit
furabilem ab .3. & ab .7. quod facilè fiet ſi diuiſerimus .275. per .21. detrahendo fra-
cta diuiſionis ab ipſo .275. quæ quidem fracta in hoc exemplo ſunt .2. vnde remane-
bit .273. pro numero laterum quadrati ſuperficialis, in quo poſſent locari .3549. ho-
mines, eo ordine quo ſupra dictum eſt, quorum ſcilicet vnuſquiſque obtineat .21.
pedes ſuperſiciales.
quisrectè poſſit intelligere rationes conſonantiarum muſicæ, ablque co
gnitione illarum mediante ipſo ſenſu, imo nemo
ſices, niſi aliquo
quid nam ſint diapaſon, diapente, diateſſeron, ditonus, ſemiditonus, hexacordum
maius, aut minus, & conſonantiæ ex ijs cum diapaſon compoſitæ, abſque earum
praxi? vnde ſequetur
Et purus
practicus non intelliget quid ſit octaua, quinta, quarta, tertia maior, tertia minor,
ſexta maior, ſexta minor, decima maior, decima minor, vndecima, duode-
cima, decimatertia maior, aut minor, aut decimaquinta, & aliæ, ita vt ad
comparandam perfectionem muſicæ neceſſarium ſit, & thęoriam & praxim ad-
diſcere. Cum pręterea Ludouicus Folianus apertè monſtrarit (etiam ſi id à diato-
nico ſintono Ptolomei deſumpſerit) reperiri duos tonos, maiorem, & minorem, id-
eſt ſeſquioctauum, & ſeſquinonum, & tria ſemitonia, maius, minus, & mini-
mum, ideſt ſeſquiquintumdecimum, qui eſt maius, ſeſquiuigeſimum quartum id-
eſt minimum, & mediocre, vt .27. ad .25. quæ proportio ſuperbipartiens vigeſi-
maſquintas appellatur, & cum cognouerit ſemiditonum conſonantem eſſe ſeſqui-
quintum, ditonum ſeſquiquartum, & hexachordum minus, vt .8. ad .5. quæ propor-
tio dicitur ſupertripartiens quintas, & hexachordum maius, vt .5. ad .3. hęc autem vo
catur ſuperbipartienstertias; omnium ſimplicium conſonantiarum cognitioni, ex-
tremam impoſuit manum. Et quia tibi etiam oſtendere promiſi in modulationibus
quorum primo, & ſecundo, inter dieſim, et .b. in ſuperiori, agnoſces interuallum mi
nimi ſemitonij, & ſi ibi ſit dieſis, tanquam terminus ad quem, et .b. tanquam termi-
nus à quo: quod autem inter dieſim et .b. ſit ſemitonium minimum, facilè agnoſces
ſi ſubtraxeris
Qua quidem modulatione tu etiam vſus es in cantilena illa, quæ Galica lingua
incipit. Hellas comment.
Eadem, ego quoque in meis cantilenis latino ſermo-
ne compoſitis, quæ Moreta vocantur aliquando vſus ſum.
Sed in tertio exemplo inuenies ſemitonium maius, neceſſariò genitum in ſupe-
riori, ſi ſextam maiorem cum baſſu eſſicere volueris, quia tenor, à ditono cum
ſuperiori ad diapentem, & ad vniſonum cum baſſu procedit, vbi quieſcit, progre-
diendo poſtea baſſus ad ſemiditonum cum tenore, tunc ſi à proportione huius ſep-
timæ, quæ eſt vt .9. ad .5. hoc eſt ſuperquadripartiensquintas demptum fuerit hexa-
chordum maius, ſeu ſexta maior, quæ eſt vt .5. ad .3. remanebit proportio .27. ad .25.
quæ maior eſt quam .32. ad .30.
In quarto
ex ſubtractione ditoni
In quinto exemplo videbis tonum minorem, & tonum maiorem ſucceſſiuè vnum
poſt alium in tenore, detrahendo primo
cit cum tenore, vel detrahendo diapente ab hexachordo maiori, quod facit tenor
cum baſſu, vnde remanet tonus minor ſeſquinonus, detrahendo poſtea diateſſaron
à diapente, quod ſuperius facit cum tenore, remanebit tonus maior ſeſquioctauus.
In ſexto exemplo deinde videbis tenorem aſcendere per duos tonos minores ſuc
ceſſiuè vnum poſt alium in tenore, ſi
In .7.
ſiuè
QVod aliàs tibi dixi, verum eſt, quod neceſſarium nullo modo ſit, vt modulan-
do, deſinat cantilena in eodem tono (quod Græci phthongum appel-
lant) à quo incępit. immo neceſſariò ſemper ferè, altius, aut depræſ-
ſius terminatur, per differentiam alicuius interualli æqualis, vel multiplicis ipſi com
mati ſeſquioctuageſimæ, quod quidem comma, quamuis cantabile non ſit, inſenſi-
biliter tamen generatur, & toties ab aliqua parte ipſius cantilenæ poſſet
ma gcnerari, verſus acutum, vel graue, quod in fine ipſius cantilenę, vocis phtongus
reperiatur diſtans à primo per interuallum alicuius toni ſeſquinoni, ſeu ſeſquioctaui
plus, minúsue, vt in ſubſcripto exemplo clarè videre potes in prima figura, vbi ſu-
perius à .g. primę cellulæ ad .g. ſecundæ, intereſt vnum
ſuperius in prima cellula ipſius cantilenæ à quarta ad quintam cum tenore, aſcendit
per tonum ſeſquioctauum, à prima cellula deinde ad ſecundam, tenor aſcendit ſimi-
liter per tonum ſeſquioctauum cum tranſeat à quinta ad quartam, quod facit cum
ſuperiori, in ſecunda cellula poſtea, cum ſuperius deſcendat à maiori ſexta ad quin
tam, quod facit cum baſſu, ſeu à quarta ad tertiam minorem, quod facit cum teno-
re, tunc deſcendit per tonum ſeſquinonum, ita quod non reuertitur ad
gum, vbi prius erat in prima cellula, ſed reperitur per
Progrediendo igitur hoc modo, videbis quod cum tenor à ſecunda cellula ad ter
tiam tranſeat à tertia minori ad quartam, quod facit cum ſuperiori, deſcendit per
tonum ſeſquinonum, vnde in tertia cellula altius remanet quam in prima per
comma, in qua tertia cellula, cum iterum tranſeat ſuperius à quarta ad quintam,
facit cum tenore, eleuatur per tonum ſeſquioctauum, proſequendo deinde tali ordi
ne, vidc
lula per tria commata, in octaua verò per .4. commata, vnde hac merhodo, ſi can-
tilena prolixior debito eſſet, vel ſi talia interualla frequentiora reperirentur, poſſet
cantilena à principio ad finem differre per .9. commata, & plus etiam, quæ quidem
ſeſquioctauum, eo quod aggregatum ex .9. commatibus continetur ſub iſtis duobus
terminis hoc eſt .150094635296999121. et .134217728000000000. quæ qui-
dem proportio maior eſt proportione ſeſquinona, ſumma verò .10. commatum con
tinetur ſub .12157665459056928801. et .10737418240000000000. quæ pro
portio maior eſt tono ſeſquioctauo, quod autem dico de aſcenſu cantilenæ, idem aſ-
ſero de eiuſdem deſcenſu, & hoc non tantum per interuallum illius commatis, quod
eſt differentia toni maioris à minori, ſed etiam per illud quod eſt differentia ſemito
nij maioris à minori, vt in ſecundo exemplo hic ſubſcripto videre eſt in deſcenſu
cantilenæ per comma & comma, vt differentia inter ſemitonia maiora
vbi in prima cellula diſcedens baſſus à quinta cum ſuperiori, & ab vniſono cum te-
nore deſcendens ad tertiam minorem cum ipſo tenore, facit cum ſuperiori
maiorem, quæ eſt vt .9. ad .5. ſuperquadripartiensquintas ſcilicet, à qua diſcedens
poſtea ſuperius, vt faciat cum baſſu ſextam maiorem, deſcendit per ſemitonium ma
ius, à qua ſexta maiori deſcendens baſſus, & aſcendens per quartam, efficit cum di-
cto ſuperiori
baſſu (qui quidem baſſus tranſit in tenorem) aſcendit per ſemitonium minus, diffe-
rens à ſemitonio maiori per vnum comma, vnde cantilena remanet depreſſa per
vnum comma. cum deinde idem faciat inter tertiam, & quartam cellulam, per a-
liud comma deſcendit, & ſic toties facere poſſet, vt poſtremo valde deprimatur
cantilena à primo phthongo.
Quod autem hic ſupradictum eſt, clrca inſtrumenta artificialia non accidit, qua
propter organa, & clauicimbula concordantur certo quodam ordine, ita vt omnes
conſonantiæ, excepta diapaſon, ſeu octaua, ſint imperfectæ, hoc eſt, aut diminutę,
aut ſuperantes à inſto, vt exempli gratia, omnes quintæ ſunt diminutæ, quartæ verò
ſunt exceſſiuę, quod quidem fit, vt tertiæ, & ſextæ, non multum auribus diſſonent,
eo quod ſi quintæ omnes, & quartæ, perfectæ eſſent, tunc omnes ſextę, & tertiæ in-
tollerabiles eſſent, & à perfectis differrent per vnum comma, quod manifeſtum no-
bis erit hoc modo, accipiamus tres diapentes, ſeu quintas, conſequenter ſucceſſiuas
vnam poſt aliam, hoc eſt tres proportiones ſeſquialteras, quarum aggregatum erit
vt .27. ad .8. quæ proportio, dicitur tripla ſupertripartiensoctauas, & quæ à practicis
mi, tunc talis tertiadecima valde odioſa eſſet ſenſui auditus, à qua, ſi dempta ſuerit
diapaſon, ſeu octaua, remaneret quoddam hexachordum maius, ſeu ſexta maior, au-
ribus valde inimica, ſub proportione .13. ad 8. ſed hæc proportio differret à propor
tione ſuperbipartientetertias perfecti hexachordi maioris, hoc eſt ſextæ maioris
conſonantis, per proportionem ſeſquioctuageſimam, hoc eſt per vnum comma,
quod quidem eſt etiam differentia aggregati trium ſeſquialterarum, à tertiadeci-
ma maiori conſonanti, hoc eſt exceſſus proportionis triplæ ſupertripartientis octa-
uas, ſupra triplam ſeſquitertiam, quæ eſt ſumma ipſius duplæ cum ſuperbi partien-
tetertias.
A tali ſumma igitur trium ſeſquialterarum efficitur tertiadecima maior diſſonans
excedens conſonantem per vnum comma (cuius proportio eſt .81. ad .80.) quæ con-
fonans continetur in proportione .10. ad .3. vt ſupra dixi.
Hæcigitur eſt vera ratio, propter quam debemus comma diſtribuere in organis
& clauicymbalis, cum ab aggregato trium quintarum producatur talis exceſſus ſu-
pra perfectam, ſeu conſonantem tertiamdecimam maiorem, quod quidem aggre-
gatum, cum demptum fuerit à quintadecima, relinquet nobis tertiam minorem
diſſonantem, & mancam, per eundem exceſſum à conſonanti. quæ quidem tertia
minor diſſonans ſubtracta à diapente ſeu quinta perfecta, relinquet nobis tertiam
maiorem diſſonantem, qu@ conſonantem excedit per eundem exceſſum comma-
tis, & hæc demum tertia maior diſſonans, dempta ex diapaſon, ſeu octaua, relin-
quet nobis hexachordum minus, hoc eſt ſextam minorem diſſonantem, & muti-
lam à conſonanti per eundem exceſſum commatis. De huiuſmodi verò commatis
diſtributione doctiſſimè ſcripſit Excellentiſſimus Zarlinus in ſecunda parte Inſtitu-
tionum Harmonicarum.
Sed quia ſenſus auditus non poteſt exactè cognoſcere debitam quantitatem ex-
ceſſus, vel defectus, intendendo vel remittendo chordas inſtrumentorum, ideo hanc
viam ſequutus ſum.
Sit exempli gratia, hic ſubſcriptus ordo lignorum tangentium ſeu pinarum inci-
piens ab .G. deſinens ad .g. ita quod inter ipſos terminos ſit ea conſonantia quæ vo-
catur vigeſimaſecunda, quæro primum .b. inter .D.E. quod eſt nigrum ipſius Ela-
mi grauiſſimum, quod groſſo modo facio conſonans cum .G. grauiſſimo per ſex-
tam
tumdecimum, quo perfectius poſſum, deinde accipio .b. molle ſecundum ipſius. b
fabmi quod concordo cum .b. primo ipſius Elami per quintam imperfectam, dein-
de cum hoc .b. ſecundo ipſius bſabmi concordo ſecundum .f. per quintam ſimiliter
imperfectam, cum quo .f. poſtea concordo tertium .c. per ſimilem quintam, quem
tertium .c. poſtea confero
ſextam maiorem tolerabilem, & ſi ſic inuenio, tunc nihil muto has treschordas hoc.
valde diſſonans eſſet cum .b. ſecundo ipſius elami, tunc ipſum .c. intendo, aut re-
mitto, quouſque aliquo modo ſit conſonans per ſextam maiorem aliquantulum ex
ceſſiuam cum .b. ſecundo ipſius elami, cum quo poſtea .c. conſonare aliquantulum fa
cio .f. ſecundum per quintam defectiuam, & cum hoc
bfabmi, quo facto concordo ſecundum .c. cum tertio per octauam, cum quo ſecun-
do .c. poſtea concordo tertium .g. per talem quintam, quod ipſum tertium .g. cum ſe-
cundo .b. ipſius bfabmi conſonet tolerabiliter per ſextam maiorem
ceſſiuam, deinde cum iſto tertio .g. concordo tertium .d. per talem quintam, ita quod
ipſum .3.d. concordet tolerabiliter cum .2.f. per ſextam maiorem exceſſiuam, poſtea
cum hoc .3.d. concordo .2.d. per octauam perfecte, cum quo .2.d. poſtea concordo .
3.a. per quintam, vt in alijs
dictum eſt, cum quo .3.a. poſtea concordo .3.e. per quintam, vt dictum eſt, ita quod
cum .3.g. faciat ſextam maiorem vt ſupra, poſtea cum hoc .e. concordo .2.e. per octa
uam, cum quo concordo .b. quadrum tertium per quintam, vt dictum eſt, ita quod
2.d. faciat ſextam maiorem ſimilem alijs ſuperius dictis, cum quo .b. quadrato tertio
concordo tertium nigrum ipſius .f. per quintam, ita quod cum .3 a. faciat ſextam ma-
iorem, vt ſupra, deinde cum hoc concordo .2.f. nigrum per octauam, cum quo, per
quintam concordo 3.c. nigrum ita quod cum .2.e. faciat ſextam dictam, demum
hoc concordo .4.g. nigrum per quintam, ita quod faciat cum .3.b. quadrato ſextam
dictam, & ſic ad vltimam quintam peruenio, ſupra quod .g. nigrum nulla quinta am-
plius reperitur, poſtea cum iſtis chordis concordo per octauas omnes alias ab acutis
ad graues.
Valde etiam admiratione dignum eſt, quod perſectiores quæque conſonan
tiæ, ita in harmonica diuiſione ſibi inuicem conueniant, vt dia paſon cum diapente,
cum diapaſondiapente, cum ditono, cum hexachordo maiori cum bisdiapaſon,
decimaleptima maiori. Nam in ipſa diapaſon, harmonicè
te grauiori, & diateſlaron in acutiori. In diapente verò harmonicè locantur ditonus
in parte grauiori, & ſemiditonus in acutiori. In ditono harmonicè locantur tonus
maior in parte grauiori, & tonus minor in acutiori. In hexachordo maiori, harmo-
nicè locantur diateſſaron in parte grauiori, & ditonus in acutiori. In diapaſondia-
pente, harmonicIn bisdiapaſon, ha@monicè locantur decima maior in parte grauiori & hexachor-
dum minus in acutiori. In decimaſeptima maiori, harmonicè locantur diapaſondia-
pente in parte grauiori, & hexachordum maius in parte acutiori. Ita quod ronus
ſeſquioctauus in ditono, proportionalis eſt ipſi ditono in diapente. Tonus verò ſeſ-
quinonus in ipſo ditono, proportionalis eſt triemitonio, vel ſeſquitonio ſeu ſemidi-
tono (quod idem eſt) in diapente. Ditonus autem in diapente, proportionalis eſt
ipſi diapente in diapaſon. Seſquitonus verò in diapente, proportionalis eſt diateſ-
ſaron in diapaſon. Et ſic de ſingulis.
Ita quod tonus ſeſquioctauus in ditono, dito-
mus in diapente, diateſſaron in hexachordo maiori, diapente in diapaſon, diapaſon
in diapaſondiapente, decimamaior in bisdiapaſon, diapaſondiapente in decima-
quis partibus, cum relatæ fuerint ad ſua tota.
Nec alienum mihi videtur à propoſito inſtituto, ſpeculari modum generationis
ipſarum ſimplicium qui quidem modus fit ex quadam æquatione per
@uſſionum, ſeu æquali concurſu vndarum aeris, vel conterminatione earum.
Nam, nulli dubium eſt, quin vniſonus ſit prima principalis
nec non magis propria conſonantia; & ſi intelligatur, vt punctus in linea, vel vnitas
in numero, quam immediate ſequitur diapaſon, ei ſimillima, poſt hanc verò diapen
te, Videamus igitur ordinem concurſus percuſſionum terminorum, ſeu
vndarum aeris, vnde ſonus generatur.
Concipiatur igitur mente monochordus, hoc eſt chorda diſtenta, quæ cum diuiſa
fuerit in duas æquales partes à ponticulo, tunc
feret, & ambæ formabunt vniſonum, quia eodem tempore, tot percuſſiones in aere
faciet vna partium illius chordæ, quot & altera: ita vt vndæ aeris ſimul eant, & æqua
liter concurrant, abſque ulla interſectione, vel fractione illarum inuicem.
Sed cum ponticulus ita diuiſerit chordam, vt relicta ſit eius tertia pars ab vno la-
tere, ab alio vero, duę tertię, tunc maior pars, dupla erit minori, &
paſon conſonantiam, percuſſiones vero terminorum ipſius, tali proportione ſe inui-
cem habebunt, ut in qualibet ſecunda percuſſione minoris portionis ipſius chordæ,
maior percutiet, ſeu concurret cum minori, eodem temporis inſtanti, cum ne-
mo ſit qui neſciat, quod quo longior eſt chorda, etiam tardius moueatur, quare
cum longior dupla ſit breuiori, & eiuſdem intenſionis tam vna quam altera, tunc eo
tempore, quo longior vnum interuallum tremoris perfecerit, breuior duo interual-
la conficiet.
Cum autem ponticulus ita diuiſerit chordam, ut ab uno latere relinquantur duæ
quintæ partes, ab alio verò tres quintæ, ex quibus partibus generatur conſonantia
diapente; tunc clarè patet, quod eadem proportione tardius erit vnum interuallu
tremoris maioris portionis, vno interuallo tremoris minoris portionis, quam ma-
ihoc eſt tempus maioris interualli ad tempus minoris
erit
ris portionis, & duobus maioris; ita quod eadem proportio erit numeri interuallo-
rum minoris portionis ad interualla maioris, quæ longitudinis maioris portionis ad
longitudinem minoris; vnde productum numeri portionis minoris ipſius chordæ
in numerum interuallorum motus ipſius portionis, æquale erit producto numeri
portionis maioris in numerum interuallorum ipſius maioris portionis; quæ quidem
producta ita ſe habebunt, vt in diapaſon, ſit binarius numerus; in diapente verò
ſenarius; in diateſſaron duodenarius, in hexachordo maiori quindenarius;
in di-
tono vicenarius, in ſemiditono tricenarius, demum in hexachordo minori quadra
genarius: qui quidem numeri non abſque mirabili analogia conueniunt inuicem.
Voluptas autem, quam auditui afferunt conſonantiæ fit, quia leniuntur ſenſus,
quemadmodum
facilè vide
vis, ad familiaria trahunt colloquia ego de meis mathematicis, tu de tuis
legibus, in quibus tractandis magnum tibi nomen comparaſti loquuti ſu
mus. Cum vero nonnunquam de mirabili iuſtitiæ commutatíuæ inſtitu
to non ingratus incidiſſet ſermo, dixi modum, quo formam ſuam à proportionali-
tate arithmetica diſiuncta, & non a coniuncta deſumat, à nemine literis proditum
eſſe, libet autem nunc per otium latius explicare. dixi enim à diſiuncta, & non con-
iuncta proportionalitate, quia in coniuncta, ſeu continua nullo pacto fieri poteſt
talis commutatio, cum ſemper quatuor terminos ad minus tranſeat, vt nunc vide-
bimus.
Exempli gratia, Petrus ex ſuis bonis tribuat Ioanni aliquid valoris quinquagin
ta aureorum.
Vnde priuſquam Ioannes aliquid ex ſuis bonis retribuat Petro, bona ipſius Pe-
tri diminuta erunt per quinquaginta aureos, bona verò ipſius Ioannis, aucta toti-
dem aureis.
Ecce nunc quo pacto conftituti ſunt .4. termini in proportionalitate aritmetica,
per quos ſit talis permutatio, ſed nondum æquata, niſi fiat æqualis retributio à Ioan-
ne ad Petrum, vt videbimus.
Cogitentur itaque .4. termini aritmeticè proportionales .C.A.B.D.
Ita quod .A.
mediante ſignificentur bona Ioannis .B. vero Petri, prius quam Petrus aliquid ex bo
nis ſuis tribuat Ioanni. Tunc Petrus ſecat partem vnam ex .B.
ni, vnde ipſi Petro remanet .D. Ioanni autem .C. quatuor igitur termini conſtituti
ſunt .B.D.C.A. quorum .B. primus .A. quartus .C. uero tertius .D.
B. et .A. ſunt in ſua naturali mediocritate abſque defectu vel exceſſu ſui ipſius. Non
ita tamen ſe habet .C. et .D. quia .D. deficit .C. autem excedit à ſua priori quantitate. Nihilominus iſti .4. termini conſtituti ſunt in ipſa aritmetica proportionalitate, nam
eadem quantitate qua .D. diminuta eſt à .B. eadem .C. aucta eſt ſupra .A.
Sed quia .B. et .A. tantummodo iuſti ſunt termini .C. uerò et .D. iniuſti, vt ad ſuam
priorem æqualitatem reuertantur, oportebit ex .C. ſecare aliquam partem æqualis
valoris ei, qua .C. ſuperat .A. vel qua .D. minor eſt .B. & ipſam partem addere ipſi .D.
vt bona Petri reuertantur ad priorem ſuam quantitatem ipſius .B. & bona Ioannis
remaneant æqualia .A. vt prius.
Quare neceſſarium non eſt, vt talis proportionalitas ſit coniuncta (vt inquit Eu
f
ſuper quinto capite libr. quin-
contenta, imò oportet ut ipſa
diſiuncta ſit, ut diximus, vbi
non eſt neceſſe quod .A. æqualis ſit .B. aliquo modo.
SI vera eſſet animorum illa tranſmigratio quam ſibi Italicæ ſapientiæ Pa-
ter Pythagoras effinxerat, tuam,
quandoque venatici fuiſſe.
Quæris à me literis tuis, an motus circularis alicuius molæ molendina
rie, ſi ſuper aliquod punctum, quaſi
cum aliquando eſſet mota, ſupponendo etiam eandem eſſe perfectè rotundam, &
lęuigatam. Reſpondeo huiuſmodi motum nullo modo futurum perpetuum, nec
etiam multum duraturum, quia præterquam quod ab aere qui ei circumcirca
reſiſtentiam facit ſtringitur, eſt etiam reſiſtentia partium illius corporis moti, quæ
cum motæ ſunt, natura, impetum habent efficiendi iter directum, vnde cum ſimul
iunctæ ſint, & earum vna continuata cum alia. dum circulariter mouentur patiuntur
violentiam, & in huiuſmodi motu per vim vnitæ manent, quia quanto magis mo-
uentur, tanto magis in ijs creſcit naturalis inclinatio recta eundi, vnde tanto magis
contra ſuammet naturam voluuntur, ita vt ſecundum naturam quieſcant, quia cum
eis proprium ſit, quando ſunt motæ, eundi recta, quanto violentius voluuntur, tan-
to magis vna reſiſtit alteri, & quaſi retrò reuocat eam, quam antea reperitur habere.
Ab eiuſmodi inclinatione rectitudinis motus partium alicuius corporis rotundi
fit, vt per aliquod temporis ſpacium, trochus cum magna violentia ſeipſum circun-
agens, omninò rectus quieſcat ſuper illam cuſpidem ferri quam habet, non incli-
nans ſe verſus mundi centrum, magis ad vnam
ſuarum partium in huiuſmodi motu non inclinet omnino verſus
multo magis per tranſuerſum ad angulos rectos cum linea directionis, aut verticali,
aut orizontis axe, ita vt neceſſariò huiuſmodi corpus rectum ſtare debeat. Et quod
dico ipſas partes non omninò inclinare verſus mundi centrum, id ea ratione dico,
quia non abſolutè ſunt unquam priuatæ huiuſmodi inclinatione, quę efficit vt ipſum
corpus eo puncto nitatur. Verum tamen eſt, quod quanto magis eſt velox, tan-
to minus premit ipſum punctum, imò ipſum corpus Id
apertè patet
chinæ miſſilis, quæ pila quanto eſt velocior, in motu violento, tanto maiorem pro-
penſionem habet rectius eundi, vnde verſus mundi centrum tanto minus inclinat,
& hanc ob cauſam leuior redditur. Sed ſi clarius, hanc veritatem videre cupis,
cogita illud corpus, Trochum ſcilicet, dum velociſſime circunducitur ſecari, ſeu
diuidi in multas partes, vnde uidebis illas omnes, non illico uerſus mundi centrum
Id quod à nemine ad-
huc (quod ſciam) in trocho eſt obſeruatum. Ab huiuſmodi motu trochi, aut hu-
ius generis corporis, clarè perſpicitur, quàm errent peripatetici circa motum uio-
lentum alicuius corporis, qui exiſtimant aerem qui ſubintrat ad occupandum locum
à corpore relictum, ipſum corpus impellere, cum ab hoc, magis effectus contrarius
naſcatur.
Quod deinde ampullæ iungantur in aqua, non fit ratione ſimpathiæ, de qua lo-
quitur Fracaſtorus, nam per accidens iunguntur, quia cum alia ad aliam accedit, quę
libet earum tentat aſcendere ab ea parte, à qua inuicem hærent, quemadmodum
efficiunt iuxta labrum vaſis, ea enim ſuperficies a quæ vicina circunferentiæ vaſis ali
quantulum aſcendit in vaſe, qui non eſt omnino plenus.
Ad id deinde quod de claritate noctium ſcribis, miror cur non videas, quod
to magis obſcura nox apparet, non dico ratione nubium, ſed diſtantiæ Solis ſub
orizonte ab eodem orizonte, tanto magis claram, & luminoſam ſeſe nobis oſten-
dit Luna in quintadecima, quia cum Sol eſt in Sagittario, & Capricorno, Luna eſt
in Geminis, & in Cancro, vnde in media nocte, eius radius per valde exiguam
titatem vaporum tranſit, quia tunc ipſa eſt valde propinqua axi orizontis, & præ-
terea in huiuſmodi tempore anni & noctis, aer eſt magis purgatus, quàm in qualibet
alia temporis parte, quia hieme Sol non poteſt excitare multos vapores, & ij, qui
at tolluntur, nocte à frigore ſtatim congellati ratione grauitatis unde rema-
net aer multo clarior, qua ratione apparent ſtellæ minutæ, & Cœlum ijſdem ma-
gis ornatum, quàm in quolibet alio anni tempore.
Dicere deinde, quemadmodum hic mundus eſt ætatis ſeptem, aut octomillium
annorum, ita nunc potuiſſet eſſe (ſi Deus voluiſſet) ætatis quinquagintamillium; er
go erat tempus; ita ſe habet, ac ſi diceremus, quemadmodum hic mundus eſt tan-
tæ magnitudinis, ita etiam quinquagies maior eſſe potuiſſet, ergo eſt ſpatium, aut
interuallum corporeum, quod eum capere potuiſſet.
Illud, nihil, Ariſtotelis extra Cęlum, nullo modo nobis inſeruit pro eiuſdem Cœ
li ſphęrica rotunditate, cum cuiuſque alterius ex infinitis figuris Cęlum ipſum eſſe
poſſit, ſecundum ſuam ſuperficiem conuexam. Nam Cœlum ea ratione ſphęricum
non eſt, quod magis ſit capax, quia ei innumerahiles alias figuras adeo magnas po
terat concedere cauſa diuina: ſed ſphæricum eſt effectum, ne partem aliquam habe
ret ſui termini ſuperfluam, quia nullum corpus à breuiori termino quam à ſphærico
terminari poteſt.
FVnis cui appenſa eſt ſitula, longè facilius axi inuoluitur, ſi ipſi axi affixa ſit rota.
atque item commodius eò fiet, quo amplior rota erit, & axis exilior.
Commodiſſimè autem, ſi ipſa rotæ extrema circunferentia, ex materia minori,
& denſiori, ac proinde grauiori conſtabit. Cuius rei ratio multiplex eſt.
Nem-
pe quia omne corpus graue, aut ſui natura, aut vi motum, in ſe recipit impreſſio-
ſpatium ex ſeipſo moueatur. nam ſi ſecundum naturam motu cieatur, ſuam veloci-
tatem ſemper augebit, cum in eo, impetus & impreſſio ſemper augeantur, quia
coniunctam habet per petuò virtutem mouentem. Vnde manu mouendo rotam, ab
circunuertetur.
Secunda cauſa eſt, quia quoduis gr aue corpus, aut per naturam, aut per vim mo-
tum, rectitudinem itineris naturaliter appetat, quod clarè cognoſcere poſſumus,
proijciendo lapides funda, & circunducentes brachium, nam funes tanto maius
pondus acquirunt, & manum tanto magis onerant, quanto velocius voluitur funda,
& incitatur motus, quod ab appetitu naturali inſito ei corpori per
grediendi procedit. Vnde fit, vt pondus circunferentiæ ipſius rotæ, tanto facilius cir-
cunuoluatur, & ex ſeipſo tanto longiori tempore moueatur, quanto longius diſtat à
centro, cum eius iter tanto minus ſit curuum. Hanc igitur ob cauſam, rota, quanto
maior erit,
impetus motus aſſumptus.
Tertia cauſa eſt, quod funis dum circunuoluitur, vicinius axi mathematico reuo-
lutionis, quam corpus graue circunferentiæ rotæ, ratione vectis, cum rota eſt in mo
tu, eius impetus non obtinet reſiſtentiam æqualem à contrario pondere aquæ in ſitu
la poſitæ.
VNde ſit vt in fonte mandauerim,
greditur inſtrumentum, quod aquam
impellit, diametrum ſuæ concauitatis,
habere non oportere maiorem dia-
metro fiſtulæ, per quam debet aſcende
re aqua, ratio eſt, quia ſi maius eſſet,
neceſſarium eſſet aliquod inſtrumen-
tum quo aqua impelleretur multo gra
uius toto corpore aqueo, quod aptum
eſſet implere aliquam fiſtulam adeo
altam, vt eſt fons, quæ tamen eſſet
adeo lata vt eſt mortarium.
Sit exempli gratia, tota fiſtula, ſeu
hirundo, per quam aſcendit aqua .f.
mortarium verò ſit .a.u. quod tam
ſit vt .f. ſed .f. anguſtior ipſo .a.u. Nunc
nifeſtum erit, quod aqua ipſius .f. ſuffi-
ciens erit ad
a.u. & aqua .a.u. reſiſtet aquæ .f. quam-
uis aqua .a.u. maioris quantitatis ſit, &
ponderis ipſa .f. hoc autem euenit ex
eo quod aqua .a.u. propterea quod pondus diuiditur proportionaliter ſupra ba-
ſim vaſis.
Sit exempli
plenus, cuius orificij diameter ſit .b.d. & multiplex diametro .m.n. infimæ baſis. co-
gitemus etiam .b.d. diuiſum in tot partes, quarum
c.m. et .t.x.m. vt in ſubſcripta hic figura videre eſt, per quas cogitemus tot ſuperfi-
cies curuas
ſcet ſupra maiorem ſuperficiem illa, quæ æque diſtans eſſet mundi centro, ſeu quam
ſupra baſim .m.n. vt exempli gratia conſideretur aqua inter .g.m. et .s.r. cuius pondus
diſtribuitur fecundum latitudinem .m.r. quæ maior eſt .g.s. cogitemus igitur .m.c. æ-
qualem eſſe .g.s. manifeſtum erit, quod .m.c. non ſuſtinebit totum pondus a quæ, quæ
inter .g.m. et .s.r. reperitur, eo quod omnis pars aquæ ad perpendiculum inclinat ver-
ſus mundi centrum, quapropter fundus ſeu baſis .m.n. non ſuſtinet aliud pondus
aquæ .f.m. ſed ſi quis hoc in dubium reuocaret dicens, quod aqua circunſcribens ſi-
tum corporis aquei .f.m. impellit lateraliter dictum corpus aqueum, reſpondendum
eſt, quod ex æquo huius corporis .f.m. aqua impellit etiam aquam circunſtantem,
eo, quod ſunt corpora homogenea, cum in corporibus homogeneis æquales partes
habeant æquales vires.
Sed redeundo ad vaſa .a.u. et .f. dico quod ſicut aqua .f. ſufficit ad
a.u. ita quodlibet aliud pondus ęquale .f. cuiuſuis materiæ, in fiſtula .f. poſitum, ſuffi-
ciens erit, dummodo illud corpus ita ſit adæquatum concauitati fiſtulæ .f. quod non
permittat tranſitum aliquem aquæ vel
& deuexum fiſtulæ .f. & hoc ex ſe ſatis
patet, ſed in vaſe .a.u. cum ex hypothe
ſi latius ſit ipſo .f. nullum aliud corpus
ſufficiens erit ad reſiſtendum aquæ ip-
ſius .f. quin tam graue ſit, quam tota
aqua .a.u. exiſtente .a.u. tam alto quam
f. Vnde ſi aqua ipſius .f. nil plus eſſet
quam vna tantummodo libra, & vas .a.
u. exiſteret latius ipſo .f. in decupla pro
portione, tunc in ipſo .a.u. oporteret
corpus adæquatum ipſi concauitati po
nere, cuius pondus eſſet decem libra-
rum, vt ſufficeret ad ſuſtinendum
ipſius .f. & ad im
f. deberet eſſe plus quam decem libra-
rum. Ponamus nunc illud corpus, ita
non occupet, quam .o.e. corpus igitur
o.e. ſufficiens erit ad impellendum
aquam .f. & non eo minus.
medio ſoluam.
Proponitur vas
ad baſim, quarum vnaquæque poſſit euacuare ipſum vas, inæquales ta-
men, ita quod prima tam lata ſit, vt ſpatio vnius horæ poſſit ipſum euacuare to-
tum; ſecunda vero ſpatio duarum horarum, tertia autem ſpatio trium hora-
rum. Tunc quæritur quanto tempore omnes tres fiſtulæ ſimul apertæ euacua-
bunt ipſum vas. Ad hoc volo vt quæratur primo quanta pars aquæ vnaquęquę fi-
ſtula euacuabit in aliquo dato tempore, quod facilè eſt, vt puta, prima fiſtu-
la, ſpatio dimidiæ horæ euacuabit dimidium vas, eo quod ſpatio integræ horæ po-
teſt totum euacuare, ſecunda fiſtula, eodem temporis ſpatio, euacuabit quartam
partem ipſius vaſis, tertia verò fiſtula, eodemmet ſpatio temporis dimidiæ horæ,
euacuabit ſextam partem ipſius vaſis, quæ omnia fracta ſimul collecta faciunt vnde-
cim duodecimas partes totius vaſis, vnde manifeſtum erit, quod omnes fiſtulæ pari-
ter apertæ, ſpatio dimidię horæ euacuabunt vndecim duodecimas partes totius a-
quæ, ſed nos cupimus ſcire, quanto tempore, totum vas euacuabitur, apertis omni
bus fiſtulis, quapropter dicemus ita; Si vndecim duodecimæ partes conſumunt mi-
nuta .30. temporis, quantum conſument omnes partes aquæ? quæ ſunt .12. quare ex
regula de tribus prouenient nobis minuta .32. cum .8. vndecimis vnius minuti, hoc
eſt cum .43. ſecundis horæ ferè, vel ſiaccipiemus tres quartas vnius horæ, tunc pri-
ma fiſtula emittet tres quartas partes totius aquæ, ſecunda, tres octauas
tertia verò, quarta pars, tunc omnia, hæc collecta, faciunt vnum integrum cum tri
bus octauis. Si dixerimus igitur quando vnum integrum cum tribus octauis abſu-
mit .45. minuta temporis, ergo illud ſolum integrum abſumet idem vt ſupra hoc eſt
min .32. cum .8. vndecimis vnius minuti vel .43. ſecundis. Cuius rei ſpeculatio
iuncta eſt operationi, quòd vna cognita, reliqua ſtatim cognoſcitur.
Idem eueniet de implendo vaſe tribus ſimilibus fiſtulis mediantibus.
Secundum quæſitum ab alijs traditum, tuum etiam, aliter quoque poteſt ſolui,
propterea non prętermittam tibi ſatisfacere.
Problema itaque tale eſt, vt ſit vas aliquod in
las, ſed dum infunditur aqua, eadem egreditur per duas alias fiſtulas in fundo
vaſis poſitas, ſed tres ſuperiores ſint inuicem proportionatæ, vt ſupradictum
eſt, primaq́ue inferiorum talis ſit, vt ſpatio .4. horarum poſſit totum vas euacua-
re, ſecunda autem poſſit ſpatio .6. horarum idem facere, vnde ex ſupradictis, vas im
plebitur à tribus fiſtulis ſuperioribus, clauſis exiſtentibus inferioribus, ſpatio tempo
ris
fiſtulas inferiores poſſet euacuari ſpatio
Supponamus igitur omnes fiſtulas operari ſpatio temporis minutorum .32. cum
ſecundis .43. tunc manifeſtum eſt quod vas non implebitur, eo ſpatio min .32. cum
ſecundis .43. ſed tanta aqua deficiet, quanta ab inferioribus fiſtulis eo ſpatio tempo
ris min .32. ſecun .43. poteſt euacuari, quare proportio partis vaſis vacuæ, ad totum
vas, erit vt min .33. ferè ad horas .2. min .24. quod per ſe patet, tunc ſi demptum fue-
proportio aquæ, quæ in vaſe reperitur, ad eam, quæ totum vas implet, erit vt .111.
ad .144. Quare nunc poſſumus rectè dicere ex regula de tribus ſi .111. indigent mi-
nuta .33. temporis, ergo .144. indigent min .43. horæ, in quo tempore implebitur to-
tum vas omnibus fiſtulis operantibus.
VTad aſcendendum ignis, & ad
ſpeculandum humanus intellectus. nec quieſcit, dum poteſt, eſt enim ver-
ſatile,
conatur, & eſt in nobis, quaſi Diogenes quidam in Dolio.
Tibi igitur mitto quod vltimò inueni, alias ſcilicet nouas circuli paſſiones,
quæ ita ſe Sit circulus .a.b.c. in quo ſit .a.d. latus quadrati inſcriptibilis in ipſo
circulo, ct .b.c. ſit diameter ad rectos cum .a.d. in puncto .e. quod medium erit inter
a. et .d. ex .3. tertij Eucli. ſit ſimiliter .a.f. contingens ipſum circulum in puncto .a. quæ
protracta ſit vſque ad punctum .f. interſectionis cum diametro protracto, quod ita
eueniet cum anguli .a.e.f. et .f.a.e. minores ſint duobus rectis, eo quod angulus .f.a.e.
acutus ſit, cum .a.d. tranſeat inter centrum et .f.
Dico nunc quod productum diametri .b.c. in parte .c.e. ipſius, æqualis erit produ-
cto ipſius .c.f. in .a.d. Protrahatur imaginatione .b.a. et .a.c.
vnde ex .26. tertij Euclid.
habebimus angulum .d.a.c. æqualem angulo .a.b.c. ſed ex .31. eiuſdem angulus .f.a.
c. æqualis eſt angulo .b. quare æqualis erit angulo .d.a.c. & ita habebimus per .3. ſexti
eandem proportionem .f.c. ad .c.e. quæ .f.a. ad .a.e. ſed .a.f. eſt æqualis ſemidiametro
circuli propoſiti, propterea quod ſi producta fuerit à puncto .a. ad centrum .o. ſemi
diameter .a.o. hæc cum .o.e. faciet dimidium angulirecti, cum ex ſuppoſito .a.d. la-
tus ſit quadrati inſcriptibilis in ipſo circulo. & cum .a.f. rectum ex .17. tertij, vnde an
gulus .f. erit ſimiliter medietas recti ex .32. primi, quare ex .6. eiuſdem .a.f. æqualis
erit .a.o. Ergo cum proportio .f.c. ad .c.e. ſit. vt .f.a. ad .a.e. erit ſimiliter vt .b.c. ad .a.d.
hoc eſt ut dupli ad duplum, vnde ex .15. ſexti
manifeſtum erit propoſitum, ex quo alia paſ-
d. æ quale ſit qua drato ipſius .a.c. ratio eſt, quia
quadratum .a.c. æ quale eſt producto .b.c. in .c.
e. eo quod .a.c. media proportionalis eſt inter .
b.c. et .c.e. ex ſimilitudine triangulorum .a.b.c.
et .e.a.c. nam anguli .b.a.c. et .a.e.c. recti ſunt
et .c.
primi, ſequitur etiam, quod .a.c. ſit media pro
portionalis inter .a.d. et .f.c. & hæc etiam erit
alia circuli paſſio, & quia .a.c. eſt latus octago-
ni igitur tale latus
inter latus quadrati. et .f.c.
quidem .f.c. eſt una portio diametri quadrati circunſcriptibilis ipſum circulum inter
circulum & angulum ipſius quadrati.
ITerum tibi dico, quod radij illi ſolares, quià diuerſis punctis ipſius ſolaris corpo-
ris veniunt, tranſeuntes per centrum ſpeculi ſphærici concaui, quamuis à ſuper-
ficie ſpeculi ad centrum ipſum reflectantur, vt alíâs tibi dixi, nihilominus nullo mo
do poſſunt aliquod obiectum incendere duabus ex cauſis, quarum vna eſt, quia cum
Sol valde remotus ſit à nobis, valde etiam acutus generatur angulus coni radiorum
in centro ſpeculi, vnde à parua ſuperficie ipſius ſpeculi reflectuntur, quare pauciſſi-
mi radij ſunt qui reflectantur in ipſo centro, & propterea non ſufficiunt ad combu
ſtionem alicuius obiecti. Alia verò cauſa eſt, quod quamuis multi, & ſufficientes
radij fuiſſentad impoſſibile tamen omnino
eſset, vt aliquod obiectum comburerent, propterea quod cum radij incidentes de-
beant per centrum tranſire, obiectum combuſtibile, vt opacum, obſtaret ipſis radijs,
ne vlterius tranſirent, vnde nulla fieret reflexio, ſed etiam ſi dicti radij in centro re
flexi, ſufficerent ad combuſtionem, incidentes hoc magis eſſicerent. & ita abſque
vllo ſpeculo, omnia & in quolibet loco comburerentur, quod manifeſtè falſum eſt. Deſine igitur mihi citate Lucillum Philalteum, qui in philoſophia mathematica
fuit omnium imperitiſſimus. Verum ſpeculum vſtorium illud eſt quod ab Alhazem
Deinde à Vitellìone deſcribitur.
Quod deinde verum ſit,
ſemper eſſe centum
Imaginemur .s. 1. diametrum eſſe illius circuli, quo vltimi radij ſolares veniunt tan
gentes corpus cuius diameter ſit .c.e. et .a.i. ſit diameter alterius circuli eiuſdem cor-
poris ſolaris à quo vltimi radij veniunt tangentes corpus, cuius diameter ſit .f.g. in
eadem diſtantia, & eodem ſitu prioris corporis. Tunc conus vmbræ ipſius .f.g. ſit .f.
g.q. & ipſius .c.e. ſit .c.n.e. centrum autem ſolare ſit .o. conorum verò axes ſint .t.n.q. tunc ex ſuppoſito .q.f.a: n.c.s: n.e.l: et .q.g.i. erunt omnes contigui corpori ſolari, vn-
de ex .17. tertij Eucli. anguli .o.a.q. et .o.s.n. erunt recti. protracta deinde cum fu erit
a.s. habebimus angulos .u.a.s. et .u.s.a. minores duobus rectis. Quare .n.s. concurret
Nunc verò ſi vmbra .t.q. tanto maior eſt .f.g. quanto .109. eſt
vno et .t.n. etiam
c. ſed cum angulus .t. communis ſit ambobus triangulis .q.t.f. et .n.t.c. ſequitur ex .6.
ſexti dictos triangulos æ quiangulos eſſe. Vnde ſi anguli .t.n.c. et .t.q.f. æ quales inui
cem ſunt, ergo .q.f. æquidiſtans erit .n.c. quod eſt impoſſibile, quia nunc demonſtra-
uimus ipſas concurrere in puncto .u. Quare non eſt eadem proportio .q.t. ad .t.f. quæ
n.t. ad .t.c. decipitur ergo Cardanus in .4. lib. de ſubtilitate.
Circa illud deinde quod à me quæris, hoc eſt, quæ ſit cauſa, quod nos videmus
radium ſolarem tardiſſimè moueri, cum alias tibi dixerim ipſum qualibet hora cir-
ca terram quindecim gradus perficere, reſpondeo, quod radius ille quem videmus,
exempli gratia, in aliquo cubiculo, nunquam eſt idem numero, ſed quia ipſi radij
nullo modo differunt inter ſe, niſi in numero, proptera putamus eundem ſemper eſſe,
cum ſemper alius, atque alius ſit, quorum vnuſquiſque (de illis loquor, qui ad hunc
terræ globum perueniunt) circa terram reuoluitur ſpatio .24. horarum, & cum quili
bet circulus diuidatur in .360. gradus, quorum vigeſimaquarta pars eſt .15. verum
eſt igitur, quod tibi iam dixeram.
quin pulchrum ſit, ſed alijs pulchrioribus modis poſſumus illud idem de-
monſtrare; cogita igitur ſuperficiem rectangulam, cuius medietas ſit
gulus rectangulus .a.b.g. vnde ex ſuppoſito nobis cognita erit ſuperficies
ipſius trianguli, tanquam dimidium totius parallelogrammi rectanguli cogniti. Quare ex .25. ſecundi triangulorum
Alia etiam breuiori methodo idem poſſumus eſſicere, mediante angulo .b. recto,
eo quod cum nobis cognita ſit ſuperficies trianguli ſimul
nobis fit perpendicularis .b.d. à puncto .b. ad baſim, & conſequenter cognitum no-
bis erit productum ipſius .a.d. in .d.g. & quia nobis cognita eſt .a.g. & eius medietas,
Eucl. vnde ex penultima primi habebimus propoſitum.
Poſſumus item circulum mente concipere cuius .a.g. ſit diameter, & ab eius cen-
tro .e. protracta cum fuerit .e.b. quæ nobis cognita erit, vt medietas ipſius .a.g. de cu
ius potentia, dempta
e. & ita eius longitudo, quæ addita medietati .e.g. & detracta à dimidio .e.d. erunt
nobis cognitæ .a.d. et .d.g. vnde .b.g. et .b.d. remanebunt nobis cognitæ ex dicta pe-
nultima primi Eucli. huiuſmodi figuram videbis in dicto .25. problemate .2. li. Mon-
tisregij.
Aliter etiam poſſumus hoc idem efficere.
Sit rectangulus hic ſubſcriptus .a.b.c.u. ſuperficiei cognitę ſimul cum diametro .a.
c. extendatur imaginatione .b.c. vſque ad, f. ita quod .c.f. æqualis ſit .c.u. intelligan-
penultima primi. nam .a.c. data nobis fuit, quare
mus, cui
b. dabit nobis
cum pro ducto .b.u. illico ex .5. ſecundi cognoſce-
tur .b.c. et .c.f. forte cognita .b.f. diuiſa
in puncto .t. & per inæqualiz in Nam qua
u. ex quadrato ipſius .t.f. relinquetur quadratum
medietati .b.t. &
tur propoſitum.
Similiter de tertio exemplo eiuſdem Stifelij
infero.
Sit rectangulus .a.b.c.u. cuius diametri .a.c. quantitas, ſimul cum proportione late
rum .b.c. et .b.a. nobis data ſit. cum autem ſcire voluerimus eius ſuperficiem .b.u. cla-
rum eſt, quod cum nobis data ſit proportio .b.c. ad .b.a. illico cognoſcemus
portionem quadrati ipſius .b.c. ad quadratum ip-
& aggregati dictorum quadratorum ad quadra-
tum ipſius .b.a. hoc eſt nota erit nobis proportio
quadrati ipſius .a.c. diagonalis ad quadratum ip-
ſius .a.b. idem dico de quadrato .b.c. ideſt quod
proportio quadrati ipſius .a.c. ad quadratum .b.c.
cognita nobis erit, ſed .a.c. data nobis fuit, qua-
re cognoſcemus etiam omnia dicta quadrata eo-quare & ſuperficiem re-
ctanguli quæſitam.
Quartum exemplum etiam faciliori via poteſt
ſolui, propterea, quod cum nobis cognita ſit ba-
ſis trianguli cum ſumma reliquorum laterum, &
bis emergunt ex .15. problemate ſecundi lib. de Triangulis ipſius Monteregii.
Vel ſi tibi placet, accipe hanc aliam methodum à me excogitatum.
Duplicetur
ſecundi exempli hic vides.
cognita nobis erit ex hypotheſi, quare cognoſcemus etiam quadratum .g.f. à quo
ta .g.u. et .u.f. æqualia ſunt quadrato ipſius .a.c. diagonalis datę) remanebit aggrega-
tum quare eius medietas cognoſcetur ideſt .b.u. vndæ ex
5.
Idem aſſero de
Sit gratia exempli rectangulum hicſubſcriptum .a.b. datæ ſuperficiei data etiam
nobis ſit proportio .a.e. ad .e.b. laterum producentium,
vſque ad .o. ita vt .e.o. æqualis ſit ipſi .e.b. imagine
prima ſexti ſeu .18. vel .19. ſeptimi vel .15. quinti
eadem proportio erit ipſius .a.b. ad .b.o. vt .a.e. ad
e.o. vel ad .e.b. quare ex regula de tribus, cogno-
ſcemus quadratum .b.o. & eius
demregula cognoſcemus .a.e. cum cognita nobis ſit .e.o. ſimul cum proportione .e.o.
ad .e.a.
SEd quod idem Stifelius in Appendice ſecundi libri dicat circulum eſſe figuram
poligoniam, non eſt ita mirandum, nam & alij multi doctiſſimi viri hanc
veritatem cognouerunt, de Leone Baptiſta Alberto nihil dicam, cum ipſe fateatur
hoc accepiſſe à philoſophis, vt etiam refert Ariſt. de ſphæratertio de cœlo. conſi-
dera quæſo in circulo, quod cum angulus contingentiæ ſit angulus, quamuis
acutorum rectilineorum anguſtiſſimus, vnde ex communi ratione ſequitur reliquum
ex duobus rectis rectilineis eſſe angulum, & ſi omnium obtuſorum rectilineorum ſit
ampliſſimum, tanto magis igitur erit angulus, id quod remanet ex duobus rectis re
ctilineis, detractis
in quouis puncto circunferentiæ ipſius circuli, idem intelligendum eſt de ſphæra,
cuius angulus eſt reſiduum ex quatuor rectis ſolidis, detractis cum fuerint quatuor
angulis contingentiæ
QVod in .25. problemate .2. lib. de triangulis Monteregium non intelligas, mi-
rum non eſt, eo quod quandoque bonus dormitat Homerus. Puto enim il-
lud problema ab ipſo Monteregio non fuiſſe viſitatum. Sed ne me aliquo modo
culpes, accipe hanc
culari .a.d. cum angulo etiam .a. ad cognoſcendum autem .a.b. et .b.g. cogitemus circu
lum .a.b.q.g. circunſcribere ipſum triangulum cuius diameter .p.q. ad rectos ſe-
cet baſim .b.g. in puncto .m. cogitemus etiam .b.p. et .p.g. vnde ex .20. ter-
tij Euclid. angulus .b.p.g. æqualis erit
midium, quod ex te ipſo cognoſces, & quare ex .29. primi eiuſdem Montere
gij cognoſcemus .p.m. et .p.b. (nam .b.
m. datum fuit, vt dimidium totius ba-
ſis .b.g.) ducta poſtea .b.q. ex
cognoſcemus .p.q. cum .p.b. iam cogni
ta fuerit, à qua .p.q. (diametro)
p.m. remanebit .q.m. cognita,
iuncta cum fuerit .m.t. æquali .a.d. per
pendiculari, dabitur .q.t. et .t.p. inter
quas .a.t. media proportionalis loca-
tur, quare cognoſcemus .a.t. quæ ſinus
eſt arcus .a.p. vnde cognitus erit arcus
a.p. ſed arcus .p.g. cognitus eſt median
te angulo .p.b.g. cognito, qui quidem
arcus .p.g. ſi coniunctus fuerit cum arcu .p.a. cognoſcemus compoſitum .a.g. & eius
chorda ſimiliter (hoc eſt
a.b. hoc eſt tertium latus trianguli propoſiti.
PVtabas enim me ioco dixiſſe Federicum Comandinum non omnino irrepræ-
henſibilem eſſe, vide igitur, quod ſcribit in quinto lemmate in decimam
propoſitionem libr .2. de inſidentibus aquæ Archimedis, volens demonſtra-
re eandem eſſe proportionem .l.b. ad .b.m. quæ .c.e. ad .e.a. vbi eſt aliquo modo pro-
lixum, mediante linea .c.p. cum ſuis partibus, citans etiam antecedens lemma extra
propoſitum, eo quod nec in antecedente lemmate, nec in alio, ipſe vnquam proba
uerit proportionem .c.d. ad .d.q. eſſe, vt .l.b. @d.b.m. ſed ne putes me falli, tibi demon
ſtrabo non eſſe neceſſarium ducere lineam .c.m.p. vel .q.p. eo quod
lib. de quadratura parabolę Archimedis, ita ſit .c.d. ad .d.e. vt .l.b. ad .b.m. exiſtente
a.c. dupla ipſi .d.c. et .e.c. dupla ipſi .g.c. et .l.d. dupla ipſi .l.b: erit, primo componen-
do .c.e. ad .e.d. vt .l.d. ad .d.m. & per æqualitatem proportionum, ita erit .e.g. ad .e.d.
vt .b.d. 2d.d.m. & per .19. quinti Eucli. ita erit .e.g. ideſt .g.c. ad .g.d. vt .b.d. ideſt .l.b.
ad .b.m. ſed .c.g. ad .g.d. eft vt .c.e. ad .e.a. ratio eſt, quia componendo ita eſt .c.d. ad .d.
g. vt .c.a. ad .a.e. & hoc eſt, quia permutando, ita eſt .a.c. ad .d.c. vt .a.e. ad .d.g. & hoc
verum eſt ex .19. quinti eo quod totius .a.c. ad totum .d.c. eft vt abſciſſi .e.c. ad abſciſ
ſum .g.c. vt ſupradixi.
Sed etiam alio vniuerſaliori modo potes probare, quod ita ſit .u.x. ad .x.y. vt .c.e.
ad .e.a. cogitando in linea .c.a. punctum quoddam quod vocabimus ſimiliter .y. in
tali ſitu locatum, quod diuidat .c.a. eadem proportione qua .y. diuidit .u.s. vnde cum
e.s. diuiſa eodem modo etiam ſit à puncto .s. ex ſupradicta quinta lib. de quadratura
parabolæ, erit igitur proportio .a.y. ad .y.c. vt .e.s. ad .s.c. per .11. quinti Eucli. & com
ponendo ita erit quare reſidui
a.e. ad reſiduum .y.s. erit vt totius .a.c. ad totum .y.c. & permutando, ita erit .a.c. ad .a.
e. vt .y.c. ad .y.s. & diuidendo, ita erit .
c.e. ad .e.a. ut .c.s. ad .s.y. & quia pun-
x. diuidit .u.s. per ſupradictam
ergo ita erit .c.s. ad .s.y. in linea .c.a. vt
u.x. ad .x.y. vnde ex .11. quinti .c.e. ad
e.a. erit, vt .u.x. ad .x,y. quare ſequitur,
primum, ſecundum, tertium, & quartum lemma ſuperflua eſſe.
Quod deinde ponit pro corellario in fine .6. lemmatis, aliter quam per .6. lemma
poteſt demonſtrari, hoc mode. Nam ſuperius demonſtrauimus eandem propor-
tionem eſſe .l.b. ad .b.m. quæ .c.e. ad .e.a.
nium æquidiſtantium ad .h.e. quibus rationibus mediantibus codem modo ſcies,
u.y. ad .y.r. erit, vt .c.d. ad .d.c. & ita dico de omnibus vnde .l.b.
ad .b.m. erit vt .u.x. ad .x.y. et .l.m. ad .m.d. vt .u.y. ad .y.r. per .11. quinti, ſed cum ſit .l.
b. ad .b.m. vt .u.x. ad .x.y. componendo erit .l.m. ad .b.m. vt .u.x. ad .x.y. & euerſim .b.
m. ad .m.b. erit, vt .x.y. ad .y.u. & per æquam proportionalitatem erit .b.m. ad .m.d. vt
x.y. ad .y.r. quod eſt propoſitum.
Non video etiam, quare ipſe ducat lineam .s.r. cum in ipſo contextu nihil ſaciac
de dicta .s.r.
Comentum poſtea contextus .P. pulchrius eſſet, ſi diceret, quod cum ita ſit totius,
l.a. ad totum .a.d. ſic ſe habebit abſciſſum .a.i. ad abſciſſum .a.z. eo quod ita eſt, vt ſcis,
hoc eſt in proportione dupla, ergo reſidui .i.l. ad reſiduum .d.z. erit vt totius .a.l. ad
totum .a.d. hoc eſt in proportione dupla.
RAtio vnde ſiat, vt videamus diſtinctè omnes eolores, cum in qualibet aeris par
te, quo lumina reſlexa poſſunt peruenire mixta ſint, & non diſtincta, oritur à
paruitate ipſius pupillæ oculorum, & à magna expanſione virtutis viſiuæ in ſuperſi-
cie concaua orbis continentis humores diaphanos oculorum per ramuſculos nerui
optici remotè ab ipſa pupilla. & quamuis radii luminoſi frangantur ab vnoquoque
humore diuerſimodè, hoc nihilominus maximè iuuat ad diſtinctionem radiorum,
ſed & ſi directè procederent, idem ferè eueniret, non tamen ſuis locis, cogita exem-
pli gratia lineam .a.u.e. vt communis ſectio cuiuſdam plani ſecantis ſphæram oculi,
per centrum ipſius, & pupillæ, et .o. punctum ſit proximum centro ipſius pupillæ,
ſed interius aliquantulum, extra
Iam nulli dubium eſt quod lumina quæ producuntur ab .c.n.t. ad .o. in ipſo .o. mi-
tunc
& ſeparantur abinuicem, &
ab alijs. Cuius quidem rei, exemplum manifeſtum accipere poſſumus à quouis
cubiculo ex omni parte clauſo, quod tranſitum
ſi per aliquod paruum foramen, in quo foramine, & extra ipſum cubiculum, omnes
radij mixti erunt, ſed in obiecto pariete ipſius cu-
quo remotius erit obiectum .c.n.t. ab .o. tanto acu-
tior erit angulus .c.o.t. & ſuus contrapoſitus ſimili-
ter, & per conſequens linea .e.u.a. breuior erit, &
quæ omnia efficiunt, vt nobis obiectum .c.t.
& minus diſtinctum, ſeu magis confuſum appareat.
GRatæ mihi tuæ literæ
fiat, quod cum dies illuceſcit, & eſt ſerena pars Cœli, circa axem orizontis
demiſſior appareat, quam aliæ partes,
rit, ſed quia de eo à me aliquid ſcire deſideras dicam quod mihi Scias non
vt alij
dentes Cœlum eſſe præditum colore cęruleo, cum is color, aeri, non Cœlo
conueniat, & videntes huiuſmodi colorem circa axem
verſus ipſum orizontem, ratione exiguæ reſlexionis, à pauca quantitate vaporum
inter noſtrum ſitum, & reſlexionis locum, iudicamus Cœlum proximiorem eſſe cir-
ca dictum axem, quam ſint aliæ partes; præterquam, quod is color, qui videtur
terminare, aut impedire radium viſualem (aduertas tamen me hac in re platonicum
non eſſe) eo ſemper propinquior eſſe videtur, qui ei locum dat, & hanc ob cauſam
videntes nos
ri aliarum partium, adducimur, vt putemus
ri ratione imaginationis, vnde
euenire poteſt, ideſt vt eis magis profundum videa
tur
ro
cont
nia latera oppoſita
ideſt .a.i. ad .e.t. et .c.u. ad .o.n. et .a.i. ad .c.u. et .e.t. ad
o.n. vnde ſequitur, vt aliquando quadratum .a.o.
videbitur citra, et .i.n. vltra
verò èconuerſo.
SI omnia vno colore conſtarent, & corporum vmbræ à luminibus non di-
ſtinguerentur, neque diuerſitas ſitus, lumina, quæ veniunt ad oculum non al-
teraret; perinde eſſet, ac ſi eſſemus cœci.
Miror quod cum in Ariſtotele ſis
verſatus, in tuis tamen ſcriptis philoſophum à Mathematico ſepares, quaſi mathe-
maticus non ſit adeò philoſophus, vt eſt naturalis, & metaphyſicus, cum multo ma
gis quam ij philoſophus ſit appellandus, ſi ad veritatem ſuarum concluſionum reſpi
ciamus. Verum
ſed grauius eſt,
quod cum vos videatis etiam res morales ſub philoſophię
animaduertatis diuinas ſcientias mathematicas etiam philoſophiæ nomine ornan-
das eſſe. Quod ſi eiuſdem nomen penitius conſiderare velimus, inueniemus aper-
tè, mathematico magisillud ipſum quàm cuilibet alio conuenire, cum nullus ex alijs
tam certo ſciat id quod affirmat quam mathematicus, neque aliquis ſit, qui in co-
gnitionis, & ſcientiæ cupiditatem magis ducatur, vt apertè patet, cum nec etiam ipſi
ſenſui det locum, neque aliquid præſupponat, quod non ſit ita verum & intellectui
notum, vt nulla quæuis porentia, illud eſſe falſum oſtendere queat. Sed quia
Græci, qui ad placitum nomina rebus impoſuerunt, voluerunt etiam, non ſolum
mathematica, ſed etiam naturalia, metaphyſica, & moralia, ſub communi philoſo-
phiæ nomine contineri.
pere colis, primum conſidera, nunquam eum de philoſopho
prius aperiat de quo philoſopho loquatur, atque hoc ſemper præſtat, exceptis qui-
buſdam locis, vt cap .2. lib. 4.
ait, proprium eſſe philoſophi. vt res omnes ſpeculetur atque hoc in principio quin
ti textus aſſerit, cum in quarto iam oſtenderit mathematicum eſſe philoſophum: omitto quod in .2. textu ſecundi phyſicorum idem affirmet, æquum eſſe appellare
philoſophiam ſcientiam veritatis, & finem ſpeculatiuæ exiſtere veritatem. An non
idem in primo cap .6. metaphiſicæ philoſophiam ſpeculatiuam, mathematicis phy
ſicis & ſupernaturalibus rebus contineri? An non idem paulo inferius ſcribit phyſi-
cam primam futuram, ſi aliæ ſubſtantiæ quam naturales non reperirentur? conſidera
deinde quid dicat in fine tertij cap. lib. 11. quo loco nil clarius eſſe poteſt, lege etiam
quæ .6. cap. eiuſdem libri ab eodem adducuntur, & quæ in .8. cap .12. libri textu .44.
apertè ponuntur. Quod ſi hæc tibi non ſufficiunt, vereor ne tuus morbus deſpe-
ratus euadat.
QVod dixi domino Tadeo eſt, quod aliquas particularium ſpecies, perfectè &
integrè imaginari poſſumus, alias non item, id tibi melius exemplo innote-
ſcProponatur tibi triangulus æquilaterus datæ magnitudinis,
iuſmodi enim particularis, potes imaginatione tibi fingere integram ſpeciem, tota
ſed non præfinito colore conſtantis, hoc minime præſtare poſſes. quia nullam rem
viſibilem priuatam colore imaginari poſſumus. nec etiam potes imaginari
cuius trianguli æquilateri, indeterminatæ magnitudinis, & indefiniti coloris, quæ
cuilibet particulari cuiuſuis magnitudinis, & coloris poſtea applicari queat. Species
deinde alicuius trianguli ęquicruri, aut vnius trianguli laterum inęqualium, aut
guli in genere, aut tandem figuræ, conſiderato tu ipſe, an poſſit ſub imaginationem
cadere. Poſſumus quidem huiuſmodi ſpeciem (ratione mediante) intelligere, vn
de quamlibet ſpeciem rei particularis viſibilis, compoſitæ, ex figura, magnitudine,
& colore, perfectè imaginari poſſimus, & huiuſmodi conceptus erit ſpecialiſſima
ſpecies, quia in infinito ſuorum indiuiduorum, nunquam fiet, vt aliquod eorum, ali
quo modo ab alijs differre poſſit; admonens te, nil reperiri, quod differat, aut in ſe
partem aliquam habeat, quod aliquid aliud non obtineat, quin dicta differentia ſit
ſpecifica, eius tamen ſolum partis quæ differt ab alia duorum indiuiduorum, vnius, quia ſi eſt in magnitudine nulla planè magnitudo reperitur, quę
ſua ſpecie non ſit dotata, quod ſi non eſſet, inter res omnes nulla æqualitas
eluceret: & ſi in figura, & colore, idem affirmo, aliter nulla res fimilis eſſet
alteri, neque aliqua ſimilitu lo reperiretur. Idem de quolibet alio obiecto
ſenſibili dico. Ratio autem eorum omnium quæ dixi eſt, quia imaginatiua nihil
aliud intellectui oſtendere poteſt, quam id quod recipit à ſenſu, & cum ſenſus,
alio modo moueri non poſſit quam ſupradicto, hanc ob cau ſam verum eſt,
ſcripſi. Vnde triangulum ęquilaterum datę magnitudinis, erit genus triangulorum
æquilateri indeterminatæ magnitudinis, & hic deinde erit ſpecies trianguli, & hic
poſtea ſpecies figuræ. Idem de alijs omnibus rebus per gradus dico, quę ſicut à ſen
ſu, ita etiam ab imaginatione longè recedunt, adeo vt has ſpecies ſpecialiſſimas tan-
tum, ideſt eas ſolùm, quas hic ſuperius deſcripſi, integrè capere poſſit: at verò gene
ra, quanto vniuerſaliora ſunt, ab eadem imaginatione, tanto longius diſtant.
MAculæ Lunæ, nihil aliud ſunt, quàm partes ipſius Lunę magis perſpicuæ, à qui
bus, lumen non refleſſum, ſed penetrans, nobis occultatur;
via lactea, nihil aliud eſt, quam pars octaui orbis magis opaca, à qua lumen Solis re-
fleſſum, ſeſe nobis oſtendit. Quod autem Maurolicus ſcribit folio .64. cap. de aſtro
rum fulſionibus, circa primo, quia non conſiderat
ſionis luminum inter Venerem, & Lunam, cum
Lunæ, quia quilibet qui ſano ſit
na eſſet, vbi eſt Venus, aut Venus vbireperitur Luna (quibus in locis eiuſdem ma
gnitudinis nobis apparerent) ipſa Luna à Venere longè ſuperaretur, & excedere-
tur ſplendore, & lumine, ita vt ſi etiam verum eſſet, quod per tres gradus inter-
ualli ſeſe nobis proderet ſexageſima pars luminis (quod in quadraturis nec in vllo
alio ſitu verum e
ſtituant ſexag eſimam partem differentiæ luminis reſpectu noſtri) non ideo tamen
ſio ſit etiam neceſſaria. Sed id quoque tibi dico, quod etiam ſi dicta ſexageſima
pars totius luminis lunaris, eadem intenſione ſplendoris, & luminis Veneris, in tali
diſtantia trium graduum à Sole prædita eſſet, non eam
liquitatis curuę, & ſphæricę ſuperficiei Lunæ, reſpectu noſtri, in huiuſmodi ſitu: id
tibi ita demonſtratum volo.
Pars ſuperficialis lunaris globi, quæ nos reſpicit ſit .a.p.u. quam accipere poſſu-
mus pro medietate ipſius ſuperficiei totalis, eo quod reſpectu noſtri viſus, inſenſibi
liter, ab ipſa medietate differat, pars autem à Sole viſa ſit .u.q.a. cogitemus etiam cir
culum .a.p.u.q. vnum eſſe ex maioribus ipſius globi, cuius ſuperficies
lum vidontis, vnde pars eius .a.p.u. diuidet vmbram per æqualia, reliqua verò pars .
a.q.u. diuidet per æqualia lumen ipſius Lunæ à Sole receptum, ita quod pars illumi
nata, erit medietas .u.q.a. exceſſus verò, cum noſtro viſui incompræhenſibilis ſit, pro
nihilo reputetur, cuius cauſa eſt, maxima illa diſtantia, quæ inter Solem, & Lunam
reperitur, quamuis Sol maior ſit Luna multis millibus vicium, eo quod tunc inter So
lem, & Lunam reperiantur plus quam .570. diametri terræ.
Supponamus nunc Lunam remotam eſſe à loco ipſius
3. gradus. vnde
periatur in gyro .x.q.t. ita quod .t.u.
erit ſexageſima pars ipſius .a.p.u.
à vero ſenſibiliter non diſcedit. Imaginentur nunc duæ rectæ lineæ
ductæ ab oculo .d. ad puncta .t. et .u.
verum tamen eſt quod linea .d.u. ſe-
cabit
cto .u. quod erit ei ferè contingens,
vnde abſque ſenſibili errore poſſu-
mus arcum .t.u. intelligere inter duas
lineas .d.t. et .d.u. quapropter tale lu-
men compræhendetur, ferè, ſub an-
gulo .t.d.u. quem quidem angulum
oportet nos videre, cuius magnitu-
dinis exiſtat, reſpectu totalis anguli
a.d.u. protracta cum fuerit .d.a.
Producatur primo .d.t. vſque ad
diametrum in puncto .i. deinde per
puncta .a. et .u. ducatur arcus .a.e.u. cir
ca .d.
d.t.i. in puncto .e. ſed quia, cum dia-
meter .a.u. tam breuis ſit reſpectu di
ſtantiæ à terra, tempore interlunij,
vnde minor
ſtantiæ exiſtit,
ſenſibili errore cogitare, à puncto .d.
ad quoduis punctum ipſius diametri
omnes lineas ad angulos rectos cum
ipſo diametro, & inſenſibilis inæqua
Accipiemus igitur .t.i. pro ſinu arcus .t.u. qui eſt graduum .3. hoc
eſt ſexageſima pars ſemicirculi graduum .180. quapropter .t.i. erit partium .5233. ta-
lium qualium .o.u. eſt .100000. cuius .t.i. quadratum demptum cum fuerit à quadra-
to ſemidiametri .o.t. relinquet nobis quadratum ipſius .o.i. quæ quidem .o.i. vt radix
quadrata, erit partium .99862. talium qualium ſemidiameter eſt .100000. vnde .i.u.
reſiduum diametri, remanebit partium .138. Vel ſic, cum cognitus ſit nobis arcus .
t.u. illicò cognoſcemus ſinum arcus .p.t.
lis erit ferè arcui .o.i. partium .99862. vnde .i.u. erit, vt dictum eſt, partium .138. quę
quidem .i.u. æqualis eſt ferè ſinui arcus .u.e. & ita etiam .u.e. quare ſi diuiſa fuerit to-
ta .a.u.
partium .1449. anguli .a.d.u. Confideremus igitur quomodo fieri poteſt, vt oculo
compræhendatur hæc tam parua particula luminis lunaris.
Poſt eas literas quas proximè ad te dedi, Franciſcus Monardus mihi retulit tuas
nonnullas dubitationes circa noſtrum Theorema Arithmeticum .116. quarum
prima eſt, quod ſi numerus .a. tunc ipſe non eſſet multiplex
ipſi .4. de quo tamen nullam mentionem feci. Idem etiam inquis, ſi .a. fuiſſet .5. 6. 7.
nec non .1. 2. et .3. Cui reſpondi, quod
litate ipſius .a. cum .4. nihiltamen refert, propterea quod quando ita fuiſſet, nihi-
lominus eaſdem conditiones ſubiret,
druplus. eo quod à genere multiplici, æqualitas, formam diuerſam non induat. Qua
re idem eueniet ſi .a. fuerit .4. 5. 6. 7. vt ſi eſſet .8. 9. 10. et .11. & ſic de cæteris, excepto
quod in proprijs multiplicibus, vel in ſuperantibus ipſis multiplicibus .a. menſurare
tur ab ipſo .4. plus quam ſemel. Quod autem dicis. de .1. 2. et .3. nihil eſt, quia,
vt in ſecunda ſumma, hoc eſt in tertio termino maximo, reliquus tertius terminus,
ideſt .9. non compræhendetur, ita nobis indicabit primum numerum ſumptum mi
norem eſſe quaternario. Quæ omnia, exipſa noſtra thęoria ibidem expreſſa ma-
nifeſtantur. Quid autem circa hoc Frater Lucas dicat, neſcio, quia ipſius opus
ad manus meas nunquam peruenit, ſatis enim mihi fuit, in Tartalea hanc praxim
vidiſſe, ratio vero nullibi à me reperta fuit. Tartalea enim multos citat authores,
quorum ſcripta ego nunquam vidi, vt Leonardi Piſani, Proſdocimi, Petri Borghi,
Fratris Lucæ, Ioannis Sfortunati,
QVod antea tuo nomine fecerat Marcus Antonius amicus noſter ſufficie-
bat. Sed quia, quæ nunc à me petis, talia ſunt, vt ſine tripartita
liter
re, nihilominus, ſuppoſita di
enim eſt. Propoſitam Ellipſim qua-
drare.
Sit
ius axes ſint .a.b. et .d.c. dati, ſeu
47.
b.f. et .g.d.h.c. circa eaſdem diametros,
proportionis circulorum ex .2. 12. Eu-
clid. ſed proportio .a.b. ad .d.c. æqualis
eſt proportioni maioris circuli ad Elli
pſim .ex .5. Archimedis in lib. de cono
idalibus, quapropter proportio Elli-
pſis ad minorem circulum altera me-
dietas erit totius proportionis circulo-
rum, hoc eſt maioris ad minorem, qua
re Ellipſis media proportionalis erit
inter eos circulos. Nunc verò cum
ex Archimede repertę fuerint duæ fi-
guræ rectilineæ æquales duobus circu
lis iam dictis, & inter has, reperta fue
rit alia media proportionalis propoſi-
tum obtinebimus.
PRopoſita ſphæroides erit, aut prolata, aut oblonga, ſit prius prolata,
diameter circuli, qui eam per æqualia ſecat, circa quam .a.b. vt circa axem in-
telligatur ſphæroides oblonga, cuius ſpiſſitudo ſit .d.c. axis prolatæ, cogitemus
duas ſphæras .a.e.b.f. et .g.d.h.c. circa dictos axes. Vnde quatuor corpora habebi-
mus, hoc eſt duas ſphæras, & duas ſphæroides, quas probabo continuas proportio-
nales inuicem eſſe.
Conſideremus igitur duos conos rectos, quorum .a.b. diameter ſit eorum baſium,
altitudo autem maioris, æqualis ſit ſemidiametro majori, hoc eſt medietati .a.b. al-
habebimus proportionem coni maioris ad conum minorem,
tri maioris ad diametrum minorem, quod ex .2. parte .11. duodecimi Eucli. nec non
ex .9. eiuſdem manifeſtum eſt, ſed conus minor, eſt quarta pars ſphæroidis prolatæ
ex .29. Archimedis in lib. de conoidalibus, & conus maior, eſt etiam quarta pars
ſphæræ, ex .32. primi lib. de ſphæra, & cyllindro, quare ex communi ſcientia,
proportio erit ſphæræ maioris ad ſphæroidem prolatam, quæ .a.b. ad .d.c. ſed pro-
portio .a.b. ad .d.c. eſt tertia pars proportionis maioris ſphæræ ad Conſidere
mus
do maioris, æqualis ſit ſemidiametroſphęrę maioris, altitudo verò minoris, ſit æqua
lis ſemidiametro minoris ſphæræ, vnde ex dictis rationibus habebimus
nẽ
poſitionibus
c. hoc eſt tertia pars proportionis ſphæræ maioris ad minorem. Quare proportio
ſphæroidis prolatæ ad oblongam, erit reliqua tertia pars proportionis maioris
ræQuapropter hæc quatuor corpora continua proportionalia inui-
cem erunt.
Nunc verò quærenda eſt inter .a.b. & ſuas duas tertias partes vna media pro por-
tionalis, quæ ſit .K. & ex Archimede, inuentum ſit quadratum ęquale circulo, cuius
ſit .K. diameter. Vnde proportio circuli (cuius .a.b. eſt diameter) ad circulum cu-
ius .K. eſt diameter, ſeſquialtera erit ex .2. 12. Eucli.
Ducatur deinde quadratum lineæ .K. in lineam .a.b. & proueniet nobis cor-
pus quoddam, quod æquale erit ſphærę maiori, ex corellario .32. primi de ſphęra &
cyllindro, cuius corporis, latus cubus ſit .m.
Idem facere oportebit mediante .d.c. minoris ſphærę, cuius corporis cubica ra-
dix ſit .n.
Nunc verò inter .m. et .n. inueniantur duę medię proportionales .s.t. & ex .s. pro-
ducatur cubus, qui ęqualis erit ſphęroidi prolatæ propoſiti, cubus vero .t. æqualis
erit ſphęroidi oblongę, cuius axis eſſet .a.b.
Si autem ſphęroides oblonga nobis propoſita fuiſſet, eodem methodo ſoluere-
tur problema.
MOdus autem conficiendi quadratum ex circulis ſupra datam lineam, vt Do-
minum Gaſparem docui, facillimus eſt.
Sit enim linea .b.a. 46. propoſitionis primi Euclidis,
ni in puncto .a. ſecundum quantitatem lineæ .a.b. propoſitę fiat circulus, ſimiliter cir-
ca punctum .b. alius circulus eiuſdem magnitudinis, erecta deinde ſola .a.c. perpendi
culari ipſi .a.b. ex puncto .a. ipſa ſecabitur à circunferentia circuli. cuius centrum eſt .
a. in puncto .c. vnde .a.c. æqualis erit .a.b. poſito demum pede immobili ipſius circi
ni in puncto .c. ſecundum longitudinem ipſius .c.a. fiat alius circulus, qui æqualis erit
reliquis duobus circulis cum eorum ſemidiametri æquales ſint, & hic vltimo factus
ſecabit circulum, cuius nam omnia latera ſunt inuicem ęqualia ex condi-
ti onibus circuli, angulus autem .a. rectus effectus fuit, tunc ſi imaginatione cogita-
ta fuerit diameter .b.c. ex .8. primi, concludemus angulum .d. eſſe rectum deinde ex .5
et .32. eiuſdem concludemus etiam reliquos angulos rectos eſſe.
Circa verò id quod mihi ſcripſiſti de igne perpetuo putans nugas eſſe, quod Ro-
mæ inuentæ fuerint lucernę ardentes in ſepulchris antiquorum. Ego quid em mi-
nimè puto eas nugas eſſe, propterea quod tales lucernas non vnus tantum aut duo
viderint, ſed multi homines fide digniſſimi. Prętera cum aisid nulla ratione poſſe
fieri. Reſpondeo quod maxima ratione poſſibile eſſe puto, quam quidem ra-
tionem ita eſſe oportet, quod primum lucerna ſit perfectè circuncluſa, vt
materia in ea conſtituta nullo modo exire poſſit, deinde quod materia inflamabilis
talis ſit, vt excrementum fuliginoſum ex flamma tranſmiſſum, tangendo ſuperfi-
ciem deuexam ipſius lucernæ, aptum ſit in
mari, vnde materia prima per tres formas perpetuò tranſibit, hoc eſt per humorem,
ſiue oleum tale, vt diximus, per ignem, ſeu flammam, & per vaporem, ſeu exhala-
tionem fuliginoſam aptam condenſari, atque in priorem humorem illicò reuerti.
triangulum propoſitum ſecundum datam proportionem à linea tranſeun
te per punctum notatum extra triangulum.
Tr
quis ipſum diuiſerit in duas partes mediante .e.s. parallela ad .n.u. ea proportione,
quam mihi proponis. deinde inuenerit in dicta .e.s. punctum .r. per quod tranſiens
alia linea à puncto .p. propoſito, ita quod efficiat duo triangula .m.r.e. et .r.s.x. inui-
cem æqualia, problema ſolutum erit.
eſſet triangulo .e.o.s. & quadrilate-
rum reſiduum .m.n.u.x. etiam ęquale
eſſet quadrilatero .e.n.u.s.
Sed dum punctum .r. uenarer, alia
igitur quod quum propoſitum expe-
ditum fuiſſer, hoc eſt,
protracta eſſet linea .p.m. quę trian-
gulum .n.o.u. in duas partes inuicem
ita proportionatas diuiſiſſet, vt ſe ha
bet .A. et .B. ita ſe haberet
x. vt trianguli .n.o.u. ad triangulum
m.o.x. quod quidem non eſt diffi-
cile ſpeculari, ex methodo .24. ſexti,
portio trianguli .n.o.u. ad triangulum .m.o.x. componitur ex proportione .u.o. ad .o.
x. & ex proportion e.n.o. ad .m.o. vnde proportio dictorum productorum nobis co-
gnita erit, eo quod cum nobis cognita ſit proportio .A. ad .B. vt data, cognita etiam
nobis erit coniuncta, hoceſt .A.B. ad .B. & propterea ea quæ trianguli .n.o.u. ad
gulumQuæſiui poſtea modum inueniendi duas
dictas lineas .m.o. et .o.x. & cognoui quod ſi producta fuerit .p.i. æquidiſtans li-
neæ .o.x.
do poſtea lineam quandam, quæ ducta cum .p.i. efficeret rectangulum æquale rectan
gulo cognito quod ex .m.o. in .o.x. poteſt fieri, quod cognitum dico, eo quod nobis
cognita eſt proportio data, & rectangulum etiam .n.o. in .o.u. deinde ſecando ab .o.
n. partem æqualem lineæ iam inuentæ, quæ ſit .o.t. Inueniendo poſtea, ex .28. ſexti
lineam .o.m. cuius productum in .m.t. æquale ſit producto .t.o. in .o.i. vnde ex .15. eiuſ
dem proportio .o.i. ad .m.o. eadem eſſet, quæ .m.t. ad .o.t. & componendo, ita ſe ha-
beret .m.i. ad .m.o. vt .m.o. ad .o.t. ſed ex .4. ſexti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.i. ad .m.o. quare ex .11. quinti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.o. ad .o.t. vnde ex .15. ſexti productum .
o.x. in .m.o. æquale eſſet producto. p, i. in .o.t. & ſic haberemus intentum.
Sed ſi punctum .m. caderet in punctum .n. idem eſſet, ſi vorò punctum .m. tranſiret
n. oporteret nos facere hoc in latere .n.u. ipſum quærendo in linea .n.u. ducendo pri
mum lineam .p.i.
ſuperius iam dictum eſt.
DAtum parallelogrammum in duas partes diuidere, ſecundum aliquam datam
proportionem à linea tranſeunte per punctum propoſitum.
Sit exempli gratia, datum parallelogrammum .b.u. datum verò punctum .o. extra
figuram, proportio autem ea ſit, quæ .A. ad .B. vt ſupra. Nunc diuidatur primò re-
ctangulum datum per æqualia, mediante linea .r.c. parallela ambobus lateribus .b.x.
et .s.u. quæ quidem linea diuidatur in puncto .i. ita quod eadem proportio ſit .r.i. ad .
i.c. vt .A. ad .B. protrahatur deinde à puncto .o. linea .o.i.q. quæ ſecabit ambo duo la-
tera .b.x. vel .s.u. intra terminos eorum, vel tantum .b.x. reliquum verò extra termi-
nos .s.u.
Nunc autem ſi intra dictos terminos tranſibit, vt in prima figura videre potes,
problema ſolutum erit, eo quod
d. pa rallela ad .u.x. habebimus
ex prima ſexti eandem propor-
tionem .s.d. ad .p.x. ut .r.i. ad .i.c.
hoc eſt vt .A. ad .B. ſed
i.e.d. æqualis eſt triangulo .i.q.p.
vt tibi facilè patebit, vnde qua-
drilaterum .e.q.u.x. æquale erit
quadrilatero .d.u. ex communi
Quare ex .9. quinti, ita erit .s.d. ad dictum .d.u. vt ad quadrilaterum .e.q.u.
x. hoc eſt vt .A. ad .B. ex .11. eiuſdem.
Sed ſi punctum .q. fuerit extra ut in .2. figura videre eſt.
tunc manifeſtum erit,
triangulus .e.x.t. maior erit pa-
rallelogrammo .d.u. per triangu
æqualis triangulo .d.i.e. excedat
quadrilaterum .i.t.u.p. per trian
gulum
cum diuiſus fuerit triangulus .e.
x.t. mediante linea .o.n.K. ita
triangulo .q.t.u. ex doctrina præ
cedenti, habebimus propoſitum.
SEd ſi quadrilaterum dictum eſſet fruſtum alicuius
ſcripta videre eſt, ſuppoſita, b.d. parallela ad .u.p. ita faciendum eſſet, ducendo
ſcilicet parallelam .u.x. ad .b.p. quæ producatur vſque ad concurſum cum .b.d.
in puncto .x.
directè coniunctas, tunc diuidatur tota .t.e.
ri .p.d. ad trigonum .u.d.x. deinde diuidatur
t.i. in puncto r. tali modo vt .t.r. ad .r.i. ſe ha-
beat vt .t.a. ad .a.e. quo facto ex doctrina
cedenti
mum .p.x. mediante linea .o.q. ſecundum
quod ſe habet .t.r. ad .r.e. Atque ita ſolu-
tum erit problema, vt exte ipſo ratiotina-
ri facile potes.
SEd ſi nullum latus parallelum reliquo erit, ita faciendum erit.
ſi ſit tale quadrila
terum .b.d.u.p. oportet vt ipſum conuertamus in triangulum, producendo duo
quęuis eius latera oppoſita uſque ad interſectionem ut pote .u.p. et .d.b. in puncto .x.
quo facto, ſupponemus .o. eſſe punctum datum, proportio verò data ſit .t.r. ad .r.i. ad
iungatur deinde .i.e. ad .t.i. ad quam .e.i. ipſa .t.i. ſe habeat vt quadrilaterum .b.d.u.p.
u.x. in duas partes inuicem ita proportionatas, ut ſe habent t.r. et .r.e. quæ quidem
partes ſint .c.d.u.q. et .c.q.x. ut in primo problemate tibi monſtraui, & habebis pro-
poſitum, dato quod punctum .c. ſit inter
b. et .d.
Sed ſi forte linea .o.q. ſecabit .b.x. hoc
feſtum eſt, quod .c.q. ſecaret .b.p. in pun-
cto .y. vnde in tali caſu, alio modo ope-
randum eſſet, hoc eſt ducendo .b.u. quæ
diuideret quadrilaterum in duo triangu-
la, & ut ſe haberet triangulum .b.d.u. ad
triangulum .b.p.u. vellem vt ita ſecaretur
t.i. in puncto .n. vt ita ſe haberet .t.n. ad .n.
i. ut dictum eſt de iſtis duobus triangulis, deinde prout ſe habet .n.r. ad .r.i. ita ſeca-
res triangulum .b.p.u. mediante linea .o.
K. ex doctrina primi problematis, & ita haberes propoſitum.
PEntagonum, ſeu hexagonum, vel alias quaſuis multilateras figuras propoſitas its
diuidere, vt dictum eſt de trilateris, & quadrilateris.
Sit exempli gratia pentagonus .a.d.u.p.b. quem ſecare volumus
q. in duas partes inuicem ſe habentes, vt ſe habent .t.r. et .r.i. oportet igitur ut ipſum
pentagonum reducas ad quadrilaterum .x.a.d.u. quod diuidatur ſecundum præce-
dentem doctrinam, vt ſe habet .t.r. ad .r.e.
vnde ſi punctum .q. incidit inter .p. et .u. tunc
habebis propoſitum, ſi verò incidet inter .
latus .p.b. trianguli .b.x.p. in puncto .y. qua-
propter duces lineam .a.p. vt claudat trian-
gulum .a.b.p.
vt .t.n. ad .n.i. ſe habeat, vt quadrilaterum. a
d.u.p. ad deinde
gulum .a.b.p. diuidas mediante linea .o.K.
vt .n.r. ad .r.i. ex doctrina primi problematis
& habebis propoſitum. Idem dico de hexa
gono, reducendo ipſum ad pentagonum, &
item de eptagono, ipſum reducendo ad exa
gonum, & idem infero de infinito ipſarum
ſuperficialium figurarum rectilinearum.
TV mihi vltimò proponis duas lineas rectas .b.f. et .q.s. in eadem ſuperficie pla-
na, non tamen inuicem æqu idiſtantes, proponis etiam .n.t. in eadem ſuperfi-
cie, quæ vnamquamque priorum ſecat, proponis etiam lineam .h. tali conditione,
quod nulli dictarum ſit parallela, deinde ſcire cupis qua arte aliquis poſſet ducere .
c.u. parallelam ad .h. ita quod ſecando .n.t. conſtituat duos triangulos .n.o.u. et .t.o.e.
inuicem æquales.
Facita, producas primò duas primas lineas à parte, in qua inuicem inclinantur,
vſque ad concurſum in puncto .i. deinde à puncto .n. duces .n.c.
ex .25. ſexti Eucli. conſtitues
triangulo .i.t.n. & ſolutum erit problema. Velſic, inuenies .i.e. mediam
i.t. duces poſtea .e.u. paralle-
lam lineę .h. vel .c.n. quod
erit ex .30. primi Eucli. & ſo-
lutum erit problema.
Nam ex .17. ſexti eadem
proportio erittrianguli .i.c.
n. ad triangulum .i.e.u. ut .i.c.
ad .i.t. Quare ut trianguli .i.
c.n. ad
ma ſexti, et .11. quinti. Vnde
ex .9. eiuſdem .i.e.u. æqualis
erit .i.t.n. Quapropter .o.n.u.
æqualis etiam erit .o.e.t.
quid noui deſit, quemadmodum, quod tibi nunc occurrit, mihi non-
nunquam accidit, hoc eſt inuenire orizontem, cui aliqua propoſita ſtel
la oriatur cum gradu ipſius longitudinis. pro
ſcire oportebit vtrum ſtella in ſignis aſcendentibus, vel deſcendentibus reperiatur,
hoc eſt in ſignis, quę à Capricorno ad Cancrum procedunt, vel in illis, quę à Can-
cro ad Capricornum numerantur, propterea quod ſi in ſignis aſcendentibus inue-
nitur, ſciendum eſt, quod ſupra talem orizontem polus mundi auſtralis attollitur,
ſed ſi in ſignis deſcendentibus reperitur, tunc polus borealis eleuatur ſupra dictum
24. minuto vigeſimi gradus Cancri, quapropter polus borealis eleuatur ſupra ori-
zontem, cui ipſa oritur cum eodem gradu, & minuto eclipticę illius ſigni. ſed
quia volumus etiam ſcire veram quantitatem arcus eleuationis huiuſmodi poli, pro
pterea accipiemus in tabula generali Monteregij numerum qui vocatur radix aſcen
ſionum, èregione numeri longitudinis ipſius ſtellæ, qui quidem numerus in præſen
ti exemplo erit gra .107. cum minutis .53. qui eſt
pit in principio Arietis, & in circulo latitudinis deſinit, hoc eſt ab orizonte quæſi-
to, ita quod talis numerus erit aſcenſio obliqua huiuſmodi puncti eclipticæ illi ori-
zonti, qua aſcenſione mediante, ſimul cum gradu, & minuto longitudinis in tabulis
aſcenſionum obliquarum, inueniemus gradum, & minutum altitudinis pollaris,
quærebatur, eodem ordine ac methodo, quo vtimur ad inueniendum in tabulis po-
ſitionum, polum circuli poſitionis alicuius aſtri, mediante declinatione & diſtantia
à meridiano ciuſdem aſtri, vt ſcis. Vnde in præſenti exemplo eleuatio poli borea
lis ſupra talem orizontem erit gra .7. cum minutis .45.
Sed ſi ſtella fuerit in medietate aſcendente, tunc certi erimus polum auſtralem ſu
per dictum orizontem attolli, nam idem eſt quærere altitudinem vnius
di à tali orizonte, quod diſtantiam dicti poli à circulo ſecundum quem longitudo
terminatur, qui etiam latitudinis dicitur, eo quod tunc temporis talis circulus vnus
& idem eſt cum orizonte. Sumatur ergo exempli gratia ſtella, quæ in ore piſcis au
ſtralis eſt, quę, pro nunc, ſit in gradu .20. cum minutis .14. Aquarij longitudinis, &
in gradu .23. cum nullo minuto meridianæ latitudinis. Tunc certi erimus orizon-
tem, cui dicta ſtella oritur cum eiuſmodi puncto eclipticæ, depreſſum eſſe à parte
auſtrali ſub
di depræſſionis, reperiemus in tabula generali gradum, & minutum æquatoris, cor-
reſpondentem tali puncto longitudinis à circulo latitudinis terminato, qui quidem
numerus in præſenti exemplo erit gra .317. cum minutis .46. & hic numerus, vt dixi
mus eſt aſcen. obli. ad dictum orizontem, vbi polus auſtralis attollitur, & deſcenſio
obliqua, vbi polus borealis eleuatur. Quapropter ſi à .317. gradibus cum minutis
46. demptus fuerit dimidius circulus gra .180. remanebunt gra .137. cum minutis .46
& punctus oppoſitus gradibus .20. cum .14. minutis Aquarij eſt in eodem numero
Leonis, & mediantibus iſtis gradibus .137. min .46. aſcenſionis, cum grad .20. min
14.
num obliquarum Monteregij, hoc eſt gra .17. min .53. & eadem altitudo erit poli
auſtralis ſupra orizontem à quo Fomahant cum dicto puncto eclipticæ oritur, in qua
longitudine dicta ſtella reperitur.
Sed ſi propoſitus nobis fuerit punctus eclipticæ, cum quo aliqua ſtella oritura ſit,
& oporteat inuenire vbi, hoc eſt orizontem huiuſmodi ortus, eleuatione poli arti
ci, ſeu antarctici ſupra talem orizontem, ita operandum eſſet.
Sit exempli gratia ſtella .o. ecli
p.q. punctus verò eclipticæ, cum
quo ſtella oritura ſit .e. orizon de
puncto .e. Nam cum ſtella pro-
ponitur, datur etiam eius longi-
tudo, nec non latitudo, quare ar-
cus .a.q. & arcus .a.o. nobis cogni
tus erit, cum ſupponatur arcus .a.
o. eſſe circuli latitudinis, et .a.o.
Iatitudo ipſius ſtellæ, & angulus
a. rectus erit, & quia punctum .e.
datur, ergo arcus .a.o. & arcus .a.
e. ſimul
ti ſunt, vnde ex .11. primi lib. co
pernici, angulus .a.e.o. cognoſce-
tur, & angulus .q.e.o. ſimiliter, vt
reſiduum ex duobus rectis quo. e
mediante cum angulo .q. declina
tionis ab æquatore,
latere .q.e. cognito, cognitus quo
que nobis erit angnlus .e.t.q. ex
12. eiuſdem. qui quidem angulus
erit altitudinis æquatoris ab ori-
zonte quæſito, qui demptus à
90. gradibus, dabit altitudinem
poli ab orizonte quæſito.
Inuenire poſtea gradum eclipticę, cum quo ſtella data oriatur ad orizontem pro
poſitum, nullius eſt difficul@atis.
Ponamus exempli gratia, aliquem ſcire velle gradum eclipticæ, cum quo canicu-
la oritur ad orizontem, cui polus boreus eleuatur per gradus .44. quæ canicula ſup-
ponatur habere gradus .19. cum min .24. Cancri longitudinis, & gra .16. min .10. lati-
tudinis meridianæ, quærere primum oportet eius declinationem ex doctrina .2. pro
blematis tabularum directionum Monteregij, quæ erit graduum .6. cum minutis .5.
ſeptentrionalis, deinde inuenire eius aſcenſionem rectam ex doctrina .4. problema
tis eiuſdem Monteregij, quæ erit gra .108. mi .42. deinde
inuenta in tabulis differentiarum aſcenſionalium ſub polo .44. accipiemus differen-
tiam aſcenſionum, qua differt recta ab obliqua, quæ in præſenti exemplo erit gra
5.
quet nobis aſcenſionem obliquam ſtellæ propoſitæ ad polum. gra .44. quæ erit gra
102.
mus gradum & minutum eclipticę cum quo ſtella oritur. quod in caſu noſtro erit
gra .1. min .8. Leonis, ſed ſi tecum non fuerint tabulæ dictæ, potes eleganter omnia
hæc perficere via triangulorum ſphæricorum.
Via triangul@rum
Sit
& ſtella data ſit .o. in orientali parte orizontis, circulus verò .a.o. ille ſit, qui
per polos eclipti
ipſo ſit eius latitudo. Nunc propoſitum ſit inuenire arcum .d.q. eo quod illicò ſcie
mus punctum .d. qua propter oportet nos prius cognoſcere arcum .d.a. qui demptus,
vel additus arcui .a.q. prius cognito ex ſuppoſito (nam data nobis eſt longitudo, &
latitudo ſtellæ) dabit nobis .d.q.
Cum igitur voluerimus arcum .d.a. cognoſcere, ita faciemus.
nam .q.a. cognitus
nobis eſt ex ſuppoſito vt dictum eſt. angulus quoque .a.q.b. qui declin tionis eclipti
cæ ab æquatore eſt, angulus deinde .a. (trianguli .a.b.q.) rectus eſt, ergo ex .4. primi
copernici cogn@tus nobis erit arcus .
a.b. nec non angulus .a.b.q. vnde an-
ctis in duobus primis hic ſubſcriptis
figuris nobis itidem cognitus erit,
etiam & arcus .b.o. reſiduus ſiue com
poſitus ex ar cu .a.o. cognito ex ſup-
poſito
ptica. Tunc
gnoſcimus latus .o.b. & angulum .o.
b.e. nec non angulum .b.e.o. qui eſt
altitudinis æquatoris ab orizonte , quare ex .12. dicti lib. cognitus nobis
erit angulus .b.o.e. Conſideremus
deinde triangulum .a.o.d. cuius angu
lus .a. rectus eſt, & angulus .a.o.d.
latere .a.o. etiam cognitus, vnde ex
ſupradicta .4. nobis cognitus erit ar-
cus .a.d. & conſequenter cognoſce-
mus at cum .d.q. eius reſiduum, ſeu
compoſitum, quem quærebamus.
Sed ſi hac via inuenire deſideras,
cui orizonti propoſita ſtella oriatur
cum eodem eclipticę puncto .a. lon-
gitudinis, hoc aliud nihil eſſet, quam
cognoſcere amplitudinem anguli .a.
b.q. eo quod talis orizon, idem cir-
culus eſſet .a.b.o. vnde cum quis ſci-
ret vnum illorum angulorum quem
æquator efficit cum orizonte, reli-
qua illicò ei innoteſcent, ſed dictus
angulus .b. iam diximus quomodo
cognoſcatur.
Ponamus nos ſcire velle
polo .44. o. dato, quod ſtella in gra
19.Cancri, reperiatur
diſtans ab ecliptica per gra .16. min
10.vnde
erit gra .70. min .36.
tium 94321. talium qualium totalis
eſt .100000. arcus verò .a.o. gra .16.
minut .10. ſinus erit 27845. angu-
lus autem .a.q.e. declinationis zodia
ci ab ęquatore grad .23. min .30. cu-
ius ſinus eſt .39875. Quare ex ſupra-
dictis rationibus angulus .a.b.q. erit
gra .82. mi .24. cuius
arcus vero .a.b. gra .22. minu .17. cu-
ius ſinus erit .37945. angulus deinde
o.e.b. trianguli .o.e.b. eſt gra .46. mi .
o. altitudinis æquatoris ab orizonte,
cuius ſinus eſt .71934. angulus ſimili
ter .o.b.e. medio coniuncti, quibus
rectus perſicitur, arcus etiam .o.b. no
tus eſt grad .6. min .7. cuius ſinus eſt
10655.
cus .a.b. et .a.o. cognitos.
Quare ex .12. iam ſupradicta an-
gulus .e.o.b. hoc eſt .a.o.d. erit. grad
36.deinde per .4. cognitus erit nobis an
gulus .a.d.o. gra .55. min .5. cuius
erit .81998. arcus verò .d.o. gra .19.
min .51. cuius ſinus erit .33957 ar-
cus autem gra .11. min .42. cuius
erit .20270. vnde
ex .a.q. erit gra .58. min .54. complementum
1.
MOdus autem inueniendi ſphæroidem ex dato axe, quod duplum ſit ſphæ-
ra propoſita, talis eſt.
Sit exempli gratia .a.b.c. ſphæra propoſita. cuius ſemidia meter ſit .o.c. ſemiaxis
vero ſphæroidis ſit .d.x. cuius dimidium ſit .u.x. tunc ex doctrina .9. ſexti Euclid. inue
niatur .g.h. media proportionalis inter .u.x. et .c.o. deinde ſicut ſe habet .u.x. ad .g.h.
e.f. erit reliqua axis quæſita. Vnde conſtituta cum fuerit ellipſis .d.f.t.e. ex dictis axi-
bus, deinde circumuertendo ellipſim circa maiorem axem, conſtituemus ſphæroi-
dem oblongam, ſi autem circumuertemus ipſam circa minorem axim conſtituemus
ſphæroidem prolatam.
Quod autem talis operatio rationalis ſit, nulli dubium erit, que
gnoſcet conum rectum .e.u.f. æqualem eſſe cono recto .a.c.b. ex .2. parte .12. duodeci
mi Euclid. & quod cum conus .e.d.f. duplus ſit cono .e.u.f. ex lemmate collecto ab
11. duodecimi, conus .e.d.f. duplus exiſtit etiam cono .a.c.b. ex .7. quinti. Cum de-
inde ex .32. primi lib. de ſphæra, & cyllindro ſphæra .a.c.b.q. quadrupla ſit cono .a.
c.b. ipſa conſequenter dupla erit cono .e.d.f. ſed ex .29. primi de conoidalibus, dimi
dium ſphæroidis .e.d.f.t. hoc eſt .e.d.f. dupla eſt cono .e.d.f. Quare talis medietas
æqualis eſt ſphæræ propoſitæ, totaq́ue ſphæroides dupla erit ſphærę datæ. Quod
autem dico de proportione dupla, idem infero de qualibet alia, ſumendo .u.x. ita pro
portionatam ad .d.x. vt proponitur.
Sphęram autem inuenire quæ dimidia ſit ſphæroidis propoſitæ nullius erit nego-
tij, quotieſcunque inuentus fuerit modus diuidendi vnam datam proportionem in
tres æquales partes.
Sit propoſita ſphæroides .e.f.d.t. cuius axes ex conſequentia dantur .e.f. et .d.t. quę
quidem ſphæroides ſit primo oblonga, et .u.x. ſit dimidium axis maioris. imagine-
tur etiam conus .e.u.f. vt ſupra. Imaginetur etiam factum eſſe, quod proponitur, hoc
eſt, vt ſphæra .a.b.c.q. ſit dimidium ipſius ſphæroidis, vnde conus .a.c.b. æqualis erit
cono .e.u.x. vt ſupra demonſtratum eſt, & ſit .g.h. media proportionalis inter .u.x. et
o.c. Iam viſum ſuperius fuit, quod eadem proportio erat ipſius .u.x. ad .g.h. quæ .a.b.
ad .e.f. quare eadem quæ .o.b. ad .e.x. ſed .u.x. et .e.x. dantur.
inter quas .g.h. et .o.b. vel
o.c. (nam .o.c. æqualis eſt .o.b.) medię proportionales ſunt, eo quod cum .g.h. media
proportionalis ſit inter .u.x. et .o.c. & proportio .o.b. ad .e.x. æqualis ſit ei, quæ .u.x.
ad .g.h. hoc eſt ei quæ .g.h. ad .o.c. vel. ad .o.b. quare quotieſcunque inuentæ fuerint .
g.h. et .o.c. vel .o.b. mediæ proportionales inter .d.x. et .x.e. ipſa .o.c. vel .o.b. erit ſemi
diameter ſphæræ quæſitę. eodem modo faciendum erit ſi ſphęroides fuerit prolata.
QVod etiam quæris ita ſe habet, duo ſcilicet triangula inuenire, æqualia dua-
bus ſuperficiebus rectilineis propoſitis, quę quidem triangula ſint eiuſdem
alritudinis, & quod
alius angulus vnius, cum alio alterius, æquetur duobus rectis.
Sint exempli gratia duæ propoſitæ ſuperflcies .c.y. duo verò anguli dati ſint .r.s.
cum voluerimus inuenire duo triangula (quæ ſint .a.i.u. et .n.t.x. ) tali conditio-
ne prædita, quod angulus, a. æqualis ſit angulo .s. & angulus .t. angulo .r. & quod
angulus .x. ſimul cum angulo .u.
quẽtur
c. reliquum verò ſuperficiei .y.
Ex duabus ſuperficiebus .c. et .y.
conſtituemus duo quadrata, per vl
timam ſecundi Eucli. accipiemus, deinde duo latera tetragonica ip-
ſorum quadratorum, & inuenie-
mus tertiam lineam in continua
proportionalitate cum illis lateri-
bus ex .10. ſexti, ſeruabimus po-
ſtea extremas illarum, quæ ſint .z.
et .l. quarum proportio,
quæ inter duas propoſitas ſuperfi-
cies reperitur ex .18. ſexti, accipie
mus, deinde lineam aliquam cu-
inſuis longitudinis, quæ ſit .q.g. ſu-
pra quam conſtituemus in puncto
q. angulum .m.q.g. ęqualem angu-
lo .s. & angulum .m.q.K. æqualem
angulo .r. ex .23. primi, poſtea ve-
rò à quouis puncto ipſius lineæ .q.
m. puta .o. ducetur .o.f. vſque ad .q.
g. quorſum volueris, producendo
ipſam
tio f.o. ad .o.d. ſit vt .z. ad .l. ex .10.
ſexti, ducendo poſtea à puncto .d.
lineam .d.h.E. parallelam lineæ .q.
g. & quia ex .2. primi Vitellionis .
h.E. ſecatur ab .q.K. in puncto .b.
protrahemus .b.o.p. vnde ex ſimi-
litudine triangulorum habebimus
proportionem .p.o. ad .o.b. vt .f.o.
quare
lia duobus .p.q.o. et .o.q.b.
g. in puncto .æ. ita, quod .q.æ. æqualis ſit .i.a. duco poſtea .æ.e. æquidiſtantem. ad .p.b.
& ſic habebimus duo triangula .q.x.æ. ct .q.x. e, vt quærebantur, quamuis duo trian
gula .a.i.u. et .t.n.x. eaſdem habeant conditiones.
nem aſſequi potuiſſe, aduerte igitur ipſam falſam, ideſt impoſſibilem
eſſe, quemadmodum etiam decimumoctauum quæſitum propoſitum à
Cardano Tartaleæ, ab ipſo Tarralea ſolutum minimè fuit. Quiquidem
Tartalea vult circulum deſcribi circa triangulum per quintam libri quarti Euclidis,
vt in fine ferè quintæ partis ſuarum menſurarum affirmat, neque videt in quinta
quarti Euclidem vti vndecima primi, & in vndecima primi, quarta aut octaua eiuſ-
dem, quas, ipſe Euclides oſtenſiuè non demonſtrauit. Quapropter oportebat Tar-
taleam demonſtraſſe omnes propoſitiones ad hoc neceſſarias oſtenſiuè
mas indemonſtrabiles, quia ad demonſtrandam ſcientificè
aut à propoſitione in propoſitionem vſque ad prima principia vniuerſalia ( vt ali-
quando ego feci) eſt retrogradandum, aut ab ipſis principijs incipiendum ſucceſſi-
uè eouſque progrediendo donec ad propoſitionem quam demonſtrare volumus
perueniamus.
Quod ad Ptolomeum in geographia attinet, dico eum mihi non ſatisfacere, cum
ſumit portionem arcus circuli maioris inter vnam ciuitatem, & aliam, ea ratione
quam deſcribit. Quod ſi vſus fuiſſet modo Menelai, ab ipſomet deinde in
mageſtum vſurpato, aut Monteregij triangulorum ſphęricorum, quem Copernicus
adhibuit (qui tamen modus, tempore Ptolomei, nondum fortaſſe in lucem vene-
rat) bene egiſſet.
Quod deinde ad ſuum illud inſtrumentum geometricum attinet, eſt
vt oſtendi domino Pandulfo.
Motum autem aeris, aut mauis ventum, accendere ignem, non ſolum ratione an
tiperiſtaſis, quam affers euenit, ſed etiam quia à carbonibus accenſis totam excre
mentitiam materiam, quæ eos circundat, auferat.
SCribiste non intelligere .25. propoſitionem lib. 2. Monteregij. cum necſcias
reperire diametrum circuli circunſcriptibilis circa propoſitum triangu-
Imagineris igitur triangulum datum eſſe obtuſiangulum .a.b.g. cuius baſi .b.
g. ſit nobis data ſimul cum angulo .a. ei oppoſito, obtuſoq́ue; Conſidera etiam cir-
culum .a.b.g.q. ipſum trian gulum circunſcribentem, cuius diameter .q.e.p. tranſeat
per .m. punctum medium ipſius .b.g.
mus angulos. circa .m. rectos eſſe ex .3 tertij Eucli.
gulo .q.p.g. ex .19. eiuſdem, vnde æqualem angulo .a. qui etiam duplus eſt angulo .q.
p.g. quapropter proportio arcus .q.g. ad arcum
de .p.g. ad ſinum .m.g. arcus .g.p. & quia .m.g. vt
dimidium ipſius .b.g. tibi data eſt, cognoſces
etiam .p.g. vt .m.g. & ſic tertium latus .m.p. trian-
guli orthogonij .p.m.g. & q
fit ex .p.m. in .m.q. eſt æquale ei quod fit ex .b.m.
in .m.g. ideo cum diuiſum fuerit productum .b.
m in .m.g. per .p.m. proueniet .m.q. quapropter
habebis totum .q.p.
Idem efficies, ſi
MOdus inueniendi puncta elliptica, via .21. primi lib. Pergei ex datis axibus,
vt vbi alias ſignificati, talis eſt.
Sit exempli gratia maior axis propo-
ſitus .a.c. minor autem .b.d. cum ergo
volueris inuenire punctum circunfe-
rentiæ correſpondentem puncto .e.
maioris axis, inueniemus primò la-
tus tetragonicum producti .a.g. in .g.
c. quod ſit .h.
ducti .a.e. in .e.c. quod ſit .i. deinde in-
ueniemus lineam .K. tertiam in con-
tinua proportionalitate cum .h. et .i.
vnde .i. erit media proportionalis in-
ter .h. et .K. & vt .h. proportionalis erit
ad .K. inueniemus .e.f. cui .g.d. medie-
tas ſecundi axis ita ſe habeat, quæ po
ſtea iuncta axi maiori, ad angulosrectos in puncto .e. dabit ſitum puncti .f. quæſiti ex
dicta .21. primi lib. Pergei, ſed talis modus prolixus eſt.
Accipeigitur huncalium.
Sit propoſitus maior axis .q.p. minor verò .e.c. ad angulos rectos ſe inuicem
ſecantes in puncto .o. deſcribatur circulus .q.n.p.a. cuius diameter ſit axis maior, in
quo accipiatur punctum, quod volueris, vt puta .u. à quo protrahatur .u.b. paralle-
la ad .o.c.n. deſignetur poſtea ſeparatim circulus .u.b.n. cuius diameter æqualis ſit ſe
midiametro prioris circuli, ita etiam fiat circulus .u.i.c. contingens circulum .u.b.n.
in puncto .u. cuius diameter ſit .u.c. æqualis dimidio axi minori. accipiatur deinde in
circulo maximo longitudo .u.b. quæ collocetur in circulo mediocri à puncto .u. quæ
ſecabitur à minimo circulo in puncto .i. cum itaque longitudo .u.i. menſurata fue-
rit in .u.b. maximi circuli à puncto .u. habebimus propoſitum.
Cuius reiratio eſt, quia .u.b. mediocris circuli diuiditur à gyro minimi in puncto
i. eadem proportione, qua diuiſa eſt .u.n. in puncto .c. quod manifeſtum eſt exſimi-
litudine triangulorum .u.b.n. et .u.i.c. imaginatæ cum fuerint duæ .b.n. et .i.c. ſed ita
eſſe oportet parallelas maximi circuli, quotieſcunque circunferentia ipſius ellipſis
tranſitura ſit per .c. vt in .51. cap. meæ gnomonicæ oſtenſum fuit.
NVllius reuera difficultatis mihi videtur eſſe, quotieſcunque nobis propoſita
fuerint duo puncta .a. et .b. ſimul cum
angulo .d.
angulum æqualem dato, & ipſæ directè
iunctæ conſtituant lineam æqualem da-
tæ. Nam ducatur linea indefinita per
puncta propoſita, cuius lineæ, pars illa, quę
intercepta fuerit inter dicta puncta, diui-
datur per æqualia in puncto .o. etiam & li-
nea data, quarum medietates accipio in
linea indefinitè protracta à puncto .o. me-
deinde aperiatur circinus quantum .
o.c.
pede in .a. deſignentur alij duo arcus inter-
ſecantes primos in punctis .n.K. Deinde à
punctum .o. tranſibit, quam .n.K. mente
cipio
ſit axis maior, quibus axibus mediantibus
deſignetur ellipſis .n.c.K.e. conſidero dein
de .a.b. vt
nis circularis, quæ capax ſit vnius anguli
æqualis angulo .d. propoſito, ex .32. tertij
Euclid. cuius circunferentia, circunferen-
tiam ipſius ellipſis ſecabit in
quorum
rint duæ lineæ .a.i. et .i.b. habebis propoſitum, cum .a.i. iuncta cum .i.b. æquetur .e. c,
ex .52. tertij Pergei.
neſcio quis, ni fallor, talis eſt. Deſignato meridiano .l.b.m.q.
bus diametris .l.m. et .b. q, inuicem ad rectos in centro .g. quorum .l.m. ſit
verticalis .b.q. vero
cundum altitudinem poli datam,
puncto .r. ducta .r.o.y. parallela ad diametrum .q.b. orizontalem, ducis poſtea .f.ω. et .
r.t. vſque ad orizontalem .q.b. parallelas ad diametrum .l.m. verticalem. Determi-
nato poſtea gnomone .g.s. in orizontis axe,
orizontali,
q.x.b.n. magnitudinis prioris, qui quidem circulus ſignificet orizontem ipſum, in
quo ductis diametris .q.g.b. et .l.g.m. accipis in diametro .q.g.b. puncta .a. et .ω. ita à
tro
ctum .a. lineam .x.a.n. ad rectos cum dicto diametro, deinde per tria puncta .n.ω.x.
tranſire facis circunferentiam circuli per
metro accipis punctum .t. ita diſtans à centro, & ex eadem parte, vt in priori circulo,
à quo puncto ducis .t.u. parallelam .x.n. vſque ad circunferentiam .x.ω.n. in puncto .u.
quo facto, ducis à centro .g. per punctum .u. ipſius circularis circunferentiæ .g.u. inde-
terminatam, quam poſtea terminas in puncto .K. ita quod .g.K. æqualis ſit .s.K. Dicis
poſtea punctum .K. in eodem ſitu reperiri, reſpectu duorum diametrorum .q.b. me-
ridiani. et .l.m. verticalis, vt decet, & oportet punctum horæ propoſitę exiſtere.
Quod quidem dico eſſe falſum, propterea quod perpendiculares quas cogita-
mus cadere à punctis circunferentiæ cuiuſuis paralleli ſupra quemuis orizontem ob
fectionali, & non circulari. Vnde per ſupradicta tria puncta .n.ω.x. oporteret tranſi
re talem circunferentiam, & non
cuius minor axis in diametro .b.q. eſſet .ab .ω. vſque ad .i. terminum ſini h.i. arcus .h.b.
in analemate, maior verò axis eſſet magnitudinis .f.h. diametri paralleli, quæ
ſet
culum .q.n.b.x.
Si ergò circunferentia .n.ω.x. eſſet elliptica tunc punctum .u. in orizonte illud eſſet
vbi caderet ſinus altitudinis horę, et .t.u. æqualis eſſet .r.z. communi ſectioni paralle
li cum almicantarat ex .34. primi Euclid. et .u.g. æqualis eſſet .o.y. communi ſectioni
almicantarat cum meridiano, vel cum azimut illius horæ ex .4. primi, cum .g.t. æqua
lis ſit ipſi .o.r. et .t.u. ipſi .r.z. & angu
admodum .r. qui compræhenditur
ab .z.r. et .r.o. vnde anguli .K.g.m.
et .K.g.b. rectè ſe haberent, diſtan-
tia verò inter .K. et .g.
pta fuit.
Sed quia punctum .u. vt
(in gyro circulari ſumptum) extra
puncta interſectionum ipſius circu
laris gyri cum elliptico reperìtur, propterea efficit angulos .K.g.m.
et .K.g.b. falſos, & non æquales il-
lis, qui fiunt ab azimut horæ cum
verticali, & cum meridiano, quæ
omnia ex cap .52. meæ gnomonicę
facilè videre potes.
Nectacere volo quod punctum
u. verum, hoc eſt ellipticum, inue-
niri poſſet ea via quam ſcripſi in
eodem .52. cap. qua mediante do-
cui demum inuenire punctum .π.
orizontis, quamuis in præſenti ca
ſu .ω.λ. perpendicularis eſſet ſupra
minorem axem ipſius ellipſis,
uis
men minimè mutat ordinem, imò
rationes eędem ſunt, tam in vna,
quam in alia operatione, ſed vt il-
licò
lis. ſit .r.z. & tunc punctum .K. erit
gnomonicę, ijs verbis ſignificaui.
Itaq; mediis binis triangulis ijs,medioq́; azimut Solis pariter ho-
rologia fabricari poterunt.
MOdus quem tibi ſcribere promiſi delineandi lineas horarias communes in
pariete perpendiculariter ad orizontem rectum, declinantem à meridiano,
ſumendus eſt ex .46. cap. meæ gnomonicæ, hocſcilicet ordine.
Sit exempli gratia, orizon hic ſubſcriptus. or. oc .M.S. diuiſus à meridiana .M.
S. et verticali ſeu æquinoctiali. or. oc. Sitq́ue .e.t. communis ſectio muri cum ori-
zonte, et .g.n. ſit gnomon perpendicularis ipſi muro, vnde ex dictis in mea gnomo-
nica, cognoſcemus in ipſa murali orizontali totam .e.t. inter meridianam orizonta-
lem, & æquinoctialem orizontalem, cognoſcemus etiam partem .g.t. ipſius æ-
quinoctialis orizontalis, quam quidem accipiamus in rectitudine ipſius muralis ori
zontalis, quæ quidem ſit .t.G. quo facto erigatur .G.A. ad rectos cum .G.t.e. & cir-
cum .G.e. deſignetur vna medietas circuli verſus .e. cuiuſuis magnitudinis, quæ di-
uiſa in .12. partes ęquales, ſignificabit
cultæ à centro .G. per ſectiones circunferentię dimidij circuli, quæ fignificabunt
munes ſectiones æquatoris cum circulis horarijs communibus, quo facto oportet, vt
à puncto .t. protrahatur .t.s. ad rectos cum murali orizontali, quæ quidem .t.s. ſignifi-
cabit communem ſectionem æquatoris cum muro propoſito, & erit ęquędiſtans me
ridianæ murali ex .6. vndecimi Eucli. eo quod ex .19. eiuſdem
pendicularis eſt tali orizonti. Videantur nunc puncta communia iſti .t.s. & occultis
protractis à centro .G. medietatis circularis, per quæ puncta protrahantur à puncto .
e. tot lineæ, punctum enim .e. ſignificat punctum axis mundi, & meridianæ in mu-
ro propoſito, eo quod in tali ſitu ſphæræ rectæ, dictum punctum reperitur in orizon
re, cum .M.s. non ſolum ſit meridiana orizontalis, ſed etiam axis mundi, deinde nul
li dubium eſt quin meridiana muralis ſit perpendicularis orizontali murali .e.t. à
puncto .e. Sed quia dimidium
ſub orizontali .e.t.G. alterum
vero
tet quod quę ſupra ſunt produ-
cantur à parte .oe. ſub orizonta-
li, ab alia parte meridianæ, &
talis erit effigies horologij mura
lis in hoc ſphęrę ſitu, hoc eſt ver
ſus quartam orientalem auſtra-
erit ſemper horæ .6. matutinæ,
ſecunda verò ab ipſa erit horæ.
7. tertia
ceps.
Quotieſcunque verò angu-
lus .n.g.e. minor erit maxima
Solis declinatione, & Sol fuerit
in parte auſtrali ab æquatore tunc talis paries illumina-
bitur ab ipſo Sole à mane vſque ad veſperam.
Huius quidem rei ſpeculatio, vnicuique manifeſta erit, qui rationes .46. cap. no-
ſtræ gnomonicæ prius intellexerit, vbi manifeſtè apparet proportionem ſemidiame
tri horologij (ſi ita eam appellare licet) ad ſemidiametrum æquatoris horarij ſem-
per eſſe, vt .e.t. ad .t.g. hoc eſt proportio maioris inæqualitatis. nolo etiam prætermic
tere. quin te admoneam, vt nullo pacto confidas in longioribus vmbris, eo quod val
de nos decipiant, cum ſemper iuſto breuiores ſint.
TVas demum accepi literas, qui
52.
xiſſe, præter illa verba, quæ etiam
ſuperioribus diebus ad te ſcripſi,
hoc eſt.
Itaq; medijs binis triangulis ijs,medioq́; azimut Solis, pariter ho-
rologia fabricari poterunt.
Quapropter nealiquid tibi de-
ſit, ſcire debes, menihil aliud, eo
in loco inferre voluiſſe, quàm
punctum horæ propoſitæ in plano
horologij orizontali reperiri po-
teſt, ope longitudinis vmbræ gno-
monis, & eius declinationis à ver-
ticali linea, ſeu à meridiana orizon
tali, iam in ipſo horologij plano
ductis.
Exempli gratia, ſit analemma .
l.q.m.b. in quo .l.m. ſit verticalis .q.
b. verò orizontalis .f.n.h. autem ſit
ſemicirculus, cuiuſuis paralleli æqui
noctiali, cuius diameter fit .f.h. et .
n. ſit Solis locus in ipſo parallelo: n.
r. autem ſit rectus ſinus arcus .f.n: et .
r.o.z. ſectio communis ipſius almi-
cantarat cum meridiano, et .s.a.
munis ſectio azimut Solis cum pla-
no horologij, et .s.g. gnomon, et .x.
g.a. radius Solis .z.u. verò ſinus alti-
tudinis ipſius Solis, vbi videre po-
tes duo triangula dicta eſſe .z.u.g.
Cum autem dico,
lum, quem terminat linea azimutalis horologij, hoc eſt vmbra gnomonis cum li-
nea meridiana, ſeu cum verticali in ipſo plano horologij. qui quidem anguli, æqua
les ſunt ijs, qui in triangulo conſtituto ex .n.r. ex .r.o. & ex .o.z. reperiuntur, cuius qui
dem trianguli, angulus puncti .r. rectus eſt, angulus verò terminatus ab .n.r. et .o.z. il
le eſt quem conſtituit azimut cum verticali, vel ipſi æqualis, vt coalternus, reliquus
verò in
Vnde quotieſcunque volueris in aliquo plano, orizonti parallelo, lineas hora-
rias ducere, iudico optimum fore ſi ſeparatim deſignatæ fuerint hæ tres figuræ, hoc
eſt analemma meridianum, vel azimutale, vt ita dicam, deinde parallelus
pro tropicis, vt ego feci cap .51. meæ gnomonicæ, quæ duæ figuræ,
pro omnibus horologijs, tam ori-
tamen omninò, ideo pro orizon-
talibus, tertiam figuram ſeparatam
deſignaui, quę erit circulus .H.I.
K. eiuſdem magnitudinis cum ana-
lemmate, in quo, ductis duobus
dia metris inuicom ad rectos, quo-
rum vnus .H.I. ſignificet orizon-
talem lineam, reliqua verò
ticalẽ
ſtans ab .H.I. quanta eſt longitudo
gnomonis horologij orizontalis,
cogitemus, deinde hunc circulum
communem eſſe omnibus azimut
necnon plano horologij, in cuius
circunferentia à puncto .k. nadir ip-
ſius zenit, accipiantur arcus æqua-
les ijs ipſorum azimut, quos termi-
nat zenit, & ipſi almicantarat, vt
exempli gratia, accipiemus arcum
k.L. æqualem arcui .L.z. ipſius ana-
lemmatis, ducta poſtea linea occul
ta .o.L. ſignabimus azimutalem .s.a.
in puncto .a. vbi hæ duæ lineæ ſein
uicem ſecant, & ſic habebimus iu-
ſtam
monis .s.o. tali hora, deinde in ori-
zontali .H.I. ſumatur .o.r. à centro .
o. ęqualis ei quę in analemate repe
ritur, quæ vna portio eſt commu-
nis ſectionis meridiani cum almi-
cantarat, terminata ab axe orizon
tis, & à diametro paralleli. Deinde
lis ei quæ eſt in parallelo, ducatur poſtea .o.n.M. & habe bimus triangulum .o.r.n. ſi-
milem Vnde angulus .H.o.M. ei æqualis erit,
quem azimut facit cum meridiano, & angulus .M.o.k. ei ęqualis, quem azimut con-
ſtituit cum verticali, ita quod ſi talis circulus .H.k.I. eſſet planum horologij orizon-
talis, ſuppoſito .o. pro pede gnomonis, ſecando poſtea .o.M. in puncto .i. ita vt .o.i.
æqualis eſſet .s.a. dato quod .o.M. ducta ſit ad partem ſibi conuenientem, reſpectu .o.
k. ipſa pro verticali ſuppoſita, quod tibirelinquo, cum hoc facillimum ſit, tunc pun
ctum .i. eſſet quod quærebamus. Quod verò de vno puncto dico, idem de omni-
bus infero.
Vbi verò mihi ſignificas Chriſtophorum Clauium, me duobus in locis meæ gno
monicæ redarguere, iam vidi. Circa primum locum igitur, qui eſt in pagin .161.
ita inquit.
Non enim deſunt, qui vel omninò negent, inter quos eſt Ioannes Baptiſta Be-
nedictus in ſua gnomonica cap .70. et .71. vbialia, & multo longiore ratione cona-
tur arcus ſignorum deſcribere, vel certe dubitent, hoc modo rectè poſſe deſcribi ar-
cus ſignorum, cum rationem non videant, qua hæc noſtra deſcriptio quam quidem
omnes ſcriptores ſine vlla demonſtratione tradunt nitatur.
Abſque dubio raptim tranſcurrit illa capita .70. 71.
Reuerendus Clauius alio quin
non ſcripſiſſet, quòd ego alia & multo longiore ratione conatus ſim arcus ſignorum
deſcribere & c. præſertim cum eadem prorſus ratio, quæ ibi à me tradita eſt, illa ſit,
quam ip ſe ſuis ſcriptis inſeruit.
Meus igitur modus in dictis capitibus traditus, minime diſcrepat ab eo, ſed ab il-
lorum modo, quorum opinio eſt interualla .e.h: h.u: u. n; n.m. et .m.d. meæ figuræ in
pagi .75. poſitæ, æqualia eſſe interuallis .e.h:h.u:u.n:n.m. et .m.d. præcedentis figuræ,
qui etiam ſupponunt .t.e. meæ figuræ .75. eſſe directè coniuncta cum linea .e.h.u.n.
m.d. & propterea verſus finem .73. pag. dixi.
Aduertat autem quam diligentiſſime quiſque ne ſe decipi patiatur à ſubſcripta fi
gura ſemicirculi .Q.æ.m. cum reliquis lineis ductis, ex antiquorum more, & c.
Eo quod non defuerunt aliqui, ex vetuſtioribus (quorum ſcripta ad meas manus
peruenerunt) qui ſumentes interualla e.h:h.u. & c. figuræ. pag .75. æqualia illis figu-
ræ pag .74.
maximi erroris cauſa erat, & propterea cap .71. verum modum oſtendi, ſeruando il
lam eandem ſuppoſitionem, hoc eſt quod interſtitia .e.h: h.u: & c. figurę pag .75. æqua
lia ſint interſtitijs .e.h: h.u. & c. præcedentis figuræ, & ideò in dicto cap .71. dixi.
Suppoſito deinde .f.e.b. lineam meridianam eſſe in plano orizontali, cęterę lineę
horarię erunt prędictę.
Stantibus igitur his ſuppoſitis, vt habeantur omnia ſcientificè, volui, vt intellige-
retur pyra mis qua drilatera, eo modo quo dixi, cap .71. vbi clarè patet eandem pyra
midem eſſe, quam Pater Clauius (tacitè) poſuit in figura horologij, vt ipſe docuit
propoſitione ſecunda, lib. ſecundi, cuius baſis eſt triangulum .H.I.F. ſuæ figurę (exem
pli gratia pro quinta hora poſt meridiana) Alterum verò triangulum à me cogita-
tum, terminatum ab .t.e: e.d: et. ab .t.d. eleuata in mea figura, eſt in ſua
I.F. & propterea dixi.
Nam .t.e. et .e.d.vtræq; in plano horologii non ſunt, quamuis in plano æquatoris
tres ſint, & c.
Angulus verò .e. quem dico rectum eſſe, in ſua figura eſt angulus .D.I.F. & mea
Tertium deinde triangulum, quod in mea figura ter-
minatur ab .t.d. ab .f.d. & ab f.t. in ſua eſt triangulum .D.F.H. vnde mea .f.t. reſpon-
det ſuę .H.D. & mea .f.d. ſuæ .H.F. & mea .t.d. ſuę .D.F. Quartum autem triangulum
f.t.e. in mea figura, reſpondet ſuo .H.D.I. & meum punctum .t. ſuo. D, Nunc triangu
lum rectangulum, quod dico ſeparatim conſtituere, eſt illud tertium dictum corre-
ſpondens ſuo .D.F.H. vt ipſe facit in
radius .t.x. in ſua figura, ille eſt qui terminatur ab .D. & ab initio Tauri, & Virginis.
Et quamuis ego non ſcripſerim talem ſiguram, vt ipſe fecit, nihilominus ipſam
verbis deſcripſi eomet modo, & propterea dixi.
Quamdiuiſionẽ , ſi in triangulo ſeorſum deſcripto inuenire voluerimus, res erit
inuentu facillima, cum rectum angulum .f.t.d. (reſpondentem ſuo .H.D.C.) prędicti
trianguli tertij ea ratione diuiſerimus, & c.
Quapropter Reuerendus Clauius non animaduertit meam rationem aliam non
eſſe, nec puncto longiorem ſua, cum eademmet ipſa ſit.
Citaui etiam Munſterum cap .30. eo quod in ea impreſſione, quam tunc prę mani
bus habui, vidi in ea figura, quam ipſe vocat fundamentum horologiorum, literam
c. poſitam eſſe loco .f. et .f. loco .c. quod cauſæ fuit, vt omnia mendoſa viderentur, re
centiores autem impreſſiones correctæ ſunt.
Rurſus alio in loco mihi accidit vt repręhenderim Alexandrum Piccolomineum
in libris de ſphęra, qui quidem dicebat eas figuras ſuperficiales, quæ paucioribus an
gulis circunſcriberentur, capaciores eſſe alijs, dummodo earum periphæriæ eſſent
æquales.
Nunc autem correctę ſunt eo in loco impreſſiones, & qui non viderit primas, pu-
tabit me immeritò ipſum repræhendere.
Idem etiam dico de eo capite ipſius Piccolominei, in ijſdem libris, vbi tractat de
modo, quo vſi ſunt antiqui ad diuidendum zodiacum in .12. ſigna, quod erat circa
finem quarti libri.
Nunc verò, in recentioribus impreſſionibus, illud caput poſitum non eſt.
Impreſ
ſiones autem illæ, vbi talia dixit, duæ fuerunt, quarum prima erat anni .1540. ſecun
da verò .1552 Venetijs apud Andream Puteum.
Alius verò locus ipſius Reuerendi Clauij, contra meas repręhenſiones, eſt circa
finem pag .298. & circa .299. vbi ita ſcribit.
Ex his liquido conſtat, non rectè à Ioan. Baptiſta Benedicto in ſua gnomonica ca
pit .49. repręhendi hancrationem deſcribendi horologij declinantis, qua omnes fe-
rè alij ſcriptores vtuntur, quoniam, vt ex demonſtratione à nobis allata conſtat, re-
ctè per eam lineæ ho rarię in plano, quod à verticali declinat ducuntur.Modus au
tem quem eo loco pręſcribit differentem ab eo, quem nos tradidimus certus etiam
eſt, ſed nulla ratione noſtro contrarius, quia nos conſtituimus .D.E.F. angulum de-
clinationis plani à verticali circulo propriè dicto, ipſe autem loco huius anguli aſſu-
mit angulum declinationis eiuſdem plani à Meridiano circulo, vnde mirum non eſt
modum ipſius à noſtro diſcrepare.Quod ſicõſtitueremus .D.E.F. angulum decli-
natio nis plani à Meridiano, ut ipſe (quemadmodum forſitan ab alijs putauit fieri)
& in reliqua deſcriptione progrederemur, vt tradidimus, proculdubiohorologiũ
declinans perperam deſcriberetur, vt rectè docet.
Optimè ſcripſiſſet Reuerendus Clauius, ſi verum fuiſſet, quod antiqui ſumerent
declinationem ſuperius Sed ego
dico, authores à me citatos. capit .49. meę gnomonicę ſumere dictam declinatio-
Con ſidera primum in Munſtero cap .16. ſuæ horologiographiæ, vbi clarè docet
accipere angulum compræhenſum inter meridianum, & planum propoſitum, vbi
etiam ponit quandam figuram ædificij cum pariete ſuper quo deſignatum eſt quod
dam horologium, & vbi ſe manifeſtè declarar, ita dicens.
Nam ipſarum partium complementum. propoſitum indicabit angulum, quan-
tus videlicet fuerit arcus eiuſdem circuli .d.e.f.g. à puncto .g. vſque ad productam li-
neam meridianam interceptus, qui vnà cum ipſo .f.g. quadrantem integrare videtur,
vt in ſequenti figura:quoniam arcus .f.g. eſt ſexaginta partium, qualium .e. f. quadrãs
nonaginta, vnde concluditur reliquam partem hoc eſt, datum inclinationisangulũ ,
fore partium triginta ſimilium.
Orontius verò cap .13.
R. Clauij, videnda nondum mihi otium fuit. quod ſi dabitur, tibi libenter
quid ſentiam.
perpendiculariter erecto difficile tibi non erit, (quod à me poſtulaſti) ſi
modum .53. cap. meæ gnomonicæ obſeruaueris, accipiendo tamen pro
linea orizontali in tabula non aliquam rectam lineam, ſed circularem,
ſimilemque circunferentiæ ipſius cyllindri, dico autem ſimilem, eo quod ſi gn o-
mon .o.x. ſupra tabulam ſignatus, & perpendicularis ipſi orizontali circulari .b.i.x.
eſſet dimidia, vel tertia vel quarta pars gnomonis cyllindro infixi, oporteret, vt
ſemidiameter circuli .b.i.x. etiam
eſſet medietas, vel tertia, aut quar
omnes arcus huiuſmodi circuli in
ter ipſos azimut intercepti ſimiles
ſint arcubus cyllindri, quod à
te ipſo facilè videre ſcientificè po
teris. reliqua nihil mutanda erunt
ab eo, quod ſcripſi circa figuram
53.Vnde inuenta
cum fuerit diſtantia orizontalis
puncti .b. à pede gnomonis .x. nec
non quantitas azi mutalis muralis
b.t. quæ ſemper ab orizontali per
pendiculariter deſcendit, illicò
punctum .t. horæ propoſitæ in cy-
lindro inuenietur.
Nunc verò cum duo puncta alicuius horarię lineæ inuenta fuerint, quæ à Solis ſi-
tu in diuerſis parallelis efficiuntur, ſi voluerimus ipſam lineam
dum primò eſt ipſam lineam horariam eſſe communem ſectionem circuli horarij,
illius horæ cum ſuperficie cyllindrica, & propterea ellipticam, vt oſtendit Serenus
in .19. primi lib. quod etiam ellicere poſſumus ab eo, quod Archimedes in .10. pro-
poſitione libr. de conoidalibus, ſcribit. Quapropter oporter nos inſtrumen-
tum prius componere, modo circini, ſed trium crurum, quæ omnia in eadem
plana ſuperficie ſint, ea tamen arte factum, vt quodlibet illorum poſſimus pro-
longare, necnon contrahere, ut cum duo extrema firmata fuerint, media poſ-
ſit circunduci circa centrum, ſeu punctum commune illarum interſectionum
poſſit produci, necnon abbreuiari vel augeri, & diminui, vt mediante ſua extremi-
tate inſeriori poſſimus delineare gyrum ellipticum horarium, dum
crurum adhæreat extremitati gnomonis, reliquæ vero extremitates ipſorum
ſint ſupra puncta inuenta ipſius horæ. oportet etiam vt hoc inſtrumentum à tergo
ipſorum crurum habeat in ſuperiori parte ſuperficiem quandam
ſit vice vnius partis illius ſuperficiei, in qua ſupponuntur omnia crura inſtrumenti,
& hoc quantum fieri poteſt, quod quidem fieri debet, ne crus medium, hoc eſt mo
bile, exeat à tali ſuperficie, ſeu declinet ab ea, quæ ſemper ſupponitur in ſitu circuli
horarij talis horæ. oportet etiam, vt iuxta circunferentiam dimidij circuli ſint duo
gyri eiuſdem materiæ inter ſe parum diſtantes, ita ut crura poſſint moueri, intra hos
gyros, & dimidium circulum, & quod inter hos gyros locatæ ſint duæ cochleæ, ſeu
duo helices, vt quando voluerimus, poſſimus fir-
mare ipſa crura extrema, dum eorum extremitates
deinde in
dorſo iſtius inſtrumenti, circa centrum coniunctio
nis, rectè factum erit ſi aliqua concauitas fuerit, in
qua, extremitas gnomonis poſſit locari, dum duce-
re voluerimus aliquam horariam lineam.
Tale inſtrumentum excogitaui ad fugiendum
tædium inueniendi dictam ellipticam ex punctis.
Nunc autem ſciendum eſt, quod vnus tantum-
modo gnomon ſufficiens non erit pro tota die æſti-
ua, neque duo, niſi valde breues fuerint reſpectu
ſemidiametri cyllindri, & in ſitu medio quartarum
meridionalium noſtro orizonti, quorum autem
longitudo ita inuenienda eſſet.
Sit exempli gratia circulus .a.b.e.u. cyllindri ori
zontis vice,
f. quarum .c.f. ſit pro meridiana: d.e. autem pro verticali,
d.
verò Solis amplitudo ab .f. verſus .e. quæ terminetur ab .q. ita
graduum .45. aliter impoſſibile eſſet duobus
tota die æſtiua horas videre.
Quo facto ducatur ab .q: q.p. contingens circulum & à centro circuli .o. per pun-
ctum .u. medium quartæ ducatur .o.u.i. vſque ad contingentem .q.p. vnde .u.i. longitu
do erit vniuſcuiuſque gnomonis, qui gnomones infixi erunt in medio dictarum
quartarum.
Huiuſmodi rei ratio per ſe nota erit quotieſcunque cogitauerimus verum arcum
e.b. amplitudinis æſtiuæ,
pore æſtiuo orietur, tunc radios ſuos emittet via iſtarum æquidiſtantium linearum.
Sed ſi longiores gnomones cuperes, oportebit eos tres eſſe, quorum vnus erit
orientalis in puncto .e. alter occi-
dentalis in puncto .d. reliquus ve-
rum
tertia parte ſemidiametri cyllin-
dri, ſed ſi voluerimus ſcire
tũ
quiſque illorum, ita faciendum
erit.
Faciemus
ſemidiametro dicti circuli, a dia-
metro poſtea .o.h. huiuſmodi qua
drati ſubtrahatur ſemidiameter .
o.e. circuli, reſiduum verò .e.h. ip-
ſius diametri .o.h. quadrati, erit
gitudo gnomonis, vbi ſimul appa
ret huiuſmodi rei ratio, eo quod
cum gnomon .e.h. orientalis deſi-
net operari, illico meridionalis .
f.g. ſubintrabit, poſt hunc verò occidentalis .d.K. monſtrabit reliquum diei.
CVm ſuper datum conum re-
eſto conus .A. & R. qui diuiſus ima
ginatione ſit à quodam plano per
axem, & communis ſectio ſit trian
gulus .A. & R. in quo plano cogite
mus gnomonem infixum ad rectos
vbi volueris, qui ſit .p.t.o. cogitem
etiam .l.t.m. aliud eſſe planum (in
quo ſit gnomon) quod conum ſe
cet, quæ quidem ſectio, circularis
erit, ex .4. primi Pergei. imagine-
mur etiam ſuperficiem .p.s. eſſe azi
mut in quo gnomonreperirur, ſu-
horę, cogitemus etiam lineam .A.t.i.x. illud coni latus eſſe, qu od à ſummitate ver
ſus baſim tranſit per medium latitudinis ipſius gnomonis, concipiamus etiam mente
e.a. communem ſectionem eſſe trianguli ſupra dicti cum azimut horæ, necnon pun-
ctum .K. eſſe commune radio Solis .o.a. & ſuperficiei conicæ, quod quidem eſt illud
quod quæritur, hoc ſcilicet modo. Primum cognoſcimus angulum .p.A.t. vt medie
tas anguli totius coni, & angulum .p. rectum, vnde .t. tam intrinſecus, quam extrinſe-
custrianguli .A.p.t. nobis cognitus erit. Nunc cum angulus .A.t.o. cognoſcatur, ſi
gnomon t.o. fixus fuerit in ſuperficie conica, ita qd cum latere .A.t. eſſiciat
A.t.o. & lateraliter faciat angulosrectos cum ſuperficie conica, ad quod efficiendum
nulla eſt difficultas, cognoſcendo deinde .A.t. ſimul cum angulis .A. et .t. intrinſecis
trianguli ortogonij .A.p.t. cognoſcemus .p.t. et .A.p. vnde etiam tota .o.p. ſed cogno
ſcendo .o.p. cum angulo .p.o.e. (angulus enim .p.o.e. cognoſcitur ex hypotheſi cum
ſit inter azimut Solis & azimut gnomonis) cum angulo .o.p.e. recto cognoſcemus .p.
e. et .o.e. deinde cum nobis nota ſit .o.e. cum angulo altitudinis Solis .e.o.a. & angu-
lo .o.e.a. recto cognoſc emus longitudinem azimutalis .e.a. necnon quantitatem .a.o.
Imaginata poſtea .a.q. æquidiſtante .e.p. habebimus .p.q. æqualem .a.e. ex .34. primi
Eucli. Vnde duabus .o.p. et .p.q. mediantibus,
ſcemus .o.q. nec non angulum .o.q.
p. quo mediante, necnon median-
te angulo .q.A.t. et .A.q. cognita, co
pta à .q.o. relinquet nobis
i.o. Et quia .o.i.q. et .o.K.a. ſemper
ſunt in eadem ſuperficie ſecante co
num, quæ etiam ſecat ſuperficiem
trianguli .A.q.x. ad rectos ex .18. vn
decimi, cum linea .u.n. perpendicu
laris ſit ſuperficiei trianguli .A.q.i.
ex .8. dicti, quia parallela eſt .l.p. quę
perpendicularis eſt ſuperficiei
guli
quod talis ſectio ( quæ intelligatur
per .u.K.i.n.) ſemper erit elliptica,
vel parabole, ſeu hyperbole,
linea .o.i.q. ſecabit latus coni, oppo
ſitum lateri .A.i. diſtento in ipſa ſuperficie conica, ſeu ad ſuperiorem partem produ
ctum, velipſi parallelum.
Supponamus nunc dictam lineam .o.q. ſecare dictum oppoſitum latus lateri .A.i.
verſus baſim, vnde ſectio .u.K.i.n. erit elliptica. quod facile cognitu eſt
paratione angulorum .A.q.i. et .q.A.i. interſe, eo quod ſi eſſent ęquales, dicta ſect o
barabola eſſet ex .27. primi Eucli. et .11. primi Pergei, ſed ſi angulus .A.q.i. maior eſ-
ſet angulo .q.A.i. ſectio eſſet ellipſis, ex ultimo poſtulato primi Euclid. & ex .13. pri-
mi Pergei, ſed ſi dictus angulus .A.q.i. minor eſſet angulo .A. tunc ſectio eſſet hyper-
bole ex dicto poſtulato & ex .12. primi Pergei. Sit ergo primum vt
eſt, quod ſectio eſſet oxygonia, ideſt elliptica, ſeu defectio (quod idem eſt,) ſepa-
ratim oportebit nos ellipſim deſignare
difficile non erit, quotieſcunque ſuos axes inuenerimus, maiorem ſcilicet, & mino-
demus per æqualia mediante .A.q. conſtituendo .A.i. huius anguli æqualem .A.i. ſu-
perficiei conicæ et .A.q. diuidentem, æqualem parti .A.q. axis coni, ducendo poſtea
ab .i. per .q. lineam vnam quouſque concurrat .A.b. in puncto .b. habebimus .i.b. pro
maiori axi ipſi ellipſis, quod per ſe clarum eſt, cuius medietas ſit .i.c. ſed .i.q. ipſius .i.
b. æqualis eſt ipſi .q.i. ipſius coni, ex quarta primi Eucli. et .q.b. ipſius .i.b. æqualis alte
ri parti inuiſibili. Reliquum eſt, vt reperiamus minorem axem, quem vocabimus .
f.r. ducatur ergo primum .q.a.u.n. ad rectos cum .i.b.
ſa ſimiliter in .a. quæ .u.n. ipſius coni nobis cognita eſt ex lateribus .A.u. et .A.n. & ex
angulo coni, et .a.q. æqualis eſt .e.p. ex .34. primi. Nunc certi erimus ex .21. primi
Pergei, quod eadem proportio erit quadrati .u.q. ad quadratum ipſius .f.c. quæ pro-
ducti ipſius .i.q. in .q.b. ad productum ipſius .i.c. in .c.b. & cum cognita nobis ſint
hæc tria producta hoc eſt .i.q. in .q.b. et .i.c. in .c.b. et .u.q. in ſeipſa, cognoſcemus
quartum ipſius .f.c. & fic .f.c.
axes .i.b. et .f.r. formabimus ellipſim. Deinde producemus axim .b.i. à part e.i. quo-
uſque .i.o. æqualis ſit ei quæ extra conum eſt, dein-
ſecabit in puncto .K. vnde habebimus quantita-
tem ipſius .o.K. et .K.i. rectam. inde mediante cir-
cino ſi acceperimus rectam diſtantiam ab .i. ad .K.
in ellipſi, deinde firmando pedem circini in pun-
cto .i. in ſuperficie conica, & cum alio ſignando
lineam vnam curuam ad partem .K. in ſuperficie
conica, ſumendo poſtea interuallum .o.K. extra el
lipſim, deinde firmando vnum pedem circini in
extre mitate gnomonis, cum alio poſtea ſignan-
do aliam lineam curuam in ſuperficie ipſius coni,
quæ primam ſe cet in puncto .K. hoc erit punctum
quæſitum horę propoſitæ in ſuperficie conica
propoſita.
Sed ſi talis ſectio fuerit parabole, vel hyperbo
le, tunc mediante ſuo diametro .i.q. cum baſi .u.
q.n. cognita, deſignabimus ipſam ſectionem .u.i. n
ope mei
ſcripti, deinde diuiſa .u.q. in .a.
Reli-
qua facienda ſunt, vt dictum eſt de ellipſi.
Inuenta modo cum fuerint duo puncta eiuſ-
dem horæ propoſitę, ducemus ab vno ad a-
liud, lineam horariam mediante circino trium
crurum, quem tibi ſcripſi nudius tertius pro cyl
lindro, quæ
ſeu hyperbolę, vel parabolę, vt à te ipſo cogi-
tare potes.
EX tuis literis cognoui quo erga me animo eſſes,
tua pulcherrima ſtudia aliquo modo imperfecta
deeſſe videar, dum Problemata geographica Magni Ptolomei conſi-
deras, aduerte, quod ſi putares in figura .6. cap. libr .7. geographię eiuſ-
dem (vt multi credunt) lineam .V.*. ſecare circunferentiam .A.D. in puncto .G. ita
vt punctus .G. ſit tropici æſtiui, ideſt arcum .D.G. eſſe graduum .24. cum illis inci-
deres in maximum errorem. Quapropter conſidera quæ nunc tibi ſcribo.
Sit circulus .A.B.C.D. huius centrum .E.
partium 120. quarum .E.Z. in alio ſemidiametro .C.E. ei orthogonaliter coniuncto,
talium ſit .17. in ſemidiametro vero .E.A. accipiatur .E.S. talium .24. et .E.V. 64. vn
de .S.V. erit partium 40. ſimilium.
Erigatur deinde .S.*. ad rectos cum .E.A. in puncto .S. quæ terminetur ab inter-
ſectione lineę ductæ per puncta .Z.D. in puncto .*. ducatur demum .V.*. quæ ſeca-
bit circunf rentiam .A.D. in puncto .G. Quæratur nunc quantitas ipſius .G.D.
Ad quod efficiendum quærenda primum eſt quantitas ipſius .S.*. quam illico co
gnoſcemus ex regula de tribus, cum dixerimus, ſi@ 17. dat nobis .120. quid dabit .41.
(nam duo triangula .Z.E.D. et .Z.S.*. ſunt inuicem ſimilia, cum .S.*. parallela ſit
ipſi .E.D.) vnde .S.*. proueniet nobis ex ſimilibus partibus .289. cum fracto, quod
r
Producantur poſtea .V.*. et .E.D. vſque ad eorum concurſum in puncto .ω. quæ-
ne) vnde .E.ω. veniet nobis extalibus partibus .462.
Coniungatur nunc quadratum ipſius .E.V. quod eſt .4096. cum quadrato ipſius .
E.ω. quod eſt .213444. & habebimus quadratum ipfius .V.ω. talium
Dicemus poſtea ſi .217540. dat nobis .4096. quid dabit quadratum ipſius .V.ω. vt
ſinus totus quod eſt .10000000000. vnde veniet pro quadrato ipſius .V.E. talium
partium, ſuperficialium ſcilicet .18827211. cuius radix erit .13721. & erit ſinus an-
guli .V.ω.E. qui erit grad .7. min .53. vnde angulus .ω.V.E. erit grad .82. min .7. eius
vero ſinus erit partium .99054.
Nunc autem quia angulus .E.V.ω. eſt acutus, imaginemur .E.Ŕ. ductam eſſe ad re
ctos ipſi .V.ω. Vnde habebimus angulum .Ŕ.E.V. gra-
duum .7. min .53. eius vero ſinus .Ŕ.V. partium .13721. (propter ſimilitudinem trian
gulorum .E.Ŕ.V. et .ω.E.V.) talium ſcilicet, qualium .E.V. fuerit .100000. Sed qua-
lium .E.V. eſt .64. talium erit .8. cum tribus quartis, cuius .Ŕ.V. quadratum erit par
tium .76. cum dimidio ſimilium ſed ſuperſicialium, quo quidem quadrato dempto
ex quadrato ipſius .64. quod eſt .4096. remanebit quadratum ipſius .E.Ŕ. partium
2871.
bit quadratum ipſius .Ŕ.G. partium .11529. cuius radix .Ŕ.G. erit partium .107.
qualium .E.G. eſt .120. ſed qualium .E.G. erit .100000. talium .Ŕ.G. erit partium
89166.
cti cum gra .7. min .53. anguli .V.E.Ŕ. dabunt totum angulum .A.E.G. grad .70.
min .58. cuius complementum ex grad .90. erit .G.D. graduum .19. min .2. & non .24.
vt omnes ferè putant.
bus tibi ſiſcitanti reſpondiſſem, nec tamen rationem omnium, quæ dixe-
ram exactè explicare per tem poris anguſtiam potuiſſem, cogitaui ad te
per hanc occaſionem ſcribens, & iam dicta repetere, & omnium tibi ra-
tionem ſubiungere, & vt mihi plenius ſatisfaciam, & tibi commodè perlegenti faci
lius ſit veritatem intueri. Scripſiſti enim in tuis diſputationibus, vir doctiſſime, quod
omnis res viſa per
Propoſitio hæc non eſt vniuerſaliter vera (quamuis etiam ab alijs omnibus pro ta
li poſita ſit) cum in ſpeculis concauis non ſemper verificetur, vt nunc tibi demon-
ſtrabo.
Eſto quod linea recta .b.d. tangat circulum
flexionis, & ſphæricę alicuius ſpeculi ſphærici
concaui, & punctum contingentiæ ſit .b. à quo
exeant duæ lineæ .b.q. et .b.n. efficientes duos an
gulos inuicem æquales circa perpendicularem .
b.c. res autem viſa primò ſit in ipſa circunferen-
tia huiuſmodi circuli in puncto .n. oculus vero in
puncto .q. ipſius circunferentię. Dico nunc duas
ſis punctis .q.n. quæ in aliquo puncto dictæ circunferentiæ ſimul concurrant.
Sint igitur aliæ duæ .q.o. et .n.o. quas probare volo ſimul ſumptas, eſſe minores dua
bus ſimul ſumptis .q.b. et .n.b. Nam ex .20. tertij Eucli. cognoſcimus angulos .q.b.n.
et .q.o.n. inuicem æquales eſſe, & ſimiliter angulos .b.n.o. et .b.q.o. deinde ex .15. pri
mi eiuſdem habemus angulos contra ſe poſitos,
circa .a. eſſe etiam inuicem ęquales. Vnde ex .4
o. eandem eſſe, quæ .a.n. ad .a.q. & ſic .b
n. ad .o.q. Quare ita erit .a.b.n. ad .a.o.q. vt .a.n
ad .a.q. ſed cum .a.n. maior ſit .q.a. ex .18. primi,
eo quod angulus .b.q.n. (qui æqualis eſt angulo .
b.n.q. ex .5. eiuſdem) maior eſt angulo .a.n.q.
qui pars eſt ipſius .b.n.q. ergo latera ſimul ſum-
pta .a.b.n. maiora erunt lateribus .a.o.q. ſed ex
20.
quinti .q.a.b.n. maior erit .n.a.o.q. quare ſequi-
tur verum eſſe propofitum.
Sed ſi oculus eſſet in .u. quemadmodum in ſubſcripta hic
res autem viſibilis in .n. ambo extra dictum circulum, eſto etiam primum .b.u. æqua-
lis .b.n. probabo ſimiliter .u.b.n. maiores eſſe .u.o.n. Nam angulus .o. maior eſt angu-
lo .b. eo quod ſi circulum .u.b.n. cogitemus circunſcribere triangulum .u.b.n. ducen-
do vſque ad ſuam circunferentiam .o.n. in puncto .s. deinde ducendo .u.s. habebimus
ex .20. tertij angulum .u.s.n.
guli .u.o.s. exiſtat, ipſe maior erit angulo .s. ex .16. primi. duco poſtea .o.q. parallelam
ad .u.s. quæ ſecabit .a.u. in puncto .q. & habebimus angulum .a.o.q. ęqualem angulo .
n.s.u. ex .29. eiuſdem, hoc eſt angulo .n.b.u. fed ex ſu-
rem efficient longitudinem, quam .q.o.n. Nunc cum
ipſi .q.b. addita fuerit .u.q. & vice .q.o. ſumpta fuerit ali-
qua linea minor ipſa .u.q.o. eo amplius .u.q.b.n. maior
erit, quod quidem hoc modo faciendum. Acci-
piatur .o.u. vt comes .o.n. quæ minor eſt ambabus .o.
q. et .q.u. ex .20. primi, ita enim habebimus ſed breuiori modo hoc ipſum videbis ex pręcedenti,
& ex .21. primi Euclid. Nam ex præcedenti .u.b.n. lon-
gior eſt ipſa .u.s.n. ex .21. autem primi .u.s.n. longior eſt
ipſa .u.o.n. ergo verum eſt propoſitum.
Si verò radius incidentiæ
reflexionis, ſit vt in hac ſubſcripta tertia figura vide
re eſt .u.b.p.
Cum autem probauerim longitudinem .u.b.n. ma
iorem eſſe longitudine .u.o.n. coniungatur .n.p. cum
u.b.n. deinde. ab .o. ad .p. ducatur .o.p. quæ minor
erit longitudine .o.n.p. ex .20. primi, & illicò
manifeſtabitur verum eſſe propoſitum, etiam hoc
tertio modo.
Si
Quod etiam affirmo de .u.b.p. ſimiliter etiam eueniet ſi vnus terminorum .u. vel .n.
fuerit intra circunferentiam, reliquus verò extra ipſam.
Conſideremus nunc hic inſraſcriptam .4. figuram vbi .d.b.p. ſit circunferentia oxy
gonia ſeu elliptica (quod idem eſt) cuius maior axis ſit .d.p. in quo, duo termini .u.n.
ſint centra eius generationis: b.x. verò ſit minor axis.
Imaginemur etiam circulum .
b.o.x. cuius ſemidiameter ſit .c.b. non maior medietate minoris axis, ne circunferen-
tia huiuſmodi circuli ſecet circunferentiam oxygoniam. Cogitemus etiam circu-
lum .b.e. cuius ſemidiameter, minor non ſit minori axe .b.x. ipſius oxygoniæ, ne ſe
inuicem ſecent huiuſmodi circunferentiæ, ſint etiam ambo eorum centra in linea .b.
x. minoris axis, & punctum .b. ſit commune vnicuique earum periphæriarum, vnde
minor circulus, totus intra, maior autem, totus extra ipſam Nunc ad partem .o.r.e. vbi non communicant inuicem ipſæ circunferentiæ ducan-
tur .n.o.r.e: u.o: u.r: et .u.e. & per .b. et .r. cogitetur tranſire alium circulum, cuius cen-
trum in axe .b.x. ſit .t.
rum ſpeculorum, vnde pro genera
tione
tij Pergei, habebis longitudinem .
n. & ei, quæ eſt .u.o.n. (vt minor ip
ſa .u.r.n. ex .21. primi Euclidis) mi-
nor ipſa .u.b.n. & longitudinem .u.
e.n. (vt maior ipſa .u.r.n. ex eadem
21.Sed ſi quis vellet hoc demonſtrare
ope circuli,
admodum
RAtionalis eſt dubitatio tua,
eſt .b.o. habeat ſuum centrum in mi
nori axe inter centrum oxygoniæ,
et .b: exiſtente .b. extremo axis mi-
noris,
ferentijs circuli ſcilicet & oxigonię)
dictus circulus minor, plura puncta
communia habeat cum ipſis circun-
ferentijs.
Cui dubitationi
quotieſcunque centrum alicuius cir
culi fuerit idem cum .c. centro oxy-
goniæ, vel inter .c. et .b. in interual-
lo ſcilicet minoris axis, exiſtente .b.
ſua extremitate communi ambabus
tantummodo.
Eſto primum quod centrum .c. commune exiſtat, vt dictum eſt.
ſit etiam centrum
vnius circuli, cuius diameter ſit
tur punctum .f. proximum .b. quantum fieri poterit, tunc protrahatur .f.a.e. parallela
ipſi .g.c. vſque ad gyrum maioris circuli in puncto .e. quæ cum .d.p. rectos efficiec
angulos. ex .29. primi Eucli.
co eſſe intra oxygoniam, Quapropter duco .c.e. quæ ſecabit cir-
cunferentiam circuli minoris in
e.a. Deinde conſidero, quod ex ra-
tionibus ab Archimede adductis in
dalibus, & ſphæroidibus, eadem
proportio erit
ipſius .e.a. ad .f.a. vnde permutando
ita erit ipſius .g.c. ad .e.a. vel .b.c. ad
f.a. hoc eſt ipſius .e.c. ad .e.a. vt .o.c.
ad .f.a. ſed ex ſimilitudine triangu-
lorum, & ex .11. quinti, ita
ipſius .o.c. ad .o.i. vt .o.c. ad .f.a. Vn-
de ſequitur .o.i. æqualem eſſe .f.a.
ſed ex .14. tertij Eucli .t.a. minor eſt .
o.i. Quare minor etiam erit ipſa .f.
a. Vnde punctum .t. intra oxygo-
niam erit, & conſequenter ſepara-
tum .ab .f.
Sed ſi centrum circuli minoris
fuerit inter .c. et .b. hoc eſt eccentri-
cum ipſius oxygoniæ, ipſe tanget concentricum in puncto .b. tantummodò, vt in .3.
Euclidis libro probatur. Vnde tanto magis diſtans erit punctum .t. à puncto .f. quod
erit propoſitum.
VNde autem fiat, quod à ſpeculis planis, obiectorum imagines, ita diſtantes
vltra ſuperficiem ipſius ſpeculi videantur, vt obiecta citra ipſam ſuperficiem
reperiuntur.
Pro cuius rei ſcientia, tres cognitiones nos primum habere oportet, quarum pri-
ma eſt. Vnde fiat, quod obiecti imago in catheto incidentiæ videatur.
vn-
de efficiatur, quod angulus reflexionis, ſemper æqualis ſit angulo incidentiæ.
Terria demum.
Vnde naſcatur quod radius incidentiæ ſimul cum radio reflexio-
nis ſit in quodam plano ſecante ſuperficiem ſpeculi ſemper ad rectos, quod qui-
dem planum vocatur ſuperficies reflexionis. Huiuſmodi tres paſſiones, ab omnibus
ſpecularijs conſideratæ ſunt, ſed rationes ab illis traditæ, mihi non ſatisfaciunt.
Nam circa æqualitatem angulorum reflexionis & incidentiæ, iam tibi probaui
illud non vniuerſaliter euenire à breuitate aggregati radiorum incidentiæ reflexio-Sed hoc naſcitur potius ab eo, quod cum radius incidentiæ non poſſit ſuper
ficiem corporis opaci penetrare, reflectit, vt citra ipſam
faceret cum eadem ſuperficie vltra ipſam ſi tranſiuiſſet.
Exempli gratia ſit .a. obiectum .b.
ſpeculi .d. verò ſit punctum ipſius ſuperficiei, à quo ad oculum reflectitur imago ip-
Nunc ſi radius .a.d. incidentiæ, recta
incederet ſub .c.e. efficeret angulum .e.d.h.
æqualem angulo .c.d.a. eius contrapoſito,
ſed quia impeditur ipſæ radius ab opacitate
ipſius ſpeculi .c.e. ne vlterius incedat, propte
rea reflectitur ab ipſa ſuperficie ſpeculi, con-
ſtituens cum ipſa angulum .e.d.b. æqualem
angulo .e.d.h. ſed quia angulus .c.d.a. eſt
ęqualis ipſi angulo .e.d.h. propterea angulus .e.d.b. ęqualis exiſtit angulo .c.d. a; per
accidens igitur ſequitur .a.d. et .d.b. ſimul ſumptas, breuiorem facere longiludinem
omni alia, quæ ab ipſa ſuperficie .c.e. ad eadem puncta .a.b. ducta eſſet, quare natu-
ræintentio eſt efficere angulum .e.d.b. æqualem angulo .e.d.h. vnde ex accidenti po
ſtea ſequitur, ipſum æqualem eſſe angulo .c.d.a. & deinde
ſtituant longitudinem breuiorem. Quare illud quod omnes putabant eſſe primum
& perſe, vltimum eſt, & exaccidenti.
Quare vero ſuperficies, quæ vocatur reflexionis, in qua ſunt duæ lineę, hoc eſt
incidentię, Hæc
eſt ratio, quia cum quilibet radius incidentiæ, perpendicularis ipſi ſuperficiei ſpe-
culi, in ſeipſo reflectit, ex ijſdem dictis rationibus, hoc eſt, quia cum tali angulo vult
reflecti, cum quali tranſiret, ita etiam purandum eſt, quodradius incidens obliquus,
cum in ſeipſum non poſſit redire, quia non eſt perpendicularis ſuperficiei ſpeculi,
reflectitur tamen per planum erectum ipſi ſuperficiei ſpeculi, vt in eo, cui magis re-
ſiſtit ſuperficies corporis opaci, quàm alicui alij plano ipſius infiniti inclinatorum
planorum, ab vtraque parte ipſius plani perpendicularis, quod vnum etiam tan-
tummodo eſt, & in quo, radius maiorem vim obtinet reflectendi, ſeu in eo, in quo
radius ipſe cum maiori reſiſtentia repercutitur à ſuperficie corporis opaci.
Poſtremo
per in catheto incidentiæ videatur.
Pro cuius rei ratione cognoſcendum primò eſt, quo modo fit perfecta
viſio, & non reflexa, deinde proſequemur ad reliqua huius tertiæ propoſitionis.
Animaduertendum igitur eſt, quod
cimus, nos nunquam perfectè illud comprehendere poſſumus, niſi in puncto con-
curſus, ſeu interſectionis axium viſualium, ſeu radialium ( vt ita loquar )
ſectionẽ
verſus alium, ita vt in ſitu ipſius obiecti, ſeinuicem ſecent axes iam dicti, tunc enim
vtroque oculo mediante, exacte rem perſpicimus, cęteris .8. circunſtantijs non ob-
ſtantibus.
Vnde ſtantibus oculis in tali ſitu, altero reſpectu alterius, ſi eorum alter tectus;
ſeu velatus fuerit, tune alio tantummodo oculo mediante, videbimus obiectum,
in ea diſtantia, exactius, quam in quauis alia propinquiori, & remotiori.
Animal igitur, ſecundum diſtantiam obiecti, oculum accommodat ad recipien-
dum quam exactiſſimè ſpeciem ipſius obiecti, & hoc voluendo ambos oculos, vnum
verſus alium, ita quod interſectio axium ſit in ſitu ſeu loco dicti obiecti, nam tunc vi
dent ambo vel aliquis eorum ſolus, in tali diſtantia exactè obiectum videbit.
Vnde ſequitur obiectum viſibile, compræhenſibile non eſſe ab vno tantummodo
oculo in quolibet ſitu axis ipſius oculi, ſed in eo, vbi alius axis interſecatur à dicto. Quæ quidem interſectio poteſt fieri propinqua, vel remota à viſu, ad certos tamen
terminos vſque.
De huiuſmodi axium viſualium interſectione ſcribit Alhazem in .2. et .15. propo
ſitione tertij lib. Vitellio verò in .32. et .45. eiuſdem.
Quod igitur dico, verum eſt, ideſt, quod ſi vno tantummodo oculo aſpiciemus
obiectum aliquod, ipſum nunquam perfectè proſpicietur, niſi cum oculus ita ſitus
fuerit, vt eius axis cum axe alterius in loco obiecti ſe inuicem ſecent, quamuis alter
oculus nihil videat,
tantummodo nobis cernere videbimur, & ſi extra talem punctum interſectionis ip-
ſum obiectum poſitum fuerit, tunc duo talia, obiecta nobis apparebunt, ſed huiuſ
modi rei cauſam alias tibi manifeſtabo.
His igitur cognitis, ponamus aliquam
obiectum autem viſibile .b. oculos vero .a.
et .u. punctum autem .n. in ſuperficie ſpecu
li, à quo imago ipſius .b. reflectit ad .a. &
punctum .t. à quo reflectitur ad .u. et .c.e.
ſit
radiorum .b.n.a. et .c.f. ſit communis ſectio
ſuperficiei reflexionis radiorum .b.t.u. qua
rum
cta eſt ad ſuperficiem ſpeculi .g.h. vt ſupra
diximus. Nunc ex .19. vndecimi Eucl. ſequitur communem ſectionem harum dua-
rum ſuperficierum. (b.c.d. ſcilicet) ad rectos etiam eſſe ſupra ſuperficiem ſpeculi .g.
h. cum qua .b.c. quælibet linearum .a.n. vel .u.t. reflexarum ( productę cum fuerint )
ſeinuicem interſecabunt eo quod duo anguli .d.c.n. et .d.n.c. ſimul collecti minores
ſunt duobus rectis, & ita .d.c.t. cum .d.t.c. cum anguli .a.n.e. et .u.t.f. reflexi, ipſis con-
trapoſiti, æquales ſint angulis .b.n.c. et .b.t.c. incidentiæ, quorum
primi, minor eſt recto.
Dico etiam quod in eodem puncto huiuſmodi catheti .b.c.d. in quo interſecabi-
tur à linea .a.n. in eodem ſecabitur à linea .u.t. & quod punctum dicti concurſus, tan-
tum depreſſum erit ſub ſuperficie ſpeculi .g.h. quantum .b. ſupra ipſam reperietur. Nam anguli .b.n.c. et .d.n.c. ſunt inuicem æquales,
verò communis ambobus triangulis .b.c.n. et .d.c.n. vnde ex .26. primi Eucli. latus .d.
c. commune, vt trianguli .d.c.n.æquale erit lateri communi .b.c. vt trianguli .b.c.n.
Idem etiam dico de latere .d.c. vt ipſius trianguli .d.c.t. quod æquatur lateri .b.c. vt
trianguli .b.c.t. Vnde cum .b.c. vnum, & idem ſit:
d.c. igitur etiam erit, & ipſum
& idem, quod erit propoſitum.
Nunc autem cum hi duo radij ſeinuicem ſecent in puncto .d. ergo in ipſo puncto .
d. videbimur nobis videre
u. ita inuicem Vnde ſi in tali caſu, vnus
loco .d. & non in alio ex ſuperius dictis rationibus.
Et ſi ſtantibus ijs terminis volueremus pupillam oculi .u. verſus aliam .a. ad aſpi-
ciendum punctum .n. in ſuperficie .g.h. ipſius ſpeculi, hoc eſt ſi fecerimus quod axes
viſuales ſeinuicem ſecarent in ipſo puncto .n. tunc videremur nobis videre duas
imagines ipſius obiecti .b. intra ſpeculum, eo quod obiectum, propter hoc non
ceſſaret reflectere ad oculos ab ipſis punctis .n. et .t. quapropter recipiendo ra-
dium .t.u. in ſitu axis oculi .u. & radium .n.a. in ſitu axis oculi .a. hi axes ex neceſſitate
(vt probauimus ) ſeinuicem ſecant in puncto .d. vnde vnam tantummodo imaginem
ipſius obiecti nobis apparebit.
Ex his igitur omnibus potes facilè videre omnem imaginem, cuiuſuis obiecti, re-
flexam à ſpeculo, reperiri in ipſo catheto incidentiæ, cum ipſe ſemper ſit communis
ſectio duarum ſuperficierum reflexionis, in quo catheto concurrunt ipſæ axes vi-
ſuales.
Exijſdem etiam dictis rationibus facile compræhendere poteris, vnde fiat, vt vi-
deamus imaginem reflexam à ſpeculis ſphęricis concauis citra
non vltra. Quod
viſualium (quod alio in loco non fit, niſi in catheto incidentiæ hoc eſt in communi
ſectione duarum ſuperficierum reflexionis. Dato quod obiectum non ſit in vna ea-
demq́ue ſuperficie, in qua reperti fuerint axes viſuales, hoc eſt dato,
viſuales non ſint in vna
perficiem ipſius ſpeculi.
Ad cuius rei euidentiam non
perficies reflexionum perpendiculares eſſe, velad rectos ſecare ſuperficiem ipſius
ſpeculi, ipſarum communes ſectiones cum ſuperficie ſpeculi ſphęrici, ſemper erunt
circunferentiæ magnorum circulorum illius ſphæræ, cuius portio eſt ſpeculum
propoſitum, vt etiam Vitellio affirmat in prima ſexti libri. Vnde vnuſquiſque ca-
thetus incidentiæ tranſibit per centrum ſpeculi, cum ipſe ſit communis ſectio dua-
rum ſuperficierum reflexionis, quare in ipſo catheto erit punctum interſectionis ip
ſorum axium viſualium ex neceſſitate, vt videbimus, ſi vnam tantummodo
obiecti nobis videremur videre.
Exempli gratia, ſint duæ ſuperficies reflexionis ſpeculi ſphærici concaui .b.n.c.a.
et .b.t.c.u.
quo obiectum emittit reflexionem ſuę
imaginis ad oculum .a. ſit .n.
t. communis autem ſectio harum dua-
rum ſuperficierum ſit .b.c. ſed .x.
ſit ſpeculi, radius verò incidentię ſuper
ficiei .b.n.c. erit .b.n. cuius reflexus ſit .n.
a. radij autem alterius ſuperficiei erunt
b.t. et .t.u. Imaginemur nunc duos ſemi
diametros .x.n. et .x.t. quæ angulos .b.n.
a. et .b.t.u. per æqualia diuidant ex ſup-
poſito.
Nunc ijs ſuppoſitis, ſi vnam tantum-
modo obiecti imaginem videbimus,
axium viſualium, qui axes cum reperiantur vnà cum ipſis radijs reflexis .n.a. et .t.u.
ex neceſſitate ſeinuicem
bus reflexionum, quæ ſuperficies nihil aliud commune inuicem habent, quam cathe
tum dictum .b.c. ſit igitur in puncto .d.
Ex his dictis alia oritur neceſſitas, hoc eſt, quod quotieſcunque vnam tantummo
do imaginem obiecti .b. videmus, dato quod duæ ſuperficies reflexionis ſint, & non
vna tantum, tunc angulos .n. et .t. ſemper inuicem æquales eſſe oportebit. Vnde ar-
cus .n.c. et .t.c. ex neceſſitate inuicem æquales erunt.
Scimas enim ex .3. ſexti Euclid. quod eadem proportio erit ipſius .b.n. ad .n.
d. quę ipſius .b.x. ad .x.d. & ipſius .b.t. ad .t.d. ſimiliter, quare ipſiusb .n. ad .n.
d. erit vt ipſius .b.t. ad .t.d. Vnde ſequitur .b.n. æqualem eſſe ipſi .b.t. et .n.d.
ipſi .t.d. vt à medio circulo .E. potes videre, quamuis etiam .b. non eſſet extremum
diametri, ſed vbicunque volueris in ipſo diametro, vel
ctum .n. & punctum .t. in eodem ſemicirculo, vel in æqualibus ſemicirculis, non
aliter in ipſa circunferentia locari,
t. ad .t.d. propterea quod in omni alio ſitu exiſtente puncto .t. ipſa .b.t. eſſet aut maior
aut minor ipſa .b.n. et .t.d. aut minor, aut maior ipſa .t.d. ex .7. & 14. tertij Eucli. vnde
aut maior, aut minor proportio eſſet ipſius .b.t. ad .t.d. quam ipſius .b.n. ad .n.d. & non
eadem.
Nunc è conuerſo ſi .b.n. et .b.t. ſunt ſibi inuicem æquales, & ſic .n.d. cum .t.d. ſequi-
tur ex .8. primi Eucli. angulos .n. et .t. inuicem æquales eſſe.
Ab ijſdem ſpeculationibus potes etiam videre vnde accidat quod partes ſuperio
res alicuius obiecti reflexæ à tali ſpeculo concauo videntur nobis inferiores eſſe, &
inferiores appareant ſuperiores, & dextræ ſiniſtræ, & ſiniſtræ dextræ. quod autem
hucuſque demonſtraui de ſpeculis planis, & ſphæricis concauis, ratiocinare tu ijſdem
medijs circa ſphærica conuexa, vbi clarè videbis puncta huiuſmodi ſpeculi conuexi,
à quibus reflectitur imago obiecti ad ambos oculos, ſemper oportere æquidiſtantia
eſſe à
tummodo imaginem ipſius obiecti videmus, & à diuerſis ſuperficiebus reflexionum.
Nolo etiam prætermittere, quod nunc mihi ſuccurrit, hoc eſt quod poſſet ali-
quis duos ſitus inuenire, vnum pro oculo, alterum verò pro obiecto, reſpectu alicu-
ius ſpeculi concaui, ſphęroidis prolatæ, vt reflexio ipſius obiecti videretur, vt linea
diuidens per æqualia ipſum ſpeculum. Reſpectu verò alicuius ſpeculi concaui ſphæ-
roidis oblongæ, vt reflexio obiecti ad oculum veniret à tota ſuperficie ipſius ſpecu-
li, vnde tota ſuperficies ipſius ſpeculi videretur colorata illo colore cuius eſſet
obiectum, quæ quidem paſſiones
cile videre potes, propter æqualitatem angulorum reflexionis, & incidentiæ.
Opinio autem mea, quam ſcire cupis de imagine obiecti reflexa, quam putas eſ-
ſe in ſuperficie ſpeculi, hæc eſt, quod nec in ſuperficie, nec ultra, nec citra eam eſt ip
ſa imago, quod autem vltra non ſit, hoc puto nulli dubium eſſe. eadem etiam ra-
tione non erit citra ſuperficiem ſpeculi concaui, quamuis ipſam nos compræhenda-
mus in concurſu radiorum viſualium, tam ab vno ſpeculo quam ab alio reflexione
facta. Sed quòd ipſa neque ſit in ipſa ſpeculi ſuperficie, manifeſtum erit ex hoc,
duo ſpectantes in eodem ſpeculo, duas diuerſas imagines vident, tres,
tuor, quatuor, & ſic deinceps, vnde tot eſſent imagines ſupra ſuperficiem ſpeculi,
quot obiecta,
que, & radijipſius luVnde in ipſo ae-
re funt omnes miſti. Quapropter natura ſagacifſima pupillam oculi animalibus tam
paruam conſtruxit ad ſuperficiem tam amplæ ſphæræ ipſius oculi, vt diſtinctæ vide-
rentur omnia obiecta.
Nolo etiam tibi tacere, quod
cathetum incidentiæ, & ſuperficiem
neis .d.t. et .t.n. in figura .D. tunc nullo
pacto poſſemus videre vnam imagi-
nem obiecti, ſed duas nec non confu-
sè, propterea
et .n.t. reflexi poterint. ambo vniri
ambobus axibus viſualibus, eo quod
axes vifuales nunquam poſſunt inui-
cem interſecari poſt viſum, ſed ſem-
per ante ipſum, vnde nec inuicem pa-
ralleli poſſunt eſſe.
Dico etiam, quod ſi obiectum inci
derit in eadem ſuperficie, in qua duo
axes viſuales, vel radij reflexi
nis, tunc locus imaginis non erit in catheto incidentiæ, eo quod interfectio axium
uifualium non erit in ipſo catheto ſed extra, in qua interſectione fit viſio vnius tan-
tummodo imaginis, quod antiqui non animaduerterunt. Hoc autem dico deſpe-
culo ſphærico concauo.
SPeculatio vltimæ propoſitionis quam numerorum via inueni, hæc eſt.
Imagi-
nemur triangulum .r.e.o. abſciſum à circulo, in cuius circunferentia ſit punctum
r. ſuperioris anguli ipſius trianguli, vel etiam non ſit abſciſum dummodo protrahan
tur lineæ
f. ita
c.b.u. Dico nunc
militer etiam .r.i. ad punctum medium lateris .e.o. deinde à tribus punctis, e.i.o. ima-
ginemur tres perpendiculares ad .r.a. hoc eſt .e.a: i.d. et .o.q. & vbi circulus ſecat .r.a.
fit punctum .g. protractis deinde .g.n: g.x: et .g.u. habebimus triangulum .a.e.r. ſimi-
lem triangulo .g.u.r. vnde clarum erit productum .g.r.a. æquale eſſe producto .e.r.u.
u
g.r.d. ex prima ſexti, eo quod .a.r.q. dupla eſt .d.r. & ideo productum .e.r.u. ſimul
producto .o.r.n. duplum erit producto .i.r.x. quod quidem æquale eſt producto .g.r.
d. ex ſimilibus rationibus iam ſupradictis. Nunc ex ſimilibus rationibus producta .f.
r.b. et .K.r.c. dupla erunt producto .i.r.x. quare prima producta æqualia erunt ſecun-
dis. Quod eſt propoſitum.
Ab huiuſmodi demonſtrat ione facilè videre poteris non eſſe generaliter verum,
id quod Nicolaus Tartalea inquit .43. quæſito vltimæ partis ſuorum tractatuum, hoc
eſt centrum circuli .r.n.g. ſemper eſſe in perpendiculari, quæ à puncto .r. ad lineam .e.
o. tranſit, protracta ipſa .e.o. quantum volueris, imò in quacunque alia linea ipſum eſ
ſe poteſt, nec non in aliqua parallela ipſi .e.o. quemadmodum ex te ipſo, medianti-
bus, hic ſupradictis rationibus videre poteris, vnde ex neceſſitate ſequitur illud pro
blema ſemper ferè falſum eſſe.
ALius modus quem exercitationis gratia vltimò cogitaui, ad demonſtrandum
breuitatem radiorum incidentium, & reflexorum in ſpeculo plano, nunc ad
te ſcribo, quamuis prolixior ali quantulum ſit eo, quod ab antiquis traditus eſt.
Imaginemur itaque
culo .r.a. verò et .a.b. pro radijs dictis, qui ſemper Nunc protrahantur duæ .r.o. et .b.o. ab iiſdem punctis .b.r. ad aliud punctum,
quod volueris ipſius lineæ .p.h. quas probabo
bus. Imaginemur igitur duas perpendiculares, ſeu cathetos .b.i. et .q.r.a. punctis .b.
r. ad .p.h.
nulli dubium erit poſſe effici, cum .o.b.
tuſo ipſius trianguli .b.a.o. quę .o.b. ſimiliter protrahatur vſque ad .d. ita quod .b.d.
æqualis ſit .x.b. deinde protrahatur .o.i. quouſque .i.h. æqualis ſit .a.i.
In alia parte po-
ſtea idem faciendum eſt ſecando .a.r. in puncto .u. ita quod .u.r. æqualis ſit .r.o. efficien
do .r.s. æqualem .r.u. et .q.p. æquale .q.o. vnde habebimus
le producto .o.h. in .o.a. & productum .a.s. in .a.u. æquale producto .a.p. in .a.o. exiſtis
rationibus. Nam cum quadratum ipſius .o.b. æquale ſit duobus quadratis .o.i. et .i.
b. ex penultima primi Eucli. ipſa quadrata .o.i. et .i.b. æqualia erunt producto .o.d. in
o.x. ſimul ſumpto cum quadrato .b.x. ex .6. ſecundi, hoc eſt ipſi producto ſimul ſum-
pto cum quadrato .b.a. hoc eſt ipſi producto ſimul ſumpto cum duobus quadratis .a.
i. et .i.b. ſed quia productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumpto cum quadrato .a.i. ęquatur qua
drato .o.i. ideo productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumptum cum quadrato .a.i. & cum qua-
drato .i.b. æquale erit producto .o.d. in .o.x. ſimul ſumpto
hoc eſt ipſius .a.i. et .i.b. quę quadrata dempta cum fuerint ab vtraque parte, tunc cer
ti erimus producta eſſe inuicem æqualia. Idem dico de alijs ex altera parte.
Nunc
imaginemur protractam eſſc .a.e. parallelam ipſi .o.b. & habebimus proportionem
ipſius .a.b. ad .a.i. maiorem eſſe ea quæ eſt ipſius .a.e. ad eandem .a.i. cum .a.b. maior
ſit ipſa .a.e. vt oppoſita angulo obtuſo, quapropter proportio .x.b. ad .a.i. maior erit
ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. Iam enim ſcis proportionem .o.b. ad .o.i. eſſe, vt .a.e. ad .a.i. ex
ſimilitudine triangulorum. quare proportio .b.d. ad .i.h. maior erit proportione .o.b.
ad .o.i.
ad .i.o. & ex .26.
i. &
d. ad .i.h. ea quæ .o.d. ad .o.h. Sed vt .b.a. ad .a.i. ita eſt .a.r. ad .a.q. ex ſimilitudine
gulorum. Erit igitur .a.r. ad .a.q. maior proportio, ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. & exijſdem
ſupradictis rationibus maior erit proportio ipſius .s.a. ad .p.a. ea quæ eſt .a.r. ad .a.q.
ſed cum iam probatum fuit proportio
iorem eſſe .o.d. ad .o.h. ergo eo ma-
gis maior erit proportio ipſius .a.s. ad
a.p. ca quæ .o.d. ad .o.h. ſed cum ex .15
ſexti, eadem ſit proportio .o.d. ad .o.a.
quæ .o.h. ad .o.x. et .s.a. ad .o.a. quę a.p.
ad .a.u. tunc erit
proportio ipſius .o.d. ad .o.h. quæ .o.a.
ad .o.x. & ipſius .a.o. ad .a.u. quemad-
modum ipſius .a.s. ad .a.p. Quare maior proportio erit ipſius .a.o. ad .a.u. quam .a. o
ad .o.x. Vnde ſequitur .o.x. maiorem eſſe .a.u. ex .8. quinti, ergo .b.x.o.r. longior erit
ipſa .b.a.u.r. Quod eſt propoſitum.
Alia etiam via poſſumus idem concludere.
Imaginemur maiorem axem alicu-
ius ellipſis tranſire per duo puncta .r. et .b. ſupponendo ipſa puncta, ea eſle, quæ ita
axem diuidunt, vt ſingula produ-
geus. imaginemur, etiam .p.h. con
tiguam eſſe ipſi ellipſi in
vnde ſi protractæ fuerint duæ .r.a.
et .b.a. habebimus ex .48. tertijip-
ſius Pergei angulos .b.a.h. et .r.a.
p. inuicem æquales. Ducendo
poſtea ad quoduis punctum ipſius
p.h. duas .b.o. et .r.o. certi erimus,
quod ſecabuntur à gyro oxygo-
nio, quarum vna ſecta ſit in pun-
cto .i. ducta poſtea .i.r. clarum erit ex .52. dicti, quod longitudo .b.i.r. æqualis erit lon
gitudini .b.a.r. & minor ipſa .b.o.r. ex .21. primi Euclid.
VErum ſpeculum vſtorium, illud non eſt, quod ab Euclide traditum fuit, &
tu etiam putas, Nam Euclides errat, cum credat radios reflexos à ſuperficie
ſphærica concaua ſeinuicem in centro ſpeculi interſecare. Nam cum omnes lineę
recte à centro, & cir cunferentia alicuius ſphæræ terminatæ, ſint eidem circunferen-
tiæ perpendiculares, ſequeretur ex neceſſitate radios incidentiæ etiam perpendicu
lares eidem ſuperficiei eſſe, cum anguli incidentiæ ſemper æquales ſint angulis re-
flexionis, vnde etiam ex neceſſitate ſequeretur punctum corporis lucidi, à quo radij
luminoſi excunt, in centro ſpeculi reperiri. quod quidem falſiſſimum eſt.
Alia etiam via poſſum hanc oſtendere impoſſibilitatem, & tibi probabo, quod
in nullo aliquo puncto poſſunt inuicem conuenire ipſi radijrefle xi omnes.
Sit igitur .l.a.c.
punctum verò lucidum ſit .g. Nunc autem primum dico, quod
radij reflexi à punctis diuerſarum
puncto lineę .g.o.a: ſint ergo duo puncta .u. et .r. diuerſarum
veniant duo radij incidentiæ .g.r. et .g.u. radius verò reflexus ab .r. ſit .r.e. protrahatur
u.e. quam dico effe non poſſe radium reflexum ab .u. quotieſcunque eius incidens
deſcendat ab .g. Protrahantur ergo duæ lineæ .o.r. et .o.u. vnde cum dixerit aliquis
u.e.
etiam erunt duo .g.r.o. et .o.r.e. vnde ex tertia ſexti & .11. quinti Eucli. proportio .g.
u. ad .u.e. æqualis eſſet ei, quæ .g.r. ad .r.e. quod quidem impoſſibile eſſe demonſtra-
bo, eo quod cum .g.u. maior ſit .g.r. ex .8. tertij, erit ex .8. quinti proportio ipſius .g.u.
ad .r.e. maior proportione ipſius .g.r. ad .r.e. ſed ex .7. tertij .u.e. minor eſt .r.e. erit igi-
tur ex dicta .8. quinti maior proportio
quapropter impoſſibile eſt .u.e. eſſe radium
reflexum incidentis radij .g.u. Vnde ſequi
tur concurſum radiorum reflexorum à ſpe-
culo ſphærico concauo non eſſe in vno, &
e
quando à ſitu non æquidiſtanti ab ipſo ca-
theto
videre licet, verum eſſe id quod in .3. Epiſto
la tibi ſcripſi nempe, quod quotieſcunque
axes viſuales, vel radij reflexi, in vna ea-tunc
imago obiecti nullo modo videbitur in ca-
theto incidentiæ, in ſpeculo ſphærico con-
cauo.
NOn abſque ratione dubitas, vtrum etiam in ſphæricis ſpeculis conuexis idem
accidat, hoc eſt, an radij reflexi à punctis inęqualis diſtantiæ à catheto inciden
tiæ conueniant inuicem in eodem catheto.
Ad quod reſpondeo, non concurrere in dicto catheto, ſed extra ipſum, & ſimi-
liter extra ipſum vide bitur imago.
Pro cuius rei ratione, imaginemur ſuperficiem reflexionis alicuius ſpeculi ſphæ-
rici conuexi .b.d.h.g. cuius communis ſectio cum ſuperficie ſphærica ſit linea
circularis .d.e.h. et .o. eius
midiameter circuli .d.g.h. et .o.c. ſit plus medietate ipſius .o.g.
minor ipſa .o.c. ſed maior ipſa .c.g.
mobilem pedem circini in puncto .
c. aperiendo ipſum aliquantulum
plus quam .c.g. ſed minus quam .c.
o. ſignando circunferentiam .d.e.h.
in puncto .e. quod ex .7. tertij poſſi-
bile eſt, protrahatur poſtea .o.e.f.
indeterminatè. Facicmus deinde
angulum .f.e.b. æqualem angulo .o.
e.c. protracta poſtea cum fuerit .c.
e.K. indeterminatè,
angulos .b.e.f. et .f.e.K. æquales in-
uicem mediante .15. primi, ita
radius incidens veniet à puncto .b.
ad .e. reflexus erit .e.K. qui quidem
linea .e.b. ſectura ſit .b.o. eo quod cum angulus .o.e.c. ſit maior angulo .e.o.c. ex .19.
primi, & ſimiliter angulus .b.e.f. ſequitur ex .13. dicti, angulos .b.e.o. et .e.o.b. eſſe mi
nores duobus rectis, vnde ex penultima petitione primi, duæ lineæ .b.e. et .o.b.
concurrent. Quare poſſumus ex hoc, quoddam corollarium extrahere, hoc eſt
Sed vnde eueniat quod ip
ſa neceſſariò debeat ſemper maior eſſe ipſa .c.g. clarum eſt ex .7. tertij Eucli. Nunc
imaginemur ductas eſſe duas
quod ab interuallo inter .h. et .d. punctum .b. Accipiamus
nunc .p.c. minorem medietate ipſius .b.c. & à puncto .p. imaginemur tangentem .p.q.
in puncto .q. prorractaq́ue ſit .b.q. vt radius incidentiæ, tunc dico, radium reflexum
ipſius .b.q. Eſto
Imaginemur
zem, vel .12. ſexti Vitellionis proportio .b.i. ad .i.c. erit, vt .b.o. ad .o.c. & ſimiliter erit
ipſius .b.p. ad .p.c. vt .b.o. ad .o.c. ex eadem. Quare ex .11. quinti Eucli. proportio ip
ſius .b.p. ad .p.c. erit vt ipſius .b.i. ad .i.c. ſed quia .p.b. vt pars ipſius .b.i. minor eſt ip-
ſa, ergo ex .14. dicti .p.c. minor erit ipſa .c.i. hoc eſt totum minus ſua parte, quod eſt
impoſſibile, quare non in ipſo catheto videbitur imago ipſius obiecti.
Aliud notandum etiam cernere potes ex ipſis ſpeculis ſphæricis conuexis, hoc eſt
quod poſſibile ſit aliquoties, radium reflexum concurrere cum catheto incidentiæ
extra ſpeculum inter puncta .g. et .p. vt exempli gratia .ſi punctus .p. eſſet exactè
in medio inter .b. et g. tunc punctum .c. ipſius concurſus cum catheto incidentiæ eſſet
inter .g. et .p. eo quod
c. poſitum eſſe inter .g. et .p. quia angulus .g.q.p. maior eſt angulo .p.q.b. vt per te faci
le potes ratiotinari, imaginando cir
merrum perpendicularem .ad .g.b.
in puncto .p. producendo poſtea .q.
p.
tiæ ipſius circuli.
de mediante vltima ſexti, illud
po@es etiam ſcire ex .22. quinti Alha
zeni. & ex .26. ſexti Vitellionis. vn-
de ſi ad ambas pupillas venerint ra
dij reflexi ipſius obiecti .b.a. duobus
punctis huiuſmodi ſpeculi, ita di-
ſtantibus à puncto .g. vt .q. tunc com
mune punctum concurſus axium vi
ſualium erit in catheto inter .g.p.
vbi apparebit imago ex ſuperius di
ctis rationibus, ita vt
cauis, ſed etiam conuexis hoc accidere poſſit.
In planis autem
mus
lucidum .l.
x.y. et .m.z. cum anguli .l.x.r. et .y.x.h. et .r.x.t. æquales inuicem ſint, & ſic anguli .l.m.
r. et .z.m.h. et .r.m.t. erit .r.t. tam pro triangulo .r.x.t. quam pro triangulo .r.m.t. æqua
lis .r.l. ex .26. primi, ita quod ſemper in puncto .t.
omnes radij reflexi conueniunt in vno,
modum in planis accidit, in quibus ſemper vnum, & idem punctum eſt ipſis commu
ne in ipſo incidentiæ catheto.
Non prætermittam etiam hunc alium breuiorem modum ſpeculandi
tẽ
theto incidentiæ, quemadmodum nu nc
vltimò diximus, hoc eſt quod cum
x. reperiatur in linea .y.x.t. & ima-
go eiuſdem obiecti reflexa à pun-
cto .m. reperiatur in linea .z.m.t. &
iſtæ duæ lineę ſeinuicem ſecent in
puncto .t. ipſius catheti, exiſtente .
r.t. æquali .r.l. vt nunc vidimus, er-
go ſemper imago reflexa à ſpecu-
lo plano, nobis apparebit
theto, tam vltra ſpeculum, quam ci
tra ipſum,
quod nec Alhazem, nec Vitellio,
nec alius aliquis (quod ſciam) ad huc ſcientificè demonſtrauit. exempla enim vel ex
perientia non faciunt ſcire. Credo etiam te non dubitare quin duæ lineæ .y.x. et .z.
m. inuicem concurrant, cum anguli .t.x.m. et .t.m.x. minores ſint duobus rectis cum
æquales ſint angulis .l.x.m. et .l.m.x.
ROtunditas vmbræ in ecclipſi-
ditate maris,
ſet
ſphæricę, dummodo aqua impleret
nihilominus vmbra eſſet rotunda,
quę quidem ab aqua produceretur,
ne terrę, & aquæ.
pus in ſe habens
tatis, ſemper debilitat
ſum, &
ſo corpore radius penetrat,
ad rectos incideret ipſe radius ſupra
tia, eſto .q.p. corpus a
funditas diuidatur in partibus .d.K:
K.s: et .s.f. à puncto verò lucido .b.
aere exiſtat. Nunc manifeſtum erit partem .b.d. ipſius radij clariorem ſeu minus im
puncto .d. ſuperficiei corporis a quei, quapropter minus luminoſa remanebit pars .d.
K. cum non tota claritas .b.d. deſcendat in corpore aqueo, ſed vna eius pars reflecta-
tur, reliqua verò tantummodò deſcendat, deinde pars .K.s. ex neceſſitate debilior
erit ipſa .d.K. eo quod ſuccedit poſt ipſam .d.K. propter hoc etiam, quia cum corpus
aqueum habeat aliquantulum opacitatis, radius .d.K. ab omni puncto ipſius ſpiſſitu-
dinis a quæ continuo reflectitur, quę quidem reflexio eſt illud lumen cęruleum, quod
in profunditate ipſius aquę nobis apparet. Cum igitur reflexio ipſa ſemper detra-
hat ab ipſo radio luminoſo, reſiduum verò ſit id quod penetrat, ideo .K.s. erit vna
pars tantummodò luminis ipſius .d.K: in .s.f. verò aliqua pars luminis ipſius .K.s. & ſic
continuò debilitatur radius, ita quod ad nihilum vſque deuenit, & vltra tale cor-
pus remanebit vmbra, quaſi ſi ipſum corpus eſſet perfectè opacum, cuius rei cauſa,
eſt illa continua reflexio, vt diximus, quæ continuò adimit aliquid ex ipſo radio,
nec permittit eum totum tranſire.
Quapropter mirandum non eſt eos, qui margaritas quærunt in fundo maris nul-
lum ibi videre lumen. Nihilominus vmbra maris, quam dico nos poſſe videre in
ſuperficie corporis lunaris, ab alia etiam ratione prouenire poſſet. Imaginemur enim
aggregatum terrę,
ſphæricum ratione centri grauitatis,
quod radij ſolares ipſum penetraſſent. Tunc dico quod in ſuperficie corporis luna-
ris produceret vmbram. Pro cuius intelligentia cogitemus ſubſcriptam hic figuram
b.h.q.a.e. eſſe ſphęram aliquam cryſtallinam, & ad partem .b.h.q. ſit radius lumino-
ſus ſolaris qui ipſam illuminet, cuius radij extremitates ſint .d.b.l. et .p.q.r. ſupponen-
do .d.l. et .p.r. terminos eſſe vnius plani ſecantis ipſum radium per axem, tunc vide-
bis ipſum radium .b.p.q.d.
nem, vſque ad punctum .o. deinde;
propter rectitudinem ipſius diffu-
ſionis, vltra punctum .o. ipſum dila-
tari, diſgregari, ſeu rarefieri,
nullius illuminationis actum habeat .
vt: exempli gratia .o.t. et .o.s. eius par
tes, ita quod interualla .c.o.b. et .u.
bus, vnde vmbroſa remanerent. di-
cam corporis .b.e.d.q. non ſolum
maior eſt diametro ipſius ſphæræ; imo minor, vt à te ipſo experiri po-
tes. Poſito igitur aliquo obiecto
opaco in loco .K.o.g. eius ſuperficies
intercepta inter .K. et .g. adumbrata
erit, excepto puncto .o. Poſito dein
de ipſo obiecto in loco .n.y.x.m.
partes .y.n. et .x.m. remanebunt lu-
loco .c.u. poſitum fuerit, tunc totum .c.u. illuminatum erit, ſed debili modo propter
detractionem factam à reflexione in ſuperficie corporis ſphærici, vt ſupra diximus.
Poſito deinde obiecto in loco .i.z.H.f. tunc partes .z.i. et .H.f. rectos Solis radios
habebunt cum aliquibus refractis, ſed .z.H. pauciſſimum habebit lumen, pro-
pter diſgregationem radiorum. Poſito poſtea ipſo obiecto in loco .t.l.r.s. tanto
minus lumen habebit pars .l.r. propter dictam
rum, & ſic ſucceſſiuè quanto remotius poſitum fuerit ipſum obiectum, tanto minus
illuminabitur. vnde ita remotum poterit locari, ut nullus actus luminis in eo
videatur, de radijs ſcilicet, qui per ſphæram chryſtallinam tranſibunt, ſed videbi-
tur vmbra ipſius ſphęrę in obiecto propoſito, cum nullum actum illuminationis in
eo loco obiecti habeant radij tranſeuntes per dictam ſphęram. quapropter partes .
t.l. et .r.s. illuminatæ erunt à Sole, et .l.r. omnino lumine deſtituta.
Quòd vero tolerabilior ſit oculis radius reflexus Solis à ſuperſicie aquæ, quàm
à ſuperficie alicuius ſpeculi, oritur ab eo, quod ſupra diximus, hoc eſt, quod ma-
gna parsipſius luminis penetrat in aquam, & non totum reflectit, quod quidem non
accidit ſpeculis opacis.
li orthogonij, longiora ſint tertio latere, per diametrum circuli in eo in-
ſcripti, ab alijs iam demonſtratum fuit. Sed quòd quælibet duo latera
cuiuſuis trianguli longiora ſint tertio per latus tetragonicum, quadrupli
producti cuiuſuis lineæ deſcendentis ab angulo contento à dictis duobus lateribus
ad oppoſitam partem circuli inſcripti, in partem extrinſecam ipſius lineæ, nullus
(quod ſciam) vnquam ſcripſit, vel animaduertit.
Sit exempli gratia triangulus .a.b.c. quem volueris, in quo deſcribatur circulus .
u.s.n. & puncta contingentiæ ſint eadem .u.s.n. à puncto vero .a. deſcendat linea .a.
i.e. quæ terminetur à circunferentia in puncto .e. ipſius circunferentiæ, vbi volue-
ris. Dico nunc latera .a.b. et .a.c. longiora eſſe latere .b.c. per latus
drupli producti ipſius .a.e. in .a.i. Nam certi ſamus ex vltima parte penultimæ ter-
tij Eucli .n.c. et .s.c. æquales inuicem eſſe, & ſimiliter .b.s. et .b.u. vnde ex communi
conceptu dicta latera maiora erunt
partes ſunt inuicem æquales di-
cta ratione, & quadratum lineæ
æqualis aggregato earum, eſſet qua
druplum quadrato cuiuſuis earum
ex .4. ſecundi, ſed ex penultima ter
tij, productum .a.e. in .a.i. æquale eſt
quadrato ipſius .a.u. vel ipſius .a.n.
Verum eſt igitur quod .a.b. cum .a.c. longiores ſint ipſa .b.c. per latus terrago.
nicum quadrupli eius quod fit. ex .a.e. in .a.i. quod fuit propoſitum.
Illud etiam non eſt ſpernendum, quod quotieſcunque data fuerint omnia latera
alicuius trianguli, illicò poſſumus cognoſcere puncta .u.n.s. contingentiæ circuli in
ſcripti, ope vltimæ partis penultimæ tertij, eo quod ex illa iam ſcimus, quod de-
trahendo .b.c. ex aggregato aliorum duorum laterum, remanebit .u.a. et .a.n. qua-
rum vnaquęque nota erit, cum illarum quælibet, medietas ſit reſidui cogniti, detra
hendo poſtea vnam
nebit .u.b. vel .c.n. ęqualis .b.s. vel .c.
s. vnde ſimiliter nobis innoteſcet
punctum .s. cum duobus punctis .u.
ct .n. à quibus duobus punctis, ſi
duę perpendiculares ad talia latera
ductæ fuerint, vbi hæe perpendicu
lares ſeinuicem ſecabunt, ibi
trũ
gulo propoſito.
Inter alia, quæ tibi dixi de Iride, quod memoria non tenes, nihil aliud eſt niſi
quod cum Iris videtur, non eodem loco ab omnibus videtur, quia reflexio eſt, &
vt reflexio luminis à ſpeculo non omnibus ab eodem puncto fit, ita etiam tibi dixi
de Iride.
QVod aliquando à me audiuiſti falſum non eſt, ſcilicet poſſibile eſſe (vt
ſpeculatus ſum) particulare inſtrumentum fabricari ad deſignandum oxy-
goniam, ſeu ellipticam ſectionem, quæ à Pergeo defectio appellatur, quod quidem
inſtrumentum valde diuerſum eſt ab alijs, quę aliàs inueni, pro ipſis conicis ſectio
nibus delineandis. Occaſionem
buit
cato,
vnde cum recta linea fuerit protracta per .o. et .f. ipſa foret ſemper
33. primi Eucli. Venit mihi in mentem modus conſtruendi hoc ſubſcriptum inſtru-
mentum, tali ordine, videlicet,
les .z.r: u.n: e.h: e.c: c.l: l.s. et .s.e. ſimul, hoc modo, ſcilicet
terum æquilaterum .c.e.s.l. hac conditione, quod immobili exiſtente puncto .c. in li
nea .z.r. reliqua omnia mobilia exiſtant, hoc eſt quod
ctam lineam .z.r. & immobili exiſtente puncto .e. vt extremum lineæ .e.h. hoc eſt
coniuncto extremo .e. lineæ .e.h. cum angulo .c.e.s. reliqua puncta lineæ ipſius .e.h.
moueantur per .l. & per duas parallelas .u.n. et .z.r. longitudo vero .e.h. ſit compo-
ſita ex duplo vnius lateris ipſius quadrilateris. Oportet deinde quod punctum .f.
ſemper vnum, & idem ſit ipſius parallelæ .u.n. moueatur tamen per .e.h. quod qui-
dem punctum illud erit, quod vnam
punctis .c. et .s.
oxygoniæ ſectionis delineandæ, et .c.o. ſeu .s.K. (quod idem eſt) ſit æqualis medie
tati axis minoris dictæ ſectionis, et .z.r. æqualis duplo .e.h. vnde, quando puncta .e. et .
l. coniuncta ſimul erunt, ſimiliter coniunctæ ſimul erunt .c.e. et .e.s. cum .c.l. et .l.s.
Quapropter puncta .e.l.f. et .p. extremum axis maioris, in eodem met loco erunt,
hoc eſt in aliquo extremorum maioris axis, & cum punct is .s. coniunct is fuerit cum
centro .c. punctus .f. parallelę .u.p. in extremo axis minoris erit, & in eodem loco erit
cum .o. & cum .K. In extremitatibus verò lineæ .z.r. neceſſe eſt, vt ſint duo
rea, ad firmandum ipſam .z.r. ſuper ſubiectam lineam ſignificantem maiorem axem
propoſitę ſectionis.
Volo etiam quod ad partem .c.l.s. quadrilateri conſtituta ſit alia parallela ad .z.
r. & in æquali diſtantia ab ipſa quemadmodum .u.n. diſtat ad eademmet .z.r. ad ean
dem operationem faciendam. Vnde in vno tantummodo itinere puncti .s. ab .r.
ad .c. deſignabimus quartam partem ſectionis, conuerſo poſtea inſtrumento, hoc eſt
poſito puncto .r. vbi prius erat .z. et .z. vbi erat .r. aliam delineabimus quartam, &
ſic ad oppoſitam partem ipſius .z.r. faciendum erit. Hoc inſtrumentum poſſumus
etiam ita conſtruere, vt puncta .o. et .K. poſſint collocari in laterihus .c.e. et .e.s. vbi no
bis magis libuerit, ita vt licebit in qualibet proportione
deſignare. Nam .c.o. erit longitudo dimidij axis minoris, et .c.e. dimidij maioris.
orthogonium, exempli gratia .o.i.e. in figura .A. ita conſtituere, vt di-
uiſum ſit à perpendiculari .a.i. & quod proportio .o.e. ad .o.i. ſit vt .o.i. ad
i.e. & quod quadrati .o.i. ad quadratum .o.a. ſit vt .e.i. ad .e.a. & quadra
tum .o.i. ad quadratum .e.i. ſit .ut .o.a. ad .e.a. Quæ omnia in promptu veniunt, quo
tieſcunque .o.e. fuerit diameter alicuius circuli,
portionem habentem medium
i. ad o.e. uſque ad circunferentiam,
ſupradicta in ſe continebit.
Nam ex .30. tertij angulus .i. rectus erit, & ex .8. ſexti .o.i. erit media proportio-
nalis inter .o.e. et .o.a. et .e.i. inter .o.e.
cto .a. etiam .o.a. erit media proportio-
nalis inter totum & reſiduum, ideo ex
11.
o.a. vnde ex .9. eiuſdem .a.o. erit æqua-
lis .e.i. & ideo .o.i. erit media proportio
nalis inter .o.e. et .e.i. Sed quia propor-
tio .e.i. ad .a.e.
o.a. tunc videbis ex .18. ſexti, quod pro
portio quadrati .o.i. ad quadratum .o.a.
erit vt .e.i. ad .e.a. cum vero duo trian-
guli .o.i.a. et .a.i.e. ſint inuicem ſimiles
ex ſupradicta .8. ſexti, tunc videbis ex
18. et .17. eiuſdem dictos
dem habere inter ſe proportionem, quę
eſt inrer quadrata ipſius .o.i. et .i.e. vnde
ex prima ſexti ita ſe inuicem habebunt .
a.o. et .a.e.
Circa eam verò difficultatem quam
drati .u.o. ad quadratum .o.n. vt lineæ .o.a. ad lineam .o.e. partes diametri .o.i. ipſius
circuli, terminatæ à perpendicularibus .u.a. et .n.e.
Hoc neceſſario contingit, propterea quod cum fuerint protractæ .u.i. et .n.i.
habebimus ad partem .o.u.i. triangulum .o.u.i. diuiſum in duo triangula ſimilia ipſi
totali triangulo. Idem etiam dico ad partem .o.n.i. vnde ex tali ſimilitudine habe-
bimus .o.u. mediam proportionalem inter .o.i. et .o.a. et ſic .o.n. erit media proportio
nalis inter .o.i. et .o.e. quare ex .16. ſexti, quadratum .o.u. æquale erit producto ipſius
o.i. in .o.a. & quadratum .o.n. æquale producto .o.i. in .o.e. ſed ex prima eiuſdem, ea
dem proportio eſt ipſius .o.a. ad .o.e. quæ producti ipſius .o.i. in o.a. ad productum .o.
i. in .o.e. quare, ex
Et hęc
eſt alia circuli paſſio.
Reliqua verò difficultas quam te habere ſcribis, eſt, quare cum duæ lineę
a.u. et .b.s.i. ſint inuicem ęquales, diuiſæ verò non æquali modo, ſed tali, quod .a.
maior ſit quam .u. et .b.s. maior quam .i. quomodo poteſt fieri, quod ſi .u. maior fue-
rit .i. proportio .a. ad .i. maior ſit quam ipſius .b.s. ad .u.
Hoc etiam ex neceſſitate cuenit, eo
quod ſi accepta fuerit .t.n. æqualis .u. ab
b.s. abſciſa .s. æqualis .n. habebimus .a. et
b. inuicem æ quales, vnde habebis ma-
iorem propor tionem ipſius .b. ad .t.
s. ad .n. quod cum clarum per ſe ſit, tibi
relinquo. ſed ex .27. quinti, proportio
b. ad. s, maior erit quam .t. ad .n. & ex
28.
quam .t.n. ad .n. & ex .27. maior propor
tio erit ipſius .b.s. ad .n.t. quam .s. ad .n.
ergo ex .33. maior erit ipſius .b. ad .t.
b.s. ad .n.t. hoc eſt maior ipſius .a. ad
i. quam .b.s. ad .u. quod eſt propo-
ſitum.
Id verò de quo me interrogas
diſtinctione orbium cęleſtium, ortum
habet à communi opinione motuum
fixarum. Nam cum putauerint philo-
ſophi ipſas moueri, ſemper eandem
crediderunt eas fixas eſſe eodem in orbe, idem etiam poſtea de planetis opinaue-
runt. Hoc eſt, vnumquemque, aliquo in orbe, fixo exiſtere.
niam nemo ad
æquales partes, ſed ſi hoc pro facto conceſſeris, nunc tibi morem geram. Nam proponis n. ihi parabolem .x.b.e. cum proportione .p. ad .q.
ſcire modum diuidendi ipſam parabolem vna mediante linea parallela ipſi baſi, ita
vt eandem habeat proportionem tota parabola ad partem abſciſſam, quæ eſt inter .
p. et .q. Ad quod faciendum, ſupponendum primò datam proportionem inter .
p. et .q. diuiſam eſſe in tres partes æquales, duabus lineis mediantibus .n. et .u. quæ me
diæ proportionales vocabuntur inter .p. et .q. deinde à quouis puncto circunferentię
ipſius figuræ ducatur parallela baſi .x.e. poſtea verò per puncta media harum dua-
rum
gei, diuidatur deinde hæc diameter in puncto .a. ita quod eadem proportio ſit ipſius
b.g. ad .b.a. quæ ipſius .p. ad .u. quod tibi facile erit, ſecando à linea .p. partem .i. æqua
lem ipſi .u. tali modo poſtea diuidendo .b.g. ex .12. ſexti, ducatur a puncto .a. ipſa .d.
h. parallclam ipſi .x.e. & habebitur propoſitum.
Pro cuius reiratione, ſcies primum quod .h.d. diuiſa erit à diametro .b.g. per æqua
lia ex .7. primi Pergei, vel ſi cogitabimus aliquam lineam tangentem ipſam parabo
lam in puncto .b. tunc ex quinta ſecundi ipſius Pergei habebimus ipſam eſſe paralle-
lam .e.x. & ex .30. primi Eucli. erit ſimiliter æquidiſtans .d.h. vnde ex .46. primi eiuſ-
dem Pergei .h.a. æqualis erit .d.a. Protrahatur deinde .e.b: d b: x.b. et .h.b. vnde ex .17
lib. de quadratura parabolæ Archimedis, habebimus eandem proportionem ſuper
ficiei totalis parabolæ .x.b.e. ad trigonum .x.b.e. quæ portionis .h.b.d. ad ſuum
gonũ
Vnde permutando, proportio medietatis totalis parabolę ad medietatem partia
lem ipſius, æqualis erit proportioni trianguli
g.b.e. ad triangulum .a.b.d. ſed ex .20. primi
Pergei, eadem eſt proportio quadrati ipſius .
hoc eſt, vt .g.e. ad .a.o. ex ſimilitudine triangu-
lorum, & quia .b.g. ad .b.a. eſt ſicut .p. ad .u. ita
igitur erit quadrati ipſius .g.e. ad quadratum
ipſeus .a.d. quare .g.e. ad .a.d. erit ut p. ad .n.
ex .18. ſexti Euclid. ſed cum ex .24. eiuſdem
proportio trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a.d. compoſita ſit ex proportione .g.e. ad .a.
d. er. ex .g.b. ad .b.a. hoc eſt .g.e. ad .a.o. &
quia
ad. u ex .11. quinti Euclid. & proportio .g.e.
ad .a.d. æqualis eſt ei quæ .p. ad .n. hoc eſt vt .u.
ad .q. ergo proportio trianguli .b.g.e. ad trian-
gulum .b.a.d. compoſita erit ex ca quę .p. ad .u.
& ex ea quæ .u. ad .q. æqualis ergo erit ei, quæ
p. ad .q. & ita medietates parabolarum, & eorum dupla.
Proportio maioris portionis ad minorem ſemper erit ſeſquialtera proportioni
ipſius .b.g. ad .a.b. eo quod cum ſit proportio totalis portionis ad partialem vt trian-
guli .b.g.e. ad .b.a.d. & hæc ſeſquialtera proportioni ipſius .g.e. ad .a.o. hoc eſt vt ip-
ſius .b.g. ad .b.a. ideo proportio ipſarum portionum erit ſimiliter ſeſquialtera pro-
portioni diametrorum.
Deinde ſi protractæ fuerint .b.d. et .g.e. quouſque conueniant in puncto .z. habe
bis inter .g.z. et .a.o. duas .g.e. et .a.d. medias proportionales in proportionalitate con
tinua, eo quod cum (ex ijs quæ ſupra diximus.). a.d. media proportionalis ſit inter .
g.e. et .a.o. & proportio .g.z. ad .g.e. vt ipſius .a.d. ad .a.o. eo quodipſius .g.z. ad .a.d.
& ipſius .g.e. ad .a.o. eſt vt ipſius .b.g. ad .b.a. ex ſimilitudine triangulorum, ideo di-
ctæ Vnde permutatim ita erit ipſius .g.z. ad .g.e.
vt ipſius .a.d. ad .a.o. & ut ipſius .g.e. ad .a.d.
Amplius etiam dico, quod proportio pa
cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d. & ex
ſequenti, vt cuborum earundem baſium, eo
quod cum ſit, ex .36. vndecimi Euclid. pro-
portio cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d.
tripla ei quæ ipſius .g.e. ad .a.d. ideo æqualis
erit ei quę trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a.d. cum proportio horum duorum triangu
lorum compoſita ſit (vt ſupra vidimus) ex
ea quæ .g.e. ad .a.o. & ex ea quæ .g.e. ad .a.d.
& hæc medietas illius, ſed trianguli ita ſe in
uicem habenr, vt parabolę, quare ipſæ para-
bolæ ſeinuicem habebunt, vt cubi ipſarum
baſium.
CVbum fabricare æqualem propoſitæ pyramidi quadrilateræ, nullius erit diffi-
cultatis, ſuppoſita tamen pro reperta diuiſione cuiuſuis datæ proportionis in
tres partes æquales. Nam ex .6. duodecimi Eucli. patet omne corpus ſerratile d-ui
ſibile eſſe in tres pyramides quadrilateras æquales, ſcimus etiam quod cuilibet py-
ramidi quadrilateræ poteſt reperiri ſuum ſerratile. Sit igitur propoſita pyramis qua
drilatera .m.g.f.h. cuius ſerratile ita inueniemus, ducendo primum .h.i. parallelam
ipſi .g.f. et .f.i. ipſi .g.h. in ſuperficie trianguli .f.g.h. et .m.K. ipſi .g.h. in ſuperficie
trianguli .m.g.h. & æqualem dictæ .g.h. ducetur poſtea .K.h. et .K.i. & habebimus cor
pus .f.K.g. ſerratile, & triplum pyramidi propoſitæ. Nunc duplicemus ipſum, du-
cendo .K.x. in ſuperficie trianguli .i.k.h. parallelam,
in ſuperficie trianguli .f.m.g. parallelam, ę
x. quarum
pidum, & ſexcuplum ipſi pyramidi propoſitæ.
Inueniatur nunc quadratum .u.n. æquale ſextæ parti ſuperficiei .f.i.g.h. quod per
ſe facile erit, deinde accipiatur altitudo corporis .f.x. ducendo vnam perpendicula
rem à puncto .m. ad baſim .f.g.h. quę ſit .n.e. qua mediante, cum quadrato .u.n. fabri
cetur ſolidum parallelepepidum .u.e. quod erit æquale dictæ pyramidi ex .33. vnde-
cimi Euclid.
Repertæ nunc ſint duæ mediæ proportionales .r.s. inter .n.e. et .n.p. quarum .s. ſit
proximior ipſi .u.p. ex qua .s. ſi conſtitutus fuerit cubus, habebimus propoſitum.
Pro cuius rei ratione, cogitemus corpus .u.e. productum eſſe vſque ad .a.o. per lon-
gitudem .s. latus dicti cubi, qui quidem cubus ſit .d.b. vnde proportio corporis .u.e.
ad corpus .e.o. erit, vt ſuperficiei .p.e. ad ſuperficiem .t.e. ex .33. undecimi, ipſæ verò
ſuperficies ſibi inuicem erunt vt .n.e. ad .e.a. ex prima ſexti, quare proportio corpo
ris .u.e. ad corpus .e.o. dupla erit proportioni ipſius .s. ad .n.p. ſed cum ex .33 vndeci-
mi, proportio cubi .d.b. ad corpus .e.o. ſit vt
proportio .q.b. ad .o.a. dupla ſit ei quæ .q.o. ad .o.t. ex .18. ſexti, erit igitur proportio
cubi .d.b. ad corpus .e.o. dupla ei quæ .q.o. ad .o.t. hoc eſt ei quæ .s. ad .n.p. ſed ita erat
corporis .u.e. ad corpus .e.o. quare ex .9. quinti, cubus .d.b. æqualis erit corpor
hoc eſt pyramidi propoſitæ.
Sed ſi oportebit cubum maiorem vel minorem ipſa pyramide reperire, in qua
proportione tibi placuerit, tunc opus erit aliud quadratum inuenire, quod in ea
proportione ſe habeat ad quadratum .u.n. quam volueris, quo mediante ſimul cum
altitudine pyramidis conſequemur propoſitum.
Aduertendum tamen quod fabri-
care ipſum corpus ſerratile .k.f.h. & ſo
demonſtratione.
ſolidis, nam pro ſimplici operatione
huiuſmodi problematis, abſque ali-
qua re neceſſaria ad ſpeculandum, ita
faciendum erit.
Data pyramide .m.f.g.h. accipe
alitudinem à
ficiem baſis .f.g.h. quæ ſit .n.e. accipe
deinde latus letragonicum quadrati .
g.h. quod latus ſit .n.p. inter quod, et .
n.e. inuentæ cum fuerint duæ lineæ
mediæ proportiona es .s. et .r.
s. proximior ſit .n.p. quæ
latus cubi quæſiti.
DVcere parallelam orizontalem alicui muro recto propoſito vna tantummodò
ſtatione, non ſolum poſſibile eſt ſed etiam facile.
Sit exempli gratia murus rectus .a.d. ſitus verò .o.n.
Si cupimus ducere .n.u.
parallelam dicto muro, accipiatur quadratum geometricum, ſeu ſcala altimetra
vel aliquod ſimile inſtrumentum, quo mediante à ſitu .o. videbimus punctum .q.
quod volueris ipſius muri,
verſus, inferius tamen. ipſo .o. vnde
n.o.q. Quo facto ad partem
cum eodem angulo .n.o.q. oporte-
bit nos inuenire punctum aliquod .
p. in dicta ſuperficie muri, & tunc
habebimus angulum .n.o.p. æqua-
lem angulo .n.o.q. vnde angulus .q.
n.p. nobis cognitus erit,
ra .n.q. et .n.p. erunt inuicem æqua-
lia, ex .26. primi Euclid. cum angu-
li .q.o.n. et .q.n.o. ſint æquales angu
lis .p.o.n. et .p.n.o. & latus .o.n. com
mune, vnde angulus .q.n.g. extrinſe
cus trianguli .p.q.n.
duobus rectis nobis cognitus erit,
etiam & eius medictas .q.n.u. æqua
lis angulo .p.q.n. eo quod ex .5. pri-
mi, anguli .q.p. ſunt inuicem æquales, & ex .32. eiuſdem, æquales ſunt extrinſeco .q.n.
g. & ex 27. n.u. erit parallela ipſi .q.p.
Aliter etiam poſſumus idem efficere, ſumendo duo illa puncta in ſuprem a linea
orizontali ipſius muri ad ſuperiorem partem aſpiciendo, quemadmodum ad infe-
riorem, quod vnum & idem erit, dummodò non aſpiciamus orizontaliter, eo quod
nos oportet ſuperficiem conicam producere, linea viſuali mediante. cognoſcere au
tem angulum .q.n.p. facile erit, conſtituendo primò inſtrumentum in ſitu trianguli .
o.n.q.
ſtrumento in ſitu trianguli .o.p.n. aſpicere oportet punctum .e. proximum puncto .n.
vbi poſſit metiri angulum .c.n.e.
Sed ſi ſitus puncti .n. talis eſſet, vt ab eo non poſſet aliquis murum videre ad re-
ctos angulos, aſpiceremus punctum .q. ſub orizontali ab oculis noſtris, in orizontali
tamen puncti .n. ita quod angulus .o.n.q. rectus exiſtat, quo facto obſeruando angu-
lum .n.o.q. eo mediante, medianteq́ue .n.o. cum angulo .o.n.q. cognoſcemus
quantitatem diſtantiæ .n.q. idem etiam faciendum eſt cum alio puncto .p. quod
volueris, & mediantibus duobus punctis inuicem proximis .c.e. cognoſcatur an-
cognoſcemus reliqua trianguli .
q.p.n. Conſtituendo poſtea angu-
lum .q.n.u. æqualem angulo .n.q.p.
propoſitum habebimus.
Si etiam puncta .q.p. lineæ .q.p.
orizontali in eodem plano non exi
ſterent cum puncto .n. nihil refer-
ret, dummodo in pauimento
tur
ſuperficiebus triangulorum .n.o.p.
et .n.o.q. vnde .n.c. et .n.e. erunt
munes
ſtatio.
ſi ſecundum vnam datam proportionem, nullius tibi erit difficultatis, con
ceſſa
æquales partes.
Sit exempli gratia conus rectus .a.b.c. ſecandus vt dictum eſt, accipiatur latus
ipſius, quod ſit .a.c.
quam deſideras, hoc eſt ipſius .a.c. ad .a.d. quo facto, inter totum .a.c. et .a.d. inuenian
tur duæ lineæ proportionales, quarum maior ſit .a.i. tunc ſi conus .a.b.c. ſectus fue-
rit à plano per punctum .i. parallelo baſi, habebimus quod quærebamus.
Cuius rei ratio, primò eſt, quia quotieſcunque conus aliquis ſectus fuerit ab ali-
quo plano parallelo baſi ipſius, pars ſuperior ſimilis ſemper erit totali cono, quod
ita probo, cogitemus conum ſectum eſſe
à plano per axem .a.l. vnde ex .3. primi
ſit .a.b.c. et .b.c. diameter erit baſis.
Imaginemur deinde .K.i. communem
eſſe ſectionem huiuſmodi trianguli cum
plano parallelo ipſi baſi, tunc tale
circulare erit ex .4. primi ipſius Pergei .K.
i. verò, eius diameter erit, et .a.m.
Cum verò .a.l. ſit perpendicularis ipſi
baſi conitotalis, eo quod rectus ſupponi-
tur, ideo eadem .a.m.l. erit perpendicula
ris eriam ipſi ſecundo plano circulari, ex
conuerſa .14. vndecimi Euclid. vnde ex
i. in punctis .m. et .l. et .k.i. parallela erit ipſi .b.c. ex .28. primi, quod etiam poteſt con
cludi mediante .16. vndecimi, cum .k.i. et .b.c. ſint communes ſectiones duorum pla
norum cum triangulari. Deinde ex .29. primi anguli .a.i.m. et .a.c.l. erunt inuicem
æquales, idem etiam dico de angulis .a.k.i. et .a.b.c. anguli poſtea ad .a. communes
ſunt triangulis .l.a.c. et .m.a.i. vt triangulis .l.a.b. et .m.a.k. Vnde ex .4. ſexti, eadem
proportio erit ipſius .m.i. ad .l.c. & ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .a.m. ad .a.l. Quare ex
vndecima quinti, ita erit ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .m.i. ad .l.c. & ex .13. eiuſdem, ita
erit ipſius .k.i. ad .b.c. vt .m.i. ad .l.c. ſed ipſius .m.i. ad .l.c. eſt vt ipſius .a.m. ad .a.l. quod
iam dictum eſt, vnde ex .11. dicta, ita erit ipſius .k.i. ad .b.c. vt ipſius .a.m. ad .a.l. & ex
16. dicti ita erit ipſius .a.m. ad .k.i. vt ipſius .a.l. ad .b.c. Quare ex definitione ab Eu-
cli. poſita in .11, lib. pars coni ſuperior ſimilis erit cono totali.
Deinde ſciendum eſt illud quod Euclid. ſcribit in .10. duodecimi lib. hoc eſt,
proportio duarum pyramidum inuicem
ſimilium, triplicata eſt ei diametrorum
b.c. ad .k.i. tertia pars erit proportionis to
tius pyramidis .a.b.c. partiali pyramidi .a.
k.i. ſed ita eſt ipſius .a.c. ad .a.i. vt ipſius .b.
c. ad .k.i. ex .4. ſexti cum trianguli .a.b.c.
et .a.k.i. ſint æquianguli, quod ex ijs, quę
ſuperius diximus facile compręhenditur. Quare
proportionis totius coni .a.b.c. ad eius par
tem abſciſſam .a.k.i. ſed eadem proportio
ipſius .a.c. ad .a.i. erat etiam tertia pars pro
portionis ipſius .a.c. ad .a.d. Quare ex com
muni conceptu, proportio totius pyramidis, ad partem abſciſſam, æqualis erit pro-
portioni ipſius .a.c. ad .a.d.
NOlo, mihi credas, ſed ex rationibus, quas tibi ſcribo conſidera, quod quo
peritur, tunc minor differentia eſſet inter maiorem
nunc ſentiamus. Pro cuius rei euidentia, imaginemur in hac ſubſcripta figura, li-
neam .o.a. pro ſemidiametro terræ, et .a.c. pro craſſitie vaporum, vt nunc ſe
habet, et .a.d. pro maiori craſſitie, imaginemurq́ue lineam .a.b. quaſi perpen-
dicularem ad .o.a. quæ abſciſſa ſit in puncto u. à circunferentia .c.u. inferiori prio-
rum vaporum.
Tunc dico minorem eſſe proportionem ipſius .a.b. ad .a.d. quam ipſius .a.u. ad .a.
c. cogitemus ergo protractas eſſe lineas .o.b: d.b: c.u. et .c.n. quæ .c.n. ſecabit .a.u. in
te ſecundæ ſexti, vnde ex prima parte
ciuſdem, ita eritipſius .b.i. ad .i.a. vt .d.
c. ad .c.a. & coniunctim ita erit ipſius .b.
a. ad .a.i. vt ipſius .d.a. ad .a.c. & permu
tatim ipſius .a.b. ad .a.d. erit, vt .a.i.
ad .a.c. ſed cum .a.u. maior ſit ipſa .a.i.
vt omne totum maius eſt ſua parte. maior proportio erit ipſius .a.u. ad .a.
c. quam ipſius .a.i. ad .a.c. hoc eſt quam
ipſius .a.b. ad .a.d. Verum igitur eſt
propoſitum.
QVodà me poſtulas deinde, ita ſe habet.
Inquis enim, quod cum differentia
inter maiorem,
quantitatis vaporum ad minorem, per quam quantitatem vaporum rranſit lumen
Solis (vt alias etiam tibi dixi) velles nunc ſcire quantitatem ipſius differentię, quæ
inter duas Solis datas altitudines ſupra orizontem reperitur.
Quapropter imaginemur circulum .a.e. pro magno terræ, et .z.b.d. pro magno
vaporum, ſupponatur etiam quod angulus .z.o.d. vel .z.a.b. qui ſunt inuicem fe-
rè æquales, ſit angulus diſtantiæ Solis à zenit, z.a. verò ſit ſpiſſitudo vaporum, et .a.
b. radius tranſiens per vapores dictos. nunc
z. qua inuenta, angulo .z.a.b. mediante,
quæremus eandem mediante angulo .z.a.b.
maiore priori, velipſo minore, vnde cogno
ſcemus differentiam duarum .a.b. quæ qui-
dem inæquales inuicem erunt, eo quod ſup
ponatur .a.z. immutabilis, & hoc ita facie-
mus. Imaginabimur .o.b. quæ claudat trian
gulum .a.b.o. & quia .a.z. cognita eſt quam
Alhazem docetinuenire, cognoſcimus
o.a. vt ſemidiametrum terræ, vnde .o.b. et .
o.a. duo latera trianguli .a.o.b. cognita
ſimul cum angulo .o.a.b. reſiduo duorum re
ctorum, eo quod reliquus .z.a.b. datus eſt. Quare .a.b. cognita erit reſpectu .o.a. et .o.
b. et .a.z. quæ eſt eorum differentia. Nunc
ſi idem faciemus cum alia .a.b. ſub diuerſo
angulo, habebimus propoſitum.
æquicrurium inuicem æqualium, baſibus oppoſiti, ijſdem baſibus propor
tionales eſſent, cuius opinionis cauſa fuit quod nunquam viderit vel me
minerit eius quod Ptolomeus ſcripſit lib. primo Almageſti, vbi de diſpro
portionalitate chordarum
poſitione .35. ſeu lib. quarto, propoſitione .21. quod idem eſt. Sed nec ego tibi pro
ponam id quod ſcribit Nicolaus Tartalea diuiſioni .28. quinti capitis quartæ partis
ſuorum tractatuum, eo quod non exactè ſcientificè ſcripſerit, nec vniuerſaliter,
uis
octagoni, vnde angulus .a.e.b. duplum foret angulo .b.e.c. collocato poſtea .b.c. in
arcu .a.b. punctum .c. medium fuiſſet dicti arcus, et .e.c. diuideret .a.b. per æqualia,
ex quinta primi, nec non ad rectos ex .3. tertij, vnde ex .18. primi, clare vidiſſemus
non eſſe proportionem .a.b. ad .b.c. vt anguli ad angulum. Sed vniuerſaliori modo
poſſumus hoc ſpeculari. Nam manifeſtè ſcimus, eandem eſſe proportionem circun
ferentiæ ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus. Sint igitur duo anguli .a.e.b. et .c.e.b. cuiuſuis amplitudinis, quorum latera .e.a: e.b:
et .e.c. ſint inuicem æqualia, protrahatur .b.a. et .b.c. Tunc dico maiorem proportio
nem eſſe anguli .a.e.b. ad angulum .b.e.c. quam .a.b. ad .c.b. ducatur enim .b.g. ita
faciat angulum .g.b.c. æqualem angulo .e.b.a. protracta poſtea .c.g. quæ idem faciat
in puncto .c. vnde .g.b. et .g.c. æquales inuicem erunt ex .6. primi, & quia angulus .a.
æqualis eſt angulo e.b.a. ex quinta eiuſdem, ideo ex .32. dicti, et .4. ſexti, horum
duorum triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia. Conſtituto deinde .g.
centro, & ſecundum ſemidiametrum .g.b. vel .g.c. quod idem eſt, deſcripto circu-
lo .b.i.c. necnon circulo .b.c.a. circa centrum .e. ope ſemidiametri .e.b. et .e.a. vn
de iſte circulus eritillo maior, cum .e.b. maior ſit .g.b. ex .14. quinti. cum ex .14. tertij
a.b. longior ſit .c.b. ſed ex vltima definitione tertij, arcus .b.i.c. et .b.c.a. erunt in-
uicem ſimiles, hoc eſt proportio totius cir-
cunferentiæ circuli .b.i.c. ad arcus .b.i.c. ea-
b.c.a. ad arcus .b.c.a. ſed proportio diame-
tri ad circunferentiam eſt vt diametri ad cir
cunferentiam, vt ſupra diximus; Quare ex
proportionum æqualitate, vt ſemidiametri
ad circunferentiam erit, vt ſemidiametri
ad circunferentiam, & per eandem propor
tionum ęqualitatem, proportio .e.b. ad
b.c.a. erit, vt .g.b. ad arcum .b.i.c. & per ean
dem æqualitatem, ita erit .a.b. chordæ ad ar
cum .b.c.a. vt .c.b. chordæ ad arcum .b.i.c.
& permutando, ita erit chordæ .a.b. ad chor
dam .c.b. vt arcus .b.c.a. ad arcum .b.i.c. ſed
arcus .b.i.c. maior eſt arcu .b.d.c. ex commu
Quare maior proportio erit acus .b.c.a. ad arcum .b.d.c. quam ad arcum
b.i.c. ex .8. quinti. Vnde ex vltima ſexti et .12. quinti, proportio anguli .a.e.b. ad an-
gulum .c.e.b. maior erit quam chordæ, ſiue baſis .a.b. ad chordam ſiue baſim .c.b.
EGo enim non tantum miror ea quæ mihi ſcripſiſti de opinione Ortenſij
quantum quod Antonius Berga putat nubes à Sole ſupenſas teneri, id pla
nè falſum eſt, vera cauſa huiuſmodi effectus, alia nulla eſt, niſi earundem
raritas hoc eſt, cum rariores ſint ipſo aere ſubiecto, propterea ſupra
natant & ſtant ſub eo qui rarior ipſis eſt, eo quod corpora rariora poſita in medio
non tam raro, aſcendunt, & denſiora in medio minus denſo deſcendunt. Nam ſi
Sol ipſas nubes ſuſpenſas in aere teneret, hoc interdiu tantummodo fieret, ſed no
ctu, cur non deſcendunt vſque ad terram, & in eodem loco ſemper manent? Scien-
dum igitur eſt nubes aſcendere in altum quouſque inueniant aerem eiuſdem ra-
ritatis cuius ipſæ ſunt. Raritas enim & denſitas non ſunt res viſibiles niſi per acci-
dens, quemadmodum etiam leuitas, & grauitas, opacitas verò & diaphaneitas ma
gis
neitas verò compræhenditur ex penetratione ipſorum radiorum, opacitas autem nu
bis non eſt denſitas, cum valde diuerſa ſit denſitas ab opacitate, ſicut raritas ab dia-
phaneitate, vt aliàs dixi. Et quando dicit, quod Sol calefaciendo aerem ipſam nu
bem ambientem, rarefaciat eum magis quam ipſam nubem reſpondeo, hoc verum
non eſſe, proptere
mittunt liberum tranſitum. vnde corpora quanto magis diaphana ſunt tanto minus
ab ipſo radio luminoſo calefiunt, ſed ea quæ magis opaca ſunt, magis etiam calefiunt
& per conſequens magis rarefiunt, cum calidi ſit per ſe rarefacere, & non attrahere,
vt ipſe & ferè omnes alij putant.
qua degebat Sereniſſimus Dux noſter, dum viridarium ad æquilibrium
reducebas, eſſemus, à te quæſiui an ſcires vnde fieret, vt ſtante libramen-
to ad angulos rectos ſupra ſuum pedem, funis quæ extrema eiuſdem li-
bramenti cum pede in formam trianguli æquicruris coniungit, magis diſtentus exi-
ſteret, quam cum dictum libramentum cum pede obliquum remanet, ita vt huiuſ-
Exempli gratia, ponamus lineam .d.b.c. eſſe libramentum .et .b.e.u. eius pedem,
funem autem, qui aliquando cum libramento facit triangulum iſocellum, & aliquan
do ſcalenum, eſſe .d.e.c. eſto etiam quod in figura .A. dictus triangulus .d.e.c. ſit iſo-
cellus, & in figura .B. ſcalenus. Tunc quæſiui à te an ſcires rationem, quare
funis .d.e.c. in figura .A. eſſet diſtenſus, & in figura .B. laxus quemadmodum vide-
bamus. cum mihireſponderis, neſcio quid, quod nunc memoria
pollicitus ſum metibi eam afferre, propterea nunc ad te mitto. Scias ergo huiuſ-
modirationem nihil aliud eſſe niſi quod in figura .A. duæ lineæ .c.e. et .d.e. ſimul è
directo iunctæ longiores ſint illis, quę reperiuntur in figura .B. ſed quia funis tam in
figura .B. quam in figura .A. vnus, & idem eſt, ideo in figura .B. laxatus eſt, & non in
tenſus, ut in figura .A. Sed vt huiuſmodi veritatis certam notitiam habeas, infraſcri
ptum circulum mente concipe .f.e.i. cuius ſemidiameter, æqualis ſit .b.e. & diame-
ter ſit .f.i. in quo imaginare eſſe tuum
libramentum .d.b.c. & figuras .A. et .B.
giores eſſe lineis .d.e.c. figuræ .B.
Imaginemur igitur lineam .b.e. eſſe
dimidium minoris axis
cuius quidem figuræ ponamus .d. et .c.
centra ipſius circunſcriptionis eſſe, cu
ius
extra propoſitum circulum tranſitura,
& in vno tantummodo puncto ipſum
circulum tactura ſit, qui exiſtat .e.
figuræ .A. ſeparatum tamen à puncto
e. figuræ .B. Tunc ſi protracta fue-
rit linea .d.e. figuræ .B. vſque ad gi
ad punctum .c. ducta etiam ſit linea
g.c. tunc
d.e. et .e.c. figuræ .A. ſimul iunctas,
æquales eſſe duabus .d.g. et .g.c. ſi-
mul poſitis, vt etiam ex .52. tertij
Pergei facilè videre eſt, ſed ex .21.
primi Euclid. iam certò ſcimus .d.g.c. longiores eſſe .d.e.c. ſiguræ .B. ergo .d.e.c. figu-
ræ .A. longiores ſunt .d.e.c. figuræ .B. quod eſt propoſitum.
Quod etiam mihinunc circa hoc ſuccurrit, tibi libenter ſignifico, hoc eſt, quod
ſicut in ellipſi duæ lineæ .d.e.e.c. figuræ .A. ſimul iunctæ, ſunt ſemper æquales duabus
lineis .d.g.g.c. in longitudine, ita in circulo duæ .d.e.e.c. figuræ .A. æquales ſunt in
potentia duabus .d.e.e.c. figurę .B.
Manifeſtum enim primum eſt ex penultima primi in figura .A. quadratum .e.c.
æquale eſſe duobus quadratis ſcilicet .e.b. et .b.c. & quadratum .e.d. æquale duobus .
e.b. et .b.d. Quare quadrata .e.c. et .e.d. æqualia ſunt quadratis .e.b. figuræ .A. et .e.
b. figurę. B et .b.c. et .b.d. hoc eſt duplo quadrati .e.a. (ducta cum fuerit .e.a. perpen-
dicularis ad .c.b.d.a.) duplo quadrati .a.b. ex penultima primi, & duplo quadrati .b.
c. Sed quadrata .d.e. et .e.c. figurę .B. æqualia ſunt duplo quadrati .a.e. & quadrato a.d.
Nunc videndum eſt
drati .b.a.
cum quadrato .a.c. Sed quia tam ex vna parte quàm ex alia habemus duplum qua-
drati .a.e. Videndum igitur erit vtrum duplum quadrati .a.b. ſimul cum duplo qua-
drati .b.c. ęquale ſit quadrato .a.c. cum quadrato .a.d. ſed hoc manifeſtum eſt .ex .10.
ſecundi Euclidis, dato quod
manifeſtum erit ex .9. ſecundi dicti, nihilominus accipe hunc alium modum.
Sit hic ſubſcriptum quadratum .D. ex .a.c. in ſeipſa producta, cuius diameter ſit
a.n.
lis tamen .d.a.
quadrato, et .p.s. pro partiali, & æquali quadrato lineæ .a.d. Videndum nunc eſt,
hęc duo quadrata æqualia ſint duobus quadratis lineæ .a.b. & duobus lineæ .b.c.
duo quadrata lineæ .b.c. ſint .K.o. et .h.l. videndum nunc eſt utrum reſiduum ęquale
ſit duobus quadratis lineę .a.b. quorum vnum ſit .m.b. alterum verò .l.p. quod ſupe-
rat .l.c. et .s.p. figuræ .D. per ſupplementum .o.t. cui æquale eſt parallelogrammum .h.
m. figuræ .D. ſed ſi punctus .a. poſitus fuerit inter .d. et .b. conſtituto quadrato .d.u.
omnibus parallelis, vtin figura .C. viderelicet, in qua figura videbimus quadrata .r.
n. et .d.r. ęquari duplo quadratorum .l.n. et .r.l. nam in quadrato .r.n. ipſa duo quadra-
ta .l.n. et .r.l. capiuntur, reliquum eſt igitur vt videamus an duo ſupplementa .l.t. et .l.
s. cum quadrato .d.r. ſint æqualia dictis
tur quadrato .l.n. videndum igitur eſt,
an duo ſupplementa .l.t. et .l.s. cum qua
tis .d.l. et .r.l. ſed quadratum .d.l. æqua-
tur quadrato .d.r. & ſupplemento .l.t.
mediante .q.l. & ſupplemento .r.b. ſup-
plementum verò .l.s. ſuperat
tum .r.b. per quantitatem
drato .r.l. quare duo ſupplementa .l.t.
et .l.s. cum quadrato .d.r. æquantur qua
drato .d.l.
potentia duabus d.e.e.c. figurę .D. quæ quidem affectio circuli, à nemine fuit adhuc
(quod ſciam) detecta.
SI ea quæ à me audiuiſti non credis, conſidera quæſo libram ſeu ſtateram
o.a. cuius centrum non longitudinis ſed ponderum ſit .i. quę ſtatera, vt ori
zontaliter conſiſtat, oportebit pondus extremitatis .o. ita ſe habere
ad pondus extremitatis .a. ut .a.i. ſe habet ad .o.i. quod te ſcire puto, ima
ginemur nunc d uas lineas .a.e. et .o.n. paralle las
& fixo extra ſtateram, tranſeat per .i. linea .n.i.e. Cogitemus etiam punctum .e. inter
ſectionis ipſius .n.i.e. cum .a.e. progredi vniformiter
vnde punctum .i. interſectionis ipſius .n.i.e. cum .a.i.o. ſemper vicinius fiet puncto .o.
nec unquam cum illo vnum erit, quamuis moueatur tempore infinito. Nunc autem
dico, quod cum ſtateram .o.i.a. oporteat ſemper orizontalem eſſe virtute ponderis,
o. oportebit pundus .o. in infinitum etiam augeri,
diminui voluerimus vel econtra hoc in infinitum diminui, ſi illud nunquam augeri
voluerimus.
Sedre vera non putabam te indigere aliqua demonſtratione, quod linea .b.h. di-
uiſa ſit per æqualia à
gulo orthogonio .g.a.d. & cum ſit .b.h. perpendicularis ad .a.o. ex ſuppoſito quæ .a.
o. in ſe habet punctum medium baſis .g.d. nec
riſſimum eſt, cum iam ſcis .o. eſſe centrum circuli circundantis triangulum .g.a.d. or-
thogonium, et .g.d. eius diameter, vnde .o.a. æquabitur ipſi .o.g. quapropter angulus
o. deinde ex .32. eiuſdem, angulus .h. æqua
bitur angulo .d. eo quod an gulus .e. rectus eſt, quemadmodum et .a. ſed angulus .d.
æqualis eſt angulo .g.a.c. & propterea angulus .h. erit etiam æqualis angulo .h.a.u.
vnde .h.u. æqualis erit ipſi .u.
a. ex .6. primi, cum poſtea angulus .
ta primi erit angulus .a.b.e. æqua-
lis angulo .g. ex .32. dicta, eo quod
e. rectus eſt, & ex eadem æqualis
erit angulo .d.a.c. vnde .u.b. erit
æqualis ipſi .u.a. ex .6. dicti, & ideo
æqualis eric ipſi .u.h. Reliqua ve-
rò illius propoſitionis credo ex te
omnia poſſe
vt tibi ſignificaui ſi à
muni ipſi .a.c.u. & circunferentiæ,
ducta fuerit .i.x. ad
mune vni parallelæ à
h.b. & circunferentiæ, quod di-
cta .i.x. ad rectos erit ipſi .a.b.d. eo
quod cum angulus .a.g.x. æqualis
cus .a.x. æqualis arcui .a.g. vnde angulus .a.i.x. æqualis erit .d. ſed angulus .i.a.d. com-
munis eſt triangulis .c.a.d. et .i.a.t. quare angulus .a.t.i. rectus erit, vt .c. hoc eſt .i.x. per
pendicularis erit ipſi .a.d.
Sed vbitibi ſcripſi circa finem illius epiſtolæ, Tartaleam erraſſe in quinta propo-
ſitione primi lib. ſuæ nouæ ſcientiæ, non ſine ratione illud ſcripſi. Nam, inquit ipſe,
nullum corpus æquè graue poteſt in aliquo temporis ſpatio moueri motu naturali, Vbi decipitur, eo quod non animaduertit incrementum ve
locitatis vnius motus, ſimul eſſe cum decremento velocitatis alterius,
pore, vt manifeſtè patet in itinere corporis, ab ipſo pro exemplo aſſumpto, hoc eſt
quod velocitas motus in ſpatio .c.d. creſcit vt naturalis, & decreſcit vt violenta.
creſcit orizontem verſus & decreſcit in remotione à linea .a.b. ſed ſi à puncto .c. ad
punctum .d. motus eſſet purè violentus, vt putat Tartalea, corpus illud minimè de-
ſcenderet, eo quod uirtus mouens, in .a. poſita, nullo pacto poteſt talem effectum ef-
ficere, vnde ab ipſa natura prouenit deſcenſio illius corporis propter
dictum corpus habet in tali medio, aeris ſcilicet, & non ex violentia aliqua. Sed ſi
dixiſſet ipſe, illum motum eſſe purum naturalem, hoc eſſet falſum, eo quod purus
naturalis motus alicuius corporis non impediti, extra locum ſuum, ſit per lineam re
ctam, & non per curuam, vt videre eſt inter .c. et .d.
In vltima propoſitione deinde eiuſdem lib. quæ .6. eſt decipitur ſimiliter, & hæc
deceptio oritur ab ignoratione quintæ, & à putando motum naturalem non eſſe cau
ſam ipſius deſcenſus per ſpatium .c.d. Sed quia tibi ſignificaui expeditiorem viam
repeririad
cundi lib. ipſius Tartaleæ, ipſam nunc tibi ſcribo.
ſum eſſe per æqualia ab .P.l. & quod .a.h. et .h.p. ęquales inuicem ſunt ex .6. primi Eu-
cli. vnde .p.i. et .a.h. æquales erunt inuicem ſimiliter, ſed ex .3. ſexti ita eſt ipſius .a.l.
ad .l.i. vt ipſius .a.p. ad .p.i. & coniunctim ita erit .a.l.i. ad .l.i. vt .a.i. ad .p.i. ſed .a.l. cogni
ta eſt ex eius quadrato, et .l.i. etiam, cum æqualis ſit ipſi .a.i. vnde ex regula de tribus
notam habebimus .p.i. reſpectu .a.i. & ita reſpectu .a.e. ſi hypotheſes ipſius Tartaleæ
veræ ſunt.
QVod à me poſtulas, hoc eſt ſcientiam impoſſibilitatis diuidendi per æqualia
proportionem ſuperparticularem in numeris ſatis à Campano in .8. octaui
potes habere, Iacobus Faber Stapulenſis etiam idem tractat
demonſtratæ. Sed ſi etiam alia via idem deſideras, quamuis longiori, nih
nus vniuerſaliori, conſidera duos numeros .g. et .h. inuicem relatos ſecundum pro-
portionem ſuperparcicularem, quam volueris. Tunc dico impoſſibile eſle, vt per
æqualia diuidatur, quod ſi dixeris poſſibile eſſe, ſit per te .K. medius numerus
quare .g. et .h. non erunt minimi in ea proportione, quia
vnitas diuiſibilis eſſet ſi .g.h. minimi fuiſſent, quod non conceditur, ſint igitur mini
mi in dicta proportione .a. et .b. quorum differentia erit vnitas, vt ſcis,
tum ipſius .g. et .d. quadratum ipſius .K. tunc clarum erit ex .11. octaui, quod propor-
tio ipſius c. ad .d. eadem erit quæ .g. ad .h. hoc eſt vt ipſius .a. ad .b. vnde ſi vnus termi.
norum .a. vel .b. eſſet quadratus, reliquus etiam quadratus eſſet ex .22. octaui, & ex
16. eiuſdem, inter .a. et .b. reperiretur aliquis medius numerus proportionalis, quod
fieri non poteſt ex hypotheſi, cum inter .a. et .b. nullus ſit numerus, quia differunt in
ter ſe per vnitatem tantummodo. Nunc autem cum nullus numerorum .a. vel .b. qua
dratus ſit, ponatur quod .f. quadratus ſit ipſius .b. et .e. ſit productum ipſius .a. in .b. vn
de ex .18. ſeptimi, proportio ipſius .e. ad .f. erit vt. ipſius .a. ad .b. hoc eſt vt ipſius .c. ad
d. quapropter .e. erit quadratus ex .22. octaui, cuius latus tetragonicum eſſet
proportionale inter .a. et .b. ex .20. ſeptimi, quod eſt impoſſibile, vt iam dixi, cum .a.
et .b. ſint inui cem conſequentes, vnus poſt alium immediatè.
Superius enim dixi hunc modum eſſe vniuerſalem,
hoc eſt quod hac methodo poſſumus in cognitionem
vcnire, quod non ſolum in duas æquales partes diui-
lueris. Primum enim quod non in tres diuidatur à te
ipſo cognoſces ope
eſſe indiuiſibilem per æqualia, illicò etiam cognoſcet
indiuiſibilem eſſe per quatuor partes, ope verò pri-
morum relatorum, cognoſcet non eſſe diuiſibilem per
quas ſcripſi de iſtis dignitatibus in libro
arithmeticorum.
Id autem quod Illuſtriſſimus Daniel Barbarus ſcri
bit in quinta parte ſuæ perſpectiuæ, ſi ſupra aliquo im
mobili, atque magno pariete facere volueris, te opor
tebit hoc ex reflexione radij ſolaris à ſpeculo plano
perficere.
poſito dantur.
ſcribere inuenire in diſcreto.
Sit igitur triangulum .a.b.g. cuius baſis .b.g. ſimul cum angulo .a. ei op-
poſito data ſit in numeris. Imaginetur ergo circulas circunſeribens ipſum triangu-
lum .b.p.g.q. cuius diameter ſit .q.p. perpendicularis eius baſi .b.g. vnde .b.g. diuiſa
erit per æqualia ab ipſo diametro in puncto .m. per tertiam tertij, protrahatur etiam
q.p.g. medietati anguli ipſius portionis ex .19. tertij, ita quod angulus .q.e.g. nobis
cognitus erit, & ſimiliter arcus .g.q. & conſequenter ar-
cus .p.g. reſiduum medij circuli, & ſic .m.g. eius ſinus re
p.g. & ſic .p.m. eius ſinus verſus, vel vt tertium latus trian
guli orthogonij .p.g.m. vnde nobis cognita erit propor
tio ipſius .b.g. (quæ dupla eſt ipſi .m.g.) ad .m.p. & quia
productum .p.m. in .m.q. æquale eſt ei, quod fit ex .b.m.
in m.g. ex .34. tertij, quapropter nobis cognita erit pars
q.m. quæ cum .p.m. complet totum diametrum .q.p. vn
de nobis cognita erit proportio ipſius .b.g. ad .q.p. qua
mediante cognoſcemus diametrum ſecundum partes il
las quibus propoſita ſuerit .b.g.
Hoc autem problema non in numeris ſed in continuo ab Euclid. ponitur in .32
tertij.
QVotieſcunque etiam inuenire voluerimus triangulum aliquem, puta .n.q.o.
æqualem triangulo .t. (exempli gratia) propoſito, qui habeat angulum .n. æ-
qualem angalo .a. dato, latera vero continentia ipſum angulum .n. ſint inuicem pro-
portionata vt .x. et .y. ita faciemus, accipiemus lineam .n.m. cuius volueris magnitu-
dinis, ſupra quam conſtituemus triangulum .m.n.p. æqualem triangulo .t. hac metho-
do, hoc eſt prolungando latus .r.z. trianguli .t. quod ſit .r.e. ita vt duplum ſit ipſi .r.z.
ducendo poſtea .c.e. habebimus ex .38. primi triangulum .t. eſſe dimidium totius
trianguli .r.c.e. deſignabimus deinde ex .44. dicti ſuperficiem .p.n.m.b. parallelo
grammam
lo .r.c.e. habentem angulum .
poſtea .p.m. & habebimus
gulum .m.n.p. æqualem .t. cum
angulo .n. æquali angulo .a. pro
ducatur poſtea .n.p. ita vt .n.K.
ſe habeat .ad .n.m. quemadmo
dum .x. ad .y. quod erit facilli-
mum producendo .n.m. et .n.
K. indeterminatè ſi oportuerit, deinde eas ad æqualitatem ſe-
can
exempli gratia quod .n.i. ſit
æqualis ipſi .x. et .n.u. ipſi .y. du
cendo poſtea .u.i. deinde à puncto .m. ducendo .m.K. æquidiſtanter .u.i. ex .31.
primi. & ſic habebimus ex .4. ſexti proportionem .x. ad .y. eſſe inter .n.K. et .n.
proportionalem inter .n.K. et .
n.p. quæ ſit .n.o. duces poſtea
o.q. parallelam ipſi .m.K. & ha
bebis propoſitum, eo quod
ſit proportio trianguli .n.m.K.
ad triangulum .n.m.p. vt .n.K.
ad .n.p. ex prima ſexti, duo
guli .m.p.n. et .n.q.o. æquales
erunt inuicem, ex .17. eiuſdem
& ex .9. quinti, & proportio .
o.n. ad .n.q. erit, vt .x.
11.
n.k. ad .n.m.
PRoponis deinde mihi duas rectas lineas, vni quarum, vis vt aliam quandam di-
rectè coniungam, ita quod productum huius aggregati in lineam adiunctam
æquale ſit quadrato alterius.
Vt exempli gratia ſi fuerint duæ lineæ .e.d. et .e.f. opor-
f.b. in .f.c. vel .e.b. eſſet æquale quadrato ipſius .e.d.
Hoc enim nu llius eſſet difficultatis, eo quod
que
dium à puncto .a. à quo ducta .a.d. deinde ſecundum ſemi-
diametrum .a.d. deſignato circulo .b.d.c. & protracta .e.f.
à qua volueris parte vſque ad circunferentiam in
ſeu in puncto .b. habebimus intentum, eò quod ſi produ-
cta fuerit .e.f. etiam ab alia parte, vſque ad circunferentiam, habebimus .b.e. æqua-
lem ipſi .f.c. ex communi conceptu, & productum .e.c. in .e.b. æqualem quadra-
to ipſius .e.d. ex .34. tertij, cum ex .3. eiuſdem .e.d. medietas ſit chordæ arcus dupli
b.d.
De lapſu verò lapidis verſus mundi centrum, dum ipſum attingere, ac præterire
poſſet, de quo me interrogas. Dico Nicolaum Tartaleam, nec non Franciſcum
Maurolicum rectè ſenſiſſe, malè verò Alexandrum Piccolhomineum, & exemplum
Maurolici optimum eſſe, quod tamen ſi capere non potes, crede ſaltem authoritati
bus talium virorum, qui tantum in ijs ſcientijs ſuperant ipſum Alexandrum Piccol-
homineum, quantum à Sole cætera ſuperantur aſtra.
Lapis igitur ille tranſiret centrum,
preſſi, eo fermè modo vt ſcribunt iudicioſiſſimi illi viri, donec poſt multas reddi-
tiones ſurſum, Lucidioris tamen intelli
dus appenſum eſt, æqualem eſſe axi orizontis, hoc eſt eius extremitatem immobi-
lem eſſe in primo mobili, & in ipſo zenit tui orizontis, tunc arcus motionis ipſius la
pidis per tantum interuallum, quantum eſt diameter terræ, inſenſibiliter differret à
linea recta, & cum lapis diſtans à centro mundi per ſemidiametrum terræ, iret re-
metrum, ita vt poſſetipſum centrum attingere, nam differentia illa ſemidiametri
terræ, ferè nulla eſt reſpectu ſemidiametri ipſius primi mobilis.
SI non credis Pentagonum ab Alberto Durero ſuper datam lineam deſi-
gnatum, æquiangulum non eſſe. Fingamus hic ſubiectam ſiguram ſimi-
lem ei quæ à Durero ponitur, in qua primò, ducta ſit linea .o.a. & habe
bimus angulum .a.o.b. graduum .60. talium qualium duo recti fuerint gra
360.
ſexta pars totius circunferentiæ, angulus vero .b.o.d. rectus eſt, eo quod .b.o.q. rectus
etiam ſit, quare angulus .d.o.a. reſiduus ex recto erit graduum .60. talium, ut rectus
eſt .90. angulus verò .o.a.c. erit gra .15. eorundem.
Ducatur deinde perpendicularis .a.e. ad .o.d. quæ vt ſinus anguli .a.o.e. erit par-
tium .86602. talium qualium .a.o. erit .100000. quæ quidem .o.a. vt chorda arcus .a.
o. eſt partium .51762. talium qualium .a.d. vel .a.c. ſemidiameter eſt .100000.
Nam ſinus dimidij arcus .a.o. (exi
ſtente .a.o. graduum .30.) eſt
44827.
100000. vnde angulus .a.d.o. cuius ſi
nus eſt .a.e. erit graduum .26. min .38
qui quidem angulus, ſumptus cum an
gulo .a.o.d. erit gra .86. min .38. Dem
pta denique hac ſumma ex duobus
rectis gra .180. reliquum erit gra .93.
min .22. ideſt angulus .o.a.d. cui addi
tus cum fuerit angulus .o.a.c. gra .15.
talium, habebimus angulum .c.a.d.
graduum .108. min .22. exuperantem
verum angulum pentagoni per min
22.
lus .a.d.o. gra .26. min .38. ſi ex vno re
cto demptus fuerit, relinquetur an-
gulus .d.a.e. gra .63. min .22. qui qui-
dem collectus cum fuer it cum angu-
lo .e.a.o. reſiduo ex re cto dempto angulo .a.o.e. grad .60. qui .e.a.o. eſt grad .30. &
d. ctum grad .108. min .22.
Ducatur .d.n. quam quidem .d.n. cognoſcemus vt ſinus anguli .d.o.n. gra .45. nam
angulus ei contrapoſitus .q.o.p. eſt dimidium recti, quare .d.n. erit partium .70710.
talium qualium .d.o. fuerit .100000. ſed .d.o. eſt partium .115270. qualium .a.d. eſt
100000.
ro eſt partium .50000. talium qualium .a.o. eſt .100000. vt ſinus anguli .e.a.o. gra .30.
ſed vt .a.o. eſt hoc eſt vt .a.d. eſt .100000. ipſa .o.e. erit
quæ iuncta cum fuerit cum .e.d. efficiet .d.o. partium .115270. vt dictum eſt, quapro-
pter cum .d.n. ſit partium .70710. talium qualium .d.o. fuerit .100000. ipſa .d.n. erit
partium .81507. talium qualium .d.o. erit .115270. ideſt qualium .d.a. vel .d.u. erit
100000. quæ quidem .d.n. eſt ſinus anguli .d.u.n. graduum ſcilicet .54. 36. cuius du-
plum erit gra .109. mi .12. debebattamen eſſe .108. m.o.
Accipe angulum .a.d.o. gra .26.
lum .o.d.n. gra .45. min .o. ſimul cum
angulo .u.d.n. reſiduo ex recto gra
duum .35. minu .24. & conficies an-
gulum .a.d.u. grad .107. minu .2. &
habebis propoſitum, quem tamen
oportebat eſſe gra .108. min .o.
Quod autem omnia rectè ſuppu-
tata ſint, ex ſumma omnium angulo
rum patere poteſt. nam collectis om
nibus quinque angulis .a.c.d.f.u. ſi-
mul, hoc eſt grad .108. minu .22. cum
gra .107. min .2. cum grad .12. effi-
cient grad .540. min .o. ſumma æqua
lis ſex angulis rectis.
rolico demonſtratæ fuerint, nihilominus mihi etiam viſum eſt non nihil
meo moræ in eas tibi ſcribere, vt ſenſibiliter quoque cognoſcas il-
las veras eſſe.
Eſto linc
in .d. quadratum autem .a.d. ſit .d.e. quadratum verò .d.b. ſit .d.i. quadratum .a.c.
ſit .c.f. & quadratum .c.d. ſit .c.K. clarum enim erit .K.h. æqualem exiſtere ipſi .a.c.
ſeccetur igitur .e.h. in .g. ita vt .h.g. ęqualis exiſtat ipſi .K.h. vnde .g.e. æqualls erit
c.d. perficiatur etiam quadratum .h.n. vnde in totali quadrato .a.h. habe bis
quadrati partis .c.d. nempe .c.K. et .f.g. & quadratum .a.u. cum gnomone .u.g.h.k.
cui deficit quadratum æquale .d.i. quadrato, vt ſint etiam duo quadrata partis .a.c.
In decima
c.d. ſit .d.n. et .a.c. ſit .c.f. et .f.e. ſit .e.u. vnde .n.u. æquale erit quadrato .b.i. vnde in qua
drato totali .a.h. videbis duo quadrata æqualia .f.c. et .g.k. partis .a.c. & quadratum .c.
K. cum gnomone .n.f.e.g. cui addito quadrato .b.i. habebis duplum quadrati partis .
c.d.
titudine exhalationum in regione elementari acciderit anno .1572. &
1573. vt totos ſex menſes ab omnibus per vniuerſum terrarum orbem
viſa fuerit ſtella illa, quæ eſt in angulo ſeptentrionali quadrilateri Caſſio
aſpectus diuerſitate) magis ſcintillans. Quî fieri poterat, vt ſtellæ quæ ab illa pa-
rum diſtant, alioqui multo maiores, non etiam illa clariores apparuerint? ſed ſi ali-
quis diceret eam exhalationem non ita fortaſſe dilatari, vt inter nos, & aliam ali-
quam ſtellam interponeretur. Tunc ego reſponderem neceſſariò ſequi debere ta-
lem exhalationem, tantam latitudinem occupare, quod aliquibus populis aliam Sed cum hoc perſpectum fuerit nulli, ſequebatur lucem illam ab ipſis exhalatio-
nibus elementaribus haud poſſe oriri: quod nobis ſcintillatio illa maxima perma-
gno fuit inditio, ſi phas eſt credere,
eo longius à nobis diſtare.
Verum quoniam efflagitaſti à me vt aliquid circa huiuſce rei ſpeculationem tibi
ſcribam, idcirco tibi morem gerere volens paucis ſubiungam.
Conſidera primo hanc ſubſcriptam primam figuram, in qua .c.a.e. ſignatur pro
Globo terreſtri cuius .i. centrum ſit et .u.o.n. pro conuexo ignis, ſed .K.x.s. pro orbe
octauo .x. autem pro ſtella iam ſuperius dicta, quæ ſemper fuit, eſt, & erit, quamuis
cæteris tribus nunc obſcurior ſit. Accipiantur deinde duo loca in ſuperſicie terræ,
quę ſint .c. et .e. diametraliter inuicem oppoſita, ita quod circa eorum orizontes poſ
ſibile ſit ſtellam .x. videre, radijs ipſius ſtellæ mediantibus .x.n.e. et .x.u.c.
tes .n.c. et .u.e. ita breues ſint, reſpectu eorum
vix ſit vna ex partibus decemmillibus, vt ſcis, ſequitur quod recta terminata ab .u.
et .n. minor ſenſibiliter non ſit ipſo terræ diametro .c.e. cum duo hæc interualla ex
triangulorum ſimilitudine ſe habeant vt .x.i. ad .x.o. hoc eſt ferè vt .602. ad .601. vn-
de anguli .n.e.c. et .u.c.e. à rectis minime differre videbuntur, cum eorum differen-
tia certo modo minima ſit. ductę poſtea
nabũt
Supponatur nunc primò tuam exhalationem ſublimatam eſſe ad ſupremas par-
tes elementaris regionis circum circa lineam .o.i: tunc clarum eſſet quod ſi ratione hu
iuſmodi exhalationis ſtella .x. ita lucida viſa fuerit tam aſpicientibus ab .e. quam ab
c. exhalatio minoris latitudinis quam .u.n. eſſe non poterat, hoc eſt, quam terræ dia-
meter, cum idem in longitudine ferè ſit, ſed punctum .u. ſatis videri poteſt ab oculo
in .e. & punctum .n. ab oculo in .c. vt alias tibi probaui, ratione refractionis radiorum
per diuerſa diafana tranſeuntium. Nunc producti cum fuerint ij duo radij .e.u. et .c.
n. vſque ad octauum orbem ad puncta .s. et .K. reliquum erit nos videre quantitates
graduum arcus .s.x. et .k.x. ſed .s.x. ſubiacet a ngulo .s.e.x. et .k.x. angulo .k.c.x. qui qui
quidem anguli nihil differunt ſenſibiliter ac ſi eſſent in centro .i. Et cum ſuperius di-
xerimus angulos .s.e.x. et .k.c.x. ſenſibiliter mi nime differre ab angulis .c.n.e. et .e.
u.c. ſi cognouerimus quantitatem iſtorum, cognita etiam nobis erit quantitas
ill orum.
Cum igitur ſemidiameter elementaris regionis maior ſit ſemidiametro terræ, vt
33. ad vnum, & cogitata .c.n. vt dicta ſemidiameter, quia ſenſibiliter ab ea minime
diffe
& dixerimus ſi .c.n. vt partium .33. præbet nobis .c.e. duarum partium, quid nobis
pręſtabit eadem .c.n. vt partium .100000. vnde proueniet nobis .c.e. vt
cuius angulus .c.n.e. erit graduum .3. & min .29. ita etiam erit angulus .k. e
idem dico de arcu .
x.k. Sed circa dictam ſtellam om-
nes aliæ non diſtant huiuſmodi in
teruallo.
Nihilominus nec tu nec alij pe
ripatetici qui hanc ſequuti ſunt
opinionem exhalationum, ad ſer
uandam nullitatem diucrſitatis
aſpectus, affirmant poſſe tam lon
ge à terra
imo nec attingere ſupremas tertię
regionis a eris partes, ita ut non
grediãtur
quidem orbis ſecundum illorum
opinionem incipit non valde lon-
gè à ſuperſicie terræ, vt
conſideratione contra Antonium
Bergam probaui, ſed demus,
dictæ exhalationes aſcenderint
per decem ſemidiametros terræ,
diſcurrendo poſtea ſic, cum .c.n. ut
decem, nobis dat .c.e. vt duo,
dabit nobisipſa .c.n. vt .100000.
& proueniet nobis .c.e. vt .200000.
cuius ſinus angulus erit gra .11. mi
32.
c.x. & ſic eorum arcus .s.x. et .k.x.
ſed quis vnquam dubitabit
tanto interuallo à dicta ſtella non
fint aliæ multæ ipſa maiores? li-
neas vero .e.o.r. et .c.o.t. duxi, vt
videres effectum maioris aſpectus
diuerſitatis ab oculis .e. et .c. in cir-
culo altitudinis quando .o. fuiſſet
punctum illud lucidiſſimum, &
non .x.
At poterit aliquis mihi obijcere quod cum .i.o. fuiſſet longior .i.e. per decem vi-
ces tantummodo, exiſtente oculo in .e. uel .c. per gradus .90. ab .a. tunc punctus .u. vel
n. ab ipſo oculo non videretur ob terræ globoſitatem. Imaginemur igitur à puncto
u. recta .u.b. tangens quartam .a.e. in puncto .b. vt in ſecunda figura videre eſt, in qua
ducantur .c.b: i.b: et .i.u. quæ .i.u. ſecabit arcum .c.
cto .y. quod nulli dubium eſt, cum .c.u. æqualis ſit .
u.b. ex .35. tertij Euclidis, unde ex octaua primi an-
gulus .c.i.u. æqualis erit angulo .u.i.b. & ideo arcus .
c.p. æquabitur arcui .p.b. ſed ex .4. primi .c.y. æqua
lis erit ipſi .y.b.
Nunc ſuppoſita .c.i. decima parte ipſius .c.u. nemi
ni dubium erit quod cum .u.i. ſubtendatur angulo
recto .u.c.i. (iam ſupra diximus angulum .c. ſenſibi-
liter minime differre à recto) ipſa vt ſinus totus erit
partium .100000. cuius quadratum cum diuiſum
fuerit in partes æquales centum &
æqualis erit quadrto .c.i. reliquę vero quadrato ip-
ſius .u.c. ex proportione duplicata quadratorum ad
eam quam continent eorum latera. Sed quadra-
tum ipſius .u.i. eſt partium .10000000000. quare
quadratum .c.i. erit .99009900. cuius radix .c.i.
erit partium .9950. vnde quadratum ipſius .c.u. erit
partium .9900990100. cuius radix .u.c. erit
99500. vnde angulus .c.i.u. erit graduum .84. & mi
nu .17. & angulus .c.u.i. qui reſpondet ſinui .c.i. erit
gra .5. & min .43. cuius duplum, hoc eſt angulus .c.
u.b. erit grad .11. min .26. æqualis ferè angulo iam
ſupradicto. ſed .c.y. ſinus anguli .c.i.y. erit ſimiliter
partium .99500. talium vt .c.i. ſunt .100000. ſed vt
c.i. eſt partium .9950. tunc .c.y. erit partium .9900
hoc eſt quaſi decima pars ipſius .c.u. quare ſi ocu-
lus in .e. non videbit punctum .u. hoc punctum be-
ne videbitur ab oculo in .b. abſque ſenſibili dimi-
nutione anguli in puncto .u. vt probauimus.
ſit de magnitudinibus figurarum iſopetimetrarum, nihilominus vt tibi
morem geram, ea nunc ſcribo, quæ mihi in mentem venerunt contra
tunditate
Oltre di queſto, douendo il decimo cielo contenere & in ſe chiudere tutte le co-
ſe, è conueneuol coſa il penſare, che foſſe fatto di quella più capace figura che eſ-
ſer poſſa, la qual è la figura rotunda, però che ſi può trar da molti luoghi d'Euclide
che ſi come ſe noi ciimmagineremo più figure ſuperficiali talmente che tutte le li-
nee de l'vna congionte inſieme, ſieno vguali à tutte le linee pur inſiememente com
poſte di qual ſi voglia de l'altre figure, ne ſeguirà, che quella figura ſarà più capa-
ce la qual haurà manco angoli, & quella capaciſſima che ſarà ſenza alcuno come è
la figura circolare, & c.
Cogitemus igitur primò de triangulo æquilate-
ro & quadrato iſoperimetris, ſit enim triangulus æ-
quilaterus .o.b.g. quadratum verò .b.l. quorum pe-
riferiæ inuicem æquales ſint. Dico quadratum ma-
Accipio pri-
mum lineam .f.h. eiuſdem longitudinis quæ vnius
periferiæ dictarum figurarum, quam punctis .r.K.
mediantibus diuido in tres ęquas partes, in quatuor
verò mediantibus punctis .l.x.i. vnde proportio to-
tius .f.h. ad .K.h. erit vt .l.h. ad .i.h. ideſt tripla, & per
16. quinti erit .f.h. ad .l.h. vt .k.h. ad .i.h. per .19. verò
f.h. ad .f.l. vt .K.h. ad .K.i. ſed .f.l. eſt quarta pars ip-
ſius .f.h. ergo .k.i. erit quarta pars ipſius .k.h.
gantur enim ambo iſtæ figuræ vt hic inferius vides,
vnde .a.g. erit quarta pars ipſius .b.g. diuiſa poſtea .
b.g. per æqualia in .c. erit .a.c. æqualis .a.g. Ducatur
deinde .o.c. quę per .8. primi, nec
perpendicularis erit ipſi .b.g. ergo etiam
b q. ſupra .b.g.
li dubium eſt quin .o.c. breuior ſit .o.g. ex .18. vel .48
primi cui æquatur .q.g. diuido etiam .c.m. per æqua
lia in puncto .e.
vnde habebimus duo quadrata .e.g. et .e.b. ſed
quadratum .b.l. æquatur quadrato ipſius .c.a.
cum duplo illius quod fit ex .b.c. in .c.g. vt patet
ex .9. ſecundi, hoc eſt æquatur quadrato .c.a. & re-
ctangulo .t.g. Deinde vt ſe habet .p.g. ad .o.e. ita ſe habet .u.p. ad .u.e. ex ſimilitudine
triangulorum. Sed .p.g. maior eſt ipſa .o.e. cum .p.g. æqualis ſit .e.m.
quare triangu-
lus .u.g.p. maior erit triangulo .o.e.u. ex .17. ſexti. Similiter dico maiorem eſſe trian
gulum .b.d.t. triangulo .e.o.d. vnde ſequitur rectangulum .t.g. maiorem eſſe triangu-
lo .b.o.g. ſed quadratum .b.l. eſt etiam maior ipſo rectangulo .t.g. ex quadrato ipſius
c.a. vt diximus, tanto igitur maior erit triangulo .b.o.g.
Poſſumus etiam probare quod periferia quadrati æqualis triangulo æquilatero
minor ſit periferia ipſius trianguli æquilateri. Cogita triangulum æquilaterum hic
ſubſcriptum .d.l.q. cuius baſis .l.q. diuiſa ſit per æqualia à perpendiculari .d.o.
ptũq́;
maior eſt periferia rectanguli, nam .l.q. æqualis eſt .o.q. cum .d.g. ſed .q.d. maior eſt .o.
d. ex .18. primi, vnde .l.d. maior etiam .q.g. cum ex .34. dicti latera oppoſita ipſius re
ctanguli ſint inuicem æqualia, accipiamus poſtea .e.c. æqualem .o.d. et .c.h. indire-
ctum æqualem .o.q. circa quem diametrum .e.h. intelligatur circulus .e.i.h.k. et. à pun
cto .c. dirigatur perpendicularis .k.i. ad .e.h. vnde ex .3. tertij .c.i. æqualis erit .c.k. & ex
34. quod fit ex .c.i. in .c.k. hoc eſt quadratum ipſius .c.i. æquale erit ei quod fit .ex .e.c.
in .c.h. hoc eſt rectangulo .g.o. hoc eſt triangulo .d.l.q. ſed .e.h. eſt dimidium perife-
rię ipſius rectanguli .g.o. quæ minor eſt di midio periferiæ trianguli .d.l.q. vt vidimus
et .i.k. eſt dimidium periferię quadrati ipſius .i.c. & minor etiam ipſa .e.h. ex .14. tertij quare verum eſt propoſitum.
Sed quando periferiæ ſunt inuicem æquales, poſſumus etiam breuiter videre id
quod ſupradiximus, hoc eſt, quod quadratum, maius ſit triangulo æquilatero. Nam
cum .b.g. ſeſquitertia ſit ad .b.a. ergo .b.g. erit vt .4. et .b.a. ut .3. vnde .b.q. erit vt .16
et .b.l. vt .9. et .c.q. vt .8. quare .b.l. maius erit ipſo
gulo .b.o.g. cum .q.g. quæ æqualis eſt .o.g. maior ſit .o.c. ex .18. vel penultima primi,
nam ſi .q.g. æqualis eſſet .o.c. tunc .c.q. æqualis eſſet triangulo .b.o.g. ex .41. primi.
Alia etiam via maiores noſtri vſi ſunt quæ generalis eſt vt in Theone ſupra Al-
mageſtum videre eſt, medijs perpendicularibus à centris ad latera figurarum, ſed
quia
eo quo ipſi vſi ſunt, prætermittere nolo quin tibi ſcribam.
Ego enim ita diſcurro.
Sint duæ figuræ iſoperimetrę æquilaterę & æquiangulæ, puta primò trian-
gulum & quadratum quorum centra ſint .e. et .o. à quibus centris ad latera ſint per-
pendiculares .e.n. et .o.u. vnde .n. et .u. diuident latera per æqualia vt ſcis, ducantur
poſtea .e.t. et .o.a. ad angulos dictorum laterum, vnde habebimus angulum .o.a.u.
midiũquare angulus
ſit .c.d. tertia verò pars illius ſit .g.d. tunc dico .c.d. ſeſquialteram eſſe ipſi .g.d. ſit enim
f.d. duplum ipſius .g.d. quare .f.d. erunt duæ tertiæ totius lineę .b.d. & quia eadem pro
portio eſt totius .b.d. ad .c.d. quæ .f.d. ad .g.d. ergo permutando eadem erit totius .b.
d. ad .f.d. quæ .c.d. ad .g.d. Sed .b.d. ad .f.d. ſeſquialtera eſt, verum igitur erit quod an-
gulus .a. ſeſquialter ſit ipſi .t. deinde .t.n. eſt ſeſquitertia ipſi .a.u. vt ſuperius vidimus .
in eorum duplis. ſcimus etiam .n.e. eſſe dimidium ipſius .t.e. co quod cum .e.t.n. ſit
tertia pars vnius recti, angulus, t.e.n. erit duo tertia vnius recti, vnde .e.n. erit latus.
exagoni æquilateris inſcriptibilis circulo cuius diameter ſit .e.t. quare .e.t. dupla erit
ipſi .e.n. in longitudine, ſed quadrupla in potentia: t.n. vero tripla in potentia ipſi .n.
e. ex penultima primi, quæ omnia etiam ex .8. tertijdecimi. Eucli. elicere potes, ſed
c.n. erat ſexquitertia ipſi .a.u. in longitudine, hoc eſt ipſi .o.u. nam .o.u. æqualis eſt ipſi
a.u. quare .n.t. erit minus quam dupla in potentia ipſi .o.u. hoc eſt, vt .16. ad .9. ergo
maior proportio erit ipſius .t.n. in potentia ad .n.e. quam ad .o.u. quare etiam in lon
gitudine, maior proportio erit ipſius .t.n. ad .n.e. quam ad .o.u. vnde .o.u. longior erit
ipſa .n.e. quod eſt propoſitum.
Sed ſi .o.a.u. eſſet pentagonus æquilaterus & æquiangulus, ſimiliter probabo per-
pendicularem .o.u. longiorem eſſe .n.e. ipſius trianguli æquilateri, dummodo ſint iſo-
perimetrę. Sit enim .a.u. dimidium lateris pentagoni ex ſuppoſito, cuius centrum ſit
o. tunc proportio .t.n. ad .a.u. erit ſuperbipartienstertias, vt ex ordine iam hic ſupradi
cto à te facillimè elicere potes, hoc eſt, vt .5. ad .3. et .a.u. minor erit .o.u. eo quod
angulus .o. minor erit angulo .a. nam angulus .o. erit quinta pars
eſt duæ quintæ vnius recti, vnde angulus .a. reſiduum vnius recti erit tres quin-
tæ vnius recti, quare angulus .a. maior ericangulo .o. & conſequenter latus .o.u. ma-
ius latere .a.u. ſed .t.n. minor eſt quam tripla in potentia ad .a.u. eo quod erit vt .25.
ad .9. cum in longitudine ſit vt .5. ad .3. ſed dicta .t.n. tripla eſt in potentia ad .e.n. qua-
re .a.u. maior erit ipſa .e.n. ſed .o.u. maior eſt ipſa .a.u. vt diximus, igitur multo magis .
o.u. maior eſt ipſa .a.u. vt
Quotieſcunque enim cognoſcimus proportionem anguli .o. ad angulum .a. quod
quidem facillimum eſt, nec non proportionem .t.n. ad .a.u. quod, etiam illico cogno-
ſcitur, tunc exſcientia cordarum & arcuum omnia etiam facillimè innueniuntur.
Verum circa
tulum prolixiorem.
ID quod à me poſtulas eſt omnino impoſſibile, velles enim duos numeros inueni
re inter ſe ita ſe habentes, vt ſe habent perpendicularis in triangulo æquilatero
cum vno eius laterum, quod vero hoc fieri non poſſit, conſidera in figura præcedenti
triangulum æquilaterum .d.l.q. cuius perpendicularis ſit .d.o. quæ diuidit .l.q. per
æqualia in .o. vnde ex .4. ſecundi Euclidis, quadratum .l.q. (ideſt .d.q.) quadruplum
erit quadrato .o.q. & ex penultima primi ęquale quadratis .d.o. et .o.q. quare erit ſeſ-
quitertium quadrato ipſius .d.o. & ita quadratum .d.o. erit triplum quadrato ipſius .
o.q. hæe autem proportiones non ſunt vt numeri quadrati ad numerum quadratum
quod ſi ita fuiſſent, ſequeretur ternarium numerum eſſe quadratum ex .22. octaui. Cum igitur non ſint vt numeri quadrati ad numerum quadratum, ſequitur ex ſepti-
ma decimi .d.o. eſſe incommenſurabilem ipſi .l.q. ſeu .d.q. in longitudine.
Vel dicamus ita, proportio quadrati ipſius .l.q. ad quadratum ipſius .o.d. eſt in ge
nere ſuperparticulari, cum ſit ſeſquitertia, vnde quadratum ipſius .d.o. numeris da-
ri non poteſt, eo quod ſi dabilis fuiſſet, ſequeretur, quod inter quadratum ipſius. l
q. & ipſius .d.o. eſſet aliquis numerus medius proportionalis ex .16. octaui, vnde ex
octaua eiuſdem vnitas diuiſibilis eſſet, quod fieri non poteſt.
MOdum quem conſideraui circa triangulum æquilaterum & pentagonum, vt
tibi ſignificaui ita ſe habet.
Probandum primò eſt pentagonum altiorem eſſe triangulo ſibi iſoperimetro.
Iam tibi notam puto proportionem lateris trianguli ad latus pentagoni eſſe vt .5.
ad .3.
Sit igitur pentagonus .b.d.m.g.v. cuius periferia diſtenta ſit .K.z. baſis autem .m.
g. bifariam diuiſa ſit in puncto .a.
larem eſſe ad .m.g. ex .8. primi Eucli. cum .b.m. et .b.g. (baſes triangulorum .b.d.m.
Accipiatur deinde vel intelligatur .g.p. æqualis duabus te
q́ue .b.p. quam probabo maiorem eſſe duplo ipſius .a.p. vnde maior erit latere ipſius
trigoni æquilateris, cuius dimidium eſt .a.p. ſcimus enim ipſum latus ſe habere ad .m.
g. vt quinque ad .3. ita etiam .a.p. ad .a.g. vt diximus.
Cum
vnius recti ex .32. primi, dictus angulus erit graduum .18. et .a.g. erit partium .30902.
et .a.b. partium .95015 et .a.p. 51503. vnde ex penultima primi latus .b.p. erit par-
tium .108075. duplum vero ipſius .a.p. erit .103006. latus igitur dicti trigoni, quod
ab .p. erigitur, ſecabit perpendicularem .a.b. ſub .b. hoc eſt inter .b. et .a. ex penultima
primi. Finiatur enim triangulus æquicrurus .b.q.p. quem probaui maiorem eſſe æ-
quilatero iſoperimetro pentagono propoſito,
rallela ipſi .b.g. quæ concludet triangulum .g.u.n. ſimilem triangulo .m.b.g. eo quod
cum angulus .m.b.g. æqualis ſit angulo .b.g.u. ex .16. tertij, per .27. primi .m.b. et .g.u.
erunt inuicem
angulus .g.u.n. æqualis erit angulo .u.g.b. quare etiam angulo .g.b.m. & angulus .u.n.
g. angulo .b.g.m. ex .32. eiuſdem, vnde ex .4. ſexti proportio .g.n. ad .g.m. erit .vt .g.u.
ad .m.b. ſed cum .g.u. maior ſit dimidio ipſius .b.g. ex .20. primi, hoc eſt maior dimi-
dio ipſius .b.m. ergo .g.n. etiam maior erit ipſa .g.a. quapropter maior erit ipſa .g.p.
cum .g.p. minor ſit ipſa .g.a. ex hypotheſi, ducta deinde cum fuerit .b.n. habebimus
triangulum .b.n.g.
vel quia totum maius eſt ſua parte. Triangulus igitur .b.u.g. maior eſt triangu-
lo .b.p.g. quare triangulus .b.u.o. maior erit triangulo .g.o.p. ex communi conceptu,
idem infero ab alia parte dictarum figurarum. Quare pentagonus .b.d.m.g.u. maior
erit triangulo .b.q.p. quem probauimus maiorem eſſe triangulo æquilatero ſibi iſo-
perimetro.
QVod autem periferia quadrati in eodem circulo inſcripti, in quo ſit triangu-
lus æquilaterus, longior ſit periferia ipſius trianguli æquilateri, abſque vllo
ſideras.
Quapropter ſit circulus .b.a.e.q. in quo ſit
tum .b.a.q.u. cuius periferiam probabo longiorem eſſe periferia trianguli. Sit enim
diameter circuli .b.q. qui etiam erit diameter quadrati, vt à te ſcire potes. Sit etiam
vnde ſequitur quod dictus
diameter ſecabit latus .n.e. trianguli ad rectos & per æqualia in .t. Nam cum arcus .b.
e. æqualis ſit arcui .b.n. ex .27. tertij, remanet vt arcus .q.e. equalis ſit arcui .q.n. vnde
angulus .q.b.e. æqualis erit angulo .q.b.n. ex .26. eiuſdem. quare ex .4. primi anguli
ad .t. erunt recti, et .n.t. æqualis erit ipſi .t.e. vt diximus.
Deinde .b.e. et .q.a. ſeinuicem
ſtea .q.e. vnde habebimus angulum .b.e.q. rectum ex .30. tertij, quare ex .18. primi .q.
o. longior erit ipſa .q.e. et .q.e. longior erit ipſa .e.t. quare .q.o. longior erit ipſa .t.e.
Vt probemus poſtea .b.a.o. longiorem eſſe ipſa .b.e. producatur .b.a. ita quod .a.
p. æqualis ſit ipſi .a.o.
b.a.o.
angulus .a.p.o. erit dimidium recti, & ſimiliter, exijſdem, angulus .b.q.a. eſt dimidium
recti quare angulus .a.p.o. æqualis erit angulo .a.q.b. ſed angulus .a.e.b. æqualis eſt an
gulo .a.q.b. ex .20. tertij, ergo angulus .b.p.o. æqualis erit angulo .b, e.a. angulus vero
a.b.e. communis eſt ambobus triangulis .a.b.e. et .o.b.p. quare ex .32. primi anguli .
b.a.e. et .b.o.p. reliqui ex duobus rectis æqua
Quare ex quarta ſexti,
et .18. quinti proportio .b.o. ad .b.p. erit, vt
b.a. ad .b.e. ſed ex .18. primi .b.o. maior eſt
ipſa .b.a. quare ex .14. quinti .b.p. maior erit
ipſa .b.e. ſed .b.p. æquatur ipſis .b.a. cum .a. o
ex hypoteſi, ergo .b.a. cum .a.o. maior erit
ipſa .b.e. ſed .q.o. maior erat ipſa .t.e. vt ſupe
rius vidimus, quare .b.a. cum .a.o. et .o.q. ma
ior eſt ipſa .b.e. cum .e.t. hoc eſt dimidium
periferię ipſius quadrati,
periferię quare ex 14.
dicta tota periferia dicti trianguli, ſimiliter
probarem de omnibus alijs figuris regulari
bus eodem circulo inſcriptis.
ca illas duas Archimedis propoſitiones, quæ in translatione Tartaleæ ſunt
ſub numeris .4. et .5. & in impreſſione Baſileæ ſub numeris .6. et .7. vbi
tractat
A ſpice igitur in .4. ſupradicta, quod cum appen-
ſæ fuerint omnes illæ partes ponderum, partibus longitudinis ipſius .l.K. in qua volo
vt à punctis .e. et .d. imagineris duas lineas .e.o. et .d.u. inuicem æquales, & ferè per-
pendiculares ipſi .l.K. hoc eſt reſpicientes mundi centrum; imagineris etiam .o.u.
Hinc nulli dubium erit,
cum .g. fuerit centrum totius ponderis appenſi ipſi .l.K. quod .i. ſimiliter erit centrum
cum directe locatum ſit ſupra .g. hoc eſt in eadem directionis linea, quod quidem
non indiget aliqua demonſtratione, cum per ſe ſatis pateat. Vnde ex communi
conceptu .o. erit centrum ponderis appenſi ipſi .l.h. et .u. erit centrum ponderis ap-
penſi. ipſi h.K. Scimus
tinuatorum per totam .l.k. Nunc ergo ſi conſideremus .l.k. diuiſam eſſe, hoc eſt di-
ſiunctam in puncto .h. inueniemus nihilominus .i. centrum eſſe dictorum ponderum,
& quod tantum eſt, ipſam eſſe
ex hoc, punctum .i. erit magis vel minus centrum duorum ponderum .l.h. et .h.k. quo
rum vnum pendet totum ab .o. aliud verò totum ab .u. & hoc modo in longitudine .
o.u. diuiſa vt dictum eſt, habebimus propoſitum.
Reliquam propoſitionem tibi relinquo.
Illa verò propoſitio, quam tibi dixi Archimedem tacuiſſe in huiuſmodi materia
eſt, quod ſi duo pondera æquilibrant ab extremis alicuius ſtateræ, in certis præfixis
diſtantijs à centro. Tunc dico ſi eorum vno manente alterum moueatur remotius
ab ipſo centro quod illud deſcendet, & ſi vicinius ipſi centro appenſum fuerit aſcen-
det. Hæc enim propoſitio quotidie omnibus in locis videtur, ipſam verſo4;
puto Ar
chimedem prætermiſiſſe ob facilitatem, cum ab antedicta ferè dependeat.
Sit exempli gratia ſtatera .a.u. cuius centr um ſit .i. & pondera .u.a. appenſa, ſein-
Nunc dico quod ſi pondus ipſius .u.
poſitum fuerit vicinius centro vt puta in .o. inmoto exiſtente pondere, a. quod bra-
chium .i.o.u. aſcendet, & è conuerſo, ſi remotius poſitum fuerit, deſcendet.
brachio .i.u. vnde minor proportio erit ipſius .i.o. ad .i.a. quàm.i.u. ad eundem .a.i. &
conſequenter quam ponderis ipſius .a. (quod ſit .n.e.) ad pondus ipſius .u. Quare ſi cx
pondere .n.e. dempta fuerit .e. pars eius, ita quod reliqua pars .n. ſe habeat ad pondus
o. vt ſe habet. iaddita verò parte .e. ex com-
muni conceptu, a. deſcendet vnde .o. aſcenderet conuerſum verò ex ſimilibus ratio-
nibus per te concludes.
In eo quod à me petis, mittendo te ad Eutotium, tibi non ſatisfacerem, cum Eu-
totius citet ſextum librum Pergei, quem nunquam vidimus,
ipſe nec alius vnquam quod ſcimus probauit.
Deſideras enim demonſtrationem illius quod Archimedes dicit inter primam,
& ſecundam propoſitionem ſecundi libri, vbi tractat de centris grauium, propte-
rea quod illud ſupponit pro manifeſto.
Sit enim figura hic ſubſcripta, ferè ſimilis parabolæ poſitæ in .2. propoſitione di
cti libri, vt in impreſſione Baſileenſi habetur,
lia à punctis .x. et .u.
ex .30. primi Eucli. vnde ipſæ etiam, diametri erunt ipſarum portionum:
vt ex eo col
ligere eſt, quod in .49. primi lib. Pergei probatur. Imaginando poſtea ad puncta .b.
f. er
tudinem huiuſmodi portionis, et .f. et .i. terminantia altitudines partialium, ex .5. ſe
cundi ipſius Pergei, eo quod dictæ contingentes paralellæ erunt ipſis baſibus, vnde
trianguli inſcripti, eaſdem habebunt altitudines, quas portiones ipſæ, quod erit ex
mente Archimedis. Et ſic deinceps poteris multiplicare angulos ſiguræ rectilineæ
in parabola, quæ deſignata erit vt deſiderat Archimedes, qui quidem dicit, quod
protractæ cum fuerint aliæ deinceps poſt .f.i. ipſæ inuicem ęquidiſtantes
q́ue peræqualia ab .d.b. quod
eſt, cum ſupponat .a.f.b. æqualem eſſe ipſi .b.i.c. probare volens eius diametros æqua
les eſſe abſque aliqua citata ratione, quæ quidem ratio eſſet conuerſum .4. propoſi-
tionis libri de conoidalibus. Sed oporteret nos
& propterea tibi non ſatisfacerem.
Eſto igitur, ut inuenta ſit linea .K. cuius productum in .u.i. æquale ſit qua drato ip
ſius .u.c. inuenta etiam ſit linea .h. cuius productum cum .f.x. æquale ſit quadrato ip-
ſius .a.x. vnde ex conuerſo .49. primi ipſius Pergei, proportio ipſius .K. ad .b.c. erit ut
ipſius .b.c. ad .b.d. & ipſius .h. ad .a.b. vt ipſius .a.b. ad .b.d. Erit igitur ex .16. ſexti Eucl.
quadratum .b.c. æquale producto ipſius .K. in .b.d. & quadratum .a.b. æquale produ-
cto ipſius .h. in .b.d. & ex prima ſexti, ita erit ipſius .K. ad .h. vt producti quod fit ex .K.
in .b.d. ad productum ipſius .h. in .b.d. hoc eſt vt quadrati ipſius .b.c. ad quadratum ip
ſius .b.a. ex .16. et .11. quinti, hoc eſt vt quadrati ipſius .u.c. ad quadratum ipſius .a.x.
hoc eſt ut productum ipſius .k. in .u.i. ad productnm ipſius .h. in .x.f. Nunc ſi ipſius .k.
ad .h. c
& communi conceptu, proportio ipſius .k. ad .h. compoſita erit ex ea quæ ipſius .u.i.
ad .f.x. & ex ea quæ ipſius .k. ad .h. Cum ergo dempta fuerit proportio ipſius .k. ad .h.
(vt ſimplex) à proportione ipſius .k. ad .h. (vt compoſita) reliquum nihil erit. Qua-
re .f.x. æqualis erit ipſi .u.i.
Sed quod .f.m. æqualis ſit ipſi .m.i.
Videto in Eutotio, quia hoc ſatis ſui natura
facile eſt.
Sed accipe alium modum breuiorem ad probandum .f.x. eſſe æqualem ipſi .u.i.
Finge lineam .e.b.g. conting entem in puncto .b. prolungatisq́ue diametris f.
x. et .u.i. vſque ad contingentem ipſam, habebis .f.e. æqualem ipſi .f.x. et .g.i. ipſi .u.i.
Ex .35. primi Pergei, producta poſtea .x.u. habeb is ex .2. ſexti Eucli .x.u. parallelam
ipſi .a.c. ſed .e.g. parallela eſt ipſimet .a.c. ex quinta ſecundi ipſius Pergei, quare ex .30
primi Euclid .e.g. parallela erit ipſi .u.x. & ex .34. eiuſdem æqualis erit .e.x. ipſi .u.g.
vnde .f.x. etiam æqualis erit .u.i. ex communi conceptu.
Sed ne quid deſideres probabo .f.m. æqualem eſſe ipſi .m.i.
Iam igitur ſcis quod
erit ipſi .x.u. ex .33. primi Euclidis. Vnde ex .30. eiuſdem, parallela erit etiam ipſi .a.
c. ſed cum .x.u. diuiſa ſit ab .d.b. per æqualia, eo quod diuidit .a.c. eodem modo, quę
ipſi parallela eſt ex .2. ſexti. Reliqua tibi conſideranda relinquo.
cum verò ambæ .f.
x. et .u.i. parallelæ ſint ipſi .b.d. ſequitur quod cum ex .34. primi
i. æqualis ſit medietati ipſius .x.u. erunt inuicem æquales.
Minime dubitabam tibi non ſatisfacere Eutocium in .3. propoſitione ſecundi
lib. de centris Grauium Archimedis, cum citet .6. librum de elementis conicis, ad-
de quod ſi aliud in ipſo .6. libro ab eo citato non eſſet magis ad propoſitum, quàm
ca quæ ab ipſo citata ſunt, nihilominus adhuc irreſolutus maneres.
Conſidera igitur eandem ipſam figuram præcedentem;
pro alia verò parabola ſi
mili dictæ, accipe ſecundam figuram ipſius tertiæ dictæ propoſitionis. Deinde ima
ginabis duo latera .o.x. et .o.p. diuiſa eſſe per æqualia in punct is .g. et .K.
diametris .g.y. et .K.u. quæ, vt in præcedenti probaui, ſunt inuicem æquales, ſcire
debes quod ſimiles parabolæ inuicem aliæ non poſſunt eſſe, niſi eæ quæ diametros
proportionales ſuis baſibus habeant,
b.d. ad .a.c. ſit eadem quæ ipſius .o.r. ad .x.p. & quod anguli ad .r. ſint æquales angulis
circa .d. Notentur ergo primum puncta communia ip ſius .o.g. cum .y.t. & ipſius .b. x
cum .f.m. characteribus. ωNunc igitur ſcimus .f.m. æqualem eſſe .m.i. tota
i. parallelam eſſe ipſi .a.c. Idem dico de .y.t.u.
triangulis .n.m.b. et. ω
ſunt inuicem æquales, ex .29. verò eiuſdem anguli .f.x.n. et .n.b.m. ſimiliter æquales
ita etiam .n.f.x. et .n.m.b.
Idem dico in ſecunda figura, vnde ex .4. ſexti Eucli. proportio .n.f. ad .m.n. erit ea
dem quę .f.x. ad .b.m. & ipſius .n.f. ad .x.f. vt .n.m. ad .m.b. ex .16. quinti. Quare ex .11.
Idem etiam dico in ſecunda parabola, ſed ipſius .x.o. ad
o.r. eſt vt .a.b. ad .b.d. ex .6. ſexti Eucli. vnde ex .11. quinti .n.f. ad .f.x. erit vt .ω.y.
ad .y.g. Sed in precedenti iam tibi dixi .a.b. mediam proportionalem eſſe inter .h.
et .b.d. Sit nunc .z. pro ſecunda parabola, ita ut .h. eſt pro prima, vnde .o.x. crit media
proportionalis inter .z. et .o.r. & ex .11. quinti ita erit .h. ad .a.b. vt .z. ad .x.o. & ex .22.
h. ad .a.x. ut z. ad .x.g. & quia ex .16. ſexti .a.x. media proportionalis eſt inter .h. et .f.
x. cum ſupponatur productum .h. in .f.x. æquale eſſe quadrato .a.x. Idem dico .x.g.
mediam eſſe proportionalem inter .z. et .g.y. quare ex .11. iam dicta, ita erit .a.x. ad .f.
x. vt .y.g. ad .x.o. & ex eadem, ita erit ipſius .f.n. ad .a.b. ut .y.ω. ad .x.o. & ſic .f.n. ad .d.a.
vt .y.ω. ad .x.r. ſed .f.m. ad f.n. eſt vt .y.t. ad .y.ω. ex .18. quinti vnde .f.m. ad .a.d. erit vt
y.t. ad .x.r. Idem dico de eorum duplis.
Ex ijſdem rationibus dico ita eſſe .b.d. ad .b.m. vt .o.r. ad .o.t. & ex .17. quinti .d.m.
ad .b.m. vt .r.t. ad .t.o. Reliqua tibi conſideranda relinquo.
In reliquis verò propoſitionibus illius lib. nullo pacto poteris dubitare:
Verum ne
in .4. aliquid tibi noui exurgat, te ſcire volo corollarium .20. in libr. de quadratu
ra parabolę docere poſſibile eſſe inſcriptionem rectilineæ, ea tamen conditione
dicit Archimedes.
In quinta poſtea animaduertendum eſt, quod prima pars, probat tantummodo de
centro trianguli, et .2. pars probat de centro pentagoni, à te ipſo deinde potes pro-
bare de centro nonanguli: & ſic de cæteris:
eo quod cum probatum fuerit de centro
figuræ in medio locatæ ſi conſtitutæ poſtea fuerint ſimiles figuræ in portionibus la-
teralibus habebitur propoſitum in infinitum.
Idem intelligendum eſt in .3. propoſitione quamuis exemplum vlterius non ex-
tendatur quam ad pentagonos.
Sexta verò
cet. Sint .4.
inſcripta in parabola, et .b. pro reſiduo ipſius parabolę et .c. pro triangulo .a.b.c. in me
dio ipſius parabolę et .d. pro triangulo .r. Nunc cum .a. maior ſit .c. prout totum ma-
ius eſt ſua parte, ideo ex .8. quinti maior proportio habebit .a. ad .b. quam .c. ad .b.
Cum autem .b. minor ſit .d. ex ſuppoſito, ideo ex eadem dicta, maior proportio habe
bit .a. ad .b. quam .c. ad .d. cum verò centrum cuiuſuis figuræ plenæ neceſſariò ſit intra
ipſam figuram, idcirco centrum reſidui ipſius parabolę intra ipſam reperietur. quod
ita
de centris, neceſſariò eſt in linea .b.h. inter .b. et .h. Sit igitur .g. vnde ex eadem .8. ita
erit .g.h. ad .h.e. vt .a. ad .b. ergo .g.h. ad .h.e. maior proportio erit
quam .b.h. ad .f. ex .12. quinti. Sed
ius eſt ſua parte, ideo maior proportio habebit .h.b. ad .h.e. quam .h.g. ad .h.e. vnde
multo quare .h.e. erit minor ipſa .f. ex .10.
Septima verò et .8. propoſitio nullius tibi erit difficultatis.
Quamuis Eutotius ſcribat ſuper duas vltimas lib. ſecundi de centris
miror ipſum tibi non ſatisfacere. Accipe igitur quod ego nunc tibi mitto.
Archimedes eo in loco
proportionales .a.b: c.b: d.b: et .e.b: ſupponit etiam quod proportio quæ eſt ipſius .
e.b. ad .e.a.
poſiti dupli ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
ipſius .b.d. cum quintuplo ipſius .b.e. eadem ſit quæ ipſius .g.h. ad .a.d. & vult proba-
re .f.h. eſſe duas quintas ipſius .a.b.
Cum autem dicit proportionem ipſius .a.c. ad .c.d. & ipſius .c.d. ad .d.e. eſſe vt ipſius
a.b. a
ipſius, a.b. totalis ad .c.b. totalom vt ipſius .c.b. partialis (ſumptæ vt pars abſciſa ab .a.
b. pro nunc) ad .d.b. partialem (abſciſam ab .c.b.) erit ex .19. dicta ipſius .a.c. (reſidui
ex .a.b.) ad .c.d. (reſiduum ex .c.b.) vt ipſius .a.b. ad .c.b. & ita probabitur de pro-
portione ipſiuas .c.d. ad .d.e. eadem ratione.
Cum verò ex .18. quinti ſit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .c.b. vt ipſius .a.d. ad .d.e. ergo ex
22. eiuſdem, ita erit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .d.b. vt .a.d. ad .d.e. & exijſdem rationibus
eadem proportio erit ipſius .c.b. cum .d.b. ad .b.e. vt .a.d. ad .d.e. quod inquit Archi. Verum etiam erit (ex .13. quinti) cum dicit eandem proportionem eſſe ipſius .a.d.
ad .d.e. quę dupli primi antecedentis cum ſimplo ſecundi antecedentis ad duplum
primi conſequentis cum ſimplo ſecundi conſequentis, hoc eſt dupli ipſius .a.b.c.
ſimplo .c.b.d. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b. hoc eft dupli .a.b. cum triplo ip-
ſius .b.c. cum ſimplo .d.b. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b. Nunc duplum .a.b.
cum triplo .b.c. cum ſimplo .b.d. ſignatum ſit charactere .D. ſuum verò conſequens,
hoc eſt duplum .d.b.
Inquit nunc Archimedes, ſi quis ſumeret aliquod maius antecedens æquale ſci-
licet duplo ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.e. cum quadruplo ipſius .b.d. cum du-
plo ipſius .b.e.
tale antecedens maiorem proportionem haberet ad .B. quam ad .D. hoc eſt maiorem
quàm ipſius .a.d. ad .d.e. ex .12. quinti.
Nunc ſi ſumpta fuerit aliqua linea, puta .d.o. cui .a.d.
maiorem, larum erit ex ſecunda parte decimę quinti quod .d.o. minor erit ipſa .d.e.
Corrige igitur impreſſionem Baſileę locando characterem .o. inter .d. et .e. eo quod
ibi poſitum non fuit.
Volo nunc quod dictum maius antecedens æquale ſcilicet duplo ipſius .a.b. cum
quadruplo ipſius .b.c. cum quadruplo ipſius .b.d. cum duplo ipſius .b.c. ſignificetur à
charactere .A. Hinc habebimus proportionem ipſius .a.d. ad .d.o. ut .A. ad .B.
Ex .18. quinti poſtea habebimus .A.B. ad .B. vt .a.o. ad .d.o. & proportionalitate
euerſa in .19. dicti ita erit .A.B. ad .A. vt .a.o. ad .a.d. Sed hoc vltimum antecedens in
b.c. ſexcuplum ipſius .b.d. & triplum ipſius .b.e. Conſequens verò .A. continet du
plum ipſius .a.b. quadruplum ipſius .b.c. quadruplum ipſius .b.d. & duplum ipſius .b.e.
Ex ſuppoſito deinde ipſius Archimedis & ex conuerſa proportionalitate in .19.
dicta, verum eſt id quod dicit Archimedes, videlicet quod eadem proportio eſt
ipſius .a.d. ad .g.h. quod quintupli ipſius .a.b. cum quintuplo ipſius .b.e. cum decuplo
ipſius .b.c. cum decuplo ipſius .b.d. (quod quidem antecedens ſignificetur per .V.)
ad duplum ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
ipſius .b.e. hoc eſt ad .A.B.
Erit igitur .V. ad .A.B. vt ipſius .a.d. ad .g.h. ſed ſuperius vbi ſignatum eſt .T. iam
probatum fuit ita eſſe .A.B. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .a.d. Ergò ex .23. quinti Archime
des verum ſcribit, hoc eſt quod ita erit ipſius .V. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .g.h.
Clarum per ſe etiam eſt, id quod Archimed. dicit hoc eſt quod .V. ad .A. eſt vt
gredientium in compoſito .A. ſit vt quinque ad duo. Quare ex .13. quinti verum
dicit. Vnde .a.o. ad .g.h. erit vt
Corrige impreſſionem vbi ſcriptum eſt, rurſus quoniam .o.a. quia oportet dicere
Rurſus quoniam .o.d.
Archimedes igitur verum dicit, quod ipſius .o.d. ad .d.a. eſt vt ipſius .B. ad .A. ex
B.) ita eſſe ut .A. ad .B.
Sed in principio huius ſpeculationis probatum iam fuit ita eſſe ipſius .d.a. ad .d.e.
vt ipſius .D. ad .B. vbi notatum eſt .M. quare ex .23. quinti, Archimedes verum dicit,
qu od .d.o. ad .d.e. erit vt .D. ad .A.
Sed cum .d.o. ad .d.e. ſe habeat ut .D. ad .A. erit ex conuerſa proportionalitate iam
dicta .d.e. ad .d.o. vt .A. ad .D. per euerſam vero erit .d.e. ad .a.o. vt .A. ad ſuum reſi-
quod reſiduum componitur ex ſimplo .b.c. cum triplo .b. cum duplo .b.o. quod
à te ipſo videre poteris detrahendo numeros ipſarum quantitatum quæ in .D.
reperiuntur, ex numeris earundem, quæ in .A. quod quidem reſiduum ſigniſicetur
à charactere .E. Vnde ex conuerſa proportionalitate verum dicit Archime. hoc eſt
quod ita ſe hab ebit .o.e. ad .d.e. vt .E. ad .A.
Cum autem ſit .a.b. ad .c.b. vt .c.b. ad .d.b. & ita .d.b. ad .e.b. ex ſuppoſito, ideo ex
17. quinti verum dicit Archim. hoc eſt quod ita erit ipſius .d.e. ad .e.b. vt .a.c. ad .c.b.
& vt .c.d. ad .d.b. & ex .13. eiuſdem eadem proportio erit tripli ipſius .c.d. ad triplum
ipſius .d.b. quæ dupli ipſius .d.e. ad. duplum ipſius .e.b. vt inquit Archi.
Ex qua .13. compoſitum ex .a.c. cum triplo ipſius .c.d. cum duplo ipſius .d.e. ean-
dem proportionem habebit ad
ipſius .e.b. quam ipſius .d.e. ad .e.b. Sed horum compoſitorum primum ſignificetur
per .H. ſecundum verò ſignificatum fuit per .E. vnde .H. ad .E. ſe habebit vt .d.e. ad
e.b. ſed .E. ad .A. iam dictum eſt eſſe vt .o.e. ad .d.e. vbi ſignatum eſt .λ. quare ex .23.
quinti eadem proportio erit ipſius .o.e. ad .e.b. quæ .H. ad .A. vt ipſe inquit.
Ex .18. poſtea eiuſdem ita erit .o.b. ad .e.b. vt .H.A. ad .A.
Notandum etiam eſt quod ſi collectæ fuerint omnes partes compoſiti .H.A. hoc
eſt duplum .a.b. cum duplo .b.e. cum quadruplo .b.c. cum quadruplo .b.d. cum ſimplo
a.c. cum triplo .c.d. cum duplo .d.e. habebitur triplum .a.b. triplum .b.d. & ſexcuplum
b.c. vt ipſe dixit. Quod autem hoc verum ſit, cum diſtinctæ fuerint omnes partes,
vt in ſubſcriptis his lineis videre eſt, videbis quod ſi ex .H. detracta fuerit ſimplex .a.
c. quæ quidem poſtea iuncta vni ex partibus quadrupli .b.c. ipſius .A. reſultabit nobis
vna inte gra .a.b. Vnde habebimus triplum ipſius .a.b. & in .A. remanebit triplum ip
ſius .c.b. Deinde ſi ex .H. auferatur triplum ipſius .c.d. & ipſum addatur tribus parti-
bus quadrupli .b.d. ipſius .A. habebimus tres vices .b.c. quæ ſi iungantur tribus, quæ
remanebant in .A. vt dixi, habebimus ſexcuplum ipſius .b.c. & in .A. remanebit ſim
plum .b.d. cum duplo ipſius .b.e. Vnde ſi ex .H. demptum fuerit duplum ipſius .d.
e. quod quidem iungatur cum duplo ipſius .b.e. habebimus duplum ipſius .b.d. quod
coniunctum cum ſimplo .b.d. quod in .A. relictum fuerat, habebimus triplum ipſius
d.b. Verum igitur eſt quod inquit Archimedes, hoc eſt, quod .H.A. eſt triplum ip-
ſius .a.b. ſexcuplum ipſius .b.c. & triplum ipſius .b.d.
Verum etiam dicit ex eo (vt ſupra probatum eſt) quod .a.c: c.d: et .d.e. ſe
in continua proportionalitate, quare ex conuerſa proportionalitate erunt ſibi inui-
cem continuæ proportionales.
Nunc autem cum .a.c: c.d. et .d.e. ſint continuæ proportionales in ea proportione
in qua ſunt .a.b: c.b: d.b: et .e.b. vt in principio diximus, erit ex .22. quinti .a.c. ad .d.
e. vt .a.b. ad .d.b. & ſic etiam .c.b. ad .e.b. Vnde ex .24. eiuſdem .a.d. ad .d.e. erit vt .a.
b. cum .b.e. ad .d.b. & vt .c.b. cum .b.d. ad .e.b. & ex .13. dicti vt .a.b. cum .b.e. bis
ſumpto, & cum .b.d. ad .e.b. Quare ex conuerſa proportionalitate, vt ſe habet .e.d.
ad .d.a. ita ſe habebit .e.b.
medes. Nunc antecedens vocetur .M. hoc eſt .b.e. cum .d.b. conſequens verò, hoc
Animaduertendum tamen eſt quod impreſſio mendoſa eſt ubi dicit.
vnaquæque .c.b: b.d. & cætera,
propterea quod dicendum eſt ita
Nunc ex .18. quinti, quemadmodum ſe habet .a.e. ad .d.a. ita ſe habebit .M.N. ad .N.
Vbiautem ſcriptum eſt
ad vtrunque ſimul .b.d: d.a. cum dupla .b.c.
dicendum eſt ita,
ad vtranque ſimul .b.d.b.a. cum dupla .b.c.
Inquit deinde Archi. quod ſicut ſe haber .e.a. ad .d.a. ita ſe habebit duplum .M.N.
ad duplum .N. Quod quidem verum eſt ex .13. quinti, huiuſmodi verò antecedons
& conſequens, Archi. manifeſtat ex ſuis partibus, ſumendo duplum .e.b. cum duplo
b.d. pro duplo .M. & duplum .b.d. cum duplo .a.b. cum quadruplo .b.c. pro duplo .N.
quę ſimul iuncta æquantur duplo .e.b. cum duplo .a.b. cum quadruplo .b.d. cum qua-
druplo .b.c. ex quo æquabuntur .A. vocentur igitur hæc omnia .A. potius quàm du-
plum ipſius .M.N.
Verum etiam ſcribit, vbi dicit, quod proportio .e.a. ad tres quintas ipſius .a.d. erit
vt .A. ad tres quintas dupli .N. ex .22. quinti. Sed cum ex ſuppoſito ita ſe habeat .f.
g. ad tres quintas ipſius .a.d. quemadmodum .b.e. ad .e.a. erit ex .16. quinti verum
dicit Archimed. hoc eſt, ita ſe habere .b.e. ad .f.g. vt .e.a. ad tres quintas ipſius .a.d.
Et per .11. eiuſdem verum etiam erit quod ſicut ſe habet .e.b. ad .f.g. ita ſe habe-
bit .A. ad tres quintas dupli .N. quod quidem duplum .N. ſignificetur per .Q.
Sed ſuperius iam demonſtratum fuit (vbi .X.) quod .o.b. ad .b.e. ita ſe habebat vt
H.A. ad .A. &
ad .f.g. Quare ex .22. quinti ita erit .H.A. ad tres quintas ipſius .Q. vt .o.b. ad .f.g. vt
Sed .H.A. ad .Q. (vt ex ſuis partibus videre eſt) ita ſe habet vt tres ad duo ex .13.
quinti, vt inquit Archimedes.
Ipſe etiam dicit proportionem .H.A. ad tres quintas ipſius .Q. eſſe vt quinque
ad duo. Pro cuius rei euidentia imaginemur tam .H.A. quam .Q. diuiſa per
partes æquales, vnde ex .16. quinti habebimus quamlibet quintam
Q. erunt, ex communi conceptu, ſex tertiæ vnius quintæ ipſius .H.A. hoc eſt duæ
quintæ. ipſius .H.A. Quare .o.b. ita ſe habebit ad .f.g. vt quinque ad duo ex commu
ni
Q. (vbi .Y.) ſed iam probatum fuit (vbi. ω) quod .o.a. ad .h.g. erat etiam vt
quinque ad duo, hoc eſt quod .f.h. erit duæ quintę ipſius .a.b. Quod eſt propoſitum.
In vltima verò propoſitione ſecundi lib. de ponderibus Archi. hoc modo intelli
gendus eſt, vt ſi diceret,
Sit paraboles .a. cuius baſis ſit .a.c.
b.f. Inquit deinde quod linea contingens in .b. parallela erit ipſi .a.c. et .e.d. quod proba
bimus hoc modo. Cum .b.f. diameter ſit et .a.c. baſis, clarum erit ex definitione quod .b.f. diuidet .a.c.
per æqualia in .g. Vnde ex .7. vel etiam ex .46. primi Pergei .d.e. diuiſa erit per æqua
lia à diametro .b.f. Quare verum dicit ex quinta ſecundi ipſius Pergei hoc eſt quod
dicta contingens in puncto. b parallela erit ambobus .a.c. et .e.d.
Inquit poſtea quod diuiſa cum fuerit pars diametri quę inter .d.e. et .a.c. poſita eſt
(hoc eſt .g.f.) per quinque partes æquales,
imaginatione ſit in puncto .i. ita quod proportio ipſius .h.i. ad .i.K. eadem ſit quæ in-
ter duo ſolida quorum vnum (illud ſcilicet à quo relatio incipit, hoc eſt antecedens)
pro ſua baſi teneat quadratum ipſius .a.f. cuius etiam ſolidi altitudo compoſita ſit ex
Aliud verò ſolidum habeat pro ſua baſi quadra-
tum ipſius .d.g. eius verò altitudo compoſita ſit ex duplo ipſius .a.f. cum ſimplo .d.g.
Inquit nunc Archi. quod cum ita factum fuerit, oſtendet punctum .i. centrum eſſe
portionis abſciſſę à tota ſectione, quod
Sit igitur num@. m.n. inquit, æqualis diametro .b.f. et .n.o. æqualis .b.g.
dia proportionalis inter .n.m. et .n.o. et .t.n. in continua proportionalitate poſt .o.n.
hoc eſt quod ea proportio quæ eſt ipſius .o.n. ad .n.t. eadem ſit ipſius .x.n. ad .n.o. Hinc
habebimus .4. lineas in continua proportionalitate ſibi inuicem coniunctas .m.n: x.
n: o.n. et .t.n.
Vult etiam quod à linea .i.b. incipiens ab .i. verſus .g. alia linea abſciſſa ſit, cui li-
Dicit poſtea quod diameter .b.f. erit fortaſſe a xis vel aliqua reliquarum diame-
trorum, quod quidem in .46. primi Pergei videre eſt, cum omnes diametri ſint in-
uicem paralleli ipſi axi.
Cum poſtea dicit, quod .a.f. et .d.g. ſunt intentæ ductæq́ue, ibi vult id em infer-
re, quod Pergeus vocat ordinatè, vt ex .11. et .49. primi ipſius Pergei videre li-
cet, vnde ex .20. eiuſdem proportio .b.f. ad .b.g. erit vt quadrati .a.f. ad quadratum
ipſius .d.g. vt ipſe dicit.
Sed ita erit quadrati .m.n. ad qua
Quare ex .11. quin-
quam quadratum ipſius .a.f. ad quadratum ipſius .d.g. Vnde ex .18. & ex communi
Quaptopter proportio cubi ipſius .m.n. ad cubum ipſius .n.x. erit vt cubi ipſius .a.
f. ad cubum ipſius .d.g. vt etiam dicit ex communi ſcientia, nec non ex .36. vndecimi.
Inquit poſtea quod proportio totius ſectionis .a.b.c. ad portionem .d.b.e. eadem
eſt quæ cubi ipſius .a.f. ad cubum ipſius .d.g. quod verum eſt, vt aliàs tibi monſtraui in
diuiſione parabolæ ſecundum aliquam propoſitam proportionem.
Quando autem dicit quod proportio cubi ipſius .m.n. ad cubum ipſius .n.x. eadem
Vnde ex .11. quinti ita ſe
habebit totalis ſectio .a.b.c. ad portionem .d.b.c. vt .m.n. ad .n.t. & ex .17. eiuſdem ita
erit ipſius .m.t. ad .t.n. vt fruſti .a.d.e.c. ad ſectionem .d.b.e. quemadmodum ipſe di-
cit. Sed quia ſuperius, vbi .A. ipſa .f.h. (quæ eſt tres quintæ ipſius .f.g.) ad .i.r. ita rela-
e. vt tres quintę ipſius .f.g. ad .i.r.
Inquit deinde quod proportio corporis iam ſupradicti, quod pro ſua baſi habeat
quadratum ipſius .a.f. altitudinem verò compoſitam ex duplo ipſius .d.g. cum ſimplo
a.f. ad cubum ipſius .a.f. eadem erit quæ dupli ipſius .d.g. cum ſimplo .a.f. ad .a.f. Quod
quidem verum eſt ex .33. vndecimi & ex prima ſexti.
Sed ſuperius (vbi. α.) iam probauimus eandem proportio nem eſſe inter .m.n. &
n.x. quæ inter .a.f. et .d.g. ideo ex conuerſa pro portion alitate ita erit ipſius .x.n. ad .n.
m. vt ipſius .d.g. ad .a.f. ſed dupli .x.n. ad ſimplum .x.n. eſt vt dupli .d.g. ad .d.g. Qua
re ex .22. quinti dupli .x.n. ad .m.n. erit vt dupli .d.g. ad .a.f. & ex .18. eiuſdem ita erit
dupli .x.n. cum ſimplo .m.n. ad .m.n. vt dupli .d.g. cum ſimplo .a.f. ad .a.f. Quare ſolidi
Superius autem vbi. β. demonſtratum fuit ita eſſe ipſius .m.n. ad .n.t. vt cubi .m.n.
ad cubum .x.n. & inter. α et. β probatum fuit ita eſſe cubi .a.f. ad cubum .d.g. vt
cubi .m.n. ad cubum .x.n. Vnde ex .11. quinti .m.n. ad .n.t. erit vt cubi .a.f. ad cubum
d.g.
Dicit poſtea quod eadem proportio erit inter cubum .d.g. & corpus illud quod
pro baſi habeat quadratum inſius .d.g. altitudinem verò vt dictum eſt, quæ eſt inter
d.g. & compoſitum ex duplo .a.f. cum ſimplo .d.g. quod compoſitum eſt altitudo di
cta, & Quare etiam quemadmodum .t.n. ſe habet ad duplum ipſius .o.n. cum ſimplo .t.n.
ex ijſdem rationibus ſupradictis, vbiloquuti ſumus de .x.n. cum .m.n.
Diſponantur
ſi habeat quadratum ipſius .a.f. & c.
Et .y. ſit cubus ipſius .a.f. et .s. ſit cubus ipſius .d.g. et .z. ſit corpus quod baſim ha-
bet quadratum ipſius .d.g. altitudinem verò vt ſupradictum eſt, et .p. ſit compoſitum
dupli .n.x. cum ſimplo .m.n. et .l. ſit compoſitum dupli ipſius .n.o. cum ſimplo .t.n.
Sed .u. locata ſit è regione .p. et .y. è regione .m.n. et .s. è regione .n.t. et .z. è regione .l.
& habebimus proportionem ipſius .u. ad .y. vt .y. ad .m.n. & ipſius .y. ad .s. vt .m.n. ad .
n.t. quod ſuperius iam demonſtratum fuit, vbi, δ. et .s. ad .z. ita ſe habebit vt .n.t. ad .
l. vt vltimò probatum fuit. Quare ex .22. quinti ita ſe habebit .u. ad .z. vt .p. ad .l.
quemadmodum dicit Archi.
Et quia vt ſe habet .u. ad .z. ita facta fuit .h.i. ad .i.K. vbi .R. ideo ex .11. quinti vt ſe
habet .h.i. ad .i.K. ita ſe habebit .p. ad .l. vt ipſe dicit: Et ex .18. quinti ita erit .h.K.
ad .K.i. vt .p.l. ad .l. & ex communi conceptu .g.f. ſe habebit ad .h.K. vt quintuplum
ipſius .p.l. ad .p.l. & ex .22. eiuſdem ita ſe habebit .f.g. ad .i.k. vt quintuplum ipſius .p.
l. ad .l. quintuplum autem ipſius .p.l. compoſitum eſt ex quintuplo ipſius .n.m. cum
decuplo ipſius .n.x. cum quintuplo ipſius .n.t. cum decuplo ipſius .n.o. vt à te facilè
computare potes.
Verum etiam erit ex communi ſcientia quod .g.f. ad .f.k. eſt ut quintuplum ipſius
p.l. ad duplum ipſius .p.l. eo quod ſuperius ſuppoſitum fuit .h.K. eſſe
vnde .k.f. relinquebatur pro duabus quintis inferioribus, duplum autem .p.l. com-
poſitum eſt ex duplo ipſius .m.n. cum duplo ipſius .n.t. cum quadruplo ipſius .n.x. &
cum quadruplo ipſius .x.o.
Ex conuerſa proportionalitate deinde ita ſe habet, i.K. ad .i.k. ad .f.g. vt .l. ad quin-
tuplum ipſius .p.l. et .k.f. ad .f.g. vt duplum ipſius .p.l. ad quintuplum ipſius .p.l. Vnde
ex .24. quinti .i.f. ſe habebit ad .f.g. vt
ipſius .p.l. Deinde ex conuerſa proportionalitate quintuplum ipſius .p.l. ſe habebit
Sed compoſitum dupli ipſius .p.l.
cum ſimplo .l. æquale eſt duplo ipſius .m.n. cum quadruplo ipſius .x.n. cum ſexcuplo
ipſius .o.n. cum triplo ipſius .n.t. vt per te computare potes.
Superius enim ſumpta fuit .i.r. ad quam ita ſe haberet .f.h. hoc eſt tres quintæ ip-
ſius .f.g. vt .m.t. ad .t.n. Quare ex conuerſa proportionalitate ita ſe habebit .i.r. ad tres
quintas ipſius .f.g. vt .t.n. ad .t.m. Et quia .o.n. ſumpta fuit æqualis ipſi .b.g. et .m.n. ipſi
b.f. ideo .m.o. ex communi ſcientia æ qualis erit ipſi .g.f. Vnde proportio .r.i. ad tres
quintas ipſius .m.o. erit vt .n.t. ad .t.m. vt inquit Archi.
Sed vbi. θ. iam probauimus ita ſe habere .i.f. ad .f.g. vt duplum
plo .l. ſe habet ad quintuplum ipſius .p.l. hoc eſt .i.f. ad .m.o. vt duplum ipſius .p.l. cum
ſimplo .l. ad quintuplum ipſius .p.l.
Habemus igitur
propoſitione ſupponit. Vnde ex rationibus ibi allegatis ſequitur .f.r. eſſe duas quin-
tas ipſius .m.n. hoc eſt ipſius .f.b. Quapropter punctum .r. centrum erit ponderis to-
tius ſectionis parabolæ ex .8. ſecundi lib. de ponderibus eiuſdem Archimedis.
Inquit nunc Archimedes, quod exiſtente .q. centro ponderis ipſius parabolæ .d.
b.e. partialis, centrum fruſti erit in linea recta .q.r.f. ita remotum à centro .r. quod
proportio .q.r. ad partem illam ipſius .r.f. quæ reperitur inter centrum .r. & centrum
huius fruſti æqualis eſt proportioni totius parabolæ ad partialem. Quod quidem ve
rum eſt ex .8. primi libri eiuſdem.
Inquit etiam punctum .i. illud eſſe, eo quod cum probatum ſit .f.r. duas quintas eſ-
ſe ipſius .f.b. ideo .b.r. tres quintas erit ipſius .b.f. vt ipſe dicit.
Sed .q.b. ſimiliter tres quintæ eſt ipſius .d.b. ex .8. prædicta.
Quare .q.r. tres quintæ
erit ipſius .f.g. ex .19. quinti.
Dicamus igitur hoc modo cum .f.b. totum ad totum .b.r. ita ſe habeat vt abſciſ-
ſum .b.g. ad abſciſſum .q.b. ex .7. et .8. dicti primi libri eiuſdem ideo reſiduum .f.g. ex
f.b. ad reſiduum .r.q. ex .r.b. erit vt totum .f.b. ad. totum .r.b. ex .19. quinti Eucli.
Sed iam ſub. β. probauimus ita ſe habere fruſtum .a.d.e.c. ad parabolam .d.b.e. vt
m.t. ad .t.n. ſed vt .m.t. ad .t.n. ita aſſ umpta fuit (vbi .A.). i.r. ad quam ſic ſe haberet .f.
h. hoc eſt tres quintæ ipſius .f.g. hoc eſt .q.r. quare ex .11. quinti prop ortio fruſti .a.
d.e.c. ad parabolam partialem erit vt .q.r. ad .r.i. Exiſtente igitur .r. centro totius pa
rabolæ et .q. centro partialis, ergo .i. centrum erit fruſti propoſiti.
Sed ſi nullo ſolido intercedente, voluerimus centrum .i. fruſti .a.e. citius inuenire,
inueniemus primò centrum .r. totius figuræ ex .8. ſecundi eiuſdem conſtituendo .b.r.
tres quintas totius axis .b.f. & centrum .q. parabolæ .d.b.e. partialis ſimiliter.
Nunc igitur manifeſtum eſt nobis, eandem proportionem fore ipſius .q.r.
ad .r.i. quæ fruſti .a.e. ad portionem .d.b.e. ex .8. dicta. Vnde ex coniuncta pro-
portionalitate ita ſe habebit .q.i. ad .i.r. vt .a.b.c. ad .d.b.e. ſed vt .a.b.c. ad .d.b.e. ita ſe
habet .m.n. ad .n.t. eo quod vnaquæque harum duarum proportionum ſeſquialtera
eſt proportioni .f.b. ad .b.g. eo. quod .f.b. ad .b.g. ita ſe habet. vt .m.n. ad .o.n. quare
m.n. ad .t.n. ita ſe habebit vt .g.i. ad .r.i. vnde diſiunctim .m.t. ad .t.n. ita ſe habebit vt
q.r. ad .r.i. Iungatur igitur .r.i. quæ quidem .r.i. ita ſe habeat ad .r.q. vt .t.n. ad .t.m. vt
habeatur centrum fruſti.
hoc vnum erat, quod ip ſe Berga non viderat quendam notatu dignum
errorem ipſius Pi ccolhominei, vbi ipſe Alexander arguit quendam au-
thorem in tractatu de magnitudine terræ & aquæ pag .37. linea .26. ita di
cens, & erit maior aqua.
Quo in loco clare videtur ipſum putare eandem proportionem inter diametros,
quæ inter ſphæras ipſas eſſe, nec amplius recordari eius quod ſcripſerat pag .24.
Piccolhom. igitur ibi
ram terreſtrem, putat omnino cauſam eſſe vt terra ſuperet aquam magnitudine, qua-
ſi quod ſi punctum .D. vt centrum ſphæræ aquæ, vnum
extremo diametri ipſius terræ, ſphæra .A.G.H. ſphæræ .A.B.E. dupla eſſe deberet,
quod quidem nullo pacto fieri poteſt, quamuis etiam proportio .A.H. ad
A.E. ſuperbipartiensſeptimas exiſteret, quæ minor eſſet quam ſeſquitertia, ita quod
quando etiam .D.E. maior medietate ipſius .D.H. fuiſſet, nihilominus tamen
terra minor eſſet aqua, eo quod proportio dupla minor eſt, quam tripla ad
tionẽ
tam. Vnde ſi Piccolhom. ſuppòſuiſſet proportionem ipſius .D.H. ad .C.E. eſſe
ſeſquiquartam, rectè profectò dixiſſet, ſed dicere quod ubicunque exiſtat
D. intra ſphæram terreſtrem, ſequitur ipſam eſſe maiorem aquea, verum non eſt.
Scripſi etiam quod Piccoloho. decipiebatur vbi loquitur de diaphaneitate aquæ
pag .40. ita dicens.
Et cum rationabiliter aliquis exiſtimare non poteſt, quod vmbra quæ facit ori-
ri e cclipſes Lunæ, producta ſit à terra, & ab aqua ſimul, vt ab vno corpore aggre-
gato exijs duobus elementis, & ad vnam communem ſphæreceitatem reductis, pro
pterea quod cum vmbra produci debeat à corporibus opacis, quorum opacitas effi-
cit illa corpora vmbroſa, aqua autem, ſit corpus diaphanum, & tranſparens, nullam
vmbram poterit à ſe eminus producere.
Hic enim decipitur Piccolhom. duabus rationibus, quarum prima eſt, quod ra-
dius luminoſus non poteſt multum in profundum mergi, vt probaui in .8. epiſtola ad
Vimercatum, altera verò eſt, quod cum ſphærica ſit aqua maris, ſupponatur etiam
quod ſub ea nulla terræ portio eſſet, & quod radij ſolares ipſam, non ſecus ac pilam
ex criſtallo fabręfactam penetrarent, cum autem ipſi radij, tam ab una, quam ab alia
parte ſup erficiei huiuſmodi globi
rem & aquam, ipſi ſeinuicem interſecarent, vt poſt pilam criſtallinam videre eſt, de-
inde procedentes, diſgregarentur,
nis haberent, quod quilibet experiri poterit mediante aliquo vaſe uitreo ſphærico,
aqua pleno, cuiuſuis magnitudinis, ſoli expoſito.
Rationes etiam quas eodem loco Piccolho. adducit ad probandum quod ſi quis
in fundo maris exiſteret, nullum uideret lumen, nihil ualent. Quarum prima eſt,
ubi ita dicit.
Ille qui ſe in aquam mergit, cum maiorem lucem, quæ ſupra aquam eſt, relin-
quat, iudicat pro magno temporis ſpatio locum illum obſcurum, quemadmodum
accidit quando per multum temporis ſpatium fixis oculis in corpore Solis intuiti ſu
mus, ab eodem poſtea eoſdem amouentes, omnia obſcura nobis videntur.
Ipſe autem non conſiderat quod talis obſcuritas quæ ſequitur viſionem maioris
luminis, parum durat, immo cito euaneſcit, ſed in aqua nunquam reuertimur ad vi-
dendum, ne que veſtigium aliquod luminis ibi videtur, in fundo maris dico, quem-
admodum nobis nuntiauerunt hi qui margaritas expiſcantur in imis partibus ingen
tium æquorum indicorum.
Secunda uerò ratio ipſius Piccolhom. eſt ubi ita dicit.
Altera cauſa quod nobis obſcurus appareat locus ſub aqua, eſſe poteſt obſtacu-
lum quod aquæ habent ab opacitate terræ ſub eorum fundo, etenim ſicutchriſtallũ quamuis perſpicuũ ſiuetranſparẽs ſit, nihilominus propter obſtaculum plumbi ſub
ipſo poſiti, efficit vt radij viſuales repercuſſi reuertantur. ita etiam quamuis aqua ſit
corpus tranſparens, nihilominus propter obſtaculum terræ opacæ, quæ ſubſidet in
fundo maris efficere poteſt obſcuras partes illas ſub aqua, illis hominibus qui in
ipſa aqua mèrguntur.
In hac ſecunda ratione decipitur Piccolhom.
Primum quia ſi vſque ad imam par
tem maris, Solis radius ferri poſſet, ille qui ibi eſſet, attollens oculos ſurſum Solem
cerneret, deinde aſpiciendo ipſum fundum Maris, videret illum, ratione reflexio-
nis luminis ab ipſo fundo, & ex eadem ratione ſpeculi ab ipſo adducta, quæ contra
ipſum eſt.
Decipitur etiam cum dicatradios viſuales à ſpeculo ſeu plumbo repercuti, eo
non radij viſuales ſunt hi qui reflectuntur, ſed ſunt radij luminoſi primarij, ſeu ſecun
darij qui non ab oculis exeunt ſed à corpore lucido.
Scripſi etiam quod ſi verum eſſet proportionalitatem continuam
mentorum ex proportione decupla conſtare, ignem pro maximo, terram verò pro
minimo terminorum ſumentes, totum aggregatum ex terra, aqua, aere, & igne, ita
eſſet maius terra, quemadmodum mille centum & vndecim ad vnum, vnde ſemidia
meter regionis elementaris eſſet quaſi aut paulo maior decuplo ſolum ſemidiame-
tro terræ, vnde inter conuexum ignis, & concauum minimi, ſeu inferioris orbis lu-
naris, relinqueretur quidam orbis vacuus ſpiſſitudinis vnius interualli plus quam vi-
ginti terræ ſemidiametrorum, quod ſpatium vacuum orbiculariter, maius exi-
ſteret ipſa totali regione elementari plus quam trigeſies millies, immo ſi ſemidia
meter dicti primi orbislunaris maior eſſet terreſtri vt trigintanouem ad unum,
orbis vacuus maior eſſet elementari regione plus quam .58208. ad vnum, proportio
nalitatem igitur continuam quæ ex decupla proportionalitate reſultat in elementis
eſſe putare eſt maximus error.
Subdit deinde Berga, hoc voluiſſe Platonem neceſſario requiri, vt extrema ele-
menta, nempeignis & terra cum duobus medijs aere, & aqua coniungerentur, cum in
corporibus ſolidis (quaſi Bergę ſint quædam corpora quæ ſolida non extent) poſſit
dari medium æquale in geometrica proportione.
Sed vbi Plato ad ſermonem de numero elementorum ſe confert, poſtquam ra-
tione creationis ignis, & terrę ſe propoſuiſſe putat, vt
medijs probet, comparatione proportionalitatis continuæ geometricæ in tribus ter-
minis, ratione rerum ſuperficialium primò, deinde in quatuor, ratione corporearum
vtitur, ita dicens.
Vinculorum verò ideſt aptiſſimum atque pulcherrimum quod exſe, & ex ijs quę
aſtringunt, quam maximè vnum efficit,&c.
Quo in loco Plato inſerre vult de proportionalitate geometrica trium termino-
rum, in qua ijdem ita ſe habent, vt medius, primi,
que ipſorum extremorum particeps fiat, cum productum quod à medio termino in
ſeipſo progignitur idem ſit ei quod ab extremis fuit, vnde medius, potentia idem eſt
quod productum ab extremis.
Subdit deinde Plato dicens.
Quando enim in tribus numeris, aut molibus, aut viribus, medium ita ſe habet
ad poſtremum vt primum ad medium,viciſſimq́; vt poſtremum cum medio, ita me-
dium cum primo congruit,tunc quod medium eſt, & primum fit &poſtremũ , po-
ſtremum quoque, & primum & media fiunt.
Hic
bus proportionalitatibus continuis quæ ternario numero (alia enim Arithmetica,
alia geometrica, alia harmonica dicitur) continentur, intelligendum eſſe cenſent,
quia de numeris, magnitudinibus,
fecerit. Plato enim nihil aliud inferre voluit, quam eandem paſſionem (ut ipſe reci-
tat) inter medium
in quantitate, quam in qualitate
ciei, & quia quantitas in duas principes
diſcretam diuiditur, hanc ob cauſam Plato hoc præcipuè ſignificat numerorum ma-
Cum verò ait vires, uniuerſum qualitatis genus inferre uult.
Quia proportio &
proportionalitas tam continua quam diſcreta, non ſolum interterminos quanti, ſed
inter eos etiam qui quali attribuuntur elucet.
Sed quod eo loco de harmonica proportionalitate quæ
bola eſt quam cum Arithmetica Plato minime intelligat, ex eiuſdem uerbis cum ita
ſcribit manifeſtè patet.
Quando enim medium ita ſe habet ad poſtremum ut primum ad medium,uiciſ- ut poſtremum cum medio ita medium cum primo congruit.
ſimq́;
Id enim in harmonica proportionalitate non cernitur in qua primus terminus ad
poſtremum, & non ad medium, ita ſe habet geometricè ut differentia inter primum
& medium ad differentiam inter medium & ultimum.
Quod ſi clarum eſt ipſum de harmonica proportionalitate nullo modo intellige-
re, quanto minus de Arithmetica, quæ cum geometrica nihil habet commune.
Cum uerò Plato ait.
Tunc quod medium eſt & primum fit & poſtremum, poſtremum quoque, & pri-
mum media fiunt,&c.
Nihil aliud oſtendere uult, quam ſimilitudinem quæ inter huiuſmodi medium &
extrema intercedit, cum ipſum medium ad poſtremum, quem primus ad ſeipſum,
eundem reſpectum habeat, in quo eſt ſimilis primo, & contra ad primum
eundem reſpectum, quem poſtremum ad ſeipſum habet, unde hac ratione ultimum
repręſentat, uolens Plato inferre de conuenientia quę inter media elementa, & ex-
trema intercedit, ut aquæ inter aerem, & terram, cum aqua, ratione ſuæ frigiditatis,
terrę, ratione uero ſuæ humiditatis aeri ſimilis euadat. Aer uero qui inter ignem,
tem ſpectat cum aqua communicet.
Sed quia Plato multis in rebus doctrinam Pythagoricam ſequutus eſt, Pythago-
rici aut em omnia numeris metiebantur, & de omnire ſecundum numerorum ratio
nem diſſerebant,
ſimiles exiſtentes, unum tantum numerum medium in proportionalitate continua
geometrica cadere poteſt, ideo ſubiungit.
Quod ſi uniuerſi corpus latitudinem habere debuiſſet, nullam uerò profundita-
tem, unum ſanè, tum ad ſeipſum, tum ad extrema uincienda interiectum medium
ſuffeciſſet.
Sequitur poſtea ſic.
Sed cum ſoliditatem mundus requireret, ſolida uerò non uno, ſed duobus ſem-
per modis copulentur, inter ignem, & terram, Deus, Aerem, Aquamq́ue loca-
uit,&c.
Volens inferre, quod quemadmodum inter duos numeros ſolidos, & inuicem
ſimiles,
quiruntur (vt exijs quæ Euclid .8. lib. 16. 17. 18. et .19. propoſitione proponit viden
tur) ita
non ratione proportionalitatis continuæ in quantitate
pter ſimilitudinem connexionis, cum productum ex duobus medijs proportionali-
bus æquale ſit producto ab extremis, & idem reſpectus, quem primum ipſorum qua
tuor ad ſecundum habet, ſecundi ad tertium extet, vnde ſecundum primo ſimile
euadit, & contra, reſpectus qui eſt quarti ad tertium, ſit etiam tertij ad ſecundum, vn-
de ipſum tertium, ratione vltimi ſubit, & eius imaginem induit, & hanc ob cauſam
ſic ſcribit Plato.
Propterea ex huiuſmodi rebus numero quaternario concluſis, mundi corpus con
flatum eſt, ea connexum comparatione qua dixi.Ex quo ſeipſum amicitia concor-
di complectitur,&c.
Vbi Platonem, elementa maiora,
geometrica, nec alterius cuiuſuis generis eſſe noluiſſe, clarè perſpicitur, ſed huiuſmo
di ſimilitudine, in eo quod media elementa cum extremis conueniunt eſt vſus, quæ
quidem conuenientia, nullibi maior, quam in proportionalitate continua geome-
trica reperitur. Sed etiam ſi Plato de huiuſmodi corporea elementorum magnitu-
dine ſeipſum intelligi voluiſſet, ſi ſemidiameter regionis elementaris ex ęquo vt .39
ad vnum, reſpectu ſemidiametri terræ fuiſſet, aqua, ipſam terram, magis quam tri-
geſies, & octies, non ſolum decies, & aer quoque eandem magis quam .1500. &
ignis magis quam .55000. partibus magnitudine ſuperaret.
Subſtantia vero rerum quas ſcripſeram circa finem illius conſiderationis talis fuit.
Nunc autem tempus eſſe videtur, vt ego etiam, ne tantum deſtruxiſſe, ſed etiam
conſtruxiſſe videar aliquid pro veritate diſſeram.
Non eſt igitur dubium, ſolidæ doctrinæ viris, quin præſtantiſſimus Piccolo. ſe-
cutus ſit tutam viam ad explorandum, quod terra maior ſit quam aqua, metiendo
vtriuſque horum corporum ſuperficiem detectam. Omittamus autem compenſa-
tionem illam curuitatis, & concauitatis vallium, & montium,
propè finem ſexti cap. vellet dare fluminibus, ſtagnis, fontibus, & eiuſmodi aquis. eo enim in loco labitur Piccolo. vbi non conſiderat, quod eiuſmodi obliquis ſuper-
ficiebus non reſpondent anguli ſolidi centri ſphæræ, qui reſpiciunt eorum baſim ad
rectos angulos. Sed poſtquam Piccolo. comperit ſuperficiem terrę detectam, eſſe
maiorem apparente ſuperficie ſphærica aquæ, proculdubio poterat concludere ter-
ram eſſe maiorem aqua, ſicuti fecit,
ad mundi centrum, ideſt .3500. milliaria, ſupponendo tantum eſſe huius globi ſemi
diametrum.
Verum quia poſſet aliquis dubitare circa diligentiam Piccolo. in hiſcæ duabus ſu
perficiebus dimetiendis, viſum eſt mihi non alienum ſequi aliam viam pro hac veri
tate probanda, ſupponendo verum eſſe, quod non vnus ſolus metitus fuerit, ſed mul
ti, ideſt ſupponendo
quod non modo ipſius maris maxima profunditas non perueniat ad quingentos paſ
ſus, ſicuti refert Piccolo. in fine ſui tractatus, & mihi aſſeruerunt Hiſpani multi, &
Luſitani præſtantiſſimi nautæ, tum Venetijs, tum Parmæ, in Aula Sereniſſimæ quon
dam Principis, inter quos, Venetijs fuit Illuſtris Rodericus Guzmanus, Dominus
Franciſcus Lopes, Dominus Garzias de Seuilia, Parmæ autem varij
Sed etiam ſupponendo quod maxima
pelagi profunditas ſit, non modo .500. paſſuum, ſed etiam .500. millium paſſuum, vt
dixi, & quod mare ſit huius profunditatis, non vno in loco tantum, aut multis, ſed
quod ſupra totam etiam faciem terræ, mare tantę profunditatis ipſam terram vn-
dique operiret, ideſt, quod vbicunque nunc terra detecta eſt, eſſet aqua, ſpiſſitudi-
nis .500. millium paſſuum. Atque vt planius intelligar ſupponendo quod ſicuti to-
tus huius globi ſemidiameter eſt Terreſtris partis ſemidiameter
eſſet
ſiue profunditas orbis aquei, in quo nihil neceſſe eſſet laborare in dimetiendis fon-
tibus, fluminibus, lacubus, ſtagnis, paludibus, & huiuſmodi particulis nullius momen
ti apud peritos, nec curare ſubterraneas aquas cauernarum, aut aliorum terræ cauo-
rum, ſeu terræ porroſitatum, quæ omnia ſunt circa ipſius terræ ſuperficiem. Quia ve
riſimile non eſt naturam eiuſmodi caua ſiue ſpong oſitates produxiſſe demiſſius li-
bramenti maris. Supponendo igitur ea quæ nunc dicta ſunt, terra tamen eſſet ferè
duplo maior aqua, hoc eſt, vt .12. ad .7. Quod quidem, cuiuis mathematicæ philoſo-
phiæ mediocriter perito, ſupputatu facillnnum eſt. Cum proportio diametrorum,
ſeu ſemidiametrorum, tertia pars exiſtat proportionis eorundem ſphærarum. Sed
vt parum periti minore labore ſupputare poſſint.
Primum ſciendum eſt, quod ſupponendo diametrum globi, ex terra, & aqua com
poſiti, eſſe .3500. milliarium, & ſemidiametrum puræ terreſtris partis eſſe .3000. tan
tum, eiuſmodi proportio erit ut .7. ad .6. quia communis maior numerator horum
duum ſemidiametrorum erit .500. qui in maiorem ingredietur ſepties, in minorem
a utem ſexies. Et eiuſmodi proportio ſuperparticularis, vocatur ſeſquiſexta, cuius
triplum erit vt .57. cum ſexta parte ad .36. & idem erit inter dictum globum compo-
ſitum, & partem terreſtrem ſimplicem. Quare ſubtrahendo puram, ſeu ſimplicem
partem terreſtrem, ex compoſito, reliqua pars erit, vt .21. cum ſexta, pro quantitate
aquei orbis, ad quam, terreſtris quantitas .36. erit ferè in
ad .7.
Nunc fortaſſe alienum non erit videre quanto ferè maior eſſet terra, quam tota
aqua, non dico
ad quingentos paſſus peruenit, ſed de ficto illo orbe aqueo, profunditatis .500. paſ-
ſuum, qui totum terreſtrem orbem circundaret, & tegeret, ſupponendo quod per
quingentos paſſus profunditatis, quidquid eſt terra, eſſet aqua, ideſt ſuppoſito quod
ex totius orbis compoſiti ſemidiametro exiſtente .3500. milliarium, purę terræ ſemi
diameter eſſet milliarium .3499. cum dimidio. Supponendo igitur, vt ſupradixi.
Comperietur quod terra eſſet maior aqua amplius quam .2333. vicibus.
Sed quia
partes terræ detectæ rumpunt eiuſmodi fictum orbem aqueum, quæ quidem partes,
ſunt ampliores ſuperficię aquæ, vt obſeruauit Piccolo. atque alij
ſequetur, vt terra ſit maior aqua amplius .4666. vicibus imo amplius quinquies mil-
lecuplo. Si autem quis diceret, in quantitate aquæ computari etiam illam, quæ gi-
gnatur ex vaporibus, qui globum hunc compoſitum circundant: reſpondeo quod
non modò ei concedo computari eiuſmodi aquam, ſed ſupponendo etiam quodto
tus locus à vaporibus occupatus, qui attolluntur .52. milliaria ſupra ſuperficiem
huius globi, vt iam ſupradictum eſt, totus eſſet aqueus, & amplius, ſupponendo quod
orbis hic aqueus eſſet ſpiſſitudinis, ſiue altitudinis quingentorum milliarium ſupra
totum ipſum globum compoſitum. Tamen terra eſſet maior ipſa aqua ferè duplo;
qua dere, quiſque eiuſmodi ſupputationum peritus certior fieri poterit.
Vnde iti-
rea aere, ſi aer non tam altè pertingit, quam multi alij præter Piccolo. ſentiunt, qui
dicuntinde euenire quod aerea humiditas non tam altè aſcendere poteſt, quoniam
humiditas ipſa grauitatem ſecum affert, præterquam quod nubium ſitus oſtendit ſu
pra eas materiam eſſerariorem quam ſint ipſę nubes, infra vero denſiorem. Corpo-
ra enim eouſque aſcendunt donec inueniunt conſtitutionem mediam formæ æqua-
lis (vt ita dicam) ſuis. Quare materia illa quæ impropriè ignis vocatur (non enim
eſt ignis) incipit carere humiditate (qua mediante aer definitur) circa quinquage-
ſimum ſecundum milliarium ſupra ſuperficiem terræ, vt iam ſupradixi à Vitellione
demonſtratum fuiſſe. Ariſto. autem affert
Vnde apparet tertiam aeris regionem impropriè aerem appellari, ſi humiditate ca-
ret, vt ait Ariſt. qua mediante aer definitur, immo potius retinet ignis naturam, vt
etiam aſſerunt interpretes Ariſtotelis in primum Meteororum. Qui Ariſto. in locis
ſupra citatis itidem oſtendit ſe etiam huius modi eſſe opinionis.
Quod autem attinet ad probandum quod ſuperficies terrę detecta ſit altior quam
ſuperficies detecta aquæ, id tam clarum eſt ſua ſponte philoſophis, qui ſciunt quid ſit
altum, quidue demiſſum, quod ſuperfluum eſſet quidquid ſuper hoc dicerem præ
terquam, quòd conſtat ex demonſtratione ab Ariſto. ſacta textu 31. li .2. de cœlo, in
quo agit de corporibus in aqua poſitis, vnde eiuſmodi veritas planiſſimè aperitur. Omittimus etiam quod præſtantes Moderni omnes, eam pro manifeſtiſſima
ſicutiapud omnes ſani iudicij homines reuera exiſtimatur.
Hæc enim ſunt quæ in fine illius conſiderationis ſcripſeram.
Anno autem præterito editus in lucem fuit tractatus quidam Pulcherrimus, ab Ex
cellentiſſimo, nec non Doctiſſimo viro Auguſtino Michele, Patritio Veneto, ad cor
roborandam opinionem antiquorum, vbi tot authoritates,
vt nil amplius dici poſſit. Atego ſenſum,
ſequutus ſum: cum verò dico ſenſum, de ſenſu illorum intelligo, qui profunditatem
maris metiti ſunt, vt non mihi ſolum, ſed, & Piccolo. & alijs permultis retulerunt,
de ratione vero à me adducta, aliorum ſit iudicium.
Sediſte mirabilis & Excellentiſſimus vir, verba mea non accepit in eo ſenſu, vt
ego ſcripſi, ita vt omnino alienas conſequentias ſibi confingat,quemadmodũ pag.
3. ſui tractatus inquit, me non concedere naturam produxiſſe in magna quantitate,
atque immenſa, id totum, quod bonum, & neceſſarium eſt.Hanc enim conſequen
tiam ipſe colligit ex eo, quod ego pag .19. meæ conſiderationis contra Antonium
Bergam ſcripſeram, quod videntur multa corpora alijs nobiliora, nihilominus mi-
nora, eo quod quantitas non ſequitur nobilitatem, neque ab ea pender, ita vt res
illa quæ nobilior eſt, neceſſarium ſit vt etiam maior exiſtat.Sed Excellentiſſimus
iſtæ vir ſcribit ita me dixiſſe.
Multa immo infinita corpora ſunt nobilia, & neceſſaria, nihilominus ſunt paruę
molis.
Vide igitur quantum hoc diſtat ab illo.
Præterea cap .12. aliam conſequentiam facit, quam ego non tam amplam facio.
„ Ipſe enim me inferre vult in alijs terrę partibus cauernas non reperiri, eo quod Mon
„ tes ſint cauernoſi. Aſpice quæſo. pag .29. meæ conſiderationis, & clarè videbis me
nullo modo negare illas concauitates ſeu porroſitates terræ extra montana loca,
circa ſuperficiem terræ, vſque ad æquilibrium, orbiculariter, infimæ profunditatis
maris.
Sed putare inferius has porroſitates reperiri, cum nulla ratio nobis perſuaſibilis
Rationes autem ab ipſo Ex
cellentiſſimo Auguſtino adductas circa huiuſmodi rem, alij dijudicent, de authori-
tatibus verò, nihil dicam, quia ab illis petendæ ſunt, qui profitentur tales facultates,
quorum vnius tantummodo authoritas præualere deberet, contra omnes alias
qui nunquam attigerunt ſummis labris orificia harum Vt ſi exempli gra-
tia non ſolum authoritas illorum virorum, quos ipſe recenſuit, ſufficiens eſſet vt pu
ta Pioccolo. Naibodæ, Bordini, Clauij,
ſed Franciſci Maurolici tantummodo, qui in primo Dialogo ſuæ coſmographiæ ita
inquit.
Exiſtimo autem totum terræ corpus rigidum eſſe ſaxum, nam ſi arena eſſet, aue
gleba fragilis, ita humorem imbiberet, vt cum eo quaſi confunderetur;huc ac-
cedit, quod ſi mineræ, ac rupes, quæ ſunt grauiſſimæ partes in ipſa plerunque ſuper-
ficie comperiuntur, multo magis apud centrum eſſe debent.Videtur ita ratio exi-
gere, vt grauiora centro quoque ſint propinquiora.
Hæcigitur ſola authoritas, inſtar reliquarum omnium ſufficere poſſet.
Verum
de authoritatibus minime curandum eſt, vbi ſenſus,
Quod autem numerus animalium aquatilium maior exiſtat numero terreſtrium,
ſatis reſpondimus pag .41. noſtræ conſiderationis.
Sed in cap .14. Excellentiſſimus Auguſtinus ita inquit (vt etiam ſuperius dixerat)
quod certiorem cognitionem homo non habet illa, quæ à ſenſu prouenit.
Et quod
nemo eſt qui aſpiciat terram, & aquam, quod hanc maiorem illa non iudicet, &
exiſtimet.
Quod autem certiorem cognitionem homo non habeat illa, quæ à ſenſu proue-
nit, concedendum non cenſeo. Nam omnis cognitio mathematica (cum primum
gradum certitudinis obtineat) ab ipſo ſenſu fieret, quod omnino alienum
eſt à veritate. Senſus enim nunquam vidit incommenſurabilitates magnitudinum,
vel incoincidentias linearum non tangentium cum curuitate hyperbolica, aut angu
lum contingentiæ aliquem, nec (vt vno verbo dicam) aliquam concluſionem ma-
thematicam, quam volueris. Neque per ſenſum eſt ſcire, inquit Ariſtoteles.
Co-
gnitio igitur ſenſitiua, certior non eſt illa, quæ per habitum ſcientiſicum acquiritur.
Ad reliqua verò, ſupponamus nos tunc fuiſſe in Arca Noe,
omnia cacumina montium, vbi nullum terræ veſtigium videbatur, quare proculdu
bio aquam iudicaremus, atque exiſtimaremus maiorem terra,
mur niſi ſenſu abſque alio diſcurſu intellectuali, ut reliqua illa animalia irrationalia,
quæ nobiſcum erant in dicta arca.
aſpicere, quia neque tunc temporis, aqua erat maior terra, etiam ſi non ſolum tot
cubitis attolleretur ſupra cacumina montium, ſed quingenta milliaria, vt ſupradi-
ximus.
Ratio autem illa, ex infinitis, ab ipſo, eo in loco adducta, talis eſt.
Aqua eſt eccentrica ad terram, & procẽtro habet centrum grauitatis terræ, aqua
igitur maioris eſt amplitudinis ipſa terra.
Hanc etiam conſequentiam alijs relinquo Philoſophis dijudicandam.
Subſequitur poſtea dicens.
Præterea proprius locus terræ, eſt ſuperſicies aquæ, igitur terram oportet ab
aqua tegi.
Ad hoc etiam aliquis poſſet quærere, quis nam erit locus illius partis terræ de-
tectæ ab aqua? nulli dubium erit quin ſuperficies aeris, & non aquæ exiſtet.
Nune autem ſi locus terræ eſt ſub aqua, ergo locus aquæ proprius eſt ſub aere, &
non ſub terra, vnde non erit rationabile putare maiorem copiam aquarum exiſtere
in cauernis ſubterraneis, quam ſupra ſuperficiem terræ. Adde quod locus illarum
aquarum non eſſet ſuperficies aeris, ſed terræ, vnde non minus locus aquę eſſet ter-
ra, quam locus terræ, aqua. Sed miſſa faciamus hæc.
Cap. verò .20. ita inquit.
Materia elementorum æqualis eſt.
Ergo aqua maior eſt terra.
Hæc enim conſequentia veriſſima eſſet.Sed nullus vnquam Philoſophus (vt Phi-
loſophus dico) concedet totam materiam elementarem, in quatuor æquales partes
eſſe diuiſam.
Cap. verò .21. inquit me dixiſſe non ſuffecturam paucam ſpiſſitudinem.
Eo enim
in loco pag .26. mei tractatus contradicens ipſi Bergæ, dixi, quod ſecundum ipſum
Bergam non ſufficeret pauca ſpiſſitudo.
Similiter etiam dixi, quod ſecundum ipſum, quanto remotius diffunditur lumen
fortaſſe tantò magis illuminat. Putans ipſe Berga quod in propinquo debilius exi-
ſteret dictum lumen. Et propter ea dixi, quod apud ipſum fortaſſe nihil valet illa
propoſicio, quæ dicit. Agens in propinquo, fortius agit quam in remoto.
Cap. autem .22. vbi Excellentiſſimus Auguſtinus inquit, vnum tantummodo ele
mentum non ſufficere ad generationem miſtorum. Hoc enim concedo, ſed hoc ni-
hil ad me ſpectat, eo quod meum reſponſum ad Bergam, erat circa tranſitum lumi-
nis, & non circa generationem elementorum.
Cap. demum .23. pag .20. linea .10. vbi ſcribit me dixiſſe, iudicare, oportebat
ſcribere, dubitare.
Puto tamen hoc vocabulum eſſe errorem Thypographi, quamuis in correctione
illud non inuenerim, quia vt ego multoties expertusſum, difficillimum omnes Thy
pographi errores corrigere, neque (vt fertur) Argi oculi ſufficerent.
Hactenus enim in mei defenſionem hæc ſubiungere volui.
Ad defenſionem autem Piccolo.
proportione duplicata profunditatis maris ad ſuam amplitudinem, ex conſequentia
pyramidali: Huiuſmodi tamen Doctiſſi-
mi viriingenium, memoriam, nec non doctrinam valde admiror, atque obſeruo.
longa atque prolixa eſt, Pedemontani verò Agrimenſores in produ-
ctione fractorum, valde breui methodo vti ſolent, quam libenter tibi
ſcribo, eo maxime, vt videas quam rationabiliter operentur.
Scire igitur primum te oportet illos, maximam eorum communem menſuram
vocare Trabucum, cuius ſextam partem vocant Pedem, duodecimam verò pe-
dis, Vnciam, Attomum.
Quotieſcunque igitur multiplicant trabucum, per trabucum nulli dubium eſt
quin producant trabucum ſuperficialem ſcilicet.
Similiter multiplicando pedes, vncias, puncta, & attoma per trabucum, produ-
cunt pedes, vncias, puncta, & attoma ſuperficialia rectangula oblonga, quorum lon
gitudo eſt ipſius trabuchi, latitudo vero lineæ dictarum ſpecierum.
Dum vero multiplicant pedem per pedem, nulli dubium eſt quin producant pe-
dem quadratum, ſed apud ipſos non vocatur quadratum, quamuis reuera ita ſit, ſed
illud vocant duas vncias, quæ quidem ſunt rectangula oblonga iam hic ſupradicta,
quarum vniuſcuiuſque longitudo ſit vnius trabuchi, latitudo vero vnius duodecimæ
partis ipſius pedis linearis.
Productum autem pedis per vnciam, vocant duo puncta, quæ etiam ſunt duo re-
ctangula oblonga, vt ſupra.
Productum deinde vnciæ per vnciam, vocant duos attomos, qui
ctangula oblonga, vt dictum eſt, quæ omnia ſcientificè videbimus.
Pro cuius rei cognitione, ſit, exempli gratia .a.e. vnus Trabuchus linearis .e.i. ve-
ro vnus pes .i.o. autem vna vncia, o.u. poſtea vnum punctum, et .u.t. vnus At-
tomus.
Vnde .e.i. erit ſexta pars ipſius .a.e. et .i.o. duodecima ipſius .e.i. et .o.u. duodecima
ipſius .i.o. et .u.t. duodecima ipſius .o.u. Sit etiam .a.b. æqualis .a.e. lineæ & ſic .e.d: i.
f: o.g: o.n. & c.
trabuchum quadratum, et .d.i. pes rectangulus oblongus vt ſupra, et .f.o. vncia rectan
gula oblonga, et .g.u. punctum rectangulum oblongum, et .c.t. attomus rectangu-
lus oblongus.
De producto igitur trabuchi per
a.d. vt ſuperius diximus.
Productum autem trabuchi cum pede erit .d.i. ſexta pars ipſius .a.d. cum .e.i. ſit ſex
ta ipſius .a.e. ex prima ſexti vel .18. aut .19. ſeptimi, ſiue etiam ex .15. quinti Eucli.
Productum autem pedis cum pede erit .e.K. quadratum, quod probandum eſt
decima ipſius .e.i. proportio igitur .e.i. ad .o.i. dupla eſt proportioni ipſius .f.i. ad .K.i. quare .K.e. duplo maius eſt ipſius .f.o. eo quod ſi .i.o. vel .f.g. (quod idem eſt) duplo
maius eſſet ipſo latere pręſenti .o.i. vel .f.g. tunc .f.o. æquale eſſet ipſi .K.e. ex .15. ſexti
vel .20. ſeptimi quod quidem .f.o. duplo maius eſſet ipſo præſenti .f.o. Rectè igitur
inquiunt dicentes productum pedis cum pede eſſe duas vncias, vel ſi mauis, ita dicas
e.K. ſexta pars eſt ipſius .d.i. ex iam dictis propoſitionibus .f.o. autem eſt duodecima
ipſius .d.i. ex ijſdem, cum exſuppoſito .i.o. duodecima ſit ipſius .e.i. quare .e.K.
erit ipſius .f.o. ex commu ni notione.
Productum verò pedis cum vncia. ſit .K.o. quod probabimus ex ijſdem rationibus
duplum eſſe ipſius .g.u. puncti rectanguli oblongi. Nam .l.o. ſexta pars ſimiliter eſt
ipſius .g.o. et .o.u. duodecima ipſius .o.i. quare proportio .i.o. ad .o.n. dupla eſt propor
tioni .g.o. ad .o.l. ſequitur ergo ex prædictis rationibus .k.o. duplum eſſe ipſius .g.u.
vel ſic, vtlin præcedenti, cum .K.o. ſit ſexta pars ipſius .f.o. ex dictis propoſitionibus .
g.u. verò duodecima eiuſdem .f.o. ex ijſdem, nam .o.u. duodecima eſt ipſius .o.i. ergo
K.o. duplo maius eſt ipſo .g.u.
Ex ijſdemmet rationibus productum .l.u. pedis cum puncto duplum eſt ipſius .c.t.
attomi rectanguli oblongi.
Probandum nunc relinquitur productum .o.n. vnciæ cum vncia, quod eſt quadra-
tum, duplum eſſe ipſius .c.t. attomi rectanguli oblongi. Nam .i.n. eſt pars vna ex .72.
ipſius .c.u. et .u.t. pars vna ex .144. ipſius .o.i. ex ſuppoſito, quare proportio .i.o. ad .u.t.
dupla eſt proportioni ipſius .c.u. ad .n.i. ex dictis igitur rationibus .o.n. duplo maius
eſt ipſo .c.t. Vel ſi placet dicas .n.o. eſt vna pars ex .72. ipſius .f.o. exſupradictis, eo
quod .n.i. ita ſe habet ad .f.i. vt vnitas ad .72. ſed ex ijſdem rationibus .c.t. pars vna ex
144. eſt ipſius .f.o. eo quod ita ſe habet .u.t. ad .o.i. quare .o.n. duplo maius erit ipſo .
c.t.
Propoſitum ſit nobis nunc, exercitij gratia, quærere ſuperficiem alicuius rectan
guli, cuius vnum latus ſit
trabuchorum .2. pedum .3. vnciarum vero .2.
Huiuſmodi autem methodo mediante, multiplicando primum latus
per numerum trabucorum ſecundi lateris .2. ſcilicet producentur nobis primò trabu
cha ſuperficialia .6. pedes .4. & vnciæ .6. omnia rectagula, vt dictum eſt. Multiplican-
do deinde idem primum latus .3. 2. 3. per pedes .3. ſecundi lateris. Ex trabuchis .3.
primi lateris cum .3. pedibus ſecundi, producentur .9. pedes rectanguli, hoc eſt
vnus trabuchus cum tribus pedibus rectangulis. Ex pedibus autem huius .2. cum
ijſdem alterius lateris .3. producentur .12. vnciæ rectangulæ ideſt vnus pes rectangu-
lus. Exijſdem pedibus .3. ſecundi lateris, cum .3. vncijs primi lateris producentur
Deinde ex
multiplicatione vnciarum .2. ſecundi lateris, cum .3. trabuchis primi lateris, produ-
centur .6. vnciæ. Ex multiplicatione poſtea dictarum .2. vnciarum ſecundi lateris
cum .2. pedibus primi, producentur .8. puncta.
Demum ex ijſdem .2. vncijs ſecundi lateris cum .3. primi, producentur .12. atto-
mi, ideſt vnum punctum. Quæ omnia collecta facient trabucha .8. pedes .3. uncias
2. & attomi .3. omnes rectanguli oblongi. Pulcherrima profecto operatio.
Videamus nunc exercitij cauſa, vt dixi, quomodo conueniat calculus iſte cum
calculo ordinario communi?
Nam quotieſcunque dicta latera, fracta fuerint in vncias, primum latus erit
vnciarum .243. ſecundum autem .182. productum vero vnius in alterum erit vn-
ciarum quadratarum .44 226. quod quidem productum cum diuiſum fuerit per
5184.
rum, reliquus verò numerus, ſiue fractus, erit vnciarum quadratarum .2754. qui
cum diuiſus fuerit per numerum .144. vnciarum vnius pedis quadrati, prouenient
pedes .19. quadrati cum vncijs .18. ſuperabundantibus, dicti autem pedes .19. ſignifi-
cant tres pedes rectangulos oblongos cum vno pede quadrato, hoc eſt cum duabus
vncijs rectangulis oblongis, vt ſupra.
Videndum nunc eſt, vtrum illæ .18. vnciæ æquipolleant tribus punctis rectangu-
lis oblongis: ſed hoc manifeſtè videre eſt, ex hoc, quia quęlibet vncia rectangula
oblonga componitur ex .72. quadratis, punctum autem rectangulum oblongum,
ſit duodecima pars ipſius vnciæ rectangulæ oblongæ, ipſum componetur ex .6. vn-
cijs quadratis .18. igitur vncijs quadratis, triplum erit ipſius puncti rectanguli dicti. Vnde clarè patet, quod, quotieſcunque voluerimus ſcire proportionem ipſarum vn
ciarum quadratarum ſuperabundantium, ad punctum rectangulum oblongum, ſi
dixerimus ex regula de tribus, ſi .72. (vncia rectangula oblonga) dat .18. quid
12? puncta rectangula oblonga, quarum vnaquæque eſt duodecima pars ipſius vn-
ciæ rectangulæ oblongæ, in præſenti autem caſu prouenient .3. pro quarto termino
quæſito, & habebimus propſitum.
TVI quæſiti ſolutio quam neſcio quis te docuit, valde diuerſa eſt à vera.
quæſitum enim tale fuit.
Reperiuntur quatuor ſocij, Ludouicus, Hieronymus, Franciſcus, & Lau
rentius quorum primus, Ludouicus ſcilicet, poſuit aureos .6000. Hierony
mus verò aureos .5000. Franciſcus autem .2000. & Laurentius .1000. quorum ſum-
ma faciebat aureos .14000. interim tamen de tali ſumma Ludouicus recepit aureos
2000. Hieronymus verò .1000. Franciſcus autem .900. & Laurentius .800. quapro-
pter in ſumma reſidua Ludouicus non habebat niſi aureos .4000. Hieronymus
4000. Franciſcus .1100. & Laurentius .200. quorum ſumma erat .9300. Nunc au-
tem iſti ſocij cupiunt augere hanc ſummam per aureos .20000. tali tamen conditio-
ne quod quilibet tantum tribuat vt in totali ſumma, tantam partem unus habeat,
quantam alter.
Hoc autem problema tam ſacile eſt, & cum ſuo theoremate ita coniunctum, quod
miror amicum noſtrum illud illico non vidiſſe.
Accipe igitur illos aureos .20000. & eos collige cum ſumma .9300. vnde habebis
aureos .29300. pro
habebit in dicta ſumma. Sed ut reperias quantitatem aureorum quam quilibet
prius debet contribuere, vt poſtea habeat aureos .7325. in dicta ſocietate. Iubeo,
vt Ludouicus demat illos aureos .4000. quos demum habebat, ex .7325. reliquum
autem erit .3325. qui quidem numerus erit aureorum nunc contribuendorum ipſius
Ludouici. Demptis ſimiliter aureis .4000. ex dictis .7325.
tributione ipſius Hieronymi. Deinde ſi ex .7325. extracti fuerint aurei .1100. relin-
quent .6225. pro contributione Franciſci. Demptis demum .200. ex .7325. reſidui
erunt .7125. pro contributione Laurentij, & ſic quilibet habebit æqualem portio-
nem in totaliſumma.
MIrum tibi videtur quo pacto verum ſit, quod ſumma
numeri illorum numiſmatum, quæ hic vocantur Blanci, cum ſexta parte eiuſ
dem medietatis, ſemper ſit numerus florenorum huius prouinciæ. Vt exempli gra
tia, quotieſcunque reducere voluerimus .48. Blancos in Florenos, ſi medietati ip-
ſius .48. hoc eſt .24. adiecta fuerit ſexta pars ipſius medietatis, quæ eſt .4. tunc habebi
mus .28. & ita dicemus quod .48. Blanci conſtituunt Florenos .28. quod quidem
verum eſt.
Huiuſmodi autem rei ſpeculatio ita ſe habet.
Nam vnuſquiſque Blancus diuidi-
tur in .7. æquales partes, quarum .12. conſtituunt vnum Florenum, horum verò nu-
miſmatum communis menſura, vocatur Groſſus, vt ſcis, ex quo ſequitur, quod ſi
cis. Fingamus igitur, mente, noſtram figuram .79. Theorematis Arithmetici .x.u.o.
e.n. ſupponendo ambo producta .u.x. et .n.e. inuicem ęqualia exiſtere, & vnumquod-
que eſſe groſſorum .336. ſit etiam .o.x. vnus Florenus .12. groſſorum .o.n. verò Blan-
cus .7. eorundem groſſorum .o.e. autem Blancorum .48. Nunc certi erimus ex .15.
ſexti vel .20. ſeptimi Euclidis eandem fore proportionem .o.u. ad .o.e. quæ .o.n. ad .o.
x. ſed .o.n. eſt ſumma medietatis ipſius .o.x. cum ſexta parte dictæ medietatis, ita igi-
tur erit .o.u. ipſius .o.e. hoc eſt ſumma medietatis .o.e.
dem, quæ ſumma in præſenti exemplo erit .28.
Hac enim ſpeculatione mediante, poteris methodum inuenire conuertendi Flo-
renos in Blancos. Vt ſi nobis propoſiti fuerint Floreni .28.
Voluerimusq́ue inuenire
quot Blancos faciant, ſuppoſita menſura communi, iam ſupradicta. Nam duplica-
bimus numerum Florenorum, à quo duplo detrahemus ſeptimam partem,
verò erit numerus quæſitus.
Huiuſmodi autem rei ratio eſt, quia, cum in ſupradicta figura, proportio .o.e. ad
o.u. ęqualis exiſtat ei, quæ .o.x. ad .o.n. atque etiam .o.x. ſit minor duplo ipſius .o.n.
per ſeptimam partem ipſius dupli .o.n. minor erit .o.e. duplo ipſius .o.u. per
partem eiuſdem dupli ipſius .o.u.
Idem affirmo de quauis conuerſione aliorum numiſmatum, quorum ſemper .o.x.
maior ſit .o.n. verò minor. Vt ſi .o.x. æquiualeret .7: et .o.n. valeret .4. et .o.e. valeret
42. quæ quidem .o.e. menſuraretur ab .o.n.
Si cuperemus ſcire quot .o.x. ſint in .o.n.
Primo dicemus in .o.n. reperiri ſummam
medietatis ſex ſeptimorum ipſius .o.x. collectæ cum vna ſeptima parte ipſius .o.x. ſeu
(vt ita dicam) cum tertia ipſius medietatis. Vnde dempta ſeptima parte ipſius .42.
quæ eſt .6.
vnaquæque æqualis erit ipſi .o.x.
Sed ſi quis cupiat reperire .o.e. dato .o.u. duplicet .o.u. à quo demat quartam
tẽNam ita ſe habere oportet .o.e. ad .o.u. quemad
modum .o.x. ad .o.n.
mercis pro .4. ſolidis, & lucratus fueris .2. cum quarta parte vnius pro ſingu-
lis decem libris, ſcire velles quantum lucri facturus eſſes in libris
do ſingulam libram pro .6. ſolidis.
Nulli dubium eſt quin decima pars de .2. cum quarta vnius ſit lucrum libræ vnius.
Quæ decima pars ſunt
qui erunt ſolidi .3. cum .31. quadrageſimis partibus pro ſorte vnius libræ. Quę ſors
ſubtracta à ſolidis .6. remanebunt ſol .2. cum .9. quadrageſimis lucri pro libra, quod
multiplicatum per .10. proueniunt ſol .22. cum quarta parte vnius, & tantum aſcen-
deret lucrum, quod fieri poſſet in libris decem ſi quamlibet, ſol .3. cum .31. quadra
geſimis nobis conſtaret.
Vel ſic multiplicemus ſortem vnius libræ per .10. productum erit .37. cum tribus
ductum erit .40. differens à primo ſol .2. cum quarta parte, multiplicemus pariter
per .10. precium .6. ſolidorum proueniens erit .60. à quo deducendo productum ſor-
tis librarum .10. quod erat ſol .37. cum tribus quartis ſupererunt ſol .22. cum quar-
ta parte, vt ſupra.
totum eſſe quoddam continuum excipiens corpora ſtellarum, nouum
eſt, nam nonnulli ſolidæ doctrinæ Philoſophi idem cenſuerunt. Sed
quod attinet ad dignitates planetarum in ſignis zodiaci, ſcias huiuſmo-
di ordinem me compręhendere eſſe deſumptum ab ordine antiquo orbium
planetarum, quiquidem ordo erat, vt ſtatim poſt Lunam ſuccederet Sol, poſt So-
lem Mercurius, tum Venus deinde Mars, poſtea Iupiter, & tandem Saturnus per
micilium Lunæ, Leonem, Solis, Virginem, Mercurij, Libram, Veneris, Scorpio-
nem, Martis, Sagittarium, Iouis, Capricornum, Saturni, Incipientes deinde ab
Aquario, quiad nos propius accedit
Arietem, Marti, Taurum, Veneri, & Gemellos, Mercurio, ſeptem Planetas cum
duodecim ſignis zodiaci concordes reddebant.
Quod deinde Ariſtoteles in libris de ſenſu & ijs quæ ſenſibus percipiuntur, dicit
pupillam oculi eſſe nigram, non ita ſe habet, nam idem eſt, ac ſi quis diceret
eſſe illud medium, quod permitteret tranſitum lumini per ſuam diaphaneitatem, nul
lum lumen à ſeipſo reflectens, & etiam ac ſi quis diceret nigrum eſſe aerem alicuius
cubiculi vndequaque clauſi tenebroſi.
Quod etiam idem Ariſtoteles volens adducere cauſam, cur oculus magis mate-
riam aquæ, quam aeris participet, dicensidea ratione fieri, quod aqua magis quam
aer ſeruari poſſit, eodem libro ſcribit, eſt reuera admirandum. Ibi enim clarè de-
monſtrat ſe planè ignorare, & conſtructionem oculi, & cauſam diuerſitatis eorum
humorum tam in ſubſtantia, quam in figura, quæ non aliunde dependet quam quod
diuerſam refractionem radiorum luminoſorum producat, qui per pupillam ingre-
diuntur, vt ad proprios
fectius ſen tiantur.
VEra ratio vnde fiat, vt quanto magis ſentitur calor in locis expoſitis Soli, tan-
to minus ſentiatur in vmbra, vbi Solis radius non reflectitur, eſt quia cum ra
refactus eſt aer à vehementi calore radij ſolaris, ſeipſum colligit, & condenſatur in
locis, à quibus à calore, ratione rarefactionis, non expellitur, & quia naturaliter ca-
lor ſequitur rarum, rarum calorem, & frigidum
que ſanę mentis patet, hanc ob cauſam ſequitur rem ita ſe habere vt diximus. Poſſu
mus etiam abſque dubio credere huiuſmodi ratione fieri, vt frigus matutini tempo
ris, in crepuſculo maius eſſe eo, quod noctu viguit. Nam materia conſiſtens in co-
no vmbræ terræ, ſemper denſior eſt ea, quæ extra reperitur, imo noua materia con
tinuo condenſatur, propter motum vmbrę, quæ ſemper corpori ſolari opponitur. hęc
ni à Sole pulſa, in parte vero contrari a ipſius coni hoc eſt in parte crepuſculi ve-
ſpertini, contrarium accidit, quia potius aliquantulum in hac parte materia coni ra
rificatur, quia extrinſeca condenſatur, in parte vero matutina extrinſeca rarificatur; & propterea intrinſeca conde nſatur.
FErunt
na vidiſſet Hæc
ſunt hominum veſtigia. Nam conſonum rationi non erat, vt huiuſmodi figuræ ca-
ſu eſſent impreſſæ: neque etiam credendum eſt ingentem hanc ma chinam tanto or
dine conſtantem fortuitò eſſe productam, cum nulla quantumuis minima eiuſdem
particula, dummodo nitatur ordine, aliquo modo caſu effecta fuerit; cum caſus ni-
hil producat, quod regulam & ordinem ſeruet. Non eſt igitur producta caſu admi
randa correſpondentia, quæ eſt obiectorum cum potentijs, luminis cum oculo, ſo-
ni cum auditu, ſaporis cum guſtatu, odoris cum odoratu, qualitatum tangibilium
tactu. Si diligenter deinde cuiuſlibet rei naturalis operationem conſiderabimus,
eas tanta arte conſtructas videbimus, vt cogamur fateri aliquam prudentiſſimam,
& ſagaciſſimam mentem eas formaſſe, ſi ergo quælibet
& ordine eſt conſtructa: quomodo fieri poterit, vt de toto ipſo mundo id in dubium
vocemus,
ſitiſſima huius vniuerſi harmonia, quæ ex tot
tentibus conficitur, non dependeat?
AD ea quæ mihi ſcribis dico, quod excrementa quæ ex corpore ſano prodeunt
in ſua
corporis, ut
cernitur naſo Imagineris igitur
Pręterea ſi aliquid tibi in
affatim affluat humor, vt id foras (mirabile opus naturæ.)
Dic
ſæpiſſimè ſenex mori deſideret, ut huius vitæ calamitatibus liberetur, vnde fit, vt
cum eius aduentum ſentiat, minus affligatur. Dicito etiam eidem, naturam non
fuiſſe tam ſolicitam de quibuſdam partibus quemadmodum eſt de toto, vnde ma-
gis rotunda, & polita poterat eſſe ſuperficies terræ, quam nunc eſt, quia natura ma
gis reſpicit totum, quam partes, & magis maiores, quam minores.
Dum tuas legerem, me continere non potui quin riſerim, id quod ſcribis te inter-
rogaſſe eum Philoſophum naturalem, vnde fit, vt ventus ſit frigidus,
ſpondiſſe, quod à remotiſſimis partibus veniat,
dis. ( cum ipſa ſit frigida.)
Cæterum miror quod ab eo non quæſieris, vnde oriatur
frigiditas, quæ percipitur ab agitatione aeris, qui quidem à vaporibus terræ non
proſilit, nec à remotiſſimis partibus ad nos accedit. Sed quia de eadem re me in-
vt ſup. diximus, ita vt cum aliquod corpus
iorem caliditatem acquirat, & ſic econtra fit, vt quanto magis aliquod corpus refri
geratur, tanto denſius reddatur, & quanto calidius fit tanto rarius efficiatur. Quo-
ties igitur agitabitur aer, aut aliud corpus, quod ratione ſuæ ſubtilitatis, velociter
condenſari, & rarefieri poſſit, eius partes denſiores ſemper erunt frigidæ, & hanc
obrem quilibet ventus, qui per calida loca non tranſeat, natura ſua frigidus, calidus
autem per accidens erit. Hinc fit vt vaſa vitrea, & terrea tam in vehementi frigore,
quam in magno æſtu frangantur, quia horum vnum fit, ne aliquis locus vacuus rema
neat, & aliud ob loci neceſſitatem, ſed hoc non ſequeretur, ſi in materia, qua huiuſ
modi vas conſtat, aliqua aeris portio non contineretur.
non ita reflectitur, vt à ſuperficie polita ſpeculi,
titatem
conſpicimus. per ſe lumen, cauſa oculi eſt effectum, per accidens autem
puta quod vis. Terra deinde nunquam lunari lumine (
omnino deſtituta eſt, dico etiam, neque in ipſis ecclipſibus ſolaribus vel lunaribus,
in ſolaribus enim cum Soltot millia vices maior ſit Luna, Luna verò minor terra, ſe
quitur, vt terra non omnino priuata remancat lumine Lunæ, in ecclipſibus ve-
rò lunaribus Luna ſemper videtur, gratia luminis ſolaris, quamuis refracti. Mo-
tus corporum cœleſtium fit ratione ſitus, & varietatis virtutis ſtellæ in diuerſis locis,
hæc autem varietas abſque diuerſo ſitu eiuſdem ſtellæ, nec diuerſus hic ſitus abſque
motu fieri poſſet, ita vt motus ſtellarum ſit ratione diuerſitatis ſituum ipſarum, er-
go motus, & diuerſitas ſituum, fit, ob diuerſam influentiam. Quæ autem de albe-
dine fratri tuo dixeram, erant, quod inter Primò quia magis coniungitur cum lumi-
ne. Secundo quia magis afficit ſenſum.
Tertiò quia abſque reſiſtentia magis reci-
pit qualitatem aliorum colorum, quam alij colores. Quartò quia maximus
eſt omnium colorum. Quintò quia ſimplicior eſt reliquis.
Sextò quia diſgregat vi-
ſum. Septimò quia qualitas quæ in niue alba eſſe videtur, nihil aliud eſt quam mul-
titudo quædam luminum reflexorum, & non albedo, ſimilis ei, quæ eſt lactis, aut
panni, quæ quidem ſeptima cauſa effecit, vt ipſam albedinem, magis quam alium
quemuis colorem cum ipſo lumine compararem, cum nihil ſit, quod eſſe ſuum
mutans, aut apparenter, aut eſſentialiter, illud ipſum prius non tranſmutet in for-
mam ſibi propin quiorem, vt manifeſtè patet. Eſt etiam huius rei octaua ratio,
magni ponderis, quia ſcilicet nullus ſit color, qui magis reſiſtat lumini, aut in quem
lumen minorem impreſſionem faciat, quam albedo. Vnde ſequitur, obiecta alba,
minus eſſe combuſtibilia quam alia, cum quælibetres in ſuum contrarium quam in
ſuo contrario patinatum eſt.
Inter corpora, multum ſimplicitatisretinet ſphæra.
Circa quod, præter rationes adductas ab Ariſtotele in libris de Cœlo, poſſumus
etiam ratiocinarià facilitate motus
quod apta
aliqua ſuperficie alterius corporis ſeſe tangi non permittat, quæ curuitate concaua
non adæquetur, niſi medio vnius puncti. Verum eſt, quod licet hæc vltima ratio
ſit propria ſphæræ, eſt tamen cauſa ſimplicitatis in eo, in quo reperitur, ſed proprię
paſſiones ſphæræ ſunt ſupradictæ, præter quam quod alia eiuſdem ſphæræ eſt pro-
prijſſima, quæ eſt diſtantia eiustermini ab vno tantummodo puncto ideſt ab
centro, & etiam poſſe diuidere corpus aliquod medium, cum æquali reſiſtentia circa
punctum, quod prius in motu reperitur.
Aequalitas autem rerum, eſt etiam valde ſimilis ſimplicitati, & vnitati.
QVodad viſum & auditum attinet, magis neceſſarium eſſe viſum, & nobilio-
rem quam auditum exiſtimo, primò quia ſi quis viſu orbatus eſſet, contra
frigus, & calorem, contra famen, & ſitim nil prouidere poſſet, neque aliud quic-
quam hoc vocabulum prouidere ſignificat, neque abſque periculo vitæ ab vno loco
ad alium ferri poſſet, neque aliquid arte facere.
Sed ſi quis deſtitutus eſſet facultate audiendi, ſupradictas tamen operationes
ſtare
ope figurarum & characterum alteri aperiret: neque etiam munere ſpeculandi ſcien
tias (excepta muſica) deſtitueretur. Ad ſcientiam comparandam, longè magis ne
ceſſarius eſt viſus, quam auditus præterquam, quod viſus maiorem numerum obie-
ctorum, & differentiarum rerum percipit, & inter reliquos ſenſus velociſſimè imò
in inſtanti operatur, magis remotè quam alij, & exactius ſentit,
qui afficitur, præterquam quod ſemperagit, dummodò non dormiat animal. Præ-
terea ſeſe magis patefacit, & prodit anima per oculos, quam per aliud, cuiuslibet
ſenſus, inſtrumentum. Oculo magis quam alia corporis parte, hominis natura co-
gnoſcitur: & ſi aliquid ſpeculari volumus, quod ſine imaginatiua fieri non poteſt,
ſtatim imaginamur nos videre huiuſmodirem, ac ſi oculo fuiſſet compræhenſa, &
ab imagine quæ eſt vnum ex obiectis oculi, imaginatiua nuncupatur. Beneficio
oculorum omnes ferè ſcientiæ ſunt adinuentæ. Auditus nil aliud quam ſonum ca-
pit, auditus nunquam detulit intellectui figuram, corpus ſuperficiem, aut lineam,
materiam, formam, locum, dimenſionem, plenum inane, nec innumera alia acci-
dentia, quæ ab oculo compræhenduntur. Quæ verò viſui, & auditui ſunt commu-
nia, ſunt etiam tactui communia, vt numerus, motus, maius, & minus, ſunt tamen ali
qua oculo & tactui communia, quæ auditus non poteſt capere, vt durum, molle, acu
tum, obtuſum, aſperum, lene, planum, curuum, concauum, conuexum, magnum,
paruum, & ſupradicta, ideſt figura corpus & cętera, vt ctiam rectum, obliquum, &
ſimilia.
Ariſtoteles circa finem primi capitis libri de ſenſu ait mediante viſu, magis
quolibet alio ſenſu, nos percipere ſenſibilia communia. Vbi eundem per ſe, &
non per accidens magis neceſſarium eſſe quam auditum, tam in ijs quæ ad victum,
quam in ijs quæ ad ſcientiam pertinent eſſe aſſerit, quia auditus intellectui confert
per accidens. Vide etiam quod idem ſcribit primo metaphyſicorum.
Et ſi ad ali-
quid perfectè cognoſcendum, oculo ſeſe nobis offerrent ea omnia obiecta, quorum
ſpecies in imaginatiua formamus, ipſa imaginatiua non egeremus. Sed quia hoc
fieri non poteſt, hunc
nem omnium obiectorum ſenſibilium nobis dedit natura, vt ope diſcurſus
circa dictas imagines, rerum veritatem venari poſſimus. Sed vt ad propoſitum re-
deamus, beneficio oculi animal liberum eſt, cum ſine ipſo locum mutare nequeat,
vt ſit tutum. tenebræ, Neque vllus eſt@ſen-
ſus, qui ſit magis ſimilis intellectui quam viſus: neque alij ſenſus habent obiecta vi-
ciſſim communia, quæ non ſint etiam oculo communia, ſed inter oculum, & quem
libet alium ex ſenſibus, inuenientur quidem obiecta communia, quæ cum alijs non
communicabunt, vt inter oculum & tactum, figura, acutum, obtuſum, & ſimilia,
quæ alijs ſenſibus non percipiuntur. Mediante viſu, & auditu etiam,
tur variæ diſtantiæ,
ſibus non compræhenduntur. Multa obiecta deinde ſunt ſubiecta guſtatui, quę alijs
accidentibus prędita ſunt, vnde cum fuerint ſemel deguſtata, talia, qualia ſunt ab o-
culo percipiuntur, quod nullus ex alijs ſenſibus præſtabit. Idem de obiectis odora-
tus dico. Senſuum nullus eſt qui maiorem ſimilitudinem gerat cum vigilia & cum
vita, quam viſus, neque aliquid eſt, quod magis repræſentet imaginem ſomni, &
mortis, quàm cęcitas.
Qui ſibi oculos eruit vt melius ſpecularetur maxima ſtultitia prius obcęcatus fuit
quia ſoni magis impediunt ſpeculationem quàm lumina, imò qui commodè vult
contemplari, quantum plus poteſt nititur longius eſſe ab omni ſtrepitu, magis quàm
à locis luminoſis, & animal magis lætatur lumine quam ſono: & ad ſpeculationem
nos magis inuitat harmonia luminum variorum colorum & figurarum, quàm har-
monia ſonorum, præterquam quod inſtrumentum viſus totius corporis partium eſt
pulcherrima, & in eminentiori loco locata, ſi de inſtrumentis ſenſuum loquamur, &
veluti fineſtræ animæ. Et ſi Ariſtoteles dicat oculos & aures in vno
exiſtere, volens inferre quod in eodem æquilibrio ſint æqualiter alta non ita ſe ha-
bet, quia (ſi de homine loquamur) oculus eſt altior aure. Beneficio huius ſenſus, eo
rum quæ abſunt, & longo iam tempore ſunt mortui, animi ſenſa, & conceptus intel-
ligimus, neque alia ratione rerum omnium memoria ſeruari poteſt. Si cabala un-
quam vera fuit, nulla alia ratione eſt deleta, quam quia alicuius ſigni viſibilis medio
conſeruata non fuerit, & quæcunque non ſcribuntur, ideſt oculo non
parum durant cito obliuioni In maiori ſemper pretio fuit pictura
ca: obiectis viſibilibus magis quam ijs quæ ſub auditu cadunt, affectus animi,
alia quælibet res naturalis exprimi poſſunt. Aegyptij volentes ſignificare Deum,
oculi medio id præſtabant.
Oculus, reſpectu aliorum inſtrumentorum ſenſuum, eſt quaſi epicyclus animæ,
neque defuit qui crederet oculum eſſe principem animi partem.
Oculus à Sole, & à Luna ita dependet, vt qui tempore defectus cuiuslibet lumi-
naris naſcitur, ſtatim cæcus euadat, neque aliqua eſt corporis pars in qua magis ap-
quam in oculo.
Ariſtoteles ad finem cap .15. lib. pri
mi poſteriorum ait, clarum eſſe quod ſi aliquis ſenſus deficiat, futurum vt aliqua
quoque ſcientia deſit. Conſidera, quot ſcientijs careret homo, ſi viſu orbaretur.
Et in tertio de anima ait, eum qui non ſentit, nihil intelligere poſſe;
id quod in-
de confirmat, quia nihil ſit in intellectu, quod prius non fuerit in ſenſu. Plato in ti
meo ait, oculos nobis attuliſſe rerum optimarum notitiam, & ſi oculus non fuiſſet ni
hil eorum, quæ ad cœlum ſpectant inueniri potuiſſe, &
oculis ortum duxiſſe, vt reuolutiones menſium, & annorum metiri, & tempus co-
gnoſcere, & inueſtigare ordinem naturæ vniuerſalis poſſemus; quibus
nobis comparauimus, ut alia multa omittam, quæ ibi à Platone dicuntur. Addam
hic & aliam ſpecialem differentiam inter auditum & viſum, quæ eſt, vt obiectum vi
ſus ſit permanens, & obiectum auditus tranſitorium ſiue ſucceſſiuum aut, vt alio mo
do idem dicamus, obiectum viſus particpes ſit æternitatis, illud autem quod eſt au-
ditus non item, nam auditus tempori ſubiectus eſt, viſus autem minimè. Vel ſi di-
camus operationem auditus abſque tempore fieri non poſſe cum ſit motio, operatio
verò viſus, nullo indiget tempore, cum ip ſa ſit momentanea, & propterea inſtan-
tanea. Nam momentum non eſt motus, nec inſtans tempus.
eiuſdem halitus congelatione, quæ ab extrinſeco frigore fit. Prius enim
ſcire debes aerem
vapore aliquantulum craſſiore humido, & excrementitio expulſo à natu-
ra, quæ continuò noſtrum corpus euaporare facit, vnde ſequitur dum aer foras à pul
mone pellitur, maiorem ſemper materiæ portionem, ea quæ intus attracta eſt exire: vnde ſtatim vt dicta materia foras expulſa, frigidum aerem offendit, cum conſtet ex
partibus craſſis, & obnoxiis congelationi, condenſatur in formam vaporis, ad dif-
ferentiam aeris ambientis qui in ſe eas partes craſſas non habet, à quibus
tibus condenſatis, & redditis opacis reflectitur lumen, atque hanc ob cauſam æſtate
hoc non fit, quia calor vim condenſandi non habet.
Ventus nihil aliud eſt quam quidam aeris motus, cum condenſatur, ob defectum
caloris, neque (pace Ariſtotelis dicam) eſt exhalatio ſicca. Exemplum à Vitruuio
allatum nil planè valet, quantum ſpectatad venti naturam, cuius rationem à mere-
quiris. Exemplum etiam ventilabri quo tempore æſtate vtimur negligendum pe-
nitus non eſt, quia eius beneficio, non ſolum arcemus à nobis aerem ambientem
calidum, ſed alium etiam aerem circa nos condenſamus: & quia ordo naturæ eſt hu
iuſmodi quod quemadmodum calor ſequitur raritatem
eorundem denſitatem ſequatur. Quod ſi vis vt exemplo illuſtrem, diligenter ob-
ſeruato tempore æſtatis cum aliqua nubes nobis Solem adimit, vbiaer qui in eius
dictum aerem rarefactum conſeruabat, ſtatim dictum aerem condenſari cognoſces: & quia ea condenſatio homogenea non eſt, ob diuerſas rationes, hanc ob cauſam
percipimus eam aeris impulſionem, & inæqualiter, dum verò eadem vmbra diſce-
dit, ventus, ferè, ſtatim ceſſat, & ſæpe ante quam dicta vmbra diſcedat; cuius rei cau
ſa eſt longa mora quam trahi vmbra, ita vt prius abſoluatur reditus aeris ad
quæ ei conuenit in huiuſmodi vmbra, quam faciet nubes dum Sol deregitur.
Vera non ſunt ea, quæ tibi Arnoldus dixit, vt mihi tuis literis ſignificaſti.
Nam ego
ita dixi, videlicet, quod quoti eſcunque aliquis aſpexerit aliquod punctum in ſuper-
ficie ſpeculi, tunc imaginem ipſius poſt dictam ſuperficie
verò aſpexerit imaginem intra ſpeculum, tunc illud punctum videbit duplicatum,
huiuſmodi autem rei ratio pendet ab hijs quę ad Franciſcum Vimercatum ſcri-
pſi, quæ ſi memoria tenes, nullum tibi dubium remanebit. Nam ea tibi omnia
oſtendi.
Dum verò dicis omnem proportionem rationalem diuidi poſſe duobus numeris
mediantibus in tres æquas partes, mihi ad memoriam reuocas id quod quidam Vitru
uij commentator aſſerit ſuper primum cap. noni lib. eiuſdem Authoris, ita dicens.
Benè eſſe poteſt vt diagonalis (quadrati ſcilicet) numerorum via reperiatur, ſed
fortaſſe intercedent fracta.
Miror te non memoria tenere quid ſint numeri rationales quidúe ſurdi,
ſideras, non ſolum non eſſe diuiſibilem in tres æquas partes omnem proportionem
rationabilem, ſed neque in duas, vt ſunt ſuperparticulares proportiones, necnon
aliæ innumeræ, ſed cum talia ſcribis te nimis parum verſatum in iſtis rebus oſtendis.
Id verò quod tibi dicere volebam nudiustertius de Mercurio erat, quod nullo pa
cto confidendum eſt calculis qui fiunt de curſu Mercurij, eo quod eius ſitus nullo mo
do obſeruabilis eſt, nam ipſe nunquam nec vbiuis locorum orbis terrarum viſibilis
eſt altior .18. gradibus ſupra orizontem, ſed neque confidendum eſſet ſi
videremus altum .20. gradibus, propterea quod magna refractio
gradus nos valde fallit, quæ quidem refractio, nec
mis eſt, propter diformem ſeu inæqualem craſſiciem vaporum quæ continuò muta
tur. Imo multoties eum. videre putabimus ſupra orizontem, exiſtente ipſo ſub
orizonte.
TVus etiam Ouidius ceſpitauit, cum pro itinere vnius diei efficiat, vt Phaeton à
patre edoctus ſit etiam de itinere annuali.
Nam, quod Phaeton petat pro curſu vnius diei, clarè patet
mò vbi ita ſcribit Ouidius.
Currus petit ille paternos.Inq; diem alipedum ius & moderamen equorum.
Deinde vbi Pater ita loquitur.
Ardua prima via eſt, & qua vixmanẽ recentes. Enituntur equi medio eſt altiſſima cęlo.Vnde mare, & terras ipſi mihi ſæpe videre.Fit timor & pauida trepidat formidine pectus.Vltima prona via eſt & eget moderamine certo.
Etiam vbi dicit.
Dumq́; ea magnanimusPhaẽton miratur,opusq́;
Perſpicit, ecce vigil nitido patefecit ab ortu.Purpureas aurora fores, & plena roſarum.Atria, diffugiunt ſtellæ, quarum agmina cogit.Lucifer, & coeli ſtatione nouiſſimus exit.
Necnon vbi ita inquit.
Et ſi (modo credimus) vnum
Iſſe diem ſine Sole ferunt, incendia lumen Præbebant.
Quod autem à Patre inſtruatur etiam de curſu annuali,
videbitur vbi ita dicit.
Nitor in aduerſum, nec me, qui cætera vincit.Impetus, & rapido contrarius euehor orbi.
Et vbi ita loquitur.
Forſitan & lucos illic,vrbesq́; Deorum.Concipias animodelubraq́; ditia donis
Eſſe per inſidias iter eſt,formasq́; ferarum.Vtq́; viam teneas,nulloq́; errore traharis.Per tamen aduerſi, gradieris cornua Tauri.Aemoniosq́; arcus,violentiq́; ora Leonis.Sæuaq́; circuitu curuantem brachia longo.
Scorpion atque aliter curuantem brachia cancrum.Nec tibi quadrupedes animoſos ignibus illis.Quos in pectore habent quos ore & naribus efflant, & c.
Sed lucidius etiam hoc videre eſt inferius vbi ita loquitur.
Nec tibi directos placeat via quinque per arcus.Sectus in obliquum eſt lato curuamine limes.Zonarumq́; trium contentus fine,polumq́;
Effugit auſtralemiunctamq́; aquilonibus arcton.Hac ſit iter, manifeſta rotæ veſtigia cernes.
Et vbi etiam dicit.
Neute dexterior tortum declinet ad anguem.Ne ve ſiniſterior preſſam rota ducat ad aram.
ID quod à me deſideras, ab alijs etiam factum eſt, ſed ne me putes laborem euita
re, non præter mittam aliquid tibi ſcribere, earum rerum quæ ab Euclide colle
Quotieſcunque igitur ſcire volueris quantitatem corpulentiæ
porum regularium ab vna
rabis primum, cognoſcere quantitatem lateris
lium ſemidiameter dictæ ſphæræ ſit .100000. extabulis ſinuum Nicolai Copernici. Propone igitur tibiante oculos figuram ſemicircularem vltimæ propoſitionis .13.
lib. Eucli. & inuenies .c.d. tertiam partem ſemidiametri .d.b. eſſe partium .33333. æ-
qualem ſinui arcus .f.e. graduum .19. mi .28. qui quidem arcus
quarta .b.f. remanebitarcus .e.b. gra .70. mi .32. cuius corda erit latus exaedri, quod
latus ita cognoſces, ſumendo ſcilicet ſinum medietatis .b.e. hoc eſt ſinum gra .35. mi
16.
Dempto poſtea quadrato lateris exaedri, & quadrato totius diametri .a.b. reſi-
dui radix quadrata, erit .a.e. latus Tetraedri. Vel ſi duplicaueris ſinum dimidij ar-
cus .a.e. qui quidem arcus, componitur ex quarta .a.f. & ex arcu .f.e. iam inuento, ſiue,
vt reſiduus totius dimidij circuli, dempto .b.e. iam ſupra inuento, habebimus idem
latus .a.e. partium .163294.
Pro latere verò Octaedri accipere potes radicem quadratam dupli quadrati ip-
ſius .d.b. & habebis .f.b. latus quæſitum. Vel ſi malis accipe duplum ſinus medietatis
arcus .b.f. quod duplum erit .f.b. partium .14142.
Pro latere verò Duodecaedri, diuide latus Exaedri ex methodo .11. ſecundi
Eucli. cuius maior pars erit latus quæſitum, partium .71368.
Sed pro latere Icoſaedri, te primum oportebit inuenire quantitatem anguli g.d.
a. hoc eſt ipſius arcus .b.n. qui tali angulo ſubiacet, quod cum pluribus modis inue-
niri poſſit, nihilominus, hunc ſeruabis, inuenies primò quantitatem .d.g. quæ eſt ra
dix quadrata ſummæ duorum quadratorum hoc eſt .d.a. et .a.g. quæ .a.g. æqualis eſt
diametro .a.b. vt ſcis, dices poſtea, ſi .d.g. correſpondet ipſi .g.a. cui correſpondet .d.
h. ſemidiametro ſphæræ? tibi veniet .h.k. ſinus arcus .a.h. hoc eſt .b.n. graduum .63 -
min .26. cuius medietas gra .31. mi .43. pro ſinu ſuo habet partes .52571. cuius ſinus du
plum eſt partium .105142. pro latere Icoſaedri.
Incipiendo nunc à Tetraedro, ſcire debes, quod pars .a.c. totius diametri .a.b. æ-
qualis eſt axi ipſius Tetraedri, quæ quidem .a.c. vt ſubſeſquialtera ipſius .a.b. erit par
tium .13333.
Quæres poſtea quantitatem ſuperficialem vnius faciei ipſius Tetraedri, hac me-
thodo, inueniendo primum radicem quadratam trium quartarum quadrati
ipſius .a.e. lateris Tetraedri, eo quod latus hoc, ſeſquitertium in potentia eſt ipſi per
pendiculari terminatę ab vno angulorum trianguli æquilateris & à latere ei oppoſi-
to ex .11. tertijdecimi ipſius Eucli. quę quidem perpendicularis, erit
& hæc multiplicata cum medietate lateris trianguli, hoc eſt cum .81647. tibi dabit
ſuperficiem quæſitam, hoc eſt baſim Tetraedri
lentiam totius Tetraedri, quæ erit .513158964003488.
Neque tibi hoc loco occultare volo quandam meam animaduerſionem, quæ eſt,
quod diameter ſeu perpendicularis (ſupradicta) faciei ipſius Tetraedri, ſemper æ-
qualis eſt lateri ipſius Octaedri circunſcriptibilis ab eadem ſphæra, hoc eſt ipſi .b.f.
quapropter quotieſcunque ipſam perpendicularem habere voluerimus accipiendo
b.f. habebimus intentum. Et quod hoc verum ſit poſſumus ita demonſtrare.
Primum, notum nobis eſt, ipſam perpendicularem, triplam eſſe eius parti, quæ
propoſito decimæſeptimæ quartidecimi Eucli. probatur, ex quo ſequitur proportio
nem huiuſmodi perpendicularis ad axem Tetraedri, hoc eſt ad .a.c. ſeſquioctauam
eſſe in potentia, ex penultima primi Eucli. Sed cum .d.c. tertia pars ſit ipſius .d.a. vt
etiam ex .2. propoſito, ſeu corollario decimæſeptimæ .14. lib. diſcurrere licet, cum ex
dicto corollario .d.c. ſit ſexta pars ipſius .a.b. Quare .d.c. quarta pars erit ipſius .a.c. vn
de .a.c. ſeſquitertia erit ipſi .a.d. in longitudine,
dratum ipſius .a.c. erit vt .9. ad .16: & ita duplum quadrati ipſius .a.d. hoc eſt quadra-
tum ipſius .b.f. ad quadratum ipſius .a.c. erit, vt .18. ad .16. hoc eſt ſeſquioctauum, er-
go .b.f. æqualis erit dictæ perpendiculari, ex .9. quinti.
Cubus poſtea ipſius .b.e. erit partium .1539838576570176.
Pro Octaedro deinde, accipies productum diametri in ſemidiametrum, quod
productum, æquale erit quadrato diuidenti per æqualia Octaedron, hocigitur pro-
ductum, multiplicando per .100000. ſemidiametrum ſphæræ, tibi dabit columnam
quadrilateram cuius tertia pars, erit partium .666666666666666. cuius duplum
erit ipſum Octaedron partium .1333333333333.
Pro Icoſaedro autem, oportet prius quantitatem perpendicularis inuenire, quæ
perpendicularis, per æqualia diuidit baſim ipſius Icoſaedri, quæ vt radix quadrata
trium quartarum quadrati lateris ipſius baſis, erit partium .91055. talium, qualium
dictum latus erit partium .105142. cuius medietas eſt .52571. quæ medietas ſi mul-
tiplicata fuerit cum dicta perpendiculari, dabit totam baſim ſuperficialem, hoc eſt
ſuperficiem vnius trianguli æquilateris partium ſuperficialium .4786852405. quo
facto, accipe quadratum duarum tertiarum ipſius, hic ſupra dictæ perpendicularis,
radix poſtea quadrata reſidui, erit partium .79468. & hæc erit perpendicularis à cen
tro ſphærę ad vnam baſim ipſius Icoſaedri, quam volueris, quam perpendicularem
ſi multiplicaueris cum quantitate ſuperficiali, hic ſuperius reperta, vnius baſis, con-
ſequeris columnam trilateram partium .380401586920540. cuius tertia pars, erit
partium .126800528973513. pro vna ex .20. Pyramidibus ipſum corpus compo-
nentibus. Breuius tamen hoc efficiens, ſi multiplicaueris baſim dictam, cum tertia
parte ipſius perpendicularis, hanc poſtea pyramidem multiplicando per .20. habebis
totam corpulentiam ipſius Icoſaedri partium .2536010579470260.
Pro Duodecaedro demum, accipe ſinum gra .36. qui
tæ partis totius gyri circularis,
ſi
tagotunc radix reſidui, erit perpendicularis du-
cta à centro dicti circuli ad medium vnius lateris ipſius pentagoni, quæ perp endicu
laris, erit partium .80902. talium qualium medietas lateris dicti fuerit .58778.
Nunc verò dicendo ſi .58778. dat .80902. quid nobis dabit .35684? medietas lateris
ipſius Duodecaedri, vnde da bit .49116. pro perpendiculari, à centro ipſius penta-
goni, ad latus ipſius Duodecaedri, quæ multiplicata cum me dietate ſupradicta ip-
ſius lat eris, hoc eſt cum .35684. producet vnum ex quinque triangulis componenti-
bus vn um pentagonum, ſeu vnam baſim ipſius Duodecaedri, quod quidem triangu
lum, erit partium .1752655344. ſu perficialium, quas ſi per quinque multiplicaueris
habeb is vnam baſim pentagonam dicti corporis partium .8763276720. Dicendum
poſtea eſt, ſi ad .80901. conuenit ſemidiameter circularis partium .100000. quid
ueniet partibus .49116. dabit .60711. pro tali ſemidiametro circulari, cuius quadra-
tuncradix qua-
drata reſidui, erit perpendicularis à centro ſphæræ ad centrum pentagoni partium,
79461. cuius tertia pars, ſi multiplicata fuerit cum pentagono ſupra reperto dicti cor
poris producet vnam ex .12. pyramidibus componentibus dictum Duodecaedron,
quæ pyramis, demum, multiplicata per .12. dabit totam corpulentiam ipſius Duo
decaedri partium .2785354925791680.
Nunc verò ſi experiri voluerimus vtrum iſti calculi duorum corporum maiorum
ſint rectè ſupputati,
conuenit numerus partium .2536010579470260. ipſius Icoſaedri, quid conueniet
lateri cubi partium .115476. & inueniemus conuenire latus ipſius Icoſaedri partium
105138. eo quod probatum ſit in .10. propoſitione .14. li. Eucl. eandem
eſſe corpulentiæ ipſius Duodecaedri ad corpulentiam ipſius Icoſaedri, quæ lateris
cubi ad latus Icoſaedri.
Hæc autem corpora, ita ſibi inuicem, & cum eorum ſphæra harmonicè
quemadmodum antiqui philoſophi inuenerunt, vt
ſe omnia quæ natura conſtant, aliquo pacto exiſtis corporibus fieri. Conſidera quæ-
ſo quomodo conueniant inuicem Tetraedron, Octaedron, & Icoſaedron, cum uniuſ-
cuiuſque baſes ſint triangulares æquilateræ intelli gendo ſemper hæc corpora ab ea-
dem ſphæra circunſcriptibilia.
Octaedron, cum Tetraedro etiam in hoc conuenit, quod latus Octaedri æquale
ſit ei perpendiculari, quæ diuidit baſim Tetraedri per æqualia, vtſupra demonſtra-
uimus.
Harmonicis etiam interua llis hæc duo corpora inuicem concordantur, cum baſis
Tetraedri ad baſim Octaedri ſeruet proportionem ſeſquitertiam, conſonantiæ dia-
teſſaron. Et proportio omnium ſuperficierum ſiue baſium Octaedri ſimul ſumpta-
rum, ad omnes baſes ipſius Tetraedri ſimul ſumptas ſit ſeſquialtera, conſonantiæ dia
pentis. Neque omittendum eſt, quod proportio Octaedriad triplum Tetraedri ſit,
vt latus Octaedri ad latus Tetraedri.
Proportio verò lateris Octaedri, ad axem Tetraedri, potentia eſt ſeſquioctaua,
vt ſupra vidimus interuallum ſcilicet harmonicum toni maioris.
Harmonia verò Tetraedri, & Exaedri
metriſphæræ, potentia, tripla ſit lateri Exaedri, & ſeſquialtera lateri Tetraedri, ex
quo ſequitur latus Tetraedri potentia duplum exiſtere lateri Exaedri. Interuallum
enim triplum in harmonicis, componitur ex diapaſon, & diapente, & ſonat ſpeciem
diapentis. Duplum verò eſt diapaſon, ſeſquialterum autem eſt di apente, quę con-
ſonantiæ perfectiſſimæ ſunt.
Proportio verò diametri ſphæræ, potentia dupla eſt lat eri Octaedri, conſonantię
diapaſon. Ex quo ſequitur proportionem lateris Tetraedri ad latus Octaedri, po-
tentia, ſeſquitertiam eſſe, hoc eſt conſonantiæ diateſſaron, & proportionem lateris
Octaedri ad latus Exaedri, potentia, ſeſquialteram eſſe, ita quod quatuor iſtæ poten
tiæ, ideſt diametri ſphæræ, lateris Tetraedri, lateris Octaedri, & lateris Exaedri con-
ſtituunt harmoniam ferè perfectiſſimam, ijs terminis comprehenſam .6. 4. 3. 2. (dixi
ferè, quia ditonus ſupra terminum .3. vel ſemiditonus ſub termino .2. hoc loco non
reperitur, cuius quidem terminus eſſet .2. cum duabus quintis.)
Adde quod diameter ſphæræ triplus eſt longitudine ad
à centro ſphæræ ad baſim Octaedri, quæ proportio, vt ſupra dictum eſt, dicitur dia-
paſondiapente, practici verò eam vocant duodecimam.
Diameter verò ſphæræ ſeſquialter eſt longitudine axi Tetraedri, conſonantiæ
diapentis. Axis autem Tetraedri ſeſquitertius eſt longitudinis ſemidiametro ſphæ-
ræ conſonantiæ diateſſaron. Ita quod iſti tres termini, qui ſunt, diameter ſphæræ,
axis Tetraedri, & ſemidiameter ſphæræ conſtituunt etiam valde perfectam harmo-
niam huiuſmodi numeris contentam .6. 4. 3. corpulentia verò Exaedri ad corpu-
lentiam Tetraedri tripla eſt, conſonantiæ iam ſupradictæ diapaſondiapente. Si ve-
rò de vniſono aliquid videre deſideras, conſidera æqualitatem dupli quadrati dia-
metri ipſius ſphæræ, cum omnibus baſibus Exaedri, vel potentia diametri ſphæræ
cum duabus potentijs ſimul ſumptis, quarum vna eſt lateris Tetraedri, reliqua verò
lateris Exaedri, vel æqualitatem numerorum laterum Tetraedri, cum baſibus Exae
dri. Nec mihi videtur ſilentio inuoluendum eſſe, antequam vlterius progrediar no
tabilem ſympatiam inter triangulum æquilaterum, & Tetraedron (
corpus non ſit) non ſolum ob (nam omnes
aliæ alterabiles eſſe poſſunt, ijſdem lateribns exiſtentibus, cum ex quadrato rom-
bus, vel ex pentagono ęquiangulo, pentagonum non æquiangulum & c. efficiatur) ſed quod quemadmodum latus trianguli æquilateri ſeſquitertium potentia eſt per-
pendiculari ipſum per æqualia diuidenti, ita latus Tetraedri, ſeſquialterum eſt po-
tentia axi ipſius Tetraedri, vnde cum dempta fuerit illa proportio ſeſquitertia, ex
hac ſeſquialtera relinquetur nobis proportio ſeſquioctaua, inter perpendicularem
trianguli, & axem Tetraedri (quod etiam ſupra demonſtrauimus.) Tranſeamus nunc
hęc, nec omittamus tamen ſympatias quaſdam inter Exaedron, Octaedron, & Tetra
edron, hoc eſt quod eadem proportio ſit inter corpulentias Exaedri, & Octaedri,
quæinter eorum ſuperficies, nec non, vt latus Exaedri ad ſemidiametrum ſphæræ. Proportio verò baſis Exaedri ad baſim Tetraedri, vtlatus Tetraedri ad perpendicu
larem diuidentem per æqualia eius baſim.
Hactenus ſatis dictum ſit de Tetraedro, Exaedro, & Octaedro cum ſphæra.
dum nunc cenſeo aliquid de reliquis duobus mirabilibus corporibus, quamuis ferè
omnia hæc ab antiquis philoſophis inuenta ſint, quorum primum eſt, quod tam ba-
ſis Duodecaedri, quam Icoſaedri, ab vno
rùm, talis paſſio accidit etiam baſibus Exaedri & Octaedri. Præterea quemadmo-
dum in Duodecaedro, quilibet angulus ſolidus terminatur tribus angulis pentago-
norum æquiangulorum ita in Icoſaedro, quilibet angulus ſolidus viceuerſa termi-
natur quinque angulis triangulorum æquiangulorum. Et tam vnum, quam alte-
rum horum corporum, triginta lateribus continetur. Et tot ſolidos angulos trian-
gulares, habet Duodecaedron, quot baſes triangulares continet Icoſaedron.
Et Icoſaedron, tot ſolidos angulos
decaedron. Et tam vnum quam alterum habet .60. angulos ſuperficiales.
proportio eſt omnium baſium ſimul
ſumptas ipſius Icoſaedri, quæ corpulentiæ ipſius Duodecaedri ad corpulentiam
Icoſaedri (quamuis hęc paſſio accidat Exaedro cum Octaedro, vt ſpra diximus) quę
quidem proportio, eadem etiam eſt, quę lateris Exaedri ad latus Icoſaedri, vt ſu-
pra iam dictum fuit.
tate coniunctam, illorum horologiorum, quæin Germania conſtruuntur
nuo Sed quia talia horologia omnia eorum limbum diſtinctum habent in .24. horas, qua
propter diametrum limbi, minorem duobus palmis, ſeu ſemipede eſſe non oportet
neinterſtitia horarum iuſtò breuiora ſeu anguſtiora efficiantur, etiam ne interualla
dentium rotæ indicis nimis anguſta ſint. Sed quia talis magnitudo vt plurimum in-
commoda exiſtit. Ideo non inutile fore cogitaui, ſi modus aliquis inuentus fuerit,
vt ea omnia efficiantur in limbo diuiſo tantummodo in .12. horas æquales,
inueni, qui quidem erit, efficiendo vt Tabula (in qua deſignantur cęleſtes domus,
cum almicantarat, atque azimut) Reti ſubiectæ, mobilis ſit, tardior tamen ipſo Re-
te cum indice, pro duplo temporis, hoc eſt, quod eo tempore, quo Aranea cum in
dice circunuoluetur ſpacio .12. horarum vno gyro perfecto, ipſa Tabula efficiat tan
tummodo ſexinterſtitia horarum. Ideſt dum Tabula dicta eſſicit vnam integram re
uolutionem, Aranea, ſeu Zodiacus cum indice, duas efficiat reuolutiones. Ita quod
Aranea cum indice perficiet vnam reuolutionem ſpaci o temporis .12. horarum, Ta-
bula verò perficiet eam ſpacio temporis .24. horarum. Vnde ſequetur quod Ara-
nea ſeu Zodiacus cum indice, ſpacio .24. horarum perfectè circunuoluetur ſupra Ta-
bulam, & ita huiuſmodi horologia, in hoc nihil differrent ab illis ſupradictis. Vt au
tem facias dictam tabulam tardiorem duplo temporis Araneæ cum indice, quamuis
diuerſis modis hoc fieri poſſit, pręſtantiorem tamen iudico, ſi cum Rota indicis,
Rotam
ſi cum ea horologii particula (quę
Germanicè verò
ta fuſi reperitur) coniunxeris alium colinum quem, ſecundum vocabo,
verò cum primo, cum
quam ſecundi colini, varijs modis poteris inuenire, quorum primus erit, vt numerus
dentium ſecundæ Rotę duplus exiſtat numero dentium primę, efficiendo ſecundum
colinum eiuſdem numeri dentium quo primum, ſed quia interualla dentium huiuſ-
modi Rotę, nimis anguſta fortaſſe reſultabunt, propterea alios etiam modos inue-
ni, quorum vnus erit (dum numerus dentium primi colini par fuerit)
dam
numeri dentium cuius erit primus. Attamen ſi primus colinus eſſet .4. dentium, ſecun
dum oporteret eſſe duorum dentium, vnde motus ſecundę Rotę non eſſet ita conti-
nuus. Quapropter alium etiam mòdum excogitaui, hoc eſt, cupiendo vt ſecundus
colinus, extribus dentibus exiſtat, ſi primus ex .4. repertus fuerit, oportebit prius ex
regula de tribus, numerum quendam inuenire quo inuento ipſum duplicare, & hunc
duplicatum numerum conueniet ſecundam Rotam habere, vt ipſa poſſit ab illo co-
lino Exempli gratia, ſi prima Rota conſtaret ex .36. dentibus, dicendum eſſet, ſi
4. conuenit cum .36. cum quibus conuenient .3. & inueniemus .27. cum quo numero
dicta ſecunda Rota circunuolueretur eodem tempore à ſuo colino trium dentium,
quo prima à ſuo quatuor dentium, quare duplicando .27. haberemus .54. pro nume-
ro dentium dictę ſecundæ Rotæ, vt duplo temporis circunuoluatur quo prima. Sed
ſi primus colinus conſtaret ex .6. dentibus, exiſtente ſua Rota ex .36.
ſecundus exiſteret ex .4. tunc ſuam Rotam oporteret habere dentes .48. ex dicta re-
gula. Si autem primus colinus conſtaret ex numero impari, nihil referret, dummo-
do huiuſmodi numerus impar, ſeu par, exiſteret pars propria numeri dentium, vel
ipſius dupli primæ Rotę, hoc eſt, eſſet pars aliquota numeri dentium ipſius primæ
Rotæ vel ipſius dupli. In ijs verò horologiis in quibus duplum numeri dentium di-
ctę primę Rotę non erit multiplex numero dentium primi colini, hoc fieri non pote
rit. Ratio enim tam clarè, tibi conſideranti, patebit, vt nullis verbis indigeat cum
ſemper numerus dentium ſecundę Rotę multiplex eſſe debeat numero dentium ſe-
cundi colini. Idem autem non dico de prima Rota cum ſuo colino, hoc eſt, vt nu-
merus primę multiplex ſit numero ſui colini, nam hoc neceſſarium non eſt. Pona-
mus exempli gratia primum colinum conſtare ſex dentibus, ſuam vero Rotam den-
tibus .21. cuius quidem numeri, 6. non eſt pars aliquota, ſed dupli ipſius .21. ipſe .6.
eſt pars aliquota. Nunc verò ſi voluerimus numerum dentium ſecundæ Rotę inue-
nire, cuius colinus ex quinque dentibus exiſtat (ſuppoſito primo ex .6. conſtare) tunc
ex regula de tribus, diuiſo producto, quod fit ex .21. in .5. per .6. exibit .17. cum di-
midio, cuius duplum eſſet .35. qui multiplex eſt ipſi quinque. Reperto igitur nume
ro ſecundę Rotę, cum numero ipſius colini, oportet nunc ſcire modum compoſitio-
nis, ſeu coniunctionis harum rerum, hoc eſt duorum colinorum
de ijs ſatis iam ſuperius dictum fuit) duarum Rotarum concentricarum cum Tabula,
cum Zodiaco, & cum indice, ſeu Oſtenſore, cuius quidem Oſtenſoris medietas tan
tummodo nobis ſufficiet. Sciendum igitur nunc eſt quod cum primus colinus re-
uoluat totam primam Rotam, ſpacio temporis .12. horarum, oportet vt eius axis, ſeu
arbor voluat oſtenſorem,
inalterabis eſt, propter eius coniunctionem cum ſuo colino, & nos oporteat indicem
cem, Zodiacum, & primam Rotam, ita cum axe, ſeu arbore coniungere, vt poſſimus
dicta omnia efficere. Pars igitur Arboris, ſeu axis dicti, quæ ingredi debet in prima
Rota, ſit rotunda, & contigua ipſi Rotæ, non autem continua, vel cum Rota conſoli-
data. Pars verò quę per foramen Zodiaci, ſeu Araneę tranſibit, ſit quadrata vſque
ad
ſit) & ita foramen ipſius Araneę, quadratum ſit, Oſtenſor autem circa axem, com
poſitus ſit tali ordine, vt circa paruum circulum volui poſſit, qui paruus circulus ha-
beat quadratum foramen, per quod tranſeat axis, qui axis aliquantulum emineat
ſupra Sub Aranea vero vel Zodiaco, locata erit Tabula, vt
ſed ſciendum eſt prius, quod inter Tabulam, & ſuam ſecundam Rotam, aliam lami-
nam immobilem interpoſitam eſſe oportet, quę circulare foramen habeat, per
quędam breuis fiſtula tranſeat circundans axem & coniungens
ta, cuius quidem fiſtulæ ſuperficies concaua, rotunda ſit, ſuperficies verò extrinſe-
ca, nontota, niſi ea pars, quę ſecundam Rotam ingreditur, vt in rotundo foramine
ipſius Rotę, dicta fiſtula volui poſſit, pars vero extrinſeca quę Tabulam ingredi de-
bet, ſit quadrata. Tabula vero quatuor paruiſſima foramina habeat in extremitati-
Perfectum igitur cum fuerit op us hoc, te oportet ſcire modum ipſo vtendi.
Qua-
propter quotieſcunque volueris, aſpice Solis locum in Zodiaco, Ephemeridibus me
diantibus, idem dico de vnoquoque reliquorum planetarum. Inuento poſtea So-
lis loco in noſtro Zodiaco horologij, manu mediante, volue oſtenſorem, ita, vt li-
nea fiduciæ tranſeat per gradum Solis, deinde, claui ipſius horologij mediante, vol-
ue indicem, ita cum Zodiaco coniunctum, vt linea fiducię, punctum, ſeu partem ho-
rę oſtendat in limbo horologii, quę quidem hora notanda eſt ſi fuerit ex ijs quę in-
cipiunt à meridie vſque ad mediam noctem, vel à media nocte vſque ad meri-
diem, tunc acu ſupradicta mediante, poſita in aliquo illorum quatuor foraminum,
circunuoluenda eſt Tabula, ita, vt extremitas lineę meridianę ſupra orizontem, ex
ęquo incidat inter duodecimam horam, & lineam fiducię, computum incipiendo à
duodecima hora, ſi vero dicta indicis hora fuerit ex ijs quę
deſinunt poſtea in meridie, oportebit, acu mediante, circunuoluere Tabulam, quo-
uſque punctum extremum meridianæ ſub terra, medio loco exiſtat inter
horam, & horam oſtenſam à linea fiducię. Quo facto continuo videbis erectam
li& quia vidiſti loca planetarum in Ephemeridibus, videbis etiam
eorum loca accidentalia in domibus ſcilicetaccidentalibus, ſi aliquas fixarum in
Aranea deſiderabis, accipere poteris Ocu. ♉, cor. ♌, ſpi. ♍, Liram, Aquilam, &
Arcturum, dum locus fuerit capax. Nec te moueat, quod oportebit lineam fiducię
ſupra gra. Solis quotidie collocare, quod nihil refert. Nam oportet etiam quoti-
die cordam fuſo circunuoluere.
dum oſtendis ſciendi rationem, quare ego non vna methodo ad omnes
propoſitiones demonſtrandas vſus ſim, hoc eſt, quare non omnia ea Eucl.
Theoremata citem in vnaquaque propoſitione, quę ad
quemadmodum in mea Gnomonica vidiſti me aliquando omiſiſſe. Reſpondeo
mathematicę demonſtrationes, hominibus Euclidis Elementa poſſidentibus, non in
digent aliqua citatione numerorum Theorematum ipſius Euclidis, & ſi aliquando
vſus ſum aliqua citatione eorundem, hoc feci propter conſuetudinem noſtri tempo
ris, vel etiam ad faciliorem intelligentiam illorum, quibus ſcribebam. Sed omnia
quamuis minima citare, vt
videtur, preſertim ijs (vt dixi) qui memoria tenent prima Elementa. Hęc igitur
eſt vna ratio. Alia, quia multoties, ita coniuncta eſt ſpeculatio cum ipſa concluſio
ne, vt mihi ſępius viſum ſit ſuperfluum, aliquid de ipſa theoria ſcribere. In iis
enim, quę dum puer eramſcripſi, videbis ſcrupuloſam illam methodum, ſed po-
ſtea, non niſi in arduis propoſitionibus me nihil eſſentiale prętermittere.
Circa vero id de quo me interrogas, ſcilicet, vtrum putem omnia vera eſſe, ea
quę ſcripta reperiuntur in libris Aſtrologæ iudiciarię. Reſpondeo quod non, imo
Nam illa multitudo partium, vt pars vitę, pars Hylech, pars
futurorum, & reliquę omnium domorum cœleſtium, ſalua parte fortunę, ſunt merę
nugę. Idem dico de faciebus, ſiue decanis, de terminis, & de gradibus ipſis, vt pu-
ta azemenis, puteis, vacuis, fumoſis, & de reliquis. De Domibus vero, Exaltationi
bus, nec non triplicitatibus, experientia
bus accidentalibus, rationalibus tamen, non Obſeruationes etiam complexionum ſeu inſluentiarum ipſorum Planetarum rectè
factæ ſunt, quę etiam à coloribus ipſorum Planetarum ferè iudicari poſſunt. Con-
iunctiones
te, ea, quę de iſtis ſcribuntur vera ſunt. Reuolutiones annuę ſimiliter, cum Domino
anni. Dominum verò orbis
ille verò ab hora. Nouenarias autem Dodecathemoria, Alfridarias, & multa iis ſi
milia omnia nego. Antiſcia, vera ſunt, ideſt influunt, malos tamen effectus, alia
plus alia verò minus, prout aliqua eorum ſunt tetragona, alia verò trigona, alia ma-
gna, alia parua, magna ſunt, vt Arietis cum Virgine, & Librę cum Piſcibus, parua ve
rò, Sed difuſius
hęc
videbis, quę omnia ab experientia, ex multis à me obſeruatis, comprobata ſunt,
quem quidem tractatum cum quibuſdam alijs meis ſpeculationibus in lucem prode
re cupio, ſi fieri poterit, antequam ad directionem mei Horoſcopi cum corpore
Martis Anęretę perueniam, quę quidem directio circa annum milleſimum quin-
genteſimum nonageſimum ſecundum eueniet.
Test: Dieser Satz enthält ein Zeichen mit Unicode-Codepoint über FFFF, nämlich 𐆑 (U+10191; D800+DD91).
Das gleiche Zeichen innerhalb eines Wortes: vorher𐆑nachher.
Das Zeichen wird testweise zu X normalisiert.
Das Zeichen 𐆒 (U+10192; D800+DD92) wird dagegen nicht normalisiert: vorher𐆒nachher.