Benedetti, Giovanni Battista de, Io. Baptistae Benedicti ... Diversarum speculationum mathematicarum, et physicarum liber : quarum seriem sequens pagina indicabit ; [annotated and critiqued by Guidobaldo Del Monte], 1585

Bibliographic information

Author: Benedetti, Giovanni Battista de
Title: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarum speculationum mathematicarum, et physicarum liber : quarum seriem sequens pagina indicabit ; [annotated and critiqued by Guidobaldo Del Monte]
Year: 1585
City: Taurini
Publisher: Bevilaqua
Number of Pages: [7], 426, [2] S. : Ill.
Call number: Rara B4625div
Holding library: Max Planck Institute for the History of Science, Library

Permanent URL

Document ID: MPIWG:2DVTZFB4
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:2DVTZFB4

Copyright information

Original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for digital-image: CC-BY-SA
Copyright for text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for text: CC-BY-SA
Table of contents
1. IO. BAPTISTAE BENEDICTI PATRITII VENETI SERENISS. CAR. EM. ALLOBROGVM DVCIS PHILOSOPHI. Theoremata Arithmetica. Page: 13
2. DE RATIONIBVS OPERATIONVM PERSPECTIVAE. Page: 131
2.1. CAP.I. Page: 131
2.2. CAP. II. Page: 133
2.3. CAP. III. Page: 134
2.4. CAP. IIII. Page: 134
2.5. CAP.V. Page: 136
2.6. CAP. VI. Page: 138
2.7. CAP. VII. Page: 140
2.8. CAP. VIII. Page: 140
2.9. CAP. IX. Page: 141
2.10. CAP.X. Page: 142
2.11. CAP. XI. ALITER IDEM. Page: 143
2.12. JACOBO SOLDATO MEDIOLANENSI Serenißimi Ducis Sabaudiæ Architecto peritißimo. CAP. VII. Page: 145
2.13. AD EVNDEM IACOBVM. CAP. XIII. Page: 149
2.14. CAP. XIIII. Page: 150
2.15. CAP. XV. Page: 152
3. DE MECHANICIS. Page: 153
3.1. De differentia ſitus brachiorum libra. CAP.I. Page: 153
3.2. De proportione ponderis extremitatis brachij libr & in diuerſo ſitu ab orizontali. CAP. II. Page: 154
3.3. Quòd quantit as cuiuſlibet ponderis, aut uirtus mouens re-ſpectu alterius quantitatis cognoſcatur beneficio perpendicularium ductarum à centro libr & ad line am inclinationis. CAP. III. Page: 155
3.4. Quemadmodum exſupradictis cauſis omnes staterarum & uectium cauſæ dependeant. CAP. IIII. Page: 156
3.5. De quibuſdam rebus animaduerſione dignis. CAP.V. Page: 157
3.6. De ratione cuiuſdam uis adauctæ. CAP. VI. Page: 158
3.7. De quibuſdam erroribus Nicolai Tartaleæ circa pondera corporum & eorum motus, quorum aliqui deſumpti fuerunt à fordano ſcriptore quodam antiquo. CAP. VII. Page: 160
3.8. CAP. VIII. Page: 161
3.9. Quòdſummaratione ſtateræper æqualia interualla ſint diuiſæ. CAP. IX. Page: 163
3.10. Quòd line a circularis non habe at concauum cum con-uexo coniunctum, & quod Aristo. cir caproportio nes motuum aberrauerit. CAP.X. Page: 164
3.11. Quod Aristo. in prima mechanicarum quæstionum eius quod inquir it, uer am cauſam non attulerit. CAP. XI. Page: 165
3.12. De uer a cauſa ſecundæ, & tertiæ quæstionis mechanicæ ab Ariſtotele nonperſpecta. CAP. XII. Page: 166
3.13. Quòd Ariſtotelisratio in 6. quæſtione poſit a non ſit admittenda. CAP. XIII. Page: 167
3.14. Quòdrationes ab Ariſtotele de octaua quæstione confictæ ſufficient es non ſint. CAP. XIIII. Page: 167
3.15. Quod Aristotelis ratio none queſtionis admittendanon ſit. CAP. XV. Page: 171
3.16. Quod Aristotelis rationes de decima queſtione ſint reijciende. CAP. XVI. Page: 171
3.17. De uer a cauſa .12. questionis mechanice. CAP. XVII. Page: 172
3.18. De decimatertia questione. CAP. XVIII. Page: 173
3.19. De decimaquart a queſtione. CAP. XIX. Page: 173
3.20. De uer a r atione .17. queſtionis. CAP. XX. Page: 174
3.21. De uera & intrinſeca cauſa trocble arum. CAP. XXI. Page: 175
3.22. Depropria cauſa .24. quæſtionis. CAP. XXII. Page: 177
3.23. De uer a cauſa .30. quæstionis. CAP. XXIIII. Page: 179
3.24. Deratione .35. & ultimæ quæstionis. CAP. XXV. Page: 179
4. DISPVTATIONES DE QVIBVSDAM PLACITIS ARISTOTELIS. Page: 180
4.1. Qualiter & ubi Ariſtoteles de uelocitate motuum natura-lium localium aliter tractauerit quam nos ſentiamus. CAP.I. Page: 180
4.2. Quædam ſupponenda ut conſtet cur circa uelocit atem motuum natur alium localium ab Ariſtotelis placitis recedamus. CAP. II. Page: 181
4.3. Poſſe uelocitatem alicuius corporis proportionem contrariam in diuerſis medijs habere cum denſitate eorum. CAP. III. Page: 182
4.4. Oſcitanter ab Ariſtotele nonnibil prolatum cap 8. lib. 4 Phyſicorum. CAP. IIII. Page: 182
4.5. Exempla dictorum. CAP.V. Page: 183
4.6. Quod proportiones ponderum eiuſdem corporis in diuerſis medijs pro portiones eorum mediorum denſit atum non ſeruant. Unde ne-ceßariò inæquales proportiones uelocitatum producuntur. CAP. VI. Page: 184
4.7. Corpora grauia aut leuia eiuſdem figur æ et materiæ ſed inæqualis magnitudinis, in ſuis motibus natur alibus uelocit atis, in eo dem medio, proportionem longè diuerſam ſeruatura eße quam Aristoteliuiſum fuerit. CAP. VII. Page: 184
4.8. Quod duo corpor a in æqualia eiuſdem materia in diuerſis medijs eandem uelocitatis proportionem retinebunt. CAP. VIII. Page: 185
4.9. Anrectè Aristoteles diſeruerit de proportionibus mo-tuum in uacuo. CAP. IX. Page: 186
4.10. Quòd in uacuo corpor a eiuſdem materiæ æquali uelocita-te mouerentur. CAP.X. Page: 186
4.11. Corpora licet inæqualia eiuſdem materiæ & figuræ, ſireſiſten-tias habuerint ponderibus proportionales æqualiter mouebuntur. CAP. XI. Page: 187
4.12. Maior hic demonſir atur eſſe proportio ponder is corpor is den ſioris ad pondus minus denſi in medijs dẽſioribus, quam ſit eorundem corporum in medio minus denſo, nec corporum ponder a ſeruare proportionem denſitatis mediorum. CAP. XII. Page: 187
4.13. Longe aliter ueritatem ſe habere quam Aristoteles doceat in fine libri ſeptimi phyſicorum. CAP. XIII. Page: 188
4.14. Quid ſequatur ex ſupradistis. CAP. XIIII. Page: 189
4.15. Numrestè ſenſerit Philoſophus reſistentias proportionales eße cum corporibus mobilibus. CAP. XV. Page: 189
4.16. Fdipſum aliter demonſtr atur. CAP. XVI. Page: 190
4.17. De alio Aristo. lapſu. CAP. XVII. Page: 190
4.18. Quomodo dignoſcatur proportio uelocitatis duorum ſimilium corporum omogeniorum inaqualium. CAP. XVIII. Page: 191
4.19. Quam ſit inanis ab Ariſtotele ſuſcepta demonſtratio quod uacuum non detur. CAP. XIX. Page: 191
4.20. Non ſatis dilucidè Ariſtotelem de loco ratiocinatum fuiße. CAP. XX. Page: 192
4.21. Vtrum bene Aristoteles ſenſerit de infinito. CAP. XXI. Page: 193
4.22. Exagitatur ab Ariſtotele adductatemporis definitio. CAP. XXII. Page: 194
4.23. Motum rectum eſſe continuum, uel dißentiente Ariſtotele. CAP. XXIII. Page: 195
4.24. Idem uir grauisſimus an bene ſenſerit de motibus corporum uiolentis & natur alibus. CAP. XXIIII. Page: 196
4.25. Motum rectum & natur alem non eſſe primo & per ſe quicquid Ariſtoteli uiſum ſit. CAP. XXV. Page: 196
4.26. Omne corpus eſſe in loco proprio graue, ut Aristoteli placuit, non eft admittendum. CAP. XXVI. Page: 197
4.27. Haud admittendam opinionem Principis Peripateticorum de circulo, & ſpbæra. CAP. XXVII. Page: 197
4.28. Occultam fuiße grauisſimo Stagirit & canſam ſcintilla-tionis ſtellarum. CAP. XXVIII. Page: 198
4.29. Daricontinuum infinitum motum ſuper rectam at que finitam lineam. CAP. XXIX. Page: 198
4.30. Non eſſe ſolis calorem à motu localι ipſius corporis ſolaris, ut Ariſtoteli placuit. CAP. XXX. Page: 199
4.31. Vnde caloris ſolis prode at incrementum & state, et byeme decrementum. CAP. XXXI. Page: 200
4.32. Nullum corpus ſenſus expers à ſono offendi, præterquam Aristoteles crediderit. CAP. XXXII. Page: 201
4.33. Pytagoreorum opinionem de ſonitu corporum cælestium non fuiſſe ab Aristotele ſublatam. CAP. XXXIII. Page: 202
4.34. Deraro et denſo nonnulla, minus diligenter à Peripateticis perpenſa. CAP. XXXIIII. Page: 203
4.35. Motum rectum curuo poſſe comparari etiam diſentiente Ariſtotele. CAP. XXXV. Page: 206
4.36. Minus ſufficienter exploſam fuiſſe ab Ariſtotele opinionem cre-dentium plures mundos exiſtere. CAP. XXXVI. Page: 207
4.37. Anrectè loquutus ſit Phyloſopbus de extenſione luminis per uacuum. CAP. XXXVII. Page: 208
4.38. An rectè phyloſophiœ penus Ariſtoteles ſenſerit de loco im-pellendo à pyramide. CAP. XXXVIII. Page: 208
4.39. Examinatur quam ualida ſit ratio Aristotelis de inalterabilitate Cœli. CAP. XXXIX. Page: 209
5. IN QVINTVM EVCLIDIS LIBRVM Page: 210
5.1. Page: 210
5.1.1. Horum autem primum est. Page: 210
5.1.2. SECVNDVM. Page: 210
5.1.3. TERTIVM. Quę est εuclidis ſeptima propoſitio. Page: 210
5.1.4. QVARTVM. εuclidis uerò nona propoſitio. Page: 211
5.1.5. QVINTVM. Euclidis uerò octaua propoſitio. Page: 211
5.1.6. SEXTVM. εuclidis uerò decima propoſitio. Page: 211
5.1.7. SEPTIMVM. Euclidis uerò undecima propoſitio. Page: 211
5.1.8. OCTAVVM. εuclidis uerò duodecima propoſitio. Page: 211
5.1.9. NONVM. Euclidis uero tertiadecima propoſitio. Page: 212
5.1.10. DECIMVM. Page: 212
5.1.11. VNDECIMVM. Page: 212
5.1.12. DVODECIMVM. Page: 212
5.2. Page: 212
5.2.1. THEOR.I. II. ET III. Page: 212
5.2.2. THEOREM. IIII. Page: 212
5.2.3. THEOR.V. ET VI. Page: 213
5.2.4. THEOR. VII. VIII. IX.X. XI. XII. XIII. Page: 213
5.2.5. THEOREM. XIIII. Page: 213
5.2.6. THEOR. XV. Page: 213
5.2.7. THEOREM. XVI. Page: 213
5.2.8. THEOR. XVII. Page: 214
5.2.9. THEOREM. XVIII. Page: 214
5.2.10. THEOREM. XIX. Page: 214
5.2.11. THEOREM. XX. Page: 215
5.2.12. THEOREM. XXI. Page: 215
5.2.13. THEOREM. XXII. XXIII. Page: 215
6. PHYSICA, ET MATHEMATICA RESPONSA. FO. BAPTISTAE BεNεDICTI PATRITII Veneti, Philoſophi Mathematici. Page: 216
6.1. Page: 217
6.2. Page: 223
6.3. Page: 226
6.4. Page: 237
6.5. Page: 240
6.6. Page: 267
6.7. Page: 270
6.8. Page: 274
6.9. Page: 279
6.10. Page: 282
6.11. Page: 283
6.12. Page: 289
6.13. Page: 291
6.14. Page: 296
6.15. Page: 297
6.16. Page: 301
6.17. Page: 304
6.18. Page: 309
6.19. Page: 310
6.20. Page: 313
6.21. Page: 314
6.22. Page: 316
6.23. Page: 320
6.24. Page: 327
6.25. Page: 330
6.26. Page: 337
6.27. Page: 342
6.28. Page: 343
6.29. Page: 359
6.30. Page: 363
6.31. Page: 365
6.32. Page: 369
6.33. Page: 372
6.34. Page: 373
6.35. Page: 373
6.36. Page: 376
6.37. Page: 378
6.38. Page: 381
6.39. Page: 383
6.40. Page: 383
6.41. Page: 386
6.42. Page: 392
6.43. Page: 409
6.44. Page: 417
6.45. Page: 421
6.46. Page: 423
6.47. Page: 424
6.48. Page: 424
6.49. Page: 425
6.50. Page: 428
6.51. Page: 435
6.52. Page: 437
1
[Empty page]
2
[Empty page]
3
[Empty page]
4
[Empty page]
5
IO. BAPTISTAE
BENEDICTI

Patritij
Veneti Philoſophi.
DIVERSARVM SPECVLATIONVM
Mathematicarum
, & Phyſicarum

Liber
.
Quarum ſeriem ſequens pagina indicabit.
AD SERENISSIMVM CAROLVM EMANVELEM
ALLOBROGVM
, ET SVBALPINORVM
DVCEM
INVICTISSIMVM.
1[Figure 1]
Tavrini, Apud Hæredem Nicolai Beuilaquæ, mdlxxxv.
Superioribus permiſſum.
6
TRACTATVS QVI IN HOC
volumine
continentur.
Theoremata Arithmetica.
Derationibus operationum perſpectiuæ.
De Mechanicis.
Diſputationes de quibuſdam placitis Ariſt.
In quintum Euclidis librum.
Phyſica, & Mathematica reſponſa per Epiſtolas.
7
SERENISSIMO
CAROLO
EMANVELI
Sabaudiæ
Duci, &c.
AGitvr nonusdecimus annus ex quo litte-
ris
Serenißimi patris tuæ Celſitudinis, ac-
cerſitus
ex vrbe Parmenſi in banc me ciui-
tatem
contuli.
Is aduenientem tam bumanè
excepit
, tanta deinde liberalitate fuit com-
plexus
ego vicißim ei deſeruiendi, tam vebe-
menti
cupiditate fui accenſus, vt ſub eius ditione quodſuper-
eßet
vitæ agere conſtituerem.
Cuius in me benignitas, mea
in
illum obſeruantia mirum in modum mutuo vſu, & conſue-
tudine
eſt adaucta, vt idem Dux me ſecum dum ruſticaretur
eße
vellet, ſæpè etiam ſecum pernoctare;
quo quidem tempo-
re
de Matbematicis ſcientijs mecum agebat, in quibus perdi-
ſcendis
mea opera vtebatur, quæſtiones, Arithmeticam, Geo­
metriam
, Opticen, Muſicam, aut Astrologiam ſpectantes
proponens
.
Cui vt quod in me eßet ſatisfacerem, acrius
quàm
anteainea studia (adquætamen ſemper fui propenſißi-
mus
) incubui.
Illiusq́ꝫ imitatione (vt ferècæteri Principum
studiaimitantur
) non pauci aut præſentes, aut per litter as me
de
his, atque illis Mathematicis quæstionibus conſuluerunt.
Cùmque ego nunquam laborem amicorum cauſa defugerim,
euenit
vt post tot annorum curricula, mea ſcrinia ſcrutatus,
inuenerim
tot abſolutas quæſtiones, vt ex eis corpus mediocre
effici
poſſe videretur.
Quas, cùm rationibus in epiſtola ſub-
ſequenti
allatis edere constituiſſem, non ſub cuiuſque alte-
rius
nomine, & auſpicijs quam tuæ Celſitudinis volui apparere;
tum quòd patri debitum libellum filio reddere par erat, tum
8 quòd in tuæ Celſitudine paternam in me fouendo, & augendo
benignit
atem ineße ſemper ſum expertus, tum quòd tuæ Celſi-
tudinis
interrog ationibus excitatus non pauca quæ hoc volu-
mine
continentur, elucubraui.
Acceßit, quod ego ſemper in
his
dedic ationibus ſpectandum put aui, tuam Celſitudinem tan-
tos
progreßus in Mathematicis feciſſe, vt vel idonea æſtima-
trix
mearum vigiliarum eſſe poßit.
Quare, & veterum Per-
ſarum
Regum gloriam æquauit, & nos veluti in ſpem certam
fælicitatis
buius ſæculi induxit, ſi verum eſt Platonis va-
ticinium
, beat am eam futuram Rempublic am in qua
Principes
Philoſophentur.
Tua igitur celſi-
tudo
libellum tot ei nominibus debitum,
ea
qua ſolet bumanitate accipe-
re
grauetur.
Deus tuas
omnes
cogitationes,
& conatus ad
fœlicißi-
mos

ſemper
exitus perducat,
teq́ꝫ diutißimè ſer-
uet
incolu-
mem
.
9
AD LECTOREM
CVm Varijs temporibus permulta in diuerſis
diſciplinis
contemplatus ſim, partim à præ-
ſtantibus
viris patronis ac amicis meis exci-
tatus
, quiſuper eis ſententiam meam exquire-
bant
, partim, abingenito mihi deſiderio, ra-
tionem
, & cauſam eorum percipiendi, com-
mittendum
non putaui, quin qualiacunque
meaſcripta
in illis ſcientijs, ſtudioſis impartirer,
non
dubitans quin illis aliquid commodi atque vtilitatis allatura ſint, prę
ſertim
cum in eiuſmodi quæſtionibus inueſtigandis atque perpendendis,
nemo
( quod ſciam ) hactenus elaborauerit.
Nihil enim his libris à me
traditum
eſt, quod aut legiſſe, aut ab alijs audiuiſſe meminerim, nam ſi
aliena
attigi, ea, aut cum aliqua differentia demonſtrationis, aut diluci-
dius
ſcripſi, quod ſi forte alius eadem tradidit, aut eius lucubrationes ad
me
non peruenerunt, aut earum perlectionis memoria excidit.
Vtenim
etiam
Ariſtoteles ipſe ſenſit facilè fieri poteſt, vt pluribus, eædem opinio-
nes
in mentem veniant.
Immo multa ſcribenti euenire poteſt, vt cum
iamdiu
aliquid ſcripſerit, iam oblitus, idem repetat, quod mihi etiam
nonnunquam
accidit.
In his autemlibris non ſuſcepi munus integræ ali
cuius
ſcientiæ tradendæ, ne, quæ abalijs iam tradita ſunt, ipſe inutiliter re
peterem
, mihiq́ue viderer exalienis laboribus laudem voluiſſe comparare.
Singularum enim ſcientiarum volumina, iam ab alijs collecta, at-
que
in ordinemſunt digeſta, & ſi pauciſſimi ſint libri quorum omnes
ſententiæ
, omniaq́ue inuenta vnius ſint authoris, excipio Archime-
dis
volumina.
Cumque multi ſint, qui vel vnam rem à ſe inuentam
in
publicum proferre non dubitent, multo magis mihi qui multa ex-
cogitaui
, & ſi inter ſe hætereogenea, atque vtcunque expreſſa, idem
licere
ſum arbitratus.
In his autem meditandis, ex Arithmeticis autho-
ribus
quos inſpexi, præcipuus fuit Nicolaus Tartalea, quippe quem fe-
omnia ab alijs ſcripta collegiſſe conſtat, nec alios ex præcipuis, quos le-
gere
potui omittendos duxi, inter quos ſunt Hieronymus Cardanus, Mi-
chael
Stifelius, Gemma Friſius, Ioannes Nouiomagus, Cuthebertus
Tonſtallus
, cæteriq́; huiuſinodi.
Quorundam tamen volumina illorum
qui
à Tartalea citantur, vt Leonardi Piſani, Proſdocimi, Ioannis Infor-
tunati
, Fratris Lucæ, Petri Borgi, aliorumq́ue aliquot inſpiciendorum,
10 facultas mihi non fuit. Præterea, licet in his libris nonnullę inueniantur
propoſitiones
, quæ diſiunctam ab alijs habeant rationem, non ſper-
nendæ
tamen ſunt, viam fortaſſe alicui aperient vlterius progrediendi.
Quemadmodum enim, exempli gratia, ex ſub contraria coni ſectione,
ſumpta
poſtea fuit diuina illa Planisferijdelineation, quæ ſub Ptolomæi no-
mine
legitur, & ſicuti ex penultima primi Euclidis, quam Pythagoras
excogitauit
propè innumeræ pulchræ conſequentiæ in Aſtronomia, in
Architectura
, in multisq́; alijs ſcientijs deſumptæ ſunt, immo quemad-
modum
ex ſingulis propoſitionibus à noſtris maioribus excogitatis mul-
ta
egregia ſunt deducta, ita fortaſſe continget, vt ex mearum muentio-
num
aliqua, nõnihil in poſterum vtilitatis deſumatur.
Si quid verò, hic in-
ueneris
, quod tuo genio non arrideat, illa prudentiſſimi hominis ſen-
tentia
in mentem veniat.
Quot capita, tot ſententiæ, ac per raro con-
tingere
, vt idem omnibus probari, atque placere queat, & perdifficulter
inueniri
hominem cui placeant omnia quæ alteri ſatisfaciunt.
Nec te mo
ueat
, quodhęc Theoremata ſiue excogitationes non videas ordine illo di-
ſpoſitas
, quo collocari debere exiſtimaueris, tum in Arithmeticis, tum in
cæteris
.
Cum enim in huiuſmodi rebus ordo non ſit neceſſarrus, vi-
ſum
eſt mihi poſſe me, ſine repræhenſione, illum negligere, cum ſpe-
culationi
, ſiue inuentioni preęcipuè adeo mihi incumbendum decreuerim
vtin
collocatione operam ponere, & tempus abſumere operæpretium
non
duxerim, quod idem in epiſtolarum collocatione feci, in quibus per-
ſonarum
ad quas ſcribo nullus ferè graduum ordo ſeruatus eſt, nec tem-
poris
, quo ſunt ſcriptæ, quæſitorum tantummodo ratione habita.
Nec
admirari
quenquam velim, quod in ſpeculandis numerorum paſſioni-
bus
, figuris vtar geometricis, ita enim in .2. libr. fecit Euclides, qui mo-
dus
, eo magis mihi arridet, quo minus eſt abſtractus, quoniam oportet in-
telligentem
phantaſmata ſpeculari
, cum pręterea perſpicuum ſit, diſcretum
omne
, ex continui diuiſione aliquo modo oriri, ſiue actu, ſiue potentia.
Deinde ſi forte meis in deinonſtrationibus tibi videbor aliquando bre-
uior
, illud in cauſa fuiſſe ſcias, quod ibi ad viros ſcribebam in his diſcipli-
nis
exercitatos, quibus ſatis fuit rem ſignificare.
Libuit autem mihi om-
nes
voluminis Arithmetici propoſitiones potius vocabulo theorema-
tum
appellare, quam problematum, quia pars earum ſpeculatiua tan-
tum
mea eſt, & ſi ex varijs eiuſmodi propoſitionibus etiam operatiuam
adinuenerim
.
Quoniam verò multis in locis accidit, vt veritatis iudi-
candæ
cauſa neceſſe mihi fuerit quorundam ſententijs aduerſari nolim te
11 hoc mihi vitio tribuere, meq́; hoc nomine carptorem maledicumq́; ha-
bere
quod alienos errores aperiam, cum potius habenda ſit mihi gratia,
quod
in ijs interdum laborans (quę Antiſthenes in diſciplinis magis ne-
ceſſaria
eſſe dixit, vt mala ſcilicet prius dediſcantur) falſas opiniones euel-
lere
ſtudeam, veritatemq́; oſtendere, quam omnis philoſophus, Ariſto-
telis
exemplo, pluris quam cuiuſuis hominis authoritatem, aut gratiam
facere
debet.
Cumq́ue in hoc volumine aliquid eiuſmodi legeris
te
oratum volo, vt in iudicando, affectum omnem exuas,
Salluſtianum
illud præ oculis habens.
Omnes qui dere-
bus
dubijs conſultant, ab odio amicitia, ira, atque
miſericordia
vacuos eſſe decet.
Hinc fiet, vt
non
perſonæ (vt multiſolent) ſed
veritati
, quę ſummo ſtudio di-
gniſſima
eſt, ſemper po
tius
faueas.
Vale
noſtrisq́ue

labo-
ribus
vtere, ſi quem inde fructum,
ſicuti
ſpero tuleris, illi præ-
cipuè
habeas gratiam à
quo
omnes fluunt
ſcientiæ
.
12
[Empty page]
13
IO. BAPTISTAE
BENEDICTI

PATRITII
VENETI
SERENISS
. CAR. EM.
ALLOBROGVM
DVCIS
PHILOSOPHI
.
Theoremata Arithmetica.
PRaeclare multa veteres mathematici philoſophi de nu­
meris
eorumq́ue effectibus excogitata poſteris tradide-
runt
, quorum cum vix vllam rationem reddiderint, aut
certè
per exiguam, occaſione diuerſorum problematum
mihi
à Sereniſſimo Sabaudiæ Duce propoſitorum præbi-
ta
, de ijs quæ ab antiquis propoſita fuerunt contemplanda
nonnulla
occurrerunt, quæ poſteritati comendare non
inutile
arbitratus fum, ne meæ cogitationes intercide-
rent
, & occaſionem præberem quamplurimis abſtruſa hęc
indagandi
, quæ problematibus & thæorematibus inuoluta, vix aliquem qui euol-
ueret
nacta funt.
Inter cætera vero à me queſita, hoc fuit theorema.
THEOREMA PRIMVM.
INterrogavit me Sereniſſimus Dux Sabaudiæ, qua ratione cognoſci poſ-
ſet
ſcientificè & ſpeculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris,
quolibet
producentium minus eſſe.
Cui reſpondi, mente & cogitatione conci-
piendum
eſſe fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiuſdemq́ue na-
turæ
eſſe, imò longè diuerfæ.
Exempli gratia, fractis numeris propofitis .a.i. et .a.c. quorum integri ſint .a.
b
.
et .a.d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè eſſet productum .c.i. fu-
perficiale
futurum, quod nomen caperet à producto ſuperficiali .d.b. generato ex
vno
in aliud totorum linearium, nam ſi conſtitueretur .a.i. octauum ipſius .a.b. et .a.
c
.
dimidium .a.d. multiplicato .a.i. cum .a.c. produceretur fextumdecimum ipſius .
d
.b
.
Quare .d.b. eſſet totum relatiuũ ipſius .c.i. non aliquod totum producentium.
Mirum itaque non eſt ſi productum .c.i. minus videatur fuis producentibus, cum
toto
, diuerſæ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiuſdem
naturæ
, linearis, ſuperficialis, aut corporeæ denominatur.
Quòd ſi amplioris cognitionis gratia ex ſcientiæ præceptis ſpeculari voluerit a@
142IO. BAPT. BENED. quis, qua ratione fractus numerus .c.i. minor ſit in ſuo integro .d.b. fracto .a.i. in
ſuo
integro .a.b. aut fracto .a.c. in ſuo integro .a.d. conſideret is quo pacto pro-
portio
.c.i. ad .d.b. minor ſit proportione .a.i. ad .a.b. et .a.c. ad .a.d. hac ratione.
Ma-
nifeſtum
eſt ex prima ſexti de quantitate
continua
, aut .18. ſeptimi Euclidis de diſcre
2[Figure 2] ta, proportionem ipſius .d.i. ad .d.b. eſſe ſi-
cut
.a.i. ad .a.b. & cum .c.i. minor ſit .d.i.
velut
pars ſuo toto, proportio, c.i. ad .d.b.
minor
erit proportione .d.i. ad .d.b. ex .8.
quinti
,
quare minor erit pariter proportio-
ne
.a.i. ad .a.b. ex .12. eiuſdẽ vnà etiam pro-
portio
.c.i. ad .d.b. minor erit .a.c. ad .a.d.
ex
eiſdem cauſis, medio .c.b.
Ex quibus pa-
tet
ratio, cur fracti diuerſarum denomina-
tionum
ad vnicam reducantur.
Cur etiam
numeros
integros in partes fractis ſimiles
frangere
liceat, quæ omnia ex ſubſequenti
figura
facilè cognoſci poſſunt.
THEOREMA II.
QVae ſit ratio, cur hi, qui numeros, fractos diuerſarum denominationum col-
ligere
volunt, & in ſummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus
per
denominatorem alterius, & poſtmodum denominatores adinuicem, quorum
vltimum
productum, commune eſt denominans duorum priorum productorum,
quæ
collecta in ſummam efficiunt quod quærebatur.
Qua in re ſciendum eſt, denominantes conſiderari tanquam partes vnius eiuſdẽ-
q́ue
magnitudinis quantitatis continuæ, linearum (verbigratia) a.b. et .a.d. æqualiũ
in
longitudine, quarũ .a.b. in quatuor partes diuidatur, et .a.d. in tres.
Quare ſi colli-
gere
voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus .a.c. duo tertia,
cum
.a.b. diuiſa in 4. partes, produceturq́ue .c.b. octo partium ſuperficialium, de-
hinc
multiplicando .a.i. tres quartas cum .a.d. diuiſa in .3. partes producetur .i.d. pri
mis
ſingulis æqualis, nouem partium ſuper
ficialium
, multiplicata deinde a.b. diui-
3[Figure 3] ſa in .4. partes per .a.d. in .3. diuiſa, produ-
cetur
quadratum .d.b. in continuo, in 12.
partes
diuiſum, quod erit totum commune
ſingulis
productis, quorum primum erat .c.
b
.
Quare .c.b. ita ſe habet ad totum .d.b. ſi-
cut
.a.c. ad .a.d. ex prima ſexti in continuis,
aut
.18. ſeptimi in diſcretis quantitatibus,
et
.d.i. ad .d.b. ſicut .a.i. ad .a.b. ex eiſdem
propoſitionibus
.
Collectis deinde parti-
bus
producti .c.b. cum partibus producti .
d
.i.
manifeſtè depræhendetur eiuſmodi
ſummam
componi ex partibus vnius totius
communis
ſingulis earum.
153THEOR. ARITH.
THEOREMA III.
CVr reperturi qualis ſit fractus aliquis numerus reſpectu alterius; multiplicare
debeant
numeratores adinuicem & ita etiam denominatores, ex quo produ-
ctum
ex numeratoribus nomen capiat à producto denominatorum.
Huius ſi cauſam noſce vis, ſume .o.i. & .o.u. pro totis denominatoribus, tum .o.e.
& .o.a. pro numeratoribus (exempli cauſa) ſit .o.i. ſenarius .o.u. quaternarius .o.e.
quinarius
.o.a. ternarius.
Si noſce vis quæ ſint tres quartę partes quinque ſextarum,
patet
ex regulis practicis oriri quindecim vigeſimaſquartas.
Id quomodo fiat, ex
ſubſcripta
ſigura depræhendetur, memores tamen eſſe oportet, quodlibet productũ
conſiderari
tanquã ſuperficiem, producentia autẽ tan-
quam
lineas.
In hac igitur ſigura productum ex totis
4[Figure 4] linearibus eſt .u.i. aggregatum ex .24. partibus, & .u.e.
productum
aggregatum ex .20.
Quodita ſe habebit
ad
productum totale .u.i. ſicut .o.e. ad o.i. ex prima
ſexti
aut .18. ſeptimi, ita .u.e. erunt quinque ſextæ par
tes
.u.i. quarum in propoſito exemplo, tres quartæ
quærũtur.
Si itaq; multiplicabitur .o.e. .o.a. orietur
productum
.a.e. ita proportionatũ ad .u.e. ſicut .o.a. ad
o.u. reperitur, ex prædictis rationibus.
Quòd ſi ſtatutũ
eſt
.o.a. tres quartas partes eſſe ipſius .u.o. etiã .a.e. tres
quartæ
partes erũt .u.e. ſed .u.e. quinque ſextæ ſunt ip-
ſius
.u.i. ex quo ſequitur bonum eſſe huiuſmodi opus.
THEOREMA IIII.
CVr multiplicaturi fractos cum integris, rectè multiplicent numerantem fra-
cti
per numerum integrorum, partianturq́ue productum per denominantẽ
fracti
, ex quo numerus quæſitus colligitur.
Propter quod mente concipiamus in ſubſequenti figura, numerum integrorum
tanquam
lineam .a.e. qui, verbigratia, ſit denarius, quorum vnuſquiſque ſit æqualis
a.i. cogiteturq́ue productum ipſius .a.e. in .a.i. ſitq́ue .u.e. quod quidem erit dena-
rius
ſuperficialis, conſtituta prius .a.u. æqualis .a.i. & .a.o. ſint duæ tertiæ .a.u. quarũ
duarum
tertiarum productum in numerum .a.e. ſit .o.e. pariter .u.i. vnitas ſit ſuper-
ficialis
prout .a.i. vnitas eſt linearis, quam .u.i. reſpicere debet productum .o.e. ex
quo
integer ſuperficialis .u.i. erit tanquam ternarius, & productum .o.i. tanquam bi
narius
, & quia quælibet pars è viginti ipſius .o.e. æqualis eſt tertiæ parti .u.i. vnita-
tis
ſuperficialis;
ſi cupiamus ſcire quot integræ vnitates ſint in partibus .o.e. conſul-
tum
eſt eaſdem diuidere per denominantem .u.i. compoſitum ex tribus partibus ſu
perficialibus
, & cum tam linea u.a. quam ſuperficies .u.i. diuidatur in 3. partes ęqua­
les
noſce peroportunum eſt eiuſmodi partitionem numeri .o.e. fieri per numerum
ipſius
.u.i. non .u.a. ex prædictis cauſis.
5[Figure 5]
164IO. BAPT. BENED.
THEOREMA V.
ALia quoque via prædicti effe
6[Figure 6] ctus cauſa, ſpeculando inno-
teſcere
poteſt, cuius rei gratia for-
metur
ſequens figura .e.o.a.u.n.
eiuſmodi
, vt a.e. ſit numerus li-
linearis
integrorum, & o.e. produ-
ctum
numerantis ipſorum fractorũ
in
integris, ex quo .a.o. erunt duæ
tertiæ
, verbigratia, a.i. aut a.u. qua-
rum
linearũ ſingulę ſtatuuntur æqua
les
vnitati lineari, ſuperficies autem
parallelogramma
.u.n. conſtituatur
æqualis
magnitudinis ſuperficiei .o.
e
.
ex quo .u.n. erit nobis cognita ſu-
perficies
.
Cognoſcetur pariter quan
titas
partium .a.u. quam in propoſi-
to
exemplo diximus eſſe trium par-
tium
.
ex regula igitur de tribus, di-
cemus
ſi .u.a. dat .a.e. ſine dubio .o.
a
.
dabit .a.n. numerum linearem.
quæ
regula ex 15. ſexti in continuis,
& ex 20. ſeptimi in diſcretis, depro-
mitur
.
rectè igitur multiplicãtur fra-
cti
numerantes cum integris, & productum diuiditur per denominantẽ fractorum.
THEOREMA VI.
ITem & alia ſpeculatione cognoſci poteſt hoc rectè fieri, mul-
tiplicantes
enim has duas tertias per decem, debemus conſide-
7[Figure 7] rare quantitatem duarum tertiarũ decies produci, ex quo oriuntur
20
. tertia, quandoquidem ſingulæ vnitates,
tunc pro duobus ter-
tijs
ſumuntur, ſed cum quilibet integer tria fragmenta contineat,
ideo
ex ratione partiendi quoties ternarius ingrediatur viginti,
ſtatim
cognoſcemus quod optabamus.
Id ipſum accideret ſi integri in eiuſmodi ſpecie fractorum diui-
derentur
. quo facto hi multiplicandi eſſent cum numerante propo
ſito
, & partiendũ productum per quadratum denominantis.
Cuius rei hæc eſt ſpeculatio. Sit linea .a.e. conſtans ex quinq;
integris
numeris, quorum vnuſquiſq; æqualis ſit .a.u. vel .a.i. & .a.o.
ſint
duo tertia vnitatis integræ linearis.
cogitemus nunc hos quinq;
integros
diuidi in ſua fragmẽta linearia, quę in propoſito exemplo
erunt
15. multiplicatis iam 15. cum propoſitis, videlicet a.o. orie-
tur
productum .o.e. triginta fragmentorum ſuperficialium, quorũ
in
ſingulos integros ſuperficiales cadũt nouẽ in hoc exẽplo, & cum
notauerimus
quoties nouẽ ingrediatur triginta, propoſitum con-
ſequemur
.
175THEOR. ARITH.
THEOREMA VII.
CVr multiplicaturi integros numeros & fractos, cum integris & fractis, de-
beant
integros reducere ad ſpecies fractorum, eos colligendo cum fractis:
deinde multiplicare hos vltimos numerantes adinuicem & productum partiri
per
productum denominantium.
Vt (exempli cauſa) ſi volumus multiplicare vnum & duo tertia, per duo & tria
quarta
, reducentur omnia in fractos, ex quo vna ex parte eſſent quinque ter-
tia
, multiplicanda cum vndecim quartis ex altera, quo facto oriretur productum
quinquagintaquinque
fractorum, quod diuiſum per
productum
ternarijin quaternarium, videlicet per duode
cim
, quatuor integri proferentur cum ſeptem duodeci-
mis
fractis vnius integri.
8[Figure 8]
Detur ſubſequens figura in qua linea a.i. æqualis ſit li-
neæ
.u.a. quarum vnaquæq; cõſideretur pro integro nume
ro
:
cogiteturq́; .a.i. valere quatuor in pręſenti exẽplo, & .a.
u
.
tria:
detur deinde linea .a.o. æquipollens vni integro
duobus
tertijs, & a.e. æquipollens duobus integris & tri-
bus
quartis.
Iam ſi duæ lineæ in ſuos fractos redu-
cantur
, multiplicata (vt in ſequenti figura apparet.) a.o.
a.e. orietur productum o.e. fractorum ſuperficialium
quinquagintaquinq;, quorum integer ſuperficialis va-
let
duodecim, ſcilicet .u.i. vt cuique manifeſtum eſt, ex
quo
, quærenti media partitione, quoties duodecim in-
grediatur
quinquagintaquinque, citra errorem, quæſitum
occurret
.
THEOREMA VIII.
ID ipsvm accideret ſi fractiad vnam eandemq́ue denominationem reduceren-
tur
, qui poſtmodum ſimul multiplicarentur, productumq́ue partiremur per qua-
dratum
denominantis communis.
Exempli cauſa, ſint eadem quinque tertia, & vndecim quarta adinuicem multi-
plicanda
, quæ ſi reducantur ad vnam & eandem denominationem quinarius
numerans
vnius, multiplicabitur cum quaternario deno-
minante
alterius, & vndenarius ſecundi cum ternario de-
nominante
primi. ex quo vna ex parte eſſent viginti, ex
9[Figure 9] altera 33. numerantia vnius cõmunis denominantis, quod
eſſet
productum ternarij in quaternarium, videlicet duo-
decim
, vt ex veteri regula patet.
Iam ſi multiplicentur vi
ginti
cum trigintatribus, dabuntur 660. fracti, quorum in-
teger
erit quadratum duodenarij, nempe 144. quibus qui-
dem
660. diuiſis per 144. proferentur quatuor integri &
ſeptem
duodecimi.
Cuius rei gratia ſit in ſubſcripta figura linea .a.i. & ei
æqualis
.a.u. pro integro lineari, quæ .a.i. diuidatur in qua-
tuor
partes, & .a.u. in tres, & linea .a.e. ſit vndecim partiũ
talium
qualium .a.i. eſt quatuor, & .a.o. ſit quinque pro-
ut
.a.u. eſt trium.
nunc multiplicato .a.o. & .a.i. orietur pro-
ductum
.o.i. viginti partium ſuperficialium.
tum multipli-
186IO. BAPT. BENED. cato .a.e. per .a.u. dabitur productum .u.e. trigintatriũ
10[Figure 10] partium.
ad hæc quadratum .u.i. conſtabit ex duode-
cim
partibus eiuſdem rationis cum reliquis duobus
productis
, quod quadratum .u.i. vnitas eſt ſuperficia-
lis
, & communis denominans duorum productorum.
quod ſi in præſentiarum cogitabimus lineam .c.d. tri-
gintatrium
partium æqualium, et .c.t. duodecim ſimi-
lium
, et .c.f. viginti .c.n. duodecim, multiplicato .c.
d
.
cum .c.f. dabitur ſuperficies .f.d. 660. fractorum
ſuperficialium
, quorum vnitas integra ſuperficialis
erit
quadratum .n.t. 144. partium cuiuſmodi .f.d.
partes
habet .660. diuiſo itaque .f.d. per .n.t. pro-
poſitum
conſequetur.
eo quòd eadem proportio erit
11[Figure 11] producti .f.d. ad .n.t. quæ producti eius quòd fit ex .
a
.e.
in .a.o. ad .u.i. nam proportio .c.d. ad .c.t. ea-
dem
eſt quæ .a.e. ad .a.i. & c.f. ad .c.n. vt .a.o. ad .a.
u
.
ex prima ſexti vel 18. ſeptimi, ſed vt .f.d. ad id
fit
ex .f.c. in .c.t. eſt vt .c.d. ad .c.t. & vt eius fit ex
f.c. in .c.t. ad .n.t. eſt vt .f.c. ad .c.n. ex dictis pro-
poſitionibus
quare ex æqua proportionalitate, eodem
modo
diſcurrendo in figura .o.a.e. ita ſe habebit .f.d.
ad
.n.t. vt .o.e. ad .u.i.
Porrò ex ijs, quæ hactenus de
fractorum
multiplicatione conſiderata fuerunt, apertè
ratio
deprehenditur, cur productum, ſingulis producen
tibus
ſemper minus ſit, cum producta ſint ſuperficialia
producentia
verò ſemper linearia, omiſſis productis
corporeis
, quæ omnia ad ſuperficialia reducuntur.
THEOREMA IX.
IN Ipsa fractorum diuiſione, animaduertendum eſt, denominantes numeros
ſemper
æquales inuicem eſſe debere, vnius ſcilicet ſpeciei, quòd ſi æquales non
fuerint
, neceſſe eſt via multiplicationis ipſorum denominantium adinuicem effice-
re
æquales vt ſint, ex quo productum oritur eiuſmodi, vt aptum ſit habere partes
fractorum
, quæ deſiderabantur.
Exempli gratia, ſi proponerentur diuidenda ſeptem octaua per tria quarta præ-
cipit
antiquorum regula, vt ad vnam tantum denominationem reducantur.
quare
multiplicant
denominantes inuicem.
ex quo productum in materia propoſita ori-
tur
triginta duarum partium commune denominans, cuius duo numerantes ſunt vi-
gintiquatuor
& vigintiocto, producti ex multiplicatione vnius numerantis in deno
minantem
alterius, ex quo dantur vigintiquatuor tamquam tria quarta trigintaduo
rum
, & vigintiocto tanquam ſeptem octaua particularum vniformium, prout ope
primæ
ſexti aut decimæoctauæ ſeptimi in ſubſcripta figura cognoſci poteſt.
197THEOR. ARITH.
Sit itaque linea .a.i. diuifa in partes octo, & ei æqualis in longitudine .a.u. in qua-
tuor
, productum verò vnius in alteram
12[Figure 12] ſit .u.i. trigintaduarum particularum
fuperficialium
fimilium & æqualiũ ad-
inuicem
.
fit deinde .a.e. ſeptem partiũ
lineæ
.a.i. & .a.o. trium partium .a.u.
tunc productum .a.e. in .a.u. erit .u.e.
particularum
ſuperficialium vigintiocto
& productum .a.o. in .a.i. erit .o.i. par
ticularum
ſuperficialiũ vigintiquatuor
eiuſdem
naturæ cum partibus triginta-
duabus
totius denominantis communis.
vnde diuifo numerante vigintiocto per-
numerantem
vigintiquatuor, dabitur
vnum
cum fexta parte illius vnius.
THEOREMA X.
PArtiri ſeu diuidere vno numero alium numerum, eſt etiam quodammodo
eiuſmodi
partem numeri diuifibilis inuenire refpectu totius numeri diuifibilis,
cuiuſmodi
eſt vnitas in diuidente refpectu totius diuidentis, partem inquam numeri
diuiſibilis
ſic ſe habentem ad totum numerum diuiſibilem ſicut vnitas ad totum di-
uidentem
, quod ſimiliter ex regula de tribus præſtamus dicentes, ſi tantus numerus
diuidens
dat vnitatẽ, quid dabit numerus diuifibilis, quemadmodum ex .15. ſexti
ſeu
.20. ſeptimi licet ſpeculari, Idcircò quotieſcunque minorem numerum per
maiorem
diuidimus, ſemper qui prouenit fractus eſt.
Exempli gratia, ſi cogitaremus lineam .a.e. diuiſam in octo partes æquales, qua
rum
vna ſcilicet vnitas effet .a.i. & cupere-
mus
eam diuidere in nouem partes, ac ſcire
13[Figure 13] quan a ſit nona illius pars;
manifeſtum eſſet,
nonam
partem ipſius .a.e. minorem futuram
ipſa
.a.i. cum .a.i. diminui debeat à ſua inte-
gritate
eadem proportione, qua .a.e. minor
reperitur
vna linea nouem partium æqualium
fingularum
.a.i.
Quod vt dilucidè cuiuis innoteſcat, hoc
etiam
modo licebit videre ſitlinea .n.c. no-
nupla
ad .a.i. & parallela ad .a.e. dubium non
eſt
quin .n.c. maior futura ſit ipſa .a.e. iam ſi
earum
extrema congiungantur medijs duabus
lineis
.n.a. et .c.e. quæ ſimul concurrant in
puncto
.o. (quod eſt probatu facillimum) da-
buntur
certe duo trianguli fimiles .a.o.e. et .n.o.c.
Sit deinde .n.t. vna è partibus
ipſius
.n.c. quæ .n.t. æqualis erit .a.i. ex præſuppoſito.
ducatur deinde .o.t. quę
interſecet
.a.e. in puncto .x. dico .a.x. tanto minorem futuram .a.i. quanto .a.e.
minor
eſt .n.c. neque enim dubium eſſe poteſt quin proportiones .n.t. ad .a.x. et .
208IO. BAPT. BENED. n.c. ad .a.e. ſint æquales inuicem quandoqui-
14[Figure 14] dem vnaquæque earum ex triangulorum ſimi
litudine
æqualis eſt proportioni .o.n. ad .o.a.
itaque .n.t. hoc eſt .a.i. tanto maior erit .a.x.
quanto
.n.c. maior eſt .a.e. vnde ficut .a.e. con-
ſtat
octo nonis ipſius .n.c. ita pars .a.x. ipſius .
a
.e.
octo nonis conſtabit ipſius .a.i.
Hinc patet ratio cur partituri numerum mino
rem
per maiorem collocent minorem fupra
virgulam
& maiorem infra & zerum ad læuã.
Sciendum eſt præterea diuidere numerum
per
numerum:
eſſe inuenire alterũ latus à quo
producitur
, ſuppoſito ſemper quòd numerus
diuifibilis
ſuperſicialis ſit, & rectangulus.
Exempli gratia, ſi proponantur triginta diuidenda per quinarium, nihil aliud erit
hæc
diuiſio, quam inuentio alterius numeri, qui multiplicatus per quinarium produ-
cat
triginta ſuperficies rectangulas, huiuſmodi verò eſt ſenarius, cuius ſingulæ vnita-
tes
ſuperficiales erunt.
Cuius rei gratia ſit ſubſcriptum rectangulum .a.e. triginta vnitatum ſuperſicialiũ,
cuius
latus .e.n. ſit quinque vnitatum.
hinc latus .a.n. erit ſex vnitatum; ita diuiden-
tes
rectangulum .e.a. nihil a iud faciemus, quam vt inue-
15[Figure 15] nia mus quantum valeat latus .a.n. quod erit ſex vnitatum.
Sin verò diuiſerimus per latus .a.n. quæremus latus .e.n.
quinque
vnitatum.
ex quo, proportio totius numeri diuifi-
bilis
ad numerum qui oritur, erit ſicut diuidentis ad vnita-
tem
, ex prima ſexti, aut .18. vel .19. ſeptimi, & permutatim
ita
ſe habebit diuiſibile ad diuidentem, ſicut numerus qui
oritur
ad vnitatem.
Partiri igitur nihil aliud eſt, quam inuenire latus rectanguli, quod productum in
diuidente
, numerum diuiſibilem compl at, ex quo numerus diuiſibilis ſuperficialis
eſt
, diuidens autem, & qui oritur, numeri lineares & latera producentia huiuſcemodi
numerum
diuiſibilem.
nam multiplicare & diuidere opponuntur inuicem, cum au-
tem
ex multiplicatione laterum ſiue linearum generatur ſuperficies, ex diuiſione po-
ſtea
ipſius ſuperficiei inuenitur alterum latus.
quare mirum non eſt, ſi proueniens ex
vna
diuiſione (via fractorum) ſit ſemper maius numero diuiſibili.
Exempli gratia, diuidendo dimidium per tertiam partem, reſultat vnus integer nu
merus
cum dimidio pro numero qui oritur.
Sit itaque dimidium ſuperſiciale diuiſi-
bile
.b.c. cuius totum ſit .b.p. quadratum.
tertium verò lineare diuidens, b.n. cuius to-
tum
lineare ſit .b.d. quærendum nobis eſt latus .b.s. quod cum latere .b.n. producat re
ctangulum
.n.s. æquale dimidio ſuperſiciali propoſito .b.c. quod ſi ſiat, ex .15. ſexti,
aut
.20. ſeptimi. erit eadem proportio .b.n. ad .b.q. quæ eſt .q.c. ad .b.s. dicemus itaque
ſi
.n.b. dat .b.q. quid dabit .q.c?
certè .b.s. ſed .n.b. eſt tertium lineare et .b.q. lineare in-
tegrũ
, & b.s. proueniens lineare.
& quia .b.c. dimidium ſuperficiale, producitur à .q.c.
dimidio
lineari in .q.b. integro lineari.
quare cum .n.s. ſit ęqualis .b.c. & productum ex .
b
.n.
minori .q.c. neceſſe eſt, vt producatur in .b.s. maiore .q.b. quod .q.b. maius eſt .q.c.
quod
quidem .q.c. ita appellatur ſicut .b.c.
quare mirum non eſt ſi proueniens per fra-
ctos
numeros ex diuiſione, maior ſit numero diuiſibili.
219THEOR. ARITH.
Hinc manifeſte patet quamlibet diuiſionẽ aut partitionem oriri ex regula de tri-
bus
, quandoquidem ſinguli diuidentes æquipollent vni integro, & loco illius ſu-
muntur
.
Perinde enim eſt diuidere centum per viginti, ac regulã obſeruare de tri-
bus
dicẽtes, ſi viginti æquipollent vni, quibus ęquiualebũt cẽtum?
Hoc autem ex ſub
ſequenti
figura facile deprehendetur, in qua linea .a.b. ſignificat viginti, et .a.o. vni-
tatẽ
linearẽ, et .a.c. vnitates lineares centũ:
o.c. verò centum vnitates ſuperficiales,
et
.a.d. quinq; vnitates lineares, et .d.b. centum vnitates ſuperficiales, ex quo manife-
ftè
deprehenditur quòd quemadmodum multiplicare, nihil aliud eſt, quam inueni
re
productũ ex duobus lateribus propoſitis, it a partiri nihil aliud eſt, quam da-
to
vno latere inuenire aliud latus producti propoſiti.
16[Figure 16] 17[Figure 17]
Nam quotieſcunq; ratiocinãtes dicimus tantundem numeri, immediate produci
mus
ſuperficiem, mediãte vnitate in huiuſmodi numero, qui numerus antequã pro-
ducatur
in vnitatem, mente concipiendus eſt tanqua m linearis, tanquam linea in-
quam
diuiſa in totidem particulas lineares, ſingulas continuas & æquales vnitati
propoſitæ
.
verò productus fuerit numerus in vnitate ſuperficialis, erit ac ſi tot eſ-
ſent
vnitates quadratæ, quod ſi ita non eſſet, nulla mentio facienda eſſet quo-
rumuis
fractorũ.
Ex eadẽ regula de tribus reduci poteſtad praxim tertiũ theorema.
Quare cupientes ſcire quæ ſint illæ partes, quæ ſunt tres quartę, ipſarum quin-
que
ſextarum, dicemus ſi quatuor dant tria, quid dabunt quinq; ſextæ?
dabunt .15.
vigeſimas
quartas, quæ quindecim ſunt tres quartæ ipſius .20. viginti autẽ quinq; ſex
vigintiquatuor, quandoquidem nos numerum quęrimus, cui ita proportionentur
quinq; ſextæ alterius numeri, ſicut quatuor ad tria, vnde ſic ſe habent .20. ad .15. ſi-
cut
.4. ad .3. ipſe autem .20. quinq; ſextę partes ſunt vigintiquatuor, vt per ſe notũ eſt.
Ex eadem regula de tribus, huiuſmodi quęſito reſponderi poteſt, ſi conſtituamus
prædictas
quinq; ſextas eſſe numerum, cuius tres quartæ quęrantur, dicentes, ſi vnus
integer
dat tres quartas, quid dabunt quinq; ſextæ?
quare ſequentes regulam de
tribus
, dabuntur quindecim vigeſimæ quartæ.
Valet eadem regula de tribus; vt quis
ſcire
poſſit, quæ pars aut partes numeri propoſiti ſit aliquis numerus.
Exempli gratia, ſcire cupienti, quæ pars aut partes ipſius vigintiquatuor ſint ſex-
decim
, conſtituentur .24. tanquam vnum totum, cuius pars aut partes ſint ſexdecim,
dicemus
igitur ſi .24. dant ſexdecim, quid dabit vnum?
ſexdecim videlicet vigeſi-
masquartas
, quæ cum ad primos numeros reductæ fuerint, erunt duæ tertiæ.
Eadem ratione qui ſcire uellet, quæ partes aut pars eſſent tres quartæ, octo no-
narum
, diceret, ſi octo nonæ danttres quartas, quid dabit vnum?
prouenient .27.
trigeſimęſecundæ
.
Subſeruit pariter ad ſciendũ naturã partiũ numeri propoſiti. Exempli cauſa, ſi quis
quærat
, cuius numeri, duodecim ſint duæ tertiæ partes.
Dicet ſi duo dant tria, quid
2210IO. BAPT. BENED. dabunt duodecim? nempe dabunt decemocto, numerum quæſitum ſcilicet,
Tunc autem nil aliud pręſtamus quam quòd quærimus numerum ad quem ita ſe
habeant
duodecim, ſicut duo ad tria.
Ita etiam ſi quis quærat, cuius numeri duo
tertia
ſint tres quintę, dicet, ſi tria dant quinq;, quid dabunt duo tertia?
nempe da-
bunt
integrum cum fracto nono.
Hoc erit itaq; quęrere numerum ad quem ſic ſe
habeant
duo tertia ſicut tria ad quinq;, quod manifeſtum eſt per ſe.
Eadem ratione qui ſcire vellet, cuius numeri duæ ſeptimæ, eſſent octo integra-
rum
cum duabus quintis, diceret, ſi duo dant ſeptem quid dabunt octo integra cum
duabus
quintis?
nempe dabunt .29. integra cum duabus quintis numerum quæſi-
tum
.
Sic etiam qui transferre uellet fractum numerum in fractum, id perficeret
ex
regula de tribus.
Exempli gratia ſi proponerentur vnde cim tertiædecimæ vnius totius, toto diui-
ſo
in .13. partes, deſideraremusq́; ſcire, quot partes totius eſsẽt vndecim tertiędeci-
, toto in .4. partes diuiſo, diceremus ſi .13. dant .11. quid dabunt quatuor?
nem
pe
dabũt tres quartas quinq; tertijsdecimis unius quartæ, hoc verò nihil aliud eſt
quam
querere numerum, ad quem ſic ſe habeat totum in 4. partes diuiſum, ſicut
idem
totum diuiſum in tredecim ſe habet ad undecim tertiasdecimas, Porrò ad
alia
etiam multa hæc regula accommodata eſt.
Hæc enim ſine propoſito dicta ſunt, ſed ut quiſq; videat cauſam ſimilium ope-
rationum
, quæ à practicis circa fractos numeros ſcriptæ ſunt, omnem à diuina illa
regula
de tribus originem trahere ut etiam in ſequentibus videbimus.
THEOREMA XI.
CVr productum ex eo quod oritur in diuidente, ſemper æquale eſt numero
diuiſibili
ſi queras ita accipe.
Sit numerus diuiſibilis .b. quod oritur ſit .c. diuidens .d. & vnitas diuidentis .t. cum
igitur
, vt in præcedenti theoremate dictum
fuit
, eadem ſit proportio .b. ad .c. quæ eſt .d.
18[Figure 18] ad .t. manifeſte deprehenditur ex .20. ſepti
mi
, productum ex .b. in .t. æquale eſſe pro-
ducto
.c. in d.
THEOREMA XII.
ID ipſum alia ratione contemplari licet.
Numerus diuiſibilis ſignificetur per lineam .n.e. diuidens verò per lineam .a.e.
quod
oritur linea .u.e. vnitas diuidentis .o.e. quã cogitamus eſſe vnitatem linearem;
ad hæc productum ex .u.e. in .a.e. ſit ſuperficies .u.a. Dico ſuperficiem .u.a. componi
ex
tot vnitatibus ſuperficialibus quot linearibus conſtat linea .n.e. nam ex ijs quæ
diuidendi
ratione notauimus, cõſtituitur
eandem
proportionem eſſe .n.e. ad .u.e.
19[Figure 19] quę eſt .a.e. ad .o.e.
At ex prima ſexti aut
18
. ſeptimi ſic ſe habet totale productũ .
u
.a.
ad partiale .u.o. ſicut .a.e. ad .o.e.
quare ſic ſe habebit .u.a. ad .u.o. ſicut .n.
e
.
ad .u.e. ſed .u.e. et .u.o. numero non differunt, cum ſint vnius & eiuſdem ſpeciei, (ta-
met
ſi numerus .u.o. ſit ſuperficialis et .u.e. linearis).
Itaq; ex nona quinti numerus .
u
.a.
æqualis erit numero .n.e.
2311THEOREM. ARITH.
THEOREMA. XIII.
CVr diuidentibus numerum diuiſibilem per proueniens, oritur numerus diui-
dens
?
Sit ſubſcriptus rectangulus .o.e. numerus diuiſi
20[Figure 20] bilis, qui producitur, tam ex .a.o. in .a.e. quám ex .a.
e
.
in .a.o.
quare ſi .a.o. diuidens fuerit .a.e. proue-
niens
erit, ſi veró .a.e. diuidens extiterit, a.o. pro-
ueniens
erit futurum.
THEOREMA. XIIII.
HOcipſum, alia quoq; uia licebit ſpeculari.
Sit linea .a. denotãs numerum diuiſibilem, et .o. primi prouenientis linea .e. pri
mi
diuidentis .u. ſecundi prouenientis ideſt cum .o. pro diuidente ſumetur.
Iam ex
indicata
definitione diuiſionis nono theoremate huius libri, dabitur proportio .a.
ad
.o. prout datur .e. ad vnitatem ſignificatam li-
nea
.i. & permutatim .a. ad .e. ſicut .o. ad .i. ſed .a.
21[Figure 21] ad .u. ſic ſe habet prout .o. ad .i. ex eadem definitio-
ne
diuiſionis, itaq; ſic ſe habebit .a. ad .u. ſicut .a. ad .
e
.
vnde .u. æqualis erit .e. ex .9. quinti.
THEOREMA. XV.
VNde prouenit, vt qui velit cognoſcere cuius numeri quatuor quintæ par-
tes
, ſint duæ tertię, aut quid ſimile, cõſultiſſime faciat, ſi ad unam eandemq;
denominationem
reduxerit.
Prout in propoſito exemplo, denominãs cõmunis ſit quindecim, cuius duæ ter
tiæ
ſunt decẽ, & quatuor quintæ duodecim, cõmunis autẽ denominans .15. multipli
candus
ſit per quatuor quintas, ſcilicet duodecim, & productum diuidendum per
duas
tertias, hoc eſt decem, ex quo oriantur decemocto quęſitus numerus?
Quod ad reductionẽ numeratorũ ad vnam & eandem denominationem attinet,
ea
de cauſa fit quo uti poſſimus regula de tribus, quæ tribus tantummodo notis ter-
minis
indiget, quo quartus à prędictis dependens, inueniri poſſit, quandoquidem
bini
illi reſpectus, tribus terminis comprehendi poſsũt.
At quod ad multiplicatio-
nem
ſpectat denominantis cõmunis numerante denominantis in cogniti & diui-
ſionem
producti per numerantem cognitũ illę nihil aliud ſunt, quam quartũ terminũ
inuenire
, ita proportionatum tertio, vt ſecundus primo.
Excmpli gratia, ſit .a. denotãs nume-
rantem
denominantis cogniti, qui ſigni
22[Figure 22] ficetur linea .o. et .e. ſit denominantis in-
cogniti
numerans, denotati linea .u. imò
verò
& cogniti .o. nempe quatuor
quintæ
, Iam ſi .o. cum .e. multiplicemus, & productum per .a. diuidemus dabitur .u.
ſic
ſe habens ad .e. ſicut .o. ad .a. ex .20. ſeptimi.
2412IO. BAPT. BENED.
THEOREMA XVI.
INuenire autem cupienti cuius numeri, duæ tertiæ, ſint quatuor quintę partes, mul­
tiplicandę
eſſent duæ tertiæ per denominantem communem, & productum diui-
dendum
per quatuor quintas ipſius de-
nominantis
.
Ac ſi quis diceret ſi .e. dat .
23[Figure 23] o.
quid dabit .a?
nempe dabit .u. nam in
propoſito
exemplo, terminus .a. loco .e.
duos
ſortietur denominantes, cognitum
videlicet
.o. et .u. incognitum quod po-
ſtea
cognitum oritur ex regula de tribus, vt dictum eſt.
THEOREMA XVII.
QVA ratione cognoſci poterit proportionem quantitatis cenſicæ cenſicæ ad
ſimilem
quantitatem quadruplam eſſe ad eam, quæ eſt ſuarum radicum;
pro-
portionem
autẽ primarum relatarum eſſe quintuplam, atq; ita deinceps?
Cuiusrei gratia, ſciẽdus eſt modus ꝓductionis harũ dignitatũ qui oritur ex produ-
ctione
primæ radicis in ſeipſam, prout qui cubũ requirit, ducat radicé in ſuo quadra-
to
, & orietur cubus, hæc poſtea ducta in cubum, quantitatẽ cenſicam cenſicã, et in
hanc
, prædictam radicem, dabit quantitatem primam relatam.
Quod vbi ſciueri-
mus
, meminiſſe oportet Euclidem decimaoctaua ſexti aut .11. octaui docere, pro-
portionem
quadrati ad quadratũ, duplam eſſe proportioni ſuarum radicum, & .36.
vndecimi
aut .11. octaui, cubi ad cubũ triplam eſſe, ego verò nunc aſſero, cenſici cen
ſici
ad radicum proportionem quadruplam eſſe, primi verò relati ad primum re-
latum
quintuplam atq; ita gradatim.
Cuius ſpeculationis gratia, detur linea .d. quæ cubum maiorem ſignificet. et .b.
minorem
.c. verò ſit radixipſius .d. et .e. ipſius .b. ita ordinate adinuicem, vt in ſub-
ſcripta
figura cernitur.
Iam .c. cum .d. producatur proueniatq́; .q. cenſicum cenſi-
cum
, tum producatur .e. cum .b. et dabitur .p. alterum cenſicum cenſicum.
Dico
igitur
proportionem .q. ad .p. quadruplam eſſe proportioni .c. ad .e. hac de
cauſa
quòd proportio .q. ad .p. compo-
natur
ex proportione .d. ad .b. et .c. ad .e.
24[Figure 24] prout facile ex .24. ſexti, aut quinta octaui
depręhenditur
.
Quare proportio .d. ad .
b
.
proportioni .c. ad .e. tripla ſit, patet pro-
portionem
.q. ad .p. quadruplam eſſe pro-
portioni
.c. ad .e.
Idem de cæteris dignitati
bus
dico, ſumptis ſemper .d et .b. pro duo-
bus
cenſibus cenſuum, aut duobus primis relatis, aut alio quouis axiomate.
THEOREMA. XVIII.
CVR diuidentibus nobis dignitatem, per dignitatem, radix prouenientis: pro
ueniens
ſit diuiſionis vnius radicis per alteram?
Sint exempli gratia duę lineæ .b.q. et .f.g. quæ ſignificent duas radices cuiuſuis
dignitatis
;
demusq́; eſſe radices duorum quadratorum, quadratumq́; ipſius b.q.
per
quadratum ipſius .f.g. diuidatur;
quadrataq́ue radix prouenientis ſit .d.q.
vnitas
verò linearis ſit .i.g.
Dico ipſam .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .b.q.
per
.f.g.
Patet enim ex definitione diuiſionis nono theoremate tradita quadra-
2513THEOR. ARITH. tum ipſius .d.q. talem eſſe partem quadrati ipſius .b.q. qualis quadratum ipſius .g.i.
eſt
quadrati ipſius .f.g.
Scimus pręterea ex .19. ſexti, aut vndecima octaui, propor-
tioné
quadrati ipſius .b.q. ad quadratũ ipſius .d.q. duplam eſſe proportioni .b.q. ad .
d
.q.
ſuarum radicum (cuborum enim tripla eſſet & cenſuum cenſuum, quadrupla,
atq; ita deinceps ex præcedenti theoremate) Id ipſum dico de dignitatibus ipſius .
f
.g.
et .i.g. reſpectu radicum .f.g. et .i.g.
Vnde
cum
proportio dignitatis ipſius .b.q. ad il-
lam
.d.q. ęqualis ſit proportioni dignitatis
25[Figure 25] ipſius .f.g. ad illam .g.i. ex communi ſcien-
tia
apertè cognoſcemus ſimplices propor-
tiones
eſſe interſe æquales, nempe eam quę
eſt
.b.q. ad .d.q. æqualem eſſe ei, quæ eſt .f.
g
.
ad .i.g. itaq; ſequitur ex definitione diuiſionis .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .
b
.q.
per .f.g.
THEOREMA XVIIII.
CVR productum ex duabus radicibus quadratis, eſt quadrata radix, producti
ſuorum
quadratorum ſimul?
In cuius rei gratiam, ſint duo quadrata .d.a. et n.o. coniuncta ſimul, prout in ſub-
ſcripta
figura apparet, ita tamen vtangulus .a.n.u. ſitre
ctus
,
quare ex quartadecima primi, duo latera .n.c. et .
26[Figure 26] n.a.
directe coniũgentur adinuicem, prout etiam reli-
qua
duo latera .n.u. et .n.d.
Cogitato deinde .a.u. pro
ducto
ipſius .a.n. in .n.u. duarum videlicet radicum
quadratarum
ſimul, dabitur ex prima ſexti, aut de-
cimaottaua
ſeptimi, productum .a.u. medium propor
tionale
inter quadratum .a.d. et .u.c. quod ſi cogi-
temus
has tres ſuperficies, tres numeros eſſe, pate-
bit
ex vigeſimaprima ſeptimi productum .a.u. in ſe-
ipſum
, quadratum ſcilicet .a.u. æquale eſſe producto .
a
.d.
in .u.c. ex quo propoſiti euidentia conſequetur.
THEOREMA XX.
QVA ratione id ipſum in cubis cognoſci poterit.
Sit cubus .l.b. & cubus .o.p. quorum productum ſit .u.g. quod aſſero eſle
27[Figure 27] cubum, quamuis Eucli. idem probet
in
.4. noni. cuius radicem demonſtra-
bo
eſſe numeri æqualis numero .m.q.
qui
.m.q. productum eſt ipſius .m.e. in .e.
q
.
radicum propoſitorum cuborum.
Pa-
tet
enim ex præcedenti theoremate .m.
28[Figure 28]
2614IO. BAPT. BENED. q. radicem eſſe quadratam producti .l.e. in .e.p. quod productũ ſit quadratuni
corporeum
.c.g. cogitemus pariter duo quadrata .l.e. et .e.p. eſſe pariter corpo-
rea
, tantę profunditatis, quantam, vnitas linearis radicum .m.e. et .e.q. requirit.
Hæc duo corpora producentur à ſuperficie in vnitatem, vocenturq́; .l.x. et .x.p. quo
facto
, cogitemus corpus .a.g. tamquam productum cubi .l.b. in quadratum .e.p.
Vn-
de
ex decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eadem erit proportio .a.g. ad .c.g.
quæ
eſt .l.b. ad .l.x. corporeum, ſed ex .25. vndecimi & prima ſexti, ita ſe habet .a.K.
ad
.K.c. vnitatem linearé ſicut .a.g. ad .c.g. & ex eiſdẽ ita ſe habebit .b.e. ad .e.x. vnita-
tem
linearem, ſicut .l.b. ad quadratum .l.x. corporeum.
Itaque ſic ſe habebit .b.e. ad
vnitatem
linearem .e.x. videlicet .K.c. ſicut .a.K. ad ipſam .K.c.
Vnde ex nona quinti .
a
.K.
æqualis erit .e.b. & conſequenter æqualis .m.e.
Iam verò ſit .u.g. productum .l.b.
cubi
, in cubum .o.p. vt ſupra dictum eſt, Hinc patebit ex quauis duarum propoſitio-
num
, decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eandem futuram proportionem .u.g.
ad
.a.g. quæ eſt .o.p. ad .x.p. quadratum corporeum.
Quare ex poſtremis, dictis ratio-
nibus
, eadem erit proportio .u.K. ad .a.K. quæ eſt .o.e. ad vnitatem linearem .e.x. at
ex
dictis decimaoctaua & decimanona ſeptimi, ita ſe habet numerꝰ .m.q. ad numerũ
ſuperficialẽ .m.e. qui ꝓducitur à lineari .m.e. in vnitaté linearẽ ipſius .e.q. ſicut nume
rus
.q.e. ad ſuam vnitaté, ſed numerus .a.K. æqualis ſit numero .m.e. vt probatũ eſt
erit
ergo ex vndecima & nona quinti, numerus .u.K. æqualis numero .m.q.
At .f.g.
pariter
æqualis eſt numero .m.q. ex præcedenti theoremate, vnde .K.u. pariter æqua
lis
erit .f.g.
Itaque ſequitur .u.g. cubum eſſe, & f.g. radicem ipſius, æqualem numero .
m
.q.
quod quærebatur.
29[Figure 29] 30[Figure 30]
THEOREMA XXI.
VT autem in uniuerſum ſciri poſſit totum infinitũ dignitatum, hoc eſt radicem
producti
duarum dignitatum ſimilium, productum eſſe duarum radicum ea-
rundem
dignitatum.
Ponamus, exempli gratia, duas radices quadratas .q.p. et .g.K. incognitas, quas
qui
velit adinuicem multiplicare, cogatur earum quadrata cognita .n. cum .i. multi-
plicare
, quorum productum ſit quadratum .m. radix cuius ſit .b.d. quam dico æqualé
2715THEOREM. ARIT. eſſe ꝓducto .q.p. in .g.k. autẽ ſit .o. Patet enim proportionẽ .o. ad .q.p. eandẽ eſſe
cum
proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-
nona
ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-
ties
in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen
ti
exemplo quadrata dignitas ſumatur.
Itaq; ex eiſdem propoſitionibus decimaocta
ua
aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u.
Scimus pręterea proportionẽ .
m
.
ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.
d
.
ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum
fuit
ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u.
Itaq; .
b
.d.
ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t.
31[Figure 31] quandoquidem ſic ſe habeattotum ad to-
, ſicut pars ad partẽ, ſimiles ſint, proba
autẽ eſt ſuperius ita ſe habere .o. ad .q.p.
ſicut
.g.k. ad .t. itaq; .o. ſic ſe habebit ad .q.p.
ſicut
.b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d.
Hocipſum
cęteris dignitatibus conueniet,
mutatis
tantummodo proportionibus .m.
n
.
ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-
tionibus
duarum dignitatum .i.u. ad pro-
portionem
ſuarum radicum .g.k.t.
THEOREMA XXII.
DOcent veteres, quòd ſi quilibet numerus in duas partes inæquales diuiſus
fuerit
, totumq́ diuiſum per vnã partium, & per eandem pars altera diuiſa fue-
rit
:
differentia prouenientium ſemper vnitas erit. quodquidem veriſſimum eſt.
Detur enim .b.d. propoſitus numerus in duas partes inæquales diuiſus .b.c. et .c.d.
& in primis totũ .b.d. per .c.d. diuidatur, ex quo oriatur e.o. vnitas autem . .i.o. ſigni-
ficetur
, tum pars ipſa .b.c. . eãdem .c.d. diuidatur, ſitq́; proueniẽs .a.
Sanè ex defini-
tione
diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a.
ſicut
.c.d. ad .i.o.
Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d.
ad
.e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a.
Quare ex .11. quinti ſic ſe
habebit
.b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9. prędi­
cti
.a. æqualis erit .e.i. ſed .e.i. minor eſt .e.o.
32[Figure 32] per .i.o.
Quare ſequitur propoſitum verum eſ­
ſe
.
Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri
poteſt
, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-
te
diuiſibili, quã in toto, ſemel minus ingredi,
quandoquidem
altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.
THEOREMA XXIII.
HOcipſum alia ratione contemplari po­
33[Figure 33] terimus.
Significetur enim totalis numerus per .a.e.
in
duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u.
totius
verò proueniẽs ſit .a.c. partis autẽ, ſit proueniẽs .a.n. tum differentia ſit .n.c. vni
2816IO. BAPT. BENED. tas vero cui differentiã .n.c. æquari dico, ſit .a.i. Patet enim in primis, eandem propor
tionem
eſſe .a.e. ad .a.c. quæ eſt .u.e. ad .a.i. ex definitione diuiſionis, et eandem
eſſe
.a.u. ad .a.n. quæ eſt .u.e. ad .a.i. vnde ex .
11
. quinti ſic ſe habebit .a.e. ad .a.c. ſicut .a.
34[Figure 34] u.
ad .a.n. et ex .19. eiuſdem ſic ſe habe-
bit
.u.e. ad .n.c. ſicut .a.e. ad .a.c. ſed. ſic ſe
habebat
.u.e. ad .a.i.
Itaq; ex prædicta .11. quinti, ſic ſe habebit .u.e. ad .n.c. ſicut ad .a.
i
.
Quare ex .9. eiuſdem .n.c. æqualis erit .a.i. etidcirco .n.c. pariter vnitas erit.
THEOREMA XXIIII.
CVr quibuslibet duobus numeris diuiſis adinuicem, multiplicatisq́ prouenien
tibus
ſimul, productum, ſemper eſt vnitas ſuperficialis?
Nempe ex .20. ſeptimi,
quoniam
vnitas linearis ſemper media proportionalis eſt inter bina prouenientia.
Quodita ſpecularilicet.
Significẽtur duo propoſiti numeri per .b.p. et .b.d. mutuo diuiſi, proueniens au-
tem
.b.p. per .b.d. diuiſum ſit .b.n. tum proueniens .b.d. diuiſum per .b.p. ſit .b.a.
et
.b.t. ſit vnitas .b.p. et .b.e. vnitas .b.d. ex quo .b.t. æqualis erit .b.e.
Iam ex definitio ne diuiſionis, dabitur eadem proportio .b.p. ad .b.n. quæ eſt .b.d.
ad
.b.e. et proportio .b.d. ad .b.a. quæ eſt .b.p. ad .b.t.
Sed cum ſic ſe habeat .b.
p
.
ad .b.n. ſicut .b.d. ad .b.e. permutando ſic ſe habebit .b.p. ad .b.d. ſicut .b.n. ad .b.
e
.
hoc eſt ad .b.t. et cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.a. ſicut .b.p. ad .b.t: permutando ſic ſe
habebit
.b.d. ad .b.p. ſicut .b.a. ad .b.t.
Quare euerſim ſic ſe habebit .b.p. ad .
35[Figure 35]
b
.d.
ſicut .b.t. ad .b.a. ſed .b.n. ad .b.t. ſic
ſe
habebat vt .b.p. ad .b.d.
Itaq; ex .11.
quintiſic
ſe habebit .b.n. ad .b.t. ſicut .b.
36[Figure 36] e.
ad .b.a.
Dictum autem eſt .b.e. et .b.t. idem omnino eſſe. Quare ex .20. ſeptimi pro-
poſiti
veritas innoteſcet.
THEOREMA XXV.
IDipſum & hac altera uia patebit.
Duo illi numeri per .o. et .u. ſignificentur mutuo diuiſi, proueniens autẽ .o. per .
u
.
ſit .e. et proueniens .u. per .o. ſit .x. vnitas uerò per .i. ſignificetur, quas tamen quanti-
tates
ſubſcripto modo ad inuicem diſponi-
to
.
Itaq; ex definitione diuiſionis, eadem erit
37[Figure 37] proportio .o. ad .e. quę eſt .u. ad .i. et .o. ad .i. quę
eſt
.u. ad .x.
Quare ex æqualitate proportionũ .
c
.
ad .i. ſic ſe habebit ſicut .i. ad .x. erit enim .i.
media
proportionalis inter .e. et .x. ex .20. autẽ
ſeptimi
propoſitum concludetur.
Huiuſmodi rei cauſa etiam eſt, quod proueniens
diuiſionis
vnius eſt numerator æqualis denominatori diuiſionis alterius.
THEOREMA XXVI.
CVr duobus numeris mutuo diuiſis, sũptis deinde prouenientibus ſimul et adinui
cem
, & per hanc ſummam, diuiſa ſumma quadratorum dictorum propoſitorũ
2917THEOREM. ARITH. numerorum, proueniat numerus æqualis numero producti duorum primorum nu-
m
erorum ſimul.
Sint exempli gratia propoſiti numeri .2. et .8. qui mutuo diuiſi in primis dent pro
uenientia
quatuor integra, tum quartam partem pro altero proueniente, hæc colle-
cta
dabunt ſummam quatuor integrorum et quartæ partis vnius, ſumma autem qua
dratorum
binarij & octonarij erit .68. qui quidem numerus per quatuor & quar
tam
partem vnius diuiſus dabit .16. pro proueniente, quæ .16. æqualia erunt pro
ducto
binarii in octonarium.
Cuius rei hæc erit ſpeculatio, ſint duæ lineæ .o.e. et .o.n. quæ duos numeros pro-
poſitos
ſignificent, inuicem ad angulum rectum .o. coniunctæ, quarum quadrata
ſint
.o.a. et .o.p. ipſorum productum ſit .n.e. tum .o.t. ſit proueniens ex diuiſione .o.e.
per
.o.n.
Hęc ſingulatim conſideremus ( ſi in partibus ſimplicibus quod dicimus ac
ciderit
, id ipſum in compoſitis conſequenter eueniet) quamobrem ex definitione di
uiſionis
dabitur eadem proportio .o.e. ad .o.t. quæ eft .o.n. ad vnitatem, quæ ſit .o.
x
.
Nunc cogitemus ſuperficiẽ rectangulã .o.c. æqualẽ quadrato .o.a. tunc numerus .
c
.t.
proueniens erit, ut patet, ex diuiſione numeri quadrati .o.a. per numerũ .o.t. eritq́
eadẽ proportio .c.t. ad .o.e. quæ eſt .o.e. ad .o.t. ex ſecunda parte quintæ decimæ ſexti,
aut
.20. ſeptimi.
autẽ dictum eſt .o.e. ad .o.t. ſic ſe habere ſicut .o.n. ad .o.x. Itaq; ex .
11
. quinti ſic ſe habebit .c.t. ad .o.e. ſicut .o.n. ad .o.x.
Sed ex prima ſexti, aut .18. vel .
19
. ſeptimi, ſic ſe habet ꝓductum .n.e. ad .e.x. ſicut .o.n. ad .o.x.
quare denuo ſic ſe ha-
bebit
numerus .c.t. ad numerum .o.e. ſicut nume-
rus
.n.e. ad numerum .x.e.
Sed numerus .o.e. cum
38[Figure 38] numero .x.e. ſpecie idem eſt, igitur ex .9. quinti nu
merus
.c.t. numero .n.e. æqualis erit.
Id ipſum de quadrato ipſius .o.n. videlicet .p.o.
dico
.
Nam ſi proueniens .o.n. diuiſo per .o.e. ideſt .
o
.i.
proportionale reſpondens ad .o.t. cum .o.t.
coniunctũ fuerit, et per hãc ſummam diuiſa ſumma
quadratorum
.o.a. et .o.p. patet per ſe proueniens
futurum
eiuſdem numeri .c.t. ipſumq́ .c.t. proue-
niens
ſemper ſuturum.
Quo autem lucidius res hæc innoteſcat. Cogi
temus
proueniens quadrati .o.p. diuiſi ab .o.i. re-
ſpondentisq; .o.t. eſſe .i.u. quod via prædicta inue-
nitur
æqualis eſſe numero .n.e. ex quo conſe-
quenter
æquale .c.t: cogitato deinde rectangu-
lo
.o.u. æquali .o.p. coniuncto .o.c:totum .t.u. æqua-
le
erit compoſito duorum quadratorum .o.a. et .o.
p
.
cum in nullo numerus .c.t. mutetur, tam ex com-
poſito
.t.u. quã ex ſimplici .o.c. ex quo propoſiti ſe
ſe
ueritas profert.
THEOREMA XXVII.
PRoposvervnt veteres nobile quidem problema, ſed quod tamen citra al-
gebraticam
effectionem, aut neſcierunt, aut noluerunt diſſoluere, quod nihi-
lominus
facillimum eſt.
3018IO. BAPT. BENED.
Proponunt hi numerum in binas eiuſmodi partes diuidendum, vt ſumma qua-
dratorum
dictarum partium, alteri numero poſsibili propoſito æqualis ſit, poſſi-
bili
inquam, etenim ſi eiuſmodi numerus propoſitus, minor eſſet producto totius
primi
in ſuum dimidium, eſſet huiuſmodi factum impoſſibile.
Quod nos exequi
cupientes
, ſumamus primum numerũ propoſitum, quem in ſe ipſum multiplice-
mus
.
ab hoc quadrato deducamus ſecundum numerum propoſitum, tum quod re-
manſerit
duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra-
hi
, accepta poſtea radice quadrata reſidui & dempta ex priori numero propoſito,
tunc dimidium reſidui vna pars erit ex duabus primi numeri quæſita.
Exempli gratia proponantur .20. diuidenda in duas eiuſmodi partes, vt ſumma
quadratorum
ipſarum partium æqualis ſit .272. qui numerus maior eſt .200. maior
inquam
dimidio quadrati .400. ipſorum .20. hic autem numerus .272. è quadra-
to
.400. deducatur, remanebũt enim .128. quod duplicari iubeo, producẽtur ſiquidẽ .
256
.
quæ pariter deducta è quadrato totali, remanebunt .144. cuius radicem ſumi
volo
, quæ erit .12. & dempta ex .20. priori numero dato remanebit .8. cuius di-
midium
erit .4: pars vna ex quæſitis, quæ ex primo numero propoſito .20. detra-
hetur
, remanebitq́ .16. pro altera parte.
Cuius demonſtrationis cauſa, in primis cogitemus quadratum .a.c. cognitum nu-
meri
.a.b. primò propoſiti, qui cogitetur diuiſus in duo quadrata .d.e. et .e.b. duo-
ſupplementa .a.e. et .e.c. numerus autem ſummæ duorum quadratorum .d.e.
b
.
pro ſecundo propoſito datur;
ex quo, ſumma duorum ſupplementorum .a.e.c.
conſequenter
erit cognita, quę cum duplicata fuerit, & quatuor hæc ſupplementa
cogitatione
accommodata, prout in
quadrato
.f.g. apparet (quãuis idipſum
39[Figure 39] proueniret ſi modo Eucl. octaua ſecũdi
aptaretur
) æquali quadrato .a.c. ita vt
cogitatis
quatuor ſupplementis numeri
cogniti
in quadrato .f.g. ex conſequen-
ti
cognoſcetur numerus quadrati partia
lis
.h.i. & vna etiam eius radix qua de-
tracta
ex numero .a.b. aut .f.n. (quod
idem
eſt) primo propoſiti, relinquetur numerus cognitus duplum .x.k.n. aut .t.b.
pars
vna totius .a.b. ex quo uerum erit hoc meum problema.
THEOREMA XXVIII.
SI quis & aliam rationem perficiendæ
40[Figure 40] huius rei quærat, hoc præſtet inuen-
to
numero huius ſupplementi, cum in
præcedenti
theoremate dictum fuerit,
qua
ratione manifeſtetur duplum ſupple-
menti
ipſius.
Cogitemus in ſubſcripta figura lineam .
a
.b.
tanquam primum numerum propoſi-
tum
, & productum .a.e. ſupplemento .a.e. primæ præcedentis figuræ æquale ſit,
ac
deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio .
a
.b.
videlicet .b.c. quod erit .b.d. ex quo detrahatur deinde .a.e.
quare remane-
3119THEOREM. ARIT. bit quadratum .e.d. cognitum, cuius radix æqualis erit .c.t. qua coniuncta dimi-
dio
.c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
THEOREMA XXIX.
QVid cauſæ eſt, cur ſubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui-
cem
multiplicatorũ ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper
eſt
duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum
eſſet
.128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret
.144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore .q.g.
et
minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p.
in
quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-
cto
.n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta dabũtur .q.n. et .n.u. ſingula æqualia pro-
ducto
.q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum
, quod ſatis ſuperq́ , probatur quarta ſecundi Eucli.
Cogitemus deinde .n.
o
.
æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.
c
.
quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur
quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in
41[Figure 41] g.p. et quantitas .o.c. minor ipſo producto, ex
quantitate
quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e.
vna
cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-
cti
.q.g. in .g.p. ſed duæ quantitates, ſunt par-
tes
duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt
.m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti
ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet
conſiderare.
Itaque veritas hæc manifeſta
erit
.
THEOREMA XXX.
CVr ij qui ex duobus numeris propoſitis maiorem per minorem diuidunt, ſi
proueniens
per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit
prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4. ipſeq́ .20. per .4. diui-
datur
, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod
proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis .x.u. et .x.s. maiore atq; mi-
nore
ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-
uidatur
, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua-
42[Figure 42] dratum .u.x. ſit .x.o. et productum ex .n.x. in .u.
x
.
ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione
quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m.
Patet
enim
ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem
.u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem,
& quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha-
3220I O. BAPT. BENED. biturum, ſicut .u.x. ad .n.x. ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, quare ex 11.
quinti
ita ſe habebit .o.x. ad .e.x. ſicut .s.x. ad vnitatem;
ſed ſicut ſe habet .s.x. ad.
vnitatem
, ita ſe habet pariter .o.x. ad .m.
vnde ex .11. prædicta ita ſe habebit .o.
x
.
ad .m. ſicut idipſum .o.x. ad .e.x. itaq́ue ex .9. prædicti quinti .m. æqualis erit .o.x.
THEOREMA XXXI.
CVR propoſito aliquo numero in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus per
quamlibet
ipſarum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum
multiplicata
efficiant.
Exempli gratia, ſit denarius prop oſitus numerus, per binarium & octonarium
diuiſus
, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta
crunt
.6. cum quarta parte lineari, quæ ſi mul multiplicata, pariter erunt .6. cum
quarta
parte ſuperficiali.
Cuius ſpeculationis cauſa, totalis numerns, linea .q.p. ſignificetur, eius duæ
partes
, per .k. maiorem et .u. minorem, ipſa vnitas per .t: proueniens ex diuiſio-
ne
.q.p. per .k. ſit .q.i. proueniens autem ipſius .q.p. per .u. ſit .q.f.
quare ex defini-
tione
diuiſionis ita ſe habebit .q.p. ad .q.i. ſicut .k. ad .t. et .q.p. ad .q.f. ſicut .u. ad .t.
hoc
eſt .q.f. ad .q.p. ſicut .t. ad .u. vnde ex æqualitate proportionũ ſic ſe habebit .q.f.
ad
.q.i. ſicut .k. ad .u. et conuerſim.
Ad hæc in linea .q.p. vnitas, per lineam .q.o. ſigni-
ficetur
, quo facto, dicamus, ſi .q.p. ad .q.i. ſic ſe habet vt .k. ad .q.o. itaque permu-
tando
, ſic ſe habebit .q.p. ad .k. ſicut .q.i. ad .q.o. hoc eſt .k.u. ad .k. ſicut .i.q.f. ad .
q
.f.
(nam .k.u. partes ſunt integrales totius .q.p. et .k.u. ad .k. eſt ſicut .i.q.f. ad .q.f.
ex
.18. quinti)
Quare ita erit .i.q.f. ad .q.f. ſicut .q.i. ad vnitatem .q.o. ex .11. quinti
Addatur
deinde .q.i. ad .q.f. et .q.i. per .
q
.f.
multiplicetur, cuius multiplicatio-
43[Figure 43] nis productum, ſit .x.f. quod probabo
æquale
eſſe ſummæ .f.q. cum .q.i.
Sece-
tur
enim linea .q.x. in puncto .s. ita. vt .
q
.s.
æqualis ſit .q.o. ſigneturq́ue pro-
ductum
.s.f.
quare eadẽ erit propor-
tio
quantitatis .x.f. ad .s.f. quæ eſt .q.x.
ad
.q.s. ex prima ſexti, aut .18. vel 19.
ſeptimi
, hoc eſt, ſicut .q.i. ad .q.o. et
ex
.11. quinti (vt dictum eſt) ſicut .i.q.
f
.
ad .q.f. ſed numerus .s.f. fuperficia-
lis
tantus eſt, quantus linearis .q.f.
quare ex .9. quinti tantus erit (ſu-
perficialiter
) numerus .x.f. quantus
(lineariter). f.q.i. quod erat pro-
poſitum
.
THEOREMA. XXXII.
CVR numero aliquo in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus diuidatur per
ſingulas
partes, ſumma duorum prouenientium per binarium, ſemper ma-
ior
ſit ſumma prouenientium ex diuiſione vnius partis per alteram.
Exẽpli gratia, ſi proponeretur numerus .24. qui in duas partes inæquales diuide­
3321THEOREM. ARIT. retur .20. ſcilicet et .4. certè .24. perſingulas partes diuiſo, daretur vnum proue-
niens
ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra
cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens
quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque
integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium
per binarium.
Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea .q.p. ſignificetur, eius duę
partes
lineis .q.x. et .x.p. .q.f. ſit proueniens ex diuiſione totius .q.p. per .x.p. et .
q
.i.
ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens,
ex
diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-
niensex
diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi-
44[Figure 44] tur ex .22. theoremate huiuslibri proue-
niés
.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per
vnitaté
, & proueniens .h.k. minus proue-
niente
.q.i. per alteram vnitatem.
Itaque .
f
.q.i.
maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.
THEOREMA. XXXIII.
QVilibet numerus, medius eſt
proportionalis
inter numerum
45[Figure 45] ſui quadrati & vnitatem.
Detur enim numerus propoſitus,
qui
linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-
dratum
ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a.
et
ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti
aut
11. octaui proportionem .u.n. ad .
o
.
futuram duplam proportioni .u.a.
ad
.i.a. ſed .i.a. et.o. eadem (ſpecie)
res
sũt, tanta ſcilicet .a.i. quanta .o. vni
46[Figure 46] tas eſt, Itaque proportio numeri .u.n.
ad
.u.a. æqualis erit proportioni .u.a.
ad
.i.a.
Quare numerus .u.a. inter nu-
merum
.u.n. & vnitatem, medius erit
proportionalis
.
THEOREMA XXXIIII.
HOc ipſum quod diximus & alia ratione ſpeculari licebit.
Propoſitus numerus, nunc etiam per .a.u. ſignificetur, eius quadratum per .
u
.n.
vnitas linearis per .a.i. productumq́; .a.u. in .a.i. terminetur, ſitq́; .n.i.
quare
n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .
18
. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-
merus
.a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt.
Itaque medius eſt proportiona-
lis
inter .u.n. & vnitatem.
3422IO. BAPT. BENED.
THEOREMA XXXV.
QVivis numerus per alterum multiplicatus, & diuiſus, medius eſt propor-
tionalis
inter productum multiplicationis, & proueniens diaiſionis.
Exempli gratia, ſi .20. multiplicẽtur per quinque & inde per quinque diuidantur
productum
erit .100. proueniens .4. inter quos numeros .20. medius eſt propor-
tionalis
.
Hoc vt ſpeculemur, proponatur numerus multiplicandus & diuidendus, qui ſi-
gnificetur
linea .u.e. multiplicans autem & diuidens linea .a.u. multiplicationis
productum
ſit .e.a. proueniens ex diuiſione ſit .o.e.
Nunc proueniens .e.o. per nu-
merũ
.a.u. diuidentem multiplicetur, cuius multiplicationis productum ſit .e.i.
quare
, eadem erit proportio numeri .a.e.
ad
numerum .e.i. quæ eſt numeri .u.e. ad
47[Figure 47] numerum .e.o. ex prima ſextiaut .18. vel
19
. ſeptimi.
Sed cum numerus .u.e. ex .11. theoremate præſentis libri, numero .e.
i
.
æqualis ſit.
verum eſſe, quod propoſi-
tum
fuit conſequetur.
THEOREMA XXXVI.
CVR ij, qui propoſitum numerum ita multiplicare & diuidere cupiunt, vt pro
ductum
multiplicationis, tam ſit multiplex prouenienti ex diuiſione, quam
quæritur
, rectè ſumant aliquem numerum pro multiplicante & diuidente, qui ſit ra
dix
quadrata denominantis quęſitę multiplicitatis.
Exempli gratia, proponuntur .20. multiplicanda atque diuidenda, ita vt pro-
ductum
multiplicationis nonuplum ſit prouenienti ex diuiſione, nempè, vt pro-
ueniens
, nona pars ſit eiuſmodi producti,
quare quadratam radicem ipſorum no-
uem
, ideſt denominantis ſumunt, tria ſcilicet, multiplicant igitur & diuidunt
data
.20. ex quo productum erit .60. proueniens autem .6. cum duabus tertijs.
&
propoſitum
ſequitur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſignificetur numerus propoſitus linea .u.e. multipli-
cans
autem & diuidens linea .u.a. productum ſit .e.a. proueniens .e.o. quadratum
verò
.a.u. ſit .x.a. erit igitur proportio .a.e. ad .e.o. dupla proportioni .a.e. ad nume
rum
.u.e. ex præcedenti theoremate:
Adhæc, cogitemus in linea .u.a. vnitatem .
u
.i.
terminenturq́; duo producta .e.i. et .x.i.
quare eadem erit proportio .a.e. ad .e.i.
quæ
eſt .a.e. ad .u.e. numerus enim .e.i. (quamuis ſuperficialis) idem eſt cum nume-
ro
lineari .u.e. ſed .a.e. ad .e.i. ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .u.i. ex prima ſexti aut .18.
vel
.19. ſeptimi, (quod ipſum dico de .a.x. ad .x.i.)
quare proportio .a.x. ad .x.i. hoc
eſt
.x.u. ęqualis erit ꝓportioni .a.e. ad .u.e. at trigeſimotertio & trigeſimoquarto theo
remate
probatum eſt proportionem numeri .a.x. ad vnitatem, duplam eſſe propor-
tioni
eiuſdem numeri .a.x. ad .u.x. ſequitur
igitur
cum dimidia ſint æqualia, tota etiam
æqualia
eſſe:
hoc eſt proportionem numeri .
48[Figure 48] a.e.
ad numerum .e.o. æqualem eſſe propor
tioni
numeri .a.x. ad vnitatem.
Itaque rectè
ſumitur
numerus .a.u. eiuſmodi vt quadratũ
3523THEOR. ARITH. ipſius .a.x. tam ſit multiplex ad vnitatem, quam cupimus numerum .a.e. numero .
e
.o.
multiplicem eſſe.
THEOREMA XXXVII.
CVR inuenire cupientes duos numeros, quorum quadrata in ſummam colle-
cta
, æqualia ſint numero propoſito, & ijſdem numeris multiplicatis ad-
inuicem
, productum alteri numero propoſito ſit æquale, rectè ſumant dimidium
primi
numeri propoſiti, cui ſumma quadratorum æquari debet, hocq́; dimidium
in
ſeipſum multiplicent, vnà etiam alterum numerum propoſitum in ſeipſum
multiplicent
, quod quadratum detrahunt de primo, & reſidui quadratam radicem,
dimidio
primi numeri propoſiti coniungunt, ex qua ſumma, quadratam radicem
eruũt, quæ duobus quæſitis numeris maior erit, cuius quadrato de primo numero
detracto
, & exreliquo erutaradice quadrata, detur minor numerus, duorum quę-
ſitorum
.
Exempli gratia, ſi proponerentur .34. pro primo numero cui æquari de-
beret
ſumma duorum quadratorum, quorum radicum productum æquale eſſe de-
beret
alteri numero, verbi gratia .15. iubet antiquorum regula, dimidium primi
numeri
in ſeipſum multiplicari, cuius dimidij quadratum erit .289. è quo ſi detra-
has
quadratum ſecundi numeri, nempe .225. remanebit .64. atq; huius ſi quadra-
tam
radicem ſumas nempe .8. quam dimidio primi numeri, nempe .17. coniun-
gas
, dabitur duorum quadratorum numerorum quęſitorum maior numerus .25. hac
deinde
radice è dimidio detracta, minus quadratum dabitur .9. ſcilicet, quorum
radices
.5. et .3. eſſent ij numeri, qui quæruntur.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus primum numerum, cui quadratorum fum
ma
æquari debet, ſignificari linea .a.n. tum concipiamus quæſita quadrata ſignifi-
cari
, coniungiq́ modo ſubſcripto .t.b.k. ſecundum porrò numerum propoſitum,
ſignificari
producto .d.b.
Iam nil ſupereſt aliud quam vt quantitates .d.p. et .b.p.
quæramus
.
Itaque cum in linea .a.n. ſummæ quadratorum numerus detur, quadratum di-
midij
.o.a. ſit .s.a. quod nobis erit cognitum;
ſit etiam .a.u. numerus quadrati ma
ioris
, et .u.n. minoris, et .a.z. productum vnius in alterum;
qui quidem numerus .a.
z
.
æqualis erit
quadrato
nume
49[Figure 49] ri .d.b. ex .19.
theoremate
hu-
ius
libri.
Itaq;
a.z. cognitum
erit
, cum eius
radix
.d.b. ſit ſe-
cũdus
numerus
propoſitus
, quæ
minor
erit .a.s. ex quinta ſecundi, aut ſeptima conſequentia poſt .16. noni Eucli-
dis
.
Iam ſubtracta quantitate .z.a. è quadrato .a.s. cognoſcetur quadratum .t.x.
cuius
radix æqualis erit .o.u. ex poſtremo adductis, Itaque cognoſcemus .o.u. qui
numerus
coniunctus dimidio .o.a. cognito, dabit quadratum .a.u. cognitum, at-
queita
.u.n. pariter cognoſcetur, & eorum radices conſequenter.
3624IO. BAPT. BENED.
Hoc ipſum & alia ratione perfici poteſt, nempe, iuncta ſumma .k.b: b.d: ec .
b
.t.
alteri rectangulo æquali .b.d. quod ſit .b.c. ex quo totum quadratum lineæ .d.k.
cognitum
erit, atq; ita etiam conſequenter eius radicem .d.k. cognoſcemus, cuius
ope
ac producti .d.b. cognoſcemus .d.p. et .p.k. prout ex theoremate quadrageſi-
moquinto
huius libri patebit.
Michael Stifelius, vndecimo cap. tertij libri, problema eiuſmodi proponit,
quod
tamen ipſe via algebræ diſsoluit.
50[Figure 50]
THEOREMA XXXVIII.
CVR ij, qui duos numeros inuenire volunt, quorum productum alicui nu-
mero
propoſito æquetur, & quadratorum eorundem differentia alteri nu-
mero
propoſito æqualis ſir.
Rectè dimidium ſecundi numeri propoſiti in ſeipſum
multiplicent
, cui quidem numero differentia quadratorum æquari debet;
porrò
huic
quadrato primi propoſiti numeri, cui æquandum eſt productum numerorum
quæſitorum
, quadratum adiungant;
tum radicem quadratam huius ſummæ co-
pulet
dimidio ſecundi numeri propoſiti, ei inquam, cui differentia quadratorum
æqualis
eſſe debet, ex quo quadratum maius conſurgit, à quo, detracto ſecundo
numero
, ſupereſt quadratum minus.
Exempli gratia, ſi proponeretur primo loco numerus .8. cui æquandum eſt
productum
numerorum quæſitorum, tum proponeretur numerus .12. cui, detra-
cto
minore à maiore, differentia quadratorum vtriuſque quæſiti numeri æqualis
eſſe
debet, oportet huius vltimi numeri .12. dimidium in ſeipſum multiplicare, fiẽt-
q́ue
.36. quadratum dimidij, vnde in ſummam colligeremus quadratum primi
numeri
.8. quod eſſet .64. quæ cum .36. efficerent .100. cuius centenarij radice, nem
pe
.10. collecta in ſummam cum dimidio ſecundi numeri, nempe .6. daretur qua-
dratum
maius, nempe .16. ex quo, detracto ſecundo numero, nempe .12. rema-
neret
quadratum minus .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, maius quadratum
51[Figure 51] incognitum ſignificetur linea .q.g. minus verò
pariter
incognitum linea .g.i.
quare .q.i. eorum
differentia
, tanquam data remanebit cognita,
vnà
etiam .b.i. et .q.b. ſua dimidia;
tunc cogite-
tur
quadratum .y.g. ſuper .b.g. et parallelogrã-
mum
rectangulum .g.r. deſignatum, & ita etiam
gnomon
.u.g.t. prout ſexta ſecundi Euclidis pro
ponitur
, ex quo quadratum .b.i. nempe .u.t. co-
gnitum
erit, ſed gnomon æqualis eſt rectangulo .g.r. ex prædicta, aut ex .8. poſt .16.
3725THEOREM. ARIT. noni, hocq́; rectangulum .g.r. quadratum eſt primi numeri propoſiti ex .19. theo-
remate
huius libri, itaq; cognitum erit.
vnà etiam gnomon .u.g.t. cognoſcetur,
quare
totum quadratum .g.y. eiusq́; radix .b.g. manifęſta erit, cui coniuncta .q.b.
data
, maius quadratum .q.g. cognoſcetur, ex qua .b.g. detracta .b.i. data, cogno-
ſcetur
.i.g. quadratum minus conſequenter, etiam eorum radices notæ erunt.
THEOREMA XXXIX.
ALia etiam ratione idipſum definiri poteſt, prætermiſſa antiquorum via,
nempe
multiplicatis in ſemetipſis primo & ſecundo, numeris propoſitis, qua-
druplicatoq́; quadrato primi, qua ſumma coniuncta cum quadrato ſecundi nume-
ri
, & ex hac altera ſumma eruta radice quadrata, ex qua detracto ſecundo nume-
ro
, & è reliquo ſumpto dimidio, quod erit quadratũ minus, quo detracto ex radi-
ce
poſtremo iuncta, ſupererit quadrarum maius.
Exempli gratia, ſi proponeretur numerus .8. cui productum duorum numerorum
quæſitorum
æquandum eſt, proponeretur idem .12. cui differentia quadratorum
duorum
numerorum æqualis eſſe debet.
Iubeo primum numerum, nempe .8. in ſe
ipſum
multiplicari, ex quo exurget .64. pro numero ſui quadrati, quod quadru-
plicari
volo, eritq́; productum .256. quod cenſeo coniũgendum cum quadrato ſe-
cundi
numeri propoſiti, nempe .144. eritq́; ſumma .400. ex quaſumetur radix, ſci
licet
.20. & ex hac detrahetur ſecundus numerus .12. reſiduiq́; dimidium, nempe .
4
.
pro quadrato minore, quo in ſummam collecto cum, 12. dabit quadratum
maius
.16.
Cuius ſpeculationis cauſa, quadratum maius per lineam .q.g. minus per .g.p. ſi-
gnificetur
:
ſuper integram autem .q.p. erigatur quadratum integrum .d.p. diuiſum,
vt
quadratum .f.g. vigeſimiſeptimi theorematis huius libri, (idipſum accideret di-
uiſo
quadrato modo octauæ ſecundi Euclidis) quæ quidem diuiſio, eſt via quatuor
productorum
.q.g. in .g.p. è quibus vnum ſit .g.r. quod erit cognitum ex .19. theore
mate
cum ſit quadratũ primi numeri ppoſiti, ex quo illa quatuor cognita erũt.
Iam
verò
ſi cogitemus .q.p. ſectam in puncto .t. ita vt .q.t. æqualis ſit .p.g. dabitur differen
tia
.t.g. cognita, vt radix quadrati .e.o. cum ex præſup-
poſito
.r.n. æqualis ſit .q.g. et .r.e: g.p. ex quo etiam .q.t.
52[Figure 52] ita pariter .e.n.t.g. æqualis erit.
Collecto itaq; quadra
to
.e.o. ipſius .t.g. cum quadruplo .g.r: cognitum erit
quadratum
.d.p. ipſius .q.p.
quare cognoſcetur .q.p. de
quo
numero detracta differétia quadratorum cognita .
t
.g.
ſupererit aggregatum .p.g. et .q.t. cognitum.
Qua-
re
ex conſequenti, dimidium aggregati, nempe .g.p.
cognoſcetur
, tanquam minus duorum quadratorum.
cui iuncta .g.t. aut detracta .p.g. ex .p.q. quadratum .q.
g
.
maius cognitum remanebit.
THEOREMA XL.
CVR ijs, qui volunt duos eiuſmodi numeros inuenire, vt eorum maior mi-
norem
, numero propoſito ſuperet, & productum vnius in alterum, alteri nu-
mero
propoſito adęquetur, conſultiſsimum ſit dimidium primi numeri propoſiti,
3826IO. BAPT. BENED. numerum inquam, cui differentia duorum quæſitorum æquanda eſt, in ſeipſum
multiplicare
, atque huic quadrato, ſecundum numerum propoſitum iungere, cui,
productum
numerorum quæſitorum æquale eſſe debet, & ex hac ſumma eruere qua
dratam
radicem, quæ coniuncta dimidio primi numeri propoſiti, dabit maiorem
duorum
numerorum & ex eadem radice detracto dimidio primi numeri, minorem
numerum
duorum quæſitorum.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. cui differentia vnius numeri ab altero æqua-
ri
deberet, tum proponeretur .64. cui productum multiplicationis duorum quæſi-
torum
ſimul æquãdum eſſet.
Dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicaremus,
proueniretq́; quadratũ .36. cui coniuncto ſecundo, nempe .64. totum eſſet .100.
ex
quo detracta quadrata radice .10. etipſi coniuncto ſenario, dimidio primi nume
ri
, & ex eadem detracto eodem dimidio .6. pro maiore numero proueniret .16. &
pro
minore .4.
Cuius rei ſpeculatio hæc eſt. Sit .e.o. differentia cognita duorum incognitorum
numerorum
.a.o. et .a.e. quorum productum datum ſiue cognitum ſit .a.s: conſide-
remus
nunc .e.i. dimidium .e.o. datæ differentiæ, & ex compoſito .a.i. imaginetur
quadratum
.a.x. in quo protracta ſit .t.u. æquidiſtans lateri .a.i. & tam ab ipſa .a.i. re
mota
, quam .x.i. ab .s.e. vnde .t.e. quadratum erit .e.i.
dimidiæ
ſcilicet differentiæ datæ .e.o. et .t.n. rectan-
53[Figure 53] gulum æquale erit rectangulo .n.c. vt cuilibet licet
per
ſe conſiderare, vnde ſequitur gnomonem .e.r.t.
æqualem
eſſe producto .a.s. ideo cognitus, qui quidẽ
gnomon
, ſi coniunctus fuerit quadrato .e.t. cognito
ex
radice .e.i. cognita (vt dimidia toralis differentię .
e
.o.
datæ) habebimus quadratum totale .a.x. cogni-
tum
, & ita eius radicem .a.i. cognitam & reliqua om
nia
conſequenter quæ quidem ſpeculatio eadem eſt
quæ
.6. ſecundi ſeu .8. noni Euclidis.
Poteris tamen ex modo & rationibus præceden-
ti
theoremate allatis, hocipſum concludere.
THEOREMA XLI.
CVR ij, qui aliquo propoſito numero, inuenturi ſunt duos numeros inter ſe
differentes
, quorum quadratorum ſumma altero numero propoſito æqualis
ſit
, rectè primum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicant, quod quadratum
exſecundo
numero detrahũt, & dimidium reſidui ſumunt, quod productum erit
multiplicationis
duorum numerorum interſe, in reliquis præcedentis theorematis
ordinem
ſequuntur.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. tanquam numerus, cui differentia duorum
numerorum
quæſitorum æquanda eſt, proponerentur præterea .272. quibus ſum-
ma
quadratorum duorum numerorum quæſitorum æquari deberet, oporteret ſanè
primum
numerum, nempe .12. in ſeipſum multiplicare, cuius quadratũ hoc loco
eſſet
.144. atque hoc detrahere ex ſecundo numero, ſupereſſet .128. ſumpto
deinde
dimidio huiuſce numeri, népe .64. producto in quam duorum numerorum
quæſitorũ.
Cum hoc .64. proſtea et duodenario primo propoſito numero, præceden
tis
theorematis ordinem ſequeremur.
3927THEOREM. ARIT.
Quod vt ſpeculemus, conſideremus ſubſcriptam figuram, vigefiminoni theore-
matis
figuræ ſimilem, in qua numeri quæſiti duabus
lineis
directè coniunctis .q.g. et .g.p. fignificentur, ho
54[Figure 54] quadrata erũt .r.c. et .g.s. quorũ sũma iterũ propo
nitur
, quare etiam cognita.
Differẽtia autem duorũ
numerorum
primo propofita fit .q.i. eius verò qua-
dratum
.m.e. quod cognitum eſt ex ſua radice .q.i.
quare gnomon .e.n.m. ſimul cum quadrato minori .
g
.s.
cognitus erit, quæ ſumma æqualis eſt duplo .g.r.
producto
datorum numerorum.
Itaque & ipſa .g.
r
.
cognoſcetur, nunc ſi præcedentis theorematis ſpe-
culationem
in reliquis conſuluerimus propoſitum
conſequemur
.
THEOREMA XLII.
ADhuc etiam & alia ratione idipſum conſequi poſſemus, non conſulto qua-
drageſimo
theoremate.
Nam ſubtracto quadrato differentiæ, numeri primi
(inquã) propoſiti, ex sũma duorum quadratorum, nempe ex ſecundo numero pro-
poſito
colligendum eſſet reſiduum in ſummam cum prædicto ſecundo numero, &
ex
ſumma hac deſumenda quadrata radix, quæ duorum numerorum ſumma erit,
de
qua detracto primo numero, remanebit duplum minoris numeri quæſiti, cuius
dimidio
addito primo numero propoſito, aut detracto minore inuento ex radice
poſtremo
inuenta, dabitur numerus maior, qui quæritur.
Exempli gratia, cum ſuperfuerint .128. hæc ſi cum ſecundo numero nẽpe .272.
iunxerimus
, dabunt .400. quorum radix erit .20. de quo numero detracto primo
propoſito
, nempe .12. ſupererunt .8. quorum dimidiũ erit .4. quo ex .20. detracto
aut
coniuncto .12. maior numerus orietur.
Cuius rei contemplatio, præcedenti figura aperitur. Nam reſiduum detractionis
quadrati
.m.e. ex ſumma duorũ quadratorum .r.c. et .g.s. numerum præbet æqua-
lem
duobus ſupplementis .q.n. et .n.u. ex .8. ſecundi Euclidis. qui coniunctus duo-
bus
quadratis (quorum ſumma ſecundo propoſita fuit) cognitionem profert qua-
drati
.q.u. & eius radicis .q.p. de qua, detracto primo dato numero, ſcilicet .q.i. ſu-
pereſt
.i.p. cuius dimidium nempe .g.p. minor eſt numerus qui quęritur;
reſiduum
verò
totius .g.q. maior ſcilicet.
THEOREMA XLIII.
CVR ij, qui volunt duos numeros inuenire, quorum ſumma æqualis propo-
fito
alicui numero futura ſit, & ſumma quadratorum maior eorum produ-
cto
per quantitatem alterius propoſiti numeri, rectè dimidium primi dati numeri in
ſeipſum
multiplicant, quod quadratum ex ſecũdo dato numero detrahunt, ſumunt­
q́ue
tertię partis refidui quadratam radicem, quam dimidio primi numeri coniun-
gunt
, ex quo maior numerus duorũ quæſitorũ datur, quo ex toto primo detracto, ſu-
pererit
minor.
Exempli gratia, propoſito numero .20. cui æquanda eſt ſumma duorum nume-
rorum
quæſitorum, datoq́; ſecundo numero .208. qui ſemper maior eſſe debet
4028IO. BAPT. BENED. quadrato dimidij, prout ex ſpeculatione huiuſmodi operis cognoſcetur, cuiæquãda
eſt
differẽtia inter ſummã quadratorũ duorũ qui quærũtur numerorũ, ſimul pro
ducto
eorũ radicum.
Dimidium numeri .20. in ſeipſum multiplicandum eſſet, qua-
dratumq́; detrahendum ex .208. vtremanerent .108. quorum .108. tertiæ partis qua
drata
radix eſſet .6. quæ ſi iuncta fuerit dimidio .20. nempe .10. daretur maior nu-
merus
quæſitus .16. quo detracto è .20. darentur .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, datus primus numerus ſignificetur linea .g.h. in qua
maior
numerus incognitus ſit .g.h. minor verò .b.h. quorum quadrata ſint .y.t. et .
b
.l.
in quadrato maximo .g.p. tum productum .g.b. in .b.h. ſit .g.c. cogitenturq́; duo
diametri
.q.h. et .g.p. diuiſi per medium in puncto .o. per quod duę lineæ ducan-
tur
.f.d. et .k.m. parallelæ lateribus maximi quadrati.
dictum quadratum in
quatuor
quadrata æqualia diuident, quorum vnumquodq́;, æquale erit quadrato .
g
.f.
dimidij ipſius .g.h. datę,
quare eorum vnumquodq́; cognitum erit. Iterum co
gitemus
.s.x. per .e. parallelã .g.k. tantum diſtan-
tem
à .g.k. quantum .y.l. ab .g.h. diſtare inueni-
55[Figure 55] tur.
Cogitetur pariter .z.i.a. per punctum .i.
parallela
.d.p.
quare .a.t. æqualis erit .f.c. et .y.x.
æqualis
.f.e. et .y.s: b.l. æqualis.
Ita ſubtractis è
duobus
quadratis ſuperius dictis .a.t.y.x. et .b.l.
producto
.y.b. æqualibus, ſupererunt .k.d. et .a.c.
x
.
cognita, tanquam æqualia dato ſecundo nu-
mero
, ſed .k.d. quadratum eſt medietatis .g.f.
cognitæ
, cognoſcetur igitur reſiduum .a.c.x. vnà
etiam
ſingulæ tertiæ partes nempe quadrata .o.
i
.o.c.
et .o.e. & radix .b.f. vel .f.s. ſingularum,
qua
coniuncta dimidio .g.f. rurfusq́; ab eodẽ de-
tracta
, propoſitum conſequemur.
THEOREMA XLIIII.
CVR ſi quis cupiat numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes diuidere, vt
quadratum
maioris, quadratum minoris ſuperet quantitate alterius numeri
propoſiti
, rectè primum numerum in ſeipſum multiplicabit, & ab eodem ſecun-
dum
numerum detrahet, reſiduum verò per duplum primi diuidet, ex quo proue-
niens
primi pars minor erit, quæ ex illo primo detracta, partem maiorem
proferet
.
Exempli gratia, ſi proponantur .20. diuiſa in duas eiuſmodi partes, vt quadratũ
maioris
ſuperet quadratum minoris numero æquali ipſi .240. oportebit primum
numerum
, qui quadratus cum fuerit, erit .400. in ſeipſum multiplicare, & ex hoc
quadrato
ſecundum numerum nempe .240. detrahere,
tunc remanebunt .160. quę
diuiſa
per .40. numerũ duplũ primo, dabuntur quatuor pro minori numero, à reſi-
duo
verò .20. detractis quatuor, erunt .16. pro maiorinumero.
Quod vt exactè conſideremus, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .q.
h
.
diuidendus in duas partes .q.p. et .p.h. tales quales quærimus.
Poſtmodum eriga
2r quadratum .q.e. diuiſum diametro .f.h. ductisq́; .p.o.t. et .a.o.c. parallelis lateri-
bus
quadrati, dabuntur imaginaria quadrata .c.t. et .p.a. duarum partium .q.p. et .p.
h
.
incognitarum.
Ad hæc cogitemus quadratum .u.n. æquale quadrato .p.a. è quadra­
4129THEOR. ARITH. to maiore .c.t. extractum quare reſiduum qua-
56[Figure 56] drati .c.p. cognitum erit, quam quantitatem co-
gnitam
, cum ſit ſecundo loco data, cogitemus
detrahi
è toto quadrato cognito .q.e. ex quo
ſumma
duorum ſupplementorum .q.o. et .o.e.
cognoſcetur
, vnà cum quadratis .u.n. et .p.a. du
plo
ſcilicet .q.a. quo diuiſo per duplum .q.h. aut
ſimplex
.q.a. per .q.h. ſimplicem, dabitur .a.h.
nempe
.p.h. minor numerus quæſitus.
THEOREMA XLV.
CVR volentes diuidere numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt pro
ductum
vnius in alteram, alteri numero propoſito æquetur, rectè dimidium
primi
dati numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum datum nu-
merum
detrahunt, reſiduiq́; radicem ſumunt, qua coniuncta vni dimidio primi nu-
meri
, pars maior datur, ex altero verò dimidio detracta, minorem manifeſtabit.
Exempli gratia, ſi numerus partiendus eſſet .34. alter verò numerus eſſet .64. cui
productum
vnius partis in alteram æquale eſſe deberet.
Dimidium primi numeri, in
ſeipſum
multiplicaremus, cuius quadratum eſſet .289. de quo detracto ſecundo nu-
mero
nempe .64. remaneret .225. cuius quadrata radix nempe .15. coniuncta .17.
dimidio
.34. proferet .32. maiorem partem, detractoq́; ex .17.