Archimedes, Archimedis De insidentibus aquae, 1565

Bibliographic information

Author: Archimedes
Title: Archimedis De insidentibus aquae
Year: 1565
City: Venetiis
Publisher: Curtius
Number of Pages: 6, 16 Bl : graph. Darst.
Call number: Rara A673de
Holding library: Max Planck Institute for the History of Science, Library

Permanent URL

Document ID: MPIWG:ADXVTFKE
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:ADXVTFKE

Copyright information

Original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for digital-image: CC-BY-SA
Copyright for text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for text: CC-BY-SA
Table of contents
1. Page: 0
2. ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIBER PRIMVS. Page: 5
3. CVM PRIVILEGIO. TROIANO CVRTIO Page: 5
4. VENETIIS, APVD CVRTIVM TROIANVM. M D LXV► Page: 5
5. FABRITIO DENORES FILIO IACOBI COMITIS TRIPOLIS VCRTIVS TROIANVS S. P. D. Page: 7
6. ARCHIMEDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. LIBER PRIMVS. Suppoſitio prima. Page: 8
7. Theorema primum. Propoſitio prima. Page: 8
8. Theorema ij. Propoſitio ij. Page: 9
9. Theorema iij. Propoſitio iij. Page: 10
10. Theorema iiij. Propoſitio iiij. Page: 11
11. Theorema v. Propoſitio v. Page: 12
12. Theorema vj. Propoſitio vj. Page: 13
13. Theorema vij. Propoſitio vij. Page: 14
14. Suppoſitio ſecunda. Page: 15
15. Theorema viij. Propoſitio viij. Page: 15
16. AR CHIM EDIS DE INSIDENTIBVS AQV AE. Page: 17
17. LIBER SECVNDVS. TROIANO CVRTIO VENETIIS, APVD TROIANVM CVRTIVM. M D L X V Page: 17
18. FABRITIO DENORES FILIO IACOBI COMITIS TRIPOLIS CVRTIVS TROIANVS S. P. D. Page: 19
19. INSIDENTIBVS AQV AE. LIB. II. PRIMVS. Page: 21
20. SECVNDVS. Page: 22
21. TERTIVS. Page: 23
22. QVARTVS. Page: 24
23. QVINTVS. Page: 25
24. SEXTVS. Page: 27
25. SEPTIMVS. Page: 29
26. OCTAVVS. Page: 30
27. NONVS. Page: 33
28. DECIMVS. Page: 36
29. Archimedis de inſidentibus in bumido li-ber ſecundus explicit, ad laudem Dei. Page: 47
1
[Empty page]
211[Handwritten note 1]
322[Handwritten note 2]
433[Handwritten note 3]44[Handwritten note 4]55[Handwritten note 5]
5
ARCHIMEDIS
DE INSIDENTIBVS
AQV AE.
LIBER PRIMVS.
1[Figure 1]
CVM PRIVILEGIO.
TROIANO CVRTIO
2[Figure 2]
VENETIIS,
APVD CVRTIVM TROIANVM.
M D LXV►
666[Handwritten note 6] 3[Figure 3]
72
FABRITIO DENORES FILIO
IACOBI COMITIS TRIPOLIS
VCRTIVS TROIANVS S. P. D.
SI omni laude digni habiti ſunt magni uiri, qui
omne ſuum ſtudium in id contulerunt, ut cæ-
teris hominibus quàm maxime prodeſſe poſ-
ſent; in magnum dedecus incurrent omnes,
qui illorum opera aut occultant, aut, ut in pu
blicum prodeant, nullam curam afferunt. Cum
uero labores maximi illi quidem Nicolai Tar-
taleæ quotidie magis, ac magis cognoſcantur profuiſſe litera-
tisuiris, non modica uidebor ego dignus reprehenſione, qui
reliquias habui eiuſdem laborum, & uigiliarum, ni illas quoque
in medium proferam, & communi utilitati conſulam. Quare
cum habeam adhuc apud me Archimedem de inſidentibus a quæ
ab ipſo Nicolao in lucem reuocatum, & quantum ab ipſo fieri
potuit, ab erroribus librarij emendatum, & ſuis lucubrationi-
bus illuſtratum; uideor fraudare omnes literatos ſua poſſeſsio-
ne, ni omnia, quæ huius ingenioſiſsimi uiri apud me reſtant, in
lucem emiſero, & omnibus ea communicauero. Ac cum noue-
rim te cum omnibus rectiſsimis ſtudijs mirifice deditum, tum to
tum ad imitationem tuorum maiorum, & ad rem gerendam in-
flammatum; putaui hoc opus tibi, & tui ſimilibus, qui indiſcipli
nis uerſantur, & res magnas gerunt, fore peropportunùm. nec
uero meæ facultatis eſt, nec breuitas huius ſcriptionis poſtulat,
ut dete, ac de tuis maioribus ego nunc plura dicam. nam fi re-
peterem clariſsimos uiros, qui literis, & armis in tua familia flo
ruerunt, eorumq́ue res geſtas enarrarem, atque quibus rebus,
tu, & optimus, ac clariſsimus pater tuus eorum gloriam adauge
tis; longe maius opus mihi extaret, quàm eſſet hic paruus libel-
lus, quamq́ue ego poſſem perficere. Itaque hæc alijs, qui poſ-
ſunt, relinquens, & in aliud tempus differens, ut nonnullum per
me adiumentum addatur tibi, & cæteris, qui rerum naturam con
templantur, & ijs artibus ſtudent quibus res maximæ geruntur;
hoc opus in tuo nomine peruulgari, atque ediuolui, ut noſcant
omnes dum ſtudeo prodeſſe communi utilitati, ſeparatim ta-
men pro mea in te obſeruantia uoluiſſe tuis ſtudijs, magnitudi-
niq́ animi inſeruire.
8
ARCHIMEDIS DE
INSIDENTIBVS AQV AE.
LIBER PRIMVS.
Suppoſitio prima.
Suppon atur humidum habens talem naturam, ut partibus ip-
ſius ex æquo iacentibus, & exiſtentibus continuis, expellatur mi-
nus pulſa a magis pulſa, & unaqueque autem partium ipſius pel
litur humido, quod ſupra ipſius ex iſtente ſecundum perpendicu
larem, ſi humidum ſit deſcendens in aliquo, & ab alio aliquo
preſſum.
Theorema primum. Propoſitio prima.
Si ſuperficies aliqua plane ſecta per aliquod ſignum ſemper
idem ſignum ſectionem facientem circuli periferiam centrum
habẽtem ſignũ, per quod planoſecatur ſphæræ, erit ſuperficies.
SI enim ſuperſicies aliqua ſesta per ſignum K, plano ſuper ſestionem fa-
cientes circuli periferiam, centrum autem ipſius k, ſi igitur ipſa ſuperfi-
cies non est ſphæræ ſuperficies, non erunt omnes, quæ a centro ad ſuperfi
ciem, occurrentes lineæ æquales. Sit itaque a, b, g, d, ſigna in ſuperficie, &
inæquales, quæ K. a, K, b, per ipſas autem K, a, k, b, planum educatur, & fa-
ciat ſectionem in ſuperficie lineam d, a, b, g, circuli ergo eſt ipſa centrum au-
tem ipſius K. Q uoniam ſupponebatur ſuperficies talis non ſunt ergo inæqua
les lineæ K, a, K, b, neceſſarium igitur eſt ſuperficies eſſe ſphæræ ſuperficiem.
4[Figure 4]
93LIBER I.
Theorema ij. Propoſitio ij.
Omnis humidi conſiſtentis ita ut maneat in motum ſuperfi
cies habebit figuram ſphęrę habentis cẽtruni idem cum terra.
INtelligatur enim bumidum conſiſtensita, ut maneat non motum, &
ſecetur ipſius. Superſicies plano per centrum terræ. Sit autemterra
centrum K, ſuperficiei autem ſecta linea a, b, g, d. Dico itaque line a a, b,
g, d, circuli eſſe periferiam centrum autem ipſius K. Sienim non est recte
a, K, ad lineam a, b, g, d, occurrentes non erunt æquales. Sumatur itaque
aliqua recta quę eſt quarundam quidem a, k, occurrentium ad lineam a, b,
g, d, maior quarundam autem minor, & centro quidem K, distantia autem
ſumptæ lineæ circulus deſcribatur. Cadetigitur periferia circuli habẽs hoc
quidem extra lineam a, b, g, d, hoc autem intra, quoniam quæ ex centro
quorundam qu dem a, K, occurrentium ad lineam a b, g, d, eſt maior quo-
rundam autem minor. Sint igitur deſcripti circuli periferia quæ r, b, b, &
a, b, ad K, recta ducantur, & copulentur quæ b, K, b, e, l, æquales facientes
angulos. Deſcribatur autem, & centro K, periferia quidem quæ x, o, p, in
plano & in bumido partes itaque bumidi, quæ ſecundum x, o, p, periferiã
ex æquo ſunt poſitæ cõtinue inuicem premuntur quæ quidem ſecundũ x, o,
5[Figure 5] periferia p, o, b, e, humido quæ ſecundum 2, b, locum quæ autemſecundum
periferiam o, p, humido quod ſecundum b, e, locum æqualiter igitur premũ
tur partes bumidi, quod ſecundum periferiam x, o, ei quæſecundum o, p.
Quare non expelletur minus preſſa a magis preſſis. Non ettam ergo con-
ſtare fecimus aliquod humidum. Supponebatur autem constans ita ut ma-
neret non motum neceſſarium, ergo linea a, b, g, d, eſt circuli periferiam, et
centrum ipſius K. Similiter autem demonſtrabitur, & ſuperficies humidi
plano ſecta fuerit per centrum terræ, quòd ſectio erit circuliperiferia, &
10DEINSID ENTIBVS AQVAE centrum ipſius erit quòd & terræ centrum. Palàm igitur quòd ſuperficies
bumidi conſtantis non motibabet figuram ſpbæræ habentis centrum idem
cum terra quaniam talis est, ut ſecta per idem ſignum ſectionem faciat cir-
culi periferiam habentis ſignum per quod ſecatur plano.
Theorema iij. Propoſitio iij.
Solidarum magnitudinum quæ ęqualis molis & ęqualis pon
deris cum humido dimiſſe in humidum demergentur ita ut ſu
perficiem humidi non excedant nihil & non adhuc referentur
ad inferius.
DEmonstratur enim aliqua magnitudo æque grauium cum bumido
in bumidum, & ſi poſſibile eſt excedat ipſa ſuperſiciem humidi conſi
ſtat autem bumidum ut maneat immotum. Intelligatur autem ali-
quod planum eductum per centrum terræ, & humidi, & per ſolidam ma-
gnitudinem. Sectio autem ſit ſuperficiei quidem bumidi quæ a, b, g, d. Solide
autem magnitudines quæ e, z, b, t, inſidentia centrum autem terræ. Sint au
tem ſolidæ quidem magnitudinis quod quidem b, g, b, t, in bumido quod au
tem b, e, z, g extra intelligatur, & ſolida figura cõpreſſa pyramide baſſem
quidem babentem par alelogrommum, quod in ſuperficie bumidi, uerticem
autem centrum terræ ſectio autem ſit plani in quo est quæ a, b, g, d, perife-
ria, & planorum pyramidis quæ K, l, K, m, deſcribatur autem quędam al-
terius ſphæræ, ſuperficies circa centrum K, in bumido ſub e, z, b, t, quæ x, o,
p, ſecetur hoc a ſuperficie plani. Sumatur autem, & qnædam alia pyramis
æqualis, & ſimilis comprebendenti ſolidim continua ipſi ſectio autem ſit
planorum ipſius quæ K, m, K, n, & in bumido intelligatur quædam magni-
6[Figure 6] tudo bumido aſſumpta quæ r, s, e, y, æqualis, & ſimilis ſolidæ,
114LIBER I. b, h, e, g, quod eſt ipſius in humido partes autem humidi quæ ſ, in prima py-
ramide ſub ſuperficie in qua eſt quæ x, o, & quæ in altera in qua quæ p, o,
ex quo ſunt poſitæ, & non coutinuæ. Similiter autem premuntur quæ qui-
dem etiam ſesundum x, o, premitur a ſolidot, h, e, r, & humido intermedio
ſuperfi ie quæ ſecundum x, o, l, m, & planorum pyramidis quæ autem ſe-
cundum p, o, ſolido r, ſ, c, y, & humido intermedio ſuperficierum quæ ſecun-
dum p, o, m, n, & planorum pyramidis minor autem erit grauitas humidi
quod ſecundum m, n, o, p, eo quòd ſecunduml, m, x, o. Quod. n. ſecundum r,
s, c, y, eſt minus ſolido e, z, h, t, ipſius enim ei quod ſecundum h, b, g, t, eſt æ-
quale quia magnitudine æ quale, & æque graue ſupponitur ſolidum cũ hu-
mido reliquum autem reliquo inæquale eſt. Palam igitur quia expelletur
pars quæ ſecundum periferiam o, p, ab ea quæ ſecundum periferiam o, x, &
non erit humidum non motum Supponitur autem non motum exiſtens. nõ
ergo excedet ſuperficiem humidi aliquid ſolidæ magnitudinis Demerſum
autem ſolidum non fertur ad inferiora. Similiter enim prementur omnes
partes humidi ex quo poſitæ quia ſolidum eſt æque graue.
Theorema iiij. Propoſitio iiij.
Solidarum magnitudinum quęcunque leuior fuerit humidi
miſſa in humidum non demergetur, tota ſed erit aliquid ip-
ſius extra ſuperſiciem humidi.
F It enim ſolida magnitudo leuior humido, & dimiſſa in humidum. de-
mergatur tota ſi poſſibile eſt, & nihil ipſius ſit extra ſuperficiem hu-
midi, Conſiſtat autem humidum ita, ut maneat non motum. Intelliga
tur etiam aliqu pl danum eductum per centrum terræ, & per humidum,
7[Figure 7]& per ſolidamw agnitudmum. Secetur autem a plano hoc ſuperficies qui-
dem humidi ſecundum ſuperficiem a, b, g, d. Solida autem magnitudo per
12DE IN SIDENTIBVS AQV AE guram in r. Centrum autem terræ ſit K. Intelligatur autem quædam pyra-
mis comprendens figuram r, ſecundum quod & prius uerticem habens ſi-
gnum K. Secentur autem ipſius plana aſuperficie plani a, b, g, ſecundum a,
K, K, b. Accipiatur autem, & aliqua alia pyramis æqualis, & ſimilis huic.
Secentur autem ipſius plana a plano a, b, g, ſecundum K, b, K, g, deſcribatur
autem & quædam alterius ſphæræ ſuperficies in humido circa centrum K.
Sub ſolida autem magnitudine ſecetur ipſa ab eodem plano ſecundũ x, o, p.
Intelligatur autem, & magnitudo abſumpta ab humido quæ ſecundumh,
in poſteriori pyramide æqualis ſolidæ quæ ſecundum r, partes aũt humidi,
quòd in prima pyramide quæ ſub ſuperficiebus, quæ ſecundum ſuperficiem
x, o, & quod in ſecunda quæ ſub ſuperficiebus quę ſuperficie o p, ex quo ſunt
poſitæ, & continuæ inuicem non ſimiliter autem premuntur quæ quidẽ in
prima pyramide premitur a ſolida magnitudine, quæ ſecundumr, & ab hu
mido continente ipſas, & exiſtente in loco pyramidis, quæ ſecundum a, b, o,
x. Quæ autem in altera pyramide præmittitur ab humido continent ipſam
exiſtente in loco pyramidis qui ſecundum p, o, b, g, eſt autem, & grauitas
quæ ſccundum r, minor grauitate humidi, quod ſecundum h, quoniam ma-
gnitudinem quidem eſt æqualis. Solida autem magnitudo ſupponitur eß le
uior humido humidi continentis magnitudines r, b, eritq́ pyramidum æ-
qualis. Magis igitur premitur pars humidi quòd ſub ſuperficiebus, quæſe-
cundum periferiam o, p, expellet ergo quod minus premitur, & non manet
humidum non motum. Supponebatur autem non motum n n ergo demerge
tur tota, ſed erit aliquid ipſius extra ſuperficiem humidi.
Theorema v. Propoſitio v.
Solidarum magnitudinum quæcunque fuerit leuior dimiſſa
in humidũ in tanto demergetur ut tanta moles humidi quan-
ta eſt moles demerſæ habeat æ qualem grauitatem cumtota ma
gnitudine.
D Iſponantur autem eandem prioribus, & ſit humidum nou motum.
Sit autem ma nitudo e, z, b, t, leuior humido. Siigitur humidum eſt
non motum ſimiliter prementur partes ipſius ex æquo poſitæ, ſimi-
liter ergo premetur humidum quodſub ſuperficiebus, quæ ſecundum perife
rias x, o, & p, o. Quare æqualis eſt grauitas quæ premitur. eſt autem, &
bumidi grauitas, quod in prima pyramide ſine b, h, t, g, ſolido æqualis graui
tati bumidi, quod in altera pyramide ſiue r, s, c, y, humido palam igitur, ꝙ
grauitas magnitudinis e, Z, h, t, eſt æqualis grauitati humidir, s, c, y. Mani
feſtum igitur quòd tanta moles humidi quanta eſt demerſa pars ſolidæ ma
gnitudinis habet grauitatem æqualem toti magnitudini.
135LIBER I. 8[Figure 8]
Theorema vj. Propoſitio vj.
Solida leuiora humido ui preſſa in humidum ſurrexi feruntur
tanta ui ad ſuperius, quanto humidum habens molẽ æqualem cũ
magnitudine eſt grauius magnitudine.
S It enim magnitudo a, leuior humido. Sit autem magnitudinis, quidem
in qua a, grauitas b, humidi autem habentis molẽ æqualem cum a, gra-
uitas b, g, demonſtrandum, quod magnitudo a, ubi preſſa in humidum
refertur ad ſuperius tanta ui quanta est, grauitas g. Accipiatur enim quæ
dam magnitudo, in qua d, habens grauitatem æqualem ipſi g. Magnitudo
autem ex utriſque magnitudinibus in quibus a, d, in eadem compoſita eſt le
9[Figure 9] uior humido, eſt enim magnitudinis quidem ex utriuſque, grauitas autem
humidi habentis molẽ æqualem cum a, grauitas eſt b, g, dimittatur igitur
in bumidem magnitudo ex utriſque a, d, compoſita ad tantum demergetur
donec tanta moles humidi, quantum eſt demerſum magnitudinis habeat
grauitatem æqualem cum tota magnitudine, demonſtratum eſt hoc. Sit
14DE INSIDENTIBVS AQV AE tem ſuperficies quædam humidi alicuius quæ a, b, g, d, periferia. Quoniam
igitur tanta mole shumidi. quanta eſt magnitudo a, habet grauitatem æqua-
lem cum magnitudinibus a, d, palam quod demerſum ipſius erit magnitudo
a, reliquum' autem in quo d, erit totum deſuper ſupra ſuperficiem humidi. Si
enim. Palàm igitur quòd quanta uimagnitudo a, refertur ad ſuperius tan-
ta ab eo quod ſupraſ, d, premitur ad inferius quoniam neutra a neutra ex-
pellitur, ſed d, ad deorſum premit tanta grauitate quanta eſt g, ſupponeba-
tur enim grauitas eius, in quo g, d, eſſe æqualem ipſi g, palàm igitur quod
oportebat demonſtrare.
Theorema vij. Propoſitio vij.
Grauiora humido demiſſa in humidum ferrentur deorſum
donec deſcendant, & erunt leuiora in humido tantum, quantum
habet grauitas humidi habentis tantam molẽ, quanta eſt moles
ſolidæ magnitudinis.
QVod quidem feretur in deorſum donec deſcendat, palàm partes e-
nim humidi, quæ ſubipſius premuntur magis, quæ partes ex quo ipſas
iacentes, quoniam ſolida magnitudo ſupponitur grauior humido.
Quod autem leuiora erunt, ut dictum est, demostrabitur. Sit enim aliqua ma
gnitudo, quæ a, quæ grauior humido, grauitas autem magnitudinis, quidem
in qua a, ſitq́ b, g, humidi autem habentis molẽ æqualem ipſi a, grauitas
b, demonſtrandum, quòd magnitudo a, in humido exiſtens habebit grauita-
tem æqualem ipſig, accipiatur enim aliqua alia magnitudo in quad, leuior
humido moli æqualis cum ipſo. Sit autcm magnitudinis quidem in quad, gra
uitas æqualis grauitatib, humidi autem habentis molẽ ęqualẽ magnitudini
d, grauitas ſit æqualis grauitatib, g. Compoſiti, autem
10[Figure 10] magnitudmibus in quibus, a, d, magnitudo ſimul utra-
rumq́ erit ęque grauis humido, grauitas enim magnitu-
dinum ſimul utrarumq; est æqualis ambabus grauitati
bus, ſcilicet b, g, & b, grauitas humidi buius habentis
molẽ æqualem ambabus magnitudinibus, eſt æqualis eiſ-
dem grauitatibus. Dimißis igitur magnitudinibus, &
proiectis in humidum æquerepentes erunt humido &
nec ad ſurſum ferentur, neque ad deorſum: quoniam
magnitudo quidem in qua a, exiſtens grauior humido
feretur ad deorſum, & tanta uia magnitudine in qua
d, retrabitur. Magnitudo autem, in qua d, quoniam eſt
leuior humido, eleuabitur ſurſum tanta ui quanta eſt grauitas g.
156LIBER I. ſiratum eſt enim quòd magnitudines ſolidæ leuioris humido impreſſæ in bn
midum tanta ui referuntur ad ſurſum quanto humidum æque molis cum
magnitudine eſt grauius magnitudine. Eſt autem humidum habens molem
æqualem cum d. Palàm igitur quòd magnitudo in qua, a, fertur in deor-
ſum tanta grauitate quanta eſt g.
Suppoſitio ſecunda.
Supponatur eorum quæ in humido ſurſum feruntur vnum-
quodque ſurſum feri ſecundum perpendicularem quę per cen
trum grauitatis ipſorum produccitur.
Theorema viij. Propoſitio viij.
Si aliqua ſolida magnitudo habens figuram portionis ſphæ-
ræ in humidum demittatur ita ut baſis portionis nõ tangat hu-
midum figura inſidebit recta ita, ut axis portionis ſecundum
perpendicularem ſit. & ſi ab aliquo trahitur figura ita, ut ba-
ſis portionis tangat humidum, non manet declinata ſecun-
dum dimittatur, ſed recta reſtituatur.
E T igitur ſi figura leuior exiſtens humido dimittatur in humidum ita
ut baſis ipſius tota ſit in humido figura inſidebit recta ita ut axis ip-
ſius ſit ſecundum perpendicularem. Intelligatur enim aliqua ma-
gnitudo qualis dicta eſt in humidum demiſſa intelligatur etiam & planum
productum per axem portionis & per centrum terræ. Sectio autem ſit ſu-
11[Figure 11] perficiei quidem humidi quæ a, b, g, d, periferia, figuræ autem e, z, b,
periferia & quæ a, b, recta axis autem portionis ſitq́ue z, t. Siigitur
16DE INSIDENTIBVS AQVAE poſſibile non ſecundum perpendicularem ſit quæ z, t. Demenſtrandum igi-
tur quòd non manet figura ſecundum in rectum ſtatuetur, eſt autem cen-
trum ſpbæræ uſquez, t. Rurſum enim ſit ſigura maior emiſperio, & ſit
12[Figure 12] centrum ſpbæræ uſque ad emiſperium ſcilicet t, in minori autem p, in maio
ri autem K, per K autem, & per centrum terræ l. ducatur k l. figura au
tem extra bumidum aſſumpta a ſuperficie bumidi axem babet in perpen-
diculari quæ per k, propter eandem prioribus eſt centrum grauitatis ipſius
in linean, k. Sit enim r, totius autem portionis centrum grauitatis eſt in
linea z, t, inter k, & z, & ſit c. Reliquæ ergo figur æ eius quæ in bumido
centrum erit in recta c, r, inducta & aſſumpta quæ babebit ad c, r, ean-
dem proportionem quam babet grauitas portionis quæ extra bumidum ad
grauitatem figuræ quæ in bumido. Sit autem o, centrum dictæfiguræ, &
per o, perpendiculari feretur igitur grauitas portionis quidem quæ est ex-
tra bumidum ſecundum recta n, r, o, ad deorſum, figuræ autem quæ in bu
mido ſecundum rectam o, l, ad ſurſum non manet igitur figura ſed partes
quidem figuræ quæ uerſus b, ferrentur ad deorſum. Quæ autem uerſus e,
adſurſum & ſuper boc erit donec quęz, t, ſecundum perpẽdicularem fiat.
13[Figure 13] 14[Figure 14]Explicit de Inſidentibus Aquæ Liber Primus.
17
AR CHIM EDIS
DE INSIDENTIBVS
AQV AE.
15[Figure 15]
LIBER SECVNDVS.
TROIANO CVRTIO
VENETIIS,
APVD TROIANVM CVRTIVM.
M D L X V
18
[Empty page]
192
FABRITIO DENORES
FILIO IACOBI COMITIS
TRIPOLIS
CVRTIVS TROIANVS S. P. D.
SI omni laude digni habiti ſunt
magniuiri, qui omne ſuum ſtu-
dium in id contulerunt, ut cæte-
ris hominibus quàm maxime pro
deſſe poſſent; in magnum dede-
cus incurrent omnes, qui illo-
rum opera aut occultant, aut, ut in publicum pro-
deant, nullam curam afferunt. Cum uero labores
maximi illi quidem Nicolai Tartaleæ quotidie ma-
gis, ac magis cognoſcantur profuiſſe literatis uiris;
non modica uidebor ego dignus reprehenſione, qui
reliquias habui eiuſdem laborum, & uigiliarum, ni
illas quoque in medium proferam, & communi uti-
litati conſulã. Quare cũ habeam adhuc apud me Ar
chimedem de inſidentibus aquæ ab ipſo Nicolao in
lucem reuocatum, & quantum ab ipſo fieri potuit,
ab erroribus librarij emendatum, & ſuis locubratio=
nibus illuſtratum; uideor fraudare omnes literatos
ſua poſſeſsione, niomnia, quæ huius
20 uiriapud me reſtant, in lucem emiſero, & omnibus
ea communicauero. Ac cum nouerim te cum om-
nibus rectiſsimis ſtudijs mirifice deditum, tum to-
tum ad imitationem tuorum maiorum, & ad rem
gerendam inflammatum, putaui hoc opus tibi, &
tui ſimilibus, qui in diſciplinis uerſantur, & res ma-
gnas gerunt, fore peropportunûm. nec uero meæ fa-
cultatis eſt, nec breuitas huius ſcriptionis poſtulat, ut
de te, ac de tuis maioribus ego nunc plura dicam.
nam ſirepeterem clariſsimos uiros, qui literis, & ar-
mis in tua familia floruerunt, eorumq́ue res geſtas
enarrarem, atque quibus rebus tu, & optimus, ac cla
riſsimus pater tuus eorum gloriam adaugetis; lon-
ge maius opus mihi extaret, quàm eſſet hic paruus li
bellus, & quamq́ue ego poſſem perficere. Itaque
hæc alijs, qui poſſunt, relinquens, & in aliud tem-
pus differens, ut nonullum per me adiumentum ad-
datur tibi, & cæteris, qui rerum naturam contem-
plantur, & ijs artibus ſtudent, quibus res maximæ
gerunt; hoc opus in tuo nomine peruulgari, atque e-
diuolui. ut noſcant omnes, dum ſtudeo piodeſſe com
muni utilitati, ſeparatim tamen pro mea in te ob-
ſeruantia uoluiſſe tuis ſtudijs, & magnitudini ani-
mi inſeruire.
213ARCHIMEDIS DE
INSIDENTIBVS
AQV AE. LIB. II.
PRIMVS.
SI a liqua magnitudo exiſtens leuior humi-
do, dimittatur in humidum; hanc habebit
proportionem in grauitate ad humidum
mobilis æqualis ſibi, quam habct demerſa
magnitudo ad totam magnitudinem.
_D_Emittatur enim in bumidum aliqua magnitu-
16[Figure 16] do ſolida, quàm ſit f, a, leuior bumido. Sit au-
tem quod quidem demerſum ipſum a, quod au-
tem extra humidum f, demonſtrandum quòd magni-
tudo f, a, ad humidum æqualis molis in grauitate, hanc
babet proportionem; quama, ad f, a. Accipiatur enim
aliqua humida magnitudo quàm ſit n, i, molis æqualis
cum f, a, & ipſi quidem f, ſit æqualen, ipſi autem a, i,
& adbuc grauitas quidem magnitudinis f, a, ſit b, ip-
ſius autem n, i, quær, o, ipſius autem, ir, magnitudo igi
turf, a, ad n, i, hanc habet proportionem quam graui-
tas b, ad grauit atem r, o, ſed quoniam magnitudof, a,
in humidum dimiſſa eſt leuior exiſtens bumido. Palam
quòd demeræſ magnitudinis moles humidi babet gra-
uitatem: æqualem cum magnitudine f, a, demonſtra-
tum eſt enim boc, & quoniam quod ſecundum a, humi-
dum est i, ipſius autemi, grauitas eſtr, ipſius autem f,
a, grauitas eſt b, grauitas b, quæ eſt babentis
17[Figure 17] æqualitate mole totius magnitudinis f, a, eſt
aqualis grauitati humidi i, ſcilicet ipſi r, &
quoniam eſt, ut magnitudo f, a, ad humidum
quod ſecundum ipſam ſcilicet n, i, itab, o, ad
r, o, æquale autem eſt b, ipſt r, ut autemr, ad
ro, ita i, ad n, i, & a, adf, a, ut ergof, a, ad
22DE INS IDENTIBVS AQV AE18[Figure 18] midum quod ſecundum ipſa in grauitate ma
gnitudo a, ad f, a, factum eſt æquale demer-
ſæ magnitudinis, ſcilicet a, habet ergo magni
tudo f, a, in grauitate ad n, i, ita b, ad r, o.
Quam autem proportionem habet r, ad r, o,
hanc habet proportionem adr,
& a, ad f, a, _demonstratum_ eſt enim.
SECVNDVS.
Recta portio rectanguli conoidalis quando axem habue-
rit maiorem, quàm emiolium eius, quæ uſque axem omnem
proportionem habens ad humidum in grauitate dimiſia in
humido ita, ut baſis ipſius non tangat humidum, poſita incli
nata non manet inclin ata, ſed reſtituetur recta.
19[Figure 19]
_R_Ectam dico conſiſtere talem portionem, quando quod ſecuit ip-
ſam fuerit æquidistanter ſuperficiei humidi. Sit portio rectanguli
conoidalis, qualis dicta est: & iaceat inclinata, demonstrandum
quòd non manet, ſed reſtituetur recta. Secta autem ipſa plano per axem
recte ad planum, quod in ſuperficie humidi portionis ſectio ſitq́ue apol.
rectanguli coni fectio, axis autem pertionis, & diameter ſestionis quæn,
o. Superficiei autem hnmidi, quàm K. Siigitur portio non eſt recta, non
ntique erit quæ a, l, æquidiſtans ipſi i, s, K. Quare non faciet angulum
rectum quæ n, o, ad i, s, ducatur ergo quæ K, ***, contingens ſectionem
coni penes, p.
234LBERI II. 20[Figure 20]
TERTIVS.
Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habue
rit maiorem, quam emiolium eius, quæ uſq; ad axem omnẽ
proportionem habens ad humidum in grauitate dimiſſa in
humido ita, ut baſis ipſius tota ſit in humido poſita inclina-
ta: non manet in clinata, ſed reſtituetur ita, ut axis ipfius ſe-
cundum perpendicularem ſit.
_D_Imittatur enim aliqua portio in humidum æqualis dicta eſt: &
ſit ipſius baſis in humido. Secta autem plano per axem recto ad
ſuperficiem humidi ſectio ſit quę apol. rectanguli coni ſectio a-
xis autem portionis, & dyameter ſectio m, ſ, quæ p, f, ſuperficiei autem
humidi ſectio ſitq́ue i, ſ, & ſi inclinata iacet portio non erit ſecundum
perpendicularem axis, non ergo faciet quæ p, f, angulos æquales ad i,s,
ducatur autem quædam quæ K, ***, æquediſtanter ipſi i, s, contingens ſe-
ctionem apol penes o, & ſolidæ quidem magnitudinis apol centrum
grauitatis ſit r, ipſius autem i, p, o, s, ſolidi centrum b, & eopulata, quæ
b, r, educatur, & centrum grauitatis reliquæ figuræ ſcilicet i, s, l, a, ſit g.
Similiter demonſtrabitur angulus quidem qui ſubr, ***, K, acutus per-
pendicularis quæ a, b, r, t, r, ad K, o, producitur cadens inter K, & o, ſitq́
r, t. Si autem ab ipſis g, b, ducantur æquedistanter ipſir, t, quod quidem
in humido abſum ptum ferret ſurſum ſecundum productam per g. Quod
autem extra humidum ſecundum producta per b, feretur deorſum, &
non manet ſolidum. apol ſic ſe habens in humido, ſed quod quidem ſe-
cundum a, habcbit lationem ſurſum. Quod autem ſecundum l, deorſum
donec fiat, quæp, f, ſecundum perpendicularem.
24DE INSIDENTIBVS AQV AE
QVARTVS.
Recta portio rectanguli conoydalis quando fuerit leuior
humido, & axẽ habuerit maiorem, quàm emiolium eius, quę
uſque ad axem: ſi in grauitate ad humidum æque molis non
minorem proportionem habeat illa. quàm habet tetragonũ
quod ab exceſſu, quo maior eſt axis, quàm emiolius eius, quę
uſque ad axem dimiſſa in humido ita ut baſis ipſius non tan-
gat humidum poſita, inclinata, non manet inclinata, ſed re-
ſtituetur in rectum.
_E_Sto portio rectangula conoydalis, qualis dicta est: & dimiſſa in
bumidum, ſi eſt poſſibile, ſit nõ recta, ſed ſit inclinata. Secta autem
ipſa per axem plano recto ad ſnperficiem humidi, portionis quidẽ
ſectio ſit rectanguli coni: ſectio quæ apol. axis autem portionis, & dyæ
meter, quæn, o, ſuperficiei autem humidi ſectio ſit i, s. Siigitur portio non
eſt recta, non faciet quæ n, o, ad is angulos æquales: ducatur autẽ quæ
K, ***, contingens ſectionem rectanguli coni penes, p, æquidiſtans autem
ipſi i s. A, p, autem æquedistanter ipſi o, n, ducaturq́ue p, f, & accipian
tur contra grauitum, & erit ſolidi quidem apol. centrumr, eius autem
quod inter humidum centrum b, & copuletur g, t, r, & educatur ad g,
& ſit ſolidi, quod ſupra humidi centrum grauitatis g, & quoniam quæ
n, o, ipſius quidem r, o, eſt emiolia eius autem, quæ uſque ad axem eſt ma
ior, quàm emiolia, palam quòd quær, o, eſt maior, quàm quæ uſque ad a-
xem. Sit igitur quæ r, m, æqualis ei, quæ uſque ad axem, quæ autem o,
n, dupla ipſius r, m. Quoniam igitur ſit quæ quidem n, o, ipſius r, o, emio-
lia, quæ autem m, o, ipſius o, b, & reliqua, quæm, n, reliqua ſcilicet r, b,
æmiolia eſt ipſi m, o, eſt maior, quàm emiolius eſt axis eius, quæ uſque ad
axem, ſcilicet r, m, & quoniam ſupponebatur portio ad humidum in gra
uitate non minuerem proportionem habens illa, quam habet tetragonũ
quod ab exceſſu, quo. axis eſt maior, quàm æmiolius eius, quæ uſq; ad a-
xem ad tetragonum quod ab axe. palam quòd non minorem proportio
nem babet portio ad humidum in grauitate illa proportionem quam ha
bet tetragonum, quod ab m, o, ad id, quod ab n, o. Q uam autem propor-
tìonem habet portio ad humidum in grauitate, hanc habet demerſa ip-
ſius portio adtotam ſolidam portionem, demonſtratum eſt enim hoc, ſed
quam habet proportionem demerſa, proportio adtotam hanc habet te-
iragonum quod _Demonstratum_ eſt enim in ijs
quæ de conoydalibus quòd ſi a rectangulo conoydaliduæ portiones
255LIBER II. litercunque productis planis abſcindantur portiones adinuicem eandens
habebunt proportionem quam tetragona quæ ab axibus ipſorum
non minorem ergo proportionem: habet tetragonum quòd a, p, f,
ad tetragonum quod a, b, n, o, quam tetragonum quòd ab m, o, ad tetra-
gonum quod ab n, o, quare quæ p, f, non _est_ minor quàm m, o, neque quæ
b, p, quàm n, o. Si igitur ab m, ipſi n, o, recta ducatur, cadent intrab, & p.
Quoniam igitur quæ quidem p, f, eſt æquediſtanter dyametro quæ au-
tem m, t, eſt perpendicularis ad dyametrum, & quæ r, m, æqualis ei quæ
uſque ad axem a, b, r, ad t, copulata, & educta facit angulos rectos ad
contingentem ſecundum p. Quare & ad i, s. & ad eam quæper i, s. ſu-
perficiem humidi faciet æquales angulos, ſi autem per b, g, ipſi r, t, æque-
diſtantes ducantur anguli recti erunt facti ad, ſuperficiem humidi, &
quod quidem in humido aſſumitur ſolidum conoydalis ſurſum fertur ſe-
cundum ea, quæ per b, æquediſtantem ipſir, t, quod autem extra humi-
dum aſſumpta deorſum fertur in humidum ſecundum productam per g,
æquediſtantem ipſir, t, & per totum idem erit, donec utique conoydale
rectum reſti tuatur.
21[Figure 21]
QVINTVS.
Recta portio rectanguli conoydalis quando leuior exi-
ſtens humido habuerit axem maiorem, quàm emyolium e-
iusq́ue uſque ad axem ſi ad humidum in grauitate non ma-
iorem proportionem habeat illa, quam habet exceſſus, quo
maius eſt tetragonam quod ab axe tetragono quod ab ex-
ceſſu quo axis eſt maior, quàm emyolius eius, quæ uſque ad
axem ad tetragonum quod ab axe dimiſſa in humidum
26DE INSIDENTIBVS AQV AE ut baſis ipſius tota ſit in humido poſita, inclinata, non manet
inclinata, ſed reſtituetur ita ut axis ipſius ſecundum perpen
dicularem ſit.
_D_Emittatur enim in humidum aliqua portio qualis dicta eſt, & ſit
baſis ipſius tota in bumido. Secta autem ipſa plano per axem re-
cto ad ſuperficiem humidi erit ſectio rectanguli, coni ſectio, & ſit
quæ apol, axis autem, & dyameter ſectionis quàm n, o, ſuperficiei autem
bumidi ſectio, quæ i, s, & quoniam non eſt axis ſecundum perpendicula-
rem non faciet, quæ n, o, ad i, s, angulos æquales: ducatur autem quæ K,
***, contingens ſectionem apol ſecundum p, æquidiſtans ipſi i, s, & per
p, ipſi n, o, æquediſtans quæ p, f, & accipiantur centra grauitatem: &
ſit ipſius quidem apol. centrum r. eius autem quod extra humidum b,
& copulata quæ b, r, educatur ad g, & ſit g, centrum grauitatis ſolidi
aſſumpti in humido : & accipiatur quæ r, m, æqualis ei quæ uſque ad
axe Quæ autem o, h, dupla ipſius h, m, & alia fiant conſimili-
ter ſuperiori. Quoniam igitur ſupponitur portio ad humidum in graui-
tate non maiorem proportionem habens proportione, quam habet exceſ
ſus, quo maius eſt tetragonũ, quod ab n, o, tetragono, quod ab m, o, tetra
gonum, quod ab n, o, ſed quam proportionem habet in grauitate porti***
22[Figure 22] ad humidum æqualis molis, hanc proportionẽ habet demerſa ipſius por
tio ad totum ſolidum : demonstratum est enim hoc in primo theorema-
te. Non maiorem ergo proportionem habet demerſa magnitudo por-
tionis ad totam portionem, quàm ſit dicta portio. Quare non maiorem
proportionem habet tota portio ad eam, quæ e xtra humidum proportio
nem, quam habet tetragonũ, quod ab n, o, ad tetragonum, quod ab m, t,
habet autem tota portio ad portionem, quàm extra bumidum
276LIBER II. proportionem quam habet tetragonum, quod ab n, o, ad id quod a, p, f,
non maiorem ergo proportionem habet, quæ ab n, o, ad id a, p, f, quàm
quòd ab n, o, ad id, quod ab m, o, non minor ergo fit, quæ p, f, quàm quæ
o, m, quare nec quæ p, b, quàm n, o. Quæ ergo ab m, producitur ipſi r, o,
æquidiſtans concidet ipſi b, p, intra p, & b, concidat ſecundum t, & quo
niam in rectanguli coni, Sectione quæ p, f, eſt æquidiſtanter dyametto r,
o. Quæ autem n, t, perpendicularis ſuper dyametrum, quæ autem r, m,
æqualis ei quæ uſque ad axem. Palam quòd quæ r, t, educta facit angu-
los rectos ad K, p, ***, quare & ad i, s. Quæ ergo r, t, eſt perpendicula-
ris ad ſuperficiem humidi, & per ſigna b, g, æquediſtanter ipſi r, t, produ
ctæ erunt perpendiculares ad ſuperficiem bumidi: quæ quidem igitur ex
tra humidum portio deorſum ferretur in humidum ſecundum producta
per b, perpendicularem. Quæ autem intra humidum ſurſum ferretur ſe
cundum perpendicularem, quæ per g, & non manet ſolida portio apol.
ſed intra humidum erit in motum, donec utique quæ n, o, fiat ſecundum
perpendicularem.
SEXTVS.
Recta portio rectanguli conoydalis quando humido le-
uior exiſtens axem habuerit maiorem quidem quam hemio
lium minorem autem quam ut habet hãc proportionem ad
eam, quæ uſque ad axem quam habent quindecim ad quat-
tuor dimiſſa in humidum ita, ut baſis ipſius contingat humi-
dum, nunquam ſtabit inclinata ita, ut baſis ipſius ſecundum
vnum ſignum conting at humidum
_S_It portio qualis dicta eſt, & dimiſſa in humidum conſiſtat, ſicut ſtẽ
ſum eſt : ita ut baſis ipſius ſecundum vnum ſignum contingat hu-
midum. Secta autem ipſa per axem plano recto ad ſuperficiem hu
midi: ſectio ſuperficiei portionis ſit, quæ apol. rectanguli coni ſectio : ſu
perficiei autem humidi quæ a, s, axis autem portionis, & dyameter ſit
quæ n, o, & ſecetur ſecundum f, quidem ita quæ o, f, ſit quæ dupla ipſius
f, n, ſecundum ***, autem ita, ut quæ n, o, ad f, ***, habe at proportionem
quam quindecim ad quattuor, & ipſi n, o, adducatur quæ ***, K. Quæ
autem n, o, maiorem proportionẽ habet ad f, ***, quàm ad ea, ꝗ̃ uſq; ad
axem. Sit quæ f, b, æqualis ei, quæ uſque ad axem, & ducatur quæ qui-
dem p, c, æquediſtanter ipſi a s contingens, ſectionem. apol. ſecundum p.
Quæ autem p, i, æquediſtanter ipſi n, o, Secet autem quæ p, i, prius ipſam
K, ***. Quoniam igitur in portione apol contenta a recta, &
28DE INSIDENTIBVS AQV AE rectanguli coni quæ quidem K, h, æquediſtanter ipſi a, l, quo autem p, i,
æquediſtanter dy imetro ſecta ipſa K, ***. Quæ autem a s, æquediſtanter
contingenti ſecundum p. neceſſarium eſt ipſam p, i, autem
eandem proportionem habere ad p, h, quam habet quæ n, ***, ad ***, o,
maiorem proportionem demonſtratum eſt enim hoc perſumpta. Quæ au
tem ***, h, _est_ æmyolia ipſius ***, o, & quæ i, h. Ergo aut æmyolia eſt ip-
ſius h, p, aut maior quàm æmyolia quæ ergo p, h, ipſius h, i, aut dupla _est_,
aut minor quàm dupla. Sit autem quæ p, t, ipſius t, i, dupla. Centrum er
go grauitatis eius quod in humido _est_ ſignum t, & copulata quæ t, f, edu
catur, & ſit centrum grauitatis eius quòd extra humidum g, & a, b, ip
ſi n, o, recta quę b, r. Quoniam igitur est quæ quidem p, i, æ quedistanter
dyametro n, o, quæ autem b, r, perpendicularis ſuper dyametrum. Quæ
autem f, b, æqualis ei quæ uſque ad axem palam quòd quę t, r, educta
æquales angulos ad contingentem ſectionem apol. ſecundum p, quare
& ad a, s, & ad ſuperficiem aquæ ductis autem per t, g, ęquediſtanter ip
ſif, b, erunt & ipſe perpendiculares ad ſuperficiem aquæ, & magnitudo
23[Figure 23]
297LIBER II. quidem inter humidum aſſumpta ex ſolido apol ſurſum ferretur ſecun-
dum eam quæ per t, perpendicularem. Quæ autem extra humidum de-
orſum ferret in humidum ſecundum eam, quæ per g, perpendicularem.
Reuoluetur ergo ſolidum apol. & baſis ipſius non tanget ſuperficiem
bumidi ſecundum vnum ſignum. Si autem quæ p, i, non ſecuerit lineam
K, ***, ſicut in ſolida ſigura deſcriptum eſt. Manifestum quod ſignum t,
quod eſt centrum grauitatis demerſę portionis cadet inter p, & i, & re-
liqua ſimiliter demonſtrabuntur.
SEPTIMVS.
Recta portio rectanguli conoy dalis quando humido le-
uior fuerit, & axem habuerit maiorem quidem quàm æmyo
lium eiusq́ uſque ad axem minorem, aut ut proportionem
habeat ad eam, quæ uſque ad axem quàm quindecim ad quat
tuor dimiſſa in humidum, ita ut baſis ipſius tota ſit in humi-
do, nunquam ſtabit ita ut baſis ipſius tangat ſuperficiem hu-
midi, ſed ut tota ſit in humido, necſecundum vnum ſignum
tangens ſuperficiem.
_S_It portio qualis dicta eſt, & _dimißa in humidum, ſicut dictum eſt cõ
ſiſt at ita ut baſis ipſius tangat ſuperficiem humidi, demonstrandum
quòd non manet, ſed reuoluetur ita, ut baſis ipſius tangat ſuperficiẽ
humidi non ſecundum vnum ſignum : ſecta enim ipſa plano, recta ad ſu
perficiem humidi : Sectio ſit quæ apol rectanguli coni ſectio. Sit autem
& ſuperficiei humida ſectio quæ s, a, axis autem portionis, & dyameter
quę p, f, ſit i. Rurſum autem ſecetur quæ p, f, ſecundum r, quidem ita
ut quæ r, p, ſit dupla ipſius r, f, ſecundum ***. autem ita ut quæ p, ***, ad
r, ***, proportionem habeat quam quindecim ad quattuor. & quæ ***.
24[Figure 24]
30DE INSIDENTIBVS AQVAE K, recta ducatur ſuper p, f, erit autem minor, quæ r, ***, quàm e, a, quæ
uſque ad axem. Accipiatur igitur ei quæ uſque ad axem æqũas quæ
r, h, & quæ quidem c, o, ducatur contingens ſectiones penes o, exiſtens
_æquedistans_ ipſi a, s, & quæ n, o, & _æquedistans_ ipſi p, f. Secet autem
quæ n, o, ipſam K, ***, prius ſecundum i. Conſimiliter autem præcedenti
demõſtrabitur, quòd quæn, o, aut hemiolia eſt ipſius o, i, aut maior quàm
bemiolia, ſit autẽ, quæ o, t, ipſi t, n, minor, quàm dupla. Sit igitur quæ o,
b, dupla ipſius b, n, & diſponantur tandem prioribus. Similiter igitur de
monstrabitur, quæ r, f, faciens angulos rectos ad c, o, & ad ſuperficiem
humidi, & ab ipſis b, g, productæ æquedistanter ipſi r, f, erunt perpendi
culares ſuper ſuperficiem humidi. Portio igitur, quę quidem extra hu-
midum deorſum ferretur in humidum, ſecundum eam, quæ per b, perpen
dicularem. Quæ autem inter humidum ſurſum ferretur, ſecũdum eam,
quàm per g. Maximum igitur, quod ad uoluit ſolidum ita, ut baſis ip-
ſius, necſecundum vnum contingat ſuperficiem humidi, quoniam nunc,
ſecundum vnum tangens ad deorſum, ferret ex parte a. Manifestum
autem quòd & ſi quæ n, o, non ſecuerit ***, K, eandem demonſtrabũtur.
OCTAVVS.
Recta portio rectanguli conoy dalis, quando axem habue
rit maiorem, quàm hemiolium eius, quæ uſque ad axem mi-
norem, autem ut ad eam, quæ ad axem habeat proportionẽ,
quam habet quindecim ad quatuor. Si grauis ad humidum
habeat proportionem minorem proportione, quam habet
tetragonum, quod ab ex ceſſu, quo axis eſt maior, quàm he-
miolius eius, quæ uſque ad axem ad tetragonum, quod ab
axe dimiſſa in humidum, it a ut baſis ipſius non tangat humi
dum, nec in rectum reſtituetur, nec manebit inclinata, niſi
quando axis ipſius ad ſuperficiem humidi fecerit angulum
æqualem ei qui dicendus eſt.
_S_It portio qualis dicta est : & ſit quæ b, d,@ æquales axi, & quæ qui-
dem b, K, ſit duplaipſius k, d. Quæ autem r, k, æqualis ei, quæ uſ-
que ad axem. Sit autem, & quæ quidem e, b, hemiolia ipſius b, r.
Quam autem proportionem habet portio in grauitate ad bumidum hãc
quod a, b, f, q, tetragonum ad id, quod a, d, b. Sit autem, & quæ f, dupla
ipſius q, palam, igitur quòd quæ f, g, ad ipſam d, b, proportionem habet
minorem proportione, quàm habet, quæ t, b, ad ipſam b, d, exceſſus enim
quòdg, d, eſt quo axis eſt. maior, quàm bemiolius eius, quæuſque
318LIBER II. axem. Quæ ergo f, q, erit minor ipſa b, c. Quare & quàm f, minor ipſæ
b, r. Sit autem ipſi f, æqualis, quæ r, x, & ſuper ipſa b, d, recta ducatur,
quæ x, e, quæ poſſit dimidium eius, quod ſub K, r, x, & copuletur quæ b, e,
demonſtrandum quòd portio dimißa in bumidum, vt dictum est, conſi-
ſtet inclinata ita, ut axis ad ſuperficiem bumidi faciat angulum æqualé
angulo e, b, x, demonstratur enim aliqua portio in bumidum, & baſis ip
ſius non tang at ſuperficiem bumidi. Et ſi poſſibile eſt axis ipſius ad ſu-
perficiem bumidi non faciat angulum æqualem angulo b, ſed primo ma-
iorem: ſecta autem portione per axem plano recto ad ſuperficiem bu-
midi. Sectio erit quàm apol. rectanguli coni ſectio. Superficies autem
bumidi, quæ x, s. Axis autem, & dyameter portionis, quæ n, o, duca-
tur autem, & quæ quidem p, y, æquediſtanter ipſi x, s, contingens ſectio
nem apol. ſecundum p. Quæ autem p, m, æquediſtanter ipſi n, o. Quæ au
tem p, i, perpendicularis, ſuper n, o, & quæ quidem b, r, ſit æqualis ipſi i,
***. Quæ autem r, K, ipſin, o, & quæ ***, b, rectam ſuper axem.
25[Figure 25] Quoniam igitur ſupponitur axis portionis ad ſuperficiem bumidi facere
angulum maiorem angulo b, palam quòd angulo p, i, n, angulus, qui ad
p, i, m, _est_ maior angulo b, maiorem igitur proportionem habet tetrago
num, quod a, p, i, ad tetragonum quod ab i, quàm tetra-
gonum, quod ab e, x, ad tetragonum quòd a, x, o Sed quam quidem pro-
portionem habet tetragonum, quod a, p, i, ad id, quod ab i.
hanc habet quæ K, r, ad i. Quam autem proportionem habet te
tragonum, quod ab e, x, ad tetragonum a, x, b, hanc habet medietas ip-
ſius K, r, ad x, b, maiorem ergo proportionem habet, quàm K, r, ad
i, quàm medietas ipſius k, r, ad x, b. Minor ergo eſt, quàm dupla,
32DE INSIDENTIBVS AQVAE ipſius c, d. Ipſius autem o, i, dupla eſt, quæ ***, propter ſeptimum tbeore-
ma primi libri elementorum conoycorum A pollonij. Eſt ergo quæ o, i,
minor, quàm x, b. Quare quæ i, ***, eſt maior, quàm x, r, quæ autem x, r,
eſt æqualis ipſi f, maior ergo _est_, quæ i, ***, quàm f. Et quoniam ſupponi
tur portio ad humidum iu grauitate habere per portionem, quàm tetra-
gonum, quod ab f, q, ad tetragonum, quod a, b, d. Quam autem propor-
tionem, habet proportio ad humidum in grauitate, hanc habet propor-
tionem pars ipſius demerſa ad totam portionem, quam autem pars de-
merſa ad totam hanc habet tetragonum, quod a, p, m, a tetragonum,
quod ab o, n. Quam ergo proportionem babet tetragonum, quod a, b, f, q.
ad tetragonum, quod a, b, d, hanc proportionem habet tetragonum, quod
a, b, m, b, ad tetragonum quod a, b, o, n, æqualis ergo eſt, quæ f, q, ipſi p,
m. Quæ autem p, b, demonstrata eſt eſſe maior, quàm f, palam ergo, quòd
quæ p, m, eſt minor, quàm dupla ipſius b, m. Sit igitur quæ p, Z, dupla ip
ſius Z. m, erit autem t, quidem centrum grauitatis ſolidi, eius auté, quod
intra bumidum Z. Reliquam autem magnitudinis centrum grauitatis
erit in linea Z, t. Copulata, & educta, & educatur ad g, demonſtrabitur
autem ſimiliter quæ t, b, perpendicularis exiſtens ad ſuperficiem humi-
di, & portio quidem quæ intra humidum fertur ad extra humidi, ſecun
dum perpendicularem ducta per Z, ſuperficiem humidi. Quæ autem ex-
tra humidum ferretur intra humidum, ſecundum ea, quæ per g, non ma-
net autem portio, ſecundum ſuppoſitam inclinationem, nec etiam in re-
ctum restituetur. palam enim propter hoc quoniam, quæ producuntur
per Z, g. perpendiculares. quæ quidem per Z, perducit ipſi g,
l, ad eaſdem partes cadit ad quas eſt, & ſecundum g. Quæ autem per
g, ad eaſdem ipſi Z, g. palam quòd propter prædicta Z, quidem centrũ
ſurſum ferretur: g, autem deorſum. Quare totius magnitudinis, quæ ex
parte a, deorſum ferretur, hoc antem erat inutile ad demonstrandum.
Supponatur rurſum alia quidem eadem axis autem portionis ad ſu-
perficiem humidi faciat angulum minorem eo, qui apud b, minorem au-
tem proportionem habet tetragonum, quod a, p, i, ad tetragonum, quod
ab i, ***, quàm ad a, b, x, ad id, quod a, x, b, & quæ K, r, ergo ad ***, i, mi
norem proportionem habet, quàm medietas ipſius K, r, ad x, b. Eſt ergo
quæ i, ***, maiorem quàm dupla ipſius x, b, ergo quæ ***, i, minor ipſius
autem o, i, dupla ergo ***, eſt, quæ o, i, ipſus x, b, eſt autem, & to
ta, quæ ***, t, æqualis ipſi r, b, & reliqua minor eſt, quàm ***, r, erit ergo,
& quæ p, h, minor, quàm f. Quæ autem m, p, ipſi f, q, eſt æqualis: palam
quòd p, m, eſt maior, quàm emiolia ipſius p, b, quæ autẽ p, h, minor, quàm
dupla ipſius h, m. Sit igitur, quæ p, z, ipſius z, m, dupla igitur rurſum. to
tius quidem cétrum grauitatis erit t, eius autem quod intra humidũ Z.
339LBERI II. copulata autem z, t, inuenietur centrum eius, quòd extra humidum in
educta, & ſit g. & ducatur perpendicularis ad ſuperficiem bumidi per
z, g, æquediſtanter ipſi n, o, palam igitur, quòd non manet tota portio,
ſed reuoluetur ita, ut axis ad ſuperficiem humidi faciat angulum mino-
rem, quàm illo, quem nunc facit: quoniam nec axe faciente ad humidum
angulum maiorem, quàm b, conſiſtit portio, neque minorem. Manifeſtũ
quòd tantum angulum faciente conſistet. Sic enim erit quæ i, o, æqualis
ipſi x, b, & quæ ***, ipſi x, r, & quæ p h, ipſi f, erit igitur m, h, æmyolia
ipſius p, h, quæ autem p, b, ipſi b, ***, dupla quod autem ergo
eius, quod in humido centrum grauitatis eſt. Quare ſecundum eandem
perpendicularem ſurſum ferretur, et quod extra deorſum ferretur mane
bit ergo contra pellentur enim adinuicem.
NONVS.
Recta portio rectanguli conoydalis, quando axem habue
rit maiorem quidem, quàm hemiolium eius quæ uſque ad a-
xem, minorem autem ut hanc habeat proportione, quam
habent quindecim ad quattuor: & in grauitate ad humidũ
habeat proportionem maiorem proportione, quam habet
exceſſus, quo tetragonum quod ab axe eſt maius tetragono,
quod ab exceſſu, quo axis eſt maior, quàm hemiolius eius,
quæ uſq; ad axem ad tetragonum, quod ab axe demiſſa in hu
midũ, ita ut baſis ipſius tota, ſit in humido poſita inclinata,
nec ut axis ipſius ſecundum perpendicularem ſit, necmane
bit inclina ta, niſi quã do axis ipſius ad ſuperficiem humidife
cerit angulum æqu alem accepto ſimiliter, ut prius.
26[Figure 26]
34DE INSIDENTIBVS AQVAE 27[Figure 27]
ES to portio, qualis dicta _est_, & ponatur, quæ d, b, æqualis axi por-
tionis, & quæ quidem b, k, ſit dupla ipſius K, d. Quæ autem K, r,
æqualis ei, quæ uſque ad axem, quę autem c, b, hemiolia ipſius b, r.
Quam autem proportionem habet portio ad bumidum in grauitate,
banc habeat exceſſus, quo excedit tetragonum, quod a, b, d, tetragonum
quod a, b, f, q, ad tetragonum, quod a, b, d, ſit autem quæ f, dupla ipſius q.
Palam igitur, quòd exceßus, quo excidit tetragonum, quod a, b, d, tetra-
gonum, quod a, b, c, ad tetragonum, quod a, b, d, quo axis portionis eſt ma
ior, quàm hemiolius eius, quæ uſque ad axem minor eſt in maiori ergo te
tragonum, quod a, b, d, excedit id, quod a, b, f, q, quàm tetragonum quod
a, b, d, excedat tetragonum, quod a, b, c. Quare quæ f, q, eſt minor, quàm
b, c. Ergo & quæ f, quàm b, r. Sit igitur ipſi f, æqualis, quæ r, x, & quæ x,
e, recta ducatur ſuper b, d, potens medietatem eius, quòd continetur ſub
K, r, x, b, dico quòd portio demißa in bumidũ ita, ut baſis ipſius tota ſit
in humido conſistat, ita ut axis ipſius ad ſuperficiem humidt faciat angu
lum æqualem angulo b. Demittatur quidem enim portio in humidum,
ut dictum eſt & non faciat axis ad ſuperficiem humidi angulum æqua-
lem b, ſed maiorem primo. Secta autem ipſa plano recto ad ſuperficiem
bumidi portionis ſectio ſit, quę apol. rectanguli coniſectio ſuperficiei au-
tem humidi, quæ c, i, axis autem portionis, & dyameter ſit quę n, o, &
ſit ſecta ſecundum ***, t, ut & prius ducatur autem quæ quidem y, p,
æquedistanter ipſi c, i, contingens ſectionem ſecundum p. Quæ autem m,
p, æquediſtanter ipſi n, o. Quæ uero p, s, perpendicularis ſuper axé, quo-
niam egit axis portionis ad ſuperficiem bumidi facit angulum maiorem
angulo b. Erit utique & angulus, qui ſub s, y, p, maior angulo b, tetrago
num ergo quod a, p, s, ad tetragonum quod a, b, s, y, habet proportionem
matorem, quàm tetragonum, quod a, x, e, ad tetragonum, quod a, x, b.
3510LIBER II.28[Figure 28] Ergo & quæ K, r, ad s, y, habet proportionem maiorem, quàm medietas
ipſius K, r, ad x, b, minor ergo, quæ s, y, quàm dupla ipſius x, b, & quæ s,
o, quàm x, b, minor quæ s, ***, ergo maior, quàm r, x, & quæ p, b, quam f,
& ſi portio in grauitate ad humidum habet proportionem, quam exceſ
ſus, quo tetragonum, quod a, b, d, eſt maius tetragono, quod a, b, f, q, ad te
tragonum, quod a, b, d. Quam autem proportionem habet proportio in
grauitate ad humidum, hanc proportionem habet demerſa ipſius portio
ad totam palam, eandem habebit proportionem demerſa ipſius portio ad
totam portionem, quam exceſſus, quo tetragonum, quod a, b, d, excedit
tetragonum, quod a, b, f, q, ad tetragonum, quod a, b, d, habebit igitur, &
tota portio a d, eam quæ extra humidum proportionem, quam tetrago-
num, quod a, b, d, ad id, quod a, b, f, q. Quam autem proportionem habet
tota proportio ad eam, quàm extra bumidum hanc habet, quod ab n, o,
ad id, quod a, p, m, æqualis ergo quæ m, p, ipſi f, q. Quæ autem p, b, demõ
ſtrata eſt maior, quàm quæ ergom, b, eſt minor, quàm q, ergo quæ o, m,
eſt maior, quàm dupla ipſius b, m. Sit igitur quæ p, z, dupla ipſius z, m,
& copulata, quę 2, t, educatur ad g, erit ergo totius quidem portionis cé
trum grauitatis t, eius autem quæ extra humidum z, eius uero quæ in-
tra in linea t, g. Sit autem g, demonſtrabitur autem ſimiliter prioribus,
quæ t, h, perpendicularis ad ſuperficiem humidi, & quæ per z, g, æquedi-
ſtanter ipſit, n, productæ perpendiculares, & ipſæ ſuper ſuperficiem bu-
midi ferretur, ergo quæ quidem extra humidum portio deor ſum ſecundũ
eam quæ per z. Quæ autem intra ſecundum eam, quæ per g, eleuabitur
non manet ergo tota portio ſine inclinatione, nec etiam conuertetur ita
ut axis ſit perpendicularis ſuperficiem humidi, quoniam quæ ex parte
l, ad ſuperiora ferrentur, propter proportionalia dictis in præcedenti,
36_DE INSIDENTIBVS AQVAE_ autem axis ad humidum faciat angulum minorem angulo b, conſimili-
ter prioribus demonstrabitur, quod non manebit portio ſed inclinabitur
donec utique axis ad ſuperficiem humidi faciat angulum æqualem, an-
gulo b.
DECIMVS.
Recta portio rectanguli conoydalis, quando leuior exi-
ſtens humido habuerit axem maiorem, quàm ut habeat pro-
portionem ad eam, quàm uſque ad axem, quam habent quin
decim ad quattuor demiſſa in humidum ita, ut baſis ipſius nõ
tangat humidum, quandoque quidem recta conſiſtet, quin-
que autem inclinata: & quandoque quidem ita inclinata, ut
baſis ipſius, ſecundum vnum ſignum tangat ſuperficiem hu-
midi: & hoc in duabus diſpoſitionibus faciet: & quandoq;
ita inclinata conſiſtet, ut baſis ipſius ſecundum ampliorem
locum humefiat: quandoque autem ita, ut baſis@ipſius, nec ſe
cundum vnum tangat ſuperficiem humidi. Quam autẽ pro-
portionem habeant ad humidum in grauitate fingula ho-
rum demonſtrabuntur.
SIt portio qualis dicta est, & ſecta ipſa plano recto ad ſuperficiem hu-
midi ſectio in ſuperficie ſit quæ apol. rectanguli coni ſectio axis autẽ
& dyameter ſectionis ſit quæ b, d. Secetur autem quæ b, d, ſecundũ
K, ita ut dupla ſit quæ b, d, ipſi K, d, ſecundum c, autem, ut quæ b, d, ad K,
c, habeat proportionem, quam habent quindecim ad quattuor. Palam
igitur quòd quæ K, c, eſt maior ea, quæ uſque ad axem ipſius autem K, r,
ſit hemiolia, quæ eſt autem, & quæ s, b, hemiolia ipſius b. r. Co-
puletur autem ipſa a, b, & ipſa c, e, recta producta ducaturq́ue e, Z, æque
diſtanter, ipſi b, d, & rurſum ipſa a, b, ſecta in duo æqualia penes t, duca-
tur æquediſtanter ipſi b, d, quæ t, h, & accipiatur rectanguli coni ſectio,
quæ a, e, circa dyametrum e, Z, & quæ a, t, circa dyametrum t h, ita, ut ſi
milis ſit, quæ a, e, i, a, t, h, portioni a, b, l, deſcribetur autem quæ a, e, i, co-
ni ſectio per K. Quæ autem a, b, r, recta producta ipſi b, d, ſecat ipſam a,
e, i, ſecet, ſecũdum y g, cum per y, g, ducantur æquediſtanter ipſi b, d, quæ
p, y, q. Secet antem ipſe ſectionem a, o, d, penes x, f, ducantur autem, &
quæ p, x, o. contingentes ſectionem apol. ſecundum o, p. Sunt
tres quædam portiones quæ apol. a, e, i, a, t, d, contentę arectis, & a ſe-
ctionibus rectangulorum conorum rectæ, & ſimiles, & inæquales, &
@angentes ſuper pnamquanque baſem a, b, n, autem ſurſum
ducta eſt, quæ n, x, p, n, o. o, g, ergo ad g, x, habet
3711_LIBER II._ portionem compoſitam ex proportione quam habet quæ i, l, ad l, a, &
quam habet quæ a, d, ad d, i, habet autem, & quæ l, i, ad l, a, quàm duo
ad quinque. Quæ enim c, b, ad b, d, habet proportionem, quàm ſex ad
quindecim, hoc eſt, quam duo ad quinque, & est ut quæ c, b, ad b, d, ita
quæ e, b, ad b, a, & quæ d, Z ad d, a, habeat autem d, Z, d, a, duplæ.
l, i, l, a. Quæ autem a, d, ad d, i, proportionem habet, quam quinque
ad vnum. Proportio autem compoſita ex proportione, quam habẽt duo
ad quinque, & ex proportione, quam habent quinque ad vnum. eſt ean
dem cum proportione, quam habent duo ad vnum. Dupla ergo eſt, quæ
g, o, ipſius g, x, propter eandem autem, & quæ p, y, ipſius y, f, quoniam
igitur. quæ d, s, eſt hemiolia ipſius K, r, palam quòd quæ b, s, eſt exceſ
ſus, quo axis est maior, quàm hemiolius eius, quæ uſque ad axem, ſiqui-
dem igitur portio ad humidum in grauitate banc habet proportionem,
quam tetragonum, quod a, b, s, ad id, quod a, b, d, aut maiorem hac pro-
portione portio demiſſa in humidum ita, ut baſis ipſius non tangat humi
dum recta conſistet, demonſtratum est ei prius, quòd ſi portio habẽs ax ẽ
maiorem, quàm hemiolium eius, quæ uſque ad axem minorem propor-
tione ſi ad humidum in grauitate n, o, minorem proportionẽ habeat pro-
portione, quam habet tetragonum, quod ab exceßu, quo axis eſt maior,
quàm hemiolium eius, quæ ad axem ad tetragonum, quod ab axe. demiſ
ſa in humidum, ita ut dictum eſt, recta conſistet. Si autem portio ad hu-
midum in grauitate maiorem quidem proportionem habeat proportione
quàm habet tetragonum, quod a, b, s, b, ad tetragonum, quod a, b, d, ma-
iorem autem proportionem, quam habet tetragonum quod a, b, x, t, ad
id, quod a, b, demiſſain humidum inclinata ita, ut baſis contingat humi-
dum conſistet inclinata ita, ut baſis ipſius nibil tangat ſuperficiei humi-
di, & axis ipſius faciat ad ſuperficiem humidi angulum maiorem angu
lo m. Si autem portio ad humidum in grauitate hanc habet proportionẽ.
29[Figure 29]
38_DE INSIDENTIBVS AQV AE_ quam habet tetragonum, quod ab x, o, ad id, quod a, b, d, demiſſa in hu-
30[Figure 30] midum inclinata, h, Z, vult diuidi in quinque æqualia, media quinta pars ſit t, K, t, i. m, n, vult eſſe æqualis o, n, & n, x, ſit media proportionalis inter m, n, & n, o, & quarta proportionalis c, n, ita, ut baſis ipſius non tã gunt humidum: conſiſtet, & manebit ita, ut baſis ipſius, ſecnndum am- pliorem locum humectetur ab humido. Si uero portio ad humidam in grauitate hanc proportionem habet, quam habet tetragonum, quod a. p, f, ad tetragonum, quod a, b, d, demiſſa in humidum, et poſita inclinata ita ut baſis ipſius non tangat humidum, conſistet inclinata ita, ut baſis ip- ſius, ſecundum vnum ſignnm tangat ſuperficiem humidi, & axis
3912_LIBER II._ faciat angulum, æqualem angulo x. Si autem portio ad humidum ingra- uitate habeat proportionem minorem proportione, quam habet tetra- gonum, quod ab f, p, ad tetragonum, quod a, b, d, dimiſſa in humidum, & poſita inclinata ita, ut baſis ipſius non tangat humidum conſiſtet inclina ta ita, ut axis quidem ipſius ad ſuperficiem humidi, faciat angulum mi- norem angulo x, baſis autem ipſius, nec ſecundum vnum tangat ſuperfi- ciem humidi. Demonſtrabitur itaque hæc deinceps.
Habeat itaque primo portio ad humidum in grauitate proportionem
quidem maiorem ea, quam habet tetragonum, quod ab x, o, ad id, quod a,
b, d, minore autem ea, quàm habet tetragonũ, quod ab exceſſu, quo axis
eſt maior, quàm hemiolius eius, quæ uſque ad axẽ ad tetragonum, quod
a, b, d, & ſupponatur prius diſpoſita figura. Quam autem proportionem
habet portio ad humidum in grauitate, hanc tetragonum, quod a, x, ad
id, qnod a, b, d, eſt autẽ quæ x, maior qui
31[Figure 31] dem quàm x, p, minor autem exceſſu,
quo axis eſt maior, quàm hemiolius eius
quæ uſque ad axem. Inaptetur autem
quædam inter media conicarum ſectio-
num apol. a, z, d, quæ u, o, æqualis ipſi x,
& ſecet ipſa reliquam coni ſectionem pe
nes ipſa autem r, s, rectam
penes b, demonſtr abitur autẽ quæ
o, u, ipſius a, n, ſicut demonstratum est,
quæ p, s, ipſius s, x, dupla ab o, autem du
catur, quæ o, s, cõtingens ſectionem apol
quæ autem o, c, perpendicularis ſuper
b, d, & ab a, ad n, copuletur, erunt autẽ
quę a, n, q, u, æquales inuicem. Quoniam
enim in ſimilibus portionibus apol. a, x,
d, producto ſunt ab axibus ad portiones, quæ a, n, a, q, æquales angulos fa
cientes ad baſes eandem proportionem habebunt quæ q, a. a, n, cum ipſis
l, a. a, d, propter ſecundam figuram præſcriptarum æqualis, ergo quæ a,
n ipſi q, n, & æquediſtans ipſi o, s, demonstrandum, quòd demiſſa in hu-
midum ita, ut baſis ipſius, non ſecundum vnum tangit axis ad
ſuperficiem humidi angulum acutum faciat maiorem exceſſu Di
mittatur enim, & conſiſtat ita, ut baſis ipſius tangat, ſecundum vnum ſi
gnum ſuperficiem humidi. Secta autem portione per axem plano recta
ad ſuperficiem humidi, ſuperficiei quidem portionis ſectio ſitq́ apol. re-
ctanguli coni ſectio, ſuperficiei autem humidi, quæ o, a, axis autem ſectio
nis, & dyameter, quæ b, d, & ſecetq́ b, d, penes K, r, ut dictum eſt
40_DE INSIDENTIBVS AQV AE_ tur autem, & quæ quidem p, g, ęquediſtanter ipſi a, o, recta contingent
ſectionem apol. ſecundum p. Quæ autem p, t, ęquediſtanter ipſi b, d.
Quæautem p, s, perpendicularis ſuper b, d. Quoniam igitur portio ad
32[Figure 32] humidum in grauitate proportionem habet, quam tetragonum, quod a,
x, ad id, quod a, b, d. Quam autem proportionem habet portio ad humi-
dum, hãc habet demerſa ipſius portio ad totam, quàm autem demerſa ad
totam tetragonum, quod a, t, p, ad id, quod a, d, b, erit quæ x, ipſi t, p, æ-
qualis, & quæ n, o, ergo ipſi t, p, æqualis eſt. Quare, & portiones a, p, q,
a, p, f, inuicem ſunt æquales. Quoniam autem in portionibus æqualibus,
& ſimilibus apol. a, b, l, K, ab extremitatibus baſium productę ſunt, quæ
r, a. a, q, & portiones ablatæ faciunt ad dyametros angulos æquales,
propter tertiam figuram præſcriptarum. quare anguli qui apud y, g,
ſunt æquales, & quæ y, b, g, b. ergo æquales ſunt quare & quæ s, r, c, r,
& quæ p, Z, o, u, & quæ Z, t, s, K, n, quoniam minoré, quàm dupla quæ
4113LIBER II. ipſius s, a, u, palã ꝙ quæ p, Z, ipſius Z, t, est minor, ꝗ̃ dupla. Sit igitur
quæ p, ***, ipſius, ***, t, dupla, & copulata quæK, ***, educa
tur ad e, totius quidem igitur cetrum grauitatis erit K, eius autẽ por
tionis, quæ inter humidũ centrũ, ***, eius autẽ quæ extrain linea K, e,
& ſite. Quæ auté K, Z, perpẽdicularis erit ſuꝑ ſuꝑſiciẽ humidi, quare
& quæ ꝑ ſigna, e, ***, æquediſtãter ipſi K, Z, non ergo manet portio ſed
inreclinabitur ut baſis ipſius, nec ſecundum unum tangat ſuperſiciem
humidi, quoniam nunc ſecundum unum tacta ipſa reclinatur. Mani-
feſtum ergo quòd portio conſiſtet, ita ut axis ad ſuperficiem humidi fa
ciat angulum maiorem anguloy.
HAbeat autem portio ad humidum in grauitate hanc proportio-
nem, quam habet tetragonum, quod a, b, x, o, ad id, quod a, b, d, &
dimittatur in humidum ita inclinata. Secta autem ipſa per axcm
plano recto ad ſuperficiem humidi ſolidi quidem, ſectio ſit quæ apol re
ctanguli coni ſectio. ſuperficiei autem humidi, quæ o, i, axis autem por
tionis & dyametris ſectionis quæ b, d, & ſecetur quæ b, d, ut prius &
ducatur. quæ quidem p, n, æquediſtanter ipſi i, o, cõtingens ſectionẽ ſe-
cundum p. Quæ autem p, t, æquediſtanter ipſi b, d, quæ autem p, s, per
pendicularis ſuper b, d. Demonstrãdum quòd portio non manet incli
nata ſic, ſed inclinatur donec utique baſis ſecundum unum ſignum tã
gat ſuperficiem humidi præiaceant auté & quæ in ſuperiori figura
prius diſpoſita ſunt, & quæ c, o, perpendicularis ducatur ſuper b, d,
& quæ a, x, copulata educatur ad q, erit autem quæ a, x, ipſi x, q,
æqualis, & ducatur ipſi a, q, quæ o, y, æquediſtans, & quoniam ſuppo
nitur portio ad humidum in grauitate hanc habere proportioné, quã
habet tetragonum quod ab x, a, ad id, quod a, b, d, habet autem hanc
proportionem & demerſa portio ad totam hoc eſt quòd a, t, p, ad id.
quod a, b, d, æqualis utique erit, quæ p, t, ipſi x, o, et quoniam portionũ
i, b, o, a, b, q, dyametri ſunt æquales, & portiones rurſum quoniam in
portionibus æqualibus & ſimilib. apol a, o, q, l, productæ ſunt a, q, i, o,
æquales portiones auferentes, hoc quidem ab extremitate baſis hoc
autem non ab extremitate, palàm quòd minorem facit acutum
angulum ad dyametrum totius portionis, quæ ab extremitate baſis
producta eſt. Et quoniam angulus, qui apud y, eſt minor, qui apud h,
maior eſt, quæ b, c, quàm b, s. Quæ autem e, r, minor, quàm r, s, quare
& quæ o, y, minor quàm p, n, maior eſt quam du-
pla, & quoniam quàm o, y, dupla, est ipſius s, 3, palàm quod quæ p, a,
maior eſt, quàm dupla ipſis a, t. Sit igitur quæ p, h, dupla ipſius h, t,
& copuletur quæ h, K, & educatur ad, ***, erit autem totius
42DE INSIDENTIBVS AQVAE portionis centrum grauitatis K. Eius autem, quæ intra humidum h,
eius autem, quæ extra in linea K. ***, & ſit***, demonſtrabitur autẽ
ſimiliter quæ K. 2. ꝑpendicularis ſuper ſuperſiciem humidi, & quæ
per ſigna, h, ***, æqued ſtãter. ipſi K. Z, manifeſtũ igitur. quòd non ma
nebit portio, ſed inclinabiturd, onec utique baſis ipſius ſecundum unũ
ſignum tangat ſuperſiciem humidi, ſicut demonſtrabitur in tertia fi-
gura, quomodo ſe habet in tertio theoremate, & manebit portio ita cõ
ſiſtens. In portionibus h, æqualibus apol a, o, q, l, productæ erit ab ex-
tremitatibus baſium, quæ a, q, a, o, æquales auferentes demonſtrabitur
h, a, p, q, æqualis ipſi a, p, o, ſimiliter prioribus, æquales igitur facient
acutos angulos, quæ a, o, a, q, ad dyametros portionum. quoniam æqua
les ſunt qui apud n, y, anguli & Z, t, copulata autem ipſi Z, K, & edu
cta ad, ***, erit totius quidem portionis centrum grauitatis K, eius
autem quidem intra humidum, h, eius autem quæ extra in line a K,
***, & ſit, ***, & quæ K, h, perpendicularis eſt ſuper ſuper ficiem hu-
midi, ſecundum eaſdem igitur rectas quod quidem in humido ſurſum
feretur, & quod extra humidum deorſum feretur. Manebit autem
portio, & baſis, & magnitudo, & ſecũdum unum ſignum tanget ſu-
perficiem humidi & axis portionis ad ſuperficiem humidi faciet an-
gulum æqualẽ præſcripto. Similiter autem demonstrabitur, & ſi por-
tio ad humidum in grauitate habeat proportionem eandem, quã te-
tragonum quod h, p. ad id. quod a, b, d, dimiſſa in humidum ita, ut ba-
ſis ipſius non tangat ſuperficiem humidi. conſiſtet inclinata ita, ut ba-
ſis ipſius ſecumdum unum ſignũ tangat ſuperficiem humidi, & axis
ipſius ad ſuperficiem humidi faciat angulum æqualem angulo, quæ
apudf.
33[Figure 33]
4314LIBER II.
SI autem rurſum portio ad humidum in grauitate habens quidem
proportionem maiorem illa, quam habet tetragonum, quod a, Z, p,
ad id, quod a, b, d, maiorem autem proportionem, quàm habet tetrago
num quod ab x, o, ad id, quod a, b, d, Quam autem proportionem ha-
bet portio ad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum, quod a,
x, ad id, quod a, b, d, palàm igitur, quæ x, o, eſt quidem maior quàm Z,
p, minor autem quàm x, t, Inaptetur autem inter medio portionum
apol a, d, æqualis ipſi x, æquedistans autem ipſi b, d, quæf, i, ſecans ſe-
ctionem inter mediam coni penes y. Rurſum autem quæ f, y, dupla
ipſius y, i, demonstrabitur, ſicut quæt, ipſix, y, ut & prius de-
monstratum est. Ducatur autem a, b, f, ſectionem apol contingens
quæ f, ***, Similiter autem prioribus demonſtrabitur quæ quidem a, i,
ipſi q, i, æqualis. Quæ autem a, q, ipſi f, ***, æquedistans, Demonſtran
dum autem quòd portio demiſſa in humidum, ita ut baſis ipſius non
tang at humidum, & poſita inclinata ita inclinabitur, ut baſis ipſius
ſecundum ampliorem locum humectetur ab humido. Demittatur h,
in humidum, ut dictum eſt. & iaceat primo ſic inclinata ut baſis ip-
ſius neque ſecundum unum tang at ſuper ſiciem humidi. Secta autem
ipſa per axem plano recto ad ſuperſiciem humidi, in ſuperſicie quidem
portionis ſit ſectio, quæ a, b, g, in ſuperficie autem humidi, quæ e, Z, axis
autem ſectionis. & dyametrum portionis ſit quæ b, d, & ſecetur quæ
b, d, penes ſignum K, r, Similiter prioribus. ducatur auté & quæ quidẽ
h, l, æquediſtanter ipſi e, Z, cõtingens ſectionem a, b, g, penes h, quæ au-
tem h, t, æquedistanter ipſi b, d. Quæ autem h, s, perpendicularis ſu-
per b, d. Quoniā portio ad humidũ in grauitate proportionem babet
quam tetragonum, quòd a, x, ad id, quod a, b, d, palàm quod quæ x, eſt
æqualis ipſi h, t, demonſtrabitur h. Similiter prioribus, quare & quæ
h, t, eſt æqualis ipſi f, i, & portiones ergo a, f, q, e, b, Z. ſunt æquales in-
uicem, quoniam inequalibus, & ſimilibus portionibus apol a, b, g, ſunt
productæ, quæ a, q, e, Z, æquales portiones auferentes & hoc quidem
ab extremitate baſis, hoc autem non ab extremitate minorem faciet
acutum angulum ad dyametrum portionis quæ ab extremitate baſis
producta eſt. Et quoniam trigoni h, l, e, angulus eſt maior angulo, ***.
palàm quòd minor eſt quæ b, s, quàm b, c. Quæ autem, s, r,
maior quàm r, c, & quæ h, l, maior quàm f, h, quæ a, t, mi-
nor est quàm h, i, & quoniam dupla est quæ f, y, ipſius y, i, palam ꝙ
quæ h, a, eſt maior, quàm dupla ipſius a, t, ſit igitur quæ h, l, dupla ip-
ſius l, t, palam autem ex hijs, ꝙ non @manebit portio, ſed inclinabitur
donec utique baſis ipſius tangat ſecundum unum ſignum ſuperficiem
humidi. Tangat autem ſecundum unum ſignum, ut in tertia
44DE INSIDENTIBVS AQVAE ſcriptum eſt, et alia eadẽ diſponãtur, demõſtrabitur autẽ rurſum ꝙ t,
m, æquales exiſiens ipſi, f, i, & portiones a, f, q, a, b, Z, æquales inuicem
& quoniam in portionibus æqualibus, & ſimilib apol a, b, g, ſunt pro-
ductæ, quæ a, q, a, Z, æquales portiones auferentes æquales faciunt an-
gulos ad dyametros. portionum igitur a, h, b, Z, a, f, q, qui apud ſignal,
***, anguli ſunt æquales. & quæ b, s, recta ipſi b, c, æqualis & quæ s,
r, ipſi r, c. Et quæ h, a, ipſi f, h, & quæ a, t, ipſi m, i. Et quoniam dupla
est, quæ f, x, ipſiy, i. Manifeſtum quòd quæ h, a, eſt maior, quàm dupla
ipſius a, t. Sit igitur quæ h, a, ipſi l, t, dupla. Rurſum autem ex hijs pa
lam quòd non manet portio ſed inclinabitur ex parte a, quoniam ſup
ponebatur portio, ſecundum unum ſignum tangere humidum palam
quòd ſecundum ampliorẽ locum baſis ab humido comprehendetur.
HAbeat etiam rurſum portio ad humidum in grauitate propor-
tionem minorẽ ea, quam habet tetragonum, quod ab n, o, ad id q đ
a, b, d. Quam autem proportionem habet portio ad humidum in gra-
uitate, hanc habeat tetragonum, quod a, x, minorem autem eſt, quæ x,
quàm o, n. Rurſum igitur in aptetur quædam intermedia portionum
a, m, d, apol quæ p, i, æquedistanter ipſi b, d, producta æqualis ipſi x.
Secet autem ipſa intermedia coniſectione penes y, ipſam autem x, r,
rectam penes h, demonſtrabitur, autem quæ p, y, dupla ipſius y, i, ſicut
demonſtrata eſt, quæ, g, o, ipſius g, h, ducatur autem & quæ quidem
p, ***, contingens ſectionem apol ſecundum p, quæ autem p, e, perpen-
dicularis ſuper b, d, & a, i, copulata ducatur ad q. Erit autem quæ
34[Figure 34]
4515LIBER II.35[Figure 35] a, i, ipſi i, q, æqualis & quæ a, q, ipſi p, ***, æquediſtans. Demonſtran-
dum eſt autem quod portio demiſſa in humidum poſita inclinata ita,
ut baſis ipſis non tang at humidnm inclinata conſiſtet ita ut axis ip-
ſius ad ſuperficiem humidi faciat angulum minorem angulo f, baſis
autem ipſius nec ſecundum unum tangat ſuperficiem humidi. Demit
tatur h, in humidum, & conſiſtat ita, ut baſis ipſius ſecundum unum
ſignum tangat ſuperſiciem humidi. Secta autem portione per axem
plano recto ad ſuperficiem humidi, ſectio ſit ſuperficiei quidem por-
tionis, quæ a, h, b, l, rectanguli coni ſectio, ſuperficiei autem humidi,
quæ a, Z, axis autem portioni, & dyameter ſectionis, quæ b, d, & ſece-
tur quæ b, d, penes ſigna, K, r, conſimiliter ſuperioribus, ducatur au-
tem & quæ h, i, æquedistanter ipſi a, Z, contingens ſectionem conipe-
nes h. Quæ autem habet æquediſtanter ipſi b, d, quàm autem h, s,
perpendicularis ſuper b, d, quoniam igitur portio ad humidum in gra-
uitate hanc habet proportionem, quam tetragonum a, x, ad id quod
a, b, d. Quam autem proportionem habet proportio ad humidum in
grauitate, hanc habet tetragonum, quod ab h, t, ad id quod a, b, d, pro-
pter eandem prioribus. palam ꝙ quæ habet, eſt æqualis ipſi, x, qua-
re & portiones, a, m, Z, a, p, q, ſunt æquales. et quoniā in portioni-
bus æqualibus, & ſimilibus. apol a, K, h, l, K, ab extremitatib.
46DE INSIDENTIBVS AQV AE36[Figure 36] ſunt productœ, quœ
a, q, a, z, æquales por
tiones auferétes, pa-
lam ꝙ æquales fa-
ciunt ad dy ametros
portionũ, ad buc au-
tem & trigonorũ b,
l, s, p, w, e, æquales
ſunt anguli ꝗ apud
l, w, erunt, ets, b, e,
b, œquales. Quare
et quœ, s, r, e, r, œqua
37[Figure 37] les & quœ b, a, p, h, &
quœ a, t, b, i, et quoniā eſt
dupla, quœ y, p, ipſius y, i,
manifeſtum, quòd minor
eſt, quœ dupla quœ b, a,
ipſius a, t. Sit igitur n,
y, dupla ipſius y, t, & co
pulata protrabatur, quœ
y, b, t. Sunt auté centra
grauitatum totius qui-
dem, K, eius auté quod
intra bumidumy, eius au
tem quod extra in linea K, c,
et ſit c, erit autem propter prœ
cedens theorema hoc mani-
feſtum quòd non manet portio,
ſed inclinabitur ita, ut baſis ip-
38[Figure 38] ſius nec ſecundum unum tan-
gat ſuperficiem humidi. Q uod
autem cõſiſtet ita, ut axis ip-
ſius ad ſuperficiem humidi fa-
ciat angulum minorem angulo
f. demonſtrabitur, Conſiſtat h,
ſi poſſibile est ita, ut faciat an-
gulum non minorem angulo f,
& alia diſponantur eãdem bijs
quœ in tertia figura. Simili-
ter autem demonſtrabitur,
4716LIBER II. t, m, œqualis ipſi, x, quare & ipſi, i, b, & quoniam, b, l, minor eſt quàm
f, non ergo maior eſt neque quœ, s, r, quám, s, r, neque n, a,
quàm, o, g, et quoniam quœ, i, b, eſt hemiolia ipſius, p, y, minor autem
quœ, p, y, quàm, g, o, & quœ quidem habet œqualis ipſi, p, c, eſt quœ au-
té, h, a, nõ eſt minor, quàm, o, g, maior ergo quœ, a, b, quàm, p, y, quœ
ergo, h, a, est maior, quàm dupla ipſius, t, a. Sit autem, b, y, dupla ip-
ſius, y, t, & copulat a quœ, y, K, educatur. palam autem ſimiliter prio-
ribus, quòd non manet portio, ſed uoluetur ita, ut axis ipſiur ad ſuper-
fictem bumidi faciat angulum minorem angulo f.
Archimedis de inſidentibus in bumido li-
ber ſecundus explicit, ad laudem Dei.
CHe a Curtio Troiano mercante de libri, ſia conceſſo, che altri che
lui, ò chi bauerà cauſa da lui, non poſſa in queſta città, & Do-
minio noſtro stampar, ne in quello ſtampate vender per ſpatio de an-
ni dieci proſſi. futuri, li libri intitulati Giordano de Ponderibus, &
il ſecondo libro d' Archimede de Inſidentibus aquœ, tradotti in lin-
gua uolgare. Et medeſimamente i ſopradetti libri Latini, ſotto pena
di perdere tutte le opere stampate, & di ducati dieci per una, lequali
opere ſiano del ſupplicante, ouero di cbi farà la ſpeſa, & la pena ſia
diuiſa in terzo, vn terzo all' Arſenale, vn terzo al Magistrato, che
farà l'eſſecutione, & uno terzo al denuntiante, eſſendo pero tenuto el
ſupplicante oſſeruar quanto è diſposto in materia de ſtampe.
Angelus Cornelius,
Ducalis not, ex.
10 Gaſparo comandador ai Pioueghi, ò intimado tutte le librarie, &
ſtamparie de Venetia.
48
[Empty page]
49
[Empty page]
50
[Empty page]