Archimedes, Archimedis De iis qvae vehvntvr in aqva libri dvo (Archimedis De iis quae ve huntur in aqua libri duo), 1565

Bibliographic information

Author: Archimedes
Title: Archimedis De iis qvae vehvntvr in aqva libri dvo (Archimedis De iis quae ve huntur in aqua libri duo)
Year: 1565
Publisher: Commandino, Federigo (Hrsg.)
Number of Pages: 4, 43, 4, 47 Bl.: graph. Darst.

Permanent URL

Document ID: MPIWG:A6NK6GK3
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:A6NK6GK3

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBRI DVO. A FEDERICO COMMANDINO VRBINATE IN PRISTINVM NITOREM RESTITVTI, ET COMMENTARIIS ILLVSTRATI. Page: 5
3. CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X. BONONIAE, Page: 5
4. M D LXV. Page: 5
5. RANVTIO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO ET OPTIMO. Page: 7
6. Federicus Commandinus. Page: 12
7. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBER PRIMVS. CVM COMMENTARIIS FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS. POSITIO. Page: 13
8. PROPOSITIO I. Page: 13
9. PROPOSITIO II. Page: 14
10. PROPOSITIO III. Page: 16
11. PROPOSITIO IIII. Page: 17
12. PROPOSITIO V. Page: 19
13. PROPOSITIO VI. Page: 20
14. PROPOSITIO VII. Page: 21
15. POSITIO II. Page: 22
16. COMMENTARIVS. Page: 23
17. PROPOSITIO VIII. Page: 23
18. COMMENTARIVS. Page: 25
19. PROPOSITIO IX. Page: 27
20. COMMENTARIVS. Page: 28
21. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBER SECVNDVS. CVM COMMENTARIIS FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS. PROPOSITIO I. Page: 30
22. PROPOSITIO II. Page: 31
23. COMMENTARIVS. Page: 33
24. PROPOSITIO III. Page: 36
25. PROPOSITIO IIII. Page: 37
26. COMMENTARIVS. Page: 40
27. PROPOSITIO V. Page: 41
28. COMMENTARIVS. Page: 43
29. PROPOSITIO VI. Page: 44
30. COMMENTARIVS. Page: 46
31. LEMMAI. Page: 47
32. LEMMA II. Page: 48
33. LEMMA III. Page: 49
34. LEMMA IIII. Page: 50
35. PROPOSITIO VII. Page: 54
36. PROPOSITIO VIII. Page: 56
37. COMMENTARIVS. Page: 60
38. PROPOSITIO IX. Page: 63
39. COMMENTARIVS. Page: 67
40. PROPOSITIO X. Page: 68
41. COMMENTARIVS. Page: 71
42. LEMMA I. Page: 73
43. LEMMA II. Page: 74
44. LEMMA III. Page: 76
45. LEMMA IIII. Page: 77
46. LEMMA V. Page: 78
47. LEMMA VI. Page: 81
48. II. Page: 83
49. III. Page: 83
50. IIII. Page: 84
51. V. Page: 84
52. DEMONSTRATIO SECVNDAE PARTIS. Page: 85
53. COMMENTARIVS. Page: 87
54. DEMONSTRATIO TERTIAE PARTIS. Page: 90
55. COMMENTARIVS. Page: 93
56. DEMONSTRATIO QVARTAE PARTIS. Page: 97
57. DEMONSTRATIO QVINT AE PARTIS. Page: 99
58. FINIS LIBRORVM ARCHIMEDIS DE IIS, QVAE IN AQVA VEHVNTVR. Page: 102
59. FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS LIBER DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORV M. Page: 105
60. CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X. BONONIAE, Ex Officina Alexandri Benacii. M D LXV. Page: 105
61. ALEXANDRO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO ET OPTIMO. Page: 107
62. FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS LIBER DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM. DIFFINITIONES. Page: 113
63. PETITIONES. Page: 114
64. THEOREMA I. PROPOSITIO I. Page: 114
65. THEOREMA II. PROPOSITIO II. Page: 118
66. THE OREMA III. PROPOSITIO III. Page: 121
67. THE OREMA IIII. PROPOSITIO IIII. Page: 122
68. ALITER. Page: 123
69. THEOREMA V. PROPOSITIO V. Page: 125
70. COROLLARIVM. Page: 127
71. THEOREMA VI. PROPOSITIO VI. Page: 127
72. THE OREMA VII. PROPOSITIO VII. Page: 129
73. THE OREMA VIII. PROPOSITIO VIII. Page: 131
74. THE OREMA IX. PROPOSITIO IX. Page: 143
75. PROBLEMA I. PROPOSITIO X. Page: 145
76. PROBLEMA II. PROPOSITIO XI. Page: 146
77. PROBLEMA III. PROPOSITIO XII. Page: 147
78. PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII. Page: 148
79. THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII. Page: 149
80. THE OREMA XI. PROPOSITIO XV. Page: 153
81. THE OREMA XII. PROPOSITIO XVI. Page: 154
82. THE OREMA XIII. PROPOSITIO XVII. Page: 155
83. THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII. Page: 156
84. THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX. Page: 157
85. THE OREMA XVI. PROPOSITIO XX. Page: 160
86. THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI. Page: 164
87. THE OREMA XVIII. PROPOSITIO XXII. Page: 166
88. THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII. Page: 171
89. PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII. Page: 172
90. THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV. Page: 174
91. THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI. Page: 180
92. THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII. Page: 187
93. PROBLEMA VI. PROPOSITIO XX VIII. Page: 192
94. THE OREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX. Page: 194
95. THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX. Page: 201
96. THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI. Page: 203
97. FINIS LIBRI DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM. Page: 205
1
[Empty page]
211[Handwritten note 1]22[Handwritten note 2]
3
[Empty page]
433[Handwritten note 3]44[Handwritten note 4]55[Handwritten note 5]
5
ARCHIMEDIS
DE IIS QVAE VEHVNTVR
IN
AQVA LIBRI DVO.
A FEDERICO COMMANDINO
VRBINATE
IN PRISTINVM
NITOREM
RESTITVTI, ET
COMMENTARIIS
ILLVSTRATI.
1[Figure 1] 2[Figure 2]
CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
BONONIAE
,
Ex Officina Alexandri Benacii.
66[Handwritten note 6]
M D LXV.
3[Figure 3]
6
[Empty page]
7
RANVTIO FARNESIO
CARDINALI
AMPLISSIMO
ET
OPTIMO.
QVod tibi ſuperioribus diebus
pollicitus
ſum, cum libellum
Ptolemæi
de Analemmate in lu
cem
proferrem, breui fore, vc
Archimedis
etiam libri de ijs,
quæ
in aqua vehuntur, &
emen
datiores
, &
fortaſſe opera mea
illuſtriores
ederentur:
mihi non committendum eſ-
ſe
duxi, vt iure optimo malum nomen, præſertim à
te
, cui tantopere debeo, exiſtimari poſſem.
quam-
uis
cum mecum conſidero ſuſcepti negocij difficul
tates
, quas multo plures, &
multo grauiores, quàm
in
libello de Analemmate deprehendi;
vereor ne id
planè
non aſſecutus ſim, quod ab initio ſpectaui, vt
mathematicarum
diſciplinarum ſtudioſis hac in par-
te
ſatisfacerem.
cum enim græcus Archimedis co-
dex
nondum in lucem venerit, non ſolum is, qui eum
latinitate
donauit, multis in locis de lapſus eſt, ve-
rum
etiam codex ipſe, vt etiam interpres fatetur, ve-
tuſtate
corruptus, &
mancus eſt; duæq́; integræ
ἀποδείξεις
, quas demonſtrationes dicimus, deperie-
runt
.
quæ iactura quantam vim habeat ad pertur-
bandum
admirabilem illum ordinem, quo inter ſe
mathematicæ
diſciplinæ quodãmodo connexæ
8 tibi, qui iam in iis multam operam, multumq́; ſtu-
dium
poſuiſti, cogitandum relinquo.
nonnulla præ-
terea
Archimedes vt perſpicua in his tractandis po-
nere
non dubitauit, quæ veteres mathematici, qui
de
conicis conſcripſerunt, plurimis, &
firmiſsimis
argumentis
probauerũt.
Hæc autem idcirco à nobis
omnino
ignorantur;
quòd poſtremi quatuor libri
conicorum
Apollonii Pergæi adhuc in tenebris de-
liteſcunt
.
Qua quidem in re (vt mea fert opinio)
ſingulari
fato fuerunt mathematicæ diſciplinæ, cum
tot
ſcriptorum præclara monumenta interierint, per
quæ
non ſolum in ſtudioſos homines, uerum etiam
in
humanũ genus mirabiles utilitates importatæ fuiſ-
ſent
.
nam cum mecum conſidero quàm late pateant
nobiliſsimæ ſcientiæ, quãtopere rebus publicis &

priuatis
admirabili quadã ratione, atque ordine gu-
bernandis
neceſſariæ ſint, dubitãdum non exiſtimo,
quin
magna ſit habenda gratia huius diuini boni au-
ctoribus
, &
inuentoribus: ueterumq́; græcorum pru
dentiam
ſatis admirari non poſſum, qui pueros cum
primum
fari cœpiſſent, his diſciplinis imbuendos cu
rabant
, ut à prima ætate multiplicis, ac ſubtilis ſcien-
tiæ
contemplationi aſſueti nihil paruum, aut humile
cogitarent
:
ſed uel ſe totos ijs artibus traderent, qua-
rum
ope ciuitatibus ſuis &
præſidio, & ornamento
eſſe
poſſent:
uel humanis ſtudijs multam ſalutem di-
centes
, diuinam philoſophiam toto animo amplexa-
rentur
, cum ad eam per mathematicas diſciplinas
9 ciliorem ſibi aditum comparaſſent. quamobrem gra
uisſimum
damnum factum eſt in tot præſtãtisſimis
uiris
:
quorũ ſcripta ſi in manus noſtras perueniſſent,
profecto
multo præclarius cum rebus humanis age-
retur
.
complures enim, qui nunctot difficultatibus
ab
his ſtudijs deterrentur, hac ratione priuatis &
pu-
blicis
rationibus optime conſuluiſſent.
Cum hæc ita
eſſent
, tamen nullum mihi laborem ſubterfugiendũ
eſſe
iudicaui, quo ſtudioſis hominibus, qui in mathe
maticis
diſciplinis toto animo incumbũt, facilior pa
teret
aditus ad abſtruſa, &
recondita ſenſa tanti ſcri-
ptoris
intelligenda:
nec à uetere meo in ſtituto diſce-
dere
uolui;
ſcis enim me multos abhinc annos hanc
eandem
prouinciam, Archimedis quàm plurima ſcri
pta
illuſtrandi ſuſcepiſſe.
quod neque arrogãtia, nec
inanis
gloriæ ſpe adductus ſum, ut facerẽ, ſed me ue-
hementer
in hanc mentem impulit honeſtisſima cu-
piditas
de ſtudioſis hominibus benemerẽdi:
etenim
ſemper
mea fuit ſentẽtia, mathematicum, qui libros
Archimedis
accuratisſime non euoluerit, uix mathe-
maticum
appellari debere:
cum neceſſe ſit in mul
tarum
rerum ignoratione uerſari, ſine quibus mathe
maticæ
diſciplinæ imperfectæ quodammodo, atque
in
choatæ ſunt habendæ.
Dedi igitur operam, ut his
etiam
Archimedis libris, quoad eius fieri poſſet, per
me
aliqua lux afferretur.
quos ut Archimedis eſſe
dubitarem
, duæ non contemnendæ cauſſæ fuerunt.
una quòd in tanta obſcuritate ab interpretis
10& à uetuſtate profecta, neſcio quod ueſtigium illius
acuti
, &
perſpicacis ingenij, quo Archimedes excel-
luit
, impreſſum apparet:
altera quòd tum græci, tum
latini
ſcriptores grauisſimi hos ut Archimedis libros
recognoſcũt
.
Strabo enim in primo libro hæc ad uer
ſcribit.
ὁδὲ οὕτος ἡδὺς στὶν, ὥστε η{αὶ} μὴ μαθηματιηὸςὤν, οὐδὲ
τὴν
Αρχιμήδουςβεβαιοῖ δόξαν, ὅτιφησὶνἐη{εῖ} νος ἐν τοῖς περἱ τῶνὀχον-
μένων
, παντὸς ὑγροῦ καθεστηηότος, καἱ μένοντος τὴνἑ πιφάν{ει}αν σφαιρι-
κὴν
{εῖ}ν{αι}, σφ{αὶ} ρας ταυτὸ ηέντρον ἐφούσης τῆ γῆ.
ταὺ την γάρ τὴν δοξαν
ἀποδέχονται
πάντες οἱ μαθημάτων πῶς άψάμενοι.
& Pappus Ale-
xandrinus
in octauo mathematicarum collectionum
libro
hæc ſcripta reliquit, ηαλοῦσι δὲ μηχανιηοὺςοἱ παλαιοὶ,
κ
{αὶ} τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὡνοἱ μὲν διὰ πνευμὰτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς
ἥρων
πνευματιηοῖς, οἱ δὲ διὰ νευρίων καὶ σπάρτωνἐμψύχωνκινήσεις δο-
κοῦσι
μιμ\~εισθαι, ὡςἥρων αὐτομάτοις, καὶ ζυγίοις:
ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ
ὕδατος
ὁχουμένων, ὡςὰρχιμήδης ὀχουμένοις.
Vitruuius etiam
in
octauo libro de his eiſdem Archimedis libris me.
minit. Fortaſſe, inquit, qui Archimedis libros legit, di
cet
non poſſe fieri ueram ex aqua librationem:
ſed ei
placet
aquam non eſſe libratam, ſed ſphæroides habe
re
ſchema:
& ibi habere centrum, quo loci habet or-
bis
terrarum.
ut nemini dubium eſſe posſit, quin &
genere
ſcriptionis, &
tãtorum uirorum auctoritate,
ut
germani Archimedis libri attente legendi, &
per-
pendendi
ſint:
præſertim cum in ijs multa continean
tur
cognitione dignisſirna, quæ tam ad mathema
ticas
diſciplinas, quàm ad naturæ obſcuritatem ſpe-
ctant
.
Quamobrem ego ne tanto, & tam fructuoſo
theſauro
diutius ſtudioſi carerent, primum loca
11 tim interpretis errore deprauata emendaui; partim
uetuſtate
corrupta &
conſumpta in priſtinam inte-
gritatem
redegi, compluribus, quæ deſiderabantur,
meo
, ut aiunt, marte ſuppletis.
Deinde quoniam Ar-
chimedes
, quemadmodum ſupra dixi, non nulla po-
nit
, ut perſpicua, &
quæ uel ipſe, uel ſuperiores ma-
thematici
ἀποδείξεσι confirmauerunt, coactus ſum non
ſine
maximo negotio ex ijs principijs conicæ diſcipli
Apollonij Pergæi, quæ in manus noſtras peruene-
rũt
, nouas probationes adhibere, nequid eſſet, quod
diligentem
lectorem in hac parte remorari poſſet.
re
ſtabat
, ut theorema illud, quod ſine cognitione cen-
tri
grauitatis corporum ſolidorũ percipinon poteſt,
uidelicet
, Centrum grauitatis in portionibus conoi-
dis
rectanguli axem ita diuidere, ut pars, quæ ad uer-
ticem
terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim ſit du
pla
, certisſimis rationibus comprobarem.
ſed huic
quoque
rei prouiſum eſt à me:
ſeorſumq́ ab his li-
bris
de cẽtro grauitatis ſolidorũ uberrime cõſcripſi.
denique nihil prætermiſi, quod ad Archimedem in
hac
materia illuſtrandum attineret.
quod ſi, ut ſpero,
aſſecutus
ſum, ſatis magnum fructum mihi cepiſſe ui
debor
laborum, &
uigiliarum mearum: ſin ſecus acci
derit
, hoc me tamen conſolabor, quòd omnes intelli
gent
, honeſtisſimo meo conſilio, non ingenij mei
imbecillitatem
, quàm rei obſcuritatem, &
temporũ
iniurias
obſtitiſſe.
Hoc loco ſuperuacaneum eſſe arbi
tror
pluribus uerbis exponere, cur tibi
12 Cardinalis, has lucubrationes meas dicare conſtitue-
rim
.
tantis enim beneficijs à te affectus, quanta fem-
per
&
meminero, & prædicabo; tanta liberalitate cõ-
plexus
, quantam ne optare quidem unquam auſus eſ
ſem
.
cupio memorem, & erga te gratum animũ qua
ratione
poſſum, oſtendere.
quãuis ſi de te nihil aliud
præter
auditum haberem, ſi amplitudini tuæ tanto-
pere
deuinctus non eſſem;
tua in omni genere diſci-
plinarum
excellentia, tua grauitas, atque innocentia
me
magnopere hortata eſſet, ut te potisſimum deli-
gerem
, ſub cuius clarisſimi nominis ſplendore hi Ar-
chimedis
libri ab obliuione hominum, atque à ſilen-
tio
uindicarentur.
uerecundius de te in præſentia di-
cerem
, ne uiderer aſſentationi potius, quàm ueritati
ſeruire
;
niſi omnibus perſuaſisſimum eſſet, diuinas &
inauditas
uirtutes tuas cum ſingulari eruditione con
iunctas
in illo ſanctisſimo Reip.
chriſtianæ conſilio
tanquam
lumen aliquod elucere.
quamobrem ea,
qua
ſoles, benignitate, fidelisſimi clientis tui munus
accipies
;
quod tibi, qui & mathematicis diſciplinis,
&
phiſiologiæ ſtudijs tantopere delectaris, non iniu-
cundum
fore confido.
Federicus Commandinus.
131
ARCHIMEDIS DE IIS
QVAE
VEHVNTVR IN AQVA
LIBER
PRIMVS.
CVM COMMENTARIIS FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS.
POSITIO.
PONATVR humidi eam
eſſe
naturam, vt partibus ip-
ſius
æqualiter iacentibus, &

continuatis
inter ſe ſe, minus
preſſa
à magis preſſa expella
tur
.
Vnaquæque autem pars
eius
premitur humido ſupra
ipſam
exiſtente ad perpendiculum, ſi humidum
ſit
deſcendens in aliquo, aut ab alio aliquo preſ-
ſum
.
PROPOSITIO I.
SI ſuperficies aliqua plano ſecetur per idẽ ſem-
per
punctum;
ſitq́; ſectio circuli circunferen-
tia
, centrum habens punctum illud, per quod pla
no
ſecatur:
ſphæræ ſuperficies erit.
14ARCHIMEDIS
SECETVR ſuperficies aliqua plano per k punctum
ducto
:
& ſicſectio ſemper circuli circunferentia, centrum
habens
punctum k.
Dico eam ſphæræ ſuperficiem eſſe. Si
enim
non eſt ſphæræ ſuperfi-
4[Figure 4] cies;
rectæ lineæ, quæ à pun-
cto
k ad circunferentiam du-
cuntur
non omnes æquales e-
runt
.
Itaque ſint a b puncta
in
ſuperficie;
& inæquales li-
neæ
a k k b:
per ipſas autem
a
k k b planum ducatur, quod
ſectionem
faciat in ſuperficie
lineam
d a b c.
ergo d a b c cir
culi
circunferentia eſt, cuius
centrum
k;
quoniam ſuperficies eiuſmodi ponebatur: &
idcirco
æquales inter ſe ſunt a k k b, ſed &
inæquales; quod
fieri
non poteſt.
conſtat igitur ſuperficiem eam eſſe ſphæ-
ſuperficiem.
PROPOSITIO II.
Omnis humidi conſiſtentis, atque manen-
tis
ſuperficies ſphærica eſt;
cuius ſphæræ centrũ
eſtidem
, quod centrum terræ.
INTELLIGATVR humidũ conſiſtens, manẽsq; :
&
ſecetur ipſius ſuperficies plano per centrum terræ du-
cto
.
ſit autem terræ centrum k: & ſuperficieiſectio, linea
a
b c d.
Dico lineam a b c d circuli circunferentiam eſſe, cu
ius
centrum k.
Si enim non eſt, rectæ lineæ à puncto k ad
lineam
a b c d ductæ non erunt æquales.
Sumatur recta li
nea
quibuſdam quidem à puncto k ad ipſam a b c d ductis
maior
;
quibuſdam uero minor; & ex centro k,
152DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. loq; lineæ ſumptæ circulus deſcribatur. cadet ergo ipſius
circunferentia
partim
5[Figure 5] extra lineam a b c d, par
tim
intra;
quoniam ea,
quæ
ex centro quibuſ-
dam
quidem à puncto
k
ad ipſam ductis eſtma
ior
;
& quibuſdam mi-
nor
.
Itaq; ſit circuli de-
ſcripti
circunferentia
fb
h:
& ex b ad k ducta
linea
, iungãtur fk k h e,
quæ
angulos æquales faciant.
deſcribatur autem & ex cen
tro
k circunferentia quædam x o p in plano, &
in humido.
ergo partes humidi, quæ ſunt ad circunferentiam x o p æ-
qualiter
iacent, ac continuatæ inter ſe ſe:
& premũtur qui
dem
partes, quæ ad x o circunferentiam, humido, quod lo
co
a b continetur:
quæ uero ad circunferentiam o p pre-
muntur
humido, quod continetur b e.
inæqualiter igitur
premuntur
partes humidi ad cir cunferentiã x o, &
ad o p.
quare
minus preſſæ à magis presſis expellentur.
non er-
go
conſiſtet humidum.
Atqui ponebatur conſiſtens, & ma
nens
.
neceſſarium eſt igitur lineam a b c d eſſe circuli cir
cunferentiam
, cuius centrum k.
Similiter autem demon-
ſtrabitur
, &
ſi quomodocunque aliter ſuperficies humidi
plano
ſecta fuerit per centrum terræ ſectionem circuli cir
cunferentiam
eſſe:
& centrum ipſius eſſe, quod & terræ cen
trum
.
Ex quibus conſtat ſuperficiem humidi conſiſtentis,
11Prima hu
ius
.
atque manentis ſphæricam eſſe:
& eius ſphæræ centrum
idem
, quod centrum terræ:
quoniam eiuſmodi eſt, ut ſecta
per
idem ſemper punctum ſectionem faciat circuli circun
ferentiam
, centrum habentis punctum illud, per quod ipſa
plano
ſecatur.
16ARCHIMEDIS
PROPOSITIO III.
Solidarvm magnitudinum, quæ æqualẽ
molem
habentes æque graues ſunt, atque humi-
dum
;
in humidum demiſſæ demergentur ita, vt
ex
humidi ſuperficie nihil extet:
non tamen ad
huc
deorſum ferentur.
SIT magnitudo aliqua æque grauis, atque humidum:
& ſi fieri poteſt, in humidum demiſſa extet ex ſuperficie ip
ſius
:
conſiſtat autem humidum, maneatq; : & intelligatur
aliquod
planum ductũ
6[Figure 6] per cẽtrum terræ, &
hu
midi
, ac per ſolidam ma
gnitudinem
, ut ſit ſuper
ficiei
quidem humidi ſe
ctio
a b c d;
ſolidæ uero
magnitudinis
inſiden-
tis
e h t f;
& terræ cen-
trum
k:
ſitq; ſolidæ ma-
gnitudinis
pars, quæ in
humido
eſt, b h t c;
&
quæ
extra humidum b e f c.
intelligatur etiam ſolida figu-
ra
comprehenſa pyramide, baſim quidem habente paralle
logrammum
, quod eſt in ſuperficie humidi;
uerticem au-
tem
centrum terræ:
ſitq; ſectio plani, in quo eſt a b c d cir-
cunferentia
, &
planorum pyramidis k l, k m: & deſcriba-
tur
quædam alterius ſphæræ ſuperficies x o p circa centrũ
k
, in humido ſub e f h t, ut ſit ipſa x o p ſectio facta à ſuper fi
cie
plani.
Sumatur præterea alia quædam pyramis æqua-
lis
, &
ſimilis comprehendenti ſolidam figuram, ipſi
173DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. iuncta, & continuata: ſitq; ſectio planorũ ipſius K m K n:
& in humido intelligatur quædam magnitudo r s q y ex ip
ſo
humido conſtans, æqualis, &
ſimilis ſolidæ b h t c, quæ
quidem
pars eſt ſolidæ magnitudinis in humido demerſa.

partes
igitur humidi, quæ ſcilicet in prima pyramide ſuper
ficie
x o continetur, &
quæ in altera continetur p o, æquali
ter
ſunt poſitæ, &
continuatæ ſed non ſimiliter premun-
tur
.
nam contenta quidem x o, premitur ſolido e h t f, &
humido
interiecto inter ſuperficies x o, l m, &
plana pyra-
midis
;
contenta uero p o premitur ſolido r s q y, & humi-
do
inter ſuperficies o p, m n, &
pyramidis plana interiecto.
minor
autem eſt grauitas humidi, quod eſt inter m n, o p,
quàm
eius, quod inter l m, x o.
ſolidum enim r s q y eſt mi
nus
ſolido e h t f:
cum ſit æquale ipſi b h t c; quia magnitu
dine
æquale, &
æque graue ponitur ſolidum, atque humi-
dum
:
reliquum autem reliquo inæquale eſt. conſtatigitur
partem
contentã ſuperficie o p, expelli ab ea, quæ ipſa x o
continetur
:
& non conſiſtere humidum. ponebatur au-
tem
conſiſtens, &
manens: non ergo ex ſuperficie humidi
extat
aliquid ſolidæ magnitudinis.
ſed neque demerſum
ſolidum
ad inferiora feretur.
Similiter enim prementur
omnes
partes humidi æqualiter poſitæ, cum ſolidum ſit æ-
que
graue, atque humidum.
PROPOSITIO IIII.
Solidarvm magnitudinum, quæcunque
leuior
humido fuerit, demiſſa in humidum non
demergetur
tota, ſed aliqua pars ipſius ex humi-
di
ſuperficie extabit.
SIT magnitudo ſolida humido leuior; & demiſſa in hu
midum
demergatur tota, ſi fieri poteſt, ut nulla pars
18ARCHIMEDIS extet ex humidi ſuperficie. conſiſtat autem humidum, ma
neatq
;
: & intelligatur aliquod planum ductum per centrũ
terræ
, per humidum, &

7[Figure 7] per magnitudinem ſoli-
dam
:
à quo ſuperficies
quidem
humidi ſecetur
ſecundum
circunferen-
tiam
a b c;
ſolida autem
magnitudo
ſecundum fi
guram
, in qua r:
& cen-
trum
terræ ſit K.
Intelli
gatur
etiam quædam py
ramis
comprehendens
figuram
r, ſicuti prius, quæ pũctum K pro uertice habeat:
fecenturq; ipſius plana à ſuperficie plani a b c ſecundum
a
K K b:
& ſumatur pyramis alia æ qualis, & ſimilis ſuperio
ri
, cuius plana ſecentur à plano a b c, ſecundum b K K c:

deinde
alterius ſphæræ ſuperficies quædam deſcribatur in
humido
circa centrum K, ſub ſolida magnitudine:
& ſece-
tur
ab eodem plano ſecundum x o p:
poſtremo intelliga-
tur
alia magnitudo h in poſteriori pyramide, quæ ex humi
do
conſtet, &
ſolidæ magnitudini r ſit æ qualis. partes igi-
tur
humidi, &
quæ in prima pyramide continetur ſuperfi-
cie
x o;
& quæ in ſecunda ſuperficie o p continetur, æquali
ter
iacent, &
continuatæ inter ſe ſe; non tamen ſimiliter
premuntur
:
nam quæ eſt in prima pyramide premitur ma
gnitudine
ſolida r, &
humido cõtinente ipſam, quod eſt in
loco
pyramidis a b o x:
quæ uero in altera pyramide pre-
mitur
ſolida magnitudineh, &
humido ipſam continente
in
loco pyramidis p o b c.
At grauitas ſolidæ magnitudi-
nis
r, minor eſt grauitate humidi, in quo h:
quoniam ma-
gnitudo
ſolida mole quidem æqualis, &
humido leuior po
nitur
:
grauitas autem humidi continentis magnitudines
r
h eſt æqualis;
cum pyramides æquales ſint. magis
194DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. premitur pars humidi, quæ eſt ſub ſuperficie o p. quare ex-
pellet
partem minus preſſam, &
non manebit humidum.
ponebatur autem manens. non igitur demergetur tota,
ſed
aliqua pars ipſius ex humidi ſuperficie extabit.
PROPOSITIO V.
Solidarvm magnitudinum quæcunque le
uior
humido fuerit, demiſſa in humidum vſque
demergetur, vt tanta moles humidi, quanta
eſt
partis demerſæ, eandem, quam tota magnitu-
do
, grauitatem habeat.
DISPONANTVR eadem, quæſupra: ſitq; humi-
dum
manens:
& magnitudo e h t f humido leuior. Si igitur
humidum
manet, ſimiliter prementur eius partes, quæ æ-
qualiter
iacent.
ſimiliter ergo premetur humidum ſub ſu-
perficiebus
x o o p.
8[Figure 8] quare æ qualis eſt graui-
tas
, qua premuntur.
eſt
autem
&
grauitas humi
di
, quod in prima pyra-
mide
abſque ſolido b h
t
c, æqualis grauitati hu
midi
, quod in altera py-
ramide
abſq;
r s q y hu-
mido
.
perſpicuum eſt
igitur
grauitatem ma-
gnitudinis
e h t f grauitati humidi r s q y æqualem eſſe.
ex
quibus
conſtat, tantam humidi molem, quanta eſt pars de
merſa
ſolidæ magnitudinis, eandem, quam tota magnitu-
do
habere grauitatem.
20ARCHIMEDIS
PROPOSITIO VI.
Solidae magnitudines humido leuiores, in
humidum
impulſæ ſurſum feruntur tanta ui, quã
to
humidum molem habens magnitudini æqua-
lem
, grauius eſt ipſa magnitudine.
SIT enim magnitudo aleuior humido: & ſit magnitu
dinis
quidem a grauitas b:
humidi uero molem habentis
æqualem
ipſi a, grauitas ſit b c.
demonſtrandum eſt magni
tudinem
a in humidum impulſam tanta ui ſurſum ferri,
quanta
eſt grauitas c.
accipiatur enim quædam magnitu-
do
, in qua d habens grauitatem ipſi c æqualem.
Itaque
magnitudo
ex utriſque magnitudinibus conſtans, in qui-
bus
a d, leuior eſt humido:
nam magnitudinis quidem quæ
ex
utriſque conſtat grauitas eſt b c;
humidi uero habentis
molem
ipſis æ qualem grauitas maior eſt, quàm b c:
quo-
niam
b c grauitas eſt humidi
9[Figure 9] molẽ habentis æqualem ipſia.
Si ergo demittatur in humidũ
magnitudo
ex utriſque a d con
ſtans
;
uſque demergetur, ut
tanta
moles humidi, quanta eſt
pars
magnitudinis demerſa
dem
, quam tota magnitudo
grauitatem
habeat.
hoc enim
iam
demonſtratum eſt.
ſit autẽ
ſuperſicies
humidi alicuius a b
c
d circunferentia.
Quoniam igitur tanta moles humidi,
quanta
eſt magnitudo a grauitatem habet eandem, quam
magnitudines
a d:
perſpicuum eſt partem ipſius demer-
ſam
eſſe magnitudinem a;
reliquam uero d totam ex
215DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. midi ſuperficie extare. Quare conſtat magnitudinem a
tanta
ui ſurſum ferri, quãta deorſum premitur ab eo, quod
eſt
ſupra;
uidelicet à d, neutra ab altera expellatur, ſed
d
fertur deorſum tanta grauitate, quanta eſt c:
ponebatur
enim
grauitas eius, in quo d ipſi c æqualis.
patet igitur
illud
quod demonſtrare oportebat.
PROPOSITIO VII.
Solidae magnitudines humido grauiores
demiſſæ
in humidum ferentur deorſum, donec
deſcendant
:
& erunt in humido tanto leuiores,
quanta
eſt grauitas humidi molem habentis ſoli-
magnitudini æqualem.
SOLIDAS magnitudines humido grauiores, in hu-
midum
demiſſas deorſum quidam ferri, donec deſcẽdant,
manifeſtum
eſt:
partes enim humidi, quæ ſub eis ſunt, pre-
muntur
magis, quàm partes æqualiter ipſis adiacentes;
quoniam magnitudo ſolida humido grauior ponitur: le-
uiores
autem eſſe uti dictum eſt, demonſtrabitur hoc mo-
do
.
Sit enim aliqua ma-
10[Figure 10] gnitudo a grauior hu-
mido
:
& fit magnitudi-
nis
quidem a grauitas
b
c:
humidi uero molẽ
habentis
æqualem ipſi a
grauitas
ſit b.
demon-
ſtrandum
eſt magnitudi
nem
a in humido exiſtē
tem
habere grauitatem
æqualem
ipſi c.
Accipia
tur
enim alia aliqua magnitudo, in qua d, leuior humido;
22ARCHIMEDIS cuius grauitas ſitipſi b æqualis: humidi ucro molem ha-
bentis
æqualem magnitudini d, ſit grauitas æqualis b c.
Itaque compoſitis magnitudinibus a d, magnitudo ex
utriſque
conſtans æque grauis erit, atque ipſum humidũ:

grauitas
enim utrarũque magnitudinum eſt æqualis utriſ-
que
grauitatibus, uidelicet b c, &
b: grauitas autem humi
di
habentis molem æqualem utriſque magnitudinibus, eſt
eiſdem
grauitatibus æqualis.
Demisſis igitur magnitudini
bus
, &
in humidum proiectis æque graues erunt, atque hu
midum
:
neque ſurſum, neque deorſum ferentur: quoniam
magnitudo
quidem a
11[Figure 11] grauior humido feretur
deorſum
;
& eadem ui à
magnitudine
d ſurſum
retrahetur
:
magnitudo
autem
d humido leuior
feretur
ſurſum tanta ui,
quanta
eſt grauitas c:
demõſtratũ enim eſt ma
116. huius. gnitudines ſolidas hu-
mido
leuiores, impulſas
in
humidum tanta uiretrahi ſurſum, quanto humidum ha
bens
molem magnitudini æqualem grauius eſt ipſa magni
tudine
.
Athumidum molem habens æqualem d, grauius
eſt
, quam d, ipſa c grauitate.
Conſtatigitur magnitudinem
a
deorſum ferri tanta grauitate, quanta eſt c.
quod de-
monſtrare
oportebat.
POSITIO II.
Ponatvr eorum, quæ in humido ſurſum
feruntur
, vnumquodque ſurſum ferri ſecundum
perpendicularem
, quæ per centrum grauitatis ip
ſorum
ducitur.
236DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
COMMENTARIVS.
AT ucro ea, quæ feruntur deorſum, ſecundum perpendicula-
rem
, quæ per centrum grauit atis ipſorum ducitur, ſimiliter ferri,
uel
tanquam notum, uel ut ab alijs poſitum prætermiſit.
PROPOSITIO VIII.
SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido,
11A quæ figuram portionis ſphæræ habeat, in humi-
22B dum demittatur, ita vt baſis portionis non tan-
gat
humidum:
figura inſidebit recta, ita vt axis
portionis
ſit ſecundum perpendicularem.
Et ſi
ab
aliquo inclinetur figura, vt baſis portionis hu-
midum
cõtingat;
non manebit inclinata ſi demit
tatur
, ſed recta reſtituetur.
[INTELLIGATVR quædam magnitudo, qualis
33Suppleta
a
Federi-
co
Cõm.
dicta eſt, in humidum demiſſa:
& ducatur planum per axẽ
portionis
, &
per terræ
12[Figure 12] centrum, ut ſit ſuperfi-
ciei
humidi ſectio circũ
ferentia
a b c d:
& figu-
ſectio e f h circunfe-
rentia
:
ſit autem e h
recta
linea;
& f t axis
portionis
.
Si igitur in-
clinetur
figura, ita ut a-
xis
portionis f t non ſit
ſecundum
perpendicu-
larem
.
demonſtrandum eſt, non manere ipſam figu-
ram
;
ſed in rectum reſtitui. Itaque centrum ſphæræ
24ARCHIMEDIS in linea ft. nam ſit primum figura maior dimidia ſphære:
ſitq; in dimidia ſphæra ſphæræ centrum t; in minori por-
tioneſit
centrum p;
& in maiori _k_: per _k_ uero, & terræ cen
trum
l ducatur _k_ l ſecans circunferentiam e f h in pun-
cto
n.
Quoniam igitur unaquæque ſphæræportio axem
11C habet in linea, quæ à cẽtro ſphæræ ad cius baſim perpen-
dicularis
ducitur:
habetq; in axe grauitatis centrum:
portionis in humido demerſæ, quæ ex duabus ſphæræ
portionibus
conſtat, axis erit in perpendiculari per _k_ du-
cta
.
& idcirco centrum grauitatis ipſius erit in linea n _k_,
quod
ſit r.
ſed totius portionis grauitatis centrum eſt in li
22D nea f t inter _k_, &
f, quod ſit x. reliquæ ergo figuræ, quæ eſt
33E extra humidum, centrum erit in linea r x producta ad par
tes
x;
& aſſumpta ex ea, linea quadam, quæ ad r x eandem
proportionem
habeat, quam grauitas portionis in humi-
do
demerſæ habet ad grauitatem figuræ, quæ eſt extra hu-
midum
.
Sit autem s centrum dictæ figuræ: & per s duca-
tur
perpendicularis l s.
Feretur ergo grauitas figuræ qui-
44F dem, quæ extra humidum per rectam s l deorſum;
portio
nis
autem, quæ in humido, ſurſum per rectam r l.
quare
non
manebit figura:
ſed partes eius, quæ ſunt ad e, deor-
ſum
;
& quæ ad h ſurſum ſerẽtur: idq; cõtinenter fiet, quoad
ſ
t ſit ſecundum perpendicularem.
Eodem modo in aliis
portionibus
idem demonſtrabitur.
]
13[Figure 13]
257DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
COMMENTARIVS.
H_VIVS_ propoſitionis demonſtratio iniuria temporum deſidera-
tur
, quam nos ita reſtituimus, ut ex figuris, quæ remanſerunt Archi
medem
ſcripſiſſe colligi potuit:
neque enim eas immutare uiſum est,
quæ
uero ad declarationem, explicationémque addenda fuerant, in
commentarijs
ſuppleuimus, id quod etiam præstitimus in ſecunda
propoſitione
ſecundi libri.
_SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido. ]_ Ea uerba,
11A leuior bumido, nos addidimus, quæ in translatione non erant;
quo-
niam
de eiuſmodi magnitudinibus in bac propoſitione agitur.
In humidũ demittatur, ita ut baſis portionis tangat hu
22Bmidum.
] _Hoc est in humidum ita demitt atur, ut baſis ſurſum ſpe_
_ctet
;
uertex autem deorſum. quod quidem opponitur ei, quod in ſe-_
_quenti
dixit._
In humidum demittatur, ita ut baſis tota ſit in
humido
.
_His enim uerbis ſignificat portionem oppoſito modo in_
_humidum
demitti, ut ſcilicet uertex ſurſum;
baſis autem deorſum_
_uergat
.
eodem dicendi modo frequenter uſus est in ſecundo libro; in_
_quo
de portionibus conoidis rectangulitractatur._
_Quoniã igitur unaquæq; ſphæræ portio axẽ habet in linea,_
33C _quæ à cẽtro ſphæræ ad eius baſim perpẽdicularis ducitur.
]_
Iungatur
enim b c, &
k l ſecet circunferentiam a b c d in puncto g;
lineam uero rectam b c in m. & quoniam duo circuli a b c d, e f b
ſecant
ſe ſe in punctis b c;
recta linea, quæ ipſorum centra coniun-
git
, uidelicet k l lineam b c bifariam, &
ad angulos rectos ſecat:
ut
in commentarij s in Ptolemæi planiſpbærium oſtendimus.
quare
portionis
circuli b n c diameter eſt m n;
& portionis b g c diame-
4429. primi ter m g:
nam rectæ lineæ, quæ ipſi b c æquidistantes ex utraque
parte
ducuntur, cum linea n g rectos angulos faciunt;
& idcirco ab
553. tertii. ipſa bifariam ſecantur.
portionis igitur ſpbæræ b n c axis eſt n m;
& portionis b g c axis m g. ex quo ſequitur, portionis in bumido
demerſæ
axem eſſe in linea k l;
ipſam ſcilicet n g. & cum grauita-
tis
centrum cuius libet ſpbæræ portionis ſit in axe;
quod nos in
26ARCHIMEDIS @e centro grauitatis ſolidorum demonstrauimus: erit magnitudi-
nis
ex utriſque portionibus b n c, b g c conſtantis;
hoc eſt portionis
in
humido demerſa grauitatis centrum in linea n g, quæ ipſarum
ſphæræ
portionum centra graui-
14[Figure 14] tatis coniungit.
ſi enim fieri po-
teſt
, ſit extra lineam n g, ut in
q
:
sîtq; portionis b n c centrum
grauitatis
u;
& ducatur u q.
Quoniam igitur à portione in bu-
mido
demerſa aufertur ſphæræ
portio
b n c, non habens idem cen
trum
grauitatis:
erit ex octaua
primi
libri Archimcdis de centro
grauitatis
planorum, reliquæ por
tionis
b g c centrum in linea u q
producta
.
quod fieri non potest; eſt enim in axe ipſius mg. sequi-
tur
ergo ut portionis in humido demerſæ centrum grauitatis ſit in li
nean
k.
quod oſtendendum propoſuimus.
_Sed totius portionis grauitatis centrum eſt in linea ft, in-_
11D _ter_ k, _&
f, quod ſit x. ]_ Compleatur ſphæra, ut ſit portionis additæ
axis
t y;
& centrú grauitatis z. Itaque quoniá à tota ſphæra, cuius
grauitatis
cétrum eſt k, ut etiam in eodem libro demóſtrauimus, au
228. primi
Archime

dis
.
fertur portio e y h centrú grauitatis habens z:
erit reliquæ portionis
e
f h cétrú in linea z k producta.
quare inter k. & f neceſſario cadet.
Reliquæ ergo figuræ, quæ eſt extra humidum, centrum erit
33E in linea r x producta.
] _Ex eadem octaua primi libri Archime-_
_dis
de centro grauitatis planorum._
_Feretur ergo grauitas, figuræ quidem quæ extra humi_-
44F _dum per rectam s l deorſum;
portionis autem, quæ in_
_humido
ſurſum per rectam r l.
]_ Ex antecedenti poſitio-
ne
.
magnitudo @enim, quæ in humido demerſa est, tanta ui per li-
neam
r l ſurſum@fertur, quanta quæ extra humidum per li-
neam
s l, deorſum:
id quod ex propoſitione ſexta huius li-
briconſtare
poteſt.
& quoniam feruntur per alias, atque alias
278DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. neas; neutra alteri obſistit, quo minus moueatur; ídq; continenter
fiat
, dum portio in rectum fuerit conſtituta:
tunc enim utrarumque
magnitudinum
grauitatis centra in unam, eandémq;
perpendicula-
rum
conueniunt, uidelicet in axem portionis:
& quanto conatu, im
petùue
ea, quæ in humido eſt ſurſum, tanto quæ extra humidum de-
orſum
per eandem lineam contendit.
quare cum altera alteram non
ſuperet
, non amplius mouebitur portio;
ſed conſiſtet, manebítq; in
eodem
ſemper ſitu;
niſi forte aliqua cauſſa extrinſecus acceſſerit.
PROPOSITIO IX.
Qvòd ſi figura humido leuior in humidum
demittatur
, ita ut baſis tota ſit in humido;
inſide
bit
recta, ita ut axis ipſius ſecundum perpendicu
larem
conſtituatur.
INTELLIGATVR enim magnitudo aliqua, qua-
lis
dicta eſt, in humidum demiſſa:
& intelligatur planum
per
axem portionis, &
per centrum terræ ductum: ſitq; ſu
perficiei
quidem humidi ſectio a b c d circunferentia;
figu
autem ſectio circun ferentia e f h:
& ſit e h recta linea:
& axis portionis f t. Si igitur fieri poteſt, non ſit f t ſecun
dum
perpendicularem.
15[Figure 15]
Demonſtrandum eſt non
manerefiguram
;
ſed in re
ctum
reſtitui.
eſt autem
centrum
ſphæræ in linea
f
t:
rurſus enim ſit figu-
ra
primo maior dimidia
ſphæra
:
& ſphæræ centrũ
in
dimidia ſphæra ſit pun-
ctum
t;
in minore portione p; in maiori uero ſit _k_: & per
_k_
, &
terræ centrum l ducatur _k_ l. Itaque figura quæ eſt
11A
28ARCHIMEDIS extra humidi ſuperficiem, axem habetin perpendiculari
per
_k_:
& propter ea, quæ ſuperius dicta ſunt, centrum gra-
uitatis
ipſius eſt in linea n _k_, quod ſitr;
totius autem por-
tionis
centrum grauitatis eſt in linea f t, inter _k_ &
f, quod
ſit
x.
reliquæ ergo figuræ, eius ſcilicet, quæ eſt in humido,
centrum
erit in rectalinea r x producta ad partes x;
& aſ-
16[Figure 16] ſumpta ex ea linea quadam, quæ ad x r eandem habeat pro
portionem
, quam grauitas portionis, quæ eſt extra humi-
dum
, ad grauitatem figuræ, quæ in humido.
Sit autem o
centrum
dictæ figuræ:
& per o perpendicularis ducatur
l
o.
Feretur ergo grauitas portionis quidem, quæ eſt ex-
tra
humidum, per rectam r l deorſum;
figuræ autem, quæ
in
humido, per rectam o l ſurſum.
non manet igitur flgu-
ra
;
ſed partes eius, quæ ſuntad h, deorſum ferẽtur; & quæ
ad
e ſurſum.
atque hoc ſemper erit, donec f t ſecundum
perpendicularem
fiat.
COMMENTARIVS.
ITAQVE figura, quæ extra humidi ſuperficiem,
11A axem habet in perpendiculari per _k_.
]
D_vcatvr_ enim b c, quæ ſecet lineam n k in m: ipſa uero
n
k circunferentiam a b c d ſecet in g.
eodem modo, quo ſupra,
299DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. monſtrabimus portionis ſphæræ b n c axem eſſe ipſam n m: &
portionis
b g c axem g m.
17[Figure 17] quare centrum grauitatis utri
uſque
, erit in linea n m.
&
quoniam
à portione b n c au-
fertur
portio b g c, non ha-
bens@idem
grauitatis centrú:
reliquæ magnitudinis, quæ est
extra
humidi ſuperficiem, cen-
trum
grauitatis erit in linea
n
k;
quæ ſcilicet earum portionum centra grauitatis coniungit: ex
eadem
octaua Archimedis.
30
ARCHIMEDIS DE IIS
QVAE
VEHVNTVR IN AQVA
LIBER
SECVNDVS.
CVM COMMENTARIIS FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS.
PROPOSITIO I.
SI magnitudo aliqua humido
leuior
demittatur in humi-
dum
, eam in grauitate pro-
portionem
habebit ad humi-
dum
æqualis molis, quã pars
magnitudinis
demerſa habet
ad
totam magnitudinem.
DEMITTATVR enim in humidum aliqua magni-
tudo
ſolida, quæ ſit fa, leuior humido:
& pars quidem ip-
ſius
demerſa ſit a;
quæ autem extra humidum f. demon-
ſtrandum
eſt, ma
18[Figure 18] gnitudinem f a
ad
humidum æ-
qualis
molis eam
in
grauitate pro-
portionem
habe
re
, quam habet
a
ad fa.
accipiatur enim aliqua humidi magnitudo n
3110DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. æqualis magnitudini f a; ſitq, ipſi f æqualis n: & ipſi a æ-
qualis
i.
magnitudinis autem f a grauitas ſit b: & magni-
tudinis
n i grauitas o r;
& ipſius i ſit r. magnitudo igi-
tur
f a ad n i eam proportionem habet, quam grauitas b
ad
grauitatem or.
Sed quoniam magnitudo f a in humi-
dum
demiſſa leuior eſt humido;
patet tantam humidi mo-
lem
, quanta eſt pars magnitudin_i_s demerſa, eandem quam
magnitudo
f a habere grauitatem.
hoc enim ſuperius de-
115. priml
huius
.
monſtratum eſt.
Atipſi a reſpondet humidum i, cuius qui
dem
grauitas eſt r;
& ipſius f a grauitas b. ergo b graui-
tas
eius, quod habet molem æqualem toti magnitudini
f
a, æqualis erit grauitati humidi i, uidelicetipſi r.
Et quo
niam
ut magnitudo f a ad humidum n i ſibi reſpondens,
ita
eſt b ad o r:
eſt autem b æqualis ipſi r: & utr ad o r, ita
i
ad n i;
& a ad f a. Sequitur ut f a ad humidum æqualis
2211. quinta molis eam in grauitate proportionem habeat, quam ma-
gnitudo
a habet ad f a.
quod demonſtrare oportebat.
PROPOSITIO II.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
33A axem habuerit minorem, quam ſeſquialterum
eius
, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem
habens ad humidum in grauitate;
demiſ
ſa
in humidum, ita ut baſis ipſius humidum non
contingat
;
& poſita inelinata, non manebit incli
nata
;
ſed recta reſtituetur. Rectam dico conſi-
ſtere
talem portionem, quando planum quod ip
ſam
ſecuit, ſuperficiei humidi fuerit æquidiſtans.
SIT portio rectanguli conoidis, qualis dicta eſt; &
32ARCHIMEDIS ceatinclinata. Demonſtrandum eſt non manere ipſam; ſed
rectam
reſtitui.
Itaque ſecta ipſa plano per axem, recto ad
planum
, quod eſt in ſuperficie humidi, portionis ſectio ſit
a
p o l rectanguli coni ſectio:
axis portionis, & ſectionis
diameter
n o:
ſuperficiei autem humidi ſectio ſit i s. Si
igitur
portio non eſt recta;
non utique erit a l ipſi i s æ-
quidiſtans
.
quare n o cum i s non faciet angulos rectos.
ducatur crgo k ω contingens ſectionem coni in p [quæ
11Suppleta
a
. Federi-
co
Cõm.
ipſi i s æquidiſtet:
& à puncto p ad i s ducatur p f æquidi
ſtans
ipſi o n, quæ erit ſectionis i p o s diameter, &
axis por
22B tionis in humido demerſæ.
ſumantur deinde centra graui
tatum
:
ſitq; ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrũ
33C r;
ipſius uero i p o s centrum ſit b: & iuncta b r produca-
44D tur ad g, quod ſit centrum grauitatis reliquæ figuræ i s l a.
Quoniam igitur n o ipſius quidem r o ſeſquialtera eſt;
eius
autẽ, quæ uſque ad axẽ minor, quam ſeſquialtera;
erit
55E r o minor, quàm quæ uſque ad axem.
Quare angulus r p ω
66F acutus erit:
cum enim linea, quæ uſque ad axem maior ſit
ipſa
r o;
quæ à puncto r ad k ω perpendicularis ducitur,
uidelicet
r t,
19[Figure 19] linea f p extra
ſectionem
con
ueniet
:
& pro-
pterea
inter p
&
ω puncta ca-
datneceſſe
eſt.
Itaq; ſi per b g
ducantur
lineæ
ipſi
r t æquidi-
ſtantes
;
angu-
los
rectos cum
ſuperficie
humidi continebunt:
& quod in humido eſt ſur-
77G ſum feretur ſecundum perpendicularem, quæ per b ducta
eſt
, ipſi r t æquidiſtans:
quod uero eſt extra humi dum
3311DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. cundum eam, quæ per g, deorſum ferctur; & non ita mane
bit
ſolidum a p o l:
nam quod eſt ad a feretur ſurſum; &
quod
ad b deorſum, donec n o ſecundum perpendicu-
larem
conſtituatur.
]
COMMENTARIVS.
D_esideratvr_ propoſitionis huius demonstratio, quam nos
etiam
ad Archimedis figuram appoſite restituimus, commentarijs-
que
illustrauimus.
_Recta portio conoidis rectanguli, quando axem habue_
11A _rit minorem, quàm ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axẽ]_
In
tranſlatione mendoſe legebatur.
maiorem quàm ſeſquialterum:
& ita legebatur in ſequenti propoſitione. est autem recta portio co
noidis
, quæ plano ad axem recto abſcinditur:
eâmque rectam tunc
conſiſtere
dicimus, quando planum abſcindens, uidelicet baſis pla-
num
, ſuperficiei humidi æquidiſtans fuerit.
Quæ erit ſectionis i p o s diameter, & axis portionis in
22B humido demerſæ] _ex_ 46 _primi conicorum Apollonij:
uel ex co-_
_rollario_
51 _eiuſdem_.
_Sitque ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrum r,_
33C _ipſius uero i p o s centrum ſit b.
]_ Portionis enim conoidis
rectanguli
centrum grauitatis eſt in axe, quem ita diuidit, ut pars
eius
, quæ ad uerticem terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim, ſit
dupla
:
quod nos in libro de centro grauitatis ſolidorum propoſitio-
ne
29 demonstrauimus.
Cum igitur portionis a p o l centrum gra-
uitatis
ſit r, erit o r dupla r n:
& propterea n o ipſius o r ſeſqui-
altera
.
Eadem ratione b centrum grauitatis portionis i p o s est in
axe
p f, ita ut p b dupla ſit b f.
_Etiuncta b r producatur ad g, quod ſit centrum graui_
44D _tatis reliquæ figuræ i s l a]_ Si enim linea b r in g producta, ha
beat
g r ad r b proportionem eam, quam conoidis portio i p o s ad
reliquam
figuram, quæ ex humidi ſuperficie extat:
erit punctum g
ipſius
grauitatis centrum, ex octaua Archimedis.
34ARCHIMEDIS
_Erit r o minor, quàm, quæ uſque ad axem]_ Ex decima
11E propoſitione quinti libri elementorum.
Linea, quæ uſque ad axem
apud
Archimedem, eſt dimidia eius, iuxta quam poſſunt, quæ à ſe-
ctione
ducuntur;
ut ex quarta propoſitione libri de conoidibus, &
ſphæroidibus
apparet.
cur uero ita appellata ſit, nos in commentarijs
in
eam editis tradidimus.
_Quare angulus r p ω acutus erit]_ producatur linea n o ad
22F h, ut ſit r h æqualis ei, quæ uſque ad axem.
ſi igitur à puncto h du-
catur
linea ad rectos angulos ipſi n h, conueniet cum f p extra ſe-
ctionem
:
ducta enim per o ipſi a l æquidiſtans, extra ſectionem ca
dit
ex decima ſepti-
20[Figure 20] ma primi libri coni-
corum
.
Itaque con-
ueniat
in u.
& quo
niam
f p est æqui-
distans
diametro;
h u uero ad diame-
trum
perpendicula-
ris
;
& r h æqualis
ei
, quæ uſq;
ad axẽ,
linea
à puncto r ad
u
ducta angulos re-
ctos
faciet cum ea, quæ ſectionem in puncto p contingit, hoc eſt cum
k
ω, ut mox demonstrabitur.
quare perpendicularis r t inter p &
ω
cadet;
erítque r p ω angulus acutus.
Sit rectanguli coni ſectio, ſeu parabole a b c, cuius
diameter
b d:
atque ipſam contingat linea e f in pun-
cto
g:
ſumatur autem in diametro b d linea h k æqua-
lis
ei, quæ uſque ad axem:
& per g ducta g l, diame-
tro
æquidistante, à puncto _k_ ad rectos angulos ipſi b d
ducatur
_k_ m, ſecans g l in m.
Dico lineam ab h
3512DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. m productam per pendicularem eſſe ad ipſam e f, quam
quidem
ſecet in n.
D_vcatvr_ enim à puncto g linea g o ad rectos angulos ipſi
e
f, diametrum in o ſecans:
& rurſus ab eodem puncto ducatur g p
ad
diametrum perpendicularis:
ſecet autem ipſa diameter producta
lineã
e f in q.
erit p b ipſi b q æqualis, ex trigeſimaquinta primi co
nicorum
:
& g p pro-
11cor. 8. ſe-
xti
.
21[Figure 21] portionalis ĩter q p, p o
quare
quadratũ g p re-
2217. ſextĩ. ctangulo o p q æquale
erit
:
ſed etiã æquale est
rectangulo
cõtento ipſa
p
b, &
linea, iuxta quã
poſſunt
, quæ à ſectione
ad
diametrũ ordinatim
ducuntur
, ex undecima
primi
conicorum.
ergo
3314. ſexti. quæ est proportio q p
ad
p b eadem est lineæ,
iuxta
quã poſſunt, quæ
à
ſectione ducũtur ad ip
ſam
p o:
est autem q p
dupla
p b:
ſint p b,
b
q æquales, ut dictum
est
.
Linea igitur iuxta
quam
poſſunt, quæ à ſe-
ctione
ducuntur ipſi-
us
p o dupla erit:
&
propterea
p o æqualis
ei
, quæ uſque ad axem,
uidelicet
ipſi k h:
ſed eſt p g æqualis k m; & angulus o p g angu-
4432. primi lo h k m;
quòd uterque rectus. quare & o g ipſi h m est œqualis:
554. primi.& angulus p o g angulo _k_ h m. æquidistantes igitur ſunt o g, h n:
6628
36ARCHIMEDIS angulus b n f œqualis angulo o g f: quòd cum ſit g o perpendi-
1129, primi cularis ad e f, &
h n ad eandem perpendicularis erit. quod de-
monstrare
oportebat.
Et quod in humido eſt ſurſum ſeretur ſecundum per-
22G pendicularem, quæ per b ducta eſtipſi rt æquidiſtans.
]
_Cur
hoc quidem ſurſum, illud uero deorſum per lineam perpen-_
_dicularem
feratur, diximus ſupra in octauam primi libri buius.
qua_
_re
neque in hac, neque in alijs, quæ ſequuntur, eadem iterare neceſſa_
_rium
exiſtimauimus._
PROPOSITIO III.
Recta portio conoidis rectanguli quando
axem
habuerit minorem, quam ſeſquialterum
eius
, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem
habens ad humidum in grauitate;
demiſ-
ſa
in humidum, ita ut baſis ipſius tota ſit in humi
do
;
& poſita inclinata, non manebit inclinata, ſed
ita
reſtituetur, ut axis ipſius ſecundum perpendi
cularem
fiat.
DEMITTATVR enim aliqua portio in humidum,
qualis
dicca eſt:
ſitq; ipſius baſis in humido: & ſecta ipſa
plano
per axẽ, recto ad ſuperficiẽ humidi, ſit ſectio a p ol
rectanguli
coniſectio:
axis portionis, & ſectionis diame-
ter
p f:
ſuperficiei autem humidi ſectio ſit is. Quòd ſi incli
nata
iaceat portio, non erit axis ſecundum perpendicula-
rem
.
ergo p f cum is angulos rectos non faciet. Itaque
ducatur
linea quædã k ω æquidiſtans ipſi is;
contingensq;
ſectionẽ ap ol in o: & ſolidæ quidẽ magnitudinis a p o l
ſit
r grauitatis centrum:
ipſius autem i p o s centrum
3713DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. b: iunctaq; br producatur: & ſit g centrum grauitatis
reliquæ
figuræ isla.
ſimiliter demonſtrabitur angulum
rok
acutu eſ-
22[Figure 22] ſe:
& perpendi
culare
ab r ad
k
ω ductam ca
dereinter
k &

o
, quæ ſit rt.
ſi autem à pun
ctis
g b ducan
tur
ipſi r t æqui
diſtantes
;
pars
quidem
ſolidæ
magnitudinis
,
quæ
in humido eſt, ſurſum feretur ſecundum perpendicu-
larem
per g ductam:
quæ autem extra humidum ſecundũ
perpendicularem
per b deorſum feretur:
& non manebit
ſolidum
a p o l ſic habens in humido:
ſed quod quidem
eſt
ad a feretur ſurſum:
quod autem ad l deorſum, donec
p
f fiat ſecundum perpendicularem.
PROPOSITIO IIII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
fuerit
humido leuior, &
axem habuerit maiorẽ,
qnàm
ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem:
ſi
in
grauitate ad humidum æqualis molis non mi-
norem
proportionem habeat ea, quàm quadra-
, quod fit ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter
eius, quæ uſque ad axẽ, habet ad qua-
dratum
, quod ab axe;
demiſſa in humidum,
38ARCHIMEDIS ut baſis ipſius humidum non contingat; & poſi-
ta
inclinata, non manebit inclinata, ſed recta re-
ſtituetur
.
SIT portio conoidis rectanguli, qualis dicta eſt: & de-
miſſa
in humidum, ſi fieri poteſt, non ſitrecta;
ſed inclina-
ta
:
ſecta autem ipſa plano per axem, recto ad ſuperficiem
humidi
, portionis quidem ſectio ſit rectanguli coni ſectio
a
p o l, axis portionis, &
ſectionis diameter n o; & ſuper-
ficiei
humidi ſectio ſit is.
ſi igitur portio non eſt recta,
faciet
n o cum is angulos æquales.
Ducatur k ω contin-
gens
rectanguli coni ſectionem in p;
æquidiſtanſq; ipſi
is
:
& à puncto p ipſi o n æquidiſtans ducatur p f. Itaque
ſumantur
centra grauitatum:
& ſolidi quidem a p o l cen
trum
ſit r;
eius autem, quod intra humidum, centrum b:
iunctaq; b r pro-
23[Figure 23] ducatur ad g, ut
g
ſit centrũ graui
tatis
ſolidi, quod
extra
humidum.
Quoniam igitur
n
o ipſius quidem
r
o ſeſquialtera ;

eius
autẽ, quæ uſ-
que
ad axẽ maior,
quàm
ſeſquialte-
ra
:
patet r o maio
1110. quinti rẽ eſſe, quàm quæ
uſq
;
ad axẽ. Sit ei,
22A quæ uſque ad axẽ
æqualis
r h:
& o h dupla ipſius h m. quòd n o ipſius r o
33B ſeſquialtera ſit;
item q; m o ipſius o h: & reliqua n m reli
4419. quinti quæ r h ſeſquialtera erit.
ergo axis tanto maior eſt,
3914DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem, quanta eſt linea m o.
Ponebatur autem portio ad humidum æqualis molis non
minorem
in grauitate proportionem habere, quam qua-
dratum
, quod fit ab exceſſu, quo axis eſt maior, quam ſeſ-
quialter
eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum, quod ab
axe
.
quare conſtat portionem ad humidum in grauitate
non
minorem proportionem habere, quàm quadratum li
neæ
m o ad quadratum ipſius n o.
Sed quam proportio-
nem
habet portio ad humidum in grauitate, eandem por-
tio
ipſius demerla habet ad totam portionem:
hoc enim
11C ſupra demonſtratum eſt:
& quam proportionem habet de
22D merſa portio ad totam, eam quadratum p f habet ad n o
quadratum
:
cum demonſtratum ſit in iis, quæ de conoidi
bus
, &
ſphæroidibus, ſi à rectangulo conoide duæ portio-
nes
planis quomodocunque ductis abſcindantur, portio-
nes
inter ſe eandem habere proportionem, qnàm quadra-
ta
, quæ ab ipſorum axibus conſtituuntur.
non minorem
ergo
proportionẽ habet quadratum pf ad quadratũ n o,
quàm
quadratum m o ad idem n o quadratum.
quare
33E p f non eſt minor ipſa m o;
nec b p item minor h o. Si
44F igitur ab h ducatur linea ad rectos angulos ipſi n o, coi-
55G bit cum b p, atque inter b, &
p cadet. coeat in t. & quo
66H niam p f quidem æquidiſtans eſt diametro, h t autem ad
diametrum
perpendicularis;
& r h æqualis ei, quæ uſque
ad
axem:
ducta linea ab r ad t & producta angulos rectos
faciet
cum linea ſectionem in puncto p contingente.
qua-
re
&
cum is, & cum humidi ſuperficie, quæ per is tran-
ſit
.
Itaque ſi per b g puncta lineæ ipſi r t æquidiſtantes du
cantur
, angulos rectos facient cum ſuperficie humidi:
&
quod
quidem in humido eſt ſolidum conoidis feretur ſur-
ſum
ſecundum eam, quæ per b ducta fuerit ipſi r t æquidi
ſtans
:
quod autem extra humidum, ſecundum eam, quæ
per
g deorſum feretur.
atque hoc tandiu fiet, quoad co-
noides
rectum conſtituatur.
40ARCHIMEDIS
COMMENTARIVS.
_Sit ei, quæ uſque ad axem æqualis r h. ]_ Ita legendum eſt,
11A non r m, ut tranſlatio habet, quod ex ijs, quæ ſequuntur, manifeſte
conſtare
poteſt.
_Et oh dupla ipſius h m. ]_ In tranſlatione mendoſe legeba-
22B tur, on dupla ipſius rm.
Hoc enim ſupra demonſtratum eſt. ] _In prima huius_.
33C
Et quam proportionem habet demerſa portio ad totã,
44D eam quadratum p f habet ad n o quadratum.
] _Hoc loco in_
_tranſlatione
non nulli deſider abantur, quænos reſtituimus.
Illud au_
_tem
ab Archimede demonſtratum eſt in libro de conoidibus &
ſphæ_
_roidibus
propoſitione_ 26.
_Quare p f non eſt minor ipſa m o. ]_ Nam ex decima quinti
55E ſequitur, quadratum p f non eſſe minus quadrato m o.
quare neque
linea
p f minor erit linea m o ex 22 ſexti.
_Nec b p item minor h o. ]_ Eſt enim ut p f ad p b, ita m o,
66F ad h o &
permutando, ut p f ad mo, ita b p, ad b o. ſed p f non
est
minor m o, ut oſtenſiim cst.
ergo neque b p ipſa h o minor erit.
7714. quinti
Si igitur ab h
88G24[Figure 24] ducatur linea ad
rectos
angulos ip
ſi
n o, coibit cum
b
p, atque inter
b
&
p cadet. ]
_Corruptus
erat hic_
_locus
in tranſlatio-_
_ne
.
Illud uero ita de-_
_monſtr
abitur.
Quo-_
_niam
p f non eſt mi-_
_nor
o m, nec p b ip-_
_ſa
h o;
ſi ponatur p f_
_æqualis
o m;
& p b,_
_ipſi
h o æqualis erit._
4115DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. _quare per o ductaipſi al æquidiſtans cadet extra ſectionem ex 17._
_primi conicorum: & cum b p producta coibit inſra p. ergò & per-_
_pendicularis
ducta per b cum eadem infra b coibit, at que inter b &_

_p
neceſſario cadet.
multo autem magis illud idem ſequetur, ſi pona-_
_mus
pf ipſa om maiorem eſſe._
Et quoniam p f quidem æquidiſtans eſt diametro, htau
11H tem ad diametrum perpendicularis;
& rh æqualis ei, quæ
uſque
ad axem, ducta linea ab r ad e, &
producta angulos
rectos
facere cum linea ſectionem in p contingente.
]
_Hoc
ſuperius à nobis demonſtratum eſt in ſecundam buins._
PROPOSITIO V.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem, quàm
ſeſquialterum
eius, quæ uſque ad axem;
ſi ad hu-
midum
in grauitate non maiorem proportionẽ
habeat
, quàm exceſſus, quo quadratum quod ſit
ab
axe maius eſt quadrato, quod ab exceſſu, quo
axis
maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque
ad
axem, ad quadratum, quod ab axe:
demiſſa in
humidum
, ita ut baſis ipſius tota ſit in humido;
& poſita inclinata non manebit inclinata, ſed re-
ſtituetur
ita, ut axis ipſius ſecundum perpendi-
cularem
fiat.
DEMITTATVR enim in humidum portio aliqna,
qualis
dicta eſt:
& ſit baſis ipſius tota in humido. Secta au-
tem
ipſa plano per axem, recto ad ſuperſiciem humidi, erit
ſectio
rectanguli coniſectio, quæ ſit apol:
axis
42ARCHIMEDIS& ſectionis diameter no: ſuperſiciei autem humidi ſectio
ſit
is.
Quoniam igitur axis non eſt ſecundum perpendicu
larem
;
ipſa no cum is non faciet angulos æquales. Du-
catur
k ω contingens ſectionem apol in p;
atque ipſi is
æquidiſtans
:
per p autem ducatur p f æquidiſtās ipſi n o:
& ſumantur grauitatum centra: ſitq; ipſius a p o l ſolidi
centrum
r;
eius quod extra humidum ſit b: & iuncta br
producatur
adg,
25[Figure 25] quodſit centrum
grauitatis
ſolidi ĩ
humido
demerſi:
ſumatur præterea
r
h æ qualis ei, quæ
uſque
ad axẽ:
o h
autem
dupla ipſi-
us
h m;
& alia fiãt,
ſicuti
ſuperius di-
ctum
eſt.
Itaque
cum
portio ad hu
midum
in grauita
te
non maiorem
proportionem
ha
bere
ponatur, quã
exceſſus
, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad
ipſum
n o quadratum:
& quam proportionem in grauita
te
portio habet ad humidum æqualis molis, eandem ha-
beat
magnitudo portionis demerſa ad totam portio-
nem
, quod demonſtratum eſt in prima propoſitione:

magnitudo
demerſa non maiorem proportionem ha-
1111. quin-
ti
.
bebit ad totam portionem, quàm ſit dicta illa propor-
portio
.
quare non maiorem proportionem habet tota
22A portio ad eam quæ eſt extra humidum, quàm quadratum
no
ad quadratum m o.
habet autem tota portio ad eam,
33B quæ extra humidum proportionem eandem, quam
4316DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. dratum n o ad quadratum p f. quadratum igitur n o ad
quadratum
p f non maiorem proportionem habet, quàm
ad
quadratum m o.
ex quo eſſicitur, ut p f non ſit minor
11C ipſa o m;
neque p b ipſa o h. quæ ergo ab h ducitur ad
22D rectos angulos ipſi n o, coibit cum b p inter p &
b. co-
eatin
t.
& quoniam in rectanguli coniſectione p f eſt æqui
diſtans
diametro n o;
h t autem ad diametrum perpẽ-
dicularis
:
& r h æqualis ei, quæ uſque ad axem: conſtat r t
productam
ſacere angulos rectos cum ipſa k p ω.
quare
&
cum is. ergo rt perpendicularis eſt ad ſuperſiciem hu
midi
.
et ſi per b g puncta ducantur æquidiſtantes ipſirt,
ad
ſuperſiciem humidi perpendicular es erunt.
portio igi
tur
, qnæ eſt extra humidum, deorſum in humidum feretur
ſecundum
perpendicularem per b ductam;
quæ uero in-
tra
humidum ſecundum perpendicularem per g ſurſum
feretur
:
& non manebit ſolida portio a p o l, ſedintra hu
midum
mouebitur, donecutique ipſa n o ſecundum per-
pendicularem
ſiat.
COMMENTARIVS.
_Quare non maiorem proportionem habet tota portio_
33A _ad eam, quæ eſt extra humidum, quam quadratum n o ad_
_quadratum
m o]_ cum enim magnitudo portionis in bumidum
demerſa
ad totam portionem non maiorem proportionem babeat,
quàm
exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad ip-
ſum
no quadratum:
conuertendo per uigeſimáſextam quinti ele-
mentorum
ex traditione Campani, tota portio ad magnitudinem de
merſam
non minorem proportionem babebit, quàm quadratum n o
ad
exceſſum, quo ipſum quadratum no excedit quadratum m o.
In
telligatur
portio, quæ extra bumidum, magnitudo prima:
quæ in bu
mido
demerſa est, ſecunda:
tertia autem magnitudo ſit quadratum
mo
:
& exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o ſit
quarta
.
ex his igitur magnitudinibus, primæ & ſecundæ ad
44ARCHIME DIS dam non minor est proportio, quàm tertiæ & quartæ ad quartam;
est enim quadratum m o unà cum exceſſu, quo quadratum n o exce
dit
quadratum m o æquale ipſi n o quadrato.
quare per conuerſio
nem
rationis ex 30 eiuſdem, primæ &
ſecundæ ad primam non ma-
ior
proportio erit, quàm tertiæ &
quartæ ad tertiam: & idcirco to-
ta
portio ad portionem eam, quæ est extra bumidum non maiorem
proportionem
babebit, quàm quadratum n o ad quadratum mo.

quod
demonstrandum proponebatur.
Habet autem tota portio ad eam, quæ extra humidum
11B proportionem eandem, quam quadratum n o ad quadra
tum
p f.
] _Ex uigeſimaſexta libri de conoidibus, & ſpbæroi-_
_dibus
._
Ex quo eſſicitur, ut p ſ non ſit minor ipſa o m; neque
22C pb ipſa o h.
] _Sequitur illud ex decima & decimaquarta quinti,_
_
&
ex uigeſimaſecunda ſexti elementorum, ut ſuperius dictum eſt._
Quæ ergo ab h ducitur ad rectos angulos ipſi n o coi-
33D bit cum p b inter p &
b. ] _Cur boc ita contingat, nos proxi-_
_me
explicauimus._
PROPOSITIO VI.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem quidem
quàm
ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem,
minorem
nero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem
proportionem habeat, quam quindecim
ad
quatuor;
in humidum demiſſa adeo, ut baſis
ipſius
contingat humidum, nunquam conſiſtet
inclinata
ita, ut baſis in uno puncto humidum
contingat
.
4517DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
SIT portio, qualis dicta eſt, & in humidum demittatur,
ſicuti
diximus, adeo ut baſis eius in uno puncto contingat
humidum
.
demonſtrandum eſtnon manere ipſam portio-
nem
, ſed reuoluiita, ut baſis nullo modo humidi ſuperſicie
11A contingat.
Secta enim ipſa per axem, plano ad ſuper ſiciem
humidi
recto, ſit ſectio ſuperſiciei portionis a p o l re-
ctãguli
coni ſe
26[Figure 26] ctio:
ſuperſi-
ciei
humidi ſe-
ctio
ſit a s:
axis
autem
portio-
nis
, ac ſectio-
nis
diameter n
o
:
& ſccetur in
f
quidẽ ita, ut
o
f ſit dupla ip
ſius
ſn;
in ω ue
ro
, ut n o ad
f
ω eandem ha
beat
proportionem, quam quindecim ad quatuor:
& ipſi
n
o ad rectos angulos ducatur ω k.
Itaque quoniam n o
22B ad f ω maiorem habet proportionem, quàm ad eam, quæ
uſque
ad axem;
ſit ei, quæ uſque ad axem æqualis f b: & du
catur
p c quidem ipſi a s æquidiſtans, cõtingensq;
ſectio-
nem
a p o l in p;
pi uero æquidiſtans ipſi n o: & primum
ſecet
pi ipſam κ ω in h.
Quoniã ergo in portione a p o l,
33C quæ continetur recta linea, &
rectanguli coni ſectione, κ ω
quidem
æ quidiſtans eſtipſi a l;
p i uero diametro æquidi-
ſtat
:
ſecaturq; ab ipſa κ ω in h: & a s æquidiſtat contingen-
ti
in p:
neceſſarium eſtipſam p i ad p h uel ean dem pro-
portionem
habere, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem:
hocenim iam demonſtratum eſt. At uero n ω ſeſquialtera
eſt
ipſius ω o.
& pi igitur uel ſeſquialtera eſt ipſius h p;
uel
maior, quàm ſeſquialtera.
Quare ph ipſius h i aut du
44D
46ARCHIMEDIS pla eſt, aut minor, quàm dupla. Sit autem p t dupla t i. erit
centrum
grauitatis eius, quod eſt in humido, punctum t.
Itaque iuncta t f producatur; ſitq; eius, quod extra humi
dum
grauitatis centrum g:
& à puncto b ad rectos angu-
los
ipſi n o ducatur b r.
Quòd cum p i quidem ſit æqui-
diſtans
diametro n o:
br autem ad diametrum perpendi
cularis
.
& f b æqualis ei, quæ uſque ad axem: perſpicuum
eſt
f r productam æquales facere angulos cum ea, quæ ſe-
ctionem
a p o l in puncto p contingit.
quare & cum a s:
&
cum ſuperficie humidi. lineæ autem ductæ per tg æqui-
diſtantes
ipſi f r, erunt &

27[Figure 27] ad humidi ſuperficiẽ per-
pendiculares
:
& ſolidi
a
p o l magnitudo, quæ
intra
humidum ſurſum fe
retur
ſecundum perpen-
dicularem
per t ductam;
quæ uero extra humidum
ſecundum
eam, quæ per g
deorſum
feretur.
reuolue
11E tur ergo ſolidum a p o l:
& baſis ipſius nullo modo
humidi
ſuperficiem con-
tinget
.
At ſi pi lineam k ω
non
ſecet, ut in ſecunda
figura
;
manifeſtum eſt punctum t, quod eſt centrum gra-
uitatis
demerſæ portionis, cadere inter p &
i: & reliqua
ſimiliter
demonſtrabuntur.
COMMENTARIVS.
Demonſtrandum eſt non manere ipſam portionem, ſed
22A reuolui ita, ut baſis nullo modo ſuperficiem humidi con-
tingat
.
] _Hæcnos addidimus tanquam ab interprete omiſſa_.
4718DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
Itaque quoniam no ad f ω maiorem habetproportio-
11B nem, quam ad eam, quæ uſque ad axem.
] _Habet enim diame-_
_ter
portioms n o ad f ω proportionem eandem, quam quindeeim ad_
_quatuor
;
ad eam uero, quæ uſque ad axem minorem proportionem_
_habere
ponitur, quàm quindecim ad quatuor.
quare n o ad f ω ma_
_iorem
habebit proportionem, quàm ad eam, quæ uſque ad axem:
&_
_propterea
quæ uſque ad axem ipſa f ω maior erit_.
2210. quinti
Quoniam ergo in portione a p o l, quæ continetur re-
cta
linea, &
rectanguli coni ſectione, _k_ ω quidem æ quidi-
ſtans
eſt ipſi a l;
p i uero diametro æquidiſtat; ſecaturq;
ab ipſa k ω in h: & a c æquidiſtat contingenti in p neceſ-
ſarium
eſt ipſam p i ad p h uel eandem proportionem ha
bere
, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem.
hoc enim iam
demonſtratum
eſt] _Vbi hoc demonſtratum ſit uel ab ipſo Ar-_
_chimede
, uel ab alio, numdum apparet, quocircanos demonstra-_
_tionem
afferemus, poſteaquam non nulla, quæ ad eam pertinent ex-_
_plicauerimus_
.
LEMMAI.
Sint lineæ a b, a c angulum b a c continentes: & à
puncto
d, quod in linea a c ſumptum ſit, ducantur d e,
d
f utcunque ad ipſam a b.
Sumptis uero in eadem li.
nea quotlibet punctis g l, ducantur g h, l m ipſi d e
æquidistantes
;
& g k, l n æquidiſtantes f d. deinde à
punctis
d, g uſque ad lineam m l ducantur, d o p qui
dem
ſecans g h in o;
& g q, quæ æquidistent ipſi b a.
Dico
lineas, quæ inter æquidiſtantes ipſi f d ad eas, quæ
inter
æquidiſtantes d e interiiciuntur, uidelicet k n ad g q,
uel
ad o p;
f k ad d o; & f n ad d p eandem inter ſe ſe
proportionem
habere:
nempe eam, quã habet a f ad a e.
48ARCHIMEDIS Quoniam enim triangula afd, akg, anl ſi-
28[Figure 28] milia ſunt;
itémq; ſimilia efd, h k g, mnl:
erit ut af ad fd, ita ak ad kg; ut autem fd
114. ſexti. ad fe, ita kg ad kh.
quare ex æquali ut af
ad
fe, ita ak ad kh:
& per conuerſionem ra-
tionis
ut af ad ae, ita ak ad ah.
eodem
modo
oſtendetur, ut af ad a e, ita an ad am.
cum igitur an ad am ſit, ut a k ad a h; erit
2219. quinti reliqua kn ad reliquam h m, hoc eſt ad g q,
uel
o p, ut a n ad a m;
hoc estut a f ad a e.
rurſus a k ad a h est, ut a f ad a e. er-
go
reliqua f k ad e h reliquam, uidelicet
ad
do, ut a f ad a e.
Similiter demonſtrabi-
mus
ita eſſe fn ad d p.
quod quidem demonſtra
re
oportebat.
LEMMA II.
Sint in eadem linea a b puncta
29[Figure 29] duo r s ita diſpoſita, ut a s ad a r
eandem
proportionem habeat, quam
a
f ad ae:
& per r ducatur rtipſi
e
d æquidiſtans;
per s uero ducatur
s
t æquidiſtans fd, ita ut cum r t in
t
puncto conueniat.
Dico punctum t
cadere
in lineam a c.
Si enim fieri potest, cadat citra: & produca
tur
rt uſque ad ipſam a c in u.
deinde per u
ducatur
u x ipſi f d æquidiſtans.
Itaque ex
ijs
, quæ proxime demonstrauimus a x ad
4919DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. eam proportionem babebit, quam a f ad a e. Sed & eandem habet
a
s ad a r.
quare a s ipſi a x eſt æqualis, pars toti, quod fieri non
119. quinti poteſt.
Idem abſurdum ſequetur, ſi ponamus punctum t cadere ul-
tra
lineam a c.
neceſſarium igitur est, ut in ipſam a c cadat. quod
demonſtrandum
propoſuimus.
LEMMA III.
Sit parabole, cuius diameter a b: atque eam cŏtingen
tes
rectæ lineæ a c, b d;
a c quidem in puncto c, b d ue
ro
in b:
& per c ductis duabus lineis; quarum alter a c e
diametro
æquidiſtet, alter a c f æquidiſtet ipſi b d:
ſuma
tur
quod uis punctum g in diametro:
fiatque ut f b, ad
b
g, ita b g ad b h:
& per g h ducantur g k l, h e m,
æquidiſtantes
b d:
per m uero ducatur m n o ipſi a c
æquidistans
, quæ diametrum ſecet in o:
& per n ducta
n
p uſque ad diametrum, ipſi b d æquidistet.
Dico h o
ipſius
g b duplam eſſe.
V_EL_ igitur linea m n o ſccat diametrum in g, uel in alijs pun-
ctis
:
& ſi quidem ſecat in g, unum at que idem punctum duabus li-
teris
go notabitur.
Itaque quoniam f c, p n, h e m ſibiipſis æqui
distant
:
& ipſi a c æquidiſtat m n o: fient triangula a f c, o p n,
o
h m inter ſe ſimilia.
quare erit o h ad h m, ut a f ad fc: & per-
224. ſexti. mut ando o h ad a f, ut h m ad fc.
est autem quadratum h m ad
quadratum
g l, ut linea h b ad lineam b g, ex uigeſima primi libri
conicorum
:
& quadratum g l ad quadratum fc, ut linea g b ad
ipſam
b f:
ſuntq; h b, b g, b f lineæ deinceps proportionales. er-
3322. ſexti.
cor
. 20. ſe
xti
.
go &
quadrata h m, g l, f c, & ipſorum latera proportionalia
erunt
.
atque idcirco ut quadratum h m ad quadratum g l, ita
50ARCHIMEDIS nea h m ad li-
30[Figure 30] neam fc.
at uero
ut
h m ad f c, ita
o
h ad a f:
& ut
quadratum
h m
ad
quadratú g l,
ita
linea h b ad
b
g;
hoc est b g
ad
b f.
ex quibus
ſequitur
o h ad
a
f ita eſſe, ut b g
ad
b f:
& permu
tando
oh ad b g,
ut
a f ad f b.
ſed
eſt
a f dupla ip-
ſius
fb:
ſunt eni
a
b, b f æquales
ex
35 primi libri
conicorum
.
ergo
&
h o ipſius g b
eſt
dupla.
quod demonſtrare oportebat.
LEMMA IIII.
Iiſdem manentibus, & à puncto m ducta m q uſque
ad
diametrum, quæ ſectionem in puncto m conting at;
Dico h q ad q o eandem proportionem habere, quam
habet
g h ad c n.
F_IAT_ enim h r æqualis g f. & cumtriangula a f c, o p n ſimi
lia
ſint, &
p n ſit æqualis f c; eodem modo demonſtrabimus p o, f a
inter
ſe æquales eſſe.
quare p o ipſius f b dupla erit. Sed eſt h o du
pla
g b.
ergo & reliqua p h reliquæ f g; uidelicet ipſius r h eſt
5120DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. pla. ex quo fit ut pr, rh, fg inter ſe ſint æquales; itémq; æquales
rg
, pf.
eſt enim pg utrique r p, gf communis. Quoniam igitur
hb
ad bg est, ut
31[Figure 31] gb ad bf;
per c
uerſionem
ratio-
mis
erit b h ad
h
g, ut b g ad gf.
eſt autem q h ad
h
b, ut h o ad gb.

nam
ex 35 primi
libri
conicorum,
cum
linea qm
tingat
ſectionem
in
punctom;
erút
h
b, bq æquales;

&
gh ipſius h b
dupla
.
ergo ex æ-
quali
q h ad hg,
ut
ho ad g f;
hoc
eſt
ad hr:
& per
mutando
q h ad
h
o, ut g h ad h r.

rurſus
per conuerſionem rationis h q ad qo, ut h g ad g r;
hoc eſt
p
f:
& propterea ad ipſam cn, quod demonstrandum fuerat.
His igitur explicatis, iam adid, quod propoſitum fue
rat
, accedamus.
Itaque dico primum nc ad c k eandem
proportionem
babere, quam h g ad g b.
Quoniam enim h q ad qo eſt, ut h g ad c n, hoc eſt ad a o ipſi
cn
æqualem;
erit reliqua gq ad reliquam q a, ut h q ad q o: &
ob
eam cauſſam lineæ a c g l productæ ex ijs, quæ ſupra demonſtra
uimus
in linea q m conueniunt.
Rurſus gq ad qa eſt, ut h q
52ARCHIMEDIS q o; uidelicet ut h g ad f p: quod proxime demonſtr atum eſt. At
112. lem: ueroipſi g q æquales ſunt duæ lineæ ſimul ſumptæ qb, hoc eſt h b,
224. lem.&
b g: atque ipſi q a æqualis eſt h f. Sienim ab æqualibus h b,
bq
, æqualia fb,
32[Figure 32] ba demantur, re
manentia
æqua-
lia
erunt.
ergo
dempta
h g ex
duabus
lineis h
b
, h g, relinqui-
tur
dupla ipſius
b
g;
hoc eſt o h:
& dempta p f ex
f
h, reliqua est
b
p.
quare o h
3319. quinti ad h p, eſt ut g q
ad
q a.
Sed ut
g
q ad q a, ita
h
q ad q o;
hoc
eſt
h g ad n c:
& ut o h ad h p,
4415. quin-
ti
.
ita g b ad c k.
eſt
cnim
o h dupla
g
b, &
h p item
dupla
gf;
hoc eſt
c
k.
eandem igitur proportionem habet h g ad n c, qnam g b ad
c
k:
& permutando n c ad c k eandem habet, quam b g ad g b.
Sumatur deinde aliud quod uis punctum in ſectum in ſectione,
quod
ſit s:
& per s duæ lineæ ducantur: st quidem
æquidistans
ipſi db, diametrumque in puncto t ſecans;
s u uero æquidistans ac, & ſecans c e in u. Dico u c
ad
ck maiorem proportionem habere, quamtg ad gb.
5321DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
Producatur enim u s ad lineam qm in x: & à puncto x duca
tur
ad diametrum x y ipſi bd æquidistans.
erit gt minor quàm
gy
, quoniam u s minor eſt quàm ux:
& ex primo lemmate yg
ad
uc erit, ut h g ad n c;
uidelicet ut g b ad c k, quod proxime de
monstrauimus
:
& permutando yg ad gb, ut uc ad c k. Sed t g
cum
ſit ipſa y g minor, habet ad g b proportionem minorem, quàm
y
g ad eandem.
ergo u c ad c K maiorem proportioné habet, quàm
t
g ad g b.
quod demonstraſſe oportuit. Itaque poſitione data g K
unum
duntaxat erit in ſectione punctum, uidelicet m, à quo ductis
duabus
lineis m e h, mno, habeat n c ad c K proportionem ean-
dem
, quam h g ad g b.
nam ſi ab alijs omnibus ducantur, ſemper
ea
, quæ inter a c, &
lineam ipſi æquidistantem interijcitur, ad c K
proportionem
maiorem habebit, quàm quæ inter g K atque ei æqui
diſtantem
, ad ipſam g b.
Conſtat igitur id, quod ab Archimede di-
ctum
est;
nempe lineam pi ad p h uel eandem, quam n ω ad ω o,
uel
maiorem habere proportionem.
Quare p h ipſius h i aut dupla eſt, aut minor quàm du
11Dpla.
] _Si quidé_
33[Figure 33] _minor, quàm du-_
_pla
, ſit pt dupl.
2_
_ti
.
erit centrum_
_grauitatis
eius,_
_quod
in humido_
_est
, punctumt.
ſi_
_uero
p h ſit ip-_
_ſius
h i dupla,_
_erit
h grauitatis_
_centrum
:
ductâq;_
_h f, & producta_
_ad
centrum eius,_
_quod
est extra humidum, uidelicct ad g, alia ſimiliter demonstra-_
_buntur
.
atque idem intelligendum est in propoſitione, quæ ſe_-
_quitur
._
Reuoluetur ergo ſolidum a p o l, & baſis ipſius nullo
22E
54ARCHIMEDIS modo hum idi ſuperficiem continget. ] _In translatione le-_
_gebatur
ut baſis ipſius non tangat ſuperficiem humidi ſecundum_
_unum
ſignum.
nos autem ita uertere maluimus, & hic & in ijs,_
_quæ
ſequuntur, quoniam græci οὐδὲ \~εις, οὐδὲ ἓν, pro οὐ δεὶς, &_

_οὐδε
ν frequenter utútur.
ut οὐδ ε ςιν οὐ δεὶς, nullus eſt: οὐ \’δ ὑφ νὸς,_
_ànullo
&
alia eiuſmodi._
PROPOSITIO VII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem quidem
quàm
ſeſquialtérum eius, quæ uſque ad axem;
minorem uero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem
proportionem habeat, quam quindecim
ad
quatuor:
in humidum demiſſa, adeo ut baſis
ipſius
tota ſitin humido;
nunquam conſiſtet ita,
ut
baſis contingat humidi ſuperficiem:
ſed ut to-
ta
in humido ſit, &
nullo modo eius ſuperficiem
contingat
.
SIT portio qualis dicta eſt: & demittatur in humidũ,
ut
diximus, adeo ut baſis ipſius in uno puncto contingat
humidi
ſuperficiem.
Demonſtrandum eſt non manere ip-
ſam
:
ſed reuolui ita ut baſis fuperficiem humidi nullo mo-
do
contingat.
Secta enim ipſa plano per axem, recto ad ſu
perficiem
humidi, ſectio ſit a p o l rectanguli coni ſectio:
ſuperficiei humidi ſectio ſit s 1: axis portionis, & ſectio-
nis
diameter p f:
ſeceturq; p f in r quidem ita ut r p ſit
dupla
ipſius r f;
in ω autem ut p f ad r ω proportionem
habeat
, quam quindecim ad quatuor:
& ω k ipſi p f ad re-
ctos
angulos ducatur erit r ω minor, quàm quæ uſque ad
axem
.
Itaque accipiatur ei, quæ uſque ad axem æqualis rh:
5522DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.& c o quidẽ
34[Figure 34] ducatur con
tingẽs
ſectio
nẽin
o, quæ
ipſi
s l æqui-
diſtet
;
n o au
tem
æquidi-
1110. quinti ſtet p f:
& pri
mum
ipſam
k
ω ſecet, at-
quein
pũcto
i
ſimiliter ut
in
ſuperiori-
bus
demonſtrabitur no, uel ſeſquialtera ipſius oi, uel
maior
, quàm ſeſquialtera.
Sit autem o i minor, quam du-
pla
ipſius in:
ſitq; o b dupla b n: & diſponantur eadem,
quæſupra
.
Similiter demonſtrabimus, ſi ducatur linea r t,
facere
eam angulos rectos cum linea c o, &
cum ſuperficie
humidi
.
quare à punctis b g lineæ ductæipſi r t æquidiſtã
tes
, etiã ad humidi ſuperfi-
35[Figure 35] ciẽ perpẽdiculares erunt.
portio igitur quæ eſt extra
humidũ
deorſum feretur
ſecundum
eam perpendi-
cularem
, quæ per b tran-
ſit
;
quæ uero intra humi-
dum
ſecundum eam, quæ
per
g ſurſum ſeretur.
ex
quibus
conſtat reuolui ſo-
lidum
, ita ut baſis ipſius
nullo
modo humidi ſuper
ficiem
contingat:
quo-
niam
nuncin uno puncto
contingens
deorſum
56ARCHIMEDIS tur ex parte 1. Quod ſi n o non ſecuerit ipſam ω k,
eadem
nihilominus demonſtrabuntur.
PROPOSITIO VIII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
axem
habuerit maiorem quidem, quàm ſeſqui-
alterum
eius, quæ uſque ad axem;
minorem ue-
ro
, quàm ut ad eam, quæ uſque ad axem propor-
tionem
habeat, quam quindecim ad quatuor:
ſi
in
grauitate ad humidum habeat proportionem
minorem
ea, quam quadratum, quod fit ab exceſ
ſu
, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ
uſque
ad axem, habet ad quadratum, quod ab
axe
:
demiſſa in humidum, ita ut baſis ipſius humi
dum
non contingat;
neque in rectum reſtitue-
tur
, neque manebit inclinata, niſi quando axis
cum
ſuperficie humidi angulum fecerit æqualẽ
ei
, de quo infra dicetur.
SIT portio qualis dicta eſt; ſitque b d æqualis axi: &
b
k quidem dupla ipſius _K_ d:
r _K_ uero æqualis ei, quæ uſ-
que
ad axem:
& ſit c b ſeſquialtera b r. erit & c d ipſius
_k_
r ſeſquialtera.
Quam uero portionem habet portio ad
11A humidum in grauitate, habeat quadratum f q ad quadra-
tum
d b:
& ſit f dupla ipſius q. perſpicuum igitur eſt f q
ad
d b proportionem minorem habere ea, quam habet
c
b ad b d.
eſt enim c b exceſſus, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter
eins, quæ uſque ad axem:
quare f q minor eſt
22B
5723DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ipſa b c: & idcirco f minor ipſa b r. ſit ipſi f æqualis r ψ:
11C ducaturq; ad b d perpendicularis ψ e, quæ posſit dimidiũ
eius
, quod lineis _k_ r, ψ b continetur:
& iungatur b c. De-
monſtrandum
eſt portionem in humidum demiſſam, ſicu-
ti
dictum eſt, conſiſtere inclinatam ita, ut axis cum ſuperſi-
cie
humidi angulum faciat angulo c b ψ æqualem.
demit-
tatur
enim aliqua portio in humidum, ut baſis ipſius hu-
midi
ſuperficiem non contingat:
& ſi fieri poteſt, axis cum
ſuperficie
humidi non faciat angulum æqualem angulo
e
b ψ;
ſed primo maiorem. ſecta autẽ portione plano per
axem
, recto ad ſu-
36[Figure 36] perficiem humi-
di
, ſit ſectio a p o l
rectanguli
coni ſe
ctio
:
ſuperficiei
humidi
ſectio x s:
ſitq; axis portio-
nis
, &
ſectiõis dia
meter
n o:
& du-
catur
p y quidem
ipſi
x s æquidi-
ſtans
, quæ ſectio-
nem
a p o l contin
gat
in p:
p m ue-
ro
æquidiſtans ip-
ſi
n o:
& p i ad
n
o perpendicularis.
ſit præterea b r æqualis o ω. itemq;
22D r k ipſi t _a_ &
ω h perpendicularis ad axem. Itaque quo-
niam
ponitut axis portionis cum ſuperficie humidi facere
angulum
maiorem angulo b:
erit angulus p y i angulo b
33E maior.
maiorem ergo proportionem habet quadratum
p
i ad quadratum y i, quam quadratum e ψ ad ψ b qua-
44F dratum.
Sed quam proportionem habet quadratum p i
ad
quadratum i y, eandem linea k r habet ad lineam i y:
58ARCHIMEDIS& quam proportionem habet quadratum e ψ ad quadra-
11G tum ψ b, eandem habet dimidium lineæ _k_ r ad lineã ψ b.
quare maiorem babet proportionem _k_ r ad i y, quàm di-
2213. quin-
ti
.
midium k r ad ψ b:
& idcirco i y minor eſt, quàm dupla
33H ψ b.
eſt autem ipſius o i dupla. ergo o i minor eſt, quàm
ψ
b:
& i ω maior, quàm ψ r. ſed ψ r eſt æqualis ipſi f. maior
44K igitur eſt i ω, quàm f.
& quoniam portio ad humidum in
grauitate
eam ponitur habere proportionem, quam qua-
dratum
f q ad quadratum b d:
quam uero proportionem
habet
portio ad humidum in grauitate, eam habet pars ip
ſius
demerſa ad totam portionem:
& quam pars ipſius de-
merſa
habet ad totam, eandem habet quadratum p m ad
quadratnm
o n:
ſequitur quadratum p m ad quadratum
o
n eam proportionem habere, quam quadratum f q ad
b
d quadratum.
37[Figure 37] atque ideo ſ q æ-
55L qualis eſt ipſi p m.
demõſtrata eſt au
66M tem p h maior,
quàm
f.
cõſtat igi
tur
p m minorem
eſſe
, quàm ſeſqui-
alterã
ipſius p h:
& idcirco p h ma
iorem
, quàm du-
plam
h m.
Sit p z
ipſius
z m dupla.

erit
t quidem cẽ-
trũ
grauitatis to-
tius
ſolidi:
centrũ
eius
partis, quæ intra humidum, punctumz:
reliquæ uero
partis
centrum erit in linea z t producta uſque ad g.
Eodẽ
77N modo demonſtrabitur linea th perpendicularis ad ſuper-
ficiem
humidi.
& portio demerſa in humido ſeretur
5924DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. humidum ſecundum perpendicularem, quæ per z ad hu-
midi
ſuperficiem ducta fuerit:
quæ autem eſt extra humi-
dum
ſecundum eam, quæ per gintra humidum feretur.

ergo
manebit portio ſic inclinata, ut ponitur:
ſed neque re
ſtituecur
recta:
quoniam perpendicularium per z g ducta
rum
, quæ quidem per z ducitur ad eas partes cadit, in qui
bus
eſt l;
& quæ per g ad eas, in quibus eſt a. quare ſequi-
tur
centrum z ſurſum ferri:
& g deorſum. ergo partes to
tius
ſolidi, quæ ſunt ad a deorſum, quæ uero ad l ſurſum
ferentur
.
Rurſus alia eadem ponantur: axis autem
portionis
cum ſuperficie humidi angulum faciat minorẽ
eo
, qui eſt ad b.
minorem igitur proportionem habet qua
11O dratum p i ad quadratum i y, quàm quadratum e ψ ad
ψ
b quadratum:
quare k r ad i y minorem proportionẽ
habet
, quàm dimidium k r ad ψ b:
& propterea i y maior
eſt
, quam dupla ψ b.
eſt autem ipſius o i dupla. ergo o i
ipſa
ψ b maior e-
38[Figure 38] rit.
ſed tota o ω eſt
æqualis
ipſi r b:
& reliqua ω i mi-
nor
quàm ψ r.
qua
re
&
p h minor e-
rit
, quàm f.
Quòd
cum
m p ipſi f q
ſit
æqualis, cõſtat
p
m maiorẽ eſſe,
quàm
ſeſquialterã
ipſius
p h:
& p h
minorem
, quam
duplam
h m.
Sit
p
z ipſius z m du
pla
.
Rurſus to-
tius
quidem ſolidi centrum grauitatis erit pũctum t;
eius
uero
partis, quæ intra humidum z:
& iuncta z t
60ARCHIMEDIS tur centrum grauitatis eius, quæ extra humidum in pro-
tracta
, quod ſit g.
Itaque per z g ductis perpendiculari-
11P bus ad humidi ſuperficiem, quæ ipſi t h æquidiſtent;
ſequi-
tur
portionem ipſam non manere, fed reuolui adeo, ut a-
xis
cum ſuperficie
39[Figure 39] humidi angulum
faciat
maiorẽ eo,
quem
nunc facit.
Et quoniam
antea
poſuiſſem´
facere
angulũ ma
iorem
angulo b,
portio
neque tũc
cõſiſtebat
;
perſpi
cuũ
eſt ipſam con
ſiſtere
, ſi angulum
fecerit
angulo b
æqualem
.
Sic e-
22Q nim eriti o æqua-
lis
ψ b:
itemq; ω i
æqualis
ψ r:
& p h ipſi f. erit igitur m p ſeſquialtera p h;
& p h dupla h m. quare cum h ſit centrum grauitatis eius
partis
, quæ eſt in humido, per eandem perpendicularem,
&
ipſa ſurſum, & quæ extra eſt feretur deorſum. mane-
bitigitur
portio;
quoniam altera pars ab altera non re-
pelletur
.
COMMENTARIVS.
_E T ſit c b ſeſquialtera b r. erit & c d ipſius k r ſeſqui-_
33A_altera_.
] In translatione ita legebatur. ſit autem & c b quidem
hemiolia
ipſius b r:
c d autem ipſius K r. Sed nos quod postremo
loco
legitur, idcirco corrigendum duximus, quoniam illud non po-
nitur
ita eſſe, ſed ex ijs, quæ poſita ſunt, neceſſario colligitur.
ſi
6125DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. b ψ dupla ſit ψ d, erit d b ipſius b ψ ſeſquialtera. & quoniam e b ſeſ
quialtera
est b r, ſequitur reliquam c d ipſius ψ r, boc est eius, quæ
1112. quinti uſque ad axem ſeſquialteram eſſe.
quare b c erit exceſſus, quo axis
maior
est, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem.
_Quare f q minor éſtipſa b c. ]_ Nam cum portio ad bumi-
22B dum in grauitate proportionem habeat eandem, quàm quadratum
f
q ad quadratum d b:
habeatq, minorem proportionem, quàm qua
dratum
factum ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius,
quæ
uſque ad axem, ad quadratum ab axe;
boc eſt minorem, quàm
quadratum
c b ad quadratum b d:
ponitur enim linea b d æqualis
axi
:
quadratum f q ad quadratum d b proportionem minorem ha-
bebit
, quàm quadratum c b ad idem b d quadratum.
ergo quadra-
338. quinti. tum f q minus erit quadrato c b:
& propterea linea f q ipſa b c
minor
.
_Etidcirco f minor ipſa b r. ]_ Quoniam enim c b ſeſquial-
44C tera eſt b r, &
f q ipſius f ſeſquialtera: estq; f q minor b c; & f
5514. quin-
ti
.
ipſa b r minor erit.
_Itaque quoniam ponitur axis portionis cum ſuperficie_
66D _humidi facere angulum maiorem angulo b:
erit angulus_
_p
y i angulo b maior.
]_ Nam cum linea p y ſuperficiei bumidi
æ
quidistet;
uidelicet ipſi x s: angulus p y i æqualis erit angulo, qui
7729. primi diametro portionis n o, &
linea x s continetur. quare & angulo
b
maior erit.
_Maiorem igitur proportionem habet quadratum p i ad_
88E _quadratum i y, quàm quadratum e ψ ad ψ b quadratu.
]_
Deſcribantur
ſeorſum triangula p i y, e ψ b.
& cum angulus p y i
maior
ſit angulo e b ψ, ad lineam i y, atque ad punctum y in ea da-
tum
fiat angulus u y i æqualis angulo e b ψ.
est autem angulus ad
i
rectus æqualis recto ad ψ.
reliquus igitur y u i reliquo b c ψ est
æqualis
.
quare linea u i ad lineam i y eandem proportionem ha-
994. ſexti. bet, quam linea e ψ ad ψ b.
Sed linea p i, quæ maior est ipſa u i ad
10108. quinti. lineam in maiorem habet proportionem quam u i ad eandem.
ergo
111113. quin-
ti
.
p i ad i y maiorem proportionem habebit, quàm e ψ ad ψ b:
&
propterea
quadratum p i ad quadratum i y maiorem habebit,
62ARCHIMEDIS quadratum e ψ ad quadr. itum ψ b.
_Sed quam proportionem habet qua-_
40[Figure 40]11F _dratum p i ad quadratum i y, eandem li_
_nea
k r habet ad lineam i y.
]_ Est enim ex
undecima
primi conicorum quadratum p i æqua
le
rectangulo contento linea i o, &
ea, iuxta quam poſſunt quæ à
ſectione
ad diametrum ducuntur, uidelicet duplaipſius k r.
atque
est
i y dupla i o, extrigeſimatertia eiuſdem:
quare ex decimaſext a
ſexti
elementorum, rectangulum, quod fit ex k r, &
i y æ quale eſt
rectangulo
contento linea i o &
ea, iuxta quam poſſunt: hoc eſt qua
drato
p i.
Sed ut rectangulnm ex k r, & i y ad quadratum i y, ita
22lem. 22.
decimi
.
linea κ r ad ipſam i y.
ergo linea κ r ad i y eandem proportionem
habebit
, quam rectangulum ex κ r &
i y, hoc eſt quadratum p i ad
quadratum
i y.
Et quam proportionem habet quadratũ e ψ ad quadra
33G tum ψ b, eandem habet dimidium lineæ K r ad lineã ψ b.
]
Nam cum quadratum e ψ poſitum ſit æquale dimidio rectanguli
contenti
linea κ r, &
ψ b; hoc est ei, quod dimidia ipſius κ r
&
linea ψ b continetur: & ut rectangulum ex dimidia κ r, & ψ b
44lem. 22.
decimi
ad quadratum ψ b, ita ſit dimidia κ r ad line am ψ b:
habebit dimi-
dia
κ r ad ψ b proportionem eandem, quam quadratum e ψ ad qua-
dratum
ψ b.
_Etidcirco i y minor eſt, quàm dupla ψ b. ]_ Quam enim pro
55H portionem habet dimidium κ r ad ψ b, habeat κ r ad aliam lineam.
erit ea maior, quàm i y; nempe ad quam κ r minorem proportioné
6610. quinti. habet:
at que erit dupla ψ b. ergo i y minor eſt, quam dupla ψ b.
_Et i ω maior, quam ψ r. ]_ Cum enim o ω poſita ſit æ qualis b r
77K ſi ex b r dematur ψ b, &
ex o ω dematur o i, quæ minor eſt ψ b: erit
reliqua
i ω maior reliqua ψ r.
_Atqueideo f q æqualis eſt