Archimedes, Archimedis De iis qvae vehvntvr in aqva libri dvo (Archimedis De iis quae ve huntur in aqua libri duo), 1565

Bibliographic information

Author: Archimedes
Title: Archimedis De iis qvae vehvntvr in aqva libri dvo (Archimedis De iis quae ve huntur in aqua libri duo)
Year: 1565
Publisher: Commandino, Federigo (Hrsg.)
Number of Pages: 4, 43, 4, 47 Bl.: graph. Darst.

Permanent URL

Document ID: MPIWG:A6NK6GK3
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:A6NK6GK3

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBRI DVO. A FEDERICO COMMANDINO VRBINATE IN PRISTINVM NITOREM RESTITVTI, ET COMMENTARIIS ILLVSTRATI. Page: 5
3. CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X. BONONIAE, Page: 5
4. M D LXV. Page: 5
5. RANVTIO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO ET OPTIMO. Page: 7
6. Federicus Commandinus. Page: 12
7. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBER PRIMVS. CVM COMMENTARIIS FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS. POSITIO. Page: 13
8. PROPOSITIO I. Page: 13
9. PROPOSITIO II. Page: 14
10. PROPOSITIO III. Page: 16
11. PROPOSITIO IIII. Page: 17
12. PROPOSITIO V. Page: 19
13. PROPOSITIO VI. Page: 20
14. PROPOSITIO VII. Page: 21
15. POSITIO II. Page: 22
16. COMMENTARIVS. Page: 23
17. PROPOSITIO VIII. Page: 23
18. COMMENTARIVS. Page: 25
19. PROPOSITIO IX. Page: 27
20. COMMENTARIVS. Page: 28
21. ARCHIMEDIS DE IIS QVAE VEHVNTVR IN AQVA LIBER SECVNDVS. CVM COMMENTARIIS FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS. PROPOSITIO I. Page: 30
22. PROPOSITIO II. Page: 31
23. COMMENTARIVS. Page: 33
24. PROPOSITIO III. Page: 36
25. PROPOSITIO IIII. Page: 37
26. COMMENTARIVS. Page: 40
27. PROPOSITIO V. Page: 41
28. COMMENTARIVS. Page: 43
29. PROPOSITIO VI. Page: 44
30. COMMENTARIVS. Page: 46
31. LEMMAI. Page: 47
32. LEMMA II. Page: 48
33. LEMMA III. Page: 49
34. LEMMA IIII. Page: 50
35. PROPOSITIO VII. Page: 54
36. PROPOSITIO VIII. Page: 56
37. COMMENTARIVS. Page: 60
38. PROPOSITIO IX. Page: 63
39. COMMENTARIVS. Page: 67
40. PROPOSITIO X. Page: 68
41. COMMENTARIVS. Page: 71
42. LEMMA I. Page: 73
43. LEMMA II. Page: 74
44. LEMMA III. Page: 76
45. LEMMA IIII. Page: 77
46. LEMMA V. Page: 78
47. LEMMA VI. Page: 81
48. II. Page: 83
49. III. Page: 83
50. IIII. Page: 84
51. V. Page: 84
52. DEMONSTRATIO SECVNDAE PARTIS. Page: 85
53. COMMENTARIVS. Page: 87
54. DEMONSTRATIO TERTIAE PARTIS. Page: 90
55. COMMENTARIVS. Page: 93
56. DEMONSTRATIO QVARTAE PARTIS. Page: 97
57. DEMONSTRATIO QVINT AE PARTIS. Page: 99
58. FINIS LIBRORVM ARCHIMEDIS DE IIS, QVAE IN AQVA VEHVNTVR. Page: 102
59. FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS LIBER DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORV M. Page: 105
60. CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X. BONONIAE, Ex Officina Alexandri Benacii. M D LXV. Page: 105
61. ALEXANDRO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO ET OPTIMO. Page: 107
62. FEDERICI COMMANDINI VRBINATIS LIBER DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM. DIFFINITIONES. Page: 113
63. PETITIONES. Page: 114
64. THEOREMA I. PROPOSITIO I. Page: 114
65. THEOREMA II. PROPOSITIO II. Page: 118
66. THE OREMA III. PROPOSITIO III. Page: 121
67. THE OREMA IIII. PROPOSITIO IIII. Page: 122
68. ALITER. Page: 123
69. THEOREMA V. PROPOSITIO V. Page: 125
70. COROLLARIVM. Page: 127
71. THEOREMA VI. PROPOSITIO VI. Page: 127
72. THE OREMA VII. PROPOSITIO VII. Page: 129
73. THE OREMA VIII. PROPOSITIO VIII. Page: 131
74. THE OREMA IX. PROPOSITIO IX. Page: 143
75. PROBLEMA I. PROPOSITIO X. Page: 145
76. PROBLEMA II. PROPOSITIO XI. Page: 146
77. PROBLEMA III. PROPOSITIO XII. Page: 147
78. PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII. Page: 148
79. THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII. Page: 149
80. THE OREMA XI. PROPOSITIO XV. Page: 153
81. THE OREMA XII. PROPOSITIO XVI. Page: 154
82. THE OREMA XIII. PROPOSITIO XVII. Page: 155
83. THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII. Page: 156
84. THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX. Page: 157
85. THE OREMA XVI. PROPOSITIO XX. Page: 160
86. THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI. Page: 164
87. THE OREMA XVIII. PROPOSITIO XXII. Page: 166
88. THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII. Page: 171
89. PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII. Page: 172
90. THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV. Page: 174
91. THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI. Page: 180
92. THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII. Page: 187
93. PROBLEMA VI. PROPOSITIO XX VIII. Page: 192
94. THE OREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX. Page: 194
95. THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX. Page: 201
96. THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI. Page: 203
97. FINIS LIBRI DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM. Page: 205
1
[Empty page]
211[Handwritten note 1]22[Handwritten note 2]
3
[Empty page]
433[Handwritten note 3]44[Handwritten note 4]55[Handwritten note 5]
5
ARCHIMEDIS
DE IIS QVAE VEHVNTVR
IN
AQVA LIBRI DVO.
A FEDERICO COMMANDINO
VRBINATE
IN PRISTINVM
NITOREM
RESTITVTI, ET
COMMENTARIIS
ILLVSTRATI.
1[Figure 1] 2[Figure 2]
CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
BONONIAE
,
Ex Officina Alexandri Benacii.
66[Handwritten note 6]
M D LXV.
3[Figure 3]
6
[Empty page]
7
RANVTIO FARNESIO
CARDINALI
AMPLISSIMO
ET
OPTIMO.
QVod tibi ſuperioribus diebus
pollicitus
ſum, cum libellum
Ptolemæi
de Analemmate in lu
cem
proferrem, breui fore, vc
Archimedis
etiam libri de ijs,
quæ
in aqua vehuntur, &
emen
datiores
, &
fortaſſe opera mea
illuſtriores
ederentur:
mihi non committendum eſ-
ſe
duxi, vt iure optimo malum nomen, præſertim à
te
, cui tantopere debeo, exiſtimari poſſem.
quam-
uis
cum mecum conſidero ſuſcepti negocij difficul
tates
, quas multo plures, &
multo grauiores, quàm
in
libello de Analemmate deprehendi;
vereor ne id
planè
non aſſecutus ſim, quod ab initio ſpectaui, vt
mathematicarum
diſciplinarum ſtudioſis hac in par-
te
ſatisfacerem.
cum enim græcus Archimedis co-
dex
nondum in lucem venerit, non ſolum is, qui eum
latinitate
donauit, multis in locis de lapſus eſt, ve-
rum
etiam codex ipſe, vt etiam interpres fatetur, ve-
tuſtate
corruptus, &
mancus eſt; duæq́; integræ
ἀποδείξεις
, quas demonſtrationes dicimus, deperie-
runt
.
quæ iactura quantam vim habeat ad pertur-
bandum
admirabilem illum ordinem, quo inter ſe
mathematicæ
diſciplinæ quodãmodo connexæ
8 tibi, qui iam in iis multam operam, multumq́; ſtu-
dium
poſuiſti, cogitandum relinquo.
nonnulla præ-
terea
Archimedes vt perſpicua in his tractandis po-
nere
non dubitauit, quæ veteres mathematici, qui
de
conicis conſcripſerunt, plurimis, &
firmiſsimis
argumentis
probauerũt.
Hæc autem idcirco à nobis
omnino
ignorantur;
quòd poſtremi quatuor libri
conicorum
Apollonii Pergæi adhuc in tenebris de-
liteſcunt
.
Qua quidem in re (vt mea fert opinio)
ſingulari
fato fuerunt mathematicæ diſciplinæ, cum
tot
ſcriptorum præclara monumenta interierint, per
quæ
non ſolum in ſtudioſos homines, uerum etiam
in
humanũ genus mirabiles utilitates importatæ fuiſ-
ſent
.
nam cum mecum conſidero quàm late pateant
nobiliſsimæ ſcientiæ, quãtopere rebus publicis &

priuatis
admirabili quadã ratione, atque ordine gu-
bernandis
neceſſariæ ſint, dubitãdum non exiſtimo,
quin
magna ſit habenda gratia huius diuini boni au-
ctoribus
, &
inuentoribus: ueterumq́; græcorum pru
dentiam
ſatis admirari non poſſum, qui pueros cum
primum
fari cœpiſſent, his diſciplinis imbuendos cu
rabant
, ut à prima ætate multiplicis, ac ſubtilis ſcien-
tiæ
contemplationi aſſueti nihil paruum, aut humile
cogitarent
:
ſed uel ſe totos ijs artibus traderent, qua-
rum
ope ciuitatibus ſuis &
præſidio, & ornamento
eſſe
poſſent:
uel humanis ſtudijs multam ſalutem di-
centes
, diuinam philoſophiam toto animo amplexa-
rentur
, cum ad eam per mathematicas diſciplinas
9 ciliorem ſibi aditum comparaſſent. quamobrem gra
uisſimum
damnum factum eſt in tot præſtãtisſimis
uiris
:
quorũ ſcripta ſi in manus noſtras perueniſſent,
profecto
multo præclarius cum rebus humanis age-
retur
.
complures enim, qui nunctot difficultatibus
ab
his ſtudijs deterrentur, hac ratione priuatis &
pu-
blicis
rationibus optime conſuluiſſent.
Cum hæc ita
eſſent
, tamen nullum mihi laborem ſubterfugiendũ
eſſe
iudicaui, quo ſtudioſis hominibus, qui in mathe
maticis
diſciplinis toto animo incumbũt, facilior pa
teret
aditus ad abſtruſa, &
recondita ſenſa tanti ſcri-
ptoris
intelligenda:
nec à uetere meo in ſtituto diſce-
dere
uolui;
ſcis enim me multos abhinc annos hanc
eandem
prouinciam, Archimedis quàm plurima ſcri
pta
illuſtrandi ſuſcepiſſe.
quod neque arrogãtia, nec
inanis
gloriæ ſpe adductus ſum, ut facerẽ, ſed me ue-
hementer
in hanc mentem impulit honeſtisſima cu-
piditas
de ſtudioſis hominibus benemerẽdi:
etenim
ſemper
mea fuit ſentẽtia, mathematicum, qui libros
Archimedis
accuratisſime non euoluerit, uix mathe-
maticum
appellari debere:
cum neceſſe ſit in mul
tarum
rerum ignoratione uerſari, ſine quibus mathe
maticæ
diſciplinæ imperfectæ quodammodo, atque
in
choatæ ſunt habendæ.
Dedi igitur operam, ut his
etiam
Archimedis libris, quoad eius fieri poſſet, per
me
aliqua lux afferretur.
quos ut Archimedis eſſe
dubitarem
, duæ non contemnendæ cauſſæ fuerunt.
una quòd in tanta obſcuritate ab interpretis
10& à uetuſtate profecta, neſcio quod ueſtigium illius
acuti
, &
perſpicacis ingenij, quo Archimedes excel-
luit
, impreſſum apparet:
altera quòd tum græci, tum
latini
ſcriptores grauisſimi hos ut Archimedis libros
recognoſcũt
.
Strabo enim in primo libro hæc ad uer
ſcribit.
ὁδὲ οὕτος ἡδὺς στὶν, ὥστε η{αὶ} μὴ μαθηματιηὸςὤν, οὐδὲ
τὴν
Αρχιμήδουςβεβαιοῖ δόξαν, ὅτιφησὶνἐη{εῖ} νος ἐν τοῖς περἱ τῶνὀχον-
μένων
, παντὸς ὑγροῦ καθεστηηότος, καἱ μένοντος τὴνἑ πιφάν{ει}αν σφαιρι-
κὴν
{εῖ}ν{αι}, σφ{αὶ} ρας ταυτὸ ηέντρον ἐφούσης τῆ γῆ.
ταὺ την γάρ τὴν δοξαν
ἀποδέχονται
πάντες οἱ μαθημάτων πῶς άψάμενοι.
& Pappus Ale-
xandrinus
in octauo mathematicarum collectionum
libro
hæc ſcripta reliquit, ηαλοῦσι δὲ μηχανιηοὺςοἱ παλαιοὶ,
κ
{αὶ} τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὡνοἱ μὲν διὰ πνευμὰτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς
ἥρων
πνευματιηοῖς, οἱ δὲ διὰ νευρίων καὶ σπάρτωνἐμψύχωνκινήσεις δο-
κοῦσι
μιμ\~εισθαι, ὡςἥρων αὐτομάτοις, καὶ ζυγίοις:
ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ
ὕδατος
ὁχουμένων, ὡςὰρχιμήδης ὀχουμένοις.
Vitruuius etiam
in
octauo libro de his eiſdem Archimedis libris me.
minit. Fortaſſe, inquit, qui Archimedis libros legit, di
cet
non poſſe fieri ueram ex aqua librationem:
ſed ei
placet
aquam non eſſe libratam, ſed ſphæroides habe
re
ſchema:
& ibi habere centrum, quo loci habet or-
bis
terrarum.
ut nemini dubium eſſe posſit, quin &
genere
ſcriptionis, &
tãtorum uirorum auctoritate,
ut
germani Archimedis libri attente legendi, &
per-
pendendi
ſint:
præſertim cum in ijs multa continean
tur
cognitione dignisſirna, quæ tam ad mathema
ticas
diſciplinas, quàm ad naturæ obſcuritatem ſpe-
ctant
.
Quamobrem ego ne tanto, & tam fructuoſo
theſauro
diutius ſtudioſi carerent, primum loca
11 tim interpretis errore deprauata emendaui; partim
uetuſtate
corrupta &
conſumpta in priſtinam inte-
gritatem
redegi, compluribus, quæ deſiderabantur,
meo
, ut aiunt, marte ſuppletis.
Deinde quoniam Ar-
chimedes
, quemadmodum ſupra dixi, non nulla po-
nit
, ut perſpicua, &
quæ uel ipſe, uel ſuperiores ma-
thematici
ἀποδείξεσι confirmauerunt, coactus ſum non
ſine
maximo negotio ex ijs principijs conicæ diſcipli
Apollonij Pergæi, quæ in manus noſtras peruene-
rũt
, nouas probationes adhibere, nequid eſſet, quod
diligentem
lectorem in hac parte remorari poſſet.
re
ſtabat
, ut theorema illud, quod ſine cognitione cen-
tri
grauitatis corporum ſolidorũ percipinon poteſt,
uidelicet
, Centrum grauitatis in portionibus conoi-
dis
rectanguli axem ita diuidere, ut pars, quæ ad uer-
ticem
terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim ſit du
pla
, certisſimis rationibus comprobarem.
ſed huic
quoque
rei prouiſum eſt à me:
ſeorſumq́ ab his li-
bris
de cẽtro grauitatis ſolidorũ uberrime cõſcripſi.
denique nihil prætermiſi, quod ad Archimedem in
hac
materia illuſtrandum attineret.
quod ſi, ut ſpero,
aſſecutus
ſum, ſatis magnum fructum mihi cepiſſe ui
debor
laborum, &
uigiliarum mearum: ſin ſecus acci
derit
, hoc me tamen conſolabor, quòd omnes intelli
gent
, honeſtisſimo meo conſilio, non ingenij mei
imbecillitatem
, quàm rei obſcuritatem, &
temporũ
iniurias
obſtitiſſe.
Hoc loco ſuperuacaneum eſſe arbi
tror
pluribus uerbis exponere, cur tibi
12 Cardinalis, has lucubrationes meas dicare conſtitue-
rim
.
tantis enim beneficijs à te affectus, quanta fem-
per
&
meminero, & prædicabo; tanta liberalitate cõ-
plexus
, quantam ne optare quidem unquam auſus eſ
ſem
.
cupio memorem, & erga te gratum animũ qua
ratione
poſſum, oſtendere.
quãuis ſi de te nihil aliud
præter
auditum haberem, ſi amplitudini tuæ tanto-
pere
deuinctus non eſſem;
tua in omni genere diſci-
plinarum
excellentia, tua grauitas, atque innocentia
me
magnopere hortata eſſet, ut te potisſimum deli-
gerem
, ſub cuius clarisſimi nominis ſplendore hi Ar-
chimedis
libri ab obliuione hominum, atque à ſilen-
tio
uindicarentur.
uerecundius de te in præſentia di-
cerem
, ne uiderer aſſentationi potius, quàm ueritati
ſeruire
;
niſi omnibus perſuaſisſimum eſſet, diuinas &
inauditas
uirtutes tuas cum ſingulari eruditione con
iunctas
in illo ſanctisſimo Reip.
chriſtianæ conſilio
tanquam
lumen aliquod elucere.
quamobrem ea,
qua
ſoles, benignitate, fidelisſimi clientis tui munus
accipies
;
quod tibi, qui & mathematicis diſciplinis,
&
phiſiologiæ ſtudijs tantopere delectaris, non iniu-
cundum
fore confido.
Federicus Commandinus.
131
ARCHIMEDIS DE IIS
QVAE
VEHVNTVR IN AQVA
LIBER
PRIMVS.
CVM COMMENTARIIS FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS.
POSITIO.
PONATVR humidi eam
eſſe
naturam, vt partibus ip-
ſius
æqualiter iacentibus, &

continuatis
inter ſe ſe, minus
preſſa
à magis preſſa expella
tur
.
Vnaquæque autem pars
eius
premitur humido ſupra
ipſam
exiſtente ad perpendiculum, ſi humidum
ſit
deſcendens in aliquo, aut ab alio aliquo preſ-
ſum
.
PROPOSITIO I.
SI ſuperficies aliqua plano ſecetur per idẽ ſem-
per
punctum;
ſitq́; ſectio circuli circunferen-
tia
, centrum habens punctum illud, per quod pla
no
ſecatur:
ſphæræ ſuperficies erit.
14ARCHIMEDIS
SECETVR ſuperficies aliqua plano per k punctum
ducto
:
& ſicſectio ſemper circuli circunferentia, centrum
habens
punctum k.
Dico eam ſphæræ ſuperficiem eſſe. Si
enim
non eſt ſphæræ ſuperfi-
4[Figure 4] cies;
rectæ lineæ, quæ à pun-
cto
k ad circunferentiam du-
cuntur
non omnes æquales e-
runt
.
Itaque ſint a b puncta
in
ſuperficie;
& inæquales li-
neæ
a k k b:
per ipſas autem
a
k k b planum ducatur, quod
ſectionem
faciat in ſuperficie
lineam
d a b c.
ergo d a b c cir
culi
circunferentia eſt, cuius
centrum
k;
quoniam ſuperficies eiuſmodi ponebatur: &
idcirco
æquales inter ſe ſunt a k k b, ſed &
inæquales; quod
fieri
non poteſt.
conſtat igitur ſuperficiem eam eſſe ſphæ-
ſuperficiem.
PROPOSITIO II.
Omnis humidi conſiſtentis, atque manen-
tis
ſuperficies ſphærica eſt;
cuius ſphæræ centrũ
eſtidem
, quod centrum terræ.
INTELLIGATVR humidũ conſiſtens, manẽsq; :
&
ſecetur ipſius ſuperficies plano per centrum terræ du-
cto
.
ſit autem terræ centrum k: & ſuperficieiſectio, linea
a
b c d.
Dico lineam a b c d circuli circunferentiam eſſe, cu
ius
centrum k.
Si enim non eſt, rectæ lineæ à puncto k ad
lineam
a b c d ductæ non erunt æquales.
Sumatur recta li
nea
quibuſdam quidem à puncto k ad ipſam a b c d ductis
maior
;
quibuſdam uero minor; & ex centro k,
152DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. loq; lineæ ſumptæ circulus deſcribatur. cadet ergo ipſius
circunferentia
partim
5[Figure 5] extra lineam a b c d, par
tim
intra;
quoniam ea,
quæ
ex centro quibuſ-
dam
quidem à puncto
k
ad ipſam ductis eſtma
ior
;
& quibuſdam mi-
nor
.
Itaq; ſit circuli de-
ſcripti
circunferentia
fb
h:
& ex b ad k ducta
linea
, iungãtur fk k h e,
quæ
angulos æquales faciant.
deſcribatur autem & ex cen
tro
k circunferentia quædam x o p in plano, &
in humido.
ergo partes humidi, quæ ſunt ad circunferentiam x o p æ-
qualiter
iacent, ac continuatæ inter ſe ſe:
& premũtur qui
dem
partes, quæ ad x o circunferentiam, humido, quod lo
co
a b continetur:
quæ uero ad circunferentiam o p pre-
muntur
humido, quod continetur b e.
inæqualiter igitur
premuntur
partes humidi ad cir cunferentiã x o, &
ad o p.
quare
minus preſſæ à magis presſis expellentur.
non er-
go
conſiſtet humidum.
Atqui ponebatur conſiſtens, & ma
nens
.
neceſſarium eſt igitur lineam a b c d eſſe circuli cir
cunferentiam
, cuius centrum k.
Similiter autem demon-
ſtrabitur
, &
ſi quomodocunque aliter ſuperficies humidi
plano
ſecta fuerit per centrum terræ ſectionem circuli cir
cunferentiam
eſſe:
& centrum ipſius eſſe, quod & terræ cen
trum
.
Ex quibus conſtat ſuperficiem humidi conſiſtentis,
11Prima hu
ius
.
atque manentis ſphæricam eſſe:
& eius ſphæræ centrum
idem
, quod centrum terræ:
quoniam eiuſmodi eſt, ut ſecta
per
idem ſemper punctum ſectionem faciat circuli circun
ferentiam
, centrum habentis punctum illud, per quod ipſa
plano
ſecatur.
16ARCHIMEDIS
PROPOSITIO III.
Solidarvm magnitudinum, quæ æqualẽ
molem
habentes æque graues ſunt, atque humi-
dum
;
in humidum demiſſæ demergentur ita, vt
ex
humidi ſuperficie nihil extet:
non tamen ad
huc
deorſum ferentur.
SIT magnitudo aliqua æque grauis, atque humidum:
& ſi fieri poteſt, in humidum demiſſa extet ex ſuperficie ip
ſius
:
conſiſtat autem humidum, maneatq; : & intelligatur
aliquod
planum ductũ
6[Figure 6] per cẽtrum terræ, &
hu
midi
, ac per ſolidam ma
gnitudinem
, ut ſit ſuper
ficiei
quidem humidi ſe
ctio
a b c d;
ſolidæ uero
magnitudinis
inſiden-
tis
e h t f;
& terræ cen-
trum
k:
ſitq; ſolidæ ma-
gnitudinis
pars, quæ in
humido
eſt, b h t c;
&
quæ
extra humidum b e f c.
intelligatur etiam ſolida figu-
ra
comprehenſa pyramide, baſim quidem habente paralle
logrammum
, quod eſt in ſuperficie humidi;
uerticem au-
tem
centrum terræ:
ſitq; ſectio plani, in quo eſt a b c d cir-
cunferentia
, &
planorum pyramidis k l, k m: & deſcriba-
tur
quædam alterius ſphæræ ſuperficies x o p circa centrũ
k
, in humido ſub e f h t, ut ſit ipſa x o p ſectio facta à ſuper fi
cie
plani.
Sumatur præterea alia quædam pyramis æqua-
lis
, &
ſimilis comprehendenti ſolidam figuram, ipſi
173DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. iuncta, & continuata: ſitq; ſectio planorũ ipſius K m K n:
& in humido intelligatur quædam magnitudo r s q y ex ip
ſo
humido conſtans, æqualis, &
ſimilis ſolidæ b h t c, quæ
quidem
pars eſt ſolidæ magnitudinis in humido demerſa.

partes
igitur humidi, quæ ſcilicet in prima pyramide ſuper
ficie
x o continetur, &
quæ in altera continetur p o, æquali
ter
ſunt poſitæ, &
continuatæ ſed non ſimiliter premun-
tur
.
nam contenta quidem x o, premitur ſolido e h t f, &
humido
interiecto inter ſuperficies x o, l m, &
plana pyra-
midis
;
contenta uero p o premitur ſolido r s q y, & humi-
do
inter ſuperficies o p, m n, &
pyramidis plana interiecto.
minor
autem eſt grauitas humidi, quod eſt inter m n, o p,
quàm
eius, quod inter l m, x o.
ſolidum enim r s q y eſt mi
nus
ſolido e h t f:
cum ſit æquale ipſi b h t c; quia magnitu
dine
æquale, &
æque graue ponitur ſolidum, atque humi-
dum
:
reliquum autem reliquo inæquale eſt. conſtatigitur
partem
contentã ſuperficie o p, expelli ab ea, quæ ipſa x o
continetur
:
& non conſiſtere humidum. ponebatur au-
tem
conſiſtens, &
manens: non ergo ex ſuperficie humidi
extat
aliquid ſolidæ magnitudinis.
ſed neque demerſum
ſolidum
ad inferiora feretur.
Similiter enim prementur
omnes
partes humidi æqualiter poſitæ, cum ſolidum ſit æ-
que
graue, atque humidum.
PROPOSITIO IIII.
Solidarvm magnitudinum, quæcunque
leuior
humido fuerit, demiſſa in humidum non
demergetur
tota, ſed aliqua pars ipſius ex humi-
di
ſuperficie extabit.
SIT magnitudo ſolida humido leuior; & demiſſa in hu
midum
demergatur tota, ſi fieri poteſt, ut nulla pars
18ARCHIMEDIS extet ex humidi ſuperficie. conſiſtat autem humidum, ma
neatq
;
: & intelligatur aliquod planum ductum per centrũ
terræ
, per humidum, &

7[Figure 7] per magnitudinem ſoli-
dam
:
à quo ſuperficies
quidem
humidi ſecetur
ſecundum
circunferen-
tiam
a b c;
ſolida autem
magnitudo
ſecundum fi
guram
, in qua r:
& cen-
trum
terræ ſit K.
Intelli
gatur
etiam quædam py
ramis
comprehendens
figuram
r, ſicuti prius, quæ pũctum K pro uertice habeat:
fecenturq; ipſius plana à ſuperficie plani a b c ſecundum
a
K K b:
& ſumatur pyramis alia æ qualis, & ſimilis ſuperio
ri
, cuius plana ſecentur à plano a b c, ſecundum b K K c:

deinde
alterius ſphæræ ſuperficies quædam deſcribatur in
humido
circa centrum K, ſub ſolida magnitudine:
& ſece-
tur
ab eodem plano ſecundum x o p:
poſtremo intelliga-
tur
alia magnitudo h in poſteriori pyramide, quæ ex humi
do
conſtet, &
ſolidæ magnitudini r ſit æ qualis. partes igi-
tur
humidi, &
quæ in prima pyramide continetur ſuperfi-
cie
x o;
& quæ in ſecunda ſuperficie o p continetur, æquali
ter
iacent, &
continuatæ inter ſe ſe; non tamen ſimiliter
premuntur
:
nam quæ eſt in prima pyramide premitur ma
gnitudine
ſolida r, &
humido cõtinente ipſam, quod eſt in
loco
pyramidis a b o x:
quæ uero in altera pyramide pre-
mitur
ſolida magnitudineh, &
humido ipſam continente
in
loco pyramidis p o b c.
At grauitas ſolidæ magnitudi-
nis
r, minor eſt grauitate humidi, in quo h:
quoniam ma-
gnitudo
ſolida mole quidem æqualis, &
humido leuior po
nitur
:
grauitas autem humidi continentis magnitudines
r
h eſt æqualis;
cum pyramides æquales ſint. magis
194DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. premitur pars humidi, quæ eſt ſub ſuperficie o p. quare ex-
pellet
partem minus preſſam, &
non manebit humidum.
ponebatur autem manens. non igitur demergetur tota,
ſed
aliqua pars ipſius ex humidi ſuperficie extabit.
PROPOSITIO V.
Solidarvm magnitudinum quæcunque le
uior
humido fuerit, demiſſa in humidum vſque
demergetur, vt tanta moles humidi, quanta
eſt
partis demerſæ, eandem, quam tota magnitu-
do
, grauitatem habeat.
DISPONANTVR eadem, quæſupra: ſitq; humi-
dum
manens:
& magnitudo e h t f humido leuior. Si igitur
humidum
manet, ſimiliter prementur eius partes, quæ æ-
qualiter
iacent.
ſimiliter ergo premetur humidum ſub ſu-
perficiebus
x o o p.
8[Figure 8] quare æ qualis eſt graui-
tas
, qua premuntur.
eſt
autem
&
grauitas humi
di
, quod in prima pyra-
mide
abſque ſolido b h
t
c, æqualis grauitati hu
midi
, quod in altera py-
ramide
abſq;
r s q y hu-
mido
.
perſpicuum eſt
igitur
grauitatem ma-
gnitudinis
e h t f grauitati humidi r s q y æqualem eſſe.
ex
quibus
conſtat, tantam humidi molem, quanta eſt pars de
merſa
ſolidæ magnitudinis, eandem, quam tota magnitu-
do
habere grauitatem.
20ARCHIMEDIS
PROPOSITIO VI.
Solidae magnitudines humido leuiores, in
humidum
impulſæ ſurſum feruntur tanta ui, quã
to
humidum molem habens magnitudini æqua-
lem
, grauius eſt ipſa magnitudine.
SIT enim magnitudo aleuior humido: & ſit magnitu
dinis
quidem a grauitas b:
humidi uero molem habentis
æqualem
ipſi a, grauitas ſit b c.
demonſtrandum eſt magni
tudinem
a in humidum impulſam tanta ui ſurſum ferri,
quanta
eſt grauitas c.
accipiatur enim quædam magnitu-
do
, in qua d habens grauitatem ipſi c æqualem.
Itaque
magnitudo
ex utriſque magnitudinibus conſtans, in qui-
bus
a d, leuior eſt humido:
nam magnitudinis quidem quæ
ex
utriſque conſtat grauitas eſt b c;
humidi uero habentis
molem
ipſis æ qualem grauitas maior eſt, quàm b c:
quo-
niam
b c grauitas eſt humidi
9[Figure 9] molẽ habentis æqualem ipſia.
Si ergo demittatur in humidũ
magnitudo
ex utriſque a d con
ſtans
;
uſque demergetur, ut
tanta
moles humidi, quanta eſt
pars
magnitudinis demerſa
dem
, quam tota magnitudo
grauitatem
habeat.
hoc enim
iam
demonſtratum eſt.
ſit autẽ
ſuperſicies
humidi alicuius a b
c
d circunferentia.
Quoniam igitur tanta moles humidi,
quanta
eſt magnitudo a grauitatem habet eandem, quam
magnitudines
a d:
perſpicuum eſt partem ipſius demer-
ſam
eſſe magnitudinem a;
reliquam uero d totam ex
215DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. midi ſuperficie extare. Quare conſtat magnitudinem a
tanta
ui ſurſum ferri, quãta deorſum premitur ab eo, quod
eſt
ſupra;
uidelicet à d, neutra ab altera expellatur, ſed
d
fertur deorſum tanta grauitate, quanta eſt c:
ponebatur
enim
grauitas eius, in quo d ipſi c æqualis.
patet igitur
illud
quod demonſtrare oportebat.
PROPOSITIO VII.
Solidae magnitudines humido grauiores
demiſſæ
in humidum ferentur deorſum, donec
deſcendant
:
& erunt in humido tanto leuiores,
quanta
eſt grauitas humidi molem habentis ſoli-
magnitudini æqualem.
SOLIDAS magnitudines humido grauiores, in hu-
midum
demiſſas deorſum quidam ferri, donec deſcẽdant,
manifeſtum
eſt:
partes enim humidi, quæ ſub eis ſunt, pre-
muntur
magis, quàm partes æqualiter ipſis adiacentes;
quoniam magnitudo ſolida humido grauior ponitur: le-
uiores
autem eſſe uti dictum eſt, demonſtrabitur hoc mo-
do
.
Sit enim aliqua ma-
10[Figure 10] gnitudo a grauior hu-
mido
:
& fit magnitudi-
nis
quidem a grauitas
b
c:
humidi uero molẽ
habentis
æqualem ipſi a
grauitas
ſit b.
demon-
ſtrandum
eſt magnitudi
nem
a in humido exiſtē
tem
habere grauitatem
æqualem
ipſi c.
Accipia
tur
enim alia aliqua magnitudo, in qua d, leuior humido;
22ARCHIMEDIS cuius grauitas ſitipſi b æqualis: humidi ucro molem ha-
bentis
æqualem magnitudini d, ſit grauitas æqualis b c.
Itaque compoſitis magnitudinibus a d, magnitudo ex
utriſque
conſtans æque grauis erit, atque ipſum humidũ:

grauitas
enim utrarũque magnitudinum eſt æqualis utriſ-
que
grauitatibus, uidelicet b c, &
b: grauitas autem humi
di
habentis molem æqualem utriſque magnitudinibus, eſt
eiſdem
grauitatibus æqualis.
Demisſis igitur magnitudini
bus
, &
in humidum proiectis æque graues erunt, atque hu
midum
:
neque ſurſum, neque deorſum ferentur: quoniam
magnitudo
quidem a
11[Figure 11] grauior humido feretur
deorſum
;
& eadem ui à
magnitudine
d ſurſum
retrahetur
:
magnitudo
autem
d humido leuior
feretur
ſurſum tanta ui,
quanta
eſt grauitas c:
demõſtratũ enim eſt ma
116. huius. gnitudines ſolidas hu-
mido
leuiores, impulſas
in
humidum tanta uiretrahi ſurſum, quanto humidum ha
bens
molem magnitudini æqualem grauius eſt ipſa magni
tudine
.
Athumidum molem habens æqualem d, grauius
eſt
, quam d, ipſa c grauitate.
Conſtatigitur magnitudinem
a
deorſum ferri tanta grauitate, quanta eſt c.
quod de-
monſtrare
oportebat.
POSITIO II.
Ponatvr eorum, quæ in humido ſurſum
feruntur
, vnumquodque ſurſum ferri ſecundum
perpendicularem
, quæ per centrum grauitatis ip
ſorum
ducitur.
236DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
COMMENTARIVS.
AT ucro ea, quæ feruntur deorſum, ſecundum perpendicula-
rem
, quæ per centrum grauit atis ipſorum ducitur, ſimiliter ferri,
uel
tanquam notum, uel ut ab alijs poſitum prætermiſit.
PROPOSITIO VIII.
SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido,
11A quæ figuram portionis ſphæræ habeat, in humi-
22B dum demittatur, ita vt baſis portionis non tan-
gat
humidum:
figura inſidebit recta, ita vt axis
portionis
ſit ſecundum perpendicularem.
Et ſi
ab
aliquo inclinetur figura, vt baſis portionis hu-
midum
cõtingat;
non manebit inclinata ſi demit
tatur
, ſed recta reſtituetur.
[INTELLIGATVR quædam magnitudo, qualis
33Suppleta
a
Federi-
co
Cõm.
dicta eſt, in humidum demiſſa:
& ducatur planum per axẽ
portionis
, &
per terræ
12[Figure 12] centrum, ut ſit ſuperfi-
ciei
humidi ſectio circũ
ferentia
a b c d:
& figu-
ſectio e f h circunfe-
rentia
:
ſit autem e h
recta
linea;
& f t axis
portionis
.
Si igitur in-
clinetur
figura, ita ut a-
xis
portionis f t non ſit
ſecundum
perpendicu-
larem
.
demonſtrandum eſt, non manere ipſam figu-
ram
;
ſed in rectum reſtitui. Itaque centrum ſphæræ
24ARCHIMEDIS in linea ft. nam ſit primum figura maior dimidia ſphære:
ſitq; in dimidia ſphæra ſphæræ centrum t; in minori por-
tioneſit
centrum p;
& in maiori _k_: per _k_ uero, & terræ cen
trum
l ducatur _k_ l ſecans circunferentiam e f h in pun-
cto
n.
Quoniam igitur unaquæque ſphæræportio axem
11C habet in linea, quæ à cẽtro ſphæræ ad cius baſim perpen-
dicularis
ducitur:
habetq; in axe grauitatis centrum:
portionis in humido demerſæ, quæ ex duabus ſphæræ
portionibus
conſtat, axis erit in perpendiculari per _k_ du-
cta
.
& idcirco centrum grauitatis ipſius erit in linea n _k_,
quod
ſit r.
ſed totius portionis grauitatis centrum eſt in li
22D nea f t inter _k_, &
f, quod ſit x. reliquæ ergo figuræ, quæ eſt
33E extra humidum, centrum erit in linea r x producta ad par
tes
x;
& aſſumpta ex ea, linea quadam, quæ ad r x eandem
proportionem
habeat, quam grauitas portionis in humi-
do
demerſæ habet ad grauitatem figuræ, quæ eſt extra hu-
midum
.
Sit autem s centrum dictæ figuræ: & per s duca-
tur
perpendicularis l s.
Feretur ergo grauitas figuræ qui-
44F dem, quæ extra humidum per rectam s l deorſum;
portio
nis
autem, quæ in humido, ſurſum per rectam r l.
quare
non
manebit figura:
ſed partes eius, quæ ſunt ad e, deor-
ſum
;
& quæ ad h ſurſum ſerẽtur: idq; cõtinenter fiet, quoad
ſ
t ſit ſecundum perpendicularem.
Eodem modo in aliis
portionibus
idem demonſtrabitur.
]
13[Figure 13]
257DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
COMMENTARIVS.
H_VIVS_ propoſitionis demonſtratio iniuria temporum deſidera-
tur
, quam nos ita reſtituimus, ut ex figuris, quæ remanſerunt Archi
medem
ſcripſiſſe colligi potuit:
neque enim eas immutare uiſum est,
quæ
uero ad declarationem, explicationémque addenda fuerant, in
commentarijs
ſuppleuimus, id quod etiam præstitimus in ſecunda
propoſitione
ſecundi libri.
_SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido. ]_ Ea uerba,
11A leuior bumido, nos addidimus, quæ in translatione non erant;
quo-
niam
de eiuſmodi magnitudinibus in bac propoſitione agitur.
In humidũ demittatur, ita ut baſis portionis tangat hu
22Bmidum.
] _Hoc est in humidum ita demitt atur, ut baſis ſurſum ſpe_
_ctet
;
uertex autem deorſum. quod quidem opponitur ei, quod in ſe-_
_quenti
dixit._
In humidum demittatur, ita ut baſis tota ſit in
humido
.
_His enim uerbis ſignificat portionem oppoſito modo in_
_humidum
demitti, ut ſcilicet uertex ſurſum;
baſis autem deorſum_
_uergat
.
eodem dicendi modo frequenter uſus est in ſecundo libro; in_
_quo
de portionibus conoidis rectangulitractatur._
_Quoniã igitur unaquæq; ſphæræ portio axẽ habet in linea,_
33C _quæ à cẽtro ſphæræ ad eius baſim perpẽdicularis ducitur.
]_
Iungatur
enim b c, &
k l ſecet circunferentiam a b c d in puncto g;
lineam uero rectam b c in m. & quoniam duo circuli a b c d, e f b
ſecant
ſe ſe in punctis b c;
recta linea, quæ ipſorum centra coniun-
git
, uidelicet k l lineam b c bifariam, &
ad angulos rectos ſecat:
ut
in commentarij s in Ptolemæi planiſpbærium oſtendimus.
quare
portionis
circuli b n c diameter eſt m n;
& portionis b g c diame-
4429. primi ter m g:
nam rectæ lineæ, quæ ipſi b c æquidistantes ex utraque
parte
ducuntur, cum linea n g rectos angulos faciunt;
& idcirco ab
553. tertii. ipſa bifariam ſecantur.
portionis igitur ſpbæræ b n c axis eſt n m;
& portionis b g c axis m g. ex quo ſequitur, portionis in bumido
demerſæ
axem eſſe in linea k l;
ipſam ſcilicet n g. & cum grauita-
tis
centrum cuius libet ſpbæræ portionis ſit in axe;
quod nos in
26ARCHIMEDIS @e centro grauitatis ſolidorum demonstrauimus: erit magnitudi-
nis
ex utriſque portionibus b n c, b g c conſtantis;
hoc eſt portionis
in
humido demerſa grauitatis centrum in linea n g, quæ ipſarum
ſphæræ
portionum centra graui-
14[Figure 14] tatis coniungit.
ſi enim fieri po-
teſt
, ſit extra lineam n g, ut in
q
:
sîtq; portionis b n c centrum
grauitatis
u;
& ducatur u q.
Quoniam igitur à portione in bu-
mido
demerſa aufertur ſphæræ
portio
b n c, non habens idem cen
trum
grauitatis:
erit ex octaua
primi
libri Archimcdis de centro
grauitatis
planorum, reliquæ por
tionis
b g c centrum in linea u q
producta
.
quod fieri non potest; eſt enim in axe ipſius mg. sequi-
tur
ergo ut portionis in humido demerſæ centrum grauitatis ſit in li
nean
k.
quod oſtendendum propoſuimus.
_Sed totius portionis grauitatis centrum eſt in linea ft, in-_
11D _ter_ k, _&
f, quod ſit x. ]_ Compleatur ſphæra, ut ſit portionis additæ
axis
t y;
& centrú grauitatis z. Itaque quoniá à tota ſphæra, cuius
grauitatis
cétrum eſt k, ut etiam in eodem libro demóſtrauimus, au
228. primi
Archime

dis
.
fertur portio e y h centrú grauitatis habens z:
erit reliquæ portionis
e
f h cétrú in linea z k producta.
quare inter k. & f neceſſario cadet.
Reliquæ ergo figuræ, quæ eſt extra humidum, centrum erit
33E in linea r x producta.
] _Ex eadem octaua primi libri Archime-_
_dis
de centro grauitatis planorum._
_Feretur ergo grauitas, figuræ quidem quæ extra humi_-
44F _dum per rectam s l deorſum;
portionis autem, quæ in_
_humido
ſurſum per rectam r l.
]_ Ex antecedenti poſitio-
ne
.
magnitudo @enim, quæ in humido demerſa est, tanta ui per li-
neam
r l ſurſum@fertur, quanta quæ extra humidum per li-
neam
s l, deorſum:
id quod ex propoſitione ſexta huius li-
briconſtare
poteſt.
& quoniam feruntur per alias, atque alias
278DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. neas; neutra alteri obſistit, quo minus moueatur; ídq; continenter
fiat
, dum portio in rectum fuerit conſtituta:
tunc enim utrarumque
magnitudinum
grauitatis centra in unam, eandémq;
perpendicula-
rum
conueniunt, uidelicet in axem portionis:
& quanto conatu, im
petùue
ea, quæ in humido eſt ſurſum, tanto quæ extra humidum de-
orſum
per eandem lineam contendit.
quare cum altera alteram non
ſuperet
, non amplius mouebitur portio;
ſed conſiſtet, manebítq; in
eodem
ſemper ſitu;
niſi forte aliqua cauſſa extrinſecus acceſſerit.
PROPOSITIO IX.
Qvòd ſi figura humido leuior in humidum
demittatur
, ita ut baſis tota ſit in humido;
inſide
bit
recta, ita ut axis ipſius ſecundum perpendicu
larem
conſtituatur.
INTELLIGATVR enim magnitudo aliqua, qua-
lis
dicta eſt, in humidum demiſſa:
& intelligatur planum
per
axem portionis, &
per centrum terræ ductum: ſitq; ſu
perficiei
quidem humidi ſectio a b c d circunferentia;
figu
autem ſectio circun ferentia e f h:
& ſit e h recta linea:
& axis portionis f t. Si igitur fieri poteſt, non ſit f t ſecun
dum
perpendicularem.
15[Figure 15]
Demonſtrandum eſt non
manerefiguram
;
ſed in re
ctum
reſtitui.
eſt autem
centrum
ſphæræ in linea
f
t:
rurſus enim ſit figu-
ra
primo maior dimidia
ſphæra
:
& ſphæræ centrũ
in
dimidia ſphæra ſit pun-
ctum
t;
in minore portione p; in maiori uero ſit _k_: & per
_k_
, &
terræ centrum l ducatur _k_ l. Itaque figura quæ eſt
11A
28ARCHIMEDIS extra humidi ſuperficiem, axem habetin perpendiculari
per
_k_:
& propter ea, quæ ſuperius dicta ſunt, centrum gra-
uitatis
ipſius eſt in linea n _k_, quod ſitr;
totius autem por-
tionis
centrum grauitatis eſt in linea f t, inter _k_ &
f, quod
ſit
x.
reliquæ ergo figuræ, eius ſcilicet, quæ eſt in humido,
centrum
erit in rectalinea r x producta ad partes x;
& aſ-
16[Figure 16] ſumpta ex ea linea quadam, quæ ad x r eandem habeat pro
portionem
, quam grauitas portionis, quæ eſt extra humi-
dum
, ad grauitatem figuræ, quæ in humido.
Sit autem o
centrum
dictæ figuræ:
& per o perpendicularis ducatur
l
o.
Feretur ergo grauitas portionis quidem, quæ eſt ex-
tra
humidum, per rectam r l deorſum;
figuræ autem, quæ
in
humido, per rectam o l ſurſum.
non manet igitur flgu-
ra
;
ſed partes eius, quæ ſuntad h, deorſum ferẽtur; & quæ
ad
e ſurſum.
atque hoc ſemper erit, donec f t ſecundum
perpendicularem
fiat.
COMMENTARIVS.
ITAQVE figura, quæ extra humidi ſuperficiem,
11A axem habet in perpendiculari per _k_.
]
D_vcatvr_ enim b c, quæ ſecet lineam n k in m: ipſa uero
n
k circunferentiam a b c d ſecet in g.
eodem modo, quo ſupra,
299DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. monſtrabimus portionis ſphæræ b n c axem eſſe ipſam n m: &
portionis
b g c axem g m.
17[Figure 17] quare centrum grauitatis utri
uſque
, erit in linea n m.
&
quoniam
à portione b n c au-
fertur
portio b g c, non ha-
bens@idem
grauitatis centrú:
reliquæ magnitudinis, quæ est
extra
humidi ſuperficiem, cen-
trum
grauitatis erit in linea
n
k;
quæ ſcilicet earum portionum centra grauitatis coniungit: ex
eadem
octaua Archimedis.
30
ARCHIMEDIS DE IIS
QVAE
VEHVNTVR IN AQVA
LIBER
SECVNDVS.
CVM COMMENTARIIS FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS.
PROPOSITIO I.
SI magnitudo aliqua humido
leuior
demittatur in humi-
dum
, eam in grauitate pro-
portionem
habebit ad humi-
dum
æqualis molis, quã pars
magnitudinis
demerſa habet
ad
totam magnitudinem.
DEMITTATVR enim in humidum aliqua magni-
tudo
ſolida, quæ ſit fa, leuior humido:
& pars quidem ip-
ſius
demerſa ſit a;
quæ autem extra humidum f. demon-
ſtrandum
eſt, ma
18[Figure 18] gnitudinem f a
ad
humidum æ-
qualis
molis eam
in
grauitate pro-
portionem
habe
re
, quam habet
a
ad fa.
accipiatur enim aliqua humidi magnitudo n
3110DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. æqualis magnitudini f a; ſitq, ipſi f æqualis n: & ipſi a æ-
qualis
i.
magnitudinis autem f a grauitas ſit b: & magni-
tudinis
n i grauitas o r;
& ipſius i ſit r. magnitudo igi-
tur
f a ad n i eam proportionem habet, quam grauitas b
ad
grauitatem or.
Sed quoniam magnitudo f a in humi-
dum
demiſſa leuior eſt humido;
patet tantam humidi mo-
lem
, quanta eſt pars magnitudin_i_s demerſa, eandem quam
magnitudo
f a habere grauitatem.
hoc enim ſuperius de-
115. priml
huius
.
monſtratum eſt.
Atipſi a reſpondet humidum i, cuius qui
dem
grauitas eſt r;
& ipſius f a grauitas b. ergo b graui-
tas
eius, quod habet molem æqualem toti magnitudini
f
a, æqualis erit grauitati humidi i, uidelicetipſi r.
Et quo
niam
ut magnitudo f a ad humidum n i ſibi reſpondens,
ita
eſt b ad o r:
eſt autem b æqualis ipſi r: & utr ad o r, ita
i
ad n i;
& a ad f a. Sequitur ut f a ad humidum æqualis
2211. quinta molis eam in grauitate proportionem habeat, quam ma-
gnitudo
a habet ad f a.
quod demonſtrare oportebat.
PROPOSITIO II.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
33A axem habuerit minorem, quam ſeſquialterum
eius
, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem
habens ad humidum in grauitate;
demiſ
ſa
in humidum, ita ut baſis ipſius humidum non
contingat
;
& poſita inelinata, non manebit incli
nata
;
ſed recta reſtituetur. Rectam dico conſi-
ſtere
talem portionem, quando planum quod ip
ſam
ſecuit, ſuperficiei humidi fuerit æquidiſtans.
SIT portio rectanguli conoidis, qualis dicta eſt; &
32ARCHIMEDIS ceatinclinata. Demonſtrandum eſt non manere ipſam; ſed
rectam
reſtitui.
Itaque ſecta ipſa plano per axem, recto ad
planum
, quod eſt in ſuperficie humidi, portionis ſectio ſit
a
p o l rectanguli coni ſectio:
axis portionis, & ſectionis
diameter
n o:
ſuperficiei autem humidi ſectio ſit i s. Si
igitur
portio non eſt recta;
non utique erit a l ipſi i s æ-
quidiſtans
.
quare n o cum i s non faciet angulos rectos.
ducatur crgo k ω contingens ſectionem coni in p [quæ
11Suppleta
a
. Federi-
co
Cõm.
ipſi i s æquidiſtet:
& à puncto p ad i s ducatur p f æquidi
ſtans
ipſi o n, quæ erit ſectionis i p o s diameter, &
axis por
22B tionis in humido demerſæ.
ſumantur deinde centra graui
tatum
:
ſitq; ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrũ
33C r;
ipſius uero i p o s centrum ſit b: & iuncta b r produca-
44D tur ad g, quod ſit centrum grauitatis reliquæ figuræ i s l a.
Quoniam igitur n o ipſius quidem r o ſeſquialtera eſt;
eius
autẽ, quæ uſque ad axẽ minor, quam ſeſquialtera;
erit
55E r o minor, quàm quæ uſque ad axem.
Quare angulus r p ω
66F acutus erit:
cum enim linea, quæ uſque ad axem maior ſit
ipſa
r o;
quæ à puncto r ad k ω perpendicularis ducitur,
uidelicet
r t,
19[Figure 19] linea f p extra
ſectionem
con
ueniet
:
& pro-
pterea
inter p
&
ω puncta ca-
datneceſſe
eſt.
Itaq; ſi per b g
ducantur
lineæ
ipſi
r t æquidi-
ſtantes
;
angu-
los
rectos cum
ſuperficie
humidi continebunt:
& quod in humido eſt ſur-
77G ſum feretur ſecundum perpendicularem, quæ per b ducta
eſt
, ipſi r t æquidiſtans:
quod uero eſt extra humi dum
3311DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. cundum eam, quæ per g, deorſum ferctur; & non ita mane
bit
ſolidum a p o l:
nam quod eſt ad a feretur ſurſum; &
quod
ad b deorſum, donec n o ſecundum perpendicu-
larem
conſtituatur.
]
COMMENTARIVS.
D_esideratvr_ propoſitionis huius demonstratio, quam nos
etiam
ad Archimedis figuram appoſite restituimus, commentarijs-
que
illustrauimus.
_Recta portio conoidis rectanguli, quando axem habue_
11A _rit minorem, quàm ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axẽ]_
In
tranſlatione mendoſe legebatur.
maiorem quàm ſeſquialterum:
& ita legebatur in ſequenti propoſitione. est autem recta portio co
noidis
, quæ plano ad axem recto abſcinditur:
eâmque rectam tunc
conſiſtere
dicimus, quando planum abſcindens, uidelicet baſis pla-
num
, ſuperficiei humidi æquidiſtans fuerit.
Quæ erit ſectionis i p o s diameter, & axis portionis in
22B humido demerſæ] _ex_ 46 _primi conicorum Apollonij:
uel ex co-_
_rollario_
51 _eiuſdem_.
_Sitque ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrum r,_
33C _ipſius uero i p o s centrum ſit b.
]_ Portionis enim conoidis
rectanguli
centrum grauitatis eſt in axe, quem ita diuidit, ut pars
eius
, quæ ad uerticem terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim, ſit
dupla
:
quod nos in libro de centro grauitatis ſolidorum propoſitio-
ne
29 demonstrauimus.
Cum igitur portionis a p o l centrum gra-
uitatis
ſit r, erit o r dupla r n:
& propterea n o ipſius o r ſeſqui-
altera
.
Eadem ratione b centrum grauitatis portionis i p o s est in
axe
p f, ita ut p b dupla ſit b f.
_Etiuncta b r producatur ad g, quod ſit centrum graui_
44D _tatis reliquæ figuræ i s l a]_ Si enim linea b r in g producta, ha
beat
g r ad r b proportionem eam, quam conoidis portio i p o s ad
reliquam
figuram, quæ ex humidi ſuperficie extat:
erit punctum g
ipſius
grauitatis centrum, ex octaua Archimedis.
34ARCHIMEDIS
_Erit r o minor, quàm, quæ uſque ad axem]_ Ex decima
11E propoſitione quinti libri elementorum.
Linea, quæ uſque ad axem
apud
Archimedem, eſt dimidia eius, iuxta quam poſſunt, quæ à ſe-
ctione
ducuntur;
ut ex quarta propoſitione libri de conoidibus, &
ſphæroidibus
apparet.
cur uero ita appellata ſit, nos in commentarijs
in
eam editis tradidimus.
_Quare angulus r p ω acutus erit]_ producatur linea n o ad
22F h, ut ſit r h æqualis ei, quæ uſque ad axem.
ſi igitur à puncto h du-
catur
linea ad rectos angulos ipſi n h, conueniet cum f p extra ſe-
ctionem
:
ducta enim per o ipſi a l æquidiſtans, extra ſectionem ca
dit
ex decima ſepti-
20[Figure 20] ma primi libri coni-
corum
.
Itaque con-
ueniat
in u.
& quo
niam
f p est æqui-
distans
diametro;
h u uero ad diame-
trum
perpendicula-
ris
;
& r h æqualis
ei
, quæ uſq;
ad axẽ,
linea
à puncto r ad
u
ducta angulos re-
ctos
faciet cum ea, quæ ſectionem in puncto p contingit, hoc eſt cum
k
ω, ut mox demonstrabitur.
quare perpendicularis r t inter p &
ω
cadet;
erítque r p ω angulus acutus.
Sit rectanguli coni ſectio, ſeu parabole a b c, cuius
diameter
b d:
atque ipſam contingat linea e f in pun-
cto
g:
ſumatur autem in diametro b d linea h k æqua-
lis
ei, quæ uſque ad axem:
& per g ducta g l, diame-
tro
æquidistante, à puncto _k_ ad rectos angulos ipſi b d
ducatur
_k_ m, ſecans g l in m.
Dico lineam ab h
3512DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. m productam per pendicularem eſſe ad ipſam e f, quam
quidem
ſecet in n.
D_vcatvr_ enim à puncto g linea g o ad rectos angulos ipſi
e
f, diametrum in o ſecans:
& rurſus ab eodem puncto ducatur g p
ad
diametrum perpendicularis:
ſecet autem ipſa diameter producta
lineã
e f in q.
erit p b ipſi b q æqualis, ex trigeſimaquinta primi co
nicorum
:
& g p pro-
11cor. 8. ſe-
xti
.
21[Figure 21] portionalis ĩter q p, p o
quare
quadratũ g p re-
2217. ſextĩ. ctangulo o p q æquale
erit
:
ſed etiã æquale est
rectangulo
cõtento ipſa
p
b, &
linea, iuxta quã
poſſunt
, quæ à ſectione
ad
diametrũ ordinatim
ducuntur
, ex undecima
primi
conicorum.
ergo
3314. ſexti. quæ est proportio q p
ad
p b eadem est lineæ,
iuxta
quã poſſunt, quæ
à
ſectione ducũtur ad ip
ſam
p o:
est autem q p
dupla
p b:
ſint p b,
b
q æquales, ut dictum
est
.
Linea igitur iuxta
quam
poſſunt, quæ à ſe-
ctione
ducuntur ipſi-
us
p o dupla erit:
&
propterea
p o æqualis
ei
, quæ uſque ad axem,
uidelicet
ipſi k h:
ſed eſt p g æqualis k m; & angulus o p g angu-
4432. primi lo h k m;
quòd uterque rectus. quare & o g ipſi h m est œqualis:
554. primi.& angulus p o g angulo _k_ h m. æquidistantes igitur ſunt o g, h n:
6628
36ARCHIMEDIS angulus b n f œqualis angulo o g f: quòd cum ſit g o perpendi-
1129, primi cularis ad e f, &
h n ad eandem perpendicularis erit. quod de-
monstrare
oportebat.
Et quod in humido eſt ſurſum ſeretur ſecundum per-
22G pendicularem, quæ per b ducta eſtipſi rt æquidiſtans.
]
_Cur
hoc quidem ſurſum, illud uero deorſum per lineam perpen-_
_dicularem
feratur, diximus ſupra in octauam primi libri buius.
qua_
_re
neque in hac, neque in alijs, quæ ſequuntur, eadem iterare neceſſa_
_rium
exiſtimauimus._
PROPOSITIO III.
Recta portio conoidis rectanguli quando
axem
habuerit minorem, quam ſeſquialterum
eius
, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem
habens ad humidum in grauitate;
demiſ-
ſa
in humidum, ita ut baſis ipſius tota ſit in humi
do
;
& poſita inclinata, non manebit inclinata, ſed
ita
reſtituetur, ut axis ipſius ſecundum perpendi
cularem
fiat.
DEMITTATVR enim aliqua portio in humidum,
qualis
dicca eſt:
ſitq; ipſius baſis in humido: & ſecta ipſa
plano
per axẽ, recto ad ſuperficiẽ humidi, ſit ſectio a p ol
rectanguli
coniſectio:
axis portionis, & ſectionis diame-
ter
p f:
ſuperficiei autem humidi ſectio ſit is. Quòd ſi incli
nata
iaceat portio, non erit axis ſecundum perpendicula-
rem
.
ergo p f cum is angulos rectos non faciet. Itaque
ducatur
linea quædã k ω æquidiſtans ipſi is;
contingensq;
ſectionẽ ap ol in o: & ſolidæ quidẽ magnitudinis a p o l
ſit
r grauitatis centrum:
ipſius autem i p o s centrum
3713DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. b: iunctaq; br producatur: & ſit g centrum grauitatis
reliquæ
figuræ isla.
ſimiliter demonſtrabitur angulum
rok
acutu eſ-
22[Figure 22] ſe:
& perpendi
culare
ab r ad
k
ω ductam ca
dereinter
k &

o
, quæ ſit rt.
ſi autem à pun
ctis
g b ducan
tur
ipſi r t æqui
diſtantes
;
pars
quidem
ſolidæ
magnitudinis
,
quæ
in humido eſt, ſurſum feretur ſecundum perpendicu-
larem
per g ductam:
quæ autem extra humidum ſecundũ
perpendicularem
per b deorſum feretur:
& non manebit
ſolidum
a p o l ſic habens in humido:
ſed quod quidem
eſt
ad a feretur ſurſum:
quod autem ad l deorſum, donec
p
f fiat ſecundum perpendicularem.
PROPOSITIO IIII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
fuerit
humido leuior, &
axem habuerit maiorẽ,
qnàm
ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem:
ſi
in
grauitate ad humidum æqualis molis non mi-
norem
proportionem habeat ea, quàm quadra-
, quod fit ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter
eius, quæ uſque ad axẽ, habet ad qua-
dratum
, quod ab axe;
demiſſa in humidum,
38ARCHIMEDIS ut baſis ipſius humidum non contingat; & poſi-
ta
inclinata, non manebit inclinata, ſed recta re-
ſtituetur
.
SIT portio conoidis rectanguli, qualis dicta eſt: & de-
miſſa
in humidum, ſi fieri poteſt, non ſitrecta;
ſed inclina-
ta
:
ſecta autem ipſa plano per axem, recto ad ſuperficiem
humidi
, portionis quidem ſectio ſit rectanguli coni ſectio
a
p o l, axis portionis, &
ſectionis diameter n o; & ſuper-
ficiei
humidi ſectio ſit is.
ſi igitur portio non eſt recta,
faciet
n o cum is angulos æquales.
Ducatur k ω contin-
gens
rectanguli coni ſectionem in p;
æquidiſtanſq; ipſi
is
:
& à puncto p ipſi o n æquidiſtans ducatur p f. Itaque
ſumantur
centra grauitatum:
& ſolidi quidem a p o l cen
trum
ſit r;
eius autem, quod intra humidum, centrum b:
iunctaq; b r pro-
23[Figure 23] ducatur ad g, ut
g
ſit centrũ graui
tatis
ſolidi, quod
extra
humidum.
Quoniam igitur
n
o ipſius quidem
r
o ſeſquialtera ;

eius
autẽ, quæ uſ-
que
ad axẽ maior,
quàm
ſeſquialte-
ra
:
patet r o maio
1110. quinti rẽ eſſe, quàm quæ
uſq
;
ad axẽ. Sit ei,
22A quæ uſque ad axẽ
æqualis
r h:
& o h dupla ipſius h m. quòd n o ipſius r o
33B ſeſquialtera ſit;
item q; m o ipſius o h: & reliqua n m reli
4419. quinti quæ r h ſeſquialtera erit.
ergo axis tanto maior eſt,
3914DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem, quanta eſt linea m o.
Ponebatur autem portio ad humidum æqualis molis non
minorem
in grauitate proportionem habere, quam qua-
dratum
, quod fit ab exceſſu, quo axis eſt maior, quam ſeſ-
quialter
eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum, quod ab
axe
.
quare conſtat portionem ad humidum in grauitate
non
minorem proportionem habere, quàm quadratum li
neæ
m o ad quadratum ipſius n o.
Sed quam proportio-
nem
habet portio ad humidum in grauitate, eandem por-
tio
ipſius demerla habet ad totam portionem:
hoc enim
11C ſupra demonſtratum eſt:
& quam proportionem habet de
22D merſa portio ad totam, eam quadratum p f habet ad n o
quadratum
:
cum demonſtratum ſit in iis, quæ de conoidi
bus
, &
ſphæroidibus, ſi à rectangulo conoide duæ portio-
nes
planis quomodocunque ductis abſcindantur, portio-
nes
inter ſe eandem habere proportionem, qnàm quadra-
ta
, quæ ab ipſorum axibus conſtituuntur.
non minorem
ergo
proportionẽ habet quadratum pf ad quadratũ n o,
quàm
quadratum m o ad idem n o quadratum.
quare
33E p f non eſt minor ipſa m o;
nec b p item minor h o. Si
44F igitur ab h ducatur linea ad rectos angulos ipſi n o, coi-
55G bit cum b p, atque inter b, &
p cadet. coeat in t. & quo
66H niam p f quidem æquidiſtans eſt diametro, h t autem ad
diametrum
perpendicularis;
& r h æqualis ei, quæ uſque
ad
axem:
ducta linea ab r ad t & producta angulos rectos
faciet
cum linea ſectionem in puncto p contingente.
qua-
re
&
cum is, & cum humidi ſuperficie, quæ per is tran-
ſit
.
Itaque ſi per b g puncta lineæ ipſi r t æquidiſtantes du
cantur
, angulos rectos facient cum ſuperficie humidi:
&
quod
quidem in humido eſt ſolidum conoidis feretur ſur-
ſum
ſecundum eam, quæ per b ducta fuerit ipſi r t æquidi
ſtans
:
quod autem extra humidum, ſecundum eam, quæ
per
g deorſum feretur.
atque hoc tandiu fiet, quoad co-
noides
rectum conſtituatur.
40ARCHIMEDIS
COMMENTARIVS.
_Sit ei, quæ uſque ad axem æqualis r h. ]_ Ita legendum eſt,
11A non r m, ut tranſlatio habet, quod ex ijs, quæ ſequuntur, manifeſte
conſtare
poteſt.
_Et oh dupla ipſius h m. ]_ In tranſlatione mendoſe legeba-
22B tur, on dupla ipſius rm.
Hoc enim ſupra demonſtratum eſt. ] _In prima huius_.
33C
Et quam proportionem habet demerſa portio ad totã,
44D eam quadratum p f habet ad n o quadratum.
] _Hoc loco in_
_tranſlatione
non nulli deſider abantur, quænos reſtituimus.
Illud au_
_tem
ab Archimede demonſtratum eſt in libro de conoidibus &
ſphæ_
_roidibus
propoſitione_ 26.
_Quare p f non eſt minor ipſa m o. ]_ Nam ex decima quinti
55E ſequitur, quadratum p f non eſſe minus quadrato m o.
quare neque
linea
p f minor erit linea m o ex 22 ſexti.
_Nec b p item minor h o. ]_ Eſt enim ut p f ad p b, ita m o,
66F ad h o &
permutando, ut p f ad mo, ita b p, ad b o. ſed p f non
est
minor m o, ut oſtenſiim cst.
ergo neque b p ipſa h o minor erit.
7714. quinti
Si igitur ab h
88G24[Figure 24] ducatur linea ad
rectos
angulos ip
ſi
n o, coibit cum
b
p, atque inter
b
&
p cadet. ]
_Corruptus
erat hic_
_locus
in tranſlatio-_
_ne
.
Illud uero ita de-_
_monſtr
abitur.
Quo-_
_niam
p f non eſt mi-_
_nor
o m, nec p b ip-_
_ſa
h o;
ſi ponatur p f_
_æqualis
o m;
& p b,_
_ipſi
h o æqualis erit._
4115DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. _quare per o ductaipſi al æquidiſtans cadet extra ſectionem ex 17._
_primi conicorum: & cum b p producta coibit inſra p. ergò & per-_
_pendicularis
ducta per b cum eadem infra b coibit, at que inter b &_

_p
neceſſario cadet.
multo autem magis illud idem ſequetur, ſi pona-_
_mus
pf ipſa om maiorem eſſe._
Et quoniam p f quidem æquidiſtans eſt diametro, htau
11H tem ad diametrum perpendicularis;
& rh æqualis ei, quæ
uſque
ad axem, ducta linea ab r ad e, &
producta angulos
rectos
facere cum linea ſectionem in p contingente.
]
_Hoc
ſuperius à nobis demonſtratum eſt in ſecundam buins._
PROPOSITIO V.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem, quàm
ſeſquialterum
eius, quæ uſque ad axem;
ſi ad hu-
midum
in grauitate non maiorem proportionẽ
habeat
, quàm exceſſus, quo quadratum quod ſit
ab
axe maius eſt quadrato, quod ab exceſſu, quo
axis
maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque
ad
axem, ad quadratum, quod ab axe:
demiſſa in
humidum
, ita ut baſis ipſius tota ſit in humido;
& poſita inclinata non manebit inclinata, ſed re-
ſtituetur
ita, ut axis ipſius ſecundum perpendi-
cularem
fiat.
DEMITTATVR enim in humidum portio aliqna,
qualis
dicta eſt:
& ſit baſis ipſius tota in humido. Secta au-
tem
ipſa plano per axem, recto ad ſuperſiciem humidi, erit
ſectio
rectanguli coniſectio, quæ ſit apol:
axis
42ARCHIMEDIS& ſectionis diameter no: ſuperſiciei autem humidi ſectio
ſit
is.
Quoniam igitur axis non eſt ſecundum perpendicu
larem
;
ipſa no cum is non faciet angulos æquales. Du-
catur
k ω contingens ſectionem apol in p;
atque ipſi is
æquidiſtans
:
per p autem ducatur p f æquidiſtās ipſi n o:
& ſumantur grauitatum centra: ſitq; ipſius a p o l ſolidi
centrum
r;
eius quod extra humidum ſit b: & iuncta br
producatur
adg,
25[Figure 25] quodſit centrum
grauitatis
ſolidi ĩ
humido
demerſi:
ſumatur præterea
r
h æ qualis ei, quæ
uſque
ad axẽ:
o h
autem
dupla ipſi-
us
h m;
& alia fiãt,
ſicuti
ſuperius di-
ctum
eſt.
Itaque
cum
portio ad hu
midum
in grauita
te
non maiorem
proportionem
ha
bere
ponatur, quã
exceſſus
, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad
ipſum
n o quadratum:
& quam proportionem in grauita
te
portio habet ad humidum æqualis molis, eandem ha-
beat
magnitudo portionis demerſa ad totam portio-
nem
, quod demonſtratum eſt in prima propoſitione:

magnitudo
demerſa non maiorem proportionem ha-
1111. quin-
ti
.
bebit ad totam portionem, quàm ſit dicta illa propor-
portio
.
quare non maiorem proportionem habet tota
22A portio ad eam quæ eſt extra humidum, quàm quadratum
no
ad quadratum m o.
habet autem tota portio ad eam,
33B quæ extra humidum proportionem eandem, quam
4316DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. dratum n o ad quadratum p f. quadratum igitur n o ad
quadratum
p f non maiorem proportionem habet, quàm
ad
quadratum m o.
ex quo eſſicitur, ut p f non ſit minor
11C ipſa o m;
neque p b ipſa o h. quæ ergo ab h ducitur ad
22D rectos angulos ipſi n o, coibit cum b p inter p &
b. co-
eatin
t.
& quoniam in rectanguli coniſectione p f eſt æqui
diſtans
diametro n o;
h t autem ad diametrum perpẽ-
dicularis
:
& r h æqualis ei, quæ uſque ad axem: conſtat r t
productam
ſacere angulos rectos cum ipſa k p ω.
quare
&
cum is. ergo rt perpendicularis eſt ad ſuperſiciem hu
midi
.
et ſi per b g puncta ducantur æquidiſtantes ipſirt,
ad
ſuperſiciem humidi perpendicular es erunt.
portio igi
tur
, qnæ eſt extra humidum, deorſum in humidum feretur
ſecundum
perpendicularem per b ductam;
quæ uero in-
tra
humidum ſecundum perpendicularem per g ſurſum
feretur
:
& non manebit ſolida portio a p o l, ſedintra hu
midum
mouebitur, donecutique ipſa n o ſecundum per-
pendicularem
ſiat.
COMMENTARIVS.
_Quare non maiorem proportionem habet tota portio_
33A _ad eam, quæ eſt extra humidum, quam quadratum n o ad_
_quadratum
m o]_ cum enim magnitudo portionis in bumidum
demerſa
ad totam portionem non maiorem proportionem babeat,
quàm
exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad ip-
ſum
no quadratum:
conuertendo per uigeſimáſextam quinti ele-
mentorum
ex traditione Campani, tota portio ad magnitudinem de
merſam
non minorem proportionem babebit, quàm quadratum n o
ad
exceſſum, quo ipſum quadratum no excedit quadratum m o.
In
telligatur
portio, quæ extra bumidum, magnitudo prima:
quæ in bu
mido
demerſa est, ſecunda:
tertia autem magnitudo ſit quadratum
mo
:
& exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o ſit
quarta
.
ex his igitur magnitudinibus, primæ & ſecundæ ad
44ARCHIME DIS dam non minor est proportio, quàm tertiæ & quartæ ad quartam;
est enim quadratum m o unà cum exceſſu, quo quadratum n o exce
dit
quadratum m o æquale ipſi n o quadrato.
quare per conuerſio
nem
rationis ex 30 eiuſdem, primæ &
ſecundæ ad primam non ma-
ior
proportio erit, quàm tertiæ &
quartæ ad tertiam: & idcirco to-
ta
portio ad portionem eam, quæ est extra bumidum non maiorem
proportionem
babebit, quàm quadratum n o ad quadratum mo.

quod
demonstrandum proponebatur.
Habet autem tota portio ad eam, quæ extra humidum
11B proportionem eandem, quam quadratum n o ad quadra
tum
p f.
] _Ex uigeſimaſexta libri de conoidibus, & ſpbæroi-_
_dibus
._
Ex quo eſſicitur, ut p ſ non ſit minor ipſa o m; neque
22C pb ipſa o h.
] _Sequitur illud ex decima & decimaquarta quinti,_
_
&
ex uigeſimaſecunda ſexti elementorum, ut ſuperius dictum eſt._
Quæ ergo ab h ducitur ad rectos angulos ipſi n o coi-
33D bit cum p b inter p &
b. ] _Cur boc ita contingat, nos proxi-_
_me
explicauimus._
PROPOSITIO VI.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem quidem
quàm
ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem,
minorem
nero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem
proportionem habeat, quam quindecim
ad
quatuor;
in humidum demiſſa adeo, ut baſis
ipſius
contingat humidum, nunquam conſiſtet
inclinata
ita, ut baſis in uno puncto humidum
contingat
.
4517DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
SIT portio, qualis dicta eſt, & in humidum demittatur,
ſicuti
diximus, adeo ut baſis eius in uno puncto contingat
humidum
.
demonſtrandum eſtnon manere ipſam portio-
nem
, ſed reuoluiita, ut baſis nullo modo humidi ſuperſicie
11A contingat.
Secta enim ipſa per axem, plano ad ſuper ſiciem
humidi
recto, ſit ſectio ſuperſiciei portionis a p o l re-
ctãguli
coni ſe
26[Figure 26] ctio:
ſuperſi-
ciei
humidi ſe-
ctio
ſit a s:
axis
autem
portio-
nis
, ac ſectio-
nis
diameter n
o
:
& ſccetur in
f
quidẽ ita, ut
o
f ſit dupla ip
ſius
ſn;
in ω ue
ro
, ut n o ad
f
ω eandem ha
beat
proportionem, quam quindecim ad quatuor:
& ipſi
n
o ad rectos angulos ducatur ω k.
Itaque quoniam n o
22B ad f ω maiorem habet proportionem, quàm ad eam, quæ
uſque
ad axem;
ſit ei, quæ uſque ad axem æqualis f b: & du
catur
p c quidem ipſi a s æquidiſtans, cõtingensq;
ſectio-
nem
a p o l in p;
pi uero æquidiſtans ipſi n o: & primum
ſecet
pi ipſam κ ω in h.
Quoniã ergo in portione a p o l,
33C quæ continetur recta linea, &
rectanguli coni ſectione, κ ω
quidem
æ quidiſtans eſtipſi a l;
p i uero diametro æquidi-
ſtat
:
ſecaturq; ab ipſa κ ω in h: & a s æquidiſtat contingen-
ti
in p:
neceſſarium eſtipſam p i ad p h uel ean dem pro-
portionem
habere, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem:
hocenim iam demonſtratum eſt. At uero n ω ſeſquialtera
eſt
ipſius ω o.
& pi igitur uel ſeſquialtera eſt ipſius h p;
uel
maior, quàm ſeſquialtera.
Quare ph ipſius h i aut du
44D
46ARCHIMEDIS pla eſt, aut minor, quàm dupla. Sit autem p t dupla t i. erit
centrum
grauitatis eius, quod eſt in humido, punctum t.
Itaque iuncta t f producatur; ſitq; eius, quod extra humi
dum
grauitatis centrum g:
& à puncto b ad rectos angu-
los
ipſi n o ducatur b r.
Quòd cum p i quidem ſit æqui-
diſtans
diametro n o:
br autem ad diametrum perpendi
cularis
.
& f b æqualis ei, quæ uſque ad axem: perſpicuum
eſt
f r productam æquales facere angulos cum ea, quæ ſe-
ctionem
a p o l in puncto p contingit.
quare & cum a s:
&
cum ſuperficie humidi. lineæ autem ductæ per tg æqui-
diſtantes
ipſi f r, erunt &

27[Figure 27] ad humidi ſuperficiẽ per-
pendiculares
:
& ſolidi
a
p o l magnitudo, quæ
intra
humidum ſurſum fe
retur
ſecundum perpen-
dicularem
per t ductam;
quæ uero extra humidum
ſecundum
eam, quæ per g
deorſum
feretur.
reuolue
11E tur ergo ſolidum a p o l:
& baſis ipſius nullo modo
humidi
ſuperficiem con-
tinget
.
At ſi pi lineam k ω
non
ſecet, ut in ſecunda
figura
;
manifeſtum eſt punctum t, quod eſt centrum gra-
uitatis
demerſæ portionis, cadere inter p &
i: & reliqua
ſimiliter
demonſtrabuntur.
COMMENTARIVS.
Demonſtrandum eſt non manere ipſam portionem, ſed
22A reuolui ita, ut baſis nullo modo ſuperficiem humidi con-
tingat
.
] _Hæcnos addidimus tanquam ab interprete omiſſa_.
4718DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
Itaque quoniam no ad f ω maiorem habetproportio-
11B nem, quam ad eam, quæ uſque ad axem.
] _Habet enim diame-_
_ter
portioms n o ad f ω proportionem eandem, quam quindeeim ad_
_quatuor
;
ad eam uero, quæ uſque ad axem minorem proportionem_
_habere
ponitur, quàm quindecim ad quatuor.
quare n o ad f ω ma_
_iorem
habebit proportionem, quàm ad eam, quæ uſque ad axem:
&_
_propterea
quæ uſque ad axem ipſa f ω maior erit_.
2210. quinti
Quoniam ergo in portione a p o l, quæ continetur re-
cta
linea, &
rectanguli coni ſectione, _k_ ω quidem æ quidi-
ſtans
eſt ipſi a l;
p i uero diametro æquidiſtat; ſecaturq;
ab ipſa k ω in h: & a c æquidiſtat contingenti in p neceſ-
ſarium
eſt ipſam p i ad p h uel eandem proportionem ha
bere
, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem.
hoc enim iam
demonſtratum
eſt] _Vbi hoc demonſtratum ſit uel ab ipſo Ar-_
_chimede
, uel ab alio, numdum apparet, quocircanos demonstra-_
_tionem
afferemus, poſteaquam non nulla, quæ ad eam pertinent ex-_
_plicauerimus_
.
LEMMAI.
Sint lineæ a b, a c angulum b a c continentes: & à
puncto
d, quod in linea a c ſumptum ſit, ducantur d e,
d
f utcunque ad ipſam a b.
Sumptis uero in eadem li.
nea quotlibet punctis g l, ducantur g h, l m ipſi d e
æquidistantes
;
& g k, l n æquidiſtantes f d. deinde à
punctis
d, g uſque ad lineam m l ducantur, d o p qui
dem
ſecans g h in o;
& g q, quæ æquidistent ipſi b a.
Dico
lineas, quæ inter æquidiſtantes ipſi f d ad eas, quæ
inter
æquidiſtantes d e interiiciuntur, uidelicet k n ad g q,
uel
ad o p;
f k ad d o; & f n ad d p eandem inter ſe ſe
proportionem
habere:
nempe eam, quã habet a f ad a e.
48ARCHIMEDIS Quoniam enim triangula afd, akg, anl ſi-
28[Figure 28] milia ſunt;
itémq; ſimilia efd, h k g, mnl:
erit ut af ad fd, ita ak ad kg; ut autem fd
114. ſexti. ad fe, ita kg ad kh.
quare ex æquali ut af
ad
fe, ita ak ad kh:
& per conuerſionem ra-
tionis
ut af ad ae, ita ak ad ah.
eodem
modo
oſtendetur, ut af ad a e, ita an ad am.
cum igitur an ad am ſit, ut a k ad a h; erit
2219. quinti reliqua kn ad reliquam h m, hoc eſt ad g q,
uel
o p, ut a n ad a m;
hoc estut a f ad a e.
rurſus a k ad a h est, ut a f ad a e. er-
go
reliqua f k ad e h reliquam, uidelicet
ad
do, ut a f ad a e.
Similiter demonſtrabi-
mus
ita eſſe fn ad d p.
quod quidem demonſtra
re
oportebat.
LEMMA II.
Sint in eadem linea a b puncta
29[Figure 29] duo r s ita diſpoſita, ut a s ad a r
eandem
proportionem habeat, quam
a
f ad ae:
& per r ducatur rtipſi
e
d æquidiſtans;
per s uero ducatur
s
t æquidiſtans fd, ita ut cum r t in
t
puncto conueniat.
Dico punctum t
cadere
in lineam a c.
Si enim fieri potest, cadat citra: & produca
tur
rt uſque ad ipſam a c in u.
deinde per u
ducatur
u x ipſi f d æquidiſtans.
Itaque ex
ijs
, quæ proxime demonstrauimus a x ad
4919DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. eam proportionem babebit, quam a f ad a e. Sed & eandem habet
a
s ad a r.
quare a s ipſi a x eſt æqualis, pars toti, quod fieri non
119. quinti poteſt.
Idem abſurdum ſequetur, ſi ponamus punctum t cadere ul-
tra
lineam a c.
neceſſarium igitur est, ut in ipſam a c cadat. quod
demonſtrandum
propoſuimus.
LEMMA III.
Sit parabole, cuius diameter a b: atque eam cŏtingen
tes
rectæ lineæ a c, b d;
a c quidem in puncto c, b d ue
ro
in b:
& per c ductis duabus lineis; quarum alter a c e
diametro
æquidiſtet, alter a c f æquidiſtet ipſi b d:
ſuma
tur
quod uis punctum g in diametro:
fiatque ut f b, ad
b
g, ita b g ad b h:
& per g h ducantur g k l, h e m,
æquidiſtantes
b d:
per m uero ducatur m n o ipſi a c
æquidistans
, quæ diametrum ſecet in o:
& per n ducta
n
p uſque ad diametrum, ipſi b d æquidistet.
Dico h o
ipſius
g b duplam eſſe.
V_EL_ igitur linea m n o ſccat diametrum in g, uel in alijs pun-
ctis
:
& ſi quidem ſecat in g, unum at que idem punctum duabus li-
teris
go notabitur.
Itaque quoniam f c, p n, h e m ſibiipſis æqui
distant
:
& ipſi a c æquidiſtat m n o: fient triangula a f c, o p n,
o
h m inter ſe ſimilia.
quare erit o h ad h m, ut a f ad fc: & per-
224. ſexti. mut ando o h ad a f, ut h m ad fc.
est autem quadratum h m ad
quadratum
g l, ut linea h b ad lineam b g, ex uigeſima primi libri
conicorum
:
& quadratum g l ad quadratum fc, ut linea g b ad
ipſam
b f:
ſuntq; h b, b g, b f lineæ deinceps proportionales. er-
3322. ſexti.
cor
. 20. ſe
xti
.
go &
quadrata h m, g l, f c, & ipſorum latera proportionalia
erunt
.
atque idcirco ut quadratum h m ad quadratum g l, ita
50ARCHIMEDIS nea h m ad li-
30[Figure 30] neam fc.
at uero
ut
h m ad f c, ita
o
h ad a f:
& ut
quadratum
h m
ad
quadratú g l,
ita
linea h b ad
b
g;
hoc est b g
ad
b f.
ex quibus
ſequitur
o h ad
a
f ita eſſe, ut b g
ad
b f:
& permu
tando
oh ad b g,
ut
a f ad f b.
ſed
eſt
a f dupla ip-
ſius
fb:
ſunt eni
a
b, b f æquales
ex
35 primi libri
conicorum
.
ergo
&
h o ipſius g b
eſt
dupla.
quod demonſtrare oportebat.
LEMMA IIII.
Iiſdem manentibus, & à puncto m ducta m q uſque
ad
diametrum, quæ ſectionem in puncto m conting at;
Dico h q ad q o eandem proportionem habere, quam
habet
g h ad c n.
F_IAT_ enim h r æqualis g f. & cumtriangula a f c, o p n ſimi
lia
ſint, &
p n ſit æqualis f c; eodem modo demonſtrabimus p o, f a
inter
ſe æquales eſſe.
quare p o ipſius f b dupla erit. Sed eſt h o du
pla
g b.
ergo & reliqua p h reliquæ f g; uidelicet ipſius r h eſt
5120DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. pla. ex quo fit ut pr, rh, fg inter ſe ſint æquales; itémq; æquales
rg
, pf.
eſt enim pg utrique r p, gf communis. Quoniam igitur
hb
ad bg est, ut
31[Figure 31] gb ad bf;
per c
uerſionem
ratio-
mis
erit b h ad
h
g, ut b g ad gf.
eſt autem q h ad
h
b, ut h o ad gb.

nam
ex 35 primi
libri
conicorum,
cum
linea qm
tingat
ſectionem
in
punctom;
erút
h
b, bq æquales;

&
gh ipſius h b
dupla
.
ergo ex æ-
quali
q h ad hg,
ut
ho ad g f;
hoc
eſt
ad hr:
& per
mutando
q h ad
h
o, ut g h ad h r.

rurſus
per conuerſionem rationis h q ad qo, ut h g ad g r;
hoc eſt
p
f:
& propterea ad ipſam cn, quod demonstrandum fuerat.
His igitur explicatis, iam adid, quod propoſitum fue
rat
, accedamus.
Itaque dico primum nc ad c k eandem
proportionem
babere, quam h g ad g b.
Quoniam enim h q ad qo eſt, ut h g ad c n, hoc eſt ad a o ipſi
cn
æqualem;
erit reliqua gq ad reliquam q a, ut h q ad q o: &
ob
eam cauſſam lineæ a c g l productæ ex ijs, quæ ſupra demonſtra
uimus
in linea q m conueniunt.
Rurſus gq ad qa eſt, ut h q
52ARCHIMEDIS q o; uidelicet ut h g ad f p: quod proxime demonſtr atum eſt. At
112. lem: ueroipſi g q æquales ſunt duæ lineæ ſimul ſumptæ qb, hoc eſt h b,
224. lem.&
b g: atque ipſi q a æqualis eſt h f. Sienim ab æqualibus h b,
bq
, æqualia fb,
32[Figure 32] ba demantur, re
manentia
æqua-
lia
erunt.
ergo
dempta
h g ex
duabus
lineis h
b
, h g, relinqui-
tur
dupla ipſius
b
g;
hoc eſt o h:
& dempta p f ex
f
h, reliqua est
b
p.
quare o h
3319. quinti ad h p, eſt ut g q
ad
q a.
Sed ut
g
q ad q a, ita
h
q ad q o;
hoc
eſt
h g ad n c:
& ut o h ad h p,
4415. quin-
ti
.
ita g b ad c k.
eſt
cnim
o h dupla
g
b, &
h p item
dupla
gf;
hoc eſt
c
k.
eandem igitur proportionem habet h g ad n c, qnam g b ad
c
k:
& permutando n c ad c k eandem habet, quam b g ad g b.
Sumatur deinde aliud quod uis punctum in ſectum in ſectione,
quod
ſit s:
& per s duæ lineæ ducantur: st quidem
æquidistans
ipſi db, diametrumque in puncto t ſecans;
s u uero æquidistans ac, & ſecans c e in u. Dico u c
ad
ck maiorem proportionem habere, quamtg ad gb.
5321DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
Producatur enim u s ad lineam qm in x: & à puncto x duca
tur
ad diametrum x y ipſi bd æquidistans.
erit gt minor quàm
gy
, quoniam u s minor eſt quàm ux:
& ex primo lemmate yg
ad
uc erit, ut h g ad n c;
uidelicet ut g b ad c k, quod proxime de
monstrauimus
:
& permutando yg ad gb, ut uc ad c k. Sed t g
cum
ſit ipſa y g minor, habet ad g b proportionem minorem, quàm
y
g ad eandem.
ergo u c ad c K maiorem proportioné habet, quàm
t
g ad g b.
quod demonstraſſe oportuit. Itaque poſitione data g K
unum
duntaxat erit in ſectione punctum, uidelicet m, à quo ductis
duabus
lineis m e h, mno, habeat n c ad c K proportionem ean-
dem
, quam h g ad g b.
nam ſi ab alijs omnibus ducantur, ſemper
ea
, quæ inter a c, &
lineam ipſi æquidistantem interijcitur, ad c K
proportionem
maiorem habebit, quàm quæ inter g K atque ei æqui
diſtantem
, ad ipſam g b.
Conſtat igitur id, quod ab Archimede di-
ctum
est;
nempe lineam pi ad p h uel eandem, quam n ω ad ω o,
uel
maiorem habere proportionem.
Quare p h ipſius h i aut dupla eſt, aut minor quàm du
11Dpla.
] _Si quidé_
33[Figure 33] _minor, quàm du-_
_pla
, ſit pt dupl.
2_
_ti
.
erit centrum_
_grauitatis
eius,_
_quod
in humido_
_est
, punctumt.
ſi_
_uero
p h ſit ip-_
_ſius
h i dupla,_
_erit
h grauitatis_
_centrum
:
ductâq;_
_h f, & producta_
_ad
centrum eius,_
_quod
est extra humidum, uidelicct ad g, alia ſimiliter demonstra-_
_buntur
.
atque idem intelligendum est in propoſitione, quæ ſe_-
_quitur
._
Reuoluetur ergo ſolidum a p o l, & baſis ipſius nullo
22E
54ARCHIMEDIS modo hum idi ſuperficiem continget. ] _In translatione le-_
_gebatur
ut baſis ipſius non tangat ſuperficiem humidi ſecundum_
_unum
ſignum.
nos autem ita uertere maluimus, & hic & in ijs,_
_quæ
ſequuntur, quoniam græci οὐδὲ \~εις, οὐδὲ ἓν, pro οὐ δεὶς, &_

_οὐδε
ν frequenter utútur.
ut οὐδ ε ςιν οὐ δεὶς, nullus eſt: οὐ \’δ ὑφ νὸς,_
_ànullo
&
alia eiuſmodi._
PROPOSITIO VII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem quidem
quàm
ſeſquialtérum eius, quæ uſque ad axem;
minorem uero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem
proportionem habeat, quam quindecim
ad
quatuor:
in humidum demiſſa, adeo ut baſis
ipſius
tota ſitin humido;
nunquam conſiſtet ita,
ut
baſis contingat humidi ſuperficiem:
ſed ut to-
ta
in humido ſit, &
nullo modo eius ſuperficiem
contingat
.
SIT portio qualis dicta eſt: & demittatur in humidũ,
ut
diximus, adeo ut baſis ipſius in uno puncto contingat
humidi
ſuperficiem.
Demonſtrandum eſt non manere ip-
ſam
:
ſed reuolui ita ut baſis fuperficiem humidi nullo mo-
do
contingat.
Secta enim ipſa plano per axem, recto ad ſu
perficiem
humidi, ſectio ſit a p o l rectanguli coni ſectio:
ſuperficiei humidi ſectio ſit s 1: axis portionis, & ſectio-
nis
diameter p f:
ſeceturq; p f in r quidem ita ut r p ſit
dupla
ipſius r f;
in ω autem ut p f ad r ω proportionem
habeat
, quam quindecim ad quatuor:
& ω k ipſi p f ad re-
ctos
angulos ducatur erit r ω minor, quàm quæ uſque ad
axem
.
Itaque accipiatur ei, quæ uſque ad axem æqualis rh:
5522DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.& c o quidẽ
34[Figure 34] ducatur con
tingẽs
ſectio
nẽin
o, quæ
ipſi
s l æqui-
diſtet
;
n o au
tem
æquidi-
1110. quinti ſtet p f:
& pri
mum
ipſam
k
ω ſecet, at-
quein
pũcto
i
ſimiliter ut
in
ſuperiori-
bus
demonſtrabitur no, uel ſeſquialtera ipſius oi, uel
maior
, quàm ſeſquialtera.
Sit autem o i minor, quam du-
pla
ipſius in:
ſitq; o b dupla b n: & diſponantur eadem,
quæſupra
.
Similiter demonſtrabimus, ſi ducatur linea r t,
facere
eam angulos rectos cum linea c o, &
cum ſuperficie
humidi
.
quare à punctis b g lineæ ductæipſi r t æquidiſtã
tes
, etiã ad humidi ſuperfi-
35[Figure 35] ciẽ perpẽdiculares erunt.
portio igitur quæ eſt extra
humidũ
deorſum feretur
ſecundum
eam perpendi-
cularem
, quæ per b tran-
ſit
;
quæ uero intra humi-
dum
ſecundum eam, quæ
per
g ſurſum ſeretur.
ex
quibus
conſtat reuolui ſo-
lidum
, ita ut baſis ipſius
nullo
modo humidi ſuper
ficiem
contingat:
quo-
niam
nuncin uno puncto
contingens
deorſum
56ARCHIMEDIS tur ex parte 1. Quod ſi n o non ſecuerit ipſam ω k,
eadem
nihilominus demonſtrabuntur.
PROPOSITIO VIII.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
axem
habuerit maiorem quidem, quàm ſeſqui-
alterum
eius, quæ uſque ad axem;
minorem ue-
ro
, quàm ut ad eam, quæ uſque ad axem propor-
tionem
habeat, quam quindecim ad quatuor:
ſi
in
grauitate ad humidum habeat proportionem
minorem
ea, quam quadratum, quod fit ab exceſ
ſu
, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ
uſque
ad axem, habet ad quadratum, quod ab
axe
:
demiſſa in humidum, ita ut baſis ipſius humi
dum
non contingat;
neque in rectum reſtitue-
tur
, neque manebit inclinata, niſi quando axis
cum
ſuperficie humidi angulum fecerit æqualẽ
ei
, de quo infra dicetur.
SIT portio qualis dicta eſt; ſitque b d æqualis axi: &
b
k quidem dupla ipſius _K_ d:
r _K_ uero æqualis ei, quæ uſ-
que
ad axem:
& ſit c b ſeſquialtera b r. erit & c d ipſius
_k_
r ſeſquialtera.
Quam uero portionem habet portio ad
11A humidum in grauitate, habeat quadratum f q ad quadra-
tum
d b:
& ſit f dupla ipſius q. perſpicuum igitur eſt f q
ad
d b proportionem minorem habere ea, quam habet
c
b ad b d.
eſt enim c b exceſſus, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter
eins, quæ uſque ad axem:
quare f q minor eſt
22B
5723DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ipſa b c: & idcirco f minor ipſa b r. ſit ipſi f æqualis r ψ:
11C ducaturq; ad b d perpendicularis ψ e, quæ posſit dimidiũ
eius
, quod lineis _k_ r, ψ b continetur:
& iungatur b c. De-
monſtrandum
eſt portionem in humidum demiſſam, ſicu-
ti
dictum eſt, conſiſtere inclinatam ita, ut axis cum ſuperſi-
cie
humidi angulum faciat angulo c b ψ æqualem.
demit-
tatur
enim aliqua portio in humidum, ut baſis ipſius hu-
midi
ſuperficiem non contingat:
& ſi fieri poteſt, axis cum
ſuperficie
humidi non faciat angulum æqualem angulo
e
b ψ;
ſed primo maiorem. ſecta autẽ portione plano per
axem
, recto ad ſu-
36[Figure 36] perficiem humi-
di
, ſit ſectio a p o l
rectanguli
coni ſe
ctio
:
ſuperficiei
humidi
ſectio x s:
ſitq; axis portio-
nis
, &
ſectiõis dia
meter
n o:
& du-
catur
p y quidem
ipſi
x s æquidi-
ſtans
, quæ ſectio-
nem
a p o l contin
gat
in p:
p m ue-
ro
æquidiſtans ip-
ſi
n o:
& p i ad
n
o perpendicularis.
ſit præterea b r æqualis o ω. itemq;
22D r k ipſi t _a_ &
ω h perpendicularis ad axem. Itaque quo-
niam
ponitut axis portionis cum ſuperficie humidi facere
angulum
maiorem angulo b:
erit angulus p y i angulo b
33E maior.
maiorem ergo proportionem habet quadratum
p
i ad quadratum y i, quam quadratum e ψ ad ψ b qua-
44F dratum.
Sed quam proportionem habet quadratum p i
ad
quadratum i y, eandem linea k r habet ad lineam i y:
58ARCHIMEDIS& quam proportionem habet quadratum e ψ ad quadra-
11G tum ψ b, eandem habet dimidium lineæ _k_ r ad lineã ψ b.
quare maiorem babet proportionem _k_ r ad i y, quàm di-
2213. quin-
ti
.
midium k r ad ψ b:
& idcirco i y minor eſt, quàm dupla
33H ψ b.
eſt autem ipſius o i dupla. ergo o i minor eſt, quàm
ψ
b:
& i ω maior, quàm ψ r. ſed ψ r eſt æqualis ipſi f. maior
44K igitur eſt i ω, quàm f.
& quoniam portio ad humidum in
grauitate
eam ponitur habere proportionem, quam qua-
dratum
f q ad quadratum b d:
quam uero proportionem
habet
portio ad humidum in grauitate, eam habet pars ip
ſius
demerſa ad totam portionem:
& quam pars ipſius de-
merſa
habet ad totam, eandem habet quadratum p m ad
quadratnm
o n:
ſequitur quadratum p m ad quadratum
o
n eam proportionem habere, quam quadratum f q ad
b
d quadratum.
37[Figure 37] atque ideo ſ q æ-
55L qualis eſt ipſi p m.
demõſtrata eſt au
66M tem p h maior,
quàm
f.
cõſtat igi
tur
p m minorem
eſſe
, quàm ſeſqui-
alterã
ipſius p h:
& idcirco p h ma
iorem
, quàm du-
plam
h m.
Sit p z
ipſius
z m dupla.

erit
t quidem cẽ-
trũ
grauitatis to-
tius
ſolidi:
centrũ
eius
partis, quæ intra humidum, punctumz:
reliquæ uero
partis
centrum erit in linea z t producta uſque ad g.
Eodẽ
77N modo demonſtrabitur linea th perpendicularis ad ſuper-
ficiem
humidi.
& portio demerſa in humido ſeretur
5924DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. humidum ſecundum perpendicularem, quæ per z ad hu-
midi
ſuperficiem ducta fuerit:
quæ autem eſt extra humi-
dum
ſecundum eam, quæ per gintra humidum feretur.

ergo
manebit portio ſic inclinata, ut ponitur:
ſed neque re
ſtituecur
recta:
quoniam perpendicularium per z g ducta
rum
, quæ quidem per z ducitur ad eas partes cadit, in qui
bus
eſt l;
& quæ per g ad eas, in quibus eſt a. quare ſequi-
tur
centrum z ſurſum ferri:
& g deorſum. ergo partes to
tius
ſolidi, quæ ſunt ad a deorſum, quæ uero ad l ſurſum
ferentur
.
Rurſus alia eadem ponantur: axis autem
portionis
cum ſuperficie humidi angulum faciat minorẽ
eo
, qui eſt ad b.
minorem igitur proportionem habet qua
11O dratum p i ad quadratum i y, quàm quadratum e ψ ad
ψ
b quadratum:
quare k r ad i y minorem proportionẽ
habet
, quàm dimidium k r ad ψ b:
& propterea i y maior
eſt
, quam dupla ψ b.
eſt autem ipſius o i dupla. ergo o i
ipſa
ψ b maior e-
38[Figure 38] rit.
ſed tota o ω eſt
æqualis
ipſi r b:
& reliqua ω i mi-
nor
quàm ψ r.
qua
re
&
p h minor e-
rit
, quàm f.
Quòd
cum
m p ipſi f q
ſit
æqualis, cõſtat
p
m maiorẽ eſſe,
quàm
ſeſquialterã
ipſius
p h:
& p h
minorem
, quam
duplam
h m.
Sit
p
z ipſius z m du
pla
.
Rurſus to-
tius
quidem ſolidi centrum grauitatis erit pũctum t;
eius
uero
partis, quæ intra humidum z:
& iuncta z t
60ARCHIMEDIS tur centrum grauitatis eius, quæ extra humidum in pro-
tracta
, quod ſit g.
Itaque per z g ductis perpendiculari-
11P bus ad humidi ſuperficiem, quæ ipſi t h æquidiſtent;
ſequi-
tur
portionem ipſam non manere, fed reuolui adeo, ut a-
xis
cum ſuperficie
39[Figure 39] humidi angulum
faciat
maiorẽ eo,
quem
nunc facit.
Et quoniam
antea
poſuiſſem´
facere
angulũ ma
iorem
angulo b,
portio
neque tũc
cõſiſtebat
;
perſpi
cuũ
eſt ipſam con
ſiſtere
, ſi angulum
fecerit
angulo b
æqualem
.
Sic e-
22Q nim eriti o æqua-
lis
ψ b:
itemq; ω i
æqualis
ψ r:
& p h ipſi f. erit igitur m p ſeſquialtera p h;
& p h dupla h m. quare cum h ſit centrum grauitatis eius
partis
, quæ eſt in humido, per eandem perpendicularem,
&
ipſa ſurſum, & quæ extra eſt feretur deorſum. mane-
bitigitur
portio;
quoniam altera pars ab altera non re-
pelletur
.
COMMENTARIVS.
_E T ſit c b ſeſquialtera b r. erit & c d ipſius k r ſeſqui-_
33A_altera_.
] In translatione ita legebatur. ſit autem & c b quidem
hemiolia
ipſius b r:
c d autem ipſius K r. Sed nos quod postremo
loco
legitur, idcirco corrigendum duximus, quoniam illud non po-
nitur
ita eſſe, ſed ex ijs, quæ poſita ſunt, neceſſario colligitur.
ſi
6125DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. b ψ dupla ſit ψ d, erit d b ipſius b ψ ſeſquialtera. & quoniam e b ſeſ
quialtera
est b r, ſequitur reliquam c d ipſius ψ r, boc est eius, quæ
1112. quinti uſque ad axem ſeſquialteram eſſe.
quare b c erit exceſſus, quo axis
maior
est, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem.
_Quare f q minor éſtipſa b c. ]_ Nam cum portio ad bumi-
22B dum in grauitate proportionem habeat eandem, quàm quadratum
f
q ad quadratum d b:
habeatq, minorem proportionem, quàm qua
dratum
factum ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius,
quæ
uſque ad axem, ad quadratum ab axe;
boc eſt minorem, quàm
quadratum
c b ad quadratum b d:
ponitur enim linea b d æqualis
axi
:
quadratum f q ad quadratum d b proportionem minorem ha-
bebit
, quàm quadratum c b ad idem b d quadratum.
ergo quadra-
338. quinti. tum f q minus erit quadrato c b:
& propterea linea f q ipſa b c
minor
.
_Etidcirco f minor ipſa b r. ]_ Quoniam enim c b ſeſquial-
44C tera eſt b r, &
f q ipſius f ſeſquialtera: estq; f q minor b c; & f
5514. quin-
ti
.
ipſa b r minor erit.
_Itaque quoniam ponitur axis portionis cum ſuperficie_
66D _humidi facere angulum maiorem angulo b:
erit angulus_
_p
y i angulo b maior.
]_ Nam cum linea p y ſuperficiei bumidi
æ
quidistet;
uidelicet ipſi x s: angulus p y i æqualis erit angulo, qui
7729. primi diametro portionis n o, &
linea x s continetur. quare & angulo
b
maior erit.
_Maiorem igitur proportionem habet quadratum p i ad_
88E _quadratum i y, quàm quadratum e ψ ad ψ b quadratu.
]_
Deſcribantur
ſeorſum triangula p i y, e ψ b.
& cum angulus p y i
maior
ſit angulo e b ψ, ad lineam i y, atque ad punctum y in ea da-
tum
fiat angulus u y i æqualis angulo e b ψ.
est autem angulus ad
i
rectus æqualis recto ad ψ.
reliquus igitur y u i reliquo b c ψ est
æqualis
.
quare linea u i ad lineam i y eandem proportionem ha-
994. ſexti. bet, quam linea e ψ ad ψ b.
Sed linea p i, quæ maior est ipſa u i ad
10108. quinti. lineam in maiorem habet proportionem quam u i ad eandem.
ergo
111113. quin-
ti
.
p i ad i y maiorem proportionem habebit, quàm e ψ ad ψ b:
&
propterea
quadratum p i ad quadratum i y maiorem habebit,
62ARCHIMEDIS quadratum e ψ ad quadr. itum ψ b.
_Sed quam proportionem habet qua-_
40[Figure 40]11F _dratum p i ad quadratum i y, eandem li_
_nea
k r habet ad lineam i y.
]_ Est enim ex
undecima
primi conicorum quadratum p i æqua
le
rectangulo contento linea i o, &
ea, iuxta quam poſſunt quæ à
ſectione
ad diametrum ducuntur, uidelicet duplaipſius k r.
atque
est
i y dupla i o, extrigeſimatertia eiuſdem:
quare ex decimaſext a
ſexti
elementorum, rectangulum, quod fit ex k r, &
i y æ quale eſt
rectangulo
contento linea i o &
ea, iuxta quam poſſunt: hoc eſt qua
drato
p i.
Sed ut rectangulnm ex k r, & i y ad quadratum i y, ita
22lem. 22.
decimi
.
linea κ r ad ipſam i y.
ergo linea κ r ad i y eandem proportionem
habebit
, quam rectangulum ex κ r &
i y, hoc eſt quadratum p i ad
quadratum
i y.
Et quam proportionem habet quadratũ e ψ ad quadra
33G tum ψ b, eandem habet dimidium lineæ K r ad lineã ψ b.
]
Nam cum quadratum e ψ poſitum ſit æquale dimidio rectanguli
contenti
linea κ r, &
ψ b; hoc est ei, quod dimidia ipſius κ r
&
linea ψ b continetur: & ut rectangulum ex dimidia κ r, & ψ b
44lem. 22.
decimi
ad quadratum ψ b, ita ſit dimidia κ r ad line am ψ b:
habebit dimi-
dia
κ r ad ψ b proportionem eandem, quam quadratum e ψ ad qua-
dratum
ψ b.
_Etidcirco i y minor eſt, quàm dupla ψ b. ]_ Quam enim pro
55H portionem habet dimidium κ r ad ψ b, habeat κ r ad aliam lineam.
erit ea maior, quàm i y; nempe ad quam κ r minorem proportioné
6610. quinti. habet:
at que erit dupla ψ b. ergo i y minor eſt, quam dupla ψ b.
_Et i ω maior, quam ψ r. ]_ Cum enim o ω poſita ſit æ qualis b r
77K ſi ex b r dematur ψ b, &
ex o ω dematur o i, quæ minor eſt ψ b: erit
reliqua
i ω maior reliqua ψ r.
_Atqueideo f q æqualis eſt ipſi p m. ]_ Ex decimaquarta
88L quinti elementorum, nam linea o n ipſi b d eſt æ qualis.
_Demonſtrata eſt autem p h maior, quàm f. ]_ Etenim de-
99M monstrata est i ω maior, quàm f;
atque est p h æqualis ipſi i ω.
_Eodem modo demonſtrabitur t h perpendicularis ad_
1010N
6326DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. _humidi ſuperficiem. ]_ Est enim t ω æqualis κ r, hoc eſt ei, quæ
uſque
ad axem.
quare ex ijs, quæ ſuperius demonſtrata ſunt, linea
t
h ducta erit ad humidi ſuperficiem perpendicularis.
_Minorem igitur proportionem habet quadratum p i_
11O _ad quadratum i y, quàm quadratum e ψ ad ψ b quadratũ]_
Hæc
&
alia, quæ ſequuntur, tum in hac, tum in ſequenti propoſitio-
ne
non alio, quàm quo ſupra modo demonstrabimus.
_Itaque per z g ductis perpendicularibus ad humidi ſu-_
22P _perficiem, quæ i pſi t h æ quidiftent;
ſequitur portionem ip_
_ſam
non manere, ſed reuolui adeo, ut axis cum ſuperſicie_
_humidi
angulum faciat maiorem eo, quem nunc facit.
]_
Nam
cum perpendicularis, quæ per g, ducitur ad eas partes cadat,
in
quibus eſt l;
quæ autem per Z ad eis in quibus a: neceſſarium eſt
centrum
g deorſum ferri, &
Z ſurſum. quare partes ſolidi, quæ
ſunt
ad l deorſum;
quæ uero ad a ſurſum ferentur, ut axis cum ſu-
perficie
humidi maiorem angulum contineat.
Sic enim erit i o æ qualis ψ b, itẽq; ω i æ qualis ψ r, & p h
33Q ipſi f.
] _Hoc in tertia figura, quam nos addidimus, perſpicue apparet_.
PROPOSITIO IX.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
axem
habuerit maiorem quidem, quàm ſeſquial-
terum
eius, quæ uſque ad axem;
minorem uero,
quàm
ut ad eam, quæ uſque ad axem proportio-
nem
habeat, quam quindecim ad quatuor;
& in
grauitate
ad humidum proportionem habeat ma
iorem
, quàm exceſſus, quo quadratum, quod fit
ab
axe maius eſt quadrato, quod ab exceſſu, quo
axis
eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſq;
ad
axem
, habet ad quadratum, quod ab axe:
in
64ARCHIMEDIS midum demiſſa adeo, ut baſis ipſius tota ſit in hu
mido
, &
poſita inclinata, nec conuertetur ita, ut
axis
ipſius ſecũdum perpendicularem ſit, nec ma
nebit
inclinata, niſi quãdo axis cum ſuperficie hu
midi
angulum fecerit æqualem angulo ſimiliter
ut
prius, aſſumpto.
SIT portio, qualis dicta eſt: ponaturq; d b æ qualis axi
portionis
:
& b _k_ quidem ſit dupla ipſius _k_ d; k r autem
æqualis
ei, quæ uſque ad axem:
& c b ſeſquialtera b r.
Quam uero proportionem habet portio ad humidum in
grauitate
, eam habeat exceſſus, quo quadratum b d exce-
dit
quadratum f q, ad ipſum b d quadratum:
& ſit f ipſius
q
dupla.
conſtat igitur exceſſum, quo quadratum b d ex-
cedit
quadratum
41[Figure 41] b c ad quadratum
b
d, minorem ha-
bere
proportio-
nem
, quàm exceſ-
ſus
, quo quadratũ
b
d excedit qua-
dratum
f q ad b d
quadratum
.
eſt e-
nim
b c exceſſus
quo
axis portiõis
maior
eſt, quã ſeſ-
quialter
eius, quæ
uſque
ad axem.
quare quadr atum
11A b d magis excedit
quadratum
f q, quàm b c quadratum:
& idcirco linea f q
minor
eſt, quàm b c itemq;
f minor, quàm br. Sit ipſi
6527DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. æqualis r ψ: & ducatur ψ r perpendicularis ad b d, quæ
posſit
dimidium eius, quod ipſis k r, ψ b, continetur.
Dico
portionem
in humidum demiſſam adeo, ut baſis ipſius to-
ta
ſit in humido, ita conſiſtere, ut axis cum ſuperficie humi
di
faciat angulum angulo b æqualem.
Demittatur enim
portio
in humidum, ſicuti dictum eſt;
& axis cum humidi
ſuperficie
non faciat angulum æqualẽ ipſi b, ſed primo ma
iorem
:
ſecta autem ipſa plano per axem, recto ad ſuperfi-
ciem
humidi, ſectio portionis ſit a p o l rectanguli coni ſe-
ctio
;
ſuperficiei humidi ſectio c i; ſitq, axis portionis, & ſe
ctionis
diameter n o, quæ fecetur in punctis ω t, ut prius.
&
ducantur
y p quidem ipſi ci æquidiſtans, contingensq;
ſe
ctionem
in p;
m p uero æquidiſtans n o: & p s ad axem
perpendicularis
.
Quoniam igitur axis portionis cum ſu-
perficie
humidi facit angulum maiorem angulo b;
erit &
angulus
s y p angulo b maior.
quare quadratum p s ad
quadratum
s y maiorem habet proportionem, quàm qua
dratum
ψ e ad quadratum ψ b:
& propterea _K_ r ad s y ma
11B iorem habet, quàm dimidium ipſius κ r ad ψ b.
ergo s y
minor
eſt, quam dupla ψ b;
& s o minor, quam ψ b. quare
22C s ω maior, quàm r ψ;
& p h maior, quàm f. Itaque quoniã
portio
ad humidum in grauitate eam habet proportionẽ,
33D quam exceſſus, quo quadratum b d excedit quadratum f q
ad
quadratum b d:
quam uero proportionem habet por-
tio
ad humidum in grauitate, eandem pars ipſius demerſa
habet
ad totam portionẽ:
ſequitur partẽ demerſam ad to
tam
portionem, eam proportionem habere, quã exceſſus,
quo
quadratum b d excedit quadratũ f q, ad quadratū b d.
habebit ergo tota portio ad eam, quæ eſt extra humidum
44E proportionem eandem, quam quadratum b d ad quadra-
tum
f q.
Sed quam proportionem habet tota portio ad ,
quæ
eſt extra humidum, eandem habet quadratum n o ad
quadratum
p m.
ergo p m ipſi f q æ qualis etit. demonſtra
ta
eſt autem p h maior, quàm f:
quare m h minor
66ARCHIMEDIS quàm q; & p h maior, quàm dupla h m. Sit igitur
p
z dupla ip-
42[Figure 42] ſius z m:
& iun
cta
z t produca
tur
ad g.
erit
totius
quidem
portionis
gra-
uitatis
centrũ
t
:
eius, quæ eſt
extra
humidũ
z
:
reliquæ uero
partis
, quæ in
humido
, cen-
trum
erit in li-
nea
z t produ-
cta
;
quod ſit g.
demõſtrabitur
ſimiliter
, ut
prius
, th per-
pẽdicularis
ad
ſuperficiem
hu
midi
:
& quæ
per
z, g ducun-
tur
æquidiſtan-
tes
ipſi th, ad
eandem
perpẽ
diculares
.
ergo
portio
, quæ eſt
extra
humidũ
deorſum
fere-
tur
ſecundum
eam
quæ per z
tranſit
;
quæ ue
to
intra
6722DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. dum eam, quæ per g ſurſum eleuabitur. non igitur manebit
portio
ſic inclinata, nec conuertetur ita, ut axis ad ſuperfi-
ciem
humidi ſit perpendicularis:
quoniam quæ ex parte 1
11F deorſum;
quæ uero ex parte a ſurſum ferentur, ut ex iam de
monſtratis
apparere poteſt.
Quòd ſi axis cum ſuperficie
humidi
fecerit angulum minorem angulo b, ſimiliter de-
22G monſtrabitur, manere portionem, ſed inclinari, donec
utique
axis cum ſuperficie humidi faciat angulum angulo
b
æqualem.
COMMENTARIVS.
QVARE quadratum b d magis excedit quadratum
33A f q, quàm b c quadratum:
& idcirco linea f q minor eſt,
quàm
b c:
itemq; f minor quam b r. ] _Quoniani exceſſus, quo_
_quadratum
b d excedit quadratum b c ad quadratum b d minorem_
_proportionem
habet, quàm exceſſus, quo quadratum b d excedit qua_
_dratum
f q, ad idem quadratum:
erit ex octaua quinti exceſſus, quo_
_quadratum
b d excedit quadratum b c, minor quàm exceſſus, quo ex_
_cedit
quadratum f q.
ergo quadratum f q minus est quadrato b c: &_
_propterea
linea f q minor linea b c.
Sed f q ad f eandem proportionẽ_
_habet
, quam b c ad b r;
utraque enim utriuſque ſeſquialtera est. cum_
4414. quinti _igitur f q ſit minor b c, &
f ipſa b r minor erit_.
Et propterea k r ad ſ y maiorem habet, quàm dimidium
55B ipſius k r ad ψ b.
] _Est enim k r ad ſ y, ut quadratum p s ad qua_
_dratum
ſ y:
& dimidium lineæ K r ad lineam ψ b, ut quadratum e ψ_
_ad
quadratum ψ b_.
Et s o minor quàm ψ b] _Est enim ſ y dupla ipſius ſ o._
66C
Et p h maior, quàm f. ] _Nam p h eſt æqualis ſ ω, & r ψ_
77D _ipſi f_.
Habebit ergo tota portio ad eam, quæ eſt extra humi-
88E dum proportionem eandem, quam quadratum b d ad qua
dratum
f q.
] _Cum pars demerſa ad totam portionem ita ſit, ut_
_exceſſus
, quo quadratum b d excedit quadratum f q ad b d quadratu:_
68ARCHIMEDIS _erit conuertendo tota portio ad partem ipſius demerſam, ut quadrd-_
_tum
b d ad exceſſum, quo quadratum f q excedit.
quare per conuer-_
_ſionem
rationis tota portio ad eam, quæ extra humidum est ut_
_qu
.
idratum b d ad quadratum f q: nam quadratum b d tanto maius_
_est
exceſſu, quo excedit quadratum f q, quantum est ipſum f q qua-_
_dratum_
.
_Quoniam quæ ex parte 1 deorſum, quæ uero ex parte a_
11F _ſurſum ferentur.
]_ Hæc nos ita correximus, nam in translatione
mendoſe
, ut opinor, legebatur, quoniam quæ ex parte l ad ſuperiora
ferentur
, perpendicularis enim quæ tranſit per z ad partes l, &
quæ
per
g ad partes a cadit.
quare centrum z unà cum p. trtibus ijs, quæ
ſunt
ad l deorſum feretur, centrum uero g unà cum partibus quæ ad
a
ſurſum.
Similiter demonſtrabitur non manere portionem, ſed
22G inclinari, donec utique axis cum ſuperficie humidi faciat
angulum
angulo b æqualem.
] _Illud uero tum ex ijs, quæ in an_
_tecedenti
dicta ſunt, tum ex figuris, quas appoſuimus, facile demon-_
_strari
potest._
PROPOSITIO X.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior
humido axem habuerit maiorem, quàm
ut
ad eam, quæ uſque ad axem proportionem ha-
beat
, quam quindecim ad quatuor:
in humidum
demiſſa
, ita ut baſis ipſius non contingat humi-
dum
:
non nunquam quidem recta conſiſtet; non
33A nunquam inclinata:
& interdum adeo inclinata,
44B ut baſis ipſius in uno puncto contingat ſuperfi-
ciem
humidi:
idq; in duabus diſpoſitionibus:
6929DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. interdũ quidem ita, ut baſis in humidum magis
11C demergatur:
interdum uero ita, ut ſuperficiem
22D humidi nullo modo contingat;
ſecundum pro-
33E portionem, quam habet ad humidum in grauita-
te
.
Eorum quæ dicta ſunt, ſingula inferius de-
monſtrabuntur
.
SIT portio qualis dicta eſt: & ſecta ipſa plano per axẽ.
recto ad ſuperficiem humidi, ſectio ſit a p o l rectanguli co
ni
ſeccio:
axis portionis, & ſectionis diameter b d: ſece-
turq
;
b d in puncto quidem _k_ ita, ut b k dupla ſitipſius
_k_
d:
in c uero ita, ut b d ad K C proportionẽ habeat ean-
dem
, quam quindecim ad quatuor.
conſtat igitur k c ma-
44F iorem eſſe, quàm quæ uſque ad axem.
Sit ei quæ uſque ad
55G axem æqualis k r:
& ipſius k r ſeſquialtera d s. Eſt autem
66H&
s b ſeſquial-
43[Figure 43] tera ipſius b r.
Itaque iũgatur
a
b, &
per c du
catur
c e per-
pẽdicularis
ad
b
d, quæ lineã
a
b in puncto
e
ſecet:
& per
e
ducatur e z
æquidiſtãs
b d.

Rurſus
ipſa a b
bifariã
in t di-
uiſa
, ducatur t
h
eidem b d æ-
quidiſtans
:
&
intelligantur
rectanguli coni ſectiones deſcriptæ a e i
70ARCHIMEDIS dem circa e z diametrum; a t d uero circa diametrum t h;
11K quæ ſimiles ſint portioni a b l. tranſibit igitur a e i coni
22L ſectio per _K_:
& quæ ab r ducta eſt perpendicularis ad b d,
ipſam
a e i ſecabit.
ſecet in punctis y g: & per y g ducan
tur
ipſi b d æquidiſtantes p y q, o g n, quæ ſecent a t d in
f
x.
ducantur poſtremo, & p χ, o φ contingentes ſectionẽ
a
p o l in punctis p o.
ergo tres portiones ſint a p o l,
33M a e i, a t d, contentæ rectis lineis, &
rectangulorum cono-
rum
ſectionibus;
rectæq, ſimiles, & inæquales, quæ contin
gunt
ſe ſe ſuper unamquanque baſim:
à puncto autem n
ſurſum
ducta ſit n x g o;
& à q ipſa q fy p: habebit o g ad
g
x proportionem compoſitam ex proportione, quam ha
bet
i l ad l a;
& ex proportione, quam a d habet ad d i.
Sed i l ad l a
44[Figure 44] habet eandem,
quam
duo ad
quinque
.
ete-
nim
c b ad b d
44N eſt, ut ſex ad
quĩdecim
;
hoc
eſt
ut duo ad
quinque
:
& ut
55O c b ad b d, ita
e
b ad b a:
&
d
z ad d a.
ha-
rum
autẽ d z,
66P d a duplæ ſunt
ipſæ
l i, l a:
&
77Q a d ad d i pro
portionem
habet, quam quinque ad unum.
ſed proportio
compoſita
ex proportione, quam habet duo ad quinque;
& ex proportione, quam quinque ad unum; eſt eadem,
quam
habent duo ad unum:
duo autem ad unum duplam
proportionem
habent.
dupla eſt igitur g b ipſius g x: &
7130DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. eadem ratione oſtẽdetur p y ipſius y f dupla. Itaque quo
niam
d s ſeſquialtera eſt ipſius _k_ r;
erit b s exceſſus, quo
axis
eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem.
Si igitur portio ad humidũ in grauitate habet propor-
tionem
, quam quadratum, quod fit à linea b ſ ad quadra-
tum
, quod à b d, aut maiorem;
in hnmidum demiſſa, ita
ut
baſis ipſius non contingat humidum, recta conſiſtet.
de
monſtratum
eſt enim ſuperius, portionem, cuius axis eſt
11R maior, quàm ſeſquiaiter eius, quæ uſque ad axem, ſi ad hu-
midum
in grauitate non minorem proportionem habeat,
quàm
quadratum, quod fit ab exceſſu, quo axis maior eſt,
quam
ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum,
quod
ab axe;
demiſſam in humidum, ita ut dictum eſt, re-
ctam
conſiſtere.
COMMENTARIVS.
_Qvae_ hac decima propoſitione continentur, Archimedes in
quinque
partes diſſecuit, &
ſingulas ſeorſum demonſtrauit.
Nonnunquam quidem recta conſiſtat. ] _Hæc eſt prima_
22A _pars, cuius demonstr ationem ſtatim ſubiungit._
Etinterdum adeo inclinata, ut baſis ipſius in uno pun-
33B cto contingat ſuperficiem humidi;
idq; in duabus diſpoſi-
tionibus
.
] _Demonſtratum eſt illud in tertia parte._
Interdum ita, ut baſis in humidum magis demergatur. ]
44C _Pertinet id ad quartam partem._
Interdum uero ita, ut ſuperficiem humidi nullo modo
55Dcontingat.
] _Hoc duobus item modis fit, quorum unus in ſecunda,_
_alter
in quarta parte explicatur._
Secundum proportionem, quam habet ad humidum in
66Egrauitate.
] _In translatione ita legebatur, quam autem proportio_
_nem
habet ad humidum in grauitate._
_Conſtat igitur k c maiorem eſſe, quàm quæ uſque ad_
77F_axem.
]_ Nam cum b d ad k c eandem habeat proportionem, quam
72ARCHIMEDIS quindecim ad quatuor; & ad eam, quæ uſque ad axem maiorem pro
portionem
habeat:
erit quæ uſ que ad axem minor ipſa k c.
1110. quinti
Sit ei, quæ uſque ad axem æ qualis k r. ] _Hac nos addidimus,_
22G _quæ in translatione non erant._
_Eſt autem & s b ſeſquialtera ipſius b r. ]_ Ponitur enim
33H d b ſeſquialtera ipſius b k;
itémq; d ſ ſeſquialtera k r. quare ut to
ta
d b ad totam b K, ita pars d s ad partem K r.
ergo & reliqua
4419. quinti s b ad reliquim b r, ut d b ad b k.
_Quæ ſimiles ſint portioni a b l. ]_ Similes portiones coni ſe-
55K ctionum Apollonius it.
i diffiniuit in ſexto libro conicorum, ut ſcri-
bit
Eutocius, εν οἱς α χ θεισωνἐν ἑηάστω παραλλήλων τῆ βάσει, ἵσωι
τὸ
πλῆθος, ὰι παρὰλληλοι, καὶ αἱ βάσ{ει}ς πρὸς τὰςἀποτεμνομένας
ἀπὸ
τῶν διαμέ τρων ταῖς νορυφαῖς ἐν τοῖς αὐτοῖ ς λὄγοιςεἰσἰ, καὶἁι
ἀποτεμνόμεναι
πρὸς τάς ἀποτεμνομένας;
hoc est. in quibus ſi du-
cantnr
lineæ æquidistantes baſi numero æquales:
æquidiſtantes atq;
baſes ad partes diametrorum, quæ ab ipſis ad uerticem abſcindũtur,
eandem
proportionem babent:
it émq; partes abſciſſæ ad abſciſſas.
ducuntur
autem lineæ baſi æquidistantes:
ut opinor, deſcripta in ſin
gulis
plane rectilinea figura, quæ lateribus numero æqualibus conti
66γνωρίμως neatur.
Itaq; portiones ſimiles à ſimilibus coni ſectionibus abſcindũ
tur
:
& earum diametri ſiue ad baſes rectæ, ſiue cum baſibus æ qua-
les
angulos facientes, ad ipſas baſes eandem habent proportionem.
_Tranſibit igitur a e i coni ſectio per k. ]_ Sienim fieri po
77L teſt non tranſeat per k, ſed per aliud punctum lineæ d b, ut per u.
Quoniam igitur in rectáguli coni ſectione a e i, cuius diameter e z,
ducta
eſt a e, &
producta: & d b diametro æquidistans utraſque
a
e, a i ſecat;
a e quidem in b, ai uero in d: habebit d b ad b u
proportionem
eandem, quam a z, ad z d, ex quarta propoſitione li
bri
.
Archimedis de quadratura parabolæ. Sed a z ſeſquialtera eſt
ipſius
z d:
eſt enim ut tria ad duo, quod mox demonſtrabimus. ergo
d
b ſeſquialtera eſt ipſius b u.
eſt auté d b & ipſius b k ſeſquialte
ra
.
quare lineæ b u, b k inter ſe æ quales ſunt; quod fieri non po-
882. quinti. teſt.
restanguli igitur com ſectio a e i per punctum k tranſibit.
quod demonstrare uolebamus.
7337DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
Cum ergo tres portiones ſint a p o i, a ei, atd, con-
11M tentæ rectis lineis, &
rectãgulorum conorum ſectionibus;
rectæq; , ſimiles, & inæquales, quæ contingunt ſe ſe ſuper
unam
quamque baſim.
] _Poſt ea uerba, ſuper unamquanque_
_baſim
, in trans latione aliqua deſiderari uidentur.
Ad borum autem_
_demonſtrationem
non nulla præmittere oportet, quæ etiam ad alia,_
_quæ
ſequuntur, neceſſaria erunt._
LEMMA I.
Sit recta linea a b, quam ſecent duæ lineæ inter ſeſe
æquidiſtantes
a c, d e, ita ut quam proportionem ba-
bet
a b ad b d, eandern haheat a c ad de.
Dico li-
neam
, quæ c b puncta coniungit, etiam per ipſum e
tr
anſire.
SI enim fieri poteſt, non tranſeat pere, ſed nel ſupra, uel infra.
tranſeat primum infra, ut per f. erunt triangula a b c, d b f inter ſe
ſimilia
.
quare ut a b ad b d, ita a c ad d f. ſed ut a b ad bd, ita
224. ſexti. erat a c ad d e.
ergo d f ipſi d e æqualis erit, uidelicet pars to-
339. quinti. ti, quod eſt
45[Figure 45] cbſurdum.
Idem ab-
ſurdum
ſe
quetur
, ſi
linea
c b
ſupra
e
ctum
tran
ſire
pona-
tur
.
quare
c
b etiam
per
e ne-
ceſſario
tranſibit.
quod oportebat demonſtrare.
74ARCHIMEDIS
LEMMA II.
Sint duæ portionis ſimiles, contentæ rectis lineis, &
rectangulorum
conorum ſectionibus;
a b c quidem ma-
ior
, cuius diameter b d;
e f c uero minor, cuius diameter
fg
:
aptenturq; inter ſeſe, ita ut maior minorem includat
&
ſint earum baſes a c, e c in eadem recta linea, ut idẽ
punctum
c ſit utriuſque terminus:
ſumatur deinde in ſe
ctione
a b c quodlibet punctum b:
& iungatur h c. Di
co
lineam h c ad partem ſui ipſius, quæ inter c, &
ſe-
ctionem
e f c interiicitur, eam proportionẽ habere, quam
habet
a c ad c e.
_Dvcatvr_ b c, quæ tranſibit per f. quoniam enim portiones
ſimiles
ſunt, diametri baſibus æquales continent angulos.
quare
æquidiſtant
inter ſe ſe b d, f g:
éſtq; b d ad a c, ut f g ad e c:
& permu-
46[Figure 46] tando b d ad
f
g, ut a c ad
c
e:
hoc eſt
1115. quin-
ti
.
ut earum di-
midiæ
d c ad
c
g.
ergo ex
antecedēti

mate
ſequi-
tur
lineá b c
per
punctum
f
tranſire.
Ducatur præ
terea
à puncto h ad diametrum b d linea h K, æquidiſtans baſi
a
c:
& iuncta k c, quæ diametrum f g ſecet in l; per l
7532DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ad ſectionem e f g ex parte e linea l m, eidem a c baſi æquidi-
stans
.
Sit autem ſectionis a b c, linea b n iuxta quam poſſunt, quæ
à
ſectione ducuntur:
& ſectionis e f c ſit ipſa f o. quoniam igi-
tur
triangula c d b, c f g ſimilia ſunt, erit ut b c ad c f, ita d c
114. ſexti. ad c g;
& b d ad f g. rurſus quoniam triangula c k b, c l f etiã
inter
ſe ſunt ſimilia, ut b c ad c f, boc eſt ut b d ad f g, ita erit k c
ad
c l;
& b K ad f l. quare K c ad c l, & b k ad f l ſunt ut d c
ad
c g:
hoc eſt ut earum duplæ a c ad c e. ſed ut b d ad f g, ita d c
2215. quin-
ti
.
ad c g;
hoc a d ad e g: & permutãdo ut b d ad a d, ita f g ad e g.
quadratum autem a d æquale eſt rectangulo d b n ex undecima pri
mi
conicorum.
ergo tres lineæ b d, a d, b n inter ſe ſunt proportio
3317. ſexti. nales.
eadem quoque ratione cum quadratum e g æquale ſit rectan
gulo
g f o, tres aliæ lineæ f g, e g, f o, deinceps proportionales
erũt
.
& ut b d ad, a d, ita f g ad e g. quare ut a d ad b n, ita e g
ad
f o.
ex æquali igitur, ut d b ad b n, ita g f ad f o: & permu-
tando
ut d b ad g f, ita b n ad f o.
ut autem d b ad g f, ita b k
ad
f l.
ergo b k ad f l, ut b n ad f o: & permutando, ut b k ad
bn
, ita f l ad f o.
Rurſus quoniá quadratú h K æquale eſt rectan
4411. primi
conicorũ
gulo k b n:
& quadratum m l rectangulo l f o æquale: erunt tres
lineæ
b k, k h, b n proportionales:
itémq; proportionales inter ſe
f
l, l m, f o.
quare ut linea b K ad lineam b n, ita quadratum b K
55cor. 20. ſe
xti
.
ad quadratum h k:
& ut linea f l ad ipſam f o, ita quadratú f l
ad
quadratum l m.
Itaque quoniam, ut b K ad b n, ita eſt f l ad
f
o;
erit ut quadratum b K ad quadratum k h, ita quadratum f l
ad
l m quadratum.
ergo ut linea b k, ad lineam K h, ita linea f l
6622. ſexti ad ipsã lm:
& permutãdo ut b k ad f l, ita k h ad lm. ſed b k ad
f
l erat ut k c ad c l.
ergo k h ad lm, ut K c ad c l. quare ex eo
dem
lemmate patet lineam h c, &
per m punctum tranſire. ut igi-
tur
K c ad c l:
hoc eſt ut a c ad c e, ita h c ad c m; hoc eſt ad eam
ipſius
partem, quæ inter c, &
e g c ſectionem interyeitur. ſimiliter
demonſtrabimus
idem contingere in alijs lineis, quæ à puncto c ad
a
b c ſectionem perducuntur.
At uero b c ad e f eandern propor-
tionem
habere, liquido apparet;
nam b c ad c f, eſt ut d c ad c g;
uidelicet ut earum duplæ, a c ad c e.
76ARCHIMEDIS
Ex quibus perſpicuum eſt lineas omnes ſic ductas ab
ipſis
ſectionibus in eandem proportionem ſecari.
eſt enim
diuidendo
, conuertendoque cm ad mb, &
cf ad fb, ut
ce
ad ea.
LEMMA III.
Sed & illud constare potest; lineas, quæ in portioni-
bus
eiuſmodi ſimilibus ita ducuntur, ut baſibus æqua-
les
angulos contineant, ab ipſis ſimiles quoque portiones
abſcindere
:
hoc eſt, ut in propoſita figura, portiones h b c,
m
f c, quas lineæ c h, c m abſcindunt, etiam inter ſe
ſimiles
eſſe.
D_ividantvr_ enim ch, cm bifariam in punctis p q: & per
ipſa
ducantur lineæ r p s, t q u diametris æquidiſtantes.
erit portio-
nis
b s c diameter p s, &
portionis m u c diameter q u. Itaque fiat
ut
quadratum c r ad quadratum c p, ita linea b n ad aliam lineam,
quæ
ſit s x:
& ut quadratum c t ad quadratum c q, ita fiat f o ad
u
y.
iam exijs
47[Figure 47] quæ demóſtra
uimus
in com-
mentarijs
in
quartam
pro-
poſitioné
.
Ar-
chrmedis
de co
noidibus
, &

ſphæroidibus
,
patet
quadra-
tum
c p æqua-
le
eſſe rectan-
gulo
p s x:
7725DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. itêmq; quadratum c q æquale rectangulo q u y, hoc eſt ſectionum
h
s c, m u c lineas s x, u y, eas eſſe, iuxta quas poſſunt, quæ à ſectio-
ne
ad diametrum ducuntur.
ſed triangula c p r, c q t ſimilia ſint,
habebit
c r ad c p eandem proportionem, quam c t ad c q:
& id-
1122. fexti circo quadratum c r ad quadratum c p eandem habebit, quam
quadratum
c t ad quadratum c q.
ergo & linea b n, ad lineam
ſ
x ita erit, ut linea fo ad ipſam u y.
erat autem b c ad c m, ut a c
ad
c e.
quare & earum dimidiæ c p ad c q, ut a d ad e g: &
permutando
c p ad a d, ut c q ad e g.
Sed oſtenſum est a d ad b n
ita
eſſe, ut e g ad f o:
& b n ad s x, ut f o ad u y. ergo ex
æquali
c p ad ſ x erit, ut c q ad u y.
Quòd cum quadratú c p æqua
le
ſit rectangulo p s x &
quadratum c q rectangulo q u y, erunt
tres
lineæ ſ p, p c, ſ x proportionales;
itemq; proportionales ip-
ſæ
u q, q c, u y.
quare & ſ p ad p c, ut u q ad q c: & ut p c ad
c
h, ita q c ad c m.
ex æquali igitur ut portionis h ſ c diameter ſ p
ad
eius baſim c h, ita portionis m u s diameter u q ad baſim c m.
& anguli, quos diametri cum baſibus continent, ſunt æquales, quòd
lineæ
ſ p, u q ſibi ipſis æquidiſtent, ergo &
portiones h ſ c, m u c
inter
ſe ſimiles erunt.
id quod demonstrandum proponebatur.
LEMMA IIII.
Sint duæ lineæ a b, c d, quæ ſecentur in punctis e f,
ita
ut quam proportionem habet a e ad e b, habeat c f
ad
f d:
rurſus ſecentur in aliis duobus punctis g h; &
habeat
c h ad h d eandem proportionem, quam a g ad
g
b.
Dico c f ad f h ita eſſe, ut a e ad e g.
Q_voniam_ enim ut a e ad e b, ita c f ad f d, erit componen
do
ut a b ad e b, ita c d ad f d.
Rurſus cum ſit ut a g ad g b, ita
c
h ad h d;
componendo, conuertendoq; ut g b ad a b, ita erit h d
ad
c d.
ergo ex æquali, conuertendoq; ut e b ad g b, ita f d ad h d:
78ARCHIMEDIS& per conuer-
48[Figure 48] ſionem rationis
ut
e b ad e g,
ita
f d ad f h.
eſt autem ut a e
ad
e b, ita c f
ad
f d.
ex æqua
li
igitur ut a e
ad
e g, ita c f
ad
f h.
A_liter_. Aptentur lineæ a b, c d inter ſe ſe, ita ut ad partes
a
c angulum faciant;
& ſint a c in uno atque eodem puncto: deinde
iungantur
d b, h g, fe.
cum igitur ſit ut a e ad e b, ita c f, hoc eſt
a
f ad f d;
æquidiſtabit fe ipſi d b: & ſimiliter h g eidem d b
112. ſexti: æquidiſtabit:
quoniam a h ad h d eſt, ut a g ad g b. ergo f c, h g
2230. primi inter ſe ſe æquidiſtant:
& idcirco ut a e ad e g, ita a f; hoc eſt c f ad
fh
.
quod demonſtrare oportebat.
LEMMA V.
Sint rurſus duæ portiones ſimiles, contentæ rectis li-
neis
, &
rectangulorum conorum ſectionibus, ut in ſupe-
riori
figura a b c, cuius diameter b d:
& e f c, cuius
diameter
f g:
ducaturque à puncto e linea e h, diame-
tris
b d, f g æquidiſtans, quæ ſectionem a b c in _k_ ſe-
cet
:
& à puncto c ducatur c h contingens ſectionem
a
b c in c conueniensque cumlinea e h in h, quæ ſectio
nem
quoque e f c in eodem c puncto continget, ut demon
strabitur
.
Dico lineam ductam ab ipſa c h uſque ad ſe-
ctionem
e f c, ita ut lineæ e h æquidistet, in eandem pro
portionem
diuidi à ſectione a b c;
in quam linea c a
7934DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ſectione e f c diuiditur: pars uero lineæ c a, quæ eſt in-
ter
duas ſectiones proportione reſpondebit parti lineæ
ductæ
, quæ itidem inter eaſdem ſectiones interiicitur;
hoc
est
ut in propoſita figura, ſi producatur d b uſque ad c h
in
l, ut ſectioni e f c in puncto m occurrat;
lineam l
b
ad b m eãdem proportionem habere, quàm c e ad e a.
Produc. itur enim
49[Figure 49] q f ad eandem lineá
c
h in n, ſecás a b c
ſectionem
in o:
&
iuncta
b c, quæ tran
ſibit
per f, ut oſten-
ſum
eſt, erunt trian-
gula
c g f, c d b ſi-
milia
:
itémq; ſimi-
lia
íter ſe, c f n, c b l.
quare ut g f ad d b,
114. ſexti: ita erit c f ad c b:
& ut c f ad c b, ita
f
n ad b l.
ergo g f
2211. quinti ad d b, ut f n ad b l:
& permutando g f
ad
f n, ut d b ad b l.

eſt
autem d b æqua
lis
ipſi b l ex trigeſi
maquinta
primi li-
3314. quinti bri conicorum.
ergo
&
g f ipſi p i æqua
lis
erit:
& ex trige
ſimatertia
eiuſdem
linea
c h ſectionem
e
f c in eodem
80ARCHIMEDIS cto continget. Itaque iuncta cm producatur ad ſectionem a b c in p:
& à p ad a c ducatur p q, quæ ipſi b d æquidiſtet. quoniam igi-
tur
linea c h contingit ſectionem e f c in c puncto;
habebit l m
ad
m d proportionem eandem, quam c d ad d e, ex quinta propoſi-
tione
Archimedis in libro de quadratura parabolæ.
& propter triá
gulorum
c m d, c p q
50[Figure 50] ſimilitudinem, ut c m
ad
c d, ita erit c p ad
c
q:
permutandôq;
ut c m ad c p, ita c d
ad
c q.
ut autem c m
ad
c p, ſic c e ad c a:

quod
proxime demó-
ſtrauimus
.
quare ut
c
e ad c a, ſit c d ad
c
q:
hoc eſt ut totum
ad
totum, ſic pars ad
partem
, reliquum igi
tur
d e ad reliquum
q
a eſt ut c e ad c a;

uidelicet
ut c d ad
c
q:
& permutando
c
d ad d e, ut c q ad
q
a.
êſtq; l m ad m
d
, ut c d ad d e.
ergo
l
m ad m d, ut c q ad
q
a.
ſed l b ad b d
ex
quinta Archime-
dis
, quam diximus;

eſt
ut c d ad d a.
con
ſtat
igitur ex antece-
denti
lemmate c d ad d q ita eſſe, ut l b ad b m.
ut autem c d ad d q,
112. ſexti. ita c m ad m p.
ergo l b ad b m, ut c m ad m p. Quòd cum demon
ſtratum
fuerit, c m ad m p, ut c e ad e a:
habebit l b ad b m
8135DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. proportionem, quam c e ad e a. ſimiliter demonſtrabitur eandem
babere
n o ad o f:
& reliquas eiuſmodi, at uero b K ad K e eam
habere
proportionem, quam habet c e ad e a, ex eadem quinta.
Ar-
chimedis
perſpicue apparet.
at que illud eſt, quod demonſtr andum
propoſuimus
.
LEMMA VI.
Itaque maneant eadem, quæ ſupra: & itidem deſcri-
batur
alia portio ſimilis contenta recta linea &
rectan-
guli
coni ſectione d r c;
cuius diameter r s, ut ſecet li-
neam
f g in t:
producaturque s r ad lineam c h in u;
cuiſectio a b c occurrat in x, & e f c in y. Dico b m
ad
m d proportionem habere compoſitam ex propor-
tione
, quam babet e a ad a c;
& ex ea, quam c d ba-
bet
ad de.
S_imiliter_ enim ut ſupra, demonſtrabimus lineam c h con-
tingere
ſectioné d r c in c puncto:
& l m ad m d, itêmq; n f ad f t;
& u y ad y r ita eſſe, ut c d ad d e. Quoniam igitur lb ad b m eſt,
ut
c e ad e a;
erit componendo, conuertendôq; bm ad lm, ut e a ad
a
c:
& ut lm ad m d, ita c d ad d e. proportio autem b m ad m d
compoſita
eſt ex proportione, quam habet b m ad l m, &
ex propor
tione
, quam l m habet ad m d.
ergo proportio b m ad m d etiam com
poſita
erit ex proportione, quam habet e a, ad a c;
& ex ea, quam
c
d habet ad d e.
Eadem ratione demonſtrabitur o f ad f t; itêmq;
x
y ad y r proportionem habere ex eiſdem proportionibus compo-
ſitam
:
& ita in aijs. quod demonſtrare oportebat.
Ex quibus apparet lineas ſic ductas, quæ inter ſectio
nes
a b c, d r c interiiciuntur à ſectione e f c in eandem
proportionem
diuidi.
82ARCHIMEDIS
_Etenim c b ad b d eſt ut ſex ad quindecim. ]_ Poſuimus
11N enim b K duplam eſſe ipſius K d.
quare componendo b d ad k d erit,
ut
tria ad unum;
hoc eſt ut quindecim ad quinque. ſed b d ad K c
erat
ut quídecim
51[Figure 51] ad quatuor.
ergo
b
d ad d c, ut quin
decim
ad nouem:
& per conuerſio
nem
rationis, con
uertendôq
;
c b ad
b
d, ut ſex ad quí
decim
.
Etut c b ad
22O b d, ita e b ad
b
a, &
d z ad
d
a.
] _Nam cum_
_triangula
c b e,_
_d
b a ſint ſimilia,_
_erit
ut c b ad b e,_
_ita
d b, ad b a &
permutando, ut c b ad b d; ita e b ad b a. Rurſus_
_ut
b c ad c e, ita b d ad d a:
permutandôq; ut c b ad b d, ita c e, hoc_
_eſt
d z ei æqualis ad d a._
Harum autem d z d a duplæ ſuntipſæ l i, la. ] _Lineam_
33P _quidem l a duplam eſſe ipſius d a, cum b d ſit portionis diameter,_
_manifeſte
conſtat.
At uero l i ipſius d z dupla hoc pacto demon-_
_ſtrabitur
.
Quoniam enim z d ad d a eſt, ut duo ad quinque; erit có_
_uertendo
, diuidendôq;
a z, hoc eſt i z ad z d, ut tria ad duo: &_
_rurſus
diuidendo i d ad d z, ut m ad duo. erat autem z d ad_
_d
a, hoc eſt ad d l, ut duo ad quinque.
ergo ex æquali, conuertendóq;_
_l d ad d i, ut quinque ad unum: & per conuerſionem rationis d l ad_
_li
, ut quinque ad quatuor.
ſed d z ad d l erat, ut duo ad quinque._
_ergo
rurſus ex æquali d z ad l i, ut duo ad quatuor.
dupla eſt igitur_
_l
i ipſius d z.
quod demonſtrandum fuerat._
Et a d ad d i eam proportionem habet, quã quinque
44Q
8336DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ad unum. ] _Hoc nos proxime demonſtrauimus._
Demonſtratum eſt enim ſuperius portionem cuius axis
11R eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem, ſiad
humidum
in grauitate non minorem proportionem ha-
beat
&
c. ] _Illud uero demonſtrauit in quarta propoſitione buius_
_libri_
.
II.
Si portio ad humidum in grauitate minorem
22A quidem proportionem habeat, quàm quadra-
tum
ſ b ad quadratum b d;
maiorem uero,
quàm
quadratum x o ad quadratum b d;
de-
miſſa
in humidum, adeo inclinata, ut baſis ip-
ſius
non contingat humidum, inclinata conſi-
ſtet
;
ita ut baſis ſuperficiem humidi nullo modo
contingat
;
& axis cum humidi ſuperficie angu-
lum
faciat maiorem angulo χ.
III.
Si portio ad humidum in grauitate, eam ha-
beat
proportionem, quam quadratum x o ad
quadratum
b d;
demiſſa in humidum inclinata
adeo
, ut baſis ipſius non contingat humidum;
conſiſtet, & manebit ita, ut baſis in uno pun-
cto
humidi ſuperficiem contingat:
& axis cum
ſuperficie
humidi angulũ faciat angulo χ æqualẽ.

Quòd
ſi portio ad humidum in grauitate cam
proportionem
habeat, quam quadratum p f
84ARCHIMEDIS quadratum b d; in humidum demiſſa, & poſi-
ta
inclinata adeo, ut baſis ipſius non contingat
humidum
;
conſiſtet inclinata, ita ut baſis in uno
puncto
humidi ſuperficiem contingat:
& axis
ea
faciat angulum angulo φ æqualem.
IIII.
Si portio ad humidum in grauitate maiorem
11B quidem proportionem habeat, quàm quadra-
tum
f p ad quadratum b d;
minorem uero,
quàm
quadratum x o ad b d quadratum;
in hu-
midum
demiſſa, &
inclinata adeo, ut baſis ipſius
non
contingat humidum conſiſtet, &
manebit
ita
, ut baſis in humidum magis demergatur.
V.
Si portio ad humidum in grauitate proportio
nem
habeat minorem, quàm quadratum f p ad
quadratum
b d:
demiſſa in humidum, & poſita
inclinata
adeo ut baſis ipſius non contingat humi
dum
:
conſiſtet inclinata, ita ut axis ipſius cum
humidi
ſuperficie angulum faciat minorem an-
gulo
φ:
& baſis nullo modo ſuperficiem humi-
di
contingat.
Hæc autem omnia deinceps de-
monſtrabuntur
.
8537DE IIS QVAE VEH. IN AQVA.
DEMONSTRATIO SECVNDAE PARTIS.
ITAQVE primum habeat portio ad humidum in
grauitate
proportionem quidem maiorem, quàm qua dra
tum
x o ad quadratum b d;
minorem uero, quàm quadra
tum
, quod fit ab exceſſu, quo axis eſt maior, quàm ſeſquial-
ter
eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum b d:
& quam
proportionem
habet portio ad humidum in grauitate,
habeat
quadratum, quod fit à linea ψ ad quadratum b d:
erit ψ maior quidem, quàm x o, minor uero, quàm exceſ-
11C ſus, quo axis eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad
axem
.
aptetur quædam recta linea m n conicis ſectioni-
bus
a m q l,
52[Figure 52] a x d interiecta,
ac
media, quæ li
neæ
ψ ſit æqua-
lis
;
ſecetq; reli-
quã
coni ſectio
nem
in pun cto
h
;
& rectam li-
neam
r g in u.
demõſtrabitur
22D m h dupla ip-
ſius
h n, ſicuti
demonſtratum

eſt
o g ipſius g x
duplam
eſſe.
à
puncto
autẽ m
ducatur
m y contingens ſectionem a m q l in m:
& m c a d
b
d perpendicularis.
poſtea ducta a n, & producta ad q li
neæ
a n, n q inter ſe æquales erunt.
quoniã enim in ſimi-
33E libus portionibus a m q l, a x d ductæ ſunt à baſibus ad
portiones
lineæ a q, a n, quæ æquales angulos continent
cum
ipſis baſibus, eandem proportionem habebit q a ad
an
, quam la ad a d.
æqualis eſt ergo a n ipſi n q; & a q
44F
86ARCHIMEDIS ipſi my æquidiſtans. Demonſtrandum eſt portionem in
11G humidum demiſſam, inclinatamq;
adeo, ut baſis ipſius
contingat
humidum, inclinatam conſiſtere ita, ut baſis ſu-
perficiem
humidi nullo modo contingat:
& axis cum ea fa
ciat
angulum angulo χ maiorem.
Demittatur enim in hu-
midum
, conſiſtatq;
ita, ut baſis ipſius in uno puncto cõtin
gat
humidi ſuperficiem:
& ſecta ipſa portione per axem,
plano
ad humidi ſuperficiem recto;
ſuperficiei quidẽ por-
tionis
ſectio ſit a p o l rectanguli coni ſectio:
ſuperficiei
humidi
ſectio ſit a o:
axis autem portionis, & ſectionis dia
meter
b d:
& ſecetur b d in punctis k r, ut dictum eſt: du-
22H catur etiam p g æquidiſtans ipſi a o, quæ ſectionem a p o l
contingat
in p:
atque ab eo puncto ducatur p t æquidiſtãs
ipſi
b d;
& p s ad b d perpendicularis. Itaque quoniam
portio
ad humidum in grauitate eam proportionem ha-
bet
, quam qua-
53[Figure 53] dratũ, quod fit
à
linea χ ad qua
dratum
b d:
quã
uero
proportio
nem
habet por-
tio
ad humidũ,
eandem
pars ip
ſius
demerſa ha
bet
ad totã por
tionẽ
:
& quam
pars
demerſa ad
totam
, eandem
habet
quadra-
tum
t p ad b d
quadratum
:
erit
linea
ψ æqualis
ipſi
t p.
quare & lineæ m n, p t; itemq, portiones a m q,
a
p o inter ſe ſunt æquales.
Quòd cumin portionibus
33K
8738DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. æqualibus, & ſimilibus, a p o l, a m q l ab extremitati-
bus
baſium ductæ ſint a o, a q ita, ut portiones ablatæ
faciant
cum diametris angulos æquales;
& anguli, qui
ad
y g:
& lineæ y b, g b, & b c, b s inter ſe æquales erunt.
quare & ipſæ c r, s r: & m u, p z: & u n, z t. Quo-
11L niam igitur m u minor eſt, quàm dupla u n;
conſtat p z ip-
ſius
z t minorem eſſe, quàm duplam.
Sit p α dupla ipſius
ω
t:
& iuncta α k ad e producatur. ergo totius quidem por
tionis
centrum grauitatis erit puntum κ;
partis eius, quæ
in
humido eſt, centrum ω;
eius uero, quæ extra humidum
in
linea k e, quod ſit e.
Sed linea k z perpendicularis erit
ad
ſuperficiem humidi.
quare & lineæ quæ per puncta e,
ω
, æ quidiſtantes ipſi κ z ducuntur.
non ergo manebit por-
22M tio, ſed reuoluetur ita, ut baſis ipſius ſuperficiem humidi
nullo
modo contingat:
quoniã nuncin uno puncto contin
gens
, ſurſum fertur ex parte a.
perſpicuum eſt igitur por-
33N tionem conſiſt ere ita, ut axis cum ſuperſicie humidi faciat
angulum
maiorem angulo χ.
COMMENTARIVS.
Siportio ad humidum in grauitate minorẽ proportio-
44A nem habeat;
quàm quadratum s b ad quadratum b d; ma-
iorem
uero, quàm quadratum x o ad b d quadratum.
] _Hæc_
_eſt
ſecunda pars propoſitionis, quam aliæ deinceps, postea ipſarum_
_demonstrationes
eodem ordine ſequuntur_.
SI portio ad humidum in grauitate maiorem quidem
55B proportionẽ habeat, quàm quadratũ f p ad quadratũb d.
]
_Hãc
quartá parté nos reſtituimus, quæ ĩ trãſlatione deſiderabatur_.
Erit ψ maior quidem, quàm x o, minor uero, quàm ex-
66C ceſſus, quo axis eſt maior, quam ſeſquialter eius, quæ uſque
ad
axem,] _Sequitur illud ex decima quinti libri elementornm_.
Demonſtrabitur m h duplaipſius h n, ſicuti demonſtra
77D eſt o gipſius g x duplam eſſe.
] _Vt in prima parte huius, &_
_exijs
, quæ nos proxime in ipſam conſcripſimus_.
Quoniam enim in ſimilibus portionibus a p o l, a x d,
88E
88ARCHIMEDIS ductæ ſunt à baſibus ad portiones lineæ a n, a q, quæ angu
los
æquales continent cum ipſis baſibus, eandem propor-
tionem
habebit q a ad a n, quam l a ad a d.
] _Hoc nos ſu_-
_pra
demonstrauimus_.
Aequalis eſt ergo a n ipſi n q. ] _Cum enim q a ad a n ſit_,
11F _ut l a ad a d;
diuidendo, conuertendoq; erit an ad n q, ut a d ad_
_d
l.
eſt autem a d æqualis ipſi d l, quoniam d b ponitur diameter_
_portionis
.
ergo & a n ipſi n q eſt æqualis_.
2214. quinti
Et a q ipſi m y æquidiſtans. ] _Ex quinta ſecundi libri coni_-
33G _corum.
Apollonij_.
Etſecetur b d in punctis k r, ut dictum eſt. ] _In prima_
44H _parte huius propoſitionis.
ſecetur autem in K ita, ut b k ſit dupla ip_-
_ſius
k d;
& in r, ut K r ſit æqualis ei, quæ uſque ad axcm_.
Quòd in portionibus æqualibus, & ſimilibus, a p o l,
55K a m q l ab extremitatibus baſium ductæ ſint a o, a q, ita ut
portiones
ablatæ faciant cum diametris angulos æquales:
& anguli, qui ad y g: & lineæ y b, g b inter ſe æquales erũt. ]
_Secet
linea a q diametrum d b in θ, &
a o ſecet in η. Itaque quo_-
_niam
in portionibus æqualibus, &
ſimilibus a p o l, a m q l ab ex_-
_tremitatibus
baſium_
54[Figure 54] _ducũtur a o, a q, quæ_
_æquales
angulos con_
_tinent
cum ipſis baſi_
_bus
:
& anguli ad d_
_utrique
ſunt recti_:
_erũt & reliqui a η d_,
_a
θ d inter ſe æqua_-
_les
.
linea autem p g_
_æquidiſtat
lineæ a o_:

_itémq
;
m y ipſi a q_:
_
&
p s, m c ipſis a d_.
_triágula
igitur p g s_,
_m
y c triãgulis a η d_
_a
θ d, atque inter ſe_
_ſunt
ſimilia:
& ut a d ad a η, ita a d ad a θ: & permutando. li_-
664. ſexti.
8939DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. _neæ autem a d inter ſe æquales ſunt. ergo & ipſæ a η, a θ. Sed ſunt_
_æquales
a o, a q:
& earum dimidiæ a t a n. ergo & reliquæ t η, n θ_
_boc
eſt p g, m y.
ut autem p g ad g h, ita m y ad y c; & permutan_
1134. primi _do, ut p g ad m y, ita g s ad y c.
quare g s, y c æquales ſunt: &_
_ipſarum
dimidiæ b s, b c:
ex quibus ſequitur ut & reliquæ s r, c r_:
_& idcirco p z, m u & u n, z t inter ſe ſunt æquales_.
Quoniam igitur m u minor eſt, quàm dupla u n. ] _Eſt_
22L _enim m h ipſius h n dupla, &
m u minor ipſa m h. ergo m u minor_
_eſt
, quàm dupla h n;
& multo minor, quàm dupla ipſius u n_.
Non ergo manebit portio, ſed reuoluetur, ita ut baſis ip
33M ſius humidi ſuperſiciem nullo modo contingat.
quoniam
nunc
in uno puncto contingens ſurſum fertur ex parte a.
]
_Tranſlatio
ſic habet.
non ergo manet portio ſed inclinabitur, ut ba_-
_ſis
ipſius nec ſecundum unum tang at ſuperficiem humidi, quoniam_
_nunc
ſecundum unum tacta ipſa reclinatur.
Quæ nos ex alijs Ar_-
_chimedis
locis, &
perſpicuitatis cauſſa in eum modum corrigenda_
_duximus
.
In ſexta enim propoſitione huius ita ſcribit, ut habetur in_
_tranſlatione
.
reuoluetur ergo ſolidum a p o l, & baſis ipſius tan_
_get
ſuperficiem humidi ſecundum unum ſignum.
Rurſus in ſeptima_
_propoſitione
.
manifeſtum igitur, quòd reuoluetur ſolidum ita ut ba_-
_ſis
ipſius nec ſecundum unum ſignum contingat ſuperficiem humidi_,
_quoniam
nunc ſecundum unum tangens deorſum fertur ex parte l_.
_At uero portionem ſurſum ferri ex parte a manifeſte constat. nam_
_cumperpendicularis
ad ſuperficiem humidi, quæ tranſit per ω ad_
_partes
a cadat, &
quæ per e ad partes l, neceſſe eſt ut centrum ω_
_ſurſum
, e uero deorſum feratur_.
Perſpicuum eſtigitur portionem conſiſtere ita, ut axis
44N cum ſuperficie humidi faciat angulum maiorem angu-
10
χ.
] _Iuncta enim a x producatur, ut diametrum b d ſe_-
_cet
in λ, &
ab o puncto ipſi æquidistans ducatur o χ. con_-
_tinget
eaſectionem in o, ut in prima figura:
atque erit angu_-
5529. primi _lus ad χ angulo ad λ æqualis.
Sed angulus ad y æqualis est_
_angulo
ad θ:
& angulus a θ d maior angulo a λ d; quod ex_-
6616. primi _traipſum cadat.
ergo angulus ad y eo, qui ad χ maior erit_.
90ARCHIMEDIS _Quoniam igi_-
55[Figure 55] _tur portio con_-
_uertitur
, ita ut_
_baſis
humidum_
_non
contingat_,
_axis
cum ſuper_
_ficie
eius faciet_
_angulum
maio_-
_rem
angulo g;_
_hoc est angulo_
_y
:
& propter_-
_ea
multo maio_-
_rem
angulo χ_.
DEMONSTRATIO TERTIAE PARTIS.
HABEAT deinde portio ad humidum eam in graui-
tate
proportionem, quam quadratũ x o habet ad quadra-
tum
b d:
& in humidum demittatur adeo inclinata, ut ba-
ſis
ipſius non con
56[Figure 56] tingat humidum.
Secta aũt ipſa per
axem
plano ad hu
midi
ſuperficiem
recto
, ſolidi ſectio
ſit
rectanguli co-
ni
ſectio a p m l:
ſu
perficiei
humidi
ſectio
ſit i m:
axis
portionis
, &
ſe-
ctionis
diameter
b
d:
ſeceturq; b d
ſicuti
prius:
& du-
catur
p n
9140DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ipſi i m æquidiſtãs, & contingens ſectionem in p; pt uero
æquidiſtans
b d, &
p s ad ipſam b d perpendicularis. Demõ
ſtrandũ
eſt, portionẽ non cõſiſtereita, ſed inclinari, donec
baſis
in uno puncto ſuperficiem humidi cõtingat.
Maneãt
enim
eadem, quæ in ſuperiori figura:
ducaturq; o c ad b d
perpendicularis
:
& iuncta a x ad q producatur. erit a x
æqualis
ipſi x q.
deĩde ducatur o χ ipſi a q æquidiſtãs. Quo
niã
igitur portio ad humidũ in grauitate proportione
habere
ponitur, quam quadratum x o ad quadratum b d:
& eandem proportionem habet pars ipſius demerſa ad to
tam
;
hoc eſt quadratum t p ad quadratum b d: æqualis uti
que
erit t p ipſi x o:
cumq; portionum i p m, a o q diame-
tri
ſint æquales, &
portiones ipſæ æquales erunt. Rurſus
11B quoniam in por
22C57[Figure 57] tionibus æquali
bus
, &
ſimilibus
a
o q l, a p m l,
ductæ
ſunt lineæ
a
q, i m, quæ æ-
quales
portio-
nes
auferunt;
il-
la
quidem ab ex
tremitate
baſis,
hæc
autem non
ab
extremitate:
cõſtat eam, quæ
ab
extremitate
baſis
ducta eſt,
minorem
facere
angulum
acutũ
cum
diametro totius portionis.
& quoniam angulus, qui
33D ad χ minor eſt angulo, qui ad n;
maior erit b c, quàm b s:
cr autem, quàm ſr minor. quare & o g minor, quàm p z:
&
g x maior, quàm z t. ergo p z maior eſt, quàm dupla z t;
92ARCHIMEDIS quia o g ipſius g x eſt dupla. Sit p h dupla h t: & iun-
cta
h κ ad ω producatur.
erit totius quidem portionis cen
trum
grauitatis k;
partis eius, quæ intra humidum h; eius
uero
, quæ extra humidum in linea κ ω, quod ſit ω.
Itaque
demonſtrabitur

58[Figure 58] ſimiliter &
k z ad
humidi
ſuperſi-
ciem
perpẽdicu-
laris
, &
quæ per
puncta
h ω æqui-
diſtantes
ipſi κ z
ducuntur
.
quare
manebit por
tio
, ſed inclinabi
tur
, donec baſis
ipſius
in uno
cto
contingat ſu
perficiem
humi-
di
:
atque ita con
ſiſtet
.
nam in por
tionibus
æquali-
bus
a o q l, a p m l, ductæ erunt ab extremitatibus baſium
a
q, a m, quæ æquales portiones abſcindunt:
etenim a o q
ipſi
a p m, utin ſuperioribus æqualis demonſtrabitur.
ergo
11E æquales faciunt acutos angulos a q, a m cum diametris ba
ſium
:
quòd anguli ad χ & n æquales ſint. quare ſi ducta
h
k ad ω producatur, erit totius portionis grauitatis cen-
trum
k;
partis eius, quæ in humido h; at eius, quæ extra
humidum
in linea h κ;
quod ſit ω: & h k ad humidi ſuper-
ficiem
perpendicularis.
per eaſdem igitur rectas lineas,
quod
quidem in humido eſt, ſurſum, &
quod extra humi-
dum
deorſum feretur.
quare manebit portio, cuius baſis
humidi
ſuperficiem in uno puncto continget:
& axis cum
ipſa
angulum faciet æqualem angulo χ.
Similiter demon-
22F
9341DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. ſtrabitur portionem, quæ ad humidum in grauitate eandẽ
proportionem
habeat, quàm quadratum p f ad quadratũ
b
d in humidum demiſſam, ita ut baſis ipſius cõtingat
humidum
, inclinatam conſiſtere adeo, ut baſis in uno pun
cto
humidi ſuperficiem contingat.
& axis cum ipſa faciat
angulum
angulo φ æqualem.
COMMENTARIVS.
_Hoc eſt quadratum t p ad quadratum b d. ]_ Ex uigeſima
11A ſexta libri Archimedis de conoidibus, &
ſphæroidibus. ergo ex no
na
quinti erit quadratum t p æquale quadrato x o:
& propterea li
nea
t p lineæ x o æqualis.
_Et portiones ipſæ æquales erunt. ]_ Ex uigeſimaquinta eiuſ-
22B dem libri.
Rurſus
33C59[Figure 59] quoniam
in
portio
nibus
æ-
qualibus
,
&
ſimili-
bus
a o q
l
, a p m l.
]
_In
portio-_
_ne
enim a p_
_m
l deſcri-_
_batur
por-_
_tio
a o q æ-_
_qualis
por_
_tioni
i p m_,
_cadet
pun-_
_ctum
q in-_
_fram
, alio-_
_qui
totum parti eſſet æquale.
Ducatur deinde i u æquidiſtans a
94ARCHIMEDIS _quæ diametrum ſecet in ψ; ſecet autem i m eandem in σ: & a q in_
_v
.
Dico angulum a ν d angulo i σ d minoré eſſe. angulus enimi ψ d_
_æqualis
est angulo a ν d.
ſed angulus interior i ψ d minor eſt exte-_
1129. primi _riore i σ d.
ergo & a ν d ipſo i σ d minor erit_.
2216. primi
_Et quoniam angulus, qui ad χ minor eſt angulo, qui ad_
33D_n.
]_ Ducantur per o duæ lineæ, o c quidem ad diametrum b d per-
pendicularis
:
& o χ in puncto o ſectionem contingens, quæ diame
trum
ſecet in χ.
æquidiſtabit o χ ipſi a q: atque erit angulus ad
445. ſecũdi
conicoiũ
χ æqualis ei, qui ad ν.
ergo angulus ad χ angulo ad σ, uidelicet eo,
5529. primi. qui ad n minor erit:
& propterea χ infra n cadet. linea igitur χ b
6635. primi
conicorũ
maior eſt, quàm n b.
Sed cum b c ſit æqualis χ b, & b s ipſi n b:
erit b c ipſa b s maior.
Ergo æquales faciunt angulos a q, a m cum diametris
77Eportionum.
] _Hoc demonstrabimus ut in commentarijs in ſecun-_
_dam
partem_.
_Similiter demonſtrabitur, portionem, quæ ad humidũ_
88F _in grauitate ean-_
60[Figure 60] _dem proportio-_
_nem
habeat, quã_
_quadratum
p fad_
_quadratũ
b d;
in_
_humidum
demiſ-_
_ſam
, ita ut baſis ip_
_ſius
non cõtingat_
_humidum
, incli-_
_natam
conſiſtere_
_adeo
, ut baſis in_
_uno
pũcto humi-_
_di
ſuperficiem cõ_
_tingat
:
& axis cũ_
_ipſa
faciat angulũ_
_angulo
φ æqualẽ]_
Habeat
portio ad humidum in grauitate proportionem eam, quam
p
f quadratum ad quadratum b d:
& demiſſa in humidum adeo
9542DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. clinata, ut baſis humidum non contingat, ſectur plano per axem,
recto
ad ſuperficiem humidi, ut ſectio ſit a m o l rectanguli coni ſe-
ctio
:
ſuperficiei humidi ſectio ſit i o: axis portionis, & ſectionis
diameter
b d;
quæ in eaſdem, quas diximus, partes ſecetur: duca-
turq
;
m n quidem ipſi i o æquidiſtans, ut in puncto m ſectionem
cótingat
:
mt uero æquidiſtans ipſi b d: & m s ad eandem perpen
dicularis
.
Demonſtrandum eſt non manere portionem, ſed inclinari
ita
, ut in uno puncto contingat ſuperficiem humidi.
ducatur enim p c
ad
ipſam b d perpendicularis:
& iuncta a f uſque ad ſectionem
producatur
in q:
& per p ducatur p φ ipſi a q æquidiſtans. erunt
iam
ex ijs, quæ demonſtrauimus a f, f q inter ſe ſe æquales.
& cum
portio
ad humi-
61[Figure 61] dum eam in gra-
uitate
proportio
nem
habeat, quá
quadratú
p f ad
b
d quadratum:
atque eandem ha
beat
portio ipſi-
us
demerſa ad to
tam
portionem;

hoc
eſt quadratú
m
t ad quadratú
118. quinti. b d:
erit quadra
tum
m t quadra-
to
p f æquale:
&
idcirco
linea m t
æqualis
lmeæ p
f
.
Itaque quoniam in portionibus æqualibus, & ſimilibus a p q l, a
m
o l ductæ ſunt lineæ a q, i o, quæ æquales portiones abſcindunt;
illa quidem ab extremitate baſis; hæc uero non ab extremitate: ſe-
quitur
ut a q, quæ ab extremitate ducitur, minorem acutum angulú
contineat
cum diametro portionis, quàm ipſa i o.
Sed linea p φ li-
neæ
a q æquidiſtat, &
m n ipſi i o. angulus igitur ad φ angulo ad
96ARCHIMEDIS minor erit: linea uero b c maior, quàm b s: & s r; hoc eſt m χ ma-
ior
, quàm c r, hoc eſt, quàm p y:
& propterea χ t minor, quàm y f.
quòd cum p y ſit dupla y f, erit m χ maior, quàm dupla y f; &
multo
maior, quàm dupla χ t.
fiat m h dupla ipſius h t: & copu-
lata
h k producatur.
I am grauitatis centrum totius portionis erit
punctum
k:
eius, quæ in humido est, h: at rel iquæ partis, quæ ex-
tra
humidum in linea h k producta;
quod ſit ω. eodem modo demon
strabitur
, &
lineam k h, & quæ per h ω puncta ipſi k h æquidi-
ſtantes
ducuntur, ad humidi ſuperficiem perpendiculares eſſe.
non
igitur
maneb it
62[Figure 62] portio, ſed cum
uſque
inclina-
ta
fuerit, ut in
uno
puncto con-
tingat
ſuperfi-
cié
humidi, tunc
conſiſtet
.
an-
gulus
enim ad n
angulo
ad φ æ-
qualis
erit;
li-
neáq
;
b s lineæ
b
c;
& s r ipſi
c
r.
quare & m h
ipſi
p y eſt æqua
lis
.
Itaque ducta
h
k producatur.
erit totius portionis grauitatis centrum K; eius, quæ in humido eſt
h
;
& reliquæ partis centrum in linea producta; ſit autem ω. per ean
dem
igitur rectam lineam k h, quæ eſt ad humidi ſuperficiem perpen
dicularis
, id quod in humido eſt ſurſum;
& quod extra humidum de
orſum
feretur.
atque ob hác cauſſam portio non amplius mouebitur;
ſed
conſiſtet, manebítq, ita, ut eius baſis ſuperficiem humidi in uno
punsto
contingat;
& axis, cum ipſa angulum faciat æqualem angulo
φ
.
at que illud eſt, quod demonſtrare oportebat.
9743DE I _IS_ QVAE VEH. IN AQVA.
DEMONSTRATIO QVARTAE PARTIS.
HABEAT rurſum portio ad humidum in grauitate
proportionem
quidem maiorem, quàm quadratum f p ad
quadratum
b d;
minorem uero, quàm quadratum x o ad
b
d quadratum:
& quam proportionem habet portio ad
humidum
in grauitate, eandem habeat quadratum, quod
fit
à linea ψ ad quadratum b d.
erit ψ maior, quàm f p, & mi
nor
, quàm x o.
aptetur ergo quæ dam rectalinea i u inter
portiones
a u q l, a x d interiecta, quæ ſit æqualis ψ, &
ipſi
b
d æquidiſtans:
occurratq; reliquæ ſectioni in y. rurſus
u
y dupla ipſius y i demonſtrabitur, ſicuti demonſtrata eſt
o
g ipſius g x dupla.
ducatur autem ab u linea u ο, quæ ſe
ctionem
a u q l in u contingat:
& iuncta a i ad q produca
tur
.
eodem modo oſtendemus lineam a i ipſi i q æqualem
eſſe
:
& a q ipſi
63[Figure 63] u ω æquidiſtan-
tem
.
Demon-
ſtrãdum
eſt por
tionem
in humi
dum
demiſſam,
ĩclinatãq
;
adeo,
ut
baſis ipſius
non
contingat
humidũ
, ita con
ſiſtere
, ut baſis
in
humidũ ma-
gis
demergatur
quam
ut in uno
puncto
eius ſu-
perficiem
cõtin
gat
.
Demittatur enim in humidum, ut dictum eſt; & iaceat
primo
ſic inclinata, ut baſis nullo modo contingat ſuperfi-
ciem
humidi.
ſecta autem ipſa plano per axem ad
98ARCHIMEDIS ſuperficiem recto, ſit portionis ſectio anzg; ſuperficiei
humidi
ez:
a-
64[Figure 64] xis portionis,
&
ſectionis dia-
meter
b d:
ſece-
turq
, b d in pũ-
ctis
_K_r, ſicuti
prius
;
& duca-
tur
n l quidem
ipſi
e z æquidi-
ſtans
, quæ con-
tingat
ſectionẽ
a
n z g in n;
&
n
t æquidiſtans
ipſi
b d;
n s ue-
ro
ad b d perpẽ
dicularis
.
Itaq;
quoniam portio ad humidum in grauitate eam proportio
nem
habet, quam quadratum, quod fit à linea ψ ad quadra
tum
b d:
erit ψ ipſi n t æqualis: quod ſimiliter demonſtrabi
tur
, ut ſuperius.
quare & n t eſt æqualis ipſi u i. portiones
igitur
a u q, e n z inter ſe ſunt æquales.
Et cum in æquali-
bus
, &
ſimilibus portionibus a u q l, a n z g ductæ ſint a q
e
z, quæ æquales portiones auferunt;
illa quidem ab extre
mitate
baſis;
hæc autem non ab extremitate: minorem fa-
ciet
acutum angulum cum portionis diametro, quæ ab ex-
tremitate
baſis ducitur.
At triangulorum n l s, u ω c angu
lus
ad l angulo ad ω maior eſt.
ergo b s minor erit, quam
b
c:
& ſ r maior, quàm c r: ideoq; n χ maior, quam u h; &
χ
t minor, quàm h i.
Quoniam igitur u y dupla eſt ipſius
y
i;
conſtat n χ maiorem eſſe, quàm duplã χ t. Sit n m dupla
ipſius
m t.
perſpicuũ eſt ex iis, quæ dicta ſunt, non manere
portionẽ
;
ſed in clinari, donec eius baſis contingat ſuperfi-
ciem
humidi:
contingat autem in puncto uno, ut patet in
9944DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. gura: & alia eadem diſponantur demonſtrabimus rurſum
n
t æqualem eſſe ipſi u i:
& portiones a u q, a n z inter
ſe
ſe æquales.
65[Figure 65] Itaque quoniã
ĩ
portionibus
æqualibus
, &
ſi
milibus
a u q l,
a
n z g ductæ
sũt
a q, a z, por
tiones
æqua-
les
auferentes;
cum diametris
portionum
æ-
quales
angu-
los
cõtinebũt.

ergo
triangulo
rum
n l s, u ω c
anguli
, qui cõ-
ſiſtũt
ad l ω pũ-
cta
, æquales ſunt:
& b s recta linea æqualis ipſi b c: ſ r ipſi cr,
n
χ ipſi u h:
& χ tipſi h i. quòd cum u y dupla ſit ipſius y i,
erit
n χ maior, quàm dupla χ t.
Sit igitur n m ipſius m t du
pla
.
Rurſus ex his manifeſtum eſt, non manere ipſam por-
tionem
;
ſed inclinari ex parte a: ponebatur autem portio
humidi
ſuperficiem in uno puncto contingere.
ergo ne-
ceſſe
eſt, ut eius baſis in humidum magis demergatur.
DEMONSTRATIO QVINT AE PARTIS.
HABEAT denique portio ad humidum in grauitate
minorem
proportionem, quàm quadratum f p ad quadra-
tum
b d:
& quam proportionem habet portio ad humidũ
in
grauitate, eandem quadratum, quod fit à linea ψ habeat
ad
quadratum b d.
erit χ minor ipſa p f. Rurſus
100ARCHIMEDIS quædam recta linea g i, ſectionibus a g q l, a x d interiecta,
&
ipſi b d æquidiſtans; quæ mediam coni ſectionem in pun
cto
h, &
rectam
66[Figure 66] lineam r y in y
ſecet
.
demonſtra
bitur
g h dupla
h
i, quemadmo-
dum
demonſtra
ta
eſt o g ipſius
g
x dupla.
duca-
tur
poſtea g ω
tingens
a g q l ſe
ctioneming
:
&
g
c ad b d perpé
dicularis
:
iun-
ctaq
;
ai produ-
catur
ad q.
erit
ergo
a i æqualis
i
q:
& a q ipſi g ω
æquidiſtans
.
Demonſtrandũ eſt portionẽ in humidũ demiſ
fam
, inclinatamq;
adeo, ut baſis ipſius non cõtingat humi-
, conſiſtere inclinatã ita, ut axis cum ſuperficie humidi
angulum
faciat minorem angulo φ:
& baſis humidi ſuper-
ficiem
nullo modo contingat.
Demittatur enim in humi-
dum
;
& conſiſtat ita, ut baſis ipſius in uno puncto contin-
gat
ſuperficiem humidi.
ſecta autem portione per axem,
plano
ad humidi ſuperficiem recto, ſit portionis ſectio a n
z
l rectanguli coni ſectio:
ſuperficiei humidi a z: axis autẽ
portionis
, &
ſectionis diameter b d: ſeceturq; b d in pun-
ctis
_K_ r, ut ſuperius dictum eſt:
& ducatur n f quidem ipſi
a
z æquidiſtans, &
contingens coni ſectionem in pũcto n;
n t uero æquidiſtans ipſi b d: & n s ad eandem perpendi-
cularis
.
Quoniam igitur portio ad humidum in grauitate,
cam
habet proportionem, quam quadratum, quod fit à
10143DEIIS QVAE VEH. IN AQVA. ad quadratum bd: & quam habet portio ad humidum in
grauitate
, eandem quadratum nt habet ad bd quadratũ,
ex
iis, quæ dicta ſunt:
conſtat n t lineæ ψ æqualem eſſe,
quare
&
portio-
67[Figure 67] nes a n z, a g q
ſunt
æquales.
Et
quoniam
in por
tionibus
æquali
bus
, &
ſimilibus
a
g q l, a n z l, ab
extremitatibus

baſiũ
ductæ ſunt
a
q, a z, quæ æ-
quales
portiões
abſcindunt
:
per
ſpicuum
eſt an-
gulos
facere æ-
quales
cum por
tionum
diame-
tris
:
& triangu-
lorum
n fs, g ω c, angulos, qui ad f ω æquales eſſe:
itemque
æquales
inter ſe, s b, c b;
& s r, c r, quare & n χ, g y æquales:
& χ t y i. cũq; g h dupla ſit ipſius h i, erit n χ minor, quàm
duplaipſius
χ t.
Sit igitur n m ipſius m t dupla: & iuncta
m
K protrahatur ad e.
Itaque centrum grauitatis totius
erit
punctum K:
partis eius, quæ eſt in humido, punctũ m:
eius
autem, quæ extra humidum in linea protracta, quod
ſit
e.
ergo ex proxime demonſtratis patet, manere por
tionem
, ſed inclinari adeo, ut baſis nullo modo ſuperficiẽ
humidi
contingat.
At uero portionem conſiſtere ita, uta-
xis
cum ſuperficie humidi faciat angulum angulo φ mino-
rem
, ſic demonſtrabitur.
conſiſtat enim, ſi fieri poteſt, ut
non
faciat angulum minorem angulo φ:
& alia eadem diſ-
ponantur
;
ut in ſubiecta figura. eodem modo
102ARCHIMEDIS bimus n t æqualem eſſe ψ, & propterea ipſi gi. & quo-
niam
triangulornm p φ c, n f s angulus f non eſt minor an
gulo
φ, non erit b f maior, quam b c.
ergo neque s r mi-
nor
, quàm c r:
neque n χ minor, quàm p y. Sed cum p f ſit
maior
, quàm n t:
68[Figure 68] ſitq; p f ſeſquialte
ra
p y:
erit n t mi-
nor
, quàm ſeſquial
tera
n χ:
& idcir-
co
n χ maior, quã
dupla
χ t.
ſit autẽ
n
m dupla m t:
&
iuncta
m K produ
catur
.
conſtat igi-
tur
ex iam dictis
non
manere por-
tionem
;
ſed reuol
ui
ita, ut axis cum
ſuperficie
humidi
faciat
angulum an
gulo
φ minorem.
FINIS LIBRORVM ARCHIMEDIS DE
IIS
, QVAE IN AQVA VEHVNTVR.
103
[Empty page]
104
[Empty page]
105
FEDERICI
COMMANDINI

VRBINATIS
LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS

SOLIDORV
M.
69[Figure 69]
CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
BONONIAE
,
Ex
Officina Alexandri Benacii.
M D LXV.
106
[Empty page]
107
ALEXANDRO FARNESIO
CARDINALI
AMPLISSIMO
ET
OPTIMO.
CVM multæ res in mathematicis
diſciplinis
nequaquam ſatis ad-
huc
explicatæ ſint, tum perdif-
ficilis
, &
perobſcura quæſtio
eſt
de centro grauitatis corpo-
rum
ſolidorum;
quæ, & ad co-
gnoſcendum
pulcherrima eſt,
&
ad multa, quæ à mathematicis proponuntur, præ-
clare
intelligenda maximum affert adiumentum.
de
qua
neminem ex mathematicis, neque noſtra, neque
patrum
noſtrorum memoria ſcriptum reliquiſſe ſci-
mus
.
& quamuis in earum monumentis literarum
nulla
reperiantur, ex quibus in hanc ſententiam addu
ci
poſſumus, vt exiſtimemus hanc rem ab ijſdẽ vber-
rime
tractatam eſſe;
tamen neſcio quo fato adhuc
in
eiuſmodi librorum ignoratione verſamur.
Archi-
medes
quidem mathematicorũ princeps in libello,
cuius
inſcriptio eſt, κέντρα βάρων ἐπιπέδων, de centro pla-
norum
copioſiſsime, atque acutiſsime conſcripſit:
&
in
eo explicando ſummã ingenii, &
ſcientiæ gloriã eſt
cõſecutus
.
Sed de cognitione cẽtri grauitatis corporũ
ſolidorũ
nulla in eius libris litera inuenitur.
non mul
tos
abhinc annos Marcellvs iI.
Pont. Max.
108 cum adhuc Cardinalis eſſet, mihi, quæ ſua erat hu-
manitas
, libros eiuſdem Archimedis de ijs, quæ ve-
huntur
in aqua, latine redditos dono dedit.
hos cum
ego
, ut aliorum ſtudia incitarem, emendãdos, &
cõ-
mentariis
illuſtrandos ſuſcepiſſem, animaduerti dubi
tari
non poſſe, quin Archimedes vel de hac materia
ſcripſiſſet
, vel aliorum mathematicorum ſcripta per-
legiſſet
.
nam in iis tum alia nonnulla, tum maxime
illam
propoſitionem, ut euidentem, &
aliàs proba-
tam
aſſumit, Centrũ grauitatis in portionibus conoi
dis
rectan guli axem ita diuidere, vt pars, quæ ad verti
cem
terminatur, alterius partis, quæ ad baſim dupla
ſit
.
Verum hæc ad eam partem mathematicarum
diſciplinarum
præcipue refertur, in qua de centro
grauitatis
corporum ſolidorum tractatur.
non eſt au
tem
conſentaneum Archimedem illum admirabilem
virum
hanc propoſitionem ſibi argumentis con-
firmandam
exiſtimaturum non fuiſſe, niſi eam vel
aliis
in locis probauiſſet, vel ab aliis probatam eſſe
comperiſſet
.
quamobrem nequid in iis libris intel-
ligendis
deſiderari poſſet, ſtatui hanc etiam partem
vel
à veteribus prætermiſſam, vel tractatam quidem,
ſed
in tenebris iacentem, non intactam relinquere;
atque ex aſsidua mathematicorum, præſertim Archi-
medis
lectione, quæ mihi in mentem venerunt, ea in
medium
afferre;
ut centri grauitatis corporum ſoli-
dorum
, ſi non perfectam, at certe aliquam
109 tiam haberemus. Q uem meum laborem mathe-
maticis
ſolum, verum iis etiam, qui naturæ obſcuri-
tate
delectantur, iniucundam fore ſperaui:
multa
enim
προβλήματα cognitiòne digniſsima, quæ ad vtrã-
que
ſcientiam attinent, ſeſe legentibus obtuliſſent.
neque id vlli mirandum videri debet. vt enim in cor-
poribus
noſtris omnia membra, ex quibus certa quæ
dam
officia naſcuntur, diuino quodam ordine inter
ſe
implicata, &
colligata ſunt: in iisq́; admirabilis il-
la
conſpiratio, quam σύμπνοιαν græci vocant, eluceſcit,
ita
tres illæ Philoſophiæ (ut Ariſtotelis verbo vtar)
quæ
veritatem ſolam propoſitam habent, licet qui-
buſdam
quaſi finibus ſuis regantur:
tamen earũ vna-
quæque
per ſe ipſam quodammodo imperfecta eſt:

neque
altera ſine alterius auxilio plene comprehen-
di
poteſt.
complures præterea mathematicorum no-
di
ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expe
diti
eſſent:
atque (ut vno, verbo complectar) niſi
mea
valde amo, tractationem hanc meam ſtudioſis
non
mediocrem vtilitatem, &
magnam volupta-
tem
allaturam eſſe mihi perſuaſi.
cum autem ad hoc
ſcribendum
aggreſſus eſsem, allatus eſt ad me liber
Franciſci
Maurolici Meſſanenſis, in quo vir ille do-
ctiſsimus
, &
in iis diſciplinis exercitatiſsimus af-
firmabat
ſe de centro grauitatis corporum ſolido-
rum
conſcripſiſſe.
cum hoc intellexiſſem, ſuſtinui
me
pauliſper:
tacitusque expectaui, dum opus
110 risſimi uiri, quem ſemper honoris cauſſa nomino,
in
lucem proferretur:
mihi enim exploratisſimum
erat
:
Franciſcum Maurolicum multo doctius, &
exquiſitius
hoc diſciplinarum genus ſcriptis ſuis tra
diturum
.
ſed cum id tardius fieret, hoc eſt, ut ego
interpretor
, diligentius, mihi diutius hac ſcriptione
non
ſuperſedendum eſſe duxi, præſertim cum iam li-
bri
Archimedis de iis, quæ uehuntur in aqua, opera
mea
illuſtrati typis excudẽdi eſſent.
nec me alia cauſ
ſa
impuliſſet, ut de centro grauitatis corporum ſoli-
dorum
ſcriberem, niſi ut hac etiam ratione lux eis
quâm
maxime fieri poſſet afferretur.
atq; id mihi
faciendum
exiſtimaui, quòd in ſpem ueniebam fore,
ut
cum ego ex omnibus mathematicis primus, hanc
materiam
explicandam ſuſcepiſſem;
ſi quid errati for
te
à me commiſſum eſſet, boni uiri potius id meæ de
ſtudioſis
hominibus bene merẽdi cupiditati, quàm
arrogantiæ
aſcriberent.
reſtabat ut conſiderarem, cui
potisſimum
ex principibus uiris contemplationem
hanc
, nunc primum memoriæ, ac literis proditam de
dicarem
.
harum mearum cogitationum ſumma fa-
cta
, exiſtimaui nemini conuenientius de centro graui
tatis
corporum opus dicari oportere, quàm Ale-
xandro
Farnesio grauisſimo, ac prudentisſi-
mo
Cardinali, quo in uiro ſumma fortuna ſemper
ſumma
uirtute certauit.
quid enim maxime in te ad-
mirari
debeant homines, obſcurum eſt;
uſuḿne
111 rum, qui pueritiæ tempus extremum principium ha
buiſti
, &
imperiorũ, & ad Reges, & Imperatores ho-
norificentiſsimarum
legationum;
an excellentiam
in
omni genere literarum, qui vix adoleſcẽtulus, quæ
homines
iam confirmata ætate ſummo ſtudio, diu-
turnisq́
;
laboribus didicerunt, ſcientia, & cogaitione
comprehendiſti
:
an conſilium, & ſapientiam in re-
gendis
, &
gubernãdis Ciuitatibus, cuius grauiísimæ
ſententiæ
in ſanctiſsimo Reip.
Chrſtianæ conſilio di-
ctæ
, potius diuina oracula, quàm ſententiæ habitæ
ſunt
, &
habentur. prætermitto liberalitatem, & mu-
nificentiam
tuam, quam in ſtudio ſiſsimo quoque ho
neſtando
quotidie magis oſtendis, ne videar auribus
tuis
potius, quàm veritati ſeruire.
quamuis à te in tot
præclaros
viros tanta beneficia collata ſunt, &
confe-
rũtur
, vt omnibus teſtatum ſit, nihil tibi eſſe charius,
nihil
iucundius, quàm eximia tua liberalitate homi-
nes
ad amplexandam virtutem, licet currentes incita-
re
.
nihil dico de ceteris virtutibus tuis, quæ tantæ
ſunt
, quantæ ne cogitatione quidem comprehendi
poſſunt
.
Quamobrem hac præcipue de cauſſa te hu-
ius
meæ lucubrationis patronum eſſe volui, quam ea,
qua
ſoles, humanitate accipies.
te enim ſemper ob
diuinas
virtutes tuas colui, &
obſeruaui: nihilq́; mi-
hi
fuit optatius;
quàm tibi perſpectum eſſe meum
erga
te animum;
ſingularemq́; obſeruantiam. cœ-
lum
igitur digito attingam, ſi poſt grauiſsimas
112 cupationes tuas legendo Federici tui libro aliquid
impertiri
temporis non grauaberis:
eumq́; in iis, qui
tibi
ſemper addicti erunt, numerare.
Vale.
Federicus Commandinus.
1131
FEDERICI COMMANDINI
VRBINATIS
LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS
SOLIDORVM.
DIFFINITIONES
.
CEntrvm grauitatis, Pappus
Alexandrinus
in octauo ma-
thematicarum
collectionum
libro
ita diffiniuit.
λέγομεν δἐ κἐντρον βάρους ἑκά στου σἀ
ματος
{εἶ}ναι σημ\~ειον τικείμενον ἑντὸς, ἀφ
οὖ
κα\’τ ἐποίνιαν ἀρτηθέν τό βάρος ἡμερ{εἶ}
φερ
όμενον, καὶ φυλὰσσει τήν ἐξἀρχ\~νςθἐ-
σιν
, οὐ μὴ περιτρεπ ὸμενον ἐντῆ φορ.
hoc eſt,
Dicimus autem centrum grauitatis uniuſcu-
inſque
corporis punctum quoddam intra poſi-
cum
, à quo ſi graue appenſum mente concipia-
tur
, dum fertur quieſcit;
& ſeruat eam, quam in
principio
habebat poſitionem:
neque in ipſa la-
tione
circumuertitur.
Poſſumus etiam hoc modo diffinire.
Centrum grauitatis uniuſcuiuſque ſolidæ figu
eſt punctum illud intra poſitum, circa quod
undique
partes æqualium momentorum conſi-
ſtunt
.
ſi enim per tale centrum ducatur planum
figuram
quomodocunque ſecans ſemper in
114FED. COMMANDINI tes æqueponderantes ipſam diuidet.
2 Priſmatis, cylindri, & portionis cylindri axem
appello
rectam lineam, quæ oppoſitorum plano-
rum
centra grauitatis coniungit.
3 Pyramidis, coni, & portionis coni axem dico li
neam
, quæ à uertice ad centrum grauitatis baſis
perducitur
.
4 Si pyramis, conus, portio coni, uel conoidis ſe-
cetur
plano baſi æquidiſtante, pars, quæ eſt ad ba-
ſim
, fruſtum pyramidis, coni, portionis coni, uel
conoidis
dicetur;
quorum plana æquidiſtantia,
quæ
opponuntur ſimilia ſunt, &
inæqualia: axes
uero
ſunt axium figurarum partes, quæ in ipſis
comprehenduntur
.
PETITIONES.
1 Solidarum figurarum ſimilium centra grauita-
tis
ſimiliter ſunt poſita.
2 Solidis figuris ſimilibus, & æqualibus inter ſe
aptatis
, centra quoque grauitatis ipſarum inter ſe
aptata
erunt.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
Omnis figuræ rectilineæ in circulo deſcriptæ,
quæ
æqualibus lateribus, &
angulis
1152DE CENTRO GRAVIT. SOLID. tur, centrum grauitatis eſt idem, quod circuli cen
trum
.
Sit primo triangulum æquilaterum a b c in circulo de-
ſcriptum
:
& diuiſa a c bifariam in d, ducatur b d. erit in li-
nea
b d centrum grauitatis triãguli a b c, ex tertia decima
primi
libri Archimedis de centro grauitatis planorum.
Et
quoniam
linea a b eſt æqualis
70[Figure 70] lineæ b c;
& a d ipſi d c; eſtq́;
b d utrique communis: trian-
gulum
a b d æquale erit trian
118. primi. gulo c b d:
& anguli angulis æ-
quales
, qui æqualibus lateri-
bus
ſubtenduntur.
ergo angu
2213. primi. li ad d utriq;
recti ſunt. quòd
cum
linea b d ſecet a c biſa-
riam
, &
ad angulos rectos; in
33corol. p@@
tertii
ipſa b d eſt centrum circuli.
quare in eadem b d linea erit
centrum
grauitatis trianguli, &
circuli centrum. Similiter
diuiſa
a b bifariam in e, &
ducta c e, oſtendetur in ipſa utrũ
que
centrum contineri.
ergo ea erunt in puncto, in quo li-
neæ
b d, c e conueniunt.
trianguli igitur a b c centrum gra
uitatis
eſt idem, quod circuli centrum.
Sit quadratum a b c d in cir-
71[Figure 71] culo deſcriptum:
& ducantur
a
c, b d, quæ conueniant in e.
er-
go
punctum e eſt centrum gra
uitatis
quadrati, ex decima eiuſ
dem
libri Archimedis.
Sed cum
omnes
anguli ad a b c d recti
ſint
;
erit a b c femicirculus:
4451. tortil. itemq́; b c d: & propterea li-
neæ
a c, b d diametri circuli:
116FED. COMMANDINI quæ quidem in centro conueniunt. idem igitur eſt centrum
grauitatis
quadrati, &
circuli centrum.
Sit pentagonum æquilaterum, & æquiangulum in circu-
lo
deſcriptum a b c d e:
& iun-
72[Figure 72] cta b d, bifariamq́;
in ſ diuiſa,
ducatur
c f, &
producatur ad
circuli
circumferentiam in g;
quæ lineam a e in h ſecet: de-
inde
iungantur a c, c e.
Eodem
modo
, quo ſupra demonſtra-
bimus
angulum b c f æqualem
eſſe
angulo d c f;
& angulos
ad
f utroſque rectos:
& idcir-
colineam
c f g per circuli cen
trum
tranſire.
Quoniam igi-
tur
latera c b, b a, &
c d, d e æqualia ſunt; & æquales anguli
c
b a, c d e:
erit baſis c a baſi c e, & angulus b c a angulo
114. Primi. d c e æqualis.
ergo & reliquus a c h, reliquo e c h. eſt au-
tem
c h utrique triangulo a c h, e c h communis.
quare
baſis
a h æqualis eſt baſi h e:
& anguli, quiad h recti: ſuntq́;
recti, qui ad f. ergo lineæ a e, b d inter ſe ſe æquidiſtant.
2208. primi. Itaque cum trapezij a b d e latera b d, a e æquidiſtantia à li
nea
fh bifariam diuidantur;
centrum grauitatis ipſius erit
in
linea f h, ex ultima eiuſdem libri Archimedis.
Sed trian-
3313. Archi-
medis
.
guli b c d centrum grauitatis eſt in linea c f.
ergo in eadem
linea
c h eſt centrum grauitatis trapezij a b d e, &
trian-
guli
b c d:
hoc eſt pentagoni ipſius centrum & centrum
circuli
.
Rurſus ſi iuncta a d, bifariamq́; ſecta in k, duca-
tur
e k l:
demonſtrabimus in ipſa utrumque centrum in
eſſe
.
Sequitur ergo, ut punctum, in quo lineæ c g, e l con-
ueniunt
, idem ſit centrum circuli, &
centrum grauitatis
pentagoni
.
Sit hexagonum a b c d e f æquilaterum, & æquiangulum
in
circulo deſignatum:
iunganturq́; b d, a c: & bifariam
1173DE CENTRO GRAVIT. SOLID. cta b d in g puncto, ducatur c g; & protrahatur ad circuli
uſque
circumferentiam;
quæ ſecet a e in h. Similiter conclu
demus
c g per centrum circuli tranſire:
& bifariam ſecare
lineam
a e;
itemq́; lineas b d, a e inter ſe æquidiſtantes eſſe.
Cumigitur c g per centrum circuli tranſeat; & ad punctũ
f
perueniat neceſſe eſt:
quòd c d e f ſit dimidium circumfe
rentiæ
circuli.
Quare in eadem
73[Figure 73] diametro c f erunt centra gra
1113. Archi
medis
.
uitatis triangulorum b c d,
a
f e, &
quadrilateri a b d e, ex
229. @iuſdé. quibus conſtat hexagonum a b
c
d e f.
perſpicuum eſt igitur in
ipſa
c f eſſe circuli centrum, &

centrum
grauitatis hexagoni.
Rurſus ducta altera diametro
a
d, eiſdem rationibus oſtende-
mus
in ipſa utrumque cẽtrum
ineſſe
.
Centrum ergo grauita-
tis
hexagoni, &
centrum circuli idem erit.
Sit heptagonum a b c d e f g æquilaterum atque æquian
gulum
in circulo deſcriptum:
74[Figure 74]& iungantur c e, b f, a g: di-
uiſa
autem c e bifariam in
cto
h:
& iuncta d h produca-
tur
in k.
non aliter demon-
ſtrabimus
in linea d k eſſe cen
trum
circuli, &
centrum gra-
uitatis
trianguli c d e, &
tra-
peziorum
b c e f, a b f g, hoc
eſt
centrum totius heptago-
ni
:
& rurſus eadem centra in
alia
diametro cl ſimiliter du-
cta
contineri.
Quare & centrum grauitatis heptagoni, &
centrum
circuli in idem punctum conucniunt.
Eodem
118FED. COMMANDINI do in reliquis figuris æquilateris, & æquiangulis, quæ in cir-
culo
deſcribuntur, probabimus cẽtrum grauitatis earum,
&
centrum circuli idem eſſe. quod quidem demonſtrare
oportebat
.
Ex quibus apparet cuiuslibet figuræ rectilineæ
in
circulo plane deſcriptæ centrum grauitatis idẽ
eſſe
, quod &
circuli centrum.
Figuram in circulo plane deſcriptam appella-
11γνωρ@ μω@ mus, cuiuſmodi eſt ea, quæ in duodecimo elemen
torum
libro, propoſitione ſecunda deſcribitur.
ex æqualibus enim lateribus, & angulis conſtare
perſpicuum
eſt.
THEOREMA II. PROPOSITIO II.
Omnis figuræ rectilineæ in ellipſi plane deſcri-
ptæ
centrum grauitatis eſt idem, quod ellipſis
centrum
.
Quo modo figura rectilinea in ellipſi plane deſcribatur,
docuimus
in commentarijs in quintam propoſitionem li-
bri
Archimedis de conoidibus, &
ſphæroidibus.
Sit ellipſis a b c d, cuius maior axis a c, minor b d: iun-
ganturq́
;
a b, b c, c d, d a: & bifariam diuidantur in pun-
ctis
e f g h.
à centro autem, quod ſit k ductæ lineæ k e, k f,
k
g, k h uſque ad ſectionem in puncta l m n o protrahan-
tur
:
& iungantur l m, m n, n o, o l, ita ut a c ſecet li-
neas
l o, m n, in z φ punctis, &
b d ſecet l m, o n in χ ψ.
erunt l k, k n linea una, itemq́ue linea unaipſæ m k, k o:
&
lineæ b a, c d æquidiſtabunt lineæ m o: & b c, a d ipſi
l
n.
rurſus l o, m n axi b d æquidiſtabunt: & l
1194DE CENTRO GRAVIT. SOLID. o n ipſi a c. Quoniam enim triangulorum a b k, a d k, latus
b
k eſt æquale lateri k d, &
a k utrique commune; anguliq́;
ad k recti baſis a b baſi a d; & reliqui anguli reliquis an-
118. primi gulis æquales erunt.
eadem quoqueratione oſtendetur b c
æqualis
c d;
& a b ipſi
75[Figure 75] b c.
quare omnes a b,
b
c, c d, d a ſunt æqua-
les
.
& quoniam anguli
ad
a æquales ſunt angu
lis
ad c;
erunt anguli b
a
c, a c d coalterni inter
ſe
æquales;
itemq́; d a c,
a
c b.
ergo c d ipſi b a;
& a d ipſi b c æquidi-
ſtat
.
Atuero cum lineæ
a
b, c d inter ſe æquidi-
ſtantes
bifariam ſecen-
tur
in punctis e g;
erit li
nea
l e k g n diameter ſe
ctionis
, &
linea una, ex
demonſtratis
in uigeſi-
ma
octaua ſecundi coni
corum
.
Et eadem ratione linea una m f k h o. Sunt autẽ a d,
b
c inter ſe ſe æquales, &
æquidiſtantes. quare & earum di-
midiæ
a h, b f;
itemq́; h d, f e; & quæ ipſas coniunguntrectæ
2233. primit lineæ æquales, &
æquidiſtantes erunt. æquidiſtãt igitur b a,
c
d diametro m o:
& pariter a d, b c ipſi l n æquidiſtare o-
ſtendemus
.
Si igitur manẽte diametro a c intelligatur a b c
portio
ellipſis ad portionem a d c moueri, cum primum b
applicuerit
ad d, cõgruet tota portio toti portioni, lineaq́;
b a lineæ a d; & b c ipſi c d congruet: punctum uero e ca-
det
in h;
f in g: & linea k e in lineam k h: & k f in k g. qua
re
&
el in h o, et fm in g n. Atipſa lz in z o; et m φ in φ n
cadet
.
congruet igitur triangulum l k z triangulo o k z:
120FED. COMMANDINI triangulum m k φ triangulo n k φ. ergo anguli l z k, o z k,
m
φ k, n φ k æquales ſunt, ac recti.
quòd cum etiam recti
ſint
, qui ad k;
æquidiſtabunt lineæ l o, m n axi b d. & ita.
1128. primi. demonſtrabuntur l m, o n ipſi a c æquidiſtare. Rurſus ſi
iungantur
a l, l b, b m, m c, c n, n d, d o, o a:
& bifariam di
uidantur
:
à centro autem k ad diuiſiones ductæ lineæ pro-
trahantur
uſque ad ſectionem in puncta p q r s t u x y:
& po
ſtremo
p y, q x, r u, s t, q r, p s, y t, x u coniungantur.
Simili-
ter
oſtendemus lineas
76[Figure 76] p y, q x, r u, s t axi b d æ-
quidiſtantes
eſſe:
& q r,
p
s, y t, x u æquidiſtan-
tesipſi
a c.
Itaque dico
harum
figurarum in el-
lipſi
deſcriptarum cen-
trum
grauitatis eſſe pũ-
ctum
k, idem quod &
el
lipſis
centrum.
quadri-
lateri
enim a b c d cen-
trum
eſt k, ex decima e-
iuſdem
libri Archime-
dis
, quippe in eo om
nes
diametri cõueniãt.
Sed in figura alb m c n
2213. Archi
medis
.
d o, quoniam trianguli
alb
centrum grauitatis
33Vltima. eſt in linea l e:
trapezijq́; a b m o centrum in linea e k: trape
zij
o m c d in k g:
& trianguli c n d in ipſa g n: erit magnitu
dinis
ex his omnibus conſtantis, uidelicet totius figuræ cen
trum
grauitatis in linea l n:
& o b eandem cauſſam in linea
o
m.
eſt enim trianguli a o d centrum in linea o h: trapezij
a
l n d in h k:
trapezij l b c n in k f: & trianguli b m c in fm.
cum ergo figuræ a l b m c n d o centrum grauitatis ſit in li-
nea
l n, &
in linea o m; erit centrum ipſius punctum k,
1215DE CENTRO GRAVIT. SOLID. quo ſcilicet ln, om conueniunt. Poſtremo in figura
a
p l q b r m s c t n u d x o y centrum grauitatis trian
guli
pay, &
trapezii ploy eſtin linea a z: trapeziorum
uero
lqxo, q b d x centrum eſtin linea z k:
& trapeziorũ
b
r u d, r m n u in k φ:
& denique trapezii m s t n; & triangu
li
s c t in φ c.
quare magnitudinis ex his compoſitæ centrū
in
linea a c conſiſtit.
Rurſus trianguli q b r, & trapezii q l
m
r centrum eſt in linea b χ:
trapeziorum l p s m, p a c s,
a
y t c, y o n t in linea χ φ:
trapeziiq; o x u n, & trianguli
x
d u centrum in ψ d.
totius ergo magnitudinis centrum
eſtin
linea b d.
ex quo ſequitur, centrum grauitatis figuræ
a
p l q b r m s c t n u d x o y eſſe punctū _K_, lineis ſcilicet a c,
b
d commune, quæ omnia demonſtrare oportebat.
THE OREMA III. PROPOSITIO III.
Cuiuslibet portio-
77[Figure 77] nis circuli, &
ellipſis,
quæ
dimidia non ſit
maior
, centrum graui
tatis
in portionis dia-
metro
conſiſtit.
HOC eodem prorſus
modo
demonſtrabitur,
quo
in libro de centro gra
uitatis
planorum ab Ar-
chimede
demonſtratũ eſt,
in
portione cõtenta recta
linea
, &
rectanguli coni ſe
ctione
grauitatis cẽtrum
eſſe
in diametro portio-
nis
.
Etita demonſtrari po
77[Handwritten note 7]
122FED. COMMANDINI teſt in portione, quæ recta linea & obtuſianguli coni ſe-
ctione
, ſeu hyperbola continetur.
THE OREMA IIII. PROPOSITIO IIII.
In circulo & ellipſiidem eſt figuræ & graui-
tatis
centrum.
SIT circulus, uel ellipſis, cuius centrum a. Dico a gra-
uitatis
quoque centrum eſſe.
Si enim fieri poteſt, ſit b cen-
trum
grauitatis:
& iuncta a b extra figuram in c produca
tur
:
quam uero proportionem habetlinea c a ad a b, ha-
beat
circulus a ad alium circulum, in quo d;
uel ellipſis ad
aliam
ellipſim:
& in circulo, uel ellipſi ſigura rectilinea pla-
ne
deſcribatur adeo, ut tandem relinquantur portiones
quædam
minores circulo, uel ellipſid;
quæ figura ſit e f g
h
_k_ l m n.
Illud uero in circulo fieri poſſe ex duodecimo
elementorum
libro, propoſitione ſecunda manifeſte con-
ſtat
;
at in ellipſi nos demonſtra-
78[Figure 78] uinius in commentariis in quin-
tam
propoſitionem Archimedis
de
conoidibus, &
ſphæroidibus.
erit igitur a centrum grauitatis
ipſius
figuræ, quod proxime oſtē
dimus
.
Itaque quoniam circulus
a
ad circulum d;
uel ellipſis a ad
ellipſim
d eandem proportionē
habet
, quam linea c a ad a b:

portiones
uero ſunt minores cir
118. quinti. culo uel ellipſi d:
habebit circu-
lus
, uel ellipſis ad portiones ma-
iorem
proportionem, quàm c a
2219. quinti
apud

panum
.
ad a b:
& diuidendo figura recti-
linea
e f g h _k_ l m n ad
1236DE CENTRO GRAVIT. SOLID. habebit maiorem proportionẽ,
79[Figure 79] quam c b ad b a.
fiat o b ad b a,
ut
figura rectilinea ad portio-
nes
.
cum igitur à circulo, uel el-
lipſi
, cuius grauitatis centrum
eſt
b, auferatur figura rectilinea
e
f g h k l m n, cuius centrum a;
reliquæ magnitudinis ex portio
118. Archi-
medis
.
nibus compoſitæ centrum graui
tatis
erit in linea a b producta,
&
in puncto o, extra figuram po
ſito
.
quod quidem fieri nullo mo
do
poſſe perſpicuum eſt.
ſequi-
tur
ergo, ut circuli &
ellipſis cen
trum
grauitatis ſit punctum a,
idem
quod figuræ centrum.
ALITER.
Sit circulus, uel ellipſis a b c d,
cuius
diameter d b, &
centrum e: ducaturq; per e recta li
nea
a c, ſecans ipſam d b adrectos angulos.
erunt a d c,
a
b c circuli, uel ellipſis dimidiæ portiones.
Itaque quo-
niam
por
80[Figure 80] tiõis a d c
cétrū
gra-
uitatis
eſt
in
diame-
tro
d e:
&
portionis

a
b c cen-
trum
eſt ĩ
ipſa
e b:
to
tius
circu
li
, uel ellipſis grauitatis centrum eritin diametro d b.
Sit autem portionis a d c cẽtrum grauitatis f: &
124FED. COMMANDINI in linea e b punctũ g, it aut ſit g e æqualis e f. erit g por-
tionis
a b c centrum.
nam ſi portiones, quæ æquales
&
ſimiles ſunt, inter ſe ſe aptentur, ita ut b e cadat in d e,
&
punctum b in d cadet, & g in f: figuris autem æquali-
bus
, &
ſimilibus inter ſe aptatis, centra quoque grauitatis
ipſarum
inter ſe aptata erunt, ex quinta petitione Archi-
medis
in libro de centro grauitatis planorum.
Quare cum
portionis
a d c centrum grauitatis ſit ſ:
& portionis
a
b c centrum g:
magnitudinis; quæ ex utriſque efficitur:
hoc eſt circuli uel ellipſis grauitatis centrum in medio li-
neæ
f g, quod eſt e, conſiſtet, ex quarta propoſitione eiuſ-
dem
libri Archimedis.
ergo circuli, uel ellipſis centrum
grauitatis
eſt idem, quod figuræ centrum.
atque illud eſt,
quod
demonſtrare oportebat.
Ex quibus ſequitur portionis circuli, uel ellip-
ſis
, quæ dimidia maior ſit, centrum grauitatis in
diametro
quoque ipſius conſiſtere.
81[Figure 81]
Sit enim maior portio a b c, cu_i_us diameter b d, & com-
pleatur
circulus, uel ellipſis, ut portio reliqua ſit a e c,
1257DE CENTRO GRAVIT. SOLID. metrum habens e d. Quoniam igitur circuli uel ellipſis
a
e c b grauitatis centrum eſt in diametro b e, &
portio-
nis
a e c centrum in linea e d:
reliquæ portionis, uidelicet
a
b c centrum grauitatis in ipſa b d conſiſtat neceſſe eſt, ex
octaua
propoſitione eiuſdem.
THEOREMA V. PROPOSITIO V.
SI priſma ſecetur plano oppoſitis planis æqui
diſtante
, ſectio erit figura æqualis &
ſimilis ei,
quæ
eſt oppoſitorum planorum, centrum graui
tatis
in axe habens.
Sit priſma, in quo plana oppoſita ſint triangula a b c,
d
e f;
axis g h: & ſecetur plano iam dictis planis æquidiſtã
te
;
quod faciat ſectionem K l m; & axi in pũcto n occurrat.
Dico _k_ l m triangulum æquale eſſe, & ſimile triangulis a b c
d
e f;
atque eius grauitatis centrum eſſe punctum n. Quo-
niam
enim plana a b c
82[Figure 82] K l m æquidiſtantia ſecã
1116. unde-
cimi
.
tur a plano a e;
rectæ li-
neæ
a b, K l, quæ ſunt ip
ſorum
cõmunes ſectio-
nes
inter ſe ſe æquidi-
ſtant
.
Sed æquidiſtant
a
d, b e;
cum a e ſit para
lelogrammum
, ex priſ-
matis
diffinitione.
ergo
&
al parallelogrammũ
erit
;
& propterea linea
2234. prim@ _k_l, ipſi a b æqualis.
Si-
militer
demonſtrabitur
l
m æquidiſtans, &
æqua
lis
b c;
& m K ipſi c a.
126FED. COMMANDINI
Itaque quoniam duæ lineæ K l, l m ſe ſe tangentes, duabus
lineis
ſe ſe tangentibus a b, b c æquidiſtant;
nec ſunt in eo-
dem
plano:
angulus K l m æqualis eſt angulo a b c: & ita an
1110. unde
cimi
gulus l m K, angulo b c a, &
m K lipſi c a b æqualis prob abi
tur
.
triangulum ergo K l m eſt æquale, & ſimile triang ulo
a
b c.
quare & triangulo d e f. Ducatur linea c g o, & per ip
ſam
, &
per c f ducatur planum ſecans priſma, cuius & paral
lelogrammi
a e communis ſectio ſit o p q.
tranſibit linea
f
q per h, &
m p per n. nam cum plana æquidiſtantia ſecen
tur
à plano c q, communes eorum ſectiones c g o, m p, f q
ſibi
ipſis æquidiſtabunt.
Sed & æquidiſtant a b, K l, d e. an-
guli
ergo a o c, K p m, d q f inter ſe æquales ſunt:
& ſunt
2210. unde-
cimi
æquales qui ad puncta a k d conſtituuntur.
quare & reliqui
reliquis
æquales;
& triangula a c o, _K_ m p, d f q inter ſe ſimi
lia
erunt.
Vtigitur ca ad a o, ita fd ad d q: & permutando
334. ſexti ut c a ad fd, ita a o ad d q.
eſt autem c a æqualis fd. ergo &
a
o ipſi d q.
eadem quoque ratione & a o ipſi _K_ p æqualis
demonſtrabitur
.
Itaque ſi triangula, a b c, d e f æqualia &
ſimilia
inter ſe aptétur,
83[Figure 83] cadet linea f q in lineam
c
g o.
Sed & centrũ gra
44per 5. pe-
titionem

Archime

dis
.
uitatis h in g centrũ ca-
det
.
trãſibit igitur linea
f
q per h:
& planum per
c
o &
c f ductũ per axẽ
g
h ducetur:
idcircoq; li
neam
m p etiã per n trã
ſire
neceſſe erit.
Quo-
niam
ergo ſh, c g æqua-
les
ſunt, &
æquidiſtãtes:
itemq; h q, g o; rectæ li-
neæ
, quæ ipſas cónectũt
c
m f, g n h, o p q æqua-
les
&
æquidiſtãtes erũt.
1278DE CENTRO GRAVIT. SOLID. æquidiſtant autem c g o, m n p. ergo parallelogrãma ſunt
o
n, g m, &
linea m n æqualis c g; & n p ipſi g o. aptatis igi-
tur
K l m, a b c triãgulis, quæ æqualia &
ſimilia sũt; linea m p
in
c o, &
punctum n in g cadet. Quòd g ſit centrum gra-
uitatis
trianguli a b c, &
n trianguli K l m grauitatis cen-
trum
erit id, quod demonſtrandum relinquebatur.
Simili
ratione
idem contingere demonſtrabimus in aliis priſma-
tibus
, ſiue quadrilatera, ſiue plurilatera habeant plana,
quæ
opponuntur.
COROLLARIVM.
Exiam demonſtratis perſpicue apparet, cuius
Iibet
priſmatis axem, parallelogrammorum lat eri
bus
, quæ ab oppoſitis planis ducũtur æquidiſtare.
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.
Cuiuslibet priſmatis centrum grauitatis eſt in
plano
, quod oppoſitis planis æquidiſtans, reli-
quorum
planorum latera bifariam diuidit.
Sit priſma, in quo plana, quæ opponuntur ſint trian-
gula
a c e, b d f:
& parallelogrammorum latera a b, c d,
e
f bifariam diuidãtur in punctis g h _K_:
per diuiſiones au-
tem
planum ducatur;
cuius ſectio figura g h _K_. eritlinea
1133. primi g h æquidiſtans lineis a c, b d &
h k ipſis c e, d f. quare ex
decimaquinta
undecimi elementorum, planum illud pla
nis
a c e, b d f æquidiſtabit, &
ſaciet ſectionem figu-
225. huius ram ipſis æqualem, &
ſimilem, ut proxime demonſtra-
uimus
.
Dico centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
g
h K.
Si enim fieri poteſt, ſit eius centrum l: & ducatur
l
m uſque ad planum g h K, quæ ipſi a b æquidiſtet.
128FED. COMMANDINI ergo linea a g continenter in duas partes æquales diui-
111. decimi ſa, relinquetur tãdem pars aliqua n g, quæ minor eritl m.
Vtraque uero linearum a g, g b diuidatur in partes æqua-
les
ipſi n g:
& per puncta diuiſionum plana oppoſitis pla-
225 huius nis æquidiſtantia ducantur.
erunt ſectiones figuræ æqua-
les
, ac ſimiles ipſis a c e, b d f:
& totum priſma diuiſum erit
in
priſmata æqualia, &
ſimilia: quæ cum inter ſe congruãt;
& grauitatis centra ſibi ipſis congruentia, reſpondentiaq;
habebunt
.
Itaq:
84[Figure 84] ſunt magnitudi-
nes
quædã æqua-
les
ipſi n h, &
nu-
mero
pares, qua-
rum
centra gra-
uitatis
in eadẽ re
cta
linea conſti-
tuuntur
:
duæ ue-
ro
mediæ æqua-
les
ſunt:
& quæ ex
utraque
parte i-
pſarum
ſimili --
ter
æquales:
& æ-
quales
rectæ li-
neæ
, quæ inter
grauitatis
centra
interiiciuntur
.
quare ex corolla-
rio
quintæ pro-
poſitionis
primi
libri
Archimedis
de
centro graui-
tatis
planorum;
magnitudinis ex his omnibus compoſitæ
centrum
grauitatis eſt in medio lineæ, quæ magnitudi-
num
mediarum centra coniungit.
at qui non ita res
1299DE CENTRO GRAVIT. SOLID. bet, ſi quidem 1 extra medias magnitudines poſitum eſt.
Conſtatigitur centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
85[Figure 85] g h k, quod nos demonſtrandum propoſuimus.
At ſi op-
poſita
plana in priſmate ſint quadrilatera, uel plurilatera,
eadem
erit in omnibus demonſtratio.
THE OREMA VII. PROPOSITIO VII.
Cuiuslibet cylindri, & cuiuslibet cylindri por
tionis
centrum grauitatis eſt in plano, quod baſi-
bus
æquidiſtans, parallelogrammi per axem late-
ra
bifariam ſecat.
130FED. COMMANDINI
SIT cylindrus, uel cylindri po rtio a c: & plano per a-
xem
ducto ſecetur;
cuius ſectio ſit parallelogrammum a b
c
d:
& bifariam diuiſis a d, b c parallelogrammi lateribus,
per
diuiſionum puncta e f planum baſi æquidiſtans duca-
tur
;
quod faciet ſectionem, in cy lindro quidem circulum
æqualem
iis, qui ſunt in baſibus, ut demonſtrauit Serenus
in
libro cylindricorum, propoſitione quinta:
in cylindri
uero
portione ellipſim æqualem, &
ſimilem eis, quæ ſunt
in
oppoſitis planis, quod nos
86[Figure 86] demonſtrauimus in commen
tariis
in librum Archimedis
de
conoidibus, &
ſphæroidi-
bus
.
Dico centrum grauita-
tis
cylindri, uel cylindri por-
tionis
eſſe in plano e f.
Si enĩ
fieri
poteſt, fit centrum g:
&
ducatur
g h ipſi a d æquidi-
ſtans
, uſque ad e f planum.
Itaque linea a e continenter
diuiſa
bifariam, erit tandem
pars
aliqua ipſius k e, minor
g
h.
Diuidantur ergo lineæ
a
e, e d in partes æquales ipſi
k
e:
& per diuiſiones plana ba
ſibus
æquidiſtantia ducãtur.

erunt
iam ſectiones, figuræ æ-
quales
, &
ſimiles eis, quæ ſunt
in
baſibus:
atque erit cylindrus in cylindros diuiſus: & cy
lindri
portio in portiones æquales, &
ſimiles ipſi k f. reli-
qua
ſimiliter, ut ſuperius in priſmate concludentur.
13110DE CENTRO GRA VIT. SOLID. 87[Figure 87]
THE OREMA VIII. PROPOSITIO VIII.
Cuiuslibet priſmatis, & cuiuslibet cylindri, uel
cylindri
portionis grauitatis centrum in medio
ipſius
axis conſiſtit.
Sit primum a f priſma æ quidiſtantibus planis contentũ,
quod
ſolidum parallelepipedum appellatur:
& oppoſito-
rum
planorum c f, a h, d a, f g latera bifariam diuidantur in
punctis
k l m n o p q r s t u x:
& per diuiſiones ducantur
plana
κ n, o r, s x.
communes autem eorum planorum ſe-
ctiones
ſint lineæ y z, θ φ, χ ψ:
quæ in puncto ω conueniãt.
erit ex decima eiuſdem libri Archimedis parallelogrammi
c
f centrum grauitatis punctum y;
parallelogrammi a
132FED. COMMANDINI centrum z: parallelogram mi a d, θ: parallelogrammi f g, φ:
parallelogrammi d h, χ: &
88[Figure 88] parallelogrammi c g centrũ
ψ
:
atque erit ω punctum me
dium
uniuſcuiuſque axis, ui
delicet
eius lineæ, quæ oppo
ſitorum
planorũ centra con
iungit
.
Dico ω centrum effe
grauitatis
ipſius ſolidi.
eſt
enim
, ut demonſtrauimus,
116. huius ſolidi a f centrum grauitatis
in
plano K n;
quod oppoſi-
tis
planis a d, g f æ quidiſtans
reliquorum
planorum late-
ra
biſariam diuidit:
& fimili
rationeidem
centrum eſt in plano o r, æ quidiſtante planis
a
e, b f oppo ſitis.
ergo in communi ipſorum fectione: ui-
delicet
in linea y z.
Sed eſt etiam in plano t u, quod quidẽ
y
z ſecat in ω.
Conſtat igitur centrum grauitatis ſolidi eſſe
punctum
ω, medium ſcilicet axium, hoc eſt linearum, quæ
planorum
oppoſitorum centra coniungunt.
Sit aliud prima a f; & in eo plana, quæ opponuntur, tri-
angula
a b c, d e f:
diuiſisq; bifariam parallelogrammorum
lateribus
a d, b e, c f in punctis g h κ, per diuiſiones planũ
ducatur
, quod oppoſitis planis æ quidiſtans faciet ſe ctionẽ
triangulum
g h k æ quale, &
ſimile ipſis a b c, d e f. Rurſus
diuidatur
a b bifariam in l:
& iuncta c l per ipſam, & per
c
_K_ f planum ducatur priſma ſecans, cuius, &
parallelogrã
mi
a e communis ſcctio ſit l m n.
diuidet pun ctum m li-
neam
g h bifariam;
& ita n diuidet lineam d e: quoniam
triangula
a c l, g k m, d f n æ qualia ſunt, &
ſimilia, ut ſu pra
225. huius demonſtrauimus.
Iam ex iis, quæ tradita ſunt, conſtat cen
trum
greuitatis priſmatis in plano g h k contineri.
Dico
ipſum
eſſe in linea k m.
Si enim fieri poteſt, ſit o centrum;
13311DE CENTRO GRA VIT. SOLID.& per o ducatur o p ad k m ipſi h g æquidiſtans. Itaque li
nea
h m bifariã uſque diuidatur, quoad reliqua ſit pars
quædam
q m, minor o p.
deinde h m, m g diuidantur in
partes
æ quales ipſi m q:
& per diuiſiones lineæ ipſi m K
æ
quidiſtantes ducantur.
puncta uero, in quibus trian-
gulorum
latera ſecant, coniungantur ductis lineis r s, t u,
89[Figure 89] x y;
quæ baſi g h æquidiſtabunt. Quoniam enim lineæ g z,
h
α ſunt æ quales:
itemq; æquales g m, m h: ut m g ad g z,
ita
erit m h, ad h α:
& diuidendo, ut m z ad z g, ita m α ad
α
h.
Sed ut m z ad z g, ita k r ad r g: & ut m α ad α h, ita k s
112. ſexti. ad s h.
quare ut κ r ad r g, ita k s ad s h. æ quidiſtant igitur
22I1. quinti inter ſe ſe r s, g h.
eadem quoque ratione demonſtrabimus
332. ſexti.
134FED. COMMANDINI t u, x y ipſi g h æquidiſtare. Et quoniam triangula, quæ
fiunt
à lineis K y, y u, u s, s h æqualia ſuntinter ſe, &
ſimilia
triangulo
K m h:
habebit triangulum K m h ad triangulũ
1119. ſexti K δ y duplam proportionem eius, quæ eſt lineæ k h ad K y.
ſed _K_ h poſita eſt quadrupla ipſius k y. ergo triangulum
κ
m h ad triangulum _K_ δ y eãdem proportionem habebit,
quam
ſexdecim ad unũ &
ad quatuor triangula k δ y, y u,
u
s, s α h habebit eandem, quam fexdecim ad quatuor, hoc
eſt
quam h K ad κ y:
& ſimiliter eandem habere demonſtra
bitur
trian-
90[Figure 90] gulum κ m g
ad
quatuor
triãgula
K δ
x
, x γ t, t β r,
r
z g.
quare
222. uel 121
quinti
.
totum trian
gulum
K g h
ad
omnia tri
angula
g z r,
r
β t, t γ x, x δ
_K_
, K δ y, y u,
u
s, s α h ita
erit
, ut h κ a d
k
y, hoc eſt
ut
h m ad m
q
.
Si igitur in
triangulis
a b c, d e f deſcribantur figuræ ſimiles ei, quæ de-
ſcripta
eſt in g h K triangulo:
& per lineas ſibi reſp onden-
tes
plana ducantur:
totum priſma a f diuiſum eritin tria
ſolida
parallelepipeda y γ, u β, s z, quorum baſes ſunt æ qua
les
&
ſimiles ipſis parallelogrammis y γ, u β, s z: & in octo
priſmata
g z r, r β t, t γ x, x δ K, κ δ y, y u, u s, s α h:
quorum
item
baſes æquales, &
ſimiles ſunt dictis triangulis; altitu-
do
autem in omnibus, totius priſmatis altitudini æ qualis.
13512DE CENTRO GRA VIT. SOLID. Itaque ſolidi parallelepipedi y γ centrum grauitatis eſt in
linea
δ:
ſolidi u β centrum eſt in linea ε η: & ſolidi s z in li
nea
η m, quæ quidem lineæ axes ſunt, cum planorum oppo
ſitorum
centra coniungant.
ergo magnitudinis ex his ſoli
dis
compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea δ m, quod ſit
θ
;
& iuncta θ o producatur: à puncto autem h ducatur h μ
ipſi
m κ æquidiſtans, quæ cum θ o in μ conueniat.
triangu
lum
igitur g h κ ad omnia triangula g z r, r β t, t γ x, x δ k,
κ
δ y, y u, u s, s α h eandem habet proportionem, quam h m
ad
m q;
hoc eſt, quam μ θ ad θ λ: nam ſi h m, μ θ produci in
telligantur
, quouſque coeant;
erit ob linearum q y, m k æ-
quidiſtantiam
, ut h q ad q m, ita μ λ ad ad λ θ:
& componen
do
, ut h m ad m q, ita μ θ ad θ λ.
linea uero θ o maior eſt,
quàm
θ λ:
habebit igitur μ θ ad θ λ maiorem proportio-
118. quinti. nem, quàm ad θ o.
quare triangulum etiam g h k ad omnia
iam
dicta triangula maiorem proportionẽ habebit, quàm
μ
θ ad θ o.
ſed ut triangulũ g h k ad omnia triangula, ita to-
priſma a f ad omnia priſmata g z r, r β t, t γ x, x δ k, k δ y,
y
u, u s, s α h:
quoniam enim ſolida parallelepipeda æque al
ta
, eandem inter ſe proportionem habent, quam baſes;
ut
ex
trigeſimaſecunda undecimi elementorum conſtat.
ſunt
2228. unde
cimi
autem ſolida parallelepipeda priſmatum triangulares ba-
ſes
habentium dupla:
ſequitur, ut etiam huiuſmodi priſ-
3315. quinti matainter ſe ſint, ſicut eorum baſes.
ergo totum priſma ad
omnia
priſmata maiorem proportionem habet, quam μ θ
ad
θ o:
& diuidendo ſolida parallelepipeda y γ, u β, s z ad o-
4419. quinti
apud

panum
.
mnia prifmata proportionem habent maiorem, quàm μ o
ad
o θ.
fiat @ o ad o θ, ut folida parallelepipeda y γ, u β, s z ad
omnia
priſmata.
Itaque cum à priſmate a f, cuius cẽtrum
grauitatis
eſt o, auferatur magnitudo ex ſolidis parallelepi
pedis
y γ, u β, s z conſtans:
atque ipfius grauitatis centrum
ſit
θ:
reliquæ magnitudinis, quæ ex omnibus priſmatibus
conſtat
, grauitatis centrum erit in linea θ o producta:
&
in
puncto ν, ex o ctaua propoſitione eiuſdem libri
136FED. COMMANDINI medis. ergo punctum v extra p riſima a f poſitum, centrũ
erit
magnitudinis cõpoſitæ e x omnibus priſmatibus g z r,
r
β t, t γ x, x δ k, k δ y, y u, u s, s α h, quod fieri nullo modo po
teſt
.
eſt enim ex diſſinitione centrum grauitatis ſolidæ figu
intra ipſam poſitum, non extra.
quare relinquitur, ut cẽ
trum
grauitatis priſmatis ſit in linea K m.
Rurſus b c bifa-
riam
in ξ diuidatur:
& ducta a ξ, per ipſam, & per lineam
a
g d plan um ducatur;
quod priſma ſecet: faciatq; in paral
lelogrammo
b f ſectionem ξ π di uidet punctum π lineam
quoque
c f bifariam:
& erit p lani eius, & trianguli g h K
communis
ſectio g u;
quòd p ũctum u in inedio lineæ h K
91[Figure 91] poſitum ſi t.
Similiter demonſtrabimus centrum grauita-
tis
priſm atis in ipſa g u ineſſe.
ſit autem planorum c f n l,
a
d π ξ communis ſectio linea ρ ο τ quæ quidem priſmatis
axis
erit, cum tranſeat per centra grauitatis triangulorum
a
b c, g h k, d e f, ex quartadecima eiuſdem.
ergo centrum
grauitatis
pri ſmatis a f eſt punctum σ, centrum
13713DE CENTRO GRAVIT. SOLID. trianguli g h K, & ipſius ρ τ axis medium.
Sit priſma a g, cuius oppoſita plana ſint quadrilatera
a
b c d, e f g h:
ſecenturq; a e, b f, c g, d h bifariam: & per di-
uiſiones
planum ducatur;
quod ſectionem faciat quadrila-
terum
_K_ l m n.
Deinde iuncta a c per lineas a c, a e ducatur
planum
ſecãs priſma, quod ipſum diuidet in duo priſmata
triangulares
baſes habentia a b c e f g, a d c e h g.
Sint autẽ
triangulorum
a b c, e f g gra-
92[Figure 92] uitatis centra o p:
& triangu-
lorum
a d c, e h g centra q r:
iunganturq; o p, q r; quæ pla-
no
_k_ l m n occurrant in pun-
ctis
s t.
erit ex iis, quæ demon
ſtrauimus
, punctum s grauita
tis
centrum trianguli k l m;
&
ipſius
priſmatis a b c e f g:
pun
ctum
uero t centrum grauita
tis
trianguli _K_ n m, &
priſma-
tis
a d c, e h g.
iunctis igitur
o
q, p r, s t, erit in linea o q cẽ
trum
grauitatis quadrilateri
a
b c d, quod ſit u:
& in linea
p
r cẽtrum quadrilateri e f g h
ſit
autem x.
deniqueiungatur
u
x, quæ ſecet lineam ſ t in y.
ſe
cabit
enim cum ſint in eodem
115. huius. plano:
atq; erit y grauitatis centrum quadril ateri _K_ lm n.
Dico idem punctum y centrum quoque gra uitatis eſſe to-
tius
priſmatis.
Quoniam enim quadri lateri k lm n graui-
tatis
centrum eſt y:
linea s y ad y t eandem proportionem
habebit
, quam triangulum k n m ad triangulum k lm, ex 8
Archimedis
de centro grauitatis planorum.
Vtautem triã
gulum
k n m ad ipſum k l m, hoc eſt ut triangulum a d c ad
triangulum
a b c, æqualia enim ſunt, ita priſina a d c e h
138FED. COMMANDINI ad priſma a b c e f g. quare linea s y ad y t eandem propor-
tionem
habet, quam priſma a d c e h g ad priſma a b c e f g.
Sed priſmatis a b c e f g centrum grauitatis eſts: & priſma-
tis
a d c e h g centrum t.
magnitudinis igitur ex his compo
ſitæ
, hoc eſt totius priſmatis a g centrum grauitatis eſt pun
ctum
y;
medium ſcilicet axis u x, qui oppoſitorum plano-
rum
centra coniungit.
Rurſus ſit priſma baſim habens pentagonum a b c d e:
& quod ei opponitur ſit f g h _K_ l: ſec enturq; a f, b g, c h,
d
_k_, el bifariam:
& per diuiſiones ducto plano, ſectio ſit pẽ
tagonũ
m n o p q.
deinde iuncta e b per lineas le, e b aliud
planum
ducatur, diuidẽs priſ
93[Figure 93] ma a k in duo priſmata, in priſ
ma
ſcilicet al, cuius plana op-
poſita
ſint triangula a b e f g l:
& in prima b _k_ cuius plana op
poſita
ſint quadrilatera b c d e
g
h _k_ l.
Sint autem triangulo-
rum
a b e, f g l centra grauita
tis
puncta r ſ:
& b c d e, g h _k_ l
quadrilaterorum
centra tu:

iunganturq
;
r s, t u o ccurren-
tes
plano m n o p q in punctis
x
y.
& itidem iungãtur r t, ſu,
x
y.
erit in linea r t cẽtrum gra
uitatis
pentagoni a b c d e;

quod
ſit z:
& in linea ſu cen-
trum
pentagoni f g h k l:
ſit au
tem
χ:
& ducatur z χ, quæ di-
cto
plano in χ occurrat.
Itaq;
punctum
x eſt centrum graui
tatis
trianguli m n q, ac priſ-
matis
al:
& y grauitatis centrum quadrilateri n o p q, ac
priſmatis
b k.
quare y centrum erit pentagoni m n o p q. &
13914DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ſimiliter demonſtrabitur totius priſmatis a _K_ grauitatis eſ
ſe
centrum.
Simili ratione & in aliis priſinatibus illud
idem
ſacile demonſtrabitur.
Quo autem pacto in omni
figura
rectilinea centrum grauitatis inueniatur, do cuimus
in
commentariis in ſextam propoſitionem Archimedis de
quadratura
parabolæ.
Sit cylindrus, uel cylindri portio c e cuius axis a b: ſece-
turq
, plano per axem ducto;
quod ſectionem faciat paral-
lelo
grammum c d e f:
& diuiſis c f, d e bifariam in punctis
94[Figure 94] g h, per ea ducatur planum baſi æquidiſtans.
erit ſectio g h
circulus
, uel ellipſis, centrum habens in axe;
quod ſit K: at-
114. huius. que erunt ex iis, quæ demonſtrauimus, centra grauitatis
planorum
oppoſitorum puncta a b:
& plani g h ipſum _k_. in
quo
quidem plano eſt centrum grauitatis cylindri, uel cy-
lindri
portionis.
Dico punctum K cylindri quoque, uel cy
lindri
portionis grauitatis centrum eſſe.
Si enim fieri po-
teſt
, ſitl centrum:
ducaturq; k l, & extra figuram in m pro-
ducatur
.
quam uero proportionem habet linea m K ad _k_
140FED. COMMANDINI habeat circulus, uel ellipſis g h ad aliud ſpacium, in quo u:
& in circulo, uel ellipſi plane deſcribatur rectilinea figura,
ita
ut tãdem relinquãtur portiones minores ſpacio u, quæ
ſit
o p g q r s h t:
deſcriptaq; ſimili figura in oppoſitis pla-
nis
c d, f e, per lineas ſibi ipſis reſpondentes plana ducãtur.

Itaque
cylindrus, uel cylindri portio diuiditur in priſma,
cuius
quidem baſis eſt figura rectilinea iam dicta, centrum
que
grauitatis punctum K:
& in multa ſolida, quæ pro baſi
bus
habent relictas portiones, quas nos ſolidas portiones
appellabimus
.
cum igitur portiones ſint minores ſpacio
u
, circulus, uel ellipſis g h ad portiones maiorem propor-
tionem
habebit, quàm linea m k ad K l.
fiat n k ad K l, ut
circulus
uel ellipſis g h ad ipſas portiones.
Sed ut circulus
uel
ellipſis g h ad figuram rectilineam in ipſa deſcri-
ptam
, ita eſt cylindrus uel cylindri portio c e ad priſma,
quod
rectilineam figuram pro baſi habet, &
altitudinem
æqualem
;
id, quod infra demonſtrabitur, ergo per conuer
ſionem
rationis, ut circulus, uel ellipſis g h ad portiones re
lictas
, ita cylindrus, uel cylindri portio c e ad ſolidas por-
tiones
, quare cylindrus uel cylindri portio ad ſolidas por-
tiones
eandem proportionem habet, quam linea n k a d _k_
&
diuidendo priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura ad ſo-
lidas
portiones eandem proportionem habet, quam n lad
1
_k_.
& quoniam a cylindro uel cylindri portione, cuius gra-
uitatis
centrum eſt l, aufertur priſma baſim habens rectili-
neam
figurã, cuius centrũ grauitatis eſt _K_:
reſiduæ magnitu
dinis
ex ſolidis portionibus cõpoſitæ grauitatis cẽtrũ erit
in
linea k l protracta, &
in puncto n; quod eſt abſurdū. relin
quitur
ergo, ut cẽtrum grauitatis cylindri;
uel cylin dri por
tionis
ſit punctũ k.
quæ omnia demonſtrãda propoſuimus.
At uero cylindrum, uel cylindri portionẽ ce
ad
priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura in ſpa-
cio
g h deſcripta, &
altitudo æqualis; eandem
14115DE CENTRO GRAVIT. SOLID. bere proportionem, quam ſpacium g h ad dictã
figuram
, hoc modo demonſtrabimus.
Intelligatur circulus, uel ellipſis x æqualis figuræ rectili-
neæ
in g h ſpacio deſcriptæ:
& ab x conſtituatur conus, uel
95[Figure 95] coni portio, altitudinẽ habens eandẽ, quã cylindrus uel cy
lindri
portio c e.
Sit deinde rectilinea figura, in quay eade,
quæ
in ſpacio g h deſcripta eſt:
& ab hac pyramis æquealta
conſtituatur
.
Dico conũ uel coni portionẽ x pyramidiy æ-
qualẽ
eſſe.
niſi enim ſit æqualis, uel maior, uel minor erit.
Sit primum maior, et exuperet ſolido z. Itaque in circu
lo
, uel ellipſi x deſcribatur figura rectilinea;
& in ea pyra-
mis
eandem, quam conus, uel coni portio altitudinem ha-
bens
, ita ut portiones relictæ minores ſint ſolido z, quem-
admodum
docetur in duodecimo libro elementorum pro
poſitione
undecima.
erit pyramis x adhuc pyramide y ma
ior
.
& quoniam piramides æque altæ inter ſe ſunt, ſicuti ba
116. duode-
cimi
.
ſes;
pyramis x ad piramidem y eandem proportionem ha-
bet
, quàm figura rectilinea x ad figuram y.
Sed ſigura
142FED. COMMANDINI96[Figure 96] linea x cum ſit minor circulo, uel ellipſi, eſt etiam minor fi-
gura
rectilinea y.
ergo pyramis x pyramide y minor erit.
Sed & maior; quod fieri poteſt. At ſi conus, uel coni por
tio
x ponatur minor pyramide y:
ſit alter conus æque al-
tus
, uel altera coni portio χ ipſi pyramidi y æqualis.
erit
eius
baſis circulus, uel ellipſis maior circulo, uel ellipſi x,
quorum
exceſſus ſit ſpacium ω.
Siigitur in circulo, uel elli-
pſi
χ figura rectilinea deſcribatur, ita ut portiones relictæ
ſint
ω ſpacio minores, eiuſinodi figura adhuc maior erit cir
culo
, uel ellipſi x, hoc eſt figura rectilinea _y_.
& p_y_ramis in
ea
conſtituta minor cono, uel coni portione χ, hoc eſt mi-
nor
p_y_ramide_y_.
eſt ergo ut χ figura rectilinea ad figuram
rectilineam
_y_, ita pyramis χ ad pyramidem _y_.
quare cum
figura
rectilinea χ ſit maior figura_y_:
erit & p_y_ramis χ p_y_-
ramide_y_
maior.
ſed erat minor; quod rurſus fieri non po-
teſt
.
non eſt igitur conus, uel coni portio x neque maior,
neque
minor p_y_ramide_y_.
ergo ipſi neceſſario eſt æqualis.
Itaque
quoniam ut conus ad conum, uel coni portio ad
14315DE CENTRO GRAVIT. SOLID.97[Figure 97] ni portionem, ita eſt c_y_lindrus ad c_y_lindrum, uel c_y_lin-
dri
portio ad c_y_lindri portionem:
& ut p_y_ramis ad p_y_ra-
midem
, ita priſma ad priſma, cum eadem ſit baſis, &
æqua
lis
altitudo;
erit c_y_lindrus uel c_y_lindri portio x priſma-
ti
_y_ æqualis.
eftq; ut ſpacium g h ad ſpacium x, ita c_y_lin-
drus
, uel c_y_lindri portio c e ad c_y_lindrum, uel c_y_lindri por-
tionem
x.
Conſtatigitur c_y_lindrum uel c_y_lindri portionẽ
c
e, ad priſina_y_, quippe cuius baſis eſt figura rectilinea in
117. quinti ſpacio g h deſcripta, eandem proportionem habere, quam
ſpacium
g h habet ad ſpacium x, hoc eſt ad dictam figuram.
quod demonſtrandum fuerat.
THE OREMA IX. PROPOSITIO IX.
Si pyramis ſecetur plano baſi æquidiſtante; ſe-
ctio
erit figura ſimilis ei, quæ eſt baſis, centrum
grauitatis
in axe habens.
14416FED. COMMANDINI
SIT pyramis, cuius baſis triangulum a b c; axis d e: &
ſecetur
plano baſi æquidiſtante;
quod ſectionẽ faciat f g h;
occurratq; axi in puncto k. Dico f g h triangulum eſſe, ipſi
a
b c ſimile;
cuius grauitatis centrum eſt K. Quoniã enim
1116. unde
cimi
duo plana æquidiſtantia a b c, f g h ſecantur à plano a b d;
communes eorum ſectiones a b, f g æquidiſtantes erunt: &
eadem
ratione æquidiſtantes ipſæ b c, g h:
& c a, h f. Quòd
cum
duæ lineæ f g, g h, duabus a b, b c æquidiſtent, nec
ſintin
eodem plano;
angulus ad g æqualis eſt angulo ad
2210. undeci
mi
.
b:
& ſimiliter angulus ad h angulo ad c: angulusq; ad f ei,
qui
ad a eſt æqualis.
triangulum igitur f g h ſimile eſt tri-
angulo
a b c.
At uero punctum k centrum eſſe grauita-
tis
trianguli f g h hoc modo oſtendemus.
Ducantur pla-
na
per axem, &
per lineas d a, d b, d c: erunt communes ſe-
3316. unde-
cimi
ctiones f K, a e æquidiſtantes:
pariterq; k g, e b; & k h, e c:
quare angulus k f h angulo e a c; & angulus k f g ipſi e a b
4410. unde-
cimi
eſt æqualis.
Eadem ratione
98[Figure 98] anguli ad g angulis ad b:
&
anguli
ad h iis, qui ad c æ-
quales
erunt.
ergo puncta
e
_K_ in triangulis a b c, f g h
ſimiliter
ſunt poſita, per ſe-
xtam
poſitionem Archime-
dis
in libro de centro graui-
tatis
planorum.
Sed cum e
ſit
centrum grauitatis trian
guli
a b c, erit ex undecíma
propoſitione
eiuſdem libri,
&
K trianguli f g h grauita
tis
centrum.
id quod demonſtrare oportebat. Non aliter
in
ceteris pyramidibus, quod propoſitum eſt demonſtra-
bitur
.
14517DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
PROBLEMA I. PROPOSITIO X.
Data qualibet pyramide, fieri poteſt, ut fi-
gura
ſolida in ipſa in ſcribatur, &
altera circũſcri-
batur
ex priſmatibus æqualem aItitudinem ha-
bẽtibus
, ita ut cir cumſcripta inſcriptam excedat
magnitudine
, quæ minor ſit quacũque ſolida ma
gnitudine
propoſita.
99[Figure 99]
Sit pyramis, cuius baſis
triangulũ
a b c;
axis d e.
Sitq; priſma, quod eandẽ
baſim
habeat, &
axem eun
dem
.
Itaque hoc priſma-
te
continenter ſecto bifa-
riam
, plano baſi æquidiftã
te
, relinquetur tãdem priſ
ma
quoddam minus pro-
poſita
magnitudine:
quod
quidem
baſim eandem ha
beat
, quam pyramis, &
a-
xem
e f.
diuidatur d e in
partes
æquales ipſi e f in
punctis
g h k l m n:
& per
diuiſiones
plana ducãtur:

quæ
baſibus æquidiſtent,
erunt
ſectiones, triangula
ipſi
a b c ſimilia, ut proxi-
me
oſtendimus.
ab uno
quoque
autẽ horum trian
gulorum
duo priſmata
ſtruantur
;
unum quidem
ad
partes e;
alterum
146FED. COMMANDINI partes d. in pyramide igitur inſcripta erit quædam figura,
ex
priſinatibus æqualem altitudinem habentibus cóſtans,
ad
partes e:
& altera circumſcripta ad partes d. Sed unum-
quodque
eorum priſmatum, quæ in figura inſcripta conti-
nentur
, æquale eſt priſmati, quod ab eodem fit triangulo in
figura
circumſcripta:
nam priſma p q priſmati p o eſt æ-
quale
;
priſma s t æquale priſmati s r; priſma x y priſmati
x
u;
priſma η θ priſinati η z; priſina μ ν priſmati μ λ; priſ-
ma
ρ σ priſmati ρ π;
& priſma φ χ priſinati φ τ æquale. re-
linquitur
ergo, ut circumſcripta figura exuperet inſcriptã
priſmate
, quod baſim habet a b c triangulum, &
axem e f.
Illud uero minus eſt ſolida magnitudine propoſita. Eadȩ
ratione
inſcribetur, &
circumſcribetur ſolida figura in py-
ramide
, quæ quadrilateram, uel plurilaterã baſim habeat.
PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.
Dato cono, fieri poteſt, ut figura ſolida in-
ſcribatur
, &
altera circumſcribatur ex cylindris
æqualem
habentibus altitudinem, ita ut circum-
ſcripta
ſuperet inſcriptam, magnitudine, quæ ſo-
lida
magnitudine propoſita ſit minor.
SIT conus, cuius axis b d: & ſecetur plano per axem
ducto
, ut ſectio ſit triangulum a b c:
intelligaturq; cylin-
drus
, qui baſim eandem, &
eundem axem habeat. Hoc igi-
tur
cylindro continenter bifariam ſecto, relinquetur cylin
drus
minor ſolida magnitudine propoſita.
Sit autem is cy
lindrus
, qui baſim habet circulum circa diametrum a c, &

axem
d e.
Itaque diuidatur b d in partes æquales ipſi d e
in
punctis f g h _K_lm:
& per ea ducantur plana conum ſe-
cantia
;
quæ baſi æquidiſtent. erunt ſectiones circuli, cen-
tra
in axi habentes, ut in primo libro conicorum,
14718DE CENTRO GRAVIT. SOLID. tione quarta Apollonius demonſtrauit. Si igitur à ſingu-
lis
horum circulorum, duo cylindri fiant;
unus quidem ad
baſis
partes;
alter ad partes uerticis: inſcripta erit in co-
no
ſolida quædam figura, &
altera circumſcripta ex cylin-
dris
æqualem altitudinem habentibus conſtans;
quorum
unuſquiſque
, qui in
100[Figure 100] figura inſcripta con-
tinetur
æqualis eſt ei,
qui
ab eodem fit cir-
culo
in figura circũ-
ſcripta
.
Itaque cylin
drus
o p æqualis eſt
cylindro
o n;
cylin-
drus
r s cylĩdro r q;
cylindrus u x cylin-
dro
u t cſt æqualis;

&
alii aliis ſimiliter.
quare
conſtat circũ-
ſcriptam
figuram ſu-
perare
inſcriptam cy
lindro
, cuius baſis eſt
circulus
circa diametrum a c, &
axis d e. atque hic eſtmi-
nor
ſolida magnitudine propoſita.
PROBLEMA III. PROPOSITIO XII.
Data coni portione, poteſt ſolida quædam
figura
inſcribi, &
altera circumſcribi ex cylindri
portionibus
æqualem altitudinem habentibus;
ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet, magni
tudine
, quæ minor ſit ſolida magnitudine pro-
poſita
.
148FED. COMMANDINI
Figuram ciuſmodi, & inſcribemus, & circũſcribemus, ita
ut
in cono dictum eſt.
101[Figure 101]
PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII.
Data ſphæræ portione, quæ dimidia ſphæ-
ra
maior non ſit, poteſt ſolida quædam portio in-
ſcribi
&
altera circumſcribi ex cylindris æqualem
altitudinem
habentibus, ita ut circumſcripta in-
ſcriptam
excedat magnitudine, quæ ſolida ma-
gnitudine
propoſita ſit minor.
HOC etiam eodem prorſus modo fiet: atque ut ab
Archimede
traditum eſt in conoidum, &
ſphæroidum por
tionibus
, propofitione uigeſimaprima libri de conoidi-
bus
, &
ſphæroidibus.
14919DE CENTRO GRAVIT. SOLID. 102[Figure 102]
THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII.
Cuiuslibet pyramidis, & cuiuslibet coni, uel
coni
portionis, centrum grauitatis in axe cõſiſtit.
SIT pyramis, cuius baſis triangulum a b c: & axis d e.
Dico in linea d e ipſius grauitatis centrum ineſſe. Si enim
fieri
poteſt, ſit centrum f:
& ab f ducatur ad baſim pyrami
dis
linea f g, axi æquidiſtans:
iunctaq; e g ad latera trian-
guli
a b c producatur in h.
quam uero proportionem ha-
bet
linea h e ad e g, habeat pyramis ad aliud ſolidum, in
quo
K:
inſcribaturq; in pyramide ſolida figura, & altera cir
cumſcribatur
ex priſmatibus æqualem habentibus altitu-
dinem
, ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet magnitu-
dine
, quæ ſolido _k_ ſit minor.
Et quoniam in pyramide pla
num
baſi æquidiſtans ductum ſectionem facit figuram ſi-
milem
ei, quæ eſt baſis;
centrumq; grauitatis in axe haben
tem
:
erit priſmatis s t grauitatis centrũ in linear q; priſ-
matis
u x centrum in linea q p;
priſmatis y z in linea p o;
priſmatis
η θ in l_i_nea o n;
priſmatis λ μ in linea n m; priſ-
matis
ν π in m l;
& denique priſmatis ρ σ in l e. quare
150FED. COMMANDINI tius figuræ inſcriptæ centrum grauitatis eſt in linea r e:
quod ſit τ: iũ-
103[Figure 103] ctaque τ f, &

producta
, à
puncto
h du-
catur
linea a-
xi
pyramidis
æquidiſtans
,
quæ
linea
τ
f conueniat
in
φ.
habebit
φ
τ ad τ f ean-
dem
propor-
tionem
, quã
h
e ad e g.
Quoniam igi
tur
exceſſus,
quo
circũſcri
pta
figura in-
ſcriptam
ſupe
rat
, minor eſt
ſolido
K;
py-
ramis
ad eun-
dẽ
exceſsũ ma
ioré
propor-
tionȩ
habet,
quàm
ad _K_ ſo
lidum
:
uideli
cet
maiorem,
quàm
linea h
e
ad e g;
hoc
eſt
quam φ τ
ad
τ f:
& propterea multo maiorem habet ad partem ex-
ceſſus
, quæ intra pyramidem comprehenditur.
Itaque
15120DE CENTRO GRAVIT. SOLID. beat eam, quam χ τ ad τ f. erit diuidendo ut χ f ad f τ, ita fi
gura
ſolida inſcripta ad partem exceſſus, quæ eſtintra pyra
midem
.
Cum ergo à pyramide, cuius grauitatis cẽtrum eſt
punctum
f, ſolida figura inſcripta auferatur, cuius centrũ
τ
:
reliquæ magnitudinis conſtantis ex parte exceſſus, quæ
eſtintra
pyramidem, centrum grauitatis erit in linea τ f
producta
, &
in puncto χ. quod fieri non poteſt. Sequitur
igitur
, ut centrum grauitatis pyramidis in linea d e;
hoc
eſt
in eius axe conſiſtat.
Sit conus, uel coni portio, cuius axis b d: & ſecetur plano
per
axem, ut ſectio ſit triangulum a b c.
Dico centrum gra
uitatis
ipſius eſſe in linea b d.
Sit enim, ſi fieri poteſt, centrũ
104[Figure 104] e:
perq; e ducatur e f axi æquidiſtans: & quam propor-
tionem
habet c d ad d f, habeat conus, uel coni portio ad
ſolidum
g.
inſcribatur ergo in cono, uel coni portione
152FED. COMMANDINI da figura, & altera circumſcribatur ex cylindris, uel cylin-
dri
portionibus, ſicuti dictum eſt, ita ut exceſſus, quo figu-
ra
circumſcripta inſcriptam ſuperat, ſit ſolido g minor.
Itaque centrum grauitatis cylindri, uel cylindri portionis
q
r eſt in linea p o;
cylindri, uel cylindri portionis st cen-
trum
in linea on;
centrum u x in linea n m; y z in m b; η @
in
1k;
λ μ in K h; & denique ν π centrum in h d. ergo figu-
105[Figure 105] inſcriptæ centrum eſt in linea p d.
Sitautem ρ: & iun-
cta
ρ e protendatur, ut cum linea, quæ à pũctoc ducta fue-
rit
axi æquidiſtans, conueniat in σ.
erit σ ζ ad ρ e, ut c d
ad
d f:
& conus, ſeu coni portio ad exceſſum, quo circum-
ſcripta
figura inſcriptam ſuperat, habebit maiorem pro-
portionem
, quàm σ ζ ad ρ e.
ergo ad partem exceſſus, quæ
intra
ipſius ſuperficiem comprehenditur, multo maiorem
proportionem
habebit.
habeat eam, quam τ ρ ad ρ e.
15321DE CENTRO GRAVIT. SOLID. diuidendo figura ſolida inſcripta ad dictam exceſſus par-
tem
, ut τ e ad e ρ.
& quoniam à cono, ſeu coni portione,
cuius
grauitatis centrum eſt e, aufertur figura inſcripta,
cuius
centrum ρ:
reſiduæ magnitudinis compoſitæ ex par
te
exceſſus, quæ intra coni, uel coni portionis ſuperficiem
continetur
, centrum grauitatis erit in linea ζ e protracta,
atque
in puncto τ.
quod eſt abſurdum. cõſtat ergo centrũ
grauitatis
coni, uel coni portionis, eſſe in axe b d:
quod de
monſcrandum
propoſuimus.
THE OREMA XI. PROPOSITIO XV.
Cuiuslibet portionis ſphæræ uel ſphæroidis,
quæ
dimidia maior non ſit:
itemq́; cuiuslibet por
tionis
conoidis, uel abſciſſæ plano ad axem recto,
uel
non recto, centrum grauitatis in axe con-
ſiſtit
.
Demonſtratio ſimilis erit ei, quam ſupra in cono, uel co
ni
portione attulimus, ne toties eadem fruſtra iterentur.
106[Figure 106]
154FED. COMMANDINI
THE OREMA XII. PROPOSITIO XVI.
In ſphæra, & ſphæroide idem eſt grauitatis, &
figuræ
centrum.
Secetur ſphæra, uel ſphæroidno per axem ducto;
quod ſectionem faciat circulum, ellipſim a b c d, cuius
diameter
, &
ſphæræ, uelſphæroidis axis d b; & centrume.
Dico
e grauitatis etiam centrum eſſe.
ſecetur enim altero
plano
per e, ad planum ſecans recto, cuius fectio ſit circu-
lus
circa diametrum a c.
erunt a d c, a b c dimidiæ portio-
nes
ſphæræ, uel fphæroidis.
& quoniam portionis a d c gra
uitatis
centrum eſt in linea d, &
centrum portionis a b c in
ipſa
b e;
totius ſphæræ, uel ſphæroidis grauitatis centrum
in
axe d b conſiſtet.
Quòd ſi portionis a d c centrum graui
tatis
ponatur eſſe f.
& fiat ipſi f e æqualis e g: punctũ g por
107[Figure 107] tionis a b c centrum erit.
ſolidis enim figuris ſimilibus &
11per 2. pe-
titionem
æqualibus inter ſe aptatis, &
centra grauitatis ipſarum in-
ter
fe aptentur neceſſe eſt.
ex quo fit, ut magnitudinis, quæ
224 Arch-
medis
.
ex utriſque cõſtat, hoc eſt ipſius ſphæræ, uel ſphæroidis gra
uitatis
centrum ſitin medio lineæ f g, uidelicet in e.
Sphæ-
igitur, uel ſphæroidis grauitatis centrum eſtidem, quod
centrum
figuræ.
15522DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
Ex demonſtratis perſpicue apparet, portioni
ſphæræ
uel ſphæroidis, quæ dimidia maior eſt, cẽ
trum
grauitatis in axe conſiſtere.
Data enim
108[Figure 108] qualibet maio
ri
portiõe, quo
niã
totius ſphæ
, uel ſphæroi
dis
grauitatis
centrum
eſt in
axe
;
eſt autem
&
in axe cen-
trum
portio-
nis
minoris:
reliquæ portionis uidelicet maioris centrum in axe neceſ-
ſario
conſiſtet.
THE OREMA XIII. PROPOSITIO XVII.
Cuiuslibet pyramidis triã
109[Figure 109] gularem baſim habẽtis gra
uitatis
centrum eſt in pun-
cto
, in quo ipſius axes con-
ueniunt
.
Sit pyramis, cuius baſis trian
gulum
a b c, axis d e:
ſitq; trian
guli
b d c grauitatis centrum f:
& iungatur a f. erit & a faxis eiuſ
dem
pyramidis ex tertia diffini-
tione
huius.
Itaque quoniam centrum grauitatis eſt in
axe
d e;
eſt autem & in axe a f; quod proxime
156FED. COMMANDINI mus: erit utique grauitatis centrum pyramidis punctum
g
:
in quo ſcilicet ipſi axes conueniunt.
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.
Si ſolidum parallelepipedum ſecetur plano
baſibus
æquidiſtante;
erit ſolidum ad ſolidum,
ſicut
altitudo ad altitudinem, uel ſicut axisad
axem
.
Sit ſolidum parallelepipe
110[Figure 110] dum a b c d e f g h, cuius axis
k
1:
ſeceturq; plano baſibus
æquidiſtante
, quod faciat
fectionem
m n o p;
& axi in
puncto
q occurrat.
Dico
ſolidum
g m ad ſolidum m c
eam
proportionem habere,
quam
altitudo ſolidi g m ha-
betad
ſolidi m c altitudi-
nem
;
uel quam axis k q ad
axem
q l.
Sienim axis K l ad
baſis
planum ſit perpendicu
laris
, &
linea g c, quæ ex quin
ta
huius ipſi k l æquidiſtat,
perpendicularis
erit ad idẽ
planum
, &
ſolidi altitudi-
nem
dimetietur.
Itaqueſo-
112. undeci
mi
.
lidum g m ad ſolidum m c
eam
proportionem habet,
quam
parallelogrammũ g n
ad
parallelogrammum n c,
hoc
eſt quam linea g o, quæ
22i. ſexti.
15723DE CENTRO GRAVIT. SOLID. eſtſolidi g m altitudo ad o e altitudinem ſolidi m c, uel quã
axis
k q ad q l axem.
Si uero axis k l non ſit perpendicularis
ad
planum baſis;
ducatur a puncto k ad idem planum per
pendicularis
k r, occurrẽs plano m n o p in s.
ſimiliter de-
mõſtrabimus
ſolidum g m ad ſoli m c ita eſſe, ut axis k q
ad
axem q l.
Sed ut K q ad q l, ita k s altitudo ad altitudi-
nem
s r, nam lineæ K l, K r à planis æquidiſtantibus in eaſ-
1117. unde-
cimi
dem proportiones ſecantur.
ergo ſolidum g m ad ſolidum
m
c eandẽ proportionem habet, quam altitudo ad altitu
dinẽ
, uel quam axis ad axem.
quod demõſtrare oportebat.
THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.
Solida parallelepipedain eadem baſi, uel in
æqualibus
baſibus conſtituta eam inter ſe propor
tionem
habent, quam altitudines:
& ſi axes ipſo-
rum
cum baſibus æquales angulos contineant,
eam
quoque, quam axes proportionem habebũt.
Sint ſolida parallelepipeda in eadẽ baſi cõſtituta a b c d,
a
b e f:
& ſit ſolidi a b c d altitudo minor: producatur au-
tem
planum c d adeo, utſolidum a b e f ſecet;
cuius ſectio
ſit
g h.
erũſoli
111[Figure 111]2229. unde-
cimi
da a b c d, a b g h
in
eadem baſi,
&
æquali altitu
dine
inter ſe æ-
qualia
.
Quoniã
igitur
ſolidum
a
b e f ſecatur
plano
baſibus
æquidiſtãte
, erit
ſolidum
g h e f
3318. huius adipſum a b g
158FED. COMMANDINI ut altitudo ad altitudinem & componendo conuertendo
que
ſolidum a b g h, hoc eſt ſolidum a b c d ipſi æquale, ad
117. quinti. ſolidum a b e f, ut altitudo ſolidi a b c d ad ſolidi a b e f al-
titudinem
.
Sint ſolida parallelepipeda a b, c d in æqualibus baſibus
conſtituta
:
ſitq; b e altitudo ſolidi a b: & ſolidi c d altitudo
d
f;
quæ quidem maior ſit, quàm b e. Dico ſolidum a b ad
ſolidum
c d eandem habere proportionem, quam be ad
d
f.
abſcindatur enim à linea d f æqualis ipſi b e, quæ ſit g f:
& per g ducatur planum ſecans ſolidum c d; quod baſibus
æquidiſtet
, faciatq;
ſectionẽ h K. erunt ſolida a b, c k æque
2231. unde
cimi
alta inter
112[Figure 112] ſe æqualia
æqua-
les
baſes
habeant
.
Sed ſolidũ
3318. huius h d ad ſoli
dum
c _K_
eſt
, ut alti
tudo
d g
ad
g f alti-
tudinẽ
ſe
catur
enim ſolidum c d plano baſi
113[Figure 113] bus æquidiſtante:
& rurſus cõpo-
nendo
, conuertendoq;
ſolidũ c _k_
ad
ſolidum c d, ut g f ad fd.
ergo
447. quinti. ſolidum a b, quod eſt æquale ipſi
c
k ad ſolidum c d eam proportio
nem
habet, quam altitudo g f, hoc
eſt
b e ad d f altitudinem.
Sint deinde ſolida parallelepipe
da
a b, a c in eadem baſi;
quorum
axes
d e, ſ e cum ipſa æquales
15924DE CENTRO GRAVIT. SOLID. los contineant. Dico ſolidum a b ad ſolidum a c eãdem ha
bere
proportionem, quam axis d e ad axem e f.
Sienim
axes
in eadem recta linea fuerint conſtituti, hæc duo ſoli-
da
, in unum, atque i @m ſolidum conuenient.
quare ex
iis
, quæ proxime tradita ſunt, habebit ſolidum a b ad ſo-
lidum
a c eandem proportionem, quam axis d e ad e f
axem
.
Siuero axes non ſint in eadem recta linea, demittan
tur
a punctis d, f perpendiculares ad baſis planum, d g, fh:
& iungantur e g, e h. Quoniam igitur axes cum baſibus
æquales
angulos eontinent, erit d e g angulus æqualis an-
gulo
f e h:
& ſunt
114[Figure 114] anguli ad g h re-
cti
, quare &
re-
liquus
e d g æqua
lis
erit reliquo
e
fh:
& triangu-
lum
d e g triãgu-
lo
f e h ſimile.
er-
go
g d ad d e eſt,
ut
h f ad f e:
& per
mutando
g d ad
h
f, ut d e ad e f.
Sed ſolidum a b
ad
ſolidum a c
eandem
propor-
tionem
habet,
quam
d g altitu-
do
ad altitudinẽ
f
h.
ergo & ean-
dẽ
habebit, quã
axis
d e a l e f axẽ
Poſtremo ſint
ſolida
parallelepi
peda
a b, c d
160FED. COMMANDINI æqualibus baſibus, quorum axes cum baſibus æquales an
gulos
faciant.
Dico ſolidum a b adſolidũ c d ita eſſe, ut axis
e
f ad axem g h:
nam ſi axes ad planum baſis recti ſint, il-
lud
perſpicue conſtat:
quoniam eadem linea, & axem & ſoli
di
altitudinem determinabit.
Si uero ſintinclinati, à pun-
ctis
e g ad ſubiectum planum perpendiculares ducantur
e
k, g l:
& iungantur f_k_, h l. rurſus quoniam axes cum ba
ſibus
æquales faciunt angulos, eodem modo demonſtrabi
tur
, triangulum e f K triangulo g h l ſimile eſſe:
& e k ad g l,
ut
e f ad g h.
Solidum autem a b ad ſolidum c d eſt, ut
e
K ad g l.
ergo & ut axis e f ad axem g h. quæ omnia de
monſtrare
oportebat.
Ex iis quæ demonſtrata ſunt, facile conſtare
poteſt
, priſmata omnia &
pyramides, quæ trian-
gulares
baſes habent, ſiue in eiſdem, ſiue in æqua
libus
baſibus conſtituantur, eandem proportio-
1115. quinti nem habere, quam altitudines:
& ſi axes cum ba
ſibus
æquales angulos contineant, ſimiliter ean-
dem
, quam axes, habere proportionem:
ſunt
2228. unde-
cimi
.
enim ſolida parallelepipeda priſmatum triangula
res
baſes habentiũ dupla;
& pyramidum ſextupla.
337. duode-
cimi
.
THE OREMA XVI. PROPOSITIO XX.
Priſmata omnia & pyramides, quæ in eiſdem,
uel
æqualibus baſibus conſtituuntur, eam inter
ſe
proportionem habent, quam altitudines:
& ſi
axes
cum baſibus faciant angulos æquales, eam
etiam
, quam axes habent proportionem.
16125DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
Sint duo priſmata a e, a f, quorum eadem baſis quadri-
latera
a b c d:
ſitq; priſmatis a e altitudo e g; & priſmatis
a
f altitudo f h.
Dico priſma a e ad priſma a f eam habere
proportionem
, quam e g ad f h.
iungatur enim a c: & in
unoquoque
priſmate duo priſmata intelligantur, quorum
baſes
ſint triangu
115[Figure 115] la a b c, a c d.
habe
bunt
duo priſma-
te
in eadem baſi
a
b c conſtituta,
proportionem

dem
, quam ipſo-
rum
altitudines e
g
, f h, exiam de-
monſtratis
.
& ſi-
militer
alia duo,
quæ
ſunt in baſi a
c
d.
quare totum priſma a e ad priſma a f eandem propor
1112. quinti tionem habebit, quam altitudo e g ad f h altitudinem.
Quòd cum priſmata ſint pyramidum tripla, & ipſæ pyrami
des
, quarum eadem eſt baſis quadrilatera, &
altitudo priſ-
matum
altitudini æqualis, eam inter ſe proportionem ha-
bebunt
, quam altitudines.
Si uero priſmata baſes æquales habeant, eaſdem, ſint
duo
eiuſmodi priſmata a e, f l:
& ſit baſis priſmatis a e qua
drilaterum
a b c d;
& priſmatis f l quadrilaterum f g h k.
Dico priſma a e ad priſma f l ita eſſe, ut altitudo illius ad
huius
altitudinem.
nam ſi altitudo ſit eadem, intelligãtur
duæ
pyramides a b c d e, f g h k l.
quæ ĩter ſe æquales erũt,
226. duode
cimi
cum æ quales baſes, &
altitudinem eandem habeant. quare
&
priſmata a e, f l, quæ ſunt harù pyramidum tripla, æqua-
3315. quintĩ lia ſint neceſſe eſt.
ex quibus perſpicue conſtat propoſitũ.
Si uero altitudo priſmatis f l ſit maior, à priſmate f l ab-
ſcindatur
priſma fm, quod æque altum ſit, atq;
ipſum a e.
162FED. COMMANDINI erunteadem ra-
116[Figure 116] tione priſmata a
e
, f m inter ſe æ-
qualia
.
quare ſi-
militer
demon-
ſtrabitur
priſma
f
m ad priſma f l
eandem
habere
proportionem
,
quam
priſmatis
f
m altitudo ad
altitudinem
ip-
ſius
f l.
ergo & priſma a e ad priſma f l eandem propor-
tionem
habebit, quam altitudo ad altitudinem.
ſequitur
igitur
ut &
pyramides, quæ in æqualibus baſibus conſtituũ
tur
, eandem inter ſe ſe, quam altitudines, proportionem
habeant
.
117[Figure 117]
Sint deinde priſmata a e, a f in eadem baſi a b c d; quorũ
axes
cum baſibus æ quales angulos contineant:
& ſit
16326DE CENTRO GRAVIT. SOLID. matis a e axis g h; & priſmatis a f axis l h. Dico priſma
a
e ad priſma a f eam proportionem habere, quam g h ad
h
l.
ducantur à punctis g l perpendiculares ad baſis pla-
num
g K, l m:
& iungantur k h,
118[Figure 118] h m.
Itaque quoniam anguli g h
k
, l h m ſunt æquales, ſimiliter ut
ſupra
demonſtrabimus, triangu-
la
g h K, l h m ſimilia eſſe;
& ut g
K
adlm, ita g h ad h l.
habet au
tem
priſma a e ad priſma a f ean
dem
proportionem, quam altitu
do
g k ad altitudinem l m, ſicuti
demonſtratum
eſt.
ergo & ean-
dem
habebit, quam g h, ad h l.
py
ramis
igitur a b c d g ad pyrami-
dem
a b c d l eandem proportio-
nem
habebit, quam axis g h ad h l axem.
119[Figure 119]
Denique ſint priſmata a e, k o in æqualibus baſibus a b
c
d, k l m n conſtituta;
quorum axes cum baſibus æquales
faciant
angulos:
ſitq; priſmatis a e axis f g, & altitudo f h:
priſmatis autem k o axis p q, & altitudo p r. Dico priſma
a
e ad priſma k o ita eſſe, ut f g ad p q.
iunctis enim g
164FED. COMMANDINI qr, eodem, quo ſupra, modo oſtendemns f g ad p q, ut f h
ad
p r.
ſed priſma a e ad ipſum k o eſt, ut f h ad p r. ergo
&
ut f g axis ad axem p q. ex quibus fit, ut pyramis a b c d f
ad
pyrami-
120[Figure 120] dẽ k l m n p
eandem-ha

beat
pro-
portionẽ
,
quãaxis
ad
axẽ
.
quod
demonſtrã

fuerat.
Simili ra
tione
in a-
liis
priſma-
tibus
&
py
ramidibus
eadem demonſtrabuntur.
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI.
Priſmata omnia, & pyramides inter ſe propor
tionem
habent compoſitam ex proportione ba-
ſium
, &
proportione altitudinum.
Sint duo priſmata a e, g m: ſitq; priſmatis a e baſis qua
drilaterum
a b c d, &
altitudo e f: priſmatis uero g m ba-
fis
quadrilaterum g h K l, &
altitudo m n. Dico priſma a e
ad
priſma g m proportionem habere compoſitam ex pro
portione
baſis a b c d ad baſim g h k l, &
ex proportione
altitudinis
e f, ad altitudinem m n.
Sint enim primum e f, m n æquales: & ut baſis a b c d
ad
baſim g h k l, ita fiat linea, in qua o ad lineam, in qua p:
ut autem e f ad m n, ita linea p ad lineam q. erunt lineæ
p
q inter ſe æquales.
Itaque priſma a e ad priſma g m
16527DE CENTRO GRAVIT. SOLID. proportionem habet, quam baſis a b c d ad baſim g h k l:
ſi enim intelligantur duæ pyramides a b c d e, g h k l m, ha-
bebunt
inter ſe proportionem eandem, quam ipſarum
baſes
ex ſexta duodecimi elementorum.
Sed ut baſis a b c d
ad
g h K l baſim, ita linea o ad lineam p;
hoc eſt ad lineam q
ei
æqualem.
ergo priſma a e ad priſma g m eſt, ut linea o
ad
lineam q.
proportio autem o ad q cõpoſita eſt ex pro-
portione
o ad p, &
ex proportione p ad q. quare priſma
a
e ad priſma g m, &
idcirco pyramis a b c d e, ad pyrami-
dem
g h K l m proportionem habet ex eiſdem proportio-
nibus
compoſitam, uidelicet ex proportione baſis a b c d
ad
baſim g h _K_ l, &
ex proportione altitudinis e f ad m n al
titudinem
.
Quòd ſi lineæ e f, m n inæquales ponantur, ſit
e
f minor:
& ut e f ad m n, ita fiat linea p ad lineam u: de
121[Figure 121] inde ab ipſa m n abſcindatur r n æqualis e f:
& per r duca-
tur
planum, quod oppoſitis planis æquidiſtans faciat ſe-
ctionem
s t.
erit priſma a e, ad priſma g t, ut baſis a b c d
ad
baſim g h k l;
hoc eſt ut o ad p: ut autem priſma g t ad
priſma
g m, ita altitudo r n;
hoc eſt e f ad altitudinẽ m n;
1120. huius uidelicet linea p ad lineam u. ergo ex æquali priſma a e ad
priſma
g m eſt, ut linea o ad ipſam u.
Sed proportio o ad
u
cõpoſita eſt ex proportione o ad p, quæ eſt baſis a b c d
ad
baſim g h k l;
& ex proportione p ad u, quæ eſt altitudi-
nis
e f ad altitudinem m n.
priſma igitur a e ad priſma g
166FED. COMMANDINI compoſitam proportionem habet ex proportione baſiũ,
&
proportione altitudinum. Quare & pyramis, cuius ba-
ſis
eſt quadrilaterum a b c d, &
altitudo e f ad pyramidem,
122[Figure 122] cuius baſis quadrilaterum g h K l, &
altitudo m n, compoſi
tam
habet proportionem ex proportione baſium a b c d,
g
h k l, &
ex proportione altitudinum e f, m n. quod qui-
dem
demonſtraſſe oportebat.
Ex iam demonſtratis perſpicuum eſt, priſma
ta
omnia, &
pyramides, in quibus axes cum baſi-
bus
æquales angulos continent, proportionem
habere
compoſitam ex baſium proportione, &

proportione
axium.
demonſttatum eſt enim, a-
xes
inter ſe eandem proportionem habere, quam
ipſæ
altitudines.
THE OREMA XVIII. PROPOSITIO XXII.
Cvivslibet pyramidis, & cuiuslibet
16728DE CENTRO GRAVIT. SOLID. uel coni portionis axis à centro grauitatis ita diui
ditur
, ut pars, quæ terminatur ad uerticem reli-
quæ
partis, quæ ad baſim, ſit tripla.
Sit pyramis, cuius baſis triangulum a b c; axis d e; & gra
uitatis
centrum _K_.
Dico lineam d k ipſius _K_ e triplam eſſe.
trianguli enim b d c centrum grauitatis ſit punctum f; triã
guli
a d c centrũ g;
& trianguli a d b ſit h: & iungantur a f,
b
g, c h.
Quoniam igitur centrũ grauitatis pyramidis in axe
cõſiſtit
:
ſuntq; d e, a f, b g, c h eiuſdẽ pyramidis axes: conue
1117. huíus nient omnes in idẽ punctũ _k_, quod eſt grauitatis centrum.
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diuiſam in
quatuor
pyramides, quarum baſes ſint ipſa pyramidis
triangula
;
& axis pun-
88[Handwritten note 8]123[Figure 123] ctum k quæ quidem py-
ramides
inter ſe æquales
ſunt
, ut demõſtrabitur.
Ducatur enĩ per lineas
d
c, d e planum ſecãs, ut
ſit
ipſius, &
baſis a b c
munis
ſectio recta linea
c
e l:
eiuſdẽ uero & triã-
guli
a d b ſitlinea d h l.

erit
linea a l æqualis ipſi
l
b:
nam centrum graui-
tatis
trianguli conſiſtit
in
linea, quæ ab angulo
ad
dimidiam baſim per-
ducitur
, ex tertia deci-
ma
Archimedis.
quare
221. ſexti. triangulum a c l æquale
eſt
triangulo b c l:
& propterea pyramis, cuius baſis trian-
gulum
a c l, uertex d, eſt æqualis pyramidi, cuius baſis b c l
triangulum
, &
idem uertex. pyramides enim, quæ ab eodẽ
335. duode-
cimi
.
168FED. COMMANDINI ſunt uertice, eandem proportionem habent, quam ipſarũ
baſes
.
eadem ratione pyramis a c l k pyramidi b c l k: & py
ramis
a d l k ipſi b d l k pyramidi æqualis erit.
Itaque ſi a py
ramide
a c l d auferantur pyramides a clk, a d l k:
& à pyra
mide
b c l d auferãtur pyramides b c l k, d b l K:
quæ relin-
quuntur
erunt æqualia.
æqualis igitur eſt pyramis a c d k
pyramidi
b c d _K_.
Rurſus ſi per lineas a d, d e ducatur pla-
num
quod pyramidem ſecet:
ſitq; eius & baſis communis
ſectio
a e m:
ſimiliter oſtendetur pyramis a b d K æqualis
pyramidi
a c d K.
ducto denique alio piano per lineas c a,
a
f:
ut eius, & trianguli c d b communis ſectio ſit c fn, py-
ramis
a b c k pyramidi a c d K æqualis demonſtrabitur.

ergo
tres pyramides b c d _k_, a b d k, a b c k uni, &
eidem py
ramidia
c d k ſint æquales, omnes inter ſe ſe æquales erũt.
Sed ut pyramis a b c d ad pyramidem a b c k, ita d e axis ad
axem
k e, ex uigeſima propoſitione huius:
ſunt enim
pyramides
in eadem baſi, &
axes cum baſibus æquales con
tinent
angulos, quòd in eadem recta linea conſtituantur.

quare
diuidendo, ut tres pyramides a c d k, b c d _K_, a b d _K_
ad
pyramidem a b c _K_, ita d _k_ ad _K_ e.
conſtat igitur lineam
d
K ipſius _K_ e triplam eſſe.
ſed & a k tripla eſt K f: itemque
b
K ipſius _K_ g:
& c K ipſius K l tripla. quod eodem modo
demonſtrabimus
.
Sit pyramis, cuius baſis quadrilaterum a b c d; axis e f:
& diuidatur e fin g, ita ut e g ipſius g f ſit tripla. Dico cen-
trum
grauitatis pyramidis eſſe punctum g.
ducatur enim
linea
b d diuidens baſim in duo triangula a b d, b c d:
ex
quibus
intelligãtur cõſtitui duæ pyramides a b d e, b c d e:

ſitque
pyramidis a b d e axis e h;
& pyramidis b c d e axis
e
K:
& iungatur h _K_, quæ per ftranſibit: eſt enim in ipſa h K
centrum
grauitatis magnitudinis compoſitæ ex triangulis
a
b d, b c d, hoc eſt ipſius quadrilateri.
Itaque centrum gra
uitatis
pyramidis a b d e ſit punctum l:
& pyramidis b c d e
ſit
m.
ductaigitur l m ipſi h m lineæ æquidiſtabit: nam el ad
112. ſexti.
16929DE CENTRO GRAVIT. SOLID. l h eandem habet proportionem, quam e m ad m k, uideli-
cet
triplam.
quare linea l m ipſam e f ſecabit in puncto g:
etenim e g ad g f eſt, ut el ad l h. præterea quoniam h k, l m
æquidiſtant
, erunt triangula h e f, l e g ſimilia:
itemq; inter
ſe
ſimilia f e k, g e m:
& ut e fad e g, ita h fad l g: & ita f _K_ ad
g
m.
ergo uth fadlg, ita f k ad g m: & permutando uth f
ad
f _K_, ita l g ad g m.
ſed cum h ſit centrum trianguli a b d;
&
K triãguli b c d: punctũ uero f totius quadrilateri a b c d
centrum
:
erit ex 8. Archimedis de centro grauitatis plano
rum
h fad f K, ut triangulum b c d ad triangulum a b d:
ut
autem
b c d triangulum ad triangulum a b d, ita pyramis
b
c d e ad pyramidem a b d e.
ergo
124[Figure 124] linea lg ad g m erit, ut pyramis
b
c d e ad pyramidé a b d e.
ex quo
ſequitur
, ut totius pyramidis
a
b c d e punctum g ſit grauitatis
centrum
.
Rurſus ſit pyramis ba-
ſim
habens pentagonum a b c d e:
& axem f g: diuidaturq; axis in
cto
h, ita ut fh ad h g triplam habe
at
proportionem.
Dico h grauita-
tis
centrũ eſſe pyramidis a b c d e f.

iungatur
enim e b:
intelligaturq;
pyramis
, cuius uertex f, &
baſis
triangulum
a b e:
& alia pyramis
intelligatur
eundem uerticem ha-
bens
, &
baſim b c d e quadrilaterũ:
ſit
autem pyramidis a b e faxis f K,
&
grauitatis centrum l: & pyrami
dis
b c d e faxis f m, &
centrum gra
uitatis
n:
iunganturq; K m, l n;
quæ
per puncta g h tranſibunt.

Rurſus
eodem modo, quo ſup ra,
demonſtrabimus
lineas K g m, l h n ſibiipſis æ
170FED. COMMANDINI& denique punctum h pyramidis a b c d e f grauitatis eſſe
centrum
, &
ita in aliis.
Sit conus, uel coni portio axem habens b d: ſecetur que
plano
per axem, quod ſectionem faciat triangulum a b c:
& b d axis diuidatur in e, ita ut b e ipſius e d ſit tripla.
Dico
punctum e coni, uel coni portionis, grauitatis
eſſe
centrum.
Sienim fieri poteſt, ſit centrum f: & pro-
ducatur
e f extra figuram in g.
quam uero proportionem
habet
g e ad e f, habeat baſis coni, uel coni portionis, hoc
eſt
circulus, uel ellipſis circa diametrum a c ad aliud ſpa-
cium
, in quo h.
Itaque in circulo, uel ellipſi plane deſcri-
batur
rectilinea figura a k l m c n o p, ita ut quæ relinquũ-
tur
portiones ſint minores ſpacio h:
& intelligatur pyra-
mis
baſim habens rectilineam figuram a K l m c n o p, &

axem
b d;
cuius quidem grauitatis centrum erit punctum
e
, ut iam demonſtrauimus.
Et quoniam portiones ſunt
minores
ſpacio h, circulus, uel ellipſis ad portiones ma-
125[Figure 125] iorem proportionem habet, quam g e a d e f.
ſed ut circu-
lus
, uel ellipſis ad figuram rectilineam ſibi inſcriptam, ita
conus
, uel coni portio ad pyramidem, quæ figuram rectili-
neam
pro baſi habet;
& altitudinem æqualem: etenim
17130DE CENTRO GRAVIT. SOLID. pra demonſtratum eſt, ita eſſe cylindrum, uel cylindri por-
118. huius tionem ad priſina, cuius baſis rectilinea figura, &
æqua-
lis
altitudo.
ergo per conuerſionem rationis, ut circulus,
uel
ellipſis ad portiones, ita conus, uel coni portio ad por-
tiones
ſolidas.
quare conus uel coni portio ad portiones
ſolidas
maiorem habet proportionem, quam g e ad e f:
&
diuidendo
, pyramis ad portiones ſolidas maiorem pro-
portionem
habet, quam g f ad f e.
ſiat igitur q f ad f e
ut
pyramis ad dictas portiones.
Itaque quoniam à cono
uel
coni portione, cuius grauitatis centrum eſt f, aufer-
tur
pyramis, cuius centrum e;
reliquæ magnitudinis,
quæ
ex ſolidis portionibus conſtat, centrum grauitatis
erit
in linea e f protracta, &
in puncto q. quod fieri
non
poteft:
eſt enim centrum grauitatis intra. Conſtat
igitur
coni, uel coni portionis grauitatis centrum eſſe pun
ctum
e.
quæ omnia demonſtrare oportebat.
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII.
Qvodlibet fruſtum à pyramide, quæ
triangularem
baſim habeat, abſciſſum, diuiditur
in
tres pyramides proportionales, in ea proportio
ne
, quæ eſt lateris maioris baſis ad latus minoris
ipſi
reſpondens.
Hoc demonſtrauit Leonardus Piſanus in libro, qui de-
praxi
geometriæ inſcribitur.
Sed quoniam is adhucim-
preſſus
non eſt, nos ipſius demonſtrationem breuíter
perſtringemus
, rem ipſam ſecuti, non uerba.
Sit fru-
ſtum
pyramidis a b c d e f, cuíus maior baſis triangulum
a
b c, minor d e f:
& iunctis a e, e c, c d, per line-
as
a e, e c ducatur planum ſecans fruſtum:
itemque per
lineas
e c, c d;
& per c d, d a alia plana ducantur, quæ,
diuident
fruſtum in tres pyramides a b c e, a d c e, d e f c.
172FED. COMMANDINI Dico eas proportion ales eſſe in proportione, quæ eſt la-
teris
a b adlatus d e, itaut earum maior ſit a b c e, me-
dia
a d c e, &
minor d e f c. Quoniam enim lineæ d e,
a
b æquidiſtant;
& interipſas ſunt triangula a b e, a d e;
erit triangulum a b e
126[Figure 126]111. ſextí. ad triangulum a d e,
ut
linea a b ad lineam
d
e.
ut autem triangu
lum
a b e ad triangu-
lum
a d e, ita pyramis
225. duodeci
mi
.
a b e c ad pyramidem
a
d e c:
habent enim
altitudinem
eandem,
quæ
eſt à puncto c ad
planum
, in quo qua-
drilaterum
a b e d.
er-
3311. quinti. go ut a b ad d e, ita pyramis a b e c ad pyramidem a d e c.
Rurſus quoniam æquidiſtantes ſunt a c, d f; erit eadem
ratione
pyramis a d c e ad pyramidem c d f e, ut a c ad
444 ſexti. d f.
Sed ut a c a l d f, ita a b ad d e, quoniam triangula
a
b c, d e f ſimilia ſunt, ex nona huius.
quare ut pyramis
a
b c e ad pyramidem a d c e, ita pyramis a d c e ad ipſam
d
e f c.
fruſtum igitur a b c d e f diuiditur in tres pyramides
proportionales
in ea proportione, quæ eſt lateris a b ad d e
latus
, &
earum maior eſt c a b e, media a d c e, & minor
d
e f c.
quod demonſtrare oportebat.
PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII.
Qvodlibet fruſtum pyramidis, uel coni,
uel
coni portionis, plano baſi æquidiſtanti ita ſe-
care
, ut ſectio ſit proportionalis inter maiorem,
&
minorem baſim.
17331DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
SIT fruſtum pyramidis a e, cuius maior baſis triangu-
lum
a b c, minor d e f:
& oporteat ipſum plano, quod baſi
æquidiſtet
, ita ſecare, ut ſectio ſit proportionalis inter triã
gula
a b c, d e f.
Inueniatur inter lineas a b, d e media pro-
portionalis
, quæ ſit b g:
& à puncto g erigatur g h æquidi-
ſtans
b e, ſecansq;
a d in h: deinde per h ducatur planum
baſibus
æ quidiſtans, cuius ſectio ſit triangulum h _k_ 1.
Dico
triangulum
h K l proportionale eſſe inter triangula a b c,
d
e f, hoc eſt triangulum a b c ad
127[Figure 127] triangulum h K l eandem habere
proportionem
, quam triãgulum
h
K l ad ipſum d e f.
Quoniã enim
lineæ
a b, h K æquidiſtantium pla
1116. unde
cimi
norum ſectiones inter ſe æquidi-
ſtant
:
atque æquidiſtant b _k_, g h:
linea h _k_ ipſi g b eſt æqualis: & pro
2234. primi pterea proportionalis inter a b,
d
e.
quare ut a b ad h K, ita eſt h K
ad
d e.
fiat ut h k ad d e, ita d e
ad
aliam lineam, in qua ſit m.
erit
ex
æquali ut a b ad d e, ita h k ad
m
.
Et quoniam triangula a b c,
339. huius
corol
.
h K l, d e f ſimilia ſunt;
triangulū
a
b c ad triangulum h k l eſt, ut li-
4420. ſexti nea a b ad lineam d e:
triangulũ
autem
h k l ad ipſum d e f eſt, ut h _k_ ad m.
ergo tríangulum
5511. quinti a b c ad triangulum h k l eandem proportionem habet,
quam
triangulum h K l ad ipſum d e f.
Eodem modo in a-
liis
fruſtis pyramidis idem demonſtrabitur.
Sit fruſtum coni, uel coni portionis a d: & ſecetur plano
per
axem, cuius ſectio ſit a b c d, ita ut maior ipſius baſis ſit
circulus
, uel ellipſis circa diametrum a b;
minor circa c d.
Rurſus inter lineas a b, c d inueniatur proportionalis b e:
&
ab e ducta e ſ æquid_i_ſtante b d, quæ lineam c a in f
174FED. COMMANDINI per f planum baſibus æquidiſtans ducatur, ut ſit ſectio cir
culus
, uel ellipſis circa diametrum f g.
Dico ſectionem a b
ad
ſectionem f g eandem proportionem habere, quam f g
ad
ipſam c d.
Simili enim ratione, qua ſupra, demonſtrabi-
tur
quadratum a b ad quadratum f g ita eſſe, ut quadratũ
f
g ad c d quadratum.
Sed circuli inter ſe eandem propor-
112. duode
cimi
tionem habent, quam diametrorum quadrata.
ellipſes au-
tem
circa a b, f g, c d, quæ ſimiles ſunt, ut oſten dimus in cõ-
mentariis
in principium libri Archimedis de conoidibus,
&
ſphæroidibus, eam habẽt proportionem, quam quadrar
ta
diametrorum, quæ eiuſdem rationis ſunt, ex corollaio-
ſeptimæ
propoſitionis eiuſdem li-
128[Figure 128] bri.
ellipſes enim nunc appello ip-
ſa
ſpacia ellipſibus contenta.
ergo
circulus
, uel ellipſis a b ad circulũ,
uel
ellipſim f g eam proportionem
habet
, quam circulus, uel ellipſis
f
g ad circulum uel ellipſim c d.
quod quidem facienduni propo-
ſuimus
.
THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV.
Qvodlibet fruſtum pyramidis, uel coni,
uel
coni portionis ad pyramidem, uel conum, uel
coni
portionem, cuius baſis eadem eſt, &
æqualis
altitudo
, eandem proportionẽ habet, quam utræ
que
baſes, maior, &
minor ſimul ſumptæ vnà
ea
, quæ inter ipſas ſit proportionalis, ad baſim ma
iorem
.
17532DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
SIT fruſtũ pyramidis, uel coni, uel coni portionis a d,
cuius
maior baſis a b, minor c d.
& ſecetur altero plano
baſi
æquidiſtante, ita utſectio e f ſit proportionalis inter
baſes
a b, c d.
conſtituatur autẽ pyramis, uel conus, uel co-
ni
portio a g b, cuius baſis ſit eadem, quæ baſis maior fru-
ſti
, &
altitudo æqualis. Di-
129[Figure 129] co fruſtum a d ad pyrami-
dem
, uel conum, uel coni
portionem
a g b eandem
proportionẽ
habere, quã
utræque
baſes, a b, c d unà
cum
e f ad baſim a b.
eſt
enim
fruſtum a d æquale
pyramidi
, uel cono, uel co-
ni
portioni, cuius baſis ex
tribus
baſibus a b, e f, c d
conſtat
;
& altitudo ipſius
altitudini
eſt æqualis:
quod mox oſtendemus. Sed pyrami
des
, coni, uel coni portiões,
130[Figure 130] quæ ſunt æquali altitudine,
eãdem
inter ſe, quam baſes,
proportionem
habent, ſicu-
ti
demonſtratum eſt, partim
ab
Euclide in duodecimo li-
116. 11. duo
decimi
bro elementorum, partim à
nobis
in cõmentariis in un-
decimam
propoſitionẽ Ar-
chimedis
de conoidibus, &

ſphæroidibus
.
quare pyra-
mis
, uel conus, uel coni por-
tio
, cuius baſis eſt tribus illis
baſibus
æqualis ad a g b eam
habet
proportionem, quam
baſes
a b, e f, c d ad ab bafim.
Fruſtum igitur a d ad a g
176FED. COMMANDINI pyramidem, uel conum, uel coni portionem candem pro-
portionem
habet, quam baſes ab, cd unà cum e ſ ad ba-
ſim
a b.
quod demonſtrare uolebamus.
Fruſtum uero a d æquale eſſe pyramidi, uel co
no
, uel coni portioni, cuius baſis conſtat ex baſi-
bus
a b, c d, e f, &
altitudo fruſti altitudini eſt æ-
qualis
, hoc modo oſten demus.
Sit fruſtum pyramidis a b c d e f, cuius maior baſis trian-
gulum
a b c;
minor d e f: & ſecetur plano baſibus æquidi-
ſtante
, quod ſectionem faciat triangulum g h k inter trian-
gula
a b c, d e f proportionale.
Iam ex iis, quæ demonſtrata
ſuntin
23.
huius, patet ſruſtum a b c d e f diuidi in tres pyra
mides
proportionales;
& earum maiorem eſſe pyramidẽ
a
b c d minorẽ uero d e f b.
ergo pyramis à triangulo g h k
conſtituta
, quæ altitudinem habeat ſruſti altitudini æqua-
lem
, proportionalis eſtinter pyramides a b c d, d e f b:
&
idcirco
fruſtum a b c d e f tribus dictis pyramidibus æqua
le
erit.
Itaque ſi intelligatur alia pyra-
131[Figure 131] mis æque alta, quæ baſim habeat ex tri
bus
baſibus a b c, d e f, g h k conſtan-
tem
;
perſpicuum eſtipſam eiſdem py-
ramidibus
, &
propterea ipſi fruſto æ-
qualem
eſſe.
Rurſus ſit ſruſtum pyramidis a g, cu
ius
maior baſis quadrilaterum a b c d,
minor
e f g h:
& ſecetur plano baſi-
bus
æquidiſtante, ita ut fiat ſectio qua-
drilaterum
K lm n, quod ſit proportio
nale
inter quadrilatera a b c d, e f g h.
Dico pyramidem,
cuius
baſis ſit æqualis tribus quadrilateris a b c d, _k_ l m n,
e
f g h, &
altitudo æqualis altitudini fruſti, ipſi fruſto a g
æqualem
eſſe.
Ducatur enim planum per lineas f b, h
17733DE CENTRO GRAVIT. SOLID. quod diuidat fruſtum in duo fruſta triangulares baſes ha-
bentia
, uidelicet in fruſtum a b d e f h, &
in fruſtũ b c d f g h.
erit triangulum k l n proportionale inter triangula a b d,
e
f h:
& triangulum l m n proportionale inter b c d, f g h.
ſed
pyramis æque alta, cuius baſis conſtat ex tribus trian-
gulis
a b d, k l n, e f h, demonſtrata
132[Figure 132] eſt ſruſto a b d e f h æqualis.
& ſi-
militer
pyramis, cuius baſis con-
ſtat
ex triangulis b c d, l m n, f g h
æqualis
fruſto b c d f g h:
compo-
nuntur
autem tria quadrilatera a
b
c d, _k_ l m n, e f g h è ſex triangu-
lis
iam dictis.
pyramis igitur ba-
ſim
habens æqualem tribus qua-
drilateris
, &
altitudinem eandem
ipſi
fruſto a g eſt æqualis.
Eodem
modo
illud demõſtrabitur in aliis
eiuſmodi
fruſtis.
Sit fruſtum coni, uel coni, uel coni portionis a d; cuius maior ba-
ſis
circulus, uel ellipſis circa diametrum a b;
minor circa
c
d:
& ſecetur plano, quod baſibus æquidiſtet, faciatq; ſe-
ctionem
circulum, uel ellipſim circa diametrum e f, ita ut
inter
circulos, uel ellipſes a b, c d ſit proportionalis.
Dico
conum
, uel coni portionem, cuius baſis eſt æqualis tribus
circulis
, uel tribus ellipſibus a b, e f, c d;
& altitudo eadem,
quæ
fruſti a d, ipſi fruſto æqualem eſſe.
producatur enim
fruſti
ſuperficies quouſque coeat in unum punctum, quod
ſit
g:
& coni, uel coni portionis a g b axis ſit g h, occurrens
planis
a b, e f, c d in punctis h _k_ l:
circa circulum uero de-
ſcribatur
quadratum m n o p, &
circa ellipſim rectangulũ
m
n o p, quod ex ipſius diametris conſtat:
iunctisq; g m,
g
n, g o, g p, ex eodem uertice intelligatur pyramis baſim
habens
dictum quadratum, uel rectangulum:
& plana in
quibus
ſunt circuli, uel ellipſes e f, c d uſque ad eius
178FED. COMMANDINI producantur. Quoniam igitur pyramis ſecatur planis bafi
æquidiſtantibus
, ſectiones ſimiles erunt:
atque erunt qua-
119. huius drata, uel rectangula circa circulos, uel ellipſes deſcripta,
quemadmodum
&
in ipſa baſi. Sed cum circuli inter ſe
proportionem
habeant, quam diametrorum quadrata:
222. duode-
cimi
.
itemq;
ellipſes eam quam rectangula ex ipſarum diametris
conſtantia
:
& ſit circulus, uel ellipſis circa diametrum e f
133[Figure 133]337. de co-
noidibus

& ſphæ-
roidibus
proportionalis inter circulos, uel ellipſes a b, c d;
erit re-
ctangulum
e f etiam inter rectangula a b, c d proportio-
nale
:
per rectangulum enim nunc breuitatis cauſa etiã ip-
ſum
quadratum intelligemus.
quare ex iis, quæ proxime
dicta
ſunt, pyramis baſim habens æqualem dictis rectangu
lis
, &
altitudinem eandem, quam fruſtum a d, ipſi fruſto à
pyramide
abſciſſo æqualis probabitur.
ut autem rectangu
lum
c d ad rectangulũ e f, ita circulus, uel ellipſis c d a d e f
circulum
, uel ellipſim:
componendoq; ut rectangula c d,
e
f, ad e f rectangulum, ita circuli, uel ellipſes e d, e f, ad e f:
& ut rectangulum e f ad rectangulum a b, ita cir culus, uel
cllipſis
e f ad a b circulum, uel ellipſim.
ergo ex æquali, &
componendo
, utrectãgula c d, e f, a b ad ipſum a b, ita
17934DE CENTRO GRAVIT. SOLID. culi, uel ellipſes c d, e ſ a b ad circulum, uel ellipſim a b. In-
telligatur
pyramis q baſim habens æqualem tribus rectan
gulis
a b, e f, c d;
& altitudinem eãdem, quam fruſtum a d.
intelligatur etiam conus, uel coni portio q, eadem altitudi
ne
, cuius baſis ſit tribus circulis, uel tribus ellipſibus a b,
e
f, c d æqualis.
poſtremo intelligatur pyramis a l b, cuius
baſis
ſit rectangulum m n o p, &
altitudo eadem, quæ fru-
ſti
:
itemq, intelligatur conus, uel coni portio a l b, cuius
baſis
circulus, uel ellipſis circa diametrum a b, &
eadem al
titudo
.
ut igitur rectangula a b, e f, c d ad rectangulum a b,
116. 11. duo
decimi
ita pyramis q ad pyramidem a l b;
& ut circuli, uel ellip-
ſes
a b, e f, c d ad a b circulum, uel ellipſim, ita conus, uel co
ni
portio q ad conum, uel coni portionem a l b.
conus
igitur
, uel coni portio q ad conum, uel coni portionem
a
l b eſt, ut pyramis q ad pyramidem a l b.
ſed pyramis
a
l b ad pyramidem a g b eſt, ut altitudo ad altitudinem, ex
20
.
huius: & ita eſt conus, uel coni portio al b ad conum,
uel
coni portionem a g b ex 14.
duodecimi elementorum,
&
ex iis, quæ nos demonſtrauimus in commentariis in un-
decimam
de conoidibus, &
ſphæroidibus, propoſitione
quarta
.
pyramis autem a g b ad pyramidem c g d propor-
tionem
habet compoſitam ex proportione baſium &
pro
portione
altitudinum, ex uigeſima prima huius:
& ſimili-
ter
conus, uel coni portio a g b a d conum, uel coni portio-
nem
c g d proportionem habet compoſitã ex eiſdem pro-
portionibus
, per ea, quæ in dictis commentariis demon-
ſtrauimus
, propoſitione quinta, &
ſexta: altitudo enim in
utriſque
eadem eſt, &
baſes inter ſe ſe eandem habent pro-
portionem
.
ergo ut pyramis a g b ad pyramidem c g d, ita
eſt
conus, uel coni portio a g b ad a g d conum, uel coni
portionem
:
& per conuerſionẽ rationis, ut pyramis a g b
ad
fruſtū à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio
a
g b ad fruſtum a d.
ex æquali igitur, ut pyramis q ad fru-
ſtum
à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio q
180FED. COMMANDINI fruſtum a d. Sed pyramis q æqualis eſt fruſto à pyramide
abſciſſo
, ut dem onſtrauimus.
ergo & conus, uel coni por-
tio
q, cuius baſis ex tribus circulis, uel ellipſibus a b, e f, c d
conſtat
, &
altitudo eadem, quæ fruſti: ipſi fruſto a d eſt æ-
qualis
.
atque illud eſt, quod demonſtrare oportebat.
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI.
Cvivslibet fruſti à pyramide, uel cono,
uel
coni portione abſcisſi, centrum grauitatis eſt
in
axe, ita ut eo primum in duas portiones diui-
ſo
, portio ſuperior, quæ minorem baſim attingit
ad
portionem reliquam eam habeat proportio-
nem
, quam duplum lateris, uel diametri maioris
baſis
, vnà cum latere, uel diametro minoris, ipſi
reſpondente
, habet ad duplum lateris, uel diame-
tri
minoris baſis vnà latere, uel diametro ma-
ioris
:
deinde à puncto diuiſionis quarta parte ſu
perioris
portionis in ipſa ſumpta:
& rurſus ab in-
ferioris
portionis termino, qui eſt ad baſim maio
rem
, ſumpta quarta parte totius axis:
centrum ſit
in
linea, quæ his finibus continetur, atque in eo li
neæ
puncto, quo ſic diuiditur, ut tota linea ad par
tem
propinquiorem minori baſi, eãdem propor-
tionem
habeat, quam fruſtum ad pyramidẽ, uel
conum
, uel coni portionem, cuius baſis ſit ea-
dem
, quæ baſis maior, &
altitudo fruſti altitudini
æqualis
.
18135DE CENTRO GRAVIT. SOLID.
Sit ſruſtum a e a pyramide, quæ triangularem baſim ha-
beat
abſciſſum:
cuius maior baſis triangulum a b c, minor
d
e f;
& axis g h. ducto autem plano per axem & per lineã
d
a, quod ſectionem faciat d a k l quadrilaterum;
puncta
K
l lineas b c, e f bifariam ſecabunt.
nam cum g h ſit axis
ſruſti
:
erit h centrum grauitatis trianguli a b c: & g
centrum
trianguli d e f:
cen-
134[Figure 134]113. diffi. hu
ius
.
trum uero cuiuslibet triangu
li
eſt in recta linea, quæ ab an-
gulo
ipſius ad dimidiã baſim
ducitur
ex decimatertia primi
libri
Archimedis de cẽtro gra
uitatis
planorum.
quare cen-
22Vltima e-
auſdẽ
libri
Archime-
dis
.
trũ grauitatis trapezii b c f e
eſt
in linea _K_ l, quod ſit m:
& à
puncto
m ad axem ducta m n
ipſi
a k, uel d l æquidiſtante;
erit axis g h diuiſus in portio-
nes
g n, n h, quas diximus:
ean
dem
enim proportionem ha-
bet
g n ad n h, quã l m ad m _k_.

At
l m ad m K habet eam, quã
duplum
lateris maioris baſis
b
c una cum latere minoris e f
ad
duplum lateris e f unà cum
later
b c, ex ultima eiuſdem
libri
Archimedis.
Itaque à li-
nea
n g abſcindatur, quarta
pars
, quæ ſit n p:
& ab axe h g abſcindatur itidem
quarta
pars h o:
& quam proportionem habet fruſtum ad
pyramidem
, cuius maior baſis eſt triangulum a b c, &
alti-
tudo
ipſi æqualis;
habeat o p ad p q. Dico centrum graui-
tatis
fruſti eſſe in linea p o, &
in puncto q. namque ipſum
eſſe
in linea g h manifeſte conſtat.
protractis enim fruſti
182FED. COMMANDINI nis, quouſque in unum punctum r conueniant; erit pyra-
midis
a b c r, &
pyramidis d e f r grauitatis centrum in li-
nea
r h.
ergo & reliquæ magnitudinis, uidelicet fruſti cen-
trum
in eadem linea neceſſario comperietur.
Iungantur
d
b, d c, d h, d m:
& per lineas d b, d c ducto altero plano
intelligatur
fruſtum in duas pyramides diuiſum:
in pyra-
midem
quidem, cuius baſis eſt triangulum a b c, uertex d:
& in eam, cuius idem uertex, & baſis trapezium b c f e. erit
igitur
pyramidis a b c d axis d h, &
pyramidis b c f e d axis
d
m:
atque erunt tres axes g h, d h, d m in eodem plano
d
a K l.
ducatur præterea per o linea ſt ip ſi a K æquidiſtãs,
quæ
lineam d h in u ſecet:
per p uero ducatur x y æquidi-
ſtans
eidem, ſecansque d m in
135[Figure 135] z:
& iungatur z u, quæ ſecet
g
h in φ.
tranſibit ea per q: &
erunt
φ q unum, atque idem
pun
ctum;
ut inferius appare-
bit
.
Quoniam igitur linea u o
æ
quidiſtat ipſi d g, erit d u ad
112. ſexti. u h, ut g o ad o h.
Sed g o tri-
pla
eſt o h.
quare & d u ipſius
u
h eſt tripla:
& ideo pyrami-
dis
a b c d centrum grauitatis
erit
punctum 11.
Rurſus quo-
niam
z y ipſi d l æquidiſtat, d z
a
d z m eſt, utly ad y m:
eſtque
ly
ad y m, ut g p ad p n.
ergo
d
z ad z m eſt, ut g p ad p n.
Quòd cum g p ſit tripla p n;
erit
etiam d z ipſius z m tri-
pla
.
atque ob eandem cauſ-
ſam
punctum z eſt centrũ gra-
uitatis
pyramidis b c f e d.
iun
ctaigitur
z u, in ea erit
18336DE CENTRO GRAVIT. SOLID. grauitatis magnitudinis, quæ ex utriſque pyramidibus
ſtat
;
hoc eſt ipſius fruſti. Sed fruſti centrum eſt etiam in a-
xe
g h.
ergo in puncto φ, in quo lineæ z u, g h conueniunt.
Itaque u φ ad φ z eam proportionem habet, quam pyramis
118. prim I
libri
Ar-
chimedis

de
cẽtro
grauita-
tis
plano
runi
b c f e d ad pyramidem a b c d.
& componendo u z ad z φ
eam
habet, quam fruſtum ad pyramidem a b c d.
Vtuero
u
z ad z φ, ita o p ad p φ ob ſimilitudinem triangulorum,
u
o φ, z p φ.
quare o p ad p φ eſt ut fruſtum ad pyramidem
a
b c d.
ſed ita erat o p ad p q. æquales igitur ſunt p φ, p q: &
227. quinti. q φ unum atque idem punctum.
ex quibus ſequitur lineam
z
u ſecare o p in q:
& propterea pũctum q ipſius fruſti gra-
uitatis
centrum eſſe.
Sit fruſtum a g à pyramide, quæ quadrangularem baſim
habeat
abſciſſum, cuius maior baſis a b c d, minor e f g h,
&
axis k l. diuidatur autem primũ _k_ l, ita ut quam propor-
tionem
habet duplum lateris a b unà cum latere e f ad du
plum
lateris e f unà cum a b;
habeat k m ad m l. deinde à
púcto
m ad k ſumatur quarta pars ipſius m k, quæ ſit m n.
& rurſus ab l ſumatur quarta pars totius axis l k, quæ ſit
l
o.
poſtremo fiat o n ad n p, ut fruſtum a g ad pyramidẽ,
cuius
baſis ſit eadem, quæ fruſti, &
altitudo æqualis. Dico
punctum
p fruſti a g grauitatis centrum eſſe.
ducantur
enim
a c, e g:
& intelligantur duo fruſta triangulares ba-
ſes
habentia, quorum alterum l f ex baſibus a b c, e f g cõ-
ſtet
;
alterum l h ex baſibus a c d, e g h. Sitq; fruſti l f axis
q
r;
in quo grauitatis centrum s: fruſti uero l h axis t u, &
x
grauitatis centrum:
deinde iungantur u r, t q, x s. tranſi-
bit
u r per l:
quoniam l eſt centrum grauitatis quadran-
guli
a b c d:
& puncta r u grauitatis centra triangulorum
a
b c, a c d;
in quæ quadrangulum ipſum diuiditur. eadem
quoque
ratione t q per punctum _k_ tranſibit.
At uero pro
portiones
, ex quibus fruſtorum grauitatis centra inquiri-
mus
, eædem ſunt in toto ſruſto a g, &
in fruſtis l f, l h. Sunt
enim
per octauam huius quadrilatera a b c d, e f g h ſimilia:
184FED. COMMANDINI itemq; ſimilia triangula a b c, e f g; & a c d, e g h. idcir-
coq
;
latera ſibi ipſis reſpondentia eandem inter ſe ſe pro-
portionem
ſeruant.
Vt igitur duplum lateris a b unà
cum
latere e f ad duplum lateris e f unà cum a b, ita eſt
duplum
a d late-
136[Figure 136] ris unà cum late-
re
e h ad duplum
e
h unà cum a d:
& ita in aliis.
Rurſus
fruſtum
a
g ad pyramidẽ,
cuius
eadem eſt
bafis
, &
æqualis
altitudo
eandem
proportionẽ
ha
bet
, quam fruſtũ
l
f ad pyramidẽ,
quæ
eſt eadẽ ba-
ſi
, &
æquali alti-
tudine
:
& ſimili-
ter
quam l h fru-
ſtum
ad pyrami-
dem
, quæ ex ea-
dẽ
baſi, &
æquali
altitudine
con-
ſtat
.
nam ſi inter
ipſas
baſes me-
diæ
proportio-
nales
conſtituan
tur
, tres baſes ſimul ſumptæ ad maiorem baſim in om-
nibus
eodem modo ſe habebunt.
Vnde fit, ut axes K l,
q
r, t u à punctis p s x in eandem proportionem ſecen-
tur
.
ergo linea x s per p tranſibit: & lineæ r u, s x, q t in-
112. ſexti. ter ſe æquidiſtantes erunt.
Itaque cum fruſti a g latera
18537DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ducta fuerìnt, ira ut in unum punctum y coeant, erunt triã
gala
u y l, x y p, t y _k_ inter ſe ſimilia:
& ſimilia etiam triangu
la
l y r, p y s, _k_ y q.
quare ut in 19 huius, demonſtrabitur
x
p, ad p s:
itemq; t k ad _k_ q èandem habere proportionẽ,
quam
u l ad l r.
Sed ut u l ad l r, ita eſt triangulum a b c ad
triangulum
a c d:
& ut t k ad K q, ita triangulum e f g ad
triangulum
e g h.
Vt autem triangulum a b c ad triangu-
lum
a c d, ita pyramis a b c y ad pyramidem a c d y.
& ut
triangulum
e f g ad triangulum e g h, ita pyramis e f g y
ad
pyramidem e g h y;
ergo ut pyramis a b c y ad pyramidẽ
a
c d y, ita pyramis e f g y ad pyramidem e g h y.
reliquum
1119. quinti igitur fruſtũ l f ad reliquum fruſtũ l h eſt ut pyramis a b c y
ad
pyramidem a c d y, hoc eſt ut u l ad l r, &
ut x p ad p s.
Quòd cum fruſti l f centrum grauitatis ſit s: & fruſti l h ſit
centrum
x:
conſtat punctum p totius fruſti a g grauitatis
228. Archi-
medis
.
eſſe centrum.
Eodem modo fiet demonſtratio etiam in
aliis
pyramidibus.
Sit fruſtum a d à cono, uel coni portione abſciſſum, cu-
ius
maior baſis circulus, uel ellipſis circa diametrum a b;
minor circa diametrum c d: & axis e f. diuidatur autẽ e f
in
g, ita ut e g ad g f eandem proportionem habeat, quam
duplum
diametri a b unà cum diametro c d ad duplum c d
unà
cum a b.
Sitq; g h quarta pars lineæ g e: & ſit ſ K item
quarta
pars totius f e axis.
Rurfus quam proportionem
habet
fruſtum a d ad conum, uel coni portionem, in eadẽ
baſi
, &
æquali altitudine, habeat linea _k_ h ad h l. Dico pun-
ctum
l fruſti a d grauitatis centrum eſſe.
Si enim fieri po-
teſt
, ſit m centrum:
producaturq; l m extra fruſtum in n:
&
ut n l ad l m, ita fiat circulus, uel ellipſis circa diametrũ
a
b ad aliud ſpacium, in quo ſit o.
Itaque in circulo, uel
ellipſi
circa diametrum a b rectilinea figura plane deſcri-
batur
, ita ut quæ relinquuntur portiones ſint o ſpacio mi-
nores
:
& inteiligatur pyramis a p b, baſim habens rectili-
neam
figuram in circulo, uel ellipſi a b deſcriptam:
à
186FED. COMMANDINI fruſtum pyramidis ſit abſciſſum. erit ex iis quæ proxime
tradidimus
, fruſti pyramidis a d centrum grauitatis l.
Quo
niam
igitur portiones ſpacio o minores ſunt;
habebit cir
culus
, uel ellipſis a b ad
137[Figure 137] portiones dictas maiorẽ
proportionem
, quàm n l
ad
lm.
ſed ut circulus, uel
ellipſis
a b ad portiones,
ita
a p b conus, uel coni
portio
ad ſolidas portio-
nes
, id quod ſupra demon
ſtratum
eſt:
& ut circulus
uel
ellipſis c d ad portio-
1122. huius nes, quæ ipſi inſunt, ita co
nus
, uel coni portio c p d
ad
ſolidas ipſius portio-
nes
.
Quòd cum figuræ in
circulis
, uel ellipſibus a b
c
d deſcriptæ ſimiles ſint,
erit
proportio circuli, uel
ellipſis
a b ad ſuas portio
nes
, eadẽ, quæ circuli uel
ellipſis
c d ad ſuas.
ergo
conus
, uel coni portio a p
b
ad portiones ſolidas eã-
dem
habet proportionẽ,
quam
conus, uel coni por
tio
c p d ad ſolidas ipſius
portiones
.
reliquum igi-
2219. quinti tur coni, uel coni portionis fruſtũ, ſcilicet a d ad reliquas
portiones
ſolidas in ipſo contentas eandem proportionẽ
habet
, quam conus, uel coni portio a p b ad ſolidas portio
nes
:
hoc eſt eandem, quam circulus, uel ellipſis a b ad por
tiones
planas.
quare fruſtum coni, uel coni portionis a
18738DE CENTRO GRA VIT. SOLID. ad portiones ſolidas maiorem habet proportioné, quàm
n
l ad l m:
& diuidendo fruſtum pyramidis ad dictas por-
tiones
maiorem proportionem habet, quàm n m ad m l.
fiat igitur ut fruſtum pyramidis ad portiones, ita q m ad
m
l.
Itaque quoniam à fruſto coni, uel coni portionis a d,
cuius
grauitatis centrum eſtm, aufertur fruſtum pyrami-
dis
habens centruml;
erit reliquæ magnitudinis, quæ ex
portionibus
ſolidis conſtat;
grauitatis cẽtrum in linea l m
producta
, atque in puncto q, extra figuram poſito.
quod
fieri
nullo modo poteſt.
relinquitur ergo, ut punctum l ſit
fruſti
a d grauitatis centrum.
quæ omnia demonſtranda
proponebantur
.
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII.
Omnivm ſolidorum in ſphæra deſcripto-
rum
, quæ æqualibus, &
ſimilibus baſibus conti-
nentur
, centrum grauitatis eſt idem, quod ſphæ-
centrum.
Solida eiuſmodi corpora regularia appellare ſolent, de
quibus
agitur in tribus ultimis libris elementorum:
ſunt
autem
numero quinque, tetrahedrum, uel pyramis, hexa-
hedrum
, uel cubus, octahedrum, dodecahedrum, &
icoſa-
hedrum
.
Sit primo a b c d pyramis ĩ ſphæra deſcripta, cuíus ſphæ
centrum ſit e.
Dico e pyramidis a b c d grauitatis eſſe
centrum
.
Si enim iuncta d e producatur ad baſim a b c in
f
;
ex iis, quæ demonſtrauit Campanus in quartodecimo li
bro
elementorum, propoſitione decima quinta, &
decima
ſeptima
, erit f centrum circuli circa triangulum a b c de-
ſcripti
:
atque erit e f ſexta pars ipſius ſphæræ axis. quare
ex
prima huius conſtat trianguli a b c grauitatis centrum
eſſe
punctum f:
& idcirco lineam d f eſſe pyramidis axem.
188FED. COMMANDINI At cum e f ſit ſexta pars axis
138[Figure 138] ſphæræ, crit d e tripla e f.
ergo
punctum
e eſt grauitatis cen-
trum
ipſius pyramidis:
quod
in
uigeſima ſecunda huius de-
monſtratum
fuit.
Sed e eſt cen
trum
ſphæræ.
Sequitur igitur,
ut
centrum grauitatis pyrami-
dis
in ſphæra deſcriptæ idem
ſit
, quod ipſius ſphæræ cen-
trum
.
Sit cubus in ſphæra deſcriptus a b, & oppoſitorum pla-
norum
lateribus bifariam diuiſis, per puncta diuiſionum
plana
ducantur, ut communis ipſorum ſectio ſit recta li-
nea
c d.
Itaque ſi ducatur a b, ſolidi ſcilicet diameter, lineæ
a
b, c d ex trigeſimanona undecimi ſeſe bifariam ſecabunt.
ſecent autem in puncto e. erit
139[Figure 139] e centrũ grauitatis ſolidi a b,
id
quod demonſtratum eſt in
octaua
huius.
Sed quoniam ab
eſt
ſphæræ diametro æqualis,
ut
in decima quinta propoſi-
tione
tertii decimi libri elemẽ
torum
oſtenditur:
punctum e
ſphæræ
quoque centrum erit.
Cubi igitur in ſphæra deſcri-
pti
grauitatis centrum idem
eſt
, quod centrum ipſius ſphæræ.
Sit octahedrum a b c d e f, in ſphæra deſcriptum, cuius
ſphæræ
centrum ſit g.
Dico punctum g ipſius octahedri
grauitatis
centrum eſſe.
Conſtat enim ex iis, quæ demon-
ſtrata
ſunt à Campano in quinto decimo libro elemento-
rum
, propoſitione ſextadecima eiuſimodi ſolidum diuidi
in
duas pyramides æquales, &
ſimiles; uidelicetin
18939DE CENTRO GRAVIT. SOLID. dem, cuius baſis eſt quadratum a b c d, & altitudo e g: &
in
pyramidem, cuius eadé baſis, altitudoq;
f g; ut ſint e g,
g
f ſemidiametri ſphæræ, &
linea una. Cũigitur g ſit ſphæ-
centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa quadratũ
a
b c d deſcribitur:
& propterea eiuſdem quadrati grauita
tis
centrum:
quod in prima propoſitione huius demon-
ſtratum
eſt.
quare pyramidis a b c d e axis erit e g: & pyra
midis
a b c d f axis f g.
Itaque ſit h centrum grauitatis py-
ramidis
a b c d e, &
pyramidis a b c d f centrum ſit _K_: per-
ſpicuum
eſt ex uigeſima ſecunda propoſitione huius, lineã
e
h triplam eſſe h g:

140[Figure 140] ponendoq;
e g ipſius g
h
quadruplam.
& eadẽ
ratione
f g quadruplã
ipſius
g k.
quod cum e
g
, g f ſintæquales, &
h
g
, g _k_ neceſſario æqua-
les
erunt.
ergo ex quar
ta
propoſitione primi
libri
Archimedis de cẽ-
tro
grauitatis planorũ,
totius
octahedri, quod
ex
dictis pyramidibus
conſtat
, centrum graui
tatis
erit punctum g idem, quodipſius ſphæræ centrum.
Sit icoſahedrum a d deſcriptum in ſphæra, cuius centrū
ſit
g.
Dico g ipſius icoſahedri grauitatis eſſe centrum. Si
enim
ab angnlo a per g ducatur rectalinea uſque ad ſphæ
ſuperficiem;
conſtat ex ſexta decima propoſitione libri
tertii
decimi elementorum, cadere eam in angulum ipſi a
oppoſitum
.
cadat in d: ſitq; una aliqua baſis icoſahedri tri-
angulum
a b c:
& iunctæ b g, c g producantur, & cadant in
angulos
e f, ipſis b c oppoſitos.
Itaque per triangula
a
b c, d e f ducantur plana ſphæram ſecantia.
erunt
190FED. COMMANDINI ctiones circuli ex prima propofitione ſphæricorum Theo
doſii
:
unus quidem circa triangulum a b c deſcriptus: al-
ter
uero circa d e f:
& quoniam triangula a b c, d e f æqua-
lia
ſunt, &
ſimilia; erunt ex prima, & ſecunda propoſitione
duodecimi
libri elementorum, circuli quoque inter ſe ſe
æquales
.
poſtremo a centro g ad circulum a b c perpendi
cularis
ducatur g h;
& alia perpendicularis ducatur ad cir
culum
d e f, quæ ſit g _k_;
& iungantur a h, d k. perſpicuum
eſt
ex corollario primæ ſphæricorum Theodoſii, punctum
h
centrum eſſe circuli a b c, &
k centrum circuli d e f. Quo
niam
igitur triangulorum g a h, g d K latus a g eſt æquale la
teri
g d;
ſunt enim à centro ſphæræ ad ſuperficiem: atque
eſt
a h æquale d k:
& ex ſexta propoſitione libri primi ſphæ
ricorum
Theodoſii g h ipſi g K:
triangulum g a h æquale
erit
, &
ſimile g d k triangulo: & angulus a g h æqualis an-
gulo
d g _K_.
ſed anguli a g h, h g d ſunt æquales duobus re-
1113. primi ctis.
ergo & ipſi h g d, d g k duobus rectis æquales erunt.
& idcirco h g, g _K_ una, atque eadem erit linea. cum autem
2214. primi h ſit centrũ circuli, &
tri-
141[Figure 141] anguli a b c grauitatis cen
trũ
probabitur ex iis, quæ
in
prima propoſitione hu
ius
tradita funt.
quare g h
erit
pyramidis a b c g axis.
& ob eandem cauſſam g k
axis
pyramidis d e f g.
Ita-
que
centrum grauitatis py
ramidis
a b c g ſit púctum
l
, &
pyramidis d e f g ſit m.
Similiter
ut ſupra demon-
ſtrabimus
m g, g linter ſe æquales eſſe, &
punctum g graui
tatis
centrum magnitudinis, quæ ex utriſque pyramidibus
conſtat
.
eodem modo demonſtrabitur, quarumcunque
duarum
pyramidum, quæ opponuntur, grauitatis
19140DE CENTRO GRAVIT. SOLID. eſſe pun ctum g. Sequitur ergo uticoſahedri centrum gra
uitatis
fit idem, quodipſius ſphæræ centrum.
Sit dodecahedrum a ſin ſphæra deſignatum, ſitque ſphæ
centrum m.
Dico m centrum eſſe grauitatis ipſius do-
decahedri
.
Sit enim pentagonum a b c d e una ex duode-
cim
baſibus ſolidi a f:
& iuncta a m producatur ad ſphæræ
ſuperficiem
.
cadetin angulum ipſi a oppoſitum; quod col-
ligitur
ex decima ſeptima propoſitione tertiidecimilibri
elementorum
.
cadat in f. at ſi ab aliis angulis b c d e per cẽ
trum
itidem lineæ ducantur ad ſuperficiem ſphæræ in pun
cta
g h k l;
cadent in alios angulos baſis, quæ ipſi a b c d
baſi
opponitur.
tranſeant ergo per pentagona a b c d e,
f
g h K l plana ſphæram ſecantia, quæ facient ſectiones cir-
culos
æquales inter ſe ſe poſtea ducantur ex centro ſphæræ
m
perpen diculares ad pla-
142[Figure 142] na dictorum circulorũ;
ad
circulum
quidem a b c d e
perpendicularis
m n:
& ad
circulum
f g h K l ipſa m o,
11corol. pri
ſphæ
ricorum

Theod
.
erunt puncta n o circulorũ
centra
:
& lineæ m n, m o in
ter
ſe æquales:
quòd circu-
li
æquales ſint.
Eodem mo
226. primi
phærico

rum
.
do, quo ſupra, demonſtrabi
mus
lineas m n, m o in unã
atque
eandem lineam con-
uenire
.
ergo cum puncta n o ſint centra circulorum, con-
ſtat
ex prima huius &
pentagonorũ grauitatis eſſe centra:
idcircoq; m n, m o pyramidum a b c d e m, ſ g h _K_ l m axes.
ponatur
a b c d e m pyramidis grauitatis centrum p:
& py
ramidis
f g h K l m ipſum q centrum.
erunt p m, m q æqua-
les
, &
punctum m grauitatis centrum magnitudinis, quæ
ex
ipſis pyramidibus conſtat.
eodẽ modo probabitur qua-
rumlibet
pyramidum, quæ è regione opponuntur,
192FED. COMMANDINI grauitatis eſſe punctum m. patetigitur totius dodecahe-
dri
, centrum grauitatis idẽ eſſe, quod &
ſphæræ ipſum com
prehendentis
centrum.
quæ quidem omnia demonſtraſſe
oportebat
.
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XX VIII.
Data qualibet portione conoidis rectangu
li
, abſciſſa plano ad axem recto, uel non recto;
fie-
ri
poteſt, ut portio ſolida inſcribatur, uel circum-
ſcribatur
ex cylindris, uel cylindri portionibus,
æqualem
habentibus altitudinem, ita ut recta li-
nea
, quæ inter centrum grauitatis portionis, &

figuræ
inſcriptæ, uel circumſcriptæ interiicitur,
ſit
minor qualibet recta linea propoſita.
Sit portio conoidis rectanguli a b c, cuius axis b d, gra-
uitatisq
;
centrum e: & fit g recta linea propoſita. quam ue
ro
proportionem habet linea b e ad lineam g, eandem ha-
beat
portio conoidis ad ſolidum h:
& circumſcribatur por
tioni
figura, ſicuti dictum eſt, ita ut portiones reliquæ ſint
ſolido
h minores:
cuius quidem figuræ centrum grauitatis
ſit
punctum K.
Dico lineã k e minorem eſſe linea g propo-
ſita
.
niſi enim ſit minor, uel æqualis, uel maior erit. & quo-
niam
figura circumſcripta ad reliquas portiones maiorem
118. quĭnti. proportionem habet, quàm portio conoidis ad ſolidum h;
hoc eſt maiorem, quàm b c ad g: & b e ad g non minorem
habet
proportionem, quàm ad _k_ e, propterea quod k e non
ponitur
minor ipſa g:
habebit figura circumſcripta ad por
tiones
reliquas maiorem proportionem quàm b e ad e k:

2229. quĭnti
ex
tradi-
tione
Cã-
ſàni
.
&
diuidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe-
bit
maiorem, quàm b K ad K e.
quare ſi fiat ut portio
19341DE CENTRO GRAVIT. SOLID. noidis ad portiones reliquas, ita alia linea, quæ ſit 1 K ad
k
e:
erit 1k maior, quam b k: & ideo punctum l extra por-
tionem
cadet.
Quoniã
143[Figure 143] igitur à figura circum-
ſcripta
, cuius grauitatis
centrum
eſt k, aufertur
portio
conoidis, cuius
centrum
e.
habetq; l K
ad
K e eam proportio-
nem
, quam portio co-
noidis
ad reliquas por-
tiones
;
erit punctum l
extra
portionem cadẽs,
centrum
magnitudinis
ex
reliquis portionibus compoſitæ.
illud autem fieri nullo
modo
poteſt.
quare conſtat lineam k e ipſa g linea propoſi
ta
minorem eſſe.
Rurfus inſcribatur portioni figura, uidelicet cylindr us
m
n, ut ſit ipſius altitudo
144[Figure 144] æqualis dimidio axis b d:
& quam proportionem
habet
b e ad g, habeat m n
cylindrus
ad ſolidum o.

inſcrib
itur deinde eidem
alia
figura, ita ut portio-
nes
reliquæ ſint ſolido o
minores
:
& centrum gra
uitatis
figuræ ſit p.
Dico
lineam
p e ipſa g minorẽ
eſſe
.
ſi enim non ſit mi-
nor
, eodem, quo ſupra modo demonſtrabimus figuram in
ſcriptam
ad reliquas portiones maiorem proportionem
habere
, quàm b e ad e p.
& ſi fiat alia linea l e ad e p, ut eſt
figura
inſcripta ad reliquas portiones, pũctum l extra
194FED. COMMANDINI tionem cadet: Itaque cum à portione conoidis, cuius gra-
uitatis
centrum e auferatur inſcripta figura, centrum ha-
bens
p:
& ſit l e ad e p, ut figura inſcripta ad portiones reli
quas
:
erit magnitudinis, quæ ex reliquis portionibus con
ſtat
, centrum grauitatis punctum l, extra portionem ca-
dens
.
quod fieri nequit. ergo linea p e minor eſt ip ſa g li-
nea
propoſita.
Ex quibus perſpicuum eſt centrum grauitatis
figuræ
inſcriptæ, &
circumſcriptæ eo magis acce
dere
ad portionis centrum, quo pluribus cylin-
dris
, uel cylindri portionibus conſtet:
fiatq́ figu
ra
inſcripta maior, &
circumſcripta minor. &
quanquam
continenter ad portionis centrū pro-
pius
admoueatur nunquam tamen ad ipſum per
ueniet
.
ſequeretur enim figuram inſcriptam,
ſolum
portioni, ſed etiam circumſcriptæ figuræ
æqualem
eſſe.
quod eſt abſurdum.
THE OREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX.
Cvivslibet portionis conoidis rectangu-
li
axis à cẽtro grauitatis ita diuiditur, ut pars quæ
terminatur
ad uerticem, reliquæ partis, quæ ad ba
ſim
ſit dupla.
SIT portio conoidis rectanguli uel abſciſſa plano ad
axem
recto, uel non recto:
& ſecta ipſa altero plano per axé
ſit
ſuperſiciei ſe ctio a b c r ectanguli coni ſectio, uel parabo
le
;
plani abſcindentis portionem ſectio ſit recta linea a c:
axis portionis, & ſectionis diameter b d. Sumatur autem
in
linea b d punctum e, ita ut b e ſit ipſius e d dupla.
19542DE CENTRO GRAVIT. SOLID. e portionis a b
145[Figure 145] c grauitatis eſſe
centrum
.
Diui-
datur
enim b d
bifariam
in m:
& rurſus d m, m
b
bifariam diui-
dantur
in pun-
ctis
n, o:
inſcri-
baturq
;
portio-
ni
figura ſolida,
&
altera circum
ſcribatur
ex cy-
lindris
æqualem
altitudinem
ha-
bentibus
, utſu-
perius
dictũ eſt.

Sit
autem pri-
mum
figura in-
ſcripta
cylĩ drus
f
g:
& circũſcri-
pta
ex cylindris
a
h, K l conſtet.

punctum
n erit
117. huius centrum graui-
tatis
figuræ in-
fcriptæ
, mediũ
ſcilicet
ipſius d
m
axis:
atq; idẽ
erit
centrum cy
lindri
a h:
& cy-
lindri
K l centrũ
o
, axis b m me-
dium
, quare ſi
196FED. COMMANDINI neam on ita di
146[Figure 146] uiſerimus in p,
ut
quã propor-
tionẽ
habet cy-
lindrus
a h ad
cylindrum
K l,
habeat
linea o p
ad
p n:
centrum
118. primi
libri
Ar-
chimedis
grauitatis toti-
us
figuræ circũ-
ſcriptæ
erit pun
ctum
p.
Sed cy-
2211. duo-
decimi
.
lindri, qui ſunt
æquali
altitudi-
ne
, candem in-
ter
ſe ſe, quam
baſes
propor-
tionem
habent:
eſtq; ut linea d b
ad
b m, ita qua-
dratũ
lineæ a d
ad
quadratũ ip-
ſius
_K_ in, ex uige
ſima
primi libri
conicorũ
:
& ita
3315. quinti quadratum a c
ad
quadratũ K
g
:
hoc eſt circu-
442. duode-
cimi
.
lus circa diame
trum
a c ad cir-
culum
circa dia
metrum
k g.
du
pla
eſt autem li-
nea
d b
19743DE CENTRO GRAVIT. SOLID. b m. ergo circulus a c circuli _k_ g: & idcirco cylindrus
a
h cylindri _k_ l duplus erit.
quare & linea o p dupla
ipſius
p n.
Deinde inſcripta & circumſcripta portioni
alia
figura, ita ut inſcripta conſtituatur ex tribus cylin-
dris
q r, s g, tu:
circumſcripta uero ex quatuor a x, y z,
_K_
ν, θ λ:
diuidantur b o, o m, m n, n d bifariam in punctis
μ
ν π ρ.
Itaque cylindri θ λ centrum grauitætis eſt punctum
μ
:
& cylindri K ν centrum ν. ergo ſi linea μ ν diuidatur in σ,
ita
ut μ σ ad σ ν proportionẽ habeat, quam cylindrus K ν
ad
cylindrum θ λ, uidelicet quam quadratum K m ad qua-
dratum
θ o, hoc eſt, quam linea m b ad b o:
erit σ centrum
1120. primi
conicorũ
magnitudinis compoſitæ ex cylindris K ν, θ λ.
& cum linea
m
b ſit dupla b o, erit &
μ σ ipſius σ ν dupla. præterea quo-
niam
cylindri y z centrum grauitatis eſt π, linea σ π ita diui
ſa
in τ, ut σ τ ad τ π eam habeat proportionem, quam cylin
drus
y z ad duos cylindros K ν, θ λ:
erit τ centrum magnitu
dinis
, quæ ex dictis tribus cylindris conſtat.
cylindrus au-
tẽ
y z ad cylindrum θ λ eſt, ut linea n b ad b o, hoc eſt ut 3
ad
1:
& ad cylindrum k ν, ut n b ad b m, uidelicet ut 3 ad 2.
quare y z cylĩdrus duobus cylindris k ν, θ λ æqualis erit. &
propterea
linea σ τ æqualis ipſi τ π.
denique cylindri a x
centrum
grauitatis eſt punctum ρ.
& cum τ ζ diuiſa fuerit
in
proportionem, quam habet cylindrus a x ad tres cy-
lindros
y z, _k_ ν, θ λ:
erit in eo puncto centrum grauitatis
totius
figuræ circũſcriptæ.
Sed cylindrus a x ad ipſum y z
eſt
ut linea d b ad b n:
hoc eſt ut 4 ad 3: & duo cylindri _k_ ν
θ
λ cylindro y z ſunt æquales.
cylindrns igitur a x ad tres
iam
dictos cylindros eſt ut 2 ad 3.
Sed quoniã μ σ eſt dua-
rum
partium, &
σ ν unius, qualium μ π eſt ſex; erit σ π par-
tium
quatuor:
proptereaq; τ π duarum, & ν π, hoc eſt π ρ
trium
.
quare ſequitur ut punctum π totius figuræ circum
ſcriptæ
ſit centrum.
Itaque fiat ν υ ad υ π, ut μ σ ad σ ν. & υ ρ
bifariam
diuidatur in φ.
Similiter ut in circumſcripta figu
ra
oſtendetur centrum magnitudinis compoſitæ ex
198FED. COMMANDINI dris s g, t u eſſe
147[Figure 147] punctum υ &

totius
figuræ in
ſcriptæ
, quæ cõ-
ſtat
ex cylindris
q
r, ſ g, t u eſſe φ
centrum
.
Sunt
enim
hi cylindri
æquales
&
ſimi-
les
cylindris y z,
K
ν, θ λ, figuræ
circumſcriptæ
.
Quoniã igitur
ut
b e ad e d, ita
eſt
o p ad p n;

utraq
;
enim u-
triuſque
eſt du-
pla
:
erit compo
nendo
, ut b d ad
d
e, ita o n ad n
p
;
& permutan
do
, ut b d ad o
n
, ita d e ad n p.

Sed
b d dupla
eſt
o n.
ergo &
e
d ipſius n p du
pla
erit.
quòd ſi
e
d bifariam di-
uidatur
ĩ χ, erit
χ
d, uel e χ æ-
qualis
n p:
&
ſublata
e n, quæ
eſt
cõmunis u-
trique
e χ, p
19944DE CENTRO GRAVIT. SOLID. relinquetur p e ipſi n χ æqualis. cum autem b e ſit dupla
e
d, &
o p dupla p n, hoc eſt ipſius e χ, & reliquum, uideli-
cet
b o unà cum p e ipſius reliqui χ d duplnm erit.
eſtque
1119. quinti b o dupla ζ d.
ergo p e, hoc eſt n χ ipſius χ ρ dupla. ſed d n
dupla
eſt n ζ.
reliqua igitur d χ dupla reliquæ χ n. ſunt au-
tem
d χ, p n inter ſe æquales:
itemq; æquales χ n, p e. qua-
re
conſtat n p ipſius p e duplam eſſe.
& idcirco p e ipſi e n
æqualem
.
Rurſus cum ſit μ ν dupla o ν, & μ σ dupla σ ν; erit
etiam
reliqua ν σ o dupla.
Eadem quoque ratione
cõcludetur
π υ dupla υ m.
ergo ut ν σ ad σ O, ita π υ ad υ m:
componendoq; , & permutando, ut υ o ad π m, ita o σ ad
m
υ &
ſunt æquales ν o, π m. quare & o σ, m υ æquales. præ
terea
σ π dupla eſt π τ, &
ν π ipſius π m. reliqua igitur σ ν re
liquæ
m τ dupla.
atque erat ν σ dupla σ o. ergo m τ, σ o æ-
quales
ſunt:
& ita æquales m υ, n φ. at o σ, eſt æqualis
m
υ.
Sequitur igitur, ut omnes o σ, m τ, m υ, n φ in-
ter
ſe ſint æquales.
Sed ut ρ π ad π τ, hoc eſt ut 3 ad 2, ita n d
ad
d χ:
permutãdoq; ut ρ π ad n d, ita π τ ad d χ. & ſũt æqua
les
ζ π, n d.
ergo d χ, hoc eſt n p, & π τ æquales. Sed etiam æ-
quales
n π, π m.
reliqua igitur π p reliquæ m τ, hoc eſt ipſi
n
φ æqualis erit.
quare dempta p π ex p e, & φ n dempta ex
n
e, relinquitur p e æqualis e φ.
Itaque π, ρ centra figurarũ
ſecundo
loco deſcriptarum a primis centris p n æquali in-
teruallo
recedunt.
quòd ſi rurſus aliæ figuræ deſcribantur,
eodem
modo demonſtrabimus earum centra æqualiter ab
his
recedere, &
ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri
.
Ex quibus conſtat lineam π φ à centro grauitatis
portionis
diuidi in partes æquales.
Si enim fieri poteſt, non
ſit
centrum in puncto e, quod eſt lineæ π φ medium:
ſed in
ψ
:
& ipſi π ψ æqualis fiat φ ω. Cum igitur in portione ſolida
quædam
figura inſcribi posſit, ita ut linea, quæ inter cen-
trum
grauitatis portionis, &
inſcriptæ figuræ interiicitur,
qualibet
linea propoſita ſit minor, quod proxime demon-
ſtrauimus
:
perueniet tandem φ centrum inſcriptæ
200FED. COMMANDINI148[Figure 148]
20145DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ad punctum ω. Sed quoniam π circum ſcripta itidem alia
figura
æquali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum
φ applieuerit ſe ad ω, &
π ad punctũ ψ, hoc eſt ad
portionis
centrum ſe applicabit.
quod fieri nullo modo
poſſe
perſpicuum eſt.
non aliter idem abſurdum ſequetur,
ſi
ponamus centrum portionis recedere à medio ad par-
tes
ω;
eſſet enim aliquando centrum figuræ inſcriptæ idem
quod
portionis centrũ.
ergo punctum e centrum erit gra
uitatis
portionis a b c.
quod demonſtrare oportebat.
Quod autem ſupra demõſtratum eſt in portione conoi-
dis
recta per figuras, quæ ex cylindris æqualem altitudi-
dinem
habentibus conſtant, idem ſimiliter demonſtrabi-
mus
per figuras ex cylindri portionibus conſtantes in ea
portione
, quæ plano non ad axem recto abſcinditur.
ut
enim
tradidimus in commentariis in undecimam propoſi
tionem
libri Archimedis de conoidibus &
ſphæroidibus.
portiones cylindri, quæ æquali ſunt altitudine eam inter ſe
ſe
proportionem habent, quam ipſarum baſes;
baſes autẽ
quæ
ſunt ellipſes ſimiles eandem proportionem habere,
11corol. 15
deconoi-
dibus
&
ſphæroi-
dibus
.
quam quadrata diametrorum eiuſdem rationis, ex corol-
lario
ſeptimæ propoſitionis libri de conoidibus, &
ſphæ-
roidibus
, manifeſte apparet.
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX.
SI à portione conoidis rectanguli alia portio
abſcindatur
, plano baſi æquidiſtante;
habebit
portio
tota ad eam, quæ abſciſſa eſt, duplam pro
portio
nem eius, quæ eſt baſis maioris portionis
ad
baſi m minoris, uel quæ axis maioris ad axem
minoris
.
202FED. COMMANDINI
ABSCINDATVR à portione conoidis rectanguli
a
b c alia portio e b f, plano baſi æquidiſtante:
& eadem
portio
ſecetur alio plano per axem;
ut ſuperficiei ſectio ſit
parabole
a b c:
planorũ portiones abſcindentium rectæ
lineæ
a c, e f:
axis autem portionis, & ſectionis diameter
b
d;
quam linea e fin puncto g ſecet. Dico portionem co-
noidis
a b c ad portionem e b f duplam proportionem ha-
bere
eius, quæ eſt baſis a c ad baſim e f;
uel axis d b ad b g
axem
.
Intelligantur enim duo coni, ſeu coni portiones
a
b c, e b f, eãdem baſim, quam portiones conoidis, &
æqua
lem
habentes altitudinem.
& quoniam a b c portio conoi
dis
ſeſquialtera eſt coni, ſeu portionis coni a b c;
& portio
e
b f coniſeu portionis coni e b feſt ſeſquialtera, quod de-
149[Figure 149] monſtrauit Archimedes in propoſitionibus 23, &
24 libri
de
conoidibus, &
ſphæroidibus: erit conoidis portio ad
conoidis
portionem, ut conus ad conum, uel ut coni por-
tio
ad coni portionem.
Sed conus, uel coni portio a b c ad
conum
, uel coni portionem e b f compoſitam proportio-
nem
habet ex proportione baſis a c ad baſim e f, &
ex pro-
portione
altitudinis coni, uel coni portionis a b c ad alti-
tudinem
ipſius e b f, ut nos demonſtrauimus in com men-
tariis
in undecimam propoſitionem eiuſdem libri A rchi-
medis
:
altitudo autem ad altitudinem eſt, ut axis ad axem.
quod quidem in conis rectis perſpicuum eſt, in ſcalenis
20346DE CENTRO GRAVIT. SOLID. ro ita demonſtrabitur. Ducatur à puncto b ad planum ba-
ſis
a c perpendicularis linea b h, quæ ipſam e fin K ſecet.
erit b h altitudo coni, uel coni portionis a b c: & b K altitu
1116. unde-
cimi
.
do e f g.
Quod cum lineæ a c, e f inter ſe æ quidiſtent, ſunt
enim
planorum æ quidiſtantium ſectiones:
habebit d b ad
224 ſexti. b g proportionem ean dem, quam h b ad b k.
quare por-
tio
conoidis a b c ad portionem e f g proportionem habet
compoſitam
ex proportione baſis a c ad baſim e f;
& ex
proportione
d b axis ad axem b g.
Sed circulus, uel
332. duode
cimi
ellipſis circa diametrum a c ad circulum, uel ellipſim
447. de co-
noidibus

& ſphæ-
roidibus
circa e f, eſt ut quadratum a c ad quadratum e f;
hoc eſt ut
quadratũ
a d ad quadratũ e g.
& quadratum a d ad quadra
tum
e g eſt, ut linea d b ad lineam b g.
circulus igitur, uel el
lipſis
circa diametrum a c ad circulũ, uel ellipſim circa e f,
5515. quinti hoc eſt baſis ad baſim eandem proportionem habet, quã
6620. primi
conicorũ
d b axis ad axem b g.
ex quibus ſequitur portionem a b c
ad
portionem e b f habere proportionem duplam eius,
quæ
eſt baſis a c ad bafim e f:
uel axis d b ad b g axem. quod
demonſtrandum
proponebatur.
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI.
Cuiuslibet fruſti à portione rectanguli conoi
dis
abſcisſi, centrum grauitatis eſt in axe, ita ut
demptis
primum à quadrato, quod fit ex diame-
tro
maioris baſis, tertia ipſius parte, &
duabus
tertiis
quadrati, quod fit ex diametro baſis mino-
ris
:
deinde à tertia parte quadrati maioris baſis
rurſus
dempta portione, ad quam reliquum qua
drati
baſis maioris unà cum dicta portione duplã
proportionem
habeat eius, quæ eſt quadrati
204FED. COMMANDINI ioris baſis ad quadratum minoris: centrum ſit in
eo
axis puncto, quo ita diuiditur ut pars, quæ mi
norem
baſim attingit ad alteram partem eandem
proportionem
habeat, quam dempto quadrato
minoris
baſis à duabus tertiis quadrati maioris,
habet
id, quod reliquum eſt unà cum portione à
tertia
quadrati maioris parte dempta, ad reliquà
eiuſdem
tertiæ portionem.
SIT fruſtum à portione rectanguli conoidis abſciſſum
a
b c d, cuius maior baſis circulus, uel ellipſis circa diame-
trum
b c, minor circa diametrum a d;
& axis e f. deſcriba-
tur
autem portio conoidis, à quo illud abſciſſum eſt, &
pla-
150[Figure 150] no per axem ducto ſecetur;
ut ſuperficiei ſectio ſit parabo-
le
b g c, cuius diameter, &
axis portionis g f: deinde g f diui
datur
in puncto h, ita ut g h ſit dupla h f:
& rurſus g e in ean
dem
proportionem diuidatur:
ſitq; g _k_ ipſius k e dupla.
ex
iis, quæ proxime demonſtrauimus, conſtat centrum gra
uitatis
portionis b g c eſſe h punctum:
& portionis a g c
punctum
k.
ſumpto igitur infra h punctol, ita ut k h ad h
20547DE CENTRO GRAVIT. SOLID. eani proportionem habeat, quam a b c d fruſtum ad por-
tionem
a g d;
erit punctum l eius fruſti grauitatis cẽtrum:
habebitq; componendo K l ad 1 h proportionem eandem,
quam
portio conoidis b gc ad a g d portionem.
Itaq; quo
1120. I. coni
corum
.
niam quadratum b f ad quadratum a e, hoc eſt quadratum
b
c ad quadratum a d eſt, ut linea f g ad g e:
erunt duæ ter-
tiæ
quadrati b c ad duas tertias quadrati a d, ut h g ad g _k_:
& ſi à duabus tertiis quadrati b c demptæ fuerint duæ ter-
tiæ
quadrati a d:
erit diuidẽdo id, quod relinquitur ad duas
tertias
quadrati a d, ut h k ad k g.
Rurſus duæ tertiæ quadra
ti
a d ad duas tertias quadrati b c ſunt, ut _k_ g ad g h:
& duæ
tertiæ
quadrati b c ad tertiã partẽ ipſius, ut g h ad h f.
ergo
ex
æ quali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
b
c, demptis ab ipſis quadrati a d duabus tertiis, ad tertiã
partem
quadrati b c, ut _k_ h ad h f:
& ad portionem eiuſdẽ
tertiæ
partis, ad quam unà cum ipſa portione, duplam pro
portionem
habeat eius, quæ eſt quadrati b c ad quadratũ
a
d, ut K 1 ad 1 h.
habet enim _K_l ad 1 h ean dem proportio-
nem
, quam conoidis portio b g c ad portionem a g d:
por-
tio
autem b g c ad portionem a g d duplam proportionem
habet
eius, quæ eſt baſis b c ad baſim a d:
hoc eſt quadrati
b
c ad quadratum a d;
ut proxime demonſtratum eſt. quare
2230. huius dempto a d quadrato à duabus tertiis quadrati b c, erit id,
quod
relin quitur unà cum dicta portione tertiæ partis ad
reliquam
eiuſdem portionem, ut el ad 1 f.
Cum igitur cen-
trum
grauitatis fruſti a b c d ſit l, à quo axis e f in eam, quã
diximus
, proportionem diuidatur;
conſtat uerũ eſſe illud,
quod
demonſtrandum propoſuimus.
FINIS LIBRI DE CENTRO
GRAVITATIS
SOLIDORVM.
Impreſſ. Bononiæ cum licentia Superiorum.
206
[Empty page]
207
[Empty page]
208 151[Figure 151]
209
[Empty page]
210
[Empty page]
211
[Empty page]
212
[Empty page]