Appolonius Pergaeus, Apollonii Pergaei Conicorvm [Conicorum] Lib. V. VI. VII. paraphraste Abalphato Asphahanensi : nunc primum editi ; additvs [additus] in calce Archimedis assvmptorvm [assumptorum] liber, ex codibvs [codicibus] arabicis mss Abrahamus Ecchellensis Maronita latinos reddidit, Jo. Alfonsvs Borellvs [Alphonsus Borellus] curam in geometricis versione contulit et notas vberiores [uberiores] in vniuersum [universum] opus adiecit, 1661

Bibliographic information

Author: Appolonius Pergaeus
Title: Apollonii Pergaei Conicorvm [Conicorum] Lib. V. VI. VII. paraphraste Abalphato Asphahanensi : nunc primum editi ; additvs [additus] in calce Archimedis assvmptorvm [assumptorum] liber, ex codibvs [codicibus] arabicis mss Abrahamus Ecchellensis Maronita latinos reddidit, Jo. Alfonsvs Borellvs [Alphonsus Borellus] curam in geometricis versione contulit et notas vberiores [uberiores] in vniuersum [universum] opus adiecit
Year: 1661
City: Florentiae
Publisher: Cocchini
Number of Pages: ca. 32, 415 S.: graph. Darst.

Permanent URL

Document ID: MPIWG:YPUVR2SU
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YPUVR2SU

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. APOLLONII PERGÆI CONICORVM LIB. V. VI. VII. & ARCHIMEDIS ASVMPTOR VM LIBER. Page: 3
3. APOLLONII PERGÆI CONICORVM LIB. V. VI. VII. PARAPHRASTE ABALPHATO ASPHAHANENSI Page: 5
4. ADDITVS IN CALCE ARCHIMEDIS ASSVMPTORVM LIBER, EX CODICIBVS ARABICIS M.SS. SERENISSIMI MAGNI DVCIS ETRVRIÆ ABRAHAMVS ECCHELLENSIS MARONITA Page: 5
5. IO: ALFONSVS BORELLVS Page: 5
6. AD SERENISSIMVM COSMVM III. ETRVRIÆ PRINCIPEM FLORENTIÆ, Ex Typographia Ioſephi Cocchini ad inſigne Stellæ MDCLXI. SVPERIORVM PERMISSV. Page: 5
7. COSMVM TERTIVM ETRVRIÆ PRINCIPEM. 10: AL FONSVS BORELLIVS F. Page: 7
8. CAVE CHRISTIANE LECTOR. Page: 14
9. IN NOMINE DEI MISERICORDIS MISERATORIS. PROOE MIVM ABALPHATHI FILII MAHMVDI, FILII ALCASEMI, FILII ALPHADHALI ASPHAHANENSIS. LAVS DEO VTRIVSQVE SECVLI DOMINO. Page: 15
10. ABRAHAMI ECCHELLENSIS IN LATINAM EX ARABICIS Librorum Apollonij Pergæi verſionem PRÆFATIO. Page: 23
11. PRÆFATIO AD LECTOREM. Page: 31
12. INDEX Page: 37
13. APOLLONII PERGAEI CONICORVM LIB. V. DEFINITIONES. I. Page: 39
14. II. Page: 39
15. III. Page: 39
16. IV. Page: 39
17. V. Page: 39
18. VI. Page: 39
19. VII. Page: 39
20. VIII. Page: 39
21. IX. Page: 40
22. X. Page: 40
23. XI. Page: 40
24. XII. Page: 40
25. XIII. Page: 40
26. XIV. Page: 40
27. XV. Page: 40
28. XIV. Page: 40
29. NOTÆ. Page: 41
30. SECTIO PRIMA Continens propoſitiones I. II. & III. Apollonij. PROPOSITIO I. Page: 43
31. PROPOS. II. Page: 43
32. PROPOS. III. Page: 44
33. Notæ in Propoſitionem primam. Page: 44
34. Notæ in Propoſitionem ſecundam. Page: 45
35. Notæ in Propoſitionem tertiam. Page: 45
36. SECTIO SECVNDA Continens propoſitiones IV. V. VI. Apollonij. Page: 45
37. PROPOSITIO IV. Page: 46
38. PROPOSITIO V. & VI. Page: 46
39. Notæ in pro poſitionem quartam. Page: 47
40. Notæ in propoſitionem quintam. Page: 48
41. MONITVM. Page: 50
42. LEMMA I. Page: 51
43. LEMMA II. Page: 52
44. LEMMA III. Page: 53
45. LEMMA IV. Page: 53
46. SECTIO TERTIA Continens VIII. IX. X. Propoſ. Apollonij. Page: 54
47. PROPOSITIO IX. & X. Page: 56
48. Notæ in Propoſitionem VIII. Page: 57
49. Notæ in Propoſitionem IX. & X. Page: 59
50. SECTIO IV. Continens Propoſit. VII. & XII. Apollonij. Page: 62
51. NOTÆ. Page: 63
52. SECTIO QVINTA Continens XI. Propoſit. Apollonij. Page: 64
53. NOTÆ. Page: 64
54. SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XIII. XIV. XV. Apollonij. Page: 65
55. NOTÆ. Page: 66
56. SECTIO SEPTIMA Continens XXVI. XXVII. XXVIII. Propoſ. Apollonij. PROPOSITIO XXVI. & XXVII. Page: 67
57. PROPOSITIO XXVIII. Page: 67
58. NOTÆ. Page: 68
59. LEMMA V. Page: 68
60. LEMMA. VI. Page: 69
61. LEMMA VII. Page: 69
62. SECTIO OCTAVA Continens Prop. IL. L. LI. LII. LIII. Apoll. Page: 70
63. PROPOSITIO IL. & L. Page: 71
64. PROPOSITIO LI. Page: 72
65. PROPOSITIO LII. LIII. Page: 73
66. PROPOSITIO LIV. LV. Page: 77
67. PROPOSITIO LVI. Page: 77
68. PROPOSITIO LVII. Page: 78
69. Notæ in Propoſit. IL. L. Page: 78
70. Notæ in Propoſit. LI. Page: 79
71. Demonſtratio ſecundæ partis. PROPOSITIONIS LI. Page: 81
72. Notæ in Propoſ. LII. LIII. Page: 83
73. Secunda pars buius propoſitionis, quam Apollonius non expoſuit hac ratione ſuppleri poteſt. Page: 87
74. Notæ in Propoſ. LIV. LV. Page: 92
75. Notæ in Propoſit. LVI. Page: 93
76. LEMMA VIII. Page: 95
77. Notæ in Propoſ. LVII. Page: 96
78. SECTIO NONA Continens Propoſ. LVIII. LIX. LX. LXI. LXII. & LXIII. Page: 98
79. PROPOSITIO LVIII. Page: 98
80. PROPOSITIO LIX. LXII. & LXIII. Page: 98
81. PROPOSITIO LX. Page: 100
82. PROPOSITIO LXI. Page: 100
83. Notæ in Propoſit. LVIII. Page: 101
84. Notæ in Propoſit. LIX. LXII. & LXIII. Page: 102
85. Notæ in Propoſit. LX. Page: 103
86. Notæ in Propoſit. LXI. Page: 103
87. SECTIO DECIMA Continens Propof. XXXXIV. XXXXV. Apollonij. Page: 105
88. PROPOSITIO XXXXIV. Page: 105
89. PROPOSITIO XXXXV. Page: 106
90. Notæ in Propoſ. XXXXIV. Page: 106
91. Notæ in Propoſ. XLV. Page: 107
92. SECTIO VNDECIMA Continens Propoſ. LXVIII. LXIX. LXX. & LXXI. Apollonij. PROPOSITIO LXVIII. LXIX. Page: 108
93. PROPOSITIO LXX. Page: 109
94. PROPOSITIO LXXI. Page: 109
95. Notæ in Propoſit. LXVIII. LXIX. LXX. & LXXI. Page: 109
96. SECTIO DVODECIMA Continens XXIX. XXX. XXXI. Propoſ. Appollonij. Page: 110
97. Notæ in Propoſit. XXIX. XXX. & XXXI. Page: 111
98. SECTIO DECIMATERTIA Continens Propoſ. LXIV. LXV. LXVI. LXVII. & LXXII. Apollonij. PROPOSITIO LXIV. LXV. Page: 112
99. PROPOSITIO LXVI. Page: 113
100. PROPOSITIO LXVII. Page: 114
101. PROPOSITIO LXXII. Page: 115
102. MONITVM. Page: 116
103. LEMMA IX. Page: 116
104. LEMMA X. Page: 116
105. LEMMA XI. Page: 117
106. Notæ in Propoſ. LXIV. & LXV. Page: 117
107. Notæ in Propoſ. LXVI. Page: 120
108. Ex demonſtratione præmiſſa propoſitionum 64. & 65. deduci poteſt conſectarium, à quo notæ ſubſe-quentes breuiores reddantur. COROLLARIVM PROPOSIT. LXIV. & LXV. Page: 120
109. Notæ in Propoſ. LXVII. Page: 121
110. COROLLARIVM PROPOSIT. LXVII. Page: 122
111. Notæ in Propoſit. LXXII. Page: 123
112. SECTIO DECIMAQVARTA Continens Propoſ. LXXIII. LXXIV. LXXV. LXXVI. & LXXVII. PROPOSITIO LXXIII. Page: 126
113. PROPOSITO LXXIV. Page: 128
114. PROPOSITO LXXV. Page: 128
115. PROPOSITIO LXXVI. Page: 129
116. PROPOSITIO LXXVII. Page: 130
117. Notæ in Propoſit. LXXIII. Page: 130
118. LEMMA XII. Page: 130
119. Notæ in Propoſ. LXXIV. Page: 134
120. Notæ in Propoſit. LXXV. Page: 135
121. Notæ in Propoſ. LXXVI. Page: 137
122. Notæ in Propoſit. LXXVII. Page: 138
123. COROLLARIVM. Page: 143
124. SECTIO DECIMAQVINTA Continens Propoſ. XXXXI. XXXXII. XXXXIII. Apollonij. PROPOSITIO XXXXI. Page: 147
125. PROPOSITO XXXXII. Page: 147
126. PROPOSITIO XXXXIII. Page: 148
127. Notæ in Propoſ. XXXXI. Page: 148
128. Notæ in Propoſ. XXXXII. Page: 149
129. Notæ in Propoſit. XXXXIII. Page: 149
130. SECTIO DECIMASEXTA Continens XVI. XVII. XVIII. Propoſ. Apollonij. Page: 150
131. Notæ in Propoſit. XVI. XVII. XVIII. Page: 152
132. SECTIO DECIMASEPTIMA Continens XIX. XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV. & XXV. Propoſ. Apollonij. PROPOSITIO XIX. Page: 154
133. PROPOSITIO XX. XXI. & XXII. Page: 155
134. PROPOSITIO XXIII. & XXIV. Page: 156
135. PROPOSITIO XXV. Page: 157
136. Notæ in Propoſit. XIX. Page: 157
137. Notæ in Propoſit. XX. XXI. XXII. Page: 158
138. Notæ in Propoſ. XXIII. XXIV. Page: 161
139. Notæ in Propoſ. XXXV. Page: 161
140. SECTIO DECIMAOCTAVA Continens XXXII. XXXIII. XXXIV. XXXV. XXXVI. XXXVII. XXXVIII. XXXIX. XXXX. XXXXVII. XXXXVIII. Propoſit. Apollonij. PROPOSITIO XXXII. Page: 162
141. PROPOSITIO XXXIII. XXXIV. Page: 163
142. PROPOSITIO XXXV. Page: 163
143. PROPOSITIO XXXVI. Page: 164
144. PROPOSITIO XXXVII. XLVI. Page: 164
145. PROPOSITIO XXXVIII. Page: 165
146. PR OPOSITIO XXXIX. Page: 166
147. PROPOSITIO XXXX. Page: 166
148. PROPOSITIO XXXXVII. Page: 166
149. PROPOSITIO XXXXVIII. Page: 167
150. Notæ in Propoſit. XXXII. Page: 167
151. Notæ in Propoſit. XXXIII. XXXIV. Page: 167
152. Notæ in Propoſit. XXXV. Page: 168
153. Notæ in Prop. XXXVI. Page: 169
154. Notæ in Prop. XXXVIII. Page: 169
155. Notæ in Propoſit. XXXIX. Page: 170
156. Notæ in Propoſit. XXXXVIII. Page: 170
157. LIBRI QVINTI FINIS. Page: 170
158. APOLLONII PERGAEI CONICORVM LIB VI. DEFINITIONES. I. Page: 171
159. II. Page: 171
160. III. Page: 171
161. IV. Page: 171
162. V. Page: 171
163. VI. Page: 171
164. VII. Page: 171
165. VIII. Page: 172
166. IX. Page: 172
167. NOTÆ. Page: 172
168. MONITVM. Page: 175
169. SECTIO PRIMA Continens Propoſit. I. II. IV. & X. PROPOSITIO I. Page: 176
170. PROPOSITIO II. Page: 177
171. PROPOSITIO IV. Page: 179
172. PROPOSITIO X. Page: 179
173. Notæ in Propoſit. I. Page: 179
174. Notæ in Propoſit. II. Page: 180
175. Notæ in Propoſit. IV. Page: 182
176. Notæ in Propoſit. X. Page: 182
177. SECTIO SECVNDA Continens Propoſit. III. VI. VII. & IX. PROPOSITIO III. Page: 184
178. PROPOSITIO VI. Page: 185
179. PROPOSITIO VII. Page: 185
180. PROPOSITIO IX. Page: 186
181. Notæ in Propoſit. III. Page: 187
182. Notæ in Propoſit. VI. Page: 187
183. Notæ in Propoſit. VII. Page: 187
184. Notæ in Propoſit. IX. Page: 188
185. LEMMAI. Page: 188
186. SECTIO TERTIA Continens Propoſit. V. & VIII. PROPOSITIO V. Page: 190
187. PROPOSITIO VIII. Page: 191
188. Notæ in Propoſit. V. Page: 192
189. Notæ in Propoſit. VIII. Page: 192
190. SECTIO QVARTA Continens Propoſit. XI. XII. XIII. & XIV. PROPOSITIO XI. Page: 192
191. PROPOSITIO XII. Page: 193
192. PROPOSITIO XIII. Page: 194
193. PROPOSITIO XIV. Page: 195
194. MONITVM. Page: 196
195. LEMMA II. Page: 196
196. COROLLARIVM. Page: 197
197. LEMMA III. Page: 197
198. LEMMA IV. Page: 198
199. COROLLARIVM. Page: 198
200. LEMMAV. Page: 199
201. COROLLARIVM I. Page: 199
202. COROLLARIVM II. Page: 199
203. Notæ in Propoſit. XI. Page: 203
204. Notæ in Propoſit. XII. Page: 204
205. Notæ in Propoſit. XIII. Page: 205
206. Notæ in Propoſit. XIV. Page: 206
207. SECTIO QVINTA Continens ſex Propoſitiones Præmiſſas, PROPOSITIO I. II. III. IV. & V. Page: 206
208. PROPOSITIO Præmiſſa VI. Page: 209
209. Notæ in Propoſit. Præmiſſas I. II. III. IV. & V. Page: 209
210. Notæ in Propoſit. Præmiſſ. VI. Page: 212
211. SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XV. XVI. & XVII. PROPOSITIO XV. Page: 213
212. PROPOSITIO XVI. Page: 215
213. PROPOSITIO XVII. Page: 216
214. Notæ in Propoſit. XV. Page: 219
215. MONITVM. Page: 221
216. LEMMA VI. Page: 221
217. LEMMA VII. Page: 222
218. LEMMA VIII. Page: 224
219. Notæ in Propoſit. XVI. Page: 225
220. Notæ in Propoſit. XVII. Page: 226
221. SECTIO SEPTIMA Continens Propoſit. XVIII. & XIX. Page: 229
222. Notæ in Propoſit. XVIII. & XIX. Page: 230
223. SECTIO OCTAVA Continens Propoſit. XX. & XXI. Apollonij. PROPOSITIO XX. Page: 231
224. PROPOSITIO XXI. Page: 233
225. PROPOSITIO XXII. Page: 235
226. PROPOSITIO XXIII. Page: 236
227. PROPOSITIO XXIV. Page: 236
228. Notæ in Propoſit. XX. Page: 237
229. Notæ in Propoſit. XXI. Page: 241
230. Notæ in Propoſit. XXII. Page: 243
231. Notæ in Propoſit. XXIII. Page: 244
232. Notæ in Propoſit. XXIV. Page: 245
233. SECTIO NONA Continens Propoſit. XXV. Page: 245
234. Notæ in Propoſit. XXV. Page: 246
235. LEMMA IX. Page: 267
236. SECTIO DECIMA Continens Propoſit. XXVI. XXVII. & XXVIII. PROPOSITIO XXVI. Page: 275
237. PROPOSITIO XXVII. Page: 276
238. PROPOSITIO XXVIII. Page: 278
239. Notæ in Propoſit. XXVI. Page: 279
240. Notæ in Propoſit. XXVII. Page: 280
241. Notæ in Propoſit. XXVIII. Page: 284
242. LEMMAX. Page: 284
243. SECTIO VNDECIMA Continens Propoſit. XXIX. XXX. & XXXI. PROPOSTIO XXIX. Page: 285
244. PROPOSITIO XXX. Page: 286
245. PROPOSITIO XXXI. Page: 289
246. Notæ in Propoſit. XXIX. Page: 291
247. Notæ in Propoſit. XXX. Page: 292
248. Notæ in Propoſit. XXXI. Page: 296
249. LIBRI SEXTI FINIS. Page: 308
250. DEFINITIONES. I. Page: 309
251. II. Page: 309
252. III. Page: 309
253. IV. Page: 309
254. V. Page: 309
255. VI. Page: 309
256. VII. Page: 310
257. VIII. Page: 310
258. NOTÆ. Page: 310
259. SECTIO PRIMA Continens Propoſit. I. V. & XXIII. Apollonij. PROPOSITIO I. Page: 311
260. PROPOSITIO V. & XXIII. Page: 312
261. Notæ in Propoſit. I. Page: 312
262. Notæ in Propoſit. V. & XXIII. Page: 313
263. SECTIO SECVNDA Continens Propoſit. II. III. IV. VI. & VII. Apollonij. PROPOSITIO II. & III. Page: 314
264. PROPOSITIO IV. Page: 315
265. PROPOSITIO VI. & VII. Page: 316
266. Notæ in Propoſit. II. III. Page: 317
267. Notæ in Propoſit. IV. Page: 318
268. Notæ in Propoſit. VI. & VII. Page: 319
269. SECTIO TERTIA Continens Propoſit. Apollonij VIII. IX. X. XI. XV. XIX. XVI. XVIII. XVII. & XX. Page: 320
270. Notæ in Propoſit. VIII. Page: 323
271. Notæ in Propoſit. IX. Page: 324
272. Notæ in Propoſit. X. Page: 325
273. Notæ in Propoſit. XI. Page: 325
274. Notæ in Propoſit. XV. Page: 326
275. Notæ in Propoſit. XIX. Page: 326
276. Notæ in Propoſit. XVI. Page: 327
277. Notæ in Propoſit. XVIII. Page: 327
278. Notæ in Propoſit. XVII. Page: 328
279. Notæ in Propoſit. XX. Page: 328
280. SECTIO QVARTA Continens Propoſit. Apollonij XII. XIII. XXIX. XVII. XXII. XXX. XIV. & XXV. Page: 329
281. Notæ in Propoſit. XII. Page: 332
282. Notæ in Propoſit. XIII. Page: 333
283. Notæ in Propoſit. XXIX. Page: 334
284. Notæ in Propoſit. XXX. Page: 334
285. Notæ in Propoſit. XIV. & XXV. Page: 335
286. Notæ in Propoſit. XXVII. Page: 335
287. SECTIO QVINTA Continens Propoſit. XXI. XXVIII. XXXXII. XXXXIII. XXIV. & XXXVII. Page: 337
288. PROPOSITIO XXI. & XXVIII. Page: 338
289. PROPOSITIO XXVI Page: 339
290. PROPOSITIO XXXXII. Page: 340
291. PROPOSITIO XXXXIII. Page: 341
292. PROPOSITIO XXIV. Page: 342
293. PROPOSITIO XXXVII. Page: 343
294. Notę in Propoſit. XXVIII. Page: 344
295. LEMMA. I. Page: 345
296. Notę in Propoſit. XXI. Page: 347
297. Notę in Propoſit. XXXXII. Page: 349
298. Notæ in Propoſit. XXXXIII. Page: 350
299. Notæ in Propoſit. XXIV. Page: 352
300. SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XXXIII. XXXIV. XXXV. & XXXVI. PROPOSITIO XXXIII. Page: 353
301. PROPOSITIO XXXIV. Page: 354
302. PROPOSITIO XXXV. & XXXVI. Page: 355
303. In Sectionem VI. Page: 356
304. LEMMA II. Page: 357
305. LEMMA III. Page: 357
306. LEMMA IV. Page: 357
307. LEMMA V. Page: 358
308. Notæ in Propof. XXXIII. & XXXIV. Page: 359
309. Notæ in Propoſit. XXXV. Page: 360
310. SECTIO SEPTIMA Continens Propoſit. XXXVIII. XXXIX. & XXXX. PROPOSITIO XXXVIII. Page: 362
311. PROPOSITIO XXXIX. Page: 363
312. PROPOSITIO XXXX. Page: 364
313. In Sectionem VII. Propoſit: XXXVIII. XXXIX. & XXXX. LEMMA VI. Page: 366
314. LEMMA VII. Page: 366
315. LEMMA VIII. Page: 367
316. LEMMA IX. Page: 367
317. Notæ in Propoſit. XXXVIII. XXXIX. Page: 369
318. Notæ in Propoſit. XXXX. Page: 369
319. SECTIO OCTAVA Continens Propoſit. XXXXIIII. XXXXV. & XXXXVI. Page: 372
320. PROPOSITIO XXXXVI. Page: 374
321. In Sectionem VIII. Propoſit. XXXXIIII. XXXXV. & XXXXVI. LEMM A.X. Page: 375
322. LEMM A XI. Page: 375
323. LEMM A XII. Page: 376
324. Notæ in Propoſit. XXXXIV. & XXXXV. Page: 378
325. Notæ in Propoſit. XXXXVI. Page: 378
326. SECTIO NONA Continens Propoſit. XXXXI. XXXXVII. & XXXXVIII. Page: 380
327. PROPOSITIO XXXXI. Page: 382
328. PROPOSITIO XXXXVII. Page: 383
329. PROPOSITIO XXXXVIII. Page: 386
330. In Sectionem IX. Propoſit. XXXXI. XXXXVII. & XXXXVIII. LEMMA. XIII. Page: 388
331. LEMMA XIV. Page: 389
332. LEMMA XV. Page: 389
333. Notæ in Propoſit. XXXXI. Page: 392
334. Notæ in Propoſit. XXXXVII. Page: 393
335. Notæ in Propoſit. XXXXVIII. Page: 394
336. SECTIO DECIMA Continens Propoſit. XXXXIX. XXXXX. & XXXXXI. Page: 397
337. In Sectionem X. Propoſit. XXXXIX. XXXXX. & XXXXXI. LEMMA XVI. Page: 400
338. LEMMA XVII. Page: 400
339. LEMMA XVIII. Page: 403
340. Notæ in Propoſit. XXXXIX. Page: 404
341. Notæ in Propoſit. XXXXX. Page: 406
342. Notæ in Propoſit. XXXXXI. Page: 406
343. SECTIO VNDECIMA Continens Propoſit. XXXII. & XXXI. Apollonij. Page: 409
344. Notæ in Propoſit. XXXI. & XXXII. Page: 411
345. LIBRI SEPTIMI FINIS. Page: 413
346. LIBER ASSVMPTORVM INTERPRETE THEBIT BEN-KORA EXPONENTE AL MOCHT ASSO Ex Codice Arabico manuſcripto SERENISS. MAGNI DV CIS ETRVRIÆ, ABRAHAMVS ECCHELLENSIS Latinè vertit. IO: ALFONSVS BORELLVS Notis Illuſtrauit. Page: 416
347. Præfatio ad Lectorem. Page: 418
348. MISERICORDIS MISERATORIS CVIVS OPEM IMPLORAMVS. LIBER ASSVMPTORVM ARCHIMEDIS, INTERPRETE THEBIT BEN-KORA, Et exponente Doctore ALMOCHTASSO ABILHASAN, Halì Ben-Ahmad Noſuenſi. PROPOSITIONES SEXDECIM. Page: 424
349. PROPOSITIO I. Page: 425
350. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 425
351. Notæ in Propoſit. I. Page: 425
352. PROPOSITIO II. Page: 426
353. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 427
354. Notæ in Propoſ. II. Page: 427
355. PROPOSITIO III. Page: 428
356. Notæ in Propoſit. III. Page: 428
357. PROPOSITIO IV. Page: 429
358. Notæ in Propoſit. IV. Page: 430
359. PROPOSITIO V. Page: 430
360. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 431
361. SCHOLIVM PRIMVM ALKAVHI. Page: 432
362. SCHOLIVM SECVNDVM ALKAVHI. Page: 433
363. Notæ in Propoſit. V. Page: 434
364. PROPOSITIO VI. Page: 435
365. Notæ in Propoſit. VI. Page: 436
366. PROPOSITIO VII. Page: 437
367. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 438
368. PROPOSITIO VIII. Page: 438
369. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 439
370. Notæ in Propoſit. VIII. Page: 439
371. PROPOSITIO IX. Page: 440
372. PROPOSITIO X. Page: 440
373. PROPOSITIO XI. Page: 441
374. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 442
375. PROPOSITIO XII. Page: 442
376. SCHOLIVM ALMOCHTASSO. Page: 443
377. Notæ in Propoſit. XII. Page: 444
378. PROPOSITIO XIII. Page: 444
379. PROPOSITIO XIV. Page: 445
380. PROPOSITIO XV. Page: 446
381. Notæ in Propoſit. XV. Page: 447
382. PROPOSITIO XVI. Page: 449
383. PROPOSITIO XVII. Page: 450
384. FINIS. Page: 452
385. Illuſtriſſime, ac Reuerendiſs, Dom. Page: 453
386. Reuerendiſs. Pater Domine. Page: 453
387. REGISTRVM. Page: 453
388. Errata in figuris. Page: 454
1
[Empty page]
211[Handwritten note 1]22[Handwritten note 2]33[Handwritten note 3]
3
APOLLONII
PERGÆI
CONICORVM
LIB. V. VI. VII.
&
ARCHIMEDIS
ASVMPTOR VM LIBER.
4
[Empty page]
5
APOLLONII PERGÆI
CONICORVM LIB. V. VI. VII.
PARAPHRASTE
ABALPHATO ASPHAHANENSI
Nunc primùm editi.
ADDITVS IN CALCE
ARCHIMEDIS ASSVMPTORVM LIBER,
EX CODICIBVS ARABICIS M.SS.
SERENISSIMI
MAGNI DVCIS ETRVRIÆ
ABRAHAMVS ECCHELLENSIS MARONITA
In Alma Vrbe Linguar. Orient. Profeſſor Latinos reddidit.
IO: ALFONSVS BORELLVS
In Piſana Academia Matheſeos Profeſſor curam in Geometricis verſioni
contulit, & notas vberiores in vniuerſum opus adiecit.
AD SERENISSIMVM
COSMVM III.
ETRVRIÆ PRINCIPEM
FLORENTIÆ,
Ex Typographia Ioſephi Cocchini ad inſigne Stellæ MDCLXI.
SVPERIORVM PERMISSV.
6
[Empty page]
7AD SERENISSIMVM
COSMVM TERTIVM
ETRVRIÆ PRINCIPEM.
10: AL FONSVS BORELLIVS F.
H A V D puto, Sereniſsime Princeps,
timorem cœleſtis irę, ſed Amorem
potius, & beneficentiam primùm
in orbe Deos feciſse; nec alios ab
initio habitos cum Prodico cenſeo,
quàm res humano generi ſummo-
pere vtiles, & ſalutares. Et ſa-
nè conſentaneum eſt in primorum hominum men-
tibus, quibus reuelationis lumen non affulſit, excita-
tam fuiſſe notitiam cuiuſdam naturæ, quæ eſſet mun-
di veluti Princeps, & Parens, quotieſcumque non
perfunctoriè attenderet animum præcipuè ad boni-
tatis affluentiam, mirabiliumque, & inſignium vti-
litatum comprehenſionem, qua Solaris ſplendidiſ-
ſima machina lumine ſuo ordinatiſsimè circumacto
cuncta viuificat, fouet, ac nutrit; mirarenturque li-
beralitatem Telluris, cùm tot opes, ac copias plan-
tarum, fructuum, animalium è ſinu ſuo veluti mater
benigna mortalibus præbet. Hæc & fimilia dum
priſci homines contemplarentur, fieri non potuit,
quin tantorum munerum largitores grato affectu
proſequerentur. Neque alia ratione cúm viri heroi-
ca virtute præditi artes, & inuenta præclara valdè
vtilia ingeniosè iuxta, ac liberaliter mortalibus
8 tuliſſent, ſumma veneratione talem, ac tantam bo-
nitatem ſuſceperunt, & Diuinitatis honores eis deſi-
gnarunt, vt Cereri, Baccho, Herculi, Mercurio,
& alijs. Horum autem illi præſtantiora bona attu-
liſſe humano generi cenſendi ſunt, non qui fragi-
lem, & limo affixam noſtram partem, ſed qui ani-
mum Diuinæ auræ participem eruditione, ac ſapi-
entia perfecerunt, & ornarunt. Hìnc artem, &
facultatem illam tradentes, qua vaſti maris plani-
tiem intrepidè perambulare non dubitamus coactis
ventis imperata facere, ibidemque verſantes acu
magnetica itinera ad vnguem menſuramus, & terræ
plagas, & cœli, ſtellarumque loca, & ſitus medijs
in tenebris conſtituti clarè conſpicimus. Vel hìnc
qua pondera immenſa puſillis noſtris viribus tanta
facilitate mouemus, vt terram vniuerſam è ſuo loco
transferre ſe poſſe non diffiteretur magnus ille Ar-
chimedes, ſi haberet, vbi pedem extra illam fige-
ret. Aut qua naturæ miracula in elementis, plantis,
animantibus perſcrutamur. Quaue ex fragili vitro lin-
ceos oculos veluti efformantes adeò cœlo proximi
efficimur, vt ferè ſummas mundi partes, & ſtellas
innumeras hactenus inconſpicuas contrectare videa-
mur. Aut eam tandem doctrinam Aſtronomicam,
qua in Cęlum transuolamus, duabus nimirum alis
Geometriæ, & Arithmeticæ, quibus Diuinæ Sa-
pientiæ theſauros contemplando, ſumma dulcedine
in hac mortali vita, gloriæ, felicitatiſque illius ineffa-
bilis participes efficimur.
Sed quia felices admirabilium rerum inuentores
vel fortunæ, vel temporum iniuria plerumque neque-
unt ſua ſtudia, licet illuſtria, & ſalutaria
9 tranſmittere, ideo viris principibus ſingulari virtute
præditis, ſine quorum auctoritate, & munificentia
bonæ illæ artes omnino depreſſæ, contemptæ, &
ſqualidæ deperirent, dum eas diuino inſtinctu pro-
mouent, augent, atque in vitam reuocant, ne dum
pares, ſed maiores gratias ijs habendas priſci homines
cenſuerunt, quàm inuentoribus ipſis, cùm ipſi bonis
illis alioqui non duraturis genus hominum beauerint.
Atqui inter iſtos Heroas digniſsimum ſibi meritò
locum vindicarunt Maiores tui, Princeps Sereniſsime,
quibus gratitudinis perpetuam deberi memoriam eru-
diti omnes fatentur. Quippe poſtquam Barbarorum
incurſionibus Europa vniuerſa, & Italia Princeps eius
prouincia priſco nitore amiſſo, omni ornatu litterarũ,
artium, bibliothecarum, lycęorum, imo humani-
tatis, & politiæ ſpoliata diù iacuiſſet, Diuino fauore
primus omnium ſurrexit Magnus ille Coſmus Medi-
ceus, qui viros doctrina eximios cum vniuerſa ſupel-
lectile Gręcæ ſapientiæ Conſtantinopolitani Imperij
calamitatem fugientes eo affectu complexus eſt, vt
omnium Muſarum parens appellari deberet, qui ob
liberalitatem pluſquam regiam, & beneficentiam vbi-
que terrarum effuſam, atque ob alia heroica geſta
Pater Patrię prius ſalutatus fuerat. In eius locum ſuc-
ceſsit Laurentius nepos, qui non ferro, & cęde, ſed
ciuili prudentia, & alto conſilio Patriam, & pene
Europam moderatus eſt: nec modo Poéticis lepori-
bus ornatus, ſed profundiſsimæ Philoſophiæ Plato-
nicæ innutritus, eamdem doctrinam opera, & ſtudio
potiſsimum Marſilij Ficini è Gręco translatam illu-
ſtratamque poſteris tranſtulit. Bibliothecam inſuper
Laurentianam à maioribus inchoatam
10 vndique manuſcriptis codicibus ſummo impendio,
ſummaque cura locupletauit. Iſq; filium reliquit Leo-
nem X. Pont. Max. , qui vniuerſi orbis viros eruditos
dilexit, fouit, amplificauit: Bibliothecam Vaticanã
mirificè inſtruxit: Vrbis Lyceum à fundamentis ere-
xit, codicibus, & viris doctrina magnis ornauit, atq;
priſca barbarie omnino deleta aureum litterarum ſæ-
culum reſtituit. Sed Coſmus ille primus Magnus Dux
Etruriæ mihi nunc non reticendus, qui præter præcla-
ra bellica, & politica facinora, quibus Etruſcum Im-
perium auxit, atque firmauit, promouendis diſcipli-
nis ſedulò intentus Athenæum Piſanum, vt cum ma-
ximè reparauit, vt profeſſoribus diſciplinarum fama
præſtantibus nobilitauit: Florentinam Academiam
inſtituit, Pandectarum libros ad fidem egregij, & ve-
tuſtiſsimi codicis manuſcripti ampliſsimè excudi iuſ-
ſit: tot inſignes Græci, Latini, Etruſci idiomatis ſcri-
ptores vigilijs, & labore eruditiſsimorum virorum illu-
ftratos typis edendos curauit: Paulum Iouium cum
primis, & Io: Baptiſtam Adrianum ad ſui temporis
hiſtorias conſcribendas ampliſsimis oblatis præmijs
perſuaſit. Virtutes, atque opera tam Magni Paren-
tis imitatus eſt Franciſcus, qui in Imperio ſucceſsit, &
antiquitatis ſtudio maximè delectatus, præclaras, atq;
innumeas venerandæ vetuſtatis reliquias, lapides,
gemmas, numiſmata collegit. Hunc excepit Ferdi-
nandus primus verè litteratorũ Mecoenas, qui Biblio-
thecam codicibus Hæbreis, Chaldæis, Syriacis, Egy-
ptijs, Perſis, & Arabicis (inter quos hi libri Apollo-
nij, & Archimedis extant) feliciſsimè ditatam reli-
quit, atque eruditiſsimos viros Hieronymum Mercu-
rialem, Petrum Angelum, Iacobum Mazzonum, Io:
11 Baptiſtam Raimundum, totq; alios largiſsimis ſtipen-
pendijs euocauit, atq; aluit; Sacroſanctaq; Euangelia
fidei propagandæ ſtudio imprimi, Euclidem quoque,
Auicennam, Geographiam Nubienſem typis nitidiſ-
ſimis Arabicè omnia edi curauit. Non abſimilis litte-
rarum amore Coſmus Secundus, cuius nomen, ac glo-
riam magnus ille Galilæus erga Principem de ſe opti-
mè meritum gratiſsimus in cœlum vexit, ac inſculpſit;
Vir nempe (vtGaſſendus ait) ſuper æthera notus; quo
alium non extulit ætas hæc noſtra glorioſiorem; quip-
pe tametſi orbis terrarum laudatis virorum illuſtrium
dictis, factiſq; circumſtrepit, horum tamen omnium
memoriam ſilentium altum breui inuoluet: nomen,
quod ille cœlo inſcripſit, donec cœleſtia curæ erunt,
apud homines perennabit. Tandem Ferdinandus
Secundus ingenij perſpicacia mirabilis, maieſtate im-
perij præclarus, virtutibus, & Philoſophia illuſtrior fe-
liciter regnat: is eſt, cuius munificentia, ac fauore Eu-
ropa vniuerſa in Etruſca hac regia (ne aulicum decus,
aut cultum, nobilium obſequia, & famulitium, Muſæ-
um ampliſsimum, ac ditiſsimum referam) eruditorum
frequentiam philoſophantium, diſceptationes, ac per-
petua exercitia literaria æſtimari, ac florere merito
ſuſpicit, & veneratur; cum Muſæ reliquis in aulis
tantũ non neglectæ huc ſe ſe recepiſſe veluti in ſedem
ſuam videantur; hìc enim in delicijs habentur ſectio-
nes anatomicæ, cœleſtes obſeruationes, chimica eſpe-
rimenta, vniuerſęque naturalis philoſophiæ accurata
inquiſitio. Vno verbo hinc credula philoſophia exu-
lat; non hominum libri in pretio habentur, ſed Dei
volumen, ſcilicet rerum natura veris, accuratiſq; expe-
rimentis ſummo ſtudio indagatur, & colitur.
12 ris hiſce ſtudijs lactatus, & innutritus es, Princeps Se-
reniſsimè, tot tantorumq; heroum progenies, quorum
virtutes incomparabiles, & egregia geſta conſentaneũ
eſt in te vno veluti foco ſpeculi parabolici ſimul colle-
cta, & vnita ſplendeſcere, vt totas vires ſuas ſumma
virtus experiatur, atq; ineffabilem bonitatem, benefi-
centiæq; ſtudium, virtutum, artium, ſcientiarum cul-
tum à maioribus acceptum ſtudiosè, & religiosè con-
ſerues, atq; ad poſteros auctum tranſmittas.
Si igitur hominum genus natura dictante primum
Deo Op. Max. , & beneficentiſsimo gratias iuſtis ho-
noribus, & memori mente perſoluendas eſſe decreuit;
atq; ne memoria beneficiorum deleretur templa, fa-
na, feſtos dies, & ludos inſtituit. Secundo loco eoſ-
dem ferè honores Heroibus, ac Principibus ſtatuit, nõ
his qui armis, & cęde potentiam violenter ſibi vindi-
carunt, ſed qui præſtantibus virtutibus ornati magna
beneficia in homines contulerunt, ſique eos non hu-
manis, ſed diuinis laudibus celebrari iuſsit, potiori iure
tibi, Princeps Glorioſiſsimè, pręclariſsimorũ heroum,
ac virtutum hęredi plauſus debitus, honores, laudes,
& grati animi monumenta ab eruditis Europæ viris
offeruntur. Quandoquidem magna, & certa illos ſpes
tenet ampliſsimum patrimonium heroicarum virtutũ,
quod Coſmus Pater Patriæ, Laurentius magnificen-
tiæ exemplar, Leo ſui ſęculi felicitas, inſequenteſque
generoſiſsimi Principes, atq; Heroes de genere huma-
no, & bonis litteris optimè meriti tibi reliquerunt non
ad ſaſtum, ſed ad imitationem, & ſtimulum gloriæ,
nec externè, ſed in animo, & cordis ſacrario piè a te,
ac reuerenter curandum, ſeruandum, amplificandum
ea pręcipuè qua polles pręclara indole, ingenijq;
13 mine, ac felicitate, amoreq; ſcientiarum, ac bonarum
artium, quibus te Deus, & Natura indulgentiſsimè
cumulauit. Hoc quidem ſummopere precatur, &
vouet eruditorum Reſpublica, ò Princeps longe in-
comparabilis, idque vaticinatur ex hoc tuo pręclaro
decore, & ſummæ bonitatis ſpecimine: Quippe, ò
Principum decus, & ſtudioſorum delicium, perbellè
docuiſti virtutis heroicę magis proprium eſſe benefa-
cere, & alijs prodeſſe, quàm laudes meritas captare, &
exigere; dum veluti epulo lautiſsimo in hac ſolemni
pompa tuarum nuptiarum, ſcientiarum cultores dona-
tos voluiſti; quid enim pretioſius, & magis expetitum
veritatis ſtudioſis præbere poſſes, quàm Quintum,
Sextum, & Septimum libros Conicorum Apollonij
Pergæi hactenus deploratos, atq; lemmata Archime-
dis, quæ Sereniſsimus Ferdinandus Secundus inclytus,
atque optimus parens tuus ex Arabico verti, & ty pis
excudi ad communem reipublicæ litterariæ bonum
iuſsit? Tanto ergo pro beneficio
-- grates perſoluere dignas
-- Non opis eſt noſtræ,
Numina tibi
-- pręmia digna ferant, quę te tam lęta tulerunt
-- ſęcula. qui tanti talem genuere parentes.
14
CAVE CHRISTIANE LECTOR.
ABalphatus Aſphahanenſis Apollonij Paraphra-
ſtes religione Maumedanus fuit; quapropter
aliquot locis more ſuę Gentis non modo Regi ſuo
Abicaligiar Carſciaſeph nimium adulatur, verùm
etiam impiè loquitur. Nihil tamen omiſsum eſt, vt
antiquus Codex integrè, fideliterq; exhiberetur. Hęc
eadem de Archimedis interprete dicta ſunto. De
his te præmonitum volui, ne inter legendum piæ
aures tuæ vel minimùm offenderentur.
15
IN NOMINE DEI
MISERICORDIS
MISERATORIS.
PROOE MIVM
ABALPHATHI FILII MAHMVDI, FILII ALCASEMI,
FILII ALPHADHALI ASPHAHANENSIS.
LAVS DEO VTRIVSQVE SECVLI DOMINO.
MATHEMATICA quamuis pra-
ctica ſit ſcientia, ac diſciplina, cu-
ius legibus, & præceptionibus diſ-
ponitur, atq; dirigitur intellectiua
potentia ad abſolutam, perfectam-
que imaginum cognitionem, præ-
ſcindendo à materijs, qui eſt pri-
mus gradus aſcenſionis à ſenſibilibus ad intelligi-
qilia; nihilominus ſuarum claritate demonſtratio-
num, non ſolùm ab alijs differt ſcientijs
16ABALPHATI etiam longiſsimè ijs præſtat, atq; præcellit, eò quòd
fæcium, ſordiumque dubitationum, & aliorum hu-
iuſmodi generis accidentium expers omninò ſit, atq;
libera. Ea autem propter ſe habet ad ſcientificam
potentiam, quemadmodùm habent ſe limpidiſsima
quæque orbi ſolis oppoſita ad viſiuam potentiam.
Ex quo ad illam comparandam, conſequendamq;
non excitatur intellectiua duntaxat vis, verùm etiam
multùm exacuitur, atq; delectatur, ponderatis præ-
ſertim, expenſisq; illius demonſtrationibus, & cer-
tiſsima earum comprehenſa, & cognita veritate.
Tunc quippè huius veritatis percepta animus odo-
rationis ſuauitate, auidè, & ardentiùs appetit con-
ſequi ea omnia, quæ illius ſuggerunt demonſtra-
tiones, earumque potiri. Subindè verò procedere
conatur vltrò ad vltimum finem, nempè ad pro-
prietatum, & obiecti illius cognitionem, excelſita-
tem, atque præſtantiam comparandam, tandemque
ad ea omnia, quæ ad ipſam ſpectant. Quod qui-
dem luminis cùm ipſius affulſerit ſtudioſis, & quàm
præcellens ſit, animaduerterint, omnes ſuos con-
tulerunt conatus ad libros componendos, conſcri-
bendoſq; de ipſius elementis, principijs, ac omni-
bus ijs, quę indè deriuantur, & eò ſpectant. Soli-
diora porrò profeſsionis huius fundamenta omnium
primus iecit Euclides in eo libro, quem de elemen-
tis inſcripſit, in quo fundamentales continentur ra-
tiones linearum tam rectarum, quàm curuarum,
nec non ſuperficierum prouenientium vel ex earum
ſingulis vel ex omnibus ſimul ſumptis. Rationes
prætereà habentur ſolidorum prouenientium,
17PROEMIVM. ex ſuperficiebus rectilineis, qualia ſunt habentia
baſes; vel ex curuis, qualia ſunt ſphœrica; vel ex
hiſce compoſitis, quales ſunt ſuperficies Cylindro-
rum, & Conorum. Verùm enim verò figuris ex
ſegmentis ſuperficierum planarum prouenientibus,
& cuiuſlibet etiam Solidorum Sphœricorum, Cy-
lindricorum, atque Conicorum nullum hactenùs ia-
ctum erat fundamentum, aut præmiſſa elementa,
vel fundamenta aliqua. Ex quo illi priſci librorum
Scriptores aliquid de ijs innuebant duntaxat, &
quidem leuiter. De Sphœricis autem aliquid ex eo-
rum legebant proprietatibus, & paſsionibus; ſiue ex
proprietatibus ſegmentorum indè prouenientium;
vel figurarum in ea incidentium; vel ex accidenti-
bus quibuſdam ipſius Sphœræ, quæ ex eius proce-
dunt motibus; vel quia ſe inuicem includunt, &
componunt. Nam Sphœra aliqua opus illi erat ad
Sphœræ vniuerſalis cognitionem conſequendam vna
cum eius orbibus, ac motibus, & ad inuicem at-
que ſua centra applicatione. Et id tandem, donec
librum Almageſti compoſuit Ptolomæus, in quo
ea omnia recondidit copiosè, quæ illi anguſtè, &
leuiter hoc de argumento ſuis innuebant ſcriptis,
tradens non ſolùm methodum, ac rationem eorum
aſſequendi cognitionem, ſed, & inſtrumentorum
etiam vſum. Quod profectò iactum fuit tamquàm
vniuerſale quoddam fundamentum, ac principium
ea omnia comprehendens, quæ ad Sphœrica perti-
nent; vndè hac in re ſatis abundè ſtudioſorum ſiti,
& deſiderio conſultum fuit. Porrò Appollonius
profeſsionẽ, & diſciplinam hanc ad ſupremum
18ABALPHATI fectionis perduxit gradum, Conicorum componen-
do librum, qui Conicarum ſectionum complecti-
tur proprietates, quæ ſublimiorem, eminentiorem-
que diſciplinæ huius ſibi vindicant locum. Et ſane
tot propoſitionibus, totque figuris illum ditauit, vt
admirabiles illæ nuncupari meruerint, eò quòd
contineant lineas curuas, ſeu medias inter rectas,
ac circulares ſeſe inuicem ſecantes; adeoque miros
quidem fundunt ſenſus, & proprietates. Quos qui-
dem omneslibros, qui diſciplinæ huius fundamenta
ſunt, ad Arabicam tranſtulere linguam illius ſtu-
dioſi. Quamuis autem liber iſte Conicorum præ-
ſtantiſsimus ſit, tam ratione ſui, quàm præclariſ-
ſimi Auctoris, nihilominùs nimiam ob illius obſcu-
ritatem, difficultateſque obuiam occurrentes, ac
profundiſsimos, quos continet ſenſus; tum etiam
ob innumeras, & admirabiles figuras, & propoſi-
tiones; tandemque ob temporis diuturnitatem, in-
genteſque perferendos labores ab interprete, qui
eùm ex Græca transferat lingua, dudum neglectus
fuit, ac penè etærnæ datus obliuioni, vt nemò ha-
ctenùs illum, vel Commentarijs illuſtrauerit, vel
congeſſerit in ordinem, quamquàm ſummè ſit ne-
ceſſarius, ac vtiliſsimas complectatur propoſitiones,
& figuras. Quapropter diù ſepultus, & ignotus
iacuit, & penè ad defectum vſque, ac interitum,
cùm apud Diſciplinæ ſtudioſos, tum etiam ipſos
profeſſores, & fragmenta ex illo circumferebantur
aliqua, & ea ſanè faciliora, quia obſcuriora euita-
bant omnes, atque declinabant; vno verbo inte-
grum hactenùs viderat nemo. Hinc mihi
19PROEMIVM. viſum eſt, me Reipublicæ Literariæ gratam rem
facturum, ſi eum in integrum reſtituam, ac in
vnum congeram volumen, vt ita redactus facilis ſit
portatu, ſub omnium verſetur oculis, omnium te-
ratur manibus, & ad reliqua facilior reddatur adi-
tus. Quem etiam librum comparare ſtudui 11Impiè
adulatur
Regi ſuo
Paraphra
ſtes Ara-
bicus. thecæ domini noſtri Regis præſtantiſsimi, munifi-
centiſsimi, doctiſsimi, iuſtiſsimi, victoris, trium-
phatoris, Fidei defenſoris, celſitudinis Monarcha-
rum, gloriationis ſui generis, gloriæ religionis, ſolis
Regum, Abicaligiar Carſciaſeph Filij Alì, Filij
Phrami, Filij Haſami, Principis Fidelium, quem
incolumem, ac ſoſpitem ſeruet Deus, eiuſque de-
primat hoſtes, & proterat oſores. Nunc autem ali-
quid de ordine, & rerum diſpoſitione, ac conciſa
breuitate dicendum nobis ſupereſt. Nam rerum
ordo, & accommodata diſpoſitio id intelligentiæ
afferunt auxilij, quod in ſcientijs comparandis lu-
culentiſsimæ demonſtrationes; conciſa verò breui-
tas, ac ſuis terminis neceſſarijs expedita, & ritè di-
ſpoſita, eandem penè proportionem habet ad in-
telligentiam, ac cauſa ad cauſatum. Ea autem
propter ordinis conſeruatrix virtus venatio dici ſo-
lita eſt, & ſatis quidem appoſitè, & eleganter.
Nam concepti ſenſus, & in mente comparati, ſi
intra ordinis cancellos includantur, ſingulos ſuis di-
ſpenſare momentis procliuè poterit conſeruatrix re-
rum illa virtus. Simillimi, alioquin erunt feris per
vaſtas vagantibus ſolitudines, ac nullo coércitis val-
lo, quorum imagines, & motus ita ſeſe offerunt
conſpicienti, & contemplanti, vt nullo negotio
20ABALPHATI capere, & aucupari ſe poſſe arbitretur, at cum id
præſtare tentat, ſtatim dilabuntur, atque euane-
ſcunt. Ea planè ratione termini rerum ſingulos in
mente conceptos ſenſus deſignantes, niſi ſuo coér-
ceantur ordine dilabuntur, & euaneſcunt; præci-
puè cùm modò hanc, modò illam fundant ſigniſi-
cationem, cùm iuxta labentis temporis varietatem,
tùm diuerſitatem regionum, & prouinciarum, vt
non eadem vbique, & ſemper ſit par ratio, licet
ijdem in anima maneant habitus. Ex quo palam,
& planè relinquitur, quòd acquiſiti illi termini non
inhæreant, quemadmodùm ſubſiſtenti eſſentiales
inhærent differentiæ; neque etiam quemadmobùm
proprietates neceſſariò conſequentes ſuo inhærent
ſubiecto; ſed ea inhærent ratione, quá accidentia
difficilè, ac tardè amouibilia. Quandoquidem ter-
mini eiuſmodi vocabula ſunt quædam rebus impo-
ſita, & applicata ad ſenſus commodè eliciendos,
atque eruendos. Quod autem vel diuino factitatum
eſt inſtinctu, vel Prophetica inſpiratione edoctum,
ſicut indicat nobis Altiſsimus Deus dicens: ( in 11Inſulsè
ex Alco-
rano pro-
fert, quæ
ſunt in Sa
cra Gene-ſi. corano ) & docuit Adamum cuncta nomina; vel
iudicio, & calculo ſapientum virorum, quemad-
modùm præſtitiſſe legimus primos illos artium in-
uentores. & ſcientiarum; vel magna aliqua neceſ-
ſitas hominum coégit vulgus ad eiuſmodi excogi-
tandos terminos, rebuſque imponendos, ac tranſ-
latione quadam vocabula mutuanda, & ad alias,
atque alias res transferenda, ex quo ſynonymo-
rum ea enata eſt ccpia. Nec vllus profectò ſapien-
tum, qui has profeſsi ſunt Diſciplinas, aut qui
21PROEMIVM. ſorum ſecuti ſunt veſtigia, hanc imponendorum
terminorum rationem aſpernatus ſubindè eſt, aut
ab illa abhorruit; quinimò acceptiſsima ſemper om-
nibus fuit, vt quæ maximum rerum intelligentiæ
ſplendorem affert, & claritatem. Eandem igitur
hanc ob cauſam in colligendis, digerendiſque hiſce
famulus libris, antiquorum ſapientum, & artium
profeſſorum, inuentorumque inſiſtens veſtigijs, ter-
minos, & vocabula ſingulis rebus imponere, &
earum vim breui declarare definitione cenſuit, vt
ita ſuis coércita omnia limitibus nequeant in varias
partes, & ſenſus diffluere, ad conciliandam lecto-
ri inter legendum hos Apollonij libros eam, quæ
fieri poteſt, facilitatem. Innui prætereà eandem
etiam ob cauſam obſcurioribus in locis expoſitionem
aliquam, ne vlla ſubindè relinqueretur difficultas
ad mentem Auctoris cumulatè aſſequendam.
Tandem lectorem meum enixè rogo, vt
excuſatum me habeat, ſi mendum
aliquod, aut erratum meam
ſubterfugerit diligentiam.
Interea Deum ſup-
pliciter depre-
cor
Altiſsimum, vt nos ad ea, quæ vtiliora
nobis ſunt, demúm
perducat.
22
Ne vacaret pagina ipſiusmet Apollonij Pergæi ex Epiſtola ad Eude-
mum Argumenta in quatuor Conicorum libros poſteriores, qui Græcà
linguà iniuria temporum perierunt, hìc apponuntur, quorum tres ex
Arabicis M. SS. nunc exhibentur.
Reliqui autem quatuor libri ad abundatiorem
ſcientiam pertinent. Quintus de Minimis, & Ma-
ximis magna ex parte agit. Sextus de Æqualibus,
& Similibus coni ſectionibus. Septimus continet
Theoremata quæ determinandi vim habent.
Octauus Problemata conica determinata.
Hæc eadem Pappus Alexandrinus lib. 7. Mathemat. Collect. , atq;
Eutocius in Commentar. ad Apollonium.
23PRÆFATIO.
ABRAHAMI ECCHELLENSIS
IN LATINAM EX ARABICIS
Librorum Apollonij Pergæi verſionem
PRÆFATIO.
APOLLONIVS Pergæus vetuſtiſſimus,
ac magni nominis Græcus auctor otto de
Sectionibus Conicis conſcripſit libros.
Horum priores quatuor hactenus omnium
teruntur manibus; poſteriores verò, ne-
ſcio quo fato, & rerum viciſſitudine ſunt
amiſſi, ac non ſine magno literatorum
animi mcerore iamdudum deplorati, &
nuſquam perdiligenter non quæſiti ab ijs præſertim, qui Geo-
metriæ, & Matheſeos operam nauant ſtudijs, ſed fuſtra diu.
Tandem deprehenſum eſt, hos, quemadmodum, & reliquam
penè Grecæ ſapientiæ ſupellectilem ad Arabum migraſſe ſcho-
las, ibique Arabicè conuerſos, & Arabicis indutos ornamen-
tis, in illius gentis tamquam extorres, & inquilinos latitaſſe
Bibliothecis. Quamobrem eorum miſerti vicem Sereniſſimi
24ABRAHAMI ECCHELLENSIS gni Etruriæ Duces, inde magno ſoluto pretio redemerunt, ip-
ſorumque tam præclara opera quaſi iure poſtliminij vindica-
runt, ac demum patrio ſolo reddiderunt. Attamen ſat non-
fuit, aut viſum eſt ſummis iſtis Principibus Apollonium in liber-
tatem afferuiſſe, & ex Barbarorum eripuiſſe manibus, ac in ce-
leberrrima tctius Europæ Auorum repoſuiſſe Biblioteca; ſed
omnem nauarunt operam, & ſtudium, vt Latina etiam donati
linguà in literatorum gratiam publici iuris fierent. Ea 11Fallitur
C.V. Ger.
10: V oſſius
hoc tribu-
ens Sixto
V. P. M.
C. 17. 29.
de ſcient.
Matbe-
mat. verè Magnus ille in omnibus Ferdinandus primus celeberrimam
eam erexit Typographiam è nomine gentilitio Sereniſſimæ fa-
miliæ Mediceam nuncupatam, cui nullam ſimilem, aut parem
vidit Chriſtianus Orbis, aut viſurus vnquàm eſt; ſiue characte-
rum, præſertim Arabicorum, ſpectes copiam, ſiue varietatem,
ſiue nitorem, ſiue elegantiam. Dictis hiſce profectò noſtris
ſpectatiſſimam, ac manifectiſſimam fidem faciunt Sacroſanti
Euangeliorum libri, Auicennæ, Euclidis, aliaque Arabica ope-
ra ijs edita typis, quæ omnibus Orientis gentibus admirationi
ſunt, atque adeo auidiſſimè expetuntur, ac magno comparan-
tur pretio. Sed hæc non typis duntaxat excudi iuſſit munifi-
centiſſimu s Princeps, verùm etiam viros linguarum peritiſſi-
mos ingenti conduxit ſtipendio, qui Arabicorũ Codicum va-
carent verſionibus. Hos autem inter principem obtinebat locum
Ioannes Baptiſta Raimundus vir, & ſcientiarum cognitione, &
linguarum peritia omnium ore celebratiſſimus. Is autem, &
ſcriptis literis, & familiaribus cum amicis colloquijs Apollonij
librorum verſionem ſæpenumerò pollicitus eſt. Imò erant, qui
libris editis verſionem iam à Raimundo confectam, & perfe-
ctam eſſe, in vulgus iactarent. Verùm cum nunquam viſa fue-
rit eiuſmodi verſio, neque inter ipſius ſcripta reperta, neque
in Aduerſarijs notata, aut catalogo ipſius librorum adſcripta,
quæ omnia religiosè hactenùs conſeruantur, hoc vnum creden-
dum ſupereſt, eam votis ſolùm ſuſceptam, & cogitatione deli-
neatam fuiſſe; rem autem, aut quòd per otium ipſi non licuit, aut
ob Codicis lectionem, & ſcripturæ difficultatem, quæ maxima
eſt, vel ob orationis abſtruſæ, & ſermonis ancipitem, ac mul-
tiplicem verborum poteſtatem, vel tandem aliquam aliam ob
cauſam, quàm, conijcere difficile eſt, perficere non potuiſſe.
25PRÆFATIO. Nihilo tamen minùs Magni Principis, Magni Filij, Magni Ne-
potes aut ab incœptis deſtiterunt, aut generoſiſſimi animi du-
dum conceptum ſtudium remiſerunt. Quamobrem ante bien-
nium ſcriptis à Sereniſſimo Principe Leopoldo literis officij ple-
nis, & humanitate, tam proprio, quàm Magni Ferdinandi
II. fratris nomine, impoſita mihi fuit hæc prouincia optatæ diu,
& penè deſperatæ verſionis. Quo ſanè, vt ingenuè fatear, ni-
hil iucundius, nihil carius, nihil antiquius accidere mihi po-
terat; quòd hac data occaſione, aliquam grati animi ſignifica-
tionem exhibere me poſſe putabam Sereniſſimo illi Principi,
cuius ampliſſima in me beneficia ſum expertus. Memini profe-
ctò, nec ex animo meo excidet, imo clauo fixum trabali ma-
net, quanta in me contulit Magnus Ferdinandus Secundus or-
namenta, quanta in me vſus eſt liberalitate, & beneficentia,
non tantùm dum fortuna mihi arridebat, non ſolùm dum res
ſuccedebant proſperè, non modò dum ad illum ab Amiro Fa-
chraddino miſſus ſingulari felicitate fiuebar, ſed etiam in nau-
fragio, & iactura illa barbarica, in Carrellina coniuratione,
& proditione, in aduerſiſſima fortuna. Sed hæc omnia magis
à me exprimi poſſunt profundiſſimo ſilentio, quàm verborum,
copia, aut oratione altius exaggerata. Verùm enim verò dum
arbitrabar, mirificam nactum me eſſe opportunitatem gratifi-
candi Principi de me optimè merito, & exhibendi aliquod gra-
ti animi ſignum, penè concepta excidi ſpe. Nam aperto Apol-
lonij Codice, & coniectis in eum oculis duæ primo ferè intuitu
ſeſe mihi obtulerunt difficultates, quas à me neque ſuperari,
neque vinci poſſe prorsùs exiſtimaui. Hinc ſummus, & abſtru-
ſus pudor, hinc plurimus ſudor ingenuè omnia fateor. Et eò
magis intimis animi ſenſibus angebar, quod ea verſio non in
ſeceſſu aliquo fiebat, & remotis arbitris, vbi aciem mentis ab-
ducere, difficultates commodè expendere, animoque intento,
& libero luſtrare quæ in rem eſſent, ac per otium poſſem, ſed
præſentibus grauiſſimis viris, & quidem, ex tempore, & nulla
data præmeditandi facultate, interpretationem facere compel-
lebar. Ea fortè illorũ præclariſſimorũ virorũ de me erat opinio,
& exiſtimatio, quàm tamen parum abfuit, quin penitus perdi-
diſſem, cùm vix, & ne vix quidem ſcripturam illam legere
26ABRAHAMI ECCHELLENSIS ſem, quæ prima erat difficultas. Nam puncta aberant diacriti-
ca imprimis (de punctis vocalibus hic non loquimur, nec eorũ
inter legendum à peritis linguæ habetur ratio, aut negotium
aliquod faceſſunt), nempè ea, quæ formam dant literis, lite-
raſque conſtituunt, & ſine quibus literæ ſunt pura, ac nuda
materia omni ſpoliatæ forma. Quid autem ſit materia omni
ſpoliata forma, neque ipſi ſciunt Philoſophi, quorum id ſcire
intereſt. Eodem prorſus ſe habent modo Arabum literæ, ſeu
potiùs literarum ductus, & lineæ diacriticis hiſce carentes pun-
ctis. Eadem enim figura, ſeu linea, exempli gratia, ſi vnum
ei ſuperponitur punctum erit N. ſi verò ſupponatur, B. ſi duo
ſuperponuntur, T. ſi tria Th. ſi duo ſupponantur, I. & ſic de
cæteris ferè omuibus arguendum eſt. Si quis autem percontabi-
tur, quid erit illa figura, & linea, ſi nullum adſit punctum?
reſpondetur materia ſine forma, & quid ſit prorsùs ignoratur.
Augebant etiam lectionis difficultatem ipſæ literarum figuræ,
quæ ita raptim, & curſim, licet elegantiſſimè, ductæ erant, vt
vix ab inuicem quandoque, & identim diſtinguerentur. Hæc
autem difficultas terruit quidem primo aſpectu ſed breui, & ci-
tius quàm credebam, ſuperata fuit, tum ſtudio, & diligentia,
tum experientia, quàm ab ipſa ineunte ætate ex lectione eiuſmo-
di ſcriptorum generis comparauimus.
Altera difficultas, quæ ſe nobis obtulerat, maioris quidem
erat ponderis, & momenti; verſabatur quippè circa diſciplinæ
vocabulorum intelligentiam, & notionem, quorum ignari era-
mus, & penitùs ieiuni. At hanc quoque difficultatem facili ne-
gotio ſuperauimus ope, & opera Clariſſimi, atque Doctiſſimi
Viri D. Ioannis Alphonſi Borelli Matheſeos in Piſana Acade-
mia profeſſoris celeberrimi, qui, & verſionem ipſam promo-
uerat apud Sereniſſimos Principes, & Codicem comportauerat
idem Romam, ac perpetuus mihi aderat Dux, & Magiſter.
Et ita ſanè ea omnia, quæ ad Diſciplinæ, eiuſque vocabulo-
rum notionem pertinebant, clarè, dilucidè, & explicatè ordi-
ne inſinuauit, vt breui meis auditoribus Matheſeos profeſſor vi-
derer. Porrò quod hac in re magis mirandum eſt, nec ſilentio
prætereundum, ea erat Viro illi Doctiſſimo ſingularis ingenij
perſpicacitas, vt ſæpe in abſtruſis quibusdam locis, non ex
27PRÆFATIO. tegris, inquam, præmiſſis, ſed ex vnica dictione totam illatio-
nem inde colligeret, non ſenſu, ſed totidem penè verbis, ac
ſi Arabica legeret verba, & linguæ veteranus eſſet profeſſor. Pro-
indè verius ipſi, quàm mihi adſcribenda eſt hæc verſio, longè
tamen abſit omnis adulatio, & animi propenſio in virum ami-
ciſſimum. Hac mutua contentione, & interpretandi, & verten-
di trium Menſium ſpatio verſio noſtra confecta, & abſoluta
eſt, in qua horis tantummodò matutinis propter nimios calo-
res æſtiuos conſumpſimus. Et hæc de ratione verſionis poſterio-
rum librorum Apollonij, & methodo ſatis dicta ſint. Nunc de
ipſo Apollonio, eiuſqne librorum Arabica verſione, & illius au-
ctoribus nonnihil dicere, par, & conſentaneum eſt.
Apollonium ſub Achaz Filio Ioatham regis Iuda poſt Tha-
letem Mileſium Floruiſſe, Arabes perhibent Scriptores. Sic
enim lib. 3. Chronicorum in Achaz ſcriptum reliquit Gregorius
Barhebræus: Poſt Thaletem celebris fuit in Geometricis præcipuè diſci-
plinis Apollonius Naggiar. (ideſt faber lignarius) Is cornpoſuit Tra-
ctatum de ſcientia Conicor. nempè de lineis, quæ neque rectæ ſunt, ne-
que arcuatæ, ſeu curuæ, ſed inclinatæ. Notandum hìc eſt vocem
Naggiar, quæ Apollonio tribuitur, vt cognomen, & nos fa-
brum lignarium vertimus, poni (vt opinor) pro Geometra, & id
fortè exindè, quòd inſtrumenta, quibus vtebantur Geometræ
ex lignis olim conficiebantur. Quod, & indè conijcio, quia
hoc idem vocabulum Euclidi quoque tribuitur apud eundem
Gregorium ſic de illo ſcribentem. At Euclides Naggiar ex Vrbe
Tyro erat.
De verſione autem librorum Apollonij in Arabicam linguam
ita ſtatim ſubdit mox laudatus Gregorius: Ex his autem verſi
ſunt in Arabicam linguam tempore Almamuni ſeptem libri, eius tamen
præfatio indicat, octo fuiſſe libros; qui quidem Tractatus cum alio Tra-
ctatu eiuſdẽ Apollonij cauſam dedere Euclidi ſuorum componendorum li-
brorũ longum poſt tempus. In his longè videtur diſcrepare Grego-
rius à communi Chronologorum ſententia, & opinione, qui
Apollonium Floruiſſe ſcribunt anno periodi Iulianę 4474. ideſt
annis ante Chriſtum Dominum 240. adeoque multò iunior eſt,
quàm facit illum Gregorius. Diſcrepat prætereà ab ijſdem Chro-
nologis in ætate Euclidis, quem Apollonio iuniorem
28ABRAHAMI ECCHELLENSIS vbi illi eum collocant in anno periodi Iulianæ 4430. ideſt ante
Chriſtum Dominum annis 284. iuxta quàm opinionem Apollo-
nius iunior erit Euclide annis 44.
Almamun autem ſub quo facta eſt librorum Apollonij verſio
in Arabicam linguam ex laudato Gregorio Chalipha ſecundò
ſalutatus eſt An. Heg. 203. ex omnium ſcriptorum ſententia,
qui annus ex Tabula Aerarum Iſmaelis Sciahinſciah, quàm re-
fert in hiſtoria Gentium, reſpondet Anno Chriſti Domini ſola-
ri 826. plùs minuſue. Nam Hegiram accidiſſe anno Chriſti
631. habet Iſmaèlis Tabula contra omnium Chronologorum
Orientalium opinionem, qui eam reponunt in ann. Chriſti 622.
& vndecim Heraclij, vno excepto Eutychio Alexandrino, qui
eam reponit in ſua hiſt. Eccles. in an. Chriſti 614. ſcribit enim
ibi: A Chriſto Domino noſtro vſque ad Hegiram ſunt anni 614. In
quo octennio integro diſcrepat ab alijs Chronologicis. Sed hæc
leuiter tetigiſſe, ſatis eſt; non eſt enim animus hic temporum
apices data opera excutere, nec id ſanè vacat, nec huius lo-
ci eſt.
Principem autem Almamunum, eam procuraſſe verſionem
librorum Apollonij, non ſolùm facilè, ſed procerto credendum
eſt. Nam is omnium ſcientiarum ſtudijs vehementiſſimè arde-
bat, proindeque congerendorum vndique librorum nunquàm
finem faciebat, eratque in eorum interpretes prolixiſſimus.
Mira ſanè, quæ de illius, ac proaui Abugiahphar Almanſur
animi propenſione in literas, & literatos viros refert Sahadus
Filius Ahmedi Andaluſij in Hiſt. Arabum. Is, inquit ibi, erat
ſtatus Arabum in gentilitate. Poſtquàm verò fauoribus proſequutus eſt
Deus Altiſsimus Hacſemitas, deuoluitque ad eos imperium, conuerſæ
mentes ſunt, & intellectus à ſtupore, in quo iacebant, & exſuſcitata
ingeniorum acumina poſtquàm extincta erant. Horum autem primus,
qui promouendis ſcientijs operam nauauit, erat Abugiahphar Almanſur
ſecundus Chalipha. Qui tametſi luriſprudentiæ deditiſsimus eſſet, &
peritiſsimus; nihilominus, & Philoſophtæ vacabat ſtudio, ſed arden-
tius Aſtronomiæ. Cùm verò Imperij ſuſcepiſſet ſceptra Chalipha ſepti-
mus Abdalla Almanſun filius Aaronis Raſcidi, abſoluit ea, quæ ince-
perat Auus ipſius Almanſur, operamque dedit ſcientijs vbique inquiren-
dis. Hinc Græcorum ſcripſit Imperatoribus rogans ſibi mitti
29PRÆFATIO. haberi poſſunt Philoſophorum libri, qui quotquot comparare potuerunt mi-
ſerunt ipſi. Quibus ille vertendis peritiſsimos quoſque ſelegit interpretes,
& curam iniunxit interpretandi, & verſi ſunt eo ſtudio maiori, quod
fieri poteſt. Quo autem facto homines non ſolùm incitabat, ſed & co-
gebat quodammodò, vt ijs legendis, & ediſcendis operam darent.
Ipſe verò ſapientes viros familiariſsimè conueniebat, eorumque perami-
ce vtebatur conſuetudine, atque plurimum illorum delectabatur collo-
quijs. Nouerat, & quippe optime, ſapientes viros Deo Altiſsimo mor-
talium eſſe cariſsimos, ac ipſi coniunctiſsimos, eo quod ſeſe dederunt
animæ rationalis virtutibus comparandis, poſthabitis, & contemptis
ijs, quibus Sinenſes, ac Turcæ, eorumque ſimiles incumbunt. Hi
enim oſtentare amant artium Mechanicarum ſubtilitatem, animæ ira-
ſcibilis gloriantur potentijs, & concupiſcibilis iactant ſe ſe facultatibus.
Cum tamen hæc omnia communia cum ijs ipſa habere bruta, ſcire de-
beant; imò longè ab illis ſuperantur. Peritia, & ſubtilitate artis ab
Apibus, quæ ſua examina, ſeu penarium ſexangula mirà conſtruunt
arte. Audacia, & fortitudine à Leonibus, alijſque feris, quibus in
hiſce haud comparandus eſt homo. Libidine, & Luxuria à ſuibus, at-
que alijs, quæ hic memorari neceſſe non eſt. Hacque de cauſa ſapien-
tes viri ſunt lampades in tenebris, & mortalium omnium Domini.
Et heu quàm turpe, atque deforme eſt terrarum hoc orbis theatrum,
quoties ſuis caret ſapientibus. Hæc Sahedus in Hiſtoria Arabum.
Noſtram autem verſionem hanc Arabicam quod attinet, alia
prorsùs eſt ab ea, quæ ſub Almamuno confecta eſt. Hoc planè
patet ex ipfius Auctoris Abalphathi in præfatione verbis. Dicit
quippè ibi, ſe eam adornaſſe verſionem pro regis Abicaligiar
Bibliotheca. Abicaligiar autem rex ſalutatus eſt, teſte Sciahin-
ſciah, Gregorio, & alijs, Hegiræ anno 372. nempè annis
169. poſt Almamuni inaugurationem ijsdem, quos mox lauda-
uimus, auctoribus.
Verſionem tamen illam, quæ ſub Almamuno facta eſt, ne-
quaquàm vidit noſtræ huius verſionis auctor Abalphath, quemad-
modùm ex verbis eius, quæ ad ſeptimi libri adiecit calcem,
patet luculenter. Ibi enim, puto inquit, me in hoc, nempè in
hac verſione concinnanda, quoſcunque alios anteuertiſſe. Itaque
exiſtimat is noſter Auctor, ſe omnium primum Apollonij ver-
ſionem Reipublicæ literariæ dediſſe. Quod, & in ipſa
30ABRAHAMI ECCHELLENSIS innuit præfatione, aſſerens vſque ad ſua tempora nullam inte-
gram librorum Apollonij extitiſſe inter Arabes verſionem; ſed
fragmenta quædam. Ex quo arguere eſt, aut eum minimè an-
tiquiorem Almamuni vidiſſe verſionem, aut iſtam non fuiſſe in-
tegram, ſed Epitomem aliquam ex ſeptem Apollonij decer-
ptam libris, de qua ille in præfatione. Vt vt ſit noſtra hæc
alia prorsùs eſt ab ea, & ad ipſius auctoris calculos redacta,
atque adeò integra, & omnium perfectiſſima, atque abſolutiſ-
ſima.
Cæterũ admonitum volumus benignum lectorem, nos in hac
verſione adornanda ſatis preſsè Arabicam ſecutos eſſe phraſim,
nec omninò elegantiam, & venuſtatem linguæ expreſſiſſe, ar-
bitrantes id maximè pertinere ad fidelis interpretis partes, &
officium.
Ea autem quæ occurrunt circa ipſam phraſim, & vocabula
nonnulla obſeruanda, Arabicæ Editioni reſeruauimus, rati ea
commodius, & magis ad rem ibi exponenda eſſe, & ſuis ex-
primenda characteribus. Interim benè vale, & hoc qualicunque
fruere ſtudio, & labore.
31IO: ALFONSI BORELLI
PRÆFATIO AD LECTOREM.
ACCIPE tandem, ſtudioſe Lector, in ſolemni hac pompa
nuptiarum Sereniſsimi Principis Etruriæ Regio ſplendore
à Sereniſsimo Magno Duce parata tamdiu deploratos,
& expetitos libros poſtremos Conicorum Apollonij Per-
gæi, vtque ſine mora mens tua epulis hiſce lautiſsimis
ſaturari poſsit, non te demorari diutine patiar in limine, recenſendo ſci-
licet nomen Apollonij, patriam, ætatem, & opera ab eo conſcripta, ne-
que inſuper doctrinæ conicæ ortum, & progreſſum à primis incunabulis
ad virilem vſque, & vegetam ætatem, ad quàm Apollonius eam
euexit, propter quod facimus magnus Geometra cognominatus eſt; hæc
enim trita iam ſunt, & vulgaria: breuiter tantummodo percurram,
quæ ad notitiam horum librorum facere videntur.
Illius pretioſiſsimæ bibliothecæ orientalis, quàm Sereniſsimo Ferdinan-
do Primo gratitudinis ergo reliquerat lgnatius Neama Patriarcha Anti-
ochenſis libellum nitidiſsimè Arabicè ſcriptum mihi oſtenderat Sereniſ-
ſimus Princeps Leopoldus Muſarum decus, & gloria, noſtrique ſæculi
lumen eruditum. Codici inſcripſerat Raimundus, ſiue quis alius: Otto libri
de Conici d'Apollonio del Patriarca. Summa lætitia libellum exoſcu-
latus, licet Arabici idiomatis ſim prorſus ignarus, non potui me conti-
nere, quin ſaltem contrectarem, atque reuoluerem paginas illas; cumque
præter figuras mihi ſatis notas quatuor priorum Apollonij librorum vidiſ-
ſem alias conicas figuras, in quibus ab vno puncto in eis collocato edu-
ctæ erant plurimæ rectæ lineæ ad coniſectionem, illico in mentem venere
illa Eutocij verba in expoſitione epiſtolæ Apollonij ad Eudemum: Quin-
tus, inquit, liber de Minimis, & Maximis magna ex parte agit;
quemadmodum enim in elementis didicimus, ſi ab aliquo pun-
cto in circulum lineæ ducantur, earum quidem, quæ ad conca-
uam ipſius circumferentiam pertinent, maximam eſſe, quæ per
centrum tranſit, earum vero, quæ ad conuexam, minimam eſſe,
quæ inter dictum punctum, & diametrum interijcitur, ita &
32Io Alfonſi Borelli coniſectionibus in quinto libro inquirit. Sexti, ſeptimi, & octa-
ui libri propoſitum manifeſtè ab ipſo Apollonio explicatur. Cùmq;
poſteà à quodam Maronita Arabicè callente accepiſſem tractatum, ſeu li-
brum quintum Apollonij eſſe illum, in quo figuræ prædictæ delineatæ erant,
pariterque in ſubſequenti libro ſexto conſpexiſſem figuras alias exprimentes
æqualitatem, & ſimilitudinem ſectionum conicarum, mihi certum fuit,
verè Apollonij eſſe libros illos. Haud tamen negabo ſcrupulum, ac du-
bitationem iniectam, ex eo quod textus ille Arabicus non præferebat
in fronte Apollonij, vel vllius alterius nomen, & definitiones primi libri
centuriam ſuperabant, cum Apollonius non niſi nouendecim ſuo primo li-
bro appoſuißet. Inſuper in prioribus quatuor libris non totidem figuras con-
ſpiciebam, nec omnino ſimiles, eaſdemque, nec eodem ordine diſpoſitas,
ac in textu Græco Eutocij videre eſt; quare cenſui librum prædictum
epitomen eſſe Conicorum Apollonij ab aliquo alio conſcriptam. Hanc quoq;
præclariſsimi Torricellij fuiſſe ſententiam poſtea didici ex eius Epiſtola ad
eruditiſsimum Michaelem Angelum Riccium miſſam. Perſtiti tamen de-
bere latinè verti lucubrationem tam eximiam, eruditiſq; optatiſsimam,
nam niſi ipſiſsimum opus eſſet Apollonij, ſaltem ex ijſdemmet libris epi-
tome illa deſumpta, & tranſcripta exiſtimari debuerat.
Igitur Sereniſsimus Ferdinandus Secundus Magnus Dux munificen-
tia verè regia, qua bonas artes promouere ſtudet, annuente, & ſummo-
pere coadiuuante Sereniſsimo Principe Leopoldo fratre Matheſeos, atque
omnigenæ Sapientiæ perito cultore, atq; egregio vindice, præcepit, vt vo-
lumen Arabicum Romæ latinè redderetur ab Abrahamo Ecchellenſe lingua-
rum Orientalium doctiſsimo, & peritiſsimo profeſſore. Is quidem ſumma
alacritate negotio ſuſcepto primùm bono me eſſe animo iuſsit; monuit enim
nouum non eße apud Arabes libros nomine auctoris in fronte carere, oſten-
ditque in proemio eiuſdem codicis apertiſsimè declarari eſſe libros Conico-
rum Apollonij paraphraſticè expoſitos: deinde ex translatione priorum qua-
tuor librorum patuit demonſtrationes propoſitionum penè non differre quoad
doctrinam à textu Græco Eutocij, licet verbum verbo non reſponderet:
nec mirari paucitatem figurarum, quandoquidem vna, eademq; figura
quatuor, aut quinque propoſitionibus inſeruiret. Incomparabili igitur gau-
dio perfuſus Apollonium penè è manibus ſublatum iterum amplexibus ſtrin-
xi, & exoſculatus ſum. Sed moleſtum ſummopere fuit octauum librum
deeſſe: collegi tamen lo: Baptiſtam Raimundum opuſculum arithmeticum
(quod in hoc codice Arabico ſubſequitur libro Septimo Apollonij) pro
33Præfatio. eiuſdem libro accepiſſe, pariterq; Hieronymum Lunadorum in libro de Ro-
mana Curia nobis impoſuiſse, cum octo Apollonij libros ex Arabico tran-
ſtuliſſe latinè Raimundum typis publicauit; quì enim fieri potuit, vt octo
libros dediſſet is, qui an ſeptem, aut octo libri eſſent non animaduerterat?
Modo operæ pretium erit ante oculos ponere formam, & diſpoſitionem
huius paraphraſis ab interprete Abalphatho editæ. Et primo ſciendum eſt
eum collegiſſe ſimul ſeptem integros libros Conicorum Apollonij ex fragmen-
tis, quæ hactenus apud Arabes ſparſim circumferebantur, diſpoſuiſſeque
propoſitiones eorumdem librorum alio ordine, ac diuerſo ab Apolloniano,
relictis tamen numeris antiquis, nam in primo libro poſt primam, &
ſecundam propoſitiones ſubſequuntur vndecima, tertia, quarta, ſeptima,
& ſic vlterius ſemper ordine perturbato procedendo. Hac nempe ratione
ſimul collectis in eadem figura pluribus propoſitionibus, quas in locis diſsi-
tis collocauerat Apollonius, putauit Abalphathus breuiùs ſe eas demonſtra-
turum retenta ſemper Apollonij ſententia, ſcilicet ijſdem medijs, & eodem
progreſſu, quo vſus eſt Apollonius, demonſtrat Paraphraſtes eaſdem pro-
poſitiones. An vero variare noluerit reuerentia retentus, vel potius ne-
quiuerit virium defectu, ( quippe ingenio non admodum felici, et inue-
niendi ſagaci à natura donatus ) non auſim affirmare. Superaddit quoq;
numeroſam farraginem aliarum definitionum, quibus compendioſiùs, &
clariùs demonſirationes abſolui poſſe profitetur, quod quidem non rarò ipſe
aßequitur; aliquaudo verò ob affectatam nimiam breuitatem obſcurior effi-
citur : accidit quoque, vt aliquæ definitiones inutiles, & otioſæ ſint, vel
repetitio declarationis earumdem prolixitatem creet maiorem.
Animaduerſione dignum eſt, quod Manuſcriptum licet non diſtin-
guatur capitibus, aut paragraphis, ſed continuo, perpetuoquè ſermone proce-
dat more Arabum, in eo tamen numerorum tria genera paſsim occurrunt,
qui omnes ferè interlineares, pauci quidem in margine poſiti, aliqui ru-
bris characteribus depicti, alij vero poſiti ſuper alios numeros in eadem
linea, veluti fractiones numerorum deſcribi ſolent, hac ratione {9/49. } 50.
vel {16/68}. 69. 70. 71. , & licet rarò ſynceri, & veridici ſint, conie-
ci tamen ſupremos numeros indicare partes, ſeu ſectiones, in quas Abal-
phathus librum diſtribuit, atq; partitur: infimi verò numeri docent quot-
nam propoſitiones in vnaquaque ſectione contineantur: itaque hi nume-
ri {16/68}. 69. 70. 71. ſignificant in lib. 5. Sect. 16. contineri Apollonij
Propoſitiones 68. 69. 70. 71. reliqui numeri interlineares ſic diſpoſiti 24.
ex 5. , vel 37. ex 6. citationes ſunt, indicantque Prop. 24. lib. 5. Conic.
34Io: Alfonſi BorelliApoll. , vel Prop. 37. lib. 6. Sed mirum quàm mendoſi ſint omnes fere
numeri huius codicis ! in ſolo enim quinto libro frequenter duæ, vel tres
propoſitiones diuerſæ vno, & eodem numero deſignantur, & è contra
plures, & ſeparati numeri nulli propoſitioni tribuuntur; nuſpiam enim
reperies propoſitiones 16. 17. 18. 24. 40. , & quamplurimas alias.
Citationes poſtea inter propoſitiones interpoſitæ mendoſisſimæ, obſcuriores tene-
bras obducunt, quare non parum laboris, & moleſtiæ habui, vt propoſitioni-
bus horum ſubſequentium librorum numeros debitos, & legitimos aſsigna-
rem; nam prioribus quatuor in libris propoſitionum numeri licet perturba-
to ordine diſpoſitarum facilè reſtitui, & corrigi potuerunt ex Græco exem-
plari, at in libris 5. 6. & 7. numeros erroneos ſerie propoſitionum alte-
rata niſi ariolando aßequi quis poterit ? Cum ex Arabico codice mendas
haſce numericas corrigi poſſe Excellentiſsimus Abrahamus Ecchellenſis
deſperaſſet, repetitis litteris, vt coniecturis negotium perficerem, iuſsit; &
ſiquidem propoſitiones Apollonij vno, vel altero tantum ordine diſponi po-
tuiſſent, forſan mentem auctoris conijcere arduum non fuiſſet, ſed inter
multas, & varias ſeries, quibus conica doctrina exponi poſſet, ſi eam,
quàm Abalphathus elegit, aſſecutus fuero, fortunæ tribuendum erit.
Sed quid ego minutias numerorum conſector, cum in textu ipſo inſu-
perabiles ferè, & maioris momenti difficultates ſuperſint? nulla propoſi-
tio fuit, in qua ſententiæ, verba, aut numeri, aut litteræ non fuerint
multifariam permutatæ, mutilatæ, aliæ pro alijs repoſitæ, atque in propo-
ſitionibus pleriſque tituli ipſi, & expoſitiones ſummopere deprauatæ, vt
prorſus ignoraretur quid nam demonſtrandum propoſuerit Apollonius. Ita-
que verba, litteræ, numeri, citationes, imò ſententiæ deficientes, aut per-
mutatæ vna cum affectata Paraphraſtis Arabici breuitate, & multipli-
ci, & noua nomenclatura cimmerias tenebras effundebant. Haſce in an-
guſtias redactus, quod potui, feci, vt germanum ſenſum Apollonij, &
correctiſsimum exhiberem textum.
Hanc tamen cautionem adhibui, vt in notis ſemper bona fide appo-
nerem ipſiſsima verba textus, quæ tranſtulerat ex codice Arabico me præ-
ſente Excellentiſsimus Ecchellenſis, ibidemque rationes appoſui mutatio-
nis, & correctionis factæ. Itaque perſæpe vbi ſententia videbatur obſcu-
ra, neque diſtinctè explanata, tunc quidem meis verbisdeclaraui. Et quia
multoties ob nimiam paraphraſtis breuitatem, vellibrariorum vitio propoſi-
tiones nõ ſolide demonſtrantur, vel nequeunt ex præcedentibus deduci, addidi
ex meo penu lemmata nonnulla, quibus euidenter confirmantur, quæ
35Præfatio. textu ambiguitatem aliquam præſeferebant. Appoſui quoque prolixè pro-
poſitionum caſus omnes neglectos in textu, eorumque demonſtrationes.
Sed hiſce omnibus in rebus religioſus adeò fui, vt omnia diuerſo chara-
ctere in notis memorauerim, exceptis tamenijs, quæ minoris momenti
ſunt, vt litteræ tranſpoſitæ, & deficientes, & verba aliqua impro-
pria, & non ſignificantia, quæ commemorare non cenſui, ne volumen
in immenſum excreſceret.
Tandem potuiſſem quidem abundantioris doctrinæ gratia non pauca
meo marte hiſce libris ſuperaddere non omnino forſan contemnenda, ſed
parcus adeo fui, vt tantummodo quæ ad illuſtrationem, & ornatum
operis facere videbantur, adiecerim ſuntq; nonnullæ propoſitiones additæ,
quæ nouæ, & forſan inelegantes non erunt.
Conſiderandæ modo ſunt difficultates à præſtantiſsimo, et doctisſimo Clau-
dio Midorgio propoſitæ contra Manuſcriptum Arabicum Apollonij, quod Cla-
riſsimus, & de bonis litteris optimè meritus Golius ex oriente detulit,
eædemq; difficultates eodem iure noſtrum Manuſcriptum, quod Golianum,
petunt. Verba Merſenni in præfatione Conicorum Apollonij ſuæ ſynopſis Ma-
thematicæ hæc ſunt. Suſpicatur autem Claudius Midorgius hos tres
libros, (ſcilicet 5. 6. & 7. Conicorum Apollonij) eſſe cuiuſdam Ara-
bis ſub Apollonio latentis, quòd in quinto ſuo libro primam
propoſitionem ſexti Apollonij ſuperius allatam non ſolum in
cono recto, ſed in quouis etiam ſcaleno, & illorum portioni-
bus quibuſcumque datis poſſibilia quæque demonſtrat. Hæc qui-
dem ratio quanti ponderis ſit æqui rerum æſtimatores iudicent, & ſi qui-
dem omnes, qui in Geometricis mediocriter verſati ſunt optimè norunt
ſucceſsiuè aliquid vlteriùs inueniri præter ea, quæ diuini Præceptores
Euclides, Archimedes, Apollonius, & Ptolemæus ediderunt, facile enim
eſſe inuentis addere quis ignorat? Nulli vnquam venit in mentem librum
Spiralium non ab Archimede, ſed ab aliquo alio ſcriptum fuiſſe, propterea
quod vniuerſaliùs quarumcumque ſpiralium paſsiones Neoterici demon-
ſtrarunt; Nec quia admirabilis Maurolicus in ſuo quinto Conicorum libro,
& alij recentiores, ſicuti præclarus Phyloſophus, & Mathematicus Vin-
centius Viuianus Patritius Florentinus in ſuo erudito libro de Maximis,
& Minimis alia longè diuerſa ab Apollonij ſpeculationibus excogitarunt,
hos libros adulterinos eße auſi ſunt affirmare. Et ſicuti ipſemet Midor-
gius non repudiauit librum primum Conicorum ab Eutocio editum, licet
ipſe in ſuo libro tertio melius ſe demonſtraſſe propoſitiones 52. 53. 54.
36Io: Alfonſi Borelli libri primi ſummopere glorietur, pari iure hi libri adulterini cenſendi non
erunt non alia de cauſa, niſi quia propoſitiones horum librorum non cor-
reſpondent, nec aſsimilantur admirandis cogitationibus in eius ſublimi
mente repoſitis. Et ſane non dubito, quòd ſi Midorgius ipſe hos libros
vidiſſet, & contrectaßet, omnino illius magni Apollonij eſſe abſq; vlla
hæſitatione affirmaſſet. Nam primi quatuor libri continent eaſdem pro-
poſitiones, & ſæpe numero eadem verba, quæ in textu Græco Eutocij
leguntur: reliqui libri ſubſequentes docent ea, quæ in epiſtola ad Eudemum
propoſuerat ſe demonſtraturum Apollonius, & quæ Pappus, & Eutocius
diſtinctè, & expreſsè ibidem tractari affirmant. Rurſus profunda men-
tis perſpicacia, methodus ſcribendi, & genius Apollonij adhuc ibidem
conſpicitur, nec fieri potuit, vt à translatoribus, à Paraphraſte, à tem
poris diuturnitate prorſus deleretur, atque mirandum ingenium Apollonij
à tanta barbarie omnino occultaretur. Rurſus in confeſſo eſt opera Euclidis,
Archimedis, Apollonij, Ptolomæi, & aliorum magnorum virorum Ara-
bicè translata fuisſe, & expreſsè grauisſimi ſcriptores Arabi, præcipuè
Gregorius Bar-Hebræus lib. 9. Chronicorum ait, opera Apollonij Arabicè
translata primò fuisſe anno 200. AEgyræ Maumettanæ ſub Almen Kalypha
à loanne Patricida, & poſtea ab alijs recentioribus. Quare dubitandum
non eſt hos eſſe veros, atque legitimos tres poſtremos Conicorum libros
Apollonij Pergæi Paraphraſticè ab Abalphatho deſcriptos.
Fruere modo, mi lector, præclaro, & admirando beneficio Serenisſi-
mi Principis Etruriæ, qui regali magnificentia, et liberalitate pretioſisſimum
hunc theſaurum humanisſimè largitur. Vale.
37
INDEX
Propoſitionum Lib. V. VI. VII. Conic. iuxta ſeriem numerorum
ab Apoll, ſeruatam, cum Lemmatibus, & Propoſition, additis,
Vbi indicantur ſectiones, & paginę, in quibus propoſitiones reperiri debent.
11
### Lib. V.
Propoſ. # Sect. # Pag.
i # 1 # 5
ii # 1 # 5
iii # 1 # 6
iv # 2 # 8
v # 2 # 8
vi # 2 # 8
vii # 4 # 24
viii # 3 # 16
ix # 3 # 18
x # 3 # 18
xi # 5 # 26
xii # 4 # 24
xiii # 6 # 27
xiv # 6 # 27
xv # 6 # 27
xvi # 16 # 112
xvii # 16 # 112
xviii # 16 # 112
xix # 17 # 116
xx # 17 # 117
xxi # 17 # 117
xxii # 17 # 117
xxiii # 17 # 118
xxiv # 17 # 118
xxv # 17 # 119
xxvi # 7 # 29
xxvii # 7 # 29
xxviii # 7 # 29
xxix # 12 # 72
xxx # 12 # 72
xxxi # 12 # 72
xxxii # 18 # 124
xxxiii # 18 # 125
xxxiv # 18 # 125
xxxv # 18 # 125
xxxvi # 18 # 126
xxxvii # 18 # 126
xxxviii # 18 # 127
xxxix # 18 # 128
xxxx # 18 # 128
xxxxi # 15 # 109
xxxxii # 15 # 109
xxxxiii # 15 # 110
xxxxiv # 10 # 67
xxxxv # 10 # 68
Prop. # Sect. # Pag.
xxxxvi # 18 # 126
xxxxvii # 18 # 128
xxxxviii # 18 # 129
xxxxix # 8 # 32 33
l # 8 # 33
lj # 8 # 34
lii # 8 # 35
liii # 8 # 35
liv # 8 # 39
lv # 8 # 39
lvi # 8 # 39
lvii # 8 # 40
lviii # 9 # 60
lix # 9 # 60
lx # 9 # 62
lxi # 9 # 62
lxii # 9 # 60
lxiii # 9 # 60
lxiv # 13 # 74
lxv # 13 # 74
lxvi # 13 # 75
lxvii # 13 # 76
lxviii # 11 # 70
lxix # 11 # 70
lxx # 11 # 71
lxxi # 11 # 71
lxxii # 13 # 77
lxxiii # 14 # 88 89
lxxiv # 14 # 90
lxxv # 14 # 90
lxxvi # 14 # 91
lxxvii # 14 # 92
## Lib. V.
Lemm. addita # Paginæ.
i # 13
ii # 14
iii # 15
iv # 15
v # 30
vi # 31
vii # 31
viii # 57
ix # 78
x # 78
xi # 79
xii # 92
## Lib. V.
Prop. additæ # Paginæ
i # 11
ii # 11
iii # 22
iv # 23
v # 54
vi # 86
vii # 101
viii # 103
ix # 103
x # 104
xi # 105
xii # 106
xiii # 107
xiv # 107
### Lib. VI.
Propoſ. # Sect. # Pag.
i # 1 # 138
ii # 1 # 139
iii # 2 # 146
iv # 1 # 141
v # 3 # 152
vi # 2 # 147
vii # 2 # 147
viii # 3 # 153
ix # 2 # 148
x # 1 # 141
xi # 4 # 154
xii # 4 # 155
xiii # 4 # 156
xiv # 4 # 157
xv # 6 # 175
xvi # 6 # 177
xvii # 6 # 178
xviii # 7 # 191
xix # 7 # 191
xx # 8 # 193
xxi # 8 # 195
xxii # 8 # 197
xxiii # 8 # 198
xxiv # 8 # 198
xxv # 9 # 207
xxvi # 10 # 237
xxvii # 10 # 238
xxviii # 10 # 240
3811
Prop. # Sect. # Pag.
xxix # 11 # 247
xxx # 11 # 248
xxxi # 11 # 251
Antiquæ # Propoſ. # Præmiſſæ
i # 5 # 168
ii # 5 # 168
iii # 5 # 168
iv # 5 # 168
v # 5 # 168
vi # 5 # 171
## Lib. VI.
Lemm. addita. # Pag.
i # 150
ii # 158
iii # 159
iv # 160
v # 161
vi # 183
vii # 184
viii # 186
ix # 229
x # 246
## Lib. VI.
Prop. additæ. # Pag.
i # 151
ii # 210
iii # 211
iv # 214
v # 216
vi # 219
vii # 220
viii # 222
ix # 226
x # 227
xi # 230
xii # 231
xiii # 233
xiv # 236
xv # 261
xvi # 262
xvii # 265
xviii # 267
xix # 267
Prop. # Pag.
xx # 268
xxi # 269
xxii # 270
### Lib. VII.
Propoſ. # Sect. # Pag.
i # 1 # 273
ii # 2 # 276
iii # 2 # 276
iv # 2 # 277
v # 1 # 274
vi # 2 # 278
vii # 2 # 278
viii # 3 # 282
ix # 3 # 283
x # 3 # 283
xi # 3 # 283
xii # 4 # 291
xiii # 4 # 291
xiv # 4 # 291
xv # 3 # 283
xvi # 3 # 283
xvii # 3 # 283
xviii # 3 # 283
xix # 3 # 283
xx # 3 # 283
xxi # 5 # 299
xxii # 4 # 291
xxiii # 1 # 274
xxiv # 5 # 298 303
xxv # 4 # 291
xxvi # 5 # 298 300
xxvii # 4 # 291
xxviii # 5 # 299 300
xxix # 4 # 291
xxx # 4 # 291
xxxi # 11 # 370
xxxii # 11 # 370
xxxiii # 6 # 314
xxxiv # 6 # 315
xxxv # 6 # 316
xxxvi # 6 # 316
xxxvii # 5 # 304
xxxviii # 7 # 323
xxxix # 7 # 324
xxxx # 7 # 325
xxxxi # 9 # 341 343
Prop. # Sect. # Pag.
xxxxii # 5 # 301
xxxxiii # 5 # 298 302
xxxxiv # 8 # 333
xxxxv # 8 # 333
xxxxvi # 8 # 335
xxxxvii # 9 # 342 344
xxxxviii # 9 # 342 347
xxxxix # 10 # 358
L # 10 # 358
Lj # 10 # 358
## Lib. VII.
Lemm. addita. # Pag.
i # 306
ii # 318
iii # 318
iv # 318
v # 319
vi # 327
vii # 327
viii # 328
ix # 328
x # 336
xi # 336
xii # 337
xiii # 349
xiv # 350
xv # 350
xvi # 361
xvii # 361
xviii # 364
## Lib. VII.
Prop. additæ. # Pag.
i # 322
ii # 323
iii # 331
iv # 332
v # 341
vi # 341
vii # 357
viii # 357
ix # 368
x # 368
391
APOLLONII PERGAEI
CONICORVM LIB. V.
DEFINITIONES.
I.
SI à puncto aliquo in axe ſectionis conicæ ſumpto
egrediantur aliquę rectæ lineæ ad ſectionem,
vocabo punctum illud, ORIGINEM.
II.
Et lineas, RAMOS.
III.
Segmentum autem axis intèr illud, & verticem ſectionis ei pro-
ximiorem, MENSVRAM.
IV.
Sed ſi fuerit menſura æqualis ſemiſſi erecti, vocabo illam,
COMPARATAM.
V.
Et perpendiculares cadentes ab extremitatibus ramorum ſuper
axim vocabo, POTENTES illorum ramorum.
VI.
Abſciſſa verò illarum potentium, ABSCISSA ramorum.
VII.
Et inuerſa illarum potentium, INVERSA ramorum.
VIII.
Atque rectangulum contentum ſub inclinato, & aggregato in-
clinati, & erecti, vel differentia tranſuerſi, & erecti vocabo, FI-
GVRAM COMPARATAM.
402Apollonij Pergæi
IX.
In quolibet rectangulo applicato ad ſegmentum axis, ſi illud
ſegmentum ad latitudinem illius rectanguli eandem proportio-
nem habuerit, quam axis ad latitudinem figurę comparatæ vocabo
illud, EXEMPLAR.
X.
Si ex puncto ſuper axim educatur perpendicularis ad vtraſque
partes ſectionis, & ex puncto aliquo illius perpendicularis educan-
tur lineæ terminatæ ad ſectionem ex vtraque parte, vocabo pun-
ctum illud in perpendiculari ſumptum, CONCVRSVM.
XI.
Et lineas etiam, RAMOS.
XII.
Et qui ſecant menſuram, & terminantur ad ſectionem ex altera
parte concurſus, RAMOS SECANTES.
XIII.
At qui non ſecat illam, & tranſit per concurſum, & terminatur
ad axim, & ſectionem ſimul, RAMVM TERMINATVM.
XIV.
Sed cuiuſcumque rami ſecantis, cuius portio interſectionem, &
axim intercepta eſt linea breuiſſima, vocabo illum, BREVISE-
CANTEM.
XV.
Et vocabo ſegmentum axis inter perpendicularem, & verticem
ſectionis proximior em interceptum, MENSVRAM, quoque.
XIV.
Et portionem ſectionis conicæ diſſectam ab ordinatione axis
tranſeuntis per originem, ſiuè per coneurſum propè verticem pro-
ximiorem ſectionis, vocabo, SEGMENTVM illius puncti.
413Conicor. Lib. V.
NOTÆ.
HAE definitiones non ſunt Apollonij, ſed Interpretis Arabici, qui in proe-
mio huius operis apertè ait, addidiſſe plurimas definitiones in libris Apol-
lonij, quibus theoremata breuiſsimè propo-
1[Figure 1] ni poſſe profitetur, vt in prioribus quatuor
libris videre eſt. Eas autem exemplis illu-
ſtrare conabor.
I. Sit quælibet coni ſectio A B C, cuius
axis B D, & in eo ſumatur quodlibet pun-
ctum D intrà ſectionem, à quo educantur
rectæ lineæ D A, D E, D F, D C vſque ad
ſectionem. Tùnc vocatnr punctum D, Origo.
II. Et lineæ D A, D E, & cæteræ vo-
cantur, Rami.
III. Portio verò axis B D intèr origi-
nem D, & verticem B interpoſita vocatur
Menſura. Sed in ellipſi A B C G, ſi axis
portiones D B, & D G inæquales fuerint,
tantummodò minor portio B D vocatur Mẽ-
ſura, non autem maior D G.
2[Figure 2]
IV. Sit poſteà recta B I ſemiſsis lateris
recti B H iam ſi menſura D B æqualis fue-
rit ſemierecto B I, vocatur D B, Menfura
comparata.
V. At ſi à terminis ramorum A, E, F
C educantur ad axim perpendiculares A K,
E L, F M, C N, ipſum ſecantes in K, L,
M, N vocantur illærectæ lineæ Potentes illo-
rum ramorum.
VI. Recta verò K B vocatur Abſciſſa
rami D A, & L B Abſciſſa rami D E, &
ſic reliquæ omnes.
3[Figure 3]
VII. Sit poſteà O centrum ſectionis, iam
axis portio ex centro O vſquè ad potentia-
lem A K educta, ſcilicet O K vocatur In-
uerſa rami D A, pariterque O M eſt Inuer-
ſa rami D F.
VIII. Si ponatur recta linea B P ad
axim perpendicularis, quæ in hyperbola
fiat æqualis aggregato, in ellipſi verò fiat
æqualis differentiæ laterum recti B H, &
tranſuerſi G B, tunc rectangulum contentum
ſub G B, & B P vocatur, Figura comparata.
IX. Poſteà ſi, vt G B ad B P ità ſiat
424Apollonij Pergæi mentum axis D B ad D R, & compleatur
parallelogrãmum rectãgulum B R, tunc ſpa-
tium B R vocatur Exemplar. Pari ratione
ſi, vt G B ad D P ità fiat ſegmentum axis
D K ad latitudinem K S, compleaturque
parallelogrammum rectangulum D S, voca-
bitur paritèr D S Exemplar.
4[Figure 4]
X. Et ſi C D perpendicularis fuerit ad
axim B D, & producatur vltrà axim in
E, atquè à puncto E extendantur vſquè ad
ſectionem rectæ lineæ E B, E F, E G, vo-
cabitur E punctum Concurſus.
XI. Et lineæ rectæ E B, E F, E G vo-
cantur etiam Rami.
5[Figure 5]
VII. Atquè linea recta E F ſecans axim
in H vocatur Ramus ſecans.
XIII. Et recta linea E B conueniens
cum axi in vertice ſectionis vocatur Ra-
mus terminatus.
XIV. Si verò rami ſecantis E F por-
tio cius H F inter ſectionem, & axim in-
tercepta fuerit breuiſsima omnium linea-
rum, quæ ex puncto H ad ſectionem duci
poſſunt, tunc ramus E F vocabitur Breui-
ſecans. In textu Arabico ſecans ramus vo-
cabatur, mendosè, vt arbitror, non enim
hæc definitio diſtingueretur à duodecima,
definitione.
6[Figure 6]
XV. Similitèr ſegmentum axis D B ſe-
ctum à perpendiculari ad axim ex origine
E ducta, vocatur quoquè Menſura.
XVI. Tandem ſi per punctum originis
D, vel concurſus E ducatur ordinata A C,
tunc figura contenta ab ordinata A C, &
ſectione conica A B C, vocatur Segmentum
illius puncti.
435Conicor. Lib. V.
SECTIO PRIMA
Continens propoſitiones I. II. & III. Apollonij.
PROPOSITIO I.
Si ex centro D ſectionis A B (habentis centrum) egrediatur
linea recta D F H bifariam diuidens A E erectum illius axis,
quod ſit perpendiculare ſuper axim C A G, ſecans axis ordina-
tionem B G I; vtiquè dimidium illius ordinationis, videlicet B
G, poterit duplum plani, quod producit illa linea cum axi in-
ter erectum, & illam ordinationem, nempè duplum A G H F.
7[Figure 7]
QVia B G poteſt comparatum applicatum ad abſciſſam A G, & pla-
11a num G F dimidium eſt illius comparati; ergò B G poterit duplum
22b plani G F; & hoc erat oſtendendum.
PROPOS. II.
8[Figure 8]
PAritèr quoquè oſtendetur, ſi potens
tranſierit per centrum ellipſis, quod
B G poterit duplum trianguli A F G.
446Apollonij Pergæi
PROPOS. III.
9[Figure 9]
SI verò in ellipſi cadat B G infrà cen-
trum, poterit duplum differentię duo-
rum triangulorum D A F, & D G H, nem-
pè duplum plani G L. Et hoc erat pro-
poſitum.
Notæ in Propoſitionem primam.
VOcat in primo libro interpres ſectiones habentes centrum hyperbolem, &
ellipſim, & vocat erectum latus rectum ſectionis, vocat etiam ordina-
tionem axis eam, quam nos ordinatim ad axim applicatam appellamus.
Quia BG poteſt comparatum applicatum ad abſciſſam AG, & c. Vocat
11a inſuper parallelogrammum comparatum applicatum ad axis abſciſſam A G re-
ctangulum ipſum A G I, quod quidem adiacet lateri recto A E latitudinem ha-
2212. 13. lib.
primi. bens abſciſſam A G excedens in hyperbola, & deficiens in ellipſi rectangulo ſi-
mile ei, quod latere recto, & tranſuerſo continetur; ſcilicèt rectangulo C A E.
10[Figure 10]
Et planum G F dimidium eſt illius comparati, & c. Non erit inutile
33b paulo fuſius oſtendere id quod ob nimiam facilitatem Apollonius tantummodò in-
nuit. Ducatur recta linea F K parallela axi D A ſecans ordinatam B G produ-
ctam in K: quia figuræ latera C A, & A E ſunt ipſarum D A, A F duplicia
ergo C E, & D F H parallelæ ſunt, eſtque K H parallela A E, cum ambo poſitæ
ſint perpendiculares ad axim, & C A, F K ſunt quoquè æquidiſtantes, ergò
triangulum F K H ſimile eſt triangulo C A E, & proptereà parallelogramma
rectangula F K H, & C A E ſimilia erunt. Et quoniam quadratum ordinatæ
44Ibidem. B G æquale eſt rectangulo contento ſub latere recto E A, & abſciſſa A G
457Conicor. Lib. V. dente in hyperbola, & deficiente in ellipſi rectangulo F K H ſimile ei, quod la-
teribus recto, & tranſuerſo continetur, ſcilicet G A E, & eſt A F ſemiſsis la-
teris recti, igitur quadratum B G æquale eſt ſummæ in hyperbole, & differen-
tiæ in ellipſi rectanguli G A F bis ſumpti, & rectanguli F K H, quod eſt æqua-
le duplo trianguli F K H: ſed quadrilaterum A G H F æquale eſt aggregato in
hyperbola, & differentiæ in ellipſi rectanguli G A F, & trianguli F K H, ergò
quadratum B G æquale eſt duplo quadrilateri A G H F, ſeù diſſerentiæ triangu-
lorum D A F, & D G H.
11[Figure 11]
Notæ in Propoſitionem
ſecundam.
SEcunda propoſitio facilè ex prima deducitur;
nam, quando ordinata B G H I tranſit per cen-
trum D ellipſis; tunc tria puncta G, D, H conue-
niunt, & triangulum D G H euaneſcit, & ideò
differentia trianguli D A F, & trianguli D G H
nullum ſpatium habentis, erit triangulum ipſum
D A F.
Notæ in Propoſitionem
tertiam.
12[Figure 12]
IN tertia propoſitione ſimilitèr, quandò ordinata
B H G I cadit infrà centrum D ellipſis, tunc
ducta C L parallela ipſi A E, erunt duo triangula
D A F, & D C L æqualia inter ſe, cum ſint ſimi-
lia, & latera homologa D A, D C ſint æqualia,
quia ſunt ſemiaxes; proptereà differentia triangu-
lorum D G H, & D A F, ſeù D C L erit trapezium
C G H L, quod ſubduplum eſt quadrati ordinatæ
B G.
SECTIO SECVNDA
Continens propoſitiones IV. V. VI. Apollonij.
COmparata eſt minima ramorum egredientium ex ſua origine
(4) in parabola (5) & hyperbola (6) pariterque in ellipſi (ſi
comparata fuerit portio maioris duorum axium, & tunc maxi-
mus eſt reſiduum tranſuerſi axis.) Reliquorum verò
468Apollonij Pergæi minimo remotiore minor eſt. Quadratum autem menſuræ mi-
nus eſt quadrato cuiuslibet rami aſſignati (4) in parabola qui-
dem quadrato ſuæ abſciſſæ (5) & in hyperbola (6) & ellipſi
exemplari applicato ad abſciſſam illius rami.
PROPOSITIO IV.
SIt ſectio A B C, & axis eius C E, & inclinatus, ſiue tranſuerſa D C
centrum G, atque erectum C F, & ex C E ſecetur C I æqualis C H
13[Figure 13] (quæ ſit ſemiſſis erecti) & ex puncto
originis I educantur rami I B perpen-
dicularis, & I K, I L, I A, & per H, I
in hyperbola, & ellipſi ducatur H I P,
& per H, G recta H G T, ad quam ex
A, B, K, L extendantur A P E T, B I S,
K N R, L M O Q perpendiculares ſuper
C E. Dico, quod C I, comparata mi-
nor eſt, quam I L, &
I L, quam I K, & I K,
quam I B, & maximus
ramorum in ellipſi eſt
I D, & quod quadra-
tum menſuræ I C mi-
nus eſt quadrato I L,
in parabola quidem
quadrato C M, & in
hyperbola, & ellipſi
exemplari applicato
ad C M. Quoniam in
parabola L M poteſt
11a duplum M C in C H, nempè C I (12. ex primo) & quadratum I L ęqua-
le eſt aggregato duorum quadratorum L M, & M I, quadratum itaque L
I æquale eſt quadrato M I, & M C in C I bis, quæ ſunt æqualia duobus
quadratis C I, M C. Quadratum igitur C I minus eſt quadrato L I qua-
drato ipſius M C, quæ eſt eius abſciſſa, & pariter oſtendetur, quod qua-
dratum C I minus eſt quadrato I K quadrato N C, & minus quadrato I
B quadrato C I, & minus quadrato A I quadrato E C.
PROPOSITIO V. & VI.
AT verò in hyperbola, & ellipſi producantur ex Q, O, H lineæ pa-
rallelæ ipſi M C, & quia I C ex hypotheſi æqualis eſt H C, erit I
22a M æqualis M O, quadratum itaque I M duplum eſt trianguli I M O, &
33b quadratum L M duplum eſt trapezij C M Q H (prima ex 5.) ergo
479Conicor. Lib. V. tum I L duplum eſt trianguli I C H vnà cum duplo trianguli Q H O, nem-
pe cum plano rectanguli QZ; ſed quadratum I C eſt duplum trianguli I
H C (eò quod C H æqualis eſt C I) ergo quadratum C I minus eſt qua-
drato L I plano rectanguli Q Z.
Deindè ponamus in ellipſi Y F æqualem differentiæ, & in hyperbola
11c æqualem aggregato D C, C F; ergo propter ſimilitudinem duorum trian-
22d gulorum G M Q, H V Q, & H V O, M I O, erit H V æqualis V O, & H
V, vel ei æqualis O V ad V Q eſt, vt M G ad M Q, nempe vt G C ad
33e14[Figure 14] H C, ſeù vt D C ad C F, igi-
tur V O ad V Q eſt vt D C
44f ad CF, & comparando ſum-
mas terminorum ad antece-
dentes in hyperbola, & dif-
ferentias eorundem ad ante-
cedentes in ellipſi fiet O Q
ad V O (quæ æqualis eſt O
Z, nempè M C) vt Y F ad
55g Y C, & eſt Y C, æqualis D
C, & Y F æqualis ſummæ
in hyperbola, & differentiæ
in ellipſi ipſarum D C, & C
F; quadratum igitur I C mi-
66h77Def. 8. 9.
huius. nus eſt quadrato I L rectangulo Q Z, quod eſt exemplar ſimile
plano rectanguli C D in Y F, quæ eſt figura comparata. Atque ſic de-
monſtrabitur, quod quadratum I C minus ſit quadrato I K exemplari ap-
plicato ad N C, & minus eſt quadrato B I exemplari applicato ad I C,
& minus quadrato A I exemplari applicato ad E C: Eſtque M C minor,
quàm N C, & N C, quam C I, & C I, quàm C E; igitur L I maior eſt,
quàm I C, & I K maior, quàm L I, & I B maior, quàm I K, & I A, quàm
I B. Et hoc erat oſtendendum.
Notæ in pro poſitionem quartam.
QVoniam in parabola L M poteſt
88a15[Figure 15] duplum M C, & c. Quadratum
enim L M æquale eſt rectangu-
lo ſub abſciſſa M C, & latere recto C F,
eſtque C H ſemiſsis erecti C F; ergo L M
poteſt duplum rectanguli M C H.
4810Apollonij Pergæi
Notæ in propoſitionem quintam.
ERit I M æqualis M O, & c. Propter parallelas M O, C H, & ſimilitudi-
11a nem triangulorum I M O, & I C H.
Ergo quadratum
16[Figure 16]22b I L duplum eſt triã-
guli I C H, & c. Eo
quod quadratum I L
æquale eſt duobus qua-
dratis I M, M L in
rectangulo triangulo I
M L; Quadratis au-
tẽ I M, & L M æqua-
lia ſunt triangulum
I M O bis ſumptum
cum trapezio C M Q
H bis ſumpto; & quia
331. huius. trapezium C M Q H
æquale eſt trapezio C
M O H, cum triangu-
lo H O Q; at triangulo I M O,
& trapezio C M Q H ſimul ſum-
ptis æqualia ſunt triangulum
I C H, cum triangulo H O Q.
Ergo quadratum L I æquale erit
duplo trianguli I C H cum duplo
trianguli H O Q.
Deindè ponamus in ellipſi
44c Y F æqualem D C, & in hy-
perbola, & c. Textus videtur
corruptus, quem ſic corrigendum
puto. Ponamus γ F in ellipſi æ-
qualem differentiæ, & in hyper-
bola æqualem aggregato D C, & C F.
Propter ſimilitudinem triangulorum, & c. Sunt enim duæ rectæ lineæ C G,
55d& V H æquidiſtantes, quæ ſecant rectas lineas conuenientes in Q, & O.
Erit H V æqualis V O, & c. Eo quòd M I oſtenſa eſt æqualis M O, eſtque
66e H V ad V O in eadem proportione æqualitatis propter iam dictam ſimilitudinem
triangulorum.
Igitur V O ad V Q eſt, vt D C ad C F, & conuerſa proportione dein-
77f dè componendo in hyperbola, & inuertendo in ellipſi fiet in hyperbola
Q O ad O V, & c. Textum corruptum, atque confuſum clariùs exponi poſſe
cenſeo per Lemma inferius appoſitum hac ratione. Et comparando ſummas in
hyperbola, & differentias terminorum in ellipſi ad antecedentes.
Vt Y F ad Y C, & in ellipſi, vt F C ad C F, & Y F in ellipſi æqualis
88g
4911Conicor. Lib. V. D C, quadratum igitur, & c. Textum corruptum ſic corrigendum puto; & eſt
r C æqualis D C, atque γ F æqualis ſummæ in hyperbola, & differentiæ in elli-
pſi laterum D C, & C F.
Exemplar ſimile plano rectanguli C D in Y F in hyperbola, & Y C in
ellipſi, & c. Hæc poſtrema verba expungenda duxi, tanquam ſuperuacanea.
Poteſt etiam ad imitationem Euclidis reperiri multitudo ramorum inter ſe-
æqualium, qui ex origine duci poſſunt in eadem coniſectione. Itaque quoties
11PROP. I.
Additar. menſura fuerit comparata, ſcilicet aqualis ſemiſsi lateris recti, tunc duo tan-
tum rami inter ſe æquales a puncto originis ad vtraſque partes axis duci poſ-
ſunt in qualibet coniſectione, eruntque illi, qui ad terminos L l cuiuslibet or-
dinatim applicatæ L l ducuntur ab origine
17[Figure 17] I, nam efſiciuntur duo triangula I M L, &
I M l, quæ circa angulos æquales ad M, nẽ-
pe rectos, habent latera æqualia, ſcilicet L
M, & l M medietates ordinatim applicatæ,
& ſegmentum axis I M inter ordinatam, &
originem eſt latus commune; ergobaſes, ſeu
rami I L, & I l ſunt æquales. Reliquiverò
rami ſupra, vel infra terminum eiuſdem ordinatim applicatæ minores, aut ma-
iores ſunt ramo ad eius terminum ducto; quare duo tantum rami ad vtraſque
partes axis inter ſe æquales duci poſſunt.
Rurſus quadratum rami I A remotioris a comparata ſuperat quadratum ra-
22PROP.
II.Add. mì I L propinquioris (in parabola quidem) rectangulo ſub differentia, & ſub
aggregato abſciſſarum eorundem ramorum; in reliquis verò ſectionibus rectan-
gulo ſub differentia abſciſſarum, & ſub recta linea, ad quam ſumma abſcißa-
rum eandem proportionem habet, quam latus tranſuerſum ad ſummam in hy-
perbola, & ad differentiam in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti.
Et primò in parabola, quia quadratum I A æquale eſt quadrato I C cum qua-
334. huius. drato abſciſſæ C E; pariterque quadratum I L æquale eſt quadrato eiuſdem I C
cum quadrato abſciſſæ C M; ergo exceſſus quadrati I A ſupra quadratum I L
44ibidem. æqualis eſt differentiæ quadratorum E C, & C M; ſed exceſſus quadrati E C
ſupra quadratum M C æqualis eſt rectangulo, cuius baſis æqualis eſt ſummæ la-
terum E C, & C M; altitudo verò æqualis eſt E M differentiæ laterum eorun-
dem quadratorum (vt de-
ducitur ex elementis) igitur
18[Figure 18] exceſſus quadrati I A ſupra
quadratum I L æqualis eſt
rectangulo, cuius baſis eſt
ſumma abſciſſarum E C, C
M, altitudo verò E M dif-
ferentia earundem abſciſſa-
rum.
Secundò in hyperbola, &
ellipſi fiat exemplar N T ap-
plicatum ab abſciſſam C E.
Et quia quadratum I A æ-
quale eſt quadrato
5012Apollonij Pergæi I C cum exemplari N T, & quadratum I L æquale eſt quadrato eiuſdem I C cum
exemplari Q Z. Ergò exceſſus quadrati I A ſupra quadratum I L æqualis eſt
differentiæ exemplarium N T, & Q Z. Poſteà ducatur recta Q N: quia trian-
gula Q N S, O N Q. æqualia ſunt triangulo, cuius baſis æqualis eſt ſummæ re-
ctarum N S, & O Q.
altitudo verò V R, vel
19[Figure 19] M E, ſuntque illa duo
triãgula æqualia tra-
pezio N O Q ſiue-
exceſſui trianguli N
H S, ſupra triangu-
lum H O Q: ergo triã-
gulum cuius baſis æ-
quatur ſumme ipſa-
rum N S, O Q alti-
tudo verò E M, æqua-
le eſt differentiæ triã-
gulorum N H S, O H
Q. Et ſimiliter eorum dupla, ſcilicet rectangulum, cuius baſis æqualis eſt ſum-
mæ N S, O Q altitudo verò æqualis M E, erit differentia exemplarium rectã-
gulorum N T, & Q Z; ſed ſumma altitudinum V H, H R, ſeu ſumma abſciſ-
ſarum C M, C E ad ſum mam baſium N S, O Q eandem proportionem habet,
quam vna H V ad vnam O Q, ſeu quam latus tranſuerſum D C ad ſummam-
in hyperbola, & ad differentiam in ellipſi laterum tranſuerſi D C, & recti C F:
Igitur differentia exemplar ium N T, Q Z, ſeu exceſſus quadrati I A ſupra-
quadratum I L æqualis eſt rectangulo contento ſub E M differentia abſciſſarum,
& ſub ſumma ipſarum N S, & O Q, ad quam ſumma abſcißarum eandem pro-
portionem habet, quam latus tranſuerſum ad ſummam in hyperbola, & ad dif-
ferentiam in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti, quod fuerat propoſitum.
MONITVM.
E X varia diſpoſitione terminorum proportionalitatis ſcilicet duo-
rum antecedentium, & duorum conſequentium conſurgunt
plures modi argumentandi, quorum aliqui in elementis ex-
poſiti non ſunt, aliqui verò ſignificantiſsimis vocibus, &
breuiùs indicantur in textu Arabico, igitur, ne ſepius repetatur prolixa-
expoſitio modorum argumentandi in proportionalibus, & non proportiona-
libus, qui cumulatè inſeruntur in demonſirationibus Apollonij opere pre-
tium erit eos ſemel hìc exponere.
5113Conicor. Lib. V.
LEMMA I.
Si quatuor quantitates eandem proportionem habuerint, antecedentes,
vel cońſequentes ad terminorum ſummas, vel differentias in eadem ra-
tione erunt; & è contra.
HAbeat A B ad B C eandem proportionem, quàm D E ad E H: ſequitur pri-
mò, quod A C ad C B ſit, vt D H ad H E; & huiuſmodi argumentatio
vocatur in elementis compoſitio terminorum proportionis: itaque ſummæ antece-
dentium, & conſequentium ad eaſdem conſequentes ſunt etiam proportionales:
ſi vero ex eadem hypotbeſi concludaiur, quod A C ad A B, ſit vt D H ad D E,
vt nimirum ſummæ terminorum proportionis ad antecedentes ſint proportiona-
les: quod quidem manifeſtum eſt, nam poſita fuit A B ad B C, vt D E ad E H;
erit inuertendo C B ad B A, vt H E ad E D, & componendo C A ad A B erit
vt H D ad D E: modo huiuſmodi argumentandi forma innominata eſt; poteſt
autem breuitatis gratia appellari, Per comparationem ſummæ terminorum ad
antecedentes.
Secundò concludi poteſt, quod A B ad A
C ſit vt D E ad D H; quia, vt in prima
20[Figure 20] parte dictum eſt, A C ad A B erat vt D H
ad D E, ergo inuertendo A B ad A C erit
vt D E ad D H: hæc argumentandi forma
vocari poteſt, Per comparationem antece-
dentium ad terminorum ſummas.
Tertiò concludi poteſt: quod B C ad C A, ſit vt E H ad H D; nam componen-
do A C ad C B, erat vt D H ad H E, quare inuertendo B C ad C A erit vt E
H ad H D, & hæc argumentatio fieri dicetur comparando conſequentes ad ter-
minorum ſummas.
Deindè ſint eædem quatuor proportiona-
les in ſecunda figura, nimirum totum A B
21[Figure 21] ad ſegmentum eius B C ſit vt totum D E
ad portionem eius E H; tunc reſiduum A C
ad C B erit, vt reſiduum D H ad H E; hæc
argumentatio ſieri dicitur in elementis, di-
uidendo terminos proportionis, eſtque comparatio differentiarum terminorum ad
conſequentes.
At ſi concludatur ex eadem hypotbeſi quod A B ad A C ſit vt D E ad D H;
hæc argumentatio in elementis fieri dicitur per conuerſionem rationis eſtque
comparatio antecedentium ad differentias terminorum.
Poſtea ex eadem hypotbeſi ſequitur quod A C ad A B ſit vt D H ad D E: quia
per conuerſionem rationis, ſeu referendo antecedentes ad differentias terminorum
eſt A B ad A C, vt D E ad D H; ergo inuertendo A C ad A B erit vt D H ad
D E, & hæc argumentatio innominata fiet comparando differentias terminorum
ad antecedentes.
5214Apollonij Pergæi
Tandem ex eadem hypotheſi ſequitur, quod C B ad C A ſit vt E H ad H D:
nam diuidenda eſt vt A C ad C B, ita D H ad H E; ergo inuertendo B C ad C A
erit vt E H ad H D: & hæc argumentatio innominata fieri dicetur comparan-
do conſequentes ad derenifftias terminorum.
LEMMA II.
Si prima A B ad ſecundam B C maiorem proportionem habuerit quàm
tertia D E ad quartam E H: comparando antecedentes ad terminorum.
ſummas habebit AB ad AC maiorem proportionem quàm D E ad D H.
FIat A B ad B F, vt D E ad E H; erit B F maior quàm B C, atque A F ma-
11Lem. I. ior quàm A C; ergo A B ad A F eandem proportionem habebit quàm D E
ad D H; ſed eadem A B ad minorem A C maiorem proportionem habet quàm
ad A F maiorem, ergo A B ad A C maiorem proportionem habet quàm D E
ad D H.
Secundò ijſdem poſitis, dico com-
22[Figure 22] parando terminorum ſummas ad an-
tecedẽtes A C ad A B habere minorem
proportionem quàm D H ad D E.
Quoniam ex præcedenti caſu A B ad
A C maiorem proportionem habebat
quàm D E ad D H; igitur inuertendo
C A ad A B minorem proportionem
habebit quàm D H ad D E.
Tertiò, dico quod comparando con-
ſequentes adterminorum ſummas B C
ad C A minorem proportionem habe-
bit quàm E H ad H D; quia (ex hy-
pothcſi) A B ad B C maiorem proportionem habet quàm D E ad E H componen-
do A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm D H ad H E, & inuerten-
do B C ad C A minorem proportionem habebit, quàm E H ad H D.
Quartò, ij ſdem poſitis in quarta figura, dico quod comparando differentias
terminorum ad conſequentes A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm
D H ad H E: quia ex conſtructione A B ad B F eſt, vt D E ad E H, diuiden-
do A F ad F B erit vt D H ad H E; ſed A C maior eſt quàm A F, & C B mi-
nor, quàm F B; igitur A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm A F ad
F B; & propterea A C ad C B maiorem proportionem habebit, quàm D H ad H E.
Quintò, dico quod è contra, comparando conſequentes ad differentias termi-
norum C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H ad H D. Quia
(ex præcedenti caſu) A C ad C B maiorem proportionem habebat quàm D H ad
H E; ergo inuertendo C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H
ad H D.
Sextò, dico quod comparando antecedentes ad differentias terminorum B A ad
A C minorem proportionem habebit quàm E D ad D H. Quia ex conſtructione
22Ibidem.
5315Conicor. Lib. V. A B ad B F eſt, vt D E ad E H; ergo A B ad A F eſt, vt E D ad D H; ſed B A
ad maiorem C A habet minorem proportionem quàm ad F A; igitur B A ad A C
minorem proportionem habet quàm E D ad D H.
Septimò, dico è contra, quod comparando differentias terminorum ad ante-
cedentes C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm H D ad D E. Quo-
niam, ex præcedenti caſu, B A ad A C minorem proportionem habebat quàm E
D ad D H; igitur inuertendo C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm
H D ad D E.
LEMMA III.
Si quatuor quantitates eandem rationem habuerint homologorum ſum-
mæ, vel differentiæ in eadem ratione erunt.
OStenſum enim fuit in elemen-
23[Figure 23] tis, quod proportionalium om-
nes antecedentes ad omnes conſequen-
tes eandem proportionem habent,
quàm vna antecedentium ad vnam
conſequentium. Similiter oſtenſum
fuit, quod ſi totum ad totum eandem
rationem habuerit, quàm ablatum
ad ablatum, & reliquum ad reliquũ,
vt totum ad totum ſe habebit; ſed
vno verbo homologorum ſummæ, vel
differentiæ in eadem ratione erunt
iuxtà Arabici expoſitoris compendium.
LEMMA IV.
Si prima A B ad ſecundam D E maiorem proportionem habuerit,
quàm tertia B C ad qnartam E H: dico, quod comparando homologorum
ſummas A B ad D E maiorem proportionem habebit, quàm prima cum
tertia, ideſt A C ad ſecundam cum quarta, ideſt D H.
FIat B F ad E H, vt A B ad D E: ergo A B ad D E eſt, vt A F ad D H; ſed
11Lem. 3. A F maior eſt quàm A C, igitur A F ad eandem D H maiorem proportio-
nem habet, quàm A C: & ideo A B ad D E maiorem proportionem habet, quàm
A C ad D H.
Secundò ijſdem poſitis, dico, quod tertia B C ad quartam E H minorem pro-
portionem habet quàm A C ad D H.
Fiat vt B C ad E H, ita I B ad D E, ergo C B ad E H eſt, vt C I ad H D;
22Ibidem. ſed A B maior eſt quàm I B, & ideo C A maior quàm C I; igitur I C ad
5416Apollonij Pergæi D H minorem proportionem habet quàm A C, & propterea B C ad E H minorem
proportionem habebit quàm A C ad D H.
Tertiò ijſdem poſitis in ſexta fi-
gura, dico quod comparando homolo-
24[Figure 24] gorum differentias prima A B ad ſe-
cundam D E minorem proportionem
habet quàm differentia A C ad diffe-
rentiam D H.
Fiat B F ad E H, vt A B ad D
E, ergo A F ad D H eſt vt A B ad
11Lem.3. D E, ſed A F minor eſt quam A C,
ergo A F ad eandem D H minorem
proportionem habet quàm A C: &
propterea A B ad D E minorem pro-
portionem habet quàm A C ad D H.
Quartò, dico, quod tertia C B ad quartam H E minorem proportionem habet
22Ibidem. quàm differentia A C ad differentiam D H. Quoniam ex conſtructione A B ad
D E eſt vt F B ad H E, erit F B ad H E, vt A F ad D H; ſed C B minor
eſt quàm F B, atque A C maior quàm A F, & A F ad eandem D H minorem
proportionem habet quàm A C; igitur C B ad H E eo magis habebit minorem
proportionem quàm A C ad D H quæ erant oſtendenda.
SECTIO TERTIA
Continens VIII. IX. X. Propoſ. Apollonij.
SI menſura fuerit maior comparata, dummodo in ellipſi minor
ſit medietate axis tranſuerſi, tunc minimus ramorum in ſe-
ctionibus eſt, cuius potentialis abſcindit à menſura verſus origi-
nem in parabola (8) lineam æqualem comparatæ, in hyperbo-
la verò (9) & in ellipſi (10.) lineam, cuius inuerſæ proportio
ad illam eſt, vt proportio figuræ & reliqui rami, quo accedunt
ad minimum ſunt minores remotioribus; & quadratum minimæ
minus eſt quadrato cuiuslibet rami aſſignati in parabola quidem
(8) quadrato exceſſus ſuarum abſciſſarum, & in hyperbola (9)
& ellipſi (10.) exemplari applicato ad exceſſum ſuarum inuer-
ſarum.
SIt itaque ſectio A B C, & menſura I C, inclinatus, ſiue tranſuerſa E C,
33b dimidium erecti C G, centrum F, origo I, & I H in parabola ſit equa-
lis C G, & in hyperbola, & ellipſi F H ad H I ſit, vt F C dimidium incli-
nati, ſeu tranſuerſæ ad C G, dimidium erecti, & educta ex H perpendi-
culari H N, & coniuncta recta N I; Dico N I minimum eſſe
5517Conicor. Lib. V. egredientium ex I, & inſuper, propinquiores illi minores eſſe remotiori-
bus ramis ex vtraque parte, & quod quadratum IN minus eſt quadrato
MI (exempli gratia) in parabola quadrato QH, in hyperbola, & ellipſi
exemplari applicato ad QH. Quoniam quadratum HN in parabola ęqua-
11c le eſt HI, nempe C G in HC bis (11. ex primo) erit quadratum IN ęqua-
le IH in HC bis cum quadrato HI; at ꝗuadratum M Q æquale eſt HI
25[Figure 25] in QC bis (11. ex primo)
igitur quadratum MI ęqua-
le eſt IH in QC bis cum
quadrato IQ; hoc autem
22d eſt ęquale duobus quadra-
tis IH, HQ, & IH in H
Q bis; igitur quadratum I
M æquale eſt IH in HC
bis cum quadrato IH, quę
ſunt æqualia quadrato NI
vnà cum quadrato HQ.
Quadratum igitur MI ex-
cedit quadratum NI qua-
drato HQ. Et conſtat quo-
que, quadratum I L exce-
dere quadratum I N quadrato P H; atque P H maior eſt, quàm Q H,
ergo I L maior eſt, quàm I M, & I M, quàm N I. Ponamus iam B I
perpendicularem ſuper C I, ergo quadratum B I ęquale eſt I C
in I H bis (11. ex primo); quadratum igitur I N minus eſt
33e quàm quadratum B I quadrato I H. Et quia quadra-
44f tum O R ęquale eſt C R in I H bis excedet qua-
dratum I N (quod eſt ęquale quadrato I H,
& I H in H C bis) duobus quadratis
HI, IR, & IH in IR bis, nem-
pè quadrato R H; atquè ſic
conſtat, quadratum.
A I excedere
quadratum I N quadrato D H; eſtque
D H maior, quàm R H, igitur
I A maior eſt, quàm I O,
& I O quàm I N. Et
hoc propofitum
fuerat.
5618Apollonij Pergæi
PROPOSITIO IX. & X.
AT in hyper-
11g26[Figure 26] bola (10.)
& ellipſi educa-
mus rectas lineas,
G F quidem ſecã-
tem A D in a, &
N H occurrẽtem
F G in S, & I S
ſecantem C G in
T, pariterque M
Q ſecantem F G
in m, & I T in X,
& ex punctis m, S,
x educamus inter
N S, M X rectas
m y, X n, S Z pa-
rallelas ipſi C I.
Et quia C F ad C
G, nempe F H ad
H S poſita eſt, vt
F H ad H I erit H I æqualis H S;
22h27[Figure 27] quadratum igitur I H eſt æquale
duplo trianguli I H S, & quadra-
tum N H ęquale eſt duplo trape-
zij H G; quare quadratum N I
33Prop. I. h. æquale eſt duplo trapezij I G;
ſimiliter quadratum I Q ęquale eſt
44i duplo trianguli I Q X, & quadra-
tum M Q eſt æquale duplo trape-
zij Q G; itaque quadratum ex I M
æquale eſt duplo trapezij I G cum
duplo trianguli m S X, quod eſt æ-
quale plano m n: Et C F ad C G,
nempe proportio figuræ eſt, vt S Z,
nempe Z X ad Z m (& hoc quidem
propter ſimilitudinem triangulorũ)
quare comparãdo priores ad ſum-
55Lem. 1. h. mas terminorum in hyperbola, &
66k ad eorundem differentias in ellipſi
fiet X Z (quæ eſt æqualis ipſi X n)
ad X m, vt proportio inclinati, ſiue
77l tranſuerſæ ad latitudinem figuræ
comparatæ; igitur planum m n eſt exemplar, eſtque applicatum ad X n,
88Def 9.
5719Conicor. Lib. V. nempe ad QH. Eodem modo conſtat, quod quadratum IL excedit qua-
dratum I N quantitate exemplaris applicati ad H P, & quod quadratum
B I excedit quadratum I N exemplari applicato ad I H, & quod quadra-
tum I O excedit quadratum I N exemplari applicato ad R H (eo quod
11m quadratum R I æquale eſt duplo trianguli R V I, & quadratum O R ęqua-
22Prop. 1. h. le eſt duplo trapezij R G, at in ellipſi quando O R cadit infra centrum F
æquale eſt duplo trapezij R K; quadratum igitur O I in ellipſi æquale eſt
33Prop. 3. h. duplo trianguli K E F, quod eſt æquale F C G cum duplo trapezij V F,
44n igitur quadratum O I in hyperbola, & ellipſi excedit duplum trapezij I G
(quod eſt æquale quadrato N I) duplo trianguli V S0, quod eſt æquale
55o exemplari applicato ad R H: & ſimiliter patet, quod quadratum A I ex-
cedit quadratum N I exemplari applicato ad D H, eſtque D H maior
quàm R H, & R H maior quàm I H; quare A I maior eſt, quàm O I, &
66p O I maior, quàm B I, & B I, quàm N I, & quodlibet horum duorum ex-
cedit N I poteſtate plano iam dicto, & hoc erat oſtendendum.
Notæ in Propoſitionem VIII.
S I menſura fuerit maior comparata, dummodò in ellipſi ſit portio tran-
77a ſuerſæ, non maior medietate ipſius, tunc minimus, & c. Sic puto le-
gendum: Si menſura fuerit maior comparata, dummodo in ellipſi minor ſit me-
dietate axis tranſuerſi, tunc minimus, & c. Nam ſi menſura ſumi poſſet æqua-
lis ſemitranſuerſo, tunc qui-
28[Figure 28] dem origo eßet in centro elli-
pſis, quare undecima propo-
ſitio huius eſſet ſuperflua, in
qua ſupponitur origo in ipſo-
met centro ellipſis. Animad-
uertendum eſt quod in hac
propoſitione menſura neceſſa-
riò ſumi debet in axe maiori
ellipſis; quandoquidem menſu-
ra I C ponitur maior, quàm
C G, & C F maior quàm C I,
ergo C F maior eſt quàm C G,
& illius duplum ſcilicet axis
E C maior erit duplo huius, ſed ut E C ad duplum C G, ita eſt quadratum E C
ad quadratum Recti axis eiuſdem ellipſis: ergo E C eſt maior duorum axium
ellipſis A B C.
Et educta ex H perpendiculari H N, & c. Ideſt ex H educta H N per-
88b pendiculari ad axim C I, quæ ſecet ſectionem in N, & iuncta recta N I, pari-
terque ductis reliquis ramis I M, I L, I B, I A, atque ab eorum terminis ad
axim extenſis perpendicularibus, vt in propoſitionibus quarta, quinta, ſexta
factum eſt.
Quadratum H N in parabola æquale eſt H I nempè C G in H C bis
99c (prima ex quinto) & c. Hoc deduci non poteſt ex prima propoſitione huius
5820Apollonij Pergæi ſed potius ex vndecima libri primi;
29[Figure 29] eſt enim quadratum H N æquale re-
ctangulo contento ſub abſciſſa H C,
& ſub latere recto, eſtque rectangu-
lum ſub H C, & ſub ſemierecto C G
ſemiſsis illius; igitur quadratum H
N æquale eſt duplo rectanguli H C G.
11d
Hoc autem eſt æquale duobus
quadratis I H, H Q, & I H in H
Q bis, & c. Poſt hæc verba ſubiun-
go claritatis gratia, atque C H in H
I bis æquale eſt duplo C Q in H I
vna cum duplo Q H in H I.
Ergo quadratum B I æquale eſt
22e I C in I H bis, & c. Hìc pariter, vt
clarior reddatur demõſtratio, ſubiun-
go, ſcilicet duplo rectãguli C H I vna
cum duplo quadrati H I; erat autem
quadratum N I æquale duplo rectan-
guli C H I, & vnico quadrato H I,
ergo, & c.
Et quia quadratum OR æqua-
33f le eſt C R in I H bis, & c.
30[Figure 30] Subiungo hanc declarationem.
Scilicet duplo rectanguli C H
I, & duplo quadrati H I cum
duplo rectanguli R I H. Qua-
re quadratum I O æquale eſt
quadrato R I, duplo quadrati
H I, duplo rectanguli R I H,
& duplo rectanguli C H I: ſed
quadratũ H R æquale eſt qua-
drato R I, quadrato I H cum
duplo rectanguli R I H. Ergo
quadratum I O æquale eſt qua-
drato H R, quadrato H I cum duplo rectanguli C H I; erat autem prius qua-
dratum I N æquale quadrato I H cum duplo rectanguli C H I. Igitur exceßus
quadrati I O ſupra quadratum I N eſt quadratum H R.
5921Conicor. Lib. V.
Notæ in Propoſitionem IX. & X.
AT in hyper-
11g31[Figure 31] bola, & el-
lipſi educamus G
F ad a ex A D, &
H N ad s ex F G,
& I S ad T ex C
G, ſi educta oc-
currat ſectioni ad
A, & M Q poſita
ad m ex a, F G,
& X in I T, & ex
m, S X, m y, x n,
S Z inter N S, M
X, & c. Eadẽ phraſi
inconcinna exponi-
tur vniuerſa con-
ſtructio buius pro-
poſitionis, ideo cu-
raui eam reddere
clariorem, dicendo;
Educamus rectas lineas G F quidem ſec antem A D in a, & c.
Quadratum igitur I H eſt æquale triangulo I H S, & c. Qaia nimirum.
22h Quadratum I H eſt æquale duplo iſoſcelei, & rectanguli trianguli I H S.
Et ſimiliter quadratum I Q æquale eſt duplo trianguli I Q X, & c. Sci-
33i licet duplo trapezij I S m Q cum duplo trianguli S m X.
Et hoc quidem propter ſimilitudinem triangulorum, at componendo
44k proportionem in hyperbola, tum inuertendo, & reflectendo in ellipſi
fit, & c. Huiuſmodi verba inepta ad concluſionem inferendam commutaui di-
cendo; Quare comparando priores ad ſummas terminorum in hyperbola, & ad
eorum differentias in ellipſi fit, & c. Quæ quidem expeditè (vt in primo præce-
cedentium Lemmatum oſtenſum eſt) progreſſum declarant.
55l
Vt proportio inclinati, ſiue tranſuerſæ ad latitudinem figuræ compara-
tæ; igitur planum m n eſt exemplar, & c. Subiungo: nam, vt dictum eſt in
quinta, & ſexta huius, poteſt hìc demonſtrari, quod figura m n ſimilis eſt ei,
quæ continetur latere tranſuerſo E C, & ſumma in hyperbola, & differentia in
ellipſi laterum tranſuerſi, & recti iuxta definitiones octauam, & nonam.
Quadratum R I æquale eſt duplo trianguli R V I, & quadratum O R in
66m hyperbola æquale eſt duplo trapezij R G, & in ellipſi æquale eſt duplo
trapezij R K, & c. Legendum puto quadratum R I æquale eſt duplo trianguli
771. huius. R V I, & quadratum O R æquale eſt duplo trapezij R G, at in ellipſi quando
O R cadit infra centrum F æquale eſt duplo trapezij R K, & c. Deindè
quum triangulum R V I ſimile ſit triangulo I H S propter parallelas V R, S
H; ideò triangulum R V I erit quoque iſoſceleum, & rectangulum. Poſtea
6022Apollonij Pergæi32[Figure 32] dratum O R æquale eſt duplo trapezij R C G O;
11Prop. 1. h. Sed in ellipſi quando ordinata O R cadit infra
centrum F, tunc quidem ducta E K parallela
C G, quæ ſecet G F in K, erit quadratum O R
æquale duplo differentiæ triangulorum F R o, &
F C G, ſeu F E K, quæ differentia æqualis eſt
trapezio R E K o, ideoque duo quadrata ex I R,
& ex R O, ideſt quadratum ex I O æquale erit
triangulis F C G, & I R V bis ſumptis dempto
duplo trianguli F R o.
Quod eſt ęquale triangulo F C G cum
22n duplo trapezij V F, & c. Addo, quævidentur
in textu deficere, ſeu cum duplo differentiæ triã-
gulorum I V R, & F R o. In hyperbola verò
quadratum O I æquale eſt ſpatio rectilineo V I C G o bis ſumpto, quare in hyperbo-
la, & ellipſi quadratũ O I æquale eſt duplo trapezij I C G S cum duplo triãguli V o S.
Quod eſt æquale exemplari applicato ad R H, & c. Hoc enim conſtat ex
33o ijs, quæ ſupra dicta ſunt.
Eſtque D H maior in hyperbola, quàm R H, itaque A I maior, quàm
44p OI, & O I in omnibus maior, quàm B I, & c. Textum hunc corruptum ſic
reſtituo: Eſtque D H maior, quàm R H, & R H maior quàm I H; itaque A I
maior eſt, quàm O I, & O I maior quàm B I.
Similiter, vt in præcedenti ſectione factum eſt, reperietur multitudo ramo-
rum inter ſe æqualium, qui ex origine ad ſectionem duci poſſunt. Exiſtente
menſura I C maiore, quàm comparata, ſi differentia abſcißarum rami maioris,
55PROP.
III. Add.& breuiſsimi æqualis fuerit abſciſſæ rami breuiſsimi, erunt tantummodo tres
rami inter ſe æquales; ſi verò maior fuerit, duo rami ſolummodo æquales erunt;
at ſi fuerit minor eadem abſciſſa, erunt quatuor rami tantùm æquales inter ſe.
Et primò ramorum I O, &
33[Figure 33] breuiſsimi I N abſciſſæ ſint R
C, H C, & eorum differen-
tia R H, ſitque R H æqualis
H C, & producatur O R per-
pendicularis ad axim quouſ-
que ſecet ſectionem ex altera
parte in puncto o, coniunga-
turque ramus 10. Dico quod
tres rami I O, 10, I C tan-
tũmodo inter ſe æquales ſunt;
quoniam quadrata in para-
bola rectarum R H, & H C,
668. huius. ſeu in hyperbola, & ellipſi,
779. 10. h. rectangula exemplaria inter ſe ſimilia applicata ad R H, & H C æqualia ſunt
inter ſe, cum eorum latera homologa R H, H C æqualia ſuppoſita ſint; eſtque
exceſſus quadrati rami I O, vel 10, ſeu I C ſupra quadratum rami bre-
uiſsimi I N æqualis quadrato R H, vel C H in parabola, & in reliquis
ſectionibus, exemplaribus ſimilibus applicatis ad eaſdem rectas æquales R
6123Conicor. Lib. V. H C; igitur prædisti exceſſus tam in parabola, quàm in reliquis ſectioni-
bus æquales ſunt inter ſe, & ideò quadrata ramorum I O, 10, I C, & rami ipſi
æquales erunt: cumque quilibet alius ramus ſupra, vel infra ramum I O maior,
vel minor ſit illo, non crunt plures, quam tres rami inter ſe æquales.
Secundò H D differentia abſciſſarum rami I A, & breniſsimi I N ſupponatur
maior, quàm H C quæ eſt abſciſſa breuiſsimi rami I N; & producta ſimiliter
ordinata D A vltra axim ad ſectionem in a, & coniuncta I a; Dico, quod duo
rami tantummodo I A, & I a inter ſe æquales ſunt: Quia H D maior eſt, quàm
H C, erit quadratum ex H D maius quadrato H C; pariterque exemplar appli-
catum ad H D maius erit exemplari ei ſimili applicato ad H C, & ideo tam.
quadratum I A, quàm I a maius erit quadrato I C, cum quodlibet illorum ma-
iori exceſſu ſuperet quadratum breuiſsimi rami I N quam quadratqm I C, qua-
re tam ramus I A, quàm I a (qui æquales ſunt) maiores erunt, quàm I C, &
ideo maiores quàm intercepti inter I C, & I N, pariterque maiores, quàm in-
terpoſiti inter I N, & I A, & minores omnibus alijs, qui infra ipſos cadunt.
Quapropter duo tantùm rami I A, I a ab origine ad ſectionem duci poſſunt in-
ter ſe æquales.
Tertiò ſint duæ abſciſſarum differentiæ H P, & H I æquales inter ſe, & quæ-
libet earum minor H C abſciſſa rami breuiſsimi, & producantur perpendicula-
res ad axim L P, B I, donec conueniant ex altera parte cum ſectione in l, & b,
coniunganturque rami ad l, b. Dico, quatuor ramos I B, I L, I l, I b æquales
inter ſe tantummodo duci poſſe; quia, vt dictum eſt, quilibet eorum ſuperat ra-
mum breuiſsimum I N potentia eodem exceſſu, erunt radij ipſi I B, I L, I l, I b
æquales inter ſe, reliqui verò ſupra, & infra ipſos maiores, aut minores erunt,
& ideo non poſſunt duci plures, quàm quatuor rami iam dicti æquales. Quod
erat oſtendendum.
Et inſuper quadratum rami
11PROP.
IV. Add. à breuiſsimo remotioris ſuper at
quadratum rami propinquioris,
34[Figure 34] in parabola quidem rectangulo
ſub exceſſu, & ſub aggregato
differẽtiali ſuarum abſciſſarum
ab abſciſſa rami breuiſsimi, in
reliquis verò ſectionibus rectã-
gulo ſub codem exceſſu differen-
tiali, & ſub recta linea, ad quam
ſumma differentialis eandem
proportionem habet, quam latus
tranſuer ſum ad ſummam in hy-
perbola, & ad differentiam in ellipſi laterum recti, & tranſuerſi.
Quoniam in parabola quadratum I L ſuperat quadratum I M eodem exceſſu,
quo quadratum H P ſuperat quadratum H Q (cum quadratum H P, atque qua-
22Ex 8. hu. dratum I N ſimul ſumpta æqualia ſint quadrato L I, & quadrata ex H Q, &
ex I N æqualia ſint quadrato I M) ſed exceſſus quadrati H P ſupra quadratum
H Q æqualis eſt rectangulo ſub P Q differentia, & P H, H Q, ſumma laterum
eorundem quadratorum contento; igitur quadratum I L ſuperat quadratum ra-
mi I M propinquioris breuiſsimo I N rectangulo ſub P Q exceſſu, & P H
6224Apollonij Pergæi aggregato differentiali ab-
35[Figure 35] ſciſſarum ramorum I L, I
M ab abſciſſa rami breuiſ-
ſimi.
Pari modo in hyperbola,
& ellipſi quadratum I L ſu-
perat quadratum I M eodẽ
exceſſu, quo exemplar ap-
11Ex 9. 10. h. plicatum ad H P ſuperat
exemplar applicatum ad H
L; ſed differentia exem-
plarium applicatorum ad H
P, & H Q æqualis eſt re-
ctangulo ſub P Q exceſſu
differentiali, & recta linea
compoſita ex X m, & u l, ad quam ſumma
differentialis P H Q eandem proportionem
36[Figure 36] habet, quam latus trãſuerſum ad ſummam
in hyperbola, & ad differentiam in ellipſi
laterum tranſuerſi, & recti, vt in nota
propoſitionis 5. oſtenſum eſt; igitur quadra-
tum I L ſuperat quadratum I M iam dicto
rectangulo ſub P Q, & ſub X m, & u l,
quod erat oſtendendum.
SECTIO IV.
Continens Propoſit. VII.
& XII. Apollonij.
SIfuerit menſura A
37[Figure 37] D minor com-
22a parata A E, (12.) aut
ſit pars lineæ breuiſſi-
mæ, & axis in ellipſi
ſit maior, erit A D
breuiſſimus ramorum
egredientium ex ori-
gine eius in omnibus
ſectionibus, vt ſunt F
D, G D, B D, C D,
& proximior illi minor eſt remotiore, nempe F D quam G D, & G
D, quàm B D.
6325Conicor. Lib. V.
QVia A E eſt line a breuiſſima, igi-
11b38[Figure 38] tur F E maior eſt illa; itaque an-
gulus F A E maior eſt, quàm
22c A F E; Ergo ille eſt multò maior quàm
A F D, quare F D maior eſt; atque ſic
patet quod G E maior ſit quàm E F, &
33d ideo angulus G F E maior eſt, quàm E
G F; igitur angulus G F D multò maior
eſt, quàm F G D, & propterea G D ma-
ior eſt, quàm D F, & ſimiliter B D,
quàm G D, & D C, quàm A D, & hoc
erat propoſitum.
NOTÆ.
SI fuerit menſura A D minor comparata A E, & c. Senſus propoſitionis
44a clarior ſic reddetur; Si fuerit menſura A D minor comparata A E, quæ in
ellipſi ſumi debet in axi maiori eius (12.) aut ſit pars lineæ breuiſsimæ; erit
A D minimus ramorum F D, G D, B D, C D, egredientium ex origine eius in
omnibus ſectionibus, & proximior illi, & c.
Quia A E eſt linea breuiſſima, igitur, & c. Vt conſtructio compleatur ſu-
55b biungo: Igitur ſi coniungantur rectæ lineæ E F, E G, E C, E B, & rectæ lineæ
A F, F G, G B, A C erit F E maior, quàm A E.
Ergo hic eſt multò maior, quàm A F E, & c. Senſus clarior reddetur hac
66c ratione: Ergo angulus F A E multò maior erit, quàm A F D, qui eſt portio mi-
noris anguli, quarè F D ſubtendens angulum maiorem eſt maior, quàm A D.
Igitur ipſe multò maior eſt, & c. Superaddo rationem illationis dicendo;
77d Et propterea angulus G F D maiorem excedens erit multò maior, quàm F G D,
qui portio minoris eſt.
Manifeſtum eſt in prima figura propoſitionis 7. quando A D eſt portio axis
minor comparata, quod tunc ex origine D duo tantummodo rami inter ſe æqua-
les ad vtraſque partes axis duci poſſunt ad ſectionem, & erunt illi, qui ad ter-
minos eiuſdem ordinatim ad axim applicatæ iunguntur ab origine D, vt conſtat
ex ſuperiùs dictis.
At in ſecunda figura propoſitionis 12. poſſunt quidem ab origine D ad ſectio-
nem duci hinc indè à breuiſsima D A, aliquando duo tantùm rami inter ſe
æquales, aliquando tres, atque etiam quatuor inter ſe æquales, quæcognitio pen-
det ex propoſitione 72. huius libri.
6426Apollonij Pergæi
SECTIO QVINTA
Continens XI. Propoſit. Apollonij.
LInearum egredientium ex D centro ellipſis A B C, breuiſſi-
ma eſt ſemiaxis minor rectus
illius, qui ſit B D, maxima verò eſt
39[Figure 39] ſemiaxis tranſuerſus, qui ſit A D, &
propinquiores maiori ſunt maiores
remotioribus, vt H D, quam G D,
& quadratum cuiuslibet rami, vt G
D (exempli gratia) excedit quadra-
11a tum breuiſſimę B D exemplari appli-
cato ad inuerſam illius I D.
EDucamus itaque E A æqualem A D, & abſcindamus ex illa A F ęqua-
22b lem dimidio erecti, & iungamus D F, D E, & perducamus ex G, H
perpendiculares ad D A, & ſint G I M, H L N. Quia quadratum G I æ-
33c quale eſt duplo trapezij I F (prima ex quinto) & quadratum I D eſt æqua-
le duplo trianguli I D M, eo quod I D eſt æqualis I M, erit quadratum
44d D G æquale duplo trianguli A D F (quod eſt æquale quadrato B D (2. ex
quinto) vnà cum duplo trianguli Q M D, quod eſt æquale rectangulo Q
P; igitur quadrati G D exceſſus ſupra quadratum B D eſt æqualis plano
Q P, & quia D A, nempe E A ad A F eſt, vt D I, nempe M I ad I Q,
55e& per conuerſionem rationis A E ad E F, ſcilicet dimidium tranſuerſæ
ad illius exceſſum ſuper A F dimidium erecti, eſt, vt M I, nempe M P
ad M Q; igitur planum Q P ſimile eſt figuræ comparatæ, & M P æqua-
lis eſt D I. Similiter patet, quod quadratum D H excedit quadratum B
66Def. 8. 9.
huius. D exemplari applicato ad D L, & quadratum D A ſuperat quadratum
B D exemplari applicato ad D A: Eſt verò D I minor, quàm D L, &
D L, quàm D A; igitur B D (quæ eſt dimidium recti) minor eſt, quàm
77f G D, & G D, quàm D H, & D H quàm D A, quod erat oſtendendum.
NOTÆ.
ET debet eſſe linea breuiſſima perpendicularis ad menſuram, nempe B
88a D perpendicularis D A, & c. Hæc omnino expungi debent, tanquam
ſuperuacanea, axes enim eſſe nequeunt, niſi ad inuicem perpendiculares ſint;
quare cenſeo ab aliquo verba illa addita textui Apollonij fuiſſe.
6527Conicor. Lib. V.
Educamus itaque E A, & c. Lego: Educamus itaq; E A perpendicularem, &
11b æqualem A D.
Et perducamus ex G, H perpendiculares, & c. Et perducamus ex G, H
22c perpendiculares ad D A, & ſint H L N, & G I M, quæ ſecent F D in Q, & D
E in M, & N, atque à punctis Q, M educantur M P, Q O, parallelæ D A,
quæ ſecent rectum axem B D in O, P. Addidi hæc poſtrema verba, vt conſtru-
ctio completa ſit.
Eo quod I D eſt æqualis I M, & c. Quoniam ſicuti in triangulo D A E
33d ſimili triangulo D I M (propter angulum D communem, & rectos angulos ad I,
& A) latus D A æquale erat E A, ita latus D I æquale eſt I M.
Nempe M I ad I Q, & è contra, & c. Lego: Nempe M I ad I Q, & per
44e conuerſionem rationis.
Cumque B D ſit dimidium axis recti erit perpendicularis ad A D men-
55f ſuram, & c. Hæc verba poſtrema pariter expungi debent, niſi fortè corollarium
propoſitionis exponunt, & tunc textus ſic reſtitui deberet. Ex dictis conſtat, li-
neam breuiſsimam è centro ellipſis ad ſectionem ductam, perpendicularem eße
ad axim eius maiorem.
Manifeſtum eſt ex centro ellipſis ad ſectionem duci non poſſe plures, quàm
quatuor ramos inter ſe æquales, neque pauciores duobus; tres autem nequaquam;
nam duæ medietates cuiuslibet axis æquales ſunt inter ſe, & quatuor rami ad
extremitates duarum applicatarum ad axim æqualiter è centro diſtantium ducti
æquales ſunt inter ſe.
SECTIO SEXTA
Continens Propoſit. XIII. XIV. XV. Apollonij.
OStendamus modò cõ-
uerſum harum pro-
40[Figure 40] poſitionum; & eſt, quod li-
nea breuiſſima B F continet
cum ſua menſura A F angu-
lum acutum, vt B F A in
omnibus ſectionibus, & el-
lipſi (ſi tamen non egre-
diatur ex eius centro) eiuſ-
que potentialis abſcindet
menſuram (13) in parabola æqualem comparatæ (14) & in
66a hyperbola (15) & ellipſi lineam, ad quam inuerſa eſt, vt pro-
portio figuræ.
SIt centrum D, & dimidium erecti A C. Quia B F eſt linea breuiſſima,
erit A F maior quàm A C, eo quòd ſi eſſet æqualis (4. 6. ex
6628Apollonij Pergæi aut minor illa (7. ex quinto) eſ-
ſet linea breuiſſima A F, aut pars
41[Figure 41] illius, quod eſt falſum, igitur
maior eſt, quàm A C; & pro-
pterea A D ad A C maiorem
proportionem habet, quàm ad
A F; ponamus ergo, vt A D ad
A C, ita D G ad G F in hyper-
bola, & ellipſi; at in parabola
11b ponamus G F æqualem A C, &
ducatur ex G perpendicularis ad
ſectionem. Dico, quod ei oc-
curret ad B. Nam ſi occurrat
ſectioni ad aliud punctum, vt H co-
42[Figure 42] niuncta H F erit H F breuiſſima (8. 9.
10. ex quinto) ſed ſuppoſuimus B F eſſe
breuiſſimam, quod eſt abſurdum, ergo
perpendicularis occurrit ſectioni in B.
Et quia angulus B G F eſt rectus, erit
angulus B F G acutus, quod erat oſten-
dendum.
NOTÆ.
ET eius potentialis ſecet menſuram
in parabola, & c. Ideſt, & eius po-
22a43[Figure 43] tentialis abſcindet ex menſura vſque ad originem,
in parabola quidem ſegmentum æquale compara-
tæ, & in hyperbola, & ellipſi lineam, ad quam
inuerſa eandem proporportionem habet, quam la-
tus tranſuerſum ad rectum.
Et ducatur ex G perpendicularis ad ſectio-
33b nem, & c. Et ducatur ex G recta linea perpendi-
cularis ad axim, & producatur vſque ad ſectio-
nem.
6729Conicor. Lib. V.
SECTIO SEPTIMA
Continens XXVI. XXVII. XXVIII. Propoſ.
Apollonij.
PROPOSITIO XXVI. & XXVII.
ANgulorum ab axi ſectionis A H, & à lineis breuiſſimis F
B, H G contentorum proximiores vertici ſectionis mi-
nores ſunt remotioribus, nempe angulus AFB minor eſt AHG.
44[Figure 44]
SIt itaque centrum D, & ſemi inclinatus axis A D, ſiue ſemitranſuer-
ſus, & dimidium erecti A C: educamus itaque duas perpendiculares
11a GL, BI, & ſi ſectio fuerit parabole, erit FI æqualis LH, quia quælibet
earum æqualis eſt A C (13. ex quinto) & L G maior eſt, quàm BI; an-
22b gulus igitur F minor quàm H; ſi verò ſectio fuerit hyperbole, aut ellipſis,
erit FI ad ID, vt HL ad LD, quia quælibet earum eſt, vt AC ad AD
33c (14. 15. ex quinto) & permutando, erit I D ad L D nempe B I ad M L,
44d vt I F ad L H, & anguli I, & L ſunt recti; igitur duo triangula BIF, M
L H ſunt ſimilia, ideoque angulus A H G maior eſt, quàm angulus A F
B, & hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO XXVIII.
Hinc patet, lineas breuiſſimas ſibi occurrere ad partes axis
ſectionis.
QVia angulus AFB minor eſt, quàm angulus AHG; quare ſibi oc-
5526. 27. h.66e currunt ad partes F, H, & hoc erat oſtendendum.
6830Apollonij Pergæi
NOTÆ.
EDucamus itaque duas perpendiculares, & c. Educamus itaque ex pun-
11a ctis B, G duas G L, B I perpendiculares ad axim ei occurrentes in L, I.
Et LG maior eſt, quàm B I, & c. Subiungo: Eo quod potentialis G L ma-
22b gis recedit à vertice, quàm B I; ſi iam ducatur B M parallela axi in parabola,
& ex centro educta in reliquis ſectionibus, ſecans G L in M, coniungaturque H
M, erit in parabola M L minor quàm G L, & æqualis B I, & ideo angulus M
H L minor erit angulo G H L, & æqualis angulo F, & propterea angulus F mi-
nor eſt, quàm G H L.
45[Figure 45]
Si verò ſectio fuerit hyperbole, aut ellipſis, & c. Addo: Manifeſtum eſt
3331. lib. I.44C rectam B D ex centro ductam ſectionem ſecare in B, & propterea occurrere po-
tentiali G L à vertice remotiori, quàm B I inter puncta G, & L, & erit F I,
& cætera.
Erit ID ad LD, nempe B I ad M L, & c. Addo (propter parallelas B I,
55d M L, & ſimilitudincm triangulorum D B I, & D M L.)
Quia angulus A F B minor eſt, quàm angulus A H G, & c. Addo: Et
66e ſumpto communi angulo F H N erunt A F B, ſeu H F N, & F H N ſimul ſumpti
minores duobus angulis G H A, F H N, qui duobus rectis æquales ſunt; quare
B F, G H, concurrunt ad partes F, & H, vt in N.
Pro intelligentia ſequentium propoſitionum hæc præmitti debent.
LEMMA V.
Habeat A ad B maiorem proportionem, quàm C ad D. Dico, re-
ctangulum ſub extremis A, D contentum maius eſſe eo, quod ſub me-
dijs B, C continetur, & è conuerſo.
Flat vt C ad D, ita E ad B; patet ex elementis, A excedere ipſam E; qua-
re rectangulum A D maius erit rectangulo E D: eſt verò rectangulum
6931Conicor. Lib. V. C ſub intermedijs contentum æquale ei, quod
46[Figure 46] ſub extremis E, D quatuor proportionaliũ con-
tinetur ; ergo rectangulum A D maius eſt re-
ctangulo B C. Poſtea ſit rectangulũ A D ma-
ius rectangulo B C; Dico A ad B maiorem pro-
portionem habere, quàm C ad D; Si enim hoc
verum non eſt, habebit A ad B eandem, aut
minorem proportionem quàm C ad D, quare rectangulum A D æquale, aut mi-
nus erit rectangulo B C, quæ ſunt contra hypotheſim ; igitur A ad B maiorem
proportionem babet, quàm C ad D.
LEMMA. VI.
SIrectæ linea A B ſecetur bifariam in C, & non bifariam in D: Dico,
quod ſemiſsis C B ad alterum ſegmentorum inæqualium D B habet
maiorẽ proportionẽ, quàm reliquum inæqualiũ AD ad alter ã medietatẽ AC.
Quoniam quadratum ſemiſſis C B, ſeu re-
47[Figure 47] ctangulum B C A maius eſt rectangulo A D B
ſub inæqualibus ſegmentis contento; ergo ex præ-
cedenti lemmate C B ad D B maiorem propor-
tionem habet, quàm A D ad A C; Aſſumitur
in ſequenti prop. 52. problema antiquum in-
uentionis duarum mediarum continuè proportionalium inter duas rectas lineas
11Cõm. lib.
2. Arch. de
Sphę a, &
Cylin.
Prop. 2. datas, cuius conſtructio, & demonſtratio ab Apollonio inuenta adhuc legitur apud
Eutocium, ſed organica quidem illa eſt, & ad manuum operationes maximè ac-
comodata, non omnino diuerſa ab ea, quàm Hero, & philo ediderunt. At Par-
menion aliam eiuſdem problematis demonſtrationem Apollonio tribuit paulò di-
uerſam ab ea , quàm Eutocius recenſuit : eam ſane nec percepit, nec rite expo-
22In lib. 5.
Poſt Ana-
lit. comm.
36. ſuit, Philoponus, quàm enim petitionem non demonſtratam ipſe vocat conſequẽ-
tia eſt neceſſaria ex deſcriptione hyperboles, quæ omnino ſubintelligi, & adiun-
gi debet, vt colligitur ex Pappi verbis : hi enim (ſcilicet Hero, & Philo)
33Coll. lib. 3.
Prop. 4. aßerentes problema ſolidum eße, ipſius conſtructionem inſtrumentis tantum per-
fecerunt congruenter Apollonio Pergæo, qui reſolutionem eius fecit per coniſe-
ctiones. Erit igitur Apollonij propoſitio huiuſmodi.
LEMMA VII.
INter rectam lineam A C maiorem , & B C minorem duas medias
proportionales reperire.
Conueniant illæ ad angulos rectos in A , & compleatur Parallelogrammum
44Prop. 4.
lib. 2. A B D C, cui circumſcribatur circulus diametro D A, & per punctum D circa
aſymptotos C A B deſcribatur hyperbole D F, & ducatur recta D M circulum
55Prop. 34.
lib. 1. tangens in D, & recta I D K ſectionem ibidem contingens , occurrens aſym-
ptotis in I , & K, erunt quidem I D, & I K æquales inter ſe, & D C paral-
663. lib. 1. lela eſt A K , ergo I C æqualis eſt C A : pari ratione K B æqualis erit B A,
ſed poſita fuit C A maior quàm A B, ergo in triangulis I A D, & K D A baſis
I A maior erit, quàm A K, & latera I D, D K æqualia ſunt, & D A eſt commune,
igitur angulus A D I maior erit angulo A D K, & propterearecta line a I K
7032Apollonij Pergæi contingens in D intra circulũ cadet ad
48[Figure 48] partes acuti anguli ADK, ſed quælibet
recta linea ex D inter tangentes K D,
& D M incedens ſecat circulum, &
hyperbolam D F, ergo circuli periphe-
1136. lib. 1. ria, & hyperbole non ad eaſdem par-
tes cauæ ſe mutuo ſecant in duobus pun-
2233. lib. 4. ctis : concurrant in D, & F, & co-
niungatur recta linea D F, quæ pro-
ducta ſecet aſymptotos in punctis G ,
338. lib. 2.& H : oſtendendũ eſt rectas B H, & G C
eſſe duas medias proportionales quæſitas.
Quoniã eiuſdem rectæ lincæ portiones G
44Ibidem. D, & F H inter hyperbolen, & aſym-
ptotos interceptæ æquales ſunt inter ſe, addita communi D F, erunt F G, & G H
inter ſe quoq; æquales quare rectangulum D H F æquale erit rectangulo F G D, ſed
rectangulũ A H B æquale eſt rectangulo D H F , (eo quod ab eodem puncto H extra
circulum poſito ducuntur duæ rectæ lineæ circulum ſecantes): ſimili modo rectangulũ
A G C æquale eſt rectangulo F G D, igitur duo rectangula A G C, & A H B æqualia
inter ſe erunt, & ideo vt G A ad A H, ita erit reciprocè B H ad G C, ſed vt G A ad
A H; ita eſt D B ad B H, nec non G C ad C D, (propter æquidiſtantiã ipſarum D B,
G A, & ipſarum C D, & A H, & ſimilitudinem triangulorum), quare D B, ſeu
C A ad B H eandem proportionem habebit, quam B H ad G C, & eandem ,
quàm habet G C ad C D, ſeu ad A B, & propterea quatuor rectæ lineæ C A,
B H , C G , & B A erunt in continua proportionalitate , quod erat propoſitum.
SECTIO OCTAVA
Continens Prop. IL. L. LI. LII. LIII. Apoll.
SI menſura non excedit comparatam, nullus ramorum ſecantiũ
ex concurſu egredientium erit Breuiſecans: & lineæ breuiſſimæ
ab extremitatibus ramorum ductæ in ſectione abſcindunt ex axi li-
neam maiorem, quàm abſcindunt rami (51. & 52.) Si verò menſura
55a excedit comparatã exponi debet linea certis quibuſdam legibus in-
uenienda, quæ vocabitur TRVTINA. Et ſiquidẽ perpendicularis
maior fuerit illa, tunc rami habebunt proprietates memoratas; ſi ve-
rò æqualis fuerit, tunc inter ramos vnicus breuiſecans aſſignari po-
teſt, & propietates reliquorũ ramorũ erunt illæ eædem ſuperius ex-
poſitæ ſi verò minor eſt illa, ramorũ omniũ duo tantum breuiſecan-
tes erunt, reliquorum verò, qui non intercipiuntur inter duosbre-
uiſecantes, eædem propietates erunt; eorũ verò, qui intercipiuntur,
lineæ breuiſſimæ egredientes ab earum extremitatibus abſcindunt
ex axi lineas minores , quàm ſecant rami ipſi. Oportet
7133Conicor. Lib. V. in ellipſi, vt menſura ſumatur in maiori duorum axium, & rami
egrediantur ad eius ſectionem.
PROPOSITIO IL. & L.
EXE concurſu ſuper perpendicularem ED educamus E B ſe-
cantem menſuram A D in F, & ſectionem A B in B, &
11b ſit A H dimidium erecti; ſitque menſura A D non maior, quàm
H A. Dico quod BF non erit breuiſſima, & minima egrediens
22c ex B abſcindit ex ſagitta maiorem lineam, quàm F A: at ſi fue-
rit A D maior , quàm A H, tunc B F poteſt eſſe linea breuiſ-
ſima.
49[Figure 49]
EDucamus iam B I perpendicularem ad axim, & ſupponamus prius A
D non maiorem quàm A H , & ſit ſectio parabole ; igitur D I mi-
33d nor eſt , quàm A H, & ponatur G I æqualis A H, erit B G minima (8.
ex quinto) & abſcindit G A ex ſagitta maiorem , quàm A F; ſi verò ſe-
ctio fuerit hyperbole, aut ellipſis, ſit centrum C; ergo A C ad A H non
44e habet maiorem proportionem, quàm ad A D, quare C I ad I F maiorem
proportionem habet, quàm C A ad A H; ponatur ergo I C ad I G , vt
A C ad A H; ergo B G eſt minima , & abſcindit (9. & 10. ex quinto)
G A maiorem , quam F A, quod erat oſtendendum.
7234Apollonij Pergæi
PROPOSITIO LI.
DEindè ſit D A maior quàm A C , ſitque prius ſectio pa-
rabole , & ſecetur ex D A ipſa D F æqualis A C, & A
G fiat pars tertia ipſius A F, educaturque B G perpendicularis
ad axim, & vt D F ad F G, ita fiat B G ad lineam H (& hæc
eſt Trutina) coniungaturque B E ; & ſiquidem D E fuerit ma-
11a ior quàm H. Dico, quod nullus ramus breuiſecans duci poteſt.
Quoniam D E maior eſt, quàm H habebit D E ad B G, nempe D I
22b ad I G maiorem rationem , quàm G F ad F D, & componatur propor-
tio , vt demonſtretur , quod I G minor ſit , quàm D F, quæ æqualis
eſt ipſi A C; breuiſſima itaque egrediens ex B abſcindit ex ſagitta A
D maiorem lineam , quàm A I (13. ex quinto) ; poſtea ducamus ex E
ad ſectionem ramos E K, E L ad vtramque partem B E, & duas per-
pendiculares
50[Figure 50] KM, LN, pro-
ducamus vſq;
ad QO tan-
gẽtem ſectio-
nem in B; &
quoniã ſectio
eſt, parabole,
& OQ tãgens
eſt, igitur OG
3335. lib. 1. eſt dupla ip-
ſius A G, quę
eſt ſemiſſis ip-
ſi us F G; ergo
44c G F æqualis
eſt G O, erit
igitur G O ad
O M, nempe
B G ad P M
in maiori pro-
portione, quã
M F ad F G;
55d itaque M K in F M minus eſt , quàm B G in G F, quod eſt minus quàm
E D in D F propterea quod E D maior eſt quàm H; igitur E D in D F
multò maius eſt, quàm K M in MF, quare ED ad M K, nempe D R ad
R M maiorem rationem habet, quàm M F ad F D, & componendo patet,
66e quod D F maior ſit, quàm R M. Igitur breuiſſima egrediens ex K (13.
77f ex quinto) cadit extra R K; Et ſimili modo conſtat, quod
7335Conicor. Lib. V. egrediens ex puncto L cadit extra L S, quapropter duci non poteſt ex E
ad ſectionem L B A linea, aliqua cuius portio intercepta inter axim, &
ſectionem, ſit linea breuiſſima.
Pariter demonſtrabitur, quemadmodum iam oſtenſum eſt, quod ſi E D
fuerit æqualis H, tunc GI æqualis erit D F, quæ eſt æqualis ipſi A C; &
11g ideo B I (8. ex quinto) vna eſt ex breuiſſimis, non autem R K, quia de-
monſtrabitur, quod E D ad M K, nempe D R ad R M maiorem rationem
habet, quàm M F ad F D, & propterea D F maior erit, quàm R M; bre-
uiſſima ergo cadit extra R K. (13. ex quinto) Et S L quoque non eſt ex
breuiſſimis, quod ita demonſtrabimus; Si N S minor eſt, quàm D F; ergo
breuiſſima egrediens ex L cadit extra S L; Non igitur ex E duci poteſt
ad ſectionem linea breuiſecans præter E B, & hoc erat oſtendendum.
Tertio loco ſit E D minor quàm H, & oſtendetur quod E D in D F
minus eſt, quàm B G in G F; poſtea ponamus T G in G F æquale illi, &
22h erigamus ſuper F perpendicularem F V, & ducamus per T ſectionem
334. lib. 2. hyperbolicam circa duas continentes A F, & F V; duæ ſectiones ſe mu-
tuò ſecabunt in duobus punctis, & ſint K, L, & educamus ex illis duas
L N, P K M perpendiculares ad A D. Et quoniam perpendiculares K M,
T G, L N parallelæ ſunt continenti V F, erit K M in M F æquale L N in
N F (12. ex ſecundo) & quodlibet eorum æquale eſt T G in G F, quod fa-
ctum eſt æquale E D in D F; igitur E D ad K M, nempe D R ad R M eſt
vt M F ad F D, & componendo patet, quod D F eſt æqualis R M, & pro-
44i pterea K R eſt linea breuiſſima (8. ex quinto.)
Et ſimiliter patebit, quod L S ſit breuiſſima.
55k
Et cum B I intercipiatur inter illas patet etiam, quod B G in G F ma-
66l ius ſit, quàm E D in D F, oſtendetur vt dictum eſt, quod I G maior ſit,
quàm D F; breuiſſima ergo ducta ex B cadit inter I, & A.
Deindè ex concurſu E ad ſectionem parobolicam A B Z educamus E X,
77m E Z; quas interſecant l Z, X Y perpendiculares ad A D, quæ parallelæ
ſunt continenti F V ſecantes K T L hyperbolen, ergo a Y in Y F æquale
eſt G T in G F, quod factum eſt æquale E D in D F, itaque E D in D F
maius eſt, quàm X Y in Y F; igitur E D ad X Y, quæ eſt vt D b ad b Y
maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, & componendo patet, quod
F D maior eſt quàm b Y; itaque breuiſſima egrediens ex X abſcindit ex
A D lineam maiorem, quàm b A; Simili modo demonſtrabitur, quod Z c
non ſit breuiſſima, & quod breuiſſima egrediens ex Z abſcindit ex A D
88n lineam maiorem, quàm A c, & hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO LII. LIII.
Deindè ſit ſectio hyperbole, aut ellipſis A B, & axis illius C
A D, centrum C, & D A menſura, quæ ſit maior dimidio ere-
cti, & perpendicularis E D. Dico, quod rami egredientes ex E
habent ſuperiùs expoſitas proprietates.
99a
7436Apollonij Pergæi
ITaque per C producamus C I parallelam perpendiculari E D, & pona-
11b mus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & E K ad K D, vt
proportio figuræ, & educamus ex E, K rectas E I, K S parallelas ipſi C
AD, & interponamus inter F C, C A duas medias proportionales C N,
22Lem. 7.33c C O, & erigamus per O perpendicularem B O, quæ occurrat ſectioni in
B; & ponamus proportionem alicuius lineæ, vt Q ad B O compoſitam
44d ex C D ad D F, & F O ad O C, & ſit E D maior, quàm Q Trutina: Di-
co, quod nulla breuiſecans egreditur ex E ad ſectionem, & linea breuiſ-
ſima, egrediens ab extremitate cuiuslibet rami aſſignati, abſcindit cum
A ab axi maiorem lineam, quàm ſecant illi rami. Producatur priùs E B
55e ſecans axim in H, & quia E D maior eſt, quàm Q, ergo proportio E D
66f ad B O (quæ componitur ex E D ad D K, nempe I C ad C S, & ex D
K, nempe G O ad O B) maior eſt proportione, quàm habet Q ad B O,
quæ ex hypotheſi componebatur ex C D ad D F, & ex F O ad O C; ſed
77g E D ad D K eſt, vt C D ad D F (quia quælibet earum eſt, vt proportio
figuræ compoſitæ, vel diuiſæ) remanet proportio O G ad O B maior ea,
quàm habet F O ad O C; igitur O G in O C, nempe rectangulum C G
88Lem. 5.
præmiſſ. maius eſt, quàm B O in O F: & ponamus rectangulum F G commune,
99h erit rectangulum F S maius, quàm B G in G M; eſt verò rectangulum
F S æquale rectangulo E M (eo quod E K ad K D, nempe ad F M eſt, vt
S M ad M K, quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ; itaque re-
1010i ctangulum E M maius eſt, quàm M G in G B, & propterea E K ad B G,
1111ibidem. nempe K R ad R G maiorem rationem habet, quàm G M ad M K, ergo
componendo, patet, quod K M, nempe D F maior eſt, quàm G R, &
ideo E I ad K M, nempe C D ad D F, ſeu I C ad C S minorem propor-
tionem habet, quàm E I ad G R, quæ eſt, vt I T ad B G, propter ſimi-
litudinem duorum triangulorum E I T, B G R, ergo I T ad B G maiorem
1212K rationem habet, quàm I C ad C S, ſeu ad O G; & comparando homo-
1313Lem. 4.
præm logorum differentias in hyperbola, & eorum ſummas in ellipſi, habebit
C T ad B O, nempe C H ad H O maiorem rationem, quàm I C ad C S,
nempe C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in elli-
pſi C O ad O H, habebit maiorem proportionem quàm C F ad F D, quæ
eſt, vt proportio figuræ; igitur breuiſſima egrediens ex B (9. 10. ex quinto)
abſcindit cum A maiorem lineam, quàm A H.
Poſteà educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, & produca-
mus eam, quouſque occurrat C I ad X, & ducamus per B lineam tan-
1414l gentem ſectionem, quæ occurrat inclinato, ſiue tranſuerſæ in a, & per V
ducamus perpendicularem ſuper axim, cui occurrat ad c, & occurrat tan-
genti B a in d; & quoniam O G ad O B, quemadmodum demonſtraui-
mus, maiorem proportionem habet, quàm F O ad O C, ponamus fO ad
O B, vt F O ad O C, & per f producamus f g h parallelam axi A D: Et
1515m quia f O ad O B eſt, vt F O ad O C, erit rectangulum f O C æquale B O
in O F, & ponamus rectangulum f F communiter fiet B f in f g æquale g
1616n F in F C, & quia C O inuerſa in trutinatam C a æquale eſt quadrato C
A dimidij inclinati, ſiue tranſuerſæ (39. ex primo) erit O C ad C A, vt
C A ad C a; igitur C a eſt linea quinta proportionalis aliarum quatuor
171737. primi.1818o linearum proportionalium aſſignatarum; ergo F C ad C O eſt, vt C O
7537Conicor. Lib. V.51[Figure 51] C a, & comparando homologorum differentias erit F O ad O a, vt F C
11Lem. 4. ad C O, quæ eſt, vt f B ad B O, nempe f h ad O a; igitur proportiones
ipſarum F O, f h ad eandem O a eædem ſunt; ergo ſunt æquales; & pro-
pterea f i ad i h maiorem proportionem habet, quàm ad f g, & compo-
22p nendo f h ad i h, nempe B f ad V i maiorem proportionem habet, quàm
i g ad g f; ergo B f in f g, nempe rectangulum g C maius eſt quàm i V
in i g, & ponamus rectangulum g e commune, erit aggregatum rectan-
33q
7638Apollonij Pergæi gulorum C g, g e, in hyperbola, vel eorum exceſſus in ellip ſi maior,
quàm M e in e V, ergo rectangulum C M, nempe rectangulum E M mul-
tò maius eſt, quàm V e in e M, & propterea E K ad e V, nempe K Y ad
Y e maiorem proportionem habet, quàm e M ad M K, & componendo
11Lem. 5.22r patet, quod e Y minor ſit, quàm K M, & conſtat (quemadmodum antea
demonſtrauimus) quod breuiſſima egrediens ex V abſcindit ab axi maio-
33s rem lineam quàm c Z.
Simili modo conſtat, quod breuiſſima egrediens ex l eiuſdem ſit rationis.
44t
DEindè ſit E D æqualis Q, inde demonſtrabitur, (quemadmodum ſu-
pra factum eſt) quod B H tantùm ſit linea breuiſſima, & quod mi-
55a nima egrediens ex V abſcindit ab axi cum A maiorem lineam, quàm A
Z, & quod minima egrediens ex l ſecet maiorem lineam, quàm A m.
Tandem pona-
52[Figure 52] mus E D minorẽ,
quàm Q, ergo E
D ad B O minorẽ
proportionem ha-
bet, quàm Q ad
eandem; & demõ-
ſtrabitur (quemad-
66b modum dictũ eſt)
quod G O ad O B
minorem propor-
tionem habeat,
quàm F O ad O C;
& ponamus O G
ad O o, vt F O ad
O C; & produca-
mus per o ſectionẽ
hyperbolicam cir-
ca duas continen-
tes S M, M F, quę
ſecet ſectionem A
B in V, l, & iun-
gamus E V, E l,
77c& producamus ex
V, l duas perpendiculares V c, l P, quæ parallelæ ſint continenti M F,
ergo o G in G M eſt æquale V e in e M (12. ex ſecundo) & quia G O ad
O o eſt, vt F O ad O C erit o O in O F æquale rectangulo G C, & pona-
mus rectangulum F G commune fiet rectangulum C M (quod erat ęquale
rectangulo M E) æquale ipſi o G in G M, quod eſt æquale ipſi V e in e
88d M; ergo rectangulum E M æquale eſt ipſi V e in e M. Tandem proſe-
quamur ſuperiorem demonſtrationem, vt oſtendatur veritas reliquarum
99e propoſitionum, & hoc erat propoſitum.
7739Conicor. Lib. V.
PROPOSITIO LIV. LV.
ITaque oſtenſum eſt, vti memorauimus, quod ex concurſu
duarum breuiſſimarum ad coniſectionem non egrediatur alia
11a breuiſecans præter illas duas, & quod reliqui rami ex eorum
concurſu educti ad ſectionem habent proprietates ſuperiùs ex-
poſitas.
PROPOSITIO LVI.
In ellipſi ramorum, ſecantium vtrumque axim, à concurſu vl-
tra centrum poſito egredientium, vnius tantum portio, inter
axim maiorem, & ſectionem intercepta, erit linea breuiſsima,
22a ſiue menſura ipſam comparatam, nec non perpendicularis ipſam
trutinam ſuperet, æquet, vel ab ea deficiat.
SIt ſectio ellipſis A C B, & axis maior tranſuerſus A B perpendicularis
E F, centrum D, & ponamus D G ad G F, vt proportio figuræ, & ſi-
33b militer E H ad H F, & producamus per H rectam I H K parallelam ipſi A B,
& per G rectã I G L ipſi
53[Figure 53] E F, quæ ſibi occurrant
in I, & ducamus per
44c punctum E ſectionem
554. lib. 2 hyperbolen E M C cir-
ca duas eius continen-
tes L I, I K, quæ oc-
curret ſectioni A C B
ellipticæ, quia I L, I K
ſunt duæ cõtinentes ſe-
ctionem E M C, & pro-
portio E H ad H F po-
ſita eſt, vt D G ad G F;
66d ergo E H prima proportionalium in H I, nempe G F quartam, æquale
eſt D G ſecundæ in I G, nempe F H tertiam; ergo punctum M eſt in il-
lius diametro, & propterea ſectio hyperbole E M C tranſit per centrum
ſectionis ellipſis A C B; quare duæ ſectiones ſe inuicem ſecant, ſitque
concurſus in C, & producamus per E, C lineam occurrentem duabus con-
77e tinentibus ſectionem in L, K, & producamus duas perpendiculares C N,
K O ſuper A B. Et quia K C, L E ſunt æquales (16. exſecundo) erit G F
888. lib. 2. æqualis O N; quare F O æqualis eſt ipſi G N; atque E H ad H F, nempe
99f E K ad K P, ſeu F O (quæ eſt æqualis ipſi G N) ad O P eandem propor-
tionem habet, quàm D G ad G F, quę eſt ęqualis ipſi O N, & ideo G N
ad O P eſt, vt D G ad O N, & comparando homologum differentias D N
1010Lem. 3.
7840Apollonij Pergæi ad N P erit, vt D G ad G F, quæ eſt proportio figuræ; ergo C P eſt li-
nea breuiſſima. (10. ex quinto) Et hoc ſuit ptopoſitum.
PROPOSITIO LVII.
Et dico, quod non reperiatur vllus alius ramus, à quo ab-
11g ſcindi poſſit inter ſectionem, & D B linea breuiſſima.
NAm ſi producantur E H, E G ad vtraſque partes ipſius E C ſecan-
22h tes D B in K, I, & producamus per D perpendicularem ad A B,
quæ occurrat ſectioni ad L,
54[Figure 54]& ipſi E C ad M, quia iam
33i productæ ſunt ex concurſu
M duæ breuiſecantes M C,
M L (51. ex quinto) igitur
linea educta ex M ad H ab-
ſcindit ex D B cum B ma-
iorem lineam, quàm ſecat
44k breuiſſima egrediens ex H
(11. ex quinto) & linea edu-
cta ex M ad G abſcindit ex
D B lineam minorem ea,
quàm ſecat linea breuiſſima egrediens ex G (51. ex quinto) ſed E H, &
E G efficiunt abſciſſas oppoſito modo; ergo non ſunt duæ breuiſecantes,
& propterea non reperitur alius ramus, cui competat proprietas ipſius E
C, & hoc erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. IL. L.
SI verò menſura excedit comparatam educatur linea, ad quam com-
55a paratur perpendicularis, & vocabo lineam illam Trutinam, & c. Sic
legendum puto: Si verò menſura excedit comparatam exponi debet linea certis
quibuſdam legibus inuenienda, quæ vocabitur Trutina.
Ex E concurſu ſuper perpendicularem, & c. Ideſt. Ex E concurſu per-
66b pendicularis E D ad axim A G, & ramoram ſecantium educamus E B ſecantem
menſuram, & c.
Tunc B F non eſt ex minimis, & c. Dico quod B F non erit recta linea
77c minima earum, quæ inter punctum ſectionis B, & axim intercipitur.
Et ponatur G I æqualis A H, & c. Et ponatur G I æqualis A H, iungatur-
88d que B G, cumque A D poſita ſit non maior, quàm H A, erit illius portio F I
998. huius. minor, quàm A H, ſeu quàm G I, ergo B G eſt breuiſsima, & c.
Ergo C A ad A H non habet maiorem proportionem, quàm ad A D;
1010e quare D I ad I F, & c. Ergo G A ad A H non habet maiorem proportionem,
quàm ad A D, & addatur indirectum recta A L æqualis A H in hyperbola, &
7941Conicor. Lib. V.55[Figure 55] auferatur in ellipſi; quare C A ad A L non habet maiorem proportionem, quàm
ad A D, & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi C L ad A L, non
habet maiorem proportionem, quàm C D ad D A, ſed C D ad A D minorem
proportionem habet, quam ad eius ſegmentum I D, ergo diuidendo in hyperbo-
la, & componendo in ellipſi habebit A C ad A D, & adhuc ad A L, ſeu A H
minorem proportionem, quàm C I ad I D, habet verò C I ad I D minorem ra-
tionem, quàm ad eius ſegmentum I F; igitur C I ad I F maiorem proportionem
habet, quàm C A ad A H.
Notæ in Propoſit. LI.
DIco quod nul-
11a56[Figure 56] lus ramus bre
uiſecans duci po-
teſt, & c. Dico, quod
ex concurſu E ad ſe-
ctionem nullus ra-
musbreuiſecans duci
poteſt.
Quoniam D E
22b maior eſt, quàm H,
& c. Quoniam D E
maior eſt, quàm H
habebit E D ad B G
maiorem rationem,
quàm H ad eandem
B G; poſita autem fuit
inuersè G F ad F D,
vt H ad B G; ergo E D
ad B G maiorem ra-
tionem habet, quàm
G F ad F D; &
8042Apollonij Pergæi pter parallelas D E,
57[Figure 57] B G, & ſimilitudinẽ
triangulorum E D I,
& B G I, eſt D I ad I
G, vt E D ad B G;
igitur D I ad I G ma-
iorem proportionem
habet, quàm G F ad
F D, & componendo
D G ad G I maio rem
rationem habebit,
quàm eadem G D ad
D F; & Ideo I G mi-
nor eſt, quàm D F.
11c
Igitur G F æqua-
lis eſt GO, ergo G
O ad O M, & c. Igi-
tur G F æqualis eſt G
O, & quia F O ſecatur
bifariam in G, & non
bifariam in M (ex
lemmate ſexto huius
libri) habebit ſemisſis G O ad vnum ſegmentorum inæqualium M O maiorem pro-
portionem, quàm reliquum ſegmentum M F ad alteram medietatem F G, ſed pro-
pter parallelas P M, B G, & ſimilitudinem triangulorum B G O, P M O eſt G O ad
O M, vt B G ad P M, ergo B G ad P M maiorem proportionem habet, quàm M F ad
F G: habet verò B G ad minorem M K maiorem proportionem, quàm ad M P (cum
punctum P tangentis cadat extra ſectionem); ergo B G ad K M adhuc maiorem pro-
portionem habet, quàm M F ad F G.
Itaque K M in M F minus eſt, quàm B G in G F, & c. Quoniam prima B G
22d ad ſecundam K M maiorem proportionem habet, quàm tertia M F ad quartam F G;
ergo ex lemmate quinto huius librirectangulum ſub intermedijs contentum K M F
minus erit rectangulo B G F ſub extremis cõtento; poſtea, quia H ad B G ex hypotheſi
erat, vt G F ad F D, poſita autem fuit E D maior, quàm H, quæ eſt prima propor-
tionalium; ergo E D ad B G maiorem proportionem habet, quàm G F ad F D, & pro-
33Lem. 5. pterea rectangulum ſub extremis E D F maius erit rectangulo ſub intermedijs con-
tento B G F; fuit autem rectangulum B G F maius rectangulo K M F; igitur rectan-
gulum E D F multò maius eſt, quàm rectangulum K M F, & ideo, ex eodem lemma-
te quinto, E D ad M K, nempe D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum
E D R, & K M R) maiorem rationem habet, quàm M F ad F D.
Et componendo patet, quod D F, & c. Quoniam D R ad R M maiorem ratio-
44e nem habet, quàm M F ad F D, componendo D M ad M R habebit maiorem propor-
tionem, quàm eadem M D ad D F, & propterea D F mator eſt, quàm R M, eſt verò
ſemisſis erecti A C æqualis D F ex conſtructione, igitur M R minor eſt A C medieta-
te lateris recti, & propterea breuiſsima educta ex K ſecat ex axi ſegmentum maius,
558. huius. quàm M R; ideoque cadit extra, ſcilicet infra ramum K R E.
8143Conicor. Lib. V. 58[Figure 58]
Et ſimili modo conſtat, quod breuiſſima egrediens ex puncto L cadit
11f extra S L, & c. Ad vitandam confuſionem figuræ, & prolixitatem demonſtrationis
appoſui duas figuras, in quibus duo caſus ijſdem caracteribus notantur, itaque abſq;
nouo labore, ſi inſpiciatur ſecunda figura, ijſdem verbis prioris caſus, oſtendetur ca-
ſus ſecundus.
Pariter demonſtrabitur, quemadmodum iam oſtenſumeſt, & c. Pars ſecun-
22g da huius propoſitionis innuitur tantummodo pauciſsimis verbis; quare maioris cla-
ritatis gratia integram demonſtrationem hìc afferre libuit.
Demonſtratio ſecundæ partis.
PROPOSITIONIS LI.
Eſto E D æqualis trutinæ H: Dico ex concurſu E vnicum tantùm breui-
ſecantem ramum duci poſſe.
In eadem ſigura, quia ex conſtructione H ad B G eſt, vt G F ad F D, ponitur verò
E D æqualis H; ergo E D ad B G, ſeu D I ad I G (propter ſimilitudinem triangulo-
rum E D I, B G I) eſt, vt G F ad F D, & componendo D G ad G I eſt, vt eadem G D
ad D F; ideoque I G æqualis eſt D F, ſeu A C ſemierecto; igitur B I eſt breuiſsima.
338. huius.
Poſte a ducto quolibet ramo E K ſupra breuiſecantem E B (in prima figura, & in-
fra in ſecunda) occurrente axi in R, & ducta K M perpendiculari ad axim, quæ eum
ſecet in M, & tangentem O B in P. Quoniam (vt dictum eſt) O F ſecatur
8244Apollonij Pergæi in G, & non bifariam in M, ergo (ex lemmate ſexto huius libri) G O ad O M, ſeu
G B ad P M (propter ſimilitudinem triangulorum B G O, & P M O) & multo magis
G B ad illius portionem K M habebit maiorem proportionem, quàm M F, ad F G;
ideoque rectangulum K M F ſub intermedijs contentum minus erit rectangulo B G F
11Lem. 5.
pręmiſ. contento ſub extremis nõ proportionalium; ſed rectangulum B G F æquale eſt rectan-
gulo E D F (propterea quod D F, ad F G erat, vt B G ad H, ſeu ad ei æqualæm E D)
22Lem. 5.
pręmiſ. igitur rectangulum K M F minus erit rectangulo E D F, & propterea E D ad K M,
ſeu D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum E D R, K M R) maiorem ra-
tionem habebit, quàm M F ad F D, & componendo, eadem D M maiorem rationem
habebit ad R M, quàm ad F D, & propterea R M minor erit, quàm F D, ſeu quàm
A C; igitur minimus ramorum ex K ad axim cadentium fertur infra K R; Quapro-
33ex 8. 13.
huius. pter ramus E K ſupra, vel infra breuiſecantem E B ad ſectionem ductus non eſt bre-
uiſecans, & abſcindit ex axi ſegmentum A R minus, quàm abſcindat breuiſsima ex
K ad axim ducta, quod erat oſtendendum.
Tertio loco ſit E D minor, quàm H, & oſtendetur, & c. Quia H ad B G eſt,
44h vt G F ad F D, eſtque E D minor, quàm H; ergo E D ad B G minorem proportionem
habet, quàm G F ad F D; & ideo rectangulum E D F ſub extremis contentum minus
55Lem. 5.
pręmiſ. eſt rectangulo B G F, quod ſub intermedijs continetur; ponatur iam rectangulum T
G F æquale rectangulo E D F, & per F ducatur F V perpendicularis ſuper axim
A D.
59[Figure 59]
Et componendo, patet, quod D F eſt æqualis R M, & c. Nam D Rad R M
66i eſt, vt M F ad F D, & componendo, eadem D M ad R M, atque ad D F, ſeuad ſemi-
erectum A C eandem proportionem habebit, & ideo D F eſt æqualis R M.
8345Conicor. Lib. V.
Et ſimiliter patebit, quod L S ſit breuiſſima, & c. Secundus caſus abſque vllo
11k labore oſtenſus erit ijſdem verbis, & caracteribus, quibus caſus primus expoſitus
fuit, ſi inſpiciatur ſecunda figura.
Et cum B I intercipiatur inter illas patebit etiam, & c. Et cum B I intercipia-
22l tur inter duos ramos breuiſecantes E K, qui ducuntur ex punctis K, in quibus hy-
perbole K T L ſecat parabolen A B L, cadet punctum T hyperboles intra parabolen;
quare rectangulum B G F maius erit rectangulo T G F, ſeu K M F, quod æquale eſt
rectangulo E D F, vt dictum eſt, quare E D ad B G, ſeu D I ad I G (propter ſimili-
33Lem. 5.
præmiſ. tudinem triangulorum E D I, B G I) habebit minorem proportionem, quàm G F ad
F D, & componendo, eadem D G ad G I minorem proportionem habebit, quàm ad
F D, ſiue ad A C, & ideo I G maior erit, quàm A C.
Deinde ex con-
44m60[Figure 60] curſu E ad ſectio-
nem, & c. Deinde
ex concurſu E ad ſe-
ctionem A B parabo-
len educantur duo ra-
mi E X ſupra breui-
ſecantem E K in pri-
ma figura, & infra
eamdem in figura ſe-
cunda, & ex punct is
X ducantur due X Y
perpendiculares ad
axim, ſecantes axim
in Y, & hyperbolen K
T in a exiſtẽte extra
parabolen; cumque
duæ rectæ a Y, necnõ
T G parallelæ ſint cõ-
tinenti F V, & inter-
ponātur inter hyper-
bolẽ K T, & reliquã
continentem F A eritrectangulum a Y F æquale rectangulo T G F, quod factum
5512. lib. 2. eſt æquale rectangulo E D F, eſtque X Y portio ipſius a Y; igitur rectangulum E D F
maius erit rectangulo X Y F, & ideo E D ad X Y, ſeu D b, ad b Y (propter ſimilitu-
66Lem. 5.
præmiſ. dinem triangulorum E D b, X Y b) maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, &
componendo eadem D Y ad Y b maiorem proportionem habebit, quàm ad D F, ſeu
C A.
Simili modo demonſtrabitur, & c. Abſquenoua demonſtratione propoſitum
77n oſtendetur inſpiciendo ſecundam ſiguram.
Notæ in Propoſ. LII. LIII.
DIco, quod rami egredientes ex E habent ſuperiùs expoſitas proprieta-
88a tes, & c. Ideſt eaſdem, quas habent rami in parabola educti iuxta compara-
tionem perpendicularis E D ad T rutinam.
8446Apollonij Pergæi
Et ponamus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & I S ad S C,
11b vt proportio figuræ, & educamus ex E, S, & c. Ideſt fiat diſtantia ex centro
vſque ad perpendicularem E D ad eius portionem D F in hyperbola, vt ſumma late-
ris tranſuerſi, & recti ad latus rectum, & vt eorum differentia in ellipſi ad latus
rectum ita fiat C D ad eius productionem D F; tunc enim C F ad F D diuidendo in
hyperbola, & compo-
61[Figure 61] nendo in ellipſi habe-
bit eandem propor-
tionem, quàm latus
tranſuerſum ad re-
ctum; pariterq; fiat
E K ad K D in eadẽ
proportione figuræ,
& ex E, K educamus
rectas E I, K S pa-
rallelas axi A C D,
ſecantes I C, & L F
parallelas ipſi E D
in I, S, L, & M.
Immutaui poſtremã
partem conſtructio-
nis, vt manifeſte er-
roneã in textu Ara-
bico; Si enim I C ad
libitum ſumpta ſeca-
tur in S in ratione
C F ad F D non ca-
det neceſſariò E L
parallela C D ſuper
punctum I.
Et interponamus
22c inter F C, C A du-
as C N, C O pro-
portionales illis duabus, & c. Textum corruptum ſic reſtituo: Interponamus in-
ter F C, & A C duas medias proportionales, itaut F C, N C, C O, C A ſint continuè
proportionales, quod fieri poſſe conſtat ex lemmate 7. huius librt.
Et ponamus proportionem lineæ alicuius, vt eſt Q compoſitam, & c. Vo-
33d catur Trutina in hyperbola, & ellipſi linea recta Q, quæ ad B O compoſitam propor-
tionem habet ex C D ad D F, & ex ratione F O ad O C.
Producatur priùs E B ſecans axim in H, & c. Producatur priùs E B ſecans
44e axim in H, & rectam S K in R, nec non rectam I C in puncto T.
Ergo E D ad B O, quæ componitur ex E D ad D K, & c. Nam poſita inter-
55f media D K, proportio E D ad B O compoſita erit ex ratione E D ad D K, & ex ra-
tione D K ad B O; eſt verò I C ad C S, vt E D ad D K (propter parallelas I E, S K,
C D) atque D K eſt æqualis G O in parallelogrammo G D; ergo proportio E D ad B O
componitur ex ratione I C ad C S, & ex ratione G O ad O B.
Sed E D ad D K eſt, vt CD ad DF, quia quælibet earum vt proportio
66g
8547Conicor. Lib. V. figuræ compoſitæ, vel diuiſæ, & c. Quia E K ad K D, atque C F ad F D eandem
proportionem habebant, quàm latus tranſuerſum ad rectum; ergo componendo in
hyperbola, & diuidendo in ellipſi erit E D ad D K, vt C D ad D F.
Et ponamus re-
11h62[Figure 62] ctangulum F G cõ-
mune, & c. Scilicet
rectangulũ F G ad-
datur in hyperbola,
& auferatur cõmu-
niter in ellipſi.
Et propterea E
22i K ad B G, nempe
K R ad R G, & c.
Quia propter ſimili-
tudinem triangulo-
rum E K R, & B G
R erit E K ad B G,
vt K R ad R G; qua-
re K R ad R G maio-
rem proportionẽ ha-
bet, quàm G M ad
M K; & componen-
do K G ad G R ma-
iorem rationem ha-
bet, quam eadem G
K ad K M, quare
K M, nẽpe e i æqua-
lis D F maior eſt,
quàm G R.
Et auferẽdo ho-
33k mologũ ab homo-
logo in hyperbola,
& coniungendo e
a in ellipſi, habebit, & c. Scilicet comparando homologorum differentias in hy-
44Lem. 4.
præmiſ. perbola, eorundem ſummas in ellipſi, ideſt C T ad B O, nempe C H ad H O (pro-
pter ſimilitudinem triangulorum C H T, & O H B) habebit maiorem proportionem,
quàm I C ad C S, nempe C D ad D F.
Poſtea educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, & c. Educamus
55l ex E lineam occurrentem ſectioni in V, quæ ſecet axim in Z, & S M in Y.
Et per f producamus f g h parallelam axi A D, & c. Et per f ducamus f g pa-
66m rallelam axi A D, quæ ſecet tangentem B a in h, & L F in g, atque V c ſecet illam in
i, & S M in e.
Et ponamus rectangulum F f communiter, & c. Et communiter addamus in
77n hyperbola, & auferamus in ellipſi rectangulum F f, fiet rectangulum B fg æquale
rectangulo g F C. Nomina Inuerſi, & Trutinatæ definita fuerunt in primo libro ab
interprete Arabico.
8648Apollonij Pergæi
Igitur C a eſt li-
11o63[Figure 63] nea quinta propor-
tionalis aliarum.
quatuor, & c. Quia
poſitæ fuerunt qua-
tuor rectæ lineæ F C,
N C, O C, C A con-
tinuè proportionales,
eſt que C A ad C a, vt
O C ad C A; ergò pri-
2237. lib. 1. ma F C ad tertiam,
O C eamdem propor-
tionem habet, quàm
O C ad quintam C a
continuè proportio-
nalium, quare com-
parando homologorũ
33Lem. 4.
præmiff. differentias F O ad
O a eſt, vt F C ad C
O; ſedfacta fuit vt
F O, ad O C, ita f O
ad O B; ergo compo-
nendo in hyperbola,
& comparando dif-
ferentias terminorũ
44Lem. 2.
præm. ad conſequentes in,
ellipſi, eſt F C ad C O, ſeu F O ad O a, vt f B ad B O; nempe vt f h ad eandem O a,
propter ſimilitudinẽ triangulorum B fh, & B O a; & ideo F O, & fh æquales ſunt.
55p
Et propterea fi ad i h maiorem proportionem habet, quàm ad f g, & c.
Quia F O, ſeu g f oſtenſa fuit æqualis fh erit g h ſecta bifariam in f, & non bifa-
riam in i propterea (ex lemmate ſexto huius lib.) habebit fh ad ih, ſcilicet B f ad
di (propter ſimilitudinem triangulorum B fh, dih) maiorem proportionem, quàm
ig ad gf, ſed B f ad V i portionem ipſius d i habet maiorem proportionem, quàm ad
66Lem. 5.
In nota
litere n
præm. di; ergo B f ad V i habet maiorem proportionem, quàm i g ad g f, ergo rectangulum
B f g, nempe rectangulum g C (quod eſt oſtenſum ei æquale) maius eſt rectangulo
V i g.
Et ponamus rectangulum g e commune, & c. Et addamus in hyperbola, &
77q auferamus in ellipſi rectangulum g e communiter.
Et propterea E K ad e V, nempe K ad Y e, & c. Sunt enim triangula E K Y,
88r& V e Y ſimilia, ergo E K ad e V eſt, vt K Y ad Y e, quarè K Y ad Y e maiorem pro-
portionem habet, quàm e M ad M K, & componendo, eadem K e maiorem propor-
tionem habet ad e Y, quàm ad M K, ſeu ad F D; vnde patet, quod e Y minor ſit,
quam F D.
Et conſtat quemadmodum antea demonſtrauimus, & c. Quoniam e Y mi-
99ſ nor oſtenſa eſt, quam K M ergo eadem E I ad r e, ſeu I X ad V e (propter ſimilitu-
dinem triangulorum E I X, r e V) maiorem proportionem habebit, quàm E I ad
M K, ſeu I C ad C S, veladei æqualem c e; igitur comparando homologorum
8749Conicor. Lib. V. mas in ellipſi, & eo-
64[Figure 64] rundem differentias
in hyperbola C X ad
11Lem. 4. c V, vel (propter
ſimilitudinem triã-
gulorum X C Z, V c
Z) C Z ad Z c ma-
iorem proportionem
habet, quàm I C ad
C S, vel C D ad D
F; & componendo
in ellipſi, & diui-
dendo in hyperbola
C c ad c Z maiorẽ
proportionem habe-
bit, quàm C F ad
229. 10.
huius. F D, & ideo breuiſ-
ſima egrediens ex V
abſcindit lineã ma-
iorem, quàm A Z.
Simili modo cõ-
ſtat, quod breuiſ-
33t ſima egrediens ex
l eiuſdem ſit ratio-
nis, & c. Abſque no-
ua demonſtratione
in ſecunda, & quar
ta figura propoſitum oſtenſum erit.
Deinde ſit E D æqualis Q, inde demonſtrabitur (quemadmodum ſu-
44a pra factum eſt) quod B H tantum ſit linea breuiſſima, & c.
Secunda pars buius propoſitionis, quam Apollonius non expoſuit hac
ratione ſuppleri poteſt.
Sit E D æqualis Trutinæ Q habebunt E D, atque Q eandem proportionem
ad B O, componitur verò proportio E D ad B O ex rationibus E D ad D K, &
D K ad B O, ſeu O G ad B O; componebatur autem proportio Trutinæ Q ad B O
ex rationibus C D ad D F, & F O ad O C; ergo ablata communiter proportione
E D ad D K, vel C D ad D F, relinquetur proportio G O ad O B eadem propor-
tioni F O ad O C; ergo rectangulum G O C ſub extremis contentum æquale erit
rectangulo B O F ſub intermedijs compræbenſo, addatur in hyperbola, & aufe-
ratur in ellipſi communiter rectangulum F G, erit rectangulum F S æquale re-
ctangulo B G M; Et quia I S ad S C, vel E K ad K D, velad F M erat, vt C
F ad F D, vel vt S M ad M K; ergo rectangulum E M æquale eſt rectangulo
F S; & propterea rectangulum E M æquale erit rectangulo B G M; quapropter
vt E K ad B G, ſeu K R ad R G, ita erit G M ad M K, & componendo,
8850Apollonij Pergæi K G eandem propor-
tionem habebit ad R
65[Figure 65] G, atque ad M K,
vnde R G æqualis e-
rit M K, vel F D,
quare eadem E I ad
K M, vel C D ad
D F, ſiue I C ad C
S eandem proportio-
nem habebit, quam
eadem E I ad R G,
vel I T ad B G (pro-
pter ſimilitudinem
triangulorum I E T,
& G R B) ergo com-
parando homologo-
rum ſummas in elli-
pſi, vel differentias
11Lem. 4. in hyperbola C T ad
B O, vel C H ad H
O (propter ſimilitu-
dinem triangulorum
C H T, & O H B)
eandem proportionẽ
habebit, quàm I C
ad C S, vel C D ad
D F, & diuidendo
in hyperbola, & cõ-
ponendo in ellipſi C O ad O H eandem proportionem habebit, quàm C F ad F D,
ſiue quàm habet latus tranſuerſum ad rectum; & propterea B H eſt breuiſsima
229. 10.
huius. linearum ex B ad axim cadentium.
Deinde educatur quilibet ramus E V ſupra, velinfr a breuiſecantem E B, qui
productus ſecet rectam I C in X, & C A in Z, atque S M in γ, & educatur ex
V recta V e perpendicularis ad axim, ſecans D F in c, & S M in e, atque
contingentem ſectionem in puncto B, ſcilicet ipſam B a ſecet in d. Et quia (vt
modo oſtenſum eſt) rectangulum F S æquale eſt rectangulo B G M, ſuntque pa-
riter oſtenſæ O C, A C, C a proportionales; ergo C a eſt quinta proportionalis poſt
quatuor præcedentes F C, N C, O C, A C continuè proportionales; & ideo F C ad
C O eſt, vt C O ad C a; ergo comparando homologorum differentias tam in hyper-
33Lem. 3. bola, quàm in ellipſi erit, F O ad O a, vt F C ad C O: eſt autem G B ad B O,
vt F C ad C O, vt antea oſtenſum eſt; ergo G B ad B O erit, vt F O ad O a; ſed
propter ſimilitudinem triangulorum B G b, B O a eſt G B ad B O, vt G b ad O a;
ergo F O, ſeu M G ad O a eandem proportionem habet, quàm G b ad eandem O a;
& propterea M G æqualis eſt G b; cumque M b ſecetur æqualiter in G, & inæqua-
liter in e (ex lemmate 6. huius) G b ad e b, ſeu B G, ad d e, propter ſimilitu-
dinem triangulorum B G b, & B O a, & multo magis B G ad V e portionem
ipſius d e habebit maiorem proportionem, quàm, e M ad G M; ergo
8951Conicor. Lib. V. BG M ſub extremis
11Lem. 5.66[Figure 66] cõtentum maius erit
rectãgulo V e M ſub
medij s compræhenſo;
erat autem prius re-
ctangulum B G M
æquale rectangulo E
M; ergo rectangulũ
E M maius eſt re-
ctangulo V e M, &
propterea E K ad V
22Lem. 5. e, ſeu K γ ad γ e
(propter ſimilitudi-
nem triangulorum
E Y K, & V e Y) ma-
iorem proportionem
habebit, quàm e M
ad M K, & compo-
nendo, eadem K e
ad Y e maiorem pro-
portionem habebit,
quàm ad M K; ergo
Y e minor eſt, quàm
M K, quare E I ad
Y e, ſeu I X ad e V
(propter ſimilitudi-
nem triangulorum I
E X, e Y V) habebit
maiorem proportio-
nem, quàm eadem.
E I ad M K, ſeu I C ad C S, velad c e; & propterea comparando homologorum
33Lem. 4. ſummas in ellipſi, & earundem differentias in hyperbola C X ad c V, vel C Z
ad Z c (propter ſimilitudinem triangulorum C Z X, V c Z) maiorem proportio-
nem habebit, quàm S K, ad K M, ſeu C D ad D F, & diuidendo in hyperbola,
& componendo in ellipſi C c ad c Z habebit maiorem proportionem, quàm C F
ad F D, ſeu quàm latus tranſuerſum ad rectum, & propterea breuiſsima linea-
44ex 9. 10.
huius. rum cadentium ex puncto V ad axim abſcindet ſegmentum maius, quàm A Z,
& ramus E V non erit breuiſecans, quod ſuerat oſtendendum.
Et demonſtrabitur, quemadmodum dictum eſt, quod G O ad B O mi-
55b norem proportionem habet, quàm F O ad O C, & c. Nam proportio E D ad
B O componitur ex rationibus E D ad D K, & D K, ſeu G O ad B O. Pariterque
proportio Trutinæ Q quæ erat maior quàm E D ad B O componitur ex ratio-
nibus C D ad D F, & F O ad O C, auferatur communis proportio E D ad D K,
vel C D ad D F, remanet proportio G O ad O B minor proportione F O ad O C.
Et producamus ex V, l duas perpendiculares V e, l P, quæ, & c. Et
66c producamus ex V, & V duas perpendiculares V e, quæ parallelæ ſint continenti
F M, & ſecent reliquas lineas in ſignis antea expoſitis; Rectangulum ergo V
9052Apollonij Pergæi in e M æquale eſt
67[Figure 67] rectangulo V e M,
alterius figuræ, & c.
Et ponamus re-
11d ctangulum F G cõ-
mune, & c. Scili-
cet, addatur in hy-
perbola, & aufera-
ratur in ellipſi com-
muniter rectangulis
F G.
Tandem proſe-
22e quamur ſuperiorẽ
demonſtrationem,
vt oſtendatur veri-
tas reliquarũ pro-
poſitionum, & c.
Demonſtratio ab
Apollonio breuitatis
gratia neglecta ſic
perficietur.
Quoniam rectã-
gulum E M æquale
eſt rectangulo V e
M, igitur vt E K ad
V e, ſeu K γ ad γ e
(propter ſimilitudinem triangulorum E K γ, & V e γ) ita erit e M ad M K,
& componendo, eadem e K habebit ad e γ, atque ad M K eandem proportionem,
ideoque e γ æqualis eſt M K; quare E I ad K M, ſeu I C ad C S eandem pro-
portionem habebit, quàm E I ad e γ, ſeu quàm I X ad e V (propter ſimilitudi-
nem triangulorum I E X, & e γ V) quare comparando homologorum differentias
in hyperbola, & eorundem ſummas in ellipſi C X ad c V, vel C Z ad Z c (propter
33Lem. 3. ſimilitudinem triangulorum C Z X, c Z V) habebit eandem proportionem, quàm I
C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in ellipſi C c
ad c Z eandem proportionem habebit, quàm C F ad F D, ſeu quàm habet latus
449. 10.
huius. tranſuerſum ad rectum, & propterea recta linea V Z eſt breuiſsima omnium,
quæ ex V ad axim A D duci poſſunt.
Iiſdem prorſus verbis oſtenſum erit, quod recta linea l m ſit breuiſsima om-
nium cadentium ex puncto l ad axim, ſi nimirum apponãtur caracteres prioris
caſus, vt patet in ſecunda, & quarta figura.
Iiſdem poſitis oſtendendum eſt, ramum B E, interceptum inter duos breuiſe-
cantes E V, non eſſe breuiſecantem, atque lineam breuiſsimam ex B ad axim
A D extenſam cadere ſupra ramum B E verſus verticem A.
Quoniam rectangulum B G M maius eſt rectangulo O G M, atque oſtenſum ſuit
rectangulum E M æquale rectangulo O G M; ergo rectangulum B G M maius eſt
rectangulo E M, & propterea E K ad B G, ſeu K R ad R G (propter ſimilitudi-
55Lem. 5. nem triangulorum) minorem proportionem habet, quàm G M ad M K, &
9153Conicor. Lib. V.68[Figure 68] ponendo eadem K G
ad G R minorẽ pro-
portionem habebit,
quãad K M, & pro-
pterea G R maior e-
rit, quàm K M, vnde
E I ad G R, ſeu I T
ad G B (propter ſi-
militudinem trian-
gulorum E I T, R G
B) minorem propor-
tionem habet, quàm
E I ad K M, ſeu I C
ad C S; & ideo com-
parando homologarũ
ſummas in ellipſi, &
11Lem. 4. eorundem differen-
tias in hyperbola C
T ad O B, ſiue C H
ad H O (propter ſi-
militudinem trian-
gulorũ) habebit mi-
norẽ proportionem,
quàm I C ad C S,
vel C D ad D F, &
diuidendo in hyper-
bola, & componendo in ellipſi C O ad O H habebit minorem proportionem, quàm
22Ex 9. 10.
huius. C F ad F D, ſiue quàm latus tranſuerſum habet ad rectum; ergo breuiſsima ex
B ad axim ducta eum ſecat ſupra punctum H, & abſcindit lineam minorem,
quàm A H.
Rurſus ijſdem poſitis, oſtendendum eſt, ramum E p cadentem ſupra ramum
E V verſus verticem, velinfra infimum breuiſecantem E V non eße breuiſecan-
tem, & abſcindere ex axi minorem lineam, quàm abſcindit breuiſsima ex pun-
cto p ad axim ducta. Ducatur ex p recta linea p x perpendicularis ad axim,
eum ſecans in x, & ſecans S M in r, & hyperbolen V o in t, pariterque ramus
E p ſecet S M in z, & A F in q, atque I C in f. Quoniam hyperbole V o ſe-
cat coniſectionem A B in V, & p ponitur ſupra V ad partes A; ergo t cadit
extra ſectionem A B, & propterea t r maior erit, quàm p r; vnde rectangulum
p r M minus erit rectangulo t r M; ſed propter aſymptotos S M, M F eſt rectan-
3312. lib.2. gulum t r M æquale rectangulo o G M, ſeu rectangulo E M, vt dictum eſt; ergo
rectangulum p r M minus eſt rectangulo E K M, & propterea E K ad p r, ſeu
44Lem. 5. K z ad z r (propter ſimilitudinem triangulorum) maiorem proportionem habet,
quàm r M ad M K, & componendo, eadé K r ad r z maioré proportioné habet,
quàm ad M K; ergo r z minor eſt, quàm M K; ideoque E I ad r z, ſeu I f ad
r p (propter ſimilitudinem triangulorum E I ſ, & r p z) maiorem proportionem
habet, quàm E I ad M K, ſeu I C ad C S, vel ad r x; ergo comparando homo-
55Lem. 4. logorum ſummas in ellipſi, & eorundem differentias in hyperbola C ſ ad x
9254Apollonij Pergæi ſiue C q ad q x (propter ſimilitudinem triangulorum) maiorem proportionem
habebit, quàm I C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & com-
ponendo in ellipſi, C x ad x q maiorem proportionem habebit, quàm C F ad F
D, ſiue quàm latus tranſuerſum ad rectum, quapropter breuiſsima ex p ad axim
11Ex 9. 10.
huius. ducta ſecat maiorem lineam, quàm A q. Quæ omnia oſtendenda fuerant.
Notæ in Propoſ. LIV. LV.
ITaque oſtenſum eſt, vti memorauimus, quod ex concurſu duarum,
22a breuiſſimarum ad illam ſectionem non egrediatur alia breuiſecans prę-
ter illas duas, & quod reliqui rami ex eorum concurſu educti ad ſectio-
nem habent proprietates ſuperius expoſitas.
Senſum germanum huius conſectarij, in quo duæ propoſitiones Apollonij con-
tinentur, non eſt facile diuinare in tanta Apolloij breuitate, & textus Arabici
inſigni corruptione; videtur enim recenſere, & recolligere concluſionem quam-
dam præcedentium propoſitionum: at hoc fieri nullo modo debebat in duabus pro-
poſitionibus 44. & 45. Rurſus ſi theoremata ſunt, demonſtrari non poterant ante
propoſitiones 51. 52. 53; ſed for ſan numeri Arabici non 44. & 45; ſed 54. &
55. eſſe debent, quod mirum non eſt, cum numeri paſsim in hoc codice Arabico
deformati reperiantur. Itaque in hac ambiguitate ſuſpicor, textum ſic reſtitui
poſſe.
69[Figure 69]
Si in coniſectione duæ breuiſecantes ductæ fuerint ab eorum concurſu,
33PROP. 5.
Addit. nullus alius ramus ductus erit breuiſecans: Et ramorum ab eodem con-
curſu extenſorum, qui inter breuiſecantes intercipiuntur, abſcindunt axis
ſegmenta maiora, & qui non intercipiuntur, minora, quàm abſcindant
lineæ breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim ductæ: oportet autem in,
ellipſi, vt duo rami, & perpendicularis cadant inter axis maioris ver-
ticem, & centrum ſectionis.
9355Conicor. Lib. V.
Sit coniſectio A B C, cuius axis A D, & in hyperbola, & ellipſi centrum
E; & ſumantur quælibet duo puncta B, & C, quæ in ellipſi ſint in eodem eius
quadrante, & ducantur B F, C H perpendiculares ad axim, & in parabola,
fiant F G, & H I æquales ſemiſsi lateris recti; at in hyperbola, & ellipſi fiat
E F ad F G, nec non E H ad H I, vt latus tranſuerſum ad rectum, coniun-
ganturq; rectæ B G, & C I. Manifeſtum eſt B G, & C I eſſe lineas breuiſsimas,
quæ ſi producantur vltra axim (ex 28. propoſitione huius libri) conuenient
118. 9. 10.
huius. alicubi, vt in K. Dico, quod ex concurſu K nullus alius ramus breuiſecans
duci poteſt ad ſectionem A B C. Extendatur ex K ſuper axim A D perpendi-
cularis K D, & reperiatur ſectionis Trutina L competens menſuræ A D ipſius
concurſus K, vt in propoſitionibus 51. & 52. præcipitur. Et certè perpendicu-
laris K D non erit maior, quàm L, aliàs duci non poſſet ramus vllus breui-
2251. 52.
huius. ſecans ex concurſu K ad ſectionem A B C, quod eſt falſum; factæ enim fuerunt
K B, & K C breuiſecantes; Similiter K D non exit æqualis Trutinæ L, quan-
doquidem tunc vnica tantummodo breuiſecans ex K ad ſectionem A B C duci
poßet, quod rurſus falſum eſt, poſitæ enim fuerunt duæ breuiſecantes; igitur per-
pendicularis K D neceſſario minor erit Trutina L, & ideo ex concurſu K duæ
3351. 52.
huius. tantummodo breuiſecantes ad ſectionem A B C duci poſſunt, quæ ſunt B K, C K;
& propterea nullus alius ramus breuiſecans ex concurſu. K ad ſectionem A B C
duci poteſt præter duos K B, & K C; quod erat primo loco oſtendendum.
Secundo ijſdem poſitis, dico, quod rami ducti inter K B, & K C cadunt infra
lineas breuiſsimas ab eorom terminis ad axim ductas, & quod rami producti ex
K ſupra breuiſccantem K B verſus A verticem ſectionis, vel infra ramum bre-
uiſecantem K C abſcindunt axis ſegmenta ex vertice minora, quàm abſcindant
lineæ breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim ductæ. Reperiatur denuo Trutina
L, oſtendetur, vt prius perpendicularis K D minor, quàm L, & duæ tantummo-
do breuiſecantes K B, & K C; quare quilibet ramus ex K ad ſectionis punctum,
4451. 52.
huius. inter B, C poſitum extenſus, ſecat ſegmentum axis ex vertice A maius quàm ab-
ſcindat linea breniſsima ab eius termino ad axim ducta: pariterque quilibet ra-
mus ex K ad punctum ſectionis ſupra B, poſitum, vel infra ramum K C exten-
ſus, abſcindet ſegmentum axis ex A minus, quàm ſecet linea breuiſsima ab
eius termino ad axim ducta; quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. LVI.
R Eperitur quidem in ramis aggregati ſecantis bifariam inclinatum,
55a ſuper quod non cadit perpendicularis, breuiſecans vna tantum, quo-
modocumque ſe habeant perpendicularis, & menſura, & c.
Senſum huius propoſitionis nec Apollonius quidem ſi reuiuiſceret inſigni bar-
barie corruptum perciperet, cenſeo tamen, ſic reſtitui debere.
In ellipſi ramorum ſecantium vtrumque axim à concur ſu vltra centrum po-
ſito egredientium, vnius tantùm portio inter axim maiorem, & ſectionem inter-
cepta erit linea breuiſsima; ſiue menſura ipſam comparatam, nec non perpendi-
cularis ipſam Trutinam ſuperet, æquet, vel ab ea deficiat.
9456Apollonij Pergæi
Sit ſectio ellipſis
11b A C B tranſuerſa A
70[Figure 70] B, & c. Lego; Sit ſe-
ctio ellipſis A C B, &
axis maior A B, cen-
trum D, & perpendi-
cularis E F ſecans a-
xim in F inter cen-
trũ ellipſis D, & ver-
ticem A.
Et ducamus per
22c punctum E ſectionẽ
hyperbolicam E M
C circa duas eius continentes, & c. Ideſt circa duas asymptotos I L, I H per
E deſcribatur hyperbole E M C, quæ ſecet axim A B æquidiſtantem alteri asym-
3312. & 13.
lib. 2. ptoton in aliquo puncto vt in M; oſtendetur punctum M ſuper ellipſis centrum
D cadere.
Ergo E H prima in proportione in IH ſubſequentem, nempe G F ſub-
44d ſequens ipſam M G quartam, æquale eſt ſubſequenti D G ſecundæ in,
I G nempe F H tertiam. Ergo punctum N, & c. Textus corruptus ſic reſti-
tui poſſe cenſeo; Ergo E H prima proportionalium in H I, nempe G F quartam
æquale eſt D G ſecundæ in I G, nempe F H tertiam, & c. Propterea quod E H ad
F H, atque D G ad G F poſitæ fuerunt, vt latus tranſuerſum ad rectum; ergo re-
ctangulum ſub D G, & H F, ſeu I G, extremis quatuor proportionalium, æqua-
le eſt rectangulo ſub intermedijs E H, & F G, ſeu H I, eſt que punctum E in,
hyperbola E M C cuius aſymptoti K I, L I; ergo punctum D in eadem hyperbola
exiſtit; ſed erat prius in ellipſis diametro A B, ſcilicet in centro; quare in eorum
communi ſectione exiſtet: erat autem punctum M communis ſectio hyperboles
E C, & axis ellipſis A B; igitur puncta M, & D coincidunt, & hyperbole E D C
tranſit per centrũ ſectionis ellipticæ A C B, & ideo hyperbole E D C, quæ in infinitũ
558. lib. I. extendi, & dilatari poteſt neceſſario ſecabit finitam ellipſim alicubi, vt in C.
Et producamus per E C lineam, & c. Et producamus per E C rectam li-
66e neam, quæ occurrat continentibus in L, K, & ſecet axim ellipſis in P.
Erit G F æqualis O N, quare F O, & c. Quia duæ rectæ lineæ A O, L K
ſecantur à parallelis I L, F E, C N, K O proportionaliter, & ſunt K C, L E
æquales, ergo O N, F G inter ſe æquales erunt, & addita communiter N F erit
778. lib. 2. F O æqualis N G; Et quoniam E H ad H F eſt vt E K ad K P (propter pa-
rallelas K I, O A) nempe vt F O, ſeu ei æqualis G N ad O P (propter paral-
lelas E F, O K) ſed eandem proportionẽ habet D G ad G F, quàm E H ad H F;
ergo G N ad O P eandem proportionem habet quàm D G ad G F, & compa-
rando homologorum differentias D N ad N P erit vt D G ad G F, ſeu vt latus
88Lem. 3.
10. huius. tranſuerſum ad rectum; & ideo C P eſt breuiſsima.
Quia in ſequenti propoſitione 57; & in alijs adhibetur propoſitio non adhuc
demonſtrata; nimirum poſita C P linea breuiſsima, pariter que I D ſemiſsi axis
recti minoris etiam breuiſsima (ex II. huius) quæ occurrant vltra axim in,
M deducuntur ea omnia, quæ in propoſitionibus 51. & 52. ex hypotheſi
9557Conicor. Lib. V. no diuerſa eliciebantur; nam in dictis propoſitionibus perpendicularis ex concur-
ſu ad axim ducta efficiebat in ellipſi menſuram (iuxta deſinitionem 15. huius
libri) minorem medietate axis tranſuerſi, ideſt perpendicularis ex concurſu ca-
debat inter centrum ſectionis, & proximiorem verticem: hic vero perpendicu-
laris ex concurſu M per centrum D ellipſis tranſit.
Animaduertendum eſt hoc theorema demonſtratum fuiſſe ab Apollonio Propoſ.
35. huius libri, quod tamen paraphraſtes neſcio an iure in fine huius voluminis
tranſpoſuit; Sed quia predicta propoſitio 35. omnino hic eſt neceſſaria, & pendet
ex alijs præcedentibus, libuit potius aliam independentem demonſtrationem af-
ferre quam ordinem propoſitionum ſatis alter atum denuo perturbare.
LEMMA VIII.
IN ellipſi ABC linea breuiſsima F G, & ſemiaxis minor rectus B
D conueniant in E, erunt E F, & E B duæ breuiſecantes, duca-
tur quilibet ramus E H inter eos: Dico E H non eſſe breuiſecantem, &
cadere infra lineam breuiſsimam ductam ex puncto H ad axim.
71[Figure 71]
Ducantur ex F, & H rectæ F K, H L perpendiculares aa axim rectum B
D eum ſecantes in K, & L, pariterque ducantur F M, H N perpendiculares ad
axim tranſuerſum A D eum ſecantes in M, N. Et quia F G eſt breuiſsima, ergo
D M ad M G eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum C A ad eius
1115. huius. latus rectum; ſed propter parallelas D E, M F, eſt D M ad M G, vt E F ad F
G, ſeu E K ad K D (propter parallelas G D, F K) quare E K ad K D eandem
proportionem habet, quàm latus tranſuerſum ad rectum, & diuidendo E D ad
D K eandem proportionem habebit, quàm differentia lateris tranuerſi, & recti
ad latus rectum, eſt vero D L maior, quàm D K (cum H L parallela ipſi F K
cadat inter punctum K, & B) igitur E D ad maiorem D L minorem proportio-
nem habet, quàm ad D K, & propterea componendo E L ad L D minorem pro-
portionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum: eſt vero E H ad H
9658Apollonij Pergæi vt E L ad L D (propter parallelas I D, H L) pariterque D N ad N I eſt, vt E H
ad H I (porpter parallelas E D, N H) quare D N ad N I erit vt E L ad L D,
& propterea D N ad N I minorem proportionem habebit, quàm latus tranſuer-
ſum C A ad eius latus rectum, & ideo linea breuiſsima ex puncto H ad axim
1110. huius. A D ducta cadet ſupra ramum H I E verſus verticem A, atq; E H non erit bre-
uiſecans, quod erat primo loco oſtendendum.
72[Figure 72]
Secundo ducatur ramus E O ſecans maiorem axim in P inter verticem A, &
breuiſecantem E F; Dico E O non eſſe breuiſecantem, & breuiſsimam ex puncto
O ad axim A D ductam cadere infra ramum O P E; Ducantur O Q, O R per-
pendiculares ad axes, ſecantes eos in Q, R. Manifeſtum eſt Q D minorem eſſe,
quàm K D, & propterea E D ad D Q maiorem proportionem habebit, quàm ad
D K, & componendo E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm E K
ad K D: oſtenſa autem fuit E K ad K D, vt latus tranſuerſum C A ad eius la-
tus rectum; igitur E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm latus
tranſuerſum ad rectum; ſed (propter parallelas P D, O Q) vt E Q ad Q D
ita eſt E O ad O P, & propter parallelas E D, R O, vt E O ad O P, ita eſt D R
ad R P; ergo D R ad R P eſt, vt E Q ad Q D, & propterea D R ad R P ma-
iorem proportionem habebit, quàm latus tranuer ſum C A ad eius latus rectum;
igitur E O non erit breuiſecans, & breuiſsima ex puncto O ad axim ducta cadit
infra ramum E O verſus D, quod erat oſtendendum.
22ex 10.
huius.
Notæ in Propoſ. LVII.
ET dico, quod non repe-
73[Figure 73] riatur vllus alius ramus,
& c. Ideſt ſit rurſus linea bre-
uiſsima C M, quæ producta,
concurrat cum perpendiculari E
F in E, quæ ſecet axim in F
vltra centrum D ad partes ver-
ticis A. Dico, quod præter
9759Conicor. Lib. V. mum E C nullus alius ramus breuiſecans ex concurſu E ad ſectionem duci poteſt,
qui cadat in eodem quadrante B L, quem breuiſecans interſecat.
Nam ſi producantur E H, E G, & c. Ducantur quilibet rami E H, E G ad
11h vtraſque partes breuiſecantis E C intra quadrantem B L, qui ſecent D B in K,
& I, & producatur per centrum D recta M D L perpendicularis ad axim B A,
quæ ſecet ſectionem in L, & ramum E C in M.
Et quia iam productæ ſunt ex concurſu M duæ breuiſecantes, & c.
22i Quia C M breuiſsima ex hypotheſi occurrit ſemiaxi minori recto L D breuiſsi-
mæ pariter (ex 11. huius) in M, ſequitur (non quidem ex 51. 52. huius, ſed
ex lemmate 8. præmiſſo) quod linea recta ex M ad H coniuncta cadat infra
breuiſsimam ex puncto H ad axim B A ductam, & coniuncta recta M G cadit
ſupra breuiſsimam ex puncto G ad axim ductam.
Sed E H, & E G efficiunt abſciſsas oppoſito modo, & c. Quia ab eodem
33k puncto H ſectionis ducuntur tres rectæ lineæ. H E, H M, & breuiſsima ex H ad
axim B A ducta, quarum intermedia eſt H M, eo quod breuiſsima ex H ad
axim A B cadit ſupra H M ad partes B, vt dictum eſt, & H E cadit
44Lem 8. infra H M ad partes A; ergo H E cadit infra breuiſsimam ex
H ad A B ductam, & propterea E H nan erit breuiſecans:
Similiter breuiſsimaex G ad A B extenſa cadit infra
G M ad partes A, vt dictum eſt; at E G cadit
551 bidem. ſupra G M ad partes B; ergo E G cadit
ſupra breuiſsimam ex G ad axim
A B ductam, quare E G non
eſt breuiſecans.
74[Figure 74]
9860Apollonij Pergæi
SECTIO NONA
Continens Propoſ. LVIII. LIX. LX. LXI.
LXII. & LXIII.
I Am ex puncto dato C extra, vel intra ſectionem A B (quod
11a in axi I A non ſit) poſſumus rectam lineam ducere, cuius
portio intercepta inter ſectionem, & axim ſit linea breuiſſima.
PROPOSITIO LVIII.
Sit ſectio parabole, & producamus perpendicularem C E ſu-
per I E A, & ponamus E F æqualem dimidio erecti, & du-
camus G F parallelam ipſi C E, & per C ducamus hyperbolen
224. lib. 2.33b H C B circa duas continentes illam G F, I F, quæ occurat ſe-
ctioni A B in B, & per B, C producatur linea occurrens con-
tinenti I A in I, & continenti G F in G: Dico, quod B I eſt
linea breuiſsima.
75[Figure 75]
Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I æqualis eſt B G (sexta
44C ex ſecundo) erit E I æqualis K F, & E F, K I erunt æquales, atque ſup-
558. lib. 2. poſita, eſt E F æqualis dimidio erecti; ergo K I ita eſt pariter; Quare
B I eſt breuiſsima, (octaua ex quinto) & hoc erat probandum.
PROPOSITIO LIX. LXII. & LXIII.
D Einde fit ſectio hyperbole, aut ellipſis, cuius centrum D, & lineis,
66a atque ſignis in eodem ſtatu manentibus, ponamus D F ad F E, &
9961Conicor. Lib. V.76[Figure 76] ſimiliter C L ad L E, vt proportio figuræ, & producamus per L ip-
ſam O M parallelam A I F, & per F ipſam G M parallelam C E, & fa-
ciamus ſectionem H C B hyperbolen tranſeuntem per punctum C circa
114. lib. 2. continentes G M, O M, quæ occurret ſectioni A B (in ellipſi quidem vt
2256.
huius. demonſtrauimus) in hyberbola vero eo quod O M parallela axi D A in-
33b clinato ſubtendit, ſi producatur, angulum ſubſequentem continentiæ an-
gulum ſecabit A B, & corda, ſi producatur, occurret ſectioni; Ergo O
M ingreditur ſectionem A B, & ampliatur ſectio A B per extenſionem,
longè à duabus lineis O M, M G, & ſectio B C prope illas ducitur (deci-
4414. lib. 2. moſexta, ex ſecundo) igitur duæ ſectiones A B, C B ſibi occurrunt, vt
in B, & ducamus per B, C lineam occurrentem D F A in I, & G F in G;
Et quia B O æqualis eſt ipſi C G (octaua ex ſecundo) erit O N æqualis
55c ipſi M L, & O L ipſi N M; ergo O L, nempe N M, ſeu K F ad E I eſt,
vt C L ad C E, nempe D F ad D E, ergo K F ad E I eſt, vt D F
ad E D comparando homologorum ſummas in hyperbola, & eorundem
66d77Lem. 3. differentias in ellipſi, & iterum comparando antecedentes ad differen-
88Lem. 1. tias terminorum
77[Figure 77] fiet D K ad K
I, vt D F ad F
E, quæ eſt vt
proportio figu-
ræ; igitur B I eſt
linea breuiſſima
(9. 10. ex quin-
to) & hoc erat
probandum.
10062Apollonij Pergæi
PROPOSITIO LX.
D Einde perpendicularis egrediens ex
78[Figure 78]11a C cadat ad centrum D ſectionis A B
hyperboles, & ponamus C E ad E D, vt
proportio figuræ, & producamus ex E ad
ſectionem rectã lineam E B, quæ parallela
ſit D E, producaturque C B, quæ occur-
rat axi in G. Et quia C E ad E D, nempe
22b C B ad B G, nempe D H ad H G eſt, vt
proportio figuræ; erit G B linea breuiſſima
(nona ex quinto) quod erat oſtenden-
dum.
PROPOSITIO LXI.
S It poſtea punctum C, &
79[Figure 79] perpendicularis C F, &
F remotius à vertice ſectio-
nis, quàm ſit centrum, & po-
namus C E ad E F, vt eſt
proportio figuræ, & ſimiliter
D G ad G F, & ex E pro-
ducamus E H, quæ ſit paral-
lela ipſi F A, & ex G, D.
ad illam G I, D K, quæ ſint
parallelæ ipſi C F; & duca-
mus ſectionem hyperbolen
334 lib. 2. tranſeuntem per D, quam
contineant I H, I G, quæ occurret ſectioni A B ſimiliter in B; Itaque
44a per B, C producamus lineam, quæ occurrat axi F A in L, & ipſi E H
in M. Dico, quod B L eſt linea breuiſſima. quia ducta perpendiculari
55b H N, C E ad E F, ſeu ad K D, eſt vt D G ad G F, nempe vt K I ad
I E, & propterea E C in E I erit æquale rectangulo D I ſubſequenti
(octaua ex ſecundo) nempe rectangulo B I conſequenti; Ergo C E in
6612. lib. 2. E I eſt æquale B H in H I, & propterea B H ad C E, nempe H M ad
M E eſt, vt E I ad I H; ergo H I, nempe N G æqualis eſt E M, & ideo
L F ad E M, nempe ad N G eſt, vt C F ad E C, nempe D F ad D G,
quia quælibet earum aſſignata eſt, vt proportio figuræ; ergo L F ad N
G eſt, vt D F ad D G; itaq; comparando homologorum differentias L
D ad D N, vt D F ad D G; & per conuerſionem rationis, & poſtea
diuidendo D N ad N L erit, vt D G, ad G F, quæ eſt vt propor-
tio figuræ; Ergo B L eſt linea breuiſſima ( nona ex quinto ) & hoc erat
oſtendendum.
10163Conicor. Lib. V.
Notæ in Propoſit. LVIII.
I Am poſſumus producere ex puncto aſſignato C extra datam ſectionem
11a A B, aut intra (ſi punctum non fuerit ad axim I A) lineam diuiden-
tem ex illo inter ſectionem, & axim lineam breuiſſimam, & c. Sic legen-
dum puto. Ex punto dato C extra, vel intra ſectionem A B, quod in axi non
ſit, lineam rectam ducere, cuius portio incercepta inter ſectionem, & axim ſit
linea breuiſsima.
80[Figure 80]
Et per C ducamus ſectionem H C B circa duas continentes illam G F,
22b I F, quæ occurrat ſectioni A B (16. ex 5.) in B, & c. Scilicet ducamus per
C hyperbolen H C B circa aſymptots G F, F I, & quia aſymptoti, & hyperbo-
334. lib. 2. le H C B productæ ad ſe ipſas ſemper proprius accedunt, atque parabole A B
4414. 2.
Ex 8. 1. producta ſemper magis ab axi A I remouetur; igitur hyperbole H C B, & para-
bola A B ſe mutuo ſecabunt; ſecent ſe ſe in puncto B. Animaduertendum eſt,
quod in textu Arabico aſſumitur hæc concluſio, vt demonſtrata in propoſitione
16. huius quinti libri; & ſiquidem numeri huius citationis mendoſi non ſunt,
hæc propoſitio ſexta decima deſideratur in hoc libro.
Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I, & c. Ex puncto B ad
55c axim ducatur perpendicularis B K, ſecans eum in K; quoniam quando punctum
C ponitur intra parabolen, tunc B G æqualis eſt I C; quando vero cadit extra,
668. lib. 2. tunc C G eſt æqualis B I, & addita communi B C erit I C æqualis B G, cumq;
duæ rectæ lineæ I G, I F conuenientes in I ſecentur à rectis lineis K B, E C,
F G inter ſe parallelis, eo quod ſunt perpendiculares ad eundem axim; ergo I G,
& I F ſecantur in ijſdem rationibus, & propterea E I æqualis erit K F; ſicuti
I C æqualis erat B g, pariterque I K æqualis erit E F, ſicuti I B æqualis erat
C G; poſita autem fuit E F æqualis ſemierecto; igitur K I ſemiſsi lateris recti
pariter æqualis erit.
10264Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. LIX. LXII. & LXIII.
E T lineis, atque ſignis eodem ſtatu manentibus, & c. Ideſt punctum
11a C extra, aut intra ſectionem ponatur, dummodo non ſit in axi, ducaturq;
C E perpendicularis ad axim, ſecans eum in E, & vt latus tranſuerſum ad re-
ctum, ita ſiat D F ad F E, atque C L ad L E, & per L producatur O L M pa-
rallela A I, & per F ducatur F M G parallela C E, quæ ſecet O M in M, & per
C deſcribatur hyperbole H C B circa aſymptotos G M O, quæ in ellipſi per eius
224. lib. 2. centrum D tranſibit, & ideo eam ſecabit ſicuti oſtenſum eſt in 56. huius.
81[Figure 81]
Eo quod O M parallela axi D A inclinato ſubtendit, & c. Quoniam
33b in hyperbola O M parallela axi ſecat vtrãque linearum continentium angulum,
qui deinceps eſt ei, qui hyperbolen continet ſectioni occurret, & producta ſectio-
4411. lib. 2. nem A B ſecabit, & ideo O M cadit intra ſectionem A B, atque hyperbole A B
producta ſemper magis, ac magis recedit tum ab M O parallela axi, cum ab M
G parallela tangenti verticali, & ſectio H C B, & asymptoti O M G ad ſe ip-
5514. lib. 2. ſas jemper propius accedunt, igitur ſectiones A B, B C conueniunt; ſecent ſe
ſe in B, & ducamus per B, C lineam occurrentem axi in I, ipſi M O in O, &
M G in G.
Et quia B O æqualis eſt ipſi C G, & c. Cum lineæ rectæ O M, O G ſe ſe-
66c cantes in O, ſecentur à parallelis E C, K B, F G proportionaliter, erit O N
æqualis M L, ſicuti O B æqualis erat C G, & O L, æqualis erit N M, ſicuti
O C æqualis erat B G, cumque triangula O C L, & I C E ſint ſimilia propter
778. lib. 2. parallelas O L, I E, erit O L ad E I, vt L C ad C E; eſt vero M N, ſeu F
K æqualis ipſi L O, igitur F K ad E I eſt, vt L C ad E C, ſed ex conſtru-
ctione erat D F ad F E, vt C L ad L E, ſciluet vt latus tranſuerſum ad
rectum; ergo antecedentes ad ſummas terminorum in hyperbola, & ad
88Lem. 1.
10365Conicor. Lib. V. eorundẽ differen-
82[Figure 82] tias in ellipſi ſci-
licet C L ad C E
erit vt D F ad D
E, & propterea
K F ad E I erit,
vt D F ad D E,
11Lem. 3.& cõparando ho-
mologorum ſum-
mas in hyperbola,
& eorundem dif-
ferentias in elli-
pſi, K D ad D I
erit, vt D F ad D E, & iterum comparando antecedentes ad differentias ter
22Lem. 1. minorum fiet D K ad K I, vt D F ad F E, ſeu vt latus tranſuer ſum ad rectum;
igitur B I eſt linea breuiſsima.
33Ex 9. 10.
huius.
Si autem componamus proportionem in hyperbola deinde abſcinda-
44d mus, & reijciamus oppoſitum ab oppoſito in ellipſi, deinde inuertamus
fiet K D ad K I, vt D F ad F E, & c. Sed textum mendoſum corrigi debere,
vt ſupra factum eſt conſtat ex præcedenti nota.
Notæ in Propoſit. LX.
DEinde ſit perpendicularis ex C, & c. Siex puncto C extra hyperbolen po-
55a ſito perpendicularis ad axim ducta ad centrum eius D pertingat, duci de-
bet pariter ex puncto C recta linea ad ſectionem, cuius portio inter axim D F,
& ſectionem A B ſit linea breuiſsima; fiat C E ad E D, vt latus tranſuer ſum ad
rectum, & ex E ducatur E B par allela axi, ſecans hyperbolen in B, & ex B du-
catur B H perpendicularis ad axim, ſecans eum in H.
Et quia C E ad E D, nempe C B ad B G,
83[Figure 83]66b& c. Quia propter parallelas B E, F D eſt C E ad
E D, vt C B ad B G, & propter parallelas D C,
H B, eſt D H ad H G, vt C B ad B G, quare D H
ad H G erit, vt C E ad E D: poſita autem fuit C
E ad E D, vt latus tranſuer ſum ad rectum; igi-
tur D H ex centro hyperboles ad H G eandem
proportionem habet, quàm latus tranſuerſum ad
rectum, & propterea G B erit linea breuiſsima.
779. huius.
Notæ in Propoſit. LXI.
SIt poſtea punctum C, & perpendicularis C F, & c. Si à puncto C extra
88a hyperbolen A B poſito, C F perpendicularis ad axim efficiat F A ſegmentũ
tranſuerſi axis maius ſemiſse eius D A, & ponantur C E ad E F, atque D
10466Apollonij Pergæi ad G F, vt latus tranuer ſum ad
84[Figure 84] rectum, & ducatur ex E recta
E H parallela F A, quæ ſecetur
à rectis D K, G I ad axim per-
pendicularibus in K, & I, &
per D ducatur hyperbole D B
114. lib. 2. circa aſymptotos H I G, occur-
ret hyperbole A B (vt in Prop.
59. 62. 63. oſtenſum eſt) ali-
cubi, vt in B, coniungatur rect a
linea B C, quæ occurrat axi in
L, & ipſi E H in M, duca-
turque ex B perpendicularis ad
axim eum ſecans in N, & re-
ctam E M in H. Dico, quod B L eſt linea breuiſsima.
C E ad E F, nempe K D eſt, vt D G ad G F, & c. Quoniam ex conſtru-
22b ctione C E ad E F, ſeu ad ei æqualem K D, in parallelogrammo D E, eſt vt
D G ad G F, ſcilicet vt latus @ anſuerſum ad rectum, eſtque K I ad I E, vt D
G ad G F propter parallelas D K, G I, F E; ergo vt prima C E ad ſecundam
D K, ita eſt tertia K I ad quartam I E, & propterea rectangulum C E I ſub
extremis contentum æquale eſt rectangulo D K I ſub intermedijs compræhenſo;
eſt vero rectangulum B I æquale rectangulo D I cum compræhendantur ab hyper-
bole D B, & aſymptotis H I G; ergo rectangulum C E I æquale eſt rectangulo
3312. lib. 2. B H I; & propterea B H ad C E, nempe H M ad M E (propter ſimilitudinem
triangulorum B H M, C E M) eandem proportionem habebit, quàm E I ad I
H, & componendo eadem H E ad H I, atque ad E M eandem proportioner
habebit; & ideo H I ſeu ei æqualis N G æqualis erit E M, quare eadem
L F ad N G, atque ad E M eandem proportionem habebit: ſed propter ſimi-
litudinem triangulorum L C F, M C E eſt F C ad E C, vt F L ad M E,
ſeu ad N G, & erat C E ad E F, necnon D G ad G F in eadem propor-
tione lateris tranſuerſi ad rectum, & ſummæ terminorum ad antece-
44Lem. 1. dentes terminos, ſcilicet F C ad E C, necnon F D ad D G ean-
dem proportionem habent; quare L F ad N G eandem
proportionem habet, quàm F D ad D G, & compa-
rando homologorum differentias L D ad D N
55Lem. 3. eandem proportionem habebit, quàm F D
ad D G, & comparando conſe-
quentes ad differentias termi-
66Lem. 1. norum D N ad L N erit,
vt D G ad F G,
ſcilicet
vt latus tranſuer ſum ad rectum;
quapropter B L eſt linea
779. huius.breuiſsima.
10567Conicor. Lib. V.
SECTIO DECIMA
Continens Propof. XXXXIV. XXXXV.
Apollonij.
SI ex axe recto ellipſis ſumatur menſura ab origine, quæ ad
11a ſemiaxim rectum non habeat minorem proportionem, quàm
habet figura ſuæ tranſuerſæ, tunc quicumque ramus ſecans, ab
illa origine ad fectionem ductus, abſcindit ex axe tranſuerſo ad
verticem ſectionis lineam minorem ea, quàm abſcindit linea
breuiſsima egrediens ab eius termino in ſectione poſito ad tran-
ſuerſum axim; ſi vero fuerit proportio ad ſemirectum minor,
tunc ramorum ſecantium vnus eſt breuiſecans; reliqui vero, qui
ſequuntur extremum tranſuerſæ habent proprietates ſuperius ex-
poſitas, & qui ſequuntur extremitatem recti, ſecant ex tranſuer-
ſa lineam maiorem ea, quàm abſcindit breuiſsima egrediens ab
eius termino.
PROPOSITIO XXXXIV.
Sit A D dimidium axis recti, & minoris ſectionis ellipticæ
22b A B C, & meuſura A E, quæ ſit maior, quàm A D, & pro-
portio illius ad iſtam non ſit minor proportione figuræ ſectionis;
Dico, quod linea breuiſsima egrediens ab extremitate cuiuſcum-
que rami ſecantis educti ex E ad ſectionem A B C, ſecat ex
tranuerſa B C cum vertice B, vel C lineam maiorem ea, quàm
abſcindit ille ramus.
Ponatur ramus E F, & ducamus ex F ad vtrum-
85[Figure 85]33c que axim duas perpendiculares F H, F I. Et quia
proportio E A ad A D non eſt minor proportio-
ne ſiguræ, ſed minor eſt, quàm E H ad H D, nem-
pe E F ad F G, ſeu D I ad I G, erit proportio ſigu-
ræ minor, quàm D I ad I G, & ponamus D I ad
I K, vt eſt proportio figuræ, & iungamus F K;
erit ergo F K linea breuiſſima (10. ex 5.) & iam
4410.
huius. ſecat K B maiorem, quàm B G, & G F non erit
breuiſſima; & hoc erat propoſitum.
10668Apollonij Pergæi
PROPOSITIO XXXXV.
SI autem fuerit ratio E A ad A D minor,
86[Figure 86]11a quàm proportio figuræ, ponamus E H ad H
D in proportione figuræ, & producamus per-
pendicularem H F, & iungamus F E, & duca-
mus perpendicularem F I. Et quoniam E H ad
H D, nempe D I ad I G eſt, vt proportio figu-
ræ, erit F G linea breuiſſima (10. ex 5.) Et quo-
niam iam educti ſunt ex E duo breuiſecantes
F E, & E A (11. ex 5.) tunc à terminis ramo-
rum egredientium ex E, qui terminantur ad ſe-
ctionem B F, linea breuiſſima egrediens erit re-
motior ab ipſo B, & qui terminatur ad ſectio-
nem A F, breuiſſima egrediens ab extremitate illius erit proximior, ipſi
B (51. 52. ex 5.) & hoc erat oſtendendum.
Notæ in Propoſ. XXXXIV.
PVto, numeros 53. & 54. Propoſitionum huius ſe-
87[Figure 87] ctionis mendoſos eſſe, nam Propoſitio 53. poſita
fuit in præmiſſa ſectione, & Propoſitio 54. inferius
appoſita reperitur; Cenſeo igitur, eſſe Propoſitiones
XXXXIV. & XXXXV.
Si ex axe recto ellipſis ſumatur menſura, & c.
22a Hoc eſt ſi ex axe minori, recto ellipſis ſumatur menſu-
ra, quæ habeat non minorem proportionem ad ſemi-
axim rectum, quàm habet axis tranſuerſus ad ſuum
latus rectum, quilibet ramus ſecans, ab origine ad ſe-
ctionem ductus, abſcindit ex axe tranſuerſo ad ver-
ticem ſectionis minorem lineam, quàm ſecat linea breuiſsima ab eius termi-
no ad axim tranſuer ſum ducta. Si vero menſura ad minorem ſemiaxim re-
ctum proportionem minorem habuerit, quàm latus tranſuer ſum ad rectum, tunc
vnicus ramus erit breuiſecans; reliqui vero ſequentes terminum tranſuerſi, ha-
bent ſuperius expoſitas proprietates, & ſequentes extr emitates axis recti, ſecant
ex tranſuer ſa maiorem lineam, quàm ſecet breuiſsima ab eius termino ad axim
tranſuer ſum ducta. Quod autem menſura neceßario ſumi debeat in axe minori
ellipſis patet, nàm ex hypotheſi rami ſunt ſecantes non quidem ex concurſu, ſed
ex origine ducti igitur origo cadit infra centrum, & menſura maior erit medie-
tate axis vt in textu habetur; debet autem habere menſura ad ſemiaxim rectum
maiorem aut eandem proportionem, quàm axis tranſuerſus habet ad eius latus
rectum, ergo proportio axis tranſuerſi ad ſuum latus rectum erit maioris inæqua-
litatis, & propterea tranſuerſus axis erit maior quàm axis rectus.
10769Conicor. Lib. V.
Sit A D dimidium axis recti ſectionis ellipticæ A B C, & c. Sit A D di-
11b midium axis minoris, & recti ellipſis A B C, ſitque menſura A E maior, quàm
A D, & E A ad A D habeat maiorem, aut eandem proportionem, quàm habet
latus tranſuerſum B C ad eius rectum latus.
Ponatur ramus E F, & producamus ex F, & c. Ducatur quilibet ramus
22c ſecans E F, & ex F ad vtrumque axim perpendiculares F H, F I, quæ ſecent
eos in H, & I. Et quia D H minor eſt, quàm D A, habebit eadem E D ad
D H maiorem proportionem, quàm ad D A, & componendo E H ad H D, ma-
iorem proportionem habebit, quàm E A ad A D; eſt vero E F ad F G, vt E
H ad H D (propter parallelas D G, H F) nec non D I ad I G eſt, vt E F ad
F G (propter parallelas E D, I F) ergo D I ad I G maiorem proportionem ha-
bet, quàm E A ad A D: habebat autem E A ad A D maiorem, aut eandem
proportionem, quàm latus tranſuer ſum B C ad eius rectum latus; igitur D I ad
I G maiorem proportionem habebit, quàm latus tranſuer ſum B C ad eius rectum
latus: fiat iam D I ad I K, vt latus tranſuer ſum B C ad eius latus rectum,
iungaturque F K, erit I K maior, quàm I G, & F K linea breuiſsima, quæ ſe-
3310. huius. cat ſegmentum axis K B maius, quàm B G, vnde E F non erit breuiſcans.
Notæ in Propoſ. XLV.
SI autem fuerit ratio E A ad A D minor, quàm proportio figuræ, & c.
44a Habeat E A ad A D minorẽ proportionem, quàm latus tranſuer ſum B C ad
eius rectum latus, & fiat E H ad H D, vt latus tranſuer ſum ad rectum; ha-
bebit E H ad H D maiorem proportionem, quàm E A ad A D, & diuidendo
eadem E D ad D H habebit maiorem proportionem, quàm ad D A; & pro-
pterea D H minor erit, quàm D A; vnde ex puncto H ſi eleuetur H F perpen-
dicularis ad D A intra ſectionem cadet, & ſecabit eam alicubi, vt in F: duca-
tur poſtea ex F recta F E, quæ ſecet axim in G, & F I perpendicularis ad axim
B C eum ſecans in I. Et quoniam, propter parallelas G D, F H, eſt E F ad F
G, vt E H ad H D, pariterque, propter parallelas E D, I F, eſt D I ad I G, vt
E F ad F G, quare D I ad I G eandem proportionem habet, quàm E H ad H
D, ſeu quàm latus tranſuer ſum B C ad eius latus rectum; & propterea F G eſt
5510. huius.breuiſsima.
Et quoniam iam eductæ ſunt ex E duæ breuiſecantes, & c. Textus Ara-
66b bicus vſque ad finem propoſitionis eſt omnino corruptus, cum ſupponat propoſi-
tionem non demonſtratam, vt in propoſitione 56. notaui; Itaque, ſic eum reſti-
tui poſſe cenſeo. Quoniam ex conſurſu E breuiſsimæ F G, & ſemiaxis recti
minoris D A rami educti ad ſectionem F A ſecant axis ſegmenta vſque ad
verticem B maiora, quàm abſcindant breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim
ductæ, ſcilicet breuiſsimæ cadunt ſupra ramos (ex Lemmate 8. præmiſſo) ſimi-
liter rami ex concur ſu E ad ſectionem B F ducti cadunt ſupra breuiſsimas ab
eorum terminis ad axim extenſas (ex eodem Lemmate 8.) & hoc erat oſten-
dendum.
10870Apollonij Pergæi
SECTIO VNDECIMA
Continens Propoſ. LXVIII. LXIX. LXX.
& LXXI. Apollonij.
PROPOSITIO LXVIII. LXIX.
SI occurrant duæ tangentes alicui ſectioni A B C, vt ſunt A
11a F, E F, vtique quod abſcinditur ex tangente proximiori
vertici ſectionis, qui eſt B minus eſt ſegmento abſciſſo ex alia,
nempe E F minor eſt, quàm A F.
Iuncta enim A E,
22b88[Figure 88]& in parabola ex F
producta linea F I
parallela axi B D e-
rit illa diameter, bi-
fariam ſecans E A in
G (34. ex 2.) Simi-
3330. lib. 2. liter ex centro H pro-
ducamus H F G, quæ
eſt quoque diameter
(34. ex 2.) bifariam
44Ibidem. ſecans E A in G, &
ducamus A D in pa-
rabola, & hyperbola perpendicularem ſuper axim D B. Ergo angulus
A I G in parabola eſt rectus, & in hyperbola obtuſus; ergo F G A erit
obtuſus in illis omnibus; quare maior eſt, quàm angulus F G E, & A
G æqualis eſt ipſi G E, & F G communis; igitur E F minor eſt, quàm
F A.
89[Figure 89]
10971Conicor. Lib. V.
PROPOSITIO LXX.
P Oſtea in ellipſi iungamus E H, A H, & C
90[Figure 90] ſit extremitas axis recti; erit A H minor
quàm E H (11. ex 5.) & angulus EGH, nempe
11c A G F maior erit, quàm A G H, ſeu E G F,
ergo E F minor eſt, quàm F A, & hoc erat
propoſitum.
PROPOSITIO LXXI.
P Atet ex hoc, quod ſi producantur ex duo-
22d bus punctis contactus in ellipſi perpendi-
culares E M, A L, & fuerit E M minor,
exempli gratia, tunc tangens educta ab eius
extremitate minor quoque eſt, quemadmodum demonſtrauimus, & hoc
erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. LXVIII. LXIX. LXX.
& LXXI.
S I occurrant duæ tangentes alicui fectioni A B C, aut circulo, vt ſunt,
33a& c. Ideſt ſi coniſectionem A B C contingant duæ rectæ A F, E F in pun-
ctis A, & E concurrentes in F, erit portio tangentis inter occurſum, & conta-
ctum vertici B proximiorem intercepta, minor ea, quæ inter occur ſum, & re-
motiorem à vertice contactum continetur: oportet autem in ellipſi B verticem,
eſſe axis maioris. Expungo verba, aut circulo, tanquam erronea, & incaute
ab aliquo textui ſuperaddita. Circulum enim tangentes ab eodem puncto ductæ
inæquales eſſe nequeunt.
Et ducamus A D in parabola, & hyperbola, & c. Et ducamus A D in
44b parabola, & hyperbola perpendicularem ſuper axim B D, ſecantem eum in D,
atque G F H in I; cumque in parabola diameter F G I ſit parallela axi B D,
erit angulus A I G rectus æqualis interno, & oppoſito ad eaſdem partes, angu-
lo D; in hyperbola vero cum triangulum H D I ſit rectangulum in D, erit ex-
ternus A I G obtuſus, eſtque in triangulo G I A angulus externus A G F maior
interno, & oppoſito A I G, recto in parabola, & obtuſo in hyperbola; erit quo-
que angulus F G A obtuſus in parabola, & hyperbola.
Et angulus E G H, & c. Zuia F H eſt diameter ſecans bifariam E A in
55c6630. ex 2.
Com. G; ergo triangula E G H, & A G H habent àuo latera ægualia E G, A G, &
7711. huius. G H, commune; eſtque H E, vertici B axis maioris ellipſis propinquior, maior
remotiore H A; ergo angulus E G H maior erit angulo A G H; eſtque angulus
A G F æqualis E G H maiori, & E G F æqualis minori A G H; igitur angulus
A G F maior eſt angulo E G F, & latera circa inæquales angulos ſunt æqualia
ſingula ſingulis, ergo tangens A F maior eſt, quàm E F.
11072Apollonij Pergæi
Patet ex hoc, quod ſi producantur ex duo-
11d91[Figure 91] bus punctis contactus in ellipſi perpendiculares
E M, A L; & fuerit E M minor, exempli gra-
tia, tunc tangens educta ab eius extremitate,
quæ eſt in ſectione, minor quoque eſt, & c. Si
enim ex punctis E, A contactuum in ellipſi ducan-
tur ad axim minorem K C perpendiculares E M,
& A L ſecantes eum in M, & L, fueritque E M
minor, quàm A L, tunc quidem punctum E magis
recedit à vertice B axis maioris, quàm punctum
A; & propterea, ex præmiſſa 70. huius libri, erit
tangens E F minor, quàm A F. Expungo deter-
minationem ab aliquo incaute additam (quæ eſt in
ſectione) manifeſtum enim eſt ducinon poſſe contin-
gentem ellipſim à perpendicularis termino M in axi minori poſito, ſed à termi-
no E in ſectionis peripheria conſtituto.
SECTIO DVODECIMA
Continens XXIX. XXX. XXXI.
Propoſ. Appollonij.
Q Vælibet linea recta A E D tangens fectionem aliquam A
F B in A extremitate lineæ breuiſſimæ A C eſt perpeudi-
cularis ſuper illam, nẽpe D A C eſt angulus rectus.
Et ſi fuerit perpendicularis ſuper illam vtique tanget ſectio-
nem.
Alioquin producatur perpendicu-
22a92[Figure 92] laris C E ſuper A D, erit A C maior,
quàm E C, ergo maior eſt, quàm F
C; ſed eſt minor, cũ ſit minor, quàm
C F, quod eſt abſurdum. Igitur an-
gulus D A C, eſt rectus, quod erat
oſtendendum.
Si verò fuerit D A C rectus, erit
33b A D tangens, alioquin ſit tangens A
G; ergo C A G erit rectus, ſed erat
C A D rectus, quod eſt abſurdum;
ergo A D eſt tangens, & hoc erat
probandum.
11173Conicor. Lib. V.
Notæ in Propoſit. XXIX. XXX.
& XXXI.
A Lioquin producatur perpendicularis C E, & c. Exiſtente C A lineæ
11a breuiſsima, & A D tangente, ſi C A non eſt perpendicularis ad tangen-
tem ducatur ex origine C recta C E perpendicularis ad tangentem A D, ſecans
eam in E, & ſectionem in F, erit in triangulo A C E angulus C A E acutus,
& minor angulo recto E, & propterea C A ſubtendens maiorem angulum re-
ctum, maior erit quàm C E, quæ acutum ſubtendit: cumque punctum E tan-
gentis cadat extra ſectionem, erit C F minor, quàm C E; ideoque C A multo
maior eſt, quàm C F, quapropter C A non erit breuiſsima, quod eſt contra,
hypotheſin.
Si vero fuerit D A C rectus, & c. Quia C A ſupponitur breuiſsima,
22b3333. 34.
lib. 2.& angulus D A C rectus, erit A D tangens; nam ſi hoc verum non eſt,
ducatur ex puncto A recta linea A G, contingens ſectionem in
A; ſecabit vtique tangens A G ipſam D A, & erit an-
gulus C A G rectus nimirum contentus à breuiſsima
C A, & tangente A G, ex proxime demon-
ſtrata propoſitione; ergo duo anguli recti
C A D, & C A G æquales ſunt
inter ſe, pars, & totum, quod
eſt abſurdum.
93[Figure 93]
11274Apollonij Pergæi
SECTIO DECIMATERTIA
Continens Propoſ. LXIV. LXV. LXVI.
LXVII. & LXXII. Apollonij.
PROPOSITIO LXIV. LXV.
S I ramorum ſecantium D C, D B, D A eductorum ex con-
curſu D ad fectionem C A non fuerint duo breuiſecantes,
vtique minimus eorum eſt, ramus terminatus D A, qui ambit
cum axe A E angulum acutum; nempe D A E, & reliquorum
propinquior illi minor eſt remotiore, ſcilicet D B maior, eſt
quàm D A, & D C quàm D B.
Si vero inter illos fuerint duo breuiſecantes tunc vicinior
vertici ſectionis eſt maximus ramorum, & maiori proximior,
eſt maior, & minori propinquior eſt minor.
94[Figure 94]
Producamus perpendicularem D E ſuper axim E A, & reperiatur Tru-
11a tina F. Et primo loco nullus ramus ſit breuiſecans, iam ſi D B, non eſt
maior, quàm D A, ſit æqualis illi, & ducamus duas
11375Conicor. Lib. V. A G, A H ſuper E A, & D A. Et quia A G tangit ſectionem, cadet
A H intra ſectionem, & ducamus rectam B I tangentem ſectionem in
11b2233. 34.
lib. 1. B. Quoniam ex D non educitur ad ſectionem A C vllus breuiſecans,
erit E A non maior dimidio erecti (49. 50. ex 5.) aut erit D E maior
quàm F (52. ex 5.) Iis poſitis vtique linea breuiſſima ex B educta abſcin-
dit cum A ex axi lineam maiorem, quàm A K (49. 50. 51. 52. ex 5.)
verùm linea breuiſſima continet cum tangente B I angulum rectum (29.
33c 30. ex 5.) igitur D B I eſt acutus, quare ſi centro D, interuallo D B cir-
culus deſcribatur, tunc B I cadit intra circulum, & A H cadit extra id
44d ipſum, quia eſt perpendicularis ad D A; igitur circulus ſecat coniſectio-
nem; ſecet eam in L, & iungamus L D, ducamuſque L G ſectionem,
5533. 34.
lib, 1. tangentem. Pater (vt dictũ eſt) quod D L G ſit acutus; ergo L G cadit
66e intra circulum B L A, ſed cadit extra, quod eſt abſurdum; ergo B D
non eſt æqualis ipſi A D. Neque minor illo eſſe poteſt; quia ſi ſecetur
D M maior, quàm D B, & minor, quàm D A, & centro D, interuallo
D M, circulus M L N deſcribatur, tunc D N, nempe D M maior eſt,
quàm D B, & propterea circulus N L M ſecat coniſectionem. Subinde,
77f patebit (quemadmodũ demoſtrauimus) quod D B non ſit minor, quàm
D A; igitur D B maior eſt, quàm D A.
Poſtea dico, quod D C maior eſt, quàm D B; quia demonſtrauimus,
88g angulũ D B O eſſe obtuſum, & patet, quod D C P eſt acutus, & proce-
dendo trito iam itinere demonſtrabimus, quod Q O neceſſe eſt, vt cadat
intra circulum C Q B. Et quod ſi fuerit D C minor, quàm D B, aut æ-
qualis, neceſſe eſt, vt Q O cadat intra circulum C Q B; ſed cecidit ex-
tra, quod eſt abſurdum; igitur D C maior eſt, quàm D B, & D B ma-
ior, quàm D A, quod erat oſtendendum.
PROPOSITIO LXVI.
IN ſectione elliptica A B C,
95[Figure 95] cuius axis maior A C eius
centrum D, & D B dimidium
recti, duci nequeat ex E ad
quadrantem A B breuiſecans,
& producatur perpendicularis
E F; Dico punctum F cadere
inter D A.
Quia ſi caderet inter C, D du-
99a ci poſſet ex E ad ſectionem A B
1010b aliqua breuiſecans (56. ex 5.) quod eſt contra ſuppoſitionem. Deinde
patet, quemadmodum demonſtrauimus in parabola, & hyperbola, quod
1111pr. 64. 65.
huius. E A minima ſit linearum, & ramorum ad ſectionem B A cadentium, &
propinquior illi, minor ſit remotiore, & hoc erat propoſitum.
11476Apollonij Pergæi
PROPOSITIO LXVII.
P Oſtea repetamus figuras, paraboles, & hyperboles, &
11a quoquot ſunt illius ſigna, & ſupponamus quod ipſius D B
portio B K, ſit tantummodo linea breuiſſima; Dico, quod D A
quoque minima eſt linearum egredientium ex D ad ſectionem
22b A C, & illi propinquiores ſunt minores remotioribus.
Quia educitur ex D vnus tantum
33c96[Figure 96] breuiſecans erit menſura E A maior
dimidio erecti, & D E æqualis F
Trutinæ (51. 52. ex 5.) vnde ſequi-
tur, quod lineæ breuiſſimæ eductæ
ab extremitatibus reliquorum ramo-
rum abſcindunt cum A ab axi line-
as maiores, quàm ſecant illi rami.
Ducamus prius ad ſectionem B A
ramum D G, inde conſtat D G ma-
44d iorem eſſe, quàm D A (64. 65. ex
5.) Dico iam, quod D B maior eſt
illa, alioquin eſſet æqualis, vel mi-
nor illa, & producamus D H ad ſectionem B G; ergo D H maior eſt,
quàm D G, quia remotior eſt ab D A (64. 65. ex 5.) quare maior eſt,
quàm D B, & ex illo ſecetur D I maior, quàm D B, & minor, quàm,
D H, & centro D interuallo D I deſcriptus circulus ſecabit ſectionem,
B G, ſecet eam in M, & iungamus D M; ergo D M, nempe D I, quæ
55e conceſſa fuit maior, quàm D B eſt etiam maior, quàm D H, propterea
quod eſt remotior ab D A, quàm D H (64. ex 5.) igitur D I maior eſt
quàm D H, quod eſt abſurdum; quare D B maior eſt, quàm D H.
Patet etiam, quod D B minor ſit, quàm D C, alioquin eſſet vel illi
66f æqualis, aut maior, & ducamus D N ad ſectionem C B; ergo D N mi-
nor eſt, quàm D C, eò quod proximior eſt D A (64. ex 5.) quare mi-
nor eſt, quàm D B, & fecetur D O ex D B maior, quàm D N, & mi-
nor quàm D B, & centro D, interuallo D O circulus deſcriptus ſecabit
77g ſectionem exempli gratia, in Q, & iungamus D Q, igitur D Q minor eſt
quàm D N, ſed eſt æqualis D O, quæ ſuppoſita fuit maior, quàm D N,
ergo D Q maior eſt, quàm D N; verum eſt minor illo, quod eſt abſur-
dum; igitur D C non eſt minor D B, neque æqualis; quare maior illa.
eſt. Atque ſic patet, quod D B minor ſit omnibus lineis egredientibus
ex D ad ſectionem B C, & illi proximiores ex illa parte, minores ſunt
remotioribus. Quapropter manifeſtum eſt, quod D A ſit minimus omni-
um ramorum egredientium ex D ad ſectionem A B C, & reliqui proxi-
miores illi, minores ſunt remotioribus, quod erat oſtendendum.
11577Conicor. Lib. V.
PROPOSITIO LXXII.
SI eductæ fuerint ex D duæ
97[Figure 97] breuiſecantes D C, D B,
quorum ſegmenta G C, B K
ſint breuiſſima, & D B propin-
quior ſit vertici ſectionis; Di-
co, quod D B maximus eſt ra-
morum egredientium ad ſectio-
11a nem A B C, & minimus eorũ
D C, & ramorum egredientiũ
ad ſectionem A C, qui D B
propinquiores maiores ſunt
remotioribus, & propinquiores
D C (ex ramis egredientibus ad ſectionem in ea parte) mino-
res ſunt remotioribus.
Sit F Trutina, & quia iam ducti ſunt ex D duo breuiſecantes, ideo
E A excedit dimidium erecti, & D E minor eſt, quàm F (51. 52. ex 5.)
his poſitis, vtique lineæ breuiſſimæ egredientes ab extremitatibus ramo-
rum qui ſunt in ſectione B C abſcindunt ab axi EA minores lineas, quàm
abſcindunt rami (51. 52. ex 5.) & qui ducuntur ab extremitatibus egre-
dientium ad reliquas ſectiones abſcindunt lineas maiores. Educamus ita-
que ramos D H, D I ad ſectionem B C, & ducamus B L, L H M, & I
M tangentes ſectionem in punctis B, H, I; quia B K eſt breuiſsima erit
2229. 30.
huius. I. B D angulus rectus, & quia breuiſſima egrediens ex H abſcindit cum
A ab axi E A lineam minorem, quàm ſecat D H erit L H D obtuſus, &
33Ex 29. 30.
huius. iungamus D L; igitur duo quadrata D H, H L minora ſunt, quàm qua-
dratum D L, quod eſt æquale duobus quadratis L B, D B; verum L B
minor eſt, quàm H L (68. ex 5.) ergo D B maior eſt, quàm D H. atq;
44Ibidem. ſic patet, quod D H maior ſit, quàm D I, quia D H M eſt acutus, & D
55b I M obtuſus: & D I maior ſit, quàm D C. Quare B D maximus eſt ra-
morum egredientium ad B C, & iam demonſtratum eſt, quod ſit maxi-
66c mus ramorum egredientium ad B A (64. 65. ex 5.)
Ponamus poſtea N extra ſectionem B C, & iungamus D N, itaque,
linea breuiſſima egrediens ex N abſcindit ab axi E A maiorem lineam,
7751. 52.
huius.88d quàm ſecat D N; ergo tangens in N continet cum D N angulum acu-
99Ex 29. 30.
huius. tum: poſtea oſtendetur, quemadmodum hic dictum eſt, quod D C mi-
nimus ſit reliquorum ramorum egredientium ad reliquas ſectiones, & ſit
minimus ramorum egredientium ad A C, quare manifeſtum eſt, quod
D B ſit maximus ramorum, & D C minimus, & quod maioribus pro-
pinquiores ſunt maiores remotioribus, & minoribus propinquiores, mi-
nores ſunt remotioribus, quod erat oſtendendum.
11678Apollonij Pergæi
MONITVM.
ANtequam huius Decimætertiæ Sectionis explicationes, atque
emendationes aggrediamur, vt Notæ breuiores, clarioreſque
reddentatur, & teſtus Arabici menda facilius corrigi poſſent, operæ
pretium duximus (amice lector) Lemmata ſequentia præmittere.
LEMMA IX.
Si ad coniſectionem, atque ad vnum quadrantem ellipſis A B C à
concurſu D nullus ramus duci poſsit, qui ſit breuiſecans; Dico, quod
quilibet ſecans ramus D B cum tangente H B G per eius terminum B
ducta efficit angulum D B H ad partes verticis A acutum, & D B
G, qui deinceps eſt, obtuſum.
Quoniam nullus ramus ex concurſu
98[Figure 98] D ad ſectionem A C ductus eſt breui-
ſecans, erit (ex conuerſa propoſitionis
49. 50. 51. 52. huius) menſura A E
aut non maior ſemiſſe lateris recti, aut
perpendicularis D E maior Trutina,
quæ ſit F, & ideo quilibet ramus ſe-
cans D B cadit ſupra breuiſsimam ex
puncto B ad axim ductam, eſt verò
breuiſsima ex puncto B ad axim ducta
perpendicularis ad G B H tangentem
1129. 30.
huius. ſectionem in B; ergo angulus D B H,
verticem A reſpiciens eſt acutus, & qui deinceps eſt D B G erit obtuſus.
LEMMA X.
Iiſdem poſitis, ſi à concurſu D vnicus tantum ramus D B breuiſe-
cans ad ſectionem A B duci poteſt; Dico, quod quilibet alius ramus
ſecans D 1 ſupra, vel infra breuiſecantem D B poſitus efficit cum recta
L I H tangente ſectionem in I angulum D I L, verticem reſpicien-
tem, acutum, & D I H, qui deinceps eſt, obtuſum.
Nam ex conuerſa propoſitione 51. & 52. huius perpendicularis D E æqualis
crit Trutinæ F, & ideo quilibet ramus D I poſitus ſupra, velinſra
11779Conicor. Lib. V. (qui eſt D B) cadit ſupra breuiſsimam ex puncto I ad axim ductam, quæ per-
1151. 52.
huius. pendicularis eſt ad tangentem L I H, & propterea angulus D I L, verticem
2229. 30.
huius. A reſpiciens erit acutus, & conſequens angulus D I H obtuſus.
LEMMA XI.
Iiſdem poſitis, ſi à concurſu D duo breuiſecantes D C, D B ad ſe-
ctionem A B duci poſſunt; Dico, quod quilibet ramus ſecans D I poſi-
tus ſupra breuiſecantem D B vertici proximiorem, vel infra infimum
breuiſecantem D C, efficit cum recta L I H tangente ſectionem in I an-
gulum D I L, reſpicientem verticem A, acutum, & conſequentem D
I H obtuſum, & quilibet ramus D O inter breuiſecantes poſitus efficit
cum recta G O N ſectionem tangente in O angulum D O G verticem
reſpicientem obtuſum, conſequentem vero D O N acutum.
Quia (ex conuerſa propoſitione 51. & 52. huius) perpendicularis D E mi-
3351. 52.
huius. nor eſſe debet Trutina F, & propterea quilibet ramus D I ſupra breuiſecantem
D B, vel infra breuiſecãtem D C cadit ſupra breuiſsimam ex puncto I ad axim
4429. 30.
huius. ductam, cum qua contingens L I angulum rectum conſtituit; ergo angulus D I
L verticem reſpiciens, eſt acutus, & conſequens D I H obtuſus; Similiter qui-
libet ramus D O inter breuiſecantes poſitus cadit infra breuiſsimam ex puncto
O ad axim ductam, & cum illa ſectionem contingens G O efſicit angulos rectos,
55Ibidem. igitur angulus D O G verticem reſpiciens, eſt obtuſus, & conſequens D O N
acutus.
Notæ in Propoſ. LXIV.
& LXV.
ANtea Apollonius docuit qui nam rami ab origine ad coniſectionem ducti
eſſent minimi, & quo ordine reliqui rami ſe ſe excederent, modo agit
de ramis axim ſecantibus à concurſu ductis, & quærit qui minimus, & qui
maximus ſit, & quo ordine diſponantur.
Producamus perpendicularem D E ſuper axim, & c. Si nullus ramus
66a breuiſecans à concurſu D ad ſectionem A C duci poteſt; Dico, quod ramus ter-
minatus D A eſt minimus omnium ramorum ſecantium D B, D C, & propin-
quiores vertici A minores ſunt remotioribus; ducatur D E perpendicularis ad
axim eum ſecans in E, & reperiatur Trutina F. Et ſiquidem D A non eſt
minor quolibet alio ramo ſecante D B infra ipſum poſito erit æqualis, aut maior
illo; ſitque prius D A æqualis D B, ſi fieri poteſt, & ex puncto A verticis du-
catur A G perpendicularis ad axim A E, quæ continget ſectionem in A, pari-
7717. lib. 1.
32. pr. terque ducatur recta A H perpendicularis ad ramum A D inclinatum ad axim;
11880Apollonij Pergæi99[Figure 99]& quia A H cadit infra A G ad partes axis cum D A, ad quam illa perpen-
dicularis eſt, extendatur vltra axim A E, nec poſsit inter tangentem A G, &
ſectionem conicam A B, aliqua recta linea intercipi; igitur A H cadit intra
coniſectionem, & angulus E A H eſt acutus.
Quoniam ex D non educitur ad ſectionem A C vllus breuiſecans, & c.
11b Sequitur quidem ex hac hypotheſi, quod menſura E A non ſit maior ſemierecto
22Ex 49. 50.
huius. aut ſi maior eſt, ſit quoque perpendicularis D E maior Trutina F, ex conuerſa
propoſitione 51. 52. huius per deductionem ad inconueniens.
Quare ſi centro D interuallo D B, & c. Circulus enim B I L H A ra-
33c dio D B deſcriptus tranſibit per verticem A cum radius D B poſitus ſit æqualis
D A, cumque angulus D B I ſit acutus, ex Lemmate nono, cadet neceſſario B
I intra circulum B I L.
Ig tur circulus ſecat coniſectionem, & c. Quia B I cadit extra coniſe-
44d ctionem, quàm tangit, & intra circulum B L A, vt dictum eſt, è contra re-
cta A H cadit intra eandem coniſectionem, & extra ipſum circulum, quem,
tangit, cum H A perpendicularis ſit ad circuli radium D A; igitur circulus B
I L A fertur extra coniſectionem ad partes B I, & intra eandem ad partes A
H; quare neceſſario coniſectionem ſecat.
Patet, vt dictum eſt, quod D L G ſit acutus, & c. Hoc enim ſequitur ex
55e nono Lemmate præmiſſo, reſpicit enim angulus D L G verticem A; & ideo eſt
acutus, & cadit neceſſario recta L G intra circulum B L A radio D L deſcri-
ptum ad partes L A; & portio circuli L H A cadit intra coniſectionem L A;
igitur recta L G cadit intra coniſectionem L A, ſed cadit extra eandem ſectio-
6635. 36.
lib. 1. nem, cum contingat eam in L, quod eſt abſurdum.
11981Conicor. Lib. V.
Deinde patebit, quemadmodum demonſtrauimus, & c. Quia D M fa-
11f cta eſt maior, quàm D B, & minor quàm D A, eſtque circuli radius D N
æqualis D M; ergo punctum M cadit intra coniſectionem, N vero extra ip-
ſam; & propterea circulus M L N ſectionem conicam ſecabit alicubi, vt in L,
& portio circuli M L intra coniſectionem A L incidet: rurſus ducatur radius
D L, & L G coniſectionem tangens in L erit, vt priùs angulus D L G acu-
2233. 34.
lib. 1. tus; & ideo L G cadit intra circulum L M, & propterea intra coniſectionem
A L, ſed eadem L G cadit extra ipſam, quia eam contingit in L, quod eſt ab-
ſurdum; quare ramus D A non eſt maior, quàm D B; ſed priùs neque illi
æqualis erat; igitur ramus terminatus D A minor eſt quolibet ramo ſecante
D B infra ipſum poſito, & propterea minimus erit omnium ſecantium.
Poſtea dico, quod D C maior eſt, quàm D B, & c. Demonſtratio ſe-
33g cundæ partis huius propoſitionis, quàm Apollonius innuit (quia conſtructione,
ac progreſſu ſimili ſuperiori perſici poteſt) hac ratione reſtituitur. Demonſtran-
dum eſt quemlibet ramum D B vertici A proximiorem eße minorem quolibet
ramo D C remotiore. Ducantur recta C P contingens ſectionem in C, & O B
tangens ſectionem in B, & recta B R perpendicularis ad ramum D B; & ſi
quidem ramus D C non concedatur maior, quàm D B, ſit primo ei æqualis, ſi
fieri poteſt, & centro D interuallo D C deſcribatur circulus C P R, qui tran-
ſibit per punctum B, ob æqualitatem radiorum D C, D B; & quia (ex Lem-
mate nono) angulus D C P verticem reſpiciens, eſt acutus, recta C P cadet
intra circulum C P R; ſed cadit extra coniſectionem, cum ſit contingens; igi-
tur portio circularis peripheriæ C P ducitur extra coniſectionem C Q B: rur-
ſus, quia angulus D B O eſt obtuſus (ex nono Lemmate, cum verticem A non reſpi-
ciat) ergo R B perpendicularis ad D B cadit intra coniſectionẽ, cum B O poſita ſit eã
contingens: cadit verò eadem B R extra circulum B R Q, cum ſit perpendicu-
laris ad circuli radium D B; igitur circuli portio B R intra coniſectionem ca-
det: ſed priùs eiuſdem circuli portio C P extra eandem ſectionem ducebatur;
igitur idem circulus ſecat coniſectionem alicubi, vt in Q, ducaturque denuo
ramus D Q, & Q O contingens ſectionem in Q; Vnde (ex nono Lemmate)
4433. 34.
lib. 1. angulus D Q O erit acutus; & propterea recta Q O intra circuli portionem;
Q R conſtituta intra coniſectionem cadet, quod eſt abſurdum; recta enim Q
O extra coniſectionem Q A cadit, quàm contingit in Q; non ergo ramus D
C æqualis eſt ipſi D B. Sit ſecundò D C minor, quàm D B (ſi fieri poteſt) ſe-
ceturque D T minor quàm D B, ſed maior quàm D C; & centro D interuallo
D T deſcribatur circulus T Q S; is quidem ad partes B cadet intra, ad par-
tes vero C extra coniſectionem; & propterea eam alicubi ſecabit, vt in Q;
& ducto ramo D Q, & Q O contingente ſectionem in Q, erit angulus D Q
55Lem. 9. O acutus, & ideo recta Q O cadet intra circulum T Q, & propterea intra
coniſectionem, quod eſt abſurdum; Q O enim cadit extra ſectionem Q A,
quàm contingit in Q; non ergo ramus D C minor eſt, quàm D B, ſed neque
æqualis priùs oſtenſus fuit; igitur quilibet ramus D B vertici A propinquior
minor eſt quolibet ramo remotiore D C, quod erat oſtendendum.
12082Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſ. LXVI.
QVia ſi caderet inter C, D ducipoſ-
100[Figure 100]11a ſet, & c. Quotieſcumq; enim perpen-
dicularis E F cadit ſuper centrũ
D, vel ſecat ſemiaxim D C inter D, & C, tũc
ex concurſu E vnicus ramus breuiſecans du-
ci poteſt ad ſectionem B A, qui nimirum ca-
2245. 56.
huius. dit inter verticem remotiorem A, & axim
minorem D B: ſed ex hypotheſi nullus ra-
mus ex concurſu E ad quadrantem ellipſis A
B duci poteſt, qui ſit breuiſecans; igitur per-
pendicularis E F ſecat ſemiaxim A D in
puncto F poſito inter A, & D.
Deinde patet, quemadmodum demon-
ſtrauimus in vtraque hyperbola, & c. Permuto particulam [vtraque] vt
manifeſtè erroneam, legi enim debet in parabola, & hyperbola. Quod vero ra-
mus terminatus E A minimus ſit omnium ramorum ſecantium manifeſtum eſt
ex demonſtratione propoſitionis 64. 65. , quæ compræhendit etiam ellipſim,
quando menſura F A minor eſt ſemiaxi A D, vt ex propoſitione 52. patet. Et ſi-
militer ramorũ ſecantium ex concurſu E ad ſectionem A B ductorum propinquio-
res vertici A minores ſunt remotioribus ex eadem demonſtratione 64. 65. huius.
Ex demonſtratione præmiſſa propoſitionum 64. & 65.
deduci poteſt conſectarium, à quo notæ ſubſe-
quentes breuiores reddantur.
COROLLARIVM PROPOSIT.
LXIV. & LXV.
SI in aliqua peripheria cuiuslibet coniſectio-
101[Figure 101] nis omnes rami ſecantes, qui à concurſu
duci poſſunt, cum tangentibus ab eorum ter-
minis ductis conſtituunt angulos, qui verti-
cem reſpiciunt, acutos; rami proximiores ver-
tici ſectionis minores erunt remotioribus.
Ex eo enim, quod ïn propoſitionibus 64. &
65. , omnes rami D A, D L, D B, D Q, D
C, & reliqui omnes, qui duci poſſunt ex con-
curſu D ad ſectionem A B C efficiunt cum
tangentibus ſectionẽ à terminis A, L, B, Q, C
angulos, verticem A reſpicientes, acutos,
12183Conicor. Lib. V. ſunt D A V, D L G, D B I, D Q O, D C P, oſtenſus eſt ramus D A minor
quàm D B, & D B propinquior vertici A, minor ramo D C remotiore.
Notæ in Propoſ. LXVII.
POſtea repetamus figuram vtrã-
102[Figure 102]11a que hyperboles, & c. Lego;
Repetamus figuras paraboles, & hy-
perboles, & ſupponantur denuo eædem
lineæ æductæ ex concurſu D ad ſectio-
nem; & perpendicularis D E, atque
Trutina F, & omnium ramorum ſe-
cantium vnicus tantummodo D B ſit
breuiſecans.
Et illi propinquiores ſint maio-
22b res remotioribus, & c. Sed mendo-
sè; legi debet: Et illi propinquiores
ſint minores remotioribus.
Quia educitur ex D vnus tantum breuiſecans, & c. Legi debet. Quia
33Conuerſ.
51. 52.
huius.44c educitur ex concurſu D vnus tantum breuiſecans, erit menſura E A maior di-
midio erecti, & D E perpendicularis ad axim æqualis erit Trutinæ F.
Inde conſtat D G maiorem eſſe, quàm D A, & c. Quia ex concurſu D
55d ad ſectionem A C vnicus ramus D B breuiſecans ſupponitur igitur omnes rami
cadentes inter A, & B præter infimum D B conſtituunt cum tangentibus ſectio-
nem, ab eorum terminis ductis, angulos reſpicientes verticem A acutos; & pro-
66Lem. 10. pterea ramus terminatus D A minor eſt quolibet ramo D G infra ipſum, & ſu-
pra ramum D B poſito; atque ramus D G minor eſt quolibet alio à vertice re-
77Coro 11.
64. 65.
huius. motiore ducto ex D ad peripheriam A B. Dico iam, quod ramus D B maior
eſt quolibet ramo D G, poſito infra verticem A, & ſupra breuiſecantem D B;
Si enim hoc verum non eſt, erit D B æqualis, aut minor, quàm D G, & tunc
ducto quolibet ramo D H ad ſectionem G B infra ramum D G, erit D H re-
88Ibidem. motior à vertice A maior propinquiore D G, & propterea ramus D B adhuc
minor erit ramo D H.
Ergo D M nempe D I, & c. Quia D M, vt remotior à vertice A, eſt ma-
99e ior, quàm propinquior D H eſt vero D L, atque D I æqualis D M cum ſint
1010Ibidem. radij eiuſdem circuli; ergo D I portio maior eſt, quàm totum D H, quod eſt
abſurdum; quare D B maior eſt quolibet ramo D G infra verticem A, & ſu-
pra ramum D B poſito; & propterea D B multo maior erit, quàm D A.
Ergo D N minor eſt, quàm D C, & c. Dubitare quis poſſet, an ramus
1111f D N, quia propinquior eſt vertici A ſit minor remotiore ramo D C, vt in pro-
poſitione 64. & 65. verificabatur; & ratio eſt, quia hypotheſes ſunt diuerſæ,
nam ibi nullus ramus breuiſecans à concurſu D ad ſectionem A C duci poſſe
ſupponebatur, in hac vero propoſitione 67. ponitur vnicus breuiſecans D B, at
ſcrupulus omnis tolletur, ſi dicatur, non quidem ex propoſitionibus 64. & 65.
ſed ex demonſtratione ibi allata, ſeu ex Corollario in fine notarum
12284Apollonij Pergæi propoſitum deduci, nam duo rami D
103[Figure 103] C, & D N poſiti infra ſingularem
breuiſecantem D B efficiunt cum re-
11I em. 10. ctis tangentibus ſectionẽ angulos ver-
ticem reſpicientes acutos; igitur vt
in ſecunda parte propoſitionum 64.
& 65. demonſtratum eſt, eritramus
D N vertici propinquior minor re-
motiore ramo D C.
Et centro D, interuallo D O
circulus deſcriptus ſecabit ſectio-
nem exempli gratia in Q (56. ex
22g 5.) & iungamus, & c. Videtur om-
nino expungenda citatio in textu appoſita; (56. ex 5.) nam circulum O Q ma-
nifeſtum eſt, ſecare coniſectionem alicubi, vt in Q, cum radius D O poſitus
ſit minor D B, & maior D N; poſtea, quia D Q propinquior eſt vertici A,
quàm D N, & omnes rami à D ad peripheriam ſectionis N Q ducti, effici-
33Lem. 10.
Coroll.
64. 65.
huius. unt cum ſuis tangentibus angulos, verticem reſpicientes, acutos; igitur D Q mi-
nor eſt, quàm D N, quod eſt abſurdum; poſita enim fuit D O, ſeu ei æqualis
D Q, & D P maior, quàm D N.
COROLLARIVM PROPOSIT.
LXVII.
A Ngulorum à ramis ſecantibus, qui à cõ-
104[Figure 104] curſu ad coniſectionem duci poſſunt,
cum tangentibus ab eorum terminis ductis cõ-
præhenſorum, ſi vnus tantnm rectus fuerit,
reliqui omnes verticem reſpicientes acuti; ra-
mi proximiores vertici ſectionis, minores erũt
remotioribus.
Ex eo enim, quod in propoſitione 67. om-
nes rami D A, D L, D C, & reliqui om-
nes, qui duci poſſunt ex concurſu D ad ſectio-
nem A B C, cum tangentibus ſectionem à ter-
minis A, L, C compræhenderunt angulos ver-
ticem reſpicientes D A V, D L G, D C P
acutos, & tantummodo vnus D B I rectus fuit
oſtenſus eſt ramus D A minor, quàm D L, & D L vertici A propinquior, mi-
nor, quàm D B, atq; D B minor quolibet remotiore D C.
12385Conicor. Lib. V.
Notæ in Propoſit. LXXII.
ET minimus eorum D C, & c.
105[Figure 105] Textus videtur mendoſus; nam
11a vt inferius oſtendetur, ramus breuiſe-
cans D C à vertice remotior, non ſem-
per minimus eſt omnium ramorum ca-
dentium ex concurſu D ad ſectionem
A B C; itaque legendum puto; D C
eſt minimus ramorum cadentium ad
peripheriam ſectionis B C N; quod
manifeſtè indicatur ex determinatione
in fine propoſitionis appoſita; inquit
enim: propinquiores D C (ex ramis
egredientibus ad ſectionem in ea par-
te) minores ſunt remotioribus, vbi
conijcitur, Apollonium noluiſſe pronũ-
ciare, ramum D C minimum eße omnium, qui in ſectione A C N duci poſſunt,
neque propinquiores D C minores eſſe quolibet remotiori ad partes verticis A
conſtituto, ſed tantummodo eorum, qui in ſectione C B, & in inferiori C N
ducuntur minimum eſſe D C, & ei propinquiores minores eſſe remotioribus.
Atque ſic patet, quod D H maior ſit, quàm D I, & c. Ex vndecimo
22b enim Lemmate angulus D H M eſt acutus, & D I M obtuſus, & coniuncta
D M erunt duo quadrata D H, H M maiora quadrato D M, quæ ſubtendit
angulum acutum; quadratum verò D M maius eſt duobus quadratis D I, I M,
ergo multo magis duo quadrata D H, H M ſimul ſumpta maiora ſunt duobus
quadratis D I, I M ſimul ſumptis, & auferatur ex aggregato maiori quadra-
tum minus H M, & ex minori tollatur quadratum maius I M (cum contin-
gens H M propinquior vertici A minor ſit remotiore M I) remanet quadratũ
3368. 69.
huius. D H maius quadrato D I, & propterea ramus D H maior erit ramo D I, &
ſimili modo ramus D I maior oſtendetur ramo D C.
Et iam demonſtratũ eſt, & c. Scilicet: quia omnesrami ex D ad peripheriã
44c55Lem. 11.
Coroll.
64. 65.
huius. A B ducti efficiunt cum ſuis tangentibus angulos verticem reſpicientes acutos;
& propterea ramus D B maior erit quolibet alio ramo inter B, & A ducto;
ideoque D B erit maximus cadentium in peripheria A B.
Poſtea oſtendetur, quemadmodum hìc dictum eſt, & c. Textus eſt val-
66d de corruptus, ſic reſtituendum puto; Oſtendetur, quemadmodum ſupra dictum
eſt, (scilicet in ſecunda parte propoſ. 67.) quod D C minimus ſit omnium ra-
morum ad ſectionem infimam C N cadentium, & vt hic oſtenſum eſt, ſit mi-
nimus ramorum egredientium ad ſectionem B C; quare patet, quod D B ſit
maximus ramorum cadentium ad ſectionem A C, & D C ſit minimus caden-
tium ad ſectionem B C N, & quod propinquiores maioribus, ſunt maiores re-
motioribus in peripheria ſectionis A C, & propinquiores minoribus, ſunt mi-
nores remotioribus in peripheria ſectionis B C N, & hoc erat oſtendendum.
12486Apollonij Pergæi
Quod autem infimus ramus breuiſecans D C non ſit neceſſario minimus om-
nium ramorum cadentium ad peripheriam ſectionis A B, modò oſtendetur.
In coniſectione duos ramos hreuiſecantes, ducere, quorum infimus
11PROB.6.
Addit. maior ſit ramo ſecante poſito in peripheria à vertice, & ſuprema bre-
uiſecante compræhenſa: oportet autem in ellipſi, vt rami ſecantes ad
vnum eius quadrantem ducantur à concurſu, inter axim minorem, &
verticem collocato.
In coniſectione A B C, cuius ver-
106[Figure 106] tex A axis A D, & in hyperbola,
& ellipſi centrum E ducatur quæli-
228. 9. 10.
huius. bet breuiſsima F B: poſtea ſecetur
F G ex axi, ita vt punctum G non
cadat ſupra verticem A, ſeceturque
F H non maior, quam F G, ducan-
turque rectæ H C, G G parallelæ ipſi
F B occurrentes ſectioni in C, &
G, coniungaturque recta C G ſecans
F B in I: patet, C I maiorem non
eſſe, quàm I G; propterea quod G C,
G H à parallelis ſecantur proportio-
naliter; Deinde ex C ducatur alia
338. 9. 10.
26. 27. 28.
huius. breuiſsima C K, occurrens B F vl-
tra axim in L, iungaturque ramus
G L: oſtendendum eſt L C maiorem
eſſe, quàm L G. Secetur C G bifa-
riam in M, atque per M ducatur ſe-
ctionis diameter M N parallela axi
in parabola, & per centrum exſten-
ſa in reliquis ſectionibus, occurrens
ſectioni in N, ducaturque O N ſe-
ctionem contingens in N, iungantur-
4433. 34.
lib. 1. que L M, & L N, quæ ſecet G C in
P. Quoniam G I æqualis, aut ma-
ior eſt, quàm I C, cadet punctum
M bipartitæ diuiſionis totius C G,
vel in I, vel inter I, G, & in vtro-
que caſu punctum N cadet inter G,
& B (eoquod diameter M N paral-
lela axi in parabola, aut ex centro
E educta in reliquis ſectionibus effi-
cit angulum N M L ad partes ver-
ticis A) & ideo ramus L N cadens
ſupra duos breuiſecantes L C, L B
ad partes verticis efficit cum
12587Conicor. Lib. V. te O N angulum acutum L N O ver-
107[Figure 107]11Lem. 11. ticem A reſpicientem; eſtque G C or-
dinatim applicata ad diametrum N
225. lib. 2. M parallela tangenti verticali O N;
ergo angulus L P G externus æqua-
lis erit angulo L N O interno, & op-
poſito, & ad eaſdem partes conſtitu-
to; & ideo angulus G P L acutus
quoque erit, at in triangulo P M
L angulus internus L M P, & oppo-
ſitus minor eſt externo L P G acuto;
igitur angulus L M P acutus pariter
erit, & L M C obtuſus; ſuntq; intrian-
gulis L M G, & L M C circa an-
gulos inæquales, latera G M, M C
æqualia, & L M commune; ergo L
C maior eſt, quàm L G, quod erat
faciendum.
E contra fieri poteſt, vt infimus
breuiſecans ramus L C æqualis, aut
minor ſit ramo aliquo ſupra breuiſe-
cantem reliquum B L poſito. Nam L C minor eſt, quàm B L, & maior effici
poteſt ramo non vltra ſectionis verticem A collocato ex prima parte huius pro-
poſitionis, ſed rami à concurſu L educti cadentes inter puncta A, & B ſucceſ-
ſiuè augentur quo magis à vertice A recedunt; Ergo ramus L C æqualis,
aut minor erit aliquo ramo ab eodem concurſu L educto inter puncta
A, & B cadente; igitur manifeſtum eſt ramum breuiſecantem
C L infimum duorum breuiſecantium, non eſſe ſemper
minimum omnium ramorum cadentium ex concurſis
L ad peripheriam ſectionis A B C, ſed tan-
tummodo minorem eſſe eorum, qui inter
duo breuiſecantes B L, C L cadunt,
& reliquorum infra ramum
C L cadentium, atque
aliquorum in pe-
pheria
A N exiſtentium propè maximum L B;
quapropter exiſtimandum eſt, in-
curia alicuius verba illa non
ſine Apollonij iniuria
textui irrepſiſſe.
108[Figure 108]
12688Apollonij Pergæi
SECTIO DECIMAQVARTA
Continens Propoſ. LXXIII. LXXIV. LXXV.
LXXVI. & LXXVII.
PROPOSITIO LXXIII.
SI ex concurſu E non exiſtente ſuper rectum minorem elli-
11a pſis A B C ducatur ad ſectionem A B vnicus ramus vtrum-
que axim ſecans, cuius portio G I inter ſectionem, & axim
maiorem A C ſit breuiſſima, vel duo breuiſecantes; vtique ra-
morum ſecantium ex illo concurſu egredientium maximus erit
breuiſecans, qui ſectionis rectum ſecat, nempe E G, & illi
proximior maior eſt remotiore; minimus verò eorum eſt, qui
terminatur à vertice ſectionis proximiori concurſui, nempe E
C, & illi propinquiores minores ſunt remotioribus, nempe in-
ter C G. Si autem egrediantur ex illo tres breuiſecantes, &
duo illorum ſecuerint menſuram, & vnus ſecuerit rectum, vtique
qui rectum ſecat eſt maximus ramorum ſecantium: & ramorum
inter mediam breuiſecantem, & remotiorem verticem ſectionis
à concurſu cadentium, proximior illi, eſt maior remotiore, &
maximus duorum reliquorum breuiſecantium eſt ille, qui vertici
proximus eſt, & ramorum, inter proximiorem verticem ſectio-
nis, & intermedium breuiſecantem cadentium, vicinior illi, ma-
ior eſt remotiore.
109[Figure 109]
12789Conicor. Lib. V.
Erigamus itaque ſuper D perpendicularem D B occurrentem E G in,
11b L; ergo eſt dimidium recti, & E non eſt indirectum, quia non egredi-
tur ex E, niſi vnicus breuiſecans; inſuper lineæ breuiſſimæ egredien-
22c tes ab extremitatibus reliquorum ramorum abſcindunt ab axi A C cum
C, lineam maiorem, quàm ſecant rami illi. (51. 52. ex 5.) His po-
ſitis manifeſtum eſt, quod E C F eſt acutus; atque E C minima eſt linea-
rum egredientium ex E ad quadrantem E B, & illi propinquior, minor
eſt remotiore; modo demonſtrandum eſt, quod E K maior quoque eſt,
33d quàm E B, producamus itaque B M, M K tangentes, ergo M B E eſt
obtuſus, & M K E acutus (29. ex 5.) quia breuiſſima egrediens ex K
abſcindit cum A minorem lineam, quàm ſecat K E (57. ex 5.) eo quod
K cadit inter duas lineas L B, L G; & iungamus M E; ergo duo qua-
drata M B, B E minora ſunt, quàm quadratum M E, quare minora,
erunt duobus quadratis M K, K E, & M B maior eſt, quàm M K, ergo
4470. huius. B E minor eſt, quàm K E; & ſic demonſtratur, quod G E maior ſit,
quàm K E; Nam ſi producamus G N tangentem, tunc N G E eſt re-
ctus, quia G I eſt breuiſſima, & N K E obtuſus; ergo G E maior eſt,
5530. huius. quàm E K; itaque G E maximus eſt ramorum egredientium ex E ad ſe-
ctionem G C, & minimus eorum E C, atque propinquior E C minor
eſt remotiore.
Educamus ex E ad ſectionem A G, E A, E O, oſtendetur quod
66e E G maior ſit, quàm E O, & E O, quàm E A. Erigamus
itaque ad A C perpendicularem A P; ergo E A P eſt
obtuſus, & producamus P O Q tangentem; ergo
P O E eſt acutus, quia linea breuiſſima egre-
7757. huius. diens ex O ſecat cum A lineam maiorem;
ergo E O maior eſt, quàm E A: atq;
ſic patet, quod E G maior ſit,
quàm E O (29. ex 5.) quia
Q G E eſt rectus, &
Q O E obtuſus,
& G Q
maior, quàm O Q, ergo E G maximus eſt ramorum
egredientium ex E ad ſectionem A B C, &
minimus eorum E C, & propinquiores
minimo, remotioribus minores ſunt,
& propinquiores maximo, ma-
iores ſunt remotioribus;
quod erat oſtenden-
dum.
110[Figure 110]
12890Apollonij Pergæi
PROPOSITO LXXIV.
DEinde ſint E H, E G duo breuiſecantes, & E G ſecet
rectum B D. Dico, quod E G eſt maximus ramorum,
egredientium ex E ad ſectioncm A B C, & E C eſt minimus.
Producatur perpendicularis E F, quæ non cadet ſuper centrum; ſi e-
nim per centrum duceretur, duci poſſet ex E, aut vnicus breuiſecans
11Ex 45.
huius. tantum (44. ex 5.) aut tres (45. ex 5.) quod eſt contra hypotheſin; er-
22a go E F per centrum non tranſit, cadat ſuper C D; & quia ducuntur ex
E duo breuiſecantes, erit C F maior dimidio erecti, & E F æqualis Tru-
tinæ (52. ex 5.) patet itaquè, vti antea demonſtrauimus, quod E G
maximus ſit ramorũ, & E C minimus; atquè propinquior maximo, maior
eſt, & propinquior minimo, eſt minor.
111[Figure 111]
PROPOSITO LXXV.
POſtea educamus ex E tres breuiſecantes E G, E H, E I,
33a& ſecent E I, E H menſuram, & E G ſecet rectum in L.
Dico, quod E G eſt maximus ramorum egredientium ex E ad
ſectionem A B C, & ramorum inter A H cadentium propin-
quiores illi, maiores ſunt remotioribus, & E I eſt maximus ra-
morum egredientium ad ſectionem H C, & illi propinquiores
maiores ſunt remotioribus.
12991Conicor. Lib. V. 112[Figure 112]
Quoniam I K, H M ſunt duæ breuiſſimæ conſtat, quod E I maximus
11b ſit ramorum cadentium ad illam ſectionem (72. ex 5.) & propinquior
illi maior eſt remotiore: nec non; quia H M, G N ſunt duæ breuiſſimæ
22c3374. huius. conſtat, vt dictum eſt, quod G E ſit maximus ramorum cadentium vtrin-
que ad ſectionẽ A H. Dico etiam, E G maiorem eſſe, quàm E I; nam
44d ſi producatur I O parallela ipſi A C, & iungatur E O, ducanturque per-
5515, huius. pendiculares I P, O Q, G R, E F S, quia G N, I K ſunt breuiſſimæ er it
D P ad P K, quæ eſt, vt proportio figuræ, vt D R ad R N; ergo F P
ad P K minorem proportionem habet, quàm F R ad R N, & diuidendo
F K ad K P, nempe F E ad I P, minorem proportionem habet, quàm,
F N ad N R, nempe F E ad G R: ergo F E ad I P minorem proportio-
nem habet, quàm ad G R, & propterea G R minor eſt, quàm I P, quæ
eſt æqualis O Q, cuius punctum O remotior eſt à vertice, quàm G,
& ideo E G maior eſt, quàm E O. (74. ex 5.) Et quia O T æqualis
eſt T I erit O S maior quàm S I, & S E perpendicularis ad O I eſt com-
munis; igitur O E maior eſt, quàm E I; & oſtenſa eſt E G maior, quàm
O E; Ergo E G maior eſt, quàm E I, quod erat oſtendendum.
PROPOSITIO LXXVI.
SI ex concurſu E in recto E B
113[Figure 113]66a poſito ellipſis A B C nõ edu-
catur breuiſecans præter E B, qui
tranſeat per centrum; erit E B ma-
ximus ramorum ſecantium ex con-
curſu ad ſectionem egredientium.
13092Apollonij Pergæi
Si vero ex illo educatur alius bre-
114[Figure 114] uiſecans erit æqualis vni breuiſecan-
ti ex altera parte recti poſito, &
omnium reliquorum erit maximus.
11b
Quia breuiſſimæ egredientes ab ex-
tremitatibus reliquorum ramorum ab-
ſcindunt cum C, vel A lineas maiores,
quàm ſecent rami (illi 44. ex 5.) de-
monſtrabitur ductis tangentibus, per
extremitates illorum (quemadmodum,
antea oſtenſum eſt) quod E B ſit maximus ramorum egredientium ad
duos quadrantes C B, B A, & hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO LXXVII.
POſtea educatur alius breuiſe-
115[Figure 115]22a cans E F; Dico, quod eſt æ-
qualis vni breuiſecanti E G æque
remoto à recto D B, & eſt maxi-
mus reliquorum omnium.
Quia B D, F H ſunt duæ breuiſſimæ,
33b ergo rami egredientes ad ſectionem B
F abſcindunt cum A maiores lineas,
quàm ſecent breuiſſimæ, egredientes ab
eorum extremitatibus: idem dicendum eſt de ramis educti ad ſectionis
peripheriam B G, & rami educti ad peripherias C G, A F abſcindunt
cum C, vel A lineas minores (45. ex 5.) conſtat itaque adhibitis li-
44c neis tangentibus, vt dictum eſt, quod E F ſit maximus ramorum ſecan-
tium ex E ad C B A egredientium, excepto vno E G, cui eſt æqualis,
quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. LXXIII.
PR O clariori intelligentia propoſitionum huius ſectionis hæc præmitto.
LEMMA XII.
Si in ellipſi A B C à concurſu E ductus fuerit ramus E G ſecans
vtrumque axim in H, & 1, cuius portio G 1, inter axim maiorem
A C, & ſectionem intercepta, ſit linea breuiſsima; dico, quod quili-
bet alius ramus E K inter breuiſecantem G E, & axim minorem in-
terceptus, efficit cum ſectionem tangente K P angulum E K P
13193Conicor. Lib. V. reſpicientem verticem C concurſui propinquiorem: & quilibet. ramus E
L inter breuiſecantem G E, & axim maiorem poſitus efficit cum tan-
gente L M angulum E L M reſpicientem eundem verticem A acu-
tum.
116[Figure 116]
Ducatur E F perpendicularis ad axim maiorem, eum ſecans inter verticem
c, & centrum D in F, & ex concurſu axis minoris B H, & breuiſsimæ G E,
scilicet ex H ducantur rectæ H K, & H L; pariterque ex punctis, K, & L
ducantur ad axim maiorem A C lineæ breuiſsimæ K N, L O, ei occurrentes in
N, & O. Luoniam (ex præmiſſo Lemmate 8.) à concurſu H ducitur ramus
H K inter breuiſecantes H B, H G interceptus; ergo H K cadit infra breuiſ-
ſimam K N ad partes verticis C; eſt vero angulus N K P rectus à tangente,
1129. 30.
huius.& breuiſsima contentus; ergo angulus H K P erit acutus, cum H K cadat in-
ter N K, & tangentem K P; cadit vero E K infra ramum H K verſus C; igi-
tur angulus E K P reſpiciens verticem C proximiorem concurſui E erit acutus.
Similiter (ex eodem Lemmate 8.) quia ramus H L ducitur inter breuiſecan-
tem H G, & verticem A à concurſu E remotiorem, cadet ipſe ſupra breuiſsimã
22Ibidem. L O, eſtque angulus O L M ad partes verticis A rectus; ergo H L M acutus erit,
cumque E L cadat ſupra H L verſus A; igitur angulus E L M, verticem A re-
motiorem reſpiciens, erit acutus, quod erat oſtendendum.
Si à concurſu E non exiſtente ſuper recto ellipſis A C, producatur vni-
33a cus ramus ſecans ipſam A C, vt E G, cuius ſegmentum G I, & A C ſit
breuiſsimum, vel duo breuiſecantes; vtique maximus ſecantium ramorum
egredientium ex illo concurſu, eſt breuiſecans, qui rectum ſectionis ab-
ſcindit, nempe E G, & c. Textum mendoſum ſic reſtituendum cenſeo. Si
13294Apollonij Pergæi117[Figure 117] concur ſu E non exiſtente ſuper axim rectum minorem ellipſis A B C ducatur ad
ſectionem A B vnicus ramus vtrumque axim ſecans, cuius portio G I inter ſe-
ctionem, & axim maiorem A C intercepta ſit linea breuiſsima; vel ducatur præ-
ter E G alius ramus breuiſecans, menſuram tantummodo abſcindens; vtique,
ramorum ſecantium, ex illo concurſu egredientium, maximus erit ille, qui axim
rectum ſectionis diuidit, & c.
Erigamus itaque ſuper D perpendicularem, & c. Scilicet ex centro ſectio-
11b nis D eleuetur D B perpendicularis ad axim maiorem A C, occurrens ſectioni
in B, & ipſi E G in L, & propterea D B erit ſemiſsis recti axis, & punctum
E in axi B D non exiſtit ex hypotheſi, & c.
Quoniam non egreditur ex E niſi vnus breuiſecans, ergo lineæ breuiſsi-
22c mæ egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum, abſcindunt ab axi
cum A C, L A lineam maiorem, quàm ſecent illorum rami (51. 52. ex
5.) & iam patet, quod ſi ita ſe res habet L E C eſt acutus; quia E C
breuiſsima eſt linearum egredientium ex E ad quadrantem A B, & pro-
pinquior illi, minor eſt remotiore, & c. Sic legendum puto; Luia præter E
G, vtrumque axim ſecantem nullus alius breuiſecans duci poſſe à concurſu E ad
ſectionem ſupponitur, ergo lineæ breniſsimæ egredientes ab axtremitatibus reli-
quorum ramorum in quadrante C B abſcindunt ab axi A C cum vertice C li-
neas maiores, quàm ſecent rami (51 52. ex 5.) pariterque conſtat, quod an-
gulus E C F ſit acutus, atque ramus E C eſt minimus egredientium ex E ad qua-
3364. 65,
huius. drantem C B, & propinquior minimæ, minor eſt remotiore. Demonſtrandum,
modo eſt, quod K E maior quoque eſt, quàm E B, & c.
Producamus itaque M B, M K tangentes; ergo M B E eſt obtuſus, &
44d M K E eſt acutus (29. ex 5.) quia breuiſsima egrediens ex K abſcindit A
lineam minorem, quàm A E (57. ex 5.) eo quod K eſt inter duo ſegmen-
ta L B, L G: & iungamus M E; ergo duo quadrata M B, B E minora,
ſunt, quàm quadratum M E, quæ minora ſunt duobus quadratis M K,
K E, & c. Ideſt: ex punctis B, K ducantur duæ tangentes ſectionem M B, K
13395Conicor. Lib. V. occurrentes in M, & quia angulus D B M rectus eſt contentus ab axe, & tangen-
11Conue ſ.
32. lib. 1. te, & cadit B E inter C, & D ergo angulus E B M eſt obtuſus; poſtea, quia E
K cadit infra breuiſsimam E G, & ſupra minorem axim B D, ergo angulus
22Lem. 12. E K M reſpiciens verticem C propinquiorem concurſui, erit acutus, & iuncta
M E erunt duo quadrata E B, B M minora quadrato E M, eſtque quadratum
E M minus duobus quadratis E K, K M circa acutum angulum (cum prior a
angulum obtuſum compræhendant,) Igitur duo quadrata E B, B M ſimul ſum-
pta minora ſunt duobus quadratis E K, K M: eſtque quadratum M B maius
quadrato M K, cum contingens M K, proximior vertici A axis maioris minor
3370. huius. ſit remotiore B M; igitur quadratum E B, ſcilicet reſiduum minoris ſummæ mi-
nus erit quadrato E K, & propterea ramus E B minor erit, quàm E K.
Et educamus ex E ad ſectionem A G, E A, E O, & patebit, quod E
44e G maior fit, quàm E O, & E O, quàm E A: erigamus itaque ad A C
perpendicularem A P; ergo E A P eſt obtuſus: & ducamus P O Q tan-
gentem; ergo P O E eſt acutus, quia linea breuiſsima egrediens ex O ab-
fcindit cum A lineam maiorem, & P O eſt maior, quàm P A; ergo E O
maior eſt quàm E A, atque ſic patet, quod E G maior ſit, quàm E O, & c.
Demonſtratio poſtremæ partis huius propoſitionis neglecta ab Apollonio ob ſui fa-
cilitatem occaſionem errandi alicui præbere poſſet, propter verba illa poſtrema
textui ſuperaddita; non enim ex maiori ſumma duorum laterum P O, O E ſi au-
feratur maior O P, & ex minori ſumma P A, A E auferatur minor P A, neceſſa-
rio reſiduum maioris, ideſt E O maior erit quam E A reſiduum minoris; itaque
ſenſus huius contextus talis erit.
Ex concurſu E ad ſectionem A G ducantur rami E A, & quilibet alius E O;
oſtendendum eſt, E G maiorem eſſe, quàm E O, & E O maiorem, quàm E A: du-
cantur A P, Q O tangentes ſectionem in A, & O conuenientes in P, & tangenti
55Conuerſ.
32. lib. 1. G Q in Q. manifectum eſt angulum E A P obtuſum eſſe, cum angulus C A P ſit
rectus pariterque quilibet ramus E O inter breuiſecantem E G, & verticem A
66Lem. 12. remotiorem interceptus efficit angulum E O P, verticem A reſpicientem acutum,
& ſic reliqui omnes rami inter puncta G, & A cadentes; quare (ex Corollario
propoſitionum 64. & 65.) ramus E A minor erit quolibet ramo E O inter verti-
cem A, & G cadente: rurſus, quoniam breuiſecans E G conſtituit cum tangente
7729. 30.
huius. angulũ E G Q rectum; quare ex concurſu E ad ſectionis peripheriam G A omnes
88Lem. 12. rami cadentes efficiunt cum tangentibus angulos, verticem A reſpicientes, acutos,
& vnus tantummodo E G Q eſt rectus; igitur (ex Coroll. propoſ. 67. huius) ramus
E O vertici A propinquior minor eſt remotiore E G; Quapropter ramus breuiſecãs
E G maximus eſt omnium ramorum ſecantium ad peripheriam A B C cadentium.
At adhuc non conſtat, ramum E C minimum eſſe prædictorum ramorum om-
nium, niſi priùs oſtendatur, E C minorem eſſe quolibet ramo ad peripheriam
A G educto: & hoc etiam ob ſui facilitatem neglectum fuit ab Apollonio. Abſol-
uetur tamen hac ratione.
Quoniam perpendicularis E F cadit inter C, & D, igitur A F maior eſt, quàm
C F, & F E eſt communis circa angulos rectos in triangulis C F E, A F E, igi-
tur C E minor eſt, quàm E A: eſtque E A minor quolibet alio E O inter A, & G
cadente, igitur E C minor eſt omnium ramorum cadentium ad peripheriam A G,
ſed priùs minor oſtenſus fuit reliquis omnibus cadentibus ad peripheriam C B G;
igitur ramus E C minimus eſt omnium ſecantium, quod erat oſtendendum.
13496Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſ. LXXIV.
ERgo E F per centrum non tranſit, cadat ſuper C D, & quia produ-
11a cti ſunt ex E duo breuiſecantes; ergo C F excedit dimidium erecti,
& E F æqualis eſt Trutinæ (52. ex 5.) patet itaque, vt antea demonſtra-
uimus, quod E G ſit maximus ramorum, & E C minimus, & c.
118[Figure 118] Quoniam in 11. huius oſtenſum eſt, quod ſemiaxis minor ellipſis eſt ramus bre-
uiſsimus, ergo ſi incidentia perpendicularis E F ſuper axim A C, ideſt punctum
F eſt centrum ellipſis educerentur ex concurſu E tres breuiſecantes, nimirum
E H, E G, & E F producta, quæ eſſet axis minor ellipſis: hoc autem eſt con-
tra hypotheſim, cum ducti ſint ex E duo breuiſecantes: ergo eorum vnus E H
menſuram C F ſecat, quæ minor eſſe debet ſemiſſe axis maioris C D; igitur
ex conuerſa propoſitione 50. huius, menſura C F maior erit ſemiſſe lateris re-
cti, & (ex conuerſa propoſ. 52. huius) erit perpendicularis E F æqualis Tru-
tinæ. Demonſtratio huius propoſitionis neglecta ab Apollonio, propterea quod
eodem ferè modo, ac præcedens oſtendi poteſt, breuiſsimè perficietur in hunc
modum.
Quoniam à concurſu E vnicus tantum breuiſecans E H ad quadrantem C B
22Propoſ.
67. huius. ducitur; igitur C E minimus eſt omnium ramorum cadentium ad ſectionis pe-
ripheriam C B, & E C vertici B propinquior minor eſt remotiore E H, & E
H minor, quàm E B: rurſus, quia ramorum cadentium ex E ad peripheriam
33Ex 29. 30.
huius. B G vnus tantummodo breuiſecans E G conſtituit cum tangente N G
13597Conicor. Lib. V. rectum, & reliqui omnes rami cadentes ſuper totum arcũ G B, conſtituunt cum
11Lem. 12. ſuis tangentibus angulos acutos, reſpicientes verticem C; igitur quilibet ramus
22Coroll.
prop. 67.
huius. E B propinquior vertici C minor eſt quolibet remotiore ramo E K, & E K mi-
nor eſt remotiore E G: & propterea ramus E G maximus eſt omnium cadentium
ad peripheriam C B G. Poſtremò, quia ramorum cadentium inter breuiſecan-
tem E G, & remotiorem verticem A axis maioris, vnicus tantũ E G efficit cum
3329. 30.
huius. ſua tangente angulum E G N rectum; reliqui vero omnes cadentes inter G, &
A efficiunt cum ſuis tangentibus angulos, reſpicientes verticem A remotiorem,
44I em. 12.
huius. acutos; igitur (ex Corollario propoſ. 67. huius) ramus E G maior eſt quolibet
ramo E O vertici A propinquiore, & E O maior eſt, quàm E A: quapropter
breuiſecans E G vtrumque axim abſcindens maximus eſt omnium ex E caden-
tium ad ſemiperipheriam ellipſis C B A, & ramus E C, vt in præcedenti dictũ
eſt, minimus erit omnium, atque propinquiores maximo ex eadem parte maio-
res erunt remotioribus, & cadentium ad peripheriam C B G minimo C E pro-
pinquiores, minores erunt remotioribus, quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. LXXV.
55a
POſtea ducamus ex E tres breuiſecantes E G, E I, E H, & ſecent E
I menſuram, & E G ſecet rectum in L, & c. Ideſt: Poſtea ſi ex concur-
ſu E ducti fuerint tres breuiſecantes E G, E I, E H; quorum duo E I, E H ſe-
cent menſuram in K, & M: E G vero ſecet axim rectum in L, & axim ma-
iorem A C in N. Dico, & c.
119[Figure 119]
Quoniam I K, N M ſunt duæ breuiſſimæ conſtat, quod E I maximus ſit
66b ramorum egredientium ad illius ſectionem (52. ex 5.) & reliquorum ra-
morum propinquior illi, maior eſt remotiore, & c. Ideſt: Quia in
13698Apollonij Pergæi120[Figure 120] te ellipſis C B ducuntur à concurſu E duo breuiſecantes E I, E H; igitur (ex
propoſitione 72. huius) erit breuiſecans E I vertici A propinquior maximus om-
nium ramorum cadentium ex concurſu E ad ellipſis peripheriam C H; & pro-
pinquior maximo E I maior erit remotiore, ſed non omnium ramorũ cadentium
ad quadrantem C B, ſed eorum ſolummodo, qui inter verticem C, & infimum
breuiſecantem E H, & aliquorum propè ipſum; nam rami ſecantes cadentes pro-
pè punctum H hinc inde ſucceſsiuè augentur, vt dictum eſt in notis propoſ. 67.
in eiuſque Corollario.
Nec non, quia H M, G N ſunt duæ breuiſſimæ, conſtat, vt dictũ eſt, quod
11c G E ſit maximus ramorũ egredientiũ ex vtroque latere eius ad A H, & c.
Quorũ verborũ ſenſus hic eſt. Quiaex concurſu E ducuntur duæ breuiſecantes E G
& E H ad ſemiellipſim A B C, quarum E G ſecat vtrumq; axim, at E H ſecat
tantummodo menſuram; ergo, ſicuti in præcedenti propoſ. 74. oſtenſum eſt, erit
ramus E G maximus omniũ cadentiũ ad peripheriam H A, & c. At quia dubitari
poſſet de certitudine huius conſequentiæ, quandoquidem hypotheſes non ſunt om-
nino eædem; in propoſitione enim 74. non tres, ſed duo tantummodo breuiſecan-
tes ex concurſu E ad ſectionem C B A ducebãtur, hic vero etiam tertia breui-
ſecans ducitur: ſed ſi conſideretur progreſſus Apollonij, eandem concluſionem ex
vtraque hypotheſi deduci poſſe percipitur; nam (ex propoſitione 72. huius) bre-
uiſecans E H, infra breuiſecantem, E I poſitus, minimus eſt omnium ramorum
cadentium ex E ad peripheriam H B ellipſis, & propinquior minimo E H mi-
nor eſt remotiore, reliquorum vero ramorum cadentium ad quadrantem B A ma-
ximus eſt breuiſecans E G, vt oſtenſum eſt in præcedenti propoſit. 74. ex Lemma-
te 12. huius, & ex Corollario propoſit. 67, atque propinquior ramus maximo
E G eorum, qui ad quadrantem B A cadunt maior eſt remotiore; quapropter ra-
mus E G maximus eſt omnium ramorum ex E ad ellipſis peripheriam H A ca-
dentium.
13799Conicor. Lib. V.11d
Dico etiam, quod E G maior ſit, quàm E I, & c. Ideſt: Oſtendetur etiam,
quod ramus E G maximus etiam ſit omnium ramorũ cadentium ad peripheriam
C H, propterea quod E G oſtendetur maior E I maximo eorum, qui ad periphe-
riam C H duci poſſunt. Ducatur ex puncto I recta I O parallela axi matori A
C, quæ ſecabit axim minorem, & ſectionem, cum punctum I cadat inter ver-
tices C, & B duorum axium; ſecet igitur ſectionem in O, coniungaturque E O,
atque ex punctis I, O, G, E ducantur perpendiculares ad axim I P, O Q, G
R, E F S, quæ ſecent axim in P, Q, R, F, & I O in S, & quia G N, &
I K ſunt breuiſsimæ; ergo D R ad R N, atque D P ad P K eandem proportio-
2215. huius. nem habent, nimirum eam, quàm habet latus tranſuerſum ad rectum; eſt verò
K F minor, quàm D K, atque R F maior, quàm D R; igitur F P ad P K mi-
norem proportionem habet, quàm D P ad P K, ſeu quàm D R ad R N, & mul-
to minorem, quàm F R ad R N; quare diuidendo F K ad K P minorem pro-
portionem habebit, quàm F N ad N R, & propter parallelas F E, I P, & ſi-
militudinem triangulorum E K F, I K P eſt E F ad I P, vt F K ad K P; igi-
tur E F ad I P minorem proportionem habet, quàm F N ad N R; ſed propter
ſimilitudinem triangulorum E F N, G R N eſt E F ad G R, vt F N ad R N;
igitur eadem E F ad I P minorem proportionem habet, quàm ad G R; & pro-
pterea I P, ſeu ei æqualis O Q (in parallegrammo rectangulo P O) maior erit,
quàm G R, & propterea punctum O recedit à puncto G verſus B, ideoq; ramus
3374. huius. E G maximus, maior erit ramo E O, & c.
Notæ in Propoſ. LXXVI.
SI autem non educatur ex concurſu E ad rectum E B ellipſis A B C
44a breuiſecans præter tranſeuntem per centrum, vt E B, vtique erit ma-
ximus ramorum ſecantium egredientium ex concurſu ad ſectionem.
Si vero eductus fuerit ex illo alius
121[Figure 121] breuiſecans, ipſe erit ramus maximus,
& c. Imperceptibilis eſt ſenſus huius textus,
quia, præter phraſis Arabicæ difficultatem,
nonnulla verba in textu deſiderantnr; itaq;
ſic legendum puto. Si ex concurſu E in re-
cto E B poſito ellipſis A B C non educatur
breuiſecans præter E B tranſeuntem per cen-
trum, erit E B maximus ramorum ſecan-
tium ex concurſu ad ſectionem egredientiũ.
Si vero ex illo educatur alius breuiſe-
cans, erit æqualis vni breuiſecanti ex altera parte recti poſito, & omnium re-
liquorum erit maximus: Si enim hæc extrema verba non opponerentur, propo-
ſitio non eſſet vera, vt oſtendetur.
Quia breuiſſimæ egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum
55b abſcindunt cum A, vel B lineam maiorem, quàm ſecet ramus illius (49.
ex 5.) demonſtratum ergo eſt in lineis tangentibus ad extremitatem il-
lius, quemadmodum antea, & c. Mendoſe citatur quadrageſima nona huius,
debet potius legi 43. in qua oſtenſum eſt, quod quotieſcunque ramus E B ad
138100Apollonij Pergæi miaxim minorem B D habet eandem, aut
122[Figure 122] maiorem proportionem, quàm latus tran-
ſuerſum A C ad eius latus rectum; tunc
nullus alius ramus ad ſectionem A B C
breuiſecans duci poteſt, & quælibet linea,
breuiſsima vt F H ducta ex puncto F ad
axim A C cadit infra ramum E F adpar-
tes centri, & propterea ſi per F ducatur
F I contingens ellipſin quilibet ramus E
11ex 29. 30.
huius. F efficiet cum tangente angulum E F I reſ-
picientem verticem A acutum: Similiter ſi
ducatur A K contingens ſectionem in A co-
22ex 32.
lib. 1. niungaturque E A, erit quoque angulus E A K acutus, & ducta B L contingente
ſectionem in B erit angulus E B L rectus; quapropter omnes rami ex concurſu
E ad quadrantem A B ducti efficiunt cum ſuis tangentibus angulos reſpicientes
verticem A acutos, & vnus tantummodo E B L eſt rectus; igitur ramorum ca-
33Coroll.
67. huius. dentium ex E ad quadrantem B A minimus eſt E A, & quilibet ramus E F
propinquior vertici A minor eſt quolibet remotiore; & propterea E B erit ma-
ximus: ſimili modo E B maior erit quolibet ramo E G in quadrante B C exiſten-
te; Et hic eſt ſenſus, ni fallor illorum verborum; demonſtrabitur in lineis
tangentibus, quemadmodum antea oſtenſum eſt, & c.
Notæ in Propoſit. LXXVII.
POſtea educatur E F, qui eſt maxi-
123[Figure 123] musramorum, & c. Repono hic ſimi-
liter verba, quæ in textu deſiderantur; Po-
ſtea educatur alius breuiſecans E F; Dico,
quod eſt æqualis vni breuiſecanti E G æquè
remoto à recto D B, & eſt maximus reli-
quorum omnium.
Quia B D, F H ſunt duæ breuiſſimæ;
ergo rami egredientes ad ſectionem B F
abſcindunt cum A lineas maiores, quàm
ſecent breuiſſimæ egredientes ab eorum extremitatibus, & rami egredien-
tes ad duas peripherias C B, F A abſcindunt cum A, vel C lineas mino-
res (52. ex 5.) & c. Quia in ellipſi ſemiaxis minor B D, & breuiſsima F H
concurrunt in E; ergo quilibet ramus ex E ad peripheriam F B ductus cadit
44Lem. 8.
huius. infra breuiſsimam ab eius termino ad axim A C ductam: ſimiliter, quia ramus
E G æquè recedit ab axi D B, ac ramus E F; propterea, ne dum ramus F E
æqualis erit ramo E G, ſed ſimiliter quilibet alius ramus incidens inter E B,
& E G eadet infra breuiſsimam ab eius termino ad axim A C ductam verſus
55Ibidem. D, & rami cadentes ad peripherias A F, & C G cadunt ſupra breuiſsimas ab
66Ibidem. eorum terminis ad axim C A ductas ad partes A, & C.
Conſtat itaque, vt dictum eſt de lineis tangentibus, quod E F ſit ma-
ximus ramorum ſecantium egredientium ex E ad A B C, quod erat
139101Conicor. Lib. V. dendum, & c. Quæ poſtrema verba ſic intelligi, ac corrigi debent. Quia qui-
11Lem. 8.
huius. libet ramus ex E ad A F ductus cadit ſupra breuiſsimam ad partes A ab eius
termino ad axim C A ductam; igitur, vt multoties dictum eſt, conſtituit cum
ſua tangente angulum reſpicientem verticem A acutum, ſicuti angulus E A K
acutus quoque eſt, & omnium ramorum ad peripheriam A F cadentiũ tantum-
modo angulus E F 1 eſt rectus; igitur omnium ramorum ex E ad peripheriam
22Coroll.
Prop. 67.
huius. A F cadentium maximus eſt F E remotiſsimus à vertice A, eſtque ramus E G
æqualis E F, & E G maximus eſt ramorum cadentium ex E ad peripheriam
G C; igitur ramus E F maximus etiam eſt ramorum cadentium ad peripheriam
G C: poſtea ducto quolibet ramo E M inter F, B, & M N tangente ſectionem
in M, quæ conueniat cum tangente I F in N, quia E M, vt dictum eſt, cadit
infra breuiſsimam ex M ad axim B A ductam, cum qua contingens N M an-
gulum rectũ conſtituit, (ex 30. huius) ergo angulus E M N reſpiciens verticem
A eſt obtuſus, & angulus E F N eſt rectus, cum F O ſit breuiſsima, igitur duo
quadrata E F, F N maiora ſunt duobus quadratis E M, M N ſimul ſumptis,
& ablatum quadratum M N ex minori ſumma maius eſt ablato quadrato N F,
cum contingens N F vertici A maioris axis propinquior ſit; ergo quadratum
3370. huius. E F maius ex quadrato E M, ideoque ramus E F maior erit quolibet ramo E
M inter F, & B poſito. Non ſecus oſtendetur E M maior quàm E B; quare
ramus E F maximus erit omnium cadentium ad peripheriam F B. Eodem mo-
do ramus breuiſecans E G maximus erit omnium cadentium ad peripheriam G
B; & propterea ramus E F maximus erit omnium ad peripheriam F B G ca-
dentium; Quapropter ramus breuiſecans E F æqualis erit vni tantummodo E
G æquè ab axi remoto, & maximus omnium ramorum ex concurſu E ad ſemi-
ellipſim A B C cadentium, quod erat oſtendendum.
Sicuti in prioribus propoſitionibus factum eſt, reperientur, quotnam rami in-
ter ſe æquales à puncto concurſus ad coniſectionem duci poſſunt, qua occaſione
afferam propoſitiones aliquas non iniucundas, quarum prima erit.
Si ad coniſectionem B A à concurſu D vnicus tantum breuiſecans D
44PROP.7.
Addit. A duci poſsit, & ducatur quælibet F C parallela perpendiculari D E
124[Figure 124] inter productionem breuiſsimæ, & axim intercepta quem ſecet in F,
140102Apollonij Pergæi periaturque Trutina K minoris, vel maioris menſuræ F B: dico perpen-
dicularem C F minorem eſſe Trutina K.
Secentur primo in parabola abciſsæ B H, & B N æquales trienti exceſſus inæ-
qualium menſurarum ſupra ſemierectum (vt præcipitur in propoſitione 51. hu-
ius) manifeſtum eſt, abſciſſam B N minorem eſſe ipſa B H, quando B F minor
eſt, quàm B E, & maior, quando B F ſuperat ipſam B E; eo quod eorum tri-
plæ, vna cum ſemierecto, ideſt menſura B F minor fuerat in primo caſu, &
maior in ſecundo, quàm menſura B E.
In hyperbola vero, & ellipſi fiat proportio rectæ H L ad ſemiaxim tranſuer-
11Lem. 7.
huius. ſum L B ſubtriplicata eius, quàm inuerſæ L E ſegmentum L G homologum la-
teri tranſuerſo habet ad ſemiaxim tranſuerſum (ex præſcripto propoſit. 52. &
53. huius) pariterque fiat proportio N L ad L B ſubtriplicata eius quàm inuer-
ſæ minoris L F in primo caſu, & maioris in ſecundo, ſegmentum homologum
lateri tranſuerſo habet ad L B.
125[Figure 125]
Quoniam in primo caſu maius ſegmentum G L ad eandem L B habet maio-
rem proportionem, quàm minus ſegmentum ex L F diſſectum; igitur earum;
ſubtriplicatæ proportiones inæquales erunt, videlicet H L ad L B maiorem pro-
portionem habebit, quàm N L ad ipſam L B, & propterea H L maior erit,
quàm N L, & ablata communi L B, erit H B abſciſſa maioris menſuræ ma-
ior, quàm N B abſcißa menſuræ minoris. Similiter oſtendetur in ſecundo ca-
ſu, quod abſciſſa N B maioris menſuræ maior eſt, quàm B H. Oſtendedum
modo eſt, perpendicularem C F in vtroque caſu minorem eſſe trutina K; Si
2251. 52.
huius. enim hoc verum non eſt, ſi fieri poteſt, ſit C F maior trutina K; igitur ex con-
curſu C ad ſectionem B A nullus ramus breuiſecans duci poteſt, quod eſt contra
hypotheſim; erat enim A I breuiſsima; quare C F non erit maior trutina K.
Sit ſecundo C F æqualis K, ſi fieri poteſt, ergo ramus principalis C O ductus
legibus propoſit. 51. 52. huius cui competit trutina K erit breuiſecans ſin-
gularis eorum, qui ad ſectionem duci poſſunt, nec vllus alius, præter C O, bre-
uiſecans erit: cadit vero ramus C A infra, vel ſupra ramum C O, propterea
quod abſciſſæ B H, & B N inæquales oſtenſæ ſunt; igitur ramus C A diuerſus
à breuiſecante ſingulari C O non erit breuiſecans, quod eſt contra hypotheſin;
141103Conicor. Lib. V. non ergo perpendicularis C F æqualis erit Trutinæ K, ſed priùs, neque maior
illa erat; igitur perpendicularis C F neceſſario minor erit Trutina K; quod
erat oſtendendum.
Iiſdem poſitis, ſi in productione breuiſsimæ A I ſumatur quodlibet
11PROP. 8.
Addit. punctum C citra terminum D perpendicularis D E, à puncto C duci
poterit alter ramus breuiſecans ſupra C A incedens; & ſi punctum C
ſumatur vltra punctum D poterit ex C duci alter ramus breuiſecans
infra ipſum C A.
126[Figure 126]
Quoniam quælibet recta C F parallela perpendiculari D E interpoſita inter
productionem breuiſsimæ A I, & axim minor eſt Trutina K nouæ menſuræ B
F (ex præcedenti propoſ.) propterea ramus principalis C O cadit ſupra ipſum
C A, quando B F minor eſt, quàm B E, & tunc quidem duci poteſt hyperbola
ex puncto A circa aſymptotos (vt in propoſitione 51. & 52. factum eſt) quæ pro-
ducta occurret ſectioni B A inter B, & O, vt in P, & coniuncto radio C P,
2251. 52. 53.
huius. erunt duo rami C A, & C P breuiſecantes, quorum infimus eſt C A. Si vero
punctum C ſumatur vltra punctum D, tunc quidem menſura B F maior erit,
quàm B E, & propterea abſciſſa N B maior, quàm H B, & ideo principalis
ramus C O cadet infra ramum C A; & denuo facta eadem conſtructione propo-
ſit. 51. & 52. huius, erunt duo rami C P, & C A breuiſecantes, quorũ ſupre-
mus verſus B erit C A, quod erat probandum.
Sit coniſectio, vel ellipſis portio quadrantis B A G, cuius axis B
33PROP. 9.
Addit. E, perpendicularis E D, euiuſque Trutina L ſit minor perpendiculari
D E, & centro D, interuallo cuiuslibet rami ſecantis D A circulus Z
A γ deſcribatur, & ex puncto A ducatur recta A x contingens
142104104 Apollonij Pergæi nem: Dico, quod circumpherentia Z γ ſecat tangentem rectam lineam
x A, & coniſectionem B G in puncto A.
Quoniam perpendicularis D E ponitur ma-
127[Figure 127] ior trutina L; ergo quilibet ramus D A cadit
1151. 52.
huius. ſupra breuiſsimam ex puncto A ad axim B E
ductam: efficit vero breuiſsima cum tangente
A x angulum rectum; ergo angulus D A x eſt
2229. 30.
huius. acutus; & propterea recta A x cadit intracir-
culum A Z; ſed A x cadit extra coniſectio-
3335. 36.
Lib. 1. nem B A, quàm contingit; ergo circumferen-
tia Z A cadit extra ſectionem B A, & extra
tangentem A x: poſtea ducatur quilibet ramus
D G infra ramum D A ſecans circumferentiã
circuli in r: & quia ramus D A propinquior
eſt vertici B, quàm D G, erit D A minor,
4464. 65.
huius. quàm D G; eſtque D γ æqualis D A (cum ſint ambo radij eiuſdem circuli) ergo
D γ minor erit, quàm D G: & propterea quodlibet punctum γ peripheriæ cir-
cularis infra punctum A poſitum cadet intra coniſectionem B G; & ideo cir-
cumferentia Z A γ ſecat tangentẽ, & coniſectionẽ in A, quod erat propoſitum.
Iſdem poſitis, ſit perpendicularis D E æqualis Trutinæ L, & ſit D
55PR. 10.
Addit. A ſingularis ille ramus breuiſecans, qui ex concurſu D ad ſectionem
B G duci poteſt; perficiaturque conſtructio, vt antea factum eſt; Dico,
6651. 52.
huius. circulum Z A γ ſecare coniſectionem in A, & contingere rectam Ax.
Ducatur quilibet ramus D F ſupra breuiſe-
128[Figure 128] cantem D A, ſecans circuli peripheriam in Z,
& quilibet alius ramus D G infra D A ſecans
eandem peripheriam in γ. Et quia ex con-
curſu D ad ſectionem B G vnicus tantum bre-
77Ibidem. uiſecans D A duci poteſt; igitur ramus D F
propinquior vertici B minor eſt remotiore D
8867. huius. A, & D A propinquior vertici B minor eſt
remotiore D G: ſuntque rectæ D Z, D γ æ-
quales eidem D A (cum ſint radij eiuſdem,
circuli) ergo D Z maior eſt, quàm D F, &
D γ minor, quàm D G; & propterea quodli-
bet punctum Z circuli ſupra A ſumptum ca-
dit extra coniſectionem B F A, & quodlibet
infimum punctum γ eiuſdem circuli cadit intra eandem coniſectionem A G;
quapropter circumferentia circuli Z A γ ſecat coniſectionem B A G in A. Po-
ſtea quia recta A x contingens ſectionem in A perpendicularis eſt ad breuiſe-
cantem D A, cum I A ſit breuiſsima; igitur recta linea x A, quæ perpendicu-
9929. 30.
huius. laris eſt ad radium D A, continget circulum Z Y γ. Quapropter circulus Z
A γ ſecant coniſectionem B A G in A, & tangit eandem rectam lineam A x,
quàm contingit ſectio conica B A G, & in eodem puncto A, quod erat oſtendendũ.
143105Conicor. Lib. V.
COROLLARIVM.
HInc conſtat, ſupremam circuli peripheriam A Z cadere in locum à tan-
gente X A, & coniſectionem B A contentum, infimam vero circuferen-
tiam A γ cadere ne dum infra tangentem, ſed etiam infra coniſectionem A G;
eoquod recta A X cadit extra circuli peripheriam A Z, quàm contingit in A,
& eadem circumferentia A Z cadit extra ſectionem A B, quàm ſecat in A, vt
dictum eſt.
Mirabile quidem hoc videri poterit aliquibus, qui contingentiæ angulos, quos
vocant, verè angulos eſſe cenſent; nam hic duæ circumſerentiæ curuæ, conica
nimirum B A G, & circularis Z A γ ſe mutuo ſecant in A, & tamen ambo
tanguntur ab eadẽ recta linea A X in eodem puncto A, in quo illæ ſe mutuò ſecant.
Vnde colligent etiam, quod anguli contingentiæ facti à coniſectione B A G, &
recta linea X A non ſunt æquales inter ſe, quando punctum A in vertice axis
non exiſtit; nam duo anguli contingentiæ circumſerentiæ circularis, & rectæ
tangentis X A æquales ſunt inter ſe: at angulus contingentiæ ſectionis conicæ ſu-
premus reſpiciens verticem B maior eſt angulo contingentiæ circularis, vt dictũ
eſt: infimus vero angulus contingentiæ à ſectione conica, & eadem tangente
contentus minor eſt eodem angulo contingentiæ circularis, & propterea ſupremus
angnlus contingentiæ ſectionis conicæ maior erit inferiori.
129[Figure 129]
Sit perpendicularis D E
11PROP.
II.
Addit.
Ex 51. 52.
53. huius. minor trutina L, ſintque D
A, & D C duo illi rami,
qui tantummodo breuiſecantes
eſſe poſſunt omnium ramorum
ex concurſu D ad ſectionem
B C cadentium; atque cen-
tro D, interuallo D A deſcri-
batur circulus Z A γ; pari-
terque centro D, interuallo D
C deſcribatur circulus O C Q;
ducanturque rectæ X P, M
P contingentes coniſectionem
in A, & C. Dico, circulũ
Z A γ contingere coniſectio-
nem in A, & extra ipſam
cadere, at circulum O C Q contingere eandem coniſectionem in C, &
intra ipſam cadere.
Ducantur quilibet rami D F, D G ſupra, & infra breuiſecantem D A, ſe-
cantes circulum Z A γ in Z, & γ; pariterque ducantur quilibet rami D
144106Apollonij Pergæi D N ſupra, & infra breuiſe-
130[Figure 130] cantem D C, ſecantes circulum
O C Q, in O, & Q, dummo-
do D G non ducatur infra D C
in primo caſu, nec ſupra D A
in ſecundo. Quoniam ramus D
A ſupremus duorum breuiſecan-
tium maximus eſt omnium ra-
morum cadentium ad periphe-
riam B A C; igitur D A maior
1172. huius. erit, quàm D F, & quàm D G;
ſunt verò D Z, & D γ æqua-
les eidem D A (cum ſint radij
eiuſdem circuli) ergo D Z ma-
ior eſt, quàm D F; pariterque
D γ maior eſt quàm D G: &
propterea duo quælibet puncta
Z, γ eiuſdem circuli Z A γ ca-
dunt extra coniſectionem B A
G; & ideo circulus Z A γ tan-
tummodo in puncto A coniſectio-
nem extrinſecus tangit.
Poſtea quia ramus D C infimus breuiſecantium eſt minimus omnium ramo-
rum cadentium ex D ad peripheriam A C N, ergo ramus D C minor eſt, quàm
2272. huius. D G, & quàm D N: ſunt vero D O, D Q æquales eidem D C (cum ſint radij
eiuſdem circuli) igitur D O minor eſt, quàm D G: pariterque D Q minor eſt,
quàm D N: quare quælibet duo puncta O, Q circuli O C Q hinc inde à puncto
C cadunt intra coniſectionem B C N, & ideo circulus O C Q intrinſecus con-
tingit coniſectionem in C, quod erat oſtendendum.
Si ad coniſectionem,
33PROP.
12.
Addit.131[Figure 131] vel ad portionem qua-
drantis ellipſis B A C,
ex concurſu D duci non
poſsit, niſi vnicus tan-
tum breuiſecans D A,
atque centro D, interual-
lo D A circulus Z A γ
deſcribatur; Dico, om-
nium circulorum tangen-
tium eandem rectam li-
neam X A P (quàm
cõtingit quoque coniſectio
in A) vnicum eſſe
145107Conicor. Lib. V. culum Z A γ, qui coniſectionem in puncto A ſecat.
Sumatur enim quodlibet punctum G in productione breuiſsimæ A I ſupra,
vel infra punctum D: manifeſtum eſt (ex 8. præcedentium propoſit.) à puncto
G duci poſſe duos breuiſecantes ramos, quorum A G erit infimus, ſi punctum G
cadit ſupra punctum D, & tunc circulus radio G A deſcriptus continget coniſe-
1111.
Additarũ. ctionem intrinſecus in A: ſi vero punctum g cadat infra punctum D, tunc pa-
228.
Additarũ. riter ex g duo breuiſecantes duci poſſunt ad ſectionem, quorum ſupremus erit
g A; & propterea circulus radio g A deſcriptus continget coniſectionem B AC
3311.
Additarũ. extrinſecus in A; quaproptcr circulus radio D A deſcriptus (quem contingit
eadem recta linea X A quæ tangebat ſectionem in A) vnicus erit, qui ſectionem
B C ſecet in A, quod erat oſtendendum.
Circulorum omnium intrinſecus tangentium coniſectionem non in axis
44PROP.
13.
Addit. vertice, aſsignari non poteſt maximus: tangentium vero intrinſecus ſe-
ctionem in termino axis maximus erit, cuius radius æqualis eſt ſemie-
recto.
Repetatur figura, &
132[Figure 132] hypotheſis præcedẽtis pro
poſitionis. Quoniã qui-
libet circulus radio G A
minori, quàm D A de-
ſcriptus ſemper intrin-
ſecus tangit coniſectio-
nem in A (vt in præce-
dẽti propoſitione dictum
eſt) vbicumque ponatur
centrum G ſupra punctũ
D; neque augendo ra-
dium G A efſicitur alius
contactus circuli, & ſe-
ctionis, quàm intrinſe-
cus, & tunc primo cir-
culus deſinit intrinſecus
tangere ſectionem in A,
quando D A efſicitur
radius, ſcilicet quando
non amplius intrinſecus ſectionem tangit, ſed eam ſecat in A; quapropter aſsi-
gnari non poteſt maximus circulorum tangentium intrinſecus ſectionem in A.
Quod verò circulorum intrinſecus tangentium eandem ſectionem in vertice axis
B, ille, cuius radius B K æqualis eſt ſemierecto B H ſit maximus, oſtenſum eſt
à Maurolico propoſ: 5. 8. & 11. libri 5. Conicorum. Patet ergo propoſitum.
Iiſdem poſitis: dico circulorum omnium extrinſecus tangentium coni-
55PROP.
14.
Addit. ſectionem minimum aſsignari non poſſe.
146108Apollonij Pergæi
Sumpto in eadem ſi-
133[Figure 133] gura quolibet puncto g
1111. Addit. infra punctum D, quo-
niam circulus radio g A
deſcriptus contingit ex-
trinſecus coniſectionem
in A, nec vnquam ceſ-
ſabit prædictus cõtactus
extrinſecus, licet magis,
ac magis in infinitum,
punctum g ipſi D pro-
pinquior fiat, & tunc de-
mum ceſſat huiuſmodi
extrinſecus contactus,
quando deſcribitur cir-
culus radio D A, qui
quidem ſectionem ſecat
in A, vt dictũ eſt; qua-
propter minimus omniũ
extrinſecus ſectionem,
tangentium in A aſsignari nequit. Quodvero extrinſecus tangentium eandem
ſectionem in vertice axis B non poſsit aſsignari minimus, patet; nam omnes
circuli, quorum radij maiores ſunt ſemierecto ſectionis, eam extrinſecus tan-
22Maurol. 4.
7. & 10.
lib. 5.
Conic. gunt; & tunc demum eiuſmodi contactus extrinſecus ceſſat, quando radius cir-
culi æqualis efſicitur ſemierecto: at tunc intrinſecus ſectionem tangit; quapro-
pter reperiri non poteſt minimus circulorum coniſectionem extrinſecus tangenti-
um: quod erat oſtendendum.
Ex dictis colligitur, quod ex concurſu ad quamlibet coniſectionem poßunt du-
ci tres, vel quatuor ramiſecantes inter ſe æquales: in ellipſi vero, & in reliquis
ſectionibus ſi rami ſecantes non fuerint, duci poteſt vnus, vel duo rami inter
ſe æquales.
Nam circulus radio alicuius breuiſecantis deſcriptus tangit, vel ſecat coni-
ſectionem, & ſiquidem eam extrinſecus tangit, neceſſario eandem bis ſecat, ſi
fuerit parabole, aut hyperbole, quæ infinitè augẽtur, & dilatãtur; & propterea
radij circuli ad occurſus, & contactum ducti æquales ſunt interſe; & ideo tres
rami tantum erunt æquales: ſi vero deſcribatur circulus, cuius centrum eſt con-
curſus, radius vero minor eſt maximo, & maior minimo duorum breuiſecan-
tium: tunc quidem neceſſario circulus quatuor in punctis ſectioni conicæ occur-
ret: & propterea quatuor radij ad occurſus ducti erunt inter ſe æquales.
At in ellipſi ſi concurſus ſiat circuli centrum, radius vero breuiſecans maxi-
mus trium, qui in ea duci puſſunt, circulus prædicto radio deſcriptus continget
quidem exterius ellipſim, neque deinceps vnquam ei occurret: & propterea ra-
mus ille maximus erit vnicus, cum nullus alius ei æqualis duci poſsit in eadem
ellipſi: ſi verò à concurſu in productione axis ellipſis poſito deſcribatur circulus,
cuius radius minor ſit maximo ramo, ſed maior vtroque terminato; tunc qui-
dem circulus duobus in locis ellipſi occurret; & propterea duo tantum rami inter
ſe æquales erunt; pari modo, quando à concurſu tres breuiſecantes ad
147109Conicor. Lib. V. educuntur, tunc quidem circulus, cuius centrum eſt concurſus, radius vero mi-
nor maximo breuiſecantium, & maior duobus reliquis neceßariò ellipſin duobus
in locis ſecabit; & ideo duo tantummodo rami inter ſe æquales erunt.
SECTIO DECIMAQVINTA
Continens Propoſ. XXXXI. XXXXII.
XXXXIII. Apollonij.
PROPOSITIO XXXXI.
IN hyperhola angulus contentus à linea breuiſſima, & à men-
11a ſura minor eſt angulo compræhenſo à linea diſtante cum cõ-
tinente.
Sit hyberbole A B, eius axis D
134[Figure 134]22b C, linea breuiſſima B C, duo con-
tinentes D E, D F, & diſtantia ſit
A E, & dimidium erecti A G: Di-
co, angulum B C D minorem eſſe
angulo D E A. Educamus itaque
perdendicularem B H, & iungamus
B D, quæ ſecet A E in I. Quia.
D A ad A G eſt, vt D H ad H C
(14. ex 5.) & I A ad A D eſt, vt
339. huius. B H ad H D; ergo ex æqualitate,
I A ad A G, eandem proportionẽ
habebit, quàm B H ad H C, &
propterea E A ad A G, nempe D
A ad diſtantiam A E maiorẽ pro-
portionem habebit, quàm B H ad H C igitur angulus B C H minor eſt,
quàm D E A, quod erat oſtendendum.
PROPOSITO XXXXII.
IN parabola lineæ breuiſſimæ productæ occurrunt ſectioni ex
44a vtraque parte.
Quoniam breuiſſima eſt linea recta ſecans diametrum paraboles intra
ſectionem; & propterea ſectioni occurret ex vtraque parte (28. ex pr.)
5527 lib. 1.& hoc erat oſtendendum.
148110Apollonij Pergæi
PROPOSITIO XXXXIII.
SI inclinatus axis hyperboles erectum non excedit, nulla li-
11a nearum breuiſſimarum ſectioni ex altera parte occurret: ſi
verò maior illo fuerit, tunc breuiſſimarum linearum aliquæ oc-
currunt ſectioni, aliquæ verò non occurrunt.
22b
Sit priùs D A non maior, quàm A G: & quia D A ad A G eandẽ pro-
portionem habet, quàm quadratum D A ad quadratum A E, erit D A
non maior quàm A E; & propterea angulus D E A non crit maior an-
gulo E D A: ſed maior fuerat angulo B C H (41. ex 5.) ergo angulus
E D A, nempe A D F maior eſt, quàm B C D, & propterea B C, D F
non conueniunt ad partes C, F; igitur B C non occurrit ſectioni ad par-
tes K, A; eo quod ſi illam ſecaret, etiam ipſi D F occurreret (8. ex 2.)
quare non occurrit ſectioni in duobus punctis.
Deinde ſit D A maior, quàm A
135[Figure 135]33c G habebit E A ad A G maiorem
proportionẽ, quàm ad A D; & po-
natur I A ad A G, vt E A ad A
D; ergo I A minor eſt, quàm E A,
44Secunda
lib. 2. quare recta D B, illam diuidens,
occurret ſectioni, & cadat in B, du-
caturque linea breuiſſima B C, &
B H perpendicularis ad D C; erit
I A ad A D, vt B H ad H D; eſt-
que D A ad A G, vt D H ad H C;
5514. huius. ergo I A ad A G, nempe E A ad
A D eſt, vt B H ad H C, & pro-
pterea duo triangula E A D, B H
C ſunt ſimilia; igitur angulus B C
H æqualis eſt E D A, nempe F D A; quare B C, D F ſunt parallelæ,
nec poſſunt ſe ſe mutuo ſecare; ergo B C non occurret ſectioni K A.
6613. lib. 2. Lineæ vero breuiſſimæ, quæ in peripheria A B cadunt, continent cum.
C A angulos minores angulo B C D (26. 27. ex 5.) vnde non occurrent
77Conuerſ.
8. lib. 2. ipſi D F, & propterea neque ſectioni occurrent. At ille, qui cadit extra
hanc ſectionis peripheriam; ſi producatur continet cum C D angulum.
maiorem angulo B C D (26. 27. ex 5.) igitur productus occurrit D F,
& occurrit ſectioni A K: quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſ. XXXXI.
ANgulus contentus à breuiſſima linea, & menſura minor eſt angulo
contento à diſtante cum continente in ſectione, & c. Adijcio
149111Conicor. Lib. V. ticulam in hyperbole, quæ in textu deſideratur. Vocat interpres Arabicus li-
neam diſtantem ipſam A E, quæ contingit hyperbolem in vertice axis A, &
interponitur inter verticem A, & continentem, ſeu asymptoton D E.
Sit ſectio, D C diameter illius, & c. Legendum puto; Sit hyperbole A B
11b eius axis D C. Poſtea quia D A, ad A G, ſeu latus tranſuer ſum ad rectum eſt,
22Ex 14.
huius. vt D H ad H C, atque I A ad A D eſt, vt B H ad H D (propter ſimilitudi-
nem triangulorum I A D, & B H D) ergo ex æqualitate ordinata I A ad A
G eſt vt B H ad H C: deinde quia linea A E media proportionalis eſt inter ſe-
miaxim tranſuerſum D A, & ſemierectum A G, cum quadratum ipſius A E
quadrans ſit figuræ quæ ad diametrum per A ductum conſtituitur; igitur E A
333. lib. 2. ad A G erit, vt D A ad A E, eſt vero E A maior, quàm I A; igitur I A ad A
G minorem proportionem habet, quàm E A ad A G, ſeu quàm D A ad A E:
erat autem B H ad H C, vt I A ad A G: igitur B H ad H C minorem propor-
tionem habet, quàm D A ad A E: fiat poſtea L A ad A E, vt B H ad H C
circa angulos rectos A, H, coniungaturq; L E, manifeſtum eſt, L A minorem
eſſe-D A, & angulum A E L minorem eſſe angulo A E D: ſed propter ſimili-
tudinem triangulorum B H C, L A E eſt angulus C æqualis angulo A E L; &
proptrea angulus A E D maior eſt angulo B C H.
Notæ in Propoſ. XXXXII.
QVia eſt linea recta ſecans diametrum paraboles; & c. Addo illam par-
44a ticulam breuiſſimam, quæ in textu deſiderari videtur.
Notæ in Propoſit. XXXXIII.
INclinatum ſi non excedit erectum, nulla linearum, & c. Addo, quæeui-
55a denter deſiciunt in textu, legi enim debet: Axis inclinatus ideſt tranſuer-
ſus ſi non excedit erectum, & c.
Et quia D A ad A G eſt vt quadratum D A ad quadratum A E, & c.
66b Eo quod quadratum A E æquale eſt quartæ parti figuræ, quæ ad duplam ſemia-
773. lib. 2. xis D A applicatur, ſcilicet æquale eſt rectangulo D A G; igitur D A, A E,
A G ſunt continuæ proportionales: ponitur vero D A æqualis, aut minor, quàm
A G; igitur D A æqualis, aut minor quoque erit, quàm A E; & propterea in
triangulo D E A erit angulus D E A æqualis, aut maior angulo A D E, ſeu
A D F (cum angulus continentiæ ſecetur bifariam ab axi) & prius erat an-
8841. huius. gulus C minor angulo A E D; igitur angulus B C D minor erit alterno angulo
F D C; vnde conſtat rectas lineas F D, C B concurrere poſſe, ſi vlterius pro-
ducantur ad partes D, B; non autem ad partes C, & F.
Quia ſi occurreret illi occurreret D F (7. ex 2.) ſecaretque ſectionem
99c in duobus punctis, & c. Senſus huius textus talis eſt. Quoniam, vt oſtensũ
eſt, recta B C inſinite producta non occurrit asymptoto D F ad partes F C; igi-
10108. lib. 2. tur recta C B producta non ſecabit peripheriam hyperboles ad partes K; nam
ſi ipſam ſecaret, ſecaret quoque asymptoton D F ad partes F, quod non poni-
1111Ibidem. tur. Ex his inferri debet concluſio principalis, nimirum, quod B C non occurrit
ſectioni duobus in punctis: & hac ratione textum alioqui corruptum emendaui.
150112Apollonij Pergæi
Lineæ vero breuiſſimæ, quæ ca-
136[Figure 136]11d dunt ad peripheriam ſectionis B
A, continent angulos minores,
quàm B C D, vtique non occur-
runt D F, & c. Ideſt: quia quælibet
breuiſsima ex puncto peripheriæ A B
ad axim ducta efſicit angulum propin-
2226. 27.
huius. quiorem vertici, minorem ipſo angulo
C; & propterea quælibet breuiſsima,
ad peripheriam A B extenſa ſecabit ne-
3328. huius. ceſſario ipſam B C vlterius productam
ad partes C: ſed prius oſtenſa fuit B
C parallela asymptoto D F; igitur quæ-
libet breuiſsima ad peripheriam A B
educta ideſt inter parallelas poſita non
occurret alteri æquidiſtantium D F ad partes F, ſed ad partes oppoſitas verſus
D; eo quod quælibet recta linea intra hyperbolam ducta non ſecat peripheriam ſe-
44Conuerſ.
8. lib. 2.
26. 27.
huius.
28. huius. ctionis in ea parte, in qua continentem D F nõ ſecat; At quælibet alia breuiſsima
infra C B ducta, neceſſario efſiciet ad axim angulum maiorem, quàm C; & pro-
pterea vlterius producta ſecabit ipſam B C ad partes C; ſed quælibet breuiſsima
extra parallelas poſita quæ ſecat vnam æquidiſtantium B C, ſecabit quoq; reli-
quam ad eaſdem partes F C; quare prius ſectioni occurret, vt dictum eſt.
SECTIO DECIMASEXTA
Continens XVI. XVII. XVIII. Propoſ.
Apollonij.
SI menſura comparata ſumpta fuerit in axe recto minore elli-
55a pſis, erit maximus ramorum ab eius origine egredientium,
& illi propinquior maior eſt remotiore: minimus vero ramorũ
eſt differentia recti, & comparatæ, & illi propinquior, minor
eſt remotiore, atque exceſſus quadrati comparatæ ſupra qua-
dratum cuiuſcunque rami aſſignati æqualis eſt exemplari appli-
cato ad abſciſſam illius rami, ſiue comparata ſit minor, aut
æqualis, aut maior recto.
Sit D C rectus a-
137[Figure 137] xis minor ſectionis
ellipticæ A B C ſit-
que C I comparata,
& rami I H, I K, I
B, I L, I A, I D, &
ſemiſſis erecti ſit C
F, & centrum E, &
151113Conicor. Lib. V. educamus F E quouſque ſecet D M perpendicularem ad axim in M, &
F I occurrat D M in N, & ducantur ad axim perpendiculares H O T S,
K P V, B E, L Q, A R: & ſit in prima figura C I minor recto, in ſecun-
da æqualis, in tertia vero maior. Conſtat, quemadmodum demonſtra-
11b uimus in propoſitione ſexta huius, quod quadratum I C æquale ſit du-
plo trianguli I C F; at quadratum O H duplum eſt trapezij O T F C
(1. ex 5.) & quadratum I O duplum eſt trianguli O I S; ergo quadra-
tum I C, nempe duplum trianguli I F C excedit quadratum I H duplo
trianguli F T S, quod eſt æquale rectangulo T a: & conſtat, vti dictum
22c138[Figure 138] eſt, quod ſit exemplar applicatum ad O C; ergo quadratum I C excedit
quadratum I H exemplari applicato ad O C abſciſſam ipſius I H. Patet
etiam, quod quadratum I C excedit quadratum I K exemplari applica-
to ad P C; idemque conſtat in I B; igitur I C maior eſt, quàm I H, &
33d I H, quàm I K, & I K, quàm I B: poſtea, in figura prima, & tertia. ,
139[Figure 139] quia triangulum F C E æquale eſt triangulo D E M; ergo quadratum.
44e I C æquale eſt duplo trianguli N F M cum duplo trianguli D I N, qua-
dratum vero I D æquale eſt duplo trianguli D I N; igitur quadratum.
152114Apollonij Pergæi I D minus eſt, quàm quadratũ I C duplo trianguli N F M, quod æqua-
le eſt exemplari applicato ad D C, & quadratum I R æquale eſt duplo
trianguli I X R, & quadratum A R æquale eſt duplo trapezij R M (3. ex
5.) ergo quadratũ I A minus eſt, quàm quadratum I C duplo trianguli
F Z X, quod æquale ex exemplari applicato ad C R (6. ex 5.) ſimiliter
quadratum I L minus eſt, quàm quadratum I C exemplari applicato ad
C Q; eſtque C D maior, quàm C R, & C R quàm C Q; ergo I A ma-
ior eſt, quàm I D, & I L, quàm I A; quod erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. XVI. XVII. XVIII.
COmparata ſi fuerit ex recto duorum axium ellipſis crit maximus ra-
11a morum, & c. Addidi particulam illam axis minoris, quæ in textu defi-
ciebat, nunquam enim C F ſemiſsis lateris recti, eſſe poteſt maior C E ſemiſſe
lateris tranſuerſi, niſi C D fuerit axis minor ellipſis.
Conſtat, quemadmodum demonſtrauimus in propoſitione 6. & c. Quo-
22b niã menſura I C ſupponitur cõparata, ideſt æqualis ipſi C F ſemiſsi lateris recti;
propterea triangulum I C F iſoſceleum erit, & rectangulum in C; & ideo qua-
dratum I C æquale erit duplo trianguli I C F: eadem ratione propter parallelas
S O, & C F, erit triangulum I O S ſimile triangulo I C F, & propterea illud
quoque iſoſceleum erit, & rectangulum in O, & ideo quadratum I O æquale,
erit duplo trianguli I O S: eſt verò quadratum O H æquale duplo trapezij F T
331. huius. O C; igitur quadratum I H ( quod eſt æquale duobus quadratis I O, O H circa
angulum rectum O) æquale erit duplo trianguli I O S cum duplo trapezij F T
O C, ſed hæc duo ſpatia minora ſunt duplo integri trianguli I C F, eſtque de-
fectus duplum trianguli F T S, ſiue rectangulum S T b a; igitur duplum trian-
guli I C F, ſiue quadratum I C maius eſt quadrato I H, & exceſſus eſt rectan-
gulum T a: quod vero rectangulum T a ſit exemplar demonſtrabitur modo, vt
in ſexta propoſitione huius.
140[Figure 140]
Et conſtat, vt dictum eſt, quod ſit exemplar applicatum ad O C, & c.
44c Quoniam rectæ S a, T b, I C ſunt parallelæ, erunt triangula I C F, & S a
153115Conicor. Lib. V. ſimilia; pariterque duo triangula E F C, T b F ſimilia erunt; & propterea S a
ad a F eandem æqualitatis proportionem habebit, quàm I C habebat ad C F, ſi-
militer T b ad b F eandem proportionem habebit, quàm E C ad C F, ſeu quàm
latus tranſuerſum D C ad eius latus rectum: eſtvero T b æqualis S a, ſeu a F;
ergo F a ad F b eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum D C ad
eius latus rectum; & comparando antecedentes ad differentias terminorum. ,
11Lem. 1.
huius. erit F a, ſeu b T ad b a, vt latus tranſuerſum D C ad differentiam eiuſdem
tranſuerſi, & recti lateris; quare parallelogrammũ rectangulum S b, erit exem-
22Defin. 9.
huius. plar applicatum ad abſciſſam O C.
141[Figure 141]
Igitur I C maior eſt, quàm I H, & I H, quàm I K, & c. Eo quod abſciſ-
33d ſa O C minor eſt, quàm C P, & C P minor, quàm C E: ſuntque prædictæ ab-
ſciſſæ latera homologa exemplarium, quæ ad eaſdem abſciſſas applicantur; at-
44Defin. 9.
huius. que prædicta exemplaria ſimilia ſunt inter ſe, cum circa angulos rectos latera
habeant eandem proportionem, quàm latus tranſuerſum D C ad differentiam.
eiuſdem tranſuerſi, & recti lateris; quare exceſſus quadrati I C ſupra quadra-
tum I H minus eſt exceſſu eiuſdem quadrati I C ſupra quadratum I K; & ad
huc minus exceſſu quadrati I C ſupra quadratum I B, & propterea recta I C
minori exceſſu ipſam I H ſuperabit, quàm ipſam I K; & adhuc minori exceſ-
ſu ſuperabit I K, quàm excedat I B; & ideo I C maior erit, quàm I H, & I
H maior, quàm I K, & I K maior, quàm I B.
142[Figure 142]
154116Apollonij Pergæi 143[Figure 143]
Ergo quadratum I C æquale eſt duplo trianguli N F M cum duplo
11e trianguli D I N, & c. Quoniam quadratum I C æquale eſt duplo trianguli I
C F, ſeu duplo trianguli I F E vna cum duplo trianguli E F C; eſtque duplum
trianguli E D M æquale duplo trianguli E C F; igitur quadratum I C æquale
eſt duplo trianguli I F E vna cum duplo trianguli E M D: ijs vero triangulis
æquatur duplum trianguli N F M vna cum duplo trianguli D I N; igitur qua-
dratum I C æquale eſt duplo trianguli N F M vna cum duplo trianguli D I N:
eſt vero quadratum I D æquale duplo trianguli D I N; igitur exceſſus quadrati
I C ſupra quadratum I D eſt triangulum N F M bis ſumptum; ſcilicet exem-
plar applicatum ad latus tranſuerſum D C.
SECTIO DECIMASEPTIMA
Continens XIX. XX. XXI. XXII. XXIII.
XXIV. & XXV. Propoſ. Apollonij.
PROPOSITIO XIX.
SI menſura E C ſumatur in axe minori ellipſis A B C, ſitque
22a maior comparata; erit maximus omniũ ramorũ egredientiũ
ex ſua origine, vt E F, E B, E G; & maximo propinquior,
maior erit remotiore, nempe E F, quàm E B, & E B, quàm E G.
Coniungamus rectas A G, G B, B F,
144[Figure 144]33b F C; & ſecetur C H æqualis compara-
tæ: iungãturque F H, H B, H G.
Et quoniam H C maior eſt, quàm H
F, (16. 17. 18. ex 5.) erit angulus H C
F minor, quàm H F C; & ideo multo
minor erit, quàm E F C, quare E C
maior eſt, quàm E F: & ſic conſtat, quod
E F maior ſit, quàm E B, & E B, quàm
E G, & E G, quàm A E; quod erat
oſtendendum.
155117Conicor. Lib. V.
PROPOSITIO XX. XXI.
& XXII.
SI in ellipſi A B C menſura I C in axe minori C D ſumpta
11a minor fuerit comparata, C F, & maior dimidio axis E C,
( perficiaturque figura, vt antea ) dico, quod omnium ramorum
I A, I B, I K, I H, I C egredientium ex origine I maximus
145[Figure 145] eſt I B, cuius potentialis B G abſcindit à menſura verſus origi-
nem rectam G I, ad quàm inuerſa E G eandem proportionem
habet, quàm D C ad eius erectum; Et quadratum maximi I B ſu-
perat quadratum cuiuslibet alterius rami I K exemplari applica-
to ad G P differentiam eorum abſciſſarum.
146[Figure 146]
156118Apollonij Pergæi
Quoniam proportio E G ad G I facta eſt, vt E C ad C F, nempè E
11b G ad G V, erit G V æqualis G I; & propterea quadratum G I æquale.
eſt duplo trianguli G I V, & quadratum G B æquale eſt duplo trapezij
G F (1. ex 5.) ergo quadratum I B æquale eſt duplo trianguli I C S cum
147[Figure 147] duplo trianguli F S V; & ſic conſtat, quod quadratum I K æquale eſt du-
plo trianguli I C S cum duplo trapezij S L; & propterea quadrati I B ex-
ceſſus ſupra quadratũ I K æqualis erit duplo trianguli L T V, quæ æqua-
lia ſunt exemplari applicato ad G P (6. ex 5.) atque ſic oſtendetur, quod
I B potentia ſuperat I H; eſtque exceſſus exemplar applicatum ad G O,
& ſuperat quoque I A poteſtate, eſtque exceſſus æqualis exemplari ap-
plicato ad G Q; eſt vero G O maior, quàm G P; ergo I B maior eſt quã
I K, & quàm I H; & ſic oſtendetur, quod I B maior ſit, quàm I A; &
hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXIII. & XXIV.
EContra, ſi maximi rami origo
148[Figure 148]22a ponatur in axi minore, at non in
cẽtro ellipſis, nec ſit menſura continet
cum ipſa menſura angulum acutum,
& eius inuerſa ad abſciſſam à poten-
tiali cum origine habet eandem pro-
portionem figuræ axis recti minoris:
ſi vero educatur ex centro, erit per-
pendicularis ſuper rectum.
Sit ſectio elliptica A B C centrum D, & E origo, quæ ſit in axi mino-
33b ri C A, & E F ramus omnium maximus; erit vtique E C, vel
157119Conicor. Lib. V. ſemierecto, aut æqualis, aut minor illo; ſed ſi eſſet æqualis, aut maior eſ-
ſet quoque E C maximus ramorum (16. 17. 18. 19. ex 5.) ergo C E mi-
nor eſt dimidio erecti, & ideo aliqua minor, quàm D C ad reſiduam vſq;
11c ad E eandem proportionẽ habebit, quàm D C ad ſemiſſim erecti; & ſit D G
ad G E, & ex G ad axim ducamus perpendicularem: hanc, dico, occur-
rere ſectioni in F; alioquin occurrat ei in H, & iungamus E H; igitur E
H eſt maximus ramus (20. ex 5.) & propterea maior, quàm E F, qui
maximus ſuppoſitus fuit, & hoc eſt abſurdum; igitur occurrit ſectioni in
F; & quia G eſt rectus angulus, erit F E G acutus. Siverò ramus maxi-
22d mus educatur ex cẽtro, vt D B erit perpendicularis ſuper A C; alioquin
educatur D I perpẽdicularis ad axim; igitur D I eſt ſemiſsis axis tranſuer-
ſi (11. ex 5.) & propterea eſt ramus omnium maximus, ſed D B ſuppo-
ſitus fuit maximus, quod eſt abſurdum, vti dictum eſt; quare patet pro-
poſitum.
PROPOSITIO XXV.
SI in ellipſi ramus
33a149[Figure 149] maximus E B mẽ-
ſuram ſecans vltra ori-
ginem E, in axe eius
minori exiſtentem, pro-
ducatur ad F, fiet F B
maximus omniũ ramo-
rum F G, F H, FI, ab
eodem puncto, ad ſe-
ctionem A B C caden-
tium, & propinquior
maximo maior eſt remotiore.
Educamus B G, B H, H I, I A, E G, E H, E I; & quia E B maior
44b eſt, quàm E H, erit angulus B H E maior, quàm E B H; igitur angulus
B H F multo maior erit, quàm H B F, & propterea B F maior, eſt quàm
F H; atque ſic demonſtrabitur, quod H F maior ſit, quàm F I, & F I,
quàm F A; & hoc erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. XIX.
SI vero fuerit menſura E C ex recto duorum axium ellipſis A B C,
55a fed ſit maior comparata, & c. Similiter bic declarari debet, quod axis
rectus ſit minor; & propterea lego: Si menſura E C ſumatur in axe minori
ellipſis, & c.
158120Apollonij Pergæi
Nam ſi coniungamus A G, B G, B F,
150[Figure 150]11b F C, & c. Ideſt; ſecetur C H æqualis com-
paratæ, ſeu ſemiſsi lateris recti axis A C;
quia menſura E C ſuppoſita eſt maior compa-
rata, erit quoque E C maior, quàm C H, &
propterea recta linea E F cadet infra H F;
ideoque angulus C F E maior erit angulo C
F H: eadem ratione angulus F B E maior
erit angulo F B H, atque angulus B F E mi-
nor erit angulo B F H, & ſic de reliquis,
cumque C H ſit æqualis comparatæ, & ſit
maior C D ſemiße axis recti minoris, omnium ramorum ex origine H ad elli-
2216. 17. 18.
huius. pſim C F B G, cadentium maximus erit H C; & propterea H C maior erit,
quàm H F, & in triangulo H F C angulus H F C oppoſitus maiori lateri ma-
ior erit angulo C; eſtque oſtenſus angulus E F C maior angulo H F C; igitur
in triangulo C E F erit angulus C F E maior angulo F C E; & propterea ra-
mus E C maior erit, quàm E F: ſimili modo, quia ramus H F propinquior ma-
33Ibidem. ximo maior eſt remotiore H B, erit angulus H F B minor angulo H B F: ideo-
que angulus E F B, pars minoris, adbuc minor erit angulo E B F, maiorem
excedente; & propterea in triangulo E F B erit ramus E F propinquior maxi-
mo E C, maior remotiore E B, & c.
Notæ in Propoſit. XX. XXI. XXII.
SI vero fuerit menſura I C minor comparata, quæ ſit C F, nempe ſe-
44a miſſe erecti, & maior dimidio recti E C, & origo ſit in recto, aut in
eius productione, vt in I; tunc maximus ramorum egredientium ex origi-
ne, vt I A, I B, I K, I H eſt cuius inuerſi proportio E G (poſt abſolu-
tionem figuræ cum perpendicularibus, & lineis præcedentibus) ad ab-
151[Figure 151] ſciſſam eius potentialis ex menſura cum origine, vt I G eſt, vt propor-
tio figuræ recti, vt D C ad erectum illius, & quadratum eius, nẽpe
159121Conicor. Lib. V. dratum maximi, qui eſt I B, ſuperat quadratum cuiuslibet illorum exem-
plari applicato abſciſſionibus eorum potentialium, & c. Senſus buius tex-
tus penè vix diuinari poteſt inter tot menda, & phraſis Arabicæ obſcuritatem;
puto tamen, eum eſſe, quem in textu appoſui, vbi paucula verba immutaui,
quæ deſiderari videbantur, aliqua verò tranſpoſui, vt ſenſus continuari poſſet.
Cæterum animaduertendum eſt in biſce propoſitionibus, ſicuti in 8. 9. & 10.
buius libri ſupponi vt res manifeſta intra ſectionem duci poſſe à puncto originis
ramum maximum, vel breuiſsimum, ideſt neceſſario reperiri debere ramum,
cuius potentialis abſcindit à menſura verſus originem rectam lineam, ad quàm
inuerſa eandem proportionem babeant quàm axis tranſuerſus ad ſuum erectum:
boc autem ſine demonſtratione admittere nefas eſt. Ergo quod in textu deſidera-
tur ſuppleri poteſt bac ratione. Quia C I maior eſt, quàm C E, ſed minor,
quàm C F; ergo eadem E C ad minorem C I maiorem proportionẽ babet, quàm
ad C F; & comparando antecedentes ad differentias terminorum C E ad E I
maiorem proportionem babebit, quàm E C ad differentiam ipſius C F à C E;
quare aliqua magnitudo minor quàm prima ſcilicet G E ad E I eandem propor-
tionem habebit, quàm C E ad differentiam ipſarum C F, & C E: & iterum
comparando antecedentes ad ſummas terminorum E G ad G I eandem proportio-
nem babebit, quàm E C ad C F; quare punctum G cadet intra ſectionem, pa-
riterq; G B ad axim perpendicularis occurrens ſectioni in B cadet intra eandem
ſectionem: & ideo duci poterit ramus I B, qui oſtendetur maximus reliquorum
omnium.
152[Figure 152]
Quoniam proportio G E ad E I facta eſt, vt E C ad C F, & c. Nam
11b vt axis D C ad eius erectum, ſeu vt ſemiaxis E C ad ſemierectum C F, ita
facta eſt E G ad G I: ſed propter parallelas G V, & F C: & ſimilitudinem
triangulorum E G V, E C F eſt E G ad G V, vt E C ad C F; & propterea
eadem E G ad duas G V, & G I babebit eandem proportionem, & ideo I G æ-
qualis erit G V, & triangulum I G V iſoſceleum, & rectangulum erit in G;
quare quadratum I G duplum erit trianguli I G V: eſt verò quadratum B G
æquale duplo trapezij G C F V; ideſt duplo trapezij G C S V, cum duplo trian-
221. huius. guli F S V; igitur quadratum I B (quod eſt æquale duobus quadratis I G, G
B circa angulum rectum G) æquale eſt duplo trianguli I G V duplo trapezij
160122Apollonij Pergæi C S V cum duplo trianguli F S V; ideſt quadratum I B æquale eſt duplo trian-
guli I S C cum duplo trianguli F S V; & quoniam propter parallelas C S, &
G V, triangulum I C S ſimile eſt iſoſcelio, & rectangulo triangulo I G V, erit,
quadratum I C æquale duplo trianguli I C S iſoſcelei, & rectanguli in C; ergo
exceſſus quadrati I B ſupra quadratum I C æquale eſt duplo trianguli F S V;
eſt verò rectangulum, cuius baſis F S, altitudo verò C G æquale duplo trianguli
F S V; atque buiuſmodi rectangulum eſt exemplar applicatum ad abſciſſam G
C, vt in notis prop. 16. 17. & 18. litera c. oſtenſum eſt igitur quadrati I B
exceßus ſupra quadratum I C eſt exemplar applicatum ad abſciſſam G C: Simili
153[Figure 153] modo quadratum I K oſtendetur æquale duplo trianguli I C S vna cum duplo
trapezij L T S F; atque dupli trianguli I C S cum duplo trianguli F S V ex-
ceſſus ſupra duplum trianguli I C S cum duplo trapezij L T S F eſt duplum
trianguli L T V; ergo quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I K eſt duplum
trianguli L T V, ſeu exemplar applicatum ad G P differentiam abſciſſarum.
Poſtea quia triangula ſimilia E C F, E D M ſunt æqualia, cum eorum bomologa
latera E C, E D æqualia ſint; ergo addito communi triangulo I E V, erit trian-
gulum E C F cum triangulo E I V, ſeu triangulũ I C S cum triangulo F S V
æquale duobus triaugulis E D M, & I E V, ſeu duobus triangulis M V N, &
N I D: erat autem quadratum I B æquale duplo trianguli I C S cum duplo tri-
anguli F S V; igitur quadratum I B æquale erit duplo trianguli M N V cum
duplo trianguli N I D; eſtque quadratum I D æquale duplo trianguli iſoſcelei,
rectanguli I D N; igitur quadratum I B ſuperat quadratum I D, eſtque exceſ-
ſus duplum trianguli M N V ſeu exemplar applicatum ad G D. Tandem quia
quadratum I Q æquale eſt duplo trianguli iſoſcelei rectanguli I Q X, atque
quadratum Q A æquale eſt duplo trapezij Q M; igitur quadratũ bypotbenuſæ I
A æquale eſt duplo trianguli I D N cum duplo trapezij X N M Z; ergo exceſ-
ſus quadrati I A ſupra quadratnm I D æqualis eſt duplo trapezij X N M Z; exceſ-
ſus autem trianguli N M V ſupra trapezium N Z eſt triangulum X Z V; &
erat quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I D, triangulum ipſum M V N bis
ſumptum. Igitur quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I A eſt duplum trian-
guli X Z V, ſeu exemplar applicatum ad G Q. Quod autem exemplaria æqualia
ſint prædictis triangulis bis ſumptis, oſtenſum eſt in prop. 6. buius.
161123Conicor. Lib. V.
Notæ in Propoſ. XXIII. XXIV.
EContra linea maxima, ſi non egredia-
11a154[Figure 154] tur ex centro, continet cum mẽſura
angulum acutum, & proportio illius in-
uerſæ ad abſciſſam eius potentialis ex mẽ-
ſura cum origine, eſt vt proportio figuræ
recti. Si verò fuerit extra centrum, erit
perpendicularis ſuper rectum, & c. Mani-
feſtè nõ nulla in textu Arabicc deficiunt; ali-
qua verò immutari debent; alioquin propo-
ſitio vera non eſſet, itaque legendum puto: E
contra ſi maximi rami origo ponatur in axi
minore, & c: Vt in textu babetur.
Sit ſectio A B C elliptica, & E origo, & E F linea maxima, & c. Ad-
22b didi pariter in bac expoſitione verba, quæ deſiciunt; nimirum: Sit centrum
D, & origo E, quæ ſit in axi minori A C.
Et ideo D C ad dimidium erecti eſt linea minor, quàm D C, & ſit D
33c G ad G E, & c. Nonnulla adiungi debent buic textui corruptiſsimo, ne ſint
verba nil prorſus ſignificantia, itaque ſic legendum puto. Et ideo aliqua minor,
quàm D C ad reſiduam vſque ad E eandem proportionem babebit, quàm D C ad
ſemiſſem erecti; & ſit D G ad G E, & c. Quæ verba breuiſsimè more Apollonij
expoſita ſic confirmantur. Quia E C oſtenſa eſt minor dimidio erecti axis mi-
noris C A, fiat C K æqualis dimidio erecti; erit E C minor quàm C K,
& ablata communi D C erit D E minor, quàm K D; & propterea D E ad ean-
dem D C minorem proportionem babebit, quàm K D: fiat E D a d D G, vt K
D ad D C, erit D G minor, quàm D C: & componendo, E G ad G D eandem
proportionem babebit, quàm K C ad C D, & inuertendo, D G ad G E eandem
proportionem babebit, quàm D C ſemiſsis axis recti ad C K ſemiſsim erecti
eiuſdem axis; & ex G ducatur G F perpendicularis ad axim, quàm, dico, oc-
currere ſectioni in F termino maximi rami E F.
Et ſi maxima fuerit extra centrum, vt D B erit perpendicularis, & c.
44d Textus euidenter corruptus ſic corrigi debet. Si verò ramus maximus educatur
ex centro, vt D B, & c.
Notæ in Propoſ. XXXV.
SI producatur vna linearum maximarum, vt E B ad latus illius originis
55a E ad punctum F, fiet maxima linearum egredientium ab illo puncto
F G, F H, F I, F A ad ſectionem B I A in directum, & propinquior illi
maior eſt remotiore, & c. Immutaui nonnulla, quæ ad propoſitionis integrita-
tem facerc videbantur: vt in textu babetur.
162124Apollonij Pergæi
Erit angulus BHE ma-
155[Figure 155]11b ior, iquàm E B H, & c. Eo
quod ramorum omnium ab
origine E ad ellipſim C B H
cadentium maximus ſuppo-
nitur E B; ergo maior erit,
quàm E H, & propterea
angulus E B H minori late-
ri oppoſitus minor erit angu-
lo E H B: cadit vero recta
H F infra H E; propterea
quod punctum F infra pun-
ctum E exiſtit; igitur angu-
lus F H B maior eſt angulo
E H B; & ideo angulus F H B multo maior erit angulo F B H; igitur ramus
F B, maiorem angulum ſubtendens, maior erit, quàm F H, & c.
SECTIO DECIMAOCTAVA
Continens XXXII. XXXIII. XXXIV. XXXV.
XXXVI. XXXVII. XXXVIII. XXXIX.
XXXX. XXXXVII. XXXXVIII.
Propoſit. Apollonij.
PROPOSITIO XXXII.
IN ellipſi A B C rami cuiuslibet
156[Figure 156]22a maximi G H vtrumque axim ſe-
cantis portio N H inter axim maio-
rem, & ſectionem intercepta, eſt li-
nea breuiſsima.
Producatur rectus axis minor A D vl-
tra centrum D ad I, G, & ex I, G ad ſe-
ctionem ducantur duo rami maximi G H,
I K, qui ſecent tranſuerſum B D in N,
M, & ſit B E dimidium erecti axis B D,
& A F dimidium erecti axis A G; & edu-
cantur perpendiculares ad axes H O, H
P, K Q, K R. Dico, N H breuiſsimum
eſſe ramorum egredientium ex H. Quia
G H eſt linea maxima, erit D A ad A F,
nempe B E ad B D, vt D O ad O G (22.
33b ex 5.) nempe N H ad H G, ſeu N P
163125Conicor. Lib. V. P D; ergo B E ſemiſsis erecti ad B D ſemiſsim tranſuerſi eſt, vt N P ad
P D, & ideo N H eſt breuiſsima linearum egredientium ex N (10.
ex 5.) & fic oſtendetur, quod ſi K I fuerit maximus, erit K M breuiſſima.
PROPOSITIO XXXIII. XXXIV.
EContra oſtendetur, quod duæ breuiſſimæ, ſi producantur
11a ad partes ſuarum originum vſque ad axim minorem rectũ
ellipſis, fient duo maximi; & lineæ maximæ mutuò ſe ſecant in-
ter tranſuerſum, & rectum in eadem parte, & quod continent
cum menſura angulos, quorum proximior vertici ſectiouis ma-
ior eſt.
Quia D Q ad Q I eſt, vt D O ad O G, quia quælibet earum eſt, vt
22b D A ad A F (22. ex 5.) diuidendo, & permutando, fiet D Q minor ad
D O maiorem, vt D I ad D G; ergo D I minor eſt, quàm D G, & K Q
maior, quàm H O; quare angulus I maior eſt, quàm G; igitur H G, K I,
ſe mutuo ſecantes, conueniunt in L.
Et conſtat, quod occurſus duarum breuiſsimarum (ſi producantur ver-
ſus ſuam originem) erit intra angulum contentum à duabus medietati-
bus axium ellipſis B D, D C ſupra vnum eorum, nempe punctum L ca-
dit intra angulum B D C. Quoniam breuiſsimæ N H, M K ſe mutuò ſe-
cant, ſi producantur ad partes ſuæ originis (28. ex 5.) occurrent vtique
extra B D, & intra A G (33. ex 5.) & hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXXV.
SI per centrũ ellipfis tranſierit vna
33a157[Figure 157] duarum breuiſſimarum, vtique
rami egrediẽtes ab eorum occurſu ad
ſectionis quadrantem alterius breuiſſi-
mæ habebunt proprietates expoſitas
in propoſitionibus 54. & 55.
In ellipſi A B C ſit punctum E occur-
ſus duarum breuiſſimarum B D, C I, &
centrum ſectionis D: & ex E educamus E F, quæ ſecet tranſuerſum a-
xim in H. Dico, quod H F nõ eſt breuiſſima, & quod breuiſſima egre-
diens ex F abſcindit ex ſagitta A C cum A lineam maiorem, quàm A
H. Quoniam G I eſt breuiſſima; igitur F H, ſi eſſet quoque breuiſſima,
4434. Huius. occurreret ipſi G I intra angulum A D E: ſed non occurrit ei, niſi in E,
ergo F H non eſt breuiſſima; & quia F E non cadit inter duas breuiſe-
cantes E B, E G; ergo breuiſſima, egrediens ex F, abſcindit ex ſagitta
lineam maiorem, quàm A H (54. ex 5.) quod erat oſtenden@um.
164126Apollonij Pergæi
PROPOSITIO XXXVI.
IN ſectione elliptica quatuor lineæ
158[Figure 158] breuiſſimæ, vt B D, F I, G K,
H L, non conueniunt omnes in vno
puncto.
Alioquin ſit occurſus in E, & prius ſit
B D perpendicularis ſuper A C, tranſi-
ens per D centrum ſectionis; & quia E
eſt occurſus duarum breuiſſimarum B D,
1135. huius. F I, & B E tranſit per centrum; igitur
159[Figure 159] G K non eſt linea breuiſſima, quod eſt
contra hypotheſim. Si vero nullus eorũ
tranſit per centrum, educamus per cen-
trum D O perpendicularem ad A C; qua-
re duæ breuiſſimæ F I, G K conueniunt
intra angulum A D O (34. ex 5.) ſimi-
liter H L, M N breuiſſimæ occurrunt in-
tra angulum C D O (34. ex 5.) ſed cõ-
ueniunt in E, quod eſt abſurdum; igitur
quatuor lineæ breuiſſimæ non cõueniunt in vno puncto; quod erat oſten-
dendum.
PROPOSITIO XXXVII. XLVI.
IN coniſectione A B, cuius centrum D duci non poſſunt-duæ
lineæ maximæ in ellipſi, neque duæbreuiſſimæ in omnibus
ſectionibus, vt A E, A F ad vnum punctum A circumferentiæ
ſectionis terminatæ.
Educamus A G perpendicularem ad axim B E. Si itaque ſectio fue-
rit parabole, fiet E G æqualis F G, quia quælibet earum eſt æqualis di-
midio erecti (13. ex 5.) ſi vero fuerit hyperbole, aut ellipſis, fiet D G
ad G E, vt D G ad G F; quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ
(14. 15. ex 5.) igitur G F æqualis eſt G E, quod eſt abſurdum. Simi-
liter ſi B G fuerit minor duarum axium ellipſis, & fuerint A E, A F
rami maximi oſtendetur, quod G F æqualis ſit G E (23. ex 5.) Patet
igitur, vt dictum eſt, quod ex vno puncto ſectionis educi non poſſunt
ad axim illius duæ lineæ maximæ, neque breuiſſimæ, & hoc erat oſten-
dendum.
165127Conicor. Lib. V. 160[Figure 160]
PROPOSITIO XXXVIII.
SI linea maxima, aut breuiſſima,
161[Figure 161] vt C B, producatur extra ſe-
ctionem A B ad D, erit eius portio
B D extra ſectionem abſciſſa mini-
ma omnium linearum D E, D F,
D A egredientium ab illo pnncto ad
circumferentiam ſectionis: reliqua-
rũ vero propinquior, illi minor eſt
remotiore.
Educatur B G, tangens ſectionem in
11a B; erit D B minor, quàm D H; ergo mul-
to minor eſt, quàm D E: & iungamus
F E, F A, erit angulus F E D obtuſus,
& propterea D E minor eſt, quàm D F,
& ſimiliter D F minor, quàm D A; quod
erat oſtendendum.
166128Apollonij Pergæi
PR OPOSITIO XXXIX.
IN ſectione A B elliptica quælibet
162[Figure 162] perpendicularis F D ad lineam
maximam C D, ab eius termino D
in ſectione poſito educta, continget
coniſectionem.
Alioquin ſecet illam, & in eius produ-
ctione D G ſumatur punctum G intra ſe-
11a ctionem: & educamus B G C, igitur G
C maior eſt, quàm C D, quia ſubtendit
rectum angulum C D G, & propterea B C multo maior eſt, quàm C D,
quod eſt abſurdum; igitur educta illa linea eſt tangens; quod erat oſten-
dendum.
PROPOSITIO XXXX.
E Contra ſi fuerit F D tangens, erit perpendicularis ſuper
maximam D C.
Alioquin educamus aliam E D perpendicularem ſuper illam; ergo E
D tangit ſectionem in puncto D (39. ex 5.) ſed F D ſuppoſita fuit tan-
gens; igitur duæ D F, & D E tangunt ſectionem in vno puncto, quod
eſt abſurdum (36. ex I.)
PROPOSITIO XXXXVII.
Q Vælibet linea D E ex puncto
163[Figure 163] contactus D ad axim alicuius
ſectionis A B educta per-
pendicularis ad tangentem D C,
erit linea breuiſſima, aut maxima.
Alioquin educamus D F breuiſſimam,
22Ex 10. & 20. huius. vel maximam; ergo D C perpendicularis
eſt ſuper D F; ſed C D ſuppoſita fuit per-
3340. huius. pendicularis ſuper D E; quod eſt abſur-
dum: quapropter demonſtratũ eſt, quod
fuerat propoſitum.
167129Conicor. Lib. V.
PROPOSITIO XXXXVIII.
T Res lineæ maximæ E F, G H,
11a164[Figure 164] I K ad vnum ellipſis quadrã-
tem A F B cadentens non cõueniunt
in vno puncto.
Alioquin cõueniant in O, & quia ſunt
lineæ maximæ erunt M K, H N, L F, li-
neæ breuiſſimæ (32. ex 5.) & conueniunt
in puncto O; quod eſt abſurdũ (54. ex 5.)
oſtenſum ergo eſt, quod fuerat propoſitũ.
Notæ in Propoſit. XXXII.
L Inea maxima ſecat tranſuerſam in pũ-
22a165[Figure 165] cto, cuius intercepta inter punctum
illud, & ſectionem, eſt linea breuiſſima,
& c. Verba, quæ in textu Arabico deſideran-
tur ſupplenda cenſui, vt æquiuocationes tolle-
rentur.
Quia G H eſt linea maxima, erit D A
33b ad A F, nempe B E ad B D, & c. Quia
in 22. huius oſtenſum eſt, lineæ maximæ G
H potentialem H O ſecare ſemiaxim minorẽ
A D in O, vt ſit D O ad O G in eadẽ propor-
tione figuræ axis minoris A C; ſcilicet erit,
vt D A ſemiaxis minor ad A F eius ſemie-
rectum; ſed vt A D ad A F, ita eſt B E ſe-
miſsis lateris recti axis tranſuerſi ad B D
ſemiſſem eiuſdem tranſuerſi; igitur D O ad
O G eandem proportionem habebit, quàm E
B ad B D; ſed propter parallelas N D, H O,
eſt N H ad H G, vt D O ad O G; pariter-
que propter parallelas D G, H P, erit N P ad P D, vt N H ad H G; & pro-
pterea N P ad P D eandem proportionem habebit, quàm D O ad O G, ſeu
quàm E B ad B D; & permutando D P ad P N erit, vt D B ad B E, ſeu vt
4415. huius. axis tranſuerſus ad eius, erectum; & propterea linea N H erit breuiſsima.
Notæ in Propoſit. XXXIII. XXXIV.
E Contra oſtendetur, quod duæ breuiſſimæ, ſi educantur ex parte ſuæ
55a originis ad rectum, fient duo maximi cum relatione ad rectum:
168130Apollonij Pergæi oſtendetur ex dictis, quod lineæ maximæ mutuò ſe ſecant inter diame
trum, & rectum, & c. Textũ corrigi debere maniſeſtum eſt ex dictis ſuperius
11b
Quia D Q ad Q I eſt, vt D O ad O
166[Figure 166] G, & c. In eadem figura propoſitionis 32.
præcedentis perſiciatur conſtructio, vt priùs
quia duæ K M, H N ſunt breuiſsimæ li-
22Pr. 15-
huius. neæ; ergo M R ad R D, nec non N P ad
P D eandem proportionem habent, ſcilicet
eam quàm habent latus rectum ad tranſuer-
ſum, ſeu eandem quàm habet ſemierectus
3315. lib. I. E B ad ſemiaxim B D; eſt verò C A ad eius
latus rectum, ſeu D A ad A F, vt E B ad
B D; igitur tam M R ad R D, quàm N P
ad P D eandem proporiionem habent, quàm
D A ad A F; ſed propter parallelas C D, R
K, P H, cſt M K ad K I, vt M R ad R D;
pariterque N H ad H G eandem proportionẽ
habet, quàm N P ad P D; atque propter pa-
rallelas D B, Q K, O H eſt D Q, ad Q I
vt M K ad K I, & D O ad O G eſt vt N H
ad H G; ergo tam D Q ad Q I, quàm D
O ad O G eandem proportionem habent, quàm D A ad A F, ſeu quàm axis mi-
4420. 21. 22.
huius. nor A C ad ſuum erectum, & propterea tam K I, quàm H G eſt ramus maxi-
mus; igitur ſi duæ lineæ breuiſſimæ H G, & K I producantur quouſque axim
minorem ſecent in punctis G, & I efficientur rami omnium maximi. Poſtea quia
D Q ad Q I, eſt vt D O ad O G; permutando D Q ad D O eandem propor-
tionem habebit, quàm Q I ad O G; & permutando, & comparando antecedentes ad
differentias terminorum erit D Q ad D I, vt D O ad D G: eſtque D Q minor
quàm D O; igitur Q I minor eſt, quàm O G; pariterque D I minor eſt, quàm
D G; & propterea punctum I cadit inter exim B D, & ramum H G; eſtque
etiam potentialis K Q propinquior & parallela axi maiori, & ideo maior re-
motiore H O; igitur punctum K cadit inter axim B D, & ramum H G; &
propterea ramus K I ſecat ramum H G in puncto L inter puncta H, & G:
5536. huius. ſed duæ breuiſsimæ K M, H N ſe ſecant vltra axim B D: igitur occurſus L
cadit intra angulum B D C ab axibus compræhenſum. Tandem quia K I ſecat
H G inter puncta G, & H; ergo efficit angulum externum K I A maio-
rem interno, & oppoſito G: & propterea ramus K I propinquior vertici B,
quàm H G efficiet cum axe minore C A angulum A I K maiorem.
Notæ in Propoſit. XXXV.
SI tranſeat per centrum ellipſis vna duarum breuiſſimarum; vtique ra-
66a mi, & c. Hæc propoſitio parum differt à 54. & 55. buius, vbi oſtenſum
eſt, quod ſi duo rami E B, E G breuiſecantes ex eodem concurſu E ad ellipſim
A B ducuntur, quilibet alius ramus E F, extra breuiſecantes poſitus, cadet ſu-
pra breuiſsimam ex puncto F ad axim A C ductam: hic vero ſupponuntur
169131Conicor. Lib. V. breuiſsimæ B D, GI, quarum B D per centrũ
167[Figure 167] tranſit, quæ productæ concurrunt in puncto E
axis minoris, & concluditur, quodrami E F,
portio F H, nedũ breuiſsima non eſt, ſed ſupra
ipſam breuiſsimã ex puncto F eductam cadit.
Sed duo hic notanda ſunt. Primo, quod hæc
prop. 35. non poterat poſtponi, nã vſum habet
in 57. huius vbi malè citatur prop. 52. loco hu-
ius 35. , vt ibidem inſinuatum eſt. Secundo,
quod hæc demonſtratio non videtur omnino
perſecta nam pendet ex prop. 34. , & ex eius
conuerſa, quæ demonſtrata non reperitur qua-
re ſuperuacanea non fuit noua demonſtratio in
Lemmat. 8. appoſita.
Notæ in Prop. XXXVI.
SI verò nulla earum tranſit per centrũ,
11a educamus D O, & c. Si enim fuerint
quatuor lineæ breuiſſimæ G K, F I, H L, M
N, quarum nulla per centrum D tranſit, ſi-
militer oſtendetur, quod non conueniunt in
vno puncto E; nam ducto ſemiaxe minori
D O neceſſe eſt, vt punctum E concurſus duorũ
breuiſecantiũ E G, E F cadat intra angulũ A
D O; pariterque idem punctum E concurſus
2234. huius.
Ibidem. duorum breuiſec antium E H, E M, cadet ne-
ceſſario intra angulum C D O, ſed idem pun-
ctum E nequit duobus in locis reperiri, ni-
mirũ intra angulum A D O, & intra angu-
lum C D O, igitur non poſſunt ab eodẽ puncto
educi ad ellipſim quatuor rami breuiſecantes.
Notæ in Prop. XXXVIII.
NAm ſi educamus B G tangentem erit
33a4432. huius. B D minor quàm D H, & c. Quo-
niam C B eſt linea breuiſſima, aut ſi maxima
5529. 30.
huius. eſt, eius portio erit breuiſſima, & G B cõtin-
gens ſectionem in eius termino B perpendicu-
laris ad B C; propterea in triangulo B D H
latus H D, ſubtendens angulum rectum B,
maius erit latere D B; eſt verò D E maior,
quàm D H, eo quod punctum H contingentis
B G cadit extra ſectionem; igitur linea B D
minor eſt, quàm D E, & propterea angulus
D E B acutus erit, quare eſt minor
170132Apollonij Pergæi angulo D B E; cadit verò F E infra rectam B E, quam ſecat in E, propter
curuitatem ſectionis F E B; igitur angulus D E F obtuſus quoque erit, & an-
gulus D F E acutus; & propterea recta linea D E minor erit, quàm D F; ea-
dem ratione oſtendetur D F minor, quàm D A.
Notæ in Propoſit. XXXIX.
ALioquin ſecet illam, & ſecemus ex,
168[Figure 168]& D G intra ſectionem, & c. Si e-
nim recta F D non contingit ellipſim A B,
ſecet eam ſi fieri poteſt in D: quare F D pro-
ducta in directum cadet intra ſectionem, &
in producta recta linea F D G ſumatur quod-
libet punctum G dummodo intra ſectionem
exiſtat, & per G ad concurſum C coniunga-
tur recta linea G C, quæ producta occurrat
ſectioni in B: & quia ex hypotheſi recta F
D G perpendicularis erat ad maximum ramum D C, ergo in triangulo D G C
rectangulo erit hypothenuſa G C maior quàm D C, & ideo B C multo maior
erit quàm D C; quod eſt abſurdum, ſuppoſita enim fuit D C omnium maxima
earum, quæ ex C ad ſectionem A B duci poſſunt.
Notæ in Propoſit. XXXXVIII.
ALioquin occurtant in O, quia iſtæ
169[Figure 169] lineæ ſunt maximæ, & c. Secant e-
nim lineæ maximæ ſemiaxim maiorem D A
in punctis M, N, & L: & ſiquidem tres li-
neæ maximæ conueniunt in vnico puncto O,
erunt ſegmenta inter axim maiorem, & ſe-
1132. buius. ctionem intercepta, nimirum M K, N H, L
F lineæ breuiſſimæ; quarum duæ quæquè L
F, N H educuntur ab eodem puncto concur-
ſus O: igitur (ex 54. 55. huius) tertius ra-
mus O K ab eodem concurſu O eductus non erit breuiſecans; quod eſt contra
hypotheſim.
LIBRI QVINTI FINIS.
171133
APOLLONII PERGAEI
CONICORVM LIB VI.
DEFINITIONES.
I.
SEctiones ÆQVALES ſunt, quæ ad inuicem ſu-
perpoſitæ ſibi mutuò congruunt.
II.
SIMILES verò ſunt, in quibus omnes po-
tentiales ad axium abſciſſas vtrobique ſunt in
ijſdem rationibus, tum abſciſſæ ad abſciſſas.
III.
Et linea, quæ ſubtendit ſegmentum circumferentiæ circuli,
aut ſectionis coni vocatur BASIS illius ſegmenti.
IV.
Et linea, quæ bifariam diuidit ordinationes æquidiſtantes baſi
illius, vocatur DIAMETER illius ſegmenti.
V.
Et eius terminus, qui eſt ad ſectionem, VERTEX ſegmenti.
VI.
Et SEGMENTA ÆQVALIA ſunt, quæ ſuperpoſita ſibi mu-
tuò congruunt.
VII.
Et SIMILIA ſunt, quorum baſes cum diametris æquales an-
gulos continent, & in eorum ſingulis ductæ lineæ baſi parallelæ
numero æquales ad abſciſſas diametrorum ſunt in ijſdem ratio-
nibus tum abſciſsæ ad abſciſsas.
172134Apollonij Pergæi
VIII.
CONI SIMILES ſunt, quorum axes æquè ad baſes inclinati,
ad diametros baſium proportionales ſunt.
IX.
Et dicitur conus continere ſectionem, & ſectio in cono po-
ſita eſse, ſi ſectio tota fuerit in ſuperſicie coni, aut cadat in illa,
ſi producatur ex parte baſis.
NOTÆ.
DEſinitiones huius ſeſti libri ferè omnes ſunt Appollonij, in paucis quidem
alteratæ ab interprete Arabico: quod quidem conſtat teſtimonio Eutocij
Aſcalonitæ, qui in tertiam propoſitionem ſecundi æquiponder antium Archime-
dis affert definitionem ſimilium portionum conicarum ſectionum, traditam ab
Apollonio in eius ſeſto libro: & ſanè ordo doctrinæ exigebat, vt prius ſectio-
nes æquales, & ſimiles definirentur, vt poſtea earum symptomata demonſtrari
poſſent: ſed animaduertendum eſt, hactenus nomen ſectionis conicæ ſignificaſſe
quamlibet indeterminatam portionem curuæ lineæ in coni ſuper ſicie ortam ex ſe-
ctione alicuius plani non per verticem coni ducti, non conſiderando termiuos eius
neque menſuram. Segmentum verò ſignificat portionem aliquam ſectionis conicæ
determinatæ menſuræ, & certis finibus terminatam; at multoties ſignificat ſu-
perficiem à coniſectione, & recta linea eam ſubtendente contenta. Igitur ad
confuſionem vitandam vocabo huiuſmodi ſuperficiem planam, Mixtam ſuperficiẽ
ſectionis conicæ. Modò in relatis definitionibus prius quænam coniſectiones vo-
cari debeant inter ſe æquales exponit Apollonius.
I. Et primo; Si fuerint duæ quælibet coni-
170[Figure 170] ſectiones B A C, E D F, quarum axes A G,
D H; vertices verò A, & D, & ſiquidem
intelligatur ſectio B A C ſuperpoſita ſectioni
E D F, vt nimirum vertex A ſuper verti-
cem D cadat, atque axis A G ſuper axim
D H, atque pariter peripheriæ B A C, & E
D F ſibi mutuò congruant: tunc quidem vo-
cantur duæ dictæ ſectiones conicæ æquales in-
ter ſe. V bi notandum eſt, non oportere lon-
gitudinem curuæ B A C æqualem eſſe longi-
tudini curuæ E D F; ſicuti, vt duo anguli
rectilinei dicantur æquales, & ſibi mu-
tuò congruentes, neceſſe non eſt, vt rectæ li-
neæ, angulos continentes, ſint æquales longi-
tudine, dummodo certum ſit, quod lineæ ipſæ
vlterius productæ ſemper ſibi mutuò congruant; ſic pariter peripheriæ conicarũ
ſectionum A B, & D E, ſi vlterius producantur, ſemper ſibi mutuò congruent.
173135Conicor. Lib. VI.
II. Codex Arabicus habet. Similes verò ſunt, quarum proportio po-
tentium in vna earum ad ſua abſciſſa eſt eadem proportioni aliarum po-
tentium ad ſua abſciſſa, & proportio abſciſſarum in vna earum ad ſua op-
poſita abſciſſa eadem eſt. Putabit forte quiſpiam, me nimis licentiosè tran-
sformaſſe potius, quàm emendaſſe textum in
171[Figure 171] hac ſecunda definitione; ſed is ſciat velim,
non meo arbitratu id feciſſe ſed ex præſcripto
eiuſdem Apollonij pluribus in locis; non qui-
dem in hiſce compendioſiſſimis definitionibus,
in quibus vna particula omiſſa, vel addita
(vt paſſim cõtingit in codicibus vetuſtiſſimis)
ſenſum omninò permutat; ſed ijs in locis in
quibus oratione continua exponit, & exem-
plis declarat germanum ſenſum huius ſecun-
dæ definitionis, & ſeptimæ ſubſequentis, vt
ſuis in locis monebitur. Primo igitur ſupple-
ri debent particulæ ad conterminas axium
abſciſſas, quæ in textu omnino ſubintelligi
debent vt expreſsè declaratur in propoſ. 11.
12. 15. & 16. huius libri, quibus in locis
ſemper in ſectionibus ſimilibus præcipitur vt abſciſſæ tantummodo in axibus ſu-
mantur, aut æquè ſint inclinatæ ad conterminas potentiales. Secundò poſtrema
verba ſunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad abſciſſas poſſent retineri cũ
ſenſum definitionis non omnino intollerabilẽ reddant: & inſuper in textu gre-
co Eutocy repetantur, & eius ſenſus talis eſt. In coniſectionibus B A C, E D
F, quarum axes A G, D H ſi ductæ fuerint quotcunq; potentiales, ſeu ad axim
applicatæ B C, E F, I L, M O occurrentes axibus in G, H, K, N hac lege, vt
potentialis B C ad abſciſſam G A eandem proportionem habeat quàm potentialis
E F ad abſcißam H D, & potentialis I L ad abſciſſam K A ſit, vt M O ad N
D, & tandem abſciſſa G A ad K A ſit, vt abſciſſa H D ad N D: & hoc v eri-
ficetur in omnibus alijs potentialibus eadem lege ductis; tunc quidem duæ illæ
ſectiones ſimiles appellantur iuxta Eutocij, & Mydorgij ſententiam.
Ego contra puto, hanc expoſitionem neq. Apollonio, neq. veritati conciliari
poße, vt ad propoſ. 12. oſtendetur attamen exiſtimo, definitionem hac ratione
formari poße.
Similes coniſectiones ſunt, in quibus quælibet axium abſcißæ erectis pro-
portionales etiam ad conterminas potentiales eandẽ rationem habent: quæ omni-
no conformis eſt præcedenti definitioni, præterquam in poſtrema particula, vbi
enim ait. Sunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad abſciſſas. Legendum
eſſet: ſunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad erecta. Sed an hæc parti-
cula corrigi debeat, vel non, alij videant.
III. Si verò fuerit portio ſectionis conicæ B A C, vel circunferentiæ circuli,
atq. recta linea B C eam ſubtendat, & ſecet in duobus punctis B, & C, voca-
tur B C, Baſis prædicti ſegmenti B A C.
174136Apollonij Pergæi
IV. Et ſi in eodem ſegmento ducantur or-
172[Figure 172] dinatæ parallelæ baſi B C, atque recta linea
A M ſecet omnes æquidiſtantes ipſi B C bifa-
riam in punctis M, N, & O vocabitur A M:
Diameter eiuſdem ſegmenti.
V. Et terminus eiuſdem diametri A ad
ſectionem poſitus, vocatur Vertex ſegmenti.
Tres prædictæ definitiones ſuperadditæ ab
interprete Arabico fuerunt, vt ego puto, quandoquidem omnino neceſſariæ non
ſunt.
VI. Sicuti in prima definitione ſectiones ſibi mutuò congruentes æquales vo-
cabantur, ſic pariter, ſi ſegmentum B A C ſuperpoſitum ſegmento E D F ſibi
mutuò congruant, ſunt duæ illæ lineæ curuæ æquales inter ſe.
VII. Declarat Apollonius in hac definitio-
173[Figure 173] ne ſeptima, quænam ſegmenta conica ſimilia
inter ſe cenſeri debeant. Vt ſi fuerint dua-
rum conicarum ſectionum ſegmenta B A C,
& E D F, quarum diametri A M, & D L
eſſiciant cum ordinatim applicatis, ſeu cum
baſibus B C, & E F angulos æquales in M,
& L, & in vnaquaque earum ductæ fuerint
pares multitudines applicatarum, quæ ſint ba-
ſibus æquidiſtantes, vt G H, & I K, & in
eis veriſicentur hæ conditiones, vt habeat B
C ad abſciſſam M A eandem proportionem,
quàm E F ad abſcißam L D, & G H ad ab-
ciſſam N A eandem proportionem habeat,
quàm I K ad abciſsam O D, & tandem ab-
ciſsa M A ad abſciſſam A N eandem propor-
tionem habeat, quàm abſcißa L D ad abſciſ-
ſam D O; tunc quidem vocat Apollonius duo
ſegmenta B A C, & E D F ſimilia inter ſe. Et hic primo animaduertendum
eſt, dìfinitionem ſegmentorum ſimilium relatam ab Eutocio Aſcalonita in 3. prop.
lib. 2. æquipond. Archimedis, non eße integram: in ea enim deſiderantur illa
verba, quarum baſes cumdiametris continent angulos æquales, ſine quibus
definitio eſſet erro-
174[Figure 174] nea, vt optime notat
Mydorgius. Hoc au-
tem ita eße verba
textus Arabici aper-
te declarant, habent
enim. Et ſimilia
ſunt quorum baſes
continent cum dia
metris angulos re-
ctos legẽdum
175137Conicor. Lib. VI. les, & educantur in quolibet eorum ordinationes ad ſuas baſes numero
æquales, quarum proportio cum diametris eſt, vti diximus in ſectioni-
bus ſimilibus. Idem repetit in propoſ. 15. huius lib. rurſus in propoſ. 16. li-
tera a inquit: Et quod
175[Figure 175] anguli à potentialibus,
& abſciſſis contenti ſint
æquales in duobus ſeg-
mentis, erit ſegmentum
H A G ſimile ſegmento
ICK: & c. & propoſ. 17.
litera c ait: & anguli
comprehenſi à potenti-
bus, & abſciſſis ſunt æ-
quales; & c. propterea
duo ſegmenta ſunt ſimi-
lia; Et in eadem propoſ.
litera d dicit. Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum conti-
nebunt potentes cum ſuis abſciſſis angulos æquales. Et codem modo ſem-
per loquitur Apollonius; quare dubitandum non eſt, in Eutocij definitione hæc
eadem verba deſiderari.
Immutaui poſtea verba ſubſequentia; nam ordinationes, ſeu ordinatim ap-
plicatæ ducuntur ad diametros, non ad baſes, & debent eſſe baſibus æquidiſtan-
tes. Deinde breuitas affectata poſtremæ partis huius definitionis non Apollonio,
ſed Arabico Interpreti tribui debet, nam eadem expreſſe, & extenſe declaratur
in textu Eutocij his verbis. In quarum ſingulis ductis lineis baſi parallelis
numero æqualibus, ſint ipſæ parallelæ, & baſes ad abſciſſas diametrorum
partes ſumptas à verticibus in ijſdem rationibus, tum abſciſſe ipſæ ad ab-
ſciſſas. In textu verò Arabico hæc non habentur expreſsè, ſicut in ſecunda de-
finitione, quàm citat hiſce verbis. Et educantur ex quolibet eorum ordina-
tiones baſibus parallelæ numero æquales, quarum proportio cum diame-
tris eſt, vti diximus in ſectionibus ſimilibus.
MONITVM.
AMOR veritatis, & muneris ſuſcepti ratio exigere vide-
tur, vt definitiones ſectionum conicarum ſimilium, quæ cir-
cunferuntur, accuratius examinentur, ne (vt Mydorgij
verbis vtar) à magnis nominibus (Eutocium dico, Com-
mandinum, & Mydorgium) præiudicium diutius fiat veritati, hoc au-
tem ad propoſ. 11. 12. huius lib. præſtabo. Interim monendus es Le-
ctor, in definitione ab Eutocio relata aliqua verba deficere (nimirum
quod abſciſſæ in axibus, aut diametris æquè ad ordinatas inclinatis
ſumantur) in definitiombus Commandini aliquod deſiderari, & eas
176138Apollonij Pergæi rito reiectas à Mydorgio ſuiſſe, nam licet latera tranſuerſa proportiona-
lia ſint lateribus rectis, non tamen duæ eiuſdem nominis ſectiones ſimi-
les erunt, niſi diametri æquè inclinatæ ſint ad ordinatim ad eas applica-
tas: tandem deſinitionem Mydorgij ſimilium ſectionum pariter imperfe-
ctam eſſe ſuſpicor; nam licet duæ ſectiones, quibus competit tradita de-
finitio, ſeu paſsio eiuſdem definitionis, ſint reuera ſimiles, non tamen è
conuerſo ſimilibus ſectionibus conuenit ſolummodo definitio, ſeu eius paſ-
ſio, curn aliquando appoſita paſsio in eiſdem reperiatur: quod perinde eſt,
ac ſi quis putaret triangulum æquilaterum aliquando latera inæqualia ha-
bere poſſe.
VIII. In hac deſinitione manifeſtè aliquid deſideratur: inquit enim (Coni
fimiles ſunt quorum axium proportio ad diametros ſuarum baſium eadem
eſt.) Quod quidem verificatur tantummodo in conis rectis: at in ſcalenis de-
bent neceſſario axes conorum efficere æquales inclinationes ſuper baſes: Quod
quidem in ſequentibus propoſitionibus manifeſtè ab Apollonio declaratur. Ita-
que textum hac ratione reſtitui debere puto. Coni ſimiles ſunt, quorum axes æ-
que ad baſes inclinati ad diametros baſium proportionales ſunt.
IX. Sectio genita in ſuperſicie coni à plano eum ſecante, non per verticem
eius ducto dicitur in dicto cono poſita, & contenta; & conus ille continere di-
citur eandem ſectionem: & licet coniſectio exhibeatur extra conum; dicetur ni-
hilominus contineri ab illo cono, in quo ſectio illa accomodari poteſt, ſeu in quo
ab aliquo plano ſecante effici poteſt in coni ſuperficie eadem illa coniſectio.
SECTIO PRIMA
Continens Propoſit. I. II. IV. & X.
PROPOSITIO I.
QVælibet duæ ſectiones parabolicæ A B, C D, ſi habue-
11a rint axium erectos A I, C N æquales: erunt inter ſe æ-
quales. Si verò duæ illæ ſectiones fuerint æquales,
erunt axium erecta æqualia inter ſe.
Quoniam ſuperpoſita axi C H ſuper axim A G, cadet ſectio C D ſu-
22b per ſectionem A B: ſi enim cadere non concedatur ſuper illam, ſigne-
tur (ſi fieri poteſt) punctum eius D, extra ſectionem A B cadens: &
educatur D F perpendicularis ad axim; & perficiatur planum rectangu-
lum F N, & ab axi A G ſecetur A E æqualis C F; & educatur ex
177139Conicor. Lib. VI. pespendicularis B E, & perficiatur
planũ E I. Et quia A I, A E æquã-
176[Figure 176] tur C N, C F, vnaquæque ſuo ho-
mologo: igitur planum I E, nempe
1111. lib. 1.
Ibidcm. (12. ex 1.) quadratum B E æquale
eſt rectangulo F N, nempe quadrato
D F (12. ex 1.) ergo B E æqualis
eſt D F; ſi autem ſuperponatur axis
axi cadet D ſuper B, quæ tamẽhaud
cadere conceſſum fuerat: & hoc eſt
abſurdum; ergo fieri non poteſt, vt
duæ ſectiones æquales non ſint.
Præterea ſupponamus duas illas ſe-
22c ctiones æquales eſſe inter ſe, & fiat
F C æqualis E A, & educamus ad
axes perpendiculares B E, D F, & per-
ficiamus plana rectangula F N, E I.
Quia ſectio A B cadit ſuper ſectionem C D, & A E ſuper C F cadet;
alioquin eſſent in eadem parabola duo axes: ergo F cadit ſuper E, & D
ſuper B, & propterea B E potens planum E I (12. ex 1.) æqualis erit
3311 lib. 1. D F potenti planum F N (12. ex 1.) ; ergo duo plana ſunt æqualia; ſed
44Ibidem. ſunt applicata ad æquales F C, A E; igitur C N, A I erectæ æquales
55d ſunt. Et hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO II.
SI duæ ſectiones hyperbolicæ, aut duæ ellipſes A B C, D E
F habuerint axium figuras G I, H K ſimiles, & æquales;
duæ illæ ſectiones æquales erunt. Si verò duæ ſectiones æquales
66a fuerint, earũ figuræ axiũ erunt æquales, ſimiles, & ſimiliter poſitæ.
177[Figure 177] 178[Figure 178]
178140Apollonij Pergæi 179[Figure 179]
Quoniam facta conuenienti ſuperpoſitione axis A M ſuper axim D
O, cadet quoque ſectio A B ſuper ſectionem D E: ſi enim non cadit ſu-
per illam, ſumatur (ſi fieri poteſt) eius punctum B, extra ſectionem.
D E cadens; & producatur ad axim perpendicularis B L vſque ad P: &
perficiatur planum A P applicatum comparatum; & ſecetur D N æqua-
lis A L, & erigatur per N ad axim perpendicularis N E, & producatur
vſque ad R, perficiendo planum D R applicatum comparatum; Et quia
A I æqualis eſt D K, & A L æqualis D N: erit planum I L, æquale pla-
no K N; cumque G I, H K ſint duæ figuræ ſimiles, & æquales, pariter-
11b que I P, K R; ergo duo plana A P, D R ſunt æqualia: & propterea E
N, B L, quæ illa ſpatia poſſunt (13. 14. ex 1.) ſunt æquales. Si autem
2212. 13.
lib. I. ſuperponatur axis axi cadet B L ſuper E N, eoquod duo anguli N, & L
ſunt æquales; igitur B cadit ſuper E, quod prius cadere non concedeba-
tur: & hoc eſt abſurdum. Quapropter ſectio ſectioni æqualis eſt.
Deinde ponamus duas ſe-
180[Figure 180] ctiones æquales, vtique con-
gruet ſectio A B ſectioni D E,
& axis A L axi D N, quia ſi
non cadit ſuper illum, eſſent
33c in hyperbola duo axes, & in
ellipſi tres axes, quod eſt ab-
ſurdum (52. 53. ex 2.) Et fi-
4448. lib. 2. at A L æqualis D N, & reli-
qua perficiantur, vt prius ca-
dent duo puncta L, B ſuper
N, E; ideoque B L æqualis
55d erit E N; & poterunt æqua-
lia rectangula A P, D R applicata ad æquales A L, D N (13. 14. ex 1.)
6612. 13.
lib. 1. ergo L P æqualis eſt N R. Similiter ponatur A M æqualis D O, & edu-
cantur C M Q, F O S duæ ordinationes, oſtendetur, quod M Q æqua-
lis eſt O S, & L M æqualis N O; & propterea duo plana P Q, R S ſunt
æqualia, & ſimilia; igitur duo plana G P, H R ſunt æqualia, & ſimilia,
& L P oſtenſa eſt æqualis N R: ergo G L æqualis eſt H N, & A L æ-
qualis D N; & propterea G A æqualis eſt D H, & A I æqualis D K.
179141Conicor. Lib. VI. Quapropter duæ figuræ G I, H K ſunt æquales, & ſimiles. Quod erat
oſtendendum.
PROPOSITIO IV.
SImili modo demõſtrabitur, quod
11a duæ ſectiones oppoſitæ ſintſimi-
181[Figure 181] les, & æquales.
Eo quod axis inclinatus eſt communis',
& erecti ſunt æquales (16. ex 1.) & prot
2214. lib. 4. pterea earum figuræ æquales quoque ſun-
inter ſe. Et hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO X.
PAriter conſtat, quod ſi poten-
33a tiales cum ſuis abſciſſis cõpræ-
hendant angulos æquales obliquos,
eadem conſequentur, quæ prius dicta ſunt.
Et hoc erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. I.
QVælibet duæ ſectiones parabolicæ,
182[Figure 182]44a vt A B, C D, quarum relationes
ſunt duo plana A L, C M, &
erecti earum A I, C N æquales. ipſæ quo-
que ſunt æquales. Si verò duæ illæ ſectio-
nes fuerint æquales, vtique earum appli-
cata, & erecti erunt æquales, & c. Verba
illa propoſitionis (applicata ſunt duo plana
A L, C M, & c.) caſu in textum irrepſiſſe
puto, eo quod rectangula illa A L, C M, ne-
dum æqualia non ſupponuntur, ſed è contra.
conſtruuntur, atque demonſtrantur æqualia eſ-
ſe inter ſe.
Quia ſi ponamus ſagittam C H ſuper ſa-
55b gittã A G, cadet ſectio C D ſuper ſectio-
nem A B: 11 verò non cadit ſuper illam,
ſignemus ſuper literam, in quam non ca-
dit punctum D: & c. Sic legendũ puto.
180142Apollonij Pergæi niam, ſuperpoſita axi C H ſuper axim A G,
& c. vt in textu habetur. Si enim axis C H
183[Figure 183] ſuper axim A G applicatur, ita vt vertices A,
C coincidant, neceſſariò ſectio C D cadet ſu-
per ſectionem A B alias aſſignari poſſet pun-
ctum eius D, extra ſectionem A B cadens.
Præterea ponamus duas ſectiones æqua-
11c les, & C F æqualis A E, & c. Textum cor-
ruptum ſic reſtituendum cenſeo. Præterea ſup-
ponamus, duas illas ſectiones æquales eſſe in-
ter ſe, & fiat C F æqualis A E, educamus ad
axes perpendiculares B E, D F, & c. Sic enim
diſtinguitur hypotheſis propoſitionis à conſtru-
ctione eius.
Ergo ſectio A B cadit ſuper ſectionem.
22d C D, & A E ſuper C F: alioqui eſſent ſe-
ctioni parabolicæ duo axes; ergo F cadit
ſuper E, & c. Quoniam (ex hypotheſi) ſectio-
nes A B, & C D æquales ſunt, facta intellectuali conuenienti ſuperpoſitione, ſi-
bi mutuò congruent, & vertex A cadet ſuper verticcm C. Dico iam, axim A
E cadere ſuper axim C F: alioquin in eadem parabola, ſcilicet in duabus pa-
rabolis ſibi congruentibus à communi vertice C, vel A, duo axes A E, & C F
ducerentur: quod eſt impoſſibile. Quare axis A E cadit ſuper axim C F.
Notæ in Propoſit. II.
SI fuerint figuræ duarum ſectionem hyperbolicarum, aut duarum elli-
33a pſium, vt duo plana G I, H K in A B, D E ſimiles, & æquales;
vtique duæ ſectiones æquales erunt: ſi vero duæ ſectiones ſint æquales
earum figuræ erunt æquales, ſimiles, & c. In duabus ſectionibus A B, &
D E ſumi debent figuræ G I, & H K, non qualeſcunque, ſed illæ, quæ ad axes
fiunt, nimirum debent eſſe G A, & H D axes inclinati, ſeu tranſuerſi, & A
I, atque D K eorum latera recta; tunc quidem, ſi figuræ axium G I, H K fue-
rint ſimiles, & æquales, conicæ ſectiones B A, D E æquales quoque oſtenduntur
in propoſitione. Quod verò particula illa (axium) deſideretur in textu propo-
ſitionis, conſtat ex primis verbis immediatè ſequentis conſtructionis. Inquit
enim. Quoniam ſi ponamus axim A M ſuper axim D O, & c.
Cumque G I, H K ſint duæ figuræ ſimiles, & æquales, pariterque
44b I P, K R; ergo duo plana A P, D R ſunt æqualia, & c. Quia rectangula
I P, G I circa communcm diametrum G I P conſiſtunt, erunt inter ſe ſimilia:
pariterque K R ſimile erit rectangulo K H: quare duo rectangula I P, & K R
ſimilia ſunt duobus rectangulis G I, H K inter ſe ſimilibus; & ideo illa inter
ſe quoque ſimilia erunt, & habent latera homologa æqualia, illa nimirum, quæ
opponuntur æqualibus abciſsis A L, & D N, igitur rectangula P I, & R
181143Conicor. Lib. VI.184[Figure 184] æqualia ſunt inter ſe: ſunt verò rectangula N K, & L I æqualia quoque (cum
latera circa angulos rectos æqualia habeant, ſingula ſingulis) ergo duo rectangu-
la A P, & D R æqualia ſunt inter ſe.
Quia, ſi non cadit ſuper illum, eſſent ſectioni hyperbolicæ duo axes,
11C& in ellipſi tres axes, & c. Quoniam æquales ſectiones B A, E D ſibi mutuò
congruunt, & vertices A, & D coincidunt, ſiquidem axis A L non cadit ſuper
axim D N (cum ambo tamen axes ſint) haberet vnica ſectio, ſcilicet duæ ſe-
ctiones congruentes, duos axes A L, & D N conuenientes in eodem puncto ver-
185[Figure 185] ticis, quod in hyperbola eſt im-
2248. lib. 2. poſſibile; in ellipſi verò, in qua
ſemper duo axes reperiuntur ſe
ſe ſecantes in centro ad angulos
rectos, reperietur tertius axis,
ille nimirum, qui ab eodem ver-
tice A ducitur in eadem ſectione
A B, & non coincidit cum axi
A L.
Ideoque B L æqualis eſt N
33d E, & poterunt A P, D R, ap-
plicata ad A L, D N æqualia
& c. Quia quadrata æqualium.
B L, E N æqualia ſunt rectangulis A P, D R; erunt illa æqualia, & corum
latera A L, D N facta ſunt æqualia; igitur reliqua duo latera L P, N R æ-
qualia quoque ſunt. Simili modo oſtendetur, quod M Q æqualis eſt O S, ſeù L
T æqualis eſt N V, & L M, ſeu T Q æqualis eſt N O, ſeu V S; erant autem.
prius L P, N R æquales; igitur reſiduæ P T, & R V æquales erunt, ſed quia
T Q, & G L ſunt parallelæ pariterque V S, & H N; ergo vt T P ad P L ita
eſt Q T ad L G, ſimili modo vt V R ad R N ita eſt S V ad N H; habent ve-
rò duæ æquales T P, & V R ad duas æquales P L, & R N eandem proportio-
nem, igitur duæ æquales Q T, & S V eandem proportionem habent ad L G, &
N H, & propterea hæ erunt æquales, & ablatis æqualibus A L, D N, erunt reliquæ
A G, & D H inter ſe æquales, & habet G A ad A I eandem proportionẽ, quàm
Q T ad T P, ſeu quàm S V ad V R; pariterq; H D ad D K eſt vt S V ad V R
(propter parallelas & ſimilitudinẽ triangulorũ) igitur vt G A ad A I itaerit H
182144Apollonij Pergæi ad D K, & propterea etiam conſequentes A I, & D K æquales ſunt inter ſe,
& compræhendunt angulos rectos A, & D; ergo ſiguræ G A I, & H D K ſimi-
les ſunt inter ſe, & æquales.
Notæ in Propoſit. IV.
I Am ergo demonſtratum eſt, quod duo
186[Figure 186] vertices tympani ſunt ſimiles, & æqua-
les, & inclinatus communis inter vtrum-
que verticem (16. ex 1.) ergo figura eſt
communis, & c. Hæc propoſitio eſt veluti Co-
rollarium primæ partis ſecundæ propoſitionis in
qua oſtenſum eſt, quod ſi duæ hyperbolæ habue-
rint axium ſiguras æquales, & ſimiles, erunt
quoque ſectiones ipſæ æquales, & congruentes;
habent verò ſectiones oppoſitæ A B, & D E
(quæ vocantur Vertices Tympani ab Arabico
interprete) figuras D A H, & A D I axis D
A æquales, & ſimiles (vt in 14. primi libri
demonſtrauit Apollonius); ergo ſectiones oppo-
ſitæ æquales erunt inter ſe, & congruentes.
Notæ in Propoſit. X.
SImiliter conſtat, quod ſi potentes contineant cum ſuis abſciſſis angu-
los equales obliquos, iudicium eſt, quod memorauimus in ſectioni-
11a bus, & c. Senſus huius propoſitionis talis eſt. In duabus ſectionibus conicis, ſi
cum earum diametris ordinatim applicatæ contineant angulos æquales, non re-
ctos, & earum latera recta ſint æqualia in parabolis, in reliquis verò ſectioni-
187[Figure 187] bus latera recta, & tran-
ſuerſa æqualia, itaut figuræ
ipſæ æquales ſint; erunt ſe-
ctiones ipſæ inter ſe æqua-
les: & è conuer ſo, ſi ſectio-
nes æquales fuerint, habe-
bunt latera æqualia earum
diametrorum, cum quibus
ordinatim applicatæ angulos
æquales, non rectos continent.
Demonſtrationes non apponuntur ab Apollonio, quia ijſdem verbis omnino in
eiſdem figuris ab ſolui poßunt. Sint enim primo duæ parabolæ A B, & C D, at-
que earum diametri A G, & C H efficiant æquales angulos F, & E, cum ordi-
natim ductis D F, & B E, ſintque latera recta A I, C N æqualia.
183145Conicor. Lib. VI. ſectiones æquales eſſe. Sumatur quodlibet punctum B in ſectione B A ducaturque
ordinatim applicata B E, ſeceturque C F æqualis A E, & ducatur ordinatim
D F. Maniſeſtum eſt, rectangula E A I, & F C N æqualia eße (cum latera
ſint æqualia, ſingula ſingulis); his verò rectangulis æqualia ſunt quadrata or-
1111. lib. 1. dinatim applicatarum B E, D F; ergo & quadrata ſunt æqualia, atque eorum
latera B E, D F æqualia quoque. Si igitur parabolæ ſuperponantur ita, vt
punctum E ſuper F, & diameter A E ſuper C F cadat, neceſſariò punctum A
ſuper C cadet (propter æqualitatem abſcißarum) atque punctum B ſuper punctũ
D incidet (propterea quod anguli E, & F æquales ſunt, pariterque rectæ B E,
& D F ſunt æquales), & quia quodlibet punctum B parabolæ A B cadit ſemper
ſuper ſectionem C D; ergo duæ ſectiones B A, & D C ſibi mutuò congruunt, &
ideo æquales ſunt. Non ſecus conuerſum huius propoſitionis demonſtrari poteſt.
Altera verò pars propoſitionis breuius de-
188[Figure 188] monſtrabitur hac ratione. In duabus hyperbo-
lis, aut ellipſibus efficiant ordinatim applicatæ
B E, D F cum diametris A E, & C F angu-
los æquales, & non rectos; ſintque tranſuerſa
latera G A, & H C æqualia, pariterque late-
ra recta A I, & C N æqualia. Dico, ſectiones
B A, C D æquales eſſe. Sumatur quodlibet
punctum B ſectionis B A, ducaturque ad A E
diametrum ordinatim applicata B E, ſecetur-
que C F æqualis abſciſſæ A E, ducaturque F D
ad H C F diametrũ ordinatim applicata. Erit
rectangulum G E A ad quadr atum B E, vt la-
tus tranſuerſum G A ad rectum A I; pariter-
que rectangulum H F C ad quadratum F D
erit, vt H C ad C N: habent vero duæ æqua-
les G A, & H C eandem proportionem ad duas
æquales A I, & C N; igitur rectangulum G E
A ad quadratum B E eandem proportionem ha-
189[Figure 189] bebit, quàm rectangulum.
H F C ad quadratum D F,
ſunt verò rectangula G E
A, H F C æqualia inter, ſe
(quandoquidem eorum la-
tera A E, C F facta ſunt
æqualia) quæ addita ipſis
A G, & C H æqualibus eſ-
eſſiciunt latera E G, & F
H æqualia; ergo quadrat a
d a um B E, & D F æqua-
lia ſunt inter ſe; & ideo ordinatim applicatæ B E, & D F æquales erunt.
Quare facta, vt prius, intellectuali ſuperpoſitione; nedum veriex A ſuper C,
ſed etiam quodlibet punctum B ſectionis A B ſuper ſectionem C D cadet; ideo-
que ſectiones ſibi mutuò congruent, & æquales erunt.
E conuerſo, ſi ſectiones B A, & C D æquales ſupponantur, ſibi mutuò
184146Apollonij Pergæi gruent, & ideo à communi vertice A,
190[Figure 190] ducta qualibet diametro A E, vel C
F, ad quàm ordinatim applicetur quæ-
libet B E, ſeu D F in angulo non re-
cto; ſintque latera tranſuerſa, & recta
G A, A I, atque H C, C N. Dico,
huinſmodi latera, & ſiguræ ſeu rectã-
gula G A I, H C N æqualia, & ſimi-
lia eſſe inter ſe, & ſibi mutuò congru-
entia. Si enim hoc verum non eſt, eo-
rum diametri G I, & H N ſimiliter
poſitæ, & ſubtendentes communem an-
gulum A non coincident; & ideo æquidiſtantes erunt aut ſe mutuò ſecabunt in
vno puncto: ducatur ergo à termino E alicuius ordinatim applicatæ B E recta
linea E M parallela lateribus rectis A I, C N, ita vt ſecet diametros ſigurarum
ſupra aut inſra occurſum in duobus punctis M, & O. Igitur in ſectione A B
idem quadratum ordinatim applicatæ B E, ſeu D F æquale erit rectangulo A E
M, & in ſectione D C æquale erit rectangulo C F O, ſuntque abſciſſæ A E, &
C F æquales; ergo M E, & O F æquales inter ſe ſunt: pars, & totum quod
eſt abſurdum: Non ergo latera ſigurarum inequalia ſunt. Quod erat oſtenden-
dum.
SECTIO SECVNDA
Continens Propoſit. III. VI. VII. & IX.
PROPOSITIO III.
COniſectio non eſt æqualis ſectioni quæ eiuſdem generis cũ
illa non ſit.
Etenim elli-
191[Figure 191] pſis non erit æ-
qualis alicui pa-
rabolæ, aut hy-
perbolæ quia
illa eſt termina-
ta, hæ verò ſunt
indeterminatæ.
At parabola D
E F, cuius axis
D I non erit æ-
qualis hyperbolæ A B C, cuius axis A G, & inclinatus A H. Quia ſi
abſcindantur A K, K G æquales D L, L I, & educamus ad axes perpen-
diculares B K, C G, E L, F I: Dico, quod ſectio D F non eſt
185147Conicor. Lib. VI. ſectioni A C; quia ſi eſſet æqualis illi, facta ſuperpoſitione, ſibi mutuò
congruerent, & caderent puncta E, F, L, I, ſuper B, C, G, K, & eſſet
F I æqualis C G, atque E L æqualis B K; ideoque quadratũ F I ad qua-
dratum E L eſſet, vt D I ad D L (19. ex 1.) eſſetque quadratum C G
1120. lib. 1. ad quadratum K B, vt A G ad K A, quod eſt abſurdum; quia illius pro-
portio ad iſtam eſt, vt H G in G A ad H K in K A (20. ex 1.) Igitur
2221. lib. 1 ſectio parabolica non eſt æqualis ſectioni hyperbolæ, nec ſectio aliqua.
æqualis eſt ſectioni, quæ non ſit eiuſdem generis; Et hoc erat oſten-
dendum.
PROPOSITIO VI.
QVælibet duæ ſectiones A B C, & D H F, quarum portio
33a vnius ſuperpoſita portioni alterius congruit, ſunt æquales
inter ſe.
192[Figure 192]
Alioquin congruat portio B C portio-
193[Figure 193] ni E F, at non cadat portio A B ſuper
D E, ſed cadat in ſitu E G, & educamus
lineam tangentem duas ſectiones in H, &
4434. lib. 1. educamus E I, D G F parallelas tangen-
ti; & ex H ad ſemipartitionem ipſius E I
ducatur H K, quæ occurrat D F in L.
Et quia H L ſecat bifariam lineam paral-
lelam tangenti ab eius termino ductæ;
ergo eſt diameter vniuerſæ ſectionis (5.
557. lib. 2. ex 2.) quare bifariam ſecat vnamquan-
que ex D F, G F, & fiet D L æqualis G
L, quod eſt abſurdum: igitur ſectio A B
C tota congruit ſectioni D H F. Quod
erat oſtendendum.
PROPOSITIO VII.
DVæ ordinationes axis in qualibet coniſectione abſcindunt
66a à ſectione ex vtraque parte axis duas portiones, quarum
ſi vna alteri ſuperponatur ſibi mutuò congruent, nec congruunt
alicui aliæ portioni ſectionis.
186148Apollonij Pergæi
Sit coniſectio A B C, & eius axis B D, & ſu-
194[Figure 194] mantur in ſectione puncta G, C, ab eis educã-
tur duæ ordinationes G H, C A occurrentes axi
in I, D. Dico, quod B G congruit B H, & G
C ipſi H A, & ſuperſicies B D C ſuperficiei B
D A, & ſegmentum B G C ſegmento B H A.
Quoniam axis B D bifariam diuidit G H, A C
in I, D, vtique G I ipſi I H congruet, & D C
11b ipſi D A, & duo puncta G, C ſuper duobus
punctis H, A cadent, & portio ſectionis conicæ
G C ſuper portionem H A, & G B ſuper H B:
195[Figure 195] Et dico, quod portio H A non congruit
alicui alteri portioni, quàm G C: ſi enim
poſſibile eſt cõgruat portioni C K, & por-
tio H B congruet portioni, quæ continua-
tur ipſi K C; ergo cadet B ex H B non ſu-
per B ex C G B; quia portio H B non eſt
æqualis portioni C B; & propterea incidet
axis B D in alium locum, eſſentque eidem
ſectioni plures axes: quod eſt abſurdum;
(51. 52. ex 2.) igitur non cadit H A niſi
2248. lib. 2. ſuper C G. Vt fuerat propoſitum.
PROPOSITIO IX.
M Anifeſtum eſt ex demoſtratis, quod portiones ſectionum
33a æqualium non congruunt ſibi inuicem, niſi earum di-
ſtantiæ à verticibus ſint æquales.
Oſtenſum enim eſt ſibi non congruere, quarum diſtantiæ à verticibus
non ſunt æquales, quia portio H A, ſi caderet ſuper portionem C K, &
earum diſtantiæ à B non eſſent æquales, conſequitur, quod in hyperbola
ſint duo axes, & in ellipſi tres axes: quod eſt abſurdum (51. 52. 53.
4448. lib. 2 ex 2.)
196[Figure 196]
Si autem in ellipſi cadit axis A E tranſuer-
55b197[Figure 197] ſus ſuper axim rectum illius, vtique differunt
inter ſe, & non ſibi inuicem congruunt ſectio-
nes.
Conſtat etiam, quod in ſectionibus inæ-
qualibus, vt A B C, D E F portio vnius ea-
rum non congruit portioni alterius.
Alioqui congruet B A ipſi D E, & congrue-
ret etiam E F ipſi B C (6. ex 6.) eſſetque ſe-
ctio C B A æqualis ſectioni F E D: at ſuppo-
ſuimus, non eſſe æquales, quod eſt abſurdum:
187149Conicor. Lib. V. ergo non congruit portio alicuius
198[Figure 198] ſectionis portioni alterius ſectionis,
cui æqualis non eſt. Et hoc erat
oſtendendum.
Notæ in Propoſit. III.
ETenim ellipſis non eſt æqualis alicui hyperbolæ, & c. Suppleri debet in
textu verbum (parabolæ) dicendo. Etenim ellipſis non eſt æqualis alicui
11a parabolæ, aut hyperbolæ, quia illa eſt determinata; hæ verò ſunt indeterminatæ,
ſcilicet ellipſis eſt finita parabole verò, & hyperbole in infinitum extendi poſ-
ſunt, & propterea nulla ratione æquales oſtendentur.
Notæ in Propoſit. VI.
QVælibet duæ ſectiones A B C, D E
22a F, quarum vnaquæque literarum
ſuperpoſita literis alterius con-
199[Figure 199] gruit; vtique ſunt æquales, & c. Legendum
puto. Quælibet duæ ſectiones A B C, & D
E F, quarum portio vnius, alterius portioni
ſuperpoſita congruit ſunt æquales inter ſe.
Notæ in Propoſit. VII.
ORdinationes axis in qualibet hyper-
33a200[Figure 200] bolarum abſcindunt à ſectione ex
vtraque parte axis duo ſegmenta, quæ,
ſi cadit vnum ſuper alterum, ſibi mutuò
congruunt, nec excedunt, nec deficiunt,
nec congruunt alicui portioni ſectionis,
& c. Expungi debent verba aliqua huius te-
xtus ſuperuacanea, & aliqua adiungi, vt ſenſus continuus talis ſit. Duæ
ordinationes axis in qualibet coniſectione abſcindunt à ſectione ex vtraque
parte, axis duas portiones, quarum vna alteri ſuperpoſita ſibi mutuò congruent,
nec cõgruunt alicui aliæ portioni ſectionis.
Quoniam axis B D bifariam diuidit G H, A C, & c. Ex eo
44b enim quod omnes applicatæ ad axim B D ſecantur bifariam
188150Apollonij Pergæi illo, & ad angulos rectos, ſi intelligatur ſuperficies B I G, ſuperpoſita ſuperfi-
ciei B I H, itaut axis ſuper axim cadat, atque vertex B ſit communis neceſ-
ſario punctum I commune erit, atque recta I G cadet ſuper I H, cum anguli G
I B, & H I B recti ſint, atque punctum G cadet in H, propter æqualitatem
duarum ordinatim applicatarum I G, I H: eadem ratione quælibet alia puncta
ſectionis G B inter G, & B ſumpta cadent ſuper B H; & ideo portio ſectionis
conicæ G B congruet portioni B H, & eidem æqualis erit. Simili modo conſtat,
portionem G C æqualem eße portioni H A, & ſic
201[Figure 201] ſuperficies ipſæ. Quod verò portio H A non con-
gruat alicui alteri ſegmento C K præter G C, con-
ſtat ex eo, quod ſi portiones K C, & A H ſibi mu-
tuò congruunt, vt nimirum punctum C ſuper H, &
punctum K ſuper A cadat: & concipiatur punctũ
C idem ac N, & K idem ac O, & portio O N L
æqualis immo eadem ſectio K C B, & illius axis
L M omnino idem ac axis B D: tunc quidem (ex
precedenti prop. 6.) ſectiones ipſæ A B, & K B, ſeu O L æquales erunt, & ſi-
bi mutuò congruentes: & propterea H B cadet ſuper portionem maiorem C B
ſeu ei æqualem N B L (cum H B æqualis oſtenſa ſit ipſi G B) & ideo vertices
B, & L duarum axium B D, & L M in duabus ſectionibus A B, & K B ſeu
O N L inæqualibus non conuenient: quapropter in duabus congruentibus, ſeu in
eadem ſectione duo axes B D, & L M exiſtent, quod eſt abſurdum, quia eſt
contra propoſ: 48. libri 2.
Notæ in Propoſit. IX.
MAnifeſtum eſt ex demonſtratis, quod portiones ſectionum æqua-
11a lium non congruunt, & c. Sicuti in propoſ. 7. dictum eſt, quod duæ
portiones non æqualiter à vertice axis diſtantes ſibi mutuò congruere nõ poſſunt,
ita hic in duabus quibuslibet æqualibus coniſectionibus idem verificari oſtendi-
tur, quod nimirum duæ portiones cuiuslibet ſectionis conicæ, vel duarum æqua-
lium ſectionum inæqualiter à vertice axis diſtantes non ſint congruentes. Hoc
autem alia ratione demonſtrare ſuperuacaneum non erit, cum demonſtratio, quæ
in textu Arabico corrupto affertur non omnino ſufficiens videatur, ſed prius
oſtendendum eſt.
LEMMAI.
IN duabus æqualibus coniſectionibus A B C, & D E F, quarum
axes A G, D H deſcribere duos circulos æquales contingentes coni-
cas ſectiones, quorum is, qui propinquior eſt vertici extrinſecùs, reli-
quus verò intrinſecùs ſectionem tangat.
189151Conicor. Lib. VI.
In ſestione A B C ducatur ramus breuiſe-
202[Figure 202] cans ſingularis I L ſecans axem in G, ſitque
1151. 52. 53.
lib. 5, I punctum concur ſus perpendicularis I K, &
breuiſecantis; & à quolibet puncto B inter
L, & verticem A ducatur alius ramus bre-
uiſecans B M, qui occurret L I vltra axim
in M, & inter puncta G, & I; coniungatur-
2228. lib. 5.
8. Addir.
lib. 5. que recta linea B 1. Quoniam angulus L G A acutus eſt, erit angnlus G M N
internus, & oppoſitus in triangulo G M N minor illò, & ideo acutus, & pro-
3313. 14. 15.
lib. 5. pterea qui deinceps eſt angulus B M I erit obtuſus, & ideo in triangulo I B M
latus I B ſubtendens maximum angulum obtuſum maius erit latera B M; ſedra-
mus I L maior eſt, quàm I B, propterea quod remotior eſt à vertice A, igitur
4467. lib. 5. ramus I L maior erit, quàm B M: Secari ergo poterunt æquales rectæ lineæ L R,
B S, quæ ſint minores quidẽ, quàm I L, ſed maiores, quàm M B; & deſcribantur
duo circuli, quorum radij ſint S B, & R L æquales, atque centra ſint S, & R;
55Ex 12.
Addit.
lib. 5. Manifeſtum eſt circulum, cuius radius B S contingere coniſectionem A C in
puncto B, & extrinſecùs incedere, propterea quod radius B S maior eſt maximo
breuiſecantium M B à concurſu M educto; è contra circulus radio R L deſcri-
668. Addit.
lib. 5.
Ibidem. ptus intrinſecùs continget eandem coniſectionem in L cum ramus M L minor ſit
ſingulari breuiſecante L I. Tandẽ in ſectione D E F ſecetur axis abſcißa D H
æqualis A N, & in angulo D H P æquali angulo A N B ducatur radius γ H P,
qui fiat æqualis S B, & cẽtro γ radio verò γ P circulus deſcribatur. Et quia in
ſectionibus æqualibus abſciſſæ, breuiſecantes, anguli ab eis contenti, & circu-
li deſcripti ſunt æquales, & congruentes; igitur circulus radio γ P deſcriptus,
contingit coniſectionem D E F extrinſecùs; ſicuti circulus radij S B tangebat
ſectionem A B C in B extrinſecùs. Vterat propoſitum.
Hoc demonſtrat o oſtendetur, quod in duabus coniſectionibus A B C,
77PROP. 1.
Addit. D E F æqualibus, quarum axes A G, D H duæ portiones B C, &
E F non æquè ab axium verticibus remotæ non erunt ſibi congruentes.
Si enim poſſibile eſt B C, & E F ſibi mutuò congruant, & ſumatur interme-
dium punctum commune, vel duo puncta coincidentia L, & P, & quia portio-
nes B C, E F inæqualiter diſtant à verticibus, ergo puncta coincidentia L, P
non erunt æquè à verticibus remota; ſit ergo P propinquius vertici D, quàm eſt
L vertici A, & per L, & P ducantur rectæ
203[Figure 203] lineæ L O, P Q tangentes ſectiones, & ex lẽ-
8833. 34.
lib. 1. matæ præcedenti deſcribantur duo circuli æ-
quales Z P T, & V L X radijs I L & S
P, quorum Z T extrinſecus tangat ſectionẽ
in P, & V X intrinſecus in L, cumque eo-
rum radij I L, S P ſint breuiſecantes, erunt
perpendiculares ad L O, P Q contingentes
9929. 30.
lib. 5. ſectionem in L, & P; atque portiones B C, E F ſibi mutuò congruunt, ideſt
101035. 36.
lib. 1. conſtituunt vnicam communem peripheriam, ergo rectæ lineæ L O, P Q
contingentes eandem ſectionem ſibi mutuò congruent, pariterque breuiſe-
cantes æquales L I, P M ad illas perpendiculariter inſiſtentes crunt congruentes
quoque; & propterea circuli V X, Z T ab ijs radijs geniti erunt quoque
190152Apollonij Pergæi entes; ideoque ſi vnus eorum, nempe Z T extrinſecùs tangit communem portio-
nem conicam B C, reliquus V X extrinſecùs quoque eam langet, ſed ex conſtru-
ctione intrinſecùs ſectionem tangebat, quod eſt abſurdum: Non ergo duæ por-
tiones B C, & E F non æquè à verticibus axium remotæ ſibi mutuo congruent-
Quod erat oſtendendum.
Si autem cadit in ellipſi axis A C tranſuerſus ſuper axim rectum illius;
11b vtique excedit illam, & non ſibi mutuò congruunt ſectiones, & quædam
congruunt, & c. Senſus eſt. Si intelligantur duæ ellipſes, habentes axes tran-
ſuerſos A B, & G H æquales inier ſe, pariterque
204[Figure 204] axes rectos C D, I K æquales: & axis A B tran-
ſuerſus vnius ponatur ſuper I K axim rectum al-
terius, ita vt centra ſibi mutuò congruant in E:
tunc quidem, quia axes in ellipſi inæquales ſunt
(alias eſſet circulus) igitur extremitates axis tran-
ſuerſi A B non cadunt ſuper extremitaites axis re-
cti K I, neque G, H cadunt ſuper C, D; & ideo
circumferentiæ ellipſium ſe ſe mutuò ſecant qua-
tuor in locis, vt in libro 4. oſtenſnm eſt.
SECTIO TERTIA
Continens Propoſit. V. & VIII.
PROPOSITIO V.
SI per centrum E ellipſis A B, C D tranſeat linea recta A
C vſque ad ſectionem; vtique bifariam diuidit ſuperſiciem
ſectionis, & circumferentiam illius, ſcilicet erit ſuperſicies A B
C æqualis ſuperficiei A D C.
Nam ſi A C fuerit axis ſectio-
205[Figure 205] nis, vtique circumferentia A B C
congruet A D C, nam ſi non cõ-
gruit ſignemus locum B, quod al-
teri ſectioni nõ coincidat, & pro-
ducamus ex illo perpendicularem
B F ſuper A C vſque ad D. Er-
go B D ordinata eſt ad C A, &
propterea B F ſuperpoſita cõgru-
et ipſi D F, & cadet B ſuper D,
quia B F æqualis eſt D F (8. ex
1.) ; ſed non cadebat ſuper illum; quod eſt abſurdum. Igitur
191153Conicor. Lib. VI. rentia A B C æqualis eſt circumferentiæ A D C, & ſuperficies illius æ-
qualis ſuperficiei.
Iam linea G H tranſiens per centrum ellipſis non ſit axis. Ducamus
ex G, H ſuper axim C A duas perpendiculares G I, H K, quæ pertin-
gant ad L, M. Et quia ſi ponatur A D C ſuper A B C, congruit G I
ſuper L I (7. ex 6.) & cadet G ſuper L, quia G I æqualis eſt I L, &
cadit circumferentia C G ſuper circumferentiam C L; ergo ſuperſicies C
I G æqualis eſt ſuperficiei C I L: & quia B C D congruit B A D, & ſu-
perficies ſuperficiei, cadet C I ſuper A K, & L I ſuper K H, & circum-
ferentia C L ſuper circumferentiam A H (quia E I æqualis eſt E K) &
ſuperficies C I L congruit ſuperficiei A K H; & propterea ſuperficies A
K H æqualis eſt G I C, & triangulum E G I æquale eſt triangulo E K H;
igitur ſuperficies A E H æqualis eſt ſuperficiei G E C, & circumferentia
A H æqualis eſt circumferentiæ G C, eritque circumferentia C D H, &
ſuperficies eius æqualis A B G, & ſuperficiei illius. Quare G H tranſiens
per centrum ſectionis A B C D bifariam eam diuidit. Et hoc erat oſten-
dendum.
PROPOSITIO VIII.
SImiliter conſtat, quod ſi ex quolibet quadrante ellipſis ſe-
centur circumferentiæ, per quarum extremitates rectæ li-
neæ coniunctæ ſint ad eundem axim ordinatim applicatæ, &
æquè à centro remotæ; vtique ſunt congruentes, & æquales,
nec alicui portioni eiuſdem ſectionis vna illarum æqualis eſt.
Nam demonſtrauimus, quod duæ ſuperficies
11a206[Figure 206] G I C, L I C ſibi congruunt, nec non congru-
unt, duabus ſuperficiebus H A K, M A K (5.
ex 6.) ; & ſi eduxerimus duas ordinationes N
O, P Q, quarum diſtantiæ à centro ſint æqua-
les, ſimili modo oſtendetur, quod ſuperficies
N R C, O R C, A S Q, A S P ſint congruen-
tes (5. ex 6.) & quod circumferentiæ N C, C
O, A Q, A P ſint congruentes, remanebunt
quatuor ſegmenta G N, L O, H Q, M P con-
gruentia, & ſuperficies quoque eorum congru-
entes. Et inſuper dico, quod quodlibet horum
22b ſegmentorum non congruit alicui alio ſegmen-
to; nam ſequeretur, quod in eadem ellipſi ſint
3348. lib. 2. tres axes, vti dictum eſt, Quare patet propoſitum.
192154Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. V.
ATque B C D congruit B A D, & ſuperficies ſuperficiei, & c. Quo-
11a niam in ſecunda figura B D eſt axis ellipſis per centrum E ductus; ergò
vt in prima parte huius propoſitionis dictum eſt, ſibi mutuò congruent ſemielli-
pſes B C D, & B A D.
Notæ in Propoſit. VIII.
NAm demonſtrauimus, & c. Expoſitio huius
207[Figure 207]22a propoſitionis hæc erit. Sit ellipſis A B C D,
cuius axes C A, & B D, & in quolibet eius qua-
drante ſignentur tales circumferentiæ N G, O L, H
Q, M P, vt coniunctæ rectæ lineæ O N, G L, H
M, Q P ſint ad axim A C ordinatim applicatæ ſe-
cantes eum in R, I, K, S; ſintque binarum extre-
marum N O, P Q à centro E diſtantiæ æquales E R,
E S, & binarum intermediarum L G, H M æquales à
centro diſtantiæ E I, E K oſtendendum eſt ſegmenta
G N, L O, H Q, M P æqualia eße.
Et inſuper dico, quod quodlibet horum ſeg-
33b mentorum non congruet alicui alio ſegmento,
& c. Si enim in eodem, vel in duabus ellipſis qua-
drantibus ſumantur ſegmenta G N, & M P non æque ab axis vertice B vel à
verticibus A, C eiuſdem axis remota, non erunt congruentia, vt deducitur ex
propoſ. 1. additarum huius.
SECTIO QVARTA
Continens Propoſit. XI. XII. XIII. & XIV.
PROPOSITIO XI.
QVælibet ſectio parabolica, vt A B, cuius axis B C, & ere-
ctum B D ſimilis eſt cuilibet ſectioni parabolicæ, vt E F,
cuius axis F H, & erectum F I.
193155Conicor. Lib. VI. 208[Figure 208]
Ponamus itaque C B ad B D, vt H F ad F I, & diuidantur tam B C,
quàm F H in punctis K, L, M, N in eiſdem rationibus, & educamus ſu-
per eas ordinationes O P, Q R, A S, T V, X Y , E Z. Quia B C ad
B D eſt vt H F ad F I, & A C eſt media proportionalis inter C B, B D
11Ex 11.
Lib. 1. (12. ex 1.) pariterque E H inter H F, F I (12. ex 1.) igitur A C ad C
B eſt, vt E H ad H F , & A S dupla ipſius A C ad C B eſt, vt E Z ad
H F; cumque B C ad B L poſita ſit, vt H F ad F N, erit B D ad B L, vt
22a I F ad F N; igitur Q R ad L B eſt vt X Y ad N F; atque ſic oſtendetur,
quod O P ad K B eſt, vt T V ad M F, quare proportio ordinationum
axis vnius ſectionum ad ſua abſciſſa eſt, vt proportio ordinationum alte-
rius ad ſua abſciſſa, & proportiones abſciſſarum vnius ſectionis ad abſciſ-
ſa alterius ſectionis eædem ſunt. Quare ſectio A B ſimilis eſt ſectioni E
33Defin. 2. huius. F. Quod erat oſtendendum.
PROPOSITIO XII.
SI duarum hyperbolarum, aut ellipſium duæ axium figuræ
fuerint ſimiles, vtique ſectiones ſimiles erunt: Si verò fue-
rint ſectiones ſimiles, figuræ etiam ſimiles erunt.
209[Figure 209]
Sint ſectiones A B, E F, earum axes inclinati, vel tranſuerſi B a, F b,
& erecti earum B D, F I, & maneant ſigna, ordinationes, & proportio-
44a nes eædem, quæ in præcedenti propoſitione. Quoniam figura ſectionis
55b
194156Apollonij Pergæi210[Figure 210] A B ſimilis eſt figuræ ſectionis E F, erit quadratum H E ad H b in H F,
vt quadratum A C ad C a in C B; & b H in H F ad quadratum H F,
vt a C in C B ad quadratum C B (nam poſuimus H F ad F b, vt C B ad
B a) ergo ex æqualitate, quadratũ E H ad quadratũ H F eſt, vt quadra-
tum A C ad quadratum C B: & propterea E Z ad H F eſt vt A S ad C
B; Atque ſic oſtendetur, quod X Y ad N F ſit vt Q R ad L B, & T V
ad M F ſit vt O P ad K B; ergo proportiones ordinationum axis vnius
earum ad ſua abſciſſa ſunt eædem rationibus aliarum ordinationum axis
ad ſua abſciſſa, & alternatiuè. Quare duæ ſectiones ſunt ſimiles.
11Defin. 2.
huius.
E contra oſtendetur, quod
ſi duæ ſectiones fuerint ſimi-
211[Figure 211] les, earũ figuræ ſimiles quo-
que erunt. Quia eſt A C ad
22Ex def. 2.
buius. C B, vt E H ad H F, & ean-
dem proportionem habent
earum quadrata, atque
quadratum H F ad H F in
H b eſt, vt quadratum C B
ad C B in C a (eo quod
H F ad F b poſita fuit, vt
C B ad B a); ergo ex æ-
qualitate quadratum E H ad
b H in H F, nempe I F
ad F b (20. ex 1.) eſt, vt quadratum A C ad a C in C B, nempe vt
3321. lib. 1.
Ibidem. D B ad B a (20. ex 1.) ; quare figuræ duarum ſectionum ſunt ſimiles.
Et hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO XIII.
PArabola non eſt ſimilis hyperbolæ, neque ellipſi.
Hyperbolæ, ſeu ellipſis A B ſit axis B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus
B a, & E F ſit ſectio parabolæ, cuius axis F H. Dico, quod ſectio E F
non eſt ſimilis ſectioni A B hyperbolicæ, aut ellipticæ, alioquin ſit
195157Conicor. Lib. VI. lis alicui earum (ſi poſ-
11b ſibile eſt) ergo poſſu-
212[Figure 212] mus educere in ſingulis
ſectionibus potentes,
quæ habeant ad ſua ab-
ſciſſa axium eaſdẽ pro-
portiones, & abſciſſæ in
ter ſe ſint proportiona-
les; ſintque illæ V M,
Y N, P K, R L. Quia
Y N ad N F poſita fuit,
vt R L ad L B, & N F
ad F M, vt L B ad BK,
& F M ad M V, vt B
K ad K P; ergo Y N ad
M V in potentia, nem-
pe N F ad M F (cum
ſectio ſit parabola 19.
ex 1.) nempe L B ad B K ex contructione erit, vt R L ad K P potentia,
2220. lib. 1. quæ eandem proportionem habent, quàm a L in L B ad a K in K B;
3321. lib. 1. quia ſectio eſt hyperbolæ, aut ellipſis (20. ex 1.) quare a L in L B ad a
K in K B eſt, vt L B ad B K; quare a L eſt æqualis a K: quod eſt abſur-
dum. Igitur parabole non eſt ſimilis vlli reliquarum ſectionum. Et hoc
erat probandum.
PROPOSITIO XIV.
ET ſic oſtendetur, quod hyperbolæ non eſt ſimilis ellipſi.
Alioquin ſequitur, quod quadratum
213[Figure 213]44a R L ad quadratum K P, nempe a L in
L B ad a K in K B in hyperbola eſt, vt
quadratum Y N ad quadratum M V,
ſeu vt b N in N F ad b M in M F in el-
lipſi. His poſitis: quia L B ad B K po-
5521. lib. 1. ſita fuit, vt N F ad M F; ergo a L ad
a K eandem proportionem habet, quàm
b N ad b M: & hoc eſt abſurdum. Qua-
re ſectio A B non eſt ſimilis E F; vt fue-
rat propoſitum.
196158Apollonij Pergæi
MONITVM.
IN principio huius libri monuimus, definitionem ſimilium conicarum
ſectionum, quæ circunfertur, vitioſam eſſe; quod hic oſtendendum
ſuſcepimus: ſed prius hæc demonſtranda ſunt.
LEMMA II.
IN duabus coniſectionibus A B, E F eiuſdem nominis ſint axium
figuræ G B D, K F I ſimiles inter ſe, ideſt tranſuerſa latera G B,
K F proportionalia ſint lateribus rectis B D, F I : duci debent in ſingu-
lis ſectionibus ſeries applicatarum ad axes, ita vt axium abſciſſæ (quæ
proportionales ſunt inter ſe) ad conterminas potentiales non ſint in ijſdem
rationibus.
Sumantur duæ abſciſſæ B C, F H, quarum C B ad B D habeat maiorem pro-
portionem, quàm habet H F ad F I, & C B, H F ſecentur proportionaliter in
R, V. , & per ea puncta ducantur ad axes ordinatim applicatæ A C, E H, Q
R, T V. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C B eandem proportio-
214[Figure 214] nem babet, quàm latus rectum D B ad tranſuerſum G B, pariterq; quadratum
1121. lib. 5. E H ad rectangulum K H F eſt vt I F ad F K; atq; D B ad B G ex hypotheſi,
eſt vt I F ad F K; ergo quadratum A C ad rectangulum G C B eandem pro-
portionem habet quàm quadratum E H ad rectangulum K H F : & quia G B
ad B D eſt vt K F ad F I, & D B ad B C minorem proportionẽ habet quàm
I F ad F H, ergo ex æquali G B ad B C, minorem proportionem habet quàm
K F ad F H, & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi G C ad C B
ſeu rectangulum G C B ad quadratum B C minorem proportionẽ habebit quàm
K H ad H F, ſeu quàm rectangulum K H F ad quadratum F H : erat autem
quadratum A C ad rectangulum G C B vt quadratum E H ad rectangulum K
H F ; igitur ex æquali, quadratum A C, ad quadratum C B minorem propor-
tionem habet quàm quaàratum E H ad quadratum H F, & ideo A C ad C
197159Conicor. Lib. VI. minorem proportionem habebit, quàm E H ad H F. Poſtea quia C B ad B R
erat vt H F ad F V, & prius G B ad B C minorẽ proportionem habebat, quàm
K F ad F H, ergo ex æquali G B ad B R minorem proportionem habet, quàm
K F ad F V, & componendo in hyperbola, & diuidenào in ellipſi G R ad R B,
ſeu rectangulum G R B ad quadratum B R minorem proportionem habet, quàm
K V ad V F, ſeu rectangulum K V F ad quadratum V F ; ſed propter ſimili-
tudinem figurarum, vt prius quadratum Q R ad rectangulum G R B eſt vt qua-
dratũ T V ad rectangulum K V F; ergo ex æquali quadratum Q R ad quadra-
tum R B minorem proportionem habet, quàm quadratum T V ad quadratum
V F, & Q R ad R B minorem proportionem habebit, quàm T V ad V F. Et
ſic reliquæ omnes abſciſſæ : quapropter patet propoſitum.
COROLLARIVM.
HInc conſtat in duabus ſimilibus coniſectionibus duci poſſe duas ſeries appli-
catarum ad axes, itaut abſciſſæ axium, quæ inter ſe proportionales ſunt,
ad ſuas potentiales nonſint in ijſdem rationibus. Quandoquidẽ ex prima parte
propoſitionis 12. quotieſcunque axium figuræ ſimiles ſunt etiam ſectiones ipſæ
ſunt ſimiles.
LEMMA III.
IN ijſdem figuris habeat G B ad B D maiorem proportionem, quàm
K F ad F I duci debent duæ ordinatim ad axes applicatæ, quæ ad
conterminas abſciſſas eandem proportionem habeant.
Ducatur quælibet ordinata E H, producanturq; vt ſecet coniunctam K I in
L, & vt D B ad B G ita fiat L H ad H N, atq; fiat G C ad B C, vt N H ad
H F, ducaturque ordinata A C; quæ producta ſecet coniunctam G D in P. Di-
co A C, & E H eße quæſitas. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C
1121. lib. 1. B eandem proportionem habet, quàm D B ad B G, ſeu L H ad H N, & rectã.
gulum G C B ad quadratum B C eſt
215[Figure 215] vt G C ad C B, ſeu vt N H ad H
F, ergo ex æqualitate quadratum
A C ad quadratum C B eſt vt L H
ad H F, ſeu vt rectangnlum L H
F ad quadratum H F; vel potius
vt quadratum E H ad quadratum
2212. 13.
lib. 1. H F; ideoque A C ad C B erit vt
E H ad H F. Quod erat propoſi-
tum.
198160Apollonij Pergæi
LEMMA IV.
SI G B ad B D maiorem proportionem habuerit, quàm K F ad F
I: Dico in ſingulis ſectionibus reperiri non poſſe binas axium ab-
ſciſſas inter ſe proportionales, quæ ad conterminas potentiales ſint in eiſ-
dem rationibus.
Si enim fieri poteſt, ſit A C ad
216[Figure 216] C B, vt E H ad H F, & Q R ad
R B ſit, vt T V ad V F, atque C
B ad B R ſit vt H F ad F V; con-
iungantur rectæ G D, K I quæ ſecẽt
ordinatas in S, P, X, L; & ſecen-
tur C a æqualis R S, & H b æqualis
V X, ſuntq; æquidiſtantes; ergo co-
niungentes S a, R C æquales ſunt,
& parallelæ, & ſic etiam coniun-
gentes X b, & V H, quare quadratum A C, ſeu rectangulum P C B ad qua-
dratum C B eandem proportionem habet, quàm quadratum E H, ſeu rectangu-
1112. 13.
lib. 1. lum L H F ad quadratum H F; ideoque P C ad C B eandem proportionem ha-
bet, quàm L H ad H F; eſt verò C B ad B R, vt H F ad F V, & per conuerſio-
nem rationis C B ad C R eſt vt H F ad H V, ergo ex æquali C P ad C R eſt
vt L H ad H V: Eodem modo oſtendetur, quod S R, ſeu a C ad R C eſt, vt
X V, ſeu b H ad V H; erat autem P C ad C R vt L H ad H V; ergo a P dif-
ferentia ipſarum S R, P C ad G R, ſeu ad S a eſt vt b L differentia ipſarum
X V, L H ad H V, ſeu ad X b; eſtque D B ad B G vt P a ad S a (propter pa-
rallelas a S, C G, & parallelas a P, & B D) pariterque I F ad F K eſt vt L
b ad b X, ergo D B ad B G eandem proportionem habet, quàm I F ad F K;
quod eſt contra hypotheſim, non ergo binæ axium abſciſſæ inter ſe proportionales
reperiri poſſunt in ſectionibus A B, & E F, quæ ad conterminas potentiales ſint
in eiſdem rationibus; quod erat oſtendendum.
COROLLARIVM.
HInc conſtat in duabus ſectionibus eiuſdem nominis ſi axium figuræ G B D,
& K F I non ſuerint ſimiles, neque ſectiones A B, & E F, ſimiles eſſe.
Nam eſt impoſſibile, vt omnes, ideſt infinitæ axium abſciſſæ inter ſe proportio-
nales ad conterminas potentiales ſint in eiſdem rationibus, cum neque bine in
ſingulis reperiri poſſint ex hac propoſitione.
199161Conicor. Lib. VI.
LEMMAV.
IN eiſdem figuris rurſus G B ad B D maiorem proportionem habeat,
qnàm K F ad F 1 : Dico quod minimè reperiri poſſunt axium ab-
ſcißæ erectis proportionales, quæ habeant eandem rationem ad contermi-
nas potentiales.
Secentur quælibet abſciſſæ, B C, F H ita vt C B ad B D ſit vt H F ad F I,
& ducantur ordinatim ad axes applicatæ A C, E H, quæ productæ ſecent, con-
iunctas G D, K I in P, L, atque fiat γ B ad B D vt K F ad F I, iungatur-
que γ D ſecans A P in M. Manifeſtum eſt rectam C M inæqualem eſſe C P,
(propterea quod γ B minor eſt, quàm G B, cum ad eandem B D minorem pro-
portionem habeat, quàm G B, ideoque punctum Y, & recta γ D cadent intra,
triangulum G B D, & punctum M intra ipſum cadet, aut extra G D pro-
ductam). Quoniam D B ad B γ eſt vt I F ad F K, & erat C B ad B D vt
H F ad F I ; ergo ex æquali C B ad B γ erit vt H F ad F K, & comparando
terminorum ſummas in hyperbola, & differentias in ellipſi ad antecedentes, γ C
ad C B erit vt K H ad H F; eſt verò M C ad C R vt L H ad H K (eoquod
triãgula M C R, & L H K ſimilia ſunt triangulis ſimilibus B D Y, I F K,) ergo
ex æquali M C ad C B erit vt L H ad H F, & rectangulum M C B ad quadra-
tum C B eandem proportionem habebit, quàrn rectangulum L H F ad quadra-
tũ H F; ſed rectangulũ M C B æquale nõ eſt rectangulo P C B (cum M C oſtenſa
ſit inæqualis P C); ergo rectangulum P C B, ſeu quadratum A C ad quadratum
1112. 13.
lib. 1. C B non eandem proportionem habet, quàm rectangulum L H F, ſeu quadratum
E H ad quadratum H F; & propterea A C ad C B non eandem proportionem
habebit quàm E H ad H F. Idem oſtendetur in reliquis omnibus abſciſſis ſimi-
liter poſitis. Quare patet propoſitum.
COROLLARIVM I.
MAnifeſtum eſt in coniſectionibus non ſimilibus duci poſſe duas ſeries appli-
catarum ad axes, itaut abſciſſæ ſimiles, ſeu proportionales inter ſe adcõ-
terminas potentiales non ſint in ijſdem rationibus.
COROLLARIVM II.
Colligitur pariter conuertendo, quod in duabus ſectionibus eiuſdem nominis
ſi duæ ſeries abſciſſarum ſimilium in axibus poſitæ fuerint, & in vna ſe-
rie abſciſſæ ad conterminas potentiales maiorem proportionem habeant, quàm in
altera ſerie, fieri poteſt vt ſiguræ axium non ſint inter ſe ſimiles: Quod verifi-
catur ſaltem in caſu præcedentis propoſitionis.
His præmiſſis, quoniam paſſo in definitione poſita eſſentialiter conuenit defini-
to eſt impoſſibile, vt eidem ſubiecto definito competant duæ paſſiones diuerſæ, &
inter ſe oppoſitæ, exempli gratia, fieri non poteſt, vt in triangulis ſimilibus
200162Apollonij Pergæi quando anguli vnius inæquales ſint angulis alterius, aut aliquaudo latera circa
angulos æquales non ſint proportionalia; ita in definitione Mydorgiana, quia co-
niſectiones dicuntur ſimiles in quibus omnes axium abſcißæ, quæ proportionales
ſunt inter ſe in ijsdem ſunt rationibus ad conterminas potentiales, igitur eidem
ſubiecto deſinito, ideſt in duabus ſectionibus conicis ſimilibus, eſt impoſſibile, vt
reperiatur ſeries aliqua infinitarum ſimilium abſciſſarum in axibus, quæ ad con-
terminas potentiales non ſint in ijſdem rationibus, & ſiquidem duæ paſſiones op-
poſitæ eidem ſubiecto definito conueniant nulla earum erit eius paſſio eſſentialis,
& ideo definitio bona non erit: vt exempli gratia quia in duobus ſimilibus cir-
culorum ſegmentis duo triangula inſcripta poſſunt eſſe æquiangula, & etiam non
æquiangula; ergo ſimilitudo inſcriptorum triangulorum non eſt paſſio eſſentialis
ſegmentorum circularium ſimilium inter ſe, & ideo non erit bæc bona definitio:
Similia circulorũ ſegmenta ſunt in quibus deſcribi poſſunt duo triangula ſi-
milia, & ratio eſt, quia per definitionem nedum natura rei declaratur, & indi-
catur, ſed etiam diftinguitur, & diuerſificatur à qualibet alia; & quoniam in
11Coroll.
Lem. 2.
huius. ſectionibus ſimilibus reperiuntur duæ ſeries ſimilium abſciſſarum, quæ ad con-
terminas potentiales non ſunt in ijſdem rationibus; & è contra ex definitione,
Mydorgij duæ ſeries ſimilium abſciſſarum, quæ ad conterminas potentiales ſunt
in ijſdem rationibus, eſſentialiter conueniunt definito; igitur hæ duæ oppoſitæ
paſſiones conueniunt eidem ſubiecto definito, ſcilicet ſectionibus ſimilibus iu-
xta Mydorgij ſententiam : quapropter tradita definitio ſectionum ſimilium vi-
tioſa erit, & manca.
Vt autem hoc clarius pateat ex-
217[Figure 217] ponantur duæ ſectiones A B, E F
eiuſdem nominis, quarum axes B
C, F H, & propoſitum primò ſit de-
monſtrare ſectiones illas eſſe ſimiles
inter ſe; ergo oſtendendum eſt paſ-
ſionem definitionis traditæ conueni-
re ſectionibus A B, E F; quod ni-
mirum ſimiles axium abſcißæ in,
ijſdem rationibus debent eſſe adcõ-
terminas potentiales, & quia in,
definitione nulla cautio, vel determinatio adhibetur, igitur ſumi poſſunt quæ-
libet axium abſciſſæ B C, F H, & hæc ſecari proportionaliter in R, V, & à
punctis diuiſionum duci poßunt ad axes ordinatim applicatæ A C, E H, Q R,
T V; & ſupponamus demonſtratum eſſe, quod B C ad C A ſit vt F H ad H E,
pariterque vt B R ad R Q ſit vt F V ad V T, tunc quidem ex vi definitionis
deducitur, quod ſimiles ſint ſectiones A B, & E F. At quia demonſtrari poteſt
22ex Lem. 2.
huius. in ijſdem ſectionibus (ſumendo abſciſſas B C, F H ad libitum, & proportiona-
liter diuidendo eas in R, & V) quod B C ad C A habet maiorem proportionem,
33Coroll. 2.
Lem. 5.
huius. quàm F H ad H E; pariterque B R ad R Q maiorem proportionẽ habeat, quàm
44Coroll. 2.
Lem. 5.
huius. F V ad V T, & ſic ſemper; ergo non poterit deduci ſimilitudo potius quàm non
ſimilitudo; ideoque definitio ſimilium ſectionum erit vitioſa, quandoquidem ex
ea duæ contradictoriæ deducuntur.
Secundo loco ſupponantur duæ ſectiones A B, & E F ſimiles inter ſe, & pro-
poſitum, ſit demonſtrare quod axium figuræ, ſeu rectangula G B D, & K F
201163Conicor. Lib. VI. ſint ſimilia, quæ quidem, eſt propoſitio 3. libri 4. Mydorgij, eiuſque præparatio,
ſeu conſtructio talis eſt (, & appono eius verba immutatis tantummodo literis fi-
gurarũ) ſint à ſectione A B ordinatim ad axim B C applicatæ binæ quæ-
quæ A C, Q R, & vt C B ad B R ita ſit, H F ad F V, ordinatimque à ſe-
ctione E F applicentur E H, T V ( ſubſequitur poſtea demonſtratio ſic.)
Quoniam igitur ſimiles ponuntur ſectiones A B, E F, & ſunt H F, F V
portiones portionibus C B, B R fimiles, (ideſt proportionales) vt B C
ad C A, ita erit F H ad H E, & vt B R ad R Q, ita erit F V ad V T,
& c.
Huiuſmodi verba ſubtiliori trutina expendenda ſunt. In præparatione, ſeu
conſtructione aſſumit abſcißas B C, & F H abſque vlla lege, aut determinatione;
ergo ſumi poſſunt cuiuſcunq; longitudinis: quare fieri poteſt vt C B ad latus re-
ctum B D non habeat eandem proportionem quàm habet F H ad F I, & tunc
11Lem. 2.
huius. licet C B , H F diuidantur proportionaliter, & ducantur potentiales, & c. A C
ad C B habebit maiorem, aut minorem proportionem quàm E H ad H F, & pa-
riter Q R ad R B non habebit eandem rationem, quàm T V ad V F, & ſit vl-
terius in tota ſerie; ſed ex hoc ſequitur, quod poſſint eſſe figuræ axium inter ſe
22Coroll. 2.
Lem. 5.
huius. non ſimiles; Mydorgius autem ſimiles eſſe concludit; igitur ex eadem hypotheſi,
& ex eadem definitione deducitur, quod ſectiones ſimiles habent figuras axium,
ſimiles inter ſe, & non ſimiles, quod eſt impoſſibile; non igitur definitio à My-
dorgio tradita legitima, & perfecta eſt: quod fuerat oſtendendum.
Quod vero deſinitio à me reformata tribui poſſit Apollonio conijcitur præcipuè
ex demonſtratione ſecundæ partis propor. 12. ibi enim ex hac ſuppoſitione, quod
218[Figure 218] ſcilicet duæ ſectiones A B, & E F ſint ſimiles deducit earum figuras ſimiles eſſe.
Ait enim: quia eſt A C ad C B vt E H ad H F, & eandem proportioné
habent earum quadrata, atque quadratum H F ad rectangulum: F H b
eandem proportionem habet quàm quadratum C B ad rectangulũ B C a
( co quod H F ad F b poſita fuit vt C B ad B a) ergo, & c. Modo ſi ac-
curatè hæc verba perpendantur non poterit hic vſurpari vulgata definitio Euto-
cij, vel Mydorgij nam cum ſectiones A B, E F ſupponantur ſimiles, ea tan-
tummodo quæ in definitione ſimilium ſectionum perhibentur concedi poßunt, &
nihil amplius; igitur ſi in definitione non includitur particula illa [ abſciſſæ H
F, C B’ ad erecta, vel tranſuerſa latera F b, B a ſint proportionalia ] deliran-
202164Apollonij Pergæi tis potius, quàm demonſtrantis
219[Figure 219] eſſet dicere. Eo quod H F, ad
F b poſita fuit vt C B ad B a;
vbi nam, aut quando hoc ſuppo-
ſitum eſt, ſi in definitione non
continetur? Nec ſuspicari po-
teſt caſu hæc verba in textu ir-
repſiß, cum in alijs locis repe-
tantur, & ab eis pendeat tota
demonſtratio; igitur in defini-
tione vulgata addenda eſt illa
particula, abſciſſæ fint in ea-
dem ratione ad erecta;
Rurſus in propoſ. II. & I.
parte 12. quando concluſio demonſtrationis eſt quod ſectiones A B, E F ſimi-
les ſint: tunc quidem quia tenetur oſtendere Apollonius definitionem traditam,
conuenire ſectionibus A B, E F, non aßumit incautè abſciſſas homologas C B,
H F, ſed ait in II. propoſitionc ponamus C B ad B D vt H F ad F I, &
in 12. inquit, nam pofuimus H F ad F b vt C B ad B a & c. Poſtea in pro-
poſitione 16. litera a: ergo M A ad A P, ideſt abſciſſa ad erectum eſt vt O
C ad C Q, ſeu vt homologa abſcißa ad latus rectum, & angulus O æqualis
eſt M: patet igitur, vt diximus in II. ex 6. quod ſi, & c. Ex quibus locis
ſatis apertè colligitur ( ni fallor ) id quod ſupra rationibus non leuibus inſi-
nuaui, quod abſciſſæ proportionales eſſe debent erectis in ſectionibus ſimilibus.
220[Figure 220]
Sed hic animaduertendum eſt, eandem definitionem non poſſe æquè aptari ſe-
ctionibus conicis, atque ſegmentis conicis ſimilibus, vt perperam cenſuit Mydor-
gius: nam in ſegmentis conicis ſimilibus A B C, & D E F diametrorum æquè
ad baſes inclinatarum abſciſſæ homologæ ex ſui natura determinatæ ſunt, quan-
doquidem non poßunt eße maiores, neque minores quàm G B, & H E, quæ inter
baſes A C, & D F ſegmentorum conicorum, & vertices B, E intercipiuntur;
at ſi in conicis ſectionibus A B S, & K F G ſint axes tranſuerſis a B, & b F
11Propof.
12. huius
lib. I. ad ſua latera recta B D, & F I in eadem proportione, tunc quidem ſimiles e-
runt curuæ lineæ A B S, & K F G, quæ poßunt habere indeterminatas, & mul-
tiplices longitudines, immo poßunt in inſinitum prolongari, ſi fuerint
203165Conicor. Lib. VI.221[Figure 221] vel hyperbolæ, nec habent baſes, à quibus circumſcribantur, igitur in ſectionibus
ſimilibus A B, & G F homolegæ axium abſciſſæ B C, F H non ſupponuntur iam
dißectæ, & determinatæ; quare poßunt eße cuiuſcunque menſuræ, & habere poſ-
ſunt eandem, & non eandem proportionem ad conterminas potentiales; & ideo
ad vitandam incertitudinem adiungi debet determinatio, quod prædictæ homo-
logæ abſcißæ B C, F H proportionales ſint lateribus rectis B D, F I, at in ſeg-
mentis, ſeu portionibus ſectionum conicarum ſimilium inutilis omnino eßet illa
determinatio. An verò hæc mea ſententia omninò reijci debeat alijs iudicandũ
relinquo.
Notæ in Propoſit. XI.
CVmque B C ad B L poſita ſit vt H F ad F N, & c. Quia inuertendo
11a D B ad B C eandem proportionem habet quàm I F ad F H, & C B ad B
L eſt vt H F ad F N; ergo ex æquali ordinata D B ad B L eandem proportio-
nem habebit, quàm I F ad F N; eſtque ordinatim applicata Q L media pro.
222[Figure 222] portionatis inter abſciſſam B L, & latus rectum B D ( cum in parabola quadra-
tum Q L æquale ſit rectangulo L B D ) pariterque X N media proportionalis eſt
2211. lib. I. inter F N, & I F; ergo Q L ad L B eſt vt X N ad N F, & antecedentium,
duplæ, ſcilicet Q R ad L B, atque X r ad N F in eadem ratione erunt. Non
ſecus oſtendetur O P ad K B vt T V ad M F.
204166Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XII.
SVpponamus itaque ſectiones A B, E F, earum inclinati, vel tran-
11a ſuerſi B a, F b, & erecti eorum B D, F I ordinationes, & propoſitio-
nes, vti diximus, & c. Ideſt. Sint axes inclinati, ſiue tranſuerſi B a, F b, &
maneant ſigna, ordinationes, & proportiones eædem, quæ in præcedenti propoſi-
tione; ſcilicet fiat C B ad B D, vt H F ad F I, & quia D B ad B a eſt vt I
F ad F b ( propter ſimilitudinem figurarum D B a, I F b ) ergo ex æquali C
B ad B a erit vt H F ad F b; & comparando antecedentes ad ſummas termino-
rum in hyperbola, & ad differentias in ellipſi erit B C ad C a vt F H ad H b:
poſtea diuidantur tam B C, quàm F H in ijſdem rationibus in punctis K, L,
M, N, & educantur ordinatim applicatæ, ſeu æquidiſtantes baſibus O P, Q R,
A S, T V, X r, E Z.
Quoniam figura ſectionis A B ſimilis eſt figuræ ſectionis E F erit qua-
22b dratum H E ad H b in H F, vt quadratum A C ad C a in C B, & b H
in H F ad quadratum H F, vt C a in C B ad quadratnm C B ( nam po-
ſuimus H F ad F b, vt C B ad B a, & c.) Quouiam in figuris, ſeu rectan-
gulis ſimilibus D B a, & I F b habet D B ad B a eandem proportionem, quàm
3321. lib. I. I F ad F b, & vt D B ad B a, ita eſt quadratum A C ad rectangulum B C a,
pariterque vt I F ad F b ita eſt quadratum E H ad rectangulũ F H b ſed ( ſi-
cut in præcedenti nota dictum eſt) C a ad C B, ſeu rectangulum B C a ad qua-
dratum C B eandem proportionem habet, quàm H b ad H F, ſeu quàm rectan-
gulum F H b ad quadratum F H; igitur ex æqualitate quadratum A C ad qua-
dratum C B eandem proportionem habet, quàm quadratum E H ad quadratum
H F.
Atque quadratum H F ad H F in H b eſt vt quadratum C B ad B C in
44C C a (eo quod H F ad F b poſita fuit C B ad B a), ergo ex æqualitate, & c.
Ideſt ſumã tur axium abſcißæ C B, H F, quæ ſint proportionales lateribus rectis
B D, & F I, ſeu proportionales ſint lateribus tranſuerſis B a, & F b, & ſecẽtur
abſciſſæ B C, & F H proportionaliter in punctis K, L, M, N, & per puncta
diuiſionum ducantur ordinatim applicatæ A C, Q L, E H, X N, & c. Quia ſe-
ctiones A B, E F ſupponuntur ſimiles; ergo ex definitione 2. huius A C ad C B
eandem proportionem habebit, quàm E H ad H F, nec non Q L ad L B erit vt
X N ad N F; & ideo quadratum A C ad quadratum C B eandem proportionẽ
habet, quàm quadratum E H ad quadratum H F; & quia ex conſtructione,
iuxta leges definitionis 2. vt C B ad B a ita erat H F ad F b, & comparando
antecedentes ad terminorũ ſummas in hyperbolis, & ad differentias in ellipſibus,
habebit B C ad C a, ſeu quadratum B C ad rectangulum B C a eandẽ propor-
tionem quàm F H habet ad H b, ſeu quàm quadratum F H habet ad rectangu-
lum F H b; ergo ex æqualitate quadratum A C ad rectangulum B C a eãdem
proportionem habet, quàm quadratum E H ad rectangulum F H b; eſt verò la-
tus rectum D B ad latus tranſuerſum B a, vt quadratum A C ad
205167Conicor. Lib. VI.223[Figure 223] B C a, pariterque latus re
224[Figure 224] ctum I F ad tranſuer ſum F
1121. lib. 1. b eſt vt quadratum E H ad
rectangulum F H b, igitur
D B ad B a eandem propor-
tionem habebit quàm I F ad
F b, & ideo figuræ axium
ſimiles erunt.
Notæ in Propoſit. XIII.
SInt axes earum B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus B a, & c. Addidi
22a verba, quæ in expoſitione propoſitionis deficiunt. Hyperbole, ſeu ellipſis A
B ſit axis B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus B a, & E F ſit parabole, cuius
axis F H, & c.
Alioquin ſit (ſi poſſi-
33b225[Figure 225] bile eſt) ſimilis vni ea-
rum, & minima ſimilis
earum figuræ, quæ non
ſunt ſimiles ſuis figuris:
deinde poſſumus produ-
cere in ſingulis ſectioni-
bus potentes, & c. Non
nulla verba ex hoc textu
expunxi vt ſuperuacanea
eiuſq; ſenſus hic eſt. Sie-
nim par abolæ E F ſimilis
eſt hyperbolæ, aut ellipſi A
B (ex definitione ſimilium
44Defin. 2. figurarum) duci poßunt
in vnaquaque duarum ſi-
milium ſectionum
206168Apollonij Pergæi natim ad axium applicatæ, numero pares, quæ ad abſciſſas ſint proportionales,
tum abſcißæ inter ſe: V nde ſequitur poſtrema concluſio, quæ in textu habetur,
quod nimirum rectangulum a L B ad rectangulum a K B eandem proportionem
habeat, quàm abſciſſa, L B ad abſciſſam K B: ſed quotieſcunque duo rectangu-
la eandem proportionem habent, quàm baſes, illa ſunt æque alta: igitur altitu-
dines a L, & a K æquales ſunt inter ſe, pars, & totum: quod eſt absurdum.
Notæ in Propoſit. XIV.
ALioquin ſequitur, quod quadratum R L ad quadratum K P, & c. In
11a propoſitione deficit expoſitio, quæ talis eſt. Sit A B quælibet hyperbolc,
& E F quælibet ellipſis. Dico A B ipſi E
226[Figure 226] F ſimilem non eße. Sint eorum axes late-
ra tranſuerſa, & recta eadem, quæ in præ-
cedenti propoſitione poſita ſunt. Et ſiqui-
dem ſectiones A B, & E F ſimiles credan-
tur, neceßario ex definitione ſecunda, duci
poterunt ad axes ordinatim applicatæ nu-
mero pares proportionales abſciſſis, tum
abſciſſæ inter ſe proportionales: & vt in
præcedenti propoſitione oſtenſum eſt, qua-
dratum R L ad quadratum P K, ſcilicet
rectangulum a L B ad rectangulum a K B in hyperbola eandem proportionem
2221. lib. 1. habebit, quàm quadratum γ N ad quadratum V M, ſeu quàm rectangulum b
33Ibidem. N F ad rectangulum b M F in ellipſi, ergo rectangulum a L B ad rectangulum
a K B eandem proportionem habet, quàm rectangulum b N F ad rectangulum
b M F: ſed eorundem rectangulorum baſes proportionales ſunt, eo quod L B ad
B K erat vt N F ad F M; igitur eorundem altitudines proportionales erunt,
ſcilicet a L ad a K eandem proportionem habebit, quàm b N ad b M, ſed in
hyperqola a L maior eſt, quàm a K; in ellipſi verò contra b N minor eſt, quã
b M; igitur maior a L ad minorem a K eandem proportionem habebit, quàm
minor b N ad maiorem b M. Luod erat abſurdum.
SECTIO QVINTA
Continens ſex Propoſitiones Præmiſſas,
PROPOSITIO I. II. III. IV. & V.
SI in triangulis A B C, D E F in duobus circulorum ſeg-
44I mentis A T C, D G F deſcriptis, à duobus angulis B,
E, educantur duæ rectæ lineæ B T H, E G I efficientes cum
baſibus A C, D F duos angulos H, I æquales (incidentes
207169Conicor. Lib. VI.227[Figure 227] prima figura extra duo ſegmenta, & in ſecunda intra, at in ter-
tia intra duos ſemicirculos), & fuerit proportio plani rectan-
guli ex portionibus lineæ baſis inter angulum prouenientem, &
duos angulos reliquos trianguli, nempe A H in H C ad qua-
112 dratum interceptæ inter prouenientem angulum, & circuli peri-
pheriam, nempe ad quadratum H B in quolibet caſu eadem
ſit, quàm D I in I F ad quadratum I E, vel H A in H C ad
quadratum H T ſit, vt D I in I F ad quadratum I G; ſintque
duo priores anguli, inter ſe æquales, & prouenientes extra duo
triangula poſiti: vel duo priores recti, & prouenientes intra
223 duos angulos non ſint recti; aut duo priores non recti, & pro-
334 uenientes recti intra duo triangula: vel duo priores diuerſæ,
445 aut eiuſdem ſpeciei, ſed duæ lineæ efficiant duos angulos æqua-
les cum lateribus duorum triangulorum ſubtendentibus angulos
prouenientes: vtique duo priora triangula ſunt ſimilia.
Quia C H in H A; nempe T H in H B ad quadratum H B, quod eſt,
vt H T ad H B eandem proportionem habet, quàm D I in I F, nempe
228[Figure 228] G I in I E ad quadratum I E, quod eſt vt I G ad I E, erit B H ad H T,
vt E I ad I G; ſimiliter, & eorum quadrata; oſtendetur igitur ex
208170Apollonij Pergæi229[Figure 229] litate, quod ſi fuerit A H in H C ad quadratum H B, vt D I in I F ad
quadratum I E, quod A H in H C ad quadratum H T ſit etiam, vt I D
in I F ad quadratum I G. Dico iam, quod triangulum A B C ſimile eſt
triangulo D E F. Si enim hoc verum non eſt, non erit angulus A æqua-
lis vni duorum angulorum D, vel F: ſitque angulus D maior, quàm A,
& fiat angulus K D F æqualis A, iungaturque F K; quia angulus K, ve-
luti E, eſt æqualis angulo B; ſimilia erunt triangula A B C, D K F, & e-
ducamus K L parallelam E I: quare K L F ſimile quoque erit B H C
11b ideoque H A ad H B eſt vt D L ad L K, & H C ad H B, vt F L ad L
K; igitur H A in H C, nempe B H in H T ad quadratum H B, quod eſt,
vt H T ad H B, quæ oſtenſa eſt; vt I G ad I E, erit vt D L in L F, nẽ-
pe K L in L M ad qua-
230[Figure 230] dratum K L: & propte-
rea M L ad L K erit vt G
I ad I E in omnibus fi-
guris; & hoc eſt abſurdũ
22c in prima figura: in ſecun-
33d da verò ſecentur bifariam
E G, K M in N, O, &
iungatur N O, quæ pa-
rallela erit L I, quia ſunt
duæ perpendiculares ſu-
per K M, E G, quæ ſunt
parallelæ; ergo I N eſt
æqualis L O, & quia E G ad E I iam oſtenſa eſt vt K M ad K L; ergo
E N ad E I eſt, vt O K ad K L: & diuidendo erit N I ad I E, vt O L,
quæ eſt æqualis N I ad L K. Et hoc quoque eſt abſurdum.
In figura autem tertia educamus duas perpendiculares E P Q, K R S
44e ſuper diametrum D F, cui occurrant in P, R: & iungamus G Q, M S,
quia erat G E ad E I, vt M K ad L K, & propter ſimilitudinem trian-
gulorum I E P, K L R, E I ad E P eſt, vt L K ad K R, atque E P ad E
Q eſt, vt R K ad K S, & angulus G E Q æqualis eſt M K S; ergo E
209171Conicor. Lib. VI. Q ſimile eſt M K S,
231[Figure 231] quare angulus G æ-
qualis eſt angulo M,
& propterea periphe-
riæ E F Q, & K F S,
quibus inſiſtunt, æ-
quales erunt, quod
eſt abſurdũ: eſt enim
E F Q maior, quàm
K F S; ergo duo triã-
gula A B C, D E F
in omnibus figuris
ſunt ſimilia. Quod e-
rat oſtendendum.
PROPOSITIO
Præmiſſa VI.
DEinde ſint duo anguli B, E qualeſcunque; ſed angulus
11a A B H, vel C B H æqualis angulo D E I, aut F E I:
& ſupponantur reliqua omnia iam dicta.
Quia proportio C H in H A ad quadratum H B ſuppoſita eſt, vt F I
in I D ad quadratum I E, & H C, vel H A ad H B eſt, vt F I, vel D I
ad I E; erit etiam H A ad H B, vt I D ad I E, & duo anguli H, I ſunt
æquales; igitur triangulum H B A, aut H B C ſimile eſt triangulo E D
I, aut E F I, quare duo triangula A B C, D E F ſimilia ſunt; Et hoc
erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. Præmiſſas
I. II. III. IV. & V.
AFferuntur in hac ſectione aliquæ propoſitiones ſimul coaceruatæ, quæ lem-
maticæ ſunt, & vſum habent in ſequentibus propoſitionibus; ſanè conij-
citur ex hoc titulo PRAEMISS AE rubeis characteribus inſcripto, huiuſmodi lẽ-
mata T extui Apollonij ab Arabico Interprete, vel ab aliquo alio ſuperaddita fuiſſe;
licet Pappus Alexandrinus libro 7. afferat eadem ferè lemmata, tanquã propria,
& conferentia ad Apollonij ſexti libri intelligentiam.
Poteſt tamen propoſitio vniuerſalis breuius exponi hac ratione. Si à vertici-
bus duorum triangulorum à duobus circulis compræhenſorum rectæ lineæ ductæ
efficiant cum baſibus angulos æquales; atque eorundem ſegmentorum inter baſim,
& peripheriam interceptorum quadrata ad rectangula ſub factis ſegmentis
210172Apollonij Pergæi232[Figure 232] ſium eandem proportionem habeant, fuerintque anguli verticales inter ſe æquales,
vel qui à lateribus, & à vertice ductis continentur, ſint æquales: ſemper trian-
gula erunt ſimilia.
Dico iam, quod triangulum A B C ſimile eſt triangulo D E F, ſi enim
11a hoc verum non eſt, ſit angulus D maior, quàm angulus A, & c. Textus
alterari debuit, nam duo triangula B A C, & E D F ponuntur non ſimilia, &
propterea æquiangula non erunt, ſcilicet non habebunt duos angulos æquales duo-
bus angulis alterius trianguli; ſed ex hypotheſi anguli verticales A B C, & D E
F æquales erant; ergo angulus B A C non erit æqualis angulo E D F, neque
angulo E F D; alias dicta triangula eßent æquiangula, & ſimilia, quod non
ponitur; igitur neceſſe eſt, vt angulus A non ſit æqualis vni duorum angulorum
D, vel F, poſtea rectangulorum A H C, & D I F tam latus A H ipſius H C
non ſit maius, quàm D I ipſius I F, & ad punctũ D fiat angulus F D K æqua-
lis angulo A.
Quare K L F ſimile quoq; erit B H C, & c. Luoniã angulus F D K æqualis
22b eſt factus angulo C A B, & angulus F K D ſeu ei æqualis F E. D eſt ipſi angu-
lo A B C æqualis (cum in ſimilibus circulorum ſegmentis exiſtant), igitur in
triangulis F K D, & C B A tertius angulus K F D æqualis erit tertio angulo
C; & propter parallelas K L, E I eſt angulus D L K æqualis angulo D I E; eſt
verò angulus A H B ex hypotheſi æqualis eidem angulo D I E; ergò angulus D
L K æqualis eſt angulo A H B, & F L K æqualis angulo C H B: at oſtenſus fuit
angulus K F L æqualis angulo B C H; ergo angulo C B H æqualis eſt angulus
F K L; ideoque triangula C B H, & F K L ſimilia erunt. Pariterq; duo trian-
gula B A H, & K D L ſimilia erunt, cum angulus L æqualis ſit angulo H, &
angulus K D L æqualis ſit interno B A H.
Et hoc eſt abſurdum in prima figura, & c. Luoniam ſunt rectæ lineæ in
33c circulo applicatæ K M, E G parallelæ inter ſe; ergo coniunctæ rectæ lineæ E K,
G M parallelæ erunt inter ſe, aut conuenient extra circulum cum diametro bifa-
riam, & ad angulos rectos diuidente applicatas E G, K M; ſed eadem rectæ lineæ
G M ſecat trianguli baſim F A I intra circulũ, aut extra ipſum inter puncta I, A, &
F (propterea quod angulus E I F conſtituitur à duabus in circulo applicatis extra
ipſum concurrentibus); ergo tres coniunctæ rectæ lineæ K E, M G, & I L, nec ſunt
omnes inter ſe parallelæ, nec in vno puncto cõueniunt, & propterea E I, & K
211173Conicor. Lib. VI. ſectæ non erunt proportionaliter in punctis G, [& M, ſed prius oſtenſa fuit E
I ad I G vt K L ad L M; quod eſt abſurdum.
233[Figure 233]
In ſecunda verò ſecentur bifariam E G, K M in N O, & c. Sunt enim
11d in tertio caſu K M, & E G perpendiculares ad baſim D F; igitur ſi ſecentur
bifariam in O, & N coniuncta recta linea N O diameter circuli erit, quando-
quidem diuidit bifariam duas equidiſtantes in circulo applicatas; & ideo eas
ſecat ad angulos rectos, ſicuti D F eaſdem perpendiculariter ſecabat; & propte-
rea I N O L parallelogram-
mum erit, cuius latera op-
234[Figure 234] poſita N I, & O L æqualia
crunt. Poſtea quia oſtenſa
fuit I G ad I E, vt L M
ad L K; ergo ſummæ termi-
22Lem. 1. norum ad conſequentespro
portionales erunt; ſcilice
G E ad E I erit vt M K ad
K L, & antecedentiũ ſemiſ-
ſes N E ad E I, vt O K ad
K L: & diuidendo, duæ æ-
quates N I, O L eandem
proportionem habebunt ad I E, & L K; ideoq; I E æqualis eſt L K. Et quoniã
triangulum A B H ſimile eſt triangulo D K L; ergo A H ad H B eandem pro-
portionem habet, quàm D L ad L K; eſtque triangulum B H C ſimile triangu-
lo K L F; ergo B H ad H C eſt vt K L ad L F, & ex æqualitate vt A H ad H C
ita eſt D L ad L F; erat autem ſegmentum A H non maius ſegmento H C; ergo
D L maius non erit ſegmento L F; ſed erat ſegmentum D I non maius ſegmen-
to I F, igitur duo ſegmenta D I, & D L non ſunt maiora, ideſt non ſunt ma-
iora medietate totius D F, ſed diameter parallela ipſis K M, & E G ſecat D F
biſariam; ergo K M, E G ad eaſdem partes diametri cadunt verſus D, & ſunt
inter ſe parallelæ; ergo inæqualiter à centro diſtant; ideoque inæquales erunt in-
ter ſe, & earum meditates N E, O K inæquales erunt; & ablatis æqualibus
212174Apollonij Pergæi I, O L remanebunt I E, L K inæquales. Quod eſt abſurdum: oſtenſæ enim fue-
runt prius æquales inter ſe.
In figura autem tertia ducamus duas perpendiculares, & c. In quarto
11e caſu ſupponuntur baſes A C, & D F per centra circulorum tranſire, eo quod
anguli A B C, & D E F recti ſupponuntur, atque rectæ lineæ B H, E I non
ſunt perpendiculares ſuper eaſdem baſes, licet intra circulos efficiant angulos B
H C, & E I F inter ſe æqua-
les: perſecta igitur conſiru-
235[Figure 235] ctione, vt prius ad diame-
trũ D F, ducãtur ex punctis
E, & K perpendiculares E
Q, K S, quæ diuidẽtur bi-
fariã, & ad angulos rectos
in P, & R. Et quoniam
(vt in præcedenti caſu oſtẽ-
ſum eſt) G E ad E I ean-
dem proportionem habet,
quàm M K ad K L, cum-
que latera I E, L K ſint
parallela, pariterque P E, & K R æquidiſtent, atque baſes I P, L R in dire-
ctum poſitæ ſint, erunt triangula I E P, & L K R æquiangula, & ſimilia: &
propterea I E ad E P erit, vt. L K ad K R: eſt verò P E ad eius duplam E Q,
vt R K ad eius duplam K S (cum diameter ſecet eas bifariam, quas perpendi-
culariter prius ſecabat) ergo, ex æquali ordinata, erit G E ad E Q, vt M K ad
K S; ſuntq; anguli verticales G E Q, & M K S æquales, propterea quod conti-
nẽtur à rectis lineis quæ binæ binis ſunt æquidiſtantes; ergo triangula G E Q, &
M K S ſimilia ſunt inter ſe: & propterea angulus E G Q æqualis erit angulo K M S.
Et propterea ſegmentum E F Q maius ſimile erit ſegmento K F S mi-
22f nori: quod eſt abſurdum, & c. Legendum puto. Et propterea periheriæ E F
Q, & K F S, quibus inſiſtunt æquales erunt: quod eſt abſurdum. Eſt enim E
F Q maior, quàm K F S.
Notæ in Propoſit. Præmiſſ. VI.
DEinde ſint duo anguli B, E qualeſcumque; ſed angulus A B H, vel
33a C B H æqualis angulo D E I vel F E I, & condictiones, vti dixi-
236[Figure 236]
213175Conicor. Lib. VI. mus, & c. Expoſitio, atque demonſtratio huius propoſitionis obſcura eſt propter
nimiam eius breuitatem: itaque duo eius caſus diſtingui debent hac ratione. In
duobus triangulis A B C, D E F ſupponantur anguli H, & I æquales, pariter-
que anguli H B A, I E D æquales inter ſe; ideoque duo triangula A B H, &
D E I ſimilia erunt, & propterea A H ad H B eandem proportionem habebit,
quàm D I ad I E; ſed ex vniuerſali hypotheſi rectangulum C A H ad quadra-
tum H B eandem proportionem habet, quãm rectangulum F I D ad quadratum
I E, & componuntur proportiones rectangulorum ad quadrata iam dicta ex ra-
tionibus laterum circa angulos æquales H, & I, ſuntque oſtenſæ proportiones A
H ad H B, atque D I ad I E eædem inter ſe; igitur reliquæ componentes pro-
portiones, ſcilicet C H ad H B, atque F I ad I E eædem quoque erunt inter ſe,
& compræhendunt angulos æquales H, & I; igitur triangula C H B, & F I E
ſimilia ſunt inter ſe: & propterea angulus B C A æqualis erit angulo E F D,
ſed anguli B A C, & E D F æquales ſunt inter ſe, quia eorum conſequentes
æquales erant in triangulis æquiangulis B A H, & E D I, igitur duo triangu-
la B A C, & E D F æquiangula, & ſimilia inter ſe erunt.
Simili modo ſi ſupponantur anguli C B H, & F E I æquales, cum anguli H,
& I æquales ſint, erunt triangula B C H, & E F I ſimilia inter ſe, & vt prius,
oſtendentur quoque triangula ablata B A H, E D I æquiangula, & ſimilia in-
ter ſe (propterea quod circa angulos æquales H, & I babent latera proportiona-
lia); & ideo reſidua triangula C A B, & F D E erunt quoque ſimilia, vt
propoſitum fuerat.
SECTIO SEXTA
Continens Propoſit. XV. XVI. & XVII.
PROPOSITIO XV.
DVarum hyperbolarum, aut ellipſium, ſi figuræ diametro-
rum, quæ axes non ſint, fuerint ſimiles, atque potentes
contineant cum diametris angulos æquales: vtique ſectiones
ſunt ſimiles.
Sint ſectiones A B, C D hyperbolicæ, vel ellipticæ earum diametri,
quæ non ſint axes I A K, L C M, & earum centra G, H, & duo axes
ſint E B, F D: & educamus duas tangentes A R, C S ad duos axes,
quæ continebunt cum duabus diametris A K, C M duos angulos æqua-
les, eo quod parallelæ ſunt potentialibus ad diametros eductis; & edu-
camus à B, D ad duabus diametros A K, C M tangentes B N, D O, &
circumducamus ſuper triangula B N G, H D O duos circulos, & ex A,
C educamus ad axes duas potentiales A P, C Q, & per B, D ducamus
I B T, L D V parallelas ipſis A R, C S, quæ ſecent duos circulos in B,
T, D, V: eritque G I in I N, ſcilicet ei æquale T I in I B ad quadra-
11b
214176Apollonij Pergæi237[Figure 237] tum potentialis I B, vt H L in L O, ſeu L V in L D ad quadratum L
D, eò quod quælibet ex dictis proportionibus eadem eſt proportioni fi-
guræ K A, & M C (39. ex 1.) , ergo T I ad I B eſt, vt V L ad L D, &
1137. lib. 1. angulus I, qui æqualis eſt ipſi R A G æqualis eſt angulo L, qui æqualis
eſt S C H; igitur angulus G æqualis etiam eſt angulo H: & propterea
22Propoſ. 2.
præmiſſ. G A R ſimile eſt H C S, & pariter G A P, H C Q ſunt ſimilia, quia P, Q
ſunt recti, vnde A P R, C Q S ſunt etiã ſimilia, & proportio vniuſcuiuſq;
eorum, nempe G P, P R ad P A, eſt, vt proportio H Q, S Q ad C Q;
33c igitur G P in P R ad quadratum P A, nempe B E ad erectum illius (39.
ex 1.) eſt vt H Q in Q S ad quadratum C Q, nempe D F ad erectum
illius (39. ex 1.) ; igitur
4437. lib. 1.238[Figure 238] figuræ duorum axiũ ſunt
ſimiles, & duæ ſectiones
ſimiles ſunt (12. ex 6. (
ſed oportet in ellipſi, vt
duæ diametri, ideoque
duo axes ſint ſimul aut
tranſuerſi, aut ſimul re-
cti. Et hoc erat propoſi-
tum.
215177Conicor. Lib. VI.
PROPOSITIO XVI.
SI ſectiones A B, C D ſimiles inter ſe, quæ ſint prius para-
bolæ, tangant lineæ A E, C F terminatæ ad earum axes
E B, F D, & contineant cum illis angulos æquales E, F, &
in qualibet earum educantur ordinationes G H, I K ad diame-
tros L A M, N C O tranſeuntes per puncta contactus axibus
239[Figure 239] æquidiſtantes, & fuerit proportio ſuarum abſciſſarum A M, C
O ad lineas tangentes A E, C F eadem; vtique ordinationes
abſcindent ex ſectionibus ſimilia ſegmenta, & ſimiliter poſita, vt
G A H, I C K. Si verò ordinationes ſecuerint ſimilia ſegmen-
ta; vtique ſectiones ſimiles erunt, & abſciſſarum ad lineas tan-
gentes proportio erit eadem, atque lineæ tangentes continebunt
cum axibus angulos æquales.
Educamus enim duas B L, D N ſuper duos axes B E, F D perpendi-
culares, quæ tangent ſectiones in B, D: & ponamus A P ad duplam A
1132. lib. 1. E, vt R A aſſumpta ad A L ei ſimilem, nec non C Q ad duplam C F,
vt aſſumpta S C ad C N; igitur P A, Q C ſunt erecti duarum diametro-
rum L M, N O (52. ex 1.) ergo G M poteſt P A in A M, (12. ex 1.)
2249 lib. 1.& ſimiliter I O poteſt O C in C Q, (12. ex 1.) & propter æquidiſtan-
3311. lib. 1.
lbidem. tiam E B, L A, atque F D, C N ſunt ſimilia E R B, R L A, atque D
S F, S N C; & duo anguli E, F ſuppoſiti ſunt æquales; igitur angulus R
A L æqualis eſt S C N, & N, L ſunt recti; quare R A ad A L, nempe
P A ad duplam A E eſt, vt S C ad N C, nempe vt Q C ad duplam
C F, & M A ad A E ſuppoſita eſt, vt O C ad C F: ergo M A ad A P
eſt, vt O C ad C Q, & angulus O æqualis eſt M. Oſtendetur igitur (vt
44a
216178Apollonij Pergæi240[Figure 240] diximus in 11. ex 6.) quod ſi ad abſciſſas A M, C O egrediantur quælibet
potentes, ad ſua abſciſſa eandẽ proportionẽ habebunt ſi abſciſſæ ad abſciſ-
ſas ſint in cadem proportione, & quod anguli à potentialibus, & ab-
11Defin. 7.
huius. ſciſſis contenti, erunt æquales in duabus ſectionibus: quare erit ſegmen-
tum H A G ſimile ſegmento I C K atque ſimiliter poſitum.
Deinde ijſdem ſignis in eiſdem figuris manẽtibus, vt prius de-
ſignatis ſupponatur, ſegmentum H A G ſimile ipſi K C I. Dico,
quod angulus E æqualis erit F, & M A ad A E erit, vt O C ad
C F.
Quoniam duo ſegmenta ſunt ſimilia erit angulus O æqualis M, & duo
22Defin. 7. anguli E A L, F C N illis æquales, ſunt quoque inter ſe æquales; ergo
duo anguli F, E, qui illis æquales ſunt, erunt inter ſe æquales, eoquod
A E, C F parallelæ ſunt G H, I K, & anguli N, L ſunt recti; ergo duo
triangula proportionis ſunt ſimilia, ideoque R A ad A L, nempe P A ad
3349. lib. 1.
11. lib. 1. duplam A E eſt, vt C S ad C N, nempe Q C ad duplam C F: & quia
G M poteſt P A in A M (12. ex 1.) & ſimiliter I O poteſt Q C in C O;
44b ergo P A ad G M eſt, vt Q C ad O I, & G M ad M A eſt, vt I O ad
O C; quia duo ſegmenta ſunt ſimilia, & E A ad A M eſt, vt C F ad C
O: & iam oſtenſum eſt, quod duo anguli E, F ſunt æquales. Et hoc erat
oſtendendum.
PROPOSITIO XVII.
DEinde ſectiones ſint hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua
55a ſupponantur, vt prius.
Educamus C c perpendicularẽ ſuper axim D F, & A a perpendicula-
rem ſuper axim B E; atque V, Y ſint duo centra. Ergo (propter ſimi-
litudinem duarum ſectionum) erit V a in a E ad quadratum A a
217179Conicor. Lib. VI.241[Figure 241] vt Y c in c F ad quadratum C c ( 39. ex 1. ) quæ habent eandem pro-
1137. lib. I.
12. huius. portionem, quàm figuræ axis habent, & angulus F ſuppoſitus eſt æqualis
E: ergò Y c C ſimile eſt V a A: & propterea angulus Y æqualis eſt V,
22b336. præmiſ.
huius.& angulus F C Y æqualis E A V: & propter ſimilitudinem N D Y, L B
V æquales ſunt duo anguli C N S, A L R; ergo ſimilia ſunt C N S, A L
R. Quare C S aſſumpta ad ei coniugatam C N eſt vt R A ad A L: & po-
namus C Q ad duplam C F, vt C S ad C N, nec non A P ad duplam
A E, vt A R ad A L; igitur Q C, A P ſunt erecti duarum diametrorum
C Y X, A V T ( 53. 54. ex I. ) ſed C F ad C X duplam ipſius C Y eſt
4450. lib. I. vt A E ad A T duplam ipſius A V, propter ſimilitudinem C F Y, A E V:
ergo ex æqualitate Q C ad C X diametrum inclinatam, ſeu tranſuerſam
eſt vt A P ad A T; & propterea figuræ earundem diametrorumſunt ſimi-
55c les, & quia CO
242[Figure 242] ad C F ſuppoſi-
ta eſt, vt A M
ad A E: ergo ex
æqualitate Q C
ad C O eſt, vt
P A ad A M:
Quare potentes
ad duo eius ab-
ſciſſa C O, A M,
à quibus diuidũ-
tur bifariam, eã-
dem proportio-
nem habent: &
proportio
218180Apollonij Pergæi ſarum in vna ſectionum ad homologa abſciſſa alterius eſt eadem ( 12. ex
6. ), & anguli compræhenſi à potentibus, & abſciſſis ſunt æquales; quia
æquales ſunt duobus angulis R A L, S C N æqualibus, & propterea duo
11Defin. 7.
huius. ſegmenta ſunt ſimilia.
Poſtea oſtendetur, quod ſi duo ſegmenta fuerint ſimilia, erit
angulus F æqualis E, & A M ad A E, vt O C ad C F.
Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum continebunt poten-
22d tes cum ſuis abſciſſis angulos æquales, & erit proportio potentium ad ab-
33Defin. 7.
huius. ſciſſas eadem, & proportio abſciſſarum, in vna earum ad ſua homologa in
altera, erit eadem. Et quia V a in a E ad quadratũ a A eandem propor-
243[Figure 243] tionem habet, quàm Y c in c F ad quadratum c C, & duo anguli a, & c
ſunt recti; atque angulus C, nempe O æqualis eſt A, nempe M, propter
ſimilitudinem ſegmentorum: ergo triangulum A E V ſimile eſt C F Y,
& angulus V æqualis eſt angulo Y; pariterque angulus E æqualis eſt F,
& A V ad A E eandem proportionem habet, quàm Y C ad C F. Po-
namus iam P A ad duplam A E, vt Q C ad duplam C F; ergo ex æqua-
litate A T diameter ad A P erectum eius eſt, vt C X diameter ad C Q
erectum eius ( 53. 54. ex I. ) & T M in M A ad quadratum M G eandẽ
4421. lib. I. proportionem habet, quàm X O in O C ad quadratum O I: at ſuppoſi-
tum eſt quadratum A M ad quadratum M G, vt quadratum C O ad qua-
dratum O I; ergo ex æqualitate T M in M A ad quadratum A M, nem-
pe T M ad M A, eandem proportionem habet, quàm X O in O C
219181Conicor. Lib. VI. quadratũ O C,
244[Figure 244] nempe X O ad
O C; quare di-
uidendo, vel cõ-
ponendo, & ex
æqualitate A M
ad A E eſt vt C
O ad C F: & iã
oſtenſũ eſt, quod
duo anguli F,
& E ſunt æqua-
les. Quare pa-
tet propoſitum.
Notæ in Propoſit. XV.
SI figuræ diametrorum hyperbolarum, aut ellipſium fuerint ſimiles diſ-
11a ſimilium axium, & potentes illarum diametrorum contineant ſimul
angulos rectos, vtique ſectiones ſimiles ſunt, & c. Textus mendoſus huius
propoſitionis ex ſubſequenti expoſitione, & demonſtratione corrigi debuit.
Et G I in I N æquale ipſi T I in I B ad quadratum I B potentis eſt, vt
22b H L in L O æquale ipſi V L in L D ad quadratum L D; quia, & c. Quo-
niam à puncto B ſectionis A B ad diametrum K A I ducuntur ordinatim appli-
cata B I, & B N contingens ſectionem in B ſecantes diametrum in I, & N;
igitur rectangulum G I N ad quadratum ordinatim applicatæ I B eandem pro-
3337. lib. I.245[Figure 245]
220182Apollonij Pergæi portionem habebit, quàm latus tranſuerſum K A ad eius latus rectum: eadem
ractione in ſectione C D erit rectangulum H L O ad quadratum ordinatim ap-
plicatæ D L, vt latus tranſuerſum M C ad eius latus rectum; propterea quod
à puncto D ducitur D O ſectionem contingens, & D L ordinatim applicata ad
diametrum M C, ei occurrentes in L, & O. Et quoniam ex hypotheſi latus
tranſuerſum K A ad eius latus rectum eandem proportionem habet, quàm latus
tranſuerſum M C ad eius latus rectum, cum figuræ harum diametrorum ſup-
poſitæ ſint ſimiles; ergo rectangulum G I N ad quadratum I B eandem propor-
tionem habet, quàm rectangulum H L O ad quadratum L D: deinde quia in
duobus triangulis G B N, & H O D ſunt duo anguli G B N, & H D O equales,
nẽpe recti ( cum B N, & D O ſectiones contingentes in terminis axium E B, &
11Coruerſ.
32. lib. I. F D efficiant cum ipſis angulos rectos ) atq; à verticalibus angulis B, & D du-
cuntur ad baſes rectæ lineæ B I, D L efficientes angulos I, & L æquales, eo
quod æquales ſunt angulis æqualibus R A G, & S C H propter æquidiſtantiam
linearum B I, A R, atque
246[Figure 246] linearum D L, S C, & in
ſuper rectangulum G I N ad
quadratum I B eandem pro-
portionem habet, quàm re-
ctangulum H L O ad qua-
dratum L D; igitur trian-
22Propoſ. 2.
pręmiſſ. gula G B N, & H D O ſi-
milia ſunt inter ſe; & pro-
pterea angulus G æqualis e-
rit angulo H.
Et proportio vniuſcu-
inſque eorum, nempe G
P, P R ad P A eſt, vt
proportio H Q, Q S ad
C O; & c. In triangulis enim ſimilibus G P A, & H Q C circa angulos rectos
P, & Qerit G P ad P A, vt H Q ad Q C: pariter in duobus triangulis ſi-
milibus R P A, & S Q C habebit R P ad P A eandem porportionem quàm, S
Q ad Q C; proportio verò rectanguli G P R ad quadratum P A componitur ex
ijſdem rationibus laterum circa angulum rectum P: pariterque proportio rectan-
guli H Q S ad quadratum Q C ex rationibus laterum circa angulum rectum
Q componitur, ſuntque oſtenſæ prædictæ componentes proportiones eædem inter
ſe; igitur rectangulum G P R ad quadratum P A eandem proportionem habe-
bit, quàm rectangulum H Q S ad quadratum Q C; ſed habet rectangulum G
P R ad quadratum P A eandem proportionem, quàm axis tranſuerſus E B ad
3337. lib. I. eius latus rectum ( propterea quod ab eodem puncto A ſectionis ducitur contin-
gens A R, & ordinatim applicata ad axim A P) atque eodem modo rectangu-
44Ibidem. lum H Q S ad quadratum Q C eandem proportionem habet, quàm axis tran-
ſuerſus F D ad eius latus rectum; igitur axis tranſuerſus E B ad eius latus
rectum eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum F D ad eius latus
rectum; & propterea figuræ axium duarum ſectionum A B, & C D ſimiles in-
ter ſe erunt; & ideo conicæ ſectiones ſimiles erunt.
5512. huius.
221183Conicor. Lib. VI. 247[Figure 247]
Sed oportet in ellipſi, vt duo axes ſint ſimul, aut tranſuerſi, aut recti-
ſimul, & c. Addidi verba, quæ videntur in textu deficere. Sed oportet in elli-
pſi, vt duæ diametri, ideòque duo axes ſint ſimul, aut tranſuerſi, aut ſimul re-
cti. Licet enim multoties diametri coniugatæ ellipſium æquales eße poſſint, ni-
hilominus eæ ſumi debent, quæ ad eaſdem partes reſpiciunt axes tranſuerſos,
alias conſtructio, atque demonſtratio non ſequeretur, vt manifeſtum eſt.
MONITVM.
PRo intelligentia propoſ. 16. & 17. præmitti debent tria hæc lem-
mata.
LEMMA VI.
SI in duobus parabolicis ſegmentis A B C, & D E F baſes A C,
& D F cum diametris G B, & H E æquales angulos G, &
H non rectos contineant, atque efficiant abſciſſas G B, & H E dia-
metrorum ad latera recta B I, & E K proportionalia; erunt ſegmenta
ſimilia inter ſe.
222184Apollonij Pergæi 248[Figure 248]
Secentur diametrorum abſciſſæ G B, & H E in ijſdem rationibus in L, M,
N, O, & ab ijſdem punctis educantur baſibus æquiſtantes, ſeu ad diametros or-
dinatim applicatæ P Q, R S, T V, X Y. Quoniam ex hypotheſi G B ad B I
eſt, vt H E ad E K; eſtque A G media proportionalis inter G B, & B I; pari-
11II. lib. I. terque D H media proportionalis eſt inter H E, & E K; igitur A G ad G B
eſt, vt D H ad H E; Et quoniam inuertendo L B ad B G eſt, vt N E ad E H,
atque B G ad B I poſita fuit, vt H E ad E K; ergo ex æquali ordinata L B ad
B I erit, vt N E ad E K, quare vt L B ad P L, mediã proportionalẽ inter L B,
& I B, ita erit N E ad N T mediam proportionalem inter N E, & E K. Eo-
dem modo oſtendetur, quod R M ad M B eandem proportionem habet, quàm X
O ad O E: & hoc ſemper continget in quibuslibet alijs diuiſionibus proportiona-
libus abſciſſarum, ſuntque anguli G, & H æquales; igitur ſegmenta A B C, &
D E F ſimilia ſunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.
22Defin. 7.
huius.
LEMMA VII.
S I in duobus ſegmentis A B C, & D E F hyperbolicis, aut ellipti-
cis, baſes A C, & D F cum diametris G B, & H E, æquales
angulos G, & H obliquos continentes, efficiant abſciſſas G B, & H E
proportionales lateribus rectis B I, & E K, atque tranſuerſis B Z, &
E a, erunt ſegmenta ſimilia inter ſe.
249[Figure 249]
223185Conicor. Lib. VI.
Secentur abſcißæ G B, & H E in ijſdem rationibus, ducanturque ordinatim
applicatæ vt in precedenti factum eſt. Quoniam G B ad B I eſt, vt H E ad E
K, & inuertendo Z B ad B G eſt, vt a E ad E H, ergo ex æquali ordinata Z
B latus tranſuerſum ad B I latus rectum erit, vt a E latus tranſuerſum alte-
rius ſectionis ad E K eius latus rectum: eſt verò rectangulum Z G B ad qua-
dratum ordinatim applicatæ G A, vt latus tranſuerſum Z B ad rectum B I;
pariterque rectangulum a H E ad quadratum ordinatim applicatæ D H, vt
tranſuerſum a E ad latus rectum E K, ſuntque prædicta latera figurarum oſtẽ-
ſa proportionalia; igitur rectangulum Z G B ad quadratum A G eandem pro-
portionem habet, quàm rectangulum a H E ad quadratum D H; ſed quadratum
B G ad rectangulum Z G B eandem proportionem habet, quàm G B ad G Z
(propterea quod G B eſt illorum altitudo communis) pariterque quadratum E
H ad rectangulum a H E eſt, vt H E ad H a, ſeu vt G B ad G Z; igitur qua-
dratum G B ad rectangulum Z G B eandem proportionem habebit, quàm qua-
dratum E H ad rectangulum a H E; quare ex æquali quadratum G B ad qua-
dratum G A eandem proportionem habebit, quàm quadratum E H ad quadratũ
H D; ideoque inuertendo A G ad G B erit vt D H ad H E. Rurſus, quia in-
uertendo L B ad B G eſt vt N E ad E H; ſed G B, atque H E ad latera trã-
ſuerſa proportionalia ſunt; igitur L B ad B Z erit vt N E ad E a; & propte-
rea, vt prius quadratum L B ad rectangulum Z L B erit, vt quadratum E N
ad rectangulum a N E; eſtque rectangulum Z L B ad quadratum ordinatim
250[Figure 250] applicatæ P L, vt rectangulum a N E ad quadratum T N, (ſcilicet vt latera
tranſuerſa ad recta, quæ proportionalia oſtenſa ſunt); igitur ex æquali ordinata
quadratũ B L ad quadratum P L eandem proportionẽ habebit, quàm quadratũ
E N ad quadratum T N; quare vt prius dictum eſt, P L ad L B eandem pro-
portionem habebit, quàm T N ad N E; & hoc ſemper contingit in reliquis om-
nibus diuiſionibus abſciſſarum in eiſdem rationibus ſectis; ſuntque anguli G, &
H æquales inter ſe, licet non recti, igitur (ex definitione 7.) ſegmenta A B C,
& D E F ſimilia ſunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.
224186Apollonij Pergæi
LEMMA VIII.
SI duo hyperbolica, aut elliptica ſegmenta A B C, D E F fuerint
ſimilia, quorum baſes A C, D F efficiant cum diametrorum ab-
ſciſsis B M, E O angulos æquales M, & O; ſintque eorum tranſ-
uerſa latera T B, Z E, recta vero B L, E Q. Dico figuras eorum;
ſiue rectangula T B L, & Z E Q ſimilia eße.
Secentur ſegmentorum abſciſſæ M B, O E proportionaliter in N, P, & per
ea puncta ducantur ordinatim ad diametros applicatæ G N, I P æquidiſtantes
baſibus, efficientes abſciſſas B N, E P, coniunganturq; duæ rectæ lineæ T L, Z
Q ſecantes rectas lineas N H, M V, P K, O S æquidiſtantes lateribus rectis B
L, E Q in punctis H, V,
251[Figure 251] K, S, atque à punctis H, &
K ducantur rectæ lineæ H X,
K R parallelæ diametris occur-
rentes ipſis M V, O S in X,
11Defin. 7.
huius.& R. Quoniam ſegmenta ſup-
ponuntur ſimilia erit A M ad
M B, vt D O ad O E, & G
N ad N B erit vt I P ad P
E, atque quadratum A M, ſeu
ei æquale rectangulum B M V,
2212. 13.
lib. 1. ad quadratum M B eandem
proportionem habebit, quàm,
33Ibidem. quadratum D O, ſeu ei æquale
rectangulum E O S ad quadratum O E; ſed vt rectangulum B M V ad quadra-
tum M B ita eſt M V ad M B (cum M B ſit eorum altitudo communis) pari-
terque vt rectangulum E O S ad quadratum O E, ita eſt O S ad O E; quare
M V ad M B eandem proportionem habebit, quàm O S ad O E; non aliter oſten-
detur N H ad N B eandem proportionem
252[Figure 252] habere, quàm P K ad P E: erat autem
44Lem. 1.
lib. 5. M B ad B N vt O E ad E P; ergo compa-
rando antecedentes, & poſtea conſequentes
ad differentias terminorum erit B M ad M
N vt E O ad O P; atque B N ad N M eã-
dem proportionem habebit, quàm E P ad P
O. Quare ex æquali V M ad M N erit vt
S O ad O P, atque H N ad N M erit vt K
P ad P O; & differentia ipſarum V M &
H N ideſt X V ad M N, ſeu ad X H ean-
dem proportionem habebit, quàm differentia ipſarum S O, & K P, ideſt S R
ad O P, ſeu ad R K; quapropter V X ad X H erit vt S R ad R K; ſed quia
X V, L B inter ſe, nec non X H, & B T ſunt parallelæ, atq; etiam S R, Q E
inter ſe, nec nõ R K, & E Z ſunt æquidiſtantes; erunt triangula V X H, & L
225187Conicor. Lib. VI. T ſimilia, pariterque triangula S R K, & Q E Z inter ſe ſimilia; ideoque erit
L B ad B T vt V X ad X H, pariterque Q E ad E Z erit vt S R ad R K;
erat autem prius V X ad X H, vt S R ad R K; igitur L B ad B T eandem
proportionem habebit, quàm Q E ad E Z; & propterea circa roctos angulos B,
E, figuræ ſectionum ſimiles erunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. XVI.
ERgo M A ad A P eſt vt O C ad C Q, & angulus O æqualis eſt M,
11a oſtendetur (vt diximus in 11. ex 6.) quod, & c. Sequitur enim ex
æqualitate ordinata, quod M A ad A P eandem proportionem habet, quàm O C
ad C Q, cumque ſint duo ſegmenta parabolica H A G, & K C I, quorũ diame-
tri A M, & C O efficiunt cum baſibus G H, & K I angulos M, & O æquales
inter ſe (cum ſint æquales angulis R A L, & S C N æqualibus à contingentibus
253[Figure 253] verticalibus parallelis baſibus, & à diametris contentis) atque abſcißa M A ad
latus rectum A P eandem proportionem habet, quàm altera abſcißa O C ad C Q
latus rectum alterius ſectionis; igitur duo ſegmenta H A G, & K C I ſimilia
22Lem. 6.
huius. ſunt inter ſe.
Et quia G M poteſt A P in A M, & ſimiliter I O poteſt C Q in C
33b O; ergo P A ad G M eſt, vt C Q ad I O, & G M ad M A eſt, vt I O
ad O C; quia duo ſegmenta ſunt ſimilia, & E A ad A M, eſt vt F C ad
C O; & c. Senſus huius textus confuſi, talis eſt. Quia ſegmenta H A G, &
44Defin. 7.
huius. K C I ſimilia ſupponuntur erit A M ad M G, vt C O ad O I, & quadratum
A M ad quadratum M G erit vt quadratum C O ad quadratum O I; eſt verò
5511. lib. 1. rectangulum P A M æquale quadrato G M; pariterque rectangulum Q C O eſt
æquale quadrato I O; igitur quadratum A M ad rectangulum P A M eandem
proportionem habet, quàm quadratum C O ad rectangulum Q C O; & propte-
rea M A ad A P eandem proportionem habebit, quàm C O ad C Q; ſed prius
oſt enſa fuit P A ad A E, vt Q C ad C F; igitur ex æquali ordinata erit M
226188Apollonij Pergæi ad A E, vt O C ad C F, ſuntque anguli E, & F æquales, vt dictum eſt. Et
hoc erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. XVII.
DEinde ſint ſectiones hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua in ſuo
11a ſtatu, & c. Ideſt. Supponantur ſectiones hyperbolicæ, vel ellipticæ A B,
& C D ſimiles inter ſe, ſcilicet figuræ axium V B, & γ D ſint ſimiles inter ſe,
atque à verticibus A, & C duarum diametrorum A M, & C O ductæ ſint re-
254[Figure 254] ctæ lineæ contingentes A E, & C F, efficientes cum axibus angulos A E B, &
C F D æquales, ſintque H G, & K I ordinatim ad diametros applicatæ, ſcili-
cet æquidiſtantes contingentibus verticalibus; & habeat abſciſſa M A ad portio-
nem contingentis A E eandem proportionem, quàm abſcißa O C habet ad por-
tionem contingentis C F; Dico ſegmenta H A G, & K C I ſimlia eſſe inter ſe.
Ergo Y c C ſimile eſt V a A, & c. Quoniam duæ ordinatim ad axes ap-
22b plicatæ A a, & C c perpendiculares ſunt ad axes, erunt in triangulis A a E,
& C c F duo anguli a, & c recti: atque ex hypotheſi duo reliqui anguli E, &
F æquales quoque ſunt; igitur tertius angulus a A E æqualis eſt tertio angulo c
C F, cumque in duobus triangulis V A E, atque γ C F ab eorum verticibus A,
& C ducuntur ad baſes V E, & γ F duæ rectæ lineæ A a, & C c continentes
cum baſibus angulos æquales, nempe rectos, & rectangulum V a E ad quadra-
tum a A eandem proportionem habet, quàm rectangulum γ c F ad quadratum
c C, vt in textu oſtenſum eſt: atq; duo anguli a A E, & c C F æquales oſten-
33ex 37.
lib. 1. ſi ſunt inter ſe; igitur erunt triangula V A E, & γ C F ſimilia inter ſe; ergo
44Propoſ. 6
præmiſſ. angulus V æqualis eſt angulo γ, atque angulus E A V æqualis erit angulo F
227189Conicor. Lib. VI. γ: poſtea, quia B
255[Figure 255] L, & D N con-
tingunt ſectiones
in verticibus a-
11Conuerſ.
32. lib. 1. xium efficient an-
gulos V B L, &
γ D N rectos, cũ-
que duo anguli V,
& γ oſtenſi ſint æ-
quales, in trian-
gulis V B L, γ
D N, anguli V
L B, & γ N D
æquales erunt in-
ter ſe, & qui de-
inceps A L R, & C N S ſunt æquales inter ſe; & ideo triangula A R L, & C
S N ſimilia ſunt inter ſe.
Et propterea figuræ earundem diametrorum ſunt ſimiles, & c. Quia
22C ex hypotheſi M A ad A E erat, vt O C ad C F; atque (propter ſimilitudinem
triangulorum A E V, & C F γ) vt E A ad duplam ipſius A V, ſeu ad latus
tranſuerſum A T, ita eſt F C ad duplam ipſius C γ, ſeu ad latus tranſuerſum
C X alterius ſectionis; ergo ex æquali ordinata erit M A ad A T, vt O C ad
C X; oſtenſum autem fuit latus tranſuerſum T A ad A P latus rectum eius ha-
bere eandem proportionem, quàm alterius ſectionis latus tranſuerſum X C ad
eius latus rectum C Q; ergo ex æquali ordinata M A ad A P eandem propor-
tionem habet, quàm O C ad C Q; quare duæ abſciſſæ A M, & O C eandem
proportionem habent ad latera recta, atque ad tranſuerſa earundem diametro-
rum, atque efficiunt baſes H G, & K I cum diametris angulos M, & O æqua-
33Defin. 7.
huius. les inter ſe: propterea quod æquales ſunt angulis E A V, & F C γ æqualibus
(propter æquidiſtantiam rectarum H G, & A E; nec non K I, & C F) igitur
erunt duo ſegmenta H A G, & K C I ſimilia inter ſe.
Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum continebunt poten-
44d tes cum ſuis abſciſſis angulos æquales: & erit proportio potẽtium ad ab-
ſciſſa eadem, & proportio abſciſſarum in vna earum ad alia ſimilia eadẽ,
quia V a in a E ad quadratum A a, eſt vt Y c in c F ad quadratum C c,
& duo anguli a, & c ſunt æquales; ergo angulus Y æqualis eſt angulo
V, & angulus C, nempe O æqualis A, nempe M propter ſimilitudinem
duorum ſegmentorum; igitur A E V ſimile eſt Y F C, & angulus E; & c.
In hoc textu nonnulla verba deficiunt, aliqua verò tranſpoſita ſunt, vt nullus
ſenſus colligi poſſit: tamen eum reſtitui poße cenſeo vt ibidem videre eſt. Quo-
niam duo ſegmenta H A G, & K C I ſupponuntur ſimilia efficient diametri A
M, & C O cum baſibus G H, & K I angulos M, & O æquales, licet non rectos;
55Lem. 8.
huius. eruntque figuræ earumdem diametrorum ſimiles inter ſe: & propterea habebit
T A ad eius erectum eandem proportionem, quàm X C ad eius latus rectum;
6615. huius. igitur ſectiones A B, & C D ſimiles ſunt, ideſt ductis axibus V B, & γ D
7747. lib. 2. erunt figuræ axium ſimiles inter ſe: ducuntur verò à punctis A, & C ad axes
8812. huius. ordinatim applicati A a, & C c, atque contingentes A E, & C F; igitur re-
9937. lib. 1.
228190Apollonij Pergæi ctangulum V a E ad quadratum a A eandem proportionem habebit, quàm axis
tranſuerſus ad eius erectum, ſeu quàm axis tranſuerſus alterius ſectionis C D
ad eius erectum: ſed in eadem proportione eſt rectangulum γ c F ad quadratũ
1137. lib. 1. c C; igitur in duobus triangulis A V E, & C γ F rectæ A a, & C c cũ baſibus
angulos æquales a, & c, nempe rectos efficiunt, cum ordinatim applicatæ ſint ad
axes; atque duo anguli verticales V A E, & γ C F æquales ſint inter ſe, cum
propter parallelas æquales ſint angulis O, & M æqualibus in ſegmentis ſimilibus;
22Propoſ. 7.
præmiſſ. igitur duo triangula A E V, & C F γ æquiangula, & ſimilia ſunt inter ſe: &
proptered V A ad A E erit, vt γ C ad C F, & c.
Ponamus iam P A ad duplam A E, vt Q C ad duplam C F: ergo ex
33e æqualitate A T diameter ad A P erectum eius, & c. In hoc textu nonnulla
videntur deficere, eiuſq; ſenſus talis erit. Quia veluti ſupra dictum eſt, triã-
gula R A L, & S C N ſimilia ſunt inter ſe, habebit R A ad A L eandem pro-
portionem, quàm S C ad C N: Ponamus iam P A ad duplam A E, vt R A ad
A L, & Q C ad duplam C F, vt S C ad C N, erunt A P, & C Q latera re-
cta diametrorum A M, & O C; ſed earundem diametrorum figuræ oſtenſæ ſunt
4450 lib. 1.
Lem. 8. ſimiles; igitur latus tranſuerſum A T ad A P erectum eius eſt, vt latus tran-
uerſum X C ad C Q erectum eius. Et quia vt latus tranſuerſum ad rectum
256[Figure 256] ita eſt rectangulum T M A ad quadratum M G, & ſimiliter rectangulum X O
5521. lib. 1. C ad quadratum O I eandem proportionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad
rectum, ſcilicet eandem, quàm habent latera figurarũ earundẽ diametrorũ; igi-
tur rectangulum T M A ad quadratum M G eandem proportionẽ habebit, quàm
rectangulum X O C ad quadratum O I; habet verò M G ad M A eandem pro-
portionem, quàm I O ad O C propter ſimilitudinem ſegmentorum; ergo quadra-
tum G M ad quadratum M A erit vt quadratum I O ad quadratum O C: &
propterea ex æquali ordinata rectangulum T M A ad quadratum M A, ſeu T
229191Conicor. Lib. VI. ad A M eandem
257[Figure 257] proportionem ha-
bebit, quàm X O
C ad quadratum
O C, ſeu eandẽ,
quàm habet X O
ad C O, & com-
parando conſequẽ
tes ad differẽtias
terminorum M A
ad A T eandem
proportionem ha-
bebit, quàm O C
ad C X: erat autẽ
prius T A ad A
E, vt X C ad C F; igitur ex æquali M A ad A E erit, vt O C ad C F, & fue-
runt oſtenſi anguli E, & F æquales. Quod erat oſtendendum.
SECTIO SEPTIMA
Continens Propoſit. XVIII. & XIX.
CViuslibet ſectionis A B C duo ſegmenta C F, A E ca-
dentia inter duas ordinationes A C, E F ad vtraſque par-
tes axis B V ſunt inter ſe ſimilia, & ſimiliter poſita, nec ſunt
ſimilia alteri ſegmento (niſi
258[Figure 258] in ellipſi, in qua quatuor ſeg
menta memorata in propo-
ſitione 8. ſunt æqualia, ſimi-
lia, & ſimiliter poſita, quæ al-
teri ſegmẽto ſimilia nõ ſunt.
Quoniam vnumquodque eo-
11a rum alteri congruit, nec non cõ-
gruunt duo ſegmenta GI, K H
in ellipſi (7. 8. ex 6.) at non ſunt
ſimilia alteri ſegmento: ſi enim
hoc fieri poteſt, ſit ſegmentum
L M ſimile ſegmento F C. Et
quia F C congruit A E. Ergo
duo ſegmenta L M, A E ſunt
ſimilia, producamus A E, L M
quouſque occurrant axi in N,
22b O, erit angulus N æqualis O (vti
demonſtrauimus in 16. & 17.
230192Apollonij Pergæi huius) atque A N pa-
259[Figure 259] rallela erit L O. Edu-
catur iam R Q bifariã
diuidens A E, L M in
P, Q: quare erit diame
1128. lib. 2. ter ſectionis (32. ex 2.)
& educatur R V paral-
lela A N, quæ ſectionẽ
2217. lib. 1. continget (18. ex 1.) .
Et quia duo ſegmen-
ta L M, A E ſunt ſi-
milia habebit maior
3316. 17.
huius. Q R ad eandem R V
eandem proportionẽ,
quàm habet minor R
P; quod eſt abſurdum.
Quare non ſunt ſimilia
duo ſegmenta A E, C
F alteri ſegmento.
Quod erat oſtenden-
dum.
Notæ in Propoſit. XVIII. & XIX.
QVuoniam vnumquodque corum alteri congruit, nec non congruunt
duo ſegmenta G I, K H in ellipſi (7. 8. ex 6.) at non ſunt ſimilia
44a alteri ſegmento, & c. Ideſt. Sit prius ſectio A B C parabole, vel
hyperbole. Quoniam duæ A C, & E F ordinatim ad axim B D applicatæ ab-
557. huius. ſcindunt ex vtraque parte axis duo ſegmen-
260[Figure 260] ta A E, & C F congruentia, propterea ſi-
milia erunt, atque ſimiliter poſita. Secundo,
in ellipſi ductæ ſint ad axim quatuor ordina-
tim applicatæ, quarum binæ extremæ E F,
& I K æqualiter à centro D diſtent; pari-
terque binæ intermediæ A C, & G H æqua-
668. huius. liter diſtent ab eodem centro: quare quatuor
ſegmenta G I, H K, C F, & A E æqualia
erunt, & ſibi mutuo congruent, & propterea
ſimilid quoque inter ſe erunt.
Erit angulus N æqualis O, vti demõ-
77b ſtrauimus, & c. Quoniam duo ſegmenta L
M, & A E, ponuntur ſimilia, atque eorum
baſes L M, & A E productæ occurrunt axi
in O, & N: igitur vt demonſtratum eſt,
88Prop 16.
17. huius. anguli à contingentibus verticalibus ſegmen-
torum ſimilium L M, & A E cum axi com-
muni B D eiuſdem ſectionis continebunt
231193Conicor. Lib. VI. gulos æquales; ij verò anguli æquales ſunt angulis O, & N, cum baſes L M, &
A E parallelæ ſint contingentibus verticalibus eorundem ſegmentorum; igitur an-
guli L O B, & A N B æquales ſunt inter ſe; & propterea duorum ſegmentorũ
baſes L M, & A E parallelæ ſunt inter ſe.
SECTIO OCTAVA
Continens Propoſit. XX. & XXI.
Apollonij.
PROPOSITIO XX.
SI in quibuslibet ſimilibus coniſectionibus A B C, & D E F
11a ductæ fuerint ad axes B O, E Q ordinatim applicatæ A C,
D F, N L, P M, quarum illæ, quæ ad eaſdem partes verticum
B, & E ducuntur efficiant abſciſſas erectis proportionales, ſci-
licet I B ad B G ſit, vt K E ad E H, nec non L B ad B G, vt
M E ad E H: Dico ſegmenta facta ab ordinatis ſimiliter poſi-
tis eſſe inter ſe ſimilia, ac ſimiliter poſita, ſcilicet N A ipſi P D,
atque A B ipſi D E, nec non N B ipſi P E.
261[Figure 261]
Sintque primò ſectiones parabolæ; & educamus N A ad B L in O, &
22b P D ad M E in Q. Et quia G B ad B I eſt, vt H E ad E K, & B L ad
B G eſt vt M E ad E H; ergo L B ad B I, nempe L N ad I A potentia
(19. ex 1.) nempe L N ad O I eandem proportionem habet, quàm M E
3320. lib. 1.
232194Apollonij Pergæi262[Figure 262] ad E K, nempe P M ad D K potentia, nempe M Q ad Q K, & per con-
uerſionem rationis O L ad L I erit, vt Q M ad M K: eſtque I L ad L B,
vt K M ad M E; ergo O L ad L B eſt, vt Q M ad M E, & L B ad L N
eſt, vt E M ad M P (propter ſimilitudinem duarum ſectionum) ergo ex
11c22Defin. 2. æqualitate O L ad L N erit, vt Q M ad M P; ſuntque M, & L duo an-
guli recti; ergo N L O ſimile eſt P M Q; & per R, S ſemipartitiones ip-
ſarum N A, D P ducamus ipſas T V, X Y parallelas duobus axibus, &
ex duobus punctis V, Y, educamus perpendiculares V Z, Y a ſuper duos
axes. Et quia N O ad O A eſt, vt P Q ad Q D comparando antecedẽ-
tes ad ſemiſſes differentiarum terminorum vel ad ſemiſummas eorũ fiet N
33d O ad R O, nempe N L ad L T, quæ eſt æqualis ipſi V Z, nempe L B
ad B Z longitudine (19. ex 1.) vt P Q ad Q S, nempe P M ad X M æ-
qualem ipſi Y a, nempe longitudine, vt M E ad E a (19. ex 1) igitur
4420. lib. 1. comparando differentias terminorum ad antecedentes, erit Z L ad L B,
vt a M ad M E, & L B ad L O eſt, vt M E ad M Q; ergo ex æqualitate
L Z ad L O, nempe N b ad N O eſt, vt M a ad M Q, nempe P c ad P Q
55Ibidem. crat autem prius N R ad N O, vt S P ad P Q, & comparando ſemisũ-
66e mas, vel ſemidifferentias terminorum ad eorundem differentias O R ad
R b erit, vt Q S ad S c, & R b ad R V eſt, vt S c ad S Y; quia
duo triangula V R b, Y S c ſunt ſimilia; ergo R O ad R V eandem pro-
portionem habet, quàm Q S ad S Y; ſed tangens in V perueniens ad L O
77f æqualis eſt O R, cui parallela eſt; quia cadit inter duas lineas parallelas;
& ſimiliter tangens in Y parallela eſt S Q, & ei æqualis; ergo V R ab-
ſciſſa ad tangentem eſt, vt abſciſſa S Y ad eius tangentem, & angulus Q
æqualis eſt angulo O; igitur duo ſegmenta N V A, P Y D ſunt ſimilia
(16. ex 6.) & pariter duo ſegmenta A B C, D E F, atque duo ſegmen-
88g ta N B, P E ſunt ſimilia inter ſe, & ſimiliter poſita.
Deinde ponamus aliud ſegmentum P d. Dico non eſſe ſimile alicui
99h prædictorum ſegmentorum, quia non abſcinduntur à duabus ordinationi-
bus vnius axis (18. ex 6.) . Et hoc erat oſtendendum.
233195Conicor. Lib. VI. 263[Figure 263]
PROPOSITIO XXI.
SInt poſtea duæ illæ ſectiones hyperbolicæ, & ellipticæ ſi-
miles, & earum centra T, X (remanentibus lineis, & ſi-
gnis, vt prius) & ducantur duæ contingentes V e, & Y f.
264[Figure 264]
Quoniam B G ad B I ſuppoſita eſt, vt H E ad E K, & pariter G B ad
11a B L, vt H E ad E M; ergo ex æqualitate, & per conuerſionem rationis
B L ad L I eſt vt E M ad M K; & propter ſimilitudinem duarum ſectio-
22b num N L ad A I nempe L O ad O I eſt, vt M P ad D K, nempe M Q
ad Q K, & antecedentes ad ſummas vel differentias terminorum, ſcilicet
33Lem. 1.
lib. 5. O L ad L I eandem proportionem habebit, quàm Q M ad M K, & ex
44c æqualitate O L ad L B erit, vt Q M ad M E, ſed B L ad L N eſt, vt E
M ad M P, cum ex ſuppoſitione ſectiones ſint ſimiles; ergo O L ad L N
eſt, vt Q M ad M P; ſuntque L, M duo anguli recti: ergo anguli O,
234196Apollonij Pergæi nempe e, f ſunt æquales: deinde ducantur V Z, Y a ad axes ordinatæ;
ergo (propter ſimilitudinem duarum ſectionum) T Z in Z e ad quadra-
11d tum Z V eandem proportionem habebit, quam X a in a f ad quadratum
a Y, & angulus e æqualis eſt angulo f; igitur V e T ſimile eſt Y f X, &
22Propoſ. 6.
pręmiſſ. pariter O T R, Q X S; & propterea O e ad R V eandem proportionem
habebit, quàm Q f ad Y S, & propter ſimilitudinem duarum ſectionum
B I ad I A eſt, vt E K ad K D, & A I ad I O, vt D K ad K Q propter
ſimilitudinem duorum triangulorum; ergo (ex æqualitate, & comparan-
33Lem. 1.
lib. 5. do antecedentes ad ſummas vel differentias terminorum) erit B I ad B O,
44e vt E K ad E Q, ſed B T ad B I erat, vt X E ad E K (propter ſimilitu-
dinem duarum ſectionum)
265[Figure 265] ergo ex æqualitate, & rurſus
comparando antecedẽtes ad
ſummas vel differentias ter-
55Ibldem. minorum B T ad T O erit,
vt X E ad X Q, cumque T
Z in Z e ad quadratum V Z
6637. lib. 1. ſit vt X a in a f ad quadra-
tum a Y (39. ex 1.) & qua-
dratum V Z ad quadratum
Z e eſt, vt quadratum a Y ad
quadratũ a f erit T Z in Z e,
ad quadratũ Z e, nempe T Z
ad Z e vt X a in a f ad quadra
tum a f nempe G a ad a f, &
comparãdo antecedentes ad
differnntias terminorũ in hy-
perbola, & ad eorum ſummas
in ellipſi, fiet Z T ad T e, nẽ-
pe quadratum B T (quod eſt
æquale ipſi Z T in T e (39 ex 1.) ad quadratnm T e eſt, vt X a ad X f,
7737. lib. 1. nempe a X in X f, quod eſt æquale quadrato E X (39. ex 1.) ad qua-
dratum X f; ergo B T ad T e potentia eſt, vt E X ad X f; & propterea
88Ibidem.266[Figure 266]
235197Conicor. Lib. VI. T B ad T e erit, vt E X ad X f; & iam oſtendimus, quod B T ad T O
eſt, vt E X ad X Q; igitur ex æqualitate, & comparando terminorum
differentias ad conſequentes erit O e ad e T, vt Q f ad f X; ſed T e ad e
11Lem. 1.
lib. 5. V eandem proportionem habet quam X f ad f Y, eo quod oſtenſa ſunt
ſimilia triangula V T e, Y X f; quare O e ad e V eſt vt Q f ad f Y; &
iam oſtendimus, quod O e ad R V eandem proportionem habet, quàm
Q f ad S Y; ergo R V ad V e eſt, vt S Y ad Y f, & angulus e æqualis
eſt angulo f; igitur duo ſegmenta N V A, P Y D ſimilia ſunt inter ſe
(17. ex 6.) & ſimiliter poſita. Inſuper dico, non eſſe ſimilia alicui alte-
ri ſegmento; quia non abſcinduntur ab vna ordinatione, aut duabus, &
earum diſtantia in ellipſi à centro non eſt æqualis (18. ex 6.) , & hoc erat
oſtendendum.
PROPOSITIO XXII.
SEctionum non ſimilium A B C, D E F vnum ſegmentum
vnius non eſt ſimile alicui ſegmento alterius.
267[Figure 267]
Si enim hoc verum non eſt, ſit ſegmentum G C ſectionis A B C (ſi
fieri poteſt) ſimile ipſi H F alterius ſectionis D E F, & iungamus G C,
H F, eaſdẽq; bifariam ſecemus in I, K; iungamuſque L I, M K; quæ ſint
2244. lib. 2. duæ diametri, & ſecent ſegmenta in B, E: ſi itaque fuerint duo axes, cũ
duo ſegmenta ſint ſimilia, vtique egrederentur in eorum ſingulis ordina-
33Defin. 7.
huius. tiones ad duos axes, numero æquales, continentes cum axibus angulos
rectos, & proportiones ordinationum ad ſua abſciſſa in qualibet earum
eſſent æedem, ac abſciſſæ ad abſciſſas proportionales quoque eſſent. Et
44Defin. 2.
huius.55a propterea duæ ſectiones A B C, D E F ſimiles erunt, ſed iam ſuppoſitæ
fuerunt non ſimiles; quod eſt abſurdum. Si verò I L, M K non fuerint
axes, educamus ex B, E ad duos axes L P, M Q duas perpendiculares
B P, E Q, & duas tangentes B N, & E O: itaque (propter ſimilitudinẽ
66b duorum ſegmentorum) ſimilia erunt B N L, E O M; & pariter L B P,
M E Q; atque quadratum B P ad L B in P N, nempe in eadem
236198Apollonij Pergæi268[Figure 268] tione figuræ diametri A L (40. ex 1.) erit vt quadratum E Q ad M Q
1137. lib. 1. in O Q, nempe in eadem proportione figuræ diametri D M (40. ex 1.)
22Ibidem. quapropter duæ proportiones figurarum earundem ſectionum ſunt eædem
inter ſe; & propterea duæ ſectiones ſunt ſimiles (12. ex 6.) at ſuppoſitæ
fuerunt non ſimiles. Quod eſt abſurdum.
PROPOSITIO XXIII.
SI autem ſectio A B C fuerit parabola, & ſectio D E F hy-
perbola, aut ellipſis: manifeſtum eſt, ſectiones non eſſe in-
3313. huius. ter ſe ſimiles. Et dico quod duo ſegmenta G C, H F non ſunt
ſimilia.
Si enim ſimilia eſſent haberent conditiones ſimilitudinis, quod eſt im-
44a poſſibile, quemadmodum oſtenſum eſt in omnibus ſectionibus ad propo-
ſitionem 13. ſi vero vna earum fuerit hyperbole, altera verò ellipſis,
idipſum oſtenſum eſt ad propoſitionem 14. Et hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO XXIV.
CViuslibet coniſectionis A C D portio B A C D non erit
arcus circuli.
Si enim hoc verum non eſt educamus in illa chordas A B, C D, A C,
quarum nulla alteri ſit parallela: & educamus E F parallelam A B, & E
G parallelam A C, atque G H parallelam C D, & per ſingularum dua-
rum æquidiſtantium ſemipartitiones iungamus K I, L M, N O, quæ
237199Conicor. Lib. VI. dem lineæ perpendiculares ſunt ad præ-
269[Figure 269] dictas chordas, ſuntque etiam diametri
ſectionis, ergo I K, L M, N O ſunt axes,
nec ſibi in directum coincidunt; quia
chordæ primo eductæ inter ſe parallelæ
non erant: hoc autem eſt abſurdum,
quia in qualibet ſectione reperiri non
poſſunt plures, quàm duo axes (52. ex
1148. lib. 2.2.) ; ergo fieri non poteſt, vt ſectionis
conicæ portio ſit arcus circuli. Quod
erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. XX.
QVodlibet duorum ſegmentorum, vt A B C, D E F in duobus ſeg-
22a mentis ſimilibus, vt N A C, P D F abſciſſa ſint ab ordinatis duo-
rum axium ſectionum, vt A C, D F, N L, P M, A M, A S,
K M ad latus ſuarum verticum vt B, E; ſitque proportio earum abſciſ-
ſarum ad erecta duorum ſegmentorum eadem, nempe I B ad B G, vt K
E ad E H, & L B ad B G, vt M E ad E H: vtique duo ſegmenta A B
C, D E F, N B, P E ſimilia ſunt, & ſimilia poſitione: & c. Textus hic
270[Figure 270] adeo corruptus eſt, vt ne Apollonius quidem, ſi reuiuiſceret, ſenſum ex verbis
tam inconcinnis, & non coherentibus elicere poſſet. Itaque diuinando eam eſſe
veram lectionem cenſeo; quàm in textu appoſui.
238200Apollonij Pergæi
Educamus itaque N A ad O ex B L, & P D ad Q ex M E, quia B G
11b ad B I eſt, vt H E ad E K, & B G ad B L eſt vt H E ad E M; ergo L B
ad B I, nempe L N ad A I (19. ex 1. (nempe L O ad O I eſt vt M E
ad E K, nempe P M ad D K, nempe M Q ad Q K; & contra O L ad L
I, vt V M ad M K, & c. Addenda non nulla verba, quæ deficiunt, & reliqua
reſtituenda cenſui, vt in textu leguntur. Zuoniam B G ad B I eſt vt H E ad
E K, & B L ad B G eſt vt M E ad E H; ergo, ex æqualitate, L B ad B I
eandem proportionem habet, quàm M E ad E K, ſed quadratum N L ad qua-
dratum A I eſt in parabola, vt abſcißa L B ad B I; pariterque quadratum P
2220. lib. 1. M ad quadratum D K eſt, vt M E ad E K: & propterea quadratum N L ad
quadratum A I eandem proportionem habebit quàm quadratum P M ad quadra-
tum D K; igitur N L ad A I eandem proportionem habebit, quàm P M ad D
271[Figure 271] K; ſed vt N L ad A I ita eſt L O ad O I (propter parallelas A I, N L, & ſimi-
litudinem triangulorũ A I O, & O N L) pariterg; vt P M ad D K ita eſt M
Z ad Z K (propter ſimilitudinem triangulorum Q M P, & Q K D) igitur
L O ad O I eandem proportionem habebit, quàm M Q ad Q K; & compa-
rando antecedentes ad differentias, vel ſummas terminorum O L ad L I eandem
proportionem habebit, quàm Q M ad M K.
Et B L ad L N eſt vt E M ad M P (propter ſimilitudinem duorum
ſegmentorum) ergo ex æqualitate O L ad L N, & c. Sequitur quidem hoc
33c non propter ſimilitudinem ſegmentorum, quandoquidem ſegmenta ſimilia non
ſupponuntur ſed quia ſemper parabolæ ſunt ſimiles, & in eis poſitæ ſunt axium
abſciſſæ L B, & M E proportionales lateribus rectis B G, & E H, propterea
4411. huius. (vt in prop. 11. huius oſtenſum eſt ) B L ad L N eandem proportionem habebit
quàm E M ad M P; ſed prius L B ad B I erat vt M E ad E K, ergo comparã-
do differentias terminorum ad antecedentes erit I L ad L B vt K M ad M E,
eſtq; oſtenſa O L ad L I vt Q M ad M K, ergo ex æquali ordinata O L ad L B
erit vt Q M ad M E.
239201Conicor. Lib. VI.
Et quia N O ad O A eſt vt P Q ad Q D inuertamus proportionem,
11d deinde bifariam ſecemus duas tertias partes, & inuertamus eas quoque
fiet N O ad O R, nempe N L ad L T in eadem ratione ipſi V Z, nempe
L B ad B Z, vt D Q ad Q T, nempe P M ad P X æqualem ipſi Y a,
nempe M E ad E a, & c. Quoniam L O ad O I oſtenſa fuit vt M Q ad Q
K, & propter parallelas I A, L N, nec non D K, M P eſt N O ad O A, vt L O
ad O I; pariterq; P Q ad Q D eſt vt M Q ad Q K; igitur N O ad O A eandẽ
proportionẽ habet, quàm P Q ad Q D, & comparando antecedentes ad ſemidif-
ferentias, vel ſemisũmas terminorũ erit N O ad R A, vt P Q ad S D: & pro-
272[Figure 272] pterea N O ad O R ſummã, vel differentiã conſequentium eandem proportionem
habebit, quàm P Q ad Q S; ſed propter parallelas R T, & O L eſt L N ad T L,
vt N O ad O R: pariterque (propter parallelas S X, & Q M) eſt P M ad X
M, vt P Q ad Q S; igitur N L ad L T eandem proportionem habet, quàm
P M ad M X: ſuntque in parallelogrammis V L, & γ M latera oppoſita æqua-
lia V Z ipſi T L, atque a γ ipſi X M; igitur N L ad V Z eandem proportio-
nem habet, quàm P M ad γ a, & ita erunt earum quadrata; ſed vt quadratũ
2220 lib. 1. N L ad quadratum V Z ita eſt abſciſſa L B ad abſcißam B Z, pariterque vt
quadratum P M ad quadratum γ a, ita eſt abſciſſa M E ad abſcißam E a; er-
go L B ad B Z eandem proportiònem habet, quàm M E ad E a.
Et occurrere faciamus par pari remanet O R ad R b, vt Q S ad S c, & c.
33e Quoniam oſtenſa fuit O N ad O R, vt Q P ad Q S, per conuerſionem rationis
O N ad N R erit vt Q P ad P S, pariterque oſtenſa fuit b N ad N O, vt
c P ad P Q; ergo ex æquali b N ad N R eſt vt c P ad S P, & diuidendo b R
ad R N erit vt c S ad S P; ſed erat inuertendo R N ad N O, vt S P ad P Q;
quare comparando antecedentes ad differentias terminorum erit N R ad R O vt
P S ad S Q; ideoq; rurſus ex æqualitate b R ad R O erit vt c S ad S Q; eſtq;
V R ad R b vt γ S ad S c (eo quod triangula V R b, & γ S c ſunt ſimilia
triangulis ſimilibus O N L, & Q M P propter æquidiſtantes) ergo ex æquali
ordinata V R ad R O eandem proportionem habet, quàm γ S ad S Q.
240202Apollonij Pergæi
Sed tangens in V perueniens ad L O, & c. Si enim ex punctis γ, V du-
11f cantur V e, & γ f tangentes parabolas, & producantur quouſque ſecent axes
in e, & f eſſicientur duo parallelogramma V e O R, & γ f Q S, in quibus tã-
gentes V e, & γ f efficientur æquales ipſis O R, & Q S: & propterea inuer-
tendo R V abſciſſa ad contingentem V e æqualem ipſi R O eandem proportionem
habebit, quàm abſcißa S γ ad contingentem γ f æqualem ipſi S Q, atque effi-
ciunt prædictæ contingentes cum axibus angulos e, f æquales ipſis O, & Q æ-
qualibus propter parallelas; igitur ſegmenta N V A, & P γ D ſimilia ſunt in-
22Prop. 16.
huius. ter ſe.
273[Figure 273]
Et pariter duo ſegmenta A B C, D E F, atque duo ſegmenta N B, P
33g E ſunt ſimilia inter ſe, & ſimiliter poſita, & c. Hoc manifeſtum eſt, ſi enim
coniungantur rectæ lineæ N C, & P F, & bifariam diuidantur, atque ducan-
tur diametri, & c, vti fecimus in ſectione N A, oſtendetur ſimiliter (ex ea-
dem 16. propoſitione) ſegmenta N C, P F ſimilia eſſe inter ſe. Non ſecus ſi
coniungantur rectæ lineæ N B, & P E, & bifariam diuidantur, atque ducan-
tur diametri, & reliqua perficiantur, vt prius, oſtendentur codem modo, ſegmẽ-
ta N B, & P E ſimilia inter ſe.
Deinde ponamus ſegmentũ P d; quia non abſcindunt illa duæ ordina-
44h tiones vnius axis (18. ex 6.) , & hoc erat, & c. Sed legendum puto vt in
textu apparet. & horum verborũ ſenſus erit; fieri non poteſt, vt ſegmentũ p d ſit
ſimile ipſi N A, vel N B, propterea quod in ſectione P F ſegmenta P d vni tan-
tummodo portioni ſimile eſt (præter quàm in ellipſi), & ambo intercipi debent à
duabus ordinatim applicatis ad axim E Q: & propterea ſegmenta P D, vel P E
non erunt ſimilia ipſi P d, & quia N A oſtenſum eſt ſimile P D, pariterque N
B oſtenſum eſt ſimile P E; igitur ſegmentum P d ſimile non eſt, neque N A,
neque ſegmento N B; quod erat oſtendundum.
241203Conicor. Lib. VI. 274[Figure 274]
Notæ in Propoſit. XXI.
QVoniam G B ad B I, ſuppoſita eſt vt H E ad E K, & c. Quia L B
11a ad B G ex bypotheſi erat, vt M E ad E H, & inuertendo G B ad B I
erat vt H E ad E K; ergo ex æqualitate L B ad B I erit vt M E
ad E K; & per conuerſionem rationis B L ad L I erit vt E M ad M K.
Et propter ſimilitudinem duarum ſectionum N L ad A I, nempe L O
22b ad O I eſt, vt P M ad F K, nempe M Q ad Q K, & c. Quoniam duæ ſe-
ctiones N B, & P E ſimiles ſuppoſitæ ſunt, & axiũ abſciſſæ L B, M E, nec non
I B, K E ad latera recta B G,
275[Figure 275]Cc 2& H E proportionales ſunt; igitur N L ad A I eandem 33ex 12.
huius. portionem habebit, quàm P M ad D K: & quia triangula N L O, & A I O ſimilia ſunt pro- pter parallelas N L, & I A, pariterque triangula P M Q,& D K Q ſimilia ſunt; igitur L O ad O I erit vt N L ad I A; pariterque M Q ad Q K erit vt P M ad D I, ſeu vt N L ad A I: & propterea L O ad O I erit vt M Q ad QK.
Et ex æqualitate L O ad
44c L B erit vt Q M ad M E, ſed
L B ad L N eſt vt M E ad
M P, cum ex ſuppoſitione
ſectiones ſint ſimiles, &
242204Apollonij Pergæi Quoniam O L ad L I oſtenſa fuit, vt Q M ad M K; atque prius oſtenſa ſuit
B L ad L I, vt E M ad M K; ergo inuertendo I L ad L B erit, vt K M ad
M E; & propterea ex æqualitate O L ad L B erit vt Q M ad M E; ſed B L
11ex 12.
huius. ad L N eſt, vt E M ad M P; igitur ex æqualitate O L ad L N erit vt Q M
ad M P; ſuntque duo anguli L, & M recti; ergo triangula O L N, & Q M P
æquiangula erunt; & propterea anguli O, & Qæquales inter ſe erunt; ſed quia
contingentes verticales V e, & γ f parallelæ ſunt or dinatim applicatis N A, P
D ad diametros V R, & γ S; igitur angulus V e B æqualis erit angulo N O L;
pariterque angulus γ f E æqualis erit angulo P Q M; & propterea anguli e, &
f æquales erunt inter ſe.
Ergo propter ſimilitudinem duarum ſectionum T Z in Z e ad quadra-
22d tum Z V eandem proportionem habebit quàm X a in a f ad quadratum
a Y, & angulus e æqualis eſt angulo f; igitur V e T ſimile eſt Y f X,
& pariter, & c. Quoniam in ſectionibus ſimilibus V B, & γ E axes tranſuerſi
3312. huius. lateribus rectis proportionales ſunt, & ductæ ſunt ad axes ordinatim applicatæ
V Z, γ a, & contingentes V e, γ f, eſtque rectangulum T Z e ad quadratum
4437. lib. 1. Z V, vt latus tranſuerſum ad rectum, pariterque rectangulum X a f ad qua-
dratum a γ, vt axis tranſuerſus ad erectum; igitur rectangulũ T Z e adqua-
dratum Z V eandem proportionem habet, quàm rectangulum X a f ad quadra-
tum a γ, & à verticibus V, γ duorum triangulorum V e T, & γ f X ductæ
ſunt ad baſes rectæ linæ V Z, γ a efficientes angulos rectos, cum ordinatim
276[Figure 276] applicatæ ſint ad axes; atque angulus V e Z oſtenſus eſt æqualis angulo γ f a,
igitur tertius angulus Z V e æqualis erit tertio angulo a γ f; & ideo duo triã-
55Propof. 6
præmiſſ. gula V T e, & γ X f ſimilia erunt inter ſe: & propterea circa angulos æquales
T, & X latus e T ad T V eandem proportionem habebit, quàm f X ad X γ:
cumque duæ contingentes verticales V e, γ f parallelæ ſint ordinatim applicatis
N A, & P D ad diametros V R, γ S, erit O e ad R V, vt e T ad T V; pa-
riterque Q f ad S γ erit, vt f X ad X r: erat autem e T ad T V, vt f X ad
X γ; igitur pariter O e ad R V eandem proportionem habebit, quàm Q f ad
6612. huius. S γ; ſed B I ad I A eſt, vt E K ad K D.
243205Conicor. Lib. VI.
Sed B T ad B I erat vt X E ad E K propter ſimilitudinem duarum ſe-
11e ctionum, & c. Quoniam ex hypotheſi abſcißa axis I B ad latus rectum B G
erat vt abſciſſa K E ad latus rectum E H; & propter ſimilitudinem ſectionum
2212. huius. latera erecta G B, & H E ad axes tranſuerſos, & ideo ad eorum ſemißes T B
& E X eandem proportionem habebunt; ergo ex æquali I B ad B T erit vt K
E ad E X, & inuertendo T B
277[Figure 277] ad B I erit vt X E ad E K.
Sed libet aliam expoſitionem
afferre Apollonij principijs cõue-
nientiorẽ. Quia ex definitione
2. huius libri legitime inter pre-
tata, & ſicuticõſtat ex 12. prop.
huius. In ſectionibus ſimilibus
non quælibet axium abſcißæ ad
conterminas potentiales habent
eandem rationem; ſed illæ tan-
tummodo, quæ figuræ lateribus
proportionales ſunt: itaq; in ſe-
ctionibus ſimilibus A B, D E
vt quælibet axium, abſcißæ B
I, E K ad conterminas poten-
tiales I A, K D ſint proportio-
nales, neceße eſt, vt eædem I B,
& E K lateribus figurarum B
T, E X proportionales ſint.
Et quadratum V Z ad quadratum Z e eſt, vt quadratum a Y ad qua-
33f dratum a f, & c. oſtenſa enim fuerunt duo trìangula V Z e, & γ a f ſimilia
inter ſe; & ideo latera circa angulos rectos Z, & a proportionalia erunt; &
pariter eorum quadrata.
Inſuper dico non eſſe ſimilia alicui alteri ſegmento, & c. Sicutì in præ-
44g cedenti propoſitione factum eſt oſtendetur, quod ſegmentum N C non eſt ſimile
alicui alio ſegmento in altera ſectione P E, quando non compræhenduntur ab
ordinatim ad axes applicatis, & in ellipſibus æqualiter à centris diſtant.
Notæ in Propoſit. XXII.
ET propterea duo ſectiones A B C, D E F ſimiles erunt, & c. Quo-
55Lem. 8.
huius. niam ſegmenta G B C, & H E F poſita ſunt ſimilia, erunt diamctrorum
278[Figure 278]
244206Apollonij Pergæi ſeu axium (in hoc caſu) L B, & M E ſiguræ ſimiles inter ſe; & ideò ſectiones
11ex 11. 12.
huius. A B C, & D E F ſimiles erunt.
Itaque propter ſimilitudinem duorum ſegmẽtorum ſimlia erunt B N L,
22b E O M, & pariter L B P, & M E Q atque quadratum B P ad L P in P
N nempe, & c. Huius ſecundæ partis demonſtrationem, quàm non ſinceram Pa-
raphraſtes Arabicus nobis tranſmiſit omittere opere pretium erit, eandemq; bre-
279[Figure 279] uius demonſtrare hac ratione. Quia ſegmenta C B G, & F E H ſimilia ponun-
tur; ergo erunt figuræ diametrorum B I, E K ſimiles inter ſe in angulis I, K
33Lem. 8.
huius. æqualibus, & ſectiones ipſæ C B G, & F E H ſimiles inter ſe erunt; quod eſt
44Prop. 15.
huius. contra hypotheſin.
Notæ in Propoſit. XXIII.
SI enim ſimilia eſſent haberent conditiones ſimilitudinis, quod eſt im-
55a poſſibile, & c. Si enim concedantur ſegmenta G B C in parabola, & H E
F in hyperbole, vel ellipſi, ſimilia inter ſe; igitur in vnaquaque earũ duci poſ-
66Defin. 7.
huius. ſent ad diametros ordinatim applicatæ numero æquales, efficientes angulos æqua-
280[Figure 280]
245207Conicor. Lib. VI. les cum diametris, quæ abſciſſis ſint proportionales, & abſciſſæ quoque inter ſe.
Vnde ſequitur, quod portiones eiuſdem diametri E K à centro M ad omnes or-
dinatim ad diametros applicatas ſint æquales inter ſe, vt oſtenſum eſt in propo-
ſitione 13. huius: quod eſt impoſſibile.
Quando verò ſectio A C eſt byperbole, ac ſectio D F eſt ellipſis, ſimiliter,
vt in 14. propoſitione huius, oſtendetur; quo abſciſſæ in hyperbola, & ellipſi ſint
proportionales; & propterea omnes habebunt rationes maioris inæqualitatis, aut
omnes habebunt, proportiones inæqualitatis minoris, quod tamen in prædicta 14.
propoſitione impoſſibile eſſe oſtenditur.
Notæ in Propoſit. XXIV.
SI enim hoc verum non eſt, & c. Quod quælibet portio B A D ſectionis
11a conicæ A B G nullo pacto circumferentia circuli eſſe poſſit ſic oſtendetur.
Quia in circulo rectæ lineæ diuidentes bifariam duas parallelas inter ſe ſunt
neceſſariò diametri circuli, qui perpendicu-
281[Figure 281] lariter ſecant prædictas parallelas applica-
tas; igitur ſi curua linea B G D fuerit cir-
culi peripheria rectæ lineæ K I, L M, &
N O diametri circuli, erunt perpendicula-
res ad ordinatim applicatas æquidiſtantes
inter ſe; ſed quia etiam A B G ſupponitur
ſectio conica, erunt K I, L M, N O axes
prædictæ ſectionis conicæ eo quod bifariam,
& ad angulos rectos diuidunt ordinatim ap-
plicatas. Rurſus quia prædictæ ordinatim
applicatæ non ſunt omnes inter ſe parallelæ,
eo quodex conſtructione applicatæ A B, A C,
C D non fuerunt ductæ æquidiſtantes; igi-
tur tres axes I K, L M, N O indirectum
2248. lib. 2. non coincidunt; quare in ſectione conica B A G reperiri poſſent tres axes; quod
eſt impoſſibile.
SECTIO NONA
Continens Propoſit. XXV.
SI duo plana æquidiſtantia conum aliquem ſecuerint, atque
33b in eo efficiant duas hyperbolas, aut ellipſes; vtique ſectio-
nes ſimiles inter ſe erunt, ſed non erunt neceſſariò æquales.
246208Apollonij Pergæi
Efficiant duo plana parallela D
11b282[Figure 282] E N F, G H P I in baſim coni A C
duas rectas lineas D F, G I, & pla-
num per axim coniductum efficiat
triangulum A B C perpendiculare
ad duo illa plana parallela; quæ ab
illo ſecentur in E K, H L. Erunt
D F, I G perpendiculares ad A C,
& educamus B M parallelam ipſis
E K, H L; & vt quadratum B M ad
A M in M C; ita ponatur N E ad
E O, & ita P H ſiat ad H Q, erunt
2212. 13.
lib. 1. N E, P H inclinata duarũ ſectionũ
F E D, I H G, aut eorum tranſuer-
ſæ; igitur O E, H Q erunt eorum
erecta, & propterea figuræ duarum ſectionũ ſunt ſimiles; igitur duæ ſectio-
3312. huius.283[Figure 283] nes ſimiles ſunt. Et ſi quidem fuerint N E, P H æquales; ipſæ quoque
442. & 10.
huius. æquales erunt, alias non; Et hoc erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. XXV.
SI abſcindant conum aliquem duo plana parallela prouenient duæ ſe-
55a ctiones hyperbolicæ, vel quia duæ ſectiones ſunt ſimiles, & c. Quæ,
immutanda cenſui vt in textu videre eſt.
Sint abſciſſiones duorum planorum æquidiſtantium cum baſi I G, F D,
66b& ſecet conum planum tranſiens per eius axim, & c. Addidi verba, quæ
in textu d ſiderantur, quæ expoſitionem perſiciunt. Animaduertendum eſt, hanc
propoſitionem conuertibilem non eſſe; licet enim plana parallela in eodem cono
eſſiciant ſectiones ſimiles, verum non eſt, quod quotieſcunque in eodem cono
247209Conicor. Lib. VI. ſe{ct}iones ſunt æquales, vel ſimiles inter ſe, tunc quidem earum plana ſunt æqui-
diſtantia: Sicuti enim in eodem cono ſcaleno deſignari poßunt circuli æquales
ſubcontrariè poſiti, ſic etiam reliquæ coniſe{ct}iones ſubcontrariè conſtitutæ effici
poſſunt æquales, & ſimiles inter ſe: hæc autem, ſicuti etiam quamplurima vi-
deri poſſunt in libris neotericorum.
Sed non alienum erit à noſtro inſtituto hic paucis conſiderare paſſiones, & de-
ſcriptiones ſe{ct}ionum conicarum ſimilium, vel æqualium, quæ æquidiſtantes,
ſeu asymptoticæ vocantur. Et licet hæ ab alijs inuentæ, & traditæ ſint, non nul-
la tamen noua in medium afferam: non enim rerum nouitas ex ſubie{ct}i nouita-
te tantummodò arguitur, imo de ſubie{ct}o antiquo poſſunt nouæ ſpeculationes af-
ferri, atque corrigi, & cõpleri ea, quæ apicem perfe{ct}ionis non attingunt, &
hæc quidem omnia noua dici poterunt, & poſſunt, & debent zelo veritatis e-
uulgari, nec propterea prædeceßorum nominibus, ant inuentionibus iniuria in-
fertur.
Primus itaque omnium ( quod ſciam ) Pappus Alexandrinus libro ſeptimo col-
le{ct}ionum Mathematic arum propoſitione 208. lemmate ſexto in quintum librum
Apollonij, conſiderauit concentricas hyperbolas inter ſe ſimiles, eundẽ axim habentes,
ad eaſdem partes cauas inter ſe ſe non concurrere, ſed ſemper ad ſe ipſas vi-
cinius accedere. Poſtea Gregorius à Santo Vincentio oſtendit, quod duæ parabo-
11Parab.
pr 344. læ inter ſe æquales, ſimiliter poſitæ circa communem axim, vel diametrum, pa-
riter nunquàm conueniunt, & parallelæ ſunt inter ſe, & in infinitum produ{ct}æ
ſemper magis ad inuicem accedunt; atque propoſit. 139. de Hyperbola conſidera-
uit duas hyperbolas æquales, & ſimiles, quæ pariter in infinitd extensæ nunquàm
conueniunt, & ſimul cum Pappo putat, rite co@cludi poſſe, quod prædi{ct}æ ſe{ct}io-
nes, in infinitum extenſæ, ſint asymptoti, & ſemper magis, ac magis ad inui-
cem appropinquentur ex eo, quod re{ct}æ lineæ inter ſe æquidiſtantes inter duas
ſe{ct}iones interceptæ, ſucceſſiuè ſemper diminuantur. Propoſitiones quidem recon-
ditæ, & ſcitu iucundæ, ſed an æquè certæ, & indubitatæ cenſeri debeant, in-
quiremus, aliquibus tamen præmiſſis.
In qualibet hyperbola I E, cuius asymptoti C A B, duarum re{ct}arum linea-
22DEFINI
TIO
Addita.284[Figure 284] rum F I, G K inter ſe æquidiſtantium, ab vna asymptoto A C ad hyperbolen,
edu{ct}arum, ſit F I propinquior centro, quàm G K, quando ambo cadunt infra
centrum A ad partes C; vel F I magis à centro recedat, quando ambo
248210Apollonij Pergæi vltra centrum in eadem asymptoti produ{ct}ione A Z; aut F I ſupra, & G K in-
fra centrum A exiſtat: In quo libet caſu dicetur, F I vlterius tendere ad partes
centri, vel asymptoti A B, quàm G K.
Non ſecus ſi ab eadem asymptoto A C educantur quatuor rectæ lineæ inter ſe
æquidiſtantes F I, G K, H L, C E, quarum duæ priores F I, G K, centro pro-
pinquiores ſint, quando omnes infra centrum A collocantur; vel magis à centro
recedant, quando omnes in productione A Z exiſtunt; aut certe duæ F I, G K
ſupra centrum, & H L, C E infra centrum exiſtant: Tunc ſimiliter in quoli-
bet caſu dicentur rectæ lineæ F I, G K vlterius tendere ad partes centri, &
asympoti A B, quàm duæ aliæ H L, C E.
285[Figure 285]11PROP.2.
Addit.
Si in vna aſymptoto A C, hyperboles D E ſumantur duo ſegmenta
æqualia F G, H C, & à punctis diuiſionum ducantur quatuor rectæ
lineæ F I, G K, H L, C E parallelæ inter ſe, vſque ad hyperbolen:
Dico quod differentia duarum æquidiſtantium F I, G K ad partes cen-
tri, & alterius aſymptoti A B vlterius tendentium, maior erit differen-
tia reliquarum H L, C E.
Ducantnr à punctis E, K rectæ
286[Figure 286] lineæ E S, K R parallelæ asympto-
to A C, quæ efficiant parallelogrã-
ma C S, G R. Patet I R eſſe dif-
ferentiam æquidiſtantium F I, &
G K; pariterque L S eſſe differen-
tiam æquidiſtantium H L, C E;
& coniungantur rectæ lineæ E I,
& K I, ducaturque E O parallela
I K, ſecans H L in O. Et quia
recta linea E I cadit intra curuam
ſectionem conicam E K I, & pun-
ctum K eiuſdem conicæ
249211Conicor. Lib. VI. inter E, & I exiſtit; ergo recta linea I K poſita intra conicũ ſegmentum E K I
ſupra eius baſim E I cadit; & ideo ei parallela E O cadit infra eandem ſeg-
menti conici baſim E I, & propterea occurret ipſi H L intra coniſectionem, &
infra punctum L in ſectione poſitum, vt in O; & ideo O S maior erit, quàm,
S L. Et quoniam S E, & R K ſunt inter ſe parallelæ ( quia eidem A C æqui-
diſtant) pariterque E O, & K I factæ ſunt parallelæ, atque S O, & R I (ex
hypotheſi) æquidiſtantes erant; igitur duo triangula E S O, & K R I ſimilia
ſunt inter ſe, & eorũ latera homologa E S, & K R æqualia ſunt inter ſe (quiæ
in parallelogrãmis C S, & G R latera E S, R K æqualia ſunt oppoſitis C H, G
F inter ſe æqualibus, ex hypotheſi) igitur reliqua latera homologa S O, & R I
æqualia ſunt inter ſe; & propterea R I differentia æquidiſtantium F I, G K ad
partes centri A, & asymptoti A B vlterius tendentium, maior erit, quàm S L,
quæ portio eſt ipſius S O, & eſt differentia æquidiſtantium H L, & C E alte-
rius ſegmenti H C. Quod erat oſtendendum.
Ex conſtructione, & demonſtratione huius propoſitionis colligitur, quod ſi à
11COROL
LAR. duobus punctis eiuſdem asymptoti A C ad hyperbolen ducantur duæ rectæ lineæ
inter ſe parallelæ; illa, quæ ad partes centri A, & asymptoti A B vlterius ten-
dit, maior eſt reliqua. Nam recta linea K R, asymptoto A C parallela cadit ex-
tra ſectionem, & ideo ſecat interceptam parallelam F I, quæ erit maior, quàm
F R, ſeu G K; igitur F I ad partes centri A vlterius tendens maior eſt quali-
bet alia parallela G K ad partes oppoſitas tendente. Eadem ratione F I maior
erit quàm H L, & H L maior, quàm C E. Vnde patet propoſitum.
Si fuerint duæ hyperbolæ A B, & D E æquales, & ſimiles ad eaſ-
22PROP.3.
Addit. dem partes cauæ, quarum centra H, & L, & aſymptoti G H I, &
K L M, nec non axes A H, & D L ſint parallelæ inter ſe, & rectæ
lineæ B E, & C F ab hyperbolis interceptæ parallelæ fuerint rectæ H
L centra coniungenti; erunt B E, & C F æquales ipſi H L, & in-
ter ſe.
Si autem parallelæ ſint alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K L
287[Figure 287]Dd 2 H contentum à recta linea L H cen- tra coniungente, & interiore aſympto- to L K, in qua B E, & C F poſitæ ſunt: Dico B E vlterius tendentem. ad partes reliquæ aſymptoti L M ma- iorem eſſe, quàm C F.
Si vero B E, & C F parallelæ
ſint alicui rectæ lineæ H g diuidenti
angulum L H G à recta linea L H
centra coniungente, & eadem aſym-
ptoto H G contentum: Dico B E vl-
terius tendentẽ ad partes reliquæ aſym-
ptoti H I minorem eſſe, quàm C F.
250212Apollonij Pergæi Rectæ lineæ parallelæ B E, C F ſe-
288[Figure 288] cent æquidiſtantes aſymptotos H G,
L K in punctis N, O, P, Q. De-
bent autem coniſectiones in eodem pla-
no collocari ſicuti aliæ omnes, quæ in.
ſequentibus propoſitionibus 4. 5. 6. 7.
8. & 9. vſurpantur ſemper in vno
plano poſitæ intelligi debent.
Et primo duæ rectæ B E, C F paralle-
læ ſint rectæ lineæ H L centra coniungen-
ti. Quoniam hyperbolæ A B, D E æqua-
les ſunt, & congruentes; atque æquidiſtan-
tes asymptoti H N, L P æque inclinan-
tur ad æquales ſemiaxes tranſuerſos H
A, & L D; & ſegmenta asymptotorum H N, L P æqualia ſunt in paralle-
logrammo H P, nec non duo anguli H N B, & L P E æquales ſunt inter ſe, pro-
pter parallelas asymptotos: igitur duæ figuræ A H N B A, & D L P E D æquales
erunt, & congruentes: quapropter interpoſitæ rectæ lineæ N B & P E congruẽ-
tes, & æquales erunt; & addita vel ablata communi B P, erit N P æqualis
B E: eſt verò N P æqualis H L, eo quod H P parallelogrammum eſt; igitur
intercepta B E æqualis eſt rectæ lineæ H L centra coniungenti. Eadem ratione
quælibet alia intercepta C F parallela ipſi H L eidem æqualis oſtendetur: qua-
propter duæ interceptæ æquidiſtantes B E, & C F inter ſe æquales erunt.
Secundo B E, C F parallelæ ſint alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K
L H; ideoque P L f N, & Q L f O parallelogramma erunt: ſecetur L T æqua-
289[Figure 289] lis H N, atque L V æqualis H O; ducan-
turque T X, V Z parallelæ ipſis N B, O
C ſecantes reliquam hyperbolen in X, Z;
eritque ( vt in prima parte oſtenſum eſt)
T X æqualis N B, atque V Z æqualis O C.
Et ſiquidem B E, C F cadunt infra cen-
tra H, L ad partes G, K, cadent quoque
infra L f eis parallelam per L ductam in-
fra centrum H incidentem, & ideo N f,
ſeu ei æqualis P L in parallelogrãmo P f
minor erit, quàm H N; eſtque L T æqua-
lis H N; igitur L P minor erit, quàm L T ; & propterea punctum P propin-
quius erit centro L, quàm T: Eadem ratione oſtendetur, quod punctum Q pro-
pinquius ſit centro L, quàm V, & P propinquius centro quàm Q; ergo quatuor
11Def. add. æquidiſtantium P E, Q F, T X, V Z cadentium infra centrum ad partes K,
duæ P E, T X vlterius ad partes centri, vel asymptoti L M tendunt, quàm,
duæ Q F, V Z. At ſi B E, C F ſecent rectã lineam centra coniungentem inter
duo centra H, & L, manifeſtum eſt puncta P, & Q cadere ſupra centrum L,
atque duo puncta N, & O cadere infra centrnm H alterius hyperboles, cumque
L T ſecta ſit æqualis ipſi H N ad eaſdem partes; pariterque L V æqualis
251213Conicor. Lib. VI. H O cadent puncta T, & V infra centrum L; & P vlterius tendit quàm Q ad
partes, eiuſdem centri L. igitur in tali caſit quatuor æquidiſtantium duæ P E,
11Def. add. T X vlterius tendent ad partes centri, & asymptoti L M, quàm duæ aliæ æqui-
diſtantes Q F, V Z. Quando verò B E, & C F cadunt vltra centra H, &
L in productionibus æquidiſtantium asymptotorum G H, K L: quia N P cadit
290[Figure 290] ſupra, & L f infra centrũ H, ergo in parallelogrammo P f recta N f, ſeu ei æ-
qualis L P maior erit quàm N H: facta autem fuit L T æqualis H N; igitur
L T minor eſt, quàm L P; Eadem ratione L V minor erit, quàm L Q, at-
que P vlterius tendit quàm Q ad partes centri L, & ab ijſdem punctis caden-
tibus ſupra centrum L in productione asymptoti K L ducuntur quatuor rectæ
lineæ inter ſe æquidiſtantes vſque ad hyperbolen D Z; igitur duæ P E, T X vl-
22Ibidem. terius tendunt ad partes centri, vel asymptoti L M, quàm duæ Q F, V Z.
Secetur poſtea P a æqualis N B, atque Q b æqualis O C. Et quia T X æqua-
lis oſtenſa fuit N B erit P a æqualis ipſi T X; eſtque P E maior quàm T X;
33Coroll.
Propoſ. 2.
addit. propterea quod illa vlterius tendit ad partes cẽtri L, quàm T X; igitur P E ma-
ior erit, quàm P a, & earum differentia erit E a. Simili modo oſtendetur Q
b æqualis V Z, & minor quàm Q F, quarum differentia F b: cumque Q P
æqualis ſit ipſi N O, propterea quod ſunt latera oppoſita eiuſdem parallelogram-
mi; igitur T V, quæ oſtenſa fuit æqualis O N erit quoque æqualis Q P, & sũ-
pta communiter Q T erit Q V æqualis T P, atque à terminis æqualium ſeg-
mentorum eiuſdem asymptoti L K ducuntur vſque ad hyperbolen E Z quatuor
rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, & earum binæ P E, T X vlterius tendunt
ad partes centri, & asymptoti L M, quàm binæ Q F, V Z; igitur differentia
44Propoſ. 2.
addit. priorum, ſcilicet E a maior erit poſteriorum differentia F b; eſtque B a æqua-
lis N P, propterea quod æqualibus N B, & P a ponitur communiter B P; pa-
riterque O Q æqualis eſt C b; ſuntque N P, & O Q æquales inter ſe, nempe
latera oppoſita eiuſdem parallelogrammi; igitur B a, & C b æquales ſunt inter
ſe: ijs verò adduntur exceßus inæquales E a, F b efficietur E B vlterius ten-
dens ad partes asymptoti H I maior, quàm F C. Quod erat primum.
Tertio ijſdem poſitis N E, O F ſint parallelæ alicui rectæ lineæ H g diuidẽti
angulum L H G, & propterea extensæ productionem asymptoti M L
252214Apollonij Pergæi& parallelæ erunt alicui recta lineæ ex L
291[Figure 291] diuidenti angulum H L M, eo quod paral-
lelæ erãt rectæ H g diuidenti angulum L H
G, & prius B E vlterius, quàm C F ten-
debat ad partes asymptoti H I; ergo è con-
tra C F vlterius tendet ad partes asymptoti
H G, & educũtur ab asymptoto L M producta,
& parallelæ ſunt rectæ lineæ ex L diuidenti
angulũ H L M, contentum à recta linea cen-
tra coniungente, & a symptoto M L, in qua
illæ cadunt; igitur ( ex prima parte huius propoſitionis) C F maior erit, quàm
B E; & è contra B E vlterius tendens ad partes asymptoti H I minor erit, quã
C F; vt propoſitum fuerat.
Sint duæ æquales parabolæ A B, D E ad eaſdem partes cauæ, qua-
11PROP. 4.
Addit. rum diametri G I, H K ſint congruentes aut parallelæ inter ſe, nec nõ
ad eas ordinatim applicatæ B Z K, L X N ſint parallelæ alicui rectæ
diuidenti angulum G H K à recta linea G H vertices coniungenti, &
diametro H K interioris ſectionis D H contentum, ſi diametri congruentes
non fuerint. Dico quod, B E, L M portiones applicatarum à ſectioni-
bus ad eaſdem partes interceptæ, ſemper magis diminuentur, quo magis
à verticibus recedunt; efficienturque minores quacumque recta linea pro-
poſita, ſi diametri ſunt congruentes: ſi verò ſunt parallelæ nunquam mi-
nores erunt portione ordinatæ inter diametros intercepta. At ſi paral-
lelæ fuerint alicui rectæ lineæ diuidenti angulum H G I à recta G H,
& diametro I G exterioris ſectionis A G contentum, ſemper magis au-
gentur, ſed erunt ſemper minores ea quæ à diametris intercipitur. Vel ſi
fuerint parallelæ diametris non congruentibus, ſemper magis augentur,
quo magis à concurſu recedunt.
Sit F G latus rectum diametri G I in,
292[Figure 292] parabola G B, ordinatim applicatæ B E K,
& L M N ſecent diametrum G I in X, Z,
& diametrum H K in N, K, & ſecetur
abſciſſa G I æqualis H K, & G R æqualis
H N; ideoque R I æqualis erit N K, ſeu
X Z (propterea quod in parallelogrammo
N Z oppoſita latera æqualia ſunt) ducan-
turque ordinatæ O I, Q R, quæ erunt æqua-
22ex 10.
ex 21.
huius. les, & congruentes ipſis E K, M N pro-
pter æqualitatem ſectionum, & abſciſſarũ
ſimilium diametrorum; ducanturque à pun-
ctis E, L, Q rectæ lineæ E S, L T, Q V
parallelæ diametris occurrentes ipſis B E,
& O I in S, T, V: manifeſtum eſt S
253215Conicor. Lib. VI. æqualem eße O V, eo quod in perallelogrammis Q I, & S K latera oppoſita ſunt
æqualia, & ipſæ ordinatæ E K O I; nec non M N, Q R æquales oſtenſæ ſunt:
Deinde producantur, B E, O I ad ſectionem in C, P; Et quia differentia qua-
dratorum B Z, L X, ſeu T Z, ideſt rectangulum B T C æquale eſt differentiæ
11ex II.
lib. I. rectangulorum Z G F, & X G F ſeu rectangulo ſub abſciſſarum differentia X Z,
& latere recto G F. Simili modo rectangulum O V P æquale erit rectangulo ſub
abſciſſarum differentia R I, & latere recto G F: ſuntque rectangula contenta
ſub X Z, G F, & ſub R I, G F æqualia, propterea quod later a X Z, R I æqua-
lia oſtenſa ſunt, & latus rectum G F eſt commune; igitur rectangula B T C, &
O V P æqualia ſunt; ideoque vt T C ad V P, ita reciprocè erit O V ad B T.
Et primò quia diametri G Z, H K coincidunt, & parabolæ H D compræhendi-
tur ab A G: erit G Z maior quàm H K, ſeu quàm G I, & B Z maior quàm
E K, & L X quàm M N. Si verò B E, L M parallelæ ſunt alicui rectæ lineæ
H Y diuidenti angulum G H K; ergo Y Z, ſeu ei æqualis H K, vel G I minor
erit, quàm G Z. Eadem ratione G X maior erit, quàm G R; quare ordinatim
applicata B Z maior erit, quàm O I, & Z C maior, quàm I P; pariterque L
X, ſeu T Z maior erit, quàm Q R, ſeu V I; ideoque T C maior erit, quàm
V P: erat autem O V ad B T reciprocè, vt T C ad V P; ergo O V, ſeu ei æqua-
lis S M maior erit, quàm B T: ij verò addantur æquales L S, T E, quæ in
parallelogrammo S T ſunt latera oppoſita, igitur L M, maior erit quàm B E.
Deinde quando diametri G I, H K ſibi mutuo congruunt ſit b minor qualibet
data recta linea, & à vertice H ducatur H d cuius quadratũ æquale ſit rectangulo
H G F, & fiat vt b ad H d, ita H d ad aliam rectam lineam æqualem C E; atq;
vt H d ad ſemiſſem sũmæ C E, & b potentia, ita fiat longitudine H G ad G K,
ducaturque B K C ordinatim applicata ad diametrum G I. Quoniam quadra-
22II. lib. I. tum E K æquale eſt parallelogrammo H K, G F (propterea quod parabolæ ſunt
æquales, & diametri ſimiles) & ijs adduntur inter ſe æqualia quadratum d H,
& rectangulum H G F, erunt duo quadrata E K, & d H ſimul ſumpta æqualia
rectãgulo K G F, ſeu quadrato B Z; quare differentia quadratorũ B K, & E K,
ideſt rectanguli B E C æqualis erit quadrato d H; & propterea d H media pro-
portionalis eſt inter C E, B E, ſed facta fuit media proportionalis inter C E,
& b; Ergo B E æqualis eſt b; ideoque R E minor @@ qu@libet recta linea data.
Quando verò diametri G Z, H K ſunt æquidiſtantes, ijsdem poſitis ducatur O
n parallela diametris ſecans B E in n. Quia n Z eſt æqualis O I. & erat E K
æqualis O I, ergo n Z, & E K æquales ſunt, & addita, vel ablata comm@ni Z
E erit n E æqualis Z K; & propterea quælibet intercepta B E @@ior erit in
ſecundo caſu, & minor in tertio, quàm n E, ſeu Z K à diametris compræben-
ſa.
Tertio quando B E, L M parallelæ ſunt alicui rectæ G a diuidenti angulum
H G I, erit K a, ſeu ei æqualis G Z minor, quàm H K, ſeu quàm G I, atq; vt
prius rectangula B T C, & O V P æqualia erunt, & eorum latera reciprocè
proportionalia, eſtque S M æqualis minori O V, ergo S M minor erit quàm B
T; & additis æqualibus L S, & T E, erit L M minor quàm B E.
Tandem ſint interceptæ B E, L M parallelæ G V, H C portionibus interce-
ptarum diametrorum non congruentium, & à terminis B, E, L, M, ducan-
tur ad diametros ordinatim applicatæ, eas ſecantes in Z, K, I, N, O, S, &
ſectiones in P, & R; & cadat B E inter duas diametros. Quoniam
254216Apollonij Pergæi B cadit inter verticem G, & punctum
293[Figure 293] C eiuſdem parabolæ G C; igitur Z B
K ordinatim applicata ad diametrum
G I neceßario ſecabit diametrum G I
intra ſectionem in Z, & producta
occurret K N extra eandem in K.
Non ſecus oſtendetur, quod E N I or-
dinatim applicatæ ad diametrum H
N, punctum N cadit intra, & I ex-
tra eandem ſectionem H E, & pro-
pterea recta C H minor erit, quàm K
N, ſeu B E ei æqualis in parallelo-
grammo E K; pariterque Z I, ſeu ei
æqualis B E minor erit, quàm G V.
Cadat poſtea L M extra duas diame-
tros ad eaſdem partes. Quoniam in parallelogrammo L S latera L O, M S æqua-
lia ſunt; eſtque S R maior quàm M S, ſeu quàm O L; ergo (vt in prima parte
huius propoſitionis oſtenſum eſt) rectangulum M S R, ſeu rectangulum ſub S V,
& latere recto G F maius erit quadrato L O, ſeu rectãgulo O G F, & propterea
11II. lib. I. S V maior erit, quàm O G, & addita communi O V; erit O S, ſeu ei æqualis
L M, in parallellogrammo L S, maior quàm G V. Quod erat oſtendendum.
Idem omnino verificari in ellipſibus demonſtrari facile poſſet, quod breuitati
22SCHO-
LIVM. ſtudens libens omitto.
Si fuerint duæ quælibet coniſectiones A B C, D E F æquales, & ſi-
33PROP. 5.
Addit. miles ad eaſdemque partes cauæ, quarum diametri B H, E I (æquè in-
clinatæ ad ordinatim ad eas applicatas) æquidiſtantes ſint inter ſe, vel
congruentes; & ducantur quælibet rectæ lineæ A D, K L à ſectionibus
interceptæ, parallelæ rectæ lineæ B E vertices coniungenti: erunt illæ
æquales inter ſe.
Si enim hoc verum non eſt,
294[Figure 294] ſit A D ſi fieri pote@t maior,
aut minor, quàm B E, & ſe-
t@tur A R æqualis B E: pa-
tet punctum R cadere intra,
aut extra ſectionem D E (ſed
in eius plano cum ſectiones in
eodem plano exiſtant) iungan-
turque rectæ lineæ A B, E
R, quæ æquales erunt, & pa-
rallelæ inter ſe, cum ſint con-
iungentes æqualium, & æqui-
diſtantium B E, & A R. Po-
ſtea ducatur A H ordinatim
applicata ad diametrum B H efficiens abſcißam H B; ſeceturque abſciſſa E I in
altera ſectione æqualis B H; iunganturque H I, I D, & I R. Et quoniam B
255217Conicor. Lib. VI. E I ſunt æquales, & parallelæ; ergo H I æqualis erit, & parallela ipſi B E (vel
quia additur communis H E, vel propter parallelogrammum B I) ſed prius A
R æqualis erat, & parallela eidem B E; igitur A R, & H I æquales ſunt inter
ſe, & æquidiſtantes; ideoque coniungentes A H, R I erunt æquales, & paral-
lelæ; ſuntque anguli A H B, & R I E æquales inter ſe, cum ab æqualibus la-
teribus in triangulis A B H, & R E I æquilateris inter ſe contineantur; ergo
R I ordinatim quoque applicata eſt ad àiametrum E I; atque in ſectionibus æ-
qualibus abſciſsæ B H, E I
295[Figure 295] diametrorum ſimilium, ſci-
licet æque inclinatarum ad
ſuas ordinatas æquales ſunt
inter ſe; nec non ordinatæ A
H, I R æquales ſunt oſten-
sæ; igitur ſicut punctum A in
11ex 10.
huius. ſectione A B cadit, ita pun-
ctum R in ſectione E D exi-
ſtit; ſed poſitus fuit intra,
aut extra ipſam, quod eſt ab-
ſurdũ: Non igitur recta linea
A D maior, aut minor eſſe
poteſt, quàm B E; ideoque ei
quælibet alia intercepta K L æqualis omnino erit. Simili ratiocinio oſtendetur
æquidiſtans ipſi B E eidem
296[Figure 296] æqualis; quapropter interce-
ptæ A D, K L, & B E æqua-
les erunt inter ſe: Quod erat
oſtendendum.
Si duæ parabolæ B A C,
F D E æquales ad eaſdem
22SCHO-
LIVM. partes cauæ, conſtitutæ ſue-
rint circa axes A K, D G
æquidiſtantes, & non con-
gruentes ſe mutuo ſecabunt.
Ex vertice D axis G D ducatur D H perpendicularis ad axim A K, eum ſe-
cans in H, & deſcribatur alia parabolæ I H L æqualis prioribus B A, vel E
D, cuius axis ſit K H, & ver-
297[Figure 297] tex H, & ſicuti in propoſi-
tione 4. additarum factum
eſt, reperiatur B F C ordina-
tim ad axes applicata ſecans
parabolas in E, B, I, & axes
in G, K, ita vt intercepta
B I æqualis ſit D H, ſen G
K, quæ in parallelogrammo
D K ei æqualis eſt. Quoniā
parabolæ E D, & I H
256218Apollonij Pergæi les ſunt, & axium abſciſſæ D G, H K æquales cum ſint latera oppoſita paralle-
11ex prop@@.
huius. logrammi D K; ergo ordinatim ad axes applicatæ E G, & I K æquales ſunt, &
ablata communi I G, erit E I æqualis G K, ſeu D H; erat autem intercepta
B I æqualis eidem D H; igitur B I erit æqualis E I; & propterea punctum E
parabolæ E D F cadet ſuper punctum B parabolæ B A C; ergo duæ parabolæ B
22Maurol.
27. lib
Conic. A C, & E D F conueniunt in vno puncto, & in eo ſe mutuo tangere non poſ-
ſunt; igitur ſe mutuo ſecant. Quare patet propoſitum.
His demonſiratis manifeſtè percipitur, quod ex ſucceſſiua diminutione rectarũ
æquidiſtantium, inter coniſectiones interceptarum, deduci non poteſt, coniſe-
ctiones magis ad ſe ipſas propius accedere; propterea quod in ij ſdem ſectionibus
aſymptoticis duci poßunt interceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, quæ ſint
omnes æquales inter ſe, nimirum illæ, quæ parallelæ ſunt alicui communi dia-
metro, vel rectæ lineæ vertices earum coniungenti, vt in propoſitione 5. additarũ
oſtenſum eſt. Similiter aliæ interceptæ rectæ lineæ, inter ſe æquidiſtantes ſucceſſiuè
augentur aliæ verò ſucceſſiuè diminuuntur verſus caſdem partes, vt in propoſitione
3. & 4. addit. oſtenſum eſt. Et hoc nedũ verificatur in ſectionibus non congruen-
tibus, & asymptoticis, ſed etiã in duabus æqualibus, & inter ſe ſimilibus ſectioni-
bus ſe mutuo ſecantibus, dummodo earum axes paralleli ſint, in ijs enim inter-
ceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, tendentes ad eaſdem partes, etiam illæ,
quæ proprius ad punctum occurſus ſcctionum conicarum accedunt, poßunt dimi-
nui, pariterque inter ſe æquales eße, & quod mirum eſt poßunt ſemper magis
augeri. Si igitur æquidiſtantes interceptæ ſunt menſuræ diſtantiarũ duarum ſe-
ctionum, eædem coniſectiones cenſeri debent modo parallelæ, & æqualibus inter-
uallis inter ſe diſtantes, modo ad eaſdem partes ſtringi, & coanguſtari, & ſi-
mul dilatari magis, ac magis, quod omnino videtur abſurdum. Non igitur ex
eo qnod omnes interceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes ſunt æquales inter ſe;
propterea ſectiones ipſæ crunt parallelæ, & asymptoticæ, & ſemper æquali in-
teruallo ad inuicem ſeparatæ; neque ex eo quod prædictæ parallelæ magis augẽ-
tur, vel diminuuntur interualla augeri, vel ſtringi cenſendum eſt.
Et præcipuè præſtantiſſimus Gregorius à Sancto Vincentio neſcio an iure de-
monſtrationem propoſitionis 14. libri 2. ipſiuſmet Apollonij inſufficientem repu-
tauerit, propterea quod Apollonius deduxit rectas lineas hyperbolen compræbendẽ-
tes, quæ aſymptoti vocantur ſemper magis, ac magis ſectioni viciniores fieri ex eo
quod rectæ lineæ inter ſe æquidiſtãtes, interceptæ inter rectas asymptotos vocatas,
& hyperbolen contentam ſucceſſiuè ſemper magis, ac magis diminuantur; & è
contra aßeruit cum Cardano, & quodam Rabino Moſe diſtantiam hyperbolæ à re-
ctis asymptotis ſumi debere, non à quibu ſcunque rectis lineis interceptis inter
ſe parallelis, ſed tantummodo à rectis lineis perpendicularibus ad aſymptotos,
quæ ſolummodo, inquiunt ipſi, diſtantias determinant; at reuera hæc animad-
nerſio non videtur neceßaria: perinde enim eſt conſiderare rectas lineas ab hy-
perbole ad vnam rectam lineam continentium ductas, quæ efficiat cum illa an-
gulos æquales, ac ſi perpendiculares eßent ad eandem: at quando rectæ lineæ in-
terceptæ ſunt inter ſe æquidiſtantes, tunc omnes efficiunt ſuper rectam lineam
continentem hyperbolen angulos æquales ad eaſdem partes; & propterca (ex inæ-
qualitate prædictarum æquidiſt antium) optimè concluditur cum Apollonio inæ-
qualitas perpendicularium, ſeu diſtantiarum. Quando verò conſiderantur duæ
lineæ curuæ veluti ſunt duæ parabolæ, vel duæ hyperbolæ, vel ellipſes, tunc
257219Conicor. Lib. VI. dem nulla ratione rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, inter curuas interceptæ de-
terminare poſſunt prædictarum curuarum diſtantias; quandoquidem inæquali-
ter ſemper inclinantur ad quamlibet prædictarum curuarum, & rectæ lineæ in-
terceptæ, quæ ſunt perpendiculares ad vnam ipſarum, non erunt inter ſe æqui-
diſtantes. Et quia, vt dictum eſt, prædictæ perpendiculares ſunt diſtantiarum
legitimæ menſuræ, nunquàm concludi poteſt certo, quod prædictæ ſectiones ſint
æquidiſtantes. vel ſibi ipſis ſucceſſiuè viciniores ſiant, niſi conſiderentur rectæ
lineæ interceptæ ad vnam ſectionum perpendiculares: quod quidem hucuſque
quod ſciam factum non eſt, neque forſan huiuſmodi ſpeculatio inuentu facilis
erit, aut iniucunda.
In parabola, vel hyperbola A B C ad eius axim E A I ducere ra-
11PROP. 6.
Addit. mum breuiſſimum æquidiſtantem alicui rectæ lineæ E F, quæ oportet,
vt efficiat cum axi ad partes ſectionis angulum A E F acutum, ſed in
hyperbola ſit minor ſemiße vnius recti, & angulus F E X ab vna
asymptoto, & recta linea E F contentus ſit acutus.
Fiat angulus A E D æqualis an-
298[Figure 298] gulo A E F, & ex vertice A du-
catur recta linea A B efficiens an-
gulum I A B, qui ſimul cum an-
gulo A E F vnum rectum angulũ
compleat; ſed in hyperbola, quia
vterq; angulus X E A, & A E F
deficit à ſemirecto erũt ambo mino-
res ſumma præcedentium, ſcilicet
vno angulo recto; ergo ablato cõmuni
angulo A E F, erit angulus I A B
maior angulo A E X. Poſtea, quia
tam A E F, quàm A E D minor eſt ſemiſſe vnius anguli recti, & A E F cum
angulo I A B vnum rectum angulum complent; ergo angulus I A B maior erit
angulo D E A: & propterea recta linea A B producta neceſſario ſecabit vtram-
que rectam lineam E D, & E X asymptotum extra ſectionem cadentem ad par-
tes D, X; ideoque A B hyperbolen ſecabit in aliquo alio puncto B. In parabola
verò, quia recta linea A B axim
299[Figure 299] ſecat in vertice A non ad angulos
rectos (cum anguli I A B, & A
2217. 27.
lib. I. E F rectum compleant) ergo A B
ſectioni occurrit in duobus pun-
ctis. Secetur iam A B bifariam
in L, & per L ducatur diameter
ſectionis L G ſectioni occurrens in
3335. 36.
lib. I.
5. lib. 2. G, & per G ducatur contingens G
H, ſeu parallela A B ſecans axim
in H, & per G ducatur I G O per-
pendicularis ad G H. Dico I G
problema efficere. Quoniam
258220Apollonij Pergæi pter parallelas G H, B A, eſt an-
300[Figure 300] gulus G H A, ſeu E H N æqualis
angulo B A I; ſed anguli B A I,
& A E F vnicum rectum com-
plent; ergo duo anguli N H E, &
N E H ſimul ſumpti vni recto æ-
quales ſunt, & propterea in trian-
gulo E N H reliquus angulus N
rectus erit: erat quoque angulus
I G H rectus; igitur I G (qui eſt
1131. lib. 5. ramus breuiſſimus cum ſit perpen-
dicularis ad tangentem G H) eſt
æquidiſtans rectæ lineæ E F; quod erat propoſitum.
Facile deducitur, quod ſi angulus A E F fuerit rectus in parabola, &
22SCHO-
LIVM. non fuerit ſemirecto minor in hyperbole facta eadem conſtructione quilibet
ramus breuiſſimus I G æquidiſtans erit rectæ lineæ diuidenti angulũ A E F.
Nam angulus A I G ab axi, & ramo breuiſſimo contentus eſt acutus, ſed an-
gulus F E A in parabola eſt re-
301[Figure 301]3313. 14. 15.
lib. 5. ctus; ergo recta linea I G paralle-
la eſt alicui rectæ lineæ diuidenti
angulum A E F, in hyperbela ve-
rò factus eſt angulus A E D æqua-
lis angulo A E F, qui ſemirecto
minor non eſt; propterea erit totus
angulus D E F rectus, aut obtu-
ſus; ergo in triangulo E M N ex-
ternus angulus F N M maior in-
terno, & oppoſito angulo E recto,
vel obtuſo, erit quoque obtuſus, &
4431. lib. 5. angulus I G N rectus eſt; igitur I
G, F N ſe viciſſim ſecabunt vltra punctum E, & ideo I G parallela erit rectæ
lineæ diuidenti angulum A E F. Quod erat oſtendendum.
Sint duæ parabolæ, vel duæ hyperbo-
302[Figure 302]55PROP. 7.
Addit. læ æquales, & ſimiliter poſitæ H B D,
& I F G circa communem axim A H I:
intercepta axis portio erit diſtantia ſectio-
num omnium maxima, & ei propinquior
remotiore maior erit.
Sint centra E, & K, asymptoti P E O,
Q K R, & à vertice H, & à quibuslibet
punctis interiores ſectionis B D eleuentur
668. 9. 10. 30.
lib. 5. lineæ breuiſſimæ, ſeu perpendiculares ad rectas
curuam B D contingentes in eiſdem punctis,
quæ ſint H A, B A, & D C, quæ ſecent re-
liquam ſectionem in punctis I, F, & G.
259221Conicor. Lib. VI. Manifeſtum eſt interceptas I H, F B, G D eſſe minimas linearum rectarum,
quæ à punctis I, F, G ad ſectionem B D duci poßunt; & ideo eædem interce-
1138. lib. 5. ptæ erunt diſtantiæ quorunlibet punctorum ſectionis I F G à ſectione B D: &
propterea erunt diſtantiæ prædictarum curuarum. Oſtendendum modo eſt H I
maiorem eſſe, quàm B F, & B F maiorem, quàm D G, & ſic ſemper. Duca-
tur à puncto F intercepta recta linea F M parallela axi I H, atque à puncto G
ducatur recta linea G N parallela ipſi F B, quæ occurrant ſectioni B D in M,
N. Et quoniam F M æquidiſtat vertices coniungenti I H, erit intercepta F M
225. aiddit.
huus.
38. lib. 5. æqualis I H, ſed cum ramus B A ſit breuiſſimus, & eius portio F B erit quoque
breuiſſima omnium, quæ ex puncto F ad eandem ſectionem B H duci poſſunt;
quare B F minor erit quàm F M, & F M oſtenſa fuit æqualis I H; igitur di-
ſtantia intercepta F B minor erit quàm I H.
Secundò quia duæ interceptæ B F, N G parallelæ inter ſe productæ occurrunt
axi intra ſectiones ad partes A C, & in parabola, quàm ſecabunt in binis pun-
3327. lib. 1. ctis, erunt ſaltem ordinatim applicatæ ad aliquàm diametrum: in byperbolis verò
303[Figure 303] parallelæ erunt rectæ lineæ diuidenti angulum P E K à recta linea E K centra
coniungente, & E P interiore asymptoto contentum; propterea tam in parabo-
443. & 4.
addit. lis, quàm in hyperbolis intercepta B F, quæ vlterius tendit ad partes reliquæ
asymptoti E O maior erit intercepta N G; ſed quia G D eſt linea breuiſſima om-
5538. lib. 5. nium, quæ ad ſectienem H D duci poſſunt, cum ſit portio breuiſſimæ D C, quæ
perpendicularis eſt ad rectam contingentem in D, igitur G D minor erit,
quàm G N; eſtque G N oſtenſa minor, quàm F B; ergo G D minor erit, quàm
F B.
In parabolis autem, quia duci poteſt aliqua recta linea, vt N G parallela
cuilibet interceptæ B F; itaut ſit N G minor quacunque recta linea data (quan-
66Prop. 4.
addit. do nimirum ad aliquam diametrum ordinatim ſunt applicatæ, ſcilicet, quando
vna ipſarum, puta B F occurrat axi intra ſectiones; quod quidem neceſſario
7727. lib. 1. eueniet, quando B A eſt ramus breuiſſimus) eſtque ramus breuiſſimus D G
260222Apollonij Pergæi304[Figure 304] nor eadem G N; igitur diſtantia ſectionum G D minor erit quacunque recta
linea propoſita. Quia verò (vt conſtat ex demonſtratione caſus 2. propoſ. 3.
addit. huius) quælibet recta linea G D intercepta inter hyperbolas conueniens
cum axi intra ſectiones maior eſt portione eiuſdem rectæ lineæ C D G inter æ-
quidiſtantes asymptotos E P, & K Q intercepta; igitur interuallum inter duas
hyperbolas, licet ſucceſſiuè ſemper magis, ac magis diminuatur, nunquàm ta-
men minor effici poterit interuallo duarum æquidiſtantium hyperbolas continen-
tium E P, & K Q; Quod quidem eſt perpendiculare ad vtramque rectam con-
tinentem E P, & K Q; eſtque prædicta perpendicularis minima omnium in-
terceptarum inter eas.
Duarum parabolarum, vel hyperbolarum A B, D E æqualium, &
11PROP. 8.
Addit. ſimilium, quarum axes A O, D Y, nec non asymptoti H I K, L M N
ſint parallelæ inter ſe, & ſimiliter poſitæ: Sectionum diſtantia maxima
parallela erit vertices coniungenti, & ei propinquiores ex vtraq; parte
maiores ſunt remotioribus vſq; ad concurſum: ſi veró diſtantiam ma-
ximam non habent ſemper augentur quo magis à concurſu recedunt.
Cadat concurſus ſectionum Z
305[Figure 305] inter axes A G, & D Y, & aſym-
ptoti I K, M N coincidant, aut
ſibi ſint viciniores, quàm I H; M
L. Et primò angulus Y D A ab
axe Y D, & D A vertices con-
iungente contentus ſemirecto minor
non ſit in hyperbola, ſitque rectus
in parabola, & vltra concurſum.
Z, ad partes axis D Y, & asym-
ptotorum magis diſſitorum H I,
L M: ſumantur in compræhenſa ſectione A B quælibet puncta, B, P, à
261223Conicor. Lib. VI. ad axim ducantur rami breuiſſimi O B, Q P præter axim A O, & ſecent ex-
118. 9. & 10.
lib. 5. ternam curuam in G, E, R, & occurſui Z, vel communi asymptoto I M N,
306[Figure 306] aut vicinioribus asymptotis I K, M N ſit A G propinquior, quàm E B, & E B
propinquior, quàm R P: Oſtendendum eſt curuarum diſtantiam A G minorem
eße, quàm B E, & B E, quàm P R. Ducantur interceptæ G S parallela E B,
& E X parallela R P. Et quia in parabola angulus Y D A rectus ſupponitur,
22SCHO-
LIVM.
Prop. 6.
addit.& in hyperbola non eſt minor ſemirecto, ergo quilibet ramus breuiſſimus E B,
vel R P æquidiſtans erit rectæ lineæ diuidenti angulum A D Y in parabsla, &
angulum M I H in hyperbola; ſed duarum parallelarum E B, G S, vel R P,
E X eſt G S vertici propinquior, vel vlterius tendit ad partes asymptoti I K,
quàm E B; ergo G S minor eſt, quàm E B; eſtque G A minor, quàm G S, quia
33Prop. 3. 4.
addit.
7. & 38.
lib. 5. illa eſt portio, vel productio lineæ breuiſſimæ O A; igitur G A adhuc minor erit
307[Figure 307] quàm E B. Eadem ratione E B minor oſtendetur, quàm R P. Poſtea ſi occur-
ſus Z cadit extra duos axes, inter axim A G, & occurſum aut ad partes
262224Apollonij Pergæi Protorum coincidentium, vel propinquiorum, ad oppoſitas partes citra axim G A,
ſumantur duo puncta C, T, & ab cis ducantur ad axim rami breuiſſimi O C,
Q T ſecantcs externam ſectionem in F, V, & ab occurſu, vel communi asym-
ptoto, vel ab asymptotis vicinioribus I K, M N magis recedat A G, quàm C F,
& C F, quàm T V; Dico G A maiorem eſſe, quàm C F, & C F maiorem,
quàm T V. Ducantur interceptæ F a parallela G A, & V b parallela C F.
308[Figure 308] Et quia in parabola F a propinquior eſt occur ſui ſectionum, & parallela eſt dia-
11Poſtr. pars
pr. 4. add.
huius. metro G A; at in hyperbola F a parallela eſt axi G A, vel D Y diuidenti an-
gulum M I H, & F a vlterius tendit ad partes asymptoti I K, quàm G A; ergo
22Pars 3. F a minor eſt, quàm G A: eſtque C F productio rami breuiſſiimi minor quàm
33prop. 3.
addit.
huius. F a; ergo A G maior erit, quàm C F. Eodem ratiocinio oſtendetur C F maior,
quàm T V.
4438. lib. 5.
Secundò angulus Y D A ſit acutus in parabolis, at in hyperbolis minor ſe-
mirecto, & M I H ab asymptoto I H, & recta linea centra coniungente con-
tentus ſit acutus: Manifeſtum eſt duci poſſe ramum breuiſſimum, vt O B ad ſe-
55Propoſ. 6.
addit.
huius. ctionem interiorem A B, qui parallelus ſit rectæ lineæ D A vertices coniungenti,
vel I M centra coniungenti; & ex vtraque parte ipſius rami O B præter axim
A G ducantur quilibet breuiſſimi rami Q P, d e, i l, O C, qui ſecent exter-
668. 9. & 10.
lib. 5. nam peripheriam in R, f, m, F. Oſtendendum modò eſt in eiſdem coniſectio-
nibus E B eſſe diſtantiam omnium maximam, & R P propinquiorem maximæ
maiorem eſſe remotiore f e; pariterque m l maiorem eſſe quàm G A. Ducantur
interceptæ R g, m n parallelæ E B, & f h parallela R P, nec non G S paral-
lela m l, & F a parallela G a. Quoniam interceptæ R g, m n parallelæ ſunt
eidem E B, & recta linea D A vertices coniungens, vel I M centra coniun-
77Propoſ. 5.
addit.
huius. gens parallela facta fuit eidem E B; ergo E B, R g, m n erunt omnes inter
ſe æquales; eſtque R P minor, quàm R g; pariterque m l minor, quàm m n,
8838. lib. 5. quia iliæ ſunt productiones breuiſſimorum ramorum Q P, & i l; igitur quæ-
libet diſtantia R P, vel l m ex vtraque parte ipſius E B ſumpta minor eſt,
quàm E B; ideoque E B erit omnium maxima. Deinde quia O B parallela eſt
A D, vel M I, & rami breuiſſimi O B, Q P ſe ſecant vltra axim A O; ergo
recta linea R P Q producta ſecabit quoque reliquam parallelarum D A, vel
9938. lib. 5.
263225Conicor. Lib. VI. I M ad partes O A M; ideoque interceptæ R P, f h parallelæ erunt alicui re-
ctæ lineæ diuidenti angulum D A O ab axe interioris parabola, & vertices
coniungente contentum, vel angulum I M L ab asymptoto interioris hyperbolæ,
& centra coniungente contentum; igitur R P propinquior verticibus, vel vlte-
113. 4. addit. rius tendens ad partes reliquæ asymptoti M N maior erit quàm f h; eſtque f h
309[Figure 309] maior f e quæ eſt productio rami breuiſſimi; ergo diſtãtia R P propinquior maximæ
2238. lib. 5. E B maior erit, quàm f e. E contra quia breuiſſimus ramus i l m cadit inter
duas parallelas E B, & D A, & ſecat ramũ breuiſſimum E B ad partes O i;
3328. lib. 5. ergo l m occurrit A D, vel M I ad partes D, vel I; ideoque intercepta m l,
& ei parallela G S erunt æquidiſtantes alicui rectæ lineæ diuidenti angulum Y
D A, in parabolis, vel H I M in hyperbolis: & propterea G S propinquior ver-
443. 4. addit. tici parabolæ, vel vlterius tendens ad partes reliquæ asymptoti M N minor
erit, quàm m l; eſtque G A productio rami breuiſſimi minor quàm G S; ergo
5538. lib. 5. m l maior erit, quàm G A; & ſic vlterius G A maior erit C F, quando oc-
curſus Z ſectionum cadit vltra interceptam F C ad partes T V; vt in prima
parte oſtenſum eſt.
Iiſdem manentibus: dico poſtea, quod vltra diſtantiam maximam E B ad
partes R P, diſtantiæ, licet ſemper diminuantur non efficiuntur minores inter-
uallo diametrorum æquidiſtantium D Y, A O in parabolis, vel interuallo asym-
ptotorum collateralium I H, M L in hyperbolis, vt facile deducitur ex 3. & 4.
additarum. At ad partes asymptotorum congruentium hyperbolæ ad ſe ſe ipſas
propius accedunt, interuallo minori quolibet dato: Nam in locum ab hyperbole
B A C, & asymptoto M N contentum extenditur altera hyperbole E D F; ſed
diſtantia hyperbolæ B A C ab asymptoto M N efficitur minor qualibet data: igi-
tur diſtantia hyperbolæ D G F compræhenſæ ab hyperbole intercipiente minor erit
qualibet data diſtantia.
264226Apollonij Pergæi
Tandem ijſdem poſitis ducantur ex altera parte concurſus Z rami breuiſſimi
O C, Q T, qui eſſiciant diſtantias F C, T V. Dico F C propinquiorem con-
curſui Z minorem eße, quàm T V. Quoniam angulus Y D A, vel Y I M ſup-
310[Figure 310] ponitur acutus; ſuntque I D Y, M A O inter ſe, parallelæ; ergo angulus D A O,
vel I M O, & multo magis I M N erit obtuſus; ſed quilibet ramus breuiſſimus
1113. 14.
lib. 5. Q V T parallelus F a eſſicit cum axi A O angulũ acutũ; igitur ramus breuiſſimus
Q T, & ei parallelus F a ſunt æquidiſtantes alicui rectæ lineæ diuidenti angu-
lum D A O, vel I M N; ideoque F a propinquior concurſui, vel vlterius ten-
22Propoſ. 3.
& 4. add. dens ad partes reliquæ asymptoti I H minor eſt, quàm T V; eſtque F C minor
quàm F a (quia illa eſt portio rami breuiſſimi) ergo F C minor eſt, quàm T V.
Quod erat propoſitum.
3312. lib. 5.
In duabus hyperbolis C A D,
44PROP. 9.
Addit.311[Figure 311] H G I ſimilibus, concentricis,
& ſimiliter poſitis circa com-
munem axim B A G, ideſt
conſiſtant circa cõmunes asym-
ptotos E B F: Dico ſectionum
C A D, H G I interualla sẽ-
per minui, quo magis ab axis
vertice recedunt; atque effici
poſſe minora interuallo quolibet
dato.
Deſcribatur hyperbole M G N
5512. huius.
& ex 53.
lib. 1. æqualis, ſimilis, & ſimiliter
265227Conicor. Lib. VI. ipſi C A D circa communem axim A G. Et quoniam hyperbolæ H G 1 ſemiaxis
tranſuer ſus B G maior eſt tranſuer ſo ſemiaxe B A, hyperboles C A D, pariter-
què latus rectum illius maius erit buius latere recto (cum later a figurarum ſint
1112. huius. proportionalia in hyperbolis ſimilibus:) igitur hyperbole H G I maior eſt hyper-
bola M G N (quod ab alijs oſtenſum eſt), & conſiſtunt circa communē axim A G,
& vertex G eſt communis; igitur hyperbole H G I compræbendit hyperbolen M
G N; & ideo hyperbole H G I cadit inter duas hyperbolas G M, & A C : &
propterea hyperbole G H multo magis ſucceſſiuè vicinior efficitur hyperbolæ A C,
quàm hyperbole G M; ſed duæ hyperbole æquales, & ſimiliter poſitæ A C, & G
22Propoſ. 7.
addit. M ſemper magis, ac magis ad inuicem approximantur, igitur multo magis hy-
perbolæ concentricæ A C, & G H ſemper magis, ac magis ad ſe ſe ipſas appro-
33lib. 7.
prop. 208.
29. 30.
lib. 5. pinquantur, & inter ſe non conuenient vt Pappus demonſtrauit. Tandem, quoniã
lineæ breuiſſimæ, quæ perpendicularis eſt ad tangentem hyperbolem G H portio
ab asymptoto E B, & ſectione H G compræ henſa effici poteſt minor quacunque
recta linea propoſita; cadit verò hyperbole A C inter ſectionem G H, & continen-
44Propof. 4.
lib. 2. tem B E; igitur multo magis diſtantia inter hyperbolas G H, & A C minor
erit quacunque recta linea propofita. Quod erat oſtendendum.
Si in duobus conis ducta fuerint duo triangula per axes A B C, D E
55PROP.
10. Add. F ſimilia, & ſimiliter poſita, atq; ſectionum I G H, & N L M dia-
metri G O, L K æque ad baſes inclinatæ intercipiant cũ triangulorum la-
teribus A B, D E eiſdem G O, L K parallelis, portiones O B, K E æquales;
vel cum axibus conorum Aγ, D Z diametris æquidiſtantibus intercipiant
portiones O Y, K Z æquales, & efficiant angulos A Y C, D Z F
aquales : erunt conicæ ſectiones inter ſe æquales, & in qualibet earum,
duplum interceptæ poterit figuram ſectionis.
312[Figure 312]
Primò in parabolis, quia triangula A B C, D E F ſunt ſimilia, erit B C
ad C A vt E F ad F D, & G O, L K ſunt parallelæ homologis A B, D E;
ergo O C ad C G, & B O ad G A eandem proportionem habebunt, quàm B C
ad C A, ſeu eandem, quàm habet E F ad F D; eſtque E K ad L D vt E F
ad F D; ergo B O ad G A eſt vt E K ad L D; ſuntque B O, E K æquales;
266228Apollonij Pergæi igitur G A æqualis eſt L D: & quia in triangulis ſimilibus rectangulum B A
C ad quadratum B C, ſeu A G ad latus rectum G R eandem proportionem ha-
1111. lib. 1. bet; quàm rectangulum E D F ad quadratum E F, ſeu quàm D L habet ad la-
tus rectum L S; igitur A G ad G R erit vt D L ad L S; ſuntq; A G, D L
oſtenſæ æquales ergo G R, & L S latera recta æqualia ſunt, & diametri ſectio-
num eſſiciunt angulos G O H, L K M æquales; ergo parabolæ H G I, & M L N
22Prop 10.
huius. æquales ſunt inter ſe.
313[Figure 313]
In hyperbolis verò, quoniam P G parallela eſt axi A Y, & A V parallela,
eſt baſi B C, & latera P B, & A C ſunt communia; igitur P V ad V A eſt vt
A Y ad Y B, & G V ad V A eſt vt Y A ad Y C: habet verò eadem A Y ad
æquales Y B, Y C eandem rationem ergò P V, & G V ad eandem V A habent
eandem proportionem, & ideo P V æqualis eſt V G, atq; punctum V erit cen-
trum ſectionis, & quadratum A Y æquale erit quadrato V O (propter paral-
lelogrammum V Y), & quadratum V O æquale eſt rectangulo P O G cum qua-
drato V G; pariterque quadratum C Y æquale eſt rectangulo C O B cum qua
drato O Y, & habet quadratum A Y ad quadratum C Y eandem proportionem,
quàm latus tranſuer ſum P G ad latus rectum G R, ſeu eandem, quàm habet
3321. lib.1. rectangulum P O G ad rectangulum C O B, ergo diuidendo quadratum V G ad
quadratũ O Y eandem proportionem habebit, quàm quadratum A Y ad quadratũ
Y C, ſeu vt P G ad G R, ſeu vt quadratum P G ad rectangulum P G R,
& ideo quadratum duplæ V G, ſeu P G eandem proportionem habebit ad re-
ctangulum P G R, atq; ad quadratum duplæ ipſius Y O; quare quadratum duplæ
ipſius O Y æquale erit figuræ ſectionis ſeu rectangulo P G R. Eodem modo
oſtendetur X centrum hyperbolæ M L N, & quadratum L Z ad quadratum du-
ple K Z eſſe vt quadratum D Z ad quadratum Z F, ſeu vt Z L ad L S, &
ideo quadratum duplæ ipſius K Z æquale erit figuræ ſectionis, ſeu rectangulo Z
L S. Tandem, quia propter ſimilitudinem triangulorum per axes, ſunt anguli
C, F æquales, & anguli Y, Z pariter æquales ( cum ex hypotheſi diametri G O,
L K parallelæ axibus AY, D Z efficiant angulos G O C, L K F æquales); ergo
A Y ad Y C erit vt D Z ad Z F, & earum quadrata etiam proportionalia
erunt; ſed P G ad G R eſt vt quadratum A Y ad quadratum Y C, atque Z
267229Conicor. Lib. VI. ad L S eſt vt quadratum D Z ad quadratum Z F ; igitur P G ad G R ean-
dem proportionem habet, quàm Z L ad L S, & propterea figuræ ſectionem
11ex 12.
huius. erunt ſimiles; ijs autẽ figuris æqualia oſtenſa ſunt quadrata dupliciũ O Y, & K
Z, quæ ſuppoſitæ fuerunt æquales; igitur figuræ P G R, & Z L S ſimiles, &
æquales ſunt inter ſe, atque diametri æquæ inclinatæ ſunt ad ordinatim ad eas
applicatas H I, M N; igitur ſectiones H G I, M L N æquales ſunt inter ſe,
22Prop. 10.
huius. ſimiles, & congruentes, quarum figuræ æquales ſunt quadratis duplicium inter-
ceptarum O Y, & K Z, quod erat propoſitum.
LEMMA IX.
S I in duobus conis A B C, D E F, baſes ſint in eodem plano, &
duo triangula per axes A B C, D E F fuerint ſimilia, & ſimi-
liter poſita, & in eodem plano exiſtentia, erunt coni ſimiles inter ſe.
314[Figure 314]
Ducantur à verticibus A, & D duæ rectæ A G, & D H perpendiculares ad
baſes conorũ, & à terminis axium A Y, & D Z coniungantur rectæ lineæ Y G,
& Z H. Quoniã planum, in quo exiſtunt duo triangula A B C, D E F ſecat
planum, in quo baſes conorum iacent in vna recta linea, quæ baſis eſt vtriuſque
trianguli per axes conorum ducti; ideoque B C, & E F in directum conſtitutæ
erunt, & circa angulos æquales B, & E latera A B ad B C, atque D E ad E
F ſunt proportionalia ( propter triangulorum A B C, & D E F ſimilitudinem)
erunt quoque ad conſequẽtium ſemiſſes proportionales, ſcilicet A B ad B Y erit,
vt D E ad E Z circa angulos æquales, & propterea triangula A B Y, & D E
Z ſimilia erunt: & ideò duo anguli B Y A, & E Z D, externus interno, æqua-
les erunt inter ſe; igitur Y A, & Z D in eodem plano exiſtentes, parallelæ
erunt inter ſe; ſunt quoque A G, D H inter ſe parallelæ ( cum ſint perpendicu-
lares ad idem planum baſium ) ergo duo anguli Y A G, & Z D H æquales ſunt
inter ſe; atquè anguli G, & H æquales ſunt, nempe recti; igitur in triangu-
lis A Y G, & D Z H, duo poſtremi anguli A Y G, & D Z H æquales
268230Apollonij Pergæi315[Figure 315] inter ſe: hi autem anguli inclinationes ſunt axium conorum ad ſuas baſes; igi-
tur axes A Y, & D Z æque ſunt inclinati ad ſuas baſes: ſuntque proportiona-
les ad baſium ſemidiametros Y B, & Z E ( cum triangula A B Y, D E Z ſi-
11Defin. 8.
huius. milia oſtenſa ſint ); igitur coni A B C, & D E F ſimiles ſunt inter ſe. Quod
erat oſtendendum.
Data parabola Z duos conos ſimiles exhibere, vt idem planum ef-
22PROP.
11.
Addit. ficiat in eis duas parabolas æquales eidem datæ parabolæ, quæ asympto-
ticæ ſint, & ſibi ipſis viciniores fiant diſtantia minore quacunque
data.
316[Figure 316]
In quolibet plano fiat angulus I H C æqualis angulo inclinationis diametri,
& baſis parabolæ Z , & per H C extenſo alio quolibet plano ducatur in eo B H
G perpendicularis ad X H C; & fiat quodlibet triangulum H G K, & vt qua-
dratum H G ad rectangulum H K G, ita fiat latus rectum parabolæ Z ad
269231Conicor. Lib. VI. ductionem K E, & ab E ducatur A E B parallela 1 H, quæ ſecet G H in B:
poſtea producatur H K, vt cumq; in I, & per I ducatur A 1 D parallela E G,
quæ ſecet B G in D; & in plano B X D C, diametris B G, B D, fiant duo
circuli, qui ſint baſes duorum conorum, quorum vertices A, & E, & in eo-
rum ſuperficiebus planum per X I C ductum, efficiat ſectiones C I X, & F K
T. Dico eas eße parabolas quæſitas. Quoniam recta E G facta eſt parallela.
ipſi A D; igitur duo triangula A B D, & E B G per axes conorum ducta ſi-
milia, & ſimiliter poſita in eodem ſunt plano; & duo circuli baſium in eodem
ſunt plano; ergo coni A B D, & E B G ſimiles erunt: poſtea quia triangula.
11Lem. 9.
huius. A B D, & E B G ſimilia ſunt, & I K H communis diameter ſectionum ad
coincidentes baſes C X, F T æque inclinata, & recta linea A E B à verticibus
conorum ducta parallelæ ſunt inter ſe, atque intercipiunt in angulis æqualibus
A B H, & E B H communem portionem B H baſium triangulorum ſimilium.
per axes; ergo parabolæ C I X, & F K T æquales ſunt inter ſe. Secundò, quia
22Prop. 10.
addit. propter parallelas E B, K H ſunt triangula E B G, H K G ſimilia; ergo qua-
dratum B G ad rectangulum B E G ſcilicet latus rectum parabolæ F K T ad K
3311. lib. 1. E eſt, vt quadratum H G ad rectangulum H K G, ſed latus rectum parabolæ
Z ad K E fuit vt qtadratum H G ad rectangulum H K G; igitur duo latera
recta, parabole Z, atq; parabole F K T ad eandem K E habent eandem pro-
portionem, & propterea æqualia ſunt, & diametri, ad baſes æque inclinatæ
ſunt ex conſtructione; igitur parabole F K T, & ei æqualis C I X erit æqua-
44Prop. 10.
huius. lis eidem parabolæ Z. Tertiò quia ſectionum plano, & communi diametro I
K H æquidiſtat cummune lateris A E B, in quo duo coni ſe ſe contingunt; ergo
latus A E B nunquàm occurret plano C I X: ſed duæ ſuperficies conicæ tantum-
modò ſe ſe tangunt in latere A E B, & reliquis omnibus in locis ſeparatæ ſunt;
igitur duæ parabolæ C I X, F K T in illo plano poſitæ per contactum A E B
non tranſeunte, & extenſæ in duabus conicis ſuperficiebus nunquàm conuenien-
tibus, erunt asymptoticæ. Quartò quia duæ parabole C I X, F K T æquales
ſunt, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum I K H; ergo earum di-
55Propof. 7.
addit. ſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur quouſque ſint minores qualibet
recta linea data. Quod erat faciendum.
Data hyperbola Z duos conos ſimiles exhibere, vt idem planum in,
66PRO 1.
12.
Addit eis efſiciat duas hyperbolas æquales, & ſimiles datæ, quæ aſymptoticæ
ſint, & ſibi ipſis ſemper viciniores fiant, non tamen interuallo minore
recta linea data.
In quolibet plano fiat angulus H I M æqualis angulo inclinationis diametri,
& baſis datæ hyperboles Z, & per M I extenſo quolibet alio plano ducatur in
eo B I C perpendicularis ad M I K; & ſumpto quolibet puncto O in recta linea
I H producta, ducatur à puncto O in plano per O I B extenſo recta linea O A
parallela ipſi B I, & ſecetur O A æqualis ſemiſſi potentis figuram ſectionis Z,
cuius rectum latus ad tranſuerſum eandem proportionem habeat quàm quadra-
tum A O ad quadratum O H; atque à puncto A àucatur recta linea A D G
parallela ipſi H I, & coniungatur A H, quæ ſecent rectam lineam G I in pun-
ctis G, & C, & ſectur recta linea G B æqualis G C iungaturq; A B, & à
quolibet puncto D in recta A G ſumpto ducãtur in eodem plano A B C duæ re-
ctæ lineæ D E, & D F @ parallelæ lateribus A B, & A C; eruntque
270232Apollonij Pergæi317[Figure 317] A B C, & D E F ſimilia, & ſimiliter poſita: poſtea in plano per B C, M K
ducto, diametris B C, & E F, fiant duo circuli B K C, E L F, qui ſint ba-
ſes duorum conorum, quorum vertices ſint A, & D, & in eorum ſuper ficie-
bus planum per H I, M K ductum efficiat ſectiones K H M, & L X S: Dico
eas eſſe quæſitas. Quoniam duo triangula A B C, D E F ſimilia, & ſimiliter
poſita in eodem ſunt plano, pariterque duo circuli baſium in vno plano exiſtunt;
11Lem. 9.
huius. ergo duo coni A B C, & D E F ſimiles erunt; poſtea quia triangula A B C,
& D E F ſimilia ſunt, & communis ſectionum diameter H X I æque inclina-
tur ad coincidentes baſes M K, S L, & axi communi A D G æquidiſtat, &
in angulis æqualibus intercipiunt G I communem portionem baſium triangulorum
22Prop. 10.
add. ſimilium per axes; igitur hyperbolæ K H M, & L X S æquales ſunt, & ſimi-
les inter ſe, & earum figuris æqualia ſunt quadrata ex dupla interceptæ G I
deſcripta. Secundò quia ( propter parallelas A O, & B C ) triangula H O A,
& A G C ſimilia ſunt; igitur quadratum A G ad quadratum G C, ſeu ad re-
ctangulum B G C eandem proportionem habebit, quàm quadratum H O ad qua-
dratum O A, ſeu quàm latus tranſuerſum ad rectum figuræ Z; ſed vt quadra-
3312. lib. 1. tum A G ad rectangulum B G C, ita eſt latus tranſuerſum ad rectum hyperbo-
les K H M; igitur duæ hyperbolæ Z, & K H M, habent figurarum latera,
porportionalia; ſuntq; prædictæ figuræ æquales cum ſint æquales quadratis ex du-
plis ipsarum A O, & interceptæ G I: quæ ſunt æquales in parallelogrammo G
O, & habent angulos à diametris, & baſibus contenti, æquales inter ſe: erunt
4410. 12.
huus. hyperbolæ K H M, & Z æquales, & ſimiles inter ſe: & propterea ſectio L X S,
quæ ſimilis, & æqualis oſtenſa eſt ipſi K H M, erit quoque æqualis, & ſimilis
eidem ſectioni Z. Tertiò, quia in duobus conis ſimilibus, & ſimiliter poſitis
circa communem axim A D G, ſuperficies nunquàm conueniunt, propterea,
quod latera A B, & D E, à quibus generantur in tota reuolutione inter
271233Conicor. Lib. VI. parallela conſeruantur; igitur duæ ſectiones K H M, & L X S, exiſtentes in
eodem plano ſecante duas ſuperficies, quæ licet in infinitum producantur vbique
ſeparatæ ſunt, erunt aſymptoticæ. Quartò, quia duæ hyperbolæ H K M, & L
X S ſunt æquales, ſimiles, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum H X
11Prop. 7.
addit. I, earum diſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur; nunquam tamen mi-
nores efſici poſſunt interuallo duarum æquidiſtantium, hyperbolas continentium.
Et hoc erat propoſitum.
Data hyperbola X duos conos ſimiles exhibere vt idem planum in eis
22PROP.
13.
Addit. efficiat duas hyperbolas ſimiles, & æquales datæ, quæ aſymptoticæ ſint,
& ex vna parte ſibi ipſis viciniores fiant interuallo minori quolibet da-
to: ex altera verò parte ad ſe ipſas propius accedant interuallo tamen
maiore dato: oportet autem vt angulus ab aſymptotis ſectionis X con-
tentus ſit acutus.
318[Figure 318]
In quolibet @l@no fiat angulus A d O æqualis angulo inclinationis diametri,
& baſis hyperb l@ X; & per o d extenſo quolibet alio planol, ducatur in eo re-
cta linea B d C perpendicularis ad O d G, & ſumpto quolibet alio puncto b in
recta linea G O in plano per B G C O ducto, centris d, & b deſcribantur
272234Apollonij Pergæi319[Figure 319] cireuli G C O B, & G Q P L ſe ſe contingentes in communi puncto G rectæ li-
neæ G O ducaturque diameter L b Q æquidiſtans ipſi B C: & vt latus rectum
ad tranſuer ſum ſectionis X, ita fiat quadratum G d ad quadratum d A; &
coniungantur rectæ lineæ A G, & A O, ducaturque ex puncto P recta linea P
N parallela ipſi O A occurrens G A in N, atque A, & N fiant vertices duorum
conorum A B C, & N L Q, & ſecetur D d æqualis ſemiſſi potentis figuram
ſectionis X; ducaturque per punctum D planum E M F æquidiſtans plano com-
muni A G O per axes ducto, efficiens in conicis ſuperficiebus ſectiones H I K, &
T V c; Dico eas eſſe hyperbolas quæſitas. Quoniam propter parallelas A O, N
P eſt A G ad G O, vt N G ad G P, & ad ſemißes conſequentium, ſcilicet A G
ad G d, atque N G ad G b proportionales erunt, ideoque A d, N b erunt pa-
rallelæ, & A d ad d G, ſeu ad d C eſt vt N b ad b G, ſeu ad b Q; eſtque
d C etiam parallela b Q; ergo plana A B C, & N L Q parallela ſunt, &
anguli A d C, & N b Q æquales ſunt, atque triangula A d C, & N b Q
ſimilia crunt inter ſe; ideoque circa angulos æquales C, & Q erit A C ad C d,
vt N Q ad Q b, & ad conſequentium duplas, ſcilicet A C ad C B, atq; N Q
ad Q L proportionales erunt; & propterea triangula A B C, & N L Q ſimilia
exunt, & ſimiliter poſita, & inter ſe parallela; ergo efficient in duobus planis A O
G, & M E F inter ſe æquidiſtantibus ſectionũ diametros I D, & V a parallelas
conorũ axibus A d, & N b, & inter ſe; quare conſtituent cum ſectionũ
273235Conicor. Lib. VI. soincidentibus angulos æquales I D H, & V a T & cum ipſis D d, & a b etiã
parallelis inter ſe continebunt angulos æquales I D d, & V a b, eruntque in-
terceptæ D d, a b æquales ( cum ſint latera oppoſita parallelogrammi D b);
11Prop. 10.
addit.
huius. igitur hyperbole H I K, & T V e æquales ſunt inter ſe, & ſimiles atq; earum
figuris æqualia ſunt quadrata ex duplis interceptarum D d, & a b. Et quia
triangula A G O, N G P ſunt ſimilia in eodem plano, ſuntque pariter duo cir-
culi baſium in vno plano extenſi; igitur coni A B C, & N L Q ſimiles ſunt
22Lem. 9.
huius. inter ſe. Secundo quia vt quadratum A d ad rectangulum G d O, ſeu ad re-
ctangulum B d C ita eſt latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K, & (ex
conſtructione) in eadem proportione erat latus tranſuer ſum ad rectum hyperbo-
les X, atque anguli I D K, & A d O æquales ſunt inter ſe (propterea quod
D I, d A parallelæ ſunt, pariterque D K, d O parallelæ ſunt inter ſe, cum
communes ſectiones ſint plani baſis, & duorum planorum æquidiſtantium K I
H, & O A G): & erat angulus inclinationis diametri, & baſis hyperbolæ X æ-
qualis angulo A d O; igitur diametri ſectionum X, & H I K ad ſuas baſes
æque inclinantur, & habebant latera earundem figurarum proportionalia; ſuntq;
prædictæ figuræ æquales, cum ſint æquales quadrato ex dupla interceptæ D d vt
dictum eſt: igitur ſectiones H I K, & X ſimiles ſunt inter ſe, & æquales;
3310. 12.
huius. ideoque reliqua ſectio T V d, quæ æqualis, & congruens oſtenſa eſt ipſi H I K,
erit quoque ſimilis, & æqualis eidem hyperbolæ X. Tertiò quoniam plana H I
K, & G A O æquidiſtantia ſunt, nunquam conuenient; & ideo plannum H I K
nunquam lateri A N G alterius plani occurret; ſed ſuperficies conicæ ſe ſe tan-
tummodo tangunt in communi latere A N G, & alibi perpetuo ſeparatæ incedunt;
igitur duæ ſectiones H I K, & T V e in plano E I K exiſtentes, quæ infinitè
producuntur in ſuperficiebus conicis, nunquam ſe ſe mutuo ſecant; igitur ſectio-
nes ipſæ aſymptoticæ ſunt. Quartò ducantur rectæ lineæ G E, O F, P R tan-
gentes circulos in extremitatibus communis diametri G P O, quæ parallelæ erunt
inter ſe (cum perpendiculares ſint ad communem diametrum G P O): poſtea
producantur plana E G A, F O A, R P N tangentia conos in lateribus G A,
O A, & P N, & extendantur quouſque ſecent planum conicæ ſectionis H I Kin
rectis lineis E S M, F M, R S. Et quoniam duo plana æquidiſtantia G A O,
et E M F efficiunt in eodem plano E G A, vtrumque conum contingente, duas
rectas lineas G A, E M æquidiſtantes inter ſe: pari ratione in plano tangente
F O A erunt rectæ lineæ F M, et O A parallelæ inter ſe: ſimili modo in plano
R P N erunt P N, et R S inter ſe æquidiſtantes, cumque A O, et N P paral-
lelæ ſint, erunt quoque F M, et R S inter ſe æquidiſtantes; ſuntque E M, et
M F aſymptoti continentes hyperbolen E I K pariterq; rectæ lineæ E S, S R ſunt
44Maurol.
lib. 3. de
lin. horar.
ca. 6. 7. aſymptoti hyperboles T V e: quare duæ hyperbolæ H I K, et T V e, ſimiles ei-
dem X, et æquales, & ſimiliter poſitæ, quarum duæ asymptoti F M, R S æqui-
diſtantes ſunt; reliquæ verò E M, & E S coincidunt (cum exiſtant in eodem
plano tangente E A), & angulus ab eis contenctus E M F, vel E S R eſt acu-
tus (cum æqualis ſit acuto angulo ab asymptotis ſectionis X contento, propter ſi-
55Propoſ. 6.
addit.
huius. militudinẽ ſectionũ, vt ab alijs oſtenſum eſt): poterit ergo duciramus breuiſſimus
in ſectione T V e adpartes V e qui æquidiſtãs ſit rectæ lineæ V I vertices ſectionũ
coniungenti: eritque illius breuiſſimæ portio inter ſectiones compræhenſa diſtantia
66Propoſ. 8.
addit.
huius. omniũ maxima; & propterea interualla ſectionũ ad vtraſq; partes maximæ diſtã-
tiæ ſucceſſiuè diminuuntur, & ad partes æquidiſtantiũ asymptotorũ F M, R S
274236Apollonij Pergæi nuuntur quidem; ſed non efficiuntur minora interuallo quo parallelæ asymptoti
diſtant inter ſe; ex altera verò parte perueniri poteſt ad interuallum minus
quolibet dato. Et hoc erat faciendum.
Data hyperbola eadem X præcedentis propoſitionis deſcribere duos ſi-
11PROP.
14. Add. miles conos, vt idem planum in eis efficiat duas hyperbolas ſimiles da-
tæ ſectioni, quæ asymptoticæ ſint, & ex vtraque parte ſibi ipſis vici-
niores fiant interuallo minori quolibet dato.
320[Figure 320]
In quolibet plano fiat angulus A d G æqualis angulo inclinationis diametri,
& baſis hyperbolæ datæ X, & per G d extenſo quolibet alio plano, ducatur in
eo recta linea B d C perpendicularis ad G d O, & ſumpto quolibet alio puncto
b in recta linea B C in plano per B G O extenſo, centris d, & b, deſcribãtur
duo circuli inter ſe æquales G C O B, & S Q P L ſe ſe ſecantes in duobus punctis
R, a: atq; vt latus rectum ad tranſuerſum ſectionis datæ X, ita fiat quadratũ
G d ad quadratũ d A, & ducatur recta linea A N M parallela ipſi B C, quæ ſecet
b N æquidiſtantẽ d A in N, & coniungantur rectæ lineæ A B, A C, N L, N Q,
& fiant A, & N vertices duorũ conorũ A B C, N L Q, & in eorũ ſuper ficiebus
planum M c T æquidiſtans planis A G O, & N S P efficiat ſectiones H I K,
& T V c, quarum diametri D V I genitæ à triangulis A B C, & N L Q per
axes in eodem plano exiſbentibus ſunt æquidiſtantes axibus conorum A d, N b,
propter planorum æquidiſtantiam: Dico, eas eſſe hyperbolas quæſitas. Qnoniam
(propter æquidiſtantiam oppoſitarum linearum) eſt ſpatium A b parallelogram-
mum; igitur conorum axes A d, N b æquales ſunt inter ſe, & æquè inclinan-
tur ad communem rectam lineam B C Q (propter æquidiſtantiam earundem
A d, N b); ſuntque æqualium circulorum radij d B, d C, b L, b Q æqua-
les inter ſe; igitur triangula A B C, N L Q ſimilia ſunt inter ſe, &
275237Conicor. Lib. VI. ter poſita in eodem plano; ſuntquè etiam duo circuli baſium in vno plano extenſi;
igitur coni A B C, & N L Q ſimiles ſunt inter ſe; & quoniam, vt latus
11Lem. 9.
huius. tranſuerſum ad rectum ſectionis datæ X, ita eſt quadratum A d ad quadratum
radij G d, & ita eſt latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K; pariterque
vt quadratum N b ad quadratum radij L b ita eſt latus tranſuerſum ad rectũ
hyperbolæ T V c; Et quadrata axium ad quadrata radiorum baſeos eandem
proportionem habet ideo latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K eandem
proportionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum alterius ſectionis T
V c, ſeu eandem, quàm babet latus tranſuerſum ad rectum datæ ſectionis X;
atque diametri I V D, & diameter ſectionis X æquè inclinantur ad baſes, vt
dictum eſt; igitur duæ ſectiones H I K, & T V c, nedum datæ hyperbolæ X;
22Prop. 12.
huius. ſed etiam inter ſe ſimiles ſunt. Secundò quoniam duæ peripheriæ circulorum
baſium circa communem diametrum B C Q ſe ſe mutuo ſecant in duobus pun-
ctis R, & a, quæ neceſſario cadunt inter duas circulorum diametros G O, S P
perpendiculares ad communem diametrum B C Q; igitur ſuperficies conorum
viciſſim ſe ſecant ſemper inter duo triangula, per conorum axes A G O, & N
S P, in reliquis autem locis ſeparatæ ſunt; planum verò efficiens ſectiones H I
K, T V c cadit nõ inter axes A d, & N b; igitur duæ ſectiones H I K, & T
V c exiſtentes in duabus conicis ſuperficiebus, non ſe ſecantibus, nunquàm con-
uenient, & asymptoticæ erunt. Tertiò quoniam recta linea N A M per verti-
ces conorum ducta parallela eſt communi baſi B Q triangulorum per axes, &
ſecat diametrum communem D V I in M: ergo (ſicuti oſtenſum eſt in prop. 10.
addit. huius) erit punctum M centrum ſectionis H I K, atq; centrum alterius
ſectionis T V c; ergo duæ ſectiones H I K, & T V c ſimiles ſunt inter ſe,
concentricæ, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum D V I; igitur ſe-
33Propoſ. 9.
addit.
huius. ctionum interualla ſemper magis, ac magis in infinitum minuuntur, & repe-
riri poßunt minora quolibet interuallo dato. Et hoc erat oſtendendum.
SECTIO DECIMA
Continens Propoſit. XXVI. XXVII.
& XXVIII.
PROPOSITIO XXVI.
IN cono recto, cuius triangulum per axim ſit A B C reperi-
re ſectionem datæ parabolæ D E æqualem, cuius axis E F,
& erectum E G.
276238Apollonij Pergæi
Vt quadratum A C ad C B in BA,
321[Figure 321] ita ponatur E G ad B H: & educa-
mus H I parallelam B C, & exten-
datur per H I planum eleuatum ſuper
triangulum A B C ad angulos rectos
efficiens in cono ſectionem K H L.
Dico eam æqualem eſſe ſectioni D E.
Quia quadratum A C ad C B in B
A eſt, vt E G ad B H; ergo poten-
tes eductæ ad axim H I in ſectione
11a K H L poſſunt applicata contenta ab
abſciſſis illarum potentium, & ab E
G; quare E G erit erectum ſectionis
K H, & idem etiam eſt erectum ſectionis D E; ergo duo erecta duarum
ſectionum ſunt æqualia, & propterea ſectiones æquales ſunt (1. ex 6.)
Et dico, quod in cono A B C reperiri non poteſt ſectio alia parabo-
22b lica, cuius vertex ſit ſuper A B, quæ eidem D E ſit æqualis. Si enim
hoc eſt poſſibile, ſit axis illius ſectionis M N, qui quidem cadet in trian-
gulo A B C; quia conus eſt rectus, & erectum illius ſit M O; atq; M O
ad M B erit, vt G E ad B H; eſtque B H maior, quàm B M; ergo M O
33ex conu.
Prop. 1.
huius. minor eſt, quàm G E; quare ſectio, cuius axis eſt M N non eſt æqualis
ſectioni D E; & tamen ſuppoſita fuit æqualis illi, quod eſt abſurdum.
Quare patet propoſitum.
PROPOSITIO XXVII.
SIt deinde hyperbole A B, cuius axis C D, inclinatus B
44a D, & erectus B E; atque quadratum axis F G dati coni
recti F H I ad quadratum G H ſemidiametri baſis eius, non
habeat maiorem proportionem, quàm habet figura, ſcilicet
quàm habet D B ad B E.
Sit prius proportio eadem, & producamus I F ad K; & ducamus K
L ſubtendentem angulum H F K, quæ parallela ſit ipſi F G, & æqualis
exiſtat ipſi D B; & per K L planum extendatur eleuatum ad angulos re-
ctos ſuper planum trianguli H F I, quod efficiet in ſuperſicie conica ſe-
ctionem hyperbolicam, cuius axis erit L M, & inclinatus K L. Et quia
F G parallela eſt K L, erit quadratum F G ad G I in G H, vt K L in-
5512. lib. 1. clinatus ad illius erectum, ſiue vt D B ad B E; facta autem fuit K L æ-
qualis D B; ergo erectus inclinati K L æqualis eſt B E; & propterea ſe-
662. huius.77b ctio, cuius axis eſt L M æqualis eſt ſectioni A B. Nec reperiri poterit
in cono H F I alia ſectio hyperbolica, cuius vertex ſit ſuper H F, quæ
æqualis ſit A B; quia, ſi reperiri poſſet eſſet illius axis in plano trianguli
H F I, & eius inclinatus, ſubtendens angulum H F K æqualis eſſet D B,
nec tamen eſſet K L, nequè ipſi æquidiſtans (eo quod, ſi
277239Conicor. Lib. VI.322[Figure 322] ipſi K L, non eſſet eidem æqualis.) His poſitis ſi educatur ex F linea ipſi
patallela cadet inter F G, F H, aut inter F I, F G; ſitque F N; igitur
1112. lib. 1. quadratum F N ad I N in N H eſt, vt D B ad B E: quod eſt abſurdum;
quia quadratum F N maius eſt, quàm quadratum F G, & N H in N I
minus eſt, quàm quadratum G H.
Poſtea habeat quadratum F G ad quadratum G H minorem propor-
tionem quàm babet D B ad B E; & circumſcribamus circa triangulum.
H F I circulum ; & producamus F G quouſque occurrat circuli circum-
ferentię in O; ergo quadratum F G ad quadratum G H, nempe ad F G
in G O habet minorem proportionem, quàm D B ad B E: & ponamus
F G ad G P, vt D B ad B E ; & per P ducamus P Q parallellam H I ;
& coniungamus F R, F Q; quæ occurrant H I in S, N: quare D B ad
B E eſt, vt F G ad G P, quæ eſt, vt F N ad N Q; nempe vt quadra-
tum F N ad F N in N Q æquale ipſi I N in N H, atque vt quadra-
tum F S ad F S in S R, nempe vt quadratum F S ad I S in S H; & edu-
camus T V, K L, quæ ſubtendant duos angulos H F K, I F T, & ſint
22c parallelæ ipſis F N, & F S, & æquales ipſi D B; igitur duo plana per K
33d L, T V extenſa ſuper triangulum H F I ad angulos rectos eleuata, pro-
ducunt in cono H F I ſectiones hyperbolicas, quarum axes L M, V X,
& inclinati ipſarum L K, T V, & ſinguli earum ad ſuos erectos eandem
proportionem habent, quàm D B ad B E, & propterea figuræ ſectionum
442. huius. ſimiles ſunt, & æquales, ideoque ſectiones, quarum axes ſunt L M, V
X ſunt æquales ſectioni A B.
Nec reperitur ſectio præter iam dictas, cuius vertex ſit ſuper aliquam
55e duarum linearum H F, F I, & ſit æqualis ſectioni A B. Quia ſi reperiri
poſſet, caderet eius axis in planum trianguli H F I, illiuſque axi educa-
tur parallela F Z a, quæ non cadet ſuper F R, neque ſuper F Q, eritq;
quadratum F Z ad I Z in Z H, quod eſt æquale ipſi F Z in Z a, nempe
F Z ad Z a eandem proportionem haberet, quàm D B ad B E; ſed D
B ad B E eſt, vt F G ad G P, nempe F Z ad Z b; ergo proportio F
278240Apollonij Pergæi323[Figure 323] ad Z b, & ad Z a eſt eadem; & propterea Z b æqualis eſt Z a, quod eſt
abſurdum.
Ponamus iam quadratum F G ad G H in G I maiorem proportionem
habere, quàm D B ad B E. Dico in cono H F I exhiberi non poſſe ſe-
ctionem æqualem hyperbolæ A B. Si enim exhiberi poſſet illius axi ali-
qua parallela reperiretur vt F N: & quadratum F N ad I N in N H ma-
iorem proportionem habens, quàm quadratum F G ad quadratum G H,
erit vt D B ad B E; quæ minor eſt proportione quadrati F G ad qua-
dratum G H: quod eſt abſurdum. Non ergo reperitur in cono H F I ſe-
ctio æqualis hyperbolæ A B. Et hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXVIII.
SIt iam ſectio elliptica A B, cuius axis tranſuerſus B D, &
erectus illius B E, & circa coni triangulum H F I deſcri-
11a324[Figure 324]
279241Conicor. Lib. VI. bamus circulum, & ex F ducamus lineam ad H I, occurrentem
ipſi extra circulum in K, & occurrat circulo in L, itaut ſit F K
ad K L, vt D B ad B E (& hoc eſt facile, vti demonſtraui-
mus in 59. ex 1.) , & educamus in triangulo chordam M N
11b parallelam F K, & æqualem D B; Aio quod planum tranſiens
22c per M N erectum ſuper triangulum coni producit in cono H F I
ſectionem ellipticam, æqualem ſectioni A B.
Quia D B tranſuerſus ad eius erectum B E eandem proportionem habe-
bat, quàm F K ad K L, nempe quàm quadratum F K habet ad F K in-
K L, quod eſt æquale ipſi I K in K H; eſtque vt M N parallela ipſi F K
3313. lib. 1. ad illius erectum; quare D B ad B E eandem proportionem habet, quàm
M N ad illius erectum; & M N æqualis eſt D B; igitur figuræ dua-
44d rum ſectionum A B D, M O N P ſunt æquales, & ſimiles, & ideo
552. huius. duæ illæ ſectiones ſunt æquales. Dico inſuper, quod non reperitur in.
66e cono H F I vlla alia ſectio elliptica, habens verticem ſuper F I, cuius
axis non æquidiſter alicui duarum F L K, quæ æqualis ſit eidem B A D.
Quia ſi poſſibile eſſet, oſtenderetur axis eius cadere in planum trianguli
H F I, quia ſectio eſt elliptica, & æqualis ſectioni A B, vtiq; eius axis
occurret F I, F H, & æqualis eſt D B; cumque vertex illius ſit ſuper F
I, non cadet axis eius ſuper M N, nec ipſi erit parallelus; & ideo edu-
cta F Q parallela axi eius non cadet F Q ſuper F K, & ſecabit arcum
F H in R; eritque proportio axis illius ſectionis ad eius erectum, nempe
7713. lib. 1. quadratum F Q ad I Q in Q H, quod eſt æquale ipſi Q F in Q R, nẽ-
pe vt F Q ad Q R, ita erit D B ad B E, quæ eandem proportionem ha-
bet quàm F K ad K L, & diuidendo permutandoq; F R maior ſubtenſa
88f ad minorem F L eandem proportionem habebit, quàm R Q minor in-
tercepta ad maiorem K L; quod eſt abſurdum: non ergo reperitur in co-
no H F I ſectio elliptica, verticem habens in F I, quæ ſit æqualis ſe-
ctioni A B, præter ſuperius expoſitam. Et hoc erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. XXVI.
ERgo potentes egredientes ex ſe-
99a325[Figure 325] ctione L H K ad axim H I pote-
runt applicatum, quod continet ab-
ſciſſum illius potentis cum G E; ergo
G E eſt erectus ſectionis L H; & eſt
etiã erectus ſectionis D E; igitur duo
applicata duarum ſectionũ ſunt æqua-
lia, & ideo ſectio D E congruit ſe-
ctioni K H L, & propterea æquales
ſunt, & c. Ex eo quod quadratum A C
baſis trianguli per axim coni recti ad
rectangulum C B A, ſub eius
280242Apollonij Pergæi contentum, habet eandẽ rationem, quam
326[Figure 326] G E ad H B, ſufficienter deducitur, quod
G E ſit latus rectum tàm parabolæ L H
1111. lib. 1. K, quàm D E; & ideo erit parabole L
22Propoſ. 1.
huius. H æqualis D E. Non igitur neceſſe eſt,
vt rectangula ſub abſciſſis, & lateribus
rectis æqualibus oſtendãtur æqualia inter
ſe, & inde eliciatur æqualitas, & con-
gruentia ſectionum. Quapropter caſu il-
la verba in Codice Arabico irrepſiße.
puto.
Et dico, quod non reperiatur in.
ſectione A B C alia ſectio parabolica;
33b quia ſi reperiretur, & c. Verba, quæ in hoc textu addidi ex ſerie demonſtra-
tionis facile colliguntur: Sed animaduertendum eſt, quod ne dum in cono recto,
ſed in quolibet cono ſcaleno quomodolibet per axim ſecetur triangulo A B C, de-
ſignari poteſt in eius ſuper ficie parabole æqualis datæ D E.
Ducatur C P contingens circulum baſis in C, & in parabola D E ducatur
diameter E F, & contingens verticalis, quæ contineat angulum F E G æqua-
4451. lib. 2. lem angulo B C P; ſitque G E latus rectum diametri F E; atque vt quadratum
C A ad rectangulum C B A, ita fiat G E ad H B, & per H extendatur pla-
num L H K æquidiſtans plano per B C P ducto. Dico ſectionem L H K eße pa-
rabolen quæſitam. Quia plana æquidiſtantia L H K, & B C P efficiunt in cir-
culo baſis rectas P C, L K inter ſe parallelas, & in plano A B C efficiunt re-
ctas H I, B C inter ſe parallelas; ergo anguli B C P, & H I L æquales ſunt,
ſed in parabola D E diameter E F eſſicit cum ordinatis ad eam applicatis angulos
æquales F E G, ſcilicet ei, qui cum tangente verticali conſtituit, ſeu angulo B C
55Conu. 46.
lib. 1. P; ergo duarum ſectionum L H K, & D E, diametri H I, & E F æque ſunt
inclinatæ ad ſuas baſes, cumquè latus rectum parabolæ L H K ad H B ſit, vt
quadratum C A ad rectangulum C B A, ſeu vt G E ad H B; igitur duo late-
ra recta ſimilium diametrorum I H, & F E ad H B eandem proportionem ha-
bent; & ideo æqualia ſunt inter ſe; quare ſectiones ipſæ æquales, & congruen-
tes erunt. Quod erat oſtendendum.
6610. huius.
Multoties in eodem cono duæ parabolæ æquales ſnbcontrariæ duci poßunt,
vt Mydorgius demonſtrauit.
Notæ in Propoſit. XXVII.
DEinde ſit hyperbole, vt A B, & axis illius C D, & inclinatus B
77a D, & erectus B E, ita vt non ſit proportio quadrati axis coni ad
quadratum dimidij diametri illius baſis, vt quadratum F G ad quadratum
G H, maior, quàm proportio figuræ ſectionis: & c. Senſus huius propoſi-
tionis hic erit. In cono recto F H I, cuius triangulum per axim H F I repe-
rire ſectionem æqualem hyperbole datæ A B, cuius tranſuerſus axis D B, &
latus rectum B E. Oportet autem, vt quadratum F G axis dati coni ad qua-
dratum radij G H circuli baſis non habeant maiorem proportionem, quàm
281243Conicor. Lib. VI.327[Figure 327] bent figuræ latera, ſcilicet, quàm habet D B ad B E. At quomoao duci de-
beat ſubtenſa K L quæ æqualis ſit ipſi D B, & parallela alteri F G, oſtendetur
inferius.
Et non reperitur in cono H F I alia ſectio hyperbolica ſuper F H, &
11b æqualis A B, & c. Addidi verba quæ ad huius textus integritatem facere vi-
debantur.
Et educamus T V, K L, quæ ſubtendant duos angulos L F K, I F
22c T, & ſint parallelæ ipſis F N, F S, & æquales D B, & c. Quomodo au-
tem hoc fieri poſſit modo oſtendemus. Sumatur in recta linea H F quodlibet
punctum c inter F, & H; atque à puncto c ducatur recta linea c d parallela
ipſi F N, vel F S, quæ ſecet productionem alterius lateris I F in d, & quàm
proportionem habet c d ad D B, eandem habeat C F ad F L, & per punctum
L ducatur recta L K parallela ipſi c d. Manifeſtum eſt c d ad L K eandem pro-
portionem habere, quàm c F ad F L, ſeu quàm c d ad B D; & ideo K L æ-
qualis erit B D, & ſubtendit angulum L F K, eſtque parallela ipſi c d, ſeu
ipſi F N, vel F S. Et hoc erat faciendum.
328[Figure 328]
282244Apollonij Pergæi 329[Figure 329]
Igitur duo plana tranſeuntia per K L, T V eleuata ſuper triangulum.
11d H F I ad angulos rectos producunt in cono H F I duas ſectiones hypor-
bolicas, quarum axes L M, V X, & inclinati ipſarum L K, V T, &
ſingulì eorum ad ſuos erectos ſunt, vt D B ad B E; ergo figuræ trium.
ſectionum ſunt ſimiles, & æquales; & propterea duæ ſectiones, qua-
rum axes ſunt L M, V X ſunt æquales ſectioni A B, & c. Ex textu men-
doſo expungi debent ſuperuacanea aliqua verba, ſicut in contextu habetur.
Non enim verum eſt, quod duæ tantummodo hyperbole æquales eidem A B duci
poſſunt in cono recto H F I, vertices habentes in lateribus H F, & F I, ſed
quatuor inter ſe æquales eße poßunt; nam ſuper latus F H duci poſſunt duæ
hyperbole, quarum axes tranſuerſi K L æquales ſint ipſi B D, & æquidiſtan-
tes ſint rectis lineis F N, & F S. Quod ſic oſtendetur. Quoniam recta linea
Q R ducta eſt parallela ipſi H I erunt duo arcus circuli intercepti H Q, I R
æquales inter ſe; & ideo duo anguli ad peripheriam H F Q, & I F R æquales
erunt inter ſe; poſita autem fuit K L æqualis, & parallela ipſi F N; igitur
duo anguli alterni K L F, & H F N æquales ſunt inter ſe: pari ratione; quia
reliqua K L ducta eſt parallela ipſi F S, erit angulus externus S F I æqualis
interno, & oppoſito, & ad eaſdem partes L K F; & ideo duo triangula L F K
habent angulum F, communem, & duos angolos in ſingulis triangulis K, &
L æquales; igitur ſunt æquiangula, & ſimilia, & , vt antea dictum eſt, fieri
poſſunt duæ rectæ lineæ K L æquales eidem D B, & inter ſe: ſi igitur per duas
rectas lineas K L ducantur plana perpendicularia ad planum trianguli per axim
H F I, eſſicientur in cono recto duæ hyperbole, quarum bini axes tranſuerſi K L
ſunt æquales: & quia, propter parallelas H I, Q R, eſt F N ad N Q ſeu qua-
dratum F N ad rectangulum F N Q vt F S æd S R ſeu vt quadratum F S ad
rectangum F S R; ſed rectangulum H N I æquale eſt rectangulo F N Q, &
rectangulum H S I æquale eſt rectangulo F S R: ergo quadratum F N ad re-
ctangulum H N I eandem proportionem habet, quàm quaàratum F S ad rectã-
gulum H S I; eſtque latus tranſuerſum K L ad ſuum latus rectum, vt quadra-
2212. lib. 1. tum F N ad rectangulum H N I, pariterque latus tranſuerſum K L alterius
ſectionis ad ſuum latus rectum eſt vt quadratum F S ad rectangulum H S I:
33Ibidem.
283245Conicor. Lib. VI. igitur duo æqualia latera tranſuerſa K L ad ſua latera recta eandem proportio-
nem habent, & ideo huiuſmodi latera recta æqualia ſunt inter ſe; ideoque duæ
hyperbole genitæ, habentes vertices in eodem latere F H, æquales ſunt inter ſe,
quas vocat Mydorgius ſubcontrarias. Simili modo duæ aliæ hyperbole inter ſe,
1110. huius.& prioribus æquales in eodem cono duci poßunt, vertices habentes in latere
F I.
Nec reperitur tertia, cuius vertex ſit ſuper aliqua duarum linearum
22e H F. , F I, & ſit æqualis ſectioni A B, quia, & c. Immutaui particulam,
quæ propoſitionem reddebat falſam, id quod colligitur ex conſtructione, & progreßu
demonſtrationis: Quælibet enim alia ſectio, præter quatuor aſſignatas, habebit
axem æquidiſtantem alicui rectæ vt F Z, quæ cadit inter F N, & F S; &
hæc oſtendetur inæqualis prædictis ſectionibus, & ipſi A B.
Deinde ponamus quadratum F G ad GH maius, quàm D B ad B E.
33f Dico, non reperiri in cono H F I ſectionem æqualem ſectioni A B: nam,
ſi reperiretur, eſſet vel æqualis parallela ſuo axi, & erit quadratum N
F ad I N in N H, & c. Legendum eße vt in textu dixi conſtat ex progreſſis
totius propoſitionis. I am facili negotio demonſtratio perfici poteſt, nam axis F
G minor eſt quàm F N, quæ ſubtendit angulum rectum G, quadratum vero
G H ſemiſſius totius H I maius eſt rectangulo I N H, ſub inæqualibus ſegmen-
tis contentum; propterea quadratum F N ad rectangulum I N H maiorem pro-
portionem habebit, quàm quadratum G F ad quadratum G H: eſtque D B ad
B E, vt quadratum F N ad rectangulum I N H; propterea quod F N paral-
4412. lib. I. lela eſt axi illius ſectionis, quæ poſita fuit æqualis A B; igitur D B ad B E
maiorem proportionem habet, quàm quadratum F G ad quadratum G H; quod
eſt contra hypotheſin: habebat enim quadratum F G ad quadratum G H maio-
rem proportionem, quàm D B ad B E. Non ergo reperitur in cono; & c.
330[Figure 330]
Sicutì in præcedenti propoſitione factum eſt, nedum in cono recto, ſed etiam
in quolibet cono ſcaleno, quomodolibet per axim ſectio à triangulo H F I deter-
minari poßet, quando, & quomodo in eo deſignari poſſet ſectio æqualis datæ hy-
perbole A B. Quod ab alijs factum eſt.
284246Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XXVIII.
DEinde ſit ſectio elliptica, vt A B, & axis eius tranſuerſus B D, &
11a erectus illius B E; & ſit triãgulum coni H F I, & circumducamus
circa illum circulum, & educamus ex F lineam F L K occurrentem ipſi
extra circulum in K; & occurrat circulo in L ita vt ſit F K ad K L, vt
D B ad B E; & eſt facile ( vti demonſtrauimus in 59. ex I.) , & c.
331[Figure 331]
Senſus propoſitionis hic erit. In cono recto, cuius triangulum per axim H F I
reperire ſectionem æqualem datæ ellipſi A B, cuius axis tranſuerſus D B, &
latus rectum B E. In conſtructione poſtea duci debet recta linea F L K extra
circulum, & triangulum ad vtraſque partes, alias conſtructio non eſſet perfecta.
Lemma verò, quod repoſuiſſe, dicit Arabicus interpres in I. libro, ab hoc
ſequenti for ſam diuerſum non erit.
LEMMAX.
SEcetur latus F I in S, vt ſit F I
332[Figure 332] ad I S in eadem ratione, quàm
habet axis tranſuerſus D B ad latus re-
ctum B E: & ducatur S L æquidiſtans
trianguli baſi H I, quæ ſecet circulum ex
vtraque parte in L, & coniungantur re-
ctæ lineæ F L, producanturque quoſquè
ſecent baſim H I in punctis K.
Quoniam in triangulo F I K ducitur recta
linea S L æquidiſtans baſi I K, erit F I
285247Conicor. Lib. VI. I S, vt F K ad K L: ſed erat D B ad B E, vt F I ad I S; igitur F K ad K L
eandem proportionem habebit: quàm D B ad D E.
Et educamus in triangulo chordam M N parallelam K F, & æqualem
11b D B, & c. Non vna, ſed duplex recta linea M N duci poteſt parallela cuilibet
duarum F K, quæ interius ſubtendat angulum verticis F trianguli H F I per
axim ducti. Et poteſt etiam effici M N æqualis ipſi D B, vt in expoſitione præ-
cedentis propoſitionis oſtenſum eſt.
Itaque planum, tranſiens per M N, producit in cono H F I ſectionem
22c ellipticam æqualem ſectioni A B; quia, & c. Addidi verba, quæ in textu
deſiderantur, vt ſenſus perfectus ſit.
Ergo duæ illæ ſectiones ſunt æquales, & c. Concipi debet ſectio N O M
33d P, duplex, quia nimirum duæ ſectiones ſub contrariæ, æquales ſunt, vt faci-
le cum Mydorgìo oſtendi poteſt.
Et dico, quod non reperiatur in cono H F I ſectio elliptica, habens
44e verticem ſuper F I; quia ſi poſſibile eſſet, & c. Textus valde corruptus ex-
poſito modo reſtitui debere conſtat ex progreſſu demonſtrationis.
Et diuidendo F R maior ad minorem R Q eſt vt F L minor ad maio-
55f rem K L, & c. Supplendæ fuerunt particulæ aliquæ ad tollendam equiuocatio-
nem.
SECTIO VNDECIMA
Continens Propoſit. XXIX. XXX.
& XXXI.
PROPOSTIO XXIX.
DAto cono recto A B C, conum exhibere ei ſimilem, qui
datam ſectionem D E F contineat, cuius axis E G, &
erectus E H; ſitque prius ſectio parabole.
333[Figure 333]
Super E G educatur planum ad ſectionem D
E F ad angulos rectos eleuatum, in quo duca-
tur E I K, quæ contineat cum E G angulum
æqualem ipſi angulo C: & ponamus E H ad E
66a K, vt A C ad C B, & faciamus ſuper E K tri-
angulum E L K ſimile triangulo A B C, vt an-
gulus verticalis L æqualis ſit angulo B. Facia-
mus etiam conum, cuius vertex ſit L, eiuſque
baſis circulus, cuius diameter ſit E K, qui ſit
eleuatus ſuper triangulum E L K ad angulos re-
ctos: erit igitur angulus E K L æqualis ipſi
286248Apollonij Pergæi ſed angulus K E G factus fuit etiam eidẽ æqua-
334[Figure 334] lis; igitur L K, quod eſt latus trianguli per a-
11b xim coni tranſeuntis, parallelum erit ipſi E G:
& propterea planum, in quo eſt ſectio D E F
22c producit in cono ſectionem parabolicam; &
quia A C ad C B eſt, vt H E ad E K, & vt E
K ad K L; igitur H E ad E L (quæ eſt æqualis
33d ipſi K L) eandem proportionem habet, quàm
quadratum E K ad quadratum K L, nempe ad
K L in L E: quaproptor H E eſt erectus ſectio-
4411. lib. 1. nis prouenientis in cono, ſed eſt etiam erectus
ſectionis D E F; igitur D E F exiſtit in ſuperfi-
cie coni, cuius vertex eſt L, qui ſimilis eſt co-
55Def. 8.
huius. no A B C: eo quod triangulum A B C ſimi-
le eſt triangulo E L K. Dico etiam, quod ſectio D E F contineri non
poteſt ab aliquo alio cono, ſimili cono A B C, cuius vertex ſit ex eadẽ
parte ſectionis præter conum iam exhibitum. Nam (ſi poſſibile eſt) ſit
conus habens verticem M, & triangulum eius erectum ſit ſuper planum
ſectionis D E F, & communis ſectio illius, & coni ſectionis erit axis eius;
eſtque E G illius axis; ergo hæc eſt abſciſſio communis eorundem pla-
norum; ſed eſt E G abſciſſio communis plani ſectionis, & plani trianguli
K E L, ſuper quod eſt etiam erectum; igitur duo triangula E L K, E M
I ſunt in eodem plano, & angulus L æqualis eſt M (propter ſimilitudinẽ
66Def. 8. duorum conorum); ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & educta E K ad
77f I ſectio D E F continebitur in cono, cuius vertex eſt M: ſi autem pona-
88Def. 9. mus proportionem lineæ alicuius ad E M, eandem quàm habet quadra-
tum E I ad I M in M E, linea illa eſſet erectus ſectionis D E F; ſed H
9911. lib. 1. E erat erectus ſectionis D E F; igitur H E eſt illa linea, hæc autem ad
E L eandem proportionem habebat, quàm quadratum E K ad K L in
L E; ergo quadratum E K ad K L in L E eandem proportionem habet,
quàm quadratũ E I ad I M in M E; igitur H E ad E M, & ad E L ean-
dem proportionem habet: quod eſt abſurdum. Non ergo in aliquo alio
cono ſectio contineri poteſt, vt diximus. Et hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO XXX.
SI ſectio hyperbolica D E F, cuius axis E G inclinatus E H, & erectus
1010a E I (oportet autem, vt quadratum axis B Q coni recti ad quadratũ ſe-
midiametri baſis illius A Q non maiorẽ proportionẽ habeat, quàm habent fi-
guræ latera). Et habeat prius eandem proportionẽ, quàm H E ad E I, &
producamus A B ad M, & ſuper H E in plano erecto ad ſectionẽ D E F
deſcribamus ſegmentũ circuli E L H, quod capiat angulum æqualem an-
gulo M B C, & bifariam ſecemus arcum E O H in O, & educamus per-
pendicularem O N ſuper H E; & producamus illam, quouſque
287249Conicor. Lib. VI.335[Figure 335] rat circumferentiæ in L, & iungamus E L, & L H, quæ occurrat in K
perpendiculari ex puncto E ſuper lineam E H. Et quia E K parallela eſt
L O erit angulus K æqualis H L O, qui eſt ſemiſſis anguli H L E, & hic
eſt æqualis duobus angulis K, K E L; igitur ſunt æquales; quare K L E
eſt æquicrus, & angulus K L E æqualis eſt A B C; quia angulus H L E
æqualis eſt M B C; quapropter K L E ſimile eſt A B C, quia æqualia
11c crura etiam habet! Si autem ponamus K L E triangulum coni, cuius
vertex L, & planum illius trianguli erectum ad planum D E F; vtique
planum ſectionis producit in cono hyperbolen, cuius axis E G, inclina-
tus E H; eo quod ſi educamus L P, B Q perpendiculares in duobus
triangulis, habebit quadratum B Q ad C Q in Q A (quod eſt vt H E
ad E I) eandem proportionem, quàm quadratum L P ad P K in P E:
quare potentes æductæ in illa ſectione ad axim E G, poterunt compa-
rata, applicata ad E I erectum; ſed potentes, eductæ in ſectione D E F,
2212. lib. 1. poſſunt quoque illa applicata; ergo ſectio D E F æqualis eſt ſectioni,
prouenienti in cono, cuius vertex eſt L, & exiſtit in eodem plano, ha-
betque eundem axim: quare conus, cuius vertex L continet ſectionem
33Defin. 9. D E F, & eſt ſimilis cono A B C.
Dico rurſus, quod nullus alius conus ſimilis cono A B C, cuius ver-
tex ſit in ea parte, in qua eſt L, præter iam dictum, continebit hanc
eandem ſectionem. Si enim hoc verum non eſt, contineat illam alius
44d conus ſimilis cono A B C, cuius vertex R in plano L E G; atque latera
illius ſint E R, R T. Quia angulus E R T æqualis eſt E L K, & eorum
conſequentes æquales inter ſe in eodem circuli ſegmento E L H exiſtent,
eo quod T R produſta occurrit axi tranſuerſo E H in H, & iungamus R
O, & ex E educamus E T, quæ ſit parallela coniunctæ rectæ lineæ O R;
vnde angulus O R H æqualis eſt O R E) propter æqualitatem arcuum
ſuorum, & ſunt æquales duobus angulis R T E, R E T, ergo E R T eſt
æquicrus, & angulus T R E æqualis eſt A B C: educatur iam R S pa-
rallela H E, tunc quadratum R S ad T S in S E eandem proportionem
habebit, quàm E H inclinatus ſectionis D E F ad E I erectum illius; eo
quod ſectionem D E F continet conus, cuius vertex eſt R; ſed H E
288250Apollonij Pergæi336[Figure 336] E I eandem proportionẽ habet, quàm quadratum B Q ad C Q in Q A
eſtq; C Q æqualis Q A, atq; T S æqualis S E, & T S ad S E eandẽ pro-
11e portionẽ habet, quã T R ad R H, ſeu quàm E V ad V H; igitur E V æqua-
lis eſt V H; quod eſt abſurdum; propterea quo L O diameter, quæ ad illã
perpendicularis eſt, bifariam ſecat eam in N. Oſtenſum igitur eſt, non repe-
riri conum alium continentem ſectionem D E F, præter ſuperius expoſi-
tum. Tandem ſupponamus, quadratum B Q ad quadratum Q A habere
minorem proportionem, quàm E H ad E I. Patet quadratum L P, nẽ-
22f pe N E, ſeu O N in N L ad quadratum E P, nempe ad quadratum N
L, ſcilicet O N ad N L habere minorem proportionem, quàm H E ad
E I: ponamus iam O N ad N X, vt H E ad E I, & per X ducamus R
X Y parallelam H E, & iungamus E R, O R, & H R producatur ad T
quouſque ſecet E T parallelam ipſi O R. Oſtendetur (quemadmodum
33g ſupra dictum eſt) quod E T R, B A C ſunt iſoſcelia, & ſimilia. Et quia
E H ad E I eſt vt O N ad N X; nempe vt O V ad V R, nempe vt O V
in V R, quod eſt æquale ipſi E V in V H ad quadratum V R; hæc au-
tem proportio componitur ex E V, nempe S R ad V R, nempe ad E S,
& ex proportione V H ad V R, nempe S R ad S T, ex quibus compo-
nitur proportio quadrati R S ad S T in S E; igitur quadratum R S ad E
S in S T eandẽ proportionem habet, quàm H E ad E I; & propterea
planum ſectionis D E F in cono, cuius vertex eſt R, & illius trianguli
latera R E, R T, producit ſectionem hyperbolicam, cuius inclinatus eſt
E H, & erectus E I; quare conus cuius vertex eſt R, continet ſectionẽ D E
F, nec non continet illam alius conus, huic cono ſimilis, cuius vertex
eſt Y; & hi duo coni ſunt ſimiles cono A B C, nec continet illam ter-
tius alius conus, qui ſimilis ſit cono A B C, nam (ſi hoc ſieri poſſibile
eſt) contineat illam alius conus, cuius vertex Z, & punctum verticis
illius incidet in arcum E L H, & iungamus O Z, quæ ſecet H E in e:
44h
289251Conicor. Lib. VI. Inde demonſtrabitur, quod H E ad E I habebit neceſſario eandem pro-
portionem, quàm O e ad e Z; quod eſt abſurdum, quia haberet eandem
proportionem, quàm O N ad N X. Quapropter non continet illam ter-
tius alius conus ſimilis cono A B C.
Supponamus iam, quadratum B Q ad quadratum Q A maiorem pro-
portionem habere, quàm H E ad E I. Dico, exhiberi non poſſe conum
11i ſimilem cono A B C, qui contineat ſectionem D E F. Alioquin conti-
neat illam conus, cuius vertex eſt R, & demonſtrabitur, quod O V ad
V R ſit, vt H E ad E I, quæ habet minorem proportionem, quàm qua-
dratum B Q ad quadratum Q A, quæ oſtenſa eſt eadem, quàm O N ad
N L; ergo O V ad V R; nempe O N ad N X minorem, proportionem
habet, quàm eadẽ O N ad N L, quod eſt abſurdum. Non igitur conti-
nebit ſectionem D E F conus ſimilis cono A B C. Vt propoſitũ fuerat.
PROPOSITIO XXXI.
SIt tandem ſectio elliptica A B C, eiuſque tranſuerſus axis A C, &
22a erectus A D, & in plano perpendiculariter erecto ad ſectionis pla-
num A B C, fiat ſuper A C ſegmentum circuli, quod capiat angulum.
337[Figure 337] æqualem angulo F, eumque bifariam diuidamus in H, & iungamus A H,
C H, & ex H educamus H I, quæ ſecet circulum in K, & occurrat ſub-
33Lem. 10.
huius. tenſæ extra circulum in I; ſitque H I ad I K, vt A C ad A D: & e-
ducamus H L M eaſdem conditiones habens; & iungamus C K, A K,
ducaturque K N parallela A C, & A N parallela H I, quæ ſecet K C
44b in O. Quia H I in I K (quod eſt æquale ipſi C I in A I ad quadratum
I K) eſt vt A C ed A D; & proportio C I in A I ad quadratum I K
componitur ex ratione C I ad I K, nempe K N ad N O (propter
290252Apollonij Pergæi338[Figure 338] tudinem duorum triangulorum), & ex ratione A I, nempe K N ad I K,
nempe ad A N ( propter parallelas ), & ex his duabus proportionibus
componitur proportio quadrati K N ad A N in N O; ergo quadratum.
K N ad A N in N O eandem proportionem habet, quàm A C tranſuer-
ſus ad A D erectum; igitur planum, in quo eſt ſectio A B C, in cono
cuius vertex eſt K, & baſis circulus, cuius diameter A O producit ſe-
1113. & 54.
lib. 1.
Defin. 9.
huius. ctionem ellipticam, cuius tranſuerſus eſt A C, & erectus A D: quare
ſectionem B A C continet; & quia angulus H K C, nempe A O K æ-
22c qualis eſt H A C, & angulus C H A æqualis eſt C K A, remanet angu-
lus H C A æqualis O A K; eritque H C A, quod ſimile eſt F E G, ſi-
mile quoque O K A; quapropter O K A iſoſceleum, & ſimile eſt ipſi
F E G; igitur conus, cuius vertex eſt K, ſimilis eſt dato cono F E G,
33Defin. 8.
huus.& quidem continet ſectionem A B C, vti diximus. Similiter quoque
oſtendemus, quod eandem ſectionem continebit alius conus, cuius ver-
tex eſt L, ſi educantur A L, L C. Et alius conus, præter hos duos,
iuxta hanc hypotheſin non continebit illam: Alioquin contineat illam,
44d alius conus, cuius vertex ſit Q, & triangulum A Q P: & oſtendetur,
quemadmodum ſupra dictum eſt, quod communis ſectio plani, per axim
illius coni ducti, erecti ad planum ſectionis A B C, & plani ſectionis
eſt A C, & quod punctum verticis illius coni ſit in circumferentia ſeg-
menti A H C, & ſit Q, ducamus per H Q rectam H R, & iungamus
C Q, A Q, & educamus A S parallelam H Q R, & Q S parallelam A
C, erit Q A P triangulum illius coni, & eſt iſoſceleum, erit quadratum
Q S ad A S in S P, vt C R in R A; quod eſt æquale ipſi H R in R Q
ad quadratum R Q, nempe H R ad R Q; ergo H R ad R Q eſt, vt A C
55e ad A D, quæ eſt, vt H I ad I K; ergo diuidendo permutandoq; H K
maior ad H Q minorem, eandem proportionem habebit, quàm K I mi-
nor ad R Q maiorem: & hoc eſt abſurdum. Non ergo reperiri poteſt
tertius conus, continens ſectionem B A C. Et hoc erat oſtendendum,
291253Conicor. Lib. VI.
Notæ in Propoſit. XXIX.
ET faciamus ſuper E K triangulum ſimile triangulo A B C, & c. 11a mirum, fiat angulus K E L æqualis angulo A, & angulus L fiat æqualis angulo B.
Ergo L K, quæ eſt latus trianguli tranſeuntis per axim E G para llelũ
22b eſt E G, & c. Legi debet, vt in textu videre eſt. Hoc conſtat ex conſtructio-
ne; nam duo anguli alterni G E K,, & L K E æquales ſunt eidem angulo C.
Et propterea planum, in quo eſt ſectio D E
33C339[Figure 339] F producit in cono ſectionem parabolicam, & c.
Quoniam planum circuli, cuius diameter E K
perpendiculare eſt ad planum trianguli L E K: igi-
tur ſi ducatur planum N F O æquidiſtans circulo E
K ſecans planum D E F in recta linea D G F, erit
quoque circulus, & perpendicularis ad planum triã-
guli per axim L E K: ſed ex conſtructione planum
D E F perpendiculare quoque erat ad idem trian-
gulum per axim E L K; igitur D F communis ſectio
eorundem planorum perpendicularis quoque erit ad
idem planum L N O, & efficiet angulos rectos cum
diametro circuli N O, & cum E G, quæ in eodẽ pla-
no exiſtunt, & cũ illo conueniunt in puncto G; ſuntq; E G, & L O parallelæ: igitur
4411. lib. 1. planum ſectionis D E F producit neceſſariò in cono L N O producto parabolam.
Igitur H E ad E L, quæ eſt æqualis ipſi L K eamdem proportionem,
55d habet, quàm quadratum E K ad quadratum K L, & c. Quoniam conus
L E K ſimilis eſt cono recto A B C erit quoque rectus: & propterea duo latera
trianguli per axim E L, & L K æqualia erunt inter ſe, & ideo E K ad K L,
atque ad E L eandem proportionem habebit, & c.
Et dico, quod ſectio D E F non reperitur in alio cono ſimili cono A
66e B C, cuius vertex ſit ex parte plani ſectionis præter hunc conum, & c.
Ideſt. Nullus alius conus rectus continebit eandem parabolam D E F, qui ſit
ſinilis cono A B C, & vertex E parabole magis, aut minus recedat à vertice
coni, quàm E L.
Ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & c. Quia D G baſis ſectionis conicæ
77f perpendicularis eße debet ad G O, & ad G E, & ideo ad triangulum per axim
vtriuſque coni recti L E K, & M E I; & conueniunt plana eorundem trian-
gulorum in E G axi conicæ ſectionis geniti ab eis; ergo dicta triangula in eo-
dem plano exiſtunt per rectas E G, & G O ducto; & in vtroquè cono triangu-
lorum per axes latera L K, & M I parallela ſunt eidem axi E G paraboles:
ergo L K, M I parallelæ ſunt inter ſe, & anguli L, & M æquales ſunt pro-
pter ſimilitudinem triangulorum per axes in conis ſimilibus: igitur L E, & M
E ſunt quoq; parallelæ, & conueniunt in E vertice paraboles; ergo in directum
ſunt conſtitutæ.
292254Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XXX.
ITa vt non ſit proportio quadrati axis coni, B Q ad quadratum ſemi-
11a diametri baſis illius vt C Q minor proportione figuræ ſectionis, & c.
Rurſus datus ſit conus rectus A B C, cuius axis B Q ſemidiameter circuli ba-
340[Figure 340] ſis ſit C Q, exhiberi aebet alius conus ſimilis dato, qui datam byperbolen D E
F contineat; oportet autem, vt quadratum axis coni B Q ad quadratum ſemi-
diametri illius Q A non babeat maiorem proportionem, quàm habet axis tran-
ſuerſus H E ad latus rectum E I.
Et producamus L H ad E I occurret in K perpendiculari rectæ ad pun-
22b ctum E linea H, & c. Ideſt ſi ducatur recta linea E K in plano circuli H L E
perpendicularis ad H E, ſeu parallela ipſi L N coniuncta recta linea H L ſeca-
bit reliquam æquidiſtantium E K in K.
Quapropter K L E ſimile eſt A B C, quia æquicrus etiam eſt: ſi au-
33c tem ponamus K L E triangulum coni, cuius vertex L, & planum trian-
guli illius erectum ad planum D E F; vtique planum, quod eſt in ſectione
producit in cono ſectionẽ hyperbolicã, cuius axis E G, & inclinatus E H,
& c. Quoniam in duobus triangulis A B C, & E L K ſunt anguli verticales B, &
L æquales inter ſe, cũ externi M B C, & H L E æquales facti ſint; & angulus H
L N æqualis ſit interno, & oppoſito K, & angulus N L E æqualis eſt alterno angulo
L E K propter parallelas N L, E K, & quilibet eorũ eſt medietas externi anguli
H L E; ergo angulus K æqualis erit angulo L E K, & trianguliũ L E K erit iſoſceliũ,
ſed triangulum A B C per axim coni recti ductum eſt quoque iſoſcelium; igitur
duo anguli ſupra baſim A, & C æquales ſunt inter ſe; erant autem prius ver-
ticales anguli B, & L æquales; igitur triangula A B C, & E L K æquiangula,
& ſimilia ſunt. Ducatur poſtea recta linea L P perpendicularis ad baſim E K,
quæ eam ſecabit bifariam in P, & ducatur planum per E K perpendiculare ad
planum E L K, & in eo diametro E K fiat circulus, qui ſit baſis coni, cuius
vertex L, & ducatur planum F D a æquidiſtans plano circuli E K;
293255Conicor. Lib. VI. alius circulus F D a perpendicularis ad planum trianguli per axim L E K; erat
autem ex conſtructione planum byperboles D E F perpendiculare ad idem planum
per axim E L K; igitur duorum planorum communis ſectio, quæ ſit F G D per-
pendicularis quoque erit ad planum trianguli L E K: & ideo efficiet angulos F
G E, & F G a rectos, & G E H producta ſubtendit angulum externum trian-
guli conici E L K; quapropter planum D E F efficiet in cono E L K byperbolen,
cuius axis tranſnerſus erit H E.
Alias eontineat illam alius conus ſimilis cono A B C, ſitque vertex
11d eius R in plano L E G, & duo latera trianguli illius ſint E R, T R; ergo
angulus E R T æqualis eſt E L K, & eſt in cir cumferentia arcus E L H;
ergo T R ſi producatur, occurret H: & c. Senſus buius textus corrupti ta-
lis eſt: Si enim fieri poteſt, vt aliquis alius conus, vt E R T, qui ſimilis ſit
cono A B C, vel E L K, contineat eandem byperbolam D E F, & conorum,
vertices R, & L ad eaſdem partes tendant, erunt duo plana iriangulorum per
axes conorum ducta perpendicularia ad planum ſectionis D E F; alias E G non
eßet axis hyperbole D E F; Et quia coni ſitpponuntur ſimiles erunt quoque
22E ex Def. 8. triangula per axes E L K, & E R T ſimilia int er ſe; & ideo anguli verticales.
L K, & E R T æquales inter ſe erunt, atque ſu bſequentes anguli E L H, & E R
H æquales quoque inter ſe erunt, & ſubtendunt commune latus tranſuerſum H
E; igitur duo anguli E L H, & E R H in eodem circuli ſegmento conſiſtunt.
Textus igitur corrigi debebat vt dictum eſt.
Atque T S æqualis eſt ipſi E, & T S ad S E eſt, vt T R ad R H, quæ
33e eſt vt E V ad V N; ergo E V æqualis eſt V H, & c. In duobus triangulis
iſoſcelijs inter ſe ſimilibus A B C, & E R T ab æqualibus angulis verticalibus
A B C, & E R T ducuntur rectæ lineæ B Q, R S ſecantes baſes in Q, & S:
eſtque quadratum R S ad rectangulum E S T, vt quadratum B Q ad rectangu-
lum A Q C, & ſecatur A C bifariam in Q; oſtendendum eſt E T in duas par-
tes æquales in S quoque ſecari. Si enim boc verum non eſt E T in alio puncto
bifariam diuidetur vt in b iungaturquè R
341[Figure 341] b. Quoniam à verticibus triangulorum,
A B C, & R E T iſoſcelium ducuntur re-
ctæ lineæ B Q, R b diuidentes baſes bifa-
riam in Q, b, ergo anguli ad Q, & b
ſunt recti, & erant anguli A, & E æquales
(propter ſimilitudinem eorundem triangu-
lorum) igitur triangula A B Q, & E R b
ſimilia ſunt, ideoq; B Q ad Q A erit vt R b
ad b E, & quadratũ B Q ad quadratum Q A erit vt quadratũ R b ad quadratũ
b E; erat autem quadratum R S ad rectangulum E S T vt quadratum B Q ad
quadratum Q A; ergo quadratum R b ad quadratum b E eandem proportionem
habet, quàm quadratum R S ad rectangulum E S T; eſtque quadratum R b
minus quadrato R S (cum perpendicularis R b minor ſit quàm R S) quarè qua-
dratum ex b E ſemiſſe totius E T minus erit rectangulo E S T ſub ſegmentis
inæqualibus eiusdem E T contento; quod eſt abſurdum: quarè neceſſario E T
bifariam ſecatur in S. Poſtea propter parallela R S, & H E, vt T S ad S E
ita erit T R ad R H; & propter parallelas R V, & E T erit E V ad V H, vt
T R ad R H, ſeu T S ad S E: oſtenſa autem fuit T S æqualis S E; igitur
294256Apollonij Pergæi342[Figure 342] V æqualis eſt V H, quod eſt abſurdum.
Patet quadratum L P nempe N E, ſeu O N in N L ad quadratum E P,
11f nempe ad quadratum N L, ſcilicet O N ad N L habere minorem pro-
portionem, quàm H E ad E I: ponamus iam O N ad Z X, vt H E ad E
I; & per X ducamus X R, & iungamus E R, & c. Suppoſita conſtructione
prioris caſus, quandò conus rectus E L K factus eſt ſimilis cono A B C quadra-
tum L P ad quadratum E P habebat eandem proportionem, quàm O N ad N L,
ſeu quàm quadratum B Q ad quadratum Q A: modò in hac altera ſuppoſitione
conceditur quadratum B Q ad quadratum Q A habere minorem proportionem,
quàm E H ad E I; igitur O N ad N L minorem proportionem habebit, quàm,
H E ad E I; & fiat O N ad N X vt H E ad E I, erit N X minor quàm N L,
& ideo punctum X intra circulum cadet, & per X ducta R X Y parallelæ H E;
vtique ſecabit circulum in duobus punctis, vt in R, & Y. Quod verò recta,
R X Y duci debeat parallela ipſi H E, non quomodocunque, patet ex contextu
ſequenti, nam debent O X, O R ſecari in N, & V proportionaliter, quarè tex-
tus debuit omnino corrigi.
Oſtendetur, quemadmodum dictum eſt, quod E T R, & A B C ſunt
22g iſoſcelia, & ſimilia, & c. Quoniam arcus circuli E O, & O H æquales ſunt
inter ſe ex conſtructione, erunt anguli E R O, & O R H æquales inter ſe, &
propter parallelas O R, & E T eſt angulus O R E æqualis alterno T E R; at-
què externus H R O æqualis eſt interno, & oppoſito R T E; igitur duo anguli
R E T, & R T E æquales ſunt inter ſe; & propterea triangulum E R T erit
iſoſcelium. Rurſus quia duo anguli E L H, E R H in eodem circuli ſegmento
couſtituti æquales ſunt inter ſe, & erat ex conſtructione angulus M B C æqualis
angulo H L E; igitur anguli H R E, & M B C æquales ſunt inter ſe, & ideo
conſequentes anguli verticales E R T, & A B C æquales erunt inter ſe, eſt quo-
que triangulum A B C per axim coni recti iſoſcelium igitur duo triangula,
E R T, & A B C ſimilia ſunt inter ſe. Et quia vt dictum eſt O N ad N X
eandem proportionem habet, quàm H E ad E I, atque propter parallelas V N,
& R X eſt O V ad V R vt O N ad N X, & ſumpta cõmuni altitudine V R
295257Conicor. Lib. VI. rectangulum O V R ad quadratum V R, vt H E ad E I: eſt verò rectangulum
H V E æquale rectangulo O V R (propterea quod duæ rect æ line æ O R, H E ſe ſe ſe-
cant intra circulum in V) igitur rectangulum H V E ad quadratum V R eandẽ
proportionẽ habet quàm H E ad E I; cumq; proportio rectanguli H V E ad qua.
dratum V R compoſita ſit ex duabus rationibus, ipſius E V ad V R, ſeu R S ad
S E, (propter parallelogrammum V E S R), & ex proportione H V ad V R,
quæ eadem eſt proportioni ipſius R S ad S T (propterea quod triangula H V R,
& R S T ſimilia conſtituuntur ab æquidiſtantibus H V, R S, & V R, S T)
quapropter duæ proportiones R S ad S E, & R S ad S T componentes proportio-
nem quadrati R S ad rectangulum E S T eædem ſunt rationibus, ex quibus
componitur proportio rectanguli H V E ad quadratum V R; & ideo quadratum
R S ad rectangulum E S T eandem proportionem habebit, quàm rectangulum
H V E ad quadratum V R, ſeu eandem quàm habet H E ad E I; igitur ſi fiat
conus, cuius vertex R, & baſis circulus diametro E T, cuius planum perpen-
diculare ſit ad planum trianguli E R T, erit triangulum E R T iſoſcelium per
axim prædicti coni extenſum, atq; ad ipſum ſectionis D E F planum eſt quo-
que perpendiculare, & eius axis G E ſubtendit angulum E R H, qui deinceps
eſt angulo verticis; igitur planum D E F in cono E R T generat hyperbolen,
cuius axis inclinatus eſt E H, & erectus E I: & propterea conus E R T com-
prehendit hyperbolen D E F. Rurſus ſi recta R X producatur quouſque ſecet
peripheriam circuli L E ex altera parte in puncto Y; atque denuò coniungantur
rectæ lineæ E Y, & H Y, quæ extendatur quouſquè conueniat cum recta linea
ex puncto E parallela ipſi O Y in puncto aliquo, quod concipiatur eſſe d; fieri
poterit alius conus (cuius vertex Y, baſis circulus diametro E d erectus ad
planum trianguli) ſimilis cono E R T, ſiue A B C: Oſtendetur ſicuti modo di-
ctum eſt, quod idem planum H D F eſſiciet in cono γ d E eandem hyperbolen
D E F.
Inde demonſtrabitur quod E H ad E I neceſſe eſt, vt habeat eandem
11h proportionem, quàm O e ad e Z: & hoc eſt abſurdum, & c. quia conus
Z E f continet hyperbolen D E F neceſſariò eius axis tranſuerſus E H ſubten-
det angulum H Z E, qui deinceps eſt anguli verticis trianguli per axim; &
propter ſimilitudinẽ conorũ rectorum, ſunt triangula per axes A B C, E R T, &
E Z f ſimilia inter ſe, & anguli verticales B, Z, & R æquales erunt inter ſe;
ideo conſequentes anguli M B C, & H R E, nec non H Z E æquales erunt in-
ter ſe, & ſubtenduntur ab eadem recta linea H E; ergo in eodem circuli ſeg-
mento conſiſtunt: & propterea punctum Z in circuli peripheria H Z E cadit.
Poſtea (vt in propoſitione 53. primi libri, & in hac eadem propoſitione demon-
ſtrauit Apollonius) conſtat quod H E ad E I habet eandem proportionem, quàm
O e ad e Z; & prius O V ad V R erat vt H E ad E I; ergo O V ad V R eã-
dem proportionem habet quàm O e ad e Z; ſed quia punctum Z non cadit in
R, neque in γ alias conus E Z f non eſſet alius à præcedentibus E R T, & E
γ d; ergo O e ad e Z non habet eandem proportionem, quàm O V ad V R, quod
eſt abſurdum.
Et demonſtrabitur quod O V ad V R ſit vt H E ad E I, & c. Repeta-
22i tur denuo conſtructio primi caſus huius propoſitionis, vt fiat conus rectus L E
K ſim lis cono A B C, tunc quidem quadratum L P ad quadratum E P habe-
bit eandem proportionem, quàm O N ad N L, ſeu quàm quadratum B Q
296258Apollonij Pergæi343[Figure 343] quadratum Q A; ſed in hac poſtrema ſuppoſitione conceditur quadratum B Q
ad quadratum Q A habere maiorem proportionem, quàm H E ad E I; igitur
O N ad N L maiorem proportionem habebit, quàm H E ad E I; ſed quia co-
nus E R T ponitur continere ſectionem D E F: habebit O V ad V R eandem
proportionem, quàm H E ad E I (vt ex 53. primi deducitur, & in hac pro-
poſitione denuò factum eſt): igitur O N ad N L maiorem proportionem habebit
quàm O V ad V R; oſtenſa autem fuit O N ad N X, vt O V ad V R; ergo O
N ad N L maiorem proportionem habebit, quàm O N ad N X: quod eſt abſur-
dum, nam N X minor eſt, quàm N L.
Notæ in Propoſit. XXXI.
DEinde ſit ſectio elliptica A B C, & tranſuerſa illius A C, & erectus
11a A D, & circunducamus ſuper A C in plano erecto ad ſectionis
planum A B C ſegmentum circuli, quod capiat angulum æqualem an-
gulo F: & c. Rurſus conus exhiberi debet ſimilis cono dato E F G, qui datam
ellipſim A B C contineat, ſitque axis tranſuerſus ellipſis C A, eiuſque latus
rectum A D.
Quia H I in I K, quod eſt æquale ipſi C I in I A, ad quadratum I A
22b eſt, vt A C ad A D, & C I in A I ad quadratum I K nempe K N ad
N O propter ſimilitudinem duorum triangulorum, & ex A I, nempe N
K ad I K nempe A N vt parallelas conſtituamus lineas, & ex his dua-
bus proportionibus componitur proportio quadrati N K ad A N in N O,
& c. Senſus huius textus valdè corrupti hic eſt. Quia ex conſtructione H I ad
I K erat vt C A ad A D, & ſumpta communi altitudine I K, erit
297259Conicor. Lib. VI.344[Figure 344] lum H I K ad quadratum I K, vt H I ad I K ſeu vt C A ad A D; eſtque
rectangulum C I A æquale rectangulo H I K; igitur rectangulum C I A ad qua-
dratum I K eandem proportionem habet, quàm C A ad A D; componitur verò
proportio rectanguli C I A ad quadratum I K ex duabus proportionibus laterum
C I ad I K, & A I ad I K: & propter parallelas N O, I K, atque K N, &
C I, & latus commune C O K duo triangula C I K, & K O N ſimilia ſunt;
igitur K N ad N O eſt, vt C I ad I K; & quia in parallelogrammo I N la-
tera oppoſita ſunt æqualia K N ad N A eandem proportionem habebit quàm A I
ad I K; quapropter duæ rationes K N ad N O, & K N ad N A componunt
proportionem quadrati K N ad rectangulum A N O, quæ eadem eſt proportioni
rectanguli C I A ad quadratum I K; & propterea quadratum K N ad rectan-
gulum A N O eandem proportionem habebit, quàm A G ad A D. Si igitur
fiat conus, cuius vertex K baſis circulus diametro A O deſcriptus, cuius pla-
num perpendiculare ſit ad planum A K C; atque per rectam A C æquidiſtan-
tem ipſi K N planum ducatur perpendiculare ad idem planum A K C genera-
bitur ellipſis, cuius axis tranſuerſus erit A C, & latus rectum A D. Textus
igitur corrigi debere ex dictis manifeſtum eſt.
Et quia angulus H K C nempe A O K æqualis eſt H A C, & angulus
11C C H A æqualis eſt C K A remanet angulus H C A æqualis O A K erit
H C A ſimile F E G ſimile quoque O K A; ergo, & c. Quoniam ex con-
ſtructione ſegmentum A H C capax eſt anguli æqualis angulo F erit angulus A
H C æqualis angulo F; & quia peripheria A H C ſecta eſt bifariam in H; ergo
ſubtenſa latera A H, & H C æqualia ſunt: & propterea triangulum A H C
iſoſcelium, & ſimile erit triangulo E F G; propterea quod anguli verticales æ-
quales ſunt inter ſe; ſunt verò duo anguli A H C, & A K C in eodem circuli
ſegmento; ergo æquales ſunt inter ſe; pariterque duo anguli C A H, & C K H
in eodem circuli ſegmento conſtituti, æquales ſunt inter ſe, & propter
298260Apollonij Pergæi345[Figure 345] las A O, K H ſunt anguli alterni A O K, & H K O æquales inter ſe; igitur
angulus A O K æqualis erit angulo C A H; & propterea in duobus triangulis
K A O, & H C A tertius angulus A C H æqualis erit tertio angulo K A O,
& propterea triangulum K A O iſoſcelium, & ſimile erit triangulo H A C,
ſiuè F G E; igitur conus, cuius vertex K baſis circulus A O perpendicularis
ad planum trianguli A K O erit conus rectus, & ſimilis cono E F G dato.
Alioquin contineat illum conus alius, cuius vertex ſit Q, & triangu-
11d lum Q A P, & oſtendetur quemadmodum dictum eſt, quod planum
tranſiens per axim illius coni erectum ad planum ſectionis A B C ſectio
communis cum plano ſectionis eſt A C, & quod punctum verticis illius
coni ſit in circumferentia ſegmenti A H C, & c. Quia ſupponitur, quod
conus Q A P ſimilis cono E F G contineat ellipſim A B C, cuius axis tranſuer-
ſus C A, & latus rectum A D; igitur triangulum per axim coni ductum Q
A P, nedum ſimile erit triangulo E F G, ſed etiam perpendiculare erit ad pla-
num ellipſis A B C, & propterea conſiſtet in plano circularis ſegmenti A H C
pariter erecti ad planum A B C, per idem axim A C extenſum, & eſt angu-
lus A Q C æqualis angulo verticali F propter ſimilitudinem duorum triangu-
lorum, & ex conſtructione primæ partis huius propoſitionis, eſt ſegmentum A
H C capax anguli æqualis angulo F; ſecaturque bifariam in H; igitur angulus
A Q C æqualis ipſi F in peripheria ſegmenti A H C exiſtit. Ducatur poſtea
Q S parallela lateri tranſuer ſo ellipſis A C, quæ ſecet baſim trianguli per axim
Q A P productam in S, & à puncto H bipartitæ diuiſionis ſegmenti A H C
coniungatur recta linea H Q producaturq; quouſq; occurratrectæ lineæ C A in R.
Quoniã duo anguli A H C, & A Q C in eodẽ circuli ſegmento conſtituti æqua-
les ſunt inter ſe; pariterq; duo anguli C A H, & C Q H in eodẽ circuli ſegmento
exiſtentes ſunt æquales, & eſt angulus A P Q æqualis angulo P A Q in triangu-
lo iſoſcelio Q A P; & angulus P A Q æqualis angulo C A H in triangulis ſimi-
libus; igitur angulus A P Q æqualis eſt alterno angulo P Q H; &
299261Conicor. Lib. VI. recta linea H R parallela eſt ipſi A S; & erat prius Q S parallela ipſi C R,
& recta linea C P Q eſt communis; igitur triangula C R Q, & Q S P ſimi-
lia ſunt, & ſpatium R S parallelogrammum eſt; eritque vt prius dictum eſt
proportio quadrati Q S ad rectangulum A S P eadem proportioni rectangnli C
R A ad quadratum R Q; eſt vero quadratum Q S ad rectangulum A S P, vt
ellipſis axis tranſuerſus C A ad eius latus rectùm A D, propterea quod conus
A Q P ſupponitur continere ellipſim A B C; igitur rectangulum C R A ad qua-
dratum R Q eandem proportionem habet, quàm C A ad A D; eſt verò rectan-
gulum H R Q æquale rectangulo C R A; igitur rectangulum H R Q ad qua-
dratum R Q ſeu H R ad R Q eandem proportionem habebit, quàm C A ad A
D; ſed in priori caſu facta eſt H I ad I K in eadem proportione, quàm C A
ad A D; igitur H R ad R Q eandem proportionem habebit quàm H I ad I K.
Ergo diuidendo H K maior ad minorem K I erit vt minor H Q ad ma-
11e iorem Q R, & c. Ideſt quia H R ad R Q eſt vt H I ad I K, & diuiden-
do H Q ad Q R eandem proportionem habebit quàm H K ad K I, & permu-
tando H Q ad H K erit vt Q R ad K I: quod eſt abſurdum; quandoquidem
in circulo ſubtenſa H Q à centro remotior minor eſt, quàm H K, at exterius
comprehenſa Q R maior eſt, quàm K I. Quapropter fieri non poteſt, vt ali-
quis alius conus A Q P præter iam dictos contineat ellipſim A B C, & ſit ſi-
milis dato cono E F G. Textus ergo confuſus corrigi debebat.
Ad propoſitionem 77. libri quinti egi de
346[Figure 346] contactibus circulorum, & ſectionum coni-
carum, eorumque admirabilia ſymptomata à
nemine adhuc quod ſciam excogitata patefeci,
non tamen prædicta diſceptatio omnino perfe-
cta, & abſoluta fuit: itaque iuxta loci exigen-
tiam hic afferam coronidis loco eiuſdem doctri-
næ complementum.
Per rectam lineam coniungentem ver-
22PROP.
15.
Addit. tices duorum conorum eandem baſim ha-
bentium ducere duo plana vtrumque co-
num tangentia: oportet autem rectam li-
neam vertices coniungentem extra peri-
pheriam circuli communis baſis cadere.
Circulus A M C ſit communis baſis duorum
conorum, quorum vertices B, & E, & co-
niuncta recta linea B E extra peripheriam
circuli A M C cadat: duci debent duo plana
tangentia vtroſque conos per eandem rectam
lineam B E extenſa. Et primo recta linea
E B plano circuli A M C æquidiſtet, & ducto
quolibet plano per E B circulum ſecante in
recta linea N O erit ipſa N O pirallela E B;
tunc ducatur diameter A M perpendicularis
ad N O, & per A, & M ducantur A D, M
V tangentes circulum, ſiue perpendiculares
300262Apollonij Pergæi idem diametrum M A; erunt igitur tangentes
347[Figure 347] A D, & M V parallelæ eidem N O, erat au-
tem E B parallela ipſi N O; igitur duæ cir-
culum tangentes A B, & M V parallelæ ſunt
idem E B; & propterea A D, & E B in eo-
dem ſunt plano, vtrumque conum tangente
cum per vertices E, & B ducatur, & per A
D baſis circulum tangentem. Eadem ratione
M V, & E B ineodem plano vtrumque conum
tangente exiſtent. Si verò recta E B plano cir-
culi non æquidiſtat producta alicubi planum
eiuſdem circuli ſecabit extra circulum ipſum,
vt in γ, & tunc quidem à puncto γ extra,
circulum poſito ducantur duæ contingentes γ A,
& γ M. Manifeſtum eſt, rectas lineas A γ,
B E in eodem plano iacere: tranſit verò præ-
dictum planum per vertices B, & E duorum
conorum, atque per γ A tangentem circulum
baſis communis; igitur planum A E B vtrum-
que conum contingit. Eodem modo planum E
B M ex altera parte vtrumq; conum tanget.
Et hoc erat faciendum.
In qualibet coniſectione H A I
11PROP
16.
Addit cuius diameter A L non ſit axis,
per eius verticem A aliam coniſe-
ctionem in eodem plano deſcribere,
quæ priorem abſcindat, atque eadem
recta linea vtramq; ſectionem tangat
in puncto mutuæ earum abſcisſionis.
Sicut in conſtructione prop. 11. & 12.
addit. factum eſt, deſcribatur conus B A
C comprehendens ſectionem H A I, cu
ius vertex B baſis circulus A M C per
ſectionis verticem A ductus, & trian-
gulum per axim B A C efficiat diame-
trum A L: & in duobus circulis æqui-
diſtantibus A C M, & in eo, qui per
ſectionis baſim H I ducitur idẽ planum
ſectionis conicæ deſignet duas parallelas
A D, H I, & planum trianguli per axim
efficiat circulorũ diamctros C A, & eum,
qui per L ducitur æquidiſtantes inter ſe:
ergo ſicuti baſis H I perpendicularis eſt
ad circuli diametrum per L ductam, ſeu
ad baſim trianguli per axim, ita D
301263Conicor. Lib. VI. perpendicularis eſt ad circuli diametrum C A, & propterea A D, planorum
H A I, & A C M communis ſectio, tanget circulum A C, & ideo ſuperficiem
ipſam conicam, & ſectionem in ea exiſtentem continget; & diameter A L non
erit perpendicularis ad tangentem, ſeu ordinatim applicatam A D per verticem
A, alias A L eſſet axis, quod non ponitur. Deinde in plano D A B ex A du-
catur recta linea A E perpendicularis ad A D ſupra, vel infra circulum, &
vertice quolibet puncto E ſumpto in recta linea A E, & baſi circulo A C M fiat
alter conus E A C, in cuius ſuperficie planũ D A H I deſignet ſectionẽ F A G, &
in ea triangulum per axim E A C efficiat diametrum A K: Et quia eadem re-
cta linea D A perpendicularis eſt ad A C, atque ad A E ſe ſecantes in A; ergo
D A perpendicularis eſt ad planum C E A, atque planum D A C extenſum
per perpendicularem D A, erit quoque perpendiculare ad planum trianguli per
axim C E A, quare triangulum per axim efficiet diametrum A K, quæ erit
348[Figure 348] axis ſectionis F A G, atque D A perpendicularis erit ad axim A K exiſtentem
in plano C E A, ad quod D A eſt perpendicularis, & cum ea conuenit: quare
D A ordinatim ad axim applicata perverticem A tanget ſectionem F A G, quæ
1132. lib. I. prius in eodem puncto A tangebat ſectionem H A I in eodem plano exiſtentem;
& propterea eadem recta A D vtramque ſectionem tangit in puncto A. Poſtea
coniungatur recta linea B E, & quia rectæ lineæ B A, A D, A E ſunt in eo-
dem plano tangente vtrumque conum (cum per vertices B, & E, atque per D
A contingentem circulum baſis communis ducatur) & E A, & B A angulum
conſtituunt, cum E A poſita ſit perpendicularis ad D A, at B A ad eandem ſit
inclinata, & exiſtunt in eodem plano; ergo recta B E parallela eſt, aut ſecat
contingentem D A extra circulum vt in D. Poterit igitur ex propoſ. 15. addi-
tarum duci per rectam B E planum aliud B E M V vtrumq; conum
302264Apollonij Pergæi& per rectam B E extendatur aliud planum E N O B inter duo plana contin-
gentia prope verticem A vbicumq; cadens, quod ſecet vtrumque conum, & cir-
culum baſis in recta linea N O, & ſuperficies duorum conorum in lateribus B
N Q, E N, B O, E O R, quarum B N occurret ſemiſectioni A H in quolibet
eius puncto Q prope verticem A, eo quod portio A H, & peripheria A N C ex
cepto puncto eius A totæ inter duo plana conos tangentia intercipiuntur; & eadem
ratione E O occurret ſemiſectioni A G in quolibet eius puncto R vltra verticem
A ad partes G. Et quoniam in eo-
349[Figure 349] dem plano trianguli E N B (ſcili-
cet plani B N O E ſecantis vtrum-
que conum) à puncto E ducitur re-
cta linea E O intra angulum N E B;
ergo vlterius producta ſecabit latus
B N ſubtendentem angulum N E B
inter puncta N, & B, vt in X, &
propterearecta linea N X intra triã-
gulum E N O, & ideo intra conum
E A C intercepta erit; ſimiliter re-
cta linea O X intra triangulum B N
O, & intra conum B A C interclu-
ſa erit: quare quodlibet aliud punctũ
Qlateris conici B N citra, vel vltra
interclusã portionẽ N X cadet neceſ-
ario extra ſuperficiem coni E A C,
& ideo quodlibet punctum Q in pro-
ductione lateris coni B N ſumptum
& in ſemiſſe ſectionis conicæ H A
prope verticem A cadet extra ſemiſ-
ſem ſectionis F A, quæ in ſuperfi-
cie coni E A C exiſtit, & ad eaſ-
dem partes vergit. Pari modo quod-
libet aliud punctum R lateris conici
E O citra, vel vltra intercluſam
portionẽ X O cadet extra ſuperſiciem
coni B A C, & ideo quodlibet punctũ
R ſumptum in medietate ſectionis
conicæ A G prope verticem A cadet
extra medietatem ſectionis A I, quæ
in ſuperficie coni B A C exiſtit, &
ad eaſdem partes vergit. Igitur ſe-
ctio H A I abſcindit coniſectionem
F A G in vertice communi A, vbi
ambo tanguntur ab eadem recta li-
nea A D. Quod erat faciendum.
303265Conicor. Lib. VI.
Si fuerint quotcunque coni
11PROP.
17.
Addit.350[Figure 350] ſuper circulum communem ba-
ſis deſcripti, habentes latus com-
mune indefinitè extenſum in-
triangulis per axes ad baſes
perpendicularibus, atque per ter-
minum lateris communis duca-
tur planum efficiens coni ſectio-
nes tangentes baſim: habebunt
illæ latera recta æqualia inter
ſe, eritquè ſectio ſingularis, ſi
fuerit par abole, vel circulus:
ſi verò fuerit ellipſis, aut hy-
perbole erunt infinitæ.
Sit conus A D C ſingularis, &
A B C ſit multiplex, habentes cir-
culum A C baſeos communem, &
latus A B D productum commu-
ne ſumptum ſit in triangulis per
axes conorum perpendicularibus ad
circulum baſis B C, atque à ter-
mino A ducatur planũ ſecans cir-
culi A C planum in recta linea,
quæ perpendicularis ſit ad diame-
trum C A, quod efficiat in cono
quidem A B C ſectionem A N,
cuius latus rectum ſit X, & latus
tranſuerſum A F: in cono verò
A D C efficiat ſectionem A M, cu-
ius latus rectum Z, & diameter
communis A E; ſitque ſectio A N
hyperbole, circulus, aut ellipſis
circa axim maiorem, aut mino-
rem; Sectio verò ſingularis A M in cono D A C ſit parabole, & ducatur B H
parallela diametro ſectionis A E ſecans circuli diametrum A C in H: & du-
catur C O parallela D A ſecans A E in O. Dico latus rectum Z paraboles A M
æquale eſſe lateri recto X cuiuſlibet alterius ſectionis A N; & ſupponantur tres
parabolæ A M inter ſe æquales earumq; latera recta Z æqualia, quæ in tribus fi-
guris apponẽtur, vt confuſio euitetur. Quoniam vt latus rectum X ad tran-
ſuerſum A F ſectionis A N, ita eſt rectangulum A H C ad quadratum B H:
2212. & 13
lib. I. hæc verò proportio componitur ex ratione C H ad H B, & ex ratione A H ad
H B: eſtque C A ad A F, vt C H ad H B (propter parallelas F A, H B, &
ſimilitudinem triangulorum) & vt A H ad H B, ita eſt A C ad C D, ſeu
304266Apollonij Pergæi A O (cum C D, & H B ſint parallelæ, atque D O ſit parallelogrammum) com-
ponunt verò hæ duæ proportiones rationem quadrati C A ad rectangulum F
A O: ergo vt rectangulum A H C ad quadratum H B; ita eſt quadratum C A
ad rectangulum F A O, & pro-
351[Figure 351] pterea vt X ad A F, ita erit qua-
dratum A C ad rectangulum F A
O, ſed vt F A ad A D (ſum-
ptis æqualibus altitudinibus A O,
C D) ita eſt rectangulum F A O
ad rectangulum A D C; quare ex
æquali X ad A D erit vt quadra-
tum A C ad rectangulum A D C;
tandem vt Z latus rectum para-
boles A M ad D A ita eſt quadra-
11II. lib. I. tum A C ad rectangulum A D C;
igitur X, & Z ad eandem D A
habent eandem proportionem quàm
quadr atum A C ad rectangulum
A D C, & propterea latera recta
X, & Z æqualia ſunt inter ſe.
Et quoniam in quolibet caſu ſectio-
nis conicæ A N latus rectum X
ſemper æquale eſt Z lateri recto
vnius eiuſdemq; paraboles A M;
ergo latera recta X reliquarum
omnium ſectionum æqualia ſunt
inter ſe, licet ſectiones illæ ſint
inæquales, & habeant latera trã-
ſuerſa inæqualia, imò neque eiuſ-
dem ſpeciei ſint. Quod erat pro-
poſitum.
Admiratione dignum præcipuè
eſt in hac propoſitione, quod ſi ſe-
ctio A N fuerit circulus, vnicus
tantummodò erit; nam circuli la-
tus rectum X æquale erit eius dia-
metro, ſeu axi tranſuerſo A F; eſt-
que ſemper latus rectum eiuſdem
menſuræ, vt aſtenſum eſt; igitur
circuli diameter F A idem ſemper erit; & propterea circulus, qui à tali plano
generari poteſt ſingularis erit, nimirum ille, qui in vnico cono A B C efficit
triangula per axim ſimilia, & ſubcontraria B A C, & B F A. Manifeſtum
quoq; eſt parabolem A M ſingularem eße, nam ſupponitur idem circulus baſis A
C, & in plano per axim coni cõmune latus A D B ſemper eoſdẽ angulos D A E,
& D A C efficere conceditur; igitur vt ſectio A M ſit parabole neceßariò recta à
puncto C duci debet parallela diametro par aboles A E; cum ergo in triangulo per
axim D A C detur baſis A C inuariabilis quia circulus vnicus ſupponitur
305267Conicor. Lib. VI. què anguli D, & D A C; dabitur quoq; eius ſpecies ſemper eadem, immo triã-
gulum per axim inuariabile erit, qui ſemper eodem modo inclinatur ad circu-
lum baſis C A: & propterea conus D A C ſemper idem erit, & eodem modo
ſectus, vnde ſectio par aboles A M eadem ſemper omnino erit, habens idem latus
rectum Z. In hyperbole verò, aut ellipſi latera C B poſſunt ſupra, vel infra
C D parallelam ipſi A E à puncto C ductam, extendi, & ſic efficientur tranſuer-
ſa latera A F inæqualia inter ſe, cumque coni ſectiones A N habeant latera
11Maurol.
2. lib. 5.
Conic. recta X æqualia inter ſe, latera verò tranſuerſa A F inæqualia, & hyperbola-
rum commune latus rectum habentium illa maior eſt, cuius axis tranſuerſus eſt
minor: & duarum ellipſium commune latus rectum habentium, illa maior eſt
cuius axis tranſuerſus eſt maior; igitur ellipſes, aut byperbole, quæ in conis
prædicta lege conſtructis deſcribuntur non ſingulares ſed infinitæ eſſe poßunt.
Vbi notandum eſt, quod ellipſes poßunt eſſe eæ quæ ad maiores, aut ad minores
axes adiacent. Pari modo conſtat quod ſi in conis ſuperius expoſitis fiant ſe-
ctiones conicæ conſtituentur ad eundem axim quinque ſectiones commune latus
rectum habentes ſe ſe in eodem vertice tangentes, & earum intima erit elli-
22Maurol.
prop. 28.
lib. 5.
Conic. pſis, quæ ad axim minorem adiacet, & non erit vnica, ſed multiplex, & om-
nes cadent intra circulum, circulus verò intra ellipſim ad axim maiorem acco-
modatam cadet, hæc verò intra parabolen conſtituetur, & inter circulum, &
parabolen infinitæ ellipſes ſe in eodem puncto verticis tangentes collocari poſ-
ſunt. T andem parabole compræhendetur ab infinitis alijs hyperbolis ſe ſe in eo-
dem puncto tangentibus.
Si in qualibet coniſectione B A C
33PROP.
18.
Addit.
ex 51. 52.
lib. 5.352[Figure 352] ducatur breuiſecans ſingularis D A,
tunc quælibet alia coniſectio M A
N, cuius axis ſit eadem breuiſe-
cans, & A L ſemiſſis erecti eius
minor ſit eadem ſingulari breuiſecan-
te A D. Dico ſectionem M A N
interius contingere priorem ſectionem
B A C in A.
Quia A L minor eſt, quàm A D
ſumi poterit recta A O maior quidem quàm A L, & minor quàm A D, &
44Maurol.
pr.4.7.10.
14. lib. 5. centro O interuallo O A deſcribatur circulus P A Q. Manifeſtum eſt, quod
circulus P A Q ſectionem M A N exterius continget in A, at circulus P A
Q interius priorem ſectionem B A C tanget, vt oſtenſum eſt, igitur coni ſe-
55Conic.
Prop. 12.
Addit.
lib. 5. ctio M A N continget ſectionem B A C interius in A. Quod erat oſtenden-
dum.
Iiſdem poſitis ſi ſectionis T A V, cuius axis A D ſemiſſis eius e-
66PROP.
19. Add. recti fuerit A R maior quàm D A, quæ eſt ſingularis breuiſecans ſe-
ctionis B A C. Dico, quod T A V exterius contingit ſectionem B A C
in A.
306268Apollonij Pergæi 353[Figure 353]
Quoniam A R maior ponitur quã
A D ſumi poterit recta A X minor
quidem, quàm A R, ſed maior quã
A D, & centro X interuallo X A
deſcribatur circulus I A S. Patet
11ex pr. 14.
addit.
lib. 5. (ex demonſtratis ſuperius) circulum
I S extrinſecus tangere coniſectionem
B A C; at ſectio T V extrinſecus
22Maurol.
pr. 3. 6. 9.
13. lib. 5.
Conic. circulum I S tangit in eodem puncto
verticis A, ergo ſectio T V extrin-
ſecus tangit coniſectionem B A C in
eodem puncto A. Quod erat oſten-
dendum.
Si in eodem plano circulus F A G ſecuerit coniſectionem H A I in
33PROP.
20.
Addit.
ex 16.
addit.
huius. puncto A quod non ſit vertex axis eius, atque eadem recta linea D A
contingat circulum, & ſectionem in eodem puncto A; Dico quod quæ-
libet alia coniſectio S A Z in eodem plano cum illis poſita cuius axis ſit
idem circuli diameter A K habens Y ſemiſſem lateris recti axis æqualẽ radio
circuli F A G: ſecabit quoque eandem coniſectionem H A I in eodem
puncto A, atque continget eandem rectam lineam A D in A.
354[Figure 354]
Deſcribantur (vt in 16. additarum huius libri factum eſt) duo coni A B C,
Scalenus comprehendens ſectionem H A I, & conus rectus E A C comprehen-
dens circularem ſubcontrariam ſectionem F A G, quorum baſis communis
307269Conicor. Lib. VI. circulus A M C, ita vt idem planum per vertices conorum B, & E, & per
A D contingentem eundem circulum baſis extenſum tangat vtrumque conum
in lateribus A B, & A E. Poſiea ſi S A Z optatur parabole ducatur in plano
A E C ex C recta C N parallela A K axi ſectionis F A G; ſi verò S A Z
dſideratur hyperbole, aut ellipſis producatur axis A K in directum extra aut intra
ſectionem, & in recta linea K A O ſecetur portio A O æqualis lateri tranſuer-
ſo ſectionis S A Z, coniungaturque recta linea C O, ſecans E A in N (eo
quod axis K A in plano A E C erecto ad circulũ A M C, exiſtit) & vertice N
fiat alter conus N C A. Manifeſtum eſt in cono recto E A C deſignari ab eo-
dem plano D A K circulum F A G, at in cono recto N A C efficietur alia ſe-
ctio conica circa communem axim A K, quæ ſe ſe mutuo, & eandem rectam
lineam D A tangent, in communi vertice A, atque circuli F A G, & ſectio-
11Prop. 17.
addit.
huius. nis genitæ in cono N A C duo latera recta erunt æqualia, & propterea ſectio-
nis genitæ in cono N A C ſemilatus rectum æquale erit radio circuli γ ſeu di-
midio erecti ſectionis H A I, & ſi habuerit latus tranſuerſum erit æquale A
O; ergo ſectio genita in cono N A C, & ſectio S A Z circa communem axim
A K habent latus rectum cummune duplum ipſius γ, & etiam commune latus
tranſuerſum A O: Quare ſectio genita in cono N A C, & S A Z æquales ſunt
2210. huius. inter ſe, & congruentes; quapropter idem planum D A K, quod efficit in cono
Scaleno B A C ſectionem H A I, deſignat quoque in cono recto N A C ſectio-
nem S A Z: habent verò hi duo coni circulum baſis communem, & idem pla-
num per contingentem A D, & per vertices B, & N ductum vtrumque co-
num tangit; igitur (vt demonſtratum eſt in 16. Addit. huius) ſectio conica
S A Z abſcindet aliam ſectionem H A I, & ambæ tangentur ab eadem recta
linea D A in eodem puncto mutuæ abſciſſionis A. Quod erat propoſitum.
Si in qualibet coniſectione B A C
355[Figure 355]33PROP.
21.
Addit. ducatur breuiſecans ſingularis D A,
& quælibet alia coniſectio I A K,
cuius axis ſit D A, atque ſemiſſis
lateris recti axis ſectionis I A K ſit
æqualis breuiſecanti D A. Dico,
ſectionem I A K contingere eandem
rectam lineam G A, quàm tangit
ſectio B A C, & abſcindere reli-
quam coniſectionem in eodem pun-
cto A.
Deſcribatur centro D interuallo D
A circulus T A S conſtat (ex prop. 10. additarum libri quinti) circulum T
A S ſecare coniſectionem B A C in A, cumque circa eundem axim D A po-
nantur circulus T A S, atque coniſectio I A K, cuius lateris recti ſemiſſis æ-
qualis eſt D A radio circuli T A S, ergo coniſectio I A K abſcindit coniſectio-
4420. addit.
huius. nem B A C in eodem puncto A, in quo ſecatur à circulo T A S, & tanguntur
ab eadem contingente G A in puncto A. Quod erat, & c.
308270Apollonij Pergæi Conicor. Lib. VI.
Sectionum conicarum circa axim communem poſitarum datam coniſe-
11PROP.
22.
Addit. ctionem abſcindentium non in eius vertice, quas omnes eadem recta li-
nea contingat, erunt ſingulares tantummodo parabolæ, & circulus, elli-
pſes verò, & hyperbole erunt infinitæ.
Quoniam circa communem axim D
356[Figure 356] A conſtitui poßunt parabolæ, circulus,
infinitæ hyperbolæ, & infinitæ ellipſes
22Prop. 17.
addit.
huius. habentes ſemilatus rectum axis æqualẽ
ſingulari breuiſecanti D A in ſectione
conica B A C educto, & hæ omnes ab-
33Prop. 21.
addit.
huius. ſcindunt coniſectionem B A C in A.
Ergo patet propoſitum.
Hinc colligitur dari non poſſe coniſe-
ctionem minimam extrinſecus tangen-
tium, neque maximam intrinſecus tã-
gentium eandem coniſectionem in pun-
cto A extra verticem axis poſito.
Nam quælibet coniſectio, cuius ſemie-
rectum axis minus eſt breuiſecante ſingulari D A intrinſecus tangit ſectionem
44Prop. 18.
addit.
huius. B A C in A, & ſi ſemierectum maius fuerit eadem D A extrinſecus eandem
ſectionem B A C continget, neque vnquam ceſſant prædicti contactus extrin-
55Prop. 19.
addit.
huius. ſeci, vel intrinſeci quouſque ſemierectum axis efficitur æquale breuiſecanti D
A: at tunc non amplius contingit, ſed ſecat eam in A. Quare patet propoſi-
66Prop. 21.
addit.
huius.tum.
Conſtat etiam quod parabolarum vnica tantummodò, & circulorum vnicus
etiam abſcindit coniſectionem B A C in A, & contingit eandem contingentem
A G in A.
At hyperbolarum, atque ellipſium abſcindentium eandem ſectionem B A C in
A, quas omnes eadem recta linea A G tangit in A non poteſt affignari maxi-
ma, neque minima.
Nam vt dictum eſt ad 17. Additarum huius libri infinitæ hyperbolæ ſe ſe
contingentes in vertice axis deſinunt in parabolam vnicam, & poſt parabolam
interius ſe ſe ſucceſſiuè contingunt infinitæ ellipſes ad axim maiorem adiacen-
tes, quæ deſinunt in circulum vnicum, ac poſt circulum interius eum contin-
gunt inſinitæ ellipſes ad axim minorem adiacentes, quarum omnium ſemiere-
cta latera axium æqualia ſunt breuiſecanti ſingulari D A datæ ſectionis B A C.
Quare patet propoſitum.
LIBRI SEXTI FINIS.
309271APOLLONII PERGAEI CONICORVM LIB. VII.
DEFINITIONES.
I.
SI diuidatur inclinatum ſecundum proportionem
figuræ, aut addatur vni axium ellipſis linea,
earumque differentia, aut aggregatum ad ean-
dem lineam habeat eandem proportionem fi-
guræ: vocabo homologam inclinati PRÆSE-
CTAM.
II.
Et homologam erecti INTERCEPTAM.
III.
Atque punctum, quod eſt extremum ipſius interceptæ, & dia-
metri: vocabo TERMINVM COMMVNEM.
IV.
Reliquum verò TERMINVM DIVIDENTEM.
V.
Et differentiam, vel ſummam lateris, & interceptæ: vocabo IN-
TERCEPTAM COMPARATAM.
VI.
Differentiam verò, aut ſummam lateris, & præſectę: vocabo
PRÆSECTAM COMPARATAM: hoc autem latus refer-
tur ad diametrum, quæ bifariam diuidit lineam coniungen-
tem verticem ſectionis, & terminum potentis huius lateris:
310272Apollonij Pergæi reliquæ verò lineæ referuntur ad hoc latus.
VII.
Inſuper vocabo duas diametros coniugatas, & æquales in elli-
pſi, ÆQVALES.
Et ſi quidem ad vtraſque partes axis ſectionis duæ diame-
tri educantur, quæ ad ſua erecta eandem proportionem ha-
beant, vtique vocabo cas ÆQVALES.
VIII.
Diametros verò æquales ad vtraſque partes duarum axium elli-
pſis cadentes, voco Homologas illius axis: ſuntque homo-
logæ diametri in ellipſi tranſuerſa ad tranſuerſam, & recta
ad rectam.
NOTÆ.
I. P Rima definitio breuiſſimè exponi poteſt hac ratione. Si axis tranſuerſus
interius in hyperbola diuidatur, aut exterius in ellipſi, ſecundum pro-
portionem figuræ, ſegmentum homologum axis tranſuerſi vocabo Præſectum, vt
ſi fuerit hyperbole, vel ellipſis A B, cuius axis tranſuerſus A C, centrum D,
latus rectũ A F, & in hyperbola ſecetur C A inter vertices A, & C; in ellipſi
verò ſecetur exterius in puncto G, ita vt ſumma, vel differentia ipſarum G A,
& axis C A, ideſt C G ad G A habeat proportionem figuræ ſcilicet eandem,
quàm habet latus tranſuerſum C A ad latus rectum A F; tunc quidem vocatur
recta linea C G Præſecta.
II. Atque G A vocatur Intercepta.
III. Punctum verò A extremum
357[Figure 357] interceptæ G A, & diametri C A
vocabitur terminus communis dua-
rum linearum, ſcilicet axis C A, &
additæ, vel ablatæ A G.
IV. Punctum verò G, in quo axis
A C interius, vel exterius diuiditur
ſecundum proportionem figuræ voca-
tur terminus diuidens; Si verò ſece-
tur C H æqualis A G vocabitur etiã
C H intercepta, & A H præſecta,
atque C terminus communis, & H
terminus diuidens.
V. Si diameter I L ſecuerit biſa-
riam ſubtenſam A B à ſectionis ver
tice A eductam, atque à termino
311273Conicor. Lib. VII. ducatur B E perpendicularis ad axim eum ſecans in E, tunc quidem axis ſeg-
mentum C E ab oppoſito vertice C ductum, vocat interpres Latus. Poſtea ſum-
mam in prima ellipſi, & differentiam in reliquis figuris lateris C E, & inter-
ceptæ H C, nimirum ipſam lineam H E, vocat Interceptam comparatam.
VI. Et lateris C E, & præſectæ G C differentia in tribus prioribus figuris,
& ſumma in figura quarta, ideſt G E, vocatur Præſecta comparata.
VII. Ducantur in ellipſi A B C duæ diametri coniugatæ I L, & N O, quæ
inter ſe ſint æquales. Vel tranſuerſa I L ad eius latus rectum eandem propor-
tionem habeat, quàm eius coniugata N O ad ſuum latus rectum; tunc quidem
vocat pariter diametros coniugatas I L, N O AEquales.
358[Figure 358]
SECTIO PRIMA
Continens Propoſit. I. V. & XXIII.
Apollonij.
PROPOSITIO I.
SI in parabola A B à termino
359[Figure 359] axis A D educatur recta linea
A B ſubtendens ſegmentum @ectionis
A B, & ab eius termino ducatur B
D ad axim perpendicularis; vtiquè
illa chorda poterit eius abſciſſam D
A in aggregatum abſciſſæ, & erecti.
Fiat A F æqualis erecto A E. Quia
11a quadratum A B eſt æquale quadrato D
312274Apollonij Pergæi cum quadrato D B, quod eſt æquale ipſi A D in A F; igitur eſt æqua-
le ipſi F D in D A. Quod erat oſtendendum.
PROPOSITIO V. & XXIII.
IN parabola A B C cuiuſcumque diametri B F erectus B H ex-
cedit axis A D erectum A E quadruplo abciſſæ A D potentis
à termino illius diametri ad axim ductæ 23. & diametri C G, re-
11a motioris ab axe, erectus C I maior eſt erecto B H diametri propin-
quioris B F quadruplo differentiæ axis abſciſſarum potentium à
terminis diametrorum ad axim ductorum.
360[Figure 360]
Educamus A L, B K tangentes in A, B, & B N perpendicularem ad
B K, erit K D in D N æquale quadrato D B, quod eſt æquale ipſi A E
2211. lib. 1. in A D; ergo K D ad D A eandem proportionem habet, quàm A E ad
D N: eſtque D K dupla ipſius A D (37. ex 1.) igitur A E eſt dupla
3335. lib. 1. ipſius D N; quarè A E cum duplo D K, nempe cum quadruplo A D eſt
44b æqualis duplo K N, nempe B H (eo quod N K ad B K tangentem ean-
dem proportionem habet, quàm aſſumpta M B ad B L coniugatam (57.
5544. lib. 1. ex 1.) (propter ſimilitudinem duorum triangulorum); ergo B H æqualis
eſt quadruplo A D cum A E; quarè erectus diametri B F excedit A E
quadruplo A D. & A O maior eſt, quàm A D; ergo erectus diametri
66c C G remotioris maior eſt, quàm erectus B F proximioris quadruplo D
O differentiæ abſciſſarum. Et hoc erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. I.
QVia quadratum A B eſt æquale quadrato D A, & c. Quoniam re-
77a ctangulum F D A æquale eſt rectangulo F A D ſubſegmentis vna cum
quadrato reliqui ſegmenti D A; eſtque latus rectum A E
313275Conicor. Lib. VII. A F; igitur rectangulum F D A æquale eſt
361[Figure 361] rectangulo D A E vna cum quadrato D A;
ſed quadratum ordinatim ad axim applicatæ
112 1. lib. 1. B D æquale eſt rectangulo D A E ſub abſciſ-
ſa & latere recto contento; igitur rectangu-
lum F D A æquale eſt duobus quadratis B D,
& D A: eſtquè quadratum A B ſubtenden-
tis rectum angulum D æquale duobus quadra-
tis B D, & D A; igitur quadratum ſubten-
ſæ A B æquale eſt rectangulo A D E ſub ab-
ſciſſa D A, & ſub D F, quæ æqualis eſt ei-
dem abſciſſæ cum latere recto.
Notæ in Propoſit. V. & XXIII.
ET diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior eſt erecto B H
22a diametri propinquioris B F, & c. Videtur hæc 23. propoſitio deficiens;
cum omnino inueriſimile ſit Apollonium non animaduertiſſe rem adeo facilem;
quod nimirum diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior ſit erecto B
H diametri B F proximioris quadruplo differentiæ axis abſciſſarum potentium
à terminis diametrorum ad axim ductorum.
Quare A E cum duplo K D, nempe cum quadruplo A D eſt æqualis
33b duplo K N, nempe dimidio B H, & c. Zuoniam B H latus rectum diame-
4449. lib. 1. tri B F ad duplum contingentis B K eſt vt M B ad B L, ſed (propter æqui-
diſtantes, & ſimilitudinem triangulorum L B M, & K N B) vt M B ad B
L, ita eſt duplum N K ad duplum R B; ergo latus rectum B H æquale eſt du-
plo K N; ſed prius oſtenſum eſt quod D A æqualis eſt medietati ipſius D K, &
5535. .lib. 1. D N æqualis medietati ipſius A E; igitur duplum K N æquale eſt duplo K D,
ſeu quadruplo A D cum duplo D N, ſeu cum A E.
Et A O maior eſt, quàm A D; ergo erectus diametri C G remotioris
66c maior eſt quàm erectus B F proximioris, & c. Addidi in bac concluſione
verba bæc (quadruplo D O differētiæ abſciſſarum) quæ videntur deficere. Ma-
nifeſtum enim eſt, quod C I latus rectum diametri C G ab axe remotioris ſu-
perat latus rectum B H diametri F B axi propinguioris quadruplo D O diffe-
rentiæ abſeiſſarum axis ab ordinatis à verticibus earũdem diametrorum ductis;
nam B H æqualis oſtenſa eſt E A vna cum quadruplo A D, eademque ratione
C I æqualis eſt eidem axis lateri recto E A cum quadruplo A O; ergo exceſſus
C I ſupra B H erit æqualis quadruplo differentiæ D O.
314276Apollonij Pergæi
SECTIO SECVNDA
Continens Propoſit. II. III. IV. VI.
& VII. Apollonij.
PROPOSITIO II. & III.
SI in ſectione A B à termino cõmuni A vtriuslibet interceptæ
11a educatur linea recta A B vſq; ad ſectionem, atquè ab eius
termino B ad axim A E ducatur perpendicularis B E; erit qua-
dratum A B ad rectangulum contentum à rectis lineis inter per-
pendicularis incidentiam, & terminos interceptæ, nempe A E
in G E habebit eandem proportionem, quàm habet inclinatus,
ſiuè tranſuerſus A C ad præſectam C G.
362[Figure 362]
Sit itaque A F erectus A C, & ponamus A E in E H æquale quadra-
to B E; igitur A E in E H ad A E in E C, nempe H E ad E C eſt vt
363[Figure 363]
315277Conicor. Lib. VII. A F ad A C, & vt A G ad G C; ergo H E ad E C eſt vt A G ad G
C; & componendo in hyperbolis, & diuidendo in ellipſibus, deinde
11b comparando homologorum differentias in duabus figuris prioribus, &
ſummas homologorum in reliquis, fiet A H ad G E, vt C A ad C G;
ergo A H in A E; nempe quadratum A B ad G E in A E eſt vt C A
inclinatus, ſiue tranſuerſus ad C G præſectam. Quod fuerat propoſi-
tum.
PROPOSITIO IV.
SI hyperbolen, aut ellipſin A B tangat recta linea I M in I,
22a& occurrat axi A C in M; vtique ipſius I M quadratum
ad quadratum ſemidiametri ND coniugatæ ipſi I L habebit eã-
dem proportionem, quàm axis contenta M S ad eius inuerſam
S D.
364[Figure 364]
Educantur A Q, M R perpendiculares ad axim vſque ad I L, ponatur-
que linea P, quæ ad I M eandem proportionem habeat, quàm K I ad
Q I, ſeu eandem, quàm habet M I ad I R; Ergo P eſt ſemiſſis erecti
3350. lib. 1. diametri I L (52. ex 1.) atque D N dimidium coniugatæ diametri N O
poterit P in I D, atque I M poterit P in I R; & ideo I R ad I D,
nempe M S contenta ad S D inuerſam eandem proportionem habet, quã
quadratum tangentis I M ad quadratum N D ſemiſſis coniugatæ ipſius I
L. Et hoc erat propoſitum.
316278Apollonij Pergæi
PROPOSITIO VI. & VII.
SI in hyperbole, aut ellipſi addantur axi tranſuerſo, vel au-
11a ferantur ab inclinato duæ interceptæ A G, C H ab eius
terminis A, C, atque à vertice ſectionis A educatur recta linea
A B ad terminum alicuius potentialis B E, & per centrum D
365[Figure 365] ducãtur diametri coniugatæ I L, N O, ita vt rectus N O æqui-
diſtet ipſi lineæ A B: vtiquè proportio figuræ inclinatæ, vel
tranſuerſæ coniugatarum, quæ eſt eadem proportioni quadrati
I L ad quadratum N O, erit quoquè eadem, quàm habent li-
neæ inter incidentiam illius ordinatim applicatæ ad axim, & ter-
minos diuidentes duarum interceptarũ, ſcilicet vt H E ad E G.
Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D eſt
22b æqualis D C, & A K æqualis K B (eo quod I L cum ſit coniugata N O
bifariam diuidit A B) erit C B parallela ipſi I D, & propterea M S ad
S D, nempè A E ad E C (propter ſimilitudinem triangulorum) eſt vt
quadratum I M ad quadratum N D (4. ex 7.) & quadratum I D ad qua-
dratum I M eſt vt quadratum C B ad quadratum B A (propter ſimilitu-
dinem triangulorum); ergo proportio quadrati I D ad quadratum N D
eſt compoſita ex ratione A E ad E C, & ex ratione quadrati C B ad qua-
dratum B A; ſed proportio quadrati C B ad quadratum B A eſt compo-
ſita ex ratione quadrati C B ad C E in E H, & ex ratione C E in E H
ad A E in E G, & ex ratione A E in E G ad quadratum A B; eſt vero
quadratum C B ad C E in E H, vt C A ad A H (3. ex 7.) atquè A E
in E G ad quadratum A B eſt vt G C ad C A (2. ex 7.) , & proportio
C E in E H ad A E in E G, componitur ex ratione C E ad A E, &
317279Conicor. Lib. VII.366[Figure 366] H E ad E G; igitur proportio quadrati I D ad quadratum N D compo-
ſita eſt ex proportione C A ad A H, & ex G C ad C A, atque ex C E
ad E A, & A E ad E C, & tandem ex H E ad E G; ſed C A ad A H,
& G C ad C A componunt proportionem C A ad ei æqualem A C: ſi-
militer C E ad E A, & A E ad E C eſt vt E C ad ſe ipſam: quare ſi hæ
proportiones auſerantur, remanebit E H ad E G, vt quadratum I D ad
quadratum N D: nempe erit eadem ac proportio figuræ diametri I L.
Quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. II. III.
SI in ſectione A B à termino communi A interceptæ, & c. Addidi par-
ticulam vtriuslibet interceptæ vt propoſitio efficiatur vniuerſalis compræhen-
11a367[Figure 367]
318280Apollonij Pergæi dens quartum caſum in poſtrema figura, quàm ſuperaddidi, vti neceſſariam,
pro intelligentia octauæ propoſitionis.
Et componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi prima deindè
11b coniungendo in duabus figuris prioribus, & occurrere faciamus reſpe-
ctiuum cum reſpectiuo in reliquis figuris poſt inuerſionem, vt fiat, & c.
368[Figure 368] Ideſt componendo in byperbolis, & in ellipſibus comparando differentias termi
norum ad conſequentes, deinde comparando homologorum differentias in duabus
figuris prioribus, & ſumas in reliquis, innc enim A H ad G E eſt, vt A C
ad C G, & ſumpta communi altitudine E A, erit tectangulum H A E ad re-
ctangulum G E A, vt A C ad C G. Seà rectangulum H A E æquale eſt qua-
drato A E vna cum rectangulo H E A, cui æquale eſt quadratum B E, ergo
quadratum A B æquale eſt rectangulo H A E (propterea quod A B ſubtendit
angulum rectum E in triangulo B A E) quare quadratũ A B ad rectangulum
A G E eandem proportionẽ habet quàm C A ad C G.
Notæ in Propoſit. IV.
SI hyperbolen, aut ellipſim A B tangat recta linea I M, & occurrat
22a axi A C in M, vtique ipſius I M quadratum, & c. Suppleri debet
369[Figure 369]
319281Conicor. Lib. VII. conſtructio, quæ deficit in hac propoſitione, vt nimirum ſenſus continuatus ſit
à punctis M, A, I educatur ad axim perpẽdiculares M R, A Q, & I S ſecãtes
diametros in R, Q, & S, & A Q, I M ſe mutuò ſecent in K, erit I S
ordinatim ad axim applicata, & A Q, ſicuti etiam I M contingit ſectionem.
vocat autem Interpres rectam lineam M S, quæ inter tangentem, & ordinatam
interijcitur Contentam, atque D S vocat Inuerſam.
Notæ in Propoſit. VI. & VII.
SI addatur duabus extremitatibus tranſuerſæ, aut inſiſtant ad duas ex-
11a tremitates recti, aut diminuatur à duabus extremitatibus inclinati A,
370[Figure 370]& C duo intercepta, & c. Expungo verba appoſititia. Aut inſiſtat ad duas
extremitates recti; quæ ſenſum perturbant.
Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D eſt
22b æqualis D C, & c. Ideſt Educamus I M contingentem ſectionem in I, quæ
371[Figure 371]
320282Apollonij Pergæi ſecet axim in M, & I S ad axim perpendicularem, ſeu ordinatim applica-
tam, eum ſecans in S. Et quia trianguli A C B duo latera A C, A B ſecan-
tur proportionaliter, ſcilicet bifariam in D, & K; ergo I D parallela eſt baſi
C B: eſtquè tangens I M parallela ipſi B A, cum ambo ad diametrum I L ſint
11Prop. 5.
lib. 2. ordinatim applicatæ; pariterquè I S parallela eſt B E ( cum ſint ad axim per-
pendiculares ) igitur triangula M I S, A B E ſimilia erunt; pariterquè trian-
gula D I S, C B E erunt ſimilia: & ideo M S ad S I erit vt A E ad E B, &
S I ad S D erit, vt B E ad E C: quarè ex æquali ordinata M S ad S D ean-
dem proportionem habebit, quàm A E ad E C: eſtquè quadratum I M ad qua-
dratum N D, vt M S ad S D; ergo quadratum I M ad quadratum N D eſt,
22Prop. 4.
huius. vt A E ad E C, & c.
372[Figure 372]
SECTIO TERTIA
Continens Propoſit. Apollonij VIII. IX. X.
XI. XV. XIX. XVI. XVIII.
XVII. & XX.
VIII. IN hyperbola, vel ellipſi quadratum axis inclinati, ſiue
tranſuerſi ad quadratum ſummæ duarum diametrorum
coniugatarum eiuſdem ſectionis habebit eandem proportionem,
quàm productum præſectæ axis in ſuam interceptam compara-
tam ad quadratum ſummæ ſuæ interceptæ, & potentis compa-
ratarum.
321283Conicor. Lib. VII. 373[Figure 373]
IX. Vel ad quadratum
differẽtiæ coniugatarum eã-
dem proportionem habet,
quàm productum præſectæ in
ſuam interceptam compara-
tam ad quadratum differen-
tiæ interceptæ, & potentis
comparatarum.
X. Vel ad rectangulum
ſub duabus coniugatis con-
tentum eandem proportionem habet, quàm præſecta axis ad
ſuam potentem comparatam.
XI. Ad ſummam verò duorum quadratorum ex coniugatis
eandem proportionem habet, quàm præſecta ad ſummam præ-
ſectæ, & interceptæ comparatarum.
XV. Sed ad quadratum erecti vnius coniugatæ eandem pro-
portionem habet, quàm præſecta axis in ſuam interceptam com-
paratam ad quadratum ſuæ præſectæ comparatæ.
XIX. Sed ad quadratum differentiæ vnius coniugatarum, &
eius erecti eandem proportionem habet, quàm productum præ-
ſectę axis illi diametro homologę in ſuam interceptam compa-
ratam ad quadratum exceſſus præſectæ, & interceptæ compara-
tarum.
XVI. Ad quadratum verò ſummæ inclinatæ diametri, & eius
erecti eandem proportionem habet, qnàm præſecta axis in ſuam
interceptam comparatam ad quadratum ſummæ interceptæ, &
præſectæ comparatarum.
XVIII. Sed ad figuram inclinatæ vnius coniugatarum ean-
dem proportionem habet, quàm axis præſecta ad præſectam
comparatam.
XVII. Et ad ſummam duorum quadratorum inclinatæ, &
erecti vnius coniugatarum eandem proportionem habet, quàm
præſecta in interceptam comparatam ad duo quadrata præſectæ,
& interceptæ comparatarum.
XX. Et tandem ad exceſſum duorum quadratorum laterum
figuræ inclinatæ duarum coniugatarum eandem proportionem
habet, quàm productum præſectæ in interceptam comparatã ad
exceſſum quadratorum præſectæ, & interceptæ comparatarum.
322284Apollonij Pergæi
Iiſdem figuris manentibus ſit H V potens comparata, & I P ſit erectũ
11a ipſius I L. Dico quod quadratum A C ad quadratum ſummæ I L, & N
O eſt vt C G in E H ad quadratum E H V. Quia quadratũ A D æquale
374[Figure 374] eſt S D in D M (39. ex I.) ergo S D in D M ad quadratum I D, nem-
2237. lib. I.33b pe E C in C A ad quadratum C B (propter ſimilitudinem triangulorũ)
eſt vt quadratum A D ad quadratum I D, nempe vt quadratum A C ad
quadratum I L: eſtque quadratum C B ad C E in E H, vt C A ad A
H, ſeu ad C G (2. 3. ex 7.) ideſt vt A C in C E ad C G in C E, &
permutando; igitur A C in C E ad quadratum C B, quod habebat
(vt oſtenſum eſt) eandem proportionem, quàm quadratum A C ad
quadratum I L, erit vt G C in C E ad C E in E H, nempe vt C
G ad E H, ſeu C G in E H ad quadratum E H; igitur quadratum.
A C ad quadratum I L eandem proportionem habet, quàm C G in.
E H ad quadratum E H. Et quadratum I L ad quadratum N O, ſeu L I
ad I P eſt vt H E ad E G (6. 7. ex 7.) ſcilicet vt quadratum E H ad
H E in E G, quod æquale ſuppoſitum fuit quadrato H V; Ideoque
I I. ad N O eandem proportionem habebit, quàm E H ad H V; qua-
propter quadratum I L, ſiue ad quadratum ſummæ ipſarum I L, N O eſt
vt quadratum H E ad quadratum E H V; ſiue ad quadratum differentiæ
I L, & N O erit vt quadratum E H ad quadratum differentiæ E H, &
H V, ſiue ad I L in N O habebit eandem proportionem, quàm E H ad
H V; ſiue ad duo quadrata I L, N O eandem proportionem habebit,
quàm E H ad ſummam E H, E G; eo quod quadratum I L ad quadra-
tum N O eſt vt E H ad E G; ſiue inſuper ad quadratum I P eandem
proportionem habebit, quàm quadratum E H ad quadratum E G; vel
potius ad quadratum differentiæ I L, & I P erit vt quadratum E H ad
quadratum differentiæ E H, & E G, vel rurſus ad quadratum rectæ li-
neæ ex L I, & I P compoſitæ, erit vt quadratum H E ad quadratum
ſummæ duarum H E, E G, atque ad L I in I P eandem proportionem
habebit, quàm H E ad E G; vel ad quadratum ipſius L I cum quadrato
I P habebit eandem proportionem, quàm quadratum H E ad duo
323285Conicor. Lib. VII. drata H E, & ipſius E G, ſiue ad differentiam duorum quadratorum L
I, & ipſius I P eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E
ad differentiam duorum quadratorum H E, & E G. Et iam oſtenſum eſt
quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habet,
quàm C G in H E ad quadratum H E; 8. ergo ex æqualitate quadratum
A C, fiue ad quadratum ſummæ I L, N O eſt, vt C G in H E ad qua-
dratum E H V; 9. ſiue ad quadratum differentiæ eius, quæ eſt inter I
11c L, N O eſt vt C G in H E ad quadratum exceſſus E H ſupra H V: 10.
22d ſiue ad I L in N O erit, vt C G ad H V: 11. ſiue ad duorum quadrato-
33e375[Figure 375] rum I L, N O ſummam, erit vt
C G ad ſummam G E, E H; 12.
44f ſiue ad quadratum I P erit, vt
C G in H E ad quadratum E G:
13. ſiue ad quadratum differen-
55g tiæ L I, I P erit, vt C G in E
H ad quadratum differentiæ H
E, E G: 14. ſiue ad quadratum
66h ex recta linea æquali sũmæ dua-
rum L I, I P, erit vt C G in
E H ad quadratum ex recta li-
nea compoſita ex H E, E G:
77i 15. ſiue ad L I in I P erit vt C G ad G E: 16. ſiue ad duo quadrata ex
L I, & ex I P erit vt C G in E H ad duo quadrata E G, & E H: 17.
88k ſiue ad differentiam duorum quadratorum ex L I, & ex I P erit vt C G
99l in E H ad differentiam duorum quadratorum ex H E, & ex E G. Et
hoc erat propoſitum.
Notæ in Propoſit. VIII.
IIſdem figuris manentibus ſit H V potens comparata, & c. Præter defi-
1010a nitiones ſuperius expoſitas hic duæ aliæ declarari debent, ignotum enim eſt
quid nam nomine Figuræ comparatæ, & Potentis comparatæ intelligi debeat.
Itaq; rectangulum ſub præſecta comparata, & intercepta comparata contentum,
ideſt rectangulum H E G vocatur Figura comparata: & ſi quadratum rectæ li-
neæ H V æquale fuerit rectangulo H E G vocatur H V Potens comparata.
Ergo S D in D M ad quadratum D I, nempe E C in C A ad qua-
1111b dratũ C E, & c. AEqualia enim ſpatia, ſcilicet rectangulũ S D M, & quadratũ
121237. lib. I. D A ad idem quadratum I D habent eandem proportionem; ſed quia triangula
M I D, & A B C ſimilia ſunt, propterea quod latera homologa ſunt parallela
inter ſe; pariterquè triangula D S I, & C E B ſunt ſimilia, vt oſtenſum eſt
in 6. & 7. huius; ergo S D ad D I erit vt E C ad C B, atquè M D ad D I
eſt vt A C ad C B erunt compoſitæ proportiones eædem inter ſe, ſcilicet rectan-
gulum S D M ad quadratum D I eandem proportionem habebit, quàm rectan-
gulum E C A ad quadratum C B; quare vt quadratum A D ad quadratum
D I, ſeu vt quadruplum ad quadruplum, ſcilicet vt quadratum A C ad qua-
dratum I L, co quod A D, & I D ſemiſſes ſunt diametrorum A C, I L.
324286Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. IX.
SIue ad quadratum differentiæ eius, quæ eſt inter I L, N O eſt vt C
11c G in H E ad quadratum E H, H V, & c. Licet nouem ſubſequentes
propoſitiones facile ex octaua deducantur, nequeunt tamen omnes ſimul conglo-
batæ vnico bauſtu deuorari; itaque opere prætium erit aliquantisper breuita-
tem nimiam Arabici Interpretis relinquere. Tria demonſtrata ſunt in propoſi-
tione octaua, quæ in ſequentibus nouem propoſitionibus vſum babent. Primò
quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habeat, quàm
rectangulum C G in H E ad quudratum H E. Secundò quod I L ad N O ean-
dem proportionem habeat, quàm H E intercepta comparata ad H V potentem
comparatam. Tertio quod quadratum I L ad quadratum N O, ſeu L I ad eius
2215. & 16.
lib. I.376[Figure 376] latus rectum I P, ſit vt H E ad E G, vel vt quadratum H E ad rectangulum
H E G, vel ad quadratũ H V. Modo propoſitio nona ſic demonſtrabitur. Quia
I L ad N O eandem rationem habet quàm H E ad H V, erunt antecedentes ad
differentias terminorum proportionales, ideſt I L ad differentiam ipſarum I L,
& N O eandem proportionem habebit, quàm H E ad differentiam ipſarum E
H, & H V: atquè quadratum I L ad quadratum ex differentia ipſarum I L,
& N O deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E ad
quadratum ex differentia ipſarum E H, & H V deſcriptum: erat autem qua-
338. huius. dratum A C ad quadratum I L, vt rectangulum C G in H E ad quadratum
E H; ergo ex æquali ordinata quadratum A C ad quadratum ex differentia ip-
ſarum I L, & N O deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm rectangu-
lum C G in H E ad quadratum ex differentia ipſarum E H, & H V.
325287Conicor. Lib. VII.
Notæ in Propoſit. X.
SIue ad I L in N O erit vt C G ad H V, & c. Quia I L ad N O habe-
11d bat eandem proportionem, quàm E H ad H V poſitis communibus altitudi-
nibus I L, & E H habebit quadratum I L ad rectangulum I L in N O eandẽ
proportionem, quàm quadratum E H ad rectangulum E H in H V; ſed qua-
22ex prop. 8.
huius. dratum A C ad quadratum I L habebat eandem proportionem, quàm rectangu-
lum C G in E H ad quadratum E H; ergo ex æqualitate quadratum A C ad
rectangulum ſub I L in N O eandem proportionem habet, quàm rectangulum
C G in H E ad rectangulum E H in H V, ſiue quàm habet C G, ad H V.
377[Figure 377]
Notæ in Propoſit. XI.
SIue ad duorum quadratorum I L, N O ſummam erit vt C G ad ſum-
33e mam G E, & E H, & c. Quia quadratum I L ad quadratum N O erat,
vt H E ad E G, antecedentes ad ſummas terminorum erunt proportionales,
ſcilicet quadratum I L ad quadratum I L ſimul cum quadrato N O eandem pro-
44Prop. 8.
huius. portionem babebit, quàm H E ad ſummam ipſarum H E, & E G; erat au-
tem quadratum C A ad quadratum I L, vt C G ad E H; ergo ex æqualitate
quadratum A C ad quadrata ex I L, & ex N O ſimul ſumpta eandem pro-
portionem babebit, quàm C G, vel H A ad ſummam ipſarum H E, & G E.
326288Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XV.
SIue ad quadratum I P erit vt C G in E H ad quadratum E G, & c.
11f Quoniam I L ad I P erat vt H E ad E G; ergo quadratum I L ad qua-
dratum I P erit vt quadratum H E ad quadratum E G; erat autem quadra-
tum A C ad quadratum I L, vt rectangulum C G, ſeu A H in H E ad qua-
dratum E H; igitur ex æqualitate quadratum A C ad quadratum I P ean-
dem proportionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratum G E.
Notæ in Propoſit. XIX.
SIue ad quadratum differentiæ L I, & I P erit vt C G in E H ad qua-
22g dratum differentiæ H E, E G, & c. Quia I L ad I P erat vt H E ad
E G, comparando antecedentes ad terminorum differentias, ſcilicet I L ad dif-
ferentiam ipſarum I L, & I P eandem proportionem habebit, quàm E H ad
378[Figure 378] differentiam ipſarum E H, & E G, & quadratum I L ad quadratum ex dif-
ferentia ipſarum I L, & I P deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm
quadrætum H E ad quadratum ex differentia ipſarum H E, & G E deſcriptũ:
erat autem quadratum C A ad quadratum I L, vt rectangulum A H E ad
quadratum H E; ergo ex æqualitate quadratum A C ad quadratum ex diffe-
rentia ipſarum I L, & I P eandem proportionem habebit, quàm rectangulum
A H E ad quadratum ex differentia ipſarum H E, & E G.
327289Conicor. Lib. VII.
Notæ in Propoſit. XVI.
SIue ad quadratum ex recta linea æquali ſummæ duarum I L, & I P
11h erit, vt C G in H E ad quadratum ex recta linea compoſita ex H E,
E G, & c. Quia I L ad I P erat vt H E ad E G comparando, antecedentes ad
ſummas terminorum, erit I L ad I L, & I P ſimul ſumptas, vt H E ad H E,
& E G ſimul ſumptas, & quadratum I L ad quadratum ex ſumma ipſarum
I L, & I P deſcriptum, erit vt quadratum H E ad quadratum ex ſumma
duarum H E, & E G deſcriptum; & erat prius quadratum A C ad quadra-
tum I L, vt rectangulum A H E ad quadratum H E; igitur ex æqualitate
quadratum A C ad quadratum ex ſumma ipſarum I L, & I P deſcriptum eã-
dem proportionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratum ex ſumma
ipſarum H E, & E G deſcriptum.
379[Figure 379]
Notæ in Propoſit. XVIII.
SIue ad I L in I P erit, vt C G in G E, & c. Quia I L ad I P eſt vt H
22i E ad G E poſitis communibus altitudinibus I L, H E habebit quadratum
I L ad rectangulum ſub I L, & I P eandem proportionem, quàm quadratum
H E ad rectangulum H E G: ſed quadratum A C ad quadratum I L eandem
proportionem habebat, quàm rectangulum A H E ad quadratum H E; ergo ex
æqualitate quadratum A C ad rectangulum L I P eandem proportionem habebit
quàm rectangulum A H E ad rectangulum H E G, ſeu vt A H, vel C G ad
G E.
328290Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XVII.
SIue ad duo quadrata ex I L, & I P erit, vt C G in E H ad duo qua-
11k drata E G, & E H, & c. Quoniam I L ad I P erat vt H E ad E G,
& quadratum I L ad quadratum I P erit vt quadratum H E ad quadratum
E G: & comparando antecedentes ad terminorũ ſummas quadratum I L ad qua-
dratum I L vna cum quadrato I P habebit eandem proportionem, quàm qua-
dratum H E ad ſummam quadrati H E cum quadrato E G: ſed prius quadra-
tum A C ad quadratum I L erat vt rectangulum A H E ad quadratum H E;
igitur quadratum A C ad ſummam quadrati I L cum quadrato I P eãdem pro-
portionem babebit quàm rectangulum A H E ad quadratum E G vna cum qua-
drato E H.
380[Figure 380]
Notæ in Propoſit. XX.
SIue ad differentiam duorum quadratorum I L, I P erit, vt C G in H
22l E ad differentiam duorum quadratorum ex H E, & ex E G, & c.
Quoniam vt dictum eſt quadratum I L ad quadratum I P eandem proportionẽ
habet, quàm quadratum H E ad quadratum G E, & comparando anteceden-
tes ad terminorum differentias quadratum I P ad differentiam quadrati I L à
quadrato I P eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E ad diffe-
rentiam inter quadratum H E, & quadratum E G: eſtque quadratum C A
ad quadratum I L, vt rectangulum A H E ad quadratũ H E; ergo ex æquali
quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex I P differentiam eandem pro-
portionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratorum ex E G, & ex
E H differentiam.
329291Conicor. Lib. VII.
SECTIO QVARTA
Continens Propoſit. Apollonij XII. XIII.
XXIX. XVII. XXII. XXX.
XIV. & XXV.
XII. XIII. DIfferentia quadratorum duorum axium hy-
XXV. perboles æqualis eſt differentiæ quadra-
torum quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.
XXVIIII. Nempe differẽtiæ inter quadrata à figuris earumdẽ
diametrorum æquales ſunt.
XXVII. Et differentia duorum axium maior eſt differentia
quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.
XXII. Et ſumma quadratorũ duorum axium ellipſis æqualis
eſt ſummæ quadratorum quarumlibet duarum diametrorum con-
iugatarum.
XXX. Nempe ſummæ quadratorum, & figurarum earundem
diametrorum homologarum ſunt æquales.
XIIII. Axis verò tranſuerſi quadratũ ad differentiam quadra-
torum duarum diametrorum coniugatarum eandem proportio-
nem habet, quàm præſecta ad duplam inuerſæ.
381[Figure 381]
330 382[Figure 382]
331292Apollonij Pergæi
In eiſdem figuris, quia quadratum A C ad quadratum ſui coniugati
11a (in propoſitione 12. 13. 25.) nempe C A ad A F erectum ipſius eſt,
22ex Def. 1.
& 2. vt Præſecta C G ad Interceptam G A, ſiue ad C H; ergo quadratum
A C in hyperbola ad differentiam quadratorum axium ipſius, & in elli-
pſi ad eorundem ſummam eandem proportionem habet, quàm C G ad
H G. Demonſtratum autem prius fuit, quadratum C A ad quadratum
33b I L eandem proportionem habere, quàm C G ad H E, & quadratum
383[Figure 383] I L ad quadratum N O eandem proportionem habet, quàm H E ad E
446. & 7.
huius. G; Inſuper quudratum I L ad ſummam quadratorum I L, N O in elli-
pſi, aut ad eorundem differentiam in hyperbola eandem proportionem
habebit, quàm H E ad H G; & in propoſitione 14. vt H E ad exceffum
H E, E G, quod eſt duplum D G; igitur ex æqualitate quadratum A
C, ſiue ad ſummam duorum quadratorum I L, N O, quemadmodum
habetur in propoſitione 22. & 30. ſiue ad eorundem differentiam, veluti
habetur in propoſitionibus 12. 13. 14. eandem proportionem habebit,
quàm C G ad H G, ſiue ad duplum D G, vt in propofitione 14. & de-
monſtratum fuit in eadem proportione eſſe quadratum A C ad ſummam
quadratorum A C, & eius coniugati, & eſt propoſitio 25. aut ad eorun-
dem differentiam, & eſt propoſitio 12. quapropter ſumma quadratorum
I L, N O coniugatarum in ellipſi, nempe quadratum I L vna cum eius
figura eſt æquale aggregato quadrati A C vna cum quadrato eius coniu-
gati 30. nempe quadrato A C, & illius figuræ, & in hyperbola diffe-
rentia quadratorum I L, N O nempe exceſſus quadrati I L ſuper illius
figuram æqualis eſt differentiæ duorum quadratorum A C, & recti illius
nempe quadrato A C, & illius figuræ 27. & oſtenſum iam eſt, quod I
55c L in hyperbola maior eſt, quàm A C; ergo differentia A C & illius con-
iugati maior quàm differentia I L, & N O: atquè fic oſtendetur,
332293Conicor. Lib. VII. differentia I L, & N O maior ſit, quàm differentia quarumlibet duarum
coniugatarum ab axi remotiorum. Et hoc erat oſtendendum.
384[Figure 384]
Notæ in Propoſit. XII.
IN eiſdem figuris, quia quadratum A C ad quadratum ſui coniugati in
11a propoſitione 12. & 25. nempe A C ad A F erectum ipſius eſt vt præ-
ſecta C G ad Interceptam G A, ſeu C H: ergo quadratum A C in hy-
perbola ad differentiam quadratorum axium ipſius, & in ellipſi ad illo-
rum ſnmmam eſt, vt C G ad H G, & c. Ideſt. Quia quadratum A C ad
quadratum axis ei coniugati Q R, ſiue C A ad eius erectum A F eandem pro-
22Defin. 1.
& 2.
huius. portionem habet, quàm præſecta C G ad Interceptam G A, vel ad C H, &
comparando antecedentes ad terminorum differentias in hyperbola, & ad ter-
minorum ſummas in ellipſi, quadratum C A ad differentiam quadratorum ex axi
A C, & ex axi Q R habebit in hyperbola eandem proportionem, quàm C G
ad differentiam inter C G, & C H: in ellipſi verò quadratum A C ad ſum-
mam quadratorum ex A C, & ex Q R eandem proportionem habebit, quàm
C G ad ſummam ipſius C G cum C H.
Et quia iam demonſtratum eſt, quod quadratum C A ad quadratum
33b I L ſit, vt C G ad E H, & c. Relicta abſtruſa complicatione propoſitionum
Arabici Interpretis diſtinctiori methodo, ſicuti in præcedenti ſectione factum eſt
446. huius. propoſitiones declarabimus. Quoniam in hyperbola quadratum I L ad quadra-
tum N O eandem proportionem habet, quàm H E ad E G comparando antece-
dentes ad terminorum differentias, quadratum I L ad differentiam quadrati
I L à quadrato N O eandem proportionem habebit, quàm H E ad ipſarum H
E, & E G differentiam; ſed quadratum A C ad quadratum I L eſt vt C G
ad H E (veluti in propoſitione 8. oſtenſum eſt) ergo ex æqualitate quadratum
A C ad quadratorum ex I L, & ex N O differentiam eandem
333294Apollonij Pergæi habebit, quàm C G ad ipſarum H E, & E G differentiam, ſeu ad H G: ſed
in eadem hyperbola quadratum A C ad quadratorum A C, & Q R differen-
tiam eandem proportionem habet, quàm C G ad ipſarum C G, & C H diffe-
rentiam, ſeu ad H G (veluti in principio huius propoſitionis dictum eſt) ergo
quadratum A C ad quadratorum ex A C, & ex Q R differentiam, eandem
proportionem habebit, quàm ad quadratorum ex I L, & ex N O differentiam;
& ideo in hyperbola differentiæ quadratorum axium A C, & Q R æqualis
eſt diffcrentiæ quadratorum I L, & N O coniugatarum.
Notæ in Propoſit. XIII.
QVoniam in ellipſi quadratum I L ad quadratum N O eandem proportio-
117. huius. nem habet, quàm H E ad G E; comparando antecedentes ad terminorũ
ſummas quadratum I L ad quadratorum ex I L, & ex N O ſum-
mam eandem proportionem habebit, quàm H E ad ipſarum H E, & E G ſum-
mam: ſed quadratum A C ad quadratum I L eſt, vt C G ad H E (vt in octa-
ua propoſitione dictum eſt) ergo ex æquali quadratum A C ad quadratorum ex
385[Figure 385] I L, & ex N O ſummam eandem proportionem habebit, quàm C G ad ſum-
mam ipſarum H E, & E G, ſeu ad G H: ſed in principio præcedentis notæ
oſtenſum eſt, quod in ellipſi quadratum A C ad quadratorum ex A C, & ex Q
R ſummam eandem proportionem habet, quàm C G ad ſummam ipſarum C G,
& C H, ſeu ad G H: quarè quadratum A C eãdem proportionem habet ad ſum-
mam quadratorum ex C A, & ex Q R, quàm ad ſummam quadratorum ex I
L, & ex N O; & propterea in ellipſi quadrata duorum axium A C, & Q R
ſimul ſumpta æqualia ſunt quadratis duarum coniugatarum diametrorum I L,
& N O ſimul ſumptis.
334295Conicor. Lib. VII.
Notæ in Propoſit. XXIX.
QVoniam in hyperbola differentia quadratorum ex axi A C, & ex axi Q
1112. huius. R æqualis eſt differentiæ inter quadratum I L à quadrato eius coniugatæ
N O; eſtque Q R media proportionalis inter ſiguræ latera A C, &
2216. lib. 1. A F; ergo rectangulum C A F ſub extremis contentum æquale eſt quadrato in-
termediæ Q R: Et propterea differentia inter quadratum A C, & rectangu-
lum C A F æqualis erit differentiæ inter quadratum A C à quadrato Q R.
386[Figure 386] pari ratione erit differentia quadrati I L à rectangulo L I P æqualis differen-
tiæ quadrati I L à quadrato N O; & propterea in hyperbole differentia qua-
drati axis A C à rectangulo ſub figuræ lateribus contentum C A F æqualis
eſt differentiæ quadrati diametri I L à rectangulo L I P ſub lateribus figuræ
eius.
Notæ in Propoſit. XXX.
QVoniam in ellipſi quadratorum ex A C, & ex Q R ſumma æqualis eſt
33Prop. 13.
huius.
ex 15.
lib. 1. ſummæ quadratorum ex I L, & ex N O: eſtque rectangulum C A F
æquale quadrato Q R, & rectangulum L I P æquale quadrato N O
(vt in præcedenti nota dictum eſt) igitur in ellipſi quadratum axis A C, &
rectangulum C A F ſub eius lateribus cõtentum ſimul ſumpta æqualia ſunt qua-
drato ex I L cum rectangulo figuræ eius L I P.
335296Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XIV. & XXV.
QVoniam nedum in hyperbola, ſed etiam in ellipſi quadratum A C ad ſum-
mam quadratorum ex I L, & ex N O eandem proportionem habet, quã
A H ad ſummam ipſarum H E, & E G, atque quadratorum ex I
L, & ex N O ſumma ad eorundem quadratorum differentiam eandem propor-
tionem habet, quàm ipſarum H E, & E G ſumma ad earundem differentiam;
387[Figure 387] evgo ex æquali quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex N O differen-
tiam eandem proportionem habet, quàm C G, ſiue H A ad ipſarum H E, &
E G differentiam; ſed in ellipſi ipſarum H E, & E G differentia æqualis eſt
duplo E D; igitur in ellipſi quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex
N O differentiam eandem proportionem habebit, quàm præſecta C G ad duplum
inuerſæ E D.
Notæ in Propoſit. XXVII.
ET oſtenſum iam eſt, quod I L in hyperbola maior eſt, quàm A C;
11C ergo differentia A C, & illius coniugati maior eſt, quàm differen-
tia homologorum ſuorum à ſuis coniugatis, & differentia proximioris ho-
mologi ad ſuam coniugatam maior eſt differentia remotioris à ſua coniu-
gata, & c. Hoc autem ſic demonſtrabitur. In diametris A C, & I L produca-
tur A M æqualis Q R, & I K æqualis N O, & ab ijsdem ſecentur A S æqua-
lis Q R, & I T æqualis N O. Quoniam M S bifariam ſecatur in A, & e
336297Conicor. Lib. VII. indirectum additur S C,
388[Figure 388] erit rectangulum M C S
cum quadrato ex A S, ſeu
ex Q R æquale quadrato
ipſius A C; ergo rectangu-
lum M C S æquale eſt dif-
ferentiæ quadrati A C à
quadrato Q R: pariratione
rectangulum K L T vna
cum quadrato N O æquale
erit quadrato I L: ergo ſi-
militer rectangulum K L T æquale eſt differentiæ quadratorum ex I L, & ex
N O; eſtquè quadratum I L maius quadrato A C, cum diameter I L in hyper-
bola maior ſit, quàm axis C A; igitur rectangulum K L T vna cum quadrato
N O maius erit rectangulo M C S vna cum quadrato Q R: eſt verò rectangu-
lum M C S æquale rectangulo K L T (cum ſint differentiæ quadratorum ex con-
11Prop. 12.
huius. iugatis diametris, quæ in hyperbola oſtenſæ ſunt æquales); ergo quadratum N
389[Figure 389] O, ſcilicet reſiduum maioris ſummæ, maius erit quadrato Q R, quod eſt reſi-
duum ſummæ minoris: & propterea N O maior erit, quàm Q R: erat autem
I L maior quàm C A; igitur I L cum N O, ſeu K L maior erit, quàm A C,
& Q R ſimul, ſiue quàm M C: ſed in rectangulis M C S, & K L T æquali-
bus, vt K L ad M C, ita reciprocè C S ad L T; igitur C S, ſeu differentia
ipſarum A C, & Q R maior eſt, quàm L T, ſeu differentia ipſarum I L, &
N O in hyperbola.
Si poſtea præter I L ponatur alia diameter ab axe remotior cum ſua coniu-
gata erit ſimiliter differentia quadratorum ex diametris coniugatis remotiori-
bus ab axi æqualis differentiæ quadratorum axium A C, & Q R, &
337298Apollonij Pergæi æqualis erit differentiæ quadratorum ex I L, & ex N O; eſtque pariter diame-
ter illa remotior ab axe maior quàm I L; ergo ſimili ratiocinio oſtendetur, quod
differentia coniugatarum diametrorum ab axe remotiorum minor eſt, quàm dif-
ferentia propinquiorum I L, & N O.
SECTIO QVINTA
Continens Propoſit. XXI. XXVIII. XXXXII.
XXXXIII. XXIV. & XXXVII.
AXes hyperboles ſi fuerint æquales, tunc quælibet diame-
tri coniugatæ in illa ſectione æquales ſunt 21. ſi verò fue-
rit 28. vnus duorum axium in hyperbola, aut ellipſi maior,
11a tunc eius diameter homologa maior erit ſua coniugata, quouſ-
què ad duas æquales diametros coniugatas in ellipſi peruenia-
tur, & axis maior ad ſuum coniugatum, ſiuè ad erectum eius
maiorem proportionem habet, quàm quælibet alia diameter
eiuſdem ſectionis ad ſibi coniugatam, ſiue ad eius erectum;
eritque proportio maioris diametri axi proximioris ad ſibi con-
iugatam, ſiue ad eius erectum maior proportione maioris con-
iugatarum ab illo remotioris ad minorem, ſiue ad eius erectũ.
Et minima figurarum diametrorum erit figura axis inclinati, ſiue
tranſuerſi, & maxima erit figura recti in ellipſi: atque figuræ
reliquarum diametrorum (ſiue diametri ſint inclinatæ, vel tran-
ſuerſæ) maiores ſunt, quã figuræ diametrorũ ab axi remotiorũ 24.
Et in ellipſi erectus axis tranſuerſi minor eſt, quã erectus cuiuslibet
alterius diametri, & erectus proximioris diametri minor eſt erecto
cuiuslibet remotioris 37. Et
390[Figure 390] exceſſus axis tranſuerſi ſuper e-
ius coniugatum maior eſt, quã
exceſſus homologarum diame-
trorum, ſuper ſuas coniugatas,
& exceſſus proximioris homo-
logæ ſuper ſuam coniugatam
maior eſt, quàm exceſſus re-
motioris ſuper eius coniugatã.
Et differentia duorum laterum
figuræ axis maior eſt,
338299Conicor. Lib. VII. differentia duorum laterum figuræ ſui homologi; pariterque pro-
ximioris axi homologi differentia duorum laterum figuræ eius
maior eſt, quàm differentia duorum laterum figuræ remotioris.
PROPOSITIO XXI. & XXVIII.
SIt itaque ſectio A B P, & duo axes coniugati eius A C, Q
R, centrum D; ſintque I L, N O duæ aliæ diametri con-
iugatæ; pariterque S T, V X, & educamus ad axim C A M
perpendiculares B E, P M. Dico quod ſi fuerit A C æqualis
Q R; erit quoque I L æqualis ipſi N O, & S T ipſi V X. Si
verò fuerit eorum aliquis reliquo major, vtique eius homologa
diameter maior quoque erit ſua coniugata, & ſimiliter in reli-
quis propoſitionibus.
Sit prius alter axis A C maior in prima figura, ſed Q R in ſecunda;
ſintque A G, C H duæ interceptæ diametri A C. Et quia quadratum
A C ad quadratum Q R, nempe A C ad eius erectum eſt vt A H ad H
C, ſeu ad A G; & habet H A ad A G maiorem proportionem in prima
11ex Def. I.
huius. figura, & minorem in ſecunda, quàm H E ad E G, quæ oſtenſa eſt
( 6. 7. ex 7. ) vt quadratum I L ad
391[Figure 391] quadratum N O, nempe I L ad eius
erectum. Et ſimiliter proportio illa
maior, aut minor eſt, quam H M ad
M G, quæ eſt vt quadratum S T ad
quadratum V X; igitur A C ad Q R,
ſiue ad erectum ipſius A C in prima
maiorem proportionem habet, & in
ſecunda minorem, quàm I L ad N O,
ſiue ad erectum ipſius I L, ſiue quàm
S T ad V X, vel ad erectum ipſius
S T; ſed quia H E ad E G in prima
figura maiorem proportionem, & in
ſecunda minorem, quàm H M ad M
G habebit I L ad N O maiorem pro-
portionem in prima, & minorem in
ſecunda, quàm S T ad V X, cum-
que H E in prima figura ſit maior, &
in ſecunda minor, quàm E G, pari-
terque H M, quàm M G, erit I L in
prima maior, & in ſecunda minor,
quàm N O, ſimiliterque S T, quàm
V X.
339300Apollonij Pergæi
XXI. Deinde ſit A C æqualis QR in hyperbola fiet A C æqualis ere-
cto, & conuenient duo puncta H, & G in puncto D, eritque A C ad
11b392[Figure 392] Q R vt A D ad ſe ipſam, ſiue vt A C ad ſe ipſam, quæ eſt vt D E ad
ſe ipſam, & hæc oſtenſa eſt, vt quadratum I L ad quadratum N O; igi-
22Prop. 6.
huius. tur I L, & N O ſunt æquales, & ſic demonſtrabitur, quod S T, V X ſunt
æquales, & hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO XXVI
At in ellipſi fieri po-
393[Figure 393] teſt, vt H E ſit æ-
qualis E G, ſi nimirum
punctum B cadat in Q, &
tunc B E cadetſuper Q D,
& erit diameter I L æqua-
lis ſuæ coniugatæ; & vo-
cabo eas æquales.
Quia C G ad C H, nempe
quadratum A C ad ſuam fi-
guram maiorem proportionem
habet in primis figuris, & mi-
norem in ſecunda ellipſi, quàm
C G ad G E, nempe quàm
quadratum A C ad figuram
ipſius I L ( 18. ex 7. ) & C
G ad G E in primis figurisma-
iorem proportionem habet, &
340301Conicor. Lib. VII. in ſecunda ellipſi minorem, quàm C G ad G M, nempe quàm quadra-
tum A C ad figuram ipſius S T ( 18. ex 7. ) ergo figura ipſius A C eſt
minor; in ſecunda verò maior quàm figura ipſius I L; & ſimiliter figura
ipſius I L maior, aut minor eſt figura S T. Et hoc eſt propoſitum.
PROPOSITIO XXXXII.
In hyperbole, & ellipſi sũ-
394[Figure 394] ma duorum axium minor eſt
ſumma quarumlibet duarum cõ-
iugatarum diametrorum eiuſdẽ
ſectionis.
XXXXIII. Et planum ab eis
contentũ minus eſt plano à dua-
bus coniugatis contento, &
planum à proximioribus axi
coniugatis contentum minus
eſt plano à remotioribus con-
tento.
Iiſdem figuris manentibus, quia in hyperbole A C minor eſt quàm I
L, & I L, quàm S T; & ſiquidem
395[Figure 395] A C æqualis fuerit Q R, erit quo-
que I L æqualis N O, & S T æqua-
lis V X ( 21. ex 7. ) ergo ſumma
ipſorum A C, Q R minor eſt, quã
ſumma I L, N O, & quàm S T,
V X: ſi verò A C non fuerit æqua-
lis ipſi Q R, vtique differentia duo-
1112. 13.
huius. rum quadratorum A C, Q R æqua-
lis erit differentiæ quadratorum I L,
N O: & propterea ſumma ipſorum
22d A C, Q R minor erit, quàm ſum-
ma I L, N O: & hæc ſumma ex
hac eadem demonſtratione minor
etiam erit, quàm ſumma duarum
S T, V X. At in ellipſi; quia A
C ad Q R maiorem proportionem
33e habet, quàm I L ad N O ( 28. ex
7. ) habebit quadratum ex ſumma
A C, Q R ad earundem duarum
ſummam quadratorum maiorem
proportionem, quàm quadratum
ſummæ I L, N O ad
341302Apollonij Pergæi ſummam earundem: & ſumma duorum quadratorum ipſarum æqualis eſt
ſummæ duorum quadratorum A C, Q R ( 22. ex 7. ) ergo ſumma A C,
Q R minor eſt, quàm ſumma I L, N O, atque ſic oſtendetur, quod sũ-
ma I L, N O minor eſt, quàm ſumma S T, V X. Quod erat propoſitũ.
PROPOSITIO XXXXIII.
D Einde in ellipſi quadratum ſummæ A C, Q R minus eſt quadrato
ſummæ I L, N O; & ſumma duorum quadratorum A C, Q R
396[Figure 396] æqualis eſt ſummæ duorum quadratorum I L, N O (22. ex 7. ) igitur
remanet A C in Q R minus quàm I L in N O, & ſimiliter I L in N O
11f minus erit, quàm S T in V X.
Sed in hyperbola, quia quilibet axium minor eſt homologa diame-
tro coniugatarum; igitur planum rectangulum ab axibus contentum mi-
nus eſt eo quod à duabus coniugatis continetur hoc igitur in hyperbo-
le manifeſtum eſt.
In ellipſi autem, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet;
22g quàm I L ad N O per conuerſionem rationis, & permutando maior A C
ad minorem I L minorem proportionem habebit, quàm differentia ipſa-
rum A C, Q R ad differentiam ipſarum I L & N O; & propterea diffe-
rentia ipſarum A C, & Q R maior erit differentia reliquarum I L, & N
O. Et ſimiliter oſtendetur, quod exceſſus I L ſuper N O maior ſit, quàm
exceſſus S T ſuper V X.
342303Conicor. Lib. VII. 397[Figure 397]
PROPOSITIO XXIV.
Et quia in ellipſi qua-
398[Figure 398] dratum Q R, nempe
figura axis A C minor eſt
in prima, & maior in ſe-
cunda ellipſi, qdàm qua-
dratum N O, nempe quã
figura I L ( 28. ex 7. )
eſtque A C maior in pri-
ma, & minor in ſecunda
figura quàm I L ; igitur
11h erectum ipſius A C minus
eſt in prima figura, & ma-
ius in ſecunda, quàm ere-
ctum I L. Et ſic oſtende-
tur, quod ereæum ipſius
I L maius ſit, ſiue minus,
quàm erectum S T.
Et quia erectum ipſius
A C minus eſt in prima
ellipſi, & maius in ſecun-
da, quàm erectum ipſius
I L, & A C maior eſt in
prima, & minor in ſecun-
da figura quàm I L, igi-
tur differentia A C, eiuſq;
erecti, quæ ſunt duo la-
tera figuræ A C, in
343304Apollonij Pergæi. libet caſu maior erit differentia I L, eiuſque erecti. Pari modo oſtende-
tur quod differentia ipſius I L, & eius erecti maior ſit differentia ipſius S
T, eiuſque erecti. Et hoc erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXXVII.
In hyperbole differentia la-
terum figuræ axis inclinati
maior eſt differentia laterũ figu-
rę ſui homologi eiuſdẽ ſectionis:
& differẽtia laterum figuræ in-
399[Figure 399] clinati proximioris axi maior
eſt differentia laterum figuræ
inclinati ab illo remotioris.
In hyperbole A B P ſit axis C
A, & I L, S T ſit duæ aliæ dia-
metri, & centrum D; atque ere-
ctus ipſius A C ſit A F, & ipſius
I L ſit I K, atque ipſius S T ſit S
Z: & educamus C B, C P, pa-
rallelas duabus homologis diame-
tris I L, S T, & duas ad axim
perpendiculares B E, P M, ſece-
muſque duas interceptas C H, A
G, & ſit inclinatus A C in prima
figura maior, quàm A F, in ſecũ-
da verò minor. Et quoniam A C
ad A F ſupponitur vt H A ad A G
400[Figure 400]
344305Conicor. Lib. VII. erit quadratum A C ad quadratum differentię ipſarum A C, A F, vt
quadratum H A ad quadratum H G, at ad quadratum differentię ipſa-
rum I L, I K eſt, vt E H in H A ad quadratum H G (19. ex 7.) ad
quadratum verò differentię S T, S Z eſt, vt H M in H A ad quadratum
H G (19. ex 7.) eſt verò M H in H A maius quàm E H in H A, atque
E H in H A maius quàm quadratum H A; igitur A C ad differentiam
ipſarum A C, A F minorem proportionem habet, quàm ad differentiam
ipſarum I L, I K, & ad differentiam earundem I L, I K minorem pro-
portionem habet, quam ad differentiam ipſarum S T, S Z; igitur diffe-
rentia ipſarum A C, A F maior eſt, quàm differentia ipſarum I L, I K,
atquè differentia earundem I L, I K maior eſt quàm differentia S T, S
Z. Quod erat propoſitum.
Notę in Propoſit. XXVIII.
S It in primis figuris axis A C maior, quàm axis Q R. Quia quadratum
11ex 15. 16.
lib. 1.
Defin. 1.
huius. A C ad quadratum Q R eandem proportionem habet, quàm H A ad A G:
eſtque G A minor quàm G E; ergo H G ad G A maiorem proportionem habet
quàm ad G E: & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi H A ad A
G maiorem proportionem habet, quàm H E ad E G; ſed H E ad E G eandem
226. & 7.
huius.401[Figure 401] proportionem habet, quàm quadratum
I L ad quadratum N O; ergo quadra-
tum A C ad quadratum Q R maiorem
proportionem habet, quàm quadratum
I L ad quadratum N O : & propterea
A C ad Q R maiorem proportionem
habet, quàm I L ad N O : & ſunt
quoquè earundem proportionum dupli-
catę pariter inęquales, nimirum axis
33ex 15. 16.
huius. A C ad eius latus rectum A F maio-
rem proportionem habebit, quàm dia-
meter I L ad eius latus rectum I K.
Secundò quia G E minor eſt, quàm
G M ; ergo H G ad G E maiorem pro-
portionem habet, quàm ad G M ; & componendo in hyperbola, & diuidendo in
ellipſi H E ad E G maiorem proportionem habebit, quàm H M ad M G, &
quadratum I L ad quadratum N O habet eandem proportionem, quàm H E ad
E G ; nec non quadratum S T ad quadratum V X eandem proportionem habet,
446. & 7.
huius. quàm H M ad M G ; ergo quadratum I L ad quadratum N O maiorem pro-
portionem habet, quàm quadratum S T ad quadratum V X, & I L ad N O
maiorem proportionem habebit, quàm S T ad V X, & earundem proportio-
num duplicatę inęquales quoque erunt, ſcilicet I L ad eius latus rectum maio-
rem proportionem habebit, quàm S T ad eius latus rectum. Deindè in ſecun-
dis figuris ſit axis A C minor quàm Q R. Quia H A minor eſt, quàm H E;
345306Apollonij Pergęi nec non H E minor quàm H M ergo H
402[Figure 402] A ad eandem H G minorem proportio-
nem habebit, quàm H E, & compa-
rando antecedentes, ad terminorum
ſummas vel ad differentias H A ad A
11Lem. 2.
lib. 5. G minorem proportionem habet, quàm
H E ad E G, & ſimiliter H E ad E G
minorem proportionem habet, quàm H
M ad M G : eſt verò quadratum A C
22ex 15. 16.
lib. 1.
Defin. 1.
huius.
Prop. 7.
huius. ad quadratum Q R, vt H A ad A G,
& quadratum I L ad quadratum N O,
vt H E ad E G ; pariterquè quadratum
S T ad quadratum V X eſt, vt H M
ad M G ; & ideo A C ad Q R mino-
rem proportionem habebit, quàm I L ad
N O, & I L ad N O minorem propor-
tionem habebit, quàm S T ad V X; &
ſimiliter earundem proportionum dupli-
33ex 15. 16.
lib. 1. catę eodem ordine inęquales erunt, ſci-
licet A C ad eius latus rectum minorem
proportionem habebit quàm I L ad etus
rectum latus, & c. Ad perfectionem
partis ſecundę propoſitionis 28. requiri-
tur hoc.
403[Figure 403]
LEMMA. I.
I N ellipſi cuius axes inęquales ſunt, duas diametros coniugatas inter
ſe ęquales reperire.
346307Conicor. Lib. VII.
In eadem figura coniungatur recta linèa A Q terminos axium coniungens,
& per centrum huic parallela ſit e d, perq; idem centrum, & ſemipartitionem
404[Figure 404]405[Figure 405] applicatę A Q ducatur diameter a b: Dico diametros coniugatas a b, & e d
ęquales eſſe inter ſe. Quoniam à termino Q ordinatim applicatę A Q ad dia-
metrum a b ducitur ad axim perpendicularis Q D cadens in centrum D; ergo
11Prop. 7.
huius. H D ad D G eandem proportionem habet, quàm quadratum diametri a b ad
quadratum eius coniugatę c d; ſuntquè H D, & G D ęquales inter ſe, cum
ſemiaxes, atquè interceptę ſint ęquales inter ſe; ergo diametri coniugatę a b,
& c d ęquales erunt inter ſe hoc pręmiſſo.
Reperiantur in ellipſi duę diametri coniugatę inter ſe ęquales a b, e d, &
inter a, & A ponantur diametri I L, S T, quarum coniugatę N O, & V X,
406[Figure 406]& ducãtur reliquę rectę lineę,
vt prius factum eſt, & pona-
tur primo loco axis A C maior
quàm Q R: Dico I L maiorem
eſſe ipſa N O, & S T maiorem
V X. Quia quadratum A C ad
quadratum Q R eandem propor-
22Defin. 1.
huius. tionem habet, quàm H A ad A
G, & quadratum I L ad qua-
dratum N O eandem proportio-
nem habet, quàm H E ad E G;
pariterquè quadratum S T ad
quadratum V X eandem propor-
33Prop. 7.
huius. tionem habet, quàm H M ad
M G ; ſed in prima hyperbola,
& prima ellipſi H A maior eſt,
quàm A G, & H E maior, quã
E G, atquè H M maior, quàm
M G; igitnr quadratum I L
347308Apollonij Pergęi ius eſt quadrato N O, & qua-
407[Figure 407] dratum S T maius quadrato V
X ; ideoquè quando axis A C
maior eſt, quàm Q R, crit dia-
meter I L maior eius coniugata
N O, & S T maior quàm V X.
Pari ratione, quandò axis A C
minor eſt, quàm Q R erit H A
minor, quàm A G, & H E mi-
nor, quàm E G, atque H M mi-
nor, quàm M G : & propterea
in ſecunda hyperbola, & ſecun-
da ellipſi etiam diameter I L
minor erit, quàm N O, & S T
minor erit quàm V X. Idem,
contingit in reliquis diametris,
dummodò in ellipſi cadant inter
A, & a, nam a b eſt ęqualis
ſuę coniugatę e d: & vltra pũ-
ctum a ad partes Q diametri
cadentes minores ſunt ſuis coniugatis in prima ellipſi, & maiores in ſecunda,
cum propinquiores ſint axi Q R.
Si verò fuerit vnus duorum axium in hyperbola aut ellipſi maior, tunc
11a eius homologa diameter coniugata maior eſt, & c. Non nulla in hoc texta
deficiunt; non enim omnes diametri in ellipſi ſunt inęquales vt in Lemmate I.
oſtenſum eſt, & ideo textus corrigi debuit.
Notę in Propoſit. XXI.
ET conuenient duo puncta H, & G in puncto D ; eritque A C ad Q
22b R, vt A D ad ſe ipſam, ſiue vt A C ad ſe ipſam, & c. Quia qua-
408[Figure 408] dratum A C ad quadratum Q R eſt
vt C G ad G A, & vt quadratum,
33Defin. 1.
Prop. 7.
huius. I L ad quadratum N O, ita eſt H E
ad E G, nec non quadratum S T ad
quadratum V X eſt vt H M ad M G;
ſed quandò axium quadrata ſunt inter
ſe ęqualia, tunc quidem pręſecta C G,
ſeu H A ęqualis eſt interceptę G A, &
terminus G, ſeu H cadit in cẽtro D; &
ideo H E vel D E ęqualis eſt E G vel
E D : pariterq; H M ęqualis eſt M G:
quarè coniugatarũ diametrorũ quadra-
ta ęqualia ſunt inter ſe; & etiã tranſ-
uer ſa latera ſuis erectis ęqualia erunt.
348309Conicor. Lib. VII.
Quia C G ad A G, nempe quadratum A C ad ſuam figuram in ma-
11c iori, & in figura ſecunda ellipſi in minori proportione, & c. Ideſt. In,
409[Figure 409] prima, & ſecunda figura hyperboles,
& in prima figura ellipſis habet C G ad
G A maiorem proportionem, quàm ad
G E, eo quod G E maior eſt, quàm G
A: at in ſecunda figura ellipſis propor-
tio minor eſt; quia G E minor eſt, quã
A G. Propoſitum verò aliter oſtendetur
hac ratione.
Quoniam ex demonſtratis in nota
propoſit. 27. in hyperbola, atquè ex
propoſitione 11. libri quinti in ellipſi
erit axis minor, & rectus Q R minor
diametro recta N O, & N O minor
remotiore V X, ideoquè quadratum Q
R minus erit quadrato N O, & qua-
dratum N O minus quàm quadratum
V X : eſt verò figura, ſeu rectangulum
C A F ſub extremis contentum ęquale
quadrato Q R ex media proportionali
2215. lib. 1. inter illas deſcriptum: pariterquè re-
ctangulum L I K ęquale eſt quadrato
diametri ei coniugatę N O, nec non,
rectangulum T S Z ęquale erit qua-
drato V X, ergo rectangulum C A F
minus eſt rectangulo L I K, atque rectangulum L I K minus eſt rectangulo T
410[Figure 410] S Z. E contra in ellipſi ſecunda. Quia. Q R maior eſt, quàm N O, & hęc
maior, quàm V X ; ergo rectangulum C A F maius eſt rectangulo L I K, &
hoc maius erit rectangulo T S Z.
349310Apollonij Pergęi
Notę in Propoſit. XXXXII.
E Rit igitur aggregatum A C, Q R minus quàm aggregatum I L, N
11d O, & c. Hoc oſtenſum eſt in nota propoſit. 27. huius.
At in ellipſi, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet, quàm
I L ad N O, erit quadratum aggregati A C, Q R ad ſummam duorum
22e411[Figure 411] quadratorum ipſarum in maiori proportione, quàm quadratum aggregati
I L, N O ad ſummam duorum quadratorum earundem, & ſumma duo-
rum quadratorum ipſarum, & c. Fiat A R ęqualis duabus A C & Q R,
I O fiat ęqualis duabus I L, & N O ; atquè ſecetur A R in m, vt ſit A m
33Prop. 21.
hu us. ad m R, vt I L ad L O. Quia in prima ellipſi A C ad Q R, vel ad C R
(in hac figura) maiorem proportionem habet, quàm I L ad N O, ſeu ad L O (in
412[Figure 412] pręſenti figura); Ergo A C ad C R
maiorem proportionem habet, quàm
A m ad m R; ideoq; A C ad ean-
44Lem. 2.
lib. 5. dem A R maiorem proportionem ha-
bebit quàm A m; & propterea A m
minor erit, quàm A C : ſed A m
413[Figure 413] maior eſt quàm M R, eo quod I L
priori homologa maior eſt, quàm L
O : at in ſecunda ellipſi A C ad C R
minorem proportionem habet,
350311Conicor. Lib. VII. I L ad L O, ſeu quàm A m ad m R; & A C ad eandem A R minorem pro-
portionem habet quàm A m; ideoque A C minor erit, quàm A m, & A m
11Lem. 2.
Lib. 5. minor quàm m R, ſicuti I L minor eſt, quàm L O ; & propterea ſecta A R
bifariam in n in vtroq; caſu C n ſemidifferentia maximè, & minimè ſcilicet
A C, & C R maior erit, quàm m n ſemidifferentia inæqualium intermedia-
rum A m, & R m: ſuntque duo quaarata ex A C, & ex C R æqualia qua-
dratis ex R n, & ex C n bis ſumptis, atquè quadrata ex A m, & ex R m
æqualia ſunt quadratis ex R n, & ex m n bis ſumptis, ſed duplum quadrati
n C cum duplo quadrati n R maiora ſunt duplo quadrati n m cum duplo qua-
drati n R (cum n R ſit communis, & n C maior ſit n m); igitur in vtroque
caſu duo quadrata ex maxima, & ex minima, ſcilicet quadratum A C vna
cum quadrato C R maiora ſunt quadrato A m, & quadrato m R ſimul ſum-
ptis: & quadratum A R minorem proportionem habet ad ſummam quadrato-
rum ex A C, & ex C R, quàm ad ſummam quadrati A m, & quadrati m
R; ſed quadratum I O ad quadratum I L vna cum quadraio L O eandem pro-
portionem habet, quàm quadratum A R ad ſummam duorum quadratorum ex
A m, & ex m R (propterea quod A R, & I O diuiduntur proportionaliter in
m, & L): igitur quadratum A R ad ſummam quadrati A C vna cum qua-
drato C R minorem proportionem habet, quàm quadratum IO ad ſummam qua-
drati I L cum quadrato L O.
Non ſecus oſtendetur, quod quadratum ſumme I L, & N O ad quadrati ex
I L, & quadrati ex N O ſummam habet minorem proportionem, quàm qua-
dratum ſumme S T, & V X ad quadratorum ex S T, atquè ex V X ſum-
22ex 22.
huius. mam: & ideo I L cum N O minores erunt, quàm S T cum V X.
Notæ in Propoſit. XXXXIII.
33f
R Emanet A C in Q R minus quàm I L in N O, & pariter I L in N
44f O minus quàm S T in V X, & c. Quia ſi ex quadrato ſummæ A C,
414[Figure 414]& Q R quferantur duo quadrata ex
C A, & ex Q R ſimul ſumpta, re-
manent duo rectangula ſub C A, &
Q R contenta: pariterque duplum re-
ctanguli ex I L in N O eſt rcſiduum
quadrati ex ſumma ipſarum I L, &
N O deſcripti, poſtquàm ablata ſunt
quadratum ex I L, & quadratum ex
55Prop. 22.
huius. N O ſimul; ſed bina quadrata vtrinq;
ablata ſunt æqualia inter ſe in ellipſi;
& ſumma A C, Q R minor eſt quàm
66Prop 42.
huius. ſumma I L, N O; Ergo duplum re-
ctanguli ſub C A & ſub Q R mi-
nus eſt duplo rectanguli I L in N O,
& rectangulum ſub A C, & Q R minus eſt rectangulo ſub I L, & N O.
351312Apollonij Pergæi
Q Via A C ad Q R maiorem pro-
11g415[Figure 415] portionem habet, quàm I L
ad N O poſt cõuerſionem
rationis, & permutationem A C ma-
ior ad I L, minorem, habebit pro-
portionem minorem, quàm exceſſus
A C ſuper Q R ad exceſſum I L ſu-
per N O, & c. Hoc quidem verum
eſt in ellipſi, (veluti dictum eſt ad
propoſ. 28. huius) quandò maior axis
eſt A C, ſed quandò A C eſt minor,
atque A C ad Q R minorem proportio-
nem habet, quàm I L ad N O, opere
prætium erit, demonſtrare, quod tunc
etiam differentia axium A C, & Q R
maior ſit differentia diametrorum I L,
& N O. Quoniam exiſtente C A mi-
nore, quàm Q R (ex 28. huius) A C
ad Q R minorem proportionem habet,
quàm I L ad N O; & inuertendo Q R
ad A C maiorem proportionem habebit,
qu àm N O ad I L, & per conuerſioné
rationis Q R ad differentiam ipſarum
Q R, & A C minorem proportionem
habebit, quàm N O ad differentiam ipſarum N O, & I L; & permutando Q
R maior ad minorem N O habebit proportionem minorem, quàm differentia
ipſarum Q R, & A C ad differentiam ipſarum N O, & I L: & propterea
differentia ipſarum Q R, & A C maior erit, quàm differentia ipſarum N O,
& I L.
Poſtea quandò C A eſt maior axis, tunc I L ad N O maiorem proportionem
2228. huius. habet, quàm S T ad V X; & ſimiliter per conuerſionem rationis, & permu-
tando maior I L ad minorem S D habebit minorem proportionem, quàm diffe-
rentia coniugatarum diametrorum I L, & N O ad differentiam coniugatarum
S T, & V X, quapropter axi propinquiorum diametrorum I L, & N O diffe-
rentia maior erit, quàm remotiorum coniugatarum S T, & V X differentia.
E contra quandò C A eſt axis minor idem concludetur, vti paulo ante fa-
ctum eſt.
352313Conicor. Lib. VII. 416[Figure 416]
Notæ in Propoſit. XXIV.
I Gitur erectum ipſius A C mi-
417[Figure 417]11h nus eſt in prima, & maius in-
ſecunda, quàm I L, & ſic oſten-
detur, quod erectum ipſius I L ma-
ius ſit, ſiue minus quàm erectum.
S T, & c. Quoniam in prima ellipſi
rectangulum C A F minus eſt rectan-
22Pro p. 28.
h uius. gulo L I K; ergo A C ad I L mino-
rem proportionem habet reciproce, quã
I @ ad A F; quare I K ad aliquam
aliam quantitatem maiorem, quàm.
A F eandem proportionem habebit,
quàm A C ad I L; eſtquè A C maior
quàm I L in prima ellipſi; ergo multò
magis I K maior erit quàm A F. Pari ratione in eadem prima ellipſi rectan-
gulum L I K minus eſt rectangulo T S Z, & I L axi maiori propinquior ma-
ior eſt, quàm S T; ergo S Z maior erit, quàm I K.
E contra in ſecunda ellipſi rectangulum L I K minus erit rectangulo C A F;
33Ibidem.& rectangulum T S Z minus erit rectangulo L I K; eſtquè T S maior quàm
I L, & I L maior, quàm A C; igitur reciprocè A F maior erit, quàm I K,
& I K maior, quàm S Z.
353314Apollonij Pergæi
SECTIO SEXTA
Continens Propoſit. XXXIII. XXXIV.
XXXV. & XXXVI.
PROPOSITIO XXXIII.
A Xis inclinatus ſi non fuerit minor dimidio ſui erecti, vti-
que eius erectus minor eſt erecto cæterarum diametrorum
inclinatarum eiuſdem ſectionis, & axi proximioris inclinati ere-
ctus minor eſt, quàm erectus remotioris.
XXXV. Et ſi ſuerit axis inclinatus minor dimidio erecti, vti-
que ad vtraſque eius partes cadent duæ inclinatæ, quarum quæ-
libet æqualis eſt ſemiſſi erecti ipſius, atque eius erectus minor
eſt erecto cuiuslibet inclinati ad vtraſque partes eius poſitæ, &
erectus proximioris minor eſt erecto remotioris.
In hyperbole A B N ſint A C,
418[Figure 418] I L, P Q, S T diametri inclinatæ,
& A F ſit erectus ipſius A C, I
K ipſius I L, P R ipſius P Q, &
S Z ipſius S T: ſitquè axis A C
non minor medietate ipſius A F.
Dico, quod A F minor eſt, quàm
I K, & I K minor quàm P R, &
P R minor quàm S Z. Educantur
C B parallela I L, & C N ipſi P
Q & C X ipſi S T: & ducantur
B E, N M, X V perpendiculares
ad axim C A E. Quoniam ſi A C
æqualis eſt ipſi A F, etiam I L æ-
qualis eſt ipſi I K (21. ex 7.) &
P Q ipſi P R; eſtque A C minor
11ex 38
lib. 5. quam I L, & I L, quàm P Q;
354315Conicor. Lib. VII. ergo A F minor eſt, quàm I K, & I K minor quàm P R. Si verò A C
1121. huins. maior eſt, quàm A F eſſet I L maior, quàm I K: & I L ad I K mino-
rem proportionem habebit, quàm A C ad A F (28. ex 7.) & I L ma-
ior eſt quàm A C; igitur A F minor eſt, quàm I K: atquè ſimiliter pa-
tebit I K minorem eſſe quàm P R, & P R, quàm S Z.
PROPOSITIO XXXIV.
D Einde ſit A C minor, quàm A F, dummodò minor non ſit dimi-
dio eius: & ſecentur duæ præſectæ A H, C G, quæ erunt æqua-
les; pariterque A G, C H interceptæ æquales; ponaturque linea γ æqua-
lis ſummæ G E, G A. Et quia A G non eſt maior duplo A H, & γ maior
419[Figure 419] eſt duplo A G, erit γ in A H maius, quàm quadratũ A G; igitur γ in A
E ad γ in A H, nempe E A ad A H minorem proportionẽ habebit, quã
γ in A E ad quadratum A G; ideoquè E H ad H A, nẽpe E H in H A ad
quadratum A H minorẽ proportionẽ habebit, quàm γ, ſeu eidem æqules
E G, G A in A E, cum quadrato A G (quæ ſunt æqualia quadrato G E)
ad quadratum A G; ergo E H in H A ad quadratum E G, ſeu (vt
oſtenſum eſt in 15. ex 7.) quadratum A C ad quadratum I K minorem
proportionem habebit, quàm quadratum A H ad quadratũ A G, ſeu quã
quadratum A C ad quadratum A F. Igitur A C ad I K minorem pro-
portionem habet, quàm ad A F; & propterea A F minor eſt quàm I K.
355316Apollonij Pergæi Simili modo oſtendetur quod I K minor ſit, quam P R: etenim ſi pona-
tur linea f æqualis ſummæ M G, G E: cum G E non ſit maior duplo E
H, & f maior ſit duplo G E; igitur f in E H maius eſt quadrato G E.
Poſtea oſtendetur (quemadmodum antea dictum eſt) quod M H ad H
E, nempe M H in H A ad E H in H A minorem proportionem habet
420[Figure 420] quàm quadratum M G ad quadratum G E; & permutando M H in H A
ad quadratum M G, ſeu quadratum A C ad quadratum P R(15. ex 7.)
minorem proportionem habebit, quàm E H in H A ad quadratum G E,
nempe quàm quadratum A C ad quadratum I K: & propterea A C ad
P R minorem proportionem habebit, quàm ad I K; ideoquè I K minor
eſt, quàm P R: & pariter P R minor, quàm S Z.
PROPOSITIO XXXV. &
XXXVI.
S It poſtea A C minor dimidio A F; erit A G maior duplo A H, &
ideo H G maior eſt, quàm H A: ponatur iam H M æqualis H G,
ducaturque ad axim perpendicularis N M ; iungaturque N C, & educa-
tur diameter P Q parallela N C. Et quia M H medietas eſt ipſius M G,
erit P Q dimidium ipſius P R (6. ex 7.) Inter duas diametros P Q, A C
ducatur diameter I I. , & C B ei parallela, & ad axim perpendicularis
B E. Quoniam M H in H E minus eſt quadrato H G; addito
356317Conicor. Lib. VII. producto ex G E, & G H in E H, erit M H in H E cum E G, atquè
G H in H E, nempe ſumma M G, G E, quæ eſt æqualis ipſi f in E H
minus erit, quàm quadratum H G cum aggregato E G, G H in E H,
quæ ſunt æqualia quadrato G E; igitur f in E H minus eſt quadrato E
G. Poſtea vti prius dictum eſt oſtendetur, quod quadratum A C ad
quadratum P R maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum I K:
& propterea P R minor eſt, quàm I K. Non aliter oſtendetur quod I K
minor ſit, quàm A F. Ponatur poſtea diameter S T extra locum inter
P Q, A C compræhenſum, ducaturque C X ei parallela, & ad axim
perpendicularis X V. Igitur V H M maius erit quàm quadratum H G,
421[Figure 421]& eodem modo procedendo, tandem oſtendetur quod quadratum A C ad
quadratum S Z minorem proportionem habet, quàm ad quadratum P
R, & ideo P R minor erit quàm S Z. Non ſecus oſtendetur quod S Z
minor eſt erecto cuiuslibet inclinati cadentis ad partem S T extra illam.
Itaque demonſtratum eſt, quod P R minor ſit erecto cuiuslibet diametri
ſectionis cadentis ad vtraſque partes ipſius P Q verſus A, & X, & ere-
cti proximiores diametro P Q minores ſunt remotioribus. Et hoc erat
propoſitum.
In Sectionem VI.
IN Expoſitione ſequentium Propoſitionum difficultas, quæ à nimia prolixitate
oritur, ineuitabilis eſt, niſi Methodus in textu ſeruata aliquantisper relin-
quatur: propterea non nulla lemmata præmittam, ex quibus ſemel demonſtra-
tis caſus omnes ſequentium propoſitionum facillime, & breuiſſime deducnntur.
357318Apollonij Pergæi
LEMMA II.
SI recta linea H G producatur in A & E, ita vt A H, pariter-
que E H, non maior ſit H G: Dico rectangulum ex A G E
ſumma inæqualium ſegmentorum in E H intermediam ſectionem, mi-
nus eſſe quadrato ex ſegmento intermedio minore E G.
Fiat H M æqualis H G, & quia A
E æqualis, aut minor eſt, quàm M E;
422[Figure 422]& E G maior, quàm E H, ergo A E
ad M E minorem proportionem babet,
quàm E G ad E H, & permutando
A E ad E G minorem proportionem
habebit, quàm M E ad E H, & cõ-
ponendo A G ad G E minorem proportionem habebit, quàm M H, ſeu ei æqua-
lis G H aà H E, & iterum componendo A G E ad G E minorem proportionem
habebit, quàm G E ad E H: quare rectangulum ex ſumma A G E in H E
minus erit quadrato ex intermedia G E, vt propoſitum fuerat.
LEMMA III.
IIſdem poſitis ſint A H,
& E H non minores
423[Figure 423] quàm G H, vel H M:
Dico rectangulum ex A G
E in E H maius eſſe quadrato ex E G.
Quia A G maior eſt quàm E G, & G H non maior ipſa H E, ergo A G ad
G E maiorem proportionem habet, quàm G H ad H E, & componendo A G E
ad E G maiorem proportionem habebit, quàm G E ad E H, & ideo rectangu-
lum ex A G E in E H maius erit quadrato ex G E.
LEMMA IV.
IIſdem poſitis ſit A H ma-
ior, ſed E H minor ea-
dem M H ſemiſſe totius M
424[Figure 424] G: Dico quod ſi proportio ip-
ſius A G ad G E fuerit eadem
rationi G H ad H E,
358319Conicor. Lib. VII. rectangulum ſub A G E in E H æquale quadrato ex G E, & ſi pro-
portio illa maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadrato; &
ſi illa proportio minor fuerit, Rectangulum quadrato miuus erit.
Et primo, quia A G ad G E ponitur vt G H ad H E; componendo A G E
ad G E, erit vt G E ad E H, & rectangulum ſub extremis contentum, ni-
mirum ſub A G E in E H, æquale erit quadrato ex intermedia G E.
Secundo, ſi A G ad G E maiorem proportionem habuerit, quàm G H ad H
E, componendo A G E ad G E maiorem proportionem habebit, quàm G E ad
E H, & ideo Rectangulum ſub A G E in E H maius erit quadrato ex G E.
pari ratione ſi A G ad G E minorem proportionem habuerit, quàm G H ad
H E, oſtendetur Rectangulum ex A G E in E H minus quadrato G E.
LEMMA V.
IN hyperbola, cuius axis C A, & erectus A F, præſecta H A, in-
tercepta G A, diameter L I, cuius erectus I K, latus C E, &
425[Figure 425] diameter Q P, cuius erectus P R, latus C O: Dico quod erectus P
R ab ipſo erecto I K, vel ab A F atque rectangulum ſub O G E in
G H ab ipſo quadrato G E, vel rectangulum ex O G A in A H ab
ipſo quadrato G A, vna deficiunt, vel vna æqualia ſunt, aut vna
excedunt.
Et primo ponatur rectangulum ſub O G E in E H æquale quadrato E G, er-
go idem rectangulum ſub O G E in E O ad rectangulum ſub E G O in E H,
ſeu E O ad E H eandem proportionem habet, quàm ad quadratum G E, &
propterea E O ad E H erit vt rectangulum ſub E G O in E O ad
359320Apollonij Pergæi G E, & componendo O H ad E H, ſeu rectangulum O H A ad rectangulum
E H A, erit vt rectangulum ſub G E, & G O in O E vna cum quadrato E
G, ſeu vt quadratum ex O G ad quadratum ex G E, & permutando rectangu-
lum A H O ad quadratum O G, erit vt rectangulum E H A ad quadratum G
E, ſed vt rectangulum O H A ad quadratum O G, ita eſt quadratum A C ad
1115. huius.
ex Def. &
15. huius. quadratum P K, & vt rectangulum E H A ad quadratnm ex G E, ſeu vt
quadratum A C ad quadratum A F, vel ex I K; quapropter idem quadratum
A C ad quadratum ex P K, atque ad quadratum ex A F vel I K eandem pro-
portionem habet, & ideo quadrata ipſa æqualia ſunt, & eorum latera P K; &
A F, vel I K pariter æqualia erunt.
426[Figure 426]
Eodem modo quando rectangulum ſub O G E in E H maius eſt quadrato G
E, tunc quidem idem rectangulum, cuius altitudo O G E, baſis vero O E, ad
rectangulum, cuius altitudo O G E, baſis verò E H, ſeu O E ad E H, mino-
rem proportionem habebit, quàm ad quadratum E G, & componendo, atque
permutando, vt prius factum eſt, habebit rectangulum O H A ad quadratum
O G, ſiue quadratum A C ad quadratum P K minorem proportionem, quàm
rectangulum E H A ad quadratum G E, ſeu quàm quadratum A C ad qua-
2215. huius. dratum A F, vel I K, & propterea P K maior erit, quàm A F, vel I K.
Quando verò rectangulum ſub E G O in E H minus eſt quadrato E G, tunc
quidem oſtendetur eodem progreſſu quadratum P K minus eſſe quadrato A F,
vel I K, quod erat propoſitum.
Notæ in Propof. XXXIII. & XXXIV.
QVoniam ex hypoteſi C A minor non eſt medietate ipſius A F, eſtque A H
ad A G, vt C A, ad A F, ergo A H maior, aut æqualis eſt medietati
33Def. 2.
huius. ipſius A G, & ideo A H maior, aut æqualis eſt reſiduo H G,
360321Conicor. Lib. VII. E H, atque eius portio A H non
427[Figure 427]11Lem. 3.
huius. minores ſunt eadem G H; ergo re-
ctangulum ſub E G A in A H ma-
ius erit quadrato A G, atque I K
maior erit quàm A F.
22Lem. 5.
Simili modo, quia tam M H,
quam E H excedunt ipſam G H,
33Lem. 3.
huius. erit rectangulum ſub M G E in E
H maius quadrato A G, atque P
44Lem. 5.
huius. R maior, quam I K.
428[Figure 428]
Notæ in Propoſit. XXXV.
QVia ex hypoteſi axis A C minor eſt ſemi A F, erit A H minor medieta-
te ipſius A G, & ideo A H minor erit H G: fiat igitur M H æqualis
H G, & per M (quæ intra ſuctionẽ cadet) ad axim ordinatim
361322Apollonij Pergæi ducatur N n occurrens ſectioni in N, & n, à quibus iungantur N C, n C, &
eis æquidiſtantes diametri P Q, & p q extendantur, quarũ erecta P R, & p r.
Oſtendendum eſt P Q ſubduplam eſſe ipſius P R, atq; P R, & p r æquales eße
inter ſe, & minima eſſe erectorum quarumlibet Diametrorum eiuſdem ſectio-
nis. Quoniam vt H M ad M G ita eſt P Q ad P R, & p q ad p r, erat au-
11Prop. 6.
huius. tem H M ſubdupla ipſius M G, ergo Diameter P Q ſubdupla eſt erecti eius P R,
pariterque p q ſubdupla eſt ipſius p r: atque Diametri P Q, & p q æquales
ſunt inter ſe, cum æque recedant ab axi A C, atque earum commune latus ſit
C M. Poſtea quia tam E H, quàm M H maiores non ſunt eadem H M, vel
G H, ergo rectangulum ſub M G E in E H minus eſt quadrato E G, & ex
22Lem. 2.
huius. lem. 5. P R minor eſt I K.
429[Figure 429]
Similiter quia tam E H, quàm A H minor eſt eadem H M, ergo rectan-
33Lem. 2.
& 5. hui. gulum ſub E G A in A H minus eſt quadrato A G, & I K minor erit, quàm
A F. tandem, quia tam V H, quàm M H non eſt minor eadem G H, ergo re-
ctangulum V G M in M H maius erit quadrato G M, & ideo S Z maior erit,
44Lem. 3. quàm P R, & ſic vlterius: quare P R minimum eſt laterum rectorum quarum-
55Lem 5. libet Diametrorum eiuſdem hyperboles.
In hyperbole latus rectum alicuius Diametri reperire, quod æquale
66PROP. 1.
Addit ſit lateri recto axis; ſed oportet, vt axis tranſuerſus A C minor ſit me-
dietate eius erecti A F.
Reperiatur Diameter P Q, quæ ſubdupla ſit eius erecti P R, ſitque C M la-
77ex 35. hu. tus, & fiat e G ad G A, vt M H ad H A, & ducatur ordinatim applicata
ad axim e d, coniungaturque recta d C, & extendatur diameter a b paralle-
la ipſi d C, cuius latus rectum ſit a c. Dico a c æquale eſſe A F: quia e G
ad G A facta fuit vt M H, ſiue G H ad H A, ergo rectangulum ſub e G A in
88Lem. 4.
huius. A H æquale eſt quadrato G A, ideoque erectum a c æquale erit erecto A F,
99Lem. 5.
huius. quod erat propoſitum.
362323Conicor. Lib. VII.
Dato latere recto I K diametri hyperboles I L reperire latus rectum
11PROP. 2.
Addit. alterius Diametri, quod æquale ſit lateri recto I K: oportet autem,
vt Diameter I L cadat inter axim, @ aliam Diametrum, quæ ſub-
dupla ſit ſui erecti.
Reperiatur Diameter Q P, quæ ſubdupla ſit ſui erecti P R, eiuſque latus
22ex 35. hu. ſit M C; ergo ex hypotheſi I L cadet inter axim A C, & Diametrum P Q,
& propterea terminus E lateris C E cadet inter A, & M, igitur reperiri po-
terit V G, quæ ad G E eandem proportionem habeat, quàm maior M H ad
minorem H E, & vt prius, lateris C V ducatur diameter S T, cuius latus
rectum S Z: dico S Z æquale eße I K: quia V G ad G E eſt, vt M H, ſeu
33Lem. 4.
huius.
Lem. 5.
huius. G H ad H E, ergo rectangulum ſub V G E in E H æquale eſt quadrato G E,
ideoque S Z æquale I K; quod erat propoſitum.
Deducitur ex prima propoſitione additarum quod in aliqua hyperbola reperi-
ri poßunt tria diametrorum latera recta æqualia inter ſe; ſi nimirum in hyper-
bola, cuius axis C A minor ſit medietate eius lateris recti, reperiantur vtrin-
que duæ diametri b a, quarum latera recta a c æqualia ſint ipſi A F; tunc
quidem tria illa latera recta æqualia erunt inter ſe: reliqua verò latera recta
diametrorum cadentium inter A, & a maiora erunt latere recto A F; & la-
tera recta diametrorum cadentium vltra punctum a ad partes B maiora ſunt
44ex 35.
huius. latere recto a c, propterea quod magis recedunt ab omnium minimo latere re-
cto P R.
Simili modo in eadem hyperbola reperiri poßunt quatuor diametrorum latera
recta æqualia inter ſe, ſi nimirum ex ſecunda propoſitione additarum dato la-
tere recto I K diametri I L reperiatur æquale latus rectum S Z alterius diame-
tri S T, & ex altera parte axis ducantur duæ aliæ diametri æquè ab axi re-
motæ ac illæ, erunt quatuor recta latera earum æqualia inter ſe, & maiora
quolibet latere recto diametri cadentis inter I, & S ad vtraſque partes axis:
minora verò erunt quolibet latere recto diametri cadentis vltra punctum I ad
partes verticis A, vel infra puncta S ad partes a, vt deducitur ex 35. huius.
SECTIO SEPTIMA
Continens Propoſit. XXXVIII. XXXIX.
& XXXX.
PROPOSITIO XXXVIII.
IN hyperbole axis inclinatus ſi non fuerit minortriente erecti
ipſius, erunt duo latera figuræ axis minora, quàm duo late-
ra figuræ cuiuslibet inclinatæ coniugatarum, quæ in eadem ſe-
ctione conſiſtunt, & duo latera figuræ inclinati proximioris axi
minora ſunt, quàm duo latera figuræ remotioris inclinati.
363324Apollonij Pergæi
Si verò fuerit axis minor parte tertia ſui erecti aſſignari po-
terunt ad vtraſque eius partes duo æquales diametri, quarum
quælibet pars tertia ſit ſui erecti, atque duo latera figuræ eiuſ-
dem minora ſunt duobus lateribus figuræ cuiuslibet alterius dia-
metri ad vtraſque eius partes in eadem ſectione cadentis: & duo
latera figuræ diametri ei propinquiores minora ſunt duobus la-
teribus figuræ remotioris.
430[Figure 430]
In eadem figura ſupponatur prius hyperboles axis A C non minor ſuo
erecto, erit P Q maior quàm A C, & S T maior quàm P Q: ideoquè
erectus ipſius A C minor erit erecto ipſius P Q (33. ex 7.) , & erectus
ipſius P Q minor eſt erecto ipſius S T; igitur duo latera figuræ A C mi-
nora ſunt, quàm duo latera figuræ P Q, & duo latera figuræ P Q mino-
ra, quàm duo latera figuræ S T.
PROPOSITIO XXXIX.
D Einde ſit A C minor quàm A F, ſed non ſit minor tertia parte
11a eius; igitur A H non erit minor tertia parte ipſius H C: & pro-
pterea non eſt minor quadrante ipſius A C; ideoque C A in A H non.
eſt minus quarta parte quadrati A C; quare C A in A M quater ſum-
ptum ad C A in A H quater, nempe M A ad A H non habet maiorem
proportionem, quàm quadruplum ipſius A C in A M ad quadratum A
C. Et ponamus M m æqualem M A, componendo M H, ad H A,
nempe M H in H A ad quadratum H A non habebit maiorem
364325Conicor. Lib. VII. tionem, quàm C M in M A quater ſumptum vna cum quadrato C A,
nempe quàm quadratum C m ad quadratum A C; ideoque M H in H
A ad quadrarum H A minorem proportionem habet quàm quadratum.
C m ad quadratum A C. Et permutando M H in H A ad quadratum.
C m, ſeu ad quadratum ex ſumma ipſarum G M; & M H, ad quod
habet eandem proportionem quàm quadratum C A ad quadratum ſum-
mæ P Q, & P R (17. ex 7.) habebit minorem proportionem, quàm
quadratum A H ad quadratum A C, ſeu quàm quadratum A C ad qua-
dratum ſummæ ipſarum A C, & A F; igitur ſumma ipſarum A C, &
A F minor eſt quàm ſumma ipſarum P Q, & P R. Et quia M H maior
eſt quarta parte ſummæ ipſarum M G, & M H; ergo quadruplum C m
in M H maius eſt quadrato C m, & ponatur V u æqualis A V; igitur
quadruplũ V M in C m ad quadruplum M H in C m, ſcilicet V M ad
M H minorem proportionem habebit, quàm quadruplum V M in C m
ad quadratum C m: & componendo V H ad H M, nempe V H in H
A ad M H in H A minorem proportionem habebit, quàm V M in C m
quater ſumptum, vel u m in m C bis ſumptum cum quadrato C m (eo
quod u m dupla eſt ipſius V M quæ omnia ſimul ad idem quadratum C
m minorem proportionem habet, quàm quadratum C u. Ergo V H in
H A ad quadratum C u, ſcilicet quadratum A C ad quadratum ſummæ
ipſarum S T, & S Z (17. ex 7. ) minorem proportionem habet quàm
M H in H A ad quadratum C m, ſeu qnàm quadratum A C ad quadra-
tum ſummæ ipſarum P Q, P R (17. ex 7.) quapropter P Q, & P R ſi-
mul ſumptæ minores ſunt, quàm S T, & S Z ſimul ſumptæ.
PROPOSITIO XXXX.
S It A C minor triente ipſius A F, erit A H minor dimidio
ipſius H G, & ponatur M H æqualis dimidio H G, & du-
431[Figure 431]
365326Apollonij Pergæi camus perpendicularem, & diametrum. Dico, quod P Q æ-
qualis eſt trienti ipſius P R.
Educamus inter P Q, A C diametrum I L, & educamus C B ei æ-
quidiſtantem, & perpendicularem B E, & ſecemus E l æqualem E A
erit ſumma ipſarum G E, & E H æqualis C l; eſtque H E minor quam
M H, quæ quarta pars eſt ipſius C m; ergo ſumma ipſarum M G, H E
in M H quater ſumptum minus eſt quadrato C m: auferatur communi-
ter M G, H E in M E quater ſumptum remanebit quadruplum ſummæ
M G, H E in H E minus quàm quadratum C l (quia M G, H E ſimul
ſumptæ, nempe M C vna cum A E in M E quater ſumptum æquale eſt
quadrato l m; quod eſt duplum M E, & aggregatum C E, A E, nem-
pe C l in l m bis ſumptum ) igitur aggregatum M G, & H E in M E
quater ſumptum ad aggregatum M G, H E in H E quater ſumptum, nẽ-
pe G E ad H E maiorem proportionem habebit, quàm ad quadratum l
C. & componendo M H ad H E, ſeu M H in H A ad E H in H A
habebit maiorem proportionem, quàm M G, H E in M E quater ſum-
ptum cum quadrato l C (quæ æqualia ſunt quadrato C m) ad quadra-
tum l C: & permutando erit M H in H A ad quadratum C m, nempe
ad quadratum ſummæ ipſarum M G, & M H, ſeu quadratum A C ad
quadratum ſummæ ipſarum P Q, P R (17. ex 7.) maiorem proportio-
nem habebit, quàm E H in H A ad quadratum l C (quod eſt æquale
quadrato ſummæ ipſarum G E, E H ) quod erit vt quadratum A C ad
quadratum aggregati ipſarum I L, I K: quapropter A C ad duo latera
figuræ P Q maiorem proportionem habet, quàm ad duo latera figuræ I
L. Et propterea duo latera figuræ P Q minora ſunt, quàm duo latera
432[Figure 432]
366327Conicor. Lib. VII. figuræ I L. Simili modo eſtendetur, quod duo latera figuræ I L minora
ſunt, quàm duo latera figuræ A C.
Educamus poſtea C X extra ſegmentum A N; & educamus diametrũ
S T ei parallelam, & ad axim perpendicularem X V, erit aggregatum.
G V, M H in M H quater ſumptum maius quàm quadratum C m; & ad-
damus communiter aggregatuin M H, G V in M H quater ſumptum;
oſtendetur vt antea, quod duo latera ſiguræ S T maiora ſunt, quàm duo
latera figuræ P Q.
Oſtendetur quoque in reliquis diametris cadentibus ad vtraſque par-
tes ipſius P Q in eadem ſectione, quod duo latera ſiguræ diametri ipſi
P Q proximioris minora ſunt, quàm duo latera figuræ remotioris.
In Sectionem VII. Propoſit: XXXVIII.
XXXIX. & XXXX.
LEMMA VI.
S I recta linea H G bifariam ſecta in D producatur vtcumque ad A,
@ E, ita vt D H non maior ſit quàm H E, vel H A, @
E D maior ſit, quàm D A: dico rectangulum ſub E D A in H A
maius eſſe quadrato D A.
Quia E D maior ad minorem
433[Figure 433] D A habet maiorem proportionem,
quàm D H non maior ipſa H A,
ad H A, ergo componendo E D A
ad D A maiorem proportionem ha-
bet, quàm D A ad A H, & pro-
pterea rectangulum ſub extremis contentum, ſcilicet ſub E D A in A H, ma-
ins eſt quadrato D A.
LEMMA VII.
I Iſdem poſitis, ſi D H
434[Figure 434] non minor fuerit quàm
H A, vel H E, ſitque
H E maior, quàm H A:
dico rectangulam ſub E D
A in A H minus eſſe quadrato D A.
367328Apollonij Pergæi
Fiat H M æqualis maiori H D, erit E A differentia minimæ H A, & in-
termediæ H E minor, quàm M A, quæ eſt differentia maximæ M H, & mi-
nimæ H A, & A D maior eſt quàm A H, ergo E A ad M A minorem pro-
portionem habet, quàm D A ad A H, & permutando E A ad A D habebit mi-
norem proportionem, quàm M A ad A H, & componendo E D ad D A mino-
proportionem habebit, quàm M H, ſiue D H ad A H, & iterum componendo
E D A ad D A minorem proportionem habebit, quàm eadem D A ad A H, &
propterea rectangulum ſub E D A in A H minus erit quadrato D A.
LEMMA VIII.
I Iſdem poſitis ſi D H maior fuerit, quàm A H ſed minor quàm E
H, fueritque proportio E A ad A D eadem proportioni M A ad A
H, dico rectangulum ſub E D A in A H æquale eſſe quadrato D A:
ſi verò proportio illa maior fuerit, vel minor rectangulum ſimiliter qua-
drato maius, vel minus erit.
Quia E A ad A D po-
435[Figure 435] nitur vt M A ad A H,
componendo E D ad D A,
erit vt M H, ſeu D H ad
H A, & iterum componen-
do E D A ad D A, erit vt
D A ad A H, & propterea rectangulum ſub E D A in A H æquale erit qua-
drato D A.
Quando verò E A ad A D maiorem proportionem habet, quàm M A ad A
H, t@nc bis componendo E D A ad D A maiorem proportionem habebit, quàm
D A ad A H, & propterea rectangulum ſub extremis; ſcilicet ſub E D A in
A H maius erit quadrato intermediæ D A: non ſecus quando E A ad A D
minorem peoportionem habet, quàm M A ad A H, oſtendetur rectangulum ſub
E D A in A H minus quadrato ex D A.
LEMMA IX.
I N hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præſecta H A, in-
tercepta G A, centrum D, diameter I L, eiuſque erectus I K,
@ C E ſit latus eiuſdem, ſitque diameter Q P, cuius erectus P R,
@ latus L O: dico quod rectangulum ſub O D E in E H ab ipſo qua-
drato D E, atque Q P R ſumma laterum figuræ Diametri P Q ab L
I K ſumma laterum figuræ I L, vel ab ipſa C A F ſumma laterum
figuræ axis, vna deficiunt, vel vna æqualia ſunt, aut vna excedunt.
368329Conicor. Lib. VII. 436[Figure 436]
Et primo rectangulum ſub O D E in E H æquale ſit quadrato D E, ergo
ad hæc duo ſpatia æqualia eandem proportionem habebit idem rectangulum ſub
E D O in O E, ſed vt rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub E
D O in E H, ita eſt O E ad E H, (propterea quod æquales altitudines ha-
bent), igitur vt O E ad E H, ita eſt rectangulum ſub E D O in O E ad
quadratum D E, & componendo O H ad E H, ſiue rectangulum O H A ad
rectangulum E H A eandem proportionẽ habebit, quàm rectangulum ſub E D
O in O E vna cum quadrato D E, ſeu quàm quadratum D O ad quadratum
D E, vel potius vt quadratum ex dupla D O ad quadratum ex dupla D E,
nempe vt quadratum ex G O H ad quadratum ex G E H, quare permutando
rectangulum O H A ad quadratum ex G O H eandem proportionem habebit,
quàm rectangulum ex E H A ad quadratum ex G E H, ſeu vt quadratum ex
11Prop. 16.
huius.
Ibidem. A C ad quadratum ex C A F, vel ex L I K; ſed vt rectangulum A H O ad
quadratum ex G O H, ita eſt quadratum ex A C ad quadratum ex Q P R:
quare idem quadratum A C eandem proportionem habet ad quadratum ex Q P
R, quàm ad quadratum ex C A F, vel ex I R L, & propterea quadrata ipſa
æqualia ſunt, & ſumma laterum Q P R æqualis eſt ſummæ laterum C A F,
vel I L K.
Secundo ſit rectangulũ ſub E D O in E H maius quadrato D E, tunc quidem
idem rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub O D E in E H mi-
norem proportionẽ habebit, quàm ad quadratum ex D E, ſeu O E ad E H mi-
norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex D E; & componendo
ſumpta eadem altitudine H A, quadruplicando poſtrema quadrata, & permu-
tando, & ex 16. huius, idem quadratum A C ad quadratum ex Q P R mi-
norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex C A F, vel ex L I K,
& propterea ſumma Q P R maior erit, quàm C A F, ſeu quàm L I K.
Tertio ſit rectangulum ſub E D O in E H minus quadrato D E, patet quod
idem rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub E D O in E H, ſeu
O E ad E H maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum D E, & com-
ponendo ductis prioribus terminis in A H, quadruplicando poſtrema
369330Apollonij Pergæi permutando vt prius, idem quadratum A C ad quadratum ex Q P R, maiorem
proportionem habebit, quàm ad quadratum ex C A F, ſeu ex L I K, & pro-
pterea ſumma Q P R minor erit, quàm C A F, vel L I K, quæ erat oſten-
denda.
Notæ in Propoſit. XXXVIII. XXXIX.
QVia axis C A minor non eſt triente eius erecti A F, eſtq; H A ad A G vt C A
ad A F, ergo H A æqualis, aut maior eſt parte tertia ipſius A G; & A H
æqualis, aut maior erit, quàm ſemiſſis ipſius H G differentiæ illa-
rum, eſtque G H ſecta bifariam in D, ergo H A æqualis, aut maior erit,
437[Figure 437] quàm D H, eſtque H E maior quàm H A, ergo pariter H E maior eſt, quàm
11Lem. 6. D H, quare rectangulum ſub E D A in A H maius erit quadrato D A, atque
ſumma laterum figuræ L I K maior, quàm ſumma laterum figuræ axis C A F.
22Lem. 9.
Similiter quia H M maior eſt, quàm H E, erit quoque H M maior, quàm
D H, & propterea ex lemma 6. & 9. ſumma Q P R maior erit, quàm ſum-
ma L I K.
Notæ in Propoſit. XXXX.
QVia C A minor eſt triente ipſius A F, eſtque H A ad A G vt C A ad A
F, ergo H A minor eſt tertia parte ipſius A G, & minor ſemiſſe
370331Conicor. Lib. VII. rentiæ H G, & ideo H A minor erit, quàm H D: ſecari ergo poterit H M
æqualis D H, quæmaior erit, quàm A H, ducaturq; per M ad axim ordinatim
applicata N M n occurrens ſectioni in punctis N n, à quibus iungãtur C N, & C
438[Figure 438] n, ijſdemque æquidiſtantes ducantur duæ diametri P Q, & p q, quarum la-
tera recta P R, & p r. Oſtenàendum eſt P Q ſut erecti P R, atque p q ſui
erecti p r ſubtriplam eße, ſed duo figuræ latera P Q, P R æqualia eſſe alterius
figuræ lateribus p q, p r, & inſuper P Q, P R minima eſſe laterum figuræ
cuiuſlibet alterius diametri eiuſdem ſectionis, & latera figurarum minimis pro-
ximiora, eſſe minora lateribus figurarum remotiorum.
Quia H M ad M G eandem proportionem habet quàm P Q ad P R, vel p
11Prop. 6.
huius. q ad p r, eſtque H M ſubtripla ipſius M G (cum M H facta ſit æqualis H D)
ergo P Q ipſius P R, pariterque p q ipſius p r ſubtripla eſt: & ſunt latera
figuræ Q P R æqualia lateribus q p r alterius figuræ, cum diametri Q P, &
q p æquè recedant ab axi, & habeant latus commune C M.
Quod verò ſumma laterum figuræ Q P R minima ſit reliquarum ſummarũ
laterum figuræ cuiuſlibet diametri ſic oſtendetur.
Quia A H, & E H minora ſunt, quàm H M, ſiue D H, ergo rectangulum
22Lem. 7. ſub E D A in A H minus eſt quadrato D A, & ſumma L I K minor eſt ſum-
33Lem. 9. ma C A F.
Pariter quia M H æqualia eſt H D, & H E minor eadem, ergo ambo non
44Lem. 7.55Lem. 9. erunt maiores eadem D H, ergo rectangulum ſub M D E in E H minus erit
quadrato D E, atque ſumma Q P R minor erit, quàm L I K.
Rurſus quia V H maior, eſt quàm M H, ſeu quàm D H, erunt illæ non,
66Lem. 6.77Lem. 9. minores eadem D H, ergo rectangulum ſub V D M in H M maius erit qua-
drato D M, atque ſumma T S Z maior erit, quàm ſumma Q P R.
In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ latera æqualia ſint lateribus
88PROP. 3.
Addit.
ex 40.
huius. figuræ axis: oportet autem vt axis A C minor ſit triente erecti eius. Reperia-
tur diameter P Q ſubtripla erecti eius P R, eiuſque latus ſit C M, & fiat e
A ad A D, vt M A ad A H, & lateris C e ducatur diameter a b, cuius ere-
ctus a c. Dico hanc eße diametrum quæſitam: quia e A ad A D eandem pro-
portionem habet, quàm M A ad A H, erit rectangulum ſub e D A in A
371332Apollonij Pergæi æquale quadrato D A, & ſumma laterum b a c æqualis erit laterum figuræ
11Lem. 8.22Lem. 9. axis ſummæ C A F.
439[Figure 439]
In eadem hyperbola data diametro I L reperire aliam diametrum, ita v@
33PROP. 4.
Addit. eius figuræ latera æqualia ſint lateribus figuræ datæ diametri I L: oportet au-
tem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q ſubtriplam eius erecti. Sit
44ex 40.
huius. C E latus diametri I L, & C M, ſit latus diametri P Q, & quia punctum
E cadit inter M, & A, erit H E minor, quàm H M, vel D H: fiat V E
55Lem. 8. ad E D, vt M E ad E H, ergo rectangulum ſub V D E in E H æquale erit
quadrato E D, & ex lemma 9. ſumma laterum T S Z æqualis erit ſummæ la-
terum L I K; quod erat propoſitum.
Facile colligitur ex 3. additarum, quod in hyperbola cuius axis ſubtripla ſit
erecti eius aſſignari poſſunt tres ſummæ laterum figurarum trium Diametrorum
quæ æquales ſint inter ſe. Ex 4. verò additarum in eadem Hyperbola aſſignari,
poßunt quatuor ſummæ laterum figurarum quatuor diametrorum, quæ æquales
ſint inter ſe.
Deinde ſit A C minor, quàm A F, ſed non ſit minor eius triplo, er-
go A H non erit minor triplo H C, & c. Textus mendoſus omnino corrigi
66a debuit, nam ex contextu ſequenti deducitur A C non tripla minor, ſed minor
parte tertia ſupponi debere ipſius A F.
440[Figure 440]
372333Conicor. Lib. VII.
SECTIO OCTAVA
Continens Propoſit. XXXXIIII. XXXXV.
& XXXXVI.
IN hyperbole ſi quadratum axis inclinati minus non fuerit di-
midio quadrati ex differentia ipſius, & ſui erecti, vtique
quadratum diametri figuræ eius minus eſt, quàm quadratum
diametri figuræ cuiuſcumque alterius inclinati eiuſdem ſectionis.
XXXXVI. Si verò minus fuerit cadent ad vtraſque partes
eius duæ inter ſe æquales diametri, quarum vniuscuiuſlibet qua-
dratum æquale eſt quadrato exceſſus ſui erecti, & quadratum
diametri figuræ ipſius minus eſt quàm quadratum diametri figu-
ræ cuiuſlibet alterius inclinati ad vtraſque eius partes cadentis:
& diameter figuræ inclinati proximioris illi minor eſt quàm dia-
meter figuræ inclinati remotioris.
441[Figure 441]
Iiſdem figuris manentibus ſupponatur prius A C non minor quàm A Demonſt
F; ergo P Q non erit minor quàm P R (28. ex 7.) & duo quadrata A prop. 44.
C, A F nempe diameter figuræ A C minor eſt quàm diameter figuræ
373334Apollonij Pergæi Q; & pariter diameter figuræ P Q minor eſt, quàm diameter figuræ S
T. Sit iam A C minor quàm A F, & eius quadratum non minus dimi-
11Demonſt.
prop. 45. dio quadrati exceſſus ipſius A F ſuper A C. Et quia A C ad A F ean-
dem proportionem habet, quàm A H ad A G; ergo duplum quadrati
A H non eſt minus quadrato H G; ergo M H in H A bis ſumptum ma-
ius eſt quadrato H G, & addatur communiter duplum G A in A H fiet
duplum ſummæ G A, M H, vel C M in A H maius quàm duplum G A
in A H cum quadrato H G, ſeu quàm quadratum G A cum quadrato A
442[Figure 442] H: quare duplum C M in M A ad duplum C M in A H, ſeu M A ad
A H minorem proportionem habet, quàm duplum C M in M A ad qua-
dratum G A vna cum quadrato A H: & componendo habebit M H ad
H A, ſeu M H in H A ad quadratum A H minorem proportionem quàm
duplum C M in M A cum duobus quadratis ipſarum G A, & A H (quæ
omnia ſimul æqualia ſunt quadrato M G cum quadrato M H) ad qua-
dratum A G cum quadrato A H: & permutando M H in H A ad qua-
dratum G M cum quadrato M H (nempe quadratum A C ad duo qua-
drata laterum figuræ P Q) ſiue ad quadratum diametri figuræ P Q (17.
ex 7.) minorem proportionem habebit, quàm quadratum H A ad qua-
dratum A G cum quadrato A H, ſeu quàm quadratum A C ad quadra-
tum diametri figuræ eius; igitur quadratum A C ad diametrum figuræ
P Q minorem proportionem habet, quàm ad diametrum figuræ A C: &
ideo diameter figuræ P Q maior erit diametro figuræ A C. Præterea,
quia duplum quadrati M H maius eſt quadrato H G; ergo V H in M H
bis maius erit, quàm quadratum H G: & oſtendetur (quemadmodum
diximus) quod diameter figuræ S T maior ſit quàm diameter figuræ P Q.
374335Conicor. Lib. VII.
PROPOSITIO XXXXVI.
SIt poſtea quadratum A C minus dimidio quadrati ex differentia ipſa-
rum C A, & A F; erit duplum quadrati A H minus quadrato H G
& ponamus duplum quadrati M H æquale quadrato H G: & educamus
ad axim perpendicularem N M, & iungamus N C; & ducamus diame-
trum P Q parallelã ipſi N C, erit H M ad M G, vt P Q ad P R, & pro-
116. huius. pterea quadratum P Q dimidium erit quadrati exceſſus ipſius P R; ergo
22a P Q eſt vna æqualium: ponatur inſuper inter A, & P diameter I L, &
conſtructio perficiatur, vt prius. Et quia duplum quadrati M H æquale
eſt quadrato H G, erit duplum M H in H E minus quadrato H G, &
ponatur communiter duplum G E in E H; igitur duplum aggregati M G
in E H minus eſt quadrato G E cum quadrato E H; & oſtendetur que-
madmodum diximus antea, quod quadratum diametri figuræ P Q mi-
nus ſit quadrato diametri figuræ I L; & quadratum diametri figuræ I L
minus ſit quadrato diametri figure A C.
443[Figure 443]
Deindè ducatur diameter inclinata S T extra ſegmentum A P, & C X ei
parallela, & ad axim perpendicularis X V: & quia duplum quadrati M H
æquale eſt quadrato H G erit duplum V H in H M maius quadrato H
G: ponatur communiter duplum G M in M H, fiet duplum aggregati
V G, M H, in M H maius quadrato M G cum quadrato M H: quare
duplum aggregati V G, & M H in M V ad duplum aggregati V G, &
M H in M H, nempe M V ad M H minorem proportionem habebit,
quàm duplum aggregati V G, & M H in M V ad quadratum G M cum
quadrato M H: & componendo oſtendetur (quemadmodum antea di-
ctum eſt) quod quadratum A C ad diametrum figuræ P Q maiorem pro-
portionem habeat, quàm ad diametrum figuræ S T. Eadem prorſus cõ-
tingent in reliquis omnibus diametris. Quapropter diameter figuræ P Q
minor eſt diametro figuræ cuiuslibet diametri ad vtraſque eius partes in
eadem ſectione exiſtente. Quod erat oſtendendum.
375336Apollonij Pergæi
In Sectionem VIII. Propoſit. XXXXIIII.
XXXXV. & XXXXVI.
LEMM A.X.
SI rectæ lineæ G H bifariam ſectæ in D addantur ſegmenta H A,
& H E atque proportio dupli E H ad H G eadem fuerit propor-
tioni G H ad H A: dico duplum rectanguli ex G A, & H E in H
A æquale eſſe quadratis ex G A, & ex A H: ſi verò proportio illa
maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadratis: ſi verò propor-
tio fuerit minor, rectangulum minus erit quadratis.
Primo quia ſi duplum E H ad H G, eſt vt G H ad H A, ergo duplum re-
ctanguli E H A æquale erit quadrato G H, & addatur communiter duplum
444[Figure 444] rectanguli G A H, erit duplum
rectanguli ex ſumma G A, & E H
in A H æquale duplo rectanguli G
A H cum quadrato G H; his verò
ſpatijs æquantur quadrata ex G A,
& ex A H, ergo duplum rectan-
guli ex ſumma G A, E H in A H æquale erit duobus quadratis ex G A, &
ex A H.
Secundo, quia duplum E H ad H G, maiorem proportionem habet, quàm
G H ad A H, ergo duplum rectanguli E H A maius eſt quadrato G H, & ad-
dito communiter duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E
H in A H maius duobus quadratis ex G A, & ex A H.
Tertio, quia duplum E H ad H G minorem proportionem habet, quàm G H
ad A H, ergo duplum rectanguli E H A minus eſt quadrato G H, & addito
duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E H in A H minus
quadratis ex G A, & ex A H.
LEMM A XI.
SI recta linea G H ſecetur exterius in A, E, & ſit eadem G H
differentia nedum ſegmentorum G E, & E H, ſed etiam duo-
rum ſegmentorum G A, & A H: dico quod quadrata ex maximo,
& ex vno intermediorum ſegmentorum, ſcilicet ex G E, & ex E H
445[Figure 445] æqualia ſunt quadratis ex
reliquo intermediorum, &
ex minimo ſegmento, ſci-
licet ex G A, & ex A
H vna cum duplo
376337Conicor. Lib. VII. guli ex ſumma extremorum, vel intermediorum in differentiam mini-
morum ſegmentorum, ſcilicet ex G A cum H E in E A.
Quia duplum rectanguli G A H cum duplo rectanguli G A E æquatur duplo
rectanguli ſub G A in H E, addito cõmuniter duplo rectanguli H E A erit du-
plum rectanguli G E H æquale duplo rectanguli G A H cum duplo rectanguli ex
ſumma G A, H E in E A; & addito communi quadrato G H, erit duplum
rectanguli G E H cum quadrato G H, ſcilicet duo quadrata ex G E, & ex E
446[Figure 446] H, erunt æqualia illis om-
nibus ſpatijs, ſcilicet duplo
rectanguli ex ſumma G A,
H E in E A cum duplo re-
ctanguli G A H ſimul cum
quadrato ex G H: ſed duplo
rectanguli G A H cum quadrato G H æqualia ſunt duo quadrata ex G A,
& ex A H, ergo duo quadrata ex G E, & ex E H æqualia erunt quadratis ex
G A, & ex A H cum duplo rectanguli ex G A; & H E in E A, quod erat
oſtendendum.
LEMM A XII.
IN hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præſectæ C G, H A,
centrum D, atque diameter I L, eiuſque erectus I K, & latus
C E, pariterque altera diameter Q P, cuius erectus P R, & latus
C O: dico quod duplum rectanguli ex G E cũ O H in H E à duobus
quadratis ex G E, & ex E H; nec non quadrata Q P, & P R late-
rum figuræ diametri Q P à quadratis ex L I, & ex I K, vel ex C A,
& ex A F, vna deficiunt, aut vna æqualia ſunt, vel vna exce-
dunt.
447[Figure 447]
377338Apollonij Pergæi
Quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E æquale eſt quadratis ex G E
& ex E H, ergo idem rectangulum, cuius altitudo G E, & O H, baſis verò
O E bis ſumptum ad duplum rectanguli, cuius altitudo G E, O H, baſis verò
H E, ſeu O E ad H E eandem proportionem habet, quàm duplum rectanguli
ex G E, & O H in O E ad quadrata ex G E, & ex E H: quare componen-
do O H ad E H, ſeu O H A ad E H A eandem proportionem habebit, quàm
11Lem. 11.
huius. duo quadrata ex G O, & ex O H ad duo quadrata ex G E, & ex E H, &
permutando O H A ad quadrata ex G O, & ex O H, ſeu quadratum ex A C
2217. huius. ad quadrata ex Q P, & ex P R eandem proportionem habebit, quàm rectan-
gulũ E H A ad quadrata ex G E, & ex E H, ſeu erit vt quadratum A C ad
33Ibidem. quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata ex C A & ex A F: quare
duo quadrata ex Q P, & ex R P æqualia ſunt duobus quadratis ex I L, &
ex I K, vel ex C A, & A F.
448[Figure 448]
Secundo quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E minus ponitur quadratis
ex G E, & ex E H, igitur idem ſpatium ſcilicet duplum rectanguli ex G E, &
O H in O E ad duplum rectanguli ex G E, & O H in H E, ſiue O E ad H E
maiorem proportionem habet, quàm duplum rectanguli ex G E, O H in O E ad
quadrata ex G E, & O H, & vt prius componendo, ex lemmate 11. & permu-
tando, ex 17. huius; idem quadratum A C ad quadrata ex Q P, & ex P R
maiorem proportionem habebit quàm ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad
quadrata, ex C A, & ex A F: quapropter quadrata ex Q P, & ex P R mi-
nora erunt quadratis ex I L, & ex I K, vel quadratis ex C A, & ex A F.
Tertio quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E maius eſt ſumma qua-
dratorum ex G E, & ex E H, igitur, eodem progreſſu, habebit quadratum A C
ad ſummam quadratorum ex Q P, & ex P R minorem proportionem, quàm
ad ſummam quadraterum ex I L, & ex I K, vel ex C A, & ex A F: &
propterea ſumma priorum quadratorum maior erit ſumma poſteriorum, vt fue-
rat propoſitum.
378339Conicor. Lib. VII.
Notæ in Propoſit. XXXXIV. & XXXXV.
QVia C A maior eſt, quàm A F, vel ſi minor eſt quadratum ex C A,
minor non eſt dimidio quadrati ex differentia C A, & A F, eſtque H
A ad A G vt A C ad A F, & H A ad G H, vt A C ad differen-
tiam ipſarum A C, A F, ergo quadratum H A ad dimidium quadrati G H
erit vt quadratum A C ad dimidium quadrati ex differentia ipſarum A C, &
A F, quare quadratum ex H A minor non erit ſemiſſe quadrati H G, ideoq;
449[Figure 449] duplum quadrati A H minor non erit quadrato H G, eſtque duplum rectanguli
E H A, vel M H E maius duplo quadrati A H, ſeu maius quadrato H G;
propterea duplum E H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H
11Lem. 10. ad H A, ideoque duplum rectanguli ex G A, H A in A H maius erit quadra-
22Lem 12. tis ex G A, & ex A H, & inſuper ſumma quadratorum ex I L, & ex I K
maior erit, quàm ſumma quadratorum ex C A, & ex A F.
Notæ in Propoſit. XXXXVI.
QVia quadratum axis C A minus eſt ſemiße quadrati ex differentia ipſa-
rum A C, & A @, eſtque H A ad A G, vt C A ad A F, atque G H
eſt differentia ipſarum A H, & A G, igitur quadratum ex A
379340Apollonij Pergæi minus eſt ſemiſſe quadrati G H: fiat iam quadratum ex M H æquale ſemiqua-
drato ex G H, & lateris C M fiant duo diametri Q P, & q p, eorumque
erecta ſint P R, & p r: dico ductas diametros æquales eſſe, & quadratum
ex P Q æquale eſſe quadrato ex differentia ipſarum P Q, & P R.
450[Figure 450]
Quia vt M H ad G M, ita eſt diameter Q P ad eius erectum P R, ergo
comparando antecedentes ad terminorum differentias, erit M H ad H G, vt
11ex 6. hu. P Q ad differentiam ipſarum P Q, & P R, & pariter eorundem quadrata
proportionalia erunt, eſtque quadratum ex H M æquale ſemiquadrato ex
G H, ergo quadratum ex P Q æquale erit ſemiquadrato ex differentia P Q,
& P R, & ſic quadratum ex p q æquale erit ſemiquadrato ex differentia ip-
ſarum p q & p r; & ſunt diametri P Q, & p q æquales, cum æquè rece-
dant ab axi, & habeant latus commune C M.
Secundo dico quod ſumma quadratorum ex Q P, & ex P R minor eſt qua-
libet alia ſumma quadratorum laterum figuræ alterius diametri.
Quia duplum rectanguli M H E minus eſt duplo quadrati M H, ſeu ſingu-
lari quadrato ex G H, ergo duplum M H ad H G minorem proportionem ha-
bet, quàm G H ad H E, ergo duplum rectanguli ex G E, & M H in E H
22Lem. 10.
huius. minus erit ſumma quadratorum ex G E, & ex E H & propterea ſumma qua-
dratorum ex Q P, & ex P R minor erit ſumma quadratorum ex I L, & ex
33Lem. 12.
huius. I K.
Tertio, quia duplum rectanguli ex E H A minus eſt duplo quadrati M H,
ſeu ſingulari quadrato ex G H, ergo duplum E H ad H G minorem proportio-
44Lem. 10.
huius. nem habet, quàm G H ad H A, ergo duplum rectanguli ex G A, E H in A H
minus erit ſumma quadratorum ex G A, & ex A H: quare ſumma quadra-
55Lem. 12.
huius. torum ex I L, & ex I K minor erit, quàm quadratorum ſumma ex A C, &
ex A F.
Quarto quia duplum rectanguli V H M maius eſt duplo quadrati ex M H,
ſeu ſingulari quadrato ex G H, ergo duplum V H ad H G maiorem proportio-
nem habet, quàm H G ad H M, & propterea duplum rectanguli ex G M, &
66Lem 10
huius. V H in M H maius erit ſumma quadratorum ex G M, & ex M H, & ideo
ſumma quadratorum ex T S, & S Z maior erit quadratorum ſumma ex Q
77Lem. 12.
huius. P, & ex P R, & ſic de reliquis: quare ſumma quadratorum ex Q P, & ex
P R minima eſt omnium, vt fuit propoſitum.
380341Conicor. Lib. VII.
In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ duo quadrata laterum
11PROP.
5. Addit. æqualia ſint quadratis laterum figuræ axis: oportet autem vt quadra-
tum axis C A minus ſit ſemiquadrato ex differentia laterum ſiguræ eius
C A, & A F.
Quia ex hypotheſi quadratum axis A C minus eſt ſemiquadrato ex differen-
tia laterum figuræ A C, A F, vt in nota propoſit. 46. dictum eſt, quadratum
ex A H minus eſt ſemiquadrato ex G H: fiat duplum e H ad H G, vt G H
22Lem. 10.
huius. ad H A, & lateris C e ducatur diameter b a, cuius erectus c a, ergo duplum
rectanguli ex ſumma G A, e H in A H æquale eſt ſummæ quadratorum ex G A,
33I em. 12.
huius.& ex A H, & ſumma quadratorum ex a b, & ex a c æqualis erit quadrato-
rum ſummæ ex A C, & ex A F, quod erat oſtendendum.
In eadem hyperbola diametrum reperire, cuius figuræ duo quadrata,
44PROP. 6.
Addit laterum æqualia ſint quadratis laterum figuræ datæ diametri I L: opor-
tet autem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q, cuius qua-
dratum ſubduplum ſit quadrati ex differentia P Q, & ex P R.
Sit C E latus diametri I L, & fiat duplum V H ad H G, vt G H ad H E,
& ponatur S T diameter lateris C V, cuius erectus ſit S Z: erit igitur duplũ
55Lem. 10. rectanguli ex G E, & V H in E H æquale quadratis ex G E, & ex E H, &
propterea ſumma quadratorum ex T S, & ex S Z æqualis erit quadratorum,
66Lem. 12.
huius. ſummæ ex L I, & ex I K, quod erat propoſitum.
Deducitur pariter ex 5. propoſitione additarum in eadem hyperbola tres dia-
metros reperiri poſſe, quarum laterum ſummæ quadratorum æquales ſint in-
ter ſe.
Et ex 6. propoſitione additarum deducitur, quod quatuor diametrorum eiuſ-
dem hyperbolæ laterum ſummæ quadratorum æquales eße posſunt inter ſe.
Et educamus inter A P inclinatam I L: quia quadruplum quadrati M
77a H æquale eſt quadrato H G, & c. Suppleri debent ea, quæ deficiunt, alioqui
conſtructio imperfecta eßet: duci igitur debet C B parallela diametro I L,
quæ occurrat ſectioni ad punctum B, à quo ad axim perpendicularis ducatur
B E ſecans axim in E.
SECTIO NONA
Continens Propoſit. XXXXI. XXXXVII.
& XXXXVIII.
IN ellipſi duo latera figuræ maioris axis tranſuerſi minora ſunt
88a duobus lateribus figuræ cuiuslibet alterius diametri, & duo
latera figuræ diametri axi maiori proximioris minora ſunt duo-
bus lateribus figuræ diametri remotioris.
381342Apollonij Pergæi
XXXXVII. Si verò duplum quadrati A C maius non fuerit
quadrato ex ſumma duorum laterum ſuæ figuræ; vtique quadra-
tum diametri ſuæ figuræ minus erit quadrato diametri figuræ cu-
iuſlibet alterius diametri eiuſdem ſectionis, & quadratum dia-
metri figuræ proximioris axi minus erit quadrato diametri figu-
ræ remotioris.
XXXXVIII. Si autem duplum quadrati axis tranſuerſi maius
fuerit quadrato ex ſumma duorum laterum ſuæ figuræ, æquidem
reperientur ad vtraſque eius partes duæ diametri æquales, & cu-
451[Figure 451] iuslibet earum quadratum bis ſumptum æquale erit quadrato ex
ſumma duorum laterum ſuæ figuræ; & quadratum diametri ſuæ
figuræ minus eſt quadrato diametri figuræ alterius cuiuſcunque
diametri exiſtentis in eodem quadrante eiuſdem ſectionis; &
diameter figuræ proximioris minor eſt diametro figuræ remo-
tioris.
382343Conicor. Lib. VII.
PROPOSITIO XXXXI.
IN ellipſi A B C ſit A C axis maior, & y O minor, & ſint P
Q, & S T duæ aliæ diametri, ſitque A F erectus ipſius A
C, & P R erectus ipſius P Q, & O f ipſius y O. Dico quod
C F minor eſt, quàm Q R, & Q R, quàm T Z, & T Z,
quàm y f.
Ducantur A N, A X ordinatim applicatæ ad diametros P Q, S T,
& duæ ad axim perpendiculares N M, X V, & interceptæ A G, C H.
Quia quadratum A C ad quadratum y O, nempe A C ad A F eandem,
11b proportionem habet, quàm C G ad G A, ſeu ad C H habebit quadra-
22Defin. 1.
huius. tum C A ad quadratum C F ſummæ ipſius C A, eiuſque erecti eandem
proportionem, quàm quadratum C G, nempe C G in A H ad quadra-
tum G H: & quadratum A C ad quadratum y O eandem proportionem,
habet, quàm G C in C H ad quadratum C H: eſtquè quadratum y O ad
quadratum ſummæ y f, vt quadra-
452[Figure 452] tum C H ad quadratum H G; er-
go quadratum A C ad quadratum
y f eſt, vt C G in C H minorem
ad quadratum H G; ſed quadra-
tum A C ad quadratum C F ean-
dem proportionem habet, quàm.
G C in maiorem A H ad quadra-
tum G H; igitur A C ad C F ma-
iorem proportionem habet, quàm
ad y f: & propterea C F ſumma,
A C, & erecti illius minor eſt,
quàm y f, quæ eſt ſumma y O, &
erecti illius. Et quoniam C G in,
M H, quod minus eſt, quàm C G
in A H ad quadratum H G eandem
proportionem habet, quàm qua-
dratum A C ad quadratum Q R
ſummæ diametri, & erecti ipſius
P Q (16. ex 7.) quare quadratum
A C ad quadratnm C F maiorem
proportionem babebit, quàm ad
quadratum Q R, & propterea C F
minor erit, quam Q R. Et quoniam
C G in V H ad quadratum H G eſt vt quadratum A C ad quadratum
T Z ad quàm ordinatim applicatur A X (16. ex 7.) erit C F minor quàm
T Z: cumque C G in H M ad quadratum H G maiorem proportionem,
habeat, quàm G C in V H ad quadratum idipſum H G habebit
383344Apollonij Pergæi tum A C ad quadratum Q R maiorem proportionem quàm ad quadratũ
T Z. Et pariter oſtendetur, quod quadratum A C ad quadratum T Z
maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum y f; quapropter C F
minor eſt quàm Q R, & Q R minor, quàm T Z, & T Z minor, quàm
y f. Quod erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXXXVII.
IN eadem figura ſi duplum quadrati A C maius non fuerit
quadrato ſummæ C F. Dico, quod diameter figuræ eius
minor eſt diametro figuræ Q P R, & diameter figuræ Q P R
minor eſt diametro figuræ T S Z.
453[Figure 453]
Quoniam duplum quadrati A C non excedit quadratum ſummæ C A
F; ergo duplum quadrati C G, nempe G C in A H bis ſumptum non,
excedit quadratum H G, & propterea C G in H M bis ſumptum minus
eſt quadrato H G: tollatur communiter duplum M G in H M
384345Conicor. Lib. VII. duplum H M in C M minus duobus quadratis ex M H, & ex G M: &
propterea A M in M C bis ſumptum ad H M in M C bis ſumptum, nẽ-
pe A M ad M H habebit maiorem proportionem, quam duplum A M
in M C ad duo quadrata ex H M, & ex G M: & componendo A H ad
H M, ſeu quadratum A H ad A H in H M maiorem proportionem ha-
bebit quàm duplum A M in M C cum duobus quadratis ex H M, & ex
M G (quæ omnia ſimul æqualia ſunt duobus quadratis C G, & H C)
ad duo quadrata M H, & M G; igitur quadratum A H ad A H in H M
maiorem proportionem habet, quàm duo quadrata C G, & C H ad duo
quadrata H M, & G M, & permutando quadratum A H ad duo qua-
drata C G, & H C, ſcilicet quadratum A C ad quadratum diametri
figuræ eius maiorem proportionem habet, quàm A H in H M ad duo
quadrata M G, & M H, ſeu quàm quadratum A C ad quadratum dia-
metri figuræ P Q (19. ex 7.) quapropter diameter figuræ P Q maior
eſt diametro figuræ A C. Ducatur poſtea diameter S T, & ad eam or-
dinatim applicata A X, & ad axim
perpendicularem X V. Et ſiqui-
dem G M minor eſt, quàm V H
454[Figure 454] cum A G, & C H ſint æquales,
erunt duo quadrata H M, & M G
maiora duobus quadratis H V, V
G: hæc autem maiora ſunt quàm
duplum V H in V d: ergo duplũ
M V in V d ad duplum H V in V
d, nempe V M ad V H maiorem
proportionem habet, quàm duplũ
M V in V d ad duo quadrata ex
V H, & ex V G: & componendo
M H ad H V, ſeu M H in H A
ad V H in H A maiorem propor-
tionem habebit, quàm duplum M
V in V d cum duobus quadratis ex
V H, & ex V G, quæ omnia ſi-
mul ſunt vt duo quadrata M H, &
M G ad duo quadrata V H, & V
G: & permutando M H in H A
ad duo quadrata H M, & G M,
ſeu vt quadratum A C ad quadra-
tum diametri figuræ P Q (19. ex
7.) maiorem proportionem habebit, quàm V H in H A ad duo quadrata
V H, & V G, ſeu quàm quadratum A C ad quadratum diametri figuræ
S T (19. ex 7.) quare diameter figuræ S T maior eſt diametro figuræ
P Q. Poſtea quia y O eſt media proportionalis inter A C, & A F erit
quadratum A C ad quadratum y O, vt A C ad A F, nempe vt C G ad
C H, ſeu vt C G in C H ad quadratum C H, & quadratum y O ad ſum-
mam quadratorum y O, & O f, nempe ad quadratum diametri ſuæ figuræ
eſt vt quadratum H C ad quadratum C G cum quadrato H C: quare
385346Apollonij Pergæi æqualitate quadratum A C ad quadratum @diametri figuræ y O eandem,
proportionem habet, quàm C G, ſeu A H in H C ad duo quadrata ip-
ſius C G, atque ipſius C H: igitur A H in H V maiorem ad duo qua-
455[Figure 455] drata ex V G minori, & ex V H, ſeu vt quadratum A C ad quadratum
diametri figuræ S T (19. ex 7.) maiorem proportionem habebit, quàm
A H in H C minorem ad duo quadrata ex G C, & C H maiora, ſcili-
cet vt quadratum A C ad quadratum diametri figuræ y O (19. ex 7.) ;
igitur quadratum diametri figuræ y O maior eſt quàm quadratum diametri
figuræ S T. Si verò G M non fuerit minor quàm V H; vtique duo qua-
drata ex G M, & M H non erunt maiora duobus quadratis ex V G, &
ex V H: at A H in M H ad duo quadrata ex G M, & ex M H, nempe
quadratum A C ad quadratum diametri figuræ P Q habebit maiorem,
proportionem, quàm A H ad H V ad duo quadrata ex V H, & ex V
G, ſcilicet vt quadratum A C ad quadratum diametri figuræ S T; igi-
tur diameter figuræ S T maior eſt diametro figuræ P Q. Eadem prorſus
oſtendentur, quando punctum V cadit vltra punctum D ad partes A in-
ter puncta D, & M. Et hoc erat propoſitum.
386347Conicor. Lib. VII.
PROPOSITIO XXXXVIII.
S It iam duplum quadrati A C maius quadrato C A F, erit duplum
quadrati A H maius quadrato G H: ponatur duplum quadrati H M
æquale quadrato G H: & ducatur ad axim perpendicularis M N; iun-
456[Figure 456] gaturque A N, eiuſque diameter P Q extendatur, erit H M ad M G,
vt P Q ad P R (7. ex 7.) ; ergo, & quadratum H M ad quadratum H
G erit, vt quadratum P Q ad quadratum P R, & quadratum H M ad
duo quadrata ex H M, & ex M G eandem proportionẽ habebit, quàm
quadratum P Q ad quadratum diametri ſuæ figuræ: educatur poſtea dia-
meter I L inter A, & B, & erectum illius ſit I K ad quàm ordinatim
ducta ſit A B, & ad axim perpendicularis ſit B E erit quadratum M H,
nec non G H in H D æquale dimidio quadrati H G; igitur G H ad
387348Apollonij Pergæi H erit vt M H ad H D: & comparando homologorum differentias erit
M G ad M D, vt G H ad H M: & propterea duplum G H in M D, ſeu
quadruplum H D in D M eſt æquale duplo G M in M H: & propterea
duplum G M in M H maius erit quàm duplum G E in M H; ponatur
communiter duplum E M in H M cum quadruplo quadrati M D, & fiat
D d æqualis D M, fiet duplum E d in M H maius quadrato H M cum
457[Figure 457] quadrato M G; igitur d E in E M bis ſumptum ad duplum E d in M H.
nempe E M ad M H minorem proportionem habebit, quàm duplum d
E in E M ad duo quadrata ex M G, & ex M H: & componendo E H
ad M H, ſeu E H in H A ad M H in H A minorem proportionem habe-
bit, quàm duplum d E in E M vna cum quadratis ex M H, & ex
M G, quæ æqualia ſunt duobus quadratis H E, & G E ad duo quadra-
ta ex M G, & ex H M. Et ſic pariter oſtendetur, quod quadratum H
A ad H E in H A minorem proportionem habebit, quàm duo quadrata
ex H A, & ex A G ad duo quadrata ex H E, & ex E G. Atque de-
monſtrabitur quemadmodum antea dictum eſt, quod quadratum
388349Conicor. Lib. VII. tri figuræ P Q minus eſt quadrato diametri figuræ I L, & quadratum
diametri figuræ I L minus eſt quadrato diametri figuræ A C. Ponãtur
poſtea diametri S T, & γ O vltra diametrum P Q, ſitque A X ordinatim
applicata ad diametrum S T, & V X ad axim perpendicularis ſit, oſten-
detur (quemadmodum in præcedentibus dictum eſt) quod diameter fi-
guræ P Q minor ſit diametro figuræ S T, & diameter figuræ S T minor
ſit diametro figuræ γ O, vbicunque ſecet ad axim perpendicularis X V
ipſam A C. Et hoc erat oſtendendum.
In Sectionem IX. Propoſit. XXXXI.
XXXXVII. & XXXXVIII.
LEMMA. XIII.
Sl recta linea G H ſecetur bifariam in D, & non bifariam in O,
E, atque fiat G a æqualis H E; ſi quidem proportio dupli O H
ad H G eadem fuerit proportioni G H ad H E, erit duplum rectan-
guli ex differentia ipſarum E H, G O in H O æquale quadratis ex G
O, & ex O H: ſi verò proportio illa maior fueri erit rectangulum ma-
ius quadratis; & ſi eadem proportio fuerit minor, idipſum rectangulum
quadratis minus erit.
Et primo quia duplum O H
458[Figure 458] ad H G eſt vt G H ad H E,
ergo duplum rectanguli O H
E æquale erit quadrato ex G
H; auferatur cõmuniter du-
plum rectanguli H O G, quia
H O eſt communis rectangulo-
rum altitudo, remanet duplũ
rectanguli ex differentia ipſa-
rum E H, G O, ſeu ex diffe-
rentia ipſarum G a, & G O
in H O, ſeu remanet duplum rectanguli a O H æquale quaàrato H G minus
duplo rectanguli G O H: huic verò differentiæ æqualia ſunt duo quadrata ex
G O, & ex H O, ergo duplum rectanguli a O H æquale eſt ſummæ quadrato-
rum ex G O, & ex O H.
Secundo, quia duplum O H ad H G maiorem proportionem habet, quàm
G H ad H E, ergo duplum rectanguli O H E maius erit quadrato G H, &
ablato communiter duplo rectanguli G O H erit duplum rectanguli ex differen-
tia ipſarum E H, & G O in H O maius, quàm ſumma quadratorum ex G O,
& ex H O.
389350Apollonij Pergæi
Tertio ſi duplum O H ad H G minorem proportionem habuerit, quàm G H
ad H E, eodem progreſſu oſtendetur, quod duplum rectanguli ex differentia
ipſarum E H, & G O in H O minus eſt quadratis ex G O, & ex H O, quod erat
propoſitum.
LEMMA XIV.
Ilſdem poſitis ſit G E minimum ſegmentorum, dico quod duo qua-
drata ex E H, & ex G E, ſcilicet ex maximo, & minimo ſeg-
mentorum æqualia ſunt duobus quadratis ex O H, & ex G O inter-
medijs ſegmentis vna cum duplo rectanguli ſub differentijs minimæ G
E à duabus intermedijs G O, & H O.
Fiat H a æqualis G E,
459[Figure 459] ergo O a erit differentia ipſa-
rum E H, & G E, ſicuti O
E eſt differentia ipſarum G O,
& G E. Et quia duo quadra-
ta ex maximo, & ex mini-
mo ſegmentorum, ſcilicet ex
H E, & ex E G æqualia ſunt
duplo quadrati ex G D ſe-
miße totius, cũ duplo quadrati
ex E D intermedia ſectione;
eſtque duplum quadrati ex E D ſemiſſe ipſius E a æquale duplo rectanguli E O
a ex inæqualibus ſegmentis vna cum duplo quadrati ex intermedia ſectione O
D, ergo duo quadrata ex G E, & ex E H æqualia ſunt his omnibus ſpatijs,
ſcilicet duplo quadrati ex G D, & duplo quadrati ex D O cum duplo rectan-
guli E O a, ſed duo quadrata ex inæqualibus ſegmentis G O, & ex O H æqua-
lia ſunt duplo quadrati ex ſemiſſe totius G D cum duplo quadrati ex interme-
dia ſectione O D, igitur exceßus ſummæ quadratorum ex G E, & ex E H,
ſupra ſummam quadratorum ex G O, & O H æqualis eſt duplo rectanguli ex E
O a, quod erat oſtendendum.
LEMMA XV.
IN ellypſi, cuius axis A C, erectus A F, diameter I L, eiuſq; erectus
I K, & latus C E, & ſimiliter altera diameter Q P, cuius ere-
ctus P R, & latus C O: dico quod duplum rectanguli ex differentia
ipſarum E H, G O, in H O à duobus quadratis ex G O, & ex
390351Conicor. Lib. VII. H, atque aggregatum quadratorum larerum I L, & I K figuræ dia-
metri I L ab aggregato quadratorum laterum P Q, & P R fignræ al-
terius diametri, vna deficiunt, aut vna æqualia ſunt, vel vna exce-
dunt.
460[Figure 460]
Fiat O d differentia ipſarum E H, & G O, & primo quia duplum rectan-
guli ex d O H æquale eſt quadratis ex G O, & ex H O, ergo duplum rectan-
guli d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O eandem proportio-
nem habet, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata ex G O, & ex H
O, & componendo, erit E H ad H O, ſeu rectangulum E H A ad rectangu-
11Lem. 14.
huius. lum O H A vt àuo quadrata ex G E, & ex E H ad duo quadrata ex G O, &
ex H O, & permutando rectangulum E H A ad quadrata ex G E, & ex E
2217. huius. H, ſeu quadratum ex A C ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata
ex A C, & ex A F eandem proportionem habebit, quàm rectangulum O H A
33Ibidem. ad quadrata ex G O, & ex H O, vel quadratum A C ad duo quadrata ex P
Q, & ex P R, quapropter duo quadrata ex I L, & ex I K, ſeu ex A C, &
A F æqualia erunt duobus quadratis ex P Q, & ex P R.
Secundo ſit duplum rectanguli d O H minus quadratis ex G O, & ex H O.
duplum rectanguli d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O ha-
bebit maiorem proportionem, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata
ex G O, & ex H O, & rurſus componendo ex lem. 2. lib. 5. & ex lem. 14. &
permutando, atque ex 17. propoſit. huius habebit idem quadratum A C ad duo
quadrata ex I L, & ex I K maiorem proportionem, quàm ad duo quadrata ex
P Q, & ex P R: quapropter duo quadrata ex I L, & ex I K minora erunt
duobus quadratis ex P Q, & ex P R.
Tertio ſit rectangulum d O H maius duobus quadratis ex G O, & ex H O.
duplum rectanguli ex d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O
391352Apollonij Pergæi bebit minorem proportionem, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata
ex G O, & ex O H, & componendo ex lem. 14. permutando, & ex 17. hu-
461[Figure 461] ius, tandem erunt duo quadrata ex I L, & ex I K maiora duobus quadratis
ex P Q, & ex P R.
Sl in ellypſi termini E, O laterum
462[Figure 462] C E, C O, diametrorum I L, &
P Q cadant hinc inde à centro D, ſitque
D O maior quàm D E, dico quod qua-
drata ex P Q, & ex P R maiora ſunt
quadratis ex I L, & ex I K.
Quia O H minor eſt, quàm E H, ſed duo
quadrata ex G O maximo, & O H minimo
ſegmentorum eiuſdem rectæ lineæ G H maio-
ra ſunt duobus quadratis ex G E, & ex E
H intermedijs ſegmentis; ergo O H ad E H,
minor ad maiorem ſeu rectangulum O H A
ad rectangulum E H A minorem proportionem
habet, quàm maior ſumma quadratorum ex
G O, & ex O H ad minorem ſummam qua-
dratorum ex G E, & ex E H, & per-
mutando rectangulum O H A ad duo qua-
drata ex G O, & ex O H, ſeu quadratum
1117. huius. A C ad duo quadrata ex P Q, & ex P
392353Conicor. Lib. VII. minorem proportionem habebit, quàm rectangulum E H A ad duo quadrata
ex G E, & ex E H, ſen quàm quadratum A C ad duo quadrata ex I L, &
1117. huíus. ex I K: igitur duo quadrata ex P Q, & ex\P R maiora ſunt duobus quadra-
tis ex I L, & ex I K, quod erat oſtendendum.
Notæ in Propoſit. XXXXI.
IN ellypſi, cuius axis maior A C, quia rectangulum A H E ad quadratum
H G eſt, vt quadratum A C ad quadratum ex L I K, vel ad quadratum
22Prop. 16.
huius. ex C A F, atq; quadratum ex G H ad rectangulum A H M eandem proportio-
463[Figure 463] nem habet, quàm quadratum ex Q P R ad quadratum A C, igitur ex æquali
perturbata rectangulum A H E maius ad minus rectangulum A H M eandem
proportionem habet, quàm quadratum ex Q P R ad quadratum ex L I K, vel
ad quadratum ex C A F: eſtque rectangulum A H E maius rectangulo A H
M, ergo quadratũ ex ſumma Q P R maius eſt quadrato ex ſumma L I K, &
propterea linearũ sũma Q P R maior erit, quàm sũma L I K, vel quàm
393354Apollonij Pergæi ma C A F. Tandem quia rectangulum A H M ad quadratum ex ſumma H
11ex 16.
huius.
lbidem. M G eandem proportionem habet, quàm quadratum A C ad quadratum ex Q
P R, ſed quadratum ex H C G ad rectangulum ex A H C eandem proportionẽ
habet, quàm quadratnm ex sũma Y O f ad quadratum A C, (@o quod H C eſt
intercepta comparata diametri Y O, cum Y O ſecet bifariam ad eam ordinatim
applicatam A C, atque ab eodem pun-
464[Figure 464] cto C perpendicularis ad axim ducta
cadat ſuper idem punctum C), igitur
ex æquali perturbata rectangulum A H
M maius ad minus rectangulum ex A
H C eandem proportionem habet, quàm
quadratum ex ſumma Y O f ad qua-
dratum ex ſumma Q P R, & propte-
rea ſumma laterum Y O f maior erit,
quàm ſumma Q P R.
Notæ in Propoſit. XXXXVII.
QVia duplum quadrati A C non eſt maius quadrato ex C A F, ergo du-
plum quadrati ex A H æquale, aut minus erit quadrato ex ſumma G
H, eſtque duplum rectanguli ex E H A, vel ex E H M minus
duplo quadrati A H, igitur minus quoque erit quadrato ex G H, igitur du-
plum M H ad G H minorem proportionem habet, quàm G H ad E H, ergo
22Lem. 13.
huius. duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H G M in M H minus eſt duobus
quadratis ex G M, & ex H M: quare duo quadrata ex I L, & ex I K minora
33Lem. 15.
huius. erunt duobus quadratis ex Q P, & ex P R, & ſic duo quadrata ex Q P, &
ex P R minora ſunt duobus quadratis ex T S, & ex S Z.
394355Conicor. Lib. VII. 465[Figure 465]
Notæ in Propoſit. XXXXVIII.
QVia ex hypotheſi duplum quadrati A C maius eſt quadrato ex C A F,
ergo duplum quadrati ex A H maius erit quadrato ex H G. Fiat igitur
quadratum ex M H æquale ſemiquadrato G H, & lateris C M fiant
duæ diametri Q P, & q p, quarum erecta ſint P R, & p r: Dico duplum
quadrati Q P æquale eße quadrato ex ſumma laterum Q P R: Quia Q P ad
P R eſt vt H M ad M G, & antecedentes ad terminorum ſummas, & eorum
11Prop. 7.
huius. quadrata proportionalia erunt, ſcilicet quadratum Q P ad quadratum ex Q P
R eandem proportionem habebit, quàm quadratum ex M H ad quadratum ex
H G: erat autem quadratum M H ſubduplum quadrati ex H G, igitur qua-
dratum ex P Q ſubduplum eſt quadrati ex Q P R. Eadem ratione quadra-
tum ex q p ſubduplum erit quadrati ex q p r, & diametri Q P, & q p æqua-
les erunt, cum æque recedant ab axi, & habeant commune latus C M.
Poſtea quia punctum E cadit inter M, & A, erit duplum rectanguli M H
E maius duplo quadrati ex M H, ſeu maius quadrato G H, & propterea du-
plum M H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H ad H E,
395356Apollonij Pergæi duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, & G M in M H maius erit
11Lem. 13. duobus quadratis ex G M, & ex M H, & propterea duo quadrata ex I L, &
22Lem. 15.
huius. ex I K ſimul ſumpta maiora erunt duobus quadratis ex Q P, & ex P R.
466[Figure 466]
Similiter duplum rectanguli E H A maius erit quadrato ex G H, & pro-
pterea duplum E H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H ad H
A, & ideo duplum rectanguli ex differentia ipſarum A H, & G E in E H
33Lem. 13.
huius. maius erit duobus quadratis ex G E, & ex E H: igitur duo quadrata ex C A,
44Lem. 15.
huius.& A F maiora erunt duobus quadratis ex I L, & ex I K.
Rurſus quia V H minor eſt, quàm M H erit duplum rectanguli V H M mi-
nus duplo quadrati M H, ſeu minus quadrato G H, igitur duplum V H ad
H G minorem proportionem habet, quàm G H ad H M, & propterea duplum
55Lem. 13.
huius. rectanguli ex differentia ipſarum M H, & G V in V H minus erit duobus
quadratis ex G V, & ex V H, & propterea duo quadrata ex Q P, & ex P
66Lem. 15.
huius. R minora erunt duobus quadratis ex T S, & ex S Z: ſi verò D V maior fue-
rit quàm D M, erunt duo quadrata ex Q P, & ex P R minora duobus qua-
77Lem 16.
huius.
396357Conicor. Lib. VII. dratis' ex T S, & S Z: igitur ſumma duorum quadratorum ex Q P, & ex
P R minor eſt ſumma quadratorum duorum laterum figuræ cuiuſlibet alterius
diametri eiuſdem ellipſis.
In ellipſi reperire diametrum, cuius duo quadrata laterum figuræ eius
11PROP. 7.
Addit æqualia ſint quadratis laterum figuræ axis maioris: oportet autem Vt
quadratum axis maioris A C maius ſit ſemiquadrato ex ſumma laterum
C A F figuræ eius.
Quia ex hypotheſi quadratum axis maioris A C maius eſt ſemiquadrato ex
ſumma C A F, ergo, vt in nota prop. 48. dictum eſt, duplum quadrati ex A
H maius eſt quadrato ex H G; fiat duplum rectanguli e H A æquale quadra-
to ex G H, & lateris C e fiat diameter a b cuius erectus a c. Dico hanc eſſe
diametrum quæſitam.
Quoniam duplum rectanguli e H A æquale eſt quadrato ex G H, ergo dup-
lum e H ad H G eſt vt G H ad H A, eritq; duplum rectanguli ex differentia
22Lem 13. ipſarum A H, & G e in e H æquale quadratis ex G e, & ex e H, & ſum-
33Lem. 15. ma quadratorum ex b a, & ex a c æqualis erit quadratorum ſummæ ex A C,
& ex A F, quod erat oſtendendum.
In eadem ellypſi diametrum reperire, cuius duo quadrata laterum
44PROP.
8. Addit. figuræ eius æqualia ſint quadratis laterum figuræ datæ diametri I L:
oportet autem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q, cuius
quadratum ſubduplum ſit quadrati ex ſumma laterum Q P R.
Sit C E latus diametri I L, & fiat duplum V H ad H G, vt G H ad H
E, & ponatur S T diameter lateris C V, cuius erectus ſit S Z: erit igitur
55Lem. 13.
huius. duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, & G V in V H æquale qua-
66Lem. 15.
huius. dratis ex G V, & ex V H, ideoque ſumma quadratorum ex L I, &
ex I K æqualis erit quadratorum ſummæ ex T S, & S Z, quod propoſitum
ſuerat.
Colligitur ſimiliter ex 7. propoſit. additarum, quod in vna ellypſi tres dia-
metri reperiri poßunt, quarum ſummæ quadratorum laterum æquales ſint inter
ſe: & ex 8. propoſit. additarum deducitur, quod quatuor diametrorum eiuſ-
dem ellypſis laterum ſummæ quadratorum æquales poſſunt eſſe inter ſe, ſed
oportet vt quadratum axis maioris datæ ellypſis maius ſit, quàm dimidium qua-
drati ex ſumma laterum figuræ axis C A F.
Duo latera figuræ axis tranſuerſi minora ſunt duobus lateribus ſiguræ
77a cæterarum diametrorum, & duo latera figuræ diametri axi proximioris
minora ſunt duobus lateribus figuræ remotioris, & c. Addidi ea, quæ defi-
cere videbantur in hoc textu.
Iiſdem figuris manentibus cum ſuis ſignis oſtendatur quod duplum
88b quadrati A C, ſi non exceſſerit F, quod diameter eſt illius figuræ minor,
quàm diameter ſiguræ I L, & diameter figuræ I L, quàm diameter figuræ
P Q, & c. Legendum puto vt in textu apparet.
Et ſic oſtendetur quod ſi punctum V inciderit ſuper D A, & oſtende-
99c tur D, & M, & c. Legendum puto, vt in textu videre eſt.
397358Apollonij Pergæi
SECTIO DECIMA
Continens Propoſit. XXXXIX. XXXXX.
& XXXXXI.
XXXXXI. IN hyperbola, & ellipſi, ſi axis tranſuerſus minor
fuerit ſuo erecto, differentia quadratorum duorum
11a laterum figuræ axis eius maior eſt, quàm differentia quadrato-
rum laterum figuræ cuiuslibet alterius diametri ei homologæ. Et
differentia quadratorum laterum figure homologæ proximioris
axi ſemper maior eſt in hyperbola, quàm differentia quadratorum
laterum figuræ remotioris: at in ellypſi quouſque diameter tran-
ſuerſa æqualis non fiat ſuo erecto.
XXXXX. Et in hyperbola differentia quadrati axis inclinati
ab eius figura minor erit ſemidifferentia quadratorum duorum
laterum figuræ ſui homologi.
467[Figure 467]
XXXXIX. Si verò in hyperbole axis inclinatus maior fuerit
ſuo erecto, vtique differentia quadratorum duorum laterum fi-
guræ axis minor erit differentia quadratorum laterum figuræ
398359Conicor. Lib. VII. terius homologæ diametri, atque differentia quadrati axis ab
eius figura maior erit ſemidifferentia quadratorum duorum late-
rum figuræ ſuæ homologæ, & minor erit integra differentia eo-
rundem quadratorum.
In fectione A B N ſit axis A C maior in figura prima, & in ſecunda
minor, ſintquè I L, P Q duæ aliæ diametri, quæ in ellipſi cadant inter
axim, & vnã æqualium; ducanturque duæ ordinationes A B, A N ad
11b diametros I L, P Q, & duas ad axim perpendiculares B E, N M; ſit-
que A F erectus ipſius A C, & A G, C H duæ interceptæ: ponaturque
in ellipſi X D æqualis E D, habebit E H ad H A minorem proportio-
22c nem in prima hyperbola, & maiorem in reliquis, quàm E D ad D A,
ſeu quàm E X, quæ eſt ſumma in hyperbola, & differentia in ellipſi
ipſarum E G, & E H ad A C differentiam ipſarum H A, A G; & qua-
468[Figure 468] dratum A C in omnibus figuris ad differentiam quadratorum A C, &
A F eandem proportionem habet, quàm quadratum A H ad differentiam
duorum quadratorum A H, & G A: atque E H ad H A minorem pro-
portionem habet in duabus primis figuris, & maiorem proportionem in
duabus ſecundis, quàm E G ad G A, comparando homologorum ſum-
mas, erit E H ad H A, vt E H cum E G ad H A cum G A, nempe ag-
gregatum E H, E G in earundem differentiam ad aggregatum H A, A
G in earundem differentiam, quod eſt æquale differentiæ duorum qua-
dratorum E H, E G; nempe quadratum A C ad differentiam quadrato-
rum duorum laterum figuræ I L minorem proportionem habet (in prima
ellipſi), & maiorem (in ſecunda) quàm quadratum A H ad aggrega-
tum H A, A G in earundem differentiam, quod eſt æquale differentiæ
quadratorum H A, A G, nempe quadratum A C ad differentiam
399360Apollonij Pergæi dratorum duorum laterum figuræ eius; igitur quadratum A C ad diffe-
rentiam quadratorum duorum laterum figuræ I L minorem proportionem
habet, in prima ellipſi, & maiorem in reliquis, quam ad differentiam
quadratorum duorum laterum figuræ A C; ergo differentia quadratorum
duorum laterum figuræ A C minor eſt in prima ellipſi, & maior in cæ-
teris, quàm differentia quadratorum duorum laterum figuræ I L. Præte-
rea M H ad H E minorem proportionem, aut maiorem habet, quàm M
G ad G E: & ponamus in ellipſi Y D æqualem D M, oſtendeturquè
469[Figure 469] quod M H in H A minus ſit in prima ellipſi, & maior in cæteris, quàm
duarum M G, M H ſumma in earum differentiam M Y: & oſtendetur
quemadmodum dictum eſt, quod differentia quadratorum duorum late-
rum figuræ I L maior eſt, quàm differentia quadratorum duorum late-
rum figuræ P Q.
Deinde in hyperbola ponamus I K erectum ipſius I L, erit differentia
quadratorum duarum I L, I K (quæ eſt æqualis K L in ſummam L I, I
K) maior illa, quàm I L in L K, quod eſt æquale differentiæ quadrari
I L, & eius figuræ, nempe differentiæ quadrati A C, & eius figuræ
(29. ex 7.) & non eſt maior in prima, quàm duplum, & in ſecunda ma-
ior duplo, & hoc eſt propoſitum.
400361Conicor. Lib. VII.
In Sectionem X. Propoſit. XXXXIX.
XXXXX. & XXXXXI.
LEMMA XVI.
S I rectæ lineæ A B bifariam ſectæ in C vtrinque addantur æquales
portiones A D, & B E, dico rectangulum ſub tota D E, &
ſub intermedia A B æquale eſſe differentiæ quadratorum ex A E, &
ex A D.
Apponatur F D æqualis D
470[Figure 470] A, vel B E: & quia F D æ-
qualis eſt B E addita communi
B D, erit F B æqualis D E,
& ideo rectangulum F B A æ-
quale erit rectangulo ſub D E,
& ſub A B, ſed quadratum
B D æquale eſt quadrato D A cum rectangulo F B A, (eo quod F A ſecta eſt
bifariam in D, & ei in directum additur A B), ergo quadratum D B æquale
eſt quadrato D A vna cum rectangulo ſub D E, & ſub A B, & propterea re-
ctangulum ſub D E, & ſub A B contentum æquale eſt differentiæ quadrati B D,
ſeu A E à quadrato D A, quod erat oſtendendum.
LEMMA XVII.
IN hyperbola, & ellypſi, cuius centrum D, axis A C, erectus A
F, præſectæ A H, G C, & in ea diameter I L, cuius erectus
471[Figure 471]
401362Apollonij Pergæi I K, & latus C E, pariterque diameter Q P, cuius erectus P R,
eiuſque latus C M, ſi fuerit proportio ipſius H M ad M D eadem
proportioni H E ad D E, vel eadem proportioni H A ad D A, erit
differentia quadratorum ex lateribus Q P, & ex P R figuræ diametri Q
P æqualis differentiæ quadratorum ex lateribus figuræ diametri I L, vel
A C: ſi verò proportio illa minor fuerit erit prior differentia quadrato-
rum maior reliqua, & ſi illa proportio maior fuerit, erit prima quadra-
torum differentia minor reliqua.
472[Figure 472]
Fiat D X æqualis D E, & D γ æqualis D M, & primo quia H M ad M D
eſt vt H E ad D E, permutando M H ad H E erit vt D M ad D E, ſeu vt duplũ
M γ ad duplum E X, & ſumptis altitudinibus H A, & G H erit rectangulum
M H A ad rectangulum E H A vt rectangulum ſub γ M, & G H ad rectan-
473[Figure 473]
402363Conicor. Lib. VII. gulum ſub E X, & G H, & permutando rectangulum M H A ad rectangulum
11Lem. 16.
huius. ſub γ M, & G H, ſeu ad differentiam quadratorum ex H M, & ex M G
eandem proportionem habebit, quàm rectangulum E H A ad rectangulum ſub
22Ibidem. E X, & ſub G H, ſeu ad differentiam quadratorum ex H E, & ex E G: eſt
verò quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R, vt
33Prop. 20.
huius. rectangulum M H A ad differentiam quadratorum ex H M, & ex M G, pa-
riterque idem quadratum A C ad differentiã quadratorum ex I L, & ex I K
44Ibidem. eſt, vt rectangulum E H A ad differentiam quadratorum ex H E, & ex E
G, igitur idem quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex
P R eandem proportionem habet, quàm ad differentiam quadratorum ex I L,
& ex I K, & propterea differentia quadratorum ex Q P, & ex P R æqualis
eſt quadratorum differentiæ ex I L, & ex I K, ſiue æqualis eſt quadratorum
differentiæ ex A C, & ex A F.
474[Figure 474]
Secundo H M ad M D minorem proportionem habeat, quàm H E ad D E,
vt prius permutando habebit H M ad H E minorem proportionem, quàm D M
ad D E, ſeu quàm duplum M γ ad duplum E X, & ſumptis communibus al-
titudinibus H A ad G H, & permutando ex lem. 16. & propoſit. 20. huius,
idem quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R mino-
rem proportionem habebit, quàm ad differentiam quadratorum ex I L, & ex
I K, quapropter differentia quadratorum ex P Q, & ex P R maior erit, quàm
differentia quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu maior, quàm differentia qua-
dratorum ex A C, & ex A F.
403364Apollonij Pergæi
Tertio habeat H M ad M D maiorem proportionem quàm H E ad D E: vt
prius permutando, ſumptis communibus altitudinibus H A, & G H, & denuo
permutando ex lem. 16. & prop. 20. huius, ſequitur quod idem quadratum
475[Figure 475] ex A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R maiorem proportio-
nem habet, quàm ad differentiam quadra orum ex I L, & ex I K, quare dif-
ferentia quadratorum ex P Q, & ex P R minor erit, quàm differentia qua-
dratorum ex I L, & ex I K, ſiue minor, quàm diffirentia quadratorum ex
A C, & ex A F, quæ erant oſtendenda.
LEMMA XVIII.
IN ellipſi ſi diameter a b bifariam ſecuerit rectam lineam A O ter-
minos axium coniungentem, erit a b æqualis ſuo erecto a c.
Zuia axis A C bifariam diuiditur in centro D ab axi O D perpendiculari
ad axim A C, quæ educitur à termino O ipſius A O ordinatim applicatæ ad
diametrum a b, habebit diameter a b ad eius erectũ a c eandem proportionem
11Prop. 7.
huius. æqualitatis quàm habet H D ad D G, igitur diameter a b æqualis eſt eius la-
teri recto a e, quod erat propoſitum.
404365Conicor. Lib. VII. 476[Figure 476]
Notæ in Propoſit. XXXXIX.
QVia in hyperbola axis A C maior ponitur erecto eius A F, eſtque A H
ad H C vt A C ad A F, ergo præſecta A H maior portio eſt totius C A,
& ideo punctum H cadit inter C, & D, & punctum E cadit inter
M, & D, igitur eadem H D ad maiorem D M habebit minorem proportio-
477[Figure 477]
405366Apollonij Pergæi478[Figure 478] nem, quàm ad minorem D E, & componendo H M ad M D minorem propor-
tionem habebit, quàm H E ad E D, & ideo differentia quadratorum ex P Q,
& ex P R maior erit, quàm differentia quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu
11Lem. 17.
huius. maior quàm differentia quadratorum ex A C, & ex A F.
Rurſus quia rectangulum C A F maius eſt quadrato A F, (propterea quod
rectangulum illud medium proportionale eſt inter maius quadratum ex A C, &
quadratum minus ex A F), ergo differentia quadrati A C à rectangulo C A
F, ſcilicet difſerentia ſpatiorum maximi, & intermedij, minor erit, quàm
differentia inter quadratum maximum A C, & minimum A F, ſed differen-
tia quadratorum ex A C, & ex A F minor oſtenſa eſt, quàm differentia qua-
dratorum ex I L, & ex I K, ergo multo magis differentia quadrati A C à re-
ctangulo C A F minor erit, quàm differentia quadratorum ex I L, & ex I K.
Tandem quia quadratum A C ad ſemidifferentiam quadratorum ex I L, &
ex I K eandem proportionem habet, quàm rectangulum E H A ad ſemifferen-
22Prop. 20
huius. tiam quadratorum ex E H, & ex E G, vel ad ſemiſſem rectanguli ex E X in
G H, vel potius ad rectanguluw ſub E D, & ſub G H; ſed quadrati A C à
33Lem.
16. huius. rectangulo C A F differentia ad quadratum ipſum A G, ſeu differentia A C,
& A F ad A C eandem proportionem habet, quàm H G ad H A, ſeu quàm
rectangulum E H G ad rectangulum E H A, igitur ex æquali differentia qua-
44ex Def. 2.
huius. drati A C à rectangulo C A F ad ſemidifferentiam quadratorum ex I L, & ex
I K eandem proportionem habebit, quàm rectangulũ E H G ad rectangulum ſub
E D, & G H, eſtq; primũ rectangulũ reliquo rectangulo æquè alto maius, cum eius
baſis E H maior ſit, quàm E D, igitur differentia quadrati A C à rectangulo
C A F maior erit, quàm ſemidifferentia quadratorum ex I L, & ex I K.
406367Conicor. Lib. VII.
Notæ in Propoſit. XXXXX.
SI hyperbole axis A C minor fuerit eius erecto A F, quia H M maior eſt,
quàm H E, & punctum H cadit inter D, & A, ergo H M ad H D ma-
479[Figure 479] iorem proportionem habebit, quàm H E ad eandem H D, & comparando ante-
cedentes ad terminorum ſummas H M ad M D maiorem proportionem habebit,
11Lem. 17.
huius. quàm H E ad E D, quare differentia quadratorum ex P Q, & ex P R minor
erit, quàm differentta quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu minor quàm dif-
ferentia quadratorum ex A C, & ex A F.
Poſtea, quia vt in precedenti nota dictũ eſt, differentia quadrati A C à rectan-
gulo C A F ad ſemidifferentiã quadratorũ ex I L, & ex I K eandem proportionẽ
habet, quàm rectangulum E H G ad rectangulum ſub E D, & ſub G H, eſt-
que illud rectangulum minus rectangulo iſto æquè alto, (cum illius baſis E H
minor ſit, quàm E D), igitur differentia quadrati A C à rectangulo C A F
minor eſt, quàm ſemidifferentia quadratorum ex I L, & ex I K.
Notæ in Propoſit. XXXXXI.
IN qualibet ellypſi ſit diameter a b æqualis eius erecto a c, eius latus erit C
22ex Lem.
18. huius. D, & diametri I L, & P Q cadant inter A C, & a b, earum
407368Apollonij Pergæi C E, & C M, termini E, & M cadent inter D, & A, & M cadat inter
E & D, propterea M H ad M D maiorem proportionem habebit, quàm H E
480[Figure 480] ad E D, igitur differentia quadratorum laterum figuræ P Q minor erit diffe-
11Lem. 17.
huius. rentia quadratorum laterum figuræ I L, vel figuræ A C.
In ellypſi reperire diametrum,
481[Figure 481]22PROP. 9.
Addit. cuius differentia quadratorum la-
terum figuræ eius æqualis ſit diffe-
rentiæ quadratorum laterum figuræ
axis maioris A C.
Secetur H D in e, vt H e ad e D
eandem proportionem babeat, quàm
H A ad A D, & ex puncto e educa-
tur ad axim perpendicularis e h occur-
rens ſectioni in h, & coniungatur a
h, quàm bifariam ſecet diameter f d,
cuius erectus d g: dico diametrum,
f d eße quæſitam. Quia H e ad e D
eandem proportionem habet, quàm H
A ad A D, ergo differentia quadrato-
33Lem. 17.
huius. rum ex f d, & ex d g æqualis eſt dif-
ferentiæ quadratorum ex A C, & ex
A F, quod erat propoſitum.
In ellypſi reperire diametrum,
44PROP.
10.
Addit. cuius differentia quadratorum late-
rum eius figuræ æqualis ſit diffe-
rentiæ quadratorum laterum
408369Conicor. Lib. VII. datæ diametri I L: oportet autem vt data diameter cadat inter axim
maiorem A C, & diametrum a b æqualem ſuo erecto a c.
Sit C E latus diametri I L, & diuidatur H D in V, vt habeat H V ad V
D eandem proportionem, quàm H E habet ad E D, & ducta vt prius ad axim
perpendiculari V X occurrens ſectioni in X, & coniuncta A X, quam bifa-
riam ſecet diameter T S, cuius erectus S Z; dico hanc eſſe quæſitam. Quo-
11Lem. 17.
huius. niam H V ad V D eandem proportionem habet, quàm H E ad E D, igitur
differentia quadratorum ex T S, & ex S Z æqualis eſt differentiæ quadratorum
ex I L, & ex I K, quod propoſitum fuerat.
Deducitur ex 9. propoſitione additarum, atque ex propoſit. 51. huius, quod
in ellypſi exceſſus quadrati cuiuſlibet diametri tranſuerſæ ſupra quadratum ere-
cti eius ſucceſſiue decreſcit ab axi maiori A C vſque ad diametrum a b æqua-
lem ſuo erecto, atque ab hac diametro defectus quadrati cuiuſlibet tranſuerſæ
diametri à quadrato erecti eius ſucceſſiue augetur, quouſque perueniatur ad dia-
metrum f d, cuius differentia quadratorum figuræ eius æqualis ſit differentiæ
22ex Prop.
50. huius. quadratorum figuræ axis maioris A C, & vltra diametrum f d differentiæ præ-
dictæ ſemper magis augentur quouſque perueniatur ad axim minorem γ O cuius
differentia quadratorum figuræ eius maxima eſt omnium differentiarum inter
quadrata laterum figuræ cuiuſlibet diametri eiuſdem ellypſis.
Conſtat quoque ex 9. propoſitione additarum, quod in ellypſi tres diametri
reperiri poßunt, quarum differentia quadratorum figurarum laterum earum
æquales ſint inter ſe.
Et ex 10. additarum reperiri poſſunt quatuor diametri, quarum differentiæ
quadrat orum laterum figurarum earum æquales ſint inter ſe: in hyperbole verò
hoc non contingit, nam ab axi differentiæ quadratorum laterum figuræ cuiuſli-
33ex Prop.
49. huius. bet diametri ſucceſſiue augentur, ſi axis maior fuerit ſuo erecto, at ſi minor
44ex Prop.
50. huius. fuerit prædictæ differentiæ quadratorum ſucceſſiue diminuuntur.
Differentia (8. 15.) duorum quadratorum duorum laterum figuræ axis
55a maior eſt in hyperbola (51.) , & ellypſi, quàm differentia quadratorum
duorum laterum figuræ homologæ diametri ſectionis, & differentia ho-
mologi proximioris axi maior eſt differentia homologi remotioris: hoc
autem ſi axis in hyperbola minor fuerit ſuo erecto (49.) ; ſi verò fuerit
maior oppoſitum pronunciandum eſt (50.) , & differentia quadrati axis
inclinati, & figuræ eius minor eſt ſemidifferentia quadratorum duorum
laterũ figuræ ſui homologi, ſi axis inclinatus minor eſt ſuo erecto (49.)
ſi verò fuerit maior exceſſus axis maior erit dimidio exceſſus quadrato-
rum duorum laterum figuræ homologi, & minor quàm tota, & c. Legen-
dum puto: in qualibet ellypſi, & c. vt in textu apparet.
Et ſit P Q in ellypſi vna & hellip; , & educamus A B, A N, & c.
66b Repleui lacunam, vt in textu videre eſt.
Ergo E H ad H A minor eſt quàm E D ad D A, nempe E X exceſſus
77c E G, E H ad A C exceſſum H A, A G, & quadratum A C in omni-
bus figuris ad differentiam duorum quadratorum A G, A F, vt quadra-
tum A H ad differentiam duorum quadratorũ A G, & E H ad H A mi-
nor in duabus primis, & maior in duabus ſecundis, quàm E G ad G A,
& iungamus ergo E H ad H A, nempe E H ad H A, quàm aggrega-
409370Apollonij Pergæi tum E H, E G in ſuum exceſſum ad aggregatum H A, E G in ſuum ex-
ceſſum æqualis exceſſui duorum quadratorum E H, E G, nempe qua-
dratum A C ad exceſſum quadratorum duorum laterum figuræ I L mi-
nor in prima ellypſi, & maior in ſecunda, quàm quadratum A H ad ag-
gregatum H A, A G in eorum exceſſu æqualis, & c. Hæc omnia corrigi
debuiſſe nemo negabit, atque hinc manifeſtum eſt non pauca in textu arabico
deſiderari, cum propoſitio 51, vera non ſit abſque determinationibus ſuperius
expoſitis.
SECTIO VNDECIMA
Continens Propoſit. XXXII. & XXXI.
Apollonij.
IN ellypſi, & ſectionibus coniugatis parallelogrammum ſub
11a axibus contentum æquale eſt parallelogrammo à quibuſcun-
que duabus coniugatis diametris comprehenſo, ſi eorum anguli
æquales fuerint angulis ad centrum contentis à coniugatis dia-
metris.
Sint duo axes A B, C D in ellipſi A C
482[Figure 482] B D, ſiue in ſectionibus coniugatis A, B,
C, D, & ſint F G, I H aliæ duæ coniu-
gatæ diametri, & ducantur per puncta F,
I, G, H, lìneæ tangentes coniſectiones,
quæ ſibi mutuo occurrant ad puncta K, L,
M, N: & producatur A B ex vtraque
parte vſque ad tangentes, eaſque ſecet in
O, P, & ſit centrum E. Dico quod A
B in C D æquale eſt ſpatio parallelogram-
mo M K: ſit itaque F R perpendicularis
ad A B; & ponamus S R mediam propor-
tionalem inter O R, R E.
Et quia quadratum A E ad quadratum
E C eandem proportionem habet, quàm
22b O R in R E, nempe quàm quadratum S
R ad quadratum F R (37. ex 1.) erit A E
ad E C nempe quadratum A E ad A E in
E C, vt S R ad F R, nempe S R in O E
ad F R in O E, & permutando erit qua-
dratum A E, nempe R E in O E (39. ex 1.)
410371Conicor. Lib. VII. ad S R in O E, vt A E in E C ad F R in O E, & quadratum O F
11c ad quadratum E H, nempe triangulum E O F ad triangulum E H P (24.
ex 2.) propter ſimilitudinem duorum triangulorum eſt, vt OR ad R E
483[Figure 483] (4. ex 7.) , & ſpatium parallelogrammum E K medium proportionale
eſt inter duplum trianguli E O F, & duplum trianguli E H P; & S R me-
dia proportionalis eſt inter O R, & R E, erit duplum trianguli E O F
ad parallelogrammum E K, vt S R ad R E; nempe S R in O E ad R E,
in O E, quæ oſtendetur eſſe, vt F R in O E, quod eſt æquale duplo
trianguli O F E ad A E in E C; ergo parallelogrammum E K æquale
eſt ipſi E A in E C, & propterea quadruplum illius ſpatij, quod eſt pa-
rallelogrammum M K æquale eſt ipſi B A in C D. Et hoc erat propo-
ſitum.
Hic eſt finis libri ſeptimi Apollonij, quemadmodum illum di-
22*33* In ſequẽ-
tibus Pa-
raphraſtes
Arabicus
impiè, &
Maume-
danorum
more lo-
quitur. ſpoſui, & puto me præueniſſe in hoc quoſcunque alios, illumquè repo-
ſui in Bibliotheca Domini Noſtri Regis Glorioſiſſimi, Beneficentiſſimi,
Victorioſi; Deus vmbram illius conſeruet ſuper omnes famulos eius, &
greges, & ad finem perducat omnia illius deſideria, & cogitationes,
& labor famuli eius ſit iuxta eius beneplacitum; & Laus Deo Domino
ſæculorum, & orationes eius ſint ſuper Maumethum, eiuſque ſequaces.
Explicit anno D XIII. ſcribente Mahamudo filio Maſudi Medici Scira-
zeni decima die di Alkade Anno DCCCXXV.
411372Apollonij Pergæi
Notæ in Propoſit. XXXI. & XXXII.
PLanum axium coniugatarum in ellipſi, & c. Ideſt in ſectionibus coniu-
11a gatis, & in ellipſi rectangulum ſub axibus coniugatis contentum æquale
eſt parallelogrammo ſub diametris coniugatis in angulo æquali, ei qui ad cen-
trum à diametris continetur. In textu arabico reperitur numerus 9. in illa
propoſitione, quæ ellipſim conſiderat, ſed mendoſe, vt arbitror debet potius
cenſeri propoſit. 32.
Et quia quadratum A E ad qua-
22b484[Figure 484] dratum E C eſt, vt O R in R E,
nempe quadratum S R ad quadra-
tum F R, & c. Quoniam axis rectus
D C medius proportionalis eſt inter a-
xim tranſuerſum A B, eiuſque latus
rectum, quadratum A B ad quadra-
tum D C, vel eorundem quadrantes,
ſcilicet quadratum ſemiaxis A E ad
quadratum ſemiaxis E C eandem pro-
portionem habebit, quàm axis tran-
ſuerſus A B ad eius latus rectum, ſed
rectangulum E R O ad quadratum F R
33Prop. 37.
lib. I. eandem proportionem habet, quàm axis
tranſuerſus A B ad eius latus rectum,
atque quadratum S R æquale eſt rectan-
gulo E R O (eo quod S R facta fuit me-
dia proportionalis inter E R, & R O)
erit quadratum S R ad quadratum F
R, vt latus tranſuerſum A B ad eius
latus rectum: quare quadratum A E
ad quadratum E C eandem proportio-
nem habebit, quàm quadratum S R ad
quadratum F R: & A E ad E C ean-
dem proportionem habebit, quàm S R ad F R: & ſumptis altitudinibus A E,
& O E erit quadratum A E, ſeu ei æquale rectangulum R E O ad rectangu-
44Ibidem. lum A E C, vt rectangulum ſub S R, & ſub O E ad rectangulum ſub F R,
& ſub O E, & permutando rectangulum R E O ad rectangulum ſub S R, &
ſub O E, ſeu vt R E ad S R eandem proportionem habebit, quàm rectangu-
lum A E C ad rectangulum ſub F R, & ſub O E: & inuertendo rectangulum
ſub F R, & ſub O E ad rectangulum A E C eandem proportionem habet quàm
S R ad R E.
412373Conicor. Lib. VII.
Et quadratum F O ad quadratum E H, nempe triangulum E F O ad
11c triangulum E H P, & c. Quia G F, I H ſunt diametri coniugatæ, quibus
æquidiſtant contingentes F O, & L H erunt triangula E O F, & E H P ſimi-
lia, quorum latera homologa O F, & E H; & ideo triangulum E O F ad
485[Figure 485]22Prop. 4.
huius. triangulum E H P eandem proportionem habebit, quàm quadratum O F ad
quadratum E H: eſtque O R ad R E, vt quadratum O F ad quadratum E H,
igitur triangulum E O F ad triangulum E H P eandem proportionem habebit,
quàm O R ad R E. Ducatur poſtea recta linea E K, erit triangulum E F K
medium proportionale inter duo ſimilia triangula E O F, & E H P (eo quod
triangulum E O F ad triangulum E F K æquè altum eandem proportionem ha-
bet quàm O F ad F K, ſeu ad latus E H ei homologum) poſita autem fuit S
R media proportionalis inter O R, & R E; ergo triangulum E O F ad trian-
gulum E F K eſt vt S R ad R E: eſtquè parallelogrammum E K æquale duplo
trianguli E F K; ergo duplum trianguli E O F ad parallelogrammum E K ean-
dem proportionem habet, quàm S R ad R E; Et quia rectangulum ſub O E,
& ſub perpendiculari R F æquale eſt duplo trianguli E O F (cum habeant baſim
O E communem, & eandem altitudinem perpendicularis R F); igitur rectan-
gulum ſub O E, & ſub R F ad parallelogrammum E K eandem proportionem
habebit, quàm S R ad R E: ſed prius rectangulum ſub O E, & ſub R F ad
rectangulum A E C eandem proportionem habebat, quàm S R ad R E: ergo
idem rectangulum ſub O E, & ſub R F ad parallelogrammum E K eandem
proportionem habet, quàm ad rectangulum A E C; & propterea
413374Apollonij Pergæi mum E K æquale eſt rectangulo A E C; & eorum quadrupla erunt æqualia,
ſcilicet parallelogrammum M K æquale erit rectangulo ſub B A, & ſub D C
compræhenſo. Quod erat propoſitum.
LIBRI SEPTIMI FINIS.
486[Figure 486]
414
[Empty page]
415
[Empty page]
416AR CHIMEDIS
LIBER ASSVMPTORVM
INTERPRETE
THEBIT BEN-KORA
EXPONENTE AL MOCHT ASSO
Ex Codice Arabico manuſcripto
SERENISS. MAGNI DV CIS ETRVRIÆ,
ABRAHAMVS ECCHELLENSIS
Latinè vertit.
IO: ALFONSVS BORELLVS
Notis Illuſtrauit.
417
[Empty page]
418379IO: ALFONSI BORELLI
Præfatio ad Lectorem.
SI pulchrum illud Epicharmi effatum tenes ( amice
Lector ) neruos, atque artus eſſe ſapientiæ non
temerè, ac imprudenter credere, non adeò faci-
lis eſſe debes, vt Archimedis nomen lemmata
hæc pretioſiora efficiens tibi impoſturam, aut fu-
cum facere patiaris, atque alterius contemptiſ-
ſimi auctoris opuſculum immeritò tanto viro tri-
buas; & ſiquidem maiores noſtri æquum iudi-
cium dixere, vt ſine inuidia culpa plectatur, non ita moroſus, ac dif-
ficilis eſſe debes, vt ſua ei denegare velis leui quacumque ſuſpicione,
quæ facile excuti poſsit; verum ab omni præiudicio liberum te cupio,
& memorem illius adagij: Ne quid nimis. Tibi igitur ſic affecto no-
tionem huius controuerſiæ omnino relinquo, quod vt liberè, & ritè exe-
qui valeas, ſedato animo nullum meum iudicium interponens, afferam
primò rationes, quibus perſuaderi quis poſſet hoc opuſculum iniurià
Archimedi tributum fuiſſe, & mox coniecturas recenſebo, quæ eiuſdem
Archimedis idipſum opus eſſe fortè non inaniter probant; ſicque penſitatis,
& compoſitis vtrinque rationum ponderibus ſententiam liberè pronuncies
tuam per me licet.
Et primò animaduerſione dignum eſt in Collect. Mathemat. Pappi
Alexand. frequentiſsimè commemorari ea, quæ Archimedes conſcripſit,
præcipuè lib. 5. & lib. 8. De Spiralibus, de Solidis Polyedris, de Cir-
culi Menſura, de Sphæra, & Cylindro, & multoties citantur, &
tranſcribuntur Archimedeæ propoſitiones, neque vſpiam huius
419380PRÆFATIO (apud Arabes hactenus latentis) mentio vlla fit. Neque Ptol. in Ma-
gnæ Conſtr. lib. 2. tribuit Archimedi prop. 5. cap. 9. ibi relatam, cum
tamen ſoleat eſſe adeò gratus, vt lib. 6. cap. 7. propoſitionem ab Ar-
chimede ſumpſiſſe fateatur. Neque ipſemet Archimedes huius Opuſculi
vnquam meminit, qui alioquì valdè prolixè enumerat, & recenſet ea,
quæ in proprijs libris continentur, & demonſtrantur. Inexcuſabiles inſu-
per errores, atque allucinationes, quæ in huiuſmodi propoſitionibus repe-
riuntur, immò puerilia alia Opuſcula, quæ citantur vt Archimedis, ſa-
tis apertè videntur oſtendere nunquam diuinum illud ingenium buiuſmodi
minutias ſomniaſſe; cum, vt Carpus Antiochenſis ait, referente Pappo,
quæ præcipua ſunt in Geometria, breuiter quidem, ſed diligenter conſcri-
pſerit Archimedes. Tandem præcipuæ propoſitiones huius Opuſculi ſimiles
ſunt eis, quæ recenſentur quidem, & demonſtrantur lib. 4. Collect. Ma-
them. Pappi Alex. , eaſque Archimedis eſſe non aſſerit; immò in quibuſ-
dam libris antiquis circumferri affirmat.
Zuod verò dictæ rationes tanti roboris, ac efficaciæ non ſint, vt pe-
nitus euincant huiuſmodi Opuſculum ab aliquo alio tributum Archimedi
fuiſſe, ex modo dicendis patebit. Et primo optimè norunt, qui in Pappi
libris euoluendis vllam operam impenderunt lib. 7. Collect. recenſere
eum prolixè, & accuratè quamplurima opera Apollonij Pergæi, quorum
pars maxima non extat, & enumer are propoſitiones, & lemmata vſ-
que ad figuras, & tamen qui huiuſmodi minutias curat, & adnotat,
idem integra opera eiuſdem Apollonij non commemorat. Sufficiant hæc in-
ſignia ſpecimina. De admirandis aſtronomicis demonſtrationibus à Pto-
lemæo ſummoperè laudatis lib. 12. cap. 1. Magnæ Conſtr. , ne verbum
quidem. De libro Comparationis Dodecaedri, & lcoſaedri ab Y pſicle
memorato, altum ſilentium. Si igitur idem Pappus opera Archimedis
non ex profeſſo, ſed obiter, & ſparſim commemorat, mirum non eſt ta-
cuiſſe aliqua eius opera, vt ſunt hæc lemmata.
Secundò Ptolemæus non affirmat lib. 2. prop. 5. proprio marte à ſe
inuentam fuiſſe, nec eam Archimedi, aut alicui alij tribuit, quare fieri
potuit, vt eam ex libro antiquo deſumpſerit, à quo nomen Archimedis
caſu expunctum fuiſſet, vt poſtea oſtendetur.
Tertiò Archimedes quoque in ſuis libris exiſtentibus Græcè, & Ara-
bicè non recenſet omnia opera à ſe conſcripta, & edita, nam liber de
11In proh.
lib. 8.
Lib. 5. pr.
17. inſidentibus humido, & de Polyedris recenſentur quidem à Pappo, non
autem ab Archimede. Liber Mechanicus de Sphæropæia nominatur
420381PRÆFATIO. Carpo Antiochenſe apud Pappum. Liber de Figuris Iſoperimetris aſſer-
11In proh.
lib. 8. uatur apud Arabes tantum; non igitur adulterina buiuſmodi lemmata
erunt, propterea quod Archimedes ea non nominat in paucis libris reſiduis,
& fortè commemorata fuerunt in aliquibus alijs ex multis operibus eius
iniuria temporum deperditis.
Quartò ſane negari non poßunt euidentiſsimi errores in hiſce demon-
ſtrationibus, qui certè lemmatum auctori tribuendi non ſunt, vt ſuis
in locis adnotabo; explanatorum enim imperitia ſæpenumero propoſitiones
vniuerſaliter pronunciatæ violenter in ſenſu particulari, & deformi ex-
ponuntur. Neque mirum eſt opera antiquorum magni nominis paſsim,
& multis modis deformata fuiße tranſcriptorum incuria opponendo notas
marginales, detrahendo, & ſuperaddendo textui alienas ſententias, ac
teſtimonia, & hoc præcipuæ in codicibus Arabicis frequentiſsimè obſer-
uauit Excell. Abrahamus Ecchellenſis. Sed nihilominus in tanta tran-
sformatione à vetuſtate, & ignorantia amanuenſium profecta veſti-
gium aliquod ſubobſcurum admirandi, & perſpicui Archimedis ingenij
dignoſcitur.
Tandem non inani coniectura ex Pappi, & Eutocij teſtimonijs pro-
bari poteſt idipſum, quod Arabes ratum habent, ſcilicet Archimedem
huius libelli auctorem fuiſſe. Et primo aio præter reliqua operaiam nota
edidiſſe Archimedem librum Lemmatum, quod quidem deducitur ex
Eutocio in Comment. prop. 4. lib. 2. de Sphæra, & Cylindro, vbi ait:
Id, quod promiſerat ſe demonſtraturum, (ſcilicrt Archimedes) in
nullis exemplaribus reperire eſt, quare etiam Dionyſodorum de-
prehendimus nunquam in ea incidiſſe, adeoque cum non potue-
rit relictum (ab Archimede) lemma attingere diuerſam viam ſu-
ſcepit vniuerſi problematis, quam deinceps deſcribemus. Dio-
cles porrò idipſum in libro à ſe de Pyrijs inſcripto, promiſſum
fuiſſe ab Archimede nunquam præſtitum opinatus, ſupplere con-
tendit, cuius conatum mox apponemus, quod & ipſum pariter
à ſuperius propoſitis diſcedit; itidem enim ac Dionyſodorus alia
demonſtrandi ratione problema ſtruit. IN QVODAM AVTEM
VETERI LIBRO (neque enim diuturnæ pepercimus diligentiæ)
ſupraſcripta incidimus theoremata haud exiguam tamen haben-
tia obſcuritatem præ erratis, multiformiterque mendoſa in figu-
rationibus. Eamdem equidem veritatem, quam inquirebamus,
atque in parte domeſticam Archimedi linguã Doricam
421382PRÆFATIO. vſitatiſque pridem rerum nominibus conſcripta erant, quæ nunc
parabola, recti coniſectione, quæ hyperbole, obtuſi anguli ſe-
ctione vocata; vt ex his ſuſpicari liceat EADEM IPSA FOR-
TEAN ESSE, QVÆ IN FINE SCRIBENDA PROMIT-
TEBANTVR; quare attentius incumbentes, (cum ipſam hy-
potheſim, qualiter perſcripta fuerat, præ mendarum copia (vt
diximus) ſatis incommodam, & abſtruſam reperiremus,) ſen-
ſum inde paucis elijcientes communi, & plana dictione (vt fieri
potuit) deſcribimus. Vniuerſaliter autem primum theorema de-
ſcribetur, vt definitis manifeſtetur, deinde reſolutis in proble-
mate accomodabitur. Inferius
Præmiſſis autem problematis, quæ hìc apponuntur, ſcilicet
duplam eſſe ipſam D B ipſius B F, & c. (Nota quod hic loquitur
de lemmatibus adiunctis,) & paulò poſt; animaduertendum eſt au-
tem, & hæc quæ ab Archimede dicta ſunt conſonare ijs, quæ
nos reſoluimus (ſcilicet ijdem adductis lemmatibus). Deinde cum
dixerit, quod ſuperius dictum vniuerſaliter habet determinatio-
nem, adiectis autem problematibus ab eo inuentis, hoc eſt ip-
ſam D B duplam eſſe ipſius B F, & ipſam B F maiorem ipſa
F H, & c. Hìc manifeſtè Eutocius declarat propoſita lemmata in anti-
quo codice inuenta Archimedis fuiſſe.
Hæc igitur conſentanea verbis Archimedis, qua fieri potuit,
dilucidè expoſuimus.
Conſtat ergò ex Eutocij ſententia librum antiquum ab eo repertum, &
recognitum, eſſe opus Archimedis, licet titulo Auctoris caruerit, & men-
doſiſsimum eſſet, atque ignotum Dionyſodoro, Diocli, & pleriſque
Græcorum diù iacuiſſet; etenim ex ſtylo, ex ſubiecto promiſſo, ex lingua
Dorica, & ex vocibns vetuſtis Archimedi familiaribus concluſit lem-
mata prædicta Archimedis fuiſſe. Sed adhuc difficultas hæret, nam licet
concedamus ſcripſiſſe Archimedẽ, & edidiſſe librum lemmatum ab Eutocio
memoratum, diuerſus omnino erit ab eo, quem Thebitius Arabicè tranſ-
tulit, nam in iſto non reperitur lemma illud, qnod promiſerat Archime-
des ſe demonſtraturum.
Hæc difficultas duplici coniectura ſi non frangi, ac reſolui ſaltem de-
bilitari poteſt; liber enim antiquus lemmatum Archimedis ne dum titulo
carebat ſuo, ſed erat valdè corruptus, deficiens, & mendoſus; quarè
non ſine diuturno, ac pertinaci labore ſenſus illius lemmatis elicere
422383PRÆFATIO. Eutocius, vnde fieri potuit vt Græcus codex ad Arabes tranſmiſſus de-
terior, & magis mutilus adhuc fuerit eo exemplari, in quod incidit Eu-
tocius, vel potius incuria, aut vitio librariornm Arabum, & ama-
nuenſium eiuſdem codicis quamplurima lemmata perierunt, inter quæ
aſſumptum in prop. 4. lib. 2. de Sphæra, & Cylindro excidit. E con-
trà aliquæ propoſitiones ſimiles eis, quæ leguntur in hoc Arabico codice de
Arbelo extant apud Pappum lib. 4. Collect. prop. 14. 15. & 16. , quas
ait circumferri in quibuſdam libris antiquis, ſcilicet in libro Græco incerti
Auctoris propoſitiones lemmaticas continente; at teſtimonio Thebitij magni
nominis viri, & omnium Arabum, liber ex Græco translatus continens
ferè eadem lemmata, quæ recenſentur à Pappo, tribuitur Archimedi, ſi-
cuti prius Eutocius multiplici coniectura libri antiqui lemmatum à ſe re-
perti Archimedem auctorem fecit; quare ergo nos eiſdem coniecturis per-
ſuaſi eidem Achimedi tribuere dubitabimus Opuſculum hoc ab Arabibus aſ-
ſeruatum, in quo ſi mendarum copiam ſpectes, ſimile omnino erit ei,
quod Eutocius nactus eſt? Hæ ſunt rationes, mi lector, quas tibi exa-
minandas relinquo in hoc perplexo negotio nulla diſsimulata difficultate.
Interim ſcito hoc manuſcriptum Arabicè elegantiſsimè exaratnm in
Bibliotheca Sereniſsimi Magni Etruriæ Ducis diù aſſeruatum fuiße; eius
tamen editionis ſpe facta tandem anno 1658. Sereniſsimus F erdinan-
dus Secundus Magnus Etruriæ Dux Romæ aſportandum humaniſsimè
mihi credidit, vt rei litterariæ bono latinè traduceretur, præſtitumque
fuit opera, & ſtudio celeberrimi, & peritiſsimi Orientalium linguarum
profeßoris Abrahami Ecchellenſis, ipſoque dictante religioſiſsimè, &
accuratè ipſe calamo excepi, in eoque paucula quædam in notis anima-
duertenda cenſui tum in contextu plurimis mendis corrupto, tum in
ſcholijs Arabicis Almochtaſſo non admodum in Geometria verſati.
Addidi in fine huins libri duas alias Archimedis propoſitiones ab Euto-
cio repertas quarum altera fortaſſe illa eadem eſt quæ hìc deficit, nam
Almochtaſſo in proemio ait, propoſitiones huius Opuſculi ſexdecim eſſe,
cum tamen poſtrema ſit decimaquinta. Et licet hæc eadem lemmata anno
præterito edita fuerint Londini, non tamen hac noſtra editione fraudan-
dus es, amice lector. Vale.
423
[Empty page]
424385IN NOMINE DEI
MISERICORDIS MISERATORIS
CVIVS OPEM IMPLORAMVS.
LIBER ASSVMPTORVM ARCHIMEDIS,
INTERPRETE THEBIT BEN-KORA,
Et exponente Doctore
ALMOCHTASSO ABILHASAN,
Halì Ben-Ahmad Noſuenſi.
PROPOSITIONES SEXDECIM.
ASſerit Doctor Almochtaſſo hunc librum referri ad Ar-
chimedem, in quo ſunt propoſitiones pulcherrimæ
paucæ numero, vtilitatis verò maximæ de principijs
Geometriæ, optimæ atque elegantiſſimæ, quas ad-
numerant profeſſores huius ſcientię ſummæ interme-
diorum, quæ legi oportet inter librum Euclidis, &
Almageſtum; at verò quædam illius propoſitionum loca indi-
gent alijs propoſitionibus, quibus propoſitiones illæ clariores eua-
dant. Et quidem ipſe Archimedes has indicauit propoſitiones, eaſ-
que retulit in alijs ſuis operibus, dum dixit quemadmodum demon-
ſtrauimus in propoſitionibus rectangulorum: item & quemadmodũ
demonſtrauimus in noſtra expoſitione agentes de triangulis; rurſus
quemadmodum demonſtrauimus in propoſitionibus quadrilate-
rum; & retulit in propoſitione quinta demonſtrationem hac de re
magis peculiarem. Deinde compoſuit Abuſahal Alkuhi librum,
quem inſcripſit ordinationem libri Archimedis de aſſumptis, & tra-
ctauit demonſtractionem huius propoſitionis via vniuerſaliori, ac
meliori, nec non ea, quę dependent ex compoſitione proportionis,
quod quidẽ cum id comperi, attexui locis obſcurioribus huius libri
expoſitionem, ſeu marginales poſtillas, & confirmaui quod ille indi-
cauerat propoſitionibus, vti iudicaueram, & retuli ex propoſitioni-
bus Abiſahal duas propoſitiones, quibus opus eſt ad propoſitionem
quintã declarandam, reliquas omittens breuitatis gratia, & eo quod
non ſint neceſſarię.
425386Archimedis
PROPOSITIO I.
SI mutuo ſe tangant duo circuli, vt duo circuli A E B, C E
D in E, fuerintque eorum diametri parallelæ, vt ſunt duæ
diametri A B, C D, & iungantur duo puncta B, D, & conta-
ctus E [lineis] D E, B D, erit linea B E recta.
Sint duo centra G, F, & iunga-
487[Figure 487] mus G F, & producamus ad E, &
educamus D H parallelam ipſi G F.
Et quia H F æqualis eſt ipſi G D,
ſuntque G D, E G æquales, ergo
ex æqualibus F B, F E remanebunt
G F, nempe D H, & H B, quæ
erunt æquales, atque duo anguli H
D B, H B D æquales. Et quia
duo anguli E G D, E F B ſunt re-
cti, atq; duo anguli E G D, D H
B ſunt æquales, remanebunt duo
anguli G E D, G D E, qui inter ſe, & duobus angulis H D B, H B D
æquales erunt; ergo angulus E D G æqualis eſt angulo D B F, & com-
prehenſus angulus G D B eſt communis, ergo erunt duo anguli G D B,
F B D (qui ſunt pares duobus rectis) æquales duobus angulis G D B,
G D E: igitur ipſi quoque ſunt æquales duobus rectis, ergo linea E D
B eſt recta, & hoc eſt, quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor; Et quidem dici poteſt cum duo anguli H D B, H B
D ſint æquales, & angulus D H B rectus, quod erit angulus B D
H ſemirectus, & ſimiliter angulus E D G, & angulus G D H rectus,
ergo tres anguli ſunt æquales duobus rectis, igitur linea E D B eſt re-
cta. Idem ſequitur, ſi illi duo circuli ſe mutuo exterius contigerint.
Notæ in Propoſit. I.
HAEc eſt vna earum Propoſitionum, quas Pappus in quodam libro antiquo
reperit, qui, vt deduximus ex Eutocio, ab Archimede conſcriptus diu
apud Arabes latuit. Hæc aſſumitur in propoſit. 14. lib. 4. Collect. Pappi, eam-
que ſupplet Commandinus, ſed extat expreſſe lib. 7. propoſit. 110. eiuſdem
Pappi, eſtque demonſtratio vniuer ſaliſſima comprehendens caſum neglectum
in hac demonſtratione, ſcilicet quando duo circuli ſeſe exterius contingunt, &
426387Aſſumpt. Liber. licet non laboret vitio Arabici textus, non tamen illa omnino ſincera eſt: con-
ueniunt tamen in vniuerſalitate propoſitionis, quàm valde peruersè ſcholiaſtes
Arabicus expoſuit; allucinatur enim quando ait, & quia duo anguli E G
488[Figure 488] D, & E F B ſunt recti, & c. Nam inferius citatur, & vſurpatur hæc prima
propoſitio vniuerſaliſſimè, ſcilicet exiſtentibus angulis G, & F acutis, vel ob-
tuſis, & ſic reuera ſonant verba propoſitionis, vbi ait, quorum diametri A
B, C D ſunt parallelæ, & ſic pariter habetur in prædicta propoſitione Pappi;
quare textus omnino corrigi debuit, vt pronuncientur anguli E G D, & E F
B æquales, non recti. Neſcio tamen quomodo expoſitio Almochtaſſi excuſari poſ-
ſit, qui ſupponit diametros A B, & C D perpendiculares ad rectam lineam
F G E, quod quidem in vnico caſu veriſicatur, vt dictum eſt. Peccat poſtea
demonſtratio Pappi lib. 7. pr. 110. , vbi conatur oſtendere duo centra, & pun-
ctum contactus circulorum eſſe in vnica recta linea; quod quidem in 3. Ele-
ment. Eucl. oſtenſum ſupponi debuerat.
PROPOSITIO II.
SIt C B A ſemicirculus, quem D C, D B tangant, & B E
perpendicularis ſuper A C, & iungamus A D, erit B F
æqualis ipſi F E.
Demonſtratio. Iungamus A B, eamque producamus in directum, &
489[Figure 489] educamus C D, quouſque illi occurrat
in G, & iungamus C B. Et quia angu-
lus C B A eſt in ſemicirculo, erit re-
ctus, remanet C B G rectus, & D B E
C eſt parallelogrammum rectangulum,
ergo in triangulo G B C rectangulo edu-
citur perpendicularis B D ex B erecta
ſuper baſim, & B D, D C erunt æqua-
les, eo quod tangunt circulum, ergo C
D eſt etiam æqualis ipſi D G, quemad-
modum oſtendimus in
427388Archimedis quas confecimus de rectangulis. Et quia
490[Figure 490] in triangulo G A C linea B E educta eſt
parallela baſi, & iam educta eſt ex D
ſemipartitione baſis linea D A ſeca ns
parallelam in F, erit B F æqualis ipſi F
E, & hoc eſt quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor: Quod autem C D ſit æqualis ipſi D G, vti remittit ad
ſuum librum de propoſitionibus rectangulorum, eo quod duo angu-
li D C B, D B C æquales ſunt propter æqualitatem D B, D C, & an-
gulus D B C cum augulo D B G eſt rectus, & ſimiliter angulus D C B
cum angulo C G B: neceſſe eſt, vt ſint duo anguli D G B, D B G æqua-
les etiam, ergo duo latera D B, D G ſunt æqualia.
Rurſus ſi dicatur quod proportio C D ad D B ſit vt proportio D B ad
D G, & D C æqualis ipſi D B, ergo D B æqualis eſt D G, eſſet para-
bola. Dicit, quod vero B F ſit æqualis F E, hoc conſtat ex eo quod
caſus A D ſuper duas lineas B E, G C parallelas in triangulo A G C,
exigit eorum ſectio in eadem proportione, & id quidem, quia A D ad
A F eandem proportionem habet, quam G D ad B F, & quam D C ad
E F, ergo G D ad B F eſt vt D C ad E F, & permutando G D ad ei æ-
qualem D C, eſt vt B F ad E F, & propterea ipſæ etiam ſunt æquales.
Notæ in Propoſ. II.
HVius ſecundæ propoſitionis expoſitio, & demonſtratio inſigniter deformata
eſt; in propoſitione enim ſupponuntur duæ rectæ D C, D B tangere cir-
culum tantummodo, non autem conſtituere angulum rectum, & ſolummodo re-
cta linea B E perpendicularis ducitur ad diametrum A C, quare male in de-
monſtratione pronunciatur quadrilaterum B D C E parallelogrammum rectan-
gulum, cum ferè ſemper ſit Trapetium: pariterque errat, quando ait rectam
B D perpendicularem eſſe ſuper C G, quæ nunquam vera ſunt, niſi in vnico caſu,
quando ſcilicet B E cadit perpendiculariter ſuper centrum circuli.
Interim notandum eſt hanc elegantem
491[Figure 491] propoſitionem, inſignem vſum habere pro
inueſtigatione menſuræ circuli, & recta-
rum in eo ſubtenſarum; deduci namque
poßunt non contemnenda problemata; Si
enim quis cupiat circulo adſcribere duas
figuras or dinatas ſimiles, quarum circum-
ſcripta ſuperet inſcriptam exceſſu minori
quolibet dato, facile problema
428389Aſſumpt. Liber. pariterque proportio diametri ad circuli peripheriam ſatis compendioſe deduci
poteſt, quandoquidem inter figuram ordinatam eidem circulo inſcriptam, cuius
ſemilatus eſt E B, & circumſcriptam duplo laterum numero, cuius duo ſemila-
tera ſunt C D B, circulus intermediat; & Perimeter circumſcriptæ figuræ ad
Perimetrum inſcriptæ eandem proportionem habet, quam diameter C A ad A E,
quæ proportio minui ſemper magis, ac magis poteſt in infinitum; & tandem ex
3. propoſ. ſequenti, ex continua ſemipartitione quadrantis circuli elici poſſunt
ſubtenſæ ſucceſſiuè ſubdiuiſæ in infinitum, & propterea dabitur proportio dia-
metri A C ad ſemiſubtenſam B E, ſed datur quadratum ipſius B E, igitur da-
tur rectangulum A E C ſub ſegmentis diametri, & datur E C ex iam dicta 3.
propoſ. igitur datur quoque E A; eſtque B E ad C D B, vt E A ad diametrũ
A C, igitur quarta quantitas innoteſcet, ſcilicet rectæ C D B, quæ æqualia
ſunt vni lateri Poligoni circumſcripti duplo laterum numero, & ideo habebitur
menſura totius Perimetri tum Poligoni inſcripti, cum circumſcripti, quare
menſura ipſius peripheriæ circuli, quæ intermedia eſt, facili negotio inueſtiga-
bitur.
PROPOSITIO III.
S It C A ſegmentum circuli, & B
492[Figure 492] punctum ſuper illud vbicumque,
& B D perpendicularis ſuper A C, &
ſegmentum D E æquale D A, & arcus
B F æqualis arcui B A, vtique iuncta
C F erit æqualis ipſi C E.
Demonſtratio. Iungamus lineas A B, B F,
F E, E B; & quia arcus B A æqualis eſt arcui B F, erit A B æqualis
B F, & quia A D æqualis eſt E D, & duo anguli D ſunt recti, & D B
communis, ergo A B æqualis eſt B E, & propterea B F, B E ſunt æqua-
les; & duo anguli B F E, B E F ſunt æquales. Et quia quadrilaterum.
C F B A eſt in circulo, erit angulus C F B cum angulo C A B ipſi op-
poſito, immo cum angulo B E A, æqualis duobus rectis; ſed angulus C
E B cum angulo B E A, æquales ſunt duobus rectis, ergo duo anguli C
F B, C E B ſunt æquales, & remanent C F E, C E F æqualas; ergo
C E æqualis eſt C F, & hoc eſt quod voluimus.
Notæ in Propoſit. III.
HAEc eſt propoſ. 5. cap. 9. lib. 1. Almag. Ptol. , ſed hic vniuerſalius pro-
nunciatur; Ptolomeus enim ſupponit ſegmentum A B C ſemicirculum
eſſe, & ex cognita circumferentia A F, & corda F C, & illius medietate A
B, quærit chordam A B; eſt enim rectangulum ſub C A D æquale
429390Archimedis ipſius A B, eſtque nota A D medietas differentiæ inter diametrum A C, & chor-
dam differentiæ F C; at propoſitio Archimedea verificatur in quolibet circuli
ſegmento ſiue maiori, ſiue minori; ex datis enim circumferentijs A C, A B,
493[Figure 493] A F, & F C vna cum cordis A C, & F C, haberi quidem poteſt chorda A B
paulo difficilius, ſi nimirum ex chorda A C tollatur chorda F C, & differen-
tia A E bifariam ſecetur in D, & ex arcu cognito B C datur angulus A, atque
angulus D rectus eſt, ergo triangulum A B D ſpecie notum erit, & propterea
proportio D A ad A B cognita erit, eſtque D A longitudine data, igitur A B
longitudine innoteſcet.
Notandum eſt quod figura appoſita in hac propoſ. non exprimit omnes caſus
propoſitionis, quandoquidem ſemicirculus eſt A B C, & propterea ex præceden-
tibus erroribus Arabici expoſitoris ſuſpicari licet non ritè eum percepiſſe Archi-
medis mentem.
PROPOSITIO IV.
A B C ſemicirculus, & fiant ſuper
494[Figure 494] A C diametrum duo ſemicirculi, quo-
rum vnus A D, alter vero D C, &
D B perpendicularis, vtique figura pro-
ueniens, quam vocat Archimedes AR-
BELON, eſt ſuperficies comprehenſa ab
arcu ſemicirculi maioris, & duabus cir-
cumferentijs ſemicirculorum minorum, eſt æqualis circulo, cuius
diameter eſt perpendicularis D B.
Demonſtratio. Quia linea D B media proportionalis eſt inter duas li-
neas D A, D C, erit planum A D in D C æquale quadrato D B, &
ponamus A D in D C cum duobus quadratis A D, D C communiter,
fiet planum A D in D C bis cum duobus quadratis A D, D C, nempe
quadratum A C, æquale duplo quadrati D B cum duobus quadratis A
D, D C, & proportio circulorum eadem eſt, ac proportio
430391Aſſumpt. Liber. ergo circulus, cuius diameter eſt A C, æqualis eſt duplo circuli, cuius
diameter eſt D B cum duobus circulis, quorum diametri ſunt A D, D
C, & ſemicirculus A C æqualis eſt circulo, cuius diameter eſt D B
cum duobus ſemicirculis A D, D C; & auferamus duos ſemicirculi A
D, D C communiter, remanet figura, quàm continent ſemicirculi A
C, A D, D C, & eſt figura, quàm vocauit Archimedes Arbelos æqua-
lis circulo, cuius diameter eſt D B, & hoc eſt quod voluimus.
Notæ in Propoſit. IV.
H AEc forſan eſt vna earum propoſitionum, quas Pappus legit in libro an-
tiquo de menſura ARBELI, ſeu ſpatij àtribus ſemicircumferentijs circulo-
rum comprehenſi, vt ait Proclus, quæ quidem elegantiſſima eſt, eiuſque inuen-
tionis Lunulæ Hyppocratis Chij originem extitiße puto; eſt enim Hyppocratis
Lunula ſuperficies plana à quadrante peripheriæ circuli maioris, & ſemiſſe pe-
ripheriæ circuli ſubdupli comprehenſa: Arbelus vero recentiorum eſt ſpatium
à triente, & à duobus ſextantibus circumferentiarum trium circulorum æqua-
lium comprehenſum, & hiſce duobus ſpatijs facilè quadrata æqualia reperiri
poſſunt; at Arbeli Archimedis, & Procli hucuſque reperta non eſt quadratura;
ſed poteſt quidem aſſignari circulus prædicto ſpatio æqualis.
PROPOSITIO V.
SI fuerit ſemicirculus A B, & ſignatum fuerit in eius diametro
punctum C vbicumque, & fiant ſuper diametrum duo ſe-
micirculi A C, C B, & educatur ex C perpendicularis C D ſu-
per A B, & deſcribantur ad vtraſque partes duo circuli tan-
gentes illam, & tangentes ſemicirculos, vtique illi duo circuli
ſunt æquales.
Demonſtratio. Sit al-
495[Figure 495] ter circulorum tangens
D C in E, & ſemicircu-
lum A B in F, & ſemi-
circulum A C in G, &
educamus diametrũ H E,
erit parallela diametro A
B, eo quod duo anguli H
E C, A C E, ſunt recti,
& iungamus F H, H A,
ergo linea A F eſt recta,
vti dictum eſt in propo-
ſitione 1. & occurrent A F, C E in D, eo quod egrediuntur ab
431392Archimedis A, C minoribus duobus
rectis, & iungamus etiam
F E, E B, ergo E F B
496[Figure 496] eſt etiam recta, vti dixi-
mus, & eſt perpendi-
cularis ſuper A D, eo
quod angulus A F B eſt
rectus, quia cadit in ſe-
micirculum A B, & iun-
gamus H G, G C, erit
H C etiam recta; & iun-
gamus E G, G A, erit
E A recta, & produca-
mus eam ad I, & iun-
gamus B I, quæ ſit etiam
perpendicularis ſuper A I, & iungamus D I; & quia A D, A B ſunt
duæ rectæ, & educta ex D ad lineam A B perpendicularis D C, & ex
B ad D A perpendicularis B F; quæ ſe mutuo ſecant in E, & educta A
E ad I eſt perpendicularis ſuper B I, erunt B I D rectæ, quemadmo-
dum oſtendimus in Propoſitionibus, quas confecimus in expoſitione tra-
ctatus de triangulis rectangulis: & quia duo anguli A G C, A I B ſunt
recti, vtique B D, C G ſunt parallelæ, & proportio A D ad D H,
quæ eſt vt A C ad H E, eſt vt proportio A B ad B C, ergo rectangu-
lum A C in C B æquale eſt rectangulo A B in H E; & ſimiliter demon-
ſtratur in circulo L M N, quod rectangulum A C in C B æquale ſit re-
ctangulo A B in ſuam diametrum, & demonſtratur inde etiam, quod
duæ diametri circulorum E F G, L M N, ſint æquales, ergo illi duo
circuli ſunt æquales. Et hoc eſt quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor. Clarum quidem eſt quod citauit ex expoſi-
tione triangulorum rectangulorum in præfatione; & eſt
quidem propoſitio vtilis in principijs, ac præſertim in triangulis
acutangulis, qua opus eſt in propoſit. 6. huius libri, & eſt hæc.
Ex triangulo A B C eduxit perpendiculares B E, C D ſe mutuo
ſecantes in F, & coniunxit A F, & produxit ad G, hæc vti-
que erit perpendicularis ſuper B C.
Iungamus itaque D E, erunt duo anguli D A F, D E F æquales,
quia circulus comprehendens triangulum A D F tranſit per punctum E,
eo quod angulus A E F eſt rectus, & cadent in illo ſuper eundem ar-
cum, & etiam angulus D E B æqualis eſt angulo D C B, quia circulus
continens triangulum B D C tranſit etiam per punctum E, ergo in duo-
bus triangulis A B G, C B D ſunt duo anguli B A G, B C D æquales;
432393Aſſumpt. Liber.& angulus B eſt communis,
497[Figure 497] ergo A G B æqualis eſt an-
gulo C D B recto, ergo A
G eſt perpendicularis ſuper
B C. Hoc præmiſſo repe-
tamus ex propoſit. quàm
attulit Archimedes D A,
A B, & perpendiculares D
C, A I, B F, B I, & li-
neam D I. iam ſi B I D
non fuerit linea recta, iun-
gamus B G D rectam, erit
angulus A G B rectus ex
præmiſſa propoſitione, &
498[Figure 498] erat angulus A I B rectus,
ergo internus in triangulo
B I G æqualis eſt oppoſito
externo, & hoc eſt abſur-
dum, igitur linea B I D
eſt recta. Deinde attulit
duas propoſitiones ex in-
terpretatione Alkauhi, qua-
rum prima eſt hæc.
SCHOLIVM PRIMVM ALKAVHI.
S I non fuerint duo ſemicirculi tangentes, ſed mutuo ſe ſecantes,
& perpendicularis fuerit in loco mutuæ ſectionis, idem ſe-
quitur.
Sint itaque ſemicirculi A B C, A D E, F D C, & duo illi ſemicir-
culi ſe mutuo ſecantes in D, & B G perpendicularis ſuper A C inſiſtat,
499[Figure 499]
433394Archimedis& circulus I H L tangat circulum A B C in H, & circulum A D E in
L, & perpendicularem in I. Dico eſſe æqualem circulo, qui eſt in al-
tera parte. Hoc modo, Educamus I M parallelam ipſi A C, & iungamus
A H, quæ tranſibit per M, quemadmodum demonſtrauit Archimedes,
11Prop. I.
huius.500[Figure 500]& producamus eam quouſque occurrat perpendiculari N G in N, &
iungamus I A, quæ tranſibit per L, & producamus illam ad O, & iun-
gamus C O, O N, quæ erit linea recta, & iungamus M E, quæ tranſi-
bit per L, & iungamus C H, quæ tranſibit per I; & linea C O N pa-
 a eſt lineæ E M, & proportio A N ad N M, nempe proportio A
G ad I M eſt vt C A ad C E, ergo rectangulum A G in C E æquale
eſt rectangulo C A in I M; & quia G D eſt perpendicularis in duobus
circulis C D F, E D A ſuper duas diametros C F, E A, erit rectangu-
lum C G in G F æquale quadrato G D, & rectangulum A G in G E
æquale etiam eſt illi, ergo rectangulum C G in G F æquale eſt rectan-
lo A G in G E, & proportio C G ad G A eſt vt proportio E G ad G
F, immo vt proportio C E ad F A reſiduam; ergo rectangulum C G in
F A, eſt æquale rectangulo C A in I M cui æquale eſt rectangulum G
A in C E. Et ſi fuerit in altera parte circulus modo præfato eadem ra-
tione oſtendemus, quod reſtangulum C A in diametrum illius circuli
æquale ſit rectangulo C G in A F, & oſtendetur quod duæ diametri duo-
rum circulorum ſint æquales.
SCHOLIVM SECVNDVM ALKAVHI.
POrrò ſecunda eſt hæc. Dicit quod ſi duo ſemicirculi non
ſint tangentes, nec ſe mutuo ſecantes, ſed ſeparati, &
perpendicularis tranſeat per concurſum duarum linearum
434395Aſſump. Liber. tium eos, quæ ſunt æquales idem ſequetur.
Sint itaque ſemicirculi A B C, A D E, F G C, vti diſpoſuimus, &
duæ lineæ N G, N D tangentes illos duos ſemicirculos in G, D, & æ-
quales, ſibique occurrentes in N, & linea B N tranſiens per punctum
N perpendiculariter erecta ſuper A C, & tangat illam circulus M N I
in I, & idem tangat circulum A B C in H, & circulum A D E in L,
501[Figure 501]& educamus diametrum I M parallelam ipſi A C, & iungamus C H,
quæ tranſibit per I, & iungamus M E tranſibit per L, & iungamus A I
11Prop. I.
huius.
Ibidem,
Scholium
præc.
Almoc. tranſibit per L, & producamus eam ad P, & iungamus C O tranſibit
per P, eritque parallela ipſi E M, & erit proportio A O ad O M, nem-
pe proportio A N ad M I vt proportio A C ad C E, & rectangulum A
N in C E æquale rectangulo A C in I M. Et eodem modo oſtendetur,
quod rectangulum C N in F A ſit æquale rectangulo A C in diametrum
circuli, qui eſt ex altera parte; & quia rectangulum C N in N F æqua-
le eſt quadrato G N, & eſt æquale quadrato D N, quod eſt æquale re-
ctangulo A N in N E erit rectangulum C N in N F æquale rectangulo
A N in N E, & proportio C N ad A N vt E N ad N F, & vt propor-
tio totius C E ad totum A F, ergo rectangulum A N in C E æquale eſt
rectangulo C N in F A, & iam oſtenſum eſt, quod A N in C E æqua-
le eſt rectangulo A C in I M, & quod rectangulum C N in F A ſit æqua-
le rectangulo A C in diametrum alterius circuli: ergo duæ diametri ſunt
æquales, & duo circuli æquales, & hoc eſt quæſitum.
Notæ in Propoſit. V.
HAEc propoſitio parum quidem differt à poſtrema parte propoſit. 14, 16.
& 17. lib. 4. Pappi Alex. , ſi figuram, conſtructionem, &
435396Archimedis demonſtrationis ſpectes; differunt tamen in concluſione, quæ demonſtranda pro-
502[Figure 502] ponitur; oſtendit enim Pap-
pus, ſicut, & Archime-
des, ſemicircularis diame-
tri ſegmentum maius A C
ad circuli intercepti dia-
metrum H E habere ean-
dem proportionem, quàm
maioris circuli diameter A
B habet ad reliquum ſeg-
mentum eius B C, pari-
terque B A ad A C ean-
dem proportionem habet,
quàm C B ad reliqui circuli intercepti L M N diametrum: ex hiſce ſequitur
concluſio Archimedea, nam ſi A C ad H E eandem rationem habet, quàm A
B ad B C, permutando B A ad A C erit vt C B ad H E igitur eadem C B ad
duas circulorum diametros H E, & L N eandem proportionem habet, & pro-
pterea circulorum diametri H E, & L N æquales ſunt inter ſe. Mirum ta-
men eſt hanc concluſionem, quàm præ manibus Pappus habebat, non ani-
maduertiſſe, demonſtrat tamen quamplurima ſymptomata pulcherrima circu-
lorum in Arbelo deſcriptorum, quæ tamen in hoc opuſculo Archimedi tributo
pariter recenſeri debebant, ſi hic liber eſſet idem antiquus ille à Pappo viſus,
in quo huiuſmodi lemmata circumferebantur: ſed for ſan librariorum vitio, &
incuria codex corruptiſſimus ad Arabes tranſmißus non omnes illas admirandas
propoſitiones, ſed vnius tantum particulam continebat, ſicut è contra liber ille
antiquus, in quo Pappus prædicta lemmata reperit, carebat concluſione in hi-
ſce lemmatibus demonſtrata. Cæterum propoſitiones in ſcholijs additæ manifeſtæ
quidem ſunt, ſed abſque duabus prioribus poßet propoſitum facillimè demon-
ſtrari, Reliquæ duæ propoſitiones ſuperadditæ ad Arabibus faciles quidem
ſunt.
PROPOSITIO VI.
SI fuerit femicirculus A B C, & in eius diametro ſumatur
punctum D, & fuerit A D ipſius D C ſexqui altera, &
deſcribantur ſuper A D, D C duo ſemicirculi, & ponatur cir-
culus E F inter tres ſemicirculos tangens eos, & educatur dia-
meter E F in illo parallela diametro A C, reperiri debet pro-
portio diametri A C ad diametrum E F.
Iungamus enim duas lineas A E, E B, & duas lineas C F, F B,
erunt C B, A B rectæ, vti dictũ eſt in prima propoſit. Deſcribamus etiam
duas lineas F G A, E H C, oſtendeturque eſſe quoque rectas; Simili-
ter duas lineas D E, D F, & iungamus D I, D L, & E M, F N, &
producamus eas ad O, P; Et quia in triangulo A E D, A G eſt
436397Aſſumpt. Liber. pendicularis ad E D, & D I eſt quoque perpendicularis ad A E, & iam
ſe mutuo ſecuerunt in M, ergo E M O erit etiam perpendicularis, que-
madmodum oſtendimus in expoſitione, quàm confecimus de proprieta-
tibus triangulorum, & cuius demonſtratio iam quidem præceſſit in ſupe-
503[Figure 503] riori propoſitione; Similiter quoque erit F P perpendicularis ſuper C A,
& quia duo anguli, qui ſunt apud L, & B ſunt recti, erit D L parallela
ipſi A B, & pariter D I ipſi C B, igitur proportio A D ad D C eſt vt
proportio A M ad F M, immo vt proportio A O ad O P, & proportio
C D ad D A vt proportio C N ad N E, immo vt proportio C P ad P
O, & erat A D ſexquialtera D C, ergo A O eſt ſexquialtera O P, &
O P ſexquialtera C P, ergo tres lineæ A O, O P, P C ſunt proportio-
nales: & in eadem menſura, in qua eſt P C quatuor, erit O P ſex, &
A O nouem, & C A nouendecim, & quia P O æ qualis eſt E F, erit
proportio A C ad E F vt nouendecim ad ſex, igitur reperimus dictam
proportionem. Etiam ſi fuerit A D ad D C qualiſcumque vt ſexquiter-
tia, aut ſexquiquarta, aut alia, erit iudicium, & ratio, vti dictum eſt.
Et hoc eſt quod voluimus.
Notæ in Propoſit. VI.
HAEc propoſitio nil prorſus differre videtur à 16. propoſit. lib. 4. Pappi
Alex. eſt tamen pars illius, & particulariter demonſtrata, quod quidem
peccatum alicui expoſitori tribui debet; nunquam enim Archimedes propoſitionẽ
illam, quam vniuerſaltſſimè demonſtrare potuißet, exemplis numericis tam
pueriliter oſtendiſſet. Pappus igitur quærit menſuram diametri illius circuli,
qui in loco inter tres circunferentias circulares interijcitur, quod Arbelon ap-
pellatur, & oſtendit quidem diametrum ſemicirculi maioris A C ſecari in duo-
bus punctis O, & P à perpendicularibus cadentibus à terminis E, & F dia-
metri circuli in Arbelo inſcripti, ac diuidi in tria ſegmenta A O, O P, P C
continue proportionalia in eadem ratione, quàm habet A D ad D C, &
437398Archimedis ſuper oſtendit perpendicularem E O æqualem eſſe circuli diametro E F. Itaque
in quadrato ſpatio E O P F, circuli diameter E F, ſiue O P media proportio-
nalis erit inter A O, & P C. Zuam ergo proportionem habent tres continuè
proportionales in eadem ratione A D ad D C ſimul ſumptæ ad illarum inter-
504[Figure 504] mediam, eandem habebit diameter maioris ſemicirculi A C ad O P, ſiue E F.
Zuæ deinde Pappus demonſtrat perpendiculares à centris circulorum in collate-
ralibus ſpatijs prædicti Arbeli exiſtentium eſſe multiplices diametrorum eorum
circulorum à quibus educuntur ſecundum ſeriem natur alem numerorum ab vni-
tate creſcentium, proprietas quidem eſt admirabilis, de qua in hac propoſitio-
ne Archimedis altum ſilentium, quod forte temporum iniuriæ tribuendum
eſt.
Poſſent in hiſce duabus propoſitionibus non pauca problemata ſuperaddi, quo-
modo nimirum in prædicto ſpatio à tribus ſemicirculis comprehenſo circuli in-
numerabiles deſcribi debeant, & alia quamplurima facilia, quæ lectorum ſa-
gacitati relinquuntur.
PROPOSITIO VII.
SI circulus circa quadratum deſcriptus fuerit, & alius intra
illum, vtique erit circumſcriptus duplus inſcripti.
Sit itaque circulus compre-
505[Figure 505] hendens quadratum A B, cir-
culus A B, & inſcriptus C D,
& ſit diameter quadrati A B, &
eſt diameter circuli circumſcri-
pti, & educamus C D diame-
trum circuli inſcripti parallelam
ipſi A E, quæ eſt ei æqualis.
Et quia quadratum A B duplum
eſt quadrati A E, ſiue D C, &
proportio quadratorum ex
438399Aſſumpt. Liber. metris circulorum eſt eadem proportioni circuli ad circulum, igitur cir-
culus A B duplus eſt circuli C D, & hoc eſt quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor Almochtaſſo. Iam compoſui tractatum de con-
ficiendo circulo, cuius proportio ad datum circulum ſit
vt proportio data. Qua ratione conficiendæ ſunt omnes ſiguræ
rectilineæ, & quem vſum
506[Figure 506] habeant in arte illæ figuræ,
& afferam hic ex illis vnam
propoſitionem, quæ cõgruit
expoſitioni huius propoſitio-
nis, & eſt tanquam epitome
illarum propoſitionum, &
illationis ex illis, & eſt hæc.
Volumus conficere circulum,
qui ſit quinta pars circuli,
exempli gratia.
Circulus cuius habemus diametrum eſt A B, & addamus eius partem
quintam, & eſt B C, & deſcribamus ſuper A C ſemicirculum A D C,
& educamus perpendicularem B D, & quia proportio A B ad B C eſt,
vt proportio quadrati A B ad quadratum B D, erit quilibet circulus
factus, vel, figura ſuper B D quæſita à nobis, & hoc, quia proportio
circuli, qui eſt ſuper A B, vel figuræ, quæ eſt ſuper illam, ad circu-
lum, vel figuram factam ſuper B D facit illam figuram, & ſimiliter po-
ſitam, erit vt proportio A B ad B C, & hoc eſt quod voluimus.
PROPOSITIO VIII.
SI egrediatur in circulo linea A B vbicumque, & producatur
in directum, & ponatur B C æqualis ſemidiametro circuli
& iungatur ex C ad centrum circuli, quod eſt D, & producatur
ad E, erit arcus A E triplus arcus B F.
439400Archimedis
Educamus igitur E G parallelam ipſi
507[Figure 507] A B, & iungamus D B, D G: & quia duo
anguli D E G, D G E ſunt æquales, erit
angulus G D C duplus anguli D E G,
& quia angulus B D C æqualis eſt angu-
lo B C D, & angulus C E G æqualis eſt
angulo A C E, erit angulus G D C du-
plus anguli C D B, & totus angulus B
D G triplus anguli B D C, & arcus B G
æqualis arcui A E, triplus eſt arcus B F,
& hoc eſt, quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor Almoch-
508[Figure 508] taſſo. Cum dicit ar-
cum B G æqualem eſſe ar-
cui A E, id ex eo eſt pro-
pter æquidiſtantiam duarum
cordarum. Sint itaque in
circulo A B C cordæ A C,
B D parallelæ; Dico quod
duo arcus A B, C D ſunt
æquales,
Iungamus A D, ergo duo anguli C A D, A D B ſunt æquales; &
propterea duo arcus ſunt æquales, & conuerſum eodem modo demon-
ſtratur.
Notæ in Propoſit. VIII.
HAEc quidem propoſitio elegantiſſima eſt, quæ ſi problematicè reſolui poſ-
ſet via plana, reperta iam eßet tripartitio cuiuſlibet anguli.
Breuius tamen demonſtratio
509[Figure 509] perfici poteſt hac ratione. Iuncta
recta E B, quia in triangulo Iſo-
ſcele B D C duo anguli C, & C
D B æquales ſunt, eſtque pariter
externus angulus B D C duplus an-
guli D E B in triangulo Iſoſcelio
D E B, ergo angulus C duplus eſt
anguli B E C, & propterea illi an-
guli ſimul ſumpti, ſeu externus an-
gulus A B E triplus erit anguli B
E F, & circunferentia A E tripla ipſius B F.
440401Aſſumpt. Liber.
PROPOSITIO IX.
SI mutuo ſe ſecuerint in circulo duæ lineæ A B, C D, (ſed
non in centro) ad angulos rectos, vtique duo arcus A D,
C B ſunt æquales duobus arcubus A C, D B.
Educamus diametrum E F parallelam ipſi A B, quæ ſecet C D biſa-
riam in G, erit E C æqualis ipſi E D; & quia tam arcus E D F, quam
E C F eſt ſemicirculus, & arcus
E D æqualis arcui E A cum
510[Figure 510] arcu A D, erit arcus C F cum
duobus arcubus E A, A D æ-
qualis ſemicirculo, & arcus E
A æqualis arcui B F, ergo ar-
cus C B cum arcu A D æqualis
eſt ſemicirculo, & remanent duo
arcus E C, E A nempe arcus A
C cum arcu D B æquales illi,
& hoc eſt quod voluimus.
PROPOSITIO X.
SI fuerit circulus A B C, & D A tangens illum, & D B ſe-
cans illum, & D C etiam tangens, & educta fuerit C E
parallela ipſi D B, & iuncta fuerit E A ſecans D B in F, &
educta fuerit ex F perpendicularis F G ſuper C E; vtique bifa-
riam ſecabit illam in G.
Iungamus A C, & quia D A eſt tangens, & A C ſecans circulum
erit angulus D A C æqualis angulo cadenti in alterno ſegmento A C
511[Figure 511]
441402Archimedis nempe angulo A E C, & eſt æqualis angulo A F D, eo quod C E,
B D ſunt parallelæ, ergo anguli D A C, A F D ſunt æquales, & in
duobus triangulis D A F, A H D ſunt duo auguli A F D, H A D æquales,
& angulus D communis, propterea erit rectãgulum F D in D H æquale
512[Figure 512] quadrato D A, immo quadrato D C, & quia proportio F D ad D C eſt
eadem proportioni C D ad D H, & angulus D communis, erunt triangula
D F C, D C H ſimilia, & angulus D F C æqualis D C H, qui æqualis
eſt angulo D A H, & hic eſt æqualis angulo A F D, ergo duo anguli A
F D, C F D ſunt æquales, & D F C æqualis angulo F C E, & erat D
F A æqualis angulo A E C, ergo in triangulo F E C ſunt duo anguli C,
E æquales, & duo anguli G recti, & latus G F commune, propterea
eri@ C G æqualis ipſi G E, ergo C E bifariam ſecatur in G, & hoc eſt,
quod voluimus,
PROPOSITIO XI.
SI mutuo ſe ſecuerint in circulo duæ lineæ A B, C D ad an-
gulos rectos in E, quod non ſit in centro, vtique omnia
quadrata A E, B E, E C, E D æqualia ſunt quadrato diametri.
Educamus diametrum A F,
513[Figure 513]& iungamus lineas A C, A D,
C F, D B; Et quia angulus A
E D eſt rectus, erit æqualis an-
gulo A C F, & angulus A D C
æqualis A F C, eo quod ſunt
ſuper arcum A C, & remanent
in duobus triangulis A D E, A
F C duo anguli C A F, D A E
æquales erunt pariter duo arcus
C F, D B æquales immo, &
duæ cordæ eorum æquales, &
duo quadrata D E, E B æquantur quadrato B D, nempe C F, &
442403Aſſumpt. Liber. quadrata A E, E C æquantur quadrato C A, & duo quadrata C F, C A
æquantur quadrato F A, nempe diametri, igitur quadrata A E, E B, C E,
E D omnia ſunt æqualia quadrato diametri, & hoc eſt quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor. Huius eſt alia facilior demonſtratio ea, quam attulit
Archimedes; quæ eſt huiuſmodi. Iungamus A D, C B, B D; & quia
angulus B E D eſt rectus, erunt duo
514[Figure 514] anguli E B D, E D B æquales vni
recto, & duo A D, B C, æqua-
les ſemicirculo, ergo duæ cordæ eo-
rum in potentia ſunt æquales diame-
tro; ſed duo quadrata A E, D E
æqualia quadrato A D, & duo qua-
drata C E, B E ſunt æqualia qua-
drato C B, ergo quadrata A E, E
B, C E, E D æqualia ſunt quadra-
to diametri; & hoc eſt quod vo-
luimus.
PROPOSITIO XII.
SI fuerit ſemicirculus ſuper diametrum A B, & eductæ fue-
rint ex C duæ lineæ tangentes illum in duobus punctis D,
E, & iunctæ fuerint E A, D B ſe muto ſecantes in F, & iun cta
fuerit C F, & producatur ad G, erit C G perpendicularis ad A B.
Iungamus D A, E B. Et quia,
angulus B D A eſt rectus, erunt duo
515[Figure 515] anguli D A B, D B A reliqui in,
triangulo D A B æquales vni recto,
& angulus A E B rectus, igitur ſunt
æquales ei, & ponamus angulum
F B E communem, ambo anguli D
A B, A B E ſunt æquales F B E,
F B E, immo angulo D F E exter-
no in F B E. Et quia C D eſt tan-
gens circulum, & D B ſecans illum,
angulus C D B æquatur angulo D
A B, & pariter angulus C E F æ-
quatur angulo E B A, ergo duo an-
guli C E F, C D F ſimul æquales
ſunt angulo D F E. Et iam quidem
planum fit ex noſtro tractatu de fi-
guris quadrilateris, quod ſi
443404Archimedis tur inter duas lineas æquales ſibi oc-
516[Figure 516] currentes in aliquo puncto, vti ſunt
duæ lineæ C D, C E, duæ lineæ ſe
mutuo ſecantes, vti ſunt duæ lineæ
D F, E F, & ſuerit angulus ab illis
contentus vt eſt angulus F æqualis
duobus angulis, qui occurrunt dua-
bus [lineis] ſe inuicem ſecanti-
bus, vti ſunt duo anguli E, D ſimul,
erit linea egrediens à puncto con-
curſus ad punctum ſectionis, vti eſt
linea C F æqualis cuilibet linearum
ſibi occurrentium, vt C D, vel C
E, propterea erit C F æqualis ipſi
C D, ergo angulus C F D eſt æqua-
lis angulo C D F, nempe angulo
D A G, ſed angulus C F D cum an-
gulo D F G eſt æqualis duobus re-
ctis, ergo angulus D A G cum angulo D F G æqualis eſt duobus rectis,
& remanent in quadrilatero A D F G duo anguli A D F, A G F æqua-
les duobus rectis, ſed angulus A D B rectus eſt, ergo angulus A G C
eſt rectus, & C G perpendicularis ad A B, & hoc eſt quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.
DIcit Doctor de demonſtratione, quàm citat ex tractatu
de figuris quadrilateris. Sint duæ lineæ æquales ſibi oc-
currentes A B, A C, & punctum concurſus A, & ſe inuicem
ſecantes B D, D C, & punctum ſectionis D, & ſit angulus B
D C æqualis duobus angulis A B D, A C D, & iungamus A
D; Dico quod ſit æqualis A B.
Alioquin vel eſt minor A B, vel maior
517[Figure 517] illa, & ſit maior, & abſcindatur A E æqua-
lis A B, & iungamus B E, ergo duo anguli
A E B, A B E ſunt æquales; ſed angulus
A E B maior eſt angulo A D B, & pariter
angulus A E C, qui eſt æqualis A C E ma-
ior eſt angulo A D C, omnes ergo anguli
B E C, vel duo anguli ſimul A B E, B C E
maiores ſunt duobus angulis A B D, A C
D, pars ſuo toto, quod eſt abſurdum. Dein-
de ſit A D minor quàm A B, & ponamus
A F æqualem A B, & iungamus B F, F C,
remanet, vt dictum eſt, quod angulus
444405Aſſump. Liber. immo duo anguli A B F, A C F minores ſint duobus angulis A B D,
A C D, totum ſua parte, & hoc eſt abſurdum, ergo manet propoſitum.
Notæ in Propoſit. XII.
LEmma aſſumptum in demonſtratione huius pulcherrimæ propoſitionis poteſt
directè oſtendi hac ratione.
Si in quadrilatero A C D B duo latera A C, & A B æqualia fuerint, atque
angulus C D B æqualis duobus angulis C, & B ſimul ſumptis. Dico rectam A
D ipſi A C, vel A B æqualẽ eſſe. Producatur C A, in E, vt A E fiat æqualis
A B, iungaturque B E. Quia in triangulo Iſo-
518[Figure 518] ſcelio B A E angulus E æqualis eſt angulo A B
E, & angulus C D B æqualis eſt duobus angulis
C, & D B A ſimul ſumptis, ergo duo anguli C D
B, & E (oppoſiti in quadrilatero C D B E)
æquales ſunt tribus angulis C, D B A, & A B
E, ſeu duobus angulis C, & D B E, ſed qua-
tuor anguli quadrilateri E C D B æquales ſunt
quatuor rectis, ergo duo anguli oppoſiti E, C D
B duobus rectis æquales ſunt, & propterea qua-
drilaterum ipſum circulo inſcribi poteſt, cuius
circuli centrum erit A, cum tres rectæ lineæ
C A, A B, A E æquales poſitæ ſint, & propte-
rea A D radius quoque circuli erit æqualis ipſi C A.
PROPOSITIO XIII.
SI mutuo ſe ſecent duæ lineæ A B, C D in circulo, & fue-
rit A B diameter illius, at non C D, & educantur ex duo-
bus punctis A, B duæ per-
519[Figure 519] pendiculares ad C D, quæ
ſint A E, B F, vtique ab-
ſcindent ex illa C F, D E
æquales.
Iungamus E B, & educamus
ex I, quod eſt centrum, per-
pendicularem I G ſuper C D,
& producamus eam ad H in E
B. Et quia I G eſt perpendicu-
laris ex centro ad C D illam bi-
fariam diuidet in G, & quia I
G, A E ſunt duæ perpendicu-
lares ſuper illam, erunt
445406Archimedis lelæ, & quia B I æqualis eſt I A, erit B H æqualis ipſi H E, & pro-
pter earum æqualitatem, & quia B F eſt parallela ipſi H G, erit F G
æqualis ipſi G E, & ex G C, G D æqualibus remanent F C, E D æqua-
les. Et hoc eſt quod voluimus.
PROPOSITIO XIV.
SI fuerit A B ſemicirculus, & ex eius diametro A B diſſectæ
ſint A C, B D æquales, & efficiantur ſuper lineas A C,
C D, D B ſemicirculi; & ſit centrum duorum ſemicirculorum
A B, C D punctum E, & ſit E F perpendicularis ſuper A B,
& producatur ad G: vtique circulus, cuius diameter eſt F G
æqualis eſt ſuperficiei contentæ à ſemicirculo maiori, & à duo-
bus ſemicirculis qui ſunt intra illum, & à ſemicirculo medio qui
eſt extra illum, & eſt figura, quam vocat Archimedes Salinon.
520[Figure 520]
Quia D C bifariam ſecatur in E, & addita eſt illi C A, erunt duo
quadrata D A, C A dupla duorum quadratorum D E, E A, ſed F G
æqualis eſt ipſi D A, ergo duo quadrata F G, A C dupla ſunt duorum
quadratorum D E, E A: & quia A B dupla eſt A E, & C D dupla.
quoque E D, erunt duo quadrata A B, D C quadrupla duorum qua-
dratorum D E, E A, immo dupla duorum quadratorum G F, A C ſi-
militer etiam duo circuli, quorum diametri ſunt A B, D C dupli ſunt
eorum, quorum diametri ſunt G F, A C, & dimidij eorum, quorum,
diametri ſunt A B, C D æquales duobus circulis, quorum diametri ſunt
G F, A C, ſed circulus, cuius diameter A C, eſt æqualis duobus
446407Aſſumpt. Liber. micirculis A C, B D, ergo ſi auferamus ex illis duos ſemicirculos A C,
B D, qui ſunt communes, remanet figura contenta à quatuor ſemicircu-
lis A B, C D, D B, A C, (quæ ea eſt, quàm vocat Archimedes Sali-
non) æqualis circulo, cuius diameter eſt F G, & hoc eſt quod voluimus.
PROPOSITIO XV.
SI fuerit A B ſemicirculus, & A C corda Pentagoni, & ſe-
miſſis arcus A C ſit A D, iungatur C D, & producatur
vt cadat ſuper E, & iungatur D B, quæ ſecet C A in F, &
ducatur ex F perpendicularis F G ſuper A B, erit linea E G
æqualis ſemidiametro circuli.
521[Figure 521]
Iungamus itaque lineam C B, & ſit centrum H, & iungamus H D,
D G, & A D. Et quia angulus A B C, cuius baſis eſt latus Pentagoni,
eſt duæ quintæ partes recti, quilibet duorum angulorum C B D, D B
A eſt quinta pars recti, & angulus D H A duplus eſt anguli D B H,
ergo angulus D H A eſt duæ quinte partes recti. Et quia in duobus trian-
gulis C B F, G B F duo anguli B ſunt æquales, & G, C recti, & latus
F B commune, erit B C æquale ipſi B G: & quia in duobus triangulis
C B D, G B D duo latera C B, B G ſunt æqualia, & ſimiliter duo an-
guli ad B, & latus B D commune, erunt duo anguli B C D, B G D
æquales, & quilibet eorum eſt ſex quintæ partes recti, & eſt æqualis an-
gulo D A E externo quadrilateri B A D C, quod eſt in circulo, ergo
remanet angulus D A B æqualis angulo D G A, & erit D A æqualis ip-
ſi D G. Et quia angulus D H G eſt duæ quintæ partes recti, & angulus
D G H ſex quintæ partes recti, remanet angulus H D G duæ quintæ par-
tes recti, & erit D G æqualis G H. Et quia A D E externus quadrila-
teri A D C B, quod eſt in circulo, eſt æqualis angulo C B A, &
447408Archimedis duæ quintæ partes recti, & æqualis angulo G D H. Et quia in duobus
triangulis E D A, H D G ſunt duo anguli E D A, H D G æquales, &
pariter duo anguli D G H, D A E, & duo latera D A, D G, erit E A
æquale H G, & ponamus A G commune, erit E G æquale A H, &
hoc eſt quod voluimus.
522[Figure 522]
Et hinc patet, quod linea D E æqualis ſit ſemidiametro circuli, quia
angulus A æqualis eſt angulo D G H, ideo erit linea D H æqualis li-
neæ D E. Et dico quod E C diuiditur media, & extrema proportione
in D, & maius ſegmentum eſt D E; & hoc quia E D eſt corda hexago-
ni, & D C decagoni, & hoc iam demonſtratum eſt in libro elemento-
rum, & hoc eſt quod voluimus.
11Impie vt
Mahume-
tanus Para
phraſtes
loquitur.
Finis libri Aſſumptorum Archimedis. Laus Deo ſoli, & orationes eius
ſint ſuper Dominum noſtrum Mahometum, & ſuos ſocios.
Notæ in Propoſit. XV.
EX hac propoſitione non pauca colligi poſſunt; Si enim coniungantur rectæ
lineæ C H, & C G, erit triangulum B C E iſoſcelium ſimile triangulo
H D E, & ſimiliter poſitum; pariterque triangulum H C G ſimile quidem
erit ipſi G D A, & in vtriſque baſes ſimiliter ſecantur, nam angulus B C E
in tres partes æquales diuiditur à rectis lineis H C, & G C, quarum quæli-
bet duæ quintæ partes eſt vnius recti, atque angulus E C G rurſus bifariam
diuiditur à recta C A: non ſecus tres anguli E D A, A D G, & G D H
æquales ſunt inter ſe, atque quilibet eorum duæ quintæ vnius recti. Et effi-
ciuntur quatuor rectæ lineæ E A, A D, D G, D C, inter ſe, & lateri de-
cagoni regularis circulo inſcripti æquales. Pari modo rectæ lineæ E D, E G,
G C, H C, H A, æquales ſunt inter ſe, & lateri hexagoni regularis circulo
inſcripti. Tandem recta linea C B ſubtendens tres partes decimas circumfe-
rentiæ totius circuli æqualis eſt rectæ lineæ C E, ſcilicet compoſitæ ex latere
hexagoni, & latere decagoni regularium eidem circulo incſriptorum.
448409Aſſumpt. Liber. recta linea E G ſecatur in A extrema, ac media ratione, cuius maius ſegmen-
tum eſt E A latus decagoni, & recta A H ſimiliter diuiditur in G, cuius ma-
ius ſegmentum eſt G H decagoni latus, & tota E H ſecatur in A, & G ex-
trema, ac media ratione, pariterque recta E B ſimiliter ſecatur in H, cuius
523[Figure 523] minus ſegmentum H B eſt æquale lateri exagoni circulo inſcripti. Breuius ta-
men propoſitio ſic demonſtrari poſſet.
Quia oſtenſa eſt C D æqualis D G, & A D æqualis eſt eidem D C; cum
ambo ſint latera decagoni, ergo D G æqualis eſt D A. Poſtea iuncta A C, quid
angulus A H D, vel C H D quinta pars eſt duorum rectorum, ergo angulus
C D H ad baſim iſoſcelij, duæ quintæ partes erit duorum rectorum, & ideo an-
gulus C D H duplus erit anguli D H E, eſtque externus angulus C D H æqua-
lis duobus internis, & oppoſitis D H E, & D E H in triangulo D E H, ergo
angulus C D H duplus quoque erit reliqui anguli E, & propterea angulus D
H E æqualis erit angulo E, & ſubtenſa latera D E, D H æqualia quoque erunt,
ſed prius D A, D G æqualia erant ſubtendentia angulos æquales, & reliqui
anguli eiuſdem ſpeciei ſunt, igitur E A æqualis eſt H G. Reliqua manifeſta
ſunt.
In præfatione huius operis memini non eße omnino improbabile hunc libellum
Archimedis non alium fuiſſe ab illo antiquo lemmatum libro ab Eutocio reper-
to, quod præcipuè ex verbis eiuſdem Eutocij in Comment. propoſit. 4. lib. 2. de
Sphæra, & Cylindro comprobatum fuit: illa fideliſſimè translata ex textu Græco ab
amicis doctiſſimis cum iam in præfatione excuſa eßent aliam tranſlationem ex
Arabico Manuſcripto Sereniſſimi Magni Ducis miſit Excell. Abrahamus Ecchel-
lenſis deſumptam ex editione Abuſahli Alkuhi qui pariter librum ordinatio-
nis lemmatum Archimedis conſcripſit, vt in proemio huius operis teſtatur
Almochtaſſo. Verba eius ſunt hæc, quæ paulo clarius propoſitum confirmare vi-
dentur: & meminit Eutocius Aſcalonita in Comment. huius libri, quod
Archimedes promiſerit demonſtrationem huius in hoc ſuo libro, quod
in nullo exemplari reperitur, quod promiſit. Atque ita vnuſquiſque tam
Dyoniſodorus, quàm Diocles poſt illum progreſſus eſt per aliam viam,
quàm ille (ſcilicet Archimedes) in hoc libro in diuiſione Sphæræ in
duas partes, quæ datam habeant proportionem. Dixit, & ego reperi
449410Archimedis Veteri Libro Theoremata ſatis obſcura propter multitudinem errorum,
qui in eo ſunt, nec non menda, quæ occurrunt in figuris propter igno-
rantiam amanuenſium, erantque in co Doricæ dictiones, quarum vſus
Archimedi familiaris erat, & vocabula ipſi propria; hinc vtebatur loco
ſectionum parabolæ, & hyperbolæ, rectanguli, & obtuſanguli coni ſe-
ctionibus quamobrem operam ipſi nauaui, donec aſſecutus ſum iſtam
propoſitionem, & eſt iſta, & c.
Modo quia in prædicto libro antiquo ab Eutocio reperto recenſentur duæ pro-
poſitiones, quarum vnam promiſerat ſe demonſtraturum Archimedes, & vtra-
que in noſtro opuſculo iniuria temporum deficit: earum altera forſan erit 16.
illa propoſitio in proemio ab Almochtaßo numerata vbi ait propoſitiones huius
opuſculi ſexdecim eſſe, cum tamen poſtrema ſit 15. quare inutile forſan non
erit eas hic reponere, præcipuè quia Eutocius non rite eas reſtituit, nec omninò
repurgauit à mendis, quibus ſcatebat exemplar antiquum ab ipſo inuentum. Et
primo noto, quod Eutocius eas vocat theoremata, cum potius problemata ſint, &
ſic etiam ab eodem Eutocio poſtmodum appellantur. Forſan hoc accidit, quia
in libro illo antiquo in formam theorematum ſcripta erant, ſed Eutocius vt ad
propoſitionem Archimedis ea accomodaret, forma problematica ea expoſuit.
Rurſus Eutocius primum theorema ſe expoſiturum pollicetur, vt deinde analyſi
problematis Archimedei accomodetur. Vnde conijcere licet alterum theorema
additum, vel alteratum ab Eutocio, vel ab aliquo alio fuiſſe, in quo proponit,
quod, ſi aliqua recta linea ſecta ſit in duo ſegmenta, quorum vnum duplum
ſit alterius, ſolidum parallelepipedum rectangulum contentum ſub quadrato ma-
ioris, & ſub minore ſegmento maximum erit omnium ſimilium ſolidorum, quæ
ex diuiſione eiuſdem rectæ lineæ in quolibet alio eius puncto conſurgunt. Et
hoc quidem oſtenditur per ſectiones conicas, contra artis præcepta; peccatum
enim eſt non paruum apud Geometras, problema planum per conicas ſectiones
reſoluere cum via plana abſolui poſſit, hoc autem preclari nonnulli viri pariter
adnotarunt, & præſtiterunt, vt nuper accepi.
PROPOSITIO XVI.
SI recta linea A B ſit tripla A C, non vero tripla ipſius A
D; Dico parallelepipedum rectangulũ contentum ſub qua-
drato C B in A C maius eſſe parallelepipedo ſub quadrato D
B in A D.
Producatur A B in E, vt ſit B E æqualis B C. Quoniam B C dupla
erat ipſius A C, erit E C quadrupla ipſius A C, & propterea rectan-
gulum A C E æquale erit quadruplo quadrati A C, ſcilicet æquale erit
quadrato C B: Eſt vero in primo caſu, rectangulum A D E maius re-
ctangulo A C E, in ſecundo vero minus, (eo quod punctum D in pri-
mo caſu propinquius eſt ſemipartitioni totius A E, quàm C, in ſecuudo
verò remotius); igitur ſi fiat C D ad D O, vt quadratum C B ad
450411Aſſumpt. Liber. gulum A D E, erit in primo caſu D O maior, quàm C D, in ſecundo
vero minor; & propterea A O minor erit, quàm A C in vtroque caſu.
Et quia quadratum C B ad rectangulum A D E eſt vt C D ad D O, igi-
tur ſolida parallelepipeda reciproca erunt æqualia, ſcilicet ſolidum qua-
524[Figure 524] drato C B in D O ducto æquale erit ſolido, cuius baſis rectangulum A
D E, altitudo vero C D, ſeu potius æquale erit ſolido, cuius baſis re-
ctangulum E D C, altitudo vero A D, & propterea vt quadratum B C
ad rectangulum E D C, ita erit reciproce A D ad D O, & comparando
antecedentes ad terminorum differentias in primo caſu, & ad eorundem
ſummas in ſecundo caſu, erit quadratum B C ad quadratum D B vt A
D ad A O, & denuo ſolidum parallelepipedum rectangulum contentum
ſub quadrato B C in A O æquale erit ei, cuius baſis quadratum D B,
altitudo vero A D: Eſt vero A O oſtenſa minor, quàm A C in vtroque
caſu, igitur parallelepipedum, cuius baſis quadratum B C, altitudo A
C maius eſt eo, cuius baſis eſt idem quadratum B C, altitudo A O;
ideoque parallelepipedum, cuius baſis quadratum B C, altitudo A C
maius eſt quolibet parallelepipedo, cuius baſis quadratum B D, altitudo
A D: quare patet propoſitum.
PROPOSITIO XVII.
SIt A B tripla ipſius A E, maior vero quàm tripla alterius C A,
ſecari debet eadem A B citra, & vltra E, in O, ita vt
parallelepipedum, cuius baſis quadratum O B, altitudo O A
æquale ſit parallelepipedo, cuius baſis quadratum E B, altitu-
do A C.
Fiat rectangulum A C B F, & producantur latera C A, F B, & fiat
rectangulum C F N æquale quadrato E B, & ducta diametro C E G
451412Archimedis pleantur parallelogramma rectangula A L, A K, L B, B K, atque axe
11Prop. 52.
lib. 1. F G, latere recto F N deſcribatur parabole F M ſecans H G in M; erit
igitur in parabola quadratum M G æquale rectangulo G F N ſub abſciſ-
22Prop. 11.
lib. 1. ſa, & latere recto contento, ideoque idem quadratum F G ad rectangu-
lum N F G, atque ad quadratum M G eandem proportionem habebit:
eſt vero quadratum F G ad rectangulum N F G, vt F G ad F N, cum
525[Figure 525] F G ſit illorum altitudo communis, nec non vt C F G ad C F N ſum-
pta nimirum C F communi altitudine, ergo rectangulum C F G ad C
F N eandem proportionem habebit, quam quadratum F G ad quadra-
tum M G, & permutando rectangulum C F G ad quadratum F G erit
vt rectangulum C F N ad quadratum G M, ſed vt rectangulum C F G
ad quadratum F G, ita eſt C F ad F G, & E A ad A C, igitur E A ad
A C erit vt rectangulum C F N ad quadratum G M, ſeu vt quadratum
E B, vel K G ad quadratum G M: eſt vero A C minor, quàm A E,
quæ triens eſt totius A B, igitur M G minor eſt, quàm G K. Poſtea
per B circa aſymptotos A C F deſcribatur hyperbole B K, quæ tran-
33Prop. 4. &
12. lib. 2. ſibit per punctum K, cum parallelogramma A F, & C K æqualia
ſint propter diagonalem C E G, quare punctum M paraboles cadet
intra hyperbolem B K, ſed parabole F M occurrit aſymptoto C F in ver-
tice F, & occurrit etiam aſymptoto C A in aliquo alio puncto, cum C
A ſit parallela axi F G paraboles, & hyperbole ſemper intra aſymptotos
44Prop. 26.
lib. 1. incedat, igitur parabola F M bis hyperbolæ occurrit ſupra, & inſra pun-
55ex 1. & 2.
lib. 2. ctum M: ſint occurſus X, à quibus ductis parallelis ad aſymptotos com-
pleantur parallelogramma R P, & A F, quæ erunt æqualia inter aſym-
ptotos, & hyperbolen conſtituta, & propterea C O S parallelogrammo-
66Prop. 12.
lib. 2. rum diameter erit, & vna linca recta: & quia O A ad A C eſt vt C F
ad F S, ſiue vt rectangulum C F N ad rectangulum S F N: erat autem
quadratum E B æquale rectangulo C F N ex conſtructione, &
452413Aſſumpt. Liber. tũ O B, ſiue X S in parabola
526[Figure 526]11Prop. 11.
lib. 1. æquale eſt rectangulo S FN,
ergo AO ad A C eſt vt qua-
dratum E B ad quadratum
O B, & propterea parallele-
pipedum, cuius baſis quadra-
tum O B, altitudo O A æ-
quale erit parallelepipedo ba-
ſe quadrato E B, altitudine
A C contento, quod erat
propoſitum.
Ex hiſce propoſitionibus de-
ducit inſuper Eutocius aliqua,
quæ non omnino firma, & cer-
ta mihi videntur, nam ex eo
quod recta linea vt I X tangit
vtramq; coniſectionem (hyper-
bolen ſcilicet B X, & parabo-
len F X) in eodem puncto X
concludit hyperbolen interius
contingere parabolen quàm de-
inceps non ſecat ad eaſdem par-
tes axis illius. Hoc autem omnino
neceſſarium nõ eſt ex demonſtra-
tis à me in prop. 20. 21. &
22. Adàit. lib. 6. Apoll. fieri
enim poteſt vt Parabole exte-
rius hyperbolen tangat in X, &
poſtea hinc inde eam ſecet. Poteſt inſuper hyperbole ſecare eandem parabolam
in eodem puncto X, licet ambo in eodem puncto tangantur ab aliqua recta li-
nea, vt eſt I X; quod quidem adnotaſſe fuit operepretium.
FINIS.
453414
Dominus Carolus de Datis videat, & referat an in hoc opere ſit aliquid quod repugnet
# fidei Catholicæ, & bonis moribus. Die 3. Iulij 1660.
Vinc. de Bardis Vicar. Gener. Florent.
Illuſtriſſime, ac Reuerendiſs, Dom.
Vidi hæc antiquorum, maximorumq; Geometrarum Apollonij, atq; Archimedis Ope-
# ra nunquam edita, nec in ijs reperi aliquid fidei Catholicæ, & bonis moribus aduer-
# ſum; Quamobrem maximo Reip. literariæ bono, & gloria eorum qui in ijs vertendis,
# atq; illuſtrandis ſtudium, atque operam feliciſsimè collocarunt euulganda cenſeo:
# dummodo quædam loca notentur Arabicorum interpretum, quibus Maumedanos
# ſe præbent. Florentiæ die 7. Iulij 1660.
Carolus Dati manupropria.
Imprimatur ſeruatis ſeruandis 7. Iulij 1660.
Vinc. d. Bardis Vicar. Gener. Flor.
Excellentiſs. Aduocatus Dominus Auguſtinus Coltellini S. Offic. Florentiæ Conſultor
# videat hoc opus intitulatum APOLLONII PERGÆI, & c. & referat.
# Die 7. Iulij 1660.
Fr. Ang. Octau. de Populo S. Offic. Flor. Canc. de mand.
Reuerendiſs. Pater Domine.
Duorum Geometriæ luminum monumenta, quæ diu in tenebris ſepulta, adeò ſtudio-
# ſorum oculos latuerunt, vt inter deperdita fruſtra deſiderarentur, & nunc Opera
# Clariſs. Virorum, verſa, & illuſtrata in lucem prodeunt remoranda non puto; cum
# etſi Ethnico fonte cadant, nihil tamen (ſalutaribus monitis Arabica interpretum ſu-
# perſtitione detecta) aduerſus Chriſtianam pietatem contineant.
August. Coltellini S. Officij Conſultor, & librorum cenſor.
Stante ſupradicta atteſtatione Imprimatur. Die 16. Iulij 1660.
Fr. Ang. Octau. de Populo S. Off. Florent. Cancell. demand.
Alexander Victorius Senator Sereniſs. MagniDucis Auditor.
REGISTRVM.
* ** *** **** ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVXYZ
Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr Sſ Tt Vu Xx Yy Zz
Aaa Bbb Ccc Ddd Eee Fff
Omnes ſunt duerni, excepto * qui eſt ternus.
454415Erraca præcipua ſic corrige.
PAgina 7. linea 27. ad margine. prop. 1. huius. pag. 14. lin. 4. ad differentiam. p. 24. 1. 21. marg. prop.
2. addit. p. 31. 1. 27. marg. in lib. 1. lin. 34. & B A. lin. 40. I D, D K. p. 32. 1. 15. & D H. p. 36.
1. 21. figuræ) p. 40. 1. 17. (53. ex 5. ) 1. 33. intercipiuntur, & . 1. 38. ergo C A. p. 46. 1. 5. ita inquam. p. 49.
1. 35. componebatur inſuper. p. 50. 1. 46. B G b, & d e b. p. 56. 1. 15. marg. 4. & 13. 1. 48. pariterque L D.
p. 62. 1. 7. ſit D A. p. 70. 1. 14. marg. 56. 57. lib. 1. & 30. lib. 2. p. 72. 1. 12. maior quam. p. 73. 1. 13. mar.
33. 34. lib. 1. p. 78. 1. 4. reddantur, & textus. p. 86. 1. 17. appliceturque recta. p. 96. 1. 7. ſuper bipartitio-
nem axis. p. 99. 1. 11. ex vero P F minor quam D P. 1. 44. legi 44. 45. in qua. p. 109. 1. 20. dele poſtillam.
p. 110. 1. 31. marg. appone d. p. 111. 1. 31. aut minor angulo. p. 129. 1. 35. & inuertendo. ibidem marg.
10. hui. p. 130. 1. 26. dele omnia ab O G víq; ad comparando. p. 138. 1. 8. oppoſita. p. 139. 1. 18. mar. d.
p. 141. 1. 8. mar. 14. lib. 1. p. 146. 1. 18. mar. 12. 13. lib. 1. p. 151. 1. 18. mar. 8. & 11. addit. lib. 5. 1. 19.
M L, & R L. 1. 22. œqualibus axium. p. 161. 1. 13. ductam in hyperbola) p. 168. 1. 30. quod eſt. p. 172.
1. 29. ſed in primo caſu recta linea. 1. 30. baſim F I. ibid. puncta I. & F; nec F I ſecat bifariam ſubtenſas G
E, M K; propterea. p. 175. 1. 26. mar. a. 1. 35. ad duas. p. 176. 1. 15. mar. d. p. 183. 1. 1. mar. d. p. 189.
1. 29. mar. lemma 7. 1. 47. applicatæ. p. 190. 1. 8. mar. prop. 2. præmiſ. p. 193. 1. 6. XX. XXI. XXII. XXIII.
XXIV. p. 196. 1. 25. nempe X a. p. 197. 1. 29. ad L P. p. 202. 1. 23. mar. 18. huius. p. 207. 1. 6. quod.
1. 33. mar. a. p. 213. 1. 11. hyperbolen E Z. p. 214. 1. 38. mar. ex 20. huius. p. 217. 1. 21. ideoque ei æqualis
omnino erit. Simili ratiocinio oſtendetur quælibet alia intercepta K L æquidiſtans. p. 223. 1. 6. mar. Schol. prop.
6. addit. p. 228. 1. 18. ergo comparando homologorum differentias. ibid. mar. lem. 3. lib. 1. p. 233. 1. 4. mar.
prop. 7. & ex 8. addit. p. 235. 1. 37. hyperbolen H I K. p. 240. 1. 3. mar. f. p. 244. 1. 14. & I F R, ſeu H F
N, & I F S. p. 248. 1. 35. ſit ſectio. p. 250. 1. 4. quod L O. p. 256. 1. 12. parallela. p. 259. 1. 12. quàm A
C. p. 260. 1. 16. per eundem. p. 262. 1. 1. eandem. 1. 4. A D, & 1. 41. & eam, quæ. p. 264. 1. 13. ſecabit
rectam. p. 268. 1. 22. conus E A C. p. 269. 1. 8. mar. ex prop. 5. lib. 1. 1. 9. 10. 20. expunge recto. 1. 15. ſectio-
nis F A G. p. 275. 1. 10. rectangulo A D F. p. 280. 1. 14. G E A eandem. p. 291. 1. 3. XXIX. XXVII.
p. 298. 1. 6. XXIIX. XXVI. p. 303. 1. 16. . erectum. p. 306. 1. 23. ad perfectionem prop. 26. p. 313. 1. 7. mar.
prop. 26. huius. p. 318. 1. 25. quàm G H E ad E H, & (quando G cadit inter E, & H), multo maiorem
quàm G E. p. 319. 1. 17. E H ab ipſo quadrato G E. p. 321. 1. 9. quadrato E G. 1. 11. XXXV. XXXVI,
p. 323. 1. 2. diametri ad eaſdem partes. p. 325. 1. 7. 21. & 23. (16. ex. 7.) p. 326. 1. 11. quæ eſt dupla.
1. 14. M E ad. 1. 20. (16. ex 7.) p. 327. quàm D H A ad A H, & in primo caſu multo maiorem, quàm,
p. 328. 1. 33. latus C O. p. 329. 1. 22. quàm E D O in O E. p. 331. 1. 27. vt axis tranſuerſus A C. p. 335.
1. 7. ipſius P R ſupra P Q. 1. 11. aggregati M G, H E. p. 338. 1. 18. G E, & E H. p. 341. 1. 3. axis tranſuerſi
C A. p. 343. 1. 9. mar. dele b. p. 344. 1. 7. mar. b. p. 346. 1. 15. mar. c. p. 347. 1. 7. ad quadratum Q P R,
& . p. 350. 1. 13. O H, & G E. p. 356. 1. 14. mar. lem. 15. p. 386. 1. 31. mar. lib. 4. Coll. prop. 14. p. 391.
1. 9. mar. lib. 4. Coll. prop. 13. p. 392. 1. 15. quæ erit. p. 404. 1. 37. A B E, A C E.
Errata in figuris.
Pag. 12. in eius figura deeſt recta N Q, & D terminus axis. pag. 22. fig. 1. deeſt recta I N. pag. 30. in
parabola decſt N in occurſu B F, G H. pag. 37. deeſt P in puncto incidentiæ perpendicularis à
puncto 1 ſuper S K. pag. 46. deeſt A in vertice axis. pag. 93. deeſt recta L O. pag. 112. in tribus
ſequentibus figuris deeſt ramus I B. pag. 213. fig. 1. litteræ C, Q commutari debent. pag. 240.
fig. 2. & pag. 246. producantur F L, H I ad K. pag. 268. fig. 2. linea curua A Z duci debet inter
A G, & A D. pag. 368. fig. 3. in puncto I ponatur X.
455
[Empty page]
456
[Empty page]
457
[Empty page]