Angeli, Stefano, Miscellaneum hyperbolicum et parabolicum : in quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est, parabola nouiter quadratur dupliciter, ducuntur infinitarum parabolarum tangentes, assignantur maxima inscriptibilia, minimaque circumscriptibilia infinitis parabolis, conoidibus ac semifusis parabolicis aliaque geometrica noua exponuntur scitu digna, 1659

Bibliographic information

Author: Angeli, Stefano
Title: Miscellaneum hyperbolicum et parabolicum : in quo praecipue agitur de centris grauitatis hyperbolae, partium eiusdem, atque nonnullorum solidorum, de quibus nunquam geometria locuta est, parabola nouiter quadratur dupliciter, ducuntur infinitarum parabolarum tangentes, assignantur maxima inscriptibilia, minimaque circumscriptibilia infinitis parabolis, conoidibus ac semifusis parabolicis aliaque geometrica noua exponuntur scitu digna
Year: 1659
City: Venetiis
Publisher: La Noù
Number of Pages: [4] Bl., 215 S. : graph. Darst.

Permanent URL

Document ID: MPIWG:VKZ6UHU5
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:VKZ6UHU5

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
Table of contents
1. Page: 0
2. MISCELL ANEVM HYPERBOLICVM, ET PARABOLICVM. IN QVO PRÆCIPVE AGITVR DE CENTRIS Grauitatis Hyperbolæ, partium eiuſdem, Atque nonnullorum ſolidorum, de quibus nunquam Geometria locuta eſt. Parabola nouiter quadratur dupliciter. Ducuntur infinitarum parabolarum tangentes. Aſſignantur maxima inſcriptibilia, minimaque circumſcriptibilia Infinitis Parabolis, Conoidibus, ac ſemifuſis parabolicis. Aliaque Geometrica noua exponuntur ſcitu digna. AVTHORE F. STEPHANODE ANGELIS VENETO, Ordinis Ieſuatorum S. HIERONY MI, in Veneta Prouincia Definitore Prouinciali. AD ILLVSTRISSIMOS, ET SAPIENTISSIMOS SENATVS BONONIENSIS QVINQVAGINTA VIROS. Page: 5
3. VENETIIS, MD CLIX. Apud Ioannem La Noù. SVPERIORVM PERMISSV. Page: 5
4. Illuſtriſſimis, & Sapientiſſimis BONONIENSIS SENATVS QVINQVAGINTA VIRIS Dominis Colendiſſimis. F. STEPHANVS ANGELI VENETVS Ord. leſuatorum S. Hieronymi, ac in Prouincia Veneta Prouincialis Definitor P.P.P. Page: 7
5. LECTORI BENEVOLO. Page: 10
6. Noi Reformatori dello Studio di Padoa. Page: 12
7. MISCELLANEVM HYPERBOLICVM, PARABOLICVMQVE. Page: 13
8. PROPOSITIO PRIMA. Page: 15
9. PROPOSITIO II. Page: 17
10. PROPOSITIO III. Page: 18
11. PROPOSITIO IV. Page: 19
12. SCHOLIVM I. Page: 22
13. SCHOLIVM II. Page: 22
14. PROPOSITIO V. Page: 24
15. PROPOSITIO VI. Page: 27
16. SCHOLIV M. Page: 28
17. PROPOSITIO VII. Page: 30
18. PROPOSITIO VIII. Page: 32
19. PROPOSITIO IX. Page: 35
20. PROPOSITIO X. Page: 35
21. SCHOLIVM I. Page: 38
22. SCHOLIVM II. Page: 38
23. SCHOLIVM III. Page: 40
24. PROPOSITIO XI. Page: 41
25. PROPOSITIO XII. Page: 43
26. SCHOLIVM. Page: 45
27. PROPOSITIO XIII. Page: 45
28. SCHOLIV M. Page: 47
29. PROPOSITIO XIV. Page: 49
30. SCHOLIV M. Page: 50
31. PROPOSITIO XV. Page: 51
32. SCHOLIVM. Page: 57
33. PROPOSITIO XVI. Page: 59
34. SCHOLIVM. Page: 62
35. PROPOSITIO XVII. Segmenti fupradicti conoidis hyperbolici centrum grauitatis reperire. Page: 62
36. SCHOLIVM. Page: 64
37. PROPOSITIO XVIII. Page: 64
38. SCHOLIVM I. Page: 67
39. SCHOLIVM II. Page: 67
40. SCHOLIVM III. Page: 69
41. PROPOSITIO XIX. Page: 69
42. SCHOLIVM I. Page: 70
43. SCHOLIVM II. Page: 71
44. PROPOSITIO XX. Page: 72
45. SCHOLIVM. Page: 74
46. PROPOSITIO XXI. Page: 76
47. PROPOSITIO XXII. Page: 78
48. SCHOLIVMI. Page: 80
49. SCHOLIVM II. Page: 82
50. PROPOSITIO XXIII. Page: 85
51. PROPOSITIO XXIV. Page: 86
52. PROPOSITIO XXV. Page: 86
53. PROPOSITIO XXVI. Page: 88
54. SCHOLIVM I. Page: 91
55. SCHOLIVM II. Page: 93
56. SCHOLIVM III. Page: 98
57. PROPOSITIO XXVII. Page: 99
58. ALITER. Page: 101
59. PROPOSITIO XXVIII. Page: 102
60. SCHOLIVMI. Page: 104
61. SCHOLIVM II. Page: 104
62. PROPOSITIO XXIX. Page: 107
63. SCHOLIV M. Page: 109
64. PROPOSITIO XXX. Page: 125
65. SCHOLIVM I. Page: 128
66. SCHOLIVM II. Page: 129
67. PROPOSITIO XXXI. Semifuſi parabolici cuiuſcunque, centrum grauitatis reperire. Page: 131
68. SCHOLIVM. Page: 135
69. PROPOSITIO XXXII. Page: 138
70. SCHOLIV M. Page: 140
71. PROPOSITIO XXXIII. Page: 140
72. SCHOLIVM. Page: 142
73. PROPOSITIO XXXIV. Page: 145
74. SCHOLIVM. Page: 146
75. PROPOSITIO XXXV. Page: 148
76. SCHOLIVM. Page: 148
77. PROPOSITIO XXXVI. Page: 149
78. SCHOLIVM. Page: 150
79. PROPOSITIO XXXVII. Page: 151
80. SCHOLIVM. Page: 155
81. PROPOSITIO XXXVIII. Page: 156
82. PROPOSITIO XXXIX. Page: 160
83. PROPOSITIO XL. Page: 160
84. SCHOLIVM. Page: 161
85. PROPOSITIO XLI. Page: 165
86. SCHOLIVM. Page: 167
87. PROPOSITIO XLII. Page: 167
88. SCHOLIVM. Page: 168
89. PROPOSITIO XLIII. Page: 169
90. PROPOSITIO XLIV. Page: 170
91. SCHOLIVM. Page: 171
92. PROPOSITIO XLV. Page: 171
93. SCHOLIVM I. Page: 174
94. SCHOLIVM II. Page: 174
95. PROPOSITIO XLVI. Page: 176
96. PROPOSITIO XLVII. Page: 177
97. SCHOLIVM. Page: 179
98. PROPOSITIO XLVIII. Page: 180
99. SCHOLIVM I. Page: 182
100. SCHOLIVM II. Page: 184
101. PROPOSITIO XLIX. Page: 187
102. SCHOLIVM. Page: 189
103. PROPOSITIO L. Page: 191
104. SCHOLIV M. Page: 193
105. PROPOSITIO LI. Page: 195
106. SCHOLIVM. Page: 196
107. PROPOSITIO LII. Page: 196
108. SCHOLIVM. Page: 197
109. PROPOSITIO LIII. Page: 198
110. PROPOSITIO LIV. Page: 199
111. SCHOLIVM I. Page: 200
112. SCHOLIVM II. Page: 201
113. PROPOSITIOLV. Page: 201
114. PROPOSITIOLVI. Page: 202
115. PROPOSITIO LVII. Page: 203
116. PROPOSITIO LVIII. Page: 204
117. SCHOLIVM. Page: 205
118. PROPOSITIO LIX. Page: 206
119. PROPOSITIO LX. Page: 206
120. PROPOSITIO LXI. Page: 207
121. SCHOLIVM. Page: 208
122. PROPOSITIO LXII. Page: 209
123. SCHOLIV M. Page: 211
124. PROPOSITIO LXIII. Page: 211
125. SCHOLIV M. Page: 212
126. PROPOSITIO LXIV. Page: 213
127. SCHOLIVM. Page: 217
128. PROPOSITIO LXV. Page: 217
129. SCHOLIVM. Page: 220
130. PROPOSITIO LXVI. Page: 221
131. SCHOLIVM. Page: 226
132. FINIS. Page: 227
1
[Empty page]
211[Handwritten note 1]22[Handwritten note 2]
3
[Empty page]
4
[Empty page]
5
MISCELL ANEVM
HYPERBOLICVM,
ET PARABOLICVM.
IN QVO PRÆCIPVE AGITVR DE CENTRIS
Grauitatis Hyperbolæ, partium eiuſdem,
Atque nonnullorum ſolidorum, de quibus nunquam Geometria locuta eſt.
Parabola nouiter quadratur dupliciter.
Ducuntur infinitarum parabolarum tangentes.
Aſſignantur maxima inſcriptibilia, minimaque circumſcriptibilia
Infinitis Parabolis, Conoidibus, ac ſemifuſis parabolicis.
Aliaque Geometrica noua exponuntur ſcitu digna.
AVTHORE
F. STEPHANODE ANGELIS
VENETO,
Ordinis Ieſuatorum S. HIERONY MI, in Veneta
Prouincia Definitore Prouinciali.
AD ILLVSTRISSIMOS, ET SAPIENTISSIMOS
SENATVS BONONIENSIS
QVINQVAGINTA VIROS.
1[Figure 1]
VENETIIS, MD CLIX.
Apud Ioannem La Noù.
SVPERIORVM PERMISSV.
633[Handwritten note 3]44[Handwritten note 4]55[Handwritten note 5]
7 2[Figure 2]
Illuſtriſſimis, & Sapientiſſimis
BONONIENSIS SENATVS
QVINQVAGINTA VIRIS
Dominis Colendiſſimis.
F. STEPHANVS ANGELI VENETVS
Ord. leſuatorum S. Hieronymi, ac in Prouincia
Veneta Prouincialis Definitor P.P.P.
EA Virtutis est vis (Illustri ſsimi &
Saptentiſſimi DD.) , ac ſolertiſſima
indo´es, vt an mum ſuauitèr imbuat,
diſcipliniſq; velutitemper amento per-
optimo, iucundè componat, & inſtruat.
Quod viuere eſt corpori, id menti prę ſtat
ſcire excellentiùs; namq̀; veluti Prome-
thei inanis ſtatua homo degeret, ſi à ſcientiarum radio fęlici-
tèr non excitaretur ad vitam. Id docuit Apollinis lyra, quę
lapidem quondam dulciſona fecit carmina reddentem, vitales
indidit auras, & voces, cum in reliquis grauit aret inanimis,
at q́; imè tenderet in centrum. Explicet proſperè plumas
Dedalus, iungat bumeris alas, ſe ſelibret in aera, caſus fu-
giat crudelitatis deludens ingenium; animus verè tunc petit
æthera, cum ſapientiæ adiumento fulcitur, ſcientiarumq́;
8 acumine euadit nuperus Phęnix, vt vires ſumat ad ten-
tanda ſydera. Deniq; volitabit mens incunctanter vbi
ſtudij artificium acceßerit, idq́; robur mutuabit à ſcientia,
quod ab Archytę curaretulit lignea olim columba, cui pennas
fabrefacere ad volatum, opificis ſors fuit, & elucubratio
valdè diligens. Ita est; ſi viuat corpus, àt rude extet in
genium, minimè dicendum, quod viuat homo, qui ſolum vt
intelligat viuit, opuſq́; intelligentiæ exercendo ab animan-
tibus cęteris ſecernitur. Natura greſſum dat pedibus vt cir-
cumcurſent per orbem; verùm, vt mens euebatur, virtus
eſt, quæ capiti iungit adminicula; ideo Mercurius Scientia-
rum Numen, & Pręſes, ceruicem, at q́; plant as iurè implicat
alis. Ergo ſi maxima debemus naturæ, cuius ope morituri
viuimus, potiora ſcientiæ inſcribenda, qua rectè, qua ſa-
pientèr, qua vtilitèr, qua decorè, qua perennitèr viuimus.
Flla nos incunabulis, veluti carceri faſcijs adſtrictos, addicit;
hęc perennitati generosè fouet. Flla ab vtero in ærumnoſam
vitam; hęc in gloriæ Capitoliumeducit. Flla lacte, quo ſa-
ginamur infantes, ad corruptionem enutrit; bæc nos immor-
talitati parit, ac posthumos ſeruat. Illa demùm parentibus
emancipat, & Patriæ; hæc quidquid ſumus Lyceis, & præ-
ceptoribus in ſcribit; indeq́; profitetur Achilles, pluradebere
Chyrom, qui ab animo ruditatem eliminauit, quam Thety-
di, quæ corpus dedit, stygijſq́; vndis lotum ictibus expoſuit
in ffenſum. Bononia Glorioſa studiorum Mater, quæ Athe-
narum reparat vetuſtatem, quæ ſcientijs gymnaſia diſertiſ-
ſima aperit, quæ Virtuti ſola struit thronum, & domicilium,
quæ postremò Męce ates parat ſapientibus, ad Matheſis me
accendit Amorem, opportunitatem contulit, Archimedemq́;
9 exhibuit, Excellentiſſimum nempè Bonauenturam Cauale-
rium, qui Geometriæ gloriam perfecit, buiuſce preclariſſimæ
Vrbis auxit nitorem, Ieſuatorum cętum ampliſſime decora-
uit, vt puriori Geometricarum dulcedinum lacte, luculenter
nutrirer. Hauſi, quæ nunquam ad ſaturitatem deguſtabo
alimenta. Vestrum Filuſtriſſimi, & Sapientiſſimi D D.
vrbanitatileniſſimæ, quæ Pręceptorem Caualerium fouit im-
pensè, iurè ſe ſtatuit diſcipulus, quò fidenter deditiſſima Vo-
bis hęc libet attramenta, quibus claritatem iungere, vt in-
occidua ſplendeſcant, veſtræ Nobilitatis, & laudis, opus erit,
as facinus pręſtantiſſimum. Tenuis manuſculi inopiam com-
mendet quapromitur obſequentiſſima vouentis deuotio; hęc
me vobis valdè ſpondet deuinctum, hęc conſulit, & iubet,
vt tandem, forſan cum fę nore, reddam, quę iam Geometri-
ca ab hoc Lyceo iucundiſſimè ebibi rudimenta. Primitiarum
titulis gloriantur bi labores, namq́; centrum grauitatis by-
perbolæ me primò fu ße perſcrutatum profiteor. Vos binc eli-
go Numina, quibus ęquiſſimè dicem, Vos operis optimè ſtæ-
tuo Patronos. Ioannes della Faille, qui primus centrum gra-
uitatis partium circuli, & Ell pſis est nactus, voluminis
verticem Philippi Quarti Hiſpaniarum Potentiſsimi Regis,
nomine, & maiestate coronauit. Quò gaudet communi ti-
tulo, hæc opella, eò præclariſsimis Viris ſe nouit fore ſacr an-
dam. Excipiatis hęc vota, ideo à Vobis omnibus numeris
maximis, cum exigua ſint, & penè minima, tuenda. Cæte-
rum ſi Palladis ortum ditauit irriguè pluens aurum, Vos pari-
tèr Sapientiſsimæ Vrbis Præſides, quiq́; ideò Mineruæ mu-
nus impletis, Aſtra ditent, ac proſperè tribuant ad gloriam
ſeneſcere. Valete.
10 3[Figure 3]
LECTORI
BENEVOLO.
ELapſo Menſe Iulij exierunt è Typo-
graphi manibus quatuor noſtrilibri
circa Infinitas Parabolas verſantes.
Subiectum equidem vetus, quum de
ipſo Caualerius antè annum 1640,
in problemate vltimo centuriæ ſuo-
rum problematum; & anno 1647. in exercitatio-
nibus geometricis; pertractauerit. Sed circa illud,
non modica vel totaliter ab ipſo intacta, vel pro-
prijs medijs oſtenſa, & roborata, manifeſtauimus.
Verum dum tertius illorum ſub prælo eſſet, ſuccurrit
modus centra grauitatis hyperbolæ, eiuſque partium
indagandi, ſuppoſita tamen ipſarum quadratura.
Aſt tunc noſtra intererat opus de infinitis parabolis
quam primum abſoluere; quapropter & in epiſtola
ad lectorem, & in calce quarti libri polliciti ſumus,
& argumentum illud, & tractatum de infinitis ſpira-
libus, ſequenti anno, explicare. Incępimus conſcri-
bere propoſitiones ad centrum grauitatis hyperbolæ
attinentes; quando tot nouæ cognitiones
11 cæoccurrerunt, vt nos coegĕrint (neſcimus quo fa-
to) ſententiam mutare, impullerintque Miſcellaneum
præſens citiſſimè edere, opuſculum de infinitis ſpi-
ralibus ad aliud tempus reſeruantes. Etenim neſci-
mus an hoc primum futurum ſitillorum, quæforſan
elaboraturi ſumus. Modò namque phantaſiam occu-
pat argumentum quodam leuiter ab eximio Torri-
cellio tactum; circa quod, doctrinas tùm in Miſcel-
laneo præſenti, tùm in opere de infinitis parabolis
expoſitas, inſequentes, arbitramur nobis licitum fo-
re futurum explicare quamplurima noua, tam circa
menſuram, quam circa centra grauitatis infinitorum
ſolidorum, infinitiſque modis variatorum. Accipe
ergo, benignè Lector, in præſentiarum Miſcella-
neum hocce, in quo quas principaliter enucleauimus
doctrinas, habes in eius fronte. Porrò cupimus ad-
moneri, nos in ipſo aliqua indiuiſibilium methodo
dumtaxat confirmaſſe, Namque illaomittendo, pu-
tabamus, non modicè ingenium tuum labefactare.
Haud enim indiuiſibilium methodo roboratis aſſen-
tiri, leuiterque circa regalem illum arguendi modum
hæſitare, aliud proculdubio non indicat, quam eius
vim, & energiam intimè, ac medulitùs minimè per-
cipi. Perlege ergo ſequentia ſi tibi placet, & Vale.
12
Noi Reformatori dello Studio di Padoa.
HAuendo oſſeruato per fede del Padre Inquiſitore non
eſſerui, nel Libro di Materie Matematiche del Pad. F.
Steffano Angeli dell´ Ordine de Geſuati, coſa contraria
alla Santa Fede, eparimente per atteſtato del Segreta-
rio noſtro niente contro Prencipi, è buoni coſtumi, per-
mettemo, che poſſi eſſere ſtampato, douendo oſſeruarſi
gl´Ordini, & eſſerne preſentate due Copie, vna per la Li-
braria di Padoa, e l´altra di queſta Città & c.
Dat. dal Magiſtr, noſtro li 8. Ottobre 1659.
{Nicolò Sagredo Cau. Proc, Ref.
Alemante Angelo Donini Segr.
131 4[Figure 4]
MISCELLANEVM
HYPERBOLICVM,
PARABOLICVMQVE.
FÆCVNDITAS trium propoſi-
tionum initio tertij libri eorum,
quos de infinitis conſcripſimus pa-
rabolis, explicatarum, luculenter ex
pronunciatis ijſdem in libris fuit
omnibus patefacta. Hæc autem
eluceſcet magis, magiſque perluſtrantibus in præ-
ſentilibro à nobis aperienda. Centra grauitatis cir-
culi, & Ellipſis, aliquarumque ipſorum partium ad
noſtra tempora vſque incognita fuere. Noftro dum-
taxat ſeculo Ioannes della Failla, Guldinus, alijque
hæc detexere. Hæc & nos manifeſtauimus in 3. &
4. præcitatis libris, at methodo abomnibus diuer-
ſa. Aſt hæc centra inquirerentur fruſtra niſi circuli
quadratura ſupponeretur. Semidiameter etenim ad
interceptam inter centrum circuli, & centrum gra-
uitatis ſectoris eiuſdem eam dicitur habere ratio-
nem, quæ inter partem circumferentiæ,
142 lineam cadit. Ratio verò inter rectum, & curuum
exprimenda, ſemota circuli quadratura, habetur nè
forſitan? Nequaquam. Igitur prædicta centra mi-
nimè reperirentur, niſi circuli quadratura ſuppone-
retur. Tres in geometria extant inſignes figuræ,
quarum deſideratur quadratura, Circulus, Ellipſis,
ac Hyperbola. Circuli & Ellipſis, ac eorum partium
(ſuppoſita talium figurarum quadratura) centra gra-
uitatis reperta fuere; curnon etiam ipſius hyperbo-
læ? Centrum grauitatis hyperbolæ ſub ſilentio re-
linquere quotquot de centro grauitatis figurarum
ſcripſere. Saltem neſcimus aliquem de ipſo verba
feciſſe. Imò Guldinus lib. pri. centrobarycæin cal-
ce pag. 9. liberè pronunciat. _Deeſt hoc loco hyperbolæ,_
_eiuſque partium centri grauitatis inueſtigatio._ Curabimus
ergo nos, hoc centrum, ſeù potius hæc centra, ma-
nifeſtare, at non niſihyperbolæ ſuppoſita quadratu-
ra; in primiſque oſtendemus in qua linea diametro
parallela ſit centrum grauitatis ſemihyperbolæ. Aſt
quoniam hoc inquirimus media ratione, quam ha-
bet cylindrus conoidi hyperbolico circumſcriptus,
ad ipſum conoides; licet hanc nos docuerit Archi-
medes lib. de conoid. & ſphæroid. propoſit. 27. atta-
men & nos prius hanc aſſignabimus pluribus mo-
dis, interſeque diuerſis, ac nunquam excogitatis; &
hoc eò libentius, quia data occaſione, aliqua nouæ
geometrica exponemus. Sit ergo.
153
PROPOSITIO PRIMA.
Si circa diametrum hyperbolæ ſit etiam parabola ita diui-
dens baſim byperbolæ, vt quadratum ſemibaſis, ſit ad
quadratum ſemibaſis parabolæ, vt compoſita ex latere
tranſuerſo hyperbolæ, & ex diametro, ad tranſuerſam
latus. Tota parabola cadet intra hyperbolam.
TRes ſequentes propoſit. probantur ferè ijſdem
terminis à Luca Valerio in append. ad lib. 3.
de cent grauit. propoſit. pri & 2. Efto ergo hyper-
bola A B C, cuius latus tranſuerſum G B, diame-
ter B D, circa quam ſit etiam parabola E B F, ſic
fecans A C, vt quadratum A D, ſit ad quadra-
tum D E, vt D G, ad G B. Dico totam para-
bolam E B F, cadereintra hyperbolam. Accipia-
tur arbitrariè punctum L, per quod ducatur ordi-
natim applicata H K L. Quoniam ex propoſit. 21.
prim. conic. quadratum H L, eſt ad quadratum
A D, vt rectangulum G L B, ad rectangulum
G D B; & ex hypotheſi, eſt quadratum A D, ad
quadratum D E, vt D G, ad G B; nempeſum-
pta communi altitudine D B, vt rectangulum
G D B, ad rectangulum G B D. Ergo ex æquali,
erit quadratum H L, ad quadratum E D, vt re-
ctangulum G L B, ad rectangulum G B D. Rur-
ſum; quoniam in parabola eſt ex propoſit. 20. lib.
eit. quadratum E D, ad quadratum K L, vt D
1645[Figure 5] ad BL, nempe ſumpta communi altitudine G B,
vt rectangulum D B G, ad rectangulum L B G.
Ergo ex æquali, erit quadratum H L, ad quadra-
tum K L, vt rectangulum G L B, ad rectangulum
G B L. At rectangulum G L B, maius eſt rectan-
gulo G B L. Ergo etiam quadratum H L, maius
erit quadrato K L. Sed punctum L, ſumptum eſt
arbitrariè. Ergo omnes lineæ ordinatim applica-
tæ in pa abola erunt minores ſingulis ordinatim ap-
plicatis in hyperbola. Quare patet propoſitum.
175
PROPOSITIO II.
Si quatuor magnitudinum ſit prima, ad ſecundam, vt tertia,
ad quartam; ſitque ablata pars primæ ad ablatam par-
tem ſecundæ, vt ablata pars tertiæ ad ablatam partem
quartæ et ſint partes primæ proportionales partibus ſecun-
dæ. Erit reliqua pars primæ ad reliquam partem ſecun-
dæ, vt reliqua pars tertiæ ad reliquam partem quartæ.
SIT vt prima
6[Figure 6] A B, ad ſe-
cundam C D, ſic
tertia E F, ad
quartam G H;
ſitque k B, ad
L D, vt MF, ad
N H: pariter ſit vt Ak, ad k B, ſic E M, ad M F.
Dico etiam A K, eſſe ad C L, vt E M, ad G N.
Quoniam ex hypotheſi componendo, eſt A B, ad
B k, vt E F, ad F M; & vt k B, ad L D, ſic M F,
ad N H; ergo ex æquali, vt A B, ad L D, ſic E F,
ad N H. At pariter eſt vt A B, ad totam C D, ſic
E F, ad totam G H. Ergo & A B, erit ad reliquam
C L, vt E F, ad reliquam G N. Rurſum, quoniam
conuertendo, eſt B K, ad k A, vt F M, ad M E.
Ergo componendo, & conuertendo, erit Ak, ad A B,
vt EM, ad EF. Erat autem vt AB, ad CL, ſic EF,
186 G N. Ergo ex æquali, erit A k, ad C L, vt E M, ad
G N. Quod & c.
PROPOSITIO III.
Factis ijſdem quæ in prima propoſit. exceſſus quadratorum
ordinatim applicatarum in byperbola ſupra quadrata or-
dinatim applicatarum in parab la, erunt ad inuicem, vt
quadrata partium diametri interceptarum inter ipſas, &
verticem figurarum.
IN eodem ſchemate, ſint ordinatim applicatæ ad
diametrum A E D C, H K L O. Dico exceſ-
ſum quadrati A D, ſupra quadratum E D, eſſe
ad exceſſum quadrati H L, ſupra quadratum k L,
vt quadratum D B, ad quadratum B L. Quo-
niam enim quadratum totum A D, eſt ad totum
quadratum H L, vt totum rectangulum G D B,
ad totum rectangulum G L B: & ablatum quadra-
tum E D, probatum eſt eſſe ad ablatum quadra-
tum K L, vt ablatum rectangulum D B G, ad
ablatum rectangulum L B G: eſtque ablatum qua-
dratum D E, ad reliquum rectangulum A E C,
vt ablatum quadratum L k, ad ablatum rectangu-
lum H k O (quiacum ex hypotheſi, ſit quadratum
A D, ad quadratum D E, vt D G, ad G B;
nempe vt rectangulum G D B, ad rectangulum
G B D; erit diuidendo, & conuertendo, quadra-
tum D E, ad rectangulum A E C, vt
1977[Figure 7] lum G B D, ad quadratum B D). Ergo ex pro-
poſit. anteced. erit & vt reliquum rectangulum
A E C, ad reliquum rectangulum H k O, vt reli-
quum quadratum D B, ad reliquum quadratum
B L. Quod & c.
PROPOSITIO IV.
Si ex figuris antecedentium propoſitionum intelligantur ge-
nerari conoidea, in quibus inſcribentur coni ſuper ijſ-
dem baſibus, & circa eandem diametrum. Differen-
tia conoideorum tam ſecundum totum, quam
208 partes proportionales, erit æqualis differentiæ cono-
rum.
SEd ex hyperbola A B C, & parabola E B F,
intelligantur genita conoidea, in quibus ſint
inſcripti pariter coni A B C, E B F. Dico diffe-
rentiam conoideorum, nempe exceſſum conoidis
hyperbolici ſupra conoides parabolicum, æqualem
fore differentiæ conorum. Sumatur in diametro
B D, arbitrariè punctum L, per quod agatur pla-
num H O, plano A C, parallelum, ſecans om-
nia dicta ſolida, vt in ſchemate. Quoniam enim vt
quadratum D B, ad quadratum B L, ſic eſt tam
quadratum totius A D, ad quadratum totius P L,
quam ablatum quadratum E D, ad ablatum qua-
dratum M L: & quadratum D E, eſt ad rectan-
gulum A E C, vt quadratum L M, ad rectangu-
lum P M R (quia proportiones horum quadra-
torum ad hæc rectangula componuntur ex ijſdem
proportionibus, vt facile quilibet modicè in geo-
metria expertus poteſt agnoſcere). Ergo ex propoſ.
2. erit vt quadratum D B, ad quadratum B L, ſic
rectangulum A E C, ad rectangulum P M R. Sed
etiam ex propoſit. antec. eſt vt quadratum D B, ad
quadratum B L, ſic rectangulum A E C, ad rectan-
gulum H k O. Ergo vt rectangulum A E C, ad re-
ctangulum P M R, ſic idem rectangulum A E C, ad
rectangulum H k O. Ergo rectangulum P M R,
erit æquale rectangulo H k O. Quare etiam
2198[Figure 8] circularis P M R, erit æqualis armillæ circulari
Hk O. Cum verò punctum L, ſumptum ſit arbi-
trariè, ſequitur omnes armillas differentiæ cono-
rum, æquales eſſe omnibus armillis differentiæ co-
noideorum. Ergo & differentia conorum erit æqua-
lis differentiæ conoideorum.
Sicuti autem probatum eſt totasillas differentias
æquales eſſe, ſic probari poteſt quaslibet ipſarum
partes proportionales item fore æquales. v. g. ſi in-
telligatur ductum planum H O, probari poteſt eo-
dem modo, partem differentiæ conoideorum
2210 tentam inter plana HO, AC, æqualem eſſe parti dif-
ferentię conorum inter eadem plana contentæ; quod
cum ſit de sè euidens, omittitur. Patet ergo diffe-
rentias conoideorum & conorum, æquales eſſe inter
ſe, tam ſecundum totum, quam ſecundum partes
proportionales. Quod & c.
SCHOLIVM I.
Non turbetur autem lector videns præſentem
propoſitionem probari per indiuiſibilium metho-
dum, imo admiretur excellentiam, & vniuerſalita-
tem illius methodi veritatem prodientis etiam illis
modis, quibus nequit manifeſtari methodo antiquo-
rum. Nam in ſuperiori conſtructione neſcimus an
methodus antiquorum poſſit adhiberi, quia in diffe-
rentijs prædictis nequeunt inſcribi cylindri. Quid
ergo? Concluſio demonſtrata falſa erit, quia per in-
diuiſibilia fuit roborata? Nequaquam. Nam etiam
eadem concluſio probari poteſt methodo antiquo-
rum, ſed alia præparatione adhibita, vt patebit ſuo
loco.
SCHOLIVM II.
Sed antequam nos expediamus à præſenti propo-
ſitione, opere pretium ducimus manifeſtare eas no-
titias, quas ex ipſa, & ex dictis in noſtro lib. 4. de
infinitis parabolis poſſumus eruere. Cum enim
23119[Figure 9] ceſſus ſæpe dicti ſint æquales inter ſe tam ſecundum
totum, quam ſecundum partes proportionales, ſe-
quitur conſequenter iuxta doctrinam præcit. 4. lib.
eſſe quantitates proportionaliter analogas tam ſe-
cundum magnitudinem, quam ſecundum grauita-
tem. Quare ex propoſit. 13. eiuſdem libri, centra
grauitatis horum exceſſuum ſecabunt B D, eodem
pacto. Cum ergo centrum grauitatis differentiæ co-
norum, quodſit v. g. L, ſic ſecet B D, vt B L, fit
tripla L D (nam idem eſt centrum grauitatis ex-
ceſſus prædicti, & conorum A B C, E B F).
2412 etiam centrum grauitatis differẽtiæ conoideorum ſic
ſecabit B D, in L, vt B L, ſit tripla L D. Imo cum
traiecto quolibet plano H O, parallelo A C, pars
differentiæ conoideorum contenta inter plana H O,
A C, ſit proportionaliter analoga cum parte diffe-
rentiæ conorum contenta inter eadem plana; & cum
in illo lib. 4. pluribus modis ſit aſſignatum centrum
grauitatis prædictæ partis differentiæ conorum, quia
centrum grauitatis illius ſic diuidit L D, ſicuti ip-
ſam diuidit centrum grauitatis fruſtorum conorum
E M N F, A P R C, vt conſideranti patebit: ſequi-
tur etiam pluribus modis haberi centrum grauitatis
differentiæ conoideorum contentæ inter plana H O,
A C. Notetur etiam nos in hoc opere citaturos eſ-
ſe antecedentia huius operis, & propoſ. librorum
noſtrorum de infinitis parabolis. Dum ergo citabi-
mus propoſ. huius operis, dicemus, ex tali propoſit.
vel ex ſchol. talis propoſit. Dum vero citabimus li-
bros de infinitis parabolis, dicemus ex prop. talilibri
talis. v. g. ex propoſ. 4. lib. 3. intelligendo ſemper
noſtri operis.
PROPOSITIO V.
Cylindrus circumſcriptus conoidi byperbolico eſt ad ipſum,
vt compoſita ex axi, ſeù diametro, & ex latere tranſ-
uerſo conoidis, ad dimidium lateris tranſuerſi, vna cum
tertia parte axis, ſeù diametri.
2513 10[Figure 10]
INtelligantur omnia ſolida antecedentis propo-
ſit. & ipſis conoidibus ſint circumſcripti cylindri
QC, TF. Quoniam conoides hyperbolicum con-
ftatex differentia conoideorum, & ex conoide para-
bolico; & differentia conoideorum eſt æqualis dif-
ferentiæ conorum; ergo ratio cylindri Q C, ad co-
noides A B C, erit eadem cum ratione eiuſdem cy-
lindri ad differentiam conorum, & ad conoides pa-
rabolicum E B F. At ratio cylindri QC, ad dif-
ferentiam conorum eſt eadem cum ratione quadrati
A D, ad tertiam partem rectanguli A E C, vt con-
ſideranti patebit; quia cum ſit ad conum A B C,
2614 quadratum A D, ad tertiam partem ſui; & ad co-
num E B F, vtidem quadratum A D, ad tertiam
partem quadrati E D; ſequitur eſſe ad differentiam
conorum vt idem quadratum A D, ad tertiam par-
tem differentiæ quadratorum A D, D E, nempe
ad tertiam partem rectanguli A E C. Cum verò ex
hypotheſi, ſit quadratum A D, ad quadratum E D,
vt D G, ad G B; ergo per conuerſionem rationis,
erit quadratum A D, ad rectangulum A E C, vt
G D, ad D B. Et quadratum A D, erit ad ter-
tiam partem rectanguli A E C, vt G D, ad ter-
tiam partem D B. Quare etiam cylindrus Q C, erit
ad differentiam conorum, & conſequenter ad diffe-
rentiam conoideorum, vt G D, ad tertiam partem
D B. Pariter ratio cylindri Q C, ad conoides E B F,
eſt eadem cum ratione quadrati A D, ad dimidium
quadrati E D. Quia cum ſit ad cylindrum T F, vt
quadratum A D, ad quadratum E D; & cum co-
noides E B F, ſit dimidium cylindri T F, vt ſæpe
probatum eſt in noſtris lib. de inſinit. parab. Ergo
cylindrus Q C, erit ad conoides E B F, vt quadra-
tum A D, ad dimidium quadrati E D; nempe ex
hypotheſi, vt D G, ad dimidiam G B. Ergo colli-
gendo conſequentia, erit cylindrus Q C, ad conoi-
des, & ad differentiam conoideorum, nempe ad co-
noides hyperbolicum A B C, vt G D, ad dimi-
diam G B, cum tertia parte B D. Quod erat oſten-
dendum.
2715 11[Figure 11]
PROPOSITIO VI.
Fn ſolidis ſæpe dictis, exceßus conoidis hyperbolici ſupra
conum ſibi inſcriptum est æqualis exceſſui conoidis pa-
rabolici illi inſcripti ſupra conum illi inſcriptum, tam
ſecundum totum, quam ſecundam partes proportio-
nales.
QVantum ad totos exceſſus ſic patebit. Cum
enim ex propoſit. 4. exceſſus conoideorum ſit
æqualis exceſſui conorum, ſi communis auferatur
illa pars, quæ generatur ex reuolutione trilinei
2816 A O E, & communis addatur pars genita ex figura
contenta à recta, & curua O B, patebit propo-
ſitum.
Quantum verò ad partes proportionales, non erit
diſſimilis demonſtratio ab antecedenti, addendo, &
auferendo partes communes ſecundum quod pla-
num ſecans parallelum plano A C, tranſit vel
per puncta O, I, vel ſuprà, vel infrà ipſa. Qua-
re & c.
SCHOLIV M.
Ergo exceſſus prædicti conoideorum ſupra ſuos
conos erunt quantitates proportionaliter analogæ,
tam in magnitudine, quam in grauitate. Cum er-
go exceſſus conoidis parabolici E B F, ſupra ſuum
conum ſit dimidium talis coni, quia conoides eſt ſeſ-
quialterum coni. Ergo etiam exceſſus conoidis hy-
perbolici A B C, ſupra ſuum conum erit dimidium
coni inſcripti in conoide E B F. Quare cylindrus
Q C, quieſt ad conum inſcriptum in conoide para-
bolico, vt quadratum A D, ad tertiam partem qua-
drati E D, erit ad exceſſum conoidis A B C, ſupra
conum A B C, vt idem quadratum A D, ad ſextam
partem quadrati D E. Quod notetur.
Item, quoniam exceſſus prædicti ſunt magnitudi-
nes proportionaliter analogæ in grauitate. Ergo
idem punctumin B D, erit centrum grauitatis cu-
iuslibet talium exceſſuum. Cum ergo punctum
291712[Figure 12] dium ipſius B D, ſit centrum grauitatis exceſſus co-
noidis parabolici E B F, ſupra conum E B F; ſe-
quitur etiam centrum grauitatis exceſſus conoidis
A B C, ſupra ſuum conum eſſe in medio ipſius
B D.
Quod vero centrum grauitatis exceſſus conoidis
parabolici E B F, ſupra ſuum conum ſit medium
punctum ipſius B D, patet. Quia P, centrum
grauitatis conoidis diuidit B D, vt B P, ſit ad
P D, vt 2, ad 1, ſeù vt 8. ad 4. N, verò cen-
trum grauitatis coni diuidit B D, ſic, vt B N, ſit
ad N D, vt 3. ad 1. ſeù vt 9. ad 3. Ergo
3018 B D, eſt 12, talium P N, erit 1. Cum verò ſi ſiat
vt exceſſus conoidis ſupra conum ad conum, nem-
pe vt 1, ad 2, ſic reciprocè N P, ad P M, ſit M,
centrum grauitatis exceſſus prædicti. Sequitur qua-
lium B D, erat 12, P N, 1, & B P, 8, talium P M,
eſſe 2, & B M, 6. Quare patet propoſitum.
PROPOSITIO VII.
Cylindrus circumſcriptus conoidi hyperbolico eſt ad ipſum,
vt compoſita ex axi, ſeù diametro, & ex latere tran-
ſuerſo conoidis, ad dimidium lateris tranſuerſi, vna
cum tertia parte axis, ſeù diametri.
PRopoſitio ergo quinta probatur alio modo. Sint
ſolida prædicta, & c. Dico cylindrum Q C, eſ-
ſe ad conoides hyperbolicum A B C, vt G D, ad
dimidiam G B, cum tertia parte D B. Cum enim
conoides A B C, diuidatur in conum A B C, & in
exceſſum ipſius ſupraipſum; ſequitur Q C, cylin-
drum eſſe ad conoides A B C, vt eſt etiam ad co-
num A B C, & ad exceſſum conoidis ſupra conum.
Cylindrus Q C, eſt ad conum A B C, vt quadra-
tum A D, ad ſui tertiam partem: & ex ſchol. ant.
eſt ad exceſſum conoidis A B C, ſupra ſuum co-
num vt quadratum A D, ad ſextam partem quadra-
ti D E. Ergo colligendo ambo conſequentia, erit
QC, ad conum, & ad exceſſum, nempe ad conoides
A B C, vt quadratum A D, ad ſui tertiam
311913[Figure 13] vna cum ſexta parte quadrati E D. Cum autem ex
hypotheſi, ſit vt quadratum A D, ad quadratum
D E, ſic D G, ad G B; erit & vt quadratum A D,
ad ſui tertiam partem, cum ſexta parte quadrati E D,
ſic G D, ad fui tertiam partem cum ſexta parte
G B. Ergo etiam cylindrus Q C, erit ad conoides
A B C, vt D G, ad ſui tertiam partem (nempe ad
tertiam partem ipſarum G B, B D) vna cum ſexta
parte G B. At tertia pars G B, vna cum ſexta par-
te eiuſdem facit dimidiam G B. Ergo Q C, erit
ad conoides hyperbolicum A B C, vt G D,
3220 dimidiam G B, cum tertia parte B D. Quod erat
oſtendendum.
PROPOSITIO VIII.
Si ſruſto coni cuìus oppoſita plana parallela, circumſcri-
batur cylindrus, & alter inſcribatur, cuius baſis mi-
nor baſis frusti, & latera trapezij genitoris fruſti pro-
ducantur vſque ad concurſum cum diametro. Tubus
cylindricus, qui est exceſſus cylindri circumſcripti ſupra
cylindrum inſcriptum, erit ad exceſſum frusti ſupra
cylindrum inſcriptum, vt compoſita ex diametro fru-
sti, & ex dupla intercepta inter minorem baſim, &
punctum concurſus laterum trapezij, ad compoſitam ex
tali intercepta, & ex tertia parte diametri fruſti.
FRuſto coni A B C D, cuius diameter ET, &
oppoſita plana parallela ad inuicem ſint B C,
A D, circumſcribatur cylindrus G D, & inſcri-
batur H C; & latera A B, D C, producantur vſ-
que dum occurrant T E, productæ in I. Dico tu-
bum cylindricum G H C D, eſſe ad exceſſum fruſti
A B C D, ſupra cylindrum B L, nempe ad ſolidum
genitum ex triangulo A B H, reuoluto circa E T,
vt compoſita ex T E, & ex dupla I E, ad I E, vna
cum tertia parte T E. Cum cnim cylindrus G D,
ſit ad cylindrum B L, vt quadratum A T, ad qua-
dratum T H, ſeù B E; nempe vt quadratum T I,
ad quadratum I E. Ergo & per conuerſione
332114[Figure 14] nis, erit G D, ad tubum G H C D, vt quadratum
I T, ad exceſſum ipſius ſupra quadratum I E; nem-
pe ad duplum rectangulum I E T, cum quadrato
T E; nempe ad rectangulum ſub compoſita ex dupla
I E, & E T, & ſub E T. Quare & conuertendo,
erit tubus G H K, ad G D, vt prædictum rectan-
gulum ad quadratum I T. Cylindrus G D, eſt ex
dictis in ſchol. 2. propoſit. 15. lib. 2. ad fruſtum
A B C D, vt tripla T I, ad T I, I E, & harum ter-
tiam minorem proportionalem; nempe ducendo has
in I T, vt triplum quadratum I T, ad quadratum
I T, rectangulum T1 E, & rectangulum ſub T I, &
3422 ſub tertia proportionali (quod rectangulum eſt æ-
quale quadrato I E): nempe ſubtriplando terminos,
eſt G D, ad A B C D, vt quadratum TI, ad ter-
tiam partem quadratorum T1, I E, & rectanguli
T I E, quæ tertia pars eſt æqualis quadrato I E, re-
ctangulo I E T, & tertiæ parti quadrati T E. At
idem cylindrus G D, eſt ad cylindrum B L, vt
quadratum A T, ad quadratum HT, feù B E; hoc
eſt vt quadratum T I, ad quadratum I E. Ergo
idem cylindrus G D, erit ad exceſſum fruſti A B C D,
ſupra cylindrum B L, vt quadratum T I, ad re-
ctangulum I E T, vna cum tertia parte quadrati
T E; nempe vna cum rectangulo contento ſub
T E, & ſub tertia parte T E. Aſt erat ſupra
tubus G H K, ad cylindrum G D, vt rectangulum
ſub compoſita ex dupla I E, & ex E T, & ſub T E,
ad quadratum I T. Ergo ex æquali, erit tubus GHk,
ad exceſſum fruſti A B C D, ſupra cylindrum B L,
vt prædictum rectangulum, ad rectangulum I E T,
vna cum rectangulo ſub T E, & ſub tertia parte E T.
Quæ duo rectangula cum ſint idem ac rectangulum
ſub compoſita ex I E, & ex tertia parte E T, & ſub
T E. Sequitur G H k, eſſe ad exceſſum prædictum,
vt rectangulum ſub compoſita ex dupla I E, & ex
E T, & ſub E T, ad rectangulum ſub eadem E T,
& ſub compoſita ex I E, & ex tertia parte E T; nem-
pepropter commune latus E T, vt compoſita ex du-
pla I E, & ex E T, ad I E, cum tertia parte E T.
Quod erat oſtendendum.
3523
PROPOSITIO IX.
Si recta A B, ſit ſecta bifariam in C, & in D, E, æque
remotè à C, & pariter in F, G, æque remotè à C; ſit-
que rectangulum A F B, æquale quadrato D C. Erit
etiam rectangulum A D B, æquale quadrato F C.
CVm enim rectangulum A F B, diuidatur in re-
ctangulum ſub A F, in D B, & in rectangulum
A F D, nempe in rectangulum ſub F D, in G B. Er-
go rectangula A F, D B; F D, G B, erunt æqualia
quadrato D C. Quare addito communi rectangu-
lo F D G. Ergo rectangula A F, D B; F D, G B;
15[Figure 15] F D G, erunt æqualia quadrato D C, & rectangulo
F D G; nempe quadrato F C. At rectangula F D G,
& F D, G B, faciunt rectangulum F D B. Quod cum
rectangulo A F, D B, facit rectangulum A D B.
Quare etiam rectangulum A D B, erit æquale qua-
drato F C. Quod & c.
PROPOSITIO X.
Si conoides byperbolicum includatur intra fruſtum conicum
habens oppoſitas baſes parallelas, & latera trapezij geni-
toris frusti ſint partes aſymptoton hyperbolæ
3624 conoidis; intraque fruſtum conicum, & ſupra minori ba-
ſi ipſius inſcribatur cylindrus. Erit exceſſus fruſti coni-
ci ſupra cylindrum ſibi inſcriptum æqualis conoidi hy-
perbolico, tam ſeeundumtotum, quam ſecundum partes
proportionales.
COnoides hyperbolicum A B C, cuius diame-
ter D B, latus tranſuerſum E B, centrum F,
aſymptoti hyperbolæ genitricis F G, F H, intelli-
gatur incluſum intra fruſtum conicum G I K H, cu-
ius oppoſita plana parallela ſint I k, G H, & in ipſo
ſit inſcriptus cylindrus I M. Dico exceſſum fruſti
G I k H, ſupra cylindrum I M, æqualem eſſe conoi-
di A B C, tam ſecundum totum, quam ſecundum
partes proportionales. Sumatur enim in diametro
arbitrariè punctum O, per quod agatur planum
N O P, G H, parallelum, ſecans omnia ſolida, vt in
ſchemate. Quoniam enim quadratum N O, eſt æ-
quale tam rectangulo N Q P, cum quadrato Q O,
quam rectangulo N R P, cum quadrato R O. Ergo
rectangulum N Q P, cum quadrato Q O, erit æ-
quale rectangulo N R P, cum quadrato R O. At
ex 2. conic. propoſit, 10. rectangulum N Q P, eſt æ-
quale quadrato I B, ſeù quadrato R O. Ergo reli-
quum rectangulum N R P, erit æquale quadrato
Q O. Quare etiam armilla circularis N R P, erit æ-
qualis circulo Q T. Punctum autem O, ſumptum
eſt arbitrariè; ergo omnes Armillæ genitæ ex reuo-
lutione trianguli G I L, circa B D, erunt
372516[Figure 16] omnibus circulis conoidis A B C, A C, parallelis.
Ergo & ſolidum genitum ex triangulo, nempe ex-
ceſſus fruſti G I K H, ſupra cylindrum I M, erit
æqualis ipſi conoidi A B C. Quod verò oſtenſum
eſt de totis iſtis ſolidis, probaretur etiam de partibus
proportionalibus; quia eodem modo probaretur v.
g. partem exceſſus contentam inter plana N P,
G H, æqualem eſſe fruſto hyperbolico A Q T C.
Quare patet prædicta ſolida æqualia eſſetam
3826 d@in totum, quam ſecundum partes proportiona-
les. Quod & c.
SCHOLIVM I.
Licet hæc propoſitio oſtenſa ſit per indiuiſibilia,
poteſt tamen probari modo Archimedeo. Cum e-
nim probatum ſit armillam circularem N R P, æ-
qualem eſſe circulo Q T, etiam (ſi inſcribantur)
tubus cylindricus N L P, inſcriptus in exceſſu fruſti
coni ſupra cylindrum, erit æqualis cylindro Q V,
inſcripto in conoide. Si ergo diuidatur B D, in
quibuſcunque punctis, & per hæc agantur plana vt
ſupra, & fiant tubi, & cylindri modo antedicto, fa-
cile patebit omnes tubos cylindricos inſcriptos in
exceſſu fruſti coni ſupra cylindrum, æquales fore
omnibus cylindris in conoide inſcriptis. Quare ſi
hæc diuiſio fiat per continuam biſlectionem D B,
partiumque eiuſdem; quia tam in exceſſu fruſti ſu-
pra cylindrum, quam in conoide inſcribemus ſolida
ab ipſis deficientibus defectu minori quacunque
data magnitudine; tandem concludemus exceſſum
prædictum, & conoides eſſe magnitudines æqua-
les. Hæc autem viris Euclideis, Archimedeiſque
ſunt nimis obuia.
SCHOLIVM II.
Poteſt ergo conſequenter ad ſuperius ſæpe
392717[Figure 17] deduciex his, exceſſum prædictum, & conoides hy-
perbolicum, eſſe quantitates proportionaliter ana-
logas tam in magnitudine, quam in grauitate, tam
ſecundum totum, quam ſecundum partes proportio-
nales. Vnde ſi aliquo pacto inuenietur centrum
grauitatis, vel totius exceſſus prædicti, vel partis e-
ius in B D; idem crit centrum grauitatis conoidis
hyperbolici A B C, vel ſegmenti eiuſdem, & c.
Idem intelligaturè contra.
4028
SCHOLIVM III.
Galileus in poſtremis dialogis pag. apud nos, 28,
oſtendit paradoxum quodam; nimirum, circuli cir-
cumferentiam æqualem eſſe puncto. Vt hoc oſten-
dat vtitur exceſſu cylindri ſupra hemiſphærium, &
cono, vt ibidem poteſt conſpici. Sed ſicuti vſus fuit
exceſlu cylindri ſupra hemiſphærium, ſic etiam po-
terat vti exceſſu cylindri ſupra hemiſphæroides; ea-
dem enim fuiſſet demonſtratio. Paradoxum Galilei
oſtendimus & nos in appendice noſtri libelli ſexa-
ginta problematum geometricorum, adhibendo ex-
ceſſum cylindri ſupra conoides parabolicum, & ip-
ſum conoides. Hoc idem paradoxum facile ex præ-
ſenti propoſit. patebit confirmari poſſe, adhibendo
exceſſum prædictum fruſticoni G I K H, ſupra cy-
lindrum I M, & conoides hyperbolicum A B C.
Probatum eſt enim, vbicunque traiciatur planum
N P, plano G H, parallelum, ſemper armillam
N R P, æqualem eſſe circulo Q T; ſicuti quamli-
bet partem exceſſus æqualem eſſe proportionali par-
ti conoidis. Cum ergo exceſſus prædictus deſinat
in circumferentia circuli cuius diameter l k, ſicuti
conoides deſinit in puncto B; videtur ergo colligi
circumferentiam æqualem eſſe vertici B.
4129
PROPOSITIO XI.
Cylindrus circumſcriptus conoidi hyperbolico eſt ad ipſum,
vt compoſita ex axi, ſeù diametro, & exlatere tranſ-
uerſo conoidis, ad dimidium lateris tranſuerſi, vna cum
tertia parte axis, ſeù diametri.
18[Figure 18]
COnoidi hyperbolico A B C, cuius diameter
D B, latus tranſuerſum E B, ſit
4230 ptus cylindrus O C. Dico hunc eſſe ad illud vt E D,
ad dimidiam E B, cum tertia parte B D. Sit F,
centrum hyperbolæ genitricis, & F G, F H, ſint
eius aſymptoti, & per B, ſit ducta I B, parallela
G D; intelligamuſque ex reuolutione trapezij
G I B D, circa B D, genitum eſſe fruſtum conicum
G I K H, cui ſit circumſcriptus cylindrus N H, &
inſcriptus I M. Quoniam linea G H, diuiſa eſt ſe-
cundum conditiones propoſit. 9. nam ex propoſit.
10. 2. conic. rectangulum G A H, eſt æquale qua-
drato I B, ſeù quadrato L D. Ergo rectangulum
G L H, erit æquale quadrato A D. Ergo etiam ar-
milla circularis G L H, quæ eſt baſis tubi cylindrici
N L P, erit æqualis circulo A C, baſi cylindri O C.
Cum ergo ex propoſit. anteced. exceſſus fruſti coni
G I k H, ſupra cylindrum I M, ſit æqualis conoidi
hyperbolico A B C. Ergo tubus cylindricus N L P,
ad illum exceſſum, & cylindrus O C, ad conoides
erunt in eadem ratione. At ex propoſit. 8. tubus eſt
ad exceſſum vt E D, ad F B, cum tertia parte D B.
Quare patet propoſitum.
Oſten ſa ergo proportione cylindri circumſcripti
conoidi hyperbolico ad ipſum, facile docebimus in
qua linea diametro parallela ſit centrum grauitatis
ſemihyperbolæ. Sit ergo.
4331
PROPOSITIO XII.
Si fiat vt ſemihyperbola ad dimidium parallelogrammi ſibi
circumſcripti, ſic compoſita ex ſemilatere tranſuerſo hy-
perbolæ, & ex tertia parte axis eiuſdem, ad aliam: dein-
de fiat vt compoſita ex latere tranſuerſo & ex axi, ad
inuentam, ſic baſis ſemihyperbolæ ad ſui partem abſcin-
dendam incipiendo ab axi. Centrum grauitatis ſemihy-
perbolæ erit in line a per punctum ducta axi parallela.
ESto hyperbola A B C, cuius axis B E; centrum
G; latus tranſuerſum F B; parallelogrammum
ei circumſcriptum ſit D C; ſitque B H, tertia pars
B E; & fiat vt A B E, ad dimidium D E, ſic G H,
ad E k; & pariter fiat vt F E, ad E k, ſic A E, ad
E L; ac per L, ducatur L M, parallela B E. Dico
in M L, eſſe centrum grauitatis ſemihyperbolæ
A B E. Intelligamus D E, cum ſemihyperbola.
A B E, rotari circa B E. Quoniam ex propoſit. 5. 7.
& 11. cylindrus D C, eſt ad conoides A B C, vt
F E, ad G H; & ratio F E, ad GH (de foris ſumpta
E k) componitur ex rationibus F E, ad E k, & hu-
ius ad G H. Ergo etiam ratio cylindri ad conoides
componetur ex ijſdem rationibus. Sed ex ſchol. 1.
propoſit. 3. lib. 3. ratio cylindri ad conoides compo-
nitur etiam ex ratione dimidij D E, ad A B E, & ex
ratione A E, ad interceptam inter E B, & centrum
æquilibrij A B E, ſeù grauitatis duplicatæ A B
443219[Figure 19] ad partes A E; & ſupra factum eſt conuertendo, vt
dimidium D E, ad A B E, ſic k E, ad G H. Er-
go rationes F E, ad E k, & E k, ad G H, æquales
erunt rationibus E k, ad G H, & A E, ad prædi-
ctam interceptam. Ergo ſi auferatur communis ra-
tio k E, ad G H; F E, ad E k, erit vt A E, ad il-
lam interceptam. Sed ex conſtructione, vt F E, ad
E k, ſic A E, ad E L. Ergo L, erit centrum æqui-
librij ſemihyperbolæ. Et conſequenter in L M,
erit centrum grauitatis ſemihyperbolæ. Q od & c.
4533
SCHOLIVM.
Tria autem, quæ collecta ſunt in quamplurimis
propoſitionibus lib. 3. colligentur etiam nunc. Nam
primò, tam ſuper D E, quam ſupra A B E, intelle-
ctis cylindricis rectis æquealtis reſectis diagonaliter
plano tranſeunte per E B, & per latus oppoſitum ip-
ſi D A, colligentur cubationes amborum truncorum
cylindrici ſuper ſemihyperbola exiſtentis, cumhac
tamen diuerſitate; quod cubatio trunci ſiniſtri dabi-
tur ſemota hyperbolæ quadratura; quia ſine tali qua-
dratura datur ratio D C, cylindri ad conoides
A B C; ſecùs dicendum de cubatione trunci dexte-
ri, quæ non habetur niſi ſuppoſita quadratura. Se-
cundum eſt (quadratura ſuppoſita) ratio cylindri ex
D E, circa D A, ad annulum ſtrictum ex ſemihyper-
bola A B E, circa D A. Tertium eſt ratio conoi-
dis, & prædicti ſolidi ad inuicem, pariter ſuppoſita
quadratura.
Sed antequam vlterius progrediamur, ſicuti plu-
ribus modis patefacta eſt ratio cylindri circumſcri-
pti ad conoides, ſic non erit inutile aſſignare centrum
grauitatis conoidis. Sit ergo.
PROPOSITIO XIII.
Centrum grauitatis conoidis hyperbolici ſic diuidit d uode
cimam partem diametri eiuſdem ordine quartam à
4634 ſi, vt pars propinquior baſi, ſit ad reliquam, vt di-
midium lateris tranſuerſi conoidis, ad tertiam partem
ſuæ diametri.
20[Figure 20]
Esto conoides hyperbolicum quodcunque
A B C, cuius axis, ſeù diameter B D, ſic ſe-
cetur in L, vt B L, ſit dupla L D, & ſic in Q, vt
B Q, ſit tripla Q D. Ergo ſic L Q, erit duodecima
pars totius B D, & ordine quarta incipiendo à D.
Sit G B, latus tranſuerſum conoidis, & L Q,
4735 ſecetur in P, vt Q P, ſit ad P L, vt dimidia G B, ad
tertiam partem B D. Dico P, eſſe centrum graui-
tatis conoidis hyperbolici A B C. Inſcribantur co-
noides parabolicum E B F, & coni, vt factum eſt ſu-
pra. Quoniam ex ſchol. 2. propoſit 4. Q, eſt cen-
trum grauitatis tam differentiæ conorum, quam dif-
ferentiæ conoideorum, & vt oſtenditur à multis, &
etiam à nobis lib. 4. propoſit. 14, L, eſt centrum
grauitatis conoidis parabolici E B F; ergo ſi L Q, ſic
diuidatur in P, vt ſit reciprocè Q P, ad P L, vt co-
noides E B F, ad differentiam conoideorum, erit P,
centrũ grauitatistotius conoidis hyperbolici A B C.
Sed vt conoides E B F, ad differentiam conoi-
deorum, ſic dimidia G B, ad tertiam partem D B,
vt ſtatim patebit. Ergo patet propoſitum.
Aſſumptum vero patet ex dictis. Quia facile pa-
tebit conoides E B F, eſſe ad differentiam conoi-
deorum, ſeù ad differentiam conorum, vt dimidium
quadrati D E, ad tertiam partem rectanguli A E C.
Sed cum ex data hypotheſi, ſit diuidendo, & con-
uertendo, quadratum D E, ad rectangulum A E C,
vt G B, ad B D. Erit & vt dimidium quadrati D E,
ad tertiam partem rectanguli A E C, ſic dimidia
G B, ad tertiam partem B D.
SCHOLIV M.
Siquis verò ſcire cupiat, in qua proportione ſece-
tur tota B D, à centro grauitatis P, hoc tali
483621[Figure 21] fu obtinebit. Quoniam enim conuertendo L P, eſt
ad P Q, vt tertia pars B D, ad dimidiam G B;
ergo cum B L, ſit octupla L Q, B P, erit ad P Q,
vt 9. tertiæ partes B D (nempe vt tripla B D) cum
8. dimidijs G B (nempe cum quadrupla G B) ad
dimidiam G B. Pariter cum D Q, ſit tripla Q L;
erit P Q, ad P D, vt dimidia G B, ad quadruplam
dimidiam G B (nempe ad duplam G B) vna cum
tribus tertijs partibus B D (nempe cum B D). Er-
go ex æquali, erit B P, ad P D, vt quadrupla G
4937 vna cum tripla B D, ad duplam G B, cum B D.
Et ſubquadruplando terminos, erit B P, ad P D,
vt G B, cumſubſeſquitertia B D, ad dimidiam G B,
cum quarta parte B D.
PROPOSITIO XIV.
Centrum grauitatis conoidis hyperbolici ſic diuidit quartam
partem diametri eiuſdem ordine ſecundam à baſi, vt
pars propinquior baſi ſit adreliquam, vt ſexta pars la-
teris tranſuerſi, ad tertiam partem compoſitæ ex latere
tranſuerſo, & ex diametro.
SEd in ſchem. anteced. ſupponat prudens geome-
tra diametrum B D, ſecari bifariam in L, &
L D, bifariam in Q; deinde L Q, ſic ſecari in P,
vt Q P, ſit ad P L, vt ſexta pars G B, ad tertiam
partem G D. Dico P, eſſe centrum grauitatis
conoidis A B C. Cum enim Q, ſit centrum graui-
tatis coni A B C, & ex ſchol. propoſit. 6. L, ſit
centrum exceſſus conoidis ſupra conum; & cum ſit
Q P, ad P L, vt ſexta pars G B, ad tertiam par-
tem G D, nempe exhypotheſi, vt ſexta pars qua-
drati D E, ad tertiam partem quadrati A D; nem-
pe ex ſchol. cit. vt exceſſus conoidis ſupra conum ad
ipſum conum. Ergo ex Archimede in æqueponde-
rantibus, erit P, centrum grauitatis totius co-
noidis.
5038
SCHOLIV M.
Modus præſens aſſignandi centrum grauitatis
conuenit cum antecedenti, vt attentè conſideranti
patebit. Eſſet etiam alius modus inueniendi tale
centrum grauitatis, inuento prius centro grauitatis
exceſſus fruſti conici ſupra cylindrum ſibi inſcri-
ptum. Ex ſchol. enim 3. propoſit. 10. patet talem
exceſſum, & conoides hyperbolicum, eſſe quantita-
tes proportionaliter analogas. Centrum verò gra-
uitatis prædicti exceſſus facile habebitur. Nam ex
dictis in lib. 4. totius fruſti coni habetur pluribus
modis centrum grauitatis. Sed habetur etiam cen-
trum grauitatis cylindri in fruſto inſcripti; habetur-
que ratio talis cylindri ad exceſſum fruſti ſupra ip-
ſum. Quare centrum prædicti exceſſus non ignora-
bitur. Vice verſa tamen, modi reperiendi centrum
grauitatis conoidis aſſignati in dua bus propoſit. an-
teced quadrabunt etiam prædicto exceſſui.
Sed ſicuti in ſuperioribus docuimus in qua linea
diametro parallela ſit centrum grauitatis ſemihy-
perbolæ, ſic videtur conueniens docere in qua linea
dian etro parallela ſit centrum grauitatis ſegmenti
ſemihy perbolæ contenti inter duas lineas baſi paral-
lelas. Sed cum inuentioni talis lineæ præmiſſa ſit ra-
tio, cylindri circumſcripti conoidi ad ipſum conoi-
des, ſic in præſentiarum anteponenda videtur atio
cylindri circumſcripti ſegmento conoidis
5139 bolici contento inter duo plana baſi parallela, ad
ipſum.
PROPOSITIO XV.
Si ſegmento conoidis hyperbolici reſecti plano baſi parallelo,
ſit circumſcriptus cylindrus. Erit bic ad ipſum ſegmen-
tum, vt rectangulum ſub compoſita ex latere tranſuer-
ſo, & ex diametro conoidis, & ſub diametro, ad re-
ctangulum ſub eadem compoſita, & ſub diametro co-
noidis ad verticem, vna cum rectangulo ſub compoſi-
ta ex dimidio lateris tranſuerſi, & ex tertia parte dia-
metri fruſti, & ſub eadem tertia parte.
COnoides hyperbolicum cuius baſis A C, ver-
tex B, diameter D B, latus tranſuerſum.
G B, intelligatur ſectum plano H K I, A C, pa-
rallelo, & ipſi ſit circumſcriptus cylindricus L C. Di-
co hunc eſſe ad ſegmentum conoidis, vt rectangu-
lum G D B, ad rectangulum ſub G D, in B k,
vna cum rectangulo ſub compoſita ex dimidia G B,
& tertia parte D k, & ſub tertia parte D k.
Segmento A H I C, intelligatur inſcriptum ſeg.
mentum E N O F, conoidis parabolici cuius ver-
tex B, conditionis ſupra ſæpe expoſitæ; & in talibus
ſegmentis intelligantur ſegmenta conorum inſcri-
ptorum in integris conoidibus, quæ ſint A P Q C,
E R S F. Quoniam fruſtum A H I C, conſtat ex
fruſto parabolico, & ex differentia fruſtorum
524022[Figure 22] deorum; & ex propoſit. 4, differentia fruſtorum co-
noideorum eſt æqualis differentiæ conorum; ergo
L C, erit ad fruſtum A H I C, vt eſt ad fruſtum
parabolicum, vna cum differentia fruſtorum cono-
rum. Hanc verò rationem ſic venabimur. Cylin-
drus L C, ad fruſtum parabolicum E N O F, ha-
bet rationem compoſitam ex ratione cylindri L C,
ad cylindrum T F, tali fruſto parabolico circum-
ſcriptum, & huius ad ipſum fruſtum: L C, ad T F,
eſt vt quadratum A D, ad quadratum E D; nem-
pe ex hypotheſi, vt D G, ad G B. Cum autem
5341 propoſit. 3. lib. 4. ſit T F, ad E N O F, vt paralle-
logrammum T F, ad trapezium E R S F; & cum ex
propoſit. 8. & 9. lib. prim. ſit T F, parallelogram-
mum ad trapezium E R S F, vt dupla E D, ad E D,
cum R K, vel vt dupla D B, ad D B, cum Bk; ſe-
quitur cylindrum L C, ad ſegmentum parabolicum
E N O F, habere rationem compoſitam ex ratione
D G, ad G B, & ex ratione duplæ D B, ad D B,
cum B k. Sed ex dictis rationibus componitur quo-
que ratio dupli rectanguli G D B, ad rectangulum
G B D, cum rectangulo G B k. Et vt duplum re-
ctangulum G D B, ad prædicta conſequentia, ſic
triplum rectangulum G D B, ad ſexquialterum re-
ctangulorum G B D, G B k. Ergo L C, erit ad
ſegmentum E N O F, vt triplum rectangulum
G D B, ad ſeſquialterum rectangulorum G B D;
G B k. Quod ſeruetur.
Ex propoſit. 14, & 15, lib. 2. habemus tam totum
cylindrum L C, quam ablatum T F, eſſe illum ad
fruſtum conicum A P Q C, hunc verò ad fruſtum
conicum E R S F, vt tripla D B, ad D B, B R, &
harum tertiam minorem continuè proportionalem.
Ergo & reliquum ad reliquum erit vt totum ad to-
tum: nempetubus cylindricus L E M, erit ad diffe-
rentiam fruſtorum conorum, vt tripla D B, ad D B,
B k, & illam tertiam proportionalem. Tunc argu-
mentetur ſic. Ratio cylindri L C, ad differentiam
ſegmentorum conorum componitur ex ratione L C,
ad tubum L E M, & huius ad differentiam
544223[Figure 23] torum conorum: at L C, ad tubum eſt vt quadra-
tum A D, ad rectangulum A E C, nempe ex hy-
potheſi ſuppoſita per conuerſionem rationis, vt
G D, ad D B: tubus autem eſt ad differentiam fru-
ſtorum conorum vt tripla D B, ad D B, B k, & il-
lam tertiam proportionalem. Ergo ratio L C, ad
differentiam ſegmentorum conorum componetur
quoque ex rationibus G D, ad D B, & triplæ D B,
ad D B, B K, & illam tertiam proportionalem. Sed
ex dictis rationibus componitur etiam ratio tripli
rectanguli G D B, ad quadratum D B,
5543 D B k, & rectangulum ſub D B, & ſub illa tertia
proportionali (quod eſt æquale quadrato mediæ
B k). Ergo L C, erit ad differentiam fruſtorum co-
norum, vt triplum rectangulum G D B, ad quadra-
ta D B, B k, cum rectangulo D B K; nempe ad tria
quadrata B k, cum triplo rectangulo B k D, & cum
quadrato D k (, quia quadratum D B, diuiditur
in quadrata B k, k D, & in duo rectangula B k D; &
pariter rectangulum D B k, diuiditur in quadratum
B k, & in rectangulum B k D). Cum autem ſupra
probatum ſit, eſſe L C, ad fruſtum E N O F, vt
idem triplum rectangulum G D B, ad ſeſquialterum
rectangulorum G B D, G B k. Ergo colligendo am-
boconſe quentia, erit L C, ad fruſtum, & ad diffe-
rentiam fruſtorum conorum ſimul, nempe ad fru-
ſtum A H I C, vt triplum rectangulum G D B, ad
triplum quadratum B k, cum triplo rectangulo
B k D, cum quadrato K D, & cum ſeſquialtero re-
ctangulorum G B D, G B k. Ergo & vt horum pla-
norum tertiæ partes: nempe L C, erit ad A H I C,
vt rectangulum G D B, ad quadratum B K, cum
rectangulo B k D, & cum tertia parte quadrati D k,
vna cum dimidio rectangulorum G B D, G B K.
Cum verò dimidium rectanguli G B D, diuidatur
in dimidium G B K, & in dimidium G B, K D.
Ergo dimidium rectangulorum G B D, G B K, erit
rectangulum G B k, cum dimidio rectanguli G B,
K D. Si ergo ſimul iunxerimus rectangulum G B K,
cum quadrato B K, & cum rectangulo B K D,
564424[Figure 24] bimus rectangulum G D, B k. Pariter ſi ſimul iun-
xerimus rectangulum ſub dimidia G B, & ſub D K,
cum tertia parte quadrati D K, nempe cum rectan-
gulo ſub D K, & ſub tertia parte D k, habebimus
rectangulum ſub compoſita ex dimidia G B, & ex
tertia parte D k, & ſub D K. Ergo à primo ad vlti-
mum concludemus, eſſe L C, ad fruſtum conoidis
hyperbolici A H I C, vt rectangulum G D B, ad re-
ctangulum G D, B K, cum rectangulo ſub compo-
ſita ex dimidia G B, & ex tertia parte D k, & ſub
D K. Quod erat oſtendendum.
5745
SCHOLIVM.
Proportionem prædicti cylindri ad illud ſegmen-
tum hyperbolicum, etiam duobus alijs modis, con-
ſequenter ad ſuperius dicta, liceret colligere. Cum
enim tale ſegmentum conſter ex ſegmento coniſibi
inſcripto, & ex exceſſu ſupra ipſum; & cum talis ex-
ceſſus ſit æqualis exceſſui ſegmenti conoidis para-
bolici ſupra ſuum ſegmentum conicum; & cum ex
dictis in ijs, quæ de infinitis parabolis conſcripſi-
mus, facile liceat colligere rationem L C, & ad ſeg-
mentum conicum A P Q C, & ad exceſlum ſegmen-
ti conoidis parabolici ENOF, ſupra ſegmentum
conicum E R S F: ſequitur facile etiam nos obtine-
re rationem LC, ad ſegmentum AHIC. Pari-
ter ſi in ſchemat. propoſit. 10. tam ſegmento v. g.
A Q T C, quam ſegmento exceſſus fruſti conici
G N P H, ſupra cylindrum R M, mente concipia-
mus circumſcribi cylindros; patet ex dictis in eadem
propoſitione, tubum cylindricum cuius baſis armil-
la circularis G L H, altitudo OD, æqualem eſſe
cylindro circumſcripto ſegmento A Q T C. Pari-
terque patet exceſſum fruſti G N P H, ſupra cylin-
drum R M, æqualem eſſe ſegmento A Q T C. Cum
ergo ex dictis in opere ſupra citato, faciliſſime
poſſimus habere rationem prædicti tubi ad illum ex-
ceſſum ſupra cylindrum; faciliter etiam habebimus
rationem cylindri circum ſcripti ſegmento
5846 lico A Q T C, ad ipſum ſegmentum. Hæc non
continent multum difficultatis, quapropter ſufficiat
ea lectoribus indicaſſe.
Sicuti ſufficiat ex antecedentibus indicare mo-
dum reperiendi in quà linea parallela D k, ſit cen-
trum grauitatis ſuppoſiti ſegmenti ſemihyperbolæ
A H k D. Hoc autem reperietur ex dictis, ſi ſuppo-
natur ſegmenti A H K D, quadratura, nempe ratio,
quam habet ad ipſum parallelogrammum L D. Cum
enim cylindrus L C, habeat ad ſegmentum conoi-
dis A H I C, ex ſchol. pri. prop. 3. lib. 3. rationem
compoſitam ex ratione dimidij parallelogrammi
L D, ad ſegmentum A H k D, & ex ratione A D,
ad interceptam inter D, & centrum æquilibrij ſeg-
menti acceptum in A D, hoc eſt centrum grauitatis
duplicati ſegmenti A H k D, ad partes A D; ſequi-
tur, quod ſi ex proportione cylindri L C, ad ſeg-
mentum conoidis A H I C; nempe ex ratione ex-
preſſa in pręſenti propoſitione, ſubtrahatur ſuppoſita
ratio dimidij parallelogrammi L D, ad ſegmentum
parabolæ A H K D, remanebit ratio A D, ad inter-
ceptam inter D, & centrum quæſitum.
Hocpuncto inuento, non ignora bimus tria ſolita,
quæ ſæpe ſæpius deduximus in non paucis propoſi-
tionib is lib. 3. Nam primo non ignorabimus ratio-
nem cylindri ex L D, ad ſolidum ex ſegmento
A H K D, circa L A. Secundo non ignorabimus
rationem ſegmenti A H I C, ad ſolidum prædictum
circa A L. Tertio tam ſupra L D, quam ſupra.
5947 A H k D, intellectis cylindricis rectis æquealtis ſe-
ctis diagonaliter plano tranſeunte per D k, & per
latus oppoſitum ipſi L A, minimè ignorabimus cu-
bationes truncorum cylindrici ſuper A H k D, exi-
ſtentis. Hac tamen differentia, quod cubationem
trunci ſiniſtri habebimus ſine ſuppoſitione alicu-
ius quadraturæ; non ſic cubationem trunci dex-
teri.
His oſtenſis non erit inutile oſtendere modum.
inueniendi centrum grauitatis ſegmenti conoidis
hyperbolici A H I C. Sed prius oſtendatur ſequens
propoſitio.
PROPOSITIO XVI.
Differentia ſupradictorum fruſtorum conoideorum eſt ad
ſegmentum conoidis parabolici, vt quadrata axium to-
tius conoidis, & conoidis ad verticem, vna cum re-
ctangulo contento ſub his axibus, ad ſeſquialterum re-
ctangulorum contentorum ſub latere tranſuerſo, & ſub
prædictis axibus.
SInt ergo ſegmenta anteced, propoſit. Dico dif-
ferentiam fruſtorum A H I C, E N O F, eſſe
ad ſegmentum parabolicum E N O F, vt quadrata
D B, B k, cum rectangulo D B k, ad ſeſquialterum
rectangulorum G B D, G B K. Differentia enim.
prædicta ad ſegmentum E N O F, habet rationem
compoſitam ex ratione differentiæ ad tubum
6048 dricum LEM; huius ad cylindrum T F; & hu-
ius ad ſegmentum E N O F. Cum autem differen-
tia fruſtorum conoideorum ſit, ex ſupradictis, æqua-
lis differentiæ fruſtorum conorum inſcriptorum in
ipſis; & cum differentia fruſtorum conorum ſit ad
tubum L E M, vt facile poteſt deduci ex dictis in
ſchol. 4. propoſit. 14. lib. 2. vt D B, cum B K, &
cum harum tertia minori proportionali ad tres D B.
Sequitur etiam differentiam ſegmentorum conoi-
deorum, eſſe ad tubum cylindricum L E M, vt D B,
B K, & illa tertia proportionalis ad tres D B. Cum
verò L E M, tubus ſit ad cylindrum T F, vt re-
ctangulum A E C, ad quadratum E D, nempe
diuidendo, ex hypotheſi frequenter vſa, vt D B,
ad B G, ſeù vt tripla D B, ad triplam G B. Ergo
ex æquali, erit differentia ſegmentorum conoideo-
rum ad cylindrum T F, vt D B, B k, cum illa ter-
tia proportionali ad triplam G B. Cylindrus T F,
eſt ad ſegmentum E N O F, vt dicetur inferius, vt
dupla D B, ad D B, cum B K. Ergo à primo ad
vltimum, differentia ſegmentorum conoideorum.
ad ſegmentum E N O F, habebit rationem com-
poſitam ex ratione D B, B k, & harum tertiæ pro-
portionalis ad triplam B G, & ex ratione duplæ D B,
ad D B, B k. Sed ex dictis rationibus componitur
quoque ratio duorum quadratorum B D, duorum
rectangulorum D B K, & duorum rectangulorum.
ſub D B, & ſub illa tertia proportionali (quæ duo
vltima rectangula ſunt æqualia duobus
614925[Figure 25] mediæ B K), ad tria rectangula G B D, cum tribus
rectangulis G B k. Ergo differentia fruſtorum co-
noideorum, erit ad ſegmentum E N O F, vt duo
quadrata D B, cum duobus rectangulis D B k, &
cum duobus quadratis B K, ad tria rectangula,
G B k, cum tribus rectangulis G B D. Et vt ho-
rum terminorum dimidia. Nempe differentia præ-
dicta, erit ad prædictum ſegmentum, vt quadrata
D B, B k, cum rectangulo D B k, ad ſeſquialte-
rum rectangulorum G B D, G B k. Quod erat
oſtendendum.
6250
Quod verò T F, cylindrus ſit ad ſegmentum.
E N O F, vt dupla D B, ad D B, B k, patet. Quía
ex propoſit. 3. lib. 4. cylindrus T F, eſt ad ſegmen-
tum conoidis parabolici E N O F, vt parallelo-
grammum T F, ad trapezium lineare E R S F, At
ex propoſit. 9. lib. prim. eſt parallelogrammum ad
trapezium vt dupla D B, ad D B, & B k. Qua-
re patet propoſitum.
SCHOLIVM.
Ratio autem prædictorum ſolidorum collecta in
ſupradicta propoſitione, poteſt etiam reduci ad mi-
nora plana; quia poteſt reduci ad eam, quam habet
rectangulum D B k, cum tertia parte quadrati D k,
ad rectangulum G B K, cum dimidio rectanguli
G B, K D. Patet quia hæc plana ſunt tertiæ partes
priorum planorum.
PROPOSITIO XVII.
Segmenti fupradicti conoidis hyperbolici centrum
grauitatis reperire.
SEgmenti conoidis hyperbolici A H I C, cen-
trum grauitatis reperietur ſic. Inſcriptis ſoli-
dis vt ſupra, ſecetur K D, ſic in X, vt K X, ſit ad
X D, vt duplum quadratum E D, cum quadrato
N K, ad duplum quadratum N K, cum
635126[Figure 26] E D, ſeù vt dupla D B, cum B K, ad duplam B K,
cum B D. Ergo ex ſchol. propoſit. 15. lib 4. erit
X, centrum grauitatis fruſti conoidis parabolici
E N O F. B D, & B K, ſic ſecentur in Y, +, vt
B Y, ſit tripla ipſius Y K, & pariter B +, tripla ſit
ipſius + D: & fiat vt exceſſus cubi D B, ſupra cu-
bum B K, ad cubum B K, ſic Y +, ad + ℟. Ergo
exſchol. propoſit, 18. eiuſdem libri erit ℟, centrum
grauitatis differentiæ fruſtorum conorum; & conſe-
quenter exſchol. 2. propoſit. 4. huius, erit centrum
grauitatis differentiæ fruſtorum conoideorum.
6452 uidatur ergo X ℟, in Z, vt ſit X Z, ad Z ℟, vt qua-
drata D B, B K, cum rectangulo D B K, ad ſeſqui-
alterum rectangulorum G B D, G B K; ſeù vt rectan-
gulum D B K, cum tertia parte quadrati D K, ad re-
ctangulum G B K, cum dimidio rectanguli G B, K D;
nenipe ex propoſit. anteced. vt eſt differentia fruſto-
rum conoideo rum ad fruſtum conoidis parabolici
E N O F. Dico inuentum eſſe Z, centrum grauita-
tis fruſti conoidis hyperbolici A H I C. Cum au-
tem res ſit de sè euidens ex doctrinis Archimedis in
æqueponderantibus, relinquitur conſiderationi le-
ctoris.
SCHOLIVM.
Alij modi ex ſuperioribus non deſunt reperiendi
tale centrum grauitatis; ſed nè lectorem nimis quam
par ſit defatigemus, ad alia, & noua tranſeamus; præ-
cipuè ad centrum grauitatis hyperbolæ reperien-
dum. Quod tamen non reperietur niſi præmiſſis qui-
buſdam demonſtrationibus.
PROPOSITIO XVIII.
Si ſemihyperbola cum ſibi circumſcripto parallelogrammo
rotetur circa ſecundam coniugatam diametrum. An-
nulus latus ortus ex rotatione exceſſus parallelogram-
mi ſupra ſemihyperbolam, erit æqualis cono ex triangu-
lo, cuius vnum latus dimidia ſecundæ diametri,
6553 intercepta inter ſecundam diametrum, & aſymptotum,
reuoluto cicca ſecundam diametrum; & hoc tam ſecun-
dum totum, quam ſecundum partes proportionales.
ESto ſemihyperbola A B C, cuius diameter A B;
E B dimidium lateris tranſuerſi; centrum E;
aſymptotus E G; ſecunda diameter E F; & pa-
rallelogrammum A D, ſemihy perbolæ circumſcri-
ptum cum triangulo E F G, rotentur circa E F. Di-
co annulum latum ortum ex rotatione trilinei mixti
C B D, circa E F, æqualem eſſe cono G E M, &
hoc tam ſecundum totum, quam ſecundum partes
proportionales. Intelligantul oppoſitæ ſectiones vt
in ſchemate, & ſumatur a bitrariè in E F, quodli-
bet punctum I, per quod ducatur O I N, paralle-
la L C, ſecans aſymptotum E G, in P. Quadra-
tum I O, eſt æquale tam rectangulo O P N, cum
quadrato P I, quam rectangulo O Q N, cum.
quadrato Q I. Ergo rectangulum O P N, cum
quadrato P I, erit æquale rectangulo O Q N, cum
quadrato Q I. Sed ex propoſit. 11. ſec. conic. re-
ctangulum O P N, eſt aquale quadrato B E, ſeù
quadrato Q I. Ergo reliquum rectangulum O Q N,
erit æquale reliquo quadrato P I. Quare & armil-
la circularis O Q N, erit æqualis circulo P R. Cum
vero punctum I, ſumptum ſit arbitrariè ergo om-
nes armillæ circulares parallelæ armillæ C D L, or-
tæ ex rotatione trilinei C B D, circa E F, erunt
æquales omnibus circulis coni G E M. Et
665427[Figure 27] quenter annulus latus ortus ex rotatione illius trili-
nei circa E F, erit æqualis cono G E M. Quod
vero probatum eſt de totis, patet eodem modo poſſe
probari de partibus proportionalibus; v. g. eodem
modo probabimus partem annuli lati ortam ex rota-
tione trapezij mixti C O Q D, æqualem eſſe ſeg-
mento com G P R M. Quare patet ſolida prædi-
cta æqualia eſſe inter ſetam ſecundum totum, quam
ſecundum partes proportionales.
6755
SCHOLIVM I.
Licet autem præſens propoſitio probata fit per
indiuiſibilia, poteſt tamen probari etiam modo ar-
chimedeo; quia facta conſtructione vt in ſchemate,
facile patebit tubum cylindricum O D N, inſcri-
ptum in annulo, æqualem eſſe cylindro in cono in-
ſcripto. Si ergo diuidatur E F, bifariam, & partes
bifariam, & hocſemper, & per puncta diuiſionum
fiant conſtructiones ſimiles factæ; patebit faciliter
omnes tubos cylindricos inſcriptos in annulo, æqua-
les fore omnibus cylindris in cono inſcriptis. Qua-
re cum facta hac inſcriptione, tam cylindri in cono
inſcripti, quam tubi in annulo poſſint deficere à ma-
gnitu dinibus in quibus inſcribuntur magnitudine
quacumque data minore; modo archimedeo dedu-
cetur, annulum æqualem eſſe cono.
SCHOLIVM II.
Ex dictis ergo in præſenti propoſit. & in lib. 4. de
Infin. Parab. poſſumus deducere, annulum prædi-
ctum, & conum G E M, eſſe quantitates proportio-
naliter annalogas tam in magnitudine, quam in gra-
uitate, tam fecundum totum, quam ſecundum par-
tes proportionales. Quare cum ex dictis in ſchol-
prim. propoſit. 8. eiuſdem libri, conus, trilineum pa-
rabolicum quadraticum, & exceſſus cylindri
685628[Figure 28] cumſcripti hemiſphærio, ſeù hemiſphæroidi ſint
quatuor magnitudines proportionaliter analogæ: ſe-
quitur his etiam aſſociari pro quinta magnitudine
annulum latum prædictum. Ex dictis ergo in lib cit.
habebimus, quod centrum grauitatis talis annuli ſic
ſecabit E F, vt pars terminata ad E, ſit ad par-
tem terminatam ad F, vt 3. ad 1. Pariter ſi con-
ſiderabimus quamlibet partem eiuſdem annuli re-
ſectiplano C L, parallelo, & terminatam ad
6957 lum B E K, v. g. illam, quæ oritur ex rotatione tri-
linei B O Q ci ca E F; agnoſcemus eius centrum
grauitatis ſecare E I, in eadem ratione. Quia ta-
lis pars eſt proportionaliter an aloga cum cono P E R.
Cum vero etiam pars annuli orta ex rotatione trape-
zij mixti C O Q D, ſit probata proportionaliter
analoga ſegmento conico G P R M, & cum talis
ſegmenti conici ſit in libro cit. pluribus modis inuen-
tum centrum grauitatis; ex dictis ibidem reperie nus
in quo puncto I F, ſit centrum grauitatis prædicti
ſegmenti annuli.
SCHOLIVM III.
Sed paradoxum Galilei, de quo locuti ſumus ſu-
pra ſchol. 2. propoſit. 10. poſlumus etiam deducere
ex præſenti propoſitione. Nam etiam ex hac facto
concinno diſcurſu, tandem concludemus, circumfe-
rentiam B E k, extremitatem annuli, æqualem fore
E, vertici coni.
PROPOSITIO XIX.
In ſchem. anteced. propoſit. annulus ſtrictus ex quadrila-
tero mixto C B E G, circa E F, eſt æqualis cylindro
D K, tam ſecundum totum, quam ſecundum partes
proportionales.
PAtet faciliter. Cum enim in anteced. propoſit.
oſtenſum ſit, annulum latum ex trilineo
7058 circa E F, æqualem eſſe cono G E M; ergo com-
muni addito cylindro K D, erit ſo idum C B k L,
æquale cylindro D K, & cono G E M. Quò hinc
inde ablato. Ergo ſolidum G C B E k L M, erit æ-
quale cylindro k D.
Eodem modo oſtendemus æqualitatem partium
proportionalium, v. g. partem annuli ortam ex rota-
tione quadrilateri mixti C O P G, æqualem eſſe
cylindro Q S. Addendo enim cylindrum Q S, &
auferrendo G P R M, fruſtum conicum, patebit
propoſitum.
SCHOLIVM I.
Præſens propoſitio potuiſſet immediate probari
per indiuiſibilia independenter ab anteced. propo-
ſit. Quia facta conſtructione vt in anteced propoſit.
ſtatim patebit ex propoſit. 11. 2. Conic. & rectangu-
lum O P N, æquale eſſe quadrato B E, ſeù Q I;
& armillam circularem O P N, æqualem pariter
fore circulo cuius radius Q I. Quare facile patebit
& omnes armillas ſolidi ex quadrilatero mixto
C B E G, æquales eſſe omnibus circulis cylindri k D,
& ipſum annulum ex quadrilatero mixto, æqualem
eſſe cylindro k D. Maluimus tamen hanc ex ante-
cedenti deducere, vt pauidis geometris non relin-
quamus vllum locum hæſitandi de certitudine præ-
ſentis propoſitionis; nam adhibita præſenti conſtru-
ctione propoſitio non probatur niſi per
715929[Figure 29] lia; quia in annulo ex quadrilatero mixto C B E G,
nequit fieri inſcriptio tuborum cylindricorum, quæ
patuit poſſe fieri in annulo ex trilineo mixto
C B D.
SCHOLIVM II.
Pater ergo conſequenter ad ſæpeſæpius repetita,
annulum præſatum G C B E k L M, &
7260 K D, eſſe quantitates proportionaliter analogas om-
niquaque: quod etiam intelligẽdum eſtſi ſemihyper-
bola cum omnibus duplicetur. Annulus ergo præ-
dictus etiam duplicatus ad partes K B, erit corpus
ſibi ſimilare, ad modum quo cylindrus K D, ſic du-
plicatus eſt corpus ſibi ſimilare. Hoc eſt, quod ſicut
cylindrus ſectus planis baſibus parallelis, ſemper ſe-
catur in proportione partium axis, ſic etiam in tali
proportione ſecabitur talis annulus. Sicuti ergo
centrum grauitatis cylindri, cuiuslibetque eius par-
tis contentæ inter plana baſibus parallela eſt in me-
dio axis; ſic etiam centrum grauitatis talis annuli, &
cuiuslibet eiuſdem ſegmenti reſecti plano C L, pa-
rallelo, erit vel in medio E F, vel in medio partis
E F, correſpondentis parti annuli, vel quæ ſit al-
titudo partis annuli. Quæ omnia vtique nobis vi-
dentur admitabilia, & neicimus an fortè corpus huic
ſimile in tota geometria adinueniatur, præter vni-
cum, quod antequam ad vlteriora progrediamur,
intelligimus in propoſitione ſequenti explicare.
PROPOSITIO XX.
Exceſſus fruſti crnici propoſit. 10. ſupra conoides hyper-
bolicum, eſt æqualis cylindro ſuper minore baſi frusti,
& circa diametrum cum ipſo: & hoc tam ſecundum to-
tum, quam ſecundum partes proportionales.
7361 30[Figure 30]
ESto ergo in ſchem propoſit. 10. fruſtum coni-
cum G I K H, conoides hyperbolicum ſit
A B C, cuius aſymptoti G F, F H, & ſit cylin-
drus I M, cuius baſis I B K, minor baſis fruſti.
Dico exceſſum ſruſti conici G I k H, ſupra conoi-
des A B C, æqua´em eſſe cylindro I M, ram ſe-
cundum totum, quam ſecundum partes proportio-
nales. De totis patet. Quia cum ex cit. propoſit.
10. exceſſus G I k H, ſupra cylindrum I M,
7462 æqualis conoidi A B C; ſi cylindrus I M, adda-
tur. Ergo exceſſus cum cylindro, nempe fruſtum
G I k H, erit æquale cylindro, & conoidi ſimul.
Ablato ergo conoide, exceſſus fruſti ſupra conoides
remanebit æqualis cylindro.
Non alio modo oſtendetur æqualitas partium,
proportionalium, v. g. exceſſum fruſti G N P H,
ſupra fruſtum conoidis A Q T C, æqualem eſſe
cylindro R M. Quia ex dictis in præcitata propo-
ſit. 10. exceſſus fruſti G N P H, ſupra cylindrum
R M, eſt æqualis ſegmento A Q T C; addito ergo,
vt prius, cylindro R M, & ablato ſegmento A Q T C,
intentum probabitur. Quare patuit talia ſolida æ-
qualia fore tam ſecundum totum, quam ſecundum
partes.
SCHOLIVM.
Sed etiam præſens propoſitio poſſet immediate
per indiuiſibilia oſtendi. Sumpto enim arbitrariè
puncto O, & acto plano N O P, G H, paralle-
lo. Ex propoſit. 10. ſec. conic. rectangulum N Q P,
eſt æquale quadrato I B, ſeù quadrato R O. Et
conſequenter armilla circularis N Q P, eſt æqua-
lis circulo R O S: & omnes armillæ ęqualis omni-
b s irculis; & exceſſus prędictus ęqualis cylindro
I M. Sed hac conſtructione adhibita, demonſtratio
non reducitur ad modum Archimedeum, quia in prę-
dicto exceſſu nequeunt inſcribi tubi cylindrici.
7563 31[Figure 31]
Patet ergo exceſſum prędictum, & cylindrum.
I M, eſſe quantitates proportionaliter analogas tam
ſecundum totum, quam ſecundum partes, tam in
magnitudine, quam in grauitate. Inſuper patet ex-
ceſſum A G I B k H C, prędictum eſſe corpus ſibi
ſimilare vt explicatum eſt in ſchol. 2. propoſit. ant.
Hoc eſt quod ſi ſecetur plano N P, quocunque, G H,
parallelo, ſemper ſecabitur in ratione partium axis
D B. Item centrum grauitatis eius erit in
7664 D B; ſicutietiam centrum grauitatis cuiuslibet eius
partis erit in medio partis B D, quæ erit altitudo
partis exceſſus.
PROPOSITIO XXI.
In ſchemate prop. 19. cylindrus ex parallelogrammo A F,
circa E F, eſt ad ſchdum ex figur a mixta C B E F, circa
candem E F, vt quadratum E A, ad quadratum E B,
cum tertia parte rect anguli K A B.
32[Figure 32]
7765
QVoniam enim probatum eſt in propoſit. 19. ſo-
lidum C B k L, æquari cylindro B S, &
cono G E M; ergo cylindrus A L, ad hæc ſoli-
da habebit eandem rationem. At cylindrus A L,
ad cylindrum B S, & ad conum G E M, eſt vt qua-
dratum E A, ad quadratum E B, cum tertia parte
rectanguli K A B. Quare & c.
Aſſumptum patebit ſic. Cylindrus A L, ad cy-
lindrum B S, eſt vt quadratum A F, ad quadratum
E B. Pariter idem cylindrus A L, ad conum GEM,
eſt vt quadratum C F, ſeù vt idem quadratum A E,
ad tertiam partem quadrati G F. Ergo colligendo
ambo conſequentia, erit cylindrus A L, ad cylin-
drum B S, cum cono G E M, nempe ad ſolidum
C B k L, vt quadratum A E, ad quadratum E B,
cum tertia parte quadrati F G. At tertia pars qua-
drati F G, eſt æqualis tertiæ parti rectanguli k A B.
Nam quadratum E A, diuiditur in quadratum E B,
& in rectangulum k A B: pariter quadratum idem
E A, ſeù F C, diuiditur in quadratum F G, & in
rectangulum C G L, ſeù M C G. Ergo quadra-
tum E B, cum rectangulo K A B, erit æquale qua-
drato F G, & rectangulo M C G. Sed ex ſec. co-
nic. propoſit. 11. rectangulum M C G, eſt æquale
quadrato B E. Quare reliquum rectangulum k A B,
erit æquale reliquo quadrato F G. Quare etiam il-
lorum tertiæ partes erunt æquales. Ergo cylindrus
A L, erit ad ſolidum C B k L, vt quadratum E
7866 ad quadratum EB, cum tertia parte rectanguli k A B.
Quod erat oſtendendum.
His oſtenſis adinuenietur centrum grauitatis hy-
perbolæ ſic.
PROPOSITIO XXII.
Si hyperbolæ circumſcriptum par allelogrammum intelliga-
tur productum vſque ad ſecundam diametrum, & fiat
vt quadratum compoſitæ ex axi hyperbolæ, & ex di-
midia lateris tranſuerſi, ad quadratum dimidiæ lateris
tranſuerſi cum rectangulo ſub axi, & ſub compoſita
ex axi, & ex latere tranſuerſo, ſic compoſita ex di-
midia lateris tranſuerſi, & ex axi, ad aliam: item
fiat vt dimidium prædicti parallelogrammi ad exceſſum
totius parallelogrammi ſupra hyperbolam, ſic compoſita
ex axi, & ex dimidia lateris tranſuerſi, ad aliam:
tandem fiat vt ſecunda inuenta ad primam inuentam,
ſic compoſita ex axi, & ex dimidia lateris tranſuerſi
ad ſui partem abſcindendam incipiendo à ſecunda dia-
metro. Erit punctum quod est alter terminus huius ab-
ſciſſæ centrum grauitatis exceſſus parallelogrammi ſupra
hyperbolam.
ESto hyperbola A B C, cuius axis B D; latus
tranſuerſum B E; centrum F; ſecunda dia-
meter G H; & G C, ſit parallclogrammum: fiat
vt quadratum F D, ad quadratum F B, cum
796733[Figure 33] parte rectanguli E D B, ſic D F, ad F O: item fiat
vt parallelogrammum G D, ad exceſſum parallelo-
grammi G C, ſupra hyperbolam A B C, ſic D F,
ad F L: tandem fiat vt L F, ad F O, ſic D F, ad
F k. Dico punctum k, eſſe centrum grauitatis fi-
guræ A G H C B.
Quoniam enim ex propoſit. anteced. cylindrus ex
G C, circa G H, eſt ad ſolidum ex figura A G H C B,
circa eandem G H, vt quadratum F D, ad quadra-
tum F B, cum tertia parte rectanguli E D B;
8068 pe ex conſtructionē, vt D F, ad F O; & ratio D F,
ad F O (de foris ſumpta F L) componitur ex ratio-
ne D F, ad F L, & huius ad F O. Ergo etiam ra-
tio cylindri prædicti ex G C, ad ſolidum ex exceſſu
G C, ſupra hyperbolam componetur ex ijſdem ra-
tionibus. At ex ſchol. prim. propoſit. 3. lib. 3. ratio
prædicti cylindri ad antedictum ſolidum componi-
tur etiam ex ratione parallelogrammi G D, ad figu-
ram A G H C B, & ex ratione D F, ad interceptam
inter F, & centrum grauitatis figuræ A G H C B.
Ergo etiam rationes D F, ad F L, & F L, ad FO,
erunt æquales rationibus G D, ad A G H C B, &
D F, ad prædictam interceptam. Sed ex conſtru-
ctione, rationes G D, ad A G H C B, & D F, ad
F L, ſunt æquales. Ergo ſi hæ rationes auferantur à
prædictis, etiam reliquæ erunt æquales. Ergo ratio
L F, ad F O, erit æqualis rationi D F, ad interce-
ptam prædictam. Sed factum fuit ſupra vt L F, ad
F O, ſic D F, ad F k. Ergo k, erit centrum gra-
uitatis figuræ A G H C B. Quod erat oſtenden-
dum.
SCHOLIVMI.
Inuento autem centro prædicto, facile erit etiam
centrum grauitatis hyperbolæ reperire. Si enim
ſupponamus F D, ſectam bifariam in O, & ſuppo-
namus k, eſſe centrum grauitatis figuræ A G H C B,
ſi fiat vt A B C, ad A G H C B, ſic reciprocè k
816934[Figure 34] ad O L. Erit ex doctrinis Archimedis, L, centrum
grauitatis hyperbolæ.
Sed etiam in præſenti eſt adnotandum, poſſe
colligi tria ſolita. Nempe rationem ſolidorum ex
A G H C B, ſigura reuoluta & circa G H, & circa
A C, ad inuicem. Cubationem truncorum cylindrici
recti ſuperipſa ſigura exiſtentis reſecti plano diago-
naliter tranſeunte per G H, & per A C, parallelam. Aſt
cubatio trunci ſiniſtri habetur ſine ſuppoſitione qua-
draturæ hyperbolæ, ſed cubatio trunci dexteri
8270 habetur ſine tali quadratura; ſine quanon habemus
nec etiam tertium, nempe rationem cylindri ex
G C, circa A C, ad ſolidum ex figura A G H C B,
circa eandem A C.
Sed hyperbolæ A B C, intellecto circumſcripto
parallelogrammo, cum hyperbolæ inuentum ſit cen-
trum grauitatis, tria ordinatia colligentur etiam in
ſolidis genitis ex hyperbola. Sed hæc non colligen-
turniſi ſuppoſita ipſiu, quadratura. Hac ergo ſup-
poſita habebimus rationem cylindri ex parallelo-
grammo hyperbolæ circumſcripto ad alterutrum ſo-
lidorum ex pſa reuoluta ſiue circa A C, ſiue circa
latus parallelogrammi tranſiens per B. Item habebi-
mus rationem horum ſolidorum ad inuicem. Ft cu-
bationem truncorum cylindrici recti ſupra ipſa exi-
ſtentis, reſectique plano conſueto modo diagonali-
ter tranſennte. Ex quibus pater ſuppoſita hyperbo-
læ quadratura, nos aſſignaſſe rationem cylindri cir-
cumſcripti ſuſo hyperbolico, ad ipſum; quod pari-
ter alio modo præſtitit Bonauentura Caualerius in
exercit. 4. propoſit. 35.
SCHOLIVM II.
Repertum eſt ergo centrum grauitatis hyperbo-
læ, ſuppoſita ipſius quadratura, quod nullus (quod
ſciamus) ante nos tentauit. Sed non modo licet re-
perire hoc, ſed etiam poſſumus aſſignare centrum-
æquilibrij cuiuſcunque eius partis conſtitutæ ex
8371 ctione hypèrbolæ linea, vellineis diametro paralle-
lis; & conſequenter centrum grauitatis talis partis
duplicatæ. Explicabimus hoc in vna, ex huiuſque
explicatione lector adnotabit modum in alijs exer-
cendum. Intelligamus in ſequenti figura reperire
centrum grauitatis portionis T O C, reſectæ linea
T O, diametro B A, parallela. Quoniam ſupia in
propoſit. 19. probatum fuit annulum ex figura mix-
ta C O P G, æqualem fore cylindro Q S; commu-
ai addito fruſto conico G P R M, totum ſolidum
C O N L, erit æquale cylindro Q S, & fruſto
G P R M. Cum ergo ad modum ſuperiorum poſſi-
mus reperire rationem, quam habet cylindrus T L,
ad cylindrum Q S, & ad ſegmentum conicum-
G P R M, ſimul; habebimus etiam rationem, quam
habet cylindrus T L, ad ſolidum C O N L. Hac
habita, ſi ex ipſa ſubtrahamus rationem, quam
habet dimidium I C, ſuppoſitam, ad figu-
ram C O I F; habebimus rationem, quam habet
T I, ad interceptam inter I, & centrum æquilibrij
figuræ C O I F, in I T. Et conſequenter facile re-
periemus centrum æquilibrij talis figuræ. Hoc in-
uento reperietur etiam centrum ęquilibrij portionis
hyperbolę T O C, in T O; & conſequenter cen-
trum grauitatis duplicatę T O C, ad partes T O.
Ex quibus poſtea reliqua ſolita deduci, colligeren-
tur. Hęcergo, & ſimilia liceret reperire. Ex qui-
bus paterent ea omnia, quę oſtendit Caualerius in
loc. cit. propoſit. 36. & multo plura. Sed quia
847235[Figure 35] non reperiuntur niſi ex ſuppoſita quadratura, ideo
reliquuntur. Sufficit enim nobis lectori indicare.
hęc nequaquam ignorari à nobis. Sicuti ſufficiet ip-
ſi indicare nos poſſe habere centra grauitatis om-
nium cylindricorum exiſtentium ſuper hyperbola, &
ſuper omnibus ipſius partibus, quarum inuenitur
centrum grauitatis. Erit enim in medio lineæ iun-
gentis centra grauitatis oppoſitarum baſium.
8573 ctis ergo his, tranſeamus ad quadrandam parabolam
duobus nouis modis.
PROPOSITIO XXIII.
Si ſemihyperbola cum ſibi circumſ ripto parallelogrammo ro-
tetur circa ſecundan. diametrum. Tubus cylindruus
ex parallelogrammo, erit ſeſquialter annuli lati ex ſe-
mibyperbola.
SEmihyperbola A B C, cum ſibi circumſcripto
parallogrammo A D, rotetur circa E F, ſe-
cundam dametrum. Dico tubum cylindricum.
A D H, eſſe ſeſquialterum annuli lati ex ſemihy-
perbola A B C, circa E F, reuoluta. Quoniam
tubus C B S H, eſt ad cylindrum A L, vt rectan-
gulum H B A, ad quadratum E A; nempe vt re-
ctangulum k A B, ad idem quadratum E A; & cy-
lindrus A L, probatus eſt eſſe in propoſit. 21. ad ſo-
lidum C B k L, vt quadratum E A, ad quadratum
E B, cum tertia parte rectanguli K A B; vnde per
conuerſionem rationis, eſt idem cylindrus A L, ad
annulum ex ſemihyperbola A B C, circa E F, vt
idem quadratum E A, ad exceſſum ipſius ſupra
quadratum E B, & ſupra tertiam partem rectanguli
k A B; ergo ex æquali, erit tubus cylindricus A D k L,
ad talem annulum latum, vt rect angulum A B H, ad
prædictum exceſſum. Sed quadratum E A, cum ſit
æquale quadrato E B, & rectangulo k A B,
8674 illa plana duobus tertijs rectanguli k A B. Ergo tu-
bus cylindricus A D K L, erit ad prædictum annu-
lum, vt rectangulum K A B, ad duotertia eiuſdem
rectanguli; nempe in ratione ſeſquialtera. Quod
erat oſtendendum.
PROPOSITIO XXIV.
Si recta linea A B, ſecetur in C, bifariam, & in D,
E, æque remotè à C, eodemque modo in F, G. Re-
ctangulum A G B, erit exceſſus rectanguli A E B, ſu-
pra rectangulum F E G.
36[Figure 36]
NAm rectangulum A E B, diuiditur in rectan-
gulum A E G, & in rectangulum A F, G B.
Pariter rectangulum A E G, diuiditur in rectangu-
lum F E G, & in rectangulum A F, E G, ſeù B G F,
quia A F, @xhypotheſi, @ſt æqualis G B. Ergo ex-
ceſſus rectanguli A E B, ſupra rectangulum F E G,
eſt rectangulum A E, G B, cum rectangulo E G B;
quæ duo rectangula ſunt æqualia rectangulo A G B.
Quare patet propoſitum.
PROPOSITIO XXV.
Si in oppoſitis ſection bus, quæ hyperb læ appellantur du-
cantur lineæ lateri tranſuerſo parallelæ,
8775 æqualibus ad diametros applicatis in ambabus hyper-
bolis. Rectangula ſub partibus ipſarum reſectarum ab
eadem curua hyperbolæ erunt ad inuicem, vt rectan-
gula ſub partibus ordinatim applicatæ ab ipſis ſectæ.
SInt oppoſitæ ſe-
37[Figure 37] ctiones hyper-
bolæ A B C, D E F,
quarum latus tranſ-
uerſum E B, & D F,
A C, ſint æquales or-
dinatim applicatæ ad
æquales diametros
K E, B H, & ſint du-
ctæ L O, P S, paral-
lelæ k H. Dico re-
ctangulum L N O, eſ-
ſe ad rectangulum.
P R S, vt rectangu-
lum A O C, ad re-
ctangulum A S C.
Applicentur à punctis
N, R, N T, R I, ordi-
nation ad diametrum;
item à punctis M, Q
ordinatim applicen-
tur ad k E, M V, Q X.
Q oniam enim ex
prim. conic. propoſit. 21. rectangulum E H B,
8876 rectangulum E T B, eſt vt quadratum A H, ad qua-
dratum N T, ſeù O H; & rectangulis E H B, E T B,
ſunt æqualia rectangula K B H, V B T, quia k E,
B H, & V E, B T, ſunt æquales; ergo erit vt rectan-
gulum K B H, ad rectangulum V B T, ſic quadra-
tum A H, ad quadratum H O. Ergo & per con-
uerſionem rationis, erit rectangulum K B H, ad ex-
ceſſum ipſius ſupra rectangulum V B T; nempe ex
propoſit. anteced. ad rectangulum k T H, ſeù ad ei
æquale L N O, vt quadratum A H, ad rectangu-
lum A O C. Et conuertendo, erit rectangulum.
A O C, ad quadratum A H, vt rectangulum L N O,
ad rectangulum K B H. Eodem modo oſtendetur
eſſe rectangulum K B H, ad rectangulum P R S,
vt quadratum A H, ſeù H C, ad rectangulum.
A S C. Quare ex æquali, erit rectangulum L N O,
ad rectangulum P R S, vt rectangulum A O C, ad
rectangulum A S C. Quod & c.
PROPOSITIO XXVI.
Parallelogrammum circum ſcriptum parabolæ quadraticæ, eſt
ad ipſam, vt tubus @ylindricus ex gyratione parallelo-
gramm@ circurnſcripti hyperbolæ circa ſecundam coniuga-
tam diametrum, ad annulum latum ex reuolutione hyper-
bo´æ circa eandem diametrum; & hoc tam ſecundum to-
tum, quam ſecundum partes proportionales; dummodo ba-
ſes pa abolæ, & hyperbolæ genitricis annuli proportiona-
liter ſecentur.
8977
ESto hyperbola A B C, cuius axis B N, diame-
ter tranſuerſa E B, centrum L, ſecunda dia-
meter k M, parallelogrammum ei circumſcriptum
ſit G C: pariter ſit parabola quadratica A O C,
cum ſibi circumſcripto parallelogrammo P C. Di-
co tubum cylindricum ex reuolutione C G, circa
k M, eſſe ad annulum latum ex reuolutione A B C,
circa eandem K M, vt parallelogrammum P C, ad
A O C, parabolam. In A C, communi baſi para-
bolæ, & hyperbolæ accipiatur arbitrariè punctum I,
per quod agatur F I T, parallela O E, ſecans om-
nia vt in ſchemate. Quoniam ex propoſit. anteced.
rectangulum A N C, e@t ad rectangulum A I C, vt
rectangulum V B N, ad rectangulum T H I; & vt
rectangulum V B N, ad rectangulum T H I, ſic
armilla circularis ex B N, reuoluta circa K M, ad
armillam circularem ex H I, reuoluta circa eandem
K M; ergo vt rectangulum A N C, ad rectangulum
A I C, ſic armilla circula is V B N, ſeù T S I, ad ar-
millam circularem T H I. Sed vt rectangulum.
A N C, ad rectangulum A I C, ſic ex ſchol. propo-
ſitionis 22. libri primi N O, ſeù F I, ad I R.
Ergo vt armilla circularis T S I, ad armillam circu-
larem T H I, ſic F I, ad I R. Sed punctum I, ſum-
ptum fuit vt cunque. Ergo vt omnes armillæ circula-
res parallelæ armillæ V B N, ex parallelogrammo
G C, re@oluto circa k M, ad omnes armillas circu-
lares parallelas eidem V B N, ex hype bola A B C,
reuoluta circa eandem k M, ſic omnes lineæ
907838[Figure 38] logrammi P C, parallelæ N O, ad omnes lineas pa-
rabolæ A O C, parallelas eidem O N. Nempe
9179 tubus cylindricus ad annulum ex hyperbola, ſic pa-
rallelogrammum P C, ad parabolam A O C.
Quod autem probatum fuitdetotis, patet eodem
modo probari poſſe de partibus proportionalibus;
nimirum eodem modo poteſt probari eſſe v. g. tu-
bum cylindricum ex parallelogrammo I B, circa.
K M, ad partem annuli ex ſegmento hyperbolæ
I H B N, circa eandem K M, vt parallelogrammum
F N, ad ſegmentum parabolæ I R O N. Quare pa-
tet propoſitum in omnibus, & peromnia.
SCHOLIVM I.
Præſens propoſitio, quæ probata fuit perindiuiſi-
bilium methodum breuiorem, probari quoque po-
teſt per methodum antiquam prolixiorem. Nam
cum probatum ſit eſſe armillam circularem T S I.
ad armillam circularem T H I, vt F I, ad I R; & cum
ſit armilla circularis T S I, ad armillam circularem
T H, ſictubus cylindricus ex parallelogrammo S N,
circa K M, ad tubum cylindricum ex parallelogram-
mo H N, circa eandem K M, quitubus eſt inſcriptus
in annulo ex hyperbola; & cum pariter ſit vt F I, ad
I R, ſic parallelogrammum F N, ad parallelogram-
mum R N, inſcriptum in parabola: ſequitur vt tu-
bus ex parallelogrammo S N, ad tubum ex paralle-
logrammo H N, ſic eſſe parallelogrammum F N,
ad parallelogrammum R N. Quare ſi A N, v. g.
b@ſſ@caretur, & hocidem fieret de eiuſdem
928039[Figure 39]& in hyperbola, & parabola inſcriberentur paralle-
logramma; eodem modo probaremus partes
9381 cylindrici ex G C, eſſe ad omnes tubos ex paralle-
logrammis inſcriptis in hyperbola, qui tubi inſcri-
buntur in annulo ex hyperbola, vt partes parallelo-
grammi P C, ad omnia parallelogramma inſcripta
in parabola. Cumque, tubi inſcripti in annulo ex
hyperbola, ſicuti parallelogramma inſcripta in pa-
rabola, per continuatam talem biſſectionem poſſint
tandem deficere à magnitudinibus in quibus inſcri-
buntur, defectu, quacunque data magnitudine mi-
nori: ſequitur tandem modo archimedeo per dedu-
ctionem ad impoſſibile poſſe concludi, tubum cy-
lindricum ex parallelogrammo eſſe ad annulum la-
tum ex hyperbola, vt parallelogrammum ad para-
bolam.
Patet ergo ex dictis haberi nouo modo parabo-
læ quadraticæ quadraturam; nimirum parallelo-
grammum ei circumſcriptum, eſſe ipſius ſeſquial-
terum. Probatum fuit enim in anteced. propoſit.
tubum cylindricum ex parallelogrammo G C, cir-
ca k M, eſſe ſeſquialterum annuli lati ex hyperbola
circa eandem k M. Sed infra adhibendo aliud ſoli-
dum hyperbolicum, parabolam alio nouo modo
quadrabimus; nunc ſuggerendæ ſunt lectori quam-
plurimæ nouæ notitiæ geometricæ, quæ ex hac pro-
poſitione, & ex dictis in lib. de Infin. Par. deducuntur.
SCHOLIVM II.
Dedu@itur ergo ex dictis, & ad modum
948240[Figure 40] rum, parabolam A O C, & annulum latum prædi-
ctum ex hyperbola A B C, eſſe quantitates
9583 tionaliter analogas tam in magnitudine, quam in
grauitate; tam ſecundum totum, quam ſecundum
partes proportionales. Quot ergo nouæ notitiæ de-
ducantur ex hac doctrina tam circa magnitudinem,
quam circa grauitatem talis annulilati, ex noſtro ope-
re cit. vniſquiſque poteſt agnoſcere.
Ex propoſit. enim 9, lib. prim. agnoſcet quænam
ſit ratio, quam habet tubus cylindricus ex G I, ad
portionem annuli lati ex portione minori hyperbo-
læ A H I; nempe eſſe ad ipſum vt tres A N, ad ex-
ceſſum ipſarum ſupra A N, N I, & harum tertiam
minorem proportionalem. Vel ſubtriplandotermi-
nos, eſſe vt A N, ad ſubſeſquialteram A I, cum
tertia parte exceſſus I N, ſupra illam tertiam pro-
portionalem.
Ex ſchol prim. propoſit. 10. agnoſcet, tubum cy-
lindricum ex parallelogrammo S N, eſſe ad portio-
nem annuli ex ſegmento hyperbolæ I H B N, vt tri-
pla A N, ad duplam A N, vna cum exceſſu ipſius
ſupra prædictam tertiam proportionalem. Et ſub-
triplando terminos, eſſe vt A N, ad A I, cum duo-
bus tertijs I N, & cum tertia parte exceſſus I N,
ſupraillam tertiam proportionalem. Imo ex ſchol.
3. cit. propoſit. agnoſcet, eſſe eundem tubum cylin-
dricum ad eandem portionem annuli, vt triplum
recta gulum T S I, ad duplum rectangulum T S I,
cum rectangulo T H I. Et ſubtriplando terminos,
vt rectangulum T S I, ad ſubſeſquialterum ipſius,
cum tertia parte rectanguli T H I.
9684 41[Figure 41]
Ex ſchol. prim. propofit. 12. agnoſcet rationem
tubi cylindrici ex parallelogrammo S Q, ad
9785 mentum annuli ex ſegmento intermedio ſemihy-
perbolæ Q X H I.
Ex ſchol prim. propoſit. 13. agnoſcet rationem
tubi ex parallelogrammo S C, ad portionem annuli
ex portione maiori hyperbolæ I H B C.
Ex ſchol. propoſit. 14. agnoſcet rationem, quam
habet tubus cylindricus ex parallelogrammo S Y,
ad ſegmentum annuli ex ſegmento intermedio
I H B Z Y, intercipiente axim B N.
Sed portioni minori hyperbolæ A H I, intellecto
circumſcripto parallelogrammo H A, agnoſcet ex
propoſit. 15. tubum cylindricum ex parallelogram-
mo H A, eſſe ad portionem annuli ex portione
A H I, vt tripla A N, cum tripla N I, ad duplam
A N, cum vnica N I. Imo ex ſchol. eiuſdem pro-
poſit. agnoſcet, tubum prædictum eſſe ad prædictam
annuli portionem, vt I C ad dimidiam I C, cum
ſexta parte I A.
Ex ſcholio propoſit. 17. agnoſcet rationem tubi
cylindrici ex parallelogrammo H C, ad portionem
annuli ex portione maiori I H B C. Ex eodem ſchol.
etiam agnoſcet talem rationem eſſe, vt eſt A I, ad
dimidiam A I, cum ſexta parte I C. Quare agno-
ſcet vniuerſaliter, quod tubus cylindricus ex altero
parallelogrammorum H A, H C, ad portionem an-
nuli ſibi correſpondentem eſſe, vt baſis reliquæ por-
tionis hyperbolæ, ad ſui dimidiam, cum ſexta parte
baſis portionis reuolutæ.
Ex propoſit, 18. aguoſect rationem tubi ex
9886 lelogrammo H Q, circumſcripto ſegmento inter-
medio Q X H I, ad ſegmentum annuli ex tali ſeg-
mento intermedio.
Tandem ex ſchol. propoſit. 20. agnoſcet rationem
ſegmenti annuli ex ſegmento I H B N, ad portio-
nem annuli ex portione I A H. Qua agnita, non
ignorabit rationem portionis annuli ex portione
I H B C, ad prædictam portionem annuli ex por-
tione A H I.
SCHOLIVM III.
Pariter, cum vt diximus, prædictus annulus latus
ex hyperbola ſit quantitas proportionaliter analoga
etiam in grauitate cum parabola quadratica; ex lib.
3. de In fin. Parab agnoſcet lector centrum grauita-
tis quamplurium ſegmentorum prædicti annuli lati.
Ex ſchol. ergo 2. propoſit. 2. agnoſcet centrum
grauitatis annuli ex ſemihy perbola A B N, ſic ſe-
care k L, vt pars terminata ad k, ſit ad partem ter-
minatam ad L, vt 5. ad 3.
Ex ſchol. pri. propoſit. 14. agnoſcet centrum gra-
uitatis in K L, portionis annuli ex portione mino-
ri A H I.
Ex ſchol. prim. propoſit. 16. agnoſcet centrum
grauitatis ſegmenti annuli ex ſegmento I H B N.
Hoc autem centrum etiam alio modo agnoſcet ex di-
ctis in calce eiuſdem ſcholij.
Ex ſchol. prim. propoſit. 17. agnoſcet modum
9987 periendi centrum grauitatis ſegmenti annuli ex ſeg-
mento intermedio Q X H I. Quod etiam inueniet
alio modo expreſſo in eodem ſchol o.
Ex ſchol. propoſit. 19. agnoſcet modum reperien-
di centrum grauitatis portionis annuli ex portione
maiori I H B C.
Tandem ex ſchol. propoſit. 21. agnoſcet modum
reperiendi centrum grauitatis ſegmenti intermedij
annuli ex ſegmento intermedio I H B Z Y, interci-
piente axim B N.
Hæ ergo ſunt notitiæ geometricæ, quæ deducun-
tur ex anteced. propoſit. Quibus addenda eſt. Quod
cum notatum ſit in ſchol. prim propoſit. 8. lib. 4. Pa-
rabolam, ſphæram, ſphæroides, & exceſſum cylin-
dri ſupra duos conos inuersè poſitos, quorum baſes
oppoſitæ baſes cylindri, vertex verò medium pun-
ctum axis, eſſe magnitudines proportionaliter ana-
logas tam in magnitudine, quam in grauitate; ſe qui
ex dictis, his aſſociari annulum prædictum ex hy-
perbola.
PROPOSITIO XXVII.
In ſchematæ propoſit. quintæ, exceſſus cylindri circumſcri-
pti conoidi hyperbolico ſupra cylindrum circumſcriptum
conoidi parabolico, erit triplus exceſſus conoidis hyperbo-
lici ſupra conoides parabolicum.
10088
COnoidibus hyperbolico A B C, & parabolico
E B F, ſint circumſcripti cylindri Q C, T F.
Dico tubum cylindricum Q E L C, triplum eſſe ex-
ceſſus conoidis A B C, ſupra conoides E B F. Quo-
niam enim cylindrus Q C, eſt ad cylindrum T F,
vt quadratum A D, ad quadratum D E; nempe
ex hypotheſi, vt D G, ad G B, ergo per conuer-
ſionem rationis & conuertendo, erit tubus cylin-
dricus Q E L C, ad cylindrum Q C, vt B D, ad
D G. Sed ex propoſit. 5. 7. & 11. cylindrus Q C,
eſt ad conoides A B C, vt D G, ad dimidium B G,
cum tertia parte D B: ergo ex æquali, erit tubus
Q E L C, ad conoides A B C, vt D B, ad dimi-
diam G B, cum tertia parte D B. Rurſum, quoniam
diuidendo, eſt tubus Q E L C, ad cylindrum T F,
vt rectangulum A E C, ad quadratum E D, nem-
pe ex hypotheſi, vt D B, ad B G, & conoides
E B F, eſt dimidium cylindri T F, vt oſtendimus
præcipuè in lib. 2. propoſit. 15. Ergo tubus Q E L C,
erit ad conoides E B F, vt D B, ad dimidiam G B.
Sed erat ad totum conoides A B C, vt eadem D B,
ad dimidiam G B, cum tertia parte D B. Ergo
Q E L C, erit ad reliquum, nempe ad differentiam
conoideorum, vt D B, ad ſui tertiam partem;
nempe erit triplus talis exceſſus. Quod e@@@ oſten-
dendum.
10189 42[Figure 42]
ALITER.
Quoniam tam totus cylindrus Q C, eſt triplus
totius coni A B C, quam ablatus cylindrus T F, eſt
triplus ablati coni E B F (inſcriptis prius conis in
conoidibus); ergo & reliquus tubus Q E L C, tri-
plus erit reliqui; nempe differentiæ conorum. Sed
ex propoſit. 4. differentia conorum eſt æqualis diffe-
rentiæ conoideorum. Ergo tubus erit etiam triplus
differentiæ conoideorum. Quod& c.
10290
PROPOSITIO XXVIII.
Exceſſus cylindri circumſ@ripti conoidi hyperbolico ſupra
cylindrum circumſcriptum conoidi parabolico ſæpe ex-
plicato, est ad differentiam conoideorum, vt paralle-
logrammum circumſcriptum trilineo quadratico ad ip-
ſum, tam ſecundum totum, quam ſecundum partes
proportionales; ſi diametri trilinei, & conoidis ſecentur
proportionaliter.
SInt ergo conoidea hyperbolicum A B C, & pa-
rabolicum E B F, vt ſæpe dictum eſt, cum cir-
cumſcriptis cylindris Q C, T F, & inſuper ſit ſe-
miparabola B C O, cuius diameter O B, baſis
O C, & parallelogrammum ei circumſcriptum ſit
D O, adeovt D B C, ſit trilineum quadraticum, cu-
ius diameter D B. Dico tubum cylindricum
Q E L C, eſſe ad differentiam conoideorum, vt pa-
rallelogrammum D O, ad trilineum B D C, tam
ſecundum totum, quam fecundum partes propor-
tionales. Sumatur in D B, diametro arbitrariè pun-
ctum G, per quod in ſolidis intelligatur tranfire pla-
num H K, plano A C, parallelum, ſecans tubum
in P, conoides hyperbolicum in M, & paraboli-
cum in R: item in parallelogrammo ducatur GK,
parallela D C, ſecans curuam parabolicam in S.
Quoniam ex propoſit. 3. rectangulum A E C, eſt
ad rectangulum M R V, vt quadratum D B,
1039143[Figure 43] quadratum B G; & vt rectangulum A E C, hoc eſt
rectangulum H P k, ad rectangulum M R V, ſic
armilia circularis H P k, ad armillam circularem
M R V: ergo vt armilla circularis H P k, ad armil-
lam circularem M R V, ſic quadratum D B, ad
quadratum B G. Sed ex natura parabolæ quadrati-
cæ, eſt etiam vt quadratum D B, ad quadratum
B G, ſic D C, ſeù K G, ad G S. Ergo & vt ar-
milla H P k, ad armillam M R V, ſic k G, ad G S.
Cum verò punctum G, ſumptum ſit ad libitum; er-
go vt omnes armillæ tubi cylindrici Q E L C, pa-
rallelæ armillæ A E C, ad omnes armillas differen-
tiæ conoideorum, parallelas A E C, ſic omnes li-
meæ parallelogrammi D O, parallelæ D C, ad
10492 nes lineas trilinei C D B, parallelas itidem D C;
nempe vt tubus ad differentiam, ſic parallelogram-
mum ad trilineum.
Cum vero quod oſtenſum eſt de totis, pateat poſ-
ſe eodem modo probari de partibus proportionali-
bus, ideo patet propoſitum.
SCHOLIVMI.
Patet ergo quomodo adhibito etiam alio ſolido
hyperbolico, nempe differentia conoideorum, poſſi-
mus quadrare parabolam. Cum enim ex propoſit.
anteced. tubus cylindricus Q E L C, ſit triplus dif-
ferentiæ conoideorum; etiam parallelogrammum
triplum erit trilinei; & conſequenter ſeſquialterum
femiparabolæ.
Inſuper patet, quod cum in ſchol. 2. propoſit. 18.
probatum ſit, conum, trilineum quadraticum, exceſ-
ſum cylindri circumſcripti hemiſphærio, & hemiſ-
phæroidi, & exceſſum tubi cylindrici ſuper annulum
latum ex hyperbola circa ſecundam diametrum, eſſe
quantitates proportion aliter analogas, patet in-
quam, his pro ſexta addi differentiam conoideorum
prædictam.
SCHOLIVM II.
In propoſit. 11. lib. 2. de Infinit. Parab. cuius
ſchema hic apponimus, probauimus, quod ſi
1059344[Figure 44] duæ quælibet figuræ A B C, A E F C, ſupra ea-
dem baſi A C, & circa communem axim B D; ſint-
que hæ talis naturæ, vt ipſis duplicatis ad partes
A C, hæc euadat communis axis ambarum figura-
rum; probauimus inquam, intellectis ambabus
10694 ris gyrari circa parallelam ipſi B D, ductam per
punctum C, quæ ſit v. g. C F, ſolidum rotundum
ortum ex figura A E F C, eſſe ad ſolidum rotundum
ex figura A B C, vt figura A E F C, ad figuram
A B C. Hoc probauimus medijs truncis ſiniſtris cy-
lindricorum rectorum ſupra figuris exiſtentium, vt
loco cit. poteſt conſpici. Ex hac vniuerſali propoſi-
tione deduximus ibidem quamplurima corollaria;
quibus poteſt aggregari, quod ſi A B C, eſſet hy-
perbola, & E C, eſſet parallelogrammum ipſam
circumſcribens, & haberetur quadratura hyperbo-
læ, nequaquam ignoraretur ratio cylindriex E C, cir-
ca C F, ad annulum ſtrictum ex hyperbola A B C,
circa C F. Verum illa propoſitio poteſt vniuerſa-
lius proponi; nonſolum enim illud verum eſt; ſed
etiam veriſicatur, quod ſi illæ duæ figuræ rotentur
circa parall lamipſi C F, ſed extra figuras ductam,
adeovt ex figuris cratis generentur annuli lati: ni-
hilominus annulum larum ex A E F C, ad annulum
latum ex A B C, eſſe vt figura A E F C, ad figuram
A B C. Hoc peſiet probari medijs ijſdem truncis,
& hoc pacto liceret ampliare doctrinas de truncis in
illo opere expoſitas; fed de his forſan aliquando. In
præſenti probabimus medijs ad noſtrum inſtitutum
magis accomodatis, ſequentem propoſitionem vt ex
huius cognitione inquiramus centra grauitatis infi-
nitorum annulorum, vt infià patebit.
10795
PROPOSITIO XXIX.
Si ſuper eadem baſi & circa eandem diametrum ſint quælibet
figura & parallelogrammum ipſam circumſcribens. Cy-
lindrus ex parallelogrammo ad ſolidum ex figura, reuolutis
ambobus circa parallelam diametro ductam velper extre-
mitatem baſis, vel extra baſim, erit vt parallelogram-
mum ad figur am.
45[Figure 45]
SVper eadem baſi A C, & circa eandem dia-
metrum B D, ſint quælibet figura A B C, &
parallelogrammum E C, ipſam circumſcribens
& intelligamus ambas figuras prius rotari circa F C.
Dico cylindrum E G, eſſe ad ſolidum ex figura,
A B C, circa eandem F C, quod ſit A B C H G, vt
E C, ad A B C. Accipiatur in B D, arbitrariè
punctum 1, per quod intelligantur tranſire in
figuris linea k N, A C, parallela, in ſolidis
10896 planum K N, item A G, parallelum. Quoniam
enim vt k N, ad L M, ſic (ſumpta N R, com-
muni altitudine) rectangulum k N R, ad rectan-
gulum ſub L M, & ſub N R; & N R, eſt æ-
qualis M Q, quia M N, eſt æqualis, tam N O,
quam Q R, vndè etiam rectangulum ſub L M,
& ſub N R, eſt æquale rectangulo L M Q. Ergo
etiam vt k N, ad L M, ſic rectangulum k N R,
ad rectangulum L M Q. Sed vt rectangulum
k N R, ad rectangulum L M Q, ſic circulus,
k N R, ad armillam circulatem L M Q. Ergo
& vt K N, ad L M, ſic circulus K N R, ad ar-
millam circularem L M Q. At punctum I, ſum-
ptum eſt vtcunque. Ergo & vt vnum ad vnum, ita
omnia ad omnia. Ergo vt omnes lineæ figuræ E C,
A C, parallelæ ad omnes lineas figuræ A B C, item
A C, parallelas, ſic omnes circuli ſolidi E G, circulo
A G, paralleli ad omnes armillas ſolidi A B C H G.
Ergo & vt figura ad figuram, ſic ſolidum ad ſoli-
dum.
Sed ſupponamus figuras prædictas rotari circa
S T, poſitam vltra C, ipſi B D, parallelam, adeo-
vt ex figuris generentur tubus cylindricus, & annu-
lus latus vt in ſequenti ſchemate. Dico nihilomi-
nus eſſe E C, ad figuram A B C, vt tubus E C Y, ad
annulum ex figura A B C. Nam accepto vt prius,
puncto I, arbitrariè, factiſque ijſdem, conclu-
demus eodem modo eſſe vt K N, ad L M, ſic re-
ctangulum K N R, ad rectangulum L M Q;
1099746[Figure 46] pe ſic armillam circularem k N R, ad armillam cir-
cularem L M Q. Quare eodem modo concludemus
eſſe figuram E C, ad figuram A B C, vt ſolidum
ex E C, circa S T, ad ſolidum ex figura A B C, cir-
ca eandem T S. Quod erat oſtendendum.
SCHOLIV M.
Cum præſens propoſitio ſit propoſita in tanta vni-
uerſalitate, adeovt comprehendat infinitas figuras
circa diametrum, & infinitis modis diuerſificatas,
impoſſibile videtur poſſe ipſam oſtendi in tali vni-
uerſalitate vnica conſtructione niſi per indiuiſibilia.
Modo etiam archimedeo probari poteſt, ſed in caſi-
bus particularibus, & conſtructionibus proprijs, vt
quilibet poterit experiri.
Ex hac autem vniuerſaliſſima propoſitione, ea om-
nia, quæ ſunt deducta in corollarijs propoſit. cit. in
opere de in finit. parab circa varia ſolida
11098 ſtrictorum ex varijs figuris genitorum, poſſunt dedu-
ci etiam in infinitis ſolidis annulorum latorum; quæ
autem ea ſint, inſpiciatur ibidem. Nos enim in præ-
ſenti non manifeſtabimus niſi inſinitorum annulo-
rum tam ſtrictorum, quam latorum centra grauita-
tis. Nam facili negotio ex dictis in lib. 4. infinit. pa-
rab. agnoſcemus figuras prædictas eſſe quantitates
proportionaliter analogas cum ſuis annulis, tam ſtri-
ctis, quam latis. V. g. facile agnoſcemus figuram
A B C, eſſe quantitatem proportionaliter analogam
tam cum annulo ſtricto A B C H G, in prima figu-
ra, quam cum annulo lato ex eadem A B C, in ſe-
cunda figura. Quare etiam duo annuli ex eadem
figura, nempe & ſtrictus, & latus erunt quantitates
proportionaliter analogæ tam in magnitudine, quam
in grauitate. Sequitur ergo nos habere centra gra-
uitatis omnium illorum annulorum tam ſtrictorum,
quam latorum, quorum figurarum genitricium ſupra
explicatarum, habemus centrum grauitatis.
Si ergo ſupponamus A B C, eſſe parallelogram-
mum veluti E C, quod rotetur vel circa ſuum latus
F C, vel circa T S, ei parallelum (quod ſemper intelli-
gendum erit in dicendis impoſterum, ne cogamur
idem cum lectorum tedio repetere) centrum grauita-
tis cylindri, vel tubi cylindrici, ſecabit F C, vel T S,
in ea ratione, in qua ſecat B D, centrum grauitatis
parallelogrammi.
Si verò ſupponamus A B C, nobis repræſentare
infinitas parabolas, habebimus centrum
1119947[Figure 47] infinitorum annulorum ex ipſis ſic ſecare F C, vt
pars terminata ad F, ſit ad partem terminatam ad
C, in primo annulo ex prima parabola vt 2. ad 1. In
ſec. vt 3. ad 2. in tertio vt 4. ad 3. & ſic in infinitum.
Ratio eſt, quia ex ſchol. prim. propoſit 2. lib. 2. ha-
bemus centrum grauitatis infinitarum parabolarum
ſic ſecare B D.
Si autem ſupponamus A B C, eſſe quamlibet
infinitarum parabolarum, & E C, eſſe parallelo-
grammum infinitis parabolis circumſcriptum. Ha-
bebimus centrum grauitatis infinitorum annulorum
ortorum ex reuolutione exceſſuum infinitorum pa-
rallelogrammorum ſupra infinitas parabolas. Hoc
autem centrum grauitatis ſic ſecabit F C, vt pars
terminata ad F, ſit ad partem terminatam ad C, vt
numerus annuli vnitate auctus, ad triplum nume-
rum annuli vnitate auctum. V. g. in primo annulo
vt 2. ad 4. In ſecundo, vt 3. ad 7. In tertio vt 4.
112100 10. & ſic in infinitum. Ratio eſt, quia ex ſchol.
propoſit. 8. eiuſdem libri centrum grauitatis exceſ-
ſus parallelogrammi E C, ſupra parabolam ſic ſecat
ipſam B D.
Sed ſupponentes A B C, eſſe vel ſemicirculum,
vel ſemiellipſim, vel circuli, aut ellipſis portionem,
vel etiam hyperbolam. Habebimus centrum gra-
uitatis annulorum talium figurarum, ſed ſuppoſita
figurarum quadratura. Hæcautem patent vera eſſe
partim ex dictis in lib. 3. vbi in propoſit. 24. aſſigna-
uimus centrum grauitatis ſemicirculi; & in ſchol.
prim. propoſit. 25. omnium ipſius portionum; & in
propoſit. vltima lib. 4. in qua aſſignauimus centrum
grauitatis omnium partium ellipſis; partim ex dictis
in propoſit. 22. huius, & in ſcholio eiuſdem, vbiaſ-
ſignauimus centrum grauitatis hyperbolæ. Imo ſi
in ſchemate illius propoſitionis, intelligamus exceſ-
ſum parallelogrammi G C, ſupra hyperbolam
A B C, rotari vel circa H C, vel circa ipſi paralle-
lam extra parallelogrammum: ex dictis ibidem, agno-
ſcetur centrum grauitatis annulorum genitorum.
Exiſtimantes autem A B C, eſſe cycloidem pri-
mariam; placitis Torricellij in lib. 1. de motu grau.
ſchol. propoſit. 18. annuentes, intelligemus centrum
grauitatis annuli ex cycloide ſic ſecare F C, vt pars
terminata ad F, ſit ad partem terminatam ad C, vt
7. ad 5.
Sed accipiamus ſchema ſequens, in quo intelli-
gamus ſemiparabolam B A D, duplicari ad
11310148[Figure 48] baſis A D, adeo vt hæc euadat communis axis dua-
rum ſemiparabolarum ſimul coniunctarum, hanc-
que figuram intelligamus rotari vel circa O N, vel
circa parallelam A D, extra figuram: centrum gra-
uitatis productorum annulorum ita ſecabit O N,
vel illi parallelam & c. vt pars terminata ad O, ſit
114102 pattem terminatam ad N, vt numerus annuli au-
ctus ternario ad numerum annuli auctum vnitate.
Nimirum in primo vt 4. ad 2. Inſec. vt 5. ad 3. In
tertio vt 6. ad 4. & ſic in infinitum. Ita enim ex
ſchol. 2. propoſit. 2. lib. 3. centrum æquilibrij ſemi-
parabolæ A B D, ſeù centrum grauitatis figuræ
N A B, diuidit A D.
Prædictæ autem figuræ circumſcripto parallelo-
grammo E N, & figura conſtante ex duobus trili-
neis N O A B E, reuoluta prædicto modo: centrum
grauitatis ſolidi geniti ſic fecabit O N, vt pars ter-
minata ad O, ſit ad partem terminatam ad N, vt
vnitas ad numerum annuli vnitate auctum. Nempe
in primo vt 1. ad 2. In ſec: vt 1. ad 3. In tertio vt 1.
ad 4. Et ſic in infinitum. Ratio eſt quia centrum
grauitatis talium trilincorum ſimul coniunctorum
ſic diuidit A D, vt centrum æquilibrij vnius v. g.
A E B, diuidit E B. Atex ſchol. prim. propoſit. 2.
lib. 3. E B, in prædicta ratione ſecatur à tali centro
æquilibrij. Quare patet propoſitum.
At ſi ſemiparabola quælibet intelligatur duplicari
ad partes B F, vt figura conſtans ſit C D B Q P, &
& hæc rotetur vel circa D C, vel circa ipſi paralle-
lam. Centrum grauitatis ſolidi geniti ſecabit pari-
ter D C, vt pars terminata ad C, ſit ad partem ter-
minatam ad D, vt numerus annuli ternario auctus,
ad numerum annuli vnitate auctum. Nempe vt 4,
ad 2. vt 5. ad 3. & c. Item ſi trilineum C B Q, ſic ro-
tetur; D C, ſic ſecabitur vt pars terminata ad
11510349[Figure 49] ſit ad partem terminatam ad C, vt numèrus annu-
li vnitate auctus, ad vnitatem. Ratio eſt quia eodem
modo ſecatur A D, à centro grauitatis figuræ
N A B, ſicuti ſecatur B F, à centro grauitatis fi-
guræ D C B Q P; ita tamen vt homologi termini
extremi ſint A, & F; D, & B. Item
116104 modo ſecatur A D, à centro grauitatis figuræ
O N A B E, ſicuti ſecatur B F, à centro grauitatis
figuræ C B Q; exiſtentibus pariter homologis pun-
ctis extremis A, F; D, B.
Cum verò eodem etiam modo ſecetur B D, à
centro grauitatis figuræ A B C, ſicuti ſecatur F C,
à centro grauitatis duplicatæ ſemiparabolæ D B C,
in B D C R G: pariter cum eodem modo ſecetur
B D, à centro grauitatis trilineorum A E B F C,
ſicuti ſecatur F C, à centro grauitatis ipſius B C R;
ſequitur quod ſi intelligamus figuram B D C R G,
rotari circa R G, & c. intelligemus pariter R G,
ſic diuidi à centro grauitatis geniti ſolidi, vt pars
terminata ad R, ſit ad partem terminatam ad G,
vt numerus annuli vnitate auctus, ad numerum an-
nuli. Nempe vt 2. ad 1. vt 3. ad 2. & c. Item ſi in-
telliganius ſic rotari figuram B C R; R G, ſic ſe-
cabitur vt pars terminata ad R, ſit ad partem termi-
natam ad G, vt numerus annuli vnitate auctus ad
triplum numerum annuli vnitate auctum. Nempe
vt 2 ad 4. vt 3. ad 7. vt 4. ad 10. Et ſic in in-
finitum.
Quæ autem dicta ſunt ſupra de parabola quatuor
modis diſpoſita, quantum ad aſſignationem centro-
rum grauita is ſolidorum rotundorum ex ipſa geni-
torum, paret poſſe eriam applicari ſuo modo ſoli-
dis genitis ex reuo utione portionum circuli, & el-
lipſis, item ſemihyperbolæ ſic diſpoſitarum. Sed
quodnam ſit tale centrum relinquimus lectori
11710550[Figure 50] derandum. Præcipu è quia centra grauitatis figura-
rum genitricium non habentur niſi ſuppoſita ipſa-
rum figurarum quadratura. Non ſic relinquemus
conſiderandum lectori, in quo puncto ip ſius F C,
vel ipſi parallelæ, ſit centrum grauitatis ſo lidi geniti
ex exceſſu parallelogrammi E C, ſupra
118106 cycloidem primariam A B C, reuoluto vel cir-
ca F C, vel circa dictam parallelam: Item in
quo puncto ipſius R G, vel ipſi parallelæ ſit cen-
trum grauitatis duplicatæ ſemicycloidis B D C R G,
ad partes F C: ſed admonebimus, centrum graui-
tatis ſolidi orti ex reuolutione figuræ B D C R G, ſic
ſecare dictam R G, vt pars terminata ad R, ſit ad
partem terminatam ad G, vt 7. ad 5. Ratio eſt,
quia ita diuidit B D, centrum grauitatis cycloidis
A B C, ſicuti diuidit FC, centrum figuræ B D C R G.
Item admonebimus, centrum grauitatis ſolidi orti
ex gyratione figuræ A E B F C, circa F C, ſic ſeca-
re F C, vt pars terminata ad F, ſit ad partem ter-
minatam ad C, vt 1. ad 3. Ratio eſt quia ſic di-
uidit B D, centrum grauitatis prædictæ figuræ re-
uolutæ. Nam cum ex Torricellio de dimenſione cy-
cloidis, & ex Tacquet in diſlertatione de circulorum
volutationibus propoſit. 20. demonſtratione nun-
quam ſatis laudata, conſtet, A E B F C, eſſe tertiam
partem cycloidis A B C; & cum ex eodem Torri-
cellio ſupra citato, ſupponamus centrum grauitatis
cycloidis ſic ſecare B D, vt pars terminata ad B, ſit
ad partem terminatam ad D, vt 7. ad 5; & pariter
cum medium punctum B D, ſit centrum grauitatis
torius parallelogrammi E C, nempe centrum gra-
uitatis parallelogramn irelinquat hinc inde 6, par-
tes, quarum B D, ſupponitur 12; lector in doctri-
nis A chimed s exercitatus facile agnoſcet, centrum
grauitatis prædicti exceſſus ſic ſecare B D, vt
11910751[Figure 51] terminata ad B, ſit ad partem terminatam ad D,
vt 3. ad 9. ſeù vt 1. ad 3. Lector autem ſic edo-
ctus facile agnoſcet etiam centrum grauitatis figuræ
B C R, reuolutæ circa R G, & c. ſic ſecare R G,
vt pars terminata ad R, fit ad partem terminatam
ad G, vt 1. ad 3.
120108
Supponamus autem A B D, eſſe portionem mi-
norem parabolæ cuiuſcunque reſectæ linea B D,
diametro parallela, adeovt A D, ſit baſis talis por-
tionis; & intelligamus portionem A B D, duplicari
ad partes B D, adeo vt B D, diametro parallela
euadat axis figuræ A B C; & intelligamus con-
ſueto modo figuram A B C, rotari circa F C, & c.
Ex propoſit. 15. lib. 3. in qua aſſignatur centrum æ-
quilibrij portionis A B D, in B D, diametro pa-
rallela, & conſequenter centrum grauitatis figuræ
A B C, habebimus centrum grauitatis talis ſolidi.
Si vero intelligamus figuræ A B C, circumſcriptum
parallelogrammum E C; cum exceſſus ipſius habea-
mus centrum grauitatis, quia habemus centrum gra-
uitatis & parallelogrammi, & portionis, & ex pro-
poſit. 15. lib. pri. habemus rationem parallelogram-
mi ad ſiguram, & conſequenter illius exceſſus ad fi-
guram; habebimus etiam centrum grauitatis ſolidi
ex illo exceſſu circa F C, vel illis parallelam. Quod
vero dictum eſt de figura A B C, patet ex ſupradi-
ctis intelligendum etiam fore de figura B D C R G.
Sed ſi talis figura intelligeretur duplicata ad partes
A D, adeovt baſis D A, euadat axis figuræ N A B.
Ex propoſit. 14. lib. 3. habebimus centrum grauita-
tis annulorum ex N A B, circa O N, vel illi pa-
rallelam. Idemque intelligendum eſt ſi figura intel-
ligeretur duplicata vt C D B Q P.
Si vero in ſequenti figura, portio maior A I B D,
parabolæ cuiuſcunque, cuius baſis A D,
12110952[Figure 52] tur duplicata quatuor modis ſupra dictis, & intelliga-
mus generari ſolida prædicta; nihilominus ipſorum
ſolidorum habebimus centra grauitatis. Ratio eſt
quia in propoſit. 19. & 20. lib. 3. habemus centra
æquilibrij maioris portionis parabolæ cuiuſcunque
reſectæ linea diametro parallela, tam in prædicta li-
nea diametro parallela, quam in baſi. Vndè etiam
habemus centra grauitatis duplicatæ portionis
122110 tuor illis modis; & conſequenter centra grauitatis il-
lorum annulorum.
Sed ſi in eodem ſchemate, portionem LMIBD,
parabolæ cuiuſcunque reſectæ duabus lineis L M,
B D, diametro I K, inter ipſas interceptæ, paral-
lelis, intelligamus diſponi quatuor prædictis modis,
& intelligamus conſueto modo, generari quatuor
ſpecies annulorum, vtſæpe dictum eſt: illorum om-
nium ſciemus centra grauitatis; hæcque nos docent
propoſit. 21. & 22. lib. 3. in quibus aſſignantur cen-
tra æquilibrij illorum ſegmentorum tam in baſi,
quam in lineis diametro parallelis.
Sed ſi in ſequenti ſchemate ſupponamus A B E F,
eſſe ſegmentum ſemiparabolæ cuiuſcunque reſectæ
linea B E, baſi A F, parallela, intelligamuſque
hoc aptari quatuor conſuetis modis, & vt in ſche-
mate. Habebimus centra grauitatis ſolidorum ge-
nitorum modis ſupra explicatis. Videat lector pro-
poſit. 10. lib. 3. in qua aſſignatur in E F, centrum
grauitatis ſegmenti A B C D; & propoſit. 11. in
qua aſſignatur centrum æquilibrij ſegmenti ABEF,
in baſi A F.
Sed ſupponamus F A B E, eſſe vtique ſegmen-
tum ſemiparabolæ cuiuſcunque, ſed ſic diſpoſitæ vt
A F, ſit diameter, & B E, parallela diametro,
adeovt F A B E, ſit ſegmentum ad diametrum, quod
intelligatur duplicatum quatuor modis vt in ſchema-
te. Solidorum genitorum conſueto modo ex figuris
ſic diſpoſitis habebimus centra grauitatis. Quia
12311153[Figure 53] propoſit. 15. & 16. libri 3. habemus centra æqui-
libiij ſegmenti ad diametrum parabolæ cuiuſcun-
que, tam in baſi, quam in linea diametro parallela.
Solum videtur nobis lectorem admonendum, cir-
cumſcriptis figuris parallelogrammis; ſolidum ex
exceſſu parallelogrammi G D, ſupra figuram
A B C D, haberetale centrum grauitatis, quod ſic
ſecet D H, F E, parallelam, vt pars terminata
ad D, ſit ad partem terminatam ad H, vt nume-
rus annuli vnitate auctus ad vnitatem. V. g. in pri-
m, vt 2. ad 1. In ſecundo vt 3. ad 1. Et ſic in
infinitum. Ratio eſt quia A G B, eſt
124112 ſimile toti trilineo totius ſemiparabolæ, in quo pari-
ter centrum æquilibrij ſic diuidit A G; & conſe-
quenter centrum grauitatis duorum trilineorum
A G B, C D H, ſimul ſic diuidit F E, vt pars ter-
minata ad F, ſit ad partem terminatam ad E, vt
numerus trilinei vnitate auctus, ad vnitatem. Idem
propter eandem rationem, intelligendum eſt de tri-
lineo C D N, reuoluto vel circa ductam per N,
ſeù C, ipſi E F, parallelam, vel circa alias paral-
Ielas E F, extra trilineum ductas.
Sed tandem ſupponamus A B E F, eſſe ſegmen-
tum intermedium ſemiparabolæ cuiuſcunque reſe-
ctæ duabus lineis B E, A F, diametro parallelis,
quod ſegmentum intelligatur diſpoſitum quatuor
modis. Omnium ſolidorum genitorum conſueto
modo nobis innoteſcent centra grauitatis ex propo-
ſit. 17. & 18. lib. 3.
Quot igitur ſolidorum habeantur ex antedicta
propoſit. centra grauitatis, de quibus neutiquam co-
gnitio tenebatur, potuit lector animaduertere. Sed
non minorem vtilitatem capiemus ex ſequenti pro-
poſitione, quæ, modo ad noſtrum inſtitutum apto,
explicata, ducet nos in cognitionem centrorum gra-
uitatis quorundam ſolidorum, quæ vſque nunc geo-
metria ignorauit. Præcipuè exipſa venabimur cen-
tra grauitatis omnium ſemifuſorum parabolicorum;
nempe docebimus in quo puncto baſis ſit centrum
grauitatis ſolidi ex ſemipa@abola quacunque reuo-
luta circa baſim.
125113
PROPOSITIO XXX.
Annulus ſtrictus figuræ antecedentis propoſitionis æquatur
quatuor ſolidis, quorum duo ſint, qui oriuntur ex re-
uolutione ſemifiguræ circa diametrum, alia duo ex re-
uolutione ſemifiguræ circa, parallelam diametro per ex-
tremitatem baſis; & hoc tam ſecundum totum, quam
ſecundum partes proportionales. Item annulus latus ex
eadem figura æquatur duobus primis ſolidis, & duobus
annulis latis ex ſemifigura circa parallelam diametro
extra ipſam.
ESto ergo figura A B C, in primis, quæ reuo-
luatur circa C F, diametro B D, parallelam
ductam per extremitatem baſis C. Dico annulum
A B C H G, æqualem eſſe duobus ſolidis ex ſemifi-
gura D B C, circa B D, & duobus ſolidis ex ea-
dem D B C, circa C F. Diſponantur iſta ſolida,
vt in ſchemate, ſec. adeovt contineantur omnia in-
ter duo plana A B, C D, parallela. Sicuti autem
taliter ſunt diſpoſita vt duo genita ex reuolutione
D B C, circa diametrum occupent medium locum,
ita potuiſſent diſponi quocunque alio modo; & ſicu-
ti diſponuntur vt vnum aliud tangat, ità potuiſſent
diſponi vt eſſent ab inuicem diſſita quocunque inter-
uallo. Diſpoſita autem fuerunt ſic tanquam concin-
no modo ad inferrenda pulcherrima, quæ ex tali pro-
poſitione deducentur. Accipiatur in diametro B
12611454[Figure 54] primæ figuræ, quodhbet punctum I, per quod du-
catur planum L Q, plano A G, parallelum. Cum
autem C A, in ſecunda figura ſupponatur æqualis
ipſi B D, in prima, fiat C F, æqualis B I, & per
E, agatur planum E F, A B, C D, planis paralle-
lum. Rectangult m L M Q, primæ figuræ, diui-
ditur in rectangula I M Q, & L I, M Q. Re-
ctangulum I M Q, eſt æquale rectangulis I M P;
127115 I M, P Q, ſeù MIL. Pariter rectangulum L I,
M Q, cum ſit æquale rectangulo I M Q, diuiditur
in eadem rectangula. Quare colligemus, rectan-
gulum L M Q, æquale eſſe duobus rectangulis
I M P, & duobus rectangulis M I L. Rectangulum
I M P, in prima figura, æquatur rectangulo EGK,
in ſecunda; vnde duo rectangula I M P, primæ,
æquantur duobus rectangulis E G k, R S F, ſe-
cundæ: item duo rectangula M I L, primæ, æquan-
tur duobus rectangulis L O M, N P Q, ſecundæ;
vnde omnia quatuor rectangula primæ, æquantur
quatuor rectangulis ſecundæ. Ergo etiam rectangu-
lum L M Q, primæ, æquabitur rectangulis E G k;
L O M; N P Q; R S F, ſecundæ. Ergo & aimilla
circularis L M Q, ſolidi primæ figuræ, æquabitur
armillis circularibus E G k; R S F, & circulis
L O M, N P Q, ſecundæ. Cumautem puncta I,
& E, ſumpta ſint ad libitum, inuentaque ſit æqua-
litas inter plana prædicta; rectè deducemus, necdum
omnes armillas circulares ſolidi primæ figuræ plano
A G, parallelas, ęquales eſſe omnibus armillis cir-
cularibus, & omnibus circulis ſolidorum ſecundæ;
ſed etiam ſolidum primæ ęquari omnibus ſolidis ſe-
cundæ.
Quod autem probatum fuit de totis, patet eo-
dem modo probari poſſe de partibus proportionali-
bus; quia non diſſimili modo probabimus partem ſo-
lidi primæ contentam inter plana parallela L Q,
A G, ęquari parti ſolidorum ſecundæ,
128116 tæ inter plana A B, E F, parallela. Quare patet
propoſitum.
Secunda pars propoſitionis; nempe quod in ſe-
quenti figura, annulus latus ex figura A B C, eirca
T S, reuoluta ſit ęqualis duobus ſolidis ex D B C,
55[Figure 55] reuoluta circa B D, & duobus ex eadem reuolu-
ta circa T S; facta pręparatione ſimili anteceden-
ti, lector facile proprio Marte cognoſcet, diſcur-
rendo vt nos ſupra fecimus. Quare patet propo-
ſitum.
SCHOLIVM I.
Nec etiam pręſens propoſitio in tanta vniuerſa-
litate propoſita, videtur vnica conſtructione proba-
ri poſſe niſi methodo indiuiſibilium. In figuris vero
particularibus, factis particularibus præparationi-
bus, probari etiam poterit modo Archimedeo. Si
enim ſupponamus A B C, eſſe figuram ad
129117 B, deficientem, lector in geometricis peritus fa-
cile agnoſcet probari poſſe modo Archimedeo.
Ex his ergo, & ex dictis in lib. 4. de Infinit. Parab.
colligemus ſæpe replicatam doctrinam; nimirum.
annulum primę figurę, & ſolida ſimul ſecundę, eſſe
quantitates proportionaliter analogas tam in ma-
gnitudine, quam in grauitate. Vnde cum ſolidum
primę ſit magnitudo ſic analoga cum figura A B C.
Sequitur etiam omnia ſolida ſecundę figurę ſimul, eſ-
ſe analoga cum figura A B C, tam in magnitudi-
ne, quam in grauitate. Cum autem facile etiam ſic
cognoſcere prędictorum ſolidorum ſimul ſecundę
figurę eſſe centrum grauitatis in V X (vt hoc enim
ſequatur ſic ex induſtria diſpoſita fuerunt;) ergo
centrum grauitatis prędictorum ſolidorum ſimul ita
ſecabit V X, vt centrum grauitatis figurę A B C,
ſecat B D. Ex hac doctrina adinueniemus centrum
grauitatis nonnullorum ſolidorum. Sed prius adno-
tabim s vnum particulare in ſequenti ſcholio, quod
exiſtimamus P. Marium Bettinum Societatis lesù ſi
viueret, libenter excepiſſe.
SCHOLIVM II.
Galileus, in poſtremis Dialogis pag. apud nos 28,
loquitur de paradoxo quodam geometrico, in quo
intelligit demonſtrare circuli circumferentiam.
ęqualem eſſe puncto. De hoc paradoxo veſtigia Ga-
lilei ſequentes, locuti ſumus & in appendicula
130118 ginta problematum geometricorum, & in hoc ope-
re in ſchol. 3. propoſit. 10, & in ſchol. 3 propoſit.
18. At P. Bettinus ſupradictus in tom. 3. ſui Ærarij
pareg. geom. ſchol. prim. & alibi, admonet parado-
xum pręſens nequaquam intelligendum eſſe geome-
tricè, ſed phyſicè: nam geometricè loquendo, Eucli-
des, doctrinaque eius tradita in defin. 3. lib. 5. Ele-
ment. ab omnibuſque paſſim recepta huic aſſerto ad-
uerſatur. Proportio enim eſt duarum magnitudi-
num eiuſdem generis, quatenus ad quantitatem per-
tinet, mutua quædam habitudo. Quando ergo com-
paratur circumferentia cum puncto, & colligitur æ-
qualitas, fit comparatio impropria, & quæ non eſt,
cum ſint quantitates diuerſorum generum. At non
deeſt alius medius terminus geometricus oſtendens
Galilei Parallogiſmum ſi intelligat geometrice lo-
qui, non phyſicè. Hicque nobis ſuppeditatur ab an-
tecedenti propoſitione, antecedentibuſque ſolidis.
Nam ad modum Galilei diſcurrentes, in maximum
abſurdum incideremus: oſtenderemus enim circuli
circumferentiam æqualem eſſe duabus circuli cir-
cumferentijs, quarum vnaquæque priori eſſet ęqua-
lis, & inſuper duobus punctis. Cum enim proba-
tum ſit, ſolidum ex A B C, in prima figura, æqua-
le eſſe quatuor ſolidis in ſecunda figura tam ſecun-
dum totum, quamſecendum partes proportionales;
ſequeretur ex doctrina Galilei, quod cum tandem.
ſolidum A B C H G, in prima figura deſinat in cir-
cumferentia circuli, cuius diameter B H;
131119 quatuor ſolidorum in ſecunda figura, duo extrema
deſinant in circumferentijs, quarum diametri C H,
T D, media verò in punctis Y, Z; ſequeretur in-
quam, circun ferentiam B H, æqualem eſſe cir-
cumferentijs C H, T D, & punctis Y, Z. Quod
eſt abſurdiſſimum. Nam cum circumferentiæ ſint vt
diametri, & cum B H, C H, & T D, ſint ęqua-
les; ſequitur etiam circumferentias circulorum, quo-
rum diametri C H, T D, duplas eſſe circumfe-
rentiæ, cuius diameter B H. Erroneus ergo eſt di-
ſcurſus, ex quo hauritur circumferentiam B H,
ęquari circumferentijs C H, T D, & punctis
Y, Z; & conſequenter erroneus eſt Galilei diſ-
curſus.
PROPOSITIO XXXI.
Semifuſi parabolici cuiuſcunque, centrum grauitatis
reperire.
ESto A B D, ſemiparabola quæcunque in prima
figura, cuius diameter A D, baſis B D, quæ
reuoluta circa baſim B D, generet ſemifuſum para-
bolicum; huius oportet centrum grauitatis aſſigna-
re. Semiparabola A B D, intelligatur duplicata
ad partes baſis B D, & figura A B C, ex duabus
ſemiparabolis conſtans intelligatur rotari circa F C,
B D, parallelam. Item in ſecunda figura intelligan-
tur quatuor ſolida ſic diſpoſita, vt duo extrema A
13212056[Figure 56] T B, ſint illa, quæ otiuntur ex ſemipar abola D B C,
reuoluta circa C F, duo vero media ſint illa, quæ
oriuntur ex reuolutione ſemiparabolæ A B D, cir-
ca baſim B D, nempe ſint duo ſemifuſi parabolici
ex data ſemiparabola. Ex propoſit. anteced. con-
ſtat quatuor ſolida ſecundæ figuræ eſſe proportiona-
liter analoga cum ſolido A B C H G, primæ. Sed
ſolidum A B C H G, primæ eſt proportionalit
133121 analogum cum figura A B C, conſtante ex duabus
ſemiparabolis. Ergo & quatuor ſolida ſecundæ fi-
guræ ſimul erunt proportionaliter analoga cum fi-
gura A B C. Sed ex ſchol. 2. propoſit. 2. lib. 3. cen-
trum grauitatis figuræ A B C, ſic diuidit B D, vt
pars terminata ad B, ſit ad partem terminatam ad
D, vt numerus parabolæ ternario auctus ad nume-
rum parabolæ vnitate auctum. Ergo & centrum gra-
uitatis quatuor ſolidorum ſecundæ figuræ ſimul ſic
ſecabit V X, vt pars terminata ad V, ſit ad partem
terminatam ad X, vt numerus parabolæ ternario
auctus ad numerum parabolæ vnitate auctum. Sup-
ponatur à perito geometra, ſic diuiſa in ℟. Item ex
propoſit. 18. lib. 4. de infin. parab. conſtat centrum
grauitatis ſolidi ex ſemiparabola D B C, in prima
figura circa C F, ſic diuidere F C, vt pars termi-
nata ad F, ſit ad partem terminatam ad C, vt
duplus numerus parabolæ ternario auctus, ad du-
plum numerum vnitate auctum. Ergo & centrum
grauitatis ſolidorum extremorum in ſecunda figura,
ſic ſecabunt lineas circa quas ſemiparabolæ intelli-
guntur reuolutæ. Cum ergo talia ſolida ſint ex inſti-
tuto ſic diſpoſita, vt commune amborum centrum
grauitatis cadat in V X: ſi ergo V X, ſic diuida-
tur in +, vt V +, ſit ad + X, vt duplus nume-
rus parabolæ ternario auctus, ad duplum numerum
parabolæ vnitate auctum; + erit centrum grauita-
tis illorum ſolidorum ſimul. Cum ergo in VX, ſit
centrum grauitatis tam quatuor ſolidorum
13412257[Figure 57] quam duorum extremorum; ergo & reliquorum
duorum mediorum ſimul erit in V X, centrum gra-
uitatis. Hoc autem reperictur ſi fiat reciprocè vt
duo media ad duo extrema, ſic +℟, ad ℟ 2. Cum
eigo ex corollar. prim. propoſit. 4. lib. 3. ſit ſolidum
vnum medium ad vnum ſolidorum extremorum,
nompe duo media ad duo extrema, vt numerus para-
bolæ ad numerum parabolæ vnitate auctum; ſi
135123 vt numerus parabolæ ad numerum parabolæ vnitate
auctum, ſic +℟, ad ℟ 2. Erit 2, centrum gra-
uitatis duorum ſolidorum mediorum ſimul. Sed cum
hæc fuerint ſic diſpoſita vt centrum grauitatis vniuſ-
cuiuſque ipſorum ſic ſecet illorumaxim; ſi ergo axis
B D, ſemifufi in prima figura, ſic ſecetur in T, vt
B T, ſit ad T D, vt V 2, ad 2 +: erit T, cen-
trum grauitatis ſemifuſi A B C, orti ex reuolutione
ſemiparabolæ A B D, circa baſim B D. Quod
erat reperiendum.
SCHOLIVM.
Inuentio huius centri grauitatis non continet ali-
quam ſeriem ordinatam. Verum tamen eſt, quod
quilibet numero potert exprimere rationem in qua
ſecetur B D, à centrograuitatis tais ſemifuſi, ſi or-
dinem obſeruauerit, quem nostenemus in inuentio-
ne talis centri in ſemifuſo parabolico quadratico. In
primo enim ſemifuſo, cum ſit conus, iam patet B D,
ſic ſecari vt pars ad B, ſit ad partem ad D, vt 3.
ad 1. In quadratico verò, conſequenter ad ſupra
dicta, ſi B D, ſic ſecetur in S, vt B S, ſit ad
S D, vt numerus parabolæ ternario auctus ad nu-
merum parabolæ vnitate auctum; quarum B D, erit
8, talium B S, erit 5, & quarum B D, erit 12,
talium B S, erit 7, cum dimidia. Item ſi ſecetur
in I, vt B I, ſit ad I D, vt duplus numerus ter-
nario auctus, ad duplum numerum vnitate
13612458[Figure 58] quarum B D, erit 12, B I, erit 7. Ergo quarum
B D, erit 12, talium B I, erit 7; B S, 7, cum
dimidio IS, dimidium; I D, 5; D S, 4. cum
dimidio. Fiat ergo vt numerus parabolæ ad nume-
rum parabolæ vnitate auctum ſic I S, ad S T. Er-
go quarum partium I S, eſt 2, talium S T, erit tria.
Cum ergo quarum BD, erat 12, talium B S, eſſet 7,
cum dimidio, & IS, dimidium. Ergo quarum B
137125 erit 24; IS, erit 1; & B S, 15. Et qualium B D,
erit 48, talium I S, erit 2, & BS, 30. Sed qualium
IS, erat 2, talium S T, erat 3. Ergo qualium B D,
erit 48, talium B T, erit 33, & T D, 15. Ergo
centrum grauitatis ſemifuſi parabolici quadratici ſic
diuidit B D, in T, vt B T, ſit ad T D, vt 33, ad
15; & ſubtriplando terminos, vt 11, ad 5.
Sed non ſolum ſupradicta methodo reperiemus
centrum grauitatis ſemifuſi parabolici, ſed etiam ex-
ceſſus cylindri ipſi circumſcripti ſupra ipſum; nem-
pe centrum grauitatis ſolidi ex trilineo E B A, in pri-
ma figura, reuoluto circa baſim ſemiparabolæ B D.
Cum autem tale centrum facilius inuen@atur alio mo-
do, ideo hunc experiemur in parabola quadratica in
numeris. Supponamus ergo BD, ſectam bifariam
in S, & in T, ſic vt BT, ſit ad T D, vt 11, ad 5.
adeo vt T, ſit centrum grauitatis ſemifuſi A B C. Er-
go quarum BD, erit 16, talium ST, erit 3, &
B S, 8. Ergo qualium B D, erit 37, cum tertia par-
te, talium ST, erit 7, & BS, 18, cum duobus ter-
tijs. Cum autem ex ſchol. prim. propoſit. 14. lib. 2.
ſit exceſſus cylindri circumſcripti ſemifuſo ad ipſum
vt 7, ad 8, & ſi fiat vt talis exceſſus ad ſemifuſum,
ſic reriprocè T S, ad S I, ſit 1, centrum grauitatis
prædicti exceſlus; erit SI, 8, qualium BS, eſt 18,
cum duobus tertijs. Ergo talium reliqua BI, erit
10, cum duobus tertijs. Qualium ergo BD, eſt
37, cum tertia parte, erit BI, 10, cum duabus
tertijs partibus, & reliqua DI, 26, cum duo bus
138126 tijs. Ergo centrum grauitatis prædicti exceſſus ſecat
BD, in I, in prædicta ratione.
PROPOSITIO XXXII.
Semifuſi hyperbolici cuiuſcunque, ſuppoſita hyperbolœ quæ-
dratura, poſſumus centrum grauit atis reperire.
SVpponamus in ſeq. figura D B C, eſſe ſemi-
hyperbolam, cuius diameter C D, baſis B D,
latus tranſuerſum CZ, centrum S. Dico, ſuppo-
ſita hyperbolæ quadratura, nos poſſe reperire cen-
trum grauitatis ſemifuſi hyperbolici A B C. Diſpo-
nantur quatuor ſolida vt ſupra, & vt in ſecunda figu-
ra, ſed duo extrema A H, T B, intelligantur eſſe
annulos non ſtrictos, vt ſchema exprimit, ſed latos,
ortos ex rotatione ſemihyperbolæ D B C, ſeq. fi-
guræ circa ſecundam diametrum T S. Ergo horum
quatuor ſolidorum ſic diſpoſitorum vt in illa fi-
gura habemus centrum grauitatis in V X, quia ha-
bemus centrum grauitatis ſolidi A B C Z H G, ſeq.
figuræ, quod ex propoſit. 30. eſt proportionali-
ter analogum cum quatuor ſolidis ſecundæ figu-
ræ. Habemus autem centrum grauitatis ſolidi
A B C Z H G, quia habemus in baſi B D, centrum
grauitatis figuræ A B C, conſtantis ex duabus ſe-
mihyperbolis, ex propoſit. 12. in qua, ſuppoſita hy-
perbol quadratura, inuentum fuit centrum æqui-
librij ſemihype bolæ D B C, in baſi B D, &
13912759[Figure 59] ſequenter centrum grauitatis in B D, ipſius A B C.
Pariter, cum ex ſchol. 3. prop. 26. habeamus centrum
grauitatis, ſine ſuppoſitione quadraturæ hyperbolæ,
annuli lati ex ſemihy perbola D B C, in hac figu-
ra reuoluta circa ſecundam diametrum T S; habe-
bimus conſequenter ad ſupra dicta, in ſecunda figu-
ra, in V X, centrum grauitatis duorum ſolidorum
extremorum, nempe duorum annulorum latorum
A H, T B. Inſuper ex ſchol. 2. prop. 32. ſuppoſita hy-
perbolæ quadratura, habemus in hac figura ra-
tionem, quam habet annulus latus D B C Z H ℟,
ad ſemifuſum A B C; & conſequenter in ſecunda
figura, habemus rationem duorum ſolidorum extre-
morum ſimul ad duo ſolida media. Ergo conſequen-
ter habebimus in V X, ſecundæ figuræ centrum gra-
uitatis duorum ſolidorum mediorum ſimul. Et pari-
ter in hac figura, habebimus centrum in B D, ſe-
mifuſi A B C. Quod & c.
140128
SCHOLIV M.
Sed non ſolum habebimus tale centrum grauita-
tis, ſed etiam centrum grauitatis exceſſus cylindri
E C, ſupra ipſum.
PROPOSITIO XXXIII.
Annuli stricti ex ſemiparabola quacunque, cuius expe-
nens ſit numerus par, reuoluta circa parallelam dia-
metro ductam per extremitatem baſis, centrum grauita-
tis aſſignare.
ESto ſemiparabola quæcunque D B C, cuius ex-
ponens ſit numerus par, ſitque eius diameter
B D, baſis D C, & intelligamus D B C, rotari cir-
ca C F, parallelam diametro B D, ductam per C:
oporteat annuli producti centrum grauitatis reperi-
re. Intelligamus ſemiparabolam duplicari ad partes
B D, vt fiat tota parabola A B C, & intelligamus
hanc totam rotari circa F C, vt fiat annulus
A B C H G. Cum hic annulus ex propoſit. 30. ſit
æqualis quatuor ſolidis dictis in illa propoſitione, di-
ſponantur hęc ſolida vt in ſecunda figura. Ergo ho-
rum quatuor folidorum ſimul centrum grauitatis ita
ſecabit V X, vt ſecat B D, centrum grauitatis pa-
rabolæ A B C. Sed ex ſchol. prim. propoſit. 2. lib. 3.
hoc centrum ita ſecat B D, vt pars terminata ad
14112960[Figure 60] ſit ad partem terminatam ad D, vt numerus para-
bolæ vnitate auctus ad numerum parabolæ. Ergo ſi
V X, ſic ſecetur in ℟, vt ſit V ℟, ad ℟ X, vt nu-
merus parabolæ, ſeù annuli vnitate auctus, ad nu-
merum parabolæ erit ℟, centrum grauitatis ſoli-
dorum quatuor ſimul ſumptorum. Pariter, quo-
niam ex propoſit. 14. lib. 4. centrum grauitatis co-
noidis A B C, ſic in prima figura diuidit B D,
142130 pars terminata ad B, ſit ad partem terminatam ad
D, vt dimidium numeri conoidis vnitate aucti, ad
dimidium numeri conoidis; & cum ſic in ſecunda fi-
gura ſint diſpoſita ex induſtria duo conoidea me-
dia, vt centrum grauitatis amborum ſimul ſit in
V X; ſi hæc ſic ſecetur in 2, vt ſit V 2, ad 2 X, vt
dimidium numeri conoidis aucti vnitate ad dimi-
dium numeri conoidis; erit 2, centrum grauitatis
duorum conoideorum ſimul. Cum ergo in V X, ſit
centrum grauitatis tam quatuor ſolidorum ſimul,
quam duorum conoideorum; ergo & in V X, erit
centrum grauitatis duorum annulorum extremo-
rum. Si ergo fiat vt duos annulos ſimul, ad duo co-
noidea ſimul, vel vt vnus annulus ad vnum conoi-
des, nempe ex coroll. 3. lib. 3. vt numerus conoidis
ternario auctus ad numerum conoidis vnitate au-
ctum, ſic reciprocè 2 ℟, ad ℟ +. Erit + centrum
grauitatis duorum annulorum ſimul. Et ſi in prima fi-
gura ſecetur F C, in puncto in ratione F +, ad
+ X. Erit illud inuentum centrum grauitatis illius
annuli. Res de ſe patet. Quare & c.
SCHOLIVM.
Sed nec etiam inuentio huius centri continet ali-
quam pulchram ſeriem; quilibet tamen aſſignabit in
numeris rationem ſecundum quam diuiditur F C,
à centro grauitatis prædicti annuli, ſi notabit ſequen-
tem ordinem quem tenemus in annulo
14313161[Figure 61] quadraticæ. In illa enim V X, ſic ſecatur in ℟,
centro grauitatis quatuor ſolidorum ſimul, vt V ℟,
ſit ad ℟ X, vt 3. ad 2. In 2. vero vt V 2, ſit
ad 2 X, vt 2, ad 1, nempe vt 3, cum tertia par-
te, ad 1, cum duobustertijs. Ergo qualium V X,
eſt 5, talium V ℟, eſt 3, & V 2, eſt 3, cum ter-
sia parte; ℟ 2, tertia pars; & qualium V X, eſt
15, talium V ℟, eſt 9; V 2, 10; & ℟ 2, vnitas.
144132 Qualium ergo ℟ 2, eſt 5, talium V X, eſt 75,
V ℟, 45, & V 2, 50. Cum ergo qualium ℟ 2, eſt
5, talium ℟ +, ſit 3. Ergo qualium V X, eſt 75,
talium V +, erit 42. V X, ergo centrum grauita-
tis duorum annulorum ſecabitur in +, & conſe-
quenter F C, ſic ſecabitur à centro grauitatis præ-
dicti annuli quadratici v. g. in N, vt F N, ſit ad
N C, vt 42, ad 33; nempe ſubtriplando termi-
nos, vt 14, ad 11.
Habito autem centro grauitatis talis annuli, non
ignorabitur centrum grauitatis conici B C H, orti
ex rotatione trilinei B F C, circa baſim F C. Quod
licet poſſit haberi independenter ab inuento centro
grauitatis annuli, vt patet ex ſuperioribus, conſide-
rando perſe, ſolidum ortum ex reuolutione exceſſus
parallelogrammi E C, ſupra parabolam A B C,
circa F C, faciendo diſpoſtionem vt ſupra; faci-
lius tamen inuenietur ex centro annuli ex ſemipara-
bola prius inuento. Nam habetur etiam centrum
grauitatis totius cylindri D H; & ex propoſit. 15.
lib. 2. habetur ratio prædicti annuli ad conicum.
B C H. Hoc autem ſic in numeris inuenietur in co-
nico quadratico: ſupponamus in ſecunda figura (in
qua faciemus operationem in V X, & quam in ip-
ſa faciemus intelligemus factam in F C) V X, eſſe
ſectam bifariam in ℟, & in 2, vt V 2, ſit ad 2 X,
vt 14, ad 11. Ergo ℟, erit centrum grauitatis to-
tius cylindri annulo circumſcripti, & 2, erit ex di-
ctis, centrum grauitatis annuli. Ergo qualium
145133 ta V X, eſt 25; V 2, 14; & 2 X, 11; talium V ℟,
erit 12, cum dimidia; & ℟ 2, 1, cum dimidia. Cum
ergo ex ſecunda parte propoſit. 15, lib. ſecun. ſit di-
uidendo conicus B C H, ad annulum vt 2, ad 10,
ſeù vt 1, ad 5; & ſi fiat reciprocè vt conicus,
ad annulum, nempe vt 1, ad 5, ſic 2 ℟, ad ℟ +, ſit
+, centrum grauitatis conici; & cum ſit vt 1, ad 5,
ſic vnum cum dimidio ad 7, cum dimidio. Ergo
+ ℟, erit 7, cum dimidio. Quare reliqua V +, erit
5, & + X, 20. Ergo V X, ſic ſecatur in +, & F C,
v. g. in N, à centro grauitatis conici B C H, vt
C N, ſit ad N F, vt 20, ad 5, ſeù vt 4. ad 1.
PROPOSITIO XXXIV.
Annuli stricti orti ex reuolutione ſemihyperbolæ, vt in an-
teced. propoſit. ſuppoſita hyperbolæ quadratura, poſſumus
centrum grauitatis aſſignare.
SEd ſupponamus D B C, eſſe ſemihyperbolam,
& c. Dico etiam nos poſſe aſſignare centrum
grauitatis annuli ſtricti ex ſemihyperbola D B C,
circa F C. Reuoluta enim hyperbola A B C, tota
circa F C, vt fiat annulus A B C H G, cum hic ſit
æqualis quatuor ſolidis diſpoſicis vt in ſecunda figu-
ra, vt ſæpe dictum eſt; ergo ex propoſit. 22. in qua
aſſignatur centrum grauitatis in B D, hyperbolæ
A B C, habebimus etiam centrum grauitatis qua-
tuor illorum ſolidorum ſimul diſpoſitorum. Sit
146134 centrum ℟. Item ex prop. 13. & 14. habemus centrum
grauitatis conoidis hyperbolici, & conſequenter
duorum conoideorum diſpoſitorum vt in ſecunda fi-
gura. Sit hoc 2. Pariter, quoniam ex propoſit. 12.
habemus centrum æquilibrij ſemihyperbolæ D B C,
in D C; habebimus etiam ex propoſit. 4 lib 3. ra-
tionem quam habent ſolida ex ſemihyperbola D B C,
reuoluta circa B D, & F C, ad inuicem; & conſe-
quenter habebimus rationem, quam habent in ſe-
cunda figura duo ſolida extrema ad duo media. Si er-
go fiat vt duo ſolida extrema ad duo media ſic reci-
procè 2 ℟, ad ℟ +. Erit +, centrum grauitatis
duorum annulorum ſimul. Vndè patet quomodo
poſſimus habere centrum grauitatis vnius annuli ſoli
ex ſemihyperbola. Quod & c.
SCHOLIVM.
Habito centro grauitatis annuli, non ignorabitur
centrum grauitatis conici hyperbolici B C H; pro
quare conſideretur ſcholium antecedentis propoſi-
tionis, diſcurſuſque in ipſo expoſitus imitetur.
Q oniam autem ex doctrinis ſuperius traditis li-
cet nobis colligere centra grauitatis aliquorum ſoli-
dorum, de quibus nunquam geometria locuta eſt;
ideo vt hoc expeditius fiat, opere pretium ducimus
doctrinas ſuperius traditas aptius ordinare, regulam
quandam generalem exponendo. Sciendum ergo
eſt, quatuor eſſe centra grauitatis, quorum
147135 datis, licet quartum colligere. Nempe cèntrum
grauitatis figuræ A B C, circa diametrum: centrum
æquilibrij ſemifiguræ D B C, in D C: centrum
grauitatis ſolidi A B C, orti ex reuolutione ſemi-
figuræ A B D, circa B D: & centrum grauitatis ſe-
miſiguræ D B C, reuolutæ circa F C. Nam datis
tribus primis, patebit dari quartum ſic. Dato cen-
tro grauitatis figuræ A B C, datur centrum graui-
tatis ſolidi orti ex gyratione A B C, circa C F; &
conſequenter centrum grauitatis quatuor ſolidorum
diſpoſitorum in ſecunda figura. Secundo dato cen-
tro æquilibrij ſemifiguræ D B C, in D C, dabitur
ratio ſolidi ex ſemifigura D B C, reuoluta circa D B,
ad ſolidum ex eadem reuoluta circa C F; ex propo-
ſit. 4. lib. 3. & conſequenter in ſecunda figura dabi-
tur ratio duorum ſolidorum mediorum ad duo extre-
ma. Tertio dato centro grauitatis ſolidi A B C, da-
bitur etiam in ſecunda figura centrum duorum ſoli-
dorum mediorum ſimul. Si ergo ℟, ſit centrum
quatuor ſimul, iam datum, & 2, ſit centrum duo-
rum mediorum etiam datum, ſi fiat 2 ℟, ad ℟ +, in
ratione data, nempe vt duo ſolida extrema, ad duo
media, vel vt vnum ad vnum; erit + centrum gra-
uitatis duorum extremorum, vel vnius extremi, quod
eſt quartum, quod quærebatur. Ita ſuppoſitis dari
tribus quibuſuis quatuor iam dictorum, patebit ſimi-
li diſcurſu, dari quartum. His animaduerſis.
148136
PROPOSITIO XXXV.
Annuli stricti orti ex reuolutione ſegmenti ſemiparabolæ
cuiuſcunque, cuius exponens ſit numerus par, reſectæ
linea baſi parallela, circa lineam ductam parallelam dia-
metro per extremitatem baſis poſſumus centrum graui-
tatis aſſignare.
PArabola quæcunque A B C, cuius numerus
par, ſit ſecta L M, A C, parallela, & intelli-
gamus D I M C, rotari circa C F. Dico annuli
orti nos poſſe aſſignare centrum grauitatis. Nam
cum ex propoſit. 10. lib. 3. habeamus centrum gra-
uitatis ſegmenti parabolæ A L M C, habebimus
etiam ex ſupra dictis, centrum grauitatis annuli
A L M C O Q G; & conſequenter quatuor ſolido-
rum diſpoſitorum vt in ſecunda figura. Ex propo-
ſit. 11. eiuſdem libri habemus centrum æquilibtij fi-
guræ D I M C, in baſi D C. Ex ſchol. propoſit.
15. lib. 3. habemus centrum grauitatis ſolidi
A L M C. Ergo quartum non ignorabitur; nempe
centrum grauitatis ſolidi orti ex rotatione D I M C,
circa N C. Quod & c.
SCHOLIVM.
Cum autem habeamus centrum grauitatis cylin-
dri IV; & rationem ex ſchol. 2. propoſit. 11. lib.
14913762[Figure 62] 3. quam habet cylindrus IV, ad conicum M C O;
habemus etiam in N C, centrum grauitatis talis
conici.
PROPOSITIO XXXVI.
Annuli ſtricti orti ex rotatione ſegmenti ſemihyperbolæ re-
ſectæ linea baſi parallela (ſuppoſita ſegmenti
150138 ra) modo in propoſit. anteced. explicato, poſſumus cen-
trum grauitatis aſſignare.
VIce parabolæ propoſit. antèced. ſit hyperbola.
Dico nos poſſe aſſignare centrum grauitatis
annuli ſtricti D I M C O P V. Nam cum ex propo-
ſit. 22, habeamus centrum grauitatis tam hyperbolæ
A B C, quam hyperbolæ L B M, & cum ex ſup-
poſitione quadraturæ facile poſſimus elicere ratio-
nem ſegmenti A L M C, ad hyperbolam L B M;
habebimus centrum grauitatis ſegmenti hyperbolæ
A L M C; & conſequenter ſolidi A L M C O Q G:
& conſequenter quatuor ſolidorum diſpoſitorum vt
in ſecunda figura. Item ex ſchol. propoſit. 15. habe-
mus centrum æquilibrij in D C, ſegmenti D I M C.
Ex propoſit. 17, habemus centrum grauitatis ſolidi
A L M C. Ergo nec etiam in præſenti quartum
ignorabitur; nempe centrum grauitatis annuli
D I M C O P V. Quod & c.
SCHOLIVM.
Ex prædicto centro inuento, & ex ratione cylin-
dri IV, reperta in citato ſchol. propoſit. 15. per
conuerſionem rationis, ad conicum M C O, re-
periemus in N C, centrum grauitatis conici M C O,
prædicti.
151139
PROPOSITIO XXXVII.
Variorum ſegmentorum infinitorum fuſorum par abolicorum,
poſſumus centra grauitatis aſſignare.
ESto parabola quæcunque R B A, quam intelli-
gamus rotari circa R A, adeo vt generetur
quilibet fuſus parabolicus. Dico variorum ſegmen-
torum huius fuſi nos poſſe centra granitatis aſſi-
gnare.
In primis parabola ſecetur linea I T, diametro
E B, parallela, poſſumus aſſignare centrum graui-
tatis partis fuſi ortæ ex reuolutione ſegmenti ad dia-
metrum I T B E, circa I E. Nam in primis ex pro-
poſit. 16. lib. 3. habemus centrum æquilibrij in I E,
baſi ſegmenti I T B E, nempe centrum grauitatis
duplicatæ figuræ I T B E, ad partes I E. Secundo,
ex propoſit. 18. lib. 4. habemus centrum grauita.
tis portionis annuli orti ex reuolutione ſegmenti
I T B E, circa B V. Tertio ex ſchol. 3. propoſit.
15. lib. 3. habemus centrum ſegmenti I T B E, in
E B, nempe habemus rationem, quam habet ſoli-
dum ex I T B E, ſegmento reuoluto circa V B, ad
ſolidum ex eodem ſegmento reuoluto circa I E. Ex
iftis tribus centris datis, ad modum ſuperiorum de-
ducemus quartum, nempe centrum grauitatis ſeg-
menti fuſi ex I T B E, ſegmento reuoluto circa I E.
152140 63[Figure 63]
Secundo ſecetur parabola ctiam L P, E B, dia-
metro parallela, adeovt I T, L P, intercipiant dia-
metrum, poſlumus aſſignare centrum grauitatis ſeg-
menti intermedij fuſi orti ex reuolucione ſegmenti
intermedij I T B P L, reuoluti circa I L. Nam ex
propoſit. 21. lib. 3. habemus centrum grauitatis du-
plicatæ figuræ I T B P L, ad partes I L. Secundo
ex propoſit. 22. eiuſdem lib. habemus centrum æ-
quilibrij ſegmenti in L G; nempe rationem
153141 dorum reuolutorum circa V G, & I L. Tertio ex
propoſit. 18. lib. 4. habemus centrum grauitatis ſeg-
menti annuli ex ſegmento I T B P L, reuoluto cir-
ca V G. Ergo quartum, nempe centrum ſegmen-
ti fuſi ex eodem ſegmento circa L I, non ignora-
bitur.
Sic cognoſcemus centrum grauitatis portionis
fuſi ex portione maiori I T B A. Nam centrum
grauitatis duplicatæ portionis habetur ex propoſit.
19. lib. 3. Ex propoſit. 20. eiuſdem libri, habemus
rationem ſolidorum ex portione reuoluta circa V B,
& circa I A. Tertio ex citata propoſit. 18. lib 4.
habemus centrum portionis annuli ex portione
I T B A, reuoluta circa V B. Quare & c.
Pariter cognoſcemus centrum grauitatis portio-
nis fuſi ex portione minori R T I, quia ex propoſit.
14. lib. 3. habemus centrum grauitatis in R I, du-
plicatæ portionis R T I. Secundo habemus ratio-
nem, quam habet prædict portio fuſi, ad portio-
nem annuli ex portione I R T, reuoluta circa S V.
Quia mente portioni intellecto circumſcripto paral-
lelogrammo, habemus ex ſchol 2 propoſit 15. eiuſ-
dem libri, rationem portionis f ſi, ad cylindrum ſi-
bi circumſcriptum: pariter habemus rationem præ-
dicti cylindri ad cylindrum R X, quia habemus, ex
data portione, rationem I T, ad I V; & conſe-
quenter quadrati I T, ad quadratum I V: item
habemus exſchol. 2. propoſit 4. lib. 4 rationem cy-
lindri R X, ad portionem annuli ex portione R T
154142 circa S V. Vnde ex æquali, habemus rationem por-
tionis fuſi ad portionem annuli. Tertio habemus
centrum grauitatis prædictæ portionis annuli ex cit.
prop. 18. lib. 4. Ergo quartum, nempe centrum graui-
tatis portionis fuſi non ignorabitur.
Sed nec in ſequenti figura, ſuppoſita ſemiparabo-
la E B A, ſecta duabus lineis H N, L P, diame-
tro E B, parallelis, ignorabimus centrum grauit atis
ſegmenti fuſi ex ſegmento intermedio H N P L.
64[Figure 64]
155143 Nam centrum grauitatis in H L, duplicati ſegmen-
ti ad partes H L, habetur ex propoſit. 17. libri 3.
Item ex præcitata propoſit. 18. lib. 4. habemus cen-
trum grauitatis ſegmenti annuli ex ſegmento
H N P L, circa B D. Tertium nempe ratio ſeg-
menti fuſi ad ſegmentum annuli patebit haberi.
Quia habemus ex ſchol. propoſit. 18. lib. 3. rationem
ſegmenti fuſi ad cylindrum ex parallelogrammo
L N, ſibi circumſcripto; ſed habemus rationem ta-
lis cylindri ad cylindrum H M, & huius ex præcit.
ſchol. 2. propoſit. 4, lib. 4. ad ſegmentum annuli.
Quare ex æquali, patet propoſitum. Cognitis ve-
rò tribus præcedentibus, quartum centrum quæſi-
tum innoteſcet. Patuit ergo propoſitum in omni-
bus prædictis partibus.
SCHOLIVM.
Sicuti autem in antecedentibus reperta ſunt cen-
tra grauitatis variorum ſegmentorum infinitorum
fuſorum parabolicorum, ſic ex ſuppoſita quadratura
hyperbolæ, eiuſque ſegmentorum, liceret reperire
tam centra grauitatis variorum ſegmentorum hy-
perbol quam variorum ſegmentorum fufi ex hy-
perbola, quod indicaſſe lectori ſufficiat.
Ex ſuperius ergo dictis patuit quot ſint ea, quæ
deducuntur ex propoſit. 30. ſuperiori, ſed inſuper
alia poſſunt deduci nempe tres regulæ vniuerſales in
tribus ſequentibus propoſic. exprimendæ.
156144
PROPOSITIO XXXVIII.
Data cuiuſcunque ſemifigurœ circa diametrum quadratu-
ra, dataque ratione cylindri circumſcripti ſolido ex ſe-
mifigura reuoluta ſiue circa diametrum, ſiue circa du-
ctam diametro parallelam, vel per extremitatem baſis,
vel extra figuram. Datur ratio cylindri circumſcripti
altero dictorum ſolidorum adipſum.
SIt data quælibet ſemifigura D B C, circa dia-
metrum B D, & data ſitratio quam habet pa-
rallelogrammum B C, ad ipſam figuram; inſuper
detur ratio, quam habet cylindrus ex B C, in pri-
ma figura, reuoluto ſiue circa D B, ſiue circa F C,
ad alterum ſolidorum ex ſemifigura D B C, ſiue cir-
ca B D, ſiue circa F C: vel in ſecunda figura detur
vel ratio cylindri E C, ad ſolidum A B C, vel cy-
lindri D H, ad ſolidum ex D B C, reuoluta cir-
ca T S. Dico dari etiam rationem alterius cylindri,
ad alterum ſolidum exſemifigura.
Probetur prius in prima figura, in qua intelliga-
mus parallelogrammum E C, cum figura integra
A B C, rotari circa F C. Frgo ex propoſit. 29.
cum data ſit ratio ex hypotheſi, parallelogrammi
E C, ad figuram A B C, dabitur quoque ratio cy-
lindri E G, ad ſohdum A B C H G. Sed tale ſoli-
dum ex propoſit. 30. æquatur duobus ſolidis ex
D B C, circa D B, & duobus, ex eadem circa F C.
15714565[Figure 65] Ergo dabitur quoque iatio cylindri E G, ad hæc
quatuor ſolida. Ergo & cylindri E C, qui eſt
quarta pars cylindri E G, ad eadem quatuor ſoli-
da. Ergo dabitur quoque ratio cylindri E C, ſeù
ei æqualis, D H, ad duo tantum illorum ſolido-
rum, ſcilicet ad vnum, & vnum, nempe ad vnum
circa D B, & ad vnum circa F C. Sed ex hypothe-
ſi, datur quoque ratio cylindri E C, ſeù D H, ad
alterum tantum ſolidorum ex D B C, reuoluta
158146 circa D B, ſiue circa F C. Ergo quacunque data,
dabitur etiam altera; nempe data ratione cylindri
E C, ad ſolidum A B C, dabitur quoque ratio cy-
lindri D H, ad ſolidum ex D B C, circa F C, &
è contra.
Pariter in ſecunda figura. Quoniam datur ratio
parallelogrammi D F, ad ſemifiguram D B C, ſi-
ue parallelogrammi E C, ad integram figuram
A B C, dabitur ex propoſit. 29. ratio tubi cylindri-
ci E C Y, ad annulum latum A B C Z H G. Ergo
ex propoſit. 30. dabitur quoque ratio prædicti tubi
ad quatuor ſolida ex D B C, duabus vicibus reuo-
luta circa B D, & duabus circa T S. Ergo dabi-
tur quoque ratio talis tubiad vnum ſolidum A B C,
& ad vnum D B C Z H ℟. Cum autem detur ratio
D S, tam ad A C, quam ad C G (hoc enim eſt
ſupponendum, quia danda eſt C S, qua data dantur
prædicta) dabitur etiam ratio quadrati D S, ad re-
ctangulum A C G; nempe dabitur ratio cylindri
D H, ad tubum cylindricum E C Y. Ergo ex æqua-
li, dabitur quoque ratio cylindri B ℟, ad ſolidum
A B C, ſimul cum ſolido D B C Z H ℟. Siergo de-
tur etiam ex hypotheſi, ratio cylindri E C, ad ſoli-
dum A B C, quiacum detur ratio cylindri D H, ad
cylindrum E C, datur etiam ratio cylindri D H,
ad ſolidum A B C. Ergo dabitur quoque ratio eiuſ-
dem cylindri D H, ad ſolidum D B C Z H ℟. Si
vero detur ratio ex hypotheſi, cylindri D H, ad ſo-
lidum D B C Z H ℟; ergo dabitur quoque ratio
15914766[Figure 66] iuſdem cylindri ad ſolidum A B C. Sed etiam datur
ratio cylindri E C, ad cylindrum D H. Ergo
quoque ex æquali, dabitur ratio cylindri E C,
ad ſolidum A B C. Ergo in omnibus patuit pro-
poſitio.
160148
PROPOSITIO XXXIX.
Datis ijſdem, quœ in antecedenti propoſitione in primo
ſehemate, datur centrum æquilibrij figuræ in
linea, quæ eſt radius rotationis.
SEd dentur eadem, quæ ſupra in primo ſchema-
te. Dico dari in D C, quæ eſt radius rotatio-
nis, centrum æquilibrij ſemifiguræ D B C. Cum
enim exanteced. propoſit datis ijs, detur etiam ra-
tio cylindri ad alterum ſolidorum. Ergo dabitur e-
tiam ratio ſolidorum ad inuicem; nempe dabitur ra-
tio ſolidi A B C, ad ſolidum D B C H V. Sed ex
propoſit. 4. lib. 3. ſolidum ad ſolidum eſt vt pars D C,
terminata à D, & àcentro æquilibrij figuræ D B C,
ad reliquam partem D C. Quare patet propo-
ſitum.
PROPOSITIO XL.
Fi ſecundo ſchemate datis ijſdem, & dataratione annu-
li lati ex ſernifigura ad annulum ſtrictum eiuſdem,
dabitur prœdictum centrum.
SEd in ſecundo ſchemate, vltra data in ante-
cedenti, detur etiam ratio annuli lati
D B C Z H ℟, ad annulum ſtrictum exeadem D B C,
reuoluta circa F C. Dico dari eius centrum
161149 librij in D C. Nam eodem modo patebit, dari ra-
tionem ſolidi A B C, ad ſolidum D B C Z H ℟.
Sed etiam datur ratio ex hypotheſi, D B C Z H ℟,
ad annulum ſtrictum ex D B C, circa C F. Ergo
ex æquali, dabitur ratio A B C, ſolidi ad prædi-
ctum annulum ſtrictum. Quare ex cit propoſit. 3.
dabitur quoque in D C, centrum æquilibrij quæſi-
tum. Quod & c.
SCHOLIVM.
Ex his tribus propoſitionibus poſſumus necdum
ex ſola quadratura in finitarum parabolarum inuenire
rationem cylindrorum circumſcripto ũ ad infinitos
fuſos parabolicos; ſed etiam centrum grauitatis in-
finitarum parabolarum. Nam cum in propoſit. 4.
lib. 4. & in ſcholijs eiuſdem, oſtenſum ſit in ſchema-
te illius propoſit. data qualibet ſemiparabola R B E,
cuius baſis R E, diameter B E, quæ reuoluatur
cum ſibi circumſcripto parallelogrammo R B, cir-
ca B S: cylindrum R K, eſſe ad ſolidum E R B Z k,
vt parallelogrammum R B, ad ſemiparabolam
E R B, cuius baſis E R, diameter E B, quæ ſit
gradus dupli, gradus ſemiparabolæ reuolutæ circa
S B; patet ex data quadratura infinitarum parabola-
rum, dari rationem cylindri R K, ad annuIum
E R B Z k. Data hac ratione, dabitur etiam ex pro-
poſit. anteced. ratio cylindri R k, velei æqualis or-
ti ex R B, circa R E, ad ſolidum ex E R B,
16215067[Figure 67] R E; nempe ad ſemifuſum parabolicum. His datis
dabitur etiam ratio illorum ſolidorum ad inuicem;
& conſequenter centrum æquilibrij ſemiparabolæ
E R B, in E B; & conſequenter centrum grauitatis
parabolæ R B A, in diametro B E.
Sed hic notetur, parabolas inſeruientes inuentio-
ni centri grauitatis infinitarum parabolarum, non
eſſe omnes, ſed illas dumtaxat, quarum exponentes
ſunt numeri pares; quia hæ dumtaxat inſeruiunt
163151 uentioni rationis infinitorum cylindrorum R K, ad
infinitos annulos E R B Z k, vt luculenter explica-
tum fuit in admirabili ſcholio 4. citat. propoſit. 4.
lib. 4.
Inſuper cum in varijs propoſitionibus lib. prim.
aſſignata fuerit ratio, quam habet quælibet pars pa-
rallelogrammi A S, ad quamlibet partem parabolæ
R B A, quam pars parallelogrammi includit, & cum
in cit. propoſit. 4. lib. 4. & in eiuſdem ſcholijs, aſſi-
gnata fuerit ratio ex illa ſimplici analogia, quam ha-
bet quælibet pars cylindri R C, ad quamlibet par-
tem annuli A R B Z C; v. g. oſtenſa ſit ratio, quam
habet cylindrus I K, ad partem annuli ex E I T B,
circa V B; patet ex propoſit. antecedentibus, nec-
dum dari rationem cuiuslibet partis cylindri R C,
v. g. I k, vel ei æqualis ex I B, circa I E, ad par-
tem fuſi ex I T B E, circa I E: ſed etiam dari in
B E, vel in V I, centrum æquilibrij ſegmenti
I T B E, vel grauitatis duplicati ſegmenti ad par-
tes B E, vel I V.
In propoſit. autem 3. lib. 4. patuit cylindrum
E C, eſſe ad quodlibet conoides parabolicum ABC,
cuius exponens ſit numerus par, vt parallelogram-
mum E C, ad parabolam A B C, cuius exponens
ſit ſubduplus exponentis conoidis. Quare, vt ibi-
dem patuit, infinitæ parabolæ non inſeruierunt in-
uentioni rationi infinitorum cylindrorum ad in finita
conoidea, ſed tantum ad ea, quorum exponentes
ſunt numeri pares. Eliciemus crgo ex
16415268[Figure 68] bus propoſitionibus, inſeruire infinitas parabolas
inuentioni rationi cylindrorum E C, vel eis æqua-
lium factorum ex E D, circa E A, ad annulos ex
A B D, circa A E, quorum exponentes ſint numeri
pares. Pariter eliciemus nos ex his habere centrum
æquilibrij in baſi A D, ſemiparabolarum A B D,
quarum exponentes ſunt numeri pares, & non om-
nium.
Patet ergo ex dictis, aliquod admirabile, & non
minus eo, quod expoſitum fuit in prædicto ſchol. 4.
propoſit. 4. lib. 4. Hoc autem eſt, quod infinitæ para-
bolæ inſeruiunt tam inuentioni centri grauitatis
165153 finitarum parabolarum in diametro, quam inuentio-
ni centri æquilibrij infinitarum ſemiparabolarum in
baſi. At inuenimus centra grauitatis infinitarum.
parabolarum in diamctro non adhibendo infinitas
parabolas, ſed illas tantum, quarum exponentes
ſunt numeri pares. E contra verò adhibendo infi-
nitas parabolas, non inuenimus centra æquilibrij in
baſi infinitarum ſemiparabolarum, ſed illarum tan-
tum, quarum exponentes ſunt numeri pares.
Ex cit. autem propoſit. 3. lib. 4. & ex ſchol eiuſ-
dem, poſſumus ex propoſit. anteced. elicere ratio-
nem, quam habet cylindrus ex AM, circa E A, ad
partem annuli ex APMD, circa E A, cuius expo-
nens ſit numerus par. Et inſuper centrum æquili-
brij in A D, ſegmenti APMD, ſemiparabolæ
A B D, cuius exponens itidem ſit numerus par.
Hæc autem facile patent ex dictis.
Quot igitur ſolidorum manifeſtata ſint centra
grauitatis, potuit lector ex dictis cognoſcere. Sed
nolumus ſub ſilentio relinquere aliqua, quæ nobis
ſcitu digna videntur.
PROPOSITIO XLI.
Si ſuper eadem baſi, & circa eandem diametrum ſint ſe-
mihyperbola, & ſemiparabola. Tota ſemihy-
perbola cadet intra ſemipar abolam.
SInt ſemihy perbola A E B D, & ſemiparabola
A F B D, quarum eadem baſis A D,
16615469[Figure 69] que diameter B D. Dico totam femihyperbolam
cadere intra ſemiparabolam. Sit G B, latus tranſ-
uerſum hyperbolæ, & accepto in B D, arbitrariè
puncto H, ordinatim applicetur H E F. Quo-
niam enim in hyperbola eſt ex primo conic propo-
ſit. 21. vt quadratum E H, ad quadratum A D, ſic
rectangulum G H B, ad rectangulum G D B: &
in parabola eſt ex propoſit. 20. eiuſdem lib. quadra-
tum A D, ad quadratum F H, vt D B, ad B H;
nempe vt rectangulum G D B, ad
167155 ſub G D, in B H: ergo ex æquali, erit quadratum
E H, ad quadratum F H, vt rectangulum G H B,
ad rectangulum ſub G D, in B H. Sed rectangu-
lum G H B, minus eſt rectangulo ſub G D, in B H.
Ergo & quadratum E H, minus erit quadrato F H.
Ergo & E H, minor erit F H. Punctum autem H,
ſumptum fuit arbitrariè. Ergo omnes lineæ hyper-
bolæ minores erunt ſingulis lineis parabolæ. Patet
ergo propoſitum.
SCHOLIVM.
Patet ergo, quod ſiex prędictis figuris in telligantur
genita conoidea hyperbolicum A E B C, & para-
bolicum A F B C, conoides hyperbolicum cadet
intra parabolicum.
PROPOSITIO XLII.
Differentiæ ſupradictorum conoideorum centrum grauitatis
eſt medium punctum diametri.
SInt ergo vt in propoſit. anteced. conoidea hy-
perbolicum A E B C, & parabolicum A F B C.
Dico cent um grauitatis exceſſus conoidis paraboli-
ci ſupra conoides hyperbolicum eſſe in medio B D.
In conoidibus inſcribatur conus A B C. Cum ergo
ex ſchol. propoſit. 4. ſit in medio B D, centrum
grauitatis tam totius, nempe excefſus conoidis
16815670[Figure 70] rabolici ſupra conum A B C, quam partis; nempe
exceſſus conoidis hyperbolici ſupra eundem conum.
Ergo & reliquæ partis, nempe exceſſus conoidis pa-
rabolier ſupra conoides hyperbolicum erit centrum
grauitatis in medio B D. Quod & c.
SCHOLIVM.
Sed cum in præfenti occurrerit modus alius com-
pendioſus aſſignandi centrum grauitatis
169157 hyperbolici diuerſus ab illis, quos tradidimus ſupra
in propoſit. 13. & 14. nolumus ipſum omittere, ſed
præmittenda eſt ſequens propoſitio eius manifeſta-
tioni.
PROPOSITIO XLIII.
Differentia ſupradictorum conoideorum, est ad conoides hy-
perboluum vt ſexta pars diametri ad tertiam partem
ciuſdem, vna cum dimidio lateris tranſuerſi.
IN ſchemate ſuperiori. Dico exceſſum conoidis
parabolici A F B C, ſupra conoides hyperboli-
cum A E B C, eſſe vt ſexta pars D B, ad tertiam
partem D B, cum dimidio G B. Quoniam enim
vt elicitur ex propoſit. 15. lib. 2. conoides paraboli-
cum eſt ſeſquialterum coni A B C; ergo erit ad ip-
ſum vt G D, ad duo tertia G D; nempe vt dimi-
dium G D, ad tertiam partem G D. Rurſum cum
ex propoſit. , 5 7. & 11. ſit cylindrus conoidi hyper-
bolico circumſcriptus, ad ipſum, vt G D, ad dimi-
diam G B, cum tertia parte D B; erit conus A B C,
tertia pars cylindri, ad conoides hyperbolicum, vt
tertia pars G D, ad dimidiam G B cum tertia par-
te D B Quare ex quali, erit conoides paraboli-
cum ad conoides hyperbolicum vt dimidium G D,
ad dimidium G B, cum tertia parte B D. Ergo &
diuidendo, erit differentia conoideorum ad
170158 des hyperbolicum vt ſexta pars D B, ad dimidium
G B, cum tertia parte D B. Quod & c.
PROPOSITIO XLIV.
Centrum grauitatis conoidis hyperbolici ſic diuidit ipſius
diametrum vt pars ad verticem ſit ad reliquam, vt
latus tranſuerſum cum ſubſeſquitertia diametri, ad di-
midium lateris tranſuer ſicum quarta parte diametri.
ESto in ſchemate antecedenti conoides hyper-
bolicum A E B C, cuius diameter D B, latus
tranſuerſum G B, & ſit k, eius centium grauitatis.
Dico B K, ad k D, eſſe vt G B, cum ſubſeſquiter-
tia B D, ad dimidiam G B, cum quarta parte D B.
Eſto conoides parabolicum A F B C; & ſit H, me-
dium punctum B D, adeo vt ſicuti elicitur ex pro-
poſ. 42. ſit centrum grauitatis differentiæ conoideo-
rum: pariter B I, ſit dupla I D, adeo vt ſit 1, ex
propoſit. 14. lib. 4. centrum grauitatis conoidis pa-
rabolici. Siergo fiat H I, ad I k, vt dimidium G B,
cum tertia parte B D, ad ſextam partem B D, nem-
pe ex prop ſit anteced. reciprocè vt conoides hy-
perbolicum ad exceſſum conoidis parabolici ſupra
ipſum, erit k, centrum conoidis hyperbolici. Tunc
argumente@ur ſic. Quoniam B I, quadrupla eſt
I H, ergo B I, erit ad I k, vt dupla G B, vna cum
ſeſquite tia B D, ad ſextam partem B D. Et com-
ponendo erit B K, ad k I, vt dupla G B, vna
171159 ſeſquitertia B D, & cum ſexta parte eiuſdem, ad
ſextam partem eiuſdem. Cum autem D I, ſit dupla
IH, erit k I, ad I D, vt ſexta pars B D, ad G B,
cum duabus tertijs partibus B D. Et diuidendo,
erit Ik, ad k D, vt ſexta pars B D, ad G B, cum
dimidia B D. Quare ex æquali, erit B k, ad k D,
vt dupla G B, cum ſeſquitertia B D, & cum ſexta
parte eiuſdem, ad G B, cum dimidia B D. Et vt
horum terminorum dimidia. Ergo B k, erit
ad k D, vt G B, cum ſubſeſquitertia D B, ad di-
midiam G B, cumquarta parte B D. Quod & c.
SCHOLIVM.
In noſtro libello 60, problematum geomètrico-
rum oſtendimus in propoſit. 53. quandam proprieta-
tem communem conoidibus parabolico, & hyper-
bolico, portionibus ſphæræ, & ſphæroidis, & etiam
cono. Alia proprietas communis omnibus prædictis
ſolidis reperitur circa illorum grauitatis centrum.
Hanc in ſequentibus patefaciemus, ſed prius oſten-
demus aliqua, quæ vtique non videntur turpiora, &
ſunt præmitenda.
PROPOSITIO XLV.
Si in qualibet ſphæræ, portione inſcribatur conus, quæ por-
tio cum cono ſecetur plano baſi parallelo ſecante axim bi-
fariam, & intelligatur tubus cylindricus circa
172160 axim cum portionè, cuíus baſis ſit armilla exceſſus cìrcu-
li facti in portione, ſupra circulum factum in cono à pla-
no ſecante. Hic erit ad exceſſum portionis ſupra conum
tam ſecundum totum, quam ſecundum partes propor-
tionales, vt parallelogrammum circum ſcriptum parabolæ
quadraticæ ad ipſam; dummodo hæc ſecetur ſecundum
diametro parallelas.
SIt A B C, quælibet portio ſphæræ, in qua in-
telligatur inſcriptus conus A B C, ſectoque axi
B D, bifariam in E, ducatur per E, planum F E G,
plano A D C, parallelum, faciens in cono circulum
H E I; intelligamus tubum cylindricum k L M P,
circa eundem axim B D, cuius baſis armilla N L P,
æqualis armillæ F H G: pariter in ſecunda figura
intelligamus parabolam quadraticam A B C, cuius
axis B D, baſis vero A C, ſit æqualis axi B D, por-
tionis, & ei ſit circumſcriptum parallelogrammum.
Dicotubum cylindricum k L M C, eſſe ad exceſſum
portionis A B C, ſupra conum A B C, vt paralle-
logrammum E C, ad parabolam A B C. Sumatur
in B D, axi portionis arbitrariè punctum V, per
quod tiaiciatur planum Q Z, plano A C, paral-
lelum ſecans omnia ſolida vt in ſchemate; & pariter
in parabola facta A F, æquali B V, per F, ducatur
F G H, parallela D B. Quoniam enim rectangu-
lum D E B, eſt ad rectangulum D V B, vt rectan-
gulum A H B, ad rectangulum A I B, quia propor-
tiones horum rectangulorum componuntur ex
17316171[Figure 71] dem proportionibus; & rectangulis in circulo A H B,
A T B, ſunt æqualia rectangula F H G, R T Y; ergo
vt rectangulum D E B, ad rectanguium D V B, ſic
rectangulum F H G, ſeù Q S Z, ad rectangulum
R T Y. Sed vt rectangulum Q S Z, ad rectangu-
lum R T Y, ſic armilla circularis Q S Z, ad armil-
lam circularem R T Y. Ergo vt armilla ad armil-
lam, ſic rectangulum D E B, ad rectangulum D V B.
Sed vt rectangulum D E B, in portione ad rect an-
gulum D V B, ſic rectangulum C D A, in parabo-
la ad rectangulum C F A; & vt rectangulum C D A,
ad rectangulum C F A, ſic D B, ſeù F H, ad F G,
ex ſchol. propoſit. 22. lib. prim. Ergo vt armilla cir-
cularis Q S Z, ad armillam circularem R T Y, ſic
H F, ad F G. Cum vero puncta V, F, ſumpta ſint
arbitrariè; ergo concludemus omnes armillas circu-
lares tubi parallelas armillæ N L P, eſſe ad omnes
armillas circulares exceſſus portionis ſupra
174162 parallelas eidem armillæ N L P, vt omnès lineæ pa-
rallelogrammi C E, parallelæ D B, ad omnes lineas
parabolæ itidem parallelas D B. Quare etiam tu-
bus ad exceſſum, erit vt parallelogrammum ad pa-
rabolam.
Hoc autem quod probatum fuit de totis, patet eo-
dem modo probari poſſe de partibus proportionali-
bus. V. g. codem modo probare poterimus, partem
tubi K Z, eſſe ad partem exceſſus inter plana k M,
Q Z, contentam, vt parallelogrammum A H, ad
portionem A G F. Quare patet propoſitum.
SCHOLIVM I.
Cum ergo ex ſchol. prim. propoſit. 1. lib. prim. ſit
parallelogrammum E C, ſeſquialterum parabolæ,
etiam tubus erit ſeſquialter prædicti exceſſus. l@mo ex
propoſitionibus varijs eiuſdem lib. prim. habebimus
varias rationes partium tubi contentarum inter pla-
na plano A C, parallela. Quæ autem hæ ſint re-
linquimus lectori conſiderare ex illis propoſitioni-
bus, in quibus aſſignantur rationes variarum par-
tium parallelogrammi C E, ad varia ſegmenta pa-
rabolæ.
SCHOLIVM II.
Ad modum ergo perſæpe rememoratorum, poſſu-
mus deducere, exceſſum portionis A B C,
17516372[Figure 72] ſuum conum, & parabolam eſſe quantitates propor-
tionaliter analogas tam in magnitudine, quam in
grauitate, tam ſecundum totum, quam ſecundum
partes proportionales. Vnde quantum ad magnitu-
dinem, patet illum exceſſum ſecari à plano F G, bi-
fariam, ſicuti etiam parabola ſecatur bifariam à dia-
metro, ſed ſic bifariam, vt partes ſupra, & infrà pla-
num F G, ſint ſemper ſimiles, & æquales tam ſe-
cundum totum, quam ſecundum partes proportio-
nales. Quantum vero ad grauitatem, patet in pri-
mis centrum grauitatis prædicti exceſſus eſſe in me-
dio B D, ſicuti in medio A C, baſis parabolæ, eſt
centrum æquilibrij parabolæ. Inſuper pater, dimi-
dij exceſſus ſuperioris centrum grauitatis ſic ſecare
B E, vt pars ad B, ſit ad partem ad E, vt 5, ad 3;
quod habetur ex ſchol. 2. propoſit. 2. lib. 3. In eadem
ratione ſecatur D E, à centro grauitatis partis inſe-
rioris, adeovt pars ad D, terminata, ſit ad
176164 terminatamad E, vt 5, ad 3. Patet etiam ex dict is
in varijs propoſitionibuslib. 3. qualiter poſſimus ha-
bere centrum grauitatis variorum ſegmentorum di-
cti exceſſus, ſicuti habemus centrum æquilibrij in
baſi A C, variorum ſegmentorum parabolæ.
Sed duo etiam adnotentur. Primumeſt, magni-
tudinibus inſchol. 3. propoſ. 26. oſtenſis proportio-
naliter analogis, aſſociarietiam exceſſum prædictum
ſupra conum. Alterumeſt, quod quæ dicta ſunt de
exceſſu portionis ſphæræ ſupra ſuumconum, intelli-
genda etiam ſunt de exceſſu portionis ſphæroidis
ſupra ſuum conum. Quia in lib. 4. de infinit. para-
bolis, probata eſt perpetua analogia reperta inter
proportionales partes ſphæræ, & ſphæroidis.
PROPOSITIO XLVI.
Si in quolibet conoide hyperbolico, & parabolico quadra-
tico; item in qualibet ſphœiœ, vel ſphœroidis portione
inſcribatur conus. Centrum grauitatis exceſſus prœdi-
ctorum ſolidorum ſupra ſuos conos erit in medio puncto
diametri ipſorum.
SIt conoides parabolicum quadraticum, vt in
prima figura in ſchem. ſequent. B A C, vel
hyperbolicum vt in ſecunda; vel quælibet portio
ſphæræ, vel ſphæroidis vt in tertia, & in iſtis ſolidis
intelligantur inſcripti coni B A C. Dico centrum
grauitatis exceſſuum prædictorum ſolidorum
177165 conos eſſe in E, diuidente bifariam A D. De ex-
ceſſu conoideorum ſupra conos, patuit in ſcholio
propoſit. 6. De exceſſu portionis ſphæræ, vel ſphæ-
roidis patuit in anteced propoſit. Quare quoadom-
nia patet propoſitum.
PROPOSITIO XLVII.
Si in ſolidis antecedentis propoſitionis inſcribantur coni vt
dictum eſt, & ſect s diametris ipſorum bifariam ordi-
natim applicentur lineœ, ſecantes latus conorum inſcri-
ptorum. Diametri prœdictorum ſolidorum, & etiam
coni, ſic ſecabuntur ab ipſorum centris grauitatis, vt
partes terminatœ ad verticem ſint ad partes terminatas
ad baſim vt quadratum ordinatim applicatœ, vna cum
duobus quadratis ductœ in conis, ad quadratum ordi-
natim applicatœ.
SInt ergo ſolida vt in antecedenti propoſitione, &
inſuper etiam conus, vt in quarta figura BAC,
quorum diametri A D, ſint ſectæ bifariamin E, &
ord natim applicentur E G F, ſitque horum cen-
trum grauitatis punctum O. Dico A O, eſſe ad
O D, vt quadratum F E, cum duobus quadratis
G E, ad quadratum F E. In cono res eſt manifeſta,
quia ſicuti A O, eſt tripla O D, ſic tria quadrata
G E, ſunt tripla vnius quadrati G E. In alijs ſic
patebit. Fiat D P, quarta pars D A. Ergo P,
erit centrum grauitatis conorum. Cum ergo ex
17816673[Figure 73] poſit. antëced. ſit etiam F, centrum grauitatis ex-
ceſſus ſolidorum ſupra conos, & ex ſuppoſito, ſit
O, centrum grauitatis ſolidorum; ergo erit reci-
procè vt P O, ad OE, ſic exceſſus ſolidorum ſu-
pra conos ad ipſos conos. Et componendo, vt P
179167 ad O E, ſic ſolida ad ipſos conos. Sed ex propoſit.
53. lib. noſtri ſexaginta problematum geometrico-
rum, ſolida ſunt ad conos vt quadrata F E, E G, ad
duplum quadratum E G. Ergo & P E, erit ad E O,
vt quadrata F E, E G, ad duplum quadratum E G.
Et antecedentium dupla. Ergo vt D E, ad E O,
ſic duo quadrata F E, cum duobus quadratis E G,
ad duo quadrata E G. Ergo & per conuerſionem
rationis vt E D, ad D O, ſic duo quadrata F E,
cum duobus quadratis E G, ad duo quadrata F E;
nempe ſic dimidium ad dimidium, ſcilicet ſic qua-
drata F E, E G, ad quadratum F E. Et vt antece-
dentium dupla. Ergo vt A D, ad D O, ſic duo
quadrata F E, cum duobus quadratis G E, ad qua-
dratum F E. Et diuidendo vt A O, ad O D, ſic
quadratum F E, cum duobus quadratis G E, ad
quadratum F E. Quod erat oſtendendum.
SCHOLIVM.
Cum ergo in progreſſu demonſtrationis proba-
tum ſit, eſſe D F, ad E O, vt duo quadrata F E,
cum duobus quadratis G E, ad duo quadrata G E;
nempe vt quadrata F E, E G, ad quadratum E G;
ergo etiam diuidendo, erit D O, ad O E, vt qua-
dratum F E, ad quadratum G E. Quod etiam pa-
tet verificari in cono. Sed ex hac propoſitione, &
ex analogia, quæ reperitur inter parabolam qua-
draticam, & ſphæram, poteſt colligi quædam
180168 poſitio vniuerſalis in qualibet portione parabolæ
quadraticæ.
PROPOSITIO XLVIII.
Si in quacunque portione parabolœ quadraticœ reſectœ linea
diametro parallela inſcribatur triangulum, & baſis por-
tionts parabolœ ſecetur bifariam, & per punctum biſſe-
ctionis ducatur parallela diametro. Centrum œquilibrij
ſecundum baſim prœdictœ portionis ſic ſecabit baſim,
vt pars ad curuam terminata ſit ad reliquam, vt pa-
rallela diametro ducta à puncto biſſectionis, vna cum tn-
tercepta inter punctum bißectionis, & latus trianguli,
ad prœdictam parallelam diametro.
ESto parabola A B C, quadratica, cuius baſis
A C, diameter B D, & ſit quælibet eius por-
tio E F B C, reſecta F E, diametro B D, paralle-
la, & in portione ſit in ſciiptum triangulum CFE; ſit-
que C E, ſecta bifariam in G, & per G, ducatur
GIH, parallela diametro, ſitque K, centrum æ-
quilibrij in baſi portionis E F B C. Dico C k, eſſe
ad k E, vt H G, cum G I, ad H I. In tertia figura
ſchematis anteced. propoſ. intelligatur portio ſphæ-
ræ, vel ſphæroidis B A C, proportionalis E F B C,
portioni parabolæ, & intelligantur in ea omnia,
quæ ſupra, Ergo C K, erit ad k E, in portione pa-
rabolæ, vt A O, ad O D, in portione ſphæræ; nem-
pe ex propoſit. anteced. vt duplum quadratum G
18116974[Figure 74] cum quadrato F E, ad quadratum F E. Sed cum
G E, ſit dimidia B D, eius quadratum erit quarta
pars quadrati B D; & duo quadrata G E, erunt di-
midium quadrati B D. Ergo A O, ad O D, & C K,
ad K E, in portione parabolæ, erunt vt quadratum.
F E, cum dimidio quadrati B D, ad quadratum
F E; nempe vt dimidium rectanguli H D A, cum
rectangulo H E A, ad rectangulum H E A. Sed vt
illa plana ad inuicem in portione ſphæræ, ſic in por-
tione parabolæ quadraticæ dimidium rectanguli
A E C, cum rectangulo A G C, ad rectangulum.
A G C. Ergo & vt C K, ad k E, ſic dimidium re-
ctanguli A E C, cum rectangulo A G C, ad
182170 gulum A G C. Sed vt hæc plana ad inuicem ſic di-
midia F E, nempe G I, cum H G, ad H G. Qua-
re & vt C k, ad K E, ſic G I, cum G H, ad G H.
Quod erat oſtendendum.
SCHOLIVM I.
Sed ex progreſſu demonſtrationis poteſt etiam fa-
cile probarieſſe C k, ad k E, vt A E, cum A G, ad
A G. Nam cum probatum ſit eſſe C k, ad k E, vt
dimidium rectanguli A E C (nempe vt rectangu-
lum A E, G C) ſimul cum rectangulo A G C, ad
rectangulum A G C. Patet hæc rectangula ob com-
mune latus C G, eſſe vt A E, A G, ad A G. Qua-
re & ſic C k, ad k E.
Eliciet ergo lector facile, eſſe E k, ad k G, vt
H G, ad dimidiam G I; vel vt G A, ad dimidiam
A E. Ex quibus etiam patebit in portione B A C,
fphæræ, vel ſphæroidis eſſe A O, ad O D, vt D H,
H E, ad H E. Et D O, eſſe ad O E, vt E H, ad
dimidiam H D.
Sed hæc, quæ probata fuerunt ex analogia reper-
ta inter portiones parabolæ, & ſphæræ, poſlunt ab-
folutè probari ex proprijs ipſius paiabolic. Nam
cum F B C, ſit verè parabola ex prim. conic. propo-
ſit. 47. cuius diameter H I, erit in G, centrum æ-
quilibrij parabolæ F B C, appenſæ ſecundum C E.
Fiat C L, dupla L E. Ergo L, erit centrum æqui-
librii trianguli E F C, appenſi ſecundum, C E.
18317175[Figure 75] go erit reciprocè vt L k, ad k G, ſic F B C, ad tri-
angulum F C E. Et componendo, erit L G, ad
G k, vt portio E F B C, ad triangulum E F C. Sed
cum exſchol. propoſit. 17. lib prim. ſit conuerten-
do, portio ad parallelogrammum duplum trianguli,
vt dimidia A E, vna cum ſexta parte C E, ad A E;
& ad ipſum triangulum, vt idem antecedens ad di-
midiam A E. Ergo erit etiam, vt L G, ad G K,
fic dimidia A E, cum ſexta parte C E, ad dimidiam
A E. Ergo & vt antecedentium tripla. Ergo vt
E G, tripla L G, ad G k, lic ſeſquialtera A E,
cum dimidia C E, ad dimidiam A E. Et per con-
uerſionem rationis, vt G E, ad E K, ſic
184172 ra A E; cum dimidia C E, ad dimidiam C E, cum
A E. Et rurſum vt antecedentium dupla. Ergo vt
C E, ad E K, ſic C E, cum tripla A E, ad dimi-
diam C E, cum A E. Ergo & diuidendo, vt dimi-
dia C E, cum dupla A E, ad dimidiam C E, cum
A E, ſic C K, ad K E. Sed vt dimidia C E, cum
dupla A E, nempe vt G A, cum A E, ad dimi-
diam C E, cum A E, nempe ad G A, ſic ſumpta
communi altitudine C G, rectangulum A G C, cum
rectangulo ſub A E, in G C, ad rectangulum A G C:
Et vt rectangulum A G C, cum rectangulo A E, G C,
ad rectangulum A G C, ſic H G, cum dimidia F E,
nempe cum I G, ad H G. Quare & vt C K, ad
k E, ſic H G, cum G I, ad H G. Quod erat oſten-
dendum.
SCHOLIVM II.
Sed cum in ſchol. 2. prop. 45 probatum ſit parabo-
lam quadraticam, ſphæram, & ſphæroides eſſe quan-
titates proportionaliter analogas cum tribus alijs
ſolidis, ſequitur etiam in illis currere ſupra explica-
tum compendium circa illorum centra grauitatis.
Quon am ergo exceſſus, in ſchemate ſequenti, por-
tionis A B C, ſphæræ, vel ſphæroidis ſupra conum
A B C, eſt proportionaliter analogus cum parabola
quadratica A B C; ſequitur inquam, quod ſi prius
fecetur plano F E G, deinde plano R V Y, ſecante
B E, biſariam in V, quod centrum grauitatis
18517376[Figure 76] exceſſus ex F B H, reuoluta circa B E, ſic ſecabic
B E, vt pars terminata ad B, ſit ad partem termina-
tam ad E, vel vt rectangulum R T Y, cum dimi-
dio rectanguli F H G, ad rectangulum R T Y: vel
vt rectangulum A T B, cum dimidio rectanguli
A H B, ad rectangulum A T B: vel vt rectangulum
D V B, cum dimidio rectanguli D E B, ad rectan-
gulum D V B: vel compendioſius, vt E D, D V,
ad D V: ſeù, quod idem eſt, vt A H A T, ad A T.
Pariter ſequitur, quod E V, ſic ſecabitur à prædi-
cto centro, vt pars terminata ad E, ſit ad partem
terminatam ad V, vt V D, ad dimidiam D E: ſeù
vt T A, ad dimidiam A H: ſeù vt rectangulum
B V D, ad dimidium rectanguli B E D: ſeù vt re-
ctangulum B T A, ad dimidium rectanguli B H A:
feù tandem vt rectangulum R T Y, ad dimidium
rectanguli F H G.
Item cumin ſchem. poſito in ſchol. prop. 40.
186174 ſito R B Z, A B C, eſſe conos, probatŭ ſit ibidem exceſ-
ſum cylindri R C, ſupra illos conoseſſe proportio-
naliter analogum cum parabola quadratica; ſequi-
tur, quod ſi prædictus exceſſus ſecetur plano L P M,
deinde ſupponamus rurſum ſecari plano I T X, ſe-
cante bifariam S G, in V: ſequitur inquam S G, ſe-
cari à centro grauitatis partis exceſlus geniti ex re-
uolutione ſegmenti L P B T R, in prædictis ratio-
nibus.
Tandem inſpiciatur ſchema poſitum in propoſit.
26. in quo ex cit. ſchol. annulus latus ex hyperbola
A B C, circa K M, probatus fuit proportionaliter
analogus cum parabola quadratica A O C. Si ergo
illæ annulus ſecetur prius vbilibet plano N B V, de-
inde plano I S T, ſecante bifariam K L, in puncto,
in quo ipſam ſecat; eadem compendia ſupra expoſita
colligemus circa centrum grauitatis portionis annu-
li ex portione hyperbolæ A B N. Hæc enim omnia
patent ex dictis, & lector memor ſupradictorum fa-
cile percipiet. Nè ergo ipſi tædium afferamus ad
alia tranſeamus.
Parabola quadratica habet lineam quandam,
quæ appellatur parameter, ſeù latus rectum; cuius
natura eſt, vt quadrata ordinatim applicatarum, æ-
qualia ſint rectangulis contentis ſub hac, & ſub por-
tionibus axis abſciſſis verſus verticem ab ordinatim
applicatis. Hanc proprietatem habent quoque aliæ
inſinitæ parabolæ, ſed ſuo modo: adeovt in quali-
bet ſit aſſignabilis quędamlinea, vt poteſtates
187175 natim applicatarum parabolæ congruentes, ęquales
ſint poteſtatibus factis ſub prędictis abſciſſis ab or-
dinatim applicatis, & ſub poteſtate talis lineæ vno
gradu depreſſiore poteſtate parabolę. Sit ergo.
PROPOSITIO XLIX.
Si fiat vt diameter parabolæ ad ſemibaſim, ſic buius po-
testas vno gradu depreſſior poteſtate parabolæ ad ſimi-
lem poteſtatem lineæ inueniendæ. Potestates applicata-
rum ordinatim in parabola eiuſdem gradus cum parabo-
la, æquales erunt factis ſub abſciſſis diametri verſus
verticem ab ordinatim applicatis, & ſub poteſtate li-
neæ inuentæ, vno gradu depreſſiore poteſtate para-
bolæ.
Esto quælibet parabola B A C, in qua fiat vt dia-
meter A D, ad ſemibaſim D B, ſic poteſtas
huius vnogradu depreſſior poteſtate parabolæ, ad
fimilem poteſtatem A H: v. g. ſi parabola eſt qua-
dratica, ſic D B, ad A H; ſi eſt cubica, ſic quadra-
tum D B, ad quædratum A H: ſi eſt quadratoqua-
dratica, ſic cubus D B, ad cubum A H. Dico, quod
ſi ordinatim applicentur G L, E k, poteſtas G L,
eiuſdem gradus cum parabola ęqualis erit facto ſub
L A, & ſub poteſtate A H, vno gradu depreſſiore
poteſtate parabolæ, & ſic de cæteris. Quoniam e-
nim vt A D, ad D B, ſic poteſtas D B, vno gradu
depreſſior poteſtate parabolæ, ad ſimilem
18817677[Figure 77] tem A H; ergo factum ſub D A, & ſub prædicta
poteſtate A H, erit ęquale poteſtati B D, eiuſdem
gradus cumparabola. Cum autem ſit ex geneſi pa-
rabolæ, vt poteſtas B D, eiuſdem gradus cum para-
bola ad ſimilem poteſtatem G L, ſic D A, ad A L.
Ft vt D A, ad A L, ſic factum ſub D A, & ſub po-
teſtate A H, vno gradu depreſſiore poteſtate para-
bolæ, ad factum ſub L A, & ſub prędicta poteſtate
A H. Ergo & vt factum ſub D A, & ſub tali pote-
ſtate A H, ad factum ſub L A, & ſub poteſtate
A H, ſic poteſtas B D, eiuſdem gradus cum parabo-
la ad ſimilem poteſtatem G L. Ergo & permutan-
do, vt factum ſub D A, & ſub tali poteſtate A H,
ad poteſtatem B D, eiuſdem gradus cum parabola,
ſic factum ſub L A, & ſub poteſtate A H, ad
189177 ſtàtem G L, eiuſdem gradus cum parabola. Cum
autem factum ſub D A, & ſub poteſtate A H,
oſtenſum fuerit ęquale poteſtati prędictę B D. Ergo
& factum ſub L A, & ſub poteſtate A H, erit ęqua-
le poteſtati G L. Idem patebit de reliquis. Quare
etiam patebit propoſitum.
SCHOLIVM.
Sed lubet huic tractatui finem imponere infinita-
rum parabolarum tangentibus, ac maximis inſcripti-
bilibus, minimiſque circumſcriptilibus infinitis para-
bolis, infinitis conoidibus, ac ſemifufis parabo-
licis. Pro quibus reperien dis nobis neceſſaria eſt
doctrina quædam, quę cum ſit nimis prolixa, ex alijs
eſt petenda. Euclides in 6. Elementorum libro, pro-
poſit. 27. oſtendit. _Omnium parallelogrammorum ad_
_eandem rectam lineam applicatorum, & deficientium figu-_
_ris parallelogrammis ſimilibus, & ſimiliter poſitis ei, quæ_
_à dimidia deſcribitur, maximum eſt quod ad dimidiam eſt_
_applicatum, ſimile existens defectur_. Quod Euclides de-
monſtrauit in planis, Eutocius de ſphæra, & cylind.
propoſit. 3. Bonauentura Caualerius, in exercit. 6.
propoſit. 28. Ricardus Albius in ſuo hemiſphę. diſ-
fecto. propoſit. 42. extenderunt ſuo medo ad ſolida,
patefacientes. _Omnium parallelepipedorum ad eandem_
_rectam lineam applicatorum cubiſque deficientium, maxi-_
_mum eſse, quod ad tertiam illius partem applicatur_. Hanc
denique doctrinam Petrus Paulus Carauaggius
190178 diolanenſis eruditiſſimus geometra in ſua geometria
applicationum, ampliauit ad altiores poteſtates, o-
ſtendendo applicationem aliarum poteſtatum ſerua-
re ſimilem ordinem partium ad quas fit applicatio;
adeo vt magnitudo ad quam fieri debet applicatio
ſit ſecanda in tot partes quota eſt magnitudo, quæ
debet applicari, in ordine graduum; & applicatio
ſit facienda ad illarum vnicam. V. g. ſi ad partem
datæ A B, ſit applicandum parallelogrammum di-
ficiens, & c. hoc eſt
78[Figure 78] ſi A B, ſit ſic ſe-
canda in C, vtre-
ctangulum A C B,
ſit omnium maxi-
mum illorum, quæ
poſſunt fieri ex
partibus A B; pun-
ctum C, ſit illud
quod biſſecat A C.
Si veto ſit applicandum parallelepipedum, hoc eſt ſi
A B, taliter ſit ſecanda in C, vt ſolidum factum ſub
A C, in quadratum C B, ſit omnium maximum;
A C, debet eſſe tertia pars A B. Si vero ſit appli-
candum planoplanum, adeo vt factum ſub A C, in
cubum C B, ſit omnium maximum. A C; debet
eſſe quarta pars A B. Et ſic in infinitum in altiori-
bus poteſtatibus. Hæc ergo doctrina nobis eſt ne-
ceſſaria pro impoſterum dicendis. Quam etiam
191179 ctor debet ſupponere, velin citat. opere Carauaggij
inſpicere.
PROPOSITIO L.
Sì in qualibet infinitarum parabolarum ſumatur aliquod
punctum à quo ad diametrum recta linea ordinatim
applicetur, diameterque ità producatur vt pars extra
parabolam ſit ad partem diametri abſciſſam ab ordina-
tim applicata verſus verticem vt numerus parabolæ
vnitate minutus ad vnitatem. Recta linea, quæ ab ex-
tremitate inuentæ lineæ ducitur ad illud punctum, quod
ſumptum fuer at, parabolam continget.
ESto quælibet ſemiparabola cuius vertex B, dia-
meter B D, & in curua parabolica ſumatur
quodlibet punctum E, per quod ordinatim appli-
cetur E H, producaturque H B, in G, vt G B, ſit
ad B H, vt numerus parabolæ vnitate minutus ad
vnitatem: v. g ſi parabola ſit quadratica, fiat æqua-
lis B G, ipſi B H: ſi ſit cubica ſit G B, dupla B H,
& ſic in infinitum (ſupponatur in præſenti parabo-
lam eſſe cubicam) & iungatur G E. Dico hanc pa-
rabolam contingere. Sinon, cadat intra; & intelli-
gatur ordinatim applicata A K D. Quoniam A D,
maior eſt D K, ergo quælibet poteſtas A D, maior
erit qualibet poteſtate K D, eiuſdem gradus. Ergo
quælibet poteſtas A D, eiuſdem gradus cum para-
bola ad poteſtatem E H, eiuſdem gradus,
192180 maiorem rationem quam ſimilis poteſtas K D, ad
eandem poteſtatem E H. V. g. maior erit ratio cubi
A D, ad cubum E H, quam cubi K D, ad eundem
cubum E H. Sed vt
79[Figure 79] poteſtas A D, ad po-
teſtatem E H, ſic ex
natura parabolæ, D B,
ad B H; & vt D B, ad
B H, ſic factum ſub
D B, & ſub poteſtate
B G, vno gradu inferio-
ri poteſtate parabolæ,
ad factum ſub eadem
poteſtate G B, & ſub
B H. Ergo maior erit
ratio facti ſub D B, &
ſub tali poteſtate B G,
ad factum ſub H B, &
ſub eadem poteſtate
B G, ratione poteſtatis
K D, eiuſdem gradus
cum parabola, ad ſimi-
lem poteſtatem E H. V. g. maior crit ratio facti
ſub D B, & ſub quadrato B G, ad factum ſub H B,
& ſub quadrato B G, ratione cubi K D, ad cubum
E H. Sed vt poteſtas K D, ad ſimilem poteſtatem
E H, ſic ſimilis poteſtas DG, ad ſimilem poteſtatem
G H. Ergo & factum ſub D B, & ſub poteſtate
B G, vno gradu depreſſiori poteſtate parabolæ,
193181 ſimile factum ſub H B, & ſub eadem poteſtate B G,
erit in maiori rationc quam poteſtas D G, eiuſdem
gradus cum parabola ad ſimilem poteſtatem G H.
Ergo & permutando primum factum ad poteſtatem
D G, crit in maiori ratione quam fecundum factum
ad poteſtatem G H. V. g. factum ſub D B, in qua-
dratum B G, habebit ad cubum D G, maiorem ra-
tionem, quam factum ſub H B, & ſub quadrato B G,
ad cubum H G. Quod implicat, quia factum ſub
D B, & ſub poteſtate B G, eſt in minori ratione ad
poteſtatem D G, & non in maiori. Quia ex doctri-
na ſcholij anteced. factum ſub H B, & ſub poteſtate
B G, eſt omnium maximum homogeneorum ſub par-
tibus H G, non ſic factum ſub D B, & ſub poteſta-
te B G, eſt maximum homogeneorum ſub partibus
D G. V. g. factum ſub H B, & ſub quadrato B G,
eſt maximum omnium parallelepipedorum applica-
bilium ad partem H G, non ſic eſt maximum factum
ſub D B, & ſub quadrato B G, applicabilium ad
partem D G. Quare patet propoſitum.
SCHOLIV M.
Ex dictis facile eliciemus, quod ſi circa diametrum
B D, & ſuper eadem baſi A D, intelligamus infini-
tas ſemiparabolas, & accepto in diametro B D, pun-
cto H, ducatur H C E F G, parallela A D, ſecans
omnes curuas parabolicas, & pariter intelligamus
infinitas tangentes K E, L F, M G, & c. eliciemus
inquam, triangula infinita C B H, E k H, F L
194182 G M H, & c. eſſe talis
80[Figure 80] naturæ vt latera H B,
H K, H L, H M, & c.
ſint in continua pro-
portione Arithmetica;
baſes vero E H, F H,
G H, & c. ſint maiores
omnium mediarum pro-
portio nalium reperibi-
lium inter A D, C H.
Primum patet, quia H B,
B k, K L, L M, & c. ſunt
omnes æquales. Secun-
dum patet; quia cum ſit
vt quadratum A D, ad
quadratum EH, ſic D B,
ad B H, ſeù A D, ad
C H; E H, erit media
proportionalisinter A D,
C H. Item cum ſit vt
cubus A D, ad cubum
F H, ſic D B, ad B H, ſeù A D, ad C H; erit F H,
maior duarum mediarum inter A D, C H. Et ſic di-
catur de cæteris.
Notetur etiam, quod à ſupradicta regula inue-
niendi tangentem non excluditur prima parabola,
nempe triangulum. Si enim in triangulo A B D, ſit
datum punctum C, ad quod debeat duci tangens;
ducta C H, imperat regula generalis
195183 eſſe H B, vt pars vltra B, ſit ad B H, vt numerus
parabolæ vnitate minutus, nempe vt nihil, ad vnita-
tem. Ergo H B, non eſt producenda, ſed à puncto
B, ad C, ducenda eſt linea, quæ vtique quodam-
modo poteſt dici tangere triangulum, quia ipſum
non ſecat.
PROPOSITIO LI.
Maximum triangulum inſcriptum in quolibet triangulo, eſt
cutus baſis bifariam diuidit diametrum
circum ſcripti.
ESto triangulum A B C, cuius diameter B D,
quæ ſecetur in F, bifariam à baſe E O, trian-
guli E D O. Dico triangulum E D O, eſſe maxi-
mum omnium inſcriptibilium in triangulo A B C.
Quoniam enim triangulum A B C, ad triangulum
E D O, habet rationem compoſitam ex ratione
A C, ad E O (nempe ex ratione D B, ad B F) &
ex ratione B D, ad D F; & hæ duæ rationes com-
ponunt rationem quadrati B D, ad rectangulum
B F D. Ergo triangulum A B C, erit ad E D O,
vt quadratum D B, ad rectangulum B F D. Sed
rectangulum B F D, eſt maximum omnium rectan-
gulorum factibilium ex partibus B D, in puncto di-
uifæ. Ergo etiam triangulum E D O, erit ma-
ximum omnium inſcriptibilium intra A B C. Quod
& c.
196184 81[Figure 81]
SCHOLIVM.
Notetur obiter centrum grauitatis amborum.
triangulorum A B C, E D O, eſſe idem punctum.
Sit enim H, centrum grauitatis trianguli A B C.
Ergo qualium B D, eſt 6, & D F, 3, B H, erit
4, D H, 2, & H F, 1. Ergo H, erit etiam centrum
grauitatis trianguli E D O.
PROPOSITIO LII.
Maximus conus inſcriptibilis in quolibet cono, eſt cuius dia-
meter est tertia pars circumſcripti.
197185
HÆc propoſit. oſtenditur etiam ab Albio in
hemiſphæ. diſſec. propoſit. 44. Sed ſuppona-
mus A B C, E D O, eſſe conos, & D F, eſſe tertiam
partem D B. Dico conum E D O, eſſe maximum
omnium, & c. Nam, cum conus A B C, ad conum
E D O, habeat rationem compoſitam ex ratione
quadrati A D, ad quadratum E F (nempe quadra-
ti D B, ad quadratum B F) & ex ratione D B, ad
D F; & cum hæ duæ rationes componant rationem
cubi B D, ad factum ſub quadrato B F, & ſub F D;
ergo A B C, erit ad E D O, vt cubus B D, ad fa-
ctum ſub quadrato F B, & ſub F D. Cum ergo hoc
factum ſit maximum omnium homogeneorum ipſi
factorum ex partibus B D, in puncto diuiſæ. Ergo
etiam conus E D O, erit maximus omnium inſcri-
ptibilium & c. Quod & c.
SCHOLIVM.
Sed hìc etiam obiter notetur centrum grauitatis
amborum conorum eſſe idem punctum. Sit enim
rurſum H, centrum grauitatis coni A B C. Ergo
qualium B D, eſt 12, D F, 4, & D H, 3, talium
H F, eſt 1. Ergo H, erit centrum grauitatis etiam
coni E D O.
Pariter notetur, conum A B C, eſſe ad conum
E D O, vt 27, ad 4. Nam ſic eſt cubus B D, ad
factum ſub quadrato B F, & ſub F D.
198186
PROPOSITIO LIII.
Datam A D, taliter producere in B, vt B D, ſit ad
exceſſum D A, ſupra dimidiam A B, in
data proportione.
DAta ratio ſit, quam habet AD, ad H, & ſic ſece-
tur A D, in E, vt ſit A E, ad E D, vt H, ad dimi-
diam A D, & ipſi D E, fiat ęqualis D B, Ergo ſi A B,
82[Figure 82] diuidatur bifariam in C, punctum C, cadet inter
A, D. Sit ergo A B, diuiſa bifariam in C. Quo-
niam A E, eſt æqualis A B, minus E B, ergo etiam
dimidia A E, erit æqualis dimidiæ A B, minus dimi-
dia E B. Sed C B, eſt dimidia A B, & B D, eſt
dimidia E B; ergo dimidia A E, erit æqualis C B,
minus D B; nempe C D. Tunc, quoniam factum
fuit vt H, ad dimidiam A D, ſic A E, ad E D;
ergo & ad conſequentium dupla. Ergo vt H, ad
A D, ſic A E, ad E B. Et conuertendo, vt A D,
ad H, ſic B E, ad E A. Sed vt B E, ad E A, ita
B D, dimidia B E, ad dimidiam A E, nempe ad
C D, ei æqualem. Ergo vt A D, ad H, ſic B
199187 ad D C, exceſſum D A, ſupra A C, dimidiam A B.
Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LIV.
Sidiameter cuiuslibet infinitarum parabolarum ſic produca
tur vt pars exterior producta, ſit ad exceſſum diametrì
ſupra dimidiam compoſitæ ex diametro, & ex producta
vt numerus parabolæ vnitate minor, ad vnitatem.
Triangulum inſcripium in parabold, cums baſis bißecet
illam compoſitam, erit omnium maximum in ipſa inſcri-
ptibilium.
DB, diameter parabolæ cuiuſcunque A B C, ſic
producatur in E, vt E B, ſit ad B F, exceſſum
B D, ſupra D F, medietatem D E, vt numerus pa-
rabolæ vnitate minutus, ad vnitatem, & fiat triangu-
lum G D H. Dico hoc eſſe maximum omnium in-
ſcriptibilium in A B C. Ducantur E G K, E H L.
Ergo ex propoſit. 50. erunt tangentes parabolam, &
triangulum K E L, erit parabolæ circumſcriptum.
Si ergo triangulum G D H, non eſt maximum para-
bolæ inſcrip um, ſit hoc triangulum, cuius baſis
O P, infra, velſupra G H, quæ producatur vſque
ad triangulum in M, & N; & pariter intelligatur
triangulum M D N, cuius baſis M N. Cum D E,
ſecta ſit bifariam in F; ergo triangulum G D H, erit
maximum inſcriptibilium intra triangulum K E L.
Ergo erit maius triangulo cuius baſis M N.
20018883[Figure 83] multo maius triangulo O D P, cuius baſis O P.
Quare patet propoſitum.
SCHOLIVM I.
Ab hac regula generali reperiendi triangulum
maximum inſcriptibilium in parabola non excludi-
tur prima parabola, nempe triangulum. Cum enim
iubeat regula ſic eſſe producendam diametrum D B,
vt pars extra ſit ad exceſſum B D, ſupra medietatem
compoſitæ ex B D, & ex producta, vt numerus pa-
rabolæ vnitate minutus ad vnitatem; patet in prima
parabola, cuius numerus eſt vnitas, numerum
201189 tate minutum eſſe nihil; vnde D B, in triangulo non
eſt producenda; ſed ſupponendo A B C, eſſe trian-
gulum, B D, eſt biſlecanda, & triangulum G D H,
eſt maximum. Quod ſic eſſe, probatum eſt ſupra
propoſit. 51.
SCHOLIVM II.
Triangulum ergo G D H, maximum inſcriptibi-
lium intra parabolam A B C, ſic diuidit D B, in F,
vt B F, ſit ad F D, vt vnitas adnumerum parabolæ.
V. g. in triangulo vt 1, ad 1. In parabola quadrati-
ca vt 1, ad 2. In cubica vt 1, ad 3. Et ſic in infini-
tum. In triangulo enim, patet ex dictis. In alijs ſic
patebit. Quum etenim ſit E B, ad B F, vt numerus
parabolæ vnitate minutus, ad vnitatem; erit com-
ponendo, E F, ad F B, vt numerus parabolæ ad
vnitatem. Sed F D, eſt æqualis E F. Quare patet
propoſitum.
PROPOSITIOLV.
Maximum triangulum inſcriptibile in figura conſtante ex
duabus quibuſcunque ſemiparabolis ſic diſpoſitis, vt ſe-
mibaſis euadat diameter, eſt æquale maximo inſcripto in
parabola.
MEnte intelligamus ſemiparabolam A B D, du-
plicari ad partes A D. Dico maximum
202190 gulum inſcriptibile in tali figura, eſſe æquale trian-
gulo G D H. Hoc oſtendetur in ſemiparabola, quod
enim probabitur de dimidia, patebit etiam detota.
Sit ergo G D H, maximum triangulum inſcriptibi-
le in parabola, & ducatur G Q, B D, diametro paral-
lela: patet triangulum G Q D, eſſe æquale triangu.
lo G D F; & eius duplum, ipſi G D H. Dico trian-
gulum G Q D, eſſe maximum & c. Etenim, cum
E D, ſit dupla D F, ſeù G Q, etiam D k, erit du-
pla D Q Ergo triangulum D Q G, erit maximum
inſcriptibilium intra triangulum k E D. Si ergo
G Q D, non eſt maximum inſcriptibilium etiam in
ſemiparabola, ſit aliud, cuius baſis producta vſ-
que ad E k, ſecetipſam, & curuam parabolicam in-
fra, vel ſupra G Q, vt ſupra dictum eſt de M N.
Ergo triangulum cuius baſis ſecans k E, erit minus
triangulo G Q D. Ergo triangulum cuius baſis per-
tingens tantum ad curuam parabolicam, erit multo
minus triangulo G Q D. Quare patet propoſi-
tum.
PROPOSITIOLVI.
Si A B, ſit taliter ſecta in C, & D, vt A C, ſit ter-
tia pars A B. Erit C D, duo tertia A D, mi-
nus tertia parte D B.
203191 84[Figure 84]
CVm enim A C, ſit tertia pars A B; ergo C B,
erit duo tertia A B; nempe duo tertia A D,
cum duobus tertijs D B. Ergo C D, erit duo ter-
tia A D, minus tertia parte D B. Quod & c.
PROPOSITIO LVII.
Datam A D, taliter producere in B, vt B D, ſit ad ex-
ceſſum D A, ſupra tertiam partem A B, in
data proportione.
85[Figure 85]
DAta proportio ſit, quam habet A D, ad H;
& fiat vt tripla H, cum A D, ad A D, ità
dupla A D, ad D B. Patet B D, minorem eſſe
dupla A D. Quare ſi fiat A C, tertia pars A B,
punctum C, cadet inter A, D. Sit ergo A C,
tertia pars A B.
Quoniam vt tripla H, cum A D, ad A D, ſic
dupla A D, ad D B; ergo diuidendo vt tripla
204192 ad A D, ità dupla A D, minus D B, ad D B. Et
antecedentium ſubtripla. Ergo vt H, ad A D, ita
duo tertia A D, minus tertia parte D B, ad D B.
Sed ex propoſit. anteced. C D, eſt duo tertia A D,
minus tertia parte D B. Ergo vt H, ad A D, ſic
C D, ad D B. Et conuertendo, vt A D, ad H, ſic
B D, ad D C, exceſſum D A, ſupra A C, tertiam
partem A B. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LVIII.
Si diameter cuiuslibet infinitorum conoideorum ſic produ-
catur, vt pars exterior producta ſit ad exce ßum diame-
tri ſupra tertiam partem compoſitæ ex diametro, & ex
producta, vt numerus parabolæ vnitate minutus ad
vnitatem. Conus inſcriptus in conoide, cuius diameter
ſit tertia pars illius compoſitæ, erit maximus omnium in-
ſcriptibilium in conoide.
DB, diameter conoidis cuiuſcunque A B C, ſic
producatur in E, vt E B, ſit ad B F, exceſ-
ſum B D, ſupra D F, tertiam partem D E, vt nu-
merus parabolæ vnitate minutus, ad vnitatem; & in-
telligamus conum G D H, cuius diameter F D. Di-
co hunc eſſe omnium maximum inſcriptibilium in
conoide. Ductis enim tangentibus E G K, E H L,
intelligamus conum k E L, circumſcriptus conoi-
di. Et ſi conns G D H, non eſt omnium maximus,
ſit alius cuius baſis O P, infrà, vel ſupra G H,
20519386[Figure 86] producatur in M N. Ergo ex propoſit. 52. conus
M D N, cuius baſis M N, erit minor cono G D H.
Ergo conus cuius baſis O P, erit multo minor cono
G D H. Patet ergo propoſitum.
SCHOLIVM.
Sicuti ergo ſupra diximus regulam generalem aſſi-
gnatam in parabolis, habere locum etiam in prima
parabola, ſic nunc animaduertimus præſentem ge-
neralem regulam habere locum etiam in primo co-
noide, nempe in cono. Hoc autem facile quilibet
cognoſcet.
206194
Sicuti facile agnoſcet D B, taliter ſecari in F, vt
B F, ſit ad F D, vt vnitas ad dimidium numeri co-
noidis. Nempe in cono vt 1, ad dimidium, ſeù vt
2. ad 1. In conoide quadratico, vt 1, ad 1. In cu-
bico vt 1, ad 1, cum dimidio, & ſic in infinitum.
In cono res ſupra patuit in propoſit. 52. In alijs co-
noidibus ſic patebit. Nam cum E B, ſit ad B F,
vt numerus conoidis vnitate minutus ad vnitatem,
erit componendo, E F, ad F B, vt numerus conoidis
ad vnitatem. Cumautem D F, ſit dimidium F E, pa-
tet conuertendo, propoſitum.
PROPOSITIO LIX.
Si A B, taliter ſecetur in C, & D, vt A C, ſit duo
tertia A B. C D, erit tertia pars A D, minus
duobus tertijs D B.
CVm enim A C, ſit duo tertia A B, ergo C D,
erit tertia pars A B; nempe tertia pars A D,
plus tertia parte D B. Quare C D, ſola erit tertia
pars A D, minus duobustertijs D B. Quod & c.
PROPOSITIO LX.
Datam A D, taliter producere in B, vt B D, ſit ad
exceßum D A, ſupra duo tertia A B, in
data proportione.
207195 87[Figure 87]
ITidem ratio data ſit quam habet A D, ad H; &
fiat vt tripla H, cum dupla A D, ad A D, ita
A D, ad D B. Patet B D, minorem eſſe ſubdupla
A D; & conſequenter tertia parte totius A B. Qua-
re A D, eſt maior duobus tertijs A B, quȩ ſit A C. Di-
co A D, eſſe ſic productam in B, vt B D, ſit ad D C,
exceſſum A D, ſupra A C, dno tertia A B, vt A D,
ad H. Quoniam enim factum eſt vt tripla H, cum
dupla A D, ad A D, ita A D, ad D B; ergo & dua-
bus vicibus diuidendo, erit tripla H, ad AD, vt A D,
minus dupla D B, ad D B. Et antecedentium ſub-
tripla, nempe vt H, ad A D, ita tertia pars A D, mi-
nus duobus tertijs B D, ad B D. Et conuertendo,
vt A D, ad H, ſic B D, ad tertiam partem A D, mi-
nus duobus tertijs D B; nempe ex prop. ant. ad D C.
Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LXI.
Si diameter cuiuſcunque parabolæ ſic producatur vt pars
exterior producta, ſit ad exceſſum diametri ſupra duo
208196 tia compoſitæ ex diametro, & ex producta, vt numerus
parabolæ vnitate minutus, ad vnitatem. Conus cuius
radius baſis ſit æqualis duobus tertijs prædictæ compoſitæ,
erit maximus omnium inſcriptibilium in ſemifuſo ex ſemi-
parabola.
DIameter D B, in ſchem. antec. parabolæ cuiuſ-
cunque ſic producatur in E, vt E B, ſit ad B F,
exceſſum B D, ſupra D F, duo tertia D E, vt nu-
merus parabolæ vnitate minutus ad vnitatem, & fiat
triangulum G Q D, vt G Q, ſit æqualis F D; in-
telligamuſque ſemiparabolam A B D, cum triangu-
lo Q G D, rotari circa A D. Dico conum ex Q G D,
eſſe maximum omnium inſcriptibilium in ſemifuſo.
Intelligatur tangens E G K, & conus ex triangulo
k E D, circa k D. Quoniam E F, eſt tertia pars
E D, nempe G E, eſt tertia pars E K, ergo & Q D,
erit tertia pars D k. Ergo conus ex triangulo Q G D,
erit ex propoſit 52. @ aximus omnium inſcriptibi-
lium in cono ex triang lo k E D, reuolutis ambobus
circa k D. Siau emconus non ſit maximus, ſit alius,
ſi eſt poſſibile; & deducetur ad abſurdum vt f@ctum
eſt prius. Quare ex dictis, patebit propoſitum.
SCHOLIVM.
Nec etiam in præſenti excluditur à regula gene-
rali primus ſemifuſus, nempe conus, vt conſideranti
patebit.
209197
Sed notetur, in ſemifuſis, B D, ſecari in F, ali-
qua continuata ſerie, nempe ſic vt B F, ſit ad F D,
vt vnitas ad duplum numerum fuſi. Nempe in pri-
mo vt 1, ad 2. In ſecundo vt 1, ad 4. In tertio vt 1,
ad 6. & ſic in infinitum. Quod enim in primo ſe-
mifuſo, nempe in cono ſit vt 1, ad 2, patet ex dictis.
In alijs ſic patebit. Nam cum ſit E F, ad F B, com-
ponendo, vt numerus parabolæ ad vnitatem; erit
conuertendo F B, ad F E, vt vnitas ad numerum
parabolæ. Et ad D F, duplam F E, vt vnitas ad
duplum numerum parabolæ, ſeù ſemifuſi.
PROPOSITIO LXII.
Minimum trianguium circumſcriptum cuilibet infinitarum
p@rabolarum, eſt illud cuius latera tangunt baſim maximi
triangu in parabola in ſcripti.
ESto ſemiparabola quælibet A B C, cuius dia-
meter B C, & in ipſa ſit in ſcriptum maximum
trianguium E C F (quod enim dicetur de dimidia
intelligetur etiam de tota) ſitque ei circumſcriptum
triangulum G E I C. Dico hoc eſſe minimum om-
nium circumſcriptibilium ſemiparabolæ. Si non,
ſit minimum H O k C, & per punctum E, duca-
tur L E M, parallela K H. Patet manifeſtè trian-
gulum L M C, minus eſſe triangulo k O H C, cum
L M, ſecet, k H, vero tangat parabolam. Quoniam
autem ex ſuperioribus, triangulum E F C, eſt
21019888[Figure 88] ximum inſcriptibilium intra triangulum I G C, quia
ſupponitur ſecare G C, bifariam in F, ergo non erit
maximum inſcriptibilium intra triangulum L M C,
quia M C, non fecabitur bifariam in F. Ergo trian-
gulum E F C, habebit ad triangulum I G C, ma-
iorem rationem, quam adtriangulum L M C. Sed
idemtriangulum E F C, ad triangulum L M C, ha-
bet maiorem rationem quam ad triangulum k H C.
Ergo E F C, erit ad I G C, in multo maiori rationc
quam ad k H C. Ergo I G C, minus erit k H C.
211199 Non ergo KHC, eſt minimum, ſed I G C. Quod
& c.
SCHOLIV M.
Cum autem in propoſit. 54. aſſignatus ſit modus
reperiendi triangulum maximum E F C, fuit conſe-
quenter expoſitus etiam modus reperiendi triangu-
lum minimum G I C.
Inſuper notetur, triangulum minimum circum-
ſcriptum parabolæ, æquale eſſe triangulo minimo
circumſcripto figuræ conſtante ex duabus ſemipara-
bolis ſupra expoſitis. Triangulum enim GIC, du-
plicatum ad partes G C, eſt æquale eidem G I C,
duplicato ad partes IC.
PROPOSITIO LXIII.
Conus minimus circum ſcriptus cuilibet infinitorum conoìdeo-
rum vel ſemifuſorum par abolicorum, eſt ille, qui tangit
baſim maximi coni in illis ſolidis inſcripti.
SEd ſupponamus conum ex triangulo EFC, eſſe
maximum inſcriptibilium intra conoides ex ſe-
miparabola A B C, circa B C, & conum ex triangulo
G C, tangere baſim coniinſcripti. Dico conum ex
triangulo G I C, eſſe minimum circumſcriptibilium
conoidi. Si non, ſit minimus ille, qui oritur ex trian-
gulo H k C, & ducta L E M, parallela KH,
212200 gamus conum ex triangulo L M C, qui vtique erit
minor cono ex triangulo K H C. Conus ergo ex
triangulo E F C, cum ſit maximus inſcriptus in co-
noide, erit ex dictis, maximus inſcriptus in cono ex
triangulo I G C. Non ergo erit maximus inſcriptus
in cono ex triangulo L M C. Ergo conus ex triangu-
lo E F C, erit ad conum ex triangulo G I C, in ma-
iori ratione quam ad conum ex triangulo L C M. Er-
go in multo maiori quam ad conum ex triangulo
H k C. Non ergo erit minimus conus ex triangulo
k H C, ſed ille ex triangulo IGC.
Patiter ſi conus ex triangulo E N C, ſit maximus
inſcriptus in ſemifuſo ex ſemiparabola A B C, reuo-
luta circa A C, conus ex triangulo G I C, circa I C,
erit minimus circumſcriptus ſemifuſo; quod, vt pa-
tet, probabitur eodem modo. Quare pater propo-
ſitum.
SCHOLIV M.
Cum ergo in propoſitionibus 58, & 61, aſſigna-
uerimus conos maximos inſcriptos in conoidibus, &
in ſemifuſis, pariter explicauimus vnica vice, conos
ctiam minimos prædictis ſolidis circumſcriptos. No-
tandum tamen diuerſos eſſe conos minimos his ſoli-
dis circumſcriptos; nam in cono circumſcripto co-
noidi, C F, eſt tertia pars G C; in cono vero cir-
cumſcripto ſemifuſo, C F, eſt duæ tertiæ partes G C.
Quæ omnia cum ſint manifeſtiſſima ex ſupra
213201 ideo circa ipſa nequaquam immoramur. Solum ani-
maduertendum eſt, quod cum ſupra in ſcholijs pro-
poſit. 51, & 52, oſtenſum ſit idem eſſe centrum gra-
uitatis maximi trianguli inſcripti in triangulo, & ip-
ſius trianguli; item maximi coni in cono inſcripti, &
ipſius coni; patet conſequenter idem eſſe centrum
grauitatis maximi trianguli inſcripti in parabola, &
minimi circumſcripti: item idem eſſe centrum gra-
uitatis maximi coni inſcripti in quolibet conoide, &
in quolibet ſemifuſo para bolico, & minimorum co-
norum ipſis circumſcriptorum.
PROPOSITIO LXIV.
Quælibet parabola est ad maximum triangulum ſibi inſcri-
ptum, vt pars ſemibaſis parabolæ, quæ ſe babeat ad ſemi-
baſim vt binarium ad numerum parabolæ vnitate au-
ctum, ad vltimam proportionalem proportionis ſemibaſis
parabolæ, ad ſemibaſim trianguli, continuatæ in tot termi-
nos, vt numerus eorum excedat numerum parabolæ bi-
nario.
ESto quælibet parabola A B C, ſitque maximum
triangulum in ea inſcriptum G D H, vt ſupra
dictum eſt. Dico parabolam eſſe ad triangulum
G D H, vt talis pars A D, quæ sè habeat ad A D,
vt binarium ad numerum parabolæ vnitate auctum,
ad vltimum terminum proportionis A D, ad G F,
continuatæ in tot terminos, vt numerus eorum
21420289[Figure 89] dat numerum parabolæ binario. V. g. in prima pa-
rabola, nempein triangulo vt A D, ad tertiam pro-
portionalem. In quadratica vt duo tertia A D, ad
quartam. In cubica vt duo quarta, feù dimidium
A D, ad quintam. Etſic in infinitum. Sit illa vltima
proportionalis A Q. In prima parabola, nempe in
triangulo res eſt euidens, quia ſicuti triangulum
A B C, eſſet quadruplum trianguli G D H, maximi
ſibi inſcripti, ſic A D, quia A D, eſſet dupla G F,
eſſet quadrupla A Q, tertiæ proportionalis. In alijs
parabolis nè ſchemata multiplicemus, intelligamus
inſcripta triangula etiam A B C, quorum baſes A C,
diametri D B. Triangulum A B C, ad
215203 G D H, habet rationem compoſitam ex rationibus
A D, ad G F, & B D, ad D F. Sed B D, ad D F,
eſt ex ſchol. 2. propoſit. 54. componendo, vt nume-
rus parabolæ vnitate auctus ad numerum parabolæ,
& pariter ex natura parabolæ, cum ſit B D, ad D F,
vt poteſtas A D, eiuſdem gradus cum parabola, ad
exceſſum ipſius ſupra ſimilem poteſtatem G F, nem-
pead tot tales poteſtates. G F, quotus eſt numerus
parabolæ. Ergo ratio trianguli A B C, ad G D H,
componetur ex ratione A D, ad G F, & ex ratione
poteſtatis A D, eiuſdem gradus cum parabola ad
totſimiles poteſtates G F, quotus eſt numerus para-
bolæ Sed ex iſtis rationib s componitur quoque ra-
tio poteſtatis A D, vno gradu altioris poteſtate pa-
rabolæ, ad tot ſimiles poteſtates G F, quotus eſtnu-
merus parabolæ. Ergo triangulum A B C, erit ad
triangulum G D H, vt illa poteſtas A D, ad illas
poteſtates G F. Sedvt poteſtas A D, ad vnam po-
teſtatem G F, ſic D A, ad A Q: ergo & vt pote-
ſtas dicta A D, ad omnes illas poteſtates G F, ſic
D A, ad tot A Q. Erit ergo triangulum A B C, ad
triangulum G D H, vt D A, ad tot A Q, quotus
eſt numerus parabolæ. Quoniam vero ex propoſit.
1. lib. prim eſt conuertendo, parabola A B C, ad pa-
rallelogrammum ſibi circumſcriptum vt numerus
parabolæ ad numerum parabolæ vnitate auctum,
nempe vt duplus numerus parabolæ, ad duplum nu-
merum binario auctum; ergo parabola A B C, erit
ad triangulum A B C, dimidium
21620490[Figure 90] ſibi circumſcripti vt duplus numerus parabolę ad nu-
merum parabolæ vnitate auctum; nempe vt magni-
tudo, quæ ſe habeat ad A D, vt duplus numerus pa-
rabolæ, ad numerum parabolæ vnitate auctum, ad
A D. Quare ex ęquali, erit parabola A B C, ad trian-
gulum G D H, vt dicta magnitudo, quæ ad A D, sè
habeat vt duplus numerus parabolæ ad numerum pa-
rabolæ vnitate auctum, ad tot A Q, quotus eſt nu-
merus parabolæ. Cum verò antecedens huius pro-
portionis contineat duplum numerum parabolæ, &
conſequens numerum parabolæſequitur antecedens
diuidi in tot binaria, in quot vnitates diuiditur con-
ſequens: vnde erit vt præ dictum antecedens ad
217205 dictum conſequens, ſic vnum binarium anteceden-
tis, ad vnitatem conſequentis. Erit ergo vt duæ par-
tes illius magnitudinis diuiſæ in tot partes quotus eſt
numerus parabolę duplus, & conſequenter ipſius A D,
diuiſæ in tot partes quotus eſt numerus parabolę vni-
tate auctus, ad A Q. Quoderat oſtendendum.
SCHOLIVM.
Cum autem in propoſit. 55, viſum ſit, triangulum
G Q D, eſſe dimidium trianguli maximi inſcripti in
figura conſtante ex duabus ſemiparabolis; ſequitur
hoc eſſe ad triangulum maximum ſibi inſcriptum in
ſupra dicta ratione, continuata ratione A D, ad D Q,
diametrum trianguli æqualem G F, vt dictum eſt.
Pariter cum minima trian gula circum ſcripta tam in-
finitis parabolis, quam infinitis figuris conſtantibus
ex duabus ſemiparabolis, ſint quadrupla maximo-
rum triangulorum in ipſis inſcriptorum; ſequitur
prædictas figuras eſſe ad minima triangula circum-
ſcripta, vt idem antecedens ad quadruplum conſe-
quentis: vel vt quarta pars antecedentis ad idem
conſequens.
PROPOSITIO LXV.
Quodlibet conoides parabolicum eſt ad maximum conum ſibi
inſcriptum, vt pars radij baſis conoidis, quæ ſe habeat ad
totum radium vt vnitas ad numerum conoidis
218206 auctum, ad ſextam partem vltimæ proportionalis propor-
tionis dicti radij ad radium baſis coni, continuatæ in tot
terminos vt numerus eorum excedat numerum conoidis
ternario.
SEd ſupponamus A B C, eſſe conoides paraboli-
cum, & D G H, maximum conum illi inſcri-
ptum, & c. & ratio A D, ad G F, continuetur in tot
terminos vt numerus excedat numerum conoidis ter-
nario, ſitque vltimus terminus A Q. Dico conoides
ad conum eſſe vt pars A D, quæ sè habeat ad dictam
A D, vt vnitas ad numerum conoidis binario au-
ctum, ad ſextam partem A Q. V. g. in primo conoi-
de, nempe in cono, vt tertia pars A D, ad ſextam
partem A Q, quartæ proportionalis. In ſecundo,
vt quarta pars A D, ad ſextam partem A Q, quin-
tæ proportionalis. In cubico, vt quinta pars
A D, ad ſextam partem A Q, ſextæ. Et ſic in in-
finitum.
In cono, patet. Quia ſi A B C, eſt conus, B F,
eſt dupla F D. Cumque pateat ex propoſ. 52, A B C,
eſſe ad G D H, vt cubus D B, ad factum ſub qua-
drato B F, in F D, nempe in medietatem B F;
nempe ad medietatem cubi B F; & cum ſit vt cubus
D B, ad medietatem cubi B F, ſic cubus A D, ad
medietatem cubi G F; nempe tertia pars cubi A D,
ad ſextam partem cubi G F: & pariter cum ſit vt cu-
bus A D, ad cubum G F, ſic A D, ad A Q, & vt
tertia pars cubi A D, ad ſextam partem cubi G
219207 ſic tertia pars A D, ad ſextam partem A Q; ergo
patet propoſitum.
In alijs vero conoidibus, mente intelligamus co-
num A B C, inſcriptum in conoide: ergo conus
A B C, ad conum G D H, habet rationem compo-
ſitam ex ratione quadrati A D, ad quadratum G F,
& ex ratione B D, ad D F. Sed ex natura conoidis,
B D, ad D F, eſt vt poteſtas A D, eiuſdem gradus
cum conoide, ad exceſſum eiuſdem ſupra ſimilem.
poteſtatem G F; & pariter ex ſchol. propoſit. 58,
componendo, eſt B D, ad D F, vt dimidium nu-
meri conoidis vnitate auctum ad dimidium numeri
conoidis; nempe vt numerus conoidis binario au-
ctus, ad numerum conoidis; vnde exceſſus prædictæ
poteſtatis A D, ſupra ſimilem poteſtatem G F,
continet tot partes prædictæ poteſtatis A D, diuiſæ
in tot partes quotus eſt numerus conoidis binario
auctus, quotus eſt numerus conoidis; nempe tot me-
dietates ſimilis poteſtatis G F, quotus eſt nume-
rus conoidis. Ergo proportio coni A B C, ad co-
num G D H, componetur ex ratione quadrati A D,
ad quadratum G F, & ex ratione poteſtatis A D, ad
tot medietates ſimilis poteſtatis G F, quotus eſt
numerus conoidis. Ergo conus A B C, erit ad co-
num G D H, vt poteſtas A D, duplici gradu altior
poteſtate conoidis, ad factum ſub quadrato G F, &
ſub prædictis medietatibus poteſtatis G F; nempe
ad tot medietates ſimilis poteſtatis G F, quotus eſt
numerus conoidis; nempe vt A D, ad tot
220208 tes A Q, quotus eſt numerus conoidis. Aſt cum ex
propoſit. 15, lib. 3. ſit conuertendo, conoides A B C,
ad cylindrum ſibi circum ſcriptum vt numerus co-
noidis ad numerum conoidis binario auctum; nempe
vt triplus numerus conoidis, ad triplum numerum
conoidis ſenario auctum: erit idem conoides ad co-
num A B C, tertiam partem talis cylindri, vt tri-
plus numerus conoidis, ad numerum conoidis bina-
rio auctum: nempe vt tot partes A D, diuiſæ in tot
partes quotus eſt numerus conoidis binario auctus,
quotus eſt triplus numerus conoidis, ad A D. Ergo
ex æquali, erit conoides A B C, ad conum G D H,
vt prædictæ partes A D, quotus eſt triplus numerus
conoidis, ad tot medietates A Q, quotus eſt nume-
rus conoidis. Et diuiſis vtriſque terminis per 3, erit
conoides A B C, ad conum G D H, vt tres partes
A D, diuiſæ prædicto modo, ad dimidiam A Q. Et
ſubtriplando hos terminos, vt vnica talium partium
A D, ad ſextam partem A Q. Quod erat oſtenden-
dum.
SCHOLIVM.
Cum ex ſupra dictis, conſtet, minimum conum.
k E L, conoidi circumſcriptum, eſſe maximum cir-
cumſcriptum cono G D H; & cum ex ſchol. prop.
52, conſtet conum G D H, eſſe ad conum k E L, vt
4, ad 27, ſequitur conoides eſſe ad conum K E L, vt
prædicta pars A D, ad A Q, cum eius octaua parte.
221209
PROPOSITIO LXVI.
Quilibet ſemifuſus parabolicus, eſt ad maximum conum ſibi
inſcriptum vt vnica pars quadrati ſemibaſis parabolæ di-
uiſi in tot partes quot vnitates continet tertia parsre-
ctanguli contenti ſub numero fuſi vnitate aucto, & ſub
duplo numero fuſi vnitate aucto, ad duo rectangula con-
tenta ſub duobus vltimis terminis proportionis baſis ſemi-
parabolæ ad altitudinem coni, continuatæ in tot terminos,
vt numerus eorum excedat numerum fuſibinario.
SEd intelligamus ſemiparabolam A B D, cuius
baſis A D, diameter B D, cum triangulo
G Q D, rotari circa A D, adeovt conus genitus ſit
maximus in ſemiſuſo inſcriptus: & ratio A D, ad
D Q, ſit continuata ad totterminos, vt numerus co-
rum excedat numerum fuſi binario; ſintque
duo vltimi minimi termini Q A, A k, Dico ſemi-
fuſum ex B A D, eſſe ad conum ex G Q D, vt vnica
pars quadrati A D, diuiſi in tot partes quot vnita-
tes continet tertia pars rectanguli ſub numero fuſi
vnitate aucto, & ſub duplo numero fuſi vnitate au-
cto, ad duo rectangula Q A k. V. g. in primo ſemi-
fuſo, vt dimidium quadrati A D, adilla duo rectan-
gula. In ſecundo, vt quinta pars quadrati A D. In
tertio vt vnica pars quadrati A D, diuiſi in 9, cum
tertia parte vnius. Et ſic diſcurrendo.
Quod enim in cono ſicres ſehabeat, patet.
22221091[Figure 91] in ipſo ratio A D, ad D Q, continuanda eſt tan-
tum ad tertium terminum; hic ſit k A; vnde duo vl-
timi minimi terminierunt D Q, k A. Ergo eſt pro-
bandum conum ex B A D, eſſe ad conum ex G D Q,
vt dimidium quadrati A D, ad duo rectangula D Q,
K A. Cum enim in tali caſu, ſit A Q, dupla Q D,
erit conus ad conum vt cubus A D, ad 4. cubos Q D;
nempe vt dimidium cubi A D, ad duos cubos D Q.
Sed vt dimidium cubi A D, ad duos cubos Q D, ſic
dimidium quadrati A D, ad duo rectangula D Q,
A k. Quare patet propoſium.
Quod vero vt dimidium cubi ad duos cubos, ſic
dimidium quadrati ad duo rectangula, eſt
223211 ſtum; quia rationes antecedentium ad conſequentia
componuntur exijſdem rationibus. Ratio enim di-
midij cubi A D, ad cubum D Q, componitur ex
ratione A D, ad D Q, & ex ratione dimidij quadra-
ti A D, ad quadratum D Q, quæ ratio eſt æqualis
rationi dimidiæ A D, ad A K, ex quibus rationi-
bus componitur quoque ratio dimidij quadrati A D,
adrectangulum D Q, A k.
In alijs vero, intellecto triangulo B A D, reuolu-
toque ipſo circa A D, habet conus ex ipſo ad co-
num ex Q G D, rationem compoſitam ex ratio-
ne A D, ad D Q, & ex ratione quadrati B D,
ad quadratum D F, nempe ex duplici ratione
B D, ad D F. Cum autem ſit componendo, ex
ſchol, propoſit. 61, B D, ad D F, vt duplus nu-
merus fuſi vnitatc auctus ad duplum nume-
rum fuſi; & cum pariter ſit B D, ad D F, vt pote-
ſtas A D, eiuſdem gradus cum fuſo ad exceſſum ip-
ſius ſupra ſimilem poteſtatem G F, nempe ad tot
ſimiles poteſtates G F, quotus eſt duplus numerus
fuſi. Ergo proportio coni ex triangulo B A D, ad
conum ex triangulo G Q D, componetur ex ratio-
ne A D, ad D Q, & ex ratione poteſtatis A D, ad
tot ſimiles poteſtates G F, ſeù Q D, quotus eſt
duplus numerus fuſi, & ex ratione B D, ad D F.
Sed ex rationibus A D, ad D Q, & poteſtatis dictæ
A D, ad dictas poteſtates Q D, componitur ratio
poteſtatum vnius gradus altioris. Ergo ratio coniad
conum componetur ex ratione poteſtatis A D,
22421292[Figure 92] gradu altioris poteſtate fuſi ad tot ſimiles poteſtates
D Q, quotus eſt duplus numerus fuſi, & ex ratione
B D, ad D F. Sed cum ſit vt poteſtas A D, vno
gradu altior poteſtate fuſi ad ſimilem poteſtatem
D Q, ſic D A, ad A k; vnde & vt poteſtas A D, ad
tot poteſtates D Q, quotus eſt duplus numerus fuſt
ſic D A, ad tot numero A k. Ergo ratio coni ex
triangulo B A D, ad conum ex triangulo G Q D,
componetur ex ratione A D, ad tot A k, quotus eſt
duplus numerus fuſi, & ex ratione B D, ad D F.
Rurſum B D, ad D F, patuit ſupra, eſſe vt poteſtas
A D, eiuſdem gradus cum fuſo ad tot ſimiles poteſta-
tes Q D, quotus eſt duplus numerus fuſi; & vt
225213 poteſtas ad tales poteſtates ſic, D A, ad tot numero
A Q. Ergo ratio coni ad conum componetur ex ra-
tionibus A D, ad tot A k, & eiuſdem A D, ad
tot Q A, quotus eſt duplus numerus fuſi: nimirum
crit conus ad conum vt quadratum A D, ad rectan-
gulum ſub illis tot k A, & A Q, quotus eſt duplus
numerus fuſi. Aſt quoniam ex propoſit. 16, lib 2. eſt
conuertendo, ſemifuſus ex ſemiparabola B A D, ad
cylindrum ſibi circumſcriptum, vt quadratũ num eri
parabolę ad rectangulũ ſub dimidio numeri parabolę
vnitate aucti, & ſub duplo numero parabolæ vnitate
aucto; vel vt duplum ad duplum; nempe vt duplum
quadratum numeri parabolæ ad rectangulum ſub nu-
mero vnitate aucto, & ſub duplo numero vnitate au-
cto, vnde eſt ſemifuſus ad tertiam partem cylindri,
nempe ad conum ex triangulo B A D, vt antece-
dens, ad tertiam partem conſequentis; & vt antece-
dens ad tertiam partem conſequentis, ſic tot partes
quot vnitates continet duplum quadratum numeri
fuſi (hoc eft rectangulum ſub numero, & ſub duplo
numero) quadrati A D, diuiſi in tot paites quot vni-
tates continet tertia pars rectanguli ſub numero fuſi
vnitate aucto, & ſub duplo numero vnitate aucto, ad
quadratum A D. Ergo ex æquali, erit ſemifuſus ad
conum ex G Q D, vt tot partes quadrati A D, diuiſi
vt dictum eſt, quot vnitates continet rectangulum
ſub numero fuſi, & ſub duplo numero, ad tot rectan-
gula ſub tot K A, & ſub tot A Q, quotus eſt du-
plus numerus fuſi. Cum vero numerus
226214 nempe partium quadrati A D, ſit numerus ortus ex
numero fuſi, & ex duplo numero; & numerus rectan-
gulorum ex k A, A Q, ſit numerus ortus ex duplo nu-
mero, & ex duplo numero; ſequitur primum nume-
rum, nempe quadratorum, eſle dimidium numeri
ſecundi, nempe rectangulorum K A Q. Quare quot
vnitates continet numerus quadratorum, tot binaria
continet numerus rectangulorum. Erit ergo vt om-
nia illa quadrata ad omnia rectangula, ſic vnicum
quadratum ad vnicum rectangulum. Erit ergo ſemi-
fuſus ad conum ex GQD, maximum ſibi inſcriptum
vt vnica pars quadrati A D, diuiſi in tot partes quot
vnitates continet tertia pars rectanguli ſub numero
fuſi vnitate aucto, & ſub duplo numero vnitate au-
cto, ad duo rectangula Q A k. Quod erat oſten-
dendum.
SCHOLIVM.
Cum ergo conus minimus circumſcriptus ſemifu-
ſo ſit ad maximum inſcriptum vt 27, ad 4; ſequitur
ſemifuſum eſſe ad ipſum, vt prædictum antecedens
ad 13, rectangula Q A K, cum dimidio.
Hæc ergo ſunt benigne lector, quæ pro tertia hac
vice determinauimus tibi communicare. Impreſſio
noſtri operis de Infinitis Parabolis abſoluta fuit die
quarta præteriti Menſis Iulij. Compoſitio Miſcella-
nei præſentis terminata fuit die 26. Auguſti. Hæc
tibiexponimus vt habeas vnde colligas
227215 excuſationes pro imperfectionibus in ipſo contentis.
Sufficere enim arbitramur notificare compoſitum
fuiſſe tempore æſtiuo, & dum Canicula, & Leo ma-
gis, magiſque feruent. Hæc etenim tempora potius
otio, & quieti, quam ſpeculationibus geometricis,
hoceſt ſublimibus, videntur accomodata. Verum
propemodum impoſſibile eſt cohibere intellectum
nè vagetur vbicunque eilibuerit. Præter quamquod
in inuentionibus rerum geometricarum, expectandæ
ſunt illæ fauorabiles cæleſtes directiones, quæ influ-
unt non quando nos, ſed quando ipſæ volunt. Tabel-
lam errorum non exhibemus; relinquimus enim illos
tuæ diligentiæ, tuæque humanitati. Diligentiæ vt
illos corrigas; humanitati vt eos libenter ſuſtineas;
memor impreſſionem librorum matrem eſſe erro-
rum; atque in impreſſione ſpeculationum abſtracta-
rum, intellectum auctoris ſic incumbere ſubſtantiæ,
vt accidentia cogaturnegligere. Vale.
FINIS.
228
[Empty page]
229
[Empty page]
230
[Empty page]
231
[Empty page]
232
[Empty page]