Cavalieri, Buonaventura, Lo specchio ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche : et alcuni loro mirabili effeti intorno al lume, caldo, freddo, suono, e moto ancora, 1632

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Author: Cavalieri, Buonaventura
Title: Lo specchio ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche : et alcuni loro mirabili effeti intorno al lume, caldo, freddo, suono, e moto ancora
Year: 1632
City: Bologna
Publisher: Ferroni
Number of Pages: [16], 224 S., 10 leaves of plates

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Table of contents
1. Page: 0
2. LO SPECCHIO VSTORIO OVERO TRATTATO Delle Settioni Coniche, ET ALCVNI LORO MIRABILI EFFETTI Intorno al Lume, Caldo, Freddo, Suono, e Moto ancor@. DEDICATO A GL’ILLVSTRISSIMI SIGNORI SENATORI DI BOLOGNA Da F. Bonauentura Caualieri Milaneſe Gieſuato di S. GIROLAMO AVTORE E Matematico Primario nell’Inclito Studio dell’iſteſſa Cittd. Page: 5
3. ILLVSTRISSIMI SIGNORI Padroni Colendiſsimi. Page: 7
4. AL CORTESE LETTORE. Page: 11
5. Licenza del Reuerendiſs. P. Generale. Page: 16
6. TAVOLA De’Capi del preſente Trattato. Page: 17
7. TAVOLA Page: 18
8. DE’CAPI. Page: 19
9. TAVOLA DE’CAPI. Page: 20
10. IL FINE. Page: 20
11. INTRODVTTIONE Alla materia da trattarſi, Nella quale ſi diſcorre d’onde habbi hauuto origine la dottrina delle Settioni Coniche. Page: 21
12. Che coſa ſia Cono, e come ſi generi. Cap. I. Page: 29
13. Eſſempio ſopra la prima Figura. Page: 30
14. Corollario. Page: 32
15. Che coſa ſi ano Settioni Coniche, e come nel Cono ſi produchino. Cap. II. Page: 32
16. Di quante ſorti di Settioni Coniche per il ſudetto ſegamenio ſi poſſono nel Cono generare. Cap. III. Page: 33
17. Che coſa ſiano le Settioni Opposte, e come ſi generino. Cap. IV. Page: 39
18. Come dalle coſe dette ne ſudetto Capitolo potiamo con ageuolezza comprendere i fondamenti de gli Horologij Solari, Cap. V. Page: 41
19. D’alcunitermini, che ſi adoprano intorno alle Settions Coniche. Cap. VI. Page: 42
20. Eſſempio ſopra la quarta Figura. Page: 44
21. D’vn principio cauato dalla Proſpettiua per le coſe ſuſſeguenti. Cap. VII. Page: 45
22. Come ſi adatti questo principio anco alli Specchi, che non ſono piani. Cap. VIII. Page: 47
23. Corollario. Page: 48
24. Delle ammirabili proprietà delle Settioni Coniche, incomincian doſi dalla prima Parabola. Cap. IX. Page: 49
25. Dimoſtratione. Page: 51
26. Corollario. Page: 53
27. Della ſeconda proprietà dalla Parabola. Cap. X. Page: 53
28. Eſſempio. Page: 54
29. Dimostratione. Page: 55
30. Della terza proprietà della Parabola. Cap. XI. Page: 56
31. Dimoſtratione. Page: 56
32. Corollario. Page: 58
33. Della quarta proprietà della Parabola. Cap. XII. Page: 58
34. Dimostratìone. Page: 59
35. Altra Dimoſtratione ſopra la decima Figura. Page: 60
36. Quali, e quanti ſiano nell’Iperbola, Eliſſi, & Op-poste Settioni i punti, che ſi chiamano foshi di quelle. Cap. XiII. Page: 62
37. Della prima proprietà dell’Iperbola. Cap. XIV. Page: 65
38. Dimoſtratione ſopra la àuodecima figura. Page: 65
39. Corollario. Page: 66
40. Della ſeconda proprietà dell’Iperbola. Cap. X V. Page: 67
41. Dimostratione. Page: 68
42. Della terza propriet à dell’Iperbola. Cap. XVI. Page: 69
43. Dimostratione. Page: 70
44. Corollario. Page: 71
45. Della quarta proprietà della Iperbola. Cap. XVI. Page: 72
46. Della prima proprietà dell’Eliſſi. Cap. XVII. Page: 74
47. Dimostratione. Page: 74
48. Della ſeconda proprietà dell’Eliſſi. Cap. XVIII. Page: 75
49. Della terza proprietà dell’Eliſsi. Cap. X. X. Page: 75
50. Dimostrationt. Page: 76
51. Della quarta proprietà dell’Eliſſi. Cap. XX. Page: 77
52. Dimoſtratione. Page: 78
53. Della proprietà, ancor lei belliſſima, della cir-conferenza dicircolo intorno alle inci-denti, er@fleſſe. Cap. XXI. Page: 80
54. Eſſempio ſopra la 17. figura. Page: 81
55. Delle Superficie, che ſi poſſone generare dalle Set-tioni Coniche, e come à quelle s’accomodino le già dimo strate loro proprietà, e de’lor nomi. Cap. XXII. Page: 83
56. Epilogo delle ſudette proprietà delle Settioni Coniche, applicate alle da loro generate ſuperficie. Cap. XXIII. Page: 85
57. Corollario. Page: 89
58. TAVOLA SPECOLARIA. Potiamo per via della rifleſſione con la ſuperficie ſcritta nell’area di questa Tauola fare L E Page: 91
59. Dell’vſo della precedente Tauola Specolaria. Cap. XXIV. Page: 92
60. Digreſsione intor no le Refrattioni. Page: 95
61. Come ſi poſsi accendere il fuoco per il rifleſſo de’ raggi Solari. Cap. XXV. Page: 98
62. Dimostratione ſopra la 18. Figura. Page: 100
63. Come per rifleſſione ſi poſſi accender fuoco con il ri-uerbero della fiamma, ò de i carboni acceſi. Cap. XXVI. Page: 104
64. Come in due maniere potiamo ſeruirci delli ſudetti Specchi. Cap. XXVII. Page: 106
65. Dello Specchio Vctorio d’Archimede. Cap. XXVIII. Page: 109
66. Della Linea Vſtoria di Gio. Battiſta Porta, che ab-brucia in infinito. Cap. XXIX. Page: 116
67. In qual ſenſo ſtimi l’Autore che la ſudetta Linea Vstoria ſi poſſa ſoſtenere. Cap. XXIX. Page: 118
68. Dello Specchio Vſtorio imaginato dall’Autore, e varietà di quello. Cap. XXX. Page: 122
69. Hist. 35. Chil. 2. Page: 135
70. Come con lt ſudetti Specchi potiamo di notte manda-re il lume lontano. Cap. XXXII. Page: 145
71. Come potiamo ſentir quel ſuono, che per altro uon s vdirebbe, ò ſentir meglio quello, che de-bolmente ſi ſente. Cap. XXXIII. Page: 149
72. ∴ Page: 150
73. Come per il contrario potiamo inuigorire il ſuono, ſi che ſia ſentito più gagliardo, che non ſi ſentirebbe. Cap. XXXIV. Page: 151
74. Come ſi poſſa fabricare vna stanza talmente, che chi ſtarà in vn’angolo di quella, ſenta il ſuo-no fatto nell’altro angolo diametral-mente oppoſto, non ſentendo quel-li, che ſaranno nel mezo. Cap. XXXV. Page: 152
75. De i Vaſi Teatrali di Vitruuio. Cap. XXXVI. Page: 154
76. Delle altre ſuperficie, che dal vario mouimento, ò fluſſo delle Settioni Coniche poſſono eſſer generate. Cap. XXXVII. Page: 168
77. Della cognitione del Moto. Cap. XXXVIII. Page: 171
78. Del mouimento de’corpi graui. Cap. XX XIX. Page: 173
79. Qual ſorte dilinea deſcriuano i graui nelloro moto, ſpiccati che ſiano dal proiciente. Cap. XL. Page: 183
80. Dimoſtratione ſopra la figura 25. Page: 185
81. Corollario. Page: 190
82. Come ſi deſcriuino le Settioni Coniche. Cap. XLI. Page: 192
83. De i modi particolari di deſcriuere le Settioni Coni-che, che s’aſpettano all’inuention ſolida. Cap. XLII. Page: 194
84. De’modi particolari di deſcriuere le Settioni Coniche, che s’aſpettano all’inuention piana vera. Cap. XLIII. Page: 199
85. Come ſi deſcriua la Iperbola con vn filo, primo modo della inuention piana vera. Cap. XLIV. Page: 202
86. Come ſi deſcriua la Parabola con vn filo; primo modo della inuention piana vera. Cap. XLV. Page: 204
87. Come ſi deſcriua la Parabola, mediante gl’iſtrumen-tiſodi, composti diregoli, ch’è ilſecondo mo-do dell’inuention piana vera. Cap. XLVI. Page: 207
88. Come ſi deſcriua la Iperbola con le righe, ſecondo mo-do dell’inuention piana vera. Cap. XLVII. Page: 209
89. Come ſi deſcriua l’Eliſsi con le righe, ſecondo modo dell’inuention piana vera. Cap. XLVIII. Page: 211
90. Dei modi particolari di deſcriuere le Settioni Coni-che, appartenenti all’Inuention piana per i punti continuati. Cap. XLIX. Page: 215
91. Come ſi deſcriua l’Iperbola, & Eliſsi per ì punticontinuati. Cap. L. Page: 218
92. D’vn’altra maniera molto facile, & eſpediente, di deſcriuere per i punti continuati la Parabola, che habbi per foco vn determinato punto. Cap. L I. Page: 221
93. Come dalla Parabola ſi poſſono dedurre infinite Iperbole, che con mirabile analogia vanno mutan-do i lati traſuerſi, mantenendo però ſempre l’iſteſ-ſo lato retto. Cap. LII. Page: 224
94. In qual maniera ſi poſſi deſcriuere l’Iperbola equilatera, il cuifoco diſti dalla ſua ci-ma quanto noi vorremo. Cap. LIII. Page: 229
95. Come ſi deſcriua l’Eliſsi, che habbiciaſcun de’ſuoi fochi distanti dall’eſtremità dell’aſſe quanto ſi voglia. Cap. LIV. Page: 233
96. Corollario. Page: 237
97. Di altre maniere ancora di dedurre le Settioni Coni-che vicendeuolmente l’vna dall’altra, o dal-la circonferenza del cerchio. Cap. LV. & vlt. Page: 239
98. Deus nobis vſuram vitæ dedit, & ingenij tamquam pecuniæ, nulla praſtituta die. Page: 243
99. Errcri ſcorſi per inauuettenz@ nello ſtampate. Page: 245
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311[Handwritten note 1]
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5
LO
SPECCHIO
VSTORIO
OVERO
TRATTATO
Delle Settioni Coniche,
ET ALCVNI LORO MIRABILI EFFETTI
Intorno al Lume, Caldo, Freddo, Suono,
e Moto ancor@.
DEDICATO
A GL’ILLVSTRISSIMI
SIGNORI SENATORI
DI BOLOGNA
Da F. Bonauentura Caualieri Milaneſe Gieſuato
di S. GIROLAMO
AVTORE
E Matematico Primario nell’Inclito Studio dell’iſteſſa Cittd.
1[Figure 1]
In Bologna, preſſo Clemente Ferroni 1632.
Conlicenza de’Superiori.
6
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7
ILLVSTRISSIMI
SIGNORI
Padroni Colendiſsimi.
2[Figure 2]
ARDEA in honor di Lu-
cina pretioſa lampada
nel mezo del famoſo
Tempio, che allo ſpun-
tar delle grandezze, e
marauiglie dell’antica
Roma, le fù dalla ſuperſtitioſa Gentilità,
come à ſingolar protettrice de’parti, con-
ſecrato, con cosi diligente, anzi
8 ria cura, da ſemplici Verginelle cuſtodita,
che ſtimando eſſe da terreſtre luce douer-
ne rimaner’offeſi gli occhi dicosì alto Nu-
me, non con altro, che con celeſte fuoco,
generato dal riuerbero di lucidiſſimo ſpec-
chio, eſpoſto al Sole, induſtrioſamente ſi
accẽdeua. Lodeuole coſtume inuero, reli-
gioſo penſiero, quãdo dalla loro vana Dei-
tà non foſſe ſtato profanato. Io perciò, che
non da i fauori di Lucina, ma (doppo la
diuina benignità) dall’aura propitia, che
dalla magnanimità ſpira de i generoſi cuo-
ri delle SS. VV. Illuſtriſs riconoſco i miei,
benche deboliſsimi parti, eſſere ſomma-
mente felicitati, de’quali, come non iſde-
gnaſte aggradire la publicatione del pri-
mo, così prendo ardire di offerire di nuo-
uo, oltre me ſteſſo, il ſecondo; vorrei pur’
anche, non dall’eſca, efociletrarne cadu-
ca fiamma; ma, ad imitation di Eſſempio
così celebre, con queſto mio SPECCHIO
VSTORIO, ſimile in parte à quello,
9 veniua nel culto di Lucina adoperato, nel
voſtro nobiliſsimo Teatro, o, per dir me-
glio, nel Tempio dell’eternità delle voſtre
glorie, accendere vna celeſte, & ineſtin-
guibile lampada di diuotione, entro al cui
ſplendore viuamente appariſſel’intenſiſ
ſ@mo ardore, che hò di perpetuamente ho-
norare, e ſeruire, chi mi hà così altamente
obligato. Ma per ottener queſto, pure mi
èauiſo non eſſermi d’vopoil ſalire con la
verga di Prometeo à rapirne il fuoco dal
carro del Sole, o pure, che à quella infoca-
ta ruota io lo riuolga; ma che mi baſti e-
ſporlo al ſplendidiſsimo cerchio, del qua-
le diuinamente le voſtre ſingolariſsime
virtù coronandoſi, fanno chiaramẽte rim-
bombar d’ogn’intorno
Igneus est ollis vigor, & calestis origo.
A queſto ſeruirà dunque principalmente
il preſente mio Specchio. Seruirà per pe-
gno di gratitudine, e per rappreſentar’in-
ſieme la diuotiſsima ſeruitù, che alle
10 ſtriſsime Signorie loro continuamẽte pro-
feſſo. Alle quali riuerentemente inchinan-
domi, deſidero per fine il colmo d’ogni fe-
licità. Bologna il dì 19. Agoſto 1632.
D. VV. SS. Illuſtriſs.
Diuotiſs. & obligatiſs. Setuitore
F. Bonauentura Caualier
11
AL CORTESE
LETTORE.
3[Figure 3]
REstaua queſto mio S P E C C H I O
V S T O R I O ſepolto ancora per
qualche tempo, e forſi per ſempre,
non oſtante, ch’io haueſſi di già ſco-
perto tanto del ſuo lume, ch’io mi
ſſi perſuadere, mettendolo in publico (almeno per
rioſità, ſe non per altro) ch’ei non foſſe per ri-
re del tutto inuiſibile; ſe le frequẽti eſſortatio-
perſona, il cui giuditio vi@ne da me molio sti-
, ed al quale haueuo di già confidato il mio pen-
non mi haueſſero fatto romper gli argini del ti-
, e riſoluermi à metterlo in proſpettiua delia
. Non era quello però del tutto irragioneuole,
attandoſi di coſa tenuta da molti per poco
che fauoloſa, penſauo, che da queſti tali doueſſe
io parere eſſere ſenz’altro eſſame rigettato alla
come altretanio vano, quanto era da loro sti-
per ohimerico lo Specchio di Archimede, proto-
del mio. A questo però contraponendo l’auto-
d’lſtorici famoſi, che ci fanno autentica fede
12 quello Specchio, e le ragioni dimostratiue, che la di
lui poſſibiltà ci perſuadono; pareami aſſat credibile,
che chi non è del tutto incapace di ragione, doueſſe
pur’anco ſentirſi far qualche forza da argomenti di
verità tanto euidenti. Ma quì non ſi terminaua la
mia difficoltà; poiche non accompagnando io l’opera
fatta con la teorica, giudicauo ad alcuni douer queſto
ri@ſcir così poco accetto, che nõ preſentandogli in ma-
no lo Specchio bell’, e fatto, foſſero per riputar per co-
ſa friuola & di niun momẽto, ogni diſcorſo ſpecola-
tiuo, benche indrizzato alla di lui fabrica; mentre
non ſi metteuano (come ſi ſaol dirc) le mani in paſta,
e non ſi veniua all’atto prattico, preualendo la coſa
fatta à qualunque ragione, che ſi poſſa addurre, ch’
ella ſia fattibile. Il che veramente confeſſo, c’hauria
hauuto molta forza per diſtormi dall’impreſa @ſe
l’altrui ragioni non mi haueſſero finalmente in un
certo modo violentato à far queſta riſolutione; con
il perſuadermi, che anco il promouere nuoui penſiert,
era coſa gradita da’studioſi, e tanto più, quãto ſi la-
ſciaua altrui campo d’acquiſtarſi gran parte della
gloria nel perfettionar quella fabrica, alla cui strut-
tura la ſpecolatiua hauea ſolò gettato i fondamenti@
& che queſto era modo d’inuentar ſingolare; poiche
l’imparar Mercurio dalla Teſtuggine di formar
13 Lira, o dal batter vicendeuol de’martelli l’inuentar
Pitagora la Muſica, fù vn veder prima, in vn cer-
to modo, la concluſione, e da quella preconoſciuta in-
@eſtigar poſcia i ſuoi principij; ma il diſcorrer’il Co-
lombo, che biſognaua per le tali, e tali ragioni, che vi
foſſero l’lndie nuoue, e poi trouarle, fù vn caminare
da’principij alla concluſione, come per appunto par,
che accada in questo propoſito: Dicendomi inſieme,
che chi era conſapeuole delle mie molte occupationi,
m’hauria ſcuſato, accettando volontieri per hora la
parte della ſpecolatiua, per vederne poi con più com-
modità la coſa ridotta in prattica, o per opera miæ,
o d’altri, c’habbino più agio, e commodità di farlo, &
eſp@@ienza nell’arte di fondere, e di luſtrare iſpecchi
di metallo, non potendoſi queſto ottenere in grado
perfetto, ſe non da chi è stato per molto tempo sù
l’eſſe@citio di fabricarli. Queſte eſſortationi adun-
que ſurno potenti à farmi riſoluere di dare in luce
queste mie poche ſpecolationi intorno al detto ſog-
getto principalmente, hauendomi inſieme non poco
fatto accelerare queſta riſolutione l’hauer’io ſmar-
vito tal parte di quelle in alcune ſcritture, come ac-
cenno parimente nel Cap. 31. che mi poteua far
dubitare di non eſſer da altri preoccupato nel farle
paleſi. Et benche io ſappi finalmente, che
14 ſcorgendo à prima vista il titolo di S P E C C H I O
V S T O R I O, diranno queſta eſſer materia, della
quale ſe ne sà hormai, quanto ſe ne p@ò ſapère, ha-
uendo trattato pure de’Specchi Vſtorij Vitellione,
Rogerio Bacconi, Orontio, il Cardano, il Getaldo il
Porta, il P. Gruemberger, il P. Biancano, che ne toc-
@a vn poco nella ſua Echometria, e finalmente il Ma-
gini, & al@ri, che con la loro eſquiſitezza di dottrina
ci hãno inſegnato tanto, che nõ laſciano luogo di poter
dir più coſa nuoua intorno à ſimil ſoggetto. A que ſto
per ò nõ riſponderò altro, ſe nõ che ſi cõptaccino queſti
tali di veder’vn poco tutto il Trattato prima, e poi
che giudichino, ſe la coſa stà così, come dal titolo gli
pare di poter’à prima fronte congetturare: Dirò ben
queſto ſolo, che ſe conſideraranno bene in particolare
il libro del Magin@, trouaranno, ch’egli non trat@ò
coſa alcuna de’Specchi Parabolici, Iperbolici, o El.
littici, ma ſolo delle apparenze dello Specchio sferico;
e maſſime per quãto s’aſpetta al rappreſentar le ima-
gini, che come facile da fabricare in comparatione di
questi altri, potè anco da lui eſſer ridotto in pratti-
ca, & acquiſtarſi quella lode, che all’eminẽza del ſuo
valore giustamente viene attribuita; ma non per-
ciò dourà stimarſi ſuperfluo quest altro mio Diſcor-
ſo, trattando egli di coſa molto differente da
15 che da eſſo venne ſpiegata. Con l’occaſione poi di que-
sto Specchio Vſtorio, vẽgono aggiũte al preſente T@at
tato alcune altre ſpecolationi, in particolare circa il
Suono, & vni@erſalmente intorno à qualunque co-
ſa, che per linea retta ſi diffonda, come accade al Cal-
do, e Freddo ancora, & ad altre qualità, diſcorren-
doſi inſieme qualche coſa circa il Moto; queste però
ſono da me ſoggiunte più per abbondanza, che
per neceſſità di dottrina, hauendole collegate inſieme
ſotto il titolo delle Settioni Coniche, che perciò l’hò
anco voluto metter’in fronte delle pagine, più toſto,
che il titolo di Specchio Vſtorio. Accetta dunque vo-
lontieri, benigno Lettore, quanto le mie poche forze
per hora ti offeriſcono, e col gradire il buon deſiderio,
che hò di ſeruire alla publica vtilità, fà, che
la mia debolezza auanzando ſe steſſa,
talmente ſi auualori, ch’arriui à
poter fare coſe maggiori.
∵
4[Figure 4]
16
Licenza del Reuerendiſs. P. Generale.
NOi F. Girolamo Longhi da Milano Generale de’Fra-
ti Gieſuati di S. Girolamo, per le preſenti noſtre, con-
cediamo facoltà al R. P. F. Bonauentura Caualieti Sacer
dote Profeſſo dell’iſteſs’O dine, e Lettor publico delle Ma-
tematiche in Bologna, di potere f@t ſtampare il Libro, in-
titolato, Lo Specchio V ſtorio, oſſeruando peiò le coſe ſolite
ad oſſeruat ſi in queſto geuere. Date in Milano nel Con-
uento di S. Girolamo alli 7. di Genaro 1632.
F. Girolamo Long hi Generale.
IO F. Coſtantino Buci dell’Ordine de’G@ſuati di S. Gi-
rolamo, di commandamento del Reuerendiſs. P. Gen@-
rale, hò viſto il libto del M. R. P. F. Bonauentura Caualie-
ri dell’iſteſs’Ordine, intitolato, Lo Specchio Vſtorio, ne ha-
ucndoui trouato coſa, che contrar@j alla Fede, o à buoni
coſtumi, perciò giudico, che ſi poſsi ſtampare.
D. Homobonus de Bonis Pœnitentiarius, pro Eminentiſs.
& Reuerendiſs. D. Card. Archiepiſc.
Imprimatnr.
Fr. Hieronymus Onuphri@s Doct. Collegiatus, Lector pu-
blicus, & Sanctiſs. Inquiſitio@is Conſultor, pro Reue-
rendiſs. P. Inquiſit. Bonon.
17
TAVOLA
De’Capi del preſente Trattato.
11
INtroduttione alla materia da trattarſi, nella quale ſi diſcor-
# re, d’onde habbi bauuto origine la dottrina delle Se@tioni
# Coniche. # pag. 1
Che coſa ſia cono, e come ſi generi. Cap. 1. # 9
Che coſa ſiano Settioni Coniche, e come nel Cono ſi produchino.
# Cap. 2. # 12
Di quante ſorti di Settioni Coniche per il ſudetto ſegamento ſi poſ
# ſono nel Cono generare. Cap. 3. # 13
Che coſa ſiano le Settioni Oppoſte, e come ſi generino. Cap. 4. # 19
Come dalle coſe dette nel ſudetto Capitolo potiamo con ageuolezz4
# comprendere i fondamenti de gli Horology Solari. Cap. 5. # 21
D’alcuni termini, che ſi adeprane intorno alle Settioni Con@che.
# Cap. 6. # 22
D’vn principio cauato dalla Proſpettiua per le coſe ſuſſeguenti.
# Cap. 7. # 25
Come ſi adatti queſto principio an@o alli Specchi, che non ſon piani.
# Cap. 8. # 27
Delle ammirabili proprietà delle Settioni Coniche, incominciandoſi
# dalla prima della Parabola. Cap. 9. # 29
Della ſeconda proprietà della Parabola. Cap. 10. # 33
Della terza proprietà della parabola. Cap. 11. # 36
Della quarta proprietà della Parabola. Cap. 12. # 38
Qual@@e quãti ſiano nell’I perbola, Elliſſi, & Oppoſte Settioni, i pun-
# ti, che ſi chiamano fochi di quelle. Cap. 13. # 42
Della prima proprietà dell’Iperbola. Cap. 14. # 45
Della ſeconda proprietà dell’Iperbola. Cap. 15. # 47
Della terza proprietà dell’Iperbola. Cap. 16. # 49
Della quarta proprietà dell’Iperbola. Cap. 16. # 52
18
TAVOLA
11
Della prima proprietà dell’Elliſſi. Cap. 17. # 54
Della ſeconda proprietà dell’Elliſſi. Cap. 18. # 55
Della terza p@oprietà dell’Elliſſi. Cap. 19. # 55
Della quarta proprietà dell’Elliſſi. Cap. 20. # 57
Della proprietà, ancor lei belliſſima, della circon ferenza di circolo
# intorno alle incidenti, e rifleſſe. Cap. 21. # 60
Delle ſuperficie, che ſi poſſono generare dalle Settioni Coniche, e
# come à quelle ſi accommodino le già dimoſtrate loro proprietà,
# e de’loro nomi. Cap. 22. # 63
Epil go delle ſudette proprietà delle Settioni Coniche, applicate
# alle da loro generate ſuperſicie. Cap. 23. # 65
Tauola Specolaria. # 71
Dell’vſo della precedente Tauola Specolaria. Cap. 24. # 73
Digreſſione intorno le R@frattioni. # 7@
Come ſi poſſi accendere il fuoco, per il rifleſſo de’raggi Solari.
# Cap. 25. # 78
Come per rifleſſione ſi poſſi accender fuoco con il riuerbero della fiã
# @@ma, o deicarboni acceſi. Cap. 26. # 84
Come in due potiamo ſeruirci delli ſudetti Specchi. Cap.
# 27. # 86
Dello Specchio Vstovio d’Archimede. Cap. 28. # 89
Della Linea Vſtoria di Gio. Battiſta Porta, che abbrucia in infini-
# to. Cap. 29. # 96
In qual ſenſo stimi l’Autore, che la ſudetta Linea Vstoria ſi poſſ@
# ſoſtenere. Cap. 29. # 98
Dello Specchio Vſtorio imaginato dall’Autore, e varietà di quello.
# Cap. 30. # 102
Come ſi può probabilmente congetturare, che lo Specchio di Arcbi
# mede, Proclo, e del Porta, non molto diſcordi da quello, che ſi è
# dichiarato nel Capo antecedente. Cap. 31. # 111
Come con li ſudetti Specchi potiamo di notte mandare il lume lon-
# tano. Cap. 32. # 125
Come potiamo ſentir quel ſuono, che per altro non s’vdirebbe, o ſen-
19
DE’CAPI.
11 # tir meglio quello, che debolmente ſi ſence. Cap. 33. # 129 Come per il contrario potiamo inuigorir’il ſzono, ſi che ſia ſentito # più gagliardo, che non ſi ſentirebbe. Cap. 34. # 131 Come ſi poſſa fabricare vna stanza talmente, che chi starà in vn’ # angolo d quella, ſenta il ſuono fatto nell’altr’angolo diamctral # mente oppoſto, non ſentendo quelli, che ſaranno nel mezo. Cap. # 35. # 132 De i V aſi Teatrali di Vitruuio. Cap.36. # 134 Delle altre ſuperficie, che dal vario mouimento, ò fluſſo delle Set # tioni Coniche poſſono eſſer generate. Cap. 37. # 148 Della cognitione del Moto. Cap. 38. # 151 Del mouimento de’corpi graui. Cap. 39. # 153 Qual ſorte di linea deſeriuano i graui nel loro moto, ſpiccati che ſia- # no dal proiciente. Cap. 40. # 163 Come ſi deſcriuino le Settioni Coniche. Cap. 41. # 172 De i modi particolari di deſcriuere le Settioni Coniche, che s’aſpet- # tano all’inuention ſolida. Cap. 42. # 174 De i modi particolari di deſcriuere le Settioni Coniche, che s’oſpet- # tano all’inuention piana vera. Cap. 43. # 179 Come ſi deſcriua la Iperbola con vn filo, primo modo della inuen- # tion piana vera. Cap. 44. # 182 Come ſi deſoriua la Parabola con vn filo, prime modo della inuen # tion piana vera. Cap. 45. # 184 Come ſi deſcriua la Parabola, mediante gl’iſtrumenti ſodi, compo- # sti di regoli, ch è il ſecondo modo dell’inuention piana vera. # Cap. 46. # 187 Come ſ@ deſcriua la Iperbola con le righe, ſecondo modo dell’inuen- # tion piana vera. Cap. 47. # 189 Come ſi deſcriua l’Elliſſi con le righe, ſecondo modo dell’inuention # piana vera. Cap. 48. # 191 De i mod@ particolari di deſcriuere le Settioni Coniche, appartenẽ # ti all’inuention piana per i punti continuati. Cap. 49. # 195 Come ſi deſcriua l’Iperbola, & Elliſſi per i pũti cõtinuati. C. 50. #
20
TAVOLA DE’CAPI.
11
D’vn’altra maniera molto facile, & eſpediente di deſcriuere per i
# punti continuati la Parabola, che habbi per foco vn determina
# to punto. Cap. 51. # 201
Come dalla Parabola ſi poſſono dedurre inſinite Iperbcle, che con
# mirabile analogia vanno mutando i lati traſuerſi, mantenendo
# però ſempre l’iſteſſo lato retto. Cap. 52. # 204
In qual maniera ſi poſſi deſcriuere l’Iperbola equilatera, il cui foco
# diſti dalla ſua cima, quante noi vorremo. Cap. 53. # 209
Come ſi deſcriua l’Elliſſi, c’babbi ciaſcuno de’ſuoi focbi distãti dall’
# estremit à dell’aſſe, quanto ſi voglia. Cap. 54. # 213
D’altre maniere ancora di dedurre le Settioni Coniche vicendeuol-
# mente l’vna dall’altra, o dalla circonferenz a del cerchio. Cap.
# 55. & vlt. # 219
IL FINE.
5[Figure 5]
211
INTRODVTTIONE
Alla materia da trattarſi,
Nella quale ſi diſcorre d’onde habbi hauuto origine
la dottrina delle Settioni Coniche.
FV@ da gli antichi Filoſofi, che di
ben regolare le operationi hu-
mane ſi preſero cura, in tãto pre-
gio, e ſtima tenuto ſempre il tem-
po, che non ſolo con eleganza di
parole, ma con induſtrioſe operationi ancora,
non mancorno giamai di farne capaci, quan-
to importaſſe il ben compartirlo nelle noſtre
attioni. Così ſolea dir Democrito quello eſ-
ſere vna pretioſiſſima ſpeſa. Talete lo chia-
maua ſapientiſſimo in natura. Seneca lo com-
paraua ad vn fiume rapidiſſimo. Biante di-
ceua douerſi talmente diſpenſare, come ſe aſ-
ſai, e poco doueſſimo campare. Marco Var-
rone riſolutamente affermaua nõ eſſerui per-
dita più graue di quella del Tempo; onde il
Prencipe de’Poeti di queſto irreparabil dan-
no ci volſe amm onire anch’egli nel 3. della@.
Geor. dicendo.
222
Et fugit interea fugit irreparabile tempus.
c Ouidio nel 6. de’Faſti.
Tempora labuntur, tacitiſq; ſeneſcimus annis,
Et fugiunt fræno non remorante dies.
Queſto è il Serpe de gli Egittij, che il tutto cõ-
prende; queſto è il Baſiliſco, che ſi rende fra
gli altri ſer penti così contumace al morire,
queſt’è la Falce di Saturno, ch’ogni coſa mie-
te, ogni coſa recide. Vedẽdo adunque quan-
to egli foſſe pretioſo, ma dall’altro cãto quan-
to volubile, e fugace, e quanta poca parte ne
foſſe per toccar’à ciaſcun’huomo, s’ingegnor-
no i più ſottili di trouar modo più ſicuro, che
foſſe poſſibile di miſurare, come foſſe tant’oro,
vna coſa di sì alto pregio; e vedẽdo, che il tẽpo
era vna ſcaturigine del moto, o per dir meglio
vna miſura di quello, poiche dice pur’Ariſt. nel
4. della Fiſica al Teſ. 101. Tẽpus eſt numerus mo-
tus ſecundum prius, & poſterius, e perciò douerſi
quello ſcompartire, per hauerne il tempo, e
queſto potendo eſſere, e nelle coſe à noi vici-
ne, e nelle lontane: Furono alcuni, che ſi pre-
ualſero del moto vicino, cioè del cõtinuo flaf-
ſo dell’acqua, o della poluere, o del girar delle
ruote per via de’cõtrapeſi, o di molle
233 de. Così ſi trouorno gli Arenarij, gli Horolo-
gij da ruote, e le Cleſſidri, & il primo, che à
Roma le faceſſe vedere fù Scipion Naſica
l’anno 594. doppo l’edificatione di Roma.
Fra gli Autori poi, che ſi preualſero del moto
lontano, cioè di quel delle ſtelle fiſſe, per mi-
ſurar’il tempola notte, poterno ben ſeruirſi di
quelle, e maſſime delle ſempre apparenti nel-
la ſua regione, come noi dell’Orſa minore, o
maggiore, del Dragone, di Ceffeo, o di Caſ-
ſiopea, tralaſciãdone i Pianeti, come ſoggetti
à diuerſi accidẽti, come d’irregolarità di moti
apparenti, di ſtationi, direttioni, e retrogra-
dationi, o di parallaſſi, e ſimili, eccettuatone
però il Sole; ma per miſurar’il tempo di gior-
no, non gli reſtò altro, che il moto, e lume pur
del Sole, che nell’abiſſo del ſuo ſplẽdore i pic-
coliſſimi lumi delle ſtelle ci naſconde; egli è
però vero, che nel principio aſſai rozamente
parue, che ſi portaſſero, come accader ſuole
di tutte le nuoue inuentioni, poiche in Roma
particolarmente, Città così inſigne, nõ ſi no-
taua altro, che in dodici Tauole l’Orto, e l’Oc-
caſo del Sole, quali ſi eſponeuano publicamẽ-
te; al che doppo alcuni anni ſi aggiunſe
244 ra il momento del Mezo giorno, e queſto però
ſolamente ne i tem pi ſereni, qual ſi manifeſta-
ua al popolo per vn publico banditore, come
racconta Plinio nel lib. 8. il che durò ſino alla
prima guerra contro Cartagineſi: Eſſendo fi-
nalmente poi da M. Val. Meſſaia Conſ collo-
cato appreſſo i Roſtri in vna colõna l’Horolo-
gio Solare, che moſtraua tutte le hore del gior
no compitamente, ſecondo che dice M. Var-
rone; ſimile al quale parimẽte n’hebbero vno
ancora i Lacedemonij per opera di Anaſſime-
ne Mileſio. Altri ſecondo le diuerſe ſuperfi-
cie, nelle quali diſſegnorno l’Horologio, tro-
uorno varij modelli, e gli diedero diuerſi no-
mi; così Beroſo Caldeo inuentò l’Emiciclio,
Ariſtarco Samio la Scaffa, & il Diſco nel pia-
no, Eudoſſo la Rete, Scopa Siracuſano il Plin-
to, e Dioniſiodoro il Cono.
Ma vaglia à dire il vero, che frà tutti que-
ſti modi quello è ſempre ſtato più ricercato, e
ſtimato, che c’inſegna deſcriuer l’Horologio
Solare in vna ſuperficie piana, poiche l’haue-
re i noſtri edificij, e le noſtre fabriche, circon-
date per il più da muraglie piane, sforzò que-
ſti ingegni ad applicarſi all’inueſtigare il
255 do di diſſegnarli ne i piani, non ſolo orizonta-
li, ma anco verticali, o inchinati in qualſiuo-
glia maniera, più che nelle altre ſuperficie.
E perche nella diſſegnatione di queſti Horo-
logij vid dero, che l’eſtremità delle linee hora-
rie o foſſero dall’occaſo, o dall’orto del Sole,
o dal mezo dì, o meza notte computate, anda-
uano tutze à terminare in due linee curue, che
haueuano le ſue conueſſità cõtrapoſte, riſpon-
denti alli due Tropici in Cielo, che ſi mutaua-
no ſecondo la varia ſituatione de’piani, ne’
quali ſi deſcriueua l’Horologio, hebbero mo-
tiuo, che queſte linee curue poteuano cadere
ſotto regola, e che non naſceuano da altro,
che dall’interſegatione del piano dell’Horolo-
gio con le ſuperficie de’duoi Coni cõtrapoſti,
che hanno per cima commune il centro del
mondo, e per baſe i Tropici, cioè, che nõ era-
no altro, che Settioni del Cono, chiamate poi
Iperbole contra poſte (quali ſaranno fra poco
dichiarate che coſa ſiano) perciò queſta fù la
cauſa primaria, e potiſſima, per la quale i Geo-
metri ſi aſſottigliorno nel cõſiderare in quan-
ti modi vn piano potea ſegare duoi Coni, oue-
ro vn ſolo, ſi che le communi Settioni del
266 no ſegãte, con le loro ſuperficie, veniſſero dif-
ferenti, e così ſi accorſero, che quando vno de’
Tropici foſſe reſtato tutto ſopra il piano dell’
Orizonte, come nell’eleuatione del Polo di
G. 66. 30. minuti in circa, e nella maggior di
queſta, non già più la predetta ſorte di Settio-
ne, ma altre veniuano à naſcere nell’horolo-
gio orizontale, quali chiamorno Parabola, &
Elliſſi, e talhor’anco Circolo, perciò ſupponẽ-
do, che dalla cognition di queſte Settioni pẽ-
deſſe la fondamẽtal dottrina de gli Horologij
Solari, la maggior parte ſi diede à ſpecolare
intorno à queſte, e di quì nacque la dottrina
delle Settioni Coniche. Così Platone fù il pri-
mo, che vi applicaſſe il penſiero, che poi mi-
rabilmente ſe ne ſeruì anco per riſoluer’il Del-
fico Problema, come ottenne con l’incrocia-
mẽto di due Parabole. Euclide ne ſcriſſe quat-
tro libri, come anco Ariſteo, Menechmo, Ar-
chimede, A pollonio Pergeo; e finalmente per
queſta via la dottrina de gli Horologij Solari
s’è talmente perfettionata, che pare nõ ſi poſſi
paſſar più oltre. Altri poi più profondamente
ſpecolando, viddero, che le Settioni Coniche
haueuano che fare in altri effetti di
277 ancora, & in particolare, che l’accender fuo-
co in virtù de’raggi ſolari, l’inuigorire il ſuo-
no, e ſimili effetti, originauano parimente da
quelle, la onde non è mãcato, chi habbi ſcrit-
to de’Specchi Vſtorij, come Vitellione, Oron-
tio, il Getaldo, il Porta, & altri, moſtrando in
queſte coſe ancora l’eccellẽza di tal dottrina.
L’intention mia dunque non è già di voler’in-
ueſtigar le più aſtruſe, e recondite proprietà
di queſte Settioni, come altri hãno fatto; o di
trattare ex profeſſo la materia de gli Horolo-
gij Solari, mettendone io il Cap. 5. ſolo, per
darne vna tale, e quale cognitione, à chi non
ne ſapeſſe coſa alcuna; o, volend’io pur trat-
tare de’Specchi Vſtorij, di ſtar ſolamente sù
quello, che hanno ſcritto i ſudetti Autori, ma
di moſtrare, come potiamo probabilmẽte cre-
dere, che la ſtruttura dello Specchio d’Archi-
mede tutta dipenda dalle Settioni Coniche
ben’inteſe; queſto è il mio principale intento,
al che aggiungo poi, con tale occaſione, altre
ſpecolationi naturali, maſſime intorno al ſuo-
no, che forſi non ſaranno ingrate: Ma perche
chi vuole intender queſte coſe da’fondamẽti,
hà di biſogno della cognitione d’alcune
288Delle Settioni Coniche. prietà delle dette Settioni, perciò hò voluto
iſtruir’il Lettore, come che non haueſſe viſto
coſa veruna in queſto genere, nel che mi per-
donerãno gl’intelligenti, ſe alla loro ſofficien-
za queſto gli pareſſe ſouerchio, poiche ciò non
è fatto per loro; e perche le coſe cõmuni ven-
gono ſa pute, e ſcritte da molti, perciò mi ſcu-
ſeranno parimente, trouando quà alcune co-
ſe poſte da altri ancora, ſe ben credo le ragio-
ni ſaranno per il più differenti, poiche per ſer-
uare l’ordine della dottrina, e per non rimet-
ter’il Lettore ad altri libri, mi è parſo ben fat-
to il raccoglier quà tutto ciò, che li può biſo-
gnare in queſta materia: La dottrina fonda-
mentale adunque viene da me trattata ſino al
Cap. 24. quale à chi rincreſceſſe, baſterà ve-
derne ſolamente li Cap. 22. 23. 24. cercando
almeno d’intendere i nomi: Dal Cap. 23. ſino
al 41. s’applica poi la dottrina antecedente al-
la materia; e nel rimanente s’inſegnano varie
deſcrittioni delle dette Settioni, della qual
parte baſterà vederne quel tanto, che più pia-
cerà; ma tempo è hormai di dar principio à
queſta dottrina.
299
Che coſa ſia Cono, e come
ſi generi. Cap. I.
IL Cono è quel corpo ſolido, che
da’prattici ſuole eſſer chiama-
mato, Piramide rotonda, che
fù da Euclide nell’11. lib. alla
def. 18. (preſo in ſenſo men’
vniuerſale) definito, naſcer dalla reuolutione
del triangolo rettangolo, ſtan do fermo vn de’
lati, che ſtanno intorno all’angolo retto, ſino,
che eſſo triangolo ritorni di onde ſi partì: ma
perche queſta definitione cõprende folamen-
toei Coni, che hanno l’aſſe della reuolutione
perpẽdicolare alla baſe; perciò riceueremo da
A pollonio Pergeo la definitione vniuerſale,
poſta nel principio de’ſuoi Elementi Conici,
in queſta maniera. Se da vn punto poſto fuo-
ri del piano d’vn dato circolo ſarà tirata vna
retta linea ſino alla circonferenza di eſſo cir-
colo, di quà, e di là indefinitamente prolon-
gata, quale ſi riuolga intorno alla circonfe-
renza ſino, che ritorni di onde ſi partì; la
3010Delle Settioni perficie deſcritta dalla detta linea, ſi chiame-
rà ſuperficie conica, e Cono ſi dirà il ſolido
rinchiuſo dalla detta ſuperficie, e dal circolo
propoſto, qual vien chiamato baſe del Cono,
e cima il ponto ſoprapreſo; aſſe poi vien det-
ta la retta linea, che congiunge eſſa cima con
il centro del circolo, che è di lui baſe, quale,
quando ſtà perpendicolarmente ſopra la baſe,
fà, che il Cono ſi chiami equicrure, e quando
ſia inchinato ſopra di quella, fà, che ſi dica Co-
no ſcaleno; di quelli s’intende la definitione
d’Euclide, e di queſti quella d’Apollonio, dẽ-
tro la quale vengono parimẽte rinchiuſi i Co-
ni d’Euclide, per eſſer queſta più vniuerſale,
e però baſterà, che noi ci appigliamo à que-
ſta, per farci capaci d’ambedue le ſorti de’Co-
ni in vn ſol colpo, il che più chiaramente s’in-
tenderà dalle quì poſte figure.
Eſſempio ſopra la prima Figura.
S Ia il triangolo, A B E, che hà l’angolo, A E B,
retto, e riuolgaſi eſſo triangolo, A B E, intor-
no all’, A E, fiſſa, ſin che ritorni di onde ſi par-
tì; la, B E, adunque deſcriuerà il circolo, B G,
3111Coniche. Cap. I. cui diametro è, B G, & il triangolo deſcriuerà il
ſolido, A B G, che da Euclide vien chiamato Cono,
& è equicrure, per eſſer l’aſſe, A E, perpendicolare
alcircolo, B G. Sia horail circola, N P, fuori del
cui piano ſia preſo il punto, C, e da eſſo tirata la, C
N, alla circonferenza del circolo, N P, & indefini-
tamente prolongata, come in, D, M, e s’intenda ri-
uolgerſi la retta, D M, per la circonferenza del cir-
colo, N P, ſopra il ponto fiſſo, C, ſino che ritorni di
onde ſi parti; la ſuperficie dunque deſcritta da tal
linea, non ſolo dal ponto, C, verſola baſe, N P, ma
anco verſo la parte opposta, cioè verſo, D, vien
da Apollonio chiamata ſuperficie conica, & il ſolido,
C N P, compreſo dalla ſuperficie conica verſo, N P,
e dal circolo, N P, vien chiamato Cono, e cima il pon-
to, C, baſe il circolo, N P, & aſſe la retta, C O che
congiunge la cima, cioè il ponto, C, con il centro del
circolo, N P, che ſia, O; quale può eſſer, che ſia per-
pendicolare ſopra la baſe, come nell’altra figura è la,
A E, (poiche anco la generatione del Cono, A B G,
benche equicrure, ſi può intendere al modo d’Apol-
lonio) e può eſſer, che vi ſtia inchinata, come la, C O;
nel qual caſo tal Cono ſi chiama ſcaleno; e questo
baſti per intendere, che coſa ſia Cono, e come ſi generi.
3212Delle Settioni
Corollario.
DI quì ſi fà manifeſto, che la parte, C D, de-
ſcriue anch’eſſa ſuperficie conica, la quale
terminando nella circonferenza del circolo,
H D, di che grandezza ſi vogli, ma parallelo al cir-
colo, N P, rinchiude con eſſo ctrcolo, H D, il Cono,
H C D, dalla parte oppoſta al circolo, N P; che però
ſi può chiamare Cono inuerſo, in riſpetto del Cono,
N C P.
Che coſa ſi ano Settioni Coniche, e come nel Cono
ſi produchino. Cap. II.
COncioſiacoſa, che il Cono poſsi
eſſer ſegato, ouer troncato da
diuerſe ſorti di ſuperficie, hora
però non intenderemo, che ſia
ſegato con altro, che con ſuper-
ficie piane. Fà dunque di meſtieri andar con-
ſiderãdo in quanti modi ſia poſſibile tagliarlo,
ſi che ne venghino fatte differenti Settioni di
ſpecie; e perche il commun ſegamento di due
ſuperficie è ſempre linea; perciò intenden do
noi, che vn piano tagli il Cono, in che modo
3313Coniche. Cap. II. voglia, taglia anco la ſuperficie di eſſo Cono,
compoſta della ſuperficie conica, e della baſe,
talhora ambedue, e talhor la conica ſola, e pe-
rò nella ſuperficie di eſſo Cono vien ſempre
generata vna linea, ch’è il commun ſegamen-
to della ſuperficie del Cono, e del piano ſegã-
te: Queſta linea adunque può con nome com-
mune dirſi Settion Conica, ſe ben’Apollonio
non ſuol chiamare ogni tal linea Settion Co-
nica, ma ſolamente alcune, come quì da baſ-
ſo s’intenderà.
Di quante ſorti di Settioni Coniche per il ſudetto
ſegamenio ſi poſſono nel Cono generare.
Cap. III.
LE Settioni Coniche, preſe nel
ſenſo commune di ſopra dichia-
rato, non poſſono eſſere più di
cinque.
La prima è, quando il piano
ſegante taglia il Cono per la lunghezza dell’
aſſe, ò almeno per la cima; e ſempre ſe ne pro-
ducono tre linee rette, due nella ſuperficie co-
nica, & vna nella baſe, le quali ſono il
3414Delle Settioni tro d’vn triãgolo, che paſſa per l’aſſe dell’iſteſ-
ſo Cono, quando il ſegamento è per l’aſſe, co-
me dimoſtrò Apollonio nel 1. de’Conici alla
prop. 3. moſtrando inſieme produrſi ſempre
triangolo, benche il piano ſegante non paſsi
per l’aſſe, ma ſolamente paſsi per la cima di
eſſo Cono.
La ſeconda è, quando il piano ſegante è pa-
rallelo alla baſe; & allhora ſe ne produce cir-
conferenza di circolo, per la 4. del 1. de’Co-
nici; ma queſte due non ſogliono propriamen-
te eſſer chiamate Settioni Coniche, dando ſolo
tal nome à queſte tre vltime.
La terza parimente ſi fà, quando eſſendoſi
prima ſegato il Cono per l’aſſe con vn piano, e
prodottoſene il triangolo, che paſſa per l’aſſe,
ſi ſega poi con vn’altro piano, sì il Cono, co-
me il triangolo già fatto, & anco la baſe di eſ-
ſo Cono, in tal maniera, che la retta linea, che
vien prodotta nella baſe, ſia perpendicolare
alla baſe del detto triangolo, e quella, che vien
diſegnata nel triangolo per l’aſſe, ſia parallela
ad vn de’lati del detto triangolo; la linea dun-
que diſegnata nella ſuperficie conica da detto
piano ſegante, da Apollonio nel 1. libro
3515Coniche. Cap. III. propoſ. 11. vien chiamata Parabola, ch’èla
prima delle Settioni, che da Apollonio ſon
chiamate Coniche.
La quarta ſi produrrà, quãdo, ſtando le me-
deſime coſe dette per la terza, ſolo ſarà varie-
tà in queſto, che la linea diſegnata dal piano
ſegante nel triangolo per l’aſſe in vece d’eſſer
parallela, ſarà concorrente con vn de’lati di
detto triangolo fuori della cima del Cono, e
la linea diſegnata dal piano ſegante, che è la
quarta Settione, e la ſeconda appreſſo Apol-
lonio, viene da lui alla prop. 11. del primo di-
mandata Iperbola.
La quinta ſi hauerà finalmente, quando
ſtando le medeſime coſe dette per la Parabo-
la, e per l’lperbola, ſolo vi ſarà variatione in
queſto, che la linea diſegnata nel triãgolo per
l’aſſe dal piano ſegante, in vece d’eſſer paral-
lela, ò concorrente con vn de’lati fuori della
cima del detto triangolo, taglierà ambedue i
lati di quello (non eſſendo però il piano ſegan-
te parallelo alla baſe del Cono, ò ſubcontraria-
mente poſto, poiche ſe ne produrria circolo)
e ſarà tal Settione la linea diſegnata dal piano
ſegãte nella ſuperficie conica, chiamata
3616Delle Settioni da Apollonio nel lib. 1. alla prop. 13. E poi-
che non è poſſiſibile ſegar’ il Cono con vn pia-
no in altro modo, che con le ſudette conditio-
ni, come à chi più attentamente lo conſidera-
rà, ſi farà manifeſto; perciò ſtabiliremo con
Apollonio, che cinque, largamente parlando,
ouero tre ſolamente, ſtrettamente prenden-
dole, ponno eſſer le Settioni Coniche, cioè Pa-
rabola, Iperbola, & Eliſſi; le quali fà di meſtie-
ri con qualche diligenza and are eſſaminando,
per le mirabili proprietà, che in ſe racchiudo-
no: parendomi bene di accennare, che tal vol-
ta ſi chiamano con queſti nomi gli ſpatij ſotto
queſte curue, e ſotto rette linee compreſi, il
che però dal modo di parlare facilmente s’in-
tenderà.
Eſſempio ſopra la ſeconda figura.
LE ſudette coſe ſi poſſono ageuolmẽte compren
dere nelle quì addotte figure; e ſe bene tutte
le dette Settioni ſi generano in tutti i Coni,
come da altri è ſtato dimoſtrato; nondimeno, per più
chiarezza nelli eſſempij ci ſeruiremo de i Coni Equi-
cruri. Siano dunque tre Coni, A B C, e benche
3717Coniche. Cap. III. vi ſia diſegnato l’aße, s’intenda però per quello di-
ſteſo vn piano, che produchi i tre lati, A B, B C,
C A, & il triãgolo, A B C; ſarà dunque la prima
Settione linea retta, cioè, A B, A C; poinella pr@-
ma ſigura di queste tre ſi dia vn taglio al Cono, A B
C, con vn piano parallelo alla baſe, B C, che produ-
chi il circolo, D E, ſarà la di lui circonferenza la ſe-
conda Settione: sij poinell’isteſſa figura vn’ altro
piano, che ſeghi la baſe nella retta, R V, perpendico-
lare alla, B C, baſe del triangolo, A B C, e l’iſteſſo
ſeghi il triangolo, A B C, nell a retta, O X, parallela
allato A C, e ſeghi la ſuperficie conica nella linea, R
O V, queſta ſarà la Parabola. Maſe nella ſeconda
figura (fatte le isteſſe coſe) X O, concorrerà con il
lato, C A, prodotto oltre la cima, come nel ponto, K,
ſarà la linea, R O V, ſegnata nella ſuperficie conica,
chiamata Iperbola: Ma ſe finalmente la, O X, come
nella terza figura (fait’ il medeſimo) ſegarà am-
bedue i lati del triangolo, A B C, eßendo pure la, Z
Y, commun ſegamẽto del piano, O X B C, perpen-
dicolare alla baſe, B C, prolongata pur che detto pia-
no ſegante non ſia parallelo alla baſe, B C, ne ſubcõ-
trariamente poſto (che ſaria, quando ſuppoſto eſſere
il Cono, A B C, ſcaleno, l’ãgolo, A X O, foſſe eguale
all’angolo, A B C, e A O X, all’, A C B,) la
3818Delle Settioni ſegnata nella ſuperficie conica, cioè, O R X V, vien
chiamata Eliſſi, che è l’vltima delle dette Settioni
Coniche.
Queste coſe le potiamo apprendere mecanicamen-
te, con facilità, e guſto, in vn bicchiero di forma co-
nica, mediãte qualche liquore, come acqua, con l’im-
mergolo in diuerſi modi dentro di quella; poiche ſe
l’immergeremo in tal modo dentro l’acqua, che la ſu-
perficie di quella paſsi preciſamente per il fondo del
bicchiero, che è la cima del Cono, e ſeghi l’orlo del
bicchiero in qualſiuoglia modo, ſe ne produrrà l’am-
bito del triangolo, che è la prima Settion Conica, qual
paſſerà per l’aſſe, quando la ſuperficie dell’acqua paſ-
ſerà per l’aſſe; ma quando la ſuperficie dell’acqua
ſarà parallela al piano dell’orlo del bicchiero, ſe ne
produrrà la circonferenza di circolo, ſeconda Settion
Conica, & immergendolo, come richiede la produttio-
ne delle altre tre Settioni, le vedremo chiaramente
nel ſegamento della ſuperficie dell’acqua con
la ſuperficie del bicchiero; quali coſe pe-
rò, come faciliſſime, basterà bre-
@emente ha@erle accen-
nate.
3919Coniche. Cap. IV.
Che coſa ſiano le Settioni Opposte, e come
ſi generino. Cap. IV.
COn l’occaſione di queſte Settio-
ni Coniche, nõ poſſo far di me-
no di non dir qualche coſa del-
le Settioni Oppoſte, per l’vtili-
tà, che n’apporta la loro cogni-
tione principalmente per gli ho@ologij Solari.
Siano dunque nella terza figura i due Co-
ni, B A D, N A M, fra loro inuerſi, la cui cõ-
mune cima il ponto, A, e le baſi ſiano i circoli,
B D, N M, ſia poi dato vn taglio à queſti due
Coni cõ vn piano, che paſsi per la lor cõmune
cima, A E, per l’aſſe, che produca in eſsi i triã-
goli, B A D, A N M, dipoi ſia data alli medeſi-
mi vn’altro taglio cõ vn piano, che ſeghi il tri-
angolo, A N M, nella retta, V G, che prodotta
concorra con il lato, N A, nel punto, F, e ſia
la, T H, commun ſegamento della baſe, N M,
e del piano ſegãte, perpendicolare alla, N M,
baſe del triangolo, A N M; ſarà dunque la li-
nea, T G H, diſegnata dal piano ſegante nel-
la ſuperficie conica, A N M, vn’Iperbola;
prolonghi ſi hora la, V F, verſo, B D, ſino
4020Delle Settioni l’incontri, come in, I, & intendaſi, che il det-
to piano ſegãte nella ſuperficie conica, A B D,
ſegni la linea, E F R, e nella baſe la retta, E R,
ſarà anco, E R, perpendicolare à, B D, baſe
del triangolo, B A D, per eſſere, B D, paralle-
la ad, N M, & , E R, à, T H, per la 10. dell’ 11.
de gli Elem. E perche la, I F, ſegnata dal me-
deſimo piano ſegante il triangolo, B A D,
prodotta con@orre con il lato, B A, ſteſo pur
oltre la cima, A, eſſendo il cõcorſo in, G, per-
ciò anco la linea, E F R, è vn’Iperbola, adun-
que con vn ſol piano habbiamo prodotton el-
le ſuperficie coniche d’ambedue i Coni, B A
D, A M N, due Iperbole; queſte dunque da
Apollonio nel lib. 1. alla propoſ. 14. ſon chia-
mate Settioni Oppoſte, e ſono della quinta
ſpecie delle Settioni Coniche, ò per
dir meglio, della terza
ſpecie, conforme ad
Apollonio.
6[Figure 6]
4121Coniche. Cap. V.
Come dalle coſe dette ne ſudetto Capitolo potiamo
con ageuolezza comprendere i fondamenti
de gli Horologij Solari,
Cap. V.
Clò ſarà facile, ſe nella medeſima
terza figura intenderemo, A, eſ-
ſere il centro del mondo, NM,
BD, gli due tropici, & , BM,
che riuolgendoſi intorno le cir-
conferenze de’tropici, deſcriua le ſuperficie
coniche, BAD, NAM, le quali ſiano ſegate
dal piano diſtante dal centro del mondo, per
la retta, AC, che ſarà il piano dell’Horolo-
gio, sì come, AC, loſtile, il qual piano dell’
Horologio verrà, ſegando le dette ſuperficie
coniche, à produrre le due Iperbole, ouero
Oppoſte Settioni, TGH, EFR; e sì come
il raggio del Sole poſto in B, che paſſa per la
cima dello ſtile, ch’è il põto, A, ſe non incon-
traſſe il piano dell’Horologio, ſcorreria al põ-
ti, M, così i raggi dello ſteſſo Sole, poſto ne
gl’altri punti dell’hore del Tropico, BD, paſ-
ſati oltre il ponto, A, ſcorreriano ſino al luo-
go oppoſto nell’altro tropico, NM, ſe non
4222Delle Settioni contraſſero il piano dell’Horologio, che gli
trattiene nella linea, ouero Iperbola, TGM,
in luidiſegnata, nella quale perciò vengono
à terminar le ombre: laſcio gli altri particola-
ri, che ſi potrebbero dire, poiche hora non in-
traprendo di trattare di tal materia, baſti ſolo
hauer’accẽnato così in vniuerſale, come hab
bino che fare queſte Settioni Oppoſte con gli
Horologij Solari, e come queſta dottrina alle
coſe celeſti ancora mirabilmente ſi adatti.
D’alcunitermini, che ſi adoprano intorno alle
Settions Coniche. Cap. VI.
SE noi riſguardaremo la ſudetta
ſecõda figura, cõforme alle de-
finitioni d’Apollonio, trouare-
mo chiamarſi la retta, OX, in
tutte tre le Settioni, diametro,
il ponto, O, cima, & , RV, or-
dinata mente applicata al diametro, OX, co-
me an co vien detta qualſiuoglia altra paral-
lela alla, RV, che termini in eſſa Settione; e
ſela, OX, taglia ad angoli retti, queſte tali li-
nee ordi natamẽte ad eſſa applicate,
4323Coniche. Cap. VI. il nome di aſſe di tal Settione, ma ſe le taglia
ad angoli nõ retti, gli reſta ſolo il nome di dia-
metro, diuidendole però ò ſia aſſe, ò ſolamen-
te diametro, ſempre in parti vguali. Se pren-
deremo poi il quadrato della metà di qualſiuo-
glia delle ſudette, ordinatamente applicate
à detto diametro, trouaremo eſſer ſempre
eguale al parallelogramo rettangolo, largo
quant’è la parte troncata dal diametro della
conſiderata Settione, & adiacente ad vn’altra
linea, che ſi chiama lato retto, occupandola
tutta, ſe la Settione è Parabola, ò più di tutta,
ſe è Iperbola, ò mãco di tutta, ſe è Eliſsi; e per
ſa pere quanto ſia l’ecceſſo, ò il mancamento,
ſi preuale Apollonio d’vn’altra linea, chiama-
ta lato tranſuerſo, ſi che nell’Iperbola eccede
il detto parallelogramo, e nello Eliſsi manca
d’vn parallelogramo ſimile al contenuto ſot-
to il lato retto, e traſuerſo; il qual lato traſ-
uerſo nel ſecondo caſo è figura delle tre già
dette, ela, OK, è nel terzo, e la, OX, che è
tutt’vno col diametro dell’Eliſsi; la Parabola
poi hà ſolamente il lato retto.
4424Delle Settioni
Eſſempio ſopra la quarta Figura.
IN tutte tre le Settioni Coniche, quì eſpoſte, A
E, è diametro, AH, lato retto, e preſo doue
ſi voglia nell’, AE ilponto, S, e da quello or-
dinatamente applicata la, SR, il quadrato di, SR,
è vguale al rettangolo, ZA, largo quant’è la parte,
AS, tagliata via dal diametro, AE, per laretta,
SR, adeguatamente adiacente ad, AH, lato retto;
e queſto nella Parabola, il che almeno ſi cerchi d’intẽ-
dere, per capir’il recto; poiche il ſaper queſto circa le
altre Settioni, non fà più che tanto di biſogno, per
quello, che ſi hà da dire, e perciò ſe ad alcuno le coſe
diqueſto Capitolo pareſſero alquanto oſcure, intenda
quecto, e tralaſci il recto, che vien quì da me poſto,
per il cõpimento, che richiede la dottrina: nell’Iper-
bola poi, AV, è lato trãſuerſo, come, AH, lato ret-
to, & il quadrato di, SR, è vguale al rettangolo,
AZ, compreſo da, SA, & , AO, ouero, SZ, ecce-
dente del parallelogramo, HZ, ſimile al parallelo-
gramo ſotto i duoi lati, VA, AH, per la 24. del 6.
de gli Elem. Finalmente nell’Eliſsi il lato tranſ.
uerſo è, AE, come il retto è, AH, & il quadrato di,
SR, è vguale al rettangolo, AZ, deficiente del pa-
rallelogramo, HZ, ſimile al parallelogramo
4525Coniche. Cap. VI. nuto ſotto, HA, AE, lato retto, e traſuerſo, per la
24. del 6. Quali coſe però, come hò detto, à chi pa-
reſſero difficili, le tralaſci, ſaluando ſolo in mente, co-
mei quadrati delle meze ordinatamente applicate al
diametro della Parabola ſono eguali alli rettangoli
ſotto le portioni del diametro da quelle tagliate via
verſo la cima, e ſotto il lato retto, sì come ſi è detto
eſſere per eſſempio nella Parabola il quadrato, SR,
eguale alrettangolo ſotto, SA, & , AH, lato retto,
come anco il quadrato, EC, ſarà eguale al rettan-
golo ſotto, EA, e l’iſteſſo lato retto, AH.
D’vn principio cauato dalla Proſpettiua per le coſe
ſuſſeguenti. Cap. VII.
INanzi, che noi dichiariamo al-
tro, fà di meſtieri ridurre à me-
moria quel principio cauato
dalla Proſpettiua, ch’è la baſe,
e fondamento della dottrina
delle rifleſſioni, e ciò per intelligenza delle
coſe ſuſſeguenti. Prouano adunque i Pro-
ſpettiui, che quando vna linea radioſa incon-
tra la ſuperficie d’vno ſpecchio piano, ſempre
dal punto dell’incidenza ſi riflette ad
4626Delle Settioni vguali, d’onde però ſi raccoglie, che quando
la incidente ſarà perpẽdicolare ſopra la ſuper-
ficie dello ſpecchio, la rifleſſa tirata dal me-
deſimo punto di detta ſuperficie ſarà ancor
lei perpendicolare ſopra l’iſteſſa; e però la
rifl@ſſa ritornerà per la ſtrada della inciden-
te; ma quando la incidente incontrerà tal ſu-
perficie ad angolo acuto, la rifleſſa anderà
dall’altra banda ad angolo pur’acuto, & egua-
le all’ angolo fatto dall’ incidente, quale
ſuol’eſſer chiamato angolo dell’incidenza, e
quell’altro angolo di rifleſſione; prouano adũ-
que, che queſti due angoli ſono ſempre egua-
li, ſupponendo queſto principio, come eui-
dente, cioè, che la Natura opera ſempre per
la più breue ſtrada, ſe non è impedita; della
qual coſa non ſtarò adducendo quà la dimo-
ſtratione, potendoſi vedere in Euclide, Vitel-
lione, & Alazeno, e noi la prenderemo, come
dimoſtrata. Il Keplero però nella ſua Aſtro-
nomia Ottica, moſtrando di non reſtar ſodiſ-
fatto delle ragioni de’ſudetti Autori, cerca
dimoſtrar queſto, trahendolo dalla natura del
moto, come ſi può vedere al cap. 1. alla prop.
19. Da queſto poi cauano i ſudetti
4727Coniche. Cap. VII. che la ſuperficie, nella quale è poſta la linea
incidente e rifleſſa, ſega ſempre perpendico-
larmente la ſuperficie dello Specchio.
Eſſempio ſopra la quinta Figura.
SIa lo Specchio piano, A C, e dal punto, E, pre-
ſo fuori del piano di queſto Specchio, ſia tirata
al punto, B, la retta E B, che ſi r@fletta in, H,
e per le, E B H, ſi diſtenda vn piano, che ſeghi il
piano dello Specchio nella retta, A C, ſi chiama dũ
que, E B, incidente, B, punto d’incidenza, ò di ri-
fleſſione, B H, rifleſſa, l’angolo, E B A, angolo a’in-
cidenza, l’ang@lo, H B C, di rifleſſione, quali pro-
uano eſſer ſempre vguali, & il piano, E A B C H,
nel quale giacciono la incidente, E B, e rifleſſa, B H,
che ſi chiama ſuperficie rifleſſiua, ò di rifleſſione,
moſtrano ſempre eſſer perpendicolare al piano dello
Specchio, A C.
Come ſi adatti questo principio anco alli Specchi,
che non ſono piani. Cap. VIII.
SIa dunque nella 6. fig. 10 ſpecchio cõ-
cauo, M B N, e conueſſo, R B V, e
fuori di quello ſia il pũto, E, dal
4828Delle Settioni le ſi tiri la, E B, incidẽte in ambedue gli Spec-
chi nel commun punto, B, per eſſempio, che
ſi rifletta in, H, prouano adunque i Proſpetti-
ui queſte due, E B, B H, far pure angoli vgua-
liſopra la retta linea, che paſſando per il pun-
to, B, tocca lo Specchio pure in quel punto;
la qual tangente ſia la retta, A C, che tocchi
ambedue le ſuperficie di queſti Specchi; fan-
no dunque la incidẽte, e la rifleſſa ne gli Spec-
chi, che non ſon piani, angoli vguali ſopra la
tangente eſſe ſuperficie nel pũto dell’inciden-
za, e così vi ſi accommoda il ſopradetto prin-
cipio.
Corollario.
POiche il Keplero nel luogo ſopracitato prouò il
ſudetto principio, cauando la ragione dalla
natura del moto, che hà da fare co’l ſuono, co’l
caldo, e co’l freddo; perciò prenderemo il ſudetto
principio nõ ſolo in materia del lume, ma dal moto, &
anco dal ſuono (come hà fatto il P. Biancano Geſuita
nella ſua Echometria) del caldo, del freddo, & in
ſomma d’ogni coſa, il cui moto ſia per retta linea, per
dire il tutto in vna ſol parola; accommodando le ſe-
guenti dimo strationi in aſtratto alle linee, per
4929Coniche. Cap. VIII. modarle poi alle linee lucide, ſonore, calde, fredde,
ò di qualunque ſorte poi ſi ſiano.
Delle ammirabili proprietà delle Settioni Coniche,
incomincian doſi dalla prima Parabola.
Cap. IX.
QVali, e quante ſiano le proprietà
delle Settioni Coniche, come
anco delle altre ſorti di linee,
ò figure, ſtimo veramente, che
ſia difficiliſſimo poterlo ſape-
re; ma l’hauer cognitione d’alcune principa-
li, & in riſpetto delle altre, quaſi fondamen-
tali, ciò credo poterſi da noi con la ſcorta del-
la buona Geometria, non men facil, che per-
fettamente ottenere, perciò andaremo ne’ſe-
guenti Capitoli eſſaminandone alcune, quali
ſtimo eſſere delle più nobili, principali, e fon-
damentali, che per hauer’ anco del maraui-
glioſo, e potere inſieme arrecare di molte vti-
lità ridotte alla materia, ſpero debbano da
ciaſcuno volõtieri eſſer lette, e con molto gu-
ſto forſe eſſere inteſe, delle quali alcune fur-
no dimoſtrate da altri, & alcune non
5030Delle Settioni per quanto io mi ſappi, toccate; perciò dare-
mo principio dalla Parabola, e ſua prima pro-
prietà.
Sia dunque la Parabola, A Q Y, nella 7. fig.
il cui aſſe ſia, A V, al quale ſia ordinatamente
applicata, Q Y, alla quale l’aſſe, A V, ſarà per-
pendicolare; ſi prendano poi dẽtro, Q Y, punti
come ſi voglia, per eſſempio, G, X, da’ quali
verſo la Parabola, Q A Y, ſiano tirate le, G M,
X Z, parallele all’ aſſe, A V, ſino che incontri-
no la Parabola, come ne i punti, M, Z, da’qua-
li, come da’ punti d’incidenza s’intendan ri-
fletterſi le, M I, Z I, hà dunque tal Settione
queſto di ammirabile, che tutte le rifleſse vã-
no à ferire in vn determinato punto dell’aſse,
che ſia, @, che taglia via dall’aſse verſo la cima
della Parabola vn pezzo di linea, come, I A,
che è ſempre la quarta parte del lato retto di
eſsa, qual ſia, A T: queſto già è ſtato dimoſtra-
to da altri, come da Vitellione nella ſua Proſ-
pettiua da Orontio Fineo, e da Marin Ghe-
taldo nel lib. dello Specchio vſtorio, tuttauia
non voglio tralaſciare di addurne quà la di-
moſtratione, per eſser degna d’eſsere inteſa.
5131Coniche. Cap. IX.
Dimoſtratione.
PEri punti, M, Z, tirando le tangenti la
Parabola nei medeſimi punti, che pro-
dotte incontrino l’aſse, V A, prolonga-
ta, come ne i punti, N, O, ſi tirino dalli me-
deſimi punti, M, Z, le, M C, Z P, ordinata-
mente applicate ad, A V, (che ſono la metà
delle intiere applicate) che ſeghino l’aſse, A
V, nei punti, C, P, pongaſi poi, che la rifleſsa
dal pũto, Z, habbia incontrato l’aſse nel pun-
to, I, dico, che la, I A, è vn quarto di, A T, la-
to retto della preſente Parabola; imperoche
per eſser’, O S, tangente la Parabola nel pũto
Z, dell’incidenza ſarà l’angolo, X Z S, dell’in-
cidẽza eguale all’angolo, O Z I, della rifleſſio-
ne, per la dottrina dichiarata nell’ant. cap. ma
l’angolo, X Z S, è anco vguale all’angolo, S O
V, interiore delle parallele, X Z, V O, adũque
i duoi angoli, Z O I, I Z O, ſarãno vguali, & an-
co i lati, O I, I Z, ſaran pur’vguali, il che ſi cõ-
ſerni, con queſt’altra coſa ancora, cioè, che la
parte, P A, è vguale all’, A O, per la 35. del
1. de’Conici: Per eſser poi, A P, diuiſa nel
punto, I, quattro rettangoli, P A I, (ouero
5232Delle Settioni rettãgolo ſotto, P A, e ſotto la quadrupla d’, A
I, con il quadrato d’, I P,) ſarãno vguali al qua-
drato di, P A I, diſteſa, ouero al quadrato d’, O
I, per l’8. del 2. (cambiando la parte, P A, in,
A O, che gli è vguale, per la 35. del 1. de i
Conici) ouero al quadrato d’, I Z, ch’è vgua-
le à I O, cioè alli duoi quadrati, I P, P Z, ele-
uato il quadrato, I P, commune, reſterà il qua-
drato, P Z, eguale al rettangolo ſotto, P A, e
ſotto la quadrupla d’, A I, ma il medeſimo qua
drato di, P Z, per eſser meza ordinatamente
applicata all’aſse, A V, (per le coſe dette al
Cap. 6@) è vguale al rettangolo ſotto, P A, e
ſotto il lato retto, A T, adunque il rettangolo
ſotto, P A, e la quadrupla d’, A I, è vguale al
rettangolo ſotto la medeſima, P A, e ſotto, A
T, adunque la quadrupla d’, A I, è vguale all’,
A T, adunque, A I, è vn quarto d’, A T, la-
to retto della Parabola, Q A Y; Nell’iſteſso
modo prouaremo, che la rifleſſa, M I, ſega
l’aſſe, A V, in vn punto, che recide verſo, A,
vn quarto d’, A T, adũque non può incontrar
l’aſſe ſe non nel punto, I, il che di tutte l’altre
rifleſſe nel medeſimo modo prouaremo, adun-
que tutte le dette rifleſſe concorrono nel
5333Coniche. Cap. IX. punto, I, diſtante dalla cima, A, per vn quar-
to di, A T, lato retto di eſſa Parabola, Q A Y,
il qual punto, I, di quì inanzi chiamaremo fo-
co della Parabola. Ciò anco baſterà, che in-
tendino quelli, che non poteſſero capire la ſo-
pradetta Dimoſtratione; e queſta ſi è regiſtra-
ta per prima proprietà fra le ammirabili, che
hà la Parabola.
Corollario.
SI raccogli e poi di quà, che ſe nell’isteſſa figura
prendere mo per incide nti le, I M, I Z, che ſi
pariono dal foco, I, le ſue rifleſſe ſaranno le,
M G, Z X parallele all’aſſe, A V, raccogliẽ do queſt’
altra coſa, che è il conuerſo della proprietà, che ſi è
dimoſtrata, cioè, che le linee, che, partendoſi dal foco
della parabola la vanno ad incontrare, ſi riflettono
dai punti dell’incidenza parallele all’aſſe della me-
deſima Parabola per di dentro.
Della ſeconda proprietà dalla Parabola. Cap. X.
LA ſeconda proprietà marauiglioſa
di queſta Settione è, che partendoſi
le incidenti dalla medeſima retta
5434Delle Settioni nea ordinatamente applicata all’aſſe, cami-
nando parallele all’aſſe ſino, che incontrino la
Parabola, e riflettendoſi finalmente nell’aſſe
al ſudetto foco; la compoſta di qualſiuoglia
incidente, e ſua rifleſſa, è vguale alla compo-
ſta di qualſiuoglia altra incidẽte, e ſua rifleſſa.
Eſſempio.
NElla medeſima 7. fig. intenderemo facilmen-
te questo, prendendo per ordinat amente
applicata all’aſſe, A V, la, Q Y, dalla
quale ſi partono le incidenti, G M, X Z, parallele
all’aſſe, A V, che incontrano la Parabola ne i pun-
ti, M, Z, da quali punti d’incidenza partendoſi le
rifleſſe, concorrono nel punto, I, foco di eſſa Para-
bola. Dico dunque, che la composta di, G M, M I,
non ſolo è vguale alla compoſta di, X Z, Z I, ouero
alla compoſta di, V A, A I, ma anco alla composta
di qualſiuoglia tale incidente, che principia da i pun-
ti della retta, Q Y, e ſua rifleſſa; la dimo ſtr atione
della qual coſa non hò ancor visto in alcun’Autore,
ſolo vien’accennata tal proprietà dal Keplero nell’
Aſtronomia Ottica, al Cap. 4. nella Preparation 4.
De Refractionum menſura, mentre inſegna
5535Coniche. Cap. X. modo di deſcriuer la Parabola con vn filo (il che io
ancora accennarò quì da baſſo) non ne adducendo
però alcuna dimostratione, che perciò mi par bene
metterla in queſto luogo.
Dimostratione.
FAcciſi queſto ſopra la 7. fig. ſopradetta,
nella quale già habbiamo prouato, che,
Z I, è vguale all’, I O, ouero alle, P A I,
(cambiando O A, in, A P, à lei vguale, come
ſi diſſe di ſopra) e però aggiungẽdoli le vgua-
li, X Z, V P, ſaranno le, X Z I, eguali alle, V A
I; così, M I, è vguale all’, I N, per l’iſteſſa ra-
gione, che, Z I, fù prouata eguale ad, I O, & ,
I N, è vguale all’, I A C, dunque, I M, è vgua-
le à, I A C, & aggiunteli le vguali, M G, C V,
ſaranno le, G M I, eguali alle, V A I, & in con-
ſeguenza anco vguali alle, X Z I, il
che nell’iſteſſo modo di qual-
ſiuoglia altre, parimente
ſi dimoſtrarà:
qual ſi prenda per ſeconda
proprietà.
5636Delle Settioni
Della terza proprietà della Parabola.
Cap. XI.
SIa la Parabola, B A C, nell’8. fig.
il cui aſſe, O A, indiffinitamen-
te prolongato verſo, A, come
in, X, e ſia foco di detta Parabo-
la il punto, M, e da che parte ſi
voglia fuori di eſſa incontrino la ſuperficie pa-
rabolica per eſſempio le rette linee, T I, F K,
nei punti, I, M, le quali ſiano ſempre per drit-
to al foco, M, hà dunque la Parabola queſt’al-
tra mirabile proprietà, che dalli detti punti
d’incidenza ſi partono le rifleſſe dalla parabo-
la per di fuori ſempre parallele all’aſſe, cioè
all’, A O, le quali rifleſſe ſiano le, I V, K Y, pro-
dotte come ſi voglia in, V, Y, queſta proprietà
ancora non hò viſto in altri, ſe ben facilmente
ſi dimoſtra, come hora s’intenderà.
Dimoſtratione.
SIa la, BC, ordinatamente applicata all’aſ-
ſe, A O, e ſi prolonghino, V I, Y K, ſino
che incontrino, B C, come in, D, E, &
5737Coniche. Cap. XI. T I, F K, ſi prolonghino parimente dentro la.
Parabola, ſino che incontrino il foco, M, al
quale ſtan per dritto, come ſi ſuppone, dipoi
per i punti, I, K, ſi tirino le tangenti, S R, ℞ L,
che tocchino la Parabola ne gl’iſteſſi punti, I,
K, le quali prolongate ſeghino, X A, ne i pun-
ti, R, L; perche dunque, D I, ſi parte dalla or-
dinatamente applicata, B C, & incontra la.
Parabola in, I, la ſua rifl@ſſa andarà dal pun-
to, I, ad, M, per il Cap. 9. adunque la, I M, è
tal rifleſſa, adunque fanno angoli vguali ſopra
la tangente, S R, peril Cap. 8. cioèl’angolo,
SID, ſarà vguale all’angolo, R I M, ma, S I D,
è vguale all’, V I R, & R I M, all’angolo, T I S,
perche ſono alla cima, adũque l’angolo, T I S,
dell’incidenza di, T I, ſarà eguale all’angolo,
V I R, adunque, V I R, ſarà l’angolo della ri-
fleſſione, & I V, ſarà la rifleſſa di, T I, la quale
camina per di fuori parallela all’aſſe, O A.
Nell’iſteſſo modo dimoſtraremo eſſere, K Y,
la rifleſſa di, F K, la quale, K Y, è pure paral-
lela all’aſſe, O A, el’iſteſſo prouaremo ditut-
te l’altre, adunque è vero, che le rifleſſe delle
dette incidenti, che di fuori incõtrano la Pa-
rabola, e tutte coſpirano nel punto, M,
5838Delle Settioni di detta Parabola per di fuori ſi partono dai
punti dell’incidenza tutte parallele all’aſſe,
il che ſi douea dimoſtrare.
Corollario.
DI quì ſi caua, che ſe prenderemo le parallele
all’aſſe, A O, che ſono, V I, Y Z, per inci-
denti, che le ſue rifleſſe ſaranno, I T, K F,
che stando per dritto al foco, M, da quello ſi dilonga-
no; raccogliendo queſt’altra coſa, che è il conuer ſo del-
la ſudetta proprietà, cioè, che i raggì paralleli all’aſſe
della Parabola, che l’incontrano per di fuori, ſi riflet-
tono dai punti dell’incidenza pur per di fuori, stan-
do dette rifleſſe ſempre per dritto al foco dieſſa Para-
bola, dal quale ſi vanno allontanando.
Della quarta proprietà della Parabola.
Cap. XII.
SIa nella nona figura la Parabola,
A C E, aſſe, A D, al quale ſiano
ordinatamence a pplicate, C E,
B F, che ſeghino l’aſſe ne i pun-
ti, D, M, hà dunque queſt’al-
tra proprietà, che mettiam o per quarta,
5939Coniche. Cap. XII. il quadrato di, C E, al quadrato di, B F, e co-
me, D A, ad, A M, come ſono anco i quadra-
ti delle metà, D E, M F, ouero, C D, B M,
quali ſono ſempre nella proportione, che han-
no le parti dell’aſſe interpoſte fra la cima del-
la Parabola, e quelle applicate, la cui dimo-
ſtratione per eſſer bella, facile, e breue, non
tralaſcierò di quì regiſtrarla.
Dimostratìone.
SIa dunque della detta Parabola lato ret-
to, A N, adũque per le coſe dette al Cap.
6. il quadrato di, D E, èvguale al rettã-
golo ſotto, D A, A N, e cosìil quadrato di, M
F, eguale al rettãgolo ſotto, M A, A N, adun-
que i duoi quadrati, D E, M F, hanno l’iſteſſa
proportione, che hanno i rettangoli, D A N,
M A N; ma queſti per hauer l’altezza cõmu-
ne, A N, ſono come le baſi, D A, A M, cioè
come queſti aſſi, adunque anco i quadrati, D
E, M F, ſarãno come, D A, A M, e così ſaran-
no i quadrati, C E, B F, che ſono quadrupli
de’quadrati, D E, M F, per eſſer’ilati doppij,
cioè per eſſer la, C E, doppia di, D E, e la,
6040Delle Settioni F, doppia di, M F, e queſta Dimoſtratione è
d’Apollon. poſta alla 20. del Primo de’Conici.
Altra Dimoſtratione ſopra la decima Figura.
IN altro modo dimoſtro io queſta proprie-
tà, ſenza hauer biſogno del lato retto: ſia
dũque nella 10. fig. il Cono, A B C, ſega-
to prima da vn piano ꝑl’aſſe, c’habbia prodot-
to il triãgolo, A B C, dipoi ſia ſegato cõ vn’al-
tro piano, che faccila Parabola, R O V, il cui
diametro ſia, O X, & il cõmun ſegamento del
detto piano, e della baſe del Cono, che è, B C,
ſia, R V, quale ſarà perpendicolare à, B C, & ,
O X, parallela ad, A C, per le coſe dette al
Cap. 3. ſia poi nel diametro, O X, preſo doue
ſi voglia vn punto, come, S, per il quale nel
piano della Parabola ſi tirila, M N, paralle-
la ad, R V, e per l’iſteſſo punto nel piano del
triangolo, A B C, ſi tiri la, I H, ch@ prodotta,
ſeghi i lati del triangolo ne i punti, I, H, come
la, M N, ſeghi la Parabola nei punti, M, N,
ſarà dun que il piano, nel qual ſon poſtele, I H,
M N, parallelo alla baſe, B C, per la 15. dell’
11. delli El@m. adunque la Settion di
6141Coniche. Cap. XII. piano con la ſuperficie Conica ſarà circonfe-
rẽza di circolo, adunque i quattro punti, I, M,
H, N, ſono in tal circonferenza, e per eſſere,
M N, I H, parallele alle, R V, B C, contengo-
no angolo retto, per la 10. dell’ 11. come fan-
no le, RV, BC, adunque caſcãdo la, M S, per-
pendicolarmente ſopra, I D, che è diametro
del generato circolo, ſarà il quadrato, M S, v-
guale al rettangolo, I S H, come il quadrato,
R X, al rettangolo, B X C, ma i rettangoli, B
X C, I S H, ſono come le, B X, I S, per eſſere le
loro altezze, X C, S H, vguali (e ciò, perche,
S C, è parallelogramo) cioè ſono come le, X O,
O S, per i triangoli, O B X, O I S, che ſono ſi-
mili, adũque i quadrati, R X, M S, ouero i qua-
drati, R V, M N, ſaranno nella proportione
delle, X O, O S, come ſi propoſe di dimoſtrare.
Non rincreſca al Lettore l’intender prima
queſte coſe così in aſtratto, e cerchi d’appren-
derle, che ſentirà poi maggior guſto, quando
le vedrà applicate, e conoſcerà euidentemen-
te l’vtilità, che poſſono apportare queſte Set-
tioni Coniche, e così ſegua d’intendere il re-
ſto intorno alle rimanenti.
6242Delle Settioni
Quali, e quanti ſiano nell’Iperbola, Eliſſi, & Op-
poste Settioni i punti, che ſi chiamano
foshi di quelle. Cap. XiII.
SIa nella vndecima figura l’Iper-
bola ſola, C B D, il cui diame-
tro, E B, lato traſuerſo, B A, la-
to retto, B N, e prẽdaſi la quar-
ta parte di, A B, che termini in,
B, che ſia, Z B, facendo il rettãgolo, Z N, di-
poi adattiſi alla retta, A B, lato traſuerſo vn
rettangolo eguale à, Z N, cli’ecceda d’vna fi-
gurà quadrata, come c’inſegna la 29. del 6.
libro de gli Elementi, e ſia ciò fatto dalla par-
te, B, eſſendo l’ecceſſo il quadrato di, B O, ſia
poi fatto l’iſteſſo dalla parte, A, e ſia pur l’ec-
ceſſo il quadrato d’, A I, per eſſer dũque fat-
ta l’vna, el altra applicatione all’iſteſſa linea,
ſarãno detti ecceſſi, cioè detti quadrati eguali,
e però eguali anco i lor lati, cioè le, B O, A I;
ſiano hora le Oppoſte Settioni, delle quali v-
na ſia l’Iperbola, C B D, l’altra, G A H, lato
traſuerſo, B A, lato retto dall’Iperbola, C B D,
eſſo, B N, e della, G A H, eſſo, A M, quai lati
retti ſaranno eguali, per la 14. del 1.
6343Coniche. Cap. XIII. nici; dipoi applichiamo pure al lato traſuerſo,
A B, vn parallelogramo rettãgolo eguale alla
quarta parte del rettangolo ſotto, A B, B N,
come à dire al rettangolo, Z N, (fatto pur,
Z B, vn quarto di, A B, e poi compito l’iſteſſo
rettangolo, che fù già fatto) e ciò in tal mo-
do, che l’ecceſſo venghi vna volta verſo, B, &
vn’altra verſo, A, è dunque manifeſto, che ci
verranno i medeſimi ecceſſi di prima, e le me-
deſime linee, B O, A I, il che pur ſaria, ſe in ve-
ce del rettangolo, Z N, ci preualeſſimo d’vn
quarto del rettangolo ſotto, B A, A M, poiche
i rettangoli ſotto, A B N, B A M, ſono eguali;
i punti adũque per tale ſtrada trouati, ſi chia-
mino fochi dell’Iperbola, C B D, cioè il pun-
to, O, & I, e parimẽte fochi delle Settioni Op-
poſte, C B D, G A H; & il foco, O, ſi chiami
foco interiore, & , I, foco eſteriore dell’Iper-
bola, C B D, sì come, I, foco interiore della
Iperbola, G A H, & , O, foco eſteriore della
medeſima. Sia poil’Eliſsi, T X V Y, il cui dia-
metro, ouer lato traſuerſo, V T, lato retto, T
P, applichiſi poi alla retta, T V, di quà, e dilà
vn parallelogramo rettangolo eguale à vn
quarto del rettãgolo ſotto i due lati, V T, T
6444Delle Settioni deficiente d’vna figura quadrata, come c’in-
ſegna la 28. del 6. de gli Elem. che ſiano i ret-
tangoli, V R T, T S V, e gli ecceſſi i quadrati
di, T R, S V, quali ſaranno pur’eguali, per eſ-
ſer fatta l’applicatione all’iſteſſa linea, e però
le rette, T R, S V, ſaranno eguali: I punti a-
dunque, R, S ſi chiamino tutti due fochi del-
lo Eliſſi, T X V Y; ond’è manifeſto, che in que-
ſta, e nelle ſopradette Settioni, vi ſono due fo-
chi, ambedue di dẽtro nello Eliſſi, e nelle Op-
poſte Settioni, ma in relatione d’vna ſola Iper
bola vno interiore, l’altro eſteriore, come ſi è
detto, ſappiamo anco in queſte Settioni, qua-
li ſi chiamino fochi, e quanti ſiano, il che ſi
propoſe da dichiarare: Apollonio però chia-
ma queſti non fochi, ma pũti fatti dalla
comparatione, ò applicatione del
ſudetto rettangolo al
lato traſuerſo,
come ſi può vedere nel libro 3.
de’Conici alla propoſi-
tione 45.
7[Figure 7]
6545Coniche. Cap. XIV.
Della prima proprietà dell’Iperbola.
Cap. XIV.
LA proprietà dell’Iperbola, che
metteremo per prima, veramẽ-
te marauiglioſa lei ancora, è,
che tutte le linee rette, che
per di dẽtro incontrano l’Iper-
bola, le quali ſe fuori di quella ſi prolongaſſe-
ro, andrebbono tutte à ferir nel di lei foco e-
ſteriore, dalli punti dell’incidenza ſi rifletto-
no nel foco interiore; la qual coſa parimente
nõ hò ancor viſto in altri dimoſtrata, e ſi pro-
uarà in queſto modo.
Dimoſtratione ſopra la àuodecima figura.
SIa l’Iperbola, A G F, A M, diametro, A
B, lato traſuerſo, nel qual prolõgato ver-
ſo, C, ſi troui il foco eſteriore, C, & il fo-
co interiore ſia, E; dipoi ſiano che linee rette
ſi vogliano, K D, Y P, che per di dẽtro incon-
trino l’Iperbola ne i punti, D, P, le quali ſtia-
no per dritto al punto, C, foco eſteriore, di-
co, che ſi rifletteranno da’punti, D, P,
6646Delle Settioni denza al foco int eriore, E. Cõgiunghinſi dun-
que, D E, P E, e per i punti, D, P, paſſino le
rette linee, R O, ℞ Z, che tocchino in quei
punti la Iperbola, G A F; è dunque manifeſto
per la 48. del 3. de’Conici, che l’angolo, C D
O, è vguale all’, O D E, ma, C D O, è vguale
all’, R D K, che gli è alla cima, adunque l’an-
golo, R D K, s’adegua all’angolo, O D E, ma,
R D K, è l’angolo della incidenza della retta,
K D, adunque, O D E, è l’angolo della rifleſ-
ſione, & , D E, ſua rifleſſa, che termina nel pun-
to, E; nell’iſteſſo modo prouaremo, che, P E,
è la rifleſſa della, Y P, che và pure à terminare
nel foco, E, e così d’ogn’altra; adunque cia-
ſcheduna di queſte incidenti hà la ſua rifleſſa,
che và à terminare nel foco, E, interiore, il che
biſognaua prouare.
Corollario.
DI quì ſi raccoglie queſt’altra coſa, cioè, che
le rette linee, che vanno ad incontrare la
Iperbola per di dentro, partendo ſi dal fo-
co interiore, come, E, hanno le ſ@e rifleſſe, che ſi
partono dalli punti dell’incidenza per di dentro, al.
6747Coniche. Cap. XIV. lontanandoſi da quelli, le quali stanno ſempre per
dritto al foco eſteriore, come al foco, C, dal qual pa-
rimente ſi vanno allontanando; il che ſi farà chiaro,
prendendo nella ſopr apoſta figura le, E D, E P, per
incidenti, poiche verranno ad eſſere le loro r@fleſſe le,
D K, P Y, che per di dentro ſi allontanano da i pun-
ti, D, P, dell’incidenza, e dal foco eſteriore, C, al
quale stanno ſempre per dritto, e ciò, perche ſi è pro-
uato, che le due, E D, D K, fanno angoli vguali ſo-
pra la tangenìe, O R, come le, E P, P Y, ſopra la
tangente, ℞ Z.
Della ſeconda proprietà dell’Iperbola.
Cap. X V.
RIpigliſi la figura pur’adoperata
nell’antecedente Capit. e pre-
ſo qualſiuoglia pũto nell’lper-
bola, come, G, fatto centro, C,
con la diſtanza, C G, ſi deſcri-
ui l’arco, G F, che ſeghi, C K, in, K, C M, in,
M, C Y, in, Y, e l’lperbola in, F, queſta è dũ-
que la proprietà marauiglioſa, che ſi regiſtra
per ſeconda, cioè, che la Compoſta dell’in-
cidente, K D, e rifleſſa, D E, è vguale non.
6848Delle Settioni ſolo alla compoſta dell’incidente, Y P, e ri-
fleſſa, P E, ouero alla compoſta dell’inciden-
te, M A, e rifleſſa, A E, ma è vguale à qualſi-
uoglia altra cõpoſta d’vna tale incidẽte, e ſua
rifleſſa; che perciò tali compoſte vengono tut-
te ad eſſere eguali fra di loro; queſto parimẽ-
te non hò viſto da altri dimoſtrato, ſe ben fa-
cilmente, ſuppoſta vna propoſit. d’Apollonio,
in queſto modo ſi prouarà.
Dimostratione.
PErche dũque proua Apollonio alla pro-
poſit. 51. del 3. de’Conici, che la linea
retta tratta dal foco eſteriore dell’Iper-
bola al punto del toccamento fatto da vna li-
nea ſopra l’Iperbola, ſupera la retta linea ti-
rata dall’iſteſſa Iperbola, della quantità
del lato traſuerſo, ouero aſſe, come lui lo chia-
ma; perciò, C D, tratta dal foco eſteriore, C,
al punto, D, punto di toccamento della retta,
R O, ſuperarà, D E, tratta dall’iſteſſo punto
di toccamẽto al foco interiore, E, della quan-
tità di, A B, adunque, C D, ſarà eguale
6949Coniche. Cap. XV. due, A B, D E, aggiunta commune, D K, ſarà
la, C K, eguale alle tre, K D, D E, A B; e per-
che, C K, è vguale à, C M, perciò, C M, anco-
ra ſarà vguale alle tre, K D, D E, A B, tolta
via la commune parte, B A, reſtarãno le, K D,
D E, eguali alle, M A, B C, ma, B C, ma, B C, è vguale
ad, A E, adunque le, K D, D E, ſaranno eguali
alle, M A, A E; così prouaremo ancora, che
le, Y P, P E, ſono eguali alle, M A, A E, la on-
de la compoſta, K D E, ſarà eguale alla com-
poſta, Y P E, & ad ogn’altra ſimile, il che ſi do-
uea dimoſtrare. Si tenga poi in memoria la
propoſit. d’Apollonio ſopracitata, cioè, che,
C D, ſupera, D E, della quantità del lato traſ-
uerſo, A B, per ſeruirſene à ſuo tempo.
Della terza propriet à dell’Iperbola.
Cap. XVI.
LA proprietà dell’Iperbola, che
io metto al terzo luogoè, che
tutte le linee rette, che per di
fuori anderanno ad incontrare
l’Iperbola, ſtando per dritto al
foco interiore, doue tutte
7050Delle Settioni ſe dentro eſſa ſi prolongaſſero, haurãno le ſue
rifleſſe, che partẽdoſi da i punti dell’inciden-
za prolongate, anderanno tutte à concorrere
nel foco eſteriore della medeſima lperbola,
della qual coſa la dimoſtratione, come le al-
tre ſudette, credo che ſia nuoua, e perciò quà
non manch erò diſoggiungerla.
Dimostratione.
PReuagliamoci pure della figura antece-
dẽte, nella quale s’intendano le due ret-
te, N D, Q P, incontrar, venendo di
fuori, l’Iperbola ne i pũti, D, P, da’quali, di-
co, che partendoſi le loro rifleſſe, anderanno
ad vnirſi nel foco, C, mentre le incidenti ſtia-
no per dritto al foco, E: Intendanſi dunque
le, N, D, Q P, prodotte ſino al foco, E, e ti-
rate le, C D, C P, s’intendano pure indefini-
tamente prodotte dentro l’Iperbola, come in,
K, Y; è manifeſto adunque per il Cap. 14. che
le K D, D E, ſaranno incidente, erifleſſa, efa-
ranno angoli eguali ſopra la tangente l’Iper-
bola nel punto, D, qual ſia pur la, R O; e per-
che queſti angoli ſono alla cima con
7151Coniche. Cap. XV. li, C D O, N D R, perciò anco queſti, che ſo-
no fatti dalle due, N D, D C, ſopra l’iſteſſa
tangente nel punto, D, dell’incidenza, ſaran-
no eguali, adunque eſſendo incidente, N D,
farà, D C, ſua rifleſſa, che vien da, D, e tcrmi-
na nel foco eſteriore, C. Nell’iſteſſo modo in-
teſa la tangente, ℞ Z, toccare parimente l’I-
perbola in, P, moſtraremo, P C, eſſer la rifleſ-
ſa dell’incidente, Q P, che viene da, P, punto
dell’incidenza, e termina in, C, foco eſterio-
ra, il che dell’altre parimẽte ſi prouerà; è dun-
que vera queſta proprietà, cioè, che ſe le ret-
te linee ſtando per dritto al foco interiore del-
l’Iperbola, s’incontrerãno in quella, le rifleſſe
delle medeſime anderanno da que’punti d’in-
cidenza à concorrer tutte nel foco eſteriore,
il che biſognaua prouare.
Corollario.
DA queſto ſi raccoglie, che ſe per il contra-
rto prenderemo le, C D, C P, per inciden-
ti, le loro rifleſſe ſaranno le D N, P Q,
che ſtanno per dritto al foco interiore, E, dal q@ale,
e dall’lperbola ſi vanno dilongando, cauã to in
7252Delle Settioni ma quest’altra eoſa, cioè, che le rette linee, che dal
foco eſteriore vanno ad mcontrare l’Iperbola, ban-
ne le loro rifleſſe, che partendoſi da i punti dell’in-
cidenza per di fuori, ſtãno ſempre per dritto al foco
interiore, che è il conuerſo della ſudetta proprietà.
Della quarta proprietà della Iperbola.
Cap. XVI.
SIa nella 13. figura l’Iperbola,
A C E, diametro, D A, lato traſ-
uerſo, H A, dimoſtra Apollonio
alla 21. del primo de’Conici,
che ſe tiraremo le ordinatamẽ-
te applicate al diametro, come le, C E, B F, i
quadrati di quelle ſaranno come in rettango-
li, H D A, H I A, la qual dimoſtratione non
ſtò à repeter quà, per eſſer breue; ma non poſ-
ſo già mancare diaddurre la preſente,
che non hà biſogno del lato ret-
to, come quella d’Apol-
lonio.
8[Figure 8]
7353Coniche. Cap. XVI.
Dimo stratione ſopra la 14. Figura.
NElla ſudetta ſigura perciò ſia preſo vn
punto, come ſi voglia nel diametro,
O X, come, I, e per quello ſi tiri, D H,
parallela à, B C, & N M, ad, R V, che termini
nell’Iperbola nei punti, N, M: Prouaremo a-
dunque, che’l quadrato, N I, è vguale al rettã-
golo, D I H, & R X, al rettãgolo, B X C, come
ſi fece nel Cap. 12. moſtrando il quadrato, M
S, eſſer’eguale al rettangolo, I S H, & il qua-
drato, R X, al rettangolo, B X C. Più oltre il
rettãgolo, B X C, al rettangolo, D I H, hà per
la 13. del 6. la proportione cõpoſta di, B X, à
D I, cioè di, O X, ad, O I, (pereſſer’, O D I, O B
X, triangoli ſimili) e di quella, che hà, X C,
ad, I H, cioè, X K, à, K I, per eſſer, K I H, K
X C, triangoli ſimili, le quali due proportioni
di, X O, ad, O I, edi, X K, à, K I, compon-
gono la proportione del rettangolo, K X O,
alrettangolo, K I O, adunque il rettangolo,
B X C, al rettangolo, D I H, ſarà come il ret-
tangolo, K X O, à K I O, e così ſarà ancora il
quadrato, R X, al quadrato, N I, ouero il qua-
drato, R V, alquadrato, N M, il che biſogna-
ua dimoſtrare.
7454Delle Settioni
Della prima proprietà dell’Eliſſi.
Cap. XVII.
SIa nella decimaquinta figura la
Eliſſi, A C B D, aſſe, A B, fochi,
H, E, la proprietà regiſtrata per
prima è dunque queſta, cioè,
che tutte le rette linee tratte
dall’vno de’fochi, come da, H, ſino all’Eliſſe,
A C B D, hanno le rifleſſe loro, che partendoſi
dalli punti dell’incidenza, vanno tutte à con-
corre re nel rimanente foco.
Dimostratione.
SIa vna di quelle incidenti la, H C, e ſi
congiunghino i punti, C, E, e ſia la ret-
ta, N M, che tocchi l’Eliſsi nel punto, C,
le due adunque, H C, C E, fanno angoli egua-
li ſopra la tangente, M N, per la 48. del 3. de’
Conici, adunque eſſendo, H C, incidente ſa-
rà, C E, ſua rifleſſa, sì come ſe ſupporremo,
E C, per incidente, ſarà, C H, ſua rifleſſa, che
và à terminare nel rimanente foco, H, è dun-
que manifeſta queſta proprietà.
7555Coniche. Cap. XVIII.
Della ſeconda proprietà dell’Eliſſi.
Cap. XVIII.
LA ſeconda proprietà dell’Eliſſi
è queſta, che preſe le inciden-
ti, erifleſſe, come ſi dice nell’
antecedente Capitolo, la com-
poſta di qualſiuoglia incidente,
e ſua rifleſſa è vguale all’aſſe, & in conſeguen-
za eguale alla compoſta di qualſiuoglia altra
incidente, erifleſſa, preſa come ſopra; come
per eſſempio, la compoſta di, H C, C E, nell’
antecedẽte figura è vguale all’aſſe, A B, e però
ſarà vguale alla cõpoſta di qual ſi voglia inci-
dẽte, e ſua rifleſſa; q̃ſta è dimoſtrata da Apoll.
nel lib. 3. alla propoſ. 52. petò non ne addur-
rò la dimoſtratione, potẽdoſi quella in lui ve-
dere, e queſto per non ripetere tutto ciò, che
da altri è ſtato dimoſtrato, ꝑ maggior breuità.
Della terza proprietà dell’Eliſsi. Cap. X. X.
GVardiſi la figura decimaquinta, e s’in-
tenda, che per di fuori vna linea ret-
ta incontri l’Eliſſi, ſtando per
7656Delle Settioni ad vno de’fochi di eſſa, come la, G C, indriz-
zata verſo il foco, H, dico, che la ſua rifleſſa
ſtarà per dritto all’altro foco, E, pur per di fuo
ri allontanzndoſi da quello. Dal punto dũque
dell’incidenza, C, ſi tiri la retta, C F, che ſtia
per dritto al foco, E: Dico, che queſta è la ri-
fleſſa di, G C; la onde hauremo queſta pro-
prietà nello Eliſſi, meſſa per terza, che le ret-
te linee, le quali ſtando per dri@to all’vn de’
fochi, incontrano per di fuori l’Eliſſi, tutte
hanno le rifleſſe, che partendoſi da@ punti del-
l’incidenza, ſtaran per dritto all’altro foco, dal
quale s’anderanno diſcoſtando.
Dimostrationt.
SI prolunghino dunque le, G C, F C, ſino
che incõtrino i fochi, H, E, ſaranno dun-
que (inteſaui pur la tangente, M N,)
gli angoli, M C E, N C H, vguali, e però quel-
li, che gli ſtanno alla cima, che ſono, G C M,
F C N, ſaranno parimente vguali, adunque
eſſendo, G C, incidente, C F, che ſtà per drit-
to al foco, E, e da quello ſi dilonga, ſarà ſua
rifleſſa, il che di tutte le altre nell’iſteſſo
7757Coniche. Cap. XIX. do ſi dimoſtrerà; è dunque veratal proprietà,
come anco ſe prenderemo, F C, per inciden-
te, verrà ad eſſere, C G, parimente ſua rifleſ-
ſione per dritto al foco, H, il che era biſogno
di dimoſtrare.
Della quarta proprietà dell’Eliſſi.
Cap. XX.
SIa nella decimaſeſta figura l’E-
liſſi, A C D E, il cui diametro,
A D, & à quello ordinatamen-
te applicate le, C E, B F, mo-
ſtra Apollonio, che il quadra-
to, M E, al quadrato, I F, è come il rettango-
lo, D M A, alrettangolo, D I A, e così, che i
quadrati di tutte le ordinatamente applicate
al diametro dell’Eliſſi ſono, come i rettango-
li ſotto le parti del diametro fatte da quelle
ordinatamente applicate, il che anco conuie-
ne alli quadrati, C E, B F, cioè delle intiere
applicate; la dimoſtratione di queſto addot-
ta da Apollonio alla propoſ. 21. del primo de’
Conici, non la metterò, potendoſi in lui vede-
re; non tralaſcierò però la preſente,
7858Delle Settioni quella, che non hà biſogno dellato retto, co-
me l’altra d’Apollonio.
Dimoſtratione.
SIa il Cono, H K L, ſegato da vn piano per
l’aſſe, che facci il triangolo, H K L, e poi
ſegato da vn’altro piano, che tagliãdo la
ſuperficie Conica, produchi l’Eliſſi, T R S V,
il qual prodotto ſeghi la baſe del Cono, K L,
prodotta, nella retta, P ℞, che ſarà perpendi-
colare à, K L, che s’incontri con lei in, P; ſi
prendino poi nel diametro dell’Eliſſi (che ſia,
T S,) che punti ſi voglino, come, I, O, peri
quali ſi tirino le, N M, R V, parallele à P ℞,
che prodotte incontrino l’Eliſſi nei punti, N,
M, R, V, quali ſaranno ordinatamente appli-
cate al diametro, T S, e per gli ſteſsi punti ſi ti-
rino le A X, Y Z, che ſeghino i lati, H K, H L,
nei punti, A, X, Y, Z: Perche dunque, N M, è
parallela à, P ℞, & A X, à, K P, sì come le, K P,
P ℞, contengono angolo retto, così ſarãno ad
angolo retto le, N M, A X, e così prouaremo
eſſere ad angolo retto le, V R, Y Z, & i
7959Coniche. Cap. XX. tro punti, M, A, N, X, eſſer in vna circonſe-
renza di circolo, come anco i quattro, V, Y,
R, Z, e perciò concluderemo, come nel Cap.
12. e 16. eſſere il quadrato, N I, eguale alret-
tangolo, A I X, & il quadrato, R O, al rettan-
golo, Y O Z, ma il rettãgolo, Y O Z, al rettan-
golo, A I X, hà la proportione cõpoſta di quel-
la, che hà, Y O, ad, A I, (cioè, O T, à, T I, per
la ſimilitudine de’triãgoli, T A I, T Y O,) e di
quella, che hà, O Z, ad, I X, cioè (per i ſimili
triangoli, S Z O, S X I,) di quella, che hà, O S,
ad, S I, ma le due proportioni di, O T, à T I, e
di, O S, ad, S I, cõpongono la proportione del
rettãgolo, S O T, al rettãgolo, S I T, adunque
il rettangolo, Y O Z, al rettangolo, A I X, cioè
il quadrato, R O, al quadrato, N I, ouero il
quadrato, R V, al quadrato, N M, ſarà come il
rettangolo, S O T, al rettangolo, S I T, il che
di tutte l’altre ſi dimoſtrerà; ſi è dunque pro-
uato à ſufficienza eſſer vera queſta proprie-
tà, che fù ſtabilita per quarta.
Sono veramẽte moltiſſime le proprietà del-
le ſudette Settioni Coniche, e de gli ſpatij poi
ſotto quelle, & altre rette compreſe, curioſe in
vero, e marauiglioſe, come altri hanno
8060Delle Settioni ſtrato, e come comprenderà, chi vedrà l’Ope-
ra mia da ſtamparſi intorno alla miſura de’pia-
ni, e ſolidi, nella quale mi ſono sforzato dida-
re intiera cognitione di tutte le figure pia-
ne, e regolate, che ordinariamente da’Geo-
metri ſogliono conſiderarſi, & anco d’alcune
ſtraordinarie, quanto alla proportione, che
hanno fra loro, e così anco de’ſolidi, ma quì
hò ſolamente voluto regiſtrar quelle, ch’eſ-
ſendo loro ancora belle, e marauiglioſe, ſi ſo-
no ſcontrate eſſer parimente al @nio propoſi-
to, come più à baſſo intenderemo; fra tan-
to, chi non capiſſe le dimoſtrationi, le laſci, e
cerchi almeno di ſapere, che coſa ſi pretende
di dimoſtrare (come mi ſon’ingegnato d@ſpie-
garlo inanzi la dimoſtratione) che arriuarà
nulladimeno anco alla cognition di quelle
coſe, alle quali tal dottrina vien preordinata.
Della proprietà, ancor lei belliſſima, della cir-
conferenza dicircolo intorno alle inci-
denti, er@fleſſe. Cap. XXI.
LA proprietà di ſopra accennata è que-
ſta, che da al@@@è ſtata dimoſtrata,
cioè, che hauendo noi vn
8161Coniche. Cap. XXI. lo, tutte le rette linee, che eſſendo parallele
al dilei aſſe, incõtrano la circonferenza, han-
no le ſue rifleſſe, che cõcorrono tutte non già
in vn ſol punto, ma sì bene in diuerſi punti del
diametro, cominciando da quello, che taglia
dall’aſſe verſo la cima vn quarto del diame-
tro, e da quello verſo la cima diſcoſtandoſi per
di fuori in infinito, auuertendo, che le rifleſ-
ſe, che vengono dalla circonferenza, che ſot-
tende il lato dell’Eſſagono, tutte concorrono
dentro il circolo, e quelle, che vengono dal
compimento del ſudetto arco, tutte concor-
ronodi fuori, equella, che incontra detta cir-
conferenza nel punto della ſeparatione di
queſti due archi hà la ſua rifleſſa, che concor-
re preciſamente nella cima del detto ſemicir-
colo.
Eſſempio ſopra la 17. figura.
SIa il ſemicircolo, A C H, aſſe, A D, prolonga-
to verſo A, ind ffinitan@ẽte, e ſi tiri la B N,
che tagli dalla circonferẽza, C A H, gl@ar@ht,
B A, A N, ſoſtendentt il lato dell’Eſſagono, ſiano
poitre rette linee, E O, F N, G M, parall@le all’
aſſe, D A, delle quali, E O, incontri la
8262Delle Settioni zanell’arco, A N, G M, nell’arco, N H, & F N,
nel punto, N, che ſepara i detti archi, A N, N H;
vien dunque prouato, che la rifleſſa di, E O, batte
dentro, come in, I, e la r@fleſſa di G M, batte di fuo-
ri, come in, R, e quella ai, F N, batte preciſamente
in, A, e tutte generalmente battono, cominc@ãdo dal
mezo di, A D, ouer quarto del diametro, che ſia Z, e
dilungand ſi da quello in infinito: E adunque queſta
la ſopradetta proprietà, dalla quale ſi può compren-
dere, che veramente volendoſi ſeruir di questa per
vnir le linee radioſe, ella non pare molto à propoſito,
non gli raccogliendo tutti in vn punto, come la Pa-
rabola, tutt auia, poiche la parte intorno è proſſima al
punto, A, gli raccoglie tanto vicini, per eſſer’iui i
toccamenti delle tangentinon così diradati come vi-
cino à i punti, B, N, perciò potendo i raggi ſolari per
eſſempio per tal’auut@inamento operare, come ſi de-
ſidera, come accẽdere il fuoco, aggiuntala facilità di
dare alla materia più d’ogn’altra la curuità sferica,
per la vnigene@@à delle parti: quindi auuiene, che
i fabricatori de’Specchi ſi ſiano preualſi di queſta fi-
gura, enon dell’altre, la qual prattica, e dottrina è
stata con facilità ſpiegata dal Magini nel ſuo Libro
dello Specchio Sferico, che perciò quà non ne dirò al-
tro, rimettendo il Lettore à quello, che ne bà
8363Coniche. Cap. XXI. luis e queſto basti quanto alle Settioni Coniche, ſem-
plicemente conſiderate.
Delle Superficie, che ſi poſſone generare dalle Set-
tioni Coniche, e come à quelle s’accomodino le
già dimo strate loro proprietà, e de’lor
nomi. Cap. XXII.
COncioſiacoſa, che il moto, ò fluſ-
ſo delle linee generi ſuperficie,
non è dubbio alcuno, che mo-
uendoſi le Settioni Coniche in
qualunque modo ſi voglia, con
cõtinuo fluſſo generarãno ſuperficie; ma
perche i mouimenti poſſono farſi in varij mo-
di, hora però le conſideraremo ſolamente mo-
uerſi, riuolgendoſi intorno al ſuo aſſe ſino, che
ritornino di onde ſi partirono; nel qual modo
generano ſuperficie, che diuerſamẽte, confor-
me alli altri Autori, ſi douran nominare, ſecõ-
do la varietà delle dette Settioni Coniche; ſe
adunque la riuoluta è circonferenza di circo-
lo, ſi chiamerà la generata ſuperficie, confor-
me al ſolito, ſuperficie sferica; ma ſe quella
ſarà Parabolica, ſuperficie Parabolica; ſe
8464Delle Settioni bola, Iperbolica: e ſe Eliſſi, pur’Elittica chia-
mandola concaua, ſe ci preualeremo dilei, co-
me concaua, ouero conueſſa, ſe ci preualere-
mo dilei, come di conueſſa; e perche le dette
Settioni Coniche nel riuolgerſi nel modo ſu-
detto, generano le dette ſuperficie, conſtitu-
endoſi in tutti i luoghi di quelle, perciò gli
vengono inſieme à communicare, ciaſcuna
alla ſua, le loro proprietà; sì che dũque quel-
lo, che ſi è detto quanto alle linee incidenti, e
rifleſſe per le ſemplici Settioni Coniche, s’in-
tenderà ancora per le da loro generate ſu@
ficie, à’quali pure inſieme inſieme ſi de
intẽdere trasferiti i nomi d’aſſe, efochi,
ſiano communi alle Settioni Coniche genera@
ti, & alle generate ſuperficie: Intẽdendo poi
ancora, che i corpi ſolidi rinchiuſi dalle dette
ſuperficie, ſole, come dalla Sferica, & Elitti-
ca, ouero ancor compreſi dalli piani, che gli
ſegano, troncando il loro aſſe, come nella Pa-
rabolica, & Iperbolica, hãno altri nomi, chia-
mandoſi il compreſo dalla Sferica, conforme
al ſolito, Sfera, il compreſo dall’Elittica, Sfe-
roide; dalla Parabolica, e piano ſegante, Co-
noide Parabolico, e dall’Iperbolica, e
8565Coniche. Cap. XXII. pur ſegante, Conoide Iperbolico, e che le det-
te ſuperficie ſi chiamano anco ſuperficie di
queſti corpi, come la Elittica, ſi chiama an-
cor ſuperficie dello Sferoide, la Parabolica,
ſuperficie del Conoide Parabolico, e così le
altre; nomi, che ſono in vſo appreſſo d’Archi-
mede, come ſi può vedere nel Libro, De Co-
@oid@bus, & Sphæroidibus, dell’iſteſſo.
Epilogo delle ſudette proprietà delle Settioni
Coniche, applicate alle da loro generate
ſuperficie. Cap. XXIII.
AVanti però, che ſi venga à que-
ſto, nõ rincreſca al Lettore ſta-
bilirſi in mẽte prima queſti no-
mi, per maggior chiarezza,
breuità, e più facile intelligen-
za; linee rette adunque, ouer raggi luminoſi,
ò linee ſonore, calde, fredde, & c. ſaranno dz
noi chiamate conuergenti, quando indiffini-
tamente prolongate, anderãno tutte ad vnirſi
in vn dato punto: l’iſteſſe chiamaremo diuer-
genti, quando tutte ſi partiranno da vn dato
punto commune; parallele poi ſi
8666Delle Settioni conforme al ſolito, cioè, quando ſaranno tali,
auuertendo d’intender ſempre la conuergen-
za, ò diuergenza dal ſolo dato punto, mentre
non ſi aggiũghi altro, come per eſſempio, s’io
voleſſi, che i raggi conuergenti ad vn punto,
foſſero conuergenti ad vn’altro punto, prima
li chiamerò conuergenti, poi conuergẽti ad al-
tro pũto, il che s’intenda ancora circa la diuer
genza; e quando la conuergenza, ò diuergẽza
non ſia preciſamente in vn punto, ma ben vi ſi
auuicini, allhora gli chiamaremo conuergenti,
ò diuergenti proſſimamente ad vn punto, ò da
vn punto; e quando diremo di voler fare i rag-
gi paralleli, che ſiano conuergenti, non inten-
deremo già, che ſiano inſieme paralleli, e cõ-
uergenti, che ſaria implicanza, ma che eſſendo
paralleli ſino all’incidẽza, doppo quella diuen-
tino poi dell’altra natura, cioè conuergenti, ò
diuergenti, come occorrerà: E queſto hò vo-
luto auuertire, per douermi ſeruire di queſta
fraſe, cioè di fare i raggi, che ſono d’vna natu-
ra diuentar d’vn’altra natura, e ciò mediante
le ſudette ſuperficie, come hora s’intenderà.
In virtù adunque delle coſe dell’antece-
dente Capit. trasferendo la prima
8767Coniche. Cap. XXII. della Parabola, dimoſtrata al Cap. 9. alla ſu-
perficie Parabolica, diremo, che queſta, rice-
uendo nella ſua concauità le rette linee paral-
lele all’aſſe, riflettẽdole poſcia tutte al ſuo fo-
co, le fà à quello conuergenti, ſi che (per dir
breuemente, come inanzi ſi vſerà) ella fà le
parallele conuergenti; e dal Coroll. ſi racco-
glie, ch’ella farà le diuergenti parallele. Dal
Capit. 11. ſi deduce, che l’iſteſſa farà con la
ſua conueſſità parallele quelle, che ſaranno
conuergenti al ſuo foco; e per il Corol. farà
diuergenti dal ſuo foco quelle, che ſarãno pa-
rallele. Dal Cap. 14. ſi hà, che la ſuperficie
concaua Iperbolica fà cõuergenti al foco ſuo
interiore quelle, che dentro di lei incontran-
dola ſono cõuergenti nel foco eſteriore; e dal
Corol. ſi hà, che l’iſteſſa fà diuergenti dal ſuo
foco eſteriore le diuergenti dall’interiore.
Dal 16. Cap. cauiamo, che la ſuperficie con-
ueſſa Iperbolica fà le conuergenti per di fuo-
rial ſuo foco interiore eſſere, co’l rifletterle,
conuergenti nel foco eſteriore; e dal Corol.
che l’iſteſſa fà le diuergenti dal foco eſterio-
re, co’l rifletterli, eſſer diuergenti dal foco in-
teriore. Dal Cap. 17. habbiamo, che la
8868Delle Settioni perficie cõcaua Elittica, fà le diuergẽti da l’vn
de’ſuoi fochi, con il rifletterle, eſſer conuer-
genti all’altro foco. Dal Cap. 19. ſi caua,
che la ſuperficie Elittica conueſſa fà le con-
uergenti all’@vn de’ſuoi fochi per di fuora via,
con il rifletterle, eſſer diuergenti pur di fuora
via dall’altro foco. Dal Cap. 21. finalmente
noi habiamo, che la ſuperficie concaua Sferi-
ca farà le parallele proſſimamente conuergẽ-
ti, ouero farà le proſſimamẽte diuergenti pa-
rallele, ogni volta, che la portion di ſuperficie
Sferica, che ſarà preſa, non molto ſi allarghi
dalla cima di eſſa, che è il fondo dello Spec-
chio Sferico vſitato, poiche queſta, come hab-
biamo detto, proſſimamente vnirà quelle ri-
fleſſe in vn punto, che alla ſimilitudine de gli
altri poſſi chiamar foco di eſſo circolo, che è
alla metà del ſemidiametro: Poteaſi poi mo-
ſtrare alla ſimilitndine della Parabola al Cap.
11 che la ſuperficie Sferica conueſſa farà le
conuergenti proſſimamente in tal punto, con
il rifletterle, eſſer parallele, caminando l’vne,
e l’altre di fuori, e farà parimente le paralle-
le diuergenti proſſimamente da quel punto,
il che però hò tralaſciato, potendoſi
8969Coniche. Cap. XXIII. te capire ſopra la Dimoſtratione della terz@
proprietà della Parabola al Cap. 11. preua-
lendoſi della figura di quello, che è l’ottaua,
come che, B A C, foſſe la circonferenza di cir-
colo, M, il ſuo foco, & incidenti, e rifleſſe le
medeſime iui poſte, accomodandoui la Dimo-
ſtratione iui addotta, che nell’iſteſſo modo à
queſta ancora potrà ſeruire.
Corollario.
DAlle ſudette coſe ſommariamente è manife-
ſto, che noi potiamo con le ſudette ſuperfi-
cie far le parallele conuergenti, le conuer-
genti parallele, le parallele diuergenti, le
conuergenti diuergenti, le conuergenti conuergenti
ad altro punto, le diuergenti parallele, le diuergenti
conuergenti, le diuergenti diuergenti da altro pun.
to; nelle quali è compre ſa tutta la varietà, che poſ-
ſon fare quanto all’equidistanza, conuergenza, e di-
uergenza. E però bò formate la preſente T auola,
per poter vedere qual ſuperficie ci ſia di biſogno, per
far fare alle linee quello, che per ſe steſſe non fa-
rebbono; che perciò, conſiderate le molse vtilità,
ch’ella può apportare in materia principalmente
9070Delle Settioni gli Specchi, miè parſo di chiamarla, Ta@ola Specola-
ria, intendendo però ſotto nome di Specchi non ſola-
mente quelli, che ſono atti à rappreſentar le
imagini, ma quelle ſuperficie ancora,
dalle quali ſi poſſono r flettere le
linee ſonore, calde, fred-
de, & c.
L’vſo della quale immediatamente ſarà
doppo eſſa Tauela à baſtanza
dicbiarato.
∴
9[Figure 9]
9171Coniche. Cap. XXIII.
TAVOLA SPECOLARIA.
Potiamo per via della rifleſſione con la ſuperficie ſcritta nell’area
di questa Tauola fare
L E
11
# Parallele. # Conuergenti. # Diuergenti.
Paralle \\ le. # Cioè con la ſu \\ peificie piana. # Con la conucſla \\ Parabolica, e \\ proſsimamẽte \\ con la Sferica. # Con la concaua \\ Parabolica, e \\ proſsimamẽte \\ con la Sferica.
Cõuer \\ genti. # Con la cõcaua \\ Parabolica, e \\ p@oſsimamẽte \\ con la Sferica. # Con la cõcaua, \\ e cõueſſa Iper \\ bolica, e con \\ la piana. # Con la concaua \\ Elittica.
Diuer \\ genti # Con la cõueſſa \\ Parabol@ca, e \\ proſsimamẽte \\ con la Sferica. # Con la conueſſa \\ Elittica. # Con la cõcaua, \\ e cõueſſa Iper- \\ bolica, e con \\ la piana.
Cõuer. \\ gẽti ad \\ altro \\ pũto di \\ dentro # Non ſe gli con- \\ ulene, per non \\ eſſer loto con \\ uergenti. # Con la cõcaua, \\ e cõueſſa Iper- \\ bolica. # Con la concaua \\ Elittica.
Cõuer- \\ gẽti ad \\ altro \\ pũto di \\ fuori. # Non ſe gli con- \\ uiene, per non \\ eſſer loro con \\ uergenti. # Con la cõueſſa \\ Iperbolica. # Con la concaua \\ Elittica.
Diuer \\ gẽti da \\ altre \\ pũto di \\ dentro # Non ſe gli con- \\ uiene, per non \\ eſſer loro di- \\ uergenti. # Con la conueſſa \\ Elittica. # Con la conueſſa \\ Ipeibolica.
Diuer \\ gẽti da \\ altro \\ pũto di \\ ſuori. # Non ſe gli con- \\ uiene, per non \\ eſſer loro di- \\ uergenti. # Con la conueſſa \\ Elittica. # Con la concaua \\ Ipeibolica.
9272Delle Settioni
Dell’vſo della precedente Tauola Specolaria.
Cap. XXIV.
Q Vando noi haueremo vna mol-
tiplicità di linee rette, che ſia-
no tutte d’vna medeſima natu-
ra, ò qualirà delle tre ſudette,
cioè, ò parallele, ò conuergen-
ti, ò diuergenti; e vorremo cõmutarle di qua-
lità, conforme alla diuerſità, che apporta l’e-
quidiſtanza, conuergenza, e diuergenza, en-
traremo nella ſoprapoſta Tauoletta, trouãdo
in fronte di quella la natura, ò qualità, della
quale ſono le linee da commutarſi, e lateral-
mente la natura, ò qualità, nella quale vo-
gliamo commutarle; che dirimpetto à quel-
le nell’area di eſſa Tauola, comprenderemo
qual ſuperficie ſia atta à fare tal’effetto: co-
me per eſſempio, ſe haueſſimo vna moltipli-
cità di parallele, e le voleſſimo fare conuer-
genti, trouareſſimo nella fronte della Tauola
le parallele, e lateralmente le conuergenti,
raccogliendo dirimpetto à quella la ſuperfi-
cie concaua Parabolica, ch’è atta à far tal’ef-
fetto, come ſi è inteſo nel Cap. 9. c 23. &
9373Coniche. Cap. XXIV. co la Sferica, che può farle conuergenti proſ-
fimamente in vn punto, ſe tali le deſideraſſi-
mo, come ſi è detto nel fine del Cap. 23. la
quale hò meſſo ancora ne gli altri luoghi, do-
ue hò veduto, che può fare proſſimamente
ſeffetto della ſuperficie, che appreſſo lei vien
notata nell’iſteſſa caſella. Hò poi ancor po-
ſto la ſuperficie piana, doue ella può operare,
per non laſciar vuote le caſelle; come dirim-
petto à parallele in fronte, e à parallele late-
ralmente, hò meſſo la Piana, perche riceuen-
do le parallele, le riflette parallele (come anco
ſe ſon conuergenti, le ribatte conuergenti, e
ſe diuergenti, pur le riflette diuergenti) nel
qual caſo non mutano natura, ma ſolamente
ſito, poiche doue prima caminauano verſo la
ſuperficie piana, doppo l’incidenza da lei ſi
diſcoſtano; e perciò dirimpetto a’cõuergen-
ti in fronte, e conuergenti nel lato, & à diuer-
genti in fronte, e nel lato, hò meſſo ancor la
piana, come quella, che non gli fà mutar na-
tura, ma ſolamente ſito. Pongaſi di più, che
noi vogliamo fare le conuergenti eſſer con-
uergenti ad altro punto di fuori, trouaremo
dunque nell’area la ſuperficie conueſſa
9474Delle Settioni bolica, che fà queſt’effetto, come ſi è viſto nel
Capit. 16. e 23. intendendo quello (ad altro
punto di fuori, ò di dentro) cioè di fuori, ad vn
punto poſto fuori delle conuergenti, ò diuer-
genti, ſe concorreſſero nel punto, à cui ſtãno
per dritto; e di dentro, quãdo quel punto ſteſ-
ſe dẽtro di quelle; e perche il dire di farle con-
uergenti ad altro punto, ò diuergenti da altro
punto, par che ſupponga, che già le linee, che
noi habbiamo, ſiano conuergẽti, ò diuergen-
ti, cioè che concorrino, ò che ſi allarghino da
qualche punto, perciò, non conuenendo que-
ſto alle parallele, l’hò anco poſto ſotto di
loro, dirimpetto à quelle caſelle laterali,
doue ſi fà mentione di far le linee conuergen-
ti ad altro punto, ò diuergenti da altro punto
di dentro, ò di fuori, dicendo con ragione non
conuenirli queſto, per non eſſer conuergenti,
ò diuergenti. Di più dalla ſudetta Tauola
per il contrario potiamo ſapere l’effetto d’v-
na data ſuperficie delle ſopranominate, cer-
candola nell’area, poiche dirimpetto à lei in
fronte trouaremo la natura, che vien tramu-
tata da lei nella natura, ò qualità, che gli
ſtà dir impetto lateralmente, e quante
9575Coniche. Cap. XXIV. incõtraremo tal ſuperficie nell’area, tãte pro-
prietà hauerà; come per eſſempio, cerco nell’
area la ſuperficie conueſſa Elittica, volẽdo ſa-
pere quali, e quante proprietà habbia, trouo
dunque vna volta dirimpetto à lei in fronte
le conuergenti, elateralmente diuergenti, di-
rò dunque, ch’ella fà le conuergẽti diuergen-
ti; e ſimilmente, che fà le conuergenti diuer-
genti da altro punto di dentro, e di fuori, che
ſon’altre due (ſe ben queſte ſono più toſto di-
ſtintioni della proprietà generale di far le cõ-
uergenti diuergenti, poſta nel Capit. 19. e
23. che veramente diſtinte proprietà) in al-
tre però le trouaremo conforme, che ſi ſo-
no diſtinte ne i ſoprapoſti capi, come guar-
dãdo in detta Tauola ſi comprẽderà e queſto
baſti quanto all’intelligenza della coſtruttio-
ne, & vſo della ſoprapoſta Tauola Specolaria.
Digreſsione intor no le Refrattioni.
CHi poteſſe veramente formar la Tauola del-
le Superfic@e, che per Refrattione produco-
no i ſudetti effetti, faria coſa digrandiſſi-
mo momento nella Proſpettiua, e di gran
9676Delle Settioni za, ma ſin’hora non ſi troua, chi habbia potuto pre-
ciſamente arriuarui, peril mancamento diregola v-
niuerſale, qual’è nelle r fl ſſioni, che l’angolo della
incidenza ſia eguale à quello della rifleſſione, poiche
non ſi sà come paſſi nella Refrattione, intendendo noi
in quella ſolamente, che nell’entrare ne i diafani più
denſi le inciden@i ſi accostano alla perpendicolare,
che dal punto dell’incidenza vien tirateſopra la ſu-
perficie deldiafano, ò ſopra la tangente in quel pun-
to, e che entranao ne i diafani più rari, da quella ſi
diſcoſtano, facendoſi maggiore, e minor’angolo dire-
frattione, quanto è maggiore, ò minore l’angolo del-
l’incidenza, ma con che regola ſi vadano diminuen-
do gli angoli della Refrattione in vn diafano, ouero
accreſcendo in relatione de gli angoli dell’incidenza,
ciò ſin’hora non ſi è con modo ſiouro, e dimo stratiua-
mente, per quanto io ſappi, potuto prouare; tengono
alcuni, che la Parabola cristallina vniſcale parallele
in vn punto: Il Kepleronell’Astronomia Ottica ſti-
ma, che ſia vn’Iperbola, come la Mecanica gli dimo-
stra, ſe ben dice vederla vn poco più acuta della
Iperbola nella cima, com’egli accenna al Cap. 4. trat-
tando della miſura delle Refrattioni, ſaria dun-
que da stimarſi molto vna ſimil Tauola per le re-
frattioni, e poiche ſin’hora non vi ſi è potuto
9777Coniche. Cap. XXIV. uare, ſi ſono però alcuni sforzati almeno proſſima-
mente di ottener questo, e così hanno moſtrato farlo
le Sfere criſtalline, le lenti conueſſe di portioni di Sfe-
ra, come anco alcuni de gli altri effetti ſopranotati
eſſer fatti per refrattione dalle lenti concaue, conueſ-
ſe, e miſte, appigliandoſi in particolare alla figura
Sferica per la facilità di produrla in materia, ſi come
l’altre ſono difficiliſſime da farſi, come chi ſi metterà
all’eſperienza comprenderà facilmente; di queſte len-
ti adunque hauendone à lungo trattato il Keplero
nella ſua Diottrica, non dirò altro, potendo il Let-
tore in quello vedere in buona parte ciò, che ſi può
dire in materia di refrattione intorno à queſte lenti:
E poſciache ſiamo arriuati cõ la ſpecolatione intorno
alla R fleſſione, e ſuperficie rifleſſiue, à queltermine,
e perfetta cognitione, che mi è parſa di biſogno per
intelligenza delle coſe ſeguenti, veniamo hora all’
applicatione aiciò, che è stato da noi conſiderato,
ridacendolo alla prattica, acciò viuamente appa-
riſcal’vtilità, che poſſono apportare queste
Settioni Coniche, e da lor generate ſu-
perficie, intorno alle coſe di Natura, nel prin-
cipio di questo Trattato da me
accennate.
∴
9878Delle Settioni
Come ſi poſsi accendere il fuoco per il rifleſſo de’
raggi Solari. Cap. XXV.
BEnche i raggi Solari vigoroſi eſ-
chino dal centro del Sole (dico
vigoroſi principalmente quan-
to alla virtù calorifica) come i
Proſpettiui aſſeriſcono (ſpargẽ-
doſi però ancora da ogni punto Solare ad o-
gni poſitione raggi luminoſi, ſe ben quanto
alla virtù calorifica, non così efficaci) bẽche,
dico, quelli eſchino da vn ſol pũto, e però ſia-
no diuergenti, tuttauia in tanta lontananza ſi
reputano quelli, che ſi riceuono nella ſuperfi-
cie d’vno Specchio, come paralleli, e però per
volerli raccoglier’in vn ſol pũto, nel quale ſarà
vnita tutta la virtù calorifica, e perciò ſi cauſa-
rà l’incẽdio, che è vn voler far le parallele con-
uergenti, trouaremo in fronte della Tauola
Specolaria parallele, e lateralmente conuer-
genti, e nell’area vedremo eſſer’atta à queſto
ſeruitio la cõcaua Parabolica, e proſſimamen-
te farlo la concaua Sferica, e però con queſte
haurem l’intẽto noſtro, facendoſi l’incẽdio ne’
loro fochi, come s’è detto diſopra. Tuttauia
9979Coniche. Cap. XXV. Padre Gruemberger Geſuita, Matematico ce-
leberrimo, nel ſuo Libretto dello Specchio
Elittico, volendo pur preualerſi de’medeſimi
raggi, quali realmente ſono, cioè diuergenti
dal centro del Sole, vi adopera la ſuperficie
concaua Elittica, imaginandoſi, che il cẽtro
del Sole ſia vno de’fochi di tal ſuperficie Elit-
tica, e l’altro foco ſia il pũto della combuſtio-
ne, deſcriuendo l’Eliſsi, e ſuperficie Elittica,
alla quale conuengono detti fochi, ſecondo
le diuerſe diſtãze del Sole nel diſcendere dal-
la maſsima alla minima lontananza della ter-
ra: la qual diligẽza però in queſto negotio po-
tria forſi parer altrui ſuperflua, per la ſomma
difficultà di mettere in prattica tal’operatio-
ne, douẽdo deſcriuerſi vna portione di sì grãd’
Eliſſe, e ſe pure lo vogliamo fare ſtretto ſtret-
to, perche da ambedue i capi v’appariſca no-
tabile curuatura, può eſſer, che rieſchi, ma che
ſia diſtinto dalla Parabola, non credo, che con
gl’inſtrumenti adoperati da noi ſi poſſa fare,
il che diuerrà più chiaro, adducendo la ragio-
ne, perchei raggi Solari ſi reputino come pa-
ralleli.
10080Delle Settioni
Dimostratione ſopra la 18. Figura.
INtendaſi, che, A, ſia il centro del Sole, & ,
A C, A D, due raggi, che da quello ſi par
tino, che veramente ſono diuergenti, C
D, la larghezza dello ſpecchio, & , B E, paral-
lela à, C D, & , B C, E D, l’vna, e l’altra della
lũghezza d’vn miglio, e lo Specchio, C D, lar-
go dieci braccia, eſſendo il cẽtro del Sole nel-
la maſſima vicinanza alla terra, ſarà dunque,
C A, 1101. ſemidiametri terreni, che commu-
nemente ſi ſtiman’eſſere di 3436. miglia, cioè
ſarà, C A, miglia 3783036. & A B, vn miglio
manco, adunque, C A, ad, A B, ſarà come,
3783036. à, 1383035. e per eſſere, A B E,
A C D, triangoli ſimili, ſarà, C D, à, B E, co-
me, C A, ad, A B, e per la conuerſione della
proportione ſarà, C D, all’ecceſſo di, C D, ſo-
pra, B E, come, A C, à C B, cioè come, 378-
3036. à, 1. adunque inteſa, C D, larghezza di
10. braccia diuiſa in 3783036. di queſte ne
manca vna ſola vnità à, B E, e tanto mancano
le, B C, E D, dall’eſſer parallele, e perciò vn
cotale ſuario farà l’Eliſſi deſcritta con eſſat-
tiſſima diligẽza ſopra li detti duoi fochi,
10181Coniche. Cap. XXV. Parabola, di cui ſarà foco vn de’fochi della
detta Eliſsi; veggaſi hora ſe l’arte può diſcer-
nere vn 3783036. eſimo di 10. braccia, ouero
vn 378303. eſimo d’vn brac. che chiaramẽte
ſi conoſcerà ſe ſia di biſogno d’vſar così eſqui-
ſita |diligẽza ꝑ preualerſi dello Specchio Elit-
tico, che diuerſo poi anco ſi deue fabricare ꝑ
le diuerſe diſtãze del Sole dal centro della ter-
ra, ouero ſe ſia meglio preualerſi dello Spec-
chio Parabolico, che nõ hà biſogno d’eſſer va-
riato, per la varietà di tali diſtãze, ne anco ſe
il Sole foſſe doue ſon le ſtelle fiſſe, e quelle foſ-
ſero diſtanti da noi tanto, che l’orbe del Sole
foſſe inſenſibile in comparatione delle ſtelle
fiſſe, come ſtimò Ariſtarco, & i ſuoi ſeguaci;
poiche ſe pur voleſſimo cõcepire per vna cer-
ta analogia vn’altro foco nella Parabola, non
come Parabola, ma come vn’acutiſſima Eliſſi,
quello ſi deue intendere infinitamente diſtã-
te dalla ſua cima, dal quale però ne vẽgonole
linee parallele, e facẽdoſi queſto da vn’immẽ-
ſa diſtãza, qual’è quella del Sole anco nella ſua
maſſima vicinanza al centro della terra, la re-
putiamo in comparatione de’noſtri Specchi,
come diſtanza infinita, e però potiamo
10282Delle Settioni nello Specchio Parabolico, poiche volendo
aſſalire la fabrica dello Specchio Elittico, da-
remo al ſicuro nel Parabolico, quando anco
con ogni eſſattezza poſſibile a’noftri iſtro-
menti pretendiamo d’hauerlo fatto Elittico;
ſi è poi ſnppoſto il Sole nella maſſima vici-
nanza à terra, e lo Specchio di diametro di
dieci braccia, & i raggi ſolari nella diſtan-
za d’vn miglio, perche l’argomento ſtringa
più fortemente per le diſtanze maggiori del
Sole, per le minori larghezze de’Specchi di
quel, che ſian 10. braccia, alla quale l’arte
noſtra forſi non può arriuare, ſe nõ con gran-
diſsima difficoltà, e per i raggi preſi in minor
diſtanza, che d’vn miglio, che ſempre più, e
più ſi vanno alla equidiſtanza auicinando.
Sò però, che lo ſuario de’raggi diuergenti,
dai paralleli, ch’andariano nello Specchio ad
incontrare i me deſimi punti, ſi deue conſide-
rare quanto all’angolo, che viene contenuto
dalla parallela, e diuergente, che concorrono
nell’iſteſſo punto, ſe ben ſi è miſurato con la
retta linea, che reſtaria intrapreſa tra eſſa
diuergente, e parallela, dalla quale ſi diſ-
coſta, ciò hò però fatto per maggor
10383Coniche. Cap. XXV. za, non vi eſſendo molta differenza per inten-
dere quanto ſi pretende: tuttauia per non
tralaſciare adietro coſa, che poſſa far chiaro il
noſtro concetto, non mancarò di dichiararla
parimente in queſto modo; Sia pure nella 19.
figura, A, cẽtro del Sole, dal quale nello Spec-
chio, C O D, largo dieci braccia, diſcendano
li duoi raggi, A C, A D, eſſendo lo Specchio,
C O D, talmente ſituato verſo il Sole, che il
ſuo aſſe, che ſia, O N, prolongato, concorri
nel centro di quell@; incontrino adunque
detti raggi la ſuperficie dello Specchio in, C,
D, e ſia il Sole viciniſsimo à terra, e nel punto,
C, cõcorra il raggio, P C, parallelo all’aſſe, A
O, e nel piano, P C A, ſia tirata la, H F, tãgen-
te lo Specchio in, C; gionta dũque, C D, dico,
che lo ſuario della diuergẽte, A C, dalla paral-
lela, P C, è l’angolo, P C A, che è acutiſſimo,
come ſarà manifeſto, ſe nel triãgolo, C N A,
trouaremo l’angolo, C A N, per le Tauole de’
Seni, imperoche, come, A C, 3783036. miglia,
cioè braccia 11349108000. à, C N, che è la
metà di, C D, cioè br. 5. così è 10000000000.
à 4. cioè à, C N, ſeno di, C A N, qual ſarà cir-
ca 20. ſcrupuli quinti, cioè inſenſibile à noi,
10484Delle Settioni però anco, P C A, ſarà inſenſibile, che è l’an-
golo di tale ſuario. Stimo però, che il ſudetto
Padre, come perſona di valore, conoſciute
queſte difficoltà, habbi tuttauia per eſſercitio
de’ſpecolatiui, eletto più lo Specchio Elitti-
co, che il Parabolico, trattãdo più to ſto quan-
to alla Teorica, e matematicamẽte, che quan-
to alla Prattica, e fiſicamente, poiche ſpeco-
latiuamente s’intende bene, che douria eſſere
vn’Eliſſi, ma in Prattioa, operan do anco dili-
gentiſſimamente, ci verrà fatta la Parabola,
alla conſtruttion della quale trouandoni noi
pur ſomma difficoltà, ci contentiamo poi an-
co della Sferica.
Come per rifleſſione ſi poſſi accender fuoco con il ri-
uerbero della fiamma, ò de i carboni acceſi.
Cap. XXVI.
SI potrà parimente eccitar l’in-
cendio al riuerbero della fiam-
ma, ò de’carboni acceſi, oppo-
nendogli lo Specchio concauo
Parabolico, Sferico, & anco
Iperbolico; e ciò non manca di ragione,
10585Coniche. Cap. XXVI. che dalla fiamma, ouero da vn’aggregato di
carboni acceſi ſi partono infinite linee à tutte
le poſitioni, che non eſſendo impedite, cami-
nano ſin doue ſi eſtende la loro attiuità, den-
tro la quale vi ſono anco le parallele, che per-
ciò ſi vniranno in vn punto, cauſando iui l’in-
cendio, e ciò quãdo vi ſi opponga lo Specchio
Parabolico, & anco proſſimamente il conca-
uo Sferico, e ſimilmente l’lperbolico, poiche
dentro quegl’infiniti raggi vi ſono ancora i
cõuergenti alfoco eſteriore dell’Iperbola, che
ſi vnitãno perciò nel di lei foco interiore, do-
ue ecciteranno l’incendio; è ben vero, che gli
altri raggi, che à queſti paralleli, e cõuergen-
tinel detto punto ſi auuicinano, aiuteranno
loro ancora detto incendio, benche non ſi vni-
ſcano tutti inſieme, & iui cauſarãno calor grã-
de; eſperienza di queſto hò fatto io, che con
vno Specchio sferico di piõbo ancor mal po-
lito, hò acceſo il fuoco nella materia arida al
fuoco di carboni; e di più l’hò fatto con la ſu-
perficie Parabolica, cioè con vn Cãnone Para-
bolico, che hauea il ſuo foco vicino alla cima,
eſſendo eſſo Specchio Parabolico trõcato pur
nella cima, qual’era di ſtagno, e mal
10686Delle Settioni tal che opponendolo al fuoco, ò alla fiamma
di ben poca legna, nella diſtanza di tre brac-
cia, ponendo la mano lì, dou’era la parte trõ-
cata, & il foco della Parabola, non vi ſi potea
ſoſtenere, anzi vi s’acceſe fuoco; la qual coſa
potria alcuno applicare al riſcaldamẽto delle
ſtanze, ò alle diſtillationi; baſtami però d’ha-
uere al curioſo Lettore accennato queſto, la-
ſciãdo poi alla ſua induſtria il cercare il reſto.
Come in due maniere potiamo ſeruirci delli ſudetti
Specchi. Cap. XXVII.
POtendoci noi ſeruire della ſuper-
ficie Sferica, Parabolica, & Iper-
bolica intiera, ò d’vna parte ſo-
la, conforme che quella può eſ-
ſer diuerſa, diuerſamente ancora
chiamaremo lo Specchio, dãdoci queſte il mo-
do d’accendere il fuoco in che ſito vogliamo;
Se adunque prenderemo di queſta ſuperficie
quella parte, ch’è intorno alla cima, queſta
abbrucierà tra’l corpo focoſo, e lo Specchio;
ma ſe vogliamo, che l’incendio ſia di dietro
dello Specchio, biſognerà pigliare vna
10787Coniche. Cap. XXVII. diquella, diſcoſta dalla cima tanto, che laſci
fuori di ſe il foco di tal ſuperficie verſo la ci-
ma, come per eſſempio; Sia nella 20. figura v-
na tal ſuperficie la, CAF, cioè, verbi gra-
tia, Parabolica, il cui aſſe ſia, AI, e foco, O;
tagliando adunque tal ſuperficie con vn pia-
no, al quale, A I, ſia perpendicolare, che diui-
da detta ſuperficie nelle due, B A G, B C F G,
è manifeſto, che la parte, B A G, intorno la ci-
ma, A, abbruciarà tra lei, e’l fuoco, ò Sole nel
punto, O, e la parte, B C F G, abbruciarà di
dietro nell’iſteſſo foco, O, qual però chiama-
remo Cãnone Parabolico, e quando vorremo,
che abbruci lontano, intendendo prodotta
la ſuperficie parabolica, per eſſempio in, D
E, e l’aſſe in, H, prendendo il Cãnone para-
bolico, C D E F, quello pure abbruciarà nel
punto, O, più lon tano dallo Specchio, che
nõ facea il Cãnone, B C F G, e così potremo
abbruciare infinitamente lontano, prolongã-
do ſempre detta ſupeificie Parabolica, e prẽ-
dendola in quella diſtanza, che ci biſogna.
Potiamo poi anco di queſto Cãnone, ò Spec-
chio prendere vn ſol pezzo, come, R E Z S,
che non ſolo abbrucierà di dietro da lui
10888Delle Settioni punto, O, ma anco da vna parte, qual ſi potrà
chiamar Fruſto della ſuperficie Parabolica; e
l’iſteſſo s’intenda detto per la Sferica, poſcia-
che nella 17. figura la faſcia Sferica, BCH
N, e la minor di quella, abbrucierà dietro di
lei, come lo Specchio Sferico, B A N, dinãzi;
e l’iſteſſo s’incenda per l’Iperbolica; potremo
dunque con queſte cauſar l’incendio da che
parte, e lontano, quanto noi vorremo. Non
poſſo poi tralaſciar di dire, come la sfera, ò
lente chriſtallina eſpoſta al fuoco de’carbo-
ni, ò alla fiamma, non cauſa l’incendio, co-
me li Specchi, la onde pare, che ſi poteſſe rac-
cogliere, che la rifleſſione foſſe più potẽte del-
la refrattione, tuttauia ciò non determi-
no in virtù di queſto, poiche ſa-
ria di biſogno eſſaminar pri-
ma molt’altre
coſe, che per breuità
tralaſcio.
10[Figure 10]
10989Coniche Cap. XXVIII.
Dello Specchio Vctorio d’Archimede.
Cap. XXVIII.
LEggeſi nell’antiche hiſtorie del-
le guerre de’Romani, ch’eſsẽ-
do aſſediata Siracuſa, così per
terra, come per mare, da Ap-
pio, e Marco Marcello, con ap-
parato grandiſſimo da guerra, vi ſi oppoſe
talmente il valore, e l’induſtria d’Archime-
de, che per lui ſolo parea ſi ſoſteneſſe l’im-
petuoſo aſſalto d’vn’eſſercito sì potente, e
già d’altre Illuſtri Città vittorioſo; onde
Tito Liuio nella Dec. 1. al Cap. 24. fù sfor-
zato à dire; Et habuiſſet tanto impetu cæpta res
fortunam, niſi vnus bomo Syracuſis ea tempeſtate
fuiſſet; e veramente ſi può credere facilmen-
te, che, s’egli haueſſe hauuto la fortuna
alquanto più propitia, haurebbe alla Patria
ſaluata la libertà, ed à ſe medeſimo la vita.
Imperoche in gratia del ſuo Re hauea fa-
bricato così ſtupende machine per i biſo-
gni da guerra, che i preparamenti fatti con
immenſa ſpeſa, e con molti ſtenti da i ne-
mici, per l’oppugnatione, erano da lui
11090Delle Settioni tale artificio deluſi, e reſi del tutto inutili,
che parea più toſto ſcherzaſſe, che combat-
teſſe da douero con nemici così potenti.
Perciò il medeſimo parlando di sì eminente
ingegno, ſoggiunſe nell’iſteſſo luogo. Archi-
medes is erat, vnicus ſpectator Cæli, ſyderumque,
mirabilior tamen inventor, ac machinator bellico-
rum tormentorum, operumq; quibus ea, quæ bo-
ctes ingenti mole agerent, ipſe perleui momento lu-
dificaretur. Furno le machine diuerſe, con le
quali così di vicino, come di lontano ſcaglia-
ua pietre di molta grandezza; & era di gran
marauiglia veder con vna mano di ferro, le-
gata ad vna forte catena, prender le naui per
la prora, e drizzatele ſopra la poppa, laſciarle
poſcia con ineuitabil naufragio, precipitoſa-
mente cadere. Altri parimente furono gli
ordegni, con che valoroſiſſimamente facea
à’nemici reſiſtenza, come raccontano Polibio
nellib. 8. Plutarco nella vita di M. Marcello,
Dione, & altri Hiſtorici famoſi, che tutti con-
cordemente eſſaltano l’ingegno d’Archime-
de, come coſa ſopra humana, e quaſi diuina:
Ma fra tutte le marauiglioſe inuentioni di sì
grand’huomo, non vi è, per mio credere,
11191Coniche. Cap. XXVIII. ſa, che habbi arrecato maggior ſtupore, ne
che ſia ſtata tenuta in maggior pregio, ò che
habbi dato più da ſpecolare à i curioſi, di
quel famoſo Specchio, con il quale, eſſendoſi
ritirate le naui, quant’è vn tiro d’arco, per nõ
ſentire i duriſſimi colpi delle pietre, che con-
tinuamente erano ſcagliate dalle mura, in vir-
tù de’raggi ſolari, vniti inſieme, vſcendo im-
petuoſamente, à guiſa di fulmine, il fuoco dal
medeſimo Specchio, causò vn’incendio così
formidabile, che la maggior parte delle naui
fù ridotta in cenere. Così riferiſce Galeno
πει' χράσεων lib. 3. dicendo: Hoc vtiq; modo a-
iunt, puto, Archimedem per comburentia ſpecula
hoſtium triremes incendiſſe. Succenditur verò faci-
lè à comburente ſpeculo, & lana, & ctuppa, & el-
lychtnium, & ferula, & quidquid deniq; ſimiliter
eſt aridũ, & rarũ Il medeſimo racconta Zonara
Greco, Autore antichiſſimo, nel 3. Tomo del-
le ſue Hiſtorie, hauer fatto Proclo ſotto Co-
ſtantinopoli, con grandiſſimo danno dell’ar-
mata nemica, c’hauea aſſediato quella Città.
Queſte coſe adunque, benche da grauiſ-
ſimi Scrittori riferite, furono tuttauia da mol-
ti tenute per fauole più toſto, che per
11292Delle Settioni parendoli molto improbabile poterſi cauſare
incendio per via di Specchi in così gran diſtã-
za, in quanta s’intende, che fece Archimede
dalle mura di Siracuſa. Altri per il contrario,
non volendo metter dubbio nelle relationi di
così illuſtri, e ſegnalati Scrittori, crederno be-
ne tal coſa poter’eſſer ſtata, ma nel penetrare
il vero modo, hanno incontrato di molte diffi-
coltà, ſi nell’inueſtigar la ſorma di quello Spec
chio, ſi anco nel ridurſi à metterlo in prattica:
Imperoche ſentendo mentouare, che quello
foſſe di forma Parabolica, ſi ſono meſſi con o-
gni induſtria à cõſiderare le proprietà di que-
ſta forma di Specchio, inſegnando varij modi
per diſegnare la Parabola, acciò fattane la
ſagma, ſe ne poteſſe poi formare lo Specchio
Parabolico, come ſi può vedere in Vitellione,
Marin Ghetaldo, Orõtio, Cardano, Gio. Bat-
tiſta Porta, & altri valenti Matematici, coſpi-
rando forſi tutti nel marauiglioſo Specchio di
Archimede; ma per quanto ſi ſiano affaticati
queſti ingegni, non pare, che ci habbino da-
to vna chiara cognitione della ſtruttura di
quello, poſciache ci hãno ſolamente inſegna-
to cauſarſi l’incendio in vn ſol punto,
11393Coniche. Cap. XXVIII. dello Specchio Parabolico, cioè nel concorſo
de’raggi ſolari, più, e men lontano, ſecondo
che eſſo ſarà più, e men cauo; la onde hanno
ſtimato molti, che lo Specchio d’Archimede
abbruciaſſe così lontano, perche foſſe di for-
ma Parabolica, e con tal proportione fabri-
cato, che faceſſe il concorſo de’raggi in tan-
ta diſtanza, in quanta le ſudette naui ſi erano
ritirate. Ma chi non vede quanto ciò dal ve-
riſimile ſi diſcoſti? poiche vno Specchio Pa-
rabolico, che habbi il foco lontano da lui ſolo
trenta piedi, come ben dice il Porta nella ſua
Magia naturale, e tanto poco differente dal
piano (s’ei non foſſe di ſmiſurata grandezza)
che l’arte noſtra non lo può diſtinguere,
e perciò ne men fabricare; come dunque ſi
può credere, che lo Specchio d’Archimede
foſſe tale, che il concorſo de’raggi ſi faceſſe
lontano quanto vn tiro d’arco? Di più vno
Specchio tale cauſa l’incendio in vna deter-
minata diſtanza, e ſolo da vna bãda, cioè ver-
ſo il Sole; doue che l’abbruciamẽto delle Na-
ui portaua diuerſe diſtanze, e forſe diuerſi ſiti
ancora, e però in conſeguenza, ò biſognaua
hauerne più d’vno, ò mouere il medeſimo,
11494Delle Settioni aggiuſtarſi alle diſtanze, il che pare, che da
vna muraglia d’vna Rocca non così ageuol-
mente ſi poteſſe fare: E finalmente il ſottiliſ-
ſimo ingegno d’Archimede mi dà à credere,
ch’egli penetraſſe più à dentro di quello, che
l’vniuerſale intende à prima viſta.
Altri hanno penſato, che qualche materia
de’Specchi ſtrauagãte, à noi incognita, ado-
peraſſe, che haueſſe virtù di cauſar l’incendio
tanto lõtano; ma io non credo ne quello det-
to di ſopra, per le già addotte ragioni, ne me-
no queſto, mentre alla materia non s’accom-
pagni la figura, poiche la rifleſſione ricerca
l’vno, e l’altro; cioè per parte della materia,
ſomma lucidezza, e politura, che ſuol venire
particolarmẽte dalla durezza dell’iſteſſa ma-
teria, per parte poi della figura richiede, per-
che s’vniſchino tutti i raggi in vn punto, che
ſia Parabolica.
Non ſono però mancati ancora di quelli,
che hanno ſtimato, che Archimede non per
via di rifleſſione, ò refrattione abbruciaſſe
l’Armata, ma con alcune pietre, chiamate da’
Greci πυριγης, ſcagliandole nelle naui, all’v-
ſanza delle palle di fuochi artificiati, vi
11595Coniche. Cap. XXVIII. taſſe l’incendio; E di queſta opinione pare,
che ſia Tomaſo Linacro, Interprete de i libri
di Galeno, De Temperaturis; che cõmentan-
do le ſudette parole, e volendo ſpiegare la
voce Greca, πυριε, l’interpreta, come che
ſignifichi le ſudette pietre di fuoco. Ma ciò
hà parimente dell’improbabile, poiche, come
pur’iui ſoggiunge Galeno, dette pietre non
s’infuocano, ſe non s’infrangono; ma chi po-
teua in fiangere, e ſpoluerizzare, per dir così,
dette pietre nelle naui de’Romani? ouero,
come di già ſpezzate, poteuano ſcagliare il
fuoco dalle mura ſino alle dette naui? come
argomẽta Dauid Riualto nel fine de’ſuoi cõ-
menti ſopra Archimede nello Scholio De Spe-
culis Vſtorijs Archimedis. Ma quel, che più im-
porta, ancor che ſi poteſſero lanciare nelle
naui coſe, che per la percoſſa, toccando le
medeſime, ſi accendeſſero, come hò ſentito da
huomini prattici hoggidì vſarſi in guerra con
certe palle artificioſe, econ vaſi di fuochi ſtra-
uaganti, tuttauia quello, che in queſto nego-
tio chiariſce il tutto è, che la relatione de gli
Scrittori, e maſſime di Galeno, in queſto luo-
go ci vien ſignificando, che Archimede
11696Delle Settioni peraſſe gli Specchi, & i raggi del Sole, poiche
perappunto dà l’eſſempio d’vna caſa, che nel-
la Miſia, parte dell’Aſia, ſi abbruciò per il ca-
lor del Sole, eſſendoſi attaccato fuoco nel tet-
to, mediante la reſina, & il letame de’Colom-
bi, ſoggiungendo poi l’incendio delle naui di
Marco Marcello, il che dimoſtra hauer’egli
creduto, che quello pur fuſſe cauſato da i rag-
gi del Sole. In queſta ſtrauaganza di penſie-
ri adunque ſono dati quelli, che pur’hanno
voluto dar credenza alle relationi di così ce-
lebri, e così illuſtri Scrittori. Inãzi però, ch’io
ſpieghi qual ſia il mio penſiero intorno à que-
ſto, fà di meſtieri dir qualche coſa intorno al-
la Linea Vſtoria di Gio. Battiſta Porta, deſcrit
ta da lui nella ſua Magia naturale nel lib. 17.
al Cap. 17.
Della Linea Vſtoria di Gio. Battiſta Porta, che ab-
brucia in infinito. Cap. XXIX.
IL Porta dunque nel ſudetto luogo, dopò
hauer riferito ciò, che mediãte gli Spec-
chi Vſtorij fecero Archimede à Siracuſa,
e Proclo à Coſtãtinopoli, parla d’vn ſuo
11797Coniche. Cap. XXIX. chio, come di coſa molto diuerſa da quelli,
tanto, per ſuo dir, marauiglioſo, che non cre-
de l’ingegno humano poter paſſar più oltre,
reputando quelli de’ſudetti Autori molto à
queſto inferiori, com’egli dimoſtra, mentre
nell’iſteſſo luogo ſoggiunge; Sed longè cæteris
præſtãtiorem modum trademus, à nemine equidem,
quod ſciam, traditum, antiquorum omnium, & re-
centiorum inuentionem ſuperantem, nec putò huma-
num ingenium maiora excogitare poſſe. Hoc Specu-
lum non ad decem, viginti, centum, aut mille paſ-
ſus comburit, vel ad determinatam diſtantiam, ſed
in infinitum, nec in cono accendit, vbi radij coeunt,
ſed à Speculi centro Vſtoria Linea procedit, cui@ſuis
longitudinis, quæ obuia omnia comburit. Præterea
accendit retro, ante, & ex omniparte. Vero è, che
venendo poi à ſpiegare il ſuo penſiero, in ve-
ce di manifeſtarcelo, cuopre il ſecreto con
parole à bello ſtudio traſportate, e ci laſcia ſi-
tibondi della vera cognitione d’vn tanto ar-
tificio. Ma perche preuale in me più d’ogni
altra coſa il deſiderio di giouare al publico,
perciò ſpiegarò con parole più chiare, che ſia
poſſibile, quanto mièſouuenuto nello ſpeco-
lare intorno à queſto mirabil Problema,
11898Delle Settioni il Porta ci propone di fare cõil ſuo Specchio,
e vederemo inſieme ſe ſia veriſimile, che Ar-
chimede, Proclo, & il medeſimo Porta ſi ac-
cordino nell’inuentione, come io da molti ſe-
gni vado congetturando.
In qual ſenſo ſtimi l’Autore che la ſudetta Linea
Vstoria ſi poſſa ſoſtenere. Cap. XXIX.
CHe ſia poſſibile vnire molte li-
nee radioſe fra diloro parallele
in vn punto, cioè farle di paral-
lele conuergenti, ciò è manife-
ſto perle coſe dette di ſopra, e
nella Tauola Specolaria trouiamo farci que-
ſto ſeruitio la ſuperficie concaua parabolica;
ma con quale artificio ſi poſſino ſtringere mol
te linee radioſe in vna ſola (sì come ſi condu-
cono ad vn pũto per via dello Specchio Para-
bolico) la quale perciò habbi forza d’abbru-
ciare tutto quello, che incontra, non ſolo, di-
co, di non poterlo penetrare, ma parermi aſ-
ſolutamente impoſſibile, imperoche ò queſto
ſi farà per rifleſſione, ò per refrattione; facciſi
pure in qualunque de i due modi, è
11999Coniche. Cap XXIX. prima condurre i raggi paralleli in vn punto,
il che ſappiamo di già fare cõ lo Specchio Pa-
rabolico, e che iui poi ritrouino qualche cor-
po, che rifletti, ò rifranga i medeſimi raggi,
facendoli tutti caminare per vna linea ſola,
quale veramente haurebbe le conditioni, che
il Porta ci promette: quindi per il contrario,
quella Linea preſa come incidente, haureb-
be non vna rifleſſa, ò rifratta, ma diuerſe, il
che, come beniſſimo dice il Keplero nella ſua
Diottrica, alla pag. 21. è contro le leggi del-
la Proſpettiua, poiche ſecondo quella, eguali
angoli d’incidenza cauſano eguali angoli di
rifleſſione, ò rifrattione, e perciò alla mede-
ſima incidente non poſſono corriſpondere dal
punto della incidẽza diuerſe rifleſſe, ò rifrat-
te, ma ſi bene vna ſola, adunque per il cõtra-
rio vna moltiplicità di raggi paralleli ſi potrà
bene far concorrere in vn punto, ma che quel-
li ſi poſſino ſtringere in vna Linea ſola, ciò re-
puto con il Keplero aſſolutamente impoſſi-
bile; Inteſa dũque la Linea Vſtoria del Porta,
à queſta maniera pare à me coſa molto impro
babile; e ſe lo Specchio d’Archimede haueſ-
ſe hauuto à fare vna tale operatione,
120100Delle Settioni quanto à me, che vano ſaria ſtato lo sforzo del
medeſimo, per abbrnciar le naui di M. Mar-
cello, come pure intendiamo, ch’egli fece.
Reſta dunque, ch’andiamo vn poco conſi-
derando, ſe pur’è poſſibile in qualche modo
fare quel, che promette il Porta, allontanan-
doſi poco ancora dal ſuo ſenſo. Dico adunque
ſe per linea intẽderemo non ſtrettiſſimamen-
te quello, che importa il nome di linea, ma
vn poco più alla groſſa, cioè che voglia dir tã-
to quanto vn Cilindro, ò Cannoncino di lu-
me, di che ſottigliezza vogliamo, indiffinita-
mente prolongato, che veramcnte in queſto
ſenſo parmi eſſer poſſibile il farlo, ſi che quei
raggi, che caminarãno paralleli per ſpatio di
vn braccio, ſi poſſino ſtringere in vn Cãnon-
cino di lume groſſo vn’oncia, e manco anco-
ra, al qual potiamo dar nome di linea, alla ſi-
militudine delle linee abuſate da noi in ma-
teria, che hanno tuttauia qualche groſſezza;
nel qual ſenſo credo, che’l Porta ſi poſſa ſo-
ſtenere, e che ſia poſſibile fare (con modera-
tione però) quanto egli propone, cioè abbru-
ciare dinanzi, e di dietro, anzi da ogni parte
dello Specchio, doue egli non arrechi
121101Coniche Cap. XXIX. mento, e ciò non in vn punto, ò nella coinci-
denza de’raggi, ma in ogniluogo, doue ſi e-
ſtenda quel Cannoncino di lume, che di ſua
natura cauſarebbe l’incendio anco in ogni di-
ſtãza, ſe i medeſimi raggi non ſi andaſſero cõ-
tinuamente debilitando. Stima veramente
il Keplero, che la combuſtione ſi cauſi per il
ſegamento de’raggi luminoſi concorrenti in
vn punto, non sò però s’egli intenda, che ſo-
lo in queſto modo, e non altrimenti ſi cauſi
l’accenſione in virtù de’medeſimi raggi, com-
unque egli creda, à me pare probabiliſſimo,
che quelli non vniti in vn punto, ma anco in
anguſto ſpatio coſtretti, poſſino generar fuo-
co, poiche gli Specchi sferici cauſano l’incen-
dio, e pur ſappiamo, che non vniſcono in vn
ſol pũto ſe non quelli, che vengono rifleſſi dal
medeſimo cerchio parallelo alla bocca dello
Specchio, che pur ſon pochi; e la mano, che
riceue i raggi del Sole rifleſsi dallo Specchio,
non nel punto del concorſo, ma alquanto da
quello diſcoſto, ſente ben tanto calore, che
tenendouela più d’vn poco, ci accorgia-
mo, che iui è forza digenerar fuoco; perciò
non credo vi ſarà dubbio, che quel
122102Delle Settoni no di lume, eletto di conueneuol groſſezza,
non ſia per abbruciare per qualche anco nota-
bil diſtanza. Inteſa dunque in queſto modo
la Linea Vſtoria del Porta, parmi poterſi ſoſte-
nere, anzi hauer molta probabilità, che con-
cordi con l’inuentione e di Proclo, & anco di
Archimede, come da’ſeguenti Capi ſi potrà
meglio comprendere.
Dello Specchio Vſtorio imaginato dall’Autore,
e varietà di quello. Cap. XXX.
PEr dimoſtrare la probabilità del-
la Linea Vſtoria già detta, e de
gli Specchi Vſtorij di Proclo, e
d’Archimede, è finalmente ne-
ceſſario, ch’io ſpieghi ciò, che
ſpecolando mi è ſouuenuto, manifeſtãdo l’eſ-
ſemplare di queſto mio Specchio, all’eſplica-
tione del quale è principalmente ordinato il
preſente Trattato.
Ma prima dirò pur’anch’io col medeſimo
Porta; Sed profectò indignũ facinus duco ignarę ple
bi propalare. Prode at ergo in lucẽ, vt ſumma Dei
immenſa bonitas laudetur, veneretur. Poiche
123103Coniche. Cap. XXX. ſarà poco con queſto debol lume, ch io porgo
per l’intelligenza d’vn sì nobil ſoggetto, po-
ter, venendo alla prattica, eſſequire quanto
dalla ſpecolatiua hauremo imparato.
Per far dunque gli effetti, ch’egli ci pro-
poſe, ſtimo douerſi lo Specchio di tal ſorte fa-
bricare, cioè, che vniſca i raggi ſolari in vn
punto, e perciò, per mio credere, egli dourà
eſſer Parabolico, conforme alla dottrina di ſo-
pra inſegnata, douendo fare i raggi paralleli
cõuergenti; quãto poi all’vnire eſſi raggi vici-
no, ò lontano, io al contrario de gl’altri pen-
ſo, che ſarà meglio, che l’vnione, ò foco di ta-
le Spechio non ſia dal medeſimo molto lonta-
no, ſi che non veniamo à dare nella difficoltà
di quelli, che cercano di mandar tal concorſo
lontano, che perciò ſi riducono à lauorare
vno Specchio inſenſibilmente dal piano diffe-
rente. Fatto queſto Specchio Parabolico, ſe al-
tro non vi ſi aggiongeſſe, non è dubbio, che
non accenderebbe fuoco più lontano di quel-
lo, che ſia il punto del concorſo; per hauer
dunque queſta operatione in altre diſtanze
ancora, è neceſſario portar più oltre quella for
za, che hanno i raggi ſolari inanzi, ò
124104Delle Settioni vicino al concorſo, cioè ò fare i raggi conuer-
genti paralleli, e ciò inanzi, ouero i raggi di-
uergenti pur paralleli, e ciò doppo il concor-
ſo; ricorrendo adunque alla Tauola Specola-
ria, trouaremo inãzi al concorſo douerſi ado-
perare la conueſſa Parabolica, e dopo la con-
caua pur Parabolica, auuertendo, che è neceſ-
ſario ſiano inſieme vniti il foco dello Specchio
grande, & il foco dello Specchio piccolo, al-
trimẽte non dourà riuſcire l’operatione, ſtret-
tamente parlando: Vniti dunque, che ſiano
queſti duoi fochi, lo Specchio piccolo conueſ-
ſo, vibrarà quei raggi, ch’egli riceuerà nella
ſua cõueſſita (ch’erano cõuergenti al foco del
lo Specchio grãde, ch’è vnito col foco del pic-
colo) paralleli all’aſſe del piccolo, che perciò,
per ragion d’vnione dourãno per notabil ſpa-
tio conſeruare la medeſima forza, c’hebbero
nel dipartirſi dal piccolo, benche in queſta
ſeconda rifleſſione venghino alquanto à in-
debolirſi. Se dunque riuoltaremo l’aſſe dello
Specchietto verſo quel luogo, doue ſi vorrà
accender fuoco, quel Cãnoncino di lume, che
vſcirà dallo Specchietto piccolo, attaccarà
iui fuoco, anzi à guiſa di trapano, dourà
125105Coniche. Cap. XXIX. forare quelle materie combuſtibili, ch’egli in-
contrarà; auuertaſi però, che la conuerſione
dello Specchietto dourà ſempre farſi intorno
al ſuo foco, come centro. Ma per maggior di-
chiaratione, eccone l’eſſempio, con l’eſſem-
plare dello Specchio.
Eſſempio ſopra la vigeſimaprima figura.
Sla lo Specchio Parabolico, T X B, il cui foco il
punto, I, talmente indrizzato verſo il Sole,
A M Q, che l’aſſe di quello prolongato, come,
X M, vadi à ferire nel cẽtro del Sole, dal quale vẽ-
gano nello Specchio, T X B, iraggi, A T, M X, Q B,
paralleli, ſotto i quali intenderemo tutti gli altri, che
caſcano nell’iſteſſo Specchio. E’dunque manifeſto, che
queſti raggi, che formano vn Cannone di lume largo,
quanto è lo Specchio, T X B, diuentaranno doppo l’in-
cidenza conuergẽti al foco, I; Sia hora fatto vn’altro
Specchietto Parabolico cõueſſo, D R G, il cui foco, I,
ſia pochiſſimo diſcoſto dalla cima R, e ſiano talmente
il grande, & il piccolo inſieme collocati, che il foco
dell’vno, e dell’altro ſia vnito nel punto, I, eſſen-
do l’aſſe del piccolo, F I R; pongaſi poi, che ſi vo-
glia accendere il fuoco verſo, P; eſſendo
126106Delle Settioni lo Specchietto talmente accommodato che ſia conuer-
tibile intorno al punto I, lo riuolgeremo tanto, che
ſtia per dritto al punto, P, come, F R P: Perche dũ-
que ſi è moſtrato nel Cap. 11. che la ſuperficie con-
ueſſa Parabol@ca riceuendo le conuergenti al ſuo foco,
le riflette parallele all’aſſe, perciò lo Specch@etto, D
R G, riceuendo per fianco i raggi, che dalio Specchio
grande ſi partono conuergenti al foco, I, inanzi, che
vi arriuino, ma ben vicino à quello, li rifletterà in
angusto ſpatio paralleli all’aſſe F R, cioè tutt@ri-
stretti nel Cannoncino, ò Cilindretto luminoſo, P @
Z, che anderà pure à ferire al punio, P, & iuicauſa-
rà l’incendio nella materia di facil combu stione in
quella diſtanza, che l’indebolimento de’raggi cauſa-
to per le due r@fleſſioni ci permetterà, el’eſperienza
c’inſegnarà; è adunque chiaro, che questo artificio
non è altro, che stringer quei raggi, che caminaua-
no paralleli, per eſſempio, nell’ampiezza d’vn
braccio alla ſottigliezza d’vn dito, pur facendoli ca-
minar paralleli, creſcendo la forza de’raggi, ſecondo
la reciproca proportione de i quadrati delle groſſezze
de’Cilindri; cioè, ſe il grande ſarà decuplo del pic-
colo in groſſezza, il piccolo haurà forza d@ riſcaldare
cẽto volte più efficace della forza del grande, douẽdo
l’iſteſſa quãtità de’raggi operar’in vno ſpatio
127107Coniche. Cap. XXX. tuplo à quello, nel quale bauria da operare il grãde;
questa proportione però ſi verificarebbe preciſamen-
te, ſe nelle due rifleſſioni non ſi ſcapitaſſe niente, co-
me pur’accade, che perciò biſogna leuarne la tara, che
importano dette rifleſſioni, che così ſapremo quanta
debba eſſer la forza del Cilindro piccolo doppo le due
r@fleſſioni generato.
In altro modo poi ſi potrà ottener l’iſteſſo con
lo Specchio troncato, ò Cannone Parabolico, che
hl ſuo foco di dietro, collocando iui lo Specchietto
nel modo ſopradetto, come ſi vede nella figura 22.
Di più, ſe in vece del cõueſſo adopraremo il con-
cauo dello Specchietto Parabolico, riceuendo i raggi
diuergenti doppo il concorſo nell’vna, el’altra figu-
ra, otteneremo il medeſimo, e di tutto questo ne hab.
biamo ſicura dimoſtratione.
Ma ſe vogliamo credere, che l’vnione de’raggi
fatta non preciſamente, ma proſsimamente in vn
punto, equiuaglia, quanto al far quello, che cerchia-
mo, all’vnione fatta preciſamente in vn punto, po-
tremo in vece di Specchietii Parabolici, ſeruirci delli
Sferici, ouero adoperare le lenti, poiche la lente caua,
ò traguardo, farà l’offitio dello Specchietto conueſſo, e
la lente conueſſa del concauo, quella dourà riceuere i
raggi conuergẽti, e queſta diuergenti, imparando
128108Delle Settioni Keplero nella ſua Diottrica, quanto ſi a lontano il fo-
co loro dalle medeſime lenti, poiche quello dourà sta-
re vnito col foco dello Specchio grande.
Maperche la ſudetta Diottrica non ſarà forſi così
alle mani di ciaſcuno, perciò mi è parſo bene metter
quà quel poco, che vi bò trouato poter’eſſere à no-
ſtro propoſito, in materia dell’vnire, ò diſunire i
raggi per via di queste lenti, cioè.
Che la lente conueſſa da vna ſola banda, ma di
portione minore di G. 30. oppoſta perpendicolarmen-
te à i raggi paralleli, con il conueſſo verſo loro, gli v-
niſce proſſimamente in vn punto, lontano dal con-
ueſſo tre ſemidiametri di eſſa conueſſità in circa, ſe
però non ſi rifrangeſſero anco nella baſe. Prop. 34.
Che la medeſima riuolta al contrario, gli vniſſe
lontano dal cõueßo per due ſemidiametri di eßa con-
ueſſità in circa. Prop. 35.
Che la lente conueſſa d’ambedue le bãde della con-
ueſſità dell’iſteſſo cerchio, eſpoſta perpendicolarmen-
te à i raggi paralleli, gli vniſſe lontano dal conueſſo
(che riſguarda eſſi paralleli) vn ſemidiametro della
medeſima conueſſità in circa. Prop. 39.
E però le medeſime lenti faranno per il contrario
i raggi diuergenti dal punto, nel quale ſi è detto farſi
il concorſo, paralleli, douendoſi queſte adoprare
129109Coniche. Cap. XXX. po l’vnione fatta dallo Specchio grande.
Potiamo ancora mecanicamente trouare il punto
del loro concorſo, mediante i raggi del Sole, oſſeruan-
do doue gli raccogliono; ouero in vna carnera ſerra-
ta, che habbi ſolo vn pertugio nella finestra, doue eſ-
ſa lente ſi deue collocare, oſſeruando, quanto lontano
da quella caſca la distintiſſima pittura de gli ogge@@i
di fuori ſopra la carta, postali dirimpetto, che iui è il
p@nto del concorſo.
Quanto poi alle lenti caue, c’inſegna ſolamẽte, che
fanno le parallele, ouero diuergenti pur diuergẽti nel-
le Prop. 90. 91. 92. 93. 94. la onde per il @õirario fa-
ranno le conuergenti parallele, ò conuergenti ad altro
punto, e perciò ſi dourãno adoprare inanzi al concorſo
fatto dallo Specchio grande, imparãdo dall’eſperien-
za il ſuo vero luogo.
Potremo finalmente, in vece dello Specchio con-
cauo grande, adoperar la lente cõueſſa, combinata con
li Specchietti, ò con le lenti, che n’hauremo il medeſi-
mo: E questo fù auuertito dal ſottiliſſimo ingegno
del Keplero nella medeſima Diottrica alla Prop. 106.
come ci manifesta dicendo. Quod I. Baptiſta pro-
fitetur radios Solis primum colligere, poſt col-
lectos in infinitum mittere, & ſic comburere,
etſi de Speculis loquitur, videtur tamen
130110Delle Settioni perſpicillis intelligi debere, quia de induſtria
occultauit ſententiam. Doue ſoggiunge poi la
combinatione della lente caua, e conueſſa per fare tal’
effetto, credendo queſto conuenire alle lenti più toſto,
che alli Specchi; ma noi ſappiamo di già per dimoſtra-
tione, che lo deuono fare i Specchi Parabolici, che
quanto alle lenti ci è per anco naſcosto qual figura
debbano hauere per vnire in vn punto, ò d ſunir da
quello; non dubito però, che ſe il Keplero, come d’in-
gegno perſpicace, haueſſe fatto rifleſſione alle proprie.
tà de’Specchi Parabolici, nõ haueſſe creduto it mede-
ſimo de’Specchi, ch’egli mostrò di creder delle lenti.
Non tacerò anco, che ſe in vece di Specchietti Pa-
rabolici gli adopraremo @perbolici, talmente fabrica-
ti, che habbino il foco esteriore tanto lontano, quan-
ta ſarà la maggior distanza, nella quale vorremo ab-
bruciare, che me deſimamente douremo hauer l’intẽ-
to noſtro, e ciò forſi ſarà d’aiuto all’Operario, men-
tre egli non vien riſtretto alla forma Parabolica, ma
ſe gli allarga il campo dalla moltiplicità dell’Iperbo-
lette, che in vece di Cilindretti vibraranno Con@ lu-
minoſi, che potranno hauer le baſi non più larghe di
quelle, c’haurebbono detti Cilindretti. La groſſezza
poi del metallo, del quale ſi formarãno gli Specchiet-
ti, ò del chriſtallo, del quale ſaranno fabricate le
131111Coniche. Cap. XXX. ti, farà, che reſtino per qualche t@mpo contumaci alla
forza de’raggi, che da loro venendo vibrati verſo
materie ài facil combuſtione, accenderanno in quelle
il fuoco, inanzi che li Specchietti, o l@ lenti patiſca-
no, come altri potrebbe temere, ſe ben questi ancora
not abilmente ſi riſcalderanno.
Come ſi può probabilmentecongetturare, che lo Spec-
chio a’Archimede, Proclo, e del Por@a, non molto
diſoordi da quello, che ſi è dichiarato nel Capo an-
tecedente. # Cap. XXXI.
VEggaſihora, c’habbiamo inteſo
queſte coſe, s’egli hà del veri-
ſimile, che l’inuentione accen-
nata nell ant. Cap. s’accordi con
quelle de’ſudetti Autori; io per
me lo tẽgo per probabiliſſimo, prima per ſen-
tir noi quaſi tutti gl’I ſtorici concordemente
aſſerire lo Specchio d’Archimede eſſere ſtaro
Parabolico, come ancoil Porta accenna del
ſuo, eſi può ragioneuolmente credere anco di
Proclo (ſe bene non ardirei negare, che in ve-
ce de’Parabolici non ſi foſſero ſeruiti forſi an-
co de i Sferici, ma haueſſero dato ad
132112Delle Settioni re quelli eſſer Parabolici, perche altri non co-
sì facilmente trouaſſe l’artificio, per la diffi-
coltà di fare il Parabolico) & eſſendo o Para-
bolico, o Sferico, per hauer noi inteſo eſſer’im-
poſſibile con quelli abbruciar’in tanta diſtan-
za, ſenza l’aggiunta di qualche altra coſa, la
quale o deue operare per rifleſſione, o per ri-
frattione; ſe per rifleſſione, ſarà ſtato Spec-
chio; ſe per rifrattione, dourà ſtimarſi, che foſ-
e lente. Secondo, mi vien ciò molto cõfermato
pal modo di ſpiegar l’operatione dell’attaccar
fuoco; poiche di Proclo dice pur Zonara di ſo-
pra citato, come riferiſce il Porta; Nam ſpecula
ex ære fabricaſſe Vstoria fertur Proclus, in quæ cum
Solares radij impegiſſent, @gnem inde fulminis inſtar
erumpentem, claſſiarios, ipſaſq́ combuſiſſe, doue
quell’ignem fulminis in ſtar erumpentem, mi par,
che ci rappreſenti quel Cilindretto Vſtorio,
che di ſopra ſi è dichiarato. E di Archimede
l’ifteſſo Zonara nel Tomo 2. parla pur, dicen-
do; Speculo enim quodam verſus Solem ſuſpenſo,
radios @xcepit, aereque ob denſitatem, & leuitatem
Speculi ex ijs radijs incenſo, efficit, vt mgens flam-
ma recta in naues illata omnes eas cremaret: che
pur cõferma la vibratione del ſudetto
133113Coniche. Cap. XXXI. cino dilume. Il medeſimo ſi può credere del-
la Linea Vſtoria del Porta, la qual dice vſcir
dal cẽtro dello Specchio, eſſer di qualſiuoglia
lunghezza, & abbruciare da che parte ſi vo-
glia tutto ciò, che incontra, il che molto ſi ac-
corda cõ il già detto Cilindretto Vſtorio; anzi
ſe bene eſſo Porta, traſponẽdo le parole, ci hà
naſcoſto il loro ſenſo, ſi raccoglie però à pez-
zo à pezzo, ch’egli parla d’vn’artificio, che
conſta d’vna coſa grande, e piccola, cioè di
Specchi Parabolici, ò Sferici, poiche dice: Sed
exeuntem radium ex Speculi ſuperficie Parabolica,
& c. e poi; Nec refert Parabola ſit, aut Sphærica.
e più à baſſo; Fenestra perforetur obliquè, vt re-
cipiat Speculum Parabolicum: più oltre poi; At
ſi parua magnæ in proportione non reſpondet, ſcitò
te nil operaſſe, magna ſit circa baſim, parua circa ver-
ticem, primæ æquidistans. e finalmente periſpie-
gar la ſeconda forma del medeſimo Specchio,
che ſi può vedere nella figura 22. ſoggiunge
nel fine: Sicordi fuerit, vt accenſio anterius fiat,
ex ſectione, quæ circa baſim eſt, conficiatur torques,
in cuius medij puncto accommodetur artificium, vt
regreſſus radius in anterius prodat: veggaſi ſe ſi
può dire più chiaro; il che vien
134114Delle Settioni da quello, ch’egli ſoggiũge parimente nel Ca-
pit. 19. al Tit. Refractione longiſſimè ignem accen-
dere: poiche dice; Conficit eodem modo lineas
tranſuersè inciſas parallelas, dixit Almeon; cioè,
che ſi deuono fare le conuergẽti, ò diuergenti
(ſignificate per quel tranſuersè inciſas) paral-
lele, che ſi fà con gl’artificij detti di ſopra; e
più à baſſo poi; Videbis ignem per occultum, & a@
pertum radium incidẽtem in ſuperficiem rectã, & c.
E finalmente quanto allo Specchio d’Archi-
mede, ch’egli adoperandolo o Parabolico, ò
Sferico, vi accompagnaſſe qualche altra coſa,
che o per rifleſsione, ò per rifrattione vibra-
ua quei raggi, che veniuano in lei raccolti, ce
lo manifeſtano le parole di Zetzes, Autore an-
tichiſsimo, che volendoci eſſo Specchio deſ-
criuere, ne parla in tal maniera, come ſi può
vedere nell’Archimede commentato da Da-
uid Riualto, che da quello le hà tradotte, e
poſte nel fine de’ſuoi Commenti, nello Scho-
lio, poſto al Titolo De Speculis Vstorijs Arcbi-
medis, citato di ſopra nel Cap. 28.
Cum autem Marcellus remouiſſet illas ad iactum
arcus:
Hexagonum aliquod Speculum fabricauit ſenex:
135115Coniche. Cap. XXXI.
A diſtantia autem commenſurati Speculi
Parua talia ſpecilla cum poſuiſſet, quadrupla
angulis:
Quæ mouebantur laminis, & quibuſdam ſcul.
pturis,
Medium illud poſuit radiorum Solis,
Australis, & Æ stiualis, & Hyemalis:
Refractis deinceps in hoc radijs,
Exarſio ſublata e st formidabilis ignita nauibus.
Et has in cinerẽ redegit longitudine arcus iactus.
Hist. 35. Chil. 2.
Io per me confeſſo non hauer trouato Autore,
che paſsi più inanzi di queſto nello ſpiegare
la forma del ſudetto Specchio d’Archimede;
dalle quali parole credo non oſcuramente ſi
poſsi comprẽdere, che oltre lo Specchio o Pa-
rabolico, ò Sferico che ſi foſſe, vi adopraſ-
ſe ancora o Specchietti, ò pur lenti; quel ter-
mine poi di Hexagonuw aliquod Speculum ci ma-
nifeſta, che queſto Scrittore nõ ſapeua di che
ſorte foſſe tale Specchio, ma hauendo forſi
ſentito dire, che lo Specchio cõcauo Sferico
abbrucia dinanzi per quanto di quà, e di là ſi
eſtẽde il lato dell Eſſagono, come ſi è ſpiega-
to nel Cap. 21. ſi riſolſe à ſcriuere, ch’era
136116Delle Settioni qualche Specchio Eſſagono; il rimanente poi,
che ſoggiunge de gli Specchietti, ò vetri col-
locati in diſtãza proportionata allo Specchio
(poiche crederei diceſſe più toſto; A diſtantia
autem commenſurata ſpeculo; ma che foſſero cor-
rottele parole) moſsi con laminette, ò ſcultu-
re, ci moſtra la volubilità di quelli per attac-
car fuoco in diuerſe bande, hauendone più
d’vno, poſcia che molto ſi riſcaldano, e perciò
deuonſi mutare; quel quadrupla angulis, poi non
ſa prei, che ſi voleſſe dire, ſe non forſi, che la
larghezza della baſe de’Specchietti Parabo-
lici (s’erano tali) foſſe quadrupla della pro-
fondità di quelli, il che ſaria ſtato, quando il
foco loro foſſe ſtato in sù la bocca dello Spec-
chietto, poiche la ordinatamente applicata
all’aſſe della Parabola, la qual paſſa per il di
lei foco, è eguale al lato retto di quella, e per-
ciò è quadrupla della parte dell’aſſe troncata
via da lei verſo la cima. Quella parola, &
hyemalis, moſtra l’efficacia di quello Spec-
chio, che anco d’Inuerno facea tale operatio-
ne. Refractis deinceps in hoc radijs; Se queſte
poi vſciſſero da perſona intelligente de’ter-
mini di Proſpettiua, e non da ſemplice
137117Coniche. Cap. XXXI. co, biſognaria credere, che nõ foſſe vno Spec-
chio, ma vna lente quello, ch’adoperò Archi-
mede; ma perche queſto Autore forſi non
hebbe intentione di ſpiegar’altro, che il rom-
pimento de’raggi, che ſi fà tanto per rifleſſio-
ne, come per rifrattione, perciò crederemo
ragioneuolmente, che quel termine, Refractis,
non più la rifrattione, che la rifleſſione ci poſſi
ſignificare. Il dir poi Exarſio ſublata est for-
midabilis ignita nauibus. Moſtra probabilmen-
te, che foſſe attaccato fuoco in più d’vna na-
ue, per douer cagionare vn’incendio così for-
midabile, il che ſi rincontra con quel, che ſi è
detto di ſopra; e finalmente ci dichiara que-
ſto Autore la diſtanza, nella quale ſeguì que-
ſto incendio, mentre dice; Et has in cinerem re-
degit longitudine arcus iactus; cioè nella diſtan-
za d’vn tiro d’arco abbruciò le naui, e le riduſ-
ſe in cenere. Queſta è tutta l’importanza del
negotio, accendere il fuoco in tanta diſtanza,
poiche l’abbruciar d’appreſſo, anzi per lo ſpa-
zio anco di 4. braccia, è coſa facile, e notiſ.
ſima à tutti, in comparatione di quello; ma
cauſar l’incẽdio lontano quãto è vn tiro d’ar-
co, Hocopus, hic labor. Hò inteſo da perſone
138118Delle Settioni tiche, quando ſi tira con l’arco à ſegno, cioè
di punto in bianco, poter’andare lo ſtrale per
inſino à ducento paſſi, ma di tiro eleuato,
com’à dire, circag. 45. ch’è il maſſimo, poterſi
tirar lontano ſino à quattrocento paſſi; che ſe
s’intendeſſe il ſudetto Autore d’vn’arco non
caricato à mano, ma con leue, martinelli, e ſi-
mili ordigni, crederei ſi poteſſe con queſti ar-
riuare alla diſtanza di mezo miglio, e più an-
cora. E che parli d’vn tal’arco il detto Auto-
re, hà del probabiliſſimo, poiche racconta Po-
libio, che hauendo i Romani prouato la tem-
peſta delle pietre, ch’erano ſcagliate dalle
mura, ritrouandoſi aſſai lontani da quelle, ſti-
mò Marco Marcello, che ad Archimede foſſe
biſogno di tanta diſtanza, e che à tanto ſpatio
foſſero caricate le frombole, le baleſtri, e ſimi-
li ſtromenti da tirar pietre; la onde coman-
dò, ſi accoſtaſſe alle mura, per veder d’in-
gannar’Archimede, edi rendere inutili quel-
le machine, dalle quali ſentiua nella propria
Armata tant’offe@a; ma egli fù l’ingannato,
poiche ritrouò non minor’apparato da vicino,
che da lontano, come racconta il medeſimo
Polibio dicendo; Ad extremum M.
139119Coniche. Cap. XXXI. his difficultatibus circumuentus, clam ſilentio noctis
naues propius admouere eſt coactus, quæ poſtquam
intra tali iactum terræ appropin quaſſent, alium rur-
ſus apparatum aduerſus eos, qui è nauibus dimica-
bant, idem vir perstruxerat. Murum crebris ca-
uis ad bumanæ ſtaiuræ modum: ſed quæ extrinſecus
palmares eſſent aperuit. Ibi Sagittarijs, ac Scorpiũ-
culis ab interiore muri parte appoſitis, per istos pe-
tens hostem, inutiles nauium Romanorum epibatas
reddebat, ex quo eueniebat, vt inimicos & procul
poſitos, & in proximo ſtantes, non ſolum quicquam
eorum exequi vetaret, quæ propoſuerant, ſedetiam
plurimos illorum occiderer. E così và ſeguitando
di raccontare le machine, e gli artificij, con
che egli diffendendoſi offendeua le nemiche
naui. Hora egli hà del credibile, che veden-
do M. Marcello non poterſi diffendere, ne con
lo ſtare tanto lontano, quanto era dianzi che
s’accoſtaſſe alle mura, ne con lo ſtar tanto vi-
cino, che intra teli iactum terræ appropinquaſſet;
egli faceſſe vna ritirata tale, che ne viarriuaſ-
ſero i Sagittarij, ne men le frõbole, ò baleſtre,
e che per vltimo rimedio adoperaſſe lo Spec-
chio, e le abbruciaſſe; longitudine arcus iactus;
per la lunghezza d’vn tiro d’arco, non
140120Delle Settioni to con la ſemplice mano, ma ſi bene con leue,
ò altri ordigni; poiche alla prima già ſi troua-
ua con le naui fuor del tiro delle ſaette, come
dice Polibio, e pazzia par che ſarebbe ſtato il
fermarſi di nuouo, doue poco dianzi hauea di
già prouato il continuo tempeſtare delle pie-
tre, ch’erano di groſſezza tale ſcagliate dalle
mura, che tal’vna era di 250. libre: Emi ri-
cordo hauer ſentito dire à vn Siracuſano, che
le naui per vltimo ſi ritiraſſero in vn luogo,
che ſi chiama Bocca di porto, che ſtà verſo
Settentrione in riſpetto di Siracuſa, doue mi
dicea eſſer fama, che Archimede abbruciaſſe
in gran parte le dette naui, nella diſtanza par
(ſe mal non mi ricordo) che affermaſſe di più
di mezo miglio, ſe ben poi per tradimento di
Merico Prefetto di Acradina, che gli aperſe
vna porta, fù poi preſa la Città. Hora l’hauer-
le abbruciate verſo Settentrione, dalla qual
banda non potea eſſer drittamẽte il Sole, con-
ferma maggiormente non poter quello Spec-
chio eſſer ſtato d’altra ſorte, che di quella, che
di ſopra ſi è dichiarato. Aggiungaſi ancora,
ch’eſſo diceua hauer viſto vn’antichiſsimo di-
ſegno di tale Specchio, e che ſi ricordaua,
141121Coniche. Cap. XXXI. era notabilmente cauo, il che pur conferma
ciò, che ſi è detto di ſopra.
Non hò voluto veramente tacere quel-
lo, che mi è venuto in mente, ò che hò potuto
intẽdere da altri, per rẽder credibile vn ſimile
artificio, e queſto hò fatto per inanimar’al-
tri ad affaticaruiſi intorno, ne penſo ſia poco
prima l’hauer’inteſo per dimoſtratione, che
operãdo conforme all’eſſemplare, debba ſe-
guirne l’effetto; poi il vedere da tanti rincon-
tri, quanto queſto penſiero mirabilmente
concordi con quello, che ſi troua ſcritto de
gli Specchi d’Archimede, di Proclo, e del
Porta; e finalmente l’hauer noi relatione di
Scrittori inſigni, e di prima claſſe, ciò eſſer
ſtato fatto, ci deue ben far credere, che ſia
coſa fattibile; ma l’eſſer ſtato fatto da pochi,
che ſia veramente coſa molto difficile, ma
non impoſſibile da farſi. Non hò, dico, volu-
to naſcondere ſotto il ſilentio, ò mettere in
cifra il mio ſenſo in coſa, che può apportare
tanto guſto, marauiglia, & vtilità à ſtudioſi
de’ſegreti di Natura, eſſendo l’huomo, come
diceua Platone, nato non per ſe ſteſſo ſolo, ma
per giouare à gli altri ancora, hauendo
142122Delle Settioni gato nel miglior modo, che hò ſaputo, ciò, che
la ſpecolatiua mi hà ſomminiſtrato in coſa tã-
to recondita, e tanto curioſa, acciò quelli, che
hanno prattica nel lauorare i Specchi, com-
modità di ſpendere, e di tempo più, che nõ hò
io, eſſendo occupato in altra ſorte di ſtudij,
che non mi permettono il poterli applicare,
quãto ſaria di biſogno, adoprãdo ui l’ingegno,
e la mano, cauino dal ſepolcro dell’oblio vn’
inuention sì rara, che per tanti anni è ſtata na-
ſcoſta anco à’più ſottili inueſtigatori delle o-
pere marauiglioſe di Natura: Come pur’an-
cora reſtiamo incapaci, cred’io, ſin’hora della
colũba di Archita, che volaua, delle lucerne,
che ardeuano perpetuamente ne’ſepolcri del
capo fatto da Alberto Magno, che parlaua,
e di ſimili altri ſecreti; riconoſcendo noi nel
noſtro Problema molto vantaggio ſopra di
quelli, poiche non ſolo ſappiamo, che è ſtato
fatto, ma intendiamo anco ſpecolatiuamen-
te il modo, con che ſi dourebbe fare, che tan-
to non ne ſappiamo forſi di quelli. Laſcierò
ben poi ad altri penſare la maniera ſi di fabri-
car detti Specchi, come anco di ſituarli con-
forme all’eſſemplare, tralaſciando molte
143123Coniche. Cap. XXXI. che potrei dire, per quanto s’aſpetta à facili-
tar l’operatione, acciò gli altri habbino d’af-
faticarſi loro ancora, e per non eſſer giuſta-
mente ripreſo d’hauer publicato affatto vn
tal ſecreto, del quale non ſi sà ſe altri n’habbi
mai voluto ſcriuere, ſe nõ il Porta, con parole
oſcure, & enimmatiche, & il Keplero pur’ in
poche parole attribuendolo alle lenti, come
ſi è detto di ſopra; e ſe ben ſi crede da alcuni,
che Archimede ſcriueſſe ancora lui vn’ Ope-
ra de’ Specchi, commentata da vn tal Goga-
ua, ciò però è tenuto per coſa molto dubbio-
ſa; La difficoltà dunque, che vi reſta per met-
terlo in prattica, ſpero che mi liberarà da que
ſta cenſura; oltre che l’hauer’io ſmarrito alcu-
ne ſcritture, nelle quali per mia memoria ha-
ueuo deſcritto le ſudette coſe, per non eſ-
ſer da altri preoccupato, mi hà fatto fare in
parte queſta riſolutione. Vi agginngerò an-
cora l’eſſortationi dell’Illuſtriſs. Sig. Ceſare
Marſili, non meno ornato di quelle parti no-
biliſſime, che à Caualiero ſi conuengono, che
verſatiſſimo nelle diſcipline Matematiche, al
quale parendo, che tal penſiero non ha-
ueſſe così dell’ ordinario, ſtimò eſſer
144124Delle Settioni molto conueneuole, ch’io preſentaſſi qu@ſta
nuoua inuentione à queſto Illuſtriſs. Senato
di Bologna, publicandola ſi per la ſopradetta
ragione, ſi anco, perche ſi porgeſſe materia à’
ſtudioli d’eſſercitar l’ingegno, e la mano, per
arriuare alla perfettione di così curioſo tro-
uato; riferiſcano quelli dunque principal-
mente al generoſo ſpirito di queſto Signore
l’hauer’io paleſato ciò, che penſai di tener na-
ſcoſto (hauendo pur’anco, ſecondo il ſuo pen-
ſiero, poſto il libretto delle figure in vltimo,
cõforme, ch’anch’egli ſtampãdo, mi diſſe di vo
ler fare) e gradiſchino l’affetto mio, e da tanti
cõtraſegni di verità inanimati, faccino della
benignità della Natura iſperienza, che ap-
plaudẽdo à’noſtri sforzi, accompagnarà forſi
queſto con gli altri fauori, de’quali, come mi-
niſtra della Diuina Prouidenza, ſi è com-
piacciuta arricchir ſingolarmente
fra gli altri queſto noſtro
ſecolo.
11[Figure 11]
145125Coniche. Cap. XXXI.
Come con lt ſudetti Specchi potiamo di notte manda-
re il lume lontano. Cap. XXXII.
EManifeſto, che ſe noi collocare-
mo nel foco della Parabola la
fiamma d’vna candela, che tut-
te le linee radioſe, ò luminoſe
ſi rifletteranno dalla Paraboli-
ca ſuperficie parallele, che pe-
rò il lume an darà aſſai lontano, e tutto lo ſpa-
tio rinchiuſo dẽtro eſſe parallele verrà ad eſſe-
re illuminato, l’iſteſſo farà lo Specchio Sferico;
l’Iperbolico poi le ribatterà ſem@re diuergen-
ti, mentre ſia la fiamma nel ſuo foco interio-
re, e ciò farà con la concaua, e con la conueſ-
ſa, mentre quella ſia nel foco eſteriore; l’E-
littico poi le ribatterà ad vn punto, cioè all’
altro foco, doue il lume ſarà viuaciſſimo, ma
in poco ſpatio; con queſti adunque potremo
illuminare vna ſtanza, ò gran ſala con pochi
lumi, ſoſpendendo intorno à quella alc uni di
queſti ſopranominati Specchi, non vi comprẽ-
dendo però l’Elittico, poiche vniſce ſolo in
vn punto.
Sò beniſſimo queſte coſe eſſer ſtate da
146126Delle Settioni ancora accẽnate, ma io le hò quì di nuouo po-
ſte, ſi per applicarle alle altre Settioni Coni-
che, ſi anco per farle naſcere con diletto del-
la ſua ragion fondamẽtale. Laſcio di trattar’
intorno alle imagini, come le poſſino moſtrar’
inuerſe, grandi, piccole, torbide, chiare,
e pendule nell’aria, hauẽdone trattato il Ma-
gini nel ſuo Libretto dello Specchio Sferico;
e l’applicar’i medeſimi ſintomi à’ſudetti Spec-
chi ricercaria maggior lunghezza di quella,
ch’io pretendo in queſto mio Trattato.
Potrei anco dire, come l’effetto del Can-
nocchiale ſi haurebbe forſi anco dalla combi-
natione di queſti Specchi, ò de’Specchi con le
lenti, ſe ben la facilità del produrre la figura
Sferica farà, che ci preuagliamo più toſto di
queſta, che dell’altre; Concioſiacoſa adunque,
che lo Specchio cõcauo facci l’operatione del-
la lente conueſſa, e lo Specchio conueſſo della
lente caua, è manifeſto, che ſe combinare-
mo lo Specchio concauo con il conueſſo, o-
uero con la lente caua, douremo hauer l’ef-
fetto del Cãnocchiale, e tale forſi fù lo Spec-
chio di Tolomeo, la onde con tale occaſione
non mancherò di dire, come hauendo
147127Coniche. Cap. XXXII. volte ſentito cercar da alcuni il modo di fa-
re vn paro d’occhiali, che faceſſero l’effetto
del Cannocchiale, io penſai, che ciò in tal
modo ſi poteſſe fare, cioè, che ſi collocaſſe vn
traguardo da vna bãda, e dall’altra vno Spec-
chietto cauo, poiche mettendoci noi queſto
paro d’occhiali, con il contra porui vno Spec-
chio piano auuicinato, ò allontanato, quanto
cõporta il veder diſtin tamente l’oggetto den-
tro lo Specchietto cauo (ſcorgendoſi però l’v-
no, e l’altro nello Specchio piano, antepoſto
alla noſtra faccia) ſi ottenerà l’effetto del Cã-
nocchiale, egli è però vero, che douẽdo ſta-
re queſti allo ſcoperto, faranno il medeſimo,
che il vetro cauo, ò conueſſo, adoperati fuor
della canna, anzi per farſi vna rifleſſione
di più, cioè dallo Specchio piano, verremo
anco perciò à ſcapitar più nell’operatione;
ciò però con queſta occaſione hò voluto ac-
cẽnare, come per vna bizzarria, per dar qual-
che ſodisfattione à’curioſi, che voglion cer-
car miglior pane, che di farina, poiche all’ec-
cellenza del Cannocchiale, non arriuaranno
mai, per mio credere, ne i Specchi combina-
ti inſieme, ne accompagnati con le lenti,
148128Delle Settioni me, chine vorrà far proua, credo ſi potrà aſ-
ſicurare. Hora dunque baſterà quello, che
ſi è detto di ſopra intorno al lume, e calore,
potendo noi nell’iſteſſo tempo intendere le
medeſime coſe anco per il freddo, che dilatã-
doſi dal corpo freddo ad ogni poſitione per li-
nea retta, e perciò nell’infinite linee, che ſi
partono dal corpo freddo, come dalla neue,
eſſendoui dentro le parallele, che ſono vnite
dallo Specchio Parabolico, e le diuergenti,
che ſono vnite dall’Elittico, e le conuergen-
ti vnite dall’Iperbolico, perciò con opporre
alcun di queſti Specchi ad vna maſſa di neue,
ò di ghiaccio, ſentiremo nel loro foco eſſere il
freddo fatto molto gagliardo, ma per quefto
effetto ſarà più atto l’Iperbolico di tutti, come
quello, che raccoglierà maggior quantità di
linee fredde; e queſto baſti ancora circa il
freddo, potendoſi forſi in vn certo modo cre-
der, che tale effetto accadeſſe anco in-
torno à gli odori, prouando noi di-
latarſi pur quelli dalli corpi
odoriferi verſo ogni
banda.
149129Coniche. Cap. XXXIII.
Come potiamo ſentir quel ſuono, che per altro uon
s vdirebbe, ò ſentir meglio quello, che de-
bolmente ſi ſente. Cap. XXXIII.
IN due maniere noi potiamo ot-
tener queſto, ma prima fà di
meſtieri conſiderare ſe il ſuono,
che ſi hà da ſentire, è vn ſolo, e
vicino, ouero ſe è vn ſolo, e lon-
tano aſſai, ouero ſe ſono più ſuoni inſieme,
come ſariano i ragionamenti fatti in vna
piazza da varie adunanze d’huomini, che diſ-
ſcorreſſero, ouer’il mormorio d’vn fiume, ò ſi-
mili altri ſuoni. Se adun que il ſuono ſarà vn
ſolo, e vicino, non è dubbio alcuno, che ſarà
d’ogn’altro più atto lo Specchio Elittico, met-
tendo l’orecchio in vn de’fochi, e nell’altro
ſtandoui il corpo ſonante; ma quando ſara vn
ſolo, e molto lontano, allhora ſarà atto à que-
ſto ſeruitio anco il Parabolico, mettendo l’o-
recchio nel di lui foco; e finalmente, quando
foſſer più ſuoni inſieme, allhora più atto di tut
ti ſarà l’Iperbolico, come quello, che racco-
glierà più linee ſonore; potiamo poi in due
modi ottener queſto, cioè o
150130Delle Settioni dello Specchio Elittico, o Parabolico, o Iper-
bolico, o del Cannone, ma ſtimo più atto di
tutti il Gannone, perche l’orecchio ſi può ac-
commodare dietro di quello ſenza impedire
le linee ſonore, doue nello Specchio douen-
do l’orecchio ſtarli dinanzi, può apportar-
ui qualche impedimento; auuertendo però,
che queſti iſtromenti vogliono eſſer grãdi per
le linee ſonore più, che per le lucide, poiche
il ſuono non ſoggiace così à queſte leggi, co-
me il lume, propagandoſi quello anco per li-
nea fleſſuoſa, cagionandoſi egli dalla pulſio-
ne nell’organo dell’vdito, fatta dall’aria tre-
mante di più, e men veloci tremori, che fan-
no l’alto, e’l baſſo, il graue, e l’acuto nel ſuo-
no, il qual tremore comincia dal corpo ſonan-
te, e ad ogni poſitione ſi và continuamen-
te diffondendo per dritta linea,
quando non troui oſtacolo,
ma per dritta linea, e
per fleſſuoſa,
quando ritroui impedimento.
∴
151131Coniche. Cap. XXXIV.
Come per il contrario potiamo inuigorire il ſuono,
ſi che ſia ſentito più gagliardo, che non ſi
ſentirebbe. Cap. XXXIV.
QVeſto pur ſi potrà fare con i
medeſimi Specchi, & in par-
ticolare con il Cannone Elit-
tico, fatto con la debita pro-
portione, e miſura, ſi che ſia-
no ſuoi fochi il punto della voce, & il punto
dell’vdito; poiche formando la voce in vn di
quei fochi, ſi ſentirà (per vnirſi molte linee
ſonore in vn ſol pũto) gagliarda più, che ſen-
za il detto Cannone ſi ſentirebbe; Il Cannon
Parabolico poi le manderà parallele, e l’Iper-
bolico diuergenti; intendẽdo però per Spec-
chi nel ſuono quelli, c’hauranno la ſuperficie
in qualche modo liſcia, ſeben non rappreſen-
taſſero le imagini; e chi faceſſe vna tromba
Elittica, Parabolica, ò Iperbolica, che
haueſſe il foco, doue ſe li dà la vo-
ce, forſi faria meglio delle
vſitate.
152132Delle Settioni
Come ſi poſſa fabricare vna stanza talmente, che
chi ſtarà in vn’angolo di quella, ſenta il ſuo-
no fatto nell’altro angolo diametral-
mente oppoſto, non ſentendo quel-
li, che ſaranno nel mezo.
Cap. XXXV.
NOn ſolo lo Specchio, e Canno-
ne Elittico, Parabolico, ò Iper-
bolico faranno i ſudetti effetti,
ma ancora qualſiuoglia pezzo
della ſuperficie di quelli, e pe-
rò ſe noi fabricaremo vna ſtanza contal’arte,
che il volto ſia vn pezzo, ò fruſto di ſuperficie
Elittica in tal modo diſegnata, chei due fochi
di quella venghino ad eſſer ne gli angoli op-
poſti di detta ſtanza, prouaremo, che ſtando
in vn di quegli angoli con l’orecchio in vn de
i detti fochi, ſentiremo ciò, che dirà vn’altro
nell’altr’angolo dall’altro foco baſſamente, ſi
che non ſia inteſo da quelli, che ſaranno in
mezo; sò, che ſcorrendo la voce ſopra d’vna
terſa ſuperficie, ſenza interrompimento alcu-
no, ſuol farſi ſentire più gagliarda dell’ordi-
nario, come ſi ſente longo vn fiume, che
153133Coniche. Cap. XXXV. placido, ouero vn muro, che ſia bẽ pulito, ò da
angolo à angolo, come nella ſala del Sereniſs.
Duca di Mantoua, tuttauia sò anco, cheſe à
queſtos’aggiõgerà, che ſia tal ſuperficie Elitti
ca, fatta nel modo di ſopra, che farà quel mi-
glior’effetto, che ſia poſſibil fare; ſarà poi be-
ne, che il reſto della ſtanza ſia ben pulito, eli-
ſcio, e ſia di ſuperficie Elittica per vn verſo, e
dritta per l’altro (acciò, che’l muro ſtia à piõ-
bo, conforme all’ordinario)e che non vi ſiano
cornici, ouero cordoni, che così ſi darà quel
maggior’aiuto alla voce, ò ſuono, che ſia poſ-
ſibil darui all’aperta; dico all’aperta, poiche
per canali rinchiuſi sò molto bene poterſi par-
lar di lontano, ma in quelli non vi è artificio,
per conto di rifleſſione, ma ſemplicemente
mantengono la voce gagliarda, per la ſuper-
ficie terſa del canale, e per il tremito dell’aria,
che ſenza patire turbamẽto per ſtrada, incor-
rotto peruiene all’orecchio, e di quì ſi può rac
cogliere, che all’a perta eſſendo vna cauità di
muro, ò di mõti di ſuperficie Elittica, faremo
ſentire vn’Echo perfettiſſima, ſe ſtando nell’
vn de’fochi di quella, l’vditore ſarà nell’altro
foco, poiche ſentirà la voce primaria, e
154134Delle Settioni la rifleſſa ingagliardita. Di quì può naſcer, che
la ſeluaggia Ninfa Echo ſia da’Poeti ſtata fa-
uoleggiata per habitatrice de’caui ſpechi,
forſi perche da queſti più perfettamente (co-
me da ſuperficie, che all’Elittica ſi vanno ac-
coſtando) che da ſuperficie piane ci riſponda,
benche ancor da queſte ſi formi l’Echo, co-
me nella ſua Echomatria hà dimoſtrato il P.
Biancano Geſuita.
De i Vaſi Teatrali di Vitruuio.
Cap. XXXVI.
POtiamo ancora dalle coſe dette
di ſopra, comprendere in parte
la ragione del formare i Teatri
circolari, cioè, perche gli vdi-
tori nõ ſolo ſentano la voce pri-
maria, che dalla Scena, come da centro per
l’ampiezza del Teatro ſi diffonde, ma anco la
ſecondaria, cioè la rifleſſa dalla rotondità del
medeſimo Teatro: Anzi per render’eſſa voce
ſonora, & armonica all’vdito, ſoleuano gli an-
tichi collocar certi vaſi dentro le ſedie, ſopra
certe celle incauate nel muro, crederei
155135Coniche. Cap. XXXV. à guiſa de i Nicchi, ne’quali ſi ſoglion mette-
re le Statue, in tal maniera però, che ſteſſero
ſoſpeſi con certi cunei, ſenza toccare il muro,
con la bocca riuolta in giù, ſino al numero di
tredici, nel medeſimo corſo, e ne’Teatri pic-
coli, ma di trẽtaſette in tre corſi, e ciò ne’Tea-
tri grandi, accommodati ſecondo il genere
armonico chromatico, e diatonico, formati
con tal proportione fra di loro, che toccati,
riſonaſſero il diateſſeron, e’l diapente per or-
dine al diſdiapaſon, cioè la quarta, e la quin-
ta per ordine alla quintadecima, dẽtro la qua-
le rinchiudeuano gli Antichi tutte le conſo-
nanze, benche Vitruuio arriui ſino alle diciot-
to; le quali coſe egli ci manifeſta nel libro 5.
al Cap. 5. della ſua Architettura, mentre di-
ce; Itaex his indagationibus mathematicis ratio-
nibus fiunt vaſa ærea pro ratione magnitudinis
Theatri, eaq; it a fabricentur, vt cum tanguntur, ſo-
nitum facere poſſint inter ſe diateſſeron, diapente
ex ordine ad diſdiapaſon. Postea inter ſedes Thea-
tri conſtitutis cellis, ratione muſica ibi collocentur,
it a vti nullum parietem tangãt, circaq; habeant lo-
cum vacuum, & à ſummo capite ſpatium, ponan-
turq; inuerſa, & habeant in parte, quæ ſpectat
156136Delle Settioni Scenam, ſuppoſitos cuneos, ne minus altos ſemipe-
de, contraq; eas cellas relinquantur aperturæ infe-
riorum graduum cubilibus longæ pedes duos, altæ
ſemipedem. E così da queſti vaſi riflettendoſi
la voce con molta ſonoritſa4; , & armonia, arri-
uaua alle orecchie de gli vditori, com’egli di-
ce doppo hauer ſpiegato le conſonanze, che
deuono formar tra di loro detti vaſi, ſoggiõ-
gendo: It a hac ratiocinatione vox ab Scena, vti
à centro profuſa ſe circumagẽs, tactuq; feriens ſingu-
lorum vaſorum caua @x@it auerit auctam clarita-
tem & concentu conuenientem ſibi conſonantiam.
Queſti vaſi, benche foſſero tredici, non ren-
deuano però tutti ſuoni differenti, ma eſſen-
do diſpoſti in ſemicircolo, erano vniſoni quel-
li, che diſtauano vgualmente da quel di me-
zo: Ma per maggior chiarezza ſupponiamo
per detti tredici vaſi le tredici lettere maiuſ-
cole, poſte indritto, ſe ben’i Vaſi vanno diſpo-
ſti in giro, conforme alla rotondità del Tea
tro; intenderemo dunque, che i Vaſi AA. fra
di loro, e così BB. CC. DD. EE. FF. ſiano
A B C D E F G F E D C B A
vniſoni, e perciò d’egual grandezzapur fra di
loro, hora tra queſti i vaſi eſtremi AA.
157137Coniche. Cap. XXXV. no, dice, riſonare il Nete hyperboleon, per
eſſempio, nel genere armonico, cioè eſſere
acutiſſimi; Poi i ſecondi BB. douranno far’il
Nete diezeugmenon, cioè eſſer più baſsi del-
li AA. per vn Diateſſeron, cioè per vna quar-
ta, e perciò i corpi di queſti BB. douran’eſſer
ſeſquiterzi delli AA. poiche il Diateſſeron
conſiſte nella proportion ſeſquiterza. Parimẽ
te gli CC. ſarãno più baſsi de ſecondi BB. vna
quarta, & à quelli ſimilmente in ſeſquiter-
za proportione, per formar pur queſti CC.
con li BB. il Diateſſeron. I quarti DD. ſa-
ranno poi più baſſi delli CC. per vn tuono,
e perciò à i CC. douranno hauer proportio-
ne ſeſquiottaua. I quinti EE. ſaranno più
baſſi delli DD. vna quarta; & i ſeſti FF. pur
vna quarta più baſſi delli EE. E ſinalmente il
medio G. fra tutti baſſiſſimo lõtano dalli FF.
medeſimamente per vna quarta. Queſte ſo-
no leconſonanze, che per il detto di Vitruuio
par che debbino far queſti vaſi, quando ſian
tocchi dalla voce, o da altra coſa, che gli per-
cuota; ſe ben pare, che ſi poteſſero in altro
modo ancora talmente ordinare, che fareb-
bono forſi anco miglior conſonanza,
158138Delle Settioni però laſcierò conſiderare alli Muſici prattici,
che facilmente comprenderanno, qual ſia la
migli r concordanza, che poſſino hauer fra
di loro queſti vaſi.
Ma benche s’intendano queſte conſonan-
ze, e che Vitruuio c’inſegni, che queſti vaſi
deuono ſtar, doue ſono le celle, com’egli dice
nelluogo ſopracitato, con l’altre circonſtan-
ze, nondimeno pare, che la noſtra curioſità
non troui piena ſodisfattione nella dichiara-
tione, ch’egli fà intorno à queſti vaſi, poiche
ne c’inſegna, che forma debbano hauere, ne
men le celle, ne con qual proportione, riſpet-
to alle grandezze de’Teatri, ſi habbino da fa-
bricare, e con qual regola ſituarſi, dicendo
ſolo; F@unt vaſa ærea pro ratione magnitudinis
Theatri; moſtrando, che deuono eſſer caui,
per quelle parole; Tactuq́; feriens ſingulorum
vaſorum caua; non paſſando più oltre ne lui,
ne i ſuoi commentatori, almeno quelli, che
hò potuto vedere; Non mancherò perciò di
dire anco intorno à queſto il mio pẽſiero, non
perche io ſtimi d’indouinare il modo de gli
antichi; ma perche mi pare probabilmen-
te, che nella maniera, che penſo io,
159139Coniche. Cap. XXXV. farſi vna coſa ſimile à queſta, che Vitru-
uio accenna, e per eccitare gli ſtudioſi ad ap-
plicare il penſiero à queſt’altro Problema, de-
gno della curioſità di quelli, che vanno cer-
cando coſe nuoue, e che non ceſſan mai d’af
faticarſi per diſcoprire i teſori, che ſotto le
ruine delle antiche diſcipline ſtanno ſepolti.
Io dunque ſtimarei, che quei vaſi doueſſero
hauere vna delle tre forme di ſopra dichia-
rate, cioè o Parabolica, o @perbolica, o pure
Elittica, come quelle, che habbiamo di già
viſto eſſere attiſſime per vnire ad vn punto le
conuergenti, diuergenti, e parallele, o diſu-
nire da quello, vſcendo la voce, come da vn
pũto della bocca del recitãte, e diffondendoſi
in giro in cõſeguenza linee diuergẽti. Fra quel
le tre poi crederei più toſto cõuenirli la forma
Iperbolica, che le altre due; e che le celle do-
ueſſero eſſere di cõcauità Elittica, per il lon-
go, e per il largo, fabricando così la cella, co-
meil vaſo con tal proportione, in riſpetto del
Teatro, che de i due fochi della cella Elitti-
ca (cioè, che è vn pezzo della ſuperficie del-
lo Sferoide) vno foſſe in quel luogo, doue ſo
gliono ſtare irecitanti, o cantori, l’altro
160140Delle Settioni no alla cella dinanzi à quella, e dirimpetto al-
la fronte di eſſa, acciò nel medeſimo punto
fuſſe anco il foco interiore del vaſo Iperbo-
lico riuolto con la bocca in giù, eſſendo que-
ſta collocatione ſim@le à quella dello Spec-
chio grande Parabolico, e dello Specchietto,
inſegnata nel Cap. 20. e quaſi vn ſimile arti-
ficio. Hora che la figura, e diſpoſitione de i
detti vaſi, e delle celle debba farci ſortir l’ef-
fetto, che pretendiamo, adeſſo ſi farà manife-
ſto. La voce adunque, ch’vſcirà dalla Seena,
e ſi diffonderà per l’am piezza del Teatro, ca-
minerà per linee diuergenti dal foco ſtatuito
nel ſudetto luogo della Scena, & arriuarà nel-
le celle di ſuperficie Elittica, adunque le det-
te celle rifletteranno tutte le linee ſonore, ch’
eſſe riceueranno, facẽdole diuentare conuer-
genti all’altro foco, che già ſi è conſtituito in-
nanzi à loro, dirim petto alla fronte, ma quel-
lo ſarà anco foco interiore del vaſo Iperboli-
co, che iui ſarà collocato, adunque le linee
ſonore, che in virtù della cella ſi ſaranno riu-
nite nel foco interiore del ſudetto vaſo, tra-
paſſandolo, & andando à ferire nella conca-
uità Iperbolica del vaſo, come diuergenti,
161141Coniche. Cap. XXXV. rifletteranno da quella pur diuergenti, poi-
che nel Corollario del Cap. 14. ſi è inſegnato,
che le rette linee, che, partendoſi dal foco in-
teriore dell’Iperbola, la vanno ad incontrare,
ſi riflettono poſcia diuergẽti dal foco eſterio-
re, così dilatandoſi ſempre più, potrà arriuar
la voce per rifleſſo à tutti gli vditori, il che
non ſeguirebbe, quando il vaſo foſſe di forma
Parabolica, che rifletterebbe dette linee ſo-
nore parallele, per il Corol. del Capit. 9. o di
forma Elittica, che le riunirebbe in vn punto
ſolo, per il Cap. 17 che perciò parmi più del-
le altre conuenirli la figura Iperbolica; eſſen-
do adunque tredici vaſi ſituati, come ſi è det-
to, ſi faranno tredici rifleſſioni della medeſima
voce per ciaſcun’orecchio, & in ſomma tan-
te, quanti ſaranno i vaſi, con quell’armonia,
che dalla proportion di quelli riſultarà.
Queſta è vna delle coſe, che mi ſon venu-
te in mente circa i detti vaſi, intorno a’quali
altri ſpecolando, incontraranno forſi modi
più facili, che alla debolezza del mio inge-
gno non poſſono così facilmente ſouuenire,
a quali, ſpero nondimeno, non ſia per eſſere
ne anco diſcaro il poter cõ gli altri
162142Delle Settioni ancora queſto mio penſiero. Ch’egli vera-
mente confronti co’l modo de gli antichi, ac-
cennato da Vitruuio, non ardirei d’affermar-
lo, e maſſime, che vi ſono alcune parole nel ſu-
detto Capitolo, che più toſto moſtrano la co-
ſa ſtare altrimente da quel, che ſiè dichiara-
to; poiche ſe bene conſideraremo il nome di
cella, non pare, che ſignifichi, come vn Nic-
chio da Statue; ma più toſto vna coſa ſerrata,
o ripoſto, come appunto ſi dice, cella vinaria,
la cãtina, cella penuaria, la ſaluarobba, e cel-
le le caſelle delle Api, che pur hanno il recin-
to attorno; così ſtando sù la proprietà della
voce, cella, dobbiamo ſtimar più toſto, che
ſignifichi vna coſa ſerrata, come vna conſer-
ua della voce rifleſſa dal vaſo ſoprapoſtoli, a-
perta però nella parte ſuperiore, & inferiore;
il che, ſe è vero, hauremo da credere, che, ſpic-
candoſi la voce dalla bocca del recitãte, non
s’intẽda Vitruuio, che debba immediatamen-
te andar’à ferir nella cella, come diceuo io,
ma sì ben nel vaſo ſoprapoſtoli, e da quello po
ſcia s’incauerni, per dir così, nella cella, vſcẽ-
do dalla parte inferiore, che deue eſſer’a perta
à queſto effetto, per arriuar per il rifleſſo
163143Coniche. Cap. XXXV. l’onde dell’aria all’orecchie de gli vditori, che
è aſſai differente dal ſudetto penſiero; quello
nõdimeno ſi accetti, come modo nuouamen-
te imagina to, e propoſto, perche da altti con
il diſcorſo, e con l’eſperienza poſſi eſſere eſſa-
minato, ne per queſto tralaſciamo ancora di
põderar le parole di Vitruuio, per poterne pe-
netrar’il vero ſenſo. Quelle veramente par,
che ci vengano ſignifican do, che le celle ſiano
luoghi ſerrati d’intorno, il che non ſolo vien
confermato dal nome di cella, come già ſi è
detto; ma da quelle parole ancora; Circaque
habeant locum vacuũ, & à ſummo capite fpatium;
parlando dei vaſi, che ſe foſſe la cella vn Nic-
chio, non parerebbono molto à propoſito, e
da quelle altre, & habeant in parte, quæ ſpectat
ad Scenã, ſuppoſitos cuneos; biſognando perciò,
che vi ſia, chi ſoſtenti detti cunei, cioè forſi il
recinto della cella; e da quelle altre; contraq;
eas cellas relinquantur apertur æ inferiorũ graduum
cubilibus; acciò la voce poſſi vſcire dalle cel-
le, aggiunge Daniel Barbaro; la onde ſarà
l’ingreſſo dalla parte ſuperiore della cella per
il rifleſſo fatto primieramente dal va@o, il che
pare, che confermino quelle altte parole;
164144Delle Settioni hac ratiocinatione vox ab Scena; Vti à centro pro-
fuſa ſe circumagens, tactuq; feriens ſingulorũ va-
ſorum caua, excitauerit auctam claritatem, & c. do-
ue par, che voglia intender Vitruuio, che la
voce vſcita dalla Scena debba andar di poſta
à ferir ne i vaſi, da’quali ſi rifletta nelle
celle, edi lì poi ſi ſparga per il Teatro; per la
qual coſa crederei pur’anco, che i vaſi doueſ-
ſero eſſer’Iperbolici, ma che haueſſero il foco
interiore, nõ vicino, ma nella Scena, dal qua-
le riceuendo le linee ſonore, come diuergen-
ti, le riſtetteſſero nella cella pur diuergenti,
che perciò ſtimarei, che i vaſi non doueſſero
ſtar ſopra le celle, come tanti capelletti total-
mente inuerſi, ma riuolti con la bocca parte
verſo la Scena, parte verſo la cella, la quale
non pare, c’habbi poi da far’altro, che di con-
ſeruar la voce à guiſa di canale ſerrato, ſpar-
gendola per l Auditorio dalla parte da baſſo;
Vna tale cõſtitutione adunque par, che ſi poſ-
ſi dedurre dalle parole del medeſimo Vitru-
uio.
Non riputarei però ne anco improbabile,
cheivaſi, in vece di ſopraſtare alle celle à gui-
ſa di capelletti, foſſero dentro le
165145Coniche. Cap. XXXVI. celle, hauendo però lo ſpatio aperto di ſopra,
come il medeſimo Vitruuio accẽna con quel-
le parole; Circaq; habeant locum vacuum, & à
ſummo capite ſpatium; che danno inditio que-
ſti vaſi douer’eſſer dentro le celle, poiche ſe
foſſero fuori, haurebbono ſenz’altro lo ſpatio
di ſopra, ſenza che biſognaſſe dirlo, e maſſi-
me, che tale ſpatio par, che vi biſogni per l’in-
greſſo della voce, come il Barbaro eſpone, a-
dunque il vaſo ſarà dentro, e non fuori della
cella: il che quando ſia vero, intenderemo,
che la voce vadi à ferir nel vaſo, non per linea
retta, ma ſi ben fleſſuoſa, per la dilatatione
delle onde dell’aria, come per la caduta del
ſaſſo ſegue delle onde dell’acqua, dalla cui
concauità ſi rifletta poi nella cella, e di nuo-
uo nel vaſo, facendoſi vna reciprocatione di
voce per queſti rifleſsi, & vn’Echo quaſi infi-
nita, vſcendo tuttauia per le aperture dinan-
zi, che ſideuono fare pur nelle celle, ſecondo
Vitruuio, e ſpargendoſi per l’Auditorio, eſ-
ſendo eſſe celle à guiſa di coperti da forni, o
di Teſtudini, come accennano ancora Agoſtin
Gallo, & Aloiſi Pirouano, Commentatori di
Vitruuio; conforme à queſto penſiero
166146Delle Settioni que nella figura 23. hò fatto vn poco d’vno
abbozzo, per iſpiegare queſto concetto; In-
tenderemo adũque eſſer la cella, O A R, fat-
ta in volta, & aperta di ſopra, doue è la lette-
ra, A, come anco dinanzi verſo l’Auditorio,
ſecõdo il foro, F P, il vaſo poi ſarà, K, diſtan-
te dalla baſe, O R, almeno per vn mezo pie-
de, ſoſtentato dalli cunei, S A, I A; entrarà
la voce adunque perilforo, A, e di lì nel vaſo,
K, dal quale ſi rifletterà nella cella, O A R,
vſcendo per il foro, F P, all’Auditorio: Se altri
ſtimaſſe poi, che il vaſo ſteſſe al cõtrario, cioè
con la boccain sù, potrà far l’eſperienza del-
l’vna, e l’altra poſitura, e vedere qual rieſca
meglio: Perla circonferenza poi, C B D, ſ@ã
no diſpoſte le tredici celle, tutte ſimili alla cel-
la, O A R, eſſendo ſerrati i vani tra l’vna, e
l’altra, e quelle ſeparate con le pareti, acciò
tutte inſieme venghino à formare, come vn
grãde ſcalino, ſouraſtamte à gli altri, ne’quali
ſogliono ſedere gli Vditori: Chi poi non tra-
mezaſſe le celle, ma, C B D, ſoſſe, come vn
canale ſemicircolare, dentro il quale entraſſe
la voce per le bocche, C, D, vſcendo incor-
rotta per le aperture dinanzi, ſimili ad, F
167147Coniche. Cap. XXXVI. ma rinforzata dentro il canale, C B D, per i
rifleſſi fatti da i vaſi, diſpoſti come ſopra, cre-
doanco, che non faria mal’effetto.
Ciaſcuno tuttauia s’accoſti à quella opi-
nione, che gli parerà più probabile, ch’io non
determino perciò coſa veruna: Quanto alla
ſigura de i vaſi poidirò ancor queſto, ch’io hò
viſto appreſſo i ſudetti Commentatori, che gli
moſtrano, come tante campanelle, il che pur
conferma la figura Iperbolica già detta di ſo-
pra (qualunque ſia la loro conſtitutione) alla
quale pur le campane par che ſi vadano acco-
ſtando. Queſte figure però non s’hanno da
intendere così rigoroſamente, che non ſia le-
cito lo ſua riare alquanto, baſtando pur, che
à quelle ci accoſtiamo; poiche dice il medeſi-
mo Vitruuio nel ſudetto Capitolo, che molti
ſeruen doſi non di vaſi di metallo, ma di terra,
come di vrne, ouer’olle, fecero ne’Teatri pur’
anco vtiliſſimi effetti. Haueuano poi gli An-
tichi altra ſorte d@ vaſi, come dice Herone,
per cauſare il tuonone’medeſimi Teatri, alla
cognition de’quali, come anco de’ſopradetti
vaſi, accoppiando la buona dottrina con l’e-
ſperienza, non dubito, che non potiamo
168148Delle Settioni riuare doppo qualche fatica noi ancora.
Delle altre ſuperficie, che dal vario mouimento,
ò fluſſo delle Settioni Coniche poſſono eſſer
generate. Cap. XXXVII.
POſciache noi habbiamo conſide-
rato le ſuperficie generate dalle
Settioni Coniche, per il riuol-
gimento intorno al ſuo aſſe, vi
reſtano da vedere quelle, che
poſſono eſſer prodotte per il vario mouimen-
to delle iſteſſe Settioni, e concioſiacoſa che
infiniti ſiano i moti, che poſſon fare, infinite
ſaranno anco le ſuperficie da lor generabi-
li, tuttauia di quei mouimenti due ſoli an-
cora ne conſiderarcmo, e due delle dette ſu-
perficie, quali così ſpiegaremo ſopra la 24.
figura.
Siano dunque le due Parabole, B A C, V T
Y, per eſſempio, ſuoi aſſi, A M, T X, & à quel-
li ordinatamente applicate, B C, V Y, e dal
punto, C, ſia tirata la, C H, parallela all’aſſe,
A M, e ſia, I, foco della Parabola, B A C, qua-
le ſi riuolga intorno ad, H C, fiſſa, ſino che
169149Coniche. Cap. XXXVII. torni di onde ſi partì, tal che deſcriua la ſuper-
ficie, B A C D E, & il punto, I, la circonferen-
za, I O, & , B C, il circolo, B E; è dunque ma-
nifeſto, che i fochi della Parabola, B A C, con-
ſtituita in diuerſi ſiti in tal reuolutione, ſaran-
no tutti nella circonferenza, I O, ſi che eſpo-
ſta vna tal ſuperficie verſo il Sole, talmente,
che, H C, ſia per dritto al centro di quello, el-
la abbruſcierà non in vn punto, ma nella cir-
conferenza, I O; e per il contrario molti lumi
poſti nella circonferenza, I O, rifletteranno il
ſuo ſplendore per linee parallele, e per linee
diuergenti, quando, B A C, foſſe vn’Iperbola,
o per conuergenti, quando foſſe vna portion
d’Eliſſi, terminanti pure in circonferẽza di cir-
colo (intendendo però hora conuergenti non
ad vn punto tutte, ma alla circonferenza d’vn
circolo, come anco diuergenti) e tutto quello
in ſomma, che ſi è detto dell’vnire, o diſunire
le linee radioſe, o ſonore da vn punto, quà s’@n-
tenderà quanto ad vnirle in vna circonferen-
za di circolo, o diſunirle da quella; ſupponen-
do per la Parabola, B A C, poſta per eſſempio,
e l’Iperbola, e l’Eliſſi, o ſua portione.
Sia poi, V T Y, Parabola, Iperbola, o
170150Delle Settioni o pa@te di quelle, X T, aſſe, & , V Y, ordinata-
mente applicata à, T X, e foco il punto, S, e ſi
moua, ſolleuandoſi talmente, che ſtia ſempre
parallela al piano, V T Y, e la, V Y, deſcriua
vn parallel@gramo rettangolo, P Y, perpendi-
colale ſopra il piano, V T Y, & il foco, S, la ret-
ta, S R, terminata nel piano della ſettione, P
O Q, quieſcente@ nel fin del moto, il cui aſſe
ſia, O @; ſe adunque ſegaremo la ſuperficie
generata dalla ſettione, P O Q, con vn piano
paralleloa à, V T X, ſe ne farà vna iſteſſa ſettio-
ne, che hauerà il foco nella retta, R S, & in
ſomma tutci i fochi delle ſettioni intermedie
ſaranno nella retta, R S, nella quale la ſuper-
ficie, P O Q Y T V, abbruſcierà, eſſendo con
ll concauo eſpoſta al Sole; ſecondo la drittura
delli aſſi delle medeſime Settioni. Tutto quel-
lo adunque, che ſi è detto, quanto all’vnire le
linee radioſe, o ſonore ad vn punto, o diſunir-
le da quello, s’intenderà ancora poterſi fare
con queſte ſuperficie, quanto all’vnirle, ò di-
ſunirle da vna linea retta; E però ſe, R S, foſ-
ſe vna corda ſonante, nõ è dubbio alcuno, che
il ſuono per ragion di rifl@ſſione, eſſe@do la ſu-
perficie, P O Q Y T V, Elittica, ſi rifletterà
171151Coniche. Cap. XXXVII. vna retta linea, ma, eſſendo Parabolica, per ſu-
perficie parallele, & , eſſendo Iperbolica, per
ſuperficie diuergenti, intendendo pero la di-
uergenza, e conuergenza non in vn punto, ma
in vna retta linea, dalle quali coſe ſi manife-
ſta; che ſi può inuigorire in diue@ſi modi il ſuo-
no de gl’@ſtrumenti da corde, il che però baſti
di hauer’al curioſo Lettore accennato.
Della cognitione del Moto.
Cap. XXXVIII.
DI quanta importanza ſia la co-
gnitione del moto nelle coſe na-
turali, e di che momẽto, per ben
filoſofare, credo eſſer manifeſtiſ-
ſimo à ciaſcuno, che in queſto
gran Teatro di Natura habbi talhora fiſſato
lo ſguardo nelle di lei marauiglioſe bellezze.
I mouimenti de’Cieli, le traſmutationi, che ſi
veggon fare continuamente intorno à queſto
globo terr@ſtre, eccitorno la curioſità à con-
templarli, come ſingolari artificij di Natura,
con ch’ella così mirabili effetti ci rappreſen-
ta, e sforzorno le menti humane à
172152Delle Settioni altro per appunto non eſſer Natura (come il
Prencipe de’Peripatetici nel 2. della Fiſica
c’inſegna) che vn principio di moto, e di quie-
te; di onde poi con gran ragione ſi deduſſe
quella communiſſima, e veriſſima ſentenza.
Ignorato motu ignoratur Natura. Altiſſima dot-
trina in vero, intorno alla quale degnamente
ſi ſono affaticati i più ſublimi ingegni, che ſia-
no ſtati al Mondo, parendoli come à dire, che
chi haueſſe vn’eſſatta cognition di quello, po-
ſcia diuentaſſe attiſſimo in vn certo modo all’
intendere, ed à penetrare tutti gli effetti di
Natura. Ma quanto vi aggiunga la cognitio-
ne delle ſcienze Matematiche, giudicate da
quelle famoſiſſime Scuole de’Pitagorici, e de’
Platonici, ſommamente neceſſarie per inten-
der le coſe Fiſiche, ſpero in breue ſarà mani-
feſto, per la nuoua dottrina del moto promeſ-
ſaci dall’eſquiſitiſſimo Saggiatore della Natu-
ra, dico dal Sig. Galileo Galilei, ne’ſuoi Dia-
logi, proteſtando io hauer’hauuto e motiuo,
e lume ancora in parte intorno à quel poco,
ch’io dirò del moto in queſto mio Trattato,
per quanto alle Settioni Coniche ſi aſpetta,
da i ſottiliſſimi diſcorſi di quello, e del
173153Coniche. Cap. XX XVIII. rẽdiſs. P. Abbate D. Benedetto Caſtelli Mona-
co Caſſinenſe, Matem. di N. S. e molto inten-
dente di queſte materie, ambid ue miei Mae-
ſtri. Rimetto dunque il Lettore in ciò, ch’io
ſupporrò al dottiſs. libro, che da sì grand’in-
gegno in breue dourà porſi in luce, e ſi cõten-
terà di queſto poco, ch’io dirò, per manifeſta-
re, che coſa habbino che fare le Settioni Co-
niche con così alto, e così nobil ſoggetto.
Del mouimento de’corpi graui.
Cap. XX XIX.
BEnche intorno à’corpi graui di-
uerſiſſime coſe ſi poteſſero con-
ſiderare, tutte belle, e tutte cu-
rioſe, hora però non cercaremo
altro, ſe non che ſorte di linea
ſia quella, per la quale ſi moue eſſo graue, mer-
eè prima dell’interna grauità, poi del proiciẽ-
te, e finalmente dell’vno, e dell’altro accop-
piati inſieme, per vedere, ſe vi haueſſero che
fare le Settioni Coniche, e quali ſiano, quan-
do ciò ſia vero.
Dico adunque, ſe noi conſideraremo il
174154Delle Settioni to del graue fatto per la ſola interna grauità,
in qualunque modo poi ella ſi operi, che quel-
lo ſarà ſempre indrizzato yerſo il centro vni-
uerſale delle coſe graui, cioè verſo il cẽtro del-
la terra, & vniuerſalmente conſpirare tutti i
graui à queſto centro, poiche ſi veggono in
tutti i luoghi della ſuperficie terreſtre ſcen-
dere, non impediti, à per pẽdicolo ſopra l’Ori-
zonte, & è manifeſto, che le linee rette per-
pendicolari alla ſuperficie della sfera prolon-
gate, vanno tutte à ferire nel centro di quella,
che poi la terra ſia sferica è manifeſtiſſimo, ſi
per via delli Eccliſſi, come anco d’altri acci-
denti, che euidentemẽtẽ queſto ci dimoſtrano.
Dico più oltre, che conſiderato il mobile,
che da vn proiciẽte viene ſpinto verſo alcuna
parte, ſe non haueſſe altra virtù motrice, che
lo cacciaſſe verſo vn’altra banda, andarebbe
nel luogo ſegnato dal proiciente per dritta li-
nea, mercè della virtù impreſſali pur per drit-
ta linea, dalla quale drittura non è ragioneuo-
le, che il mobile ſi diſcoſti, mentre non vi è al-
tra virtù motrice, che ne lo rimoua, e ciò quã-
do fra li duoi termini non ſia impedimẽto; co-
me, per eſſempio, vna palla d’Artiglieria
175155Coniche. Cap. XXXIX. ta dalla bocca del pezzo, ſe non haue ſſe altro,
che la virtù impreſſali dal fuoco, andarebbe à
dare di punto in bianco nel ſegno poſto à drit-
tura della canna, ma perche vi è vn’altro mo-
tore, che è l’interna grauità di eſſa palla, quin-
di auuiene, che da tal drittura ſia quella sfor-
zata deuiare, accoſtandoſi al centro della
terra.
Dico ancora, che quel proietto non ſolo an-
darebbe per dritta linea nel ſegno oppoſto,
ma che in tempi eguali paſſarebbe pur ſpatij
eguali della medeſima linea, mentre quel mo-
bile foſſe à tal moto indifferent@; e mentre an-
cora il mezo non li faceſſe qualche reſiſtenza,
poiche non ci ſarebbe cauſa di ritardarſi, ne di
accelerarſi: ſi che il graue, mercè della inter-
na grauità, non anderà ſe non verſo il centro
della terra, ma quello, mercè della virtù im-
preſſali, potrà incaminarſi verſo ogni banda;
eſſendo due adunque nel proietto le virtù mo-
trici, vna la grauità, l’altra la virtù impreſſa,
ciaſcuna di loro ſeparatamente farebbe ben
caminare il mobile per linea retta, come ſi è
detto, ma accoppiate inſieme non lo faranno
andare per linea retta, ſe nõ in queſti due
176156Delle Settioni nel primo, quãdo dalla virtù impreſſa ſia ſpin-
to il graue per la perpẽdicolare all’Orizonte;
il ſecondo, quando non ſolo la virtù impreſſa,
ma anco la grauità moua il graue vniforme-
mente, perche gli accoſtamenti fatti in tempi
eguali al centro della terra, partendoſi da vna
retta linea, ſariano ſempre eguali, come anco
li ſpatij decorſi ne’medeſimi tempi dell’iſteſſa
linea, per la quale viene ſpinto eſſo graue; e
perciò il mobile ſarebbe ſempre nella medeſi-
ma linea retta: Ma quando vno de’duoi non
foſſe vniforme, allhora nõ caminarebbe il mo-
bile ſpinto dalla grauità, e dalla virtù impreſ-
ſa, altrimente per linea retta, ma ſi bene per
vna curua, la cui qualità, e conditione dipen-
derebbe dalla detta vniformità, e diſſormità
di moto accoppiate inſieme. Hora nel graue,
che, ſpiccandoſi dal proiciente, viene indriz-
zato verſo qual ſi ſia parte, per eſſempio, moſ-
ſo per vna linea eleuata ſopra l’Orizonte, vi è
bene la grauità, che opera, ma quella non fà
altro, che ritirare il mobile dalla drittura del-
la ſudetta linea eleuata, non hauendo che far
niente con l’altro moto, ſe non per quanto vie-
ne il graue allontanato dal centro della
177157Coniche. Cap. XXXIX ra, aſtraendo adunque nel graue la inclinatio-
ne al centro di quella, come anco ad altro luo-
go, egli reſta indifferente al moto conferitoli
dal proiciente, e perciò ſe non vi foſſe l’@mpe-
dimento dell’ambiente, quello ſarebbe vni-
forme: ragioneuolmẽte adunque ſi potrà ſup
porre, che i graui ſpinti dal proiciente verſo
qualunque parte, mercè della virtù impreſſa,
caminino vniformemente, non hauendo riſ-
guardo all’impedimento dell’aria, che per eſ-
ſer tenuiſſima, e fluidiſſima, per qualche nota-
bile ſpatio, può eſſer, che gli permetta la ſu-
detta vniformità.
Reſta hora, chefacciamo rifleſſione all’ac-
coſtamento del graue, fatto alcentro della
terra, mercè dell’interna grauità, che vien
detto moto naturale, & al diſcoſtamento da
quello, per l’impulſo cõferitoli, che ſi chia-
ma moto violento; cheil graue, che ſi patte
dal la quiete, e ſi moue al centro, ſi vada ſem-
pre velocitãdo, quãto più ſi accoſta al centro,
o per dir meglio, quanto più ſi allontana dal
ſuo principio, e che il violento, o dal centro ſi
vada ſempre ritardando, ciò è ſta@o ſa puto da
tutti i Filoſofi ancora, ma con qual
178158Delle Settioni ne s’acceleri il moto naturale, e ſi ritardi il
violento, ce lo inſegna nuouamente, e ſingo-
larmente il Sig. Galileo ne’ſuoi Dialogi alla
pag. 217. dicendo eſſer l’incremento della ve-
locità, ſecondo il progreſſo de’numeri diſpa-
ri continuati dall’vnità, & il decremento, ſe-
condo la medeſima ſerie, numerando al con-
trario; cioè, Se, per eſſempio, vn mobile an-
dando verſo il cen@ro in vna battuta di polſo,
farà vn braccio di ſpatio, nella ſeconda ne fa-
rà 3. nella terza 5. nella quarta 7. nella quin-
ta 9. e così di man’in mano; ma ſe per il con-
trario il mobile andaſſe all’in sù, facendo in
vna battuta di polſo braccia 9. nella ſeconda
ne faria braccia 7. nella terza 5. nella quarta
3. e nella quinta 1. riducendoſi al nullo grado
nel punto della rifleſſione, che è fine del moto
violento, e principio del naturale. A queſta
medeſima concluſione mi ſono ancor’io sfor-
zato di arriuare per altra via, doppo hauerla
ſentita dal ſudetto Sig. Galileo, conſiderando
in vn cerchio i gradi delle velocità, che, dalla
quiete incominciando, vanno creſcendo ſino
al maſſimo nel medeſimo cerchio, rappreſen-
tandomi il centro il nullo grado di
179159Coniche. Cap. XXXIX. o vogliamo dire la quiete, e le circonferenze,
che ſi poſſono deſcriuere intorno al medeſimo
centro, i gradi delle diuerſe velocità, quali ſe
li vogliamo prender tutti, conuiene, che noi
intendiamo diſſegnati tutti i cerchi poſſibili à
deſcriuerſi ſopra quel centro, che facendo la
ſomma delle loro circonferenze, potremo di-
re di ſapere la vera quantità di tutti i gradi di
velocità, che intermediano tra la quiete, & il
maſſimo grado in quel cerchio: Hora, perche
queſto pare coſa impoſſibile, cioè il ſommare
infinite circonferenze, io mi preuaglio dell’a-
rea dell’@ſteſſo cerchio, e ne cauo le proportio-
ni delle aggregate velocità, incominciãdo dal
centro, o dalla quiete, e procedendo ſino alla
circonferenza eſtrema, cioè ſino al maſſimo;
hauendo dimoſtrato io nella mia Geometria,
che qual proportione hanno i cerchi frà loro,
tale anco l’hãno tutte le circonferẽze, deſcrit-
tibili ſopra il cẽtro dell’vno, à tutte le circon-
ferenze, deſcrittibili ſopra il cen@ro dell’altro,
perciò ſe nel noſtro cerchio, nel quale voglio
miſurare le aggregate velocità, con la diſtan-
za di vn terzo del ſemidiametro, per eſſempio,
deſcriuerò vn cerchio, la cui circonferenza
180160Delle Settioni rappreſenti vn tal grado di velocità; ſaprò,
che qual proportione hà il cerchio grande al
piccolo, tale ancora l haueranno tutte le cir-
conferenze concentriche del cerchio grande
à tutte le circonferenze concentriche del pic-
colo, cioè tutti i gradi di velocità acquiſtati
nel trapaſſare dalla quiete al grado maſſimo,
à tutti i gradi acquiſtati paſſando dall’iſteſſa
quiete al grado intermedio, che habbiamo
preſo, ma i cerchi ſono tra loro, come i qua-
drati de’ſemidiametri, adunque anco dette
velocità creſcerãno ſecondo l’incremento de’
quadrati de’ſemidiametri, ma con qual pro-
portione creſce la velocità nel mobile, creſco-
no anco li ſpatij decorſi dall’iſteſſo mobile, co-
me è ragioneuole, poiche chi acquiſta altre-
tanta velocità, quanta ſi ritroua hauere, gua-
dagna ancora forza di trapaſſare altretanto
ſpatio, quanto faceua, e così nell’altre propor-
tioni; adunque li ſpatij decorſi dal mobile, nel
quale ſi vanno aggregando le velocità, ſaran-
no, come i quadrati de’ſemidiametri de’cer-
chi, ne’quali ſi poſſono conſiderare dette ve-
locità, cioè come i quadrati de’rempi, quali
intenderemo nel ſemidiametro del dato
181161Coniche. Cap. XXXIX. chio; ſe quello adunque ſi ſupponeſſe diuiſo
in cinque parti eguali, poſto, che il quadrato
d’vna di queſte parti foſſe 1. il quadrato di due
ſarebbe 4. di tre 9. di quattro 16. di cinque
25. e tal proportione haurebbono i cinque
cerchi deſcritti ſopra queſti cinque ſemidia-
metri, e perciò, ſottrahendo ciaſcuno antece-
dente dal ſuo conſeguente, reſtarebbono que-
ſti numeri 1. 3. 5. 7. 9. che moſtrarebbono la
progreſſione del minimo cerchio, e delli ſe-
guenti reſidui, o armille, che ci rappreſenta-
no i gradi acquiſtati dal mobile cõtinuamen-
te ne’ſudetti tempi eguali. Perche dunque i
graui partendoſi dalla quiete, vanno ad ogni
momento acquiſtando nuouo grado di velo-
cità (hauendo il motore aſſiſtente, che ſempre
opera, cioè la grauità) quale non perdono, per
non ripugnarli, ne eſſergli tolto dall’ambien-
te, almeno, che ſe n’accorga per qualche no-
tabil ſpatio (ciò dico, poiche ad vna grandiſ-
ſima velocità finalmente l’ambiente reſiſte
notabilmente, non comportando egli di eſſer
moſſo con tanta furia, del che il volo de gli vc-
celli ce ne può nell’aria, & il nuotar nell’ac-
que, in parte aſſicurare) perciò i ſpatij ſcoi
182162Delle Settioni da quelli in tempi eguali creſceranno, cõfor-
me l’incremento de’numeri diſpari continua-
ti dall’vnità; e gl’iſteſſi graui douendo trapaſ-
ſare da vn dato grado di velocità alla quiete,
come nel moto violento terrãno l’ordine con-
trario della medeſima ſerie de’numeri diſpari.
Queſte coſe però ſiano da me dette, come per
vn paſſaggio, che perciò non mi ſono ſpiegato
con figura, ne con quella chiarezza, che biſo-
gnarebbe, poiche rimetto il Lettore à quello,
che la ſottigliezza del Sig. Galileo c’inſegna-
rà nell’Opera del moto, che ci promette ne’
ſuoi Dialogi. Intendiamo adunque la condi-
tione del moto nel graue, ſi per ragion dell’
impulſo, ſi anco dell’interna grauità, le quali
coſe ſuppoſte, trapaſſaremo hora à cercare,
qual ſorte di linea ſia quella, che deſcriue il
graue, ſpinto da qualche forza, non per
la perpendicolare all’Orizonte,
ma per qualſiuoglia altra
banda.
12[Figure 12]
183163Coniche. Cap. XL.
Qual ſorte dilinea deſcriuano i graui nelloro moto,
ſpiccati che ſiano dal proiciente.
Cap. XL.
SE noi conſideraremo il graue,
che hà da mouerſi ſeparatamẽ-
te dal proiciente, quando ca-
mina di conſerua con quello,
come à dire; la pietra, che ſi
moue per vn poco di ſpatio in
compagnia della mano, o della froinbola, o al-
tro iſtrumento, non è dubbio alcuno, che è
sforzata à far quella ſtrada, che farà ancora il
ſuo motore; come, per eſſempio, dourà anda-
re in giro con la mano, ſino ch’egli da quella ſi
diſſepari, ò in qualſiuoglia altro modo, ch’eſſa
mano camini; ma ſeparato che ſia, non hà più
obligo di accompagnar la mano: l’impulſo poi
conferito dal proiciente nel punto della ſepa-
ratione è ſempre per linea retta, cioè per quel-
la, che è à drittura del moto, che viene ad eſ-
ſer la tangente di quella curua, per la quale ſi
è fatto il moto, tangente dico nel punto della
ſeparatione, come pariinente c’inſegna il Sig.
Galileo ne’ſuoi Dialogi alla pag. 186.
184164Delle Settioni do il moto della mano ſia per linea curua, oue-
ro quando ſia fatto per linea retta è pure vn
pezzo dell’iſteſſa linea prolongata: Per que-
ſta linea retta adunque andarebbe il proietto
ogni volta, che la grauità non lo ritiraſſe da
quella continuamente verſo il cẽtro della ter-
ra, vero è, che quando l’impulſo foſſe per la
perpendicolare all’Orizonte, anco la grauità
tirarebbe eſſo graue per l’iſteſſa linea, e così il
moto del proietto in queſto caſo ſarebbe pur
linea retta, come ſi è detto nel Cap. antecedẽ-
te; ma quando l’impulſo non ſia fatto per la
detta perpendicolare, ma per qualſiuoglia al-
tra linea retta, ne ſeguirà, che detto graue ſia,
mercè dell’interna grauità, ritirato verſo il
centro, & in conſeguenza tolto fuori di quella
drittura, talmente, che in tempi eguali non lo
abbaſſarà per ſpatij eguali da quella linea
dritta, ma sì bene per ſpatij diſeguali, che cre-
ſceranno, come ſi è detto, ſecondo l’incremen-
to de’numeri diſpari continuati dall’vnità.
Dico adunque, che i graui ſpinti dal proi-
ciente à qualſiuoglia banda, fuorche per la
perpendicolare all’Orizonte, ſeparati che ſia-
no da quello, & eſcluſo l’impedimẽto
185165Coniche. Cap. XL. biente, deſcriuono vna linea curua, inſenſi-
bilmente differente dalla Parabola.
Dimoſtratione ſopra la figura 25.
SVppongaſi per, TO, la drittura della cã-
na d’vn pezzo d’Artiglieria, la cui bocca
ſia nel punto, O, e queſta s’intenda ſtare
à liuello, ouero eleuata, ò inclinata, come ſi
voglia, benche la figura moſtri il tiro à liuello;
la Palla dunque cacciata dalla forza del fuo-
co per la linea dritta, TO, arriuata alla boc-
ca, O, doue non hà più il ſoſtegno della cãna,
non è dubbio alcuno, che ſe non haueſſe la
grauità, che la tira cõtinuamente verſo il cen-
tro, caminarebbe per, O Q, vniformemente,
non conſiderato l’impedimento dell’ambien-
te; ſia dunque il tempo, nel quale ſcorrereb-
be la, O Q, diuiſo in quattro parti eguali, co-
me à dire, in quattro battute dimuſica; ſega-
ta dunque parimẽte, O Q, nelle quattro par-
ti eguali, O H, H M, M R, R Q, ciaſcuna di
eſſe parti ſaria trapaſſata dalla palla in vna
battuta, ma perche la grauità la tira verſo il
centro, pongaſi, che nel tempo, che ella
186166Delle Settioni rerebbe per, O H, quella ſia potente à farla
abbaſſare verſo il centro, quant’è la, O B, qua-
le ſia patte della, O X, tirata à piombo dal pũ-
to, O, ſotto la, T Q; ſimilmente per il punto,
H, paſſi la, H V, parallela à, O X, come anco
peripunti, M, R, Q, le, M℞, R Π, Q Y, pa-
rallele alla iſteſſa, O X, e nel paſſaggio della
palla per, H M, ſia l’abbaſſamento, quant’è,
B L, per, M R, quant’è, L P, e per, R Q, quãt’
è, P X, e per i punti, B, L, P, X, ſi tirino le pa-
rallele alla, T Q, cioè, S F, E K, Z C, A Y, co-
me anco da i punti, T, D, G, N, preſi nella, T
O, ſuppoſta eguale ad, O Q, e che la diuida-
no pure in quattro parti vguali, ſi tirino le, T
A, D Δ, G, N I, parallele ad, O X, e ſiano
queſte con le, H V, M ℞, R Π, Q Y, ſegate dal-
le, A Y, Z C, E K, S F, ne i punti, A, Δ, Γ, I; V,
℞, Π, Y; Z, C; E, K; S, F: Sarà dunque la palla
nel tempo, c’haurebbe ſcorſa la, O H, abbaſ-
ſataſi per la quãtità di, O B, ouero, H F, egua-
li, come lati oppoſti del parallelogramo, O F,
cioè in vece di eſſere nel punto, H, ſarà in, F,
così nel tempo della ſcorſa per, H M, ſarà ab-
baſſata in, K, per, M R, in, C, e per, R Q, in,
Y, eſſendo queſti abbaſſamẽti eguali alle, O
187167Coniche. Cap. XL. O L, O P, O X, cioè accreſcendoſi ſecondo la
quantità delle, O B, B L, L P, P X, ma queſte
ſi aumẽtano ſecondo la ſerie de’numeri diſpa-
ri continuati dall’vnità; adunque poſta, O B;
1. B L, ſarà 3. L P, 5. P X, 7. ouero, O L, ſarà
4. O P, 9. O X, 16. ma così anco procedono i
quadrati delle, O H, O M, O R, O Q, ouero
delle, B F, L K, P C, X Y, che à quelle s’aggua-
gliano, come lati oppoſti de’parallelogrami,
O F, O K, O C, O Y, adunque eſſendo il qua-
drato di, B F, 1. ſarà quello di, L K, 4. di, P C,
9. e di, X Y, 16. e perciò ſarà il quadrato di,
X Y, al quadrato, P C, come, X O, ad, O P, &
il quadrato, P C, al quadrato, L K, come, P O,
ad, O L, e finalmente il quadrato, L K, al qua-
drato, B F, come, L O, ad, O B; ma ſe noi de-
ſcriueremo la Semiparabola, O Y, ouero la
Parabola, che ſia, A O Y, qual paſſi peril pun-
to, O, ſua cima, e per li pũti, A, Y, anco i qua-
drati delie intrapreſe frà la, O X, e la Parabo-
la, A O Y, ſaranno nella medeſima proportio-
ne, nella quale ſono le, O X, O P, O L, O B,
poiche queſta è la quarta proprietà della Pa-
rabola, dimoſtrata nel Cap. 12. adunque i lati
di quei quadrati ſaranno congruenti à i
188168Delle Settioni P C, L K, B F, (& à i lati, P Z, L E, B S, appli-
cãdo la dimoſtratione da queſt’altra banda) e
però i punti, F, K, C, ſono nella Parabola, A
O Y, come anco li, S, E, Z, cioè la palla ne i
punti, O, F, K, C, Y, ſarà ſempre nella Para-
bola, A O Y, eſſendo cima di quella il punto,
O, doue ſi ſpicca dal proiciẽte; e l’@ſt@ſſo pro-
uaremo di tutti gli altri punti, ne’quali ella ſi
può ritrouare, ſubdiuidendo la, O H, con le
rimanenti in quante parti vguali ci ſarà biſo-
gno, & applicandoui l’iſteſſa dimoſtratione;
adunque egli è vero, quanto ſi è propoſto di
prouare.
Ma perche ſi vegga anco in figura il tiro e-
leuato, ouero abbaſſato, ſi è deſcritta la tãgen-
te, Φ Ω, nel punto, E; ſe adunque il graue foſ-
ſe ſpinto per la retta, E Φ, ouero per la, E Ω,
eſſendo la ſeparatione nel punto, E, ſi proua-
ria nell’iſteſſo modo, che la interna grauità ri-
trahendolo continuamente dalla retta, E Φ, lo
mantenerebbe ſempre nella Parabola, E O Y,
ouero diſcoſtandolo da, E Ω, lo terrebbe nel-
la curua, A E, parte della Parabola, A O Y, e
s’intenderia in tal caſo il punto, E, per cima,
E Γ, per diametro, douendoſi tirare le
189169Coniche. Cap. XL. tamente applicate all’, E Γ, parallele alla tan-
gente, Ω Φ, adattandouiſi la dimoſtratione
nell’iſteſſa maniera.
Egli è però vero, che eſſendo le parallele
ad, O X, ſtrade, per le quali s’intende ſcen-
dere il graue, finalmente egli andarebbe, ſe
non trouaſſe l’impedimento della terra, à col-
locarſi nel centro di quella; la onde realmente
non ſono parallele, ma per le diſtanze de’no-
ſtri titi le abuſiamo, come parallele, eſſendo il
loro ſtringimẽto in ſi poco ſpatio, come inſen-
ſibile, e perciò ſi è detto, che deſcriuono vna
linea curua, inſenſibilmente differente dalla
Parabola. Di maggior’importanza è bene
l’impedimento dell’aria, quãdo il tiro ſia lon-
ghiſſimo, che contraſta e con l’impulſo, e con
la grauità, ma in poco ſpatio, pẽſo, che non ſia
di molta cõſideratione, & il venir’all’eſſame di
queſto contraſto non è coſa ſi facile, ne che in
poche parole ſi poteſſe, credo, ſpiegare, perciò
ci contentaremo di queſto poco, per intender
le varie cõditioni, e nobiltà delle Settioni Co-
niche, hauendole anco il Keplero in ſopremo
grado nobilitate, mentre ci hà fatto vedere
con manifeſte ragioni ne’Cõmentarij di
190170Delle Settioni te, e nell’Epitome Copernicano, che le circo-
lationi de’ Pianeti intorno al Sole non ſono al-
trimente circolari, ma elittiche. Ci baſterà
queſto adunque, cauãdo dalla ſudetta dottri-
na per noſtra vtilità l’infraſcritto Corollario.
Corollario.
DI quì è manifeſto, che data la diſtanza del
tiro, come, O H, & eſperimentato il ca-
lare, che vien fatto in tal diſtanza, che
ſia, H F, alia medeſima eleuatione ſapremo gli abbaſ-
ſamenti, che ſi faranno dal ſegno in qualſiuoglia di-
stanza: Come, per eſſempio, nel tiro, O M, doppio
dell’eſperimentato, O H, la ſceſa ſarà, M K, qua-
drupla di, H F, nella diſtanza, O R, ſarà, R C,
nell’ O Q, Q Y, & vniuerſalmente qual propor-
tione haur a il quadrato di, O H, tiro già prouato, al
quadrato di qual’altra distanza ſi voglia, tale l’ha-
urà la diſceſa, H F, à quella, che ſi farà in tal di-
stanza, alla medeſima eleuatione; dal che impariamo
ancora, che i proietti non poſſono mai caminare per
dritta linea, ſe non moſſi per la perpẽdicolare all’Ori-
zonte, benche tal volta per la poca distanza questo
rieſchi inſenſibile.
191171Coniche. Cap. XL.
Hora basteranno le ſudette coſe intarno alle vti-
lità, che potiamo cauare da queſte Settioni Coniche,
bauendone fatto come vna ricercata, e toccato leg-
giermente diuerſe materie, alle quali eſſendo applica-
te, fanno moſtra della ſua nobiltà, acciò da queſto po-
co argomentiamo, quali, e quanti deuino eſſer le loro
prerogatiue in queſto gran cãpo della Natura, e quan-
to à ſi gran Maeſtra deuano riuſcire artificioſe. E ſe
noi, che ſolo ne vediamo la ſcorza, ſcopriamo nondi-
meno effetti così merauiglioſi, quali dobbiamo crede-
re ſian quelli, che con la ſua ſagaciſſima industria ne
deue ſaper ritrarre eſſa Natura, guidata dalla Sa-
pienza diuina, che nel profondo delle ſue più recondi-
te proprietà, & eccellenze le comprende? E chi
meglio vuole intender questo, facci vn poco ri-
fl@ſſione à quello, che noi ſappiamo di Mecanica, poi
guardi alla struttura del corpo humano, che vedrà
nell’hauer preparato tanti organi, e tanti stromenti
da eſſercitar moti diuerſiſſimi, ſenza che l’vn l’altro
impediſchi, con ſi marauiglioſo artificio, quanto ella
ci auanzinell’intender la maniera del mouer peſi, co-
sì nel ſaper di Proſpettiua nell’occhio, del Suono nel-
l’orecchio, riuſcendo non meno ammirabile nelle coſe
piccoliſſime, che nelle grandiſſime. Perciò ragioneuol-
mente ſtimaremo, che ella in mille, e mille effetti,
192172Delle Settioni ti marauiglioſi, parimente ſi preuaglia di queſte Set-
tioni Coniche, mentre, non oſtante il noſtro poco ſa-
pere, ci rieſcono nulladimeno tanto douitioſe, e fecon-
de, quanto habbiamo di già potuto comprendere. Re-
sta hora, che vediamo, come le medeſime ſi poſſin de-
ſcriuere.
Come ſi deſcriuino le Settioni Coniche.
Cap. XLI.
BEnche apporti molto diletto
l’intendere le proprietà, e vir-
tù delle Settioni Coniche, ſi co-
me dalli antecedenti Capi hab-
biamo potuto almeno ſuperfi-
cialmente comprendere; tuttauia non ci po-
triano arrecare le vtilità da noi accennate, ſe
anco non ſapeſſimo deſcriuerle, e farle in ma-
teria, per ridurle all’atto prattico, al che per
compimento di tal dottrina ſuppliranno li ſuſ-
ſeguenti Capitoli. E concioſiacoſa che molti
habbino inſegnati diuerſi modi di deſcriuerle,
non addurrò però quà, ſe nõ quelli, che ſaran-
no ſtimati più facili, e più belli, che in parte
ancora, per quanto hò potuto in altri
193173Coniche. Cap. XLI. comprendere, farãno nuoui; e perche s’inten-
dano meglio, farà bene prima vedere così in
vniuerſale, come queſti modi particolari, che
ſono molti, ſi riduchino à’ſuoi modi generali:
Se adunque gli anderemo eſſaminando, troua-
remo quelli ridurſi prima, e principalmente à
due, il primo modo ſarà, quando noi cauaremo
tali Settioni dal Cono, quale potiamo chiama-
re, inuention ſolida; il ſecondo, quãdo che noi
con qualche iſtrumento fondato ſopra alcuna
loro proprietà, le deſcriueremo nella ſuperfi-
cie piana, che potiamo chiamare inuention
piana: Queſta poi, o ſi fà preciſamente deſcri-
uendo veramente dette Settioni, o ſi fà perap-
proſſimatione alla vera, cioè per punti conti-
nuati, per i quali poi tirando vna linea, che
appreſs’à poco ſi vadi accommodãdo alla fleſ-
ſuoſità di quei diſſegnati punti, ſi deſcriue, ſe
non preciſamente, almeno proſſimamente tal
Settione, ſi che inſenſibilmente ſia dalla vera
differente; Queſti modi particolari adunque
ſi riducono primieramente à due modi gene-
rali, cioè all’inuention ſolida, & all’inuention
piana, e queſto ſecondo à due altri, cioè all’in-
uention piana vera, e all’inuention piana
194174Delle Settioni punti continuati, che ſono in tutto tre modi
generali, che abbracciano tutti i modi parti-
colari da me quì poſti, ò da altri Auttori inſe-
gnati: Hora veniamo à i modi particolari, che
ſi contengono ſotto queſti generali, quali ſe
non tutti, almeno in parte, conforme à quel,
che ſi è detto di ſopra, ſaranno quì da me re-
giſtrati.
De i modi particolari di deſcriuere le Settioni Coni-
che, che s’aſpettano all’inuention ſolida.
Cap. XLII.
IL primo ſarà, quando noi fare-
mo fabricare al torno vn Cono
di legno, o di ſtagno, o d’altra
materia, che habbi conſiſtenza,
e che ſi poſſi non difficilmẽte ta-
gliare, e poi lo ſegaremo nel modo, che richie-
dela generatione della deſiderata Settione:
Come, pereſſempio, viſta la 2. figura, ſe vorre-
mola Parabola, gli daremo il taglio, come ve-
diamo nel primo Cono, cioè in tal maniera,
che diſſegnato il triangolo, A B C, che paſſa
per l’aſſe, la commune ſettione del piano
195175Coniche. Cap. XLII. gante, che è per produr nella ſuperficie del
Cono la Parabola, e di eſſo triangolo, ſia paral-
lela all’vn de’lati di eſſo triangolo, come ad,
A C; ſia dunque fatto queſto taglio, ſi che ne
ſia venuta la linea, R O V, queſta dunque ſa-
rà Parabola, ſeruendoci per traſportarla poi in
piano del tronco, O B R V; Nell’iſteſſo modo
faremo l’Iperbola, tagliando laſuperficie del
Cono al modo, che ſi vede nel 2. Cono dell’
iſteſſa figura; e l’Eliſſi, nel modo, che ci mo-
ſtra il 3. Cono. Si poſſono poi delineare nella
ſuperficie del Cono, o con l’immergerlo in
qualche liquore, che tinga, facendo queſto,
conforme, che ſi diſſe nel Cap. 3. quanto all’
immerſion del bicchiero di forma conica nell’
acqua, poiche l’eſtremo margine della tintura
ci moſtrerà, doue habbiamo à fare il taglio;
ouero ci preualeremo del lume del Sole, e d’vn
filo dritto, che col centro del Sole ſtia poſto in
quel piano, che è atto, con tagliar la ſuperfi-
cie conica à produr tal ſettione (ſarà poi atto,
quando la ſeghi con le conditioni dichiarate
nel Cap. 3.) imperoche l’ombra di tal filo de-
lineata ſopra la ſuperficie conica, ſarà la deſi-
derata Settione, e ci moſtrerà, doue ſi
196176Delle Settioni da far’il taglio. Si può ancora, per non hauere
à far queſto ſegamento, acco mmodare vn’aſ-
ſicella ſottile frà due pezzi, per eſſempio, di le-
gno, attaccandola à quelli con pironcini, ela-
uorando poi al torno ogni coſa inſieme, che
ſe detta aſſicella ſarà poſta frà quei pezzi, e
quelli sù’l torno, conforme, che richiede la
produttione di tal Settione, ci verrà lauorata
l’aſſicella, conforme al noſtro biſogno, ſenz’
hauere à far’il ſudetto taglio; Si può ottener
queſto ancora in altri modi, ma baſtino per
maggior breuità li già dichiarati.
II ſecondo modo particolare ſarà, quando
non faremo fare il ſudetto Cono, ma perla ſu-
perficie conica ci preualeremo d’vno ſtile, che
col girar’intorno ad vn punto fiſſo, che s’in-
tẽde per cima del Cono imaginario, riuolgen-
doſi ancora per la circonferenza d’vn circolo,
diſſegnarà in vna ſuperficie piana, ſituata ſo-
pra il ſoggetto piano (in tal’eleuatione, che
poſſi, ſegando l’imaginato Cono, produrla)
la deſiderata Settione, e ciò con l’hauer liber-
tà non ſolo di girar’intorno alla cima del Co-
no, ma anco d’alzarſi, & abbaſſarſi ſopra l’in-
chinato piano, paſſando ſempre per la
197177Coniche. Cap. XLII. cima; & in queſto modo hà inuentato, e fabri-
cato l’iſtrumento da diſſegnare le Settioni
Coniche il Sig. Alfonſo da Isè, huomo molto
verſato nelle Matematiche, & attiſſimo alle
operationi, il quale lo migliora poi in tal
maniera, che lo fà atto al deſcriuere qualſi-
uoglia Settione, che ſenſibilmẽte ſi diſtingua
dalla linea retta, in quel modo appunto, che
il Sig. Guid’Vbaldo dal Monte diſſegna le
portioni di circonferenze de’circoli, benche
ſiano di ſemidiametro di grandezza notabile,
preualendoſi in queſto iſtrumento in vece
di eſſa circonferenza, per la quale douria
ſcorrere lo ſtile, ò lato del Cono, che deue
diſſegnar la Settione, preualendoſi, dico, d’v-
na ſquadra zoppa, ò mobile, aperta talmente,
che facci l’angolo della circonferenza, da lei
ſupplita; nel congiungimento de i lati della
quale ſtà fiſſo il lato del Cono, à quell’inclina-
tione, che fà biſogno, tutto intiero, ouero vn
pezzo ſolo, ſecondo che vogliamo, dentro il
quale è la detta ſquadra, ſtà accomodato nel
debito ſito il piano, nel qual ſi hà da diſſegna-
re la Settione, che ſi vuole, sù per il quale ſcor-
re la punta d’vn’altro lato mobile del
198178Delle Settioni ma però ſempre aggiacente al lato fiſſo di eſſo
Cono, dalla cui pũta vien diſſegnata la Settio-
ne ſopra l’inchinato piano; non lo ſpiego con
figura, parendomi, per non eſſer coſa mia, à
baſtanza hauerlo dichiarato così in aſtratto.
Ilterzo, & vltimo modo ſarà (benche ſia
ſimile à queſto ſecondo) quando in vece d’ac-
comodare il piano, in cui ſi hà da diſſegnare
la determinata Settione, al Cono, & al ſogget-
to piano, noi accomodaremo il Cono, & il
ſoggetto piano à quello, intẽdendo vn’imagi-
nario Cono talmente piegato ſopra il ſogget-
to piano (qual ſaria quello d’vna tauola) che
vẽga detto ſoggetto piano à eſſer ſituato tal-
mẽte in riſpetto di quel Cono, che ſia atto, ſe-
gando tal ſuperficie, à produrre tal Settione,
qual ſi deſidera (ſarà poi atto, ſe hauerà le con-
ditioni, in riſpetto del Cono, dichiarate nel
Cap. 3.) e di queſto Cono imaginario non vi
è altro, che ſia reale, ſe nõ vno ſtile, che ſi moue
di due moti, cioè per la circõferenza d’vn circo
lo, ſopra vn pũto fiſſo, che s’intẽde per la cima
del detto Cono, e sù, e giù per la detta cima,
poiche eſſendo diſuguali le rette linee tirate
dalla cima del Cono à ciaſcuna delle
199179Coniche. Cap. XLII. Settioni, fuor che al circolo non ſubcontra-
riamente generato, è di biſogno, che ſi ritiri
in sù, e in giù, paſſando ſempre per la cima, s’e-
gli hà da ſtar con la punta continuamente nel
ſoggetto piano, nel quale con tal modo diſſe-
gnarà la deſiderata Settione; Vn tale iſtro-
mento poi hò viſto appreſſo li Molto RR. PP.
Geſuiti, qual mi dicono eſſere inuentione, e
fabrica del P. Scheiner dell’iſteſſa Cõpagnia.
Vi poſſono eſſere forſi altri modi particola-
ri ancora, attinenti all’inuention ſolida, ma
per mio giudicio credo, che ſaranno pochiſſi-
mo differenti dalli ſudetti; e perciò baſteran-
no queſti per eſplicatione de’modi particola-
ri di queſta inuention ſolida. Trapaſſaremo
dunque à gli altri, che s’aſpettano all’inuen-
tion piana, e prima à quelli, che appartengono
all’inuention piana vera.
De’modi particolari di deſcriuere le Settioni
Coniche, che s’aſpettano all’inuention
piana vera. Cap. XLIII.
QVeſti modi gli potiamo diſtinguere in
due mẽbri principali, il primo de’qua-
li ſarà il modo di deſeriuerle con
200180Delle Settioni filo, il ſecondo poi ſarà difarle con iſtrumen-
ti ſodi, come con righe dilegno, ò di metallo:
Quanto al primo, ridurrò ſolamente à memo-
ria il modo di deſcriuere l’Eliſſi con vn filo, v-
ſato da tutti i prattici, cominciãdo da queſto,
per eſſer più trito, e noto à ciaſcheduno. Sia
dunque nella 26. figura vn filo di che lõghez-
za ſi voglia, e preſi in vn piano, come ſi voglia,
due punti diſtãti, per minor’interuallo, che nõ
è il filo, quali ſiano, O, E, ſi metta l’vn de’ca-
pi del filo in vno, comein, O, e l’altro capo
nel rimanente, cioè in, E, e ſia il filo, O C E,
dentro il quale ſia poſta la punta dello ſtile,
N C, che ſia, C, che poſſi ſcorrere liberamen-
te sù, e giù, per il filo, e per i punti, O, E, ſi
tirila retta, O E, di quà, e di là indiffinita-
mente prolongata; ſcorra poi la punta, C, ſino
c’habbia dato vna volta attorno i due punti,
O, E, tenendo ſempre teſe le due parti del
filo, O C E, da lui ſeparate, ſi che ſiano drit-
te (nel che è difettoſa queſt’operatione, per
non ci poter noi mai di queſto aſſicurare, cioè,
che queſta tenſione ſia fatta con tal tempera-
mento, che queſte parti teſe hora non ſiano
più longhe, & hora più corte) & habbi
201181Coniche. Cap. XLIII. to la linea, A C B F, è manifeſto per la ſecon-
da proprietà dell’Eliſſi, che fù dichiarata al
Cap. 18. che queſta ſarà Eliſſi, e ſuoi fochi ſa-
rannoi punti, O, E, diametro primo, A B, e
ſecondo quella retta linea, che ſega, A B, nel
mezo perpendicolarmente terminata nell’E-
liſſi, A M B F, qual ſia, M F, che paſſi per, R, e
che diuida, A B, in parti vguali, qual poi ſi chia
ma centro dell’Eliſſi; sì come, M F, ſi dice an-
co diametro minore, o maggiore, ſecondo che
farà minore, o maggiore del diametro, A B;
Di quì ſi fà manifeſto, che ſe noi voleſſimo far
l’Eliſſi, i fochi della quale haueſſero vna da-
ta diſtãza, come, O E, & anco vna data diſtan-
za da gli eſtremi, A B, egualmente lontani da,
O, E, nell’iſteſſa drittura, che prendendo vn
filo, e mettendo vno de’ſuoi eſtremi in, O, e
facendolo paſſare d’attorno alla punta dello
ftile, collocata in, A, e da quello traendolo ſi-
no ad, E, & iui religandolo, ſi che le parti, O
A, E A, raccomandate alla punta dello ſtile,
ſteſſero dritte, e facendola reuolutione, e de-
ſcrittione, come ſopra, ſi produrria la deſiata
Eliſſi, qual pur ſia la, A M B F, di doue ci ver-
rà determinato il ſecondo diametro, M F;
202182Delle Settioni ſe per il contrario voleſſimo farla d’vna deter-
minata longhezza, e larghezza, allhora non
poſſono ſupporſi i fochi, O, E, ma vengono
à determinarſi con tal ſuppoſitione; e ciò ba-
ſti intorno al deſcriuere l’Eliſsi con vn filo.
Come ſi deſcriua la Iperbola con vn filo, primo
modo della inuention piana vera.
Cap. XLIV.
LAſcio in vltimo la Parabola, poi-
che doppo le altre s’è imparato
à deſcriuerla con vn filo. Siano
dunque nella vigeſimaſettima
figura dati due fochi della Iper
bola, da deſcriuerſi, A, E, volendo, che’l foco
interiore, che ſia, E, diſti dalla cima dell’Iper-
bola, per la data retta linea, E D, che prodot-
ta paſſi per l’altro foco, A, e ſia, A C, tolta e-
guale à, D E; ſarà dunque, D C, lato trauerſo
dital’Iperbola, prendaſi hora vn filo, come, A
Z G H Z E, i cui capi ſi leghino alli punti, E, A,
poi ſia lo ſtile, F Z, la cui pũta poſta in, D, ten-
ghi il filo teſo, ſi che vna parte ſi ſtenda ſopra,
D A, l’altra ſopra, D E, & il reſto
203183Coniche. Cap. XLIV. to paſſi per vn piccol foro, viciniſſimo alla ci-
ma dello ſtile, e tenendo quello in mano, e con
l’altra mano il raddoppiato filo bẽ teſo, ſi pre-
ma lo ſtile ſopra il piano, in cui ſi vuole diſſe-
gnare la lperbola, venendo da, D, verſo, G, in
tal maniera, che ſempre eſchino fuori dal pic-
ciol foro dello ſtile parti eguali di filo, co-
me ſi vede, eſſendo ſituatoin, Z, che così la
diſegnata linea ſarà Iperbola, qual ſia, D H, e
ciò perche la, A Z, ſupera la, Z E, in tutti i ſi-
ti, della quantità dellato traſuerſo, ò aſſe, D
C, facendoſi ſempre eguali addittioni, come
vuole la p. 51. del 3. di Apollonio. Potiamo
ancora, prodotta, A Z, in, X, intendere, che,
A X, ſia vna riga, alla quale ſtia ſempre aggia-
cente vna parte del ſilo, che hora s’intenda eſ-
ſere, E Z X, cioè la parte, Z X, poiche mouẽ-
doſi detta riga intorno al centro, A, e lo ſtile
ſcorrendo per la longhezza di lei, doue il filo,
E Z X, legatoin, X, lo neceſſitarà verrà à de-
ſcriuere l’Iperbola, H D L, facẽdo nell’vno, e
nell’altro modo, anco dalla parte, L, eq̃ſta ſe-
cõda operatione ſi caua dalla ſeconda proprie
tà dell’Iperbola di ſopra dimoſtrata al C. 15.
204184Delle Settioni
Come ſi deſcriua la Parabola con vn filo; primo
modo della inuention piana vera.
Cap. XLV.
SIa nella 28. figura il punto P, e
ſi habbi da deſcriuere con vn
filo vna Parabola, della quale
il detto punto, P, ſia foco, che
diſti dalla di lei cima, per la da-
ta retta, P A, che ſarà parte dell’aſſe di tal Pa-
rabola, qual ſia indiffinitamente prolongata
verſo, P, come in, C, per il qual punto, C, ſia
tirata la, B D, ad angolo retto ſopra, A C, pro-
longata indiffinitamente, come in, B D; ſia
dunque per il punto, A, tirata la, H G, paral-
lelaà, B D, che perciò ſarà perpendicolare ad,
A C, indiffinitamente pur prodotta, come in,
H, G; habbiſi poi vna ſquadra di legno, ò di
metallo, che ſia, M F E, il cui lato, M N, ſcor-
ra ſopra la retta, H G, & ſia poi vn filo legato
in, P, preciſamente longo quanto è la, P A C,
e nel principio del moto ſia il punto, N, dell’
angolo della ſquadra collocato in, A, come
anco lo ſtile, R O, che hebbi la punta, O, in,
A, e l’altro capo del filo ſtia legato in, E,
205185Coniche. Cap. XLV. qual ſito le due parti del filo ſeparate dalla
punta, O, dello ſtile, R O, ſtaranno diſteſe
ſopra le, A P, A C; ſi moua poi la ſquadra, M
N E, verſo, G, mantenendo ſempre il lato, M
N, nella retta, H G, e nell’iſteſſo tempo ſi mo-
ua lo ſtile longo il lato, N E, mantenẽdo ſem-
pre il filo adherente al lato, N E, che così con
la ſua punta deſcriuerà la ſemiparabola, A D,
poſto, che termini in, D, e nell’iſteſſo modo ri-
uoltata la ſquadra, ſi deſcriua la ſemiparabola,
A B, che termini in, B, che così haueremo fat-
ta la Parabola, B A D, il cui aſſe ſarà, A C; e
foco il punto, P, e cima il punto, A, & è mani-
feſto, che, B A D, ſarà Parabola, poiche eſſen-
do il filo ſempre il medeſimo, vengono ad eſ-
ſer’eguali le incidenti parallele all’aſſe, A C,
e rifleſſe al punto, P, tolta inſieme ciaſcuna
incidente, e ſua rifleſſa, eguali dico à qualſiuo-
glia incidente, e ſua rifleſſa, che è la ſeconda
proprietà della Parabola dimoſtrata al Cap.
10. Ecco dunque compitamente deſcritte le
tre Settioni Coniche di Apollonio, non ſolo
l’Eliſſi con il filo, ma la Iperbola, e finalmente
anco la Parabola, della quale appunto dice il
Keplero nell’Aſtronomia Ottica al Capit. 4.
206186Delle Settioni doppo hauer’accennato la deſcrittion dell’E-
liſſi, & Iperbola fatta col filo (Diu dolui, non
poſſe, ſic etiam Parabolem deſcribi. Tandem analo-
gia monſtrauit, & Geometrica comprobat, non mul-
tò operoſius & hanc deſignare) doue non hauen-
do egli poſto la dimoſtratione, fece ch’io ap-
plicandoui incontraſſi queſta ragione, che quì
con le altre hò voluto regiſtrare.
Le Settioni oppoſte, poi paſſano ſotto il ca-
po dell’Iperbola, potendoſi con vn filo diſſe-
gnare, come l’Iperbola, facendone vna, e poi
l’altra, con l’iſteſſa diſtanza de’fochi. E ben-
che finalmente io ſappi, che non potiamo così
aggiuſtatamente operare col filo, che ſiamo
ſicuri d’hauer diſſegnate le vere Settioni, nõ-
dimeno le hò meſſe ſotto il capo dell’inuẽtion
piana vera, poiche ſi deue intendere l’opera-
tione fatta con vn filo, che non patiſchi queſta
imperfettione, che del reſto ella è poi vera in-
uẽtione di tal Settione, non hauẽdo poi quel-
lo, che preſcriue tal’operatione, obligo di mo-
ſtrare, che ſi poſſi, o nõ ſi poſſi trouar’vn tal fi-
lo, o veramẽte dicaſi, ch’ella è inuẽtion vera,
ſe il filo nõ patirà tal’imperfettione, e nõ ve-
ra, ſe pur ſarà di tale imperfettione, ma
207187Coniche. Cap. XLV. che ſi auuicina alla vera, e s’intendi queſta
ſotto l’altro capo.
Come ſi deſcriua la Parabola, mediante gl’iſtrumen-
tiſodi, composti diregoli, ch’è ilſecondo mo-
do dell’inuention piana vera.
Cap. XLVI.
QVeſto noi lo cõſeguiremo me-
diante due ſole ſquadre, acco-
modate inſieme, & adoperate
nel modo, che ſi dirà. Sia
dunque da deſcriuerſi la Pa-
rabola, il cui foco diſti dalla
cima per la retta, A P, nella 29. figura, per
eſſer dunque queſta la quarta parte del lato
retto di tal Parabola, ſapremo pur’il lato ret-
to di eſſa Parabola, qual ſia la, A E, poſta ad
angolo retto ſopra, A P, qual prodotta indif-
finitamente verſo, P, come in, M, intendiamo
douer’eſſer’aſſe della Parabola, che ſi hà da
deſcriuerſi, ſiano poi fabricate due ſquadre
di legno, ò di metallo, che ſiano, N L M, A I
K, e talmente poſte, che il lato d’vna di quel-
le, come, L M, ſi facci ſempre ſcorrere sù
208188Delle Settioni la retta, A M, che perciò, N L, ſtarà ſempre
ad angolo retto ſopra, A M, dipoi ſi prenda,
L K, nella, L M, terminata in, K, che ſia egua-
le al lato retto, A E, & iui mettaſi vn pironci-
no, ò altra coſa, che coſtringa la gamba, I K,
della ſquadra, A I K, à paſſar sẽpre per il pun-
to, K, il quale ſi potrà mettere o di quà, o di
là o nel mezo della gamba, I K, facendoui vn
canaletto; vn’altro parimente ſe ne metta nel
punto, A, che coſtringa il lato, A I, paſſar sẽ-
pre per il punto, A, e nel punto, I, ſi metta lo
ſtile, R I, che habbi la punta in, I, quale s’in-
tenda mouerſi sù, e giù per il lato, N, L, ſtan-
doli ſempre aggiacente, mẽtre anco ilati, I A,
I K, ſcorrerãno peri punti, A, K, e s’intenda
principiarſi la deſcrittione dal punto, A, nel
qual principio i tre punti, I, L, A, ſaranno vn
ſolo, poi mouẽdoſi la ſquadra, N L M, ſi che per
eſſempio ſi ſia coſtituita, doue hora ſtà, inten-
deremo, cheil pũto, I, ſia ſcorſo da, L, in, I, de-
ſcriuẽdo la curua, A I, mẽtre i lati, A I, I K, ſarã-
no ſcorſi per i pũti, A, K, mantenẽdoſi ſempre
aggiacenti à quelli, e così ſeguitaremo in tal
modo à deſcriuere la curua, I B; & è manifeſto,
chela, A I B, ſarà linea vera Parabolica,
209189Coniche. Cap. XLVI. nel triangolo rettangolo per eſſempio, A I K,
il quadrato della perpendicolare, I L, è vgua-
le al rettangolo ſotto, A L, & , L K, ouero, A E,
lato retto, al quale, L K, ſi tolſe vguale, cioè
il quadrato di, I L, ordinatamente applicata
all’aſſe, A M, è vguale al rettangolo ſotto, L
A, parte dell’aſſe tra lei, e la cima, A, e ſotto
il lato retto, A E, e così prouaremo accadere
in tutti gli altri ſiti delle due ſquadre, A I K,
N L M, adunque A B, è Parabola, la cui cima
è il punto, A, foco, P, & aſſe, A M, ſupponen-
do però d’hauer deſcritto l’altra parte, A C, il
che faremo nell’iſteſſo modo: Queſta maniera
poi ſi caua dalla quarta proprietà della Para-
bola, dimoſtrata al Cap. 12. e la fig. N I K A,
credo forſe ſia il Greco {λα}μβδα d’lſidoro Mile-
ſio, da lui inuentato per deſcriuer la Parabola.
Come ſi deſcriua la Iperbola con le righe, ſecondo mo-
do dell’inuention piana vera. Cap. XLVII.
SIa da deſcriuerſi la Ipeibola, il cui lato
retto nella trigeſima figura ſia, C B,
e lato tr auerſo, B A, perpendicolare
à, B C, prodotto verſo, B, indiffinitamente,
come in, Z, e c osì, A C, verſo, C,
210190Delle Settioni mente, come in, X, intendaſi poi la retta, D
E, mobile in sù, e in giù ſempre perpendico-
larmente à, B Z, e ſia la, D F, che contenga
vn mezo retto con, D E, ſtando ſempre il pũ-
to, D, nell’interſegatione delle due, D E, A
X, quale ſegarà, B Z, in diuerſi punti, eſſendo
coſtituito l’iſtromento in diuerſi ſiti, s’intẽda
però hora in vn determinato ſito, e ſeghi la, D
F, eſſa, B Z, in, F, ſia poi vna ſquadra, B E F,
come nella Parabola fù la, A I K, il cui punto,
E, dell’angolo retto (che s’intenda per la pun-
ta d’vno ſtile) ſcorra sù, e giù per la retta, G
E, ſtando ſempre in quella, e fra tantoi lati di
lei paſſino ſempre per i punti, B, F, è manife-
ſto, che principiandoſi il moto dal punto, B,
doue ſaranno vniti i tre punti, G, B, E, ſi par-
tirà da, B, il punto, G, ſcorrẽdo ſopra la, A Z,
e la, E D, conducendo ſeco la retta, D F, che
parimente porterà il punto, F, sù per la retta,
B Z, e fra tanto il punto, E, ſcorrerà sù per, G
E, da, G, in, E, perſeuerãdo i due lati, E B, E F,
di paſſar ſempre per i punti, B F; habbia dun-
que la punta dello ſtile, E, in tal moto deſcrit-
ta la curua, B E, dico, che queſta ſarà Iperbo-
lica, poiche il quadrato, G E, è vguale al
211191Coniche. Cap. XLVII. tangolo, B G F, cioè, B G D, che eccede il ret-
tãgolo ſotto, C B, lato retto, e ſotto, B G, par-
te dell’aſſe fra’l pũto, B, el’ordinatamente ap-
plicata, G E, d’vn rettangolo ſimile al rettan-
golo contenuto ſotto il lato retto, C B, e traſ-
uerſo, B A, e così moſtraremo accadere ne gli
altri ſiti dell’iſtrumento nell’iſteſſo modo; a-
dunque, B E, è Iperbolica, e così anco deſcri-
ueremo quel, che manca dalla parte verſo, D,
la onde ſi haurà l’intiera Iperbola, il cui dia-
metro ſarà, B Z, cima il punto, B, lato retto,
C B, e traſuerſo, B A, già ſuppoſti, il che bi-
ſognaua fare: In vece poi delle rette linee da
noi diſegnate per minor briga, e confuſione,
intenderemo zante righe congionte inſieme,
come richiede la ſtabilità dell’iſtrumento, e la
libertà del mouerſi delle parti di quello, e que-
ſta maniera ſi caua dal Cap. 16.
Come ſi deſcriua l’Eliſsi con le righe, ſecondo modo
dell’inuention piana vera. Cap. XLVIII.
SIa finalmente da deſcriuerſi l’Eliſsi,
dato nella 31. figura il lato retto, C
B, e trauerſo, B A, che ſtiano ad
212192Delle Settioni golo retto: eſſendo pur dũque, D E, che ſcor-
ra sù, e giù per la, B A, perpendicolarmente
à quella, giũta, A C, quella porti sù, e giù per
C A, il punto, D, con la retta, D F, che ſtia
ad angolo ſemiretto ſopra, D E, ſegando la,
B A, come in, F, ſia poi la ſquadra, B E F, il
cui punto, E, dell’angolo retto ſcorra sù per,
G E, e fra tanto i lati, E B, E F, paſſino ſem-
pre per i pũti, B, F, e ſi principij il moto in, B,
ouero in, A, e ſia l’iſtrumento vna volta nel ſi-
to, che ſi vede, e per il punto, E, s’intenda la
punta d’vno ſtile, che deſcriua la curua, B E
A; dico, che queſta ſarà Eliſſi, poiche il qua-
drato di, G E, è vguale al rettangolo, B G F,
cioè, B G D, per eſſer, G F, G D, eguali, che
riſguardano gli angoli ſemiretti, G D F, G F
D, ma il rettangolo, B G D, inãca dal rettan-
golo, C B G, ſotto tutto il lato retto, ela tron-
cata via dell’aſſe per la, G E, che è, G B, man-
ca, dico, d’vn rettangolo ſimile al rettangolo
ſotto ambedue i lati, C B, retto, & , B A, traſ-
uerſo; adunque il punto, E, è nello Eliſsi, di
cui ſon lati, C B, B A, così prouaremo eſſerui
gli altri punti della curua, B E A; adunque
queſta è Eliſſi, o ſemieliſſi; nell’iſteſſo
213193Coniche. Cap. XLVIII. deſcriueremo l’altra parte, adoprando l’iſtru-
mento, che dourà eſſer compoſto di righe, in
vece di linee, dall’altra bãda, e così haueremo
l’intiero Eliſsi, di cui ſaran lato retto, C B, e
traſuerſo, B A, comeſi preteſe di fare: Ma va-
glia à dire il vero, che per iſtrumenti di righe
non credo ſi poſsi migliorare di quello, che fù
inuentato dal Sig. Guid’Vbaldo dal Monte,
huomo veramente intendentiſſimo delle Ma-
tematiche, ch’accoppiò inſieme il natiuo ſplẽ-
dore con il bel lume di sì alte dottrine, il qua-
le iſtrumento fù da lui dichiarato, & inſegna-
tane la fabrica, nel fine dell’Opera ſua de’Pia-
nisferij, come ciaſcun’à ſuo commodo potrà
vedere.
Le Settioni oppoſte poi ſi deſcriuerãno co-
me due Iperbole, che hanno commune illato
traſuerſo, & eguali i lati retti, per la 14. del
primo de’Conici.
Vna ſimil maniera di deſcriuere dette Set-
tioni Coniche con le righe, mi fù moſtrata
parecchi anni ſono dal Sig. Mutio Oddi da
Vrbino, hora Ingegnero della Sereniſsima
Republica di Lucca, perſona conſumata ne’
ſtudi di Matematica, e molto intelligente si
214194Delle Settioni della Teorica, come della Prattica ancora.
Egli è però vero, ch’eſſendomi ſuanito, per la
longhezza del tempo, dalla memoria, quale
veramente foſſe il modo, ricordandomi ſolo,
che v’entrauano le ſquadre, con occaſione di
hauere à inſegnare la loro deſcrittione per via
di righe, mi meſsi à penſarui, e mi ſouuenne
queſta maniera, che hò ſpiegato di ſopra, qua-
le, quando s’abbatti con il modo del ſudetto
Autore (il che ſarà manifeſto dal libro, che il
medeſimo mi accenna voler ſtã pare in breue,
con il detto modo) dourà darſi la lode al ſuo
primo inuentore. E que ſto hò voluto dire,
non mi parẽdo ben fatto il veſtirmi delle pẽ-
ne d’altri; che perciò, ſe ben hò raccolto quà
alcuni di queſti modi, che ſono d’altri Autori,
acciò chi leggerà queſto mio Trattato, ne
habbia di dinerſe ſorti, per appigliarſi à qual
più li piacerà; nõ tralaſcio tuttauia di nomi-
nare, come mi pare il douere, ilor proprij Au-
tori. Mi ſcriue poi il medeſimo vltimamente,
ch’anch’egli deſcriue tutte tre le Settioni con
il filo, come pur hò inſegnato di ſopra, con
accompagnarui la propria ragione, che per la
Parabola, e l’Iperbola non hò ancora viſto
215195Coniche. Cap. XLVIII. preſſo di altri.
Diqueſti modi poi ci contentaremo quãto
all’inuẽtion piana vera, per non regiſtrar quà
tutto quello, che han detto gli altri, laſcian-
do all’induſtria dell’arteſice la coſtruttione
de’ſudetti iſtrumenti, acciò rieſchino più age-
uoli, e più facili da maneggiare, per non vo-
ler con troppo pregiudicio della breuità, an-
dar ſminuzzando ogni minima coſa, che dall’
induſtrioſo Operario può, vſandoui qualche
poco di diligenza, con facilità eſſer condotta
à perfettione, e però di queſti modi ſia detto
à baſtanza, facendo paſſaggio à quelli della
inuention piana, fatta per continuati punti.
Dei modi particolari di deſcriuere le Settioni Coni-
che, appartenenti all’Inuention piana per i
punti continuati. Cap. XLIX.
POtrei addur quà le varie inuen-
tioni di diuerſi Autori, come di
Orontio Fineo, di Marin Getal-
do, e d’altri, che ſi ſono ingegna-
ti di deſcriuerle per i punti con-
tinuati, ma perche non vorrei ecceder’in
216196Delle Settioni ghezza; perciò ſpiegarò ſolo quella vniuer-
ſal ragione, ſopra la quale ſtanno fondati que-
ſti vltimi modi di diſſegnare le dette Settioni
per continuati punti, con aggiunta di qualche
coſa del mio. Dico adunque quaſi tutti quei
modi, o almeno i principali eſſer fondati ſo-
pra le tre vltime proprietà di dette Settioni
Coniche, che da me ſono ſtate ſpiegate ne i
Capitoli 12. 16. 20. vediamo perciò prima
queſto intorno la Parabola. Sia dunque dato
il lato retto, A Z, nella trigeſimaſeconda ſi-
gura, prolongato indiffinitamente verſo, A,
come in, X; volendo adunque deſcriuere vna
Parabola, il cui aſſe ſia, X A, e lato retto, A Z,
tiraremo dalla eſtremità la, X G, ad angolo
retto (ſe ben verrà deſcritta anco, che non ſia
ad angolo retto, il che però ſuppõ@o per mag-
gior chiarezza) e poi prenderemo molti pun-
ti in, AX, più ſpeſsi, che ſia poſſibile, però quà
per eſſempio non notaremo, ſe non li tre pũti,
M, L, H, da’quali tiraremo dalla parte mede-
ſima le, H B, L D, M F, parallele ad, X G, in-
diffinitamente prolõgate, dipoi deſcriueremo
dall’altra parte i ſemicircoli, Z C H, Z O L,
Z I M, Z V X, tirando da, A, la retta, A V,
217197Coniche. Cap. XLIX. pendicolare ſopra, A X, indiſfinitamente
prodotta, che ſeghi le circonferenze de’ſudet-
ti ſemicircoli ne i punti, C, O, I, V, prendere-
mo poi in, H B, la, H B, eguale ad, AC,
in, L D, la, L D, eguale ad, A O, in M F, la,
M F, eguale ad, A I, e finalmente la, X G, e-
guale ad, A V; dico adunque, chei punti, B,
D, F, G, ſarãno nella Parabola, il cui lato ret-
to è, A Z, poiche il quadrato, X G, cioè, V A,
è vguale al rettangolo ſotto, X A, compreſa
tra, X G, & il punto eſtremo della retta, X A,
e ſotto il lato retto, A Z, per eſſere, Z V X, ſe-
micircolo, & , A V, perpendicolare ſopra il
diametro, Z X, e così il quadrato, M F, è vgua-
le al rettangolo, M A Z, & il quadrato, L D,
al rettangolo, L A Z, & il quadrato, H B, al
rettangolo, H A Z, e però i punti, G, F, D, B,
ſaranno nella Parabola, il cui lato retto ſarà,
A Z; trouando dunque tali punti, che ſian vi-
cini, e facendo paſſare vna curua per quelli,
decorſa dalla punta d’vno ſtile, che paſſi per
i medeſimi punti, verrà proſſimamẽte deſcrit-
ta da quello la ſemiparabola da queſta banda,
e nell’iſteſſo modo deſcriueremo la rimanen-
te dall’altra, & hauremo l’intiera
218198Delle Settioni deſcritta per i punti continuati, il cui lato ret-
to ſarà, A Z, che prima ſi propoſe, e queſto mo-
do è cauato dalla 4. proprietà della Parabola
al Capit. 12.
Come ſi deſcriua l’Iperbola, & Eliſsi per ì
punticontinuati. Cap. L.
SIa nella trigeſimaterza figura,
B A, lato traſuerſo d’vn’Iper-
bola, & Eliſſi, da deſcriuerſi,
come ſopra, & , A F, à quello
perpendicolare ſia lor cõmun
lato retto, e giunti i punti, B,
F, ſia la, B, F, come anco la, B A, indiffinita-
mente prodotta verſo, F, A, come in, D, C;
per far queſto dunque, prẽderemo molti pun-
ti, e ſpeſſi nelle, B A, A C, ma noi per eſſempio
ne notaremo due ſoli, e ſupporremo di voler
fare, che il punto, A, non ſolo ſia cima dell’I-
perbola, ma anco della Eliſſi da deſcriuerſi.
Siano dunque li due punti preſi in, B A, eſſi,
M, N, & in, A C, eſſi, R, C, per i quali ſi pro-
longhino indiffinitamente parallele ad, F A,
di quà, e di là le, H ℞, G & , E X, D Y, che
219199Coniche. Cap. L. ghino la, B D, ne i punti, H, G, E, D, ſi pren-
da poi in, H ℞, la, M ℞, eguale ad, M A, in,
G & , la, N & , eguale ad, N A, in, E X, la, R X,
eguale ad, R A, & in, D Y, la, C Y, eguale ad,
A C, e ſopra le, H ℞, G & , E X, D Y, s’inten-
dino deſcritti ſemicircoli, che ſeghino la, B C,
ne i pũti, K, Z, T, V, cioè il ſemicircolo ſopra,
H ℞, ſeghi la, B A, in, K, quel ſopra, G & , la
iſteſſa, B A, in, Z, quel ſopra, E X, la, A C, in,
T, e finalmente quel ſopra, D Y, la, A C, pur
in, V, e prendaſi la, M K, in, M ℞, cioè, M O,
eguale ad, M K, che termini in, B A, e così,
N P, eguale ad, N Z; R Q, eguale ad, R T, &
C S, eguale à, C V; dico dunque, che i punti,
O, P, ſono nell Eliſſi, di cui è lato retto, F A,
e traſuerſo, A B, & , Q, S, nell’Iperbola, che
hà i medeſimi lati retto, e traſuerſo, imperoche
il quadrato, M K, cioè, M, O, è vguale al ret-
tangolo, H M ℞, cioè, H M A, per eſſer, M ℞,
eguale ad, M A, come, M O, ad, M K, cioè è
eguale al rettangolo ſotto, M A, & H M, defi-
ciente dal rettangolo ſotto, M A, A F, di vn
rettangolo ſimile al contenuto ſotto, B A, A F;
adunque per la quarta proprietà, ſarà il pun-
to, O, nell’Eliſſi, di cui ſon lati, F A, A B,
220200Delle Settioni prouaremo eſſerui il punto, P, & ogn’altro
punto in tal modo trouato; per quelli adũque
diſſegnata la curua, come ſopra, che ſia, B O
P A, diremo queſta eſſer proſſimamente ſemi-
eliſſi, di cui ſon lati, F A, A B, così faremo la
rimanente dall’altra parte, & hauremo deſcrit
to l’Eliſſi per i punti continuati, di cui ſaran-
no lati, F A, retto, & , A B, traſuerſo.
Nell’altra figura poi, il quadrato, R Q, per
eſſer’eguale al quadrato, T R, ſarà anco egua-
le al rettangolo ſotto, E R X, cioè, E R A, ec-
cedente il rettangolo, F A R, di vn rettango-
lo ſimile al contenuto ſotto, B A, lato traſuer-
ſo, & , A F, lato retto; adunque il punto, Q, ſa-
rà nell’Iperbola, di cui ſono lato retto, F A, e
traſuerſo, A B; così moſtraremo eſſerui il pun-
to, S, & ogn’altro in tal modo ritrouato, de-
ſcriuendo adunque, come ſopra, la curua, A Q
S, ſarà queſta ſemiIperbola, e nell’iſteſſo mo-
do, fatta dall’altra parte la rimanente, haure-
mo l’intiera Iperbola deſcritta per i punti con-
tinuati, di cui ſarãno lato retto, F A, e traſuer-
ſo, A B, & il punto, A, cõmune cima dell’Iper-
bola, & Eliſſi, e l’iſteſſo ſi farà, quando le, B A,
A C, non foſſero aſſi, ma ſolo diametri:
221201Coniche. Cap. L. medeſima maniera poi ſi potranno deſcriuere
le oppoſte Settioni, come due Iperbole, ſe-
condo quello, che ſi è detto anco di ſopra.
D’vn’altra maniera molto facile, & eſpediente, di
deſcriuere per i punti continuati la Parabola,
che habbi per foco vn determinato
punto. Cap. L I.
SIa nella figura 34. la retta, A K,
indiffinitamente prolongata,
quale vogliamo conſtituir per
aſſe della Parabola da deſcri-
uerſi, & in quella ſi prendano,
come ſi voglia due punti, B, A, cioè, B, che
debba eſſer foco, & , A, cima della ſudetta Pa-
rabola; pigliſi poi, B C, eguale à, B A, e ſopra
il centro, C, con la diſtanza, C A, ſi deſcriui il
circolo, A O F Z, che ſeghi, A K, in, F, e per,
S, ſi tiri la, N F G, perpendicolare ad, A K,
nella quale ſi prendano le, N F, F G, eguali
ad, F A; Dico, cheipunti, N, G, ſono nella
Parabola, il cuifoco è il punto, B, ouero il cui
lato retto è, F A, quadrupla di, A B: Poiche
il quadrato, N F, ouero, F G, è vguale al
222202Delle Settioni drato, F A, cioè al rettangolo ſotto, F A, el’i-
ſteſſa, F A, lato retto, e però i punti, N, G, ſa-
ranno in tal Parabola. Prendiſi hora nella, F
A, doue ſi voglia il pũto, E, per il quale ſi pro-
duchi di quà, e di là indiffinitamẽte la, M H,
parallela ad, N G, che ſeghi la circonferenza,
A O F Z, nei punti, O, Z, e la diſtanza, A O,
ouero, A Z, tirate le, A O, A Z, ſi traſporti sù
la, M H, terminandola di quà, e di là in, E, e
ne i punti, M, H; Dico, che queſti ſaranno
nella detta Parabola; poiche il quadrato, M
E, ouero, O A, che gli è vguale, è parimente
vguale à i quadrati, O E, E A, ma il quadra-
to, O E, è vguale al rettãgolo, F E A, che con
il quadrato, E A, fà il rettangolo, F A E; adũ-
que il quadrato, M E, è vguale al rettangolo
ſotto, E A, parte troncata da eſſa verſo, A, e
ſotto, A F, lato retto; adũque per le coſe det-
te al Cap. 6. ſarà il punto, M, in tal Parabola; e
nell’iſteſſo modo prouaremo eſſerui il pũto, H.
Sia hora preſo in, A F, prodotta oltre il pũ-
to, F, eſſo, K, per il quale ſi tiri la, L K Q, pa-
rallela ad, N G, e ſi facci ſopra, A K, vn ſemi-
circolo, che ſeghi con la ſua circonferenza la,
N F, in, T; Tolta dunque la diſtanza, A
223203Coniche. Cap. LI. la traſportaremo ſopra, L, Q, terminandola
di quà, e di là à i punti, L, Q, e communemen-
te nel punto, K, prouando noi i punti, L, Q,
eſſere nella detta Parabola, poiche il quadra-
to, L K, cioè, T A, per eſſere, K T A, ſemicir-
colo, è vguale al rettãgolo, K A F, ſotto, K A,
troncata da, L K, & A F, lato retto; adunque
il pũto, L, è in tal Parabola, come anco ſi pro-
uarà del punto, Q; In tal modo adunque preſi
molti, e ſpeſsi punti nella, A K, e per quelli, di
quà, e di là dalla, A K, prodotte indiffinita-
mente rette linee, perpendicolari ad, A K, e
tolte le diſtanze da i punti, doue dette paral-
lele ſegano la circonferenza, A O F Z, ſino al
punto, A, ouero da i punti ſegnati al modo ſu-
detto nella retta, N G, trouaremo i punti vici-
niſſimi, per i quali tirata, come ſi è detto, vna
linea curua, ſi diſſegnarà la Parabola, il cui la-
to retto ſarà, F A, e ſuo foco il punto, B, coſa
veramente degna d’eſſer ſaputa; ſia dunque
tal Parabola la, L A Q, nella deſcrittione del-
la quale, continuata ſotto il punto, F, cõuie-
ne auuertire, che i ſegamenti, fatti nella ret-
ta, N G, per occaſione de i ſemicircoli, da de-
ſcriuerſi, come è, A T K, tal volta ſarãno
224204Delle Settioni tro, N G, ò che batteranno in, N, G, e tal
volta ſi faranno oltre i punti, N, G, nella me-
deſima, N G, di quà, e di là indiffinitamente
prolongata.
Come dalla Parabola ſi poſſono dedurre infinite
Iperbole, che con mirabile analogia vanno mutan-
do i lati traſuerſi, mantenendo però ſempre l’iſteſ-
ſo lato retto. Cap. LII.
SIa nella fig. 35. il circolo, D P G,
diametro, D G, e centro, F, dal
quale ſuppongaſi hauer noi de-
dotta la Parabola, D Q H, (mi
ſia lecito chiamare queſte Set-
tioni, come che foſſero intiere) nel modo im-
parato dal Cap. ant. e ſe ne deuino cauar le ſo-
pradette Iperbole. Tiraremo adunque dentro
la Parabola, D Q H, già fatta, quante ſi voglia
linee perpendicolari all’aſſe, D G, che perciò
ſarãno parallele fra di loro, come, per eſſem-
piola, G Y, dalla eſtremità del diametro, D G,
& , O X, ambedue indiſſinitamẽte prolongate
in, Y, X; preſa dunque la diſtãza, D Q, e tiaſ-
feritala ſopra, O X, cominciãdo dal punto,
225205Coniche. Cap. LII. ſi che termini in, R, ſimilmente tolta la, D H
e ſteſala da, G, ſopra, G I; Dico, che li punti,
R, I, ſarãno in vn’lperbola; e ſe di nuouo pren-
deremo, O S, eguale à, D R, e, G M, eguale à,
D I, ſaranno pur li punti, S, M, in vna nuoua
Iperbola; ſimilmente prendendo, O T, egua-
le à, D S, e, G N, à, D M, ſaranno i punti, T,
N, in vn’altra Iperbola, e così procedẽdo con
l’iſteſſo modo, potremo deſcriuere infinite di
queſte Iperbole, tutte generate in vn certo
modo dalla Parabola, ciaſcuna però median-
tile Iperbole antecedenti, ſino che s’arriui al-
la Parabola, che riconoſce poi per ſuo genito-
re il cerchio: Mache ciò ſia vero, ſi prouarà in
queſto modo.
Pongaſi, D A, eguale, e per dritto à, D G,
come anco, D V, ad angolo retto ſopra, G D,
& eguale pure all’iſteſſa, e s’intendino diſſe-
gnate le curue, D R I, D S M, D T N, median-
te li molti punti, che potremo trouare ſimili
alli, R, S, T; I, M, N; Perche dunque il qua-
drato, D H, è vguale alli quadrati, D G, G H,
come anco il quadrato, D Q, s’adegua alli
duoi quadrati, D O, O Q, e di queſti il qua-
drato, O Q, è eguale al rettangolo, G D
226206Delle Settioni ouero, A D O, & il quadrato, G H, è eguale
al quadrato, G D, ouero al rettangolo, A D
G, perciò il quadrato, D H, ouero, G I, ſarà
eguale al rettangolo, A D G, con il quadra-
to, D G, cioè al rettangolo, A G D, & il qua-
drato, D Q, ouero, O R, ſarà eguale al ret-
tangolo, A D O, con il quadrato, D O, cioè al
rettangolo, A O D, adunque il quadrato, G I,
al quadrato, O R, ſarà, come il rettangolo, A
G D, al rettãgolo, A O D, adunque per il Ca-
pit. 16. ouero per la p. 21. del P. de’Conici,
D R I, ſarà Iperbola, e ſuo lato traſuerſo, A D,
e poſcia che per l’iſteſſa, come è il rettangolo,
A G D, al quadrato, G I, così è il lato traſuer-
ſo al retto, ſi come quelli s’è prouato, che ſono
eguali, così ſaranno eguali queſti ancora, adũ-
que, D V, che è vguale ali’, A D, ſarà lato ret-
to della Iperbola, D R I, quale perciò potre-
mo chiamare Iperbola equilatera.
Perche poi il quadrato, D I, è vguale alli
quadrati, I G, ouero, D H, & , G D, cioè à tre
quadrati di, G D, ſarà il quadrato, D I, ouero,
G M, eguale al rettangolo ſotto la tripla di,
G D, e ſotto, G D, e perciò diuiſo in partie-
guali, A D, lato traſuerſo in, B, ſarà il
227207Coniche. Cap. LII. to, G M, doppio del rettangolo ſotto, B G D,
e come il quadrato, G M, al rettãgolo, B G D,
così ſarà, V D, à, D B, e perciò, B D, ſarà lato
traſuerſo dell’Iperbola, D S M, eſſendo poi il
quadrato, O S, ouero, D R, eguale alli qua-
drati, R O, O D, cioè al rettangolo, A O D,
con il quadrato, O D, cioè (rolta, A Z, eguale
à, D O,) al rettãgolo, Z O D, il medeſimo qua-
drato, O S, ſarà il doppio del rettangolo, B O
D, onde à quello ſarà come, V D, à D B, e per-
ciò il quadrato, G M, al quadrato, O S, ſarà
come il rettangolo, B G D, al rettangolo, B O
D, e perciò, D S M, è Iperbola, per la p. 21. del
P. de’Conici, il cui lato retto, V D, è doppio
del traſuerſo, D B.
Similmente il quadrato, D M, ouero, G N,
ſupera il quadrato, G M, di vn quadrato, D G,
(come faranno pure gli altri nella, G Y, delle
Iperbole ſuſſeguenti) ma il quadrato, G M, è
eguale à tre quadrati di, G D, adunque, G N,
ſarà eguale à quattro quadrati di, G D, cioè
eguale al rettangolo ſotto la quadrupla di, G
D, e ſotto, G D, cioè (fatta, C D, vn terzo di,
A D,) ſarà triplo del rettangolo, C G D, & à
quello haurà l’iſteſſa proportione, che la, V
228208Delle Settioni à, C D; Parimente il quadrato, D S, ouero, T
O, ſupera il quadrato, S O, cioè il rettangolo,
Z O D, di vn quadrato, D O, e perciò ſarà e-
guale al rettãgolo, Z O D, con il quadrato di,
O D, cioè (aggiunta, Z ℞, eguale ad, A Z,) ſa-
rà eguale al rettangolo, ℞ O D, cioè triplo del
rettãgolo, C O D, per eſſer, C O, vn terzo di,
O ℞, e però il quadrato, T O, al rettangolo,
C O D, ſarà pure come, V D, à, D C, & il qua-
drato, G N, al quadrato, O T, ſarà come il ret-
tangolo, C G D, al rettangolo, C O D, e però
anco, D T N, ſarà vn’Iperbola, il cui lato traſ-
uerſo è, C D, del quale il lato retto, V D, vie-
ne ad eſſer triplo: Così prouaremo le altre ſuſ-
ſeguenti, che nell’iſteſſo modo ſi poſſon gene-
rare, eſſer pure Iperbole, che haurãno ſempre
il medeſimo lato retto, V D, ma mutaranno il
traſuerſo; cioè nella Iperbola equilatera, ouer
prima il lato retto ſarà eguale al traſuerſo,
nella ſeconda il retto ſarà doppio del traſ-
uerſo, nella terza ſarà triplo, nella quarta qua-
druplo, e così ſeguirà la proportione del lato
retto altraſuer ſo in infinito, ſecondo la ſerie
naturale de’numeri continuati dall’vnità.
229209Coniche. Cap. LIII.
In qual maniera ſi poſſi deſcriuere l’Iperbola
equilatera, il cuifoco diſti dalla ſua ci-
ma quanto noi vorremo.
Cap. LIII.
GVardiſi pure la medeſima figura
35. nella quale ſia, E D, vn
quarto del diametro, D G; è
dunque manifeſto per il Capi-
tolo 21. che il punto, E, ſarà
foco della circonferenza, D P G; e perche,
D G, è anco lato retto della Parabola, D Q
H, & è, D E, vn quarto di quello, perciò
il punto, E, per il Capitolo 9. ſarà pur’an-
co foco della Parabola, D Q H: Pongaſi ho-
ra, che habbiamo da deſcriuere vn’Iperbola
equilatera, il cui foco diſti dalla cima, D, per
la retra, E D; Prima dunque io dico, che il
punto, E, non è foco dell’Iperbola equila-
tera, D R I, poiche douendoſi, per ritrouar-
lo, adattare all’, A D, vn rettangolo eccedẽ-
te d’vna figura quadrata, eguale alla quarta
parte del rettangolo ſotto, A D, D V, ouero
del quadrato, A D, cioè eguale al rettãgolo,
A D E, è manifeſto, che, D E, non può
230210Delle Settioni re l’ecceſſo fatto per la ſudetta applicatione,
poiche verrebbe il rettangolo, A D E, ad eſ-
ſere eguale al rettangolo, A E D, che è aſſur-
do; adunque il punto, F, non può eſſer foco
dell’Iperbola equilatera, D R I, ma caſcherà
tra i punti, E, D, cone in, Φ, poiche eſſendo
il rettangolo, A D E, eguale al rettangolo,
A Φ D, e maggiore, A Φ, di, A D, biſogna re-
ciprocamente, che anco, D E, ſia maggiore
di, Φ D, quanto poi ſi allontani dal punto, D,
lo trouaremo in queſto modo. Tagliſi, D V,
in, Π, in parti eguali, e ſi tiri la, B Π Dico, che,
B Π, è vguale à, B Φ, poiche eſſendo il rettã-
golo, A Φ D, eguale à vn quarto del quadra-
to, A D, cioè al quadrato, B D, ne ſeguirà,
che il rettangolo, A Φ D, con il qua dr. D B,
cioè che il quadrato, B Φ, per la p. 6. del Se-
condo de gli Elem. ſia doppio del quadrato,
B D, ma anco il quadrato, B Π, è doppio del
quadrato, B D; adunque il quadrato, B Π, è
vguale al quadrato, B Φ, eſſendo perciò, Φ B,
incommenſurabile à, D B; ſappiamo dunque
quanto il foco, Φ, dell’Iperbola equilatera,
D R I, ſi allontani dalla ſua cima, D; sì come
ſi prouarà in tutte le Iperbole equilatere,
231211Coniche. Cap. LIII. uiſo per mezo il lato traſuerſo, il lor foco eſſer
diſtante da quel punto di mezo, cioè dal cen-
tro dell’Iperbola, per la quantità d’vna linea
retta, che viene ad eſſer diametro del quadra-
to, che ſi può formare ſopra eſſa metà del lato
traſuerſo, com’è la, B Φ, hauendo perciò in
tutte le Iperbole equilatere le diſtanze da i
fochi à i centri dell’Iperbole alle metà dei lo-
ro lati trauerſi l’iſteſſa proportione, cioè
quella, che hà il diametro alla coſta dell’iſteſ-
ſo quadrato.
Inteſe queſte coſe, per deſcriuer l’Iperbo-
la equilatera, il cui foco ſia il pun to, E, baſte-
rà trouare la quantità del diametro di quel
cerchio, dal quale cauando l’Iperbola equi-
latera nel modo, che dal cerchio, D P G, s’è
dedotta la, D R I, ſi potrà facilmente ritro-
uare. Eſſendo adunque la diſtanza propoſta
dal foco alla cima dell’Iperbola eſſa, E D, ſe
noi prendeſſimo, G D, quadrupla di, E D, e
deſcritto il cerchio, D P G, cauaſſimo l’Iper-
bola equilatera, D R I, queſta hauerebbe il
foco nel pũto, Φ, e perciò non ſarebbe à pro-
poſiro, come ſi è moſtrato di ſopra, per trouar
quella adunque, che hà per foco il punto,
232212Delle Settioni farò come, Φ D, (ſuppoſto che il punto, Φ, ſia
ritrouato, come ſopra) à, D B, metà del lato
traſuerſo dell’Iperbola equilatera, il cui foco
è il punto, Φ, ouero vniuerſalmente, ſenza ha-
uere à riguardare ad altra Iperbola, farò co-
me l’ecceſſo del diametro di qual ſi voglia
quadrato alla ſua coſta, così la data diſtanza,
E D, ad vna quarta linea, che ſarà la metà del
lato traſuerſo, o retto, della noſtra Iperbola
equilatera, che haurà per foco il punto, E, e
l’iſteſſa ſarà ſemidiametro del cerchio da de-
ſcriue@ſi, dal quale cauando l’Iperbola equi-
latera nel modo, che dal cerchio, D P G, s’è
dedotta la, D R I, queſta haurà per ſuo foco
(interiore intendo ſempre) il punto, E, poi-
che la diſtanza di, E, foco dal centro della
detta Iperbola alla metà del lato traſuerſo ha-
urà l’iſteſſa proportione, che hà il diametro
alla coſta, e perciò conforme à quel, che ſi è
detto di ſopra, il punto, E, ſarà pur foco della
detta Iperbola equilatera. Sin’hora dunque
ſappiamo deſcriuere il cerchio, la Parabola,
e l’Iperbola equilatera, mediante la traslatio-
ne delle dette linee verticali, che habbino il
lor foco diſtante dalla cima, quanto à noi
233213Coniche. Cap. LIII. cerà: Vi reſta l’Eliſſi, la cui deſcrittione hò
con anſietà cercato ſe ſi poteua fare in vna ſi-
mil maniera, ma hauẽdo viſto il Keplero nel-
le Tauole Rodulfine, inſegnare vn modo, che
hà molta affinità con il già accẽnato di ſopra,
m’è parſo bene, per non differir più con nuo-
ue ſpecolationi il fin della ſtampa di queſto
mio Trattato, accõpagnarlo con gli altri in-
ſegnati di ſopra, aggiungendoui anco, per ſo-
disfattione de’ſtudioſi, la ſua dimoſtratione,
poiche quella non ſi hà nelle dette Tauole,
mettendo egli ſolo la ſemplice prattica, per
ſeruirſene nelle coſe celeſti.
Come ſi deſcriua l’Eliſsi, che habbiciaſcun de’ſuoi
fochi distanti dall’eſtremità dell’aſſe quanto
ſi voglia. Cap. LIV.
SIa nella figura 36. la retta, A H,
che deua eſſere diametro mag-
giore d’vno Eliſsi, nel quale ſi
prendano per fochi i punti, C,
G, egualmente diſtanri da gli
eſtremi dell’aſſe, A, H; per deſcriuere adun-
quela pr opoſta Eliſſi, prima diuiſa, A H,
234214Delle Settioni mezo in, E, ſopra’l centro, E, con li ſemidia-
metri, E A, E C, faremo li duoi ſemicircoli, A
L H, C R G, preſi poi nella circonferenza, A
L H, quanti punti, e douunque vorremo, per
eſſempio, M, L, K, da quelli tiraremo al cen-
tro, E, le, M E, L E, K E, notando i punti, O,
R, S, doue ſegano la circonferenza dell’inte-
riore ſemicircolo, da queſti poi, come anco
dalli punti, M, L, K, ſopra il diametro, A H,
caſchino le perpendicolari, M B, L E, nel cen-
tro, K I, O D, R E, S F, fatto poi centro com-
mune, G, con l’interuallo, H D, ſi deſcriua
vn pezzetto d’arco, che ſeghi, M B, in, N, e
così con l’interuallo, H E, trasferendolo in,
G P, ſi noti nella, L E, il punto, P, e con, H F,
traſportato in, G Q, ſi ſegninella, K I, il pũ-
to, Q; Dico adunque, che i punti, N, P, Q,
ſtanno nell’Eliſsi, i cui fochi ſono, C, G; Per
prouar queſto adũque, ſi tirino le, M G, O H;
Hora perche ne’triangoli, M E G, O E H,
M E, è vguale ad, E H, & , E G, ad, E O, e
l’angolo, O E G, commune, ſarà, per la 4. del
primo de gli Elem. la baſe, M G, eguale alla
baſe, O H, e perciò anco i loro quadrati ſarã-
no eguali. E perche anco i quad. delle H D,
235215Coniche. Cap. LIV.
G N, per la coſtruttione eguali, ſon pure e-
guali, perciò la differenza tra li duoi quad. O
H, H D, cioè il quad. O D, ſarà eguale alla
differenza tra li duoi quad. M G, G N, cioè
all’ecceſſo de’quad. M B, B G, ſopra li quad.
N B, B G, cioè all’ecceſſo del quad. M B, ſo-
pra il quadr. N B, nell’iſteſſo modo poi pro-
uaremo eſſer’il quad. S F, eguale all’ecceſſo
del quad. K I, ſopra il quad. I Q, sì come anco
il quad. E G, è vguale all’ecceſſo del quad. G
P, ouero, L E, ſopra il quad. P E; Perche poi
i triangoli, M B E, O D E, ſono ſimili, perciò
il quad. O D, al quad. O E, cioè l’ecceſſo del
quad. M B, ſopra il quad. B N, all’ecceſſo del
quadr. L E, ſopra il quadr. P E, ſarà comeil
quad. M B, al quad. M E, ouero al quad. L E,
adunque il quad. M B, al quad. L E, ſarà an-
cora come il quadr. N B, al quadr. P E, ma il
quad. M B, al quad. L E, è come il rettangolo,
A B H, al rettangolo, A E H, adũque il quad.
N B, al quad. P E, è come il rettang. A B H, al
rettãg A E H, ma queſta è la 4. proprietà dell’
Eliſſi, dimoſtrata al Cap. 20. adũque i punti,
N, P, ſono nella Eliſſi medeſima, cioè in quel-
la, i cui fochi ſono i punti, C, G: ſimilmente
236216Delle Settioni
ſupponendoſi prouato, che il quadr. S F, èv-
guale all’ecceſſo del quad. K I, ſopra il quad.
I Q, & eſſendo il quad. I K, al quad K E, come
il quad. F S, al quad. S E, perciò il medeſimo
quad. I K, al quad K E, ouero, L E, ſarà come
l’ecceſſo del quad. K I, ſopra’l quad. I Q, al qua
dr. S E, cioè all’ecceſſo del quad. L E, ſopra il
quad. E P, e perciò come il quad. K I, al quad.
L E, cioè come il rettãgolo, H I A, al rettãgo-
lo, H E A, così ſarà il quad. Q I, al quad. P E,
adunque il punto, Q, è nell’Eliſſi, nel quale
èil punto, P, cioè in quello, che hà per fochi
i punti, C, G, così dunque prendendo ſpeſſi
punti nella circonferenza, A L H, deſcriuere-
mo facilmente la parte, A P H, e con l’iſteſſa
maniera l’altra metà, sì come deuono parimẽ-
te nella fig. 35. farſi l’altre metà della Parabo-
la, e delle I perbole ſuſſeguenti, col medeſimo
modo iui dichiarato. II Keplero poi preualen-
doſi dell’Eliſſi nelle coſe celeſti, ſuppone, che
G, ſia il Sole, A, l’Affelio, H, Perielio, A P H,
l’orbita del Pianeta, G A, G N, G P, G Q, G
H, Gl’interualli del Pianeta, poſto in queſti
luoghi, dal Sole, l’angolo, M E A, ouero l’arco
M A, l’anomalia dell’eccentrico, l angolo, M
237217Coniche. Cap. LIV.
G A, l’anomalia coequata, ma nel circolo, & ,
N G A, l’anomalia coequata vera, l’area, N G
A, l’anomalia media, il triangolo, N G E, l’e-
quation fiſica, moſtrãdo, che il Pianeta, moſ-
ſo dalla virtù ſolare, ſia sforzato deſcriuere
l’Eliſſi, i cui fochi ſono, C, G, in vn de’quali,
cioèin, G, ſtà collocato il Sole; tanto egli hà
nobilitato queſte Settioni Coniche.
Corollario.
EDunque manifeſto da queſto Capa, e dalli tre
antecedenti, che, proposta qualunque diſtan-
za del foco dalla cima della data Settione,
noi ſapremo deſcriuere qualſiuoglia di quelle, alla
quale conuerrà il proposto foco. Intendendo inſie-
me, che quando ſi fabricaſſe vno Specchio Sferico
poch ſſimo cauo, ouero vna lente pochiſſimo colma,
questi non ſarebbono molto differenti dalla curuità
Parabolica, & Iperbolica; poiche nella figura 3 5. il
quadrato, OP, iarghezza della metà delio Specchio
Sferico, D P, è ſuperato dal quad di, O Q, largbez-
za di mezo lo Specchio Parabolico, DQ, del quadr.
DO, così il quad. medeſimo di, OP, è ſuperato dal
quad. OR, larghezza di mezo lo Specchio
238218Delle Settioni co, D R, di duoiquadr. di, O D, ma, O D, è la pro-
fondiità dello Specchio Sferico, D P, adunque quan-
do questo foſſe pochiſſimo cauo, ſarebbe, D O, pic-
coliſſima, & in conſeguenza ne vn tal quadrato di
più, ne due aggiunti al quadr. O P, fariano creſcer
molto eſſa larghezza, O P, adunque gli Specchi Sfe-
rici poco caui, e le lenti, le quali ſiano poco colme, ſa-
ranno quaſi inſieme e Paraboliche, & Iperboliche, e
perciò accoſtandoſegli tanto, faranno ancor gli effet-
ti a quelli propinquiſſimi, il che inſieme potrà, credo,
ſeruire per iſgannar’alcuni, che ſtimano, che vn par
d’occhiali Parabolici, o Iperbolici, foſſero per far l’ef-
fetto del Canocchiale, poiche ſe così foſſe, accoſtandoſi
tanto vicino le lenti Sferiche, e pochiſſimo colme, al-
la detta curuità, ce ne dariano pur qualche ſegno, il
che non ſi vede, mentre non ſi accompagnino con il
traguardo. Potrà inſieme ancora la dottrina di que-
ſto Corollario dar ſodisfattione à quelli, che ſtimaſſe-
ro la ſtrada diſſegnata dal proietto eſſer circolare, poi-
che eſſendo quel cerchio notabilments grande, & il
viaggio del graue poca parte dell’intiera circonfe-
renza, può eſſer, che talhora rieſcbi pure pochiſsimo
differente dalla Parabola.
239219Coniche. Cap. LV.
Di altre maniere ancora di dedurre le Settioni Coni-
che vicendeuolmente l’vna dall’altra, o dal-
la circonferenza del cerchio.
Cap. LV. & vlt.
POſſono anco le Settioni Coniche
dedurſi l’vna dall’altra, o dalla
circonferenza di cerchio in que-
ſto modo, cioè, per eſſempio, ſe
noi nella fig. 36. ſegaremo pro-
portionalmente tutte le ordinatamẽte appli-
cate all’aſſe, e per i ſegamenti tiraremo vna
curua, come, A N P Q H, quella verrà Elit-
tica, e l’iſteſſo ſarebbe, ſe prolongaſſimo le
medeſime, oltre à i punti, M, L, K, tutte nel-
la medeſima proportione: & vniuerſalmente
creſcendo, e ſcemando nell’iſteſſa proportio-
ne le ordinatamente applicate al diametro di
qualſiuoglia Settione, la curua, che paſſerà
per i pũti eſtremi di quelle ſarà ancora lei Set-
tion Conica dell’iſteſſa ſorte, cioè Parabolica
la dedotta dalla Parabola, Iperbolica dalla
Iperbola, ma dal cerchio verrà fatta la Elitti-
ca. Similmente ſe nella fig. 35. noi prendeſ-
ſimo le ordinatamente applicate alla, D G,
240220Delle Settioni le trasferiſſimo nell’iſteſſa drittura, applican-
dole ordinatamente ad vn’altra linea retta,
interpoſta fra le oppoſte tangenti, allhora ſe
quella gli foſſe perpendicolare, tirando la li-
nea curua per l’eſtremità delle applicate,
quella ſarebbe circonferenza di cerchio, ma
ſe caſcaſſe obliquamente fra le dette tangen-
ti, ſaria Elittica; così facendo tale traslatio-
ne delle ordinatamente applicate al diame-
tro della Parabola, ne verrà pur Parabola; e
dall’Iperbola, Iperbola, come dall’Eliſſi ſe
ne dedurrà pur’Eliſſi.
Queſti modi, con quelli, che hò ſpiegato
ne’Capit. 51. 52. 53. per deſcriuer le dette
Settioni Coniche, credo debbano eſſer viſti
con qualche guſto da gli ſtudioſi, ſupponẽdo
chenon ſiano, maſſime quelli, così noti à tutti,
ſe bene in queſto mi potrei forſi ingannare,
poiche hauendoli io per qualche tempo ſti-
mati, come coſa di mia inuentione particola-
re; doppo ch’io hò viſto il Libro di Bartolo-
meo Souero Friburgenſe, già Profeſſore delle
Matematiche nello Studio di Padoua, intito-
lato; Curui, ac recta Proportio promota. mi ſono
accorto d’eſſerm’incontrato con lui nelle
241221Coniche. Cap. LV. deme ſpecolationi, benche quãto alle ragioni
ſiamo in parte differenti, come ſi può vedere.
Hora, perche qualche critico non haueſſe da
cenſurarmi, ch’io mi foſſi vſurpato l’inuẽtione
di queſt’huomo, da me ſtimato per molto in-
gegnoſo, & eſperte nelle Matematiche, mi ba-
ſterà la teſtimonianza dell’Illuſtriſs. Sig. Ceſa-
re Marſili, che dell’anno 1629. vidde parte
di queſto Trattato, doue haueuo dichiarato il
modo di deſcriuer la Parabola, e l’lperbola
nella maniera ſpiegata ne i ſudetti tre Capi-
toli, cioè con dedurle dal cerchio; come anco
ne potrà far fede il Sig. Alfonſo da Isè nomi-
nato diiſopra, che fù in parte cauſa, ch’io mi
ci applicaſſi; eſſendo poi il Souero ſtampato
doppo, cioè dell’anno 1630. Ne deue arreca-
re marauiglia, che due s’incontrino ne’mede-
ſimi penſieri, parendo anzi, che la Natura ſia
inolto ſollecita nel produrr’à queſto fine huo-
mini dell’iſteſſo genio, per addottrinar, anco
contra ſua voglia, il genere humano, acciò
quello, che per la negligenza di vno reſtareb-
be ſepolto, per diligenza dell’altro venga à
porſi in luce, potendo perciò accadere, che
più d’vno ancora dia nel medeſimo ſegno.
242222Delle Settioni
Haueuo finalmente penſiero di aggiunge-
re altre coſe, & in particolare d’inſegnare la
maniera di trouare vicendeuolmente i diame-
tri, lati, e centri, date le Settioni Coniche già
deſcritte, con altre coſe intorno alle tangen-
ti, gli aſimptoti, e le incidẽti; ma perche que-
ſto hauria cagionato maggior lunghezza del
douere, e tedio, à chi aborriſcc dalle continue
dimoſtrationi, e figure, perciò me ne ſono vo-
luto aſtenere, maſſime, che per gl’intelligenti
è troppo il volergli ſminuzzar’ogni coſa, e per
chi non hà prattica in ſimili materie il molto,
che ſi può dire, ne anco è baſtante per fargli
capaci, perciò rimetterò, chi haueſſe biſo-
gno d’alcuni di queſti Problemi, à gli Elemẽ-
ti Conici di Apollonio Pergeo, ouero al lib. 3.
delle Linee horarie dell’Abbate Maurolico,
che con molta facilità, e breuità n’inſegna le
ſue Regole; e facendo fine à queſto mio Trat-
tato, pregherò chiunque ne riceuerà qualche
frutto, che vogli meco rẽderne gratie alla be-
nignità dell’altiſſimo Iddio, datore d’ogni be-
ne, dalla cui infinita liberalità riconoſcendo
noi, come pretioſiſſime gioic, la vita, e l’inge-
gno, e come denati datici in contanti,
243223Coniche. Cap. LV. mo non ſolo à quella con ragione il tutto rife-
rire, ma anco affaticarci continuamente per
pagargliene almeno in parte l’vſura, poiche
è pur veriſſima quella ſentenza, cioè, che
Deus nobis vſuram vitæ dedit, & ingenij tamquam
pecuniæ, nulla praſtituta die.
13[Figure 13]
244 14[Figure 14]
245224
Errcri ſcorſi per inauuettenz@ nello ſtampate.
Si è fatto, per certo accidente, il più delle volte, Eliſſi, & in gene
re maſcoline, douendoſi fare, Elliſſi, & in genere feminino.
Similmente ſi è poſto due volte il numero del Cap. 16. c Cap. 29.
Gli altri errori d’ortografia, maſſime delle uirgole, punti, e mezi
punti, ſi laſciano alla diſcrettione del benigno Lettore, eſſendoſi
corretti gli altri più notabili, meglio, che ſi è potuto con la pẽna.
Nella pag poi, nella quale ſi dà l’auuertimento à L brari per le-
gare il Libretto delle figure, la linea, A B, deue intenderſi fuo-
ri dello ſpatio rinchiuſo dalle linee, più verſo l’eſtremo margine,
c doue al Libraro parerà più opportuno, per attaccare il detto
Libretto.
15[Figure 15]
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