Stevin, Simon, De Beghinselen der Weegconst, 1586

Bibliographic information

Author: Stevin, Simon
Title: De Beghinselen der Weegconst
Date: 1586

Permanent URL

Document ID: MPIWG:3HG5SQMT
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:3HG5SQMT

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
DE
BEGHINSELEN
DER WEEGHCONST
BESCHREIVEN DVER
SIMON STEVIN
van Brugghe.
1[Figure 1]
Tot Leyden,
Inde Druckerye van Christoffel Plantijn
By Francoys van Raphelinghen.
1
BLANK_PAGE
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
Simon Steuin wenscht
RVDOLF DEN II.
ROOMSCH KEYSER
VEEL GHELVCX.
DAT Ghetal Grootheyt ende Ghewicht, in yder wesentlicke saeck * onscheydelicke ancleuinghen sijn, vol diepe ende nutte eyghenschappen, en betuyghen niet alleen verscheyden gheleerden, maer tis duer d'eruaring in allen an elcken bekent. Tis oock openbaer, dat d'eerste twee tot grooten voordeele der menschen, ter form van beschreuen consten gherocht sijn, namelick * Telconst ende Meetconst, maer niet also t'Ghewicht, om dat sijn oirsproncklicke eyghenschappen den voorighen verborghen bleuen.
Inseparabila
Arithmetica &
Wel is waer dat inde Rechtwichten duer eruaring bemerckt is, twee euestaltwichtighe met haer ermen * euerednich te wesen. Doch sy hebben ghemeent * soodanighe eueredenheyt te schuylen onder de ronden beschreuen op t'vastpunt duer d'uytersten der ermen; Uyt het welck, na den ghemeenen aert der dwaling, gheen kennis der oirsaken en volghde.
Als Aristoteles in Mechanicis met siin
Wat de Scheefwichten belangt, daer en is niet met allen af gheweten. Inder voughen dat dese * stof gheen form van Const als d'ander ghecrighen en conde. Maer doen t'gheual anders lucte, ende dat sulck langverborghen hem duer sijn uyterste beghinselen openbaerde, sy is eintlick daer toe ghecomen, in sulcker ghedaente als die uwe Keyserlicke M. hier toegheeyghent wort.
[]
Maer anghesien byde voordachtighe niet sonder oirsaeck ende bestaende reden
1 angheuanghen en wort, soo mocht hier de vraegh van t'einde mijns doens sijn, te weten of ick na de ghebruyck van velen, uwe K. M. tot beschermer mijns wercx versouck? Verre van daer, so doch de bescherming ende regiering des Rijcx, niet alleen tot sulcx, maer tottet uytlesen der voorredens an haer eyghentlick gheschreuen, selden eenighe tijdt toelaet: Te meer dat ick van meyning was (wie can sijn vermoeden weerstaen?) soo wel Form als Stof gheen verdedighing te behouuen. Ten is oock niet om met een groote Const, in een grooter spraeck eerst uytghegaen, den grootsten van Europa te vereeren, hoe lijckformich sulcx nochtans de reden soude mueghen wesen.
Waerom dan? Op dat de Weeghconstens * daden streckende tot merckelicke verbetering der Ghemeensaeck, int werck ghebrocht worden, van sulcx als daer ick duer besonder brieuen van v Octroy af versouck.
Waerom sal yemant mueghen segghen, dit niet bestelt duer leegher (naer de ghebruyck) totten Hoochsten vrie toeganck hebbende? Yghelick, om dattet t'onghehoort is, soude vreesen niet alleen met een lacherlick * voorstel te verschijnen, maer selfs oock belacht te worden: Nu op dat der spotters schamp tot ghetuych haerder onwetenheyt strecke, wy hebbent duer t'ghene willen versoucken, dat voor den verstandighen alsulcx ende meerder veruaet. daerafmen wyder en breeder soude connen segghen; Maer want ons einde tot Saken streckt, niet tot Woorden, sullen dese verlatende en die verwachtende, uwe K. M. in alle ootmoedighe eerbieding veel ghelucx wenschen. Uyt Leyden in Oogstmaent des 1586 Iaers.
1
[ 9 ]
SIMON STEVINS
VYTSPRAECK
VANDE WEERDICHEYT
DER DVYTSCHE TAEL.
[ ]
is wel waer datter inde Natuer niet wonderlick en is, nochtan tot onderscheyt der dinghen die wy duer de oirsaken verstaen, vande ghene welcker redenen ons onbekent sijn, soo gheuen wy dese met recht de naem van wonder, niet dat sijt eyghentlick sijn, maer om dattet hem voor ons alsoo ghelaet. T'welck soo wesende, wy sullen ons in desen ansien billichlick mueghen verwonderen, duer wat middel de Natuer mocht wercken, doen sy ons voorouders sich haer spraeck dede maken; ouermidts ons van soo constighen werck, der oirsaken ghenouchsaem wetenschap ghebreect. Maer want een beclaghelicke verblintheyt, als duer TSCHICSEL veroirdent, t'verstant van velen alsoo verduystert ofte betoouert heeft, dat sy t'licht vande Sonne bouen dat der Sterren, ick meen de weerdicheyt deses Taels bouen al d'ander, niet en connen bemercken, tot groot achterdeel des Duytschen gheslachts; Ghemerct daerbeneuen, dat wy voorghenomen hebben inde selue te beschrijuen de WEEGHCONST, wiens diepsinnighe ghedaenten duer slechter spraken ten eersten niet wel bedietlick en sijn, soo sullen wy naer ons vermueghen daer wat af segghen, versouckende of t'uyterste des SCHICSELS bestemden tijts noch niet en naect, ende eerst van haer oudtheyt als volght:
Tis te weten dat de Duytschen in die seer oude tijden vande welcke ter weerelt gheen opentlicke schriften gebleuen en sijn, gheweest hebben een treffelick seermachtich Gheslacht. t'welck duer sulcke verderuende oirsaken als meer ander machtighe volcken weeruaren sijn, als oirloghe en dierghelijcke, voorderende uytroeying der wetten, breking van goe oirdens, verwoesting der steden, &c, tot manier van wiltheyt gherocht is, doch niet so volcommen, of den ouden aert der grootmoedicheyt, rechtueerdicheyt, ende ghetrauheyt, daer Tacitus oock af betuycht , en bleef altijt in hemlien ghewortelt. Dese haer woestheyt heeft gheduert tot ontrent de tijden van Iulius Cæsar, welcke daer naer tot beteren staet begon te keeren, soo dat sy eintlick weder ghecommen sijn ter regiering ouer t'eertrijcxdeel Europa, als kenlick is. Maer want yemandt van haer voornomde eerste macht twyffelen mocht, ouermits
1wy daer af, soo weynich als van veel ander volcken diens tijts, gheen opentlicke schriften en hebben, soo sullen wy die aldus beuestighen.
Li. de Morib.
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NOT_TRANSCRIBED
...
[ (11 blz), met (13 blz) ]
...
1
... dattet voormael een seer wys, gheleert, ende ouertreflick Gheslacht is gheweest, als vooren bethoont is, daertoe ghecommen sijnde met langher tijdt, duer veel eruaringhen. Ende soo wy van dese voorghanghers weerdighe navolghers willen gheacht sijn, en sullen niet duer een beestelick ghetuych van ondancbaerheyt, so groote gauen ons naghelaten, duer onwetenheyt versmaen, noch, den lasteraers diese niet en kennen, sottelick gheloouen, noch verlatende den spieghel der talen, ons dickmael behaghen in haer leelick schrapsel van schuym der vuyllicheyt; maer sullen ter contrari die clouclick beschermen, niet met ydel woorden als d'hare sijn, noch na t'onuerstandt van hemlien die de goetheyt der Saken in haer talen beschreuen, onbescheydelick de goetheyt der talen meenen te wesen; maer ghelijck t'gout duer t'vier beproeft wort, alsoo salmen haer weerdicheyt duer de daet bethoonen: Welcke sal die sijn? dese, neemt voor grondt t'ghene in al d'ander spraken tot noch toe der Naturen diepe verholentheden sijn, welcke sy niet ter deghe bedien en connen, als dat sy v (onder duysentich anderen daer het Duytsch vol af is) dit na segghen: ; ende diet soo doen connen, belooftse vrielijck een koeck; Ia dat sy t'auent op sullen blijuen (voor kinderen dienen doch kinder prijsen ) ende ick verseker v dat ghyder sonder schade sult afcommen, want het is blijckelijck ghenouch wat sy hier in vermueghen, te weten voor dese woorden langhe redenen te stellen, die t'onderscheyt der palen, ende de form der eueredenheyt oueral seer
1verduysteren.
Ghelijck rechtheflini tot scheefheflini, alsoo rechthefwicht tot . v. I. B. der Begh. vande Kinderen in kennis der weerdicheyt vande Duytsche
Maer soo sy vraghen wat sulcke woorden te bedien hebben, men mach antwoorden, dattet de opening is van t'ghene tot nochtoe den voorighen sterflicken seerbegheerde verborghentheden gheweest sijn, streckende tot groot voordeel van t'menschelick gheslacht, want hoewel yder lichaem in sijn eyghen plaets licht noch swaer en is, nochtans t'ghewicht des lochts is duer sulcx nu volcomelick ghelijck van ander stoffen, metgaders ettelicke sijn noytbekende ancleuinghen, openbaer gheworden, soo de daet van dies ende meer anderen cortelick betuyghen sal. Laetter maer cloeclick anuallen, want hebbender Reuchlinus, Valla, Erasmus, Barbarus, Picus, Politianus, &c. me duer gherocht, die maer Latijn en beschermden, Sghelijcx de Françoysen, wiens strijtredenen ende talens stof ons kennelick ghenouch sijn, wat sullen wy die het (O weerdighen grondt!) DVYTSCH voorstaen? Seker niet alleen de spraeck ophelpen, noch ons seluen voorderen, maer oock ander volcken, welcke alsdan niet alleen huer wooninghen ende lichamen met der Duytschen constighe wercken vercieren sullen, maer oock haren gheest met wetenschap, want de Consten welcke ander met haer eyghen woorden niet uyten en connen, die sal den ghemeenen man alhier duer de beghinselen grondelick mueghen verstaen, ende door sijn ingheboren gheneghentheyt tot de selue, die tot yder volcx baet al andersins connen voorderen dant den anderen mueghelick is.
Dit is t'ghene wy vande weerdicheyt der Duytsche tael voorghenomen hadden te verclaren; Inde selue sullen wy de WEEGHCONST, die de wonderlicste der vrie is, eerst tot Constens form laten commen, als spraeck die der Natueren eyghenschappen grondelicxt beteeckenen can, ende als bequaemste wit, daer al d'ander die willen, tot yder ghemeentens grootste nut, na micken, ende haer bepalinghen, daer inde Consten veel an gheleghen is, na rechten mueghen. Oock by aldien der Duytschen vliet daerin alsoo vermeerderde, ghelijct de reden wel eyscht, t'selue soude ons voornemen verstercken om met ander angheuanghen voort te varen: Doch soo de contrarie gheschiede, ick can my vernoughen in een eerlick voornemen mijn goede wille te verclaren, welcke in haer beroup tot yders dienst gheeyghent is.
1
Definitiones.
CORTBEGRYP.
DE Beghinselen der Weeghconst, welcke van swaerheyt sijn duer t'ghedacht van natuerlicke stof gheweert, sullen in twee boucken begrepen worden. Des eersten boucx eerste deel sal van 14 * bepalinghen wesen: T'ander van 28 * voorstellen, van de ghedaenten der ghewichten, die tweederhande sijn, als Rechtwichten, ende Scheefwichten. Der Rechtwichten sijn twee * afcomsten, te weten Rechtdaelwichten, ende Rechthefwichten, beschreuen inde achtien eerste voorstellen. Der Scheefwichten sijn oock twee afcomsten, als Scheefdaelwichten, ende Scheefhefwichten, verclaert inde rest der voorstellen.
Definitionib.Propositio­
nibus.
HET tweede bouck der Beghinselen sal vande vinding der * swaerheyts middelpunten sijn, wiens eerste deel vande * Platten is; T'ander vande lichamen. Twelck wy tot meerder claerheyt int corte ende tafelwys aldus vervaten:
Der Beghin­
selen vandeWeegh­
constsiin tweeboucken,
1
Vande ghe­
daentender ghe­
wichten,wiens
1
Deel
2
Deel van28 voorstel­
len
Recht­
dael­
Beschreueninde 18
Recht­
hef­
Scheef­
hef­
Verclaert in­
de rest
Scheef­
dael­
2
Vande vinding derswaer­
heitsmiddel­
punten
1
NOT_TRANSCRIBED
1
NO_TEXT
1
NO_TEXT
1
HET EERSTE BOVCK
VANDE BEGHINSELEN
DER WEEGCONST,
Beschreuen door Simon Steuin.
TEERSTE DEEL
vande Bepalinghen.
I. BEPALING.
WEEGCONST is die, welcke leert de Redenen, Eueredenheden, ende ghedaenten vande ghewichten ofte swaerheden der lichamen.
VERCLARING.
GHELIICK de Meetconst ansiet der formen grootheden niet hare swaerheden, houdende die alleenelick voor euen ofte oneuen, diens grootheden euen ofte oneuen sijn; Alsoo ansiet ter contrarie de Weegconst haer swaerheden, niet haer grootheden, houdende die voor euen ende oneuen, diens ghewichten euen ofte oneuen sijn: Ende ghelijck diens voornamelicke wercking bestaet int ondersoucken der Redenen Eueredenheden, ende Ghedaenten haerder grootheden, Also desens int ondersoucken der Redenen Eueredenheden, ende ghedaenten haerder swaerheden ofte ghewichten, welcker bescriuing t'voornemen is deses handels.
* Rationum, proportionum &
II. BEPALING.
Swaerheydt eens lichaems, is de macht sijnder daling in ghestelde plaets.
VERCLARING.
DE swaerheydt ofte lichticheydt die wy ghemeenelick segghen een lichaem te hebben, en is niet sijn eyghen wesentlicke ghedaente, maer veroirsaect uyt sijn ghemeenschap met een ander (wiens breeder verclaring wy elder gheschict hebben) want veel Stoffen die swaer sijn inde locht, worden licht beuonden int water, ende de lichte inde locht, sijn el
1ders swaer; daerom als wy segghen een haudt te weghen hondert pondt, wy verstaen daer by de macht sijnder daling in gestelde plaets, dat is in dien Grondt daert in gheweghen was.
DOOR t verkerde deser bepaling is te verstaen, dat lichticheyt eens lichaems de macht is sijnder rijsing, maer in ghestelde plaets, want eyghentlick is alle lichaem swaer.
*
III. BEPALING.
BEKENDE swaerheyt is diemen door bekent ghewicht uytet.
VERCLARING.
ALS wanneermen seght een lichaem ofte swaerheydt te weghen ses , ofte acht marck, oft drie oncen, &c. Om datse door sulcke bekende ghewichten gheuytet wort, wy noemense Bekende swaerheydt.
IIII. BEPALING.
SWAERHEYDTS middelpunt is, an twelck het lichaem door ons ghedacht hanghende, alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.
VERCLARING.
LAET ABC een cloot sijn, diens stof ouer al eueswaer 2[Figure 2] is, welcke wy met haer middelpunt D door ons ghedacht nemen te hanghen ande lini ED; Ende is kennelick dat dien cloot ghekeert wordende, sal houden alle ghestalt diemen haer gheeft, want soomen B keerde daer A is, B sal daer blijuen, ende voort yder deel op sijn plaets, want soo dat niet en gheschiede, de stof soude an deen sijde swaerder sijn als an d'ander, twelck teghen tghestelde waer. D dan naer luyt deser bepaling is Swaerheydts middelpunt des cloots ABC; Ende alsoo salmen verstaen dat binnen alle lichamen soo wel ongeschicter form ende van stof oneenuaerdigher swaerheydt als gheschicter ende eenvaerdigher, is eenich sulcken punt, waer an tlichaem also hanghende, alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, welck punt ghenoemt wort sijn Swaerheydts middelpunt. Ende op dattet door eenighe sijne eyghenschappen kennelicker sy, sullender noch dit toe segghen: Het swaerheydts middelpunt der oirdentlicke lichamen als Pilaren, Clooten, Lancworpighe Clooten, der Vijf gheschicte lichamen, &c. ouer al eue
1wichtigher Stof sijnde, is tselue der Form ofte grootheydt, datmen anders Meetconstich middelpunt noemt. Maer die niet ouer al euewichtigher Stof en sijn, en hebben dese twee punten niet nootsaeckelick tot een selfde plaets. Wat de naelden, ende ongheschicte lichamen belangt, sy en hebben gheen formens ofte grootheydts middelpunt, maer alleen des swaerheydts. Het ghebuert oock in veel lichamen als Rynghen, Haecken, Beckens, ende dier ghelijcke, dat haer swaerheydts middelpunt niet en valt inde stof des lichaems, maer binnen tlichaem uyt de stof.
DAER wort inde bepaling gheseydt reden datmen int bepalen moet nemen, tghene den aert van tbepaelde best verclaert, twelck Pappus (daer hy int 8. bouck het swaerheydts middelpunt bepaelt) door tghedacht oock bequamelick ghedaen heeft. Men soudet oock mueghen aldus bepalen: Wat Euestaltwichticheyt is sal door de 11. Bepaling verclaert worden.
* Duer ons Swaerheydts middelpunt eens lichaems, is door twelck alle plat, tlichaem deelt in euestaltwichtighe
V. BEPALING.
SWAERHEYTS middellini eens lichaems, is de oneindelicke hanghende door sijn swaerheydts middelpunt.
VERCLARING.
ALS inde form der 4. bepaling, de oneindelicke hanghende lini door tswaerheydts middelpunt D, daer an de swaerheyt door ons ghedacht hangt, ghelijck DE ouer beyden sijden oneindelick voortghetrocken, noemen wy de Swaerheydts middellini des lichaems ABC.
VI. BEPALING.
SWAERHEYTS middelplat eens lichaems, is alle plat hem deelende door sijn swaerheydts middelpunt.
VERCLARING.
ALS eenich plat sniende den Cloot der 4. bepaling door sijn middelpunt D, wort des selfden Swaerheyts middelplat gheseyt, ende alsoo met allen anderen. Sijn eyghenschap is tlichaem alsins te deelen in twee euestaltwichtighe stucken.
VII. BEPALING.
ALLE rechte lini begrepen tusschen twee swaerheyts middellinien, noemen wy dier swaerheden Balck.
1
VERCLARING.
LAET A ende B twee lichamen wesen, ende 3[Figure 3] haer swaerheydts middellinien CD ende EF, tusschen de welcke ghetrocken sijn, eenighe linien soot valt als GH, AB, IK, yder van dien, ende alle ander alsoo begrepen tusschen twee swaerheydts middellinien, noemen wy den Balck der swaerheden AB.
VIII. BEPALING.
WESENDE den Balck ghedeelt met de swaerheyts middellini daer de twee swaerheden euestaltwichtich an sijn, wy noemen de deelen Ermen.
VERCLARING.
LAET AB, twee lichamen wesen, diens balck 4[Figure 4] sy CD, welcke ghedeelt is in E, met de swaerheydts middellini FG, daer de twee swaerheden euestaltwichtich an hanghen; de twee deelen des balcx als EC ende ED worden Ermen ghenoemt.
IX. BEPALING.
ENDE die swaerheydts middellini der twee swaerheden, heeten wy Handthaef.
VERCLARING.
ALS EF, der 8. bepaling wort Handthaef ghenoemt.
X. BEPALING.
ENDE des Hanthaefs punt inden Balck, Vastpunt.
VERCLARING.
ALS E, der 8. bepaling wort Vastpunt gheseyt.
XI. BEPALING.
ENDE die twee swaerheden noemen wy Evestaltwichtighe.
1
VERCLARING.
ALS A ende B, inde form der 8. bepaling, tsy haer eyghenwichten euen ofte oneuen sijn, wy noemen die Euestaltwichtighe, ouermidts sy naer de ghestalt euewichtich sijn, want A doet anden balck door tghestelde soo grooten ghewelt als B, ende B als A. Dese Euestaltwichticheydt dient nootsaeckelick verstaen, ende onderscheyden vande Eueneyghenwichticheydt, anghesien dit al wat anders is als dat, want om by voorbeelt daer af te spreken, tghewicht ande cortste sijde des onsels hanghende, is somtijts thienmael swaerder als tander, nochtan hebben sy een ghelaet van euewichticheyt, maer ten is niet eyghen, dan alleenlick na de ghestalt.
XII. BEPALING.
HEFWICHT is t'ghene oirsaeck is van eens swaerheydts verheffing, ende Daelwicht van eens swaerheydts daling.
VERCLARING.
LAET den pilaer 5[Figure 5] A, een swaerheyt wesen, diens lini daer sy alsoo by ghehouden wort sy BC, ende tpunt daer sy op rust D, ende E, sy t'ghewicht dat tlichaem A in die ghestalt houdt.
Wy noemen E der eerste ende tweede Form Hefwicht, overmidts tselve wicht, het lichaem A verheft, oft in die verheven ghestalt houdt.
Maer E der derde ende vierde Form, Daelwicht, om dattet het lichaem an sijn gehechte sijde B doet dalen, ofte in die ghedaelde gestalt houdt.
1
XIII. BEPALING.
ENDE de rechte lini vande verheven swaerheyt naer thefwicht, noemen wy Heflini, maer vande ghdaelde swaerheyt naer het daelwicht, Daellini, ende alsulcke linien in t'gemeen, Trecklini.
VERCLARING.
ALS de rechte lini CB der 12. bepaling noemen wy inde 1. ende 2. form Heflini, maer inde 3. ende 4. Daellini. Ende sulcke linien (die bouen de voorgaende ons oock euewidich vanden sichtender connen ontmoeten) in t'ghemeen Trecklini.
XIIII. BEPALING.
ENDE als de Heflini ofte Daellini rechthouckich is op den Sichteinder, soo noemen wy die Rechtheflini, Rechtdaellini, ende hare ghewichten Rechthefwicht, Rechtdaelwicht: Maer opden Sichteinder scheefhouckich wesende, alsdan Scheefheflini, Scheefdaellini, ende hare ghewichten Scheefhefwicht, Scheefdaelwicht.
VERCLARING.
ALS de Heflini ende Daellini CB der 1. ende 3. form vande 12. bepaling, om dat sy door t'ghestelde rechthouckich sijn op den sichteinder, wy noemen die Rechtheflini, en dese Rechtdaellini, ende haer ghewichten E Rechthefwicht, Rechtdaelwicht: Maer wesende de Heflini ofte Daellini CB, scheefhouckich opden sichteinder, als inde 2. ende 4. form, dan heeten wy die Scheefheflini, ende dese Scheefdaellini, ende haer ghewichten E Scheefhwicht, Scheefdaelwicht.
I. MERCK.
WAER HorizonFinitorterminator visus{Astrologia.}
Sichteinder by ons een woort soo ghemeen ende bekent als byden Griecken , t'welck de Latinen oock ghebruycken, ende daer vooren altemet , ofte , wy en souden daer af hier niet segghen, ouermits siin eyghen plaets inde Sterconst is; Maer want den ongheuallighen slaep des Spieghels der talen sulcx niet toeghelaten en heeft, oock dat dit woordt hier naer dickmael sal ghenoemt worden, sullen dat verclaren, doch niet als wesentlicke bepaling deses boucx, om de redenen als vooren, Aldus: Sichteinder is
1des weerelts grootste rondt, dat haer sienlick deel scheydt van het onsienlick: {Parallela.}{Metaphorice.}{Mathematice.}
Dat is, onder veel ronden die inde Sterconst bepaelt worden, soo isser een het aldermerckelicste, scheydende ooghenschynlick den oppersten haluen weereltcloot vanden ondersten, ende in ons ansien den hemel met sijn omtreck naeckende, t'welck volcommentlicxst schijnt vande hoochste plaets eender contreyen, ofte op een water daer hem nerghens landt en vertoocht; Ende ouermits ons ghesicht langs der eerden ofte langs het water niet voorder strecken en can dan tot diens rondts voornoemden omtreck, ende daer in eindet, soo wort dat rondt ghenoemt den Sichteinder, dat is den Einder van t'ghesicht. Ende alle platten die op t'eertrick vanden Sichteinder euewydich siin (welcke by ons ghemeenelick gheseyt worden op waterpas te ligghen) worden lijckspreuckelick oock sichteinders ghenoemt. Ick seg lijckspreucklick want eyghentlick ofte wisconstelick en isser gheen ander, dan dat door des weerelts middelpunt
II. MERCK.
DE {Columna.}{Geometriæ.}
form vanden Weegconstighen Pilaer , is de selue der Meetconst , maer wy nemen hier siin stof eenuaerdigher swaerheyt te wesen, ende siin grondt ende decsel viercanten. Wat de ghemeene constwoorden belangt int Latijn aldus
Materia Forma Effectus Subiectum Aiunctum Genus Species Definitio Propositio Problema Theorema Ratio Proportio Æquales Similes Exemplum Centrumgrauitatis Axis Diameter Circumferentia Parallela Homologalatera Superficies Planum Columna Arithmetica Geometria ArsMathematica Mathematicus
Daer voor sullen wy soodanige Duytsche stellen
Stof Form Daet Grondt Ancleuing Gheslacht Afcomst Bepaling Voorstel Eysch Vertooch Reden Everedenheyt Even Ghelijcke Voorbeelt Swaerheytsmiddelpunt As Middellini Omtreck Euewydeghe Lijckstandighesijden Vlack Plat Pilaer Telconst Meetconst Wisconst Wisconstnaer Wisconstlick.
1
WELKE Latijnsche met eenighe ander dieder by mueghen vallen wy tot meerder claerheyt, somwylen inden cant sullen scriven neven haer duytsche. Dese drie letteren v. b. E. altemet inde cant ghestelt beteeckenen om cortheydt, voorstel, bouck, Euclides, als 2 v. 6. b. E. dat is te segghen het 2. voorstel des 6. boucx van
BEGHEERTEN.
ANGHESIEN sommige saken als beghinselen door ghemeene wetenschap bekendt sijn, ende gheen bewijs en behouven, Ander bedectelicker den berispers tot stof souden dienen, om te straffen t'ghene gheen straf en verdient, Wy sullen naer Wisconstenaers ghebruyck, eer wy tot de voorstellen commen, begheeren dat ons alsulcke toeghelaten worden.
Mathematicorum
I. BEGHEERTE.
WY begheeren datmen toelate euen ghewichten an euen ermen oock euestaltwichtich te sijne.
II. BEGHEERTE.
ENDE ande wisconstighe lini alle ghewicht te connen hanghen ofte daer op te connen rusten, sonder dat sy breke ofte buyghe.
III. BEGHEERTE.
6[Figure 6]
ENDE de swaerheydt hoogher ofte leegher hangende, altijt van een selfde gewicht te blijven.
VERCLARING.
ALS de swaerheydt A neerghetrocken sijnde tot B, aldaer euen soo swaer te wesen, ofte sulcken macht an CD te doen, als sy ter plaets van A dede.
1
IIII. BEGHEERTE.
ENDE datmen by des pilaers beschreuen plat t'welck hem door de langde des as deelt, verstaen sal den voorghestelden pilaer.
VERCLARING.
ALS wesende AB een pilaer diens 7[Figure 7] as CD, ende de selue doorsneen met eenich plat als EFGH, datmen door t'bescreuen plat EFGH, al de rest acherghelaten, verstaen sal den ghegheuen pilaer.
V. BEGHEERTE.
ENDE alle hanghende linien voor evewydighe ghehouden te worden.
VERCLARING.
DE reden is dese; Laet ABCD den eertscloot sijn, wiens middelpunt 8[Figure 8] E, ende sichteinder AC, ende FG een balck, euewydich vanden sichteinder AC, diens balcx even ermen HF, HG, ende euen swaerheden daer an I, K; alwaer het blijct, dat de hanghende linien FI, ende GK, gheen euewydighe en sijn, maer onder naerder malcander dan bouen; Laet daer naer den balc FG ghekeert worden op t'vastpunt H, alsoo dat G comme daer nu L is, ende F daer M, ende K sal commen daer nu N, ende I daer nu O is, ende den houck LME is naerder den rechthouck dan MLE, waer duer O (als in het volghende 22. voorstel blijcken sal) naer de ghestalt swaerder is dan N. Vyt desen volght oock dat onder alle lichamelicke formen die inde natuer bestaen, so en isser gheen ander, wisconstelick sprekende, dan den cloot, an wiens swaerheydts middelpunt het lichaem door ons ghedacht hanghende, alle ghestalt houdt diemen hem gheeft; Ofte door t'welck alle plat, t'lichaem deelt
1in euestaltwichtighe deelen, maer om de oneindelicke verscheyden ghestalten, 9[Figure 9] sullender oneindelicke verscheyden swaerheyts middelpunten in sijn. Oock en soude (teghen t'volghende 1. voorstel) de swaerste swaerheyt niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, maer d'eene soude naer de ghestalt swaerder sijn, om dat haer houck plomper ende den rechthouck naerder is dan des anders houck. Maer om t'selue by voorbeelt te verclaren, laet AB den cortsten erm sijn, diens ghewicht C, ende AD den langsten erm, diens ghewicht E in sulcken reden sy tot tghewicht C, als AB tot AD, ende F sy t'sweerelts middelpunt; Alwaer blijct dat den houck FBA plomper ende den rechthouck naerder is, dan den houck ADF, waer uyt volght (door tvoornoemde 22. voorstel) dat C naer de ghestalt swaerder sal sijn dan E.
Alle dese ongheuallen spruyten daer uyt, dat 10[Figure 10] FE met GE in d'eerste form, ofte BF met DF der tweede form, gheen evewydighe linien en sijn: Maer ouermits dat verschil in alle t'ghene de menschen weghen, onbemerckelick is, want den balck soude al veel milen lanck moeten sijn eer hem dat soude connen openbaren, soo begheeren wy datse voor euewydighe ghehouden worden. Wel is waer dat wy die ansiende voor t'ghene sy sijn, volcommelick souden connen wercken na haerlieder ghedaente, maer want dat moeyelicker soude wesen, ende tot de saeck, dat is de WEEGDAET nochtans niet voorderlicker, so ist beter ghelaten.
1
HET ANDER DEEL
VANDE VOORSTELLEN.
I. VERTOOCH. I. VOORSTEL.
WESENDE twee euestaltwichtighe swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten.
I. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn weghende 11[Figure 11] 6 , welcke ghedeelt sy in 6 euen deelen, door platten euewydich van sijn grondt AD, als EF, GH, IK, LM, NO, sniende den as PQ in R, S, T, V, X: Laet ons nu nemen LMDA voor de swaerste swaerheydt, wiens swaerheyts middelpunt is S, ende LMCB voor de lichtste swaerheydt, wiens swaerheyts middelpunt is X, ende SX is dier deelen balck door de 7. bepaling, ende T is t'swaerheyts middelpunt des heelen pilaers, ende TI d'hanthaef, waer an LMDA ende LMCB evestaltwichtich hangen, ende TX is den langsten erm, ende TS den cortsten door de 8. bepaling. TBEGHEERDE. wy moeten bewysen dat ghelijck de swaerste swaerheydt LMDA, tot de lichtste LMCB, also den langsten erm TX, tot den cortsten TS. TBEWIIS. De swaerste swaerheydt LMDA weeght 4 lb, ende de lichtste LMCB 2 lb, ende den langsten erm TX heeft sulcken reden tot de cortste TS, ghelijck 2 tot 1 door t'ghegheven: Maer ghelijck 4 tot 2, alsoo 2 tot 1, ghelijck dan de swaerste swaerheydt LMDA, tot de lichtste LMCB, also den langsten erm TX, tot den cortsten TS.
Plana
MAER op datmen niet en dencke dit daer also by gheualle ghesciedt te sijne, wy sullender Wisconstich bewys af doen aldus:
Mathematicam
II. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD wederom een pilaer sijn, ghedeelt
1met een plat euewydich van AD, als EF, sniende den as GH, waert sy 12[Figure 12] in I, ende het swaerheyts middelpunt van het deel EFDA sy K, int middel van GI, ende van het deel EFCB, sy L int middel van IH, ende des heels ABCD sy M int middel van GH, ende MN sal der deelen EFDA ende EFCB handthaef sijn, daer an sy euestaltwichtich hanghen.
I.
13[Figure 13]
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck het lichaem ofte de swaerheydt (twelck hier een selfde is om haer eueredenheydt, want ghelijck tlichaem EFDA, tot tlichaem EFCB, alsoo diens swaerheyt tot desens, ouermits den pilaer door tghestelde oueral eenuaerdigher swaerheyt is) van EFDA, tot EFCB, alsoo den langsten erm ML, tot den cortsten MK. TBEWYS, I. LIDT. MH is euen an MG door tghegheuen, laet tot elck doen KM, soo sal dan KH euen sijn an MG met KM; daer naer van d'eene ghetrocken GK, ende van d'ander KI (welcke GK ende KI euen sijn door tghegheuen) soo sal KM met KM euen blijuen an IH; Ende haer helften als KM ende IL sullen oock euen sijn. II. LIDT. Laet tot elck (te weten KM ende IL) doen MI, Ende ML sal euen sijn an IK. III. LIDT. Ghelijck GI tot haer helft KI, also IH tot haer helft IL, ende door oueranderde eueredenheyt ghelijck GI tot IH, also KI tot IL, maer KI is euen an ML door het 2. lidt, ende IL an MK door het 1. lidt, daerom ghelijck GI tot IH, alsoo ML tot MK; Maer ghelijck GI tot IH, also het lichaem ofte de swaerheyt EFDA, tot EFCB. Ghelijck dan de swaerste swaerheyt EFDA, tot de lichtste EFCB, also den langsten erm ML, tot den cortsten MK.
Alternam
NV mocht yemant segghen, ghy hebt dat voorstel wel bewesen in deelen die tsamen een heel pilaer maken eenvaerdigher swaerheyt, maer wie weet of dat also plaets sal houden in allen anderen verscheyden deelen van ongheschicter form, ende oneueswaerder stof, daerom sullen wy de ghemeenheydt des voorstels aldus bethoonen: Laet ons achten dat den balck KL der 1. ghestalt hier bouen, in haer plaets bliue, ende dat het stick EFDA neerghetrocken wordt, ende dat het blyue hanghende met een lini uyt sijn swaerheydts middelpunt an tpunt K, ende dat insghelijcx oock neerghetrocken sy het ander stick EFCB, ende dat het blijue hanghende by sijn swaerheydts middelpunt an
1tpunt L, ende dat EFCB niet 14[Figure 14] en ghenake an EFDA, ende haer ghestalt sy dan soo dees form uytwyst. Nu doen het lichaem in d'eerste ghestalt hinck ande hanthaef MN, alsdoen was EFDA euestaltwichtich met EFCB; Maer tghewicht EFDA in dees tweede ghestalt neerghetrocken synde, en brengt an KL gheen meerder noch minder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt door de 3. begheerte. Sghelijcx en brengt tghewicht EFCB der tweede ghestalt, an LK gheen meerder swaerheydt dan in d'eerste ghestalt, daerom de ghewichten der tweede ghestalt sijn an KL de selfde die sy in d'eerste waren, daerom oock de balck KL blijft noch inde selue eerste ghestalt, waer duer EFDA noch euestaltwichtich blijft met EFCB. De sticken dan des pilaers blijuen soo wel euestaltwichtich verscheyden, als doen sy an malcanderen waren, ende de ermen oock inde selue reden.
DIT so synde, laet ons de lichamen EFDA ende EFCB der tweede 15[Figure 15] ghestalt ander formen gheuen, die also duwende (neemt dat de stof sy van was, cleye, ofte yet soodanich t'welck sulcx lijde) dat EFDA der tweede ghestalt, sy EFDA deser derde ghestalt, ende dat EFCB der tweede ghestalt, sy EFCB deser derde ghestalt; Ende is openbaer dat KL noch in haer selue ghestalt sal blyuen, ende de ermen ML, MK, inde selue reden, ende veruolgens EFDA noch euestaltwichtich met EFCB, want dees verandering der form (al de stof bliuende) en veroirsaect gheen verandering des ghewichts.
2.
3.
LAET ons ten laetsten weeren EFDA der derde ghestalt ende hanghen in diens plaets een lichaem van loot des selfden ghewichts, ende inde plaets van EFCB een hauten lichaem des seluen ghe­
1wichts, wiens vierde ghestalt alsdan sy 16[Figure 16] als hier neuens. Ende is kennelick dat KL noch inde selue ghestalt sal blyuen, ende veruolghens EFDA noch euestaltwichtich met EFCB, ende de ermen noch inde selue reden.
4.
III. VOORBEELT.
MEN can tvoorgaende oock bethoonen, 17[Figure 17] blyuende de twee swaerheden hanghende an eenen lichamelicken balck, in deser voughen: Laet den pilaer ABCD ghesneen sijn in twee deelen, met een plat door den as EF, ende den as des ondersten deels EC sy GH, ende EC sy doorsneen met een plat IK euewydich vanden grondt ED, sniende den as GH in L, ende het swaerheydts middelpunt van het deel IKDE sy M int middel van GL, ende van het deel IKCF sy N int middel van LH, ende des heels ABCD sy O in middel van EF, ende OP sy swaerheydts middellini des heels ABCD, ende MQ van IKDE, ende NR van IKCF. Dit soo sijnde tis kennelick dat des heels pilaers rechter sijde, euewichtich is teghen haer slincker.
LAET ons nu het onderste 18[Figure 18] deel EFCD neertrecken, also dat het blyue hanghende ande linien ML [MQ] ende NR, als hier neuens. Ende is openbaer dat den lichamelicken balc ABFE noch in haer eerste ghestalt sal blyuen. Laet ons nu achten dat het deel IKDE, ghesneen sy van IKCF, ende dat elck deel vallen mach daert wil, maer sy hanghen an haer swaerheyts
1middelpunten M, N, sy houden dan haer eerste ghegheuen ghestalt door de 4. bepaling, daerom ABFE blijft oock noch in sijn eerste ghedaente.
Maer IKDE, sulcken reden te hebben tot IKCF, als den erm OR, tot den erm OQ, is vooren beprouft; Inder voughen dat tghene eerst betoocht was anden weegconstighen balck (dat is een lini) sulcx hebben wy hier verclaert an een lichamelicken. TBESLVYT. Wesende dan twee euestaltwichtighe swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste (van wat stof ofte form oock de lichamen sijn) als den langsten erm tot den cortsten, twelck wy bewysen moesten.
VERVOLGH.
VYT het verkeerde des voorgaenden voorstels volcht, dat hebbende de swaerste swaerheydt sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, dat die twee swaerheden euestaltwichtich sijn.
I. EYSCH. II. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen bekende swaerheden, haer handthaef te vinden.
I. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet d'een swaerheyt A sijn weghende 3 , hanghende 19[Figure 19] an C, d'ander B van 1 lb hanghende an D; ende CD si balck.
TBEGHEERDE Wy moeten haer hanthaef vinden. TWERCK. Men sal CD also deelen, dat haer meeste stick naest de swaerheydts middellini van de minste swaerheydt, sulcken reden hebbe tot het minste stick, ghelijck de meeste swaerheyt tot de minste, twelck sy in E, te weten dat ED sulcken reden hebbe tot EC, als 3 lb van A, tot 1 lb van B. Ick seg dat de hanghende door E, als EF, d'hanthaef is.
II. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet d'een swaerheydt sijn den pilaer ABCD weghende 6 lb, ghedeelt als den pilaer int beghin des eersten voorstels; Ende an Q hanghe een ghewicht Y van 12 lb. TBEGHEERDE. Wy moeten d'handthaef vinden. TWERCK. De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van tghewicht Y is BQ, ende TQ is balck,
1de selue salmen in tween deelen, 20[Figure 20] alsoo dat de sticken de reden hebben als 12 lb van Y, tot 6 lb vanden pilaer, weluerstaende tcortste stick naer de swaerheydts middellini vande swaerste swaerheydt Y, twelck vallen sal in X, inder voughen dat NX de begheerde hanthaef is.
III. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt 21[Figure 21] als vooren, hanghende nu Y 6 lb an X. TBEGHEERDE. Wy moeten d'handthaef vinden. TWERCK. De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van Y is NX, ende TX is balck: de selue salmen in tween deelen, 22[Figure 22] alsoo dat de sticken de reden hebben als 6 lb van Y, tot 6 lb des pilaers, twelck vallen sal in V, indervoughen dat VL de begheerde handthaef sijn sal.
TVOORNOEMDE WERCK
OP EEN ANDER MANIER.
E swaerheydts middellini van MLBCY, is NX, ende van MLAD is SG, ende SX is balck, de selue salmen in tween deelen, also dat de stucken de reden hebben als 8 lb van MLBCY, tot 4 lb van MLAD: welverstaende tcortste stick naer de swaerheyts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in V, inder voughen dat VL wederom de begheerde handhaef sijn sal als vooren.
IIII. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R. TBEGHEERDE. Wy moeten d'handthaef vinden. TWERCK. De
1swaerheydts middellini van 23[Figure 23] ABCDY, is LV door het 3. voorbeelt, ende van Z is RE, daerom is RV balck: de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de stucken de reden hebben als 12 lb van ABCDY, tot 24 lb van Z: wel verstaende tcortste stic naer de swaerheyts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG de begheerde handthaef sijn sal.
TVOORNOEMDE WERCK OP
EEN ANDER MANIER.
DE swaerheydts middellini van ABCDZ is ÆW door het 3. voorbeelt, alsoo dat SÆ doet 2/5 van SR, ende de swaerheydts middellini van Y is XN, ende ÆX is balck, de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 30 lb van ABCDZ, tot 6 lb van Y: welverstaende tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG wederom de begheerde handthaef is als vooren.
TVOORNOEMDE WERCK
OP EEN ANDER MANIER.
DE swaerheydts middellini van YZ, is (door het eerste voorbeelt) , ΦΔ alsoo dat SΦ doet 1/5 van SR, ende de swaerheydts middellini vande pilaer is TI, ende TΦ is balck: de selue salmen in tween deelen, also dat de sticken de reden hebben als 30 lb van Y met Z, tot 6 lb vande pilaer, te weten tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG wederom de begheerde handthaef is als vooren.
V. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R, ende Æ 12 lb an Q. TBEGHEERDE. Wy moeten d'handthaef vinden. TWERCK. De swaerheydts middellini van ABCDYZ is SG door het 4. voorbeelt, ende van Æ is QB, ende SQ is balck: de selue salmen in tween deelen, also dat de sticken de reden hebben als 36 lb vanden pilaer met Y
1ende Z, tot 12 lb van Æ, te weten 24[Figure 24] tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in T, inder voughen dat TI de begheerde handthaef sal sijn.
Ende soomen noch hinghe an P 24 lb, d'handthaef soude SG sijn, ende so voorts met allen anderen swaerheden diemen anden pilaer soude mueghen hanghen. TBEWYS. De swaerste swaerheydt A int eerste voorbeelt, heeft sulcken reden tot de lichtste B, als den langsten erm ED, tot den cortsten EC, daerom EF door de 9. bepaling is d'hanthaef. Sghelijcx sal oock tbewys sijn van al dander voorbeelden, twelck wy om de cortheydt achterlaten.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen bekende swaerheden, wy hebben haer handthaef gheuonden naer den eysch.
MERCKT.
SOOMEN tghewicht Y des 2. voorbeelts verswaerde van 1 lb, ende datmen 25[Figure 25] an V hinghe 1 lb, inder voughen dat haer ghestalt dan waer als hier onder, Tis kennelick uyt het voorgaende dat XN noch handthaef blijft, ende alles an haer euestaltwichtich hangt. Tselue sal XN oock blijuen, soomen Z 1 lb hangt an T, ende dat Y doe 14 lb, ofte Z 1 lb an S, ende dat Y doe 15 lb, ofte Z 1 lb an R, ende dat Y doe 16 lb, ofte Z 1 lb an P, ende dat Y doe 17 lb, ende soo oirdentlick voort by aldien den pilaer langher waer; 1. te weten, verswarende Y altijt van 1 lb, voor elcke langde als XV, daermen Z voorder an verschuyft. Waer uyt de Ghedaenten { Qualitates. } des s bekent siin, als inde Weegdaet breeder daer af sal ghehandelt worden.
II. EYSCH. III. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden, d'een bekent dander onbekent, ende d'hanthaef: Die onbekende bekent te maken.
1
I. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden 26[Figure 26] sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, maer B hanghende an D is onbekent, ende EF sy d'handthaef. TBEGHEERDE. Wy moeten tghewicht van B bekent maken. TWERCK. Men sal ondersoucken wat reden den erm ED heeft, tot den erm EC, wort beuonden, neem ick, als van 3 tot 1, daerom seg ick, ED 3, gheeft EC 1, wat A 3 lb ? comt voor B 1 lb.
II. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet inde form des 2. voorbeelts van het 2. voorstel den pilaer ABCD voor d'een swaerheyt weghen 6 lb, ende dander onbekende swaerheyt sy tghewicht daer an hanghende Y, ende d'hanthaef sy XN. TBEGHEERDE. Wy moeten tghewicht van Y bekent maken. [ Figuur ingevoegd ] TWERCK. Anghesien TI swaerheydts middellini is des pilaers, ende QB van Y, so sal TQ balck sijn, diens cortsten erm XQ, ende langsten XT; Daerom salmen ondersoucken wat reden den erm XQ, heeft tot XT, wort beuonden neem ick, als van 1 tot 2. Ich seg dan, XQ 1, gheeft XT 2, wat den pilaer 6 lb ? comt voor Y 12 lb. Der ghelijcke voorbeelden mochten wy hier stellen op dander formen des 2. voorstels, ten waer die door de voorgaende kennelick ghenouch sijn. TBEWYS. Laet B int eerste voorbeelt, soot mueghelick waer, swaerder sijn dan 1 lb, de swaerste swaerheydt dan en sal niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten; twelck teghen het 1. voorstel is; B dan en is niet swaerder dan 1 lb. Sghelijcx salmen oock bethoonen dat sy niet lichter en is, sy weeght dan effen 1 lb, twelck wy bewysen moesten. TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden, d'een bekent dander onbekent, ende d'hanthaef: Wy hebben die onbekende bekent ghemaect, naer den eysch.
III. EYSCH. IIII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen twee bekende euestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm: de langde des anderen erms te vinden.
TGHEGHEVEN. Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, ende B hanghende an D 1 lb, ende de langde des erms DE sy 6 voeten.TBEGHEERDE.
1Wy moeten de langde des anderen erms vinden. TWERCK. Men 27[Figure 27] sal segghen A 3 lb, gheeft B 1 lb, wat DE 6 voeten ? comt voor EC 2 voeten. Ende der ghelijcke voorbeelden mochten wy stellen op de formen der voorbeelden des 2. voorstels, ten waer die duer tvoorgaende kennelick ghenouch sijn.
TBEWYS. Laet EC, soot mueghelick waer, langher sijn dan 2 voeten; den langsten erm sal dan minder reden hebben tot den corsten, dan de swaerste swaerheyt tot de lichtste, twelck teghen het eerste voorstel is, EC dan en is niet langher dan 2 voeten; Sghelijcx salmense oock bewysen niet corter te sijn, sy is dan effen van twee voeten, twelck wy bewysen moesten.
TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm, wy hebben de langde des anderen erms gheuonden, naer den eysch.
IIII. EYSCH. V. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een pilaer: te vinden een ghewicht in ghestelde reden tot des pilaers ghewicht.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer wesen, diens as EF, 28[Figure 28] ende haer middelpunt G, ende de ghestelde reden sy van 2 tot 3.
TBEGHEERDE. Wy moeten een ghewicht vinden in sulcken reden tot den pilaer, als van 2 tot 3, dat is euen an sijn 2/3. MERCKT. Ghelijck de Meetconstighe ende Telconstighe voorstellen verscheyden werckinghen hebben, alsoo oock de Weegconst, want men soude vanden pilaer een stuck connen snien in sulcken reden tot den heelen pilaer, als van 2 tot 3. Oft andersins om den pilaer heel te laten, men mocht hem teghen ander stof weghen, daer af nemende de /, maer wy willent Weegconstlicker doen in deser voughen. TWERCK. Men sal van tmiddelpunt G af, naer F, teeckenen eenighe vijf punten (te weten 5 voor de somme der
1ghegheuen palen 2. 3) als H, I, K, L, M, van malcanderen euewyt;
Geometrica & Arithmetica
Ende van het tweede punt I (van het tweede om dat 2 het ander der ghegeuen ghetalen is) salmen den pilaer ophangen byde swaerheyts, middellini IN; Daer naer salmen an tvijfde punt M een ghewicht hanghen als O, euen so swaer dat alles in euestaltwichticheyt sy, twelck soo wesende, ick seg dat tghewicht van O, in sulcken reden is tot tghewicht des pilaers, als 2 tot 3, ofte dat O euen is ande 2/3 des pilaers.
TBEWYS. G is swaerheydts middelpunt des pilaers ABCD, ende MP swaerheyts middellini van O, daerom ghelijck den erm IG tot den erm IM, alsoo O tot den pilaer door het 1. voorstel, maer IG heeft sulcken reden tot IM, als 2 tot 3, daerom O heeft sulcken reden tot den pilaer, als 2 tot 3, twelck wy bewysen moesten. TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen een pilaer, wy hebben gheuonden een ghewicht in ghestelde reden tot des pilaers ghewicht, naer den eysch. MERCKT. Wy souden oock mueghen voorbeelden stellen met Redenen van onmetelicke palen, maer sulcx is openbaer ghenouch door tvoorgaende, metgaders tghene wy vande onmetelicke grootheden elders ghescreuen hebben.
Centrum Incommensurabilium
II VERTOOCH . VI VOORSTEL.
WESENDE een hanghende pilaer ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt, met een plat euewydich vanden gront, ende wesende tvastpunt in dat plat bouen het swaerheyts middelpunt: Den as des pilaers blijft euewydich vanden sichteinder.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn, ghesneen door sijn 29[Figure 29] swaerheydts middelpunt met een plat FG, euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt inde swaerheydts middellini IG wesen, bouen het swaerheyts middelpunt E, ende KL sy as, ende MN sichteinder.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat den as KL euewydich blijft vanden sichteinder. MN.
TBEWYS. Laet KL soot mueghelijck waer, oneuewydich sijn vanden sichteinder MN, als in
1dees tweede form, ende laet IH voortghetrocken worden tot in O,30[Figure 30] sniende AB in P, ende laet het stuck des pilaers POCB alsoo euewichtich blijuen hanghen teghen PODA, maer dat is grooter ende swaerder dan dit (want FGDA, is euen an FGCB, ende minder is den driehouck FHI ghesneen van FGCB, dan de driehouck OHG ghesneen van FGDA, daerom, &c.) het swaerder dan sal euewichtich sijn an een lichter twelck ongheschict is, KL dan blijft euewydich vanden sichteinder MN, als in d'eerste form.
Tis oock te anmercken als voor ghemeenen Weegconstighen Reghel, dat
Alle swaerheyts middelpunt eens hanghenden lichaems is in siin swaerheydts middellini.
Maer tswaerheydts middelpunt hier bouen E en is inde tweede form niet in sijn swaerheydts middellini IO, tis dan een onmueghelicke ghestalt. TBESLVYT. Wesende dan een pilaer ghesneen, &c.
III VERTOOCH. VII VOORSTEL.
WESENDE tvastpunt het swaerheydts middelpunt des hanghenden pilaers, hy houdt alle gestalt diemen hem gheeft.
TGHEGHEVEN. Laet 31[Figure 31] ABCD een pilaer wesen, diens swaerheydts middelpunt E vast sy, daer by hanghende ande lini EF, ende den as GH sy euewydich vanden sichteinder IK.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat den pilaer ABCD alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.
TBEWYS. Laet ons den ghegheuen pilaer (tpunt E vast blijuende) een ander ghestalt gheuen dan d'eerste, als in dees tweede form,
1ende laet FE voortghetrocken 32[Figure 32] worden tot in L, sniende AB in M, ende en laet den pilaer soot mueghelick waer niet in die ghestalt blijuen, dan het stick MLDA, ofte MLCB neervallen; Maer dees twee deelen sijn ghelijck euegroot, ende daerom oock eueswaer, het eene dan van euewichtighe sal swaerder sijn dan t'ander, twelc ongheschickt is: Den pilaer dan blijft in die ghestalt, ende sghelijcx in allen anderen diemen hem soude mueghen gheuen. TBESLVYT. Wesende dan tvastpunt het swaerheydts middelpunt des pilaers, hy houdt alle ghestalt diemen hem gheeft, twelck wy bewysen moesten.
IIII VERTOOCH. VIII VOORSTEL.
WESENDE den pilaer ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt, met een plat euewydich vanden gront, ende wesende tvastpunt in dat plat beneden het swaerheydts middelpunt: Den pilaer (natuerlick verstaen) keert om tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheydts middellini.
TGHEGHEVEN. Laet 33[Figure 33] ABCD een pilaer wesen, ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt E, met een plat FG euewydich vanden grondt AD, ende laet G vastpunt sijn, beneden tswaerheydts middelpunt E, met welck punt G den pilaer ligt ofte rust op tpunt des pins H, ende IK sy as, euewydich vanden sichteinder LM.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat den pilaer omkeeren sal, tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheyts middellini.
1maer dit natuerlick verstaen, want Wisconstelick ghenomen soo can sy daer op rusten.
TBEWYS.
A. Al dat ligt moet grondt hebben daert op rust,
E. Dees pilaer en heeft gheen grondt daer hy op rust,
E. Dees pilaer dan en can soo niet
DES Bewysredens tweede voorstel is daer uyt openbaer, dat het punt gheen grootheyt en is, ende veruolghens gheen grondt: wel is waer dat wy dickmael nemen door tghestelde een lichaem alsoo te rusten, maer metter daet en connen wy dat niet te weeg brenghen. Inder voughen dat hoewel den as IK euewydich ghestelt is vanden sichteinder LM, soo sal nochtans den pilaer (tpunt G vast blyuende) omkeeren ouer die sijde daer hy eerst beghint. Maer dat hy solang keeren sal tot dat sijn swaerheydts middelpunt inde swaerheydts middellini is, is door het 6. voorstel openbaer. TBESLVYT. Wesende dan den pilaer ghesneen, &c.
I. MERCK.
YEMANT mocht hier noch de verclaring begheeren des verschils tusschen hanghen en ligghen, waer op d'antwoort is dat wy een lichaem voor hanghende houden, als siin swaerheyts middelpunt is onder, oft int tghenaecsel daert op rust; Maer tswaerheyts middelpunt daer bouen siinde, alsdan houden wijt voor ligghen, staen, oft sitten; Ligghen, als de langste siide des lichaems haer strect langs den sichteinder: Staen, als sy daer op rechthouckich is; daerom ist oock dat wy den teerlinck (ouermits siin siiden al euen lanck siin) soo eyghentlick segghen te staen als te ligghen, ende te ligghen als te staen. Sitten is wat tusschen ligghen en
II. MERCK.
SOO yemant thinhondt [t inhoudt] der voorgaende drie voorstellen door eenighe eruaring 34[Figure 34] wilde sien, hy mocht nemen een reghel van houdt ofte ander stof eenvaerdigher dickte ende swaerheyt, als ABCD, teeckenende de punten E, F, G, H, inde middelen der linien AB, BC, CD, DA, treckende EG, ende HF, malcander sniende in I,maeckende daer naer een seer cleen gaetken en I, ende daer bouen een gaetken als K, ende onder I een gaetken als L. Ende stekende een naelde door tgatken K, die vrielick daerin drayen mach, d'eruaring sal bethoonen dat HF altijdt euewydich sal blijuen vanden sichteinder. Maer de naelde in I stekende, de reghel sal daerop alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Ende de naelde in L ghesteken, alles sal omkeeren ouer
1die syde daert eerst beghint, tot dat I is in haer swaerheyts middellini, waer af d'oirsaeck inde voornoemde 6., 7., 8., voorstellen Wisconstlick blijckt.
V. VERTOOCH. IX. VOORSTEL.
D'HANTHAEF oneindelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen.
TGHEGHEVEN. Laet AB twee swaerheden sijn ende haer middellinien 35[Figure 35] CD, EF, ende haer balck CE, ende d'hanthaef GH, inder voughen dat CG is tot GE, als de swaerheydt B tot A, Laet IK noch een balck wesen, oneuewydich van CE, ende laet GH oneindelick voortghetrocken worden naer L, sniende den balck IK in M.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat IM ende MK, oock de ermen sijn der swaerheden AB; dat is ghelijck B tot A, alsoo MI tot MK. TBEREYTSEL. Laet ghetrocken worden CN, euewydich van IK, sniende HL in O. TBEWYS. Ghelijck CG tot GE, also CO tot ON , Maer CO is euen an IM, ende ON an MK , daerom ghelijck CG tot GE, alsoo IM tot MK, maer ghelijck B tot A, also CG tot GE, door tghegheuen, daerom ghelijck B tot A, also MI tot MK, tselfde sal also bewesen worden van allen balcken tusschen CD ende EF, als PQ, doorsneen in R, ende allen anderen diemen soude mueghen trecken.
TBESLVYT. D'handthaef dan oneindelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen, twelck wy bewysen moesten.
2 v 6 B. 34 v. IB.
I. VERVOLGH.
HIER uyt blijct datmen om te vinden de swaerheydts middellini tweer swaerheden, niet nootsaeckelick en moet nemen een euewydighe vanden sichteinder , maer alsulcke alsmen wil, ende alst best te pas comt.
II VERVOLGH.
ANGHESIEN alle swaerheydts middelpunt inde swaerheyts middellini is, soo volght dat alle rechte lini begrepen tusschen twee swaerheydts middelpunten, oock dier swaerheden balck is, ende het onderscheydt der ermen diens balcx, oock het swaerheydts middelpunt te wesen der twee swaerheden.
1
5. EYSCH. 10. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een vastpunt des bekenden pilaers, ende bekende euestaltwichtighe swaerheden an hem hanghende: Te vinden of den as euewydich sal blijuen vanden sichteinder, oft alle ghestalt houden diemen hem gheeft, ofte omkeeren tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheyts middellini.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn weghende 4 lb, ende 36[Figure 36] ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt E, met een plat FG euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt wesen beneden tmiddelpunt E int middel van EG; Ende anden pilaer twee ghewichten hanghen als I, K, elck weghende 4 lb, welcker middellinien vastpunten sijn D, C, ende laet LM den as, ende NO sichteinder wesen.
TBEGHEERDE. Wy moeten vinden of den as LM euewydich sal connen blijuen vanden sichteinder NO; ofte alle gestalt houden diemen haer gheeft; Ofte ommekeeren tot dat haer swaerheydts middelpunt E is inde swaerheyts middellini door H, welcke verscheydenheden vallen connen naer de reden der swaerheyt des pilaers, tot de ghewichten dieder anhangen.
TWERCK. Men sal trecken door E de swaerheyts middellini PQ des pilaers, daer naer door
1G de swaerheyts middellini RS der ghewichten I, K, ende EG sal balck sijn, daer naer salmen sien door het 2. voorstel waer tvastpunt der hanthaef valt: want commet onder H, soo keert LM tot sy euewydich blijft vanden sichteinder NO; Maer commet in H, sy houdt alle ghestalt die men haer gheeft; Commet bouen H, alles keert om. Maer den pilaer weeght 4 lb, ende I, K, elck 4 lb, tsamen 8 lb door tghegheuen, daerom ghedeelt EG in T, alsoo dat ET, sulcken reden heb tot TG, als 8 tot 4: Ick seg dat LM keeren sal (ouermits T onder H comt) tot sy euewydich is vanden sichteinder. Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I en K elck 2 lb, tsamen 4 lb, daerom ghedeelt EG in H (welcke H tmiddel van EG is door tghegheuen) alsoo dat EH sulcken reden heb tot HG, als 4 tot 4: ick seg dat LM (ouermits het in H viel) alle ghestalt sal houden diemen haer gheeft. Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I, K elck 1 lb, tsamen 2 lb, daerom ghedeelt EG inV, also dat EV sulcken reden hebbe tot VG, als 2 tot 4, Ick seg dat den pilaer met al de rest omkeeren sal (ouermitds V bouen H comt) tot dat H is in haer swaerheydts middellini. TBEWYS. Ten eersten I en K elck 4 lb weghende, dat dan LM keert tot sy euewydich is vanden sichteinder, blijct aldus: De hanghende door T ghelijck TX, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende door H, als HY (welcke H ons ghegheuen vastpunt is) so sal de sijde naer BCK, swaerder sijn dan naer ADI, daerom oock sal de sijde BCK neerdalen, tot dat H inde swaerheydts middellini is des heels, ende dan sal LM euewydich sijn vanden sichteinder NO.
Ten tweeden I, K, elck 2 lb weghende, dat dan LM alle ghestalt houdt, wordt aldus bethoont: Laet ons achten dat I ende K opgheschorst sijn, alsoo dat D tswaerheydts middelpunt sy van I, ende C van K, ende door de 3. begheerte sy en sullen anden pilaer gheen oirsaeck van verandering der swaerheydt wesen; Twelck soo sijnde, H is tswaerheyts middelpunt van soodanighen lichaem vergaert uyt den pilaer ende de twee ghewichten IK, ende door de 4 bepaling tsal daer op alle ghestalt houden diemen hem gheeft, tselfde sal also bewesen worden in alle ghestalten daermen LM in soude connen stellen.
Ten laetsten I, K, elck 1 lb weghende, dat dan alles omkeert, wort aldus bethoont: De hanghende door V ghelijck VZ, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende HY door H ghegheuen vastpunt, so sal de sijde naer ADI, swaerder sijn dan naer BCK, daerom oock sal de sijde ADI neerdalen, tot dat H inde swaerheyts middellini is des heels, ende ofmen schoon LM (alles op tvastpunt H draeyende) euewydich stelde vanden sichteinder NO, sy en can so niet blyuen door het 8 voorstel, maer alles sal omkeeren, twelck wy bewysen moesten.
1
TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen een vastpunt des bekenden pilaers, &c.
Uyt het voorgaende is ghenouch blijckelick den ghemeenen voortganck in allen anderen, als van pilaren welcker vastpunt is buyten de lini als FG, ende der ghewichten vastpunten op ander plaetsen dan DC; Maer ouermits wy hier voornamelick trachten de oirsaecken vande ghedaenten des s grondelick te openbaren (daer af inde Weeghdaet breeder sal gheseyt worden) so en gheuen wy van sulcke ongheschicte ghestaltheden gheen besonder voorbeelden.
6. EYSCH. 11. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een bekende pilaer, ende bekende swaerheden daer an hanghende: Te vinden het vastpunt daer op hy alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.
I. MERCK.
SOO tweer euewychten als A, B, vastpunten C, D, 37[Figure 37] waren in des pilaers as, euewyt van tmiddelpunt E, als in dees form, tis kennelick door het tweede deel des bewys van het 10. voorstel, dat E tbegheerde punt soude siin, maer wy sullen tvoorbeelt van ongheschicter ghestalt
II. MERCK.
TIS openbaer dat wesende de twee vastpunten der ghewichten als CD, ende tvastpunt des handthaefs als E, alle drie in een rechte lini als hier bouen, ende an CD euen ghewichten ghehanghen, soo groot ofte cleen alst valt: E sal altijt tvastpunt blijuen, daer sy alle ghestalt op houden diemen haer gheeft. Maer soo die drie punten als CED in een rechte lini wesende C ende D niet euewyt en waren van E, ende datmen an haer ghewichten hinghe euerednich met de ermen, dat E noch altijt tvastpunt sal blijuen daer sy alle ghestalt op houden diemen haer gheeft.
Proportionales.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn, weghende 10 lb, diens swaerheydts middelpunt E, ende laet de ghewichten daer an hanghende wesen F 1 lb, diens vastpunt G, ende H 4 lb, wiens vastpunt I. TBEGHEERDE. Wy moeten het vastpunt vinden daerop sy alle ghestalt houden diemen haer gheeft. TWERCK. Men sal
1trecken GI balck 38[Figure 38] der ghewichten FH, daer naer salmen vinden haer ermen door het 2. voorstel, dat is ghelijck F 1 lb, tot H 4 lb, also den erm KI, tot KG, daer naer salmen trecken EK balck des pilaers ter eender, ende der ghewichten FH ter ander sijden, de selue EK ghedeelt in L, also dat den erm EL sulcken reden hebbe tot LK, als 5 lb van FH, tot 10 lb des pilaers, L sal tbegheerde punt sijn op twelck sy alle ghestalt sullen houden diemen haer gheeft, waer af tbewys openbaer is door het 7. voorstel.
VII. EYSCH. XII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een bekende pilaer, met sijn vastpunt ende bekende ghewichten daer an hanghende die den as euewydich houden vanden sichteinder: Te vinden een ghewicht hanghende ter begheerder plaets des pilaers, dat den as in ghegheuen ghestalt houde.
I. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD 39[Figure 39] een pilaer sijn weghende 6 lb, diens vastpunt E, ende handthaef EF, ende twee ghewichten G, H, elck 3 lb weghende, welcker vastpunten C, D; ende IK, sy as, euewydich vanden sichteinder LM, ende D sy tpunt voor de begheer­
1de plaets.
Daer naer wort den as IK (alles draeyende op E) verheuen als 40[Figure 40] inde tweede form. TBEGHEERDE. Wy moeten een ghewicht an D vinden, dat den as IK in die ghestalt houde. TWERCK. Men sal vinden door het 11. voorstel, tvastpunt daer op den as alle ghestalt houde diemen haer gheeft twelck N sy: Daer naer salmen trecken DN, ende de hanghende EO, sniende ND in O, daer naer salmen sien wat reden NO heeft tot OD, ick neme als van 1 tot 2, daerom hanghe ick an D een ghewicht P van 6 lb, te weten in sulcken reden tot den pilaer met de twee ghewichten G, I, al tsamen 12 lb, als van 1 tot 2; Ick seg P 6 lb, te wesen het begheerde ghewicht.
TBEWYS. Tswaerste ghewicht 12 lb des erms ON, heeft sulcken reden tot het lichtste 6 lb des erms OD, ghelijck den langsten erm OD, tot den cortsten ON; Daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het 1. voorstel. Ende veruolghens den as IK blijft in haer ghegheuen ghestalt.
II. VOORBEELT.
LAETABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, diens vastpunt E, ende handthaef EF, ende G een ghewicht van 2 lb, diens vastpunt H, ende I een ghewicht van 1 lb, diens vastpunt K, ende den as LM sy euewydich vanden sichteinder NO, ende P sy een punt inden pilaer voor de begheerde plaets. Daer naer werdt den as LM (alles draeyende op E) verheuen, als in de tweede form.
TBEGHERDE.
Wy moeten een ghewicht an P vinden, dat den as LM in die ghestalt houde.
1
TWERCK.
Men sal vinden door het 41[Figure 41] 11.voorstel tvastpunt daerop tghegheuen alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, twelck Q sy, daer naer salmen trecken PQ, ende de hanghende ER, sniende PQ in R: siende daer naer wat reden RQ heeft tot RP, ick neem als van 1 tot 2, so hang ick an P een ghewicht van 4 1/2 lb, te weten in sulcken reden tot den pilaer met de twee ghewichten G, I, al tsamen 9 lb, als van 1 tot 2; Ick seg S 4 1/2 lb te wesen het begheerde ghewicht.
TBEWYS.
Tswaerste ghewicht 9 lb 42[Figure 42] des erms RQ, heeft sulcken reden tot het lichtste ghewicht 4 1/2 lb des erms RP, ghelijck den langsten erm RP, tot den cortsten RQ, daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het 1. voorstel, ende veruolghens den as LM blijft in haer ghegheuen ghestalt, twelck wy bewysen moesten.
TBESLVYT.
Wesende dan ghegheuen een bekenden pilaer met sijn vastpunt, &c.
1
VI. VERTOOCH. XIII. VOORSTEL.
EEN daelwicht ende een hefwicht an hem euen, doen met euen houcken an euen ermen euen ghewelden.
I. VOORBEELT met rechtwichten.
TGHEGHEVEN. Laet A des balcx BC vastpunt, ende AB met 43[Figure 43] AC twee euen ermen sijn, ende an B hanghe het rechtreckwicht D, ende an C sy het rechthefwicht E, euewichtich an D, ende sijn balck sy FG, diens vastpunt H, ende euen ermen HF, HG, ende den houck ABI, sy euen anden houck ACF. TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat het rechtdaelwicht D, ende trechthefwicht E, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. TBEREYTSEL. Laet an C een ghewicht K hanghen, euen an D. TBEWYS. Laet ons weeren E, ende is blijckelijck dat de macht van D is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an K, ende AB an AC. Laet nu D weeren, ende E wederom anhanghen, ende de macht van E is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want K is euen an E, ende HF an HG, daerom E ende D doen an,euen ermen AB,AC, euen ghewelden.
II. VOORBEELT met scheefwichten.
TGHEGHEVEN. Laet A des handthaefs vastpunt, ende AB 44[Figure 44] met AC twee euen ermen sijn, ende an B hanghe tscheefdaelwicht D, diens scheefdaellini BE, ende an C sy tscheefhefwicht F, euen an D, ende sijn scheefheflini sy CG, ende den houck ABE, sy euen anden houck ACG.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat het scheefdaelwicht D, ende tscheefhefwicht F, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. TBEREYTSEL. Laet an C een scheefdaelwicht H
1hanghen euen an D, diens scheefheflini CI, euewydich sy van BE, ende CB sy wat voortghetrocken tot in K. TBEWYS. Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de macht van D teghen H, is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an H, ende den erm AB, an AC, ende den houck ACI, anden houck KBE. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, ouermidts H euen is an F.
III. VOORBEELT.
TGHEGHEVEN. Laet A des handthaefs vastpunt, ende AB met AC 45[Figure 45] twee euen ermen sijn, ende an B hanghe het scheefdaelwicht D, diens scheefdaellini BE, ende an C sy het scheefhefwicht F, euen an D, diens scheefheflini sy CG, ende den houck KCG, sy euen anden houck KBE. TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat het scheefdaelwicht D, ende het scheefhefwicht F, ande euen ermen AB, AC, euen ghewelden doen. TBEREYTSEL. Laet an C een scheefdaelwicht H hanghen euen an D, diens scheefdaellini CI, also dat den houck ACI, euen sy anden houck ABE. TBEWYS. Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de macht van D teghen H, is de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, want D is euen an H, ende den erm AB an AC, ende den houck ACI, anden houck ABE. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen AB, AC, in die ghegheuen ghestalt te houden, ouermits H euen is an F.
TBESLVYT. Een daelwicht dan ende een hefwicht an hem euen, doen met euen houcken an euen ermen euen ghewelden, twelck wy bewysen moesten.
VIII. EYSCH. XIIII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een pilaer, ende twee punten inden as, t'een vast t'ander int langste deel verroerlick: Te vinden een rechthefwicht an tverroerlick, dat den pilaer in sijn ghegheuen standt houde
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn, weghende 6 lb,
1ende die ghedeelt als int beghin des 1. voorstels, ende vastpunt sy R, 46[Figure 46] ende roerlick V, int langste deel des as RQ, want int cortste RP ist onmueghelick dat eenich rechthefwicht den as in haer ghegheuen stant houde. TBEGHEERDE. Wy moeten een rechthefwicht an V vinden, dat den pilaer in die standt houde. TWERCK. Men sal de lini QR voorttrecken tot in Y, also dat RY euen sy an RV: Daer naer salmen vinden tghewicht Z an Y, euestaltwichtich met den pilaer, tselue (ghedenckende dat R vastpunt is) sal van 4 lb wesen door het 3. voorstel; Ick seg daerom dat het begheerde rechthefwicht twelck Æ sy, van 4 lb sal wesen.
TBEWYS. Ouermidts den erm RV des rechthefwichts Æ, euen is anden erm RY des ghewichts Z, ende Æ euen an Z, soo is de ghewelt Æ euen an de ghewelt van Z door het 13. voorstel. Maer de ghewelt van Z is (Æ gheweert sijnde) den pilaer in die standt te houden, de ghewelt dan van Æ (Z gheweert sijnde) is oock den pilaer in die standt te houden, twelck wy bewysen moesten. TBESLVYT. Wesende dan ghegheuen een pilaer, ende twee punten inden as, t'een vast, t'ander int langste deel verroerlick: Wy hebben gheuonden een rechthefwicht an tverroerlick, dat den pilaer in sijn ghegheuen standt houdt naer den eysch.
MERCKT.
MEN soude oock mueghen segghen metten cortsten VR 3, gheeft RT 2, wat den pilaer 6 lb ? comt voor Æ 4 lb als vooren, waer af de reden int volghende 15 voorstel blijken
I. VERVOLGH.
ANGHESIEN den heelen pilaer door tghestelde 6 lb weeght, waer af Æ de 4 lb verheft, so volgt nootsaeckelick datter opt punt R, dat is op tsop des keghels Œ, 2 lb rusten.
1
OFTE soomen 47[Figure 47] an R een rechthefwicht Π vougde, inde plaets des keghels OE, als hier neuen, dat Π sal weghen 2 lb.
OFTE soomen an V een 48[Figure 48] keghel 4 vougde, inde plaets des rechthefwichts Æ, als hier neuen, dat op den keghel Œ rusten sal 2 lb, ende op den keghel Φ 4 lb.
OFTE soomen den pilaer 49[Figure 49] ophinghe an twee euewidighe linien ŒR, ende ΦV, als hier neuen, dat ande lini ŒR hanghen sal 2 lb, ende ande lini ΦV 4 lb.
1
II. VERVOLGH.
SO anden pilaer 50[Figure 50] (tpunt R vast sijnde als vooren) eenich gewicht ofte gewichten hingen, trechthefwicht sal oock bekent worden. Laet by voorbeelt an X hanghen 6 lb, so sal Z moeten weghen 12 lb door het 3. voorstel, ende vervolghens Æ 12 lb.
VII VERTOOCH. XV VOORSTEL.
WESENDE twee punten inden as des pilaers, t'een vast t'ander verroerlick: Trechthefwicht an tverroerlic met den pilaer euestaltwichtich, heeft sulcken reden tot den pilaer als het asstick tusschen het swaerheyts middelpunt des pilaers, ende het vastpunt, tot het asstick tusschen tvastpunt ende t'verroerlick punt.
VERCLARING.
LAET ons nemen de formen des 14 voorstels, al waer blijct dat ghelijck Æ 4 lb, tot tghewicht des pilaers 6 lb, alsoo TR tot RV. Maer om d'oirsaeck hier af Wisconstelick te verclaren, soo is te weten dat ghelijck t'ghewicht Z, tottet ghewicht des pilaers, alsoo RT tot RY door het I voorstel; Maer Æ is euen an Z, ende RV is euen an RY door tghegeuen, ghelijck dan Æ tot den pilaer, alsoo TR tot RV.
TBESLVYT. Wesende dan twee punten inden as des pilaers t'een vast t'ander verroerlick, &c.
VIII VERTOOCH. XVI VOORSTEL.
WESENDE twee punten inden as des pilaers, t'een vast t'ander verroerlick: Trechthefwicht an tverroerlick dat den pilaer in een ghestalt houdt, sal hem in alle ghestalten houden.
1
TGHEGHEVEN. Laet ons den pilaer met sijn ghewichten des 14. 51[Figure 51] voorstels wat verkeeren op tvastpunt R, ende dat Æ 4 lb noch sy rechthefwicht, alsoo dat dan alles van gestalt sy als hier neuen.
TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dattet rechthefwicht Æ den pilaer oock in die ghegheuen ghestalt houdt.
TBEWYS. Laet ons weeren Æ ende anhanghen Z 4 lb, ende door het 10. voorstel den pilaer sal in die ghestalt bliuen: Maer Æ doet by V soo grooten ghewelt anden pilaer als Z by Y door het 13. voorstel, daerom gheweert Z, ende Æ anghehanghen, soo sal Æ den pilaer oock in die ghestalt houden. TBESLVYT. Wesende dan twee punten inden as des pilaers t'een vast tander verroerlick, trechthefwicht an tverroerlick, dat den pilaer in een ghestalt houdt, sal hem in alle ghestalten houden, twelck wy bewysen moesten.
IX VERTOOCH. XVII VOORSTEL.
RVSTENDE een pilaer op twee punten inden as: Ghelijck het asstick tusschen t'swaerheyts middelpunt ende tslinckerpunt, tottet asstick tusschen tswaerheyts middelpunt ende trechterpunt, alsoo tghewicht des pilaers rustende op trechterpunt, tottet ghewicht rustende op tslinckerpunt.
TGHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, ghedeelt als int 1. voorstel, rustende met de twee punten R, V, op de punten van Œ, Æ. TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck het asstick TR, tottet asstick TV, also tghewicht rustende mettet punt V op tpunt van Æ, tottet tghewicht rustende mettet tpunt R op tpunt van Œ. TBEWYS. TR is dobbel an TV door tghewstelde,
1ende opt tpunt van Æ rust 4 52[Figure 52] lb, ende van Œ 2 lb door 1. veruolgh des 14. voorstels, maer 4 lb is tot 2 lb oock dobbel, ghelijck dan TR tot TV, alsoo tghewicht rustende op tpunt van Æ, tot tghewicht rustende op tpunt van Œ.
Maer om tghemeen nootsaeckelick 53[Figure 53] veruolgh in allen te bewysen, laet ons voorttrecken VR tot in Z, also dat RZ euen sy an RV; aensiende daer naer R voor tvastpunt, so sal an Z moeten hanghen Π 4 lb, om de pilaer in die ghestalt te houden door het 3. voorstel. Maer tghene an V den pilaer in die ghestalt houdt als Æ, doet daer an alsulcken gheweldt als Π, door het 13 voorstel; An Æ dan rust een ghewicht euen an Π. Laet ons insghelicx voorttrecken, RV tot in Φ, also dat VΦ euen sy an VR, ansiende daer naer V voor vastpunt, soo sal an Φ moeten hanghen Δ 2 lb, om den pilaer in die ghestalt te houden door het 3. voorstel, maer tghene an R den pilaer in die ghestalt houdt als Œ, doet daeran alsulcke ghewelt als Δ door het 13 voorstel, An Œ dan rust een ghewicht euen an Δ. Nu anghesien Π euestaltwichtich is teghen den pilaer op tghemeen vastpunt R, so heeft den erm TR, sulcken reden tot den erm RZ, als Π tot den pilaer door 1. voorstel. Insghelijcx nemende V voor tvastpunt, soo heeft den erm TV sulcken reden tot den erm VΦ, als Δ tot den pilaer, maer RZ is altijt euen an VΦ: Wy hebben hier dan twee eueredenheden elck van vier palen, welcker tweede palen an malcanderen euen sijn, ende welcker laeste palen an malcanderen oock euen sijn. Maer alle twee eueredenheden elck van vier palen, welcker tweede palen an mal­
1cander euen sijn, ende welcker laetste palen an malcander oock euen sijn, die hebben dander palen oock euerednich, daerom ghelijck TR tot TV, alsoo Π tot Δ; maer Π is euen an tghewicht des pilaers rustende met tpunt V op tpunt Æ, ende tghewicht Δ is euen an t'ghewicht des pilaers rustende met tpunt R op tpunt van Œ, daerom ghelijck TR tot TV, also tghewicht rustende mettet tpunt V op tpunt van Æ, tottet ghewicht rustende mettet punt R op tpunt van Œ. TBESLVYT. Rustende dan een pilaer op twee punten inden as, &c.
VERVOLGH.
SOO de twee punten daer den pilaer op rust, waren inde hanghende linien door R en V, de selue ghewichten die hier vooren op elck rustende punt waren, soudender nu oock op sijn. Laet by voorbeelt door de punten R, V, hanghende linien ghetrocken worden, ende punten inde selue ghestelt als Y λ, Ghenomen nu dat Y ende λ de punten sijn daer den pilaer op rust, tis kennelick dat op Y rusten sal 2 lb, ende op λ 4 lb, waer uyt alsulcken vertooch openbaer is.
10. VERTOOCH. XVIII. VOORSTEL.
RVSTENDE een pilaer op eenighe twee punten, ghelijck het asstick tusschen tswaerheyts middelpunt ende de hanghende door t'slinckerpunt, tottet asstick tusschen t'swaerheydts middelpunt ende de hanghende door trechterpunt, also tghewicht des pilaers rustende op trechterpunt, tottet ghewicht rustende op t'slinckerpunt.
TGHEGHEVEN. Laet 54[Figure 54] ABCD een pilaer wesen, diens as EF, ende swaerheydts middelpunt G, ende de twee punten daer d'een pilaer op rust HI, waer duer ghetrocken sijn de hanghende linien KL, MN, sniende den as in O, P; Ick seg dat ghelijck GO tot GP, alsoo de swaerheydt rustende op tpunt I, tot de swaerheydt rustende op H, waer af tbewys openbaer is door tvervolgh des voorgaenden 17. voorstels,
1
nochtans om alhier wat breeder 55[Figure 55] vande nootsakelicheyt te segghen, so laet ons achten al of H ter plaets van O waer, twelck soo ghenomen tghewicht alsdan op H rustende, heeft sulcken reden tottet ghewicht op P rustende, ghelijck GP, tot GO, duer het 17. voorstel; Laet ons voort nemen dattet tpunt H vast blijuende, den pilaer in haer ghegheuen ghestalt neerghetrocken worde, soo verre als van H tot O, ende duer de 3. begheerte, de swaerheydt an H rustende blijft de selue. Sghelijcx salmen bethoonen de swaerheyt dieder op P rust, oock te rusten op I, daerom ghelijck GO tot GP, also de swaerheyt rustende op I, tot de swaerheyt rustende op H. TBESLVYT. Rustende dan een pilaer op eenighe twee punten, &c.
VERVOLGH.
TBLIICT uyt het voorgaende dat soomen begheerde te weten de reden van tghewicht rustende op I, tottet ghewicht rustende op H, datmen trecken soude de hanghende linien KL, MN, sniende den as EF in O, P, ende de reden van GO tot GP soude de begheerde sijn waer uyt oock openbaer is, dat des pilaers swaerheyt bekent wesende, soo is oock tghewicht bekent rustende op yder punt als H ende I.
TOT HIER TOE SIIN
DE GHEDAENTEN DER RECHT­
WICHTEN VERCLAERT: INT
volghende sullen de eyghenschappen der scheefwichten
bescreuen worden, wiens ghemeene grondt dit
volghende vertooch begrijpt.
XI. VERTOOCH. XIX. VOORSTEL.
WESENDE een driehouc wiens plat rechthouckich op den sichteinder is, met sijn grondt daer af euewidich, ende op elck der ander sijden een rollende cloot met malcanderen euewichtich:
1
Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t' des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.
TGHEGHEVEN. Laet ABC een driehouck wesen diens plat sy 56[Figure 56] rechthouckich op den sichteinder, ende den grondt AC euewydich vanden sichteinder, ende op de sijde AB, die dobbel sy an BC, ligghe een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E, euewichtich ende euegroot met den cloot D. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck de sijde AB 2, tot BC 1, alsoo t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.
T'BEREYTSEL. Laet ons maecken rondtom den driehouck ABC eenen crans van veerthien clooten, euegroot, euewichtich, ende euewijt van malcanderen, als E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, al ghesnoert an een lini, streckende door haer middelpunten, also dat sy op die middelpunten drayen mueghen; Datter oock twee clooten passen op de sijde BC, ende vier op BA, dat is ghelijck lini tot lini, also clooten tot clooten; laet oock an S, T, V, drie vastpunten staen, ouer welcke de lini ofte t'snoer der clooten slieren mach, also dat de twee deelen des snoers die bouen den driehouck staen, euewydich sijn vande sijden AB, BC; Inder voughen dat alsmen den crans an d'een ofte d'ander sijde neertrect, soo rollen de clooten op de linien AB, BC. T'BEWYS. Soo t'staltwicht der vier clooten D, R, Q, P, niet euen en waer met het staltwicht der twee clooten E, F, t'een of t'ander sal swaerder sijn, latet wesen (soot mueghelick waer) der vier D, R, Q, P; Maer de vier clooten O, N, M, L, sijn euewichtich met de vier clooten G, H, I, K, de sijde dan der acht clooten D, R, Q, P, O, N, M, L, is swaerder na de ghestalt dan de sijde der ses clooten E, F, G, H, I, K: maer want het swaerste altijdt het lichtste ouerweeght, de acht clooten sullen neerwaert rollen, ende d'ander ses rijsen: Latet soo wesen, ende D
1sy gheuallen daer nu O is, ende E, F, G, H, sullen sijn daer nu P, Q, R, D, ende I, K, daer nu E, F, sijn. Maer dit soo wesende, den crans der clooten sal alsulcken ghestalt hebben als sy te vooren dede, ende sullen om de selue redenen de acht clooten ter slincker sijde wederom staltwichtigher sijn dan de ses clooten ter rechter, waer duer de acht clooten wederom neer sullen rollen, ende d'ander ses rijsen, welcke valling ter eender, ende rijsing ter ander, om dat de reden altijdt de selue is, altijdt ghedueren sal, ende de clooten sullen uyt haer seluen een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is. Het deel dan des crans D, R, Q, P, O, N, M, L, is euestaltwichtich met het deel E, F, G, H, I, K: Maer van sulke euewichtighe ghetrocken euewichtighe, de resten sijn euewichtich, laet ons dan van dat deel trecken de vier clooten O, N, M, L, ende van dit de vier clooten G, H, I, K, (welcke euen sijn ande voornoemde O, N, M, L,) de resten D, R, Q, P, ende E, F, sullen euestaltwichtich sijn, Maer wesende dese twee euestaltwichtich met die vier, E sal tweemael staltswaerder sijn als D. Ghelijck dan de lini BA 2, tot de lini BCI, also t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.
T'BESLVYT. Wesende dan een driehouck wiens plat, &c.
I. VERVOLGH.
LAET ABC een driehouck sijn als vooren, wiens sijde AB dobbel 57[Figure 57] sy an BC, ende laet op AB ligghen een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E euewichtich anden helft van D, ende an F sy een vastpunt daer ouer de lini DFE. (te weten uyt het middelpunt des cloots D ouer F tot int middelpunt des cloots E) slieren mach, alsoo dat DF euewydich blijue van AB, ende FE van BC. Dit also sijnde, anghesien de vier clooten P, Q, R, D, hier vooren, euestaltwichtich waren met de twee clooten E, F, so sal desen cloot D, euestaltwichtich sijn teghen de cloot E: want ghelijck die P, Q, R, D, tot E, F, also dese D tot E: Daerom ghelijck de lini AB, tot BC, alsoo den cloot D tot den cloot E.
II VERVOLGH.
LAET ons nu d'een sijde des driehouckx 58[Figure 58] als BC (ande welcke AB dobbel is) rechthouckich stellen op AC als hier neuen; Ende den cloot D die dobbel is an E, sal noch met E euestaltwichtich sijn, want ghelijck AB tot BC, also den cloot D tot den cloot E.
1
III. VERVOLGH.
LAET ons nu inde plaets 59[Figure 59] van t'punt F, stellen een caterol als hier neuen, also dat de scheefheflini van D naer F euewydich blijue van AB, ende inde plaets vanden cloot E sy eenich wicht van form soot valt, maer euewichtich anden cloot E: t'selue is noch euestaltwichtich met D, Daerom ghelijck AB tot BC, alsoo noch den cloot D tottet ghewicht E.
IIII VERVOLGH.
ANGHESIEN den cloot des 3. veruolgs naect de lini AB, in 60[Figure 60] t'punt G, als vastpunt, soo sal den as GH rechthouckich sijn op AB {}; Daerom laet ons weren den cloot, ende stellen in die plaets den pilaer D euewichtich met den cloot, alsoo dat den as GH (diens vastpunt G) rechthouckich sy op AB, ende de scheefheflini tusschen DF noch euewydich van AB, ende sniende de sijde des pilaers in I, Als hier neuens. Ende is openbaer dat ghelijck AB tot BC, (dat is dobbel als vooren) also den pilaer D tottet t'ghewicht E.
V. VERVOLGH.
LAET ons trecken 61[Figure 61] de hanghende lini uyt het middelpunt des pilaers D als DK, sniende de sijde des pilaers in L, t'welck soo sijnde, den driehouck LDI is ghelijck an den driehouck ABC, want de houcken ACB ende LID sijn recht, ende LD is euewydich van BC ende DI van AB: Daerom ghelijck AB tot BC, alsoo
1LD tot DI; Maer ghelijck AB tot BC, alsoo den Pilaer tot t'ghewicht E door het 4. veruolg, daerom ghelijck LD tot DI, also den pilaer tot E. Laet ons nu ande lini KD voughen t rechthefwicht M met den pilaer euestaltwichtig, t'selue ghewicht M sal met den pilaer euewichtich sijn door het 14. voorstel: Daerom ghelijck LD tot DI, also M tot E.
VI. VERVOLGH.
LAET ons trecken BN, sniende de voortghetrocken AC in N: Insghelijcx DO, 62[Figure 62] sniende de voortghetrocken LI dat is de sijde des pilaers in O, ende also dat den houck IDO, euen sy anden houck CBN. Laet ons oock voughen an DO t'scheefhefwicht P, dat den pilaer (de ghewichten M, E gheweert sijnde) in die standthaude. Nu anghesien DL, des driehouckx DLI, lijckstandighe is met BA des driehouckx BAC, ende DI met BC, men besluyt daer uyt aldus: Ghelijck BA tot BC, also t'staltwicht van BA tottet staltwicht van BC (door het 2. vervolg) Ende oock ghelijck DL tot DI also t'staltwicht van DL tot t'staltwicht van DI, dat is alsoo M tot E. Maer de lijckstandighe linien van dese ghelijcke driehoucken ABN, LDO, sijn BA met DL, ende BN met DO, Daerom segghen wy als vooren, Ghelijck BA tot BN, alsoo het staltwicht van BA tot het staltwicht van BN (door het 1. vervolgh) Ende oock ghelijck DL tot DO, also het staltwicht van DL tot het staltwicht van DO, dat is also M tot P. Maer by aldien de lini BN, ghetrocken waer van B af ouer d'ander sijde van BC, so soude de lini DO, dan oock vallen van D ouer d'ander sijde van DI, dat is, daer DO nu valt onder DI, sy souder dan bouen vallen, ende t'voorgaende bewys soude oock dienen tot sulcke ghestalt, te weten, dat wy noch segghen souden, ghelijck BA tot BN, alsoo t'staltwicht van BA, tottet staltwicht van BN; Ende ghelijck DL tot DO, alsoo t'staltwicht van DL, tottet staltwicht van DO, dat is, also M tot P. Inder voughen dat dese eueredenheydt niet alleen en bestaet inde voorbeelden, alwaer de heflini als DI rechthouckich is op den as, maer op allen houcken.
T'VOORGAENDE mach oock verstaen worden van een cloot ligghende op een lini AB als hier neuens, alwaer wy segghen als vooren, gelijck LD tot DO, alsoo M tot P (welverstaende dat CL
1rechthouckich ghetrocken is op AB, dat is euewydich met den as 63[Figure 63] GH des cloots D) maer t'ghewicht M is euen an den cloot D, daerom segghen wy ghelijck LD tot DO, also t'ghewicht des cloots, tot P. Maer want LD ende DO binnen t'lichaem des cloots niet bequamelick en connen beschreuen worden, so laet ons trecken de hangende CE, ende sullen dan hebben buyten t'lichaem een driehouck CEO, ghelijck anden driehouck LDO, welcker lijckstandighe sijden sijn LD met CE, ende DO met EO, daerom ghelijck LD tot DO, alsoo CE tot EO, ende veruolghens ghelijck CE tot EO, alsoo t'ghewicht des cloots, tot P.
LAET ons nu tot meerder claerheydt 64[Figure 64] dit alleen stellen sonder d'ander linien als hier neuen, alwaer wy segghen ghelijck CE tot EO, also t'ghewicht des cloots D, tot P.
ENDE dit niet alleen van clooten 65[Figure 65] maer van ander lichamen slierende, ofte rollende, op punten ofte linien als hier onder (daerwy eyghentlicker af handelen sullen inde ) alwaer wy noch segghen ghelijck CE tot EO, also t'ghewicht des lichaems D tottet ghewicht P.
1
WAER uyt oock blijckt, dat wesende de lini AB euewydich vanden 66[Figure 66] sichteinder als hier neuens, dat CE ende CO dan in een selfde lini sullen vallen, waer duer tusschen E en O gheen langde en sal sijn, ende veruolghens CE en sal tot EO gheen reden hebben, daermen by verstaen sal dat een swaerheydt inde plaets van P hoe cleen sy mocht wesen, en sal niet euestaltwichtich connen sijn teghen t'lichaem D, maer salt (wisconstelick verstaende) voorttrecken hoe swaer het sy: Waer uyt volght, dat alle swaerheden voortghetrocken langs den sichteinder, als schepen int water, waghens langs t'platte landt, &c. en behouuen gheen vlieghesterctens tot haer verroersel, meer dan de omstaende verhindernissen en veroirsaecken, als Water, Locht, Naecsel der assen, teghen de bussen, naecsel der rayers teghen de straet, ende dierghelijcke.
MAER anghesien den 67[Figure 67] driehouck ABN int 6. veruolg, tot dese eueredenheyt niet en gheeft noch en neemt, laet ons hem weeren, ansiende G voor vastpunt des pilaers rustende op een pin als hier neuen, ende sullen noch segghen ghelijck LD tot DO, also M tot P.
VII. VERVOLGH.
MAER op dat nu blijcke dese eueredenheydt niet alleen also te bestaen inde pilaren alwaer de rechtheflini als DL, comt uyt t'middelpunt des pilaers, ende diens vastpunt is des assens uyterste, als hier vooren G int 6. vervolg; Soo laet ABC een driehouck sijn, wiens sijde AB dobbel is an BC, ende BC sy hanghende op AC: Ende laet DE een pilaer sijn diens as FG rechthouckich op AB, ende sniende AB in t'punt H, ende I sy eenich ander punt inden seluen as;
1
Laet oock KL een ander pilaer 68[Figure 68] sijn, euen ende ghelijck anden pilaer DE, wiens as MN, ende O een punt des as naeckende BC, ende van ghelijcke ghestalt in sijn pilaer, als H inden pilaer DE; Laet oock P een ander punt sijn van sulcker ghestalt inden pilaer KL, als I inden pilaer DE; Ende laet Q een vastpunt sijn daer ouer de lini IQP slieren mach, alsoo dat de lini IQ euewydich sy van AB, ende QP euewydich van BC. Ende om de redenen die int 19. voorstel vande 14 clooten verclaert sijn (t'welck wy hier duer soodanighe veel slierende pilaren oock souden connen bewysen, maer want sulcx uyt t'voorgaende kennelick is, wy slaent ouer) het staltwicht des pilaers KL, sal dobbel sijn an t'staltwicht des pilaers DE.
VIII. VERVOLGH.
LAET ons nu an I des 7. veruolgs voughen trechthefwicht R euestaltwichtich 69[Figure 69] met den pilaer, diens rechtheflini sy IS, sniende de sijde des pilaers in T, ende IQ snie de sijde des pilaers in V, ende laet an de lini PQ hanghen een ghewicht X, inde plaets vanden pilaer KL, t'welck euen sy anden helft van t'staltwicht des selfden pilaers KL, Laet ons oock weeren den driehouck ABC, ende den pilaer DE doen rusten op t'punt H als hier neuen. Ende om de redenen als vooren, ghelijck TI tot IV, alsoo R tot X. Ende dit niet alleen als IV rechthouckich is op den as FG, maer cromhouckich soot valt, waeraf men besondet bethooch soude mueghen doen, maer tis openbaer ghenouch door het 6. veruolgh.
IX. VERVOLGH.
WY hebben int 8. vervolgh dese eueredenheut verclaert, alwaer t'roerende punt I, hoogher was dan t'vastpunt H, ende alwaer de scheefheflini IV helde naer de sijde des vastpunts H; Wy moeten nu
1bethooghen de selue eueredenheyt oock te bestaen in d'ander ghestalten, ende eerst alwaer troerende punt leegher sy dan t'vastpunt, ende alwaer de scheefheflini afwyct vande sijde des vastpunts in deser voughen:
Laet AB een pilaer 70[Figure 70] sijn, diens as CD, ende vastpunt E, ende t'verroerlick punt F, ende t'scheefhefwicht dat hem in die ghestalt houdt sy G, diens scheefheflini FH, ende FI sy rechtheflini, diens rechthefwicht K. Laet LM oock een pilaer sijn, euen ende ghelijck an den pilaer AB, wiens as sy NO, ende vastpunt E, ende verroerlick punt P, also dat EN euen sy an ED, ende EF an EP, ende t'scheefhefwicht Q sy euen an G, ende sijn scheefheflini sy PR, euewydich van FH, ende trechthefwicht S sy euen an K, ende sijn rechtheflini sy PT. Dit soo sijnde laet ons vergaren de twee pilaren AB ende LM, ansiende AM voor een heel pilaer, wiens swaerheyts middelpunt ende vastpunt sal E sijn door t'ghestelde. Laet ons nu weeren de ghewichten K, G, S, Q, ende den pilaer AM sal op E alle ghestalt houden diemen hem gheeft door het 7. voorstel, hy sal dan soo blijuen, ende den pilaer AB sal alsoo euewichtich blijuen teghen den pilaer LM. Laet ons nu de ghewichten QG weder andoen, hanghende euewichtighe van ghelijcke ghestalt, an euewichtighe, ende door het 13. voorstel, Q sal anden pilaer AM euen sulcken macht doen als G: Ende veruolghens Q doet sulcken macht an huer pilaer LM, als G an huer pilaer AB; maer de macht van G is AB in die ghestalt te houden door het 6 vervolg, de macht dan van Q is oock LM in die ghestalt te houden. Insghelijcx soo is oock de macht van K, den pilaer AB in die ghestalt te houden, daerom oock is de macht van S den pilaer LM in die ghestalt te houden; Nu ghelijck IF tot FH, also K tot G door het 8. veruolg, Maer TP. is euen an IF, ende PR an FH, ende S an K, ende Q an G, ghelijck dan TP tot PR, alsoo S tot Q. Dese eueredenheydt dan, als wy gheseyt hebben, is so wel inde voorbeelden alwaer t'roerende punt P leegher is dan t'vastpunt E, ende alwaer de scheefheflini PR afwyct vande sijde des vastpunts E, als daert hoogher is, ende daer de scheefheflini helde naer t'vastpunt.
Centrum
1
X. VERVOLGH.
LAET ons stellen een form ghelijck an die des 9. veruolghs, alleen 71[Figure 71] daer in verschillende dat dese FH wyct ouer d'ander sijde van FI, ende dat den houck HFC, euen sy anden houck RPO, waer duer G anden pilaer AM euen soo grooten ghewelt doet als Q, ende om de redenen des 9 veruolgs (die wy om cortheyt ouerslaen) G doet euen sulcken ghewelt anden pilaer AB, als Q anden pilaer LM; Nu ghelijck TP tot PR, alsoo S tot Q door het 9 vervolgh, maer IF is euen an TP, ende FH an PR, ende K an S, ende G an Q, daerom ghelijck IF tot FH, also K tot G.
XI VERVOLGH.
LAET ons stellen een form ghelijck an die des 10 veruolgs, alleen 72[Figure 72] daer in verschillende dat dese PR wyckt ouer d'ander sijde van PT, ende dat PR euewydich sy met FH, waer duer Q anden pilaer AM, euen soo grooten ghewelt doet als G, ende om de redenen des 9 veruolghs, Q doet euen sulcken gheweldt anden pilaer LM, als G anden pilaer AB; Nu ghelijck IF tot FH, also K tot G door het 6 veruolgh: Maer TP is euen an IF, ende PR an FH, ende S an K, ende Q an G, daerom ghelijck TP tot PR, also S tot Q. Ende inder seluer voughen salmen vanden anderen ghestalten door haer contrarien altijt dese eueredenheyt bewysen.
1
XII. VERVOLGH.
MAER dat dese eueredenheydt oock bestaet inde ghestalt daer 73[Figure 73] den as euewydich is vanden sichteinder, wort aldus bethoont: Laet AB een pilaer sijn, diens as CD euewydich sy vande sichteinder, ende t'vastpunt daer in E, ende t'roerlick punt F, ende G t'scheefhefwicht dat den pilaer in die ghestalt houdt, wiens scheefheflini FH, ende I trechthefwicht dat den pilaer oock in die ghestalt houdt, wiens rechtheflini FK; T'welck soo sijnde, Laet KF tot FH een ander reden hebben (soot mueghelick waer) dan I tot G, By voorbeelt KF sy tot FH, als 1 tot 2, maer I tot G, als 3 tot 7. Dit so ghenomen, laet ons den pilaer der eerste form neerduwen, ofte der tweeder form oplichten, tot dat KF sulcken reden hebbe tot FH, als 3 tot 7, ende alsdan sal G oock euestaltwichtich sijn teghen den pilaer door de voorgaende vervolghen; Inder voughen dat den pilaer hoogher ende leegher verheuen, sal teghen G euestaltwichtich blijuen, t'welck openbaer onmueghelick is, als oock wisconstlick sal blijcken door t'volghende 22 voorstel. KF dan en heeft tot FH gheen ander reden dan I tot G.
UYT dese voorgaende bescrijuen wy een vertooch soodanich.
XII. VERTOOCH. XX. VOORSTEL.
WESENDE inden as des pilaers een vastpunt, ende een roerlick, daer an hy door een rechthefwicht ende scheefhefwicht in seker standt ghehouden wort: Ghelijck rechtheflini tot scheefheflini, also rechthefwicht tot scheefhefwicht.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende t'vast­
1punt E, ende roerlick punt F, daeran den pilaer door t'rechthefwicht G 74[Figure 74] in die ghestalt ghehouden wort, daer an oock den pilaer door t'scheefhefwicht H (welverstaende G gheweert sijnde) in die ghestalt ghehouden wort, ende de rechtheflini snie de sijde des pilaers in I, maer de scheefheflini snie de selue sijde in K: Ick seg dat ghelijck de rechtheflini IF, tot de scheefheflini FK, alsoo trechthefwicht G, tot het scheefhefwicht H, waer af t'bewys uyt de voorgaende openbaer is.
1
T'BESLVYT. Wesende dan inden as des pilaers een vastpunt, &c.
MERCKT. Soo eenighe der linien als IF, FK, de sijde des pilaers niet en sneen, men sal die sijde voorder trecken tot dat sy ghesneen wort, als inde voorgaende laetste form.
XIII. VERTOOCH. XXI. VOORSTEL.
WESENDE inden as des pilaers een vastpunt, ende een roerlick, daer an hy door een rechtdaelwicht ende scheefdaelwicht in seker standt gehouden wort: Ghelijck rechtdaellini tot scheefdaellini, also rechtdaelwicht tot scheefdaelwicht.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn, diens as CD, ende vastpunt 75[Figure 75] E, ende roerlick punt F, daer an den pilaer door trechtdaelwicht G in die ghestalt ghehouden wort, daer an oock den pilaer door t'scheefdaelwicht H (welverstaende G gheweert sijnde) in die ghestalt ghehouden wordt, ende de rechtdaellini snie de sijde des pilaers in I, maer de scheefdaellini snie de selue sijde in K. TBEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck de rechtdaellini IF tot de scheefdaellini FK, alsoo t'rechtdaelwicht G tot het scheefdaelwicht H. TBEREYTSEL. Laet ons teeckenen t'punt L, alsoo dat EL euen sy an EF, ende voughen an t'punt L t'rechthefwicht M, dat den pilaer in die ghestalt can houden, diens rechtheflini LN: Insghelijcx t'scheefhefwicht O, dat den pilaer oock in die ghestalt can houden, wiens scheefheflini LP euewydich sy met FK.
TBEWYS. Ghelijck NL tot LP, also M tot O, duer het 20. voorstel maer de macht van G is anden pilaer euen met de macht van M, ende de macht van H met die van O duer het 13. voorstel, ende IF is euen an LN, ende FK, an LP; Daerom ghelijck de rechtdaellini IF tot de scheefdaellini FK, alsoo t'rechtdaelwicht G tottet scheefdaelwicht H, Sghelijcx sal oock t'bewys sijn van alle d'ander ghestalten als inde formen hier na volghende.
176[Figure 76]
T'BESLVYT. Wesende dan inden as des pilaers een vastpunt ende een roerlick, &c.
IX. EYSCH. XXII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een bekenden pilaer, met een vastpunt inden as, ende een roerlick punt, an t'welck eenich onbekent treckwicht den pilaer in ghegheuen ghestalt houdt: Dat treckwicht bekent te maken.
1
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, 77[Figure 77] ende ghedeelt als int 1. voorstel, ende t'vastpunt sy X, ende het roerende punt S, an t'welck gheuoecht sy een onbekent scheefhefwicht Y, met den pilaer euestaltwichtich, ende sijn scheefheflini snie de sijde des pilaers AB in Œ. T'BEGHEERDE. Wy moeten dat onbekende scheefhefwicht Y bekent maken.
T'WERCK. Men sal sien wat rechthefwicht an S den pilaer in die ghestalt soude houden, wort beuonden door 14. voorstel, van 4 lb, daer naer salmen ondersoucken wat reden eenighe hanghende lini als ZÆ, heeft tot ZŒ, ick neme als van 2 tot I, daer uyt seg ick 2 gheeft 1, wat t'rechthefwicht van 4 lb ? comt voor Y 2 lb, t'welck ick seg sijn waer ghewicht te sijne. T'BEREYTSEL. Laet ons trecken de hanghende door S welcke sy AS. T'BEWYS. Ghelijck AS tot SŒ, also t'rechthefwicht tottet scheefhefwicht Y door het 20. voorstel, maer den driehouck ŒZB, is ghelijck anden driehouck ŒSA, welcker lijckstandighe linien sijn ŒZ met ŒS, ende ZÆ met SA: Daerom ghelijck AS tot SŒ, alsoo ÆZ tot ZŒ, ende vervolghens ghelijck ÆZ 2, tot ZŒ 1, also t'rechthefwicht 4 lb tot Y, daerom Y weghende 2 lb is bekent ghemaect, t'welck wy bewysen moesten. Ende sghelijcx sal den voortganck sijn in allen anderen voorbeelden.
T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een bekenden pilaer met een vastpunt inden as, &c.
I. MERCK.
WY souden inde wercking hebben mueghen segghen, AS 2, gheeft SŒ I, wat t'rechthefwicht 4 lb ? comt voor Y 2 lb, maer op dat sy lijckformigher soude siin an t'ghene inde daet gheschiet (want men can binnen int lichaem qualick de linien AS, SŒ trecken) wy hebben de hanghende lini ZÆ int voorbeelt uytwendich
II. MERCK.
TIS openbaer door de verkeerde ende oueranderde Eueredenheydt, hoe dat elck van d'ander onbekende palen als Rechthefwycht, Rechtheflini, Scheefheflini, Pilaer, door drie bekende palen altijdt bekent sullen worden, welcker bescriuing wy om de cortheyt achterlaten.
Inuersam & alternam proportionem.
1
XIIII. VERTOOCH. XXIII. VOORSTEL.
EVEN ghewichten der trecklinien van een selfde punt des as, ende op verscheyden sijden met den as euen houcken makende; doen anden pilaer euen ghewelden.
TGHE. Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende vastpunt daer in E, 78[Figure 78] en t'roerlick punt F, an t'welck een scheefhefwicht G sy, dat den pilaer in die ghestalt houde, ende diens scheefheflini FH. Laet oock an t'selue punt F gheuoucht wesen een scheefhefwicht I, ouer d'ander sijde, ende met G euewichtich, ende diens scheefheflini FK, den houck KFD euen make anden houck HFC.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat I anden pilaer euen sulcken ghewelt doet als G, te weten dat I (G gheweert sijnde) den pilaer oock in die ghestalt sal houden.
T'BEREYTSEL. Laet an t'punt F gheuoucht worden t'rechthefwicht L dat den pilaer oock in die ghestalt can houden, ende sijn rechtheflini sy FM.
T'BEWYS. Want de linien FH, FK, sijn tusschen de euewydighe HK, CD, ende dat den houck HFC, euen is (door t'ghegheuen) an den houck KFD, so sijn FH ende FK euen. waer uyt volght dat ghelijck MF tot FH, alsoo MF tot FK, Maer ghelijck MF tot FH, alsoo L tot G, daerom oock ghelijck MF tot FK, also L tot G; maer I is euen an G door t'ghestelde, ghelijck dan MF tot FK, alsoo L tot I. T'welck so sijnde, I houdt den pilaer in die ghestalt door het 20 voorstel. Sghelijcx sal oock t'bewijs sijn in alle anderen voorbeelden.
T'BESLVYT. Euen ghewichten dan der trecklinien van een selfde punt des as, ende op verscheyden sijden met den as euen houcken makende; doen anden pilaer euen ghewelden, t'welck wy bewysen moesten.
XV. VERTOOCH. XXIIII. VOORSTEL.
ALS des ghewichts trecklini rechthouckich op den as is; Soo doedet anden pilaer ghegeuener ghestalt de grootste ghewelt.
1
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn diens as CD, ende vastpunt E, ende roerlick punt F, waer an gheuoucht is t'scheefhefwicht G, dat den pilaer in die ghestalt houdt, ende also dat sijn scheefheflini HF rechthouckich op den as CD is; Laet oock an F gheuoucht worden t'scheefhefwicht I, euen an G, ende sijn scheefheflini sy KF.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat G meerder ghewelt doet anden pilaer, dan I, oock gheen meerder ghewelt daer an doen en can.
T'BEREYTSEL. Laet ons an F voughen t'rechthefwicht L dat den pilaer in die ghestalt houden can, diens rechtheflini FM. T'BEWYS.
A. Alle hefwicht dat minder reden heeft tot L, dan siin heflini tot FM, is te licht om den pilaer in die ghestalt te houden, duer het 20. voorstel:
I. I is hefwicht dat minder reden heeft tot L, dan siin heflini KF tot FM:
I. T'hefwicht I dan is te licht om den pilaer in die ghestalt te houden.
DES bewyfredens tweede voorstel wort aldus bethoont, T'ghewicht 79[Figure 79] G (t'welck den pilaer in die ghestalt houdt) heeft sulcken reden tot L, als HF tot FM, maer I is euen an G, ende KF is meerder dan FH , daerom I heeft minder reden tot L, dan KF tot FM, waer duer soo wy bouen gheseyt hebben, t'ghewicht I is te licht om den pilaer in die ghestalt te houden; maer G cander hem in houden, G dan doet anden pilaer meerder ghewelt dan I. Maer dat G daer an gheen meerder doen en can, is daer uyt openbaer, dat van F op de sijde des pilaers gheen corter lini en can ghetrocken worden dan FH, anghesien sy daer op rechthouckich is.
47.v.i.b.
T'BESLVYT. Als dan des ghewichts trecklini rechthouckich op den as is, soo doedet an den pilaer ghegheuener ghestalt de grootste ghewelt, t'welck wy bewysen moesten.
VERVOLGH.
HET blijft dat hoe de houcken der trecklinien vande ghewichten, op den as den rechthouck naerder sijn, hoe de ghewichten meerder ghewelt doen; Ende ter contrarie hoe sy vanden rechthouck meer verschillen, hoe de ghewichten minder ghewelt doen.
1
XVI. VERTOOCH. XXV. VOORSTEL.
TWEE oneuewydighe linien daer een pilaer an hangt beyde oneindelick voortghetrocken, snien malcanderen inde swaerheydts middellini des pilaers.
I. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn hanghende ande twee 80[Figure 80] oneuewydighe linien CD, EF, welcke voortghetrocken sijn tot G, H, sniende malcanderen in I. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dattet punt I inde swaerheyts middellini is des pilaers AB. TBEWYS. Den houck FEC, ofte IEC, ofte HEC, is al een selfden houck, also oock is DCE, ofte ICE, ofte GCE, daerom wat punten wy inde linien HE, ende CG voor uytersten nemen, den pilaer houdt daer an sijn ghegheuen standt. Laet ons nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een ende d'ander lini, den pilaer dan houdt daer an sijn ghegeuen standt. Maer hanghende den pilaer an t'punt I, so is de hanghende door I des pilaers swaerheydts middellini inde welcke I is.
II. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn hanghende ande oneuewydighe linien CD, EF, welcke voortghetrocken sijn tot G, H, sniende malcanderen in I. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dattet punt I, inde swaerheyts middellini is des pilaers AB. TBEWYS. Laet ons DG ende FH ansien voor stylen ofte stiue linien daer den pilaer op rust, welcke door de 2. begheerte niet en breken noch en buyghen; der seluer ghewelt is euen ande ghewelt der linien CD, EF, want ghelijck dese den pilaer in sijn ghegheuen standt houden alsoo oock die. Ende wat punten wy inde linien DG, FH voor uytersten nemen, den pilaer
1houdt daer op sijn ghegheuen 81[Figure 81] standt. Laet ons nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een en d'ander lini; den pilaer dan houdt daer op (Wisconstlick verstaende) sijn ghegheuen standt, maer rustende den pilaer op t'punt I, soo is de hanghende door I des pilaers swaerheydts middellini, inde welcke I is.
III. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn welcke in die standt 82[Figure 82] ghehouden wort door de scheefdaellini CD, ende scheefheflini EF, de selue sijn voortghetrocken tot G, H, sniende malcanderen in I.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat I inde swaerheydts middellini is des pilaers AB. T'BEWYS. Laet ons GC ansien voor styl, ofte stijue lini ende nemen dat de macht die an D int neertrecken was, nu neerstekende sy in yder punt tusschen C en G daermen haer stelt, ende den pilaer AB, sal alsoo op allen punten diemen tusschen C, G ende E, H voor uytersten neemt, sijn ghegheuen standt houden. Laet ons nemen I ghemeen uyterste van d'een en d'ander lini, den pilaer dan houdt daer an sijn ghegheuen standt; maer hanghende den pilaer an t'punt I, de hanghende door I is des pilaers swaerheyts middellini, inde welcke I is.
IIII. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn, welcke in die standt ghehouden wort door de scheefdaellini CD, ende de scheefheflini EF, de selue sijn voortghetrocken tot GH, sniende malcanderen in I.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat I inde swaerheyts mid­
1dellini is des pilaers AB. T'BEWYS. Laet ons HE ansien voor stijl, 83[Figure 83] ofte stiue lini, ende nemen dat de macht die an E int opheffen was, nu opstekende sy in yder punt tusschen E en H, daermen haer stelt, ende den pilaer AB sal also op allen punten diemen tusschen CG ende EH voor uytersten neemt, sijn ghegheuen standt houden. Laet ons nu nemen I ghemeen uyterste punt van d'een en dander lini, den pilaer dan houdt daer op sijn ghegheuen standt, maer rustende den pilaer op t'punt I, soo is de hanghende door I des pilaers swaerheydts middellini, inde welcke I is.
T'BESLVYT. Twee oneuewydighe linien dan, daer een pilaer an hangt beyde oneyndelick voortghetrocken, snien malcanderen inde swaerheydts middellini des pilaers, t'welck wy bewysen moesten.
XVII. VERTOOCH. XXVI. VOORSTEL.
SOO d'eene der twee linien daer een pilaer an hangt rechthouckich op den sichteinder is, d'ander salder oock rechthouckich op sijn: Ende sooder d'een scheefhouckich op is, dander salder oock scheefhouckich op wesen: Ende soo dese naer die neigt, die sal naer dese neighen: Maer so dese van die wyckt, die sal oock van dese wycken.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn hanghende an twee linien, d'een CD rechthouckich op den sichteinder, d'ander EF (soot mueghelick waer) scheefhouckich, ende GH sy des pilaers swaerheydts middellini. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen t'hinhoudt des voorstels. T'BEREYTSEL. Laet CD ende EF voortghetrocken worden, sniende malcander in I. T'BEWYS. Soo den pilaer in die ghestalt blijft hanghende ande linien CD, EF, sy sal op alle vastpunten in die voortghetrocken linien de selue ghestalt houden, ouermidts de houcken ICE, ende IEC, niet en veranderen: Daerom ghenomen I
1ghemeen vastpunt dier twee linien, 84[Figure 84] den pilaer sal daer an in sijn ghegheuen standt blijuen hanghende, ende IC sal swaerheydts middellini sijn: maer dat is onmueghelick, wanttet GH haer euewydeghe is. T'selue sal oock alsoo bethoont worden als de lini EF ouer dander sijde neigt. Wesende dan IC rechthouckich op den sichteinder, d'ander lini als EF en cander niet scheefhouckich op sijn; nootsaecklick dan rechthouckich: Ende veruolghens sooder EF scheefhouckich op is, dander moeter oock scheefhouckich op sijn.
VOORDER, anghesien EF neigt naer de sijde van A, soo sal de lini die den pilaer in die ghestalt houdt moeten neighen naer EF. Want laetse (soot mueghelick waer) daer van wycken, als CK, sniende de voortghetrocken EI in K, inder voughen dat de hanghende lini door K, sal om de redenen als bouen swaerheydts middellini wesen des pilaers, t'welck noch ongheschicter is dan doen wy die seyden door I te vallen: D'ander lini dan die den pilaer in de ghestalt can houden, en wyckt van EF niet, sy en is met haer oock gheen euewydighe als bouen bethoont is, ende ter sijden uyt te wijcken is openbaer onmueghelick, sy neigt dan nootsaecklick naer EF. Ende soo EF ouer d'ander sijde neigde, men sal insghelijcx bethoonen dat d'ander lini van haer wycken sal.
T'BESLVYT. Soo d'eene dan der twee linien, &c.
XVIII. VERTOOCH. XXVII. VOORSTEL.
HANGHENDE een pilaer euestaltwichtich teghen twee scheefhefwichten: Ghelijck scheefheflini tot rechtheflini, alsoo elck scheefhefwicht tot sijn rechthefwicht.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een pilaer sijn wiens as CD, ende twee punten daer in E, F, welcker scheefhefwichten die hem in die standt houden sijn G, H, ende rechthefwichten I, K, ende scheefheflinien EL, FM, ende rechtheflinien EN, FO. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck LE tot EN, alsoo G tot I, ende ghelijck MF tot FO, alsoo H tot K. T'BEWYS. Laet ons F ansien voor vastpunt, ende E voor t'roerlick, daerom (door het 20. voorstel) ghelijck LE
1tot EN, alsoo G tot I. Laet 85[Figure 85] ons ten tweeden E ansien voor vastpunt, ende F voor t'roerlick; Daerom (door t'voornoemde 20. voorstel) ghelijck MF tot FO, alsoo H tot K.
T'BESLVYT. Hanghende dan een pilaer euestaltwichtich teghen twee scheefhefwichten: Ghelijc scheefheflini tot rechtheflini, alsoo elck scheefhefwicht tot sijn rechthefwicht, t'welck wy bewysen moesten.
VERVOLGH.
HANGHENDE een bekende pilaer an twee oneuewydighe linien als hier neuen; Tblyckt dat bekent sal worden hoe veel ghewichts an yder lini hangt, ofte hoe veel ghewelts yder lini doet.
MERCKT.
WY hebben tot veel voorbeelden der voorstellen deses boucx, ghenomen den pilaer, als bequaemste form tot de verclaring des voornemens oock vastpunt ende roerlickpunt ghestelt inden as. Wy sullen nu door dit laetste voorstel, bethoonen de reghelen van dien ghemeen te wesen ouer alle formen der lichamen hodanich sy siin met vastpunt ende roerlickpunt daert
1
XIX. VERTOOCH. XXVIII. VOORSTEL.
ALLE de eueredenheden, welcke hier vooren beschreuen sijn vanden pilaer tot de ghewichten an hem hanghende, ende dier ghewichten linien: De selue te wesen van yder lichaem tot de ghewichten an hem alsoo hanghende, ende dier ghewichten linien.
T'GHEGHEVEN. Laet ons t'voorbeelt nemen der eueredenheydt 86[Figure 86] des 20. voorstels aldus: Het sy een pilaer AB, diens as CD, ende swaerheyts middelpunt E, ende vastpunt daer in F, ende roerlick punt G, an t'welc gheuoucht sy een scheefhefwicht H, dat den pilaer in die ghestalt houde, diens scheefheflini GI. Daer naer trechthefwicht K, dat den pilaer oock in die ghestalt houde, diens rechtheflini GL, alwaer wy segghen, ghelijck IG tot GL, also H tot K. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat dese eueredenheydt niet alleenlick also en bestaet in t'lichaem AB een pilaer sijnde, maer van sulcke form alst valt.
TBEWYS. Laet ons den 87[Figure 87] pilaer AB (blijuende de linien FG ende IL op haer plaetsen) neertrecken, alsoo dat hy bliue hanghende an sijn swaerheyts middelpunt E, wiens ghestalt dan sy als hier neuens. Ende door de 3. begheerte den pilaer en veroirsaect op de punten F, G, gheen ander swaerheydt dan d'eerste; ende alles blijft noch euestaltwichtich, ende ghelijck IG tot GL, alsoo noch H tot K.
Centrum
1
LAET nu de form des pilaers 88[Figure 88] (al de stoff bliuende) verandert worden in eenighe ander ongheschickte form, als AB hier neuens, diens swaerheydts middelpunt E sy, ende een rechte lini daer duer CD (welcke vinding des swaerheyts middelpunts ende rechter linien inde Weeghdaet verclaert sal worden, werckelick, niet Wisconstelick) ende alles blijft noch euestaltwichtich, ende ghelijck IG tot GL, also noch H tot K.
Mechanicè non
LAET Laet nu t'lichaem AB opghetrocken 89[Figure 89] worden, tot dat FG is inde lini CD, wiens ghestalt dan sy als hier neuens, ende alles blijft noch euestaltwichtich: want het lichaem AB hoogher ofte leegher hanghende, blijft van een selfde ghewicht door de 3. begheerte, ende veruolghens ghelijck IG tot GL, alsoo noch H tot K. De eueredenheydt dan des 20. voorstels en is niet alleenelick alsoo met den pilaer, maer met yder lichaem: Ende der ghelijcke salmen oock alsoo bethoonen van al t'ghene hier vooren in alle d'ander voorstellen vanden pilaer gheseyt is.
T'BESLVYT. Alle de eueredenheden dan, welcke hier vooren bescreuen sijn vanden pilaer tot de ghewichten an hem hanghende, ende dier ghewichten linien; de selue sijn van yder lichaem tot de ghewichten an hem alsoo hanghende, ende dier ghewichten linien, t'welck wy bewysen moesten.
1
VERVOLGH.
TIS oock openbaer dat de ghegheuen punten als F, G, niet nootsaeckelick en moeten inde lini CD sijn, maer daert valt. by voorbeelt ande uytersten des lichaems M, N, Want voortghetrocken de lini IN tot inde rechte CD, t'welck ick neem te vallen in G, sghelijcx ghetrocken door M de hanghende tot inde lini CD, welcke ick neem te vallen in F, de voornoemde eueredenheydt, te weten ghelijck IG tot GL, alsoo H tot K, blijft noch staende.
EINDE DES EERSTEN BOVCK.
1
HET TWEEDE BOVCK
VANDE BEGHINSELEN
DER WEEGHCONST, DWELCK IS
VANDE VINDING DER SWAER­
 HEYDTS MIDDELPVNTEN,
Beschreuen door Simon Steuin.
WY hebben in t'eerste bouck tot het beschriuen der wichtighe ghedaenten, ghenomen een pilaer (voldoende aldaer het voornemen) diens swaerheyts middelpunt door ghemeene wetenschap bekent is, maer in veel ander lichamen en ghebueret niet also; wel is waer dattet door een corte ghemeene reghel in allen werckelick te vinden is, so door t'eerste voorstel der Weeghdaet blijcken sal, maer met de Wisconstighe vinding ist anders ghestelt; Daer af heeft eerst gheschreuen Archimedes in platten, ende naer hem Frederic Commandin in lichamen: Wy sullen tottet een en t'ander (ouermits het een afcoemst van beghinselen is, byde voorgaende wel dienende, ende tottet volghende, so wel WATERWICHT, als WEEGHDAET, seer noodich) het onse voughen, ende alles naer onse oirden verspreyden, daer af beschrijuende der Beghinselen tweede bouck.
Wat de bepalinghen belangt vande Meetconstighe formen, die bygheualle hier yemandt begheeren mocht, wy nemen die door t'ghestelde voor bekent uyt de Meetconst; Alleenelick dit daer af segghende, dat wy t'woort Parabola, ofte Rectanguli coni sectio, beteeckenen met Brantsne: Ende Conoidale Rectangulum, met Brander; Reden, dat dier formen daet voornamelicxt bestaet int ontsteken ofte branden.
Per
EERST VANDE VINDING DER
SWAERHEYTS MIDDELPVNTEN
VANDE PLATTEN.
BY aldien de platten eenich ghewicht hadden, ende datmen toeliete die te wesen inde reden haerder grootheden, wy souden eyghentlick mueghen spreken van haer Swaerheydt, Swaerheyts middelpunt, Swaerheyts middellini, &c. Maer
1anghesien in t'plat gheen ghewicht en is, soo en isser eyghentlick sprekende gheen Swaerheydt, Swaerheydts middelpunt, noch Swaerheyts middellini in; Daerom moetmen dit alles lijckspreucklick verstaen, ende nemen als door t'ghestelde, dat der platten ghewichten inde reden haerder grootheden sijn, want T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere.
I. VERTOOCH. I. VOORSTEL.
YDER plats middelpunt der form, is oock sijn swaerheyts middelpunt.
I. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een euesijdich driehouck wesen, 90[Figure 90] diens formens middelpunt sy D. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat D oock het swaerheyts middelpunt is des driehoucx ABC. T'BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden van A tot int middel van BC, de lini AE, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CF. T'BEWYS. Wesende de driehouck ABC opghehanghen byde lini AE, het deel AEC sal euewichtich hanghen teghen AEB, want sy sijn euen groot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt; AE dan is swaerheyts middellini des driehoucx ABC, Ende om de selue reden sal FC oock des driehoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese snien malcanderen in des formens middelpunt D, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan D.
II. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een euewydich vierhouck sijn, diens formens middelpunt E. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat E oock het swaerheyts middelpunt is. T'BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden FG, tusschen de middelpunten van AD ende BC, insghelijcx HI, tusschen de middelpunten van AB ende DC.
T'BEWYS. Wesende den vierhouck opghehanghen byde lini HI, Het deel HIDA sal euewichtich hanghen teghen HICB, want sy sijn euegroot ghelijck ende van ghelijcker ghestalt; HI dan is swaer­
1heyts middellini des vierhoucx 91[Figure 91] ABCD, Ende om de selue reden sal FG oock des vierhoucx swaerehyts middellini sijn, maer dese doorsnien malcanderen in E, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan E.
III. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een gheschickt ofte inschriuelick 92[Figure 92] vijfhouck wesen, diens formens middelpunt F sy. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat F oock het swaerheyts middelpunt is.
T'BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden van A tot int middel van DC, de lini AG; sghelijcx van B tot int middel van ED, de lini BH. T'BEWYS. Wesende den vijfhouck opghehanghen byde lini AG, het deel AGDE sal euewichtich hanghen teghen het deel AGCB, want sy sijn euegroot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt: AG dan is swaerheyts middellini des vijfhoucx, ende om de selue reden sal BH oock des selfden vijfhoucx swaerehyts middellini wesen; maer dese doorsnien malcanderen in des formens middelpunt F, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan F. Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in allen anderen hebbende een formens middelpunt als Seshoucken, Ronden, Scheefronden, &c.
T'BESLVYT. Yder plats middelpunt der form dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
II. VERTOOCH. II. VOORSTEL.
YDER driehoucx swaerheydts middelpunt, is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een driehouck sijn van form soot
1valt, waer in vanden houck A tot in D middel vande sijde BC, ghetrocken 93[Figure 93] is de lini AD. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat des driehoucx swaerheyts middelpunt inde lini AD is. T'BEREYTSEL. Laet ons trecken EF, GH, IK, euewydighe van BC, sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe met AD.
T'BEWYS. Ouermits EF euewydighe is van BC, ende EO, FT met LD, soo sal EFTO, euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx EFTO in DL is, duer het I voorstel deses boucx. Ende om de selue reden sal het swaerheyts middelpunt des euewydichs vierhoucx GHSP wesen in LM, ende van IKRQ in MN, ende vervolghens het swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ ghemaect vande voornoemde drie vierhoucken, sal wesen inde lini ND, ofte AD. Nu ghelijck hier in beschreuen sijn drie vierhoucken, also canmender oneindelicke sulcke vierhoucken in beschrijuen, ende des binneschreuens formen swaerheyts middelpunt, sal altijt sijn (om de redenen als vooren) inde lini AD. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer sijn, hoe dat den driehouck ABC min verschilt vande binneschreuen form der vierhoucken; want treckende linien euewydich van BC door de middelen van AN, NM, ML, LD, t'verschil des laetsten ghestalts, sal effen den helft sijn van t'verschil des voorgaenden ghestalts. Wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen den driehouck stellen, dattet verschil tusschen haer ende den driehouck, minder sal wesen dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy: Waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheydts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB, dan eenich plat datmen soude connen gheuen hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strie.
A. Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheydt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Neuen dese staltswaerheden ADC ende ADB, en can gheen swaerheydt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Dese staltswaerheden dan ADC ende ADB en verschillen niet
Daerom AD is swaerheyts middellini, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC is in haer. T'BESLVYT. Yder driehoucx swaerheydts middelpunt dan is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde, t'welck wy bewysen moesten.
1
I. EYSCH. III. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een driehouck: Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een driehouck wesen. T'BEGHEERDE. 94[Figure 94] Wy moeten sijn swaerheytds middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal van A tot int middel van BC, trecken de lini AD, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CE, sniende AD in F: Ick seg dat F t'begheerde swaerheydts middelpunt is. T'BEWYS. T'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, is inde lini AD, ende oock in CE, duer het 2 voorstel, tis dan F, t'welck wy bewysen moesten. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een driehouck: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.
III. VERTOOCH. IIII. VOORSTEL.
HET swaerheydts middelpunt eens driehoucx deelt de lini vanden houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck, dobbel is an t'ander.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een driehouck sijn, ende vanden 95[Figure 95] houck B een lini ghetrocken worden tot D int middel van AC, sghelicx van C tot E int middel van AB, sniende BD in F voor swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat CF dobbel is an FE. T'BEWYS. Ghetrocken de reden EB 1 tot BA 2, vande reden CD 1 tot DA 1 (dat is Reden 1/2 van Reden 1/1) daer rest de reden van CF tot FE, maer treckende Reden 1/2 van Reden 1/1 daer blijft Reden 2/1. CF dan is tot FE, als van 2 tot I.
T'BESLVYT. Het swaerheyts middelpunt dan eens driehoucx deelt de lini vande houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck dobbel is an t'ander. t'welck wy bewysen moesten.
Door t'verkeerde des 12 cap. I lib. Almag.
1
IIII. VERTOOCH. V. VOORSTEL.
WESENDE twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen: De lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een driehouck wesen, van t'welck yder 96[Figure 96] sijde AB ende BC ghedeelt sy in drie euen deelen, met de punten D, E, F, G, ende tusschen de punten E, G, naest de derde sijde BC, sy ghetrocken de lini EG. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat EG duer des driehoucx ABC swaerheyts middelpunt streckt
T'BEREYTSEL. Laet ons trecken van A tot int middel van BC, de lini AH, sniende EG in I. T'BEWYS. Ouermits AE sulcken reden heeft tot EB, als AG tot GC, soo is EG euewydighe met BC, ende veruolghens EI is euewydighe met BH, daerom ghelijck AE tot EB, alsoo AI tot IH, maer AE is dobbel tot EB door t'ghegheuen, daerom AI is dobbel tot IH, maer wesende AI dobbel tot IH, soo is I t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC door het 4. voorstel, daerom EG streckt door des ghegheuen driehoucx swaerheyts middelpunt. T'BESLVYT. Wesende dan twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen, de lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
2. v. 6. B.
II. EYSCH. VI. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een rechtlinich plat: Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.
Planum
I. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een ongheschict vierhouck wesen. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.
T'WERCK. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken met de lini AC, ende vinden het swaerheyts middelpunt van elck driehouck, duer het 3. voorstel, dat van ACB sy E, ende van ACD sy F,
1ende de lini EF sal balck wesen. Daer naer 97[Figure 97] salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoogde, als GHIK, euen anden driehouck ACD, ende GHLM, euen anden driehouck ACB, daer naer deelende den balck FE in N, alsoo dat den erm NE, sulcken reden hebbe tot den erm NF, als HI tot HL; Ick seg dat N t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
Door het
II. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck sijn.98[Figure 98]
T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.
T'WERCK. Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ACB door het 3 voorstel, t'welck F sy, ende vanden vierhouck ACDE duer t'voorgaende I voorbeelt, t'welck G sy, ende de lini FG sal balck wesen, daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als HIKL euen anden vierhouck ACDE, ende HIMN euen anden driehouck ACB, deelende den balck GF in O, alsoo dat den erm OF, sulcken reden hebbe tot den erm OG, als IK tot IM; Ick seg dat O t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
III. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck 99[Figure 99] sijn. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.
T'WERCK. Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt des driehoucx ACB duer het 3 voorstel, t'welck G sy, ende vanden vijfhouck ACDEF, duer het voorgaende 2 voorbeelt, t'welck H sy, ende de lini GH sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als IKLM, euen anden vijfhouck ACDEF, ende IKNO
1euen anden driehouck ACB, deelende den balck HG in P, alsoo dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, als de lini KM tot KN; Ick seg dat P t'begheerde swaerheyts middelpunt is. Welcke maniere van wercking in allen anderen veelsijdeghe platten ghelijck sal sijn ande voorgaende.
MERCKT.
Wy heben hier bouen voorbeelden beschreuen alwaer t'ghegheuen plat verkeert wort in euenhooghe ende euewydighe vierhoucken, wy connen t'selfde oock doen sonder soodanighe verkeering, daer af wy verscheyden voorbeelden beschrijuen sullen als volght.
IIII. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een ongheschickt vierhouck wesen. 100[Figure 100] T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken, met de lini AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt van elcken driehouck door het 3. voorstel, dat van ACB sy E, ende vanden driehouck ACD sy F, de lini dan EF is balck. Daer naer salmen trecken DG ende BH, beyde rechthouckich op AC, deylende den balck FE en I, alsoo dat den erm IE, sulcken reden hebbe tot den erm IF, als DG tot BH; Ick seg dat I t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
V. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck 101[Figure 101] sijn. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal den vijfhouck deelen in drie driehoucken, met eenighe linien als AD, AC, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ACDE duer het 4. voorbeelt, t'welck F sy, ende des driehoucx ACB duer het 3. voorstel, t'welck G sy, ende de lini FG, is balck, Daer naer ghetrocken BH rechthouckich op AC; Ende CI met EK rechthouckich op AD, men sal der drie linien AD, AC, HB, vinden de vierde euerednighe, welcke sy LM, deelende den balck FG in N, alsoo dat den erm NG sulcken reden hebbe tot den erm NF, ghelijck CI met EK, tot LM; Ick seg dat N het begheerde swaerheydts middelpunt is.
Door het 12. v. 6. B.
1
VI. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck 102[Figure 102] sijn. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als AC, AD, FD, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ADCB door het 4. voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx ADEF, t'welck H sy, ende de lini HG is balck. Daernaer ghetrocken BI ende DK rechthouckich op AC, insghelijcx AL ende EM beyde rechthouckich op FD, men sal der drie linien welcker eerste FD, de tweede AC, de derde BI met KD, vinden de vierde euerednighe, welcke NO sy, deelende den balck HG in P, also dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, ghelijck AL met EM, tot NO; Ick seg dat P het begheerde swaerheyts middelpunt Ende soo salmen voort mueghen varen met ander veelhouckeghe
T'BEWYS. Ghelijck int eerste voorbeelt HI tot HL, alsoo den erm NE tot den erm NF, maer ghelijck HI tot HL, alsoo den vierhouck GHIK, tot den vierhouck GHLM, ghelijck dan GHIK tot GHLM, also NE tot NF, maer GHIK is euen an den driehouck ACD, ende GHLM anden driehouck ACB door t'werck, ghelijck dan den driehouck ACD tot ACB, alsoo den erm NE tot NF. Het punt dan N is (door het 1. voorstel des 1. boucx) des vierhoucx swaerheyts middelpunt. Sghelijcx sal oock bewijs sijn des 2. ende 3. voorbeelts.
1. v. 6. B.
T'vierde voorbeelt is openbaer als wy bewesen hebben dat ghelijck DG, tot HB, alsoo den driehouck ACD, tot ACB in deser voughen: Nemende AC voor hoochde, ende DG ende HB voor gronden, soo heeft den rechthouck begrepen onder AC ende DG, sulcken reden tot den rechthouck onder AC ende HB, ghelijck DG tot HB ; Maer ghelijck dien rechthouck tot desen, alsoo den driehouck ACD tot ACB, want elck driehouck is sijn rechthoucx helft , ghelijck dan DG tot HB, alsoo den driehouck ACD tot ACB.
1. v. 6. B. 41. v. 1. B.
Des 5. voorbeelts bewys sal oock claer sijn als wy bewesen hebben, dat ghelijck EK met IC tot LM, alsoo den vierhouck ACDE tot den driehouck ACB, aldus: Anghesien LM vierde euerednighe is der drie AD, AC, HB, de rechthouck begrepen onder AD ende LM, sal euen sijn an den rechthouck begrepen onder AC ende HB, Laet ons nu EK, IC, LM, ansien voor gronden, wiens ghemeene hoochde AD; Maer ghelijck die gronden
1tot malcanderen, alsoo de rechthoucken begrepen onder haer ende hare ghemeene hoochde, daerom oock ghelijck de twee gronden EK, IC, tot den grondt LM, alsoo dier gronden rechthoucken tot deses grondts rechthouck; maer die twee rechthoucken sijn elck het dobbel haers driehoucx; Ghelijck dan EK met IC tot LM, also het dobbel vanden vierhouck ACDE tot den rechthouck begrepen onder AD ende LM: Maer desen is euen an den rechthouck begrepen onder AC ende HB als vooren betoocht is, ende de selue rechthouck begrepen onder AC ende HB is het dobbel des driehoucx ACB, daerom ghelijck EK met IC tot LM, alsoo het dobbel des vierhoucx ACDE tot het dobbel des driehoucx ACB, ende veruolghens ghelijck EK met IC tot LM, alsoo den vierhouck ACDE tot den driehouck ACB, waer uyt de reste openbaer is. T'bewys van het 6. voorbeelt is duer dit oock kennelick ghenouch. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een rechthouckich plat: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch.
16. v. 6. B. 1. v. 6. B.
MERCKT.
MY is onder het drucken ter handt ghecomen, Fredric Commandins verclaring ouer de viercanting der Brantsne van Archimedes, alwaer hy onder het 6. voorstel de manier beschrijft, om t'swaerheyts middelpunt te vinden van yder rechtlinich plat, ende dat op een ander wijse als de twee voorgaende. So ymant tottet ouersien der selue begheerich waer, salse daer
Commentarius in quadraturam
V. VERTOOCH. VII. VOORSTEL.
HET swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een vierhouck sijn, diens twee euewydighe 103[Figure 103] sijden AB ende DC, ende de lini uyt E middel van AB, tot F middel van DC, sy EF. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx ABCD inde lini EF is. T'BEREYTSEL. Laet de drie linien DA, FE, CB, voortghetrocken worden, welcke om de eueredenheyt der linien AE, EB, DF, FC, vergaren sullen in een selfde punt t'welck G sy. T'BEWYS. Laet ons den driehouck GDC ophanghen byde lini GF, ende het deel GFC sal euestaltwichtich sijn, teghen GFD door het 2. voorstel, waer deur oock t'swaerheyts mid­
1delpunt des driehoucx GDC inde lini GF is. Maer den driehouck GEB, is oock euestaltwichtich teghen den driehouck GEA, daerom van euestaltwychtighe ghetrocken euestaltwichtighe, de resten als de vierhoucken EFDA, EFCB, sullen noch euestaltwichtich blijuen, ende haer swaerheyts middelpunt noch inde lini GF, maer niet uyt de form in EG; Nootsaecklick dan in EF. T'BESLVYT. Het swaerheydts middelpunt dan des vierhoucx met twee euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten, t'welck wy bewysen moesten.
VI. VERTOOCH.. VIII. VOORSTEL..
HET swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee euewydighe sijden, deelt de lini tusschen dier euewydighens middelpunten also, dat het stick naer de minste sijde, tot het ander, sulcken reden heeft, als tweemaal de meeste sijde met eenmael de minste, tot tweemael de minste met eenmael de meeste.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een vierhouck wesen met twee 104[Figure 104] euewydighe sijden AB, DC, ende de lini tusschen haer middelpunten sy EF, ende t'swaerheydts middelpunt sy G. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC. also GE tot GF. T'BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden DB, ende ghedeelt in drie euen deelen met de punten H, I, ende door de selue ghetrocken worden KL, ende MN, euewydich van DC, sniende EF in O en P. Daer naer de lini DE, sniende MI in Q, Ende BF sniende KL in R, Ende ten laetsten RQ.
T'BEWYS. Anghesien het swaerheydts middelpunt des driehoucx BDC, is in BF, duer het 2. voorstel, ende oock in HL duer het 5. voorstel, soo is R, sijn swaerheyts middelpunt, ende om de selue reden is Q swaerheyts middelpunt des driehoucx ABD, ende QR is dier driehoucken balck, inden welcken haer beyder, dat is des vierhoucx ABCD, swaerheyts
1middelpunt is, t'selue is oock in EF duer het 7. voorstel, daerom G is t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx ABCD. Maer want de twee driehoucken CDB ende ABD sijn tusschen twee euewydighe AB ende DC, so sijn sy inde reden van haer gronden , dat is ghelijck den driehouck CDB tot ABD, alsoo DC tot AB: Maer ghelijck den driehouck CDB tot ADB, also den erm GQ tot GR duer het 1. voorstel des 1. boucx, ghelijck dan DC tot AB, alsoo GQ tot GR; maer ghelijck GQ tot GR, alsoo PG tot GO (want sy tusschen de euewydeghe MN, KL sijn) ghelijck dan DC tot AB, alsoo GP tot PO [GO], daerom oock ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC, also tweemael GP met eenmael GO, tot tweemael GO met eenmael GP. Maer GE is euen an tweemael GP met eenmael GO, ende GF is euen an tweemael GO met eenmael GP, daerom ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC, alsoo GE tot GF. T'BESLVYT. Het swaerheyts middelpunt dan des vierhoucx met twee, &c.
1. v. 6. B.
III. EYSCH.. IX. VOORSTEL..
WESENDE ghegheuen t'swaerheyts middelpunt eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: Het swaerheyts middelpunt van t'ander deel te vinden.
I. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een rechtlinich plat wesen, diens 105[Figure 105] swaerheyts middelpunt E, ende BDA deel des plats, wiens swaerheyts middelpunt F. T'BEGHEERDE. Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels BDC. T'WERCK. Men sal trecken FE tot in G, alsoo dat FE sulcken reden hebbe tot EG, als t'stick BDC tottet stick BDA: Ick seg dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is des ander deels BDC. T'BEWYS. Anghesien t'swaerheyts middelpunt van BDA is F, ende des heels ABCD is E, soo moet t'swaerheyts middelpunt des ander deels BDC sijn in de rechte FE oneindelick voortghetrocken. Want soot mueghelick waer, latet daer buyten wesen als H, ende laet ons trecken FH, het swaerheyts middelpunt dan des heels sal in FH sijn, maer dat is teghen t'ghestelde , wantet E is; Ten is dan niet buyten FE oneindelick voortghetrocken maer daer in. Latet nu wesen
1(soot mueghelick waer) tusschen de punten EG als I; Maer den langsten erm EF sal dan meerder reden hebben tot den cortsten EI, dan de swaerste swaerheyt BDC tot de lichtste BDA, twelck teghen het 1. voorstel des 1. boucx waer. Ten is dan tusschen EG niet: Sghelijcx salmen oock bethoonen dattet bouen G niet en is. Tis dan nootsaecklick G, t'welck wy bewysen moesten.
II. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een rondt wesen, diens halfmiddellini 106[Figure 106] EA, ende swaerheyts middelpunt E sy, ende trondt AFGH, deel des rondts ABCD, ende sijn swaerheyts middelpunt I, ende middellini AG. T'BEGHEERDE. Wy moeten het swaerheyts middelpunt vinden des ander deels, dat is der maen ABCDHGF.
T'WERCK. Men sal IE voorttrecken tot in K, also dat IE sulcken reden hebbe tot EK, als de maen ABCDHGF tot het rondt AFGH, ende K sal t'begheerde swaerheydts middelpunt wesen. Daer af t'bewys ghelijck sal sijn an tvoorgaende. Maer om de reden dier maen tot dat rondt te vinden, men sal trecken CL euen met AG, daernaer AL, vindende de derde everednighe welcker eerste AL, de tweede LC, ende de derde sy M, Ende AL tot M, sal de reden sijn der maen tot het rondt AFGH. Want ouermits ALC rechthouck is (reden dat sy int half rondt staet ) het ront diens middellini AL, sal euen sijn ande maen, ende AL tot M is de ghedobbelde reden van AL tot LC, dat is van AL tot AG, daerom &c.
11. v. 6. B. 31. v. 3. B. Duplicata
Sghelijcx soudemen voortvaren dat int rondt ABCD meer ronden ghebraken; by voorbeelt het rondt NO, wiens middelpunt P. Want
1PK voortghetrocken tot in Q, alsoo dat PK sulcken reden hadde tot KQ, als het restende tot het rondt NO, so soude Q t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn. Ende alsoo met allen anderen formen welcker deelen reden kennelick is. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen de swaerheyts middelpunten eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: wy hebben het swaerheyts middelpunt gheuonden des ander deels naer den eysch.
VII. VERTOOCH. X. VOORSTEL.
YDER brantsnees swaerheyts middelpunt is in haer middellini.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een brantsne sijn diens middellini 107[Figure 107] AD. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt inde lini AD is. T'BEREYTSEL. Laet ons trecken de linien EF, GH, IK, euewydighe van BC, ende sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe van AD.
T'BEWYS. Ouermidts EF euewydighe is van BC, ende EO, FT, van LD, soo sal EFTO euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer t'swaerheyts middelpunt van EFTO, in DL is duer het 1. voorstel, Ende om de selue reden sal t'swaerheyts middelpunt des euewydich vierhoucx GHSP in LM wesen, ende van IKRQ in MN, ende veruolghens t'swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ, ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken sal inde lini ND oft AD sijn. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer gheschreuen worden, hoe dattet verschil des brandtsnees ABC, ende der binnenschreuen form van die vierhoucken vergaert, minder is, wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen de brandtsne stellen, dattet verschil tusschen haer ende de brantsne, minder sy dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy, waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheyts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB, dan eenich plat
1datmen soude connen gheuen, hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strije:
A. Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Neuen dese staltswaerheden ADC ende ADB, en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Dese staltswaerheden dan ADC ende ADB en verschillen niet.
Daerom AD is swaerheyts middellini, ende veruolghens het swaerheyts middelpunt des branders ABC is in haer. T'BESLVYT. Yder brandtsnees swaerheyts middelpunt dan, is in haer middellini, t'welck wy bewysen moesten.
VIII. VERTOOCH. XI. VOORSTEL.
ALLER brantsneens middellinien worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick ghedeelt.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD ende abcd twee onghelijcke 108[Figure 108] brantsneen sijn, diens middellinien AD, ende ad, ende swaerheyts middelpunten E, ende e. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat ghelijck AE tot ED, also ae tot ed.
T'BEREYTSEL. Laet ons trecken de linien AB, AC, die deelende in haer middelen F, G, ende trecken FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende daer naer IA, IB, KA, KC, ende laet ons stellen L in IF, alsoo dat IL dobbel sy an LF, sghelijcx M, alsoo dat KM dobbel sy an MG, ende laet ons trecken LM, sniende AD in N, ende IK, sniende AD in O, ende laet ons stellen P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende laet ons IF voorttrecken tot Q inden grondt BC. Nu anghesien AP dobbel is an PD, so is P t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, ende omme de selue reden L, M,
1swaerheyts middelpunten der twee driehoucken ABI, ende ACK, ende veruolghens, want sy euen sijn, soo is N haer beyde swaerheyts middelpunt. NP dan is balck, de selue ghedeelt in R, alsoo dat den erm NR sy tot RP, als den driehouck ABC tot de twee driehoucken ABI, ACK, dat is, als 4 tot 1 (want alle brantsne is tot den driehouck als ABC ghelijck 4 tot 3, duer het 24 voorstel der viercanting des brantsnees van Archim.daerom, &c.) Laet ons nu derghelijcke linien ende punten oock beschrijuen inde brantsne abc. T'BEWYS. Ghelijck AD tot AO, also het viercant van DB tottet viercant van OI ; Maer DQ is euen an OI, ende DQ is den helft van DB (want F is t'middel van AB, ende FQ is euewydich van AD) daerom het viercant van DB, is viervoudich an t'viercant van DQ, ofte van OI, ende veruolghens AD is viervoudich tot AO, daerom AO is 1/4 van AD, ende OH oock 1/4 (want AH is den helft van AD, ouermits FG ghetrocken is uyt de middelen van AB, AC) daerom doet NH 1/12 van AD, daer toe ghedaen HD 1/2, comt voor ND 7/12, daer af ghetrocken PD 2/3, rest voor PN 1/4: Maer NR is viervoudich tot RP, daerom RP doet 1/20, daer toe PD 1/3, doet voor RD 23/60, daerom RA de reste der lini, doet 37/60, Ghelijck dan 37 tot 23, also AR tot RD, ende met de selue reden is bethoont dat ar tot rd, oock is als 37 tot 23. Dese twee rechtsideghe formen dan ghelijckelick beschreuen in verscheyden brandtsneen, hebben het swaerheyts middelpunt in haer middellinien, also dat de deelen onder malcanderen euerednich sijn. Ende so wy inde brandtsnekens BI, IA, AK, KC, driehoucken beschreuen, soo ghedaen is inde brantsneen ABI, ACK, vindende daer naer t'swaerheyts middelpunt des heels binnescreuen rechtlinich plats, t'welck ick neem dat hier S soude wesen, ende daer s, wy souden inder seluer voughen als vooren bethoonen, dat ghelijck AS tot SR, also as tot sr. Maer wy connen duer sulck oneindelick inschriuen der rechtlinighe formen oneindelick naerderen nae E, ende e, ende ghelijcksideghe platten sullen altijt der middelliniens AD twee sticken euerednich ghedeelt hebben duer haer swaerheyts middelpunt, ende veruolghens de heele brantsneen ABC, abc, sullen die deelen euerednich hebben. Want laet (soot mueghelick waer) T t'swaerheyts middelpunt sijn des brantsnees ABC, ende e van abc, ende laet ons teeckenen t, dat ghelijck ET tot TS, alsoo et tot ts. Nu alsmen duer t'inschrijuen veelsidegher formen in abc, sal ghecommen sijn tot t, men sal met ghelijcke veelsideghe formen in ABC, ghecomen sijn tot T, daerom T sal t'swaerheyts middelpunt sijn der binneschreuen form, ende oock des heelen brantsneens ABC, t'welck ongheschickt is. T'BESLVYT. Aller brantsneens middellinien dan, worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick ghedeelt, t'welck wy bewysen moesten.
20. v. 1. B.
1
IIII. EYSCH. XII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een brantsne: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een brantsne sijn, diens middellini 109[Figure 109] AD. T'BEGHEERDE. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal de middellini AD, deelen in E, alsoo dat AE tot ED de reden hebbe van 3 tot 2: Ick seg dat E t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T'BEREYTSEL. Laet ghetrocken worden de rechte linien AB, ende AC, ende de selue ghedeelt in haer middelen, F, G, ende ghetrocken worden FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende laet ghestelt worden t'punt L in IF, inder voughen dat IL sy tot LF, als AE tot ED: Laet oock ghestelt worden t'punt M in KG, alsoo dat MG euen sy an LF, ende laet ghetrocken worden LM sniende AD in N, ende IK sniende AD in O, ende laet IF voortghetrocken worden tot Q, inden grondt BC, ende laet ghestelt worden t'punt P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende P sal swaerheyts middelpunt sijn des driehoucx ABC, ende want L, M, als swaerheyts middelpunten ghestelt sijn der brantsnekens ABI, ende ACK, soo sal N swaerheyts middelpunt sijn dier twee brandtsnekens, daerom ghedeelt den balck PN, also dat d'een erm sulcken reden hebbe tot d'ander, als den driehouck ABC tot die twee brantsnekens, wy sullen t'begheerde hebben; maar de heel brantsne heeft sulcken reden tot den driehouck ABC als 4 tot 3 (duer het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimed.) daerom den driehouck ABC heeft sulcken reden tot de twee brantsnekens, als 3 tot 1; Ghedeelt dan PN alsoo dat het opperste stick, drievoudich sy tot het onderste, wy sullen t'swaerheyts middelpunt des heels hebben. Ist dan dat wy bethoonen t'selue, te vallen in E (welcke E duer t'werck soo staet dat AE is tot ED inde reden van 3 tot 2) so is E het ware swaerheyts middelpunt.
T'BEWYS. AO ende OH soo wy verclaert hebben int 11. voorstel, sijn elck 1/4 van AD, Maer ghelijck 3 tot 2, alsoo AE tot ED, ende IL tot LF, ende ON tot NH, daerom ghedeelt OH 1/4, in sulcken reden
1als 3 tot 2, so sal t'stick NH doen 1/10 van AD, daer toeghedaen 1/2 voor HD, doet voor ND 3/5, daer af ghetrocken PD 1/3 rest voor NP 4/15, de selue is duer t'bereytsel ghedeelt in E, alsoo dat NE is tot EP, als 3 tot 1, daerom EP doet 1/15, daer toe ghedaen PD 1/3, comt voor ED 2/5 van AD: Maer wesende ED 2/5, so sal EA doen 3/5, daerom AE heeft sulcken reden tot ED, als 3 tot 2, ende veruolghens E is t'swaerheyts middelpunt des brantsnees ABC, t'welck wy bewysen moesten.
T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een brantsne: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
MERCKT.
HET schijnt dat Archimedes ter kennis deses voorstels ghecommen is, duer een deser twee manieren: D'eerste dat hy lichamelicke brantsneen makende, tot het formen siinder brandtspieghels, ofte om andersins hem daer in te oefnen, beuandt duer de daet, dit deel tot dat te wesen, als 3 tot 2, souckende daer naer de sekerheyt van dien in deser voughen: Anghesien BAI ende BAC beyde brandtsneen siin, soo worden haer middellinien IF ende AD eueredelick ghedeelt van haer swaerheyts middelpunten (soo int 11. voorstel bewesen is) daerom moet IL tot LF siin, als AE tot ED, maer ON is euen an IL, ende NH an LF, daerom moet ON sulcken reden hebben tot NH, als AE tot ED. Maer als N swaerheyts middelpunt waer der twee brantsnekens, ende P des driehoucx ABC, so moet (ouermits desen driehouck drievoudich is tot die twee brantsnekens) den erm NE drievoudich siin anden erm EP, waer uyt sulcken voorstel rijst: Te vinden twee punten als N, E, alsoo dat de lini ON sulcken reden hebbe tot NH, als AE tot ED. Stellende daer naer AE te doen 3/5 van AD, ende ED de 2/5 ende versouckende alsoo watter uyt volghen soude, heeft beuonden naer de maniere als bouen, sulcx waerachtelick te ouercommen mettet begheerde. Ofte soo hy dit aldus niet ghesocht en heeft al tastende, duer de voornoemde reden van 3 tot 2, maer duer lauter cracht der const, soo schijnet dat hy hem t'voornoemde in ghetalen voorghestelt heeft in deser voughen: Het sijn twee ghetalen OH 1/4 ende HP 1/6; deelt elck alsoo, dat het minste van OH, met het meeste van HP, drievoudich sy an t'minste van HP, ende dat t'meeste van OH sulcken reden hebbe tot sijn minste, als t'meeste van HP + 1/2 tot t'minste van HP + 1/3.
V. EYSCH. XIII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een ghecorte brantsne: Huer swaerheyts middelpunt te vinden
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een ghecorte brantsne sijn (welverstaende dat AB euewydighe sy met DC) wiens middellini EF.
T'BEGHEERDE. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden.
1
T'WERCK. Men sal de ghecorte brantsne volmaken, daer an stellende 110[Figure 110] t'ghebrekende ABG, daer naer salmen teekenen H, alsoo dat GH sy tot HE, als 3 tot 2: Insghelijcx I, alsoo dat GI sy tot IF, als 3 tot 2, daer naer K, alsoo dat IH sulcken reden hebbe tot IK, ghelijck de ghecorte brandtsne ABCD, tot de brantsne ABG; Ick seg dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt is. T'BEWYS. I is swaerheyts middelpunt des heels, ende H des deels, ende ghelijck t'ander deel tot dit, alsoo HI tot IK, daerom K, duer het 9. voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een ghecorte brantsne, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
NV VANDE VINDING DER
SWAERHEYTS MIDDELPVNTEN
VANDE LICHAMEN.
IX. VERTOOCH. XIIII. VOORSTEL.
YDER lichaems formens middelpunt, is oock sijn swaerheyts middelpunt.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een viergrondich 111[Figure 111] wesen, diens formens middelpunt E sy, ende den as van A duer E, tot in F, middelpunt des driehoucx BCD, sy AF. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat E oock is sijn swaerheyts middelpunt. T'BEWYS. Laet ons t'lichaem ophanghen byde lini AF, maer het viergrondich bestaet uyt vier euen ende ghelijcke naelden een selfder ghestalt, wiens ghemeene sop E, daerom AF is des lichaems swaerheyts middellini, ende om de selue reden sal de lini CE oock des swaerheyts middellini sijn: E dan is oock het swaerheyts
1middelpunt. Sghelijcx sal oock t'bewys sijn van allen lichamen hebbende middelpunten der form, soo wel vermeerde ende ghecorte gheschicte lichamen, als gheschicte, want soomense ophangt byde middellinien deur eenighen lichamelicken houck, ofte duer het middelpunt haerder gronden ende des formens middelpunt, soo hebben al de naelden (wiens ghemeene sop het formens middelpunt, ende gronden de platten des lichaems sijn) tot allen sijden ghelijcke ghestalt, daerom oock duer ghemeene wetenschap, ende duer de 1. begheerte des 1. boucx, alles hangt an die lini euewichtich, ende veruolghens de sne sulcker twee swaerheyts middellinien malcander sniende in des formens middelpunt, is ock het sawerheyts middelpunt. T'BESLVYT. Yder lichaems formens middelpunt dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt.
X. VERTOOCH. XV. VOORSTEL.
YDER pilaers swaerheyts middelpunt is int middel vanden as.
I. VOORBEELT.
T'GHEGHE. Laet AB een driehouckich pilaer sijn diens grondt 112[Figure 112] ACD. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. T'BEREYTSEL. Laet ons trecken van D tot E int middel van AC de lini DE: Daer naer FG ende HI euewydighe van AC, sniende DE inde punten K, L, daer naer de linien FM, HN, IO, GP, euewydighe met DE, daer naer van A tot Q int middel der sijde DC, de lini AQ: Laet sghelijcx oock beschreuen worden het decsel, ende laet ons den pilaer doorsnien met een plat RS euewidich met den grondt ADC, ende S sy int middel van CB.
T'BEWYS. T'plat ghetrocken duer DE, ende duer haer lijckstandighe int decksel, deelt den binneschreuen pilaer uyt die twee vierhouckighe pilaren vergaert, in twee euen ende ghelijcke deelen, ende van ghelijcke ghestalt; het doorsnijt dan dier binneschreuen pilaers swaerheydts middelpunt. Maer hoe datter sulcke vierhouckighe pilaren meer beschreuen sijn inde ghegheuen driehouckighen, hoe dat dese min verschilt van die; wy connen dan duer dat oneindelick
1naerderen sulck een form binnen de ghegheuen pilaer beschrijuen, dat haer verschil vande binnescreuen minder sal wesen dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy, waer uyt volght dat het staltwicht des deels DECB ouer d'een sijde des plats, min verschillen sal van t'staltwicht des deels ouer d'ander sijde des plats, dan eenich lichaem datmen soude connen gheuen hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strie:
A. Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Neuen dese staltswaerheden en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Dese staltswaerheden dan en verschillen niet.
Daerom t'plat duer DE ende haer lickstandighe int decksel, lijt duer t'swaerheyts middelpunt des ghegheuen pilaers, ofte het swaerheyts middelpunt is in dat plat. Ende om de selue reden ist oock int plat duer AQ, ende haer lijckstandighe int decksel. Maer deser twee platten ghemeene sne is de rechte lini tusschen de swaerheyts middelpunten des grondts ende decsels, welcke lini den as is des ghegheuen pilaers, tswaerheyts middelpunt dan is inden as, het is oock int plat duer RS, want t'selue deelt den pilaer in twee euen, ghelijcke, ende lijckstandighe deelen; Maer dat plat doorsnijt den as in sijn middel, het swaerheyts middelpunt dan is in des as middel.
II. VOORBEELT.
T'GHEGHEVEN. Laet AB een vierhouckich pilaer wesen, diens 113[Figure 113] grondt ACDE. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. T'BERYTSEL. Laet ons trecken een plat duer AD, ende haer lijckstandighe int decksel, deelende also den ghegheuen pilaer in twee driehouckighe pilaren, welcker yder het swaerheyts middelpunt int middel vanden as heeft duer het 1. voorbeelt, daerom ghetrocken den balck tusschen die twee punten, ende den seluen ghedeelt in sijn ermen, het onderscheydt der ermen sal het swaerheyts middelpunt sijn des ghegheuen pilaers, welck punt valt in t'swaerheyts middelpunt des plats euewydich vanden grondt den pilaer in twee euen stucken deelende, ende t'selue int middel der lini tusschen de swaerheyts middelpunten des gronts ende decksels, dat is int middel vanden as; T'selue salmen oock alsoo bethoonen in yder pilaer. T'BESLVYT. Yder pilaers swaerheyts middelpunt dan, is int middel vanden as, t'welck wy bewysen moesten.
1
XI. VERTOOCH. XVI. VOORSTEL.
YDER naeldens swaerheyts middelpunt is inden as.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een naelde sijn, diens grondt den 114[Figure 114] driehouck BCD, wiens swaerheyts middelpunt E, ende den as AE.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat des naeldens swaerheyts middelpunt inden as AE is. T'BEREYTSEL. Laet ons de naelde snien met een plat FGH euewydich met BCD, ende sniende den as AE in I: Laet oock ghetrocken worden FK, GL, HM, euewydich vanden as AE, alsoo dat de punten K, L, M, int plat sijn des driehoucks BCD, inder voughen dat FGHKLM een pilaer is, wiens grondt IKL euen ende ghelijck is an het decksel FGH, ende ghelijck anden grondt BCD; Daer naer ghelijck de naelde doorsneen was met FGH, laetse noch eenmal alsoo doorsneen sijn met het plat NOP, sniende den as in Q, ende daer uyt oock alsoo ghemaect den pilaer NOPRST, te weten NR, OS, PT, euewydich vanden as AE, ende de punten R, S, T, int plat FGH. T'BEWYS. Anghesien de driehoucken NOP, RST, FGH, KLM, alle ghelijck sijn anden driehouck BCD, ende dat haer punten Q, I, E, in haer sulcken stant hebben als E inden driehouck BCD, ende dat E des driehoucx BCD swaerheyts middelpunt is, soo sijn oock die Q, I, E, haer driehouckens swaerheyts middelpunten, waer duer IE as is des pilaers FGHKLM, in wiens middel huer swaerheyts middelpunt is duer het 14. voorstel. Sghelijcx is QI oock as des pilaers NOPRST, in wiens middel huer swaerheyts middelpunt is, ende vervolgens het swaerheyts middelpunt des lichaems uyt die twee pilaren vergaert is in QE, daerom oock in AE; Maer hoe datter inde naelde sulcke pilaren meer beschreuen worden, hoe dattet verschil der naelde ende der
1binneschreuen form van sulcke pilaren vergaert, minder is, blijuende nochtan het swaerheyts middelpunt der binneschreuen form altijt inden as AE; Wy connen dan duer dat oneindelick naerderen sulcken form binnen de naelde stellen, dattet verschil tusschen haer ende de naelde, minder sal wesen dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy, waer uyt volght dat stellende AE voor swaerheyts middellini, der naelde, soo sal het staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenighe swaerheyt diemen soude connen gheuen, waer uyt ick aldus strie:
A. Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Neuen dese staltswaerheden en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Dese staltswaerheden dan en verschillen niet.
Sghelijcx sal oock t'bewys sijn val naelden wiens gronden sijn Vierhoucken, Veelhoucken, Ronden &c. T'BESLVYT. Yder naeldens swaerheyts middelpunt dan is inden as.
VI. EYSCH. XVII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een naelde: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een naelde wesen, diens grondt sy 115[Figure 115] den driehouck BCD. T'BEGHEERDE. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal de swaerheyts middelpunten vinden van eenighe twee driehoucken, als E van BCD, ende F van ADC, treckende de linien AE, BF; welcker sne G, ick seg te wesen het begheerde swaerheyts middelpunt.
T'BEWYS. Des naldens ABCD swaerheyts middelpunt is in AE, ende oock in BF, duer het 16 voorstel, het is dan nootsaeclick G. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een naelde: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
XII. VERTOOCH. XVIII. VOORSTEL.
HET swaerheyts middelpunt van yder naelde deelt den as alsoo, dat het stick naer den houck drievoudich is an t'ander.
1
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een driehouckighe naelde wesen, 116[Figure 116] diens sop A, ende grondt BCD, ende den as van B tot int swaerheyts middelpunt E des driehoucx ADC, sy BE, ende van A tot int swaerheyts middelpunt F des driehoucx BCD sy AF, sniende BE in G, voor t'swaerheyts middelpunt der ghegheuen naelde. T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dat BG drievoudich is an GE. T'BEREYTSEL. Laet ons trecken van H middel van CD, de linien HA, HB.
T'BEWYS. Ouermits HA ghetrocken is uyt het middel van DC tot inden houck A, ende dat E t'swaerheyts middelpunt is des driehoucx ACD, soo sal AE dobbel sijn an EH duer het 4. voorstel, ende om de selue reden sal BF dobbel wesen an FH. Dit soo sijnde, ghetrocken de reden EA 2, tot AH 3, vande reden BF 2, tot FH 1 (dat is Reden 3/2 van Reden 2/1) daer rest de reden van BG tot GE: Maer treckende Reden 2/3 van Reden 2/1 daer blijft Reden 3/1. BG dan is tot GE, als 3 tot 1.
Door t'verkeerde des 12 cap. 1. lib. Almag.
MAER soo des ghegheuen naeldens grondt een vierhouck waer, 117[Figure 117] t'voorstel sal in die oock also bewesen worden: Laet by voorbeelt ABCDE een naelde wesen, wiens grondt een vierhouck BCDE, ende de as AF sy. Nu dese vierhouckighe naelde ghedeelt in twee driehoekighe, wiens gronden ECB, ende ECD, diens assen AG, ende AH, wiens swaerheyts middelpunten I, K, des heelen naeldens swaerheyts middelpunt sal inde lini IK wesen, tis oock in AF duer het 16. voorstel, tis dan L: Maer want AGH een driehouck is, ende IK euewydich van GH (want IG is t'vierendeel van GA, ende HK t'vierendeel van HA daerom &c.) soo sal AL sulcken reden hebben tot LF , als AI, tot IG, dat is drieuoudich. Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in alle naelde met veelsidighen grondt.
2. v. 6. B.
MAER de naelde een keghel sijnde, te weten dat den grondt waer een rondt ofte lanckrondt, t'selfde sal daerin oock alsoo bewesen
1worden, want het is duer t'voorgaende kennelick, dat alle veelhouckighe naelde in haer beschreuen, t'swaerheyts middelpunt alsoo sal hebben, dattet opperste deel drievoudich is teghen het onderste. Maer hoe de naelde daer in beschreuen van meer houcken is, hoe die binneschreuen naeldens grootheyt vande ronde naelde min verschilt, daerom oock connen wy om het oneindelick naerderen, een binneschreuen setten, min verschillende vande veruatende, dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy; Daerom oock de langde der plaets van diens swaerheyts middelpunt tot deses, corter soude moeten wesen dan eenighe langde die mueghelick is ghegheuen te worden, waer uyt ick aldus strie:
A. Neuen alle twee punten in verscheyden plaetsen staende, connen twee punten ghestelt worden die malcander naerder siin;
O. Neuen dese twee punten en connen gheen twee punten ghestelt worden die malcander naerder siin;
O. Dese twee punten dan en staen in gheen verscheyden plaetsen.
T'BESLVYTHet swaerheyts middelpunt dan van yder naelde, deelt den as alsoo, dat het stuck naer den houck drieuoudich is an t'ander.
VII EYSCH. XIX VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen t'swaerheyts middelpunt eens lichaems ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: Het swaerheyts middelpunt des ander deels te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een lichaem sijn, diens swaerheyts 118[Figure 118] middelpunt E, ende BDA deel des lichaems, wiens swaerheyts middelpunt F. T'BEGHEERDE. Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels BCD. T'WERCK. Men sal trecken FE tot in G, alsoo dat FE sulcken reden hebbe tot EG, als tstick BDC tottet stick BDA: Ick seg dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is, des ander sticx BDC; waer af t'bewys ghelijck sal sijn an t'bewys des 9. voorstels. Wy souden oock moghen voorbeelt setten van een heele cloot, wiens ander deel oock een cloot sy, maer sulcx is openbaer ghenouch duer het tweede voorbeelt des boueschreuen 9. voorstels in ronden. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen t'swaerheydts middelpunt eens lichaems ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel
1kennelick is, wy hebben t'swaerheyts middelpunt des ander deels gheuonden, naer den eysch.
VIII EYSCH. XX VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een ghecorte naelde: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.
Pyramis
T'GHEGHEVEN. Laet ABCDEF een ghecorte naelde sijn, diens 119[Figure 119] decksel ABC, ende grondt DEF. T'BEGHEERDE. Wy moeten huer swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal de ghecorte naelde volmaken, daer an stellende het ghebrekende ABCG, vindende H swaerheyts middelpunt des driehoucx DEF, treckende den as GH, wiens punt inden driehouck ABC, sy I, daernaer salmen teeckenen K, alsoo dat GK drievoudich sy an KI: Insghelijcx L, also dat GL drievoudich sy an LH, teeckenende M, alsoo dat KL sulcken reden hebbe tot LM, ghelijck de ghecorte naelde ABCDEF, tot de naelde ABCG, Ick seg dat M t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
T'BEWYS. L is swaerheyts middelpunt des heels, ende K des deels, ende ghelijck t'onderste deel tottet bouenste, also KL tot LM, Daerom M, door het 1. voorstel des 1. boucx is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. Sghelijcx sal oock den voortganck sijn in allen anderen ghecorte naelden. T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een ghecorte naelde: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den eysch.
IX. EYSCH. XXI. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een platgrondich lichaem soodanigher form alst valt: Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet A een ongheschickt platgrondich lichaem sijn, dat is omvanghen in platten so veel alst sy. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal
1t'lichaem deelen inde nalden dieder ten weynichsten ende bequamelicxt 120[Figure 120] uyt vallen willen. Ten quaetsten commende men can als duer ghemeene reghel, alle platgrondich lichaem in soo veel naelden deelen alst platten heeft, stellende eenich punt int lichaem voor haer ghemeene sop. Dit soo sijnde, men sal yder naeldens swaerheyts middelpunt vinden duer het 17. voorstel. Daer naer om te vinden t'ghemeene swaerheydts middelpunt van twee naelden, men sal tusschen haer swaerheyts middelpunten een balck trecken, die deelende in sulcken reden als haer twee naelden tot malcanderen sijn, weluerstaende t'cortste deel naer de swaerste naelde. Ende inder selue voughen salmen daertoe vergaderen de derde naelde, ende alle d'ander, ende t'punt den balck alsoo ten laetsten deelende, sal t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn, waer af t'bewys openbaer is.
T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een platgrondich lichaem soodanigher form alst valt, Wy hebben sijn swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den heysch.
XIII. VERTOOCH. XXII. VOORSTEL.
YDER branders swaerheyts middelpunt is inden as.
Conoidale
Het swaerheyts middelpunt des rechten branders inden as te wesen is duer ghemeene wetenschap openbaer, wy sullen dan alleenelick t'voorbeelt stellen des gheens diens as opden grondt cromhouckich is.
T'GHEGHEVEN. Laet 121[Figure 121] ABC een brander wesen diens grondt BC sy, ende den as AD daerop cromhouckich.
T'BEGHEERDE. Wy moeten bewysen dattet swaerheyts middelpunt in AD is.
T'BEREYTSEL. Laet ons den brander snien met twee platten EF, GH euewydich vanden grondt BC, welcker ghemeene sneen met den as AD, sijn I, K; Ende laet ons trecken de linien EL, FM, GN, HO:
1ende LM, NO, GH, sullen lancronden wesen ghelijck an t'lanckront BC; ende laet EM met GO pilaren sijn uyt de selue beschreuen.
T'BEWYS. Want LD halfmiddellini des lancrondts LM euen is an DM, oock an NI, ende IO, soo sal ID as sijn des pilaers EM, inde welcke diens pilaers swaerheyts middelpunt is: ende om de selue reden sal t'swaerheyts middelpunt des pilaers GO oock wesen in KI, ende veruolghens t'swaerheyts middelpunt des lichaems uyt die twee pilaren vergaert is in KD, daerom oock in AD. Maer hoe datter sulcke pilaren inden brander meer beschreuen worden, hoe dattet verschil des branders ende der binneschreuen form van sulcke pilaren vergaert, minder is. Wy connen dan duer dat oneindelick naerderen sulcken form binnen den brander stellen, dat huer verschil minder sal wesen, dan eenich ghegheuen lichaem hoe cleen het sy; Waer uyt volght dat stellende AD voor swaerheyts middellini des branders, soo sal t'staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenighe swaerheyt diemen soude connen gheuen, waer uyt ick aldus strie:
A. Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Neuen dese staltswaerheden van d'eene en dander siide des branders, en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil;
O. Dese staltswaerheden dan van d'eene ende dander siide des branders en verschillen niet.
Daerom AD is haer swaerheyts middellini. T'BESLVYT. Yders branders swaerheyts middelpunt dan, is inden as; t'welck wy bewysen moesten.
X. EYSCH. XXIII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een brander: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABC een brander wesen diens sop A, ende as AD sy. T'BEGHEERDE. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. T'WERCK. Men sal den as AD in E deelen, alsoo dat AE dobbel sy an ED, ende E sal t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn; T'welck bewesen is duer Frederick Commandin int 29 voorstel, waer af den sin verclaert naer onse manier soodanich is. T'BEWYS. Laet den brander doorsneen worden met een plat FG, euewydich vanden grondt BC, ende duer t'middel des as H, ende sniende de uytersten des branders in I, K, ende laet BCGF ende IKLM twee pilaren sijn, beschreuen omme den brander, wiens middelpunten N, O, ende IKPQ een pilaer binnen den brander, wiens swaerheyts middelpunt oock O sijn sal. Nu want ghelijck AD tot AH, t'welck is als 2 tot 1, alsoo
1t'rondt BC tottet rondt IK 122[Figure 122] , soo sal den pilaer BG sulcken reden hebben tot den pilaer IL 123[Figure 123] , als 2 tot 1, daerom laet BG weghen 2 lb, ende IL 1 lb: Maer huer swaerheyts middelpunten sijn N, O, de lini dan NO sal balck sijn de selue ghedeelt in huer ermen, dat is in R, alsoo dat NR dobbel sy an RO, soo sal R swaerheyts middelpunt sijn der twee ommeschreuen pilaren, ende O ist vande binneschreuen, ende R sal soo verre van E vallen, als O van E, te weten elck 1/12 van AD: Ende sulcx sal in alle anderen der ghelijcke voorbeelden oock alsoo gheschien. Maer op dattet claerder sy, Wy sullender noch een besonder voorbeelt af beschrijuen aldus:
20. v. 1. B. van 13. v. 12. B.
Laet ons den brander ABC noch eenmael snien duer de middelen 124[Figure 124] van AH, ende HD, daer uyt teeckenende vier omschreuen, ende drie binneschreuen pilaren, als hier onder, alwaer AD des branders as is, ende der pilaren middelpunten sijn I, K, L, M, ende AE sy noch dobbel an ED als vooren. Nu want ghelijck AD tot AN (t'welck is als 4 tot 3 ) alsoo het rondt BC tottet rondt OP, soo sal den pilaer BF sulcken reden hebben tot den pilaer OQ, als 4 tot 3, ende om de selue oirsaeck sal BF sulcken reden hebben tot de derde diens middelpunt K, als 4 tot 2, ende tot den omschreuen pilaer wiens middelpunt I, als 4 tot 1: Daerom laet d'onderste der omschreuen pilaren weghen 4 lb, d'ander 3 lb, de volghende 2 lb, de hoochste 1 lb: Laet oock om de selue reden de leegste der binneschreuen pilaren weghen 3 lb, d'ander 2 lb, de laetste 1 lb. T'welck soo sijnde, ende anghesien alle de swaerheyts middelpunten ende der pilaren swaerheden bekent sijn, soo ist openbaer duer het 2. voorstel des 1. boucx, dattet swaerheyts middelpunt der vier omschreuen pilaren sal vallen in L, also dat LE sal doen 1/24 van AD, ende der drie binneschreuen pilaren sal vallen in S, alsoo
1dat SE oock sal doen 1/24 van AD. Dees twee punten dan L ende S vallen wederom euen verre van E.
20. v. 1. B. van
Maer soomen om den brander schreue sulcke acht pilaren, ende seuen daer binnen, men sal sulcke punten noch euewydich vinden van E; te weten elck 1/48 van AD.
Maer soomen om den brander schreue soodanighe sesthien pilaren, ende vijfthien daer binnen, men sal sulcke punten noch euewydich vinden van E, te weten elck 1/96 van AD: Inder voughen dat het verschil der volghende inschrijuing, altijt den helft is der voorgaende, daer af wy naer t'nootsaecklick veruolg in allen souden trachten, ten waer wy dat lieten om de cortheyt.
Dit soo sijnde E is t'swaerheyts middelpunt des ghegheuen branders: want latet (soot mueghelick waer) daer buyten sijn tusschen EL ofte ES, men sal dan duer de oneindelicke omschrijuing ende binneschrijuing veler pilaren, daer toe commen, dattet swaerheyts middelpunt des omschreuen forms, leegher sal commen dan des branders: ofte der binneschreuen form, hoogher dan des branders, t'welck ommueghelick is. Ten is dan gheen ander punt dan E, t'welck wy bewysen moesten.
T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een brander, wy hebben sijn swaerheyts middelpunt gheuonden, naer den eysch.
MERCKT.
ANGHESIEN des driehoucx lini vanden houck tot int middel der sijde, van t'swaerheyts middelpunt in sulcken reden ghedeelt wordt, als desen as des branders duer het 4. voorstel, soo volgt dat inden driehouck der ghelijcke ghedaenten sullen beuonden worden duer omschreuen ende binneschreuen vierhoucken, ghelijck hier vooren gheschiet is met omschreuen ende binneschreuen pilaren.
XI. EYSCH. XXIIII. VOORSTEL.
WESENDE ghegheuen een ghecorten brander: Huer swaerheyts middelpunt te vinden.
T'GHEGHEVEN. Laet ABCD een ghecorten brander sijn, diens decsel AB, ende grondt DC, ende as EF.
T'BEGHEERDE. Wy moeten huer swaerheyts middelpunt vinden.
T'WERCK. Men sal den ghecorten brander volmaken, daer an stellende t'ghebrekende ABG, Daernaer salmen teeckenen H, alsoo dat GH dobble sy an HE, sghelijcx, I also dat GI dobbel sy an IF, daernaer K, alsoo dat IH sulcken reden hebbe tot IK, als den ghecorten brander ABCD, tottet branderken ABG: Ick seg dat K t'be­
1gheerde swaerheyts middelpunt 125[Figure 125] is.
T'BEWYS. I is swaerheyts middelpunt des heels DCG, ende H des deels ABG, ende ghelijck t'ander deel ABCD, tot dit deel ABG, alsoo HI tot IK duer t'werck, daerom K, duer het 19. voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
T'BESLVYT. Wesende dan ghegheuen een ghecorten brander, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.
EINDE DES TWEEDEN BOVCK.