Marci of Kronland, Johannes Marcus, De proportione motus, seu regula sphygmica ad celeritatem et tarditatem pulsuum, 1639

Bibliographic information

Author: Marci of Kronland, Johannes Marcus
Title: De proportione motus, seu regula sphygmica ad celeritatem et tarditatem pulsuum
Date: 1639

Permanent URL

Document ID: MPIWG:WZEFEN2S
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:WZEFEN2S

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
DE PROPORTIONE MOTUS
seu
Regula ſphyigmica
AD celeritatem et tarditatem pulſuum ex illius motu
ponderibus geometricis librato abſque errore metiendam.
Authore
Ionanne Marco Marci Phil:ae er Medic:ae Doctore et ordi
 nario Profeſſore eiuſdem Medic: facultatis in Vni
 uerſitate Pragenſi Phyſico Reg: Boh.
1
IOANNES MARCVS MARCI PHIL: & MEDIC: DOCTOR
et Profeſſor natus Landscronæ Hermundurarum in Boëmia
anno 1595, 13 Iunij.
1[Figure 1]
1
DIVO
FERDINANDO
TERTIO
AUGUSTISSIMO ROMANORUM
IMPERATORI
Hungariæ & Bohemiæ Regi &c.
Domino meo Clementiſſimo.
Auguſtiſsime Cæſar
DVm ut annus hic nouus TUÆ Maje­
ſtati auſpicatus ordiatur, vota conci­
pio, & à tenuitate meà munuſculum
TUÆ Maie: gratum e flagito: ecce ti­
bi hunc ipſum, qui annum auſpicatur, atque ſua in ve
ſtigia reuoluit, motum mihi ultrò, ut Mercurius ſit
& munus, ſe offerentem: quid enim inquit extra
me quæris? in me ſunt omnia. Abſit, in quam ego,
ut ad Cæſarem eas, qui tam inſtabilis es & infidus,
1atque eadem, quæ dare videbaris, rurſum aufers. Nul
lum, inquit ille periculum ab inſtabilitate: hic enim
Senex, ut vides, me quadratum fecit: quòd ſi tibi ita
videtur, me vel cubum facias. Benè inquam res ha­
bet, ad Cæſaremibis: verùm his ego te priùs circu­
lis illigabo, atque; his lineis ceu virgulis ſub leges Geo­
metriæ cogam, ut non niſi ad nutum Cæſaris mo­
uearis: ſis autem menſura & ſimul cuſtos illius mo
tus, à quo Regalis vita pendet. Hunc ergo motum
Auguſtiſsime Cæſar modulis geometricis adſtri­
ctum, & nunc Medicinæ famulantem ad TUAM
Maieſtatem tanquam Primum Motorem remitto,
qui & cores & Sol Imperij & Regnorum, Tuæque
benignitatis motu hunc in me motum commoui­
ſti. Motum quidem hunc TUÆ Maieſtati vt Soli
& Motori, at verò eidem Soli vt illuminatori Iri­
dem votiuam, gratitudinis & debitæ obſervantiæ
ergo à TUÆ Maieſtatis radijs conceptam hic idem
annus in proximo dabit: quam huc uſque; quantum­
uis conſpici volentem, & ſuà pulchritudine ambi­
tioſam eadem fata, quæ pacem morantur, detinue­
re: ut nimirum hoc demum anno pace é victorijs
1TUÆ Maieſtatis naſcente & pluuiá ſanguinis ejuſ­
dem radijs ſiccatá, Iris conſpicua veluti arcus trium
phalis TUÆ Maieſtatis ſequatur pompam trium­
phalem.
Auguſtiſsimæ Maieſtatis Tuæ
humillimus Servus & Cliens
Joannes Marcus Marci.
1
Definitiones.
1.
Contraria dicuntur quæ tollunt, uel impediunt ſu­
um contrarium.
NAm contrariorum eſt natura, ut ſimul eſſe
non poſsint in uno ſubjecto: necesse ergo unum
ab altero tolli, aut quò minùs recipiatur in illo
ſubiecto impediri. Itaque; calori frigus contrarium di­
cunt non totà ſuà latitudine, ſed ſecundùm illos gra­
dus, qui ſimul eſſe non poſſunt in codem ſubjecto,
quatuor autem gradus caloris cum totidem gradibus
frigoris non eſſe contrarios, verúm inter ſe miſceri, atque;
ex illis ita permixtis temperiem naſci. Simili modo
motus motui dicet ut contrarius, qui à termino illius
idem mobile abducit, nullamque; partem viæ ſeu acceſ­
ſus ad illum terminum habet communem. Vt ſi in
fig: 1 ex a in b moveatur, erit motus contrarius, qui ex
eodem a idem mobilè in e ab ducit. Motus verò ex a in
d non erit contrarius abſolutè, propterea quòd hic mo­
tus non abducit à termino motus b, verùm ad hunc in
omni puncto propiùs accedit: quód ſi enim ex b ducan
tur lineæ be. bf. bg, erit linea bf minor quam be, & bg mi
nor quam bf. Hujuſmodi ergo motus dum inter ſe
1miſcentur, non ſe mutuó tollunt abſolutè, verúm in
eo in quo ſunt ſimiles, in motum medium coaleſcentes
vià mediá vtrique; termino propinquant: in quantum
verò contrarij, illam rectitudinem viæ tollunt. Con­
traria ergo dicuntur quæ tollunt, vel impediunt ſuum
contrarium.
2.
Similia verò qua augent vel perficiunt ſuum ſimile.
VT ſi ad motum ac alius ac cedat impulſus, qui per
eandem lineam ac moveat idem mobile, erit hic
motus illi ſimilis, ac proinde eundem dicetur augere,
quemadmodum calor alium calorem ſibi ſimilem: ca­
lor autem à luce, aut è contra, quia diſsimiles, non di­
centur augeri.
3.
Et mixta à quibus actiones procedunt mixtœ.
ILlarum nimirum qualitatum, quæ vim habent a­
gendi, latiùs ſumpto nomine actionis, pro qualibet
actione etiam perfectiuà: itaque; illa quoque; mutatio,
quam dulcoacidum inducit, actio dicetur mixta:
quem admodum frigus calore temperatum actionem
efficere èx utroque; mixtam. Sic ergo motus dicetur
1mixtus, dum inpulſus neque; in totum ſimilis, neque; in to­
tum eſt contrarius alteri impulſui.
4.
Motus abſoluté contrarij, qui idem mòbile ducunt
ex eodem puncto ad partes oppoſitas ejusdem lineæ rectæ.
5.
Motus ſecundum quid contrarij, qui ex illo puncto,
ſeù principio motus angulum ducunt majorem a ut minorem recto
minorem verò duobus rectis.
6.
Motus qui ex eodem puncto tendunt ad eaſdem
partes lineæ rectæ inter ſe ſunt ſimiles.
7.
Motus qui minori angulo abſiſtunt magis ſunt
ſimiles
8.
Motus perfectè mixti quorum principium eſt an­
gulus rectus.
VT ſi in fig: 2. ex eodem puncto a moueatur idem
mobile ſimul in b & e, dicetur hic motus abſolutè
contrarius. Motus verò ex eodem puncto a in b & d,
aut in b & f, quorum hic major, ille minor ſit angulo
1cto, erunt motus ſecundùm quid contrarij: propterea
quòd non ex toto ſe impediunt aut tollunt: contrarie­
tas enim motus ex acceſſu & receſſu ad eundem termi­
num prouenit: motus autem ſecundùm quid contrari;
dum inter ſe miſcentur, licet ſuos terminos non aſ­
ſequantur, ijſdem tamen continuò fiunt propiores.
Quia verò lineæ motus quò minori angulo abſiſtunt,
eò propiùs accedunt ad terminum, erunt hi motus ma
gis ſimiles: perfecta autem ſimilitudo in eadem lineà
rectà, quæ ad eundem terminum perducit. Motus de­
mum, quorum principium eſt angulus rectus, quia ex
illà mixtione propiores quidem fiunt termino motus,
intervallum autem in fine motus ſpatio inter principi­
um & terminum motus eſt æquale, nimirum in fig: 7.
dicentur motus perfectè mixti: tantùm enim con
trarij, quantùm ſimilitudinis ineſt;
Poſitiones:
I.
Simile & æquale auget ſuum ſimile in eadem rati­
one, totum quidem totum, pars verò partem ſibi æqualem.
SIt linea ad æqualis lineæ ef, & diuidatur bifariam in
b: quód ſi ergo tota linea ad addatur toti e f, ſicuti tota
2[Figure 2]
1toti, & ſemiſsis ſemiſsi, & triens trienti eſt æqualis, ita to­
ta totam, & ſemiſsis ſemiſſem, & triens trientem auge­
bit in eadem ratione, in quà tota totam. Si ergo ſemiſ­
ſis ab addatur toti ef, quia ut ad ad ab, ita ef æqualis ad
ad eandem ab, erit augmentum æquale ejuſdem ſemiſ­
ſi: ſola ergo ſemiſsis lineæ ef augetur à ſemiſſe lineæ ad
in eà ratione, in quà tota auget totam. Et quia linea
ad ad ſemiſſem ab rationem habet duplam, habebit
quoque, ef ad illam ſemiſſem, hoc eſt ad ſuum augmen­
tum rationem duplam. Simili modo ſi augmentum cd
ſit triens lineæ ad, erit linea ef ad illud augmentum in
ratione triplá. Simile ergo & æquale auget ſuum ſi­
mile in eadem ratione &c.
II.
Contrarium æquale tollit vel impedit ſuum contra­
rium in eadem ratione, totum quidem totum, pars verò partem
ſibi æqualem 3[Figure 3]
Sit ab ipſi df contrarium & æquale, & diuidantur bi­
fariam in c & e: quia ergo ab totum eſt æquale ipſi
df toti, erit quoque ſemiſsis ef æqualis ſemiſsi cb: tollit
autem ab totum df, tollet ergo & eb totum ef: quod
idem de reliquis partibus, quacunque ratione diuidan­
tur, oſtendemus. Dices calorem & frigus eſſe contra
ria, neque; tamen à calore totum frigus, neque; à frigore
1tum calorem tolli & expelli, verùm tantum illorum
exceſſus: partes verò mutilatas inter ſe miſceri, & ami­
cabili ſocietate in eodem ſubjecto coniungj orùm
ſi in gradibus remiſsis deeſt illa proprietas contrari­
orum, neque; ſanè contrarietas inerit. Quidquid tamen
ſit de illis qualitatibus, de quibus alio loco diſſeren­
dum, conſtat ex illà, quæ in motu eſt contrarietate, ſi
æqualis ſit, nullum ſe qui motum: ſi major, hujus ex­
ceſſui eſſe æqualem. Conſtituatur enim in bilance ab
c pondus a 8. lib. quod vectem deprimet impulſu 8, li­
4[Figure 4]

 brali, atque; hujus impulſus non niſi ab æquali totidem li­
brarum ponderis b impulſu inhibetur. Quòd ſi pon­
dus in e lib. 5. eundem vectem ſurſum trahat, erit im­
pulſus in a lib. 3. pondus ergo ſeu impulſus in e contra­
rius impulſui in a tollit partem ex a ſibi æqualem. Si­
mili modo ſi duo globi æquali niſu, & in eadem lineá
motus centri ſibi occurrentes collidantur, nullus ab
1lo contactu erit mótus: major verò impulſus minorem
reflectet, tantò verò minori velocitate mouebitur à
contactu, quantò major eſt reſiſtentia minoris: quia
nimirum impulſus minor à majori tollit partem ſibi
æqualem, ſimul verò occumbit erit ergò exceſſus ma­
joris principium motus à contactu: & cùm ſit agens
neceſſarium, motum producit ſibi a qualem. Dices in­
terdum fieri ut duo globi ſibi occurrentes uterque; reſili­
at: quod non niſi ab æquali impulſu eſſe poteſt; propte
rea quód motus eſt æqualis exceſſui majoris. Reſpondeo
ſi motus, quo centrum utriuſque; globi mouetur, ſit in ea­
dem lineà rectà, ab æquali impulſu nunquam reſilire:
ſi autem motus centri unius ſit extra lineam motus al­
terius, quia lateraliter fit contactus, hujuſmodi quidem
motum poſſe reſilire: verùm non abſoluté, ſed tantùm
ſecundùm quid eſſe contrarium. Vt in figurà ſubjectà
ſi centrum a ex h, & centrum b ex l moueantur in ea­
dem lineà rectà h fl: ſit autem impulſus ex a æqualis im
pulſui ex b, àcontactu in f nullus erit motus: propterea
quód impulſus æquales æqualiter reluctantur, ſeque; im­
pediunt à motu. Quód ſi verò centrum grauitatis a
ex c in a, & centrum grauitatis b ex d in b moueatur; quia
lineæ motus ac.db non coincidunt eidem lineæ rectæ,
dico hujuſmodi motum non abſoluté, ſed ſecundùm
quid eſſe contrarium. Ducantur enim ex puncto
1tactus f lineæ fg. fe motui centri parallelæ, lineæ nimi­
rum hypomochlij, extra quas cadunt centra a & b: quia
ergo plaga non niſi per centrum fit grauitatis, erunt li
neæ fab. fbb lineæ motus à percuſsione: ſunt autem li
neæ ai.bk lineæ motus centri extra hypomochlium:
5[Figure 5]
quia ergo lineæ motus ab. ai, & bl.bk angulos ducunt
iah.lbk minores duobus rectis, erunt per defini: 5 motus
ſecundùm quid contrarij, ac proinde inter ſemiſcentur
per prop: 31. Verùm de motu reflexo accuratiùs dice­
mus à prop: 36. uſque; ad 40.
III.
Mixtarum virium mixtæ ſunt actiones in ea­
dem ratione, in quà miſcentur miſcibilia.
CVm enim mixtum ſit ſua miſcibilia inter ſe unita, &
neceſſariò agat, actionemque; producat ſibi æqua­
lem aget ſecundùm ſe totum, ac proinde ſecundúm il­
las partes, quæ in illo toto miſcentur: actio ergo mixta
1quia toti æqualis, habet partes virtuales illis partibus, à
quibus producitur æquales.
IV.
Virtus agendi & actio inter ſe ſunt æquales, eſtque
idem modus incrementi.
VIrtutem enim agendi magnam aut paruam dici­
mus, quæ multùm aut parum poteſt agere: itaque;
hujus molem ex actionum mole æſtimamus; actionem
verò ab effectu noſcimus: dupla ergo virtus, quæ actio­
nem dupló, & tripla quæ triplò majorem, aut magis
perfectam producit. Et quia virtus naturalis non li­
berè ſed ex neceſsitate agit, actionemque; producit ſibi
æqualem, erit idem modus incrementi utriuſque;.
Lemma,
Si punctum æqualiter moueatur inplano motu ſi­
mul recto & laterali in eadem proportione utriusque interualli,
deſcribet illo motu triangulum.
MOueatur in fig: 3. punctum a ex a in f per lineam re
ctam af æqualiter in longum & latum, ita nimi­
rum ut in quolibet puncto longitudo excurſus lateralis
ſit æqualis longitudini motus recti inter idem punctum
1& principium motus, ideſt ab ipſi bg, & ac ipſi cb, & ad
ipſi di, & ac ipſi ek, & af ipſi fl ſit æqualis, dico puncta
aghikl cadere in latus al trianguli alf. Quòd ſi enim
punctum i, u:g: dicatur non in latus al, ſed extra illud ca­
6[Figure 6]
dere in r, ducatur linea ar, eritque; angulus rad major
angulo iad. quia ergo latus dr lateri da eſt æquale, & an
gulus adr rectus, erunt anguli dar. dra inter ſe æqua­
les, ac proinde ſemiſſes anguli recti. Similiter quia
latus fl eſt æquale lateri fa, & angulus afl re­
ctus, erunt anguli fal. fla inter ſe æquales; igitur & an­
gulus laf angulo rad erit æqualis pars toti, quod eſt ab­
ſurdum: non ergo punctum i extra latus al cadit. Simi­
li modo oſtendemus non cadere intra illud latus: ca­
det ergò neceſſarió in ipſum latus. Si ergo punctum
æqualiter moueatur in plano motu ſimul recto & late­
rali in eadem proportione &c.
1
V.
Perfectio intenſiua augetur eo modo, quo triangu­
lum ſibi ſimile manens.
QVia perfectio intenſiua non abſque; motu fit, ac pro­
inde in aliquo tempore: ſupponatur illud tempus,
quo calor verbi gratia perficitur in quo cunque; gradu, eſ­
ſe æquale lineæ af: & diuidatur æqualiter in minuta ab.
bc. cd. de. ef: quia ergo in ſingulis minutis majora fiunt
hujus perfectionis in crementa, ſi in primo minuto ab
perfectio intenſiua ſit æqualis bg, erit in minuto ſecun­
do bc major quam bg, & in tertiò minuto cd major
quam ch: dico hujuſmodi incrementa eſſe ſimilia inter
ſe, ac proinde eo modo augeri, quo triangulum ſibi ſi­
mile manens. Quia enim hæc perfectio continuò au­
getur, & veluti lateſcit ex illo puncto quietis; natura
autem uniformiter agit, ſibique; ſemper eſt ſimilis, erunt
quoque; ſimilia incrementa: Sicuti ergo perfectionem
ſummam in tempore af æqualem lineæ fl, ita in hujus
temporis ſemiſſe: perfectionis ſemiſſem producet: igi­
tur ut tempus af ad perfectionem fl, ita tempus ac ad
perfectionem ek hoc eſt ut latus af trianguli afl ad la­
tus fl, ita latus ae trianguli aek ad latus ek; ac proinde
ſimilia erunt triangula afl. aek. perfectio ergo intenſi­
ua augetur eo modo, quo triangulum ſibi ſimile manens.
1
VI.
Impulſus grauitatis ducetur ſecundum rationem diſtantiæ,
quam habet centrum grauitatis ab hypomochlio.
HVjus poſitionis veritatem probat Archimedes in
libro de æquiponderantibus: & nos in libro de
Arcu cæleſti ejus rationem à priori dare enitemur; quæ
non niſi ex naturà impulſus priùs explicatà reddi po­
teſt, hujus ergo demonſtrationem ſupponentes eà ve­
luti jam demonſtratì in poſterum utemur.
Propoſitio I.
Impulſus eſt virtus ſeu qualitas, loco motiua, quæ
non niſi in tempore, & per ſpatium mouet finitum.
IMpulſus dicitur ab impellendo: impellitur autem
mobile, dum loco ſuo expulſum in alium transfer­
tur, aut ſimpliciter; aut ſecundúm quid, ſeu per com­
mutationem, dum loco totius immoto partium loca
permutantur: quod duobus modis fieri poteſt, incho­
atiuè, & perfectè. Inchoatiuè dico, quæ ſecundùm nul­
lam partem ſenſibilem, ſed per atomos in ſenſiles vibra
tione quadam mouentur; cujuſmodi ſunt corpora ſo­
nora, quæ dum ſonant, motu quodam tremulo
1tant: & quæcunque; corpora minorem habent impul­
ſum, quam ut loco moueantur: ut cùm tellus, aut ſa­
xum malleo percuſſum tremit quidem ex illo impulſu,
ſecundùm nullam verò partem ſenſibilem loco moue­
tur. Quód ſi neque; ſonum edant corpora, neque; tremu­
lâ vibratione motum teſtentur, non videntur recipere
impulſum: ut ſi granum milij terræ incidat: minorem
enim habet proportionem hic impulſus, quam ut ali­
quam partem loco moueat, aut ab alijs auellat. Tre­
mor autem a percuſsione videtur non abſque; diſtractio­
ne fieri atomorum: dum minor eſt impulſus, quam ut to­
tum moueat: major verò quam ilia vis partium unit­
iua, quà inter ſe continuantur. Illa ergo corpora, quæ
uniones habent ſolubiles abſque; reunione, fragilia ſunt:
cujuſmodi vitrum, lapides, gemmæ; quæ iteratis per­
cuſsionibus, ob plures uniones ſolutas, demum fran­
guntur, & diſsiliunt: metalla verò tametſi tremunt ſo­
nantque; à percuſsione, ob atomos tamen reunibiles non
niſi cùm impetus longiùs abduxit, franguntur. Sic a­
qua in calice vitreo ſubſultat, & veluti æſtu agitur ad
motum digiti per margines circumacti: motu verò ac
celerato extra calicem ſalit, ſuáque aſpergine etiam lon­
giùs adſtantes attingit. Itaque; hic impulſus â principio
quidem non niſi ſecundùm quid, & inchoatiuè, ſolum
tremorem inducendo: inde commutatione partium,
1quá in gyrum aguntur, perfectà: demum motu ſimpli­
citer mouent. Vt igitur impulſus loco moueat mobi­
le, neceſſe illam reſiſtentiam, quâ in loco ſuo aut alieno
detinetur, ſuperate. Secundùm quid autem inchoa­
tiuè mouetur, cùm æquatis viribus inter ſe luctantur
virtus partium vnitiua & impulſus: quà quidem ratio­
ne cymbala, cordæ, atque; æra tinnula mouentur. Lapi­
des verò & quæ fragilia ſunt, quia ex impulſu uniones
ſenſim depereunt, neque; reuniri poſſunt, demum â per
cuſsione continuatá pluribus unionibus euerſis, ſeu
quia impulſui necdum exſoluto alius ſuperuenit im­
pulſus, franguntur. Manifeſtum ergo ex his Impul­
ſum eſſe virtutem finitam, quæ non quamlibet mo­
lem, ſed finitam loco mouere & impellere poteſt. Et
quia motus ex uno loco in alium non niſi per medium
interuallum defert mobile, ejuſmodi motum non poſ­
ſe fieri in inſtanti, ſed in aliquo tempore ita oſtende­
mus. Moueatur ex a in b, inter quæ mediant partes lo­
ci cdefg &c. per quas neceſſarió tranſit in b; propterea
quòd nequit medium tranſilire: quòd ſi ergo non niſi
in uno momento mouetur ex a in b, erit eodem momen­
to ſimul in cdef pluribus locis adæquatis, quod nullâ
ratione fieri poteſt. Simili modo oſtendemus alio
momento in g, alio in f, priús nimirum in parte priori
quam poſteriori motum terminari: pluribus ergo mo-
1mentis mouetur ex a in b, ac proînde motus neceſſariò
fit in tempore. Sed neque; tempore infinito per ſpati­
um mouétur finitum, ſi nimirum motus ejuſdem ſit
rationis & ſibi ſimilis; nam ſi velocitas proportionali­
ter decreſcat, non repugnat per ſpatium finitum tem­
pore moueri infinito; ut ſi per lineam conchoideos ac­
ceſſus fiat ad alteram parallelam, ſpatium interjectum
nullo in tempore tranſibit. Moueatur ergo mobile ex
a in f motu æquali quantumuis lento: & ſumatur tem­
pus quodcunq; ik, eritque; mobile extra terminum a, in
quo quieſcebat. aut igitur in ik aliquam partem ug: a
b, aut inſenſibile punctum tranſmiſit. Si partem, meti­
etur hæc ſpatium af aliquo numero finito: igitur &
tempus, quo totum ſpatium decurrit, erit finitum. Si
7[Figure 7]
non niſi punctum: quia tempus diuidi poteſt, tranſi­
bit in hujus ſemiſſe interuallum puncto minus, quod
eſt abſurdum: non igitur motus æqualis per ſpatium
finitum tempore infinito eſſe poteſt. Sed neque, in tem­
pore finito per ſpatium infinitum: nanque in ſemiſſe tem­
 poris, atque; hujus ſemiſſe &c. nunquid ſpatium peram­
 bulabit infinitum? quód ſi motus illâ ſectione demum
terminabit in aliquà parte finitâ, erit quoque; totum fini­
 tum. Deinde cùm motus incipiat à termino, erit ne­
 ceſſariò finitus. moueatur enim ex a per ſpatium bcde
1f &c. in infinitum in tempore ghikl finito: igitur par­
 tem quidem b in aliquà parte temporis tranſibit, quæ
ſit g; menſurabit proinde tempus aliquo numero fini­
 to: & cúm motum ponamus ſimilarem, qui in tempo­
 re æquali partes conficit æquales, totidem partes erunt
in ſpatio bcdef, quon tempore ghikl, ac proinde to­
 tum interuallum erit finitum. Igitur impulſus eſt vir­
 tus finita, quæ non niſi in tempore & per ſpatium mo­
 uet finitum.
Propoſitio II.
Impulſus eſt agens neceſſarium, motumque; producit
ſibi æqualem.
NEceſſarium dico non ſolùm quò ad exercitium a­
 ctus, quo modo omnia agentia, quæ non liberè a­
 gunt, neceſſaria dicuntur; ſed etiam quò ad perfectio­
 nem actus, hoc eſt agere ſecundúm totum poſſe, ſeu
ſummam perfectionem tribuere ſuo effectui: quod
non faciunt reliqua agentia naturalia, quæ non niſi à le­
 uibus initijs ad ſumma euadunt incrementa: ut ma­
 nifeſtum in calefactione. At verò impulſus ſtatim à
principio motum velociſsimum producit: qui demum
ſpatij tractu langueſcit & emoritur, Cujus ratio eſt,
1quòd impulſus ſit qualitas tranſiens, quæ non poteſt in
ſubjecto conſeruari abſque; motu: quód ſi enim mobile
ad motum concitatum vel uno momento detineas, nul
 lus ex illo contactu ſequitur motus: niſi ergo à princi­
 pio, priuſquam virtus exſoluatur, agat, nunquam ſuum
finem aſſequetur: unde à velociſsimo & ſibi æquali
motu exorſus, quantùm virium deperit, tantum de ce­
 leritate remittit Neque; hic nobis aduerſantur, qui ne­
 ſcio quas morulas inducunt, velociùs moueri dicentes
illud mobile, quod paucioribus morulis quieſcit: nam
ex illorum quoque; ſententià impulſus id quod poteſt
ſummum operatur: & à principio quidem pauciori­
 bus morulis quieſcit, inde veluti ex illo motu laſſatus
longiora ducit interualla.
Propoſitio III.
Impulſus non niſi per lineam rectam mouet ſuum mobile.
DEmotu quidem, qui procedit à grauitate, nullum
eſt dubium fieri per lineam rectam: ſed etiam ea,
quæ proijciuntur ſeu manu, ſeu machinà, rectitudinem
ſeruare conſtat; tantò enim metam feriunt ictu certio­
re, quantò minùs principium motus à lineà rectà aber
 rauit. At verò quæ circulariter mouentur, dubitatio­
 nem habent: propterea quòd ex impulſu non per
1am rectam, ſed circularem moueri videantur. Nihilo­
 minus etiam in his, quæ circulariter mouentur, impul­
 ſum ad motum rectum inelinare, & non niſi vi ab hy­
 pomochlio illatà circumagi facile oſtendemus. Ete­
 nim eà ratione mouetur totum, quà illius partes, cúm
motus totius ſit ſuarum partium motus: at verò partes
ſingulæ dum circumaguntur, ſi non firmiter cohærent
ſuo hypomochlio, non in circulum, ſed per lineam re­
 ctam mouentur: quod quidem in illà rotà verſatili, quà
gemmæ poliuntur, aut in lapide molari licebit experiri:
quòd ſi enim in illà planitie propè centrum arenam,
aut quid ſimile conſtituas, videbis ex illà rotatione
ad circulos ſenſim majores à centro propelli, & demum
excuti. Obijcies globum fiſtulà ſtriatà emiſſum velo­
 ciſsimè gyrando, & veluti aërem terebrando ad metam
venire, neque; ullum punctum, præterquam centrum, per
lineam rectam, ſed per lineam ſpiralem moueri: quia
nimirum ab illis ſulcis, quibus fiſtula interné excaua­
 tur, toto illo tractu reuolutus impulſum colligit circu­
 larem: non igitur impulſus neceſſariò ducit per lineam
rectam. Deinde ſi quis velociter currendo ſagittam ja­
 culetur, aut lapidem proijciat, quantumuis principium
motus per lineam fiat perpendicularem, non tamen il
 lud mobile per lineam rectam, ſed arcuatim ſurſum elu
 ctatur: propterea quòd non ad idem punctum, â quo
1moueri cepit, fit relapſus, verùm ad procurſum jaculan­
 tis in anteriora profertur. Itaque; auem in volatu deijce­
 re volentes, illius volatum tantiſper oculis & arcu in­
 tentis ſequuntur, & tum in ipſo motu ſagittam ejacu­
 lantur: qui motus non videtur fieri per lineam rectam.
Vt ſi auis ex b in f feratur, ſagitta per lineas mb.oc illius
volatum ſecuta, in lineà demum ad à neruo excuſſa ean
dem figet in g. at verò ex a in g non niſi arcuatim & per
lineam inflexam, cujuſmodi ahig euadit: propterea
quòd motus ſagittæ videtur compoſitus ex illo motu,
8[Figure 8] quo ad motum arcus, & quo à neruo impulſa mouetur:
at verò motus, quo cum arcu mouetur, eſt circulatis ha­
 bens centrum in oculo ſagittantis: motus ergo ab hoc
1in ſagittam deriuatus, ac proinde motus ex utroque; mix­
 tus erit circularis. Deſcribatur arcus mn, cujus centrum
in oculo l, ſemidiameter verò ſagitta al: quæ ubi per ar­
 cum ma moueri cæpit, ab alio impulſu à neruo deriuato
per lineam agitur ad: dico motum ex utroque mixtum,
nimirum ex motu man, & ex motu ad non poſſe fieri
per lineam rectam. Sit enim motus in ad ad motum in
man, ut linea recta ap ad arcum aq: & aſſumatur linea
qh æqualis lineæ ap, eritque; motus compoſitus ex ap. aq
in h: ſimiliter oſtendemus motum in i & g componi ex
motu recto & circulari: dico per puncta hig non pos-
 ſe duci lineam rectam. Sit enim, ſi fieri poteſt, linea ab
ig recta, & ex puncto q ducatur linea tangens circulum
in q, quæ utrimque; producta ſecet lineas lf. ld in punctis
s. u: eruntque; lineæ qs. qu inter ſe æquales: quibus ex
puncto i ducatur linea parallela ix, eritque; angulus ixq re
ctus, quia ergo in triangulo hxi duo anguli hxi. xhi du­
 obus angulis hqu.qhu trianguli hqu ſunt æquales, uterque;
utrique, erunt ſimilia inter ſe; ac proinde ut hi ad hq, ita
xi ad qu, hoc eſt ad qs illi æqualem. eſt autem linea hx
æqualis lineæ hq: igitur & linea xi erit æqualis lineæ qs,
quod eſt abſurdum: ſequeretur enim lineas is. xq in
centro l concurrentes eſſe parallelas. Reſpondeo ad
primum, motum globuli, quo gyrando ad metam va­
 dit, eſſe compoſitum ex impulſu recto, quem ipſi
1fert puluis pyrius à tergo incenſus, & eximpulſu latera
li, quem viarum ſeu canaliculorum anfractus globulo e­
 rumpenti conciliant: partes enim globuli prominen­
 tes ſulcis impreſſæ, eoſdem ductus ſequendo, illà gyra­
 tione globulum reuoluunt; quem motum adjuuat ig­
 nis eadem viá pabulum ſequendo, & globulum impel­
 lendo: dico ergo hunc motum partim ſimilem illi mo­
 tui, quo rota circumagitur, partim diſsimilem: propter­
 ea, quòd globulus circa centrum mobile, rota autem
circa immobile reuoluatur. At verò trochus
aut turbo, dum gyrando in aëre labitur, motu prorſus
ſimili fertur: nam ex impulſu funiculi multis ſpiris re­
 uoluti & retracti in gyrum agitur circa mobile cen­
 trum: quod ſuà grauitate inter gyrandum deſcendit.
at verò impulſus, quo rota aut turbo circulariter moue
 tur, ſi non impediatur, non circulari, ſed motu recto mo
 uebitur: quemadmodum exemplo illarum rerum, quæ
ad motum rotæ circumaguntur, oſtendimus Itaque; ſi ca­
 tenula conuoluta unà extremitate in illius plano firme­
 tur, videbis ex illâ vertigine ſenſim reuolui, & demum
in lineam tangentem ejuſdem circuli extendi. Ita tro­
chus aut turbo aquà conſperſus in motu reſiccatur, dum
aquæ guttulæ ex illo impulſu lineam rectam ſequendo
auelluntur. Simili ergo modo impulſus, qui globu­
 lum reuoluit, ſi non impediatur, lateraliter, & per
1am rectam mouebit. quod quidem conſtabit, ſi globu­
 lum friabilem ſubſtituas: ex motu enim gyrationis in
atomos infinitas diſsipabitur. At verò continuitas par­
 tium globuli diſſolui nequit ob firmitatem, neque; late­
 raliter moueri ob reſiſtentiam illarum partium, quæ im­
 pulſu contra io aguntur: quòt enim lineæ tangentes,
tot: dem ineſſe videntur impulſus: itaque; centrum glo­
 buli tantò magis detinetur in lineà rectà, quantò majori
velocitate in gyrum mouetur. Dices quam ob rem er­
 go turbo, dum ſuper axe mouetur horizonti parallelo,
non eandem firmitatem habet ſui centri à partibus cir­
 cumactis? neque enim eidem puncto inſiſtit axis, verùm
huc illuc incerto motu oberrat. Reſpondeo id ab in
æquali illarum partium ſitu, quibus planum tangit,
prouenite: cùm non in puncto fiat contactus. quia ergo in
ſuperficie illius plani aſperà & in æquali partes aliæ ſunt
depreſſæ, aliæ prominentes & verrucoſæ, neceſſe muta­
 tionem fieri in motu: dum vel ſubſidet in lacunas, vel
ad tubercula offendit. Ad ſecundam objectionem, di­
 co ſagittam circulariter moueri ex illo motu, quo cum
arcu mouetur; impulſus enim à centro detinetur, quò
minùs per lineam rectam moueat: at verò motus ſagit­
 tæ à neruo excuſſæ, quia à nullo detinetur, per lineam fit
mediam inter tangentem & lineam rectam, ſiuè per di­
 a metrum parallelogrammi, cujus latera ſunt in
1tione illorum motuum. Deinde eſto demus impulſum
lateraliter abducentem eſſe circularem, non tamen ſe­
 quitur motum compoſitum eſſe circularem: nam mo­
 tus quidem compoſitus ex motu recto ap & circulari a
q non in h, ut ſupponebatur, verùm in y abducit mobile,
propterea quòd interuallum motus circularis in fine
motus compoſiti ſit æquale arcui aque ſimiliter dum ex
y per lineam fertur yz æqualem lineæ ap, impulſu cir­
 culari ſpatium tranſmittit zt æquale ſpatio py ſeu arcui
qs: dico puncta ayt eſſe in lineà rectà, ac proinde mo­
 tum compoſitum ayt rectum non verò circularem.
Ducantur enim diametri ay. y t: quia ergo an­
 gulus zyt angulo pay, hic autem angulo alterno ayq
eſt æqualis, erit eidem angulus zyt ad verticem æqua­
 lis, ac proinde linea ayt recta. Ratio autem quamob­
 rem impulſus non niſi per lineam rectam moueat, eſt
hæc: quia cùm motus ſit via ad conjunctionem ſeu uni
 onem cum ſuo termino, ad quem mouetur, erit non ſui
ſed finis gratia, ac proînde ſicuti nihil deficere, ita nihil
abundare debet: at verò ſicuti in vià rectà nihil de eſt ad
finem conſequendum, ita omnes reliquæ abundant: a­
 bundare enim dicitur, abſque; quo finis poteſt obtineri.
Deinde cùm impulſus ſit agens neceſſarium, habebit &
actionem & modum agendi determinatum; determi­
 natio autem non niſi in lineà rectâ eſſe poteſt, cùm hæc
1ſit una, lineæ verò obliquæ infinitæ. Confirmatur ex
modo agendi reliquorum agentium naturalium, quæ
non niſi per lineas rectas operantur.
Propoſitio IV.
Impulſus in quolibet puncto circuli per lineam fit tangentem.
QVia enim motus eſt rectus per pro: 3. talis autem
eſſe non poteſt in circulo, igitur ſi incipiat ab ali­
 quo puncto circuli, cadet immediaté poſt illud pun­
 ctum extra peripheriam illius circuli: non poteſt au­
 tem cadere intra circulum, cadet igitur extra circulum.
Probatur, punctum circuli immediatè ante contactum
verbi gratia a impellit o ad motum rectum: punctum ergo
immediatè poſt illum contactum erit cum duobus pun
 ctis a & o in lineà rectà, aut certè ad hujus rectitudinem
quam proximè fieri poteſt, accedet: at verò intra peri­
 pheriam circuli nullum eſſe poteſt punctum, quod cum
duobus illis punctis a & o ſit in lineà rectà, aut ad natu­
 ram lineæ rectæ quam proximè accedat, verum ad ma­
 iorem curuitatem: cùm neceſſariò ſit in peripheria ali­
 cujus circuli minoris. Cadat enim, ſi fieri poteſt, intra
1circulum illud punctum, per quod ducitur linea recta,
& ſit b: deſcribatur autem circulus minor afp tangens
priorem in a: quód ſi ergo punctum b cadit extra pe­
 ripheriam hujùs circuli, erit angulus bae minor quidem
recto, major autem angulo ſemicirculi fae contra prop:
16. tert: Verùm quia poſſet quis dicere illud punctum
9[Figure 9] neceſſariò cadere intra omnes circulos etiam in infini­
 tum minores, propterea quòd angulus ſemicirculi ſit
major quouis angulo acuto: alià ratione îdem oſten­
 demus. producatur ergo linea ab utrimque; in g. i ſecans
circulum in g, arcus autem ag diuidatur bifariam in b, &
ducatur linea bal; eritque; angulus hab, atque; huic ad
1cem æqualis angulus ial major angulo contactus cah,
atque; huic æquali angulo kad: multo ergo major angu­
 lus gab, atque; angulus iad angulis contactus cah. kad:
puncta ergo circa contactum circuli a majori inter­
 uallo abſunt à lineà quauis ſecante, quam à lineà conta­
 ctus, ac cum illis punctis, quæ in linea ſunt tangente,
magis accedunt ad naturam lineæ rectæ, quam cum il­
 lis punctis, quæ in lineà ſunt ſecante: motus ergò à con­
 tactu per lineam fit tangentem. Quæ igitur circulari­
 ter mouentur, ſi in illà gyratione ab hypomochlio libe­
 rentur, motu deinceps recto feruntur, facto initio mo­
 tus ab illo puncto circuli, in quo ab hypomochlio avel­
 luntur. Ita ergo lapis fundà circumactus, ubi ex illà ro­
 tatione impulſum collegit, laxatà habenà auolat motu
recto per lineam tangentem circuli, cujus ſemidiame­
 ter eſt longitudo fundæ.
Propoſitio V.
Impulſus æqualis eodem vel æquali tempore per ſpatium mouet
æquate.
MAgnitudo ſeu extenſio ineſt motui non perſe, ſed
ratione loci in quo fit motus; motum enim mag
 num dicimus, qui magno, paruum qui paruo ſpatio con
 tinetur; ſiuè actu habeat illam extenſionem, ſiuè
1aliter tantum: ut cùm idem ſpatium currendo aut am­
 bulando ſæpiùs remetimur. Quia verò ejuſdem aut
æqualis magnitudinis eadem eſt menſura: eſt autem
menſura motus tempus: erit quoque; ejuſdem aut æqua­
 lis motus idem tempus. Motus ergo æqualis in tempo­
 re æquali per ſpatium fit æquale: & cùm impulſus ſit
agens neceſſarium, motumque; producat ſibi æqualem,
per prop: 2. æqualis impulſus in eodem vel æquali tem
 pore per ſpatium mouebit æquale.
Definitio.
Impulſus qui mínori tempore per ſpatium mouet æquale aut
majus, dicatur velox: qui verò majori tempore per ſpatium mouet
æquale aut minus, dicatur tardus.
VT ſi mobile H per ſpatium de in tempore ab minori,
mobile verò K per idem ſpatium de, aut huic æquale
fg in tempore abc májori moueatur: impulſus quo H
mouetur velox, quo autem K mouetur dicetur tardus.
velociùs enim ſpatium tranſmitti dicimus, in quo mobi­
10[Figure 10]
le minùs immoratur, ſeu ut Atomiſtæ volunt, in quo
paucioribus morulis interquieſcit. Quod autem
1nori tempore per ſpatium æquale, idem quoque; minori
tempore per ſpatium majus mouetur. Diuidatur enim
exceſſus temporis bifariam in i: atque; hujus ſemiſsis bi ad­
 datur minori ab, eritque; tempus compoſitum abi majus
quidem minori ab, minus verò tempore majori abc. in
tempore ergò abi ſpatium majus quam de, ac proinde
in minori tempore ſpatium majus perambulabit. Eo­
 dem modo oſtendemus, ſi quid æquali tempore per
ſpatium majus moueatur, idem in minori tempore per
ſpatium majus moueri: ſi nimirum hujùs exceſſum bi­
 fariam ſecemus: nam ſpatium illud æquale, atque; hujus
ſemiſſem in minori tempore pertranſibit.
Propoſitio VI.
Impulſus major eodem vel æqualis tempore per ſpatium majus,
minori verò tempore per ſpatium mouet æquale.
IMpulſum magnum dicimus non extenſiué, ſed inten
 ſiué, cujus perfectionem ſequitur velocitas motus.
quia ergo major velocitas in minori tempore per ſpati­
 um mouet æquale aut majus, per defin: impulſus verò
major majorem velocitatem producit, propterea quòd
agens ſit neceſſarium, motumque; producat ſibi
1lem: mouebit ſane eodem vel æquali tempore per ſpa­
 tium majus, minori verò tempore per ſpatium æquale.
Propoſitio VII.
Velocitas motus eandem rationem habet quam interualla, rati­
 onem verò ſuorum temporum reciprocam.
Sit velocitas H dupla velocitatis K: dico hujus interual
lum in ratione quoque; eſſe duplà ad illud interuallum,
11[Figure 11]
per quod velocitas ſubdupla eodem vel æquali tempo­
 re mouetur: at verò tempus, quo velocitas dùpla per
ſpatium æquale mouetur, in ratione ſubduplá ad tem­
 pus velocitatis minoris, Vt ſi velo citas H in tempore ab,
velo citas autem K in tempore abc per idem ſpatium de,
aut illi æquale fg moueatur, erit ut velocitas H ad veloci­
 tatem K, ita tempus abc minoris velocitatis ad tempus ab
majoris velocitatis. Quia enim velocitas motus ſumi­
 tur à magnitudine interualli, erit in eadem ratione in
quâ interuallum, ac proinde velo citas dupla per ſpati
 um mouebit duplum. Eſt autem tempus menſura cu­
juſque; velocitatis, minor quidem majoris, major autem mi
noris; quot igitur magnitudines minoris interualli in
1majori, totidem menſuræ velocitatis majoris in menſu­
 râ velocitatis minoris continentur.
Propoſitio VIII.
Velocitas à principio motus per lineam perpendicularem eſt
æqualis grauitati, minor verò per lineam inclinatam.
IMpulſus, quó magis impeditur ab alio impulſu, eò mi
nùs mouet: eſt autem grauitas impulſus deorſum ſeu
ad mundi centrum mouens; in lineà ergo perpendicu­
 lari quia â nullo impeditur impulſu, eſtque; agens neceſſa­
 rium, motum producet ſibi æqualem, eritque velocitas
motus æqualis grauitati. In lineâ verò inclinatâ, quia
grauitas impeditur ab hypomochlio, mouebit tantò
minús, quantò magis impeditur, per prop: 14. ac proin­
 de velocitas erit minor grauitate. Velocitas ergo a prin­
 cipio motus per lineam perpendicularem eſt æqualis
grauitati, minor verò per lineam inclinatam.
Propoſitio IX.
Velocitas continuò augetur in motu naturali, minuitur in motu
violento.
GRauia enim quò ex loco altiori cadunt, majori vi­
 olentià incidunt: violentia autem major ex
1ſu majori, qui illo deſcenſu continuò majus ac majus
capit augmentum. Itaque; videmus globos ferreos à ma
 chinà bellicà & vi ignis altiſsimè extolli, ut relapſu lon­
 giore impulſum colligant majorem ictuque; violentiore
urbium tecta d ruant. Sic etiam fiſtucis altiùs ſublatis
palos adigunt & terræ magis infigunt. Similiter pon­
 dus è filo pendulum, quò magis dimouetur â ſua ſtatio­
 ne, majori vi recurrit, & ultra ſtationem procurrit: qui
excurſus non ad grauitatem, ſed ad impulſum illo re­
 curſu collectum referri poteſt. At verò impulſus ma­
 jor eodem vel æquali tempore per ſpatium majus, mi­
 nori verò tempore per ſpatium æquale aut etiam majus
mouet per prop: 6. ac proinde per definitionem majo­
 ri velocitate. velocitas ergo continuò augetur in motu
naturali, quod primò erat demonſtrandum. Quæ au­
 tem motu violento mouentur, cuiuſmodi projecta ſeu
manu, ſeu machinà, à principio quidem velociſsimè, in­
 de minùs velociter mouentur, impulſu veluti ſeneſcen­
 te: quia nimirum hujus principium eſt externum, à quo
in motu ſeparantur: virtus autem finita, quæ non niſi in
tempore & per ſpatium mouet finitum: non igitur ex­
 tra illud tempus mouere, ac proinde neque; in ſubiecto
conſeruari poteſt. Emoritur autem ſeu naturâ ſuà, ſeu
quia grauitas contraria hunc ſenſim atterit minuitque: ad
cuius decrementum grauitas magis ac magis inualeſcit:
1unde priusquam vincat, motu mixto ferri, demum ubi
præualuit, reuerſionem fieri videmus. In motu verò
naturali principium motus eſt internum, nimirum gra­
 uitas, & qui à grauitate naſcitur impulſus: qui cùm ſit
agens neceſſarium, motum producet ſibi æqualem, &
prius quam finiat hunc motum, continuó ex eadem ra­
 dice alius atque; alius impulſus renaſcens velocitatem mo
 tus continuo augebit incremento. Dices quam ob rem
ergo grauia, dum in hypomochlio quieſcunt, nihilo ma
 gis grauitant, ſi continuo veluti fluxu inde naſcitur im­
 pulſus? Reſpondeo impulſum quidem continuo fluxu
à grauitate renaſci, verùm quantùm grauitas producit,
tantundem reſiſtentia & quies violenta in hypomo­
 chlio abſumit: quouſque; ergo grauia quieſcunt, idem
manet impulſus, qui nequit ab q motu in ſubiecto
conſeruari. Qui opinantur grauia non à ſe ipſis, verùm à
ſuo magnete ſeu tellure moueri quæ opinio non caret
probabilitate, dicent utriuſque; motus principium eſſe
externum: verùm in his, quæ projiciuntur, in motu ſe­
 parari, atque ita ſenſim deficere impulſum; ob retractio­
 nem verò magneticam, ubi jam præualuit, non aliter
quam à grauitate fieri conuerſionem motus. Quæ au­
 tem moueri dicuntur à grauitate, habere impulſum à
tellure, atque; eo modo, quo ferrum ad ſuum magne­
 tem moueri, at verò velocitatem ex illà tractione
1tinuatà naſci, dum impulſus ſibi ipſi inſtat non aliter
quam ſi à tergo impelleretur.
Propoſitio X.
Incrementa velocitatis eadem ratione fiunt in motu recto &
inclinato.
TAmetſi grauitas in lineà inclinatâ deficiat ab illa
perfectione, quam habet in lineà perpendiculari,
non tamen eo modo, quo in lineà horizontali quieſcit­
 tota: exceſſus enim illius partis, quæ cum centro extra
hypomochlium cadit, à nullo impeditur: & cúm ſit a­
 gens neceſſarium, motum producit ſibi æqualem. quia
verò velocitas continuò augetur in deſcenſu, ſicuti gra­
 uitas perfecta in lineà perpendiculari ſe habet ad ſuum
augmentum, ita grauitas diminuta in lineà inclinatà ſe
12[Figure 12]
habebit ad ſuum augmentum. Moueatur enim ex a
idem mobile per lineam perpendicularem abc & per
1neam inclinatam ade: quia ergo motus ad motui ab, &
motus ae motui ac eſt æqualis ut prop: 13. oſtendemus:
ſunt autem duo triangula dab. eac ſimilia inter ſe, erit
ut bc ad ba, ita de ad da, incrementa nimirum velocita­
 tis motus in linea perpendiculari & lineà inclinata. In
crementa ergo velocitatis eadem ratione fiunt &c.
Propoſitio XI.
Impulſus in quolibet motu ſeu recto, ſeu inclinato eſt major gra­
uitate.
MOtum in quolibet puncto lineæ perpendicularis
eſſe majorem ſuà grauitate nullum eſt dubium:
nam cùm velocitas cum ipſo motu incipiat augeri, ſicu
 ti à principio eſt æqualis grauitati, ita in progreſſu erit
major grauitate. At verò de motu per lineam inclina­
 tam dubitari poteſt: propterea quód à grauitate fiat im
 pedità, ac proinde minori: id tamen hac ratione oſten­
 demus. Grauitas in lineà inclinatà eò magis impeditur
à ſuà velocitate, quò magis hæc inclinatur, eſtque; ſinus an
 guli inclinationis idem qui grauitatis exceſſus: uti
prop: 14. oſtendemus: grauitas ergo per lineam perpen­
 dicularem ad grauitatem per lineam inclinatam, ut ſi­
 nus totus ad ſinum complementi anguli inclinationis,
ac proinde ut linea ab ad linea ad. at verò velocitas in b
1majorem rationem habet ad velocitatem in aliquo pun
 cto f, cúm omni magnitudine datà minor aſſumi poſsit:
eſt autem velocitas in f major ſuà grauitate: erit ergo
velocitas in d major quoque; eadem grauitate, cùm majo­
 rem rationem habeat velocitas in b ad velocitatem in f,
quam ad velocitatem in d. Idem de quouis alio pun­
cto oſtendemus. impulſus ergo in quolibet motu ſeu re
 cto, ſeu inclinato eſt major grauitate.
Propoſitio XII.
Incrementa velocitatis rationem habent quam temporum
quadrata.
QVia virtus loco motiua eo modo augetur, quo tri­
 angulum ſibi ſimile manens, per poſit: 5. propte­
 rea quòd hujus augmentum ſit perfectio intenſiua;
cùm ex illo puncto quietis veluti lateſcit, angulum con
 ſtituit ſui augmenti, majorem minoremuè pro cuiuſque;
perfectione, quam obtinet in principio motus, ſiuè ex
naturâ ſuâ, ſiue ex impedimento: majori enim perfecti­
 oni maior angulus debetur. Sit primùm angulus nag
ſe miſsis anguli recti; tempus verò ag in minuta ab. bc.
cd. de. ef.fg æqualiter diuiſum: velocitas ergò motus
augetur impulſu augeſcente in primo quidem minuto
in hb, in 2. in ic, in 3. in kd, atque; itæ conſequenter æquatà
1areà illius trianguli rectanguli, cujus longitudo nume­
 rus minutorum, baſis verò terminus augmenti. Quia
verò eadem eſt ratio motus & virtutis impulſiuæ, vir­
13[Figure 13]
tus quidem dupla in eodem aut æquali tempore moue­
 bit per ſpatium duplum: quòd ſi ergo in primo minu­
 to ab virtus a lateſcens, cum quà pariter creſcit veloci­
 tas motus, terminum habet ſui incrementi in hb, in ſe­
 cundo minuto in ic, in 3. in kd &c. erit ut triangulum re­
 ctangulum iac ad triangulum rectangulum hab, ita
ſpatium decurſum in duobus minutis ad ſpatium decur
 ſum in uno minuto; at verò duo triangula iac.hab ſunt
ſemiſſes duorum quadratorum ipac. hoab. ac pro­
 inde in eàdem ratione, nimirum duplicatà ejus, quam ha­
 bent latera ic.hb: igitur ut quadratum lateris ic ad qua­
 dratum lateris hb, ita motus duorum minutorum ad
1motum unius minuti; propterea quòd latus ca ad latus
ba eandem habeat rationem, quam latus ic ad latus hb,
ac proinde illorum quadrata in eadem quoque, ratione,
nimirum duplicata. Itaque; ſi quadratum lateris ab, hoc
eſt primi minuti, ſubtrahas â quadrato ac ſecundi minu­
 ti, numerus reliquus dabit velocitatem motus in eodem
minuto: ut ſi cubitum unum vg. perambulet in primo
minuto, hujus quadratum, ideſt unum, ab illius quadra
 to, id, eſt â quatuor ſubtractum relinquit tria totidem
cubitorum illi ſpatio, per quod a mouetur in minuto 2.
tribuenda. Similiter quia 3. minutis conficit cubitos 9.
ablato ex his quadrato ſecundi minuti, numerus reli­
 quus dabit velocitatem 5. cubitorum, qui minuto 3. de­
 bentur. Rurſum â numero 4. minuti in ſe ducto, ideſt
16. ablatis 9. quadrato tertij minuti rem anet numerus 7.
pro 4. minuto: totidem ergo cubitorum ſpatium trans­
 mittit mobile a in minuto quarto. Quód ſi angulus
augmenti major ſit aut minor ſemiſſe anguli recti, ut
angulus qag. aut rag, quod quidem contingit, cùm vir­
 tus impulſiua magis aut minùs eſt intenſa, tum quidem
illa virtus magis perfecta ex illo puncto continuò majo
 ra ſumit incrementa: eadem tamen demonſtratio, atque;
eadem eſt proportio utrobique;, propterea quòd parallelo­
 gramma in proportione quoque; ſint duplicatá ſuorum
laterum ſimul ſumptorum.|
1
Propoſitio XIII.
Motus per lineam perpendicularem & lineam inclinatam, quo­
 rum terminos conjungit linea recta perpendicularis ad lineam in­
 clinatam, inter ſe ſunt æquales.
ÆQuales dico non velocitate, quæ minor eſt in lineà
inclinatà, ſed duratione: hoc eſt ſi ex eodem puncto
incipiat motus Vg. ex b, & unum quidem mobile per li­
 neam perpendicularem ba, alterum verò huic æquale
per lineam bf ad horizontem inclinatam moueatur: aſ­
 ſumpto quolibet puncto in lineà perpendiculari Vg. a,
linea ex hoc puncto educta perpendicularis ad lineam
bf locum terminabit in f, ad quod mobile eodem tem­
14[Figure 14]
1pore per lineam bf, quo alterum mobile per lineam ba
decurrit. Ducatur enim ex puncto contactus f linea fe
parallela lineæ perpendiculari ba, & producatur in g; ad
quam ex centro grauitatis d educta ſit linea perpendicu
 laris dc, diſtantia nimirum centri à lineà hypomochlij f
g: eſt autem linea df ſemidiameter circuli, diſtantia ejuſ­
 dem centri ab hypochlio, quam obtinet in lineâ perpen
 diculari ba. quia ergo impulſus augetur in ratione di­
 ſtantiæ centri ab hypomochlio, per Poſit: 6. motunque; pro
ducit ſibi æqualem, per prop: 2. velocitas autem motus
eandem rationem habet quam interualla, per prop: 7. e­
 rit ut fd impulſus major ad dc impulſum minorem, ita
motus in ba ad motum in bf: propterea quód triangula
abf.fdc ſint ſimilia, & linea dc perpendicularis, ac proinde
linea quoque; af, ſimilis lineæ perpendiculari dc, perpendi­
 cularis.
Propoſitio XIV:
Motus per lineam minùs inclinatam eſt velocìor motu per li­
 neam magis inclinatam, in ratione, quam habent ſinus complemen­
 ti illarum inclinationum.
DVcantur ex puncto a lîneæ ab. ac. ad. ae. af, & ſit li­
 nea ab horizontalis, linea verò at perpendicularis,
reliquæ lineæ ad horizontem inclinatæ: dico idem mo­
 bile o verbi grat: inæqualiter moueri, velociùs quidem
1in lineà ae minus inclinatà, minùs autem velociter in li­
 neà ad magis inclinatà, eſſeque; rationem velocitatis in ae
ad velocitatem in ad, ut ſinus anguli ats ad ſinum angu­
 li atr. Ex punctis contactus qrs demittantur lineæ
perpendiculares qt.rt.st: & aliæ lineæ perpendiculari at
15[Figure 15]
parallelæ qg.rh.si ſecantes mobile in k. n. u, ex centro au
 tem o ducantur lineæ perpendiculares ad lineam hypo­
 mochlij οα. οβ. ογ, eruntque; lineæ qg. rh. si lineæ hypo­
 mochlij. Quia verò angulus tsi, hoc eſt angulus sh
1ternus major eſt angulo trh interno & oppoſito, erit an
 gulus γσο angulo βγο, & latus γο latere βο majus: ſunt
autem latera γο. βο diſtantia centri grauitatis. Quia er­
 go maior impulſus in γο maiori, quam in βο minori di­
 ſtantià; erit per prop: 6. velocior motus in linea as mi­
 nús inclinatá, quam in lineà ar magis inclinatà. Quòd
autem velocitas motus ſit in ratione, quam habent cor­
 dæ, ſeu ſinus complementi inclinationum, ita oſtende­
 mus: quia ut σο ad γο, ita corda at ad cordam as, & ut rò
æqualis σο ad οβ, ita eadem corda at ad cordam ar: erit
quoque; ut ογ ad οβ, ita as ad ar. at verò ut cordæ as. ar,
ita illarum ſemiſſes al. am ſinus angulorum apl. apm
qui æquales ſunt angulis ats.atr angulis complementi
inclinationis, ob parallelas ts. pl, & tr. pm. Igitur ut ογ
ad οβ, ita ſinus complementi angulorum inclinationis,
quod erat oſtendendum.
Propoſitio XV.
Motus ex eodem puncto per lineas ſubtenſas ſunt æquales motui
per diametrum ejuſdem circuli.
MOueatur ex puncto b mobile per lineas bi. bh.bg.
bf.be ad horizontem inclinatas, hoc eſt per cordas
arcuum bes.beh.beg.bef.be: dico eodem tempore per
1cordam bf, aut bg, quo per diametrum eiuſdem circuli
ba motum terminari. Quòd ſi enim ex puncto a du
 cantur lineæ rectæ af. ag, erunt anguli afb. agb in ſemi­
 circulo recti; ac proinde ex iam demonſtratis motus in
ba motui in bf & bg duratione æqualis. Simili modo ſi
ex punctis befg in a terminetur motus, erunt lineæ be.bf.
16[Figure 16]
bg perpendiculares ad ae. af. ag, ac proinde motus in b
a motui in ea. fa. ga æqualis. At verò ſi ex alio puncto
Vg α incipiat motus, neque; ad idem cum diametro pun­
 ctum terminetur, cujuſmodi linea αβ, er t motus hujus
motui in diametro ba inæqualis. Ducatur enim ex α in
a linea α a, eritque; motus hujus motui ba, ideſt motui αδ
1æqualis: linea verò γβ perpendicularis ad αβ motum ter­
 minabit in β æqualem motui αγ: eſt autem linea αγ mi­
 nor quam αδ motus ergo in αγ, ideſt motus huic æqua
lis in αβ minori fit tempore quam in α a.
Propoſitio XVI.
Motus grauitatis per lineam magis inclinatam in majori à
centro diſtantià, tempore verò æquali terminatur.
MOueatur mobile à puncto b per lineas ba. bi. bh. bg
bf be; dico ſolam lineam perpendicularem ba in
centro a, reliquas omnes extra centrum, atque; ex inclina­
 tione majori ad majus interuallum terminari: ut quia
angulus abh eſt major angulo abi, erit terminus mo­
17[Figure 17]
1tus, quem grauitas inducit in lineâ bh, remotior à cen­
 tro, quàm in lineâ bi. Ducantur enim à centro a lineæ ai.
ab perpendiculares ad bi. bh, eritque; terminus motus gra­
 uitatis in i & h ob breuiſsimam diſtantiam, quæ eſſe po­
 teſt in illis lineis; quód ſi enim ex i moueatur in st, quia
illo progreſſu lineæ à centro ductæ fiunt majores, ma­
 jor enim as angulo recto ais ſubtenſa quam ai, mobile
motu naturali à centro magis abduceretur, quod fieri
nequit. Quia ergo linea αγ major eſt quàm linea ai,
erit linea abc dem multò major: igitur punctum h ter­
 minus motus in lineà magis inclinatà, majori, punctum
verò i terminus motus in lineà minús inclinatâ, minori
à centro abeſt interuallo. Quia vetò uterque; motus tam
per lineam ai quam per lineam ah eſt æqualis motui per lineam
perpendicularem ab, propterea quòd lineæ perpendi­
 culares as. ah utrumque; motum conjungunt per prop: 13.
erit motus at motui ab æqualis, ac proinde in tempore
æquali.
Propoſitio XVII.
Motus grauitatis ex eodem puncto per lineas ad horizontem in­
 clinatas in circulum terminatur, cuius diameter eſt diſtantia inter
illud punctum & mundi centrum.
MOueatur ex puncto b mobile ejuſdem rationis per
lineàs ad horizontem inclinat as bi. bh. bg. bf. &c.
1ſit autem mundi centrum a, & linea perpendicularis ba,
dico motum per lineas bi. bh. bg. bf &c. in circulum ter
minari, cujus diameter linea perpendicularis ab diſtan­
 tia inter b & mundi centrum a. Ducantur enim à cen­
 tro a lineæ ai.ah.ag.af &c. perpendiculares ad bi.bh.bg.
bf, eruntque; puncta i.h.g.f termini motus à grauitate:
18[Figure 18]
propterea quòd minima ſit hæc diſtantia à mundi cen­
 tro a. Quia verò anguli aib.ahb.afb ſunt recti ean­
 dem habentes baſim ab. erunt in eodem ſemicirculo bef
g hia, cujus diameter linea ba perpendicularis, diſtantia
inter b & mundi centrum.
1
Propoſitio XVIII.
Velocitas in fine motus æquali tempore per ſpatium mouet du­
 plum velocitatis eodem motu collectæ.
VT in fig: 5. ſi velocitas motus a in tempore ac conti­
 nuò augeatur; quia hujus augmentum eſt perfe­
 ctio intenſiua, ac proinde eo modo augetur, quo trian­
 gulum ſibi ſimile manens per poſit: 5. erit velocitas in
fine motus, ut baſis ejuſdem trianguli bc. Moueatur er­
 go hæc velocitas in e, & ſit tempus ec æquale tempori
ac, eritque; velocitas illo motu colecta quadratum bcde
duplum trianguli abc, propterea quòd eandem baſim
bc, altitudinem verò habet æqualem. Quia ergo virtus
dupla in eodem vel æquali tempore per ſpatium mouet
duplum, eſtque; eadem ratio velocitatis & interualli, velocitas
in fine motus eodem vel æquali tempore per ſpatium
mouebit duplum &c.
Propoſitio XIX.
Velocitas in motu grauium collecta ultra ſtationem defert mo­
bile.
STatio quidem grauium eſt centrum terræ, ponderis
verò è filo penduli linea perpendicularis, in quà
1mum mobile ex illâ agitatione conquieſcit. Quòd ſi
ergo ſeu corpus graue ad centrum, ſeu perpendiculum
in ſuam ſtationem moueatur, non ſtatim conquieſcit
ex hoc motu ſiuè in centro, ſiuè in lineâ perpendiculari,
verùm ultra hos limites procurrit & recurrit, atque; eò ma­
 gis, quò circuli majores. Quod quidem in perpendicu­
 lo experientià conſtat: de grauium verò à centro excur
 ſu licet nulla experientia habeatur, id tamen ſimilitudo
rationis euincit: non enim minùs contra natu­
 ram grauitatis eſſe videtur in circulo à lineâ ſtatio­
 nis, quam in lineâ perpendiculari è centro efferi. Hujus
autem ratio hæc: quia impulſus in quolibet puncto, ac
proinde in fine motus eſt major grauitate: per prop: 11.
eſt autem agens neceſſarium per prop: 2. & non niſi per
lineam rectam mouet ſuum mobile per prop: 3. ſuperabit
ergo illam, quâ in centro firmatur, grauitatem, non mi­
 nùs, quam cùm lapidem ſimilis impulſus à centro lon­
 giùs abducit.
Propoſitio XX.
Velocitas in motu collecta per æqualia ſuo augmento decremen­
 ta in quietem terminatur.
PErpendiculum liberè dimiſſum in ſuam ſtationem
recurrit, atque; eodem motu continuato ultra
1nem excurrit. Quòd ſi ergo impulſus ex illo recurſu
collectus aut idem maneat, aut continuò augeatur, quia
per prop: 18. Velocitas in fine eodem vel æquali tempo­
 re per ſpatium mouet duplum velocitatis ex illo motu
collectæ, erit ex curſus major recurſu: & quia ex quoli­
 bet recurſu magis excurrit, erit motus perpendiculi in­
 finitus. At verò hic motus demum conquieſcit: non ergo
impulſus augeri, aut idem eſſe poteſt. Et quia per ar­
 cus excurrit & recurrit continuò minores, neceſſe im­
 pulſum minui in illo aſcenſu; quia nimirum inter ſe
miſcentur, & in deſcenſu quidem per eandem lineam
mouent grauitas & impulſus, quem à grauitate conti­
nuo fluxu naſci dicebamus: à ſtatione verò grauitas im
 pulſui reluctatur: quia nimirum contrarius impulſus
ab eâdem grauitate renaſcens tollit partem ſibi æqua­
 lem, per poſit: 2. eſtque; motus reliquus æqualis exceſſui
majoris ut Prop: 30. dicemus: ſicut ergo impulſus conti­
 nuò decreſcit ijſdem, quibus augebatur augmentis, ita
uelocitas à ſummo augmento ad finem uſque; motus con­
 tinuò fit minor; ſimul verò ſumpta æqualis velocitati à
principio motus ad finem augmenti collectæ: ut ſi in ſig: 9.
perpendiculum ae ex e recurrat in b, & ex b excurrat in ſi aſ­
 ſumantur autem arcus bc. bd, & be.bf inter ſe æquales:
dico augmentum velocitatis in e ejuſdem decremento
in f, & augmentum velocitatis in c ejuſdem decremento
1in d eſſe æquale. Ducantur enim lineæ tangentes eg fg,
& cb. dh: eritque; inclinatio eg inclinationi fg, & inclina­
 tio ch æqualis inclinationi dh: propterea quòd anguli ega.
fga, & anguli cha. dha ſunt æquales, impulſus ergo gra­
 uitatis in e ejuſdem impulſui in f, & impulſus grauitatis
in c ejuſdem impulſui in d eſt æqualis, ut conſtat ex
prop. 14. Quia ergo impulſus æquales in e quidem & c
augent, in f verò & d minuunt velocitatem motus, erunt
æqualia velocitatis augmenta ejuſdem decremento; ac
proinde velocitas in motu collecta per æqualia ſuo aug
 mento decrementa in quietem terminatur. Obijcies ſi
velocitas excurſus ſimul ſumpta eſt æqualis velocitati in
recurſu collectæ, quia velocitas æqualis eodem vel æ­
 quali tempore per ſpatium mouet æquale, erunt excur­
 ſus & recurſus inter ſe æquales: ac proinde motus per­
 pendiculi infinitus. Reſpondent quidam excurſum eſ­
 ſe minorem recurſu: propterea quód illius motus à fu­
 niculo perturbetur, cujus partes inæqualiter mouen­
 tur: velociùs quidem centro propiores, minùs autem
velociter à centro remotiores. Dum ergo hæ reſtitant,
& minorum circulorum velocitatem morantur; illæ
præcurrere feſtinant: neceſſe ex illà luctâ impulſum mi­
 nui, ut non niſi ad minus interuallum ſe extendat. Hu­
 jus autem ſignum eſſe illos ſinus, in quos funis contor­
 quetur, & veluti fluctuat. Verùm licet in fune, aut
1tenà, cujus partes ex ſe ſunt ponderoſæ, motus hic undo­
 ſus ſibi ipſi ſit impedimento: non tamen hæc ratio lo­
 cum habet in perquam ſubtili & tenuiſsimo filo, cujus
partes non ex ſe, verúm ex impulſu ponderis appenſi
mouentur, eoque; præciſo aut abrupto à motu conquieſcunt.
Deinde ſi ratio inæqualium circulorum perturbat il­
 lum motum, quo perpendiculum à ſua ſtatione procur
 rit, turbabit quoque; rationem motus, quam ad ſe habent
recurſus: at verò hæc in æqualitas nihil obſtat, quò mi­
 nùs recurſus inter ſe ſint æquales: nihil ergo obſtabit,
quò minùs excurſus quoque; inter ſe ſint æquales. Præte­
 rea ſi funiculo pondus accedat medio inter hypomochlium
loco, motum accelerabit; non igitur ex ſe motum aut
pondus habet: propterea quòd negant maius pondus
velocitatem augere. At verò ſi pars illa fili, quæ ob pon
 dus acceſſorium velociùs mouetur, ſuo quoque; pondere
mouebatur, fiet ſanè, ut continuà hac ponderis noui ac­
 ceſsione velocitas in infinitum augeatur. Dicendum
ergò excurſum perpendiculi continuò quidem mino­
 rem fieri recurſu; cauſam verò hujus inæqualitatis non
in funiculo, ſed in naturà circuli, in quo perpendiculum
mouetur, ſitam eſſe. Quia enim velocitas motus conti­
 nuo fluxu augetur à grauitate, quæ ex inclinatione ma­
 iori ob maiorem violentiam hypomochlii minùs grauitat,
impulſus, quo perpendiculum recurrit, continuó
1dem maiora ſumit incrementa: quia tamen in quolibet
puncto circuli per lineas fit tangentes, quæ in recurſu
continuó magis ac magis ſunt inclinatæ; erunt in quo­
 libet puncto recurſus minora huius velocitatis incre­
 menta: ita nimirum ut ſi arcus ſumantur æquales, ma­
 jor ſit acceſsio velocitatis in arcu primo, quam in arcu
ſecundo: & velocitas in arcu circuli collecta minor ve­
 locitate in lineà rectà illi arcui æquali, quæ tangens ſit
principii eiuſdem motus circularis. Sicuti verò in re­
 curſu velocitas continuó & inæqualiter creſcit, ita in
excurſu, quia motus violentus, proportionaliter decre­
 ſcit, fiuntque; huius decrementa æqualia illius incremen­
 tis, prima nimirum ultimis; propterea quód utraque; fiunt
ab eadem grauitate, quæ à principio excurſus per lineas
grauitat magis inclinatas. Quòd ſi ergo ſola grauitas
minuat impulſum, quia in æqualibus à ſtatione interual
 lis, ob ſimilem inclinationem, æqualiter grauitat; erunt
ut arcus inter ſe, ita eiuſdem grauitatis impulſus: &
quia impulſus contrarius tollit partem ſibi æqualem,
erunt excurſus & recurſus inter ſe æquales. At verò
quia non ſola grauitas impulſum minuit, ſed etiam in­
 clinatio motus; ſicuti enim grauitas extra lineam per­
 pendicularem minùs grauitat, ita impulſus extra line­
 am ſui motus, cuius terminus eſt veluti centrum, mi
nús impellit ſuum mobile: quód ſi enim funda lapidem
1excutiat, ad majus feretur interuallum, quam ut æquale
ſit illis rotationibus ſimul ſumptis, in quas idem lapis
fundæ alligatus reuoluitur. Quia ergo in illa gyratione
perpendiculi inclinatio motus continuò & æqualiter
mutatur, velocitas in excurſu collecta eò minùs moue­
 bit, quó major portio ex illâ inclinatione eidem dece­
 dit. Impulſus ergo æqualis quia magis decreſcit in ex­
 curſu, quam idem augeatur in recurſu, ad minus moue­
 bit interuallum: ac proinde excurſus perpendiculi ejuſ­
 dem recurſibus erunt minores.
Propoſitio XXI.
Excurſus grauium à termino motus in circulum terminatur, cu­
 jus ſemidiameter eſt diſtantià inter principium motus & mundi
centrum.
ATermino motus a.i.h.g.f.e in lineà perpendiculari, &
lineis ad horizontem inclinatis producantur lineæ
excurſui æquales lineis decurſus, nimirum ap ipſi ab, io
verò ipſi ib æqualis, dico puncta po eſſe in peripheria cir­
 culi, cujus ſemidiameter ab diſtantia inter principium
motus & mundi centrum. Ducatur enim linea ao: quia
ergo lineæ bi. io inter ſe ſunt æquales, & anguli bia. oia
recti, erit angulus abi angulo aoi, & latus ab lateri ao
æquale: eſt autem linea ap æqualis eidem ab, puncta
1go po ſunt in peripherià circuli, cujus centrum a, à quo
æqualiter abſiſtunt illæ lineæ. Simili modo oſtende­
 mus puncta n.m.l eſſe in peripheriá ejuſdem circuli, pro­
19[Figure 19]
pterea quód lineæ an. am. al, baſes nimirum æqualium
triangulorum, ſunt æquales lineæ ab. Excurſus ergo
grauium à termino motus in circulum terminantur &c.
Propoſitio XII.
Motus per arcus ejuſdem circuli rationem habet, quam ſinus an
 guli dupli illorum angulorum, qui complementa ſunt inclinationis
cordarum.
ASſumantur arcus bdi. bdc, & ducantur cordæ bi. bc,
eruntque; anguli abi. abc anguli inclinationis
1rum bi. bc, & horum complementa bai. bac, propterea
quód anguli aib. acb in ſemicirculo ſunt recti. Tan­
 gant ergo circulum in punctis ic lineæ ib. cg: & ex cen­
 tro k educantur lineæ ki. kc perpendiculares ad ih.cg.
quia ergo anguli khi. kge ſunt anguli inclinationum, e­
20[Figure 20]
runt anguli bki. gkc illorum complementa : angulo­
 rum verò bai. bac ad peripheriam dupli: dico velocita­
 tem motus in i ad velocitatem motus in c eſſe ut ſinum
anguli bki ſinum anguli bkc Quia enim motus in
quolibet puncto circuli per lineam fit tangentem per
1prop: 4. erit ratio velocitatis in i & c quæ velocitas eſt
tangentium ih. cg: eſt autem velocitas in ih ad veloci­
 tatem in cg ut ſinus bl anguli bki ad ſinum bm anguli
bkc per prop: 14. velocitas ergo in arcu ib ad velocita­
 tem in arcu cb ut ſinus anguli bki ad ſinum anguli bkc,
ſinus nimirum anguli dupli illorum angulorum, qui
complementa ſunt inclinationis cordarum bi.bc, quod
erat oſtendendum.
Propoſitio XXIII.
Perpendiculum per arcus æquales ejuſdem circuli inæquali
tempore mouetur: majori quidem propè ſtationem, minori verò per
arcus, qui magis abſunt à ſtatione.
SInt duo arcus bd.dſ inter ſe æquales: atque bd propior,
df verò remotior à ſtatione b, dico motum in df eſſe
velociorem motu in db. Quia enim motus per arcus e­
 juſdem circuli rationem habent, quam ſinus, per prop.
22. eſt autem ſinus bg major ſinu bt, erit velocior motus
in f quam in d: & quia arcus bd.df ſunt æquales, minori
tempore mouebitur in arcu df remotiore, quam in ar­
 cu bd ſtationi propiore per prop. 6. Dices velocitas mo­
 tus ex f in d augetur inæqualiter, fiuntque; ad ſingula pun­
 cta minora incrementa; mutatà ergo velocitate non
1dem erit ratio motus. Reſpondeo velocitatem ex f in d
inæqualiter quidem augeri, & continuó minora fieri in­
 crementa, per prop: 20. at verò velocitatem ex f in d col­
21[Figure 21]
lectam eſſe majorem velocitate ex d in b collectà. Quia
enim velocitatis ex d in b continuò quoque; minora fiunt
incrementa; velocitas inde collecta erit minor veloci
 tate ab æqualibus ipſi d incrementis collectá: at verò
velocitas in f majora ex f in d ſumit incrementa, quam
ut æqualia ſint velocitati in d: velocitas ergo ex f in d col­
 lecta eſt multó major velocitate ex d in b collecta, ac pro
inde minori tempore illos arcus perambulat æquales.
1
Lemma I.
Si aſſumantur arcus in ratione continuà, quam habent ſinus
intercipientes illos arcus, major erit proportio inter arcus poſterio­
 res, quam inter arcus priores.
Sit arcus bd, ſinu ab & cd interceptus, in eadem ratio­
 ne ad arcum df ſinu cd & ef interceptum, in quà ſi­
nus ab ad ſinum cd: & rurſum arcus df àd arcum fh, ut
ſinus cd ad ſinum ef; dico proportionem tam inter ſi­
 nus, quam inter arcus illis ſinubus interceptos conti­
 nuò fieri majores, nimirum proportionem ſinus cd ad
ſinum ef, & arcus df ad arcum fh eſſe majorem, quam
ſinus ab ad cd, aut arcus bd ad df. Aſſumatur enim ar­
 cus bd grad: 9. eritque; ab 100000. ſinus totus, cd autem
98769. ſinus grad. 81. quòd ſi ergo fiat ut ab ſinus totus ad
9, ita ſinus grad. 81. ad aliud, prodibit arcus 8 in datâ ra­
 tione, quam habet ſinus ab ad cd, ſi minutias omittamus.
Simili modo ſi fiat ut ſinus cd grad: 81 ad arcum df grad.
8, ita ſinus ef grad.73 ad aliud, prodibit arcus fh grad. 7.
atque; ita conſequenter inuenientur arcus reliqui, quos di
 co majorem rationem habere ad arcus proximè ſequen­
 tes, quam ad hos habeant arcus proximè antecedentes.
Eſt enim major proportio grad. 8 ad 7, quam grad. 9 ad
8: & grad. 4 ad 3, quam grad. 5 ad 4. atque, eadem eſt ratio
1in arcubus reliquis. Si ergo aſſumantur arcus in ratio­
 ne continuâ, quam habent ſinus intercipientes illos ar­
22[Figure 22]
cus, major eſt proportio inter arcus poſteriores, quam
inter arcus priores.
Lemma II.
Si quadrans circuli diuidatur in quot libet arcus æquales, mino­
 res verò quam in ratione ſubtriplá ad ſinum totum, habebunt ſinus
proximi intercipientes illos arcus minorem rationem quam duplam.
IN fig: 6. Diuidatur quadrans circuli bifariam in h in
arcum bh gra: 60, & arcum ho grad: 30, eritque, arcus bh
maior ſinu toto: propterea quòd quadrans majo­
 rem ad hunc, quam ad arcum grad. 60 habeat rationem.
Quòd ſi ergo arcus bh ſubdiuidatur in alios tres arcus
1bd. df.fh inter ſe æquales, minor erit proportio ſinus ab
ad arcum bd quam tripla, habebit ergo ad arcum mino­
 rem, quam ſit bd, rationem triplam, qui ſit bq, atque; hunc
intercipiens ſinus pq maior ſinu cd: dico ſinus proximos
intercipientes illos arcus, nimirum ab & cd, aut cd & ef.
aut ef & gh minorem rationem habere quam duplam.
Erit enim ſinus cd. grad: 70, & ſinus ef grad: 50. & ſinus gh
gtad: 30. at verò ſinus totus ab 100000. ad ſinum cd grad.
70, nimirum ad 93969, & ſinus ef grad: 50 ad ſinum gh
grad. 30 ideſt. 76604. ad 50000 minorem habet rationem
quam duplam. Quod idem de aliis ſinubus proximè in­
 tercipientibus illos arcus æquales, ex tabulis ſinuum
conſtabit. Quia verò ſinus propiores minorem ha­
 bent rationem, erit minor proportio ab ad pq quam ad
cd. ac proinde minor quam dupla. Si ergo quadrans cir­
 culi diuidatur in quotlibet arcus æquales, minores verò
quam in ratione ſubtriplá ad ſinum totum, habebunt ſi­
 nus proximi intercipientes illos arcus minorem ratio­
 nem quam duplam.
Lemma III.
Si aſſumantur arcus in ratione continuá, quam habent ſinus
intercipientes illos arcus, habeatque; ſinus primus ad arcum interce­
 ptum majorem rationem quam triplam, habebunt ſinus proximi ra
 tionem ad ſe minorem quam duplam.
1
VT ſi arcus bd ad arcum df ſit ut ſinus ab ad ſinum cd:
& rurſum ut ſinus cd ad ef, ita arcus df ad fh, habeat
verò ſinus ab ad arcum bd majorem rationem quam tri
 plam, dico ſinus intercipientes illos arcus rationem ad
ſe habere minorem quam duplam. Quia enim ſinus ab
23[Figure 23]
> eſt major ſinu cd erit quoque; arcus bd major arcu df: fiat
ergo arcus bd æqualis arcui ds, eritque; ſinus rs minor ſinu
cd: eſt autem per Lemma 2. minor proportio ejuſdem
ſinus cd ad ſinum rs quam dupla; multò ergo minor ad
ſinum majorem ef quam dupla. Quod idem de aliis ſi­
 nubus oſtendemus. Si ergo aſſumantur arcus in ratio­
 ne continuà &c.
Lemma IV.
Si aſſumantur arcus in ratione continuà, quam habent ſinus in
1tercipientes illos arcus, habeatque; ſinus primus ad arcum interce­
 ptum majorem rationem quam triplam, erit ſinus ſecundus major
illo arcu intercepto.
QVia enim ut ſinus ita arcus intercepti; habent autem
ſinus proximi rationem ad ſe minorem quam du­
 plam, per Lemma 3; habebunt quoque; arcus minorem
rationem quam duplam. Et quia ut ſinus ad ſinum, ita
arcus ad arcum, erit permutando ut ſinus primus ad ar­
 cum primum, ita ſinus ſecundus ad arcum ſecundum:
habet autem ſinus primus ad arcum primum majorem
rationem quam triplam, habebit quoque; ſinus ſecundus
ad arcum ſecundum majorem rationem quam triplam.
Quia ergo ad eundem arcum ſecundum majorem rati­
 onem habet ſinus ſecundus, quam arcus primus, erit ſi­
 nus ſecundus major quam arcus primus, hoc eſt quam
arcus interceptus.
Propoſitio XXIV.
Perpendiculum ex quolibet puncto ejuſdem circuli æquali tem­
 pore recurrit in ſuam ſtationem.
IN circulo tuxb ſint duo perpendicula ab. ad extra ſu
 am ſtationem at, habeatque; ſinus totus ab ad interual­
 lum bd majorem rationem quam triplá, dico utrumque;
1codem tempore recurrere in t. Erit enim velocitas in b ad
velocitatem in d, ut ſinus ab ad ſinum cd per prop: 22.
quòd ſi ergo in illo recurſu eadem ratio velocitatis con­
 ſtaret, aut ſimilibus augeretur incrementis, quia major
proportio arcus bt ad arcum dt, quam ſinus ab ad ſinum
cd, quo quidem tempore perpendiculum ab recurrit
in t, eodem perpendiculum cd procurreret extra t, tanto
interuallo, quantus eſt exceſſus hujus proportionis. At
verò quia ad ſingula puncta mutatà ſinuum ratione,
mutatur quoque; ratio velocitatis: major enim proportio
cd ad ef, quam ab ad cd per lem: 1. erit quoque; major pro­
 portio arcus df ad fh, quam arcus bd ad df. quia ergo
cum hoc ſinuum & arcuum decremento continuó au­
 getur illorum proportio, minuitur verò diſtantia ter­
 minorum motus, neceſſe demum abſumi & deficere, il­
loque; deficiente motum coæquari: quod non niſi in pun­
 cto t dico poſſe fieri. Concurrat enim, ſi fieri poteſt,
utrumque; perpendiculum in q minori, quam t, interuallo:
& quia non ante q fit concurſus, ſi perpendiculum ab
ſtatuatur in m; erit perpendiculum ad inter m & q: ſit er­
 go in o. quia verò ut lm ad no, ita velocitas motus in m
ad velocitatem motus in o: aut arcus mo ad arcum oq
eandem habet rationem, quam ſinus lm ad ſinum no,
aut non eandem, ſed vel maiorem vel minorem: habe­
 at primúm eandem rationem. Dum ergo
1lum ad mouetur ex o in q, perpendiculum ab ex m in o
promouebitur: non igitur concurſus fit in que Simili mo
do ſi mo ad oq majorem habeat rationem, perpendicu­
24[Figure 24]
lum ad ex o majori quam oq interuallo abducetur. Si
demum minorem habeat rationem, auferatur pars pro­
 portionalis, atque; rurſum alia, quouſque; in q ſit æqualis aut
minor: & tum rurſum oſtendemus perpendiculum ad
præcurrere: non igitur concurſus in minori quam t in­
 teruallo eſſe poteſt. Quód ſi autem ad dicatur præcur­
 rere in t, erit ab in aliquo puncto minús remoto, verbi
gratias: igitur cùm ab ferebatur in q, ad necdum atti­
 git t: erit ergo in aliquo puncto inter t & q, quod ſit s. Et
quia ut ſinus pq ad ſinum rs, ita motus in q ad motum in
s: eſt autem ſinus pq major quam rs, erit arcus
1onalis minor qua qs: quia verò ſinus rs eſt maior arcu sq
per Lemma 4. minor autem arcu ts, erit arcus ts multò
major arcu proportionali: poſito ergo perpendiculo ab
in s, perpendiculum ad necdum eſſe poteſt in t. Quod
idem de quouis alio puncto oſtendemus. Quia ergo
perpendiculum neque; propiùs concurrere, neque; præcur­
 rere poteſt, concurret neceſſariò in t. Poterit eadem ra­
 tio in hunc modum fieri: motus ſe habent ut ſinus atque;
horum interualla, ſeu arcus ſinubus intercepti: hæc au­
 tem interualla continuò fiunt minora, in puncto verò
t nulla: igitur & motus continuó minori, in puncto ve­
 rò t nullo abſiſtunt interuallo, Quòd ſi aſſumantur plura
puncta b.d. f.h.k.m. &c. eadem vià oſtendemus ex omni­
 bus ſimul recurrere in t: ſicuti enim ex b & d, ita ex d & f,
& ex f & b, et ex h & k &c. æqualis fit recurſus. Perpen­
 diculum ergo ex b & d æqualiter recurrens recurret
quoque; æqualiter ex b & f & h & k &c.
Propoſitio XXV.
Excurſus perpendiculi in eodem circulo à lineà ſtationis ſunt in­
 ter ſe æqualis.
QVia (in fig: 8.) velocitas in eb velocitati in fb, &
velocitas in cb eſt æqualis velocitati in db per prop.
20. eſt autem velocitas in eb ad velocitatem in cb, ut arcus e
1b ad arcum cb: propterea quòd perpendiculum ex c & e
æquali tempore recurrit in b per prop: 24. erit ut arcus
fb ad arcum db, ita velocitas excurſus in fb ad velocita­
 tem excurſus in db. At verò ut idem arcus fb ad arcum
db, ita violentia inclinationum in illis arcubus collecta:
tollit autem violentia partem impulſus ſibi æqualem
per poſit: 2. igitur ut arcus fb ad arcum db, ita ablatum
ad ablatum, hoc eſt velocitatis decrementum, & velo­
 citas reliqua ad reliquam velocitatem habet autem ve­
 locitas motus eandem rationem, quam interualla. Quia
ergo excurſus eandem rationem habent tum ad ſe, tum
ad interualla, quam habent recurſus ad ſe, & ſua inter­
 ualla; fiunt autem recurſus eodem vel æquali tempo­
 re, erunt quoque; excurſus eodem vel æquali tempore, ac
proinde inter ſe æquales.
Propoſitio XXVI.
Motus per arcus ſimiles inæqualium circulorum rationem ha­
 bent quam ſinus illorum arcuum.
ASſumantur duo arcus, in circulo quidem maiori bd.
bf, in circulo autem minori ce.cg inter ſe ſimiles: di­
 co motum perpendiculi ex f in b ad motum ex g in c, &
motum ex d in b ad motum ex e in c eandem rationem
habere quam ſinus illorum arcuum. angant enim
1utrumque; circulum in punctis f.d.g.e lineæ fk. di, & gb eh:
eritque; angulus akf angulo abg, & angulus aid angulo ab
e æqualis: propterea quód anguli afk. agb, & anguli ad
i. aeh ſint recti, anguli verò kaf.iad communes: velo­
 citas ergo in f velocitati in g, & velocitas in d velocitati
25[Figure 25]
in e eſt æqualis: igitur ut f ad d, ita g ad e: ſed ut f ad d, ita
ſinus arcus fb ad ſinum arcus db; & ut g ad e ita ſinus ar­
 cus gc ad ſinum arcus ec per prop. 22. erit ergo permu­
 tando motus in f ad motum in g, ut ſinus arcus fb ad ſi­
 num arcus ge; & motus in d ad motum in e, ut ſinus
1cus db ad ſinum arcus ec. Motus ergo per arcus ſimiles
inæqualium circulorum rationem habent quam ſinus
illorum arcuum,
Propoſitio XXVII.
Motus in circulo minori eſt velocior motu in circulo majori.
IN circulo maiori dfb perpendiculum ex f in b, in cir­
 culo verò minori mgc ex g in c moueatur: dico velo­
 ciùs ex g in c, quam ex f in b recurrere. Quia enim mo­
 tus in fb ad motum in gc, ut ſinus bg ad ſinum cu per prop:
25. & ut bg ad cu, ita ab ad ac, propterea quód lineæ bg cu
ſint parallelæ, & triangula bag. eau ſimilia: eſt autem
maior linea ab quam ac, erit quoque; bg maior quam cu
maior ergo motus ab eadem velocitate in bg, hoc eſt in
fb maiori, quam in cu, hoc eſt in ge, minori interuallo
per prop: 5. ac proinde in circulo minori eſt velocior
motus, hoc eſt minori fit tempore, quam in circulo ma­
 jori.
Propoſitio XXVIII.
Motus circulorum ſunt in ratione ſuorum temporum, quam ha­
 bent diametri ad ſe duplicatam.
QVia enim ut ſinus bg ad ſinum cu, ita motus in fb
ad motum in gc per prop. 25. eſt autem ut bg ad cu
1ita motus in ab ad motum in ac propterea quòd motus
ab motui bg, & motus ac motui cu eſt æqualis per prop:
13. erit motus in fb ad motum in gc, ut motus in ab ad
motum in ac. At verò motus in ab ad motum in ac, &
26[Figure 26]
huius duplum lb ad mc rationem habent quam tempo­
 rum quadrata per prop: 12. radices ergo quadratæ line­
 arum bl. cm eandem rationem habent quam tempora
motus circulorum, ac proinde illorum temporum rati­
 onem habent diametri ad ſe duplicatam.
1
Propoſitio XXIX.
Fieri poteſt ut arcum circuli majoris minori tempore tranſeat,
quam arcum circuli minoris.
ASſumatur in fig: 10. ſinus ou ad ſinum qm in eà rati­
 one, in quà diameter major ab ad minorem om, e­
ritque; velocitas in o ad velocitatem in q, ut ab ad om, hoc
eſt ut motus qb in circulo maiori ad motum tm in cir­
 culo minori. Quód ſi ergo ſumantur duo arcus op. qr
inter ſe æquales, maior erit proportio motus in qr ad
motum in op, quam ad motu in tm: velocior ergo mo­
 tus in arcu op circuli maioris, quam in arcu tm circuli
minoris.
Propoſitio XXX.
Ab impulſu contrario & æquali nullus eſt motus: ab impulſu
verò contrario & inæquali motus eſt æqualis exceſſui majoris.
QVia enim contrarium æquale tollit vel impedit ſu
 um contrarium in eadem ratione, totum quidem
totum, pars verò partem ſibi æqualem per poſi: 2. Su­
 blato per contrarium æquale toto impulſu nullus erit
motus, qui eſſe non poteſt abſque impulſu. Quód ſi ve­
 rò impulſus ſint inæquales, quia minor à majori tollit
partem ſibi æqualem, erit reliquus exceſſus principium
1motus. Ab impulſu ergò contrario & æquali nullus eſt
motus &c.
Propoſitio XXXI.
Motus ſecundùm quid contrarij per lineam fiunt mediam, cujus
interuallam determinat ſinus complementi inclinationis, in ratione
quam habent impulſus.
VI in fig: 2 ſi mobile ex eodem puncto a moueatur
per lineas ab. af, aut per lineas ab. ad, & ſit angulus
baf major, angulus verò bad minor recto, erunt hi mo­
 tus per definit: 5. ſecundùm quid contrarij, ac proinde
in eo in quo ſunt contrarij, tollunt aut impediunt ſuum con
trarium, per definit: 1. impulſus ergo in af ab impulſu in ab,
& hic ab impulſu in af retractus, quia idem mobile eſſe non
poteſt in pluribus locis, ac proinde neque; pluribus moti­
 bus agitari, mouebitur motu inter utrumque; medio, cu­
 juſmodi linea motus ad: dico huius lineæ interuallum à,
lineis extremis ab. af eſſe ſinum complementi angulo­
 rum faddab, in ratione quam habet impulſus ab ad im­
 pulſum af. Quia enim velocitas motus per lineas incli­
 natas eſt in ratione ſinus complementi illarum inclina­
 tionum, per prop: 14. ratio autem velocitatis eſt eadem
quæ impulſus, propterea quòd impulſus eſt agens ne­
 ceſſarium, motumque; producit ſibi æqualem per prop: 2.
1erit ſinus complementi anguli fad ad ſinum comple­
 menti anguli dab, ut impulſus in af ad impulſum in ab,
Motus ergò ſecundùm quid contrarij per lineam fiunt
mediam, cujus interuallum determinat ſinus &c.
Propoſitio XXXII.
Motus perfectè mixtus fit per diametrum parallelogrammi, cu­
 jus latera conſtituit motus ſimplex: & ex impulſu quidem æquali
eſt æqualis ſemisſi, ex inæquali verò major ſemiſſe ejuſdem motus.
MOtum perfectè mixtum conſtituunt motus, qui æ­
 qualiter ſunt ſimiles & contrarij: tantùm enim hic
27[Figure 27]
illum auget, quantùm & minuit. Moueatur idem mobi
 le ex a in b & c, & ſit angulus bac rectus, eritque; per defini­
 tionem motus medius incipiens ab angulo recto per­
 fectè mixtus: Dico hunc motum fieri per diametrum
ad parallelogrammi abdc, cuius latera ab. ac ſunt mo­
 tus, qui inter le miſcentur: & ſiquidem motus in ab ſit æqua
lis motui in ac, motum mixtum in ad eſſe æqualem ſemiſsi utri
1uſque; motus ſimul ſumpti: ſi autem motus fuerit inæqualis,
maiorem ſemiſſe. Sit primò motus in ab æqualis motui in
ac: & ex bc termino utriuſque; motus demittantur lineæ
perpendiculares be. ce, ſinus æqualium angulorum cde,
edb. Quia ergo ut ab ad ac, ita ſinus complementi eb ad
ec, erit diameter ad linea motus mixti. Eſt autem mo­
 tus in ab & ac duratione quidem æqualis motui in ae
per prop: 13. magnitudine verò minor, cujus exceſſus
quadratum eb. & ec, ſeu ae & ed: at verò duo quadrata ae.
ed ſunt ſemiſsis quadrati ad, hoc eſt motus in ab.ac, cui,
æquale eſt quadratum ad, propterea quòd ad ſit dupla
ae aut ed: igitur motus æqualiter mixtus fit per diame­
 trum parallelogrammi, & ab æquali impulſu eſt æqua­
 lis ſemiſsi utriuſque; motus ſimul ſumpti. Quód ſi mo­
 tus ſit inæqualis, & u.g. dupló velocior in ef quam in eg,
dico motum mixtum fieri quidem per diametrum eb,
eſſe autem ſemiſſe maiorem. Deſcripto enim centro b
arcu mn, erit ſinus complementi ik ad ſinum comple­
 menti ip, ut motus in ef ad motum in eg, ac proinde di­
 ameter eh linea motus mixti: ad quam ex punctis fg du­
 ctæ lineæ perpendiculares fl. go metientur defectum
motus in eh. Quia ergo ex angulo recto efh linea fl eſt
perpendicularis ad baſim eh, erit ut ef ad fh, ita el ad lf, &
lf ad lh: ponitur autem quadratum ef duplum quadrat
fh, ſiue eg, erit ergo quadratum fl ſimiliter duplum
1ti lh. quadratum ergo fh utrique æquale continebit tria
quadrata, quorum ſingula ſint æqualia quadrato lh. &
quia quadratum ef eſt duplum quadrati fh, erit quadra­
 tum eh æquale nouem quadratis lh ſimul ſumptis. At
verò quadratum el duplum quadrati lf erit quadruplum
quadrati lh, aſſumptoque; quadrato eo, aut huic æquali lh
erunt duo quadrata el. lh ſimul ſumpta æqualia quinque;
quadratis lh: Maiora ergo quam ſemiſsis quadrati eh,
quòd æquale ponitur nouem quadratis lh. Igitur mo­
 tus perfectè mixtus fit per diametrum parallelogram­
 mi, cujus latera conſtituit motus ſimplex &c.
Propoſitio XXXIII.
Motus mixtus incipiens ab angulo majori quam recto, eſt minor
ſemiſſe: incipiens verò ab angulo minori quam recto, major ſemiſſe
motus ſimul ſumpti.
Sit primùm in fig: 7. angulus dae maior recto, & an­
 gulus bac rectus, eritque; quadratum bb æquale qua­
 drato ab: eſt autem quadratum db, ex ceſſus nimirum
motus ad, quadrato bh, ac proinde quadrato ah maius:
igitur quadratum ad æquale duobus quadratis dh. ah ad
quadratum minus ah maiorem rationem habet quam
duplam: motus ergo in ah mixtus eſt minor ſemiſſe
1motus in ad, atque; illius duplum minus quam motus in a
d. ae ſimul ſumpti. Quòd ſi angulus fag ſit minor recto,
erit latus fh, & huius quadratum minus quam ah: mo­
 tus ergo in af ad motum in ah minorem rationem ha­
 bet quam duplam, ac proinde motus in ah major ſemiſ­
 ſe motus in af, & illius duplum majus quá motus in af.
ag ſimul ſumpti.
Propoſitio XXXIV.
Motus mixtus eſt neceſſarió minor diametro quadrati aut
parallelogrammi, cujus latera ſunt motus ſimplex.
NAm motus quidem in be mixtus (in fig: 4.) eſt du­
 plum quadrati eiuſdem be: quadratum verò db ad
quadratum be eſt quadruplum. Cauſa verò hujus de­
 ſectus eſt contrarietas illorum motuum, ex angulis pro­
 ueniens, cum quibus augetur & minuitur, quouſque an­
 gulus lateſcens æqualis fiat duobus rectis, in quo ſum­
 ma eſt contrarietas, ac proinde nullus eſſe poteſt motus.
Angulo verò decreſcente augetur ſimilitudo motus,
quouſque angulo deficiente ſint una linea motus, in quà
perfecta ſimilitudo, nulla autem eſt contrarietas. Itaque
motus æqualis motum auget in eadem ratione, totus
quidem totum, pars verò partem ſibi æqualem per
poſit. 1.
1
Propoſitio XXXV.
Problema I.
Lineam motus mixti, & illius magnitudinem determinare.
SIt primùm motus pq. pr perfectè mixtus, incipiens ab
angulo recto qpr: & ex q & r ducantur lineæ qs. rs pa
 rallelæ ad pq. pr, eritque; per prop. 31. motus mixtus in di­
 ametro ps: ad quam ex termino utriuſque motus q & r
28[Figure 28]
demittantur lineæ perpendiculares qt.ru, eritque motus
mixtus ex pqpr æqualis duobus quadratis pu.pt.
1datur ergo ex linea tq productà linea tx æqualis lineæ p
u, & ex puncto p, interuallo autem px deſcribatur arcus
xy, connectanturque; linea px: dico quadratum py eſſe
motum mixtum & duratione æqualem motui pq. pr ſi­
 mul ſumptis. Quia enim quadratum py quadrato px,
hoc autem duobus quadratis pt.tx, ſeu pu eſt æquale: eſt
autem motus pt motui pq, & pu motui pr æqualis dura­
 tione per prop: 13. erit motus mixtus in py ſimiliter æ­
 qualis motibus pq & pr ſimul ſumptis. Quòd ſi verò
motus imperfectè mixtus & inæqualis ab. ac ab angulo
incipiat maiori aut minori quam recto bac: aſſuman­
 tur duo puncta fg æqualiter remota ab a, à quibus pro­
 tractæ lineæ perpendiculares fh. gh ſe interſecent in h, e­
ritque; angulus fhg complementum anguli bac, & ſimul
ſumpti æquales duobus rectis. Deſcribatur ergo ex h
arcus fig, ſeceturque; bifariam in i eà ratione, ut ſinus ik ad
ſinum il ſit, ut motus ab ad motum ac: dico lineam ex a
productam in i eſſe lineam motus mixti. Producatur e­
 nim fh in p, eritque; angulus fpa complementum anguli f
ap, & angulus aog complementum anguli oag: duo er­
 go anguli hpo. aog hoc eſt hop, ſimul ſumpti ſunt æqua<l
 les duobus angulis fhi: thg ſimul ſumptis, propterea
quód ſint complementa ejuſdem anguli fag, eſt autem
angulus hop externus major angulo iho interno quanti­
 tate anguli bio, angulus verò iph internus minor
1lo ihf externo, quantitate ejuſdem anguli hip: angulus
ergo hop angulo fhi, & angulus oph angulo tho ſeu ihg
eſt æqualis, ac proinde ik. il ſunt ſinus complementi an­
 gulorum iag.e ai. Et quia motus ſunt in ratione, quam
habent ſinus complementi inclinationum, erit linea ai
linea motus mixti ex ab.ac; ad quam ex termino utriuſque;
motus b.c demittantur lineæ perpendiculares bd.ce:
eruntque, duo quadrata ad.ae ſimul ſumpta motus mix­
 tus: abſcindatur ergo ex db producta dm æqualis ae, &
centro a ducatur arcus mn, dico quadratum an eſſe ma­
 gnitudinem motus mixti. Erit enim quadratum am,
hoc eſt an, æquale duobus quadratis ad. dm, ſeu ae, cui
æqualis ſumebatur dm. Lineam ergo motus mixti & il­
 lius magnitudinem determinauimus, quod erat facien­
 dum.
Propoſitio XXXVI.
Mobile ſeu impulſu, ſeu à grauitate moueatur, ſi planum occur­
 rat, reflectit ab eodem plano per lineam rectam.
IMpulſus ſit dum corpus unum alteri in currit & alli
 dit, ſiue utrumque, ſiue unum ex illis moueatur, atque; eo
magis mouet & impellit, quò magis ferit & allidit: &
ſiquidem reſiſtentia minor eſt impulſu, in illam partem
mouet illud mobile, in quam ſit plaga, eundem motum
1continuando; velocitate tamen eó minori, quó reſi­
 ſtentia eſt majòr. Quód ſi reſiſtentia ſit major impul­
 ſu, eádem velocitate, quà impulit, in partem auerſam re
pellitur: propterea quód illa plaga æqualem in utroque;
mobili impulſum producit. Eſt autem major plaga ex
velociori & magis violento incurſu: igitur ab æquali
plagá æqualis quoque; recurſus. Et quia per motum fit
plaga, mouetur autem mobile ad motum ſui centri, erit
quoque plaga ab eodem centro. Sed & reſiſtentia fit â cen
 tro ſeu grauitatis, ſeu contrarij impulſus: eadem ergo ra
29[Figure 29]
tione minor reſiſtentia impulſum recipit, quà major ei­
 dem reſiſtit. Vt ſi mobile ex a moueatur à grauitate qui
dem in b, ex impulſu verò in faut c: ſit autem major
1ſtentià in b & f, quam ut loco moueantur ex illo impul­
 ſu, minor autem in c: motus quidem ex b & f in a refle­
 ctit, ex c verò expulſo illo mobili quieſcit, ſi ſit æquale:
eundem verò motum continuat in d, ſi minus ſit percuſ­
 ſum: quia tamen reſiſtentia impulſum minuit, quó ma­
 jor reſiſtentia, eò minor velocitas motus.
Propoſitio XXXVII.
Motus in ſe ipſum reflectit, cùm centrum grauitatis & conta­
 ctus ſunt in eádem lineá motus.
GLobus a occurrat plano in b, ſitque centrum grauita
 tis aut impulſus e in lineà motus ab perpendiculari
 ad contactum b, dico hunc motum in ſe ipſum reflecti.
Quia enim motus & huius plaga ad motum fit ſui cen­
 tri, erit motus globi a, & hujus plaga in lineâ ab à centro
e ductà per contactum: & quia eadem ratione impul­
 ſum recipit & impellit, eſtque major reſiſtentia in b quam
impulſus ex e, erit motus reflexus in eadem lineà ab.
Motus ergo in ſe ipſum reflectit, cúm centrum grauita
 tis & contactus ſunt in eadem lineà motus. Obijcies
cùm pila percutit planum, eàdem vi percutitur ab illo
plano: eſt autem à percuſsione æquali impulſus æqua­
 lis, quó enim violentiùs incidit, eó magis impetuosé reſi­
 rit ab illá plagà: impulſus ergo, quem pila recipit â
1no, eſt æqualis impulſui, quod idem plano allidit. Quia
verò hi impulſus tendunt in partes oppoſitas ejuſdem
lineæ rectæ, erunt per definit: 4. contrarij abſolutè: tol­
 lit autem contrarium æquale ſuum contrarium in eà­
 dem ratione, totum quidem totum, pars verò partem
ſibi æqualem; ſublato ergo per contrarium æquale im­
 pulſu nullus erit motus reflexus, cùm linea motus eſt
perpendicularis ad illud planum. Quód ſi à percuſsio­
 ne in plano, aut globo quieſcente factá morus reflectit,
quid prohibet ab eodem plano, aut globo, ſi motu op­
 poſito ferantur, & violentià æquali ſibi occurant, à per­
 cuſsione æquali eundem motum reflecti? Vt in hac ob­

ſcuritate aliquam lucem conſequamur, quæ non niſi ex
naturà impulſus priús cognitá eluceſcit, de quâ in lib: de
Arcu Cæleſti latiùs diſſeremus, notandum hic breuiter 1.

Impulſum fieri à percuſsione juxta determinationem il­
 lius plagæ, quam centrum inducit percutientis, & quam
centrum recipit percuſsi; partes enim mobilis impul­

ſum recipiunt per lineas motui centri parallelas. 2. Hanc
plagam, quæ fit à corpore percuſſo, aliter dum quieſcit,
aliter dum eſt in motu impulſum determinare: quia
enim plaga ex impulſu, percuſſum verò quieſcens nul­
 lum ex ſe habet impulſum, verùm à percutiente; eádem
plaga, quà percutitur, impulſum determinat in percuti
 ente: ab æquali ergo plagà æqualis impulſus. Cum
1tem percutitur in motu, quia ex ſe impulſum habet, non ex
illà plagà, quam recipit à percutiente, ſed quam infert
impulſum determinat; licet ergo illorum corporum,
quæ violentiá inæquali colliduntur, idem ſit contactus,
non tamen eadem ab utroque, verùm â majori major, à

minori impulſu minor infertur plaga. 3. Corpora per­
 cuſſa alia eſſe mollia, quorum partes percuſsioni cedunt,
inter ſe verò unitæ manent; cujuſmodi argilla, cera, lana,
plumbum, &c. Alia dura; & ſiquidem percuſsioni nul­
 lo modo cedunt, abſolutè dura; ſi autem percuſsioni ce
 dunt, neque; partes inter ſe unitæ manent, fragilia dicun­
 tur; ut vitrum, teſta, tophus, &c. Corpora demum abſo­
 lutè dura alia ſunt ſonora, quorum atomi vibratione
quadam mouentur, ut propo: 1. dictum; alia ſurda, quo

rum atomi nullo aut inſenſibili motu monentur. 4
Impulſum naturà ſuà inclinare ad motum perfectum,
quo mobile ſecundúm ſe totum locum mutat. Quòd
ſi ergo impulſus, quem plaga inducit, proportionem
habeat ad illud mobile, eodem quo percutiens motu fe­
 retur: ſi autem minor ſit impulſus quam ut loco moue­
 atur, habeat vorò idem mobile partes fragiles, aut in ſe
cedentes, percutiens percuſſum perforabit, aut excaua­
 bit; it a nimirum ſi major ſit ſoliditas percuſsi, quam ut
impetus per omnes partes eluctetur, qui non prius iram
ponit, quam continuatà illarum partium, cuas
1pit, vel collidit, reſiſtentia vires abſumat. Ex hujuſmo­
 di ergo corporibus nullo modo reflectit motus, niſi in
progreſſu, priúſquam exoluatur, occurrant partes magis
ſolidæ: ita enim pila ubi calcem deraſit àmuro, ex oc­
 curſu ſaxi reflectit: quod non ſit ſi viá, quà irrupit á fiſ­
 ſurà rurſum coëat, quemadmodum in ligno viridi, cu­
 jus vulnus ex partium fiſſarum coalitu mox ſolidatur.
Corpora autem dura abſoluté quia neque; perforantur,
neque; partes habent percuſsioni cedentes, æqualem reci­
 piunt atque; inferunt plagam, morum verò ex illà plagâ re
flectunt, atque; eó magis, quó duritie magis præſtant. In­
 de ergò fit quód vala vitrea aut cryſtallina inæqualiter
colliduntur, pro ut illa corpora, ad quæ offendunt, per­
 cuſsioni magis aut minús cedunt: quia nimirum non
ex illà, quam inferunt, ſed ex illâ, quam recipiunt, plaga
colliduntur. 5. Impulſum fieri per lineam rectam: & ſi­

cuti grauitas minús mouet, quó magis linea motus ad
horizontem eſt inclinata, quieſcit verò à motu in lineà
eidem parallelás ita impulſum ex inclinatione motus
ſenſim minui, & demum in hypomochlio deficere.
Quòd ſi ergo mobile occurrat plano, it a ut contactus
ſit in lineá motus eiuſdem centri, quia centrum hypo­
 mochlio occurrit, totus ex illà plagà emoritur impul­
 ſus; propterea quòd motui quies non minùs eſt contra
 ria, quam motus: at verò ſi planum ſit inclinatum, in
1là tantum parte, quæ hypomochlio occurrit, motus con­
quieſcit, reliquà parte, quæ cum centro extra hypomo­
 chlium cadit, nihil impedità: impulſus ergo pilæ, cúm
motus centri eſt perpendicularis ad planum, ubi percuſ­
 ſit in hypomochlio â motu conquieſcit: at vero planum
ex illà plagà in percutiente nouum determinat impul­
 ſum, juxta directionem plagæ, quam infert; à quo eadem,
quà venit, vià retroagitur: & ſiquidem duritie præſtat,
erit plaga & qui hanc ſequitur impulſus in utroque; æqua­
 lis, ac proinde motus reflexus æqualis motui recto: de­
 ficiet autem motus reflexus â motu recto, ſi defectu du­
 ritiei minorem recipiat, quam dedit plagam. Quód ſi
ergo duo globi violentiá æquali ſibi occurrant, ſitque; mo­
 tus centri utriuſque; in eádem lineà rectà; quia tum uterque
alteri, non minús quam planum, eſt hypomochlij loco,
ab illâ communi plagà in utroque, emoritur, nouus verò
quo retro aguntur, impulſus regeneratur. Licet verò
poſit: 2. inficiamur ejuſmodi globos ſibi occurrentes re
 ſilire, id tamen exempli gratia ad naturam contrarij ma­
 gis explicandam, & ex ſuppoſitione, ſi nimirum impul­
 ſus ei ratione miſceantur, à nobis dictum fuit: at verò hi
impulſus non miſcentur, verùm uni abolito alius ſuc­
 cedit. Quód ſi verò uterque; globus in motu percutiat vi­
 olentià inæ quali, impulſus quidem minoris, ubi percuſ­
 ſit majus, ob hypomochlium à motu conquieſcit,
1pulſum verò ſibi ſimilem & æqualem producit, ſeu de­
 terminat in majori ex illa, quam infert, plagà, hoc eſt
partem tollit à majori ſibi æqualem. At verò majus, ubi
percuſsit, non videtur conquieſcere â motu, propterea
quòd minus non habeat rationem hypomochlij ad ma
jus, impulſum verò in minori producit ſibi æqualem; ut
ſi minor impulſus ut 3. major ut 7. minor quidem à ma­
 jori tollit partem ſibi æqualem ideſt 3. & ſimul ob con­
 trariam in hypomochlio quietem exſpirat; majus verò
quia tota vi percutit minus, impulſum ut 7. producit ex
illà plagà, motum autem à percuſsione non niſi partes 4.
reliquæ perficiunt. Itaque; fit ut ex illà in æquali plagà, ve
locitate ferantur inæquali, minori quidem majus ob vi­
 res à percuſsione accitas & mutilatas, majori verò mi­
 nus ob eaſdem vires de integro acquiſitas. Dices inter­
 dum fieri ut inæquali violentià ſibi occurrant duo glo­
 bi, & tamen uterque; reſiliat. Reſpondeo ſi contactus fi
at in lineà motus centri, videtur non poſſe fieri ut major
reſiliat, propterea, quód major violentia non detinetur
à minori: at veró ſi ex obliquo ſe percutiant, fieri poſſe
ut etiam ille globus, qui magis percuſsit, reſiliat, aut in
codem, quo percuſsit, loco conſiſtat. Inſtabis hanc ſo­
 lutionem non uſque quaque experientiæ conſonare: nam
quomodocunque duo globi inter ſe commicantur, atque
adeò in lineà motus centri ſe percutiant violentiâ
1æquali, uterque reſilit ab illà plagà, magis quidem qui mi­
 nus, minùs verò qui magis percuſsit: non igitur exceſ­
 ſus majoris eſt principium morus reliqui à contactu.
Vt objectioni & experientiæ ſatis fiat, dicendum à quo­
 libet contactu impulſum deficere & exſpirare, nouum
verò à percuſsione determinari, qui motu eidem plagæ
æquali retroagit illud mobile. Cùm enim impulſus â
percuſsione fiat, juxta determinationem plagæ, quam
recipit à percutiente, nihil mirum ſi â determinatione
nouâ nouum impulſum conſequatur: quomodo in acu
nauticà fieri videmus, quæ quoties oppoſitum polum
tangit, directionem, quà eidem polo ſe obuertit, ſorti­
 tur nouam. Quod minùs difficulter admittes, ſi per­
 pendas quá ratione vaſtæ campanæ ingens mugitus, &
qui hunc ſuá vibratione fouet in gyrum actus impulſus
ex leuiſsimo tactu repente conticeſcat: quid ergo mi­
 rum ex tactu pilæ haud paulo majoris impulſum cohi­
 beri? Inſtabis an igitur globus ligneus, ſi ex oppoſito
quantumuis motu lento moueatur, repercutiet pilam
ferream quacunque; violentiá irruentem? Ad pleniorem
hujus atque; aliarum obiectionum ſolutionem, notandum
primò: ut mobile moueatur, non ſufficere quemlibet
impulſum, ſed proportionatum illi mobili: impulſus e­
 nim, quo globus ligneus ad motum concitatur, haud
quaquam loco mouebit pilam ferream ejusdem molis
1aut maiorem: at verò ſi huius impulſu moueatur glo­
 bus ligneus, motu agit abitur multò velociore. Secundò:

hanc proportionem motus & impulſus non á mole, ſed
á grauitate illorum corporum determinari: itaque; glo­
 bus ligneus major, & glans plumbea minor, ſi æquipon­
 derant, ab impulſu æquali æquali velocitate mouentur
Simili modo ſi eandem rationem habeant impulſus
quam habent pondera, erit velocitas motus æqualis'
Tertió percuſsionem & quæ hanc ſequitur plagam non

uno inſtanti, ſed in aliquo tempore quantumuis imper­
 ceptibili perfici: cùm enim plaga proueniat non ex ſolo
contactu, ſed ex irruptione violentá, quá veluti pene­
 trat percutiens percuſſum, non eſſe poteſt abſque; motu;
cùm ergo percutiens tangit, necdum eſt plaga, ſed fit;
cujus ſignum fragor â percuſsione non niſi in tempore
proueniens. Sicuti ergo plaga ſua habet incrementa, ita
determinatio impulſus: & ſi quod mobile non totam
plagam recipit, deficiet quoque; in eadem ratione impul­
 ſus. Quartó: impulſum exſpirare ubi totam perfecit

plagam, partem verò non niſi cum parte emori: reſidu­
 um ergo plagæ ſeu impulſus, ſi nihil eſt quod recipiat il­
 lam plagam, erit principium motus á percuſsione con­
 tinuati. His ſuppoſitis, ita rem tranſigemus ſit ergo.
R
No
1.
2.
3
4
5
2
3
4
Poriſma I.
1
Si globus alium globum percutiat quieſcentem & æqualem, illo
expulſo quieſcit.
VT ſi duo globi lignei inter ſe ſint æquales, aut cum a­
 lio quouis globo ejuſdem ponderis, atque; hic illum
percutiat quieſcentem; quia impulſus percutientis ad
utrumque; globum eandem habet rationem ex notabili
2. æqualis autem impulſus non niſi á plagá ſit perfectâ, e­
 rit velocitas in percuſſo non ante illam plagam: non er­
 go incipiente plagá præcurret ſeque, auellet à percutiente,
ſed plagà demum perfectà illam velocitatem conſecu­
 tus. Et quia ex notabili 4. impulſus, ubi plagam perfe­
 cit, exſpirat; nullam verò plagam inducit globus qùie­
 ſcens, propterea quód neque; irruptio violenta ſeu pene­
 tratio fiat ab illo globo, qui eàdem velocitate, quà percu
 titur, ſe abducit; quieſcet globus percutiens ab illa,
quam fecit, plagà.
Poriſma II.
Si globus major percutiat minorem quieſcentem, minori expulſo
eundem motum continuat major.
QVia enim minus pondus æquali celeritate mouetur
a minori impulſu; illam velocitatem motus qua
præcurrit ſeque; auellit à percutiente, à minori plagâ
1ſequetur, quam ut totum impulſum producat. Et quia
 impulſus non niſi à plagà emoritur; impulſus reliquus,
qui nec dum percuſsit, eundem motum continuabit.
Habeat enim pondus de ad pondus fg eandem rationem,
quam habet impulſus maioris ac ad impulſum minoris
30[Figure 30]
ab, percutiatque; de ipſum fg: quia ergo plagà non niſi in
aliquo tempore fit, & ſicuti plaga, ita quoque; impulſus
ſua habet incrementa, erit impulſus ab prior impulſu ac.
eſt autem ac ad al, ut de ad fg: & permutando ac ad de,
ut ab ad fg; eadem ergò velocitas in utroque;. Et quia eá­
 dem velocitate mouentur, nulla à contactu erit plaga.
Ita ergo pila ferrea dum murum percutit, quia minori
impulſu, ad motum concitantur partes in muro percuſ­
 ſæ, illam velocitatem motus, quâ pila ferrea mouetur,
ab incipiente & necdum perfectà plagà conſequuntur:
impulſæ ergo motum pilæ anteuertunt, ſuoque; impetu a­
 liis inſtant: & ſicubi major vis obſtat, pila à tergo hæ­
 rentes nouo impulſu urget, quouſque; illà percuſsione con
tinuatà totum impulſum plaga hauriat & abſumat
Quód ſi major ſit impulſus, quam ut æqualis ſit illi pla­
 gæ, quà murum perforat, motum à rupturâ continuat li­
 li exceſſui æqualem.
1
Poriſma III.
Si globus minor percutiat majorem quieſcentem, habeat verò
minorem rationem ad ſuum impulſum, quam ad globum majorem,
expulſo majori minor quieſcit aut reflectit.
HAbeat globus a maior ad minorem b rationem du­
 plam, ideſt grauitas ſeu pondus majoris ſit duplum
ponderis minoris; impulſus autem minoris ad ejuſdem
grauitatem in ratione majori quam dupla. Quia ergo
grauitas & impulſus inter ſe ſunt contraria, erit motus
æqualis exceſſui maioris; eſt autem impulſus minoris
maior grauitate maioris, propterea quód ad grauitatem
minoris maiorem habeat rationem; erit ergo huius ex­
 ceſſus principium motus maiori. Igitur ſi globus mi­
 nor percutiat maiorem, quia ab æquali impulſu minor
eſt velocitas motus, non ante perfectam plagam auelli
poteſt à percutiente: & quia à plagà perfectâ emoritur
impulſus, minori autem velocitate maior ſe abducit ab
illà plagà, quàm irruptio fiat minoris; repercutiet ma
 ior minorem, eritque; huius plaga ad menſuram illius tar­
 ditatis. Globus ergo minor, ubi percuſsit maiorem, illo
expulſo reflectit. Quòd ſi ob motum velociorem nullà
à percuſſo inducitur plaga, minor expulſo maiori qui­
 eſcit.
1
Poriſma IV.
Si globus minor percutiat majorem quieſcentem, habeat verò
majorem rationem ad ſuum impulſum, quam ad globum majorem,
illo immoto reflectit minor.
VT ſi impulſus, quo minor globus mouetur, ad illius
grauitatem ſit in ratione duplà; globus veró major
ad minorem rationem habeat maiorem quam duplam,
erit impulſus minoris minor grauitate maioris; non er­
 gò illam mouere valebit, propterea quód motus ab exceſ­
 ſu fiat maioris. Quód ſi ergo minor globus percutiat
maiorem, quia ex illà plagà minor eſt impulſus, quam ut
loco moueat; globus quidem maior à percuſsione qui
eſcit, minor verò quia à percuſſo quieſcente nouam &
æqualem illi, quam dedit, plagam recipit, motum refle­
 ctit. Ex iam definitis diſſoluemus & hoc
Problema I.
Globum in plano quieſcentem percutere alio globo quacunque vi­
 olentià, neque; tamen loco mouere.
ASſumatur globus a cuiuſcunque molis & ponderis, eius
tamen firmitatis, quò totum impetum ſufferre vale­
 at, neque; diſsiliat ex illo ictu: conſtituaturque; in plano AB
1liberè, & abſque ullo nexu: quem percuti volumus ab alio
globo, æquali tamen aut minori, quacunque violentia, atque;
adeò à machinà bellicà effulminato, neque; tamen ſuo lo­
 co moueri. quod quidem nullis machinis, aut retinacu­
 lis, ſed duntaxat unius globi appoſitione conſeque­
31[Figure 31]
mur, qui iram illius fulminis à globo percuſſo hauriat &
abſumat. Appone ergo à tergo alium globum illi æqua
 lem b, & ſit linea motus pilæ ad utrum que globum perpen
 dicularis; dico globum a nulla ratione loco moueri a
globo d. Quia enim globus a eodem momento, quo
percutitur à globo d, percutit globum b ſibi æqualem,
inducet illà percuſsione plagam perfectam, ac proinde
1per Poriſ: 1. â percuſsione quieſcet. Quòd ſi plures glo­
 bi æquales ſe contingant in lineà motus centri, ut f.g.h.i,
percuſſo f primo ab æquali e, ultimus i mouetur, reliquis
f.g.h immotis; propterea quód per Poriſ. 1. poſterior
prioris exhaurit plagam. t verò ſi unus æqualium poſt
fe habeat minores quotcunque; ut o.p.q. percuſſo à k æqua­
 li l, omnes cum l moto mouentur, ut conſtat per Poriſ.2.
Quòd ſi demum percuſsio incipiat à minori q ug: omni­
 bus immotis aut reflexis ultimus mouetur, per Poriſ. 3.
aut ſi minor eſt impulſus grauitate, quieſcit, per Poriſ.
4. Eadem vià diſſoluemus hoc
Problema II.
Globum in plano quieſcentem alio globo quacunque violentià per
 cuſſum, ad imperatam diſtantiam mouere.
VT ſi globum b ab alio globo æquali aut minori qua­
cunque violentiâ percuſſum, ad locum determinatum
vg: c mouere velis, neque; limitem hunc præterire, quan­
 tumuis effræni impetu feratur n eodem loco, quem
terminum illi motui præfixiſti, globum conſtitue æqua­
 lem, dico in eodem loco à motu quieſcere globum b.
Quia enim globum c quieſcentem percutit globus æ­
 qualis b, per Poriſ. i quieſcet ex illa, quam fecit, plagâ.
1
Poriſma V.
Si duo globi ejuſdem molis ſeu ponderis ſe percutiant in motu,
uterque; reflectit.
NAm quia idem pondus utriuſque;, erit quoque velocitas
motus, quam plaga inducit, æqualis; eadem ergo ve­
 locitate reflectit percutiens, quà percuſſum mouebatur.
Ex quo fit manifeſtum illorum velocitatem, quæ in mo
tu ſe percutiunt, à percuſsione permutari: quæ enim ma
 gis percutiunt, minùs; & quæ minùs percutiunt, magis
impetuoſè reflectunt.
Poriſma VI.
Si globus major in motu percutiat minorem, habeat verò minor
minorem rationem ad ſuum impulſum, quam ad globum majorem,
uterque; reflectit.
QVia enim major eſt impulſus minoris grauitate ma­
 joris, ob minorem hujus quam illius ratio nem, ſi mi­
 nor percutiat majorem, mouebitur ex illà plagà major:
reflectit autem & minor à majori, propterea quód à qua
cunque hujus plagâ mouetur minor. Igitur ſi globus ma­
 jor in motu percutiat minorem &c.
Poriſma VII.
1
Si globus major in motu percutiat minorem, habeat verò minor
majorem rationem ad ſuum impulſum, quam ad globum majorem,
minori reflexo motum continuat major.
QVia enim minor eſt impulſus minoris grauitate ma
 joris, propterea quòd minorem ad hanc quam ad im
 pulſum habeat rationem, non poterit grauitas majoris
moueri ex impulſu minoris: licet ergo plaga fiat à mi­
 nori, quia tamen minorem producit impulſum, quam
ut grauitatem majoris loco moueat, non poteſt ex illà
plagà reflecti major. Quia verò à minori impulſu æqua
li velocitate mouetur minor, erit velocitas in minori æ­
 qualis velocitati majoris à plagà necdum perfectà: im­
 pulſus ergo reliquus, qui necdum percuſsit, motum con­
 tinuabit. Si ergo globus major in motu percutiat mi­
 norem &c.
Poriſma VIII.
Si globus major in motu percutiat minorem, habéat verò minor
ad majorem eandem rationem, quam habet ad ſuum impulſum, mi­
 nori reflexo quieſcit major.
MInorem quidem globem à majori reflecti conſtat,
propterea quód ex hujus plagà impulſus quidem æ­
 qualis, maior autem velo citas in minori conſequatur: àt
verò globum maiorem â percuſsione quieſcere, cùm
1andem habet rationem minor ad hunc, quam habet ad
ſuum impulſum, ita oſtendemus: motus non niſi ab ex­
 ceſſu fit maioris; at verò impulſus ex illà plagà, quam in­
 ducit minor in maiori, non maior ſed æqualis eſt eiuſ­
 dem grauitati, ex ſuppoſitione; non ergo ex illo impul­
 ſu moueri poteſt major. Quia verò à percuſsione exol­
 uitur, minor autem, quam ut mouere poſsit, impulſus
regeneratur, quieſcet ex illà plagà globus maior.
Propoſitio XXXVIII.
Cùm centrum grauitatis cadit extra lineam hypomochlij, motus
in illam partem, in quà eſt centrum, reflectit.
OCcurrat globus dcg plano ab non perpendiculari­
 ter, ſed ex obliquo, faciens angulum incidentiæ adc
acutum, eritque; linea cd ducta per contactum linea hypo­
 mochlii, & motui centri parallela, centrum verò e extra
lineam hypomochlii: dico ex puncto contactus a mo­
 tum reflexum fieri in illam partem, in quâ eſt centrum e.
Quia enim motus & plaga ad motum fit centri: centrum
verò e plano occurrit per lineam ed, eſtque; maior reſiſten
 tia in plano quam impulſus, erit motus reflexus ad partes
oppoſitas illi plagæ, ac proinde in partem in quà eſt cen­
 trum.
1
Propoſitio XXXIX.
Motus reflexus fit per lineam parallelam illi lineæ, quæ cum lineà
perpendiculari ad contactum angulum conſtituit in centro, cujus ſi­
 nus eſt æqualis interuallo inter centrum grauitatis & lineam hy­
pomochlij.
IN eàdem figurà ducatur ex e centro grauitatis ſeu im­
 pulſus linea ef perpendicularis ad lineam hypomo­
 chlii cd, & linea eg faciens cum lineà dh perpendiculari
ad contactum in eodem centro e angulum heg, cuius ſi­
 nus hg ſit æqualis lineæ fe interuallo inter centrum gra­
32[Figure 32]
uitatis e & lineam hypomochlii: dico motum reflexum
fieri per lineam di parallelam lineæ eg. Quia enim cen­
 trum grauitatis, dum ſuà mole ferit planum in puncto d
1 per lineam ed ſe ipſum veluti partitur: illa quidem pars
quæ hypomochlio inſiſtit, atque illam plagam inducit, ea­
 dem vià, quá impulit, & impulſu æquali retro agitur: re­
 liqua verò, quæ cum centro extra hypomochlium ca­
 dit, per lineam fertur ek parallelam lineæ db, propterea
quód hæc ſit proxima motui grauitatis ab hypomo­
 chlio impeditæ. Quia ergo motus eh.ek, quibus cen­
 trum grauitatis agitur, ſecundúm quid ſunt contrarii,
propterea quód angulus hek ſit minor duobus rectis, e­
 rit motus mixtus per lineam mediam inter eh & ek, cu­
 jus interuallum determinat ſinus complementi inclina­
 tionis, in ratione quam habent impulſus per Prop; 31. eſt
autem interuallum fe, hoc eſt ſinus dm anguli dem, men­
 ſura grauitatis extra hypomochlium; linea vero fd ſinus
anguli reliqui menſura illius, quæ hypomochlio inſiſtit
grauitatis: ſi fiat ut fd ad ef, ita kg ſinus complementi an
 guli heg adhg ſinum complementi anguli keg erit li­
 nea eg linea motus mixti ex eh & ek per Prop: 31. Vel ſic
motus reflexus fit per lineam de perpendicularem ad
contactum; inclinatio autem motus reflexi augetur in
ratione interualli inter centrum grauitatis & hypomo­
 chlium: Si igitur fiat ut ſinus totus nimirum motus re­
 flexus, ad menſuram hujus interuàlli, hoc eſt grauitatem
extra hypomochlium, ita linea motus eh ſinus nimirum
anguli hek, hoc eſt ſinus totus ad ſinum hg anguli
1nationis, erit eadem linea eg motus mixti. Quia ergo
mobile mouetur ad motum ſui centri, erit motus ex d
reflexus per lineam parallelam illi lineæ, quæ cum lineà
perpendiculari ad contactum angulum conſtituit in
centro, cujus ſinus eſt æqualis interuallo inter centrum
grauitatis & lineam hypomochlij.
Propoſitio XXXX.
Anguli incidentiæ & reflexionis ſunt inter ſe æquales.
QVia enim duo latera eh.bg trianguli ehg æqualia
ſunt duobus lateribus ef. fd trianguli efd, & angu­
 lus, qui adjacet uni æqualium laterum, rectus, erunt tri­
 angula æqualia, & angulus fde angulo heg æqualis: eſt
autem angulo heg æqualis angulus edi ob parallelas eg.
di; idem ergo angulus edi eſt æqualis angulo fde: ſunt
verò duo quoque; anguli a.de.bde inter le æquales, nimi­
 rum recti; ablatis ergo duobus angulis fde.edi æquali­
 bus, erunt anguli reliqui adf.bdi, anguli nimirum inci­
 dentiæ & reflexionis inter ſe æquales. Priuſquam de mo
tu reflexo finiamus, unum atque; alterum Problema pro
corollario adducemus, quorum ſolutio magis difficilis
habetur, ex ijs autem, quæ hactenus ſunt demonſtrata,
facilè diſſoluuntur. Sit ergo
1
Problema
Tribus globis in quacunque; diſtantia extra lineam rectam aſſum
 ptis, punctum determinare in globo ſecundo, à quo reflexus primus
percutiat tertium.
IN figurà ſubiectà aſſumantur globi s.p.r. in diſtantiâ
sp.pr.rs: oporteatque; in globo p punctum determina­
 re, ad quod globus s allidens, indeque; reflexus percutiat
globum r. Tangant illos globos lineæ ac. bd in punctis
a.c. b.d, & diuidantur bifariam in punctis e & f; à quibus in
circulum p excurrant lineæ rectæ eg.fg. ſe interſecantes
in puncto reflexionis g, eo modo, quo docent Optici in­
 uento, & producantur utrinque in k.l, & h. i; dico punctum
g eſſe illud punctum, â quo globus s reflexus percutiat
globumr. Quia enim angulus egd angulo fgc per con­
 ſtructionem, & angulus egh angulo fgk ad verticem eſt
æqualis; ablatis ex his illis erunt anguli reliqui hgd. kge
æquales: linea ergo ſubtenſa hg eſt æqualis lineæ kg. &
quia linea fd lineæ fb, & angulus dfg eſt æqualis angulo
bfn, erit corda gh æqualis cordæ ni. Similiter oſtende­
 mus cordam gk æqualem cordæ ml. Ducatur ergo per
contactum â centro p linea pq, atque, ex q circulus de­
 ſcribatur æqualis circulos, tangens priorem in g, agaturque;
linea qr parallela lineæ gi: quòd ſi ergo globus s motu ſui
1centri deſcribat lineam sq, deſcribet punctum m motu
ſimili lineam mg illi parallelam, tangetque; globus s globum
p in puncto g: dico punctum m ex g per lineam gi, cen­
 trum veró q per lineam qr illi parallelam reflecti. rit
enim gy linea hypomochlii, ad quam ex que cadat linea
33[Figure 33]
perpendicularis qt, atque; huic æqualis ſumatur in lineâ
motus centri qz, à cujus termino z ducta linea perpendi­
 cularis ſecabit circulum in puncto x, per quod tranſit li­
 nea motus reflexi per Prop 39. tribus ergò globis extra
lineam rectam aſſumptis punctum determinauimus in
1globo ſecundo, à quo reflexus primus tangit tertium:
quod erat faciendum. Secundum Problema.
DE MOTV REFLEXO LAPILLORum EX AQVA.
QVi obliquè incidentes illam minimè findunt,
neque merguntur; verùm inde reflexi, atque; ite­
 rum relapſi reciprocà alliſione, & reliſione ſaltu quodam
progredi videntur. Eſt autem prima difficultas, quam
ob rem hujuſmodi lapilli, quacunque; violentià projecti,
aquam molliſsimam non perrumpant, in quâ etiam pul­
 uiſculus & leuiſsimæ arenulæ ſuà grauitate ſidunt. Se­
 cunda quà ratione â primâ reflexione alias inducant pla­
 gas non perpendiculares: conuerſio enim illa motus vi­
 detur non niſi â grauitate naſci, quo modo in omnibus
projectis fieri conſtat: at verò grauitas non niſi per line­
 am mouet perpendicularem. In figurà ſubjectà lapillus
ſeu globulus a â percuſsione obliquà ba reflectit in k: in
de verò non perpendiculariter in q, verùm obliquè rela­
 bitur in l, nouaque; illatà & relatâ plagà reflectit in m: ſimi­
 liter ex m in u, & ex o in x ad nouam ſe ex obliquo vibrat
plagam. Hujus autem ſolutio pendet ex his, quæ de mo
tu reflexo â nobis ſunt dicta. Quia enim percuſsio fit á
centro, magnitudo autem plagæ ab hypomochlio deter­
 minatur; quó enim major pars hypomochlio occurrit,
eó majorem plagam inducit, unde ictus grauiſsimus
1pendiculatis; propterea quód cum centro partès omnes
coincidunt, atque; in illam plagam cooperantur: quó ve­
rò ictus magis eſt obliquus, eó minorem plagam infert.
Quia ergo lapilli obliquè incidentes non niſi parte exi­
 guà feriunt, major autem vis extra hypomochlium ca­
 dit. obſtatque; quò minùs illa ſuo fulcro innitatur; inde fit
ut non mergantur, neque; findant quantumuis mollem a­
34[Figure 34]
quam. In globulo enim a ſola pars dic hypomochlio oc
 currit, reliqua dghci cum centro a extra hypomochli­
 um cadit, atque; ab illâ plagà idem mobile abducit. Quia
verò minor eſt plaga, quam ut perrumpat, recipiet à per
 cuſſo æqualem, qua reſiliat, plagam, ac proinde mino
rem, quam ut impulſum producat illi æqualem, quo cen
 trum mouetur. Motus ergò reflexus eſt mixtus ex motu
1centri ag à primà, & motu af à plagâ ſecundà, linea verò
motus reflexi ah per Prop: 39. quia ergo minor impulſus
à reflexione, impulſu, quo centrum agitur, deficiet pri­
 ùs, illoque; deficiente motum continuabit major impul­
 ſus; & priuſquam ſui juris ſit, lineà motus mixti ſinuo­
 ſè, quomodo grauia à motu violento, ſe abducet; inde
per tangentem arcus jam deficientis, ac proinde ex obli­
 quo ſe deuoluet, ut nouà illatà & relatà plagâ ſe rurſum
attollat. Quia verò illo curſu & recurſu virtus elangue
ſcit, quantumuis æquali parte feriat, minor tamen â per­
 cuſsione ſecundâ fit plaga, quam ut motus inde reflexus
ſit æqualis primo: inde ergo fit ut à ſecundà percuſsione
in d minor ſit altitudo motus reflexi in m; & in o minor
quàm in m, quouſque; demum motus centri à percuſsioni­
 bus iteratis exoluatur: aut quia minor in fine altitudo
motus reflexi, quam diameter illius lapilli ſeu globuli,
ob aquam motui reluctantem ictus emoritur; atque; inde
fit, quòd in fine motus ab hujuſmodi lapillis aqua diſper
 gatur: à p enim in q reflexus motus, ob altitudinem dia­
 metro minorem, viam incedit pq ob aquæ grauitatem
magis impeditam. Non ſolúm verò in aquà ex hujuſmo­
 di ictu obliquo fiunt repercuſsiones, verum in quocunque
alio plano minùs tamen ſenſibiles: cujus ratio eſt mol­
 lities aquæ, quæ preſſa reaſſurgit, ictuque; geminato ferit.
Itaque; videmus pilas luſorias magis reſilire, quæ â plagà
1dunt in ſe ipſas, & veluti complanantur, atque; ita plagam
inducunt latiorem; mox verò â plagâ impulſu gemina­
 to reaſſurgunt: idem enim ſit ſiuè planum, ſiuè mobile
eidem plano alliſum eà ratione moueatur. Similes ictus
repetiti fiunt in cauo ſphærico, cujuſmodi peluis: ab
35[Figure 35]
uno enim puncto reflexus globus in alia porro offendit
& allidit: ut ſi globus ex l demittatur in peluim msbp, a
puncto m ad angulos reflectit æquales in n, exn verò in
b, ex b in o, tum in p, à quo extra peluim reflectit in que Idem
ex r delapſus in s maiori angulo reflectens, ob cordas ma
 iores, pauciores inducit plagas. Ex z demum in b refle­
 xus quia nullibi offendit, quemadmodum neque; in linea
perpendiculari ab, nullam præterea inducit plagam.
Tertium Problema.
1
DE REFLEXIONE MOTVS CIRCVLARIS.
VT ſi duo globi ab eodem hypomochlio filo ſuſpenſi,
& in ſuam ſtationem recurrentes ſe percutiant in il­
 lo motu. Quia enim hic motus diſcedit à lineà rectà, per
quam ducit impulſus, neceſſe alio modo reflexionem fi­
 eri, quám in motu recto. Mouetur autem vel unus tan­
 tum, vel uterque;, ac proinde hic illum percutit aut quies
 centem, aut commotum; & ſiquidem percuſsio fiat in
motu, uterque; reflectit: Si verò quieſcit alter, interdum
reflectit ille qui percuſsit, interdum in ipſo ictu emori­
 tur motus. Quod qua ratione fiat ſubjectà figurá pate
 fiet. Percutiant ergò ſe duo globi εγ ab eodem hypomo
 chlio α ſuſpenſi in ipſo motu, & ducantur lineæ tangen­
 tes βο. θξ atque; his parallelæ ψι.ψκ lineæ hypomochlij; in
lineà autem, γ per utrumque centrum ductà, & utrinque
protractà ſumatur γπ æqualis ψλ, & ex π excitetur li­
 nèa perpendicularis πμ, eritque linea γμ, ſi nihil impediat,
linea motus reflexi, per Prop: 39. motus nimirum mix­
 tus ex motu centri γω & motu à percusſione γν. At verò
huic motui obſtat funiculus, à quo globus detinetur,
quò minùs extra peripheriam circuli euagetur. Quia ve­
 rò hic motus à reflexione & motus à retractione funi­
 culi angulum ducunt αγμ minorem duobus rectis, erunt
per definit: 5. ſecundùm quid contrarii, ac proinde inter
1ſe miſcentur. Motus ergò ex utroque mixtus à percuſsio­
 ne reflectit. Simili modo oſtendemus globum ε refle­
 cti ex illà plagà. Quòd ſi globus a percutiat globum b
quieſcentem, & minori filo ſuſpenſum, erit per Prop: 39
linea motus reflexi aque & quia hic motus in partes oppo­
36[Figure 36]
ſitas tendit eiuſdem lineæ rectæ, per quam retrahitur ab
hypomochlio, erunt motus abſolutè contrarii: globus
ergò a ſi in illo ſitu percutiat b, â percuſsione quieſcet;
tantò verò minùs reflectet, quantó maior fuerit
1lus αaq Si demum globus b percutiat globum a quie­
 ſcentem & longiori filo ſuſpenſum, erit linea motus re­
 flexi br ad eaſdem partes cum retractione hypomo­
 chlii, propterea quòd linea bp ſit motus centri, linea ve­
 rò bn motus à percuſsione; globus ergo b percuſſo glo­
 bo a reflectet in illo ſitu à percuſsione: Eadem via diſ
ſoluemus & illam quæſtionem.
DE IN ÆQVALIVM PONDERVM LAPSV
MAgnis motibus & animorum contentionibus a
 gitatam: dum hi quidem rationibus ſe tuentur, illi
verò experientià eos urgent, erroriſque; manifeſti reos pe
 ragunt. Quorum opinio vulgi applauſu excepta pal­
 mam tulit, judice magis ſenſu quam ratione. At verò
qui opinantur inæqualia pondera æquali lapſu ruere,
videntur magis id, quod motui per ſe ineſt, attendiſſe,
impedimenta verò motus, quæ ab extra fiunt, veluti du­
 biæ ſortis neglexiſſe. Vt verò hanc litem dirimamus,
memoriá repetendum id, quod Prop: 37. notabili 4. di­
 ximus, impulſum deficere à plagà perfecta, partem verò
hujus cum parte æquali plagæ emori. Secundo â reſi­
 ſtentiá majori plagam induci majorem: propterea quòd
percutiens magis tum immoratur. Tertio omnia cor­
 pora reſiſtere diuiſioni, atque; eó magis, quó major eſt
1tus illarum partium unitiua, ut Prop: 1. dictum: quan­
 tumuis ergo aër naturá ſuá ſit fluidus, atque; omni
aurá mobilis, non tamen abſque, violentiá, ac proinde
non abſque; plagà findi poteſt. Quar­
 to majorem diuiſionem fieri à majori plagà; multúm e­
 nim aëris non eadem facilitate mouemus, neque; eadem
velocitate parte ferri latiore, quam in mucronem tenua­
 ta hunc penetramus. His ſuppoſitis: dico 1. motum qua
tenus à grauitate procedit eiuſdem ſpeciei ſeu gradus, eà­
 dem celeritate fieri in omnibus, quantumuis mole, figu
 rà, pondere à ſe differant: ratio, quia ut mobile mouea­
 tur, non quilibet impulſus, ſed proportionatus eſſe debet
ad illud mobile; ab eadem ergo proportione eadem ve­
 locitas motus: at veró impulſus, quo totum mobile mo­
 uetur, eandem rationem habet ad illud mobile, quam ſe­
 miſsis illius impulſus ad ſemiſſem, & triens ad trientem
ejuſdem mobilis; eadem ergo velocitas motus. Quod
idem de qualibet particulá, quacunque; factá diuiſione, di­
 cendum; non minùs enim extra illud mobile, quam in
mobili, & alijs conjunctæ ſuo inpulſu mouentur. Dices
virtus collecta eſt fortior ſe ipſà diſperſà: major ergo im
 pulſus in partibus unitis, quam extra illam unionem. Re
ſpondeo illud axioma non in omnibus valere, ſed tan­
 tum in ordine ad actionem, quæ extra illud ſubjectum
terminatur; ita enim lux alteri conjuncta lumen
1ùs protendit, nihilo ex illa conjunctione luce auctà: ita
ergo impulſus partium unitarum licet magis percutiat,
non tamen in ordine ad motum, quo illius ſubjectum
fertur, magis inualeſcit, quemadmodum cùm plures ſi­
 mul vocem attollunt, licet magis audiatur, non tamen
ex aliorum vociferatione ſingulorum clamor facilitatur.
Plura quæ pro hac ſententià, & contra afferri poſſunt, ſuo
loco dicemus; nunc verò dato eſſe veram, illam inæqua­
 litatem motus conſtare, atque; ex alià radice naſci paucis o­
 ſtendemus. Dico ſecundò, illam inæqualitatem motus,
quo inæqualia pondera mouentur, eſſe à medio, in quo
fit motus; atque; illa corpora, quorum grauitas ſeu impul­
 ſus majorem rationem habet ad ſuam plagam, velociùs
moueri. Quia enim aër reſiſtit diuiſioni ex notabili 3.
erit plaga ad menſuram hujus reſiſtentiæ; deficiet ergò
impulſus, ac proinde velocitas motus in eà ratione, in
quâ magnitudo plagæ: igitur ut plaga ad plagam, ita ve­
 locitatis decrementum. At verò grauitas illorum cor­
 porum majorem rationem habet, quam illorum plaga:
ſit enim globus ab ad globum cd in ratione duplà, eritque;
illorum plaga æqualis circulo maximo ſuæ ſphæræ, pro
 pterea quód plaga inducitur non niſi à parte inferiore,
quæ aërem findit, & cui ſoli aër reſiſtit: habet autem cir­
 culus maximus ſphæræ ſeu globi in ratione duplà ad ali­
 am ſphæram, minorem rationem, quám duplam, ad
1jus circulum maximum; globus ergo major plagam in­
 ducit minorem, quàm ut ſit dupla ad plagam minoris
globi: ut ſi globus major ſit duarum lib: erit ſemiſsis, id­
 eſt lib: una, æqualis globo minori; hujus verò plaga ſe­
 miſsis plagæ totius minor plagâ totá globi minoris. quia
ergò plaga tollit partem ſibi æqualem, maius erit decre
 mentum velocitatis in librà unà, dum extra illud totum,
ſeu globum maiorem & per ſe, ideſt in globo minori mo
 uetur. Et quia in medio ſimilari eadem plaga continu­
 atur, eadem ratio erit decrementi quæ interualli; ut ſi in
toto motu deficiat cubitus unus, deficiet in ſemiſſe hu­
 jus motus illius ſemiſsis: atque inde ratio conſtat, quam ob
rem à principio motus inæqualia pondera ſimul ferri
videantur, inde verò magnis à ſe diſiungi interuallis. Ma­
 lè ergo rationem huius inæqualitatis petunt à proporti­
 one illorum ponderum, quæ á ratione creſcentis plagæ
deſumi debet; ablatá enim á grauitate ſeu impulſu parte
æquali ſuæ plagæ, reliquus impulſus dabit illam inæqua­
 lem velocitatem. Obiicies fieri non poſsè ut eadem ratio
maneat plagæ in illo motu inæquali continuatæ, propte
 rea quód aër percuſſus alium percutiat, viamque eá rati­
 one aperiat ruenti globo, plagæ imminenti ſe ſubducens,
non aliter, quám cùm ultro cedentem trudimus: itaque in
relapſu globi maioris, quem ignis in ſublime tulit, pri­
 uſquam terram feriat, ab aëris percuſsione hiatum in
1lá fieri quidam aſſeuerant. Cùm ergò aër ab illo ictu ſe
ſubducat, nullam inducet plagam, nullum proinde velo­
 citatis decrementum; non aliter quam ſi globus per fiſ­
 ſuram muri tranſuolet muro inoffenſo. Deinde cùm im
 pulſus continuò augeatur, erit continuó minor reſiſten­
 tia. Reſpondeo aerem quidem impelli & præcurrere,
verùm minori celeritate, quàm ut plagam effugiat á ter­
 go hærentem; major enim globi impetus, quâm ut ab
aere fluido recipiatur: unde eadem reſiſtentia in aëre per
forando, non minús, quàm ſi ſecundo flumine elucte­
 mur motu velociori, quàm ſit defluxus; non minor e­
 nim difficultas in perrumpendo, quam ſi in aquà fiat im­
 motà. Deinde licet aër percuſſus à plagà ſe ſubducat &
præcurrat, alius tamen in locum plagæ ſe infundit non
minori vi findendus: neque; enim aër diſcerpi poteſt eo
modo, quo corpora magis denſa, in quibus perruptis cor
 pus magis ſubtile interceptum viam præſtat faciliorem;
verùm quacunque; plaga incidit, eadem aëris ſoliditas per­
 rumpenda. Ad ſecundam rationem, dico velocitatem
motus continuò quidem augeri, ac proinde illam reſi­
 ſtentiam medij auctà velocitate faciliùs perrumpi; pro­
 pterea quód ablatà parte æquali major ſit exceſſus reli­
 quus: nego autem â velociori plagà minus eſſe decre­
 mentum. An non velociùs vectem deprimunt libræ 10.
aut 100, quam libra 1? & tamen granum unum aut
1ma pars grani æqualem partem ex hoc, atque, ex illis tollit.
Verùm deceptio latet ob exiguitatem decrementi, que­
 madmodum ſi ad deprimendum libras 100. unum atque;
alterum granum apponas. Quia ergò retardatio motus
eſt à medio, quó medium magis reſiſtit diuiſioni, eó mi­
 nor velocitas motus, major autem exceſſus tarditatis in
minori: propterea quód auctá reſiſtentiá eadem diffe­
 rentia in minori interuallo. E contra minuitur exceſ
 ſus in medio magis raro; itaque; ſi detur corpus infinitæ ra­
 ritatis, cuiuſmodi vacuum, quia nulla reſiſtentia, nulla
quoque; erit inæqualitas motus. Quòd autem à ſolá reſi­
 ſtentià medij procedat inæqualitas motus, ratio manife­
 ſta: idem enim pondus ſe ipſo velociús, atque; cum alio
pondere quocunque; exceſſu majori, eádem velocitate de­
 ſcendit, ſi rationem plagæ & reſiſtentiam medii in illâ
37[Figure 37]
proportione minuàs. Sit enim vas plumbeum, aut de
alià materià graui, formá dimidiæ ſphæræ, cujuſmodi βγδ
1habens cauitatem in parte ſuperiore, & à plagâ auerſa,
centrum verò grauitatis in ne dum labitur ſe inuertat:
quód ſi ergo alium globum quocunque; exceſſu leuio­
 rem conſtituas in illà cauitate, eádem cum illo vaſe ce­
 leritate feretur. At verò ſi inæqualitas motus eſſet
à grauitate, oporteret illud vas magis ponderoſum
præcurrere, globum verò leuiorem attolli, & longo poſt
tergum interuallo relinqui. Obiicies grauitas eſt impul
 ſus, impulſus verò per Prop: 2. motum producit ſibi æ
 qualem; à majori ergò grauitate major, ac proinde velo­
 cior motus: quòd ſi ergò libra una in quinque; ſecundis
per ſpatium mouet cubitorum 100, mouebit hujus du­
 plum in eodem, vel æquali tempore per ſpatium duplum.
Deinde plaga inducitur ex motu; non enim manus à la­
 pide in eà quieſcente, ſed ubi iram ex motu concepit, vul
 neratur: at verò majus pondus æquali lapſu magis vulne
 rat, velocior ergo motus. Reſpondeo grauitatem eſſe
impulſum, & velocitatem motus in eá ratione, in quá eſt
grauitas ſeu impulſus; dupla ergo grauitas in eodem, vel
æquali tempore mouebit per ſpatium duplum. At verò
cùm inferunt libras duas Vg: plumbi in duplà ferri celeri
 tate ad libram unam, falluntur; propterea quòd illa gra­
 uitas in alio ſit ſubiecto, cuius partes omnes æquali gra­
 uitate mouentur: ſicuti enim pars extra totum Vg. libra
una â ſua grauitate mouetur cum tantà velocitate, ita
1partes librarum decem, aut centum in toto unitæ eádem
velocitate mouentur á ſuá cuique propria grauitate. Quód
ſi grauitas librarum decem conſtituatur in ſubiecto uni­
 us libræ, tum verò decupla velocitate mouebitur illud
ſubiectum. Niſi ergò grauitas magis ſit intenſa, nihil
proficiet ad velocitatem augendam illorum moles.
Quód autem maior grauitas plagam inducat maiorem,
ut ſi libræ decem percutiant libram unam, huius ratio
eſt, quia totidem fiunt plagæ, quot in maiori continen­
 tur partes æquales: quemadmodum ſi decem ictus ſi­
 mul inferantur, aut ſi priuſquam vis emoriatur prioris
plagæ, reliquæ ſequantur. Impulſus ergò in illo ſubie­
 cto minori á maiori percuſſo magis eſt intenſus. Atque
inde fit, quód globus minor accepta à maiori plaga præ­
 currat; quód ſi enim globos quotcunque eà ſerie diſpo­
 nas, ut continuò maiorem minor ſequatur, percuſſo pri­
 mo videbis quaſi uno impetu omnes ad motum conci­
 tari, verùm celeritate, pro ratione magnitudinis, inæ­
 quali.
Propoſitio XXXXI.
Problema II.
Regulam conſtruere ad celeritatem & tarditatem pulſuum abſque;
errore metiendam.
1
REgula hæc nullo apparatu, ſed. hac arte ſimplici
confit ſiue ex ligno, ſiue ex qualibet alià materià. Hu
 ius longitudo ab unius cubiti, aut ad placitum: quó enim
maior, eò plures differentias tarditatis indicabit: nam
ad velocitatem ſummam indicandam quælibet magni­
 tudo ſufficit. Latitudo verò, quæ cordam ſeu filum ca­
 piat cum numerorum notis eidem adſcriptis. Filum
porro eo modo, quo fidibus aptatur; parte ſuperiore
trochleâ verſatili conuolutum, parte verò inferiore fora
mine tranſmiſſum, globulum habens dependentem, qui
eidem rectitudinem præſtat & pondus. Tota longitu­
 do regulæ, quæ continetur inter foramen & trochleam,
æqualiter ſecetur in partes quotlibet Vg. 60, aut 100.
38[Figure 38]
quas trochleà laxatâ nodulus q, globulo interea
1dente, percurrit, ſuoque contactu quot ejuſmodi ſegmen­
 ta contineat longitudo ejuſdem fili cum ſuo globulo à
foramine penduli, oſtendit. Cùm ergo per dictum in­
 ſtrumentum pulſus celeritatem indagare voles, trochle­
 am verſando filum eò uſque; laxa, dum globulus in e Vg.
aut g deſcendat: quom ex g, in quo naturaliter à motu
quieſcit, in l vel o dimotum inde recurrere ſinas; in­
 terea, dum globulus per arcum cd ultra citraque g excurrit,
plureſque; recurſus facit, agitationem quidem arteriæ ma­
 nu, motum verò perpendiculi viſu explora, atque; unum
alteri compara. Quód ſi tardior arteriæ motus, perpen­
 diculum trochleá laxatá producas, ſi celerior contrahas
Æquato demum utriuſque; motu, quænam ſit celeritatis
ratio, ex numerorum diuiſione, quem nodulus cum filo
depreſſus indicabit, facilè cognoſces. Quin & quamli­
 bet mutationem ad ſingula momenta ex collatione ad
huiuſmodi numeros factâ conijcies. Vbi ergo menſu­
 ram pulſus quam maximè naturalis hac vià deprehen­
 des: diuiſionis interuallum, quod nodulus indicabit,
diligenter nota; ad cuius motum reliquos pulſus com
 parando illorum exceſſus &, defectus facilè obtinebis.
Porro huiuſmodi regulam celeritatem & tarditatem pul
 ſuum abſque; errore meti i, hac vià oſtendemus. Pulſus in
ter ſe aut ſunt æquales, quorum eadem eſt velocitas mo­
 tus, atque iſdem fiunt momentis: aut inæquales,
1ritate & tarditate à ſe differentes, quorum inæqualia ſunt
durationis momenta. Quia ergo motus perpendiculi
eſt illorum menſura; erit quidem æqualium pulſuum æ­
 qualis, inæqualium verò inæqualis in ea ratione, in quâ
velocitas pulſuum. At verò recurſus & excurſus perpen
 diculi ex eadem productione inter ſe ſunt æquales: pro­
 pterea quód perpendiculum ex quolibet puncto eiuſdem
circuli æquali tempore recurrit in ſuam ſtationem per
Prop: 24. ſunt autem excurſus quoque; inter ſe æquales per
Prop: 25. excurſus ergo & recurſus in unà circulatione
ſimul ſumpti ſunt æquales excurſibus & recurſibus o­
 mnium circulationum ſimul quoque; ſumptis: & quia uni
æqualium pulſuum circulatio aſſumpta eſt æqualis, e­
 runt reliquæ circulationes reliquis pulſibus æquales.
Motus ergo perpendiculi ex eádem productione fili
metitur pulſus inter ſe æquales. Quia verò motus per­
 pendiculi per arcus ſimiles inæqualium circulorum ra­
 tionem habent ad ſe quam ſinus illorum arcuum, hoc eſt
lineæ ſubtenſæ arcus dupli, per Prop: 25. ac proinde
quam habent motus per diametrum illorum circulo­
 rum per Prop: 15. motus autem per diametrum ſe habent
ut quadrata temporum per Prop: 12. Si ſumatur radix
quadrata illius proportionis, quam habent diametri ad
ſe, erunt in eadem ratione tempora motus, in quà radices
quadratæ: ut ſi diameter maioris circuli ad diametrum
1minoris circuli ſit quadrupla, huius radix quadrata, duo,
dabit tempus in ratione duplá: ſi ergo motus per dia­
 metrum minoris circuli ſit unius minuti, erit motus ma­
 ioris diametri duorum minutorum. Sunt autem pro­
 ductiones fili ſemidiametri illorum circulorum, in qui­
 bus perpendiculum mouetur, æquales diuiſionum in­
 teruallis, quæ globulus in productione fili percurrit: ea­
 dem ergo proportio interualli, quæ motus illorum cir­
 culorum. Quia ergo motus inæqualium circulorum
metiuntur pulſus inæquales, eoſdem metientur diuiſio­
 num interualla: ac proinde regulam conſtruximus ad
velocitatem & tarditatem pulſuum abſque errore metien
 dam, quod erat faciendum.
Parergon.
Problema.
Horologium conſtruere, quod ſuo motu tempus numeret diuiſum
in partes minores, quàm tertias unius ſecundi.
QVanti uſus & utilitatis ſit tempus in quàm minimas
partes diuiſum poſſe numerare, norunt Aſtronomi,
& ex conatibus Tychonis Brahe ſatis conſtat; qui ad hu
 iuſmodi horologia fabricanda nihil intentatum reliquit:
quam uis huius votum non niſi ad ſecunda numeranda
1le extendit. Aliquid ampliùs damus: & non modó ſe­
 cunda, verùm etiam huius triente minorem partem nu­
 merabimus. Horologium autem hoc nullis rotulis cir­
 cumagitur, nullis ponderibus libratur; verùm ſuâ nati­
 uâ grauitate, à quà nuſquam aberrat, ad normam præ­
 ſcriptam agitatur: illud inquam idem, quod ad celerita­
 tem & tarditatem pulſuum metiendam paulo ante con­
 ſtruximus. Huius enim pondus à filo pendulum ſuo
motu tempus in quotlibet partes diuiſum numerabit.
Quòd autem hic motus minor eſſe poſsit, quâm tertia
pars unius ſecundi, ita oſten demus: agitationes arteriæ,
cuiuſmodi in me ipſo numeraui, ſpatio unius horæ fi­
 unt 4850. motus autem perpendiculi his æquales fiunt â
productione fili maiori quàm digitorum 5. Quia ergo
motus circulorum ſunt in ratione ſuorum temporum,
quam habent diametri ad ſe duplicatam, per Prop: 28. ſi
ſumatur pars nona huius productionis pro ſemidiame­
 tro circuli, erit hic motus triplo velocior illo, ac proinde
huius recurſus ſpatio horæ unius 14550 multò plures,
quàm 10800 partes tertiæ unius ſecundi. Et quia hic mo­
 tus bifariam ſecari poteſt in excurſum & recurſum, fient
ſanè ſpatio unius horæ partes 29100. Horologium ergò
conſtruximus, quod ſuo motu tempus numerat diuiſum
in partes minores quàm tertias unius ſecundi. Quia ta­
 men hic motus velociſsimus ob paruitatem circelli
1nùs eſt diuturnus, ſufficiet filum producere, quouſque; mo
 tus perpendiculi ſit æqualis uni ſecundo. Quod quidem
hac ratione conſequemur: ſumatur quæcunque; produ­
 ctio fili, aliquantó tamen longior, quò minùs citò à mo­
 tu conquieſcat: numerenturque; huius excurſus per ſpati­
 um unius horæ quadrantis, & ſint Vg. 300. eruntque; ſpa­
 tio horæ unius 1200. Quòd ſi ergò fiat ut quadratum
temporis, nimirum trium ſecundorum, ideſt 9 ad 1, ita
longitudo fili ad minorem, erit hujus motus æqualis
uni ſecundo.
1
[Errata not transcribed.]
1
PRAGÆ.
Typis Ioannis Bilinæ.
Anno
M. DC. XXXIX:
1
[Empty page]
1
[Empty page]