Fabri, Honoré, Tractatus physicus de motu locali, 1646

Bibliographic information

Author: Fabri, Honoré
Title: Tractatus physicus de motu locali
Date: 1646

Permanent URL

Document ID: MPIWG:VKMBVQ8Q
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:VKMBVQ8Q

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
TRACTATVS
PHYSICVS
DE MOTV LOCALI,
IN QVO
EFFECTVS OMNES, QVI AD IMPETVM,
Motum naturalem, violentum, & mixtum pertinent,
explicantur, & ex principiis Phyſicis
demonſtrantur.
Auctore PETRO MOVSNERIO Doctore Medico:
CVNCTA EXCERPTA
Ex prælectionibus R. P. HONORATI FABRY,
Societatis IESV.
1[Figure 1]
LVGDVNI,
Apud IOANNEM CHAMPION,
in foro Cambij.
M. D C. XLVI.
Cum Priuilegio Regis, & Approbatione Doctorum.
1
[Empty page]
1 2[Figure 2]
AMPLISSIMO,
NOBILISSIMOQVE DOMINO,
D. PETRO DE SEVE,
DOMINO DE FLECHERES,
SANCTIORIS CONSILII REGIS
Conſiliario, in Lugdunenſi Curia Prætori prima­
rio, & ſecundùm Mercatorum Præpoſito, &c.
PETRVS MOVSNERIVS,
TIBI alterum noſtræ Philoſo­
phiæ fœtum inſcribo, cui iam
primum inſcripſi (PRÆTOR
AMPLISSIME) nempe idem
eſſe debeo, quia tu ſemper idem
es: non mutaſti merita, non mu­
tabo officia: multos non expoſcam Patronos, qui
iam omnium optimum, & meritiſsimum habeo; neo
enim ſacra Philoſophiæ anathemata rudi, & ru­
ſtico muro appendam, quæ ex ſacro tholo templi
Themidos amœniter pendent: Nec leuem toti rei li­
terariæ iniuriam inferrem, ſi alium illi, quàm li-
1teratum Mecænatem accerſerem: & verò Tracta­
tum hunc de Motu Locali, alteri quàm tibi inſcri­
bere non debui, cuius imperia Ludgunenſis orbis, po­
tiùs quàm vrbis, componunt: Tu prudens Intelli­
gentia, huic orbi ſemper aſsiſtis; ita motibus in­
uigilas, vt quieti publicæ conſulas, remque ita pu­
blicam adminiſtras, vt ſingulis commoda procures:
Cæterùm dubitare non poſſum, quin hunc meum̨
quantulumcumque conatum, fidemque meam iam̨
tibi ſemel oppigneratam, & nunc altero voto peni­
tus obſtrictam, æqui bonique ſis conſulturus, Valę.
1 3[Figure 3]
PRÆFATIO.
NIHIL habeo præfari (Beneuole Lector)
in gratiam huius tractatus de Motu Locali,
cuius amœnitatem & vtilitatem, rerum co­
piam & ſyluam, tuo guſtui & iudicio re­
linquo: Multi ſanè hactenus in hac mate­
ria feliciter deſudarunt; & quidem præ cæteris magnus
ille Galileus, qui mirificâ, & ferè diuinâ ingenij acie,
motum localem eò perduxit, quò mortalium nemo per­
duxerat; quia tamen multa omiſit, quæ ad motum ſpe­
ctant, vt nemo neſcit; nec ex principijs Phyſicis mira­
biles illos effectus demonſtrauit, ſed tantùm certis qui­
buſdam proportionibus ex geometricis addixit; vt Phy­
ſicæ conſulamus, aliam inimus viam: Geometriam qui­
dem adhibemus, ad explicandas, exponendaſque præ­
dictas illas proportiones, quæ motibus inſunt; ſed effe­
ctus illos prædictis proportionibus affixos ad principia
Phyſica reducimus; id eſt, cùm ſupponamus quòd ſint,
propter quid ſint demonſtramus: in votis erat motus
omnes vno volumine complecti; id eſt effectus omnes
cuiuſuis potentiæ motricis; tres enim agnoſcimus hu­
iuſmodi potentias: primam naturalem voco, quæ eſt
grauium: alteram animalem, quæ eſt animantium: ter­
tiam mediam, quæ tenſorum eſt vel compreſſorum: In
hoc tractatu tùm à motu progreſſiuo animantium, tùm
ab alijs motibus, qui in animato corpore, neruorum &
1muſculorum opera fiunt, penitus abſtinemus; cùm ſci­
licèt eas notiones ſupponant, quæ huius loci eſſe non
poſſunt, abſtinemus etiam à mirifica illa tenſorum &
compreſſorum vi, quæ mediæ illius virtutis eſt; neque
adhuc eò rem Phyſicam adduximus; Sed hîc tantùm na­
turam impetus conſideramus, motus naturalis affectio­
nes, violenti, mixti ex rectis, reflexi, circularis, mixti
ex circularibus, illius qui fit in planis inclinatis ſurſum
& deorſum, vibrationum funependuli, diuerſarum im­
preſſionum, centri percuſſionis, &c. Fortè aliquis poten­
tias mechanicas deſideraret, lineas, motus, & cæleſtes
ſpiras; ſed hæ quidquid phyſicum habent, ſingulari tra­
ctatui de corpore cæleſti, reliqua verò Aſtronomiæ con­
cedunt: potentiæ mechanicæ ad Staticam pertinent, qua­
re illarum tantùm phyſicum principium in hoc tractatu
explicamus, lineæ motus nihil phyſicum habent. Quare
ad vitandam confuſionem ad Matheſim illas remittimus,
cuius non modicam facient acceſſionem; igitur ſecun­
dum Tomum de motu locali non expectabis, qui ne
cuncta quidem, quæ ad motum ſpectant comprehende­
ret, ſed huic ſtatim Metaphyſicam demonſtratiuam ſub­
necto. Cæterùm de ſubtiliſſimo iſtorum omnium inuen­
torum auctore nihil dicam, qui cum ægrè tulerit paucula
illa quæ in prima tractatu præfatus ſum, os mihi peni­
tus obſtruxit: omitto etiam quæ in me quidam iniquè
certè rerum æſtimatores iactarunt: reponere poſſem cum
fænore; ſed nos talem conſuetudinem non habemus; de­
dici hactenus pati iniurias, non inferre; quod non modò
moralis Philoſophia, ſed præſertim Chriſtiana Religio me
docet.
1
Vnum eſt, de quo te monitum velim (Amice Lector)
opuſculum iſtud non ſine aliquot erratis edi potuiſſe,
præſertim cùm in aſſignandis cuilibet figuræ ſuis chara­
cteribus ſæpiùs peccatum ſit; operas excuſabis in rebus
Geometricis minimè verſatos: auctor tibi ſum, vt errata,
quæ fideliter adnotaui caſtiges, vt deinde cum maiore
guſtu Librum hunc perlegere poſſis.
SYNOPSIS LIBRORVM
huius tractatus.
TABELLE WAR HIER
1 4[Figure 4]
SYNOPSIS AMPLIOR.
BREVISSIMAM huius operis Epitomem hîc
habes (Amice Lector) quam ex Theſibus noſtri
Philoſophi huc traduxi, quæ tibi ampliſſimi
indicis loco erit.
5[Figure 5]
De Impetu.
1. IMPETVS eſt qualitas exigens motum ſui ſubiecti:
datur impetus; quia non poteſt eſſe alia cauſa exi­
gitiua motus: adde quòd, potentia motrix eſt acti­
ua; igitur aliquid producit, ſed non aliud quàm
impetum, vt conſtat ex dictis de motu: eſt aliquid diſtinctum à
ſubſtantia mobilis, quæ poteſt eſſe ſine impetu: non eſt modus,
quia diſtinguitur ab effectu ſuo formali ſecundario: impetus non
producitur in eo mobili, quod moueri non poteſt à potentia mo­
trice applicata: & produci tantùm poteſt, vel in omni parte, vel
in nulla; alioquin eſſet fruſtrà; & gratis ponitur neſcio quis impe­
tus inefficax.
2. Primo inſtanti, quo eſt impetus, non eſt motus, ne ſimul im­
petus ſit in duobus locis. Impetus productus ad extra non produci­
tur à quantitate, nec virtute reſiſtitiua, nec ab alio, quàm ab impe­
tu, qui maximè eſt cauſa connaturalis alterius impetus: agit tan­
tùm ad extra, vt tollat impedimentum: hinc, cùm pro diuerſa
applicatione ſit diuerſum impedimentum, modò plùs, modò minùs
agit; maximè verò, cum maximum eſt impedimentum: hinc ictus
per lineam perpendicularem fortiſſimus eſt: portò omnes partes
impetus agunt ad extra actione communi.
3. Impetus intenſus producere poteſt remiſſum, minoris mobi­
lis in maiore; & remiſſus intenſum, maioris mobilis in minore, vt
patet; æqualis æqualem, æqualis mobilis in æquali, modò ſit debi-
1ta applicatio, cum maximo impedimento, quod reuerâ tunc eſt,
cùm linea directionis connectit centra grauitatis vtriuſque. Datur
impetus alio impetu perfectior, & imperfectior, ſine quo non po­
teſt explicari natura vectis: itaque dato quocunque dari poteſt per­
fectior, & imperfectior: quia dato quocunque motu poteſt dari ve­
locior, & tardior.
4. Propagatur impetus vniformiter tantùm, cùm omnes partes
corporis mouentur motu recto æquali: ibi enim eſt æqualis cauſa,
vbi eſt æqualis effectus: in motu circulari applicata potentia cen­
tro vectis, producitur æqualis perfectionis versùs circunferentiam,
& inæqualis numerus; applicata verò potentia circunferentiæ, pro­
ducitur æqualis numerus, ſed inæqualis perfectionis versùs cen­
trum; quia potentia non poteſt producere immediatè perfectiorem,
& imperfectiorem in infinitum: eadem potentia neceſſaria æquali­
bus temporibus, & iiſdem circunſtantiis, producit æqualem impe­
tum, & inæqualibus inæqualem: eſt enim hæc ratio cauſæ neceſ­
ſariæ.
5. Impetus innatus eſt tantùm determinatus ad lineam perpen­
dicularem deorſum; alioquin ſi ad aliam determinari poſſet, primo
eſſet æqualis motus per inclinatam, & perpendicularem; corpus
graue miſſum per lineam inclinatam ab eo non declinaret; imò im­
petus ſemel productus (ſi liberum eſſet medium) non deſtrueretur:
quæ omnia phyſicis hypotheſibus repugnant: omnis alius impetus,
etiam acquiſitus motu naturali deorſum, eſt indifferens ad omnem
lineam, ad vitanda infinita ferè naturæ incommoda.
6. Impetus indifferens determinatur ad lineam multis modis:
primò, à potentia motrice: ſecundò, ab impetu: tertiò, ab alio impe­
tu concurrente; quartò, ab obice occurrente: quintò, ab ipſo appli­
cationis diuerſo modo: quæ omnia clara ſunt: hinc duo impetus ad
motum mixtum ſæpè concurrunt, quod ſemper fit, niſi determina­
tiones ſint oppoſitæ ex diametro. Impetus eſt capax intenſionis;
quia aliquando deſtruitur ex parte: eius extenſio commenſuratur
extenſioni mobilis; quod etiam cæteris qualitatibus commune eſt:
impetus productus non conſeruatur à cauſa primò productiua, à
qua etiam ſeparatus exiſtit.
7. Impetus non eſt contrarius alteri ratione entitatis; quia qui­
libet cum quolibet in eodem ſubiecto coëxiſtere poteſt: pugnat
tamen vnus cum alio ratione determinationis: hinc vnus impetus
pugnat cum alio ratione lineæ motus: hinc vnus videtur deſtrui ab
1alio; quanquam impetus tantùm deſtruitur, cùm eſt fruſtrà: hinc, ſi
eſſet tantùm vnicus in eodem mobili, & liberum eſſet medium,
nunquam deſtrueretur nec vnquam dici poſſet functus ſuo mune­
re; quod omninò gratis dicitur.
8. Hinc, ſi ſint tantùm duo impetus in eodem mobili æquales
verbi gratia, vel ad eandem lineam determinantur, vel ad diverſas;
ſi ad eandem, nihil impetus deſtruitur, ſed eſt duplò velocior mo­
tus; ſi ad diuerſas, vel ſunt oppoſitæ ex diametro, vel concurrentes
faciunt angulum; ſi primum, vterque deſtruitur impetus; ſi ſe­
cundum, deſtruitur aliquid illius, quod determinabimus in­
frà. Impetus innatus nunquam deſtruitur: dici poſſet grauitas ab­
ſoluta; ſaltem nihil eſt, quod diſtingui ab illa probare poſſit. Porrò
nunquam deſtruitur; quia nunquam eſt fruſtrà; quippe eius finis,
vel vſus, non eſt tantùm motus deorſum, ſed grauitatio, ſeu niſus
quidam deorſum. Sed de grauitate aliàs.
6[Figure 6]
De motu naturali deorſum.
1. DAtur motus naturalis grauium deorſum ab intrinſeco,
quippe non poteſt eſſe, vel à vi tractrice terræ vel fila­
mentis quibuſdam, vel materia quadam tenui expultrice. Eius finis
eſt globi terreſtris compactio, &c. Eſt autem motus naturalis ab
impetu: primò, quia eius acceleratio ſine impetu explicari non po­
teſt: ſecundò, quia, cùm graue deorſum cadens imprimat impetum
in corpore occurrente, certè debet habere impetum: nec alio ar­
gumento mihi probabis, Solem eſſe lucidum, ignem calidum.
2. Motus hic eſt naturaliter acceleratus, ſcilicet, ab intrinſeco;
patet experientiâ. Ratio eſt: quia, cùm in libero medio non impe­
diatur motus, & impetus productus primo inſtanti non conſerue­
tur ſecundo à cauſa primò productiua, ſed ab alia, ſitque ipſa mo­
bilis ſubſtantia cauſa neceſſaria; certè ſecundo inſtanti producit
nouum impetum: idem dica de tertio, quarto, &c. igitur creſcit
cauſa motus; igitur & motus: quæ ratio clariſſima eſt: hinc æquali­
bus temporibus æqualia acquiruntur velocitatis momenta; quia
cauſa neceſſaria æqualibus temporibus, æqualem effectum produ­
cit: quid clarius?
3. Hinc non poteſt creſcere hic impetus ſecundùm porportio-
1nem duplicatam temporum, cùm creſcat ſecundùm proportionem
temporum, etïam ex mente Galilei: creſcit autem velocitas, vt im­
petus; effectus, ſcilicet, vt cauſa: idem dico de motu, ratione velo­
citatis; quippe motus ipſe eſt ſua velocitas: at verò ipſa ſpatia,
quæ decurruntur illo motu, ſi conſideretur crementum in inſtan­
tibus, creſcunt iuxta progreſſionem arithmeticam ſimplicem,
id eſt, ſi primo inſtanti, acquiritur vnum ſpatium, ſecundo acquiri­
tur vnum ſpatium, ſecundo acquiruntur duo, tertio 3. quarto 4. at­
que ita deinceps.
4. Hoc autem facilè poteſt demonſtrari: quia, cùm velocitas creſ­
cat iuxta proportionem temporum, ſi primo inſtanti ſit vnus gradus
velocitatis, ſecundo erunt duo, tertio tres, at que ita deinceps: igitur,
ſi mobile cum vno gradu velocitatis acquirit vnum ſpatium, certè
cum duobus acquiret duo ſpatia, cum tribus tria, atque ita dein­
ceps: debet autem vera progreſſio crementorum aſſumi in ſingulis
inſtantibus, quia reuerà ſingulis inſtantibus phyſicis (nam de iis
loquor) noua fit huius crementi acceſſio.
5. Quia tamen inſtantia non ſunt ſenſibilia, vt Phyſicæ conſu­
latur, quæ res ſenſibiles conſiderat, aſſumi debent partes temporis
ſenſibiles, in quibus reuerâ progreſſio ſpatiorum non eſt arithmeti­
ca ſimplex; ſed tam propè accedit ad hanc numerorum imparium,
1. 3. 5. 7. &c. quam Galileus excogitauit, vt ſine ſcrupulo hæc aſ­
ſumi poſſit: hinc ſpatia ſunt ferè vt temporum quadrata: dixi, ferè:
nam eſt paulò minor proportio, cùm tantùm finita ſint inſtantia
phyſica, quæ reuerà ſi infinita eſſent in qualibet temporis ſenſibilis
parte, haud dubiè ſpatia eſſent omninò in ratione duplicata tem­
porum: ſed, quia parum pro nihilo computatur, hanc progreſſio­
nem Galilei deinceps vſurpabimus in Phyſica.
6. Hinc ratio euidens maioris ictus inflicti à corpore graui,
cùm ex maiori altitudine cadit. Sunt autem ictus, vt impetus;
impetus, vt tempora; hæc demum, vt radices ſpatiorum ſenſibi­
liter quæ omnia conſtant ex dictis. Impetus acquiſitus in deſcenſu
eſt ſemper imperfectior, ſi aſſumantur ſingula inſtantia, quæ reuerâ
ſunt ſemper minora; quia motus fit ſemper velocior: cùm graue
deſcendit in medio, quod reſiſtit, minùs accuratè ſeruantur prædi­
ctæ proportiones, quæ in vacuo modico accuratiſſimè ſeruaren­
tur.
7. Reſiſtentia medij non eſt propter vllam formam improportio­
natam, quaſi verò impetus ſit forma improportionata aëri: ſed in
1duobus præſertim conſiſtit; primò, eò quòd medium detrahat ali­
quid grauitationis corporis grauis; ſecundò, eò quòd partes medij
aliquam implicationem habeant, quæ ſolui non poteſt ſine aliqua
compreſſione, vel tenſione; vtraque autem reſiſtit impetui: quod
ſpectat ad primum, ſi medium ſit æqualis grauitatis cum ipſo cor­
pore, detrahitur tota grauitatio, ſi ſubduplæ ſubduplum, &c. de quo
aliàs.
8. Hinc corpus graue per medium rarius, cæteris paribus, fa­
cilè deſcendit; non tamen ex reſiſtentia medij cognita, poteſt co­
gnoſci proportio grauitatis vtriuſque, propter ſecundum caput, ex
quo etiam petitur reſiſtentia. Idem corpus cum eodem medio
comparatum, habet tres coniugationes: nam, vel eſt grauius, vel­
eſt grauius, vel æquè graue, vel minùs. Sunt etiam tres aliæ con­
iugationes, ſcilicet, eiuſdem mobilis cum diuerſis mediis, duorum
mobilium cum eodem medio, duorum mobilium cum duobus
mediis.
9. Figura corporis grauis deorſum cadentis motum vel retardat
vel accelerat; retardat quidem, ſi plures partes medij amouendæ
ſunt vel pauciores velociori motu; accelerat è contrario: hinc idem
corpus parallelipedum iuxta tres diuerſos ſitus, triplici motu diuer­
ſo deſcendere poteſt: hinc ratio, cur acuminata tam facilè deſcen­
dant. Cubus, qui deſcendit, imprimit aëri velociorem motum,
quàm ipſe habeat; & quò maior eſt eius ſuperficies, eò velociorem.
10. Duo globi, vel cubi eiuſdem materiæ æquè velociter deſ­
cendunt: ratio eſt, quia, licèt maioris vires habeant maiorem pro­
portionem ad molem aëris reſiſtentis, quàm vires minoris ad alte­
ram aëris molem, quæ proprium illius motum retardat, cùm tamen
aër, qui reſiſtit maiori cubo, debeat amoueri velociori motu, quàm
aër, qui reſiſtit minori, ſitque eadem proportio reſiſtentiæ ratione
motus, minoris ad maiorem, quæ eſt ratione molis, maioris ad mi­
norem; certè ratio compoſita vtriuſque erit eadem in vtroque cu­
bo: igitur æqualiter deſcendet vterque.
11. Si tamen ſint diuerſæ materiæ, haud dubiè, qui conſtat leuio­
ri materia, tardiùs deſcendet; quia eius vires habent minorem
proportionem ad reſiſtentiam. Corpuſcula etiam ex grauiſſima ma­
teria tardiſſimè deſcendunt: tum, quia à filamentis illis, quibus par­
tes aëris implicantur, facilè detinentur; analogiam habes in lapil­
lo, qui ab araneæ tela intercipitur: tum, quia, cùm latiſſimam ali­
quando habeant ſuperficiem pro modica mole, minimam habent
1proportionem virium ad reſiſtentiam: tùm denique, quia, cùm modico
impetu agitari poſſint ab aëre mobili, vnus motus alium impedit.
12. Singulis inſtantibus motus naturaliter accelerati creſcit
reſiſtentia; quia, cùm motus creſcat, æqualibus temporibus, plures
partes medij occurrunt; creſcunt tamen vires in eadem proportio­
ne, ſcilicet, impetus: igitur non mutatur progreſſio motus. Hinc
colligo, contra Galilæum, motum rectum ex naturaliter accelerato
nunquam fieri æquabilem: dixi motum rectum; quia motus corpo­
rum cœleſtium ex accelerato factus eſt æqualis.
7[Figure 7]
De motu violento ſurſum.
1. MOtus violentus ſurſum vulgò dicitur eſſe à principio ex­
trinſeco. Triplici modo accidere poteſt: primò, ſi reuerà
imprimatur impetus ab extrinſeco, vt, cùm mitto lapidem ſurſum:
ſecundò, ſi corpus deorſum cadens deinde reflectatur ſurſum; tunc
autem nihil eſt ab extrinſeco, niſi determinatio noua, quæ eſt à cor­
pore reflectente: tertiò, ſi terra vtrinque eſſet peruia; nam lapis haud
dubiè non ſiſteret in centro, ſaltem poſt primum deſcenſum; igitur
aſcenderet per eandem lineam; nullum tamen eſt principium ex­
trinſecum; igitur motus violentus dicit tantùm motum ſurſum
corporis grauis.
2. Dari autem motum violentum, dubium eſſe non poteſt, qui
ſupponit impetum, vel impreſſum ab extrinſeco, vel in deſcenſu
acquiſitum, qui reuerâ ineſt ipſi mobili, cùm ipſum medium hunc
motum potiùs impediat, quàm iuuet: hinc, ſi nullus eſſet impetus
extrinſecus, vel acquiſitus, nullus eſſet motus violentus; quia im­
petus innatus illius cauſa eſſe non poteſt. Portò hic motus non eſt
acceleratus, nec æqualis, alioquin nunquam rediret deorſum mobile.
3. Hinc neceſſariò eſt retardatus: igitur deſtruitur impetus, non
quidem ab ipſa medij reſiſtentia; quippe idem medium non magis
reſiſtit motui ſurſum, quàm motui deorſum, vt patet: igitur deſtrui­
tur ille impetus motus violenti ab impetu innato aliquo modo; non
quidem vt à contrario ratione entitatis, ſed ratione determinatio­
nis: cùm enim impetus innatus exigat motum deorſum, & alius ſur­
ſum: hic quidem præualet, attamen fruſtrà eſt, ratione gradus
æqualis impetui innato: igitur deſtruitur ille gradus illo inſtanti.
1
4. Hinc ſingulis temporibus æqualibus deſtruitur gradus impe­
tui innato; eſt enim eadem ratio pro omnibus: igitur temporibus
æqualibus deſtruitur æqualis impetus: igitur amittit ille motus
æqualia velocitatis momenta: igitur eſt naturaliter retardatus: igi­
tur iuxta eam proportionem decreſcit motus violentus, iuxtaquam
creſcit naturalis: igitur dici debent de hac progreſſione retardatio­
nis, quæ dicta ſunt de illa progreſſione accelerationis.
5. Hinc impetus imperfectior initio deſtruitur: quia, cùm motus
ille ſit velocior initio, inſtantia ſunt minora: atqui minori tempore
minùs retardatur: igitur inperfectior impetus deſtruitur; cùm è
contrario in motu acceleratio initio acquiratur imperfectior, quia
inſtantia ſunt maiora: vnde vides, gradus impetus eſſe heteroge­
neos, & principium illud etiam in impetu valere, ſcilicet, ſubiectum
ita compleri ab vna forma, vt alterius homogeneæ non ſit ampliùs
capax, ſaltem naturaliter.
6. Hinc vltimus gradus impetus violenti eſt omnium perfectiſ­
ſimus, vt conſtat. Quieſceret vno inſtanti mobile iactum ſurſum, ſi
gradus vltimus violenti eſſet æqualis perfectionis, cum impetu in­
nato: vbi enim ventum eſſet ad inſtans æqualitatis, neutrum præ­
ualere poſſet: igitur inſtanti ſequenti eſſet quies: cùm tamen ſint
diuerſæ perfectionis, perfectior præualet: vter autem ſit perfectior,
dicemus infrà.
7. Cum mobile ſurſum reflectitur, vel terra perforata ſuam lineam
motus ſurſum versus oppoſitam cœli plagam promouet, vel aliud
æqualis ponderis, vel maioris, ſurſum mouet, tunc certum eſt, inna­
tum eſſe perfectiorem: ſi verò imprimitur ab alia potentia motrice,
tunc etiam imperfectior eſt impetu innato; nam inæqualis eſt; alio­
quin, ſi eſſet æqualis, ſimul eſſent in eodem ſubiecto duo gradus
homogenei: præſtat autem eſſe imperfectiorem, quàm perfectio­
rem, vt plura impetus puncta à potentia imprimantur; quòd mul­
tum facit ad mouenda maiora pondera: hinc nullo inſtanti quieſ­
cunt proiecta ſurſum.
8. Tandiu durat ſenſibiliter deſcenſus globi proiecti ſurſum,
quandiu durauit aſcenſus; eſt enim eadem ratio: ſagittæ verò mi­
nùs durat aſcenſus, quàm deſcenſus propter mixtionem materiæ.
Si motus violentus eſſet æquabilis, percurreret proiectum ſpatium
ferè duplum eo tempore, quo retardato percurrit ſubduplum: hinc
ſonus tam citò auditur; quia propagatur cum particulis aëris æqua­
bili ferè motu: eſſe autem ſpatium ferè duplum, probatur ex eo,
1quòd ſpatium motu æquabili decurſum reſpondet rectangulo; de­
curſum verò motu retardato, reſpondet triangulo, ſubduplo rectan­
guli: aſſumpto ſcilicet, æquali tempore.
9. Vites potentiæ proiicientis toto niſu reſpondent velocitati
acquiſitæ in toto deſcenſu corporis proiecti; tantundem enim
impetus in deſcenſu acquiritur, quantùm in aſcenſu deperditur.
Impetus primo inſtanti, quo eſt, agit, ſi eſt aliquod impedimen­
tum; eſt enim cauſa neceſſaria: primo inſtanti motus aliquid im­
petus deſtruitur: ſiue præceſſerit motus violentus, ſiue non præceſ­
ſerit, corpus graue æquali motu deorſum cadit: reſiſtentia aëris eſt
quidem maior initio; ſed etiam ſunt maiores vires.
8[Figure 8]
De motu in planis inclinatis.
1. PLanum inclinatum eſt ſurſum, vel deorſum: in hoc deſcen­
dit corpus graue, niſi fortè retineatur ab aſperitate, vel pro­
pria, vel ipſius plani: impeditur autem motus naturalis in plano
prædicto, quia impeditur eius linea: ideò eſt tardior hic motus in
plano inclinato, quàm in perpendiculari: in ea porrò proportione
eſt tardior, in qua perpendiculum eſt minus linea inclinata, eiuſdem
ſcilicet, altitudinis; quippe eò tardior eſt, quò magis impeditur, &
magis impeditur, quò maius ſpatium decurrendum eſt, ad acqui­
rendam eandem altitudinem: igitur eadem eſt proportio impe­
dimenti, quæ ſpatij, &c.
2. Hinc motus ſunt vt lineæ permutando: hinc mobile deſcendit
per ſe in prædicto plano: licet enim motus impediatur, non tamen
totus, impetus, qui acquiritur in eodem plano eſt imperfectior ac­
quiſito in perpendiculari in eadem proportione; nam impetus ſunt
vt motus: hinc poteſt perfectio impetus imminui in infinitum, cùm
poſſit eſſe in infinitum linea magis, ac magis inclinata: igitur mo­
tum imminui poſſe in infinitum, non tantùm ex vecte, ſed etiam
ex planis inclinatis haberi poteſt.
3. Hinc producit impetum imperfectiorem impetus acquiſitus
in hoc eodem plano, quàm acquiſitus in perpendiculari, æqualibus
ſcilicet temporibus, quia cauſa imperfectior imperfectiorem pro­
ducit effectum: motus in plano inclinato deorſum eſt acceleratus
iuxta eandem proportionem, iuxta quam acceleratur in perpendi-
1culo: tempora, quibus percurruntur perpendiculum, & linea plani
inclinati, ſunt vt lineæ; ſpatia autem, quæ in prædictis lineis acqui­
runtur æqualibus temporibus, ſunt vt motus, id eſt, vt lineæ per­
mutando, vt patet ex dictis.
4. Ex his concludo, neceſſariò per plana omnia eiuſdem altitu­
dinis acquiri eandem velocitatem, quantumuis aſſumantur longiſ­
ſima, modò ſcilicet perpendicula ſint ſemper parallela. Hinc habes
apud Galileum, per omnes chordas circuli erecti deſcenſum fieri
æqualibus temporibus. Vires, quæ ſuſtinent pondus in plano in­
clinato per lineam plano parallelam, ſunt ad eas, quæ ſuſtinent in per­
pendiculo, vt lineæ permutando; quia debent adæquare impetum,
qui producitur, tùm in plano inclinato, tùm in perpendiculo.
5. Porrò minùs grauitat in ipſum planum inclinatum corpus gra­
ue, quàm in planum horizontale: eſt autem grauitatio in horizonta­
li, ſeu Tangente, ad grauitationem in inclinata, ſeu ſecante, vt ipſæ
lineæ permutando: quod facilè demonſtramus. Proiicitur mobile
faciliùs per inclinatum planum ſurſum, quàm per ipſam perpendi­
cularem: patet experientia: cuius ratio eſt, quia minùs reſiſtit im­
petus innatus, cuius minor eſt niſus per inclinatam, vt conſtat ex
dictis.
6. Illæ vires, quæ ſufficiunt ad eum motum ſurſum in perpendi­
culo, ſufficiunt ad motum ſurſum in plano inclinato eiuſdem alti­
tudinis: quia illæ vires ſufficiunt ad aſcenſum, quæ acquiruntur in
toto deſcenſu: ſed in deſcenſu inclinatæ, & perpendiculi acquirun­
tur vires æquales, id eſt, velocitas æqualis, vt dictum eſt ſuprà. Om­
nia puncta plani inclinati rectilinei, imò & horizontalis, ſunt di­
uerſæ inclinationis: in iis tamen planis inclinatis quæ vulgò aſſu­
muntur, non mutatur ſenſibiliter inclinatio.
7. Hinc minùs deſtruitur impetus in plano inclinato ſurſum,
quàm in perpendiculo; quia diutiùs durat: cùm enim minùs ac­
quiratur in deſcenſu, vt dictum eſt, minùs etiam deſtruitur in aſ­
cenſu: hinc accedit propriùs hic motus ad æquabilem: in eodem
plano rectilineo poteſt eſſe aſcenſus, & deſcenſus, versùs eandem
partem: tale eſſet planum horizontale, in cuius vnico tantùm pun­
cto nulla eſt inclinatio: in quolibet puncto huius plani eſt ſingu­
laris inclinatio, vt patet, quæ eſt ad perpendiculum, vt Tangens ad
ſecantem éſtque eadem proportio motuum.
8. Corpus graue in ſuperficie quadrantis caua, deorſum cadit
motu naturaliter accelerato; quia ſingulis inſtantibus accedit nouus
1impetus; non tamen æqualibus temporibus, acquiruntur æqualia
velocitatis momenta; quia in ſingulis punctis quadrantis, eſt diuer­
ſa tangens; igitur mutatur progreſſio accelerationis, quæ certè ma­
jor eſt initio, & ſub finem minor; quia initio tangentes acce­
dunt propriùs ad perpendiculum, & ſub finem ad horizonta
lem.
9. Deſcendit etiam in ſuperficie conuexa globi erecti motu ac­
celerato; initio quidem, in minore proportione; ſub finem, in maio­
re; vnde eſt inuerſa prioris: poteſt etiam deſcendere corpus graue
vſque ad centrum terræ motu accelerato, in ſuperficie conuexa ſe­
micirculi: ſi ſuperficies terræ eſſet læuigatiſſima, corpus proje­
ctum moueretur in ea motu æquabili, nec deſtrueretur impetus im­
preſſus, vt conſtat; poteſt quoque deſcendere per ſpiralem: ſunt in­
finita plana curua, in quibus faciliùs moueri poteſt, quam in ho­
rizontali recta.
9[Figure 9]
De motu mixto ex rectis.
1. DAri motum mixtum ille non dubitat, qui diſcum proiicit.
Mixtus ex duobus rectis æquabilibus eſt rectus, eſt que
diagonalis vtriuſque: hinc deſtruitur aliquid impetus, iuxta pro­
portionem differentiæ diagonalis, & vtriuſque lateris ſimul ſump­
ti; quia, ſcilicet, eſt fruſtrà: quò maior eſt angulus, quem faciunt li­
neæ determinationum, minor eſt diagonalis; igitur plùs impetus
deſtruitur, donec tandem concurrant in oppoſitas lineas, tunc enim
totius impetus deſtruitur.
2. Quum minor eſt, vel acutior prædictus angulus, minùs impetus
deſtruitur; quia diagonalis maior eſt; donec tandem conueniant in
eandem lineam, tunc enim nihil deſtruitur: datur de facto hic mo­
tus in rerum natura; talis eſt motus nauis à duobus ventis impreſ­
ſus; vel eiuſdem partis aëris; imò & ipſius venti: motus mixtus ex
duobus retardatis iuxta eandem progreſſionem eſt rectus; quia fit
per hypothenuſim triangulorum proportionalium: idem dico de
duobus acceleratis.
3. Si mixtus ſit ex æquali, & accelerato, vel ex duobus accelera­
tis in diuerſa progreſſione, vel ex duobus retardatis ſimiliter, fit per
lineam curuam, vt patet: dum proiicitur corpus graue per horizon-
1talem in medio libero eſt motus mixtus ex accelerato naturali, &
retardato violento: eſt enim acceleratus naturalis, cùm deorſum
deorſum tendat quaſi per gradus, ſeu diuerſa plana inclinata.
4. Non tamen impetus acquiſitus in eo motu eſt eiuſdem perfe­
ctionis cum illo, qui acquireretur in perpendiculari eiuſdem longi­
tudinis; ſed tantùm eiuſdem altitudinis: nam perinde creſcit ille
impetus, atque creſceret in diuerſis planis inclinaris: impetus verò
violentus in hoc motu retardatur; tùm, quia, ſi maneret idem, maior
eſſet ictus ſub finem iactus, quod eſt ridiculum; nec eſt, quòd aliqui
dicant, ab aëre deſtrui, qui non minùs reſiſtit naturali, quàm vio­
lento.
5. Adde, quòd eſt duplex determinatio: igitur aliquid deſtrui de­
bet, non acquiſiti; igitur impreſſi: deſtrui autem non dicitur acqui­
ſitus, quòd, ſcilicet, plùs de nouo accedat, quàm pereat; eſt enim ac­
celeratus: adde, quòd non infligitur tantus ictus ſub finem; igitur
deſtruitur aliquid impetus, non acquiſiti, eo modo, quo diximus;
igitur impreſſi: ita tamen ſenſim deſtruitur, vt pro æquabili per ali­
quod ſpatium quaſi haberi poſſit.
6. Hinc mobile proiectum per horizontalem, ne primo quidem
inſtanti per horizontalem mouetur, alioqui non eſſet motus mix­
tus: tardiùs cadit mobile ita proiectum in planùm horizontale ſub­
iectum, quàm cum ſua ſponte, ex eadem altitudine deſcendit: cuius
rei clariſſima eſt experientia: ratio eſt; quia impetus acquiſitus in
hoc iactu non eſt eiuſdem perfectionis, cùm acquiſito in perpendi­
culo: cùm proiicitur mobile per inclinatam ſurſum, mouetur motu
mixto ex naturali æquabili, & violento retardato: patet prima pars;
quia acceleratur tantùm naturalis deorſum, ſaltem in inclinata: ſe­
cunda pars etiam patet; quia ſub finem minor eſt ictus.
7. Hinc linea motus eſt curua: iuxta diuerſam progreſſionem de­
ſtruitur hic impetus impreſſus: tùm pro diuerſa inclinatione plani,
cuius etiam hîc habetur ratio; nam ſingulis inſtantibus mutatur:
tùm, quia modò plùs impetus eſt fruſtrà, modò minùs; plùs
certè, cùm linea determinationis impetus impreſſi facit obtu­
ſiorem: atqui initio eſt obtuſior; ſub finem verò aſcenſus acu­
tior.
8. Aſcenſus proiecti per inclinatam diutiùs durat, quàm deſ­
cenſus, ratione eiuſdem plani horizontalis; quia, ſcilicet, aſ­
cenſus longior eſt, quàm deſcenſus: eſt autem longior; quia, vt
eſſet æqualis, nihil impetus impreſſi deberet deſtrui in aſcenſu
1porrò in deſcenſu eſt motus mixtus ex accelerato naturali,
& retardato violento, vt conſtat ex dictis: iactus per incli­
natam ad angulum 45. eſt omnium maximus, ratione eiuſdem
plani horizontalis: clara eſt experientia. Ratio eſt: quia per verti­
calem ſurſum, nihil acquiritur in plano horizontali, ex quo fit ia­
ctus; nihil etiam per ipſam horizontalem; igitur plùs acquiritur per
illam, quæ maximè ab vtraque ſimul recedit.
9. Hæc ratio eſt verè phyſica, geometrica nulla eſt: hinc illi
iactus æquale ſpatium acquirunt in prædicto plano horizontali,
qui fiunt per inclinatas æqualiter à prædicta inclinata ad ang. 45.
diſtantes. Cùm emittitur mobile per inclinatum deorſum, in libero
medio, mouetur motu mixto ex naturali accelerato, & impreſ­
ſo retardato, vt conſtat ex dictis; ille autem primus accelera­
tur per acceſſionem impetus perfectionis quàm in iactu per ho­
rizontalem; ſed imperfectionis, quàm in perpendiculo: retarda­
tur verò impetus minùs, quàm in iactu per horizontalem; plùs ve­
rò, quàm in iactu per ipſum perpendiculum, in quo nihil impetus
deſtruitur.
10. Cùm è naui mobili ſurſum mittitur corpus graue, eſt motus
mixtus ex tribus, in aſcenſu, ſcilicet, ex naturali æquabili, ex verti­
cali retardato, & horizontali æquabili: mouetur ſurſum per cur­
uam, ſempérque capiti iaculatoris imminet; quippe tantùm acqui­
rit in horizontali, quantùm nauis: in deſcenſu verò eſt motus mixtus
ex horizontali retardato, & naturali accelerato: quia tamen bre­
uiſſimo illo tempore, retardatio illa horizontalis non eſt ſenſibilis,
ferè in ipſius iaculatoris caput deſcendit; quod certè phænomenon
ex noſtris principiis euincitur.
11. Parum cautè Vfanus vniuerſim aſſerit, iaculationem pilæ ex
tormento, maiorem eſſe ex naui in continentem, & minorem vi­
ciſſim, cùm vtriuſque differentia peti poſſit, vel à puluere tormen­
tario, vel ab eius compreſſione, vel humiditate, vel tormenti fabri­
ca, vel ipſius demum nauigij motu, qui pilæ motum, vel accelerat, ſi
versùs eandem partem eſt, vel retardat è contrario: in plano ho­
rizontali duro poteſt eſſe motus mixtus ex duobus, tribus, qua­
tuor, & pluribus aliis.
12. Cùm è naui mobili emittitur ſagitta per horizontalem, quæ fa­
cit angelum rectum cum linea directionis nauis, fertur quaſi per dia­
gonalem vtriuſque, ſaltem per aliquod ſpatium: cùm verò emitti-
1tur per horizontalem, quæ conueniat cum eadem linea directionis,
iactus eſt longior toto illo ſpatio, quod nauis decurrit, dum iactus
durat; breuior tamen, ſi in partem oppoſitam fiat iactus in hoc ca­
ſu, ſi nauis æqualem impetum imprimeret, deorſum rectà ferretur
mobile motu naturali; imò ſagitta poſſet retorqueri in iaculatorem:
ſi terra eſſet vtrimque peruia, lapis demiſſus per multa annorum
millia libraretur; non tamen eſſet motuus perpetuus.
10[Figure 10]
De motu reflexo.
1. MOtus reflexi vera cauſa eſt impetus prior, ad nouam li­
neam determinatus ab occurrente obice; planum refle­
ctens eſt cauſa nouæ determinationis ſuo modo; cauſam enim di­
co eam, ex qua aliquid ſequitur: ex gemina determinatione, noua,
ſcilicet, per ipſam perpendicularem erectam in puncto contactus,
& priore per lineam incidentiæ, ab eodem puncto contactus pro­
pagatam, fit determinatio mixta per lineam reflexionis; quæ omnia
patent ex terminis: hinc nullus impetus producitur à plano refle­
ctente; quippe prior poteſt determinari ad nouam lineam: adde,
quòd planum, quod caret impetu, impetum producere non poteſt.
2. Imò nihil impetus deſtruitur in reflexione pura per ſe; quia ni­
hil impetus eſt fruſtrà per ſe in pura reflexione; multus tamen im­
petus deſtruitur per accidens, tùm ab ipſo attritu tùm mollitie
& ceſſione, tùm preſſione: hinc ſuppoſito eodem iactu, perpendi­
cularis reflexa eſt omnium reflexarum minima; quia per eam li­
neam maximus ictus infligitur; igitur maxima eſt partium colliſio,
& preſſio: hinc etiam corpora duriora longiùs reflectuntur, per ipſam
quoque perpendicularem, dum planum reflectens ſit æquè durum.
3. Determinatio noua dupla eſt prioris, poſita linea incidentiæ
perpendiculari, & poſito etiam plano reflectente immobili; quia
alioquin anguli reflexionis non eſſent æquales angulis incidentiæ:
ſi globus reflectens ſit æqualis impacto, æqualis eſt ceſſio reſiſtenciæ
cùm ſit æquale agens reſiſtenti, perid enim reflectens reſiſtit, per
quod eſt: igitur, ſi æqualis reſiſtit, & cedit, certè æqualiter ce­
dit, & reſiſtit: hinc noua determinatio æqualis eſt priori: hinc glo­
bus impactis ſiſtit immobilis; quia ex duabus determinationibus
oppoſitis neutra præualet.
1
4. Tantum eſt ab æqualitate prædicta ceſſionis, & reſiſtentiæ, ad
nullam ceſſionem, & notam reſiſtentiam, quantum eſt ad nullam
reſiſtentiam, & totam ceſſionem: hinc, cùm à tota ceſſione ad æqua­
litatem prædictam acquiratur tantùm noua determinato æqualis
priori; igitur ab eadem æqualitate ad nullam ceſſionem tantun­
dem acquiritur; igitur dupla prioris, vt iam ſuprà dictum eſt; nulla
eſſet reſiſtentia in vacuo; nulla eſt ceſſio, cùm ipſum corpus refle­
ctens nullo modo mouetur ab ictu.
5. Determinatio noua per lineam obliquam, eſt ad nouam per
lineam perpendicularem, vt ſinus rectus anguli incidentiæ, ad ſi­
num totum, in qualibet hypotheſi; quia ſunt hæ, vt ictus, per vtran­
que lineam; ictus verò vt grauitationes in horizontale planum, &
in planum inclinatum, ſub angulo complementi anguli incidentiæ:
hinc noua determinatio per lineam obliquam, eſt vt dupla ſinus re­
cti anguli incidentiæ, ad ſinum totum: hinc ſupra angulum inci­
dentiæ 30, noua eſt maior priore, infrà minor; in ipſo angulo 30.
æqualis, ſuppoſita hypotheſi plani reflectentis immobilis.
6. Ex hoc poſitiuo principio demonſtratur accuratiſſimè æqua­
litas anguli reflexionis, & incidentiæ, quod certè demonſtratum
non fuit ab Ariſt. in problematis, ſect. 17. problem. 4. & 13. quibus
in locis fusè ſatis explicatur hoc Theorema, ducta comparatione,
tùm à grauibus, quæ cadunt, tùm ab orbibus, quæ rotantur, rùm à
ſpeculis: ſed minimè demonſtratur ex certis principiis ſine petitio­
ne principij. In puncto reflexionis, poſita hypotheſi plani immo­
bilis reflectentis, nulla datur quies; quia vnum tantùm eſt conta­
ctus inſtans; ſed eo inſtanti eſt motus, quo primo acquiritur locus.
7. Omnes lineæ reflexæ per ſe ſunt æqualis longitudinis, & ab
eodem puncto contactus, ad communem peripheriam terminan­
tur: ſi globus impactus ſit æqualis reflectenti, ſitque linea inciden­
tiæ obliqua quælibet terminata ad idem punctum contactus, re­
flectitur prædictus globus per lineam tangentem globum refle­
ctentem in eodem puncto; quia hæc tangens eſt diagonalis com­
munis, & determinatio mixta communis omnibus lineis inciden­
tiæ: eſt tamen modò longior, modò breuior linea reflexa, éſtque vt
vt ſinus complementi anguli incidentiæ, ad ſinum totum, qui ſit
determinatio prior, vt facilè demonſtramus.
8. Si globus impactus ſit minor corpore reflectente, reflectitur
etiam per ipſam perpendicularem, & determinatio noua eſt dupla­
prioris, minùs ratione globorum v. g. ſi globus impactus ſit ſubdu-
1plus, determinatio noua eſt dupla prioris, minùs vna quarta,
&c. ratio eſt, quia in ea proportione globus reflectens cedit, in
qua mouetur, igitur tantùm detrahitur determinationis impacto
globo, quantùm additur motus reflectenti: at verò noua determina­
tio per lineam incidentiæ obliquam, eſt ad nouam per ipſam per­
pendicularem, vt ſinus rectus anguli incidentiæ ad ſinum totum.
9. In hac hypotheſi lineæ reflexæ omnes ſunt ſupra prædictam
tangentem, ſeu ſectionem plani, maiores, vel minores, pro diuerſa
menſura diagonalis: in ſuperiori verò hypotheſi æqualium globo­
rum, ſunt omnes in ipſa ſectione plani: ſi denique globus impactus
ſit maior alio, omnes ſunt infra prædictam ſectionem. Porrò in hac
hypotheſi vltima, determinatio noua per ipſam perpendicularem
eſt minor priore: hinc non modò nulla fit reflexio in perpendicula­
ri, ſed linea directa vlteriùs propagatur; quia prior determinatio
præualet.
10. Detrahitur priori portio æqualis rationi globorum; v. g. glo­
bus reflectens eſt ſubduplus impacto de trahitur priori determina­
tioni vna ſecunda; eſt ſubquadruplus, vna quarta; atque ita dein­
ceps: ratio patet ex dictis: in linea verò incidentiæ obliqua, deter­
minatio eſt ad determinationem in perpendiculari, vt ſinus rectus
anguli incidentiæ ad ſinum totum: linea demum reflexa eſt modò
maior, modò minor pro diuerſa diagonali.
11. Si duo globi æquales in ſe inuicem impingantur æquali mo­
tu, per lineam connectentem centra, vterque æquali motu priori re­
troagitur; quia æqualis in æqualis æqualem impetum imprimit: non
eſt tamen motus reflexus; quia totus prior impetus deſtruitur, vt
patet ex dictis: ſi autem inæquali motu concurrant, retroaguntur
iiſdem motibus, permutando; quod etiam clarum eſt: hinc egre­
gium paradoxum, ſi quod aliud conſequitur, ſcilicet, globum A, v.
g. æqualem motum imprimere globo B, ſiue hic moueatur, ſiue
quieſcat.
12. Si verò linea incidentiæ ſit obliqua, vterque globus reflecte­
tur prorſus vt à plano immobili: hinc reflexio ſit ad angulos æqua­
les, & lineæ omnes reflexionis ſunt æquales: ratio eſt; quia, quantùm
detrahit globus reflectens reſiſtendo, tantùm addit in partem op­
poſitam repellendo, poſitiuo niſu, vel impetu: quòd ſi alter globus
maiore, vel minore motu moueatur, vel ſi globi ſint inæquales,
cum æquali motu, vel inæquali, res etiam determinari poteſt ex
præmiſſis.
1
13. Cum duo globi in ſeſe inuicem impinguntur æquali motu,
minor retroagitur velociore motu, quàm ante moueretur, vt clarum
eſt: maior verò, ſi duplus eſt alterius, ſiſtit immobilis in puncto
contactus; ſi maior duplo ſuum iter proſequitur, ſed tardiore mo­
tu; ſi minor duplo, retroagitur: quæ omnia facilè ex dictis demon­
ſtrantur. Poteſt impetus eſſe æqualis alteri, & præualere; poteſt
æqualem impetum producere hoc inſtanti, & ſtatim inſtanti, quod
ſequitur, totus deſtrui.
14. Poteſt globus retroagi in plano horizontali, licèt in aliud cor­
pus non incidat, ita vt initio tendat in ortum, verbi gratia: tùm
deinde, licèt nihil prorſus addatur, versùs occaſum; quod accidit,
cum globus vtroque motu, centri, ſcilicet, & orbis, mouetur, ſed
contrario; primùm enim motus centri præualet, ſed facilè cedit
propter attritum maiorem partium. Nullus datur propriè motus
refractus: licèt enim incuruetur linea motus, dum per aquam ſu­
bit mobile; hæc tamen eſt reflexionis ſpecies.
15. Globus reflectens, qui ab ictu alterius mouetur, non mouetur
inſtanti contactus; quia impetus primo inſtanti, quo eſt, non mo­
uetur; producitur enim impetus primo inſtanti contactus: ſi impe­
tus eſſet tantùm determinatus ad vnam lineam, nulla fieri poſſet
reflexio, ſed tantùm repercuſſio; quia veriſſima cauſa reflexionis
conſiſtit in noua determinatione: per reflexionem poſſunt colligi
plures partes aëris ſonori ad Echometriam: ſagitta emiſſa per ho­
rizontalem ſursùm, tantillùm aſcendit per arcum; quia tantillùm
reflectitur ab aëre.
11[Figure 11]
De motu circulari.
1. DAri motum circularem, probatur infinitis ferè experimen­
tis: cuius ratio à priori eſt, quòd poſſint extremitates eiuſ­
dem cylindri in partes oppoſitas pelli; vnde ſequitur neceſſariò
motus circularis; quem ij negare coguntur, qui ex punctis mathe­
maticis quantitatem componunt. Motus circularis in ſublunaribus
oritur ex recto impedito; quia, ſcilicet, determinatur tantùm im­
petus ad lineam rectam: hinc quidam motus circularis eſt merè
per accidens, vt cùm retinetur extremitas funependuli, ſeu
1fundæ, quæ ſi demittatur, ſequitur motus rectus: quidam tamen
non eſt merè peraccidens, vt cùm pellitur extremitas cylindri in
plano horizontali; eſt enim, iuxta inſtitutionem naturæ, ad facili­
tatem motus.
2. Quippe tale eſt naturæ inſtitutum, vt eo motu corpora mo­
ueantur, quo faciliùs moueri poſſunt: atqui cùm pellitur altera cy­
lindri extremitas, in plano horizontali putà innatantis, faciliùs
mouetur, quàm recto, & quaſi minore ſumptu, cùm minùs ſpatij
acquirat: æquali tempore: poteſt dari motus circularis mixtus ex
duobus rectis, quorum vnus ſit, vt ſinus recti, alius vt verſi; vix
tamen hoc accidit vnquàm, ſed tantùm oritur hic motus ex
determinatione per tangentem impedita, ratione alicuius puncti
immobilis.
3. Hinc, ſi tollatur impedimentum, ſtatim per tangentem or­
bis fit motus, vt patet in funda: inæqualiter partes radij prædicti
orbis mouentur, iuxta proportionem diſtantiæ maioris, & minoris
à centro: hinc propagatio impetus inæqualis, de qua iam ſuprà,
ſingulis inſtantibus & punctis eſt noua determinatio; quia, ſcilicet,
ſingulis punctis ſua tangens reſpondet: hinc, ſi imponatur rotæ
aliud corpus, ſtatim abigitur, ſine ſit in ſitu verticali, ſiue in ſitu ho­
rizontali; hinc dum turbo rotatur, ſi vel aquæ guttula eius ſuper­
ficies aſpergitur, & ſtatim diſpergitur.
4 Dari impetum in motu circulari certiſſimum eſt: punctum phy­
ſicum eſt capax huius motus; cuius finis multiplex eſt; corpus mo­
uetur motu circulari circa centrum immobile cum motus centri
impeditur non tamen motus orbis, ad quem impetus facilè deter­
minatur, cùm ſit ad omnes lineas indifferens: adde vſum vectis,
trochleæ, aliorúmque organorum, qui ſine motu circulari eſſe non
poteſt: omitto motum progreſſiuum, ipsúmque brachiorum, & ti­
biarum vſum, qui motu circulari carere non poteſt.
5. Motus circularis rotæ in plano verticali eſt æquabilis per ſe;
quia nihil eſt, quod impetum ſemel impreſſum deſtruat: licèt enim
ſingulis inſtantibus ſit noua determinatio, nullus tamen impetus
eſt fruſtrà; quippe illud ſpatium acquiritur in linea curua, quod in
recta, ſi nullum eſſet impedimentum, percurreret: quemadmodum
enim in reflexione, quæ fit à plano immobili, nullus deſtruitur im­
petus; ita nullus hîc deſtruitur; tam enim centrum illud immobile
ad ſe quaſi trahit mobile, quàm planum immobile à ſe repellit; in
quo eſt perfectè analogia.
1
6. Hinc per ſe motus circularis integri orbis eſt perpetuus; de­
ſtruitur tamen per accidens, ſcilicet, propter attritum axis: hinc
tam diu durat hic motus: clariſſimum experimentum habes in tur­
bine, cuius cuſpis læuigatiſſima in plano læuigatiſſimo rotatur; nec
vnquam ceſſaret hic motus ſine prædicto attritu, & partium aſperi­
tate: nec quidquam obſtat, quòd aliquæ partes rotæ, quæ in circu­
lo verticali voluitur, aſcendant; quia etiam aliquæ deſcendunt: qua­
re ſemper remanet perfectum æquilibrium, & harum deſcenſus, il­
larum aſcenſum compenſat. Quò diutiùs potentia motrix manet
applicata manubrio axis rotæ, ita vt nouum ſemper producat im­
petum, rotæ motus velocior eſt, atque diutiùs durat: idem prorſus
dico de rota circulo horizontali parallela.
7. Cùm mouetur æquali niſu acus circa immobile centrum, tùm
in plano horizontali, tùm in verticali, ſiue ſit longior vna, ſiue breuior
alia, per ſe plures gyros non deſcribit vna, quàm alia; quia per ſe
mouetur motu æquabili: per accidens tamen ſecus accidit; quippe
maior eſt maioris attritus: dixi, cùm mouetur æquali niſu; nam ſæpè
contingit, maiore niſu potentiam motricem agere circa maiorem;
æquali tamen tempore numerus circuitionum minoris, eſt ad nu­
merum circuitionum maioris per ſe vt acuum quadrata permu­
tando; ſunt enim motus vt ſpatia, ſpacia vt quadrata.
8. Verbi gratia, ſit acus maior 2. minor 1. certè cùm tota area or­
bis maioris ſit quadrupla minoris, ſitque area maioris, ſpatium ma­
ioris, & area minoris ſpatium minoris, haud dubiè deſcribet minor
quatuor circuitiones, eo tempore, quo maior decurret vnicam: li­
cèt enim extremitas minoris, quæ impellitur, habeat tantùm du­
plum impetum extremitatis maioris, ſitque impetus intenſio in
minore, dupla intenſionis impetus in maiore; eſt tamen quadrupla
illius, quæ eſt in ſegmento maioris versùs centrum æquali minori
acui: porrò motus circulares æquabiles in vtraque cum eodem
impetu, ſunt vt motus recti.
9. Rota in plano verticali faciliùs mouetur, quàm in horizonta­
li; quia in illo mouetur per minimam impetus, vel potentiæ acceſ­
ſionem; ſecùs in iſto; quippe per minimam acceſſionem tollitur
æquilibrium; imò moueri poteſt in plano verticali, licèt nullus im­
primatur impetus rotæ, v. g. per additionem minimi ponderis, vel
momenti, vt patet; cùm tamen in plano horizontali moueri non
poſſit, niſi impetus imprimatur.
10. Si cylindrus in plano horizontali læuigato in altera extremi­
tate per tangentem impellatur, mouebitur motu circulati, ſcilicet,
1faciliori, circa centrum, quod diſtet ab altera extremitate vna
quarta totius cylindri: ratio eſt: quia faciliùs mouetur circa illud
centrum, quàm circa alia puncta, quòd, ſcilicet, minùs ſpatij decur­
ratur, poſito eodem ſemper motu alterius extremitatis, cui appli­
catur immediatè potentia motrix.
11. Cùm rota mouetur in verticali, atque præponderat alter ſemi­
circulus, haud dubiè hic præponderans producit impetum in alio
ſemicirculo: hinc fortè eſt, quòd mirere, impetus determinatus
deorſum producit alium ſurſum: hinc impetus vnius partis mobi­
lis poteſt producere ſimilem in alia parte continua; quod tantùm in
hoc caſu locum habet: quando corpus incumbit plano, quod mo­
uetur motu recto æquabili, ab eo non ſeparatur; ſecùs verò, ſi in­
cumbat plano, quod mouetur motu circulari.
12[Figure 12]
De motu funependuli.
1. FVnependulum deſcendit per arcum motu naturaliter acce­
lerato: experientia clariſſima eſt: cùm enim ex maiori ſubli­
mitate deſcendit, maiorem ictum infligit. Ratio à priori eſt quia
priori impetui acquiſito nouus accedit: non acceleratur in eadem
proportione, in qua ſuprà dictum eſt accelerari in linea recta; quia
in hac acceleratur vniformiter, id eſt, æqualibus temporibus,
æqualia acquiruntur velocitatis momenta; quia vel eſt ſemper ea­
dem inclinatio plani, vel idem perpendiculum: at verò in fune­
pendulo in ſingulis punctis eſt noua tangens; igitur noua inclina­
tio plani; igitur noua ratio motus.
2. Initio acceleratur motus per maiora crementa, ſub finem per mi­
nora; v.g. ſi dato tempore acquiſiuit vnum gradum impetus initio,
æquali deinde tempore acquiret minùs: ratio clara eſt: quia, vt ac­
quireret æqualem, deberet eſſe eadem plani inclinatio; ſed ſemper
creſcit Inclinatio; igitur ſemper imminuitur impetus æquali tempore
acquiſitus: acquiritur tamen æqualis velocitas in arcu, & in chor­
da, ſeu plano inclinato, eiuſdem altitudinis; igitur ſemper creſcit
motus funependuli in deſcenſu, ſed minoribus incrementis.
3. Hinc breuiore tempore deſcendit per radium perpendicula­
rem, quàm per quadrantis arcum eiuſdem radij; tùm quia breuior
eſt linea; tùm, quia in perpendiculari acceleratur motus per maiora
crementa. Vibratio maior eiuſdem funependuli æquali ferè tem-
1pore cum minore perficitur: ratio eſt: quia, cùm ferè decurrantur
arcus iuxta ſubtenſarum proportionem, certè cùm ſubtenſæ om­
nes æquali tempore decurrantur, idem ferè fit in ipſis arcubus: dixi
ferè: nam reuerà minor vibratio citiùs, maior tardiùs perficitur, vt
conſtat experientia: neque deeſt ratio, quam in analyticam remittimus.
4. Non aſcendit funependulum ad eam altitudinem, ex qua priùs
deſcenderat: clara eſt experientia: neque ratio tantùm petitur ab
aëris reſiſtentia; tam enim reſiſtit deſcenſui, quàm aſcenſui; ſed ex
eo, quòd ſingulis inſtantibus ſit quædam pugna, inter impetum in­
natum, & alium determinatum ad arcum ſurſum: quippe impetus
innatus ad totum deſcenſum, ſed nullo modo ad aſcenſum con­
currit: hinc in maiori vibratione imminuitur motus, & ſpatium in
maiori proportione, quàm in minori; quia in hac lineæ ſingulæ aſ­
cenſus quaſi totidem inclinatæ ſunt inclinatiores; in illa verò minùs.
5. Hinc diu vibratur funependulum per minores arcus, quippe
facilis eſt aſcenſus per planum proximè ad horizontale accedens:
hinc etiam in funependulo maiori diutiùs durant huiuſmodi vi­
brationes, idque in arcubus paulò maioribus; quia ſubtenſæ his
arcubus ſunt inclinatiores: hinc refutabis eos, qui dicunt, vibra­
tiones funependuli in vacuo fore perpetuas: arcus vibratio­
nis aſcenſus fit motu naturaliter retardato, ſed per imminu­
tiones inæquales; quia pro diuerſa inclinatione plani diuerſimodè
retardatur.
6. Vltimum punctum impetus acquiſitus acquiſitum in deſcenſu,
nullo modo ad deſcenſum concurrit, ſed ad aſcenſum, vnico tan­
tùm inſtanti; quippe eſt omnium imperfectiſſimum; quod reuerà ſi
eſſet eiuſdem perfectionis cum innato, aſcenſus æqualis eſt deſcen­
ſui: ſi ſint funependula inæqualia, vibrationes non ſunt æquè diu­
turnæ: ratio eſt: quia, ſi aſſumantur, v.g. duo quadrantes inæquales,
ſunt ejuſdem inclinationis; igitur minor citiùs percurritur.
7. Porrò tempora vibrationum ſunt in ratione ſubduplicata ar­
cuum ſimilium, vel chordarum ſimilium, vel radiorum; id eſt, vt
radices ſpatiorum ſimilium: verbi gratia, ſit quadruplus alterius,
tempus vibrationis maioris eſt duplum temporis vibrationis mino­
ris; quod ita intelligendum eſt, vt hæc proportio conſideretur in
partibus temporis ſenſibilibus, vt iam dictum eſt de motu natura­
liter accelerato deorſum in perpendiculo, & in planis inclinatis;
nam progreſſio arithmetica; aſſumpta in ſingulis inſtantibus, tran­
ſit in hanc, ſi aſſumantur partes temporis ſenſibiles, quarum ſingu­
læ infinitis ferè conſtent inſtantibus.
1
8. In maiori quadrante, circa ſupremam extremitatem, eſt minor
inclinatio, quàm in minore; hic enim ſtatim detorquetur à perpen­
diculo, cum quo facit angulum maiorem: at verò circa infirmam
extremitatem, eſt maior inclinatio in maiore, quàm in minore: hinc,
ſi comparetur vibratio maioris, cum vibratione minoris in modico
arcu, tempus illius eſt paulò maius duplo, temporis huius; in maxi­
mo arcu paulò minùs duplo, dum, ſcilicet, longitudinum ratio
ſit quadrupla.
9. In deſcenſu funependuli velocitas acquiſita eſt eadem cum ea,
quæ in ſubtenſa eiuſdem arcus acquiritur: hinc ſunt ijdem ictus:
numerus, vibrationum non eſt infinitus, licèt in vacuo vibraretur
funependulum; quia, cùm ſingulæ imminuantur, & infinitis pun­
ctis non conſtent; tandem ad vltimam peruenitur: illa autem eſt vl­
tima, in cuius deſcenſu acquiritur tantùm vnum punctum impetus
ſupra innatum; in ea tamen ſententia, quæ vel infinitas partes actu,
vel infinita puncta cognoſcit, certè nunquam quieſceret funepen­
dulum in vacuo vibratum.
10. Funependulum in fine aſcenſus non quieſcit vno inſtanti;
quia impetui innato nunquam redditur æqualis acquiſitus; poſita ta­
men illa æqualitate, inſtanti ſequenti eſſet quies: funependulum
grauius citiùs deſcendit; eſt enim eadem ratio, quæ fuit pro mo­
tu naturali; corpus oblongum ſolidum circa punctum immobile
in circulo verticali rotatum vibratur adinſtat funependuli; deſ­
cendit tamen citiùs, quàm funependulum eiuſdem longitudinis.
11. Ratio facilis eſt; quia partes ſolidæ, quæ accedunt propiùs
ad extremitatem immobilem, accelerant motum aliarum, quæ
ad mobilem extremitatem accedunt; faciunt enim arcum mino­
rem: hinc aſcenſus non peruenit ad tantam ſublimitatem; quia, vt
prædictæ partes accelerant motum aliarum in deſcenſu, ita retar­
dant in deſcenſu: hinc citiùs quieſcit hoc penduli genus, quàm
aliud: ex hoc colligo paradoxon, ſcilicet, corpus moueri poſſe ſua
ſponte velociùs in arcu deorſum, quàm in perpendiculo; v.g. ſi iuxta
extremitatem immobilem ſit nodus plumbeus, cuius vi, altera ex­
tremitas longiùs diſtans deorſum rapiatur.
13[Figure 13]
De motu mixto ex circulari.
1. ROta, quæ mouetur in ſuperficie plana, mouetur motu mixto
ex recto centri, & circulari orbis: axis tantùm rotæ mouetur
motu recto: punctum contactus rotæ mouetur motu tardiſſimo,
1quando motus centri, & ſuprema rotæ pars in eandem partem ſe­
runtur; punctum verò oppoſitum velociſſimo, quia in motu huius
rotus motus orbis additur motui centri; in motu verò illius, to­
tus motus orbis, motui centri detrahitur: quod autem detrahit mo­
tus orbis, nunquam æquale eſt toti motui centri.
2. Hinc omnia puncta eiuſdem circuli rotæ mobilis in plano
hoc motu mixto mouentur in æquali motu: hoc etiam motu mo­
uetur globus deſcendens in plano inclinato, in quo reuerâ motu
hæc habes: primò, non modò accelerari motum centri, verùm etiam
motum orbis; ſecundò, ita impetum propagari ab intrinſeco, vt ſingu­
lis partibus eiuſdem circuli, & plani in æqualiter diſtribuatur, tertiò
hoc motu motum rectum non impediri à circulari, & ſed iuuari.
3. Cùm rota voluitur in ſuperficie connexa, mouetur motu mix­
to ex duobus circularibus: ſimilis eſt hic motus motui epicycli. Ca­
lamus volatilis, cuius miſſio frequens, & repercuſſio, ludi non in­
grati copiam facit: mouetur motu mixto ex recto, & circulari: in
hoc porrò motu præit calami caput, & ſequuntur pennæ; quia aër
fortiùs reſiſtit pennis, quàm thecæ: hinc pennarum motum theca
grauior accelerat, cuius motum pennæ retardant.
4. Hinc, ſi quando accidat, penas educi ex theca in libero medio;
ſtatim theca velociori motu mouetur, cùm tamen pennæ ipſæ ſi­
ſtant: ex hac inæqualitate, ne impetus ſit fruſtrà, propter detortas
in alteram partem pennas ab aëre reſiſtente totum iaculum defle­
ctitur, agitúr que in orbem; hinc motus orbis traducitur ex theca in
pennas, non contrà, vt aliquis fortè exiſtimaret, licèt pennarum tar­
ditas, & obliqua deflexio, ratione cuius ab aëre reſtante, in alteram
partem quaſi reflectentur, ſint neceſſaria conditio huius traductio­
nis.
5. Hinc motu recto prædictum iaculum in vacuo tantùm mo­
ueretur, vt patet: hinc: cùm pennæ ſunt explicatiores, tardiùs; cùm
verò contractiores, velociùs mouetur, etiam motu orbis; cui non
minùs aër reſiſtit, in pennis, ſcilicet, quàm motui axis: hinc, ſi theca
ſit grauior, velociùs; ſi leuior, tardiùs iaculum fertur; etiam tenera
plumarum lanugo tarditatem conciliat: porrò, ſi axis mouetur mo­
tu recto, quod reuerà fit, cùm iaculum deorſum demittitur in per­
pendiculo, hic motus eſt ſpiralis cylindricus: ex his infinita ferè
phænomena explicari poſſunt.
6. Sunt infiniti propemodum motus mixti; v. g. cylindri ab alte­
ra extremitate rotata emiſſi; longioris haſtæ, quæ ſurſum facta cir­
cuitione emittitur; brachij, gladij, &c. ſed potiſſimùm turbinis, qui
1vel ſcutica, vel funiculo in torto circumagitur, in quo clariſſi­
mè apparet motus centri, & orbis: ratio motus orbis eſt impe­
tus impreſſus vtrique extremitati diametri vaſis in partes contra­
rias; ratio verò motus centri eſt, quia adducitur funiculo vel ex­
ploditur, ſeu expellitur ſcutica: huius motus phænomena ſunt ferè
infinita: ſingula ex noſtris principiis facilè explicantur.
14[Figure 14]
De diuerſis impreſſionibus motus.
1. CVm ſuſtinetur manus, ſeu brachium, in ſitu horizontali im­
mobile, producitur neceſſariò impetus æqualis impetui gra­
uitationis; alioquin, ſi maior eſſet, ſurſum ferretur brachium; ſi verò
minor, deorſum: quia præualeret grauitatio, porrò hic impetus pro­
ducitur tantùm à potentia motrice animantis, in ſingulari organo;
non verò in aliis partibus, etiam animatis, niſi quando mouentur;
nec in ipſo pondere, ſi aliquod ſuſtinetur: ſic menſa in pondere ſu­
per poſito impetum nullum producit. Si anima immediatè in toto
corpore poſſet producere impetum, homo facilè volare poſſet.
2. Cùm ſuſtinetur funependulum, nullus impetus producitur à
ſuſtinente in ipſo globo, ne ſcilicet, ſit fruſtrà; ſecùs verò, ſi attolla­
tur: ſic per quamlibet lineam corpus retineri poteſt ſine impetu in
eo corpore producto per ſe: hinc, cùm duo ſeſe inuicem trahunt ad­
uerſo niſu, neuter in altero producit impetum per ſe; ſed per acci­
dens, propter mollitiem, & tenſionem partium: cùm verò defertur
aliquid coniunctum, producitur haud dubiè æqualis impetus; hinc
ſeparari non poteſt; quia æqualis eſt motus latoris, & delati: exem­
plum habes in naui.
3. Si verò nauis illicò ſiſtat, vel tardiùs moueri pergat, tunc fit ſe­
paratio: hinc liquida effunduntur, ſi dum feruntur, breuior quietis
in vaſe intercedat morula. Vt feratur cylindrus humeris commodiùs
debet ſuſtineri in centro grauitatis, ad eleuationem anguli 49. quia
tunc manui, & humero æqualiter pondus diſtribuitur: ideò in circulo
voluitur ſcyphus aqua plenus ſine effuſione; quia impetus determi­
natus per tangentem circuli aquam ipſam à centro circuli remouet.
4. Cùm trahitur aliquod corpus impetus impreſſus in vna parte
non producit impetum in alia, alioquin daretur proceſſus in infi­
nitum; ſi chorda vtrinque trahatur, rumpetur in medio: ſi affixa
extremitati immobili, trahatur à potentia applicata alteri extremi-
1tati, rumpetur iuxta primam illam extremitatem: ſi denique pon­
ticulo ſuppoſito tendatur, vel pondere deprimente, in eo puncto
rumpetur. Ratio communis iſtorum omnium eſt: quia inter illas
duas partes fieri debet diuiſio per ſe, quarum vna mouetur, ſecùs
alia; vel quarum vtraque in partes oppoſitas mouetur.
5. Vt quodlibet pondus faciliùs trahatur, ſinguli equi trahere
debent fune communi, potiùs quàm bigati; quia tunc nihil ferè pe­
rit impetus: cùm plures idem pondus trahunt, agunt actione com­
muni, alioqui ſinguli in toto pondere ſuum impetum producerent;
igitur ſinguli ſeorſum trahere? eſſent, quod falſum eſt: ideò currus
paulò poſt initium motus faciliùs mouetur; quia aliquid impetus
priùs producti remanet: hinc etiam rupto fune, quo trahitur currus,
currus ipſe modicum tempus adhuc mouetur.
6. Si, dum quis trahit toto niſu magnum aliquod pondus, funis
rumpatur, pronùs corruit: quia maiorem impetum in ſe producit,
totum, ſcilicet, illum, quem in toto pondere produxiſſet eo inſtan­
ti, quo rumpitur finis, qui reuerà maior eſt, propter impedimen­
tum, ex præmiſſis principiis, maiorique applicatione potentiæ, ner­
uorum tenſione, &c. dum trahitur vnco an nullus immobilis ver­
sùs nauim, nauis fertur versùs littus; dum pellitur aduersùm littus,
recedit à littore, quia pede, vel genu, imprimitur naui impetus in
contrariam pattem.
7. Cùm trahitur cylindrus vtrinque æqualiter, qui neque flecti,
neque tendi poteſt, nullum impetum accipit; imò in tractione nul­
lus impetus eſt inutilis: brachium infligit maiorem ictum, cùm ma­
iorem arcum deſcribit ſuo motu; quia, ſcilicet, mouetur motu natu­
raliter accelerato: hinc auerſa manu validior impingitur colaphus,
quàm aduerſa; quia illa maiorem arcum deſcribit: hinc longius bra­
chium cæteris paribus grauiùs ferit: hinc diu quaſi rotatur bra­
chium, vt longiùs mittatur lapis.
8. Maiore fuſte maior ictus infligitur; quia potentia toto niſu
agens, diutiùs manet applicata maiori, quàm minori; ſuntque ictus
in ratione ſubduplicata vtriuſque fuſtis; v. g. fuſtis pendens vnam
libram per maximum arcum impactus, infligit ſubduplum ictum
alterius, quem infligit fuſtis quatuor pendens libras per eundem
arcum impactus: idem dicatur de miſſo lapide: principium huius
veritatis pendet ex iis, quæ diximus lib. 2. de motu naturali­
ter accelerate, iuxta progreſſionem numerorum imparium,
1. 3. 5. &c.
9. Fuſtis circa centrum immobile vibratus, maximum ictum in-
1fligit, non quidem in centro grauitatis, id eſt, in medio, ſi ſit cy­
lindrus, vel parallelipedum; nec in extremitate mobili; ſed in eo
puncto, in quo eſt centrum impetus impreſſi, id eſt, quod æqualem
vtrinque dirimit impetum: ratio eſt; quia tunc totus impetus agit,
quantùm poteſt; illud autem punctum Geometria demonſtrat eſſe
terminum mediæ proportionalis, inter totum cylindrum, & ſub­
duplum; modò nulla ratio vectis habeatur alioquin centrum pro­
cuſſionis diſtat 2/3 ab extremitate immobili.
10. Cùm fuſtis inflectitur, reditque ad priſtinum ſtatum, vt
videre eſt in tudicula maiore, maior ictus imprimitur: quia non
tantùm agit impetus extrinſecùs adueniens; verùm etiam potentia
quædam media, quæ corpora compreſſa, vel tenſa, ad priſtinum
ſtatum reducit: hinc maximus eſt ictus tudiculæ, cùm eo inſtanti,
quo reductum eſt omninò manubrium priori rectitudini, infligitur
ictus, quia tunc vis potentiæ mediæ eſt maxima.
11. Rotato flagello ideò maxima vis ineſt, quia diutiùs potentia
manet applicata: hinc vides hoc principium eſſe vniuerſaliſſimum,
quod iactis, pulſis, & impactis competit; de malleorum ictu idem
prorſus dicendum eſt, quod de fuſte; ſi autem mallei cadant
ex eadem altitudine, motu naturali accelerato, ictus ſunt vt
mallei, quia duplus malleus, v. g. duplum impetum acquirit: nam
ſingulæ partes ſeorſim æqualem impetum acquirunt.
12. Si verò ex diuerſa altitudine cadant, vel ſunt æquales, vel
inæquales: ſi primum, ictus ſunt vt tempora, quibus cadunt: ſi
ſecundum, ictus ſunt in ratione compoſita temporum, & mal­
leorum: ſi ſunt infinitæ, partes actu, nulla eſt proportio percuſſionis
granuli cadentis, & rupis ingentis grauitantis; ſed hoc vltimum fal­
ſum eſſe conſtat; non poteſt tamen determinari proportio vitium
grauitationis, & percuſſionis, niſi numerus inſtantium: quibus durat
motus deorſum cognoſcatur.
13. Leuiſſimi lapides vix emittuntur ad modicam diſtantiam;
quia ſtatim ſeparantur à potentia: parallelipedum cadens de or­
ſum in ſitu horizontali maximum ictum infligit in centro grauita­
tis, id eſt, in medio; quia tunc totus impetus agit, totus enim impe­
ditur: in aliis punctis minor eſt ictus, iuxta proportionem maioris
diſtantiæ à prædicto centro: ſi verò percutiatur cylindrus innatans,
maxima erit vis, vel effectus ictus in centro grauitatis propter ean­
dem rationem.
1 15[Figure 15]
LIBER PRIMVS,
DE IMPETV.
TRACTATVM hunc de motu locali
ab ipſo impetu auſpicamur, ex cuius
profectò cognitione tota res iſta de­
pendet; cum enim impetus ſit cauſa
immediata motus, vt fusè demonſtra­
bimus infrà; & cum propter quid ſit res cognoſci
non poſſit, niſi eius cauſa cognoſcatur; dubium eſſe
non poteſt, quin præmittenda ſit tractatio illa, quæ
eſt de impetu, vt deinde affectiones ipſius motus
per cauſam eiuſdem demonſtrentur; immò auſim
dicere ex vnius impetus cognitione, non modò mo­
tum ipſum, verùm etiam totam rem Phyſicam pen­
dere.
DEFINITIO I.
MOTVS localis eſt tranſitus mobilis è loco in locum continuo fluxu.
Huius definitionis explicationem habebis in Metaphyſicâ,
quæ ſanè explicatio ad rem præſentem non facit.
Definitio II.
Motus velox eſt quo percurritur maius ſpatium æquali tempore, vel
æquale ſpatium minori tempore; contrà verò motus tardus.
1
Definitio III.
Impetus eſt qualitas exigens motum, ſeu fluxum localem ſui ſubiecti, vel
qua est cauſa proxima motus illius mobilis, cui ineſt, eo ſcilicet modo, quo
poteſt eſſe cauſa motus.
Dico eſſe qualitatem ſiue diſtincta ſit, ſiue non diſtincta; quod hîc
certè non diſcutio; nec enim affirmo in hac definitione dari impetum;
ſed definio tantùm quid ſit impetus; qui reuera aliud non eſt, ſi eſt:
quippe id tantùm concipio, cum impetum appello; ſiue ſit, ſiue non ſit,
ne quis fortè initio ſtatim mihi litem intendat; quemadmodum definit
circulum Geometra; licèt non aſſerat dari perfectum circulum; ita Phy­
ſicus definit impetum, quamuis non affirmet dari impetum; quod tamen
in ſexto Theoremate demonſtrabimus; itaque ſi eſt impetus, haud dubiè
nihil omninò præſtat in ſuo ſubiecto niſi motum; quod quomodò fiat,
explicabimus intrà in Theorematis.
Hypotheſis I.
Datur motus localis; quis enim non videt volantem auem, natantem
piſcem; currentem equum, rotatum globum; denique vnum corpus mi­
grans è loco in locum? ſed hoc eſt moueri per Def. 1. igitur infinitis fe­
rè experimentis nititur hæc hypotheſis, quam veram eſſe neceſſe eſt, ſi
illa vera ſunt; ſed illa certa ſunt phyſicè, neque citra miraculum fallere
poſſunt.
Diceret fortè aliquis etiam motum ſubeſſe oculorum fallaciæ; cùm è
naui mobili littus ipſum moueri, ipſumque nauigium non moueri iudi­
cemus. Quis enim oculos in Solem intendens, primo intuitu Solem ſta­
re non iudicet? cum tamen deinde perniciſſimo curſu rotari demonſtre­
mus; adde alias oculorum fallacias circa motum; ſic rotata ſcintilla, vel
carbo accenſus immotum orbem deſcribere videtur; ſic nota inuſta
trocho, dum celerrimè rotatur, orbem etiam immobilem deſcribere iu­
dicatur; ſic ſtella cadens, vel exhalatio continenti ſucceſſione accenſa
moueri videtur; licet minimè moueatur; idem dicendum de puluere
tormentario, vel alia qualibet materia; quæ continuata conſecutione
accenditur; immò trochus ipſe in orbem celerrimè agitatus, quieſcere
videtur; ſic qui vertigine laborant, ea moueri exiſtimant, quæ quieſcunt;
idem exemplum habemus in ebrioſis, iracundis, in iis qui ex graui febris
ardore delirant, & in pueris qui diu in gyros eunt, vbi verti deſierint;
ſic eorum quæ motu æquali feruntur, remotiora tardiùs moueri viden­
tur; immò ſi per eandem lineam oculus, & mobile pari velocitate ince­
dant, ipſum mobile quieſcere videtur, plura leges apud Opticos, de
quibus agemus ſuo loco: Igitur ex his omnibus conſtat minimè conſta­
re dari motum, ex eo quòd oculis aliquid moueri videatur.
Reſpondeo equidem fateri me, viſum ipſum plurimis ſubeſſe fraudi­
bus; attamen ſi rectè oculus admoueatur, iuſta diſtantià, nec vllum ſit
impedimentum exterius nec interius; fieri non poteſt, quin oculus mo­
tum obſeruet; an fortè currentis calami motus oculum meum fallere po-
1teſt? quidquid ſit, fateor vltrò hanc hypotheſim in eo tantùm certitudi­
nis gradu eſſe reponendam, in quo reponitur hæc cognitio, quâ modo
cognoſco me ſcribere, manuſque, & calami motum obſeruo; ſiue id tan­
tùm oculis fiat, ſiue intellectu ex oculis; quod aliàs diſcutiemus; ſi quis
fortè in Phyſica maiorem certitudinem poſtularet, cum eo certè conue­
nire non poſſum.
Porrò quod ſpectat ad fallacias illas quæ ſupra adductæ ſunt; certum
eſt vel obiectum eſſe remotius, quam par ſit; vel moueri celeriùs, vel
eſſe aliquod impedimentum interius; præſertim in iis, qui ſeu vertigine,
vel alio capitis morbo laborant; ſed ne hîc opticum agere videar, harum
fallaciarum certiſſimas cauſas in ſuum locum remittimus.
Cæterùm licèt ad ſtatuendam, firmandamque hanc hypoteſim, Phy­
ſica experimenta rectè applicato ſenſu comprobata ſufficere poſſint;
non deſunt tamen rationes multæ à priori, vt vulgò aiunt, quibus euin­
citur, non modò quid ſit motus, verùm etiam propter quid ſit.
Prima duci poteſt à fine motus; cum enim res creatæ vbique ſimul
eſſe non poſſint, certè, vt illo bono gaudeant, quo fortè carent, & vt
coniungantur ſuo fini, motu locali opus eſt; ſitit equus, abeſt aqua,
certè, niſi vel hæc propinetur, vel ille accedat, ſitim leuare non pote­
rit; at neutrum ſine motu haberi poteſt: Lapis remouetur à ſuo centro,
à ſuo globo, à ſuo fine, vt ſeſe illi reſtituat, deorſum cadat neceſſe eſt.
Itaque ad cum finem res omnes creatæ inſtitutæ ſunt, quem ſine motu
aſſequi non poſſunt; igitur dari motum neceſſe eſt, vt res creatæ cum lo­
cum acquirant, in quo ſuo bono, ſuo fini, ſuæ perfectioni coniungan­
tur; vel ſaltem id muneris obeant, cui ab ipsâ naturâ deſtinantur.
Secunda ratio ducitur à cauſa efficiente; niſi enim daretur motus,
fruſtrà daretur potentia motrix, tùm in animantibus, tùm in grauibus,
de quâ aliàs.
Tertia petitur à cauſa formali; cum enim detur impetus, vt demon­
ſtrabimus infrà, neceſſe eſt dari motum.
Quarta petitur à termino motus; cum enim globus proiectus ſit in
nouo loco in quo ante non erat; certè nouus locus qui ſuccedit alteri
relicto, eſt terminus motus citra miraculum; igitur ſi eſt nouus locus,
eſt quoque motus.
Quinta ab vſu; nec enim ſine motu flueret aqua, caderet lapis, gyros
agerent aſtra, flaret ventus, volarent nubes, &c.
Sexta ab ipſa Mechanica, quæ organa motui miniſtrat: quis enim ne­
garet maius momentum eſſe cum maiori diſtantiâ coniunctum; ſi verò
maius momentum eſt, nunquid præualebit; igitur deorſum cadet, immò
ſeuerior Geometria, vt omittam Aſtronomiam, motum ſupponit, cum ex
fluxu ſeu motu puncti infinitas fere lineas deſcribat. Igitur certum eſt
dari motum localem.
Hypotheſis II.
Datur quies, id eſt priuatio motus. Hæc hypotheſis etiam certa eſt,
1Quis enim neget ſedentem humi, vel decumbentem in lecto quieſceret
conſule ſenſus rectè applicatos; tam enim certus ſum me iam in cathe­
dra quieſcere, quam ſum certus Solem lucere; igitur ex certis experi­
mentis certa hypotheſis conſequitur. Non deſunt rationes à priori; nam
primò res aliqua ſuo bono, ſeu fini coniuncta ab eo ſeparari non poſtu­
lat, igitur nec moueri. Secundò maximum incommodum eſſet, ſi res ſe­
mel mota perpetuò moueretur. Tertiò, finis, ſeu terminus motus recti,
eſt quies; nam ideo lapis deorſum cadit, vt in ſuo centro ſeu globo
quieſcat, id eſt vt cum aliis partibus totum illud, ſeu globum componat,
vt dicemus aliàs.
Diceret fortè aliquis ſententias prædictas non valere in ſententiâ
Copernici, quæ terræ motum adſtruit; præterea non modò falli ſenſus
circa motum, verùm etiam circa quietem.
Reſpondeo primò illam Copernici ſententiam eſſe falſiſſimam, vt ſuo
loco oſtendemus: ſecundò, licèt terra moueretur ſecundum Coperni­
cum, Sol, & ſtellæ quieſcerent.
Dices iuxta hypotheſim Heraclidis Pontici, terra ipſa, Sol etiam, &
ſtellæ mouentur. Reſpondeo primò hypotheſim illam eſſe falſam, vt ſuo
loco videbimus; ſecundò etiam data illa hypotheſi poſſet dari quies; ſi
enim globus eodem verſus occaſum impetu proiiceretur, quò verſus or­
tum à terra ipſa rapitur, haùd dubiè quieſceret: præterea iuxta hanc hy­
potheſim, quietem appellarem vnius partis cum alia connexionem in ip­
ſo toto ſeu globo, & quieſcere dicerem lapidem, qui tantùm totius glo­
bi motu mouetur, ex quo profectò tota ſoluitur difficultas.
Quod verò ſpectat ad fallacias oculi circa quietem; eodem prorſus
modo ſoluendæ ſunt, quo iam ſupra ſolutæ ſunt aliæ circa motum:
vtrùm verò motus, & quies dicant aliquid diſtinctum à mobili, dice­
mus infrà.
Hypotheſis III.
Aliquid mouetur quod incœpit moueri. Video lapidem quieſcentem,
qui deinde proiectus mouetur; igitur ante non mouebatur, igitur cum
deinde mouetur, cœpit moueri; mille aliis experimentis hæc hypothe­
ſis confirmari poteſt.
Hypotheſis IV.
Aliquid mouetur quod tandem deſinit moueri, vel incipit quieſcere. Vi­
deo rotatam pilam, quæ tandem quieſcit, cadentem lapidem, qui tan­
dem ſiſtit, &c. igitur certa eſt hæc hypotheſis.
Hypotheſis V.
Idem mouetur modò tardiùs, modò velociùs. Video rotatum globum,
qui ſenſim quieſcit: ſentio ab eodem globo modò maiorem, modò mi­
norem ictum infligi, &c. igitur eſt certa hypotheſis.
1
Hypotheſis VI.
Corpus proiectum etiam à potentiâ motrice ſeiunctum adhuc mouetur.
Oculos omnium teſtes appello.
Hypotheſis VII.
Corpus proiectum, & in aliud impactum illud ipſum impellit, & mouet.
Hypotheſis VIII.
Ignis applicatus ſubiectum aptum, cui rectè applicatur neceſſariò calefa­
cit, nix frigefacit, Sol illuminat, corpus in aliud impactum illud ipſum im­
pellit. Prædictæ omnes Hypotheſes certiſſimis nixæ experimentis certi­
tudinem phyſicam habent, & citra miraculum fallere non poſſunt.
Axioma I.
Contradictoria ſimul eſſe non poſſunt, vel non eſſe. Hoc ipſum iam præ­
miſimus Logicæ noſtræ demonſtratiuæ, complectiturque prima illa
principia Metaphyſicæ.
1. Impoſſibile est idem ſimul eſſe, & non eſſe.
2. Quodlibet eſt, vel non est.
3. De eodem alterum contradictoriorum verè affirmatur, & alterum verè
negatur, non ſimul vtrumque.
Axioma II.
Maximum ſignum diſtinctionis realis in phyſicis est ſeparabilitas, vel op­
poſitio. Nihil enim a ſe ipſo ſeparari poſt; quippe, vbi eſt ſeparatio, ſeu
diuiſio, eſt pluralitas; cur enim nummus A & nummus B eiuſdem ma­
teriæ, formæ, ponderis, realiter diſtinguuntur? quia ſcilicet vnus
non eſt alius inquies; & quare vnus non eſt alius? quia vnus eſt hic &
alius non eſt hic, vnum tango, & alium non tango, vnus eſt meus, &
alius non eſt meus, &c. vides prædicata contradictoria, quæ cum eidem
ſimul ineſſe non poſſint per Ax. 1. diuerſis, & diſtinctis ineſſe neceſſe
eſt.
Diceret fortè aliquis hominem reproductum in duobus locis eſſe poſ­
ſe, & dum Romæ eſt à ſe ipſo Lugduni exiſtente ſeiunctum eſſe; hoc
ipſum aliàs examinabimus, dum conſtet modò id totum, ſi fiat, mira­
culo tribuendum eſſe, cum tamen res phyſicas citra miraculum conſide­
remus.
Axioma III.
Vt dicatur aliquid exiſtere, vel debet ſenſu percipi, vel aliqua ratione
probari. Qui enim aſſerit rem aliquam poſitiuam exiſtere, certè poſi­
tiuo argumento demonſtrare debet quod ſit; illud porrò argumentum
duci poteſt vel ab experimento certo; ſic probo exiſtere rem aliquam,
quam video; vel ab aliqua ratione; ſic ex eo quòd cauſa ſit neceſſaria
applicata ſubiecto apto, probo effectum ipſum produci; vel eo quòd ſit
effectus probo cauſam eſſe vel ex neceſſitate, quâ aliquid eſt neceſſa­
rium ad aliquem finem à natura inſtitutum, quo natura ipſa ſine abſur-
1do, vel grauiſſimo incommodo carere non poteſt, probo illud ipſum
eſſe; vel demùm ex aliqua reuelatione certa in rebus fidei; igitur hoc
Axioma certum eſt phyſicè; quod niſi recipiatur à Philoſophis; cuique
licebit impunè mentiri; ſi enim dicam extra mundi huius fines eſſe
alios orbes, intra tuum muſæum, in quo ſolus fortè degis, eſſe quin­
quaginta homines, eſſe mille Soles, & totidem Lunas in cœlo, &c.
numquid ſtatim oppones Axioma iſtud, qua ratio, qua experientia, qua
neceſſitas, qua reuelatio? Quæſtio facti eſt, producendi ſunt teſtes: huc
reuoca principium illud commune.
1. Non ſunt multiplicanda entia ſine neceſſitate, quod certè non valet niſi
addas, vel ſine ratione, vel ſine experientia.
2. Qui aſſerit aliquid poſitiuè, debet argumento poſitiuo probare.
Axioma IV.
Quidquid exiſtit phyſicè extra ſuas cauſas ab omni alio ſeparatum, de­
terminatum eſt.
Hoc Axioma explicatione modicâ indiget: Determinatum illud
apello, quod illud ipſum eſt, quod eſt, & nihil aliud; quod eſt hoc, id
eſt ab omni alio diſtinctum; atqui quidquid productum eſt, ſingulare
eſt, id eſt, eſt hoc; ſi enim producitur, alicubi producitur, & ali­
quando, ergo dici poteſt, eſt hîc, eſt nunc; igitur determinatum eſt.
Aliquis fortè ſtatim opponet mihi partes indeterminatas quantitatis: ſed
proſectò nulla pars actu eſt quæ non ſit hæc, & non alia; igitur quæ
non ſit determinata, de quo aliàs; quidquid ſit, ſaltem partes illæ fa­
ciunt aliquod totum quod eſt determinatum, quod mihi ſatis eſt modò
ad veritatem huius Axiomatis. Dices aliquid poſſe eſſe nullibi; has
nugas refutabimus in Metaphyſica, quæ in mentem ſapientis viri ca­
dere non poſſunt; nunc ſaltem conſtat id naturali modo fieri non
poſſe.
Axioma V.
Quod vnum eſt, determinatum eſt. Quia quod vnum eſt, eſt hoc, &
nihil aliud; nihil enim aliud eſt vnum, niſi indiuiſum in ſe, & diui­
ſum à quolibet alio: quippè indifferentia, vel indeterminatio ibi tan­
tum eſt, vbi ſunt plura; ſi enim tantum vnum eſt, certè non datur op­
tio, ſi aliqua cauſa eſt indifferens ad effectum A & B, id eſt ſi non eſt,
cur vnum potius quàm alium producat? plures eſſe neceſſe eſt; ſi enim
tantùm vnus eſt, certè indifferens non eſt.
Axioma VI.
Quidquid eſt, fruſtrà non eſt. Quidquid eſt, id eſt exiſtit naturaliter
ſcilicet, & citra miraculum, fruſtrà non eſt, id eſt propter aliquem fi­
nem eſt ab ipſa natura inſtitutum; finem autem rei ex ipſo vſu cogno­
ſcimus; vſum verò ipſo ferè ſenſu: quod vt breui inductione confirme­
mus, quidquid exiſtit vel eſt ſubſtantia, vel accidens; ſi ſubſtantia, vel
incorporea, vel corporea; ſi incorporea, vel eſt Deus, vel Angelus, vel
1Anima rationalis; atqui nihil horum fruſtrà eſt, vt conſtat; ſi corporea,
vel eſt corpus, vel forma; ſi corpus, vel elementum, vel mixtum;
vtrumque ſuum finem habet, & conſtantem vſum; ſi forma quamdiu
eſt principium actionum compoſiti fruſtrà non eſt; quippe ad cum finem
eſt inſtituta; hinc optima ratio ducitur, cur forma materialis ſeparata
exiſtere non poſſit citra miraculum, quia ſcilicet fruſtrà eſſet; cum enim
non poſſit agere niſi in ſubiecto, ſi ſubiectum non eſt, fruſtrà eſt; at verò
anima rationalis, quæ aliquas actiones in organicas habet, fruſtrà non
eſt etiam ſeparata, igitur immortalis eſt: vtramque rationem ſuo loco fu­
sè demonſtrabimus; ſi verò accidens eſt, haud dubiè alteri ineſſe debet
propter ſuum finem intrinſecum, quem alibi effectum formalem ſecun­
darium appellamus; quem ſcilicet præſtat in ſuo ſubiecto, cui certè ſi ni­
hil præſtaret, in eo fruſtrà eſſet; ſic caloris effectus ſecundarius eſt rare­
factio, vel reſolutio partium ſui ſubiecti, vel aliquid aliud; impetus,
motus &c. Igitur tunc effet fruſtrà accidens, cum ſuo illo effectu careret;
hinc rationem contrarietatis aliquando petemus, certiſſimam quidem,
licet nouam, & inde clariſſimè conſtabit, cur, & quomodo vnum contra­
rium ab alio deſtrui dicatur; ſed non eſt huius loci: cùm verò audis fi­
nem: ne quæſo cogites aliquid morale, nec enim illum finem intelligo, ad
quem ab agente rationabili deſtinatur: ſed eum dumtaxat, ad quem na­
tura ipſa, vel eſſentia rei ſpectat, ſed de his ſatis.
Huc reuoca Principium illud, Deus & Natura nihil faciunt fruſtrà,
id eſt quod ſuo fine careat intrinſeco.
Dices fortè, multa videri eſſe fruſtrà, quæ tamen exiſtunt; ad quid
enim vel tanta aquarum copia, vel tantus ſtellarum numerus, vel tot are­
næ puncta? tot fluitantes atomi? tot inſecta? & vermiculi: Reſpondeo
quamlibet ſtellam, quodlibet inſectum, ſeu vermiculum ſuis pollere pro­
prietatibus; igitur fruſtrà non eſt, & quodlibet punctum, quamlibet ato­
mum, & quamlibet guttulam aquæ eſſe partem huius vniuerſitatis: quod
enim dices de vna, dicam de omnibus; equidem pauciores eſſe poſſent;
attamen nulla eſt fruſtrà, cum quælibet ſimul cum aliis totum hoc com­
ponat.
Axioma VII.
Tunc ponenda eſt forma distincta ſubſtantialis vel accidentalis, dum eſt ali­
qua proprietas ſenſibilis, quæ non poteſt tribui ipſi materiæ, hîc res tantùm
naturales conſidero, nec ſuper naturales attingo, quæ ſuas regulas diui­
næ fidei debent, non ſenſibus.
Hoc Axioma omninò certum eſt, & per Ax. 3. confirmatur, vt enim
dicas aliquid diſtinctum ab omni alio exiſtere, vel debet id ſenſu percipi,
vel aliqua ratione probari quod ſit; atqui formam ſubſtantialem ſenſu
non percipis immediatè; igitur aliquem eius effectum ſenſibilem vel me­
diatè, vel immediatè; qui certè ſi tribui poſſit materiæ, haud dubiè per il­
lum formam non probabis, niſi formæ ipſius eſſe antè demonſtres; ſi ve­
to eſt forma accidentalis, quam ſenſu percipis; certè id tantùm accidit ex
1aliqua affectione, quâ ſenſum ipſum afficit hæc forma, igitur ex effectu il­
lo illam percipis, quod clarum eſt.
Huc reuoca vulgare illud principium, Frustrà fit per plura, quod po­
test fieri per pauciora, quod ad Tertium etiam reuocatur; quod ita in­
telligi non debet, vt ſine gutta aquæ Oceanus, ſine ſtella cœlum, ſine gra­
nulo arenæ terra, ſine altero oculorum homo ſtare non poſſint; quæ
omnia falſiſſima eſſe conſtat; ſed tantùm quod illud dicatur exiſtere ſiue
ſit ſubſtantia, ſiue accidens, quod vel experientia certa euincit, vel neceſ­
ſitas, vel ratio, vel diuina fides (immò & humana in rebus humanis, non
tamen in ſcientiis.)
Igitur nunquam claudicat hic equus Okami, vt vulgò dicitur, ſi hoc
fræno regatur, & præſcripto ambulet paſſu.
Scholium.
Obſeruabis ſeptem præmiſſa Axiomata, licet metaphyſica ſaltem ali­
qua ex parte eſſe videantur, ita pertinere ad Phyſicam, vt plurimæ phy­
ſicæ affectiones ſine illis explicari, & demonſtrari non poſſint.
Primum certum eſt etiam certitudine metaphyſica, ſeu geometrica.
Secundum, Quartum, & Quintum per Primum demonſtrari poſſunt.
Tertium eſt veluti communis poſitio, ſeu commune poſtulatum, in quo
docti omnes conunciunt; quippe nihil ſine ratione dici debet à philoſo­
pho; Sextum & Septimum probari poſſunt per Tertium; ſed iam ad
alia, quæ propiùs ad phyſicam accedunt, veniamus.
Axioma VIII.
Quidquid primò eſt, & antè non erat, habet cauſam diſtinctam. Id eſt quid­
quid incipit eſſe ab alio eſt; quippe à ſe eſſe non poteſt; nihil enim à ſe
ipſo dependere poteſt ſeu produci; quia quod à ſe eſt, neceſſariò eſt,
quod verò neceſſariò eſt, non eſſe non poteſt, alioquin priùs eſſet, &
poſterius, priùs vt cauſa, poſteriùs vt effectus: præterea quidquid produci­
tur aliquando producitur, & alicubi, vt certiſſimum eſt; ſed quia hoc ali­
qui negant, contendo tantùm in hoc rerum ordine, & naturaliter lo­
quendo, quidquid producitur alicubi produci, & aliquando, quod nemo
negabit; Igitur ſi aliquid ſe producit; cur hîc potiùs quam illîc? cur
nunc potius quam antè? cum enim antè nullibi eſſet, cur deſinit non
eſſe hîc & non illîc, nunc & non antè? hinc quod à ſe eſt, vbique, &
ſemper eſt, ſed ne quis mihi litem intendat, licet hoc Axioma certitudi­
nem geometricam habeat; ſufficit modò habere phyſicam, quod ex om­
nibus hypotheſibus demonſtratur; ſi enim aliquid de nouo produci­
tur, quod certum eſt, ab alio produci video: calor ab igne mediatè
vel immediatè, impetus à potentia motrice, vel ab alio impetu: cuncta
hæc ſi reuera producuntur de quo alibi, ab alio produci conſtat; in Me­
taphyſica hoc ipſum geometricè demonſtrabimus; cum enim agere ſup­
ponat eſſe; quippe omnis actio alicuius agentis eſt; & cum agere termi­
netur ad effectum, nam fieri eſt alicuius fieri; certè agens, & terminus,
cauſa, & effectus diſtinguuntur, igitur. Quidquid primo eſt, &c.
1
Axioma IX.
Cauſa debet exiſtere vt immediatè agat. Hoc certum eſt; quia agere
ſupponit eſſe; quippe agere eſt perfectio realis actu exiſtens; igitur ali­
cuius actu exiſtentis; igitur certum eſt etiam Geometricè, de quo in
Metaph. Iam vero ſufficiat certum eſſe phiſicè, vt conſtat ex omnibus
hypoth. phyſicis; nihil enim videmus agere, niſi quod eſt; ſi enim age­
ret quod non eſt; cur potius hîc, & nunc quam alibi, & aliàs? cur in
hoc ſubiecto potius quàm in alio?
Dices, finis qui non eſt influit; igitur agit; Reſpondeo finem non
agere, nec influere niſi obiectiuè; atqui quod non exiſtit actu, id eſt in
ſtatu entatiuo, & reali, poteſt eſſe in ſtatu obiectiuo; id eſt quod non
habet actum rei, poteſt habere actum obiecti, id eſt eſſe cognitum, &
volitum, de quo aliàs; porrò hîc tantùm intelligimus cauſam efficien­
tem, &c.
Dices, cauſa principalis pulli excluſi poteſt non eſſe; hæc omnia di­
ſcutiemus ſuo loco cum de generatione animalium; ſufficiat dixiſſe non
eſſe cauſam immediatam, de qua hîc tantum loquimur; idem reſponſum
eſto de rana vaga.
Axioma X.
Cauſa debet eſſe applicata vt immediatè agat. Cur enim potiùs hîc
quam illîc; in hoc ſubiecto potiùs, quam in alio, in hac diſtantia potiùs,
quam in alia? quidquid ſit, certum eſt phyſicè; nec enim ignis, qui eſt
Romæ, calefacit Lugduni.
Dices dari fortè actionem in diſtans; Reſpondeo negando, quod de­
monſtrabimus in Metaph. præterea, licet daretur in productione quali­
tatum occultarum, & ſimpathicorum quorundam effectuum, quos exa­
minabimus ſuo loco; nemo tamen dubitat quin productio caloris, lu­
minis, impetus; de quibus hic tantùm agimus, debeat eſſe ab applicata
cauſa.
Dices impetum produci in extremitate perticæ, quæ non eſt applica­
ta, vel in globo tudiculario etiam non applicato; calorem & lucem
produci à Sole in terra non applicata. Reſpondeo, eſſe applicationem
mediatam; nam ſi reuera hæ qualitates producuntur continuata propa­
gatione, diffunduntur per medium, in quo non eſt difficultas.
Dices etiam partes interiores cauſæ v. g. Solis agunt, ſed non agunt
per totum medium; alioquin agerent in alias partes Solis, à quibus
obteguntur. Reſpondeo, diffuſionem vel propagationem actionis in­
choari tantum ab ipsâ ſuperficie Solis; quippe omnes partes agunt
actione communi, de quo infrà; atqui actio communis à communi me­
dio incipit.
Dices ignem produci in parte medij remota interrupta propagatio­
ne, vt conſtat, ſi vitro per refractionem, vel ſpeculo per reflectionem
radios Solares colligas.
Reſpondeo, ignem quidem accendi in data diſtantia; at non ſine
1aliqua applicatione, ſaltem virtutis, in quo non eſt difficultas; quomo­
do vero ignis accendatur, & quid ſit ignem accendi, explicabimus ſuo
loco; quidquid ſit, certum eſt ad productionem impetus requiri ali­
quam applicationem, vt patet etiam in magnete.
Axioma XI.
Si cauſa vniuoca applicata, & non impedita est ſufficiens ad productionem
effectus, non eſt ponenda alia ſcilicet æquiuoca. Non dico omnem cauſam
eſſe vniuocam, ſed tantùm vniuocam ſufficientem, & applicatam eſſe
cauſam, v. g. calor eſt cauſa ſufficiens caloris, vt conſtat in aqua calida;
igitur ſi calor eſt applicatus ſubiecto, in quo producitur calor non ſupe­
rans vires caloris applicati; dicendum eſt calorem illum ab hoc produ­
ci; cum calor ſit cauſa neceſſaria; igitur ſi ſit applicatus ſubjecto apto,
neceſſariò agit; igitur quantum poteſt; igitur effectus non eſt tribuen­
dus alteri cauſæ, quam ſufficientem eſſe ignoramus.
Ad hoc Axioma aliud reuoca. Si ex applicatione alicuius ſequitur ſem­
per effectus aliquis, illud ipſum cauſa dici debet huius effectus; licet aliud ſit
coniunctum, ex quo ſeorſim ſumpto applicato non ſequitur effectus; v. g. ex
applicatione aquæ calidæ ſequitur productio caloris; ex applicatione ſo­
lius aquæ non ſequitur; igitur dicendum eſt calorem hunc produci ab
ipſo calore, qui aquæ ineſt, non verò ab ipſa aquæ ſubſtantia; idem dico
de ferro frigido, &c.
Dices non eſſe certum calorem produci; Reſpondeo, negando; ſed,
quidquid ſit, loquor tantùm hypotheticè; dixi enim ſi producatur, à
calore aquæ inhærente producitur.
Dices produci poſſe ab aliqua cauſa ignota poſita dumtaxat tali, vel
tali conditione. Reſpondeo, hoc reuera geometricè non probari, ſed
tantùm phyſicè; quidquid ſit, voco cauſam id, ex cuius applicatione
ſequitur ſemper effectus, & nunquam aliàs; nam phyſicè loquendo, ſiue
ſit alia cauſa, ſiue non, eodem modo ſe habet, ac ſi eſſet cauſa; quippe
certum eſt phyſicè ignem calefacere, Solem illuminare, quod ſatis eſt.
Axioma XII.
Cauſa neceſſaria ſubiecto apto applicata, & non impedita ſemper agit, &
quantum poteſt. Hoc Axioma duas partes habet; prima certa eſt per hy­
poth. 8. & per definitionem cauſæ neceſſariæ, quæ in hoc differt à libe­
râ: Secunda pars probatur; quia ſi partem effectus omitteret, quam ta­
men ponere poſſet; haud dubiè non eſſet cauſa neceſſaria contra hypoth.
nam ſi vnam partem effectus omittat; cur vnam potiùs quam aliam?
cur non duas? cur non omnes? denique video cauſam eandem eidem
ſubiecto eodem modo applicatam, eundem ſemper effectum producere
per Hyp. 8.
Axioma XIII
Extenſio cauſa non intendit effectum ad intra. Quælibet pars maioris
ignis non habet calorem intenſiorem, quàm quælibet pars minoris; idem
1dico de grauitate plumbi, &c. nec enim libra plumbi coniuncta cum
alia habet diuerſam grauitatem ab eâ, quam habet ſeparata.
Dixi ad intra; quia ad extra multum iuuat extenſio; ſic maior ignis
longiùs diffundit ſuum calorem; corpus grauiùs cadens majorem ictum
infligit; Ad hoc Axioma reuocatur iſtud.
1. Omnes partes eiuſdem cauſæ agunt ad extra actione communi, iuxta
eum modum quo illam explicabimus in Metaph. nec punctum Solis ſe­
paratum ad eandem diſtantiam ſuam lucem, caloremque ſuum diffunde­
ret; ad quam diffundit coniunctum cum aliis; idem dico de igne maiori,
& minori; de quibus omnibus ſuo loco. Huc etiam reuoca dicta illa
communia.
2. Plures partes cauſa plures partes effectus producunt, & viciſſim.
3. Maior, & perfectior cauſa maiorem effectum producit, & perfectiorem,
& viciſſim.
4. Perfectior effectus, vel imperfectior arguit cauſam perfectiorem, vel im­
perfectiorem, ſuppoſitâ eâdem applicatione; ſi enim maior eſt applicatio ſine
ratione loci, ſiue ratione temporis; haud dubiè maior erit effectus, vt conſtat.
Axioma XIV.
Quidquid deſtruitur non eſt à ſe. Hoc Axioma geometricum eſt; Quod
enim eſt à ſe, neceſſariò eſt; cùm à libertate ſeu voluntate alterius non
pendeat; cum enim primo inſtanti quo res eſt, non ſit à ſe per Axiom. 8.
de ſecundo idem dici debet, quod de primo, vt patet: quippe id eo
primo inſtanti non eſt neceſſariò, quia ita eſt illo inſtanti, vt poſſit non
eſſe; ſed etiam ſecundo inſtanti ita eſt vt poſſit non eſſe; igitur non eſt
neceſſariò, igitur pendet ab alio, quod poteſt facere vt non ſit.
Dices poſſe deſtrui ſecundo inſtanti ab aliquo contrario, à quo tamen
non pendet per poſitiuum influxum. Reſpondeo, non videri quomo­
do deſtrui poſſit, quod influxu poſitiuo non indiget, vt ſit; quid enim
faceret contrarium, quod tantùm exigere poteſt contrarij deſtructio­
nem, quid eſt porro deſtrui, niſi deſinere conſeruari? quæ omnia fusè
in Metaphyſica demonſtrabimus; quidquid enim eſt aliquo inſtanti vel
eſt à ſe, vel non à ſe; ſi primùm Deus eſt; ſi ſecundum ab alio eſt:
quidquid ſit, hoc Axioma certum eſt phyſicè.
Huc reuoca Axiomata ſequentia, quæ ex hoc vno deducuntur.
1. Quidquid eſt, & non eſt à ſe, eſt, ſeu pendet, ſeu conſeruatur ab alio.
Hæc enim ſunt idem, vt conſtat.
2. Quidquid destruitur, ad exigentiam alicuius deſtruitur, ſaltem totius
natura, ne aliquid ſit fruſtrà. Hoc etiam ex hypotheſibus ſequitur; cum
enim deſtrui ſit idem ac deſinere conſeruari; certè qui deſinit conſer­
uare inſtanti A potiùs quam inſtanti B, hoc facere non poteſt niſi ali­
quid hoc exigat; ſcilicet iuxta leges naturæ.
3. Tandiu aliquid conſeruatur, quandiu nihil exigit eius deſtructionem.
Hoc ſequitur ex priori, id eſt quandiu eſt eadem ratio, cur ſit, & con­
ſeruetur, quæ erat antè.
1
Axioma XV.
Contraria pugnant pro rata. Nec enim alia regula eſſe poteſt; ſic minor
calor minùs deſtruit frigoris; minor impetus minùs deſtruit impetus
contrarij (ſi contrarium habet) quæ omnia conſtant ex hypotheſibus.
Ratio eſt, quia plùs vel minùs contrarij deſtruere, multam habet ex­
tenſionem. v.g. ſint duo contraria A & B, ſit A vt 20. ſit B vt 5. certè ſi
B deſtruat A ſupra ratam, vel ſupra id, quod ſibi ex æquo reſpondet, id
eſt ſupra 5. cur potius 6. quam 7. 8. &c. Si infra, cur potius 4. quam 3.
2. &c. Igitur cum plures ſint termini tùm infra, tùm ſupra 5. cur potius
vnus quàm alius? atqui vnus tantùm ex æquo reſpondet, ſcilicet 5. ſed
quod vnum eſt determinatum eſt, per Axioma 5. igitur pugnant pro
rata. Nec dicas A totum deſtrui à B, quòd eſt contra hypotheſim, nam
modicum caloris non deſtruit totum frigus: in impetu res eſt clariſſima;
adde quod minor cauſa minùs agit per Ax. 13. num. 3. igitur minùs exi­
git; porrò cum dico vnum ab alio deſtrui, intelligo tantùm ex applica­
tione vnius ſequi deſtructionem alterius ſaltem ex parte.
Obſeruabis hæc Axiomata ſaltem maiori ex parte eſſe metaph. quæ
nos fusè in Theorematis metaph. explicabimus, & demonſtrabimus; ſed
nobis hoc loco ſatis eſt, ſi parem cum phyſicis ſupponas habere cer­
titudinem, quod nemo negabit; conſtátque ex hypotheſibus, licèt ma­
iorem etiam habeant, de qua ſuo loco.
Obſeruabis prætereà nos diutiùs hæſiſſe in præmittendis huic libro
Axiomatis, quod tamen in aliis libris non faciemus.
Postulatum,
Liceat datum corpus impellere, proiicere, deorſum cadens excipere, motus
durationem ſenſibilem, ſpatiumque ſenſibile, metiri, comparare, &c.
Theorema 1.
Motus eſt aliquid realiter diſtinctum à mobili. Demonſtratur; Motus
eſt in mobili, in quo antè non erat per hypoth. 3. & deſinit eſſe in mobili,
in quo antè erat per hypoth.4. igitur mobile eſt, & non eſt motus; igi­
tur à motu ſeparatum; igitur realiter diſtinctum per Ax. 2. præterea
moueri, & non moueri ſunt prædicata contradictoria, vt conſtat; igi­
tur eidem ſimul ineſſe non poſſunt per Ax. 1. igitur cum eo non ſunt
idem; alioquin ſimul eſſent; igitur alterum illorum eſt diſtinctum à
mobili; non quies, vt conſtat, quæ eſt tantùm negatio motus, ſeu per­
ſeuerantia in eodem loco; igitur nullam dicit mutationem; at verò
motus mutationem dicit, per Def. 1. hoc Theorema fusè demonſtrabo
in Metaph.
Theorema 2.
Motus non poteſt dici propriè productus immediatè, vel effectus immedia­
tus cauſæ efficientis. Demonſt. Motus eſt mutatio, ſeu tranſitus ex loco
in locum per Def. 1. ſed mutatio propriè non producitur; quippè pro­
ductio tantùm terminatur ad ens; nihil enim niſi ens produci poteſt;
1atqui nulla mutatio dicit tantùm ens; præſertim hæc, quæ tantùm dicit
terminum à quo, ideſt locum relictum; & terminum ad quem, id eſt lo­
cum immediatum acquiſitum; nam ſeparato quocunque alio ab ipſo
mobili; modo ſimul, id eſt eodem inſtanti relinquat primum locum, &
nouum acquirat, omninò mouetur, ſed concretum illud ex loco relicto,
& acquiſito produci non poteſt; illud autem eſt motus, qui certè non
dicit tantùm locum relictum ſine acquiſito; alioqui ſi mobile deſtrue­
retur, diceretur moueri; nec etiam locum acquiſitum ſine priori relicto:
alioqui ſi mobile primò produceretur, diceretur moueri localiter; igitur
motus neutrum dicit ſeorſim; ſi primum, diceretur deſtructus; ſi ſecun­
dum, diceretur aliquo modo productus, vel potiùs acquiſitus; at vtrum­
que coniunctim, ſimulque eſſentialiter dicit motus; nec enim conci­
pio aliud, dum concipio motum: porrò vtrumque ſimul ſumptum indi­
uiſibiliter non poteſt dici, vel deſtructum propriè, vel productum; Di­
xi propriè; nam impropriè dici poteſt motus productus.
Dices Motus eſt ens, non à ſe; igitur ab alio; igitur motus eſt pro­
ductus. Reſpondeo Motum non eſſe ens abſolutum, ſed eſſe mutatio­
nem entis, quæ mutatio eſt concretum quoddam ex ente & non ente;
quòd certè non poteſt dici propriè productum, ſed reſultans, vt relatio;
nam producatur, ſi fieri poteſt; certè eſt aliquid, quod tam facilè de­
ſtrui poteſt, quam produci; igitur deſtruatur, & remaneat tantùm en­
titas mobilis, quæ, quo inſtanti priorem locum relinquit, nouum acqui­
rat; certè dicitur adhuc moueri, & tamen non erit motus ex ſuppoſitio­
ne, quod abſurdum eſt.
Dices potentia motrix eſt actiua; igitur agit; igitur producit, ſed ni­
hil niſi motum. Reſp. potentiam motricem eſſe actiuam vt dicemus,
& ab eâ produci impetum, qui deinde exigit motum, vt dicemus
infrà.
Nec eſt quod aliqui ita mirentur hæc à me dici; cum certum ſit effe­
ctus formales ſecundarios principum ferè qualitatum tales eſſe, vt mini­
mè producantur; ſed quaſi reſultent ab exigentia; v. g. effectus calo­
ris in ſuo ſubiecto eſt eiuſdem ſubiecti rarefactio, quæ reuerâ non
producitur, vt conſtat.
Theorema 3.
Motus eſt ab alio diſtincto in aliquo genere cauſæ. Demonſtratur, quia
motus, qui non erat, incipit eſſe per hypotheſim tertiam; ſed quod
huiuſmodi eſt, habet cauſam diſtinctam per Ax.8.
Scholium.
Obſeruabis motum localem eſſe duplicis generis; primum genus mo­
tus eſt actio potentiæ motricis, quæ reuerà mouet, & cuius exercitium
dicitur motus, ſeu latio, ſeu motio, ſeu actio, qua reuerâ agit, produ­
citque impetum, non motum; cum etiam ſine motu defatigetur, vt cum
quis alium pellit, à quo pellitur æquali niſu; patet etiam in manu ſu­
ſtinente aliquod pondus, quæ non mouetur; licet reuerâ etiam ſummo
1conatu agat: immò ſi potentia motrix produceret motum primum, non
impetum in corpore proiecto; nulla deinde eſſet cauſa applicata ad pro­
ducendum impetum: Itaque hic motus primi generis, ſi comparetur
cum potentia motrice, eſt verè influxus, vel actio; ſi cum termino, eſt
eius fieri, ſeu dependentia; ſi cum ſubiecto, ſeu mobili eſt paſſio; nec
propriè dicitur produci, niſi vt quo (vt vulgò loquuntur) nec enim
actio eſt terminus, vel effectus, in quo ſiſtat cauſa; ſed eſt via, qua ten­
dit ad terminum. Motus ſecundi generis eſt mutatio, ſeu tranſitus ex
vno loco in alium; hoc eſt finis, vel effectus formalis ſecundarius,
quem exigit impetus; & fruſtrà ponitur alia entitas, quæ tantùm eſſet
inſtituta ad exigendam iſtam loci mutationem; Igitur ſi ſufficienter
exigatur ab ipſo impetu, de quo infrà, certè fruſtra ponitur quodcun­
que aliud per Ax.3. & 7.
Theorema 4.
Cauſa illa immediata motus, quæ non est efficiens, potest tantùm eſſe exi­
gens, quæ reducitur ad formalem, quæ ſuum effectum formalem ſecundarium,
id est ſuum finem intrinſecum exigit. Sic calor exigit rarefactionem, vel
reſolutionem, impetus motum; cum enim non ſit cauſa efficiens per Th.
2. ſit tamen cauſa per Th.3. nec ſit materialis, nec finalis, vt conſtat, de­
bet eſſe formalis, vel exigens, ſeu exigitiua; vt patet ex ipſa cauſarum
enumeratione; non eſt materialis, quia non recipit motum, niſi ab alio;
nec finalis, quæ ſupponit alias; cum ipſa non ſit dum ponitur
effectus.
Theorema 5.
Entitas ſeu ſubstantia mobilis non eſt cauſa immediata motus, Sit enim
lapis proiectus per Poſtul. haud dubiè ſubſtantia lapidis non eſt cauſa
huius motus; quia lapis tandem ſiſtit per hypoth.4. igitur non eſt cauſa
motus, quia eſſet cauſa neceſſaria; igitur ſemper cauſaret per Ax.12. præ­
terea potentia motrix proiicientis verè agit, cum etiam defatigetur; igi­
tur aliquid producit, non motum immediatè, qui produci non poteſt pro
prièper Th. 2. Adde quod motus ſecundi generis habet tantùm cauſam
immediatam exigentem, ſed potentia motrix non exigit; quia primò
non defatigaretur exigendo; ſecundò quia lapis ſeparatus à manu etiam
mouetur, ſed non ad exigentiam potentiæ motricis, vt patet; quia ſtatim
poſt ſeparationem poteſt illa potentia deſtrui, licèt lapis longo pòſt
tempore moueatur; ſed quod non eſt, nihil exigit.
Aliquis fortè diceret potentiam motricem exigere primam partem
motus, quæ deinde ſecundam exigit, & ſecunda tertiam, tertia quar­
tam, &c. Sed contra; quæro quid ſit prima illa pars motus; nec enim
aliud agnoſco niſi primam mutationem loci, quæ mutatio non poteſt
exigere niſi quando eſt; atqui quando eſt, nihil reale eſt actu niſi mo­
bile, & nouus locus acquiſitus, mobile ipſum non exigit, vt demonſtra­
tum eſt, & conceſſum, nec etiam locus de nouo acquiſitus, in quo
ſcilicet mobile ſiſtere poteſt: quidquid pones aliud, impetum appellabo.
1
Dices cum graue aliquod mouetur deorſum, vel leue ſurſum, vel
corpus animatum ſe ipſum mouet, dici poteſt ſubſtantia corporis cauſa
immediata motus. Reſp. negando, tùm quia omnis potentia motrix
agit; igitur producit aliquid aliud, quod eſt cauſa motus: præterea po­
tentia motrix corporis animati, agit vſque ad defatigationem, ſudorem,
licèt non ſit motus, igitur aliud producit, de corpore graui probabi­
mus infrà.
Theorema 6.
Datur impetus. Demonſtro, Subſtantia mobilis non eſt cauſa imme­
diata motus, per Th.5. ergo aliquid aliud; igitur impetus, nam quod di­
ſtinctum eſt à ſubſtantia mobilis, & exigit motum, eſt impetus per
Def.3. ſed quia hoc Theorema eſt veluti princeps huius tractatus cardo,
in eo paulò diutius hærendum eſt, igitur.
Demonſtro primò dari impetum: Quidquid eſt, & antè non erat, non
eſt à ſe, ſed habet cauſam per Ax.8. Motus de nouo eſt per hypotheſim
tertiam; igitur habet cauſam, ſed non aliam, quam impetum, quod pro­
bo: Lapis cadens, vel impactus in alium lapidem mouet illum per hy­
poth.7. ſed ſubſtantia lapidis in alium impacti non eſt cauſa huius mo­
tus, quia eſſet cauſa neceſſaria vt patet; igitur applicata eundem effe­
ctum produceret per Ax.12. ſed etiam applicata immediata non agit, vt
conſtat experientia; igitur per idem Axioma non eſt cauſa.
Scio eſſe aliquas reſponſiones, quas infrà refellemus; nunc ſufficiat
dixiſſe lapidem impactum non producere motum, qui propriè non pro­
ducitur per Th.2. nec exigere, vt conſtat ex ſecunda probatione Th. 5.
igitur ſi aliquid exigit, vel producit, voco impetum.
Secundò probatur; potentia motrix eſt actiua, quia defatigatur, quis
hoc neget? igitur aliquid producit; non motum, qui propriè non pro­
ducitur per Th.2. igitur aliquid aliud; voco impetum; adde quod etiam
ſine motu agit, & defatigatur vt iam dictum eſt; igitur habet alium effe­
ctum immediatum; denique mouere, pellere, trahere, proiicere, percu­
tere, nihil niſi actionem ſonant.
Tertiò probatur; pila diſiuncta à manu proiicientis diu adhuc mo­
uetur per hypoth.6. igitur hic motus habet cauſam per Ax. 8. quælibet
enim pars motus de nouo eſt, neque duæ illius partes ſimul eſſe poſſunt.
atqui potentia motrix non eſt cauſa per Ax.10. immò poteſt eſſe deſtru­
cta; igitur non eſt cauſa per Ax. 9. Non eſt etiam cauſa ſubſtantia pilæ
mobilis per Th.5.5. nec priores pattes motus per reſp. ad primam in­
ſtantiam Th 5. igitur aliquid aliud; voco impetum.
Quartò probatur; pila proiecta ſenſim ſine ſenſu tardiore motu
mouetur; donec tandem moueri omnino deſinat per hypoth. 5. igitur
non eſt ſemper æqualis, & eadem cauſa huius motus per Ax. 12. & 13.
num.3. igitur cauſa huius motus eodem modo debilitatur, ſeu remitti­
tur, quo ipſe motus; ſed decreſcit ſubſtantia mobilis, nec potentia mo-
1trix, vel corpus prius impactum; ergo eſt alia cauſa præſens, quæ mi­
nuitur; voco impetum.
Quintò corpus graue deorſum cadens accelerat ſuum motum, vt patet
experientia; quæ maximè clara eſt in funependulis, de qua in ſequen­
tibus libris; igitur debet eſſe cauſa huius motus velocioris; non eſt au­
tem ſubſtantia lapidis, nec grauitas per Ax. 12. nec aliud quidpiam ex­
trinſecum, vt videbimus ſuo loco; igitur aliquid aliquid intrinſecum,
voco impetum. Igitur certum eſt dari impetum; qui certè tribui non
poteſt, vel vlli connotationi, vel alteri exigentiæ, vt conſtat ex
dictis.
Diceret fortè alius hæc omnia eſſe dubia; nam fieri poteſt vt Deus
tantùm moueat; quod ſine impetu fieri poſſe certum eſt; Reſp. equi­
dem per miraculum hoc fieri poſſe; ſed quemadmadum certum eſt phy­
ſicè ignem applicatum calefacere, niuem frigefacere, & modò calamum
à me hæc ſcribente moueri, ita certum oſt phyſicè ſagittam à ſagittario
emitti, & pilam à proiiciente, &c. adde quod Deus, vt auctor naturæ
eſt, agit tantùm; vel deſinit agere iuxta exigentiam cauſarum ſecunda­
rum; denique cauſam phyſicè appello, ex cuius applicatione nunquam
non ſequitur effectus per Ax.11. num.1.
Dicerent alij hoc totum prouenire à corpuſculis; vel atomis, vel fila­
mentis ſine vlla actione; equidem non reiicio corpuſcula, & perennia
corporum effluuia: Dico tamen primò globum quieſcentem humi ha­
bere ſaltem aliquas partes quieſcentes, vel immobiles; quis hoc neget?
immò maximam ſuarum partium partem; igitur cum deinde proiicitur
idem globus, illæ partes mouentur; dari igitur debet cauſa huius motus
per Ax.8, igitur impetus: nec dicas moueri illas partes à corpuſculis; quia
antè erant eadem, immò plura corpuſcula; & tamen non mouebant: igi­
tur non ſunt cauſa huius motus per Ax.12. Dices excitari; ſed quid hoc
eſt excitari? vel enim mutantur, vel non mutantur; ſecundum dici
non poteſt; quia vt excitentur, ex non excitatis mutari debent; igitur
per aliquid: deinde quid eſt illa excitatio, niſi impulſio; igitur ſi mouen­
tur illa corpuſcula, & excitantur à potentia motrice, etiam partes prius
immobiles mouebuntur, & excitabuntur per Ax.12. quia ſunt applicatæ
cauſæ neceſſariæ.
Dico ſecundò minimum ex his corpuſculis non ſemper moueri; po­
teſt enim ſiſtere; quis hoc neget? igitur ſi modò mouetur, modò quieſ­
cit, motus ab eo diſtinguitur per Th.1. igitur mouetur per impetum, de
quo infrà.
Igitur datur neceſſariò impetus, ſine quo non poſſunt explicari prædi­
ctæ omnes hypotheſes, contra quem ſunt quidem grauiſſimæ difficultates,
quas ſenſim in ſequentibus Theorematis, in quibus explicantur pro­
prietates huius impetus, diſcutiemus.
Diceret aliquis lapidem impulſum ab aëre deinde propelli; ſed aër po­
tius reſiſtit motui; vt conſtat experientiâ; ſed hoc ſoluemus infrà.
1
Theorema 7.
Impetus est aliquid distinctum à ſubstantiâ mobilis. Demonſtratur.
Quia ſubſtantia mobilis non eſt cauſa exigens motum per Th. 5. Impe­
tus eſt cauſa exigens per Def. 3. & Th. 6. de eodem contradictoria dici
non poſſunt per Ax. 1. n. 3. Igitur impetus non eſt idem cum ſubſtantià
mobilis; igitur diſtinctus; deinde ſeparari poteſt à ſubſtantia mobilis
per Hypoth. 4. igitur eſt diſtinctus per Ax. 2.
Theorema 8.
Impetus est accidens; Quippe non eſt corpus, nec forma ſubſtantia­
lis; quia omne corpus, & omnis forma ſubſtantialis moueri poteſt, &
non moueri, vt conſtat ex poſt. & ex Hypoth. 3. & 4. igitur diſtingui­
tur à motu; igitur & ab impetu per Ax. 2. igitur impetus non eſt ſub­
ſtantia; igitur accidens.
Theorema 9.
Impetus non eſt modus. Modus duplicis generis eſſe poteſt: Modus
primi generis eſt entitas quædam diminuta, vt vulgò loquuntur, diſtin­
cta quidem modaliter, vt aiunt, à re, cui adhæret; ac proinde ab ca ſe­
parari poteſt, non tamen exiſtere ſeparata. Modus ſecundi generis non
eſt entitas quidem diſtincta; eſt tamen ſtatus quidam corporis; ſic ſeſſio
eſt modus, condenſatio, compreſſio, &c. His poſitis Impetus non eſt mo­
dus primi generis; nihil enim probat impetum eſſe modum, quod etiam
non probet calorem, & lucem eſſe modos; dicere autem omnia acci­
dentia eſſe modos non debemus, de quo ſuo loco; modus enim ita à na­
turâ comparatus eſt, vt ſine ſubiecto actuali ſeu fulcro non exiſtere mo­
dò, ſed ne concipi quidem poſſit; v. g. actio non poteſt concipi niſi ſit
alicuius actio; nec fieri ſine facto; nec via ſine termino; nec dependen­
tia ſine dependente; at verò poſſum concipere calorem, & impetum
ſine alio, quod ſit actu; licèt enim calor exigat reſolutionem partium
ſui ſubiecti, ſeu rarefactionem, & impetus motum; nihil tamen impe­
dit, quin per miraculum calor, & impetus conſeruari poſſint ſine eo.
quod exigunt, hoc eſt ſine ſuo ſine; igitur ſine ſubiecto; non eſt etiam
modus ſecundi generis vt patet, ſed de modis in Metaphyſica; vix enim
hoc Theorema ad rem Phyſicam quicquam facit.
Theorema 10.
Impetus eſt qualitas Phyſica. Sequitur ex dictis; cum nec ſit motus.
nec ſubſtantia, nec modus, nec quidquam negatiuum, alioquin exige­
ret; igitur eſt aliud accidens; vocetur qualitas.
Theorema 11.
Impetus est qualitas Phyſica. Quia impetus eſt diſtinctus realiter à ſue
ſubiecto per Th. 7. Eſt enim ſeparabilis per Hypoth. 3. & 4. igitur di­
ſtinctus per Ax. 2. ſed qualitatem realiter diſtinctam apello Phyſicam;
præſertim cum nec moralis ſit, nec Logica, &c.
1
Theorema 12.
Impetus est qualitas permanens. Quia lapis proiectus etiam ſeparatus
mouetur aliquandiu per Hyp. 6. igitur durat eius cauſa, ſcilicet impe­
tus; igitur eſt qualitas permanens.
Diceret fortè aliquis lapidem proiectum pelli ab aëre à tergo inſtan­
te, vt voluit Ariſtoteles pluribus in locis; ſed præſertim 8. Ph.c.vlt.& 7.
cap.2. 3.de Cœlo, cap. 3. Reſpondeo hoc dici non poſſe; Primò quia non
modò non iuuat aër; ſed etiam impedit motum proiecti, quod de omni
medio neceſſariò dicendum eſt, vt patet experientiâ; vnde quo craſſius,
ſeu denſius eſt medium, motum potentiùs retardat, vt videmus in proiectis
per aquam; rationem à priori afferemus infrà, cum de reſiſtentia medij:
Secundò, quis dicat pilam rotatam in ſolo moueri aëris appulſu? cum
alia corpora, quæ pila rotata præterlambendo quaſi allambit, nullo mo­
do moueantur; præſertim granula pulueris. Tertiò, an fortè aër id præ­
ſtare poteſt ſine vi impreſſa; igitur non minus ipſi pilæ proiectæ, quam
aëri ambienti imprimi poterit: Quartò, nullus aër à tergo pellitur; ſed
potius ipſa pila aduerſus aëra pellit, dum emittitur manu; igitur ſi aër
ſuccedit à tergo, id totum accidit, vel metu vacui, vel ne aër compri­
matur, vt videbimus infrà. Quintò denique, cum diu moueatur eadem
pars aëris, haud dubiè in ca manet vis impreſſa; igitur impetus erit ad­
huc qualitas permanens.
Ad id quod obiicitur ex Ariſtotele; aliqui putant inclinaſſe in cam ſen­
tentiam; cùm tam en noſtram teneant illuſtres Peripatetici, quorum no­
minibus parco, ne tot citationes paginas impleant; vide apud Conim­
bric. l. 7. Phyſ. cap. 2. Aliqui excuſant ipſum Ariſtorelem, putantque
non eſſe locutum ex propriâ ſententiâ: Alij dicunt Ariſtotelem quidem
tribuiſſe aliquam vim extrinſecam aëri; non tamen negaſſe intrinſecam
impetus; quidquid ſit, ipſa verba Ariſtotelis demonſtrant ipſum agno­
uiſſe vim motricem impreſſam aëri, hoc eſt impetum (potentia enim (in­
quit) ſcilicet motrix, quâ pollet proijciens quaſi vim impreſſam tradit vtrique)
id eſt aëri ſurſum, & deorſum; quid porrò eſt illa vis motrix, niſi impetus.
Theorema 13.
Impetus non producit motum. Probatur, quia motus non dicitur pro­
ductus per Th. 2. Adde ſi vis rationem metaphyſicam; quia nihil cogit
dicere accidens aliquod, ex iis ſcilicet, quæ ſenſu percipimus, agere ad
intra; quod videtur eſſe proprium ſubſtantiæ, ſaltem naturaliter; vt
demonſtrabimus in Metaph.
Theorema 14.
Impetus exigit motum, id est fluxum mobilis in loco; quia cauſa imme­
diata motus eſt tantum exigens, per Th. 4. ſed impetus eſt cauſa motus
immediata per Th. 5. & 6. igitur eſt cauſa exigens, adde quod id tantùm
accidens ſenſibile præſtare poteſt in ſuo ſubiecto, vt aliquam illius mu­
tationem præſtet, vel exigat; quæ vel eſt localis, hoc eſt fluxus quidam:
1per ſpatium loci; vel alteratiua, vt vulgò vocatur; quà ſcilicet vel re­
ſoluuntur partes, vel rarefiunt, vel liqueſcunt, vel concreſcunt &c. vel
demùm mutant ſenſibilem ſtatum; vel eſt perfectiua aliquo modo, qua­
tenus ſubiectum nouam aliquam habitudinem acquirit ad ſenſus; ſic
lumen illuminando obiectum reddit illud viſibile. &c. de quibus aliàs.
Theorema 15.
Motus eſt effectus formalis ſecundarius impetus. Cum enim ſit cauſa
exigens per Th. 121. Voco effectum formalem ſecundarium, quem in
mobili exigit impetus; quippe, vt iam dictum eſt, cauſa exigens redu­
citur ad formalem; nec enim cauſat aliquid producendo, quod ſpectat ad
efficientem; nec mouendo, quod ſpectat ad finalem; nec determinando,
quod ſpectat ad obiectiuam; nec recipiendo, quod ſpectat ad materia­
lem; nec dirigendo, quod ſpectat ad idæalem, vel exemplarem; ſed
exigendo; quatenus ſcilicet ad id à natura eſt inſtituta, vt ex eius in
ſubiecto præſentia talis affectio, vel mutatio conſequatur; vocatur au­
tem effectus formalis ſecundarius; non verò primarius, qui eſt tantùm
concretum ex ipſa formâ, & ſubiecto.
Theorema 16.
Motus eſt finis intrinſecus impetus. Dum finem audis intrinſecum,
cogita quæſo aliquid phyſicum; eſt enim id, propter quod talis, vel ta­
lis forma inſtituta eſt: quid enim aliud eſſe poteſt; finem enim rerum
naturalium ex ipſo vſu cognoſcimus; immò idem eſt finis cum ipſo vſu;
cum igitur impetus illum tantùm vſum habeat, quem in ipſo mobili
præſtare cernimus, ſcilicet motum; dicendum eſt motum eſſe finem in­
trinſecum impetus; adde quod cum fruſtrà ſit impetus ille, qui non præ­
ſtat motum mediatè ſaltem in ſuo ſubiecto; quid enim aliud in ſuo ſub­
iecto præſtaret, quem effectum, quam mutationem? certè ſi fruſtrà eſt, non
eſt, per Ax.6.igitur vt ſit, debet habere id, ſine quo eſſe non poteſt; igitur
maximum eius bonum eſt, igitur finis, quem natiuâ vel innatâ velut
appetentiâ concupiſcit, vel exigit. Dixi mediatè, vel immediatè; num
reuera datur fortè aliquis impetus, vt dicemus infrà; ſcilicet primus na­
turalis, qui ſcilicet duos fines habet diſiunctiuè; quorum alter eſt gra­
uitatio, alter motus deorſum.
Theorema 17.
Niſi eſſet motus non eſſet impetus. Probatur quia motus eſt finis intrin­
ſecus impetus per Th. 16. igitur ſi nullus motus eſſe poſſet, ſuo fine ca­
reret impetus; igitur non eſſet, vt patet, igitur non eſſet; quia quod
fruſtrà eſt, non eſt per Ax. 6. nec obſtat quod ſuprà indicatum eſt de im
petu naturali primo vel innato (ſic enim deinceps appellabimus vt recti
diſtinguamus ab acquiſito quem vocabimus impetum accelerationis)
qui ſine motu conſeruatur in corpore grauitante; quia niſi poſſibilis eſ­
ſet motus deorſum nulla eſſet grauitatio; quippe grauitare eſt deor­
ſum inclinari, motumque inclinationis impediri; hinc dicemus
1in ſecundo libro impetum innatum ſæpiùs eſſe ſine motu; cum ſcilicet
impeditur à corpore ſuſtinente? immò dicemus infrà primo inſtanti,
quo eſt impetus, nondum eſſe motum.
Obſeruabis autem certiſſimam regulam; ſcilicet ex impoſſibilitate
effectus formalis, ſequi impoſſibilitatem cauſæ formalis, huiuſque poſſi­
bilitatem ex illius poſſibilitate.
Theorema 18.
Niſi eſſet impetus, non eſſet naturaliter motus. Quia niſi eſſet cauſa, non
eſſet naturaliter effectus per Ax. 8. Impetus enim eſt cauſa motus per
Th.15. Deinde omnis motus eſt ab aliqua potentia motrice, vt patet ex
omni hypotheſi; ſiue ſit naturalis in grauibus, & leuibus, ſiue ſit vitalis
in viuentibus; ſiue ſit media in compreſſis, & dilatatis; ſiue alia quæli­
bet: ſed omnis potentia motrix eſt actiua, quia mouet; ergo agit, ſed
motum non producit per Th. 2. Igitur impetum, qui deinde exigit mo­
tum per Th. 14. Dixi naturaliter; quia non eſt dubium, quin Deus ſine
impetu aliquo modo mouere poſſit; ideſt, facere ſine impetu, vt corpus
mutet locum: nec dicas Deum non poſſe ſupplere vices cauſæ formalis;
nam concedo id quidem pro effectu formali primario; nec enim Deus
poteſt facere, vt aliquid ſit calidum ſine calore; cum eſſe calidum ſit
idem, ac eſſe habens calorem; id tamen nego pro effectu ſecundario,
quem ſcilicet cauſa formalis exigit: Etenim ſicut poteſt ſummo iure non
ſatisfacere exigentiæ; ita poteſt id conferre ſine exigentiâ, quòd cum exi­
gentia conferre poteſt; ſic poteſt corpus reſoluere ſine calore, mouere
fine impetu &c. quanquam vt verum fatear non eſſet propriè motus, ſed
quaſi continuæ reproductionis modus; nam motus dicit aliquam paſ­
ſionem; ſcilicet actum entis in potentiâ, vt aiunt.
Theorema 19.
Si eſſet motus naturaliter ſine impetu, corpus per ſe ipſum moueretur, id eſt,
exigeret motum per ſuam entitatem; quia nullus impetus exigeret; ergo
aliquid aliud, nihil diſtinctum, alioquin eſſet impetus; ergo ipſa corpo­
ris entitas; quanquam non eſſet motus, vt iam dictum eſt, quia non eſ­
ſet paſſio.
Theorema 20.
Corpus illud æquali ſemper motu ferretur per ſe; Quia eſſet ſemper ea­
dem cauſa neceſſaria motus, id eſt, ipſa entitas corporis; igitur idem
effectus per Axioma 12. igitur idem, vel æqualis motus: dixi per ſe pro­
pter diuerſum medium.
Theorema 21.
Si eſſet aliquod corpus eſſentialiter mobile, impetu non indigeret. Probatur;
quia in tantum indiget mobile impetu vt impetus exigat motum; ſed
corpus illud per ſuam eſſentiam exigeret motum; igitur non indigeret
impetu; poſſet tamen impediri eius motus, vt patet; immò eſſet capax
recipiendi impetus., ſiue quem in ipſo produceret, ſiue quem ab alia
1cauſa extrinſeca acciperet.
Theorema 22.
Si eſſet aliquod corpus eſſentialiter immobile, eſſet incapax impetus. Pro­
batur; quia, niſi eſſet motus, non eſſet impetus per Th. 17. igitur ſubie­
ctum incapax motus eſt incapax impetus.
Theorema 23.
Si eſſet aliquod ſubiectum incapax impetus, eſſet incapax motus. Quia
vbi non poteſt eſſe cauſa formalis, ibi non poteſt eſſe effectus forma­
lis, quod certum eſt.
Theorema 24.
Omne corpus, quod eſt capax motus, eſt capax impetus, & viciſſim.
Probatur 1. pars; quia impetus in eo non eſſet fruſtrà; haberet enim
ſuum effectum formalem, & finem intrinſecum. Probatur 2.pars; quia in
eo impetus non eſſet fruſtrà per Ax. 6. igitur haberet ſuum effectum;
igitur motum.
Theorema 25.
Omne corpus finitum eſt capax motus, & impetus. Probatur 1. pars;
quia non eſt vbique, igitur poteſt transferri è loco in locum; cur enim
non poſſet? Dices fortè quia affixum eſſet eſſentialiter tali, vel tali lo­
co, ſed contra; quia deſtruantur omnia, præter ipſum corpus; certè
nulli affixum manet. Dices ſpatio imaginario; apage iſtas nugas:
de iſto ſpatio plura demonſtrabimus in Metaphy. Probatur 2. pars; quia
ſi eſt capax motus, eſt capax impetus per Th. 24. Quod dixi de corpo­
re; dicendum eſt de omni re creata finita permanente.
Theorema 26.
Quod durat tantùm vno inſtanti, eſt incapax motus, & impetus. Pro­
batur, quia non eſt moueri, niſi relinquat locum, & acquirat alium; ſed
1. acquirere locum, eſt 1. eſſe in illo loco; & relinquere locum eſt,
1. non eſſe in eo loco; nec ſimul eſt in vtroque, quia in duobus locis
idem ſimul eſſe non poteſt; vt demonſtramus in Metaphyſica; & phy­
ſicè certum eſt ex omni hypotheſi; igitur moueri nunc, id eſt, hoc in­
ſtanti, id eſt, 1. acquirere nouum locum, & 1. relinquere priorem,
ſupponit neceſſariò antè fuiſſe in loco nunc relicto; ſed quod durat
tantùm in inſtanti, non habet antè, neque poſt; igitur quod durat tan­
tùm vno inſtanti, moueri non poteſt; igitur eſt incapax motus; igitur
& impetus.
Theorema 27.
Deus eſt incapax motus, & impetus: Tum quia vbique, eſt igitur
nouum locum acquirere non poteſt; igitur nec moueri per Definitio­
nem 1. tùm quia æternitas Dei tota ſimul eſt; igitur nec fuit antè, ne­
que poſt in ca; igitur non poteſt dici antè habuiſſe locum, quo nunc
caret: & nunc non habere illum quo caret; tùm quia immutabilitas
1Dei hoc prohibet; nam moueri, eſt affici intrinſecè; quia etiam de­
ſtructis omnibus extrinſecis creatis moueri poſſem, & fruſtrà recurres
ad partes virtuales immenſitatis Dei, quas ferè animus abhorret; apa­
ge partes in Deo: quis hoc ferre poſſit? præterea ſi ſunt, ſunt eſſentia­
liter immobiles; igitur valet ſemper ratio allata; igitur Deus eſt inca­
pax motus; igitur & impetus.
Diceret aliquis Deum quantumuis Immenſum in orbem conuolui
poſſe; igitur 1. ratio non probat de omni motu. Reſpondeo adhuc va­
lere, quia etiam in orbem conuolui non poteſt, niſi mutetur intrinſe­
cè; atqui ſi eſt immenſus, non poteſt mutari intrinſecè per motum;
quia nullum locum de nouo acquireret; ſed de hoc motu aliàs, cum de
infinito; vel de puncto phyſico mobili; quidquid ſit. valet ſaltem
1. ratio pro motu recto, & aliæ duæ pro omni motu.
Theorema 28.
Motus ipſe moueri non poteſt. Quia cum tantùm dicat mutationem
loci; certè mutatio non eſt in loco; dicit enim tantùm locum relictum
eo inſtanti, quo nouus acquiritur. Præterea quod eſt in loco dicit tan­
tùm ens phyſicum; ſed mutatio dicit etiam non ens; Hinc egregium pa­
radoxum; illud non mouetur per quod cuncta mouentur, quæ mouentur.
Theorema 29.
Duratio moueri non poteſt. Cum enim ſit ſucceſſiua, fluit per partes,
igitur quælibet illius pars, ſeu quod durat vna inſtanti tantùm eſt inca­
pax motus, per Th. 26.
Theorema 30.
Hinc actio moueri non poteſt; cum enim actio per quam res conſerua­
tur, ſit eius duratio; vt conſtabit ex iis, quæ demonſtrabimus in Me­
taphyſica, & cum duratio moueri non poſſit, per Th. 29. certè neque
actio moueri poteſt.
Corollarium 1.
Hinc in tanta rerum creatarum multitudine ſunt tantùm duæ, quæ
ſunt eſſentialiter immobiles; ſcilicet motus, & actio; quorum ille cum
ſit mutatio non eſt adæquatè aliquid poſitiuum; ſecus actio.
Corollarium 2.
Hinc ſunt tantùm duo adæquatè poſitiua, quæ moueri non poſſunt;
ſcilicet Deus, & actio; Deus, qui ſemper eſt; actio, quæ tantùm vno
inſtanti eſt; Deus vbique eſſentialiter; actio hic tantum eſſentialiter;
Deus primum ens; actio infinitum ens; eſt enim modus; Deus primum
mouens; actio ipſe motus; ſcilicet primi generis, de quo in ſect. Th.3.
Corollarium 3.
Hinc ſi res aliqua creata per actionem tantæ perfectionis, quæ mille
annis eſſentialiter reſponderet, conſeruaretur; certè per totum illud
tempus moueri non poſſet; eſſet enim vnicum inſtans, hoc eſt duratio
1tota ſimul; ſed eodem inſtanti in pluribus locis eſſe non poteſt; igitur
nec moueri; adde quod per cam actionem ſum in loco, per quam ſum
in tempore; igitur ſi hæc eſt ſemper eadem, illam eandem eſſe neceſſe
eſt; ſed hæc ſunt metaphyſica, quæ obiter tantùm attingo, aliàs fusè
de monſtrabo.
Scolium.
Obſeruabis primò ex dictis præclarum naturæ inſtitutum; cum enim
corpus moueri ſemper non debeat, (quippe hoc eſſet maximè incom­
modum) certè per ſuam entitatem moueri non exigit; alioquin ſemper
moueretur; igitur per aliud ab entitate diſtinctum, id eſt per impetum;
itaque licet per ſuam entitatem exigat fluxum in tempore, id eſt conſer­
uari, & durare; id eſt nouam ſemper actionem conſeruatiuam; quia
maximum eius bonum eſt durare vel exiſtere; Igitur per ſe ipſum illud
exigit; quia ſemper exigit, non tamen per ſe ipſum exigit fluxum in
loco, id eſt motum; quia moueri non ſemper eſt bonum.
Obſeruabis ſecundò, cum idem corpus aliquando velociùs, tardiùs
aliquando moueri exigat; ſi per ſuam entitatem moueri exigeret, eo­
dem ſemper ferretur motu; quia eadem ſemper eſſet exigentia; igitur
debet eſſe aliquid aliud; illud autem eſt impetus, qui aliquando maior
ſeu perfectior, aliquando verò minor eſt; igitur maiorem ſeu velocio­
rem motum aliquando exigit, aliquando minorem, ſeu tardiorem;
cum enim motus ſit eius finis intrinſecus, vt reſolutio eſt finis caloris
vel rarefactio; quemadmodum maior calor maiorem exigit, ſeu præ­
ſtat reſolutionem; ita & maior, ſeu perfectior impetus maiorem, ſeu
velociorem motum exigit.
Obſeruabis tertiò aliud naturæ inſtitutum, quo ſcilicet in eo tan­
tùm ſubiecto recipi poteſt cauſa formalis, in quo recipi poteſt eius effe­
ctus formalis ſecundarius: nec alia regula, præter eam excogitari poteſt;
cum enim aliqua forma ad talem, vel talem finem à natura inſtituta eſt;
certè propter illum finem eſt, igitur in eo non eſt, in quo ſuum finem
conſequi non poteſt; alioquin fruſtrà eſſet; & contra in eo eſſe poteſt,
in quo fruſtrà non eſt; cum ſcilicet in eo ſuum finem conſequatur; ad­
de quod finis ille intrinſecus phyſicus ſcilicet, non moralis, aliquis no­
uus effectus eſt; atqui nouus effectus ſine ſua cauſa eſſe non poteſt, neque
cauſa neceſſaria ſine effectu; igitur ibi, ſcilicet in hoc ſubiecto, in quo
eſt, vel eſſe poteſt effectus formalis, cauſa formalis eſt, vel eſſe poteſt,
eſt inquam citra miraculum.
Obſeruabis quartò egregiam rationem; propter quam res eadem in
pluribus locis naturaliter eſſe non poteſt; quippe cum res fuerit primo
producta in aliquo loco, illa certè nouum locum acquirere non poteſt
naturaliter; niſi per motum, atqui motus dicit neceſſario priorem lo­
tum relictum, & nouum acquiſitum; igitur cum tot acquirantur loca
per motum, quot relinquuntur; ſi ante motum vnus tantùm erat eiuſ­
dem rei locus, poſt motum etiam vnus eſt: quod autem producatur tan-
1tùm res in vno loco patet; vel enim à cauſa prima vel ab aliqua 2. pro­
ducitur; ſi à 2. ergo ab aliqua aplicata; igitur ex ſuppoſitione quòd il­
la cauſa 2. in vno tantùm loco producta ſit, vni tantum applicari po­
teſt; quod autem cauſa 1. in pluribus locis naturaliter eundem effectum
non producat, certum eſt, & demonſtrabimus in Metaphyſ. quia ſin­
gulis effectibus ſingulæ ſufficiunt actiones; ſingulis terminis ſingulæ
viæ; immò hoc requiri videtur, ſeu ſpectare ad huius vniuerſitatis or­
dinem; quippe ſi res eadem in pluribus locis eſſet; cur potius in duo­
bus quam in tribus? deinde multiplex iure poſſet exiſtimari; denique
quod vnum eſt in entitate creata, ſeu dependente ab eadem cauſa, vnum
eſt etiam in dependentia; quæ eſt actio, per quam dependet; ſed de his
aliàs.
Theorema 31.
Impetus non producitur in eo mobili, quod moueri non poteſt à potentia
motrice applicata, licèt à fortiori moueri poſſit. Probatur, quia impetus
eſt tantùm propter motum, qui eius effectus eſt, & finis, per Th. 15.
& 16. Igitur vbi non eſt motus, fruſtrà eſt impetus; ſed quod fruſtrà
eſt, non eſt; id eſt non eſt, quod fruſtrà eſſet, ſi eſſet per Ax. 6. Exci­
pio tamen impetum naturalem innatum, qui nunquam eſt fruſtrà, vt
dictum eſt ſuprà in Theorem. 17. adde quod non poteſt cognoſci
impetus, niſi vel ex motu, vel ex ictu, vel ex contrario niſu, vel
impulſu; ſed nihil horum cernitur in rupe quam ferio; Igitur non
eſt dicendum in ea produci impetum, cuius rationem afferemus infrà;
nunc ſatis eſt Ax. 3. id manifeſtè probari; nam qui diceret in rupe im­
mobili impetum imprimi; certè poſitiuo argumento probare tenere­
tur, quod tantùm duci poteſt, vel ab experimento; atqui hîc nullum eſt;
vel à neceſſitate, quæ nulla eſt; vel ex alio quocumque capite, quod
nullum excogitari poteſt; ſed maiorem lucem huic Th. 3. ex proximè
ſequentibus accerſemus; nec eſt quòd aliqui dicant produci impetum
inefficacem; qui cum fruſtrà ſit, ſi eſt, ex nullo capite probari poteſt: ad­
de quòd deſtruitur impetus, ne ſit fruſtrà; Igitur non producitur, ne ſit
fruſtrà; nam conſeruatio eſt vera actio, vt dicemus ſuo loco; Igitur ſi
hæc non ponitur, ne aliquid ſit fruſtrà; etiam 1. productio poni non
debet; vnde commentum illud impetus inefficacis prorſus inefficax eſt.
Theorema 32.
Ideo potentia motrix non producit impetum in prædicta rupe. v.g. quia de­
bilior eſt. Probatur, & explicatur; quippe debilior potentia minorem ef­
fectum producit per. Ax. 13. num. 2. igitur pauciores partes impetus
æquales vni certæ per idem num. 1. igitur ſi ſint plures partes ſubiecti
mobilis, ſeu rupis, quàm impetus; cum vna pars impetus duobus parti­
bus ſubiecti ineſſe non poſſit; licet plures vni ſimul in eſſe poſſint;
non eſt mirum ſi nullus impetus producatur; cum non poſſint tot partes
illius produci, quot eſſent neceſſariæ; vt ſaltem ſingulæ ſingulis ſubie­
cti, ſeu rupis partibus diſtribuerentur.
1
Obſeruabis autem nouum quoddam genús reſiſtentiæ; nam ſingulæ
partes rupis ab applicata potentiâ aptæ ſunt loco moueri per impreſ­
ſum impetum, & maior potentia ſimul omnes loco moueret; at verò
omnes ſimul, & coniunctim conſideratæ; quatenus ſcilicet vna pars
non poteſt moueri ſine alia, & comparatæ cum illa potentia debili di­
cuntur habere prædictam reſiſtentiam, quæ ſuperat potentiæ vires;
quòd ſcilicet à maiori moueri tantùm poſſint; quia plures partes im­
petus poſtulantur, quam ſint eæ, quæ à prædictâ potentiâ poſſunt pro­
duci.
Theorema 33.
Vel producitur impetus in omnibus ſubiecti partibus vnitis, vel in nulla;
modò nulla fiat ſeparatio, neque compreſſio: Certum eſt enim in ijs omni­
bus partibus, quæ auolant ab ictu, produci impetum. Probatur igitur
1. quia ſi non producatur in omnibus partibus, & nulla ſeparetur ab
alijs; certè nulla mouetur, vt certum eſt; igitur nulla habet impetum;
quia ibi non eſt cauſa formalis, vbi non eſt effectus formalis; alioquin
eſſet fruſtrà, contra Ax. 6.2. Tu dicis produci impetum in aliquot parti­
bus; hoc dicis, hoc proba? an potes dignoſcere impetum niſi ex motu?
vel conſeruaretur hîc impetus ſequentibus inſtantibus, vel ſtatim ſecun­
do inſtanti deſtrueretur. Primum dicere abſurdum eſt; quia ſi hoc eſſet
multisictibus repetitis tandem moueretur totum mobile; ſi verò de­
ſtrui dicatur. Secundo inſtanti; eadem ratio probat non produci. Pri­
mo inſtanti, quæ probat deſtrui. Secundo nam ideo deſtruitur. Secun­
do quia eſt fruſtrà, ſed non minus eſt fruſtrà. Primo igitur non produ­
citur. Primo 4. probatur; quia cum non ſufficiant partes impetus, quas
dixi produci, vt omnibus partibus ſubiecti diſtribuantur; certè non eſt
vlla ratio, cur potiùs his quàm illis diſtribui dicantur; cum vna ſit tan­
tùm immediatè applicata. Igitur certum eſt vel produci in omnibus, vel
in nulla, niſi forte aliquæ auolent, ſed tunc ſeparantur.
Obiiciet aliquis 1. eſſe cauſam neceſſariam applicatam ſubiecto ap­
to: igitur agit per Ax. 12. Reſpondeo eſſe impeditam; nam reſiſtentia
ſubiecti ſuperat vires potentiæ vt dictum eſt; immò in ipſo motu re­
torqueo argumentum; licèt enim ſit applicata cauſa neceſſaria mouens,
non tamen mouet.
Obiiciet 2. Ignis applicatus agit in nonnullas partes ſubiecti, licèt
non agat in omnes; igitur & potentia motrix. Reſpondeo non eſſe pa­
ritatem; quia vna pars poteſt calefieri, & reſolui ſine alia, vt conſtat
non tamen vna moueri ſine alia, cui coniuncta eſt, niſi ſeparetur; igi­
tur nec recipere impetum ſine alia.
Obiiciet. 3. ſint duo trahentes idem mobile; ita vt ſeorſim neuter
trahere poſſit, coniunctim verò vterque poſſit; certè ſi alter non pro­
ducit impetum ſeorſim, nec etiam coniunctim producet; nec enim au­
gentur eius vires ab altero: Reſpondeo vtrunque agere actione com­
muni; igitur non eſt mirum ſi effectus maior eſt, quem tamen neuter
1ſeorſim producere poteſt.
Dices ſi vterque coniunctim producit effectum: ſint v. g. 100. par­
tes impetus; Igitur ſinguli producunt tantùm 50. Igitur cur potiùs in
in his partibus ſubiecti, quàm in alijs, cum vtriuſque potentia eidem
ſubiecti parti poſſet eſſe applicata? Reſpondeo ſingulos producere 100.
actione ſcilicet communi indiuiſibiliter; ſint enim duo trahentes A. &
B. A. producit 100. ſed non ſolus; B. producit eaſdem 100. ſed non ſo­
lus; ſed explicabimus hunc modum actionis communis in Metaphys.
quod autem agant actione communi patet per Ax. 13.
Obiicies 4. producitur ſonus ſi ferias rupem; igitur & impetus; Reſ­
pondeo ad ſonum ſolam aëris colliſionem ſufficere, quam fieri certum
eſt à prædicto ictu; deinde mallej motus impacti in rupem facit ſonum;
quidquid tandem ſit ſonus, de quo hîc non diſputo: adde quod in ru­
pe ſunt ſemper aliquæ partes tremulæ, quæ modico tantùm, eoque flexi­
bili nexu cum alijs partibus copulantur; adde aliquam compreſſionem,
ex qua modicæ vibrationes ſequuntur.
Obiicies 5. Quando aliquæ partes auolant ab ictu, haud dubiè auo­
lant propter impetum impreſſum: Igitur prius eſt imprimi impetum,
quàm auolare; igitur productus eſt impetus in nonnullis partibus, &
non in aliis, cum quibus illæ ſunt coniunctæ. Reſpondeo equidem im­
petum produci in illis partibus antequam auolent; ſed ideo produci vt
deinde auolent nam tota ratio cur non producatur, eſt ne ſit fruſtrà; ſed
ſi auolent aliquæ partes: certè in ijs non eſt fruſtrà, in quibus habet
ſuum effectum, id eſt, motum.
Dices; igitur primo inſtanti impetus ille eſt fruſtrà; in quo non
habet ſuum effectum; Reſpondeo nunquam primo inſtanti eſſe fruſtrà,
modò ſit motus ſecundo cum etiam primo inſtanti, quo eſt impetus,
non poſſit eſſe motus, vt demonſtrabo infrà; immò ideo ponitur im­
petus primo vt ſit motus ſecundo exigendo pro inſtant ſequenti, de
cum impetus ponat tantùm motum quo aliàs.
Dices; ſed potentia motrix neſcit an poſſit pars aliqua mobilis ſepa­
rari; igitur non eſt quòd aliquando producat impetum, aliquando
non producat. Reſpondeo non ſtare per cauſam neceſſariam, quin ſem­
per agat; ſed per ſubiectum, quod ſi aptum eſt, & capax effectus; haud
dubiè eo ipſo cauſa neceſſaria applicata in ipſum aget; ſi verò ineptum.
haud dubiè non aget; nam ad hoc vt producatur effectus in ſubiecto;
non ſatis eſt cauſam poſſe producere, niſi etiam ſubiectum poſſit recipe­
re; igitur cum ſit talis ordo à natura inſtitutus, ne aliquid ſit fruſtrà;
certè ſi impetus producibilis ſit futurus fruſtrà, hauddubiè non produ­
cetur; ſecus verò ſi fruſtrà non ſit futurus, in quo non eſt difficultas.
Scholium.
Obſeruabis 1. vix fieri poſſe quin ſemper aliquæ partes ſeparentur,
comprimantur, vel dilatentur, vt patet experientiâ.
Obſeruabis 2. etiam maximam corporis molem à debili potentia mi-
1nimo etiam ictu moueri; quod etiam obſeruauit Galileus in ſuis dialo­
gis de motu; quem certè motum obſeruabis etiam inſenſibilem, tùm
operâ radij luminis repercuſſi, & ad aliquod interuallum proiecti; tùm
operâ ſeu piſorum in tympani membranâ tremulo quaſi motu ſubſul­
tantium; quâ etiam arte deprehenditur in arce obſeſſa, ſub quam muri
partem cuniculi agantur.
Corollarium 1.
Hinc egregia ratio erui poteſt, cur ingens corporis moles à debili po­
tentia loco moueri non poſſit; cum enim tot ſaltem requirantur partes
impetus, quot ſunt partes ſubiecti: quia vel in omnibus, vel in nulla
producitur; certè cum ſint plures partes ſubiecti, quàm vt in ſingulis
ab ea dumtaxat potentiâ impetus produci poſſit; quid mirum eſt, ſi mo­
ueri non poſſit.
Collorarium 2.
Hinc certa ratio alterius vulgaris effectus potentiæ motricis, quæ lapi­
dem 40. librarum tardo tantùm motu impellit, etiam cum ſummo niſu,
cum tamen ſaxo vnius libræ velociorem motum imprimat; quia ſcilicet
partes impetus producti diſtribuuntur pluribus partibus ſubiecti in ma­
iori lapide, & paucioribus in minori; igitur ſingulæ partes minoris
habent plures partes impetus, vt manifeſtè conſtat; ergo ille impetus
intenſior eſt; igitur maiorem exigit ſeu perfectiorem motum per Ax.
13. num.2.
Collorarium 3.
Hinc ſublata ratione diuerſæ reſiſtentiæ medij, dato pondere
mobilis vtriuſque, datoque niſu communi potentiæ, poteſt de­
terminari certus velocitatis gradus vtriuſque; nam ratio velocitatum
eſt inuerſa ponderum v. g. ſit pondùs 4. librarum; fit etiam 2. librarum
ſit impetus impreſſus vtrique ſuppoſito communi, & æquali niſu
potentiæ, & æquali tempore; haud dubiè velocitas mobilis 2. libra­
rum erit dupla velocitatis mobilis 4. librarum; quia cum ſint duplo
plures partes ſubiecti in hoc mobili quàm in illo (accipio enim vtrum­
que eiuſdem materiæ, vt omnes lites fugiam) igitur in minori eſt duplo
intenſior impetus: Igitur duplo velocior motus; dixi, ſi fiat æquali
niſu, & æquali tempore; quia reuerâ non fit in tempore æquali, ſed
inæquali, ſi ſupponatur idem arcus brachij v. g. iacientis; nam tempo­
ra ſunt in ratione ſubduplicata ponderum; vt demonſtrabimus lib. 10.
& velocitates ſunt vt tempora permutando.
Collorarium 4.
Hinc facilè determinari poteſt proportio impetus impreſſi cognitâ
grauitate mobilium; v. g. ſit mobile graue vt4. & aliud graue vt 2. haud
dubiè vt moueatur æquali gradu velocitatis, debet produci duplo
maior impetus in maiori mobili, hoc eſt, iuxta rationem maioris ad mi­
nus, quod clariſſimè ſequitur ex dictis; vt enim tot ſint gradus impetus
1in qualibet parte minoris, quot ſunt in qualibet parte minoris; haud
dubiè impetus maioris habet eandem rationem ad impetum minoris;
quam habet maius ad minus.
Collorarium 5.
Hinc quoque ducitur manifeſta ratio ſeu reſponſio ad illud præcla­
rum certè quorundam philoſophorum commentum, qui volunt ex mini­
ma ponderis acceſſione totam terræ molem inclinari, vt in nouo æqui­
librio ſtatuatur; quod omninò falſum eſt; nam ex ſuppotione quòd
terra non grauitet (vt vulgò dicitur, & aliàs à nobis demonſtrabitur) illa
certè moueri non poteſt niſi producantur tot partes impetus quot ſunt
partes ſubiecti in tota terra; quæ certè maximas potentiæ vires poſtulant.
Theorema 34.
Primo inſtanti, quo est impetus, non est ille motus, cuius hic impetus eſt
cauſa. Probatur; quia non poteſt eſſe motus, niſi ſit locus prior reli­
ctus, & nouus acquiſitus, igitur ſi eodem inſtanti, quo eſt impetus,
haberet motum, eodem inſtanti eſſet in duobus locis, quod dici non
poteſt; & iam diximus in Th. 26. igitur impetus primo inſtanti quo
eſt non habet ſuum motum.
Theorema 35.
Immò nihil eſt, quod primo inſtanti, quo eſt, moueri poſſit. Quia non poteſt
moueri, niſi acquirat nouum locum, & priorem relinquat; igitur, vel ſi­
mul in vtroque eſt, quod dici non poteſt; vel in relicto antè fuit; igitur
non eſt primum inſtans, contra ſuppoſitionem.
Theorema 36.
Potest impetus aliquo inſtanti non moueri quo mouetur ipſum mobile, in
quo est. Nam moueatur mobile quodlibet; & dum mouetur, impella­
tur, factâ ſcilicet acceſſione noui impetus; haud dubiè hoc primo in­
ſtanti, quo producitur impetus in dato mobili non mouetur per Th.
35. quo tamen inſtanti mouetur prædictum mobile.
Collorarium 1.
Hinc egregium paradoxon; Poteſt alique inſtanti moueri ſubiectum, licèt
non moueantur illa omnia, que eidem ſubiecto reuerâ inſunt.
Corollarium 2.
Hinc etiam aliud paradoxon; Impetus primo inſtanti, quo eſt, non habet
ſuum finem, nec habere poteſt; patet, quia primo inſtanti non habet motum.
Corollarium 3.
Hinc poteſt aliquid dato inſtanti carere ſuo fine; licèt non ſit fruſtrà;
fruſtrâ enim tantùm dicitur ille impetus, qui pro inſtanti ſequenti
non poteſt habere motum.
Theorema 37.
Impetus pars recepta in parte ſubiecti non exigit motum aliarum partium
1eiuſdem ſubiecti, licèt coniunctarum. Probatur 1. quia alioquin vna pars
impetus ſufficeret ad mouendam ingentem rupem; quod abſurdum eſt.
2. ſicut vna pars caloris non reſoluit alias partes ſubiecti; ita nec im­
petus. 3. Ratio à priori eſt; quia impetus non eſt cauſa efficiens motus
per Th. 13. ſed tantùm cauſa formalis per Th. 15. Igitur præſtat tantùm
ſuum effectum formalem in eo ſubiecto, in quo eſt.
Corollarium 1.
Hinc partes impetus non cauſant motum in ſuo ſubiecto actione, vel
exigentia communi; quia quælibet pars impetus exigit tantùm motum
ſui ſubiecti; id eſt illius partis, quàm afficit; quod etiam probatur per
Ax. 13.
Corollarium 2.
Hinc corpus grauius perſe, ſaltem eiuſdem materiæ, non cadit velo­
ciùs, quàm leuius, vti globus plumbeus 100. librarum, quàm globus
vnius libræ plumbeus; quia ſcilicet impetus vnius partis non iuuat mo­
tum alterius: præterea tam facilè 2, partes impetus in 2. partibus ſubie­
cti receptæ eaſdem mouent, quàm 100. alias 100. dixi per ſe; nam di­
uerſa eſſe poteſt medij reſiſtentia; ſed de his fuſe in 2. lib. Theorema 38.
Impetus recipitur tantùm in ipſa ſubſtantia ſubiecti naturaliter. v. g. ſi
mobile ſit ferrum calidum, recipitur in ipſa ſubſtantia ferri; non verò
in ipſo calore (ex ſuppoſitione quod calor ſit accidens, vt aliàs demon­
ſtrabimus; nec in alijs accidentibus, ſi quæ ſunt, in eodem ſubiecto; pro­
batur 1. quia ſi produceretur etiam impetus in accidentibus, quo plu­
ra eſſent accidentia in aliquo ſubiecto; plures quoque partes impetus
producendæ eſſent; igitur maiori potentiâ opus eſſet per Ax. 13. n. 4.
Igitur difficiliùs mouerentur, quod eſt abſurdum. Diceret fortè ali­
quis eundem impetum recipi ſimul in ſubſtantia & in ipſis accidenti­
bus; ſed contra, nam reuera, ſi hoc eſſet, dum proijcitur ferrum cali­
dum, & ſtatim frigefit, deſtrueretur totus impetus, deſtructo ſcilicet
eius ſubiecto: 2. qui hoc diceret, deberet probare; nam eodem modo
mouetur corpus ſiue afficiatur pluribus accidentibus, ſiue paucioribus;
igitur non euincit experientia recipi in illis impetum, nec etiam ratio,
vt dicam paulò poſt. Ratio à priori eſſe poteſt; quia accidens cum ſuo
ſubiecto coniunctum exigit ſemper eſſe præſens ſubiecto, cum natura­
liter extra ſubiectum exiſtere non poſſit; igitur cum exigat conſerua­
ri, & exiſtere; eo tantùm modo, quo poteſt naturaliter conſeruari &
exiſtere; certè exigit conſeruari, & ineſſe ſubiecto; igitur exiſtere in
eo loco, in quo exiſtit ſubiectum, vt patet; igitur, ſi ſubiectum mutet
locum etiam accidens cum eo coniunctum mutare debet.
Dices, igitur ſimiliter dici poteſt non recipi impetum in omni­
bus partibus ſubiecti mobilis, ſed in vnâ dumtaxat; cui cum
aliæ ſint vnitæ, exigunt moueri ſine impetu ad illius motum? cum
hoc ipſum ad omnem vnionem ſpectare videatur; Reſpondeo vnam
1partem plumbi ita coniungi cum alia, vt etiam ſeparata naturaliter
exiſtere poſſit; igitur non eſt par ratio; præterea vna pars plumbi non
eſt in loco alterius; nec enim inuicem penetrantur cum ſit compene­
tratio accidentium cum ſubiecto; deinde, quò plures ſunt partes vnitæ,
maior eſt reſiſtentia, quæ ipſo etiam ſenſu percipitur; denique non vide­
tur cur potius produceretur in vna parte, quam in alia; quæ omnia
iam ſuprà Th. 33. demonſtrauimus.
Adde quod ſi impetus produceretur in ipſis accidentibus, etiam in
ipſo impetu prius producto alius impetus produceretur; cum ſcilicet
noua fit impetus acceſſio; quod ſatis ridiculum eſt; quaſi verò impetus
indigeat impetu &c. hîc loquor tantùm de accidentibus in ſubiecto;
non verò de Euchariſticis, quæ à ſubiecto per miraculum ſeparata etiam
moueri poſſunt per impreſſum impetum.
Corollarium 1.
Hinc manifeſtè patet, quid dicendum ſit de anima bruti, quæ moue­
tur etiam ſine impetu; quia exigit ſemper eſſe coniuncta corpori, à
quo diſiuncta naturaliter exiſtere non poteſt, vt ſuo loco dicemus; igi­
tur ad motum corporis, ſeu ſubiecti moueri deber.
Corollarium 2.
Idem quoque de Anima rationali dicendum eſſe videtur; licèt
enim à corpore ſeparata naturaliter exiſtere poſſit; tandiù tamen cum
corpore manet coniuncta, quandiu agere poteſt in organis corporeis;
ac proinde exigit conſeruari in corpore ipſo, quandiu ſuas operatio­
nes organicas in eo exercere poteſt.
Corollarium 3.
Hinc patet ratio manifeſta ad quæſitum illud; quomodo ſcilicet po­
tentia motrix materialis v.g. Taurus ſuo cornu hominem ventilare poſ­
ſit; nec vlla ſupereſt difficultas, dum dicas impetum non produci in
anima.
Scolium.
Obſeruabis primò In hoc Theoremate dictum eſſe naturaliter; quia
per miraculum accidens ſeparatum ab omni ſubſtantia, dum ſit impe­
netrabile, per impetum ſibi impreſſum moueri poteſt.
Obſeruabis ſecundò de anima bruti per miraculum ſeparatâ, idem
prorſus dicendum eſſe.
Obſeruabis tertiò etiam Animam rationalem ſeparatam, modò ſit
cum impenetrabilitate coniuncta, capacem eſſe impetus; quem etiam
à potentia motrice corporea recipere poteſt; idem dictum eſto de An­
gelo; ſed de vtroque aliàs.
Theorema 39.
Quando corpus pellitur ab alio corpore per impetum impreſſum; haud du­
biè impetus ille impreſſus ab aliqua cauſa efficiente producitur; patet
per Ax. 8.
1
Theorema 40.
Ille impetus non producitur à ſubſtantia corporis in aliud impacti. Proba­
tur; quia ſi produceretur, eſſet cauſa neceſſaria vt clarum eſt; igitur appli­
cata, & non impedita ageret per Ax. 32. quod eſt contra experientiam.
Dicunt aliqui requiri motum præuium, vt agat; ſed contra; nam motus
præuius non requiritur vt cauſa, vt patet; quia cauſa vt agat debet exi­
ſtere per Ax. 9. Igitur requiritur, vt conditio, quod dici non poteſt;
quia primo etiam conditio debet eſſe præſens; ſed motus præuius de
nihil preſenti eſt ſecundo quia non poteſt excogitari aliud munus con­
ditionis; niſi vel vt tollat impedimentum, vel vt applicet cauſam ſubie­
cto apto; præterea motus præuius non eſt; igitur eodem modo ſe
habet, ac ſi nunquam extitiſſet; & ſi eo inſtanti quo corpus impa­
ctum primo tangit, amitteret totum impetum, ita vt expræterito motu
nihil reliquum eſſet, haud dubiè corpus aliud non pelleret.
Diceret alius impetum eſſe tantùm conditionem, quæ ſemper eſt
de præſenti: ad hanc inſtantiam non valet ſuperior reſponſio; & certè
ſi eo ipſo inſtanti contactus noua fieret impetus acceſſio; haud dubiè
maior eſſet ictus; licèt cum eodem motu præuio, & tamen idem eſſet
corpus impactum, Igitur ad hanc inſtantiam alio modo reſpondeo, ex appli­
catione impetus ſemper ſequitur productio alterius impetus; dum ſcili­
cet ſubiectum, cui applicatur ſit capax motus; ex applicatione corporis
ſeu ſubiecti ipſius non ſemper ſequitur; igitur dicendum eſt impetum
ipſum eſſe cauſam alterius per Ax. 11. n. 1. voco enim illud cauſam,
ex cuius applicatione ſemper ſequitur ſimilis effectus; alioquin ſi hoc
neges; proba mihi aliter ignem accendi ab alio igne; dicam enim tibi
ignem applicatum eſſe tantùm conditionem, & produci à cœlo; proba
mihi aliter calorem produci à calore? quo enim medio, vel argu­
mento id euinces? quo etiam non euincam impetum produci ab im­
petu: Deinde affer rationem à priori, propter quam ſubſtantia
corporis producat impetum ſurſum? v. g. cum non exigat à ſe ipſa mo­
tum ſursùm, qui violentus eſt corpori graui; numquid certum eſt, vt
dicemus infrà impetum produci ad extra, vt tollatur impedimentum
motus? igitur illius eſt tollere impedimentum, cuius eſt exigere motum,
corpus ipſum graue non exigit motum ſurſum, ſed impetus; igitur im­
petus eſt tollere impedimentum ſui effectus; igitur producere impetum,
quo vno tolli tantùm poteſt: En tibi rationem à priori, cutum nullam
habeas: Præterea, cur negas impetum eſſe cauſam ſufficientem alterius
impetus, cum ex eius applicatione ipſo ſenſu percipiamus produci alium
impetum? quæ ratio? quid inde abſurdi, quid incommodi: Igitur tàm
certum eſt, immò certius impetum produci ab alio impetu, quàm calo­
rem à calore. Dices impetum iam habere alium effectum ſcilicet mo­
tum; bella profecto ratio! ſed numquid motus eſt effectus formalis im­
petus? prætereà eſt-ne effectus ad extra? deinde idem dico de calore;
1qui reuera habet effectum formalem ſecundarium ad intra, ſcilicet rare­
factionem, quæ eſt mutatio extenſionis; quemadmodum motus eſt mu­
tatio loci, vel vbicationis; igitur cum hoc | non obſtante, calor pro­
ducat calorem ad extra; cur impetus non producit impetum? cuius pro­
ductionem concedis virtuti corporum reſiſtitiuæ, id eſt vnioni, impe­
netrabilitati, & cæteris huiuſmodi modorum ſuperfluorum quiſquiliis;
de quibus plurimi tecum contendunt.
Scholium.
Obſeruabis nonnullas eſſe difficultates, quæ communes ſunt etiam
illi ſententiæ, quam ſequuntur ij, qui exiſtimant impetum ad extra
produci à corpore impacto; quas tamen facilè ſoluemus infrà in conti­
nuata noſtrorum Theorematum ſerie.
Theorema 41.
Aliquis impetus non producitur ab alio impetu. Probatur, quia aliquis
impetus producitur ad intra à potentia motrice, vt patet. 2. cum non
detur progreſſus in infinitum, nec impetus idem producatur à ſe ipſo, ad
aliquem tandem vltimum ſeu primum deueniendum eſt, qui ab alio im­
petu non producatur.
Theorema 42.
Impetus producitur ſemper ad extra ab alio impetu. Quia cum ſemper
ad illius productionem requiratur applicatio alterius impetus; certè
non eſt ponenda alia cauſa per Ax. 11.
Theorema 43.
Hinc impetus habet duplex munus cauſæ; ſcilicet cauſæ exigentis ad intra
& efficientis ad extra; vtrumque patet ex dictis.
Theorema 44.
Impetus agit tantùm ad extra, vt tollat impedimentum motus; cum enim
motus ſit finis intrinſecus impetus; certè ſi nihil impediret motum,
haud dubiè gauderet impetus ſuo fine; igitur fruſtrà quidquam aliud
deſideraret; præterea licèt applicetur à tergo aliud mobile; non tamen
propterea in eo producit, vt conſtat experientiâ; denique cum tan­
tùm impetum cognoſcamus per motum; cum nequidem eſſet impetus,
ſi non eſſet motus, per Th. 17. certè totus eſt impetus propter motum
qui eſt eius finis; igitur non agit niſi propter motum: ſed non poteſt
excogitari, quid faciat propter motum, dum agit, niſi dicamus ideo
tantùm agere, vt tollatur impedimentum; cum certum ſit corpus im­
mobile, in quod impingitur aliud mobile, impedire eius motum.
Theorema 45.
Hinc non ſimul agit impetus in orbem ſed tantùm per lineam
ſui motus; cui ſi nullum corpus occurrit reuerà non agit, Ratio eſt; quia li­
cèt aliud corpus mobili admoueatur in alia linea; cum non impediat
eius motum, vt ſuppono; cum agat tantùm impetus ad extra, vt tollat,
1impedimentum motu ſui ſubiecti, in eo non agit, quod non impedit; &
cum impediatur tantùm in vna linea, in ca tantùm agit; igitur non
agit in orbem.
Scholium.
Obſeruabis primò, hanc primam eſſe difficultatem; cum in hoc im­
petus maximè differat ab alijs qualitatibus ſi quæ ſunt, quæ agunt in or­
bem, vt dicemus ſuo loco.
Obſeruabis ſecundò, hanc etiam eſſe communem illorum ſententiam,
qui dicunt impetum ad extrà produci ab ipſo mobili, ſed ita vt ab illis
vix ſolui poſſit; cum tamen à nobis facilè ſoluatur.
Obſeruabis tertiò, impetum in vtroque munere cauſæ ſubeſſe tantùm
vni lineæ; ſcilicet exigit motum per vnam lineam; cum per plures ſi­
mul motus eſſe non poſſit; ne idem mobile ſimul eſſet in pluribus lo­
cis; & producit impetum per vnam lineam; cum producat tantùm pro­
pter motum.
Obſeruabis quartò, alias qualitates, ſi quæ ſunt, non agere ad extra,
vt tollant impedimentum ſui effectus ad intra; qui ſcilicet ab impedi­
mento extrinſeco impediri non poteſt; vt accidit in ipſo impetu; etenim
corpus non poteſt moueri niſi nouum locum acquirat: neque nouum
locum acquirere ab alio corpore occupatum, niſi corpus hoc loco ce­
dat, neque hoc loco cedere poteſt ſine motu, vel moueri ſine impetu,
igitur cum impediat motum amoueri debet, accepto dumtaxat impetu
ab alio mobili.
Obſeruabis quintò nonnullos eſſe, qui volunt motum vnius corporis
transferri in aliud corpus; ſed mera eſt metaphora; nihil enim prorſus
eſt quod ab vno in aliud tranſeat, ſeu transferatur; nec aliud dici po­
teſt, niſi quod dictum eſt, impetum ſcilicet nouum produci.
Hinc etiam reiicies commentum illorum, qui dicunt ideo vnum
corpus ab alio moueri, quia ab vno in aliud deriuantur corpuſcula illa,
quæ faciunt lumen, & calorem; quia lumen, & calor ſunt veræ qualita­
tes, non corpuſcula, vt demonſtrabimus in 5. tractatu: Adde quod li­
cet ferrum candens aliud frigidum impellat, etiam velociſſimè; hoc ip­
ſum æquè frigidum manet; denique in craſſis tenebris nix ſeu glacies
frigidiſſima perniciſſimè moueri poteſt: ſed apage iſta commenta.
Theorema 46.
Omnes partes impetus mobilis agunt ad extra actione communi. Probatur
per Ax. 13. n. 1. niſi enim agerent actione communi ſed quælibet ſuam
produceret; cur potius in hac parte ſubiecti, quam in alia, deinde ap­
plicatur tantùm vna immediatè; Igitur agunt omnes actione commu­
ni; omnes inquam illæ, quæ impediuntur; cum enim impetus agat
tantùm ad extrà vt tollat impedimentum ſui motus; ille proſectò age­
re non debet, cuius motus vel effectus non impeditur.
1
Theorema 47.
Hinc maiora corpora putà onerariæ naues, licèt tardiſſimo motu ferantur,
cum in aliud corpus impinguntur maxima vi illud impellunt. Ratio eſt;
quia cum ſint plures partes impetus in pluribus partibus ſubiecti, &
omnes agant actione communi, non mirum eſt ſi maiorem effectum
producant, per Ax. 13. n. 2.
Scholium.
Vides primò in hoc caſu compenſari intenſionem ab extenſione;
quippe quod præſtarent plures partes impetus in minore corporis mole
intenſæ; hoc idem præſtare poſſunt extenſæ in maiore mole.
Secundò ſicut maior moles aptior eſt ad motum imprimendum, & mi­
nùs apta ad recipiendum ita minor contrà aptior eſt ad recipiendum, &
minùs apta ad imprimendum.
Tertiò, Hinc corpora illa, quorum partes vel nullo vel modico nexu
copulantur, minimo ferè impulſu commouentur; ſic aër & aqua mini­
mo flante vento agitantur, nubes pelluntur; hinc tot procellæ tempe­
ſtateſque cientur; nec vlla eſt alia ratio, cur minima ferè venti vis, cui
modicum ſaxum reſiſtit, tantam aquæ, vel aëris molem commoueat, ni­
ſi quia cum partes illorum corporum nullo ferè nexu coniunctæ ſint vna
ſine alia moueri poteſt, quod in aqua gelu concreta minimè accidit.
Quartò, Hinc ſi maxima rupes ita comminueretur vt tota in pulue­
rem ſeu ſabulum abiret, minima vis impreſſa particulas illas moueret.
Quintò, Hinc diuino penè conſilio factum eſt, vt partes terreſtris
globi arctiore fibula copulentur; ne, ſi diſiunctæ eſſent, minimo flatu
diſpergerentur: vt videre eſt in puluere etiam grauiſſimo, qui ab aura
flant e diſpergitur.
Theorema 48.
Impetus, cuius motus non impeditur, non agit ad extrà. Probatur per
Th. 44. hinc ſi aliud corpus affigas mobili à tergo, nullum impetum in
eo producet, cuius effectus, qui certè impetui ſingularis eſt, alia ratio
eſſe non poteſt; tam enim corpus eſt applicatum à tergo, quam in
ipſa fronte; & nihil eſt in vno, quod non ſit in alio, niſi quod in fronte
impedit motum, à tergo verò non impedit.
Corollarium 1.
Hinc egregium paradoxon erui poteſt; quod ſcilicet cauſa neceſſaria
etiam immediatè applicata, & non impedita in ſubiecto apto non agit;
quod videtur eſſe contra Ax. 12. vnde vt agat cauſa neceſſaria, debet
applicari debito modo; ſi agat in orbem, omnis applicatio ſufficiens
eſt: ſi verò agat tantùm per vnam lineam; certè applicari debet in ca
linea; alioquin non aget defectu debitæ applicationis.
Corollarium 2.
Hinc etiam aliud paradoxon non minus iucundum; cauſa neceſſaria
1applicata, & non impedita non agit; at verò agit impedita; ſcilicet
impetus qui tantùm agit, vt tollat impedimentum; igitur, ſi non
impediatur non agit.
Theorema 49.
Quo minùs impeditur impetus, minùs agit ad extra, & contrà; quo plùs
impeditur, plùs agit. Cum enim ideò agat ad extra, vt tollat impedi­
mentum; certè ſi nullum eſt, nihil agit, ſi minùs, minùs agit; igitur
agit pro rata, id eſt, pro diuerſa impedimenti ratione.
Theorema 50.
Si linea motus, quam directionis appellant, ducatur per centrum vtriuſque
corporis, maximum est impedimentum, vt patet. ſint enim duo globi,
A mobilis, & B. occurrens ipſi A, ſitque linea directionis DE ducta
per centrum vtriuſque AB, & punctum contactus ſit C; certè glo­
bus B maximum ponit impedimentum, quod ab eo poni poſſit; Igitur
impetus globi A agit quantùm poteſt in globum B; vt ſcilicet maxi­
mum impedimentum remoueat.
Theorema 51.
Si linea motus vel ipſius parallela cadat perpendiculariter in extremam
diametrum globi immobilis: haud dubiè nihil impedit; ſit enim globus
mobilis A, Immobilis B, linea directionis ſit GA, ipſi parallela FC;
certè globus B. non impedit motum globi A. cum nihil loci globi B
occupari debeat à globo A; Igitur impetus A non agit in globum B per
Th. 48.
Theorema 52.
Si linea motus ſit inter vtramque; est minus impedimentum. ſit globus
immobilis BA; ſit linea motus GC cum impedimento, de qua in Th. 50.
ſit alia KB cum nullo impedimento, de qua in Th. 51. ſint aliæ HD,
IE; certè minus eſt impedimentum in contactu D, quàm in C; quia ca­
dit obliquè in D, perinde atque ſi caderet in tangentem NO; Igitur
minus impeditur; in qua vero proportione, dicemus aliàs, cum de re­
flexione, & de motu mixto.
Theorema 53.
Hinc producitur in contactu C, totus impetus; in contactu D, minùs; in
contactu E adhuc minùs; in B nihil; quia in ea proportione producitur
plùs vel minùs impetus, quo plùs eſt, vel minùs impedimenti per
Th. 49. ſed minùs eſt impedimentum in E, quàm in C; & in E, quàm
in D, per Th. 52; Igitur in D producitur minùs impetus, quàm in C,
& minùs in E, quàm in D.
Theorema 54.
Hinc eadem cauſa neceſſaria etiam immediate applicata diuerſum impe
1tum producit; vt patet in impetu, non tamen est eodem modo applicata,
id eſt in eadem linea.
Theorema 55.
Hinc ratio multorum effectuum phyſicorum e. ui potest; cur ſcilicet cor­
pus incidens in aliud perpendiculariter maximum ictum infligat; quia
ſcilicet maximum impetum producit, qui poſſit ab eo produci; cur
idem corpus obliquè incidens in aliud minorem ictum infligat; cuius
rei alia ratio eſſe non poteſt. Huc etiam reuoca tormenta bellica, quæ
vel directo, vel obliquo ictu muros verberant; hinc perpendicularis
fortiſſima eſt; licèt eadem ratio pro motu corporum non valeat, quæ
valet pro diffuſione, ſeu propagatione qualitatum.
Theorema 56.
Hinc poteſt determinari quota pars impetus producatur, & quantus
ſit ictus; cognito ſcilicet & ſuppoſito eo impetus gradu, qui producitur,
cum totus producitur, vt fit in perpendiculari; quippe tota menſura
impetus continetur in arcu CB; quam proportionem nos infrà demon­
ſtrabimus.
Theorema 57.
Si linea directionis ducatur per centrum vtriuſque globi, mobilis ſcilicet
& immobilis, impetus producit totum impetum quem poteſt producere ſiue in
maiori globo, ſiue in minori, ſiue in æquali; patet experientia; cuius ratio
eſt; quia impetus eſt cauſa neceſſaria; Igitur idem impetus eodem mo­
do applicatus æquali tempore, æqualem ſemper effectum producit, per
Ax. 12. igitur cum impetus agat tantùm, vt tollat impedimentum per
Th. 44. & cum in prædicta linea agat quantum poteſt per Th. 50. cer­
tè æqualem effectum producat neceſſe eſt; ſiue in maiori ſiue in mino­
ri, ſiue in æquali globo immobili.
Theorema 58.
Hinc impetus remiſſus potest producere intenſum; & hæc eſt altera difficul­
tas; cum ſcilicet maior globus in minorem impingitur; cum enim omnes
partes impetus maioris globi agant actione communi per Th. 46. &
cum agant quantùm maximè poſſunt; in minore globo, tot partes pro­
ducunt impetus, quot in maiore, vt patet; igitur in minore globo pau­
cioribus partibus ſubiecti diſtribuuntur plures partes impetus; ergo in
qualibet parte ſubiecti ſunt plures; ſed hoc eſt eſſe intenſum, vt conſtat,
igitur impetus remiſſus producit intenſum; quod eſt paradoxon egre­
gium.
Theorema 59.
Hinc etiam impetus intenſus producit remiſſum, cum ſcilicet minor globus
in maiorem incidit; quia ſcilicet pauciores partes impetus diſtribuun­
tur pluribus partibus ſubiecti; igitur quælibet ſubiecti pauciores impe­
tus habet; quæ omnia conſtant ex dictis.
1
Scholium.
Obſeruabis primò, ſingularem impetus proprietatem, quæ alijs qua­
litatibus minimè competit; nam aliæ qualitates v. g. calor; lumen in
eadem diſtantia effectum ſemper æquè intenſum producunt; ſecus verò
impetus, qui pro maiori vel minori obice maiorem, vel minorem, hoc
eſt intenſiorem, vel remiſſiorem impetum in eadem diſtantia producit;
cuius ratio ex eo capite petitur; quòd impetus agat tantùm ad extra
propter ſuum effectum ad intra, vt ſcilicet tollat impedimentum; igi­
tur in totum, quod impedit, agit; igitur non habet certam, & deter­
minatam ſphæram; cum tantùm agat in obicem, ſiue ſit maior, ſiue
minor: Quia verò eſt cauſa neceſſaria, æqualem effectum producit, id
eſt tot partes impetus in maiore, quot in minore, ergo, cum in mino­
re ſint pauciores partes ſubiecti, & plures in maiore; haud dubiè quæli­
bet pars minoris habebit plures partes effectus, & quælibet pars maio­
ris pauciores; igitur effectus erit intenſior in minore, & remiſſior in
maiore.
Prætereà, cum dixi omnes partes mobilis actione communi agere ad
extra; ita primò intelligi debet, vt omnes illæ partes moueantur: ſecun­
dò, vt linea motus, ſeu directionis per centra grauitatis vtriuſque glo­
bi v, g. ducatur; alioquin, vel omnes actione communi non agunt, vel
minus agunt, de quo infrà; ſufficit verò iuxta præſens inſtitutum, vt
globus ita impellat alium vel æqualem, vel inæqualem, vt linea dire­
ctionis ducatur per centrum grauitatis alterius; vide figuram. in qua
linea directionis eſt DE.
Theorema 60.
Impetus globi impacti in alium globum eo modo, quo diximus, id est, linea
directionis ducta per centra grauitatis vtriuſque producit in eo æqualem; Pro­
batur, quia impetus eſt cauſa neceſſaria, quæ tunc agit quantum poteſt
per Th. 57. ſed æqualis poteſt producere æqualem: Probatur primò,
exemplo aliarum qualitatum; ſecundò, quia ideo agit vt tollat impedi­
mentum, hoc eſt vt corpus illud amoueat loco; igitur æquali motu per
ſe; alioquin niſi æquali motu amoueret, non tolleret impedimentum,
vt pater; tertiò ſint 30. partes impetus, certè vel producent plures vel
pauciores, vel totidem, non plures; cur enim potius 31. quam 32.
nec etiam pauciores; cur enim potius 20. quam 18, &c. Igitur totidem;
quia cum ſint plures numeri plurium partium ſupra 30. & pauciorum
infra vt patet; ſitque tantùm vnicus numerus æqualium; certè quod
vnum eſt, determinatum eſt, per Ax. 5. hæc ratio licèt videatur negati­
ua eſt tamen potentiſſima: quartò, quia actus ſecundus, reſpondet actui
primo, id eſt, effectus productus virtuti cauſæ producentis; itaque cum
virtus agendi impetus ſit eius entitas, vt patet, certè impetus productus
eſt per ſe æqualis impetui producenti per ſe; id eſt remoto omni
impedimento, & facto eo contactu iuxta modum prædictum, ea quo-
1que lege, vt impetus agat quantum poteſt, & omnes partes mobilis
moueantur æquali motu.
Corollarium 1.
Hinc reijcis illos, qui volunt à globo æquali produci in æquali ſub­
duplum impetum; in ſubduplo ſubtriplum; in ſubquadruplo ſubquin­
tuplum; ratio illorum eſt; quia duo globi æquales inſtanti contactus
perinde ſe habent, atque ſi conflarent vnum corpus; ſed ſi conflarent
vnum corpus quilibet ſubduplum impetum haberet; ſi verò globus cum
alio ſubduplo faceret vnum mobile; haud dubiè minor, id eſt, ſubduplus
haberet tantùm ſubtriplum impetum; atque ita deinceps; hoc totum
falſiſſimum eſt; nam primò ſi globus æqualis acciperet tantùm ſubdu­
plum impetum ab alio, ſubduplo tantùm motu ferretur; igitur ſubdu­
plum ſpatium decurreret, quod eſt contra experientiam, & Th. 47. Se­
cundò, ratio propoſita nulla eſt; quia quando globus impactus impellit
alium, eſt veluti potentiâ, quæ cum tota ſua vi, & cum impetu agit,
cuius nulla pars transfertur in alium globum; nec enim migrat de
de ſubiecto in ſubiectum, ſed producit ſibi æqualem: equidem ſi duo
globi æquales eſſent vel coniuncti, vel contigui in linea directionis,
quilibet pro rata acciperet impetus producti partem à potentia applica­
ta; ſi eſſent æquales, quiſque ſubduplum: ſi alter ſubduplus ſubtri­
plum, &c. ſed hæc ſunt ſatis facilia.
Obijci fortè poſſet ab aliquo primò experientia; videmus enim ſæpè
globum impulſum in ludo Tudiculario moueri tardiùs globo impellen­
te; reſpondeo id ſæpè accidere; tùm quia linea directionis non connec­
tit centra vtriuſque globi; igitur minor eſt ictus per Th 52. tùm quia
globus impellens, vel impulſus deficiunt à perfecta ſphæra; tùm quia
non eſt perfecta æqualitas globorum; adde quod quò accuratiùs prædi­
ctæ leges obſeruantur, ipſi motus ad æqualitatem propiùs accedunt, vt
conſtat experientia.
Obiici poſſet ſecundò deſtrui aliquid impetus globi impellentis ab ipſo
ictu, vt conſtat experientia; igitur illa pars impetus, quæ deſtruitur, non
producit nouum impetum in globo impulſo; Reſpondeo deſtrui quidem
aliquid impetus in globo impacto, vt videbimus infrà; cum tamen de­
ſtruatur tantùm ſequenti poſt ictum inſtanti; certè cum exiſtat adhuc
ipſo inſtanti contactus, neceſſariò agit, quippe aliquid vltimo inſtanti
poteſt agere; adde quod illud ipſum repugnat manifeſtæ experientiæ;
licèt enim aliquando deſtruatur totus impetus in globo impacto, quod
ſæpè accidit in ludo Tudiculario, nam illicò ſiſtit pila eburnea; alius
tamen globus velociter mouetur, cuius effectus rationem infrà addu­
cemus.
Obijci poſſet tertiò inde ſequi progreſſum in infinitum, nam globus
A impactus in globum B impellet cum æquali motu, & B in C etiam
æquali, C in D, atque ita deinceps; modò illi globi ita ſtatuantur, vt
linea directionis per omnium centra rectà ducatur; Reſpondeo, vel il-
1los omnes globos ita eſſe contiguos, vt mutuo contactu ſe inuicem tan­
gant; vel aliquod ſpatium inter ſingulos intercipi; ſi primum, produci­
tur impetus à potentia motrice in omnibus, ſi ſufficiens eſt; non verò
vnus globus in alio, vt conſtat; ſicut duo pondera ſimul attollo, quorum
vnum alteri incumbit: ſi verò non ſe tangant, dico antequam A im­
pingatur in B, dum ſpatium illud interiectum percurrit, amittere aliquid
impetus: idem dico de B, & C, vnde ſi nihil impetus in eo primo motu
periret & linea directionis omnium centra perfectè connecteret; ita vt
omnium ictus illi omnino ſine vlla deflexione reſponderent; haud du­
biè non poſſent eſſe tot globi, quin poſſet alius addi, qui ab vltimo
pelleretur; ſed vix illa omnia de quibus ſuprà poſſunt obſeruari; Hinc
tamen facilè vna pars aëris aliam pellit, quod diſtinctè videmus in
aqua; ſed de his aliàs, ſufficiat modò propoſitam obiectionem inde
manere ſolutam.
Theorema 61.
Globus maior impactus in minorem imprimit illi intenſiorem impetum, &
velociorem motum per Th. 48. & 47. Nec eſt quod aliqui opponant Prin­
cipium illud mechanicum; id eſt, nullum corpus poſſe maiorem veloci­
tatis gradum alteri corpori imprimere; eo ſcilicet gradu, quem ipſum
habet; nec enim inuenio Principium illud apud eos Mechanicos, qui
mechanica momenta ſuarum demonſtrationum momentis confirmant;
quî porro fieri poteſt, vt principium illud admittatur, quod manifeſtæ
experientiæ repugnat? Quis enim non vidit vel maius ſaxum in aliud
etiam tardo motu impactum maiorem motum, & impetum imprimere?
quis non vidit maiores illas onerarias naues etiam pigro, & tardo motu
labentes maximum impetum minori occurrenti cymbæ etiam impri­
mere? Rationem habes in Th. 47. ſed dices; igitur aliquis velocitatis
gradus nullam habet cauſam; igitur eſt à nihilo, quod dici non poteſt.
Reſpondeo, plures partes impetus non produci in minore globo, quàm
ſint in maiore; igitur nulla pars eſt impetus minoris globi, quæ ſui
cauſam ſufficientem non habeat; ſed cum partes impetus maioris globi
diſtribuantur pluribus partibus ſubiecti, faciunt remiſſum impetum, igi­
tur & tardum; cum ſcilicet impetus vnius partis non iuuet motum alte­
rius per Th. 37. at verò cum partes impetus producti in minore globo
diſtribuantur paucioribus partibus ſubiecti, faciunt intenſiorem im­
petum; igitur velociorem motum, quippe omnes producuntur ab
omnibus illis actione communi per Ax. 17. num. 1. quid clarius.
Theorema 62.
Globus minor imprimit maiori remiſſiorem impetum & tardiorem motum
& æqualis, æquali æqualem; hæc omnia probantur per Th. 60. & præ-,
cedentia.
1
Scholium.
Obſeruabis primò, vtrumque globum eſſe eiuſdem materiæ; ſi enim
ſint diuerſæ materiæ, ſecùs accidit, quàm diximus; ſi v. g. æneus mi­
nor pellatur ab eburneo maiore, maiorem motum hic illi non impri­
met; licèt enim ſit maior extenſio eburnei; eſt tamen minus pondus;
igitur pauciores partes.
Secundò, eos globos accipiendos eſſe, quorum partes, vel non auo­
lent ab ictu, vel non comprimantur; comprimuntur in plumbeis,
æneis, & auolant in vitreis; cum enim ſit compreſſio, vel partium di­
uiſio, deſtruitur multùm impetus.
Tertiò reiice commentum illorum, qui dicunt corpus illud eſſe ma­
joris velocitatis capax, quod plures habet partes materiæ ſub eadem
quantitate; nam ſuppoſita eadem reſiſtentiæ ratione, omne corpus eſt
capax illius velocitatis, cuius aliud eſt capax; cum nullus ſit motus, quo
non poſſit dari velocior, & tardior, vt dicemus infrà; immò ſit glo­
bus plumbeus 12. librarum, ſit eburneus eiuſdem diametri 2. librarum,
v. g. haud dubiè eadem potentia producet intenſiorem impetum in
eburneo, vt patet experientia, & ratio conſtat ex dictis; quaſi verò ſit
aliqua materiæ inertia, quæ motum reſpuat; licèt fortè maior ſit pro­
portio reſiſtentiæ medij comparatæ cum globo eburneo, quàm compa­
ratæ cum plumbeo; ſed de reſiſtentia de percuſſione, & de ſpatio age­
mus infra.
Theorema 63.
Omnis globus, qui in alium, qui mouetur impingitur, dum hic mouetur, ve­
lociùs mouetur eo &c. in quem impingitur patet; alioquin numquam aſſequi
poſſet, quod ex ipſis terminis conſtat.
Theorema 64.
Ex hac hypotheſi globus impactus producit in alie nouas partes impetus;
quia impeditur eius motus, igitur vt tollat impedimentum, agit ad
extra per Th. 44.
Theorema 65.
Hic impetus nouus productus minor eſt eo qui produceretur in eodem globo
immobili: ratio eſt; quia ſi ſiſteret, maius eſſet impedimentum, quia
totum motum impediret, cuius tantùm partem impedit, dum mouetur ,
licèt paulò tardius; igitur minus agit ad extra per Th. 49.
Theorema 66.
Mobile adhærens alteri mobili à tergo; dum vtrumque æque velociter
feratur nullum producit in eo impetum. Probatur, quia mobile quod præit,
non impedit motum ſubſequentis; igitur nullum impetum ab eo acci
pit per Th. 48.
1
Theorema 67.
Hinc paradoxon egregium ſi quod aliud; globus percuſſus ab alio eadem
ſemper velocitate mouetur, ſiue moueretur inſtanti percuſſionis, ſiue ſi­
ſteret. v. g. ſit globus A quieſcens, cui imprimantur ab alio B 40. gra­
dus velocitatis: id eſt æqualis impetus impetui percutientis, iam verò
moueatur A, cum 20. grad. velocitatis, & B, qui mouetur cum 40.
impingatur, certè cum impediatur tantùm ſubduplum motus, produce­
tur tantùm ſubduplum impetus, id eſt 20. qui ſi addantur 20. grad. erunt
40. quæ omnia conſtant per Th.49.48.&c.
Corollarium 1.
Hinc æquale ſemper ſpatium percuſſus globus conficit, ſiue ante per­
cuſſionem moueretur, ſiue quieſceret.
Corollarium 2.
Hinc ſi ſecundò percutiatur idem globus, ſpatium totum, quod per­
currit tùm à primò, tùm à ſecundo ictu eſt maius eo, quod à primo ictu
confeciſſet, ſi non fuiſſet ſecundò percuſſus; maius inquam ſegmento ſpa­
tij interiecto inter primum & ſecundum ictum.
Corollarium 3.
Hinc reiicies aliquos, quorum ſententiam habes apud Doctum Mer­
ſennium, in prop. 20. phæn. mech. quorum ſunt hæc verba; ſi malleus pilam
currentem eodem, ac anteà modo percutiat, nonam ſui motus partem; ſi verò
currentem tertia vice percutiat, vnam vigeſimam ſeptimam ſui motus par­
tem ei tribuet, atque ita deinceps. Supponit primò hæc ſententia mal­
leum eſſe duplum pilæ percuſſæ. Secundò, malleum imprimere pilæ ſub­
duplæ ſubtriplum motum; quod falſum eſt, vt conſtat ex Th 6. & Co­
roll. 1. Præterea, licètin primà percuſſione imprimeret tantùm prædi­
ctæ pilæ ſubtriplum impetum, in ſecunda percuſſione maiorem impri­
meret poſt longiorem motum, vbi iam ad quietem propiùs accedit; mi­
norem verò paulò poſt initium motus, vt conſtat ex dictis, & ex ipſa ex­
perientia; poteſt quidem in aliquo puncto ſui motus ſecunda vice per­
cuti, in quo ſubtriplum tantùm motum imprimet; hoc eſt eo inſtanti­
quo tantùm amiſit tertiam fui impetus partem; tum deinde in tertia
percuſſione poteſt tantùm (1/27) motus partem illi tribuere; eo ſcilicet in­
ſtanti, quo tantùm amiſit (1/27) ſui impetus partem; ſed in alijs temporis
punctis longè alia erit impetus producti ratio; Igitur tota hæc progreſ­
ſio gratis omninò fuit excogitata.
Corollarium 4.
Hinc etiam poſt ſecundam percuſſionem æquale ſpatium conficiet al­
teri, quod iam confecit poſt primam æqualibus temporibus; igitur æqua­
lis eſt velocitas vtriuſque motus; quia ſcilicet, ſi eſt æqualis impetus, eſt
qualis motus: Ex his maximam carum dubitationum partem ſoluere po­
teris quæ in eadem Merſenni propoſitione courinentur reliquas vero ex
dicendis infrà.
1
Corollarium 5.
Ex dictis etiam colliges diuerſas percuſſionum rationes ſuppoſita di­
uerſa ratione ponderum globi percutientis, & percuſſi; cum enim impe­
tus productus ſit æqualis per ſe impetui producenti, per Th.60. modò
debita fiat applicatio, de qua in Th.50. ſi percutiens ſit duplus percuſſi,
ſuppoſita eadem materia, motus percuſſi erit duplò velocior; quia im­
petus erit duplò intenſior, vt conſtat ex Th. 61. ſi verò ſit quadruplus,
quadruplo, &c. Igitur velocitates motuum ſunt in ratiòne ponderum
permutando.
Theorema 68.
Si corpus percuſſum ſit oblongum, & percuſſio fiat in centro grauitatis eiuſ­
dem corporis; producitur impetus in percuſſio æqualis impetui percutientis; ſed
opus eſt aliqua figura: Sit corpus AD, parallelipedum; diuidatur æqua­
liter in E ita vt E ſit centrum grauitatis; ſi percuſſio fiatin E per lineam
perpendicularem HE, producetur impetus in corpore AD æqualis im­
petui corporis percutientis; quia ſcilicet à corpore AD non poteſt maius
eſſe impedimentum; igitur agit quantùm poteſt impetus corporis per­
cutientis per Th.50. igitur producit æqualem per Th.69.
Theorema 69.
Si percuſſio fiat in F per lineam perpendicularem IF, minus erit impedi­
mentum, quàm per HE, Quia ſi per HE, moueri tantùm poteſt motu
recto, ſi per IF, etiam motu circulari circa aliquod centrum; ſed hic
motus eſt facilior quam ille; igitur minus eſt impedimentum; (ſuppono
autem cylindrum BC vtroque modo moueri poſſe ab applicata potentia)
igitur minùs impetus producitur, ſi percuſſio fiat per IF, quàm ſi fiat
per LK: In qua verò proportione ſit minus impedimentum, & minori
opus impetu, poſito eodem potentiæ niſu, determinabimus facilè aliàs;
vt etiam demonſtrabimus circa quod centrum hic circularis motus fieri
debeat.
Scholium.
Ex duobus capitibus minus eſſe poteſt impedimentum; primum eſt,
quod petitur à puncto contactus, ſecundum à linea incidentiæ; v. g. ſi
accipiatur punctum E, in quo eſt centrum grauitatis corporis AD, & in
eo fiat percuſſio; maximum eſt impedimentum ratione puncti conta­
ctus, in quo fit percuſſio; ſi verò percuſſio fiat per lineam perpendicu­
larem HE, maximum eſt impedimentum, ratione lineæ; ſi autem ex
vtroque capite ſimul accidat impedimentum, maximum eſt omnium;
iam verò ſi accipiatur punctum E, & linea percuſsionis ME; minor eſt
percuſsio ratione lineæ non puncti; accipiatur punctum N, & linea
percuſsionis MN, minor eſt percuſsio ratione puncti non lineæ, acci­
piatur punctum N, & linea IN, minor eſt percuſsio ratione vtriuſque;
ſi demum accipiatur punctum E, & linea ME, minor eſt percuſsio ra­
1tione lineæ non puncti; accipiatur punctum N linea percuſſionis MN,
minor eſt percuſſio ratione puncti non lineæ; ſi accipiatur punctum N,
& linea IN, minor eſt percuſſio ratione vtriuſque: ſi demum accipia­
tur punctum E & linea HE, maior eſt percuſſio ratione vtriuſque; igi­
tur ſunt quatuor coniugationes; ſeu quatuor claſſes diuerſarum percuſ­
ſionum.
Hinc compenſari poteſt ratione vnius quod deeſt ratione alterius,
v. g. ſi fiat percuſſio in puncto E per lineam ME, poteſt ſciri punctum
inter ED, in quo percuſſio per lineam perpendicularem ſit æqualis
percuſſioni per lineam ME; ſed de his infrà in lib. 10. cum de percuſ­
ſione, determinabimus enim vnde proportiones iſtæ petendæ ſint, &
demonſtrabimus totam iſtam rem, quæ multùm curioſitatis habet, &
vtilitatis.
Determinabimus etiam dato puncto percuſſionis F v.g. cum ſequatur
motus vectis, quodnam ſit centrum vectis ſeu huius motus.
Hinc demum ſequitur, ne hoc omittam, data minimâ percuſſione per
lineam MN dari poſſe adhuc minorem per lineam IN, & alias incli­
natas; & data percuſſione per lineam quantumuis inclinatam, poſſe da­
ri æqualem per lineam perpendicularem; & data per lineam perpendi­
cularem extra centrum grauitatis E, poſſe dari æqualem; & in qualibet
data ratione per aliquam inclinatam, quæ cadat in E, ſed de his fusè
ſuo loco.
Theorema 70.
Corpus oblongum parallelipedum percutiens aliud corpus, putà globum̨,
motu recto per lineam directionis, quæ producta à puncto contactus ducitur per
centrum globi, dum fiat contactus in centro grauitatis parallelipedi, maximum
ictum infligit, ſeu agit quantùm poteſt. v. g. ſit parallelipedum EB; quod
moueatur motu recto parallelo, lineis CD, HG, &c. ſitque globus in
D; haud dubiè agit quantùm poteſt, quia ſcilicet eſt maximum impedi­
mentum per Th.68. Tam enim globus in D impedit motum paralleli­
pedi, quàm parallelipedum motum globi impacti per lineam ID; impedit
inquam ratione oppoſitionis; quia centra grauitatis vtriuſque con­
currunt in eadem linea; igitur ſi maximum eſt impedimentum, agit
quantùm poteſt Th. 50. hinc producitur impetus æqualis per Th.60.
Theorema 71.
Si percuſſio fiat in G, id eſt ſi globus eſſet in G, producetur minor impetus,
& in M adhuc minor; vt conſtat ex dictis in ſuperioribus Theorematis;
in qua vero proportione determinabimus aliàs.
Theorema 72.
Si corpus percutiens non ſit parallelipedum, ſed alterius figuræ v.g. trigo­
non, ADE, ſitque maioris facilitatis gratia Orthonium; eiuſque motus
ſit parallelus lineis ED, BC: ſit autem DA dupla DE; ſitque diuiſa to­
ta DA æqualiter in C, in C non erit maximus ictus; quia in C non
1eſt centrum grauitatis, vt patet; vt autem habeatur centrum impreſſio­
nis; aſſumatur AN media proportionalis inter totam AD, & ſubdu­
plum AC; certè cum triangulum ANO ſit ſubduplum totius ADE,
vt conſtat ex Geometria, & æquale trapezo ND EO; erit impetus in
vtroque æqualis; igitur in N erit centrum impreſſionis, vel impetus; vt
autem habeatur centrum percuſſionis; in quo ſcilicet maximus ictus in­
fligitur, inueniatur centrum grauitatis H, ducaturque KHI parallela
DE, centrum percuſſionis erit in I; quippe in I totus impeditur impetus
grauitatis vtrimque, cum ſit in æquilibrio; quomodo verò inueniatur
punctum H facilè habetur ex Archimede, ductis ſcilicet AF, DB, quæ
diuidant bifariam æqualiter DE, EA; vel aſſumpta AI dupla ID, quod
demonſtrabimus in Mechan.
Theorema 37.
Si circa centrum immobile rotetur corpus parallelipedum CA, diuerſa eſt
ratio percuſſionum ab ea, quàm ſuprà propoſuimus; moueatur enim circa
centrum C, fitque CA diuiſa bifariam in B, haud dubiè punctum A
faciet arcum AE eo tempore, quò punctum B faciet BD ſubduplum
AE; igitur punctum A duplò velociùs mouetur quàm B, vt conſtat; igi­
tur habet duplò maiorem impetum; cum effectum habeat duplò maio­
rem per Ax. 13. n. 4. igitur cum totus motus ſegmenti AB ſit ad to­
tum motum ſegmenti BC, vt ſpatia acquiſita; certè ſpatia acquiſita
ſunt vt arcus; igitur & trapezus BAED, continet 3/4 totius CAE, vt
conſtat; ſunt enim ſectores ſimilis in ratione duplicata radiorum; igi­
tur totus motus ſegmenti BC ſubquadruplus motus totius CA; igitur
& impetus; vt autem habeatur centrum impreſſionis, vel impetus; ſit ſe­
ctor CHI, ſubduplus totius CAE quod quomodo fiat, patet ex Geo­
metria; accipiatur tantùm ſubdupla diagonalis quadrati lateris CA, igi­
tur in puncto H eſt centrum impreſſionis, ſeu media proportionalis in­
ter totam CA, & ſubduplam CB: vt autem habeatur percuſſionis, aſ­
ſumatur CY dupla YA; Dico punctum Y eſſe centrum percuſſionis;
quia perinde ſe habet, atque ſi eſſet trianguli cadentis ictus, vt demon­
ſtrabimus aliàs nunc tantùm indicaſſe ſufficiat.
Corollarium 1.
Hinc etiam ſoluetur, quod proponunt aliqui; ſeu potiùs quærunt;
in quà ſcilicet parte maiorem ictum infligat enſis; ſi enim ſit eiuſdem
craſſitiei in omnibus ſuis partibus, idem dicendum eſt quod de cylin­
dro CA; ſi verò in mucronem deſinat, inueniemus etiam centrum
percuſſionis.
Corollarium 2.
Huc etiam reuoca clauarum ictus, vel aliorum corporum, quæ ad in­
ſtar ſeu conorum, ſeu pyramidum verſus mucronem maiora ſunt, vel
denſiora; quippe ex iacto ſuprà principio iſtorum omnium effectuum
rationes demonſtrabimus.
1
Corollarium 1.
Colligemus etiam quid dicendum ſit de malleorum ictu; ſit enim
malleus F æqualis malleo G (in his vna fere manubrij longitudinis ha­
betur ratio) ducatur arcus NM, itemque OG; ictus mallei G eſt ferè
ſubduplus alterius, dum vterque malleus ſit æqualis; dixi ferè, quia
motus totius mallei G non eſt omninò ſubduplus motus mallei F, quia
ſcilicet trapezus OD eſt minor ſubduplo alterius NE; quotâ vero parte
ſit minor facilè poteſt ſciri opera Geometriæ: ſed hæc omnia determi­
nabimus.
Theorema 74.
Si daretur potentia motrix, quæ ſemper agere poſſet, impetus poſſet intendi
in infinitum; pater, quia quocumque dato motu poteſt dari velocior in
infinitum; igitur poteſt dari impetus intenſior, & intenſior in infinitum.
Scholium.
Hîc obſerua nouum diſcrimen, quod intercedit inter impetum, &
alias qualitates; quæ fortè non poſſunt intendi in infinitum, ratio diſ­
criminis eſt, quia totus calor extenſus in maiore ſubiecto non poteſt
produci in minore, in quo eadem cauſa eumdem ſemper effectum pro­
ducit; quia ſcilicet agit vniformiter difformiter; at verò impetus exten­
ſus in magno denſoque malleo poteſt producere æqualem in maximâ
ferè pilâ.
Theorema 75.
Impetus ſimilis, id eſt, ad eandem lineam determinatus, & æqualis in in­
tenſione, non poteſt intendere alium ſimilem; Probatur, quia agit tantùm ad
extra, vt tollat impedimentum per Th. 44. ſed eorum mobilium, quæ
verſus eandem partem pari velocitate mouentur, neutrum impedit al­
terius motum, vt conſtat; igitur impetus ſimilis, &c.
Scholium.
Obſerua de impetu ſimili id tantùm dici; ſimili inquam id eſt non
modò eiuſdem intenſionis; ſed etiam eiuſdem lineæ: ſi enim alterum
deſit, haud dubiè ſimilis impetus non eſt; ſic impetus quatuor grad. in­
tendere poteſt impetum duorum graduum; licèt vterque ad eandem li­
neam ſit determinatus; ſi verò ad diuerſas lineas determinentur; etiam
impetus vt duo poteſt intendere impetum vt quatuor.
Obſeruabis præterea hoc Theorema ita eſſe intelligendum, vt impe­
tus mobilis præeuntis nullo modo impediatur; alioquin mobile ſucce­
dens omninò aliud vrgeret, vt conſtat.
Corollarium.
Hinc ſimile poteſt in aliquo caſu agere in ſimile; vnde rectè colligo
id tantùm dictum eſſe ab Ariſtotele de qualitatibus alteratiuis; quid
verò accidat, cum mobile graue mobili alteri ſuperponitur; dicemus
infrà.
1
Theorema 76.
Extenſio impetus respondet extentioni ſui ſubiecti, ſcilicet mobilis; cum
enim extra ſubjectum eſſe non poſſit, cum ſit qualitas; certè ibi eſt, vbi
ſubjectum eſt; nam penetratur accidens cum ipſo ſubjecto.
Scolium.
Obſeruabis qualitatem omnem ita ſuo ſubjecto coëxtendi, vt æqua­
lem omnino quodlibet eius punctum, ſeu pars extentionem habeat ex­
tentioni puncti, ſeu partis ſui ſubjecti; nec enim aliud eſt, vnde poſſit
determinari extentio qualitatum, præter ipſam extenſionem ſubjecti;
quod maximè in impetu videre eſt, cuius partes in mobili denſo minori
extentioni ſubjacent, quàm in mobili raro; cum ex maiore ictu ſeu per­
cuſſione in mobili denſo plures impetus agentis partes eſſe conſtet; quia
ſcilicet ſunt plures partes ſubiecti.
Theorema 77.
Datur impetus altero impetu perfectior ſecundum entitatem; dixi ſecun­
dum entitatem; quia iam dictum eſt ſuprà dari perfectiorem ſecundum
intenſionem; huius Theorematis veritas mihi maximè demonſtranda
eſt, ex quo tàm multa infrà deducemus; ſic autem probamus; Quotieſ­
cunque mouetur corpus, producuntur ſaltem tot partes impetus quot
ſunt partes mobilis per Th. 33. Quotieſcunque producuntur in mobili
tot partes impetus quot ſunt in mobili partes ſubjecti, mouetur mobile,
modó non impediatur; quia poſita cauſa neceſſaria, & non impedita per
Ax. 11. ponitur effectus, quod de omni cauſa, ſed de formali potiſſimum
dici debet; præterea datur aliquod pondus, quod data potentia ſine me­
chanico organo mouere non poteſt, licèt cum organo facilè moueat; hæc
hypotheſis certa eſt; igitur cum mouet, producit tot partes impetus quot
ſunt neceſſariæ, vt omnibus partibus mobilis diſtribuantur per idem Th.
33. cum verò non mouet, non producit tot partes impetus vt conſtat ex
dictis; igitur producit plures cum organo in mobili, quàm ſine organo;
igitur imperfectiores, quod demonſtro: ſit enim vectis BF, cuius cen­
trum ſeu fulcrum ſit in A, potentia in B, pondus G, quod attollitur in F;
plures partes impetus produci poſſunt in F, vel in E, quàm in B, ſcilicet
in ipſo pondere; quia pondus quod non poteſt attolli in B, attollitur in
E, vel in F, vt patet ex dictis; præterea punctum F mouetur tardius, quàm
B; quia motus ſunt vt arcus, arcus vt ſemidiametri, hæ demum vt AF,
ad AB; igitur motus puncti F, eſt tardior, vel imperfectior; igitur im­
petus puncti F, eſt imperfectior impetu puncti B, per Ax. 13 num.4. atqui
non eſt imperfectior ratione numeri partium, igitur ratione entitatis,
quæ imperfectior eſt; igitur datur impetus altero impetu imperfectior.
Scholium.
Obſeruabis primò multa hîc ſupponi ſeu deſiderari, quæ pertinent
ad propagationem impetus, de quibus infrà; Secundò hoc Theorema
1per Axioma illud Metaph. probari, Data quacumque creatura dari potest
perfectior, vel imperfectior.
Tertiò, ſi dato quocunque motu poteſt dari tardior: igitur dato quo­
cunque impetu poteſt dari imperfectior.
Quartò, ſi daretur punctum impetus in intenſione: non poſſet dari
motus tardior in infinitum ſine diuerſis gradibus perfectionis.
Quintò, ſine hac diuerſa impetus perfectione non poſſet explicari
productio continua impetus, quæ ſit temporibus inæqualibus, neque de­
ſtructio eiuſdem impetus; nec motus in diuerſis planis inclinatis, vel in­
diuerſis lineis citra perpendicularem, ſed de his omnibus ſuo loco.
Sextò, Denique ratio propoſita rem iſtam euincit; cum enim in motu
vectis plures partes producantur verſus centrum, ſcilicet, in maiori pon­
dere, quod attollitur; & cum hæ habeant motum tardiorem, ſequitur ne­
ceſſariò eſſe imperfectiores.
Theorema 78.
Dato quocumque impetu dari poteſt imperfectior, & imperfectior, quia da­
to quocumque motu dari poteſt tardior, ergo dato quocumque impetu
imperfectior.
Theorema 79.
Non poteſt explicari tarditas motus ſine diuerſa perfectione impetus, per
pauciores ſcilicet eiuſdem impetus partes. Primò, quia cum retardari poſſit
hic motus, & deſtrui ſucceſſinè hic impetus; cumque inſtantia motus
velocioris ſint breuiora; certè initio motus, breuiori ſcilicet tempore
imperfectior impetus deſtrui tantùm poteſt; cum enim æqualis æquali­
bus temporibus; certè inæqualis inæqualibus. Secundò quia vix explica­
ri poreſt quomodo duæ formæ homogeneæ in eodem ſubiecti puncto
exiſtere poſſint, quod etiam in commune eſt calori, lumini, &c.
Theorema 80.
Cum applicatur potentia centro vectis, non producitur æqualis impetus ver­
ſus circumferentiam in omnibus partibus, ſed maior verſus eandem circumfe­
rentiam, quia eſt maior motus.
Corollarium 1.
Hinc difficiliùs attollitur pertica CA ex puncto C motu circulari,
quàm ex puncto B motu recto; quia ſcilicet, cum motu recto ex puncto B
attollitur, omnes partes mouentur motu æquali; igitur impetus æqualiter
omnibus diſtribuitur; igitur modò producantur tot partes impetus, quot
ſunt partes in mobili; haud dubiè attolletur: at verò, cum motu circulari
ex puncto C attollitur, omnes partes inæquali motu attolluntur; igitur
plures ſunt neceſſariæ, vt attollatur motu circulari; igitur difficiliùs iuxta
experimentum; adde quod cum applicatur potentia in C, punctum A,
maius momentum habet, de quo aùàs.
Corollarium 2.
Hinc ratio euidens illius experimenti, quo manifeſtè conſtat perti-
1cam CA, ex A, facilius attolli motu recto, quàm circulari; cum ſci­
licet cuiuſdam quaſi reflexionis opera eodem tempore vtraque extremi­
tas æquali motu attollitur.
Theorema 81.
Fig.7.
Tab.1.
Si verò applicetur potentia extra centrum vectis v. g. in F, poſito centro in
A, producitur impetus minor ab F, verſus A; ab verò verſus E, producitur
eiuſdem perfectionis proportionaliter, cuius eſt ab F, verſus A; denique ab E,
verſus B, producitur quidem vnum punctum, vel vnus gradus impetus
eiuſdem perfectionis cum eo, qui productus eſt in F, & in E (ſupponi­
tur enim ex. gr. vnus tantùm gradus in F, & in E, productus) at verò
producuntur alij imperfectiones. v.g. in D, præter æquè perfectum pro­
ducuntur 3. alij adæquantes perfectionem prioris; in C verò, præter 4.
ſimiles ijs, qui ſunt in D, producuntur 5. alij adæquantes prioris perfe­
ctionem in B7; atque ita deinceps per numeros impares, & quadrata,
nullus tamen producitur perfectioris entitatis.
Theorema 82.
Determinatur hæc diuerſa perfectio impetus à diuerſa perfectione motus,
quatenus fit tali modo; quæ non poteſt explicari per impetum remiſſio­
rem, vel intenſiorem; nam cum ſit tantùm impetus inſtitutus propter
motum; certè ille tantùm impetus produci poteſt, ex quo poteſt ſequi
motus; igitur ſi tali tantùm motu data pars mobilis moueri poteſt; haud
dubiè talis tantùm impetus, ex quo ſequitur talis motus, in ea produ­
cetur, & tali modo.
Theorema 83.
Perfectio impetus non petitur tantùm à perfectione motus ſi conſideretur
ſeorſim entitas eiuſdem impetus; ſed debet comparari tota collectio omnium̨
partium impetus, quæ inſunt datæ parti ſubiecti, cum tota collectione partium
quæ alteri parti mobilis inſunt; quippe plures partes impetus poſſunt ha­
bere eum motum, vel potius eam motus perfectionem, quam pauciores
haberent; igitur perfectio illarum eſt ab ipſo motu, quatenus cum ipſo
partium numero comparatur.
Theorema 84.
Impetus perfectus producere poteſt imperfectum; patet in vecte; nam po­
tentia, ſen pondus extremitati appenſum producit in ſe impetum, à quo
deinde impetus in toto vecte producitur per Th.42. ſed impetus pon­
deris appenſi eſt eiuſdem perfectionis cum impetu producto in ipſa ve­
ctis extremitate, ex qua pendet; cum ſit vtriuſque æqualis motus; ſed
verſus centrum eiuſdem vectis producitur impetus imperfectior per
Th.82. igitur imperfectus à perfecto producitur.
Theorema 85.
Impetus perfectus nunquam producitur ab imperfecto, per Ax. 3. num. 2.
adde quod nunquam effectus perfectio ſuperat perfectionem cauſæ; dixi
perfectum ab imperfecto; ſcilicet ſi conſideretur perfectio ratione en-
1titatis; cum reuerâ, vt dictum eſt ſuprà, remiſſus producat intenſum,
quod in vecte clariſſimum eſt; quippe momentum applicatum in F, quod
tardiùs mouetur deorſum, quàm B, ſurſum, vt patet, habet impetum re­
miſſiorem, qui tamen producit in B, intenſiorem: Pro quo, obſeruabis
impetum imperfectum cum alio perfecto actione communi agentem
poſſe concurrere ad producendum perfectum, vt patet; non tamen in
ratione cauſæ totalis: ſimiliter plures imperfecti ſimul concurrentes
poſſunt producere perfectum; quia plures imperfecti conjunctim adæ­
quant perfectionem alterius perfectioris ſinguli ſeorſim.
Obſeruabis ſecundò præclarum naturæ inſtitutum, quo factum eſt;
vt cum vires hominum maiora pondera leuare non poſſint, ſi ſeorſun
conſiderentur; cum organis tamen mechanicis conjunctæ nullum pon­
dus quantumuis immane leuare non poſſint; quod certè nullo modo ac­
cideret, niſi plures partes impetus producerent neque plures producere
poſſent, niſi minoris perfectionis eſſent; quia faciliùs producitur effe­
ctus imperfectus, quam perfectus per Ax. 13.num.4.
Tertiò hinc optimè à natura prouiſum eſt, vt motus tardior in infi­
nitum eſſe poſſit; quod reuerâ fieri non poſſet, niſi dari poſſet impetus
alio imperfectior.
Quartò, hinc quoque benè explicatur diuerſitas impetus, quæ oritur
tum à diuerſo medio, tùm à plano inclinato, tùm ab aliis impedimentis,
tùm à diuerſo niſu eiuſdem potentiæ, tùm maximè à diuerſo applicatio­
nis modo; de quibus aliàs.
Quintò, ſi potentia applicata mobili immediatè illud moueat motu
recto, vel in ſingulis punctis mobilis producitur vnum punctum impe­
tus, vel plura; ſi primum, erit primus tantùm gradus maximæ perfectio­
nis; ita vt perfectiorem producere non poſſit, ad quem eſt determinata
potentia; imperfectiorem tamen impetu innato, de quo infrà; ſi verò
ſecundum, producet in ſingulis partibus eundem gradum perfectiſſi­
mum cum aliis pluribus, vel paucioribus heterogeneis, & imperfectio­
ribus.
Theorema 86.
Potentia naturalis grauium producit tantùm vno inſtanti ad intra vnicum
punctum impetus in quolibet puncto ſubiecti; ſi tamen impetum producit, quod
definiam lib. 20. & ſi dentur puncta ſubiecti, quod ad præſens inſtitutum non
pertinet; Probatur, quia fruſtrà eſſent plura puncta impetus; nec enim
ſunt multiplicandæ formæ ſine neceſſitate, ratione &c. per Ax. 7. & 3.
n. 1. Præterea non eſt, cur potius produceret 2. quàm 3. 4. &c. atqui
quod vnum eſt, determinatum eſt per Ax. 5.
Theorema 87.
Potentia motrix animantium etiam vno inſtanti plura puncta, ſen partes
impetus in eadem parte ſubiecti producere potest; Probatur in proiectis,
quorum impetus aliquando plùs, aliquando minùs durat licèt ſenſim
ſingulis inſtantibus aliquid illius deſtruatur; determinatur autem
1numerus punctorum, ſeu partium ab ea potentia, cui ſubeſt potentia
motrix; quia modò maior eſt niſus, modò minor.
Theorema 88.
Eadem potentia inæqualibus temporibus impetum inæqualem in perfectio­
ne producit; accipiatur enim totum illud tempus, quo vnicum tantùm
punctum impetus producit (vocetur inſtans) de quo in Th. 86; certè
ſi in minori tempore agat, minùs aget, per Ax. 13. num. 4. ſed non
poteſt minùs agere ratione numeri, vt patet; igitur ratione perfectio­
nis.
Scholium.
Obſeruabis ſine hoc Theoremate explicari non poſſe accelerationem
motus naturalis, vel augmentum impetus, vt videbimus.
Theorema 89.
Impetus violenti, qui ſenſim deſtruitur in proiectis, poſitis ijſdem circum­
ſtantiis medij, & reſiſtentiæ, minori tempore minùs deſtruitur; plus verò ma­
jori: Quia hæc deſtructio habet cauſam; nam quidquid deſtruitur, ad
exigentiam alicuius deſtruitur, per Ax. 14. num. 2. igitur minori
tempore minùs deſtruitur per Ax. 13. 4. alioquin totus ſimul debe­
ret deſtrui.
Scholium.
Obſeruabis etiam ſine hoc Theoremate non poſſe explicari deſtru­
ctionem impetus violenti, vt videbimus infrà.
Corollarium 1.
Hinc, quò potentia diutiùs manet applicata (putà malleo) percuſſio ma­
ior eſt.
Corollarium 2.
Hinc, quò impedimentum diutiùs manet applicatum, illa deſtructio
eſt maior.
Corollarium 3.
Hinc præclara eruitur ratio, cur maior lapis, quàm minor impactus
maiorem ictum infligat; licèt tot partes impetus eodem inſtanti produ­
cantur in vno, quot in alio: quia ſcilicet diutiùs manet applicatus po­
tentiæ; ſed hanc rationem explicabimus fusè lib. 10. cum de percuſ­
ſione.
Theorema 90.
Impetus propagatur neceſſariò per totum corpus impulſum, ſeu proiectum.
Probatur; quia cum omnes eius partes moueantur, nec vlla ſine im­
petu moueri poſſit per Th. 18. & 33. cum etiam potentia motrix non
ſit omnibus immediatè applicata, vt conſtat; certè ſine propagatione,
vel diffuſione non poteſt explicari productio huius motus.
1
Scholium.
Obſeruabis propagationem impetus, vel alterius qualitatis eſſe tan­
tùm continuatam eiuſdem productionem, quæ incipit ab ea parte, cui
potentia eſt immediatè applicata, & propagatur, ſeu diffunditur per
omnes alias donec ad vltimam perueniat eo modo, quo iam definio.
Theorema 92.
Illa progatio non fit per motum localem, ita vt pars impetus producta in
prima parte ſubiecti tranſeat ad ſecundam, patet; quia cum impetus ſit ac­
cidens per Th. 8. de ſubiecto in ſubiectum tranſire non poteſt per deff.
accidentis; de qua in Metaphyſicâ; nec eſt quod aliqui dicant ſe non poſſe
concipere, quomodo id fiat ſine motu locali; cum ipſis etiam oculis
quaſi cernatur; cum enim percutis corpus oblongum AE, & cadit ictus
in extremitatem A, corpus ipſum totum ſimul moues; igitur pars impe­
tus, quæ recipitur in A, non migrat in E, ſed hæc producitur in A, &
alia in B, alia in C, atque ita deinceps.
Scholium.
Obſeruabis ex hac propagatione impetus per analogiam rectè om­
ninò explicari propagationem luminis, & aliarum qualitatum, de qui­
bus ſuo loco.
Theorema 92.
In propagatione impetus prima pars A v. g. non producit partem B, &
hæc C; hæc verò D, atque ita deinceps; Probatur. Primò, quia ſi hoc eſſet,
omne corpus poſſet moueri à qualibet potentia; nam modò poſſet pro­
duci vnum punctum impetus, hoc etiam aliud produceret, & hoc aliud,
atque ita deinceps. Secundò, Minimum granum ſuperpoſitum rupi, to­
tam ipſam rupem mouere poſſet. Tertio, Quia vel in omnibus, vel in
nulla parte impetus producitur per Th.33. Quartò, quia impetus mobi­
lis projecti intenderetur; nam impetus vnius partis impetum alterius
intenderet. Quintò, quia impetus partis B, tàm ageret in A, trahendo,
quàm in C pellendo; cum impetus vtroque modo propagetur. Sextò, ſi
applicaretur potentia in C, non video, cur impetus partis C, ageret po­
tius versùs E, quàm versùs A? alioquin eadem pars impetus plures pro­
ducere poſſet; igitur impetus potentiæ motricis ſufficiens erit cauſa ad
producendum totum alium. Septimò, tractionis impetus explicari non
poteſt, ſi impetus vnius partis producat in alia impetum; alioquin dare­
tur mutua actio infinities repetita, vt conſideranti patebit. Octauò, ſi
impetus vnius partis producit in alia; ſint duo globi contigui; igitur il­
le, qui impellit alium, reflecti poſſet, quod nunquam accidit quando
ſunt contigui.
Obſeruabis illud quidem verum eſſe in motu recto, ſecus in circulari;
nam cum cylindrus circa alteram extremitatem vibratus deorſum cadit;
partes, quæ propiùs ad extremitatem immobilem accedunt iuuant mo­
tum aliarum, quæ longiùs ab eadem recedunt.
1
Theorema 93.
Impetus propagatur eodem inſtanti, id eſt, ſine temporis ſucceſſione. Proba­
tur; ſit enim applicata potentia in A, dico ſimul produci impetum in
BCDE; quia ſi primo inſtanti produceretur in A, & ſecundo in B, vel
A moueretur ante B, vel impetus in A eſſet fruſtrà; vtrumque eſt abſur­
dum; nam totum AE, ſimul mouetur.
Theorema 94.
Tribus tantùm modis propagari poteſt impetus ratione intenſionis. Primò
ſi æqualiter omnibus partibus ſubjecti diſtribuatur; id eſt vniformiter.
Secundò, ſi plùs partibus propioribus, & minùs remotioribus. Tertiò, è
contra, ſi plùs remotioribus, & minùs propioribus; tribus etiam ratione
perfectionis eo modo, quo diximus de intenſione; at verò nouem mo­
dis propagari poteſt ratione vtriuſque; patet ex regula combinationum;
ſi enim 3. ducantur in 3. habebis 9. Iam ſupereſt, vt videamus, an reue­
rà omnibus iſtis modis impetus re ipſa propagetur; quod licèt difficile
ſit, & vix hactenus explicatum: Audeo tamen polliceri meum ſuper hac
re conatum non prorſus inutilem fore.
Theorema 95.
Impetus propagatur vniformiter in mobili, cuius omnes partes mouentur
æquali motu; probatur, quia impetus non cognoſcitur niſi per motum;
igitur vbi eſt æqualis motus, debet eſſe æqualis impetus in omnibus par­
tibus, id eſt æqualis graduum heterogeneorum collectio, in quo non
eſt difficultas.
Scholium.
Obſeruabis illud mobile moueri motu æquali ſecundum omnes ſui
partes, quod mouetur motu recto; quippe fieri non poteſt, quin omnes
partes, quæ mouentur motu recto ſimplici, motu etiam æquali mouean­
tur.
Theorema 96.
Cum duo corpora ſeſe mutuò tangunt, impetus in vtroque propagatur ſint
v. g. globi A & B, æquales ſibi inuicem contigui in C, ſit applicata po­
tentia in D, non modò producet impetum in globo A, ſed etiam in B:
probatur primò, quia ſe habent per modum vnius, vt patet ex reſiſten­
tia, nec enim A moueri poteſt ſine B per lineam DE, quod certè cla­
riſſimum eſt; probatur ſecundò quia ſi A produceret impetum in B, duo
globi, vel 3. vel 5. vel infiniti tantùm reſiſterent, quantùm vnicus glo­
bus, quod falſum & abſurdum eſt. Tertiò, Ratio à priori eſt; quia ideo
producitur, & propagatur impetus in toto A; quia vna pars non poteſt
moueri ſine alia per Th. 33. ſed non poteſt A moueri niſi moueatur B;
igitur in vtroque ſimul, & æqualiter propagatur impetus.
Corollarium 1.
Hinc ratio manifeſta cur maior ſit reſiſtentia duorum quàm vnius.
1
Corollarium. 2.
Hinc eadem vis requiritur ad ſuſtinenda duo pondera; ſiue vtrum­
que ſeorſim humeris incubet, ſiue alterum alteri ſuperponatur.
Corollarium 3.
Hinc percuſſio vel ictus globi B, cui alter A à tergo immediatè in­
ſiſtit maior eſt.
Corollarium 4.
Hinc pondus alteri ſuperpoſitum actione communi cum alio graui­
tat in ſuppoſitam manum. v. g. Corollarium 5.
Hinc potentia applicata in D, minùs impetus ſingulis imprimit.
Corollarium 6.
Hinc demum licèt impetus ratione intenſionis ſit æqualis in vtroque
globo; attamen, ſi accipiatur numerus partium vtriuſque impetus, im­
petus ſunt vt globi v. g. ſi B eſt æqualis A impetus productus in B eſt
æqualis producto in A, ſi B ſit ſubduplus, vel ſubtriplus, impetus eſt
ſubtriplus, vel ſubduplus; quorum omnium rationes patent ex Th.96.
Corollarium 7.
Hinc etiam colligi poteſt manifeſtum diſcrimen, quod intercedit inter
propagationem impetus, & aliarum qualitatum, quæ (vt vulgò dicitur)
vniformiter difformiter propagantur, id eſt, æqualiter in æquali
diſtantia, & inæqualiter inæquali.
Corollarium 8.
Hinc demum colligi poteſt non modò impetum produci in globo B
v. g. verùm etiam in aëre ambiente, cui ſcilicet globus contiguus eſt;
qui reuera aër facilè amouetur; tùm quia propter raritatem pauciſſimæ
partes mouendæ ſunt; tùm quia facilè diuiduntur, de quibus alias; tùm
quia, ne detur vaçuum, ſpatium à tergo relictum occupare debet, quod
reuerà præſtat breui peracto circuitu, vt videre eſt in aqua; nec enim
totus aër agitari debet; quis enim id conſequi poſſet; tum denique, quia
aër non grauitat in aëre, igitur cum non reſiſtat vlla grauitatio, facilè
moueri poteſt.
Theorema 97.
Cum applicatur potentia centro motus circularis, ita propagatur impetus, vt
plures partes impetus continuò producantur verſus circumferentiam; ſit enim
cylindrus CA, fig. Th. 73. ſit centrum motus C; haud dubiè plures
partes impetus producuntur in B, quàm in C, & plures in A, quam in B;
quia, cum pars B moueatur velociùs, quàm C, & A quàm B; certè, vbi eſt
maior motus, vel effectus, ibi debet eſſe maior impetus, vel cauſa per
Ax. 13. n. 4. quod autem ſit maior motus, conſtat ex maioribus ſpatiis,
vel arcubus æquali tempore confectis; quod verò ſit impetus intenſior
1versùs circumferentiam, non perfectior, patet per Th. 8.
Theorema 98.
Intenſio impetus propagati iuxta hunc modum ſe habet, vt distantia à cen­
tro motus; ſint enim punctum B, & punctum A: ita ſe habet intenſio
impetus puncti A ad intenſionem impetus puncti B, vt diſtantia AC
ad BC. Probatur, quia cum impetus ſint vt motus, motus vt ſpatia, ſpatia
verò ſint arcus AE. BD; arcus ſunt, vt ſemidiametri AC, BC; igitur vt
diſtantiæ quòd erat demonſtrandum.
Corollarium 1.
Hinc ſi diſtantia CA eſt dupla diſtantiæ CB, impetus in A eſt du­
plus impetus in B: at verò impetus ſegmenti eſt ad impetum alterius,
vt diximus in Th. 73.
Corollarium 2.
Hinc hæc propagatio fit iuxta progreſſionem arithmeticam id eſt, ſi
in primâ parte verſus centrum producitur impetus vt 1. in ſecunda pro­
ducitur vt duo, in tertiâ vt tria, atque ita deinceps; quia proportio
arithmetica eſt laterum, ſeu linearum.
Corollarium 3.
Hinc hæc propagatio eſt omninò inuerſa illius, quæ aliis qualitatibus
competit, vt patet.
Corollarium 4.
Hinc etiam manifeſta ratio ſequitur illius experimenti, quod propo­
ſuimus corol. 2. Th. 80.
Corollarium 5.
Hinc ſi tantùm habeatur ratio impetus, facilè poteſt determinari in
qua proportione cylindrus faciliùs moueatur motu recto, quàm motu
circulari; poſito ſcilicet centro motus in altera extremitate, cui applica­
tur potentia; quippe impetus propagatus in motu circulari eſt ſumma
terminorum; propagatus verò in motu recto eſt vltimus terminorum,
v.g. ſint ſex puncta ſubiecti; in quolibet producatur impetus vt vnum;
haud dubiè erit motus rectus; vt verò ſit motus circularis in primo
puncto; producatur vt 1. in ſecundo vt 2. in tertio, vt 3. atque ita dein­
ceps; ſumma erit 21. cum tamen in motu recto eſſent tantùm 6. igitur
vt ſe habent 21. ad 6. ita ſe habet facilitas motus recti ad facilitatem
motus circularis.
Dixi, ſi tantùm habeatur ratio impetus; quia ſi addatur ratio graui­
tationis, ſeu momenti; haud dubiè maior erit adhuc difficultas, de
quo infrà in Schol. Corollarium 6.
Hinc quò longior eſt cylindrus, v. g. creſcit proportio maioris illius
facilitatis, vt patet inductione; nam ſi ſint tantùm 2. puncta, proportio
erit 3. ad 2.; ſit tria 6. ad 3.; ſi 4. 10. ad 4. ſi 5. 15. ad 5.; ſi 6. 21. ad 6.
1ſi 7. 28. ad 7; ſi 8. 36. ad 8; ſi 9. 45. ad 9; atque ita deinceps; ex quibus primò
vides creſcere ſemper proportionem. Secundò inter duplam, & triplam
rationem, ſcilicet 6. ad 3. & 15. ad 5. intercedere 2 1/2; inter triplam &
quadruplam intercedere 3. 1/2; inter quadruplam & quintuplam inter­
cedere 4 1/2; atque ita deinceps.
Corollarium 7.
Colligo denique poſſe in motu recto cum maiore niſu produci inten­
ſiorem impetum in data ratione; ſit enim cylindrus AB, qui moueatur
circa centrum A, percurrátque B, arcum BD; qui accipiatur vt recta,
quæ à minimis arcubus ſenſu diſtingui non poteſt; haud dubiè ſi eo
tempore, vel æquali, quo AB tranſit in AD; eadem AB, vel æqualis
motu recto tranſeat in FD, Dico impetum huius motus eſſe duplò in­
tenſiorem impetu illius; quia impetus ſunt vt motus; motus verò vt
ſpatia, quæ percurruntur æqualibus temporibus; ſed ſpatium rectanguli
AD, eſt duplum trianguli ADB; igitur & motus; igitur & impetus; ſi
verò AB tranſeat in EL, ita vt AF, ſit dupla AE; impetus erunt
æquales; quia rectangulum AC, eſt æquale triangulo ABD.
Dixi arcum BD, accipi vt lineam rectam; Si enim accipiatur vt ar­
cus; haud dubiè motus cylindri AB, dum transfertur in FD, eſt ad mo­
tum eiuſdem AB, dum transfertur in AD, vt rectangulum AD, ad ſe­
ctorem, cuius arcus ſit æqualis rectæ BD, & radius ipſi AB.
Scholium.
Obſeruabis primò, id quod ſuprà dictum eſt ita eſſe intelligendum,
vt momentum grauitationis nullo modo conſideretur, & prædictus
cylindrus cenſeatur potiùs moueri in plano horizontali, à quo ſuſtinea­
tur, quàm in circulo verticali, in quo libera ſit eius libratio, ſeu gra­
uitatio.
Secundò, non poſſe ſuſtineri cylindrum horizonti parallelum, niſi
aliqua eius portio ſeu manu, ſeu forcipe, vel alio quouis modo accipia­
tur, v.g. ſit cylindrus AG horizonti parallelus; vt in hoc ſitu reti­
neatur, debet aliqua eius portio putà AB, manu teneri, alioqui ne à po­
tentiâ quidem infinita ſuſtineri poſſet.
Tertiò, ſi ſupponatur fulcitus in B; vt retineatur in æquilibrio, debet
addi momentum in A; ſeu debet retineri ab ipſa potentiâ applicata
in A.
Quartò, pondus in G ſe habet ad idem pondus in A, ſtatuto centro in
B, vt ſegmentum GB, ad BA, id eſt, vt 5. ad 1.
Quintò, ſi proprio pondere frangeretur BG, haud dubiè in B frange­
retur; eſt autem momentum ponderis BG, vt ſubduplum eiuſdem BG
poſitum in G, vt demonſtrat Galileus prop.1.de reſiſtentia corp.ſit enim
BG, duarum librarum, ſitque BG, diuiſa bifariam in H; haud dubiè
pondus in H, facit momentum ſubduplum eiuſdem in G, vt patet; ſunt
enim vt diſtantiæ; igitur cum ſegmentum HG tantùm addat momenti
ſupra H, quantùm detrahit HB; certè momentum totius ponderis BG,
1eſt tantùm ſubduplum eiuſdem poſiti in G; itaque ſit BG, 10. librarum,
æquiualet 5. libris ſtatutis in G, & AB, vni libræ poſitæ in A; ſed hæc
libra in A, habet tantùm ſubquintuplum momentum eiuſdem in G, igi­
tur 5. libræ in A, æquiualent vni in G; igitur vt ſtatuatur æquilibrium,
debent eſſe 24. libræ in A, ſeu vires æquiualentes; quibus adde pondus
abſolutum 12. librarum; erunt 36. igitur reſiſtentia ad motum circula­
rem verticalem ex triplici capite oritur. Primò ex ipſo pondere abſolutè
ſumpto, quæ communis eſt motui propagationis. Secundò, ex momento
eiuſdem ponderis; Tertiò, ex tali genere propagationis, de quo ſuprà;
quæ omnia ſunt apprimè tenenda, ne quis error ſubrepat.
Theorema 99.
Cum applicatur potentia circumferentiæ motus circularis; ita propagatur
impetus, vt plures partes verſus centrum motus producantur in pondere, quod
attollitur; ſit enim idem cylindrus CA; ſitque applicata potentia in
A, dico verſus C, plures partes produci in pondere, Probatur, quia attol­
litur pondus in C, quod moueri non poteſtin A, operâ vectis AC, vt con­
ſtat ex certa hypotheſi; igitur plures partes impetus producuntur per
rationem 6. & 7. Th.77,
Scholium.
Scio quidem hoc ipſum à nemine hactenus, quod ſciam, explicatum
eſſe; atque fore vt à multis tanquam nouum, & inſolens minùs fortè
probetur: quamquam illa hypotheſis hoc ipſum euincit, vulgaris certè,
& nemini quaſi non nota; qua nempè dicimus in omnibus partibus mo­
bilis, quod actu mouetur, impetum produci; & ſi quando accidat corpo­
ris ingentem molem ab applicata potentia non poſſe moueri, illud eſſe
tantùm, quòd non poſſint produci tot partes impetus, quot ſunt neceſſa­
riæ, vt omnibus partibus ſubjecti diſtribuantur; igitur ex hac hypothe­
ſi, quæ ex manifeſtis ducitur experimentis, neceſſariò dicendum eſt plu­
res partes impetus versùs centrum vectis produci in pondere, quod at­
tollitur, cuius propagationis proportionem infrà demonſtrabimus.
Theorema 100.
Impetus, qui producitur verſus centrum vectis in pondere, licèt creſcat nu­
mero, decreſcit tamen in perfectione. Probatur per Th.81. ex motu imper­
fectiore, cui reſpondet impetus imperfectior per Ax. 17.num.4. non ratio­
ne numeri, qui maior eſt per Th.99. igitur ratione entitatis, ſeu perfe­
ctionis entitatiuæ.
Theorema 101.
Tota collectio impetus, quæ in pondere ex dato puncto vectis producitur, eſt
ad aliam collectionem alterius puncti in perfectione, vt distantia illius puncti
à centro, ad diſtantiam huius: probatur, quia perfectio vnius collectionis
eſt ad perfectionem alterius, vt motus ad motum; motus verò ſunt vt
ſpatia, ſpatia vt arcus, arcus vt ſemediametri, hæ demum, vt diſtantiæ.
1
Theorema 102.
Impetus in ipſo vecte ſine pondere addito ita propagatur, vt ſit imperfectior
verſus centrum vectis; probatur, quia pondus verſus centrum mouetur
minore motu, vt conſtat; igitur ab imperfectiore impetu; ſed non eſt
imperfectior tantùm ratione numeri, id eſt, pauciorum partium impe­
tus; quia ſi hoc eſſet, ſit vectis AC, motus B, eſt ſubduplus motus
A; igitur ſi eſt impetus eiuſdem perfectionis entitatiuæ, vt ſic loquar;
ita ſe habet numerus partium impetus in B, ad numerum partium in A,
vt motus B, ad motum A; & hic vt arcus BD, ad arcum AE; & hic vt
BC, ad AC; igitur eſt ſubduplus; igitur æqualis omninò producitur
impetus ab eadem potentia in vecte AC, ſiue applicetur centro C, ſiue
circumferentiæ A; igitur æquè facilè; quod eſt contra experientiam;
probatur ſecundò, quia ſi hoc eſſet, pondus idem tàm facilè attolleretur
in A, quàm in B; quia idem impetus produceretur, quod eſt contra ex­
perientiam.
Theorema 103.
Ex hoc facilè intelligitur, cur impetus propagetur faciliùs à circumferen­
tia ad centrum, quàm à centro ad circumferentiam, & cur longior vectis ab
eadem potentia moueri poſſit primo modo, non ſecundo, quod clarum est.
Theorema 104.
Decreſcit impetus verſus centrum iuxta rationem distantiarum; probatur
quia decreſcit iuxta rationem motuum; & hæc iuxta rationem diſtan­
tiarum.
Theorema 105.
Non decreſcit numerus partium impetus à circumferentia ad centrum;
probatur, quia cum à circumferentia ad centrum ita propagetur impe­
tus, vt vnicum tantùm punctum producatur in ipſa extremitate mobilis;
certè non poteſt minùs impetus produci verſus centrum ratione nume­
ri; igitur non decreſcit numerus; hinc producitur neceſſariò imperfe­
ctior verſus centrum.
Theorema 106.
Non producuntur plures partes impetus in vecte verſus centrum, id est, non
ſunt plures in puncto vectis propiùs ad centrum accedente, quàm in co; quod
longiùs distat: Probatur primò, quia fruſtrà eſſent plures. Secundò, cur
potiùs in vna proportione, quàm in alia?
Theorema 107.
Ex his constat produci impetum æqualem numero in omnibus punctis vectis
a circumferentia ad centrum, cum ſcilicet applicatur potentia circumferentiæ;
probatur, quia non producitur numerus minor per Th.105. neque maior
per Th. 106. igitur æqualis; adde quod res explicari non poteſt per ma­
iorem, neque per minorem; ita vt ſcilicet pondera, quæ à data potentia
leuantur, ſint vt diſtantiæ, de quo ſuprà.
1
Scholium.
Obſeruabis, quod aliquando in mentem venerat; ſcilicet, verſus cen­
trum produci maiorem numerum in ratione diſtantiarum permutando;
& imperfectiorem in ratione duplicata earumdem diſtantiarum, etiam
permutando, v. g. ſit idem vectis AC ſectus bifariam in B; in puncto
B producitur numerus duplus producti in A; at verò perfectio impetus
in B eſt ad perfectionem impetus in A, vt quadratum BC ad quadra­
tum AC; vel in ratione ſubquadrupla, licèt tota collectio impetus B
ſit tantùm ſubdupla perfectione collectionis impetus A; ſed hoc profe­
ctò dici non poteſt; nam ſint in A 4. partes impetus; igitur in B erunt
8. applicetur autem pondus in B. Primò producentur in eo partes 8.
impetus perfectionis ſubquadruplæ; ſi comparentur cum partibus A,
tum producentur 16. quæ æquiualent 4 A; igitur 24. at verò in A pro­
ducentur primò 4. tum deinde 2. quæ æquiualent 8. productis in B; igitur
6. igitur pondus, quod leuari poteſt in B, eſt ad pondus, quod leuari poteſt
in A, vt 24. ad 6.id eſt, in ratione quadrupla quod omninò falſum eſt.
Theorema 108.
Iam facilè explicatur ex dictis, quomodo, & cuius rationis pondera attol­
lantur ex diuerſis punctis vectis; ſit enim idem vectis AC, & producan­
tur.v.g. in ſingulis punctis vectis ſingula puncta impetus, ſed diuerſæ
perfectionis; haud dubiè plures partes impetus imperfecti poſſunt face­
re impetum æqualem in perfectione alteri, qui conſtat paucioribus, ſed
perfectioribus; igitur cum impetus B ſit imperfectior duplò quàm im­
petus in A, duplò plures partes impetus producentur in B, quàm in A, er­
go duplò maius pondus mouebitur; atque ita deinceps; eum enim ap­
ponitur pondus in B, producuntur in eo partes impetus omnes eiuſdem
perfectionis; quæ ſcilicet reſpondet B, id eſt, quæ eſt ſubdupla perfectio­
nis impetus A; igitur plures partes producuntur, quàm ſi eſſent perfe­
ctionis A; ſed pauciores quàm ſi eſſent perfectionis O, quæ minor eſt;
quippe eadem potentia, ſeu cauſa, quæ agit quantum poteſt (quod ſup­
pono modò) producit æqualem effectum in perfectione, per Ax. 13. n.
4. ſed æqualis perfectio poteſt conſtare pluribus, vel paucioribus parti­
bus perfectionis, nam 4. pattes perfectionis vt 4. faciunt æqualem effe­
ctum alteri qui conſtat 8. partibus perfectionis vt 2. quod certum eſt; ſed
de his plura aliàs.
Theorema 109.
Perfectio decreſcit verſus centrum iuxta diuerſam rationem longitudinum
vectis, ſeu distantiarum. v.g.ſit idem vectis AC, ita decreſcit ab A verſus
centrum C; vt impetus puncti B ſit ſubduplus in perfectione, puncti R
ſubtriplus: iam verò ſit vectis ſubduplus prioris BC, ſectus bifariam in
Z; ſi impetus productus in B, quę eſt extremitas minoris vectis B ſit æqua­
lis perfectionis cum impetu producto in A (& reuera ſunt æquales) ſi
æquali tempore percurrant arcus æquales, ſcilicet AV, & BD) certè im-
1petus productus in Z eſt æqualis producto in B, cum B pertinet ad ma­
iorem vectem; quia vt AC totus maior vectis eſt ad BC ita BC ad
ZC: igitur decreſcit perfectio versùs centrum iuxta rationem longi­
tudinum.
Theorema 110.
Minima potentia est illa, quæ in extremitate vectis, quæ procul recedit à
centro, vnam tantùm partem, vel vnum punctum impetus producit; nihil
enim minùs produci poteſt, poſito quod potentia applicata ad talem gra­
dum perfectionis ſit determinata, id eſt ad producendum impetum talis
perfectionis in ea parte ſubjecti, cui applicatur immediatè, vt ſuprà di­
ctum eſt.
Theorema 111.
Si ſint tantum duo puncta vel duæ partes vectis, illa potentia ad illum mo­
uendum ſufficiens motu circulari est ad aliam ſufficientem ad illum mouen­
dum motu recto, vt 1/2 ad 2. ſi ſint tria puncta vt 2. ad 3. ſi 4. vt 2. 1/2 ad 4.
ſi 5. vt 3. ad 5. ſi 6. vt 3. 1/2 ad 6. atque ita deinceps iuxta hanc propor­
tionem in quo non eſt difficultas, cum hoc totum ſequatur ex Th. 109.
Scholium.
Obſerua tamen quacumque data potentia poſſe dari minorem; quia
quocumque dato motu, etiam recto, poteſt dari tardior; igitur quocum­
que impetu imperfectior; igitur quando appellaui potentiam minimam;
intellige illam quæ comparatur cum vnico puncto impetus talis perfe­
ctionis; hæc enim reuera minima eſt illarum omnium, quæ poſſunt pro­
ducere impetum talis perfectionis, ſi verò comparetur cum impetu im­
perfectiore, haud dubiè minima non eſt.
Obſerua præterea ſuppoſitum eſſe hactenus in extremitate vectis ſiue
maioris, ſiue minoris, produci impetum eiuſdem perfectionis, eiuſque
vnicum punctum, ſeu partem, vnde potentia quæ applicatur maiori vecti
conuenit quidem cum ea, quæ applicatur minori in eo, quòd vtraque in
extremitate ſui vectis producat vnum punctum impetus eiuſdem perfe­
ctionis; differt tamen in eo, quòd illa, quæ applicatur maiori vecti, ſit
maior iuxta rationes prædictas in Theoremate. v. g. illa, quæ applicatur
vecti. 2. punctorum eſt ad eam, quæ applicatur vecti trium punctorum,
ſcu partium, vt 1. 1/2 ad 2. & ſi vectis ſit 4. punctorum ad 2. 1/2; ſi 5. ad 3.
ſi 6. ad 3. 1/2; ſi 7. ad 4. ſi 8. ad 4. 1/2. Vides egregiam progreſſionem; ſit
enim vectis 2. punctorum AB, in puncto A, quod eſt extremitas, produ­
catur punctum impetus datæ perfectionis, in B producetur aliud, cuius
perfectio eſt ſubdupla prioris per Th. 109. igitur caracter, ſeu momen­
tum totius impetus eſt 1. 1/2. ſit porrò vectis 4. punctorum CDEF, in
C, quod eſt extremitas; producatur vnum punctum impetus eiuſdem
perfectionis cum eo, quod productum eſt in A; certè in D producetur
aliud cuius perfectio erit ad priorem vt 3.ad 4. per idem Th. ſic autem
notetur 1/4, in E 2/4, in F 3/4, in C vero 4/4; perfectiones enim ſunt vt lon-
1gitudines; quæ ſi colligantur, habebis characterem totius impetus, 2 1/2:
igitur totus impetus productus in minore vecte, qui conſtat 2. punctis,
eſt ad impetum, qui producitur in maiore conſtante 4.punctis, vt 1. 1/2 ad
2. 1/2; igitur vectis maior maiorem potentiam ad mouendum ipſum ve­
ctem requirit; non certè in deſcenſu; quippe ſuo pondere deſcendit, ſed
in plano horizontali; niſi enim potentia poſſit mouere vectem; haud
dubiè nullum pondus vecte mouebit.
At verò ſi potentia ſit tantùm dupla minimæ, quæ datum vectem mo­
uere poſſit; haud dubiè dato illo vecte datum ferè quodcumque pondus
mouere poterit; cum ipſe vectis conſtet ferè infinitis punctis in longi­
tudine, vt patet ex dictis, & conſideranti patebit.
Obſeruabis demum in mechanicis nullam ferè haberi rationem pon­
deris ipſius vectis; parum enim pro nihilo computatur: Ex his tamen
erui poſſunt veriſſimæ rationes Phyſicæ proportionum vectis AH; ſia­
que A extremitas, H centrum; ſitque BH 1/2. CH 1/4, DH 1/2, EH (1/16),
FH (1/32), GH (1/64) pondus I applicetur in A, & moueatur; certè in B moue­
bitur pondus K duplum I; quia, cum impetus productus in B, ſit ſubdu­
plus in perfectione illius, qui producitur in A; vt æqualis producatur in
B, & in A, debent produci in B duplò plures partes impetus; igitur du­
plò maius pondus mouebit; at verò in C mouebitur pondus L quadru­
plum I, in D octuplum, atque ita deinceps; donec tandem in G mouea­
tur pondus, quod ſit ad I vt 64. ad 1. & cum adhuc poſſint accipi inter
GH, partes aliquotæ minores, & minores ferè in infinitum, non mirum
eſt ſi pondus maius poſſit adhuc moueri.
Obſeruabis etiam in omni vecte abſtrahendo ab eius pondere, & ap­
plicata eadem potentia, hoc eſſe commune; vt poſſit quodcumque pon­
dus attolli, licèt difficiliùs in minore; quia hic non poteſt in tam mul­
tas partes aliquotas ſenſibiliter diuidi, in medio tamen vecte duplum
ſemper pondus mouetur; ſiue ipſe vectis ſit maior, ſiue minor.
Obſeruabis deinde, ſi centrum vectis non ſit in altera extremitate,
ſed. v.g. in C; haud dubiè producitur in H, & in B impetus æqualis; quia
æqualiter diſtat vtrumque punctum à centro C; igitur æquale pondus
mouebitur in B, & in H; propagatur tamen nouo modo à C verſus H, de
quo iam ſuprà dictum eſt.
Obſeruabis denique triplicem propagationem impetus eſſe legiti­
mam. Prima eſt in motu recto, cum propagatur per partes æquales, tùm
in perfectione, tùm in numero in ſingulis partibus ſubjecti per gradus,
ſcilicet heterogeneos. Secunda eſt in motu circulari, applicata ſcilicet
potentia centro; cum propagatur per partes æquales in perfectione, &
inæquales in numero. Tertia eſt in vecte, cum propagatur per partes
æquales in numero, & inæquales in perfectione.
Theorema 112.
Impetus debet determinari ad aliquam lineam motus; probatur, quia
non poteſt eſſe impetus, niſi exigat motum per Th.14. nec exigere mo-
1tum, niſi per aliquam lineam, vt patet; ſed hoc eſt impetum eſſe de­
terminatum ad aliquam lineam motus; præterea ſi non eſt determina­
tus ad aliquam lineam; igitur indeterminatus, & indifferens per Ax.1.
ſed indifferens manere non poteſt; cur enim potius haberet motum
per vnam lineam, quàm per aliam? igitur debet determinari.
Theorema 113.
Impetus ad plures lineas ſeorſim indifferens eſt: Probatur, quia idem im­
petus pilæ in aliam impactæ producit in ea impetum, qui pro diuerſo
contactu ad diuerſam lineam determinari poteſt; præterea corpus graue
in diuerſis planis inclinatis deſcendit; igitur per diuerſas lineas; deinde
pila reflectitur propter impetum priorem, qui tantùm mutat lineam, vt
dicemus infrà; adde quod funependuli vibrati impetus ſine reflexione
mutat lineam motus; igitur idem impetus ad plures lineas ſeorſim eſt
indifferens.
Theorema 114.
Hinc idem impetus ad plures lineas potest determinari ſeorſim; quia ad
eas poteſt determinari, ad quas eſt indifferens, vt patet; ſed ad multas
eſt indifferens per Theorema 113. igitur ad multas poteſt determi­
nari.
Scholium.
Obſeruabis primò determinationem hanc nihil eſſe aliud, niſi ipſum
impetum cum tali linea comparatum, ſeu coniunctum; vnam verò li­
neam differre ab alia ratione terminorum v. g. illa quæ tendit verſus
ortum differt ab ea, quæ tendit verſus auſtrum, vel occaſum, ſcilicet
ratione terminorum, ſunt enim duo termini, nempè à quo, & ad quem;
4. autem modis differunt termini lineæ, vel enim neuter communis eſt
vt AB. DC, vel terminus à quo vtrique lineæ communis eſt, vt BA.
BE, vel terminus ad quem vt AB, EB; vel denique viciſſim commu­
tantur termini, vt BE, EB, & hæc terminorum coniugatio facit oppo­
ſitionem maximam, id eſt diametralem.
Secundò obſeruabis aliquando videri eſſe vtrumque terminum com­
munem licèt differant lineæ; ſit linea recta BE, habet communes ter­
minos cum curua BFE, licèt omninò differat ab illa; at profectò licèt
BE videatur eſſe vnica ſimplex linea duobus terminis clauſa; conſtat
ramen ex pluribus aliis continuata, rectáque ſerie iunctis; vnde, vt
linea dicatur eadem eſſe cum alia, debet vna cum aliâ conuenire; ita vt
alteri ſuperpoſita nec excedat, nec deficiat.
Tertiò linea motus non differt ab ipſo motu continuo tractu, ſeu
fluxu quaſi labenti: Porrò vnus motus differt ab alio, vel ratione velo­
citatis, vel ratione terminorum; ſed hæc parum difficultatis habent.
Theorema 115.
Impetus aliquis ad vnam tantùm lineam poteſt eſſe determinatus; v. g.
impetus naturalis innatus, de quo in Th. 17. nam de acquiſito certum eſt ad
1plures determinari poſſe, vt videbimus cum de motu reflexo; probatur quia
motus deorſum eſt finis huius impetus; quia ideo corpus graue produ­
cit in ſe impetum (ſi tamen producit) vt tendat deorſum, vt certum eſt;
tàm enim omne graue non impeditum tendit deorſum, quàm omnis
ignis eſt calidus; igitur ſi eſt proprietas omnis ignis eſſe calidum, quia
omni competit; ita omni graui competit tendere infrà leuius, modò
non impediatur; igitur eſt eius proprietas; igitur ille impetus eſt de­
terminatus ad lineam quæ tendit deorſum; ſed de hoc impetu naturali
innato fusè agemus infrà in ſecundò libro; nunc ſufficiat dixiſſe poſſe
dari aliquem impetum ita determinatum ad certam lineam, vt ad aliam
determinari non poſſit naturaliter, nulla eſt enim repugnantia.
Theorema 116.
Impetus determinatur aliquando ad lineam motus à potentia motrice; pro­
batur, quia primus impetus ab ipſa potentia productus ſine impedimen­
to ab alio determinari non poteſt; potentia porrò motrix vel eſt gra­
uium, vel leuium, vel animantium, vel proiectorum, vel compreſſo­
rum, &c.
Theorema 117.
Potentia verò motrix determinatur vel à ſuo fine intrinſeco, vel potius ab
ipſa ſua natura; ſic grauitas ſeu potentia motrix grauium determinata
eſt ad motum deorſum perpendicularem, dum in medio libero corpus
graue mouetur; vel à plano inclinato; pro cuius diuerſa inclinatione
diuerſa eſt linea motus deorſum; vel ab ipſa via, ſeu exitu patefacto;
ſic potentia motrix compreſſorum ſuas vires exerit, & mobile ipſum
agit, quâ patet viâ, ſurſum, deorſum &c. vel ab appetitu ſeu libero, ſeu
ſenſitiuo; ſic potentia progreſſiua animantium cò corpus agit, quò iu­
bet appetitus, vel ab aliqua affectione intrinſeca intrinſecùs vel extrin­
ſecùs adueniente; ſic dilatatur pupilla, vel contrahitur pro diuerſa lu­
minis appulſi vi, vel obiecti diſtantia: Huc reuoca motus illos natura­
les, qui animalibus competunt v. g. tuſſis, ſingultus, ſternutationis, &c.
de quibus fusè ſuo loco.
Theorema 118.
Impetus determinatur aliquando ad lineam ab alio impetu producente;
ſic impetus corporis proiecti determinatur ab impetu vel organi vel
manus proiicientis; quia nihil eſt aliud à quo determinari poſſit, vt
patet; adde figuram organi, diſpoſitionem ſeu ſitum mobilis, quod ma­
nu tenetur; impedimenti etiam habetur ratio v. g. corpus oblongum
proiici poteſt, vel motu recto ad inſtar teli, vel motu mixto ex recto
& circulari; cum ſcilicet diuerſimodè vibratur: ſi enim altera extremi­
tas adhuc hæreat in manu, dum altera mouetur, vt cum quis baculo
ferit; tunc certè eſt aliquòd impedimenti genus, ex quo oritur talis li­
nea motus; illud autem impedimentum emergit ex diuerſa applicatione
diuerſaque brachij vibratione, quæ omnia ſunt ſatis clara.
1
Theorema 119.
Impetus determinatus ad vnam lineam poteſt ad aliam in ſuo fluxu deter­
minatu; vt patet in corpore reflexo; nec enim dici poteſt totum prio­
rem impetum in ipſo reflexionis puncto deſtrui, vt demonſtrabimus
aliàs. Probatur etiam ex impetu proiectorum, quæ mutant lineam mo­
tus manente adhuc priore impetu ſaltem ex parte.
Theorema 120.
Corpus proiectum in aliud ita illud impellit, vt determinet lineam motus
ratione puncti contactus; Sit enim, ne multiplicemus figuras, globus,
cuius linea directionis ſit DC, punctum contactus C, ita globus A im­
pellet globum B, vt linea motus, ad quam determinatur, ſit CB, id eſt
ducta à puncto contactus ad centrum globi impulſi; ſit etiam globus
P impactus in globum A punctum contactus ſit D, linea motus, ad
quam determinatur, eſt DA, quæ ſcilicet à puncto contactus ducitur
per centrum grauitatis corporis impulſi: experientia huius rei certa
eſt, nec ignorant qui in ludo minoris tudiculæ verſati ſunt; ratio au­
tem inde tantùm duci poteſt, quod ſcilicet ab ipſo puncto contactus ita
diffunditur impetus, vt hinc inde æqualiter in vtroque hemiſphærio
diffundatur; coniungitur autem vtrumque hemiſphærium circulo A,
vel B, in priore figura, eſtque vtriuſque communis ſectio; cum autem
vtrimque ſit æqualis impetus, nulla eſt ratio, cur linea directionis in­
clinet potiùs in vnum hemiſphærium, quàm in aliud: præterea cum
motus orbis globi determinetur à motu centri; cum ſcilicet globus in
globum impingitur; haud dubiè non poteſt eſſe alius motus centri, niſi
qui determinatur à puncto contactus, à quo vnica tantùm linea ad cen­
trum duci poteſt, vt conſtat; & hæc ratio veriſſima eſt, & totam rem
ipſam euincit.
Theorema 121.
Hinc licèt diuerſæ ſint linea motus globi impellentis, ſi tamen ſit idem pun­
ctum contactus ad eandem lineam globus impulſus determinabitur, v. g. li­
cet globus P. eiuſdem figuræ tangat globum A in D per lineam PD ſiue
per lineam HD ſiue per quamlibet aliam, globus A mouebitur ſemper
per lineam directionis DA propter rationem propoſitam, quod etiam
mille experimentis conuincitur.
Theorema 122.
Determinatur impetus corporis proiecti impacti in corpus reflectens ad no­
uam lineam; patet experientiâ in pilâ reflexâ; reflexionis autem ratio­
nem afferemus in lib. de motu reflexo.
Theorema 123.
Non determinatur tantùm ratione puncti contactus. Probatur, quia cum
eodem puncto contactus poteſt eſſe determinatio ad diuerſam lineam,
vt manifeſtum eſt; ſit enim reflexio per angulum æqualem incidentiæ,
ſed diuerſi anguli poſſunt in idem punctum coire, vt patet.
1
Theorema 124.
Non determinatur noua linea in motu reflexo â priore tantùm linea
incidentiæ; probatur, quia poteſt eſſe eadem linea incidentiæ cum di­
uerſis lineis motus reflexi, vt patet.
Theorema 125.
Non determinatur noua linea motus reflexi ratione tantùm plani reflecten­
tis: Probatur, quia cum eodem plano reflectente diuerſæ lineæ motus
reflexi eſſe poſſunt, vt conſtat.
Theorema 126.
Determinatur noua linea motus reflexi ratione lineæ prioris incidentiæ com­
paratæ cum plano reflectente, eſt enim angulus reflexionis æqualis angu­
lo incidentiæ, cuius effectus rationem aliàs afferemus, cum de motu
reflexo; & verò multa hîc curſim tantùm perſtringimus, quæ in libro
de motu reflexo accuratiſſimè demonſtrabimus; Hìc tantùm dixiſſe ſuf­
ficiat determinari mobile in reflexionis puncto ad nouam lineam motus,
quod nemo in dubium reuocare poteſt, & propter quid fiat loco citato
demonſtrabimus.
Theorema 127.
Quando globus in globum æqualem ita impingitur, vt linea directionis per
centra vtriuſque ducatur, determinatio noua eſt æqualis priori; Patet ex­
perientia in pilis illis eburneis, quas deſiderat ludus minoris tudiculæ;
nec eſt vlla ratio, cur determinatio ſit maior potiùs, quàm minor, cum
vtraque pila ſit æqualis; ſi enim maior eſſet, vel minor; cur potiùs vno
gradu, quàm duobus? quàm tribus? Præterea, cum reſiſtens, vel im­
pediens eſt æquale agenti; certe ſicut agens refundit in paſſum totum
id, quod habet, id eſt æqualem impetum in intenſione, & æquè velo­
cem motum per Th. 60. Ita reſiſtens, vel impediens refundit æquale
impedimentum, quod tantùm ſumi poteſt ex æqualitate mobilium; ſed
ex æquali impedimento duci tantùm poteſt æqualis determinatio priori;
denique poteſt dari determinatio noua æqualis priori, vt conſtat, ſed
aliunde duci non poteſt quàm ex ipſa mobilium æqualitate, modò fiat
contactus per lineam connectentem centra.
Theorema 128.
Hinc ratio manifeſta illius mirifici effectus, ſcilicet quietis pilæ impactæ;
quippe hæc quieſcet illicò ab ictu; quia ſcilicet, cum noua determina­
tio ſit æqualis priori, non eſt vlla ratio, cur alterutra præualeat; nec
etiam poteſt eſſe determinatio communis, ſeu mixta; cur enim potius
dextrorſum quam ſiniſtrorſum? de quo infrà.
Theorema 129.
Quando linea directionis globi impacti non connectit centra vtriuſquę
globi, determinatur noua linea motus tùm à priore linea incidentiæ, tùm à
connectente centra, quæ ſcilicet per punctum contactus à centro impacti globi
1ad centrum alterius ducitur; quippe nihil eſt aliud à quo determinari.
poſſit, vt patet; non determinatur etiam ab alterutra ſeorſim, vt con­
ſtat, igitur ab vtraque conjunctim; in qua verò proportione dicemus,
& demonſtrabimus in libro de motu reflexo; ſunt enim mirificæ quæ­
dam reflexionum proportiones, quas ibidem explicabimus.
Theorema 130.
Hinc globus ſic impactus nunquam quieſcit; ratio eſt, quia vtraque linea
determinationis cum angulum faciat, in communem lineam abit; nam
ex duabus lineis motus minimè oppoſitis ex diametro, fit alia tertia me­
dia pro rata; hîc etiam latent myſteria, de quibus loco citato.
Theorema 131.
Si globus minor in maiorem impingatur per quamcumque lineam directio­
nis, determinatur ad nouam lineam motus reflexi; experientia clara eſt; ra­
tio eſt, quia maior globus maius eſt impedimentum, hinc nunquam
quieſcit minor globus impactus.
Theorema 132.
Si globus major in minorem impingatur per lineam directionis, quæ conne­
ctat centra, ſeruat eandem lineam; patet etiam experientiâ, cuius ratio eſt
minor reſiſtentia minoris globi; ſi verò ſit alia linea directionis, omni­
nò reflectitur ſuo modo; id eſt mutat lineam; ſed de his omnibus fusè
aliàs; hîc tantùm ſufficiat indicaſſe; (ſuppoſita linea directionis cen­
trali ſeu connectente centra, ſic enim deinceps eam appellabimus, in
quo caſu duplex determinatio tertiam mediam conflare non poteſt) in­
dicaſſe inquam ſufficiat nouam determinationem, vel eſſe æqualem prio­
ri, vel maiorem, vel minorem; ſi æqualis eſt, globus impactus ſiſtit; ſi
maior, reflectitur; ſi minor, eandem lineam, ſed lentiùs pro rata pro­
ſequitur.
Theorema 133.
Si ſit duplex impetus æqualis ad diuerſas lineas determinatus in eodem mo­
bili, ſique illæ ſint ex diametro oppoſitæ ſiſtere debet mobile; patet; ſit enim
globus vtrimque gemino malleo percuſſus æquali ictu; haud dubiè ſiſtit;
cur enim potiùs in vnam partem quam in aliam? cum ſimul in vtramque
moueri non poſſit.
Theorema 134.
Si verò alter impetus ſit intenſior, poſito eodem caſu, haud dubiè eius de­
terminatio præualebit pro rata; patet etiam experientià; ratio eſt, quia im­
petus fortior debiliorem vincit; pugnant enim pro rata per Ax. 15.
hinc ſi ſit duplò intenſior, ſubduplum ſuæ velocitatis amittet, ſi triplè
ſubtriplum, &c. de quo aliàs.
Theorema 135.
Si duo globi projecti ſibi inuicem occurrant in lineæ directionis connectente
centra, reflectitur vterque æquali motu, quo antè. Probatur; ſunt enim globi
1A & B, & A feratur per lineam DE, & B per lineam ED, punctum con­
tactus ſit C, haud dubiè globus A impactus in B amittit totum ſuum im­
petum per Th.127. & 128. B, item impactus in A amittit totum ſuum per
eandem rationem; globus A producit impetum in B æqualem ſuo per
Th.60. item B producit in A æqualem per idem Th. igitur tantùm perit
impetus quantùm accedit; igitur in vtroque globo remanet æqualis im­
petus priori; igitur æquali motu vterque mouetur, quod erat dem. & hæc
eſt ratio veriſſima toties probatæ experientiæ.
Theorema 136.
Hinc æquale ſpatium conficiet regrediendo poſt reflexionem, quem confeciſ­
ſet motu directo, ſi propagatus fuiſſet ſine obice; nam æquali motu æquali
tempore in eodem plano ſeu medio idem ſpatium decurritur; quid verò
accidat in aliis punctis contactus dicemus infrà, cum de reflexione.
Theorema 137.
Si in eodem mobili duplex impetus producatur, quorum vterque ſeorſim
ad duas lineas ſit determinatus quæ conjunctæ faciant angulum, determinatur
vterque ad tertiam lineam mediam; ſit enim mobile in A. v. g. globus,
cui ſimul imprimatur impetus determinatus ad lineam AD, in plano
horizontali AF; ſi vterque ſit æqualis, ad nouam lineam determinabi­
tur AE; quippe tantùm debet acquirere in horizontali AB, vel in eius
parallela DE, quantum acquirit in alia horizontali AD, vel in eius pa­
rallela BE; igitur debet ferri in E; igitur per diagonalem AE; clara eſt
omninò experientia; cuius ratio à priori hæc eſt, quòd ſcilicet impetus
poſſit determinari ad quamlibet lineam ab alio impetu per Th.118.119.
igitur in eodem mobili pro rata quilibet alium determinat; igitur ſi
vterque æqualis eſt, vterque æqualiter; igitur debet tantum ſpatij acqui­
ri in linea vnius, quantum in linea alterius.
Si verò impetus per AC ſit duplus impetus per AD; accipiatur AC
dupla AD, ducatur DF æqualis & parallela AC; linea motus noua
erit diagonalis AF, quia vtraque determinatio concurrit ad nouam pro
rata; igitur debet ſpatium acquiſitum in AC eſſe duplum acquiſiti
in AD.
Theorema 138.
Si ſit duplex impetus in eodem mobili ad eandem lineam determinatus, non
mutabitur linea; ſed creſcet motus & ſpatium Imprimatur impetus in A,
per AB, quo dato tempore percurratur ſpatium AB; deinde produca­
tur ſimul alius impetus æqualis priori in eodem mobili per lineam AB;
Dico quod eodem tempore percurretur tota AE, dupla ſcilicet AB;
quia ſcilicet dupla cauſa non impedita duplum effectum habet per Ax.
13. num.1. duplus impetus duplum motum; igitur duplum ſpatium; ſi
verò ſit triplus impetus, triplum erit ſpatium, &c.
Theorema 139.
Si lineæ duplicis impetus, faciunt angulum acutiorem, longius erit ſpatium
1acquiſitum: ſint duæ lineæ IK IL, mobili ſcilicet ſtatuto in I;
haud dubiè noua linea erit IM; & quo angulus KIL, erit acutior (ſup­
poſitis æqualibus ſemper lateribus IK IL) Diagonalis IM, erit ma­
ior; donec tandem IL & IK coeant in eandem lineam; tunc enim li­
nea erit dupla IK per Th. ſuperius: quandiu verò eſt aliquis angulus in
I quantumuis acutus, linea motus erit minor dupla IK, ad quam tamen
propiùs ſemper accedit; quæ omnia conſtant ex elementis.
Theorema 140.
Si lineæ duplicis impetus faciunt angulum obtuſum, ſpatium acquiſitum erit
breuius, & eò breuius quò angulus eſt obtuſior; ſint enim c duæ lineæ AD
AB mobili ſtatuto in A, noua linea erit AC per Th. 137. & ſi accipia­
tur angulus obtuſior HEF; noua linea erit EG, eo rectè breuior,
quò angulus eſt obtuſior, non tamen iuxta rationem angulorum; donec
tandem deſinat angulus, & ED EF coëant in vnam lineam; tunc enim
nullum erit ſpatium, quia ſiſter omninò mobile per Th.133.quæ omnia
ipſa luce clariora eſſe conſtat; quippe quæ cum certis experimentis, &
clariſſimis principiis conſentiant; ſed de his plura infrà.
Theorema 141.
Ex his neceſſaria ducitur ratio, cur impetus duplus ad diuerſas lineas de­
terminatus non habeat motum duplum, & conſequenter ſpatium duplum; nec
enim AE eſt dupla AB, vt conſtat; nam ſi lineæ ſint oppoſitæ ex
diametro vt BA BE totus deſtruitur impetus, per Th.133. ſi verò vna
in eandem lineam coëat cum aliâ, nihil impetus deſtruitur, nec impedi­
tur per Th.138. igitur quà proportione propiùs accedet ad oppoſitas;
plùs deſtruetur, & minus erit ſpatium; & quâ proportione accedent
propiùs ad coëuntes, minùs deſtruetur, & maius erit ſpatium, vt conſtat
ex dictis.
Theorema 142.
Hinc impetus ad diuerſas lineas determinati it a pugnant pro rata, vt mi­
nùs pugnent, quorum lineæ propiùs accedunt ad coëuntes; plùs verò, quorum
lineæ propiùs accedunt ad oppoſitas, idque iuxta proportiones Diagonalium,
quod totum ſequitur ex dictis.
Scholium.
Obſeruabis vt faciliùs concipias duos impetus ad duas lineas deter­
minatos; finge tibi nauim à diuerſis ventis impulſam, ſeu lapidem pro­
jectum è naui mobili; ſed de his plura in lib.4. cum de motu mixto.
Theorema 143.
Impetus ſemel productus, quamdiu durat motus, conſeruatur. Probatur,
quia non poteſt eſſe effectus, niſi ſit eius cauſa per Ax. 8. igitur ſi eſt mo­
tus, eſt impetus.
Theorema 144.
Impetus non conſeruatur à cauſa primò productiua. Probatur; quia proii-
1ciatur mobile per Poſtulatum, etiam mouetur ſeparatum à potentia mo­
trice per hypoth. 6. igitur non conſeruatur à potentia motrice per Ax.
10. igitur nec à causâ primò productiua.
Theorema 145.
Hinc ab alia causâ conſeruari neceſſe eſt impetum: Probatur, quia impe­
tus non eſt à ſe, quia deſtruitur aliquando per Ax. 14. igitur conſeruatur
ab alio per Ax.14. num. 1. non à cauſa primò productiua per Th.144.igi­
tur ab alia, eaque applicata per Ax. 10. quæcumque tandem illa ſit, ali­
quando cauſam primam eſſe demonſtrabimus; nunc verò ſufficiat dixiſ­
ſe dari aliquam cauſam reuerâ applicatam, quæ ipſum conſeruat impe­
tum; immò ex hac ipſa rerum conſeruatione argumentum aliquando
ducemus, quo Deum ipſum exiſtere demonſtrabimus.
Theorema 146.
Si impetus conſeruaretur à cauſa primò productiua, nunquam deſtruere­
tur, quamdiu eſſet applicata. Demonſtratur, quia eſſet cauſa neceſſaria
(nam de hac ipſa loquor) igitur ſemper ageret, igitur ſemper con­
ſeruaret, quod eſt contra experientiam; nam reuerâ impetus pro­
ductus deorſum à corpore graui motu naturaliter accelerato deſtruitur,
vt patet; præterea ſi corpus graue conſeruaret impetum primò produ­
ctum, non produceret nouum contra experientiam; quippe cauſa ne­
ceſſaria non plùs agit vno inſtanti quàm alio, per Ax.12. adde quod im­
petus deſtruitur ad exigentiam alterius, quidquid tandem illud ſit per
Ax.14. num.2. & 3. ſed cauſa primò productiua impetus non nouit rerum
exigentiam; igitur illi facere ſatis non poteſt; ex hoc etiam capite cau­
ſæ primæ exiſtentiam ſuo loco demonſtrabimus.
Scholium.
Obſeruabis primò rem quamlibet ideo deſtrui, quia ceſſat cauſa con­
ſeruans illam conſeruare; quippe quod deſtruitur eo inſtanti dicitur de­
ſtrui, quo primò non eſt, ſeu quo incipit primò non eſſe; atqui incipit
primò non eſſe ſeu deſinit eſſe, cum deſinit conſeruari.
Secundò obſeruabis præclarum naturæ inſtitutum, quod etiam ex ipſis
hypotheſibus conſtat, quo fit vt qualitates quæ carent contrario à cauſa
primò productiua conſeruentur, vt lumen; ne ſi ab alia conſeruarentur,
deſtruerentur vmquam; cum earum deſtructionem nihil exigeret per
Ax.14.n.2. & 3. at verò qualitates, quæ contrarias habent: ſi quæ ſunt,
à cauſa primò productiua minimè conſeruantur; cum enim ideo con­
trarium dicatur deſtruere contrarium, quia exigit eius deſtructionem, id
eſt, ne conſeruetur amplius; certè vt cauſa conſeruans ceſſet conſeruare,
debet noſſe illam exigentiam; atqui nulla cognitione pollent cauſæ illæ
motrices naturales, de quibus eſt quæſtio.
Theorema 147.
Tamdiu conſeruatur impetus, quamdiu nihil exigit eius destructionem; quia
deſtruitur tantùm ad exigentiam alicuius, quidquid tandem illud ſit, de
1quo infrà, per Ax.14.num.2. certè tamdiu non deſtruitur, quamdiu nihil
eſt, quod exigat eius deſtructionem; igitur tamdiu conſeruatur per Ax.
14.num.3.
Corollarium 1.
Inde certa ducitur ratio, cur mobile etiam ſeparatum à manu mouea­
tur; quia ſcilicet ipſi adhuc ineſt impetus, qui eſt cauſa motus; quippe
ſuppoſui iam antè de hac hypotheſi quod ſit, non tamen propter quid ſit;
igitur hæc eſt germana illius ratio & cauſa.
Corollarium. 2.
Hinc etiam rationem ducemus æquè præclaram in lib.2. motus natu­
raliter accelerati.
Theorema 148.
Impetus productus aliquando deſtruitur; Probatur, quia mobile, quod
antè mouebatur, deſinit tandem moueri per hyp. 4. igitur deſtruitur
impetus; alioqui ſi remaneret, eſſet cauſa neceſſaria ſine effectu contra
Ax.12. ideo porrò deſtruitur, quia aliquid exigit eius deſtructionem,
quippe hæc eſt vnica deſtructionis ratio per Ax.14. num.2.
Theorema 149.
In lineis oppoſitis impetus deſtruitur ab impetu ſuo modo; ſit enim globus
proiectus verſus auſtrum; cui deinde imprimatur nouus impetus ver­
ſus Boream; deſtruitur prior vt conſtat, igitur ad exigentiam alicuius,
ſed nihil eſt quod poſſit exigere, niſi nouus impetus, ſcilicet mediatè;
nihil enim aliud eſt applicatum, igitur nihil aliud exigit per Ax. 10.
hæc porrò exigentia non eſt immediata, ſed mediata, vt dixi.
Theorema 150.
Impetus naturalis innatus exigit deſtructionem alterius, qui ab extrinſeco
ad diuerſam lineam corpori graui impreſſus eſt ſcilicet mediatè, experientia
certa eſt in proiectis, quæ tandem quieſcunt; igitur ad exigentiam ali­
cuius, ſed illud tantùm eſt impetus innatus; nec enim eſt ſubſtantia
corporis; tùm quia qualitas ſubſtantiæ non opponitur; tùm quia nulla
eſſet ratio, cur ſubſtantia deſtrueret potiùs vno inſtanti vnum gradum,
quàm duos, quàm tres; adde quod ex duobus violentis oppoſitis alte­
rum deſtruit; igitur impetus eſt cauſa ſufficiens deſtructiua impetus,
igitur non eſt ponenda alia, eo ſcilicet modo, quo diximus.
Theorema 151.
In reflexione deſtruitur aliquid impotus ſaltem per accidens; patet expe­
rientia, ſiue propter nouam determinationem, ſiue propter attritum,
vel preſſionem partium, de quo infrà.
Theorema 152.
Hinc ſi excipias tantùm impetum naturalem innatum, qui per ſuam de­
terminationem neceſſariam, & quam nunquam mutat, pugnat cum omni
1extrinſeco ad aliam lineam determinato, & cum ipſo acquiſito, quando mu­
tat lineam perpendicularem deorſum, de quo infrà; ſi hunc igitur excipias,
omnes aly pugnant tantùm ratione diuerſæ lineæ, ſeu determinationis, in eodem
mobili: Vnde ille idem, qui modo pugnat probè conueniet, ſi ad ean­
dem lineam determinetur.
Scholium.
Obſeruabis primò, præclarum naturæ inſtitutum, quo fit, vt impe­
tus perennis non ſit; vnde certè infinita propemodum emergerent ab­
ſurda, & incommoda.
Secundò, faciliorem modum deſtructionis impetus inſtitui non po­
tuiſſe, immò nec excogitari poſſe; quàm enim facilè, vel impetus op­
poſitus in mobili producitur, vel corpus durum opponitur &c.
Tertiò, præcipuam rationem huius deſtructionis ducendam eſſe ex
Ax.6. in quo dicimus nihil eſſe fruſtrà, cumque ordinem à natura eſſe
inſtitutum, vt potiùs aliquid deſtruatur, & deſinat eſſe, quàm fruſtrà ſit,
& dicimus deſtrui ad exigentiam totius naturæ.
Quartò, cum impetus ſuo fine caret, fruſtrà eſt; finis impetus eſt mo­
tus, vt ſæpè diximus, ſic cum globus impactus in alium æqualem ſtatim
ab ictu ſiſtit immobilis; certe ne fruſtrà ſit impetus, deſtruitur per Ax.6.
& per Ax. 14. num.2. cum verò determinatio altera maior eſt, certè præ­
ualet tantùm pro rata; igitur minor eſt motus; igitur, ne aliqui gradus
impetus ſint fruſtrà, deſtruuntur, cum verò ſunt duo impetus in eodem
mobili, vt in naui mobili ad lineas oppoſitas determinati; haud dubiè
maior impetus præualet pro rata per Ax. 15. Igitur non modò totus
impetus minor perit, ne ſit fruſtrà; ſed etiam aliquot gradus maioris, ne
ſint etiam fruſtrà; nec enim in communem lineam coïre poſſunt.
Denique quando ſunt duo impetus ad lineas diuerſas determinati,
ſed non oppoſitas ex diametro, pugnant pro diuerſo oppoſitionis gradu,
vt ſuprà fusè dictum eſt. Igitur cum totus impetus non habeat totum
motum, quod duplex illa determinatio impedit, ne aliqui gradus
ſint fruſtrà, deſtruuntur; igitur vides impetum impreſſum ab ex­
trinſeco deſtrui tantùm ne ſit fruſtrà; faceret enim vt eſſet fruſtrà vel
nouus impetus, vel determinato noua, & in hoc ſenſu dicitur impetus
deſtrui ab impetu.
Quintò, ſi deſtrueretur mobile, etiam deſtrueretur impetus per idem
Ax. 6. quia eſſet fruſtrà ſeparatum; immò ex hoc vno principio demon­
ſtramus accidentia & formas ſubſtantiales materiales non poſſe natura­
liter conſeruari extra ſuum ſubiectum, quia ſcilicet eſſent fruſtrà; quip­
pe finem ſuum habent in ſubiecto.
Sextò, Impetus naturalis innatus nunquam deſtruitur; quia nunquam
eſt fruſtrà; quippe ſemper habet alterum ſuorum effectuum formalium,
id eſt vel motum deorſum, vel grauitationem, adde quod fruſtrà de­
ſtrueretur, cum ſit ſemper applicata potentia, id eſt ipſa grauitas, ſed de
his infrâ fusè.
1
Septimò, Impetus ſurſum deſtruitur etiam, quia eſt fruſtrà; quippe
naturalis detrahit aliquid ſpatij pro rata; igitur ne aliquid impetus ſit
fruſtrà, deſtruitur; idem dico de impetu per inclinatam ſurſum, licèt
minùs deſtruatur quàm in perpendiculari ſurſum; idem de impetu per
inclinatam deorſum, ſed minùs adhuc, ſed hæc acuratiori meditationi
ſunt relinquenda; quod reuerâ præſtabimus in lib.4. de motu mixto;
quidquid ſit, conſtat ex dictis per idem Principium probari poſſe de­
ſtructionem impetus, ſcilicet ne ſit fruſtrà; ſed de his aliàs fusè.
Theorema 153.
Impetus productus ab extrinſeco eſt tantùm contrarius ratione diuerſæ de­
terminationis, ſeu diuerſæ lineæ; Probatur primò, quia vterque ad omnem
lineam eſt indifferens per Th.113. igitur vnus non eſt alteri contrarius
ratione entitatis; cùm vterque ſimilem motum, immò eundem habere
poſſit, vt patet ex dictis: Igitur ratione tantùm lineæ vnus alteri eſt
contrarius; hinc minùs eſt contrarietatis, quo minùs eſt oppoſitionis
inter lineas & contrà.
Theorema 154.
Impetus naturalis acquiſitus eſt tantùm contrarius alteri extrinſeco ratio­
ne lineæ. Probatur eodem modo; quia determinari poteſt ad omnem li­
neam, vt patet ex reflexione grauis cadentis.
Theorema 155.
Impetus naturalis innatus non eſt tantùm contrarius ratione lineæ; quia
ſcilicet non poteſt determinari ad omnem lineam, patet, alioquin cor­
pus graue, quod ſurſum poſt caſum reflectitur non deſcenderet amplius,
de quo aliàs, hæc enim curſim tantùm perſtringo, ne quid aliis libris
detrahatur.
Theorema 156.
Impetus ex naturali acquiſito poteſt fieri violentus; vt patet in motu re­
flexo grauium; ratio eſt. quia mutatur linea.
Theorema 157.
Impetus ex non contrario eidem fit contrarius; vt patet in eodem caſu;
nam impetus naturalis innatus, qui in deſcenſu non erat contrarius
acquiſito, in motu ſurſum reflexo fit contrarius.
Theorema 158.
Impetus deorſum ab extrinſeco non eſt contrarius naturali innato ratione
lineæ, quia ſcilicet eſt determinatus ad eandem lineam, ſi tamen eſt con­
trarius, id tantùm eſt ratione propagationis impetus acquiſiti, vel ac
celerationis motus; quod reuerà multa, & benè longâ explicatione indi­
get, quam conſule in lib.4.
Scholium.
Obſeruabis cognoſci tantùm contrarietatem qualitatum ex mutua de­
ſtructione; cur verò vna qualitas dicatur deſtruere aliam, & cur illam
1deſtructionem exigat; maximum myſterium eſt, quod alibi enucleabi­
mus; quàm multa enim ſuper hac re tacuere Philoſophi!
Theorema 159.
Impetus ſibi ipſi poteſt reddi contrarius, vt reuerâ accidit in reflexione,
in qua deſtruitur impetus ex parte propter diuerſas determinationes;
cum ſcilicet corpus reflectens mouetur; igitur impetus prout determina­
tus ad lineam incidentiæ eſt aliquo modo ſibi ipſi contrarius, prout eſt
determinatus ad lineam reflexionis.
Iam ferè tumultuatim, ſi quæ ſunt reliqua, Theoremata congeremus.
Theorema 160.
Impetus violentus intendi poteſt à naturali, & viciſſim; patet in projectis
deorſum.
Theorema 161.
Idem impetus poteſt eundem alium aliquando plùs, aliquando minùs
intendere. v. g. 4. gradus impetus additi aliis 4. per eandem lineam
iidem eiſdem, minùs intendunt, vt iam ſuprà ſatis fusè dictum eſt.
Theorema 162.
Impetus dici poteſt propriè deſtrui ad exigentiam totius naturæ per Ax.14.
num.2. vt conſtat ex multis Theorematis ſuperioribus.
Theorema 163.
Omnis dici debet incipere, & deſinere intrinſecè, & extrinſecè; quod enim
hoc inſtanti primo eſt, immediatè antecedenti vltimo non fuit, & quod
primo non eſt hoc inſtanti, immediatè antè vltimo fuit, nec poteſt eſſe
immediatè pòſt, niſi ſit immediatè antè, & viciſſim.
Theorema 164.
Ideo producitur hic impetus numero potiùs, quàm alius omninò ſimilis; quia
potentia motrix eſt determinata ad tale indiuiduum ſiue à ſe, ſiue ab
alio; idem enim de illa dicendum eſt, quod de aliis cauſis naturalibus;
porrò idem dici debet de deſtructione, quod de productione.
Scholium.
Obſeruabis breuiter aliqua, quæ fortè in noſtris Theorematis fuere
omiſſa.
Primò qualitates, quæ à cauſa primò productiua conſeruantur, ab ea
intendi non poſſe; quia ſingulis inſtantibus nouum effectum non pro­
ducit; exemplum habes in luce; ſecus vero de iis dicendum eſt, quæ à
cauſa primò productiua non conſeruantur.
Secundò qualitates, quæ contrarias habent, etiam deſtrui poſſe ab
alio, quam ab iis, ſcilicet ad exigentiam totius naturæ; ne ſcilicet ſint
fruſtrà.
Tertiò aliqua carere contrario, non tamen conſeruari à cauſa primò
productiua. v.g. anima bruti, quæ deſtruitur ad exigentiam totius natu­
ræ, nç ſit fruſtrà.
1
Quartò, impetum intenſiorem in projectis diutiùs durare; quia cum
ſenſim deſtruatur; certè plures partes maiori tempore deſtruuntur, quàm
pauciores.
Quintò, ſi totus impetus deſtrueretur vno inſtanti, minima reſiſtentia
ſufficeret ad motum impediendum: adde quod contraria pugnant pro
rata per Ax.15.
Sextò, obſeruabis plurima in hoc libro quaſi obiter eſſe indicata, quæ
in aliis fusè explicata maiorem lucem accipient.
Septimò, denique totam rem iſtam, quæ pertinet ad impetum paulò
fuſius pertractatam in hoc primo libro; quòd ſcilicet ab ea reliqua ferè
omnia pendeant, quæ in hoc tractatu habentur; ſed de his ſatis.
16[Figure 16]
1 17[Figure 17]
LIBER SECVNDVS,
DE MOTV NATVRALI.
MOtus localis naturalis latè ſumptus eſt,
qui ab aliqua causâ naturali ponitur;
ſtrictè verò ſumitur pro motu grauium
deorſum, à principio intrinſeco ſaltem
ſenſibiliter; In hoc vltimo ſenſu mo­
tum naturalem vſurpabo; ſit ergo.
DEFINITIO 1.
MOtus localis naturalis eſt, qui eſt à grauitate deorſum. hæc defini­
tio vix aliqua explicatione indiget; dicitur eſſe à grauitate,
quidquid ſit grauitas, ſiue qualitas diſtincta, ſiue non.
Definitio 2.
Motus æquabilis eſt, quo æqualibus quibuſcumque temporibus æqualia per­
curruntur ſpatia ab eodem mobili.
Definitio 3.
Motus naturaliter acceleratus eſt, quo ſecundo tempore æquali primo ma­
ius ſpatium acquiritur, & tertio, quàm ſecundo, & quarto quàm tertio, atque
ita deinceps; nulla ſcilicet addita vi ab extrinſeco ſaltem ſenſibiliter.
Definit aliter hunc motum Galileus; dicit enim eum eſſe, qui æquali­
bus temporibus æqualia acquirit velocitatis momenta; ſed profectò non
conuenit hæc definitio omni motui naturaliter accelerato, v. g. motui
deſcenſus funependuli, vel in orbe cauo, vel etiam in plano decliui ma­
ximæ longitudinis; definitio noſtra clarior eſt.
Hypotheſis 1.
Corpus graue cadit deorſum, & cadens ex maiori altitudine maiorem ictum
infligit quam ſi caderet ex minore; ſi quis hoc neget hoc probet, patet ma­
nifeſta experientia.
1
Hypotheſis 2.
Arcus maior & minor eiuſdem funependuli æqualibus ferè temporibus,
percurruntur; hæc etiam ſæpiùs probata eſt, & ſi quis fidem detrectat,
probare conetur.
Hypotheſis 3.
Globus per planum inclinatum læuigatum deſcendens ſecundum ſpa­
tium citiùs percurrit, quàm primum; quod etiam ſenſu percipi poteſt,
& tam ſæpè probatum eſt, vt nemo iam negare audeat motus naturalis
accelerationem.
Hypotheſis 4.
Omne tempus ſenſibile non eſt; idem dico de ſpatio, quod nemo etiam
negare auſit; alioquin ſi quis negaret, dicat mihi quæſo quot ſint in mi­
nuto horæ inſtantia? quot in apice acus puncta?
Axioma 1.
Impetus additus alteri, & determinatus ad eandem lineam, facit maiorem
& intenſiorem impetum; patet, & viciſſim, & detractus alteri minorem
facit, & viciſſim.
Axioma 2.
Quâ proportione creſcit cauſa, eâdem creſcit effectus, & viciſſim, ſi eodem
modo eidemque ſubjecto ſit applicata, probatur per Ax.12. l. 1. & quâ pro­
portione illa decreſcit, hic decreſcit, & viciſſim.
Axioma 3.
Eadem cauſa neceſſaria non impedita ſubjecto apte applicata æqualibus
temporibus æqualem effectum producit, & contrà. Probatur per Ax.12.l. 1. &
viciſſim æqualis effectus ſupponit æqualem cauſam.
Axioma 4.
Ille effectus, qui non producitur à causâ primâ, & ad cuius productionem
nulla cauſa extrinſeca eſt applicata, producitur ab intrinſeco; probatur, quia
habere debet aliquam cauſam per Ax.8.
Axioma 5.
Illa cauſa plus agit proportionaliter quæ habet minorem reſistentiam; minùs
verò, quæ maiorem, quæ demum æqualem, æquali proportione agit. v.g. cauſa,
cuius virtus, vel actiuitas eſt vt 20. & reſiſtentia vt 10. agit in maiori
proportione, quàm illa cuius actiuitas eſt 30. & reſiſtentia 20. in minori
verò quàm ea, cuius actiuitas eſt vt 3. & reſiſtentia vt 1. in æquali de­
nique cum illa, cuius actiuitas eſt vt 4. & reſiſtentia vt 2.
Hoc Axioma certiſſimum eſt; quippe 20. faciliùs ſuperabunt 10. quàm
30. 20. & difficiliùs quam 3. 1. & æquè facilè, ac 4. 2. In motu locali
res eſt clariſſima; quippe vires vt 12. tam facilè mouebunt 12. libras,
quàm vires vt 4. 4.libras; ſed faciliùs, quàm vires vt 20. 30.libras, & dif­
ficiliùs quàm vires vt 4. 3. libras; quid clarius? Igitur illa cauſa faciliùs
1ſuperat reſiſtentiam impedimenti, quæ habet maiorem proportionem
virium cum reſiſtentia, quàm quæ minorem.
Scholium.
Si quando appellandum erit aliquod Axioma vel Theorema lib. 1.ci­
tabitur Liber.
Theorema 1.
Datur motus localis naturalis, iſque ab intrinſeco. Probatur; corpus gra­
ue mouetur localiter deorſum per hypoth. hic motus eſt ab intrinſeco,
quod probatur; non eſt ab vllâ causâ extrinſecâ; igitur eſt ab intrinſeca
per Ax.4. antecedens probatur inductione factâ omnium extrinſecorum.
Primò non eſt à cauſa prima, vt aliquis fortè minùs prudenter, & magis
piè, quàm par ſit, diceret; quia ille effectus tribui tantùm debet cauſæ
primæ, qui nullam habere poteſt cauſam ſecundam applicatam, vt patet;
ſed hic effectus poteſt habere cauſam ſecundam applicatam, quam aſſi­
gnabimus infrà; deinde cauſa prima agit tantùm naturaliter iuxta exi­
gentiam cauſarum ſecundarum; igitur ideo moueret corpus graue deor­
ſum; quia tunc motum corpus graue exigeret; ſed hoc mihi ſufficit, vt
dicatur hic motus eſſe ab intrinſeco; præterea, ſi dicatur Deus mouere
corpus graue deorſum iuxta illius exigentiam, dicetur etiam tùm cale­
facere, tùm illuminare, ad exigentiam ignis; quippe tàm mihi ſenſibile
eſt corpus graue deſcendere ſine vi impreſſa ab extrinſeco, quàm ignem
calefacere, & ſolem lucere ſine vi extrinſeca; adde quod illud ſolenne
eſt naturæ inſtitutum, vt id, quod exigit res aliqua ad finem ſuum conſe­
quendum, per virtutem intrinſecam poſſit ponere, ſi dumtaxat excipias
concurſum diuinum, & ipſam conſeruationem; ſic animal exigit vide­
re, audire, ſentire, moueri; igitur habet virtutem intrinſecam, per quam
videat, audiat, & moueatur; ſic ignis exigit calefacere, lucere; aër, vel aqua
frigefacere, quidquid tandem ſint iſtæ qualitates, de quibus alibi; ſic
demum corpus graue exigit moueri deorſum; quis enim neget corpori
graui tàm natiuum eſſe tendere deorſum, cum ſcilicet corpus leuius ſub­
eſt, quàm ſit animali progredi, vrere igni, lucere, &c.
Denique ſatis eſt mihi, vt dicatur aliquid cauſa, Phyſicè loquendo, ſi
ex illius applicatione ſemper ſequatur effectus; nam non nego poſſe fie­
ri effectus omnes, qui noſtris ſenſibus ſubiiciuntur, ſaltem extrinſecos,
eſſe à cauſa prima, quippe ſi ſemper ex ignis applicatione Deus diffun­
deret lucem, & calorem, quem ſolus ipſe produceret, igne ipſo inerte re­
licto, nullam prorſus mutationem perciperemus; & nemo eſſet, qui non
exiſtimaret lucem hanc & calorem hunc eſſe ab igne; igitur Phyſicè lo­
quendo cauſam appellamus id, ex cuius applicatione ſemper ſequitur
effectus, vt iam diximus in Ax. 11.l.1. n.1. Igitur cum ex corpore graui
poſito in aëre libero ſequatur motus deorſum; dicendum eſt, Phyſicè lo­
quendò, eſſe huius motus cauſam, id eſt in ordine ad Phyſicam, perinde
omninò ſe habere, atque ſi eſſet cauſa, licèt cauſa non eſſet.
1
Secundò hic motus non eſt ab aëre ambiente; probatur, ruderet aër
deorſum corpus graue, quia leuior eſt, id eſt ne ſuprà ſe corpus grauius
haberet; ſed eâdem ratione corpus graue debet remouere ſurſum aëra,
id eſt corpus leue, ne infrà ſe habeat corpus leuius; eſt enim par omni­
nò ratio: Præterea ſi aër trudit deorſinn corpus graue, quia ipſi loco
cedit; certè ipſe aër mouetur, igitur ab intrinſeco; ſi enim vna pars aë­
ris pellit aliam, & hæc aliam, tandem ad aliquam peruenitur, quæ ſe ip­
ſam mouet; igitur motus illius eſt ab intrinſeco; igitur motus natura­
lis; deinde non modò lapis deſcendit per aëra, ſed per mediam aquam;
igitur ſi ab aëre truditur deorſum, idem dicendum eſt de aquâ, a qui
haud dubiè maiore vi truderetur; nam corpus denſum maiore vi pellit,
quàm rarum, vt conſtat exprientiâ; cum tamen corpus graue per me­
dium denſius difficiliùs decendat; igitur medium ipſum reſiſtit motui,
quis hoc neget? igitur non eſt cauſa motus, quem impedit.
Denique ſi corpus graue non tendit, fertur que deorſum ſuá ſponte,
ſed ab aëre extruſum; igitur dum vix ſuſtineo manu; o. libras ferri, ſeu
plumbi; hæc vis illata manui, quam probè ſentio, eſt ab aëre impel­
lente plumbum, quod eſt ridiculum, cum eadem quantitas aëris incu­
ber, & ſubſit manui, ſiue ſuſtineat plumbum, ſiue ſit vacua; ex hoc, ni
fallor, euincitur pondus ipſum ſui ſponte deorſum tendere.
Tertiò non deſunt, qui dicant corpus graue trahi ab ipſa vi quadam
magneticâ, quod triplici modo fieri poteſt; Primò per qualitatem
quamdam diffuſam, quod dici non poteſt; quia capillus traheretur faci­
liùs, quàm ingens ſaxum, quàm maſſa, ſeu lamina; & faciliùs eadem po­
tentia motrix minus pondus moueret quàm maius, cæteris paribus; præ­
terea manum meam æqualiter traheret, ſiue ſit cum aliquo pondere con­
iuncta, ſiue ſit nuda ſine pondere; deinde illa virtus tractrix ita diffun­
ditur, vt in maiori diſtantia ſit infirmior, fortior in minori; alioqui
diffunderetur in infinitum, quod dici non poteſt; igitur ſi idem lapis
demittatur ex maiore altitudine, tum ex minore; haud dubiè morus ille
primus initio eſſet tardior iſto contra experientiam; deinde in ſpecu al­
tiſſima ſubterranea trahi poſſet corpus vndequaque, ſicut in magnete;
quæ omnia intelligi non poſſunt; denique virtutes illas ſeu qualitates
tractrices refellemus ſuo loco.
Secundò, aliqui dicunt hoc totum fieri per vim quamdam ſympathi­
cam, quod etiam falſiſſimum eſt; tùm quia hæc ſympathia explicari
non poteſt; tùm quia vel terra ipſa producit aliquid in corpore graui,
quod in aëre libratur; vel corpus in ſe ipſo; ſi primum; refellitur iiſ­
dem omninò rationibus, quibus ipſam vim terræ tractricem ſuprà expu­
gnauimus; ſi verò ſecundum, hoc ipſum eſt, quod ſuprà diximus.
Tertiò, Dixere aliqui ſubtiliùs profectò quàm veriùs, corpus graue
trahi deorſum, non vi quadam occultâ, vt ſuprà dictum eſt; ſed filamen­
tis quibuſdam, ſeu ductili terræ profluuio, quod illius capillitium vo­
cant; idque tantùm fieri probant ducta ab electro analogiâ, quod pa­
leam & minutiora corpuſcula hac eâdem arte trahit; ſed profectò gra-
1uiores ſunt difficultates, quam vt illis fieri ſatis queat; nam primò cor­
pus leuius ab his filamentis abripi faciliùs poſſet, vt conſtat in electro;
igitur citiùs deſcenderet.
Secundò, corpus vicinius etiam faciliùs abriperetur.
Tertiò, numquid flante vento, vel imbre cadente diſſipantur hæc fi­
lamenta? quod etiam videmus in electro.
Quartò, manum meam æquè facilè traheret terra his funiculis ſeu
pondere grauatam, ſeu vacuam.
Quintò, quemadmodum electrum ex omni parte trahit, ita terra ipſa
per omnem lineam traheret; immò etiam ſurſum in ſubterranea ſpecu,
quod eſt abſurdum.
Sextò, hæc filamenta, quæ deinde reducuntur, debent habere cau­
ſam huius reductionis non extrinſecam; igitur intrinſecam; igitur datur
motus naturalis.
Septimò, hæc filamenta per mediam flammam non traherent, quod
etiam fieri videmus in electro.
Quartò, motus naturalis non eſt à virtute quadam pellente, quam
cælo quidam affingunt; nam vel ab omni parte cæli deorſum trudere­
tur, vel ab vnâ; ſi ab vna; igitur in omni cæli plaga corpus non fertur
deorſum; ſi ab omni, ergo cum pellatur corpus per plures lineas etiam
oppoſitas moueri non poteſt: Præterea debilior eſſet hæc vis in maiori
diſtantiâ; denique vapores, & alia minutiora corpuſcula in aëre fluitan­
tia faciliùs deorſum truderentur, contra experientiam.
Sed non eſt omittendum, quod aliqui putant ex illis filamentis con­
texi poſſe legitimam rationem, cur atomi etiam plumbeæ materiæ non
ita facilè deſcendant; quòd ſcilicet propter ſuam tenuitatem ab illis fi­
lamentis non ita intercipi vel implicari poſſint; ſed quaſi piſces per fo­
ramina retium euadant; ſed profectò longè alia ratio eſt, quàm ſuo loco
afferemus, nam etiam plumæ, feſtucæ, paleæ, & alia corpuſcula longio­
ra, ſed leuiſſima iis filamentis implicarentur, vt videre eſt in electro.
Quintò, aliqui recentiores exiſtimant corpora deorſum trudi ab
ipſa luce, quæ nihil eſt aliud, quam motio æthereæ cuiuſdam ſubſtan­
tiæ per poros aëris traductæ, vt ipſi volunt; ſed neque hoc probari po­
teſt. Primò quia de nocte corpora æquali motu deorſum feruntur; pe­
rinde atque de die, nec minùs in obſcuriſſimo conclaui, quàm ſub dio,
vel aperto cælo. Secundò, in ſubterraneis locis etiam grauia æquè veloci­
ter deſcendunt; licèt eò lumen non penetret; quod ſi aliquis obſtinatè,
id aſſereret; haud dubiè per medium aëra maior huius materiæ copia
diffunditur, quàm per medias rupes, quis hoc neget; igitur pauciſſimi
radij vſque ad interius & inferius antrum perueniunt. Tertiò, manum
meam ſiue ponderi coniunctam ſiue ab eo ſeparatam æqualis portio illius
materiæ deorſum pelleret, vt patet; igitur æquali motus vi. Quartò, cor­
pus diaphanum, per cuius poros facilè traiicitur hæc materia, eſſet leuius
alio quod tamen falſum eſt, vt videre eſt in vitro, cryſtallo, adamante,
glacie. Quintò maxima huius materiæ copia collecta ſeu ſpeculi opera
1ſeu vitri, maiore vi corpora deorſum truderet; quia maior cauſa maio­
rem effectum producit per Ax.2. Sextò poſt refractionem lineam mutat
radius luminis; igitur deorſum rectà non pelleret. Septimò radij traie­
cti per vitrum maiore vi deorſum pellerent quàm per lignum, vel ſpon­
giam; quippè per hæc corpora traiecti ſecundum authores huius ſenten­
tiæ diſtrahuntur propter obliquitatem pororum. Octauò denique radij
profecti à Sole iuxta ortum, vel occaſum ſunt valdè obliqui; igitur non
truderent deorſum rectà.
Nec eſt quod prædicti àuthores confugiant ad experientiam, qua
ſcilicet videmus tripudiantes atomos in radio ſolari immerſas; igitur
agitantur ab ipſo radio, quod maximè accidit in linea vſtoria, cuius
effectus veriſſimam rationem ſuo loco afferemus, cum de lumine.
Sextò, ſunt denique multi, iique ex ſeuerioribus Peripateticis, qui
exiſtimant grauia moueri deorſum à generante, quod expreſſis verbis
traditum eſt ab Ariſtotele l.8. phyſ. cap.4. iuxta principium illud vniuer­
ſaliſſimum; Quidquid mouetur; ab alio mouetur; ſed profectò ij ipſi, qui
motum grauium generanti tribuunt, tanquam principi cauſæ, non ne­
gant ineſſe grauibus grauitatem, quæ ſit principium actiuum minus
principale motus; ad quem etiam, vt ipſi exiſtimant, forma ſubſtantialis
concurrit; In hoc quippe conueniunt omnes tùm ſectarum Principes,
tùm recentiores: quidquid ſit etiam ex iis ipſis datur motus naturalis,
qui eſt à virtute proxima intrinſeca; hoc ipſum etiam ſenſit Ariſtoteles
lib.4. de cælo cap. 3. t. 25. vbi ait grauibus & leuibus ineſſe principium
actiuum ſuorum motuum; immò ſi totum cap.4. l.8. phyſ. attentè lega­
tur, vbi dicit moueri à generante, haud dubiè intelligetur nihil aliud in­
tendiſſe Ariſtotelem quàm grauia à generante, inſtanti, quo generan­
tur, accipere actum primum huius motus; id eſt virtutem, à qua poſ­
ſint reduci ad actum ſecundum, id eſt ad ipſum motum, de cuius rei ve­
ritate iam mihi non eſt laborandum.
Igitur non mouetur corpus graue à cauſa primâ, licèt hæc concurrat
cum aliâ ad eius motum, nec ab aëre, nec à virtute magnetica, quæ in­
ſit terræ, nec adductis, reductiſque filamentis, nec à cælo pellente, nec
à vi ſympathicâ, nec à generante proximè & immediatè; quia fortè iam
interiit, nec ab vllo alio extrinſeco, vt conſtat inductione; igitur ab ali­
quâ vi intrinſecâ, quidquid ſit, de qua alibi: hæc omnia paulò fuſiùs
tractauimus, quia in hoc vno Theoremate totam motus naturalis rem
verti iudicamus.
Theorema 2.
Motus naturalis est aliquid distinctum realiter à mobili: Probatur;
mobile ipſum aliquando quieſcit per hypoth.4.lib.1. igitur eſt ſine mo­
tu; igitur ſeparatum à motu; igitur realiter diſtinctum per Ax.2. lib.1.
hoc etiam probatus per Th. 1.lib. 1. Et certè mirari ſatis non poſſum
aliquos recentiores non poſſe concipere, vt ipſi aiunt, motum eſſe ali­
quid ab ipſo mobili diſtinctum; nam quotieſcunque duo prædicata, vel
1attributa contradictoria, quorum ſcilicet vnum negat aliud, eidem ſub­
jecto diuerſis temporibus ineſſe dicuntur, haud dubiè alterum ſaltem ab
eo diſtingui realiter neceſſe eſt; alioqui ſi vtrumque idem eſſe cum vno
tertio vere dicitur; mouetur, non monetur, quæ ſunt prædicata contradi­
ctoria; igitur vel moueri, vel non moueri dicit diſtinctum realiter à mo­
bili; Secundum eſt mera negatio; nam eo ipſo, quod mobile eſt ſine vllo
addito, non mouetur; igitur ſuprà ipſum mobile dicit puram putam ne­
gationem motus; igitur moueri, dicit aliquid diſtinctum.
Præterea quotieſcunque prædicatum aliquod tribuitur in propoſi­
tione affirmatiua falsâ; certè prædicatum illud non ineſt ſubiecto; alio­
quin eſſet vera, vt patet; igitur diſtinguitur à ſubiecto realiter; ſed hæc
propoſitio, lapis mouetur, dum ipſe quieſcit, eſt falſa; igitur motus non
ineſt mobili, igitur ab eo diſtinguitur realiter, ſeu modaliter, quæ eſt
diſtinctio realis minor.
Theorema 3.
Metus naturalis non eſt immediatè ab entitate mobilis, ita vt nihil ſit aliud
vnde ſit hic motus: Probatur; lapis cadens ex maiore altitudine maiorem
ictum infligit perhypoth. 1. maior eſt effectus, igitur maior cauſa, id eſt
motus; igitur cauſa motus per Ax.2. ſed eſt eadem entitas mobilis, vt
patet; igitur non eſt cauſa immediata motus; Præterea globus per pla­
num inclinatum deuolutus ſuum motum accelerat per hypotl. 3. & fune­
pendulum ſuam vibrationem per hypoth. 2. igitur debet eſſe cauſa huius
maioris, ſeu velocioris motus per Ax.8. lib. 1. hæc porrò non eſt ſub­
ſtantia ipſius corporis, quæ ſemper eadem eſt, tùm initio, tùm in fine
motus per Ax.2.
Theorema 4.
Motus naturalis non eſt immediatè ab ipſa grauitate. Probatur, ſint
enim eædem hypoth.1.2.3. igitur maior ictus in fine motus, & velocior
motus debent habere cauſam; ſed hæc grauitas non eſt, quæ ſemper ea­
dem eſt, vt patet, vtrum verò diſtinguatur grauitas ab ipſa corporis
ſubſtantia diſcutiemus in tractatu ſequenti. Fuit aliquis non infimæ no­
tæ Philoſophus, qui diceret maiorem illum ictum eſſe ab ipsâ corporis
ſubſtantiâ; ſed hoc iam refellimus Theoremate 4. lib.1. Adde quod im­
petu, ad extra producitur ab alio impetu per Th.42.lib.1. Dicebat etiam
velociorem motum eſſe ab ipsâ grauitate connotante præuium motum,
quod etiam refellemus infrà.
Theorema 5.
Hinc motus naturalis eſt ab impetu. Probatur; eſt ab aliqua cauſa per
Ax.8. lib.1. ab aliqua intrinſeca per Th. 1. non à ſubſtantia corporis
grauis per Th. 3. non à grauitate per Th. 4. igitur ab impetu, quia
nihil aliud eſſe poteſt intrinſecum, à quo ſit motus per definitionem
3. lib. 1.
1
Theorema 6.
Ille impetus ab aliqua cauſa producitur. Probatur, quia quidquid de no­
uo eſt, habet cauſam per Ax.8. lib. 1.
Theorema 7.
Producitur ab aliqua cauſa intrinſeca, quia non producitur ab aliqua
extrinſeca; alioquin motus naturalis eſſet ab extrinſeco contra definitio­
nem primam, & Th.1.
Theorema 8.
Hinc produci tantùm poteſt ab ipſa ſubstantia corporis grauis; nam graui­
tas eſt ipſe impetus innatus, de qua infrà: probatur; quia nihil eſt aliud in­
trinſecum, à quo produci poſſit; quòd autem non producatur ab alio im­
petu ad intra, patet per Th.41. lib. 1.
Theorema 9.
Impetus productus primo instanti durat proximè ſequenti. Probatur pri­
mò; quia ſemper habet ſuum effectum formalem; vel grauitationis, ſi
impeditur; vel motus in medio libero; igitur non eſt fruſtrà; igitur
non deſtruitur per Th.162.lib.1. nihil enim exigit deſtructionem; non
tota natura, quia non eſt fruſtrà per Ax. 6. non à contrario impetu, qui
ſæpè abeſt, vt cum liberè mouetur corpus graue in aëre, vel ſuſtinetur,
v.g. glans plumbea ab ingenti rupe: adde quod, licèt producatur in cor­
pore graui impetus violentus ſurſum, non deſtruitur, tamen innatus; alio­
quin nihil eſſet, quod deſtrueret violentum per Th.150. & Schol. Th.
152.num.6.lib.1.
Theorema 10.
Impetus ille innatus, qui durat ſecundo instanti, conſeruatur ab aliqua cau­
ſa; eſt certum per Ax. 14.lib.1.num.1.
Theorema 11.
Non conſeruatur à cauſa primò productiua. Probatur per Th.144. lib.1.
alioquin non poſſet intendi ab eadem cauſa per Th. 146. lib 1. quippè
conſeruatio nihil eſt aliud, quàm repetita productio, vt conſtat; nam
cauſa conſeruans verè influit; igitur ſi eſt cauſa neceſſaria primo, & ſe­
cundo inſtanti æquali niſu influit; influit enim quantum poteſt per Ax.
12.lib.1.quòd autem impetus intendatur, demonſtrabimus infrà; conſule
Schol.Th.146.lib.1.in quo habes rationem præclari natura inſtituti; quo
ſcilicet factum eſt, vt qualitates, quæ contrario carent à causâ primò pro­
ductiua; aliæ verò, quæ contrarium habent, ab alia causà conſer­
uentur.
Corollarium.
Hinc ab aliâ causâ conſeruari neceſſe eſt, vt patet, eáque aplicatâ per
Ax.10.lib.1. quæcumque tandem illa ſit; nos aliquando cauſam primam
eſſe dicemus.
1
Theorema 12.
Quando graue eſt in medio libero, per quod ſcilicet deſcendere poteſt, ſecun­
do instanti producitur nouus impetus, itemque tertio, quarto, quinto. &c. Pro­
batur primò; quia ſecundo inſtanti eſt eadem cauſa quæ primo non ma­
gis impedita, eáque neceſſaria; igitur neceſſariò agit per Ax. 12. lib.1.
igitur aliquem effectum producit; ſed hic effectus non eſt impetus pro­
ductus primo inſtanti, quia non conſeruatur à cauſa primò productiua
per Th.11. igitur eſt nouus. Probatur ſecundò; creſcit motus grauium in
libero medio per hypoth. 1.2.3. igitur creſcit impetus; quia cum motus
naturalis ſit ab impetu per Th.5. quâ proportione creſcit effectus, ſcilicet
formalis, & exigentiæ; ſic enim motus eſt effectus impetus per Th. 15.
lib.1.eàdem creſcit cauſa per Ax.2. Probatur tertiò, quia corpus graue ex
maiore altitudine cadens maiorem quoque ictum infligit per hypoth.1.
igitur maior impetus imprimitur in corpore percuſſo; ſed impetus ad ex­
tra producitur ab alio impetu per Th.42.lib.1. igitur ſi creſcit productus
inpetus, creſcit impetus producens.
Corollarium.
Hinc reiicies quorumdam placitum, qui volunt cauſam velocioris
motus eſſe grauitatem ipſam, quatenus connotat motum præuium; quia
ſcilicet grauitas non producit illum maiorem impetum ad extra, vt con­
ſtat; nec ſubſtantia ipſius corporis grauis per Th.40.lib.1.igitur ipſe im­
petus: præterea ſi hoc eſſet, fruſtrà requireretur impetus contra Th. 5.
Denique motus præuius nihil eſt amplius, cum alius ſuccedit: Vide Th.
40.lib.1. vbi hæc fusè diſcuſſimus.
Theorema 13.
Impetus productus ſecundo instanti in medio libero conſeruatur tertio, &
productus tertio conſeruatur, quarto, atque ita deinceps; quia ſcilicet nec con­
ſeruantur à cauſa primo productiua per Th.144.libri: nec aliquid exigit
deſtructionem; non contrarius impetus, quia nullus eſt applicatus, vt
conſtat; non reſiſtentia medij, quæ quidem alicuius momenti eſt; ſed
non tanti, vt impedire poſſit motum omninò, vt conſtat; nam ſuppono
liberum medium, igitur nec deſtruere impetum; cum tamdiu duret cau­
ſa quamdiu durat effectus, vt patet; igitur nihil eſt quod exigat impe­
tus huius deſtructionem; igitur non deſtruitur per Ax. 14. lib.1.
quanta verò ſit, & quid ſit cuiuſlibet medij reſiſtentia, dicemus
infrà.
Theorema 14.
Si impetus innatus impeditur, ita vt moueri non poſſit corpus graue, ſe­
cundo instanti non producitur nouus impetus. Probatur primò, non creſcit
corporis grauis ſeu grauitas, ſeu grauitatio, vt conſtat experientiâ; igitur
non creſcit impetus; alioquin ſi creſceret cauſa, creſceret effectus per
Ax.2. igitur de re, quòd ſit, certum eſt, atque euidens; iam demonſtratur
propter quid ſit; impetus ſecundo inſtanti productus eſſet fruſtrà; careret
1enim ſuo fine, vel effectu formali, id eſt motu; igitur eſſet fruſtrà, ſed
quod fruſtrà eſt, non eſt per Ax.6.l.1.
Scholium.
Obſerua quæſo, quod iam ſuprà indicatum eſt, eſſe tres veluti ſpecies
impetus. Prima eſt impetus naturalis innati. Secunda naturalis acquiſiti.
Tertia violenti; innatus eſt qui vel à generante ſimul cum corpore
graui productus eſt; quiſquis tandem ſit generans, de quo aliàs; vel ab
ipſo graui quaſi profunditur, id eſt, producitur in ſe ipſo ſtatim initio,
quo eſt; porrò cum in corpore graui duplex quaſi proprietas ſenſibilis
eſſe videatur, ſcilicet grauitas, ſeu pondus & motus deorſum; certè de­
bet eſſe in eo aliquid per quod tùm cognoſci poſſit eius pondus, tùm in­
cipiat moueri deorſum; quippe maximè corpora ex pondere cognoſci­
mus, vnumque ab alio diſtinguimus; igitur debet eſſe aliquid, quod ſen­
ſum afficiat, vt cognoſci poſſit; atqui illud ipſum non eſt ſubſtantia cor­
poris; nam corpus graue meæ manui ſuſtinenti impetum imprimit;
immò vim alterius impetus infringit; igitur operâ alterius per Th. 40.
& 42.lib.1. Præterea illud ipſum, quod agit, ſeu deorſum pellit ſuſtinen­
tem manum, eſt illud ipſum quod inclinat corpus graue deorſum imme­
diatè, ſeu quod exigit motum naturalem deorſum; illud autem quod
immediatè præſtat hunc motum, nec eſt ſubſtantia corporis grauis per
Th.3. igitur ipſe impetus per Th.5. adde quod primo inſtanti, quo eſt im­
petus, non eſt motus ille, quem exigit per Th.34. lib.1. igitur præexiſtit
ſemper impetus, qui ne ſit fruſtrà, habet primum effectum ſuum forma­
lem, id eſt grauitationem: Ex his dicendum eſt hunc impetum natiuum
nunquam deſtrui, quia nunquam eſt fruſtrà, habet enim ſemper aliquem
effectum, primum quidem ſi caret ſecundo; ſecundum verò ſi caret pri­
mo; quippe vtrumque ſimul habere non poteſt; nam corporis pondus
cognoſci non poteſt, dum fertur deorſum accelerato motu, quot verò,
& quanta commoda ex cognitione ponderis cuiuſlibet materiæ proce­
dant, vix explicari poteſt.
Ex his verò concludendum ſupereſt impetum innatum eſſe proprie­
tatem quarto modo, vt vulgò aiunt, corporis grauis; ac proinde ab illo
inſeparabilem; quid verò fiat de illo, cum corpus graue fit leue; ſi tamen
hoc aliquando accidit, dicemus cum de grauitate, & grauitatione, iam
verò ſatis eſt ad præſens inſtitutum impetum innatum ab ipſo corpori
graui nunquam ſeparari, quandiu remanet graue.
Impetus naturalis acquiſitus producitur ab eodem principio intrin­
ſeco; hinc dicitur naturalis: dicitur verò acquiſitus, quia non eſt inna­
tus; ſed ſeparatur à corpore graui; quod ſemper eo caret, quandiu
quieſcit: ſed innato tantùm accedit ad motus accelerationem, & ad alia
quamplurima, quæ ex ea ſequuntur; putà maiorem percuſſionem, reſi­
ſtentiam, vim, & ad tollendum totius naturæ languidiorem; quo certè af­
ficeretur, ſi corpus graue tardiſſimo motu deorſum ferretur, de quo in­
frà; Porrò impetus acquiſitus in multis differt ab innato; primò quia
1deſtruitur à corpore reſiſtente eo modo, quo diximus, & dicemus infrà.
Secundò, quia determinari poteſt ad omnem lineam.
Impetus violentus eſt, qui eſt ab extrinſeco, de quo agemus infrà, &
iam ſuprà in lib.1. multa ſunt de eo demonſtrata.
Theorema 15.
Impetus naturalis corporis grauis intenditur dum hoc ipſum deſcendit in
medio libero; demonſtratur, Impetus nouus producitur in ſecundo, ter­
tio, quarto, &c. inſtantibus per Th.12. ſed productus in primo conſer­
uatur ſecundo, per Th.9. productus ſecundo conſeruatur tertio, produ­
ctus tertio conſeruatur quarto per Th.13. igitur ſecundus additur tertio,
tertius primo, ſecundo, quartus primo, ſecundo, & tertio, &c.ſed impetus
additus alteri facit intenſiorem impetum per Ax.1. igitur impetus natu­
ralis intenditur, quod crat demonſtrandum.
Theorema 16.
Hinc motus naturalis deorſum acceleratur; hoc ipſum ſuppoſui ſuprà
Quod eſſet in hyp.1.2.3. iam verò demonſtro propter quid eſt; ſie enim
hypotheſis in Theorema conuerti poteſt, vt ſæpè monuimus in metho­
do; igitur probatur hoc Theorema facilè; creſcit impetus in corpore gra­
ui, quod tendit deorſum in libero medio per T. 15. igitur creſcit cauſa
motus; nam impetus eſt cauſa immediata motus naturalis per Th. 51.
ſed quâ proportione creſcit cauſa, debet creſcere effectus per Ax.2. igi­
tur motus naturalis deorſum creſcit, id eſt acceleratur, id eſt fit velo­
cior, quod erat dem: nec eſt quod aliquis exiſtimet hic à me committi
vitioſum argumentationis circulum; quippe probaui ſuprà creſcere im­
petum, quia creſcit motus; iam verò probo creſcere motum, quia creſ­
cit impetus; nam primò probaui produci nouum impetum in Th.12. eo
quod ſecundo inſtanti. v.g. ſit eadem cauſa neceſſaria applicata non im­
pedita, igitur tàm debet agere ſecundo quàm primo inſtanti, hæc fuit
mea probatio à priori; ſecundò verò probaui ex hypotheſi certa; quia
ſcilicet creſcit motus, cuius veritatem cognoſco ſenſibiliter in ſe, vnde
ſuppono tantùm de illa quod ſit; igitur nullus committitur circulus; nam
diuerſa eſt omninò cognitio. Prima ſcilicet qua cognoſco de motu na­
turaliter accelerato quod ſit, quæ mihi, & ruſtico communis eſt. Secun­
da verò qua non modò cognoſco de motu illo quod ſit acceleratus, ve­
rùm propter quid ſit acceleratus, id eſt cauſam huius accelerationis, id
eſt propter quam attributum hoc ineſt ſubiecto, & hæc eſt vera demon­
ſtratio à priori; porrò in Phyſica de effectu ſenſibili ſupponi debet quod
ſit, hoc enim percipitur ſenſu. v. g. ſupponam in Phyſica quod ſit motus
acceleratus, quod ignis ſit calidus, Sol lucidus, nix candida, vinum ru­
brum, &c. at verò demonſtrabo propter quid hæc ſint, ſed de his
ſatis.
Scholium.
Obſeruabis etiam aliud naturæ inſtitutum, quo ſcilicet factum eſt, vt
1corpora grauia motu naturali accelerato deorſum ferantur; ſi enim motu
ferrentur æquabili, vel eſſet æqualis illi quem initio ſui deſcenſus ha­
bent, qui eſt tardiſſimus, vt conſtat ex ipſa ictuum differentia; atque
ita infinitum ferè tempus ponerent grauia in minimo etiam deſcenſu,
quod eſſet maximè incommodum; ſi verò motus ille eſſet æqualis mo­
tui v.g. quem acquiſiuit in ſpatio 3. vel 4. perticarum, pondera corpo­
rum creſcerent in immenſum, ideſt in ea proportione, qua ictus, qui in­
fligitur à corpore graui confecto 4. perticarum ſpatio maior eſt ictu, qui
infligitur poſt decurſum minimum omnium ſpatiorum, quod valdè in­
commodum eſſet.
Theorema 17.
Æqualibus temporibus æqualis impetus producitur, ſi ſit eadem applica­
tio, idemque impedimentum; probatur, quia cauſa huius impetus eſt ne­
ceſſaria; ſed eadem cauſa neceſſaria æqualibus temporibus æqualem
impetum producit per Ax.3.
Theorema 18.
Qua proportione creſcit impetus acceleratur motus; quia quæ proportio­
ne creſcit cauſa, etiam creſcit effectus per Ax.2.
Theorema 19.
Hinc æqualibus temporibus in deſcenſu corpus graue acquirit aqualia ve­
locitatis, vel accelerationis momenta; hoc ipſum eſt quod definitionis lo­
co Galileus in dialogo tertio de motu naturali aſſumit; quod tamen
meo iudicio fuit antè demonſtrandum quàm ſupponendum; quare ſic
demonſtramus, quâ proportione creſcit impetus, creſcit motus per Th.
18. ſed temporibus æqualibus acquiruntur æquales impetus gradus per
Th.17. igitur æqualia velocitatis momenta, vel incrementa.
Theorema 20.
Spatia que per curruntur motu æquabili æqualibus temporibus ſunt æqualia;
Probatur per Def.2.
Theorema 21.
Duo motus æquabiles, qui durant æqualibus temporibus, ſunt vt ſpatia;
patet; cùm enim impetus ſint vt motus per Ax. 2. motus ſunt vt ſpatia;
quippe vt ex impetu ſequitur motus, ita ex motu confectum ſpa­
tium.
Theorema 22.
Duo motus æquabiles, quibus percurruntur ſpatia æqualia ſunt vt tempora
permutande;, patet, quia velocior eſt, quò percurritur ſpatium æquale
minori tempore per Def.2. l. 1. Igitur eò velocior, quò minori tem­
pore.
Theorema 23.
Spatium, quod percurritur maiori tempore motu æquabili, est maius eo,
quod percurritur minori æquè veloci motu in ea ratione, qua vnum tempus
1est maius alio; patet, quia æqualia ſunt æqualibus temporibus per Th.
20. igitur inæqualibus inæqualia iuxta rationem temporum; item ſpa­
tium, quod idem percurritur minori tempore minus eſt.
Theorema 24.
Tempus quo maius ſpatium percurritur eodem motu æquabili, eſt maius eò
quò minus conficitur iuxta rationem ſpatiorum: Si enim ſpatia ſunt vt tem­
pora, igitur tempora ſunt vt ſpatia; item tempus, quo minus ſpatium
percurritur eſt minus co, quo maius.
Theorema 25.
Spatium, quod conficitur motu velociore, eſt maius eo, quod percur­
ritur æquali certè tempore, ſed tardiore motu, vt conſtat per def. 2. l. 1.
imò eſt maius iuxta rationem velocitatis maioris, item eſt minus iuxta
rationem tarditatis maioris.
Theorema 26.
Tempus, quo conficitur ſpatium æquale ſed uelociore motu, est minus eo
quo conficitur tardiore; Probatur per def.2. & per Th.22. idque in ratio­
ne velocitatum permutando; item tempus quo conficitur ſpatium æqua­
le tardiore motu eſt maius eo, quo conficitur velociore, patet.
Theorema 27.
Si datum mobile eodem motu æquabili duo percurrat ſpatia, tempora mo­
tuum erunt vt ſpatia, & viciſſim ſpatia vt tempora. Probatur per Th.
24. & 23.
Theorema 28.
Si idem mobile temporibus æqualibus percurrat duo ſpatia motu æquabili,
ſed inæquali velocitate; ſpatia erunt vt velocitates, & hæ vt illa; imò ſi
ſpatia ſunt vt velocitates, tempora erunt æqualia; pater etiam per
Th.25.
Theorema 29.
Si percurrantur à mobili æqualia ſpatia, ſed inæquali velocitate, ipſæ ve­
locitates erunt in ratione permutata temporum, ideſt maior velocitas reſpon­
debit minori tempori, & minor maiori; Probatur per Th.23.
Theorema 30.
Si duo mobilia mouentur motu æquabili, ſed inæquali velocitate, & inæqua­
libus temporibus, ſpatia ſunt in ratione compoſita ex ratione temporum, & ex
ratione velocitatum, ſi enim æqualia ſint tempora, ſpatia erunt vt velo­
citates per Th.25. ſi æquales ſint velocitates, ſpatia erunt vt tempora, per
Th.29. igitur ſi nec æquales velocitates, nec æqualia tempora, erit ratio
ſpatiorum compoſita ex ratione temporum, & ex ratione velocitatum;
ſit ratio temporum 3/2 ratio velocitatum 2/3 compoſita ex vtraque erit 6/2
ſeu 3. vt conſtat ex ipſis elementis.
1
Theorema 31.
Si duo mobilia ferantur motu æquabili per diuerſa ſpatia, & diuerſa velo­
citate, tempora erunt in ratione compoſita ex ratione ſpatiorum & ratione
velocitatum permutata; probatur eodem modo quo ſuperius Th. 30. ſit
ratio ſpatiorum 4/1, velocitatum 4/2; permutetur hæc 1/4; componetur ex
vtraque 4/1, ideſt 1/2, quæ eſt ratio temporum.
Theorema 32.
Si duo mobilia æquabili motu ferantur per diuerſa ſpatia, & inæqualibus
temporibus; ratio velocitatum erit compoſita ex ratione ſpatiorum, & ex ra­
tione temporum permutata; Probatur eodem modo; ſit ratio ſpatiorum
4/2 temporum 1/2, permutetur 2/1, compoſita ex vtraque erit 2/2, ideſt 4.
quæ eſt ratio velocitatum.
Scholium.
Obſeruabis hæc omnia à vigeſimo Theoremate maiori ex parte tradi
à Galileo ſuo modo, optimo quidem, ſed fortè longiore quàm par ſit,
nulla habita ratione cauſarum phyſicarum.
Theorema 33.
In motu naturaliter accelerato impetus nouus acquiritur ſingulis inſtanti­
bus; Probatur quia ſingulis inſtantibus eſt eadem cauſa neceſſaria, igi­
tur ſingulis inſtantibus aliquem effectum producit, per Ax. 12. l.1. ſed
priorem non conſeruat, vt dictum eſt ſuprà, igitur nouum producit.
Theorema 34.
Hinc ſingulis inſtantibus æqualibus nouus impetus æqualis acquiritur, quip­
pe eſt æqualis, imò eadem cauſa, igitur æqualem effectum producit per
Ax.12. l.1.
Theorema 35.
Hinc ſingulis inſtantibus intenditur impetus in hoc motu; cum ſingulis
inſtantibus producatur nouus, & prior conſeruetur, cui cum addatur,
intenditur per Ax. 1.
Theorema 36.
Hinc ſingulis inſtantibus æqualiter creſcit & intenditur impetus per Th.
34. igitur æqualiter etiam ſingulis inſtantibus creſcit velocitas motus
per Ax.2.
Scholium
Obſeruabis dictum eſſe ſuprà instantibus æqualibus, quia temporis natura
aliter explicari non poteſt, quàm per inſtantia finita, vt demonſtrabimus
in Metaphyſica; quid quid ſit, voco inſtans totum illud tempus, quo res
aliqua ſimul producitur, ſiue ſit maius, ſiue minus, ſiue ſit pars maior,
vel minor, quod ad rem noſtram nihil facit penitus; nam dato quocun­
que tempore finito poteſt dari maius & minus, quod certum eſt; igitur
totum illud tempus, quo producitur primus impetus acquiſitus, vo-
1co inſtans primum motus; cui æqualia deinde ſuccedunt tem­
pora.
Theorema 37.
Hinc creſcit impetus iuxta progreſſionem arithmeticam; cum ſingula in­
ſtantia æqualem impetum addant; ſi primo inſtanti ſit vnus gradus, erunt
duo; productus ſcilicet alteri additus qui conſeruatur, tertio erunt;.
quarto 4. quinto 5. &c. igitur creſcit ſecundum progreſſionem arith­
meticam.
Theorema 38.
Eodem modo creſcit velocitas, quia ſingulis inſtantibus æqualia acquirun­
tur velocitatis momenta per Ax.2. & per Th.36.
Theorema 39.
Maius ſpatium acquiritur ſecundo inſtanti, quàm primo, quia ſecundo
inſtanti motus eſt velocior per Th.36. igitur maius conficitur ſpatium,
tempore ſcilicet æquali per Def. 2. l. 1. idem dico de tertio, quar­
to, &c.
Theorema 40.
Spatium quod acquiritur ſecundò instanti eſt ad ſpatium quod acquiritur
primo vt velocitas, quæ eſt ſecundo ad velocitatem, quæ eſt primo. Patet per
Th.28. quia cum tempora illa ſint æqualia, ſpatia ſunt neceſſariò vt ve­
locitates; quippe æquali velocitati æquale ſpatium reſpondet tempore
æquali, igitur inæquale inæquali, igitur maius maiori, idem dico de
aliis inſtantibus.
Theorema 41.
Hinc ſpatium qucd acquiritur ſecundo inſtanti eſt duplum illius, quod ac­
quiritur primo. Probatur, quia velocitas eſt dupla per Th 38. igitur ſpa­
tium duplum, & triplum tertio, quadruplum quarto, &c.
Theorema 42.
Hinc quodlibet ſpatium creſcit æqualiter ſingulis inſtantibus æqualibus;
quia ſpatia creſcunt vt motus, ſeu vt velocitates; hæ creſcunt æqualiter
ſingulis inſtantibus æqualibus per Th.36. igitur æqualiter creſcunt ſin­
gula ſpatia per Th.40.
Theorema 43.
Hinc ſpatia creſcunt ſingulis inſtantibus æqualibus ſecundùm progreſſio­
nem arithmeticam; quia creſcit vt velocitas per Th.40. hæc vt impetus
per Th.38. hic demum iuxta progreſſionem arithmeticam per Th. 37.
igitur ſi ſpatium acquiſitum primo inſtanti ſit 1. acquiſitum ſecundo erit
2. tertio 3. quarto 4. &c. hinc ſpatia acquiſita ſingulis inſtantibus ſunt
vt ſeries numerorum, qui componunt progreſſionem ſimplicem, ſcilicet
1.2.3.4.5.6. &c. dixi ſingulis inſtantibus æqualibus, quod eſt apprimè
tenendum; ſi enim aſſumantur partes temporis maiores, perturbatur
hæc progreſſio, de quo infrà.
1
Theorema 44.
Hinc peteſt dici creſcere velocitatem quolibet inſtanti iuxta rationem ſpatij
quod illo inſtanti decurritur; quod certè verum eſt, dum intelligatur legi­
timus horum verborum ſenſus; quidquid reclamet Saluiatus apud
Galil. dialogo 3. modò aſſumatur progreſſio incrementi in ſingulis in­
ſtantibus, in quibus reuerà fit; cur enim potiùs in vno quàm in alio?
quippe ſi comparetur velocitas vnius inſtantis cum velocitate alterius;
haud dubiè erit eadem vtriuſque ratio, quæ ſpatiorum; ſi enim vno in­
ſtanti percurritur vnum ſpatium cum vno velocitatis gradu; certè in­
ſtanti æquali acquiritur duplum ſpatium cum duobus velocitatis gradi­
bus, nec obeſt, quod obiicit Galileus tunc motus eſſe æquabiles; quia
motus qui fit in inſtanti debet conſiderari vt æquabilis; appello enim
inſtans totum illud tempus, quo ſimul acquiritur aliquid impetus, ali­
quid enim ſimul acquiri neceſſe eſt; nec demum obſtat quod dicit, dari
non poſſe motum inſtantaneum, quod multi haud dubiè negabunt; ego
in Metaphyſica explicabo quonam pacto dari poſſit motus inſtanta­
neus, qui reuerà datur actu, non potentiâ; quia quacunque duratione
data poteſt dari minor; igitur quocunque dato motu poteſt dari minor.
Scholium.
Obſeruabis primò hanc ſpatiorum rationem, quæ eſt eadem cum ra­
tione velocitatum aſſumendam tantùm eſſe in iis ſpatiis, quæ acquirun­
tur ſingulis inſtantibus; ſi enim accipiantur partes temporis maiores, quæ
conflentur ex multis inſtantibus; haud dubiè maior erit ratio ſpatio­
rum, quàm velocitatum.v.g.ſi primo inſtanti acquiratur primo ſpatium,
ſecundo, 2.tertio, 3.quarto 4.igitur ſi comparetur velocitas primi inſtantis
cum velocitate quarti æqualis erit, vt ratio ſpatiorum, id eſt, vt 1. ad 4.
At verò ſi accipiatur pars temporis conſtans duobus inſtantibus, hæc 4.
inſtantia conflabunt tantùm 2. partes temporis æquales; in prima ac­
quirentur 3.ſpatia, in ſecunda 7.vt patet: ſed quia velocitas primæ par­
tis temporis non eſt æquabilis, nec etiam velocitas ſecundæ; addantur
velocitates primi & ſecundi inſtantis, itemque ſeorſim velocitates tertij,
& quarti; certè ratio collectorum erit vt ratio ſpatiorum; ſi enim velo­
citas ſecundi inſtantis comparetur cum velocitate quarti eſt tantùm
1/2 cum tamen primum ſpatium ſit ad ſecundum in ratione 3/7.
Secundò, ſi comparentur ſpatia cum temporibus eſt alia ratio v.g.ſpa­
tium acquiſitum vno inſtanti ſe habet ad ſpatium acquiſitum in duobus
inſtantibus, vt 1, ad 3.in tribus vt 1.ad 6.in 4. vt 1. ad 10.
Tertiò obſeruabis, non poſſe ſenſu percipi inſtans, imò neque tempo­
ris partem ex mille inſtantibus conflatam; nec etiam ſpatium quod ac­
quiritur primo inſtanti; adhibenda ſunt tamen inſtantia neceſſariò ad
explicandam proportionem huius accelerationis, quæ fit in ſingulis in­
ſtantibus; vt verò rem iſtam reuocemus ad ſenſibilem praxim, aſſume­
mus proportionem aliam ſenſibilem, quæ proximè ad veram accedit, nec
ferè ſenſibiliter fallere poteſt, de qua infrà.
1
Theorema 40.
Collectio ſpatiorum eſt ſumma terminorum huius progreſſionis arithmeticæ;
Cùm enim ratio ſpatiorum ſit vt ratio velocitatum; dum ſcilicet hæc
progreſſio accipitur in inſtantibus, & ratio velocitatum vt ratio incre­
menti impetuum; vt conſtat ex dictis, & hæc ſequatur ſimplicem
progreſſionem 1. 2. 3. 4. &c. certè collectio ſpatiorum eſt ſumma ter­
minorum.
Theorema 41.
Hinc cognito primo termino, & vltimo, id eſt ſpatio quod per curritur primo
inſtanti & ſpatio quod percurritur vltimo instanti, cognoſcitur ſumma, id eſt
collectio ſpatiorum, id eſt, totum ſpatium confectum. v.g.ſi primus terminus,
ſecundus S.igitur ſumma eſt 36. quippe vltimus terminus indicat nume­
rum terminorum, quia primus eſt ſemper vnitas, & progreſſiuus etiam
vnitas.
Theorema 42.
Hinc cognita ſumma & vltimo termino cognoſcitur etiam numerus inſtan­
tium æqualium, qui ſemper est idem cum numero terminorum, cognoſcitur
etiam primus terminus, id eſt ſpatium quod primo instanti percurritur, cogno­
ſcuntur etiam gradus velocitatis; quippe hæc omnia ſunt in eadem ratio­
ne; quæ omnia conſtant ex regulis arithmeticis præter alia multa data,
quæ lubens omitto; tùm quia Phyſicam non ſapiunt, tùm quia hypothe­
ſis illa eſt impoſſibilis phyſicè; quis enim ſenſu percipere poſſit & di­
ſtinguere vnum temporis inſtans, vel ſpatij punctum? licèt recenſenda
fuerit hæc accelerati motus proportio in inſtantibus, vt ad ſua phyſica
principia reduceretur.
Theorema 43.
Data ſumma progreſſionis huius ſimplicis, inuenietur numerus terminorum,
ſi inueniatur numerus, per quem diuidatur, qui ſuperet tantùm vnitate du­
plum quotientis; quippe habebis in duplo quotientis numerum termino­
rum v.g. ſit ſumma 10. diuiſor ſit 5. quotiens 2. duplus 4. hic eſt nume­
rus terminorum datæ ſummæ; ſit alia ſumma 21. diuiſor ſit 7.quotiens 3.
numerus terminorum 6. ſit alia ſumma 36. diniſor ſit 9. quotiens 4. nu­
merus terminorum 8. ſit alia ſumma 45. partitor ſit 10. quotiens 4 1/2,
numerus terminorum 9. quomodo verò hic partitor inueniri poſſit, vi­
derint Arithmetici; nec enim eſt huius loci, quamquam datâ ſummâ
huius progreſſionis ſimplicis facilè cognoſci poteſt numerus termino­
rum; duplicetur enim, & radix 9. neglecto reſiduo dabit numerum ter­
minorum v.g. ſit ſumma 21. duplicetur, erit 42. rad. 9. 6. dat numerum
terminorum; ſit ſumma 36. duplicetur, erit 72.rad.9.8. dabit numerum
terminorum.
Theorema 44.
Semper decreſcit proportio incrementi velocitatis, id est maior est proportio
velocitatis ſecundi inſtantis ad primum quàm tertij ad ſecundum, & maior
1tertij ad ſecundum quàm quarti ad tertium, atque ita deinceps; ſit enim
primo inſtanti velocitas vt 1.ſecundo erit, vt 2.tertio, vt 3.quarto, vt 4.
ſed maior eſt proportio 2.ad 1.quàm 3.ad 2. & hæc maior quàm 4. ad 3.
atque ita deinceps; ſimiliter maior eſt proportio ſpatij quod percurritur
ſecundo inſtanti ad ſpatium, quod percurritur primo, quàm ſpatij, quod
percurritur ſecundo inſtanti ad ſpatium, quod percurritur primo quàm
ſpatij quod percurritur tertio ad ſpatium, quod percurritur ſecundo, at­
que ita deinceps; eſt enim eadem ratio ſpatiorum quæ ſingulis inſtanti­
bus reſpondent, quæ velocitatum, vt demonſtratum eſt ſuprà.
Theorema 45.
Minor eſt proportio totius ſpatij, quod acquiritur duobus instantibus ad to
tum ſpatium, quod acquiritur vno, quàm ſit illius, quod acquiritur quatuor in­
ſtantibus ad aliud, quod acquiritur duobus; patet ex dictis; ſi enim primo
inſtanti acquiritur vnum ſpatium, ſecundo acquiruntur 2.igitur duobus
ſimul acquirantur 3. igitur proportio eſt vt 3.ad 1.Sed ſi duobus acqui­
runtur 3. ſpatia; certè 4.inſtantibus acquiruntur 10. igitur proportio eſt
vt 10.ad 3. ſed proportio 10/3 eſt maior 3/1, erit adhuc maior proportio ſpa­
tij quod acquiretur 6. inſtantibus ad illud quod acquiritur tribus; eſt
enim (21/6) vt patet.
Theorema 46.
Si componatur æquabilis motus ex ſubdupla velocitate maxima, & mini­
ma, æquali tempore, idem ſpatium percurretur hoc motu naturaliter accelera­
to; ſit enim maxima velocitas vt 6. minima vt 1. motu naturaliter acce­
lerato percurrentur ſpatia 21. cuius ſummæ termini ſunt 6.igitur 6. in­
ſtantibus conſtat hic motus; accipiatur ſubduplum maximæ, & minimæ
velocitatis, ſcilicet 3 1/2. sítque velocitas motus æquabilis inſtantium 6.
haud dubiè ſi ducantur 3 1/2 in 6 erunt 21.ratio ex eo petitur quod ſcili­
cet, vt habeatur ſumma progreſſionis arithmeticæ, debet addi primus
terminus maximo, & aſſumi ſubduplum totius; illudque ducere in nu­
merum terminorum per regulam arithmeticam; atqui eadem eſt ratio
velocitatum, quæ ſpatiorum; vt dictum eſt ſuprà; ſcilice, in ſingulis
inſtantibus.
Theorema 47.
Si aſſumantur partes temporis majores; quæ ſcilicet pluribus inſtantibus
constent, ſerueturque eadem accelerationis progreſſio arithmetica, ſpatium
quod ex ſumma huius progreſſionis reſultabit, erit minus vero, ſint enim 6.in­
ſtantia, & cuilibet iuxta progreſſionem prædictam ſuum ſpatium reſpon­
deat, haud dubiè ſpatium ſecundi erit duplum ſpatij primi, & tertium
triplum, &c. vt conſtat ex dictis; igitur erunt ſpatia 21. iam verò aſſu­
mantur 3. partes temporis, quarum quælibet ex 2. conſtet inſtantibus;
primæ parti tria ex prædictis ſpatiis reſpondeant; certè ſi ſeruetur pro­
greſſio arithmetica, ſecundæ reſpondebunt 6. & tertiæ 9. igitur totum
ſpatium erit 18. minus vero quod erat 21. ſi verò aſſumantur tantùm 2.
partes, quarum quælibet tribus inſtantibus conſtet; primæ parti reſpon-
1debunt 6. ſecundæ 12. igitur ſumma erit 18. minor vero ſpatio ſcilicet
21.hinc vides ſuppoſito eodem inſtantium numero ſpatium eſſe ſemper
æquale, ſiue aſſumantur partes maiores temporis, ſiue minores, v. g. ſup­
poſitis 6.inſtantibus, ex quibus totum ſpatium 21.conſequitur, ſiue aſſu­
mantur tres partes, quarum quælibet conſtet 2. inſtantibus, ſiue duæ,
quarum quælibet conſtet tribus, ſpatium quod ex illis reſultat, eſt ſem­
per idem ſcilicet 18. aſſumptis verò 8. inſtantibus, & totali ſpatio, quod
illis reſpondet 36. ſpatium quod ex partibus reſultabit erit 30. ſiue ſint
duæ partes, quarum quælibet conſtet 4. inſtantibus, ſiue ſint 4. quarum
quælibet conſtet duobus: hinc rurſus vides aſſumpto maiori inſtantium
numero ſpatium verum habere maiorem rationem ad non verum, quàm
aſſumpto minori inſtantium numero, v.g.aſſumantur 4.inſtantia, ſumma
ſpatiorum erit 10. ſi verò aſſumantur 2.partes temporis, quarum quæli­
bet duobus inſtantibus reſpondeat; ſumma ſpatij erit 9.igitur ratio ve­
ri ſpatij ad non verum eſt (10/9). aſſumantur 6. inſtantia ſpatij veri, ſumma
erit 21.non veri 18. igitur ratio (21/18) ſeu 7/6 quæ maior eſt priori: denique
aſſumantur 8. inſtantia ſpatij veri, ſumma erit 36. non veri 30 igitur ra­
tio (36/30) ſeu 6/3 quæ maior eſt prioribus, atque ita deinceps.
Theorema 48.
Datis duabus partibus temporis, & cognito ſpatio quod percurritur in prima,
matius ſpatium reſpondebit ſecundæ quo vtraque in plures partes minores diui­
detur, ſuppoſita ſemper eadem progreſſione arithmetica in ipſo incremento;
ſint enim duæ partes temporis ſenſibiles æquales AG. GH. & ſpa­
tium quod percurritur prima parte temporis AG ſit HI; in ſecunda
percurretur IO, id eſt, duplum HI; at verò diuidatur pars temporis
AG in duas æquales AF, FG, & conſequenter totum tempus AH in 4.
æquales; haud dubiè in prima AF percurretur NP ſubtripla HI, & in
ſecunda FG percurretur PK dupla NP; igitur in 4. partibus temporis
AH percurretur ſpatium decuplum PN, ſed HO eſt tantùm nonecupla
NP; igitur reſultabit maius ſpatium in 4.partibus temporis, quam in dua­
bus; licèt duæ æquiualeant 4. iuxta progreſſionem arithmeticam.
Similiter AF diuidatur bifariam in E. & tota AH in 8. æquales AE;
certè primis 4.percurretur idem ſpatium ML æquale NK & HI; igitur
in prima AE percurretur MR. cuius ML ſit decupla; nam 4. terminis
reſpondet ſumma 10. ſed 8. terminis id eſt 8.partibus temporis reſpon­
det ſumma; 6. æqualium RM; ſed HO tripla ML eſt tantum 30.
æqualium MR; igitur in 8.partibus reſultabit maius ſpatium, quàm in
4.quæ æquiualent 8.
Ex quibus etiam conſtat quo plures accipientur partes temporis ma­
ius ſpatium reſultare, donec tandem perueniatur ad vltima inſtantia, ex
quibus reſultat maximum; & ſi accipias AG partes temporis AG. GH.
habebitur HO; ſi verò 4.æquales AF, creſcet ſpatium ſeu ſumma 1/9 HO;
ſi autem 8. æquales AE creſcet 1/5 HO; ſi porrò 16. æquales AD creſ­
cet (22/108) ſi 32. æquales AC creſcet (120/408); ſi 64. æquales AB creſcet (496/1584).
1
Theorema 49.
In progreſſione arithmetica ſi diuidatur numerus terminorum bifariam æ­
qualiter nunquam ſumma poſterioris ſegmenti eſt tripla prioris; ſed ſi acci­
piantur duo termini eſt tantùm 2/1, ſi 4. eſt 7/3 ſi 6. eſt (15/6), ſi 8. eſt (26/10), ſi 10­
(40/15), ſi 12. (57/21), ſi 14. (77/28), atque ita deinceps.
Ex quo obſerua mirabilem conſequutionem; quippe ſi aſſumantur
tantùm duo termini, & diuidantur bifariam, ſumma poſterioris medie­
tatis eſt tripla primæ minùs vnitate; ſi accipiantur 4. eſt tripla minùs
2. ſi 6. minùs 3. ſi 8. minùs 4. ſi 10. minùs 5. ſi 12. minùs 6. ſi 14. mi­
nùs 7. atque ita deinceps; vnde ſumma poſterioris medietatis eſt ſemper
tripla minùs numero ſuorum terminorum, vel quod clarum eſt minùs
ſubduplo vltimi, ſeu maximi termini, vel numeri terminorum totius
progreſſionis, quod probè omninò tenendum eſt, vt omnes experientiæ
explica ri poſſint, quod infrà faciemus.
Theorema 50.
Ex dictis hactenus facilè redditur ratio maioris ictus eiuſdem corporis im­
pacti quod cadit ex maiori altitudine; fuit hyp. 1. ſed ideò eſt maior ictus,
quia maior imprimitur impetus, vt patet, at ideò maior impetus impri­
mitur, quia maior eſt imprimens per Ax. 2. creſcit enim impetus, vt
conſtat ex dictis.
Theorema 51.
Hinc quoque ratio maximæ percuſſionis ex ſolo pondere cadentis illius arie­
tis inflictæ; quâ ſcilicet altè infiguntur lignei pali, quibus in mediis
aquis tanquam iacto fundamini ſuperædificatur ingens ſæpè ædificij
moles.
Theorema 52.
Hinc ex minima altitudine cadens corpus graue minimum ferè ictum in­
fligit; quia primus impetus valdè debilis eſt, qui tamen deinde facta
acceſſione maximus ferè euadit.
Theorema 53.
Hinc ratio, cur tanta ſit differentia impetus grauitationis, & percuſſionis
ab eodem mobili; quia ſcilicet quantumuis tempore breuiſſimo mouea­
tur, plurimis tamen eius motus durat inſtantibus; atqui quolibet inſtan­
ti motus acquiritur impetus æqualis primo impetui grauitationis, vt
conſtat ex dictis. v. g. ſit mobile quod moueatur per mille inſtantia
(modicum certè tempus & minimè ſenſibile) poſt hunc motum impetus
erit millecuplus; igitur effectus etiam millecuplus; quæ omnia conſtant
ex dictis.
Theorema 54.
Hinc percuſſio quæ fit in primo inſtanti contactus creſcit vt tempus; quia
cùm ſingulis inſtantibus creſcat impetus per partes æquales, & cùm per­
cuſſio ſit vt impetus; etiam erit vt tempus; igitur percuſſio, quæ fit poſt
duo inſtantia motus eiuſdem corporis grauis deorſum cadentis eſt du-
1pla illius, quæ ſit poſt vnum inſtans motus, & quæ fit poſt tria tripla, poſt
4. quadrupla, atque ita deinceps; cùm enim æqualibus temporibus æqua­
lia acquirantur velocitatis momenta, id eſt æquales impetus, impetus
erunt vt tempora, percuſſiones vt impetus, igitur percuſſiones vt tem­
pora.
Dixi in primo inſtanti contactus; nam reuerâ ſecundò inſtanti con­
tactus, niſi fiat reflexio, augetur vis ictus, quia cauſa neceſſaria eſt ap­
plicata.
Theorema 55.
Hinc poſſunt comparari duæ percuſſiones duorum grauium inæqualium
dum cadunt deorſum; ſi enim cadunt æqualibus temporibus, percuſſio­
nes erunt vt corpora ſeu grauitates, vt patet v.g. corpus 2. librarum poſt
2. inſtantia motus infligit duplam percuſſionem illius, quam infligit cor­
pus vnius libræ poſt 2. inſtantia motus; ſi verò tempora motus ſunt inæ­
qualia, & grauitates æquales, percuſſiones erunt vt tempora; ſi demum
grauitates inæquales, & tempora motus inæqualia, percuſſiones erunt
in ratione compoſita ex ratione grauitatum & temporum, quæ omnia
patent ex dictis in Th. ſuperioribus, v. g. ſit corpus duarum librarum,
& alterum trium librarum; primum moueatur per 5. inſtantia, & ſecun­
dum 2.per 5. ratio grauitatum eſt 3/2; ratio temporum eſt 7/5; compoſita
ex vtraque erit (21/10); & hæc eſt ratio percuſſionum.
Theorema 56.
Hinc poteſt ſciri ratio percuſſionis. & grauitationis eiuſdem mobilis in pri­
mo inſtanti vtriuſque, ſi cognoſcatur numerus inſtantium motus; cum enim
ſingulis inſtantibus æqualis impetus accedat, vt ſæpè dictum eſt; certè
erit percuſſio ad grauitationem, vt numerus inſtantium motus ad vnita­
tem, v.g. grauitatio ſit vt 4.ſitq́ue motus eiuſdem corporis per 8. inſtan­
tia; percuſſio erit ad grauitationem, vt 32. ad 4.vel vt 8.ad 1.quæ om­
nia conſtant ex dictis.
Theorema 57.
Hinc data percuſſione, ſi cognoſceretur probè numerus inſtantium motus,
dari poſſet grauitatio ipſi æqualis; v.g. ſit percuſſio dati corporis cadentis
per 8.inſtantia, eius percuſſio eſt octupla grauitationis eiuſdem per Th.
56. igitur ſi detur grauitatio octupla huius, erit æqualis datæ percuſ­
ſioni; dabitur autem grauitatio octupla, ſi detur corpus eiuſdem mate­
riæ octuplò grauius, vt conſtat.
Theorema 38.
Hinc primo inſtanti grauitationis nullum ferè ſentitur pondus, quia mini­
ma vis eſt, quæ conſequentibus inſtantibus augetur, hinc licèt corpus
breui tempore quis ſuſtineat, paulò poſt tamen ponderi cedit, ratio eſt
clara ex dictis.
1
Scholium.
Obſeruabis primò numerum inſtantium non poſſe à quoquam ſenſu
percipi, nec in calculos vocari, vt patet; vnde Theoremata non poſſunt
ad praxim reduci defectu huius cognitionis; quam ſupra adhibui hypo­
theſeos loco.
Secundò non poteſt ad amuſſim tempus cum tempore componi ad
æqualitatem, vel aliam datam rationem; licèt enim vnum tempus ſenſi­
bile haberet mille inſtantia ſupra aliud; illa tamen inæqualitas ſenſu
minimè perciperetur; idem dico de aliis rationibus, in quo, ni fallor,
maximè peccant, qui temporum æqualitatem perfectam obſeruari poſſe
contendunt.
Tertiò, idem dico de percuſſionum ratione; quippe non poteſt ſenſu
percipi inæqualitas duarum percuſſionum, licèt vires vnius præualeant
mille punctis ſeu gradibus inſenſibilibus; quippe non poteſt diſtingui
ab alia niſi vel ex ſpatio; atqui diſcerni non poteſt, an vnum ſpatium
ſuperet aliud mille punctis; vel ex ſono; atqui ſonus poteſt diuidi in in­
finitos ferè gradus ſenſu minimè perceptibiles; igitur nulla hypotheſis
in his experimentis ſtatui poteſt, quibus æqualitas vel temporum, vel
ſpatiorum cognoſci dicatur; nec dicas aliquot inſtantia parùm diſeri­
minis importare, nam cùm ſingulis inſtantibus fiat æqualis impetus ac­
ceſſio, mille inſtantia reddunt percuſſionem millecuplam grauitationis;
hinc certum eſt ex numero inſtantium cognito cognoſci tantùm poſſe
numerum punctorum, & viciſſim; at certè neuter ſenſu percipi poteſt; ne­
que tanti eſt hoc ſcire.
Theorema 59.
Hinc ſi corpus graue deſcenderet motu æquabili eoque æquali motui primi
inſtantis; certè vix modicum ſpatium post multos annos decurreret; ſuppo­
namus enim quod plures habent, licèt accuratè experimento ſubii­
ci non poſſit, ſcilicet vno ſecundo minuto temporis decurri à corpore
graui deorſum 12. pedes ſpatij; in ſecundo minuto ſupponamus eſſe
mille inſtantia, quamuis infinita penè contineat; ſitque in primo in­
ſtanti motus vnus gradus impetus; ſic enim vocetur illa pars impetus, que
producitur primo inſtanti; certè poſt mille inſtantia motus, erunt mille
gradus impetus; iam vcrò ſi accipiatur ſubduplum maximæ & minimæ
velocitatis; id eſt vnius gradus, & mille graduum, ſcilicet 500. 1/2 tri­
buaturque motui æquabili; haud dubiè vno fecundo minuto percur­
rentur 12. pedes ſpatij per Th. 46. Igitur ſi cum velocitate vt 500, 1/2
percurrentur 12. pedes 1.minuto, cum velocitate vt 1. percurrentur
12. pedes 500.ſecundis minutis, &; 30. tertiis; ſi verò accipiantur plura
inſtantia, v.g. 1000000.inſtantia, percurrentur 12. pedes 500000. ſe­
cundis minutis; ſi verò 1000000000000. percurremur 500000000000.
ſecundis, id eſt 8333333333. minutis, id eſt 138888888. horis
1id eſt 5787037. diebus id eſt 89031. annis, omitto minutias; atqui lon­
gè adhuc plura in vno minuto continentur inſtantia.
Theorema 60.
Si corpus graue deſcenderet motu æquabili, eoque æquali motui vltimi in­
stantis, duplum ferè ſpatium æquali tempore conficeret illius quod conficit
motu accelerato, duplum inquam ferè ſcilicet paulò minùs; quia conficit
idem motu æquabili; cuius velocitas eſt ſubdupla maximæ & minimæ;
ſed minima velocitas primi inſtantis pro nihilo reputatur; igitur acci­
piatur tantùm ſubduplum maximæ, igitur cum velocitate æquali maxi­
mæ, eodem tempore duplum ſpatium percurretur; igitur in vno minuto
ſecundo, v.g. 24. pedes; igitur in vno minuto primo eodem motu æqua­
bili 1440. pedes percurrentur; igitur in vna hora 86400. pedes; hinc
non eſt quod aliqui adeo mirentur, ſeu potiùs reiiciant hanc motus
accelerationem quod ex ea tùm tardiſſimus motus, tùm velociſſimus
conſequatur.
Theorema 61.
Motus naturaliter acceleratus non propagatur per omnes tarditatis gra­
dus; quia tot ſunt huius propagationis gradus, quot ſunt inſtantia,
quibus durat hic motus, cum ſingulis inſtantibus noua fiat impetus ac­
ceſſio, ſed non ſunt infinita inſtantia, vt demonſtrabimus in Metaphy­
ſica; prætereà licèt eſſent infinita inſtantia, non fieret adhuc per omnes
tarditatis gradus hæc propagatio; quia daretur aliquis gradus tarditatis,
quem non comprehenderet hæc graduum ſeries; nam incipit moueri
tardiùs in plano inclinato quàm in libero medio rectà deorſum, vt con­
ſtat, & in medio denſo quàm in raro v.g. in aqua quàm in aëre; igitur
hic tarditatis gradus, quo incipit moueri in plano tantillùm inclinato,
non continetur inter illos, quibus mouetur rectà deorſum.
Hinc duplici nomine reiice Galilæum qui hoc aſſerit. Primò, quia
fruſtrà ponit infinita inſtantia ſine neceſſitate; ſecundò, quia ratio, quam
habet, non conuincit; vocat enim quietem tarditatem infinitam; à qua
dum recedit mobile, haud dubiè per omnes tarditatis gradus propagari
poteſt eius motus; ſed contrà primò, nam reuerà quies non eſt tarditas,
quæ motui tantùm ineſſe poteſt. Secundò, quia tàm ex quiete ſequi po­
teſt immediatè velox motus, quàm tardus, vt patet in proiectis. Tertiò,
quia motus incipit; igitur per aliquid ſui, igitur ille primus motus à
quiete infinitè non diſtat; denique rationes ſuprà propoſitæ rem iſtam
euincunt.
Scholium.
Obſeruabis conſideratum eſſe hactenus hunc motum nulla habita
ratione reſiſtentiæ medij, quæ haud dubiè hanc propoſitionem motus
accelerati tantillùm impedit, ſed de reſiſtentià medij agemus infrà.
Corollarium 1.
Ex dictis facilè reiicies primò ſententiam illorum, qui negant mo-
1tum naturalem accelerari, quos non ratio modò euidentiſſima, ſed adeò
ſenſibile experimentum omninò conuincere poteſt.
Corollarium. 2.
Secundò reiicies illos, qui volunt accelerationem motus eſſe, vel à vi
magnetica, quâ terra trahit ad ſe omnia grauia; vel ab alia vi occulta,
quâ cœlum pellit deorſum; vel à cœleſti illa, imò potiùs fabulosâ mate­
riâ; vel demum ab ipſa vi ſympathicâ, quâ corpus ſuo centro propiùs
factum totas ſuas vires exerit, vt ei ſe conjungat; quæ omnia gratis di­
cuntur, & ex dictis pluſquam efficaciter refelli poſſunt, ne fruſtrà tempus
in iis iterum refellendis teramus.
Corollarium 3.
Tertiò reiicies, qui volunt motum accelerari ex aëris à tergo impel­
lentis appulſu, quod ridiculum eſt: licèt enim Ariſtoteles videatur illud
ſenſiſſe de projectis, quod examinabimus ſuo loco; nunquam tamen hoc
dixit de motu naturali; quin potiùs antiquorum fuit omnium hic ſen­
ſus, fieri acceſſionem mobili alicuius, vnde reddatur motus velocior; hinc
dictum illud vulgare, vireſque acquirit eundo; nihil porrò intelligi poteſt
nomine virium, niſi id, ex quo maior ictus, ſeu percuſſio ſequitur; illud
autem eſſe impetum conſtat.
Corollarium. 4.
Quartò ex his ſententia Ariſtotelica de motu accelerato optimè vin­
dicatur; quòd ſcilicet grauia ſub finem ſui motus velociùs ſerantur ver­
sùs centrum; quod ex dictis, & ſimpliciſſimis, certiſſimiſque principiis
demonſtratum fuit.
Corollarium. 5.
Quintò reiicies etiam illorum ſententiam, qui hanc accelerationem
tribuunt vel medio minùs reſiſtenti, vel grauitatis augmento, vel impe­
tui violento priùs impreſſo dum corpus graue attollitur, quod meo iudi­
cio ridiculum eſt; quaſi verò fruſtum rupis deciſum, deorſumque ruens
impetum violentum aliquando habuerit.
Corollarium 6.
Sextò reiicies illorum ſententiam, qui volunt accelerationem motus
naturalis ita fieri, vt ſpatia temporibus æqualibus acquiſita ſequantur ſe­
riem numerorum imparium 1.3.5.7.9.11.13. &c. & ſpatia ſint vt
quadrata temporum v. g. ſi primo inſtanti acquiritur 1.ſpatium: ſecundo
acquiruntur 3. tertio 5. quarto 7. &c. fique vno inſtanti acquiritur 1.
ſpatium, duobus acquiruntur 4. tribus 9. quatuor 16. atque ita deinceps
per quadrata, quæ omnia ex dictis falſa eſſe conſtat; quippe ſi æqualibus
temporibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur ſi primo
inſtanti eſt 1.gradus, ſecundo erunt 2. igitur ſecundo tempore cum duo­
bus gradibus velocitatis vel impetus percurrentur duo tantùm ſpatia, ſi
primò inſtanti æquali cum vno gradu percurritur vnus, ſed de his fusè
infrà.
1
Corollarium 7.
Septimò reiicies etiam aliquos recentiores, qui volunt fieri hanc pro­
greſſionem ſpatiorum æqualibus temporibus reſpondentium ſecundùm
progreſſionem Geometricam, duplam, ſcilicet iuxta hos numeros 1. 2. 4.
8. 16. 32. &c. quod etiam ex eadem ratione facilè confutatur: reiicies
etiam alium recentiorem, qui vult hanc progreſſionem ſumi ex linea
proportionaliter ſectâ, id eſt in mediam & extremam rationem; ſed de
his omnibus in diſſertatione ſequenti fusè diſputamus; quippe rem hanc
tanti eſſe putamus, vt nihil omittendum ſit, quod ad eius pleniſſimam
confirmationem pertineat.
DISSERTATIO
De Motu naturaliter accelerato.
DVæ ſunt potiſſimùm in hac materia celebres ſententiæ; Prima eſt
Galilei, & ferè omnium recentiorum, qui poſt Galileum de motu
ſcripſerunt; inter quos, ne omittam Genuenſem Patricium, Balianum;
Doctus Merſennus, & eruditus Gaſſendus primum locum obtinent;
quorum ille hanc ſententiam multis in locis, ſcilicet in ſuis quæſtioni­
bus Phyſicis, in ſua Galilei verſione, in harmonia vniuerſali, & demum
in ſua Baliſtica paſſim, tùm fusè proponit, & explicat, tùm etiam ſuis ra­
tionibus confirmat; Galileus verò illam habet tùm in gemino ſyſtema­
te, tùm in dialogo tertio de motu locali.
Secunda ſententia noſtra eſt, de qua non ſemel diſputandum fuit à
Magiſtro, tùm verbis tùm etiam litteris ſcriptis; & ne quid fortè diſſimu­
lem, illa eſt ſententia quam anonimo Philoſophe (quem non ſine laude
appellat idem Merſennus) tribuit. prop.18.ſuæ Baliſticæ ſub finem; illa
eſt inquam ſententia, quam hactenus meo iudicio ſatis luculenter de­
monſtrauimus.
Sunt tres aliæ ſententiæ, quæ ab eodem Merſenno referuntur; prima
eſt quæ progreſſionem ſpatiorum eandem eſſe vult cum eâ, quæ eſt ſi­
nuum verſorum, centro quadrantis poſito in centro terræ, & altero ex­
tremo ſinus totius in eo punctò, in quo incipit motus. Secunda eſt quo­
rumdam, qui volunt progreſſionem ſpatiorum, quæ ſingulis temporibus
reſpondent, eſſe in progreſſione geometrica dupla iuxta hos numeros,
1.2.4.8.32. Tertia eſt alicuius, qui voluit eſſe iuxta proportionem lineæ
ſectæ in mediam, & extremam rationem.
Tres vltimæ ſententiæ nullo prorſus nituntur fundamento; igitur vel
inde maximè confutantur, quòd gratis ſine vllo prorſus vel rationis vel
experimenti momento excogitatæ ſint. Igitur in hac diſſertatione duæ
tantùm primæ diſcutiendæ ſunt Sententiæ Galilei ſchema hic habes
in linea AF, in qua aſſumitur AB, ſpatium ſcilicet, quod dato tempore
1corpus graue ſuo motu percurrit; & ſecundo tempore æquali BC, quæ
tripla eſt AB, tertio CD quintupla quarto DE ſeptupla, quinto EF
nonecupla; vides primò ſeriem numerorum imparium 1. 3. 5. 7. 9.atque
ita deinceps. Secundò vides ſpatia eſſe in ratione duplicata temporum,
hoc eſt vt temporum quadrata. v.g. ſi accipiatur ſpatium AB primo tem­
pore peractum, & ſpatium AC duobus temporibus confectum: ratio hu­
ius ad illud eſt vt 4.ad 1.id eſt vt quadratum 2.ad quadratum 1. ſimiliter,
ſi accipiatur ſpatium AD confectum tribus temporibus, erit 9.id eſt qua­
dratum 3, ſpatium AE confectum 4.temporibus erit 16.id eſt quadratum
4. & AF 25. quadratum 5.
Hæc ſententia ingeniosè à Galileo excogitata ex duplici capite à ſuis
auctoribus confirmatur; primò experientiâ, ſecundò ratione. Experien­
tia tribus potiſſimum experimentis fulcitur; primum eſt in motu deor­
ſum per lineam perpendicularem. v. g. in linea AF; nam reuerà multi
ſunt, iique grauiſſimi auctores in rebus tùm philoſophicis, tùm mathe­
maticis verſatiſſimi, qui ſæpiùs ſenſu ipſo probarunt, repetitis vſque ad
nauſeam experimentis, tempore vnius ſecundi minuti corpus graue in
libero aëre 12. pedes ſpatij motu naturali deorſum percurrere; in 2.ve­
rò ſecundis 48. in 3.ſecundis 108.ſed ſpatia iſta ſunt vt temporum qua­
drata, vt conſtat.
Secundum experimentum eſt in plano inclinato, in quo corpus graue
deſcendit iuxta prædictam progreſſionem, quod expreſſis verbis teſtatur
Galileus à ſe fuiſſe probatum ſæpiùs, nec vnquam à vero ne tantillùm
quidem aberraſſe. ſed in perpendiculari deorſum eadem proportione
creſcit motus, quâ in plano inclinato; licèt in plano inclinato tardior ſit
motus, vt demonſtrabimus aliàs.
Tertium experimentum petitur ex funependulis; in quibus ſæpiùs
obſeruatum eſt longitudinem funis, & conſequenter arcum quadrantis
longioris funependuli eſſe ad longitudinem, ſeu quadrantem alterius
breuioris, vt quadratum temporis, quo perficitur vibratio maioris ad
quadratum temporis, quo perficitur vibratio minoris.v.g.ſit longitudo
funependuli maioris, CG minoris verò ſubquadrupla CF; eleuetur vter­
que funis, cui pondus æquale ſit appenſum vſque ad horizontalem
CDE & alterum ex D; alterum verò ex E demiſſum cadat deorſum; haud
dubiè funependulum CE duplum temporis collocabit in decurrendo
quadrante EG, & funependulum ED ſubduplum. v. g. ſi CD conficit
ſuam vibrationem DF vno ſecundo, EG conficiet ſuam EG duobus, vt
centies obſeruatum eſt; ſed EG eſt quadruplus DF, vt patet; igitur EG
& DF ſunt vt quadrata temporum, quibus percurritur EG & DF ſed vt
deſcendit graue per DF & EG, ita deſcendit per CF & CG, quippe
DF & EG habent rationem plani inclinati deorſum.
Adde quod, vt ſe habet tempus, quo deſcendit per totum quadrantem
DF, ad tempus, quo deſcendit per totum quadrantem EG. ſic ſe habet
tempus, quo deſcendit per arcum DL ſubduplum DF ad tempus, quo
deſcendit per arcum EI ſubduplum EG; item tempus, quo deſcendit
1per arcum DM ſubquadruplum DF.ad tempus, quo deſcendit per arcum
EK ſubquadruplum EG; denique vt tempus, quo per minimum ar­
cum quadrantis DF, ad tempus, quo deſcendit per alium proportiona­
lem, ſcilicet quadruplum in quadrante EG; atqui tam parui arcus poſ­
ſunt aſſumi, vt ſint ad inſtar lineæ rectæ deorſum tangentis ſcilicet in D
& in E; igitur in his rectis deſcendunt grauia iuxta progreſſionem præ­
dictam; id eſt, cum arcus minimus aſſumptus ab E, qui æquiualet rectæ,
ſit quadruplus arcus minimi aſſumpti à puncto D, tempus, quo percurri­
tur ille primus, eſt ad tempus, quo percurritur hic ſubquadruplus, vt tem­
pus, quo percurritur EG ad tempus, quo percurritur DF vt dictum eſt;
ſed tempus, quo percurritur EG eſt duplum illius, quo percurritur DF;
igitur tempus, quo percurritur minimus arcus aſſumptus ab E, & qui eſt
ad inſtar rectæ, eſt duplum temporis quo percurritur minimus arcus aſ­
ſumptus à puncto D ſubquadruplus prioris, & qui eſt etiam ad inſtar re­
ctæ; igitur ſpatia ſunt vt temporum quadrata.
Quod autem tempus, quo percurritur EG ſit duplum illius, quo per­
curritur DF, patet experientiâ; nam ſi numerentur ducentæ vibrationes
funependuli CD; eodem tempore numerabuntur centum vibrationes
maioris CE; igitur vibrationum minoris numerus eſt duplus numeri vi­
brationum maioris, dum ſimul vibrantur; igitur eo tempore, quo fiunt
100.maioris, fient 200. minoris; nam omnes vibrationes eiuſdem fune­
penduli ſunt æquò diuturnæ, licèt fiant per arcus inæquales eiuſdem.
quadrantis, vt ſæpè obſeruatum eſt. In his tribus potiſſimum experimen­
tis fundatur hæc hypotheſis Galilei, quæ nec clariùs meo. iudicio, nec
ſinceriùs exponi poſſunt.
Antequam rationes, quæ pro hac ſententia facere videntur, propona­
mus, refellamuſque; oſtendo primò quomodo cum his experimentis
ſtare poſſit noſtra hypotheſis; igitur ex iis hypotheſis Galilei rectè de­
duci non poteſt: quippe hæc eſt certiſſima regula, quam nemo Philoſo­
phus negare auſit: Quotieſcumque aliquod experimentum tale eſt, vt
cum eo ſtare poſſint contrariæ hypotheſes; ex eo certè neutra deduci po­
teſt; igitur ex propoſitis experimentis ſuam hypotheſim Galileus non
legitimè deducit, quod vt clariſſimè oſtendam.
Suppono, quando dicitur ſecundum ſpatium eſſe triplum primi ſup­
poſitis æqualibus temporibus, non ita Geometricè, certaque, & acuratâ
aſſertione hoc dici; quin vel aliqua puncta in ſpatiis, vel inſtantia in
temporibus deſint, vel ſuperſint; ſi enim quis diceret ſpatium eſſe tri­
plum primi minus 100000. punctis, vel ſecundum tempus eſſe maius
primo 100000. inſtantibus; quis hanc, vel ſpatij, vel temporis differen­
tiam ſenſu percipiat? cum tamen experimentum omne phyſicum ſenſui
ſubeſſe poſſit; nec eſt quod aliquis dicat hoc idem toties obſeruatum
eſſe, tam multis locis temporibus, totque ac tantis etiam teſtibus, vt mi­
nimè fraus aliqua, vel error ſubrepere potuerit; nam cum parua ſit, &
inſenſibilis tùm ſpatiorum, tùm temporum differentia, maius vel minus
æquali tempus, pro æquali, maius.vel minus triplò ſpatium pro triplo
1facilè accipi poteſt, cum nullum diſcrimen ſenſibile eſt.
Adde quod non deſunt viri grauiſſimi qui dicant ſe vix obſeruare po­
tuiſſe hanc ſpatiorum progreſſionem; plures appellare poſſem; vnus
Gaſſendus eſt inſtar omnium; qui ſanè in obſeruando fuit acuratiſſimus,
qui literis ſcriptis, quas ego vidi, expreſſis verbis aſſerit progreſſionem
hanc non eſſe omninò iuxta hos numeros 1.3.5.7. ſed ſingulis addendas
eſſe ſuas minutias, quas ipſe habet; ſed ego omitto, quia etiam ſua incer­
titudine laborant; igitur nullo experimento ad amuſſim concludes,
vel æqualitatem vel aliam accuratam tùm temporum tùm ſpatiorum pro­
portionem: Equidem ſenſu percipio practicam hanc eſſe maiorem pede;
at tot lineis vel punctis ſuperare ne Argus quidem certò, ac diſtinctè cer­
neret: Sed efficaciter, meo iudicio, hanc Galilei hypotheſim refello; ſint
2.partes temporis æquales AE, EF, eæque ſenſibiles; nec enim aliæ aſ­
ſumi poſſunt; ſintque minimæ omnium ſenſibilium; haud dubiè conſtant
ſingulæ infinitis ferè aliis inſenſibilibus, vt patet; igitur ſic ratiocinatur
Galileus; in prima parte temporis AE corpus graue percurrit ſpatium
GH, & in ſecunda æquali EF percurrit ſpatium HL triplum prioris;
igitur ſpatia ſunt vt quadrata temporum, rectè; ſed antequam vlterius
progrediar; Quæro vel à Galileo, vel à quolibet alto, vtrum ſpatium
HL ſit omnino triplum? & ſi aliquis contenderet deeſſe (1/1000000) GH
vtrum experimento præſenti conuinci poſſit? nemo, vt puto, id aſſerere
auſit; hoc poſito, aſſumptaque progreſſione arithmetica quam noſtra ſen­
tentia in ſpatiis adſtruit; ſi prima parte temporis AE percurratur ſpa­
tium GH, ſecunda EF. percurretur tantùm HK duplum GH; igitur
minus eſt hoc ſpatium vero ſpatio 1/4. ſcilicet tota KL; res prorſus de­
monſtrata eſſet, ſi termini proportionis vnius eſſent tantùm 2. id eſt, ſi
progreſſio fieret in partibus temporis ſenſibilibus; at poſito quod ſint
plures termini, vt reuerâ ſunt; nam in totidem terminis fit progreſſio, in
quibus fit augmentum impetus, vel accelerationis acceſſio; atqui hæc
fit in ſingulis inſtantibus, licèt finitis, igitur & progreſſio; Quare duæ
partes temporis AE, EF diuidantur in 4. æquales AD; certè in duabus
primis percurretur ſpatium. VQ æquale GH; igitur duabus vltimis per­
curretur QK, quæ ſit ad QV vt 7. ad 3. nam prima parte percurritur 1.
ſpatium. ſecunda 2. igitur QV continet tria ſpatia; tertia verò 3. quarta
4.ergo hæ duæ vltimæ 7. ſed QM eſt dupla QV; igitur continet 6. igi­
tur MK eſt 1/3 VQ, vel KL; igitur KM eſt (1/12) GL; igitur 12. L (1/10), vel
1/6, igitur VK eſt ad GL vt 10.ad 12. igitur totum ſpatium VK eſt mi­
nus vero 1/6. Præterea 2. partes temporis AE EF diuidantur in 8. partes
æquales AE; haud dubiè 4. primis percurretur ſpatium XT æquale
GH, quod debet diuidi in 10. ſpatia; nam 4. terminis, ſeu temporibus
reſpondent ſpatia 10. quibus æqualia ſunt 40. in teta GL, cuius XT eſt
(1/14), ſed ſi in 4.primis acquiruntur 10. 4. vltimis EF acquiruntur 26.ſcili­
cet T 5; igitur tota X 5. eſt 6. igitur eſt ad GL vt 36. ad 40. ſeu 9. ad
10. igitur X 5. eſt ſpatium minus vero (1/10).
Præterea diuidatur tempus AF in 16. partes æquales AB; haud dubiè
18 primis acquiritur ſpatium YS æquale GH; quod debet diuidi in ſpa­
tiola 36, quæ reſpondent 8. temporibus, ſeu terminis huius progreſſio­
nis, quibus æqualia ſunt 144. in GL, cuius YS eſt 1/4, ſed ſi in 8. primis
acquiruntur 36. in 8. vltimis acquirentur 100. igitur S 6. eſt 100. igitur
Y6. eſt 136. igitur eſt ad GL vt 136. ad 144.ſeu 17.ad 18.igitur Y6.eſt
ſpatium totale minus vero (1/18).
Deinde diuidatur adhuc tempus AF in partes 32. æquales, 16. pri­
mis acquiritur ZR æquale GH, quod debet diuidi in ſpatiola 136.quæ
reſpondent 16. temporibus quibus æqualia ſunt 544. in tota GL, cuius
ZR eſt 1/4 ſed ſi in 16. primis temporibus acquiruntur 136. in vltimis
16. acquiruntur 392. igitur R 7. eſt 392. & ZR 136. igitur Z 7.528.
igitur Z 7. eſt ad GL, vt 528. ad 544. ſeu vt 33. ad 34. igitur Z 7 eſt
ſpatium minus verò (1/34)
Denique ſi diuidatur tempus AF in partes 64.ſpatium acquiſitum erit
minus vero, aſſumpto ſcilicet tota HL (1/66), ſi diuidatur in 128. partes, erit
minus (1/130) ſi diuidatur in 256. partes, erit minus (1/258) ſed temporis par­
tes 2.AE. EF minimè ſenſibilium diuidi poſſunt in infinita ferè inſtan­
tia; ſint tantùm ex.g. 1000000. igitur ſpatium tunc acquiſitum erit mi­
nus ſuppoſito vero HL (1/1000002), quæ ſi deſit tantùm ſpatio KL vt ſit 1/4
totius GL, quis hoc diſcernat? igitur etiam ſuppoſita progreſſione arith­
metica, quæ fiat in finitis inſtantibus; ſi obſeruetur acuratiſſimè ſpatium,
quod percurritur in vna parte temporis ſenſibili v. g. ſpatium GH in
parte temporis AE; ſpatium, quod acquiretur in tempore ſecundo æqua­
li tàm propè accedet ad ſpatium HL, id eſt ad triplum prioris GH, vt
nullus mortalium diſcernere poſſit; igitur cum hoc experimento tàm
poteſt ſtare noſtra hypotheſis, quàm alia Galilei, igitur neutra ex eo tan­
tùm euinci poteſt.
Hinc obiter obſerua progreſſionem differentiarum; quippe ſi ſint
tantùm 2. partes temporis, differentia eſt 1/4; ſi 4.1/6 ſi 8. (1/10); ſi 16.(1/18); ſi 32.
(1/34); ſi 64.(1/66) nam primò denominator fractionis ſuperat tantùm binario
numerum partium temporis; ſecundò differentiæ denominatorum ſunt
in progreſſione geometrica dupla numerorum 2. 4. 8. 16. 32. 64.
128. &c.
Eodem modo ſoluendum eſt ſecundum experimentum rotati globi in
plano decliui; præſertim cum globus ab incurſu aſperiorum partium
tùm globi, tùm plani ſaltuatim deſcendat; quod dubium eſſe non poteſt,
& quò decliuius erit, faciliùs reſiliet a plano, vt patet; ſed de motu in
planis inclinatis fusè agemus infrà libro integro.
Quod ſpectat ad tertium experimentum; multa in eo ſupponuntur
vel falſa, vel ſaltem dubia: vel ea quæ cum noſtra hypotheſi optimè con­
ueniant. Primum eſt, quando dicuntur omnes vibrationes eiuſdem fune­
penduli, ſiue maiores, ſiue minores eſſe æquediuturnæ, quod manifeſtis
experimentis repugnat; quippe vibratio maior plùs temporis; minor ve­
rò minùs in ſuo deſcenſu ponit; dimittantur enim duo funependula æ­
qualia; alterum quidem ex altitudine 90.graduum, alterum ex altitudine
110. vel 15.graduum; ita vt ſimul vibrationes ſuas incipiant; numerentur
vibrationes vtriuſque, vbi 100. è minoribus numeratę fuerint, numera­
buntur circiter 97. è maioribus, quod ſæpiùs obſeruaui teſtibus etiam
adhibitis; hoc ipſum etiam obſeruarunt alij; atque adeo ipſe P.Merſen­
nus, qui L. 2. ſuæ verſionis, Ar.17. Galileum arguit parùm acurati ſtu­
dij in his obſeruationibus adhibiti: rationem huius effectus in libro de
funependulis explicabimus; immò ſi omnes vibratìones maiores primæ
vibrationi 90. grad. eſſent æquales, & aliæ minores alterius funependu­
li ſenſun, vt ſit, minuerentur; vix 90. maiores numerare poſſes, iam enu­
meratis 100. ex minoribus; ſed de his omnibus ſuo loco; in vna tamen
vel altera vibratione vix aliquod diſcrimen obſeruatur; quod tamen ob­
ſeruari facilè poſſet in maioribus funependulis.
Secundum, quod ſupponitur, eſt quod longitudines funependulorum
ſint prorſus, vt quadrata temporum, quibus vibrationes ſingulorum
fiunt, v.g. funependulum longitudinis 4. pedum facere vnam vibratio­
nem eo tempore, quo funependulum longitudinis vnius pedis facit duas;
quod primò in multis vibrationibus non tàm accuratè obſeruatur; ſecun­
dò licèt obſeruaretur ſenſibiliter, idem reſponderi debet, quod ſuprà in
ſingulis vibrationibus eſſe tantùm diſcrimen; quod etiam in multis ſenſi­
bile non eſt; ſi enim diſcrimen primarum vibrationem v.g.ſit (1/100000000)
certè vltimarum adhuc inſenſibile erit.
Tertium ſuppoſitum fuit, minimum arcum minoris quadrantis aſſum­
ptum, & alium minoris quadrantis eſſe ad inſtar perpendicularium; cùm
tamen diuerſa ſit inclinatio minoris, & maioris quadrantis: quippe
principium maioris accedit propiùs ad perpendicularem; facit enim
angulum contingentiæ minorem; alia verò extremitas accedit propiùs
ad horizontalem propter rationem prædictam; hinc illa extremitas ma­
ioris, vnde eſt initium motus, planum decliuius facit; altera verò minùs
decliue; ſed hæc fusè proſequar ſuo loco.
Quartum, quod ſupponitur eſt, accelerationem motus fieri in qua­
drante in ea ratione, in qua fit per plana chordarum inclinata, quod
etiam falſum eſt; quia in eodem plano inclinato ſupponitur eadem
inclinatio; ſecus in quadrante, cuius ſingula puncta nouam faciunt in­
clinationem: adde quod quarta pars quadrantis maioris EK non facit
eandem inclinationem, quam totus quadrans minor DF ipſi EK æqua­
lis; quamquam hoc ipſi vltrò concedent aduerſarij.
Præterea, ſit ita vt ſupponitur; ita vt ſenſibiliter differentia huius
progreſſionis percipi non poſſit, ſintque numeratæ omnes vibrationes
ſenſibiles dati funependuli ex altitudine 90, grad. demiſſi; quæ vix eſſe
poſſunt 1800; ſint autem plures ſcilicet 2000. dicis confectas eſſe 2000
minoris funependuli eo tempore, quo 1000. tantùm in quadruplo fune­
pendulo numerantur; annuo quidem, ſi res tantùm ſenſibiliter conſide­
retur; ſin verò ſecùs, id pernego; ſed dico deeſſe v. g. 1000000. puncta
ſpatij, quæ diſcerni non poſſunt, ita vt primæ vibrationi 1000. pun­
cta ſecundæ, 2000. tertiæ 3000. &c. vltimæ verò, ſeu milleſimæ
11000000. quæ omnia ſunt inſenſibilia, neque maiorem habent diffi­
cultatem, quàm in motu perpendiculari, de quo ſuprà; etiam conceſſis
vltrò omnibus experimétis propoſitis. Igitur ſuppoſitâ progreſſione ſpa­
tiorum arithmetica in inſtantibus, tàm propè accedit ad aliam, quàm
Galileus ponit, ſiue in perpendiculari deorſum, ſiue in quadrante fune­
penduli; aſſumptis ſcilicet partibus temporis ſenſibilibus, vt differentia
diſcernit non poſſit; immò nec duplum differentiæ, nec centuplum, nec
millecuplum; ſed de his ſatis quæ ex dictis ſuprà facilè intelligi poſſunt:
quare veniemus iam ad rationes.
Prima ratio, quam affert Galileus eſt; quia cum natura in ſuis opera­
tionibus adhibeat ſimpliciſſima media; & cum acceleratio motus natu­
ralis non poſſit fieri iuxta faciliorem, vel ſimpliciorem progreſſionem,
quàm ſit-ea quæ fit per quadrata; non eſt dubium, quin iuxta illam pro­
greſſio motus naturaliter accelerati fieri debeat; præſertim cùm omni­
bus experimentis conſentiat, & in ea omnia phænomena explicari
poſſint.
Reſp. Primò progreſſionem arithmeticam ſimplicem iuxta hos nu­
meros 1.2.3.4. longè ſimpliciorem eſſe alia quæ fit iuxta illos 1.3.5.7.vt
nemo non iudicabit. Secundò cum accidit duas hypotheſes conuenire cum
omnibus experimentis ſeu phænomonis, debet eſſe aliqua ratio, cur ad­
hibeatur vna potiùs quàm alia; ſed nulla eſt ratio, cur Galileus adhibeat
ſuam, vti videbimus; nos verò ratione demonſtratiuâ probamus noſtram;
igitur noſtra eſt præferenda pro theorica rei veritate; quia verò alia in
temporibus ſenſibilibus proximè ad verum accedit eam adhibendam eſſe
decernemus infrà ad praxim, & communem iſtorum motuum men­
ſuram.
Secunda ratio eſt; quia, ſi accipiatur ſubduplum maximæ, & minimæ
velocitatis; ſitque ex his quaſi conflata velocitas motus æquabilis, hoc
motu æquabili æquali tempore pèrcurretur ſpatium idem, quod antè
motu naturaliter accelerato v.g. ſint numeri datæ progreſſionis 1.3.5.7.
9.11. certè ſumma terminorum ſeu totum ſpatium erit 36. accipiatur
ſubduplum primi 1/2 & ſexti 5. 1/2 habebitur velocitas vt 6. igitur cum
velocitate vt 6. æquali tempore percurretur ſpatium 36. quod rectè de­
monſtrauit Galileus.
Reſpondeo non minùs noſtram hypotheſim cum hoc ipſo ſtare, quàm
ſtet hypotheſis Galilei: ſint enim 6. inſtantia, & ſingulis ſua tribuantur
ſpatiola more dicto 1 2 3 4 5 6. ſumma ſpatiorum eſt 21. aſſumatur ſub­
duplum velocitatis primi inſtantis 1/2, & ſubduplum ſexti inſtantis, ſcili­
cet 3. conflatum ex vtroque 3 1/3; ducatur in 6.id eſt in numerum termi­
norum, vel inſtantium; ſumma erit 21. igitur quod tribuit Galileus ſuæ
progreſſioni, etiam noſtræ competit.
Tertia ratio petitur ex matheſi ſit enim linea AE diuiſa in quatuor
partes æquales, quæ nobis repreſentent 4. partes temporis æquales;
haud dubiè, cùm acquirantur temporibus æqualibus æqualia velocitatis
momenta; haud dubiè, inquam, his 4. temporibus AB, BC, CD, DE, ac-
1quirentur æquales velocitatis gradus; ſit autem BI, menſura velocitatis,
quam acquirit mobile cadens ex ſua quiete in fine primæ partis tempo­
ris AB; certè in fine ſecundæ partis temporis BC acquiret velocitatem,
quæ coniuncta cum priore BI faciet duplam CH, & in fine tertiæ par­
tiæ CD triplam DG; denique in fine quartæ DE quadruplam EF; quip­
pe cum in parte BC remaneat tota velocitas B, & acquiratur æqualis;
certè in fine BC eſt velocitas CH dupla illius quæ commenſuratur BI.
ſimiliter in parte CD remanebit vtraque, & accedet altera; igitur eſt ve­
locitas DG tripla BI, & EF eſt quadrupla: Similiter ita ſe ratio habet
cuiuſlibet alterius partis inter AB ad aliam alterius partis inter BC, vt
lineæ ductæ parallelæ BICH, &c. igitur cum ſpatium acquiſitum reſ­
pondeat exercitio huius velocitatis; ſitque inſtanti B vt BI, & inſtanti
C vt CH; certè tempore AB eſt vt triangulum AIB; nam ſpatium AIB
eſt collectio omnium linearum, quæ duci poſſunt parallelæ in tempore
AB; idem dico de trapezo CBIH, qui eſt triplus trianguli IBA; & de
trapezo GDCH, qui eſt quintuplus; igitur triangulum HCA eſt qua­
druplum IBA; quia hæc triangula ſunt vt quadrata laterum; igitur ſpa­
tium acquiſitum temporibus AB, BC, eſt ad ſpatium acquiſitum tempo­
re AB, vt triangulum HCB ad triangulum IBA; igitur vt quadratum
AB ad quadratum AC; igitur vt quadratum temporis AB ad quadra­
tum temporis AC; igitur ſpatia diuerſis temporibus decurſa ſunt vt qua­
drata temporum, quibus ſingula decurruntur.
Hæc ratio ad ſpeciem videtur eſſe demonſtratiua, deficit tamen à ve­
ra demonſtratione; primo, quia ſupponit inſtantia infinita, quæ multi
paſſim negabunt in tempore; immò aliquis vltrò demonſtrare tentaret
non eſſe infinita; itaque ex ſuppoſitione quod ſint tantùm finita inſtan­
tia aſſumantur 4. æqualia AC, CD, DE, EF, certè cum inſtans ſit to­
rum ſimul, velocitatem habet æquabilem ſibi toti reſpondentem; igitur
inſtanti AC reſpondeat velocitas, cuius menſura ſit ABCG; haud du­
biè inſtanti CD reſpondebit velocitas CH, ſcilicet dupla AB; nam re­
manet primus velocitatis gradus acquiſitus primo inſtanti: ſed alter æ­
qualis acquiritur; igitur eſt duplus prioris; igitur reſpondet lineæ DK.
quæ tripla eſt AB, & quarto lineæ FN, quæ eſt quadrupla AB; igitur
creſcit ſpatium, vt rectangula CB, DH, EK, FM; ſed hæc creſcunt iuxta
progreſſionem numerorum 1.2.3.4. nec aliter res eſſe poteſt ex ſuppoſi­
tione quod ſint inſtantia finita; quod alibi ex profeſſo tractamus: quippe
illa quæſtio pertinet ad Metaphyſicam, non verò ad phyſicun; nam vel
ſingula aliquid addunt, vel nihil: aliquid addunt haud dubiè; igitur con­
ſiderantur tantùm 4. inſtantia prima AC, CD, DE, EF, in ſua ſcrie; certè
non poſſunt aliam progreſſionem facere quàm eam, quæ eſt iuxta hos
numeros 1.2.3.4.vnde non fit per triangula ſed per rectangula minima;
igitur linea AF præcedentis figuræ non eſt recta, ſed denticulata, qualis
eſſet ABGHIKLMN, ſed longè minoribus gradibus, ſeu denticulis.
Hinc quò rectangula CB, DH, &c. fient maiora in partibus ſcilicet tem­
poris ſenſibilibus, ſeruata ſcilicet in illis progreſſione numerorum 1.2.3.
14.progreſſio longiùs diſcedet à vera; vt ſuprà iam totius repetitum fuit:
quippe hæc progreſſio in puris inſtantibus fieri tantùm poteſt, cum ſin­
gulis inſtantibus noua fiat acceſſio velocitatis, in hoc enim eſt error,
quòd in tota parte temporis AC ponatur æquabilis velocitas, eiuſque
principium A, ſit æquale fini C; nam AB, & GH ſunt æquales; cùm ta­
men ſit minor velocitas in A, quàm in C, niſi AC ſit tantùm inſtans; vnde
tota velocitas in hypotheſi Galilei acquiſita in 4.partibus temporis aſ­
ſumptis eſt, vt triangulum AFN; acquiſita verò in noſtra hypotheſi eſt vt
ſumma rectangulorum CB, CI, EK, EN, quæ ſumma eſt ad triangulum
AFN, vt 10, ad 8. vel vt 5.ad 4. igitur maior 1/4; nam prima pars tempo­
ris addit triangulum ABG, ſecunda GHI. &c.
Si tamen diuidantur iſtæ partes temporis in minores v. g. in 8. tunc
ſumma rectangulorum erit tantùm maior 1/8; ſi in 16. (1/16) ſi in 32. (1/32); ſi in
64.(11/64), cuius ſehema hîc habes; ſint enim 3.partes temporis ſenſibiles A
CDFE, & ſpatium vt triangulum AFN, ſpatia verò acquiſita in ſingulis
partibus, vt portiones trianguli prædicti, quæ ipſis reſpondent v. g. ac­
quiſitum in prima parte ad acquiſitum in ſecunda tantùm, vt triangu­
lum ACG ad trapezum GCDI &c. denique acquiſitum in temporibus
inæqualibus, vt quadrata temporum v. g. acquiſitum in prima parte ad
acquiſitum in duabus, vt triangulum ACG ad triangulum ADI; id eſt
quadratum CA ad quadratum DA; in noſtra verò hypotheſi, ſi velocitas
in tota prima parte AC ponatur vt CG æquabiliter; haud dubiè ſpatium
acquiſitum in prædictis 4. temporibus erit, vt ſumma rectangulorum C
B, CI, EK, EN, quæ maior eſt toto triangulo, AFN, 4. triangulis ABG,
GHI, IKL, LMN, ie eſt 1/4 totius trianguli AFN; atque ita ſumma re­
ctangulorum continet 10. quadrata æqualia quadrato CB, & triangu­
lum AFN, continet. tantùm 8.
Iam verò diuidantur 4. partes temporis AF, in 8. æquales; in ſenten­
tia Galilei totum ſpatium erit ſemper triangulum AFN, id eſt vt ſubdu­
plum quadrati ſub AF; quæ cùm ſit 8. quadratum erit 64.& ſubduplum
quadrati 32. at verò ſumma rectangulorum eſt 36. id eſt continet 36.
quadrata æqualia quadrato XA; cùm tamen triangulum AFN, conti­
neat tantùm 32. igitur ſumma prædicta eſt ad triangulum AFN, vt 36.
ad 32. id eſt vt 9.ad 8. igitur ſumma eſt maior triangulo 1/8, quæ omnia
conſtant.
Præterea diuidatur vlteriùs tempus AF in 16. æquales partes; qua­
dratum 16. cum ſit 256. accipiatur ſubduplum id eſt 128. & erit trian­
gulum AFN, cui ſemper reſpondet totum ſpatium acquiſitum in ſenten­
tia Galilei; at verò ſumma rectangulorum erit 136. igitur ſumma eſt ad
ſummam vt 136.ad 128.id eſt vt 17.ad 16. igitur eſt maior ſumma trian­
gulo (1/16) atque ita deinceps; ſi vlteriùs diuidas prædictum tempus in par­
tes minores: quot porrò erunt, antequam fiat tota reſolutio in inſtan­
tia, ſint enim v. g. in tempore AF inſtantia 1000000. ſumma quæ reſ­
pondet noſtræ progreſſioni, erit maior altera, quæ reſpondet progreſſio­
ni Galilei (1/1000000) quis hoc percipiat?
1
Si verò in noſtra hypotheſi ſpatium, quod reſpondet primæ parti tem­
poris AC ſit idem cum illo, quod reſpondet eidem parti in ſententia
Galilei, id eſt æquale triangulo CAG, ſumma ſpatiorum erit minor in
noſtra hypotheſi triangulo AFN ſex triangulis æqualibus triangulo
ACG; igitur erit vt 10.ad 16. igitur minor 1/8. ſi verò diuidantur in 8.
temporis partes, triangulum AFN continebit 64. triangula æqualia
AXQ: at verò ſumma quæ reſpondet noſtræ hypotheſi 36.igitur minor
(7/16). denique ſi diuidantur in 16. partes, triangulum AFN continebit
256. triangula æqualia AYZ; at verò ſumma noſtra 136. igitur minor
(15/52) ſed nunquam erit minor 1/2.
Obſeruabis obiter dictum eſſe ſuprà ſummam rectangulorum CB CI
EK EN eſſe maiorem triangulo AFN, 2.quadratis æqualibus CB; ſi
verò diuidatur tempus in 8. partes, ſumma rectangulorum eſt minor præ­
cedenti ſummâ, toto quadrato æquali CB, id eſt 4.quadratis æqualibus
XB, id eſt 1/2 primæ differentiæ, quæ eſt ſumma duorum quadratorum
æqualium CB; at ſi diuidatur in 16. partes, tempus AF, ſumma rectan­
gulorum eſt minor præcedente 8. quadratis æqualibus QZ, vel ſubdu­
plo quadrati CB, id eſt 1/4 primæ differentiæ quæ eſt ſumma duorum
quadratorum æqualium CB; ſi 4. partes temporis diuidantur in 8. de­
trahitur 1/2 differentiæ, quæ eſt inter ſummam primam rectangulorum,
& triangulum AFN; ſi diuidantur in 16. detrahitur 1/4 eiuſdem diffe­
rentiæ; ſi diuidantur in 32. detrahitur 1/8, ſi in 64. (1/16); atque ita deinceps,
& nunquam hæ minutiæ ſubtractæ in infinitum totam differentiam ex­
haurient; hinc minutiæ iſtæ 1/2 1/4 1/8 (1/16) (1/32) (1/64) &c. in infinitum non fa­
ciunt vnum integrum; ſed hæc ſunt facilia.
Quarta ratio, quam afferunt aliqui, eſt; quia ſi cum eadem velocita­
te acquiſita in fine temporis dati ſine augmento nouo moueatur mobi­
le; haud dubiè acquiret duplum ſpatium tempore æquali tempori dato;
v. g. ſit triangulum AFE; ſitque velocitas acquiſita EF in 4. parti­
bus temporis AE, vt iam ſuprà dictum eſt, ne cogar repetere: certè ſi du­
catur velocitas EF in tempus AE, vel EL æquale; habebitur rectan­
gulum EK duplum trianguli AFE: ſed triangulum AFE eſt ſumma
ſpatiorum motus accelerati tempore AE, & rectangulum EK eſt ſum­
ma ſpatiorum motus æquabilis cum velocitate EF; igitur duplum eſt
ſpatium motus æquabilis, quod erat demonſtrandum. Præterea ſi diui­
datur velocitas EF, & eius ſubdupla ducatur in tempus AE; habebitur
rectangulum æquale triangulo AFE, vt conſtat. Reſpondeo facilè ex di­
ctis, hoc ipſum etiam ex noſtra hypotheſi proxime ſequi; ſint enim duo
inſtantia; haud dubie ſi non creſcit velocitas, ſecundo inſtanti æquale
ſpatium percurretur; ſi vero ſecundo inſtanti creſcat, percurrentur illo
motu 3.ſpatia; & cùm velocitas ſecundi inſtantis ſit dupla velocitatis primi
inſtantis, primo inſtanti ſit 1.gradus v.g. ſecundo erunt 2. gradus; igi­
tur moueatur per duo inſtantia motu æquabili veloci vt 2. percurrentur
4. ſpatia; igitur totum ſpatium, quod percurritur motu veloci vt 2. per
2.inſtantia eſt ad totum ſpatium, quod percurritur æquali tempore mo-
1tu naturaliter accelerato vt 4. ad 3. igitur continet illud 1. (11/3); ſi verò
ſint 3. inſtantis continet illud, 1/2; ſi 4. continet 1. 3/5, ſi 5. continet 1.2/3
ſi 5. continet 1 2/3. ſi 6. continet 1 5/7. ſi 7. continet 1 3/4. ſi 8. continet
1 7/9. ſi 9. continet 1 (4/11). ſi 10. continet 1 9/5 ſic quo plura erunt inſtantia
accedet propiùs ad rationem duplam, nunquam tamen ad illam perue­
niet. Ex dictis multa tumultuatim Corollaria congeri poſſunt;
Corollarium 1.
Etiamſi non ſint partes infinitæ temporis; in ordine tamen ad praxim
eodem modo ſe habent, ac ſi eſſent infinitæ; quia licèt finitæ ſint, nume­
rari tamen non poſſunt.
Corollarium 2.
Etiam ſi non ſint infiniti tarditatis gradus, vt conſtat ex dictis, ſed fi­
niti; in ordine tamen ad praxim eodem modo ſe habent, ac ſi eſſent in­
finiti; quia non poteſt diſtingui primus, & minimus ab omnibus
aliis.
Corollarium 3.
Licèt hypotheſis Galilei ſit falſa in hypotheſi inſtantium finitorum;
nam ſingulis inſtantibus noua fit velocitatis acceſſio; phyſicè tamen lo­
quendo eodem modo ſe habet, ac ſi eſſet vera; quia cum non poſſit pro­
bari, niſi in partibus temporis ſenſibilibus; certà, cùm quælibet pars
ſenſibilis innumera ferè inſtantia contineat, in quibus fit progreſſio;
differentia vtriuſque ſenſibilis eſſe non poteſt; igitur linea denticulata
eodem modo ſe habet phyſicè, hoc eſt ſenſibiliter, ac ſi eſſet recta; ſic­
que progreſſio arithmetica in multis terminis reducitur ſenſibiliter ad
Geometriam in paucioribus terminis; immò in communi illa ſententia.
in qua dicitur tempus conſtare ex partibus actu infinitis, progreſſio Ga­
lilei tantùm locum habere peteſt; igitur hæc eſto clauis huius difficul­
tatis; progreſſio ſimplex principium phyſicum habet, non experimen­
tum; progreſſio numerorum imparium experimentum non principium;
vtramque cum principio & experimento componimus; prima enim ſi.
aſſumantur partes temporis ſenſibiles tranſit in ſecundam, ſecunda in
primam, ſi vltima aſſumantur inſtantia.
Corollarium 4.
Cognito ſpatio quod percurritur in data parte temporis ſenſibili, co­
gnoſci poteſt ſpatium quod in duabus æqualibus vel 3.vel 4.&c.percurri
poteſt.v.g. multi probarunt ſæpiùs primo ſecundo minuto corpus graue
percurrere 12. pedes; igitur duobus percurreret 48. accipe enim 9. 2.
id eſt 4. & in 4. duces 12. vt habeas 48. 4. verò minutis percurret 192.
nam accipe 9. 4. id eſt 16. & in 16. duces 12.vt habeat 192. res omninò
facilis.
Corollarium 5.
Similiter cognito ſpatio quod percurrit 4. ſecundis minutis, cogno­
ſces ſpatium, quod percurret 2. vel 1. v.g. percurrit 4. ſecundis 192. pe-
1des; accipe 9.4. id eſt 16. & per 16. diuide 192. quotíens dabit 12. pro
primo ſecundo: accipe 9.2. id eſt, 4. & diuide 192. per 4.quotiens dabit
48. pro duobus minutis, atque ita deinceps.
Corollarium 6.
Similiter cognito tempore cognoſci poteſt ſpatium decurſum; quia
ſpatia ſunt vt quadrata temporum; vel cognito ſpatio cognoſci poteſt
tempus; quia tempora ſunt, vt radices ſpatiorum, hæc elementa ſaltem
Arithmetices deſiderant.
Sed iam reſtat, vt ſoluamus objectiones aliquas, quæ contra motus ac­
celerationem pugnare videntur.
Prima objectio eſt; ſi motus acceleratio fieret in inſtantibus, ſecundo
inſtanti idem corpus eſſet in duobus locis adæquatis quod ſic oſtendo:
ſit ſpatium AB quod percurrit corpus graue primo inſtanti; haud du­
biè AB, eſt eius locus adæquatus; ſecundo inſtanti percurrit BC duplum
AB; igitur eodem inſtanti reſpondet loco BD, & DC, quorum vterque
eſt æqualis AB; igitur ſecundo inſtanti eſt in duobus locis, ſcilicet BD
& DC, quod dici non poteſt.
Hæc objectio impugnat omnem velocitatem; hoc eſt, non modò eam,
quæ motui naturaliter accelerato competit; verùm etiam illam, quæ
ineſt motui violento; igitur vt reſpondeam faciliùs; ſuppono punctum
phyſicum, mobile ſcilicet A; aut ſi mauis Angelum coëxtenſum quadra­
to A; qui ſcilicet moueatur motu accelerato, & primo inſtanti acquirat
locum immediatum æqualem priori, ſcilicet AB; licèt enim poſſet ac­
quirere vibrationem participantem de priori; quia tamen acquireret
tandem non participantem, id eſt, quæ tota ſit extra illam, cui eſt imme­
diata, qualis eſt AB. ſuppono hîc acquiri vibrationem non participan­
tem de priori, id eſt ſpatium AB, æquale priori, in quo erat A, & pror­
ſus extra illud poſitum licèt immediatum; hoc poſito, primo inſtanti pun­
ctum A acquirit AB tanquam locum adæquatum, vt certum eſt: certum
eſt etiam loca BC, CD, eſſe adæquata: igitur ſimul, id eſt eodem in­
ſtanti in vtroque eſſe non poteſt; nam inſtans ſimul totum eſt; igitur
ſecundo inſtanti non percurrit BC, ſed ſecundo tempore æquali primo;
hoc enim ſecundum tempus conſtat duobus inſtantibus, quod ſimul
vtrumque reſpondet primo: quippe dari poſſunt inſtantia phyſica; igitur
primum inſtans quo percurritur AB eſt æquale duobus aliis, quibus
percurruntur BD, & CD; vnde quando dixi primo inſtanti acquiri ſpa­
tium duplum primi, idem eſt, ac ſi dixiſſem ſecundo tempore æquali pri­
mo, quod reuerà tempus conſtat 2. inſtantibus, quorum alterum reſpon­
det ſpatio BC, & alterum ſpatio DC.
Secunda objectio; Sed inquiet aliquis, igitur non eſt continua acce­
leratio motus; nam inſtans quo percurritur ſecundum ſpatium BD, cùm
ſit æquale inſtanti quo percurritur tertium ſpatium DC, in vtroque ſpa­
tio eſt æquabilis motus. Reſpondeo inſtans quo percurritur ſecundum
ſpatium BD, eſſe maius inſtanti, quo percurritur tertium ſpatium DC;
tà tamen lege, vt vtrumque ſimul ſumptum ſit omninò equale inſtanti,
1quo percurritur primum ſpatíum AB; ſimiliter totum ſpatium CG ita
percurritur tertio tempore, vt ſingula ſpatia CE. EI. FG. ſingulis in­
ſtantibus percurrantur; ſed hæc tria inſtantia ſimul ſumpta ſunt æqualia
primo inſtanti, quo percurritur ſpatium; licèt primum quo percurritur
CE ſit maius ſecundo, quo percurritur EF, & hoc maius tertio, quo per­
curritur FG, atque ita deinceps.
Obſeruabis poſſe velocitatem motus explicari duobus modis. Primò,
ſi aſſumantur tempora æqualia, & ſpatia inæqualia in ea progreſſione,
quam hactenus explicuimus. Secundò ſi accipiantur ſpatia æqualia &
tempora inæqualia, quod duobus modis fieri tantùm poteſt. Primò ſi ac­
cipiantur ſpatia æqualia primo ſpatio, quod percurritur primo inſtanti.
Secundò ſi accipiantur ſpatia æqualia alteri ſpatio, quod in parte tempo­
ris ſenſibili percurritur; in qua verò proportione tempora fiant ſemper
minora, 'dicemus infrà; nec dicas durum eſſe dicere inſtans eſſe poſſe
minus inſtanti; nam equidem fateor inſtanti mathematico nihil eſſe
poſſe minus; ſecus verò inſtanti phyſico, quod eſt diuiſibile potentiâ, vt
dicemus aliàs; nomine inſtantis phyſici intelligo durationem indiuiſi­
bilem, hoc eſt, cuius entitas tota ſimul eſt.
Tertia objectio. Sed inquies, igitur ſecundo tempore æquali primo
acquiruntur 2.gradus velocitatis, vel impetus; igitur tria ſpatia ſecun­
do tempore percurruntur, quod eſt contra hypotheſim; quippe duo gra­
dus impetus accedunt primo, ſimiliter tertio tempore producentur tres
gradus impetus; qui ſi iungantur tribus præcedentibus, erunt 6. Igitur
percurrentur tertio tempore 6. ſpatia, & quarto 10.quinto 15. quia ſin­
gulis inſtantibus debet produci impetus; eſt enim cauſa neceſſaria ap­
plicata.
Reſpondęo, equidem eo inſtanti, quo percurritur ſpatium BD, pro­
duci aliquid impetus, & aliquid eo inſtanti, quo percurritur ſpatium
DC; ita vt tamen totus ille impetus, qui producitur his duobus inſtan­
tibus, ſit æqualis illi, qui producitur primo inſtanti, quo ſcilicet percurri­
tur ſpatium AB; quia duo illa inſtantia ſimul ſumpta faciunt tempus
æquale primo inſtanti; atqui temporibus æqualibus eadem cauſa neceſ­
ſaria non impedita æqualem effectum producit per Ax.3.hinc vides ſin­
gulis inſtantibus eadem proportione decreſcere impetum in perfectio­
ne, qua tempus eſt breuius, ſeu velocior motus; ſed de hoc infrà.
Quarta objectio; ſi impetus ſingulis inſtantibus creſceret, vel intende­
retur, augeretur grauitatio: quippe ſi grauitas primo inſtanti producat
vnum gradum impetus; ſecundo æqualem producet, & tertio, atque ita
deinceps, quod eſſet abſurdum; alioqui minima atomus quodlibet cor­
pus graue adæquaret, quod eſt abſurdum.
Reſpondeo nunquam impetum intendi, niſi ſit motus, qui eſt illius fi­
nis; alioquin fruſtra eſſet per plura inſtantia; igitur deſtrui deberet; nec
dicas impetum naturalem etiam fruſtrà eſſe ſine motu; quia cum mo­
tus non ſit eius finis adæquatus; non mirum eſt ſi poſſit eſſe ſine motu;
atqui iam diximus ſuprà habere duos fines, quorum alterum ſemper ha-
1bet; primus eſt grauitatio, ſeu niſus verſus centrum; ſecundus motus
deorſum; cùm tamen impetus additivius motum tantùm pro fine habeat;
igitur ſi impeditur totus motus, non producitur hic impetus.
Quinta objectio; ſi impetum ſuum intendit corpus graue; ſimiliter
Ignis diceretur intendere calorem; Sol lucem, &c. Reſpondeo primò de
luce ſingularem eſſe rationem; quia ſcilicet conſeruatur à cauſa ſua pri­
mo productiua; quidquid ſit; ſi viderem effectum caloris, vel frigoris
perpetuò creſcere; haud dubiè dicerem etiam cauſas ipſas intendi; atqui
hoc ipſum video in motu naturali, qui effectus impetus eſt; adde quod
argumentum à pari debile eſt; cum enim ſint diuerſi naturæ fines, diuer­
ſæ ſunt viæ quibus ſuos fines conſequítur; denique contrarietas caloris,
& frigoris impedit fortè, ne vlterius vtraque qualitas intendatur, de qua
fusè ſuo loco; porrò dicemus Tomo ſexto calorem conſeruari à cauſa ſua
primo productiua; quo poſito ceſſat difficultas; quod licèt alicui durum
videri poſſit, demonſtrabo tamen.
Sexta objectio; igitur ſi ex infinita diſtantia lapis deſcenderet, inten­
deret etiam ſuum motum. Reſpondeo primò, non poſſe dari infinitam il­
lam diſtantiam. Secundò etiamſi daretur lapis, ex ea non caderet; fruſtrà
enim eſſet ille motus: Tertiò, ſi daretur motus infinitus, haud dubiè eſſet
æquabilis; qualis eſt motus circularis corporum cœleſtium; at verò
motus naturalis deorſum corporum grauium debet eſſe acceleratus ne
vel deſcenderent tardiùs, ſi cum primo tantùm velocitatis gradu deſcen­
derent; vel ſuſtineri vix poſſent, ſi impetum innatum intentiorem habe­
rent; vtrum verò ſemper intendatur, & ex quacumque altitudine cadat
corpus graue, videbimus infrà.
Ex dictis hactenus facilè refelluntur aliæ ſententiæ de proportione
motus naturaliter accelerati.
Et primò quidem illa, quæ vult fieri ſecundum rationem ſinuum
verſorum, licèt initio tàm propè accedat ad proportionem Galilei, vt
diſcerni ſenſibiliter ab ea non poſſit; quare tutò ſatis aſſumi po­
terit, ſi quando ſit opus illius loco, quod nos in explicandis motibus cœ­
leſtibus præſtabimus; interim quia faciliùs explicatur in motu recto per
rationem quadratorum quàm ſinuum, illam retinebimus; præſertim cùm
vtraque ad noſtram reducatur; modò progreſſio fiat in inſtantibus.
Secundò reiicitur ſententia illorum qui volunt hanc progreſſionem fie­
ri iuxta proportionem geometricam, quam vides in his numeris 1.2.4.8.
16. quæ licèt initio minùs recedat à vera, in progreſſu tamen multùm
aberrat, nec eſt vlla ratio quæ pro illa faciat: Et verò nulla in mentem
venire poteſt; niſi fortè dicatur, cùm ſecundo inſtanti ſit dupla velocitas,
tertio ponendam eſſe quadruplam, & 4°. octuplam; quia vt velocitas pri­
mi inſtantis eſt ad velocitatem ſecundi, ita velocitas huius ad velocita­
tem tertij, & velocitas huius ad velocitatem quarti; igitur ſequitur pro­
greſſionem rationis geometricæ duplæ; cur enim eſſet maior ratio pri­
mi inſtantis ad ſecundum quàm ſecundi ad tertium tertij ad quartum?
&c. ſed profectò vix vlla apparet rationis ſpecies, cùm nulla ſit cauſa,
1quæ 3° inſtanti, & 4° plùs agat quam primo, & ſecundo; igitur eſt peculiaris
cauſa huius inæqualitatis rationum; quòd ſcilicet æqualibus temporibus
æqualia acquirantur velocitatis momenta; vt ſuprà demonſtrauimus;
quippe id præſtari debet in explicandis inæqualitatibus motuum recto­
rum naturalium, quod præſtant Aſtronomi in explicanda inæqualitate
motuum cæleſtium; qui ſemper æqualitatem aliquam ſupponunt, nec eſt
quòd hanc ſententiam nonnullis experimentis ictuum quiſquam con­
firmet, in quibus multa fraus ſubeſſe poteſt.
Tertiò reiicitur illa quoque ſententia, quæ proportionem lineæ ſectæ
in mediam, & extremam rationem huic lineæ tribuit, quam ferè in his
numeris vides 1.2.3.5.8, 13. 21. 34. 55. quæ ſub finem etiam longiſſimè
aberrat, vt videre eſt, quare iiſdem rationibus impugnatur, quibus iam
aliam impugnauimus.
Scio eſſe alias multas rationes, quibus aliqui recentiores motus natu­
ralis accelerationem explicare nituntur, ſed iam ſuprà ſatis ſuperque re­
iectæ fuerunt, vel profectò eæ ſunt, quæ ne quidem inter fabuloſa poë­
tarum commenta locum aliquem habere poſſint: Et verò niſi me ani­
mus fallit in re clariſſima, rationem huius effectus ex communibus
principiis deductam cum ipſis etiam experimentis conſentire hactenus
ita demonſtrauimus, vt iam vix vllus dubitationi locus relinquatur; ſed
interruptam Theorematum ſeriem tandem repetimus.
Theorema 62.
Si accipiantur ſpatia æqualia primo ſpatio, quod vno inſtanti percurritur,
inſtantia ſunt inæqualia in motu natur aliter accelerato; probatur, quia ſe­
cundum ſpatium æquale primo percurritur motu velociore, quàm pri­
mo, & tertium quam ſecundo: ergo minori tempore per Def.2.l.1. ſed
primum ſpatium conficitur vno inſtanti; igitur ſecundum vno inſtanti,
ſed minore; idem dico de tertio.
Theorema 63.
In ea proportione decreſcunt hæc instantia, vt primum ſit maius ſecundo,
ſecundum tertio, tertium quarto, quartum quinto, quintum ſexto,
atque ita deinceps; ita vt ſecundum & tertium ſimul ſumpta, item quar­
tum, quintum, ſextum, ſeptimum, item octauum, nonum, decimum, ſimul
ſumpta adæquent primum, hoc eſt vt vnum, duo, tria, quatuor, quinque,
ſex, &c. faciant ſemper tempora æqualia, quia temporibus æqualibus æ­
qualia acquiruntur velocitatis momenta? igitur ſi primo inſtanti per­
curritur vnum ſpatium; ſecundo tempore æquali percurruntur duo ſpa­
tia æqualia primo, & tertio, tria; atque deinceps; ſed vt ſuprà dictum eſt
in reſponſ. ad obiect. primam, vno, & eodem inſtanti non poteſt idem cor­
pus percurrere duo ſpatia, ne ſimul eſſet in duobus locis; igitur ſingula
ſpatia reſpondent ſingulis inſtantibus licèt minoribus; ſed ſecundo tem­
pore æquali primo inſtanti percurruntur duo ſpatia æqualia primo ſpa­
tio; igitur ſecundum, & tertium inſtans debent ſimul ſumpta adæquare
1primum, ſed non ſunt æqualia, vt conſtat; alioquin duobus illis inſtanti
bus motus eſſet æquabilis; igitur ſecundum eſt maius tertio, ita vt tamen
ex vtroque tempus fiat æquale primo inſtanti.
Theorema 64.
Non decreſcunt illa inſtantia ſecundum lineam ſextam in extremam &
mediam rationem propagatam; ita vt primum ſit ad ſecundum, vt ſecundum
ad tertium, tertium ad quartum, quartum ad quintum at que ita deinceps;
ſit enim aliqua ſeries numerorum, qui aliquo modo accedant ad prædi­
ctam proportionem 1.2.3.5.8.13.21.34.55. ſitque primum inſtans vlti­
mus numerus 55. ſecundum 34.tertium 21. atque ita deinceps: Equidem
ſecundum, & tertium adæquant primum; at verò quartum, quintum,
ſextum nullo modo adæquant; immò ne quidem eius ſubduplum, &
multò minus 3. alij addito primo: immò ſi linea data duodecies propor­
tionaliter diuidatur, vltimum ſegmentum vix eſſet ſubcentuplum primi,
vt conſtat; igitur reiici debet hæc propoſitio.
Theorema 65.
Inſtans primum non eſt ad ſecundum vt numerus ad numerum; nec ad
tertium, quartum, quintum, ſextum, &c. probatur, quia nullus numerus
excogitari poteſt quo deſignari poſſit quantitas, ſeu perfectio, ſeu va­
lor iſtorum inſtantium; ſit enim primum inſtans ſecundum ſit 3/5. tertium
2/5 quartum 4/9 quintum 2/9 ſextum 2/9. Equidem ſecundum, & tertium adę­
quant primum; adde quod non poteſt amplius ſeries propagari per nu­
meros rationales; ſit autem ſecundum (6/11) 3. (5/11) cum tribus aliis 4/9 1/9 7/9;
equidem ſi reducantur hæ 5. minutiæ, reſpondebunt his (54/99) (45/99) (44/99) (12/99) (26/99):
igitur ſecunda erit maior quarta; at prima ſuperat ſecundam (9/999) ſecunda
tertiam (1/99) tertia quartam (11/99) quarta quintam (12/99). Cur porrò hæc inæqua­
litas, igitur numeri poſſunt aſſignari; non poſſunt etiam poni in ſerie
geometrica ſubdupla 1. 1/2 1/4 1/8 &c. quia ſecunda. & tertia non adæquant
primam idem dicendum eſt potiori iure de tribus aliis; nec etiam in ſe­
rie arithmetica ſimplici 1. 1/2 1/3 1/4 2/5 1/6; quia ſecunda, & tertia ſunt mi­
nores prima 1/6, vt quarta, quinta, ſexta ſunt minores prima (26/74).
Theorema 66.
Datur aliquis ſeries numerorum irrationabilium, ſeu ſurdorum minorum, &
minorum; quorum primus ita ſuperet ſecundum, ſecundus tertium,
tertius quartum, &c. vt ſecundus, & tertius adæquent primum, item
quartus, quintus, ſextus. item 4. alij, qui ſequuntur, item 5. item 6. &c.
v. g. poteſt dari linea AG conſtans tribus partibus æqualibus, ſcilicet
AB, BC, CG, & ſecunda BC duabus BD maiore, & DC minore, & ter­
tia tribus prima CE minore ED, ſed maiore EF, ſecunda EF maiore F
G, atque ita deinceps; addi poteſt quartum ſegmentum æquale AB; quod
ſubdiuidetur in 4. partes, quarum prima ſit maior ſecunda, & haec tertia
& hæc quarta, & omnes minores FG; ita autem ſuperant primæ ſequen­
tes, vt differentia primæ, & ſecundæ ſit maior differentia ſecundæ, &
1tertiæ, & hæc maior differentia tertiæ, & quartæ; atque ita deinceps, nec
aliter res eſſe poteſt.
Theorema 67.
Hinc partes, quo fiunt minores, accedunt propiùs ad æqualitatem, v.g. BD,
& DC accedunt propiùs ad æqualitatem quàm AB, BD, & DC, CE, pro­
piùs quàm CD, DB, & CE, EF, quàm EC, CD, atque ita deinceps, vt patet;
hinc poſt aliquot inſtantia motus, æqualia ferè redduntur inſtantia, vt
conſtat.
Theorema 68.
Hinc qua proportione decreſcunt instantia, decreſcit etiam perfectio
impetus; quia temporibus æqualibus eadem cauſa neceſſaria æqualem ef­
fectum producit per Ax. tertium igitur inæqualem inæqualibus, per Ax.
13. num.4. igitur minorem minore tempore; igitur minorem in eadem
proportione, in qua tempus eſt; igitur qua proportione, &c.
Theorema 69.
Hinc vides quâm ſit neceſſaria illa diuerſa perfectio impetus, quam indi­
cauimus lib.1. hinc impetus productus ſecundo, & tertio inſtanti adæ­
quat impetum productum primo, quem etiam adæquat productus quar­
to, quinto, ſexto, item productus ſeptimo, octauo, nono; decimo, atque ita
deinceps; hinc eſt eadem differentia impetuum, quæ inſtantium; hinc ſin­
gulis ſpatiis æqualibus primo ſpatio, quod percurritur primo inſtanti;
reſpondent ſingula inſtantia, & ſingulis inſtantibus ſinguli, & ſingulares
impetus; hinc non eſt quod primo inſtanti dicantur produci plura pun­
cta impetus in eodem puncto corporis grauis; ſed vnicum tantùm pun­
ctum talis perfectionis ſcilicet phyſicum; cur enim potius duo puncta,
quam tria? ſed quod vnum eſt determinatum eſt per Ax. 5. lib. 1. hinc
optima ratio cur potius tali inſtanti producatur impetus talis perfectio­
nis quàm alterius? quippe perfectio impetus ſequitur perfectionem in­
ſtantis quo producitur; hinc dicendum videtur omnia puncta impetus
eſſe diuerſæ perfectionis, vel heterogenea; vt vulgò aiunt Philoſophi;
cuius rationem demonſtratiuam afferemus lib. ſequenti cum de motu
violento; hinc vides duplicem progreſſionem; primam ſcilicet, qua ex
ſuppoſitis temporibus æqualibus acquiruntur ſpatia inæqualia, de qua
fusè ſuprà; in hac enim velocitas eadem proportione cum impetu creſ­
cit, & cum ipſo tempore; hoc eſt tempore triplo eſt tripla, quadruplo
quadrupla; item impetus in duplo tempore eſt duplus, in triplo triplus;
modò progreſſio fiat in temporibus primo inſtanti æqualibus; ſecunda
progreſſio eſt qua ex ſuppoſitis ſpatiis æqualibus tempora fluunt inæ­
qualia, hoc eſt minora & minora; quibus etiam reſpondet impetus im­
perfectior in eadem proportione temporum; prima fit per differentias
æquales, & proportiones inæquales, ſecunda verò per differentias inæ­
quales, & proportiones inæquales.
1
Theorema 70.
Si aſſumantur ſpatia ſenſibilia æqualia, tempora ſunt ferè in ratione ſubdu­
plicata ſpatiorum; crun enim ſpatia ſint vt quadrata temporum ſenſibiliter;
certè tempora ſunt, vt radices iſtorum quadratorum, ſcilicet ſpatiorum;
ſint enim quæcunque ſpatia æqualia in linea AF; ſintque ſpatia AC 4.
AE 16. radix quadr.4. eſt 2.16. verò 4. igitur tempora ſunt vt 4.2.ſi ve­
rò accipiatur primum ſpatium, quod vno tempore percurritur; tempus
quo percurruntur duo ſpatia æqualia primum eſt v.2.quo percurruntur
tria v.3.quo percurruntur 4.ſpatia, 2. atque ita deinceps; igitur in praxi
quæ tantùm fit in ſpatiis ſenſibilibus hæc progreſſio adhibenda eſt, il­
lamque deinceps, ſi quando opus eſt, adhibebimus.
Theorema 71.
In vacuo ſi corpus graue deſcenderet, prædictæ proportiones accuratiſſimè
ſeruarentur; quia ſcilicet nullum eſſe impedimentum; at verò ſi aliquod
intercedit impedimentum; haud dubiè non ſeruantur accuratè; eſt autem
aliquod impedimentum in medio, quantumuis liberum eſſe videatur,
quæ omnia conſtant.
Theorema 72.
Impetus naturalis addititius deſtruitur; patet experientiâ; quippe pila
deorſum cadens tandem quieſcit, licèt à terra reflectatur ratione impe­
dimenti, ex quo reſultat duplex determinatio, ratione cuius idem im­
petus ſibi aliquo modo redditur contrarius; ſed de his fusè in primo libro
à Th.148. ad finem vſque libri: nam reuerâ duæ determinationes op­
poſitæ pugnant pro rata per Ax. 15.l.1. & quotieſcunque idem impetus
eſt ad lineas oppoſitas determinatus eodem modo ſe habet, ac ſi duplex
eſſet, & quilibet ſuæ ſubeſſet determinationi; atqui ſi duplex eſſet oppo­
ſitus, pugnarent pro rata; igitur tàm pugnant duæ determinationes op­
poſitæ in eodem impetu, quàm duo impetus ad oppoſitas lineas deter­
minati; igitur impetus naturalis aduentitius deſtruitur, &c.
Theorema 73.
Impetus naturalis innatus nunquam deſtruitur; Probatur, quia nihil eſte
quod exigat eius deſtructionem, quia ſcilicet nunquam eſt fruſtrà; nam
vel habet motum deorſum, vel grauitationis effectum, vel deſtruit impe­
tum extrinſecum in motu violento; igitur nunquam eſt fruſtrà, cum ſem­
per habeat aliquem effectum.
Dices lignum vi extrinſeca in aqua immerſum ſua ſponte aſcendit;
igitur ille gradus impetus grauitationis deſtruitur, & alius producitur;
hæc quæſtio ad præſens inſtitutum non pertinet, ſed ad librum de gra­
uitate, & leuitate. Igitur breuiter reſpondeo illum impetum nunquam
deſtrui, quandiu mobile grauitat, vel grauitatione ſingulari, (ſic corpus
grauitat in manum ſuſtinentis,) vel grauitatione communi, (ſic lignum
humori innatans grauitat, non quidem in aquam, at ſimul cum aqua;)
ſed de grauitate, & grauitatione in Tomo de ſtatibus corporum ſenſibi-
1libus, in quo oſtendemus ideo lignum ſurſum emergere, quia ab aqua
extenditur, & ideo corpora ſurſum ire, quia alia deorſum eunt.
Theorema 74.
Quando lapis deſcendit per medium aëra, impeditur aliquantulum eius
motus: Probatur primò experientiâ, quæ certa eſt; tàm enim aër impe­
dit motum deorſum, quàm ſurſum, vt videre eſt in mobili leuiore ſeu ra­
riore, quod etiam flante vento obſeruare omnes poſſunt; quomodo ve­
rò impediat, dicemus aliàs; ſecundò corpus immobile, in quod mobile
impingitur, motum illius impedit; ſed in diuerſas partes aëris corpus
graue impingitur in deſcenſu; igitur aliquantulum impeditur eius
motus.
Theorema 75.
Hinc motus naturalis deorſum aliquantulum retardatur, quia nihil aliud
præſtare poteſt huiuſmodi impedimentum, niſi aliquam retardationem;
igitur motus inde redditur tardior.
Theorema 76.
Hinc etiam impetus producitur imperfectior; quia ex imperfectione ef­
fectus requiritur imperfectio cauſæ per Ax. 13.l. 1. & quâ proportione
eſt tardior motus eâdem impetus eſt imperfectior, per Ax. 5. excipe ta­
men impetum innatum, qui ſemper habet eundem effectum grauitatio­
nis, vel ſingularis, quâ grauitas cum ipſo medio, ſi reuerâ medium gra­
uitat, de quo aliàs.
Theorema 77.
Quo medium denſius eſt plus impedit motum deorſum; Probatur, quia ſi
motum impedit; certè non totum; quis enim hoc dicat; ſed eæ dumta­
xat partes, quibus incubat corpus graue; igitur quò ſunt plures huiuſ­
modi partes, maius eſt impedimentum; ſed in medio denſiori plures ſunt
cum minore extenſione; hoc enim eſt, quod voco denſius; igitur me­
dium denſius plùs impedit.
Theorema 78.
Hinc tardiùs deſcendit mobile per mediam aquam, quàm per medium
aëra, quia aqua eſt denſior aëre.
Scholium.
Obſerua eſſe aliqua corpora minus denſa, quæ motum omninò im­
pediunt; quippe certum eſt aquam eſſe denſiorem ligno; atqui li­
gnum deſcenſum lapidis impedit, non verò aqua; quia ſcilicet lignum
non eſt medium, vt aqua; vt enim aliquod corpus ſit medium, debet eſſe
liquidum, vt, aqua & alij liquores; vel ſpirabile vt aër, vapor, &c. ratio
eſt, quia partes ligni, vel alterius corporis durioris, ita ſunt inter ſe con­
junctæ, vel implicatæ, vt omnem tranſitum intercludant, niſi corpus ip­
ſum graue valido ictu vel impetu ſibi viam aperiat; igitur vt corpus ali­
quod vice medij defungatur, debet in eo ſtatu eſſe, in quo eius partes
1modico ferè niſu ſeiungantur, & loco cedant; ſed de his ſtatibus cor­
porum fusè agemus Tomo 5. adde quod ad medium ſufficit vacuum ſi
motus in vacuo eſſe poteſt, de quo alibi; quod certè eſt omnium me­
diorum optimum, cum nullo modo reſiſtar mobili.
Theorema 79.
Hinc producitur impetus imperfectior in medio denſiore: quia in eo tar­
dior eſt motus, ex cuius tarditate arguitur imperfectio impetus per Ax.
13.num.4.
Scholium.
Obſerua denſitatem medij cognoſci ex eius grauitate; illud enim
denſius eſt, quod eſt grauius & viciſſim; quod fusè explicabimus ſuo lo­
co; eſt enim grauitas quædam denſitas, vt ait Philoſophus tùm l.4.pb.c.
9.t.85. & 86. denſum & rarum, inquit, ſunt lationis efficientia, & paulò ſu­
periùs; eſt autem denſum graue, rarum verò leue, & l.8.c.7.t.55. hæc habet,
graue & leue; molle & durum denſitates quædam eſſe, & raritates videntur,
quæ adnotare volui, vt vel inde conſtet doctrinam hanc cum Peripate­
tica optimè conſentire.
Obſeruabis etiam hîc à me non diſcuti, in quo conſiſtat denſitas, vel
raritas, grauitas, vel leuitas; ſuppono tantùm graue illud eſſe, quod ten­
dit deorſum; leue illud, quod tendit ſurſum ſiue pellatur à grauiori, ſiue
non, denſum verò eſſe id quod multùm materia habet ſub parua exten­
ſione, rarum è contrario; quorum omnium cauſas, & rationes ſuo loco
explicabimus.
Theorema 80.
Sub medium leuius corpus graue deſcendit; certa eſt hypotheſis, niſi for­
tè aliquando per accidens ſecus accidat; ratio porrò petitur ex ipſa
grauitatis natura, quâ corpus graue tendit deorſum; nihil enim aliud
grauitas eſt, quidquid tandem illa ſit; quippe corpus graue deſcendit,
quando medium liberum habet, idemque leuius, per quod deſcendat;
quod certè ſi grauius eſſet, haud dubiè non deſcenderet; ſic ferrum, &
ſaxum plumbo liquato innatant; cum tamen per mediam aquam de­
ſcendant; fic lignum aquæ ſupernatat, quod per liberum aëra deſcendit;
ratio eſt, quia grauius deſcendit ſub medium leuius; cur autem id fiat
fusè alibi explicabo; id tantùm obiter indico. Omnis motus, qui fit à
principio intrinſeco per lineam rectam propter locum eſt, vt patet; quis
enim neget corpus graue ideo deſcendere ſub leuius, vt occupet aliquem
locum quo prius carebat, qui tamen illi connaturalis eſt in hoc rerum
ordine? cum à natura acceperit vim illam intrinſecam, quâ in eum lo­
cum ſeſe recipere poteſt; quam certè vim intrinſecam nunquam à na­
tura rebus creatis inſitam eſſe conſtat, niſi ad eum finem conſequendum,
cui à natura deſtinantur; cur verò locus connaturalis corporis grauio­
ris ſit ille, in quo leuiori ſubeſt, non diu hærebit animus, quin ſtatim ra­
tio affulgeat; cum enim corpus, quod eſt ſuprà, ſuſtineatur ab eo quod eſt
infrà; illud certè infra eſſe connaturalius eſt, quod aptius eſt ad ſuſtinen-
1dum; atqui denſum aptius eſt ad id munus, quia plures partes ſuſtinentis
pauciores ſuſtinent alterius leuioris, ſeu rarioris, vt conſtat; v.g. certum
eſt eandem aëris partem pluribus aquæ partibus reſpondere; ſed de hoc
alias fusè; hæc interim ſufficiat indicaſſe, vt vel aliqua ratio affulgeat;
cur ſcilicet corpus graue ſub medium leuius ſua ſponte deſcendat; adde
quod cum omne corpus graue tendat deorſum, tunc vnum infra aliud de­
ſcendit, cum ſunt plures partes pellentis, quàm pulſi; denique per va­
cuum modicum ſine vlla reſiſtentia deſcenderet.
Theorema 81.
Sub medium grauius corpus leuius minimè deſcendit, ſed huic inna­
tat; v.g. lignum aquæ, ferrum plumbo liquato; certa eſt hypotheſis: ratio
eſt, quia ideo deſcendit graue ſub medium, quia grauius ſeu denſius eſt
medio; igitur, ſi denſius eſt ipſum medium, non deſcendet; clarum eſt;
cur verò aſcendat ſupra medium. v.g. cur lignum aquæ immerſum tan­
dem emergat hîc non diſcutio, ſed tantùm indico ab ipſa aqua ſurſum
extendi; quanta verò parte lignum emergat, dicemus aliàs, cum de in­
natantibus humido.
Theorema 82.
Sub medium æquè graue corpus non deſcendit, nec etiam ſupra aſcendit; ra­
tio eſt, quia ideo deſcendit ſub medium, quia medium leuius eſt, ideo
aſcendit ſupra, quia medium grauius eſt; igitur ſi nec ſit grauius nec
leuius, non eſt quod aſcendat vel deſcendat; nihil tamen illius ſupra
primam medij ſuperficiem extare poterit; alioqui eſſet leuius medio,
contra ſuppoſitionem.
Theorema 83.
Aër ſuam grauitatem habet; quod iam à nullo in dubium reuocari po­
teſt; nam ſi comprimatur intra vas æneum v.g. etiam minimæ craſſitu­
dinis; ſi deinde ponderetur, maius eſt haud dubiè pondus, quo maior
eſt aëris copia intruſa; atqui non modo triplum totius aëris, qui ante
compreſſionem totam vaſis capacitatem occupabat intrudi poteſt, vel
decuplum; verùm etiam vigecuplum; immò centuplum, & millecuplum
adhibita cochleâ, vel alio mechanico organo, & aucta vaſis craſſitudine,
de quo aliàs: quanta verò ſit grauitas aëris comparata cum grauitate
aquæ, cenſet Galileus eſſe ferè vt 1. ad 400. Merſennus verò vt 1. ad
1356. vel ſaltem vt 1.ad 1300. Nos maiorem illà; hâc vero minorem
eſſe obſeruauimus, de quo aliàs; nec enim eſt præſentis inſtituti, pro
quo ſufficiat modò, aëri aliquam ineſſe grauitatem; nec dicas aëra le­
uem eſſe; nam reuerâ leuis eſt, ſi comparetur cum aqua; grauis autem ſi
comparetur cum aſcendente halitu, vel fortè cum vacuo; nec eſt quod
aliquis fortè metuat, ne ſi aër ſit grauis, ab eo tandem opprimatur, nam
etiamſi aqua ſit grauis non tamen opprimit vrinatores, cuius rei veriſſi­
mam rationem ſuo loco afferemus; denique non eſt quod aliqui ſatis
incautè reſpondeant, ipſum aëra non eſſe grauem, ſed tantùm ſentiri ali­
quod pondus craſſioris vaporis immixti; nam de alio aëre non affirmo
1grauem eſſe, niſi tantùm de illo, quem ſpiramus, in quo ambulamus, qui
nos ambit: adde quod Ariſtoteles l.4. de Cœlo, c.5.t.36. tribuit aëri gra­
uitatem his verbis; quapropter inquit, aër, & aqua habent & leuitatem, &
grauitatem.
Theorema 84.
Medium eiuſdem grauitatis cum dato corpore graui detrahit totam eius
grauitationem ſingularem; hoc eſt corpus graue in medium æquè graue non
grauitat; quia ſi grauitaret deſcenderet; ſic pars aquæ in aliam partem
aquæ non grauitat, & ſi aqua ponderetur in aqua, nullius ponderis eſt;
cum enim nulla ſit ratio cur vna ſit infrà potiùs, quàm alia, vna certè al­
terius locum non ambit; igitur caret grauitatione ſingulari.
Theorema 85.
Medium graue detrahit aliquid de ſingulari grauitatione corporis grauio­
ris; certa eſt hypotheſis; nec enim plumbum eſt eius ponderis ſingula­
ris in aqua, cuius eſt in aëre; dixi ſingularis; nam ſi plumbum & ipſa
aqua ſimul appendantur, haud dubiè totum habebis pondus plumbi, &
totum pondus aquæ; ratio verò huius effectus non eſt huius loci; quid­
quid ſit, ſi æqualis grauitas medij tollit totam æqualem alterius corpo­
ris; certè maiorem alterius corporis totam non tollit per Th. 80. ſed
tantùm aliquid illius, quod quomodo fiat, dicemus Tomo quinto cum de
graui, & leui.
Theorema 86.
Medium graue detrahit eam partem grauitationis corporis grauioris, quæ
eſt æqualis ſuæ grauitationi. v. g. ſi medij grauitas eſt ſubdupla, detrahit
ſubduplum grauitationis; ſi ſubdecupla, ſubdecuplum, atque ita dein­
ceps; hoc iam olim ſuppoſuit magnus Archim. ſupponunt etiam reliqui
omnes, præſertim recentior Galileus; ſi enim æqualis ſuperat æqualem,
ergo inæqualis pro rata; ſcilicet ſubdupla ſubduplum ſubtripla, &c. Præ­
terea, cum detrahat aliquam partem grauitationis maioris per Th.85.nec
detrahat inæqualem maiorem, per Th.80.nec inæqualem minorem; cur
enim potius vnam minorem quam aliam? certè æqualem tantùm
detrahere poteſt, quod ſuo loco per Principium poſitiuum demonſtra­
bimus.
Theorema 87.
Hinc ratio cur grauia deſcendant tardius in aqua, quàm in aëre, & in
aëre, quàm in vacuo; hinc etiam maioris ſunt ponderis in aëre quam in
aqua; hinc ſi grauitas alicuius corporis ſit ad grauitatem aëris vt 100.
ad 1. haud dubiè decreſcet eius pondus in aëre (1/100); id eſt, ſi penderet 100.
libras in vacuo, in aëre penderet 99. & eo tempore quo in vacuo decur­
reret 100. paſſus, in aëre decurreret 99. ſi nulla ſit aliunde reſiſtentia,
qualis reuerâ eſt, vt dicam infrà; ſimiliter ſi grauitas alicuius corporis
ſit ad grauitatem aquæ, vt 10. ad 1. decreſcet eius pondus in aqua (1/10), &
eo tempore quo decurreret in vacuo 10. palmos ſpatij, in aqua decurre
1ret tantùm 9. poſito quod non ſit aliud quod reſiſtat; quanta verò ſit
grauitas omnium corporum tùm duriorum, qualia ſunt metalla, tùm li­
quidorum, tùm ſpirabilium, dicemus ſuo loco; illorum tabulas habes
apud Gethaldum, & Merſennum.
Theorema 88.
Hinc, ſi nihil aliud deſcenſum corporum grauium impediret, cognito pen­
dere vtriuſque, medij & corporis grauis, ſpatio, quod in vno illorum conficit,
cognoſci poſſet ſpatium, quod in alio conficeret æquali tempore, v. g. ſuppona­
mus grauitatem aquæ eſſe ad grauitatem aëris vt 400. ad 1. ſitque corpus,
cuius grauitas ſit dupla grauitatis aquæ; haud dubiè eo tempore, quo
conficit in aëre 799. ſpatia, in aqua conf;iciet tantùm 400. quia in vacuo
conficeret 800. aër autem detrahit (1/800), & aqua 1/2, vt conſtat ex dictis; ſi­
militer cognitis ſpatiis in vtroque medio confectis, & grauitate vtriuſque
medij cognoſceretur grauitas corporis deſcendentis; quia tamen eſt alia
reſiſtentiæ ratio, hîc non hæreo.
Scholium.
Obſeruabis dictum eſſe hactenus; ſi nihil aliud deſcenſum corporis
grauis impedit; nam certè aliud eſt, de quo infrà, ex cuius ignoratione
plures haud dubiè in inueſtigandis grauitatum medij rationibus hallu­
cinarentur; cum enim obſeruatum ſit globum plumbeum, cuius graui­
tas eſt ferè dodecupla grauitatis aquæ, conficere in libero aëre 48. pedes
ſpatij tempore duorum ſecundorum, in aqua verò 12. pedes eodem tem­
pore; certè in vacuo ipſo moueretur tardiùs quàm in aëre; quia eo tem­
pore, quo conficit in aqua 12.pedes in vacuo conficeret (13 1/21), ſi tantùm
detrahitur (1/12) grauitationis, & deſcenſus; atqui in aëre eodem tempore
conficit 48. pedes; igitur velociùs moueretur in aëre quàm in vacuo;
igitur eſt aliquid aliud quod impedit motum; vt enim optimè monet
Merſennus, ſi grauitas aquæ ſit ad grauitatem aëris vt 400 ad 1.& graui­
tas plumbi ad grauitatem aquæ vt 12. ad 1.eadem grauitas plumbi eſt ad
grauitatem aëris vt 4800. igitur ſi ſpatium, quod decurrit plumbum in
vacuo diuidatur in 4800. partes, decurret in aëre 4799. partes; in aqua
verò 4400. quod eſt contra experientiam; nam ſpatium, quod decurrit
in aëre eſt maius ſpatio, quod decurrit in aqua 3/4; quippe conficit 12.
pedes in aqua eodem tempore, quo in aëre conficit 48; igitur in aqua
amittit 3/4 ſuæ grauitationis, & ſui motus; igitur 3600. partes; igitur
plumbi grauitas eſſet ad grauitatem aquæ vt 4.ad 3.& ad grauitatem aë­
ris vt 3600. ad 1. atqui vtrumque falſum eſſe conſtat; igitur eſt aliquid
aliud, quod etiam impedit motum; nec ex motu diuerſo per diuerſa me­
dia cognoſci poteſt eorum grauitas.
Theorema 89.
Hinc potiori iure reiicies illorum ſententiam, qui volunt impediri motum
corporis deſcendentis per diuerſa media pro diuerſa ratione grauitatum vtriuſ­
que medy; quod certè falſum eſt; nam aqua ſit ad grauitatem aëris vt
400. ad 1. deberet omne corpus deſcendere velociùs in aëre quadrin-
1genteſies, quàm in aqua, quod falſum eſt; cum aliquod corpus nullo mo­
do deſcendat in aqua, quod deſcendit in aëre, vt lignum.
Theorema 90.
Non poteſt corpus graue per medium corporeum deſcendere, niſi vel totum
medium loco cedat, vel aliquæ partes eiuſdem medij, patet; quia vnum cor­
pus non poteſt penetrari cum alio.
Theorema 91.
Totum medium loco non cedit in deſcenſu grauium; patet etiam, tùm
quia ad mouendum totum medium exigua vis corporis grauis non ſuffi­
cit; tùm quia tàm facilè per medium durum eiuſdem grauitatis deſcen­
deret; denique patet manifeſtâ experientiâ.
Theorema 92.
Hinc aliqua tantùm partes medij loco cedunt; probatur, quia vel totum
medium, vel aliquæ eius partes, per Th.90.non primum per Th.91. igitur
ſecundum, in his certè non eſt vlla difficultas.
Theorema 93.
Non poſſunt illæ partes loco cedere ſine motu; nec moueri ſine impetu, nec
habere impetum, niſi producatur in illis à cauſa aliqua applicata; quæ certè
alia noneſt quàm impetus corporis deſcendentis, vt conſtat ex iis, quæ dixi­
mus primo lib. Theorema 94.
Illæ partes, quæ loco cedunt deſcendenti corpori graui, neceſſariò ab aliis
ſeparantur, & ſuo appulſu, vel impulſu alias multas impellunt, ac ſeparant,
atqui ſeparari non poſſunt ab aliis, niſi ſoluatur vnio, ſeu nexus,
quo cum aliis deuinciuntur; quidquid tandem ſit illa vnio, de qua
aliàs.
Theorema 95.
Hinc quò arctior eſt ille nexus, difficilius ſoluitur; igitur maiore vi, vel
impetu opus eſt, vt ſolui poſſit, vt conſtat.
Theorema 96.
Hinc corpus grauius ſustinetur à leuiore. v.g. plumbum à ligno propter
arctiorem nexum partium ligni, qui ab impetu plumbi quantumuis gra­
uiſſimi ſuperari non poteſt; hinc corpus illud, medium tantùm appello
in quo poſſint corpora moueri, cuius nexus ſuperari poteſt à corpore
grauiori in aliqua ſaltem figura, vel ſitu; hinc corpora dura non poſſunt
eſſe medium; immò neque mollia, vt cera, argilla; ſed vel liquida, vel
ſpirabilia.
Theorema 97.
Hinc ducitur euidens ratio, cur medium impediat motum ſi dumtaxat ha­
beat arctiorum partium implicationem & nexum; quia non modo partes
1medij amouendæ ſunt è ſuo loco; verùm etiam nexus ille partium ſol­
uendus; igitur ex vtroque capite impeditur motus.
Theorema 98.
Quo ſubtiliores ſunt partes difficilius inter ſe implicari poſſunt ſeu ligari
quibuſdam filamentis, conſtat; igitur cum aëris partes ſint magis lubricæ,
quàm partes aquæ, & faciliùs per obuia quæque foramina irrepere poſ­
ſint, non poſſunt ita contineri; ſic videmus multùm aquæ hauriri, dum
arctioribus retibus attollitur; immò dum aquam manu ſtringimus, ali­
quam reſiſtentiam ſenſu percipimus; quæ certè nulla eſt, dum aëra ſtrin­
gimus.
Scholium.
Obſeruabis vnionem continuatiuam corporum aliquando poſitam
eſſe in plexu, vel implicatione partium, vt videmus in fune, ligno, carne,
oſſibus, &c. aliquando in vacui metu; ſic aqua, vt ſuo vaſi adhæreat,
aſcendit, vel ſurſum attollitur, ne detur vacuum; aliquando in coitione
quadam magnetica; porrò hic plexus conſtat ex infinitis ferè tenuiſſi­
morum filamentorum voluminibus, vel aduncis ſiue hamatis partibus,
ſeu corpuſculis: Vtrum verò præter hæc requiratur alius vnionis mo­
dus, diſcutiemus fusè Tomo 5. quidquid ſit; certum eſt medium illud,
cuius partes arctiori maiorique nexu copulantur, longè difficiliùs per­
curri poſſe, ſeu perrumpi.
Theorema 99.
Hinc non modò aqua detrahit plumbo (1/22) ſui motus, quod ſcilicet plumbi gra­
uitas ſit dedecupla grauitatis aquæ, verùm etiam propter reſistentiam petitam
ex alio capite aliquid adhuc detrahere poteſt; ſcilicet quia partes aquæ non
poſſunt amoueri, niſi ab aliis ſeparentur; atqui maiore vi opus eſt ad­
ſoluendum ſtrictiorem nexum; immò licèt partes aquæ nullo penitus
nexu vniantur, ſed tantùm vel vacui metu, vel alio modo, quod alibi ex­
plicabimus; omninò detraherent adhuc plumbo (1/12) motus; igitur, ſi
præter illud impedimentum, quod petitur à comparatione grauitatis
corporis mobilis cum grauitate medij, addatur aliud longè robuſtius;
non mirum eſt, ſi maior inde ſequatur effectus, id eſt maior imminutio
motus, qui quaſi frangitur ab impedimento.
Theorema 100.
Hinc petitur ratio illius experimenti, ſi verum eſt, duobus ſecundis per­
currere plumbeam pilam in aëre 48. ſpatij pedes, in aqua verò 12. pedes; hinc
tenui nexu partes aëris copulantur; partes verò aquæ firmiori; hinc aër
minùs reſiſtit etiam motibus violentis; hinc vix poteſt quiſpiam in aqua
currere propter maiorem aquæ reſiſtentiam; hinc poteſt dici quota parte
firmior ſit nexus vnius corporis quàm alterius; hinc non tantùm copu­
lantur partes metu vacui; alioquin æquè reſiſterent partes aëris, ac par­
tes aquæ ratione nexus; hinc videntur guttulæ illæ ſphericæ inuolui te­
nui quaſi membranula, ſeu ſuperficie, cuius analogiam videmus in aqua
1feruente; in bullis, quæ ex guttis pluuiæ reſilientibus naſci videntur; in
bullis etiam illis ſaponariis, quas leui calamo pueri inter ludendum in­
flant; hinc ex minimo ferè contactu guttula ſpargitur, niſi fortè cum
multo aſperſa puluere cruſtam quamdam induit ſolidiorem; ſic bullæ il­
læ ad minimum etiam contactum diſſipantur; hinc ipſa ſuperficies
aquæ plus videtur reſiſtere quod multis experimentis comprobatur; ſed
illo maximè, quo videmus findi à remo cum quodam quaſi ſtridulo cre­
pitu reſiſtentiæ maioris teſte; immò cum ab ipſa naui quaſi ſulcatur,
idem ſtridor auditur, maximè in iis tractibus; in quibus nullis fluctibus
agitata læuigatiſſimam faciem præfert; habes analogiam in illa cruſta,
quæ concreſcit in ſuperficie liquorum, ſed præſertim oſſarum: adde quod
aër paulò compreſſior vndique guttulam premens æquali niſu eam miri­
ficè tornat: hæc tantùm tumultuatim congeſta alibi fusè pertractabi­
mus, & ex ſimpliciſſimis principiis demonſtrabimus; plura hîc de graui­
tate crant dicenda, & de grauitatione, quæ tantùm indicaſſe ſufficiat, vt
deinde Tomo quinto fusè explicentur.
Theorema 101.
Non reſistit medium propter compreſſionem partium inferiorum, quas nullo
modo comprimi neceſſe eſt, vel inſenſibiliter; cum enim tantus relinquatur
locus retrò, quantus acquiritur antè, nulla opus eſt compreſſione; ſed
partes à fronte pulſæ factâ circuitione retrorſum eunt, non certè tramite
recto; ſi enim frons ipſius lata ſit, haud dubiè partes pulſæ alias pellunt,
& hæ viciſſim alias longo circuitu, vt patet experientia; nulla tamen, vel
modica fieri videtur compreſſio.
Theorema 102.
Hinc quo ſunt plures partes diuidendæ, quæ antè uniebantur, maior eſt reſi­
ſtentia; igitur maiore vi opus eſt, igitur maiore grauitate; ſed in medio
denſiore ab eodem mobili plures ſeparantur quàm in rariore; quia ſci­
licet corpus denſum plures habet ſub minori extenſione, & rarum è con­
trario, vt videbimus ſuo loco; igitur in medio denſiore idem mobile ma­
jorem reſiſtentiam inuenit, quàm in rariore; licèt vtriuſque partes
æquali nexu ſeu fibula copulentur; quia ſcilicet plures ſunt diuidendæ
in denſiore; quia plures ſcilicet in æquali ſpatio occurrunt, quàm in ra­
riore; igitur maiore vi grauitatis opus eſt.
Theorema 103.
Hinc medium poteſt comparari cum alio in 2. capitibus; Primum eſt in
grauitate, vel denſitate, nam reuerâ ex maiori denſitate maiorem gra­
uitatem reducimus; Secundum eſt in maiori, vel minori partium nexu,
ex quo 4. ſequuntur combinationes 2.mediorum; nam vel ſunt eiuſdem
grauitatis, & mollitiei; vel eiuſdem grauitatis & diuerſæ mollitiei; vel
eiuſdem mollitiei, & diuerſæ grauitatis; vel diuerſæ grauitatis, & eiuſ­
dem mollitiei; mollius autem illud appello, cuius partes laxiori nexu
copulantur; porrò 4. iſtæ combinationes ſupponunt idem mobile in vtroque
medio; ſi ſit prima combinatio, motus eſt æqualis in vtroque; ſi ſecunda
1maior eſt in molliori; ſi tertia maior in grauiori; ſi verò quarta ſubdi­
uidi poteſt in duas; nam vel grauius eſt conjunctum cum maiori molli­
tie, vel leuius; ſi leuius, haud dubiè maior eſt motus in leuiore; ſi gra­
uius & mollities compenſet grauitatem, id eſt, ſi vt ſe habet grauitas gra­
uioris ad leuitatem leuioris; ita ſe habet mollities illius ad mollitiem
huius, æqualis eſt in vtroque; ſi ſecus, pro rata; hinc poteſt eſſe æqualis
motus in grauiore & leuiore medio, & in æquè graui poteſt eſſe maior
in grauiore; & minor; maior quidem, ſi maior ſit ratio mollitiei gra­
uioris ad mollitiem leuioris, quàm grauitatis ad grauitatem; minor ve­
rò, ſi maior ſit ratio grauitatis ad grauitatem, quàm mollitiei ad molli­
tiem; æqualis denique ſi æqualis ratio; & his regulis cuncta facilè ex­
plicari poſſunt; hîc porrò ſuppono idem mobile, quod per vtrumque me­
dium deſcendere poſſit, id eſt, quod ſit vtroque grauius, medium autem
appello illud, per quod mobile grauius per ſe deſcendit; dixi per ſe quia
nonnunquam accidit, vt vel ratione figuræ, vel alterius impedimenti non
deſcendat.
Theorema 104.
Sunt tres combinationes mobilis cum medio; prima, ſi ſit idem mobile
cum diuerſis mediis; ſecunda, ſi idem medium cum diuerſis mobilibus;
tertia ſi diuerſa mobïlia cum diuerſis mediis; de primâ actum eſt iam
ſuprà; ſecunda ſubeſt 4. combinationibus. Prima ſi mobilia ſint eiuſ­
dem materiæ, ſed diuerſæ figuræ; Secunda eiuſdem figuræ & diuerſæ
materiæ. Quarta diuerſæ materiæ & figuræ; ſi prima & ſecunda, vel ſunt
figuræ æquales, vel inæquales; ſi primum ſunt eiuſdem grauitatis; ſi ſe­
cundum diuerſæ; quippe figuræ ſimiles poſſunt eſſe æquales, vel inæ­
quales; & figuræ æquales poſſunt eſſe ſimiles, vel diſſimiles; ſi ſit tertia
combinatio, in qua ſint eiuſdem figuræ, & diuerſæ materiæ, diuerſæ in­
quam in grauitate; ſi figuræ ſunt æquales, ſemper eſt diuerſa grauitas; ſi
inæquales poteſt eſſe vel eadem, vel tertia; in quarta combinatione di­
uerſa compenſatio fieri poteſt; idem dicendum eſt de tertia combinatio­
ne diuerſorum mobilium, & mediorum, de quibus omnibus ſeorſim iam
dicemus.
Theorema 105.
Si mobilia duo eiuſdem materiæ, figuræ, & grauitatis in eodem medio de­
ſcendant, æquali motu feruntur dem. vbi eſt eadem proportio cauſæ & reſi­
ſtentiæ ibi eſt idem effectus, per Ax. 5. ſed in hoc caſu eadem eſt illa pro­
portio; nam eſt æqualis cauſa, ſcilicet grauitas; idem medium æqualiter
vtrique reſiſtens, cum non plures medij partes reſiſtant vni, quam alteri;
igitur æqualis proportio.
Theorema 106.
Maior eſt reſistentia eiuſdem medij ratione ſcilicet partium, cum plures
eius partes reſistunt quàm cum pauciores; patet, quia maior effectus re­
ſpondet pluribus partibus cauſæ per Ax.13.l.1. num.2.
1
Theorema 107.
Plures partes reſistunt, quando plures pelluntur à mobili deorſum; quip­
pe in tantum reſiſtunt, in quantum ab aliis ſeparantur; atqui in tantum
ſeparantur, in quantum amouentur è ſuo loco; ſed ideo amouentur è
ſuo loco, in quantum pelluntur; igitur cum plures pelluntur tunc plures
reſiſtunt; igitur tunc maior eſt reſiſtentia.
Theorema 108.
Plures pelluntur à maiori ſuperficie, quàm à minori, quæ tendit deorſum
parallela horizonti. v.g. à ſuperficie cubi maioris, quàm minoris; quippe
tot pelluntur quot reſpondent primæ faciei, ſeu primo plano, quod eſt in
fronte.
Theorema 109.
Si diuidatur cubus in cubos minores, ratio ſuperficierum erit duplicat a la­
terum, & ratio ſolidorum triplicata, conſtat ex Geometria, ſit enim cubus

GK, nam in gratiam eorum qui Geometriam ignorant hoc ipſum ocu­
lis ſubiiciendum eſſe videtur; diuidantur 6. eius facies in 4. quadrata
æqualia v. g. facies AI in quad. AE. EC. EG. EI. idem fiat in aliis
5. faciebus, quarum duæ hîc tantum apparent; ſcilicet AK. KL; ſed
tribus aliis parallelis; his tribus cædem diuiſiones reſpondent; haud
dubiè erunt cubi minores, quorum latus ſit æquale AB, & quælibet fa­
cies æqualis quadrato AE, ſed facies maior AI, eſt quadrupla minoris
AE, ergo AI eſt ad AE vt quadratum lateris AG ad quadratum lateris
AD; ſed hæc eſt ratio duplicata laterum 1. 2. 4. ſimiliter cubus maior
GK eſt octuplum minoris DN, igitur vt cubus lateris AG ad cubum
lateris AD. ſed hæc eſt ratio triplicata. 1.2.4.8.
a Fig.26
Tab.1.
Theorema 110.
Hinc plùs minuitur ſolidum in diuerſione cubi quam facies, & plùs facies
quàm latus; patet ex dictis, nam latus minoris cubi eſt tantùm ſubdu­
plum lateris maioris, & facies ſubquadrupla; ſolidum verò ſub­
octuplum.
Theorema 111.
Hinc plùs minuitur grauitas, quàm reſiſtentia minoris cubi; quia grauitas
reſpondet ſolido, & reſiſtentia primę faciei; reſiſtentia inquam ratione par­
tium medij; ſed ſolidum plus minuitur quàm facies, vt dictum eſt; igitur
plus minuitur grauitas, quæ eſt cauſa virium quàm hæc reſiſtentia; ergo
decreſcunt vires in maiore proportione quàm hæc reſiſtentia, quod be­
nè obſeruauit Galileus in dìalogis.
Hinc concludit Galileus duos cubos eiuſdem materiæ, ſed inæquales
deſcendere inæquali motu; maiorem ſcilicet velociùs minori; demon­
ſtrare videtur, quia maior habet maiorem proportionem virium ad re­
ſiſtentiam, quàm minor; igitur maiorem habet effectum per Ax. 5. igi­
tur maiorem, & velociorem motum.
Scio non deeſſe multos viros doctos qui acriter in hanc ſententiam
1inſurgant: Obiicient fortè primò, experientiam eſſe contrariam; ſi enim
accipiantur duo cubi maior, & minor eiuſdem materiæ, & dimittantur
ex eadem altitudine eodem prorſus momento terram ferient; Reſponde­
ri poteſt momentum illud ſenſu percipi non poſſe; ſi enim dicam ma­
iorem tangere terram 1000. inſtantibus ante minorem, an fortè ſenſu
hoc percipies, viſu ſcilicet vel auditu? igitur in maxima altitudine hæc
ſpatiorum inæqualitas, & temporum ſenſu percipi poſſet, quæ in minori
ſub ſenſum non cadit: præterea accipe pulueris granulum eiuſdem ma­
teriæ, tuncque etiam ſenſibilem motuum differentiam videbîs, atqui
eſt eadem ratio de omni minore.
Secundò obiicient, ſi ſuperponatur cubus minor maiori in ſuo motu
nunquam ſeparantur; igitur æquali motu deſcendunt. Reſp. videri po­
teſt equidem æquali motu deſcendere quia ſunt veluti partes eiuſdem
corporis, & grauitant grauitatione communi, neque minor habet ſingu­
larem reſiſtentiam ſuperandam; immò ſi ſuperponatur minor maiori,
vel maior minori, motus eſt velocior quàm eſſet ſolius maioris; quia
cum non ſit maior reſiſtentia, maiores illi vires opponuntur; igitur fa­
ciliùs ſuperatur.
Tertiò obiicient; eſt eadem ſpecie grauitas; igitur eadem grauitatio,
idemque motus deorſum; Reſponderi poſſet concedendo antecedens,
vnde in vacuo omnia grauia æquè velociter deſcenderent, ſi in eo mo­
tus eſſet; at verò altera duarum cauſarum eiuſdem ſpeciei, quæ habet mi­
norem proportionem actiuitatis ad reſiſtentiam, profectò minùs agit,
quod certum eſt.
Quartò obij:igitur motus poſſet eſſe velocior, & velocior in infini­
tum; ſi enim maior cubus deſcenderet velociùs; igitur ſi detur maior ad­
huc velociùs, atque ita deinceps: Reſp. inanem prorſus eſſe difficulta­
tem; quia cubus ille quantumuis maximus in vacuo deſcendit velociùs
quàm in aliquo medio v.g.in aëre, igitur nunquam augmentum veloci­
tatis infinitum eſt; quippe inter duos gradus velocitatis infiniti ſunt
poſſibiles. v. g. ſit velocitas, quam habet in vacuo vt 2. illa verò quàm
habet in aëre vt 1. ſi creſcat velocitas iuxta has minutias ſingulis inſtan­
tibus 1/2 1/4 1/8 (1/16) (1/32), atque ita deinceps; quàm porrò multæ ſunt huiuſmodi
progreſſiones 1/3 1/6 (1/12) (1/24) &c. igitur obiectiones illæ non euertunt Gali­
lei ſententiam.
Inde idem Galileus oſtendere videtur cur atomi materiæ etiam gra­
uiſſimæ, ſeu granula pulueris motu tardiſſimo deſcendant in aëre vel in
aqua; quia ſcilicet per illam diuiſionem ita imminutæ ſunt vires graui­
tatis, vt iam reſiſtentiam medij ſuperare non poſſint.
Sed videtur eſſe grauiſſima difficultas, ſint enim duo cubi, maior B
F, minor GM, & vterque innatet medio liquido duplo grauiori; certè ex­
tabit maior toto rectangulo CA æquali CF, & minor toto rectangulo
KH æquali KM; igitur eſt eadem proportio grauitatis maioris ad reſi­
ſtentiam medij in grauitatione, quæ eſt minoris; igitur & in motu.
Reſponderi poteſt eſſe maximam diſparitatem inter grauitationem, &
1motum; ſit enim cubus BD qui deſcendat per totam AH; haud dubiè
cum ſpatium DI, contineat 3. cubos medij æquales DB, eos debet remo­
uere in ſuo deſcenſu; ſit autem cubus BG; haud dubiè, cum ſit eadem pro­
portio cubi AE ad cubum medij DM, quæ eſt cubi BG ad cubum me­
dij FL, eodem tempore vterque cubum medij ſuppoſiti è ſuo loco extru­
det; igitur eo tempore, quo AE expellet 3. DI, FL extrudet 3. EO, ergo
æquabili tempore inæquale ſpatium percurrunt.
Dices ergo ſpatia ſunt vt latera: Reſponderi poteſt hoc reuerâ per ſe
eſſe debere; ſed quia cubus DM vt extrudatur, maiorem debet facere cir­
cuitionem, vt à fronte retrò eat, velociori motu extrudi debet; igitur vi­
res ſuas in eo conſumit maiori ex parte cubus AE; hinc compenſatio eſſe
videtur.
Vt ſolui poſſit præſens difficultas, quæ cettè maxima eſt, totam rem
iſtam paulò fuſiùs eſſe explicandam iudico. Primò itaque certum eſt
partes medij, quæ prius in fronte erant, retroire; hoc ipſum videmus in
naui quæ ſulcat aquas, hoc ipſum accidit in omni corpore natante etiam
immobili, quippe partes aquæ retinentur ab illa membranula, de qua ſu­
prà; ſic enim ſæpè aſſurgunt, & intumeſcunt ſupra labra vaſis; cur verò
continui penè circulares limbi dilatentur: Reſp. nullo flante vento
vix aliquem circulum huiuſmodi in ſuperficie aquæ apparere à fronte,
ſed tantùm à tergo, & lateribus, quaſi ad inſtar pyramidis; ſed de his aliàs
fusè.
Secundò certum eſt numerum partium, quas impellit maior cubus A
E; eſſe quadruplum numeri partium, quas impellit cubus BG: ſint autem
v.g.8. partes reſiſtentes cubo maiori, ſunt duæ reſiſtentes cubo minoris;
ſed vires cubi maioris ſunt ad vires cubi minoris vt 8. ad 1. igitur vires
vt 8. ſuperabunt faciliùs reſiſtentiam vt 8. quam vires vt 1. reſiſtentiam
vt 2.vnde duplò velociùs moueretur, niſi aër duplò velociori motu amo­
uendus eſſet, quod vt clarius explicetur;
Sit cubus maior AF octuplus cubi GI, vt iam dictum eſt; haud
dubiè aër qui ſubſtat cubo AF eſt quadruplus aëris, qui ſubſtat cubo GI,
vnde ſi vires cubi AF eſſent quadruplæ virium cubi GI, eſſet æqualis
proportio in vtroque virium, & reſiſtentiæ; ſed ſunt octuplæ; igitur faci­
liùs vincetur reſiſtentia; igitur amouebitur aër faciliùs; ſit autem aër
expreſſus in globulis EFB, &c. cuius ſuperficies cum relinquatur retrò
verſus AB, & occupetur illa quæ eſt in fronte EF; haud dubiè partes
hinc inde diuiduntur in D, & ſegmentum NB tranſit in locum relicti
loci BC, FN tranſit in NB, & DF, in FN; idem dico de ſegmentis oppo­
ſitis; idem prorſus dico de minori globo; nam MH tranſit in HQ, & H
Q in QG, & QG in GL, idem dico de ſegmentis oppoſitis; igitur hæc
eſt circuitio partium medij, quàm ſuprà indicauimus; hinc aër, qui amo­
uetur à corpore graui deſcendente moueri debet neceſſariò velociùs
quàm ipſum corpus graue, quod deſcendit.
In hoc porrò obſerua ſegmentum MH moueri tardiùs quàm DF; quia
conficit ſubduplum ſpatium, eo tempore, quo DF conficit duplum;
1nam DF & FN ſunt duplæ MH & & HQ igitur dupla vi motrice opus
eſt; ſed vires cubi AF ſunt ad vires cubi GI, vt 8. ad 1. partes verò aëris,
quas impellit AF, ſunt ad partes aëris, quas impellit GI, vt 4.ad 1. igitur
ſi partes aëris mouerentur æquali motu cum ipſis cubis, à quibus mo­
uentur; certè maior moueretur motu velociori; vt autem moueantur par­
tes DF duplò velociore motu, quàm partes MH; debent vires, quæ mo­
nent DF, eſſe in ratione dupla ad illas, quæ mouent MH, id eſt eo tem­
pore, quo vires vt 8.mouebunt mobile vt 4. motu vt 2. vires vt 1.moue­
bunt mobile vt 1. motu vt 1. licèt enim ſuperficies aëris EF moueatur
deorſum; attamen ab alio aëere inferiore ita repertitur, vt ſurſum verſus
FN repellatur.
Equidem tota ſuperficies aëris DF, cum pluribus partibus conſtet,
non poteſt ſimul tranſire in FN; quia pars D antequam perueniat ad F
tranſit per medium DF; igitur ſucceſſiuè per mea ad illud ſpatium DF,
quo tempore quieſceret globus AF, quod ridiculum eſt.
Quare fit neceſſariò aliqua circuitio, & partium aëris commixtio,
ſeu conflictus; ita vt retroeant pulſæ prius & repercuſſæ; non quidem
tramite recto, ſed cum aliqua circuitione; quod certè facilè concipi po­
teſt, quæ circuitio eò maior eſt, quo latera cuborum ſunt maiora; ita­
que cum hæc ſatis fusè videantur eſſe explicata, ſit.
Theorema 112.
Duo cubi eiuſdem materiæ, & diuerſæ grauitatis æquali motu per ſe deſ­
cendunt; probatur, quia licèt ſit maior proportio actiuitatis minus ad
ſuam reſiſtentiam, quàm alterius; illud tamen compenſatur; eóque par­
tes aëris velociùs moueri debeant iuxta rationem laterum, vt patet ex
dictis; vnde neceſſariò ſequitur motus æqualis in vtroque cubo; igitur
licèt maioris cubi vires habeant maiorem proportionem ad molem,
quæ præcipuum illius motus retardat; tum tamen aër, qui reſiſtit maiori
cubo debeat amoueri, vt dictum eſt velociore motu quam aër, qui reſi­
ſtit minori, ſitque eadem proportio reſiſtentiæ ratione motus minoris
ad maiorem, quæ eſt ratione molis maioris ad minorem; certè ratio
compoſita vtriuſquè erit eadem in vtroque cubo; igitur æquè velociter
vterque deſcendet: hinc ſatís facilè ſoluitur ratio Galilei, quam multi
parum cauti pro demonſtratione venditarunt, ad aliam verò rationem,
quam ex minuto puluere ducere videtur, etiam facilè reſponderi poteſt;
ideo corpuſcula illa diu fluitare in aëre, tùm quòd minimo ferè tenuis
auræ flatu agitentur; ſic pulueris nubes medius ventus agit; quis enim
neſcit aëris partes agitari perpetuò; immò & aquæ inter ſe miſceri; igi­
tur ab agitationis veluti impreſſione fluitant illa corpuſcula, cum mini­
mus ferè impetus extrinſecus illa commouere poſſit; tùm etiam quòd à
filamentis illis, quibus partes aëris implicantur facilè detineantur; ana­
logiam habes in lapillo, qui ab araneæ tela intercipitur.
1
Theorema 113.
Duo globi eiuſdem materiæ, & diuerſæ diametri deſcendunt etiam æquali
motu propter eandem rationem; immò eſt perfectior æqualitas in globis,
quàm in cubis; quia perfectior fit circuitio, vt conſideranti patebit;
hinc globus eiuſdem materiæ, & grauitatis cum cubo deſcendit velociùs
quia ſcilicet aër in deſcenſu globi faciliùs agitur retrò, vt conſtat.
Theorema 114.
Corpus vtrimque in mucronem deſinens faciliùs adhuc deſcendit,
quâm globus eiuſdem materiæ; ratio eſt; quia breuiore circuitu partes re­
troeunt; quippe tunc maxima eſt facilitas in pellendo aëre, qui eſt à fron­
te mobilis, cum velociùs moueri non debet ipſo mobili; atqui hoc ip­
ſum eſt quod accidit mobili vtrimque aucto; nam linea curua DBA,
quam percurrit deſcriptum mobile, non eſt multò longior; at verò in
quadrato ſuperiori AF maiori eſt duplò; in circulo quidem minor dia­
meter ſemiperipheriæ, ſed non duplò.
Theorema 115.
Idem corpus diuerſo motu deſcendere poteſt, v. g. parallipedum A, ſi re­
ctangulum BF ſit in fronte tardiùs deſcendet, quàm ſi in fronte ſit re­
ctangulum CE, vel rectangulum FH; hinc tribus motibus diuerſis deſ­
cendere poteſt idem parallipedum, modò habeat ſemper alteram facie­
rum horizonti parallelam; hinc cylindrus eiuſdem grauitatis deſcendet
velociùs quàm parallelipedum, vt patet ex dictis; ex quibus facilè intel­
ligi poteſt, quænam corpora faciliùs quàm alia deſcendant; quippe illa
regula eſt certiſſima quàm ſuprà attulimus. Porrò obſeruabis omne
corpus difficiliùs pelli per lineam perpendicularem quàm per obliquam;
hinc globus pellit tantùm vnicum punctum perpendiculariter; idem di­
co de cono; cylindrus verò vnam lineam, cubus integrum planum.
Theorema 116.
Hinc duo corpora eiuſdem grauitatis, ſed quorum alterum faciem, quæ eſt
in fronte, habet maiorem, inæquali motu deſcendunt; patet ex dictis; quia in
vtroque ſunt æquales vires, ſed diuerſa reſiſtentia.
Theorema 117.
Hinc tenues illæ ſuperficies corporum etiam materiæ grauiſſimæ, vel in
aëre fluitant, vel aquis innatant; ratio eſt, quia reſiſtentia ſuperat
vires.
Scholium.
Obſeruabis primam ſuperficiem aquæ habere maiorem quamdam re­
ſiſtentiam propter illam, quaſi membranulam, de qua ſuprà; vnde aſſur­
git quiddam lymbus in margine bracteæ ferri, vel auri innatantis; vel
etiam globuli paulò grauioris aquâ, igitur vt immergatur corpus debet
eſſe grauius totâ illâ aquâ, quæ capacitatem illam non cauam occu­
paret.
1
Theorema 118.
Globi æquales diuerſæ materiæ inæqualiter deſcendunt; quia ſcilicet alte­
rum eſt grauius, quod ſuppono; igitur æqualis eſt reſiſtentia, & vires
inæquales; igitur non eſt eadem proportio actiuitatis: & reſiſtentiæ; igi­
tur non eſt æqualis motus per Ax.5.
Theorema 119.
Globi otiam inæquales diuerſæ materiæ inæqualiter deſcendunt; quod de­
monſtro; quia globi eiuſdem materiæ inæqualiter deſcendunt per Th.
113. ſed duo globi æquales diuerſæ materiæ deſcendunt inæqualiter per
Th.118. igitur, & inæquales; quod dico de globis', dicatur de cubis, &
aliis figuris ſimilibus.
Theorema 120.
Globus materiæ leuioris poteſt deſcendere velociori motu quam parallelipe­
dum grauioris; conſtat experientia; ratio eſt, quia cum globus ferreus deſ­
cendat velociùs, quàm ligneus per Th. 118. in data ratione, putà (1/100)
haud dubiè bractea ferri non modo (1/100) tardiùs deſcendet, verùm etiam
(20/100) in quo non eſt difficultas.
Theorema 121.
Hinc ſi mutetur figura poſſunt grauia diuerſæ materiæ ita deſcendere, vn
vel grauius, vel leuius, vel grauioris materiæ, vel leuioris velociùs deſcendat;
vt conſtat ex regulis præſcriptis.
Theorema 122.
Globi æquales diuerſæ materiæ, v. g. ligneus, & plumbeus deſcendunt
inæqualiter iuxta proportionem grauitatis, & reſiſtentiæ medij compa­
ratæ cum vtroque, v.g. plumbo detrahitur (1/4800); ligno verò (8/300) v. g. ſi
grauitas ligni ſit ad grauitatem aëris vt 300.ad 1. & plumbi vt 4800. ad
1. ſit enim altitudo 33. pedum 4. digit. reducantur in digitos erunt 400.
in lineas 4800. igitur detrahetur vna linea ſpatij plumbeo globo; ligneo
verò vnus digitus cum 4. lineis; ſed quis hoc obſeruet?
Theorema 123.
Corpus graue ſpongioſum longè tardiùs deſcendit; quia aër in perexigua
illa foramina intenſus frangitur, reſilit, ac proinde motum impedit; talis
eſt medulla ſambuci, ſpongia, ſtupa, &c. immò aſperum corpus tardiùs
deſcendit, quòd ſcilicet aër ab aſperioribus illis ſalebris reſiliens mo­
tum retardet, hinc ſibilus ille auditur &c.
Scholium.
Ex his conſtat quid dicendum ſit de motu corporum grauium in
medio, ſiue ſint eiuſdem materiæ, & ſimilis figuræ, maioris vel minoris,
vel æqualis; tunc enim deſcendunt æqualiter contra Galileum, ſiue
ſint diuerſæ materiæ, & ſimilis figuræ, æqualis, vel inæqualis,
1tunc enim deſcendunt inæqualiter, ſiue diuerſæ materiæ & diuerſæ fi­
guræ; tunc enim deſcendunt modò æqualiter, modò inæqualiter; æquali­
ter certè, cum figura compenſat materiam; cum verò non compenſat,
inæqualiter pro rata; denique ſi comparentur duo corpora cum diuerſis
mediis; primo inuenienda eſt proportio motuum vtriuſque in eodem
tùm ſingulorum in diuerſis mediis, vt ſuprà dictum eſt.
Theorema 124.
In modico vacuo omnia æquè velociter deſcenderent: Probatur, quia tota
diuerſitas vel inæqualitas mediorum petitur à diuerſa proportione acti­
uitatis cum reſiſtentia medij per Ax. 5. ſed in vacuo nulla eſt reſiſten­
tia; igitur nulla proportio; igitur nulla ratio motus inæqualis.
Theorema 125.
In motu natur aliter accelerato deorſum creſcit reſistentia medij ſingulis in­
ſtantibus: probatur, quia ſingulis inſtantibus plures partes medij ſunt
ſuperandæ; creſcunt enim ſpatia, vt conſtat ex dictis; igitur creſcit reſi­
ſtentia ſingulis inſtantibus.
Theorema 126.
Creſcit reſistentia iuxta rationem ſpatiorum, probatur; quia creſcit iux­
ta rationem plurium partium medij, quæ temporibus æqualibus percur­
runtur; ſed eæ creſcunt iuxta rationem ſpatiorum, vt conſtat.
Theorema 127.
Hinc creſcit reſiſtentia iuxta rationem velocitatum ſingulis instantibus;
quæ ratio ſequitur progreſſionem arithmeticam ſimplicem numerorum
1.2.3.4.5.6. ex ſuppoſitione quòd tempus conſtet ex partibus finitis actu;
nam eodem modo creſcit velocitas, quo creſcunt numeri prædicti; ſed
eodem modo creſcunt ſpatia, ſi dumtaxat accipiantur in ſingulis inſtan­
tibus; reſiſtentia creſcit iuxta rationem ſpatiorum; igitur iuxta ratio­
nem velocitatum.
Scholium.
Obſeruabis, ſi tempus conſtet ex infinitis actu partibus, ita vt ſingu­
læ partes motus ſingulis partibus temporis & infinitæ infinitis reſpon­
deant; non poteſt eſſe alia progreſſio, in qua fiat acceleratio motus na­
turalis, quàm illa Galilei iuxta hos numeros 1. 3. 5. 7. vt conſtat ex dictis
per illud Principium; æqualibus temporibus æqualia acquiruntur velocita­
tis momenta; ſi verò tempus conſtat ex finitis inſtantibus æqualibus, nul­
la datur progreſſio motus naturaliter accelerati; quia motus accelerari
non poteſt; ne ſcilicet eodem inſtanti mobile ſit in pluribus locis adæ­
quatis; denique ſi tempus conſtat ex finitis inſtantibus actu, & infinitis
potentiâ, non poteſt eſſe alia progreſſio huius accelerationis, quam hæc
noſtra iuxta numeros toties repetitos 1.2.3.4.5. attamen quia illa finita
inſtantia ſunt ferè innumera in qualibet parte ſenſibili temporis, in
praxi ſine ſenſibili errore in partibus temporis ſenſibilibus poſſumus
1adhibere priorem progreſſionem Galilei, & in hoc cardine tota verri­
tur, meo iudicio, propoſitæ quæſtionis difficultas.
Theorema 128.
Hinc creſcit reſistentia iuxta rationem crementi impetus; cum enim cre­
ſcant impetus in ratione velocitatum, vt conſtat, & creſcat reſiſtentia
medij in eadem ratione per Theor. 127. creſcit etiam in ratione im­
petuum.
Theorema 129.
Hinc creſcit reſistentia medij in eadem ratione, in qua creſcunt vires mobi­
lis; demonſtr. quia creſcunt vires, vt creſcit impetus; nam impetus eſt
vis illa, quâ mobile ſuperat reſiſtentiam medij vt conſtat, ſed reſiſten­
tia creſcit vt impetus per Th. 128. igitur creſcit in ratione virium.
Theorema 130.
Si creſcit reſiſtentia in eadem ratione in qua creſcunt vires, non mutatur
progreſſio effectuum. v.g. primo inſtanti impetus ſit vt 1.ſitque 1.ſpatium,
in quo eſt reſiſtentia, vt 1. Secundo inſtanti ſit impetus vt 2. reſiſtentia in
2. ſpatiis vt 2. haud dubiè ſi vno inſtanti vnus gradus impetus ſuperat
reſiſtentiam vt 1. dum percurrit 1.ſpatium; certè 2. gradus impetus vno
inſtanti ſuperabunt reſiſtentiam vt 2. dum conficit mobile 2. ſpatia; at­
que ita deinceps.
Theorema 132.
Hinc certè concludo contra Galileum, & alios quoſdam motum grauium
poſt aliquod ſpatium decurſum ex naturaliter accelerato non fieri æquabilem,
quia in tantum fieret æquabilis in quantum tanta eſſet reſiſtentia, vt no­
uam accelerationem impediret; ſed hæc ratio nulla eſt; quia in eadem
ratione creſcit reſiſtentia, in qua creſcunt vires per Th. 129. igitur non
mutatur progreſſio motuum per Th. 130. igitur nec acceleratio; igitur
motus naturalis ex accelerato non fit æquabilis: Equidem, vt iam ſuprà
dictum eſt, in minori ſemper ratione creſcit velocitas, itémque ipſa reſi­
ſtentia quod in omni progreſſione arithmetica iuxta numeros 1.2.3.4.5.
Scholium.
Obſeruabis remitti à nobis motum leuium ſurſum in 5. Tomum, in cu­
ius tertio libro agemus de graui, & leui; quia ideo corpus aſcendit, quia
ab alio deſcendente truditur ſurſum.
1 18[Figure 18]
LIBER TERTIVS,
DE MOTV VIOLENTO
ſurſum Perpendiculariter.
OMnis certè motus, qui eſt à principio ex­
trinſeco, violentus appellari poteſt, attamen
hîc non ago de omni violento, ſed dumta­
xat de illo, qui fit ſursùm per lineam verticalem; quia
ſcilicet ex diametro opponitur motui naturali, qui
fit deorsùm perpendiculariter; igitur cum de hoc
ipſo in ſecundo Libro egerimus, de illo in hoc non
agemus.
DEFINITIO 1.
MOtus violentus eſt, quo corpus graue mouetur ſursùm per li­
neam verticalem à principio extrinſeco mediatè, vel immediatè vt
plurimùm.
Dixi à principio extrinſeco, ſiue conjuncto, vt cum manu attollo ſur­
ſum corpus graue, ſiue non conjuncto, vt cum quis proiicit lapidem ſur­
sùm, ſiue ſit verum principium effectiuum, vt cum impetus, quem poten­
tia motrix producit in manu, producit alium in mobili; ſiue non ſit
principium effectiuum, ſed tantùm determinans, vt cum mobile quod
cadit deorſum, ſurſum deinde repercutitur; nec enim corpus repercu­
tiens producit impetum nouum, vt dicemus cum de motu reflexo; quin
potiùs producti partem deſtruit per accidens, & quidquid illius ſupereſt,
ad nouam lineam determinat; quod quomodo fiat fusè ſuo loco expli­
cabimus, igitur licèt corpus reflectens ſit tantùm principium nouæ de­
terminationis, non verò alicuius impetus producti, dici poteſt princi­
pium huius motus violenti.
Dixi vt plurimùm, nam ſi terra ducto per centrum foramine eſſet
peruia, haud dubiè lapis demiſſus versùs centrum iret motu naturaliter
1accelerato, tùm deinde propter impetus acquiſiti vim, à centro versùs
oppoſitum circumferentiæ punctum iret, motu certè violento, qui ta­
men ab extrinſeco non eſſet.
Hypotheſis 1.
Corpus graue projectum ſurſum tandem redit; Hæc hypotheſis certa eſt,
& nemo eſt qui eam in dubium vocet.
Axioma 1.
Quidquid erat, & deſinit eſſe deſtruitur; Hoc Axioma certum eſt, quip­
pe deſtrui hoc tantùm dicitur, quod deſinit eſſe.
Axioma 2.
Quidquid destruitur, ad exigentiam alicuius destruitur, ſaltem totius na­
turæ. Hoc Axioma idem eſt cum Axiom. 14. l. 1. n. 2. vnde alia expli­
catione minimè indiget; hoc ipſum etiam demonſtraui in Th.147.149.
150,&c. l. 1.
Theorema 1.
Datur motus violentus; demonſtro; corpus proiicitur per lineam ver­
ticalem per hyp. 1. ſed hic motus eſt à principio extrinſeco, igitur eſt
violentus per def.1. probatur minor; Primò, quia illud eſt principium,
ſeu cauſa motus, ex cuius applicatione ſemper ſequitur motus per Ax.11.
l. 1.n. 1. ſed ex applicatione potentiæ extrinſecæ v. g. arcus, manus, &c.
ad lineam ſurſum ſemper ſequitur motus ſurſum; igitur eſt illius cauſa.
Secundò probatur, quia mobile projectum ſursùm mouetur adhuc ſepa­
ratum à potentia motrice per hyp. 6.l.1. igitur potentia motrix impreſ­
ſit aliquid mobili, vi cuius deinde mouetur, igitur hic motus eſt à prin­
cipio extrinſeco.
Diceret fortè aliquis produci hunc motum ab ipſo mobili; ſed con­
trà; igitur ſemper produceret, quod abſurdum eſt: dicet, ad hoc vt pro­
ducat determinari debere ab aliquo, ſed contrà; illud à quo determina­
tur vel eſt extrinſecum, vel intrinſecum, ſi primum, ergo hic motus eſt
ſemper à principio extrinſeco, quod ſatis eſt eſſe determinans per def.1.
ſi verò eſt intrinſecum; igitur ſemper eſſet hic motus, quamdiu eſſet
ipſum mobile, quod eſt contra hyp. 1. nam reuera non ſemper mo­
uetur.
Diceret fortè alius excitari quædam corpuſcula, à quibus mouetur
corpus graue ſursùm; ſed contrà; nam vel ſunt in ipſo mobili illa cor­
puſcula, vel extra mobile; ſi primum; igitur hic motus ſemper erit ab
extrinſeco mediatè, cum ab extrinſeco excitentur; ſed hoc ſufficit ad
hoc; vt motus dicatur violentus per def. 1. ſi verò ſunt extra mobile;
igitur motus ille eſt ſemper ab extrinſeco, idque duplici nomine.
Denique diceret alius ex ſuppoſitione, quod terra moueatur non poſ­
ſe corpus graue proiici ſursùm per lineam verticalem, niſi tantùm ad
ſpeciem; vt ſi quis è naui mobili ſurſum proiiceret pilam rectà omni­
nò, quoad eius fieri poſſit; videbitur enim iis, qui vehuntur eadem naui
1ſurſum ferri per lineam verticalem, aliis verò inſtantibus videbitur cla­
riſſimè ferri per lineam nouam inclinatam.
Reſpondeo etiam admiſſa ſuppoſitione dici à me motum illum ſur­
ſum eſſe per lineam verticalem, quando eadem linea recta connectit
ſemper hæc tria puncta; ſcilicet centrum terræ, idem punctum ſuperfi­
ciei terræ, & ipſam pilam; ad illud verò quod dicitur de naui, non diffi­
teor verum eſſe; ſed dico non eſſe propriè motum violentum, de quo hîc
tantùm eſt quæſtio, ſed eſſe motum mixtum, de quo fusè ſuo loco. Obſer­
uabis autem hîc me abſtinere à refellendis abſurdis illis ſuppoſitioni­
bus, quibus præmiſſæ objectiones innituntur; nam, cui quæſo in men­
tem venire poteſt ab ipſa entitate corporis grauis produci motum in ſe?
quis credat produci frigus ab igne? calorem à niue? lucem à tenebris?
quæ porrò fabulæ, quæ commenta, quæ ſomnia excogitari poſſunt, quæ
non vileſcant ſi cum his comparentur.
Illa quoque corpuſcula excitata leuiora ſunt, quàm vt aliquod præfe­
rant rationis momentum; cum mera ſint philoſophiæ ludibria.
Denique illa hypotheſis de terræ motu nullis demonſtrationibus fir­
mata eſt, vt videbimus ſuo loco.
Vnum fortè eſt, quod difficilius obiici poteſt; ſit enim linea vertica­
lis AC, ſitque globus in A æqualiter impulſus per lineas AD & AB;
haud dubiè ſi anguli DAC, BAC ſint æquales: certè mobile feretur
per lineam verticalem AC, vt conſtat ex dictis. Reſpondeo motum illum
eſſe violentum; eſt enim à principio extrinſeco, coque gemino, ſeu mix­
to, in quo non eſt difficultas.
Theorema 2.
Motus violentus habet cauſam; quia de nouo eſt, & tandem deſinit per
hypoth. 1. igitur habet cauſam per Ax.8.l.1.
Theorema 3.
Iſte motus ſupponit impetum; quia niſi eſſet impetus non eſſet natura­
liter motus per Th.18.l.1.
Theorema 4.
Iſte impetus debet eſſe in mobili projecto ſurſum; quia ibi eſt cauſa, vbi
eſt effectus formalis, ſed motus eſt effectus formalis ſecundarius impe­
tus per Th.15.l.1. igitur cum motus ſit in projecto ſurſum, in eo eſt etiam
impetus: præterea ſecunda pars motus non ponitur à potentia motrice;
quia illa non eſt applicata mobili cum ponitur noua pars motus, igitur
ab alia cauſa applicata, ſed nulla eſt extrinſeca, vt patet, nulla intrinſeca
præter impetum.
Diceret aliquis ab aëre extrinſecùs ambiente mobile ipſum propelli;
ſed contra, nam aër, & omne aliud medium reſiſtit potiùs quàm iuuet, vt
demonſtrauimus l. ſecundo Th. 1. Nec dicas fuiſſe mentem Ariſtotelis,
cum nobiles Peripatetici contrâ ſentiant; Albertus Magnus, Toletus,
Scaliger, Suarius, & recentiores; neque hoc negauit vnquam Ariſtote-
1les, ſed in hoc non multùm laboramus; nec dicas hinc ſequi motum
violentum eſſe à principio intrinſeco contra def. 1. nam eſt quidem à
principio intrinſeco formali, non tamen à principio intrinſeco mouen­
te vel agente; nec enim impetus eſt cauſa efficiens motus ſui ſubjecti;
ſed cauſa formalis vt ſæpè explicuimus.
Diceret fortè alius primam partem motus produci à potentiâ motri­
ce, ſecundam verò ab entitate ipſius corporis; ſed contrà; igitur corpus
eſſet cauſa neceſſaria; igitur ſemper produceret. Dices ſemper producere
ſi determinetur, ſed contrà; à quo determinatur ad producendam ſecun­
dam partem? nihil eſt enim applicatum, à quo determinari poſſit; Dices
accepiſſe determinationem; ſed contrà; quid eſt illa determinatio?
Dices eſſe modum; igitur permanentem; igitur eſt cauſa motus per Ax.
1. l. 1. n. 1. igitur eſt impetus per def. 3. l. 1. Dices determinari à priori
parte motus; ſed contrà primò, nam reuerâ non eſt illa pars cum deter­
minatur corpus. Secundò, quid eſt illa prima pars motus, niſi migratio è
loco in locum, quæ reuerâ à potentia motrice produci propriè non po­
teſt per Th.2. l. 1. ſed de his iam fusè actum eſt in toto ferè libro primo,
ſed præſertim in Th.6.
Theorema 5.
Ille impetus eſt vera qualitas Phyſica abſoluta; hoc iam ſuprà demon­
ſtratum eſt, ſcilicet phyſicè; immò ex motu violento maximè probatur
dari impetum, & vix quidquam eſt in rerum naturâ, quod clariùs euin­
cat aliquid de nouo produci.
Theorema 6.
Iſte impetus producitur ab aliqua cauſa; Probatur, quia eſt de nouo; igi­
tur non eſt à ſe per Ax. 8. l. 1. igitur eſt ab alio; igitur ab aliqua
cauſa.
Theorema 7.
Producitur ab aliqua cauſa extrinſeca; Probatur primò, quia aliquis
motus violentus eſt à cauſa extrinſeca per def.1. Secundò, eſt ab aliqua
cauſa applicata, ſed eſt tantùm applicata potentia motrix; igitur eſt cau­
ſa, per Ax. 11. l. 1. nec enim producitur hic impetus ab entitate corpo­
ris projecti, quod pluſquàm certum eſt ex dictis; hîc enim tantùm
eſt quæſtio de illo motu, qui extrinſecùs aduenit, non vero de reflexo
ſursùm, &c.
Theorema 8.
Producitur ab alio impetu; quia potentia motrix non agit ad extra niſi
per impetum productum in organo, vt patet; præterea ſi eſt cauſa vni­
uoca ſufficiens applicata, non eſt ponenda æquiuoca per Ax.11.l.1. adde
quod impetus producitur ſemper ad extra ab alio impetu per Th. 42.
l.1.nec in his hactenus propoſitis vlla eſt difficultas.
Theorema 9.
Impetus impreſſus mobili ſurſum conſeruatur per aliquod tempus; Probatur,
1quia mobile ſeparatum à potentia motrice adhuc mouetur per hyp.6.l.1,
igitur ille motus habet cauſam, vt ſæpè dictum eſt; non aliam, quàm im­
petum per Th.4. non productum de nouo, quippe nulla eſt cauſa mobili
applicata per Th. 7. & 8. igitur iam antè productam; igitur conſer­
uatur.
Theorema 10.
Conſeruatur ab aliqua cauſa extrinſeca applicata; vt patet ex dictis, non
ab aëre; igitur à nullo corpore; igitur ab alia causâ inſenſibili; igitur
illam eſſe oportet, & noſſe rerum omnium exigentias, & poſſe cuncta
producere; quippe conſeruatio eſt repetita productio; immò conſerua­
re per actionem, per quam ſit res in tali loco, & tali tempore; illa porrò
cauſa inſenſibilis incorporea, quæ vbique eſt, & ſemper, Deus eſt: Nec
puta poſſe exiſtentiam cauſæ primæ probari ſenſibiliori, vt ſic loquar,
argumento, quàm eo, quod petitur ex motu projectorum, quorum motus
durat etiamſi à potentia motrice mobile ipſum ſit ſeparatum.
Theorema 11.
Hinc multa colligi poſſunt. Primò, ſi nullus eſſet impetus extrinſecus,
vel acquiſitus, nullus eſſet motus violentus, niſi tantùm motus reflexus
cadentium deorsùm. Secundò, ſi nullus eſſet Deus, nullus eſſet motus
violentus; immò nec vllus naturaliter acceleratus. Tertiò, ſi impetus eſ­
ſet fluens vt motus, nullus eſſet motus violentus. Quartò, ſi ſingulæ par­
tes motus produci debent ab aliquâ causâ efficiente, nullus etiam eſſet
motus violentus.
Theorema 12.
Vt ſit motus violentus debent produci plures partes impetus violenti
quàm ſint partes impetus naturalis; Probatur, quia ſi eſſent plures natura­
lis deorsùm, quàm ſint violenti ſurſum, corpus tenderet deorſum; ſed
tardiùs per Th.134.l.1. & ſi tot eſſent vnius, quot alterius, mobile ipſum
non moueretur per Th.133.l.1.
Theorema 13.
Motus violentus non eſt acceleratus; probatur primò experientiâ, quæ
certa eſt. Secundò, quia ſi ſemper creſceret, numquam rediret mobile
contra hyp.1. nec enim ab vllo reflectitur; ſi enim reflecteretur ab aëre
intenſus, multò magis remiſſus.
Theorema 14.
Hinc impetus in mobili ſurſum projecto non intenditur, quia non inten­
ditur effectus per Th.13. igitur nec cauſa per Ax.2.l.2.
Theorema 15.
Motus violentus non eſt æquabilis; quia mobile tandem redit per hyp.1.
ſed numquam rediret, ſi eſſet æquabilis; cur enim potiùs hoc inſtanti
quàm alio? cur ab hoc puncto ſpatij potiùs, quàm ab alio?
1
Theorema 16.
Hinc non conſeruatur intactus impetus; quia ſi eſſet intactus, eſſet ſem­
per æqualis; igitur haberet ſemper æqualem motum per Ax.3.l.2. igitur
motus eſſet æquabilis, contra Th.15.
Theorema 17.
Hinc neceſſe eſt aliquid impetus destrui; cum enim non remaneat inta­
ctus, & æqualis; nec fiat maior per Th.14. certè fit minor, igitur detra­
ctione aliqua per Ax.1.l.2.
Theorema 18.
Singulis inſtantibus aliquid deſtruitur impetus impreſſi; probatur quia
cur potiùs vno quam alio? quippe illa ratio, quæ probat de vno probat
de ſingulis.
Theorema 19.
Hinc neceſſariè eadem vel aqualis cauſa deſtructionis debet eſſe applicata;
probatur, quia æqualis effectus æqualem cauſam ſupponit, per Ax.
3. l. 2.
Theorema 20.
Illa cauſa non eſt tantùm aër ambiens vt volunt aliqui; quia licèt reſi­
ſtat motui, ſeu potius mobili, non tamen eſt ea reſiſtentia, quæ poſſit
impetum tam citò deſtruere; probatur primò, quia ſi hoc eſſet, deſtrue­
retur æquali tempore per omnem lineam ſurſum, quod eſt contra expe­
rientiam, vt dicemus infrà; eſſet enim eadem cauſa applicata; igitur idem
& æqualis effectus; probatur ſecundò, quia non deſtruit aër primum il­
lum gradum impetus naturalis acquiſiti, vt conſtat in motu deorſum, qui
tamen eſt imperfectiſſimus; igitur non eſt ſufficiens ad deſtruendum im­
petum violentum, niſi longo tempore. Tertiò, globus ſursùm projectus
aſcendit, & deinde deſcendit æquali tempore; igitur ſaltem ſingulis in­
ſtantibus deſtruitur vnus gradus impetus violenti æqualis primo gradui
innato; atqui aër non poteſt vno inſtanti deſtruere impetum æqualem
primo innato; alioqui non intenderetur motus naturalis. Quartò, & hæc
eſt ratio à priori, quotieſcumque ſunt in eodem mobili duo impetus ad
oppoſitas lineas determinati, pugnant pro rata, vt demonſtrauimus l.1.
Th. 149. 150. 152. & in toto Schol. & multis aliis paſſim; atqui conſer­
uatur ſemper impetus naturalis innatus per Sch. Th.152.n.6.l.1.per Th.
9. & Schol.Th.14. & Th.73.l.2.
Theorema 21.
Illa cauſa non eſt entitas corporis mobilis, vel ipſa grauitas, diſtincta ſcili­
cet ab impetu innato ſi quæ eſt de quæ alias, probatur, quia non eſſet potior
ratio cur vno inſtanti deſtruerentur duo gradus impetus, quàm 3. 4. 5.
quippe grauitas exigeret deſtructionem omnium: præterea omnis impe­
tus deſtruitur ne ſit fruſtrà per Schol, Th.152. & Th.162.l.1. denique ſi
1adeſt contrarius impetus deſtructiuus eo modo, quo explicuimus l. 1. non
eſt ponenda alia cauſa deſtructiua.
Theorema 22.
Hinc neceſſe eſt impetum violentum deſtrui ab impetu naturali innato; pro­
batur, quia nulla eſt cauſa extrinſeca deſtructiua ſaltem adæquatè per hT.
20.igitur eſt intrinſeca per Ax.4. l.2. ſed intrinſeca vel eſt mobilis enti­
tas, vel grauitas, vel impetus innatus; ſed mobilis entitas non eſt cauſa
deſtructiua; nec etiam ipſa grauitas per Th.21. igitur impetus naturalis
innatus.
Theorema 23.
Hinc vera ratio cur ſingulis inſtantibus aliquid deſtruatur, quia ſingulis
inſtantibus eſt cauſa deſtructiua applicata, igitur ſingulis inſtantibus de­
ſtruit per Ax. 12. l. 1.
Theorema 24.
Hinc etiam ratio cur ſingulis instantibus, ſeu æqualibus temporibus æqua­
liter deſtruatur; quia ſingulis inſtantibus eſt eadem cauſa deſtructiua ap­
plicata; igitur ſingulis inſtantibus æqualiter deſtruit per Ax.3.l.2.porrò
in tantum deſtruit in quantum efficit, vt aliquid ſit fruſtrà, vt fusè di­
ctum eſt lib.1.vel in quantum exigit eius deſtructionem, nam perinde eſt.
Theorema 25.
Hinc etiam petitur ratio, propter quam talis portio impetus violenti de­
ſtruatur vne inſtanti; quia ſcilicet contraria pugnant prorata per Ax.15.
& per Th.134.l.1.
Theorema 26.
Hinc illa inuerſa communis dicti, æqualibus temporibus æqualia deſtruun­
tur velocitatis momenta in motu violento; quippe eadem cauſa eidem ſub­
jecto applicata æqualibus temporibus æqualem effectum producit per
Ax.3.l.2. ſed impetus innatus eſt cauſa deſtructiua impetus violenti per
Th. 22. igitur æqualibus temporibus, &c.
Theorema 27.
In eadem proportione retardatur motus violentus, in qua naturalis accele­
ratur: probatur quia ſingulis inſtantibus æqualibus acquiritur æqualis
gradus impetus, vt ſæpè dictum eſt ſuprà; atqui ſingulis inſtantibus de­
ſtruitur vnus gradus impetus violenti per Th.24. ſed ille gradus reſpon­
det impetui innato per Th. 25. igitur æqualibus temporibus tantùm de­
ſtruitur violenti, quantùm acquiritur naturalis; cum enim primo in­
ſtanti ſit impetus naturalis, & ſecundo tempore æquali acquiratur æqua­
lis, item tertio, quarto, &c. certè cum impetus innatus pugnet cum vio­
lento pro rata; nec ſit potior ratio cur maiorem portionem quàm mino­
rem deſtruat, æqualem certè deſtruit, itemque ſecundo inſtanti æqua­
lem, item tertio, quarto; igitur in eadem proportione decreſcit violentus,
ſeu retardatur, in qua naturalis acceleratur.
1
Hinc inuertenda eſt progreſſionis linea; quippe linea AE repræſen­
tat nobis progreſſionem motus accelerati, quæ fit in inſtantibus, & li­
nea FK progreſſionem motus, quæ fit in partibus temporis ſenſibilibus;
in illa primo inſtanti decurritur primum ſpatium AB, ſecundo tempore
æquali BC, tertio CD, quarto DE: in hac vero prima parte acquiritur
ſpatium FG ſecunda æquali primæ GH, tertia HI, quarta IK; igitur ſi ac­
cipiatur linea AE, progrediendo ab A verſus E, vel linea FK progre­
diendo ab F verſus K habebitur progreſſio motus naturaliter accelerati;
ſi verò accipiatur EA, vel KF, progrediendo ſcilicet ab E verſus A, vel à
K verſus F, erit progreſſio motus violenti naturaliter retardati; vt con­
ſtat ex præcedèntibus Theorematis; & quemadmodum progreſſio acce­
lerationis in inſtantibus finitis fit iuxta ſeriem iſtorum numerorum 1.2.
3.4. in partibus verò temporis ſenſibilibus iuxta ſeriem iſtorum 1.3.5.7.
ita fit omninò progreſſio retardationis in inſtantibus iuxta hos nume­
ros 4.3.2.1. in partibus temporis ſenſibilibus iuxta hos 7.5. 3. 1.
Theorema 28.
Motus violentus durat tot inſtantibus ſcilicet æquiualentibus quot ſunt ij
gradus impetus quibus violentus ſuperat innatum, v.g. ſit vnus gradus im­
petus innati; producantur 5. gradus violenti, quorum ſinguli ſint æqua­
les innato etiam æquiualenter, motus durabit 4. inſtantibus etiam æqui­
ualenter id eſt 4. temporibus, quorum ſingula erunt æqualia primo in­
ſtanti motus naturalis, probatur, cum ſingulis inſtantibus æqualibus de­
ſtruatur vnus gradus; certè 4. inſtantibus durat motus.
Theorema 29.
Si accipiantur ſpatia æqualia in hac progreſſione retardationis, eſt inuerſa
illius, quàm tribuimus ſuprà accelerationi, aſſumptis ſcilicet ſpatiis æqualibus;
tum ſi accipiantur ſpatia æqualia prime ſpatie quod decurritur prime inſtan­
ti metus naturalis, tum ſi accipiantur ſpatia æqualia date ſpatie quod in par­
te temporis ſenſibili percurritur; quippe quemadmodum in progreſſione
accelerationis decreſcunt tempora; ſic in progreſſione retardationis
creſcunt, aſſumptis ſcilicet ſpatiis æqualibus; quare ne iam dicta hic re­
petam, conſule quæ diximus lib.2. de hac progreſſione.
Theorema 30.
Hinc instantia initio huius metus ſunt minora ſicut initio motus naturalis
ſunt maiora; & ſub finem in motu violente ſunt maiora, in naturali ſunt mi­
nora; quia ſcilicet hic acceleratur, ille retardatur: igitur velo­
citas accelerati creſcit; igitur ſi accipiantur ſpatia æqualia, decreſcit tem­
pus; at verò velocitas retardati decreſcit, igitur aſſumptis ſpatiis æquali­
bus, creſcit tempus; igitur ſi accipiatur ſpatium, quod percurritur primo
inſtanti huius motus, & deinde alia huic æqualia; haud dubiè, cum ſe­
cundo inſtanti motus ſit tardior, ſitque aſſumptum æquale ſpatium; haud
dubiè inquam inſtans ſecundum erit maius primo, & tertium ſecundo,
atque ita deinceps.
1
Theorema 31.
Hinc primo inſtanti motus violenti deſtruitur minor gradus impetus quàm
ſecundo, quod demonſtro; quia eadem cauſa breuiore tempore minùs agit
per Ax.3.l.2. & Ax. 13.l.1. num.4. igitur minùs impetus deſtruitur pri­
mo, quàm ſecundo, & minùs ſecundo quàm tertio, atque ita deinceps;
idem enim dici debet de cauſa deſtructiua, quod de productiua.
Dices, igitur idem impetus deſtruitur primo inſtanti, quo eſt, ſi deſtrui­
tur primo inſtanti motus. Reſpondeo negando; quia primo inſtanti, quo
eſt impetus, non eſt motus per Th.34.l.1.
Dices, igitur impetus ille eſt fruſtrà, quia nullus effectus, ſeu motus
ex eo ſequitur; Reſpondeo negando; nam omnes gradus impetus qui ei­
dem parti mobilis inſunt, communi quaſi actione, vel exigentia indi­
uiſibiliter exigunt motum.
Theorema 32.
Hinc gradus omnes producti in eadem parte ſubiecti ſunt inæquales in­
perfectione; cum enim ſinguli ſingulis inſtantibus deſtruantur, vt dictum
eſt; quippe eſt tantùm vnus gradus impetus innati, & cum ſingula in­
ſtantia ſint inæqualia, etiam ſinguli gradus illius impetus ſunt inæquales
in perfectione.
Theorema 33.
Hinc redditur optima ratio, cur tot producantur potiùs quàm plures, quæ
alioquin minimè afferri poteſt; immò, niſi hoc eſſet, nulla eſſet huiuſmodi
naturalis retardatio; nam producantur, ſi fieri poteſt, omnes æquales, ſint­
que v.g.20. nunquid poſſunt eſſe 40. perfectionis ſubduplæ, vel 10. du­
plæ, vel 5. quadruplæ &c. cur autem potiùs vnum dices quàm aliud? at
verò optimam inde reddo rationem quòd cum ſint omnes inæquales, cò
plures ſunt, quò maior eſt niſus; pauciores verò, quò minor.
Theorema 34.
Hinc ſunt inæquales in eâdem proportione, in quæ inſtantia ſunt inæqualia
v. g. quà proportione primum inſtans eſt minus ſecundo, & ſecundum
tertio, ita ille gradus impetus, qui deſtruitur primo inſtanti, eſt minor
vel imperfectior co, qui deſtruitur ſecundo, & qui deſtruitur ſecundo
imperfectior co, qui deſtruitur tertio, atque ita deinceps.
Theorema 35.
Hinc perfectiſſimus omnium graduum ille eſt qui deſtruitur vltimo inſtan­
ti, de quo infrá; quod ſequitur ex dictis neceſſariò: vtrùm verò ille ſit æ­
qualis omninò in perfectione impetui naturali innato, dicemus
infrà.
Scholium.
Hic obſeruabis mirabilem ſanæ naturæ prouidentiam, quæ motus
omnes cum ipſo naturali ita compoſuit, vt ſit veluti regula omnium mo­
tuum, ſitque vnum quaſi principium perfectionis totius impetus; tùm in
1motu naturali, in cuius progreſſione producitur ſemper imperfectior,
tùm in violento, in cuius progreſſione deſtruitur ſemper perfectior;
producitur imperfectior ab eadem cauſa in minoribus temporibus, &
deſtruitur perfectior ab eadem cauſa in maioribus temporibus; & cum
impetus innatus ſit cauſa deſtructiua impetus violenti, habet inæqualem
proportionem cum ſuo effectu pro temporibus inæqualibus; & cum
idem impetus innatus ſit quaſi principium crementi, vel accelerationis,
ſicut eſt principium retardationis; certè pro inæqualitate temporum eſt
diuerſa proportio crementorum; quo nihil clarius in hac materia meo
iudicio dici poteſt.
Theorema 36.
Hinc finis motus naturalis omninò conuenit cum principio motus violenti;
& finis huius cum principio illius; quæcumque tandem progreſſio accipia­
tur; ſiue temporum æqualium in ſpatiis inæqualibus; ſiue ſpatio­
rum æqualium in temporibus inæqualibus, ſiue aſſumantur inſtan­
tia in progreſſione arithmetica ſimplici iuxta hos numeros 1.2.3.4. ſiue
aſſumantur temporis partes ſenſibiles in progreſſione Galilei iuxta hos
numeros 1.3.5.7. quæ omnia ex dictis neceſſariò conſequuntur.
Theorema 37.
Nec modò conuenit principium vnius cum alterius fine, & viciſſim, ſed
etiam aliæ partes motus in diſtantiis æqualibus ſit enim linea AG, quam
percurrit mobile demiſſum ex puncto A deorſum motu naturaliter ac­
celerato, & moueatur per 6. inſtantia, ſeu 6. tempora æqualia: Primo
inſtanti, quo percurrit ſpatium AB; haud dubiè, quando peruenit ad pun­
ctum G, habet 7. gradus impetus æquales, quia ante motum AB habebat
innatum; ſed in motu illo fluunt 6. tempora æqualia, vt dictum eſt; igitur
6. acquirit gradus impetus, quorum quidem vltimò acquiſitus nullum
adhuc habuit motum; ſed haud dubiè haberet, ſi vlteriùs hic motus pro­
pagaretur: his poſitis imprimantur mobili in O 7.gradus impetus æqua­
les prioribus ſursùm motu violento, per lineam OH; certè primo inſtan­
ti motus, ſeu tempore æquali prioribus percurret ON, id eſt 6. ſpatiola;
quia licèt ſint 7.gradus; attamen impetus innatus corporis grauis detra­
hit vnum ſpatium, ſimulque deſtruit vnum gradum, ſecundo tempore
percurret NM 5. tertio ML 4. quarto LK 3. quinto KI 2. ſexto IH 1.
igitur primum violenti ON reſpondet vltimo naturali FG ſeu ſecun­
dum illius quinto huius, tertium illius quarto huius, quartum tertio,
quintum ſecundo ſextum primo, & viciſſim; idem prorſus in progreſſione
Galilei accidit, aſſumptis ſcilicet partibus temporis ſenſibilibus.
Theorema 38.
Hinc ad eam altitudinem aſcendit motu violento cum iis gradibus impe­
tus, quos habuit ab eadem altitudine decidens motu naturali; conſtat ex
dictis.
1
Theorema 39.
Hinc ſi motus violentus, & naturalis durent æqualibus temporibus, ſpatia
vtriuſque erunt æqualia; conſtat etiam ex dictis v.g. corpus graue, motu
naturali in libero aëre tempore duorum ſecundorum percurrit 48. pe­
des, igitur ſi moueatur ſurſum æquali tempore percurret 48. pedes per
ſe, dico per ſe; quippe ratione figuræ corporis ſecus accidere poteſt, vt
plurimùm etiam accedit ratione motus mixti ex motu centri recto, &
motu orbis circulari, de quo infrà.
Theorema 40.
Hinc, vt ſpatia vtroque motu diuerſa ſunt æqualia, ita tempora quibus de­
curruntur ſunt æqualia, & impetus acquiſitus in fine naturalis cum in­
nato eſt æqualis impetui producta in principio violenti.
Theorema 41.
Hinc tandiu durat deſcenſus mobilis proiecti ſursùm motu violento, quan­
diu durat eiuſdem aſcenſus, & tot habet gradus impetus in fine deſcenſus,
quot habet in principio aſcenſus; eſt enim æquale ſpatium; igitur æquale
tempus; igitur æqualis vtrobique impetus. Sed hîc duo obiici poſſunt,
primò ſagittam per lineam verticalem vibratam poſuiſſe tantùm in aſ­
cenſu 3. ſecunda, in deſcenſu verò 5. vt ſæpiùs obſeruatum eſt, teſte Mer­
ſenno; ſecundò, ſi eodem tempore corpus graue ſursùm proiectum motu
violento aſcenderet, quo deinde deſcendit, in fine deſcenſus æqualis
eſſet ictus, ſeu percuſſio vtriuſque; cum tamen illa ſit maior, quæ infli­
gitur motu violento, vt conſtat multis experimentis.
Reſpondeo ad primum etiam teſte Merſenno globum ferreum trium
aut 4. librarum ſurſum exploſum è breuiore tormento ſed latiore, æqua­
le tempus in aſcenſu, & in deſcenſu inſumpſiſſe; quod reuerâ ſecùs acci­
dit ſagittæ, cuius differentia aſcenſus, & deſcenſus ſenſu etiam percipi
poteſt; tùm quia lignea materia multò leuior eſt ferro, tùm quia leuiſſi­
mæ illæ pennæ, quibus inſtruitur, motum retardant in deſcenſu; quod
maximè confirmatur ex eo quod pluma facilè anhelitu ſurſum pellatur
ſatis veloci motu, quæ deinde tardiſſimo ſua ſponte deſcendit: præterea
mucro ferreus, quo ſagitta armatur, ſemper præire debet, cuius rei ratio­
nem afferemus infrà; igitur cum in aſcenſu præeat, vt præeat in deſcen­
ſu, altera extremitas ſemicirculum ſuo motu facere debet, qui certè ad
naturalem motum pertinet, altera tamen extremitas, quæ mouetur mo­
tu contrario alterius motum retardat; ad ſecundam obiectionem
reſpondebo Th.44.
Theorema 42.
Si motus violentus eſſet æquabilis, ſpatium eſſet ferè duplum illius, quod
percurritur motu naturaliter retardato, aſſumptis ſcilicet temporibus æqualibus;
cum enim motu æquabili compoſito ex ſubdupla velocitate maximæ, &
minimæ motus accelerati æquali tempore percurratur æquale ſpatium,
ſubduplum minimæ pro nihilo ferè habetur; igitur poteſt tantùm aſſu-
1mi ſubduplum maximæ; igitur velocitas motus ſit æqualis maximæ, haud
dubiè ſpatium duplum percurretur.
Theorema 43.
Hinc benè à naturâ inſtitutum fuit impetum naturalem innatum ſemper
conſeruari; alioqui violentus eſſet æquabilis, igitur nunquam deſineret:
quantum abſurdum! quale incommodum &c.
Theorema 44.
Eadem eſt ratio ſeu proportio ictuum, & percuſſionum, quæ integrorum
ſpatiorum quæ ſcilicet toto motu percurruntur in aſcenſu & deſcenſu, v. g.
corpus graue cadens ex data altitudine 48 pedum æqualem ictum infli­
git in fine deſcenſus, & in principio aſcenſus, quo ſcilicet ad eandem
altitudinem aſcenderet; probatur, quia æqualis acquiritur impetus in
deſcenſu alteri, qui deſtruitur in aſcenſu, aſſumptis dumtaxat ſpatiis illis
æqualibus; igitur æqualis eſt in fine deſcenſus, in quo eſt totus acquiſi­
tus, atque in principio aſcenſus, in quo nullus eſt deſtructus: ad id verò,
quod dicebatur ſuprà de ſagitta, cuius ictus maior eſt initio aſcenſus,
quàm in fine deſcenſus non diffiteor; quia materia ſagittæ, tùm lignea
tùm plumea motum ſatis ſuperque retardat, vt differentia ictuum ſenſu
ipſo percipi poſſit; quæ tamen nulla perciperetur in aſcenſu deſcenſu­
que globi ferrei.
Theorema 45.
Hinc reiicies Galileum, & alios eius ſectatores qui volunt impetum corpori
impreſſum deſtrui tantùm ab aëre; quod pluſquàm falſum eſſe comper­
tum eſt, vt demonſtrauimus ſuprà Th. 20. quaſi verò non adſit aliqua
cauſa neceſſaria deſtructiua, ſcilicet impetus innatus; hinc etiam eum­
dem reiicies, qui vult numquam fieri poſſe, vt motu naturaliter accelera­
to tanta acquiratur velocitas, quanta imprimitur in motu violento; vult
enim motum acceleratum tranſire in æquabilem, cuius contrarium de­
monſtrauimus ſuprà Th. 131, l. 2. igitur cum creſcat ſemper velocitas,
nullus eſt finitus gradus, quem tandem non aſſequatur; immò vt dictum
eſt in præcedenti Th. aſſumptis æqualibus ſpatiis, impetus, qui eſt in
principio aſcenſus, æqualis eſt cum eo, qui eſt in fine deſcenſus.
Diceret fortè aliquis cadentem globum ex altiſſimæ turris apice de­
clinare à perpendiculari antequam terram feriat, vt conſtat ex multis
experimentis; igitur præualet tandem reſiſtentia aëris: ſed reſpondeo id
tantùm accidere propter currentem illac aëris tractum; alioquin non
eſſet potiùs ratio, cur in vnam partem declinaret, quàm in aliam.
Theoroma 46.
Non eſt eadem ratio ictuum, ſeu percuſſionum, quæ eſt ſegmentorum in­
tegri ſpatij; v.g. in ſubduplo ſpatij ſegmento non eſt ſubduplus ictus, ſit
enim ſpatium integrum motus vîolenti OH, & principium motus ſit
in O, finis in H; accipiatur ſegmentum OM, quod eſt quaſi ſubduplum O
H, ictus in M non eſt profectò ſubduplus ictus in O, ſed tantùm in L, vt
1conſtat ex dictis; igitur rationes ictuum non ſunt, vt rationes ſegmen­
torum integri ſpatij.
Theorema 47.
Vt in praxi determinentur rationes ictuum; aſſumatur progreſſio Gali­
lei in AF, ita vt ſi prima parte temporis ſenſibili percurratur ſpatium
FE 9 partium æqualium; ſecunda percurratur ED. 7. partium, tertia
DC 5. quarta CB 3; quinta BA 1. hoc poſito facilè erit determinare
rationes ictuum; nam in deſcenſu ictus ſunt vt velocitates, & hæ vt tem­
pora; igitur ſi AB percurritur in dato tempore, & AC in duobus prio­
ri æqualibus; certè ictus in deſcenſu AC eſt duplus ictus in deſcenſu
AB; in AD triplus, &c. Igitur in aſcenſu ictus in F erit quintuplus,
ictus in E quadruplus in D triplus, &c. igitur ictus ſunt in ratione dupli­
cata ſpatiorum facto ſpatij initio à ſummo puncto A.
Theorema 48.
Hinc cognitis viribus, quibus corpus graue proijcitur ad datam altitudi­
nem, cognoſci poſſunt vires, quibus ad aliam quamcumque proijciatur; v. g.
proiiciatur corpus graue ad altitudinem 48. pedum; vires ſunt iis æqua­
les, quas acquirit in deſcenſu eiuſdem altitudinis 48. pedum; ſit alia di­
ſtantia 100. pedum; haud dubiè vires neceſſariæ ad motum hunc violen­
tum ſunt æquales iis, quas acquireret in deſcenſu 100. pedum per Th.
40. atqui ita ſe habent vires acquiſitæ in deſcenſu 48. pedum ad vires
acquiſitas in deſcenſu 100. vt v.g. 48. ad v.g. 100. id eſt ferè vt 7.
ad 10.
Theorema 49.
Cognitis etiam ſpatiis cognoſcetur tempus; ſit enim decurſum idem ſpa­
tium 48. pedum motu violento ſurſum; idque v. g. tempore 2. ſecundo­
rum, quod ferè cum experientia conſentit; ſit aliud ſpatium 100. tempus
primi motus eſt ad tempus ſecundi vt v. g. 48. ad v. g. 100. quia ſpatia
ſunt vt quadrata temporum; igitur tempora vt radices 4. hinc vires ſunt
in ratione temporum; quia vt temporibus æqualibus acquiruntur æqua­
lia velocitatis momenta in motu naturali, ita & deſtruuntur æqualia in
motu violento, quæ omnia conſtant; igitur ictus ſunt vt vires, vires vt
tempora, tempora denique, vt radices que ſpatiorum.
Theorema 150.
In vltimo contactu motus violenti nullus eſt ictus, v. g. mobile projectum
ſurſum per lineam FA nullam percuſſionem infligeret in A; probatur
quia non tendit vlteriùs; igitur non impeditur eius motus à ſuperficie
corporis terminati ad punctum A; igitur nullum impetum in eo produ­
cit, qui tantùm producitur ad tollendum impedimentum per Th.44.l.1.
igitur nullum ictum infligit, qui tantùm infligitur per impetum, vt
conſtat.
Theorema 51.
Ex his ſatis facilè comparari poſſunt rationes percuſſionis, quæ infliguntur
1tùm ex caſu corporis grauis cadentis, tùm ex vi mallei impacti, tùm ex
impetu corporis projecti, tùm ex grauitatione corporis grauis incum­
bentis, quæ omnia hîc fuſiùs eſſent tractanda, niſi locum proprium infrà
ſibi vendicarent.
Theorema 52.
Ad motum violentum non concurrit impetus innatus, probatur, quia im­
petus ad lineas oppoſitas ex diametro determinati ad communem li­
neam determinari non poſſunt, cur enim potiùs dextrorſum quam ſini­
strorſum? igitur non concurrunt ad communem motum, niſi dicatur
impetus innatus valeo nomine concurrere ad violentum, quod eius li­
neam ſingulis temporibus quaſi caſtiget, vltróque, vel vlteriùs currentem
contineat.
Theorema 53.
Hinc ad motum violentum impetus ab exteriore potentia mobili impreſſus
tantùm concurrit; patet, cum enim in mobili projecto ſurſum ſit tantùm
ille impetus præter innatum, nec innatus concurrat per Th. 52. illum
tantùm concurrere neceſſe eſt: excipe ſemper impetum acquiſitum, de
quo iam ſuprà.
Theorema 54.
Primo instanti quo producitur impetus ille à potentia motrice in mobili, me­
diante ſcilicet impetu producto in organo proprio, non eſt motus; probatur,
quia primo inſtanti, quo eſt impetus, non eſt motus, per Th.34.l.1.
Theorema 55.
Impetus productus in manu producit impetum in organo vel in mobili pri­
mo inſtanti, quo eſt; probatur, quia ſecundo inſtanti exigit motum ſui ſub­
jecti; igitur tolli etiam impedimentum; igitur per motum medij; igitur
priori inſtanti in eodem mobili debet eſſe impetus; igitur produci ab
impetu organi; igitur & in organo ab impetu manus.
Theorema 56.
Primo inſtanti, quo producitur impetus in motu violento, nullus eius gra­
dus deſtruitur; probatur, quia alioquin ſimul eodem inſtanti, quo eſſe in­
ciperet, eſſe deſineret, quod dici non poteſt.
Theorema 57.
Impetus innatus impedit ne producatur tantus impetus in motu violento,
probatur, quia certè tàm impedit primam productionem, quàm conſer­
uationem, vt patet; eſt enim par vtrobique ratio; præterea agit in ipſam
manum.
Theorema 58.
Impetus violentus producitur minor, quàm produceretur vno dumtaxat gra­
du aquali ipſi impetui innato; quippe ſicut deſtruit ſingulis inſtantibus
æqualibus vnum gradum; quia pugnat pro rata; ita prorſus impedit, ne
1producatur vnus gradus ſibi æqualis primo inſtanti; cur enim duo po­
tiùs, quàm tres?
Theorema 59.
Secundo ſtatim inſtanti deſtruit alterum gradum: quippe eſt cauſa ne­
ceſſaria; igitur ſtatim primo inſtanti exigit deſtructionem; non certè
pro primo inſtanti per Th.56.igitur pro ſecundo, atque ita pro aliis dein­
ceps; deſtruitur autem, ne ſit fruſtrà eo modo, quo diximus ſuprà.
Theorema 60.
Hinc optima ratio illius instituti naturæ, quo factum eſt, vt impetus innatus
numquam destruatur; ne ſi aliquando deſtrueretur, nulla eſſet cauſa de­
ſtructiua impetus violenti; ac proinde æquabilis eſſet, ſemperque dura­
ret, deſtructiua inquam ſuo modo.
Theorema 61.
Hinc corpus quod non grauitat, facilè proijcitur, vel impellitur: ſic na­
uis aquis innatans, nubes in aëre liberatæ; halitus, atque adeo ipſæ partes
aquæ, quas perexiguus lapillus in orbes penè innumeros agit, ne quid
dicam de partibus aëris, quæ tam citò & procul mouentur, vt conſtat in
ſono, motu ſcilicet ferè æquabili.
Theorema 62.
Hinc etiam è contrario corpus grauius difficiliùs ſurſum proijcitur: tùm
quia plures partes impetus ſunt producendæ in ſubjecto grauiore quod
pluribus partibus conſtat, tùm impetus innatus maior eſt, non quidem in
intenſione ſed in extenſione, ac proinde impedit ne plures gradus pro­
ducantur; quippe maius impedimentum plus impedit, quis hoc neget?
Theorema 63.
Omnes partes impetus productæ in mobili primo instanti concurrunt ad
motum ſecundi instantis; probatur, quia alioqui aliqua eſſet fruſtrà, quod
dici non debet.
Theorema 64.
Concurrunt omnes illæ, quæ inſunt eidem parti ſeu puncto mobilis communes
quaſi actione vel exigentia; patet ex dictis de impetu, quia concurrunt ad
velocitatem, quæ eſt indiuiſibilis actu.
Theorema 65.
Non ponitur tamen totus motus ſecundo instanti, quem exigunt primo;
quia impetus innatus aliquid detrahit, cum exigat motum deorſum per
lineam oppoſitam, igitur imminuitur motus pro rata.
Theorema 66.
Hinc ille gradus motus qui non ponitur ſecundo instanti respondet gradus
impetus qui destruitur; cum vterque habeat eandem menſuram, ſcilicet
impetum innatum.
1
Theorema 67.
Hinc effectus peteſt eſſe eo instanti quo non existit eius cauſa partialis; v.g.
motus qui ponitur ſecundo inſtanti non minùs exigitur ab eo gradu im­
petus qui deſtruitur ſecundò inſtanti, quàm ab aliis, non exigitur qui­
dem ſecundo ſed primo pro ſecundo; vnde dixi cauſam partialem, quia
etiam exigitur ab aliis gradibus impetus, qui non deſtruuntur exigentiâ
communi; quippe impetus non exigit niſi pro ſecundo inſtanti; nec vl­
lum abſurdum eſt eo inſtanti cauſam exigentiæ non exiſtere cum poni­
tur eius effectus, ſcilicet id quod exigebat priori inſtanti quo erat; nul­
lus eſt enim influxus huius cauſæ; præſertim cum non ſit cauſa
totalis.
Vnde cum effectus qui ponitur ſecundo inſtanti non reſpondeat per­
fectioni cauſæ totius propter impedimentum, aliquis gradus cauſæ eſſet
fruſtrà; igitur eodem inſtanti ſecundo deſtrui debet, alioqui niſi deſtrue­
retur ſingulis inſtantibus poneretur effectus non reſpondens perfectioni
cauſæ; immò numquam deſtrueretur totus motus violentus, vt conſtat;
itaque primo inſtanti omnes gradus impetus qui ſunt exigunt motum
pro ſecundo ne aliquis eo inſtanti ſit fruſtrà ſi non exigeret, & ſecundo
inſtanti aliquis gradus impetus deſtruitur, ne ſit fruſtrà eodem inſtanti
ſecundo, cum ſcilicet non ſint tot gradus motus, quot ſunt gradus impe­
tus; atque ita deinceps tertio inſtanti deſtruitur vnus gradus, vt iam ſu­
prà dictum eſt.
Theorema 68.
Ideo deſtruitur potiùs vnus gradus impetus quàm alius ſecundo inſtanti,
tertioque, &c. quia talis eſt perfectionis; hoc iam ſuprà explicatum eſt; quia
cum motus initio ſit velocior, inſtantia ſunt minora, igitur minùs im­
petus in ſingulis deſtruitur, pater ex dictis.
Theorema 69.
Ille gradus impetus qui deſtruitur ſecundo inſtanti non concurrit ad motum
tertij inſtantis; quia non poteſt concurrere ad motum niſi exigendo; at­
qui exigere tantùm poteſt, quando eſt; quod enim non eſt non exigit,
ſed motus tertij inſtantis exigitur ſecundo; ſic enim tota res motus pro­
cedit vt impetus primo inſtanti exigat motum pro ſecundo; & ſecundo
pro tertio; & tertio pro quarto, atque ita deinceps; igitur impetus ille
qui deſtruitur; ſecundo inſtanti non exigit motum pro tertio, & qui de­
ſtruitur tertio non exigit pro quarto, atque ita deinceps.
Theorema 70.
Hinc impetus innatus non concurrit ad motum violentum, vt dictum eſt,
ſed tantùm impedit, immediatè quidem, quia cum exigat motum deor­
sùm, facit vt non ſit tantus motus ſurſum; mediatè verò, quia cum non
ſit tantus motus ſursùm, quantus eſſet, haud dubiè non reſpondet adæ­
quatè cauſæ; igitur aliquid cauſæ fruſtrà eſt; igitur deſtrui debet; hinc
1deſtruitur etiam hic impetus per principium commune, ne aliquid ſit
fruſtrà.
Theorema 71.
Linea motus ſurſum determinatur à potentia motrice; probatur, quia hæc
determinat impetum productum in manu vel in organo; hic verò im­
petum, quem producit in mobili ſursùm projecto; patet, quia nulla eſt
alia cauſa applicata.
Theorema 72.
Tandem duo impetus violentus, ſcilicet, & innatus ad æqualitatem perue­
nirent, ſi vel vnus gradus violenti eſſet æqualis perfectionis cum innato; cum
enim detrahatur ſemper pars aliquota alicuius totius, tandem perueni­
tur ad vltimam; igitur ſint 100. gradus impetus violenti, quorum quili­
bet ſit æqualis impetui innato; certè cum temporibus æqualibus æqua­
lis gradus impetus deſtruatur; accipiatur illud tempus, in quo deſtrui­
tur vnus, haud dubiè 100. æqualibus temporibus deſtruentur omnes 100.
igitur 99. inſtantibus deſtruentur 99. gradus; igitur ſupereſt vnus; igitur
duo illi impetus perueniunt tandem ad æqualitatem.
Theorema 73.
Vbi vterque perueniſſet ad æqualitatem, non eſſet potior ratio cur mobile mo­
ueretur ſursùm quàm deorſum inſtanti ſequenti; probatur, quia tàm gra­
dus impetus innati exigit motum deorſum quàm gradus impetus vio­
lenti ſursùm; igitur neuter habebit motum per Th.133.l. 1.
Theorema 74.
Hinc ipſo inſtanti, quo eſſet æqualitas, eſſet adhuc motus; quia inſtanti
immediatè antecedenti erant duo gradus impetus violenti, & vnus in­
nati; igitur duo illi præualent pro inſtanti ſequenti, in quo eſt æqua­
litas.
Theorema 75.
Itaque quieſceret mobile ipſo ſtatim inſtanti, quod inſtanti æqualitatis ſuc­
cedit; patet, quia neuter impetus pro illo inſtanti præualere poſſet per
Th. 73.
Theorema 76.
Igitur inſtanti quietis nullus eſſet ampliùs impetus violentus; cum enim
ſingulis inſtantibus deſtruatur vnus gradus, v. g inſtanti illo, quod ſe­
quitur poſt inſtans æqualitatis, deſtruitur ille gradus, qui ſupereſt; nec
poteſt vel plùs, vel minùs deſtrui; pugnant enim pro rata; quod certè
cuiquam fortè paradoxor videbitur, ſcilicet nullum tune eſſe motum
propter pugnam, cum tamen nulla eſt amplius pugna.
Theorema 77.
Quies illa duraret tantùm vno inſtanti, probatur, quia cum inſtanti quie­
tis ſit tantùm impetus innatus per Th. 76. certè non impeditur quomi­
nus habeat motum pro inſtanti ſequenti, quem reuerà exigit; igitur pro
1inſtanti ſequenti moueritur; ſed pro alio antecedente mouebatur; igi­
tur quies illa durat tantùm vno inſtanti.
Theorema 78.
Quies illa non fit propter aliquam reflexionem, vt aliqui dicunt; quia nul­
la prorſus eſt reflexio, vbi nullum eſt reflectens; atqui nullum eſt refle­
ctens, vt patet, quia nullum eſt corpus impediens motus propagationem;
licèt enim medium impediat, non tamen per modum reflectentis pro­
priè; immo vt dicemus infrà in puncto reflexionis nulla datur quies; ſed
motus reflexus ſibi vendicat librum ſingularem.
Theorema 79.
Hinc ſiue præceſſerit motus violentus, ſiue non, corpus graue eodem vel æ­
quali motu deorſum cadit, quia nullus amplius remanet impetus violen­
tus in fine motus violenti, per Th.76. igitur ſolus impetus naturalis li­
bero motu deorsùm fertur.
Theorema 80.
Hinc reiicies aliquos apud Galileum, qui volunt ideo motum naturalem
accelerari, quia ſenſim deſtruitur impetus violentus antè impreſſus, quod pe­
nitus ridiculum eſt; quia lapis deciſus è rupe etiam motu naturaliter
accelerato deorſum cadit, licèt eò nunquam motu violento euectus
fuerit.
Obſeruabis hanc hypotheſim gradus impetus violenti æqualis perfe­
ctionis cum innato eſſe falſam. Primò, quia commodius eſt potentiæ
motrici producere imperfectiorem impetum, ſic enim plures illius gra­
dus producere poteſt. Secundò, quia in reflexo ſurſum vltimus gradus
qui deſtruitur eſt imperfectior innato, eſt enim acquiſitus; igitur in omni
alio motu ſursùm. Tertiò, quia violentus eſt cum innato in eadem ſubie­
cti parte; ſed idem ſubiectum formas homogeneas non patitur, de quò
aliàs, hinc dicendum ſupereſt non quieſcere mobile in fine motus
Theorema 81.
Corpus quod non grauitat proiicitur ſurſum motu æquabili per ſe; patet, quia
nihil eſt quod deſtruat ipſum impetum; igitur ſemper moueretur, niſi
per accidens ab ipſo medio eius motus retardaretur; vnde dixi per ſe,
cum ratione medij retardetur; immò quò leuius eſt, faciliùs à medio re­
tinetur, vide Th.61.
Theorema 82.
Non creſcit impetus naturalis in motu violento ſurſum; probatur primò,
quia impetus naturalis aduentitius ſupponit motum deorſum, ad cuius
intenſionem à natura fuit inſtitutus per reſp. ad quartam obiect. in diſ­
ſert.l.2. adde quod tardiùs aſcenderet, quàm deſcenderet; deinde velo­
ciùs deſcenderet poſtmotum violentum corpus graue, quàm ſi nullo mo­
tu violento præuio demitteretur deorſum, quæ omnia experimentis
1etiam vulgaribus repugnant; immò & cunctis ferè præmiſſis Theorematis.
Theorema 83.
Motus violentus non tendit ad quietem per omnes tarditatis gradus, vt
paſſim aſſerit Galileus; Primò, quia non ſunt infinita inſtantia, ſed retarda­
tur tantùm ſingulis inſtantibus; Secundò in medio denſiore minùs du­
rat; igitur non tranſit per tot gradus tarditatis; præterea in plano incli­
nato ſurſum în minore proportione retardatur motus, quod etiam in
plano horizontali certiſſimum eſt; quorum omnium rationes ſuo loco
videbimus.
Nec eſt quod aliqui dicant infinito tribui non poſſe hæc prædicata
æqualitatis vel inæqualitatis, quod falſum eſt, loquamur de infinito actu;
ſi enim eſſet numerus infinitus hominum, nunquid verum eſſet dicere
numerum oculorum eſſe maiorem numero hominum; nec eſt quod ali­
qui confugiant ad diſiunctiones; nos rem iſtam ſuo loco fusè tractabi­
mus & demonſtrabimus, ni fallor, cum Ariſtotele, fieri non pòſſe vt ſit
aliquod creatum infinitum actu; licèt vltrò concedamus plura eſſe infi­
nita potentiâ; & verò certum eſt infinito potentiâ non ineſſe huiuſmodi
prædicata æqualitatis, vel inæqualitatis.
Theorema 84.
Immò ſi tranſiret mobile ſursùm proiectum per omnes tarditatis gradus,
nunquam profectò deſcenderat; quia cum ſingulis inſtantibus ſinguli gra­
dus reſpondeant, & duo inſtantia ſimul eſſe non poſſint; nunquam certè
verum eſſet dicere fluxiſſe infinita; igitur nec mobile per infinitos tar­
ditatis gradus ad quietem perueniſſe; hoc Theorema ſupponit eſſe tan­
tùm finita inſtantia.
Theorema 85.
Reſiſtentia aëris est maior initio, quàm in fine motus violenti, vt conſtat ex
dictis, quia initio motus eſt velocior, igitur plures partes aëris æquali
tempore reſiſtunt; in fine verò è contrario.
Theorema 86.
Hinc oppoſita eſt omninò ratio reſistentia, quæ ſequitur ex motu violento illi,
quæ cum naturali eſt coniuncta, hæc enim initio minor, in fine maior, illa
verò initio maior, & in fine minor; hinc prima creſcit cam ſuo motu,
ſecunda cum ſuo decreſcit.
Theorema 87.
Decreſcit igitur impetus eadem proportione, qua decreſcit reſiſtentia; vt pa­
tet ex dictis; igitur in toto motu eadem eſt reſiſtentiæ proportio.
Theorema 88.
Variæ ſunt potentiæ motrices, à quibus mobile ſurſum proiici potest motu
violento, v.g. potentia motrix animantium, potentia motrix grauium mo­
bili ſcilicet ſurſum repercuſſo; potentia motrix, quæ ſequitur ex com­
preſſione & rarefactione corporum, ſed de his omnibus aliàs.
1
Scholium.
Obſeruabis primò ſi aliquando accidat, vt aliqui volunt ictum, qui
ſtatim initio motus violenti infligitur, non eſſe maximum, ſed minorem
eo, qui poſt aliquod confectum ſpatium infligitur; quod probant in pila
ex fiſtula ænea ſurſum emiſſa, quæ maiorem ictum infligit in data diſtantia,
quod ſanè ſi verum eſt, hæc vnica eſt, ſeu ratio, ſeu cauſa, quòd ſcilicet ſur­
ſum pila pellatur ab igne, qui ab ore fiſtulæ erumpens per aliquod ſpa­
tium à tergo vrget; igni enim innatum eſt ſurſum euolare.
Obſeruabis ſecundò, vix poſſe manu mobile ſurſum rectà proiici, quia
ſcilicet manus extremitas motu mixto mouetur ex duobus vel pluribus
circularibus, de quo infrà.
Obſerua tertiò, non tantùm propter grauitationem conſeruari impe­
tum naturalem innatum, ſed etiam vt motui violento reſiſtat; at verò
non reſiſteret, niſi grauitaret.
Obſerua quartò, reciprocas rationes motus naturalis & violenti; in
quibus mirabile prorſus fuit naturæ inſtitutum, cum idem in vtroque il­
larum ſit principium.
Obſerua quintò, finem motus violenti eſſe multiplicem, nullum ta­
men à natura inſtitutum; quippe potentia motrix, quæ agit ex appetitu
elicito, (vt vulgò aiunt,) ſeu cum cognitione, finem ſibi proponit ad libi­
tùm; illa verò quæ vi compreſſionis excitatur per accidens ſurſum agit
mobile potiùs, quàm per aliam lineam; repercuſſa ſursùm videntur eſſe
magis iuxta inſtitutum naturæ.
19[Figure 19]
1 20[Figure 20]
LIBER QVARTVS,
DE MOTV MIXTO EX
duobus, vel pluribus rectis.
MOTVM mixtum eum eſſe non dico, qui
ex pluribus aliis motibus componatur;
ſeu miſceatur; nec enim plures motus
ſimul eſſe poſſunt in eodem mobili; cùm
tantùm eſſe poſſit vno dumtaxat inſtan­
ti vnica migratio ex loco in locum; nec plura loca
naturali virtute ſimul acquiri poſſunt; Igitur nec ſi­
mul eſſe duo motus; Itaque motus mixtus ſimplex
eſt, ſi conſideretur ratio, & linea motus; mixtus verò
dicitur, quod ex pluribus reſultet, qui reuerâ non
ſunt, ſed cùm eſſe poſſint, quaſi confluunt in tertium
motum communi ſumptu quaſi de vtroque partici­
pantem, quod totum fit propter diuerſos impetus,
vel eundem ad diuerſas lineas determinatum, vt fusè
explicabimus infrà: Porrò in hoc Libro explicamus
tantùm motum mixtum, qui reſultat ex pluribus re­
ctis, vt titulus ipſe præfert.
DEFINITIO 1.
MOtus mixtus eſt, qui ſequitur ex multiplici impetu ad eandem, vel di­
uerſas lineas determinato, vel eodem ad diuerſas; hæc definitio cla­
ra eſt; obſeruabis tantùm ad motum mixtum ſufficere duplicem impe-
1tum ad eandem lineam determinatam, deorſum, v.g. in mobili proiecto;
nec enim eſt motus purè naturalis, nec etiam violentus, vt conſtat; igi­
tur mixtus.
Hypotheſis 1.
Cum proiicitur corpus per lineam horizontalem, vel inclinatum ſurſum,
vel deorſum mobile percurrit lineam curuam; quod etiam pueri ſciunt, qui
diſco ludunt.
Hypotheſis 2.
Globus etiam plumbeus è ſummo malo malo mobilis nauis demiſſus per
lineam perpendicularem deorſum minimè cadit, ſed per curuam inclinatam:
hæc hypotheſis mille ſaltem nititur experimentis; modò ſufficiat quod
ſit; nam propter quid ſit, demonſtrabo.
Hypotheſis 3.
Proiectum per horizontalem ſub finem motus minùs ferit quàm initio, imò
& proiectum per inclinatam deorſum; hæc hypotheſis centies probata fuit;
nec in dubium reuocari poteſt.
Axioma 1.
Omnis impetus qui mobili ineſt dum ipſum mouetur, præſtat aliquid ad mo­
tum; vel enim retardat, vt impetus innatus retardat violentum, vt ſuprà
diximus; vel ad motum vnà cum alio, vel ſolus concurrit. Ax.2.
Axioma 2.
Ille impetus qui alium retardat, haud dubiè retardat tantùm pro rata;
hoc etiam ſuprà demonſtrauimus, & qui deſtruitur, deſtruitur quoque
pro rata, ne ſit fruſtrà qui deſtruitur.
Axioma 3.
Ille impetus qui cum alio ad eundem motum concurrit, concurrit etiam pro
rata; hoc etiam ſuprà demonſtratum eſt, eſt enim cauſa neceſſaria, igitur
quantum poteſt concurrit, igitur pro rata ſuæ virtutis.
Axioma 4.
Licèt ſint plures impetus in eodem mobili, non ſunt tamen plures ſimul li­
neæ motus; ne mobile ſit ſimul in pluribus locis.
Poſtulatum 1.
Liceat aſſumere quamlibet coniugationem motuum, v. g. vel duorum æ­
quabilium, vel alterius æquabilis, & alterius retardati, vel alterius æqua­
bilis, & alterius accelerati, vel alterius retardati, & alterius accelera­
ti, &c.
Poſtulatum 2.
Illa linea vocetur curua quæ conſtat infinitis prope lateribus polygoni.
Theorema 1.
Motus mixtus ex duobus æquabilibus æqualibus eſt rectus; ſit enim mo-
1bile in A, ſitque impetus per AB, & alter æqualis per AD, motus mixtus
fiet per AE, aſſumpta ſcilicet DE æquali, & parallela AB, quod probatur
per Th.137.l.1.
Theorema 2.
Linea AE eſt diagonalis quadrati, quotieſcumque vterque impetus eſt æ­
qualis, & lineæ determinationum decuſſantur ad angulos rectos; probatur per
idem Th.137.
Theorema 3.
Hinc deſtruitur aliquid impetus; alioquin motus eſſet duplus cuiuſli­
bet ſeorſim ſumpti, quod falſum eſt; nam motus ſunt vt lineæ ſed diago­
nalis quadrati non eſt dupla lateris; hoc etiam probatur per Th. 141.
& 142.l.1.
Theorema 4.
Motus mixtus ex duobus æquabilibus inæqualibus est etiam rectus; ſit
enim mobile in A eadem figura ſitque impetus per AC, & alter ſubdu­
plus prioris per AD, motus fiet per AF ducta DF æquali, & parallela AC,
quod probatur per Th.137.l.1.
Theorema 5.
Linea AF eſt diagonalis rectanguli, quotieſcunque lineæ determinationum
decuſſantur ad angulos rectos; probatur per idem Th.137.
Theorema 6.
Hinc deſtruitur aliquid impetus per Th.141. & 142.l.1. idque pro rata
ne aliquid ſit fruſtrà per Ax.2. & ſæpè iam probatum eſt.
Theorema 7.
Hinc determinari poteſt portio vtriuſque impetus destructi, v.g. ſi ſint æ­
quales, portio detracta vtrique æqualibus temporibus eſt differentia
diagonalis & compoſitæ ex DA, AB, quod clarum eſt; ſi vero impetus
ſint inæquales, portio deſtructa erit ſemper differentia diagonalis, v.g.
AF & compoſitæ ex AC.AD.
Theorema 8.
Aliquando impetus qui remanet in motu mixto est rationalis; id eſt habet
proportionem ad vtrumque, quæ appellari poteſt, aliquando ad neutrum,
aliquando ad alterutrum; ad vtrumque v.g. ſi alter impetuum ſit 8.alter 6.
haud dubiè linea motus mixti erit 10. ad neutrum vt in diagonali qua­
drati, & in multis aliis; ad alterum denique v. g. ſi alter ſit ſubduplus la­
teris æquilateri; alter verò eiuſdem perpendicularis; nam diagonalis, ſeu
linea motus mixti erit latus ipſum æquilateri.
Theorema 9.
Si lineæ determinationum decuſſentur ad angulum obtuſum, ſintque æqua­
les impetus, linea motus mixti erit diagonalis Rhombi; vt patet per Th.140.
l.1. poteſt autem hæc diagonalis eſſe vel æqualis alteri laterum, vel ma-
1ior, vel minor; eſt æqualis, quando angulus maior Rhombi eſt 120. eſt
minor cùm angulus minor eſt 60. denique eſt maior, cùm maior angu­
lus eſt minor 120, quæ omnia conſtant ex Geometria.
Theorema 10.
Si lineæ determinationum decuſſentur ad angulum acutum, & ſint æqua­
les impetus, linea motus mixti erit diagonalis Rhombi; quæ certè eò longior
erit, quò angulus erit acutior per Th. 139. l.1. porrò eſt ſemper maior
lateribus ſeorſim ſumptis.
Scholium.
Obſerua in Rhombo eſſe duas diagonales inæquales, vt conſtat; igi­
tur cùm lineæ determinationum decuſſantur ad angulum obtuſum, linea
motus mixti ſemper eſt diagonalis minor; cùm verò decuſſantur ad an­
gulum acutum, ſemper eſt diagonalis maior.
Corollarium 1.
Hinc quò acutior eſt angulus diagonalis accedit propiùs ad duplum
lateris, donec tandem vtraque linea coëat; tunc enim linea motus eſt du­
pla lateris.
Corollarium 2.
Hinc quoque quò angulus eſt obtuſior diagonalis accedit propiùs ad
nullam, vt ſic loquar, donec tandem vtraque linea concurrat in rectam,
tunc enim nulla eſt diagonalis; igitur nulla linea motus.
Theorema 11.
Cum alter impetuum eſt maior, linea motus eſt diagonalis Rhomboidis, mi­
nor quidem ſi lineæ decuſſentur ad angulum obtuſum; maior verò ſi decuſſen­
tur ad angulum acutum; vt patet ex dictis.
Theorema 12.
Cum alter impetus in motu mixto est maior, linea motus mixti accedit
proprius ad lineam maioris; hoc est facit angulum acutiorem cum illa; v.g. in
eadem figura ſit linea impetus maioris AC, & minoris AD, linea motus
mixti eſt diagonalis AF, quæ accedit propiùs ad AC, quàm ad AD, id eſt
facit angulum acutiorem cum AC, vt patet ex dictis.
Theorema 13.
Cum verò impetus ſunt æquales, linea motus mixti facit angulum æqualem
cum linea vtriuſque; vt AE in eadem figura quod etiam dici debet, licèt
lineæ determinationum decuſſentur ad angulum obtuſum vel acutum,
vt AC, EG. IM.
Theorema 14.
Non creſcit, vel decreſcit in eadem ratione, in quæ vnus impetus ſuperat
alium; cum enim impetus ſint vt lineæ, ſub quibus fiunt rectangula vel
Rhomboides; v.g. impetus AC eſt duplus impetus AD, ſed angulus D
AF non eſt duplus anguli FAC, vt conſtat ex Geometria.
1
Scolium.
Obſeruabis dari de facto hunc motum mixtum ex duobus æquabilibus
in rerum natura; talis eſt motus nauis, quam geminus ventus impellit in
mari, vel nubis, imò aëris pars in medio aëre, atque adeo ipſius venti,
ſunt enim hi motus æquabiles per ſe; quippe retardantur ſolummodo
propter reſiſtentiam medij, non verò propter vllam grauitationem.
Theorema 15.
Motus mixtus ex duobus retardatis eſt rectus; ſit enim duplex impetus
per AE & AH æqualis; ita vt in dato tempore percurrat ſeorſim AE mo­
tu retardato; item AH iuxta proportionem Galilei; certè eo tempore quo
percurreret AD in AE, & AI in AH percurrit AG motu mîxto per Th.
5. Similiter eo tempore quo percurreret AE ſeorſim, & AH, percurrit
AF per Th.5. Igitur hic motus mixtus eſt rectus, dum ſit vterque retar­
datus iuxta eandem progreſſionem; ſimiliter ſi alter impetus impetus
ſit inæqualis, vt patet in ſequenti figura, ſit enim impetus per AE, &
alter minor per AH, certè ex AD, AI fit AG, & ex AE, AH fit AF, quam
rectam eſſe conſtat ex Geometria; nec vlla eſt difficultas, quæ ex ſupe­
rioribus Theorematis facilè ſolui non poſſit.
Corollarium. 1.
Hinc linea motus mixti ex duobus retardatis ſiue æqualibus, ſiue
inæqualibus eſt diagonalis parallelogrammatis ſub lineis determina­
tionum.
Scholium.
Obſeruabis dari de facto hunc motum in rerum natura, ſi v. g. in pla­
no horizontali idem globus, vel ſimul gemino ictu impellatur, vel ſi iam
impulſum mobile per nouam lineam impellatur.
Theorema 16.
Motus mixtus ex duobus acceleratis uniformiter eſt etiam rectus; Proba­
tur, quia debet tantùm inuerti linea prioris ſcilicet mixti ex duobus re­
tardatis; ſi enim à puncto F pellatur per FE, FH, motu accelerato, ita
primo, tempori reſpondeat FM, FN, ſecundo NH, ME; haud dubiè li­
nea motus mixti erit FA; nam primò tempori reſpondebit FG, & duo­
bus FA, vt conſtat ex dictis, ſiue vterque impetus ſit æqualis, ſiue alter
maior altero.
Corollarium 1.
Hinc etiam linea motus mixti ex duobus acceleratis eſt diagonalis,
vt iam ſuprà dictum eſt de omnibus aliis.
Scholium.
Obſeruabis hunc motum dari in rerum natura ſaltem in corporibus
ſublunaribus; nec enim eſt acceleratus niſi ſit motus naturalis, qui à
duplici impetu eſſe non poteſt.
1
Theorema 17.
Si motus mixtus conſtet ex æquabili, & accelerato naturaliter ſit per li­
neam curuam; ſit enim impetus per AF motu æquabili, & per AC motu
accelerato naturaliter, ita vt eo tempore quo percurritur ſeorſim ſpa­
tium AB percurratur AD triplum; certè ex vtroque primo tempore re­
ſultat linea motus mixti AE, ſecundo tempore EG, ſed AEG non eſt
recta; alioquin duo triangula ABE, ACG eſſent proportionalia, quod
eſt abſurdum.
Theorema 18.
Hæc linea eſt Parabola; quod ipſe Galileus toties inſinuauit, & quiuis
etiam rudior Geometra intelliget; in quo diutiùs non hæreo, præſertim
cùm nullus ſit motus, qui conſtet ex æquabili, & naturaliter accelerato,
vt demonſtrabimus infrà.
Theorema 19.
Si motus mixtus conſtet ex æquabili & naturaliter retardato, fit per lineam
curuam; ſi enim eo tempore quo per NE ſurſum proiicitur corpus graue
& conſequenter motu naturaliter retardato impellatur per NI motu
æquabili, diuidatur NI in 4. partes æquales v.g. ductis parallelis RD,
NE, PC, &c. aſſumatur NS vel RM, cui affigatur quilibet numerus impar;
putà 7. itaque RM ſint 7. ducatur HM parallelæ IN, aſſumatur QL 5.
ducatur GL parallela, accipiatur VK 3. ducatur FK: denique aſſumatur
FAI ducaturque AE parallela IN, & deſcribatur per puncta AKLMN,
linea curua; hæc eſt Parabola, vt conſtat ex Geometria; nam ſi BK eſt 1.
CL erit 4. DM 9. EV 16. ſed æquales ſunt AF.AG.AH.AI. prioribus vt
patet; igitur ſagittæ ſunt vt quadrata applicatarum; igitur hæc eſt Parabola;
igitur curua, atqui motus mixtus prædictus fieret per hanc lineam, nam
eo tempore quo mobile eſſet in S, erit in M, concurrit enim vterque im­
petus pro rata, & eo tempore, quo eſſet in K erit in L, atque ita
deinceps.
Scholium.
Obſeruabis eſſe prorſus inuerſam prioris, quæ ſit ex motu æquabili, &
naturaliter accelerato; ſi enim per AE ſit æquabilis & æqualis priori
per NI, & per AI ſit acceleratus, ſi quo tempore peruenit in B motu æ­
quabili perueniat in F motu accelerato; haud dubiè perueniet in K, mox
in L, &c. quia eadem proportione, ſed inuerſa quâ retardatur,
acceleratur; igitur ſi vltimo tempore retardati acquirit tantùm
YE; primo tempore æquali ſcilicet accelerati acquiret AF, atque ita
deinceps ſi per NE ſit retardatus, & per NI æquabilis linea motus mixti
erit NLA; ſi verò ſit per AI acceleratus, & per AE æquabilis æqualis
priori per NI, lineamosus mixti erit ALN eadem ſcilicet cum priori
mutatis tantùm terminis à quo, & ad quem; vtrùm verò in rerum natu­
ra ſit huiuſmodi motus videbimus infrà.
1
Theorema 20.
Si conſtet ex retardato & accelerato, vt fit in perpendiculari ſurſum, &
deorſum motus mixtus, linea per quam fit eſt curua, ſit enim retardatus
per AD, ſit acceleratus per AG, aſſumatur AB cum numero impari, putà
5.BC.3. CD.1. accipiatur AE.1. EF.3. ducantur parallelæ BK. CL. DI.
& aliæ EM. FH. GI. & per puncta AM. HI. ducatur linea curua, hæc eſt
linea motus mixti ex retardato & accelerato; hæc porrò non eſt Parabo­
la, vt conſtat, quia quadratum AE non eſt ad ad quadratum AF, vt qua­
dratum AB, vel EM ad quadratum FH, vel AC.
Scholium.
Obſeruabis in fine huius motus amplitudinem, ſeu ſinum rectum li­
neæ ſcilicet GI, eſſe æqualem altitudini ſeu ſinui verſo, vel ſagittæ AG;
cùm enim motus naturaliter acceleratus in eadem proportione creſcat,
quod hic ſuppono, in qua retardatus decreſcit; certè AG quæ eſt linea
accelerati eſt æqualis GI, quæ eſt linea retardati: non tamen dicendum
eſt lineam AI eſſe circulum, alioquin GH eſſet æqualis GI, ſed GH eſt, v.
g. 89. cum GI ſit radix quadr.81. eſt enim 9. licèt GM ſit æqualis GH.
ſed de his lineis infrà. Vtrùm verò ſit aliquis motus huiuſmodi, videbi­
mus in ſequentibus Theorematis.
Theorema 21.
Quando corpus proiicitur per horizontalem in aëre libero, mouetur motu
mixto; probatur, quia ſunt duo impetus in eo corpore, ſcilicet innatus
deorſum, & impreſſus per horizontalem, vt patet; igitur vterque aliquid
præſtat ad illum motum per Ax. 1. igitur eſt motus mixtus per def. 1.
Theorema 22.
Ille motus non eſt mixtus ex vtroque æquabili. Demonſtro; motus mixtus
ex vtroque æquabili eſt rectus per Th.1.& 4. ſed hic motus proiecti per
horizontalem non eſt rectus per hyp.1.
Theorema 23.
Ille motus non eſt mixtus ex naturali æquabili & alio accelerato; patet,
quia nulla eſt cauſa, à qua violentus poſſit accelerari.
Theorema 24.
Non est mixtus ex naturali æquabili & violento retardato; Primò, quia
cùm pro tata concurrant poſt integrum quadrantem vix ſpatium vnius
palmi confeciſſet in perpendiculari deorſum per Th.59.l.2.quod tamen
eſt contra experientiam.Secundò, quia ad aliquod tandem punctum per­
ueniretur, in quo mobile haberet tantùm impetum innatun; igitur nul­
lus eſſet ictus contra experientiam. Tertiò, quia naturalis impetus in­
tenditur in plano inclinato; igitur in motu per inclinatam, eſt enim
motus deorſum; igitur intenditur impetus naturalis, vt patet ex lib. 2.
igitur non eſt mixtus.
1
Theorema 25.
Motus ille non eſt mixtus ex naturali retardator & violento æquabili, vel
accelerato; quia numquam deſtruitur impetus innatus, vt ſæpiùs dictum
eſt ſuprà, tùm primo, tùm ſecundo libro, nec in hoc eſt vlla diffi­
cultas.
Theorema 26.
Non est mixtus ex naturali accelerato & violento æquabili; demonſtra­
tur, primò, quia ſub finem motus eſſet maior impetus; quippè nihil de­
traheretur violento, ſed multùm accederet naturali; igitur eſſet maior,
igitur eſſet maior ictus contra hyp. 3. ſecundò, quotieſcunque ſunt duo
impetus in eodem mobili ad diuerſas lineas determinati, aliquid illo­
rum deſtruitur per Th.141.l.1.tertiò ſi eſſet vterque æquabilis, aliquid
deſtrueretur per Theorema 6. igitur potiori iure, ſi impetus naturalis
creſcat.
Diceret fortè aliquis impetum deſtrui ab aëre, ſed iam ſuprà reſpon­
ſum eſt modicum inde imminui; nec enim vnquam aër in corpore graui
deſtruit tantùm impetus, quantùm producitur naturalis ſi ſit acceleratus;
alioquin motus deorſum non creſceret contra experientiam, & ſuprà in
toto ferè 2.lib. demonſtrauimus.
Theorema 27.
Hinc linea huius motus non eſt Parabola; quia vt ſit Parabola, debet ille
motus conſtare vel ex naturali æquabili, & violento retardato per Th.
19. vel ex naturali accelerato & violento æquabili per Th. 18. ſed hic
motus neuter eſt, non primum per Th. 25. non ſecundum per Theo­
rema 26.
Theorema 28.
Hinc reiicies Galileum, qui in dialogis hæc ſemper ſuppoſuit, ſed nun­
quam probauit, nec probare vnquam potuit; hoc etiam ſupponunt
multi Galilei ſectatores, qui cenſent impetum nunquam deſtrui niſi à
reſiſtentia medij; ſed quæro ab illis quodnam medium deſtruat partem
impetus in motu mixto; nec enim linea motus mixti adæquat duas alias
ex quibus quaſi reſultat; certè hoc non poteſt explicari cum infinitis fetè
aliis, niſi dicatur impetum deſtrui ab alio impetu, eo modo quo ſæpè
diximus, hoc eſt ne ſit fruſtrà; igitur impetus violentus deſtruitur ab in­
nato, non tamen innatus à violento, vt ſæpiùs inculcauimus.
Theorema 29.
Non eſt mixtus ex naturali accelerato eo modo quo acceleratur deorſum per
lineam perpendicularem & ex violento retardato: Probatur, ſi ita eſt, tantùm
additur naturali, quantum detrahitur violento, imò plùs; igitur ſemper
eſt in eo mobili æqualis vel maior impetus; igitur æqualis eſt ſemper,
vel maior ictus contra hyp. 3. adde quod non minùs impeditur ab im­
petu violento naturalis motus, quàm ab inclinato plano; ſed in plano
1inclinato non acceleratur motus cum eadem acceſſione, qua ſcilicet in­
tenditur in perpendiculari deorsùm; nec enim tam citò deſcendit mobi­
le, quod certum eſt, & in lib.de planis inclinatis demonſtrabo, cum tan­
tùm hîc ſupponam ad inſtar phyſicæ hypotheſeos; adde quod idem mo­
bile proiectum per horizontalem in data diſtantia minùs ferit, quàm pro­
iectum per inclinatam deorſum.
Theorema 30.
Itaque motus prædictus mixtus est ex violento retardato & naturali acce­
lerato, non eo quidem modo quo acceleratur in perpendiculari, ſed eo quo acce­
leratur in plano inclinato, quod hic ſingulis inſtantibus mutatur; probatur pri­
mo, quia inductione facta non conſtat ex omnibus aliis; ſunt enim tantùm
9 combinationes, quia ſunt tres differentiæ, ſcilicet æquabilibus, retarda­
tio, acceleratio; igitur ſi 3.ducantur in 3. ſunt 9. ſunt autem prima ex na­
turali, quem deinceps voco primum, æquabili & violento (quem voca­
bo ſecundum) æquabili, ſecunda ex prima æquabili & ſecundo accelera­
to, tertia ex primo æquabili & ſecundo retardato, quarta ex primo acce­
lerato & ſecundo æquabili, quinta ex primo accelerato & ſecundo acce­
lerato, ſexta ex primo accelerato & ſecundo retardato, ſeptima ex primo
retardato & ſecundo æquabili, octaua ex primo retardato & ſecundo ac­
celerato, nona ex primo retardato, & ſecundo retardato: non eſt prima
per Th.22. non ſecunda per Th. 21. non tertia per Th. 24. non quarta,
per Th.26. non quinta per T.2h.23. non ſexta per Th.29. eo modo quo
diximus, non ſeptima per Th. 25. non octaua per Th. 25. non denique
nona per Th.25. igitur debet eſſe alius motus, ſed alius excogitari non
poteſt præter illum quem adduxi. Probatur ſecundò, quia non minùs
impeditur ab impetu violento impetus naturalis acquiſitus quàm à pla­
no inclinato vt iam dictum eſt; igitur acceleratur quidem ſed minùs; nec
enim vterque eſt æquabilis, nam linea eſſet recta per Th.4. & naturalis
creſcit quia deſcendit deorſum; præterea per Th.24. non poteſt impetus
naturalis eſſe æquabilis, igitur non poteſt violentus eſſe vel æquabilis,
vel acceleratus, igitur retardatus.
Theorema 31.
Motus naturalis acceleratus ex quo hic motus conſtat acceleratur in alia
proportione quàm fit ea, in qua acceleratur, dum per idem planum inclina­
tum deſcendit; probatur, quia ſingulis inſtantibus mutatur inclinatio pla­
ni ſeu lineæ; igitur ſingulis inſtantibus mutatur proportio accelera­
tionis.
Theorema 32.
Hinc perpetuò creſcit proportio accelerationis, quia ſemper creſcit inclina­
tio plani, vt patet, cùm enîm ſit linea curua per hyp. 1. quo magis incur­
uatur, accedit propiùs ad perpendicularem, igitur motus magis accele­
ratur.
1
Theorema 33.
Hinc ratio hypotheſeos primæ, cùm enim conſtet hic motus ex accelera­
to & retardato, eius linea eſt curua per Th.20. non tamen eſt Parabola,
vt conſtat ex eodem Th.20. Vnde reiicies Galileum, qui vult lineam mo­
tus proiecti per horizontalem in aëre libero eſſe Parabolam.
Theorema 34.
In hoc motu retardatur in maiori proportione violentus quàm acceleretur
natur alis; probatur, non in minore, quia plùs impetus adderetur quàm de­
traheretur; igitur maior eſſet in fine motus quàm initio, igitur maior
ictus contra hyp.;. non in æquali, quia ſemper eſſet æqualis ictus con­
tra hyp.3.& contra Th.29.
Theorema 35.
Hinc plùs detrahitur impetus quàm addatur, quia ſcilicet detrahitur
pro rata, vt dicemus infrà; at verò cùm acceleretur tantùm naturalis
iuxta rationem motus, & motus ſit iuxta rationem plani, minùs accele­
ratur quàm ſi caderet mobile perpendiculariter deorſum.
Theorema 36.
Hinc ratio clara cur ſit minor ictus in ſine huius motus; quia ſcilicet eſt
minùs impetus, quia plùs detractum eſt quàm additum; nec eſt quod
tribuant hanc retardationem medio; quippe aër non plùs reſiſtit motui
violento quàm naturali; ſed id quod detrahitur ab aëre corpori graui, v.
g. pilæ plumbeæ eſt inſenſibile, vt fatentur omnes; igitur idem dicen­
dum eſt de motu violento & mixto, hinc hoc ipſum etiam fieret in vacuo.
Theorema 37.
Impetus naturalis concurrit ad hunc motum; probatur, quia alioquin
eſſet rectus contra hyp. 3. prætereà poteſt concurrere; nec enim ſunt li­
neæ determinationum oppoſitæ; igitur concurrit per Th.137.l.1.
Theorema 38.
Si impetus naturalis non concurreret ad hunc motum, proiectum moueretur
per lineam horizontalem rectam, vt conſtat, motu æquabili; poſito quod non
retardaretur in horizontali, eodem modo moueretur quo in verticali
ſurſum, quæ omnia conſtant ex dictis ſuprà.
Theorema 39.
Patest vtrimque deſcribi linea curua huius motus; ſit enim mobile pro­
jectum ex E per horizontalem EI eam ſcilicet velocitate, quam acquiſiuiſ­
ſet motu naturaliter accelerato deſcendendo ex A in E; ſitque AB ſpa­
tium acquiſitum primo inſtanti deſcenſus; BC duplum, CD triplum, &c.
iuxta progreſſionem arithmeticam, ſit EI æqualis EA, diuidatur que eo­
dem modo in 4. ſpatia vt diuiſa eſt EA; aſſumpta EO æqualis AB, ducan­
tur FN. GM. HL. IK. parallelæ EV; aſſumatur OP æqualis OE, & PQ,
quæ ſit ad OE, vt OE ad hypothenuſim ſeu planum inclinatum EN, aſ-
1ſinuatur QR æqualis OE, tum RS quæ ſit ad OE vt OQ ad planum incli­
natum NM; denique aſſumatur ST æqualis OE, tum TV, quæ ſit ad OF,
vt QS ad inclinatam ML; ducantur ON. QM. SL. VK. parallelæ EI,
tùm per puncta E.N.M.L.X ducatur curua, hæc eſt linea prædicti motus,
demonſtratur.
Impetus violentus percurrit EF eo tempore, quo naturalis percurrit
EO; igitur linea motus mixti ex vtroque ducitur per punctum N, & licèt
videatur eſſe recta EN, ſcilicet diagonalis rectanguli OF, eſt tamen cur­
ua, quia mobile non percurrit EF vno inſtanti; igitur nec EO, igitur
motu æqualiter accelerato percurrit EO; igitur EN non eſt recta per
Th.20. Præterea.Secundo tempore impetus innatus remanet; igitur per­
curratur OP cui addit ut PQ, quia impetus naturalis minùs creſcit, vt di­
ctum eſt in Th.34. quippe creſcit iuxta rationem plani inclinati EN.ad
EO permutando, quæ ſit v.g. ſubquadrupla; igitur PQ eſt ſubquadrupla
EO; & cùm deſtrui ſupponatur vnus gradus violenti, v.g. ſuperſunt tan­
tùm 3. quibus percurritur FG; igitur linea huius motus duci debet per
punctum M, idem dico de punctis L & K, igitur hæc eſt linea motus
mixti, quàm ſcilicet corpus graue proiectum per horizontalem ſuo fluxu
deſcribit, & cuius alias proprietates demonſtrabimus.
Theorema 40.
Hinc impetus naturalis in motu mixto creſcit ſemper in maiori proportione
v.g. Oq.eſt maior EO, & QS maior OQ atque ita deinceps.
Theorema 41.
Impetus violentus hîc ſupponitur decreſcere ſemper in eadem proportione;
v.g. FG eſt minor EF vno ſpatio, GH minor EF vno ſpatio; HI minor
GH vno ſpatio, quæ omnia conſtant. Vtrùm verò id fiat, dicemus infrà,
& exempli gratia tantùm dictum eſſe volo.
Theorema 42.
Hinc quò maior eſt impetus violentus in hoc motu, amplitudo huius linea
eſt maior v.g. VK, quæ ſemper maior eſt altitudine VE, vt enim eſſet æ­
qualis, impetus naturalis deberet creſcere in eadem proportione, in qua
decreſcit violentus, vt dictum eſt ſuprà.
Theorema 43.
Determinari poſſet hæc amplitudo, ſi decreſcat violentus in EI, vt decre­
ſcit in verticali EA; nam EI & EA ſunt æquales, ſed EI & VK ſunt æqua­
les, AE verò eſt linea, vel quam conficit mobile proiectum ſurſum cum
eodem, vel æquali impetu alteri quo proiicitur per horizontalem; ſeu
eſt linea quam percurrit corpus graue deorſum, dum acquirit æqualem
impetum alteri impreſſo eidem mobili per horizontalem EI.
Theorema 44.
Hinc non poteſt proijci in libero medio mobile graue per rectam horizonta­
lem; quippe moueri non poteſt niſi motu mixto ex naturali accelerato
1eo modo quo diximus, & violento retardato; igitur linea eſt curua; dixi
in medio libero, cùm in plano duro horizontali per lineam rectam pro­
iici poſſit.
Theorema 45.
Hinc funis tenſus, cuius ſcilicet vtraque extremitas immobiliter affixa eſt,
nunquam eſt rectus, ſed inflectitur; ratio eſt, quia haud dubiè grauitat, igi­
tur incuruatur; vtrùm verò faciat Parabolam hæc linea curua, vt vult
Galileus, examinabimus in libro de lineis motus.
Scholium.
Obſeruabis funem tenſum ſemper incuruari, niſi fortè ex maxima tra­
ctione ſuam flexibilitatem amittat, cuius ope tantùm curuatur, imò ita
tendi poteſt, vt tenſioni cedens frangatur: Equidem poſito quod vel in­
flecti poſſit, vel reduci, neceſſariò inflectetur in medio, vt benè demon­
ſtrat Galileus in dialogis, noſque infrà ad potentiam vectis reducemus,
ne multiplicemus figuras.
Theorema 46.
Hinc ducitur optima ratio, cur proiectum per lineam horizontalem, v.g.pi­
la è tormento exploſa, vel ſagitta arcu emiſſa per plura ſecunda minuta mo­
ueatur in medio aëre antequam terram attingat; quod pluſquàm mille ex­
perimentis comprobatum eſt; plura leges apud Merſennum, v. g. ſit tor­
mentum horizonti parallelum extans ſupra horizontem tribus pedibus;
certum eſt ſpatium illud trium pedum confici à globo perpendiculariter
demiſſo tempore 30. tertiorum; cùm tamen exploſus per lineam hori­
zontalem terram tantùm attingat poſt 4. ſecunda, ideſt 240. tertia; ita
Merſennus l.2. de motu Prop. vltima, imò l. 5. ſuæ verſionis art.5. con­
tra Galileum oſtendit glandem emiſſam è tormento minori conficere
75. exapedas, tempore vnius ſecundi minuti in linea, quæ parùm decli­
nat ab horizontali; atqui tempore vnius ſecundi minuti conficit 2.exa­
pedas in perpendiculari deorſum; igitur deberet glans infrà ſcopum de­
ſcendere notabiliter, id eſt, toto 12. pedum interuallo, cùm tamen vix
tantillùm aberret à ſcopo 1.Idem Merſennus habet in Baliſtica Prop.25.
globum è maiore tormento horizonti parallelo emiſſum in aëre tractu
continuo volaſſe toto tempore 8. ſecundorum, antequam planum hori­
zontale attigiſſet, cùm tamen ſex tantùm exapedis tormentum extaret
ſupra horizontem; alter globus ex alio tormento exploſus 6. tantum ſe­
cunda in aëre conſumpſit; imò bombardarum globi aliquando tota 14.
ſecunda poſuerunt; habet idem Merſennus alia plura, quorum fides ſit
penes authores à quibus accepit; nam vt dicam quod res eſt vix accu­
ratè minima illa tempora metiri poſſumus; quidquid ſit, ex illis ſaltem
euinco mobile projectum per horizontalem plùs temporis inſumere in
ſuo fluxu, quam ſi ex eadem altitudine perpendiculariter demittatur; vt
vult Galileus; cuius ratio alia non eſt ab ea, quàm ſuprà indicauimus,
quòd ſcilicet motus naturalis minùs creſcat in motu mixto quàm in na-
1turali, vt ſuprà demonſtrauimus; imò ſi creſceret vt vult Galileus, ictus;
haud dubiè eſſet maior in fine motus quàm initio, quod omninò expe­
rientiæ repugnat.
Nec eſt quod aliquis dicat glandem emiſſam per horizontalem tan­
tillùm aſcendere; vnde plus temporis in aſcenſu ſimul & deſcenſu col­
locatur, quàm in ſolo deſcenſu; nam primò vix hoc aliquis ſibi perſua­
ſerit, cùm experimento percipi non poſſit; Secundò licèt verum eſſet,
non tamen eſt tantus aſcenſus, quin adhuc plùs temporis ponat in aſ­
cenſu, atqué in deſcenſu, quàm in altiſſima perpendiculari quadruplæ al­
titudinis, vt conſtat; ſit enim horizontalis AF, diſtans à plano hori­
zontali altitudine BA; ſit tormentum directum per lineam AF, & glo­
bus percurrat lineam curuam AEF, idque ſpatio 8.ſecundorum minu­
torum; ſitque DE 3. pedum; certè eo tempore quo conficit AE, ſi in
perpendiculari conficiat ED, cum ED conficiat tempore 30tʹ; haud
dubiè AE eodem tempore conficere deberet; ſed conficit AE tempore
4. ſecundorum, vt conſtat ex ipſis multorum obſeruationibus; igitur to­
tam AEF deberet percurrere tempore 1″, id eſt eo tempore quo in per­
pendiculari deorſum percurruntur 12. pedes; denique ſi verum ſit glo­
bum aſcendere tantillùm dum emittitur è tormento horizonti paralle­
lo; crediderim id eſſe tùm ex aliqua repercuſſione aëris, tùm eo quod à
flamma ſurſum aſcendente ſurſum etiam aliquantulum inclinetur; quod
verò ſpectat ad ſagittam, alia cauſa non eſt niſi modica aëris repercuſſio;
eſt enim leuior ſagittæ materia; ſed de repercuſſione fusè agemus
infrà.
Theorema 47.
Motus projecti ſurſum per inclinatam eſt mixtus; probatur, quia conſtat
ex naturali, & violenti; qui cùm non ſint in oppoſitis lineis, ad commu­
nem motum concurrunt, vt patet.
Theorema 48.
Non eſt mixtus ex vtroque æquabili; quia linea eſſet recta per Th.1.ſed
linea huius motus eſt curua per hyp. non pertinet etiam hic motus ad
ſecundam combinationem de qua Th. 30. nec ad quintam, nec ad
octauam, nec ad nonam, de aliis videbimus infrà.
Theorema 49.
Non eſt mixtus ex naturali accelerato, & violento æquabili; probatur,
quia in fine motus eſſet maior impetus, igitur eſſet maior ictus contra ex­
perientiam; imò longè maior quàm ſi mobile proiiceretur per horizon­
talem, quia diutiùs durat ille motus; igitur plures gradus impetus na­
turalis acquiruntur; igitur longè maior eſt ictus; prætereà ſi impetus
naturalis deſtruit impetum ſurſum in verticali, cur non in inclinata? nam
eſt eadem omninò ratio; quippe ideò deſtruitur in verticali, quia cor­
pus graue ſurſum attollitur; cùm tamen ſua ſponte deorſum ferri debe­
ret; ſed non minùs, cùm per inclinatam ſurſum proiicitur, remouetur à
1ſuo centro, & ſurſum rapitur; nec obſtat oppoſitio lineæ verticalis ſur­
ſum cum perpendiculari deorſum; quia etiam per inclinatam deorſum
fertur in plano inclinato, quæ opponitur ex diametro alteri inclinatæ
ſurſum.
Theorema 50.
Non eſt mixtus in aſcenſu ex primo accelerato & ſecundo retardato, acce­
lerato inquam eo modo quo acceleratur in perpendiculari deorſum; probatur
primò, quia motus ille eſſet ſemper æqualis, quia tantùm adderetur im­
petus quantùm detraheretur, igitur eſſet idem ictus in fine qui in princi­
pio; Secundò, quia tempora motuum eſſent breuiora quàm par ſit con­
tra experientiam, vt patet ex Th.46.
Theorema 51.
Non eſt mixtus in aſcenſu ex violento retardato, & naturali accelerato, eo
modo quo diximus in Th. 30. probatur, quia cùm acceleretur iuxta ratio­
nem plani inclinati deorſum, vt dictum eſt, ſupra horizontalem; nullum
eſt ampliùs planum inclinatum deorſum; igitur nulla acceleratio, imò
impetus naturalis, vt iam ſuprà dictum eſt creſcit tantùm vt motus deor­
ſum acceleretur; ſed nullus eſt hîc motus deorſum; modicùm figuræ
rem ob oculos ponit; motus in plano AB eſt ad motum in AC vt
AC ad AB, & in AD, vt AD ad AB, & in AE, vt AE ad AB; igitur immi­
nuitur in infinitum; ſed acceleratur in inclinata deorſum iuxta hanc ra­
tionem, igitur nulla ſupereſt ampliùs proportio, ſecundum quam acce­
lerari poſſet in inclinata ſurſum.
Theorema 52.
Hic motus eſt mixtus ex naturali æquabili, & violento retardato in aſcen­
ſu; probatur, quia nulla alia combinatio præter hanc ſupereſt, quam
tertio loco ſuprà collocauimus in Th. 30. ratio à priori eſt, quia natura­
lis innatus non retardatur; quia nunquam deſtruitur, nec acceleratur;
quia ſurſum tendit mobile; igitur ſupereſt tantùm quod ſit æquabilis,
violentus verò non acceleratur, vt patet, quia nulla eſt cauſa: non eſt
æquabilis, quia coniunctus eſt cum cauſa deſtructiua; igitur eſt re­
tardatus.
Theorema 53.
Hic motus eſt mixtus in arcu deſcenſus ex naturali accelerato eo modo, quo
diximus ſuprà in Th. 30. & violento retardato; probatur per idem Th.eſt
enim par vtrique motui ratio; quippe hic perinde ſe habet, atque ſi mo­
bile per horizontalem proiiceretur, nam præuius motus nequidquam facit.
Theorema 54.
Arcus vterque constat linea curua; probatur per Th.19. non eſt tamen
Parabola linea arcus deſcenſus per Th.20.& 27.
Theorema 55.
Poteſt hac linea vtcumque deſcribi, ſuppoſita retardatione violenti in pro-
1portione arithmetica ſimplici; ſit enim verticalis, AG horizontalis AN,
linea projectionis AD; ſitque primum ſegmentum AD, quod ſcilicet
percurritur eo tempore quo in perpendiculari deorſum percurritur DF,
id eſt, v.g. ſexta eius pars, ducatur AFG, ſitque FG 5. partium, quarum
ſcilicet AD eſt 6. aſſumatur GH æqualis DF, ducaturque FHI; ſitque
HI 4. partium, aſſumatur IP æqualis GH, ducaturque HP; accipiatur
PK 3. partium; iam motus naturalis acceleratur eo modo quo ſuprà di­
ctum eſt iuxta rationem inclinationis deorſum; itaque aſſumatur KL
paulo maior IP; ſimiliter ducatur PLM, ſitque LM duarum partium,
& MN paulò maior KL, tum ſit LNO, ſitque NO 1. partis, & OB ma­
ior MN, & ducatur curua per puncta A.F.H.P.L.N.B. & habebis
intentum.
Porrò hæc linea non eſt parabolica, vt conſtat ex Geometria & plura
puncta habebis ſi minora ſpatiola aſſumas; ſuppono enim DF eſſe tan­
tùm id ſpatij quod primo inſtanti in perpendiculari deorſum à corpore
graui percurritur.
Theorema 56.
Aliter hæc linea poteſt deſcribi ſuppoſita retardatione per numeros impa­
res; vt habes in fig. 46.T.1. in qua AC eſt verticalis, AB horizontalis,
AD inclinata 9. partium, FG 7. HI 5. reliqua vt ſuprà dictum eſt.
Si verò linea inclinata recedat longiùs ab horizontali, & accedat pro­
piùs ad verticalem; vt habeantur puncta, transferantur eadem ſpatia, &
habebis puncta, per quæ deſcribes prædictam lineam.
Denique ſi inclinata accedat propiùs ad horizontalem, transferantur
ſimiliter ſpatia vnius in alteram.
Obſeruabis autem crementa deſcenſus in GH. IB eſſe iuxta nume­
ros impares 1.3.5.7.&c. quandoquidem aſſumitur ſpatium quod confi­
citur in tempore ſenſibili, habita tamen ſemper ratione accelerationis,
quæ fit in plano inclinato, vnde creſcit ſemper proportio acceleratio­
nis, vt ſuprà demonſtrauimus; quæ certè proportionum inæqualitas ef­
ficit, ne poſſint accuratè deſcribi prædictæ lineæ, ſed tantùm rudi Miner­
uâ, cum ſingulis inſtantibus mutetur proportio accelerationis.
Scholium.
Obſeruabis nondum eſſe à nobis determinatam proportionem illam,
in qua deſtruitur impetus violentus in motu mixto, quæ tamen ex dictis
ſuprà poteſt colligi; quippe deſtruitur pro rata, ideſt qua proportione
linea motus mixti eſt minor linea compoſita ex vtroque, ſit ergo.
Theorema 57.
Impetus violentus ſolus deſtruitur in arcu aſcenſus; probatur, quia natu­
ralis non creſcit, vt patet; conſtat enim arcus aſcenſus ex naturali æqua­
bili, ſed aliquis impetus decreſcit, vt conſtat ex dictis, igitur ſolus
violentus.
1
Theorema 58.
Impetus naturalis non decreſcit etiam in arcu deſcenſus; probatur quia
creſcit, vt dictum eſt ſuprà, igitur non decreſcit.
Theorema 59.
Deſtruitur impetus violentus pro rata. id eſt, qua proportione eſt frustrà;
v.g. ſit impetus per AD inclinatam ſurſum, & alius per AB perpendi­
cularem deorſum; haud dubiè motus erit per AC; igitur concurrunt
ad motum AC motus AB & AD, vel potiùs impetus; igitur debet de­
ſtrui impetus in ea proportione, in qua AC eſt minor AG, id eſt com­
poſita ex AD, DC, quod impetus AB non poſſit deſtrui; totum id
quod deſtruetur detrahetur impetui AD; igitur aſſumatur DF ſcilicet
differentia AC, & AG; impetus deſtructus ita ſe habet ad impetum
AD, vt DF ad AD, & ad reſiduum impetum ex AD, vt DF ad FA,
quæ omnia conſtant ex Th.7. ſit ergo AC fig. 49. perpendicularis ſur­
ſum, AD inclinata, AB horizontalis; ſit impetus violentus reſpondens
AD, & naturalis DG, ducatur AGK, ex AD detrahatur DF, id eſt
differentia AG & compoſitæ ex AD. DG, ſupereſt AF, cui aſſumitur
æqualis GK, ex qua detrahitur KH, id eſt differentia GL, & compoſitæ
ex GK, KL, ſupereſt GH, cui LO accipitur æqualis, cui detrahitur
OM, id eſt differentia LP & compoſitæ ex LO, OP, ſupereſt ML, cui
æqualis accipitur PR, atque ita deinceps. Porrò demonſtratur deſtrui
impetum violentum iuxta hanc proportionem; quia deſtruitur, qua
proportione eſt fruſtrà, pro rata per Ax.2.& Th.7.ſed totus impetus qui
concurrit ad ſecundam lineam AG, eſt compoſitus ex AD, GD; quia ſi
naturalis ſolus eſſet, percurreret ſpatium æquale DG; ſi verò ſolus eſſet
violentus percurreret ſpatium æquale AD; igitur vterque ſimul ſumptus
eſt vt compoſita, ex AG. DG. igitur ſi ea proportione eſt fruſtrà, qua motus
deficit, cùm AG ſit motus; certè motus eſt ad impetum, vt AG ad compo­
ſitam ex AD. DG; igitur deficit motus tota DF quæ eſt differentia AG &
compoſitæ ex AD. DG; igitur impetus eſt fruſtrà in ratione DF; igitur de­
bet deſtrui in ratione DF; ſed impetus DG ſeu naturalis nihil deſtrui­
tur per Th.57. & 58. igitur ex violento AD deſtruitur DF; igitur ſu­
pereſt tantum AF vel æqualis GK; ſimiliter impetui GK & KL re­
ſpondet motus GL, ſed GL eſt minor compoſita ex GK & KL ſeg­
mento KH; igitur eſt fruſtrà impetus in ratione KH; igitur deſtruitur
in eadem ratione KH, non ex naturali KL; igitur ex violento GK;
igitur ſupereſt tantum GH, vel æqualis LO, in qua ſimiliter procedi­
tur. & ſupereſt LM vel æqualis PR, atque ita deinceps.
Corollarium 1.
Hinc deſtruitur impetus initio motus in maiori quantitate, quia
1DF. v. g. eſt maxima omnium differentiarum.
Corollarium 2.
Hinc ſub finem differentia lineæ motus v. g. TB ſemper eſt maius
latus trianguli TXB; idem dico de aliis; igitur differentia lineæ motus
& compoſitæ ex duplici impetu eſt ſemper minor & minor in in­
finitum.
Corollarium 3.
Poſſunt determinari à Geometria omnes anguli triangulorum ADG.
GKL. OLP. nam ADG eſt æqualis CAD, at verò GKL æqualis
KGD, & hic duobus ſimul ADG & DAG, igitur determinari facilè
poterunt ex doctrina triangulorum.
Corollarium. 4.
Hinc etiam ſciri poterit in quo puncto linea motus v.g. LP cum per­
pendiculari OP faciat angulum rectum, quod ſatis eſt indicaſſe, nam hic
Geometram non ago.
Corollarium 5.
Hinc quoque ſciri poteſt maxima altitudo huius projectionis, quæ
ſcilicet in eo puncto eſt, in quo linea motus cum perpendiculari deor­
ſum facit angulum rectum, v.g. in puncto P, ſi angulus LPO eſt
rectus.
Corollarium 6.
Hinc poteſt etiam ſciri altitudo operâ triangulorum productorum
AG 2. GK 3. OLP. quod quiuis Geometra facilè intelliget; hîc quo­
que obiter obſerua vnum, quod ſæpè aliàs indicauimus, quanti videlicet
momenti ſit Geometria in rebus phyſicis.
Corollarium 7.
Hinc etiam colligo arcum aſcenſus maiorem eſſe arcu deſcenſus ſu­
pra idem planum horizontale AB; quia in arcu deſcenſus acceleratur
pro ratione diuerſæ inclinationis impetus naturalis; igitur lineam mo­
tus addunt propiùs ad perpendicularem, vt vides in TB; igitur minùs
acquirit in horizontali; igitur minor amplitudo horizontalis ſubeſt ar­
cui deſcenſus projectorum quàm arcui aſcenſus; dixi ſuprà idem pla­
num, quia arcus deſcenſus infra planum AB propagatur ferè in infi­
nitum.
Corollarium 8.
Hinc reiicio Galileum qui nulla prorſus fultus ratione phyſica vult
vtrumque eſſe æqualem, quod tamen omnibus experimentis repugnat, &
ipſi etiam pueri, qui diſco ludunt obſeruare poſſunt arcum deſcenſus ſui
diſci eſſe longè minorem, nec eſt quod ad ſuam Parabolam confugiat,
quæ duo falſa ſupponit principia, ſcilicet æquabilitatem motus violen­
ti, & accelerationem naturalis eo ſcilicet modo quo fieret in perpendi­
culari; at vtrumque falſum eſſe ſuprà demonſtrauimus, adde quod vt iam
1dixi in ſagitta emiſſa, projecto diſco, &c. omnes obſeruare poſſunt ar­
cum aſcenſus maiorem eſſe arcu deſcenſus, quod etiam ſupponunt om­
nes, qui de re tormentaria ſcripſerunt; præſertim Vfanus tract. 3.
c. 13.
Corollarium 9.
Hinc etiam colliges contra Vfanum globum è tormento emiſſum per
inclinatam ſurſum non ferri primò per lineam rectam, quia mouetur
motu mixto, qui rectus eſſe non poteſt in hoc caſu per Th.54.
Corollarium 10.
Motus mixtus arcus deſcenſus vſque ad centrum terræ durare poſſet
ſi producerentur tot partes impetus quot ſunt inſtantia illius motus; quia
cùm ſemper deſtruatur minor impetus, & minor in infinitum, poſt ali­
quod ſpatium deſcenſus tam parùm deſtruitur vſque ad centrum terræ vt
non adæquet totus ille impetus primam partem primo inſtanti deſtru­
ctam, at tunc linea motus à perpendiculari deorſum diſtingui non
poteſt.
Corollarium 11.
Sed ne Geometriam omninò deſpicere videar, in circulo demonſtro
proportiones omnes in quibus decreſcit motus violentus per quamlibet
lineam inclinatam ſurſum, vel deorſum; ſit ergo circulus ADGQ cen­
tro B; ſit motus violentus ſurſum BD coniunctus cum naturali BR, ſint­
que ex gr. BR. RQ æquales; haud dubiè linea motus erit BC, quia na­
turalis BR pugnat pro rata per Th.134.l.1. eritque BC ſubdupla BD;
igitur centro R. ſemidiametro RC deſcribatur circulus CLPS, erit
æqualis priori, ducanturque ex centro B infinitæ lineæ BE. BF. BK.
BN, & vt res fit clarior, ſint omnes anguli DBE. EBF. FBG, &c.
æquales ſcilicet grad. 30. & ex punctis E.F.G.K.N.q. ducantur lineæ
ad circunferentiam circuli CLPS. parallelæ DP.Dico omnes eſſe æqua­
les DC; nam primò FH. GL. KM. QP ſunt æquales, vt patet: deinde
CE & QO ſunt æquales; igitur EV. OX, quod etiam certum eſt; igi­
tur ſi ſupponatur idem motus violentus æqualis BD per omnes inclina­
tas BE. BF, &c. coniunctus naturali æquali BR; primum ſpatium erit
BC, ſecundum BV, tertium BH, quartum BL, quintum BM, ſextum
BO2 ſeptimum BP. quod certè mirabile eſt; nam ex BE. EV. fit BV per
Th.5. ſimiliter ex BF. FH. fit BH, ex BG. GL. fit BL; denique ex
Bque QP fit BP; iam verò proportiones iſtarum linearum ex Trigo­
nometria facilè intelligi poſſunt.
Theorema 60.
Iactus per horizontalem, & per verticalem nihil acquirit per ſe in eodem
plane horizontali, vnde incipit iactus; probatur, quia verticalis iactus per
eandem lineam redit; horizontalis verò ſtatim deſcendit; quia motus
1mixtus eſt per Th.44. dixi per ſe, nam fortè per accidens fieri poteſt, vt
iactus horizontalis habeat arcum aſcenſus, & deſcenſus.
Theorema 61.
Hinc quò iactus propiùs accedit ad horizontalem ſeu verticalem, minùs
acquirit in eodem plano horizontali, ſcilicet in eo à cuius extremitate inci­
pit iactus; probatur, quia cùm iactus verticalis nihil prorſus acqui­
rat in horizontali plano per Theorema 60. certè quò propiùs ad illum
iactus inclinatus accedet, minùs acquiret; idem dico de iactu hori­
zontali.
Theorema 62.
Hinc quò iactus longiùs recedit ab vtroque ſcilicet à verticali, & hori­
zontali, plùs acquiret in eodem plano horizontali; ſi enim quò plùs ac­
cedit ad vtrumque, minùs acquirit, igitur plùs acquirit, quò plùs re­
cedit.
Theorema 63.
Hinc iactus medius ſeu per inclinatam qua cum verticali, vel horizontali
facit angulum 45.ſeu ſemirectum, eſt omnium maximus, id eſt plùs acqui­
rit in eodem plano horizontali, quàm reliqui omnes; experientia certiſſima
eſt, ratio eſt quia ab horizontali & verticali maximè omnium diſtat;
igitur maximus eſt per Theorema 62. nec eſt vlla alia ratio geome­
trica.
Theorema 64.
Iactus qui æqualiter ab horizontali & verticali diſtant, ſunt æquales;
probatur, quia qua proportione ad horizontalem ſeu verticalem acce­
dit iactus, in ea proportione minor eſt; igitur qui æqualiter acce­
dunt in proportione æquali, minores ſunt; igitur æquales, quod mo­
dica figura ob oculos ponet; ſit enim quadrans ABF, iactus verti­
calis AB, horizontalis AF, medius AD, hic maximus omnium
erit; at verò AC, & AE, qui ab AD æqualiter diſtant, erunt æ­
quales.
Scholium.
Obſeruabis primò, omitti à me multa quæ ſuis Parabolis aliqui af­
fingunt, quæ nec experimentis, nec vllis rationibus conſen­
tiunt.
Secundò rationem iſtorum omnium Theorematum; quia quo iactus
ad verticalem propiùs accedit, maior quantitas impetus deſtruitur
v.g. in AD plùs quàm in GK; igitur citò deficiunt vires huic iactui;
adde quod acquirit in verticali, quod alius acquirit in horizontali; at
1verò qui propiùs accedit ad horizontalem citò deſcendit infra planum
horizontale, tùm quia propior eſt, tum quia citò naturalis impetus
acceleratur; igitur plùs acquirit in perpendiculari deorſum, quàm in
horizontali; quæ omnia ex certis principiis, non fictitiis dedu­
cuntur.
Tertiò, obſeruabis talem eſſe hypotheſim illam Paraboliſtarum, de
qua ſuprà; ſit enim iactus verticalis EA; medius EB; certè ex eorum
etiam principio eo tempore, quo motu æquabili percurreret mobile ſpa­
tium EA, motu naturaliter retardato percurreret ſpatium EG ſubdu­
plum; atqui percurrit EG eo tempore, quo idem percurreret GE motu
naturaliter accelerato; ſed percurret inclinatam EC eo tempore quo
percurret EA, ſcilicet motu æquabili; ſunt enim æquales: Volunt autem
FE diuidi in 16. partes, & ED in 8. ducique parallelas HQ IP, &c. & ac­
cipi VR (1/16) FE, ita vt RQ ſit ad RH vt 9.ad 7. & PS (4/16) & NT (9/16), vel O
T (1/16) PS (4/16) PR (9/16); igitur eo tempore, quo mobile eſſet in IX, erit in M;
igitur motus naturalis acquiſiuit XM, id eſt 1/4 AE; igitur eo tempore quo
eſſet in B erit in D; igitur motus naturalis acquiſiuit BD quadruplum X
M; nam ſi vno tempore motu æquabili conficit EX, duobus conficit E
D & ſi motu naturaliter accelerato conficit vno tempore XM, duobus
conficit BD iuxta proportionem Galilei, in qua ſpatia ſunt vt temporum
quadrata; & quo tempore motu æquabili conficeret EA, vel EB naturali
conficeret GE vel CZ æqualem GE; ducatur igitur linea per puncta E.
RS, OM, hæc eſt ſemiparabola cui ſi addas MZD, habebis totam ampli­
tudinem Parabolæ ED, hoc eſt totum ſpatium, quod acquirit in plano
horizontali ED iactus medius EB.
Si verò ſit inclinata EY; vt habeatur iuxta hanc hypotheſim amplitu­
do horizontalis; fiat ſemicirculus centro G, ſemidiametro GE; ſit per­
pendicularis YK, erit ſubdupla amplitudo; ſicut perpendicularis XL de­
finit ſubduplam amplitudinem LE iactus EB; ſimiliter YK definit ſubdu­
plam amplitudinem iactus E 4.3. nam arcus YX eſt æqualis arcui X 4.
igitur anguli YEC, CE. 3. ſunt æquales; hinc iactus ſunt æquales ſupra, &
infra grad.45. vt autem habeatur altitudo Parabolæ ſubdupla XL eſt al­
titudo Parabolæ iactus EC, ſubdupla YX eſt altitudo iactus EY, ſubdu­
pla 4.K eſt altitudo iactus E 3.
Ex his facilè iuxta hypetheſim tabulæ omnium iactuum, cuiuſlibet
eleuationis conſtrui poſſunt; de quibus habes plura apud Galileum in
dialogis, & plurima apud Merſennum in Baliſtica; quare ab illis abſti­
neo: præſertim cum ſit falſa illa hypotheſis, eiuſque ſectatores vltrò fa­
teantur tabulas illas non parum à vero abeſſe, de quo vide Merſennum
prop. 30. Baliſt.
Quartò, poſſunt iuxta noſtram hypotheſim tabulæ nouæ conſtrui, quod
& ego præſtarem, niſi prorſus inutiles eſſent; quare prudenter omiſſas
eſſe prudentes omnes cenſebunt, cum hîc calculatorem non agam, ſed phi­
loſophum; id certè tolerari potuit in analyticis, quæ ſine calculationibus
intelligi non poſſunt; ſed minimè ferendum in Phyſica, quæ ſucculen-
1tior eſt, quàm vt numeris tantùm, ſicciſque calculis nutriatur; adde quod
Praxis Theoricæ in his omninò præferenda eſt; quamquam huic etiam
parti deeſſe nolumus, ſed in ſingularem libellum omnes iſtas tabulas &
alias huiuſmodi remittimus; cum hic tantùm rerum phyſicarum cauſas
explicemus.
Theorema 65.
Si accipiatur planum horizontale intra illud vnde incipit iactus haud du­
biè iactus omnium maximus erit horizontalis in vtraque hypotheſi. Primo in
hypotheſi Galilci, in qua Parabola GD figurâ ſuperiore habet maximum
omnium amplitudinem; licèt iactus per GX; ex quo ſequitur, non ha­
beat impetum maiorem, quâm iactus per EY, vel EX; in noſtra verò, ia­
ctus per BG primo tempore plùs acquirit in horizontali BG, quàm ia­
ctus per BF; igitur plùs etiam ſecundo tempore; nam BF acquirit tantùm
primo tempore BH, at verò BG acquirit RL; adde quod minùs perit ex
iactu BG; quippe aſſumatur BL in B 2. & GL in 2. 3. detrahitur tantùm
G. 3.ex BG; at verò aſſumatur BH in B 4. & FH in 4.5. detrahitur F 5.ex
BF; igitur plùs ex BF quàm ex BG; quæ omnia ex ſuperioribus regulis
iuſta noſtram hypotheſim præſcriptis conſequuntur.
Theorema 66.
Immò probabile eſt æquales fore iactus per inclinatas ſurſum, & deorſum
æqualiter ab horizontali, vnde incipit iactus, distantes; æquales inquam in ali­
quo plano horizontali, inferiore; ſi enim iactus fiat per BD eadem figura &
BP nihil acquiritur in horizontali, vt conſtat; ſi verò iactus ſit per BG
maximum ſpatium acquirunt in horizontali plano inferiore; igitur qua
proportione propiùs accedent lineæ ſeu iactus ad BD, PP minùs acqui­
rent; qua verò proportione propiùs accedent ad RG plùs acquirent; igi­
tur æqualiter plùs, & minùs hinc inde, ſi æqualiter hinc inde diſtent; im­
mò hoc ipſum præſentibus oculis intueri licèt; ſi enim iactus BF compa­
retur cum iactu BK; certè BK acquirit RK, BF acquirit BH æqualem B
K; ſed BF & BK æqualiter diſtant ab horizontali BG; nam arcus GF, &
GK ſunt æquales, vt conſtat: idem dico de iactu BE, & BX, qui acquirunt
æquale ſpatium in horizontali æquale ſcilicet BZ.
Scholium.
Obſeruabis hoc omninò licèt mirum cuiquam fortè videatur, certè
inſtitutum eſſe à natura; ſi enim comparentur omnes iactus ſuprà hori­
zontalem BG, haud dubiè cum duo extremi ſcilicet BD, & BG nihil
prorſus acquirant, vt conſtat ex dictis, iactus medius ſcilicet ad gradum
45.erit omnium maximus, quia æqualiter ab vtraque extremitate diſtat,
vt demonſtrauimus ſuprà; ſi verò comparentur omnes iactus, qui poſ­
ſunt fieri à centro B per totum ſemicirculum DGque certè cum duo ex­
tremi BD, BQ nihil prorſus acquirant, vt conſtat, iactus medius, ſcilicet
ad gradum 90.qui eſt BG erit omnium maximus, quia æqualiter ab vtra-
1que diſtat extremitate; ſimiliter quemadmodum iactus æqualiter à me­
dio iactu 45. diſtantes æqualem amplitudinem acquirunt in horizontali
BG, ita qui æqualiter diſtant à medio iactu 90.vel horizontali BG æqua­
lem amplitudinem acquirunt in aliquo plano horizontali, ſcilicet in eo
vnde vterque iactus deſinit in perpendicularem deorſum.
Obſeruabis ſecundo, omnes perpendiculares deorſum perinde accipi,
atque ſi eſſent parallelæ propter inſenſibilem differentium; quod certè
ab omnibus admittitur; quomodo verò per diuerſa plana deorſum cor­
pus tendere poſſit, vſque ad centrum terræ, Libro ſequenti explica­
bimus.
Theorema 67.
In iactu per inclinatam deorſum dato tempore minùs detrahitur de impetu
violento, quàm in iactu per inclinatam ſurſum ſit enim circulus centro A
ſemidiametro AG; ſitque AG horizontalis, & AO perpendiculatis deor­
ſum; ſit iactus per inclinatam ſurſum AD, ſitque impetus violentus vt A
D, & naturalis deorſum vt DE; linea motus erit DAE; igitur aſſumatur A
E in AC, & DE in CB, ex impetu AD detrahitur DB, vt conſtat ex dictis
quia totius ille fruſtrà eſt; ſit autem inclinata deorſum cum impetu vio­
lento æquali AI æqualis AD, ſitque naturalis deorſum acceleratus pro
rata plani inclinati vt IL, linea motus erit AL; aſſumatur AK, vt AL, &
KH vt IL, detrahitur tantùm IH, ſed IH eſt minor DB; igitur tempore
ſequenti æquali impetus violentus inclinatæ ſurſum erit vt EF æqualis
AB inclinatæ deorſum, vt LM, quæ maior eſt EF, quia eſt æqua­
lis AH.
Ratio à priori eſt, quia cum inclinata deorſum faciat acutum angu­
lum cum perpendiculari deorſum, cum quo obtuſum facit inclinata ſur­
ſum, maior eſt in illa linea motus; eſt enim maior diagonalis, in hac ve­
rò minor, igitur in illa minùs impetus eſt fruſtrà, in iſta verò plùs, igitur
minùs impetus in illa deſtruitur, plùs in iſta; quæ omnia conſtant ex
Th. 110. & 139. & 140. l.1. habes etiam in qua proportione decreſcat
impetus.
Theorema 68.
Hinc in iactu qui fit per inclinatam deorſum minùs detrahitur, & in eo
qui fit per inclinationem ſurſum plùs detrahitur, in perpendiculari deor­
ſum nihil detrahitur, in perpendiculari ſurſum totus detrahitur qui po­
teſt extrahi, id eſt ex collectione vtriuſque naturalis, & violenti dupli
naturalis in prima linea motus; hæc omnia ſequuntur ex dictis.
Obiici poteſt vnum ſatis difficile; quia ſi in perpendiculari deorſum
purà in AP nihil detrahitur impetus violenti, igitur creſcit ſemper vis
ictus, quod videtur eſſe contra experientiam.
Reſp. me aliquando fuiſſe in ea ſententiâ, vt reuerâ exiſtimarem de­
creſcere impetum violentum in iactu perpendiculari deorſum; cum
etiam exiſtimarem decreſcere vim ictus; ſed re melius conſiderata, cum
nunquam id experiri potuerim; nam ſemper ſentio vim ictus maiorem,
1cum deorſum mobile proiicitur, quàm cum ſua ſponte ex eadem altitu­
dine deſcendit; certè ni fallor cum ratio demonſtratiua pro hac ſen­
tentia faciat, non dubitaui ampliùs priorem ſententiam immutare.
Porrò ratio, quæ pro hac ſententia facit, remque ipſam euincit, talis
eſt; certum eſt impetum violentum deſtrui à naturali aliquando in ma­
iori, aliquando in minori proportione, vt conſtat ex dictis; illa autem,
ſeu maior, ſeu minor proportio aliam regulam non habet præter illam
quam toties inculcauimus, id eſt impetum deſtrui pro rata, id eſt qua
proportione eſt fruſtrà, id eſt qua proportione eſt minor motus eo, qui
eſſet ab vtroque impetu ſi ad eandem lineam vterque determinatus eſſet
atqui cum proiicitur mobile deorſum, vterque impetus ad eandem li­
neam eſt determinatus; igitur nihil motus deeſt per Th.138.l.1. igitur
nihil impetus eſt fruſtrà; igitur nihil impetus illius deſtruitur.
Quod dictum eſſe velim non conſiderata medij reſiſtentiâ, quæ certè
aliquid impetus deſtruit, quod tamen inſenſibile eſt in medio libero, pu­
tà in aëre; ſi enim inſenſibilis eſt hæc reſiſtentia in motu naturali; dum
mobile ſit eius ſoliditatis, quæ ſuperet facilè vim aëris; certè etiam in­
ſenſibilis eſt in motu proiectorum, præſertim in mediocri ſpatio, eſt
enim par vtrobique ratio.
Equidem fateor in longiſſimo ſpatio poſſe tandem deſtrui totum im­
petum violentum; nam ſi aliquid in dato ſpatio deſtruitur; igitur in ma­
iore piùs deſtruitur; atque ita deinceps, donec tandem totus deſtructus
ſit; at verò in iis altitudinibus, ex quibus corpus deorſum proiicere poſ­
ſumus, vix quidquam facit prædicta reſiſtentia.
Nec eſt quod aliquis dicat ab hac reſiſtentia non deſtrui impetum
naturalem in motu naturaliter accelerato, vt dictum eſt in ſecundo lib.
Igitur nec deſtrui violentum; nam qua proportione creſcit medij reſi­
ſtentia, creſcunt vires impetus, qui perpetuò augetur; vnde cum
remaneat ſemper eadem reſiſtentiæ proportio ſicut primo tempore mo­
tus impedit hæc reſiſtentia, ne tantillùm impetus producatur; ita ſecun­
do tempore impedit ne tantillùm æquale producatur; igitur nihil pro­
ducti impetus ab illa deſtruitur propter augmentum continuum: at ve­
rò cum impetus violentus non intendatur; certè ſi tantillùm illus perit,
primo vel ſecundo inſtanti motus, propter medij reſiſtentis, tantillùm
æquale ſingulis temporibus æqualibus deſtruitur; igitur cum infinitus
non ſit poſt longiſſimum ſpatij tractum totus tandem deſtruetur vio­
lentus ſolo ſuperſtite naturali.
Hinc fortè ſagitta ex notabili altitudine minùs ferit; quia materia illa
lignea, & plumea, ex qua conſtat, multùm ab aëre reſiſtente accipit de­
trimenti: adde quod licèt initio deorſum rectà emittatur; attamen mini­
mo aëris flatu declinat tantillùm obliqua; hæc verò obliquitas maximam
ictus vim infringit, & conflictus impetuum quaſi ipſum ictum diſtrahit,
quod facilè probabis, ſi modico ferè tactu cadentem perpendiculariter
ſagittam à ſuo tramite deturbes.
Dices, etiam in glande è tormento exploſa hoc ipſum cernitur
1
Reſp. eſt minor vis ictus inflicti à glande deorſum, quàm ſurſum vt
aliqui putant; id autem ex duplici capite procedere; primum eſt, cum fe­
ratur glans ab igne per aliquod tempus, non eſt dubium, quin vis ignis
ſurſum maior ſit quàm deorſum; cum ſurſum gemino quaſi impetu fera­
tur, deorſum verò impetu tantùm exploſionis; ſecundum eſt, quia cum
glans iam deorſum ſua ſponte deſcendat, haud dubiè ab igne minus eò
impelli poteſt, vt ſæpè diximus ſuprà; quidquid ſit, ſi proiiciatur deorſum
globus plumbeus vel arcu, vel manu, obſeruabitur maiorem ab eo ictum
infligi, quàm ſi ſua ſponte deſcenderet.
Theorema 69.
Si corpus moueatur deorſum perpendiculariter motu mixto, eo tempore que
motu naturali acquireret illum impetum quem habet motu violento, acquirit
triplum illius ſpatium v.g. in figura ſuperiore ſit linea perpendiculatis
deorſum A E, in qua motu naturali dato tempore acquiratur AB, & ſe­
cundo tempore æquali BC; ſitque impetus violentus vt AC: Dico quod
æquali tempore prioribus acquireret AE triplum AC, quia motu ve­
loci vt AC acquirit CE eo tempore, quo motu veloci vt AB acquirit A
B, & veloci vt BC acquirit BC; nam eo tempore, quo acquirit AB acqui­
rit CD, & eo tempore, quo acquirit BC acquirit DE; ergo eo tempore,
quo acquirit AC acquirit CE; ergo ſi iungatur motus naturalis violento,
eo tempore, quo motu naturali acquiretur tantùm AC, motu mixto ex
naturali & tali violento acquiretur AE, id eſt triplum: ſi verò moueatur
duobus temporibus, ita vt primò acquirat AC, & altero triplum AC,
ſitque coniunctus impetus violentus vt AC; certè duobus temporibus
acquiretur motu mixto octuplum AC, ſed hæc ſunt facilia.
Theorema 70.
Si corpus graue proiiciatur deorſum per medium aëra, qui reſiſtat, cum
tandem deſtruatur impetus violentus, vbi totus deſtructus eſt, minor eſt ictus
quàm eſſet. ſi corpus graue ſolo impetu natur ali eò deſcendiſſet; quod demon­
ſtro, ſit enim ſpatium AD, quod percurrit motu mixto eo tempore, quo
motu naturali puro ſpatium BC idem mobile percurreret, ſitque deſtru­
ctus in puncto D totus impetus violentus; certè remanet tantùm natu­
ralis acquiſitus eo tempore, quo mobile percurrit BC; ſed temporibus æ­
qualibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur æqualis im­
petus; igitur in C tantùm ille impetus, qui eſſet in E vel in D; ſed dum
percurreret ED motu puro naturali, augetur impetus; igitur maior eſſet
impetus in D ſub finem motus naturalis per AD, quam motus mixti per
eamdem AD; igitur maior ictus ſub finem naturalis; igitur minus ſub fi­
nem violenti.
Theorema 71.
Hinc paradoxon egregium; mobile proiectum in data diſtantia minùs ferit
quàm ſua ſponte demiſſum; quod neceſſariò ſequitur ex dictis.
Obſeruabis ſcrupulum adhuc fortè hærere, cur ſcilicet impetus
1violentus non deſtruatur à naturali, cuius ſcilicet iuſtam impedit propa­
gationem; ſed profectò nullo modo impetus ille violentus impedit effe­
ctum impetus naturalis innati vel addititij; quia vterque totum ſuum ef­
fectum ſortitur; quod autem ſpectat ad propagationem; certè ita propa­
gatur, vt temporibus æqualibus æqualis impetus accedat.
Dices, debes quidem nouus impetus accedere, ſed non tali
modo.
Reſp. non eſſe alium modum à natura inſtitutum, niſi vt temporibus
æqualibus æqualia velocitatis momenta acquirantur.
Dices præterea, fruſtrà accedit nouus impetus naturalis, cum iam ad­
ſit violentus, qui eius munere defungi poteſt.
Reſp. cauſam neceſſariam neceſſariò agere; igitur corpus graue perpe­
tuò in medio libero ſuum motum intendit.
Theorema 72.
Poteſt vtcumque delineari linea motus mixti per inclinatam deorſum ſit
enim perpendicularis deorſum AB ſit iactus per inclinatam AF; ſitque
impetus violentus vt AE naturalis vt EC, linea motus erit AC; aſſumatur
AF æqualis AC, & DF æqualis EC, ſitque CH vt AD, & impetus natu­
ralis auctus vt HK, linea motus erit CK; ſit CI æqualis DK, & IG æqua­
lis HK, & KL æqualis CG; ſit que impetus naturalis ſecundò auctus vt L
M; linea motus erit KM; igitur connectantur puncta AC, KM per lineam
curuam, hæc eſt linea quæſita, vt conſtat ex dictis ſuprà.
Theorema 73.
Hinc poteſt aliquo tempore tantùm impetus violenti deſtrui quantùm pro­
ducitur naturalis; igitur ſi non conſideres reſiſtentiam medij, tunc æqua­
lis eſſet ictus, & æquabilis motus.
Theorema 74.
Quando mobile peruenit in M, & acquiſiuit in perpendiculari deorſum to­
tam altitudinem AR, non habet totum impetum naturalem, quem acquireret
motu naturali per totam AR, ſed tantùm illum, quem acquireret in compoſita
ex ſegmentis NO, PB, QR; quia ad motum iſtum deorſum non tantùm
concurrit impetus naturalis, ſed etiam violentus vt conſtat.
Theorema 75.
Hinc reiicies Galileum, & alios, qui volunt in linea motus AC ac­
quiri tantundem impetus naturalis quantum in perpendiculari AB ac­
quireretur.
Theorema 76.
In naui mobili ſi è ſummo malo remittatur corpus graue, deſcendit motu
1mixto; probatur, quia duplex impetus concurrit ad illum motum, ſcilicet
naturalis deorſum, & horizontalis impreſſus à naui, vt conſtat ex defini­
tione 1.hyp.2. & Ax.1.
Theorema 77.
Ille motus eſt mixtus ex naturali accelerato, & violento per horizontalem
retardato; quod eodem modo probatur, quo ſuprà probatum eſt in mobi­
li proiecto per horizontalem Th.30. eſt enim prorſus eadem, cum à na­
ui reuera imprimatur impetus iis omnibus, quæ motu nauis fe­
runtur.
Theorema 78.
Hinc reiicio omnes alias combinationes recepta ſexta; immò ſextam
ipſam ex parte; nec enim naturalis acceleratur in hoc motu in ea
proportione, in qua acceleratur per lineam perpendicularem deor­
ſum per Th. 29.ſed iuxta rationem planorum inclinatorum per Theo­
rema 31. nec etiam violentus deſtruitur vniformiter, ſed pro rata per
Th. 39.
Theorema 79.
Hinc initio plùs detrahitur violenti, & minùs additur naturalis, in
fine plùs additur naturalis & minùs detrahitur violenti; hinc minor eſt
ictus in fine niſi malus nauis ad eam altitudinem aſcenderet, ad quam
profectò nullus aſcendit, quæ omnia conſtant per Theorema 34.
35. 36.
Theorema 80.
Hinc ratio curuitatis huius lineæ, vel hypotheſis ſecundæ; quæ tamen non
eſt Parabola vt volunt aliqui; hinc non eo tempore deſcendit in nauim
prædictus globus, quo deſcenderet per ipſam perpendicularem motu
purè naturali ex eadem altitudine, ſed maiore tempore; quia motu mix­
to non acceleratur iuxta proportionem motus naturalis puri per Th.
77. quod confirmatur illis omnibus experimentis, quæ ſuprà adduxi
Th. 46.
Theorema 81.
Hinc ſi nauis moueretur eadem velocitate, qua funis arcus cum re­
dit, eſſetque aptata ſagitta, & directa horizontaliter in naui; haud
dubiè ſi poſt aliquod tempus ſtaret illicò immota nauis: emitteretur ſa­
gita, non minore certè vi quàm ab ipſo arcu; hinc etiam cum
nauis appellitur ad littus, ſi ſtatim ſubſiſtat; omnia quæ ſunt in
naui ſuccutiuntur & plerique cadunt incauti in partem aduerſam propter
1impetum à naui acceptum; ex quo certè experimento maximè confir­
matur hic impetus à naui impreſſus, per quem Galileus ex hypotheſi mo­
tus æſtum maris explicat exemplo appulſarum nauium ad littus, quæ
aquam vehunt.
Theorema 82.
Hinc demiſſus globus plumbeus, vel alterius materiæ, quæ facilè vim aëris
infringat è ſummo malo nauis ad imum ferè malum deſcendit, hæc eſt ex­
perientia à Galileo producta, non tamen adinuenta, à Gaſſendo do­
ctiſſimè & elegantiſſimè explicata, ab omnibus Copernici ſectatoribus
toties decantata, quæ vulgus ignobile ad admirationem adducit; imò
plures è Philoſophis fuere, qui eam in dubium adducerent, cum cam ſuis
principiis, ne dicam fortè ſomniis aduerſari putarent; certiſſimum tamen
eſt illud experimentum centies, imò millies comprobatum, totis etiam
vrbibus ſpectantibus. Nec ratio huius experimenti adeo abſtruſa eſt,
vel recondita, quin à vulgari, ne dicam triobolari Philoſopho ſtatim ex­
plicari poſſit; cum enim imprimatur à naui mobili impetus pendulo
globo per horizontalem, & alius ab ipſa grauitate deorſum per Th. 71.
certè mouetur globus demiſſus reſecto funiculo motu mixto ex hori­
zontali nauis, naturali corporis grauis; igitur per lineam curuam, quæ
ferè ad imum malum terminatur ſed modicum figuræ adhibendum eſt;
ſit planum aquæ horizontale, cui innatat nauis IH; ſit malus IA perpen­
dicularis altus 48. pedes; diuidatur in 4. partes æquales; corpus graue
conficiat ſpatium illud duobus ſecundis, v.g.igitur AK vno ſecundo; eſt
autem VK 12. pedum; iam verò moueatur nauis per horizontalem IH,
vel AL maxima quaſi velocitate qua triremis moueri poteſt; ita vt vna
hora faciat 16. milliaria Germanica, & 15′.4. milliaria, 3′ 800. paſſus,
1′ 266. 1″ 4. paſſus & (13/30); ſupponamus 1″ conficere 18. pedes, ſitque AC
18. & AK vel CE 12. haud dubiè motu mixto faciet lineam AE, & ſe­
cundo tempore lineam EH, donec tandem cadat in punctum H nauis,
quò ferè peruenit punctum I; nam eodem modo retardatur motus
nauis; immò plùs quàm motus globi; quod ſcilicet partes aquæ, quæ à
naui diuiduntur multum reſiſtant; vnde fit compenſatio; nam initio
motus violentus, quaſi ſecum rapit motum naturalem initio tardiſſi­
mum; præſertim cum non acceleretur, niſi iuxta rationem plani incli­
nati, vt ſuprà dictum eſt, & in fine naturalis rapit violentum.
Dixi ad imum ferè malum; nam reuera aliquid deeſt quod tamen in­
ſenſibile eſt; ſed quia modico tempore globus deſcendit; ſit enim malus
108. pedum altitudinis, deſcendit globus tempore 3″; ſit 192.4; ſit ſi
fieri poteſt 432. deſcendet 6″, ſed nunquam accedit ad tantam altitudi­
nem, igitur duobus vel tribus ſecundis deſcendit; igitur modico tem­
pore; igitur violentus motus cenſeri debet eo tempore æquabilis ſenſi­
biliter; & cum motus nauis nunquam ſit eiuſdem velocitatis cum illa
quæ acquiritur tempore 2″ in deſcenſu, quia cum in deſcenſu acquiran­
tur, hoc dato tempore ferè 48. pedes ſpatij; certè motu æquabili cuius
1eſſet eadem velocitas acquirerentur 96. ſed vix acquirerentur 24.vt di­
ctum eſt ſuprà; igitur vix nauis percurrit in horizontali æqualem lineam
longitudini mali eo tempore, quo globus nauim attingit ſit enim
altitudo mali FA 48. pedum; ſit amplitudo ſpatij horizontalis æqualis
FA; haud dubiè 1″ percurret AD, id eſt 12.pedes ferè, quo tempore per­
currat FG. 24. pedes & 20″ percurret DF, & GI. ſi motus ſumatur vt
æquabilis, vel GH, ſi retardatur, igitur 1°″ mobile percurrit ſegmentum
curuæ AE & 2° EH.
Et licèt videatur tantùm acquirere MI, quæ eſt minor DF 15. per­
pendiculari deorſum, acquirit totam EH, quæ non modo eſt à motu na­
turali, verùm etiam à motu violento; nec enim motu naturali dum mi­
ſcetur cum alio, tantùm acquiritur deorſum, quantùm reuerâ acquiritur
motu naturali puro, vt ſuprà monuimus; quia tamen etiam deorſum mo­
tus violentus deflectitur, etiam aliquid ſpatij ratione violenti deorſum
acquiritur; ſi enim vbi peruenit in E vterque impetus intactus remane­
ret ſine acceſſione, ſine imminutione; haud dubiè per eandem EM, quæ
ſit tangens huius curuæ AEH ſuum curſum proſequeretur; igitur ac­
quireret deorſum totam DN, vel EO propter impetum naturalem præ­
uium; ſi verò aliquid naturalis accedat, quid mirum ſi ratione illius ac­
quiratur MI, vel NF?
Dices non deſcendit tam citò motu naturali accelerato, mixto cum
violento, quàm motu puro naturali.
Reſpondeo concedo; vnde nunquam ex A in H 2″ deſcendit; ſed
tardiùs, licèt FA ſit 48. ped. ſed parùm abeſt tùm propter minorem reſi­
ſtentiam huius impetus violenti, qui facilè detorquetur, & conſequen­
tur minùs illius perit, tùm quia etiam deſtruitur aliquid violenti; igitur
paulò plùs temporis collocat in GI, quàm in FG.
Scholium.
Obſeruabis primò, ſi nouus impetus accedat, non eſſe expectandum
hunc effectum; quippe nihil accipit à naui globus deinceps, vbi ſemel
reſecto fune ab ea quaſi ſeparatur.
Secundò, ſi ſtatim ſiſtat nauis demiſſo globo ad vnum malum nullo
modo deſcendet, vt patet, ſed antè.
Tertiò, ſi demittatur globus dum ſiſtit nauis, tùm deinde, vbi
demiſſus eſt, impellatur nauis; non deſcendet etiam ad radicem, ſed
retrò.
Quartò, motus nauis non eſt æquabilis, quidquid dicat Galileus; alio­
quin vna remorum impulſione opus eſſet, vt ſemper eodem motu moue­
retur, aut certè ſi continua remigatione impellatur; creſceret in infini­
tum velocitas motus, ſi nihil de priori, velocitate detraheretur; retarda­
tur igitur ille nauis motus propter reſiſtentiam aquæ, cuius partes & im­
pellendæ & ſulcandæ, ſeu diuidendæ ſunt; hinc fiunt roſtratæ naues
vel cuſpidatæ vt faciliùs aquam findere poſſint; igitur ille motus nauis
non eſt æquabilis; Idem prorſus dicendum eſt de impetu impreſſo in
1globo, cuius aliquæ partes deſtruuntur, ne ſint fruſtrà, quod ſuprà de pro­
jecto per horizontalem vel inclinatam luculenter demonſtrauimus.
Quintò ſi demittatur ex alia naui proxima immobili perpendiculari­
ter omninò deſcendet; Vnde valde hallucinantur ij, qui exiſtimant hunc
motum eſſe ab aëre quem nauis commouet, quod falſiſſimum eſt, quia
pertica ad inſtar mali parùm aëris commouet; adde quod aër retrò agi­
tur, vt patet in aqua; præterea ſi è curru immobili demittatur globus eo
tempore, quo alius currus præteruolat, deſcendit perpendiculariter; ſi ve­
rò è curru mobili etiam in maiori diſtantia porrecta ſcilicet maximè
extra currum demittente dextera; globus ab ipſo curru capietur; hîc
etiam obſeruabis idem prorſus accidere in curru mobili, quod in naui; ſi
enim è feneſtra currus mobilis demittas pilam, ſemper cadet ex aduerſo;
idem dico de currente equo, cui inſidens demittat globum, imò ſi locus
ſit planus & politus, pila per aliquod tempus currum, vel equitem inſe­
quetur, quod quiſque probare poterit, vt reuerâ centies probatum
fuit.
Sextò ad rationem Galilei, qui contendit motum circularem circa
centrum terræ eſſe æquabilem, quia ſcilicet mobile non recedit à centro:
leuis eſt omninò ratio; quia globus in medio aëre motu mixto mouetur,
id eſt habet impetum partim deorſum, partim per tangentem, & nullo
modo per circularem, vt certum eſt; nec enim rotata alium impetum im­
primunt, igitur violentus eſt; igitur deſtrui debet etiam iuxta commu­
nia principia: adde quod motus mixtus fit per Diagonalem quod etiam
ipſe admittit; igitur totus impetus æqualem motum non habet; nec enim
Diagonalis æqualis eſt vnquam duobus lateribus; igitur aliquid illius
fruſtrà eſt; igitur deſtrui debet; præterea licèt motus circularis ſit peren­
nis circa centrum mundi; nam de illo tantùm eſt quæſtio, hoc ipſum
ſupponit primò motum illum eſſe ſimplicem; ſecundò, nullam prorſus
eſſe reſiſtentiam; atqui in hoc caſu vtrumque deficit; nam motus ille
circularis non eſt ſimplex ſed mixtus, & obeſt reſiſtentia aquæ, vt ſuprà
dictum eſt; niſi verò conſideres deſcendentem globum è ſummo malo, quis
dicat eſſe circularem? adde quod nauis imprimit tantùm rectum per
tangentem, vt iam ſuprà dictum eſt; porrò ad illud, quod dicit non de­
ſtrui motum circularem à naturali, cui non eſt contrarius, cum non re­
moueat longiùs à centro; videtur omninò diſſimulare cauſam impetus
deſtructiuam, quæ cettè in contrarietate tantùm determinationis poſita eſt,
vt ſuprà dictum eſt; ex qua ſequitur aliquid impetus fruſtrà eſſe; ac pro­
inde deſtrui per Axioma illud toties decantatum, Quod frustrà eſt, non eſt:
Præterea non video quomodo hanc rationem proponat magnus Gali­
leus, qui nullum alium impetum violentum deſtrui putat, nîſi tantùm il­
lum, qui eſt per lineam verticalem ſurſum; nam ex motu illo impreſſo
æquabili, & naturali accelerato ſuas Parabolas adſtruit.
Septimò, non eſt tamen quod diffitear ingeniosè excogitatum ab eo
fuiſſe, ideo globum è ſummo malo demiſſum ad imum deſcendere, quod
ſcilicet deſcendat motu mixto ex naturali accelerato, & violento æqua-
1bili, quod vt breuiter ob oculos ponatur ſit malus nauis mobilis IA,
quæ eo tempore, quo corpus graue deſcendit ab A in D motu naturali,
percurrit FG æquabili motu, & conſequenter GI æqualem FG eo tem­
pore, quo idem corpus graue percurrit DF triplam AD; igitur globus
demiſſus ex A ſuo motu deſcribit Parabolam AEH; quod etiam accidet
aſſumpta quacunque altitudine mali vel quocunque ſpatio confecto à
naui mobili eo tempore, quo corpus graue motu naturali accelerato
conficit ſpatium æquale altitudini mali.
Octauò, non eſt tamen diſſimulandum, quod etiam non diſſimulauit
Merſennus, talem non fore deſcenſum, ſi nauis v. g. eadem cum emiſſa
ſagitta, vel exploſa è tormento glande velocitate moueretur; non quod
aër vel medium obſiſtat, vt ipſi dicunt; hoc enim iam ſuprà rejecimus;
ſed quod major impetus violentus efficiat, vt iam ſuprà dictum eſt, ne in
tanta proportione naturalis acceleretur; quod etiam ſuo boatu intonant
tormenta maiora, è quibus horizontaliter directis exploſæ pilæ per plu­
ra ſecunda in libero aëre moueantur, licèt os tormenti à plano horizon­
tis vix tribus pedibus abſit; igitur non deſcribunt ſuo motu Parabolas;
hinc ſub finem minor eſt ictus; hinc etiam fatetur idem Merſennus ſe­
cundum ſpatium horizontale confici tardiore motu quàm primum &
tertium quàm ſecundum, atque ita deinceps.
Theorema 83.
Si corpus graue proiiciatur ſurſum perpendiculariter è naui mobili, ſunt tres
impetus qui concurrunt ad illum motum ſit enim nauis mobilis per hori­
zontalem LF, è qua ſurſum rectâ per lineam perpendicularem LA pro­
iiciatur corpus graue; huic certè ineſt triplus impetus, ſcilicet duo vio­
lenti, alter per verticalem LA impreſſus à proiiciente; alter per horizon­
talem LF impreſſus à naui; tertius denique naturalis per ipſam perpen­
dicularem deorſum LP; igitur tres iſti impetus ſuo modo concurrunt
ad motum per Ax.1.certè ſi ineſſent tantùm duo impetus ſcilicet LA, &
LF, motus fieret per inclinatam rectam LC; vel ſi tantùm duo LP, &
LA fieret per ipſam LA motus retardatus; vel ſi LF & LP fieret per
curuam deorſum, vt conſtat ex dictis; igitur per aliam lineam fieri de­
bet ad quam tres illi impetus concurrunt.
Theorema 84.
Tam pugnat impetus naturalis per LP cum verticali LA quando eſt con­
junctus cum horizontali LF, quàm cum nullus eſt horizontalis, probatur,
quia ſemper mobile deorſum trahit, vt patet.
Theorema 85.
Hinc naturalis eſt æquabilis, & violentus ſurſum eſt retardatus; horizon­
talis verò eſt æquabilis ſaltem æquiualenter; quia cum illo non pugnat ho­
rizontalis, in aſcenſu ſaltem perinde ſe habet; immò cum illo conuenit
ad deſtruendum violentum ſurſum, id eſt ad deflectendum deorſum
mobile vt conſtat; igitur hic motus conſtat ex naturali & horizontali
1æquabilibus, & violento retardato ſint enim tres impetus ab eodem
puncto E ſcilicet EF, ED, EA; ex EA ED fit mixtus EG, ex EA,
EF, violentus EB; denique ex mixto EG à naturali EF fit EC, quæ
omnia ſunt clara.
Theorema 86.
Aſcendit mobile ad eandem altitudinem hoc motu, ad quem aſcenderet
ſine horizontali v. g. ſine horizontali aſcendit in B, cum horizontali
aſcendit in C, ſed DC, & EB ſunt eiuſdem altitudinis.
Scholium.
Obſeruabis, licèt iſte motus non fiat per lineam parabolicam, vt ſuprà
demonſtrauimus Th. 54. & reliquis; quia tamen ſenſibiliter proximè
accedit, deinceps vtemur Parabola vt in fig. Th. 83. & horizontalem
motum accipiemus pro æquabili; licèt omninò æquabilis non ſit; niſi
tantùm æquiualenter; dixi æquiualenter, quia eodem modo ſe habet hic
motus, ac ſi per inclinatam ſurſum LC impetu ſcilicet LC mobile pro­
iiceretur; ſed in hoc caſu deſtrueretur impetus ille per inclinatam ſim­
plex; igitur & mixtus; quia tamen ille qui remanet partim ex LA, par­
tim ex LF eodem modo ferè ſe habet ac ſi totus LF intactus maneret;
hinc dictum eſt ſuprà æquiualenter eſſe æquabilem.
Theorema 87.
Aſcendit hoc motu ad ſubduplam altitudinem illius, ad quam motu mixto
tantum ex verticali & horizontali ſine naturali aſcenderet; quippe aſcende­
ret in C fig. Th.83. ſine impetu naturali, ſed FC & LA æquales ſunt;
atqui motu violento puro, niſi naturalis obeſſet, aſcenderet in A; at ve­
rò ſi obeſt naturalis; aſcendit tantùm motu violento in K, & mixto in
in D; quia ex K in L motu naturali tot acquireret mobile gradus impe­
tus naturalis quot amittit in motu violento ab L in K; ſed cum in impe­
tu acquiſito à K in L motu æquabili aſcenderet ab L in A, quæ eſt dupla
LK vt oſtendimus in ſecundo libro; ſed motu mixto, & verticali, & ho­
rizontali aſcenderet in C; ſed FD eſt ſubdupla FE; igitur motu mixto
aſcendit ad ſubduplam altitudinem, &c.
Theorema 88.
Mobile projectum è naui mobili, vbi ad ſummam altitudinem peruenit mo­
tu mixto ex verticali retardato, horizontali æquabili, & naturali item æqua­
bili, deſcendit etiam motu mixto ex horizontali retardato ſaltem æquiualenter,
& naturali accelerato; dixi æquiualenter, quia vt dixi in Sch. Th.86. licèt
remaneat aliquid impetus verticalis qui in communem lineam abit cum
horizontali; res tamen perinde ſe habet atque ſi totus verticalis deſtrue­
retur, & totus horizontalis intactus permaneret; igitur deſcenſus fit mo­
tu mixto ex naturali accelerato & horizontali retardato per Th.30. quia
tamen modico illo tempore parùm retardatur, vt ſuprà monui, ſenſibili­
ter accipi poteſt pro æquabili.
1
Theorema 89.
Hinc ſenſibiliter ex aſcenſu & deſcenſu fit integra Parabola; nam pro­
iiciatur ex L in A, eo tempore, quo nauis mouetur ex L in F, certè ſi
tempus illud diuidatur bifariam prima parte mobile percurret LI tri­
plam IK in verticali, & LM ſubduplam LF in horizontali; igitur erit
in G; ſecunda verò parte temporis in verticali percurrit IK, & MF in
horizontali; igitur erit in D; præterea ſi accipiantur duæ aliæ partes tem­
poris æquales; prima in perpendiculari deorſum percurret DE æqua­
lem LK, & in horizontali DO; igitur erit in N; ſecunda vero in per­
pendiculari percurret NQ triplam NO, & NR in horizontali; igitur
erit in S; ſed hæc eſt Parabola; nam vt ſe habent quadrata applicatarum
v.g. EG, FL, ita ſagittæ DE, DF; dixi ſenſibiliter, nam vt ſuprà mo­
nui eſt alia linea, quæ tamen proximè accedit ad Parabolam.
Theorema 90.
Hinc ferè recedit mobile in idem punctum nauis, è quo ſurſum proiectum
eſt; dixi ferè, quia non eſt omninò Parabola; immò ſupponitur motus
horizontalis tùm nauis tùm mobilis omninò æquabilis, à quo tamen
tantillùm deficit, ſed in tam breui tempore non eſt ſenſibile.
Theorema 91.
Hinc quantùm initio detrahit horizontali verticalis intenſior, & ſub finem
remittit, tantùm initio remittit horizontali naturalis tardior, & ſub finem ve­
locior detrahit; ſic in aſcenſu linea curua LD, initio parùm recedit à ver­
ticali LK, & multùm ſub finem; in deſcenſu verò curua DS accedit
propiùs ad horizontalem DT, à qua multùm recedit ſub finem.
Theorema 92.
Hinc eadem, quâ mobilis proijcitur ſurſum è naui mobili, recipitur manu;
probata centies experientia; idem dico de ſagitta, arcu emiſſa, glande
tormento exploſa, &c. ſic dum demittis manu in eadem naui aliquod
graue deorſum, eadem ſemper à te diſtantia cadit; ſic in rhodis currenti­
bus poma odorifera, ſurſum modica vi projecta eadem ſemper excipiun­
tur manu, perinde atque ſi currus ipſe ſtaret. Ita prorſus ſe res habet
dum inſidens equo etiam perniciſſimè currenti ludis huiuſmodi moti­
bus; quorum nullum prorſus diſcrimen obſeruabis in naui, ſiue ſtet ſiue
moueatur ſolito curſu; ſi enim eadem velocitate, qua vel emiſſa ſagitta,
vel glans exploſa moueretur; haud dubiè maximum diſcrimen inter­
cederet.
Theorema 93.
Hinc ſi pilam projectam è naui mobili continuo intuitu proſequaris ſurſum
rectà ferri iudicabis; quippe cum perpetuò mutes perpendicularem pro­
pter motum nauis, in eadem ſemper eſſe putas, in qua pila ſemper
occurrat; licèt reuerâ qui ſunt in naui immobili rem aliter eſſe
1iudicent; quippe vident pilam ſuo motu deſcribere curuam non ſimi­
lem illi, quam diſcus per lineam inclinatam ſurſum proiectus ſuo mo­
tu deſcriberet; neque mirum eſt, cum ſint eædem vtriuſque rationes, cum
hac tantum differentia, quòd inclinata diſci ſit motus ſimplicis, inclina­
ta verò pilæ aſcendentis ſit motus mixti ex horizontali & verticali, æ­
quabili quidem in aſcenſus accelerato in deſcenſu.
Theorema 94.
Ex his vides non valere vulgarem rationem, quæ vulgò affertur contra mo­
tum terræ, ſequi ſcilicet ex eo lapidem proiectum ſurſum per verticalem longo
interuallo verſus occaſum retrò deſcenſurum, quod tamen etiam ex motu
terræ ſuppoſito non ſequeretur, cum non ſequatur ex motu nauis.
Igitur alia ratione impugnari debet hypotheſis illa, quæ terræ motum
deſtruit; quod certè ſi à me fieri poſſit, in tractatu de corporibus cœleſti­
bus, vel de nouo ſyſtemate aliquando præſtabimus; non tamen eſt quod
hîc diſſimulem aliquorum agendi methodum, qui ex hoc phœnome­
no conſtanter aſſerunt terram moueri; nam primò, ſequeretur tantùm
moueri circa centrum id eſt motu orbis, non verò motu centri; quæ eſt
hypotheſis Origani. Secundò ex quiete terræ hoc idem phœnomenon
ſequitur; quippe, ſi terra quieſcit, eadem manu cadentem excipio lapi­
dem, quæ ſurſum rectà proiicit; igitur quemadmodum ex hoc non infero
terræ quietem, ſed aliunde; ita neque ex hoc inferri poteſt terræ motus;
cum enim duplex hypotheſis eodem phœnomeno ſtare poteſt, neutra ex
eo euincitur; igitur ſicuti fateor ex hoc phœnomeno minimè demon­
ſtrari terræ quietem ita & tu fateri debes ex eo minimè adſtrui poſſe
terræ motum.
Adde quod, haud dubiè ſi terra quieſcit citiùs proiectus lapis ſurſum
deſcendit, quàm ſi mouetur; nec enim vt dictum eſt ſuprà proiecta velo­
ciſſimo motu per horizontalem deſcendunt eo tempore, quo ex eadem
altitudine motu purè naturali deſcenderent; quod multis euincitur ex­
perimentis, vt vidimus in Th.46. atqui punctum terræ ſub æquatore ve­
lociſſimè moueretur, quod vno temporis ſecundo conficeret 1250.pedes
geometricos ſi 5. pedes geometrici tribuantur paſſui, 4000. paſſus leucæ
germanicæ, 15. leucæ germanicæ gradui Æquatoris, toti demum Æqua­
tori 360. gradus; cum autem iactus medius tormenti validiſſimi ſit
15000. pedum, duretque 30″ temporis; certè 30″ temporis conſicit pun­
ctum æquatoris 37500. pedes; igitur mouetur velociùs exploſa glande;
igitur ſi hæc velocitas glandis impedit, ne tàm citò deorſum cadat, ma­
jor velocitas motus terræ potiori iure illud ipſum impediet; igitur ſi
terra quieſcit, globus ſurſum proiectus velociùs recidet in terram, etſi
terra moueatur tardiùs.
Scholium.
Obſeruabis duos tantùm motus in naui mobili fuiſſe hactenus explica­
tos; primus eſt, quo demittitur plumbea pila è ſummo mali; ſecundus eſt,
quo ex summo malo, vel ex alio nauis mobilis puncto proiicitur ſursum cor-
1pus graue per lineam verticalem; ſunt autem plures alij motus, tot ſcili­
cet, quot poſſunt duci lineæ è ſummo malo in orbem quoquo verſum;
quarum hæ ſunt præcipuæ. ſit apex mali B; circa quem deſcribatur cir­
culus ACDE, ſitque primò circulus ille verticalis parallelus ſcilicet li­
neæ directionis nauis BA, quæ ſit v. g. verſus Boream; primò habes li­
neam verticalem ſurſum BE; ſecundò perpendicularem deorſum BC;
tertiò lineam directionis verſus Boream BA; quartò illi oppoſitum
verſus Auſtrum BD; tùm voluatur circulus circa axem immobilem AD
per quadrantem integrum, dum ſcilicet BE ſit ad Ortum, quæ eſt quinta
linea, & BC ipſi oppoſita ad Occaſum, quæ eſt ſexta. Igitur habes 6. li­
neas; ſcilicet ſurſum, deorſum, verſus Boream & Auſtrum, verſus Ortum,
& Occaſum; linea quæ tendit deorſum poteſt dupliciter conſiderari, vel
enim demittitur ſua ſponte, vel proiicitur.
Iam verò inter Boream, & Occaſum habes lineas triplicis generis, primò
horizonti parallelas, quæ vt conſiderentur; cenſeatur prædictus circulus
parallelus horizonti, ita vt ex centro B ducantur ad circumferentiam tot
lineæ, quot ſunt puncta in circumferentia; ſecundò inclinatas ſurſum &
inclinatas deorſum; ſimiliter inter Occaſum & Auſtrum, inter Auſtrum
& Ortum, inter Ortum & Boream; porrò exprimes omnes lineas, ſi api­
cem mali fingas centrum globi, ſeu ſi in circulo prædicto verticali à
centro B ad circumferentiam ducantur tot lineæ quot poſſunt duci,
tuncque circa axem EC immobilem voluatur circulus, &c. his poſi­
tis ſit.
Theorema 95.
Si proijciatur globus deorſum à ſummo malo, deſcendet ferè ad imum ma­
lum; probatur, quia deſcendet quidem velociùs quàm ſi motu naturali
deſcenderet vt conſtat per Th. 69. ſed profectò nihil acquiret in hori­
zontali globus, quod non acquirat nauis; igitur imùm ferè malum attin­
git ſed opus eſt aliqua figurâ; ſit enim apex mali A, deſcendatque pri­
mò ex A ſua ſponte in H; haud dubiè ſi eo tempore, quo motu na­
turali conficit AD, mixto deorſum conficit AF, eo tempore cadet in G
ex A ſi hic impetus deorſum adueniat; ſed res eſt clara; hæc porrò figura
non eſt Parabola, licèt ſit curua; conſtat autem hîc motus ex naturali
accelerato, ex impreſſo deorſum æquabili per ſe, & horizontali ſenſi­
biliter æquabili; poteſt autem deſignari hæc linea motus ex ſuprà
dictis.
Theorema 96.
Si in circulo verticali prædicto proijciatur per lineam horizontalem ver­
ſus Boream, mouebitur globus motu mixto ex duplici horizontali per eandem
lineam ferè æquabili; id eſt ſenſibiliter, licèt geometricè loquendo retardetur,
& naturali accelerato; ſit perpendicularis deorſum AH, horizontalis AC,
quam conficiat eo tempore, quo conficit AH motu naturali, motu mixto
perueniet in K; ſi verò duplicetur horizontalis, ita vt eo tempore quo
conficit AH, conficiat AD, motu mixto perueniet in L; hæc autem curua
1HL accedit ad Parabolam licèt non ſit vera Parabola; quia quando ia­
ctus horizontalis eſt velociſſimus, qualis in arce, vel in tormentis belli­
cis, eodem tempore mobile non decidit in terram, quo deſcenderet mo­
tu purè naturali ex eadem altitudine.
Theorema 97.
Hinc, ſi motus nauis eſſet æqualis motui ſagittæ, motus ex vtroque mixtus
duplam amplitudinem in plano hòrizontali acquireret, v.g. ſi tantùm ſagitta
emiſſa arcu extra nauim ex A perueniret in K, in naui mobili perueniret
in L; ſi verò nauis, vt reuerâ fit, tardiùs moueatur, ſagitta è naui emiſſa
verſus Boream ſcilicet acquiret pro rata, id eſt ſi nauis motus ſit tantùm
ſubduplus perueniret in M; ſi ſubquadruplus in N &c.
Theorema 98.
Hinc tormentum bellicum quod eſt in prora directum ad eandem lineam,
quam ſuo motu conficit nauis maiorem iactum habebit, non tamen ſenſibiliter;
quia motus nauis parum addit; obſeruabis tamen non videri maiorem
quàm ſi nauis quieſceret, quia eo tempore, quo ſagitta ex A peruenit in
L, nauis ex H peruenit in K; igitur videtur ſemper eſſe idem iactus, ſiue
moueatur nauis ſiue non, quia eſt ſemper eadem diſtantia nauis, & ter­
mini iactus; cum nauis id totum acquirat ſpatij, quod motui ſagittæ
accedit.
Theorema 99.
Hinc vt quis maiore niſu lapidem v. g. proijciat, tùm longiore tempore
brachium rotat, tùm præuio curſu impetum auget, quia non tantùm impe­
tus brachij imprimitur mobili, ſed etiam impetus totius corporis; hinc
etiam ſi præmittatur curſus longiore ſaltu in plano horizontali maius
ſpatium traiicitur; quæ omnia ex iiſdem principiis manifeſtè ſe­
quuntur.
Theorema 100.
Si verò per oppoſitam lineam verſus Auſtrum proijcitur mobile, mouebitur
motu mixto ex duobus horizontalibus ad oppoſitas lineas, & ex naturali ac­
celerato; ſit proiectio per AB, ita vt mobilè perueniat in L niſi impedia­
tur; certè ſi nauis motu ſubduplo in oppoſitam partem feratur, peruenit
tantùm in K, quæ omnia conſtant ex dictis; nam impetus oppoſiti pu­
gnant pro rata, vt ſæpè diximus; videbitur tamen eſſe æqualis iactus; ſi
enim eo tempore, quo ſagitta peruenit in K, nauis fertur in oppoſitam
partem ſpatio æquali KL, haud dubiè diſtantia ſemper erit æqualis; tan­
tùm enim recedit verſus Boream nauis, quantùm ſagitta à puncto L ad
punctum K reducitur.
Theorema 101.
Si motus nauis eſſet æqualis motui ſagittæ v. g. ſi nauis ferretur per
lineam GC ſeu TA verſus Boream, & ſagitta è ſummo malo emitteretur
per lineam TO verſus Auſtrum, deſcenderet per lineam T.G. nec quidquam
1acquireret in horizontali; quod probatur per Th. 133. l.1. ſic globus tor­
menti etiam ne latum quidem vnguem pertranſiret in horizontali, vide­
tur tamen ſemper eſſe idem iactus; nam eo tempore, quo ſagitta caderet
à T in G, nauis eſſet in C, atqui CG & GM ſunt aſſumptæ æquales; hinc
potiùs arcus eſſet emiſſus quàm ſagitta, & tormentum exploſum quàm
globus.
Scholium.
Obſeruabis, ſi nauis motus ſit ad motum ſagittæ v. g. in ratione ſub­
dupla, ſcilicet vt FG, vel LM ad GM peruenit in L per Parabolam TL; ſt
vt EG vel KM ad GL peruenit in K per Parabolam TK; ſi vt DG vel I
M ad GM peruenitin I per Parabolam TI, &c. vnde vides Parabolas
iſtas ſemper in infinitum contrahi, donec tandem in rectam TG deſi­
nant vbi motus nauis eſt æqualis motui ſagittæ: Parabolas dixi ſenſibi­
liter, ſcilicet eo modo, quo ſuprà.
Theorema 102.
Si verò motus nauis eſſet maior motu ſagittæ, ſagitta fèrretur in eandem
partem in quam fertur nauis per ſpatium æquale differentia illorum motuum,
v.g. ſi nauis moueatur per GM & ſagitta per TA, ſitque motus nauis ad
motum ſagittæ, vt GM, ad IM; eo tempore quo nauis attinget M, ſagitta
cadet in I, & ſi motus ſit vt GM ad KM cadet in K vel vt GM ad GL
cadet in L. per Parabolas, quæ omnia conſtant ex dictis, & ex Theore­
mate per 134. l.1.
Corollarium 1.
Ex illa hypotheſi ſequitur egregium paradoxon ſcilicet ſagittam retorqueri
in ſagittarium; ſit enim motus nauis ad motum ſagittæ vt GM ad LM;
haud dubiè per Th. ſuperius eo tempore, quo nauis peruenit ad M ſa­
gitta attinget punctum L, & eo tempore quo nauis eſſet in L ſagitta eſ­
ſet in puncto Y, ſi cum nauis peruenit in L illicò ſiſtat ſagitta, cadet in
ipſam nauim; nam cadet in L quod clarum eſt: dixi ſi nauis ſiſtat poſt
emiſſam ſagittam, ſi enim nauis ſemper moueatur, æquabilis ſemper eſſe
videbitur ſagittæ iactus, ſi enim è naui immobili emiſſa fuiſſet prædicta
ſagitta per horizontalem TO, acquiſiuiſſet ſpatium vel amplitudinem G
L; ſed videtur confeciſſe ML, cum nauis mouetur; atqui ML eſt æqualis
LG, quid clarius?
Hinc ſi quis in naui currat per lineam directionis id eſt verſus eain
partem, in quam mouetur nauis, curret velociùs; immò ſi ambulet, ingen­
tes faciet paſſus ſeu ſaltus v.g.ſi nauis conficit ſpatium GM eo tempore
quo aliquis ſaltat ex G in H; haud dubiè amplitudo eius ſaltus erit com­
poſita ex tota GM & GH; ſi verò in partem oppoſitam verſus C currat:
vel currit velociùs, vel tardiùs, vel æquali motu: ſi primum, aliquid ſpatij
acquiret verſus C æqualis ſcilicet differentiæ motuum; ſi ſecundum, recedet
verſus M ſpatio æquali eidem differentiæ; ſi tertium, nec accedet, nec re­
cedet, ſed totis viribus currens ſeu tentans currere in eodem ſemper lo-
1co ſtabit, vel ſi ſit rotatus globus in tabulato nauis mouebitur motu or­
bis circa centrum immobile.
Theorema 103.
Si proiiciatur mobile per lineam inclinatam deorſum, quæ ſit hypothenuſis
trianguli orthogonij, cuius baſis ſit horizontalis & perpendiculum ſpatium,
quod percurritur motu naturali æquali tempore, idque in naui mobili
in eam partem, verſus quam mouetur nauis, erit motus mixtus ex naturali
accelerato & inclinato mixto ex horizontali & alio inclinato ſit enim
horizontalis AD, perpendicularis AMK, ſit AM ſpatium quod percurri­
tur in perpendiculari motu purè naturali, eo tempore, quo percurritur
AC ſubdupla AD, ſitque AM ſubdupla AC, & ſecundo tempore æquali
percurratur in horizontali CD, & in perpendiculari MK tripla AM;
erit motus mixtus per lineam parabolicam ANH; nam ſuppono hori­
zontalem æquabilem, cùm parùm ab eo abſit, vt ſupradictum eſt; præſer­
tim cum ſenſibiliter hæc linea ſit parabolica.
Iam verò in eadem naui proiiciatur mobile per inclinatam AP, quæ
ſit diagonalis quadrati AP, & impetus perinclinatam AP ſit ad impetum
per horizontalem AC, vt AP ad AC; ducatur LPF parallela MN, & CF
parallela AP; denique diagonalis AF: haud dubiè ML eſt æqualis AM, vt
patet; & ſi motus eſſet tantum mixtus ex AC & AP fieret per diagona­
lem AF, quam mobile eodem tempore percurreret quo vel AC vel AP;
igitur ſi dum percurrit AF percurrit AM, motu naturali, certè dum per­
currit AN ſubdupla AF, percurret tantùm ſubquadruplam AM; aſſuma­
tur ergo NO æqualis AS, & FG æqualis AM; ducaturque curua AOG, hæc
eſt linea quęſita.
Itaque idem dicendum eſt de his inclinatis, quod de aliis ſuprà di­
ctum eſt Th.72. niſi quod accipitur inclinata mixta ex horizontali & da­
ta inclinata, v.g. ANF ex AC & AP; hæc autem linea non eſt Parabolica,
quia quadratum MN, vel VO eſt ad quadratum RG vt 1.ad 4.at verò ſa­
gitta AV eſt ad ſagittam AP, vt 5.ad 12.porrò hæc linea ſecat Parabolam
vt patet; ſi verò accipiatur inclinatata AI, mixta inclinata erit AH igitur
aſſumatur HX æqualis AM, & PZ æqualis AS ducetur linea huius mo­
tus per AZX. quænam verò ſint hç lineæ, dicemus aliàs Tomo ſequenti.
Theorema 104.
Si proiiciatur per inclinatam ſurſum in eam partem, in quam mouetur nauis,
erit etiam mixtus ex naturali, & inclinato ex horizontali, & data inclinata;
vnde idem prorſus dicendum eſt de mixta inclinata, quod de ſimplici in­
clinata, de qua multa ſuprà dicta ſunt à Th.47. ſuppoſito tamen motu na­
turali accelerato, ad quem proximè accedit propter mutationem perpe­
tuam lineæ. ſit enim inclinata ſurſum AB, quæ percurratur motu
æquabili eo tempore, quo horizontalis AE, vel quo motu naturali LA;
diuidatur AE bifariam in D; ducatur DG, tùm DC, AC, hæc eſt linea mo­
tus mixti ex inclinata AG, & horizontali AD; ſequitur deinde Parabola;
nam ſi eo tempore quo percurritur AD, percurritur AG, & LM vel FA;
1certè eodem percurritur AC, igitur ſubduplo tempore percurrentur AN;
igitur FO, quæ eſt ſubquadrupla FA; igitur aſſumatur NH æqualis FO, &
CK æqualis FA, & ducatur curua per puncta AHK; hæc eſt ſemiparabo­
la, nam KI eſt ad KE vt quadratum IH ad quadratum EA.
Vnde vides omnes inclinatas ſurſum vſque ab horizontali DB ad
verticalem DA incluſiuè eſſe Parabolas; omnes verò inclinatas ab ea­
dem horizontali DB ad perpendicularem DC incluſiuè non eſſe Para­
bolas, ſed propiùs accedere ad rectam, vnde aliquis ſuſpicari poſſet eſſe
Hyperbolas.
Theorema 105.
Si proijciatur mobile per inclinatam ſurſum vel deorſum in partem oppoſi­
tam directionis nauis, ſcilicet per diagonales deſcendit & aſcendit per li­
neam rectam, ſurſum vel deorſum, v.g. ſit horizontalis KL, inclinata
deorſum KB, mixta erit KL; ſit etiam inclinata KL, & horizontalis
CH; mixta erit KH, cui addatur in eadem KF portio ſpatij, quod motu
naturali percurritur; idem dico de aliis inclinatis.
Præterea ſit horizontalis VX, inclinata ſursum VN; mixta erit VY; ſic
ex VOVX fiet VS detracta ſcilicet portioni ſpatij, quod detrahitur à
motu naturali; ſi verò ſit vel major motus horizontalis, vel minor eo,
quem aſſumpſimus, non percurrit mobile lineam rectam ſed vel Para­
bolam ſi ſurſum proiiciatur, vel ſi deorſum aliam nouam, quam ad Hy­
perbolam accedere ſuprà diximus.
Hinc certè, quod mirabile dictu eſt, ſi è puncto nauis V ſurſum per
inclinatam VO proiiciatur, ſtatimque poſt proiectionem ſiſtat nauis, in
ipſam nauim deſcendet mobile; atque ita ex his habeo omnes motus cir­
culi verticalis paralleli lineæ directionis; quare ſupereſt vt explicemus
alios motus; ac primò quidem per circulum horizontalem, cuius habeo
quoque duas lineas, ſcilicet communes ſectiones horizontalis & prio­
ris verticalis, id eſt lineam directionis verſus Boream, & oppoſitam ver­
ſus Auſtrum.
Theorema 106.
Si proijciatur mobile per horizontalem verſus Ortum è naui mobili,
monebitur motu mixto ex duplici horizontali, & naturali deorſum, ſit
enim horizontalis verſus Boream AC, & alia horizontalis AH verſus
ortum in eodem plano horizontali; certè ex vtraque fit mixta AK, quæ
ſi percurratur æquali tempore cum AC, & eius ſubdupla cum AB, AC
verò æquali tempore cum AF; quamquàm ſuppono iam eſſe perpendi­
cularem deorſum AB; denique cum AG ſubquadrupla AF aſſumatur
ED æqualis AG perpendiculariter ducta in AD, & KL æqualis AF
parallela ED, & per puncta AEL ducatur curua, hæc eſt linea motus
quæſita; voluatur autem triangulum AKL, donec ſit parallelum circulo
verticali vel alteri, ACO erit in proprio ſitu; vnde eo tempore, quo eſ­
ſet in DE punctum nauis A eſſet in B, & eo, quo eſſet in KL, punctum A
eſſet in C; hoc eſt ſingula puncta AK, è regione AC ductis parallelis
1BD, CK, ac proinde nauis & mobile ſemper eſſent è regione in linea
verſus ortum.
Hinc ſi ex A dirigas ſagittam in H feris punctum K, quam artem probè
noſſe debent rei tormentariæ præfecti; quippe ſagitta aberrabit à ſcopo
verſus Boream declinans toto eo ſpatio, quod conficit nauis eodem tem­
pore, quo mouetur ſagitta; ita prorſus ſi moueatur H verſus K, vt attin­
gas ex puncto immobili A debes dirigere ictum in K, ſi quo tempore
ſagitta conficit AK ſcopus H percurrit HK.Idem prorſus dicendum eſt
de iaculatione per lineam oppoſitam verſus occaſum.
Si verò proiiciatur mobile per lineam inter Boream, & Ortum, linea
motus erit Parabola cuius Tangens erit mixta ex horizontali verſus
Boream, & declinante verſus Ortum, v. g. ſit horizontalis verſus Boream
AF, quam hactenus aſſumpſi pro linea directionis; ſit linea verſus
Ortum AC; ſit declinans verſus Boream AL; ſitque impetus AL, ad
AE vt AL ad AE, quod hactenus ſuppoſui; ſit LG æqualis AE, AG
eſt mixta ex AE, AL; aſſumatur KI, & GH vt iam diximus; fiatque
Parabola AIH, quæ circa axem AE ita voluatur, vt ſit perpendicularis
plano horizontali LF.
Idem dico de omni alia declinante vel à Borea ad Ortum, vel ad Oc­
caſum.
Theorema 107.
Si mobile proiiciatur per declinantem ab Austro ad Ortum, cuius impetus
ſit vt linea; conficit lineam parabolicam, cuius tangens vel amplitudo eſt re­
sta ad Ortum; ſit enim NF ad Boream, NA ad Auſtrum, NI ad Or­
tum, ND ad Occaſum; ſit NL declinans ab auſtro ad Ortum, ſitque im­
petus per NL ad impetum per NF, vt NL ad NF; mixta ex NF NL
eſt HK; ſit autem KH æqualis ſpatio, quod conficitur motu naturali eo
tempore, quo percurritur NF, ſit KI æqualis NK, & IG quadrupla KH;
Parabola NHG eſt linea motus quæſita dum voluatur NIG circa axem
NI, dum IG pendeat perpendicularitur ex plano horizontali ON.
Idem fiet, ſi proiiciatur per declinantem NB ab Auſtro ſcilicet ad
Occaſum.
Theorema 108.
Si mobile proiiciatur per inclinantem ſurſum in circulo verticali, cuius ſe­
ctio cum horizontali tendit ad Ortum, conficit lineam parabolicam, cuius am­
plitudo eſt mixta ex horizontali verſus Boream, & horizontali verſus Ortum,
ſit linea verſus Boream AB, verſus Ortum AK, mixta ex vtraque AF,
linea inclinata ſurſum AP, Parabola AMN, quæ vertatur circa A do­
nec incubet AFG, denique AFG circa FA voluatur, donec incubet
perpendiculariter plano; porrò perinde eſt, ſiue proiiciatur per inclina­
tam ſurſum verſus Ortum, ſiue verſus Occaſum.
Si verò proiiciatur per inclinatam deorſum verſus Ortum, deſcribit
lineam, quæ non eſt Parabola, ſed propiùs accedit ad Hyperbolam, cuius
1tangens eſt mixta ex inclinata deorſum ex horizontali verſus Boream,
ſit enim AC verſus Boream, AB verſus Ortum, AD inclinata deor­
ſum ſub horizontali AB, AG quæ eſt in eodem plano cum AD DG,
mixta ex AD, & AC; aſſumatur EF æqualis ſpatio, quod conficitur
motu naturali eo tempore, quo conficitur AE, & GH æqualis ſpatio,
quod conficitur motu naturali eo tempore, quo percurritur AG; duca­
tur curua AFH, cuius ſitus vt habeatur ſit AB verſus Ortum, ex qua
pendeat perpendiculariter deorſum triangulum ABH, tùm circa axem
AD voluatur triangulum ADH, donec HD ſit parallela horizonti; tùm
circa axem AG voluatur triangulum AGH, dum GH ſit perpendicu­
laris deorſum, tunc enim linea motus AFH habebit proprium ſitum;
idem fiet ſi proiiciatur per inclinatam deorſum verſus Occaſum.
Theorema 109.
Si proijciatur per inclinatam ſurſum, & declinantem ad Ortum, linea mo­
tus erit Parabola, cuius amplitudo erit mixta ex declinante horizontali, &
horizontali verſus Boream, ſit enim horizontalis verſus Boream AK,
horizontalis verſus Ortum AR, declinans à Borea in Ortum AD, mixta
ex AD, AK ſit AI, ſitque Rhomboides AE parallelus horizonti; ſit
EG perpendicularis ſurſum, ſit HD parallela GE; differentia ſpatij,
quod acquiritur motu naturali eo tempore, quo percurritur AI, & FC,
quæ ſit ſubdupla EG. Dico lineam motus AHF eſſe parabolicam, quæ
omnia conſtant ex dictis; idemque dictum eſto de omni alia inclinata
ſurſum ſimul, & declinante, ſeu verſus Ortum ſeu verſus Occaſum; porrò
triangulum AEG incubat perpendiculariter plano horizontali ADEK;
ſi verò proiiciatur per inclinatam deorſum voluatur AKE, dum KO
ſit perpendicularis deorſum; ſit planum RK horizontale, voluatur
AKE circa A, ita vt KO ſit ſemper perpendicularis deorſum, donec
AE ſecet planum RK in AD ſint IO. & EA vt EF, GH in ſuperio­
re figura, & per puncta AOM ducatur curua; hæc eſt linea motus
quæſita.
Theorema 110.
Si proiiciatur per declinantem ab Austro ad Ortum & inclinatam ſurſum,
deſcribet Parabolam, cuius amplitudo erit mixta ex horizontali verſus Bo­
ream & declinante horizontali ab Auſtro ad Ortum ſit AF horizontalis
verſus Boream, AG verſus Ortum, AI declinans ab Auſtro ad Ortum,
AG mixta ex AF AI AL inclinata, ANK Parabola; ſit enim planum
FI horizontale cui triangulum ALI incubet perpendiculariter in ſe­
ctione AG, reliqua ſunt facilia; idem dico de inclinata ſurſum ſimul, &
declinante ab Auſtro ad Occaſum; ſi verò ſit inclinata deorſum, ſit pla­
num ACB horizontale, AB ſit declinans, AC ſit mixta ex AB & ho­
rizontali verſus Boream AF; ſit AD inclinata deorſum, fiatque cur­
ua AQE more ſolito, ita vt triangulum ACE perpendiculariter
deorſum pendeat ex plano horizontali ACB, reliqua ſunt facilia.
1
Scholium.
Obſeruabis aſſumptam eſſe à me hactenus Parabolam, licèt accurate
non ſint parabolicæ lineæ, quia proximè ad Parabolas accedunt;
certè Phyſicè loquendo & ſenſibiliter pro Parabolis aſſumi poſſe ni­
hil vetat.
Corollaria.
Ex his colligis mirabilium motuum rationem. Primò mobile proje­
ctum per lineam declinantem ab Ortu ferri poſſe rectà ad Ortum.
Secundò projectum per inclinatam deorſum, ferri poſſe per ipſam
perpendicularem deorſum.
Tertiò projectum per inclinatam ſurſum, ferri poſſe per verti­
calem.
Quartò, rationem à priori habes, cur ſi ex equo vel ſpuas, vel ali­
quid demittas deorſum, rectà perpendiculariter non cadat, ſed ſemper
è regione, quod maximè videre eſt cum purgatur nauis mobilis, eiecta
ſcilicet aquâ, quæ ſemper nauim inſequi videtur, imò & cum quis pe­
dem effert in naui hunc motum quoque obſeruat.
Quintò non erit etiam iniucundum inde elicere quomodo in maiore
naui, diſco ludere vel pila quis poſſit, licèt nauis motus nullo modo lu­
dum impediat; quæ omnia ex iis, quæ diximus neceſſariò conſequuntur,
& quæ manifeſtum probat experimentum.
Sextò, inde etiam eruuntur rationes motuum mixtorum ex pluribus
motibus v.g.4.5.6.7.&c.in infinitum ſiue in eodem plano, ſiue in diuer­
ſis; In diuerſis vt hactenus explicuimus; in eodem vero ſiv.g.per BC,
BE, BA ſimul imprimantur impetus eidem mobili qui ſint vt ipſæ li­
neæ; primò fiat ex BA BC mixta BD, & ex BD BE, mixta BF, vel ex
BE BC mixta BG, & ex BG BA mixta BF, vel ex BE BA mixta
BH, & ex BH BC mixta BF; vides ſemper eſſe eandem vltimam
mixtam in diuerſis planis; iam oſtendimus eſſe plures ſuprà in naui
mobili v.g. per planum verticale, horizontale, & inclinatum.
Septimò, ſi in naui mobili curreret equus, vel currus, eſſet motus mix­
tus ex quatuor aliis, & ſi terra moueretur in naui mobili eſſent quatuor
motus, ſi ex ea aliquod mobile proiiceretur; inuenitur autem linea mix­
ta in diuerſis planis per quamdam planorum circuitionem, de qua
ſuprà.
Octauò, poſſet facilè in eodem plano motus mixtus conflari ex qua­
tuor aliis vel etiam pluribus, ſint enim quatuor in eodem plano AD
AE. AF. AH. ex AD AE fit AB, ex AB, A fi fit AC, ex AC AH
fit AG, quæ eſt longior AC, & AC longior AB: poſſes etiam compo­
nere ex AH AF, atque ita deinceps eodem ordine, & ſemper vltima
linea erit AG, quod certè mirabile eſt, & à Geometris demonſtrari
poteſt.
Nonò, ex his motibus mixtis educi poſſunt rationes multorum effe-
1ctuum naturalium, qui obſeruantur in rebus naturalibus, quales ſunt v.g.
nubium, vaporum, ventorumque motus, qui ſæpè turbinatim procellas
agunt, quorum turbinum ratio referri non debet, vt videbimus ſuo loco,
in repercuſſionem aliquam, quæ fiat à concauis montibus, qui longiſſi­
mo interuallo ſæpiùs abſunt; ſed potiùs petenda eſt ab ipſa mixti motus
naturâ; quippè rara materies venti facilè recipit omnem impetum; ita­
que ex prægnantibus ſæpè nubibus conferta tenuiſſimorum halituum
examina fractis quaſi carceribus quacumque linea erumpunt;
hinc infiniti propemodum motus, hinc turbines illi, &c.
atque hæc de motu mixto ex pluribus
rectis ſint ſatis.
21[Figure 21]
1 22[Figure 22]
LIBER QVINTVS,
DE MOTV IN DIVERSIS
Planis.
HACTENVS conſiderauimus motum in libe­
ro medio; iam verò conſiderabimus in planis
durioribus, in quibus mobilè feratur vel ſua
ſponte vel ab extrinſeco impulſum.
DEFINITIO 1.
PLanum inclinatum eſt corpus durum læuigatiſſimum, in quo mobile quod­
piam moueri poſſit, quod nec ſit verticale ſurſum, nec perpendiculare deor­
ſum, non addo, nec horizonti parallelum; quia planum rectilineum hori­
zontale eſt etiam decliue, vt ſuo loco videbimus.
Hypotheſis 1.
Corpus graue per planum inclinatum deſcendit, & quidem velociùs per illud
planum, quod minùs recedit à perpendiculari, tardiùs verò per illud, quod plùs
recedit.
Hypotheſis 2.
Corpus graue in plano inclinato minùs grauitat, id eſt faciliùs ſustinetur, &
tardiore motu deſcendit, quàm in perpendiculari deorſum.
Vtraque hypotheſis certa eſt, & de vtraque ſupponimus tantùm, quòd
ſit, nam demonſtrabimus infrà propter quid ſit.
Axioma 1.
Corpus graue ideò tantùm mouetur ſua ſponte, vt deorſum tendat: hoc
Axioma conſtat ex iis, quæ fusè demonſtraui ſecundò lib. adde quod,
deorſum tendere, & corpus graue ſua ſponte moueri idem prorſus ſonare
videntur; nec enim loquor de potentiâ motrice animantium, vel de alia
quacumque magneticâ, ſed de potentiâ motrice grauium; graue autem
illud appello, quod in medio rariore poſitum deorſum tendit, niſi impe­
diatur, denique hîc ſuppono dari motum naturalem grauium deorſum
1quod demonſtratum eſt ſecundo lib. & verò ſi tibi adhuc non fiat ſatis,
probetur hoc Axioma per hypotheſim primam; nam reuerâ ſuppono
quòd omnibus experimentis comprobatur, ſcilicet corpus graue per pla­
num Inclinatum deorſum ſua ſponte deſcendere, non verò aſcendere niſi
propter aliquam reflexionem.
Axioma 2.
Motus, qui impeditur, imminuitur, idque pro rata, & viciſſim impeditur
qui imminuitur; cur enim imminueretur ſeu retardaretur, ſi nullum ſit
impedimentum?
Axioma 3.
Omne quod impedit motum, debet eſſe applicatum mobili vel per ſe, vel
per ſuam virtutem; hoc Axioma etiam certum eſt.
Poſtulatum.
Liceat accipere in perpendiculari deorſum, parallelas, cum ſcilicet aſſumi­
tur modica altitudo; licèt enim non ſint parallelę, quia tamen inſenſibili
interuallo ad ſeſe inuicem accedunt, pro parallelis accipiuntur.
Theorema 1.
Impeditur motus corporis in plano inclinato; certum eſt quod impedia­
tur, quia tardiore motu deſcendit mobile per hyp. 2. igitur impeditur
per Axio.2.
Theorema 2.
Ideo impeditur, quia impeditur linea ad quam determinatus eſt impetus
innatus; cum ſit determinatus ad lineam perpendicularem deorſum per
Ax.1. cur enim potiùs ad vnam lineam quàm ad aliam? atqui id tan­
tùm planum inclinatum efficit, vel impedit, ne deorſum rectà tendere
poſſit; igitur ex eo tantùm capite impedit.
Theorema 3.
Non totus impeditur motus in plano inclinato; quia ſi totus impediretur,
nullus eſſet omninò motus ſuper eodem plano, ſed per planum inclina­
tum mobile deorſum mouetur per hyp.1.igitur totus motus non impedi­
tur; hinc ratio à priori primæ hypotheſeos.
Theorema 4.
In ea proportione minùs mouetur, in quæ plùs impeditur; probatur per
Axioma 2.cum enim motus imminuatur, quia impeditur per idem Axio­
ma; certè quò plùs impeditur, plùs imminuitur; ſed quò plùs imminui­
tur, minor eſt, ergo quò plùs impeditur, minor eſt.
Theorema 5.
Eò plùs impeditur motus, quò maius ſpatium conficiendum eſt ad ac­
quirendam eandem altitudinem, ſeu diſtantiam à centro, illo ſpatio,
quod conficitur in perpendiculari deorſum; hoc Theor. vt clariùs
demonſtretur, aliquid figuræ tribuendum eſt. ſit perpendicularis deor-
1ſum, AB, ſit planum inclinatum AE duplum AB; certè vbi mobile ex A
peruenit in E per planum AE, diſtat æquè à centro, ac ſi eſſet in B; ſup­
pono enim perpendiculares omnes deorſum eſſe parallelas per poſtula­
tum; igitur non acceſſit propiùs ad centrum confecto ſpatio AE, quàm
confecto AB; igitur impeditur in plano AE in ea proportione, in qua
AB eſt minor AE, nam haud dubiè AE eſt maior AB, ſit autem dupla v.g.
igitur impeditur non quidem totus motus ſed ſubduplus; in plano verò
AD impeditur iuxta cam proportionem in qua AB eſt minor AD, nec
enim aliunde poteſt impediri, cum ſcilicet impediatur tantùm, quia im­
peditur linea ad quam ab ipſa natura determinatus eſt per Th.2. v. g.li­
nea deorſum AB; quippè lineæ comparantur inter ſe v.g. AE cum AB,
nam impedimentum lineæ AE in eo tantùm poſitum eſt, quòd difficiliùs
per illam quàm per AB ad centrum feratur mobile, quod certum eſt, cum
imperimentum petatur a difficultate; atqui difficultas motus, qui fit per
lineam AE in eo tantùm eſt, quòd ſit maius ſpatium conficiendum, igi­
tur quò maius ſpatium eſt, maior difficultas eſt; igitur quò maior linea
eſt, maius impedimentum eſt.
Adde quod vel impedimenti proportio petitur ab angulis vel à Tan­
gentibus, vel à ſecantibus; nihil enim aliud adeſſe poteſt; igitur per Ax.
3. poteſt tantùm impediri ab his; ſed proportio impedimenti non poteſt
eſſe ab angulis; quod probatur primò, quia ſi ego quæram à te in qua
proportione motus per AE eſt tardior motu per AB; dices in ea, in qua
angulus EAB eſt maior nullo angulo, quod eſt ridiculum: Equidem di­
ceres motum per AD eſſe velociorem motu per AE in ea proportione,
in qua angulus EAB eſt maior angulo BAD, quod tamen falſum eſt; eſſet
enim ferè duplò maior, quod repugnat experimentis omnibus; at ſi accipiam
angulum BA, qui ſit tantùm vnius gradus ſeu minuti, ſitque EAB angu­
lus 60. grad. ſi velocitas motus per AI eſſet ad velocitatem motus per
AE vt angulus EAB ad angulum BAI, motus per AI eſſet ſexagecuplò
velocior, quàm per AE, quod eſt abſurdum: Diceret fortè aliquis in to­
to angulo 90. GAB diſtribui huius impedimenti motum v.g. ſi angulus
BAI ſit 1.grad. motus per AI amittit tantùm (1/90) ſui motus; ſi angulus D
AB circiter 40.grad. motus per AD amittit tantùm (40/90), & per AE (60/90); cum
ſit angulus BAE 60. grad. igitur motus per AB eſt ad motum per AE
vt 3.ad 1. quod omnibus experimentis repugnat.
Secundò probatur, quia ſi fiat inclinata proximè accedens ad AG v.
g.4′.& aſſumatur alia accedens 3′. differentia anguli erit tantùm 2′. cum
tamen differentia longitudinis plani ſeu ſecantis huius, & illius, ſit ma­
xima, vt conſtat ex canone ſinuum, igitur non imminueretur motus in
plano inclinato ratione impedimenti contra Th.4. quis enim neget eſſe
maximum impedimentum motus tantum ſpatium, quod conficiendum eſt.
Tertiò, omnia experimenta conſentiunt huic Theoremati, & repu­
gnant huic propoſitioni quæ petitur ab angulis; adde quod angulus ni­
hil prorſus facit ad motum, ſed linea ſeu ſpatium; denique hoc ipſum eſt
quod ab omnibus Mechanicis vulgò ſupponitur perinde quaſi prima
1notio, quæ tamen aliquâ demonſtratione indiget.
Equidem explicari poteſt hæc demonſtratio operâ libræ; ſit enim
libra CG cuius centrum immobile eſt A; ſit autem diameter libræ CG,
pondus in C ſe habet ad pondus in D, tranſlata ſcilicet diametro in DH
vt CA, ad BA; igitur pondus in D grauitaret minùs in planum inclina­
tum DA, quàm in horizontali CAI; nam pondus in D idem præſtat, quod
præſtaret appenſum in D fune DE; igitur grauitatio in C eſt ad grauita­
tionem in D, vt CA, vel DA ad BA; ſed quâ proportione decreſcit graui­
tatio in planum, creſcit motus in plano inclinato, quia minùs impeditur
per Th.4. igitur in perpendiculari ea nulla eſt gtauitatio in planum; nec
impeditur vllo modo motus, igitur ab E verſus C ita impeditur motus, vt
AC verſus C impeditur grauitatio in planum, ſed impeditur grauitatio
in D v.g. in ratione totius CA ad EA, vel DA ad DI; igitur impeditur
motus in eadem proportione v.g. in plano DA ad DB vel AI, igitur in
ratione plani inclinati ad perpendicularem.
Hæc omnia veriſſima ſunt; ſupereſt tamen vt ſciatur ratio phyſica cur
pondus in D æquiualeat ponderi in B quod ſupponunt quidem omnes
Mechanici, & omnibus experimentis congruit: Equidem pondus pendu­
lum ex D fune DB, vel longiore, eſt eiuſdem momenti, cuius eſt affixum
in D, ita vt linea directionis, quæ ducitur ab eius centro reſpondeat fu­
ni DB; vnde rectè concluditur ab Archimede idem pondus affixum bra­
chio BA eiuſdem eſſe momenti cum pendulo DB, vel affixo puncto D,
quod certè veriſſumum eſt, nondum tamen rationem phyſicam video;
verum quidem eſt idem pondus pendulum fune DB minoris eſſe
momenti, quàm ſi eſſet affixum puncto C; nam ſuppono CG eſſe libram
in ſitu horizontali; tum quia pondus illud DB trahit deorſum extremum
libræ D per arcum DC longo circuitu, maximè declinante à ſua linea
directionis DB; tùm quia ex hoc ſequitur neceſſariò pondus B deflecti
à ſua perpendiculari curua linea; tùm quia linea DA, quæ rigida ſuppo­
nitur, reſiſtit motui DB & patet; in qua verò proportione, dictum eſt
certè hactenus, ſed phyſicè non demonſtratum.
Pater Merſennus multis locis ex doctiſſimo Roberuallo demonſtrat
rem iſtam ingenioſiſſimè; ſit enim circulus centro R; ſint vectes æqua­
les BF horizonti, DN perpendiculari paralleli; tùm CL, FO, æqualiter
inclinati, ducantur CO EL; haud dubiè ſi pondera C & L ſint æqualia
erit æquilibrium; quod certum eſt, & demonſtrabimus cum de libra; eſt
enim quarta propoſitio Vbaldi de libra; ſed pondus in O pendulum ſci­
licet filo CO eſt eiuſdem momenti, cuius eſt pondus in P; igitur pon­
dus in P æquale ponderi O ſuſtineret pondus ML, ſed pondus in P
eſt ad pondus in B vel in F, ad hoc, vt ſit æquilibrium, RF ad R
P; igitur pondus in A vel in R, quod erit ad pondus in L, vt P ad R
L, ſuſtinebit pondus in L; ſed ſi applicetur potentia in C quæ trahat per
tangentem CT, faciet idem momentum quod faceret in B trahens per
tangentem BA; at vicem illius potentiæ gerit pondus B vel A, quod gra­
uitat per BA; igitur potentia applicata C per CT, æqualis ponderi A
1retineret pondus in L; ducatur autem KLG Tangens parallela CT; certè
eadem potentia in L per LG retinebit pondus in L; quæ idem retine­
ret applicata in C per CT; cum enim RC & RL ſint æquales ſi ſint ap­
plicatæ duæ potentiæ æquales in C quidem per CT, & in L per LG;
haud dubiè erit perfectum æquilibrium; igitur ſi pondus A pendeat in
H fune LGH, retinebit pondus L in plano inclinato GLK; eſt autem
pondus H ad pondus LN SR ad RL; ſed triangula RSL, & GKI
ſunt proportionalia; igitur pondus in H eſt ad pondus L, vt GI ad G
K; igitur ſi vires, quæ retinent pondus in plano inclinato GK ſunt ad vi­
res, quæ retinent pondus in perpendiculari GI, vt GI ad GK; igitur im­
petus ſeu motus mobilis in plano GK eſt ad impetum, ſeu motum eiuſ­
dem in perpendiculo GI, vt GI ad GK.
Hæc omnia veriſſima ſunt, ſemper tamen deſiderari videtur ratio phy­
ſica, cur idem pondus pendulum ex C in O, ſit eiuſdem momenti cum
pondere affixo puncto P, ſeu brachio libræ horizontalis PS. quod certè
Mechanica Axiomatis, vel hypotheſeos loco iure aſſumere poteſt; at ve­
rò phyſica non ſatis habet de re cognoſcere quod ſit, niſi ſciat propter
quid ſit; igitur nos aliquam afferre conabimur. Suppono tantùm tunc
eſſe æquilibrium perfectum duorum ponderum æqualium cum vtrimque
æqualia illa pondera ita ſunt appenſa, vt linea directionis vnius æqua­
lis ſit lineæ directionis alterius, cur enim alterum præualeret ſi ſint æ­
qualia? hoc poſito.
Dico pondus affixum P æquale ponderi L facere æquilibrium; cum
enim linea directionis ſit PO, ſi deſcenderet liberè per PO. L eodem
tempore attolleretur per LS, quod certè applicatis planis SL PO facilè
fieri poſſet; ſed eodem modo P grauitat, quo ſi deſcenderet per PO; eſt
enim eius linea directionis; atqui tunc faceret æquilibrium, quod oſten­
do; æquale ſpatium conficeret L, per LS aſcendendo, quod P per PO
deſcendendo; igitur ſi attolleret L in S, ſimiliter pondus L æquale P in S
attolleret pondus P ex O in P, igitur neutrum præualere poteſt; ſed quia
hæc fuſiùs explicabimus cum de libra, nunc tantùm indicaſſe ſufficiat.
Supereſt vt breuiter oſtendamus accipi non poſſe hanc proportio­
nem imminutionis motus in plano inclinato à Tangente BE tùm
quia; iam à ſecante accipi oſtendimus, tùm quia ſit Tangens BD æqualis
ſumi toti ſeu perpendiculari AB; ſequeretur motum per AD æqualem
eſſe motui per AB; Equidem in maxima diſtantia accedit Tangens ad
ſecantem; igitur eò plùs impeditur motus, quò maius ſpatium conficien­
dum eſt, &c.
Theorema 6.
Ex hoc ſequitur neceſſariò motum in plano inclinato eſſe ad motum in per­
pendiculari, vt ipſa perpendicularis ad ipſum planum inclinatum, v.g. velo­
citas motus per AE eſt ad velocitatem motus per AB, vt ipſa AB eſt
ad ipſam AE, ſit enim AE dupla AB, velocitas per AB eſt dupla veloci­
tatis per AE.
1
Obſerua quæſo, cum dico motum in plano inclinato eſſe ad motum
in perpendiculo, vt ipſæ lineæ permutando, ita intelligendum eſſe, vt
vel aſſumatur motus in ſingulis inſtantibus, ita vt eo inſtanti, quo datum
ſpatium in inclinata acquiritur, acquiratur duplum in perpendiculo; quo
poſito valet certè tantùm illa proportio ratione motus æquabilis, ſi ſer­
uari debet; nam perinde ſe habet phyſicè, atque ſi eſſet, vt iam fusè ex­
plicatum eſt lib.2. in re ſimili.
Theorema 7.
Hinc deſcendit mobile per ſe in plano inclinato; ratio eſt, quia totus mo­
tus non impeditur, cum ſit eadem proportio, quæ eſt perpendicularis
ad inclinatam; dixi per ſe, nam per accidens in plano ſcabro tantillùm
inclinato mobile deſcendit, adde quod corpus graue tamdiu mouetur
quandiu accedere poteſt ad centrum terræ.
Theorema 8.
Motus in infinitum imminui poteſt, probatur, quia proportio perpen­
dicularis ad inclinatam poteſt eſſe minor in infinitum, quia inclinata
poteſt eſſe longior, & in infinitum.
Theorema 9.
Ex his vera redditur ratio cur in plano inclinato ad angulum BG motus ſit
ſubduplus illius qui fit in perpendiculari; v.g. ſit angulus BAE 60. certè
AE eſt dupla AB, ſed motus in AB eſt ad motum in AE vt AE ad AB
per Th.6. igitur eſt duplus.
Ex his reiicies quoque Cardanum, & alios quoſdam, qui diuerſam
proportionem motuum in planis inclinatis deducunt ex diuerſis angu­
lis inclinationis; iuxta quam proportionem motus in AE eſſet ſubtri­
plus in AB contra experimentum.
Theorema 10.
Motus acceleratur in plano inclinato; experientia clariſſima eſt, ratio
eadem cum illa, quam adduximus lib.3. cum de motu naturali, quia ſci­
licet prior impetus conſeruatur, & acquiritur nouus, Imò acceleratur
iuxta eandem proportionem, vel noſtram ſingulis inſtantibus, vel Gali­
lei in partibus temporum ſenſibilibus; vnde aſſumemus deinceps iſtam
Galilei proportionem, quia ſcilicet partes temporis ſenſibiles tantùm
aſſumere poſſumus.
Theorema 11.
In plano inclinato eſt idem impetus innatus qui est in perpendiculari, ſed
in hac habet totum ſuum motum, non verò in illa, quia impeditur, niſi
enim totus eſſet, non grauitaret corpus illud in planum inclinatum;
quippe ſuas omnes vires impetus ille exereret circa motum; igitur ali­
quid illarum exerit circa motum aliquid circa planum, in quod ex parte
grauitat; igitur idem eſt impetus innatus, adde quod ille eſt inſepa­
rabilis.
1
Theorema 12.
Impetus naturalis aduentitius productus à corpore graui in plano inclinato
eſt minor eo, qui producitur in perpendiculari; probatur, quia eſt minor
motus, igitur minor impetus, vt ſæpè diximus; ſecundò (hæc eſt ratio
à priori;) quia cum ideo producatur impetus iſte aduentitius, vt motus
acceleretur; certè debet reſpondere motui, qui competit impetui innati;
ſi enim nullum habet motum, nullus accedit de nouo impetus, è con­
tra verò ſi eſt motus, ſed maior, ſi maior eſt motus, & minor ſi eſt minor;
quia hic impetus tantùm eſt propter motum.
Theorema 13.
Impetus qui producitur in acceleratione motus habet totum motum quem
exigit (præſcindendo à reſiſtentia medij); nec enim per illum mobile graui­
tat in planum; alioquin creſceret ſemper grauitatio; igitur totus exerce­
tur circa motum; ratio eſt quia hic impetus addititius non eſt inſtitutus
propter grauitationem, ſed tantùm propter motum: adde quod ad om­
nem lineam determinari poteſt, ſecùs verò naturalis ſaltem om­
ninò.
Theorema 14.
Imminuitur motu illo grauitatio corporis in planum; ratio eſt primò; quia
quò velociùs mouetur in plano, breuiori tempore ſingulis partibus in­
cumbit: ſecundò quia motu illo accelerato quaſi diſtrahitur mobile ab
illa linea grauitationis in planum; hinc mobile celeri motu moueretur
in plano illo inclinato, quod eiuſdem ſubſiſtentis grauitationi & ponde­
ri vltrò cederet.
Theorema 15.
Impetus innatus ex ſe eſt ſemper determinatus ad lineam perpendicularem
deorſum; quia grauitas tendit ad commune centrum, vt videbimus tra­
ctatu ſequenti; tamen ratione plani quaſi detorquetur ad lineam plani
ad quam tamen omninò non determinatur, alioquin non grauitaret in
planum: vnde dixi, detorquetur ſeu quaſi diuiditur, perinde quaſi eſſet
duplex impetus, quorum alter per lineam perpendicularem deorſum
eſſet determinatus, in quo non eſt difficultas; impetus tamen aduenti­
tius determinatur omninò ad lineam plani.
Scholium.
Dubitari poteſt an grauitatio in planum inclinatum ſit vt reſiduum
plani, cui detrahitur perpendiculum v.g. ſit planum inclinatum CD ad
angulum ACD 60. potentia quæ ſuſtinet pondus B per EB eſt ad præ­
dictum pondus vt CA ad CD; detrahitur CA ex CD, ſupereſt FD æqua­
lis ſcilicet CA; an fortè grauitatio ponderis B in planum inclinatum C
D eſt ad grauitationem eiuſdem in planum horizontale; quæ eſt graui­
tatio tota, id eſt nihil imminuta vt DF ad DC; attollatur enim totum
triangulum CAD in eadem ſitu altera manu, & altera filo EB paralle-
1lo CF, retineatur pondus B ne ſcilicet deorſum cadat; tùm ſubtrahatur
pondus trianguli CAD; nunquid fortè altera manus ſuſtinebit tantùm
ſubduplum ponderis B? & altera ſubduplum? igitur vt habeatur quod
ſuſtinet ſuppoſita dextra v.g. debet ſubſtrahi, quod ſuſtinet ſiniſtra, ſed
quod ſuſtinet ſiniſtra, eſt vt ipſa potentia, id eſt vt CA ad CD; igitur
tota CD repræſentat totum pondus, ſegmentum CF partem ponderis
quæ competit potentiæ E, FD verò partem quæ ſuſtinetur à pla­
no CF.
Hinc facilè poſſet determinari quota pars ponderis incubet plano,
ſit enim planum inclinatum AC, perpendiculum AB, accipiatur AB
æqualis AB, ſitque AC tripla AB, duæ tertiæ ponderis incubant plano
ſi verò ſit horizontale planum, totum pondus grauitat in illud; nulla eſt
enim perpendicularis, ſi ſit perpendiculare planum, nihil prorſus gra­
uitat; quia nulla eſt inclinata, & quò propiùs accedit planum inclina­
tum ad horizontalem plùs grauitat pondus in illud, minùs verò; quò
propiùs accedit ad perpendicularem.
Hinc eſſet oppoſita ratio grauitationis, & motus, in plano inclinato;
nam quò plùs eſt grauitationis minùs eſt motus, quò plùs motus, minùs
grauitationis; quando verò planum inclinatum eſt duplum perpendicu­
culi vt planum CFD, tunc tantundem detrahitur de grauitatione in
planum quantùm de motu in eodem plano; ideſt vtrique ſubduplum,
ſi verò vt in plano ADC perpendiculum eſt ſubtriplum plani, detrahun­
tur de motu 2/3 & de grauitatione 1/3, idem dico de aliis, quæ certè omnia
ex veris principiis phyſicis conſequi videntur, quò enim plus grauitat
mobile in planum, plùs ſuſtinetur; quò plùs ſuſtinetur, plùs impeditur il­
lius motus; ſed hoc repugnat communi Mechanicorum ſententiæ, qui
cenſent grauitationem in planum inclinatum eſſe ad grauitationem in
horizontale, vt Tangens eſt ad ſecantem, quæ ſit linea plani inclinati,
v.g. vt AB ad CD, quod certè omnes ſupponunt, ſed minimè demon­
ſtrant, ſi quid video ſaltem phyſicè; nec enim illud nemonſtrant propriè ex
eo quòd pondus in extremitate libræ affixum habeat diuerſa momenta
iuxta rationem Tangentium ad ſecantes, v.g. in ſecunda figura Th.5.
pondus in D eſt ad pondus in C vt BA ad DA, quod veriſſimum eſt, &
ſuprà demonſtrauimus; quippe hoc pertinet ad rationem momenti, non
verò grauitationis in planum; adde quod affixum eſt pondus vecti; igi­
tur vectis ſuſtinet totum illius pondus; vtrùm verò ſi pondus in plano
inclinato veluti in vecte moueatur pondus quo grauitat in planum ſit
ad pondus quo grauitat in horizontali vt Tangens ad ſecantem, certè
non demonſtrant; attamen ita res prorſus ſe habet; quare fit.
Theorema 16.
Grauitatio ponderis in planum inclinatum eſt ad grauitationem eiuſdem
in planum horizontale, vt Tangens, vel horizontalis ad ſecantem, vel incli­
natam, quod demonſtro. Primò ſit planum inclinatum GD, pondus in-
1cubans F; dico grauitationem ponderis F in inclinatam GD eſſe ad gra­
uitationem in horizontalem CD vt CD ad GD; quia pondus F pellit
planum per lineam FE ſeu GB Tangentem; quia determinari non po­
teſt ſeu percuſſio, ſeu impreſſio ex alio capite quàm ex linea ducta à
centro grauitatis perpendiculariter in planum, vt demonſtrauimus
in Th. 120. l. 1. atqui libræ extremitas G initio deſcendit per Tangen­
tem GB, id eſt per minimum arcum, qui ferè concurrit cum Tangente;
ſed ideò deſcendit in AB, quia pellitur deorſum à pondere; igitur men­
ſura grauitationis eſt deſcenſus libræ, ſed libra faciliùs deſcendit ex A
deorſum quàm ex G in proportione AD ad CD vel GD ad CD; igitur
grauitatio ponderis in A eſt ad grauitationem eiuſdem in G, vt GD ad
CD; quia rationes cauſarum ſunt eædem cum rationibus effectuum.
Præterea ſit planum inclinatum GD, ſit IF parallela GD; ſint IK, I
M & quadrans KFR; punctum I ſit centrum libræ immobile; certè ſi ſit
alterum brachium libræ æquale IF inſtructum æquali pondere F, erit æ­
quilibrium; ſed pondus illud in F eſt ad idem in R, vt IM ad IF, ſeu vt
CD ad GD, quod erat dem.
Scholium.
Obſeruabis poſſe facilè ex dictis explicari diuerſas potentias applica­
tas ponderi F in eodem plano GD, primò ſi accipiatur IHF parallela
GH cum centro immobili I pondus retinebitur, ſi potentia in I ſit ad
globum vt GC ad GD, vt demonſtratum eſt; ſi verò pellat potentia per
lineam IF, globus deſcendet, vt patet.
Hinc ſecundò ſuſtinens MF totum pondus F ſuſtinet, patet, quia ſi­
ue planum inclinatum pondus ipſum tangat, ſiue perpendiculare, totum
ſuſtinet pondus; ſubſtracto enim plano pondus immobile manet, adde
quod non poteſt pondus F ſuſtineri in brachio IM, niſi æquale pondus
ex æquali brachio oppoſito pendeat.
Tertiò ex puncto T lineâ TFE non poteſt ſuſtineri pondus licèt po­
tentia in T eſſet infinita, quia ex TE deſcendet in TV, patet; idem
dico de omnibus aliis lineis ductis ab F ad aliquod punctum inter
TM.
Quartò ex puncto X linea XF ſuſtinebitur pondus dum potentia ap­
plicetur in X, maior quidem potentia applicata in I, ſed minor applica­
ta in M; nam potentia M eſt ad potentiam I vt IF ad MF; igitur poten­
tia X eſt ad potentiam M vt MF ad XF; ad potentiam verò I vt IF
ad XF.
Quintò, cùm triangula IF M.HF 4. ſint proportionalia, potentia M
eſt ad potentiam I vt HF ad 4. F.
Sextò, ſi applicetur potentia, vel in T pellendo per lineam TFE, quæ
cadit perpendiculariter in planum GD, vel ſi applicetur in A per lineam
AE trahendo, non poterit retineri globus, quæcunque tandem poten­
tia applicetur; quia ſemper per GD globus rotari poterit nullo cor­
pore impediente; ſuppono enim tùm planum tùm globum eſſe perfectè
1politum, quod tamen nobis deeſſe certum eſt ad experimentum, ſuppo­
no nullam eſſe partium compreſſionem, qua vna pars in aliam quaſi pe­
netret; ſi enim totus locus datur ad deſcenſum; certè non eſt vlla ratio
propter quam non deſcendat; nec dicas affigi plano GD ab ipſa vi ex­
teriùs affigente; quia nullo modo impeditur motus, per datam lineam,
niſi vel aliquod corpus opponatur, vel alius impetus detrahat ab eadem
linea; atqui nihil horum prorsùs eſt in hoc caſu.
Si potentia applicetur in N per lineam NF, maior eſſe debet quàm in
I, ſed minor quàm in A; eſt autem ad potentiam in I vt IF ad NF;
quippe reſiſtit planum GD huic potentiæ in N, non tamen reſiſtit in I;
igitur illa maior eſſe debet, quod autem potentia in N ſit ad potentiam
in I, vt IF ad NF (poſito ſcilicet quod vtraque pondus E ſuſtineat) plùs
quàm certum eſt; quia cùm pondus poſſit tantùm moueri per EG ſeu per
lineam FI potentia NF trahit per FN; igitur potentia in N ſuſtinens
pondus F eſt ad potentiam in I ſuſtinentem idem pondus, vt IF ad NF;
ſimiliter potentia in K ſuſtinens idem pondus F eſt ad potentiam in I vt
IF ad ZF, nam IZ eſt perpendicularis in KF, donec tandem potentia
ſit in A applicata per AF in quam IF cadit perpendiculariter, igitur po­
tentia in A debet eſſe infinita.
Octauò, ſi pellatur pondus F per omnes lineas contentas ſiniſtrorſum
inter FT & FA deorſum faciliùs cadet; ſi verò trahatur per lineas con­
tentas inter TF & FA dextrorſum, etiam deorſum cadit; quia perinde
eſt ſiue trahatur per lineam IF, ſiue pellatur æquali niſu per lineam VF
quæ concurrit cum FI; & perinde eſt ſiue pellatur per IF, ſiue trahatur
per FV; idem dictum ſit de omnibus aliis lineis, quæ per centrum F
hinc inde ducuntur.
Vnum eſt, quod deſiderari videtur ex quo reliqua ferè omnia depen­
dent, quomodo ſcilicet potentia in N trahens per FN ſit ad potentiam
in I trahentem per FI vt FI eſt ad FN, quod ſic breuiter demonſtro:
ſit horizontalis BD, & triangulum ECD; ex centro D ducatur arcus
BE, qui ſit v.g. 30.grad. vt CE ſit ſubdupla ED; certè potentia in B
eſt ad potentiam in E per EC vt BD, vel ED ad CD; ſed potentia in E
per EA Tangentem eſt æqualis potentiæ in B; ſit autem planum EA, &
connectatur AC; triangula AEC & ECD ſunt proportionalia; igitur
ſit AC verticalis, EC horizontalis, & AE inclinata; ſit potentia in A
per AE trahens pondus E; ſit potentia C trahens per CE; dico quod
impeditur tractio toto angulo AEC, ſicut ante impediebatur grauitatio
toto angulo AEC; igitur vtrobique eſt æquale impedimentum; ſed in
primo caſu ratione impedimenti ita ſe habet potentia in E per EA ad
potentiam in E per EC, vt ED ad CD, vel vt EA ad EC; igitur in ſe­
cundo in quo eſt idem impedimentum potentia in A per EA eſt ad po­
tentiam in C per EC, vt ipſa inclinata AE ad EC.
Nonò denique obſeruabis, egregium eſſe apud Merſennum tractatum
authore doctiſſimo Roberuallo ſuper hac tota re, in quo certè Geome-
1tria nihil deſiderare poteſt; licèt phyſica fortè aliquid deſiderare poſſit;
adde quod implicatior illa figura infinitis ferè contexta lineis, quam ha­
bet, equidem erudito Geometræ faciet ſatis, non tamen rudiori Tyroni,
qui vix in hoc labyrintho tutum ſe eſſe putabit.
Theorema 17.
Si globus incumbat plano inclinato rotatur neceſſariò deorſum; ſit enim
globus F in plano ED; ducatur FH perpendicularis deorſum; hæc eſt
linea directionis centri grauitatis, vt conſtat; igitur cùm non ſuſtinea­
tur in prædicta linea, nec enim terminatur ad punctum contactus G, cer­
tè debet rotari; adde quod non eſt in æquilibrio, vt patet, ratio autem
inæqualitatis eſt vt GF ad FN, nec vlla eſt difficultas; igitur duplici
quaſi motu deſcendet in prædicto plano ille globus, ſcilicet motu centri
propter inclinationem plani, & motu orbis, tùm quia non eſt in æqui­
librio, tùm quia in linea directionis FH non ſuſtinetur à plano.
Theorema 18.
Si corpus aliquod incumbat plano inclinato, ſique linea directionis
centri grauitatis ſecet ipſum planum intra baſim corpus repit quidem in
prædicto plano ſed non rotatur, ſi verò cadat extra baſim rotatur, non repit;
ſit enim planum inclinatum BC, cui incubet cubus DL, cuius cen­
trum grauitatis ſit I; ducatur RG perpendicularis deorſum per cen­
trum grauitatis I cadit in punctum G intra baſim BG; igitur non ro­
tabitur, ſed repet; quia ſi ſuſtinetur in G remoto ſenſim plano BC;
haud dubiè portio GD non præponderat portioni GL, vt patet ex
libra.
Sit quoque parallelipedum EK, centrum grauitatis N, perpendicu­
laris ducta per centrum HNM cadit intra baſim; igitur non rotabi­
tur, quia ſubmoto plano BC non ſuſtinetur quidem in M, ſed minimè
inclinabitur dextrorſum; igitur non rotabitur. Si verò cadat extra ba­
ſim haud dubiè rotabitur, ſit enim planum inclinatum AC, cui in­
cumbat parallelipedum FN, cuius centrum grauitatis ſit L; ducatur L
perpendicularis, cadit in E extra baſim FD; certè latus DN inclinabi­
tur deorſum; igitur rotabitur, quia eodem modo ſe habet, quo ſe ha­
beret, ſi ſubmoto plano ſuſtineretur in linea DX, ſed trapezus DX
PN triangulo FXD præponderat per regulas libræ, de quibus ſuo
loco.
Obſeruabis autem primò ſciri poſſe data plani inclinatione & baſi
parallelipedi maximam illius altitudinem, qua poſita non rotetur;
ſecus verò poſita quacunque alia maiore; ſit enim planum AC, ba­
ſis parallelipedi FD; erigantur FO, DN perpendiculares in
1AC; tùm erigatur perpendicularis DX parallela AB; connectantur R
M: dico FX eſſe maximam altitudinem, vt conſtat ex dictis.
Secundò, quotieſcunque rectangulum, ita eſt ſitum, vt eius
diagonalis ſit perpendicularis; dico eſſe in perfecto æquilibrio;
ſit enim rectangulum BE, cuius diagonalis BE perpendicula­
riter cadit in horizontalem AC; certè erit in æqualibrio; ſit enim
diuiſum per lineam BE ita vt FH vel KI ſit libra quæ ſuſtineatur in ful­
cro BG; ſitque totum pondus trianguli BED appenſum brachio GH,
& aliud BET appenſum brachio æquali GF, erit perfectum æquili­
brium per regulas libræ, ſed duo triangula eodem modo ſe habent
conjuncta, quo ſe haberent ſeparata & appenſa, vt patet.
Tertiò, omnia rectangula proportionalia in eodem æquilibrio rema­
nerent v.g. rectangulum BG cum rectangulo BE, idem dico de Rhom­
bo, Rhomboide, &c.
Quartò, inde etiam cognoſcitur in qua proportione minuatur pondus.
v. g. ſit enim cylindrus AE horizontalis, ſuſtineaturque in A immo­
biliter, itemque in E; certè qui ſuſtinet in E æqualiter ſuſtinet; at verò
ſi attollatur in AD; certè potentia quæ in D ſuſtinet, eſt ad potentiam
quæ ſuſtinet in E, vt AF ad AE, quia pondus grauitaret in D & in E in
eadem ratione per Th. 16. ſed potentia ſuſtinens adæquat ponderis ra­
tionem, ſuſtinens inquam, per DH; nam reuerà ſuſtinens per DF æqua­
lis eſſe debet potentiæ in E: idem dico ſi attollatur in AP, nam potentia
trahens in P, per CP, eſt ad potentiam in E, vt QA ad AP, vel AE;
igitur pondus in D eſt ad pondus in P vt FA ad QA.
Quintò, hinc ſi duo ferant parallelipedum in ſitu inclinato v.g.vt AD,
ferunt inæqualiter, ſcilicet in ratione AD FA, itemque ſi ferant in ſitu
inclinato AP, vel AC, donec tandem AE attollatur in B, nihil amplius
ſuſtinet potentia in B, & potentia in A totum ſuſtinet.
Sextò, hinc cùm attollitur cylindrus continuò minùs ſentitur pondus
& faciliùs attollitur; ſic qui attollunt pontes illos verſatiles, initio maxi­
mo niſu, & modico ſub finem trahunt.
Septimò obſeruabis, ſi circa centrum immobile A attollatur cylindrus
AE fune BE, potentia poſita in B, vel fune EO, potentia poſita in O;
hæc deber eſſe minor quàm poſita in B, vt autem cognoſcatur propor­
tio, fiat angulus PAE æqualis angulo OEB; ducatur PQ; dico poten­
tiam in O eſſe ad potentiam B, vt AQ ad AP, quia ſi anguli OEB &
PAQ ſunt æquales etiam anguli APQ & AEB ſunt æquales; igitur
perinde eſt ſiue trahatur PA circa A per lineam PQ, ſiue trahatur EA
circa A per lineam EB. Idem dictum ſit de aliis lincis.
Octauò ſi attollendum ſit rectangulum non quidem circa axem; ſed
circa angulum immobilem, etiam decreſcit proportio ponderis, ſit enim
v.g. quadratum ACFD, ſitque AD horizontalis, AI perpendicularis, duca­
tur diagonalis AF, attollatur circa punctum A, ita vt transferatur in AG,
ducatur GB perpendicularis: dico potentiam in G eſſe ad potentiam in
in A, vt AB ad AD; quippe res eodem modo ſe habet, ac ſi AF aſcenderet
1per arcum FM, donec vbi AF traducta ſit in AM, tunc enim nulla erit
potentia in M propter æquilibrium.
Nonò, hinc initio decreſcit in maiori proportione ratione præpon­
derantiæ; quia poſita baſi KN, angulus KAN eſt omnium maximus; at
verò decreſcit in minori proportione initio ratione ſegmenti horizon­
talis AD, in quam cadit perpendicularis.
Decimò, ſi ſit rectangulum oblongum horizontale vt AE diffici­
liùs attolletur; quia quadratum AF figuræ prioris debet tantùm attolli
per arcum FM, vt ſtatuatur in æquilibro; at verò rectangulum AE fi­
guræ huius attolli debet per arcum EC longè maiorem; igitur difficiliùs:
porrò potentia in D eſt ad potentiam in F vt AG ad AF, vt conſtat ex
dictis.
Vndecimò, denique, ſi ſit rectangulum oblongum, ſed verticale vt
HK longè faciliùs attolletur, quia diagonalis HK debet tantùm percur­
rere arcum KM vt ſtatuatur in æquilibrio; igitur minorem, igitur longè
faciliùs; porrò hæc omnia omnibus experimentis conſentiunt, & ex
principiis facillimis demonſtrantur. Hæc paulò fuſiùs proſequutus ſum,
quia pertinent ad rationem plani inclinati.
Theorema 19.
In plano inclinato acceleratur motus in eadem proportione qua acceleratur
in perpendiculari; ſit enim planum inclinatum AC, perpendicularis A
E, in qua primo tempore ſenſibili percurrat AD; ſecundò DE; certè dato
etiam tempore licèt maiore percurret AB; igitur alio æquali percurret
CB; nam vt ſe habet AE ad AG; ita ſe habet AD ad AB, & DE ad BC;
quæ omnia ſunt certa.
Theorema 20.
Hinc æqualis ineſt velocitas mobili decurſa AC, inclinata & decurſa AE
perpendiculari, probatur, motus per AC eſt ad motum per AE, vt AE, ad
AC per Th.6.igitur motus per AC eſt tardior; ſed motu tardiore minùs
ſpatium conficitur æquali tempore in ca proportione, in qua motus eſt
tardior; ſed proportio velocitatis eſt vt AC ad AE: atqui quâ propor­
tione motus eſt tardior alio, maius ſpatium decurri debet, vt motu acce­
lerato per minora crementa acquiratur velocitas alteri æqualis; igitur
eò ſpatium debet eſſe maius, quò motus erit tardior; igitur debet percur­
ri AC in inclinata, & AE in perpendiculari, vt ſit æqualis velocitas;
ſit autem v.g. AC dupla AE, certè motus per AC eſt ſubduplus motus
pes AE; ducatur EB perpendicularis, certè AB eſt ſubdupla AE; igitur
eo tempore, quo percurret AE, percurret tantùm AB ſubduplum ſcili­
cet motu ſubduplo; igitur tempore æquali BC triplam AB; ſed tem­
poribus æqualibus acquiruntur æqualia velocitatis momenta; igitur ve­
locitas in C eſt dupla illius, quæ erat in B; ſed quæ eſt in E eſt dupla il­
lius, quæ eſt in B; igitur quæ eſt in E eſt æqualis illi, quæ eſt in C. Adde
quod in ea proportione in qua motus eſt tardior, ſpatium eſt maius, vt
æqualis velocitas acquiratur; igitur ſi quælibet pars ſpatij motum auget
1minùs quidem qua proportione motus eſt tardior, & ſi ſpatium AC ma­
jus eſt ſpatio AE in ca proportione in qua motus per AE eſt velocior;
pauciores partes ſpatij AE augent motum, ſed plùs ſingulæ, & plures
ſpatij AC augent motum, ſed minùs ſingulæ; ſed cum ſint plures in ea­
dem proportione, in qua minùs augent; certè plures quarum ſingulæ mi­
nùs augent, ſimul ſumptæ æqualiter augent, v.g. ſint AC 4. partes, & AE
2. ſingulæ AE augeant motum vt 4. & ſingulæ AC vt 2. quia in ca pro­
portione minùs augent in qua 2. ſunt ad 4. certè 2. ſimul ſumptæ augent
motum vt 8. & 4. ſimul ſumptæ etiam vt 8. quæ dicta ſunt in gratiam
Geometrarum, ſed meliùs adhuc ex dictis patebit.
Theorema 21.
Hinc aqualis eſſet ictus ab eodem mobili poſt motum per AE. AF. AC.
AG. quia eſſet acquiſitus æqualis impetus; igitur eſſet æqualis ictus,
quod certè mirabile eſt.
Theorema 22.
Hinc poteſt determinari ſpatij quæcunque petita proportio ad ſpatium da­
tum; v. g. ſit ictus inflictus à mobili decurſa perpendiculari AE: vis æ­
qualem ictum ſed confecto ſpatio duplo; accipe AC duplam AE: vis æ­
qualem ictum ſed confecto ſpatio triplo, accipe AG triplam AE.
Theorema 23.
Tempora quibus percurruntur ſpatia planorum ſunt vt planorum longitu­
dines, v.g.tempus quo percurritur planum inclinatum AC eſt ad tempus
quo percurritur perpendicularis AE, vt AC ad AE; probatur, cùm enim
mobile in C & in E habeat æqualem impetum ſeu velocitatem per Th.
20. certè cùm motus in AC ſit ſubduplus v.g. motus in AE, eſt enim
vt AE ad AC per Th.6. igitur cum ſubduplo motu æquali tempore ac­
quiritur ſubduplus impetus; igitur tempore duplo æqualis impetus; at­
qui tempus motus per AC eſt ad tempus motus per AE vt AC ad AE,
ideſt duplum; adde quod ſi æqualis impetus eſt in C & in E; igitur æqua­
lis in D & in B, ſed AB eſt ad BC vt AD ad DE; igitur ſi creſcit impe­
tus per partes ſubduplas in AC, neceſſariò creſcit per partes duplas in
ſpatio, atque in tempore; cùm enim motus ſit ſubduplus, tarditas eſt ſub­
dupla; igitur acquiritur in AC ſpatium AB ſubduplum AE eo tempore,
quo percurritur AE, ſi enim accipiantur æqualia tempora, ſpatia ſunt vt
motus; ſed motus per AC eſt ſubduplus; igitur ſpatium AB eſt ſubdu­
plum AE; ſed tempore æquali conficit BC triplum AB, igitur tota AC
eſt dupla AE; ſed percurritur tempore duplo; igitur tempora ſunt vt
longitudines planorum; ſed clariùs, & breuiùs illud demonſtro; In ea pro­
portione erit maius tempus per AC quàm per AE, in qua minor eſt
motus per AC quàm per AE; ſi enim motus per AF eſſet ad motum per
AE vt AF ad AE, certè æquali tempore AF & AE percurrerentur; igitur
qua proportione motus per AF eſt minor, tempus eſt maius; tantundem
enim additur tempori, quantum detrahitur motui; igitur tempora ſunt
1vt lineæ. Hinc acquiritur velocitas æqualis, vt dictum eſt Th. 20. quia
ſi tantùm addit tempus per AF ſupra tempus per AE, quantum addit
motus per AE ſupra motum per AF, haud dubiè eſt æqualitas.
Theorema 24.
Hinc poteſt determinari longitudo plani, quæ dato tempore percurratur, v.
g. perpendicularis 3. pedum percurritur 30tʹ. igitur ſi aſſumas planum
inclinatum 6. pedum, percurretur 1″. ſi 12. 2′. ſi 24. 4″. atque ita dein­
ceps; hinc poſſet dari planum inclinatum quod tantùm 100. annis per­
curretur, ſcilicet ſi longitudo plani aſſumpti ſit æque multiplex longitu­
dinis 12. pedum atque 100. anni vnius ſecundi; quod facilè eſt, imò da­
to plano cuiuſcunque longitudinis, poteſt dari tempus quodcunque quo
percurratur, de quo infrà.
Theorema 25.
Determinari poteſt quantum ſpatium conficiat mobile in plano inclinato;
dum conficit perpendicularem; ſit enim perpendiculum AE, inclinata AC;
ducatus, EB perpendicularis in AC; dico quod eodem tempore percur­
ret AE & AB, quod demonſtro; quia triangula EAB, EAC ſunt pro­
portionalia: igitur AB eſt ad AE vt AE ad AC; igitur motus in AB
eſt ad motum in DE vt AB ad AE; igitur ſi tempora aſſumantur æqua­
lia ſpatia erunt vt motus, vt patet, id eſt motu ſubduplo acquiritur ſpa­
tium ſubduplum: nec alia eſſe poteſt regula tarditatis, igitur ſpatia
erunt vt AB ad AE, id eſt in ratione motuum; licèt enim motus veloci­
tas creſcat, attamen ſi accipiatur velocitas compoſita ex ſubdupla maxi­
mæ & minimæ, percurretur AE motu æquabili æquali tempore; ſed
compoſita ex ſubdupla maximæ & minimæ per AB habet eandem ra­
tionem ad priorem compoſitam, quàm motus per AB ad motum per AE.
& hic quam habet AB ad AE. Sed hæc ſunt clara.
Theorema 26.
Hinc æquali tempore deſcendit per inclinatam BE, ſit enim inclinata
AG, perpendicularis AE; ſit quoque FC perpendicularis in AG, & FD,
in CF. Dico quòd eo tempore, quo conficit CD perpendicularem
conficit CF inclinatam per Th.24. eſt enim DF perpendicularis in IC.
ſicut FC in AG, ſed CD eſt æqualis AF, vt patet.
Theorema 27.
Hinc cognito ſpatio quod percurritur in plano inclinato, cognoſcitur ſpa­
tium quod conficeretur tempore æquali in perpendiculari, ſit enim tempus
quo percurritur AC; ducatur ex C perpendicularis CF. Dico confici AF
in perpendiculari eo tempore, quo percurritur AC: vel ſit inclinata C
F, ducatur ex F perpendicularis FD; percurretur CD eo tempore, quo
percurritur CF, quæ probantur per Th.24.& 25.
1
Theorema 28.
Hinc per omnes chordas inſcriptas circulo ad alteram extremitatem,
diametri perpendicularis terminatas deſcendit mobile æquali tempore; a ſit
enim circulus centro B; ſit diameter AE perpendicularis deorſum; du­
catur AC inclinata, tùm CE; deſcendat haud dubiè æquali tempore
per AC.CE.AE. per Th.24.25.26. idem dico de omnibus aliis AD.D
E. AG.GE.AF.FE; eſt enim eadem omnibus ratio; hinc non poteſt da­
ri planum tam paruæ longitudinis, quo non poſſit dari minus, quod dato
tempore percurratur. Hæc eſt illa propoſitio toties à Galileo enuncia­
ta; cum enim motus per BE ſit ad motum per GE vt GE ad BE, & tem­
pus per BE ad tempus per GE vt BE ad GE; cumque ſit vt BE ad GE
rita GE ad AE; certè motus per AE eſt ad motum per GE vt AE ad G
E; igitur tantùm addit AE ſupra GE ratione ſpatij, quantum ratione
motus: igitur tempore æquali per AE. & GE fiet motus, idem dico de
aliis chordis.
Theorema 29.
Hinc datis duabus inclinatis æqualibus poteſt determinari ratio tempo­
rum, in quibus percurruntur; ſint enim AG.AH æquales, ſed diuerſæ incli­
nationis; haud dubiè cum æquali tempore AG. AF percurrantur per
Th. 27. tempora quibus percurruntur AGAH erunt vt tempora quibus
percurruntur AF AH, & hæc vt tempora quibus percurruntur AE. A
K, & hæc vt radices quadratæ illorum ſpatiorum AE. AK, cum autem
ſpatia ſint vt quadrata temporum, vel in duplicata ratione, ſi inter AE
& AK ſit media proportionalis AN. v. g. tempus quo percurretur AE
erit ad tempus, quo percurretur AK vt AE ad AN, vel AN ad AK.
Theorema 30.
Hinc cognito tempore quo percurritur data portio linea cognoſci potest
tempus, quo percurritur aliud ſpatium vel alia portio, v. g. cognoſco tem­
pus quo percurritur AK, & volo cognoſcere tempus quo percurritur K
E, conſequenti motu ex AK, ſcio tempus quo percurritur ſola AE, quod
eſt ad tempus quo percurritur AK vt AE ad AN per Th. 28. igitur
tempus quo percurritur KE conſequenti motu ex AK eſt ad tempus,
quo percurritur AK vt EN ad NA, vel vt NK, ad NA.
Theorema 30.
Hinc in planis inæqualibus tùm in longitudine, tùns in inclinatione,
poteſt ſciri ratio temporum, quibus percurruntur; ſint enim AC AR duo pla­
na; ſit autem AE perpendicularis indefinita; diuidatur AC bifariam
in V ducta perpendiculari VB; ex B fiat circulus, ſecabit puncta
ACE; ſecat etiam AR; in D igitur AC, & AD percurruntur æquali
tempore per Th. 27. ſimiliter fiat circulus ART eodem modos certè A
R & AT percurruntur æqualibus temporibus per Th. 27. igitur tempus,
quo per curritur AR, vel AD eſt ad tempus, quo percurritur AR vt
tempus, quo percurritur AE ad tempus, quo percurritur AT; ſed hæc
1ſunt vt radices AEAT, id eſt tempus quo percurritur AE eſt ad tem­
pus, quo percurritur AT, vt AE ad mediam proportionalem inter AE
AT, vel vt AD ad mediam proportionalem inter AD AR; quippe AD
eſt ad AR vt AE ad AT.
Galileus verò demonſtrat rationem iſtorum temporum eſſe compoſi­
tam ex ratione longitudinem planorum & ex ratione ſubduplicata al­
titudinum eorumdem permutatim accepta: pro quo obſerua à Galileo
rationem duplicatam appellari duplam, & ſubduplicatam appellari ſub­
duplam.
Obſeruabis denique plurima ex his colligi poſſe præſertim ex Th. 27.
quæ quia ſunt purè geometrica, certè phyſicę minimè competunt; aliqua
tamen omittere non poſſum.
Primò, ſi ſint duo plana inæqualia ad angulum rectum, qui ſuſtinea­
tur ab horizontali, determinari poſſunt tempora deſcenſuum ſit enim
triangulum orthogonium ABE, ita vt AE ſit horizontalis; ducatur B
G indefinita perpendicularis in baſim AE; tùm FA perpendicularis in
AB; tùm FC perpendicularis in BE; tùm denique GE in BE; dico BA
BFBC percurri temporibus æqualibus, item BE, BG, EG, etiam æqua­
libus; igitur tempus, quo percurritur BA eſt ad tempus quo percurri­
tur BE, vt tempus, quo percurritur BF ad tempus quo percurritur BG;
hæc porrò ſunt in ſubduplicata ratione BFBG vel BC, & BE.
Secundò, ſi planum ſuſtinens angulum rectum non ſit parallelum
horizonti 6. res ſimiliter determinari poterit; ſit enim triangulum or­
thogonium ABC ex B, ducatur perpendicularis deorſum indefinitè BF,
tùm EA in AB, tùm DC in CB, tùm EH parallela DC, tùm GC in A
C; denique AG parallela BF; dico quod BABEHE AE percurren­
tur æqualibus temporibus item BCCDBD.
Tertiò, ſiue deſcendat ex B in C per lineam perpendicularem BC,
ſiue ex A per inclinatam AC, eodem modo deſcendet ſiue per CD, ſiue
per CE; ratio eſt clara, quia acquirit æqualem velocitatem ſiue ex A ſi­
ue ex B deſcendat pet Th. 20. erit autem tempus per CE ad tempus per
CD, vt CE ad CD per Th.23.& motus per CE ad motum per CD, vt
CD ad CE per Th.6. poſito initio motus in C.
Quartò, præuio motu ex A vel ex B ad C poteſt inueniri inclinata,
per quam mobile pergat moueri motu ſcilicet naturaliter accelerato, ita
vt æquali tempore illam conficiat; ſi enim BC conficiet dato tempore;
igitur CF triplum CB conficiet tempore æquali; ſit autem planum ho­
rizontale EDK ad quod ex C ducendum ſit planum inclinatum, quod
eodem tempore percurratur, quo CF, diuidatur CF bifariam in H, & ex
puncto H fiat arcus CK, ducaturque CK: Dico CF & CK æquali tem­
pore confici per Th. 27. modò ex quiete C procedat motus: ſimiliter aſ­
ſumi poteſt alia horizontalis LM ducto arcu LF ex centro H; nam CL
& CF æquali tempore percurruntur; ſi verò præſupponatur motus præ­
uius ex A vel ex B, haud dubiè CK breuiori tempore percurretur, quàm
CF, idem dico de CL; alioqui CE & CI eodem præuio motu ſuppo
1ſito æquali tempore percurrerentur, quod falſum eſt; nam ſit AC ad A
N vt AN ad AE; ſitque BC ad BO vt BO ad BI; certè tempus, quo
percurritur BC eſt ad tempus, quo percurritur CI vt CB ad CO, &
tempus quo percurritur BC eſt ad tempus quo percurritur CE vt BC ad
CN; ſed CN eſt minor quàm CO, vt conſtat ex Geometria, quod bre­
uiter in tironum gratiam in terminis rationabilibus oſtendo, ſit planum
inclinatum AE 9. ſitque AE id eſt 9. ad AD. 6. vt AD ad AC 4. ex
centro C aſſumpta CH 3. ducatur arcus HB & ex A ad prædictum ar­
cum Tangens AB, tùm ex BC G indefinitè & ex E, EG perpendicularis
in EA; haud dubiè triangula CGE, CAB ſunt proportionalia; igitur vt
CB;.ad CA. 4.ita CE 5. ad CG 6. 2/3; igitur tota BG eſt 9. 2/3; ſitque B
G ad BF, vt BF ad DC, quod vt fiat BG 9. 2/3 in BC 3. productum erit
29. igitur BF eſt Rad. quad. 29.igitur eſt maior 5. ſed ſi eſſet maior 5. C
M & CD eſſent æquales; igitur CF eſt maior CD; eſt enim BF ferè 3.
1/2 paulò minùs: vt autem reperiatur linea inclinata, quæ percurratur æ­
quali tempore cum BC ſuppoſito præuio motu per BC, aſſumatur CK
æqualis CB id eſt 3.partium, fiatque vt AC ad AK, ita AK ad AN; haud
dubiè percurret CN æquali tempore, quo BC; vt verò habeatur pun­
ctum in horizontali, ſit AF perpendicularis bifariam diuiſa in K, ſit K
F diuiſa in 4. partes æquales, quibus addatur FP 1/4 KFEK V dupla FA,
& producatur in X; ita vt EX ſit 1/4 EK: dico quod præuio motu ex A in
K, & deinde deflexo per KX conficietur KX æquali tempore cum AK;
ſi enim caderet mobile ex V primo tempore percurreret VL, id eſt 1/4 V
K eo tempore, quo percurreret AK per Th.6. igitur ſecundo tempore
æquali LK, id eſt 3/4 VK; igitur tertio tempore æquali KX 5/4 VK; nam eo­
dem modo ſe habet in k ſiue deſcendat ex V, ſiue ex A per Th.20.
Porrò vt habeatur in horizontali FS; ſit FR æqualis KF; ſit FT æ­
qualis KR; ſit arcus TS ex k: Dico quod ks eſt linea quæſita; nam ſi ſit
vt BS ad BZ, ita BZ ad BK, kz erit æqualis KF, vel AK; ſed tempus
quo percurritur AK eſt ad tempus quo percurritur Dk vt BK ad AK
per Th.23.& ad tempus, quo percurritur BS, vt Bk ad BZ, & ad tem­
pus quo percurritur ks vt Bk ad kz; ergo Ak & ks percurruntur æ­
quali tempore, ſi kz ſit æqualis KF, quod ſic breuiter demonſtro, cùm
figura apud Galileum deſideretur. ſint AFFE æquales; ducatur AE
quæ transferatur iu FG, ſitque GI æqualis AG, ſic tota AG mihi repræ­
ſentat totam BS ſuperioris figuræ, vt conſtat; ſit autem AG ad AH vt A
H ad AI: Dico GH eſſe æqualem AF; ſit enim quadratum HD mediæ
proportionalis: Dico eſſe æquale rectangulo IC, dùm AC ſit æqualis A
G; igitur quadratum PR cuius latus eſt æquale FG, ſeu AE continet
duo quadrata RDSN; ergo GH eſt æqualis VN; igitur GH quod erat
demonſtrandum.
Quintò, hinc nunquam ks vel kx poteſt eſſe tripla Ak donec tan­
dem perueniatur ad perpendiculum kH; nam ſecundo tempore percur­
ritur kH triplum Ak, ſi primo percurritur Ak; nunquam etiam ks vel
vlla alia inclinata poteſt eſſe dupla tantùm Ak; ſed ſemper eſt maior, do-
1nec tandem perueniat ad horizontalem KY, quæ eſt dupla AK, quia in
horizontali non acceleratur motus; igitur cum impetu acquiſito in deſ­
cenſu AK, conficiet motu æquabili KY duplum AK per Th.42.l.3. poſito
quòd non deſtruatur; atque ex his ſatis facilè intelligentur, quæcumque
habes apud Galileum in dialog.3.à propoſitione 3.ad 23.
Sextò non probat Galileus, ſed tantùm ſupponit mobile ad eandem alti­
tudinem aſcendere poſſe motu reflexo ex qua deſcendit, quod examinabi­
mus lib. ſequenti, hinc non laborabimus in examinandis prop. 24.25.26.27.
Septimò, cognito tempore, quo percurrit mobile perpendiculum EC
quod ſit diameter circuli; ſciri poteſt quo tempore percurrat duas chor­
das ſimul EGGC; ſit enim Tangens EF, ſitque vt FG ad FD, ita FD ad
FC; cum EG & EC deſcendat æquali tempore per Th.27. cum in G ſit
idem motus, ſiue ex E, ſiue ex F deſcendat per Th.20. certè ſi deſcendit
per EG dato tempore, quod ſit vt EG, deſcendit per GC tempore, quod
eſt vt GD; igitur tempus, quo deſcendit per EC eſt ad tempus, quo deſ­
cendit per EGC, vt EG ad EGD.
Obſeruabis autem GF eſſe ad EF vt EF ad FC; igitur FD eſt media
inter FC GF, & eſt æqualis FE, igitur anguli FDE.FED æquales; ſed FD
E eſt æqualis duobus DCE.DEC, & FEG, eſt æqualis DCE; igitur duo G
DE DEC ſunt æquales.
Octauò, ſi accipiantur æquales horizontalis, & perpendicularis, v.g.
BA AC, ducaturque BC: Dico nullum duci poſſe planum inclinatum à
puncto B ad perpendiculum AEM, quod breuiori tempore percurratur,
quàm BC, nec intra angulum vt BR, nec extra vt BM; ſit enim vt BC ad
BI ita BI ad BH, eſt autem BI æqualis BA, igitur ſi BA, ſit 4.BC eſt v.g.
32. & BH radix q.8.igitur HI eſt ferè I paulò plùs; igitur cum BH percur­
ratur æquali tempore cum AC, eſt tempus, quo percurritur BH ad tem­
pus quo percurritur HC vt BH ad HI.
Sit autem BR dupla AR, ſitque perpendicularis AK in BR; certè KR
eſt ſubquadrupla BR; igitur percurritur BL æqualis KR eo tempore quo
percurritur AR; igitur BL ſit ad BV vt BV ad BR; igitur temporibus æ­
qualibus percurruntur BL LR; igitur ſi tempus quo percurritur BL ſit vt
BH, tempus quo percurretur LR erit etiam vt BH; igitur totum tempus
quo percurritur tota BR erit vt tota BE, ſed tempus quo percurritur tota
BC eſt tantum vt BI quę eſt minor BC; igitur BC breuiori tempore per­
curritur quàm BR; ſit etiam vt BP ad BX ita BX ad BM, ſi BO eſt 4. OP 2.
certè BP eſt rad.q. 12.id eſt ferè 3.1/2 paulò minùs, BM verò eſt dupla BA
vel BO; igitur eſt 8. ducatur ergo 8. in 4. 1/3 productum erit 28. cuius radix
eſt ferè 5.1/3 paulò minùs; igitur BX eſt 5.1/3 paulò minùs; cum autem BH
ſit 2.q.8.eſt ferè 2.5/6, paulò minùs; igitur ſit vt BP 3.1/2 ad BX 5.1/3, ita BH
2.5/6 ad aliam; certè erit 144. id eſt 4.(26/63), licèt minùs acceptum ſit; igitur
126.eſt maior BI, quæ eſt tantùm 4; igitur BE breuiori tempore percur­
ritur, quàm BM.
Nonò, per duas chordas quadrantis deſcendit breuiori tempore mo­
bile, quàm per alteram tantùm inferiorem ſcilicet ſit enim tantùm
1quadrans ABG in quo ſint duæ chordæ GC, CB: Dico quòd per vtram­
que ex G breuiori tempore deſcendit, quàm per inferiorem CB; quia
per CB, & GB æquali tempore deſcendit per Th.27.ſed per GCB bre­
uiori tempore deſcendit, quàm per GB; ſit enim GD perpendicularis
parallela AB; ſit ED perpendicularis in CG, & per 3. puncta GCD
ducatur circulus: his poſitis, GH & GC eodem tempore percurrentur,
& in C idem erit motus, ſiue ex G per GE, ſiue ex E per EC deſcen­
dat mobile per Th.27.& 20. ſit autem EB ad EK vt EK ad EC, ſitque
BE v.g, dupla BE vel BA: dico EK eſſe æqualem BG; eſt autem BH
maior BC vel AB, vel HG minor CK; ſit etiam GH ad GI, ita GI
ad GB: dico tempus, quo deſcendit per GCB eſſe ad tempus quo de­
ſcendit per GB vt GCK ad compoſitam ex GC, HI; ſed hæc eſt ma­
ior illa, vt patet ex Geometria, & analytica; igitur breuiori tempore de­
ſcendit per GCB, quàm per GB; ſed de hoc aliàs.
Sit enim EB 8. dupla ſcilicet AB; ſit autem EE ſubdupla EB ad
EK vt EK ad EB; aſſumatur GE, ſitque tempus, quo continetur GC.
vt GC, & quo conficitur BC vt CK; igitur quo conficitur GCB vt
GCK: ſimiliter ſit ſecunda linea GB, ſitque tempus, quo percurritur
GH vt GC, vel NO æqualis GC, ſitque vt GH ad GN, ita GN ad
GB certè ſi GH decurratur tempore GH, AB decurretur tempore
HN; ſed HN maior eſt MB, vel CG, vt conſtat ex analytica; adde quod
in figura prima ſit GI ad GM vt GM ad GB; certè ſi tempore GI
percurratur GI, percurretur GB tempore GM; eſt autem GM æqua­
lis AB, vel EC; ſimiliter ſit EC ad EK vt EK ad EB, ſi percurratur
EC tempore EC, percurretur EB tempore EK; ſed GC percurretur
tempore GC ſed GCK minor eſt GIM; ſit enim GM. 4. EK R. que
32. id eſt, 5 7/8 paulò minùs, quibus ſi ſubtrahas CE 4. & ſubſtituas CG
2. paulò plùs habebis 3 7/8; igitur GCK minor eſt GIM. Ex his habes
omnes Galilei propoſitiones de motu in planis inclinatis numero 38. in
quo ſtudio, vt verum fatear, maximam ſibi laudem peperit; in quo ta­
men opere duo deſiderari videntur, alterum à Philoſophis, quod ita phyſi­
cæ partes omnes neglexerit, vt ferè vni Geometriæ ſatisfaceret; alterum
ab Geometris quod Geometriam equidem accuratè tractarit. Sed minùs
ad captum Tyronum: atque hæc de his ſint ſatis, vt tandem noſtrorum
Theorematum ſeriem interruptam repetamus.
Theorema 31.
Ex dictis ſequitur pondus centum librarum poſſe habere tantùm grauitatio­
nem vnius libræ; ſit enim planum inclinatum centuplum horizontalis, id
eſt, ſecans centupla Tangentis; haud dubiè grauitatio in prædictum pla­
num erit tantùm ſubcentupla per Th.16.
Theorema 32.
Ex duobus ferentibus idem parallelipedum in ſitu inclinato poteſt alter fer­
re tantùm vnam libram, licèt pendat centum libras; ſit enim ita inclina-
1tum, vt linea inclinationis ſit centupla horizontalis oppoſitæ; certè qui
ſuſtinet in altera extremitate eleuata (1/100) tantùm ſuſtinet ponderis par­
tem per Th. 18. alius verò ſuſtinet in altera extremitate, quæ deorſum
eſt (93/100).
Theorema 33.
Qui poteſt tantùm datum pondus ſurſum attollere per lineam verticalem,
centuplum per inclinatum planum ad eandem altitudinem attollet; ſi enim ſit
inclinata ad perpendiculum in ratione centupla; haud dubiè qui attollit
datum pondus per ipſum perpendiculum ſine viribus auctis per inclina­
tum planum, pondus centuplò maius attollet, quia potentia per inclina­
tam eſt ad potentiam per ipſum perpendiculum vel altitudo ad inclina­
tam per Theor. 6. igitur ſi æqualis vtrobique applicetur potentia, pon­
dus centuplò maius attollet per inclinatam, ſeu pellendo, ſeu tra­
hendo.
Theorema 34.
Hinc ratio plani inclinati demonſtrat cochleæ vires. v.g. pellitur ſurſum
per DE inclinatam faciliùs quàm verticalem DH in ratione DE ad
DH, quæ ſi eſt tripla, eadem potentia quæ datum pondus attollit per
DH, triplò maius attollet per DE, vel ſi attollat per DA verticalem,
triplò maius attollet per ſpiras vel Helices DE EC, CF, &c. vſque ad
A; hinc quò Helix erit inclinatior, potentia maius pondus illius operâ
attollet.
Theorema 35.
Hinc clarè vides compenſari longitudinem motus, ſpatij vel temporis, pon­
deris acceſſione, v.g. triplò maius pondus attollitur per DE quàm per
DH; quia ſpatium DE eſt triplum DH; igitur motus triplus, ſcilicet in
duratione, (loquor enim de motu æquabili quo ſurſum corpus, vel tra­
hitur, vel continuò pellitur.)
Theorema 36.
Hinc nullus mons eſſe poteſt quantumuis arduus, ad cuius apicem via faci­
li in modum cochleæ ſtrata pertingi non poſſit; & quò plures erunt ſpiræ, eo
facilior erit & minùs decliuis via.
Theorema 37.
Quando deſcendit mobile per multas ſpiras, ſeu volutas, poteſt determinari
altitudo perpendicularis, ex qua eodem tempore deſcenderet; ſit enim ſpira
ſeu cochlea AFCHD, & perpendiculum AD; certè eodem tempore
deſcendit per AFC, quo deſcenderet per AG duplam AF; ſed eo tem­
pore, quo deſcendit per AF inclinatam, conficit AD per Th.27. quæ eſt
ad AF vt AF ad BA; ſit autem dupla: ſimiliter eodem tempore conficit
AFG vel AFG, quo conficit AE duplam AG; denique eo tempore,
quo conficit AF CHD, vel AGD, conficit duplam AE.
1
Sic etiam eo tempore, quo in perpendiculo conficit AD conficit ſub­
duplam ſcilicet AF, ſed hæc ſunt clara.
Theorema 38.
Quando proiicitur mobile per planum inclinatum ſurſum in ea proportione
proiicitur longiùs, quò inclinata ipſa longior eſt perpendiculari. v.g. ſi proii­
citur per BA in verticali, illa eadem potentia quæ proiicit in A ex B, pro­
iiciet quoque ex F in A, ex M in A, atque ita deinceps ex ſingulis punctis
horizontalis BM; ratio eſt, quia in ea proportione deſtruitur impetus
per BA, in qua motus per AB deſcendit; nam impetus innatus deor­
ſum quaſi trahit mobile graue; impetus verò impreſſus ſurſum attollit;
igitur pugnant pro rata, vt ſæpè diximus in tertio libro, & alibi: ſimiliter
in inclinata FA impetus innatus quaſi reducit mobile deorſum dum
impreſſus violentus ſurſum promouet; igitur ſi impetus innatus per AB,
& per AT æqualem vim haberet, haud dubiè æquale ſpatium contine­
ret mobile projectum per BA & FA; nam eadem potentia cum æquali
reſiſtentia idem præſtat & inæqualiter deſcendit per AB AF, & motus
per AF eſt ad motum per AB, vt AB ad AF. v.g. ſubduplus; igitur re­
ſiſtentia per BA erit dupla reſiſtentiæ per FA; igitur ſpatium per FA
erit duplum; igitur ex F aſcendet in A, quo cum eo impetu ex B aſcendet
in A, ſuppoſita eadem potentia; idem etiam dicendum de aliis punctis
horizontalis BM: præterea ille impetus ſufficit ad motum ſurſum per
FA, qui accipitur in deſcenſu AF, vt conſtat ex dictis; itemque ſufficit
ad motum ſurſum per BA qui acquiritur in deſcenſu AB; ſed æqualis ve­
locitas, vel impetus acquiritur in vtroque deſcenſu AB AF per Th. 20.
igitur idem impetus ſufficit ad deſcenſum BA FA.
Theorema 39.
Hinc dicendum eſt impetum naturalem per inclinatam FA vel MA non
ſurſum intendi, ſeu creſcere; alioqui ex A mobile deſcenderet citiùs in F,
poſtquàm ex F proiectum eſſet in A, quàm ſi tantùm ex A in F demit­
teretur, quod eſt contra experientiam; adde quòd impetus naturalis ſur­
ſum non creſcit, vt iam ſæpè dictum eſt.
Theorema 40.
Destruitur aliquid impetus impreſſi in mobili per planum inclinatum.
Probatur, quia tandem quieſcit mobile; igitur ceſſat motus; igitur & im­
petus: nec dicas id fieri ab aëre, vel plani ſcabritie; nam, ſi hoc eſſet,
æquale ſpatium conficeret in FA & LA; quippe æqualis portio plani
æqualiter reſiſtit; Idem dico de aëre; igitur deſtruitur impetus impreſ­
ſus ab impetu naturali.
Theorema 41.
Destruitur tantùm pro rata, hoc eſt in ratione, quam habet perpendiculum
ad inclinatam. v.g. ſit perpendiculum FCA; haud dubiè ſi non deſtrue­
retur motus ſurſum cum eo gradu impetus, quo ex F aſcendit in C motu
retardato, aſcenderet in A motu æquabili, & eodem tempore; igitur eo
1tempore deſtruitur totus impetus; ſi verò proiiciatur per LC; certè im­
petus totus non deſtruitur per LC, eo tempore, quo ex F aſcenderet in
C, ſed pro rata, id eſt in ratione FC ad LC, quæ ſit ſubdupla v.g. igitur
impetus deſtruitur tantùm ſubduplus; igitur eo tempore, quo ex F aſcen­
dit in C, ex L aſcendet in K, ita vt LM æquali FC addatur MK æqua­
lis EB; eſt autem EB ſubdupla CA vel EF. Similiter ſit perpendicu­
lum FG, & inclinata HF tripla FG; aſſumatur FC æqualis FG, item­
que HO æqualis GF; certè eo tempore, quo perpendiculari detrahitur
totus impetus, detrahitur tantùm ſubtriplum per inclinatam HF; igitur
aſſumatur ER ſubtripla EF; & addatur OP æqualis FR: dico quod eo
tempore, quo ex G aſcendit in F, ex H aſcendit in P; quippe aſcenderet
in O, ſi eo tempore totus impetus deſtrueretur, & in S ſi nullus; igitur
in P, ſi ſubtriplus tantùm deſtruatur, deſtruitur porrò ſubtriplus, quia vis
impetus innati per FH eſt tantùm ſubtripla eiuſdem per FG; atqui de­
ſtruitur tantùm ab impetu innato, quæ omnia certiſſimè conſtant; Ex
quo habes tempora eſſe vt lineas.
Theorema 42.
Hinc poteſt dici quo tempore conficiatur tota inclinata ſurſum ſcilicet eo
tempore quo inclinata deorſum percurritur. v.g, CL dupla CF percurritur
tempore duplo illius, quo percurritur CF; igitur mobile proiectum ex
L in C percurrit LC eodem tempore aſcendendo, quo percurrit EL de­
ſcendendo; ſed percurrit EL deſcendendo eodem tempore, quo percur­
rit perpendicularem quadruplam CF, vt ſuprà diximus.
Theorema 43.
Hinc nunquam in inclinata ſurſum proiectum mobile acquirit duplum ſpa­
tium illius quod acquirit idem proiectum in verticali ſurſum, v. g. ex H pro­
iectum nunquam acquiret in HF duplum ſpatium GF, poſito quòd ex
G proiiciatur tantùm in F dato tempore, ſitque eadem potentia per HF.
Probatur, quia ſemper deſtruitur aliquid impetus iuxta proportionem
FG ad FH per Th.40. ſed ſi nullus deſtruitur impetus, duplum ſpatium
conficit; igitur ſi aliquid deſtruitur, duplum ſpatium non conficitur: po­
teſt tamen propiùs in infinitum ad duplum accedere.
Theorema 44.
Hinc erecta perpendiculari FC, ductaque horizontali FL, productaque
in infinitum, ſi ex quolibet illius puncto eleuetur planum inclinatum termina­
tum ad C, eadem potentia que ex F in C mobile proiiciet, etiam ex quolibet
puncto deſignato in horizontali proiiciet in C per planum inclinatum; quod
probatur per Th. 38.
Theorema 45.
Ex his etiam probatur proiici ex L in C ab ea potentia, quæ ex F proiicit in
C; cum enim primo tempore proiiciat ex L in K (ſuppono enim LC
eſſe quadruplam KC) certè ſecundo conficit tantùm KC; eſt enim mo­
tus violentus ſurſum retardatus inuerſus motus deorſum accelerati; at-
1qui motu naturaliter accelerato ſi primo tempore conficit KC, ſecun­
do conficit KL triplum CK; igitur ſi motu retardato primo tempore
conficit LK, ſecundo conficit KC ſubtriplum LK.
Theorema 46.
Si proiiciatur in horizontali motus per ſe eſt æqualis in ſpatio modico: Pro­
batur, quia in nulla proportione deſtruitur, vt patet; dixi per ſe, quia re­
uera nullum eſt planum perfectè lęuigatum, nec etiam mobile: vnde cum
aſperitas plani reſiſtat, inde maximè motus retardatur; dixi in ſpatio
modico, nam planum horizontale rectilineum longius, eſt planum incli­
natum, de quo infrà, vnde vt motus ſit æqualis, debet proiici in ſuperfi­
cie curua æqualiter diſtante à centro mundi.
Theorema 47.
Si proiiciatur mobile deorſum per inclinatum planum, mouetur velociùs B;
certum eſt, & acquirit maius ſpatium ſingulis temporibus iuxta ratio­
nem impetus accepti. v.g. ſit planum ABE, in quo primo dato tem­
pore mobile acquirat AB, ſitque impetus impreſſus æqualis împetui,
quem acquirit dum percurrit ſpatium AB; haud dubiè primo tempore
ratione vtriuſque impetus percurrit AC, ſcilicet, duo ſpatia; ſecundo
CD, id eſt 4. ſpatia; tertio DE, id eſt 6. ſpatia; atque ita deinceps: vn­
de vides proportionem arithmeticam, quæ naſcitur ex acceſſione quan­
tumuis modica noui impetus.
Theorema 48.
In plano inclinato non deſtruitur impetus impreſſus, quia non eſt frustrà;
igitur non deſtruitur per Sch. Th.152.lib.1. ſic diximus in Theoremate
68. l.4. in proiecto deorſum per lineam perpendicularem deorſum non
deſtrui quidquam impetus impreſſi, licèt deſtruatur in proiecto per in­
clinatam deorſum in libero medio, vt diximus in Th.67. lib.4. vide Th.
68.lib.4.
Theorema 49.
Poteſt determinari quantus impetus imprimi debeat mobili per planum in­
clinatum, vt æquali velocitate moueatur quo mouetur in perpendiculari ſuæ
ſponte, hoc eſt vt æquali tempore æquale ſpatium vtrimque acquiratur,
aſſumpto ſcilicet ſpatio totali, quod toti motui competit, non verò eius
tantùm parte; debet enim aſſumi impetus iuxta proportionem differen­
tiæ ſpatij, quod acquiritur in perpendiculari, & alterius ſpatij, quod ac­
quiritur in perpendiculari, & alterius ſpatij, quod acquiritur in inclina­
ta. v.g. ſit planum inclinatum AH, perpendiculum verò AE; ducatur
EB perpendicularis in AH, mobile percurrit AB in inclinata eo tem­
pore, quo percurrit AE in perpendiculo; aſſumatur AC æqualis AE;
ſi imprimatur impetus, qui ſit ad acquiſitum in ſpatio AB vt BC ad AB:
dico quod mobile eodem tempore percurret AE, & AC, vt conſtat;
quia impetus in C eſt æqualis impetui in E; vt verò percurrat in incli­
nata AH æquale ſpatium AG, æquali tempore, quo percurrit AG; aſ-
1ſumatur AF æqualis AH, addaturque impetus, qui ſit ad acquiſitum in
H, vt GF ad FA, vel AH, & habebitur intentum: dixi totum ſpatium re­
ſpondens ſcilicet toti motui; alioqui ſi pars tantùm accipiatur tùm ſpa­
tij, tùm motus, res procul dubio ſecus accidet; ſit enim impetus impreſ­
ſus vt BC ad AB. Equidem primò tempore, quo in perpendiculari con­
citur AE, conficitur AC æqualis; at verò ſecundo, quo conficitur EG
triplum AE in perpendiculari, conficitur CI quadruplum AC, vel
AE; igitur non ſunt æqualia ſpatia; ſed hæc ſunt ſatis facilia.
Theorema 50.
Si planum horizontale ſit perfectè læuigatum in vne tantùm illius puncto ſi­
ſtere poteſt mobile graue; ſit enim globus terræ centro A ſemidiametro
AE; ſitque planum horizontale FEGN læuigatiſſimum: dico quòd in
puncto contactus E quieſcet mobile. Probatur, quia ex omni alio puncto
mobile poteſt deſcendere; ſit enim in G. v.g. haud dubiè GA maior eſt
AE; igitur GE planum eſt inclinatum, id eſt, E propiùs accedet ad cen­
trum terræ A; ſed per planum inclinatum mobile deſcendit per hyp. 1.
idem dico de omni alio plani puncto, excepto puncto E, ex quo non
poteſt moueri, niſi aſcendat, id eſt à centro A recedat; igitur in eo
quieſcet.
Theorema 51.
Hinc in menſa lauigatiſſima globus vel eburneus, vel cryſtallinus vix vn­
quam ſistit, niſi in eius centro, quod multis experimentis comprobatum
eſt, & ratio luce meridianâ clarior à rudioribus etiam primo ſtatim ob­
tutu cernitur.
Theorema 52.
Hinc ridiculum ſeu joculare paradoxon, quo ſcilicet dici poteſt duorum alter
in eodem plano aſcendere, alter deſcendere, licèt in eandem cœli plagam con­
uerſi ambulent; ſi enim alter ex G in E; alter verò ex E in F tenderet; hic
certè aſcenderet, quia recederet à terræ centro A; ille verò deſcende­
ret, quia ad centrum accederet; & ſi in partes oppoſitas ambulent, in
hoc eodem plano vterque ſimul aſcendere, vel ſimul deſcendere poteſt.
Theorema 53.
Eſt etiam aliud paradoxon, ſcilicet in eodem puncto E duo plana eadem li­
neâ contenta hinc inde aſcendere; vel duos montes altiſſimos in eadem recta
linea contineri; vel mediam vallem, & gemines montes linea rectiſſima ſimul
connecti; hæc porrò ſunt ſatis facilia, & vix ſupra vulgi captum.
Theorema 54.
Adde aliud paradoxon ſcilicet idem mobile per duo plana parallela inæ­
quali motu deſcendere. v.g. per plana XFB, VEA, nam VEA eſt per­
pendiculum; at verò XFB eſt horizontale, vt clarum eſt.
Theorema 55.
Poteſt determinari motus proportio cuiuſlibet puncti aſſignati in plano EN;
1ſit enim punctum G; ducatur à centro A recta AGH; haud dubiè eſt per­
pendicularis; ducatur IGK ſecans GH; ad angulos rectos; hæc eſt ho­
rizontalis, quæ ad hanc perpendicularem pertinet; ducatur HI parallela
EG; hæc eſt inclinata, vt patet ex dictis; immò per ipſam deff. 1. ſed mo­
tus in inclinata eſt vt ipſum perpendiculum ad inclinatam per Th. 6.
igitur motus per HI in ipſo puncto H, vel per GE in ipſo puncto G eſt
ad motum per HG, vt HG ad HI.
Aliter ducatur HZ perpendicularis IH; dico motum in G vel ex G
initio eſſe ad motum per VE vel GL vt GH ad GZ; ſunt enim duo
triangula IGH, ZGH proportionalia.
Aliter ducatur LK parallela GG; triangula GKL, GHI ſunt propor­
tionalia; igitur motus per GE eſt ad motum per HG, vt LG ad LK.
Aliter ducatur QL, triangula QLA, LGK ſunt proportionalia; igi­
tur motus per GE eſt ad motum per HG vt QL ad AL; igitur vt ſinus
rectus anguli QAL ad totum. Idem dico de puncto O, & omnibus alia
in quibus eſt eadem praxis.
Theorema 56.
In ſingulis punctis plani EN eſt diuerſus motus; nam in puncto E nullus
eſt motus per Th. 50.atqui in puncto G eſt motus; idem dico de puncto
O, atqui in puncto O eſt maior motus, quàm in G, ſcilicet initio, id eſt
velocior incipit motus in O, quàm in G; probatur quia in G eſt ad mo­
tum maximum qui fit in perpendiculari vt QL ad LA, & in puncto O
vt YP ad PA, ſed YP eſt maior QL, vt conſtat; igitur initio eſt maior
motus in O quàm in G; igitur quâ proportione horizontalis EN erit
longior, puncta, quæ longiùs diſtabunt, habebunt rationem plani ma­
gis inclinati.
Theorema 57.
Poteſt determinari grauitatio in ſingulis punctis plani EN; cum enim
grauitatio in plano inclinato ſit ad grauitationem in horizontali vt
Tangens ad ſecantem, vel vt horizontalis, in quam ſcilicet cadit perpen­
lum ad inclinatam per Th. 16. ſit punctum, G grauitatio in eo puncto
eſt ad grauitationem in puncto E, vt QA ad AL, & in puncto O ve YA
ad AP: idem dico de aliis punctis.
Theorema 58.
Hinc eò minor eſt grauitatio, quò maior eſt diſtantia ab E; atque ita ab E
verſus N creſcit motus, & decreſcit grauitatio; at verò ab N verſus B
creſcit grauitatio, & decreſcit motus.
Theorema 59.
Globus ab O verſus E rotatus ſemper acceleraret ſuum motum. Demon­
ſtro, quia impetus productus in O conſeruaretur etiam in G, & nouus
produceretur, igitur acceleraret ſuum motum; ſuppono enim planum E
N eſſe læuigatiſſimum; igitur nihil eſſet, à quo deſtrueretur: adde quòd
1ſemper haberet ſuum effectum; igitur non eſſet fruſtrà; igitur per Schol.
Th.152.l.1.
Theorema 60.
Ille motus acceleratur per partes inæquales; quia ſcilicet motus additus
in O minor eſſet quàm in N, & in G quàm in O per Th. 56. igitur per
partes inæquales acceleraretur, immò poteſt determinari proportio cre­
menti motus in ſingulis; cum enim in O ſit vt YP, in QL. in Yvt T δ
ad AC; certè creſcit in proportione ſinuum rectorum ad ſinum totum.
Theorema 61.
Mobile deſcendens ex O in E tranſit per tot plana inclinata diuerſa, quot
ſunt puncta in tota EO vt conſtat, vel potiùs quot poſſunt duci Tangentes di­
uerſæ in toto arcu PE; quippe Tangens puncti P eſſet parallela IG, idem
dico de omnibus aliis punctis arcus PE.
Theorema 62.
Motus funependuli in quolibet puncto arcus, per quem deſcendit, eſt ad mo­
tum in perpendiculari, vt ſinus reſidui arcus ad ſemidiametrum; v.g. ſit fune­
pendulum AD in perpendiculari, quod vibrari poſſit circa punctum im­
mobile A, eleuetur in Aβ, ducatur Tangens β V motus funependiculi in
puncto β ſcilicet initio, idem eſt, qui eſſet in plano inclinato βV vt patet,
atqui motus in inclinato plano β V eſt ad motum in perpendiculari vt α V.
ad β V, ſed αV eſt ad βV vt αβ ad Aβ, ſunt enim triangula proportionalia;
igitur motus initio ſcilicet in puncto arcus putà B eſt ad motum in per­
pendiculari etiam initio conſideratum, vt ſinus rectus reſidui arcus, putà
β D ad ſemidiametrum, vel ſinum totum, id eſt α β ad A β, idem dico de
omnibus aliis punctis.
Theorema 63.
Hinc proportio accelerationis motus in deſcenſu funependuli ſeu incremen­
ti in ſingulis punctis additi eſt in proportione huiuſmodi ſinuum minorum ſem­
per & minorum; v.g. motus in puncto B eſt vt BA ſemidiameter in τ vt τ
μ in β vt β α, id eſt licèt maior ſit motus in τ quàm in B, cum ſcilicet
deſcendit ex B in τ, vt illa portio crementi quæ in ipſo puncto τ addi­
tur eſt ad primam in B vt τ μ ad BA.
Theorema 64.
Hinc velocitas acquiſita in arcu BT eſt ad acquiſitam in arcu B β, vt
omnes ſinus eiuſdem arcus B τ ad omnes ſinus arcus B β, & hæc ad acquiſi­
tum in toto quadrante BD, vt hi ad omnes ſinus quadrantis; ſimiliter poteſt
comparari acquiſita tantùm in arcu BT, cum acquiſita in arcu τ β vel β
D, quod probatur; quia motus, qui reſpondet ſingulis punctis arcus initio
eſt in proportione ſinuum ſeu tranſuerſarum BA, τ μ, β α, &c. igitur ſi
à ſingulis punctis arcus quadrantis in rectam lineam compoſiti duce­
rentur; haùd dubiè prædictam aream quaſi occupabunt; igitur acquiſita
in vno puncto eſt ad acquiſitam in alio puncto vt linea tranſuerſa ad
1tranſuerſam v. g. acquiſita in ſolo puncto τ nulla habita ratione ſupe­
riorum ad acquiſitam in ſolo puncto β vt τμ ad βα ita acquiſita in arcu
B τ eſt ad acquiſitam in arcu τ β, vt area ſinuum B τ α, ad aream ſinum
arcus τ β.
Scholium.
Obſeruabis prædicta ita intelligenda eſſe, vt aſſumantur arcus extenſi
in lineam rectam, ne ſcilicet ſinus plùs æquo contrahantur, ſeu potius
aliquo modo compenetrentur; ſemper enim accidet trapezus mixtus, v.
g. ſit trapezus A τ aſſumatur recta æqualia arcui B τ & duæ rectæ æqua­
les duabus BA τ μ, quarta erit curua; igitur erit trapezus mixtus, quæ cer­
tè cautio adhibenda eſt, alioquin falſum eſſet ſuperius Theorema, ſed de
funependulis infrà.
Theorema 65.
In plano horizontali E O motus incrementa in diuerſis punctis habent
eandem proportionem quam habent in motu funependuli per arcum ſuum v. g.
fit planum EO ducatur AP O, motus in O eſt ad motum in perpendicu­
lari vt PX ad AE, ſit funependulum AP cuius centrum; cui affixa eſt im­
mobiliter extremitas funis, ſit A & punctum quietis ſit E, motus illius in
puncto P eſt ad motum in puncto C vt PX ad AB: ſimiliter motus in G
puncto plani eſt ad motum in perpendiculari vt LQ ad AE per Th.55.
itemque ſit funependulum in L, motus in L eſt ad motum in C vt LQ
ad AE, idem dico de punctis T & Y & omnibus aliis; igitur crementa
motus tùm in motu tùm in arcu ſunt in eadem proportione.
Theorema 66.
Determinari poteſt velocitas acquiſita in deſcenſu OE, eſt enim vt trian­
gulum mixtum cuius alterum latus rectum ſit ad OE, alterum ad angulos
rectos PX, tertium curua connectens ſinus rectos infra PX verſus vt E
vides in figura EO 4. eſt autem hæc velocitas ad velocitatem acquiſi­
tam in perpendiculari æquali OE vt prædictum triangulum EO 4. ad
rectangulum ſub OEA.
Theorema 67.
Non deſcendit mobile per per OE & GE æquali tempore vt patet, quia
hæc Tangens EO poteſt eſſe longior in infinitum; ſed has proportiones
demonſtrabimus Tom, ſequenti, quia multam Geometriam deſide­
rant.
Theorema 68.
Omne planum quod ad aliquod punctum circumferentiæ globi terreſtris
terminatur, & productum vlterius non ſecat centrum poteſt plænum inclina­
tum eſſe, v.g. in planum LD vel YD, immò nullum eſt planum quod non
ſit horizontale, id eſt quod non cadat perpendiculariter in aliquem ra­
dium vel in aliquod perpendiculum v.g. LD eſt horizontalis quia ca-
1dit perpendiculariter in perpendiculum AD, idem dico de plano YD,
cuius perpendiculum vt inueniatur, ex centro A adducatur perpendicu­
laris in YD: hinc non poteſt deſcendere corpus ad centrum terræ per
planum inclinatum rectilineum quia linea recta quæ ducitur ad cen­
trum eſt perpendiculum; igitur non eſt planum inclinatum.
Theorema 69.
Poteſt determinari motus duorum planorum inclinatorum quorum idem
est perpendiculum, ſit enim arcus terræ GFC centro A; ſint duo plana
FK GFL quorum idem eſt perpendiculum LA; motus in K per KF initio
eſt ad motum per K vt DC ad DCA; ducatur autem AH perpendicula­
ris in GL, & centro A ducatur arcus HE, ducaturque vel HO perpendi­
cularis in AL vel CP in AH; dico motum in L eſſe vt PC ad CA: ſed
hæc ſunt facilia.
Theorema 70.
Nullus gradus impetus deſtruitur in deſcenſu KF vel MF per ſe; quia nihil
eſt à quo deſtruatur, dixi per ſe; nam per accidens aliquid deſtrui poteſt
tùm ratione plani ſcabri tùm etiam ratione aëris.
Theorema 71.
Omnes gradus acquiſiti in deſcenſu concurrunt ad deſcenſum præter vnum
ſcilicet præter acquiſitum vltimo instanti deſcenſus; quia impetus non con­
currit ad motum primo inſtanti quo eſt, per Th. 34. lib.1. de omnibus
aliis certum eſt quod concurrant, quia non impediuntur, igitur concur­
runt per Ax.12. lib.1.
Theorema 72.
Omnes gradus impetus qui concurrunt ad deſcenſum, concurrunt ad aſcen­
ſum præter vnum; probatur, quia ſi omnes concurrerent, maior eſſet aſ­
cenſus deſcenſu quod eſt abſurdum: adde quod impetus innatus ad li­
neam ſurſum determinari non poteſt per Th.12. ſed impetus innatus
concurrit ad deſcenſum, vt patet.
Theorema 73.
Hinc tot concurrunt ad aſcenſum quot ad deſcenſum; nam ad aſcenſum
omnes præter vltimum, ad deſcenſum omnes præter primum; igitur tot
concurrunt ad aſcenſum, quot ad deſcenſum.
Dices, primo inſtanti aſcenſus aliquis gradus deſtruitur. Reſponderet
aliquis, tranſeat antecedens, quia cùm inſtanti vltimo deſcenſus omnes
gradus præter innatum exigant motus pro ſequenti inſtanti, quod eſt pri­
mum inſtans aſcenſus; certè tot concurrunt ad primum inſtans aſcenſus,
quot ad vltimum deſcenſus, licèt aliquis gradus deſtruatur pro primo in­
ſtanti aſcenſus. Reſponderet alius, cùm primo inſtanti aſcenſus gradus
ille qui vltimo deſcenſus productus eſt concurrat ad motum, igitur illo
inſtanti fruſtrà non eſſe, igitur non debere deſtrui, cùm eo tantùm no­
mine deſtruatur impetus; igitur primo inſtanti aſcenſus non deſtrui
1vllum gradum impetus, quia ſcilicet impetus innatus in omnibus inſtan­
tibus præcedentibus habuit motum deorsum; igitur nullo inſtanti præteri­
to exigebat motum oppoſitum: adde quod vltimo inſtanti deſcenſus quo
mobile ponitur in F impetus naturalis non exigit ampliùs motum, cur
enim potius verſus M quàm verſus N, igitur primo tantùm inſtanti aſ­
cenſus quo mobile fertur verſus N, impetus naturalis exigit mobile re­
dire in F.
Dices, ſi primo inſtanti aſcenſus nullus gradus impetus deſtruitur; igi­
tur nec ſecundo neque tertio, non eſt enim potior ratio pro vno quàm
pro altero. Reſponderet negando, nam ideo, vt iam indicaui, primo inſtan­
ti aſcenſus nullus gradus deſtruitur, quia inſtanti immediatè antecedenti,
quod erat vltimum deſcenſus, impetus innatus non exigebat quidquam
ampliùs, igitur nullus gradus eſt fruſtrà, igitur nullus deſtruitur, at verò
inſtanti aſcenſus impetus innatus exigit pro ſequente, quod eſt ſecun­
dum aſcenſus mobile redire in F, igitur ex illa pugna ſecundi inſtantis
deſtruitur aliquid impetus; ſed profectò primo aſcenſus deſtruitur ali­
quid impetus, quia aliquid motus remittitur, propter impetum inna­
tum; igitur aliquis impetus eſt fruſtrà: non tamen hoc facit, quin omnes
gradus in deſcenſu acquiſiti concurrant ad aſcenſum; igitur tot concur­
runt ad aſcenſum, quot ad deſcenſum, cum hac tamen differentia, quod
impetus innatus, qui concurrit ad deſcenſum, non ad aſcenſum ſit longè
velocior vltimo inſtanti motus acquiſito, qui concurrit ad deſcenſum,
non ad aſcenſum,
Theorema 74.
Hinc in ea proportione creſcit impetus in deſcenſu, qua decreſcit in aſcenſu,
& in eadem creſcit, & decreſcit motus in eadem creſcunt, & decreſcunt ſpa­
tia, v.g. ſint ſex inſtantia deſcenſus iuxta proportionem ſcilicet inſtan­
tium, in qua res iſta faciliùs explicatur: primo inſtanti motus ſunt duo
gradus impetus, quorum alter tantùm concurrit, ſcilicet qui præextitit;
qui enim producitur primo illo inſtanti, non concurrit ad illum motum
per Th. 34. lib. 1. igitur primo inſtanti ſunt duo gradus impetus, vnus
gradus motus, & vnum ſpatium; ſecundo verò inſtanti ſunt tres gradus
impetus quorum vnus non concurrit, 2. gradus motus, 2.ſpatia, atque ita
deinceps; donec tandem ſexto eo vltimo inſtanti deſcenſus ſint 7. gra­
dus impetus, quorum vnus non concurrit, 6. gradus motus, & 6.
ſpatia.
Similiter primo inſtanti aſcenſus ſunt 7. gradus impetus, quorum
vnus non concurrit ſcilicet innatus, 6. gradus motus, 6. ſpatia; ſecundo
6.gradus impetus, quorum vnus non concurrit ſcilicet innatus, 5.gradus
motus, 5.ſpatia, atque ita deinceps.
Theorema 35.
Hinc æqualia ferè vtrimque ſunt ſpatia deſcenſus ſcilicet, & aſcenſus; v.g.
MF æquale FN, quia eſt ſumma eorumdem terminorum per Th. 74.
igitur ex F mobile aſcendit ad altitudinem FN æqualem altitudini FM,
1ex qua priùs deſcenderat dixi ferè, quia cum innatus ſit perfectior vlti­
mo acquiſito paulò plùs ſpatij acquiritur in deſcenſu, quàm in aſcenſu,
ſed minimum eſt ſenſibile.
Theorema 76.
Hinc æqualibus temporibus aſcendit ferè ab F in N, & deſcendit ex M
in F, quia numerus terminorum æqualis eſt numero inſtantium.
Theorema 77.
Hinc motum haberet ferè perpetuum ab M in F ab F in N, ab N ite­
rum in F, &c. ſi enim deſcendens ex M in F aſcendit ad æqualem altitu­
dinem FN, ita & deſcendens ex N in F aſcendet ad æqualem altitudi­
nem FM, atque ita deinceps; igitur motus erit ferè perpetuus; ſed pro­
fectò nullum eſt corpus tàm læuigatum, quod motum non impediat: dixi
ferè, quia deſcenſus tantillùm ſuperat aſcenſum, ſed vix intra mille an­
nos ſenſu id percipi poſſet.
Theorema 78.
Hinc ſi terrestris globus eſſet perforatus in perpendiculo FAI, ſi ex puncto
F demitteretur globus plumbeus per FAI deſcenderet ex F in A, tum ex
Aaſcenderet in I æquali ferè tempore; quod neceſſariò ſequitur ex dictis;
quia omnes gradus qui concurrent ad aſcenſum, etiam concurrerent ad
deſcenſum, præter vnum, ſcilicet vltimo inſtanti deſcenſus acquiſitum;
& omnes, qui concurrerent ad deſcenſum, concurrerent etiam ad aſcen­
ſum præter vnum, ſcilicet primum vel innatum; igitur æquale ſpatium
æquali tempore percurreretur; quod certè dictum ſit abſtrahendo à re­
ſiſtentia aëris, quæ fortè modica eſſet; Ex hac perpetua vibrationum ſe­
rie aliquando explicabimus cauſas phyſicas apogæi & perigæi Solis, &
aliorum planetarum; adhibe eandem cautionem, de qua ſuprà.
Theorema 79.
Si duo plana inclinata faciunt angulum eſt ferè æqualis aſcenſus deſcenſui.
v. g. deſcendat per LF dico quod aſcendet per FR ad altitudinem ferè
æqualem LF, quia licèt in angulo illo LFR ſit noua determinatio ad
nouam lineam motus, id eſt quaſi reflexio; nihil eſt tamen quod deſtruat
impetum; nam in reflexione ſeu noua determinatione non perit aliquid
impetus neceſſariò vt lib. ſequenti demonſtrabimus.
Theorema 80.
Eſt tamen alia ratio de motu funependuli quâ euincemus aſcenſum eſſe mi­
norem deſcenſu, de qua infrà.
Theorema 81.
Initio aſcenſus per FN deſtruuntur gradus impetus producti ſub finem de­
ſcenſus, & ſub finem aſcenſus destruuntur producti initio deſcenſus: ratio eſt
clara, quia producti ſub finem deſcenſus ſunt imperfectiores, cùm plùs
recedant à perpendiculari, per Th. 55. ſimiliter initio aſcenſus longiùs
recedit linea à verticali; igitur minùs deſtruetur impetus, vt ſæpè incul-
1cauimus; nam idem deſtruitur in dato puncto aſcenſus, qui producere­
tur in eodem puncto deſcenſus.
Dices, gradus productus vltimo inſtanti deſcenſus non deſtruitur pri­
mo aſcenſus. Reſpondeo deſtrui; hinc eadem cauſa idem deſtruit primo
inſtanti aſcenſus quod produxit vltimo inſtanti deſcenſus; deſtruit in­
quam mediatè.
Hîc obſeruabis ſingulare diſcrimen, quod intercedit inter cauſam
producentem, & exigentem; nam producens verè agit, exigens verò tan­
tùm exigit; illa conſequitur effectum eo inſtanti quo agit; hæc verò non
habet effectum eo inſtanti, quo exigit, ſed pro ſequenti; eſt tamen cauſa
eo inſtanti, quo exigit, non certè agens, ſed exigens: exemplum habes
in impetu, qui non habet motum eo inſtanti quo exigit, ſed tantùm ſe­
quenti pro quo exigit; igitur eſt cauſa motus antequàm ſit motus, non
agens ſed exigens; at verò cum impetus alium impetum producit eſt
tantùm cauſa illius cum agit.
Theorema 82.
Vltimo inſtanti aſcenſus ſunt duo gradus impetus, ſcilicet productus primo
inſtanti deſcenſus cum innato; igitur inſtanti ſequenti erit motus, id eſt,
deſcenſus, quia præualet innatus qui perfectior eſt, vt conſtat ex dictis;
igitur nullum erit inſtans quietis; quæ omnia explicari debent eodem
modo, quo iam explicuimus in motu violento, lib.3. eſt enim eadem ra­
tio, &c. quæ omitto ne multa hîc repetere cogar.
Theorema 83.
Ictus eſſent ferè æquales in ſegmentis æqualibus aſcenſus & deſcenſus, quia
motus eſſet æqualis in illis; igitur ictus æquales, quod facilè eſt.
Theorema 84.
In planis eiuſdem inclinationis idem corpus graue eſt eiuſdem ponderis v.
g. ſint plana FE. GD. HO eiuſdem inclinationis cum communi ſci­
licet perpendiculo ODEA; certè pondus corporis in O eſt ad pondus
eiuſdem in H vt AH ad AO per Th.57. & pondus corporis eiuſdem in
D eſt ad pondus eiuſdem in G vt AG ad AD, & in E vt AF ad AE;
ſed AF eſt ad AE vt AG ad AD, vt AH ad AO; ſunt enim triangula
proportionalia.
Hinc reiice quorumdam recentiorum ſententiam, qui volunt corpus,
quod propiùs ad centrum terræ accedit, eſſe minùs graue, & grauius quod
longiùs à centro recedit, quod de grauitate corporis abſolutè ſumpti nul­
latenus dici poteſt vt conſtat, vtrum verò ſi cum alio in eadem libra ſta­
tuatur hinc inde, videbimus ſuo loco.
Diceret fortè aliquis in ipſo centro ſpoliari ſua tota grauitate; igitur
quo propiùs accedit ad centrum maiori grauitatis portione multatur; ſed
nego conſequentiam; nec enim ſequitur priuari parte grauitatis dum
abeſt à centro, licèt tota priuetur cum eſt in centro ſed de hac quæſtione
plura aliàs; nec enim huius loci eſt.
1
Sed ne hoc fortè excidat ſi Globus CGLH deſcendat ex A ad cen­
trum mundi ſeu grauium E, quæri poteſt vtrum omnes partes mouean­
tur ſua ſponte verſus L etiam illæ quæ vltra centrum E proceſſerunt, ſeu
quod idem eſt, vtrum globus CGLH, cuius centrum E eſt coniun­
ctum cum centro grauium E tranſlatus in IFKB eiuſdem ſit ponderis,
cuius eſſet in A. v.g. Reſp. primò globum prædictum, cuius centrum eſt in E, nullius eſſe
ponderis, vt conſtat; nec enim potiùs in vnam partem, quàm in aliam
inclinat.
Reſpondeo ſecundò globum eundem, cuius centrum eſt D ex­
tra centrum grauium E grauitare, quia inclinat verſus E.R eſpondeo ter­
tiò non æqualiter grauitare, ſiue ſit in D, ſiue ſit in A; quia grauitat per
ſuam entitatem quatenus coniuncta eſt cum inclinatione; ſed non eſt ea­
dem entitas in A quæ in D cum eadem inclinatione, igitur nec eadem
grauitas; non enim grauitat inde ſecundum totam ſuam entitatem;
quia ſcilicet ſectio MFNE non poteſt ampliùs grauitare infrà E, quan­
doquidem E eſt locus infimus.
Dices grauitare grauitatione communi. Reſpondeo ad extra conce­
do, ſcilicet ad producendum impetum in corpore quod impedit motum,
ſecus verò grauitatione intrinſecâ; vnde ſi ſuſtineretur globus in F non
ſuſtineretur totus, ſed fortè detraheretur de toto pondere, primò ſectio
MFNE, quæ non grauitat verſus F & altera æqualis quæ ab ea ſuſtine­
retur. v.g. ſi ſectio OCPD immediatè incumberet ſectioni MFNE,
ita vt corda OP iungeretur cordæ MN; certè vtraque conſiſteret; dixi
fortè, quia non eſt ita certum, vt videbimus alias. Dices igitur ſi globus
ille eſſet in centro, minima vi adhibita amoueretur; igitur idem timen­
dum eſſet de toto terreſtri globo; ſed noli timere quæſo tàm facilè terræ
motum; immò ſi globus ille ſemel occuparet centrum E., cum non tan­
tum hemiſpherium GLH contra nitatur GCH; verùm etiam CGL,
CHL, & infinita alia; certè vt moueatur vbi ſemel centrum E occupat,
debent tot ferè produci gradus impetus, quot produci deberent vt mo­
ueretur extra centrum, vt probabimus cum de grauitate ſcilicet in tra­
ctatu ſequenti phyſicæ ſingulari: Interim dicendum eſt ſingulas partes
huius globi ſeorſim grauitare, cum centrum occupat, excepto illo puncto
quod in centro eſt.
Theorema 85.
Poteſt, corpus graue deſcendere ad centrum terræ per planum conuexum
quadrantis, ſit enim globus terræ GBCK, centrum A; deſcribatur ex
K ſemidiametro KA quadrans KLA. Dico quòd corpus graue deſcen­
det per conuexum arcum LVA, non tamen per concauum. Probatur
prima pars, quia à puncto L per arcum LVA ſemper accedit propiùs ad
centrum A; igitur per illam deſcendet, quia nulla eſt alia linea minor
dextrorſum; ſi enim eſſet aliqua, eſſet LCA; quia poſſunt tantùm duci
duæ illæ rectæ breuiſſimæ, quæ terminentur ad puncta LC vt patet; ſed
LCA eſt maior arcu LVA: Probatur ſecunda pars, quia ab L in A in-
1trorſum poteſt duci linea LA breuior arcu LVA; igitur per concauum
LVA non deſcenderet mobile.
Theorema 86.
Motus puncti L initio eſſet minor motu puncti V initio; id eſt poſito quod
demittatur ex V verſus A; demonſtro, quia eodem modo ſe habet in L,
atque ſi eſſet in puncto L Tangentis LC, vt pater; ſed motus per LC ini­
tio eſt ad motum per LA vt ND ad NA vel vt LC ad LA per Th.55.
at verò motus in V vel in F initio per FE Tangentem eſt ad motum per­
pendiculi FA vt FE ad FA; ſed eſt maior ratio FE ad FA, quàm LE
ad LA, vt conſtat; igitur motus initio in V eſt minor quàm in L
initio.
Theorema 87.
Hinc eſt inuerſa ratio motus funependuli vulgaris & plani inclinati recti,
in quibus motus ſupremi puncti eſt maior motu cuiuſlibet alterius pun­
cti, vnde inciperet motus, cum tamen hic ſit minor: porrò poſſet eſſe
funependulum KLA dum vel LVA eſſet orbis durus quem media di­
uideret rima quaſi ecliptica globi penduli ex K fune extenſo, & per ri­
mam incerto KL, vel quod faciliùs eſſet ſi KL eſſet priſma durum, quod
circa K immobile moueri ſeu volui poſſet.
Theorema 88.
Alia via facilior occurrit, quæ mihi videtur non eſſe omittenda qua propor­
tiones illæ diuerſi motus demonstrari poſſent, ſit. v.g. punctum L; aſſumatur
arcus LQ æqualis arcui LA; ducatur recta AQ, in quam ducatur LK
perpendicularis: dico motum in L per arcum LVA initio eſſe ad motum
per LA vt KA ad LA: ſimiliter ſit punctum V; aſſumatur VL æqualis
arcui VA; & in hanc perpendicularis VX.dico motum in V per arcum
VA eſſe ad motum per ipſum perpendiculum VA vt XA ad rectam
VA; idem dico de omnibus aliis: Ratio eſt, quia Tangens, quæ ducere­
tur in V eſſet parallela AX; igitur triangula vtrimque eſſent æqualia.
v.g. FEA & FYA: item motus in P eſt ad motum per ipſum perpen­
diculum, vt Tangens PM ad PA, vt conſtat ex dictis.
Theorema 89.
Hinc totus motus per LA perpendiculum eſt ad totum motum per arcum
LVA, vt omnes chordæ ductæ ab A ad omnia puncta quadrantis AVL
ſimul ſumptæ ad totidem ſubduplas chordarum ductarum ab A ad alterna
puncta totius ſemicirculi ALQ vel ad totidem Tangentes ſimul ſumptas: cum
enim motus in L per arcum LVA ſit ad motum in L por ipſum perpen­
diculum LA vt ſubdupla AQ ad LA, & motus in V per arcum in A
ſit ad motum in V per rectam VA, vt ſubdupla chordæ AL ad rectam
VA, atque ita deinceps per Th.88. certè omnia antecedentis ſimul ſum­
pta habent illam rationem ad omnia conſequentia ſimul ſumpta, vt con­
ſtat; igitur totus motus, &c.
1
Theorema 90.
Globus deſcendens B per conuexum arcum LVA in quo A eſt centrum
terræ aſcenderet denuò per quadrantem oppoſitum AFS; patet, quia totus
impetus non deſtrueretur in centro A, qui ſcilicet eſſet intenſior pro­
pter accelerationem deſcenſus, quàm vt in momento deſtruatur; quod
probatur ex aliis funependulis, & reflexis.
Theorema 91.
Non aſcenderet per totum arcum AFS; hoc Theorema probabitur cum
de motu funependuli, eſt enim eadem pro vtroque ratio; quæ in eo po­
ſita eſt, quòd in aſcenſu aliquid impetus deſtruatur.
Theorema 92.
Velociùs deſcenderet per arcum maiorem LVA quam per minorem XA;
velociùs, inquam, pro rata; nam arcum XA citiùs percurreret; ratio eſt,
quia modicus XA eſt magis curuus, vt patet; igitur determinatio­
nis mutatio maior eſt: adde quod maior arcus accedit propiùs ad
rectam.
Theorema 93.
Non modo per quadrantem circuli deſcendere poteſt in centrum terræ, ſed
etiam per ſemicirculum; vt videre eſt in eadem figura, nam ſi globus ſta­
tueretur iuxta Quantulùm, ſcilicet, extra perpendiculum AQ dextror­
ſum, v.g. versùs P; certè deſcenderet vſque ad A per conuexum ſemicir­
culi QLA; per conuexum, inquam, non per concauum, vt dictum eſt
de quadrante LVA. Ratio eſt, quia accederet ſemper propiùs ad cen­
trum A; igitur eſſet planum inclinatum per Th. 2. igitur per illud de­
ſcenderet, nec vlla eſſet difficultas; quod autem accedat ſemper propiùs
ad A per ſemicirculum QLA, certum eſt; quia PA minor eſt QA; nam
diameter eſt maxima ſubtenſarum in circulo. Immò per alium ſemi­
circulum ASQ aſcenderet denuóque deſcenderet repetitis pluribus vi­
brationibus; nunquam tamen aſcenderet vſque ad punctum Q propter
tamdem rationem, quam in Theoremate 92. adduximus.
Obſeruabis præterea non tantùm corpus graue poſſe deſcendere per
ſemicirculum, qui ſecet centrum mundi A, ſed etiam per plures alios.
v.g. per ſemicirculum ROB, quia ſcilicet ab R verſus BO & ab O
verſus B ſemper deſcendit, aſcenditque propiùs ad A, cùm nulla linea in­
ter AOB duci poſſit ad punctum A, quæ non ſit maior BA, vt
conſtat.
Vt autem habeas iſtos circulos; accipe centrum ſuprà A verſus K, mo­
do radius ſeu ſemidiameter deſcendat infrà A. v.g. IB vel KB, &c.
Theorema 94.
Hinc poteſt aliquis dimidium globum terreſtrem percurrere, licèt ſemper
deſcendat; vtſi conficiat ſemicirculum ROB, & licet ſemper aſcendat,
1vt ſi conficiat ſemicirculum BIIR; hæc ita clara ſunt, vt oculis tantùm
indigeant.
Theorema 59.
Hinc poteſt eſſe mons per quem aliquis aſcendat, licèt ſub planum horizon­
tale deſcendat. v.g. ſit Tangens in puncto B; haud dubiè qui ex B verſus
H procederet per arcum BH, haud dubiè aſcenderet, quia recederet
ſemper à centro mundi A; deſcenderet tamen infra Tangentem in B; igi­
tur mons eſſet infra horizontale planum; montem enim appello tractum
arduum, in quo dum aliquis ambulat, aſcendit, hoc eſt recedit à terræ
centro.
Theorema 96.
Diuerſæ eſſent rationes motus in deſcenſu per ſemicirculum QLA; ſcilicet
in iis punctis, quæ propiùs accedunt ad A motus eſſet velocior initio
ſcilicet; poteſt autem haberi hæc proportio ductis Tangentibus, vt ſæpè
iam dixi; at verò in ſemicirculo ROB in puncto T eſſet velociſſimus mo­
tus initio, quia angulus ITA eſt maximus eorum omnium, qui poſſunt
fieri ductis duabus rectis ab A & I coëuntibus in ſemicirculo ROB, igi­
tur & illi oppoſitus; igitur perpendiculum AT accedit propiùs ad Tan­
gentem; igitur planum inclinatius eſt; igitur in puncto T eſt velocior mo­
tus initio quàm in aliis; igitur acceleratur motus ab R in T per cre­
menta ſemper maiora, & ab ipſo T ad B per crementa minora.
Theorema 97.
Poteſt deſcendere corpus graue v.g. globus vſque ad centrum terræ per He­
licem; ſit enim globus terræ AEQO, centrum K; diuidatur QK in 4.
partes æquales QR.RP.PS.SK; aſſumatur EH æqualis QR, & AC æqua­
lis QP, & OM æqualis QS; tùm per ſignata puncta deſcribatur helix Q
HCZMK: dico quod per eius conuexum globus deſcenderet ex Q, ad
centrum terræ; quia ſemper accedit propiùs ad centrum; immò per plura
volumina deſcendere poteſt; ſit enim QK diuiſa in 8. partes æquales Q
TTR, &c. tùm aſſumatur EF æqualis QT, AB æqualis QR, ON æqualis
QV tùm QR in ipſa QK, & æqualis QY, ED, a qualis QS, & OL æqualis
QX; & per puncta aſſignata deſcribatur Helix QFBNPIDLK, per cam
deſcenderet globus ad centrum terræ K poſt duas circumuolutiones.
Per aliam quoque ſpiralem compoſitam ex ſemicirculis deſcendere
poteſt ad centrum terræ B; ſit enim centrum terræ F & globus terræ A
CMD; accipiantur duo puncta hinc inde HK ad libitum; tunc ex H
fiat ſemicirculus MB; haud dubiè globus poſitus in M deſcendet in B per
conuexum ſemicirculi in B; quia B inter omnia illius puncta accedit pro­
ximè ad F; tùm ex K ducatur ſemicirculus BI; certè ex B deſcenderet in I
propter eandem rationem, tùm ex H deſcribatur ſemicirculus IF; certè
ex I deſcendet in F, quæ omnia patent ex dictis; poſſunt autem multipli­
cari iſtæ ſpiræ in infinitum: Hinc licèt globus ſingulis horis 100000. leu­
cas conficeret in deſcenſu, non tamen attingeret centrum niſi poſt 1000.
annos, immò plures ſecundùm numerum ſpirarum.
1
Denique poteſt deſcendere per plura plana inclinata AKLMNO
PQRST, ſiue ducantur perpendiculariter, ſcilicet AK in BC, KL in B
D, atque ita deinceps; ſiue non perpendiculariter, modò DL ſit maior C
K, EM maior DL, at que ita deinceps; attamen vltimum planum TB non
erit inclinatum, ſed perpendiculum, vt patet.
Theorema 98.
Poſſunt eſſe infinita plana inter orbem terræ, & horizontale per quæ globus
ſeu corpus graue non deſcendet; ſit enim centrum terræ C, ex quo deſcri­
batur arcus QMH ducta diametro MCA in M; ducatur Tangens NM
L; hæc erit horizontale planum, vt conſtat; tùm ex aliquo puncto infra C
putà ex A deſcribatur arcus SMK; cercè ſi ponatur globus in M non
deſcendet per arcum MG, quia potiùs aſcenderet; immò ſi ponatur
in T deſcendet in M, immò faciliùs pelleretur corpus graue per arcum
MT, quàm per horizontalem MN, vt patet; igitur potentia illa, quæ per
horizontalem pellit non eſt omnium minima, quæ per arcum MQ pel­
lit; quia in eo nullo modo globus aſcendit, ſed ſemper à centro C æqui­
diſtat. Si verò aſſumas quæcumque centra ſupra B putà D, & E, & ducas
arcus TMGPOMF; certè globus deſcendet per MO, & MP, vt manife­
ſtum eſt ex dictis, & hoc fortè ludicrum cuiquam videbitur; ſi enim col­
locetur globus in T, deſcendit verſus M; ſi verò in Y deſcendet verſus
P; licèt V & T non diſtét pollice; poſſunt enim accipi minima illa ſpatia
verſus M, vbi eſt angulus contingentiæ; nulla tamen poteſt duci recta ab
M infra MN, per quam globus non deſcendat velociùs initio, quàm per
vllum arcum, ſiue MP, ſiue MO, ſiue quemcumque alium quamtumuis
maximè incuruatum vel inclinatum; quia ſcilicet recta illa ducta ex M
infra MN ſecat omnes illos arcus, vt patet; igitur initio facit planum
inclinatius: dixi initio, quia deinde in arcu multùm inualeſcit motus,
cum ſemper deficiat in recta, vt diximus abundè ſuprà.
Theorema 99.
Si quadrans ita diſtet à centro mundi, vt tùm alter eius radius, tùm Tan­
gens ipſi parallela cenſeantur perpendiculares, globus deſcendet ex eius vertice
per arcum: Sit enim quadrans ATE erectus ſupra horizontem, ita vt
AE ſit horizontalis, & tùm TA, tùm 3. A perpendiculares; certè deſcen­
det globus per eius conuexum VBA in eadem proportione, in qua deſ­
cerdit per ſemicirculum, de quo ſuprà; Igitur motus per quadrantem T
BE eſt ad motum per ipſum perpendiculum in eadem ratione, in qua eſt
ad motum per ſemicirculum; quippe motus in T nullus eſt per arcum TE;
5.verò motus per arcum 5.E, initio ſcilicet, vt ſæpè dictum eſt, eſt ad mo­
tum per ipſam perpendicularem vt A 7.ad A 5.in 4.vt A 7.ad A 4. in B
vt A δ ad AB, in D vt AH ad AD in X vt AF ad AX, in E, vt AE ad A
E; vides autem tranſire motum hunc ferè per omnes gradus tarditatis: di­
co ferè, quia reuerâ non tranſit per omnes; quippe ſi fieret maior qua­
drans tangens iſtum in T, motus eſſet iuxta initium præſertim tar­
dior.
1
Obſeruaſti iam vt puto motum per Arcum TBE eſſe inuerſum vul­
garis funependuli; quippe in illo motuum incrementa initio ſunt mino­
ra, & ſemper creſcunt; at verò in hoc initio ſunt maiora, & ſemper de­
creſcunt.
Theorema 100.
Poſſunt determinari vires, quæ ſuſtinere poſſunt datum pondus collocatum̨
in arcu erecto ATE: quippe ad ſuſtinendum pondus in T nullæ vires
requiruntur, ad ſuſtinendum in E æqualis potentia ponderi requiritur;
at verò potentia, quæ ſuſtinet in 5. ſe habet ad æqualem vt A 7.ad AE,
in 4.vt A Z.ad AE, in B vt Aδ ad AE, in D vt AH ad AE, in X vt AF ad
AE; denique in E vt AE ad AE; ratio eſt, quia potentia debet eſſe pro­
portionata momento ponderis, ſeu motus, ſed motus in B.v.g.per BE eſt
ad motum qui fit per perpendicularem vt Aδ ad AB vel AE, igitur po­
tentia quæ impedit hunc motum, id eſt quæ ſuſtinet pondus in B eſt ad
illam quæ ſuſtinet in E vt A δ ad AE.
Debet autem ſuſtineri pondus vel per Tangentem ductam ad punctum
B vel ipſi parallelam in certo dumtaxat funiculo, vt fit in trochleis; vnde
ſi ſemicirculus A 2.E ſit trochlea, & pondus pendeat ex E, adhibeaturque
potentia trahens in A, debet eſſe æqualis ponderi, ſed de trochleis fusè
lib. 11.
Hinc etiam facilè determinari poteſt quomodo deſtruatur impetus,
ſi proiiciatur globus per arcum EBT ſurſum; nam in eadem proportione
deſtruetur in aſcendendo, qua acceleratur deſcendendo; neque eſt hîc
ſingularis difficultas; quemadmodum enim in deſcenſu ſemper accele­
ratur per incrementa inæqualia iuxta rationem explicatam; ita in aſcen­
ſu ſemper retardatur per detractiones inæquales; in deſcenſu quidem per
incrementa initio minora, & maiora ſub finem; in aſcenſu è contrario
per detractiones initio maiores ſub finem minores.
Hinc denique determinari poteſt quantùm corpus grauitet in toto
arcu TBE; in E nihil grauitat, in T totum grauitat; igitur grauitatio in
T, ſeu tota eſt ad grauitationem in E, vt TA ad nihil, in 5. verò vt AT
ad AT, in 4. vt AT ad AA, in B vt AT ad AS, atque ita deinceps, quæ
conſtant ex dictis.
Inſuper obſerua corpus graue incumbens arcui TBE, per varias lineas
poſſe pelli, vel trahi, de quibus idem prorſus dicendum eſt, quod dictum
eſt in Th.5. & Sch.Th.16.
Adde quod omiſimus, ſed facilè ex dictis lib. 1. intelligi poteſt, im­
petum qui producitur in acceleratione motus per planum inclinatum
eſſe imperfectiorem ex duplici capite; primò ratione minoris temporis,
quo producitur ex ratione maioris vel minoris inclinationis, ſeu longi­
tudinis. v.g. ſit planum inclinatum AC; certè cum poſt motum per A
E, & per AB ſit æqualis ictus vel impetus; & cùm tempus quo deſcendit
per AE ſit duplum temporis, quo deſcendit per AB; certè ſingulis inſtan­
tibus, quibus durat motus per AC, producitur impetus ſubduplus tan-
1tùm in perfectione illius, qui producitur per AB; ſi enim æqualis perfe­
ctionis; igitur impetus poſt deſcenſum per AC eſſet duplus illius qui ha­
betur in B poſt deſcenſum per AB; ſi autem eſſet minor ſubduplo; igitur
in C, vel impetus eſſet minor quam in B contra hypotheſim; igitur debet
ſubduplus; igitur duplò plures ſunt gradus impetus in C quàm in B, cùm
ſcilicet ſinguli gradus impetus in B æquiualeant duobus impetus in A:
his adde aliqua breuia Corollaria, quæ quiſque ex dictis facilè colligere
poterit.
Corollarium 1.
Ex his primò vides perfectam analogiam impetus in omni motu, qui
reuera explicari non poteſt, niſi detur impetus alio imperfectior: Porrò
multa hîc deſiderantur, quæ ad motum in planis inclinatis pertinent, que
in Tomum ſequentem remittimus; quia potiori iure ad Mathematicam
ſpectant, quàm ad Phyſicam.
Corollarium 2.
Secundò, impetus poſſe in infinitum decreſcere perfectionem quod
primò conſtat ex eo, quòd infra horizontalem poſſint duci lineæ minùs
& minùs inclinatæ: ſecundò ex eo, quòd poſſint inter quamlibet inclina­
tam deorſum rectam, & ſuperficiem orbis terræ deſcribi infiniti orbes,
quorum centrum ſit ſupra centrum terræ, quorum arcus initio faciunt
minorem, & minorem inclinationem.
Corollarium 3.
Tertiò, hinc colliges impetum qui producitur in primo puncto deſ­
cenſus illorum arcuum eſſe prorſus alogum cum illo, qui producitur in
primo puncto deſcenſus cuiuſlibet rectæ inclinatæ, & illum qui à pro­
ximo puncto verſus punctum contactus in Tangente producitur
eſſe etiam alogum cum illo, qui in proximo puncto verſus idem pun­
ctum contactus producitur in circumferentia circuli, cuius centrum ſit
infra centrum terræ, id eſt cuius radius ſit longior radio orbis terræ,
Corollarium. 4.
Quartò, quid mirabilius quam ad idem punctum contactus poſſe du­
ci infinitos circulos quorum arcus omnes in eaſdem partes incuruan­
tur, licèt ſint infiniti? quia ſumpto termino in eodem puncto contactus
omninò aſcendant ſcilicet ij, qui maiores ſunt orbe terræ, & infiniti, qui
deſcendunt, ij ſcilicet qui minores ſunt; & vnicus tantùm medius, qui
nec aſcendat nec deſcendat, qui eſt orbis terræ.
Corollarium 5.
Quintò, non poſſe faciliùs globum moueri, quàm in ſuperficie terræ,
ſi probè læuigata eſſet; nullum enim eſt planum ſupra ſiue rectum, ſiue
curuum, quod non aſcendat; nullum infrà quod non deſcendat: hinc mo­
tus eſſet æquabilis.
1
Corollarium 6.
Sextò, cum globus rotatur in plano inclinato mouetur motu mixto,
ſcilicet ex motu orbis & centri, moueturque velociùs quàm cubus eiuſ­
dem ponderis; quia pauciores partes plani fricantur à globo; ſed hæc ra­
tio non valet, niſi ſupponatur planum non eſſe perfectè læuigatum; igi­
tur eſt alia ratio: an quia cubus mouetur motu centri? globus verò motu
centri & orbis; ſed motus orbis iuuat motum centri; ſed hæc ratio nulla
eſt, quia tantundem pars ſuperior globi addit motui centri quantùm
inferior detrahit; igitur alia ratio eſt, ſcilicet non tantùm globum deſ­
cendere in plano inclinato per grauitatem abſolutam, ſed etiam per reſ­
pectiuam, eſtque veluti potentia Mechanica admota, ſcilicet vectis, cu­
jus quaſi vicem gerit ſemidiameter circuli: porrò vectis centrum eſt
punctum contactus; dixi ſemidiametrum, non verò diametrum; quia to­
tum pondus globi non eſt appenſum extremæ diametro, ſed extremæ ſe­
midiametro in hoc caſu; illa autem extremitas eſt centrum grauitatis
globi.
Corollarium 7.
Septimò, hinc etiam apparet analogia impetus imperfectioris, qui pro­
ducitur verſus centrum vectis, & illius, qui producitur in mobili per
planum inclinatum; nam ideo eſt imperfectior, qui producitur verſus
centrum vectis, quia temporibus æqualibus partes mobiles vectis, quæ
ſunt verſus centrum acquirunt ſpatia inæqualia ſcilicet, minora, & mi­
nora in infinitum; ita prorſus in planis inclinatis cum acquirantur tem­
poribus æqualibus ſpatia inæqualia; minora certè in longioribus, ſup­
poſita dumtaxat eadem perpendiculi altitudine debet produci impetus
imperfectior; nam ex imperfectione effectus id eſt motus, benè colligitur
imperfectio cauſæ id eſt impetus.
Collorarium 8.
Octauò denique, mirabile eſt, quî fieri poſſit, vt eadem potentia quæ
totas ſuas vires exerens globum proiicit per lineam verticalem ad al­
titudinem vnius pollicis, id eſt quæ proiicere tantùm poteſt per ſpatium
digitale, per omnes tamen inclinatas, quæ ad extremitatem huius per­
pendiculi duci poſſunt, cuiuſcunque ſint longitudinis, non auctis viri­
bus proiiciat; quis hoc crederet? niſi manifeſta cogeret demonſtratio,
quam habes in Th.20.27. &c.
1 23[Figure 23]
LIBER SEXTVS,
DE MOTV REFLEXO.
DE motu reflexo agendum eſſe videtur hoc
loco; præmittenduſque eſt motui circula­
ri, qui fortè ſine motu reflexo nunquam fit,
vt dicemus infrà.
DEPINITIO 1.
MOtus reflexus eſt reditus mobilis ratione corporis impedientis primam
lineam motus.
Hæc definitio eſt clara; dicitur reditus, quia reuerâ mobile, quod re­
percutitur, ſeu reflectitur, quaſi redit, ſeu retrò agitur; ſiue id fiat per
eandem lineam, quâ appulſum fuit; ſiue per aliam: ſic pila in murum
impacta reflecti dicitur, ita vt eius linea frangatur in ipſa muri ſuperfi­
cie, quod duobus tantùm modis fieri poteſt: primò ſine angulo, vt cum
redit mobile per eandem lineam, per quam priùs acceſſerat, ſicque linea
reflexionis opponi videtur ex diametro lineæ incidentiæ. Secundò cum
angulo, quòd ſcilicet in puncto reflexionis linea reflexionis cum linea
incidentiæ faciat angulum.
Definitio 2.
Corpus reflectens eſt, quod motum liberum alterius corporis impacti non
permittit vlteriùs per eandem lineam propagari, ſed illius lineam frangit, &
inflectit, &c. huius corporis conditiones in ſequentibus Theorematis
definiemus.
Definitio 3.
Punctum reflexionis eſt punctum illud plani reflectentis, in quo linea refle­
xionis, & linea incidentiæ coëunt.
Definitio 4.
Linea incidentiæ eſt illa linea motus. per quam mobile ante reflexionem ap­
pellitur ad planum reflectens.
1
Definitio 5.
Linea reflexionis eſt illa linea motus, per quam mobile poſt reflexionem re­
cedit à plano inclinato; hinc vides punctum reflexionis eſſe terminum ad
quem illius lineæ, & terminum à quo huius.
Definitio 6.
Angulus incidentiæ eſt, quem facit cum plano reflectente linea inci­
dentiæ.
Definitio 7.
Angulus reflexionis eſt, quem facit linea reflexionis cum eodem plano.
Definitio 8.
Cathetus eſt linea perpendiculariter cadens in planum reflectens ducta ab
aliquo puncto linea incidentia; & tunc dicitur Cathetus incidentiæ; vel
ab aliquo lineæ reflexionis, & tunc dicitur Cathetus reflexionis; hæc
omnia ſunt facilia, quæ in gratiam Tyronum breuiter in figura
propono.
Sit FB linea plani reflectentis; ſit D punctum reflexionis; ſit AD
linea incidentiæ, DH linea reflexionis, AB Cathetus incidentiæ, HF
Cathetus reflexionis, ADB angulus incidentiæ, EDF oppoſitus,
HDF angulus reflexionis, CDB oppoſitus, ADH angulus aperturæ
vel pyramidis reflexionis, EDC oppoſitus, ADE angulus ſupplementi
anguli incidentiæ, HDG angulus complementi anguli reflexionis, re­
ctangulum BH ſuperficies reflexionis, BF ſectio plani reflectentis, &
prædictæ ſuperficiei.
Hypotheſis 1.
Aliquod corpus in aliud cum impetu impaction reflectitur, hæc hypothe­
ſis certa eſt.
Hypotheſis 2.
Corpus reflexum in aliud impactum aliquando illud mouet; ſic pila ab
aliquo corpore reflexa in aliam incidens mouet illam.
Hypotheſis 3.
Quo motus directus, ſcilicet qui ſis per lineam incidentia, eſt maior, maior
eſt quoque motus reflexus; ſi enim maiore vi pila appellitur in parietem
maiore vi etiam retorquctur.
Axioma 1.
Idem impetus ad plures lineas determinari pereſt ſeorſum; hoc Axima
certum eſt; probatum eſt in libro 1. Th.113.114. &c. dixi ſeorſim, nam
plures ſimul lineas habere non poteſt per Th.115.l.1.
Axioma 2.
Vbi eſt effectus, ibi eſt cauſa, effectus inquam formalis, v. g. vbi eſt album,
ibi eſt id, quod exigit motum, ſeu præſtat illum motum in mobili; id eſt
1impetus: quippe omnis motus eſt ab impetu, quod ſæpiùs in toto libro
primo demonſtratum eſt.
Axioma 3.
Impetus destruitur tantùm ne ſit frustra per Sch. Theor.152.& alia multa
libro primò, ſi enim impetus ſuum poſſet habere effectum reuerâ non de­
ſtrueretur.
Axioma 4.
Tunc dici non poteſt tota cauſa destructa (cauſa inquam formalis) cum
tuus effectus non eſt deſtructus; ſeu tunc non debet dici deſtructus totus
impetus cum totus motus non eſt deſtructus.
Theorema 1.
Datur motus reflexus; nemo dubitat: quippe aliquod corpus in aliud
impactum reflectitur per Ax. primum ſed ſi corpus reflectitur eſt motus
reflexus; igitur certum eſt de motu reflexo quod ſit; infrà verò videbi­
mus propter quid ſit.
Theorema 2.
In motu reflexo eſt impetus; probatur, quia vbi eſt motus, ibi eſt impe­
tus per Axioma 2.
Theorema 3.
Hinc cauſa motus reflexi eſt impetus qui ineſt corpori reflexo; nec enim eſt
quidquam aliud applicatum cum mobile ſeparatum tùm à corpore refle­
ctente, tùm à manu proiicientis etiam moueatur; igitur nihil extrinſe­
cum poteſt eſſe cauſa huius motus; igitur aliquod intrinſecum, voco
impetum; hîc diutiùs non hæreo, quia ſimile argumentum habes in ter­
tio libro, in quo fusè probaui requiri impetum ad motum violentum,
atqui nullus motus reflexus eſt naturalis; igitur violentus vel mixtus,
igitur requirit neceſſariò impetum.
Theorema 4.
Ille impetus vel producitur nouus, vel conſeruatur prauius; clarum eſt,
nec aliud excogitari poteſt.
Theorema 5.
Ille impetus non producitur à corpore reflectente: probatur primò, quia
omnis impetus producitur ad extra ab alio impetu per Theor. 42. lib.1.
Secundò probatur, quia corpus reflectens ſemper produceret impetum
in alio corpore applicato; eſſet enim cauſa neceſſaria; igitur neceſſariò
ageret per Ax.12. lib.1. nec eſt quod dicas agere tantùm poſita tali con­
ditione: hoc eſt poſito motu præuio, quod ſatis ridiculum eſt, vt iam
aliàs monui; quia conditio nihil aliud præſtat in cauſa quàm applicatio­
nem ſubiecti apti, in quo agat, & ſubtractionem omnis impedimenti;
atqui cum proximè pila parieti adhæret, eſt omninò applicata, & abeſt
omne impedimentum: præterea ſi corpus reflectens ageret; haud dubiè
1ſi maius eſt maiorem impetum produceret; nec enim agit tantùm pars,
quæ tangitur; alioqui globus qui tangit tantùm in puncto minimè re­
flecteretur; quid enim punctum agere poteſt? Igitur ſi tantùm agit, quo
maius eſt plùs agit; quæ omnia ſunt perabſurda; Igitur non producitur
ille impetus à corpore reflectente. Vide Th. 40.lib.1.&c.
Theorema 6.
Non producitur ab vllo alio extrinſeco; non ab aëre, qui motui obſi­
ſtit; ſed nihil eſt aliud extrinſecum applicatum; Igitur non producitur
ab vlla cauſa extrinſeca: adde ſi vis rationem euidentiſſimam, quæ Theo­
rema ſuperius mirificè confirmat; quia ſcilicet maximè applicatur mo­
bile corpori reflectenti per lineam perpendicularem; igitur per illam
maximè deberet agere: quippè per lineam obliquam quaſi tantùm allam­
bitur corpus reflectens; atqui linea reflexionis perpendicularis minima
eſt omnium quamuis per accidens, vt conſtat experientiâ, & nos infrà
demonſtrabimus; cùm tamen deberet eſſe maxima; igitur impetus non
producitur in mobili reflexo, nec ab ipſo corpore reflectente, nec ab vllo
alio extrinſeco; quia nihil prorſus aliud applicatum eſt, à quo produci
poſſit. Reſpondent aliqui produci à generante; ſed quodnam eſt illud
generans? non cauſa ſecunda, vt patet; an verò prima? ſed quis dicat
moueri tantùm à Deo pilam à muro repercuſſam? ſed quidquid moue­
tur, inquies, ab alio mouetur, vt vult Philoſophus. Reſpondeo mediatè
ſcilicet, vel immediatè; quippe illa pila à ſe ipſa non mouetur, ſed ab
impulſore mediante, ſcilicet, impetu impreſſo; ſed hæc alibi iam indi­
cauimus.
Theorema 7.
Non producitur ille impetus ab ipſo mobili, vt conſtat nec enim exigit
moueri illo motu; adde quod eſt cauſa neceſſaria; igitur nulla eſſet ra­
tio, cur modò maiorem, modò minorem effectum, hoc eſt impetum pro­
duceret; quod tamen accidit; ſed hæc ſunt facilia.
Theorema 8.
Non producitur nouus impetus in reflectione pura: probatur, quia produ­
ceretur ab aliqua cauſa: illa autem eſſet vel extrinſeca, vel intrinſeca;
non producitur ab vlla causâ extrinſecà per Theor.6.nec ab vlla intrin­
ſecâ per Th.7. igitur à nulla; igitur nullus producitur; dixi in reflexio­
ne purâ, quia præter reflexionem fieri poteſt, vt corpus reflectens mobi­
le impellat; vt cum duo globi mutuò colliduntur, vel vt ſit aliqua com­
preſſio, quâ poſitâ nouus impetus producetur; non eſt tamen quòd ali­
quis dicat motum reflexum eſſe tantùm à compreſſione; quia quò corpus
durius eſt; & minùs redit, meliùs reflectitur; ſic marmor à marmore fa­
cilè reflectitur.
Theorema 9.
Hinc impetus ille, qui eſt cauſa motus reflexi, eſt idem cum præuio conſer-
1uato; quia vel eſt productus de nouo, vel præuius, per Th. 4. non pri­
mum per Th.8.igitur eſt præuius.
Theorema 10.
Hinc potentia motrix, quæ priùs impegit mobile in corpus reflectens eſt cau­
ſa huius motus reflexi; quia ſcilicet eſt cauſa impetus, vi cuius mobile
mouetur etiam motu reflexo; hinc qui ludit pilá, verè dicitur cauſa re­
flexionis pilæ, cauſa inquam, ſed mouens.
Theorema 11.
Corpus reflectens dici poteſt aliquo modo cauſa reflexionis, id eſt, cauſa no­
uæ determinationis lineæ motus; niſi enim occurreret paries. v.g. non re­
flecteretur pila; quamquam dici debet potiùs occaſio, immò impedi­
mentum prioris lineæ, ex quo neceſſariò ſequitur noua linea, ve dicam
infrà.
Theorema 12.
Hinc habetur veriſſima cauſa reflexionis; cum enim impetus non con­
ſeruetur à cauſa primò producente, vt ſæpè dictum eſt ſuprà, nec deſtrui
poſſit ſaltem totus à corpore reflectente; certè debet ſuum motum vlte­
riùs propagare; igitur per aliquam lineam; quomodo verò determine­
tur linea reflexionis, dicemus infrà.
Theorema 13.
Hinc non destruitur totus impetus in puncto reflexionis. Probatur primò,
quia motus reflexus eſt ab impetu per Th. 3. ſed non producitur nouus
impetus per Theorema 8. igitur eſt impetus, qui erat ante reflexionem
per Th.9. igitur non deſtruitur totus, ſaltem per ſe, in puncto reflexio­
nis. Probatur ſecundò à priori; quia nunquam deſtruitur impetus, niſi
quando eſt fruſtra per Ax.3.ſed corpus reflectens non facit, vt ſit fruſtrà,
quia non impedit omnem lineam motus; igitur ſi ad aliquam determi­
nari poteſt, impetus non erit fruſtrà: ad quam autem determinari de­
beat, dicemus infrà.
Dixi, non deſtruitur totus impetus; quia fortè aliqua pars illius de­
ſtruitur in reflexione vt demonſtrabo, ſcilicet per accidens: dixi præterea
per ſe, quia per accidens poteſt accidere vt totus impetus deſtruatur pro­
pter mollitiem vel corporis reflexi, vel propter aliam cauſam, de quo
aliàs.
Theorema 14.
Ex hoc etiam habetur impetum non eſſe ſucceſſiuum ſed qualitatem perma­
nentem eamque durare, licèt à cauſa primò producente non conſeruetur ſed ab
alia; vt iam alias demonſtrauimus.
Theorema 15.
In omni reflexione determinatur noua linea motus; clarum eſt, quia
non eſt motus ſine linea determinata, vt patet; ſed non remanet prior
1linea; igitur eſt noua, igitur illa determinatur; cur enim potiùs, quàm
alia, niſi determinaretur vna.
Theorema 16.
Non determinatur à puncto contactus tantum; quia ab eodem puncto
plures lineæ reflexionis procedere poſſunt; non à linea incidentiæ tan­
tùm; quia ſi tantillùm inclinetur planum eadem linea incidentiæ poteſt
habere diuerſas lineas reflexionis; non determinatur denique ab ipſo plano
inclinato quod diuerſas lineas reflectit; non determinatur, inquam, ab
his omnibus ſeorſim ſumptis, vt patet, ſed ab omnibus coniunctim:
quippe ab his determinatur linea motus, ex quibus poſitis, & applicatis
neceſſariò ſequitur; ſed ex applicatione iſtorum omnium ſeorſim non ſe­
quitur talis linea; quæ tamen ſequitur ex applicatione omnium coniun­
ctim, vt patet; igitur ab his coniunctim ſumptis determinatur linea.
Dices, linea incidentiæ non eſt ampliùs, quando linea reflexionis
determinatur; igitur non poteſt illam determinare. Reſpondeo deter­
minationem in eo eſſe poſitam tantùm, quòd impetus poſito tali angulo
incidentiæ non poſſit aliam inire lineam, præter illam vnicam; cùm enim
impetus ex ſe ſit indifferens ad omnes lineas, eo ipſo determinatur ad
vnam, quo impeditur ne per alias motus propagetur; atqui angulus inci­
dentiæ non modò dicit lineam incidentiæ, ſed lineam plani, atque adeo
apicem anguli qui eſt in puncto contactus; igitur poſito illo angulo
incidentiæ impetus determinatur ad lineam reflexionis.
Porrò quod impediatur omnis alia linea, patet ex eo, quod primo ipſa
linea incidentiæ impeditur ne vlteriùs producatur ab impenetrabilita­
te; & duritie plani reflectentis; immò & omnes aliæ impediuntur, quæ
per ipſum planum duci poſſunt.
Secundò, quod ſpectat ad alias, quæ citra planum reflectens à pun­
cto contactus duci quoque poſſunt, omnes præter vnam impediuntur,
quæ ſcilicet facit angulum cum plano æqualem angulo incidentiæ, vt
demonſtrabimus infrà.
Theorema 17.
Ideo determinatur impetus ad omnem lineam, quia impeditur prior linea;
clarum eſt; niſi enim impediretur prior; certè non determinaretur ad
nouam, quod certum eſt: adde quod planum reflectens perinde ſe habet,
que ſi mobile impelleret cum eo impetus gradu, quem ipſum mobile
iam habet; impelleret autem per lineam perpendicularem in puncto
contactus erectam; ſed propter priorem determinationem fit noua linea
mixta, de qua infrà.
Theorema 18.
Corpus reflectens impedit motum; quia eſt impenetrabile, durum, den­
ſum; ſed de his infrà, quando conſiderabimus impedimenta ratione
materiæ.
1
Theorema 19.
Corpus reflectens plùs, vel minùs impedit motum ratione diuerſæ appulſio­
nis: probatur, quia motus reflexus aliquando eſt maior, aliquando eſt
minor, de quo infrà.
Theorema 20.
Si corpus reflectens impingeretur in mobile, cui nullus prius ineſſet impetus,
punctum contactus determinaret lineam motus; vt demonſtrauimus lib.10.
moueretque globum, v.g. per lineam perpendicularem ductam à puncto
contactus per centrum globi per Th.120.& 121. lib.1.
Theorema 21.
Quò maiorem ictum infligit mobile per lineam incidentiæ corpori refle­
ctenti, eſt maius impedimentum; cum enim impetus agat tantùm ad extra,
vt tollat impedimentum; certè quò maior eſt ictus, plùs agit impetus;
igitur quò maior eſt ictus, eſt maius impedimentum, & viciſſim quò
maius eſt impedimentum eſt maior ictus; & contrà, quò minor eſt ictus,
eſt minus impedimentum, & viciſſim ſuppoſita ſcilicet eadem potentiâ
impellente, vt demonſtratum eſt libro primo.
Theorema 22.
Quando linea incidentiæ cadit perpendiculariter in planum reflectens eſt
maximum impedimentum; quia ſcilicet eſt maximus ictus, vt probauimus
lib.1.
Theorema 23.
Quò linea incidentiæ cadit obliquiùs in planum, eſt minùs impedimentum, quia
eſt minor ictus. v.g.in fig. Definitione.8. ictus per lineam GD eſt ad
ictum per lineam AD, vt AD ad AB; nec in his immoror, quæ lib.1.
& aliis ſufficienter demonſtrata ſunt; præſertim cum de planis inclina­
tis; nam perinde ſe habet inflictus ictus, atque grauitatio in ipſum pla­
num; eſt enim grauitatio in planum inclinatum, vt ſuprà fusè dictum eſt
in Th.16. lib.5.ad grauitationem in horizontale, vt Tangens horizonta­
les ad ſecantem, id eſt, vt AB ad AD; nam BD eſt quaſi perpendicu­
laris; igitur ictus ſunt, vt ſinus anguli incidentiæ ad ſinum totum. v. g.
vt AB, ad AD hinc per lineam, AD, eſt minùs impedimentum quàm
per GD immò eadem eſt ratio impedimentorum & ictuum; igitur im­
pedimentum in linea, GD eſt ad impedimentum per lineam, AD, vt
AD, ad AB.
Theorema 24.
Hinc plùs, vel minùs determinat nouam lineam motus planum reflectens;
cum enim ideo determinetur impetus ad nouam lineam, quia impeditur
prior per Theorema 17. certè in eadem proportione determinatur ad
nouam, in qua impeditur prior; ſed plùs vel minùs impeditur per Th.
23. igitur plùs vel minùs determinatur impetus; igitur plùs vel minùs
determinat planum reflectens: porrò planum BD, determinat mobile
1quod reflectit per lineam DG, & niſi eſſet alia determinatio per DG
reflecteretur mobile, vt reuerâ fit, cum linea incidentiæ eſt perpen­
dicularis.
Theorema 25.
Hinc planum reflectens maximè determinat impetum ad nouam lineam
cum linea incidentiæ eſt perpendicularis; quia tunc eſt maximum impedi­
mentum per Th.22.igitur maximè determinat per Th.24. & contrà, quò
linea incidentiæ eſt obliquior, minor eſt determinatio ad lineam no­
uam; igitur hæc tria ſunt in eadem proportione, ſcilicet ictus, impedi­
mentum, determinatio noua.
Theorema 26.
Maxima determinatio, quâ planum reflectens poſſit impetum, mobili im­
preſſum, quaſi retorquere, eſt illa, quæ fit per lineam perpendicularem. v.g.per
DG; ſi enim planum ipſum mobile impelleret à puncto contactus D;
certè impelleret tantùm per lineam perpendicularem, ſeu per lineam
ductam à puncto D per centrum globi, ſi v. g. eſſet globus, vt demon­
ſtrauimus in primo lib.1. Igitur maxima determinatio, quæ poſſit inferri
à plano eſt in ipſa perpendiculari.
Theorema 27.
Hinc, ſi linea incidentiæ eſt perpendicularis GD, linea quoque reflexionis
eſt eadem DG; quia huic eſt maximum impedimentum, quia ſcilicet eſt
maximus ictus; igitur maxima determinatio per Th. 25. ſed maxima eſt
illa, quâ mobile per ipſam perpendicularem DG à puncto contactus D
retorquetur per Th.26. Igitur ſi linea incidentiæ, &c. quod erat proban­
dum. Probatur præterea, quia ſi linea incidentiæ eſt perpendicularis
GD, non eſt potior ratio, cur linea reflexionis inclinet dextrorſum ver­
ſus A, quàm ſiniſtrorſum verſus H; igitur debet eſſe perpendicu­
laris.
Theorema 28.
Si linea incidentiæ cadat obliquè in planum, linea reflexionis non erit per­
pendicularis v. g. ſit linea incidentia AD, linea reflexionis non eſt per­
pendicularis DG; quia tunc non eſt maximus ictus, nec maximum im­
pedimentum per Th.23.igitur nec maxima determinatio per Theor.24.
igitur non fit per ipſam perpendicularem DG per Th. 26.
Theorema 29.
Hinc linea reflexionis, quæ ſequitur lineam incidentiæ obliquè cadentem in
planum non tantùm determinatur à plane reflectente ſed participat aliquid de
priori determinatione. v. g. ſit linea incidentiæ AD, linea reflexionis
DH; non tantùm determinatur hæc linea à plano FB, alioqui eſſet DG,
nec eſt eadem cum prima; alioqui eſſet DE, ſed partim determinatur à
plano FB per DG partimque reti nec aliquid primæ determinationis, &
ex vtraque fit DH, vt conſtat, quia quò linea incidentiæ eſt obliquior,
planum minùs determinat per Th. 25.
1
Theorema 30.
Hinc quâ proportione planum minùs confert ad nouam determinationem,
plùs remanet prioris determinationis; quò verò plùs illud confert, huius minùs
restat; hinc, cum planum totam confert nouam determinationem vt in per­
pendiculari DD, nihil prioris remanet; hinc ſi linea incidentiæ ſit pa­
rallela plano BF nulla fiet noua determinatio, tota priore intacta; ſi ve­
rò ſit perpendicularis GD, tota determinatio eſt noua, & nihil prioris
remanet; ſi demum lineæ incidentiæ ſint aliæ, confert vtrumque ad no­
uam determinationem pro rata.
Theorema 31.
Si pellatur mobile per AD in planum FB, determinatio lineæ reflexionis
erit quaſi mixta ſinistrorſum; ſi enim ex D propagaretur motus in E rectè
ſiniſtrorſum acquireret DF in linea BF, vt patet; igitur ſi ſit linea inci­
dentiæ AD, noua determinatio per DH conſtabit partim ex eo, quòd
planum reflectens confert partim ex eo, quod remanet prioris determi­
nationis, quod reſpondet DF, & ex eo quod confert planum FB, quod
reſpondet DP; quia ictus per AD eſt ad ictum per GD, vt PD ad DP
vel DG; ſed eſt eadem ratio impedimenti eademque determinationis
per Theoremata ſuperiora; atqui ex DPDF fit DHGO. igitur deter­
minatio lineæ reflexæ eſt mixta, quod erat probandum.
Theorema 32.
Hinc decreſcit determinatio, quam confert planum iuxta rationem ſinuum
verſorum in GD. v. g. ſi ſit linea incidentiæ AD; ducatur APH paral­
lela FB, determinatio quam confert planum, decreſcit ſinu verſo PG; ſi
verò ſit linea incidentiæ ID, decreſcit ſinu verſo LG; atque ita dein­
ceps; at verò creſcit portio prioris determinationis lineæ incidentiæ
iuxta rationem ſinuum rectorum in DB v. g. ſi ſit linea incidentiæ AD,
creſcit ſinu recto AP æquali BD ſi ſit IL creſcit ſinu recto IL vel RD.
Theorema 33.
Hinc angulus reflexionis eſt æqualis angulo incidentiæ, & hoc eſt principium
poſitiuum huius æqualitatis angulorum. ſit enim linea incidentiæ AD, du­
catur APH, AB, HF; certè DF & DB ſunt æquales APPH; item­
que ABPDHF ſunt æquales; atqui determinatio lineæ reflexionis
eſt mixta ex DFH; igitur erit DH; ſed triangula DFH, DAB ſunt
æqualia & anguli HDFADB ſunt æquales: ſimiliter ſit linea inciden­
tiæ ID, ducatur IN parallela AHIRNM; certè duo anguli IDR,
NDM ſunt æquales; idem dico de omnibus aliis lineis incidentiæ, &
hæc eſt vera ratio poſitiua à priori, de qua plura infrà; non deeſt etiam
negatiua, quia ſcilicet poſita linea incidentiæ AD cùm ſiniſtrorſum ſint
infiniti anguli inæquales angulo incidentiæ; non eſt potior ratio, cur
per vnum fiat quàm per alium, & cum ſit tantùm vnus æqualis HDM in
eodem ſcilicet plano; certè per illum fieri debet; quippe quod vnum
eſt, determinatum eſt, vt ſæpè diximus aliàs; nec eſt quòd aliqui delica-
1tioris ſthomachi rationem hanc negatiuam, cum tanta nauſea reſpuant,
cum optima ſit; nec vlli fallaciæ ſubiiciatur, non tamen ſolitariam eſſe
oportuit; quippe effectus poſitiuus per principium poſitiuum ad ſuam
cauſam reducendus eſt.
Theorema 34.
Hinc vides eſſe ſemper quatuor angulos æquales, ſcilicet, angulum inci­
dentiæ, angulum reflexionis & duos his oppoſitos; allos verò quatuor
etiam inter ſe æquales, ſcilicet duos angulos complementi & duos his
oppoſitos.
Theorema 35.
Hinc quoque reiicies illos, qui nolunt in reflexione impetum produci in mo­
bili à plano reflectente; quod reuerâ, ſi fieret nulla eſſet ratio æqualitatis
angulorum incidentiæ, & reflexionis, reiicies quoque aliquos apud Mer­
ſennum in phænom. Balliſt. prop. 24. qui ponunt duo qualitatum gene­
ra, quarum aliæ mobile firmiter affigant plano, aliæ à plano remoueant,
quod pluſquàm ridiculum eſt; itemque alios ibidem, qui nolunt circa
punctum reflexionis ab impreſſione mobilis foſſulam fieri, ſed non ſine
compreſſione, cuius deinde vi repellitur idem mobile; ſed in duro mar­
more nullum omninò apparet veſtigium huius foſſulæ, adde quod ſi hoc
eſſet, ſemper reflexio fieret per ipſam perpendicularem; quod vero perti­
net ad illas qualitates magneticas, quarum aliæ retinent, aliæ repellunt
mobile, pœnitus in hoc caſu inſulſæ ſunt; alioqui etiam ſine motu præ­
uio repellerent: vtrum verò in magnete admittendæ ſint, fusè diſputa­
bimus ſuo loco.
Theorema 36.
Ex hac angulorum æqualitate tùm Captotrica infinita ferè Theoremata de­
monstrat in radiis viſilibus, in ſpeculis vſtoriis, tùm Echometria in reflexione
ſonorum. Et verò noua Catoptrica poteſt eſſe in motu, quæ eadem pror­
ſus demonſtrabit, tùm in ſpeculis parabolicis, à quibus omnia miſſilia
projecta per parallelas axi Parabolæ in idem punctum reflectentur; vel
Ellipticis, à quibus omnia miſſilia projecta à dato puncto per omnes li­
neas ad idem punctum reflectentur; vel Hyperbolicis, à quibus miſſilia
projecta per plures lineas ad idem punctum ad aliud punctum omnes re­
flectuntur; vel Sphæricis concauis, à quibus miſſilia projecta per plures
lineas decuſſatas in eodem puncto ad idem punctum reflectuntur; vel
Sphæricis conuexis, à quibus miſſile proiectum à quolibet puncto dato
ad quodlibet aliud datum reflectitur. Ratio eſt, quia in circulo ſunt om­
nia plana; quælibet enim Tangens planum eſt; ſiue denique in Cylin­
dricis, Conicis, &c. quæ omnia ex principiis Catoptricis demonſtrari
poſſunt: adde ſi vis in hac Catoptrica verſatos eſſe debere, qui pilâ lu­
dunt, quos nunquam falleret ictus, ſi hanc rationem angulorum non mo­
dò perfectè callerent, verùm etiam ad praxim reducerent: immò poſſet
eſſe aliqua portio muri talis figuræ, vt ſemper inde reflexa pila per da­
tum cuniculum rectà traiiceretur.
1
Theorema 37.
In reflexione destruitur aliquid impetus, ſi talis ſit vtriuſque determina­
tionis pugna, vt aliquid impetus ſit frustrà; vt conſtat ex his, quæ diximus
libro primo; conſtat autem in reflexione eſſe determinationum pugnam
per Th 31. & 32. pugnat enim ſuo modo prior determinatio per GD
cum ſecunda oppoſita per DG; igitur aliquid impetus deſtruitur, ſi ex
tali pugna aliquid ſit fruſtrà. Obſeruabis autem eundem impetum in eo­
dem mobili cum duplici determinatione perinde ſe habere in ordine
ad nouam, vt patet, lineam, atque ſi eſſent duo impetus in ratione deter­
minationum: vtrùm autem aliquid impetus ſit fruſtrà per ſe, determina­
bimus infrà.
Theorema 38.
Si totus impetus destrueretur nulla eſſet reflexio; quod maximè eſſet ab­
ſurdum & incommodum toti naturæ; ſi verò nullus impetus deſtruere­
tur, ſeu per ſe, ſeu per accidens, daretur motus perpetuus; quippe mo­
bile ad eandem altitudinem aſcenderet poſt reflexionem, iterumque de­
ſcendens ad eandem aſcenderet atque ita deinceps; igitur motus eſſet
perpetuus, & nunquam corpus illud quieſceret, quod eſt contra inſtitu­
tum naturæ.
Scholium.
Obſerua primò ex hypotheſi certa haberi, dari motum reflexum, ex
qua colligo totum impetum non deſtrui. Secundò ex hypotheſi certa
haberi, motum reflexum eſſe minorem directo vlteriùs propagato, vt
conſtat experientiâ, ex qua colligo aliquam portionem impetus deſtrui,
ſaltem per accidens propter compreſſionem, & alliſionem partium.
Theorema 39.
Maior eſt determinatio, quæ confertur à plano mobili per lineam perpendi­
cularem incidenti, quàm prior, quæ inerat mobili; probatur, quia nec eſt
minor, nec æqualis, non minor; alioquin prior vinceret; non æqualis,
quia neutra præualeret; igitur eſt maior; ſi vtraque determinatio eſſet
aqualis totus impetus deſtrui deberet; igitur eadem eſt proportio impe­
tus remanentis, quæ eſt mixtæ determinationis ex priori, & noua; nul­
lus enim impetus eſſe poteſt ſine determinatione; igitur ſi tota perit de­
terminatio, totus etiam perit impetus, qui illi reſpondet; & ſi remanet
aliquid determinationis mixtæ, aliquid etiam impetus remanet, qui eſt
ad priorem impetum, vt hæc determinatio reſidua ad priorem determi­
nationem; quantum verò remaneat prioris impetus, dicam infrà.
Theorema 40.
Determinatio per DG à plano eſt dupla determinationis prioris per lineam
incidentiæ GD; quod ſic demonſtro; ſit linea incidentiæ ID, linea re­
flexionis erit DN, ſcilicet ad angulos æquales, per Th. 33. ſit autem an­
gulus NDM 30. graduum, & NDG 60. ducatur NO parallela GD;
1tùm ID producatur in O, denique ducatur NG: prima determinatio
lineæ incidentiæ ID, eſt per DO, determinatio plani eſt per DG; ſed
DO eſt æqualis DG; nam DON, DNG ſunt æquilatera æqualia;
hinc determinatio mixta eſt per DN, diuidens angulum GDO bifa­
riam; igitur ſi ſit linea incidentiæ ID & angulus ID B. 30. graduum,
æqualis eſt determinatio plani determinationi prioris lineæ; hinc angu­
lus diuiditur æqualiter bifariam; ſit verò linea incidentiæ AD produ­
cta vſque ad E, linea reflexionis DH; ducatur HE; aſſumatur DT
æqualis EH: dico determinationem plani eſſe ad determinationem
prioris lineæ AD vel DE, vt DT ad DE; cum enim determinatio mix­
ta ſit per DH; certè DH accedit propiùs ADDG, quàm ad DE; igi­
tur determinatio per DG eſt ad determinationem, per DE vt DT
æqualis HE ad DE; nam perinde ſe habent, atque ſi eſſent duo impe­
tus determinati ad duas lineas, de quibus hoc ipſum demonſtrauimus
tùm libro 1. Th.137. 138. 139. &c. tùm lib.4. à Th. 1. ad Th.14.quippe
linea determinationis mixtæ eſt diagonalis, vt ſæpè probauimus: deinde
ſit linea incidentiæ per KD; ſit DX linea reflexionis; ſit XQ, ipſique
æqualis DZ, dico determinationem per DG eſſe ad determinationem
per DQ vt DZ ad DQ, ſed XQ eſt minor GS, vt conſtat; igitur quò
linea incidentiæ accedit propiùs ad perpendicularem GD, determinatio
plani eſt maior, eſtque vt chordæ NO, HE, Xque igitur ſi tandem li­
nea incidentiæ ſit perpendicularis GD, determinatio plani eſt ad deter­
minationem lineæ incidentiæ, vt DY æqualis GS ad DG: ſed cum ex
Th.4. multa lux reliquis conſequentibus immò & antecedentibus afful­
gere poſſit, paulò fuſiùs explicandum, & demonſtrandum eſſe videtur:
itaque duobus modis, primò ex hypotheſi anguli reflexionis æqualis an­
gulo incidentiæ, quod iam reuerâ præſtitum eſt; ſed cum ex hoc Theo­
remate prædicta æqualitas angulorum reflexionis tanquam per princi­
pium immediatum poſitiuum demonſtrari poſſit, ne ſit aliqua circuli
ſpecies, quo determinatio noua dupla prioris poſita linea incidentiæ
perpendiculari per æqualitatem anguli reflexionis, & hæc æqualitas per
illam eandem determinationem duplam demonſtretur, aliam viam inire
oportet, vnde intima totius reflexionis principia eruantur, quod vt
fiat.
Primò certum eſt, corpus reflectens in perpendiculari, (quæ eſt cum
linea incidentiæ terminata ad punctum contactus ducitur per centrum
grauitatis globi reflexi) certum eſt inquam corpus reflectens in prædi­
cta linea aliquando cedere, aliquando non cedere; cedere autem dici­
tur cùm vel amouetur à corpore impacto, vel ſaltem concutitur:
tunc autem nullo modo cedere dicitur, cum ab ictu nullo modo mo­
uetur.
Secundò, ceſſio, & reſiſtentia ita poſſunt comparari, vt vel ceſſio ſit
æqualis reſiſtentiæ, vel ceſſio ſine reſiſtentia, vel reſiſtentia ſine ceſſione:
porrò tunc eſt ceſſio tota, cum nulla eſt reſiſtentia, quod tantum accide­
ret, ſi corpus moueretur in vacuo; quippe nullum eſt medium quamtum-
1uis rarum, & tenue, quod aliquantulum non reſiſtat, vt clarum eſt; tunc
quoque eſt reſiſtentia ſine ceſſione, ſeu tota reſiſtentia, cum ipſum cor­
pus reſiſtens nullo modo cedit; id eſt nullo modo mouetur ab ictu; neque
enim excogitari poteſt maior reſiſtentia; denique tunc eſt æqualis ceſ­
ſio reſiſtentiæ, cum ipſum corpus, in quod aliud impingitur (vocetur re­
flectens) tantùm cedit quantum reſiſtit; cedit autem per motum; igitur
ſi reflectenti imprimitur æqualis motus ab impacto reflectens æqualiter
cedit, & reſiſtit, ſi minor minùs cedit, & plùs reſiſtit, ſi nullus nullo mo­
do cedit, ſed tantùm reſiſtit; ſi maior plùs cedit, & minùs reſiſtit, ſcili­
cet in infinitum, donec tandem in vacuo ſit tantum ceſſio, nulla reſi­
ſtentia.
Tertiò, tunc impactum motum æqualem imprimit reflectenti, cum
impactum æquale eſt reflectenti, tùm mole, tùm pondere v.g. globus A
impactus in globum B eiuſdem materiæ, & diametri, modo nullus fiat
attritus partium, ſeu compreſſio, ſitque linea directionis connectens
centra per punctum contactus, quod in primo libro iam demonſtratum
eſt; cum enim totus impetus globi A agat, & quantum poteſt; certè pro­
ducit æqualem; nec enim aliunde determinari poteſt æqualitas effectus
quàm ab æqualitate cauſæ poſitis iiſdem circumſtantiis, & cum impetus
in B impreſſus diſtribuatur tot partibus quot producens æqualis in A,
vterque impetus eſt æquè intenſus; igitur æquè velox motus per ſe; cum
per accidens aliquando ſecus accidat; ſi verò reflectens ſit minor, idem
impetus paucioribus partibus diſtribuitur; igitur intenſior eſt; igitur
velocior motus, ſecus verò cum maior eſt, donec tandem tanta ſit moles,
vt plura ſint puncta in reflectente, quàm ſint in impacto puncta impe­
tus; tunc enim nullus imprimitur impetus, vt conſtat ex dictis lib. 1.
Quartò, quod autem ſit æqualis reſiſtentia, & ceſſio globi B æqualis
globo A etiam certum eſt; tùm quia, ſi æqualiter mouetur, æqualiter ce­
dit, vt iam dixi ſi æqualiter cedit, æqualiter reſiſtit; nam quâ proportio­
ne minùs cedit, plùs reſiſtit; igitur qua proportione ceſſio augetur, reſi­
ſtentia imminuitur: præterea cum reſiſtat per ſuam entitatem impene­
trabilem, duram &c. certè ſi eſt æqualis entitas, eſt æqualis reſiſtentia;
quod etiam videmus in corporibus immerſis eiuſdem grauitatis cum
medio, ita vt tot ſint partes impellentes, quot impulſæ; denique illud
experimentum quo videmus globum A impactum in B æqualem per li­
neam connectentem centra immobilem ſiſtere, rem iſtam euincit; nam
ideo ſiſtit, quia eſt æqualis determinatio noua priori; nam vt ſe habet
reſiſtentia reflectentis, ita ſe habet noua determinatio, quam ſuo modo
confert impacto, vt ſuprà demonſtratum eſt: & cùm ſint ad lineas op­
poſitas ex diametro hæ duæ determinationes, neutra præualere poteſt;
igitur neceſſe eſt ſiſtere globum impactum.
Quintò, certum eſt determinationem nouam eſſe iuxta proportionem
reſiſtentiæ, & hanc iuxta proportionem minoris ceſſionis; vnde cum
nulla eſt reſiſtentia, ſed tantùm ceſsio, nulla prorſus eſt noua determina­
tio igitur à termino nullius reſiſtentiæ, & totius ceſsionis ad terminum
1æqualis ceſſionis, & reſiſtentiæ, acquiritur tantùm noua determinatio
æqualis priori: ſimiliter à termino nullius ceſſionis, & totius reſiſtentiæ
ad terminum æqualis reſiſtentiæ, & ceſſionis, acquiritur tantùm æqualis
ceſſio; ſed qua proportione creſcit ceſſio, imminuitur reſiſtentia, & vi­
ciſsim; igitur cum æqualis ceſsio, & reſiſtentia ſint in communi medio;
tantùm enim eſt ab æquali reſiſtentia & æquali ceſsione ad totam ceſ­
ſionem, & nullam reſiſtentiam, quantùm eſt ab æquali reſiſtentia & ceſ­
ſione æquali ad totam reſiſtentiam, & nullam ceſsionem; & cum à nulla
reſiſtentia ad æqualem acquiritur noua determinatio æqualis priori; cer­
tè ab æquali ad totam acquiretur tantundem determinationis nouæ; igi­
tur tunc erit dupla prioris, quod erat demonſtrandum.
Sextò, præterea globus A impactus ſine acceſsione noui impetus non
poteſt velociùs moueri, quàm antè moueretur; ſed per reflexionem non
acquirit maiorem impetum, vt conſtat; igitur velociùs, quàm antè non
mouetur; igitur ſi conſideretur globus A impactus; ſi eſt æqualis reſi­
ſtentia, nullo modo mouetur; ſi eſt maior reſiſtentia, ſed non tota; mo­
uetur quidem motu reflexo; ſed inæquali priori, ſi adhuc maior moue­
tur etiam, ſed velociore motu, donec tandem in tota reſiſtentia toto
priore motu moueatur per ſe, vt dicemus paulò pòſt; ſi verò ſit minor
reſiſtentia ceſsione, mouetur quidem per eandem lineam, ſed tardiore
motu, ſi adhuc minor mouetur quoque, ſed velociore motu, donec tan­
dem in nulla reſiſtentia ſit totus prior motus; ſi verò conſideretur glo­
bus reflectens, ſi eſt æqualis reſiſtentia mouetur æquali motu; ſi maior
minore; ſi tota nullo; ſi vero ſit minor reſiſtentia mouetur motu velo­
ciore, atque ita deinceps; ſi nulla quaſi infinito: dico quaſi, quia ſi va­
cuum moueri poſſet per impoſsibile, certè cum non reſiſtat, infinitè ce­
deret; igitur infinito motu quaſi moueretur.
Septimò, vnde vides ab illo communi medio verſus vtrumque extre­
mum creſcere ſemper motum globi impacti; donec tandem in vtroque
extremo æquali motu moueatur, quo iam priùs mouebatur in linea inci­
dentiæ; at verò globi reflectentis verſus extremum nullius ceſsionis im­
minui motum, donec tandem in illo extremo nullus ſit; creſcere vero
verſus aliud extremum, donec tandem in illo infinitus ſit, eo modo, quo
diximus, id eſt infinita ceſsio, quam accipio ad inſtar motus infinitæ ve­
locitatis; quemadmodum accipi poteſt nulla ceſsio, ſeu tota reſiſtentia
ad inſtar motus infinitæ tarditatis.
Octauò, globus impactus imprimit ſemper æqualem impetum refle­
ctenti, qui pro diuerſa huius mole diuerſum modum præſtat; ſi refle­
ctens æqualis eſt æqualem, ſi maior minorem, ſi minor maiorem; quippe
idem impetus in paucioribus partibus facit maiorem motum, in totidem
æqualem, in pluribus minorem, donec tandem ſi plures ſint partes ſub­
jecti quàm partes impetus, nullus ſit motus; igitur nullus impetus, vt
conſtat ex his, quæ diximus lib.1.
Nonò, hinc motus reflexus in perpendiculari minor eſt ea parte mo­
tus, quæ reflectenti imprimitur; vel enim imprimitur motus æqualis,
1vel inæqualis, ſi æqualis, certè toto motu multatur globus impactus; ſi
inæqualis, vel minor, vel maior; ſi minor, certè eſt aliquis motus refle­
xus æqualis priori minùs ea parte, quæ reflectenti imprimitur, donec
tandem nullus imprimatur motus; tunc enim reflexus eſt priori æqua­
lis; ſi verò maior imprimitur, fortè nullus eſt reflexus poſito ſcilicet ra­
dio incidentiæ perpendiculari, minor tamen erit idem motus globi im­
pacti vlteriùs per eandem lineam propagati. v.g.ſi ſit duplus detrahitur
priori motui 1/2, ſi triplus 1/3, ſi quadruplus 1/4, atque ita deinceps; ſi de­
nique infinities velocior ex ſuppoſitione impoſsibili detrahitur aliquid,
quod habet ad priorem motum proportionem minoris inæqualitatis in­
finitam.
Decimò, ex his rectè concludi poteſt non produci infinita puncta im­
petus, nec eſſe infinitas partes ſubjecti actu; alioqui punctum mouere­
tur motu infinito, qui repugnat: præterea nullum eſſet corpus quamtum­
nis magnum, cui modico ictu non imprimatur impetus, ſi impetus con­
flat infinitis partibus; quare in vtraque progreſsione ſiſtendum eſt;
primò in nulla ceſsione & tota reſiſtentia, cum ſcilicet plura ſunt pun­
cta ſubjecti, quàm impetus. Secundò cum reflectens tantùm conſtat
vnico puncto, in quo ſcilicet impetus finitus impreſſus præſtat velociſ­
ſimum motum quem præſtare poteſt; licèt enim dato quocunque motu
poſsit dari velocior, non tamen cum dato impetu finito determinato ſi­
ne acceſsione alterius; ſed iam interruptam noſtrorum Theorematum ſe­
riem proſequamur.
Theorema 41.
Determinatio noua cuiuſlibet alterius anguli incidentiæ obliqui, vel acuti,
eſt ad priorem, vt duplum ſinus recti eiuſdem anguli ad ſinum totum. v. g.
ſit radius incidentiæ AD in planum immobile BDF: dico nouam de­
terminationem eſſe ad priorem, vt duplum AB, id eſt BC ad DA. De­
monſtro; cum enim ictus per AD obliquam ſit ad ictum per AB per­
pendicularem, vt AB ad AD, vt conſtat ex dictis, tùm ſupra, tùm in lib.
de planis inclinatis; ictus enim habent eam proportionem, quam ha­
bent grauitationes; ſed grauitatio in inclinatam AD eſt ad grauitatio­
nem in horizontalem DB, vt DB ad DA; igitur ictus inflictus plano
DB per inclinatam AD eſt ad inflictum per ipſam perpendicularem
GD vt PR æqualem AB ad DA; nam ictus in planum AD per GD
idem eſt cum ictu in DB per AD: ſimiliter ſit incidens KD, ſitque an­
gulus IDR æqualis KDG, ictus in ID per GD eſt æqualis ictui in
DR per KD; ſunt enim GDI, KDR æquales; ſed ictus in ID eſt, vt
grauitatio in eandem ID; hæc autem in inclinatam DI, ad aliam in
horizontalem DR vt DR ad DI; igitur ictus in DI per GD eſt ad
ictum in DR per GD, vt DR vel LI ad ID; ſed K β eſt æqualis IL;
nam arcus KG & IR ſunt æquales; igitur ictus per GD in DR eſt ad
ictum in DR per KD eſt vt DK ad K β; ſed impedimentum eſt vt ictus.
reſiſtentia vt impedimentum, determinatio noua, vt reſiſtentia; igitur
1determinatio noua in linea incidentiæ GD eſt ad nouam in linea inci­
dentiæ KD, vt GD vel KD ad K β, & in linea incidentiæ AD vt AD
ad AB; igitur vt ſinus totus ad ſinum rectum dati anguli incidentiæ; ſed
in linea incidentiæ perpendiculari GD, determinatio noua eſt ad pri o­
rem in ratione dupla; igitur vt G δ ad GD; ergo noua per KD eſt
ad nouam per DG, vt K θ, ad G δ; nam vt eſt K β ad GD ita K θ ad
G δ; ergo noua per KD eſt ad priorem vt K θ ad KD, & noua per
AD, vt AC ad AD, atque ita deinceps; ergo determinatio noua per
lineam incidentiæ obliquam eſt ad priorem, vt duplum ſinus recti an­
guli incidentiæ ad ſinum totum, quod erat demonſtrandum.
Theorema 42.
Hinc in ipſo angulo 60. determinatio noua eſt æqualis priori, id eſt in an­
gulo incidentiæ 30. ſit enim prædictus angulus IDR; certè RI eſt ſubdu­
pla ID, vt conſtat; ſed determinatio noua per ID eſt ad priorem, vt
dupla IR ad ID; ergo vt æqualis ad æqualem.
Theorema 43.
Hinc ſupra angulum 30.vſque ad 90. noua determinatio eſt maior priore,
donec tandem in ipſa GD vel in ipſo angulo GDR 90. ſit dupla prio­
ris, infrà verò angulum 30. eſt minor priore, donec tandem in ipſa ſe­
ctione plani FDB nulla ſit noua.
Theorema 44.
Ex his demonstratur acuratiſſimè æqualitas anguli reflexionis cum ſuo an­
gulo incidentiæ; ſit enim linea incidentiæ KD v. g. determinatio noua
per DG eſt ad priorem per DQ, vt K θ vel XQ æqualis ad DQ; igi­
tur vt DZ æqualis QX ad DX; ſed quotieſcumque ſunt duæ determi­
nationes, fit mixta per diagonalem Parallelo grammatis; ſed QZ eſt pa­
rallelogramma, & DX diagonalis; igitur determinatio mixta ex vtra­
que eſt per DX; ſed angulus XDG eſt æqualis KDG, vt patet, nam
XDG eſt æqualis DXQ, & hic DQX, & hic QD δ, & hic QDK;
igitur KDR, qui eſt angulus incidentiæ eſt æqualis angulo XDF, qui
eſt angulus reflexionis: idem dico de omni alio.
Obſeruaſti iam ni fallor primò determinationes nouas eſſe vt chor­
das arcus ſubdupli incidentiæ. Secundò planum reflectens quaſi repelle­
re omnes ictus per DG, id eſt per lineam, quæ à puncto contactus duci­
tur per centrum grauitatis, vt demonſtratum eſt lib.1. Th.120.121.
Theorema 45.
Nullus impetus deſtruitur per ſe in pura reflexione; nam per accidens vt
plurimùm deſtruitur, vt dicemus infrà: dixi in pura reflexione; quia cum
fit aliqua compreſſio, vel repellitur corpus impactus niſu poſitiuo, etiam
deſtruitur impetus; demonſtratur Th. quia nihil impetus eſt fruſtrà;
igitur nihil deſtruitur: conſequentia patet ex dictis; probatur antece­
dens, quia linea determinationis mixtæ eſt ſemper æqualis lineæ prioris
determinationis, ſi remoto obice fuiſſet propagata. v.g. ſit linea inciden-
1tiæ AD, quæ vlteriùs producta ſine reflexione ſit, vt DE; certè deter­
minatio, ſeu motus eſt vt DE, vt patet: iam reflectatur in D à plano
BF; noua determinatio per DG eſt ad priorem, vt DT æqualis HE ad
DE; igitur determinatio mixta per DH eſt vt DH, ſed DH eſt æqua­
lis DE; igitur determinatio mixta eſt æqualis priori; igitur nihil im­
petus eſt fruſtrà; igitur nihil illius deſtruitur, quod erat demonſtrandum:
Idem demonſtrari poteſt in quacunque lineâ; in perpendiculo verò
GD; cùm noua per DG ſit dupla prioris per D δ, id eſt, vt DY æqua­
lis GD, ad DA; certè mixta erit DG æqualis DA.
Theorema 46.
Hinc omnes lineæ reflexæ per ſe ſunt æquales, quia ſunt ſemidiametri eiuſ­
dem circuli; dico per ſe; nam per accidens ſecùs accidit; hinc malè di­
citur reflexam perpendicularem eſſe omnium reflexarum breuiſſimam
per ſe; quod licèt ita eſſe videatur, illud reuerâ eſt per accidens.
Obiiceret fortè aliquis pilam reflexam nunquam ad eam aſcendere ſubli­
mitatem ex qua priùs demiſſa fuerat. Reſp. hoc veriſſimum eſſe ſed per acci­
dens hoc ita fieri certum eſt propter diuiſionem, attritum, compreſſio­
nem, ceſſionemque partium; vnde pila eò altiùs aſcendit, quò durior, &
leuigatior eſt illa materia, ex qua conſtat, planumque ipſum leuigatius,
durius & ad libellam acuratius ita compoſitum, vt ſit omninò horizonti
parallelum: adde quod planum debet eſſe prorſus immobile; ſi enim mo­
bile ſit, multus impetus deſtruitur.
Theorema 47.
Hinc licèt non poſſit eſſe motus mixtus ex duplici impetu ad diuerſas lineas
determinato, niſi aliquid impetus destruatur, vt constat ex dictis; poteſt ta­
men eſſe linea motus quaſi mixta ex duabus cum eodem ſcilicet impetu licèt
nihil impetus destruatur; eſt enim maximum diſcrimen vtriuſque, vt
patet.
Theorema 48.
Ideo perpendicularis reflexa eſt reflexarum minima, non quidem per ſe,
ſed per accidens; quia cum perpendicularis maximum ictum infligat, fit
maior compreſſio partium, attritus, diuiſio; ex quibus neceſſariò ſequi­
tur plùs impetus deſtrui.
Theorema 49.
Motus reflexus non eſt mixtus ex motu plani pellentis & alio; quia reue­
rà planum nullum imprimit impetum, quod etiam ex dictis neceſſariò
ſequitur; ſed eſt veluti occaſio, ex qua reſultat noua determinatio mix­
ta, ratione ſcilicet impedimenti, eo modo, quo diximus; ſi enim pla­
num ipſum nouum impetum imprimeret mobili, non eſſet pura reflexio.
de qua modo agimus, ſed alia, de qua infrà.
Theorema 50.
Non datur quies vlla in puncto reflexionis; appello puram reflexionem,
1in qua nullus ſit attritus nec compreſſio, vel in mobili impacto, vel in pla­
no reflectente; prob. quia mobile vno tantùm inſtanti tangit planum; igitur
nullo inſtanti quieſcit; antecedens certum eſt, quia eo inſtanti, quo primò
tangit, habet impetum; nec enim deſtruitur totus per Th.38.igitur inſtanti
ſequenti habebit ſuum effectum, ergo motum; ergo vno tantùm inſtanti
tangit; nec dicas impetum illum impediri; nam ideo impediretur motus
pro ſequenti inſtanti, quia tangitur planum primo inſtanti; igitur ſimi­
liter, non moueretur tertio inſtanti, quia priori, id eſt ſecundo planum
tangeretur; idem dico de quarto, quinto &c. ergo mobile omninò quie­
ſceret, nec reflecteretur, quod eſt contra Th.1.igitur vno tantùm inſtanti
tangit mobile planum, quod erat antecedens propoſitum: Iam verò pro­
batur conſequentia; ſi quieſcit in puncto reflexionis mobile; igitur eo
inſtanti, quo tangit illud punctum; ſed eo inſtanti non quieſcit, quo reue­
râ mouetur; atqui eo inſtanti quo tangit reuerâ mouetur; quia moueri, eſt
nouum locum primò acquirere per def.1. l.1.
Obiicies, primo inſtanti contactus mobile tangit planum quieſcens,
ergo non mouetur. Reſpondeo negando conſequens, nam reuerâ poteſt
mobile in plano immobili moueri.
Obiicies ſecundò, mobile in puncto non mouetur; igitur in puncto
reflexionis non mouetur. Reſpondeo primò negando antecedens; qui
enim admittunt puncta phyſica, dicent acquiri poſſe motu punctum phy­
ſicum ſpatij. Reſpondeo ſecundò eandem eſſe difficultatem pro motu ſe­
quentis inſtantis, quidquid ſit, ſiue dentur puncta ſiue non, cuius diſcuſ­
ſio pertinet ad Metaphyſicam, ne.no negabit motum reuerâ eſſe, cum pri­
mo nouus locus acquiritur, in quo non eſt difficultas.
Obiicies tertiò, in puncto nulla eſt ſucceſſio; igitur neque motus.
Reſpondeo primò, nulla eſt ſucceſsio actu, concedo, potentia, nego; Re­
ſpondeo ſecundò, concedo antecedens, diſtinguo conſequens; nullus eſt
motus ſucceſsiuus, concedo; inſtantaneus, nego.
Obiicies quartò, nullus datur motus inſtantaneus. Reſpondeo, nullus
datur inſtantaneus actu nego, potentiâ concedo; quia quocunque dato
motu poteſt dari minor.
Obiicies quintò, igitur motus in eo puncto non poteſt eſſe tardior, &
velocior. Reſpondeo primo negando; nam vno motu inſtantaneo actu
poteſt dari velocior, vel tardior, quæ omnia facilè in Metaphyſicis expli­
cantur, & demonſtrantur, ex quibus certè res iſta phyſica minimè de­
pendet.
Obiicies ſextò, authoritatem Ariſtotelis. Reſpondeo Ariſtotelem in­
telligendum eſſe de corpore projecto ſurſum motu violento, quod ante­
quam deſcendat vno inſtanti quieſcit; quod etiam demonſtraui lib. 3.Im­
mò plerique ſunt inter Peripateticos qui tenent in puncto reflexionis
non dari quietem, in hoc ſcilicet reflexionis genere, de quo hîc agimus,
qui fusè hanc quæſtionem diſcutiunt, nos breuiore methodo vſi rem
ipſam, ni fallor ex noſtris principiis demonſtrauimus.
1
Scholium.
Obſerua primò, ſi planum reflectens cedit, vel mobile ipſum, rem
aliter eſſe explicandam.
Secundò tribus modis planum cedere, primò per diuiſionem partium ſi fran
gantur; 2° per diuiſionem ſine fractione propriè ſumpta, ſed cum ceſsione.
Tertiò, ſine diuiſione, ſed non ſine compreſsione.
Exemplum primi generis habes in charta, ſeu vitro, quæ dum reflectit fran­
gitur: exemplum ſecundi in cera molli, vel pingui terrâ; tertii denique in men­
brana tenſa, vel fune tenſo: ſimiliter mobile ipſum tribus modis cedere
poteſt 1° cum diuiſione partium, & fractione, ſic dum vitrum à marmore refle­
ctitur in mille partes abit.2° ſine fractione, ſed non ſine depreſsione; ſic
plumbum deprimitur in corpus durum impactum, aut cera mollis. 3° ſine
diuiſione, ſed non ſine aliqua compreſsione, ſic veſicca inflata reflectitur.
Itaque duo ſunt planorum genera. Primum eſt eorum, quæ non cedunt
præ duritie. Secundum eorum, quæ cedunt vel per fractionem, vel per de­
preſsionem, vel per compreſsionem: per fractionem dupliciter; primò ſi
alterantur tantùm aliquæ partes minutiores, vt fit in molliori lapide;
Secundò ſi per fractionem corpus diuidatur in partes notabiles, vt fit in
vitro, glacie; adde totidem genera mobilium.
Obſerua tertiò eſſe tres alias combinationes; vel enim mobile reflecti­
tur à mobili, ſed non pellitur à plano, & hæc eſt pura reflexio; vel pellitur
à plano ſine motu præuio, vel ſimul reflectitur, & pellitur à plano, quod
ſimul mouetur. Obſerua 4° cum mouetur corpus reflectens à mobili im­
pacto tres eſſe quoque combinationes, vel enim cum mouetur corpus refle­
ctens, reflectitur, ſeu retroagitur mobile impactum, vel conſiſtit, ſeu quie­
ſcit, vel non retroagitur, ſed idem iter proſequitur. Obſerua 5° cum ſint
quinque veluti ſtatus corporis reflectentis; nam vel eſt molle, vel preſsi­
bile, vel durum vel fragile, vel friabile, & totidem ſtatus mobilis, eſſe 25.
combinationes, vt patet ex regula combinationum, in quo non eſt diffi­
cultas; igitur deinceps conſiderabo reflexionem ratione potiùs materiæ
corporis, tùm reflexi, tùm reflectentis, ſit ergo.
Theorema 51.
Deſtruitur impetus in reflexione ex multis capitibus: primò, ratione diuer­
ſæ determinationis, ſi talis eſt vt aliquid impetus ſit fruſtrà, ſuppoſita
etiam perfecta duritie mobilis, & plani & figura apta. Secundò, ratione
diuiſionis partium vel plani, vel mobilis, vel vtriuſque; ſi enim alteran­
tur partes, fit quaſi foſſula, quam ſenſim ſubit mobile, cumque ſingulis
inſtantibus ſit noua difficultas ſuperanda, ſemper inde imminuitur impe­
tus: adde quod minor eſt determinatio plani quod cadit; igitur minor
eſt motus reflexus; igitur plùs impetus eſt fruſtrà; igitur plùs deſtruitur;
ſi autem planum vel ipſum mobile propter fragilitatem in partes diſsi­
liat, etiam deſtruitur aliquid impetus; Tertio ratione impreſsionis;
Quarto ratione compreſsionis; Quintò ratione repulſionis; Sextò ra­
tione liberioris ceſsionis; ſed hæc omnia minutiùs videntur eſſe ex­
plicanda.
1
Theorema 52.
Deſtruitur impetus cum ſcilicet mobili impacto in planum atteruntur par­
tes vel plani, vel mobilis, vel vtriuſque, ſic cum ſaxum alliditur molliori la­
pidi, prima ſuperficies reſiſtit quidem; at certè minùs quàm par ſit, vt
ſiſtat mobile; deſtruitur tamen aliquid impetus, quia impeditur tantil­
lùm ſaltem prima illa determinatio; Secunda ſuperficies reſiſtit etiam in
maiori ſcilicet proportione, tùm quia impetus euaſit infirmior ex primo
quaſi conflictu, tùm quia paulò durior eſt ſecunda ſuperficies quàm pri­
ma, quod ſcilicet aliquæ partes quaſi intrudantur in vacuitates interce­
ptas; ſic pila lignea multis ictibus confuſa durior eſt; denique tertia ſu­
perficies reſiſtit in maiori proportione quàm ſecunda & quarta quàm
tertia; atque ita deinceps, donec tandem, vel totus impetus vincatur, vel
determinatio prior ſuperetur: hinc ſi alterantur partes plani tantùm, mi­
nùs impetus deſtruetur, quàm ſi atterantur partes mobilis; quia impetus
partium mobilis attritarum totus deſinit, nec vllam vim ampliùs facit,
quod potiori iure dicendum eſt, ſi atterantur partes vtriuſque.
Theorema 53.
Hinc pluribus licèt inſtantibus mobile tangat planum, non tamen vllo quie­
ſcit; alioqui ſemper quieſceret per Th.50.
Theorema 54.
Hinc cum atteruntur partes plani ab impactione mobilis, minor eſt reflexio;
quia minor eſt cauſa, ſcilicet impetus, quæ minor eſt adhuc ſi atterantur
partes mobilis, & minor adhuc, ſi partes vtriuſque; quæ omnia conſtant
ex dictis.
Theorema 55.
Cum reſiliunt partes mobilis, destruitur impetus pen ſe, quia ſcilicet illa di­
uiſio, vel ſolutio continuitatis ſeu plexus reſiſtit; igitur impedit, ſed omne im­
pedimentum detrahit aliquid impetus: dixi per ſe, nam per accidens fieri
poteſt, vt aliqua particula reſiliens maiore cum impetu moueatur, vt pa­
tet aliquando experientiâ; quia præter priorem impetum, qui cum aliis
partibus illi communis erat, additur alius propter nouam alliſionem, ſeu,
quod mirabilius eſt, cum aliqua particula ex maiore maſsâ diuellitur, im­
petus totius mobilis quaſi migrat in particulam illam, perinde quaſi ab
eo emitteretur, id eſt cum antè totum mobile velociſſimo motu ferretur,
particula auulſa, eodem deinde mouetur.
Theorema 56.
Porrò reſiliunt particulæ mobilis per omnes ferè lineas, quæ determinantur
per accidens à forma vel ſectione diuiſionis; quæ enim dextrorſum ſeparan­
tur, dextrorſum eunt; atque ita in omnem partem ſine alia regula; cur
verò ab ictu diuellantur partes, non eſt huius loci diſcutere; ſic enim
quaſi finditur ſaxum ex colliſione; tùm quia ex illo omnium partium
ſuccuſſu ſoluitur illarum nexus; tùm quia intruduntur aliquæ partes,
1quaſi ad inſtar cunei, quæ aliàs diuidunt; tùm denique, quia eſt aliqua
compreſſio, cuius vires certè maximæ ſunt, vt dicemus alibi: Exemplum
habes tùm in corpore duro, quale eſt vitrum, cuius modicam laminam ſi
duriori pauimento impingas, hinc inde mille particulæ tumultuatim re­
ſilient; tùm in corpore liquido, vt in aqua, quæ etiam ad corpus durum
alliſa in mille guttulas diſpergitur, quia eius partes facilè ſeparantur.
Theorema 57.
Si vel mobile eſt mollius, vel ipſum planum, vel vtrumque, ita vt non atte­
rantur partes, ſed tantùm citra compreſſionem cedant, deſtruitur etiam multus
impetus; ſit enim v.g.pila ex molliori cera, haud dubiè ex impactione non
comprimitur quidem, ſed deprimitur, nec amplius figuram ſphæræ, ſed
portionis habet: in qua reuerâ depreſſione multus eſt conflictus, nec ſuf­
ficienter prima ſuperficies reſiſtit, licèt aliquid impetus deſtruat, nec
etiam ſecunda, nec tertia, quæ tamen reſiſtunt ſemper in maiori propor­
tione; donec tandem vel totus ictus quaſi extinguatur, vel determinatio
prior ſuperetur; ex quo ſequitur reflexio, ſed minor: porrò minor refle­
xio reſultat ex mollitie mobilis, quam plani, cæteris paribus, & minor
adhuc ex mollitie vtriuſque; in quo verò conſiſtat mollities corpo­
rum, & quomodo deprimantur ſine compreſſione, explicabimus tra­
ctatu ſequenti.
Theorema 58.
Hinc plumbum ad reflexionem minùs aptum eſt, quia ſcilicet eius partes
difficiliùs auelluntur, & à maiore ictu, qui ex grauitate maiore reſultat,
faciliùs deprimuntur; hinc cum in molliorem terram pila alliditur, quaſi
emoritur eius ſaltus; hinc, ſi grauior ictus eſt, qualis eſt maioris vel mi­
noris pilæ è tormento exploſæ, & mollior terra, qualis eſt illa quâ vulgò
aggeres munitionum farciuntur, pila terram ipſam facto foramine pene­
trat, cùm facilè cedat materia; nec inde amplius reſultat, cuius rei ratio
eſt clariſſima quia ſenſim extinguitur impetus, nec anguſtiæ foraminis
reditum patiuntur.
Hinc multâ lanâ muniuntur latera nauium contra maiora tormenta;
quippe globi vis ſenſim emoritur in lana, quia ſinguli pili reſiſtunt; &
quia facilè cedunt difficiliùs diuiduntur, ſed fallenti illa ceſſione ictum
quoque fallunt, in quo non eſt difficultas.
Theorema 59.
Quando fit aliqua compreſſio, distribuitur etiam impetus; eſt enim con­
flictus, & pugna partium inter ſe; ſit enim veſicca in pauimentum alli­
ſa, partes anticæ aëris, quo veſicca inflatur, comprimunt, & quaſi poſti­
cas repellunt, à quibus mutuò retruduntur; vides pugnam; igitur de­
ſtruitur impetus: ſed reſtituitur ſtatim à potentia motrice media, quâ
ſcilicet corpus omne compreſſum plùs æquo, vt ſeſe in priſtinum exten­
ſionis ſtatum reſtituat, producit in ſe impetum: porrò de hac potentiâ
1agemus fusè tractatu ſequenti lib.2. porrò vel comprimitur tantum mo­
bile, vel tantùm ipſum planum, vel ſimul vtrumque.
Theorema 60.
Ex hac compreſſione ſequitur aliqua reflexio; ſiue tantùm mobile com­
primatur, vt veſicca inflata vel pila; quippe præter reflexionem puram,
id eſt præter priorem impetum, qui tamen ex parte deſtruitur, fit acceſſio
noui impetus; igitur maior eſt motus qui reuerâ impetus maior eſt, quò
maior eſt compreſſio, quæ maior eſt, quò maior eſt ictus; hinc maximè
apta eſt ad reflexionem pila, & veſicca; ſi tamen excipias mobile duriſ­
ſimum in planum duriſſimum impactum; tunc enim maxima eſt reflexio,
experientiâ teſte; ſi verò planum ipſum comprimatur, ex illa quoque
compreſſione ſequitur noui impetus acceſſio: Exemplum habes in fune
tenſo, vel in membrana timpani bellici, in qua piſa tam facilè ſubſultant;
emoritur tamen ferè totus prior impetus propter ceſſionem plani; & niſi
nouus accederet, haud dubiè vel nulla penitus vei minima fieret refle­
xio; denique fieri poteſt compreſſio tùm in mobili, tùm in plano v.g. ſi
veſicca inflata repercutiatur à membrana tympani maximè tenſa, in hoc
caſu maxima fit noui impetus acceſſio ex duplici compreſſione; ſed ma­
xima fit etiam prioris impetus imminutio ex duplici etiam capite, nem­
pè ex compreſſione, eaque duplici, & noua determinatione; ſed hæc ſunt
facilia.
Theorema 61.
Si corpus in aliud impactum repellatur per productionem impetus. v.g. ſi
duo globi mutuò impellantur, deſtruitur etiam impetus ex hoc capite, vt patet
experientia: immò ſi globus in æqualem globum impingatur deſtruitur
totus impetus prior; vt dictum eſt alibi, de quo etiam infrà: Ratio huius
Theorematis eſt, quia aliqua impetus portio eſt fruſtrà; quia non poteſt
habere ſuum effectum; igitur deſtrui debet.
Theorema 62.
Si globus in alium æqualem impingitur, ita vt punctum contactus, & cen­
trum vtriuſque ſint in eadem linea, multa ſequuntur phænomena, quæ iam atti­
gimus lib.1.à Th.60.Primò, æqualis impetus in globo, in quem impactus
eſt, producitur per Th.60.lib.1. Secundò, æqualis eſt determinatio noua
priori; probatur per Th.127.lib.1. Tertiò, deſtruitur totus impetus prior
per Th.128. hinc quieſcit globus impactus; cuius rei non poteſt eſſe alia
cauſa; nec enim dicas deſtrui totum impetum illum (vt reuerâ totus de­
ſtruitur) ratione reſiſtentiæ, quæ minor eſt, quàm eſſet, ſi in parietem il­
lideretur; igitur tota ratio, cur deſtruatur totus impetus, duci tantùm
poteſt ex eo, quod ſit fruſtrà; eſt autem fruſtrà, quia cum prior deter­
minatio ferat globum impactùm per eandem lineam, & noua per oppo­
ſitam; vtraque certè æqualis eſt; igitur neutra præualet; igitur globus
conſiſtit; ſi quis enim diceret non eſſe æquales; igitur altera maior eſt;
igitur debet præualere; igitur ſi prior eſt, debet vlteriùs propagari motus
1in eadem linea; ſi noua, igitur debet tantillùm reflecti; igitur cum nec
vlteriùs producatur motus, nec retrò agatur mobile, vtraque determi­
natio neceſſariò æqualis eſt. Quænam verò ſit huius æqualitatis ratio à
priori, difficilè dictu eſt; dico tamen petendam eſſe ab æqualitate glo­
borum; cum enim determinatio noua ſit duplò maior à plano immobili
& duro; certè à plano mobili minor eſt, vt conſtat, quia cedit; igitur
quâ proportione plùs, vel minùs cedit, eſt minor dupla; ſed maior glo­
bus minùs cedit, quàm æqualis; quia ceſſio eſt minor impulſione; igitur
quando ceſſio eſt æqualis impulſioni, æquales ſunt determinationes; at­
qui cum producitur æqualis impetus, & imprimitur æqualis motus,
æqualis eſt ceſſiò impulſioni, id eſt æquè cedit, ac impellitur; cum tamen,
ſi maior ſit globus, non æquè citò cedat, quia tardior motus imprimitur,
& hæc eſt, ni fallor, vera ratio huius æqualitatis determinationum, &
hæc vera cauſa quietis globi impacti, de qua iam ſuprà Th. 40.
Theorema 63.
Cum verò globus impellitur in globum æqualem per lineam obliquam, num­
quam quieſcit; quod demonſtratur, quia ſemper eſt determinatio mixta;
quod vt meliùs intelligatur, opus eſt nouâ figurâ ſit ergo punctum con­
tactus duorum globorum B, & ipſa CBN ſit Tangens communis, ſeu
ſectio plani, quæ gerit vicem plani reflectentis; fit autem primò linea
incidentiæ connectens centra FBA; nulla fit in ea reflexio per Th. 61.
quia ſcilicet determinatio noua per lineam BF eſt æqualis priori per
FB; ſit EB linea incidentiæ faciens angulum EBC cum Tangente
NC; determinatio noua eſt ad determinationem priorem vt BG vel
ER ad BE, & ſi ſit linea incidentiæ DB vt BH, vel SD ad BD; deni­
que ſi ſit BV vt TV ad BV, donec tandem linea incidentiæ ſit CB, quâ
poſitâ nulla eſt determinatio noua; vides eſſe eandem viam proportio­
num quæ fuit ſuprà; licèt non ſit futura eadem angulorum reflexionis
proportio, quia determinationum nouarum rationes non ſunt eædem;
producatur enim EBL DBM &c. determinatio prior per EB eſt ad
nouam per BF, vt BE ad BG; igitur ducantur EP PL; aſſumatur LI
æqualis BG, & GI, BL æqualis BE; denique ducatur BI: dico BI eſſe
lineam reflexionis ſeu determinationem mixtam ex BG BL per Th.
137.lib.1.&c. Similiter ſi ſit linea incidentiæ DBN, ducanturque DO.
OM, & aſſumatur MK æqualis BH, vel SD, dico lineam BK eſſe de­
terminationem mixtam ex BH BM, ex quibus etiam longitudo omnium
reflexarum facilè determinari poteſt; quippe longitudo eſt vt linea de­
terminationis mixtæ. v.g. BI, BK; demonſtratur autem hæc determi­
nationum progreſſio, quia determinatio per EB eſt ad determinationem
per FB vt ictus per EB ad ictum per FB, vt iam ſæpè dictum eſt; ſed
ictus per EB in CN eſt ad ictum per FB vt ER ad FB vel EB, id eſt, vt
ſinus rectus anguli incidentiæ ad ſinum totum; ſed determinatio noua
in perpendiculo FB eſt ad priorem, vt FB ad BF per Th.62. igitur noua
determinatio per EB eſt ad priorem vt ER ſeu ſinus rectus anguli EBC
1ad ſinum totum EB, & per DB vt DS ad DB: idem dico de aliis.
Hinc colligo primò, omnes determinationes nouas in hypotheſi glo­
borum æqualium eſſe ſubduplas in eiſdem angulis priorum determina­
tionum in hypotheſi corporis reflectentis immobilis.
Colligo ſecundò, omnes reflexiones fieri neceſſariò per eandem li­
neam, quæ ſcilicet eſt Tangens puncti contactus globi reflectentis, quod
valdè mirificum eſt, & facilè obſeruabunt, qui Tudicula minore ludunt.
Colligo ſexto, cum angulus incidentiæ eſt 60. lineam reflexam eſſe ſub­
duplam directæ quæ vlteriùs produceretur; infrà verò ſexto eſſe maio­
rem, ſuprà verò eſſe minorem, eſt autem longitudo lineæ ſinus comple­
menti anguli incidentiæ. v.g. ſi linea incidentiæ ſit EB eſt EG, ſi DB
eſt DH, ſi VB eſt VX.
Theorema 64.
Si globus minor in maiorem impingatur, qui ab eo tamen moueatur per li­
neam connectentem centra vtriuſque impactus, reflectitur; ratio eſt, quia ma­
ior globus eſt maius impedimentum, vt iam diximus Th. 131.lib.1.id
eſt, vt clariùs hic explicetur, quæ ibidem tantùm obiter indicauimus,
noua determinatio maior eſt priore, quia ceſsio eſt minor impulſione; ſit
autem. v.g. globus reflectens duplus impacto; igitur motus eſt ſubduplus,
quia ſcilicet impetus diſtribuitur pluribus partibus ſubjecti; igitur ſin­
gulæ minùs habent; igitur impetus eſt remiſsior; igitur motus tardior;
igitur ceſsio minor ſubduplo; igitur determinatio noua eſt maior æqua­
li 1/2 hinc debet neceſſariò reflecti, quia quotieſcunque ad lineas op­
poſitas ex diametro determinatur impetus, maior determinatio præua­
let pro rata per Th.134.lib.1. nam perinde ſe habet, atque ſi eſſet duplex
impetus; quanta porrò eſſe debeat linea reflexa, determinari poteſt; ſi
enim determinatio noua eſſet ſolilaria mobile cum eo impetu, quem ha­
bet conficeret v.g. BA vel BF; diuidatur BF in duas partes æquales in υ,
determinatio noua eſt ad priorem vt 3. ad 2. aſſumatur Fβ æqualis Bυ;
igitur propter determinationem priorem oppoſitam ſcilicet BA detra­
hi debent duæ partes toti Bβ ſcilicet βυ æqualis BA; igitur linea re­
flexa erit Bυ dupla totius BF; ſit etiam globus reflectens, qui mouetur
ab impacto, quadruplus, determinatio noua erit ad priorem vt 7. ad 4.
fit Bδ ad BA vt 7. ad 4. ex Bδ detrahatur DH æqualis BA, ſupereſt
HB id eſt 3/4 totius BF; non poteſt autem eſſe maior determinatio no­
ua priore quàm in ratione dupla, vt diximus ſuprà. Ratio eſt, quia eò mi­
nor eſt determinatio noua, quò maior eſt motus impreſſus globo maiori
reflectenti; igitur tantum detrahitur duplæ, quantum additur motus; ſi
motus eſt æqualis, detrahitur duplæ æqualis priori; igitur ſupereſt æqua­
lis; ſi motus eſt ſubduplus, detrahitur duplæ ſubdupla prioris; igitur ſu­
pereſt 1/2 ſi ſubquadruplus detrahitur duplæ ſubquadrupla prioris, igitur
ſupereſt 1 3/4 ſi ſit duplus motus, determinatio noua eſt ſubdupla; igitur
priori detrahitur 1/2 de quo infrà; quod autem ſpectat ad longitudi­
nes linearum non eſt difficultas; quippe determinatio minor detrahi
deber maiori.
1
Theorema 65.
Si globus minor in maiorem impingatur per lineam obliquam incidentiæ,
ſemper reflectitur; quippè ſit determinatio mixta ex priore, & noua, quæ
determinari poteſt, ſi aliquid à nouæ figuræ deſcribatur; ſit circulus
FQCD; ſint diametri QD, FC; ſit AI dupla AF, ſitque determi­
natio prior vt FA, ſi ſecunda ſit vt AI, erit dupla prioris; igitur corpus
reflectens erit immobile; igitur ſi linea incidentiæ ſit EA, reflexa erit
AT, ita vt anguli TAF, EAF ſint æquales; ſi autem determinatio no­
ua ſit ad priorem vt AH ad AF, id eſt, v.g. vt 3. ad 2. poſitâ ſcilicet li­
neâ incidentiæ perpendiculari FA in planum reflectens QD, quod certè
mouebitur per Th. 64. aliter procedendum eſt vt inueniatur linea re­
flexa reſpondens lineæ incidentiæ obliquæ; diuidatur FAMK ita vt
KN ſit ad AF vt 3.ad 2. ac proinde AH ſit diuiſa bifariam in K; de­
ſcribatur circulus KMNR, ſit linea quælibet incidentiæ obliqua EA;
producatur in B; ducantur OX BT parallelæ AH; aſſumatur AG æqua­
lis OX, & GS æqualis AB; certè BS erit æqualis OX vel AG; duca­
tur AS, hæc erit reflexa quæſita: idem dico de omnibus aliis lineis in­
cidentiæ; demonſtratur eodem modo quo ſuprà in Th. 30. 31. 32. quæ
conſule, ne hic repetere cogar.
Theorema 66.
Si globus maior impingatur in minorem, per lineam incidentiæ connecten­
tem centra nullo modo reflectitur ſed per eandem lineam primum motum pro­
pagat licèt tardiùs per Th.132. lib.1. in qua verò proportione retardetur
motus non ita facilè dictu eſt; dici tamen poteſt & explicari in fig. Th.
63. ſi enim globi ſunt æquales, ceſſio æqualis eſt impulſioni; ſi globus
impactus ſit maior, ceſſio eſt maior impulſione, vt conſtat; igitur, ſi globus
eſt ad globum vt FB ad FB; determinatio noua erit ad priorem vt FB
ad FB; igitur quieſcet globus impactus per Th. 62. ſi verò globus impa­
ctus ſit ad alium vt EB ad ER; determinatio noua erit ad priorem, vt
BG ad BF; igitur motus retardatus globi impacti eſt ad non retardatum
vt FG ad FB; quod ſi globus impactus eſt ad alium vt DB ad DS, deter­
minatio noua eſt ad priorem vt BH ad BF; ſi ſit vt TV, ad VB, deter­
minatio noua erit ad priorem vt BX ad BF, donec tandem nullus ſit
globus reſiſtens; neque res aliter eſſe poteſt.
Hinc vides duos terminos oppoſitos, qui ſunt, nulla reſiſtentia, & infi­
nita reſiſtentia; nulla eſt reſiſtentia, cum globus impactus in nullum in­
cidit, ſed eſt veluti infinita ceſſio; cum verò globus in corpus immobile
impingitur, eſt veluti infinita reſiſtentia ratione huius motus; cum verò
globus in alium globum, quem mouet, impingitur, ſi vterque æqualis eſt;
eſt etiam æqualis ceſſio reſiſtentiæ; igitur globus impactus quieſcit, &
hoc eſt iuſtum medium extremorum prædictorum, id eſt, inter nullam
ceſſionem, & infinitam ceſſionem; media eſt æqualis ceſſio; & inter nul­
lam reſiſtentiam & infinitam reſiſtentiam media eſt æqualis reſiſtentia;
1reſiſtentia autem conſideratur in globo impacto, cuius reſiſtitur motui;
ceſſio verò in alio, qui motui cedit; appello autem infinitam reſiſten­
tiam cui nulla reſpondet ceſſio; nihil enim aliud præſtaret infinita; por­
rò cum nulla eſt ceſſio, determinatio noua eſt dupla prioris, vt demon­
ſtratum eſt ſuprà; igitur nihil prioris remanet; cum verò nulla eſt reſi­
ſtentia, tota prior remanet, & nulla eſt noua: denique cum ceſſio æqua­
lis eſt reſiſtentiæ, tantùm remanet prioris quantùm eſt nouæ; igitur
vtraque æqualis eſt: Vnde vides, ni fallor, perfectam analogiam, &c. Ob­
ſeruaſti ni fallor, quod in hac re potiſſimum eſt. Primò, tunc eſſe infini­
tam reſiſtentiam, cum nulla eſt ceſſio: vt in corpore reflectente prorſus
immobili. Secundò, tunc eſſe infinitam ceſſionem, cum nulla eſt reſi­
ſtentia vt in vacuo. Tertiò, æqualitatem ceſſionis, & reſiſtentiæ æquali­
ter ab vtroque diſtare; tantùm enim eſt inter æqualitatem illam, & in­
finitam ceſſionem quantum inter eandem æqualitatem, & infinitam re­
ſiſtentiam. Quartò ab infinita ceſſione ad æqualitatem accedere nouam
determinationem æqualem priori. Quintò, ab eadem æqualitate ad in­
finitam reſiſtentiam tantundem accedere, ac proinde nouam determi­
nationem eſſe duplam prioris; ex quo etiam probatur æqualitas angulo­
rum incidentiæ, & reflexionis.
Theorema 67.
Si globus maior impingatur in minorem per lineam obliquam ſemper re­
flectitur, licèt aliquando inſenſibiliter, quia fit determinatio mixta ex noua &
priore, cuius proportio determinari poteſt; ſit enim determinatio noua ad
priorem in linea incidentiæ perpendiculari vt Cδ ad CA fig. Th. 65.
vel vt AZ ad AF, ſit linea incidentiæ obliqua EA producta in B;
certè ſi determinatio noua per lineam incidentiæ obliquam EA eſt ad
priorem, vt AZ ad AF; ſumatur Bυ æqualis AY; ducantur Yυ Aυ
dico Aυ eſſe lineam reflexionis, quia eſt mixta ex AY & AB, vt con­
ſtat ex dictis; Idem dico de aliis incidentiæ.
Theorema 68.
Si globus in æqualem globum impingatur, qui æquali impetu in eum etiam
impingitur per lineam connectentem centra; vterque retro agitur æquali
pœnitus motu, quo ſuam lineam vlteriùs propagaſſet, ſi in alterum glo­
bum non incidiſſet per Th.137.lib.1.ſi autem inæquali impetu mouean­
tur, non eſt determinatum ſuprà; poteſt autem ſit determinari, fig. 1.
Tab.1.ſit globus A impactus in alium B motu vt 4. eodem tempore, quo
globus B impingitur in A motu vt 2. certè globus B retrò agetur motu vt
4. quippè ſiue moueatur æquali motu, ſiue minori, ſiue etiam quieſcat,
ſemper æquali motu à globo A impelletur; quod certè mirabile eſt; pri­
mum conſtat per Th. 135.lib. tertium conſtat per Theor.128.lib.1. Igi­
tur ſecundum conſtat, ſi enim impellitur motu vt 4.dum in contrariam
partem mouetur vt 4. multò magis ſi tantùm mouetur vt 2. & ſi tantùm
impellitur motu vt 4. dum quieſcit multò magis motu vt 4. dum in
1contrariam partem mouetur motu vt 2. at verò globus A non retro age­
tur: motu vt 4. ſed tantùm motu vt 2. vt patet; quippe omninò conſiſteret,
ſi globus B nullum præuium impetum habuiſſet; ſi verò habuiſſet mo­
tum vt 4. tùm etiam A retroageretur motu vt 4. igitur motu vt duo, ſi
B impreſſit impetum vt duo.
Theorema 69.
Si globus A inæqualem globum impingatur per lineam obliquam, ita vt al­
ter in alterum impetu mutuo impingatur, determinari poteſt motus vtriuſque
vterque reflectetur; certum eſt, fit enim determinatio mixta ex noua, &
priore; igitur eſt motus, quod duobus modis fieri poteſt; primò ſi æqua­
lis vtriuſque ſit motus, ſit linea incidentiæ EB producta in L fig.Th.63.
per quam globus A ab E proiicitur in globum B; eſtque LB linea in­
cidentiæ, per quam globus proiicitur in globum A, ita vt punctum con­
tactus ſit B, & linea connectens centra ABF; ſi globus B conſiſteret in
puncto B globus A reflecteretur per lineam BI, vt demonſtratum eſt in
Theoremate 63. quia determinatio prior eſt, vt BL, noua vt BG; igitur
ex vtraque fit BI; at verò ſi globus B imprimat impetum in globo A
æqualem quidem, ſi linea incidentiæ eſſet perpendicularis, minorem ta­
men, quia eſt obliqua qui eſt ad æqualem vt BG ad BF; certè determina­
tio noua eſt dupla BG; quippe ratione reflexionis eſt vt BG, ratione
impulſionis vt BG; igitur compoſita ex vtraque vt Bδ dupla BG; aſſu­
matur LP æqualis; haud dubiè Bδ, & Pδ BL; certè determinatio mix­
ta ex Bδ, BL erit BP, quæ erit linea reflexionis. Hinc egregium Corol­
larium deduco quod ſcilicet reflectatur globus A per angulos æquales,
quotieſcunque globo æquali impetu contranitente repellitur; quippe
angulus PBF eſt æqualis angulo EBF: alterum etiam deduco, omnes li­
neas reflexionis ad quoſcunque angulos ſiue rectos, ſiue obliquos dum
vterque globus mutuo impetu ab æquali potentia in ſeſe inuicem impin­
guntur, eſſe æquales, quod certè mirabile eſt. Secundò, ſi non ſit æqualis
vtriuſque motus, ſed motus globi DB ſit ad motum globi A vt AZ ad
AF fig. Th.65. res ferè eodem modo determinari poteſt; quippè mo­
tus impreſſus à globo B per lineam perpendicularem eſt ad motum im­
preſſum A per inclinatam EA vt AZ ad AY; ſit autem linea inci­
dentiæ DB fig. Th. 63. eiuſdem incidentiæ cum EA fig. Th. 65. igitur
globus A incidat per DB, & globus B per MB, ita vt punctum conta­
ctus ſit B, & linea connectens centra FA; determinatio noua ratione in­
cidentiæ eſt vt BH, cui addatur HF æqualis AY fig. alterius ratione
motus impreſſi à globo B; tota determinatio erit BF; aſſumatur MT
æqualis BF: dico nouam lineam quæſitam eſſe Bθ mixtam ſcilicet ex
BF BM, quod probatur vt ſuprà.
Theorema 70.
Si duo globi inæquales inuicem impingantur per lineam connectentem cen­
tra diuerſimodè poſsunt reflecti; Primò, ſi motus vtriuſque eſt æqualis, minor
globus retroagetur; accipit enim totum impetum maioris globi, id eſt,
1impetum æqualem; igitur retro agitur velociore motu in eadem propor­
tione qua alter globus maior eſt altero, v.g. ſi maior eſt duplus, retroa­
getur motu duplo illius, quo ſuum iter proſequeretur, niſi maior globus
occurreret; at verò globus maior duplus ſcilicet alterius non retroage­
tur; quippè ſi minor globus conſiſteret in puncto contactus, maior glo­
bus ſuum iter proſequeretur motu ſubduplo; quippe determinatio noua
eſſet ſubdupla prioris, vt patet ex Th.66. ſed accipit etiam impetum ſub­
duplum illius, quem habet, igitur determinatio noua eſt compoſita ex
duabus ſubduplis; igitur eſt æqualis priori; igitur non retroagetur, ſed con­
ſiſtet ſi duplus eſt; ſi verò maior duplo ſuum iter proſequetur ſed minore
motu pro rata, ſi minor duplo retroagetur. Hinc egregium effatum, ſi duo
globi in ſe ſe inuicem allidantur æquali motu, ſi maior duplus eſt, conſi­
ſtet ad punctum contactus; ſi maior duplo ſuum iter proſequetur; ſi mi­
nor reflectetur; quod ſi motu inæquali mouentur, vel maior mouetur
maiori motu, vel minor; ſi maior, minor retroagetur, maior verò vel re­
troagetur, vel conſiſtet, vel eadem via mouebitur; retroagetur quidem, ſi
noua determinatio compoſita ſcilicet ex impetu impreſſo à minore glo­
bo, & determinatione reflexionis quam conferet globus minor, etiamſi
quieſceret; ſi noua inquam determinatio ſit maior priore; conſiſtet verò,
ſi fit æqualis; ſuum denique iter proſequetur, ſi ſit minor: quæ omnia ex
dictis facilè determinari poſſunt.
Theorema 71.
Si verò duo globi inæquales in ſeſe inuicem impingantur per lineas obliquas,
ſunt quoque tres combinationes; vel enim vterque impingitur motu æquali,
vel maior globus maiore motu, vel minor; vt autem habeatur linea, ſeu
determinatio cuiuſlibet globi, ſupponi debet primò linea incidentiæ al­
terius v.g. maioris. Secundò ſupponi debet minor quieſcere. Tertiò, inue­
niri noua determinatio, quæ confertur maiori à minore quieſcente, quæ
facilè inueniri poteſt cognita determinatione noua, quam conferret ſi
linea incidentiæ eſſet perpendicularis; Quartò, debet inueniri determi­
natio noua quæ confertur à minore maiori ratione impetus, quæ facilè
inueniri poteſt cognita determinatione huius impetus per lineam per­
pendicularem. Quintò, debet componi determinatio noua ex vtraque.
Sextò denique, ex his habebitur determinatio mixta ex hac compoſita, &
linea incidentiæ producta, quod facilè ex dictis intelligitur; ſimiliter, vt
habeatur reflexo minoris, debent eadem præſupponi in maiore.
Obiiceret hic ſortè aliquis mirari ſe quamobrem duo globi æquales
in ſeſe inuicem æquali motu impinguntur vterque retroagatur, cùm po­
tiùs vterque conſiſtere deberet: quemadmodum quieſcit globus cui im­
primuntur duo impetus contrarij, hoc eſt ad lineas oppoſitas determi­
nati. Reſpondeo cum eodem inſtanti eidem globo duplex ille impetus
imprimitur, non videri vllam rationem, cur alter præualeat; at verò vbi
iam impetus eſt productus, poteſt ad aliam lineam determinari, vt patet;
igitur ratione determinationis nouæ, quæ eſt æqualis priori deſtruitur;
1igitur, ſi nihil aliud eſſet, globus quieſceret; at verò ratione impetus
noui producti ab alio globo, vel eius impetu, retroagitur.
Theorema 72.
Poteſt globus retroagi, licèt in aliud corpus non incidat: hoc eſt vulgare,
mirificum tamen experimentum, ſit enim globus ECBL incubans
plano horizontali MLG, in quem deſcendat planum, quod niſi globi
reſiſteret materies, reſecaret ſectionem DHE. Dico quod ab iſto ictu
globus determinabitur ad duos motus, alterum centri K verſus A, alte­
rum orbis puncti D ſcilicet, vel C verſus E, ita vt initio motus centri
præualeat verſus A, qui citò deſtruitur propter affrictum partium plani;
vnde remanet tantùm motus orbis, quo ſcilicet globus rotatur verſus F;
nec eſt alia ratio huius experimenti, in quo habetur quædam reflexio ſi­
ne corpore reflectente: pro quo obſerua fore vt experimentum meliùs
ſuccedat, ſi cadat ictus propiùs ad punctum C, quia diutiùs voluitur
orbis.
Theorema 73.
Hinc etiam ratio euidentiſſima alterius experimenti, quod valdè familiare
eſt iis, qui breuioribus globulis ludunt; ſi enim ita proiiciatur per medium
aëra globulus, vt eius hemiſphærium ſuperiùs moueatur contrario motu
motui centri, vel vt Aſtronomi loquuntur in Antecedentia, vbi globulus
terræ planum attingit, vel illico conſiſtit, vel retroagitur, niſi aliqua
portio plani inæqualis aliò reflectat; cuius rei ratio eſt duplex ille mo­
tus, quorum ſi determinatio æqualis eſt, conſiſtit globus; ſi verò determi­
natio motus orbis ſit maior, quod ſemper accidit in breuiore ictu; certè
cum præualeat, globum retroire neceſſe eſt.
Theorema 74.
Globulus eburneus in alium impactus conſistit quidem ſi centrum respicias;
at verò ſæpè accidit globulum circa centrum ſuum immobile motu cir­
culari & horizontali ad inſtar vorticis conuolui; cuius effectus ratio eſt,
quia cùm prior impetus ideo tantùm deſtruatur, quia eſt fruſtrà, & fru­
ſtrà eſt, quia æqualis eſt determinatio vtraque per lineas oppoſitas, de­
terminatio inquam motus centri; ſi tamen globi deficiat æquilibrium, vt
ſemper reuerâ tantillùm deficit, in partem illam globus voluitur, vt vide­
mus in corpore oblongo, cuius dum vna extremitas pellitur circa cen­
trum aliquod voluitur; ſed de motu circulari infrà; ſed tantiſper ſphæ­
riſterium ingredi placuit, vt alios effectus motus reflexi demon­
ſtremus.
Theorema 75.
Cum pila coniicitur in parietem ad latus, reſilit in pauimentum, vnde ite­
rum repercutitur fallente ſaltu; ratio eſt clara, quia quadruplici quaſi
motu mouetur pila in vltimo ſaltu; Primus eſt motus centri bis reflexus;
1Secundus primus motus orbis, quo ſcilicet primum in parietem illiſa eſt,
Tertius motus orbus mixtus, quo ex pariete reſiſtit; Quartus denique
motus orbis, quo mouetur poſt quàm à pauimento repercuſſa eſt, exem­
plum habes in pila rotata per planum horizontale, quæ obliquè in aduer­
ſum planum impingitur; ſtatim enim obſeruas nouum motum orbis mix­
tum ex priori & nouo, in quo eſt quidem maxima difficultas; ſed de his
motibus mixtis agemus infrà lib. 9.
Theorema 76.
Cum pila emittitur rotato ſurſum pilari reticulo ſaltus vt plurimùm fallit,
ſecus verò ſi emittatur reticulo deorſum acto; ratio eſt, quia in primo caſu
motus orbis pilæ eſt contrarius motui centri, vt patet; inde fraus ſaltus,
ſecus verò in ſecundo caſu.
Theorema 77.
Cum pila velociſſimè ita emittitur, vt linea incidentiæ faciat angulum acu­
tiſſimum cum pauimento, nullus ferè eſt ſaltus; quia cum parùm valeat vis
reflexiua ad angulum acutiſſimum; quia prior determinatio ferè præua­
let, & remanet tota, non quidem intacta, ſed vix ſaucia; determinatio
motus orbis, qui promouet motum centri, iuuat priorem determina­
tionem motus centri; igitur vel nullus, vel modicus, iſque celerrimus
fit ſaltus.
Theorema 78.
Cum pila cadit obliqua linea in pauimentum non longo à pariete interuallo,
in quem linea ſurſum inclinata poſt ſaltum ſtatim impingitur longè altiùs
aſcendit pilæ ſaltus, ratio petitur à noua reflexione, quod facilè eſt.
Theorema 79.
Cum pila obliquè cadit in iuncturam parietis & pauimenti, non reflectitur,
& tunc maximè fallit ſaltus; ratio eſt, quia eſt duplex punctum conta­
ctus; igitur determinationum nouarum conflictus; quippè paries verſus
pauimentum; hoc verò verſus parietem repellit; igitur tantùm ſupereſt,
vt in pauimento rotetur ſine ſaltu, quod accidit ad omnem angulum in­
cidentiæ obliquum, vt patet experientiâ, cuius ratio communis eſt.
Theorema 80.
Cum leniore affrictu pilæ funis perstringitur vel, vt aiunt, crispatur, ſaltus
etiam ludentis manum frustratur; quia motus orbis mutatur in illo funis
incuſſu, vt patet.
Theorema 81.
Denique, cum reticulo motus orbis is a intorquetur, vt vel circulo horizon­
tali, vel alteri inclinato ſit parallelus, ſaltus pilæ fallaciæ ſubeſt; quippe à
priori determinatione motus orbis tuebatur; omitto inæqualitatem pa­
uimenti, quæ ſaltum pilæ ſæpiſſimè à ſua linea detorquet; ſed fortè ſatis
luſum eſt.
1
Theorema 82.
Cum planus lapis per lineam incidentiæ valdè obliquam in ſuperficiem
aquæ proijcitur, quaſi repit lapis in ipſa ſuperficie ſeu plurimo ſaltu diſcurrit;
quia ſcilicet modica reſiſtentia ſufficit ad reflexionem, cum angulus in­
cidentiæ eſt obliquior, vt conſtat ex dictis; vt tamen longiorem tractum
percurrat lapis, ita proiiciendus eſt, vt eius horizonti planior ſuperficies
ſit parallela; immò tantillùm portio anthica attollatur: cur autem, &
quomodo reſiſtat ſuperficies aquæ, dicemus ſuo loco.
Theorema 83.
Immò ſæpiùs accidit maiorum tormentorum pilas ab aqua reflecti aliquo­
ties, vt multis experimentis comprobatum eſt; nec enim ab interiore maris
fundo reflecti poſſunt, ſed lineam incidentiæ valdè obliquam eſſe neceſ­
ſe eſt; habes egregium experimentum apud Mercennum in phœn.
Balliſt propoſitione 25. ab illuſtri viro petro Petito obſeruatum, quo
duntaxat aſſerit pilam è tormento ferreo 10 pedes longo, & horizontali
parallelo emiſſam, quinquies à ſuperficie Oceani reflexam fuiſſe; ſed de
hoc paulò pòſt.
Theorema 84.
Addo vnum, quod ſæpiùs obſeruatum eſt in illo iactu planorum lapidum,
quòd ſcilicet ſub finem iactus quaſi in orbem dextrorſum reflectantur; cuius
ratio manifeſta eſt motus orbis horizontali parallelus, qui præter motum
centri lapidi impreſſus eſt; quia faciliùs deſtruitur motus centri, quàm
motus orbis; vnde ſub finem hic illum in ſuas partes trahit, dextrorſum
ſcilicet, ſi dextra proiiciatur lapis; quia duobus primis digitis poſterior
lapidis portio ſiniſtrorſum inflectitur; igitur anterior dextrorſum, in
quo non eſt difficultas.
Theorema 85.
Cum proiicitur globus in aquam per lineam incidentiæ obliquam, ſi non re­
flectitur ab ipſa ſuperficie aquæ; incuruatur eius linea producta per mediam
aquam, v.g. ſit vas ABD G, ſolidum aquæ vaſe contentum CBDF; li­
nea obliqua incidentiæ globi projecti IH, producta HD: dico quod
frangetur in H, & quaſi refringetur in HE; experientia certiſſima eſt;
ratio verò eſt, quia cùm vis reflexiua puncti H ſit aliqua, hoc eſt, cùm ſit
aliquid determinationis nouæ, quæ haud dubiè minor eſt priore, debet
neceſſariò mutari linea; quod autem ſit aliquid determinationis nouæ
in H, patet ex eo quod angulus incidentiæ ſit valdè obliquus, reflectitur
globus; igitur in altero angulo incidentiæ debet eſſe aliquid nouæ de­
terminationis. Secundò, quia plùs reſiſtit aqua, quàm aër; igitur fran­
gitur prior determinatio, & hæc eſt vera ratio huius effectus, quem ali­
qui obſeruarunt; Et fortè dici poſſet refractio motus, quæ prorſus eſt
contraria refractioni luminis; quippe refractio luminis talis eſt, vt radius
primo medio raro in denſum incidens incuruetur ad perpendicularem,
cum tamen linea motus obliquè incidens è medio raro in denſum incur-
1uetur à perpendiculari: An fortè etiam ex hoc phænomeno duci poteſt
vera menſura, ſeu regula refractionum, quod ingenioſiſſimè excogitauit
vir illuſtris Renatus Deſcartes in ſua Dioptrica; ſed diſcrimen maximum
eſt, quòd luminis diffuſio ſeu propagatio nullum dicat motum localem,
vt ſuo loco demonſtrabimus; quippe lumen qualitas eſt, vt impetus; quod
tamen ad rem præſentem nihil prorſus facit.
Theorema 86.
Linea refractionis motus non eſt recta (ſic eam deinceps appellabimus.)
Cum enim ideo deflectat à recta HD, quia planum in H reſiſtit motui globi;
igitur etiam in K deflectet à recta KE, quia etiam medium in K reſiſtit.
Obſeruabis tamen primò, vix hoc diſcerni poſſe, niſi ſit maxima vis
motus; quippe grauitas corporis defert corpus deorſum; vnde vis illa
grauitationis impedit, ne corpus reflectat ſeu reſiliat ſurſum Secundò, ſi
corpus in aquam projectum ſit leuius aqua, non modò hæc refractio ſen­
ſibilis eſt, verùm etiam illa perpetua refractionum ſeries, quia aqua ſem­
per attollit ſurſum corpus leuius. Tertiò, in corpore oblongo hoc expe­
rimentum maximè probatur, quia plures partes aquæ ſimul reflectunt.
Theorema 87.
Linea motus refracti non eſt recta, prob. quia cum in ſingulis punctis
aquæ ferè mutetur, curuam eſſe neceſſe eſt.
Theorema 88.
Hinc optima ratio ducitur, cur globus ex tormento excuſſus ad angulum
incidentiæ valdè acutum ſuperficiem aquæ penetret; ex qua denuò emergit
quaſi per arcum primum deorſum; tùm demum ſurſum inflexum immò
plures accidunt huiuſmodi repetitæ emerſiones: hinc valdè falluntur,
qui credunt ab ipſo fundo maris globum repercuti; quod pluſquàm ri­
diculum eſt; hoc quoque experimentum in projectis ſaxis ſæpiùs obſeruaui.
Theorema 89.
Hinc cum ſaxa planiora ſunt in medio aëre ſimile obſeruari poteſt experi­
mentum; nam poſt aliquem deſcenſum iterum aſcendit ſaxum; nec eſt
quod aliquis vento flanti cauſam huius effectus tribuat, qui ſemper acci­
dit etiam valdè ſereno cœlo.
Theorema 90.
Hinc cauſa euidens illius aſcenſus ſagittæ quamtumuis per lineam horizon­
ti parallelam emitatur; quippè ab aëre inferiori quaſi repercutitur, ali­
quid ſimile coniicio in glandibus ex tormento exploſis; eſt enim aliquis
quamuis inſenſibilis aſcenſus; hinc fortè ratio, cur in ſcopum lineas di­
rectionis horizonti parallelæ reſpondentem globus incidat, cùm infra
ſcopum cadere deberet, vt reuerâ fit in notabili diſtantia propter mo­
tum mixtum; exemplum huius effectus clariſſimum video in illis auicu­
lis, quæ per ſaltus, vel arcus huiuſmodi volant; primò enim deſcendere
videntur, ſed vix aſcendunt.
1
Theorema 91.
Poteſt determinari proportio anguli huius refractionis motus, ſi cognoſcatur
reſiſtentia, qua medium reſistit perpendiculari; v. g. ſi globus plumbeus ex
aëre perpendiculariter cadat in ſuperficiem aquæ, haud dubiè ipſam
aquam ſubit, ſed minore motu; quippe frangitur ab ipſa denſitate aquæ
vis primi impetus, quo ſcilicet per liberiorem aëra priùs ferebatur: vnde
ſi habeatur proportio reſiſtentiæ aquæ poſita linea incidentiæ perpendi­
culari, non eſt dubium, quin habeatur etiam reſiſtentia poſita linea in­
cidentiæ obliqua; nam eodem modo hoc determinandum eſt, quo ſuprà
determinatum fuit Th. 66. 67. v. g. in fig. Th. 65. determinatio noua
poſita perpendiculari ſit ad priorem vt AZ ad AF, ita vt per mediam
aquam conficiat tantùm ſpatium Aδ v. g. eo tempore, quo in libero aë­
re conficit AC; certè ſi linea incidentiæ ſit inclinata EA, determinatio
noua erit ad priorem, vt AY ad AE, vel AB; igitur fiet mixta ex AY
AB, ſcilicet Aυ; non tamen eo tempore conficiet Aυ, quo conficiet
Aδ; quia ſcilicet omnes partes aquæ reſiſtunt, vt conſtat; igitur con­
ficietur A θ æqualis Aδ; quæ porrò ſit proportio reſiſtentiæ, quæ mobi­
le retardat in aqua, & reſiſtentiæ, quæ idem retardat in aëre determina­
ri non poteſt, niſi primò cognoſcatur proportio grauitatis vtriuſque.
Secundò, niſi ſciatur in quo poſita ſit hæc reſiſtentia: Tertiò, niſi per­
ſpectum ſit, an maiore nexu partes aquæ inter ſe copulentur, an mino­
re, vel æquali, de quo alias. Equidem P. Merſennus lib.1.a.15. ſuæ ver­
ſionis aſſerit corpus graue per mediam aquam conficere 12. pedes ſpatij
eo tempore, quo 48. percurrit in aëre, id eſt, tempore duorum ſecundorum.
Obſeruabis autem hîc tantùm conſideratam fuiſſe lineam Aθ rectam
ſine noua determinatione, quæ ſcilicet inſenſibilis eſt, quando linea in­
cidentiæ non eſt tam obliqua, nec impetus tantarum virium. Denique
obſeruabis cognito vno angulo motus refracti ad datum angulum inci­
dentiæ cognoſci facilè quemlibet alium, qui alteri angulo incidentiæ re­
ſpondeat, vt patet ex dictis: Vtrum verò anguli refractionum motus ex
aëre in aquam ſint iidem cum angulis refractionum luminis ex aqua in
aëra, examinabimus alibi: hæc interim ſufficiant de motu refracto; quem
tamen adhuc reflexum eſſe contendo, immò nulla eſt refractio in motu,
quæ non ſit reflexio, & nulla reflexio in lumine, quæ non ſit refractio, de
quo fusè alibi.
Theorema 92.
Aqua, quæ cadit in planum durum reſilit in mille partes quoquo verſum;
non certè, quòd partes inferiores pellantur à ſuperioribus, vt volunt ali­
qui; ſed quòd facilè ſeparentur partes aquæ; vnde non mirum eſt, ſi vel
modico impetu diſpergantur; quippe, vt corpus aliquod reflectatur in­
tegrum, id eſt ſine partium diſperſione, debet reſiſtentia vnionis partium
eſſe maior tota vi impetus ad nouam lineam determinati; cur verò po­
tiùs vna guttula dextrorſum repercutiatur, quàm ſiniſtrorſum; certè alia
ratio eſſe non poteſt, niſi primò diuerſa figura tùm aquæ impactæ, tùm
1plani reflectentis; Secundò aër reſiliens; Tertiò ſectio ipſa, vt ſic lo­
quar, diuiſionis, ſeu conflictus aliarum partium: idem, cæteris paribus, de
lapide, cuius mille particulæ reſiliunt.
Theorema 93.
Globus reflectens, qui ab ictu alterius mouetur, non mouetur ipſo instanti con­
tactus; prob. quia eo primum inſtanti ab alio globo accipit impetum; ſed
primo inſtanti, quo eſt impetus, non eſt motus, vt demonſtratum eſt lib.
1.igitur globus reflectens, &c. mouetur tamen. Secundò inſtans; vnde
vno tantùm inſtanti contactus eſt.
Theorema 94.
Hinc colligo produci illum impetum ipſo inſtanti contactus; alioqui inſtan­
ti ſequenti non eſſet motus; immò daretur quies in puncto reflexionis;
quippe, ſi tantùm ſecundo inſtanti produceretur, fieret contactus in duo­
bus inſtantibus; igitur eſſet quies.
Theorema 95.
Figura corporis impacti variare poteſt reflexionem; ſi enim corpus impa­
ctum ſit parallelipedum v. g. multiplex eſſe poteſt reflexionis variatio
pro diuerſo appulſu, vt conſideranti patebit.
Theorema 96.
Si impetus eſſet tantùm determinatus ad vnam lineam; nulla daretur re­
flexio; patet, quia nulla daretur cauſa reflexionis, quæ tantùm eſt impe­
tus prior ad nouam lineam determinatus ratio plani oppoſiti.
Theorema 97.
Quò angulus incidentiæ eſt obliquior, faciliùs fit reflexio; quia minor por­
tio impetus deſtruitur quamuis per accidens; igitur motus propagatur
faciliùs; adde quod noua determinatio minùs recedit à priori.
Scholium.
Primò obſeruabis cauſæ reflexionis eſſe multiplices; ſcilicet planum
reflectens, priorem impetum permanentem, nouam determinationem: in
plano verò reflectente conſiderantur impenetrabilitas, durities, & im­
mobilitas: in priore impetu conſideratur capacitas ad nouam lineam
motus, & ſufficiens intenſio ad hoc, vt aliquid impetus ab ictu vel con­
tactu remaneat; denique noua determinatio, ſi radius incidentiæ ſit
perpendicularis, debet eſſe maior priore; alioqui nulla erit reflexio; ſi
verò linea incidentiæ ſit obliqua, poteſt eſſe maior, vel minor, vel
æqualis.
Secundò obſeruabis veriſſimam cauſam reflexionis poſitam eſſe in de­
terminatione noua, ratione cuius poteſt eſſe motus; igitur impetus non
eſt fruſtrà; igitur non debet deſtrui ſecundùm illam portionem, quæ
non eſt fruſtrà.
1
Tertiò, quod ſpectat ad æqualitatem anguli reflexionis, & anguli in­
cidentiæ, non eſt alia huius æqualitatis ratio præter illam, quam attuli­
mus; nec eſt quod aliqui aliam rationem comminiſcantur, cuius prin­
cipia theſim ipſam ſupponunt; nam primò ſupponunt omnem virtutem
quantumuis impeditam eniti maximè quantum poteſt, vt producat ef­
fectum ſecundùm intenſionem agentis; cùm fortè Geometra admitte­
ret hoc principium ſine alia probatione: an fortè virtus ipſa cognoſcit
intentionem, agentis, id eſt impetus potentiæ motricis? numquid impe­
tus ipſe determinari debet ab ipſa potentia motrice? numquid eſt deter­
minatio noua à plano reflectente? an fortè potentia motrix intendit
motum per aliam lineam, quàm per lineam incidentiæ? cum ipſa linea
reflexionis ſemper accidat præter intentionem potentiæ motricis natu­
ralis; denique licèt hoc totum verum eſſet, vnde probatur poſſe impe­
tum ad angulum reflexionis æqualem ſe ipſum determinare? Secundò,
ſupponunt impetum eſſe indifferentem ad diuerſas lineas, quod ſanè ve­
rum eſt; probare tamen deberent, & diſcernere impetum innatum ab
omni aliò, at, eſto id verum ſit; cur potiùs determinatur ad lineam quæ
faciat angulum æqualem, quàm inæqualem angulo incidentiæ? ex hoc
enim principio non probatur hæc æqualitas.
Tertiò, ſupponunt dextra fieri ſiniſtra in reflexione, & transferri an­
gulos, idque in eodem plano; benè eſt; rem factam ſupponunt, quam
nemo negat; ſed propter quid fiat demonſtrandum eſſet; ſi enim quæ­
ram, cur in eodem plano ſint radius incidentiæ. radius reflexus, & ſe­
ctio communis plani reflectentis? non video quonam modo demon­
ſtrent. Dicent fortè, quia ita fit in lumine; belle! obſcurum per obſcu­
rius; quippe ratio reflexionis clarior eſt in motu, quàm in flumine, vt
ſuo loco videbimus; igitur negari poſſet de lumine, licèt verum ſit, do­
nec ſit demonſtratum; immò quamuis probatum eſſet de lumine, quis
vnquam deduxit à pari argumentum demonſtratiuum? Dicent non eſſe
potiùs rationem, cur fiat per vnum planum ex aliis infinitis, quàm per
aliud; benè eſt, iam vtuntur illa negatiua ratione, quam paulò antè re­
ſpuebant, licèt optima ſit, nec quidquam in contrarium afferunt; at ſo­
litariam eſſe non oportet; quippe vt iam ſuprà monui, effectus po­
ſitiuus per principium poſitiuum ad ſuam cauſam reducendus eſt.
Denique dicent hanc eſſe demonſtrationem Aristotelis in Problematis
ſect.17.Probl.13. quod vt palam fiat, textum ipſum deſcribo, quamobrem,
inquit, corpora, quæ feruntur, vbi alicubi occurrerunt, reſilire in partem con­
trariam ſolent, nec niſi ad ſimiles angulos, an quod non ſolum eo feruntur im­
petu, quo pro ſua parte ipſa fieri aptiſſima ſunt, verùm etiam illo, qui à mittente
proficiſcitur; ſuus igitur ceſſat cuique impetus, cum ſuum ad locum peruene­
rint, omnia namque requieſcere ſolent vbi in eam ſedem ſeſe contulerunt, quam
ſuapte naturâ deſiderant; ſed externo illo, quem habent, impetu neceſſitas ori­
tur amplius mouendi; quod cùm in partem priorem effici neque at, quia re pro­
hibetur objecta, vel in latus, vel in rectum agi neceſſe eſt; omnia autem in an­
gulos reſiliunt ſimiles, quoniam eodem ferri cogantur, quò motus ducat; quem
1is dedit, qui miſerit; eo autem vt angulo, vel acuto, vel recto ferantur omninò
incidit; vt igitur in ſpeculis extremum lineæ rectæ, &c. itaque feruntur, &c.
cum angulo tanto retorqueantur, quanto vertex conſtiterit, &c Sed quæſo, quis
vmquam agnoſcet demonſtrationem in mera comparatione præſertim
in problematis quorum rationes Ariſtoteles, vel alter, vt aliqui volunt,
illorum auctor dubitanter tantùm proponit? Igitur vix auſim aſſerere ab
Ariſtotele hoc ipſum fuiſſe demonſtratum; ſed aliam demonſtrationem
aggrediuntur, pro qua ſupponunt primò determinationem eſſe formam,
ſeu formalitatem, ſeu connotationem; quam parùm hæc phyſicam ſa­
piunt, & demonſtrationem olent! Secundò, vnumquodque per ſe deter­
minare ad aliud, ad quod eſt determinatum, & determinationem fieri
per id, quod eſt maximè determinatum; quia propter quod vnumquod­
que tale eſt, & illud magis; quam debile fulcrum! Tertiò ſupponunt,
principium determinans effectum ſecundum genus, & ſpeciem ſimilem
ſibi reddere in vtroque, etiam Logicè; Quartò, ſupponunt ex duobus
indeterminatis poſſe fieri determinatum; quid inde? Quintò, ſuppo­
nunt angulum reflexionis determinari ab angulo incidentiæ; ſed hæc eſt
theſis. Ex his principiis primò concludunt reflexionem fieri per angulos
æquales, idque in eodem plano; ſcio quidem de re quod ſit, ſed non vi­
deo demonſtrari propter quid ſit ex his principiis, vt conſideranti pate­
bit; nec eſt quod vlteriùs in iis refutandis immoremur; præſertim cùm
rem hanc acuratiſſimè demonſtrauerimus ſuprà; ſed antequam ab hoc
motu reflexo diſcedam, alia demonſtratio reiicienda eſt, quæ ſic propo­
nitur ſit planum reflectens immobile, MR, ſit linea incidentiæ KD;
hæc eſt, vt aiunt, determinatio mixta ex duabus Kβ, Kθ: hoc poſito, li­
nea reflexa erit DX, mixta ſcilicet ex Dθ Dυ; ſed profectò non video,
nec ſentio vim huius determinationis; primò enim nego motum per
KD eſſe mixtum; eſt enim tantùm vnicum principium determinationis;
igitur vna tantùm eſt determinatio; nam primò hæc eadem linea KD
poſſet eſſe mixta ex pluribus aliis; quippè poſſunt eſſe infinita Paralle­
logrammata, quibus hæc diagonalis KD communis eſſe poſſit; cur au­
tem potiùs erit diagonalis vnius quàm alterius. Secundò, ſi cadat deor­
ſum corpus graue impingaturque in planum inclinatum, nunquid eſt
motus ſimplex, & purus naturalis? quis eſt qui hoc neget, ſi terminos
ipſos capiat? ſed dicunt, ſi proiiciatur mobile per inclinatam in planum
horizontale, eſt motus mixtus ex naturali accelerato, & impreſſo; equi­
dem hic motus mixtus eſt, ſed tota linea curua; quæ non eſt parabolica,
vt conſtat ex dictis ſuprà lib.4.non facit lineam directionis, ſed vltimum
illius ſegmentum, ſeu vltima Tangens, quæ tanquam recta aſſumitur:
præterea quis vmquam lineam incidentiæ aſſumpſit niſi rectum? igitur
licèt linea incidentiæ poſſit eſſe mixta ex duabus aliis, quod negari non
poteſt; poteſt tamen eſſe ſimplex, quod nemo etiam negabit; igitur hoc
ipſum nihil facit ad hanc incidentiæ lineam; igitur illud primum an­
tecedens eſt falſum, in quo habetur lineam incidentiæ eſſe mixtam; quia
cùm debeat eſſe vniuerſale, vt ſcilicet vniuerſaliter concludat; certè, ſi
1vniuerſale eſt, falſum eſſe conſtat; addunt aliqui eſſe mixtam æquiualen­
ter. Tertiò, cum ſit eadem potentia motrix applicata, tùm in K, tùm in
A; certè debet eſſe idem impetus; cum autem duæ lineæ K θ K β repræ­
ſentent duos impetus, qui concurrunt ad motum mixtum per KD (nam
hoc ipſi dicunt) certè duo ABAP ſimul ſumpti æquales eſſe deberent
duobus K θ K β, quod falſum eſt; quia KD ſit 4. ſitque angulus GDK
30.grad. K θ eſt 2. igitur collecta θ K β eſt 6. & eius quadratum 36. at
verò quadratum AB eſt 18. ergo quadratum collectæ ex ABAP eſt
32. igitur illa maior eſt.
Sed iam ad aliam propoſitionem venio, in qua dicitur linea reflexio­
nis DX eſſe mixta ex D θ D υ quod falſum eſt; nam primò hoc dicis,
hoc proba poſitiuo argumento: Dices, quia non poteſt aliter explicari
æqualitas anguli reflexionis; bellè! nego antecedens; nam licèt nondum
verus illius modus explicatus non eſſet, proba tuum eſſe verum. Secundò
vel aliquid prioris determinationis manet, vel nihil; non primum, vt ipſi
volunt; alioqui DX eſſet mixta ex tribus ſcilicet DQ, D θ, D υ, quod
abſurdum eſt; quod ſi nihil remaneat prioris determinationis; ergo ni­
hil prioris impetus, quod etiam concedunt; igitur producitur nouus, ſci­
licet propter compreſſionem aëris, corporis reflexi, & reflectentis; ſed
profectò, licèt hoc totum verum eſſet, cùm illa compreſſio fieret in linea
quæ per centrum globi producitur, ſcilicet à puncto contactus, ſcilicet
in linea DG; certè per illam fieret repercuſſio; Tertiò tunc maxima eſt
percuſſio, cum linea incidentiæ eſt perpendicularis; igitur tunc eſſe de­
bet maxima vis compreſſionis; igitur maxima vis repercuſſionis, ſed eſt
tantùm vt DG; at verò, ſi linea incidentiæ ſit AD, vis repercuſſionis
erit, vt collecta ex DFDP quæ maior eſt priore. Quartò, cur DX erit
potiùs mixta ex duabus D θ, D υ, quàm ex duabus aliis? Quintò, perinde
ſe habet planum reflectens, atque ſi globum ipſum pelleret, cùm nihil de­
terminationis prioris remaneat, vt ipſi volunt, ſed pelleret per ipſam
DG. Sextò, proba argumento poſitiuo eſſe mixtam DX ex D υ, D θ; nam
hoc reuerâ fingis ſine ratione. Septimò, præterea ſi corpus eſſet duriſſi­
mum minùs reflecti poſſet à plano duriſſimo, ſi nulla fieret compreſſio.
Octauò proba mihi impetum priorem deſtrui per ſe; nam cùm ſit indif­
ferens ad omnes lineas, nunquam deſtruitur, niſi ſit fruſtrà; hic autem
fruſtrà non eſt: Itaque manifeſtum efficitur, non modò ex his principiis
non demonſtrari æqualitatem anguli reflexionis, ſed ne argumento qui­
dem probabili comprobari; quia tamen in noſtra demonſtratione multa
ſunt, quæ ipſis non probantur, breuiter recenſeo.
Suppono primò, planum reflectens eſſe principium nouæ determina­
tionis, quod nemo inficiebitur. Secundò, eſſe tantùm principium vnius
determinationis quia vnum principium eſt. Tertiò, per quamcunque li­
neam incidat globus in punctum D plani ſcilicet immobilis, eſt ſemper
idem punctum contactus & eadem Tangens. Quartò, à puncto contactus
globi duci tantùm poſſe vnicam lineam ad centrum. Quintò, cum deter­
minationis terminus à quo ſit illud punctum contactus, per illam tan-
1tum lineam fieri poteſt; nam perinde ſe habet globus ille, atque ſi re­
pelleretur à plano; nec alia eſſe poteſt linea directionis globi, vt fusè
probauimus, cum de impetu; nec in hoc eſt vlla difficultas, quia cen­
trum grauitatis dirigit lineam motus; hoc poſito.
Si nulla eſſet determinatio præter hanc, haud dubiè globus per DG
moueretur, vt reuerâ ſit cum linea incidentiæ eſt perpendicularis; quia
duæ lineæ oppoſitæ non faciunt determinationem mixtam; ſecus verò
omnes alias; cum igitur globus prædictus reflectatur per DX, illud ſit
neceſſariò per determinationem mixtam, quod etiam fatentur omnes:
mixta eſſe non poteſt niſi ex duabus ſit, vnica tantùm à plano reflecten­
te eſt, ſcilicet per DG; igitur altera eſſe debet, eáque prior per KDQ;
cùm enim prior determinatio ſupponatur, vt KD vel vt DQ: eſt enim
ſemper eadem, & cùm noua ſit per DG, poſita diagonali DX, quis non
videt eſſe mixtam ex DQ & DZ æquali QX? nam perinde ſe habet
globus in D, atque ſi pelleretur hinc per DQ, hinc per DZ, ita vt impe­
tus eſſent vt lineæ DZ DQ.
Ex his concludo determinationem nouam eſſe ad priorem poſitâ li­
neâ incidentiæ KD, vt DZ vel QX ad DQ poſitâ verò lineâ inciden­
tiæ AD, vt EH ad DE; denique in perpendiculari GD, vt δ G ad DG,
id eſt, in ratione dupla; & nemo eſt meo iudicio, qui rem iſtam attentè
conſiderans non concedat vltrò de re quod ſit, ex hypotheſi æqualitatis
angulorum reflexionis cum aliis incidentiæ; vt autem demonſtretur
propter quid ſit, aliud principium adhibendum eſt, quod fusè præſtiti­
mus ſuprà. Sed obiiciunt iſtam determinationem nouam quæ fit à plano
eſſe fictitiam, & chymericam; ſed meo iudicio chymeram facit, qui rem
tam claram non capit; cum enim non negent nouam determinationem
eſſe in motu reflexo, nam impetus eſt indifferens, vt ſuprà probatum eſt
abundè, & ex motu funependuli euincitur; certè ſi noua eſt, à plano eſt:
ſed à plano eſt per ipſam perpendicularem vt demonſtratum eſt ſuprà;
igitur hæc noua determinatio fictitia non eſt.
Sed dicunt ab eodem plano eſſe non poſſe determinationem inæqua­
lem; quia idem principium eundem effectum habet. Reſp. negando ante­
cedens; cùm enim pro diuerſa reſiſtentia diuerſa ſit determinatio, &
cùm planum prædictum modò plùs, modò minùs reſiſtat; quid mirum ſi
diuerſa ſit etiam determinatio?
Inſtant, lineam determinationis eiuſdem impetus eſſe ſemper æqua­
lem. Reſp. negando; quia idem impetus ad duas lineas poteſt determi­
nari ſimul, quæ faciant determinationem mixtam; vnde licèt idem im­
petus habeat eandem lineam ſpatij, non tamen eandem lineam determi­
nationis. v.g. quando dico determinationem nouam in perpendiculari
eſſe ad priorem vt DY ad DG; non dico propterea DY eſſe lineam ſpa­
tij; ſed cùm duæ determinationes comparantur, aſſumi poſſunt lineæ,
quæ deſignent proportionem ſeu rationem determinationum, quid fa­
cilius?
Quæres, quid ſit illa determinatio: facilis quæſtio. Reſp. eſſe ipſum
1impetum cum habitudine actuali ad talem vel talem lineam; quod au­
tem poſſit eſſe plùs vel minùs determinatus ad vnam, quàm ad aliam, du­
bium eſſe non poteſt, nec in dubium reuocari, & benè diſtinguitur li­
nea quanta in ratione determinationis, & quanta in ratione ſpatij: immò
hoc ipſi ſupponunt; nam ſi KD eſt mixta ex K β & K θ, quis non vi­
det eſſe eundem impetum cum determinatione duplici inæquali? præ­
terea, quis neget globum impactum perpendiculariter in alium æqua­
lem quieſcere? cur verò quieſcit, niſi quia impetus eſt fruſtrà;
cur autem eſt fruſtrà, niſi quia cum determinatio
noua ſit æqualis priori? ſed de
his ſatis.
24[Figure 24]
1 25[Figure 25]
LIBER SEPTIMVS,
DE MOTV CIRCVLARI.
CVM in natura minimè deſideretur motus cir­
cularis, eius affectiones breuiter in hoc libro
demonſtrantur.
DEFINITIO 1.
MOtus circularis eſt, cuius linea æqualiter in omnibus ſuis punctis à com­
muni centro distat. v. g. ſi punctum in periphæria circuli moue­
retur.
Definitio 2.
Radius motus eſt linea recta ducta ab illo communi centro ad periphæ­
riam.
Definitio 3.
Arcus eſt pars periphæria maior, vel minor.
Definitio 4.
Tangens eſt linea, quæ tangit periphæriam in vnico puncto, quam tamen
non ſecat; hæc omnia clara ſunt, immò vulgaria.
Hypotheſis 1.
Si dum rota vertitur imponatur eius ſumma ſuperficiei aliquod mobile,
proijcitur à rota, ſeu potiùs amouetur; res clara eſt in molari lapide, in
funda, &c.
Axioma 1.
Illa mouentur æqualiter, quæ temporibus æqualibus aqualia ſpatia percur­
runt; inæqualiter verò qua inæqualia; qua maiora, celeriùs; tardiùs, qua
minora.
Axioma 2.
Qua ſimul incipiunt moueri, & deſinunt, aquali tempore mouentur.
1
Theorema 1.
Datur motus circularis. Probatur infinitis ferè experimentis; primò in
librâ cuius brachia motu tantùm circulari deſcendunt. Secundò in ve­
cte, qui etiam mouetur circulari motu; Tertiò in turbine, rota molari,
liquore contento intra vas ſphæricum; Quartò in funependulo vibrato.
Probatur ſecundò; quia poteſt imprimi impetus vtrique extremitati ci­
lindri in partes oppoſitas, ſit enim cilindrus, vel parallelipedum LC,
cuius extremitati imprimatur impetus, per lineam CP, itemque extre­
mitati L æqualis per lineam LG oppoſitam CP. Dico, quod mouebitur
circulariter circa centrum K, ita vt extremitas L conficiat arcum LB &
C arcum CE; nec enim C moueri poteſt per CP neque L per LM;
quippe cùm ſit æqualis impetus, neutra extremitas præualere poteſt: non
vtraque, quia MP eſt maior LC; nec dici poteſt neutram moueri, cum
moueri poſſit L per arcum LT, & C per arcum CS; quippe impetus
eſt indifferens ad omnem lineam; & hæc eſt ratio à priori circularis
motus de qua fusè infrà.
Obſeruabis motum circularem ab iis negari, qui ex punctis mathema­
ticis continuum componunt; quia ex eo ſequeretur non poſſe dari mo­
tum continuum velociorem, vel tardiorem, quod ridiculum eſt; ſi enim
punctum Q æquali tempore moueatur cum puncto C certè arcus QR
quem percurrit eo tempore, quo C percurrit arcum CS, eſſet æqualis
arcui CS, quod eſt abſurdum; quod certè ne admittere cogantur, mo­
tum circularem negant, quod æquè abſurdum eſt; præſertim eum ad vi­
tandum motum circularem infinita quoque abſurda deglutiant, ma­
nifeſtis experimentis contradicant, oculos ipſos intuentium præſtigiis
illudi aſſerant, ferreum vectem dum mouetur in mille partes diffringi
etiam iurent; ſed hæc omitto.
Theorema 2.
Niſi impediretur impetus determinatio per lineam rectam, non daretur mo­
tus circularis ſaltem in ſublunaribus. v. g. niſi impediretur determinatio
impetus, qui ineſt puncto L per lineam LM; haud dubiè non mouere­
tur per arcum LB, ſed per rectam LM; igitur ille motus non eſſet cir­
cularis.
Theorema 3.
Hinc motus circularis oritur ex recto impedito in ſingulis punctis: dixi in
ſingulis punctis; quia licèt in puncto L impediretur, non tamen in ſe­
quenti; eſſet quidem noua linea determinationis, non tamen curua; ſi
tamen in ſingulis punctis impediatur æquali ſemper radio, haud dubiè
eſt circularis.
Obſeruabis dictum eſſe ſupra in ſublunaribus quia corpora cœleſtia
mouentur motu circulari non habita vlla ratione motus recti, de quo
ſuo loco.
1
Theorema 4.
Hinc ſingulis instantibus punctum dum mouetur circa centrum K deter­
minatur ad nouam lineam; quia ſcilicet ſingulis inſtantibus impeditur;
igitur ſingulis inſtantibus nouam determinationem accipit; eſt enim ea­
dem ratio pro ſecundo inſtanti, quæ eſt pro primo, itemque pro tertio,
quarto, &c.
Theorema 5.
Hinc tot ſunt determinationes ſingulis inſtantibus reſpondentes, quot ſunt
Tangentes in circulo; quippè in ſingulis punctis determinatur ad Tan­
gentem; ſed impeditur denuò pro ſequenti inſtanti; igitur ad nouam
Tangentem determinatur; eſt autem hæc veriſſima motus circularis ra­
tio; quod ſcilicet cum ſingulis inſtantibus æqualiter impediatur motus
rectus; quia altera mobilis extremitas accedere non poteſt, ſingulis quo­
que inſtantibus ad nouam Tangentem determinatur æquali ſemper ra­
dio; vnde neceſſariò ſequitur motus circularis.
Theorema 6.
Hinc reiicies aliquem recentiorem, qui vult motum circularem eſſe mixtum
ex duobus rectis, quorum alter ſit vt ſinus recti, alter verò vt ſinus verſi, ſit
enim quadrans KCE; ſit impetus per EK, & per EO, vel duplex, vel
idem determinatus ad duas iſtas lineas, ita vt determinatio per EK ſit
ad determinationem EO, vt ſinus verſi ad rectos. v. g. aſſumpto arcu
EM, vt EN ad NM; certè hoc poſito debet moueri punctum E per li­
neam circularem EMC. Equidem ſi eſſet duplex impetus, vel vnus tan­
tùm cum duplici illa determinatione, ex eo ſequeretur motus circularis
mixtus ex duobus rectis; ſicut rectus poteſt ex duobus circularibus ori­
ri, vt dicemus aliàs; non tamen inde ſequitur omnem motum circula­
rem eſſe mixtum ex duobus rectis, quod nemo non videt: quippe poſito
quòd radius KE ſit affixus immobiliter centro K, licèt pellatur tantùm,
per Tangentem EO etiam cum valido impetu, nihilo tamen minus mo­
tu circulari mouebitur: Adde quod difficile eſſet duos impetus ita attem­
perare, vt creſceret vnus in ratione ſinuum verſorum, & alter in ratione
ſinuum rectorum; nec enim motus illi recti, ex quibus circularis quaſi
naſceretur, æquales eſſe poſſunt; igitur ſufficit vnius impetus ad vnam
tantùm lineam primo inſtanti determinatus v.g. ad Tangentem EO, qui
ratione impedimenti in K ſuum effectum habere non poteſt, ſed reduci­
tur continuò verſus K æquali ſemper diſtantia; ex quo ſequitur neceſſa­
riò motus circularis, ſcilicet ex illa quaſi funis adductione; ſi enim ex
puncto K laxaretur habena ſegmentis æqualibus; differentiæ ſinus totius
& ſecantis v. g. ſegmento VO in arcu EP; certè E moueretur per
rectam EO.
Theorema 7.
Hinc optimè intelligitur ratio hypotheſeos primæ; ſi enim punctum E ſepara-
1retur à recta EK eo inſtanti, quo imprimitur impetus; haud dubiè per
rectam EO moueretur; quia ſcilicet impetus puncti E determinatus eſt
in puncto E ad motum per Tangentem EO; & ſi nullum eſſet impedi­
mentum per rectam EO, moueretur; atqui ſi ſeparetur punctum E, ceſ­
ſat impedimentum, vt patet; nec enim amplius retinetur ex puncto K;
igitur ceſſat ratio motus circularis; igitur motu recto per rectam EO
mouebitur; ſic lapis impoſitus rotæ dum maximo cum impetu vertitur,
per Tangentem proiicitur; ſic gutta aquæ, quæ cadit in volubilem tro­
chum etiam diſpergitur; ſic rota ipſa, cuius aliqua pars præ nimia vi
motus diffringitur, illam quaſi proiicit per rectam; hinc ratio vnica
proiectionis quæ fit operâ fundarum; ſit enim funda KE vel KL, quæ
moueatur per arcum LE; certè, ſi lapis demittatur in puncto E, lapis
proiicietur per rectam LO; nec enim ad aliam lineam lapis, dum eſt in
puncto E, eſt determinatus, niſi ad Tangentem EO, ad quam dumtaxat
impetus puncti EA eſt determinatus; in hoc igitur Fundibularij tan­
tùm inſiſtit induſtria, quâ ſcilicet ſaxum in funda rotatum ſcopum cui
deſtinatur, attingat, vt illam Tangentem inueniat quæ à prædicto ſcopo
in circulum, quem ſuo motu deſcribit, funda ducitur. v.g. ſit radius fun­
dæ KL hypomoclium K, circulus quem deſcribit funda LEC; ſit ſco­
pus O, ducatur tangens EO; certè, ſi vbi funda peruenit in E, dimit­
tat lapidem, prædictum ſcopum non illicò feriet; hinc etiam ratio, cur in
naui dum motu recto mouetur facilè conſiſtamus; cum tamen (quod in
longioribus illis nauiculis facilè contingere poteſt) ſi circa centrum
ſuum nauis vertatur, quod accidit cum vtraque extremitas in partes op­
poſitas, vel remo, vel pertica pellitur, nec in ca conſiſtamus.
Theorema 8.
Si rota plana in circulo horizontali voluatur, ſitque pondus plano rotæ incu­
bans, in eo producetur impetus; vt certum eſt; an verò pondus retroagi de­
beat, præſertim ſi ſit globus, vel aqua; an verò per Tangentem proiici,
dubium eſſe poteſt; videntur enim pro vtraque hypotheſi facere expe­
rientiæ; pro prima quidem, ſi rotetur rota concaua ſeu ſcutella plena
aqua; aqua enim in partem contrariam volui videbitur; &, ſi plano
quod in circulo horizontali voluitur imponatur globus leuigatiſſimus,
certè in partem oppoſitam ibit. Secundæ hypotheſi alia videntur fauere
experimenta; ſi enim trochus volubilis, vel aqua, vel puluere aſperga­
tur, ſtatim aqua reſilit per Tangentem, idem dico de puluere, ſi funda in
circulo horizontali voluatur, lapis demiſſus per Tangentem ibit: ſed
hæc omnia, quæ ad proiectiones pertinent, licèt illæ ſequantur ex motu
circulari, examinabimus & demonſtrabimus lib. 10. cum de proiectis.
Theorema 9.
Cauſa motus circularis eſt ea, quæ cum tali impedimento coniuncta eſt; ex
quo accidit diametrum mobilis in aliquo ſui puncto retineri immobi­
lem; ſunt autem varij modi huius applicationis. Primus eſt ille, quem
indicauimus ſuprà Th.1.cum ſcilicet vtraque extremitas cylindri æquali
1impetu in partes oppoſitas pellitur. v.g. C per CP, L per LG. Secundus
eſt, cum affigitur altera extremitas. v.g. punctum K affigitur, ita vt tamen
propter flexibilitatem radij KL, idem radius moueri poſſit circa cen­
trum K, vt videmus in funependulis. Tertius eſt, ſi diameter fulcro K
inſeratur, vt in obelis ferri, vel magnetica acu: huc reuoca rotas omnes,
quæ in circulo horizontali, & verticali voluuntur. Quartus, ſi cum ali­
qua exploſione digitorum motus imprimatur, vel globo, vel trocho, vel
iis cubis, quibus inſcripti numeri poſt girationem ſortem indicant.
Quintus, ſi cum flagello trochus agatur; cum enim implicetur flagel­
lum trocho, vbi retrahitur, in gyros agitur trochus; huc reuoca funem
illum plicatilem, quibus armatus ferro trochus voluitur: adde his refle­
xionem variam ex qua ſæpè oritur hæc turbinatio; tùm etiam figuram
vaſis; ſic aqua intra vas ſphæricum voluitur; ſic in vorticibus voluitur
aqua propter præruptum deſcenſum aluei; ſic etiam turbinatim deſcen­
dit aqua per tubum infundibuli; cætera omitto, quæ ex his facilè intel­
ligi poſſunt.
Theorema 10.
Datur impetus in motu circulari; probatur facilè, quia etiam abſente
potentia motrice durat motus; igitur adeſſe debet illius cauſa; igitur
impetus, clarum eſt; debet autem eſſe hic impetus ita determinatus, vt
determinatio vnius puncti impediat determinationem alteriùs; ſed aliam
permittat, alioqui deſtrueretur totus impetus, & hæc viciſſim illam.
Theorema 11.
Subjectum huius impetus eſt omne mobile; non eſt difficultas pro mobili
corporeo, quod pluribus partibus conſtat; quippe impetus vnius partis
poteſt impedire impetum alterius; at difficilius eſt dictu, an punctum,
ſi detur, moueri poſſit circulariter: de puncto phyſico loquor? cui cer­
tè non repugnat motus circularis; quippè licèt careat partibus actu, non
tamen caret partibus potentiâ. Dices, non mutat locum; igitur non mo­
uetur: antecedens conſtare videtur, quia ſemper remanet in eodem loco:
conſequentia etiam videtur eſſe clara per Def.1. lib. 1. Reſpondeo pri­
mò mutare locum reſpectiuum; quippe licèt punctum phyſicum non ha­
beat partes, habet tamen facies; vnde facies conuertuntur per motum
circularem; igitur non habent ampliùs eundem reſpectum; igitur nec
eundem locum reſpectiuum. Reſpondeo ſecundò, punctum phyſicum ha­
bere partes potentiâ, non actu; vnde mutat locum, dum voluitur; quia
quælibet pars potentiâ diuerſæ parti ſpatij potentiâ reſpondet; ſed hîc
non diſcutio quæſtionem illam, an dentur puncta phyſica; ſed tantùm
aſſero, ex ſuppoſitione quòd detur punctum phyſicum moueri poſſe mo­
tu circulari: Idem de Angelo dici poteſt, non tamen de puncto mathe­
matico, cuius motus concipi non poteſt; vnde optimè negat Ariſtoteles
punctum mathematicum moueri poſſe; immò nos aliquando repugnare
dari punctum mathematicum oſtendemus; igitur ex dictis patet, omne
1mobile, quod ſcilicet moueri poteſt motu recto, motu circulari etiam
moueri poſſe.
Theorema 12.
Finis huius motus varius eſt in naturâ, & multiplex vſus; primò enim
ex motu circulari fit, vt impetus qui eſt ad omnem lineam indifferens
habeat ſuum effectum, cum omnes lineæ impediuntur præter vnam, &
hoc eſt vera ratio à priori huius motus. Secundò nulla libratio, ſeu vi­
bratio eſſe poſſet, niſi motus circularis eſſet; hinc nullus libræ vſus, ve­
ctis, trochleæ, aliorumque organorum mechanicorum quorum opera
inutilis eſſet ſine motu circulari. Tertiò, omitto gyros, & ſpiras, turbi­
num, rotarum, lapidum molarium, immò & ſyderum orbitas, fundarum
librationes; immò & ipſorum brachiorum; digitorum, tybiarum vſum;
immò auſim dicere motum circularem non minùs toti naturæ vtilem
eſſe, quàm rectum.
Theorema 13.
Motus circularis poteſt appellari ſimplex; quia ex pluribus mixtus non
eſt omnis motus circularis, licèt aliquis motus circularis poſſit eſſe mixtus
ex duobus rectis, vt dictum eſt ſuprà; non minùs quàm rectus poteſt eſſe
mixtus ex duobus circularibus; non eſt tamen propterea dicendum om­
nem circularem eſſe mixtum; cum ſcilicet in mobili, quod circulari mo­
tu mouetur, non fit duplex impetus; quis autem dicat motum funepen­
duli ſurſum vibrati eſſe mixtum? equidem in ſublunaribus nullus eſt mo­
tus circularis qui ex multiplici determinatione non conſtet, vt dictum
eſt ſuprà; Vnde fortè vel eo nomine mixtus dici poſſet, ſed propter ean­
dem rationem motus reflexus mixtus dici poſſet; quidquid ſit, dum rem
intelligas, loquere vt voles; dixi in ſublunaribus, quia corpora cœleſtia
ita ſunt à natura inſtituta, vt circulari motu rotari poſtulent; de quo ſuo
loco: Et verò hæc legitima videtur eſſe Ariſtotelis ſententia, qui motum
naturalem rectum grauibus, & leuibus tribuit, circularem verò cœleſti­
bus; ex quo etiam motu tanquam ex natiua proprietate quintam cœlo­
rum eſſentiam concludit; denique nulla videtur eſſe repugnantia, nul­
lumque abſurdum, ſi motus circularis alicui corpori competat. Vtrum
verò motus circularis dici poſſit naturalis, dubium eſſe non poteſt, pro
cœleſtibus illis corporibus, ſi à principio intrinſeco rotantur; pro ſub­
lunaribus aliquod fortè dubium eſſet; ſed quæſo te cum funependulum
ſua ſponte vibratum deſcendit, quo nomine motum illum appellas? Nun­
quid eſt à principio intrinſeco? cur igitur naturalem appellare detrectas?
rem intelligis, loquere vt voles.
Theorema 14.
Omnia puncta eiuſdem circuli mouentur æquali motu. Probatur quia
æqualibus temporibus æquales arcus percurrunt, vt conſtat; igitur mo­
uentur æquali motu, id eſt æquè velociter per Axioma 1.
1
Theorema 15.
Puncta diuerſorum circulorum mouentur inæquali motu; quia tempori­
bus æqualibus inæquales percurrunt arcus; igitur inæquali motu per
Axio. 1. v.g. puncta L & C quæ diſtant æqualiter à centro K, mouentur
æquali motu, quia æquali tempore conficiunt æquales arcus CS, LT; at
verò puncta CQ inæquali motu mouentur, quia æquali tempore arcus
inæquales percurrunt, ſcilicet CS, QX.
Theorema 16.
Hinc puncta, quæ accedunt propiùs ad centrum mouentur tardiùs, quæ lon­
giùs recedunt, mouentur velociùs. v.g. C velociùs, quia conficit arcum ma­
iorem; CSQ tardiùs, quia æquali tempore conficit arcum minorem
QR ſunt autem arcus ſimiles, vt radij, id eſt QR eſt ad CS, vt radius
KQ ad QC, ſed motus ſunt vt arcus; igitur motus, vt radij, vel diſtantiæ
à centro communi.
Theorema 17.
Ex his constat impetum, qui præstat motum circularem distribui in mobili
vniformiter, id eſt æqualem in eodem circulo, vel in distantia æquali, & dif­
formiter, id eſt inæqualem in diuerſis circulis, vel in diuerſa distantia; quia
ex inæqualitate motus cognoſci tantùm poteſt inæqualitas impetus; fit
autem hæc diffuſio, ſeu propagatio in ratione longitudinum v. g. impe­
tus in Q eſt ad impetum in C, vt longitudo KQ ad KC, vt conſtat ex
dictis; accipio autem omnes partes impetus, quæ ſunt in Q, & compa­
ro omnes illas cum omnibus illis, quæ inſunt puncto C; nam certum eſt
ex his quæ fusè diximus lib.1.non produci plures partes impetus in C, quam
in que ſed perfectiorem impetum produci in C, quàm in Q: recole quæ
diximus lib.1. à Th. 99. ad Th.112. in quibus habes totam propagatio­
nem impetus determinati ad motum circularem; ſiue applicetur po­
tentia centro, id eſt iuxta centrum; ſiue circumferentiæ.
Theorema 18.
Motus puncti C non eſt velocior motu puncti Q ratione temporis, ſed ſpatij;
quia vtrumque mouetur ſemper æquali tempore, quia ſunt in eodem ra­
dio; recole etiam, quæ diximus alibi, ſcilicet lib. 2. in comparatione
motuum, vel aſſumi poſſe ſpatia æqualia cum temporibus inæqualibus,
vel tempora æqualia cum ſpatiis inæqualibus; atqui in motu circulari
cum omnes partes eiuſdem mobilis ſimul moueantur, id eſt ſimul inci­
piant, & deſinant moueri; certè æquali tempore mouentur; ſed motus
eſt inæqualis; igitur non ratione temporis, quod æquale eſt, ſed
ſpatij.
Hic fortè aliquis deſideraret ſolutionem illius argumenti, quod vul­
gò ducitur ex motu circulari contra puncta phyſica, quod ſic breuiter
proponi poteſt. Sit punctum Q, quod acquirat punctum ſpatij verſus R
vno inſtanti; certe punctum C, quod mouetur verſus S, acquiret eodem
1illo inſtanti pluſquam punctum ſpatij; igitur eodem inſtanti erit in
duobus loris, quod eſt abſurdum; nec poteſt dici punctum C moueri
duobus inſtantibus, ſed minoribus, quæ ſcilicet reſpondeant inſtanti, quo
mouetur punctum que quia ſi poſt primum inſtans C ſiſteret, Q mouere­
tur adhuc, quod eſt abſurdum; nam ſimul incipit, & deſinit moueri,
cum puncto C. Equidem non poteſt explicari maior velocitas motus C
per inſtantia minora, vt patet; igitur per ſpatia maiora. Itaque reſpon­
deo ſi C & Q mouentur in eodem radio conjunctim non poſſe pun­
ctum K acquirere punctum ſpatij nullo modo participans cum priori,
ſed participans; licèt enim punctum ſpatij careat partibus actu, habet
tamen partes potentia, vt explicabimus fusè ſuo loco; ſunt enim vbica­
tiones communicantes, & non communicantes, quod explico in Ange­
lo ſit enim Angelus coëxtenſus quadrato FC, (quam hypotheſim
nemo negabit;) ſit alius æqualis extenſionis coëxtenſus quadrato HE,
qui conſiſtat dum primus Angelus mouetur; certè ita moueri poteſt, vt
primo inſtanti occupet ſpatium CK, & coëxtendatur alteri Angelo, vt
certum eſt; quippè vnico inſtanti locum ſibi adæquatum occupare po­
teſt; vel ita moueri poteſt, vt primo inſtanti occupet ſpatium GD, &
coëxtendatur quidem alteri Angelo ſed inadæquatè: his poſitis, ſpatium
HE comparatum cum ſpatio FC eſt non communicans; ſpatium verò
GD communicans, tum cum HE, tum cum HA, poſſunt autem dari
huiuſmodi ſpatia in infinitum plùs vel minùs participantia v. g. LM
plus participat de AC quam BD, & BD pluſquam NO; igitur non
eſt dubium quin Angelus moueatur eo tardiùs, ſuppoſito æquali tempo­
re, quo acquirit ſpatium plùs participans de priore; vnde quando vno
inſtanti acquirit ſpatium non communicans HE, non poteſt velociùs
moueri illo inſtanti, vel æquali; nec poteſt motus eſſe velocior ratione
ſpatij, licèt poſſit eſſe ratione temporis; quia ſpatium HE acquirere po­
teſt minore inſtanti. Quod dicitur de Angelo, dicatur de puncto phyſi­
co; cuius extenſio eſt quidem indiuiſibilis actu vt extenſio Angeli diui­
ſibilis tamen potentia in infinitum.
His poſitis, motus extremitatis radij dirigit motum aliorum puncto­
rum verſus centrum; ſed punctum extremitatis radij non poteſt
dato inſtanti moueri velociùs quàm ſi punctum ſpatij non communi­
cans acquirat, quo poſito nullum aliud punctum radij acquirit eodem
inſtanti ſpatium non communicans.
Dices, ponamus punctum extremitatis facta acceſſione noui ſegmenti
moueri eadem velocitate, quâ priùs mouebatur, cum terminabat radium;
igitur acquirit punctum ſpatij non participans; igitur extremitas noua
illo inſtanti acquirit pluſquam punctum. Reſpondeo, ſi addatur extremi­
tas noua facta ſcilicet acceſſione noui ſegmenti, poſito quod punctum
prioris extremitatis moueatur æquè velociter ac priùs; certè noua ex­
tremitas velociùs mouebitur priore, vt conſtat; igitur inſtanti minore
acquiret ſpatium non communicans; igitur hoc inſtanti minore prior
extremitas acquirit ſpatium communicans. Ex his vides velocitatem
1motus circularis ratione eiuſdem radij, vel mobilis explicari per ſpatia
magis, vel minùs communicantia; at verò velocitatem motus recti per
inſtantia maiora, & minora: Sed hæc fusè in Metaphyſica explicabimus;
neque hîc contendimus dari vel puncta, vel inſtantia; ſed tantùm poſito
quod dentur, ita ſolui poſſe argumentum illud, quod vulgò ducitur ex
motu circulari, quo reuerâ puncta Mathematica non tamen phyſica pro­
fligantur: ſimiliter ſolues argumentum illud vix triobolare, quo dicuntur
eſſe tot puncta in minore circulo, quot in maiore, eo quod iidem radij
vtrumque ſecent, quia ſi duo radij ad duo puncta immediata maioris
terminentur, penetrantur inadæquatè in ſectione minoris circuli; ſed
de hoc aliàs.
Theorema 19.
Motus circularis poteſt eſſe velocior, & tardior in infinitum; quia quocun­
que dato radio poteſt dari maior, & minor; immò poteſt compenſari
motus; ſit enim radius EC diuiſus bifariam in H; certè ſi moueatur
EC circa centrum E; C mouebitur duplo velociùs quàm H, quia arcus
CN eſt duplus HT; ſi tamen ſit radius AH; certè ſi poteſt moueri
æquè velociter, ſi enim aſſumatur H μ æqualis HT, & percurrat H μ
eo tempore, quo alter radius EC percurrit CN, motus erit æqualis; quia
arcus CN & H μ ſunt æquales, vt conſtat: poteſt etiam vectis longio­
ris extremitas moueri motu æquali cum extremitate minoris; ſi enim
H extremitas HE percurrit H μ, & aſſumatur vectis duplus EC, diuida­
tur H μ bifariam in T ducaturque ETN; certè ſi C conficiat CN co­
dem tempore, vtraque extremitas C & H æquè velociter mouebitur; ſi
autem duplicetur adhuc longitudo radij, diuidatur HT bifariam in X,
ducaturque linea, atque ita deinceps; quæ omnia ſunt trita.
Ex his habes principium motus tardioris, & velocioris in infinitum; ſi
enim punctum H ſemper æquali tempore conficiat arcum H μ; certè
punctum C conficiet arcum C β duplum prioris; quia EC eſt dupla
EH; ſi verò accipiatur tripla, conficiet triplum, atque ita deinceps; ſed
poteſt vectis eſſe longior, & longior in infinitum; igitur motus velo­
cior, & velocior; ſi verò punctum C conficiat tantùm arcum CN æqua­
lem H μ; haud dubiè punctum H mouebitur duplò tardiùs, & ſi acci­
piatur vectis duplus CE, cuius extremitas percurrat arcum æqualem
CN, punctum H mouebitur quadruplò tardiùs, atque ita deinceps.
Theorema 20.
Motus circularis non eſt naturaliter acceleratus. Probatur, quia in infi­
nitum intenderetur, quod eſſet abſurdum in natura; caret enim termino:
non eſt difficultas pro motu circulari violento quo v.g. vertitur rota in
circulo verticali, vel mixto, quo ſcilicet lapis ſphæricus ita deſcendit, vt
circa ſuum centrum etiam voluatur, vel indifferenti, quo recta vertitur
in circulo horizontali; quia nullum eſt principium accelerationis iſto­
rum motuum; igitur eſt tantùm difficultas pro naturali circulari, quo
1fortè ſydera rotantur; qui tamen non eſt acceleratus per ſe, propter ra­
tionem prædictam.
Obiiceret fortè aliquis; eadem ratio quæ probat motum naturalem
deorſum accelerari, eadem probat circularem naturalem etiam intendi:
quippè ſemper adeſt principium intrinſecum applicatum. Reſpondeo
negandam eſſe paritatem; quia naturalis motus grauium non accelera­
tur fruſtrà; Nunquam enim recedit à ſuo fine; at verò, ſi motus circula­
ris ſyderum acceleraretur, tandem abiret in infinitum, quod reuerâ eſſet
contra finem à natura inſtitutum; quippè carerent ſuo fine, & vſu corpo­
ra cœleſtia, ſi longè celeriori motu rotarentur.
Obiiceret alius, motus circularis naturalis non acceleraretur, igitur
tardiſſimus eſſet, qualis reuerâ motus naturalis grauium deorſum, quod
eſt contra experientiam. Reſpondeo, vel determinatum impetus gradum,
eumque valdè intentum produxiſſe iuxta inſtitutum ſuæ naturæ, vel per
aliquot minuta ſeſe mouiſſe motu recto naturaliter accelerato; ſed de
hoc motu ſyderum agemus fusè aliquando, cum de cauſis corporum cœ­
leſtium.
Obiicies deſcenſum funependuli, qui eſt naturaliter acceleratus; ſed
profectò ille motus eſt tantùm per accidens circularis.
Scholium.
Obſeruabis ex dictis ſatis conſtare, quàm temerè mirentur aliqui tan­
tam motuum cœleſtium celeritatem, cum motus circularis velocitas in
infinitum augeri poſſit: Obſeruabis præterea, ſi fortè motus rectus corpo­
rum cœleſtium præceſſit per aliquot minuta, motum illum, qui deinde
ſucceſſit, non eſſe perfectè circularem, ſed mixtum, quem aliquando ex­
plicabimus, & ex eo cauſas Apogæi, Perigæi, declinationis, &c. omnéſ­
que anomalias deducemus ſuo loco.
Theorema 21.
Rota circulo verticali parallela circa axem mobilis addito minimo im­
petu per ſe moueri poteſt; ſit enim ABCD plano verticali parallela circa
centrum E volubilis; ſitque in perfecto æquilibrio, & accedat minima
vis impetus in A v.g. haud dubiè punctum E deſcendet deorſum, alio­
quin maneret æquilibrium, & non maneret: dixi per ſe; nam cùm non
poſſit volui circa centrum E, niſi vel cum mobili axe duobus hinc inde
lunatis fulcris ſuſtentato, vel facto foramine circa axem immobilem, vel
circa geminos apices conicos immiſſos iuſtis apothecis in plano rotæ
excauatis, quales videmus in acu magnetica; atqui non poteſt volui rota
ſiue primo, ſiue ſecundo, ſiue tertio modo voluatur ſine multa compreſ­
ſione partium, id eſt, ſine aliquo affrictu, in quo multæ particulæ vnius
plani cum particulis alterius quaſi pectinatim commiſſæ, motum & im­
petunt ſiſtunt.
Theorèma 22.
Rota minor in eodem ſitu de quo ſuprà æquè facilè moueri poteſt, ac maior
1per ſe. Probatur primò, quia vtraque minimo impetu moueri poteſt per
Th. 21. Secundò, quia addita minima vi impetus in F, & minima in A
tàm facilè maior rota deſcendit, quàm minor, quia æqualiter tollitur
æquilibrium vtriuſque: dixi per ſe, quia maior rota propter maius pon­
dus maiore affrictu motum impedit.
Theorema 23.
Poteſt vis aliqua applicata rotæ in A v.g. rotam mouere in eodem ſitu ver­
ticali; licèt nullum impetum producat. Probatur, quia vis minima poteſt
deprimere rotam ABCD. v.g. per Th.21. ſed vis minima non poteſt
producere impetum in qualibet rota, vt patet; nec enim producere po­
teſt, niſi in tota rota producat per Th.33. lib. primo; ſed vis minima im­
petus tot partes impetus, producere non poteſt, quot eſſent neceſſariæ, vt
omnibus partibus rotæ diſtribuerentur.
Theorema 24.
Hinc egregium paradoxum; poteſt aliquid mouere rotam, & non agere in
rotam; quia vis mouens non poteſt in rotam agere, niſi impetum in ea
producat, vt patet; ſed poteſt illa vis rotam mouere licèt impetum in ea
non producat per Th.23. igitur mouere, & non agere: quod quomodo
fiat facilè explicari poteſt; quippè illa vis ponderis. v.g. quæ accedit pun­
cto A cum toto pondere ſemicirculi BA DE, grauitatione communi
præualet grauitationi alterius ſemicirculi rotæ BC DE; quia ſcilicet
maior eſt; ſic pondus vnius ſcrupuli ſuperpoſitum ingenti rupi non pro­
ducit in rupe impetum, ſed ſi fortè appendatur rupes, ſimul cum illa gra­
uitat, quod facilè concipi poteſt.
Theorema 25.
Cum deſcendit deorſum ſemicirculus BA DE, attollitur ſurſum ſemicir­
culus oppoſitus; quia ſcilicet impetus illius producit in iſto alium impe­
tum; nec enim corpus graue aſcendit ſurſum ſua ſponte in medio leuio­
re; igitur ab extrinſeco; ſed nulla eſt alia cauſa applicata præter impe­
tum ſemicirculi deſcendentis; igitur ab eo producitur hic impetus,
iſque omninò æqualis; quia ſcilicet vterque mouetur motu æquali.
Theorema 26.
Hinc impetus deorſum producere poteſt impetum ſurſum; quippe
ad aliam lineam determinare non poteſt, quod valdè paradoxum eſt.
Theorema 27.
Hinc impetus vnius partis mobilis continui poteſt impetum ſimilem produ­
cere in alia parte eiuſdem mobilis; vt patet ex dictis, quod tantùm locum
habet in motu circulari. Diceret aliquis, igitur in motu recto etiam lo­
cum habebit. Reſpondeo negando, alioqui minima potentia quodlibet
pondus motu recto moueret etiam nullo adhibito mechanico organo;
quia modo produceretur tantulus impetus in aliqua parte, hic produce­
ret alium, & hic alium, immò vterque ſecundo inſtanti alium produce-
1ret: eſſet enim cauſa neceſſaria; ſed hoc eſt abſurdum: ratio verò diſpa­
ritatis eſt, quia mobile, quod motu circulari voluitur circa centrum,
quod eſt in ipſo mobili duplicis mobilis vicem gerit, quorum vnum im­
pedit motum alterius, nec moueri poſſunt, niſi motibus oppoſitis.
Theorema 28.
Si applicetur pondus in K, minus erit illiusa momentum, quàm in A, erit­
que ad momentum in A, vt LE ad AE; quod ſæpiùs iam ſuprà dictum
eſt; præſertim lib.4. Inde tamen egregium deduco paradoxum, ſcilicet
minimam vim ſufficere ad deprimendum ſemicirculum BA DE ſiue ſit
applicata in A ſiue in K; faciliùs tamen id præſtare in C, quàm in K,
id eſt velociore motu.
Theorema 29.
Potentia in C applicata etiam minima per lineam CN, mouebit ſemicir­
culum DE BE ſurſum; vt patet; nullum tamen producet impetum, ſi
minima ſit; ratio eſt, quia eodem modo ſe habet, ac ſi detraheret partem
ponderis ſemicirculi DC BE, qua detracta non eſt ampliùs æquili­
brium; igitur oppoſitus ſemicirculus BA DE præualere debet; vnde
ideo aſcendit ille, quia deſcendit iſte; qui ideo deſcendit, quia vel de­
trahitur aliquid de momento alterius, vel impeditur; atqui impedire
tantùm poteſt, vel per productionem impetus, vel per applicationem po­
tentiæ per CN, quæ actione communi cum toto impetu ſemicirculi
BA DE iuuat eius deſcenſum; nam perinde ſe habet potentia, ſiue ſit,
applicata in A per lineam AO ſiue in C per CN: quod certè manife­
ſtum eſt.
Theorema 30.
Hinc etiam habes duo paradoxa; primum eſt, potentiam immediatè
concurrere ad motum ſemicirculi, cui non eſt applicata, & mediatè tan­
tùm ad motum illius, cui applicata eſt; nam potentia applicata in C per
CN concurrit immediatè ad motum A deorſum, & ſimul cum A ad mo­
tum Curſum. Secundum eſt, ſolam negationem eſſe cauſam motus, ſci­
licet detractionem partis momenti, quod clarum eſt.
Theorema 31.
Hinc etiam alia deduco paradoxa. Primum eſt, faciliùs ſuſtineri maius
pondus, quàm minus. Secundum plùs addi ponderis, quò plùs detrahi­
tur. Tertium plùs detrahi, quò plùs additur, v.g. ſi detrahatur aliqua por­
tio ex ſemicirculo BC DE, ſemicirculus rotæ oppoſitus deſcendet, niſi
ſit potentia in CA, qua ſuſtineatur; & quò maior portio detrahetur po­
tentiæ, maius pondus incumbet; quò minor, minus. Sed hæc clara
ſunt.
Theorema 32.
Impetus productus in rota conſeruatur aliquamdiu. Duplex impetus con­
ſiderari poteſt in rota; primus eſt productus ad intra accedente, ſcilicet
minima vi ponderis alteri ſemicirculo, putâ puncto A, qua poſita tolla-
1tur æquilibrium, quo ſublato ſua ſponte mouetur rota; hic autem impe­
tus primò durat in toto deſcenſu quadrantis AD; immò acceleratur tan­
tillùm motus, licèt longè minùs, quàm in funependulo propter reſiſten­
tiam ſemicirculi oppoſiti contranitentis; vbi verò A peruenit in D,
non acceleratur ampliùs motus, ſed tantillùm aſcendit verſus C &, dein­
de deſcendit, tandemque quieſcit in D paucis confectis vibrationibus;
ſed de hoc curſu, & recurſu agemus fusè lib. ſequenti; alter impetus eſt
productus ab extrinſeco, applicata ſcilicet valida potentiá, qui rotam
agit velociore motu, vt patet, cùm præter impetum ad intra ſit etiam im­
petus productus ab extrinſeca cauſa; igitur maior eſt impetus; igitur
maior motus: porrò hic impetus aliquandiu conſeruatur, vt patet expe­
rientiâ; nec eſt vlla cauſa ſufficiens applicata, à qua tam citò de­
ſtruatur.
Theorema 33.
Quando voluitur rota ab applicata valida potentia in A. v.g. per AO,
non modo producitur impetus in ſemicirculo BA DE, ſed etiam in oppoſito;
cùm vtrique mediatè vel immediatè ſit applicata ſufficienter, exemplo
vectis.
Theorema 34.
Non destruitur per ſe impetus productus in rota ab extrinſeco. Probatur,
quia licèt ſingulis inſtantibus mutetur eius determinatio, vt conſtat ex
dictis; nam per ſe impetus in hoc motu eſt determinatus ad lineam re­
ctam; nullus tamen impetus eſt fruſtrà: quippè illud ſpatium acquiritur
in linea curua, quod in recta percurreretur ſi nullum eſſet impedimen­
tum; quemadmodum enim in reflexione, quæ fit à plano immobili, nul­
lus deſtruitur impetus; ita nullus hîc deſtruitur; tàm enim centrum il­
lud immobile ad ſe quaſi mobile trahit, quàm planum immobile ad ſe re­
pellit.
Quæreret fortè aliquis, vtrum in ſemicirculo aſcendente impetus de­
ſtruatur ab impetu naturali grauitationis. Reſpondeo negando, quia
nunquam aſcendit C, niſi deſcendat A; nunquam verò deſcendit A, niſi
ſit maior vis in A quam in C, quod certum eſt; igitur grauitatio C impe­
dit quidem, ne ſit tantus motus in A, nunquam tamen impedit totum
motum, cum maius eſt momentum in A; quod ſi æquale ſit vtrinque mo­
mentum; certè totus motus vtrinque impeditur, & hæc eſt vera ratio
æquilibrij, de quo aliàs.
Theorema 35.
Hinc ſi nullus ſit partium affrictus, eſſet motus ille perpetuus; quia nul­
lus deſtruitur impetus per Th. 34. igitur ille motus eſſet perpetuus.
Theorema 36.
In maiore rota eſt maior affrictus partium, & impetus citiùs destruitur.
Secunda pars ſequitur ex prima; hæc autem ex maiore ponderis grauita­
tione, vel in axem, vel in ſubjectum planum.
1
Theorema 37.
Licèt impetus non destruatur in motu rotæ, & impediatur determinatio
prima, vt patet; attamen impedimentum non poteſt minus excogitari; cùm
nulla poſſit duci linea recta declinans ab AO, per quam noua determi­
natio fieri poſſit; fit enim ratione anguli contingentiæ; igitur determi­
natio noua proximè accedit ad priorem; igitur eſt minimum impedi­
mentum.
Theorema 38.
Hinc in maiori rota minus eſt impedimentum; quia ſcilicet minor eſt
angulus contingentiæ; maius verò in minori rota: porrò minor rota à
maiore ſeparata citiùs ſuos gyros abſoluit; quia ſunt minores, (ſuppono
æqualem impetum in extremo orbe rotæ vtriuſque productum,) idque
pro rata; ſi enim minor ſit ſubdupla maioris, maior vnum tantum gyrum
aget eo tempore, quo minor duos percurret.
Obſerua primò, pondus applicatum in A non modò producere impe­
tum in toto radio AE; ſed etiam in toto radio oppoſito EC; ratio eſt,
quia ſi impetus radij AE producit impetum in radio EC; certè pondus
additum radio AE cenſetur pars eiuſdem radij; igitur impetus illius
ponderis immediatè producit impetum in radio EC; quia impedit hic
radius oppoſitus motum alterius AE; igitur, vt tollat impedimentum,
producit AE impetum in EC; ſi autem produceretur tantùm impetus in
EC ab impetu radij AE; igitur, vel aliquid impetus eſſet fruſtrà, vel
nunquam radius minor poſſet attollere maiorem, quacunque accedente
potentia; ſit enim radius FE, in quo producatur quilibet impetus, ſit­
que radius oppoſitus maior duplo EC; certè ſi impetus radij FE produ­
cit impetum in radio EC, vel producit æqualem, vel minorem, maiorem
enim producere non poteſt; ſi minorem, vel æqualem; igitur remiſſio­
rem, quia pluribus partibus ſubjecti diſtribuitur; igitur vel motus eſſet
remiſſior radij EC quàm radij FE, quod dici non poteſt; vel aliquid
impetus radij FE eſſet fruſtrà, quod etiam dici non poteſt; itaque poten­
tia applicata in F, mediante ſcilicet organo, quodcumque tandem illud
ſit.v.g. pugno, producit impetum in ipſo organo, impetus verò organi,
ſeu pugni producit impetum primò in toto radio FE, tùm in toto radio
EC, id eſt totus impetus tùm pugni, tùm radij FC, ſcilicet innatus pro­
ducit impetum in alio radio EC; nec enim producitur tantùm ab impe­
tu radij propter rationem ſuprà allatam, cùm ſit maior impetus in radio
EC quàm in radio FE; nec tantùm ab impetu pugni, vel organi admo­
ti; quia etiamſi nullus accederet nouus impetus radio AE, ſed tantùm
minimum pondus; haud dubiè attolleret radium EC: Adde quod ra­
dius EC impedit motum radij FE; igitur ab impetu huius producitur
etiam in illo impetus; igitur tùm ab impetu pugni, vel organi, tùm ab
impetu radij FE producitur impetus in radio EC.
1
Theorema 39.
Hæc inæqualis distributio impetus eſt veriſſima cauſa girationis illius, quam
videmus in cylindro projecto per vibrationem ſiue brachium ſurſum ſiue deor­
ſum vibretur; quod ab omnibus facilè obſeruari poteſt ſit enim cylin­
drus ED libratus per arcum AD, ſtatimque demittatur; vbi attigit
punctum D, eſt quidem determinatus ad Tangentem DP, & punctum I
ad Tangentem IR; quia tamen eſt minor impetus in I, quàm in D, &
minor adhuc in E; certè D debet moueri velociùs quàm I, & I quam E;
igitur motu recto moueri non poteſt prædictus cylindrus ED; moueri
motu recto, id eſt in ſitu parallelo ED; igitur extremitas D gyros aget,
quia retinetur ab aliis punctis, quorum tardior eſt motus; ſed hîc erit
motus mixtus, de quo in lib.9.agemus, & totam rem iſtam fusè explica­
bimus; hîc tantùm ſufficiat dixiſſe cauſam legitimam illius circuitionis
eſſe tantùm inæqualem illam diſtributionem impetus in cylindro ED;
aſſignauimus autem ibidem lineam, quam ſuo motu deſcribit extremitas
D, & centrum, circa quod ſuos gyros agit.
Theorema 40.
Diu durat motus impreſſus rotæ in circulo verticali, ſi vel modicus ſit par­
tium affrictus; Probatur, quia cùm non deſtruatur impetus aliunde, quàm
ab affrictu, dicendum eſt minimum etiam ſingulis inſtantibus deſtrui
impetum; igitur diu durat impetus; igitur diu durat motus: nec eſt alia
ratio vulgaris illius experimenti, quo videmus perforatam acum circa
cylindrum leuigatiſſimum diu rotari.
Theorema 41.
Cum rota voluitur in circulo horizontali, non poteſt moueri applicata mini­
ma potentia; Probatur, quia nullo modo rotatur ad intra, id eſt non pro­
ducit in ſe impetum, vt patet; igitur debet produci impetus in illa à po­
tentia applicata; igitur tot partes impetus, quot ſunt ſaltem in tota rota,
cum ſingulæ partes moueantur.
Theorema 42.
Hinc difficiliùs mouetur in circulo horizontali quàm in verticali; patet,
quia in hoc à minima potentia applicata poteſt moueri per Th.21. ſecus
verò in illo per Th.41. igitur in horizontali difficiliùs moueri poteſt,
quàm in verticali. Obſeruabis autem tribus modis volui poſſe huiuſmodi
rotam. Primò ſi in plano horizontali leuigatiſſimo voluatur. Secundò, ſi
circa cylindrum immobilem, qui aperto foramini inſeritur. Tertiò, ſi
vno concauo vnius axis ducatur per centrum rotæ, inſeratur vnus ſoli­
dus, quo fulcitus orbis conſiſtat in æquilibrio, difficiliùs voluitur primo
modo rota propter affrictum plurimarum partium; ſecundo faciliùs, ſed
longè faciliùs tertio ſic autem voluitur acus magnetica.
Theorema 43.
Potentia applicata talis eſſe debet, vt poſſit imprimere impetum toti rota;
1cum enim non poſſit moueri vna pars rotæ ſine alia; certè, vel impetus
imprimitur omnibus, vel nulli per Th.37. lib.1.præſertim cùm totus im­
petus, qui rotæ imprimitur, ſit ab extrinſeco; nec enim accidit huic rotæ,
quod alteri, quæ ſitum verticalem habet, cuius ſemicirculus, cui admoue­
tur potentia per lineam deorſum motu naturali ex parte deorſum fertur,
vt ſupra explicatum eſt. Hinc totus impetus in rota horizontali produ­
citur ab extrinſeco; hinc ab ea tantùm potentia volui poteſt, quæ tot
partes impetus poteſt producere, quot ſunt neceſſariæ, vt omnibus parti­
bus plani illius circularis diſtribuantur, iuxta propagationem, quæ motui
circulari competit.
Theorema 44.
Hinc in vtroque ſemicirculo plani producitur impetus ab ipſa potentia ap­
plicata, non vero ab impetu producto in altero ſemicirculo producitur impetus
in alio, vt conſtat ex dictis; ſit enim rota horizonti parallela ABCD, &
applicetur potentia in A per AO, non poteſt produci impetus in radio
AE, niſi tollatur impedimentum; impedit autem radius EC eo primo
inſtanti; igitur debet ſimul tolli impedimentum, & produci impetus in
AE; ſed non poteſt tolli impedimentum, niſi per impetum; igitur non
modò producitur impetus in AE, ſed etiam in EC; atqui impetus in
EC non producitur ab impetu producto in EA; applicetur enim poten­
tia in F; certè minùs impetus producetur in FE, quàm in EC, vt con­
ſtat; igitur impetus in EC producitur ab ipſa potentia applicata in A,
vel in F; ſi verò rota ſit verticalis, ab eadem potentia, & impetu innato
radij AE. vel ſemicirculi DA BE.
Theorema 45.
Hinc faciliùs mouetur rota motu illo circulari, quàm recto; quia ſit dia­
meter AC, vt moueatur motu recto per ſe debet produci impetus eiuſ­
dem perfectionis in omnibus partibus AC, vt conſtat ex dictis lib. 1. ſi
enim motus omnium partium eſt æqualis; igitur & impetus, at verò, vt
moueatur motu circulari in plano horizontali facto ſcilicet circulo
ABCD, & admota potentia in A; certè impetus qui producitur in A,
& in C, eſt minor impetu producto in F, & in H; igitur ſi producatur
in A impetus eiuſdem perfectionis ad motum circularem cum eo, qui
produceretur admotum rectum; haud dubiè totus impetus productus in
AC ad motum rectum eſt perfectior toto impetu producto ad circula­
rem; igitur difficiliùs ille, hic faciliùs producitur.
Theorema 46.
Si applicetur potentia in F, difficiliùs mouebit rotam, quàm ſi applicetur in
A; ratio clara eſt, quia producet in F impetum eiuſdem perfectionis,
quem produceret in A, vt certum eſt; igitur maior erit impetus in to­
ta AC; igitur difficiliùs mouebitur rota: adde quod longitudo vectis
iuuat motum EC.
1
Theorema 47.
Facilè cognoſcitur, in qua proportione potentia applicata puncte A faciliùs
vertat rotam, quàm applicata puncto F in circulo ſcilicet horizontali; ſit enim
ſolus vectis FC, cuius centrum ſit E; certè ſi vertatur in circulo hori­
zontali, potentia applicata extremitati C faciliùs verſabit, quàm appli­
cata puncto F, iuxta proportionem CE ad EF, vel ad HE; igitur po­
tentia applicata puncto H, vectis CF eſt eiuſdem momenti, cuius eſt ea­
dem applicata puncto F, quia æqualem prorſus effectum, ſcilicet impe­
tum, debet producere in vecte CF, vt moueatur in circulo horizontali
circa centrum E. Probatur vlteriùs, quia motus, æquabiles ſcilicet, ſunt
vt ſpatia, impetus vt motus, vires vt impetus; igitur applicata potentiæ
in C producat impetum in vecte CF, vt vertatur in plano horizontali, &
C eo motu acquirat CS ſegmentum CE ſectorem CES; ſegmentum
verò FE ſectorem FEV; applicetur autem eadem potentia in F, vt ver­
tatur, idem vectis FC, & producatur in F impetus æqualis impetui an­
tè producto in C; haud dubiè punctum F percurret arcum FG eo tem­
pore, quo C priore motu percurrebat CS, vt patet; quia arcus CS eſt
æqualis quadranti FG; igitur ſegmentum FE quadrantem FEG, & ſeg­
mentum EC quadrantem CED.
Theorema 48.
Ex his determinantur omnes aliæ proportiones; ſi enim fit vectis AC
(quem ſuppono æqualem in omnibus ſuis partibus & volubilem circa
centrum E in plano horizontali) & applicetur potentia in puncto A, in
quo producat minimum impetum, quem poteſt immediatè producere ex
hypotheſi toties repetita, ita vt dato tempore percurrat A arcum AK, ſi
ſit vectis AH, & applicetur potentia in A, mouebit faciliùs, quàm AC
iuxta proportionem 8/5; nam in vecte AC ſpatium eſt compoſitum ex
gemino ſectore AEK, CES, & in vecte AH ſpatium eſt compoſitum
ex ſectore AEK & ZEH, qui ſubquadruplus eſt AEK; igitur hoc ſpa­
tium totum confectum hoc vltimo motu eſt ad prius ſpatium vt 5. ad 8.
igitur & motus; igitur & impetus; ſed quò minor eſt impetus, eſt maior
facilitas; igitur facilitas vltimi motus eſt ad facilitatem primi, vt 8. ad 5.
idem dico, ſi applicetur potentia in H.
Si verò retento ſemper eodem vecte AC applicetur potentia tùm in
A, tùm in F, facilitas motus potentiæ applicatæ in A eſt ad facilitatem
motus potentiæ applicatæ in F, vt AE ad FE, vel vt AB ad AK, vel
vt AEB ad AEK, quæ omnia conſtant ex dictis; igitur applicata in F
in vecte AC eſt ad applicatam in F in vecte FE vt 5. ad 8. ſed hæc ſunt
ſatis clara, nec vlteriore explicatione indigent.
Theorema 49.
Hinc quò propiùs ad centrum applicatur potentia, eò maior eſt difficultas
motus; igitur ſi applicetur ipſi centro mathematicè conſiderato eſt infi­
nita difficultas; igitur nulla potentia ſuperare poſſet hanc difficultatem;
1hinc vt artifices ſuas verſent rotas faciliùs, vel maximè curuum manu­
brium adhibent, vel affixo verſus circumferentiam in plano rotæ clauo
rotam agunt in orbes; quæ omnia clarè ſequuntur ex dictis.
Theorema 50.
Minor rota faciliùs vertitur in circulo horizontali; quàm maior. v. g.ro­
ta FGHI, quàm AB CD; quia ſcilicet producitur minùs impetus in
minore, quàm in maiore, vt patet; ſunt enim pauciores partes in mino­
re, plures in maiore; mouetur autem faciliùs minor, quàm maior iuxta
rationem diametrorum, permutando; Probatur, quia producatur impe­
tus in A maioris rotæ, ita vt dato tempore conficiat AK; tùm æqualis
impetus in F minoris rotæ; certè eodem tempore conficiet punctum F
arcum FG æqualem AK; ſed quadrans FEG eſt ad ſectorem AEK, vt
FE ad AE, vt conſtat; igitur facilitas motus minoris rotæ eſt ad facili­
tatem motus maioris, vt FE ad AE; igitur & impetus; ſed quò minor
eſt impetus, eſt maior facilitas, &c.
Theorema 51.
Hinc tantæ molis poſſet eſſe rota in ſitu horizontali, vt à potentia etiam ve­
geta minimè verti poſſes, vt clarum eſt; neque hîc vllo modo conſidero
reſiſtentiam, quæ petitur à compreſſione, & affrictu partium, qui haud
dubiè maior eſt in maiore rota; ſed tantùm conſidero reſiſtentiam ne­
gatiuam, hoc eſt eam, quæ tantùm petitur à maiore numero partium ro­
tæ; quò enim ſunt plures ſubjecti partes, plures etiam partes impetus de­
ſiderantur, vt ſæpè dictum eſt; igitur maior potentia.
Theorema 52.
Destruitur impetus productus in hac rotæ horizontali, ſed ſenſim ſine ſenſu
propter affrictum, vt ſuprà dictum eſt: hinc eſſet motus perpetuus, ſi nul­
lus eſſet affrictus; minùs impetus deſtruitur in maiore rota, quàm in mi­
nore: hinc gyrus minoris citiùs peragitur, & deſinit minor citiùs
moueri.
Theorema 53.
Minor rota citiùs ſuum gyrum abſoluit, quàm maior, vt dictum eſt ſuprà,
ſiue ſit in ſitu verticali, ſiue in ſitu horizontali; ſed non eſt determinata
proportio, quàm hîc deſideramus; dico enim tempora motuum eſſe, vt
radios. v.g.tempus, quo rota minor FGHI ſuum gyrum abſoluit, eſſe ad
tempus, quo maior ABCD ſuum perficit, vt eſt radius FE ad radium
AE, quod demonſtro; quia ſit impetus æqualis impreſſus puncto A ma­
ioris rotæ puncto F minoris, ita vt A & F moueantur æquali motu; mi­
nor rota conficit duos orbes eo tempore, quo maior vnum conficit, vt
conſtat ex dictis; quia ſuppono. v. g. circulum minoris eſſe ſubduplum;
igitur tempus, quo peragitur maior eſt ad tempus, quo peragitur minor
in ratione dupla; igitur vt radius AE ad radium FE, quod erat demon­
ſtrandum.
1
Theorema 54.
Hinc ſi tantùm habeatur ratio vectis, maior difficiliùs verſatur in plano
horizontali, quàm minor. v.g. AE circa centrum E quam FE, producto
ſcilicet æquali motu in extremitate vtriuſque A & F; ſi enim A dato
tempore percurrit AK; certè F percurret FG; ſed quadrans FEG eſt
ſubduplus ſectoris AEK, vt conſtat; igitur faciliùs vertitur FE, quàm
AE in proportione AE, ad FE: ſi tamen non conſideretur pondus ſeu
reſiſtentia vectis, haud dubiè ſi pondus ſit in Q, faciliùs mouebitur ope­
ra maioris vectis AE, quàm minoris FE; quia opera maioris mouetur
motu vt QT; operâ verò minoris motu vt QY, igitur difficiliùs opera
minoris in proportione QY ad QT; denique ſi pondus ſit in F maioris
vectis, & in δ minoris, ſitque AE ad AF, vt FE ad F δ, æquale erit
momentum vtriuſque vectis ad mouendum pondus; quia arcus FV erit
æqualis arcui δ Y; hîc autem nullomodo conſideratur vectis reſiſten­
tia; ſi verò producatur tantundem impetus in toto vecte AE quamtum
in FE; certè pro rata ſingulæ partes FE duplum habent; igitur tempo­
ra gyrorum erunt in ratione duplicata radiorum; quia cum F habeat du­
plum impetum A, certè deſcribit orbem integrum eo tempore, quo A
quadrantem; ergo F 4. orbes, dum A vnicum: ſed hæc ſunt facilia.
Theorema 55.
Si vectis BH ita pellatur in B in plano horizontali, in quo liberè moueri
poſſit v.g. dum aquæ ſupernatat, nulli centro immobili affixus, ſit que aqualis
denſitatis in omnibus ſuis partibus; mouebitur circa aliquod centrum, etiamſi
nulli centro affigatur. Probatur, quia punctum B velociùs mouebitur, quàm
A vel H, vt patet experientiâ: ratio eſt, quia minùs impetus producitur
in toto cylindro BH, applicata potentia in B, quàm in A, quod eſt cen­
trum grauitatis cylindri BA, vt iam oſtendimus Th. 68. 69. BB; porrò
ratio à priori eſt, quia cùm impetus producatur tantùm ad extra, vt tol­
latur impedimentum motus, vt fusè oſtendimus lib. 1. certè in tantùm
amouetur impedimentum, in quantum amouetur corpus impediens mo­
tum alterius; atqui amoueri tantùm poteſt per motum; igitur eo motu
amouetur, quo faciliùs amoueri poteſt, & minore ſumptu, vt ita dicam,
id eſt minore impetu: porrò cum potentia ſit determinata ad producen­
dum tabem impetum, immediatè ſcilicet, id eſt, in ea parte, cui immedia­
tè admouetur; alioqui ſi poſſet minorem, & minorem in infinitum pro­
ducere poſſet etiam immediatè ſine operâ organi mechanici quodlibet
pondus mouere, quod eſt abſurdum, de quo iam ſuprà; ſit igitur potentia
applicata in A, ſcilicet in centro grauitatis cylindri BH; certè producit
maximum impetum, quem poteſt producere in cylindro BH (ſuppono
enim eſſe cauſam neceſſariam, & producere perfectiſſimum impetum,
quem producere poſſit) producit inquam maximum ratione numeri;
cùm in toto cylindro BH producat impetum eiuſdem perfectionis; igi­
tur mouetur motu recto; igitur æquali in omnibus partibus; igitur æqua­
lis eſt impetus in omnibus partibus, id eſt, æquè intenſus; ſit autem po-
1tentia applicata in B, ita vt in puncto B producatur impetus eiuſdem
perfectionis, de quo ſuprà: ſi mouetur motu circulari circa aliquod cen­
trum v. g. circa centrum H, & punctum B conficiat arcum BD æqua­
lem rectæ b I, vel BL quam æquali tempore B vel A antè percurrebant
motu recto; certè totus cylindrus BH acquiret tantùm ſpatium BHD
motu circulari circa centrum H; ſed motu recto acquiſiuit ſpatium re­
ctanguli BK, quod maius eſt, vt patet; igitur motus circularis circa H
cylindri BH eſt ad rectum, vt ſector BHD ad rectangulum BK; igitur
facilitas motus circularis eſt ad facilitatem motus recti præſentis, vt re­
ctangulum BK ad ſectorem BHD; quænam verò ſit hæc proportio pa­
tet ex Cyclometria, ſuppoſitâ ratione Archimedis periphæriæ ad diame­
trum; igitur cum cylindrus impulſus in B faciliùs moueri poſſit motu
circulari, quàm recto, vt conſtat ex dictis; & cùm eo motu moueatur,
quo faciliùs moueri poteſt; modò poſſit ad illum determinari, non mirum
eſt ſi eo moueatur, & minor impetus producatur in eodem cylindro
BH; debet autem eſſe aliquod centrum huius motus, quod determina­
bimus paulò pòſt, poſtquam breuiter exilem quamdam objectionem de
impetu refutauerimus.
Itaque obiiciunt aliqui, impetum non produci ad extra ab impetu;
quia ſcilicet impetus habet iam effectum ſcilicet motum; igitur aliud
munus non eſt illi imponendum; igitur non producit alium effectum;
igitur non eſt cauſa impetus.
Reſpondeo primò, calor eſt cauſa rarefactionis; igitur non producit
alium calorem, quia habet iam vnum effectum; ſi tuum argumentum
concludit, meum quoque concludet. Reſpondeo ſecundò, anima produ­
cit viſionem, ergo auditionem producere non poteſt, cùm iam habeat
vnum effectum: Dices, eandem cauſam poſſe habere plures effectus; cur
igitur negas de impetu?
Reſpondeo tertiò directè, motum eſſe effectum impetus ad intra, quem
præſtat in ſuo ſubjecto; igitur eſt effectus formalis ſecundarius; nec
alius eſſe poteſt, vt lib.1. demonſtrauimus; at verò impetus eſt effectus
alterius impetus ad extra; igitur impetus eſt cauſa efficiens impetus, id­
que ad extra & cauſa formalis, vel exigitiua motus ad intra; ſicut calor
eſt cauſa formalis, vel exigitiua rarefactionis ad intra, cauſa verò effi­
ciens alterius caloris ad extra; & verò nullo argumento probabis calo­
rem à calore produci, quo ego non probem impetum ab impetu produ­
ci; igitur impetus eſt cauſa alterius impetus; quia phyſicè loquendo il­
lud vocamus cauſam, ex cuius applicatione ſequitur neceſſariò effectus;
atqui applicato corpore ſolo ſine impetu nullus impetus producitur ad
extra, vt patet; applicato verò cum impetu, producitur ſtatim alius im­
petus; igitur ipſe impetus eſt cauſa: nec dicas requiri, vt conditionem;
quia primò, nullum eſſet munus huius conditionis; nec enim applica­
ret cauſam ſubjecto, nec remoueret vllum impedimentum. Secundò di­
cam ſimiliter calorem eſſe conditionem. Tertiò, dicerem etiam eſſe con­
ditionem ad motum. Quartò, quis dicat corpus graue producere impe-
1tum ſurſum immediatè per ſe; ſed hæc omittamus, quæ leuia ſunt, præ­
ſertim cùm demonſtrauerimus luculenter lib.1.impetum produci ab im­
petu, vt ſcilicet tollatur impedimentum.
Theorema 56.
Quando pellitur cylindrus innatans in puncto L non vertitur circa cen­
trum A. Probatur, quia vertatur circa centrum A. v.g. & percurrat B
arcum BC, & totus cylindrus duos ſectores BAC, GAH; ſit autem
BC ſubduplus quadrantis BE, & duo ſectores prædicti æquales qua­
dranti BAE; hoc poſito, ſpatium totius cylindri erit, vt quadrans; igi­
tur motus; igitur impetus: iam verò vertatur circa centrum H, ita vt B
percurrat arcum BD æqualem BC (erit autem BD ſubquadruplus qua­
drantis BF;) igitur totus cylindrus circa centrum H percurret ſpatium
ſectoris BHD æqualis quadranti BAE; igitur motus circa centrum H
eſt æqualis motui circa centrum A; igitur eſt eadem difficultas motus;
igitur non vertitur potiùs circa centrum A, quàm circa centrum H.
Theorema 57.
Poteſt determinari centrum, circa quod vertitur cylindrus BH innatans
humido, modo ſupponatur æqualis denſitatis, & craſſitudinis; diuidatur enim
AH bifariam in M: Dico vertiginem futuram circa centrum M, quod
demonſtro; quia vertatur circa M, & extremitas B moueatur æquali
motu, quo priùs moueri ſupponebatur circa A, vel circa H; certè cùm
arcus BR ſit ad arcum BE vt BM ad BA, id eſt vt 3. ad 2. erit BN
ſubtripla BR, cùm ſit æqualis BC ſubdupla BE; totum autem ſpatium
confectum hoc motu erit conflatum ex ſectoribus BMN, & HMO, vt
patet: porrò ſector BMN eſt ſubtriplus quadrantis BMR, qui quadrans
eſt ad priorem BAE, vt 9. ad 4. id eſt, vt quadratum 3. ad quadratum 2.
vt conſtat; igitur conflatum ex ſectore BMN, & ſectore HMO eſt ad
quadrantem BAE, vel conflatum ex geminis ſectoribus BAC, HAG
vt 3 1/3 ad 4. ſi autem accipiatur centrum, vel inter MA, vel MH, maius
erit ſpatium, vt conſtat ex Geometria; igitur circa centrum M eſt mini­
mum ſpatium; igitur minimus motus; igitur minimus impetus; igitur
maxima facilitas; igitur ſi pellatur in B, vertetur circa M, quod hactenus
non explicatum modò ab aliquo, quod ſciam, verùm etiam ne propoſitum
quidem fuit.
Theorema 58.
Hinc facilè dictu eſt, cur naues ita impulſæ ab altera extremitate circa al­
teram extremitatem non vertantur, vt patet experientiâ; quia hæc tendit
in partem oppoſitam; nec etiam circa centrum grauitatis nauis, quod
etiam manifeſtis experientiis confirmatur, cùm ſcilicet impulſa extremi­
tas maiorem arcum deſcribat, ſed circa medium centrum inter vtrum­
que, ex quo principio tota remigationis ratio pendet: immò & guber­
naculi, quod puppi affigitur, vt conſideranti patebit, quod ſufficiat indi­
caſſe; ſi verò pellatur idem cylindrus in T. v.g. mouebitur circa cen-
1trum, quod eſt inter MH, licèt propiùs accedat ad M, quàm ad H, vt
conſtat ex calculatione; eſt autem aliquod punctum inter TA, ex quo ſi
pellatur, mouebitur circa punctum H; ſi verò aſſumantur alia puncta
verſus A, ex quibus pellatur, centra motus, erunt extra BH, ac proinde
extremitas B pulſa ex B mouetur per arcum BN; pulſa ex A per rectam
AL; pulſa denique ex punctis, quæ ſunt inter BA, per arcus maiorum
circulorum, eò ſanè maiorum, quò propiùs punctum, ex quo pellitur, ac­
cedit ad A.
Theorema 59.
Si pellatur nauis, vel cylindrus BH in puncto T, difficiliùs mouebitur, etiam
ex ſuppoſitione, quòd circa centrum M moueatur; quod eodem modo de­
monſtratur, quo ſuprà; accipiatur TZ æqualis BC; ſit autem BT æqua­
lis TA; certè arcus TS erit æqualis arcui BE; igitur ſector VMB erit
ſubduplus quadrantis BMR: ſimiliter ſector HMX erit ſubduplus qua­
drantis HMP; igitur motus erit, vt aggregatum ex his duobus ſectori­
bus; ſed cum applicatur potentia in B, motus eſt vt aggregatum ex duo­
bus ſectoribus BMN, HNO; ſit autem quadrans BMR, vt 9. & qua­
drans HMP vt 1. igitur cum applicatur potentia in B, motus eſt ad mo­
tum cum applicatur in T vt 3 1/3 ad 5. igitur & impetus; igitur facilitas
primi motus eſt ad facilitatem ſecundi, vt 5. ad 3 1/3 igitur in T diffici­
liùs pellitur, quàm in B.
Theorema 60.
Hinc maxima difficultas eſt ad minimam, vt rectangulum BK ad aggre­
tum ex duobus ſectoribus BMN & HMO, id eſt vt 6. 2/7 ad 2. (13/21): hinc
nauis, quæ pellitur è lateris puncto, quod reſpondet centro A, difficiliùs
longè mouetur; ſuppono enim nauim eſſe eiuſdem latitudinis, & denſi­
tatis, nec ſabulo adhærere.
Theorema 61.
Si ſuperponatur corpus plano rotæ, quæ voluitur in circulo horizontali, pro­
iicietur per Tangentem extremam. v.g. ſit rota ABCD horizontali pa­
rallela quæ vertatur ab A verſus B celeri motu, ſitque planum eius le­
uigatiſſimum; imponatur globus etiam leuigatiſſimus puncto A: dico
quod proiicietur per Tangentem AF, quia impetus, qui in illo impri­
mitur in puncto F eſt determinatus ad Tangentem A θ; ſed non impe­
ditur, quominus habeat ſuum motum; nec enim globus prædictus ita
affigitur plano rotæ, quin liberè ſeorſim moueri poſſit: dixi per Tangen­
tem extremam, quia ſi imponatur globus puncto F; certè non impelle­
tur per Tangentem F υ, vt patebit ex ſequenti propoſitione; quod à nul­
lo hactenus, quod ſciam, obſeruatum fuit.
Theorema 62.
Si imponatur globus puncto F plani horizontalis rotæ ABCD, non proii­
cietur per Tangentem F υ quod primò manifeſtis experimentis comproba­
tum eſt. Secundò probatur, quia dum globus his punctis, in quibus re-
1cta F υ ſecat alios maiores circulos concentricos, ab his punctis nouum
impetum accipit, ratione cuius debet mutare lineam, quod certum eſt;
cum autem circuli maiores rotæ moueantur velociùs, quàm FGH, po­
tiori iure mutari debet determinatio currentis globi in prædicto plano;
quænam verò ſit hæc linea motus, difficilè dictu eſt; dicemus tamen
Tomo ſequenti, cum de lineis motus.
Scholium.
Obſeruabis primò, ſi ſit rota ABCD verticali circulo parallela, proii­
ci corpus ab eius periphæria per lineam minùs diſtantem ab ipſa peri­
phæria, quò maior eſt circulus; quia ſcilicet tunc angulus contingentiæ
eſt maior; hinc ſi terra moueretur (licèt reuerâ, quieſcat) non eſſet pe­
riculum, ne proiicerentur lapides per Tangentem, quæ vix diſtaret per
longum ſpatij tractum ab ipſo arcu terræ, vt obſeruat Galileus, & res
ipſa facilis eſt; vnde miror nonnullos Philoſophos, alioquin doctiſſi­
mos, id argumenti contra motum terræ áttuliſſe, cuius nulla penitus
vis eſt, vt nonnemo in elementis Geometricis etiam mediocriter tinctus
facilè demonſtrabit.
Obſerua ſecundò, ex his peti rationes projectionis fundæ, quæ in quo­
cunque circulo ſuos gyros habet; eſt enim eadem ratio.
Obſerua tertiò, cum aliquod corpus incubat plano, quod motu recto
mouetur, numquam ab eo ſeparari, quamdiu planum ipſum æquabili mo­
tu mouetur; quià non mutatur determinatio impetus împreſſi corpori
incubanti; & cùm æqualis ſit impetus tùm in plano, tùm in globo. v.g.
ſuperimpoſito, vtrumque æquali motu neceſſario mouetur; igitur ſine
projectione; ſic dum nauis recto curſu mouetur ſecundo flumine, omnia
quæ naui inſunt, æqualiter cum ipſa naui mouentur; at verò ſi planum
mouetur motu circulari, mutatur determinatio ſingulis inſtantibus, vnde
ſequitur projectio, vt dictum eſt ſuprà.
Obſerua quartò, globum impoſitum rotæ ABCD initio tardiùs, tùm
deinde velociùs moueri, quò ſcilicet plùs recedit à centro E, quia à pun­
ctis plani, in quibus rotatur, & quæ maiore motu vertuntur, maiorem
quoque impetus vim accipit.
Obſerua quintò, globum in plano ABCD per lineam FVB rotatum
moueri velociùs ipſis punctis plani, in quibus rotatur, excepto primo
inſtanti motus; quia accipit à ſingulis punctis æqualem impetum ipſi
impetui, qui ipſis ineſt; qui cum priori conjunctus diagonalem facit, vt
ſuprà dictum eſt, cum de motu mixto & lib. 1. cum de determinatione
motus.
Obſeruabis ſextò, moueri motu accelerato maiori & maiori, quod
certè mirum eſt; cum tamen rota in cuius plano horizontali rotatur,
motu æquali moueatur; maximè autem creſcit ille motus, quia priorem
ſemper impetum ſeruat, cui nouus ſemper accedit, exceptis paucis
gradibus, qui ob conflictum determinationum, & impetuum excidunt;
1quia quotieſcunque nouus impetus ad nouam lineam determinatus ac­
cedit priori, non eſt dubium, quin deſtruatur aliquid impetus, quia ali­
quid fruſtrà eſt, vt lib. 1. demonſtratum eſt.
Obſerua ſeptimò, aliud mirabilius, ſcilicet impetum poſſe produci in
eo mobili, cui iam ineſt maior impetus, quàm inſit alteri, à quo nouus
imprimitur; quod certè nunquam fieri poteſt, cum nouus impetus ad
eandem lineam eſt determinatus, ad quam prior impetus, qui mobili
ineſt, iam determinatus eſt.
Obſeruabis octauò; quotieſcunque planum, quod mouetur motu re­
cto, vel deſinit illicò moueri, vel tardiùs mouetur, tunc globus incubans
mouetur vlteriùs, & quaſi proiicitur; hoc ipſum vidimus in naui: ratio
clara eſt; quia prior impetus in globo productus, qui manet intactus,
ſuum effectum habet.
Obſeruabis nonò, ſi terra moueretur ex hypotheſi Copernici, quæ
tamen falſiſſima eſt, idem Parallelus terreſtris globi inæquali motu mo­
ueretur. v. g. idem punctum Æquatoris, dum Soli directè reſpondet de
meridie tardiore motu; oppoſitum verò de media nocte velociùs moue­
retur; ex qua tamen inæqualitate motus aliqui malè ſuſpicantur æſtum
maris oriri; quippe licèt fortè aliquis æſtus maris ex illa hypotheſi ſe­
queretur, longè tamen diuerſus ab eo, qui nunc eſt; nam primò, iis omni­
bus qui eidem Meridiano ſubſunt eodem tempore accideret æſtus ſcili­
cet de meridie. Secundò his, qui propiùs accedunt ad polos longè minor
æſtus eſſet; vtrumque autem falſum eſſe conſtat. Tertiò, eadem ſemper
hora in ſingulis punctis eiuſdem Paralleli ſeorſim ferueret æſtus; ſed de
his aliàs plura.
Obſeruabis decimò, quò diutius potentia motrix manet applicata, ac­
cedente continenter maiore niſu, maior quoque impetus producitur in
rota, quod clarum eſt; vnde diutiùs deinde rota verſatur.
Obſeruabis vndecimò, trochum in gyros actum ita aliquando verſari,
vt ſtare prorſus immobilis videatur; quia ferreum fulcrum, cui ligneus
conus innititur vel excauato ſibi foramine excurrere vltrà non poteſt,
vel motu centri penitus quieſcente ſupereſt tantùm motus orbis.
Obſeruabis duodecimò, antequam quieſcat trochus, inclinata verti­
gine per aliquod tempus verſari, moxque, vbi decidit, in plano ipſo ad
inſtar globi adhuc rotari; ſed quia hæc pertinent ad motum mixtum ex
circularibus in libro 9. remitto: & verò multa ſunt in hoc trochi motu,
quæſi attentè conſiderentur, maximam admirationem mouere poſſint.
Obſeruabis decimotertiò, ſi ferrum, quo trochus armatur, ita eſſet
infixum vt reuerâ centrum grauitatis cum puncto contactus plani con­
necteret; nulla eſſet inclinata vertigo, antequam impetus extinguere­
tur; cur enim potiùs in vnam partem, quàm in aliam.
Obſeruabis decimoquarto aquam in vorticibus facilè circulari motu
conuolui, & aëra, vel halitum in turbinibus; quia ſcilicet vel nullus, vel
modicus eſt obex: idem dico de nube, fumo, acu magnetica, trocho, vel
ſphæra læuigata in plano leuigato.
1
Obſeruabis decimoquintò, ſi in eadem parte plani diu vertatur Tro­
chus, quaſi excauat ſibi foramen; arrodit enim plani partes ſuis denti­
culis; etiam pelitum ferrum: inde etiam impetum deſtrui certum eſt;
nec enim ſine reſiſtentia id fieri poteſt.
Obſeruabis decimoſextò, impetum eundem habere poſſe motum cir­
cularem, & rectum in ſublunaribus, & per accidens determinari tantùm
ad motum circularem, ratione ſcilicet impedimenti, vt conſtat ex dictis.
Obſeruabis decimoſeptimò, motum rectum accelerari, ſed diu non
durare; retardari verò violentum, ac æquè diu durare; circularem
verò non accelerari, ſed minùs retardari, atque adeo
longè diutiùs durare; quia tantùm per accidens
retardatur, ſed de his
ſatis.
26[Figure 26]
1 27[Figure 27]
LIBER OCTAVVS,
DE MOTV FVNEPENDVLORVM.
NIHIL inuenio apud antiquos, quod ad
hoc genus motus pertineat; ſunt tamen
plerique recentiores qui fusè de illo di­
ſputarunt, quorum haud dubiè princi­
pem locum obtinet Galileus, qui ſanè
mirabiles aliquas huius motus affectiones explicat
tùm in gemino Syſthemate; tùm in Dialogis, cui ac­
cedunt Balianus Mercennus, & nonnulli alij.
Ego verò in hoc libro omnium vibrationum cau­
ſas inquiram, quæ ſunt duplicis generis: Primum eſt
earum, quibus vibrata hinc inde funependula agun­
tur, quæ titulum huic libro fecerunt; ſunt autem tres
funependulorum ſpecies. Prima eſt eorum, quæ in al­
tera extremitate fune appenſa vibrantur in circulo
verticali. Secunda eſt eorum, quæ ab altera etiam ex­
tremitate appenſa fune priùs obtorto in circulo ho­
rizontali ſuos agunt gyros. Tertia eſt chordarum,
quarum vtraque extremitas clauo immobili affigi­
tur. Secundum genus vibrationum eſt earum, quibus
aguntur grauia cum à ſuo centro grauitatis remouen­
tur, vt ſeſe reducant, quarum ſunt duæ ſpecies; prima
eſt earum, quibus vibratur in circulo verticali corpus
aliquod circa alteram extremitatem, vt campana.
Secunda eſt earum, quibus vibrantur grauia circa
1punctum proximum ſuo centro grauitatis, ſic v. g.
trabs trabi ſuperimpoſita libratur, & vibratur.
DEFINITIO I.
VIbratio funependuli primæ ſpeciei eſt motus circularis, quo aſcendit, &
deſcendit funependulum; ſunt autem aliæ æquales, aliæ inæquales:
æquales ſunt, quæ ſunt eiuſdem radij, inæquales è contrario: aliæ ſimi­
les, quæ ſimiles arcus complectuntur; diſſimiles è contrario: aliæ æquè
diuturnæ, quæ temporibus æqualibus perficiuntur: aliæ integræ, quarum
deſcenſus integrum quadrantem comprehendit; non integræ è contra­
rio; portio vetò vibrationis eſt arcus; ſed hæc omnia in propoſito. Sche­
mate explicamus; ſit enim plumbeus globus E appenſus fune EA ex
puncto A immobili, AE eſt radius, vel longitudo funependuli E, NEC
eſt vibratio integra, LER non integra, LE portio vibrationis NEC,
NL & MF portiones ſimiles, MDB, NEC vibrationes inæquales: ex
his reliqua facilè intelligi poterunt.
Definitio 2.
Momentum eſt exceſſus virtutis mouentis ſupra reſistentiam alterius. v. g.
ſint brachia vectis inæqualia, momentum eſt in longiore ea vis, qua de­
ſcendens deorſum ſurſum attollit minus ſeu breuius.
Definitio 3.
Tenſio eſt vis allata ab extrinſeco corpore, qua augetur eius extenſio; res
eſt clara in tenſo fune, quomodocunque id fiat, quod hîc non diſcutio;
compreſſio verò eſt vis illata ab extrinſeco corpori, qua contrahitur eius
extenſio v.g. in intorto fune.
Obſeruabis autem ad tenſionem, & compreſſionem requiri, vt ſubla­
ta illa vi extrinſeca, vel impedimento admoto corpus tenſum, vel com­
preſſum ad priſtinam extenſionem ſeſe reducat; neque diſputo de mo­
do, quo id fieri poſſit, qui alterius loci eſt.
Hypotheſis 1.
Corpus graue funependulum à ſuæ quiete, vel è ſuo centro grauitatis remo­
tum deſcendit ſuâ ſponte, iterumque aſcendit, id eſt vibratur; cer­
tum eſt.
Hypotheſis 2.
Funependula longiora maiore tempore ſuam vibrationam conficiunt, bre­
uiora minore; quod etiam certum eſt.
Hypotheſis 3.
Motus naturalis eſt acceleratus in tempore ſenſibili in proportione nume­
rorum 1.3.5.7. &c. quod multis explicatum eſt lib. 2. ſi verò acceleratio
1aſſumatur in ſingulis inſtantibus finitis, eſt iuxta ſeriem ſimplicem nu­
merorum 1. 2. 3. 4. &c.
Hypotheſis 4.
Motus in plano inclinato eſt ad motum in perpendiculari, vt perpendicula­
ris ad inclinatam; quod etiam lib.5.fusè explicatum eſt; eſt autem ſem­
per in plano inclinato motus prioris grauis.
Hypotheſis 5.
In quadrante incubante perpendiculariter plano horizontali, tot ſunt di­
uerſa plana inclinata, quot ſunt puncta, ſeu Tangentes; hoc etiam certum
eſt, & angulus contingentiæ maior eſt in minore circulo, minor in
maiore.
Hypotheſis 6.
Nullus arcus circuli eſt vt linea recta, nec ſine errore accipi poteſt vt recta,
contrariam hypotheſim aliqui ſupponunt, quam tamen falſam eſſe ſciunt;
licèt enim quoad ſenſum error ſubeſſe non poſſit; attamen repugnat
Geometriæ: hinc ſuppoſitio noſtra Geometricè vera eſt; ſed de hoc in­
frà fusè.
Axioma 1.
Tamdiu durat motus, quandiu durat impetus; hic autem tandiu durat,
quamdiu non eſt frustrà.
Axioma 2.
Noua determinatio impotus cum priore facit mixtum ſi determinatio mixta
facit nouam lineam.
Axioma 3.
Quotieſcunque fit mixta determinatio per acceſſionem noni impetus, de­
ſtruitur aliquid impetus prioris, patet.
Axioma 4.
Impetus innatus non concurrit ad motum ſurſum.
Axioma 5.
In inclinata minùs destruitur impetus dato tempore, quàm in perpendicu­
lari ſurſum, plùs verò destruitur, quò propiùs accedit ad verticalem; hæc
omnia quæ loco Axiomatum hîc propoſui, in ſuperioribus libris, præ­
ſertim in Quinto abundè demonſtraui.
Theorema 1.
Funependulum deſcendit motu accelerato; experientia certa eſt, eius
ratio eſt eadem cum ea, quam attuli lib.2. de motu naturali, vt eius ac­
celerationem demonſtrarem; ſcilicet impetus nouus ſingulis inſtantibus
producitur, cùm ſit ſemper eadem cauſa applicata; corpus enim graue
ſua ſponte deſcendit; quod autem impetui priori accedat, patet; nec
enim deſtruitur ſaltem totus alioqui fruſtrà produceretur, contra Axio­
ma primum, adde quòd in plano inclinato deorſum graue deſcendit motu
1naturaliter accelerato; igitur in arcu NLE. v. g. qui habet rationem
plani inclinati in omnibus ſuis punctis per hypotheſim 5. Præterea ictus
eſt maior, quò maior eſt arcus vibrationîs; igitur impetus maior; igitur
creſcit impetus; igitur motus eſt acceleratus; deinde maior vibratio, &
minor eiuſdem penduli fiunt ferè temporibus æqualibus; igitur neceſſa­
riò acceleratur motus: Denique probatur euidenter non deſtrui totum
priorem impetum; quia ſcilicet idem eſt impedimentum, ſi quod eſt ad
productionem noui, quod eſt ad conſeruationem prioris; ſed illud im­
pedimentum, id eſt inclinatio plani, non impedit productionem noui,
licèt minoris, vt videbimus paulò pòſt; quia ſcilicet in omni plano in­
clinato corpus graue mouetur per hypoth.4. igitur non impedit conſer­
uationem prioris, ſaltem totam, licèt fortè aliquid deſtrueretur, de quo
paulò pòſt; igitur acceleratur neceſſariò ille motus: Et hæc eſt ratio à
priori huius effectus, quòd ſcilicet plùs addatur impetus, quàm tollatur;
igitur remanet maior; igitur velocior motus; in qua verò ratione minùs
deſtruatur quàm producatur, vel nouus ſit minor priore, dicemus
infrà.
Theorema 2.
In motu funependuli decreſcunt ſemper incrementa motus. Probatur faci­
lè; quia cùm in ſingulis punctis deſcenſus arcus NE mutetur ratio plani
inclinati diuerſa ab ea, quæ eſt in puncto que ſunt enim vt Tangentes;
certè Tangentes punctorum, quæ propiùs accedunt ad N, accedunt
etiam propiùs ad perpendicularem deorſum, à qua longiùs recedunt
Tangentes, quæ accedunt propiùs ad E, vt conſtat; at qui motus in planis,
quæ accedunt propiùs ad horizontalem, minor eſt; igitur incrementa
motus quæ in deſcenſu NE accedunt, minora ſunt verſus E, maiora ver­
ſus N; igitur decreſcunt, quod erat demonſtrandum.
Obſeruabis iam demonſtratum lib.5. Th.62.63. hæc incrementa eſſe,
vt ſinus arcus reſidui, quæ tu conſule, ne hic repetere cogar.
Theorema 3.
Hinc ſemper creſcit motus funependuli in deſcenſu arcus NE, ſed minori­
bus ſenſim incrementis; quod etiam aliàs obſeruatum eſt; vnde neceſſariò
concludo minùs accelerari in quadrante NE, quàm in perpendiculari
NS, quod demonſtratum eſt, & minus ſpatium percurri in arcu NE
æquali ſcilicet tempore, quàm in perpendiculari NS, quod neceſſarium
eſt: Nec eſt quod aliquis ſua experimenta opponat, ſcilicet quadrantem
NE percurri tempore vnius ſecundi, ſi radius AE ſit tripedalis, cùm
alioqui perpendiculum AE graue corpus percurrat eodem tempore,
quorum alterum, vel potiùs vtrumque falſum eſſe neceſſe eſt; nam primò
quadrans NE eſt maior radio AE; igitur percurrit citiùs AE quàm
NE: ſecundò, minora ſunt motus incrementa in quadrante, quia ſin­
gula puncta illius habent rationem plani inclinati, quis autem tam ac­
curatè in tripedali pendulo iuſtum tempus obſeruare poſſit? nec accuratæ
1illæ obſeruationes eſſe poſſunt, quæ ſenſibiles non ſunt, ſiue aures con­
ſulas, quæ ſonum excipiunt, ſiue oculos, qui motum ipſum obſeruant.
Tertiò, ſi oculos conſulis; num ipſi potiùs vident motum vibrati pendu­
li eſſe tardiorem, quàm demiſſi per lineam perpendicularem? nec alius
nodus hic ſoluendus eſt, nec aër ſenſibiliter pilæ plumbeæ reſiſtit, nec
minùs reſiſtit motui circulari quàm recto. Denique compertum eſt à me
in longiore pendulo motum in arcu eſſe tardiorem, quàm in perpendi­
culo: nodus obſeruationis facilis eſt, nam adhibui AE planum durum
reſpondens accuratè perpendiculari, cui aliud planum E β ad angulos
rectos affixum erat reſpondens Tangenti; tùm demiſſo ex A globulo plum­
beo ſimulque alio æquali pendulo ſcilicet circa A ex N per NE; ex quo
accidit citiùs auditum eſſe ictum globi cadentis perpendiculariter, quàm
vibrati per arcum NE: quis autem hoc non videat, ſiue ſenſum ipſum,
ſiue rationem conſulat? fuit meum pendulum 12. pedes longum.
Quæreret aliquis primò quanta fuerit differentia temporum Secundò,
quanto tempore globus pendulus ex N in E peruenerit. Reſpondeo inu­
tilem eſſe quæſtionem; nec enim minimas illas temporum differentias
ſenſu metiri poſſumus; ſi enim affirmarem cum nonnullis corpus graue
per medium liberum 12. ſpatij pedes conficere vno temporis ſecundo;
certè ſi quis contenderet vel deeſſe, vel ſupereſſe 1000. inſtantia; quonam
argumento, vel experimento contrarium euincere poſſem? quod certè
dictum eſſe velim, vt vel inde oſtendatur in caſſum laborare eos, qui
hanc ſcientiam his tantùm experimentis confirmant, quæ circa inſenſi­
bilia verſantur. Equidem magnifacio in rebus phyſicis experimentum,
ſine quo nulla hypotheſis eſſe poteſt; at modo ſenſibile ſit, alioqui cer­
tum eſſe non poteſt; ſi autem ſenſibile eſt, omnibus commune eſſe debet,
sum ſenſus applicent; igitur nunquam vir prudens ſeſe accinget ad in­
dagandam rationem alicuius experimenti, quod certum eſſe non poteſt:
vnde ſi quis omnes obſeruationes, tùm à Plinio, tùm à Cardano, tùm à
Fracaſtorio, tùm à Porta, tùm ab aliis propoſitas ad principia phyſica re­
ducere velit, per me ſtat, non contradico; numquam tamen illa mihi
mens erit, cui ſatis eſt rationes, & cauſas phyſicas illorum tantùm expe­
rimentorum explicare, quæ mihi certa ſunt, ſuntque omnibus commu­
nia, vel eſſe poſſunt.
Theorema 4.
In motu funependuli ſingulis instantibus eſt noua determinatio motus. Pro­
batur, quia ſingulis inſtantibus eſt quaſi nouum planum; tot ſunt enim
plana in quadrante NE, quot Tangentes, & tot Tangentes quot pun­
cta, tot denique puncta, quot inſtantia; atqui in ſingulis nouis planis
mutatur determinatio; igitur in ſingulis punctis; igitur in ſingulis in­
ſtantibus.
Scholium.
Obſeruabis eſſe aliqua Lemmata præmittenda antequam proportio­
nes motus per arcum NE demonſtrentur.
1
Lemma 1.
Poteſt determinari tempus, quo percurruntur duo ſpatia æqualia motu na­
turaliter accelerato inæquali. ſit v.g. tempus AF; ſit velocitas EF ac­
quiſita tempore AF motu ſcilicet naturaliter accelerato minore; ſit
etiam velocitas FD acquiſita alio motu maiore eodem tempore AF;
haud dubiè ſpatium acquiſitum primo motu erit ad acquiſitum ſecundo,
æquali ſcilicet tempore, vt triangulum EAF ad triangulum DAF, vt
conſtat ex dictis lib.2. in controuerſia; ſpatium verò acquiſitum tempo­
re AF primo motu, ſcilicet minore, idque v.g. in ratione ſubdupla erit
ad ſpatium acquiſitum ſecundo motu maiore tempore ſubduplo AI, vt
triangulum EAF ad triangulum BAI, ſed BAI, eſt ſubduplum EAF,
id eſt, vt FA ad IA, vt patet: vt autem inueniantur tempora, quæ re­
ſpondent ſpatiis inæqualibus; ſit AH media proportionalis inter AI &
AF; haud dubiè triangulum CHA eſt ſubduplum DAF; igitur æquale
EAF; igitur velocitas acquiſita tempore AF ſit FE, motu ſcilicet mi­
nore; acquiſita verò tempore AH motu maiore ſit HC; certè ſpatia
erunt vt CHA & DAF: ſed hæc ſunt æqualia; igitur motu maiore con­
ficitur æquale ſpatium tempore AH & motu minore tempore AF.
Lemma 2.
Si accipiantur tempora æqualia cum motibus inæqualibus, ſpatia ſunt vt
baſes triangulorum; ſit enim tempus AI, quo motu maiore acquiratur ve­
locitas IB, & minore IK; certè ſpatia ſunt vt triangula BAI, KAI;
ſed hæc ſunt vt baſes BI, KI, immò ſunt vt rectangula BA KA; nec
in his eſt quidquam difficultatis.
Lemma 3.
Poſſunt determinari vel ſpatia inæqualia temporibus æqualibus, vel
tempora inæqualia ſpatiis æqualibus in chordis eiuſdem quadrantis, &
in perpendiculari, ſit tempus DI; ſit motus per ipſam perpendicula­
rem AP, vel DI; ſit motus etiam per chordam inclinatam DP; velo­
citas primi eſt ad velocitatem ſecundi in tempore DI, vt DP ad DI,
vel vt AK ad ſinum VK, vel vt IP ad NP, vel vt quadratum IA ad
rectangulum NA; ſed ſpatia ſunt vt velocitates ſuppoſitis temporibus
æqualibus; igitur ſpatium, quod percurritur in ipſa perpendiculari eſt
ad ſpatium, quod percurritur in inclinata DP temporibus æqualibus, vt
quadratum IA ad rectangulum NA, vel vt DP ad DI, vel vt DT ad
DP, quæ omnia conſtant; ſit autem motus in inclinata FP; certè ſpa­
tium acquiſitum in perpendiculari eſt ad ſpatium acquiſitum in FP, vt
QZP ad ZI, vel FP ad FY, vel AP ad PR, vel AL ad LX, vel PI
ad PM, vel vt quadratum IA, ad rectangulum MA, vel vt F δ ad PF,
ſed F δ eſt æqualis DT, quia cum DP & FP percurrantur temporibus
æqualibus, ſique eo tempore quo percurritur DP, percurritur DT, &
eo quo percurritur FP, percurritur. F δ; certè DT & F δ ſunt
quales.
1
Idem dico de omnibus aliis chordis, quarum motus, & velocitates,
ſpatia temporibus æqualibus acquiſita ſunt ad motus, velocitates, ſpatia
acquiſita in perpendiculari, vt ipſarum longitudines ad DT, vel duplam
DI, vel vt earum ſubduplæ ſeu ſinus recti ſubdupli ſui arcus ad ſinum to­
tum DI, vel vt rectangula ſub illis ſinubus comprehenſa, & ſinu toto
ad quadratum ſinus totius.
Lemma 4.
Si ſint duæ quantitates in data ratione, & aliæ duæ in data, ſed minore; ſi ſit
media proportionalis inter duas primas & media inter duas posteriores, ſitque
data noua quantitas ad aliam, vt prima priorum quantitatum ad primam
mediam proportionalem, ſit denique eadem quantitas noua ad aliam vt prima
poſteriorum quantitatum ad ſecundam mediam proportionalem, certè erit mi­
nor ratio noua quantitatis ad ſecundam queſitam, quàm ad primam v. g. ſit
DE prima quantitas, & LK ſecunda; ſit KR tertia, VZ quarta; ſitque
prima ad ſecundam, vt 4. ad 9. & tertia ad quartam, vt 3. ad 12. certè eſt
minor ratio tertiæ ad quartam, quàm primæ ad ſecundam; inter primam
& ſecundam ſit media proportionalis AC æqualis FH, id eſt σ, & ſit
quinta quantitas; ſit etiam alia inter tertiam & quartam; ſit TS æqualis
VY, ſcilicet σ; ſitque ſexta quantitas, & vt prima ad ſecundam, ita
ſeptima quantitas v. g. DE ad octauam AC, ſitque vt tertia quantitas
VX vel QR ad ſextam VY, vel TS, ita eadem ſeptima DE ad nonam
AC. Dico eſſe minorem ratione ſeptimæ DE ad nonam AT, quàm
eiuſdem ſeptimæ DE ad octauam AC, quia AB vel DE eſt ad AC vt
2. ad 3. & ad X, vt a. ad 4. quæ omnia conſtant ex Geometria.
Lemma 5.
Si ſint duæ chordæ in quadrante EIB, & producatur BI vſque ad G; ſit­
que EM perpendicularis, in quam cadat IH, quæ cum EI faciat angulum
rectum; ex eodem puncto H ducatur HQ perpendicularis in EB: dico mino­
rem eſſe proportionem EQ ad EB, quàm GI ad GB; ſit enim IP paral­
lela EG, vt EP eſt ad EB, ſic GI ad GB; igitur EQ habet minorem
proportionem ad EB, quam GI ad GB; ſimiliter ſint chordæ EIL,
EL; ducatur HK perpendicularis in EL: dico EK habere minorem
rationem ad EL, quàm FI ad FL; nam vt EO eſt ad EL, ita FI ad FL;
igitur minor eſt ratio EK ad EL, quàm FI ad FL; Idem dico de om­
nibus aliis chordis:
Lemma 6.
Cognite tempore, quo percurritur ſegmentum, lineæ cognoſci poteſt tempus, que
aliud ſegmentum percurretur motu ſcilicet propagate; ſit v. g. perpendicu­
laris deorſum DI; ſit primum ſegmentum DG decurſum tempore AB;
ſit vt DC ad DH, ita DH ad DI; ſitque vt DG ad DH, ita tempus
AB ad AC; dico quod ſecundum ſegmentum percurretur tempore BC
poſt primum decurſum, patet ex dictis lib.2. & 5.
1
Lemma 7.
Cognito tempore, quo percurritur chorda cuiuſlibet arcus, cognoſci poteſt
quantum ſpaty eodem tempore percurratur in perpendiculari & in alia chorda;
ſit chorda EL; fiat angulus rectus ELM, itemque MDE: dico quod
eodem tempore percurretur EL EM ED; ſimiliter fiat angulus re­
ctus EIH, itemque HKE, HQE: dico quod eodem tempore percur­
rentur EI, EH, EK,EQ. idem dico de omnibus aliis chordis, quæ
omnia conſtant ex his quæ diximus lib.2. & 5.
Lemma 8.
Due chorda ELB citiùs percurruntur quàm ſola EB; itemque due EIB,
quàm EB; quia eodem tempore percurruntur EI, Eque & IB eodem
tempore percurritur ſiue à G incipiat motus ſiue ab E; nam ab æquali
altitudine æqualis acquiritur impetus, ſed minor eſt proportio EQ ad
EB, quam GI ad GB per Lemma quintum; igitur ſi ſit media propor­
tionalis inter GI, GB, & ſecunda inter EQEB, ſitque vt GI ad pri­
mam proportionalem; ita tempus, quo percurritur EI ad aliud X, & vt
EQ ad ſecundam proportionalem, ita idem tempus, quo percurritur EI,
vel EQ ad aliud Z; certè tempus Z eſt maius tempore X per Lemma
4. ſed EQB percurritur tempore Z, & EIB tempore X; EQ verò, &
EI tempore æquali per Lemma 7. igitur duæ EIB citiùs percurruntur,
quàm EB; idem dico de aliis: hoc ipſum etiam demonſtrauit Galil. in
dialogis.
Lemma 9.
Tres chordæ faciliùs percurruntur, quàm duæ; ſint enim tres EILB;
ſint duæ ELB. Primò, duæ EIL citiùs percurruntur quàm EL, quia
IL eodem tempore percurritur, ſiue initium motus ducatur ab F, ſiue ab
E; & minor eſt ratio EK ad EL, quàm FI ad FL per Lem.5.EI, & EK
æquè citò percurruntur per Lem. 7. igitur ſit vt FI ad mediam propor­
tionalem inter FI & FL; ita tempus Z ad tempus X, & vt EK ad me­
diam proportionalem inter EK EL, ita tempus Z ad tempus Y; certè
tempus Y erit maius tempore X per Lem. 8. igitur citiùs percurrentur
duæ EIL, quàm EL; ſed ſi eodem tempore percurrerentur duæ EIL
cum EL; certè LB æquali tempore percurreretur, quia eſt idem impetus
in L, ſiue ab E per EL, ſiue ab F per FL incipiat motus, vt conſtat, & eſt
idem in I, ſiue ab E, ſiue ab F incipiat; igitur idem in L ſiue ab E per
EIL, ſiue ab F per FL, ſiue ab E per EL; igitur LB æquali tempore
percurretur, ſiue motus ſit ab E per ELB, ſiue ab E per EI, LB, poſito
quòd EIL & EL æquali tempore percurrantur; ſed EIL percurrun­
tur citiùs quàm EL; igitur citiùs EILB, quàm ELB; igitur cùm ELB
percurrantur citiùs, quàm EB, & EILB, quàm ELB; certè EILB per­
curruntur citiùs, quàm EB: Eodem modo demonſtrabitur 4. chordas ci­
tiùs percurri, quàm 3. 5. quàm 4. atque ita deinceps.
1
Lemma 10.
Velocitas acquiſita in duabus chordis EIB eſt æqualis acquiſitæ in EB;
quia acquiſita in EI eſt æqualis acquiſitæ in GI; ſunt enim eiuſdem al­
titudinis; igitur acquiſita in EIB æqualis acquiſitæ in GB: ſed acqui­
ſita in GB eſt æqualis acquiſitæ in EIB; igitur acquiſita in EB eſt æqua­
lis acquiſitæ in EIB, itemque acquiſita in ELB acquiſitæ in EB: immò
acquiſita in tribus EILB eſt æqualis acquiſitæ in EB; quia acquiſita in
EIL eſt æqualis acquiſitæ in EL; igitur acquiſita in EILB æqualis
acquiſitæ in ELB: ſed acquiſita in ELB eſt æqualis acquiſitæ in EB; igi­
tur acquiſita in EB æqualis acquiſitæ in EILB idem dico de 5. chordis,
6.7. atque ita deinceps.
Quod certè mirabile eſt, & quaſi paradoxon; præſertim cùm duplici
motu acquiratur æqualis velocitas in ſpatiis inæqualibus, quorum mauis
citiùs percurritur; Equidem in AB, EB acquiritur æqualis velocitas,
vel impetus, ſed breuius ſpatium, ſcilicet AB citius percurritur; at verò
in EB, & ELB acquiritur æqualis velocitas; licèt ſpatium longius ELB
percurratur citiùs, quàm EB; ſimiliter EILB velociùs, quam ELB & EB.
Hinc ſuprà velocitas acquiſita in perpendiculari ſeu radio quadrantis
non eſt ad velocitatem acquiſitam in toto arcu quadrantis vt quadratum
ſub radio ad ipſum quadrantem, quia ſcilicet velocitas acquiſita per ar­
cum ELB eſt æqualis acquiſitæ per omnes chordas facto initio motus
ab E; ſed velocitas acquiſita in 6. chordis. v. g. eſt æqualis acquiſitæ in
5. 4. 3. 2. 1. igitur velocitas acquiſita in EB eſt æqualis acquiſitæ in ar­
cu ELB, & in ipſa perpendiculari ER.
Lemma 11.
Hinc Lemma vniuerſaliſſimum ſtatuitur, ſcilicet ab eodem puncto altitudi­
nîs ad eandem horizontalem, vel ab eadem horizontali ad idem punctum
deorſum, vel ab eadem horizontali ad aliam horizontalem aquales acquiri
velocitates, ſiue plures ſint lineæ, ſine vnica, ſiue ſimplices, ſiue compoſitæ, ſiue
recta, ſiue curua; quæ omnia ex Lemmate decimo manifeſta redduntur.
Lemma 12.
Velocitas acquiſita in toto arcu quadrantis ELB non debet aſſumi in area
tota quadrantis AEB, ſed in linea recta æquali toti arcui ELB, ductis ſci­
licet lineis rectis tranſuerſis, qua ſint ipſis ſinubus rectis æquales, cuius conſtru­
ctionis; ſit enim linea AN æqualis arcui quadrantis, & NT radio; igi­
tur totum triangulum mixtum ex rectis AN, NT, & curua TQH, eſt
velocitas acquiſita in toto arcu quadrantis; ſit autem A σ æqualis lateri
quadrati inſcripti qua eſt ad AN proximè vt 10. ad 11. eſt enim AB ra­
dix quad. 98. ſitque AE ſinus rectus quad. 45. certè rectangulum NE
eſt velocitas acquiſita in chorda A σ, ſed hæc eſt æqualis acquiſitæ in
toto arcu quadrantis AN; igitur rectangulum NE eſt æquale triangulo
mixto NTOA, denique velocitas acquiſita in radio A 4. æquali AF,
eſt vt quadratum 4 F, ſed quadratum 4. F eſt æquale rectangulo BE, vt
conſtat, nam A σ eſt dupla AE; igitur rectangulum eſt ſubduplum qua-
1drati ſub A σ, ſed quadratum ſub A σ eſt duplum quadrati 4 F; igitur
quadratum 4 F eſt æquale rectangulo σ E; igitur & triangulo mixto
NTQA.
Corollarium.
Inde Corollarium cyclometricum deduci poteſt, ſcilicet proportio,
quam habet triangulum mixtum NTQA ad quadrantem, cuius arcus
æqualis eſt rectæ AN, & radius rectæ AF. v.g. ad quadrantem AFL,
vel INT, vel LAC; porrò triangulum prædictum eſt maius quadrante
ſectione ex curua TQA, & rectâ AT; aut certè qui inuenerit triangu­
lum mixtum KLQ æquale mixto FQ δ, habebit rectangulum KF æqua­
le quadranti AFL; & vt res iſta promoueatur à Geometris: dico qua­
dratum ſub radio eſſe ad ſemicirculum, vt triangulum mixtum NTQA
ad rectangulum NF; porrò mixtum FTQA conſtat ex omnibus ſinu­
bus verſis collectis; illud verò ex omnibus ſinubus rectis; vt autem in­
ueniatur illud collectum, accipi debet motus qui creſcat ſecundum pro­
portionem ſinuum verſorum v.g. in linea FT, velocitas puncti F eſt vt
FA, in θ, vt θ O in β, vt β P, &c.
Scholium.
Obſeruabis autem primò lineas tranſuerſas FA, θ O, β P, δ Q, CR,
&c. eſſe æquales lineis CB μ υ ZT ω S, υ R, &c. quia BC figura
quam vocemus figuram primam, eſt æqualis AF, fig. quam vocemus
ſecundam. O θ ſecundæ eſt æqualis H θ, minùs HO; ſed HO ſecundæ
eſt æqualis QM primæ, vel BD; igitur O θ ſecundæ eſt æqualis DC
primæ; ſed DC eſt æqualis VA, quia VD eſt quadratum, ſed V μ eſt
æqualis VA; igitur DC; igitur O θ ſecundæ: præterea IP ſecundæ eſt
æqualis AD, quæ eſt ſubdupla AF; igitur æqualis P β; ſed IP eſt æqua­
lis BT primæ; igitur BT, cui etiam eſt æqualis TZ; igitur TZ æqualis
P β ſecundæ: idem dico de aliis tranſuerſis: immò demonſtrabimus tom.
ſeque quadratricem quadrantis, cuius radius ſit NA terminari ad punctum
T, ita vt NT ſit baſis quadratricis, & NA latus; non tamen propterea
hæc linea ſinuum eſt quadratrix, vt demonſtrabimus.
Lemma 13.
Diuerſæ chordæ acquirunt diuerſam velocitatem pro diuerſa ratione ſinuum
verſorum ſuorum arcuum. v. g. velocitas acquiſita in chorda AM eſt
æqualis acquiſitæ in ſinu verſo AQ, & acquiſita in chorda AL æqualis
acquiſitæ in ſinu verſo AR, atque ita deinceps; donec acquiſita in AC
ſit æqualis acquiſitæ in ſinu toto AB.
Itaque in chorda quæ ducitur ab A, velocitas creſcit vt in ſinu verſo
eiuſdem.v.g. in AM, AL, AK; in chorda verò, quæ ducitur ab aliquo
puncto arcus AC vſque ad C, creſcit vt in ſinu recto. v.g. velocitas ac­
quiſita in chorda LC eſt æqualis acquiſitæ in perpendiculari LE, quæ
eſt ſinus rectus arcus LC; item acquiritur æqualis velocitas in duabus
at que in vna, dum ſcilicet communes terminos habeant. v.g. in duabus
1AKC acquiritur æqualis acquiſitæ in AC; nam in AK, A ω acquiritur
æqualis; tùm etiam in KC, ω C; Item in tribus acquiritur æqualis ac­
quiſitæ in duabus, atque ita deinceps.
Præterea velocitas acquiſita in chordis mediis.v.g. in chorda LI eſt
æqualis acquiſitæ in LZ, vel RT, vel in ſinu toto AB, minùs ſinu verſo
arcus LA, & ſinu recto arcus IC; ſed hæc ſunt ſatis facilia.
Idem dico de chordis arcus quadrantis funependuli AEB figura Lem­
ma.4. v. g. de chorda IB, in qua velocitas acquiſita eſt æqualis acqui­
ſitæ in RB, vel in duabus ILB, vel in tribus 4. 5. atque ita deinceps:
hinc etiam vides in quadrante EB acquiri æqualem velocitatem, ſiue
EA ſit perpendicularis deorſum, ſiue AB.
Lemma 14.
Citiùs deſcendet corpus per duas EIB, quàm per IB; quia deſcenſus eſt
æquè diuturnus per EB, & IB; ſed citiùs deſcendit per EIB, quàm per
EB, vt iam ſuprà dictum eſt in Lem. 8. igitur citiùs per EIB, quàm
per IB.
Lemma 15.
Citiùs deſcendet per duas chordas BHF, quàm per duas BGF, à quiete
B; ſint enim duæ BHF, ſitque BH. v.g. chorda arcus 30.grad.ſc.5 1764.
earum partium, quarum ſinus totus eſt 100000. ſit Tangens BE; ſit HD
perpendicularis in BH, & HT in BD; certè HT eſt media proportio­
nalis inter DT, & TB; eſtque differentia ſinus totius, & ſinus OH 60.
grad. eſt autem OH 86603. igitur HT 13397. quadretur HT, produ­
ctum diuidatur per BT 50000. quotiens dabit TD 3589. quæ ſi adda­
tur BT, habebitur tota BD 53589. quadretur BD; aſſumatur ſubduplum
quadrati, ex quo extrahatur radix; habebitur KD, vel BK 37893. ſit
autem LF 200000. ad 141422. æqualem BF, ita BF ad LH 100000.
certè tempus per LH eſt ad tempus per BH, vt LH ad BH; ſed tempus
per LH eſt ad tempus per LF, vt LH ad 141422.igitur tempus per BH
eſt ad tempus per HF facto initio motus ex L, vt BH 51764. ad 41422.
igitur ad tempus per BHF, vt 51764.ad 93186. porrò BH & BK æqua­
li tempore percurruntur; igitur tempus per BK eſt BH, id eſt 51764.
cùm autem ſpatia in eadem linea ſint in ratione duplicata temporum;
certè ſpatium BK acquiſitum tempore 51764.eſt ad ſpatium acquiſitum
in BF tempore 93186. vt quadratum 51764. ad quadratum 93186.id eſt,
vt 2679511696.ad 8676630576.vnde factâ regulâ trium habeo ſpatium
decurſum in BF 122702. tempore 93186. ſed tota BF eſt 141422. igitur
citiùs percurruntur duæ BHF, quàm BF.
Præterea ſint duæ BGF, BG eſt 100000.ſit perpendicularis G 4 cùm
angulus GB 4.ſit grad.30. erit vt 5 G ad GB, ita BG ad B 4. igitur B 4.
erit 115469. ſit 4.3.perpendicularis in BF, quadratum B 4. eſt duplum
quadrati B 3.igitur B 3. erit 81655. iam verò FN eſt ſecans grad.75. ſci­
licet 386370.igitur GN eſt 334606. detracta ſcilicet FG æquali BH; ſit
autem NG ad 359557. vt hæc ad NF; certè tempus per BG eſt ad tem-
1pus per NG, vt BG ad NG, & ad tempus per GF, vt BG ad 24951. &
ad tempus per BGF, vt BG id eſt, 100000. ad 124951. porrò tempus
per B 3. eſt BG; ergo vt quadratum temporis per BG ad quadratum
temporis per BGF, ſcilicet vt 10000000000. ad 1561475241. ita B 3.
ſcilicet 81655. ad aliam, hæc erit 123496. igitur in BF, quæ eſt partium
141422. percurruntur partes 123496. eo tempore, quo percurruntur
BGF; at verò eo tempore, quo percurruntur BHF; percurruntur in
BF 122702. igitur pauciores; igitur minore tempore; igitur duæ BHF
percurruntur minore tempore, quàm duæ BGF, quod erat demon­
ſtrandum.
Similiter deſcendet citiùs per duas BHF, quàm per duas BZF: immò
quod mirabile eſt, patetque ex analytica, citiùs per duas BGF, quàm per
duas BZF; (ſuppono enim BZ eſſe arcum grad. 45.) ſit enim Z υ per­
pendicularis, itemque Z δ, δ B eſt æqualis BR. igitur 70711. Z δ eſt
29289. igitur δ υ 1223. igitur B υ 71924. igitur B β 51858. iam tempus
per BZ eſt ad tempus per YZ vt BZ ad YZ. id eſt, vt 76536. ad 184777.
ſit autem vt AYF 261313. ad aliam 219737.ita hæc ad YZ; certè tem­
pus per BZ eſt ad tempus per BZF, vt BZ ad 111496. igitur B β fit
tempore BZ; ergo vt quadratum BZ ad quadratum 111496. id eſt, vt
4857759296. ad 12431358016. ita ſit B β, id eſt 51858.ad 132708.igitur
eo tempore, quo percurruntur BZF, percurruntur in BF 132708.earum
partium, quarum BF eſt 141422. ſed pauciores percurruntur eo tempo­
re, quo fit deſcenſus per BHF, vel BGF.
Lemma 16.
Citiùs percurruntur duæ inferiores.v.g. HGF, quàm duæ BHF; eſt enim
PF ſubdupla ſecantis NF; igitur 193185. FG eſt 51764. GP 141421.
ſit autem PG ad 165285.vt hæc ad PF; certè tempus per HG eſt ad
tempus per PG, vt HG ad PG; igitur tempus per HG eſt ad tempus
per HGF, vt 51764. ad 75628. ſed BX eſt æqualis, eiuſdemque incli­
nationis cum HG; igitur tempus, quo percurritur BX eſt BX. vel HG;
ſit autem vt BX ad 75628. ita hæc ad aliam 111092. igitur eo tempore,
quo percurruntur HGF, percurruntur in BF 111092. minor BF; igitur
citiùs percurruntur HGF quàm BHF, vel BZF, &c. igitur duæ infe­
riores citiùs, quàm duæ ſuperiores.
Ex his manifeſtum eſt, quænam ſint quaſi termini progreſſionis in aſ­
ſumptis duabus chordis; ſi enim diuidatur arcus BF in 6.arcus æquales,
BF tardiſſimè, BHF velociſſimè, &c. poſt BHF, BGF, tùm ſingulæ ab
H verſus Z & verſus V reſpondent ſingulæ immediatè AG verſus Z, &
verſus θ.
Lemma 17.
Si ſint duo pendula inæqualia, tempora deſcenſuum per chordas ſimiles,
ſunt in ratione ſubduplicat a earumdem; hæ verò ſunt vt radij; ſit enim qua­
drans A α ρ, cuius radius A α ſit ſubquadruplus radij AB; ſint chordæ
ſimiles α ρ, BF; hæc eſt quadrupla illius; igitur cum ſit eadem vtriuſ-
1que inclinatio; eo tempore, quo percurretur tota α ρ percurretur tan­
tùm quarta pars BF; igitur ſuperſunt 1/4 BF; ſed ſecundo tempore ſen­
ſibili æquali primo percurritur ſpatium triplum ſpatij primi temporis;
igitur tota BF percurritur tempore duplo, & α ρ ſubduplo; igitur tem­
pora ſunt vt radices 1. & 4. igitur in ratione ſubduplicata; præterea ſint
chordæ α X ρ, & aliæ duæ BZF ſimiles prioribus; certè ſi prima mino­
ris quadrantis α X percurratur vno tempore. Prima maioris BF, percur­
ritur duobus temporibus; ſed in eadem proportione percurrentur duæ
X β ZF, vt patet; quia vt eſt ω X ad X ρ, ita XZ ad ZF: idem prorſus di­
co, ſi accipiantur tres chordæ, 4.5.6. &c. in vtroque arcu.
Theorema 5.
Vibratio minor eiuſdem, vel æqualis funependuli breuiore tempore percurri­
tur. Probatur quia percurruntur citiùs duæ chordæ inferiores HGF,
quàm duæ ſuperiores quæcunque per Lem. 16. immò & tres inferiores,
quàm tres ſuperiores, atque ita deinceps; igitur totus arcus inferior
HGF, qui conſtat ex his chordis minoribus ſemper, & minoribus per­
curretur citiùs, quàm ſuperior, & maior.v.g. BHF.
Adde quod, multis conſtat experimentis minorem vibrationem citiùs
peragi, quod pluſquam centies à me probatum eſt; ſi enim ſimul demit­
tantur duo funependula æqualia; alterum quidem è ſummo quadrantis
puncto, alterum ex decimo, vel decimoquinto altitudinis gradu, appoſito
in puncto quietis aliquo ſonoro corpore; haud dubiè ictum, qui ſequitur
ex minori vibratione, priùs audies; tùm ſtatim alium; immò ſi numeren­
tur vibrationes vtriuſque eodem tempore plures minoris, maioris verò
pauciores numerabuntur; ſæpiùs numeraui 11.minores eo tantùm tem­
pore, quo alter, qui mecum erat 10. maiores numerabat, & 40. circiter
minores dum alter 37.maiores recenſeret; & certè ſi vibratio vtraque
maior ſcilicet, & minor per eundem arcum recurreret, centum minores
eo ferè tempore agerentur, quo 90.maiores; licèt enim vtraque decreſ­
cat, maior tamen decreſcit in maiore proportione, quàm minor, cuius
rei rationem afferemus infrà.
Nec eſt quod aliquis cum Galileo, Baliano, & aliis opponat, omnes
vibrationes, ſiue maiores ſint, ſiue minores eſſe æquè diuturnas, idque
manifeſtis conſtare experimentis, quibus ego alia certiſſima experimen­
ta oppono, quibus etiam vltrò aſſentitur P. Merſennus, Galileo alioqui
addictiſſimus, in verſione eiuſdem Galilei lib. 1. art. 18. & verò docti
omnes Galileo ſunt addictiſsimi; in qua verò proportione minor vibra­
tio breuiore tempore peragatur, quàm major, difficilè dictu eſt, & vix
determinari poteſt, niſi fortè dicatur in ea proportione arcum HF citiùs
percurri, quàm arcum BHF, in qua duæ chordæ HGF citiùs percur­
runtur, quàm duæ BZF; ſed de his fusè aliàs.
Theorema 6.
Velocitates acquiſita in vibrationibus inæqualibus ſunt vt altitudines; ſint
enim vibrationes duæ BF, HF; dico velocitatem acquiſitam in deſcen-
1ſu BF eſſe ad acquiſitam in deſcenſu HP, vt vecta AF ad rectam OF,
quod facilè probatur; quia ex B in F æqualis acquiritur velocitas ſiue
per rectam BF deſcendat mobile, ſiue per duas BHF, ſiue per tres BHGF,
ſiue per totum quadrantem BHF; ſed æqualis eſt acquiſita per BF ac­
quiſitæ per AF, vel BE; quæ omnia conſtant per Lemm.10.& 11.ſimili­
ter acquiſita in recta HF eſt æqualis acquiſitæ in recta OF in duabus
HGF; immò & in arcu HZF; igitur acquiſita in arcu BHF eſt ad
acquiſitam in arcu HZF, vt acquiſita in AF ad acquiſitam in OF; ſed
illa eſt ad hanc vt AF ad OF, vt conſtat; igitur ſunt vt altitudines, quod
erat probandum.
Hinc non ſunt vt chordæ, neque vt arcus; hinc acquiſita in arcu
BHF eſt dupla acquiſitæ in arcu HZF; cùm tamen arcus BF non ſit
duplus; ſed ſeſquialter arcus HZF.
Theorema 7.
Hinc ſunt diuerſi ictus inæqualium vibrationum in eadem altitudinum ra­
tione; quia eadem eſt ratio ictuum, quæ velocitatum acquiſitarum in
puncto percuſsionis; ſed ratio velocitatum eſt eadem quæ altitudinum,
ſeu perpendicularium per Th.7. igitur eadem ratio ictuum, quæ altitu­
dinum; ſed inæqualium vibrationum eiuſdem funependuli diuerſæ ſunt
altitudines; igitur diuerſi ictus, quod erat demonſtrandum.
Theorema 8.
In diuerſis funependulis ſimilium vibrationum velocitates ſunt vt chordæ;
ſint enim duo funependula inæqualis A ρ, AF; certè ſit vibratio maio­
ris BF, & minoris vibratio ſimilis α ρ, velocitas vibrationis BF eſt vt al­
titudo AF & minoris α ρ, vt altitudo A ρ; ſed vt AF eſt ad A ρ, ita BF
ad α ρ; ſunt enim triangula proportionalia; idem dico de aliis.v.g ZF
& X ρ, iu quo non eſt difficultas: hinc percuſsiones vtriuſque erunt etiam
vt chordæ, quia ſunt vt altitudines.
Theorema 9.
Tempora, quibus peraguntur vibrationes ſimiles funependulorum inæqua­
lium ſunt ferè in ratione ſubduplicata longitudinum, ſeu radiorum: Probatur,
quia tempora deſcenſuum per chordas ſimiles ſunt in ratione ſubdupli­
cata earumdem chordarum, ſiue ſint 2.ſiue ſint tres, & per Lemma 17.
ſed ſi accipiantur plures chordæ, tandem habebitur arcus; igitur vibra­
tio per arcum eſt veluti deſcenſus per infinitas ferè chordas æquales; ſed
tempora horum deſcenſuum ſunt in ratione ſubduplicata chordarum; &
hæc eſt eadem ratio cum ſubduplicata radiorum; igitur tempora vibra­
tionum ſimilium ſunt ferè in ratione ſubduplicata radiorum.
Obſeruabis rem iſtam accuratè, & analyticè diſcuti poſſe, ſit enim qua­
drans ADH maioris vibrationis, & quadrans CED minoris; ſitque
CD ſubquadrupla AD, & arcus DE ſubquadruplus DKH; aſſumatur
DN ſubquadruplus DH; ſitque DN æqualis DE; certè eo tempore,
1quo percurretur DE, percurretur pluſquam DN; quippe DN eſt minùs
inclinatus, quàm DE: porrò recta NH eodem deinde tempore percur­
retur, ſiue ducatur initium motus AD per arcum DN, ſiue AD per re­
ctam DN, ſiue ab O per rectam ON; quia in N eſt æqualis velocitas
per Lemm. 11. igitur tempus, quo percurritur recta NH, facto initio
motus ex D per rectam, vel arcum DN, eſt ad tempus, quo percurritur
DN, vt 42466.ad DN, id eſt ad 390181. ſit enim vt ON ad 111347.
ita hæc ad OH 179995. detrahatur ON ex 111347.ſupereſt 42466.igi­
tur eo tempore, quo percurritur DE, percurritur pluſquam DN; per­
curritur tamen minùs, quàm DL; quia tempus, quo percurritur DL eſt
ad tempus quo percurritur LH facto initio motus in D, vt DL 51764.
ad 41422. igitur eo tempore, quo percurritur DE; percurritur minùs
quàm DL.
Adde quod rectæ DE, DM, æquali tempore percurruntur; ſed DM
breuiore tempore percurritur, quàm arcus DL, immò arcus DE citiùs
peragitur, quàm recta DE; igitur citiùs quàm arcus DL; ſi verò acci­
piatur arcus DR; certè tempus per arcum DE eſt paulò minus tempo­
re per arcum DR; quia tempus, quo percurritur DR eſt ad tempus, quo
percurretur RH, facto initio motus in D, vt 45444.ad 41705.ſed vtrum­
que tempus debet eſſe æquale, vt ſcilicet arcus in DH æquali tempore
cum arcu DE percurratur.
Obſeruabis præterea, vt inueniatur arcus quadrantis DH, cuius tem­
pus ſit ſubduplum ipſius quadrantis, vel æquale tempori per arcum DE,
aſſumendum eſſe punctum in arcu DH, puta N; per quod ſi ducatur
HNO, ſitque vt ON ad OV, ita OV ad OH, ipſa NV erit æqualis
ipſi ND; quippè tempus per DN eſt ad tempus per ON, vt ipſa DN ad
ON; ſed tempus per ON eſt ad tempus per NH, vt ON ad NV; igi­
tur tempus per DN eſt ad tempus per NH, vt DN ad NV; igitur DN,
& NH facto initio motus à D fiunt tempore æquali; ſed vt tempus per
rectam DN ad tempus per rectam NH; ita tempus per duas DXN ad
tempus per duas NZH; ita tempus per 4. æquales inſcriptas arcui DN
ad tempus per 4.æquales inſcriptas arcui NZH, atque ita deinceps; igi­
tur ita tempus per arcum DN ad tempus per arcum NZH.
Quomodo verò poſſit inueniri punctum N, viderint Geometræ; nec
enim phyſici eſt inſtituti; habetur autem ex analytica, ſi excipiatur ar­
cus DN. 24. gra. 20′. circiter; ſitque HO ſecans anguli AHO grad.57.
10′. ſitque ON, ad OV vt OV ad OH, ipſa NV erit proximè æqualis
ipſi ND: igitur DN. & NH æqualibus temporibus percurrentur. Simili­
ter opera eiuſdem analyticæ habebitur arcus, qui peragitur in DZH eo
tempore, quo arcus DNF percurritur, poſſuntque hæc omnia in cano­
nes redigi.
Theorema 10.
In diuerſis punctis arcus diuerſus impetus producitur. Prob. ſit enim
pendulum fune ex centro immobili A; ſitque AO horizontalis, AD
1perpendicularis; haud dubiè producit maiorem impetum in O, quàm in
LH quippè in D nullo modo grauitat in ſuppoſitam manum, in H mi­
nùs grauitat, in O maximè; ſed qua proportione plùs, vel minùs graui­
tat, producit maiorem vel minorem impetum, vt patet.
Theorema 11.
Impetus, quem producit in H, eſt ad impetum, quem producit in O, vt HC
ad DA vel OA. Probatur, quia grauitatio in H eſt ad grauitationem in
O, vt CH ad DA, vt demonſtratum eſt ſuprà lib. de motu in planis in­
clinatis; ratio eſt, quia in ea proportione maior eſt, vel minor grauita­
tio, in qua plùs vel minùs impeditur; atqui in O non impeditur; quia li­
nea determinationis ad motum eſt eadem cum linea grauitationis; quip­
pè globus O grauitat per Oque ſed OQ eſt Tangens puncti O; igitur eſt
linea determinationis in puncto O; igitur linea determinationis in pun­
cto O eſt eadem cum linea grauitationis; at verò in H linea grauitatio­
nis eſt HG, & determinationis HF diuerſa à priore, ſed de his iam plu­
ra aliàs.
Scholium.
Obſeruabis globum prædictum in H diuerſimode poſſe ſuſtineri. Pri­
mò, per Tangentem HI. Secundò applicata potentia in F per FH. Tertiò,
per horizontalem HV tracto ſcilicet fune. Quartò, per HK. Quintò, per
GH. Sextò denique in aliis punctis intermediis applicari poteſt poten­
tia; ſi primo modo, & ſecundo potentia ſuſtinens pondus in H eſt ad
ſuſtinentem in D ex A vel in O ex Q vt HC ad DA vel HA; ad ſuſti­
nentem verò ex A in H, vt CH ad CA, ſi tertio per HV potentia ap­
plicata in V eſt ad applicatam in A, dum vtraque ſimul agat vt HC ad
HA; ſi quarto modo applicata in K æqualis eſt applicatæ in A, itemque
applicata in Y per YH, vel in O per OH, poſita HZ æquali HA; ſi
quinto modo applicata in G per GHS ſuſtinet totum pondus, itemque
applicata in S per SH; ſi denique ſexto modo, pro rata.
Obſeruabis ſecundò rem omninò ſcitu digniſſimam, eſſe duas tantùm
lineas, quibus applicata potentia totum pondus ſuſtinet, ſcilicet GH, HS,
eſſe quoque duas quibus applicata potentia pondus pendulum ſuſtinens
in dato puncto puta H, habet minimam rationem, quæ haberi poſſit ad
potentiam applicatam in A per AH; ſunt autem illæ CH, HV, quæ eſt
ipſa horizontalis.
Obſeruabis tertiò, applicatam in puncto C per CH eſſe minimam
earum omnium, quæ cum alia applicata in A per HA pendulum pondus
ſuſtinere poſſit; aliàs verò hinc inde applicatas eſſe maiores, v.g. applica­
tam in E per EH eſſe ad applicatam in A per HA, vt EH ad HA; appli­
catam verò in Z eſſe ad eandem vt ZH ad HA; applicatam in T vt
TH ad HA, &c. ſunt autem 4.æquales exceptis maxima, quæ totum pon­
dus ſuſtinet per lineas HS GH, & minimâ, quæ cum applicata in A mi­
nimis viribus ſuſtinet, per lineas CH HV; ſi verò aſſumantur quæcum­
que aliæ lineæ, ſunt 4. æquales v.g. accipiatur EH, ſit HB ipſi æqualis
1producta per H ad X; erunt haud dubiè 4.lineæ, quibus eadem applica­
ta potentia cum altera in A ſuſtinebit pondus, ſcilicet HE & oppoſita
HI, HB cum oppoſita HX, ſuppono enim HB eſſe æqualem HE, & BH
pellere verſus H: quæ omnia certè obſeruaſſe non piget, præſertim cùm
tota res iſta iucunda iuxta, atque vtilis eſſe videatur.
Corollarium 1.
Colligo primò ex his determinationem impetus producti in puncto
O eſſe omninò ſimplicem à propria ſcilicet ponderis penduli grauitatio­
ne, nec quidquam facere potentiam applicatam in A; quippe impetus
determinatur ad Tangentem OQ, quæ eſt eadem cum linea grauitatio­
nis; vnde reuerâ ſuſtinetur totum pondus in O.
Corollarium 2.
Secundò, ſi pondus ſit in D, eſt determinatio mixta vtraque æqualis,
nam neque potentia retinens in A eſt maior potentia grauitationis in­
clinantis deorſum; alioquin ſi maior eſſet, præualeret; igitur mobile fer­
retur verſus A; cùm tamen quieſcat in D, nec etiam maior eſt potentia
grauitationis; alioqui pondus ferretur deorſum, nec dicas nullam eſſe
potentiam applicatam in A; nam reuerâ, ſi quis ex puncto A ſuſtinet
pendulum pondus, maximè defatigatur, & maximè agit eius potentia mo­
trix; quomodo verò ſuſtineantur pondera, dicemus lib. 10.
Corollarium 3.
Tertiò, ſi pondus ſit in H vel in L eſt determinatio mixta ex duabus
inæqualibus, ita vt determinatio potentiæ, quæ eſt applicata in A ſit mi­
nor determinatione, quæ eſt à grauitatione ponderis; ſit enim pondus in
H, ſitque determinatio altera per lineam HA, altera per lineam HG; ſi
vtraque æqualis eſt, linea determinationis mixtæ non eſſet Tangens HF;
nec enim angulus AHG diuidit æqualiter bifariam ipſam HF; atqui
cum vtraque determinatio eſt æqualis, poſita quod vtraque linea faciat
angulum, linea nouæ determinationis facit angulum vtrimque æqualem,
vt demonſtrauimus ſuprà.
Corollarium. 4.
Quartò hinc colligo, determinationem, quæ eſt à potentia applicata
in A creſcere continuè ab O ad D, ita vt in O ſit nulla, in D ſit maxima,
id eſt æqualis alteri determinationi propriæ grauitationis; in reliquis ve­
rò punctis prima eſt ad ſecundam, vt ſinus rectus ſuperioris arcus ad ſi­
num totum, v.g.ſi pondus ſit in L, determinatio grauitationis eſt ad aliam
vt LA ad LR, ſi ſit in H vt HA ad HS, ſi ſit in O vt OA ad nihil; ſi
ſit in D vt DA ad DA; idem dico de omnibus aliis punctis inter­
mediis.
Corollarium 5.
Quintò colligo, impetum grauitationis productum in ſingulis pun­
ctis eſſe ad impetum productum in O, id eſt ad maximum, qui poſſit
1produci vno inſtanti ab ipſo corpore grani, vt ſinum rectum arcus infe­
rioris ad ſinum totum; ſit enim pondus in L, impetus productus in L
eſt ad productum in O, vt ſinus BL ad LA; ſit in H, vt ſinus HC ad
HA; ſit in O vt OA ad OA, ſit in D vt nihil ad DA: hinc vides con­
trarias vices impetus producti in ſingulis punctis, & determinationis,
quæ eſt à potentia applicata in A; quippè ille continuò imminuitur ab
O ad D; hæc verò continuo creſcit; ille totus eſt in O nullus in D; hæc
tota in D, nulla in O; ille eſt ad totum, vt ſinus arcus inferioris ad ſi­
num totum; hæc verò eſt ad totam, ſeu maximam, vt ſinus arcus ſuperio­
ris ad ſinum totum.
Corollarium 6.
Sextò, hinc colligo rationem à priori huius imminutionis impetus;
cum enim impetus deſtruatur ne ſit fruſtrà; certè propter eandem ratio­
nem non producitur, ne ſcilicet ſit fruſtrà; cùm enim impetus ſit vt mo­
tus, ſit mobile in L cum duplici determinatione alteram per lineam LA
alteram L δ; ſit autem hæc ad illam vt LA ad LR, vel vt L δ æqualis
LA ad L β æqualem LR, ſitque arcus LO grad. 30. LR eſt ſubdupla
LA; ſit β υ æqualis L δ, ipſique parallela, & υ δ æqualis L β & paralle­
la; certè hoc poſito, motus erit per L υ, ſcilicet per diagonalem, vt ſæ­
piùs ſuprà demonſtrauimus; igitur ſi tantùm eſſet determinatio L δ mo­
tus eſſet L δ; ſi verò conjungatur determinatio L β, motus erit L υ; ſed
impetus eſt vt motus; igitur impetus L δ, cum vtraque determinatione
conjunctus non haberet totum ſuum effectum, id eſt motum L δ; igitur
aliquid illius eſt fruſtrà; igitur producitur tantùm impetus vt L υ; ſed
vt L υ ad L δ, ita LB ad LA; nam triangula L υ δ, & BLA ſunt æqua­
lia, & æquiangula, vt patet.
Corollarium 7.
Septimò colligo, ſingulis inſtantibus mutari determinationem quæ eſt
ab A, & conſequenter determinationem mixtam, ipſamque acceſſionem
impetus noui: hinc etiam rectè explicatur, in quo poſitum ſit illud impe­
dimentum ratione cuius corpus rectà deorſum non tendit; quippè in
eo tantùm poſitum eſt, quod ſit noua determinatio, idem dico de reſi­
ſtentia.
Obſeruabis autem idem præſtare funem affixum in A ratione conti­
nuitatis, & vnionis ſuarum partium, quod præſtaret potentia in A fune
ipſo trahens, vt conſtat, ſeu pondus contranitens ex rotula appenſum.
Corollarium 8.
Octauò colligo, creſcere impedimentum ab O in D in ratione ſi­
nuum verſorum arcus ſuperioris; cùm enim in L v. g. motus ſit ad mo­
tum liberum in O vt L υ ad L δ vel vt LB ad LA, impeditur motus vt
RO; nam motus, vel impetus in L eſt minor impetu in O, differentia
vtriuſque RO, ſed RO eſt ſinus verſus arcus OL; idem dico de
reliquis.
1
Corollarium 9.
Nonò colligo hoc impedimentum facere quidem, ne tantus impetus
nouus accidat, non tamen facere vt productus antè pereat; quippe ni­
hil impetus antè producti deſtruitur per ſe; licèt determinatio noua per
Tangentem nouam accedat in ſingulis punctis; nihil tamen impetus eſt
fruſtrà; vt in reflexione dictum eſt, adde quod determinatio prior, nihil
prorſus confert; quia tota impeditun à potentia retinente in A immo­
biliter; dixi per ſe, quia per accidens propter aliquam tenſionem chor­
dæ poteſt aliquid deſtrui, quæ tenſio eſt prorſus per accidens.
Corollarium 10.
Decimò colligo inde reddi rationem à priori, cur ille motus vibra­
tionis funependuli ſit acceleratus; quia impetus additur ſingulis inſtan­
tibus, & nihil deſtruitur; immò ſi deſtrueretur iuxta rationem prædicti
impedimenti, & pondus eſſet in H, cùm ratio impedimenti ſit SO, &
ratio noui impetus CH æqualis SO; haud dubiè in H tantundem pro­
duceretur impetus, quantum deſtrueretur; igitur nullum ſentiretur pon­
dus in H, quod abſurdum eſt.
Theorema 12.
Velocitates acquiſitæ in funependulis inæqualibus ſunt vt altitudines; ſit
enim in figura. Th. 10. Funependulum maius AH, minus GH; ſit vi­
bratio minoris FYH; ſit vibratio maioris DKH: dico velocitatem
acquiſitam in prima vibratione eſſe ad acquiſitam in ſecunda, vt AH ad
GH; ſi verò vibratio maioris ſit tantùm LKH; dico eſſe æqualem ve­
locitatem vtriuſque, quæ omnia patent ex dictis: hinc ſeruari poſſunt
quæ cumque proportiones ictuum inflictorum à malleis, vel ſimul, vel
ſucceſſiue, &c.
Theorema 13.
Ex dictis poſſunt multa determinari, ſeu cognoſci primo cognito numero vi­
brationum funependulorum inæqualium, quæ eodem tempore peraguntur, co­
gnoſci poſſunt altitudines, ſeu longitudines funium; ſunt enim longitudines,
vt quadrati numerorum permutando; ſint enim duo funependula A, &
B, & numerentur vibrationes 5. penduli A & 7. penduli B æquali tem­
pore; aſſumantur quadrati vtriuſque 25. & 49. certè longitudo penduli
A, erit ad longitudinem penduli B vt 49. ad 25. Secundò, ex cognita
minima longitudine cognoſcitur maxima v.g.ſit funependulum tripeda­
le, cuius integra vibratio tempore vnius ſecundi minuti peragitur, vt
aliqui volunt (quod tantùm exempli gratia aſſumptum ſit) numerentur.
v.g. 10. vibrationes huius tripedalis funependuli eo tempore, quo duæ
æntùm vibrationes alterius maioris numerantur; ſint quadrati 100. &
4. certè longitudo maioris eſt ad longitudinem maioris vt 4. ad 100.igi­
tur ſi 4. dant 100. quid dabunt 3. habeo 75. igitur longitudo maioris
funependuli eſt 75. pedum. Tertiò, poteſt cognoſci altitudo putei quan­
tumuis altiſſimi, vel alterius loci editi, ex quo demittitur corpus graue;
1ſi enim toto eo tempore, quo corpus graue cadit, numerentur 6. vibratio­
nes tripedalis funependuli; haud dubiè motus ille durauit ſex minutis
ſecundis; igitur ſi præcognoſcatur quantum ſpatij percurratur deorſum,
dum fluit vnum ſecundum minutum, quod ſit.v.g. ſpatium pedum 18 6/7
hoc poſito, quadrentur tempora ſcilicet, & 6. habeo 1. & 36. iam facio
regulam trium, ſi 1.dat. 18 6/7 quid dabunt 36. & habeo 619. pedes mi­
nus 1/2.
Obſeruabis autem dictum fuiſſe à me ſuprà funependulum tripedale
peragere ſuam integram vibrationem tempore vnius ſecundi minuti;
quod certè, vt ait eruditus Merſennus, ſæpiùs obſeruatum eſt; hæc autem
eſt obſeruatio Merſenni, quam habet in Baliſt. prop.15.eamque ſæpiùs,
vt ipſe ait, iteratam: Itaque dicit tripedalis ſili ſpatio quadrantis horæ,
nongentas vibrationes fuiſſe numeratas, ſed in quadrante horæ ſunt 15.
minuta prima; igitur nongenta ſecunda; igitur cum ſingulæ vibrationes
æquali tempore peragantur ſingulis ſecundis minutis reſpondent.
Inde inſignem difficultatem educit idem auctor; cum enim in per­
pendiculari deorſum percurrantur 12. pedes tempore vnius ſecundi mi­
nuti, & 48. tempore duorum ſecundorum, quod multis obſeruationibus
comprobatum eſt; certè tempore ſemiſecundi minuti 3. tantùm pedes
confici neceſſe eſt; igitur eo tempore, quo radius tripedalis percurritur,
totus etiam percurritur quadrantis arcus, qui eſt 4 3/7; igitur maior eſt
motus in arcu, quàm in perpendiculari, quod dici non poteſt; cùm ne
æqualis quidem ſit.
Ad ſoluendum hunc nodum ſupponendum eſt vibrationes minores
citiùs peragi, quàm maiores; quod etiam ibidem obſeruat idem auctor;
igitur non eſt dubium, quin longè plures vibrationes fiant, quàm fierent
ſi omnes eſſent æquales arcui quadrantis; ſi enim numeres minores dum
alius numerat maiores; cum numerabis 10. ille vix 9. habebit, & ſi
omnes maiores eſſent æquales primæ integræ, dum habes 9. vix haberet
8. itaque non reſpondent ſingulæ vibrationes æquales primæ integræ
ſingulis ſecundis minutis; ſed ferè ſingulis plùs 16. vel 17. minutis
tertiis.
Quare eo tempore, quo percurritur arcus quadrantis funependuli tri­
pedalis non percurruntur in perpendiculo 6. pedes; quia in perpendi­
culo percurruntur 6. pedes eo tempore, quo diagonalis quadrati, ſeu latus
quadrati inſcripti percurritur; v.g. in figura Lem.3.percurruntur DT
dupla radij ID, eo tempore, quo percurritur DP; ſed DP percurritur
tardiùs, quàm arcus DKP; igitur DKP citiùs quàm DT; igitur non
percurritur ſpatium 6. pedum in perpendiculo eo tempore, quo percur­
ritur arcus quadrantis DKP, cuius radius ID ſit tripedalis; præterea
non percurruntur tantùm in perpendiculo eodem tempore pedes ſpatij
4 5/7, vel vndecim, ſi radius conſtat 7. pedibus, vt voluit idem auctor l. 2.
de cauſis ſonorum Prop. 27. Cor. 3. quia ſi radius habet 3. arcus
quadrantis habet 4 5/7. ſi radius habet 7. arcus quadrantis habet 11.
ſed eodem tempore conficitur maius ſpatium in perpendiculo, quàm in
1arcu, cuius ratio conſtat clariſſimè ex dictis, quia dum mobile mouea­
tur in perpendiculo ſingulis inſtantibus nouum impetum æqualem pri­
mo producit, in arcu verò minorem; igitur minor eſt motus; igitur mi­
nus ſpatium eodem tempore percurritur in arcu, & maius in perpendi­
culo; igitur non percurruntur 11. tantùm in perpendiculo eo tempore
quo 11. percurruntur in arcu; quantum verò ſpatium in perpendiculo
percurratur eo tempore, quo arcus quadrantis dati conficitur, determi­
nabimus infrà.
Denique obſeruabis, ex hoc etiam poſſe concludi omnes vibrationes
eiuſdem funependuli non eſſe æquè diuturnas; nam reuerà ſi æquè diu­
turnæ eſſent, & nongentæ numeratæ eſſent ſpatio 15. minutorum; haud
dubiè ſingulæ ſingulis ſecundis minutis reſponderent; igitur eo tempore,
quo tres ſpatij pedes decurrerentur in perpendiculo, in quadrantis arcu
4. 3/7 conficerentur, quod fieri non poteſt.
Theorema 14.
In aſcenſu vibrationis funependuli deſtruitur impetus; patet, quia deſinit
motus; igitur & impetus, ne ſit fruſtrà; præterea applicatum eſt princi­
pium deſtructionis impetus; igitur deſtruitur; antecedens ex dicendis
infra clariſſimum euadet.
Deſtruitur autem impetus propter impetum innatum, qui ſingulis in­
ſtantibus contranititur; quemadmodum enim in motu violento ſurſum
ideo deſtruitur impetus ab innato, quia hic eſt determinatus ad lineam
deorſum; ille verò ſurſum, ex quo determinatio mixta oritur; vnde ali­
quid impetus deſtruitur, ne ſit fruſtrà; idem prorſus dicendum eſt in aſ­
cenſu per arcum.
Theorema 15.
Singulis inſtantibus inæqualiter deſtruitur impetus in aſcenſu illo vibratio­
nis; prob. quia ſingulis inſtantibus mutatur determinatio, id eſt ratio
plani inclinati; nam quodlibet punctum arcus, vt ſæpè dictum eſt, facit
planum inclinatum diuerſum; igitur lineæ vtriuſque determinationis
faciunt diuerſum angulum; igitur determinatio noua mixta diuerſa eſt;
igitur plùs vel minùs impetus deſtruitur, quia plùs vel minùs eſt fruſtrà,
quod ex dicendis patebit.
Theorema 16.
Deſtruitur impetus in ſingulis punctis iuxta rationem ſinuum rectorum ar­
cuum inferiorum v.g. ſit arcus aſcenſus DIO, ſitque mobile pendulum in
H; impetus qui deſtruitur in H, eſt ad impetum qui deſtruitur in per­
pendiculari ſurſum (ſuppoſito ſcilicet tempore) vt ſinus HC ad ſinum HA;
nam deſtruitur in ea ratione, iuxta quam deſtrueretur in plano inclinato
EH; ſed in planis inclinatis iuxta prædictam rationem impetum deſtrui
demonſtratum eſt ſuo loco; adde quod impetus innatus determinat mo­
bile ad lineam deorſum HG, alius verò ad lineam HM; atqui ſi eſſent
duo gradus impetus, quorum alter eſſet determinatus per HM, alter per
1HGV, motus fieret per HX, ſed HX eſt æqualis HM; igitur deſtruitur
ſubduplus impetus, quia eſt fruſtrà; ſed HC eſt ſubdupla HA: præterea
impetus innatus retrahit mobile per HE minùs, quàm AD iuxta eam
proportionem, in qua motus per HE eſt minor quàm motus per AD; ſed
motus per HE eſt ad motum per AD vt HE ad AE, vel vt HC ad HA;
igitur illa vis, quæ retrahit mobile per HE eſt ad eam, qua retrahitur
per AD vt HC ad HA; ſed in eadem proportione deſtruitur impetus,
quo mobile fertur ſurſum, in qua retrahitur deorſum; igitur impetus de­
ſtructus in H eſt ad deſtructum in perpendiculo vt HC ad HA; ergo
vt ſinus rectus arcus inferioris eſt ad ſinum totum.
Dictum eſt eodem tempore; nam minori tempore minùs impetus de­
ſtruitur, plùs verò maiori; vnde quando comparatur impetus deſtructus
in plano inclinato ſurſum cum deſtructo in verticali, ſemper intelligi­
tur vtrumque deſtrui eodem tempore; alioquin vitioſa eſſet proportio,
& comparatio; idem dico de impetu producto, quod de deſtructo.
Corollarium.
Inde colliges in eadem proportione minùs impetus deſtrui in aſcenſu
per planum inclinatum, quâ minùs producitur in deſcenſu.
Theorema 17.
Totus impetus qui concurrit ad deſcenſum funependuli, non concurrit ad
aſcenſum, prob. quia impetus innatus non concurrit ad aſcenſum, vt
conſtat ex dictis alibi; ſed hic concurrit ad deſcenſum.
Theorema 18.
Aliquis etiam gradus impetus concurrit ad aſcenſum, qui non concurrit
ad deſcenſum, probatur, quia vltimo inſtanti deſcenſus aliquid impetus
noui producitur quantumuis minimi, quia ſingulis inſtantibus motus
deorſum aliquid impetus accedit; ſed ille impetus non concurrit ad mo­
tum deorſum; quia cum primo illo inſtanti, quo eſt, non concurrat ad
motum, cumque illud inſtans ſit vltimum motus deorſum; certè ad mo­
tum deorſum non concurrit, ſed ad motum ſurſum concurrit, nam pri­
mo inſtanti, quo eſt, exigit motum pro ſequenti; eſt autem ſequens
inſtans primum aſcenſus.
Theorema 19.
Aſcenſus funependuli non eſt æqualis deſcenſui: patet experientiâ; ratio
eſt manifeſta; quia impetus innatus non concurrit ad aſcenſum, licèt ad
deſcenſum concurrat; nec dicas impetus gradum vltimum non concur­
rere etiam ad deſcenſum, licèt concurrat ad aſcenſum; nec enim eſt pa­
ritas; quia impetus innatus, ſeu primus gradus eſt perfectiſſimus omnium
productorum; vltimus verò imperfectiſſimus, tùm quia producitur mi­
nori tempore, tùm quia producitur in plano inclinatiſſimo; igitur ſi
comparetur cum primo, pro nullo ferè haberi deber impetus.
1
Corollarium.
Hinc manifeſta ratio, cur funependulum poſt vibrationem deſcenſus
non perueniat in aſcenſu ad tantam altitudinem; nec eſt quod aliqui di­
cant aëra interceptum efficere, ne ad æqualem altitudinem aſcendat,
cùm aër non minùs reſiſtat deſcenſui, quàm aſcenſui; quod quomodo
fiat, iam alibi explicuimus.
Theorema 20.
Maioris vibrationis aſcenſus imminuitur in maiori proportione, quàm mi­
noris; certa experientia, cuius ratio eſt, quia in arcu ſuperiore plùs im­
petus deſtruitur, in inferiore minùs; igitur plùs ſpatij detrahitur maiori
vibrationi, quàm minori, ſcilicet in aſcenſu; hæc ratio demonſtratiua eſt,
quia quò minùs impetus deſtruitur ſingulis inſtantibus, plùs ſpatij ac­
quiritur, vt conſtat ex planis inclinatis; ſit enim in eadem figura pla­
num inclinatum DO, & verticale DA; imprimatur impetus mobili ex D,
certè cum eodem impetu aſcendet per DA & per DO, vt demonſtraui­
mus cum de planis inclinatis; igitur ſingulis inſtantibus minùs impetus
in DO deſtruitur, quàm in DA; vnde maius ſpatium conficitur; eſt enim
DO maior DA: ita prorſus accidit in arcu aſcenſus funependuli; ſit enim
arcus aſcenſus DH æqualis arcui deſcenſus oppoſiti; certè tantillùm im­
petus deſtruetur; igitur arcus aſcenſus ferè accedet ad A; ſi vetò arcus
deſcenſus ſit æqualis DL, plùs impetus deſtruetur in aſcenſu; igitur ar­
cus aſcenſus habebit minorem proportionem ad DL, quàm prior ad DH,
& hæc eſt veriſſima ratio luculentiſſimi experimenti, quod ferè omnibus
notum eſt.
Theorema 21.
Si proijciatur mobile per ipſum perpendiculum DA cum eo impetu, quo
ex D feratur in A motu naturaliter retardato; certè cum eodem impetu fere­
tur in O per DO, & per arcum DLO: probatur quia ex A in D, vel ex O
in D ſiue per chordam OD, ſiue per arcum OHD æqualis impetus ac­
quiritur per Lemma 11. ſed cum eodem impetu, quo ex A fertur in D.
vel ex O in D motu naturaliter accelerato, ex D ferri poteſt in A vel in
O: dixi cum eodem impetu, ita vt tot gradus impetus concurrant ad aſ­
cenſum, quot ad deſcenſum; ſi enim aliquis gradus concurrens ad deſ­
cenſum, non concurreret ad aſcenſum; haud dubiè non perueniret mo­
bile ad eandem altitudinem; quod autem æquale ſpatium reſpondeat
aſcenſui, & deſcenſui ſuppoſito æquali impetu, iam demonſtratum eſt ſu­
prà l. 3. & 5. ſed iam examinandæ ſunt proportiones huius deſtructio­
nis impetus in maioribus, & minoribus vibrationibus.
Theorema 22.
Poteſt determinari in qua parte arcus deſinat motus ſurſum in aſcenſu
vibrationis, ſi cognoſcatur ad quam altitudinem ferretur mobile per ipſum
perpendiculum; fit cum punctum infimum D, ſitque in pendule ille impe­
tus, haud dubiè per arcum ferretur in α, ducatur αQ parallela AO; haud
1dubiè per arcum feretur in Q & per chordam DO perueniet in θ; ſi ve­
rò illo impetu ferri tantùm poſſit in B per per DA, fertur in 4.per DO,
& in L per arcum; denique ſi ferri tantùm poſſit illo impetu per DA in
G, feretur in 3 per DO, & in H per arcum; quæ omnia conſtant ex Th.
20. quia cum eodem impetu aſcendit mobile ad eandem altitudinem
ſiue per ipſum perpendiculum, ſiue per chordas, ſiue per arcus; ex hoc
confirmatur maximè Th.10. quia ſi diuidatur perpendiculum in partes
æquales ductis parallelis AO, arcus ita diuidetur, vt ſuperior arcus ſit
minor. v.g. diuidatur DA in B æqualiter bifariam; ducatur BL parallela
AO, non diuidit arcum OD bifariam, cùm arcus OL ſit ſubtriplus arcus
OD; igitur cùm eo tantùm impetu, quo in perpendiculo acquireretur in
aſcenſu DB ſubduplum DA, in arcu acquiretur DL, quæ eſt 2/3 totius D­
O; igitur minores vibrationes minùs imminuuntur in aſcenſu, quàm
maiores.
Theorema 23.
Hinc tam facilè vibratur funependulum per minimum arcum, v. g. cum
primo impetu, quo aſcenderet ex D in C vel in 3. aſcendit in H; quia ſcilicet
cum eo impetu, quo minimum ferè ſpatium acquirit in perpendiculo,
notabile ſatis ſpatium decurrit in arcu.
Theorema 24.
Hinc tamdiu durant minimæ illa vibrationes; quia ſingulæ minima por­
tione imminuuntur, & maiores è contrariò tam citò decurtantur; cuius reſ
non eſt alia ratio præter eam, quam ſuprà adduximus, quæ rem ipſam
euincit; eſt tamen inſignis difficultas, quam paulò poſt diſcutiemus in
ſequenti Schol. Theorema 25.
Hinc ratio, cur minimo ſerè curſu funependulum etiam grauiſſimum modi­
ca libratione vibretur; immò, quod fortè alicui mirum videretur, ipſo an­
helitu grauiſſima pondera moueri poſſunt, quod quiuis facilè probare
poterit; pro quo diligenter obſeruandum eſt, vt eo dumtaxat ordine an­
helitus repetatur, quo vibrationes fiunt, ita vt iam euntem molem à
tergo impellat; vnde accidet, vt repetito tandem anhelitu maiore motu
funependulum vibretur.
Scholium.
Obſeruabis primò maximam occurrere difficultatem contra ea, quæ
hactenus demonſtrauimus; ſit enim quadrans AIE, ſitque EA diuiſa
in 4. partes æquales. v.g. ex A cadat corpus graue in E, & ex E aſcen­
dat denuò per EA eâ lege, vt omnes gradus impetus acquiſiti in deſcen­
ſu concurrant ad aſcenſum, excepto primo gradu impetus innati; certè
non aſcendet in A, vt conſtat ex dictis; igitur aſcendat in B, & ex B ite­
rum deſcendat in E, redeatque verſus A; haud dubiè perueniet tantùm
in C; ita vt tantum detrahatur ſpatij in hoc ſecundo aſcenſu, quantum
detractum eſt in primo: idem dico de tertio, quarto, &c. ducantur BH,
1CG, D F parallelæ AI; cum ſpatium eo modo decidatur ex area EI, quo
ex perpendiculo EA maiori vibrationi detrahitur IH, ſecundæ minori
HG, tertiæ GF, quartæ FE; igitur plùs detrahitur minoribus, quàm
maioribus.
Reſpondeo, maius ſpatium percurri ſurſum maiore tempore, quàm
minus; ſit enim EA conſtans 36. ſpatia iuxta nouam progreſſionem
arithmeticam, ſintque 8. gradus impetus acquiſiti in deſcenſu AE con­
iuncti cum innato: primo inſtanti, ſeu tempore percurrentur tantùm 7.
ſpatia, deſtrueturque vnus gradus impetus, ſecundo 6. deſtrueturque al­
ter gradus impetus; denique tertio 5. quatto 4. &c. igitur 28. ſpatia 7.
inſtantibus; igitur non perueniet in A mobile, ſed conficiet ſpatium,
quod erit ad EA, vt 28. ad 36. porrò ſi cadat ex 28. acquiret 7. gradus
impetus præter innatum, quorum ope ſecundo aſcendet ad 21. tertio ad
15. quartò ad 10. quinto ad 6. ſextò ad 3. ſeptimo ad 1. igitur ſpatium
quod amittit in aſcenſu continet 8. in ſecundo 7. in tertio 6. in quarto
5. in quinto 4. in ſexto 3. in ſeptimo 2. igitur eſt maxima inæqualitas,
quæ pari modo explicari poteſt in progreſſione Galilei.
Secundò, obijci poteſt: amitti tantùm ſpatij ſingulis temporibus,
quantum acquiritur primo tempore, vel inſtanti, cum impetu innato: ſed
cum primo ille velocitatis gradu vix intra multos annos conficeretur
modicum ſpatium. Reſpondeo, ſi conſideretur tantùm illud ſpatium,
quod acquiritur primo tempore cum impetu non impedito; haud dubiè
inſenſibile eſt, & licèt infinitus ferè repetatur illud idem ſpatium; haud
dubiè inſenſibile manet: vnde ſi aſcenſus fiat in 10000. inſtantibus, to­
ties accipi debet illud ipſum ſpatium, ex quo modicum tantùm reſultat,
quod minuitur in ſecundo aſcenſu, itemque in tertio, quarto, &c.
Vnde tenſio funis, ex quo pendet corpus graue conſideranda eſt, qui
cum propter impetum deſcenſus mox dilatetur, & tendatur, mox contra­
hatur, tùm in aſcenſu, tùm in deſcenſu; certè multùm impetus deſtruitur,
quod autem tendatur maximè in deſcenſu prædictus funis, conſtat
multis experimentis ſi minor eſt; nam reuerâ; ſi maior, eſſet multum re­
tardaret motum tùm aëris reſiſtentia, quæ etiam aliquid facit, licèt totus
hic effectus ab illa pendere non poſſit, vt aliqui volunt, tùm etiam partes
funis propiùs ad centrum accedentes, quæ citiùs deſcendunt, &c.
Tertiò, ſunt tres determinationes in aſcenſu; prima eſt impetus pro­
ducti in deſcenſu determinati ad Tangentem; ſecunda funis per ſuam li­
neam quaſi retrahentis pendulum. tertia ipſius impetus innati quaſi tra­
hentis deorſum idem pondus; atqui ex pugna trium determinationum in
eodem mobili deſtruitur multùm impetus, vt patet ex dictis alibi.
Quartò, cum eo impetu, cuius ope non poſſet corpus aſcendere per
ipſum perpendiculum EA, aſcendit adhuc per arcum EI; licèt enim cum
co impetu, quo fertur in F poſſit fieri in D, ſed tardiori motu; attamen
quia impetus qui pendulo ineſt, eſt determinatus ad talem gradum ve­
locitatis, quo certè per ipſam ED ferri non poteſt; quod etiam euincitur
ex organis mechanicis, & planis inclinatis; nam reuerà moueret aliquis
1per planum tantillùm inclinatum maximam corporis molem, quam per
aliud planum inclinatius, & accedens propiùs ad verticale minimè mo­
uere poſſet; cuius effectus alia ratio non eſt, niſi quod impetus, qui im­
primitur mobili ad talem gradum velocitatis ſit determinatus; atqui in
perpendiculo eo motu moueri non poteſt, vt conſtat, ſed in plano lon­
giore.
Quintò, hinc vera ratio, cur in ſuperiore arcu deſtruatur citò impe­
tus; tardiùs verò in in inferiore; quia, cùm Tangens cuiuſlibet puncti ar­
cus ſit eius planum, & hæc in arcu ſuperiore accedat propiùs ad perpen­
diculum; non mirum eſt, ſi cum eo impetu per arcum ſuperiorem mo­
ueri non poſſit mobile cò non aſcendat, cuius tantùm ope per inferio­
rem arcum aſcendit.
Theorema 26.
Omnes vibrationes numerari non poſſunt; certum eſt, cùm ſint infinitæ
ferè inſenſibiles, nec poteſt ſenſu diſcerni, quantus ſit arcus minimæ vi­
brationis; ſi tamen deſtrueretur tantùm impetus in aſcenſu ab impetu
innato, nec tenſio funis, triplex determinatio, reſiſtentia aëris, & diuerſæ
partes funis, quarum minores vibrationes impediuntur quidquam fa­
cerent, cognita differentia prima vibrationis & ſecunda, fortè cognoſci
poſſet numerus vibrationum cognito principio progreſſionis; quantus
verò ſit numerus vibrationum, quæ incipiunt à maiore, & quantus illa­
rum quæ incipiunt à minore etiam incertum eſt, v.g. ſi funependulum
AD demittatur ex O, & deinde ex L; certum eſt quidem eſſe plures vi­
brationes cum demittitur ex O toto eo vibrationum numero, quæ re­
cenſentur, donec perueniatur ad illam vibrationem, cuius aſcenſus con­
ſtat arcu DL; nam deinceps æqualis erit numerus earum, quæ conſe­
quentur, & earum, quarum prima demittitur ex L, vt patet; quot verò
præcedant vibrationes antequam perueniatur ad illam, cuius aſcenſus
eſt arcus DL; equidem aliqua obſeruatione affixo ſcilicet maiore qua­
drante parieti iu ſuos gradus diſtributo cognoſci poteſt, ſed nunquam
ſatis acurata.
Itaque certum eſt primò accelerari motum in deſcenſu, &c retardari
in aſcenſu.
Secundò, certum eſt impetum nouum accedere in deſcenſu in ſingu­
lis punctis arcus iuxta rationem ſinus recti arcus inferioris; in aſcenſu
verò imminui acquiſitum impetum in eadem ratione, omiſſa ea parte
impetus, quæ deſtruitur tùm in aſcenſu tùm in deſcenſu propter tenſio­
nem funis, & reſiſtentiam aëris.
Tertiò, certum eſt, primum gradum impetus ſcilicet innatum concur­
rere ad deſcenſum; ſecus verò ad aſcenſum, & contra vltimum gradum
concurrere ad aſcenſum, ſecus ad deſcenſum; ſed hic vltimus gradus mi­
nimus eſt, & pro nihilo reputandus.
Quartò, certum eſt aſcenſum minorem eſſe deſcenſu, nec funependu­
lum ad eandem, vnde dimiſſum eſt priùs, aſcendere altitudinem.
1
Quintò, certum eſt arcum deſcenſus maioris vibrationis habere ma­
iorem proportionem ad arcum aſcenſus, qui ſequitur, quàm habeat ar­
cus deſcenſus minoris vibrationis ad ſuum aſcenſum.
Sextò, certum eſt non tantùm imminui arcum aſcenſus ab aëre obſi­
ſtente ſed maximè ab impetu innato retrahente deorſum funependulum;
tùm etiam maximè ab ipſa tenſione funis, tùm ab ipſo fune adducente
pondus; tùm denique à diuerſis partibus funis, quæ dum ab aliis retinen­
tur, quaſi cum illis pugnant, ex qua pugna ſequitur aliqua clades in
motu.
Septimò, certum eſt acquiri æqualem impetum ex eadem altitudine
in motu deorſum, ſiue per arcum, ſiue per chordam, ſiue per ipſum per­
pendiculum inæquali tamen tempore; ſimiliter deſtrui æqualem im­
petum in aſcenſu, qui ad eandem altitudinem pertingit.
Octauò, certum eſt eo tempore, quo deſcendit mobile per arcum in
ipſo perpendiculo acquirere ſpatium maius ipſo arcu, minus tamen du­
plo radij.
Nonò, certum eſt, non accelerari motum per arcum in deſcenſu iuxta
proportionem numerorum 1.3.5.7. vt volunt aliqui; quia hæc accele­
ratio ex ipſo Galileo ſupponit principium illud, æqualibus temporibus
acquiruntur æqualis velocitatis momenta, ſed inæqualia acquiruntur in
arcu; vt patet ex dictis; multò minùs intenditur iuxta proportionem
arcuum qui ſecantur à lineis ductis parallelis horizontali ab iis punctis
perpendiculi, in quibus ſecatur iuxta hos numeros 1. 3. 5. 7. certum eſt
etiam non retardari iuxta eandem proportionem in aſcenſu: quippe in
hoc in eadem proportione retardatur, qua in illo acceleratur.
Decimò, certum eſt omnes vibrationes non poſſe numerari cuiuſcum­
que longitudinis ſit ipſum funependulum: immò hoc valdè eſſet inutile,
vt inutile eſt noſſe numerum granorum arenæ maris.
Vndecimò, certum eſt vibrationes minores citiùs abſolui, quàm maiores.
Duodecimò, certum eſt tempora vibrationum funependulorum inæ­
qualium eſſe ferè, vt radices longitudinum, & longitudines, vt quadrata
temporum dixi: ferè, nec enim omninò res ita ſe habet.
Conſtat ex iis quæ ſuprà diximus, ea omnia, quæ hactenus enumerata
ſunt, certa eſſe cum aliis plurimis ſuprà recenſitis; ſunt etiam aliqua in­
nota. Primò incertum fuit hactenus, in qua proportione temporum per­
curratur arcus: Equidem certum eſt in qua proportione velocitas creſcit,
vt ſuprà demonſtratum eſt; incertum, quænam ſit progreſſio ſpatiorum
ſeu proportio motus in ſpatio arcus, dato ſcilicet tempore ſenſibili.
Obſeruo tamen, ſi conſideretur hic motus in inſtantibus, demitta­
túrque funependulum è ſummo arcu, ſpatium quod acquiritur primo in­
ſtanti eſt ad ſpatium, quod acquiritur ſecundo, vt ſinus totus ad colle­
ctum ex ſinu toto & ſinu recto immediato arcus inferioris, qui proximè
accedit ad totum; eſt autem ad ſpatium, quod acquiritur tertio inſtan­
ti, vt ſinus totus ad collectum ex ſinu toto & duobus ſinubus rectis im­
mediatis, atque ita deinceps.
1
Obſeruo ſecundò iuxta progreſſionem Galilei, ſi aſſumatur pars tem­
poris ſenſibilis, in qua percurratur ſpatium ſuperius in arcu, non poſſe
cognoſci quanto tempore percurratur reliquus arcus; ſit enim trian­
gulum mixtum ABE, quale iam expreſſimus, ſitque primus arcus dato
tempore decurſus ad reliquum vt AD ad DE; ducatur DC, ſitque v.g.
trapezus DCBA ad triangulum ABE vt 2. ad.7.dico velocitatem, quæ
acquiritur in arcu AD, eſſe ad illam, quæ acquiritur in AE vt 2.ad 7. &
ad illam, quæ acquiritur in DE, vt 2.ad 5.ſed in hoc motu tempora non
ſunt vt velocitates; quia temporibus æqualibus non acquiruntur æqua­
les velocitatis gradus; igitur nec ſpatia vt temporum, ſeu velocitatum
quadrata; igitur incertum eſt hactenus, in qua proportione temporum
percurrantur duo arcus dati in quadrante, & quæ proportio ſpatiorum
reſpondeat temporibus datis.
Secundò, incertum etiam hactenus in qua proportione percurratur
velociùs arcus, quàm chorda, & tardiùs, quàm radius in perpendiculo,
& quantum ſpatium in eodem perpendiculo percurratur eo tempore,
quo totus arcus quadrantis peragitur.
Tertiò incertum eſt, in qua proportione minor vibratio citiùs peraga­
tur, quàm maior; licèt cognoſci poſſit in qua proportione peragantur ci­
tiùs duæ chordæ inſcriptæ arcui minori, quàm duæ inſcriptæ arcui maio­
ri; & licèt certum ſit omnes chordas ſeorſim ſumptas æqualibus tem­
poribus decurri, & citiùs decurri duas eidem arcui inſcriptas, quàm ſo­
lam inferiorem.
Quartò incertum eſt, in qua proportione imminuatur impetus tùm in
deſcenſu, tùm in aſcenſu, tùm propter reſiſtentiam aëris, tùm propter ten­
ſionem chordæ, tùm ratione triplicis determinationis in ſingulis pun­
ctis arcus; licèt certum ſit quantum ſingulis inſtantibus detrahatur im­
petus in aſcenſu ab impetu innato retrahente pendulum deorſum; incer­
tum eſt tamen, quantus ſit ille impetus innatus.
Quintò, incertum eſt in qua proportione aſcenſus primæ vibrationis
ſit minor deſcenſu eiuſdem; incertum etiam, in qua proportione aſcen­
ſus ſecundæ ſit minor aſcenſu prime; incertum denique, in qua proportio­
ne plùs imminuatur aſcenſus maiorum vibrationum, quàm minorum; li­
cèt certum ſit plùs imminui.
Sextò, incertum eſt, quot peragantur vibrationes dati funependulis
item quantus ſit arcus vltimæ vibrationis; item in qua proportione ma­
ior ſit numerus vibrationum, quarum prima maior eſt numero vibratio­
num, quarum prima minor eſt; denique quot intercipiantur vibratio­
nes in differentia data duorum arcuum.
Hæc, quæ hactenus propoſuimus in 6. vltimis capitibus, ſunt omninò
incerta, ita vt neque ſenſu percipi poſſint, neque fuerit hactenus vllum
principium, per quod poſsint demonſtrari; niſi fortè primum caput ex­
cipias, de quo infrà.
Primò dubium eſt an numerus vibrationum funependuli maioris ſit
maior numero vibrationum funependuli minoris, poſito quòd primam
1vtriuſque vibratio ſit ſimilis.
Secundò dubium eſt, an numerus vibrationum funependuli longio­
ris ſit æqualis numero vibrationum alterius minoris, poſito quòd prima
vtriuſque ab eadem altitudine demittatur; vel poſito quòd arcus primæ
maioris funependuli ſit æqualis arcui primæ minoris.
Tertiò dubium eſt, in qua proportione pendula materiæ grauiores
ſuas vibrationes citiùs peragant, quàm pendula materiæ leuioris; item­
que dubium, quanto tempore citiùs extinguantur vibrationes penduli
materiæ leuioris, quàm grauioris: licèt certum ſit citiùs abſolui vibra­
tiones funependuli materiæ leuioris, quàm grauioris; hæc ſunt dubia,
quæ breuiter diſcutiemus in ſequentibus Theorematis.
Theorema 27.
Funependula longiora diutiùs vibrantur, quàm breuiora, ſi prima vtriuſ­
que vibratio ſit ſimilis; experientia manifeſta eſt; ratio etiam euidens,
quia vt ſe habent ſingulæ vibrationes minoris ad ſingulas maioris; ita
omnes minoris ſe habent ad omnes maioris, vt patet; ſed ſingulæ maio­
ris diutiùs durant, quàm ſingulæ minoris; igitur omnes maioris diutiùs
durant, quàm omnes minoris; igitur funependula longiora diutiùs vi­
brantur, &c.
Theorema 28.
Tot ſunt vibrationes maioris funependuli per ſe, quot ſunt minoris, poſito
quod vtriuſque vibratio prima ſit ſimilis; demonſtratur, ſit enim fune­
pendulum maius AG, & minus AO ſubquadruplum ſcilicet AG, demit­
tatur AG ex AD, & AO ex AB, impetus acquiſitus in G per DG eſt
æqualis acquiſito in perpendiculo AG; & impetus acquiſitus in O per
BO eſt æqualis acquiſito in perpendiculo per AO; ſed acquiſitus in per­
pendiculo AG eſt duplus acquiſiti in perpendiculo AO, vt conſtat; ſunt
enim velocitates, vel impetus acquiſiti in ratione ſubduplicata ſpatio­
rum; præterea impetus, qui deſtruitur in aſcenſu GK, eſt æqualis acquiſi­
to in deſcenſu DG, excepto primo gradu; itemque deſtructus in aſcenſu
OM æqualis acquiſito in deſcenſu BO; igitur deſtructus in aſcenſu GK
eſt duplus deſtructi in aſcenſu OM; itaque poſt deſcenſum BO aſcendat
funependulum in N, ita vt aſcenſus ON ſit minor deſcenſu arcu NM:
quia ſcilicet ad aſcenſum non concurrit impetus innatus: dico quòd poſt
deſcenſum DG aſcendet tantùm in H; ita vt aſcenſus GH ſit minor deſ­
cenſu toto arcu HK quadruplo MN: porrò tempus aſcenſus per GK
eſt duplum aſcenſus per OM; & ſi concurreret impetus innatus, aſcen­
ſus eſſet æqualis deſcenſui per ſe; igitur perueniret in K; igitur ſi non
concurrat vno tempore deeſt ſpatium NM, vel IK, id eſt toto eo tem­
pore, quo aſcendit pendulum AO; impetus innatus cum aliis concur­
rens ad aſcenſum promoueret mobile toto ſpatio NM, quod deeſt tan­
tùm defectu illius concurſus; igitur, ſi æquali tempore non concurrat ad
aſcenſum GK; certè ex aſcenſu detrahetur tantùm IK æqualis v.g. MN;
ſi verò duobus temporibus æqualibus non concurrat; certè ex aſcenſu
1detrahetur HK quadruplum MN; nam ſicut idem impetus concurrens
duobus temporibus addit quadruplum ſpatium propter motum accele­
ratum; ita ſi non concurrat duobus temporibus, deerit ſpatium qua­
druplum illius quod deeſſet, ſi tantùm vno tempore non concurreret;
igitur aſcenſus maioris funependuli erit OH; igitur OH, ON erunt vi­
brationes ſimiles; igitur ſi deſcendat AG ex H, & AO ex N, vibrationes
aſcenſus ſecundi erunt adhuc ſimiles propter eandem rationem; igitur
& vibrationes tertij aſcenſus, quarti, quinti, atque ita deinceps; igitur tot
erunt vibrationes maioris, quot minoris per ſe, ſi prima vtriuſque vi­
bratio ſit ſimilis: dixi per ſe; nam per accidens ratione funis ferè ſemper
accidit mutari iſtum ordinem vibrationum.
Præterea, cùm impetus, quo pendulum maius aſcendit per GK,
ſit duplus illius, quo minus aſcendit per OM, cùm in ſingulis punctis
aſcenſus OM, & ſingulis aſcenſus GK deſtruatur impetus; cum GK ſit
quadruplum OM; certè in ſingulis punctis GK impetus deſtruitur ſub­
duplus illius, qui in ſingulis punctis OM deſtruitur; ſi enim æqualis; igi­
tur impetus per GK eſſet quadruplus impetus per OM; ſi minor ſubdu­
plo v. g. ſubquadruplus; igitur impetus per GK eſſet æqualis impetui
per OM; ſed eſt tantum duplus; igitur ſubduplus deſtruitur in ſingulis
punctis, igitur in æquali punctorum GK numero, ſubduplus tantùm im­
petus deſtrueretur; in duplo punctorum numero, æqualis, in quadruplo
punctorum numero, duplus; deſtruitur autem in ſingulis punctis GK
ſubduplus; quia ſubduplum tantùm tempus reſpondet ſingulis punctis G
K illius temporis, quod reſpondet ſingulis punctis OM.
Corollarium 1.
Primò colligo, ſolutionem primi dubij propoſiti ſuprà, ita vt non iam
dubium, at certum omninò ſuperſit.
Corollarium 2.
Secundò colligo, ſolutionem ſecundi dubij, ſi enim funependulum P
G demittatur ex PR & AG ex AT; haud dubiè plures erunt vibrationes
penduli PG, quàm AG; quia tot eſſent AG, quot PG, ſi AG demittere­
tur ex AD; ſed plures ſunt vibrationes funependuli AG demiſſi ex AD,
quàm eiuſdem ex AT; ergo plures funependuli PG demiſſi ex PR,
quàm AG demiſſi ex AT; vnde ſoluitur prima pars dubij ſecundi,
Corollarium 3.
Tertiò colligo, ſolutionem ſecundæ partis eiuſdem dubij; ſi enim A
O demittatur ex AB, & AG ex AS; ita arcus GS ſit æqualis arcui OB;
certè erunt plures vibrationes AO, quàm AG, vt patet ex dictis; quod
ſpectat ad tertium dubium, illud ipſum ſoluemus paulò pòſt.
Corollarium. 4.
Quartò ſi demittatur funependulum AG ex AV, vt deſcendat in A
G, ſitque clauus horizonti parallelus in P, non aſcendet ſegmentum PG
in PR, vt vult Galileus; quia AV non aſcenderet in AT, quod ipſe ſup-
1ponit; atqui ſuprà demonſtrauimus aſcenſum minorem eſſe deſcenſu, non
tantùm propter reſiſtentiam aëris, vt vult ipſe Galileus; ſed propter prin­
cipium intrinſecum deſtructiuum impetus acquiſiti in deſcenſu, de quo
ſuprà.
Corollarium 5.
Quintò equidem, ſi AG demittatur ex AR, affixo clauo in P, non
modò ſegmentum PG aſcendet in PR, verùm etiam altiùs aſcendet ver­
ſus A; immò gyri plures erunt, ſi clauus affigatur propiùs ad punctum
G, qui certè gyri quò minores erunt, eò citiùs conficientur.
Corollarium 6.
Poteſt determinari numerus iſtorum gyrorum; ſit enim primò clauus
in P, ſint que APG æquales; ſi AG poſt deſcenſum KG aſcenderet in
AD; certè ſegmentum PG aſcenderet per ſemicircumferentiam GR
A, in PA, ratio eſt, quia pendulum G deſcendent ex K; ſed ex hypotheſi
Galilei ſi deſcenderet ex Y aſcenderet in R; igitur cùm aſcendet cum illo
impetu acquiſito in deſcenſu KG, aſcenderet in D ex hypotheſi Galilei;
ſed arcus GD eſt æqualis GRA.
Obſeruabis primò iuxta noſtram hypotheſim, qua diximus pendulum
AG poſt deſcenſum per KG non aſcendere in D, vix poſſe cognoſci
affixo clauo, ad quod punctum circuli GRA ex G pendulum peruentu­
rum ſit; ſi enim per GD aſcendat in F, & aſſumatur AZ æqualis DF, non
deeſſent fortè, qui exiſtimarent arcum aſcenſus per GRA eſſe GRZ
æqualem GF; ſed plùs impetus deſtruitur in arcu GRZ, quàm in arcu
GF, vt patet ex dictis; nam nullum eſt punctum in arcu GF, in quo plùs
impetus deſtruatur, quàm in alio dato arcus GRZ; cùm tamen ſint ali­
qua puncta in arcu GRZ, in quibus plùs impetus deſtruitur, quàm in
arcu GF, v.g. in puncto R; itaque ducatur FD parallela AD: dico quòd
perueniet pendulum in δ; quippe cum eodem impetu ad eandem altitu­
dinem aſcenditur; quæ omnia certa ſunt.
Obſeruabis ſecundò, ſi affigatur clauus in θ, ſintque PθG æquales, ex
hypotheſi Galilei; pendulum G primò ex G perueniet in P, cum eo ſcili­
cet impetu, quo perueniet in T; tùm deinde ex P per β redit in G aucto
ſcilicet impetu in deſcenſu P β G, & ex G iterum aſcendit in P; atque ita
deinceps; quippe gyri perennes eſſent, niſi tandem totum filum circa
clauum conuolueretur.
Obſeruabis præterea, aliquid ſimile contingere, cum pondus filo pen­
dulum in gyros, agimus circa mobilem digitum, v.g. quippe vltimi gyri
citiùs abſoluuntur; quia ſcilicet breuiores ſunt, ſed hæc ſunt facilia; ob­
ſeruabis tamen cum voluitur filum illud circa digitum pendulum, non
moueri motu circulari, ſed ſpirali; vnde cùm motus mixtus ſit, in librum
ſequentem reiicimus.
Obſeruabis deinde, cum pendulum AG deſcendit ex V in G, & prop­
ter clauum, à quo retinetur, filum aſcendit in R, aſcenſum GR ferri bre­
uiore tempore, quàm aſcenſum GT; quia aſcenſus GT & GD æquali ſe-
1rè tempore peraguntur; ſunt enim vibrationes eiuſdem funependuli;
quippe licèt minor vibratio minore tempore fiat; illud tamen ſenſu diſ­
cerni non poteſt, niſi in ſerie multarum vibrationum; atqui GR perfici­
tur æquali tempore, ſiue pendulum deſcendat ex V; ſiue ex Y; acquiritur
enim æqualis impetus vtroque modo; ſed aſcenſus GR fieret æquali
tempore cum deſcenſu YG; hic verò breuiore, quàm VG, vt patet; ſunt
enim numeri vibrationum, vt radices longitudinum.
Obſeruabis denique poſſe funependulum, PG ſolidum demitti ex A,
ſi tantillùm inclinctur; fed de hoc funependulorum genere agemus
infrà.
Theorema 29.
Funependulum in fine aſcenſus non quieſcit vno inſtanti; quia numquam
ad perfectam æqualitatem peruenitur; quod eodem modo probatur,
quo ſuprà l. 3. eſt enim par ratio.
Theorema 30.
Figura penduli multum facit ad motum vibrationis: ſphærica omnium
ferè aptiſſima eſt præter Conchoidem, & eam, quæ conſtaret ex duobus
conis in communi baſi coniunctis, vel in gemina pyramide; ratio conſtat
ex cis, quæ diximus de motu naturali.
Theorema 31.
Funis multùm etiam facit; omnium optimus eſt tenuiſſimus, qui ſci­
licet faciliùs aëra ſecat; nec enim dubium eſt, quin huic diuiſioni reſiſtat
aër, cuius reſiſtentiæ analogiam videmus in aqua, quam funis oblongus
non niſi cum ſenſibili reſiſtentia diuidit, vt videre eſt in iis funibus, qui­
bus ab equis naues trahuntur; aliqui adhibent ductum auri filum; ſed
vnum præſertim obſeruandum eſt, ſcilicet ne præ nimia tenuitate maio­
ris fortè vi ponderis vlterius ducatur, vel dilatetur; vtrumque enim mo­
tum vibrationis retardat: immò pendulum ipſum non deſcriberet ſemi­
circulum; an verò ſemiellypſim vt volunt aliqui, definiemus ſuo loco,
cum de lineis motus.
Theorema 32.
Pondus funependuli multùm facit ad vibrationis motum; ſi enim granu­
lum plumbeum appendatur, vix ſuperabit reſiſtentiam funis, qui vt vi­
bretur, optimè tenſus eſſe debet; atqui notabili pondere tendi tantùm
poteſt.
Theorema 33.
Materia funependuli multùm etiam facit ad vibrationis motum ſuppoſita
ſcilicet eadem figura; quippe tam leuis eſſe poſſet materia, vt nec aëris
vim nec funis reſiſtentiam ſuperaret: hinc globus ſubereus vel è ſambu­
cea medulla conſtans, tardiùs deſcendit, quàm plumbeus; habes apud
Merſennum has proportiones; globus plumbeus pendulus fune pedum
3. 1/2 è ſummo quadrantis arcu demiſſus aſcendit per arcum oppoſitum
1æqualem minus vno digito; ſubereus verò minus 4/9 arcus quadrantis; ſam­
buceus minus 6/7 cereus minus tribus digitis; addit præterea plumbeum in
perpendiculo conficere 48. pedes tempore duorum ſecundorum, cereum
paulò maiore tempore; quod tamen percipi non poteſt; ſubereum in eo­
dem ſpatio percurrendo ponere tria ſecunda medullarum 5. veſicam piſ­
cis inflatam 8. ſed hæc accuratè obſeruari non poſſunt; ſi enim dicam
ſupereſſe, vel deeſſe aliquid, vel ſpatij, vel temporis, quod tamen ſenſu
minimè percipiatur; quis eſt qui contrarium probare poſſit.
Scholium.
Obſeruabis primò non eſſe omittendum, quod habet Galileus in dia­
logis, & facilè ex dictis colligi poteſt, ſcilicet pendula diuerſæ longitu­
dini sita poſſe componi, vt vnum vnicam vibrationem efficiat, dum aliud
percurrit 2. vel 3. &c. atque ita haberi poſſe quemdam oculorum quaſi
concentum non ſonorum ſed motuum, v.g. ſi ſit alter funis longus 4. pe­
des; alter verò vnum, pendulum ex illo duas percurret; quia numeri
vibrationum ſunt, vt tempora; hæc verò ſubduplicata longitudinum; hîc
autem vides quadam ſpeciem diapaſon, cuius proportio in his numeris
poſita eſt 1/2; ſi vero aliud funependulum ſit longum 9. pedes, conficiet
& alterum vnum hoc eodem tempore tres vibrationes; ſi ſit aliud, 16.
pedes longum, & alterum vnum; hec eodem tempore conficiet 4. vibra­
tiones, atque ita deinceps poteris habere quamlibet proportionem in
numeris vibrationum ex ipſa combinationum regula; ſed profectò non
magnam voluptatem ex hac quaſi oculorum muſicâ percipies, ſaltem
ego modicam percipere potui.
Obſeruabis ſecundò, hactenus actum eſſe à nobis de primo funepen­
dulorum genere ſatis longa tractatione; iam ergo ſupereſt, vt de aliis
agamus.
Theorema 34.
Pondus pendulum contorto fune gyros agit reciprocos in plano horizontali;
ratio petitur tantùm ex compreſſione intorti funis, qui dum ſe ſe redu­
cit ad priſtinum ſtatum, pendulum pondus in gyros agit; cum verò acce­
leretur motus, & nouus ſemper accedat impetus, pendulum ipſum funi
etiam priſtino ſtatui reſtituto quaſi primam gratiam refert, cùm impe­
tum in eum refundat; ſi enim funis ſolus adeſſet nullo pendulo pondere
tenſus; haud dubiè ſtatim quieſceret, vbi ſublata eſſet compreſſio; at verò
quia impetus ponderi pendulo impreſſus adhuc durat funem ipſum in
contrariam partem intorquet; donec tandem poſt multos gyros repeti­
tos pendulum pondus quieſcat.
Scholium.
Obſeruabis plures eſſe huius funependuli motus affectiones, quæ certè
demonſtrari poſſunt; quia tamen cauſa huius, qui ſequitur ex compreſ­
ſione eſt noua potentia motrix, quàm mediam vocamus, cuius mirifica
vis vix cognoſci poteſt, niſi probè cognoſcatur ratio denſi, rari, &c. tra-
1ctationem hanc in alium Tomum reiicimus, in quo fusè agemus de om­
nibus affectionibus huius potentiæ.
Theorema 35.
Corpus oblongum flexibile in altera extremitate immobiliter affixum, ſi in­
curuetur non modò reducit ſeſe ad priſtinum ſtatum, verùm etiam multas
tremulas vibrationes hinc inde facit; quarum cauſa eſt motus acceleratus
eiuſdem potentiæ motricis mediæ; has quoque vibrationes remitti­
mus.
Theorema 36.
Funis tenſus in vtraque extremitate affixus, ſi pulſetur infinitas ferè tremu­
laſque vibrationes hinc inde peragit; ſunt etiam mirabiles harum vibra­
tionum affectiones, quas multis Theorematis in eodem volumine pro­
ſequemur.
Diceret aliquis; igitur in hoc tractatu omnia, quæ ſpectant ad motum
non habentur; Reſpondeo, tractatum hunc eſſe potiſſimum inſtitutum
ad demonſtrandas omnes affectiones tùm motus grauium, tùm motus
impreſſi à principio extrinſeco, intactis prorſus iis motibus, qui ſunt vel
à potentia motrice animantium, in ipſis dumtaxat animantibus, de qui­
bus agemus ſuo loco, quales ſunt progredi, currere, volare, notare, repe­
re, &c. vel à leuitate corporum, ſi fortè aliquis motus eſt à leuitate,
quod hîc non diſcutio, ſed remitto in librum de graui & leui; vel de­
nique ab illa potentiâ mediâ, cui omnes motus tenſorum; compreſſorum,
arcuum; reique tormentariæ tùm hydraulicæ, pneumaticæ, &c. tribue­
mus: de his certè motibus in hoc tractatu non agemus; quia cùm non
poſſint demonſtrari illorum affectiones, niſi cognoſcantur illorum cau­
ſæ; neque hæ cognoſci poſſint, niſi multa alia cognoſcantur, vt certiſſi­
mum eſt; minùs prudenter factum eſſet, ſi de iis hoc loco diſputatio
inſtitueretur.
Theorema 37.
Eſt aliud corporis libratilis genus ſi ſit v. g. corpus oblongum, grane,
& ſolidum AF in ſitu horizontali innixum plano verticali EBCD; ſi
enim extremitas F attollatur per arcum FG circa centrum B; haud du­
biè altera A deprimetur per arcum AI circa idem centrum B; at ſtatim
G deſcendet motu naturaliter accelerato in F, & propter acquiſitum in
deſcenſu, deſcendet infra horizontalem GF per arcum FH, circa cen­
trum C, & I aſcendet in A, tùm in K, ſed K ſtatim deſcendet, atque ita
deinceps; donec tandem poſt multas vibrationes quieſcat AF in ſitu
horizontali; porrò G deſcendit, quia GI non eſt in æquilibrio, cùm
centrum grauitatis ſit in M; igitur BG, quæ eſt longior BI, deſcen­
det.
Corollarium 1.
Primò colligo, motum accelerari in deſcenſu GF, quia impetus acqui­
ſitus in G remanet adhuc in Q, & nouus acquiritur, vt ſæpe dictum eſt.
1
Corollarium 2.
Secundò, impetum acquiſitum in G eſſe minorem acquiſito in que &
acquiſitum in Q minorem acquiſito in F; quia momentum in G eſt ad
momentum in E, vt OB ad FB, vt ſuprà dictum eſt multis locis.
Corollarium 3.
Tertiò colligo, eſſe inuerſas rationes accelerationis in funependulo, &
in priori, quod vibratur in plano verticali: quippe in iſto impetus ac­
quiſitus in ſuperiore arcu eſt maior acquiſito in inferiore, ſecus in illo.
Corollarium. 4.
Quartò colligo, iſtas vibrationes non eſſe perpetuas, quia ſecunda eſt
minor prima, & tertia minor ſecunda, atque ita deinceps propter ratio­
nem, quam attulimus ſuprà.
Corollarium 5.
Quintò colligo, vibrationes minores fieri citiùs, quàm maiores, v. g.
QF quàm GF, quod multis conſtat experimentis, & ratio eſt manifeſta;
quia QF ſit æqualis QG; certè QF accedit propiùs ad perpendicularem
quàm GQ; igitur cùm ſit æqualis, breuiore tempore percurretur, quod
clariſſimum eſt.
Corollarium 6.
Sextò colligo, eaſdem vel ſimiles ſequi ſi AF ſuſpendatur ex LN; eſt
enim prorſus eadem ratio.
Corollarium 7.
Septimò colligo, alia corpora etiam cubica, vel alterius figuræ plano
horizontali v. g. ipſi ſolo incubantia, ſi tantillùm è ſuo ſitu remouean­
tur per ſimiles vibrationes ſeſe in illum reſtituere; immò ex minima
percuſſione multis huiuſmodi vibrationibus percuſſum corpus contre­
miſcit.
Theorema 38.
Si corpus ſolidum pendulum circa punctum immobile ita voluatur, vt ex
verticali ſitu amoueatur; haud dubiè deſcendet, aſcendetque per vibrationes
repetitas; & hoc eſt vltimum vibrationum genus, quarum eadem eſt
prorſus ratio, & cauſa, quam ſuperioribus tribuimus, iis ſcilicet, quæ in
plano verticali à pendulo pondere deſcribuntur; nam in vtroque genere
vibrationum primò acceleratur motus; ſecundò plùs initio, minùs ad fi­
nem vibrationis, tertiò non ſunt perpetuæ vibrationes; quartò ad aſcen­
ſum non concurrit impetus innatus; quintò, impetus deſtruitur cum ma­
iore proportione in maiore vibratione, quàm in minore, &c. quæ vtri­
que generi ſunt communia.
Theorema 39.
Funependulum, & corpus oblongum eiuſdem longitudinis non deſcendunt
equè velociter, ſi ex eadem altitudine demiſſa circa centrum immobile vibrentur;
1 ſit enim corpus oblongum AB vibratum circa centrum immobile A
per arcum BC, ſitque pendulum pondus C fune CA, demiſſum, & vi­
bratum per arcum BC; certè tardiùs funependulum hoc arcum BC per­
curret, quàm corpus oblongum, quod multis experimentis comprobatum
eſt; ratio eſt, quia in pondere funependulo ſolum pondus E cenſeri de­
bet cauſa motus; quippe, licèt funis aliquid conferat; quia tamen tam
exilis eſſe poteſt, vt vix quidquam addat póderis, pro nihilo computatur;
igitur totus motus eſt ab ipſo pondere pendulo; at verò in corpore ob­
longo AB, quod ſit v. g. parallelipedum, vel cylindricum, non tantùm eſt
motus à puncto B, verùm etiam à punctis FE, &c. cum enim punctum
F, v. g. ſi ſeorſim ſumatur, percurrat arcum FG citiùs quàm punctum B
ſeorſim arcum BC, certè punctum F, quaſi deorſum rapit punctum B igi­
tur totum corpus AB citiùs abſoluit ſuam vibrationem, quàm funepen­
dulum, quod erat probandum.
Theorema 40.
Vt ſuſtineatur corpus oblongum AB, faciliùs ſuſtinetur in B, quàm in P,
& in F, quàm in E, & in E quàm in H, atque ita deinceps (ſuppono autem,
quòd poſſit volui circa centrum A) ratio clara eſt ex vecte, de quo ſuo
loco; immò licèt AB penderet tantùm vnam vnciam, poſſet aliquod
aſſignari punctum iuxta A, in quo ab homine robuſtiſſimo ſuſtineri non
poſſet in ſitu horizontali AB.
Theorema 41.
Si deſcendat cylindrus AB in AC circa centrum A, & occurrat in AC
alteri corpori, ictum maximum infliget ex puncte F, ſi AF eſt media pro­
portionalis inter AE, AB, & habeatur tantum ratio impetus abſolutè ſumpti ;
hoc fuit iucundiſſimum Theorema, quod in lib. 1. demonſtrauimus; ne­
que hîc repeto; vnum tantùm addo valdè paradoxon in punctum G eſſe
maximum ictum, non tamen maximam vim, ſcilicet ad mouendum;
nam in D maior erit vis, quàm in G, & in I, quàm in D; erit tamen mi­
nor motus, ſeu minor impreſſio.
Theorema 42.
In maiori proportione deſtruitur impetus in aſcenſu vibrationis eiuſdem
corporis oblongi, quam in aſcenſit vibrationis funependuli; conſtat certè cla­
riſſimis experimentis; ratio eſt, quia plures partes impetus innati reſi­
ſtunt; quippè impetus innatus funis tam paruus eſt, vt pro nullo ha­
beatur.
Theorema 43.
Hinc ſunt pauciores vibrationes corporis oblongi, quàm funependuli, cum
ſinguli aſcenſus plùs impetus deſtruant in vibrationibus corporis ob­
longi, quàm funependuli: Hinc citiùs quieſcit corpus oblongum vibra­
tum, quàm funependulum; licèt vtrumque ex eadem altitudine demitta­
tur; quod etiam multis experimentis comprobatur, & ratio patet ex
dictis.
1
Theorema 44.
Vibrationes minores corporis oblongi citiùs peraguntur, quàm minores; ex­
perientia certa eſt, ratio verò eadem cum ea, quam explicuimus ſuprà
in funependulis.
Theorema 45.
Minùs producitur impetus in E, v.g. corporis oblongi, ſcilicet in deſcenſu,
quàm ſi AE ſeparata eſſet ab AB; patet, plùs tamen producitur, quàm ſi
E deferretur à B, vt accidit in funependulis; prima pars eſt certa; quia
corpus oblongum AE perficit citiùs ſuam vibrationem, quàm AB; ſecun­
da etiam probatur, quia alioqui vibratio corporis oblongi, & vibratio
funependuli eiuſdem longitudinis æquali tempore percurreretur.
Theorema 46.
Si punctum H eſſet nodus longè grauior reliquo AB, extremitas B percur­
reret citius arcum BC, quàm ipſum perpendiculum; quia ſcilicet impetus
nodi A ſeg mentum HB ſecum abriperet; ſed eo tempore, quo percurri­
tur arcus HI, non percurritur, perpendiculum æquale arcui BC, vt pa­
tet; immò poſſet ita componi corpus oblongum, vt punctum B tùm in
perpendiculo, tùm in arcu BC, æquè citò moueretur; multa haud
dubiè dicenda ſuperſunt de hoc pendulorum genere, quæ
remittimus in appendicem, quam huic Tomo
ſubnectimus.
28[Figure 28]
1 29[Figure 29]
LIBER SECVNDVS,
DE MOTV NATVRALI.
LIBER NONVS,
DE MOTV MIXTO EX RECTO, ET
Circulari, vel ex pluribus Circularibus.
MOTVS mixtus eſſe poteſt vel ex recto,
& circulari, vel ex duobus rectis, &
circulari, vel ex duobus circularibus, &
recto, vel ex pluribus circularibus, at­
que ita deinceps: de iis acturus ſum in
hoc libro, reiectis tamen lineis iſtorum motuum in
Tomum ſequentem.
DEFINITIO 1.
MOtus mixtus ex circulari & recto ille eſt, ad quem concurrit duplex
impetus, quorum vnus ſit determinatus ad motum rectum, & alius
ad circularem, vel vnus tantum impetus, ad cremam, & rectam lineam ſim
modo determinatus.
Hunc modum explicabimus infrà in Theorematis; interea definitio,
ſatis clara eſt mihi videtur: exemplum habes in rota, quæ in recto plano
voluitur.
Definitio 2.
Motus mixtus ex duobus circularibus eſt, ad quem concurvit impetus, vel
vnicus, vel duplex ad duas lineas circulares determinatus; ſimiliter de­
finiri poteſt mixtus in duobus, & circulari; duobus circularibus & recto,
pluribus circularibus.
Sed quæſo, cum audis motum mixtum ex duobus, caue credas, duos
motus ineſſe eidem mobili; quod certè fieri non poteſt, ſed tantùm plu­
res impetus, vel vnicum ad diuerſas lineas determinatum.
1
Axioma 1.
Illa partes mouentur velociùs, quæ tempore aquali maius ſpatium acquirunt
tardiùs verò, que minus ſpatium, clariſſimum eſt, nec maiori indiget expli­
catione.
Axioma 2.
Cum vtraque determinatio motus ad eandem partem ſpectat, acquiritur
maius ſpatium; tum verò ad diuerſas partes minus, at que ita prorata; hoc
etiam Axioma certum eſt.
Hypotheſis.
Rotæ circa idem centrum mobilis ſemicirculi oppoſiti in partes contrarias
feruntur, motu ſcilicet orbis per arcus ſcilicet æquales; nam anguli oppoſiti
æquales ſunt; ſed arcus ſunt vt anguli.
Poſtulatum.
Liceat rotare orbem in plana ſuperficie, in conuexa, in concaua, in æquali.
inæquali, ita vt motus orbis conueniat cum motu centri, vel ab eo diuerſus ſit.
Theorema 1.
Rota, quæ mouetur in ſuperficie plana, mouetur motu mixto ex recto centri
& circulari orbis; ſit enim AQLZ incubans plano AD in quo rotatur,
ſitque AD recta æqualis arcui Aque certè poſito quod motus orbis ſit æ­
qualis motui centri, id eſt poſito quod æqualibus temporibus ſegmentum
plani percurratur motu centri v.g. QE vel AD æquale arcui, qui circa
centrum O conuoluitur motu orbis, v.g. arcui AQ, quodlibet punctum
peripheriæ rotæ mouebitur motu mixto ex recto, & circulari v. g. pun­
ctum L motu centri fertur verſus V & motu orbis verſus Q; ſi enim
eſſet tantum motus centri verſus E, omnes partes mouerentur motu recto
v.g. L per rectam LV, A per rectam AD; ſi verò eſſet tantùm motus
orbis, omnes partes mouerentur tantùm motu circulari v. g. L, per ar­
cum LZ; A per arcum AZ; at cum ſimul ſit vterque motus, id eſt vtraque
determinatio, certè vtraque confert de ſuo; igitur eſt motus mixtus.
Theorema 2.
Vnicum tantùm punctum rotæ mouetur metu recto, ſcilicet centrum, cætera
per lineam curuam; de centro conſtat, quia cùm ſemper æqualiter diſter
à planis AD & LV, ſcilicet eodem radio OL, ON; certè percurrit OE
parallelam vtrique; ſed parallela vtrique eſt recta, punctum verò L mo­
uetur per lineam curuam, vt conſtabit ex illius deſcriptione, quàm tra­
demus infrà.
Theorema 4.
Si diuidatur arcus LQ in tres arcus aquales & planum AD in tres par­
tes æquales, poteſt aſſignari punctum, in quo ſit L decurſo prime arcu LK; ſi
enim eſſet tantùm centri, eſſet in μ, ſi motus orbis eſſet in K; igitur
ſit recta MI parallela LV, ſitque KI æqualis AB, vel L μ; haud dubiè erit
1in I; nec enim deſcendet infra MI, vt conſtat: ſic motus orbis dat LK,
vel MK motus centri L μ vel KI; igitur vterque ſimul LI vel KI: ſi­
militer decurſo arcu KH, punctum rotæ L erit in G; nam motus orbis
dat LH, vel NH, vel motus centri AC vel LV; igitur ſi aſſumatur HG
æqualis LV, vterque motus dabit LIG.
Corollarium 1.
Hinc colligo, deſcriptionem lineæ, quam ſuo motu ſeu flux^u deſcri­
bit punctum L, cuius infinita puncta aſſignari poſſunt, ſi enim diuidatur
planum æquale arcui LQ in tot partes, in quot diuiditur arcus LQ, &
cuilibet ſinui recto arcus aſſumpti addatur ſegmentum plani conſtans
tot partibus, quot partibus arcus aliis arcubus v.g.ſinui MK, KI æqua­
lis L μ, ſinui NH, LV, denique ſinui toti OQ tota LY, habebuntur ſin­
gula puncta huius lineæ L, I, G, F quam rotatilem appellamus; quæ certè
eò acuratiùs deſcribetur, quò plura eius puncta ſignabuntur, id eſt quò
diuidetur arcus LQ in plures arcus, & planum LV in plures partes.
Corollarium 2.
Linea quoque rotatilis puncti A deſcribi poteſt diuiſo arcu AZ in
tres arcus, & plano AD in 3. pattes; ſint enim ſinus TX, Y π ſitque TS
æqualis AB, YR æqualis AG, & ZP æqualis AD; certè deſcribetur hæc
linea per puncta ASRP à quo plura puncta ſignabuntur, eò accuratiùs
deſcribetur, quæ omnia conſtant ex dictis; nam motus orbis dat AT vel
XT motus centri AB; igitur TS.
Corollarium 3.
Hinc vides punctum L oppoſitum puncto contactus ita moueri, vt
motus orbis addatur motui centri; punctum verò A ita mouetur, vt mo­
tus orbis detrahatur motui centri.
Corollarium 4.
Hinc etiam deſcribi poteſt linea, quam deſcribit quodlibet punctum
interioris circuli v.g. punctum E; deſcribatur enim arcus quadrátis & 2.
diuidatur in 3. arcus æquales, ducanturque per puncta ſignata 3.4. rectæ
parallelæ OE, aſſumatur 3. 5. æqualis L μ & 4, 6, æqualis LV; denique
2.7. æqualis LV, connectanturque puncta ſignata per lineam nouam, E
5.6.7. hæc eſt linea quam deſcribit ſuo motu mixto punctum C, quæ
conſtat ex dictis.
Corollarium 5.
Aliter deſcribi poteſt hæc linea rotatilis; ſit enim AD diuiſa v.g. in
tres partes æquales, itemque OE ex punctis ρ Q, deſcribantur circuli
æquales rotæ, aſſumanturque arcus BS æqualis LK & arcus CR æqua­
lis LK, & habebis puncta SR: ſimiliter aſſumatur arcus μ I æqualis LK
& alter V.G. æqualis LH, & habebis puncta IG, idem fiet pro aliis pun­
ctis; hinc vides rotatiles deſcribi poſſe per ſinus, & per arcus.
1
Corollarium 6.
Collige punctum L in arcu deſcenſus LQ ita moueri, vt motus orbis
addat ſinus rectos motui centri v.g. motus orbis LK addit ſinum rectum
MK; punctum vero oppoſitum A ita mouetur in arcu AZ, vt motus or­
bis detrahat ſinus rectos motui centri v. g. motus orbis AT detrahit
ſinum XT, punctum Z ita vt aſcendit per arcum ZL, vt motus orbis
addat motui centri ſinus verſos v. g. motus orbis arcus ZQ addit ſinum
verſum Z 11. denique punctum oppoſitum Q ita deſcendit per arcum
QA vt motus orbis detrahat motui ſinus verſos v. g. motus orbis arcus
QT detrahit ſinum verſum Q 13. hinc vides quàm benè conueniant,
ſingulæ quadrantes rotæ cuius rei ratio clariſſima eſt.
Corollarium 7.
Hinc punctum Z in aſcenſu Z, 10.grad. 60. tantùm addit motui cen­
tri, quantum L in deſcenſu L, 10.grad.30. aſcenſus verò 10. L grad. 30.
tantum addet quantum aſcenſus 10, Q grad. denique ſi accipiatur primus
arcus aſcenſus addit ſinum verſum, ſi vltimus, rectum; at verò primus
deſcenſus in ſemicirculo dumtaxat ſuperiore addit ſinum rectum, vlti­
mus verſum, quæ omnia certiſſimè conſtant.
Scholium.
Obſeruabis hanc eſſe liueam rotatilem, quàm à multis annis cum in­
finitis ferè rotatilium ſpeciebus & proprietatibus noſter Philoſophus in­
uenit, de quibus ſequenti Tomo.
Theorema 4.
Omnia puncta rotæ AQLZ, quæ rotatur in plano, mouentur inæquali mo­
tu; de duobus oppoſitis LA conſtat manifeſtè, quia æquali tempore
L acquirit maius ſpatium, quàm A, v. g. ſpatium LI eo tempo­
re quo A acquirit ſpatium AS: de duobus QZ etiam conſtat; nam
Z ita mouetur verſus L, vt motus orbis addat ſinum verſum motui centri
Q verò ita mouetur, vt detrahat eundem ſinum; igitur Z mouetur velo­
ciùs, quàm que de duobus K & 10. certum eſt, nam 10. plùs addit aſcen­
dendo quàm K deſcendendo æquali tempore; nam 10. in arcu 10. L ad­
dit motui centri 10. M, & K in deſcenſu KH addit addit tantùm 14. H;
ſed hæc eſt minor.10. M, vt conſtat toto ſinu verſo arcus HQ; & licèt
punctum 10. in aſcenſu eodem tempore addat 10. M quo punctum L
in deſcenſu addit MK æqualem; non tamen propterea mouentur æquè
velociter; quia punctum L initio mouetur velociùs, & ſub finem tardiùs;
at verò punctum 10. initio mouetur tardiùs; vnde quocunque arcu aſ­
ſumpto inter 10. L, & alio æquali inter LK, punctum L mouebitur
velociùs initio.
Corollarium 1.
Hinc colligo, punctum L omnium velociſſimè moueri initio & pun­
ctum A omnium tardiſſimè; ratio eſt quia puncto L motus orbis addit
1totum id quod poteſt addere, poſito quod ſit æqualis motui centri, & pun­
cto A detrahit totum id, quod poteſt detrahere.
Corollarium 2.
Colligo ſecundò, duo puncta eodem tempore ſpatia æqualia poſſe ac­
quire, licèt vtrumque mobile inæquali motu moueatur.
Corollarium 3.
Tertiò, ſi aſſumatur punctum β grad.45, illud ipſum eſſe, quod maxi­
mum omnium ſpatium conficit eo tempore, quo reuoluitur quadrans,
id eſt eo tempore, quo percurrit lineam L, I, G, F; nam percurrit ſegmen­
tum rotatilis, cuius chorda eſt δ β, ſeu percurrit duplam ſegmenti L 15.
atqui dupla L 15. eſt maior LF, vt conſtat.
Corollarium. 4.
Centrum O mouetur velociùs, quàm punctum contactus A, vt certum
eſt; nam eo tempore quo centrum conficit OP æqualem AB, punctum A
conficit tantùm AS.
Theorema 5.
Punctum A non regreditur, ſed tantillùm accedit dextrorſum; ratio eſt,
quia dextrorſum acquirit AB, v. g. ſiniſtrorſum verò acquirit XT æ­
qualem arcui AV; ſed arcus eſt mâior ſuo ſinu; igitur plùs acquirit dex­
trorſum, quàm ſiniſtrorſum; igitur non regreditur, nec etiam remanet in
linea AO.
Theorema 6.
Omnia puncta inter OQ mouentur tardiùs, quàm centrum O; ſit enim
punctum P v.g. certè perueniet in 7. ita vt OPR 7. ſint æquales; ſed P
7. eſt minor OE, licèt P 7. tantillùm incuruetur; è contrario verò nullum
eſt punctum inter GZ, quod non moueatur velociùs, quàm O, vt patet;
hinc Z mouetur velociſſimè omnium punctorum diametri ZQ, Q verò
tardiſſimè; O denique medio quaſi motu inter vtrumque; tardiùs qui­
dem cæteris inter ZO, velociùs tamen aliis, quæ ſunt inter OQ; immò
omnia puncta radiorum OA, OQ, quæ diſtant æqualiter ab O eo tem­
pore, quo centrum O percurrit totam OE, acquirunt æqualia ſpatia,
itemque æqualia, quæ ſunt in radiis OL, OZ, licèt prioribus maiora:
ſimiliter motus aliarum partium, quæ ſunt intra circulum, earumque
ſpatia, dato tempore cognoſci poſſunt, & ex dictis facilè intelliguntur.
Corollarium 1.
Hînc collige vulgi ſenſum; nam plerique omnes exiſtimant tùm om­
nes partes peripheriæ rotæ moueri æquè velociter, tùm nullam eſſe par­
tem intra circulum vel arcum, quæ non moueatur tardiùs, tùm partibus
peripheriæ, tum ipſo centro.
Corollarium 2.
Colligo ſecundò, fi fiat quadrans A, 18. 16. vt eſt arcus 18.16.ad rectá
118.A.ita rectam 18. A eſſe ad LA; quia A 16. eſt æqualis ſemicirculo L
QA, & hic arcui quadrantis L. 19. ſed vt 16.18.ad 18.A vel L 19. æqua­
lem, ita L 19. ad LA; igitur A eſt media proportionalis inter LA, & ar­
cum 18. 16. ſed de hoc aliàs.
Theorema 7.
Punctum L mouetur velociùs, & velociùs in infinitum puncto A; aſſumatur
enim motus puncti L per vnicum gradum quadrantis LQ addatur ſinus
rectus vnius grad. 1745. ipſi gradui, ſcilicet 1746. eritque ſpatium con­
ſectum 3491. paulò plùs; detrahatur autem gradus ex ſinu ſupereſt I, ſit­
que ſinus verſus vnius gradus 15. certè erit ſpatium decurſum ab A da­
to illo tempore paulò plùs; ſed velocitates motuum æquàli tempore ſunt
vt ſpatia; igitur velocitas motus puncti L eſt ad velocitatem motus pun­
cti A, vt 3491.ad 15.id eſt vt 232.ad I; atqui ſi accipiatur in orbe ſpatium
minus vno gradu, erit adhuc maior proportio motus puncti L ad motum
puncti A.
Immò, ſi ponas ſinum totum partium 1000000. & aſſumat motum L,
& A per vnum minutum arcus erit 2910, & eius ſinus rectus 2908.ver­
ſus verò; igitur motus A erit vt 2. motus L 5818. igitur motus L ad mo­
tum A per vnum minutum quadrantis, vt 2909. ad I, atque ita in infinitú.
Theorema 8.
Minor rota incluſa maiori ita mouetur, vt ſit maior in illa motus centri,
quàm motus orbis; ſit enim minor rota P π; haud dubiè centrum O acqui­
ret ſpatium OE duplò maius arcu P ω eo tempore, quo motus orbis per­
curret eundem arcum P ω; an verò ſingula puncta quadrantis P ω reſ­
pondeant ſingulis punctis plani ω θ, vel ſingula duobus, vulgaris diffi­
cultas eſt, quæ ab Ariſtotelica rota ſibi nomen fecit, quam hîc breuiter
diſcutimus.
DIGRESSIO
De Rota Ariſtotelica.
ARiſtoteles hanc difficultatem habet, quæſt. 24. Mechanicorum, quam
etiam explicat Blancanus, proponitque; Merſennus in præfatione ſuæ
verſionis mechanicarum Galilei; nos illam hoc loco breuiter diſcutiemus.
1. Tribus modis poteſt moueri rota in plano 1°. ita vt motus centri
motui orbis ſit æqualis, id eſt vt centrum percurrat lineam rectam æqua­
lem arcui orbis, qui eodem tempore conuertitur. 2°. ita vt motus orbis ſit mi­
nor motu centri, id eſt vt centrum percurrat lineam rectam maiorem arcu,
qui eodem tempore conuoluitur. 3°. ita vt motus centri ſit minor motu orbis.
2. Primum motus modum diſcuſſimus in ſuperioribus Theorematis,
2. verò, & 3. diſcutiemus hoc loco. ſit ergo in præſenti fig. rota incubans
plano CN in puncto C centro A, radio AC, quæ aliam includat concentricam
1radio AB; ſitque v.g. AB ſubdupla AC; ſit planum CE æquale arcui C
H; ita vt in decurſu ſingula puncta CH reſpondeant ſingulis CE; cùm
autem rapiatur rota ABD à maiore; haud dubiè punctum D peruenit
in F, cum punctum A peruenit in G; id eſt radius AD conuenit
cum GF.
3. Porrò caput difficultatis potiſſimum in eo poſitum eſt, quod BF ſit
dupla arcus BD; igitur vel ſingula puncta arcus BD reſpondent in de­
curſu ſingulis BF, vel ſingula BD reſpondent duobus BF, vel alterna
puncta BF ſaltuatim remanent penitus intacta; ſed nihil horum dici
poſſe videtur: non primum.quia alioquin tot eſſent puncta in arcu DB,
quot in plano BF æquali arcui CH, igitur ſubduplus arcus eſſet æqualis
duplo, quòd dici non poteſt; licèt aliqui vltrò concedant, quod ego mi­
nimè concedere, nedum concipere poſſum; non poteſt etiam dici quod
ſingula puncta arcus DB reſpondeant duobus punctis plani BF; cùm
enim puncta D, & C ſint in eodem radio AC; certè ſi punctum tangit in
motu punctum plani proximè ſequens dextrorſum; igitur AB cadit per­
pendiculariter in BF; igitur & AC in CE; igitur punctum C tangit
etiam in motu punctum proximè ſequens plani CE; igitur planum CE
eſſet duplum arcus CH, ſed eſt æquale per conſtructionem; nec eſt quod
aliqui prouocent ad experimentum, quod nullum eſt; quippe quod certæ
& geometricæ demonſtrationi repugnaret.
4. Non poteſt etiam dici, quòd alterna puncta plani BF quaſi ſaltua­
tim remaneant intacta; nam eo tempore, quo aliquod punctum plani C
E reſpondens puncto intacto plani BF tangitur; haud dubiè aliquod pun­
ctum arcus BD tangit planum BF; alioquin centrum A deſcenderet ſu­
pra lineam AG; igitur maior rota non incubaret plano CE contra hy­
potheſim; igitur quolibet inſtanti aliquod punctum arcus BD tangit
planum BF; igitur nullum punctum plani BF intactum eſt; quippe om­
ne punctum contactus plani CE, & maioris circuli reſpondet puncto
contactus oppoſito plani BF, & minoris circuli; igitur non remanent al­
terna puncta plani BF quaſi ſaltuatim intacta.
5. Hinc reiicies infinita illa vacuola Galilei; ſi enim in linea BM re­
manent infinita puncta intacta, non verò in CN; certè vbi punctum,
quod immediatè ſequitur C tangitur, & fit punctum contactus, vel nul­
lum punctum in BF tangitur vel aliquod; ſi primum; igitur radius minoris
rotæ imminuitur, quod eſt abſurdum: ſi ſecundum; igitur nullum vacuo­
lum intercipitur, quod eſt contra Galileum; quod verò ſpectat ad poli­
gona concentrica determinabimus paulò pòſt; ſint enim duo poligona
concentrica centro D, quorum maius ita voluatur, vt AI reſpondeat AF,
id eſt circa centrum A; certè M mouebitur per arcum MI, D per arcum
DE, B per arcum BM; igitur ſingula puncta mouebuntur motu ſimplicis
circulari coque velociùs, quò recedent longiùs ab A: hinc punctum B
mouebitur omnium velociſſimè, quia longiſſimè diſtat à puncto A.
6. Si verò minus poligonum dirigat motum, qui primò fiat ciat cen­
trum D; haud dubiè punctum A mouebitur per arcum AV, per quem retro-
1agetur; igitur ſi maius poligonum dirigat motum, relinquentur plura
ſegmenta in plano CH intacta æqualia DE; ſi verò minus dirigat latera
maioris poligoni, aliquid ſemper de priori ſpatio in plano BF quaſi re­
petent per regreſſum.
7. Hinc tamen malè concludit Galileus ſimile quid accidere in mo­
tu circulorum concentricorum; eſt enim maxima diſparitas: Primò, quia
centrum A circuli in priori figurâ nunquam recedit à linea AL, alio­
qui radij circuli eiuſdem eſſent inæquales, cùm tamen M poligoni aſcen­
dat ſupra MI. Secundò, quia nullum punctum peripheriæ circuli quieſ­
cit. Tertiò, quia omnia puncta circuli mouentur motu mixto ex recto,
& circulari, excepto centro, cùm tamen omnia puncta poligoni motu
circulari moueantur, excepto puncto contactus, quod quieſcit.
8. Et ne omittam aliud, quod miraculi loco eſt apud eundem Galileam,
quo ſcilicet primum illud ſuum effectum confirmare concendit, ſcilicet
punctum dici poſſe æquale lineæ ſit enim ſemicirculus ABMC, rectan­
gulum BN, triangulum ALN, recta KD parallela BC, denique AI circa
axem AM; voluantur hæc tria; certè rectangulum relinquit cylindrum,
triangulum, conum, & ſemicirculus hemiſphærium; ſit autem idem pla­
num KD parallelum BC ſecans hæc tria; haud dubiè ſectio coni HF
erit circulus, iſque æqualis plano contento duobus circulis parallelis,
quorum maior habeat diametrum KD, & minor IE, quod breuiter de­
monſtratur; quia quando IA eſt æquale quadratis IGA, led BA eſt æ­
qualis AI, & BC æqualis KD dupla AI; igitur quadratum KD eſt qua­
druplum quadrati KG, vel IA; igitur continet quatuor quadrata AI, &
AI quatuor AG, vel HG; igitur continet quadratum IE, & HF; ſed cir­
culi ſunt vt quadrata diametrorum; igitur circulus diametri KD conti­
net circulos diametri IE, & HF; igitur, ſi ex circulo diametri CD de­
trahatur circulus diametri IE, ſupereſt corona illa, cuius latitudo eſt IK,
& ED, de qua ſuprà; igitur æqualis eſt circulo diametri AF.
9. Hinc concludit Galileus punctum apicis coni A eſſe æquale cir­
culo diametri BC; quod certè non mihi videtur ſequi; cùm ſemper aga­
tur de baſi coni, quæ non eſt punctum, & licèt conus HF A ſit æqualis
ſolido KIB in orbem ſcilicet ducto, detracto dumtaxat hemiſphærio ex
cylindro, quod tamen non demonſtrat Galileus, ſed demonſtrarum ſup­
ponit à Luca Valerio; nunquam paoſectò perueniet ad punctum mathe­
maticum; quippe ſemper habebit conum æqualem alteri ſolido; ſi verò
quis admittat puncta phyſica, concedi poſſet vltrò punctum phyſicum
conicum æquale eſſe alteri ſolido maximè dilatato propter angulum
contingentiæ KBI in quo non videtur eſſe difficultas.
10. Quod autem conus HAF ſit æqualis prædicto ſolido, quod Ga­
lileus vocat ſcalprum orbiculare, breuiter demonſtro; quia cum baſis HF
ſit æqualis KI, ED, id eſt coronæ, itemque ſingulæ baſes ſupra HF vſque
adverticem A; certè totum HFA conflatum ex omnibus baſibus eſt æ­
quale toti ſolido ſeu ſcalpro conflato ex omnibus coronis; hæc obiter
attigiſſe volui, ne fortè diſſimulatum à nobis eſſe quiſquam exiſtimaret,
1ſed iam hoc potiſſimum ſupereſt, vt difficultatem propoſitam de rota
Ariſtotelica breuiter ſoluamus,
11. Certum eſt primò in hypotheſi, quæ componit continuum ex
punctis mathematicis vix poſſe explicari, ſiue dicantur eſſe infinita, vt
vult Galileus, ſiue finita vt alij volunt; quia nec idem punctum minoris
rotæ pluribus ſui plani reſpondet, nec ſingula ſingulis reſpondent, nec
etiam fiunt illi ſaltus intactis finitis, vel infinitis vacuolis; immò talis eſt
motus circularis natura, vt minimè concipi, nedum explicari poſſit iuxta
hypotheſim punctorum mathematicorum.
12. Certum eſt ſecundò, vix etiam explicari poſſe iuxta hypotheſim
partium proportionalium infinitarum actu; quia contactus ipſe globi, &
plani tam obſcurè in hac hypotheſi explicatur, vt etiam authores ipſi,
qui huic ſententiæ patrocinantur, vltrò aſſerant inſeparabilem eſſe diffi­
cultatem; quod enim dicunt contactum fieri in parte indeterminata,
neſcio an aliquis ſi non blandiens capere poſſit: nunquid enim contactus
eſt determinatus qui realis eſt, & ſingularis, id eſt hic & non alius? nun­
quid eſt aliquid, quod tangit ab omni, eo quod tangit, diſtinctum? quip­
pe tangere, & non tangere ſunt prædicata contradictoria; ſed de his fusè
in Metaphyſica.
13. Adde quod, licèt contactus globi in plano explicari poſſet, ſupe­
reſſet tamen eadem difficultas; nam cùm nulla ſit pars, ſiue indetermina­
ta, ſiue determinata in plano BF, quæ ſit intacta, & cum eadem pars
arcus BD non reſpondeat pluribus partibus plani BF, & cùm ſingu­
læ partes arcus ſingulis partibus non reſpondeant (quæ omnia
conſtant ex dictis) profectò eadem eſt difficultas iuxta hypotheſim par­
tium proportionalium infinitarum actu, quæ eſt iuxta hypotheſim pun­
ctorum mathematicorum finitorum, vel infinitorum.
14. His poſitis, ſupereſt tantùm vt ſoluatur hæc difficultas iuxta hy­
potheſim punctorum phyſicorum, vel partium diuiſibilium in infini­
tum potentiâ, cuius principia & difficultates in Metaphyſica diſcu­
tiemus.
Dico ergo ſatis facilè iuxta hanc hypotheſim explicari, & ſolui poſſe
nodum rotæ Ariſtotelicæ: quippe punctum phyſicum curuum tangit
punctum phyſicum planum, ſed non adæquatè; quippè nullum curuum
adæquari poteſt plano, ſeu cum plano conuenire, quod nemo Geometra
negare poterit: quippe duæ quantitates poſſunt duobus modis conſide­
rari: Primò in ordine ad æqualitatem, vel inæqualitatem. Secundò, in
ordine ad commenſurationem, vel conuenientiam, vel incommenſura­
bilitatem; ſi primo modo, vna quantitas, vel dicitur alteri æqualis, vel inæ­
qualis; ſi inæqualis, vel maior, vel minor; ſi maior vel minor, dicitur
rationalis, vel irrationalis ſeu aloga; ſed hæc ſunt vulgaria, paulò obſcu­
riora, quæ ſequuntur.
15. Si enim ſecundo modo conſiderentur, vel poſſunt commenſurari,
vel non poſſunt; ſi primum, ſunt neceſſariò æquales; ſi inæquales illæ ſunt
vel alogæ eædem quæ ſuprà, ſic diagonalis comparata cum latere quadrati
1eſt aloga, hoc eſt ita inæqualis, vt nulla ſit vtrique pars aliquota commu­
munis; alogæ quidem in ordine ad commenſurationem, non tamen in
ordines ad partes aliquotas; ſic maior arcus comparatus cum linea recta
ſubdupla non eſt alogus primo modo ſed ſecundo, id eſt illa linea, quæ eſt
ſubdupla arcus, non poteſt conuenire cum arcu toto, nec cum aliqua
eius parte; ſi verò ſint æquales, poſſunt etiam dici alogæ in ordine ad
commenſurationem, ſi nullo modo conuenire poſſunt quamtumuis diui­
dantur; ſic angulus, quem faciunt duæ circumferentiæ, poteſt quidem eſſe
ęqualis angulo dato rectilineo; nunquam tamen cum eo conuenire po­
teſt; ſic arcus æqualis rectæ, ſic denique punctum curuum æquale puncto
plano; licèt enim totum punctum tangatur ab alîo puncto, non tamen
adæquatè, quia extenſio vnius eſt aloga cum extenſione alterius; analo­
giam habes in duobus Angelis; quorum vnus figuram ſphæricam pedalem
induat, alter cubicam, & alter alterum tangat; nam reuerâ totus Angelus
tangitur, quia caret partibus, non tamen adæquatè, vt certum eſt; immò
poſſet Angelus cuius eſt figura ſphærica, ita duobus aliis, quorum eſſet
figura cubica adhærere, vt vtrique inadæquatè adhæreret v.g. Angelus A
punctis BC ita vt ipſum punctum contactus eſſet in ipſa quaſi commiſ­
ſura: immò poteſt Angelus, cuius eſt figura ſphærica habere diuerſos con­
tactus inadæquatos in tota facie Angeli, cuius eſt figura cubica v.g. An­
gelus A vel in D vel in E, vel in F; immò ſunt infiniti potentia huiuſmodi
inadæquatè diuerſi; denique Angelus A poteſt longo tempore in ſuper­
ficie v.g. Angeli C ſucceſſiuè moueri, acquirendo ſcilicet nouos conta­
ctus inadæquatos; vocetur autem contactus E centralis, ſeu medius; con­
tactus verò B extremus.
16. Nec A eſt; quòd aliqui neſcio quas partes viruales in angelo ex­
tenſo agnoſcant, quæ certè à me concipi non poſſunt; niſi fortè aliquid
extrinſecum ſonent, ſcilicet Angelum extenſum multis ſimul partibus
alicuius corporis coextendi poſſe; vnde fit ſingulis inadæquatè coexten­
di; quod nemo negabit; ſed ne dici moremur in hac materia, quam hîc
ex profeſſo non tractamus; cettum eſt iuxta hanc hypotheſim punctorum
phyſicorum facilè explicari motum rotæ Ariſtotelicæ: quippe dum pun­
ctum quod proximè accedit ad C in arcu CH incubat puncto plani C
E, quòd immediatè ſequitur C, idque centrali contactu punctum, quod
proximè ſequitur B in arcu BD, quem ſubduplum CH ſuppono, tangit
punctum, quod ſequitur immediatè B in plano BF contactu extremo, id
eſt commiſſura puncti B & alterius contactu medio, tangit punctum plani
quod probatur; quia punctum, quod immediatè ſequitur B in arcu BDC
quod vocabimus deinceps ſecundum, tangit contactu tertium punctum
plani BF eo inſtanti, quo tertium punctum arcus CH tangit contactu
medio tertium plani CE; igitur eo inſtanti, quo ſecundum CH tangit
contactu medio ſecundum CE, ſecundum BD tangit contactu extremo
primum BF, extremo inquam ratione puncti arcus, non ratione puncti
plani.
17. Si verò eſſet maior rota, eîuſque contactus eſſet inter BC, eſſent
1alij contactus inadæquati, vt facilè intelligi poteſt ex dictis, poteſt au­
tem fieri, vt dixi, vt ſint plures contactus inadæquati etiam arcus CH,
niſi velociſſimè moueatur ratione loci, id eſt niſi punctum phyſicum
mobile acquirat ſingulis inſtantibus punctum loci immediatum non
participans de priori; quod certè poteſt acquirere duplici motu, ſcilicet
vel recto vel mixto ex recto, & circulari; nec eſt enim dubium, quin An­
gelus v. g. inducta figura ſphærica non poſſit volui circa ſe ipſum velo­
ciùs, & velociùs in infinitum.
18. V. g.. angelus A poteſt circa centrum mathematicum, id eſt
imaginatum B immobile agi in orbem tardiùs, & tardiùs quidem, ſi vnum
orbem faciat pluribus, & pluribus inſtantibus; velociùs verò, ſi pauciori­
bus; quot verò inſtantibus vnum integrum orbem peragat, ſi tempus
conſtet finitis inſtantibus; exiſtimo primò, poſſe pluribus, & pluribus pe­
ragere quia tardiùs, & tardiùs in infinitum moueri poteſt; ſecundò pau­
cioribus, & paucioribus, donec tandem vno inſtanti conficiat integrum
orbem; vt autem moueatur adhuc velociùs in infinitum; aget quidem ſin­
gulos orbes ſingulis inſtantibus, ſed minoribus, ſeu breuioribus.
19. Obſeruabis Angelum A poſſe tribus modis moueri; primò circa
centrum B immobile, vt iam dictum eſt, idque velociùs, & tardiùs in in­
finitum, & hic motus eſt perfectè circularis: Secundò motu recto ſimpli­
ci per lineas BE, IH, idque etiam tardiùs, & velociùs; tardiùs quidem, ſi
plura ponat inſtantia, vt centrum B reſpondeat E, vel totus circulus A
toti F; velociùs uerò ſi pauciora donec tandem vno inſtanti circulus A
reſpondeat F adæquatè, id eſt acquirat locum immediatum non partici­
pantem, quod adhuc fiet velociùs, & velociùs in infinitum; quia poteſt id
fieri per inſtantia breuiora, & breuiora.
20. Tertiò poteſt moueri motu mixto ex duobus præcedentibus, ita
vt quaſi rotetur in plano IH, quod tribus modis fieri poteſt: primo ſi D
punctum ſcilicet reſponderet H; ſecundo, ſi aliud punctum inter DI tertio;
ſi aliquod inter DCI, primo poteſt fieri, vel ſucceſſiuè per contactus
inadæquatos, vel in inſtanti, idem dico de ſecundo, & tertio, donec
tandem eo motu tranſeat in F, ita vt punctum F reſpondeat H & circa B
totum orbem confecerit; ſed de his plura cum de Angelis.
21. Porrò punctum B eo inſtanti, quo ſecundum CH tangit conta­
ctu medio, ſecundum CE tangit extremo ſecundum BF; igitur ſimul
cum alio id eſt cum ſecundo BD; ſi verò accipiatur quodlibet aliud pun­
ctum inter RC; illud certè non tangit vllo modo ad primum BF eo in­
ſtanti, quo ſecundum CH tangit contactu medio ſecundum CE; ſi ta­
men accipiatur aliquod punctum inter BA v.g. R; certè punctum R tan­
git ſolum ſecundum RV, ſed contactu, qui nec eſt extremus, nec medius,
ſed inter vtrumque, eo ſcilicet inſtanti, quo ſecundum CH tangit con­
tactu medio primum CE.
22. Ex his facilè intellegi poteſt hic motus; quic ſcilicet idem punctum
rotæ minoris poteſt reſpondere diuerſis punctis ſui plani, ſed diuerſo
contactu, quod facilè explicatur, tùm per analogiam motus angelici, tùm
1per analogiam partium curuarum rotæ extenſarum. Vnde ex ſuperiori­
bus reſponſionibus, duæ ſi rectè explicentur ſoluunt hunc nodum. Tertia
verò omninò falſa eſt; nam primùm dici poteſt fieri aliquos ſaltus con­
tactuum inadæquatorum; quia ſcilicet punctum ſecundum BD tangit ſe­
cundum BF contactu quidem extremo in puncto arcus, ſed medio in
puncto plani; igitur plures contactus inadæquati inter extremum & me­
dium quaſi omittuntur per ſaltus; nullum eſt tamen inſtans, quod ali­
quo punctum plani non tangatur aliquo contactu, ab aliquo puncto ar­
cus, vel etiam à duobus in ipſa commiſſura, quæ commiſſura ad inſtar
puncti mathematici imaginarij concipi poteſt.
23. Secundò dici poteſt, quod idem punctum arcus BD tangat duo
puncta plani BF ſed diuerſo contactu; nec enim duo puncta plani tan­
guntur ab eodem puncto arcus contactu medio in ipſo puncto arcus.
Tertiò denique dici non poteſt ſingula puncta BD ſingulis punctis B
F reſpondere, vt conſtat ex dictis, atque ita ex iis, quæ hactenus diximus
ſufficienter explicatus eſt ſecundus modus motus rotæ in plano.
Quod verò ſpectat ad tertium; ſi minor globus centro G in eadem
figura moueatur, vt motus orbis ſit æqualis motui centri v.g. ex G mo­
ueatur in I, ex K perueniat in M, ſitque FM vel GI æqualis arcus FK,
& rota minor GF ſecum rapiat maiorem GE; haud dubiè motus orbis
maioris rotæ eſt maior motu centri, vt patet; quippe eo tempore, quo re­
uoluitur arcus quadrantis, & centrum acquirit tantùm GI ſubduplum
eiuſdem arcus.
24. Eſt autem in hoc motu eadem difficultas; nam vel ſingula pun­
cta EI reſpondent ſingulis EN, vel duæ EI reſpondent eidem EN vel
alterna EI non tangunt per ſaltus; atqui nihil horum dici poſſe videtur:
non primum, quia ſunt plura puncta EI quam EN: non ſecundum,
quia ſi duo puncta EI tangerent idem EN; igitur duo FK tangerent
idem FM quod falſum eſt, non denique tertium; quia ſi punctum ſecun­
dum FK tangat contactu tantum extremo primum FK, ita vt ſit conta­
ctus extremus in vtroque id eſt in ſecundo plani, & in ſecundo arcus;
haud dubiè ſecundus EI tangit ſecundum EN contactu medio in pun­
cto arcus & extremo in puncto plani
25. Itaque hic motus explicari debet per diuerſos contactas inadæ­
quatos; non poteſt tamen fieri, quin minor rota ſuum motum componat
cum motu maioris, vt explicauimus abundè, cum de motu circulari, v.g.
non poteſt minor rota ita moueri, vt acquirat quodlibet eius punctum
locum immediatè non participantem vno inſtanti, ſi ex eo ſequatur aliud
punctum, vel eiuſdem rotæ, vel alterius coniunctæ moueri velociùs, vt
conſtat ex dictis.
26. Vides autem primò, motum maioris rotæ accedere propiùs ad cir­
cularem, cum mouetur hoc ſecundo motus genere; quia ſcilicet motus
centri ſi comparetur cum motu orbis maioris rotæ, minor eſt; ſi enim nullus
eſſet motus centri, ſed tantùm motus orbis, eſſet motus perfectè circula­
ris; igitur quo minor eſt motus centri, & maior motus orbis, accedit ille
1motus propiùs ad circularem, & è contrario quò maior eſt motus centri,
vt accidit in ſecundo genere motus, accedit propiùs ad motum rectum;
cum verò alter alteri æqualis eſt motus mixtus, quem medium appellare
poſſumus.
27. Aliqua puncta maioris rotæ; cuius motus à minori dirigitur re­
troëunt, ſcilicet, quæ accedunt propiùs ad punctum contactus E, v. g.
ipſum E vbi centrum rotæ eſt in KI regreditur in O: immò regredi vi­
detur vſque ad X, id eſt, donec ſecus lineam BM; igitur cum arcus ZE
M, ſit ſubduplus arcus ZIM, vt conſtat, & cùm motus centri ſit ſubduplus
motus orbis, etiam arcus, qui regreditur, eſt ſubduplus illius, qui non re­
greditur; ſed motum centri ſequitur. Tertiò, ſi ducas multas parallelas AL,
quæ diuidant YE in arcus æquales, habebis puncta lineæ motus v.g. ſit E
V ſubduplus EY ſit, VO ſubdupla EN, ſit EZ 2/3 XY; ſit IX 2/3 EN; deni­
que ipſa YP æqualis EN.
28. Quartò, aliquod punctum nec progreditur, nec regreditur vno
inſtanti, eo ſcilicet; quo tantum detrahit motus orbis, quantum addit
motus centri, poteſtque determinari punctum illud; imò & proportiones
motus cuiuſlibet puncti; ſed hæc ex poſitis principiis facilè colligitur
operâ analytices.
Quintò punctum E mouetur velociùs, cum dirigitur motus â minori
rota, quàm punctum C, cum dirigitur motus à maiori; quia motus orbis
multùm illud retroagit: immò non mouetur tardiſſimè omnium; ſed pun­
ctum illud, quod nec progreditur, nec regreditur, ſed modicùm vel aſcen­
dit vel deſcendit; ſunt autem duo huiuſmodi puncta, alterum in arcu I
E, alterum in YE.
29. Sextò denique ex his principis benè èxplicatur quomodo maior
vel minor rota, cuius motus ab alia minore dirigitur, moueri poteſt; nec
eſt quod in his diutiùs immoremur, vt tandem interruptam noſtro­
rum Theorematum ſeriem repetamus, ſunt enim plures alij motus mixti
non tantùm ex recto, & circulari, ſed ex duobus & pluribus circularibus;
quorum omnium rationes niſi me veritas ipſa fallit (quæ tamen falle­
re non poteſt) ad ſua principiæ phyſica reducemus.
Theorema 9.
Globus, qui deſcendit deorſum in plano inclinato, mouetur motu mix­
to ex recto centri, & circulari orbis; patet ex dictis, cum more rotæ
moueatur, ſic etiam mouetur globus deorſum demiſſus cum aliqua in­
clinatione; cuius certè nulla pars aſcendit, ſen regreditur; eſt enim
eadem illius ratio; cur autem moueatur ille motu mixto, & non
recto ſimplici: ratio eſt, quia propter primam illam inclinationem
tollitur eius æquilibrium; cùm enim globus perfectus in aëre vibratus,
ſi nulla adſit inclinatio, ſit in perfecto æquilibrio, certè, ſi vel modica in­
clinatio accedat vel in C vel in D tolletur æquilibrium, quia illa incli­
natio idem præſtat quod pondus nouum additum; porrò huius inclinationis:
1ratio ex eo petitur primò, quòd prius globus demittatur per planum
inclinatum, ſiue cadat ex ipſa manu, ſiue ex alio plano v.g. ex recto vel
alio plano decliui. Secundò ex eo, quòd priùs moueatur altera extremi­
tas putà C, quàm D; igitur acquirit C plùs impetus motu naturaliter ac­
celerato; igitur retinetur à puncto; quòd licèt deinde moueatur, tardiùs
tamen mouetur; igitur C vbi ad imum deſcendit iterum videtur aſcen­
dere tùm propter determinationem nouam; tùm quia ab oppoſito pun­
cto deſcendente quaſi attollitur: non dixi aſcendere, ſed tantùm videri
aſcendere, quia reuerâ non aſcendit; alioquin aliquod punctum regrede­
retur, quod falſum eſt; nec enim poteſt aſcendere, niſi regrediatur, vt
conſtat.
Theorema 10.
Hinc non deſtruitur ille impetus ab impetu innato, vt fit in funependulis;
quia ſcilicet deſtruitur tantùm ab innato in aſcenſu; ſed nullum pun­
ctum globi aſcendit, vt dictum eſt, quod vt meliùs intelligatur, ſit in fi­
gura Th. 1. globus centro O; ſitque OF perpendicularis deorſum, quæ
percurritur ab eodem centro O motu centri; ſitque motus orbis ab L
in que intelligatur autem planium AI 6; certè punctum A, quod perinde
ſe habet, atque ſi eſſet punctum contactus, deſcribit lineam ARP ergo
non aſcendit; igitur non deſtruitur impetus productus ab impetu in­
nato.
Scholium.
Obſeruabis 1°. mirificam eſſe impetus propagationem in hoc motu;
quippe omnes partes mouentur inæquali motu, licèt moueantur à prin­
cipio intrinſeco.
1. Non tantum accelerari motum centri, ſed etiam motum orbis, vt
patet experientiâ in globo deſcendente per decliue planum.
3. Si globus non deſcendat in plano declini ſed in libero aëre poſt
primam librationem motus orbis non creſcit; quia omnes partes ten­
dere poſſunt deorſum, nec ab vllo obice impediuntur; non eſt autem
par ratio pro motu in plano decliui, vt patet.
4. Hinc motus orbis ſenſim deceſcit, ſed omninò inſenſibiliter;
quia non deſtruitur ab impetu innato, vt iam dictum eſt; nec enim ſic
motus circularis eſt contrarius motui recto; quippe modò centrum
grauitatis globi feratur motu recto, hoc ſatis eſſe videtur, ſiue partes mo­
tu circulari ferantur: circa idem centrum, ſiue omnes motu recto per
lineas parallelas ferantur: ratio à priori eſt, quia in tantum vnus impe­
tus deſtruit alium in eadem parte mobilis, in quantum impeditur ab eo
eius motus deorſum totius globi nullo modo impeditur ab illo motu
circulari, quia globus æquè citò deſcendit vno, atque alio motu, vt con­
ſtat mille experientiæ.
Theorema 11.
Si corporis grauis altera extremitas ſit grauior demittaturque in eo ſitu,
1in quo ſit parallelum horizonti; haud dubiè extremitas grauior præit motu
mixto; quia ſcilicet quaſi ab aliâ leuiore retinetur, exemplum habes in
ſagittâ ferro armatâ, & in fune ex quo plumbum pendet; ratio euiden­
tiſſima eſt; quia illa extremitas faciliùs medij reſiſtentiam ſuperat, igitur
præire debet; igitur motu mixto; illa tamen tardiùs deſcendit, quàm
deſcenderet, ſi à leuiore eſſet ſeparata; leuior verò velociùs, quàm ſi eſ­
ſet ſolitaria; quod autem non ſit alia ratio, patet potiſſimum ex eo, quòd
plumbum ita demiſſum, vt funis præeat, tandem funem aſſequitur, & tan­
dem à tergo relinquit.
Corollarium 1.
Hinc petenda eſt vera ratio illius phœnomeni, quod iam ſuprà l. 3.
indicauimus, ſcilicet ſagittam plùs temporis ponere in deſcenſu, quàm
in aſcenſu minoremque infligere ictum, quàm leuius lignum, & multò
leuior penna cuſpidis ferreæ motum retardat.
Corollarium 2.
Si altera extremitas ſagittæ plumis inſtruatur, licèt proijciatur motu
violento ſurſum extremitas ferro armata præit plumis à tergo relictis;
ratio eſt, quia aër fortiùs reſiſtit pluuis, quàm ferro, vel ligno; igitur ca­
rum motum retardat.
Corollarium 3.
Hinc ſagitta pennis attonſis fertur in incertum, & ſcopum fallit, cui
fuerat deſtinata; quia licèt lignum minore vi polleat, quàm ferrum; vix
tamen ſenſibilis eſt differentia; adde quod minima deflexio, vel decli­
natio ad retrò agendum ferrum ſufficit; corpus enim facilè mouetur mo­
tu mixto ex recto, & circulari.
Corollarium. 4.
Hinc ratio illius iaculi breui cuſpide armati, cuius altera extremitas
decuſſatim fiſſa craſſiore charta paululùm expanſa munitur, quę deflexio­
nem impedit; cuius rei analogiam habes in nauis gubernaculo; eſt enim
ad inſtar quadruplicis claui motum dirigentis; quîppe inclinari non
poteſt, niſi multum aëris pellant alæ illæ chartaceæ: In ſagitta aliquid
ſimile habes.
Corollarium 5.
Hinc ſi euibretur iaculum illud per horizontalem v.g. circa pro­
prium axem conuoluitur; quia aër tenues illas tranſuerberat alas, ex
qua aëris vel colliſione, vel appulſu, vel quaſi reflexione facilè ſequitur
circularis motus, qui nullatenus impedit rectum, vt iam dixi ſuprà; ſed
cum eo motum mixtum componit, de quo paulò pòſt; nunc tantùm ſuf­
ficiat attigiſſe veriſſimam rationem illorum gyrorum.
Corollarium 6.
Simile phœnomenum habes in illis volatilibus calamis, qui multis
copiam ludi faciunt; nam primò tignea illa, vel oſſea theca, cui com-
1mittuntur plumæ, plumas ipſas præit propter rationem prædictam; nam
aëra faciliùs diuidit; ſecundò vertiginem illam habet, de qua ſuprà; quia
aër quaſi reuerberat, torquetque plumas; de hoc motu paulò pòſt agemus.
Theorema 12.
Cum Cylindrus ita dimittitur, vt altera extremitas motu circulari praeat,
remanente initio aliquo centro immobili, deſcendit motu mixto ex recto &
circulari; vt conſtat ex iis, quæ diximus de globo deorſum cadente hoc
genere motus; ſunt tamen hîc multa obſeruanda. Primò omnes partes
globi initio moueri, ſed inæqualiter, cùm tamen aliqua pars cylindri non
moueatur. Sit enim cylindrus AC ita innixus B, vt liberè moueri poſſit;
haud dubiè, cùm non ſit æquilibrium, ſegmentum BC præualebit; igitur
circa centrum B extremitas C deſcendet per arcum CD, & A per arcum
AE; donec tandem punctum B moueatur per rectam BF, ſeu per aliam
proximè accedentem, ſi. tantillùm à plano BF repellatur; punctum verò
C motu mixto ex recto deorſum, & circulari circa B; ea tamen lege, vt
motus orbis nullo modo acceleretur, ſed tantùm motus centri; igitur
hic motus conſtat ex motu centri accelerato, & motu orbis quaſi æqua­
bili, cuius linea deſcribi poteſt, vt videbimus l. 12. dixi, ferè æquabilem,
quia aliquid deſtruitur ſingulis inſtantibus ratione nouæ determinatio­
nis, vt diximus ſuprà cum de motu circulari, ſed parùm pro nihilo repu­
tatur.
Scholium.
Obſerua 1°. eſſe plures huius motus mixti ſpecies. Primò eſt mixtus
ex motu centri & motu orbis æquali. Secundo ex 1°. maiore & 2°. mi­
nore. Tertiò ex 1°. minore & 2°. maiore. Quartò ex 1°. accelerato 2°.
æquabili Quintò ex 1°. accelerato 2°. retardato. Sextò ex vtroque retar­
dato. Septimò ex vtroque accelerato. Octauò ex 1°. æquabili 2°. accele­
rato.Nono ex 1°. retardato 2°. accelerato. Decimò ex 1°. æquabili 2°. ac­
celerato.Vndecimò ex 1°. æquabili 2°. retardato &c. nec enim hîc deeſt
maxima motuum ſylua, quorum tamen, quia eſt eadem ratio, nimis acu­
ratam diſtributionem omittimus, non facilè haberi poteſt; cùm enim
ſint tres termini, ſcilicet æquabilis, retardatus, acceleratus, erunt 9.
combinationes; & cùm ſingulæ tres differentias habeant; nam vel mo­
tus orbis eſt æqualis motui centri, vel maior, vel minor, ducantur 9.in 3.
& erunt 27.
Obſerua ſecundò centrum motus poſſe vel propiùs accedere ad A
v.g.ſi eſſet in G, vel ad C v.g. ſi eſſet Z. ſi primum, maior eſt motus orbis,
id eſt velocior, licèt pauciores circuitus fiant; quia extremitas C ma­
iorem arcum deſcribens plùs temporis in deſcenſu ponit; igitur maio­
rem velocitatem acquirit; ſi verò ſecundum, è contrario.
Theorema 13.
Cum cylindrus proijcitur ſurſum it a vt aliquod punctum rectà feratur, cir­
ca quod voluitur cylindrus, est motus mixtus ex recto centri, & circulari orbis,
1pro quo non eſt noua difficultas; nam eſt prorſus eadem ratio, niſi
quod primò debet priùs imprimi motus rectus omnibus partibus erecto
cylindro tùm vbi ſeparatur à manu circulariis. Secundò centrum poteſt
accedere propiùs ad ſummam extremitatem vel ad imam. Tertiò, aſcendit
eò altiùs cylindrus, quò centrum motus orbis accedit propiùs ad ſum­
mam extremitatem. Quartò, poteſt extremitas ima impelli duobus mo­
dis: primò ſi retrò agitur, ſecundò ſi antè; ſed quia hæc omnia perti­
nent ad diuerſos oblongæ haſtæ motus iucundaque militaris illius exer­
citationis phœnomena, quorum omnium rationem in ſingulari Theo­
remate afferemus; eò totam rem iſtam remittimus.
Theorema 14.
Quando globus, ſeu rota voluitur in ſuperficie curua immobili, omnes eius
partes mouentur motu mixto ex duobus circularibus, ſcilicet ex motu circula­
ri centri, & circulari orbis, eſt enim motus centri circularis ſi voluatur
globus in orbe, hoc eſt in ſuperficie curua; porrò hæc ſuperficies vel eſt
conuexa, vel concaua, vel eſt circuli maioris, vel minoris; itemque ſi con­
caua vel eſt circuli æqualis, vel maioris, vel minoris; igitur ſunt 6. nouæ
combinationes, quæ ſi ducantur in 27. habebis 162. ſed quia, ſi eſt con­
caua minoris, vel æqualis, non poteſt globus in ea rotari. Hinc ſunt tan­
tùm 4. legitimæ combinationes nouæ, quæ ſi ducantur in 27, habebis
108; ſed iam ſeorſim rem iſtam conſideremus.
Theorema 15.
Explicari poſſunt omnia phœnomena rotæ, quæ circa æqualem rotam immo­
bilem it a rotatur, vt arcus mobilis, & immobilis decurſi ſint æquales. Sit rota
immobilis centro L, radio AB; ſit alia centro C æqualis priori, quæ ita
moueatur, vt ſinguli arcus BE reſpondeant ſingulis arcubus BT, & pun­
ctum E tangat in T, D in X, F in D. Primò centrum mouetur motu cir­
culari, deſcribitque circulum radio AC, ſcilicet duplum circuli immobi­
lis ABX. Secundò motus centri eſt duplò maior motu orbis, id eſt eo
tempore, quo in ſuperficie conuexa decurſus eſt arcus BT, centrum C
confecit arcum CV duplum; cuius phœnomeni ratio clara eſt, quia ſci­
licet centrum C diſtat ſemper ab A toto radio AC duplo AB.
Tertiò poteſt deſcribi linea, quam punctum B ſuo fluxu deſcribit;
ducatur ſemicirculus CVT; diuidatur in 12. partes æquales ductis radiis
AC, AL, AV &c.qui ſecant circulum ABX in punctis YZ δγ &c. tùm
ex punctis, quæ terminant ductos radios in ſemicirculo CVT deſcri­
bantur circuli radio CB; haud dubiè tangent hi circuli circulum ABX
in punctis YZ δγ &c. denique accipiatur arcus YG æqualis YB, tùm
ZH æqualis ZB, tùm δ I æqualis δ B, atque ita deinceps, & per puncta
BGHIK. &c. ducantur curua BGLMOQS, atque idem fiat ſini­
ſtrorſum, & habebitur linea, quam ſuo fluxu deſcribit punctum B; quod
breuiter demonſtratur, quia quando centrum C eſt in L, decurrit arcum
CL ſubduplum CV; igitur tangit in δ; igitur decurrit B δ ſubduplum
BT; igitur circa centrum C motu orbis conuerſus eſt arcus ſubduplus
1BE eſt æqualis δ B; ſed δ I eſt æqualis δ B; igïtur punctum circuli mo­
bilis eſt in I, idem prorſus demonſtrabitur de aliis punctis.
Quartò, hinc triangula curuilinea BYG, BZH, B δ I ſunt Iſoſcelia;
ipſum vero BVK eſt æquilaterum quia AK eſt Tangens, vt conſtat;
immò ſinguli circuli debent tangere ſuum radium, vt patet; porrò miri­
fica eſt huius lineæ figura, quæ ſectionem cordis exhibet, quam ideo
deinceps lineam cordis appellabimus, cuius ſunt inſignes omninò pro­
prietates, quas ſuo loco demonſtrabimus.
Quintò, punctum B initio tardiſſimè mouetur cum eo tempore, quo
decurrit BG punctum oppoſitum D decurrat D6; ratio eſt, quia motus
centri defert D in I, cui motus orbis cum motu centri conſentiens ad­
dit P6, cùm tamen motus orbis puncti B ſit contrarius motui centri;
adde quod motus centri circa centrum A tribuit maiorem motum
puncto D, quàm B iuxta proportionem radiorum; igitur cùm DA
ſit tripla BA, motus centri D eſt triplus motus centri B, igitur duplici
nomine motus puncti B eſt tardior. Primò, quia motus orbis
tantùm addit D, quantum detrahit B. Secundò, quia motus centri addit
D motum triplum illius, quem addit B.
Sextò poſſunt haberi per analyticam proportiones arcuum lineæ motus,
quos B ęqualibus temporibus percurrit v.g.BG, GH, HI, IK, KL, LM, denique
vltimus RS æqualis D6; indico breuiter huius proportionem, cum BGDP
eſt tripla BY, & P6; eſt quadrupla; igitur ferè æqualis BV, ſi ducantur
duæ rectæ YB, YG angulus rectilineus GYB eſt æqualis YAB, id eſt
15 grad.igitur ita ſe habet arcus BG ad BY vt recta BY ad BA, id eſt ferè,
vt 1.ad 4.paulò minùs; ſed D6 eſt quadruplus BY; igitur BG eſt ad D6
vt 1. ad 16.paulò minus; ſed eo maior erit proportio motus D, quo aſ­
ſumetur minor arcus; vt autem habeatur proportio aſſumpto arcu in­
tegro quadrantis eſt vt M S ad MB; porrò eſt ferè eadem proportio
motuum punctorum appoſitorum rotæ mobilis, ſiue rotetur in plano re­
ctilineæ, ſiue in ſuperficie curua.
Septimò, puncta B & E de tempore, quo percurritur arcus quadran­
tis percurrunt ſpatia æqualia: hinc ET, BM ſunt æquales; immò
ſi ducantur rectæ BEMTB, erit ET perfectum quadratum vt conſtat,
cuius diagonalis erit BM; igitur æqualis BX, quæ omnia conſtant ex
ipſis elementis; porrò punctum B velociſſimè omnium mouetur, vt pa­
tet ex dictis.
Octauò, quodlibet punctum circuli mobilis BEDF ſuo motu de­
ſcribit arcum lineæ cordis, vt certum eſt, qui in mille punctis decuſ­
ſantur cum linea puncti, quam deſcribit punctum B v.g. linea puncti D
decuſſatur cum linea puncti B in que quippe D q, S q ſunt æquales, linea
puncti E cum linea puncti B in L; denique deſcribi poteſt hæc linea
BKMN &c. ductis radiis ex centro ad libitum ſine vllo diuiſionis
ordine v.g. ducatur A δ; L nulla habita diuiſionis ratione; ex L deſcri­
batur arcus radio L δ; aſſumantur δ I, δ B æquales, per I; haud dubiè
ducetur linea; idem dico de aliis punctis.
1
Nonò, ſi aſſumatur quodlibet punctum intra rotam v.g. punctum
X perueniet in A eo tempore, quo B erit in M, vt patet; hinc moue­
bitur per lineam motus mixti, qui accedit propiùs ad circularem;
quemadmodum enim cum rota mouetur in plano rectilineo, punctum
illius, quod accedit propiùs ad centrum mouetur eo motu, qui accedit
propiùs ad motum centri, id eſt ad motum rectum. Similiter punctum,
quod accedit propiùs ad Q in hac rota mouetur eo motu, qui accedit
propiùs ad motum centri C, id eſt ad motum circularem; igitur hic mo­
tus puncti X plùs participat de motu centri, quàm de motu orbis, qui
ſcilicet in eo minimus eſt.
Decimò, hinc ſi motus minoris rotæ radio CX dirigatur à motu ma­
ioris radio CB; hæc quidem ita mouetur vt ſingula puncta BE re­
ſpondeant ſingulis BT, non tamen ſingula XY ſingulis XB; ſed hic
etiam accerſendi ſunt contactus illi inadæquati extremi plùs, minuſue,
de quibus ſuprà; eſt enim prorſus eadem difficultas, quam ſuprà diſcuſ­
ſimus ſuo titulo rotæ Ariſtotelicæ, quam hîc tantùm indicaſſe ſufficiat,
cùm ex prædictis principiis omninò ſoluatur.
Vndecimò ſimiliter, ſi minor rota motum maioris dirigat; haud du­
biè maioris idem punctum pluribus punctis ſuperficiei curuæ, cui in­
cumbit inadæquato dumtaxat contactu reſpondebit, eritque diuerſa li­
nea huius motus, & aliqua puncta retroagentur; quod quomodo fiat,
iam ſuprà explicuimus; quod verò ſpectat ad proprietates iſtarum linea­
rum, in ſingularem tractatum cas remittimus.
Theorema 16.
Explicari poſſunt omnia phœnomena, quæ in ſuperficie curua circuli
maioris rotatur; ſit enim ſuperficies curua BF radius AB, ſitque rota
radio NB, cuius peripheria eſt æqualis BF; igitur M tanget C, O tan­
get D, & B tandem tanget F; igitur mouetur hæc rota motu mixto ex
duobus circularibus.
Primò, ſignari poſſunt omnia puncta huius lineæ v. g. MIHF
per quæ ducenda eſt linea curua, cuius etiam affectiones aliàs demon­
ſtrabimus.
Secundò, punctum B mouetur initio tardiſſimè, O velociſſimè; ratio­
nem iam bis attulimus; quia ſcilicet maior eſt motus, cum motus centri
conuenit cum motu orbis; minor verò è contrario.
Tertiò, motus huius rotæ accedit propiùs ad motum rotæ in plano
rectilineo, quàm motus rotæ ſuperioris; quia BF, quæ eſt ſuperficies ma­
ioris circuli, accedit propiùs ad lineam rectam.
Quartò, ſi ſit minor rota radio NR cuius motus dirigatur à motu
maioris radio NB, deſcribit lineam, quæ accedit propiùs ad lineam
rectam RSTVX, ſeu potiùs ad motum centri, quod mouetur motu
circulari per arcum NG, à quo non recedit, vt patet: porrò minor
rota percurrit maiorem ſuperficiem ſua peripheria, quod etiam expli-
1candum eſt per contactus inadæquatos; tunc enim motus centri longè
ſuperat motum orbis.
Quintò, ſi vera eſſet hypotheſis Copernici, terra moueretur hoc vlti­
mo motu mixto ex motu centri, & motu orbis; vnde omnia puncta
eiuſdem circuli paralleli mouerentur inæquali motui tardiſſimo qui­
dem punctum contactus hoc eſt meridiano reſpondens, velociſſimo ve­
rò ipſi oppoſitum, ſcilicet de media nocte: porrò in hoc motu motus
centri eſſet ferè maior motu orbis iuxta communem de diametro ma­
gni orbis ſententiam.
Sextò, ſi motus maioris rotæ dirigatur à minore res eodem modo
explicanda eſt, quo explicuimus illam per contactus diuerſos inadæquatos
tùm Th. 15. num. 11. tùm in digreſſione multis locis: porrò poſſunt eſſe
diuerſæ proportiones circuli mobilis, & immobilis; qui ſi maximus eſt,
minimus illius arcus accipi poteſt pro linea recta.
Septimò, poteſt ita rota moueri, vt pars ſuperior retrò agatur, id eſt,
vt motus orbis ſit oppoſitus motui centri v.g.ſi punctum N moueatur qui­
dem dextrorſum motu centri, O verò ſiniſtrorſum motu orbis; ſed tunc
punctum B mouebitur dextrorſum motu orbis, ſed eſt noua difficultas:
quippe ex hac hypotheſi punctum O deſcriberet ſuo motu lineam ſimi­
lem, & æqualem lineæ rotatili BMIHF; punctum verò B moueretur
iuxta hanc hypotheſin eo modo, quo mouetur punctum O iuxta prio­
rem. Sic autem moueri dicuntur quidam Epicycli ab Aſtronomis, quo­
rum centrum mouetur in conſequentia, hoc eſt ſecundum ſeriem
ſignorum; ſummum verò punctum, ſeu ſtella apogæa retrò agitur, ſeu
in partem aduerſam contendit, vel vt vocant, in præcedentia: tales
vulgò ponuntur Solis Epicycli & Lunæ; vnde obiter colligo, quàm ſit
neceſſaria Aſtronomis hæc de motu mixto ſententia, vt ſua phœnome­
na ad ſuas cauſas phyſicas reducant.
Octauò denique, poſſunt eſſe diuerſæ lineæ huius motus pro diuerſa
circulorum proportione, quarum figuras, deſcriptiones, affectiones ſuo
loco demonſtrabimus, & nouos latices tum Geometris, tùm Phyſicis
aperiemus, ex quibus vbertim fluit infinitarum ferè demonſtrationum
materia.
Theorema 17.
Explicari poſſunt cuncta phœnomena rotæ maioris mobilis circa minorem̨
immobilem; ſit enim rota minor centro A, cui incubet maior rota cen­
tro K, radio KB duplo BA, roteturque circa ſuperficiem BDFTH
punctum 5 reſpondebit F & Q poſt decurſam ſuperficiem puncto B,
eritque motus mixtus.
Primò, centrum K mouebitur motu circulari, quia ſemper æqualiter
diſtat à puncto A; igitur deſcribit circulum, cuius radius eſt KA.
Secundò, poteſt facilè deſcribi linea motus puncti B v.g. diuidatur
enim BDFH in 8 arcus æquales, & B5 in 4; tùm per puncta
1CDE &c. deſcribantur circuli radio KB; & aſſumatur CR æqualis
B 2; tùm DL æqualis B 3, tùm EM æqualis B 4, tùm FN æqualis B 5,
atque ita deinceps, vt per puncta ſignata deſcribatur linea curua
BRLMNOPRQ, hæc eſt linea huius motus.
Tertiò, omnia puncta mouentur inæqualiter, B quidem tardiſſimè,
Q velociſſimè; nam eo tempore, quò B conficit BR, modicum illud
ſpatium IQ decuerit QS, cuius proportio ex analyſi cognoſci poteſt;
idem dico de motu aliorum punctorum; eſt etiam eadem ratio huius
inæqualitatis, de qua ſuprâ, cuius omnes proportiones aſſignari poſ­
ſunt.
Quartò obſerua, figuram huius lineæ, quæ accedere videtur ad ſpi­
ralem: præterea linea puncti B, ſcilicet BRLMNOPRQ, ſecat li­
neam puncti Q in 8 mirabili implicatione, cuius interior portio exhibet
ſectionem cordis ſcilicet BRLMN 8 XY δ B.
Quintò, deinde pro diuerſa proportione rotarum maioris, ſcilicet &
minoris rotæ, ſunt diuerſæ lineæ, & motus mixti diuerſi; immò poſſet
rota immobilis, circa quam alia rotatur, tam parua eſſe, vt linea tantùm
poſt multas gyrationes perfici poſſet.
Sextò, poſſunt etiam determinari lineæ aliorum punctorum intra
rotam mobilem v, g.puncti T; quod vt fiat, ſemper eſt aſſumendus ra­
dius KB, qui ſcilicet, dum K eſt in μ, incubat μ R, dum eſt in M incubat
ML, dum eſt in θ reſpondet θ M; denique dum eſt in 9 reſpondet
9 N; itaque aſſumantur μ 3, M ω, θ 7, 9 β æquales K, & ducatur per
ſignata puncta linea curua T3 π 7 β, hæc eſt linea motus mixti pun­
cti T.
Septimò, quando motus minoris rotæ radio KT dirigitur à motu
maioris radio KB, rotatur illa in ſuperficie circuli radio AT, ſed ita
quadratus TV quaſi repat per contactus inadæquatos in ſemicirculo
T 11 10; porrò in hoc caſu maxima eſſet difficultas rotæ Ariſtotelicæ;
denique, quando maior dirigitur à minori, quadrans B5 quaſi contra­
hitur in arcu minore BC, quæ contractio explicatur per contractus in­
adæquatos, vt iam ſæpè diximus in aliis motibus.
Theorema 18.
Explicari poſſunt omnia phœnomena rotæ mobilis in ſuperficie concaua
maioris circuli; dixi maioris circuli; quia in ſuperficie concaua mi­
noris, vel æqualis moueri non poteſt, vt conſtat; ſit ergo fig.4. rota
mobilis radio PC; ſit ſuperficies concaua circuli dupli prioris in
peripheria CGK; diuidatur CGK in 8 arcus æquales; haud
dubiè tota ſuperficies rotæ mobilis ſucceſſiuè percurret totam
ſuperficiem concauam CGK, cùm illa ſit huic æqualis, hoc po­
ſito.
Primò, punctum C percurret rectam CAK, nec vnquam ab
ea diſcedet, & centrum P percurret ſemicirculum PQN; quippe
1ſemper æqualem ſeruabit diſtantiam à ſuperficie concaua CGK; ſed illa
eſt PC; igitur ſemper diſtabit æqualiter à centro A; igitur deſcribit ſe­
micirculum PQN.
Secundò, quod ſpectat ad primum; certè punctum A rotæ mobilis
tanget ipſum G; eſt enim quadrans CG æqualis ſemicirculo CA, ſed
cum A tanget G, C erit in A; denique C tanget K; igitur C percurret
rectam CAK; porrò facilè oſtendetur punctum C moueri per alia pun­
cta v.g.per punctum T; nam punctum 9.tanget E; igitur TY eſt tangens
igitur AY & YE; igitur ET, TA ſunt æquales, vt conſtat; igitur C duce­
tur per. T; præterea C 4. DV ſunt arcus æquales, quia angulus CAD eſt
ſubduplus CP 4. vel YTD, vt conſtat; igitur arcus DV eſt æqualis C 4.
igitur C ducitur per V: idem oſtendetur pro aliis punctis.
Tertiò, hinc poteſt determinari longitudo diſtantiarum CV, VT, &c.
nam AE eſt chorda arcus 135. id eſt, eſt dupla ſinus grad. 67. 1/2 AT eſt
chorda arcus 90. id eſt latus quadrati inſcripti: denique RA eſt chorda
arcus 45. id eſt dupla ſinus 22. 1/2 hinc vides quàm acuratè recta AC ſe­
cet omnes arcus DV, ET, &c.ita vt ſint æquales aliis arcubus maioris cir­
culi, ſcilicet DC, DV, EC, ET, PR, PC, &c.
Quartò, hinc vides punctum C initio tardiſſimè moueri, & continuè
ſuum motum accelerare, donec perueniat in A, quem ab A in K retar­
dat in eadem proportione, in qua AC in A accelerat, CV eſt ferè ſubtri­
pla VT, ſcilicet 15224. ad 43354.TR eſt ad CT vt 64886.ad 58578. vt
conſtat ex tabulis ſinuum.
Quintò, non modò punctum C rotæ mobilis mouetur motu recto,
verùm etiam alia puncta circumferentiæ eiuſdem rotæ; eſt enim par om­
nium ratio v.g. punctum 2. mouetur per rectam 3.A punctum 4.per re­
ctam DA. punctum 9.per rectam EA; quod certè mirabile videtur, &
primo intuitu vix credi poſſet.
Sextò, ſi aſſumatur aliud punctum intra rotam deſcribi poterit facilè
linea illius motus; ſit v.g. punctum 6. ducantur rectæ TYYTZR; nam
radius PR migrat in TV, YTZRQA, ſumantur TV, YT, Zδ, QX æ­
quales P6.& per ſignata puncta deſcribatur curua 6. TδX, hæc eſt linea
motus puncti 6. cuius motus initio eſt tardior, ſub finem velocior.
Septimò, hinc poteſt dirigi motus minoris à motu maioris, & viciſſim,
quod explicandum eſt eodem prorſus modo, quo iam ſæpè explicatum
eſt per diuerſos ſcilicet contactus inadæquatos, pro quo tantùm obſerua,
ſi minor dirigatur à maiore, puncta minoris dextrorſum mouentur
tùm ſiniſtrorum; contra verò ſi maior dirigatur à minore, puncta maio­
ris mouentur ſiniſtrorſum, tùm dextrorſum, quæ omnia ex dictis facilè
intelligi poſſunt, & explicari.
Octauò, præterea puncta radij RC aſſumpta, quæ propiùs ad extre­
mitatem C accedunt, deſcribunt lineam, quæ propiùs accedit ad rectam;
quæ verò accedunt propiùs ad centrum P, deſcribunt lineam magis cur­
uam; idem de punctis in radio PA; nam eſt eadem ratio, quæ omnia ex
dictis conſtant; an fortè cùm punctum C deſcribat rectam, punctum P
1circulum, & quæ propiùs accedunt ad C minùs curuam, quæ propiùs
ad P magis curuam; ſed tractatu ſequenti omnes iſtas lineas explica­
bimus.
Nonò, ſi ſuperficies ſit minoris circuli quàm dupli; certè punctum C,
v.g. non deſcribet rectum CK, ſed aliam curuam ſiniſtrorſum; ſi verò
ſit maioris circuli quàm dupli, deſcribet aliam curuam dextrorſum, quæ
omnia conſtant ex dictis.
Corollarium.
Non videntur omittenda aliqua Corollaria Cyclomètrica, quæ ex di­
ctis ſua ſponte naſci videntur; nam primò ſemicirculus AQG eſt æqua­
lis triangulo mixto ex arcubus GC, & GA, & recta AC; quia quadrans
AGC eſt æqualis circulo A9.CB, vt patet.
Secundò, omnes radij eodem modo ſecantur à circulo v.g. AC, AD.
AE: ſunt enim CVE ω, D4.æquales, item C 3. T, VE9. &c.
Tertiò, omnes arcus intercepti inter radios ſunt æquales v.g. DY, C 4.
T4. E4. GF, F9.9 δ. &c.
Quartò, præterea arcus à puncto contactus maioris, & dupli circuli
vſque ad quemlibet radium ſunt æquales, v.g. G9, A & GC, G9. δ GD,
G9. & GE, GF, & GC, tùm FR, & FC, F β, & FD, F ω & FE, tùm ET,
& EC, E 4. & ED; denique DV, DC.
Quintò, triangula illa mixta ex duplici arcu æquali maioris, & minoris
circuli, & altero latere recto, ſunt æqualia ſectionibus minoribus circuli,
quarum arcus æquales ſunt prioribus minoris circuli, ſic triangulum
mixtum ex arcubus GC, G9. A, & recta AE eſt æquale ſemicirculo G9.
A; mixtun verò ex arcubus FC, FR, & recta RC, eſt æquale ſectioni VA
vel E9. A, mixtum ex arcubus ET, EC & recta, æquale eſt ſectioni TA
vel 9. δ A; denique mixtum ex arcu DC, DV, & recta CV eſt æquale
ſectioni RA.
Sextò ſubtracto ex prædictis triangulis alio triangulo mixto per da­
tum radium quemcumque, ſubtrahitur portio æqualis ex ſemicirculo
minore, & reſiduum æquale eſt reſiduo v.g.ex triangulo mixto G9. AC
G ducto radio AF, detrahitur triangulum mixtum GF ρ, ex ſemicir­
culo A9. C, detrahitur portio æqualis 7. A; igitur reſiduum ſemicirculi
eſt æquale reſiduo trianguli mixti; deinde ducto radio AC detrahitur
triangulo mixto prædicto aliud mixtum minus GE9. ex ſemicirculo A
9. C detrahitur portio A9. æqualis detracto; igitur Trapezus reſiduus, E
9. A 7. E, eſt æqualis triangulo mixto CA9. C. idem dico de aliis.
Septimò, cùm ſector AFG ſit æqualis quadranti AP9. ſectio ACZ,
eſt maior quadrante prædicto triangulo mixto GCF vel ſectiore 7. A;
atqui ſectio ACZ habet arcum 135. & A 7. arcum 90. igitur ſectio ar­
cus 135. eſt æqualis quadranti plus ſectione arcus; igitur triangulum A
7.4.A eſt æquale quadranti; triangulum verò mixtum GCA eſt æquale
quadranti, minùs prædicta ſectione arcus 90.
Octauò, hinc triangulum mixtum ex arcubus A 7.9. GG & recta AG
1eſt æquale quadrato radij AQ; idem dico de mixto ex arcubus AT9. 9.
C, & recta AC; hinc vtrumque ſimul ſumptum detracta ſcilicet duplici
portione A 7.9. TA eſt æquale quadrato inſcripto, & duplex illa ſectio
figura ouali eſt æqualis triangulo mixto ex tribus arcubus G9. 9. C, C
G; quod facilè geometricè demonſtratur; ſit enim circulus centro B;
ſint duæ diametri, GE, AC, quibus in 4. quadrantes diuidatur circulus;
tùm aſſumatur arcus GF, æqualis FC, & CD; ducantur rectæ AD, AF, GF,
IF: dico triangulum mixtum ex rectis AF, FG, & arcu GA, eſſe æquale
quadranti, quod demonſtro; triangula KAL, KFG ſunt æquiangula, quia
anguli K vtrinque ſunt æquales: ſed DAF, & AFG, ſuſtinent æquales ar­
cus; igitur ſunt æquales; igitur ſunt proportionalia; igitur vt quadr. BA ad
quadr. IF: ſed quadr. BF eſt duplum quadr. IF; igitur & BA eſt duplum;
igitur KAL duplum KFG; igitur BAK æquale; igitur tantum additur,
quantum tollitur; igitur prædictum triangulum eſt æquale quadranti.
Nonò præterea, Trapezus FC9. AEF eſt æqualis triangulo mixto ex
arcubus ABC, TAR, & recta RC; Trapezus verò E9. TA, CE æqualis
mixto triangulo ex arcubus ABCAT, & recta TC; Trapezus verò DμA
CD eſt æqualis mixto ex arcubus ABC, AV, & recta VC; hinc lulu­
la DCBAVD eſt æqualis ſectori ACD; igitur quadranti P9. C: hinc
altera lulula AT 4. ECBA eſt dupla prioris; igitur æqualis ſemicircu­
lo AC, vel ſectori AEC: hinc tota figura ex AC, CE, & recto CA, eſt
æqualis circulo A9. CB.
Decimò, Trapezus E ω β RCE eſt æqualis quadranti P9. C: hinc ſi
detrahatur ex prædicto Trapezo triangulum mixtum E 4. TCE, illa
figura E ω β RT 4. E eſt æqualis triangulo rectilineo AP9. ſimiliter
aliæ figuræ T 4. DVT, R β 4. TRA μ β RA, A μ 9. ρ F ω RA; item 9.
ρ F π ρ, &c.
Vndecimò, ſector ACE diuiditur in duas partes æquales ab arcu R
ω; item ſector ADF ab arcu μ ρ; item totus quadrans AGC ab arcu A
9. G; denique illa figura E ω RTE eſt æqualis Trapezo D β RVD; igi­
tur Trapezus æqualis rectilineo A9.P, itemque Trapezus T9.ECT
æqualis quadranti P9. C; igitur Trapezo E π RCE; igitur triangulum
mixtum β 9. ω β æquale mixto T β R; ſed de his ſatis, quæ tantùm indi­
caſſe ſufficiat; omitto enim infinita alia, de quibus in Cyclometria.
Theorema 19.
Si ita moueatur cylindrus per quamcunque lineam, vt eius axis moueatur
motu recto, totuſque cylindrus circa axem motu circulari moueatur, motus
mixtus eſt, cuius diuerſa ſunt phœnomena.
Primò, axis mouetur tantùm motu recto; aliæ verò partes motu mixto
ſit enim cylindrus CH, cuius axis ſit AB, circa quem moueatur cylin­
drus motu circulari, & qui per eandem lineam AB indefinitè produ­
ctam mouetur; certè punctum C, v.g. mouetur motu mixto ex motu cen­
tri A, vel axis AB, & motus orbis.
Secundò, punctum C mouetur motu ſpiræ; nam ſi tantùm motu orbis
1moueretur, decurſo ſemicirculo peruenire in L, F, N, &c. igitur ſi eo
tempore, quo C decurrit motu centri, ſemicirculum CD; punctum axis
A decurrit AK; haud dubiè punctum C erit in E, tùm in F, tùm in G, tùm
in T; ſed hic motus ſpiralis eſt, vt conſtat.
Tertiò, omnia puncta peripheriæ CD mouentur æquali motu; quia
ſcilicet æqualem motum centri, & orbis participant.
Quartò, ſi motus centri vel axis ſit minor, frequentiores ſunt Helices
v.g. ſi eo tempore, quo C decurrit ſemicirculum CD, A decurreret tan­
tùm AR, C perueniret tantùm in Q, mox in I, atque ita deinceps moue­
retur per frequentiores ſpiras; ſi verò motus axis ſit maior, ſpiræ erunt
rariores, vt patet, v.g. ſi eo tempore, quo C motu centri decurrit ſemi­
circulum CD, punctum A decurrit AL, punctum C decurret ſpiram C
M, mox MT, &c.
Quintò, areæ circuli CAD mouebuntur motu ſpirali, excepto centro
A, minores tamen ſpiras conficeret, ſcilicet circa cylindrum cuius minor
eſt baſis, vt patet; vnde minore motu mouentur, quàm C vel D; igitur
axis AB tardiſſimo motu mouentur; partes verò ſuperficiei cylindri
velociſſimè; aliarum verò partium, quæ accedunt propiùs ad periphæ­
riam, velociùs. quæ propiùs ad centrum, tardiùs: hoc motu mouentur alæ
auium; quæ directo volatu tendunt per lineam rectam, vt grues; nam
quælibet pars alæ motum axis habet, & orbis.
Theorema 20.
Explicari poſſunt omnia phœnomena calami volatilis ſit enim calamus
ſeu cylindrus DA, in altera extremitate D ita excauatus, vt duæ pennæ
BD, CE inſeri poſſint eo ferè modo, quo vides.
Primò, mouetur axis FA motu recto; reliquæ verò partes motu mix­
to ex recto axis, & circulari orbis eo modo, quo diximus de cylindro
in ſuperiore Theoremate.
Secundò, ſemper calamus DA præit, ſcilicet ipſa baſis A, & ſequun­
tur pennæ; ratio eſt, quia pennîs reſiſtit fortiùs aër, vt pater; igitur earum
vim faciliùs ſuperat; hinc ſemper retinentur à tergo, nec alia ratio eſſe
poteſt; præſertim cùm pennæ ita ſint compoſitæ propter diuaricationem,
vt multum aëra verberent; quod autem pennis maximè reſiſtat aër, patet
ex auium volatu; imò ex ipſo plumarum deſcenſu; hinc pennæ illæ, qui­
bus ornantur equitum pilei, ſemper à tergo ſequuntur currentem equi­
tem; idem dico de faſciis illis tranſuerſariis, quibus iunguntur equites;
idem de militaribus ſignis, ſeu vexillis.
Tertiò, hinc ratio motus recti calami, quia, cùm ſemper præeat,
eundem ſitum ſeruat, pennaſque ipſas quaſi reluctantes trahit, ſuntque
ipſæ ad inſtar claui, qui puppim regit.
Quartò, cum plumæ ita deuaricatæ quaſi à reflante aëra pellantur ſe­
quitur neceſſario motus orbis circa axem calami DA; quippe hîc motus
facilis eſt; ſic enim voluitur vectis ſeu cylindrus, quotieſcumque ab altera
1tremitate pellitur; igitur cum pellantur D & C; quid mirum ſi totus ca­
lamus cum ipſis pennis conuertatur.
Quintò, hinc motus calami eſt mixtus ex recto axis, & circulari or­
bis; igitur ſpiralis eſt; ſpiræ autem maiores ſunt, vel minores pro diuerſa
diſtantia partium ab axe AF, qui debet cenſeri productus vſque ad G;
nam partes, quæ longiùs diſtant ab axe, maiores ſpiras decurrunt; aliæ
verò minores; porrò ſpiræ ipſæ eò frequentiores ſunt, quò motus orbis
velocior eſt, & contrà rariores, quò tardior.
Sextò, ſi ſit tantùm vnica penna, calamus non mouetur hoc motu;
quia vix aër verberatur; adde quod in eam partem, quæ caret penna im­
pulſus neceſſariò inclinatur; idem accidit cum altera penna fracta eſt,
vel minus aptè diuaricata.
Septimò, in cam partem conuertitur, ſeu ſpiras agit, in quam pennæ
ipſæ detorquentur; alioquin non eſſet, cur potiùs in vnam, quàm in aliam
ſuos agerent orbes; igitur ita diuaricantur pennæ, vt earum plana ſibi in­
uicem ſint obliqua; cuius rei ratio prædicta clariſſima cùm ſit; non eſt
quod amplius de hac re laboremus.
Octauò, ſi pennæ diſtractiones ſunt, & maximè diuaricatæ; motus
axis eſt tardior; ratio eſt, quia in eo ſtatu multum aëra pellunt, ſeu venti­
lant, à quo retinentur.
Nonò, ſi diſtractiores ſunt, motus orbis eſt etiam tardior, ſuntque
rariores ſpiræ; ratio eſt eadem, quia cùm motus orbis eſt maior, etiam
plùs aëris vertigo illa ſecum abripit; hinc maior eſt reſiſtentia; vnde
obſeruabis, vt motus orbis minùs impediatur, ita pennas eſſe componen­
das, vt aëra ſua quaſi acie cæſim diuidant, ne ſi pellant tota ſua ſuperficie,
maior ſit reſiſtentia.
Decimò, ſi demum plùs æquo ſint diuaricatæ, ita vt angulum obtuſiſ­
ſimum faciant, ceſſat omninò motus orbis propter maiorem reſiſtentiam,
quæ vertiginem illam impedit.
Vndecimò, ita pennæ aptari debent, vt ſenſim inflexæ à radice DE
verſus apices BC afflatum aëris diuerſum excipiant, & diſſimilem: vnde
accidit, vt partes ipſæ, quæ retardantur, & maiore vi pollent in vertigi­
nem agantur, in eam ſcilicet partem, in quam aliqua inclinatio conducit
ſic globus retentus à corpore oppoſito in orbem agitur propter rationem
prædictam, ne ille impetus ſit fruſtrà, qui adhuc ſupereſt. Hinc vides
motum orbis non imprimi calamo à pennis, ſed pennis à calamo; qui
cùm ab illis retardetur, ne aliquid impetus ſit fruſtrà, ſupplet motu cir­
culari, quod recto difficiliori propter reſiſtentiam orbis conſequi non
poteſt; determinatur quidem motus circularis in talem partem ab ipſa
pennarum deflexione; non tamen imprimitur: hinc ſi fortè in via pen­
næ ex ſua theca decidant, calamus ipſe ſine nouo impulſu longiùs ſpa­
tium conficito; tribuit enim motui recto non impedito, quod circulari,
vel ſpirali, ſi pennæ adeſſent tribueret.
Duodecimò, ſi pennæ contractiores ſunt, & angulum acutiorem fa­
ciant, calamus velociùs mouetur motu axis; ratio eſt, quia reſiſtentia mi-
1nùs retardat; ſunt enim pauciores partes, quæ valde obliquè cadunt:
hinc minor eſt appulſus, quod clarum eſt; hinc, vt calamus velociùs per­
gat, conſtringuntur pennæ.
Decimotertiò, ſi contractiores ſunt, & rectè compoſitæ, cum illa ſcili­
cet inflexione, eoque ſitu, de quo n.11.non modò velocior erit motus axis,
ſed etiam motus orbis; ratio eſt, quia minor orbis citiùs perficitur: adde
quod minus aëris huic motui reſiſtit; vnde vides ita eſſe aptandas pen­
nas, vt reſiſtentia aëris inæqualis cauſet illam vertiginem, quæ tamen
tanta eſſe non debet; alioquin ipſum motum orbis omninò impediret,
vt diximus n. 10.
Decimoquartò, denique ſi plùs æquo contractæ ſunt, eſſet motus or­
bis; quippe modica eſt aëris reſiſtentia, quæ ad motum illum non ſufficit,
licèt ſemper ſint aliqui gyri, ſed rariores.
Decimoquintò, tres aliquando, aliquando duæ inſeruntur pennæ; eſt
enim eadem vertiginis cauſa, imò quatuor inſeri poſſent; ſunt enim quaſi
totidem claui, qui dirigunt illum motum.
Decimoſextò, ſi pennæ delicatioribus pilis tenera lanugine veſtian­
tur, tardiùs mouetur calamus vtroque motu; quia vix aëra penetrare poſ­
ſunt delicatiores mollioreſque pili.
Decimoſeptimò, ſi proiicitur ſurſum, deſcendatque deorſum rectà, eſt
motus mixtus ex recto & circulari; ſi verò proiiciatur per horizontalem,
vel inclinatam, eſt motus mixtus ex duobus rectis & circulari, vt con­
ſtat; ex quo motu fit linea mixta ex Parabola & Helice; ſit enim cylin­
drus CH, cuius motus ſpiralis ſit CEFGT mixtus ex recto CT, & cir­
culari orbis CD; ſit etiam mixtus LTQ ex accelerato LM, & æquabili
MQ certè ſi addatur LQ circulus ſeu ſpira CEF, &c. ſitque RC æqua­
lis IE, & VT æqualis NG, habebitur ſpira mixta LCSVQ
Decimooctauò, ſi pennæ latiores ſunt, ſeu maiorem habent ſuperfi­
ciem, minùs aptæ ſunt ad vtrumque motum, ſcilicet axis, & centri; quia
aër plùs æquo reſiſtit, nam plures illius pelluntur partes.
Decimononò, ſi verò contractiores ſunt, etiam minùs aptæ videntur:
quippe aëra facilè diuidunt.
Vigeſimò, ſi breuiores, certiſſimus eſt motus orbis; quia minor circu­
lus citiùs perficitur.
Vigeſimoprimò, ſi longiores, è contrario: adde quod ab axis leuioris
motu, dirigi vix poſſunt.
Vigeſimoſecundò, ſi altera pennarum ſit fracta, eſſet motus orbis; quia
ſegmentum fractum aliarum partium motum non ſequitur, vt patet.
Vigeſimotertiò, ſi calamus ſit leuior, ineptus eſt; quia reſiſtentiam
pennarum non ſuperat; quippe contra reflantis aëris vim, calami præua­
lens impetus leuiores pennas ſecum abripere debet.
Vigeſimoquartò, ſi longior ſit calamus, minùs aptus eſt; quia ſcilicet
plures partes impetus quæ inſunt grauiori calamo nullo negotio reſi­
ſtentiam aëris, & retardationem pennarum ſuperant.
Vigeſimoquintò, ſi longior ſit calamus, minùs aptus eſt; tùm quia gra-
1uior eſt, tùm quia difficiliùs conuertitur, vt ſemper præeat; eſt enim ma­
ior reſiſtentia ad conuertendum longius corpus, vt patet.
Vigeſimoſextò, ſi breuior & leuior, ineptus eſt propter rationem alla­
tam; nam ſi breuiſſimus ſit, eius tamen grauitatis, quæ ſufficiat ad ſupe­
randam aëris vim, aptiſſimus cenſeri debet: hinc aliquando globulus per­
foratus calami vicem gerit.
Vigeſimoſeptimò, extremitas calami, quæ præit, debet eſſe paulò maior,
& quaſi nodo armata, vt ſcilicet faciliùs præire poſſit, ne alia extremitas
quaſi reluctetur; igitur ad inſtar clauæ calamus componi debet.
Vigeſimooctauò, in vacuo nulla prorſus eſſet vertigo huius volatilis
calami; quia nulla eſſet aëris reſiſtentia; ſed de his ſatis.
Theorema 21.
Cuncta phœnomena teli ſeu iaculi volatilis explicari poſſunt: huius teli
figuram habes rudiore manu adumbratam; hîc habes. cuſpis eſt C, du­
plex clauus ſeu quadruplex BGDABE, ex aliqua leuiore materia
conſtans v.g. ex charta duplicata, vel pennis, hoc poſito.
Primò, cuſpis C poſt eiaculationem ſemper præit; ratio eſt, quia
alæ illæ leuiores à tergo ſequuntur; minùs enim aëris vim frangere
queunt.
Secundò, in eo ſtatu ſemper remanet iaculum; quia non poteſt ſurſum
attolli extremitas B, nec deorſum deprimi; quia ala ABE impedit; nec
etiam dextrorſum, vel ſiniſtrorſum inclinari; quia ala BGD prohibet;
igitur ſi nec ſurſum, neque deorſum, nec ſiniſtrorſum, nec extrorſum
inclinari poteſt; haud dubiè in eodem ſitu remanebit.
Tertiò, citiſſimo motu fertur hoc iaculi genus; quia nihil prohibet;
quippe aër facilè diuiditur ab ipſo iaculo CB; tùm deinde ab ipſis alis
cæſim quaſi ſecatur acie dumtaxat, nunquam ſuperficie oppoſita; adde
quod, aër facilè fluit per 4. illas cauitates BGFE, DGFA, &c. ſemper
enim aëri opponitur acies anguli; ſed hæc ſunt facilia.
Quartò, non agitur in vertiginem hoc iaculum; quia ſcilicet non eſt
tanta aëris reſiſtentia, quantam eſſe oportet; adde quod nulla eſt alarum
inflexio, quæ faciat inæqualem reſiſtentiam, vt in calamo volatili; igitur
eſt tantùm motus axis; vbi tamen vibratur per horizontalem, vel incli­
natam, mouetur motu mixto ex duobus rectis, de quo iam aliàs.
Quintò, huc reuoca ſagittas, quæ tribus inſtructæ pennis eundem
ſemper retinent ſitum in motu, vt ferrum ſeu mucro præeat; vnde vides
eumdem ſemper ſequi effectum, ſiue tres ſint alæ, ſiue quatuor.
Sextò, huc reuoca minima illa ſpicula ſpicâ inſtructa, quæ per tubum
pneumaticum pueri flatu eiaculantur; nam cuſpis ſemper præit, quia
motus alterius extremitatis leuiore ſpica retardatur; ſed hæc ſunt fa­
cilia.
Theorema 22.
Explicatur etiam motus illius, quaſi velaris moletrinæ, qua pueri curren­
tes ſæpiſſimè ludum; cuius figuram hîc habes; nam eo tempore,
1quo DA fertur per ipſum D, BC cum ſuis velus vertitur circa DA.
Primò, hinc eſt motus mixtus, & recto axis DA & circulari CB.
Secundò, hinc eſt motus perfectè ſpiralis, nec enim differt à motu cy­
lindri; de quo ſuprà.
Tertiò, ſpiræ ſunt frequentiores, quò motus eſt velocior motu centri
A, maiores è contrario.
Quartò, debet conſtare debet CB ex leuiſſima materia; alioquin non
mouebitur motu orbis.
Quintò, debet facilè poſſe moueri circa A; alioquin vis illa reflantis
aëris, quæ CB motum circularem imprimit, non ſufficeret.
Sextò, ideo BC mouetur circa A; quia cum vela C & B polleant mul­
tum aëra, maior eſt reſiſtentia; hinc propter modicam inclinationem
axis DA aër in ſuperficies C & B obliquè incidens illas impellit; ſed
quia axis BA reſiſtit neceſſariò circa A, motu circulari cientur.
Theorema 23.
Explicari poſſunt omnes motus ponderis, ſeu plumei à tergo valuarum fu­
nependuli, cuius vi valuæ ipſa claudantur, v.g.ſit fores AE quarum va­
rum eſt AF; ſit funis CDG, cuius extremitas immobiliter affixa ſit C,
pondus appenſum ſit G, cuius vi ſeu motu fores ipſæ clauduntur.
Primò, certum eſt pondus G non moueri motu recto; quia cum ip­
ſo rectangulo AE mouetur circa axem immobilem AB.
Secundò, certum eſt non moueri motu purè circulari, qui mouetur
per lineam GD.
Tertiò, certum eſt rectangulum A moueri motu purè circulari, vt pa­
tet; ita vt DE ſuo motu deſcribat cylindrum, cuius radius ſeu ſemidia­
meter baſis eſt BE.
Quartò, certum eſt, quodlibet punctum huius rectanguli deſ­
cribere circulum, maiorem ſcilicet vel minorem pro diuerſa diſtan­
tia ab axe AB, v. g. punctum D deſcribit circulum, cuius radius
eſt DA, punctum verò I deſcribit circulum, cuius radius eſt HI.
Quintò, certum eſt pondus G moueri motu mixto ex circulari forium.
& recto deorſum.
Sextò, habes ſchema huius motus in cylindro A quem deſcribunt
fores ſuo motu, ſi enim A moueatur per ſemicirculum AB, & rectam A
C; haud dubiè mouebitur per AD; igitur hic motus eſt ſpiralis, nec eſt
alia difficultas.
Theorema 24.
Quando voluitur funis circa cylindrum, vel axem, mouetur motu
ſpirali, ſed diuerſo à prioribus; ſunt enim veræ ſpiræ ad inſtar ſapien­
tia in diuerſa volumina contorti; ſic funis circa digitum ſæpè
rotatur.; eſt enim motus mixtus ex diuerſis circularibus: quippè
1in ſingulis punctis eſt diuerſa determinatio ad nouum circulum, quia
eſt nouus radius, quia continuò radius huius vertiginis imminuitur;
porrò duobus modis poteſt funis circa axem vel cylindrum conuolui.
Primò, ſi ſemper circa eundem cylindri circulum voluatur; tunc autem
facit veras ſpiras, vt vides in A. Secundò, ſi circa diuerſos eiuſdem axis
circulos, vel potius diuerſa eiuſdem axis puncta voluatur, & hic eſt mo­
tus ſpiralis conicus, vt vides in cono FDE; idem eſſet motus ſi conus
circa axem volueretur ſimulque aliquod punctum peripheriæ baſis coni
rectà ab ipſa peripheria ad verticem coni tenderet; ſi enim totus conus
moueatur motu axis recto, quodlibet punctum ſuperficiei coni mouetur
motu ſpirali cylindrico, excepto dumtaxat ipſo vertice; hoc denique
motu mouerentur ſingula puncta baculi ED, qui in conum rotaretur à
vertice E eo tempore, quo rotans ipſe per rectam EG moueretur.
Theorema 25.
Similiter poſſunt explicari motus ſpirales ſphærici, quos habes in; hic au­
tem motus duplex eſt; primus mixtus ex recto per axem KL, quo totus
globus mouetur, & ex circulari circa axem KL, qui reuerâ eſt ſpiralis
cylindricus; ſecundus mixtus ex duobus circularibus, ſcilicet ex circulari
circa axem KL, & circulari per arcum IL, v.g. ſi punctum eo tempore
voluatur circa axem KL per arcum IO, quo fertur per arcum IL vnde
habes in hac figura tres motus ſpirales, quorum ſinguli conſtant ex circu­
lari circa axem KL; ſed deinde conſtant ſinguli ex ſingulis motibus di­
uerſis, ſcilicet ſpiralis cylindricus ex motu puncti I v.g. per rectam IN
parallelam KL; ſpiralis conicus per rectam IL, & ſpiralis ſphæricus
per arcum IPL; hinc duo primi conſtant ex circulari, & recto; certius
verò ex duobus circularibus.
Denique poteſt eſſe ſpiralis concoidicus qualem vides in iſque du­
plex; primò ſi vertatur conois circa axem SV; ſecundò, ſi vertatur circa
axem XZ: quippe hoc modo ſpiræ erunt maiores; ſunt quoque ſinguli
triplicis generis; eſt enim vel parabolicus, vel ellipticus, vel hyperboli­
cus; porrò, qui dicunt motus cœleſtes eſſe ſpirales, viderint an ſint cy­
lindrici vel ſphærici, vel conici, vel elliptici &c. omitto ſpiralem in pla­
no, mixtum ſcilicet ex circulari & recto, cuius ſchema habes Th.24. tùm
L 5. Th.79. de quo etiam aliàs, cum de lineis motus.
Theorema 26.
Cum taleola ſupra planum rectilineum ita repit, vt etiam circa proprium̨
centrum voluatur, est motus mixtus ex recto & circulari; neque hic motus
diuerſus eſt à motu rotæ in plano, ſit enim taleola centro A, circa quod
vertitur dum centrum A repit motu recto per rectam AD, perinde ſe
habet, atque ſi rota in plano BE vel CF rotaretur; immò poteſt tabella
GK ita moueri, vt eius centrum A moueatur per AD, dum reliquæ par­
tes circa centrum A voluuntur; tunc enim punctum H eodem motu
moueretur, quo alia puncta peripheriæ huius rotæ; punctum verò I eo
modo quo I in radio BA, dum rota mouetur, quod ſuprà fusè explicui-
1mus; denique ita moueri poteſt taleola, vt primò B moueatur motu or­
bis verſus. Secundò, verſus K; Tertiò, vt motus centri ſit maior vel minor
motu orbis. Quartò, vt ſit æqualis.
Denique, ne omittam motum illum, quo clauis ſeu planum ſolidum
in læuigata menſa mouetur, dico mixtum eſſe ex recto alicuius centri &
circularis orbis; ſit enim v.g.baculus AD, qui ita repat in plano læui­
gato vt altera eius extremitas fortiùs impellatur, mouebitur motu mixto
ex circulari circa centrum C per Th.55.l.7. & recto orbis circa C; de­
ſcribent autem duæ extremitates A & D lineas rotatiles diuerſas; hic au­
tem motus diuerſus erit pro diuerſa coniugatione motus orbis, & mo­
tus centri, cùm hic poſſit eſſe vel maior, vel minor motu orbis, vel
æqualis,
Theorema 27.
Explicari poſſunt omnia phœnomena motus globi.
Primò, ita globus rotatur aliquando in plano, vt motus orbis deſcri­
bat circulos perpendiculariter incubantes plano; ſic vulgò proijcitur
globus, nec differt hic motus à motu rotæ in plano; eſt enim mixtus ex
recto centri & circulari orbis.
Secundò, ita rotatur aliquandò, vt ſit ſemper idem punctum contactus,
& motus orbis deſcribat circulos parallelos plano in quo rotatur; non
differt etiam hic motus à motu rotæ, quæ in plano verticali rotaretur.
Tertiò, ita rotatur, vt motus orbis deſcribat circulos inclinatos plùs,
vel minùs; non differt autem hic motus à motu rotæ, quæ in plano in­
clinato rotaretur; mutatur autem continue punctum contactus in 1°.
& 3°. motu.
Porrò, ſæpiùs obſeruabis iſtos motus globi in aqua, in qua ſcilicet fa­
cilè circa centrum voluitur per quodcunque planum.
Quartò, ita mouetur vt conſtet hic motus ex duobus quaſi circulari­
bus, & ex recto; quando ſcilicet inflectitur ita motus centri, vt mouea­
tur centrum per lineam curuam; dixi curuam; non verò circularem;
quia non habet centrum motus purè circularem, ſed mixtum ex
recto & circulari; exemplum habes clariſſimum in illo deflexu
globi, qui valdè familiaris eſt iis, qui trunculorum ludum exercent;
quippe tantillùm detorquetur circa horizontalem, ex qua declinatione
ſequitur motus mixtus ex tribus, ſcilicet ex motu orbis in circulo hori­
zontali, ex motu orbis in verticali, & motu centri recto.
Quintò, ita proijcitur globus aliquandò, vt motus centri ſit contrarius
motui orbis; tunc autem vel ſiſtit globus, vel etiam redit, cum motus or­
bis intenſior eſt, de quo iam ſuprà.
Sextò, cum proijcitur ſurſum per lineam perpendicularem, ita vt non
modò motus centri, verùm etiam motus orbis imprimatur, mouetur mo­
tu mixto ex recto centri & circulari orbis, nec differt hic motus à motu
rotæ in plano recto, idem dico de deſcenſu & de iactu circuli ferrei vel
lignei.
1
Septimò, cum proijcitur globus per inclinatam, mouetur motu mixto
ex tribus ſcilicet ex recto violento centri, ex naturali deorſum & ex cir­
culari orbis, eſtque idem motus, qui eſſet, ſi globus rotaretur in plano
curuo ferè parabolico; quippe centrum deſcribit hanc lineam; ſed linea
centri eſt ſemper parallela plano, in quo rotatur globus.
Octauò, cum rotatur globus in plano decliui per lineam inclinatam
mouetur motu mixto ex tribus, ſcilicet ex duobus rectis centri, & circu­
lari orbis; hic motus ſimilis eſt priori; quippe centrum deſcribit ferè Pa­
rabolam; hinc facilis methodus deſcribendæ Parabolæ ex iactu globuli
atramento tincti, quam etiam tradit Galileus.
Nonò, ſi globi alterum hemiſphærium ſit grauius, cum rotatur in recto
plano, deflectit in cam partem quam ſpectat hemiſphærium grauius;
imò deinde detorquetur in oppoſitam, eſtque motus mixtus ex duobus
circularibus, altero ſcilicet librationis, altero gyri rotatilis, & recto cen­
tri; porrò mouetur centrum motu curuo qui aliquando accedit propiùs
ad circularem; huc etiam reuoca motum paropſidis rotulæ, quæ in mul­
tos agitur gyros & ſpiras; quia præualet portio grauior, eóque detorquet
centrum motus.
Decimò, hinc quod iucundum eſſet, ſi huiuſmodi globum in datum
ſcopum proijceres; haud dubiè alium feriret; igitur vt ſcopum ſignatum
tangas, aliò collimare debes; porrò linea huius motus eadem eſt, quæ
eſſet, ſi globus rotaretur in linea parallela lineæ, quam deſcribit cen­
trum; quæ vel eſt ſpira, vel circulus, vel alia curua, iuxta diuerſam con­
iugationem motum; illa autem facilè haberi poteſt ex dictis ſuprà.
Vndecimo, ſi in plano recto ita rotetur cylindrus, vt ſinguli circuli
paralleli baſi rotentur æqualiter, ſinguli circuli mouentur motu mixto
ex recto centri, & circulari orbis, eſtque hic motus ſimilis motui rotæ
in plano recto, de quo ſuprà.
Duodecimò, ſi verò ita rotetur, vt altera eius extremitas velociore
motu feratur, eſt alius motus mixtus ex curuo axis & circulari orbis,
dixi curuum axis; quia non eſt neceſſariò circularis.
Decimotertiò, cum rotatur conus, mouetur motu mixto ex curuo axis
& circulari orbis, hic motus ſatis communis eſt; eius porrò ratio eſt;
quia cùm ſinguli circuli ſuperficiei coni ita rotentur, vt motus orbis ſu
æqualis motui centri; certè cùm ſint omnes inæquales, ſpatium decur­
runt. Hinc vertex retrò relinquitur à baſi; hinc baſis neceſſariò retor­
quetur; dixi autem curuum axis; quippe centrum baſis non mouetur
motu purè circulari; nam tantillùm verticem promouet, quia motus
eius centri maximè iuuatur à motu eius orbis, qui longè maior eſt.
Decimoquartò, huc demum reuoca gyros illarum pyxidum, quarum
margines oppoſiti ſunt circuli inæquales; quippe ſunt veluti fruſta co­
ni, cuius angulus verticis eſt valde acutus.
Theorema 28.
Morus diſci facilè explicari potest;; eſt enim planum circulare, cuius
1centrum deſcribit ferè Parabolam; vnde eius motus eſt mixtus ex para­
bolico centri, & circulari orbis in circulo horizontali; igitur motus cen­
tri conſtat ex duobus rectis, ſcilicet ex violento, & naturali deorſum;
porrò eſt idem motus qui eſſet, ſi circulus verticali parallelus rotaretur
in linea parabolica deſcripta in plano horizontali.
Obſeruo autem primò motum orbis diſci eſſe poſſe maiorem motu
centri, vel minorem, vel ipſi æqualem; quod quomodo fieri poſſit, fusè
ſuprà explicuimus.
Secundò, ſi altera eius portio ſit grauior motus orbis, non eſt idem
cum centro diſci, vt patet; præualet enim portio grauior, ſed propiùs
accedit ad portionem grauiorem.
Tertiò, hinc cùm diſcus cadit in terram, reſitit altera eius portio, ſci­
licet leuior; quia cùm deſcribat maiorem circulum orbis, maiorem im­
petum habet; hinc conuertitur diſcus.
Quartò, imprimitur motus orbis in ipſo iactu; quia ſcilicet vna pars
mouetur, antequam alia diſcedat è manu proijcientis; vnde ſequitur
neceſſariò motus orbis.
Theorema 29.
Explicari poſſunt omnia phœnomena longioris haſtæ vel ſariſſæ.
Primò, ſit haſta in plano horizontali BG; ſi motu ſimplici attollatur
extremitas B, mouebitur per arcum BA circa centrum G.
Secundò, ſi non modò attollatur, ſed euibretur cum aliquo viſu, ele­
uata ſcilicet tantillùm extremitate G, mouebitur vtraque extremitas;
non certè circa F, ſed circa E, vel D, ita vt GE ſit 1/4 AG per Th.55.l.7.
Tertiò, ſi extremitas G non adducatur ſed B per aliquam Tangentem
arcus BA euibretur pro diuerſa Tangente diuerſus erit motus, ſi v.g.per
Tangentem BH punctum D aſſurget per DE, igitur G redibit in C, B
verò ſpatium compoſitum ex tota v. g. & eius ſubdupla BC; eſt autem
hic motus mixtus ex recto centri D & circulari orbis; ſi verò extremi­
tas B euibretur per Tangentem HL & D, vel E per EK; haud dubiè ex­
tremitas G minùs retroagetur, & acquiret dextrorſum maius ſpatium.
Quartò, ſi nullo modo adducatur centrum D, vel extremitas G; nun­
quam G ad manum ludentis perueniet, id eſt nunquam perueniet in B;
vnde manifeſtè patet hunc motum circularem non fieri circa C.
Quintò, ſi ita euibretur haſta, vt tantillùm adducatur centrum motus
circularis, ſcilicet D; haud dubiè altera extremitas G cadere poterit in
B, id eſt peruenire ad manum ludentis; ſi verò plùs æquo adducatur,
manum ludentis fallet, ſeu præteribit; ſi denique minùs adducatur, por­
rigi manum oportet, vt extremitates G excipiat: porrò hic motus eſt
mixtus ex tribus, ſcilicet ex duobus rectis centri, & circulari orbis.
Sextò, ita poterit adduci centrum D, & ſimul euibrari B, vt haſtæ me­
dium C facto ſemicircuitu in dextram erectam cadat, quadretque ad in­
ſtar iaculi miſſilis, cuius mucro deorſum vergens prædæ plagam inten­
tat; hoc ludi genus oſtentationem Hiſpanicam vulgò vocant.
1
Septimò, erigitur haſta, ſi extremitas G tantillùm eleuata cum altera
oppoſita B, tùm ſtatim B deprimatur; vnde accidit ipſam G noua acceſ­
ſione impetus ſurſum promoueri; quippe ſi deprimatur B circa aliquod
centrum, attollitur G; adde aliquam refluxionem ipſius G, quæ valdè
initio remouetur à manu, vt cum deinde adducitur, maiorem faciat ar­
cum; igitur maiore tempore; igitur ſenſim ab ipſa manu maior in illam
deriuatur impetus; denique vt deinde maiore quoque arcu extremitas B
deprimatur, remoueaturque, & conſequenter oppoſita G magis attolla­
tur, & accedat.
Octauò, duobus aliis modis erigitur haſta è ſitu horizontali.
Primò, conuerſo introrſum brachio; eleuatur enim extremitas G.
& deprimitur illicò B; vnde minore conatu deinde attollitur; minus eſt
enim momentum vectis; ſit enim vectis in ſitu horizontali LN, ſitque
eius momentum vt LN; certè ſi attollatur in LO, eius momentum erit
tantùm vt LM; hinc facilè eleuatur pertica poſt aliquam inclinationem
ſurſum; ſecundus modus, cum torquetur extrinſecus brachium, pro quo
eſt eadem prorſus ratio.
Nonò, erigitur adhuc duobus modis haſta.
Primò, intorto extrinſecus brachio, detortoque. Secundò, contorte
introrſum reductóque traiecto ſub haſtam capite; eſt autem eadem ra­
tio, quæ ſuprà.
Decimò, cum erecta haſta ſurſum ita proijcitur, vt poſt circuitum pot
medium truncum excipiatur, mouetur motu mixto ex recto centri, &
circulari orbis; quod duobus modis fieri poteſt. Primò, ſi extremitas quæ
tenetur manu, retrò agatur, vbi priùs ſurſum tota haſta impulſa eſt; quip­
pe ex eo duplici motu centri, & orbis ſequetur conuerſio haſtæ, & is
deſcenſus in quo commodè per medium truncum excipi poſſit. Secundò.
hoc eodem motu mouebitur, eritque ſimile phœnomenum, ſi extremitas,
quæ tenetur manu impulſa primò ſurſum cum tota haſta, tùm deinde
antè pellatur, ita vt extremitas oppoſita retrò agatur.
Vndecimò, motus orbis poteſt aliquando eſſe maior, aliquando minor,
pro diuerſo ſcilicet impulſu: idem dico de motu centri; imò poſſet
eſſe tantus motus centri, vt conuerſio haſtæ perfici non poſſet; eſt au­
tem motus centri velocior initio in aſcenſu, & tardior in fine; & contrà
tardior initio deſcenſus, & in fine velocior, vt conſtat ex dictis l.2. & 3.
Duodecimò, cum motus centri modicus eſt, parùm aſſurgit haſta, &
licèt morus orbis ſit maximus vix integram conuerſionem perficere
poteſt; cum verò motus centri maximus eſt, & motus orbis modicus,
etiam ſuam conuerſionem non perficit, ſed altiùs aſſurgit mucro.
Decimotertiò, centrum motus orbis non videtur eſſe aliud ab ipſis
3/4 verſus mucronem, vt iam ſæpe indicauimus: porrò niſi hoc centrum
motus orbis retroagatur tantillùm, id eſt 1/4 longitudinis haſtæ, non po­
terit excipi per medium truncum, niſi maius producatur.
Decimoquartò, poteſt centrum orbis, vel plùs æquo retrò agi, vel ante
pelli, vt conſtat; vnde tota ferè induſtria poſita eſt in temperando illius
1motu recto; denique non eſt omittendum etiam haſtam eratam ſolo
nixam ſurſum intorto pugno ita proijci poſſe, vt poſt circuitum excipia­
tur, nec eſt noua difficultas; communicatur enim primò motus centri
rectus, tùm motus orbis, immò, ſi ſit breuior, etiam geminos circuitus
facit, antequam iuſta manu excipiatur.
Decimoquintò, extremitas, quæ manu tenetur velociùs deinde moue­
tur. Primò, patet experientia. Secundò, maius ſpatium conficit; ratio eſt,
quia mouetur circa centrum maiore ſemidiametro, quas conſtat 1/4 totius
haſtæ, quod vt faciliùs videatur, ſit haſta AE, quæ pellatur ſurſum mo­
tu recto CE, ſitque motus orbis circa centrum C; vbi verò C peruenit
in D, A peruenit in L, & D in I; vbi verò C peruenit in E, A peruenit in
G & D rediit in D; vides quanta ſit differentia motus; nam eo tempore,
quo A decurrit ſpatium AKL, D decurrit tantùm DHI; quænam por­
rò ſit hæc figura; certè ſi non eſt Ellipſis, propiùs ad illam accedit:
idem dico de deſcenſu haſtæ, quod dictum eſt de aſcenſu.
Decimoſextò, duobus aliis modis poteſt haſta in aëre conuerti; primò, ſi
mucro agatur retrò, vtraque manu admota alteri extremitati: hic autem
modus differt à prioribus, quod in illis motus centri rectus præcedat
motum orbis; in hoc verò vterque ſimul incipiat. Secundò, ſi primò in
humeris liberetur haſta, tùm ſurſum euibretur; ſed hæc ſunt facilia.
Decimoſeptimò, ad haſtam reuocabis baculum rotatum ab altera ex­
tremitate; ſit enim baculus AE rotatus circa extremitatem A, tùm ſta­
tim demiſſus. Primò, E poſt ſemicirculum peruenit in A. Secundò, E im­
primitur maior impetus, vt patet: hinc tertiò mouetur velocius. Quartò,
A non deſcendit infra AE, poſt quam demiſſus eſt baculus, vt pater ex­
perientiâ; ratio eſt, quia E per tangentem EL determinata impedit, ne
A deorſum tendat. Quintò, E per arcum EG non mouetur; alioquin A
eſſet immobilis: præterea F. non mouetur motu circulari, niſi retineatur
in A; ſed non retinetur; igitur non mouetur per EG. Sextò, non moue­
tur quoque per rectam EF, quia retinetur E ab A, & reliquis partibus,
quæ minùs habent impetus. Septimò, mouetur E per lineam curuam, quæ
accedit ad ellipſim, ſcilicet per EHA; A verò aſſurgit ſupra AE; ratio
huius motus petitur ex eo quod, neque per EF, neque per arcum EG
mouetur extremitas E; igitur per curuam de vtraque participan­
tem.
Decimooctauò, cum ita proijcitur baculus, vt altera extremitas citíùs
moueatur quàm alia, ſequitur motus mixtus ex recto centri, & circulari
orbis; quia ſcilicet illa pars, quæ maiorem impetum habet, quaſi retrò
agitur ab alia, quæ minorem habet, non quidem motu purè circulari;
alioqui omninò retineretur ab alia extremitate, ſed alio mixto, quia non
omninò retinetur.
Decimononò, hinc poteſt ita temperari motus ille orbis, vt tantùm
ſemicircuitum in toto curſu impleat, cum ſcilicet partes omnes æquali
ferè cum impetu mouentur; ſi enim æqualitas eſt in motu omnium
partium, mouentur omnes motu recto; ſi verò motus ſingularum ſunt
1vt radij, motus eſt purè circularis; ſi verò eſt alia inæqualitas, erit
mixtus, qui magis accedet ad circularem, quò maior erit inæqualitas, &
magis ad rectum, quò minor erit.
Vigeſimò, hinc qui ludunt trunculis illis luſoriis inuerſo tamen mo­
re, quod ſæpè hic fit, quo ſcilicet non globus in trunculos, ſed trunculi
in globum proijciantur, arripiunt trunculum ipſum per medium trun­
cum, vt ſcilicet æqualem impetum ſingulis partibus imprimant; vnde
ſequitur motus rectus, & ex motu recto vniformis trunculi caſus, ne ſi
altera extremitas ante aliam ſolum tangat, ſtatim reſiliat alia per ali­
quot gyros, & à ſcopo diſcedat.
Vigeſimoprimò, mouetur baculus proiectus eo modo, de quo num. 18.
circa aliquod centrum, quod tribus quartis tribuimus verſus eam ex­
tremitatem, quæ vltimò à manu dimittitur; quippe faciliùs circa hoc
centrum mouetur, de quo alibi, vnde eſt motus mixtus ex recto centri,
ex recto naturali, & ex circulari orbis, quæ omnia ex dictis ſatis intelli­
guntur.
Vigeſimoſecundò, non ſunt omittenda aliquot phœnomena, quæ in
trunculorum ludo ferè ſemper occurrunt. 1°. ſi iuxta verticem tangan­
tur faciliùs decutiuntur, quia maior eſt vectis, 2°. minùs deflectit glo­
bus à ſuo tramite, ſi per ſummos vertices decutiat, quia minùs reſiſtunt.
3°. hinc, ſi etiam per imum pedem directo ictu verberentur, plùs reſi­
ſtunt, quia minor eſt vectis, 4°. hinc ſtatim à recta via globus deflectit,
5°. ſi obliquè globus feriat trunculum, quaſi lambendo, parùm declinat
à ſuo curſu, quia minima eſt reſiſtentia, quía obliquus ictus minimus
eſt, vt conſtat ex dictis ſæpiùs in ſuperioribus libris. 6. cum ſic obliquè
decutitur trunculus, hic decuſſus deinde alios decutit; quia ex obliquo
ictu craſſioris pedis agitur in vertiginem circa verticem ad inſtar coni,
de quo ſuprà; & cum maiorem gyrum deſcribit, vix vnquam accidit, vt
in ſatis frequenti ſylua in alium trunculum non incidat, quem etiam
decutit. 7°. aliqui tradunt artem, qua nouem trunculi decuti poſſunt,
quod multis modis præſtari poteſt, ſed ad rem præſentem non ſpe­
ctat.
Vigeſimotertiò, eſt etiam aliud ludi genus, quo pueri ruſticani ludunt;
eſt autem minimum parallelipedum gemino mucrone hinc inde inſtru­
ctum, vel cuius vtraque extremitas eſt emarginata, vel ad inſtar fuſi in
apicem coni, hinc inde deſinens; ſi enim baculo roſtrum illud ferias,
ſtatim aſſurgit. Sit enim primò parallelipedum emarginatum AD in­
cubans ſolo EC; ſi roſtrum A baculo percutiatur, deprimitur A circa
centrum E, & attollitur D maiore quidem arcu; igitur maiore impe­
tu, qui quia non retinetur omninò non mouetur circulari motu D,
ſed curuo mixto circa centrum E, quod ab extremitate D tantillùm
eleuatur. Secundò, ex hoc phœnomeno manifeſtè confirmatur, quod
diximus ſuprà de baculo num. 17. quod ſcilicet aſſurgat extremitas illa,
quæ manu tenetur ſupra horizontalem. Tertiò, idem prorſus accidet
1 ſi ſupra planum horizontale BA v. g. ſit cylindrus CB extans aliqua
ſui parte putà FC; ſi percutiatur baculo ED in C, aſſurget propter
eandem rationem motu mixto; nam primò circa centrum F deprimi­
tur C, & attollitur B; B quidem velociore motu, vt patet; igitur ſecum
attollit extremitatem oppoſitam C motu mixto propter rationem iam
ſuprà allatam.
Vigeſimoquartò, AB ſi baculus in aëre libratus perpendiculariter.
v. g. percutiatur altero baculo ED. Primò, in centro grauitatis C
baculi AB, mouebitur AB motu recto; ratio eſt, quia omnes partes mo­
uentur æqualiter; igitur motu recto. Secundò, tunc erit maximus
iactus, ſi ED percutiat C, ita vt EC media proportionalis inter ED,
& eius ſubduplam EG; quia ED producit maximum impetum & to­
tum; eſt enim C centrum grauitatis impetus totius ED, & centrum gra­
uitatis corporis impedientis AB. Tertiò, hinc ſi ED feriat in puncto G,
non erit tantus iactus licèt AB proijciatur motu recto. Quartò, ſi
percutiatur in F, non mouebitur motu recto, vt conſtat experientiâ;
quippe maior impetus producetur in extremitate B, quàm in A; igitur
non mouebitur motu recto, ſed mixto circa centrum mobile H. Quintò,
non producetur totus impetus, qui poteſt produci ab ipſo ED; quia
non impedietur totus, vt patet: quippe extremitas B faciliùs cedit.
Sextò, quo punctum ictus accedet propiùs ad extremitatem B, minor
erit motus centri, maiorque motus circularis, & conſequenter minor
iactus, & contrà, quò punctum ictus accedet propiùs ad centrum C.
Septimò, ſunt 6. ictuum combinationes in hoc caſu; nam vel ictus
cadet in centrum grauitatis C baculi AB vel extra; ſi primum, tribus
modis id fieri poteſt. Primò, ſi centrum grauitatis impetus baculi ED
feriat ſcilicet ipſum C. Secundò, ſi aliud punctum inter CD putà K.
Tertiò, ſi aliquod inter CE putà G; ſi verò ſecundum iiſdem tribus mo­
dis fieri poteſt, ſed de his ſatis; ſupereſt tantùm, ni fallor, vt ea phœno­
mena, quæ in tudiaria gladiatura obſeruari poſſunt, eorumque cauſas
explicemus, ſed illud præſtabimus in lib. ſequenti.
Theorema 13.
Explicari poſſunt omnia phœnomena turbinis ſen trochi circumacti: Tur­
binum puerilium duo ſunt genera: primum eſt eorum, qui ferro mu­
niuntur, qui certè diuerſæ ſunt figuræ, ſphæricæ, conicæ &c. communi­
ter tamen fiunt iuxta figuram cordis, vt vides in A. Secundum eſt eo­
rum, qui ferro carent, quorum ſunt etiam diuerſæ figuræ, communior eſt
conois, vt vides in
Primò, circumagitur vel ſcutica vt B, vel funiculo intorto vt A:
vtriuſque ratio eadem eſt; cùm enim circumuolutus funiculus reduci­
tur, haud dubiè trochum ipſum in orbem agit.
Secundò, cum mouetur trochus circa axem CD immobilem, eſt mo­
tus purè circularis.
1
Tertiò, cùm mouetur circa axem mobilem motu recto, eſt motus mix­
tus ex recto & circulari ſimilis motui rotæ; cum verò mouetur axis in
orbem, mouetur motu mixto ex duobus circularibus, & hic eſt motus
veriſſimus turbinationis.
Quartò, cauſa motus orbis eſt prima reductio ſcuticæ, ſeu funiculi,
quæ circumagit turbinem; cauſa verò motus axis eſt extremitas funicu­
li, vel ſcuticæ, quæ trochum aliquo modo, vel adducit, vel quaſi explodit,
vel expellit; adducit quidem funiculus, cuius altera extremitas etiam
adducitur; expellitur verò trochus, cum verbere adigitur: ſed de his
paulò pòſt.
Quintò, ideò trochus mouetur motu orbis, ſeu motu circulari, quia
impetus contrarii ſimul imprimuntur, v.g.in fig.B imprimitur impetus E
per artum EHF, & F per arcum FGE: vndè ſequitur neceſſariò motus
circularis; hinc digitis in contrarias partes exploſis turbo in orbem
agitur.
Sextò, diu durat iſte motus circularis turbinis, quia non deſtruitur
ab impetu contrario grauitationis, vt iam diximus alibi, ſed tantùm ab
affrictu ad planum illud, in quo vertitur, & à noua determinatione, quæ
ſingulis inſtantibus ponitur, quæ pro nihilo ferè haberi debet; hinc quò
vertex turbinis, politior eſt, & planum in quo ſuos gyros agit, læuiga­
tius, diutiùs durat eius motus.
Septimò, aliquando dormire dicitur turbo cum celerrimè mouetur,
defixo ſcilicet axe in eodem loco, & ſitu, ratio petitur ex eo quòd ver­
tex certè componitur cum ipſo plano factâ ſibi veluti inſenſibili apo­
theca ſeu foſſula, cuius tenuis margo impedit motum centri; igitur mo­
tus orbis vnicus eſt, igitur maior.
Octauò, verbere adigitur trochus, ipſique imprimitur primò motus
orbis, quia lora illa ſcuticæ trocho aduoluta, vbi deinde explicantur, tro­
chum ipſum circumagunt: ſecundò motus centri, quia eadem lora ad in­
ſtar fundæ quaſi trochum explodunt; ſic plerumque accidit adhiberi lora,
vt longiùs ligneus orbis proijciatur; quippe dum explicantur lora, du­
plex ille motus neceſſariò imprimitur; primus quidem, quia explicari
non poſſunt, niſi trochus circumagatur; ſecundus verò, quia explicari
lora non poſſunt niſi in aliquam partem ferantur, & trochum ipſum tra­
hant, vel ſaltem impellant; adde quod diutiùs manet potentia applicata;
hinc maior effectus, analogiam habes in funda.
Nonò, quando turbo ferro inſtructus, cui funiculus aduolutus eſt, re­
tentâ alterà funiculi extremitate, & explicato eodem funiculo circum­
agitur; haud dubiè maiore vi pollet hic motus, duratque diù, tùm quie
funiculus eſt, longior, tùm quia maiore niſu quaſi euibratur, tùm quia
diù manet potentia applicata; porrò duobus modis explicatur funiculus;
primò enim adducitur, ſeu retrahitur, ex quo accidit, vt motus centri
determinetur in eandem partem; ſecundò non adducitur, ſed tantùm
altera extremitas retinetur; vnde fit, vt motus centri nullus ferè ſit.
Decimò, motus centri circularis in cam ſemper eſt partem, in quam
1exterior turbinis portio motu orbis conuoluitur; v.g. turbo B mouetur
motu orbis per arcum EHF; igitur motu circulari centri vel axis moue­
bitur per DK, ſi ſupponatur erectus perpendiculariter in plano LDK;
ratio eſt, quia circularis axis determinatur à circulari orbis; igitur vter­
que fit in eandem partem.
Vndecimò, diuerſa ſcabrities plani in quo circumagitur turbo mul­
tùm immutat turbinationis modum; tunc enim vel diuerſa plani incli­
natî ratio, vel diuerſæ quaſi foſſulæ, vel inſenſibiles ſcopuli turbinem eò
ſæpe adigunt, quo impreſſi motus indoles minimè ferret.
Duodecimò, licèt imprimatur motus rectus axi per adductionem, vel
emiſſionem funiculi, non tamen mouetur axis motu recto; quia hic mo­
tus rectus ab ipſo motu orbis immutatur, ita vt ex vtroque motus fiat
mixtus, ipſeque adeò axis motu quaſi ſpirali, reliquæ verò partes inæ­
quali motu circumagantur.
Decimotertiò, quando axis mouetur motu circulari, poteſt eſſe circu­
lus, quem deſcribit maior vel minor; ſi maior eſt, iſque duplus circuli
baſis trochi ſingula puncta baſis deſcribunt lineam cordis, dum motus
orbis, & axis æquali numero circulorum conſtent; ſi verò axis deſcribit
circulum æqualem baſi, ſitque numerus circulorum vtriuſque motus æ­
qualis, deſcribit quodlibet punctum periphæriæ baſis lineam nouam,
cuius ſchema hic habes, ſit enim circulus, quem deſcribit punctum
axis, quod eſt centrum baſis ſupremæ trochi, AHKque ſitque baſis ipſa
circulus EDBC; hoc poſito moueatur centrum A per circulum AHK
Q, cum erit in G, erit in F, cum in H erit in D, cum in D, erit in L; &c.
igitur punctum periphæriæ baſis E deſcribit ſuo motu lineam curuam
EFADLMPCAE, quæ ſuas habet proprietates, de quibus ſuo loco.
Decimoquartò, obſeruas, niſi fallor, mirabilem huius motus analo­
giam; ſit enim centrum circuli, qui circa alium immobilem conuertitur,
decurrat circulum duplò maiorem, deſcribit lineam cordis, de qua ſuprà,
ſi maiorem duplo (eâ tamen lege vt centrum, & orbis æquali tempore
ſuum circulum decurrant) deſcribitur linea, quæ accedit propiùs ad cir­
culum; ſi verò circulus centri ſit æqualis circulo orbis, habes lineam in
ſuperiore ſchemate, quæ geminum circulum imperfectum præfert, qui eò
propiùs ad ſe inuicem accedunt, quo circulus centri minor eſt; cùm enim
nullus eſt omninò centri circulus, tunc ambo circuli imperfecti in vnum
perfectum coëunt; ſi verò circulus centri ſit minor duplò, ſed maior æquali,
minor erit ſuperior illa figura EFA, &c. donec tandem vbi circulus cen­
tri eſt duplus circuli orbis vnica tantùm figura deſcribatur, ſcilicet linea
cordis. Sed de his omnibus fusè ſuo loco; ſunt enim mirificæ harum
linearum proprietates.
Decimoquintò, ſaltitat initio proiectus turbo; ratio eſt, quia motus
centri maior eſt; igitur ob maiorem affrictum ſæpiùs reſilit; quod pro­
fectò non accideret, ſi planum læuigatiſſimum eſſet, & ferreus mucro
politiſſimus hinc ſtatim primus ille ardor deferueſcit, & miliùs turbi­
natur.
1
Decimoſextò, antequam quieſcat turbo, inclinatur, ſuoſque orbes agit
inclinato quaſi corpore, & obliquo axe; ratio eſt, quia vel axis ſeu ferreus
mucro tantillùm abeſt à grauitatis centro, vel aliquis plani ſcopulus, vel
decliuis plaga turbinem ipſum inclinat; agit tamen adhuc aliquot obli­
quos gyros propter vim prioris impetus, quæ ſenſim à grauitatione tur­
binis frangitur, & tandem omninò ſuperatur.
Decimoſeptimò, hinc, vbi terrarum tangit depreſſus turbo, ad inſtar
rotæ deindæ rotatur; ratio eſt, quia multus adhuc remanet impetus ad
motum orbis determinatus, qui vbi tangitur, ſolum trochum ipſum cum
centro ad inſtar rotæ præcipitem agit.
Decimooctauò, hinc vides naturam maximè gaudere motu recto qui
paulò ante turbini erecto minimè concedebatur; cur enim in vnam po­
tiùs partem, quàm in aliam? at verò lapſo iacentique facilè permittitur;
nam in plano motus orbis rotæ facilè determinat motum rectum
centri.
Decimononò, ad turbinem reuoco cubum illum, ſuis numeris vel
characteribus inſtructum, & duobus hinc inde in ſuprema, & ima facie,
quaſi paxillis, vel communi axe munitum, cuius figuram hîc habes; vol­
uitur enim hic cubus circa ſuum axem, neque eſt noua difficultas.
Vigeſimò, huc etiam reuoca fuſum, qui dum turbinatim verſatur, di­
uerſis etiam motibus moueri poteſt ſurſum, deorſum, dextrorſum, ſini­
ſtrorſum, ïta vt in eo mira motuum varietas obſeruari poſſit.
Vigeſimoprimò, reuocabis quoque motum paropſidis, dum digito
quaſi flagellatur; eſt enim quoddam turbinationis genus, cuius ratio
facilis eſt, & conſtat ex dictis.
Theorema 31.
Explicari poſſunt phœnomena motus Excentricorum; ſit circulus ALK
M centro E; ſit alius excentricus ACOD centro B, circa quod mouea­
tur punctum A v.g. motu orbis; Primò, nulla erit inæqualitàs motus, ſed
tantùm videbitur eſſe; nam punctum A, in quo ſit aſtrum poſt decurſum
quadrantem; videbitur in N; igitur videbitur tantùm confeciſſe arcum A
N minorem quadrante; hinc motus ab A ad C indicabitur tardior; at ve­
AC ad O videbitur velocior; quia credetur confeciſſe arcum maiorem
NK, æquali ſcilicet tempore, quo AN; hinc ab A ad C, id eſt ab apogæo
dicitur eſſe tardior; vel ocior verò AC ad I, id eſt ad perigæum, ſed hæc
ſunt facilia, & communia, per quæ explicantur anomaliæ, & inæquali­
tates ſimpliciores motuum cæleſtium.
Secundò, ſi voluatur circulus radio AE circa centrum E, nec ſit vllus
motus circa centrum B; haud dubiè omnes partes excentrici ADOC
mouebuntur motu circulari ſed inæquali, vt patet.
Tertiò, ſi ſit motus circularis circa vtrumque centrum; certè centrum
B circumagetur per circellum BGHF, punctum verò A excentrici
deſcribet hanc lineam APIQBSIRA, vt conſtat ex dictis Th. 30.
num. 30.
1
Quartò, hine in ſingulis circuitionibus videretur facere duas, & pe­
rigæum videretur verſus eam partem, verſus quam videretur apogæum.
Quintò, centrum B poſſet moueri per circellum minorem BGHF,
vel per alium, cuius centrum eſſet inter BE; per hos autem circellos
explicant Aſtronomi diuerſas excentricitatis mutationes.
Sextò, moueretur punctum A inæqualiter, v.g. eo tempore, quo per­
currit AP, percurrit tantùm SI, vt conſtat ex dictis ſuprà.
Septimò, poſſunt etiam determinari illi arcus, qui tardiùs licèt de­
curſi, velociùs tamen decurri viderentur; nam in A videretur moueri
tardiſſimè; at verò velociſſimè in B.
Octauò, poſſunt plures excentrici ſimul componi cum pluribus etiam
concentricis; ſed de iis fusè in Aſtronomia; hîc tantum ſufficiat indi­
caſſe, & quaſi reduxiſſe ad principia motuum mixtorum.
Theorema 32.
Poſſunt explicari omnia phœnomena Epiciclorum. Primò ſit circulus H
BCK centro A, ſit epicyclus LIQG, centro G; aſſumatur quodlibet
eius punctum, putà G, quod moueatur motu mixto id eſt, motu centri,
& motu orbis: poſſunt aſſignari omnia puncta lineæ huius motus, om­
nes velocitatis proportiones, &c.
Secundò, ſi H moueatur verſus K, & G verſus Q deſcribet ſpeciem
lineæ cordis GZMNE.
Tertiò, G mouebitur velociùs, in G quam in N, E, &c. tardiſſimè in
perigæo E, velociſſimè in Apogæo G.
Quartò, temporibus æqualibus diuerſos arcus deſcribit, ſcilicet ar­
cum compræhenſum angulo HAN, NAC.
Quintò, ſi G moueatur verſus L & H verſus K, tardiſſimus motus
erît in apogæo G, velociſſimus in perigæo E; nam eo tempore, quo à pe­
rigæo conficit arcum compræhenſum angulo CAM, conficit ab apo­
gæo arcum compræhenſum angulo MAH.
Sextò, ſi motus epicycli ſit inæqualis motui centri, diuerſa erit linea
huîus motus mixti, diuerſæ motuum, & velocitatum proportiones.
Septimò, ſi ſint duo Epicycli, erit etiam diuerſa linea, & diuerſa mo­
tuum proportio; poteſt autem accidere, vt vel vterque in eandem par­
tem, vel in diuerſas tendant.
Octauò, poteſt etiam Epicyclus rotari in excentrico, in quo caſu di­
uerſus erit motus, diuerſa linea; quæ omnia facilè ex dictis conſtant, de
quibus fusè agemus ſuo loco.
Theorema 33.
Si rota moueatur in circulo parallelo illi plane, cui incubat perpendicula­
riter eodem ferè motu moneri videtur, quo turbo, de quo ſuprà; aſſumatur
enim figura prima Th. 15. in qua ſit circulus immobilis in plano hori­
zontali BTXD, & erigatur rota BEDF, ita vt ſit parallela circulo
verticali, tangatque priorem circulum in B, cuius deinde periphæriam
ſenſim percurrat; haud dubiè punctum B deſcribet ſuo motu lineam, quæ
1poteſt declinari; ſit enim circulus immobilis BDFC, mobilis FEG,
punctum F poſt decurſum quadrantem FD extat ſupra planum hori­
zontis tota ID erecta; poſt decurſum verò ſemicirculum tota BK
erecta æquali BF, vt conſtat; igitur vertatur FBK, circa FB, donec incu­
bet perpendiculariter plano horizontali in BF; tùm circa FK, ita ere­
ctam vertatur planum, donec incubet DI, erecta in I, fiet planum, in quo
deſcribetur linea huius motus; aſſumatur autem DH æqualis AI; dico
quod ducetur per FHK: ſimiliter inuenientur alia puncta, quod ſuffi­
ciat indicaſſe; eſt autem hic motus maximè inæqualis propter ratio­
nem, de qua ſuprà: ſed de his ſatis; immò certum eſt punctum F ſuo
motu prædicto deſcribere perfectum circulum duplum circuli rota­
ti, cuius centrum eſt D erectum in A, nam DH, DF, DK ſunt æqua­
les; ſi enim circulus tangat in M, punctum F erectum toto arcu FM,
reſpondebit perpendiculariter puncto O, ita vt OM ſit æqualis PB, vel
HS, vel AN; erigatur autem OR, donec incubet perpendiculariter,
extat ſuper AD erecta in A tota QR, ita OQ ſit æqualis AD. Sed
quad. AO eſt æquale quadratis AM, MO; igitur ſit quad. AM qua­
dratum MO erit 8. igitur quadratum A 24. ſed extat ſuper MO, QR,
æqualis OM; igitur ſi à D erecto ducantur duæ rectæ, altera ad Q, altera
ad R, lineæ OR erectæ; certè DQ erit æqualis AO; eſt enim ipſi pa­
rallela; tùm fiet triangulum ortogon ex tribus DQ, QR, DR; igitur
quadr. DR eſt æquale duobus DQ, QR, ſed DQ eſt æqualis A
O; igitur quadr. DQ eſt 24. QR eſt æqualis OM; igitur quadr. QR
eſt 8. igitur quadratum DR eſt 32. ſed quadr. DF eſt 32. poſito
quadrato AF 16.igitur DR erit æqualis DF; igitur circu­
lus duplus, &c. quod erat demon­
ſtrandum.
30[Figure 30]
1 31[Figure 31]
LIBER DECIMVS,
DE DIVERSIS MOTIONVM, VEL
imprimendi motus rationibus.
HACTENVS explicauimus naturam cau­
ſæ formalis motus, ideſt impetus in
libro primo: proprietates motus natu­
ralis ſecundo: tertio violenti affectio­
nes; quarto mixti ex pluribus rectis:
quinto motum in diuerſis planis conſiderauimus;
ſexto reflexum; ſeptimo circularem; octauo fune­
pendulorum vibrationes; nono mixtum ex circulari,
quæ omnia ſpectant, vel ad cauſam formalem, vel
ad principium intrinſecum, vel ad modum etiam
intrinſecum, vel ad ſpatium, &c. iam verò conſi­
deramus diuerſos modos, quibus impetus imprimi
poteſt; poteſt enim mobile proijci, pelli, trahi, percuti,
premi, ſuſtineri, tornari, &c. de quibus omnibus iam
nobis, hoc decimo libro agendum videtur, vt dein­
de vndecimo de organis motus, & duodecimo de li­
neis tandem agamus.
DEFINITIO I.
IMpreſſio eſt productio impetus in exteriore mobili, vel niſus ad illam.
Explicatione multa non indiget hæc definitio; dicitur productio
impetus, quia reuerâ quando proijcitur lapis, in eum deriuatur aliquid
1ab ipſo proijciente mediatè, vel immediatè, cuius vi deinde mouetur; at­
qui vnus impetus illud ipſum præſtare poteſt, vr conſtat ex dictis, toto,
lib. 1. additum eſt, vel niſus ad illam, vt producitur impetus in omni
pulſione, nec in omni percuſſione; cum enim quis pellit ingentem rupem
ſeu percutit pugno; nullum certè producit impetum, niſi aliqua pars
auolet, quæ omnia conſtant ex dictis l.1.
Definitio 2.
Reſiſtentia mobilis eſt illa ratio, que mobili ineſt, cuius vi vel motum omnem
ipſum mobile ab applicata potentia renuit vel tardiorem tantum permittit.
Quid verò ſit illa ratio, & in quo poſita ſit explicabimus infrà; nihil
enim aliud nomine reſiſtentiæ intelligi poteſt, quàm id, quo mobile re­
ſiſtit motui; reſiſtere autem motui, eſt vel totum impedire motum vel
eius partem, per quid autem reſiſtat, & propter quid dicemus infrà: ſatis
eſt dixiſſe, quid ſit reſiſtere & reſiſtentia.
Hypotheſis.
Lapis 20. librarum difficiliùs proijcitur, vel ſuſtinetur ab eadem po­
tentiâ, quàm lapis vnius libræ; hypotheſis certa eſt.
Axiomata nulla præmittemus cum Theoremata lib. 1. demonſtrata
ſufficiant.
Theorema 1.
Explicari poſſunt omnia phœnomena ſuſtentationis.
Primò, vt manus ſuſtineat pondus in ſitu horizontali producit in ſe
impetum; quia, cùm brachium libero motu librari poſſit, ſuo pondere
deſcenderet, niſi aliquod reſiſteret; ſed ipſum brachium non reſiſtit; igi­
tur aliquid quod brachio ineſt; igitur impetus.
Secundò, impetus, quem ipſa potentia motrix in brachio producit,
non eſt maior impetu grauitationis ipſius brachij; quia alioquin præua­
leret; igitur brachium aſcenderet, contra hypotheſim.
Tertiò, ille impetus non eſt etiam minor; quia alioqui impetus gra­
uitationis præualeret; igitur brachium deſcenderet, contra hypo­
theſim.
Quartò, hinc ſequitur eſſe æqualem, cùm ſit per n.1.nec ſit maior per
2.nec minor per 3. ſequitur neceſſariò eſſe æqualem.
Quintò, ſingulis inſtantibus impetus productus priore inſtanti de­
ſtruitur; probatur, quia quotieſcumque ad lineas oppoſitas ex diame­
tro determinantur duo impetus æquales, deſtruuntur, ſi deſtrui poſſunt
per Theorema 123.lib.1. at verò impetus innatus deſtrui non poteſt, per
Theorema 77. libro 2. igitur deſtruitur productus à potentia mo­
trice.
Sextò, propter molliores partes organi, v. g. muſculorum, neruo­
rum, impetus naturalis aliquem ſemper effectum ſortitur, com­
preſſionis, diuiſionis, tenſionis: ratio eſt, quia anima non produ-
1cit impetum in omnibus immediatè; vt patet; alioquin etiam reſectis
neruis brachij poſſet brachium moueri; igitur illæ partes, quæ tan­
tùm habent impetum grauitationis deorſum, quaſi pugnant cum
aliis, quæ impetum grauitationis habent impetum ab ima; quemad­
modum enim, cum aliquod pondus humeris incubat, vel manui; ſen­
tio ponderis vim, cuius effectus rationem afferemus paulò pòſt, ita
prorſus partes, quæ immediatè ab anima impetum non accipiunt, alias
deprimunt.
Septimò, ſingulis inſtantibus anima producit impetum in organo;
quia ſingulis deſtruitur per num. 5. igitur cùm reſiſtat continuò graui­
tationi, tùm ipſius organi, tùm partium coniunctarum cum organo,
ſiue ſint animatæ, ſiue inanimes, debet adeſſe cauſa huius reſiſtentiæ;
igitur nouus impetus, cùm prior deſtruatur.
Octauò, impetus productus in organo, quod mouetur, produ­
cit impetum in aliis partibus cum ipſo organo coniunctis; pro­
batur; cum enim ſingulæ partes mouentur, ſingulæ habent impe­
tum, ſed ſingulæ impetum ab anima non habent immediatè, vt
conſtat; igitur aliquæ partes habent impetum ab impetu ipſius
organi: ſecundò eodem prorſus modo moueo vnguem, quo lapil­
lum; ſed lapillus, quem moueo manu, non accipiet impetum imme­
diatè ab anima, ſed ab organo, vel potiùs ab impetu organi; igitur nec
vnguis, nec aliæ partes, quæ non ſunt organum motus, licèt cum eo
coniunctæ ſint.
Nonò, cum verò organum non mouetur.v.g.manus quantumuis ex­
tenſa, vel erecta, non producit impetum in aliis partibus coniun­
ctis, licèt animatis; probatur primò, fruſtrà produceretur, cùm
impediri poſſit earum motus deorſum ſine impetu, alioquin menſa,
quæ ſuſtinet pondus, produceret in eo impetum, quod eſt ridicu­
lum. Secundò, quia ſi impetus organi producit impetum in partibus
vnitis, quo eas quaſi reducit ſurſum; igitur impetus grauitationis
partium vnitarum producit etiam impetum deorſum in organo;
immò daretur proceſſus in infinitum, de quo paulò pòſt.
Decimò, cum manus ſuſtinet aliquod pondus immobiliter, non
producit in eo impetum; Primò, quia, ſi non producitur impe­
tus in alijs partibus vnitis, licèt animatis, multò minùs in alijs;
Secundò, quia eodem modo ſuſtinetur pondus à manu, quo ab alio
corpore inanimo, v. g. à menſa; ſed hæc non producit impetum in
pondere, quod ſuſtinet, vt dicam paulò pòſt; Tertiò, quia fruſtrà pro­
duceretur; quia modò manus ſuſtinens ſtet immobilis; haud dubiè etiam
ſublato omni extrinſeco impetu à pondere adhuc ſuſtinebitur.
Dices; igitur fruſtrà produceretur impetus in manu; Reſp. negando
quia niſi potentia motrix produceret impetum in manu, ab ipſo pon­
dere deprimeretur; igitur non eſt fruſtrà omninò ille impetus.
Dices, non habet motum; igitur eſt fruſtrà; Reſp. omnem impetum
non eſſe fruſtrà, licèt careat motu, vt patet in ipſo impetu innato,
1cuius duplex eſt effectum; ſcilicet grauitatio, & motus, vt aliàs iam in­
dicauimus; ſimiliter impetus productus à potentia motrice, in ſuo or­
gano habere poteſt duplicem effectum; primus eſt motus; ſecundus eſt
niſus ſeu conatus oppoſitus extrinſeco motui; quemadmodum enim in­
natus ſemper habet motum, niſi impediatur ab alio corpore, ita & im­
petus organi potentiæ motricis, nec eſt magna difficultas; immò cla­
riſſima vtriuſque potentiæ analogia.
Vndecimò, hinc benè explicatur, quomodo defatigetur tenſum bra­
ſiue coniunctum ſiue coniunctum; ſit cum extrinſeco pondere, ſiue cum pro­
pria tantùm grauitate; quia partes aliquæ tendunt deorſum, aliæ verò ſur­
ſum; hinc ſemper fit aliqua tenſio; igitur aliqua diuiſio; igitur dolor, ſic
enim tenditur funis à pondere pendulo, pondus verò incubans tùm aliquas
partes premit, tùm alias maximè diſtrahit, in quo non eſt difficultas; ſi
autem manus incubet menſæ, v. g. & pondus manui fit tantùm com­
preſſio partium, quæ pro mollitie facilè cedunt & ſeparantur; igitur
pondus producit impetum in manu & neruis; alioquin nulla eſſet ten­
ſio, neque compreſſio.
Duodecimò, hinc benè colligo non produci impetum à potentia mo­
trice in toto organo; quia ſi hoc eſſet, omnes partes ſtarent immobili­
ter; eſſet enim hic impetus æqualis impetui grauitationis, tùm organi,
tùm ponderis; tùm aliarum partium, cum organo coniunctarum; igitur
nulla eſſet defatigatio; quia tam facilè anima produceret impetum,
2°.inſtanti, 3°, 4°. &c. quàm 1°; ſed nulla eſt defatigatio pro 1°; igitur
nulla eſſet in reliquis, quod tamen eſt contra hypotheſim; immò poſſe­
mus liberè moueri per medium aëra; cum enim 1°. inſtanti poſſemus
producere impetum maiorem impetu grauitationis, vt patet; certè non
deſtrueretur totus, 2° inſtanti; igitur cum 2°. inſtanti poſſet æqualis
1°. impetus produci; ſemper intenderetur; igitur facilè moueremur,
quod abſurdum eſt; igitur poſſumus quidem ſaltu ſurſum totum cor­
pus attollere; at cùm in omnibus partibus potentia motrix non pro­
ducat impetum immediatè; certè deorſum tendunt, motu naturaliter
accelerato, vnde tandem organum ipſum deorſum ſecum trahunt; ſed
de his aliàs plura, cum de potentia progreſſiua.
Decimotertiò, quando pondus ſuſtinetur à plano immobili, v. g. à
menſa, non producitur in eo impetus ſurſum à menſa; quia impetus
producitur tantùm ad extra ab alio impetu, per Th.42. l.1. ſed nullus eſt
impetus ſurſum in menſa, vt patet.
Decimoquartò, pondus non producit impetum in ipſa menſa, niſi vel
tota menſa, vel aliquæ eius partes moueantur, vel comprimantur, vel
dilatentur; quod reuera ferè ſemper accidit; quia cum ſit perpetuum
corporum effluuium, multæ partes ſeparantur vi ponderis, quæ ab iis
corpuſculis, quæ auolarunt, continebantur; ſic tandem poſt multos an­
nos trabs lignea incubanti ponderi cedit; ſic lapis ſenſim terram de­
primit, ſic globus plumbeus diutiùs molæ incubans, ſibi quaſi foſſulam
fingit, depreſſis duntaxat mollioribus partibus; quod certè fit vel in-
1ſenſibili motu vel per ſeparationem aliquarum partium; cum enim da­
to quocumque motu, dari poſſit tardior; certè poteſt eſſe continuus
motus, quo per centum annos, vix latus vnguis acquiratur, quod nemo
Philoſophus mirabitur, qui naturam motus circularis probè intelle­
xerit.
Decimoquintò, brachium omninò explicatum difficiliùs ſuſtinet
pondus, quam contractum; quia maius eſt explicati momentum, vt pa­
tet; eſt enim quaſi longior vectis circa extremum humerum rotatus.
Obijceret aliquis, contra ea quæ diximus num. 14. ſit globulus libram
pendens incubans menſæ 99. librarum; haud dubiè qui menſam pon­
derat, centum librarum pondus ſuſtinet; igitur globulus producit in
menſa impetum. Reſp. neg. conſeque nam ideò ſentitur pondus 100. li­
brarum; quia vtrumque pondus grauitatione communi in ſuppoſitam
grauitat manum.
Theorema 2.
Explicari poſſunt omnia phœnomena detentionis.
Primò, aliquis detinetur, ſimul, & ſuſtinetur; ſit globum pendulum
fune, cuius altera extremitas manu tenetur immobili; nullus autem
producitur impetus in ipſo globo, quo ſurſum, quaſi attollatur; quod
probatur, iiſdem omninò rationibus, quibus probauimus in ſuperiori
Theo. de ſuſtentatione; ipſa tamen chorda, ſi vel brachio, vel digito cir­
cumuoluatur, ſua vbique inurit veſtigia; premit enim molliorem car­
nem, & neruos; huic aliqua diuiſio; hinc dolor: nec in hoc ſingularis
eſt difficultas.
Secundò, retinetur aliquod mobile, per quamlibet lineam, vel fune,
vel vnco, vel manu, v.g. auolans auis filo, indomitus equus fræno, diſce­
dens homo pallio vel manu; hoc poſito, non producitur impetus à reti­
nente in mobili retento per ſe; quia perinde ſe habet, atque ſi rupes im­
mobilis retineret annulo ferreo, vel vnco; ſed rupes non producit im­
petum in eo corpore, quod retinet, dixi per ſe; nam ſi partes aliquæ
ſeparari poſſint vel dilatari; haud dubiè producitur in iis impetus.
Tertiò, hinc ſi duo retineant ſe ſe inuicem vel fune, vel annulo, vel
cylindro, multus impetus producitur ab vtroque in altero; quippe ten­
duntur nerui & muſculi, ex qua tenſione multæ partes ſeparantur; hinc
dolor & defatigatio; igitur producitur impetus, quod certè clariſſimè
ſequitur ex noſtris principiis; cum enim potentia motrix alicui mobili
applicatur, quod ſimul totum mouere non poteſt propter reſiſtentiam
vel ipſius molis, vel impetus contrarij; ſi fortè aliqua pars amoueri po­
teſt, & ſeparari ab aliis in eam potentia applicata ſuas vires exerit; quo­
modo verò rumpatur funis, vtrimque tractus, dicemus paulò pòſt, cum
de tractione.
Quartò, retinetur aliquod mobile immobiliter in plano decliui, id­
que duobus modus; primò, quaſi trahendo: ſecundò, quaſi pellendo, nul­
lus impetus producitur per ſe in mobili retento à retinente; quod pro-
1batur eodem modo, quo ſuprà; per accidens autem producitur propter
eandem rationem vnde ſuprà; ſuppono autem nullo modo vel trahi
ſurſum, vel pelli vtrimque: porrò retinetur ab æquali potentia, quod
iam alibi demonſtrauimus lib.5. in quo etiam fusè explicuimus diuer­
ſas lineas, quibus potentia applicari poteſt.
Theorema 3.
Hinc facilè explicantur omnia phœnomena lationis.
Primò, lationem appello illam impreſſionem, qua potentia motrix
aliquid ſuo organo, mediatè vel immediatè coniunctum ſecum vna de­
fert; ſic dum quis ambulat, pileum etiam, quo caput tegitur, mouet; ſic
equus rapit, nauis vehit nautam, currus aurigam defert.
Secundò, imprimitur impetus in vtroque; probatur facilè; quia
vtrumque mouetur cum eo tamen diſcrimine, quod lator in ſe producit
impetum, qui in mobili delato alium producit.
Tertiò, impetus latoris æqualis eſt impetui delato, quia vtrique ineſt
æqualis motus; igitur æqualis impetus.
Quartò, hinc cùm nauis imprimat impetum iis omnibus, quæ vehit
æqualem ſuo, non eſt mirum ſi motus qui obſeruantur è naui mobili
tùm in proiectis, tùm in demiſſis, tùm in diſperſis, ſimiles omninò iis
appareant, qui obſeruantur è naui immobili, licèt omninò ſint diſſimi­
les; quæ omnia fusè explicui l.4.
Quintò, hinc quæ vehuntur naui non ſeparantur ab ipſa naui, quia
æquali motu feruntur, niſi nauis illicò ſiſtat; quia impetus prior, non ſta­
tim deſtruitur, quod iam explicuimus alibi; immò ſeſe aliquando ſub­
trahit equiti; quia, ſcilicet, demiſſo vel inflexo tantillùm dorſo, perni­
citer ſeſe eripit; idem accidit globo, quem in plano horizontali læui­
gato ſuſtines; ſi enim illicò demittas orbem velociter ductum, vel ſta­
tim ducas reducaſque; haud dubiè globus in eo plano mouebitur.
Sextò, quædam humeris & collo, quædam capite, alia manu feruntur,
etiam liquida vaſe contenta; vas autem ipſum effunditur, ſi motus ali­
qua notabili morula interrumpatur; cùm enim ſuperficies aquæ v. g.
in eam partem adhuc moueatur, in quam priùs erat denominata; certe
ſi maior eſt motus, effunditur aqua.
Septimò, hinc eſt aliquod artificium, quo ita poſſint in plano hori­
zontali verticali manubrio inſtructo deferri orbes pleni liquore, vt ni­
hil penitus effundatur; ſi enim ita temperetur brachij motus, vt ſit con­
tinuus & æquabilis, non modò nihil effundetur; verùm etiam, ne ipſa
quidem ſuperficies liquoris mutabitur; vt autem ſit continuus ille bra­
chij motus, & æquabilis; debet ita porrigi brachium, ſeu componi cum
inæquali reliqui corporis motu, vt eo aliquando tardior, aliquando ve­
locior ſit; porrò hæc inæqualitas motus progreſſiui procedit ex duplici
illo quaſi gemini crucis arcu, geminoque vtriuſque centro, ſed de hoc
alibi.
Octauò, hinc quò velociùs corpus progredietur minoribuſque, licèt,
1frequentioribus paſſibus, brachij motus accedit propiùs ad æquabilem;
igitur minùs mutatur ſuperficies liquoris vaſe contenti; hinc in naui,
quæ velociſſimo motu fertur, ne tremit quidem ſuperficies aquæ, quam
repoſitam quis habet in vaſe; denique quò ſuperficies concaua orbis
ſeu vaſis eſt maioris circuli faciliùs effunditur liquor, quia planum eſt
minus decliue, & minus recedit ab horizontali, & contrà ſi eſt minoris
ſphæræ ſeu circuli, hinc fortè tantus eſt maris æſtus in Oceano, & mo­
dicus valdè in Mediterraneo, ſed de his alibi.
Nonò, his adde amphoras illas aqua, vel lacte ad ſummum vſque
marginem repletas, quas ruſticanæ fœminæ è ſummo capite ita portant,
vt nihil penitus effundatur, quia ſcilicet tenſo collo ambulant, vt capi­
tis motus ad æquabilem propius accedat.
Decimò, non eſt omittendum ille orbis gyrus cum ſcypho pleno;
quod vt melius intelligatur. Sit orbis AFEG pendulus filo FA; ſit
ſcyphus EDC plenus aqua vel alio liquore, puncto circuli E inſidens,
tùm rotetur orbis circa centrum F; haud dubiè, ne gutta quidem aquæ
effundetur; ratio eſt, cùm E ſit ſemper punctum oppoſitum centro, mo­
tus F & ſcyphus motu illo circulari maximè pellatur, prematurque ver­
ſus E, aqua ipſa etiam verſus E recipit impetum verſus fundum ſcyphi;
qui cùm ſit intenſior natiuo propriæ grauitationis aquæ, non eſt mirum
ſi præualeat, & nihil penitus effundatur in gyro, præſertim cùm partes
omnes aquæ moueantur eo motu, quo in primo ſitu omninò relinquun­
tur; adde quod licèt impetus innatus tantillùm obeſſet, impeditur ta­
men ab illa vligine, quæ cum aqua commixta eſt, de qua iam ſuprà;
quod autem ſcyphus impellatur verſus E, patet clariſſimè in funda, in
qua lapis circumagitur, ſed de funda infrà, cum de proiectione; tunc
enim rem iſtam demonſtrabimus.
Vndecimò, vt feratur cylindrus humeris commodiùs in ſitu eſſe de­

bet, vt ſuprà horizontalem eleuetur ad angulum 45. grad. ſit enim 60.
grad ſitque cylindrus AF, cuius centrum grauitatis C incubans puncto
humeri C, tunc humerus ſuſtinet totum pondus abſolutum cylindri,
& manus nihil: ſi verò manu erectum ſuſtineatur in DG; haud du­
biè manus totum ſuſtinet pondus abſolutum, humerus nihil, ſi ſuſti­
neatur KCI in C, vel NCL in C, maius pondus ſuſtinebitur propter
rationem vectis de quo in lib. ſequenti. Denique, ſi ſuſtineatur in HCE
ad angulum HCA, 60. grad. humerus ſuſtinet vt BH, manus vt EI;
ergo non diſtribuitur pondus æqualiter humero & manui; igitur com­
modiùs fieri poteſt, ſi æqualiter diſtribuitur, quod vt fiat debet eſſe ad
eleuationem anguli 45. ſed hæc pertinent ad libram, & vectem de quibus
agemus infrà, etiam ſupra lib.5. ſæpiùs indicauimus.
b Fig.28
Tab.4.
Theorema 4.
Aliquod mobile graue dimittitur deorſum multis modis.
Primò, per lineam perpendicularem, & tunc eſt motus purè natura­
lis, ſimulque omnes partes mobilis dimittuntur.
1
Secundò, per planum inclinatum tuncque ſi globus eſt, rotatur, quia
tollitur æquilibrium.
Tertiò, ita dimittitur globus, vt primò per manum quaſi decliuem ca­
dat, tuncque ſimiliter rotatur propter eandem rationem.
Quartò, dimittitur funependulum, & tunc deſcendit per arcum.
Quintò, dimittitur cylindrus, cuius altera extremitas nititur ſolo, &
tunc deſcendit etiam per arcum.
Sextò, dimittitur baculus; ſed inæqualiter, ita vt altera eius extremitas
cadat, antequam alia dimittatur, & tunc etiam circumagitur baculus; ſed
hæc ſunt facilis.
Theorema 5.
Aliquotâ mobile proiectum excipitur manu multis modis.
Primò, firma & fixa manu, in quam cadit eodem modo, quo caderet
in parietem, vt patet.
Secundò, manu repellente, tunque eſt maior ictus.
Tertiò, manu ſenſim ſubſidente, vt fallat ictum; ſic lapidem ſurſum
proiectum cadentem ita excipimus manu, immò & maiorem globum,
vt vix vllum ictum ſentiamus; quod vt fiat, manus retroagi debet, non
quidem pari velocitate cum globo, ſed paulò tardiore motu, vt ſcilicet
modicum impetum imprimat globus; ſi enim manus pari velocitate
moueretur, nullum prorſus impetum imprimeret globus; ſi verò non
moueretur, ſed omninò manus quieſceret, maximum ictum exceptus
globus infligeret; ſi verò moueatur ſed paulò tardius aliquid impetus
imprimetur ſingulis inſtantibus, donec tandem totus ictus extingua­
tur; adde quod mollities manus ad extinguendum ictum potiſſimum
confert; analogiam habes in lana, quæ tormentorum vim penitus
eneruat.
Quartò, vt longiùs repellatur pila, ſecundus modus adhiberi debet
eritque motus mixtus ex directo & reflexo.
Theorema 6.
Explicari poſſunt omnia phœnomena tractionis.
Primò, trahitur mobile per productionem impetus; nec enim po­
tentia motrix, quæ reuerâ cauſa eſt tractionis, quidquam aliud produce­
re poteſt; præterea quod trahitur, verè mouetur; igitur per impetum,
ſic differt tractio à mera detentione, de qua ſuprà.
Secundò, hinc tractio eſt actio potentiæ motricis, qua mobile ipſum
propiùs accedit ad motorem; nam motor ad ſe trahit mobile; igitur
mobile accedit ad motorem: quod tantùm dictum ſit de tractione di­
recta; nam per reflexam, ipſe motor ad mobile accedit, de qua
infrà.
Tertiò, quando trahitur aliquod mobile, impetus producitur in om­
nibus illius partibus; probatur, quia omnes mouentur; igitur omnes
recipiunt impetum. Secundò, quia ſi tantùm in vna produci impetum
1oporteret, vt reliquæ etiam mouerentur à quacumque potentia quodli­
bet mobile trahi poſſet, quod eſt abſurdum.
Dices, alias partes reſiſtere. Reſp. igitur vt moueantur, ſuperari debet
illarum reſiſtentia; igitur per aliquid de nouo proctum; igitur per
impetum: immò non producitur in vna, niſi producatur in aliis;
alioquin fruſtrà eſſet ille impetus, cui nullus effectus reſpon­
deret; igitur ſi deſtruitur, quando fruſtrà eſſet, ſi conſeruaretur; ita
etiam non producitur quando fruſtrà eſſet, ſi produceretur; eſt enim
par vtrimque ratio.
Quartò, hinc licèt trahatur ingens rupes, non propterea mouetur,
quia non poteſt impetus produci in omnibus illius partibus ab applica­
ta potentia; igitr in nulla per Th.33.l.1.
Dices, eſt cauſa neceſſaria applicata. Reſp. eſſe quidem applicatam, ſed
eſſe impeditam propter maximam rupis reſiſtentiam, quam debiliores
potentiæ vires ſuperare non poſſunt.
Quintò, hinc vna pars tracta non ſequitur aliam vltrò; ſi enim vltrò
ſequeretur minima potentia, ſufficeret ad trahendum maximum pondus;
præterea ſingulæ partes mouentur per impetum.
Diceret aliquis, impetus productus in vna parte producit impetum
in alia. Reſp. negando; alioquin minima potentia quodlibet pondus
moueret contra experientiam.
Dices, impetus vnius corporis producit impetum in alio, à quo eius
motus impeditur; igitur impetus vnius partis producit impetum in
alia, à qua eius motus impeditur. Reſp. impetum, qui reuerâ alicui
corpori ineſt, hoc ipſum præſtare; at impetus non producitur in vna
parte mobilis, niſi ſimul in aliis producatur; vel enim producitur in
omnibus, vel in nulla; hinc colliges quantum abſurdum ſequeretur,
niſi hoc eſſet; quia perpetua eſſet impetus productio, & minimus im­
petus totam ipſam terram moueret; vide quæ diximus ſuper ea re toto
lib.1. nec enim totus impetus motoris producit totum ſuum effectum
in vnico puncto mobilis, quod ridiculum dictu eſt; alioquin produ­
ceretur impetus intenſiſſimus; igitur in pluribus; igitur in omnibus,
quæ ſimul moueri debent, vel in multa.
Diceret aliquis; quando mouetur corpus equi, mouetur etiam ani­
ma; igitur ſine impetu; igitur per impetum corporis; igitur nomine
tantùm vnionis; igitur pars corporis alteri vnita etiam ſine impetu,
ſcilicet per impetum alterius moueri poteſt: hanc difficultatem iam
ſoluimus ſuprà l.1.Th.38.Cor.12.
Sextò, producitur impetus æqualis in omnibus partibus, quod trahi­
tur motu recto; quia ſcilicet motus eſt æqualis; igitur & impetus.
Septimò, funis trahi poteſt diuerſimodè. Primò, ſi altera eius extre­
mitas annulo, ſeu clauo immobili affixa ſit; alteri verò applicetur po­
tentia, vel pondus; ſiue ſit in ſitu horizontali, ſiue in verticali. Secundò,
ſi vtrique extremitati applicetur pondus vel alia potentia motrix.
Tertiò, ſi vtraque extremitas clauo immobiliter affigatur in ſitu hori-
1zontali, admoueaturque pondus, ſeu potentia alicui chordæ puncto
deorſum trahens: denique ſi ponticulo maximè attollatur, & tendatur
chorda poſita in priori ſitu; ſi primò, rumpetur chorda per ſe in ea ex­
tremitate, quæ immobiliter clauo affigitur; ſi tertio & quarto in ea
parte, in qua vel deprimitur, vel attollitur: dixi per ſe, quia per acci­
dens ſecus accidit, vt reuerâ ſæpè fit, vel propter inflexionem nodi, vel
aliquas partes debiliores, vel preſſionem maiorem cum tenſione con­
iunctam &c. ſed quia hæc phœnomena pertinent partim ad tenſionem,
& compreſſionem, partim ad reſiſtentiam corporum, de quibus agemus
Tomo ſequenti; certè hoc loco demonſtrari non poſſunt; igitur ſatis
eſt modò indicaſſe huius demonſtrationis locum, qui talis eſt: inter il­
las duas partes fieri debet diuiſio chordæ, quarum vna reuerâ trahitur,
alia verò non mouetur, vel quarum vtraque mouetur ſed in partes op­
poſitas, quod nemo negabit. Et hoc principio hæc omnia, demonſtrari
poſſunt; ſed de his omnibus ſuo loco fusè agemus; hæc enim vberri­
mam demonſtrationum ſegetem dabunt, præſertim ſi comparentur inter
ſe omnes chordarum affectiones, v.g. materia, figura, pondus, longitudo,
craſſities, ſitus, diuerſa potentiæ applicatio.
Octauò, quando corpus trahitur fune, quò funis eſt longior per ſe,
difficiliùs trahitur; ratio eſt, quia funis tantæ longitudinis eſſe poteſt,
vt ne ipſe quidem ſine pondere trahi poſſit; igitur quâ proportione
erit breuior dum applicari poſſit potentia, faciliùs trahet, dixi per ſe;
quia funis longior, cuius plures partes ſunt, maiorem patitur tenſio­
nem; hinc vt partes ſeſe reducant corpus ipſum adducunt; adde quod,
quò aliquod corpus magis tenditur, maioris impetus eſt capax, quia
priori remanenti qui non eſt fruſtrà, quia ſuum effectum habet, ſecun­
dus accedit à ſecundo niſu, igitur, quando dico corpus trahi faciliùs
breuiori fine, nullam habeo rationem tenſionis; quæ certè facere po­
teſt, dum funis non ſit tantæ longitudinis, vt corpus faciliùs trahatur
propter illa duo capita, quæ indicauimus.
Nonò, hinc vno fune faciliùs trahitur corpus, quàm duobus. Primò,
quia pluribus partibus funis diſtribuitur impetus; igitur eò minus ſin­
gulæ habent, quò plures ſunt; ſecundò, quia cum vnus eſt funis, eſt
maior tenſio, quæ iuuat corporis tracti motum. Tertiò, quia ſi ſunt duo
funis vel diuerſis partibus corporis tracti affliguntur, vel vni, ſi pri­
mum; igitur ſunt duæ lineæ directionis, ex quibus fit altera mixta;
ſed nunquam miſcentur duæ determinationes ſine aliqua iactura, quan­
do eſt duplex impetus, vt fusè ſatis demonſtratum eſt ſuprà, ſi ſecun­
dum etiam ſunt duæ, vt patet; igitur eadem valet ratio; cum verò ſunt
plures funes, minùs impetus ſingulis diſtribuitur; hinc plura fila te­
nuiſſima ſuſtinere poſſunt ingens pondus.
Decimò, hinc facilè colligi poteſt, quid dicendum ſit de pluribus equis
trahentibus currum; qui certè ad currum iungi non poſſunt, niſi ſint
plures funes, qui tamen in communem ſeu funem ſeu temonem deſi­
nunt; ſit autem pondus A, linea directionis GE. Si ſit tantùm vnus
1equus, vel trahet duobus funibus BECE, vel vnico GE, addito axe
DF, & duobus funibus DHFH. Hoc ſecundo modo faciliùs trahet;
quia impetus meliùs deriuatur in pondus A per lineam EG, quæ per
centrum grauitatis ducitur.
Obſeruabis autem, ſi cylindrus quo trahitur quodlibet pondus per
lineam AB; trahatur per duas CFDF, tùm æqualibus viribus per duas
CHGD, haud dubiè hoc ſecundo modo faciliùs trahetur, vt conſtat,
& faciliùs per duas CFDF, quàm per duas CEDE; ſuppono autem
ita trahi CF, vt æqualiter trahatur per DF; alioqui axis volueretur
circa B, in quo non eſt difficultas: hoc poſito, dico poſſe aſſignari dif­
ferentiam iſtorum motuum; aſſumatur enim punctum D, quod trahi­
tur per DF & per DI parallelam CF æqualiter vtrimque; certè mo­
uebitur per DGL; ſi autem trahatur CD per duas CHDG æqualibus
viribus ab eadem potentia faciliùs trahetur iuxta rationem DF ad DG,
vel DFL ad DE, vt conſtat ex dictis l. 4. de motu mixto tùm etiam l.1.
Vndecimò, ſi autem iungantur duo equi ad trahendum pondus A
axe DF, & fune EG; ſi æqualiter trahant, quod tamen vix accidere po­
teſt, licèt differentia ſit prorſus inſenſibilis; ſi autem inæqualiter tra­
hant, perit aliquid impetus vtriuſque, vt patet; nam eo tempore, quo
D, cui maior vis ineſt v.g. progreditur, F regreditur; igitur meo iudi­
cio, ne pereat quidquam impetus, ita debent collocari equi, vt pondus
ſit A, funis communis BC, primus axis DE, primus equus F trahens
funibus FDFE, tùm ſecundus axis GH coniunctus cum primo funibus
GDHE, ſecundus equus I trahens funibus IG, IH, atque ita deinceps:
hoc poſito totus impetus productus à primo equo F communicatur primo
axi DE; præterea totus impetus productus à ſecundo equo I communi­
catur ſecundo axi GH, & ex hoc primo DE; igitur DE recipit totum im­
petum ab vtroque equo productum; qui certè intenſiſſimus eſſet, niſi axis
DE coniunctus eſſet cum pondere A; igitur totus impetus ab vtroque
equo productus toti ponderi diſtribuitur, niſi fortè maius ſit pondus; tunc
enim tertius equus M accedere deberet; igitur nihil prorſus perit impetus.
Duodecimò, vterque equus producit impetum in pondere A actione
communi; probatur, quia, ſi quiſque ſingularem impetum produceret,
qui toti ponderi diſtribui non poſſet, cur potiùs his partibus quam aliis?
igitur cùm omnibus diſtribuatur; certè ab vtroque ſimul producitur;
nec enim alter equus trahit tantùm alteram partem ponderis; quæ enim
aſſignari poteſt, ſed ſinguli totum pondus, ſed coniunctim, id eſt quæli­
bet pars ponderis ab vtroque trahitur, ſed non ſola, totum pondus ab
altero trahitur, ſed non ſolo; equidem equus F non producit impetum in
funibus DGI, nec in axe GH, nec equus I in funibus DFE, quia nullo
modo impediunt motum, vnde equus I, vt æqualiter cum æquo F trahat
pondus A, debet paulò maiore niſu trahere; qui certè determinari poteſt;
ſuppono enim primò vtrumque F, I totis viribus eniti: ſecundò equum I
non minùs conferre ad motum ponderis A, quàm equum F 3. funes DG,
EH & axem GH eſſe (1/1000) ponderis A; certè hoc poſito equus I eſt fortior
equo F (1/1000).
1
Decimotertiò, currus initio difficiliùs trahitur; ratio eſt, quia nullus
impetus ineſt initio, qui vbi ſemel productus primo inſtanti; nec totus
deſtruatur ſecundo; nec enim totus fruſtrà eſt; habet enim aliquem effe­
ctum, id eſt motum; augetur per acceſſionem noui impetus ſecundo in­
ſtanti producti; idem dico de tertio, quarto, quinto, &c. donec tandem
poſt aliquod tempus motu æquabili procedat currus; quia ſcilicet quan­
tum deſtruitur ſingulis inſtantibus, tantundem ferè producitur, ſed mi­
nùs profectò, quàm initio; igitur faciliùs; igitur initio difficiliùs; hinc
equi totis neruis enituntur initio, præſertim in plano arduo; at vbi cur­
rus primum impetum accepit, longè faciliùs deinde propagatur; hinc ſi
rumpatur funis, quo trahitur currus præcipiti equorum curſu, currus
ipſe deinde per aliquod tempus adhuc rotatur; igitur prior impetus du­
rat adhuc; nec enim nouus producitur.
Decimoquartò, ſi dum quis trahit toto niſu magnum aliquod pondus,
funis rumpatur, pronus corruit; ratio eſt, quia totum impetum in ſe produ­
cit, quem in ſe ſimul & pondere integro fune ſeruato produxiſſet; hinc
dum duo in partes aduerſas cylindrum, vel funem trahunt, ſi dimittat
vnus ſupinus, alter proruit; quæ omnia ex noſtris principijs luce clariora
redduntur; non eſt tamen, quod aliquis exiſtimet huius phœnomeni ra­
tionem tantùm à priori impetu conſeruato eſſe; qui certè minor erat in
trahente, quàm vt hunc effectum præſtare poſſit, cùm toti ponderi di­
ſtribuatur; igitur potiſſima ratio duci debet ab impetu nouo producto,
quî cùm in auulſum pondus tranſire non poſſit, totus in ipſo trahente
quaſi ſubſiſtit.
Decimoquintò, vt quis fortius trahat firmo pede, & crure intento, ſo­
lum ipſum aduerſo niſu premit; ratio in promptu eſt, quia dum manu
trahit corporis truncum lumborum vi, & oſſium contractorum explica­
tione ſurſum attollit; igitur nouus impetus ponderi tracto accedit; hinc
pede, vel genu in partem aduerſam contranititur, qui trahit; nam que­
madmodum gemino brachio fortiùs trahimus, quàm vno; ita prorſus,
cum brachiorum vis iuuatur à lumbis, cruribus, &c. haud dubiè vali­
dior eſt.
Decimoſextò, cum faciliùs amoueri poteſt, quod pellimus pede, vel
genu, quàm quod trahimus manu, vel vnco, illud ipſum mouetur; hinc
vnco, ſi quis annulum apprehenſum trahat quantumuis immobilem, &
pede firmo nauim pellat in aduerſam partem; haud dubiè, quia faciliùs
moueri poteſt nauis quàm annulus, verſus annulum ibit; ſed ne diuer­
ſas impreſſionum rationes, quæ in motu nauis vulgò apparent diſtraha­
mus; hoc loco breuiter omnes congerendas eſſe putaui. Primò ad lit­
tus tendit cum trahitur vnco annullus immobilis, vt iam dictum eſt. Se­
cundò, ſi pellitur, vel fundum aquæ, vel aliud corpus immobile longio­
ri ligno, & pede pellatur ipſa nauis in aduerſam partem, in cam ibit
propter eandem rationem; Tertiò ſi pellatur aqua remis fixo etiam pe­
de vel crure contranitente in aduerſam partem, idem ſequetur effectus.
Quartò, hinc quò remus latior eſt, & longior erit, maior erit effectus,
1modò ſuppetant vires. Quintò, hinc latioris claui inflexione vertitur
nauis; Sextò, inflata ventis ſecundis vela nauem agunt; ratio clariſſima
eſt, quia non poſſunt vela impelli, niſi alia nauis, cui ſunt coniuncta mo­
ueatur; ſed de re nautica agemus fusè ſuo loco, atque adeo de tota re
hydraulica.
Decimoſeptimò, denique ex dictis multa corollaria conſequi poſſunt.
Certum eſt. 1°. pars tracta non ſequitur trahentem ſua ſponte 2.°. reſiſtit
alteri trahenti, 3°. non producit impetum pars trahens in tracta. 4°. non
trahitur immediatè, & aliæ mediatè, ſed omnes ſimul immediatè. 5°. nul­
lus impetus productus in corpore tracto impeditur. 6°. impetus primæ
partis non producit impetum in aliis. 7°. quando dico tauri trahunt iu­
gum producunt impetum actione communi. 8°. rota faciliùs trahitur,
quàm cubus; quia pauciores partes plani reſiſtunt. 9°. quando fracto
fune trahens pronus corruit, non tantùm hic caſus procedit à priore
impetu, ſed maximè à nouo. 1°. extremitas funis fracti reſilit propter
præcedentem tenſionem. 11°. hinc cum diſcerpitur charta vel tela edi­
tur ſonus ſtridulus, qui prouenit à motu extremorum filorum quæ reſi­
liunt. 12°. immò cum baculus frangitur, aliqua ſegmenta maxima vi eui­
brantur, ſentiturque in manu quaſi formicans dolor, propter illas tre­
mulas ſuccuſſiones. 13°. cum trahitur cylindrus vtrimque in aduerſas
partes à duobus contranitentibus æqualium virium, ſi minimè inflecti
poſſit, ille præualebit, cuius vtraque manus propiùs ad medium cylin­
drum accedit; ſecùs verò, ſi inflectatur; eſt enim ad inſtar gemini vectis.
14°. cum trahitur cylindrus æqualiter vtrimque, qui neque flecti, ne­
que tendi poſſit; haud dubiè nullum impetum habet, quia eſſet fruſtrà,
15. deſtruitur impetus in tractione, ne ſit fruſtrà: ex his reliqua facilè
intelligentur.
Theorema 7.
Explicari poſſunt omnia, quæ pertinent ad impulſum.
Primò, impulſus duplicis eſt generis: primus eſt coniunctus cum per­
cuſſione, ſic tudicula impulſus globus emittitur: ſecundus ſine percuſſio­
ne; & hic duplex eſt: Primus, quo mobile impulſum ſeparatur ab impel­
lente: Secundus, quo non ſeparatur, ſed ipſi continuò adhæret; quia
continuo impulſu mouetur; de hoc tantùm vltimo impulſu agitur in
hoc Th. Secundò, ex dictis de tractatione colligi poſſunt ea, quæ dici debent
de impulſu, quatenus nulli percuſſioni nec emiſſioni coniunctus eſt.

1°. impellens producit impetum in ſe ipſe; 2°. impetus impellentis pro­
ducit impetum in corpore. 3°. ſingulis inſtantibus deſtruitur aliquid
impetus impellentis, & impulſi. 4°. initio difficiliùs mobile mouetur
impulſu. 5°. poſt primum motum tùm deinde faciliùs mouetur corpus
impulſum, nec tanto niſu potentiæ opus eſt. 6°. cum æquali motu mo­
uetur impulſum tantùm impetus producitur, quantùm deſtruitur. 7°.
cum pellitur rupes immobilis, nullus in ea producitur impetus, niſi
1fortè aliqua pars ſeparetur, vel comprimatur. 8°. producitur tamen
împetus in organo; probatur ex niſu; immò & compreſſione molliorum
partium. 9°. quando duo ſeſe mutuò, & æquali niſu pellunt, vterque in ſe
ipſo, & in alio producit impetum; in ſe quidem, quia maximè euitetur,
& defatigatur potentia motrix; in alio verò, in quo fit aliqua partium
compreſſio, quæ ſine impetu nunquam fit. 10°. ſi os pelleret os, ſeu corpus
durum aliud durum, natiua vi diſtincta à grauitatione, in neutro pro­
duceretur impetus; quia eſſet fruſtrà: vide quæ diximus ſuprà de tra­
ctione. 11°. pellens etiam firmo pede ſolum, in aduerſam partem pellit,
ſeu premit; rationem iam attulimus ſuprà. 12°. ſi dum reluctantem alium
& contranitentem pellis, ſeſe illicò cedens eripiat, pronus in terram
corrues. 13°.ſí plures idem pondus pellant, actione communi impetum
producunt; hæc, & alia multa ex dictis de tractione facilè per eadem
principia demonſtrantur.
Theorema 8.
Attolli aliquid poteſt & eleuari, 1°. ſi producatur impetus maior impe­
tu grauitationis; ratio clara eſt, quia fortior præualet. 2°. deſtruitur ſe­
cundo inſtanti aliquid impetus producti; quia eſt fruſtrà propter
impetum natiuum. 3°. ſi tantùm producatur impetus ſingulis in­
ſtantibus, quantum deſtruitur, motus erit æquabilis, ſi plùs, acceleratus,
ſi minùs, retardatus, patet ex dictis.4°.pondus attollitur initio difficiliùs
propter rationem prædictam; minùs enim produci debet impetus ſecun­
do inſtanti, quàm primò. 5°. ſub funem tamen valdè laborat potentia
propter compreſſionem, & tenſionem partium, de qua ſuprà.6°. difficiliùs
attollitur ingens pondus, quàm modicum; ratio clara eſt, quia plures
partes impetus imprimi debent maiori, cui plures inſunt, quàm minori.
7°. facilius attollitur per planum inclinatum, quàm per lineam vertica­
lem deorſum, rationem iam attulimus l. 5. 8°. hinc etiam organo me­
chanico faciliùs attollitur pondus, de quo lib. 11. 9°. licèt grauitas non
reſiſteret, corpus maius difficilius attolleretur, quàm minus; quia plures
partes impetus illius motus deſideraret, quàm huius, ſed maior impetus
difficiliùs imprimitur, quàm minor.
Theorema 9.
Corpus 1°. deprimitur per impetum infra medium grauius, v. g. lignum̨
infra aquam; ratio clara eſt. 2°. deprimitur, vel trahendo, vel impellen­
do, vel calcando. 3°. trahimus ſæpè deorſum, vt corpus attollatur ſur­
ſum, vt in trochleis. 4°. quò corpus maius eſt, & leuius difficiliùs depri­
mitur infra medium grauius, quia non poteſt deprimi niſi plures medij
grauiores partes attollantur, vt clarum eſt; exemplum habes in nauibus,
5°. deprimimus aliquando corpora per tenſionem, vt ramos arborum,
ſeu per librationem, vt campanarum funes, ſeu extremos vectes. 6°.
clauus deprimitur, vel palus tribus modis. 1°. percuſſione; 2°. ia­
ctu ſeu eiaculatione. 3°. impulſione; de hac iam ſuprà actum eſt, de dua­
bus primis paulò pòſt agetur, ſed hæc ſunt facilia, & faciles cauſæ.
1
Theorema 10.
Omnes gyrationum modi explicari, & demonſtrari poſſunt.
Primò, vertitur baculus manu primo circa proprium axem, vt verum,
quia inflectitur eodem modo manus & inferior brachij portio: ſecundo
circa alteram extremitatem quæ manu tenetur: tertio circa quodlibet
aliud punctum, ratio petitur tùm à tali brachij motu, tùm ab eo modo,
quo baculus tenetur,
Secundò, circumagitur funis vel funda; quia producitur maior im­
petus in extremitate remota circa centrum immobile; hinc circulus;
hinc quia extremitatis illius motus determinatur ſemper ad Tangentem,
tenditur funis; ſed de funda infrà, cum de proiectione.
Tertiò, multos alios gyros facimus, manu, brachio, collo, pede, toto
denique corporis trunco; quot enim habemus articulos, tot motus cir­
cularis habemus centra; hinc ſuæ apothecæ caput oſſis tam aptè inſe­
ritur, vt circa illam facilè moueatur; exemplum habes in oculo, dum
infra ſuam thecam voluitur; ſed de tota corporis fabrica, quatenus con­
ducit ad motum, ſuo loco agemus; nec enim hi motus ad hunc tracta­
tum pertinent.
Quartò, hinc reuoca deflexionem illam iacti globi, de qua ſuprà, quæ
familiaris eſt trunculorum ludo, item gyros globi, quem, vel inter duas
volas circumagis, vel inter volam, & aliud planum, qui partim ad impul­
ſum, partim ad tractum pertinent; ſed neque hæc ſunt difficilia.
Scholium.
Obſeruabis vix poſſe vno Theoremate compræhendi omnia phœno­
mena percuſſionis, cuius ſunt tria veluti prima genera, ſcilicet ictus, ca­
ſus, iactus: ictum appello illam percuſſionem, quæ infligitur pugno, ma­
nu, calce, cornu, vel quolibet organo, cum potentia motrice coniuncto,
v.g. fuſte, ſaxo, flagello, &c. caſus eſt percuſſio à corpore graui deorſum
cadente inflicta; iactus denique eſt percuſſio, quæ aliquam emiſſionem,
ſeu vibrationem ſupponit, lapidis, pilæ, &c. itaque vt omnia percuſſio­
nis phœnomena diſtinctiùs explicemus, ſingulis Theorematis ſingulos
percuſſionis modos explicabimus.
Theorema 11.
Explicantur omnia phœnomena percuſſionis, quæ infligitur manu, pugno,
brachio, calce, cornu.
Primò, pugnus infligit ictum diuerſo motu; primò, motu recto; ſit
enim humerus AB, caput cubiti B, os cubiti BF, fiat arcus AC, & KI,
ita vt ABK ſit æqualis ABF; certè ACI erit totum brachium tenſum,
caput B nunquam recedit ab arcu BC, nec extremitas F à recta FI; vbi
autem F peruenit in G; aſſumatur GE æqualis FB: vbi verò F peruenit
in H; aſſumatur HD æqualis FB, & habebitur proportio motus extre­
mitatis F & capitis B; vides motum rectum FI mixtum ex duobus cir­
cularibus circa centrum immobile A, & mobile B.
Secundò, poſſet moueri per omnem lineam, v. g. FN, FM,
1immò, & per lineam perpendicularem ſurſum, vel deorſum, & quò
plùs contrahetur brachium, motus rectus per horizontalem erit maior;
ſit enim angulus cubiti ABO, ita vt BF ſit in BO; certè extremitas
O percurret motu recto totam OP; & ſi omninò contrahatur brachium,
ita vt F ſit in A, percurret extremitas A totam rectam AP; tunc au­
tem ictus eſt fortior, cum linea motus recti eſt maior; quippe ſingulis in­
ſtantibus nouus impetus accedit.
Tertiò, poteſt inueniri maximum ſpatium quod poteſt confici ab ex­
tremitate brachij motu recto; ſit enim centrum humeri immobile A,
ſit AC os humeri, CD cubiti, ſit AD perpendicularis deorſum; ſit
angulus BAC maximæ deflexionis, qua os humeri poſſit retrò agi; ſit
CGK, item DFO, ſit BG recta, BH æqualis CD; ducatur EHL
perpendicularis ſurſum, ſitque CEOS cubiti: dico EL eſſe maximum
ſpatium, &c. cùm enim caput cubiti C poſſit tantùm retroagi in B; certè
non poteſt extremitas D, in quocumque loco ſit, circuli DFO ſecare
BG, in puncto quod propiùs accedat ad centrum A quàm H; ſed om­
nium linearum, quæ poſſunt duci per H ſurſum perpendiculariter, ma­
xima eſt EL; immò EL eſt omnium maxima, quæ duci poſſunt poſita
extremitate inter DE; vt autem habeatur omnium maxima; ſit punctum
K ſurſum, ad quod tantùm nodus, ſeu caput cubiti C peruenire poteſt;
aſſumatur KO æqualis CD, ex centro B fiat arcus AH, tùm ex O ad
arcum AH; ducatur Tangens OQF; certum eſt eſſe maximam lineam;
quia accedit propiùs ad centrum A, vt conſtat.
Quartò, poteſt pugnus ferire motu perfectè circulari, idque duobus
modis. Primò, ſi brachium extenſum AD circa centrum moueatur per
arcum DFO figura prima. Secundò, ſi moueatur caput cubiti; ſit enim
os humeri AB, & cubiti BC caput cubiti B; ex A fiat arcus BEL;
tùm ex aliquo puncto ſuprà A, putà ex N radio NC fiat arcus CI; tùm
aſſumpta AK æquali AB fiat arcus KH ſecans priorem in I; certè extre­
mitas C moueri poterit per arcum CI, donec brachium extentum ſit
in AI, quod non eſt difficile; hîc porrò vides motum circularem ex
duobus alijs circularibus mixtum.
Quintò, moueri per quamcumque aliam lineam curuam, ellipticam,
parabolicam &c. immò per infinitas alias nouas; vides nouam FDC,
quæ vt fiat cubitus IF eſt ſemper ſibi ipſi parallelus; quod vt fiat, caput
I & extremitas F debent moueri æquali motu; ſunt enim CBLDEK
FI æquales & parallelæ: ex quo fit hanc curuam eſſe ſpeciem nouæ
Conchoidis, de qua aliàs; mouetur autem initio tardiùs, & ſub
finem velociùs, non quidem proprio motu circa centrum I, ſed motu
mixto.
Sextò, eſt maximus ictus inflictus à pugno, qui mouetur motu re­
cto per longiorem lineam, quæ accedit propiùs ad lineam brachij dein­
de extenti; quò enim eſt longior linea producitur ſenſun maior impe­
tus; eſt enim motus naturaliter acceleratus, cùm ſit applicata con­
tinuô potentia motrix: præterea ictus eſt magis directus, ſi linea
1motus propiùs accedit ad lineam brachij extenti: hinc quò plus cotra­
hitur brachium ad infligendum ictum eſt validior ictus, quia eſt lon­
gior linea & magis directa, quod natura ipſa docuit pueros pugnis con­
tendentes.
Septimò, auerſa manu impingitur validior colaphus, quàm aduerſa;
quia mouetur manus per arcum paulò maiorem ſemicirculo; in quo
motus continuò creſcit; at verò ſi aduerſâ; non validus eſt ictus; pri­
mò quia quando auerſa infligitur, & eſt motus circa duplex centrum,
vterque circularis in eandem partem tendit; igitur maior eſt; ſecus
accidit cum aduerſà: Secundò, non tam extendi poteſt brachium impa­
ctum introrſum, quàm in aduerſam partem; igitur minor eſt arcus,
vel os humeri ſiſtitur, atque ita ex parte extinguitur ictus. Tertiò
manus auerſa durior eſt, quàm aduerſa; eſt enim vola mollior; hæc
verò mollities extinguit vim ictus, vt ſæpè demonſtrauimus: de rota­
tione brachij, quæ maximè vim auget, dicemus infrà, cum de Tudicu­
la, clauâ, baculo, de lineis verò dicemus lib.12.
Octauò, qui longioribus brachijs inſtructi ſunt, maiores ictus
infligunt; patet, quia maiorem deſcribunt arcum; igitur velociore
motu rotatur pugnus; cum tamen motu circulari mouetur brachium;
certum eſt maiorem ictum minimè infligi ab extremitate, vt conſtat
ex dictis de baculo lib.1. Th.73. niſi fortè ratione contracti pugni, quod
iam ibidem indicauimus.
Nonò, cum deorſum impingitur pugnus, creſcit ictus propter acceſ­
ſionem motus naturalis accelerati; eſt enim corpus graue; cum ſurſum,
è contrario imminuitur motus: in qua verò proportione, dicemus in­
frà cum de malleo.
Decimò, aliquando rotatur brachium, antequam infligatur ictus,
vel introrſum, vel in partem oppoſitam, præſertim vt longiùs ia­
ciatur lapis, vt pila reticulo, vel auerſo, vel aduerſo procul
emittatur, &c. ratio eſt, quia continuò augetur motus, vt iam di­
ctum eſt.
Vndecimò, breuiter indico ictum inflictum ab ipſo cubiti capi­
te retrò acto, ſatis grauem eſſe; tùm quia durior eſt ille nodus; tùm
quia ad eius motum non modò ſuperius brachij ſegmentum, verùm
etiam inferius concurrit.
Duodecimò, infligitur etiam grauis ictus calce, cuius eſt eadem
ratio, quæ ſuprà; eſt enim duplex centrum, duplex motus, &c. Ob­
ſeruabis tamen. Primò ictum maiorem infligi, ſi crura longiora ſunt.
Secundò aduerſo calce quam auerſo; eſt enim oppoſita brachiorum
ratio, cùm genu aduerſum ſit, & auersum cubiti caput. Tertiò, equi
è contrario calcem fortiùs retroagunt, quia tibiæ poſterioris ge­
nu auerſum eſt; adde quoque ictum ab ipſo genu inflictum; de
quo idem dicendum eſt, quod de ictu à nodo cubiti inflicto iam
diximus; quippe in eo tantùm differunt, quòd habeant contrarios
ſitus.
1
Decimotertiò, exploſione intenſi digiti talitrum imprimitur, cuius
ſunt tres modi; primus eſt, cum vngue medij, vel alterius digiti pulſo
tantiſper molliore ſummi pollicis apice, intenſus deinde digitus eo­
dem vngue talitrum impingit. Secundum eſt, cum retento ſummo di­
gito ab aliquo molliori corpore ſtatim dimittitur. Tertium eſt, cum
mollior medij digiti, & pollicis apex poſt aliquam preſſionem, non
ſine aliquo ſtrepitu exploditur; ratio primi eſt, quia dum vnguis mol­
liorem ſubſtantiam premit, auget impetum potentia motrix in illa
mora, neruuſque maximè intenditur; igitur maior eſt ictus; eadem
ratio valet pro ſecundo, & tertio modo; ſtrepitus ille oritur à colli­
ſione, vel compreſſione: immò ſi nulla fieret compreſſio aut certè
ſi nulla cederet mollior materia, non eſſet maior ictus; adde quod
non tantùm augetur impetus à potentia motrice diutiùs agente, ſed
etiam ratione compreſſionis noua ſit impetus acceſſio, vt patet in
arcu.
Decimoquartò, denique quod ſpectat ad cornu facilè explicari poteſt
quomodo ab irato tauro intendatur, vno ſcilicet durioris capitis motu,
atque adeò totius corporis.
Theorema 12.
Explicari poſſunt omnes ictus, qui infliguntur impacto ſcilicet ſaxo, fuſte,
flagello, & alio quouis organo, cui ſemper potentia motrix coniuncta eſt, nec
ab ea ſeparatur, excepto dumtaxat omni malleorum genere, gladiorum,
&c. primò manus inſtructa ſaxo grauiorem ictum infligit; tùm quia
multus impetus imprimitur graui ſaxo; tùm quia durior eſt materia;
igitur nihil cedit: porrò maior eſt ictus, ſi deorſum intendatur, cùm
accedat impetus grauitatis ipſius ſaxi: adde ferream manicam, quæ prop­
ter eandem rationem petentem colaphum infringit.
Secundò, fuſtis impingi poteſt duobus modis; primò motu recto,
cùm ſcilicet porrecto brachio extremitas fuſtis ſcopum attingit; ſecundò
motu circulari rotato ſcilicet brachio: primo modo infligitur ictus pun­
ctim, vt vulgò dicunt: ſecundo quaſi cæſim, vterque ſua phœnomena
habet.
Tertiò, cum punctim impingitur fuſtis, quò hic maior eſt, maiorem
incutit ictum; præſertim, ſi gemina manu intenditur; quia ſcilicet ma­
jor impetus imprimitur; huc reuoca ſariſſæ grauiſſimum ictum, quo
ferrea lorica perfodi poteſt; quia ſcilicet maior impetus imprimitur in­
tentis priùs, & vibratis brachijs; multùm enim confert, tum illa bra­
chiorum, atque adeò totius ſariſſæ vibratio; tùm etiam neruorum ten­
ſio, vt videmus in arcu; ſed hoc iam ſuprà explicuimus; huc etiam
reuoca craſſiorem illum vectem, quo fores ipſi pulſati perrum­
puntur.
Quartò, longitudo ſariſſæ compenſari poteſt craſſitie; ſit enim
ſariſſa 12. pedes alta pendens 12. libras; ſit alia 6. pedes alta pendens
112. libras vtraque æquali niſu, & modo ab eadem potentia impacta æ­
qualem ictum infligit; probatur quia tantumdem impetus imprimitur
vni, quantum alteri; nam aëris reſiſtentia vix quidquam facit; licèt pau­
lò plùs reſiſtat aër breuiori, cuius baſis latior eſt in ratione dupla, quàm
longiori; hinc craſſiori fuſte licèt breuiore maximus ictus infringitur,
vt patet experientiâ.
Diceret aliquis hæc repugnare omnibus experimentis, quibus ſcili­
cet clariſſimè conſtat minorem eſſe breuiorum ſariſſarum vim.
Reſp. hoc ipſum accidere; quia breuiores ſariſſæ, quas habemus, vel
exiliores ſunt longioribus, vel ſaltem non craſſiores, cùm tamen craſſio­
res eſſe oporteat in eadem ratione, in qua illæ longiores ſunt vt æqualis
ſit ictus.
Quintò, cur verò maior fuſtis maiorem impetum à brachiorum vi
recipiat; ratio eſt, primò quia maiori vtrumque brachium admouetur:
ſecundò, quia vibratur antequam intendatur; atqui ex ea vibratione
multus impetus accedit, vt patet ex vibrato ariete: tertiò, quia maior
fuſtis tardiùs mouetur, vt conſtat; igitur plùs impetus in eo producit
potentia motrix, quæ ſingulis inſtantibus toto niſu fuſtem impellit; &
hæc eſt vera ratio à priori: quartò, adde quod pondus maioris fuſtis
quaſi neruos extendit; atqui tenſi nerui fortiores ſunt; in qua verò
proportione ſit maior ictus, dicemus numero ſequenti; eſt enim res
ſcitu digniſſima.
Sextò, determinari poteſt proportio ictuum maioris, & minoris
fuſtis, cum vterque punctim impingitur ab eadem potentiâ per eam­
dem lineam æquali niſu; ſit fuſtis minor H duarum librarum; ſit
maior I 8. librarum; ſit datum tempus L, quo I ſuam lineam K
motu accelerato ſpatium conficit: dico H eodem tempore L con­
ficere tantùm ſpatium prioris ſubquadruplum; igitur duplo tem­
pore conficit ſpatium K: ſed æqualibus temporibus acquiruntur
æqualia velocitatis momenta motu accelerato; igitur vbi H confi­
cit ſpatium K, habet ſubduplam velocitatem illius, quam habet I
confecto eodem ſpatio K; ſed moles H eſt quadrupla molis I; igi­
tur impetus H eſt duplus impetu I; igitur duplò maior ictus: quod
vt clariùs videatur, in ſchemate hoc ipſum demonſtro, producitur
æqualis impetus eodem tempore in H & in I; eſt enim eadem poten­
tia, idem niſus, ſed diſtribuitur in H numero partium quadru­
plo numeri partium I; igitur velocitas, vel intenſio impetus H eſt
ſubquadrupla; igitur ſi I tempore L percurrit AG; certè H eodem
tempore percurrit AB ſubquadruplam AG; igitur duplo tempore
AC æqualem AG; ſed H decurſa AC, habet ſubuplam veloci­
tatem I, decurſa AG; quia decurſa AF habet æqualem: ſed AF eſt
quadrupla AC; igitur decurſa AC habet ſubduplam, &c. ſed ra­
tione molis habet H quadruplum impetus; igitur ratione vtriuſque
duplum.
1
Obſeruabis autem primò ratione ponderis H, quod ſuſtińetur, aliquid
impetus detrahendum eſſe. Secundò, vt accuratè procedatur vtrumque
fuſtem funependulum eſſe poſſe. Tertiò, ictus eſſe vt impetus; impetus
verò in ratione ſubduplicata ponderum, hoc eſt, vt radices quadratas.
v.g. fuſtis maior pendit 36. libras, minor 4; ictus maioris eſt ad ictum
minoris vt 6. ad 2. Quartò, denique plures partes percuti à maiore
fuſte, cuius baſis latior eſt, nec tam facilè comprimi, nec ipſum fuſtem
incuruari; ac proinde minùs ictui detrahi, ſed de his ſatis.
Septimò, ſi fuſtis cæſim impingatur, maiorem ictum infligit. Primò,
non circa extremitatem ſed circa 2/3, vt demonſtrabimus infrà. Secundò,
quò maior eſt arcus fuſtis eſt maior ictus; ratio patet ex dictis; cùm ſit
motus acceleratus. Tertiò, poteſt hic motus totum implere orbem, ſiue
fieri auerſa, ſiue aduerſa manu. Quartò, auerſa manu impactus fuſtis ma­
iorem ictum infligit, quia brachium hoc modo intentum maiore vi
pollet, vt dictum eſt ſuprà. Quintò, hinc ſæpè ita inflecti ſeu tornari po­
teſt brachium, vt deſcribat arcum minoris circuli, ſed maiorem, ſeu po­
tius lineam ſpiralem, in qua deſcribenda diutiùs moratur; hinc motus fit
maior, quia eſt acceleratus; igitur maior ictus. Sextò, ſi fuſtis deorſum
feratur motu circulari, impetus naturalis accedit impreſſo. Septimò, ſi
vtraque manu intendatur fuſtis, maior erit ictus, vt conſtat ex dictis.
Octauò denique, quod dictum eſt de fuſte impacto cæſim, dici debet
enſe.
Octauò, aliquando fuſtis inflectitur; quia flexibilis eſt; cum ſcilicet
motu circulari, ſeu cæſim diuerberat, ſeu flagellat; ſit enim fuſtis CA,
qui rotetur circa centrum C; certè vbi B peruenerit in E, A perueniet
in H; igitur inflexus eſt fuſtis HEC, vel GFC; ratio eſt, quia cùm po­
tentia applicata in C agat toto niſu. v. g. ſi ſegmentum CB ſeiunctum
eſſet à ſegmento BA; haud dubiè punctum B perueniet citiùs in F, quàm
ſi vtrumque ſegmentum coniunctum eſſet, vt notum eſt; quia maior im­
petus imprimitur B ſeiuncta; atqui licèt CB ſit coniunctum BA, ab eo
tamen facilè, non quidem omninò ſeiungi, ſed deflecti, dimoueri poteſt
propter flexibilitatem materiæ; igitur B relinquet à tergo BA; igitur
fuſtis inflectetur, & hæc eſt vera ratio huius phœnomeni: hinc virgulæ
ſucco & humore plenæ, nerui bubuli latiores, canones, funiculi, lora,
enſes, manubria Tudiculæ maioris, & alia huiuſmodi propter rationem
prædictam inflectuntur.
Nonò, extremitas fuſtis inflexi, cum deinde redit, maiorem ictum in­
fligit: ratio eſt, v.g. A vbi attingit D poſt inflexionem; quia maiorem
impetum habet; nam præter impreſſum à potentia applicata in C, acce­
dit alius ab ipſa inflexione, cuius rationem afferemus tractatu ſequenti,
cum de compreſſione, & tenſione corporum; eſt enim quædam potentia
media inter potentiam grauitationis, & potentiam animatorum, quam
proinde mediam appellabimus; quâ ſcilicet corpora ſeſe reſtituunt pri­
ſtinæ extenſioni, cuius mirificos effectus habemus in arcu chordis pul-
1ſatis, vaſis pneumaticis, & hydraulicis, denique in tota re tormentaria;
hinc primò Tudiculæ maioris manubrium inflexum multùm auget ipſam
vim ictus, de quo infrà. Secundò, neruus bubulus, primò inflexus, tùm
ſtatim rediens ſcapulas malè afficit. Tertiò, flexibiles virgæ tranſuerſas
plagas cum tanto dolore infligunt inuſtis vibicibus. Quartò, idem dico
de regula illa latiore, qua remigiorum præſides, remiges tardos caſti­
gant &c.
Decimò, non videtur omittendum flagelli phœnomenum; eſt autem
duplex flagellorum genus; primum illorum eſt, quibus aurigæ ſuos
equos agunt; ſecundum eorum, quibus ſeges in area teritur; quod ſpe­
ctat ad primum, vel loris vel funiculis conſtat; acris verò eſt ictus, quem
inurit eius præſertim extremitas; ratio eſt, quia cùm partes funis, quæ
propius ad manubrium accedunt, citiùs moueantur, & alias ponè relin
quant, iſtæ deinde in ſuo motu plùs temporis ponunt; igitur, cùm ſit
motus acceleratus, maiorem induunt impetum, maioremque imprimunt:
adde quòd, continuò arcum minoris circuli extremitas ipſa deſcribit,
quæ vltimò tantum applicatur: hinc nouus accelerationis modus, vt
clariſſimè videtur in funiculo circa digitum, cui aduoluitur in gyros
acto: Quod ſpectat ad flagellum frumentarium, mouetur motu mixto
ex duobus circularibus; conſtat enim de gemino fuſte, quorum alter
circa alterius extremitatem rotatur; hic verò circa centrum humeri:
porrò extremus fuſtis facit integrum circulum, vnde maximum ictum
infligit, quem ſcilicet præceſſit longior motus; adde quod quaſi à tergo
relinquitur extremus fuſtis ab altero; igitur diutiùs potentia maner ap­
plicata; igitur maiorem impetum producit, ex quo ſequitur maior ictus;
porrò vt vltima extremitas extremi fuſtis quaſi retroagitur; quod ſcilicet
eius centrum antè producatur, ſeu porrigatur; cùm enim attollitur fla­
gellum illud plicatile; haud dubiè extremitas deorſum tendit proprio
pondere, & producto in aduerſam partem eius centro, vel altera extre­
mitate, quid mirum ſi perficit circulum? eius lineam deſcribemus l.12.
Vndecimò, ſed aliquam huius phœnomeni adumbrationem iuuerit
exhibere; ſit flagellum plicatile DAB, ſitque AB ſolum areæ horizon­
ti parallelum; porrò ſit AB extremus fuſtis, qui voluitur circa cen­
trum A; DA verò ſit primus fuſtis ad inſtar manubrij volubilis circa
centrum D; ſit autem circellus DO, EF, & brachium LMD, cuius
contractione dum erigitur flagellum, extremitas B deſcribit ſecirculum
DOE, & A curuam AXG in aſcenſu, in deſcenſu GTA; B verò in
aſcenſu curuam BECK, in deſcenſu denique curuam KRB: itaque
motus extremitas D mouetur motu circulari; A verò motu mixto ex
circulari duplici, ſcilicet punctorum A & D; D quidem per circellum
DFEO; A verò per arcum AC, denique B motu mixto ex tribus cir­
cularibus D ſcilicet in circello DFEO, A in arcu AC, B denique in
circulo ABS; igitur B mouetur integro circulo circa A, A circa D per
arcum AC, & D circa Y integro etiam circulo; vbi verò A eſt in G, &
D in E, B eſt in H; mouetur autem B velociùs quàm A, tùm in aſcenſu,
1tùm deſcenſu; quia tota GH eodem inſtanti cadit in AB; quippe H
participat motum A per GA, & motum D per ED, quod clariſſimum
eſt.
Duodecimò, maior eſt ictus, ſi initio deſcenſus fuſtis AB tantillùm
retrò inclinet, vt GH; quia B ab H in B plùs temporis ponit, quàm à
Q, vt patet; igitur diutiùs potentia manet applicata; igitur maiorem
impetum producit; igitur maior eſt ictus; debet autem in eo ſitu eſſe,
in quo motus A in G ita temperetur cum motu B in H, vt eodem mo­
mento vtrumque feriat planum AB; ſi enim vel A attingat antè B, vel
B antè A, minor eſt ictus, vt conſtat; quia totus motus ſimul non im­
peditur; poteſt autem cognoſci ille ſitus vel illa inclinatio cognita pro­
portione motus circularis circa D, & circa A; immò niſi retineatur
DA; haud dubiè A tanget ſolum AB ex G, antequam B deſcendat in B
ex H; igitur attemperandus eſt motus fuſtis DA; præterea pondus in
deſcenſu auget ictum, deinde B deſcendit deorſum motu orbis & motu
centri: præterea B poteſt in aſcenſu maiorem arcum ſui orbis decurre­
re, quàm in deſcenſu, vel æqualem: denique maior eſt ictus quando po­
tentia toto niſu euidente fuſtis AB plùs temporis ante ictum in ſuo mo­
tu inſumit.
Decimotertiò, eſt etiam aliud flagelli genus pluribus catenulis ferreis
inſtructi, ex quibus ſingulis ſinguli ferrei globi aliquando ſpiculis, &
clauis armati pendent, quorum grauiſſimus eſt ictus propter rationes
prædictas; præſertim cùm catenula, ſeu funiculus, faciliùs adduci, & in­
flecti poſſit, quàm extremus ille fuſtis, de quo ſuprà; neque deeſt ar­
tificium; quo quis hoc armorum genere vtens etiam contra plures ſeſe
tueri poſſit.
Decimoquartò, denique vulgare eſt phœnomenum illud funiculi, ſen
flagelli, quo ſcilicet initio remouetur manubrij extremitas, mox ſtatim
adducitur, ex qua productione, & adductione per vndantem funem
propagatur impetus vſque ad eiuſdem extremitatem nodo vt plurimùm
adſtrictam. Hinc primò ſtrepitus ille aurigis familiariſſimus; quippe
maxima fit aëris colliſio in extremo fune; immo, & partium tenſio, ſeu
diſtractio propter motus illos contrarios productionis. Secundò, hinc
diſtrahitur funis, & quaſi laceratur, diſtractis ſcilicet tenuiſſimis illis
filamentis, ex quibus conſtat. Tertiò, hinc ſtringitur illa extremitas no­
do, tùm vt acrior ſit ictus, tùm vt filamenta illa nodo illo contineantur.
Quartò, duplex eſt motus illius funis propter flexibilitatem; hinc illæ
vndæ ſeu ſpiræ; nam remouetur caput funis, quod deinde ſequuntur
aliæ partes per ſinuoſos flexus; ſed mox vbi adducitur idem caput, maios
impetus producitur in aliis partibus. Quintò, currentes vndæ ſeu flexus
adductionis, quæ fit maiore impetu, quàm productio, tandem in
primos flexus ſinuatos ab ipſa productione incurrunt: hinc augetur
impetus, & motus extremitatis. Sextò, adde quod licèt ſit tantùm, vel
productio, vel adductio flagelli, ſunt iidem ſerè effectus, ſed minimè
æquales, quia augetur continuò motus flexuum; tùm quia funis verſus
1extremitatem ſenſim imminuitur; tùm quia minor eſt radius illius mo­
tus, quia circulari incipit: hinc extremitas funis velociſſimè tandem
mouetur, & impacta acutiſſimum ictum incutit. Septimò, obſerua pro­
pter illam inflexionem motum diutiùs perſeuerare; igitur potentia
manet diutiùs applicata; igitur maiorem effectum producit, vnde re­
uocare poteſt: hunc effectum ad illud phænomenum baculi flexibilis,
de quo ſuprà. Octauò, hinc pueri ſtrophiolis prædicto modo inflexis
inter ſe contendunt, pro quo eſt eadem ratio. Nonò, hinc vt excutiatur
puluis ex pannis, eodem modo ſuccutiuntur; tùm propter tenſionem
filorum, quæ pulueri liberiores meatus aperit; tùm propter vibrationes
quæ puluerem abigunt: immò flexibus aduerſis tapetes ita ſuccutiun­
tur, vt flexus hinc inde currentes quaſi tumentes fluctus, ſibi inuicem
occurrant in medio tapete, & allidantur; hinc ſequitur tenſio; hinc
vibratio, pulueris excuſſio, hinc etiam ſtrepitus; denique clariſſimè vi­
dentur flexus illi volubiles in extenſa mappa, quorum ratio patet ex
dictis.
Theorema 13.
Explicari poſſunt omnia percuſſionum phœnomena, quæ fiunt opera mallei,
hîc conſideratur malleus quaſi incuſſus circulari motu, qui nullo mo­
do coniunctus ſit cum motu naturali deorſum, quod tamen infrà ex­
plicabimus; hoc poſito.
Primò, quò maior eſt malleus eodem arcu impactus & manubrio,
maior eſt ictus, quia tardiùs mouetur; igitur potentia manet diutiùs
applicata; igitur maior eſt ictus, vt conſtat ex dictis.
Secundò, hinc ex hac hypotheſi ictus ſunt in ratione ſubduplicata
ponderum malleorum; conſtat etiam, poſita ſcilicet eadem longitudine
manubrij.
Tertiò, maior incutitur ictus non quidem circa extremitatem
baſis mallei, nec circa medium, ſed circa mediam proportionalem
inter diametrum baſis, & ſubduplum, patet per Th. 73. l. 1. Co­
rol. 4.
Quartò, ſi ſit longius manubrium mallei, maiorem ictum infliget;
quia tardius maiorem arcum decurrit, quàm minorem; igitur potentia
manet diutiùs applicata; igitur maiorem effectum producit; quod au­
tem tardiùs ſuum arcum perficiat maior radius, patet experientia ma­
ioris perticæ & breuioris fuſtis; cuius ratio eſt, quia idem impetus ma­
iori moli impreſſus remiſſior eſt, quia ſcilicet pluribus partibus diſtri­
buitur.
Quintò, velocitates extremitatum, poſita diuerſa longitudine manu­
brij, ſunt vt ipſæ longitudines permutando: probatur, quia cùm ſit mo­
tus acceleratus, ſpatia ſunt vt quadrata temporum; ſed velocitates
ſunt vt tempora, & tempora ſunt in ratione ſubduplicata ſpatiorum.
id eſt, vt diametri quadratorum, id eſt, vt longitudines, ſit enim lon­
gitudo AB, quæ dato tempore H decurrat ſpatium ABF, potentia
1ſcilicet toto niſu applicata, ſit etiam longitudo AC dupla AB: dico
quod eodem tempore H acquiret æquale ſpatium ſcilicet CAD; igitur
CAD eſt 1/4 CAG, quia eſt æquale BAF; igitur CD eſt 1/4 CG, ſed
CG eſt duplus BF; igitur CD eſt ſubduplus BF; igitur velocitas ex­
tremitatis C in CA eſt ſubdupla velocitatis B in BA: adde quod AC cùm
numerus partium AC ſit duplus numeri partium AB, & cùm in eadem
proportione diſtribuatur impetus AC, & AB; certè partes maioris ſi
comparentur cum partibus proportionalibus minoris, ſubduplam tan­
tùm habebunt portionem.
Sextò, ictus inflicti à malleis, quorum manubria diuerſam longitu­
dinem habent, ſuppoſito eodem angulo, ſunt vt longitudines; ſi enim
eo tempore, quo AB facit ſpatium BAF, AC facit CAD; certè æquali
tempore AC faciet DAG, vt conſtat ex natura motus accelerati;
igitur acquirit tantundem impetus; ſed eo tempore, quo AC decurrit
CAD, acquirit æqualem impetum AB dum percurrit BAF, vt patet ex
dictis; igitur AC decurſo CAG habet duplum impetum AB decurſo
BAF; igitur dupla eſt vis ictus; igitur ictus ſunt in ratione ſubdupli­
cata CAG, BAF; igitur vt ACAB.
Septimò, diceret aliquis velocitatem C decurſo CD, eſſe ſubduplam
velocitatis B decurſo BF; ſed velocitas C, decurſo CG, eſt dupla velo­
citatis eiuſdem C decurſo CD; igitur velocitas C, decurſo CG, eſt
æqualis velocitati B, decurſo BF; igitur æqualis ictus. Reſp. conceſſa
primâ conſequentiâ, vltimâ verò negatâ; quia non tantùm impetus
puncti C incutit ictum ſed totius CA, qui cenſetur eſſe collectus in
malleo in quo eſt quaſi centrum huius impetus, vt iam explicuimus
aliàs; ſed velocitas totius CA confecto CAD eſt æqualis velocitati
totius BA confecto BAF, cuius velocitas CA confecto CAG eſt dupla,
vt iam probatum eſt.
Octauò, hinc ictus CA confecto CAD eſt æqualis ictui AB con­
fecto BAF, & ictus CA confecto CI duplo CD eſt ad ictum CA con­
fecto CD, vt radix CA ad radicem CI: hinc vides hunc motum con­
uenire in eo cum recto, quòd ſcilicet ictus inflictus motu recto à mi­
nori mole, ſit ad ictum maioris, ſuppoſita linea motus æquali in ratio­
ne ſubduplicata ponderum; quòd dicitur etiam de motu circulari duo­
rum fuſtium inæqualium, quorum ictus ſunt in ratione ſubduplicata
longitudinum, aſſumptis duntaxat arcubus æqualibus ab extremitate
vtriuſque decurſis.
Nonò, cum mallei ſunt diuerſi ponderis, & longitudinis, facilè co­
gnoſci poterit proportio ictuum; eſt enim compoſita ex ratione lon­
gitudinum & ſubduplicata ponderum v.g. ſit malleus A, cuius longitu­
do ſit 2. pondus 4. ſit malleus B cuius longitudo ſit pondus; rectè ra­
tio longitudinum eſt 2/3, & ſubduplicata ponderum eſt 2/3; ducatur vna
in aliam, vt euadat compoſita ſcilicet 4/1 vel longitudo A ſit I, & B 2;
habebitur ratio ſubduplicata ponderum 2/1, & ratio longitudinum 3/2;
ducatur vna in aliam, habebitur ratio compoſita 2/2; igitur ſunt æqua-
1les, quæ omnia facilè intelliguntur ex dictis; itaque habes 4. combina­
tiones duorum malleorum; vel enim eſt idem pondus vtrique, & ea­
dem longitudo, vel idem pondus, ſed diuerſa longitudo, vel eadem lon­
gitudo & diuerſum pondus, vel diuerſum pondus & diuerſa longitudo;
ſi verò eſt diuerſa longitudo ſimul, & diuerſum pondus, vel eidem ineſt
maius pondus, & maior longitudo, vel maior longitudo, & minus pon­
dus, & contrà alteri minor longitudo, & minus pondus, vel maius pon­
dus, & minor longitudo, quorum omnium proportiones ſunt determi­
natæ.
Decimò, quod ſpectat ad craſſitudinem manubrij, illa haud dubiè
auget aliquando vim ictus, aliquando imminuit; auget quidem, cum
malleus centrum impetus occupat eo modo, quo explicuimus l. 1.Th.73.
Corol.4. imminuit verò cum ab eo centro recedit, vt manifeſtum eſt ex
dictis ibidem, cum infligitur ictus eo mallei puncto, in quo non eſt
prædictum centrum, formicat manus infligentis, vt patet experientiâ;
quippe extremitas illa manubrij, quæ manu tenetur, vel attollitur, vel
deprimitur; attollitur quidem, ſi punctum contactus, vel ictus eſt inter
prædictum centrum & manum; & è contrario deprimitur, ſi centrum
ipſum ſit inter punctum contactus & manum; & quia manus im­
pedit, ne vel attollatur, vel deprimatur, impetus in illam qua­
ſi refunditur; hinc illa formicatio non ſine maximo ſæpiùs do­
loris ſenſu; denique obſerua nouem eſſe combinationes, ſi con­
ſiderentur in malleo longitudo, & latitudo manubrij cum ipſo
pondere; quippe ſi 3. ducantur in 3. erunt 9. ſed hæc ſunt fa­
cilia.
Vndecimò, ſi malleus impingatur deorſum creſcit ictus propter mo­
tum naturaliter acceleratum, additum ſcilicet extrinſecùs impreſſo;
ſi enim mallei cadunt ex eadem altitudine, ſuntque eiuſdem ponderis,
ictus æquales eſſe neceſſe eſt; ſi verò ſunt eiuſdem ponderis, & cadunt
ex diuerſa altitudine impetus acquiſiti motu naturali, ſunt in ratione
ſubduplicata altitudinum; ſi verò ſunt diuerſi ponderis, & cadunt ex
diuerſa altitudine, ſunt in ratione compoſita aliquomodo ex vtraque;
dico aliquo modo, quia non eſt omninò propria compoſitio rationum;
poteſt tamen facilè proportio ictuum inueniri, v. g. ſit malleus A, &
malleus B, ictus A ratione impetus impreſſi extrinſecus ſit vt 8, ratione
caſus ſit vt 2; at verò ictus B ratione impetus impreſſi ſit vt 6, ratione
caſus vt 3: addantur 8, & 2 erunt 10; adduntur 6, & 3 erunt 9; igitur
ictus ſunt in ratione (10/9), vt conſtat: porrò quemadmodum nouus im­
petus accedit ratione motus naturalis, cum malleus impingitur deor­
ſum, ita aliquid impetus deſtruitur cum malleus impingitur ſurſum, vt
patet; denique, quia ſunt 5 termini, quos reſpicit ictus, ſcilicet pondus
mallei, longitudo manubrij, craſſitudo arcus extremitatis, & linea ſur­
ſum vel deorſum, ita ſunt 25. combinationes ictuum; ſed hoc fa­
cile eſt.
1
Duodecimò, ictus eiuſdem mallei per diuerſos arcus ſunt in ra­
tione ſubduplicata arcuum. v. g. ſit malleus AC arcus CD, tùm
arcus CG: dico ictus per vtrumque arcum eſſe in ratione ſubdu­
plicata arcuum CD, EG, id eſt in ratione 2/3, vt conſtat ex dictis;
poteſt etiam facilè inueniri proportio, ſi ſit diuerſa longitudo, vel
diuerſum pondus &c. hinc ratio manifeſta, cur per minimum ictum
nullus ferè ſit ictus: ſed hæc ex dicendis infrà de caſu clariſſimè intel­
ligentur.
Decimotertiò, claua reduci debet ad malleum. Primò, deter­
minari poteſt, ex quo puncto maiorem ictum infligit, quando mo­
uetur motu recto; ſit enim centrum grauitatis clauæ I, in quo ſi
ſuſtineatur, ſtabit in æquilibrio; ducatur FIE, maiorem ictum
infliget ex puncto E, quia tantundem eſt impetus in ſegmento
FEK quantum in ſegmento FEA; igitur totus impeditur impe­
tus; igitur maximus erit ictus ſi infligat ictum motu circulari circa
aliud eſt centrum percuſſionis, de quo infrà. Tertiò, hoc percuſſio­
nis organum validum ictum infligit propter illam extremam craſ­
ſitudinem, eſt enim quoddam mallei genus, & valdè periculoſum;
præſertim ſi ferreis clauis armetur; hinc vulgò tribuitur Herculi tan­
quam inſigne fortitudinis ſymbolum; porrò tàm altè clauum infigit
ſibi coniunctum, quam infigeret, ſi claua ipſa erectum, & quaſi expe­
ctantem ictum feriret.
Decimoquartò, Tudicula maior reuocatur ad malleum. Primò
faciunt ad ictum longitudo manubrij, flexibilitas, inæqualitas, mal­
lei pondus, durities materiæ, arcus motus, vegetæ potentiæ vires;
omitto ea, quæ cum malleo habet communia, quorum ratio ex
dictis conſtare poteſt; igitur non videntur eſſe repetenda. Secundò,
flexibilitas manubrij auget vim ictus, tùm quia potentia diutiùs
manet applicata, cùm aliquo tempore in ipſa vibratione malleus à
tergo relinquatur, tùm quia potentia illa media, de qua ſupra, ſuum
impetum, impetui alterius adiungit. Tertiò, ita manubrium fa­
bricatur, vt continua imminutione verſus malleum decreſcat, quod
multum facit ad ictum, quia hæc inæqualitas inflexioni reſiſtit ver­
ſus caput manubrij; igitur initio inflectitur manubrium, non pro­
cul à malleo, tùm deinde aucto impetu in partibus remotioribus,
quæ difficiliùs inflectuntur; igitur inæqualiter partes illæ redeunt,
atque ſeſe priſtino ſtatui reſtituunt; atqui ex illa inæqualitate diu­
tiùs durat motus; igitur inde maior euadit: ſimile quid videmus in
arcu, cuius medium craſſius eſt: adde quod ſi æqualis ſit craſſitudo,
incipit inflexio verſus illam extremitatem, quæ propiùs accedit ad
manum, longiùs recedit à malleo, vt patet experientiâ, in fune,
virgâ &c. ſed de arcu, tenſione, compreſſione fusè agemus
tractatu ſingulari: hæc tantum obiter indicaſſe ſufficiat.
1Quartò, maximus eſt ictus, cum malleus eo inſtanti attingit pilam, quo
manubrium eſt rectum; tunc enim eſt modum vibrationis ſeu reditus;
igitur maximus impetus. Quintò, ſi altera extremitas mallei, quæ glo­
bum attingit, ſit obliqua, globum ipſum attollit propter punctum con­
tactus; quod certè clarum eſt. Sextò, durities mallei multùm facit ad
ictum; ſi enim cedat lignum, imminuitur impetus, vt patet; hinc ar­
millâ, vel annulo ferreo armatur vtraque baſis mallei, vt firmior eua­
dat. Septimò, globi ratio multa habenda eſt, cui infligitur ictus; quippe
ſi leuior eſt ab aëre ambiente impeditur, & retinetur; ſi verò mollior
minor ictus infligitur, quia cedit materies; hinc pilæ è duriore buxo
tornantur; hinc etiam tunduntur pilæ malleo, vt materies denſior
euadat, impleanturque infinita ferè vacuola aëre plena, quæ pilam le­
uiorem reddunt; ſed hæc ad emiſſionem, & proiectionem pertinent,
de quibus infrà. Octauò, vt recta via procedat pila debet in id punctum
malleus infligi, ex quo ducta per centrum pilæ linea, & deinde produ­
cta concurrat cum ipſa linea directionis; nec enim aliter determinari
poteſt linea motus globi per Th... l.1. hinc manubrium debet ſemper
facere angulos rectos cum linea directionis. Nonò, ad ictum inflictum
à maiori Tudicula tres potentiæ motrices concurrunt, ſcilicet ipſa po­
tentia impellentis, potentia motus deorſum, & ipſa media; igitur hæc
ars in eo præſertim poſita eſt, quod hæ potentiæ ita temperentur, ſeu
componantur, vt vna non obſit alteri, & ſingulæ pro viribus agat: ex
his alia facilè intelligentur.
Decimoquintò, ſupereſt familiaris ille ſoni effectus, quem mal­
leus cadens in incudem edit, quem tamen hîc non diſcutiemus; quia
naturam & affectiones ſonorum alio Tomo de qualitatibus ſenſibilibus
libro ſingulari fusè explicabimus.
Theorema 14.
Ex dictis explicaris poſſum omnia phœnomena, quæ obſeruantur in ludo
rudis gladiatoriæ; Primo, tria ſunt in hac arte, ad quæ reliqua facilè re­
ducuntur; primum eſt declinatio; ſecundum petitio; tertium confla­
tum ex vtroque. Secundò, poteſt declinati, vel auerti ictus, ſeu petitio
duobus modis.
Primò, ſi declinatio cum aliqua impactione coniungatur.
Secundò, ſi tantùm cum mera reſiſtentia, vel ſimplici impul­
ſione.
a Fig. 17
Tab. 5.
Tertiò, vtriuſque modi ſunt 4. combinationes; ſiue enim duo gladij
AC, DF, capulares pilæ AD; ſit autem gladius AC declinans petitio­
nem alterius DF; id certè quatuor modis præſtare poteſt. Primò, ſi
punctum contactus ad mucronem vtriuſque propiùs accedat. v.g. ſi
vterque ſit in ſitu ACDF. Secundò, ſi propiùs accedat ad capulum
vtriuſque, talis eſt ſitus DFCH. Tertiò, ſi accedat propiùs ad mu­
cronem gladij petentis DF, & propiùs ad capulum declinantis.
1Quartò, è contrario ſi accedat propiùs ad capulum petentis DF, & pro­
piùs ad mucronem declinantis; addi poteſt quinta combinatio, cum
ſcilicet contactus eſt in medio vtriuſque.
Quartò, ſi ſit mera impulſio ſine percuſſione, vel impactione, maxi­
ma vis eſt declinationis, cum punctum contactus accedit propiùs ad ca­
pulum declinantis, & ad mucronem petentis iuxta tertiam combinatio­
nem, & ſitum DFPE, & punctum contactus in B; ratio eſt, cum verta­
tur PE circa P applicatæ potentiæ in P, maius eſt momentum in B
quàm in alio puncto verſus E, vt patet; quippe B mouetur minore motu;
igitur faciliùs; præterea FD mouetur circa D; igitur in B faciliùs pelli­
tur, quàm in vllo puncto verſus D ratione vectis.
Quintò, cum punctum contactus accedit propiùs ad capulum peten­
tis, & ad mucronem impellentis, minima vis eſt declinationis, ſcilicet
iuxta quartam combinationem, & ſitum DFRG: ratio eſt, quia minor
eſt vis potentiæ applicatæ in R, & maior reſiſtentia applicatæ in D, vt
patet ex dictis.
Sextò, cum punctum contactus accedit propiùs ad capulum vtrïuſque
iuxta ſecundam combinationem, & ſitum DFSH, tunc eſt maxima vis
declinantis, & maxima reſiſtentia petentis; vnde vna compenſatur ab
alia; cum verò punctum contactus accedit propiùs ad mucronem vtriuſ­
que, minima eſt vis impellentis, & minima reſiſtentia impulſi iuxta pri­
mam combinationem, & ſitum DFAC; ratio patet ex dictis.
Septimò, hinc tam facilè declinatur ictus gladij DF, ſiue fiat iuxta
primam combinationem, ſiue iuxta ſecundam, quia licèt ſit minima vis
in prima; eſt etiam minima reſiſtentia; & licèt ſit maxima reſiſtentia
in ſecunda, eſt etiam maxima vis; igitur vna compenſat aliam, vt patet;
immò iuxta ſitum DFQK, poſito puncto contactus in L, & iuxta om­
nem alium ſitum, in quo punctum contactus æqualiter diſtat à mucro­
ne vtriuſque, vis declinantis æqualis eſt; eſt enim æqualis ratio virium,
& reſiſtentiæ, vt conſtat, poſita vtriuſque longitudine.
Octauò, ſi verò impulſio, vel declinatio fiat cum impactione, tribus
modis id fieri poteſt; primo, motu circulari circa pilam capularem A:
ſecundo, motu circulari circa centrum diſtans 3/4 à capulò, tertio, motu
recto ducto ſcilicet gladio dextrorſum, vel ſiniſtrorſum horizonti pa­
rallelo; primus modus peſſimus eſt, quia totum corpus, defectum manet.
Tertius proximè ad priorem accedit propter eandem rationem. Secun­
dus optimus omnium, & communis eſt, quia ſemper gladius tegit
corpus.
Nonò, ſi primo modo declinatur ictus repulſo petentis gladio maxi­
ma vis erit; ſi punctum contactus fiat circa 2/3 de quo infrà, quod verò
ſpectat ad gladium, qui repellitur, eò faciliùs repellitur, quò punctum
contactus propiùs ad eius mucronem accedet. Si tertio modo, & gla­
dius ſolus ita libraretur maxima vis eſſet circa centrum eius grauitatis;
in hoc enim puncto maximum ictum infligunt, quæ motu recto mo­
uentur; quia verò totum ſegmentum brachij, quod inter manum, &
1caput cubiti intercipitur, mouetur ſimul cum gladio motu recto, circa
capulum erit maxima vis, cùm propiùs accedat ad centrum grauitatis
totius conflati ex illo ſegmento brachij, & gladio.
Decimò, denique ſi ſecundo modo declinetur ictus, idem dicendum
eſt quod de motu circulari dictum, mutato dumtaxat centro, v.g. ſit gla­
dius declinantis RG, ſitque IG 1/4 totius RG circa I ſit motus circula­
tis, centrum percuſſionis erit circa 2/3 IG, vel IR.
Vndecimò, vix tamen ita acuratè hoc ſecundo modo declinatur ictus,
quin tertius etiam cum ſecundo coniunctus ſit, vt patet experientiâ;
rotatur autem manus declinantis vt illo quaſi gyro maiorem impetum
acquirat, de quo iam ſuprà: immò niſi tertius modus cum ſecundo eſſet
coniunctus, non poſſet delinari ictus, ſi contactus gladiorum fieret in
centro illius motus, vt patet.
Duodecimò, quò longior eſt gladius declinantis, cum iuxta mucro­
nem fit contactus ſine impactione eſt vis debilior, quàm eſſet in breuio­
re, patet ex vecte; ſi verò ſit impactio iuxta ſecundum. n.10. vis maior
eſt cum gladius longior eſt; eſt enim maior motus; igitur maior ictus li­
cèt tardior; hinc longiore gladio equidem fortiùs auertitur ictus quàm
breuiore, ſed tardiùs; breuiore verò citiùs quàm longiore, ſed debiliùs,
vt patet ex dictis.
Decimotertiò, longior gladius ſuſtinetur facilè opera capularis pilæ,
quæ momentum longitudinis gladij ſupplet, vt conſtat ex ſtatera, cuius
proportiones videbimus lib.ſeq. quippe ſi pila faciat æquipendium, cum
lamella manus ſuſtinet tantùm pondus abſolutum ſine momento, &c.
Decimoquartò, hinc gladius, qui in mucronem ita deſinit, vt ea por­
tio, quæ ad capulum propiùs accedit, ſit craſſior, faciliùs ſuſtineri poteſt,
licèt ſit eiuſdem ponderis cum alio; quia ſcilicet non eſt tantum mo­
mentum.
Decimoquintò, mucro intentatus per lineam rectam horizonti pa­
rallelus difficiliùs excipitur, & auertitur; certa eſt experientia, cuius
ratio in promptu eſt, quia vel gladius declinantis eſt horizonti paralle­
lus, vel non parallelus: ſi primum; igitur vix excipere poteſt, quia cum
alia non decuſſatur; ſi verò ſecundum; plùs æquo demitti capulum opor­
tet; hinc non modò manus debilior eſt; verùm etiam corpus detegitur:
adde quod ictus validior eſt per lineam perpendicularem.
Decimoſextò, hinc ita debet extremitas manus per horizontalem
porrigi & brachium contractum explicari, vt maiorem lineam rectam
deſcribat; acquiritur enim maior impetus in maiori ſpatio, quod per­
curritur motu accelerato, vt conſtat ex dictis, ſed quò brachium con­
tractius eſt, cò maiorem lineam eius extremitas motu recto decurrit:
adde quod impreſſio totius corporis, quod in eandem partem agitur,
multùm auget vim brachij mucronem in aduerſum pectus inten­
tantis.
Decimoſeptimò, ſi longior eſt gladius impetus, hæc videntur eſſe
commoda. Primò, eius mucro longiùs producitur, & procul attingit.
1Secundò maiorem ictum infligit, vt iam ſupra dictum eſt de ſariſſa, mo­
dò in eadem ratione aucta ſit craſſitudo; non deſunt tamen incommo­
da. Primò ratione vectis maius eſt illius pondus. Secundò faciliùs de­
clinatur ictus propter eandem rationem. Tertiò, ſi tantillùm deflecte­
tur, corpus omninò detegit propter maiorem cum, ſunt enim arcus
vt radij, vel longitudines. Quartò, hinc pugiles faciliùs decuſſatis gla­
dijs ſeſe mutuò præhendunt, & luctâ decernunt.
Decimooctauò, niſi per lineam horizontali parallelam mucro inſen­
tetur, minor eſt vis ictus, quia obliquè cadit; igitur debilior eſt: ſi porrò
extante brachio mucro intenditur; haud dubiè ictus obliquus erit, cùm
circa extremum humerum brachium libretur.
Decimononò, cum auertitur, ſeu repellitur impetus gladius, ferro
directo id fieri debet, ſcilicet iuxta ſecundum modum n. 10. alioquin
ferrum læuigatum in alio læuigato facilè decurrit, ſi obliquè in ipſum
cadat; porrò ex hac repercuſſione mucro impetens mouetur motu mixto,
dextrorſum ſcilicet vel ſiniſtrorſum declinante: hinc qui impetit id po­
tiſſimum curare debet, vt eius ferrum ferro alterius obliquè accidat.
Vigeſimò, eodem niſu poteſt quis ictum aduerſarij declinare, ipſique
adeo ictum infligere, quod gladiatoribus valde familiare eſt; hinc autem
ſingulari motu mouetur manus, mixto ſcilicet ex recto, & circulari; cir­
culari quidem iuxta ſecundum modum traditum n. 10. recto verò iuxta
modum traditum n.15. quod certè ſi expeditè, & accuratè fiat, imparatus
hoſtis intercipitur, vt vix ictum excipere poſſit.
Vigeſimoprimò, ita hoſtis gladio impeti debet, vt corpus impetentis
tectum remaneat: omitto alia, quæ ad hanc artem pertinent v.g corporis
ſitum, gladiorum temperaturam, cochleam gladij, &c. quæ cùm ad mo­
tum minimè ſpectent, huius loci eſſe non poſſunt: omitto etiam illos
ictus, qui cæſim infliguntur, quia ex dictis de baculo ſuprà facilè intelli­
gi poſſunt; denique omitto varios illos gladij breuioris latioriſque gyros,
quibus ſeſe quaſi, vt vulgò aiunt, induit qui contra plures ſeſe tuetur.
Theorema 23.
Explicari poſſunt omnia phœnomena percuſſionis, quæ infligitur à
corpore graui deorſum ſua ſponte cadente motu naturaliter accele­
rato.
Primò, corpus graue cadens ex maiore altitudine fortiùs ferit: ratio
eſt; quia deſcendit motu naturaliter accelerato; igitur maiorem acqui­
rit impetum; igitur maiorem impetum ad extra producit; igitur maio­
rem ictum infligit.
Secundò, ſunt 4. combinationes grauium; vel enim eſt idem pondus
eſt altitudo; vel idem pondus, diuerſa altitudo; vel eadem altitudo di­
uerſum pondus; vel diuerſum pondus & diuerſa altitudo; addi poteſt
diuerſus incidentiæ angulus, immò diuerſa figura corporis cadentis, quæ
omnia infrà demonſtrabimus.
Tertiò, ſi ſit æquale pondus, & æqualis altitudo ſuppoſito caſu
1perpendiculari æquales ſunt ictus, patet; quia eadem cauſa eundem ha
bet effectum.
Quartò, ſi ſit æquale pondus, & inæqualis altitudo, ictus ſunt in ra­
tione ſubduplicata altitudinum v.g. ſit altitudo 4. cubitorum, & altera
tantum cubitalis; certè cùm acquirantur æqualibus temporibus æqua­
lia velocitatis momenta, velocitates acquiſitæ ſunt vt tempora, impetus
vt velocitates, ictus vt impetus; ſed tempora ſunt in ratione ſubdupli­
cata ſpatiorum vel altitudinem; igitur & ictus; igitur ictus inflictus à
corpore cadente ex altitudine 4. cubitorum eſt duplus ictus eiuſdem
corporis cadentis ex altitudine cubitali.
Quintò, ſi ſit æqualis altitudo, & diuerſum pondus, ictus per ſe ſunt
vt pondera: probatur facilè, quia eſt duplus impetus in corpora duplo,
non quidem ratione intenſionis, ſed ratione extenſionis, vt patet: dixi
per ſe, quia diuerſa ratio reſiſtentiæ medij hanc proportionem mutare
poteſt.
Sextò, ſi ſint infinita inſtantia, eſt infinita proportio inter actum in­
flictum à corpore cadente, & vim grauitationis eiuſdem; quia dato quo­
cunque tempore poſſet dari minus, & minus; igitur dato quocunque
ictu poſſet dari minor, & minor in infinitum, quod ex illa hypotheſi
neceſſariò conſequitur.
Septimò, immò ſi ſint infinita inſtantia, ſique infinita proportio in­
ter ictum inflictum à corpore cadente, & vim grauitationis eiuſdem, eſt
etiam infinita proportio inter eumdem ictum, & vim grauitationis cuiuſ­
libet alterius corporis quantumuis immenſi, inter duas grauitationes
duorum corporum datur proportio, vt conſtat; ſunt enim vt pondera;
igitur ſi nullam habet proportionem cum ictu corporis grauis cadentis,
nullam etiam habebit altera, vt patet ex elementis.
Octauò, hinc negamus eſſe infinita illa inſtantia; quia ex illa hypothe­
ſi hoc abſurdum neceſſariò ſequitur, quod experimento repugnat; quis
enim neget maiorem eſſe vim 100000. librarum ferri in modicum cy­
lindrum plumbi incubantis, quàm modici granuli in eundem cylin­
drum ex altitudine lineæ cadentis.
Nonò, ſi altitudo ſit diuerſa, & pondus diuerſum, ictus ſunt in ratione
compoſita ex ratione ponderum, & ſubduplicata altitudinum, patet ex
dictis.
Decimò, ſi ſint infinita inſtantia dato ictu cuiuſlibet corporis caden­
tis ex quacunque altitudine, non poteſt dari vlla corporis moles, qua
ſuo pondere id præſtat, quod illud præſtitit ſuo caſu. Probatur ex n. 7.
hinc fruſtrà proponitur hæc quæſtio ab ijs, qui agnoſcunt infinitos tar­
ditatis gradus, per quos propagatur motus; nam reuerâ ex hac hypotheſi
eſt infinita proportio inter ictum, & vim grauitationis.
Vndecimò, ſi tamen ponantur finita inſtantia; haud dubiè hæc pro­
poſitio non eſt infinita; ſit enim quodlibet corpus cadens ex quacun­
que data altitudine per 100. inſtantia, ſeu partes temporis æquales pri­
mo inſtanti quo mouetur; haud dubiè ictus ab eo inflictus cadendo eſt
1ad vim grauitationis eiuſdem vt 1001. ad 1. cùm enim ſingulis inſtan­
tibus æqualibus acquirantur æqualia velocitatis momenta, ſeu æqualis
impetus; certè 1000. inſtantibus, quibus mouetur acquiſiuit 1000. gra­
dus impetus æquales primo, quem habebat in prima grauitatione; &
qui fuit cauſa motus primi inſtantis; igitur ſi hic addatur 1000. erunt
1001. hinc ſi corpus moueatur tantùm vno inſtanti, ictus erit duplus
tantùm grauitationis: ſuppono autem nullam eſſe medij reſiſtentiam,
ictumque infligi per lineam directam.
Duodecimò, hinc, ſi aſſumatur corpus, cuius pondus ſit ad pondus
corporis prædicti vt 1001. ad 1. idem erit effectus eius grauitationis, &
illius ictus vno inſtanti. Probatur manifeſtè, quia, quæ habent eundem
rationem ad aliud tertium; ſunt æqualia; dixi vno inſtanti; nam reuerâ
corpus graue, quod primo inſtanti imprimit aliquid impetus primo in­
ſtanti, illum auget, ſecundo, tertio, &c. quod maximè obſeruandum eſt;
alioqui maxima erit hallucinatio.
Decimotertiò, hinc non poteſt determinari proportio corporis ca­
dentis, & grauitantis, niſi ex hypotheſi; quia nemo ſcit quot fluxerint
inſtantia in dato motu; quoad reuerâ ſciri poſſet ſi poſſet aliqua arte in­
ueniri corpus, cuius grauitatio haberet effectum, quem habet alterius ictus,
quod nec ſciri poteſt per depreſſum cylindrum cereum vel plumbeum, vel
alterius mollioris materiæ, quia æqualis depreſſio accuratè cognoſci non
poteſt; ſi quis enim diceret deeſſe, vel ſupereſſe 1000. ſuperficies, quà
ratione conuinci poſſet? non poteſt etiam ſciri operâ libræ, in cuius al­
terum brachium cadat mobile, quia ſunt ferè infiniti motus inſenſibiles,
vt conſideranti patebit; igitur proportio hæc tantùm, determinari poteſt
ex hypotheſi data, vt clariſſimè conſtat ex dictis.
Decimoquartò, hinc maxima eſt proportio inter ictum, & grauita­
tionem; cùm modicus malleoli caſus eum effectum præſtet, quem in­
gens corporis moles ſua grauitatione præſtare non poſſet; non eſt tamen
infinita proportio, quia poteſt tanta eſſe moles grauitatis, & tam par­
uum corporis cadentis pondus, vt illa præualeat, vt conſtat experientiâ,
quæ nobis euidentiſſimam ſuggerit rationem; quia reiicimus infinitos
illos tarditatis gradus, quos aſſumpſit Galilæus ad probandam ſuam
hypotheſim de motu accelerato, & infinita eiuſdem & aliorum multo­
rum inſtantia, de quibus alibi in Metaphyſicâ; eſt tamen maxima illa
proportio, vt dixi; quia perexigua temporis pars infinitis ferè inſtanti­
bus conſtat; quorum certè numerum recenſere poſſemus, ſi quis mo­
dum inueniat, quo poſſit abſolutè adæquare grauitationis dati corporis
effectum cum effectu ictus alterius cadentis: quod meo iudicio non
modo geometricè, verùm etiam mechanicè, ſaltem accuratè fieri non
poteſt.
Decimoquintò, nec illud, quod habet Dominus Hobs apud Merſen­
num, in phœnom. Mech. pr. 25. videtur ſatisfacere. Primè, quia ſup­
ponit primum illum conatum cylindri AB, & puncti phyſici A'C,
ſed non tradit modum, quo poſſit cognoſci. Secundò, quia dicit cona-
1tum primum puncti AC, & totius axis AB, quamdiu deſcendit vterque,
eſſe æqualem; quod tamen dici non poteſt, quia conatus ſingulorum
punctorum ſeorſim ſunt æquales; ſed conatus omnium coniunctim eſt
maior conatu ſingulorum; nam ſingula habent ſuum impetum; verum
eſt quidem moueri motu æquali, quia ſingula æquali impetu mouentur.
Tertiò, quia vult poſito cylindro ſupra baſim 4. illam immediatè premi
à puncto EB, hoc verò punctum à puncto DE, & hoc ab CD, & hoc ab
AC; quod tamen dici non poteſt; quis enim dicat granulum ſuperpoſi­
tum rupi in illam grauitare? Equidem cum illa grauitat grauitatione
communi, vt dictum eſt ſuprà, non tamen in illam. Quartò, quia dicit
pumum B cum conatu totius cylinèri incubantis eo tempore, quo pun­
ctum AC conficeret AC, conficere AB, quod repugnat progreſſioni
Galilei, quam ſequitur ipſe; quia conatus ſunt, vt velocitates; hæ verò
vt tempora; ſed ſpatia in ratione duplicata temporum.
Denique non video, quomodo ex his etiam datis demonſtret pro­
portionem quæſitam percuſſionis, & grauitationis; igitur non eſt conſu­
lendum ſpatium, ſed tempus eo modo, quo diximus; ſi enim punctum
moueatur per 1000. inſtantia, acquiret mille puncta impetus; igitur ha­
bebit 1001. igitur ſi aſſumatur corpus, quod conſtet 1001. punctis habe­
bit 1001. puncta impetus, id eſt ſingula in ſingulis; quæ cum omnia gra­
uitent grauitatione communi, æqualis eſt priori effectus.
Decimoſextò, hinc vides, quàm ſit difficilis, vel potiùs impoſſibilis
huius proportionis inuentio, ex cuius cognitione tempus reſoluitur in
ſua inſtantia, immò & quantitas in ſua puncta: primum quidem; ſit enim
data moles, cuius grauitatio æqualis eſt ictui alterius cadentis dato
tempore; haud dubiè tot ſunt inſtantia in toto illo tempore, quoties
pondus cadens continetur in grauitante, vt patet ex dictis.
Decimoſeptimò, poteſt aſſumi perexigua pars temporis pro inſtanti
phyſico, nec tam ſenſibilis erit error, & modicum ſpatium pro puncto
phyſico, vt deinde mechanicè procedatur ad indagandam hanc propor­
tionem percuſſionis, & grauitationis.
Decimooctauò, poteſt explicari quomodo defigatur palus ab ictu
corporis deorſum cadentis. Primò enim, ideò defigitur, quia materia
mollior cedit non ſine aliqua compreſſione. Secundò, hinc in mucro­
nem deſinere debet, vt faciliùs penetret, quod ad cuneum reducemus
alibi: idem dico de ſecuri, gladio, enſe, &c. Tertiò, initio faciliùs
defigitur, conſtat experientiâ; ratio eſt, quia plures partes deinde com­
primuntur propter longitudinem, & craſſitudinem pali ſeu claui. Quar­
tò, hinc minùs defigitur ſecundo ictu, quàm primo; igitur maiore niſu
opus eſt: in qua verò proportione difficilè dictu eſt; inueniri tamen po­
teſt de qua numero ſequenti. Quintò, poteſt etiam dici vel poſito ſe­
cundô ictu æquali primo quantum defigat ſupra primum, vel poſita de­
fixione illa, qua defigitur ſecundo ictu æquali primæ, quam proportio­
nem habeant ictus. Tertiò, poſito vtroque inæquali, quæ ſit etiam vtriuſ­
que proportio.
1
Decimononò, ſi æqualis ſit ſecundus ictus. Primò, poteſt determina­
ri proportio iuxta quam defigitur palus, quod vt melius explicetur, ſit
cuneus BE, cuius ſolidum facilè demonſtratur; eſt enim ſubduplum pa­
rallelipedi, cuius baſis ſit quadratum AC, & altitudo RE; ſi enim trian­
gulum ADE ducatur in latus AB vel EF habebitur ſolidum cunci, vt
conſtat, vnde cunei eiuſdem latitudinis ſunt, vt triangula, v.g. cuneus A
F ad eumdem YF; vt triangulum ADE ad triangulum YHE: hoc po­
ſito ſit triangulum MKN æqualis ADF, & primo ictu tota EI vel N
Z ſecundo ictu defigitur, non quidem æquali altitudine, ſed æquali ſoli­
do; cùm autem triangulum XZN ſit ſubquadruplum trianguli QON
ſit media proportionalis N inter NZNO, triangulum N β Y eſt du­
plum NZX; igitur ſecundo ictu defigetur N β: ſimiliter ſi vt NZ ad N
β, ita N β ad N. Tertio, ita defigetur NT, & quarto NO dupla NI: ra­
tio eſt, quia æquales ictus æquales habent effectus.
Vigeſimò, ſi æquales accipiantur altitudines ſingulis ictibus, ictus
ſunt in ratione duplicata altitudinum, ſuppoſitâ prædicta hypotheſi cunei
v.g.ſi dato ictu defigatur NZ, & altero NO, ſecundus eſt ictus quadruplus
primi; ſi verò tertio ictu defigatur Nθ tripla NZ, ictus eſt ad primum
in ratione 9/1. ſi denique dato ictu defigatur NM, ictus eſt ad primum
in ratione 36/3, vt patet ex dictis; ſi verò primo ictu defigatur NZ, ſecundo
ZO, tertio O θ, quarto θ M, ictus ſunt, vt numeri impares 1.
3. 7. 9.
Vigeſimoprimò, hinc ſi dentur duo ictus, & eorum proportio deter­
minari, vt poteſt proportio altitudinum, quæ defiguntur, quæ ſunt in
ratione ſubduplicata ictuum, ſuppoſito cuneo: ſimiliter, ſi dentur alti­
tudines, carumque proportio, determinari poteſt proportio ictum; ſunt
enim in ratione duplicata, vt patet ex dictis; porrò vtrumque poteſt
conſiderari duobus modis. Primò, coniunctim, ſi ſecundus ictus ſucce­
dat primo, & eius altitudinem augeat. Secundò, ſi ſeorſim vterque
conſideretur, &c.
Vigeſimoſecundò, in clauis, vel conis altitudines ſunt in ratione
ſubtriplicata ictuum, & ictus in ratione triplicata altitudinum defixarum,
quòd manifeſtum eſt ex Geometria; ſit enim conus BAF, qui defigatur
vno ictu; ſitque alter ictus, quo defigatur tantùm FD ſubdupla FA:
cùm ictus ſint vt defixa ſolida; certè conus FD eſt ad conum FA in
ratione triplicata, id eſt vt cubus FD ad cubum FA, id eſt vt 1. ad 8.
quæ omnia conſtant: idem dico de pyramide, quod de cono: hinc vi­
detur differentia ictuum, quibus defigitur cuneus, & conus,
Vigeſimotertiò, poteſt explicari quomodo deprimatur cylindrus con­
ſtans ex molliori materia; nam primò deprimitur prima ſuperficies
cylindri, & extenditur; quia cùm materia. ſit mollior, prematurque a
duobus corporibus duris vtrinque, ſcilicet ab vtraque baſi, cedit & di­
latatur propter humorem in cauitatibus contentum. Secundò, aliquan­
do totus cylindrus deprimitur ſeruatà ſemper cylindri licet craſſio­
ris figurâ, quod vt fiat, molliſſimam materiam eſſe neceſſe eſt. Ter-
1tiò, aliquando primæ tantùm ſuperficies extenduntur, vt videmus in
capite, ſeu baſi cuneorum; quia materies durior multùm reſiſtit. Quartò,
limbus baſis dilatatæ contrahitur deinde, ſeu retorquetur deorſum; quia
cùm interiores circuli dilatentur, deberet facere limbus ille maiorem
circulum; quod cùm fieri non poſſit, contrahitur ſeu incuruatur deor­
ſum, quod facilè ſine figura intelligi poteſt. Quintò, poteſt deter­
minari proportio ictuum, quibus deprimuntur cylindri; ſi enim ſup­
ponatur eadem altitudo, ſeu linea depreſſionis, & diuerſa craſſi­
tudo cylindrorum ictus, erunt vt baſes; nam quò plures partes de­
primendæ ſunt, maiore ictu opus eſt, ſi opponatur eadem craſſitudo
vtriuſque cylindri ſed diuerſa depreſſionis linea vel altitudo, ictus
erunt vt altitudines; ſi vtraque ſupponitur diuerſa, ictus erunt in ra­
tione compoſita ex ratione baſium, & altitudinum; quæ omnia conſtant
ex dictis.
Obſeruabis tamen creſcere reſiſtentiam ex duplici capite. Primò,
ex eo quod aliquæ vacuitates occupentur à partibus depreſſis, ac proin­
de cylindrus induretur; ſic intus durior euadit ſub malleo, & & pila
lignea ſub ictibus. Secundò, latiorem illam ſuperficiem impedire di­
latationem aliarum partium: hinc variè diſcerpitur eius limbus, vt
videre eſt in cuneo ferreo: atqui in explicandis ſuprà ictuum propor­
tionibus, hoc geminum reſiſtentiæ caput nullo modo conſiderauimus:
ſextò, quærunt aliqui dato ictu, quo deprimitur cylindrus data alti­
tudine, quantum pondus eſſe debeat, quod ſua grauitatione eum­
dem præſtet effectum; ſed profectò id nemo vnquam determinauit,
niſi primò inueniat pondus, cuius caſu prædictus cylindrus eodem
modo deprimatur. Secundò, niſi ſciat quot inſtantibus deſcendat, vt
patet ex his quæ diximus ſuprà; vt autem comparetur ictus inflictus
à brachio cum ictu inflicto à pondere cadente, debet conſuli diuerſa
depreſſio, vel defixio.
Vigeſimoqnartò, corpus cadens in planum horizontale per lineam
perpendicularem, maximum ictum infligit: maiorem, cum cadit in pla­
num decliue, quod manifeſtum eſt; poteſt autem determinari propor­
tio ictuum ratione planorum; ſit enim perpendicularis KN cadens in
planum horizontale AD, erit maximus ictus; ſit vt AD; fiat quadrans
ADG: ſit planum decliue AE, in quod cadit KM; ducatur EC vel
EI; primus ictus eſt ad ſecundum, vt AD ad AC vel IE; ſit aliud
planum decliue AF, in quod cadit KN; ducantur FBFH, primus eſt
ad tertium, vt AD ad AB; patet ex dictis ſuprà, cum de planis in­
clinatis.
Vigeſimoquintò, ſi verò cadat corpus graue in globum, aſſumenda eſt
Tangens puncti contactus v. g. ſit globus centro A ſit corpus cadens
per FD; ſit punctum contactus D; ſit Tangens CE; idem eſt ictus,
qui eſſet, ſi corpus graue caderet in planum inclinatum CE; ſi verò
globus cadat in aliud corpus v. g. globus A in corpus HG
per lineam RG; ducatur AG, tùm GS, ictus in G eſt ad ictum
1in L vt SA ad AL: denique ſi globus cadat in globum, id poteſt fieri
duobus modis. Primò, ſi L cadat in X, id eſt linea directionis ducatur
per centrum vtriuſque, & tunc maximus ictus. Secundò, ſi ſecus v.g. ſi
globus A cadat in globum O, ſitque punctum contactus in M; ſic autem
ictus eſt ad priorem in compoſita ex OYZA ad compoſitam ex MO
MA vel vt chorda MY, ſeu MP ad diametrum LB, quæ omnia patent
ex dictis.
Scholium.
Obſerua ſupereſſe tertium modum percuſſionis, qui fit emiſſione; cum
autem emiſſio tribus modis fieri poſſit.1°. ſimplici impulſione ſine ictu,
& proiectione. 2°. Percuſſione. 3°. Proiectione, cui adde eiaculationem,
vel euibrationem; de his tribus ſequentibus Theorematis agendum eſt.
Theorema 16.
Explicari poſſunt omnia phœnomena emiſſionis, quæ fit primo modo, ſcilicet
per meram impulſionem.
Primò, emittitur vt plurimùm globus, ſeu pila Tudiculâ dumtaxat
minori; vix enim eſſe poteſt alius emiſſionis modus, qui ad hunc facilè
non reuocetur.
Secundò, imprimitur impetus Tudiculæ ſimul, & globo, quia vtrumque
motum brachij impedit; hoc etiam demonſtrauimus lib.1.
Tertiò, quò maior eſt Tudicula, tardiùs mouetur, vt patet: hinc po­
tentia manet diutiùs applicata; non tamen propterea globus velociùs
mouetur, vt patet, quia ſingulis inſtantibus minùs in eo producitur; eſt
enim quaſi pars Tudiculæ; ſecus tamen accidit, ſi Tudicula verberet
pilam, de quo infrà.
Quartò, ſi Tudicula ſit longior, longiùs emittitur pila; ratio eſt, quia
diutiùs manet potentia applicata pilæ; quippe magis contrahitur bra­
chium: hinc longiùs porrigitur, vt clarum eſt.
Quintò, ſi maior ſit Tudicula, & pila emittatur verberatione, longiùs
emittitur; ratio eſt, quia maior impetus imprimitur Tudiculæ à potentia
diutiùs applicata; diutiùs autem applicatur maiori, quia tardiùs moue­
tur, vt ſuprà diximus.
Sextò, pila emiſſa velociſſimè mouetur eo inſtanti, quo vltimo tan­
gitur à Tudicula; quia deinceps nihil prorſus impetus accedit, ac proin­
de continuò ſenſim deſtruitur ab eo inſtanti.
Septimò, nunquam mouetur pila emiſſa velociùs ipſa Tudiculâ, cum
ſcilicet emiſſio fit per meram impulſionem; quia ſcilicet vltimo inſtanti,
contactus velociſſimè mouetur pila; ſed eo inſtanti æquè velociter mo­
uetur Tudicula, vt conſtat: porrò ideo emittitur pila, quia retinetur Tu­
dicula, ne longiùs recedat.
Octauò, cum verò emittitur pila per verberationem; haud dubiè, ſi
pila leuior eſt Tudicula, mouetur deinde velociùs; ſecus verò, ſi grauior
eſt & æquè velocior, ſi æqualis eſt grauitatis; patet ex dictis de impetu;
1hinc vides emiſſionem cæteris paribus maiorem eſſe per verberationem,
quàm per meram impulſionem.
Nonò, pila grauior emiſſa eodem niſu potentiæ grauiorem ictum in­
fligit occurrenti globo, quia ſcilicet plùs habet impetus; nam diutiùs
potentia fuit applicata: adde quod, ſi tardiore motu mouetur propter
maiorem molem, diutiùs pila intacta manet applicata, de quo infrà.
Scholium.
Obſeruabis eſſe plura alia phœnomena in ludo minoris Tudiculæ
v.g. 1°.quod ſpectat ad proportionem ictuum ratione puncti contactus,
de qua idem dicendum eſt, quod ſuprà dictum eſt Th. 15. num. 25.
2°.quod ſpectat ad lineam motus, per quam pila impacta impellit aliam,
de qua lib.1. Th.50. 51. 52.& alibi paſſim. 3°. quod ſpectat ad reflexio­
nem, de qua fusè lib.6. à Th.62. ad 75.
Theorema 17.
Explicari poſſunt omnia phœnomena emiſſionum, quæ fiunt cum percuſſione.
Primò, ſit percuſſio minoris Tudiculæ v.g. eo maior eſt, quò Tudi­
cula maior eſt; rationem iam attulimus ſuprà num.5.Th.16.
Secundò, quo Tudicula longior eſt, maior ictus, & emiſſio; quia
ſcilicet diutiùs potentia manet applicata, quia brachium longiùs extens
poteſt, vt diximus numero 4. Th.16.
Tertiò, quod ſpectat ad ſecundum ictum, idem prorſus dicendum eſt
quod dictum eſt Theoremate ſuperiore num.9.
Quartò, quod ſpectat ad Tudiculam maiorem, iam ſuprà explicuimus
cuncta illius phœnomena, cum de malleo: certum eſt enim primò ma­
iorem à maiore ictum infligi, cæteris partibus, quàm à minore propter
prædictum rationem. Secundò, certum eſt longitudinem manubrij fle­
xibilitatem, inæqualitatem, materiem, duritiem mallei, æqualitatem baſis
&c. multùm conferre ad maiorem cùm ictus. Tertiò certum eſt mino­
rem globum, in quem impingitur Tudicula, citiùs moueri, inaiorem tar­
diùs, cæteris paribus. Quartò, globus maior in alium impactus Tudiculâ
maiorem ictum infligit, vt conſtat experientiâ; ratî; eſt, quia tardiùs
mouetur; igitur diutiùs applicatur: Equidem globus proiectus in alium
fortiorem ictum infligit ex duplici capite, vt dicam infrà. 1°. Quia ma­
iorem impetum à potentia diutiùs applicata.2°.Quia diutiùs applicatur
globo in quem impingitur; at verò quando impingitur Tudiculâ maiore,
ex duplici quoque capite creſcit ictus.1°.quia globus globo diutiùs ma­
net applicatus, cùm tardior motus dicat plùs temporis. 2°. quia malleus
tardiorem motum imprimis globo; igitur diutiùs manet applicatus: eſt
enim hæc abta lex agentium, vt longiore tempore maior effectus produ­
catur, minor verò minore, reliqua ex dictis facilè intelligentur.
Theorema 18.
Explicari poſſunt omnia phœnomena emiſſionum, quæ fiunt per iactum.
Primò, Iactus duobus modis fieri poteſt: primò brachio: ſecundò,
aliquo organo; eſt autem multiplex organi genus, de quo infrà; omitto
1enim iactum illum, qui fit pede miniſtro, cuius eadem eſt ratio, quæ
brachij.
Secundò, iactu lapidis maioris, maior ictus infligitur; ratio eſt, quia
diutiùs manet lapis applicatus potentiæ, ipſique adeo corpori, in quod
impingitur; vtrumque certè, quia tardiùs mouetur, ergo tardiùs ſepara­
tur à manu; ergo etiam inſtans contactus maius eſt.
Tertiò, hinc proportio ictuum ſatis facilè ex dictis ſuprà determinari
poteſt; ſi enim habeatur tantùm ratio impetus maioris, qui imprimitur
ſaxo ab ipſa potentia, ictus ſunt in ratione ſubduplicata ponderum, id
eſt, vt tempora, quibus ſaxum adhæret manui; ſi verò habeatur ratio
contactus, ictus ſunt vt motus permutando, ſuppoſito æquali impetu;
igitur, ſi habeatur ratio vtriuſque, ictus ſunt in ratione compoſita ex ra­
tione ſubduplicata ponderum, & ratione permutata motuum v. g. ſint
ſaxa AB ſit A 4.librarum, B vnius; ratio ſubduplicata eſt 2/1 motus A eſt
vt velocitas; igitur eſt ad motum B, vt 1/2. permutetur, erit 2/1 componatur
vtraque ratio, eritque ratio 4/1; igitur ictus lapidis ſunt vt pondera; quæ
omnia conſtant ex dictis ſuprà.
Quartò, leuiſſimi lapides vix iaciuntur ad modicam diſtantiam v. g.
granula ſabuli; ratio eſt, 1°. quia accipiunt minùs impetus, quia citiùs
ſeparantur à iaciente manu, vt patet. 2°. quia mouetur initio velociùs in
aëre; igitur ſingulis inſtantibus plùs impetus deſtruitur, vt conſtat; nam
in maiori ſpatio aëris eſt maior reſiſtentia. 3°.quia cùm aër perpetuo
motu agitetur, vt certum eſt, in leuiori corpore impetum imprimit; igi­
tur aliam ſiſtit vel deflectit. 4°.quia manu non poteſt rectè prehendi ia­
ciendus lapillus &c.
Quintò, grauior lapis ad modicam tantùm diſtantiam iacitur; ratio
eſt 1°.quia producitur remiſſior impetus, cùm ſcilicet pluribus partibus
ſubiecti diſtribuatur. 2°.quia impetus grauitationis citiùs deſtruit impe­
tum extrinſecus aduenientem.
Sextò, figura corporis iacti multùm confert ad iactum, quia ratione
figuræ poteſt aër plùs, vel minùs reſiſtere: hinc figura circularis depreſ­
ſior aptiſſima eſt ad iactum; quia minor eſt aëris reſiſtentia, qualis eſt
figura lenticularis: hinc ſcabri corporis, qualis eſt tophus, iactus eſt
difficilior; quia ſcilicet aër ſalebris illis, vel aſperitatibus interceptus
magis reſiſtit: hinc ſibilus propter colliſionem aëris &c.
Septimò, iacitur lapis multis modis 1°. rotato infrà brachio extento:
ſic vulgò iaciuntur grauiora ſaxa; ad iactum autem conferunt vires po­
tentiæ, brachium longiùs, longior arcus, Tangens, per quam emittitur di­
miſſum ſaxum, quæ debet facere cum horizontali angulum grad.45. ma­
nus ſimul explicata; ſi enim vna pars ante aliam dimittatur, retinetur
iactus, vt vulgò dicitur, figura, & moles lapidis; ſi enim maior eſt, non
procul emittitur præuia brachij gyratio, quia impetus augetur: denique
impreſſus toti corpori impetus, quæ omnia mirificè maiorem iactum ef­
ficiunt, vt conſtat ex dictis ſuprà. 2°.iacitur lapis rotato quidem deorſum
brachio, ſed non ſiue aliqua eiuſdem brachij contractione, & aliquot
1gyris: ſic vulgò iaciuntur ſaxa minora, tuncque præſertim contentis ner­
uis toti corpori impetus accedit, qui deinde ad augendam iactum in
ipſum brachium quaſi refunditur.3°. iacitur lapis negligenti quaſi niſu,
ſeu reiectione circumacta manu horizonti parallela, & contracto tan­
tillùm brachio. 4°. additur aliquando deflexio vel declinatio iactui
præſertim in ludo trunculorum, præſertim cùm trunculorum lineæ ad­
uerſæ omninò & directæ iacienti reſpondens. 5°.denique, iacitur ſaxum
rotato ſupra brachio implicatis gyris, qui reuerâ iactus augetur ex iiſ­
dem omninò capitibus; de quibus iam ſuprà, quorum omnium cauſæ &
rationes parent manifeſtæ ex dictis.
Octauò, corporis iacti impetus deſtruitur ſenſim, tùm ab impetu nati­
uo ab occurſu aliorum corporum; hinc in plano aſperiore citiùs rota­
tus globus ſiſtit; quæ certè omnia ſunt facilia.
Nonò, eiaculatio eſt iactus ſeu vibratio alicuius miſſilis oblongi, qua­
le eſt iaculum vel telum, pro qua non eſt difficultas; fit enim porrecto
antè per ſuperiorem arcum brachio; infligetur autem maior ictus, cum
1°. iaculum eſt maius, propter eandem rationem quam ſuprà attulimus
pro ſariſſa.2°.cum directus eſt ictus; poteſt autem eſſe obliquus, vel quia
in planum cadit obliquè, licèt non declinet telum à ſua linea, vel quia à
ſua linea declinat, quæ cadit alioquin perpendiculariter in planum, vel
denique ex vtroque capite: omitto alia capita, quæ maiorem vim ictui
conciliant, de quibus ſuprà num.7. 3°. multùm facit ad maiorem ictum
concitatus in eam partem equus, in quam vibratur telum; hinc equites
antiquioris militiæ telis & iaculis pugnabant.
Decimò, iactus fieri poteſt multiplici organo ejaculatorio, 1°. ſypho­
ne, 2°.fiſtula tormentaris, 3°.arcu, 4°.funda, 5°. reticulo pilari vel cla­
uula denique infinita eſt ferè organorum huiuſmodi ſuppellex; omitto
motus omnes rei tormentariæ, balliſticæ, hydraulicæ, & pneumaticæ, de
quibus fusè Tomo ſequenti; quod ſpectat ad ſyphonem, quo aquam vel
globulos ejaculari ſolemus, non eſt dubium quin illa ejaculatio ſit effe­
ctus compreſſionis, de qua etiam, Tomo ſequenti; igitur ſuperſunt tan­
tùm duo prædictorum organorum genera, ſcilicet funda & pilaris cla­
uula.
Vndecimò, funda vulgare eſt organum iactus, cuius phœnomena fa­
cilè explicari poſſunt.1°. rotatur vt maiorem impetum acquirat ad mo­
tus reticulo lapis, 2°.quò longior eſt funda, longiùs lapis abigitur, quia
diutiùs manet applicatus, cùm maiorem arcum decurrat, 3°.lapis in reti­
culo fundæ retinetur; quia cùm per Tangentem lineam ſingulis inſtanti­
bus determinetur, vt conſtat ex dictis ſuprà, impeditur & retinetur à re­
ticulo, per quod Tangens illa duci tantùm poteſt, eſt eadem ratio, quæ
orbis rotati, de quo Th.3.num.10. 4°. hinc demiſſo altero fundæ funi­
culo lapis iacitur, quia nihil eſt à quo retineri ampliùs queat. 5°. quò
maior eſt lapis cæteris paribus, tardiùs rotatur funda, at maior impetus
lapidi imprimitur; quia diutiùs manet applicatus. 6°. tenditur conti­
nuò rota, quantumuis rotetur; quia ſcilicet non quidem à pondere
1lapidis, ſed ab eius impetu ad Tangentem determinato eò trahitur.
Septimò, quod autem ad Tangentem continuò determinetur linea mo­
tus, patet ex dictis, cum de motu circulari. Octauò, longiſſimus erit ia­
ctus, ſi Tangens, ad quam motus lapidis determinatur, eo inſtanti, quo
demittitur faciat angulum 45. grad. cum horizontali. Nonò, vt rectè
collimetur, ſeu dirigatur lapis ad propoſitum ſcopum, egregium artifi­
cium eſſe poteſt; quod totum in eo poſitum eſt, vt inueniatur illa Tan­
gens, quæ ducitur ad ſcopum. Decimò, ad fundam reuocari poteſt, li­
nea illa fiſſi baculi furca, cui ſi lapis inſeratur, facilè deinde emittitur;
ſit enim linea furca AB; ſit lapis inſertus B, ſi rotetur maximo niſu furca
AB circa centrum A, vel circa centrum humeri; haud dubiè lapis B
cum aliquo impetu diſcedet: ratio eſt, quia cùm ſtatim retineatur furca
impreſſa priùs maxima impetus vi, tùm lapidi tùm furcæ, ſuperat vis
illa impetus, quæ lapidi ineſt, modicam illam ſtrictionem fiſſæ rimæ,
nec eſt alia difficultas.
Vndecimò, ad fundam reuocabis vibrationes arietis, Tudiculæ, æris
campani, & omnium funependulorum, quas ſuis vibrationibus aliquod
corpus eiaculantur, vel ictum infligunt.
Duodecimò, claua pilaris, ſeu reticulum notum eſt omnibus or­
ganum, cuius phœnomena clariſſima ſunt. Primò, reticulo longiùs
emittitur pila, quàm clauiculâ, propter tenſionem & reditum chordarum.
Secundò, quò longiùs eſt clauulæ manubrium, longiùs abigitur pila.
Tertiò, vt ſuſtineatur ictus breui manubrio, reticulo opus eſt. Quartò,
auerſa manu impacto reticulo, pila longiùs emittitur. Quintò, quò ſunt
tenſiores chordæ reticuli, maior eſt ictus. Sextò, hinc recens reticulum
veteri, & iam attrito præferri debet; hinc ille chordarum ſonus. Septimò
poteſt aſſignari clauulæ locus, in quo ſi fiat percuſſio, fit maximus ictus,
ſit enim clauula AE, cuius centrum grauitatis ſit C; haud dubiè, ſi mo­
ueatur motu recto, maximum ictum infliget in C; ſi verò motu circu­
lari circa E eſt aliud centrum percuſſionis, de quo infrà; ſi tamen reticu­
lum propter tenſionem chordarum, quæ maximum addit momentum in
centro reticuli, erit ferè maximus ictus in linea AD, ſiue ſit reticulum,
ſiue ſit clauula, debet fieri contactus; alioqui ſi in F, v.g. fieret declina­
ret planum clauulæ, vt patet. Nonò, craſſitudo clauulæ multùm facit ad
augendam vim ictus; eſt enim eadem prorſus ratio, quæ mallei. Decimò,
firmitas, & quaſi tenſio carpi multùm facit ad ictum; præſertim cùm pila
retorquetur; quia ſcilicet ratione vectis ferè circa extremitatem manu­
brij pellitur clauula ab immiſſa pilâ. Vndecimò, vt ſit maior ictus, ali­
quo tempore reticulum comitatur pilam, adhæretque à tergo: ratio eſt,
quia potentia manet diutiùs applicata: vide alia, quæ pertinent ad de­
flexionem pilæ, & reflexionem lib.6. de motu reflexo à Th.75. ad 81.
Theorema 19.
Aliæ ſunt plurimæ motionum ſpecies, quas in hoc Theoremate exponi­
mus.
1
Primò, occurrit preſſio, & dilatatio: premitur corpus ab impetu
impreſſo à circumferentia ad centrum; ſic premitur aër, & aqua intra
vas; dilatatur verò per impetum à centro ad circumferentiam; ſed mira­
biles ſunt preſſionis & dilatationis effectus, qui propterea librum ſingu­
larem deſiderant.
Secundò, intruſio, & extruſio: illa eſt impulſio introrſum; hæc verò
extrorſum: vtraque fit vt plurimùm cum preſſione; ſic defigîtur clauus;
vi mallei; ſic excluditur alius: ad intruſionem & extruſionem reuocari
poteſt ductus auri, vel argenti, vel alterius ductilis materiæ; ſed hunc
rei ductilis ſtatum Tomo quinto explicabimus cum alijs corporeum ſta­
tibus.
Tertiò, diſpoſitio fit per eiaculationem, vel minimarum partium, quæ
ſimul omnes vno iactu demittuntur manu; ſit plura grana tritici vel
arenæ iaciuntur, vel alicuius corporis, cuius partes ſeparantur in ipſo
iactu; cur verò vna per hanc lineam, alia per aliam feratur, determi­
natur vel à concurſu cum alia parte, vel à ſitu, quem ſingulæ in iacien­
tis manu habebant priùs, vel ab ordine, quo ſingulæ proceſſerunt.
Quartò, adductio ad tractionem reuocari poteſt; ſunt tamen plures
illius modi; vel enim per meram tractionem; ſic adducitur clauus, vel
truncus, vel per circuitionem ſimplicem, ſic adducitur rotati baculi ex­
tremitas; vel per circuitionem mixtam: ſic adducitur extremitas funis
flagelli; vel cum aliquo iactu; ſic adducitur pulmentum vt in vaſe
optimè commiſceatur v.g. ſic coqui adducunt frixum & inuertunt, por­
recto tantillùm, tùm deinde rotato ſartaginis manubrio: ſi enim eſſet
vera rotatio, frixum per Tangentem erit; at verò propter motum rectum
poſt inuerſionem ab ipſa ſartagine minimè recedit.
Quintò, ventilatio eſt motio, quâ frumentum excernitur vanno; van­
nus circuli eſt vulgare ſatis frumentarium organum duabus anſis inſtru­
ctum, quibus vibratur tùm in aduerſam partem, vt ipſo ſuccuſſu paleæ,
ariſtæ, & aliæ feſtucæ auolent; tùm dextrorſum ſiniſtrorſumque libratur
vt leuior materia extet; triticum enim grauius eſt; igitur deorſum ten­
dit; palea verò ſurſum; ideo verò attollitur, ſubſultatque triticum in van­
no, quia poſt impreſſum impetum per vibrationem ſurſum, manus ipſa
deorſum cum aliquo impetu truditur, in quo non eſt difficultas, alio
verò motu quaſi recto repit frumentum in vanni aluo, quia per addu­
ctionem vanni impulſæ priùs ſiniſtrorſum frumentum in eam partem
adhuc propter priorem impetum fertur; ſic cum nauis illicò ſiſtit in
potu, qui ſunt in ea & portum aſpiciunt, proni cadunt, de quo iam
ſuprà.
Sextò, remigatio fit pellendo, trahendoque, de qua iam ſuprà Th. 6.
16.longior & latior remus maiorem vim aquæ impellit; difficiliùs taman
mouetur, quò maior eſt illius portio à centro motus verſus manum re­
migantis, faciliùs mouetur propter rationem vectis; faciliùs mouetur, ſi
aduerſo flumine feratur nauis: ratio eſt, quia aqua pulſa verſus eam
partem, in quam fluit minùs reſiſtit, quando eundem remum tractant,
1ille plus confert, qui ad extremitatem propiùs accedit; ratio clara eſt:
ſed de re nautica aliàs; vide interim locum citatum.
Septimò, tritus fit, cum ab impacto aliquo duriore corpore malleo,
v.g. vel pilo aliud teritur, quod ſcilicet impetus partibus illis impreſſis
ſuperet vim implicationis, vel vnionis partium; eſt etiam eadem ratio
fracturæ eadem tenſionis, vel inflexionis; per quid verò corpus ipſum
ſit vel friabile, vel fragile, vel flexibile, fusè explicamus Tomo
quinto.
Octauò, ſuccuſſus eſt impetus impreſſus repetito frequenti niſu; ſic
vulgò ſuccutiuntur arbores, vt fructus maturi cadant; excuti verò ali­
quid dicitur, cum impetus vi ab alio ſeparatur; ſic excuti dicuntur den­
tes; ſic excutitur malleo marmoris fragmentum, &c. in quo non eſt
difficultas; nam quoties maior eſt vis impetus, quàm implicationis par­
tium, vel vnionis, tunc aliqua pars auolat ab ictu: denique caſus alicuius
corporis facilè intelligi poteſt; periculoſior eſt altioris hominis, quàm
puſilli: hinc animalcula cadentia vix quidquam detrimenti à
caſu accipiunt: præterea ictus grauior eſt, ſi quis cadat in eam partem,
verſus quam ſummo niſu fertur; quia impetus grauitatis augetur ab alio
impreſſo: deinde pars illa corporis, quæ caſu altitudine multùm auget
vel imminuit grauitatem ictus, vt certum eſt; immò corpus illud, cui
alliditur: hinc caput in marmor impactum grauiſſimum ictum refert:
hinc tybiæ, vel brachij os ita impingitur caſu, vt frangatur, vel propter
rationem vectis, vel propter inæqualitatem corporis, in quod impingi­
tur; hinc franguntur oſſa facilè modico ictu, ſi vtrimque ſuſtineantur;
in medio vero abſit fulcrum: ſed hæc pertinent ad reſiſtentiam corporum,
de qua Tomo ſequenti,
Nonò, exploſio fit, cum aliquid emittitur, vel cum aliquo ſtrepitu,
vt glans è fiſtula, vel per continuam preſſionem digitorum; ſic nucleus
ceraſi vulgo exploditur à pueris: Ratio eſt, quia propter vliginem nu­
clei recenter extracti digiti in eius ſuperficie conuexa facilè repunt; hinc
aucto ſemper impetu, & nouo etiam addito ex porrecto brachio pro­
cul exploditur: ſic omnia lubrica è manibus facilè elabuntur, vt ſæpè
piſces, &c.
Decimò, reſiſtentia corporum procedit tum ex impenetrabilitate
tùm ex duritie, tùm ex denſitate; nos verò hos ſtatus alio Tomo expli­
cabimus; eſt autem duplex reſiſtentia; prima eſt formalis, quæ in eo
poſita eſt, quod non corpus impediat motum alterius, non per aliquid
contrarium, quod in eo producat, ſed vel per ſuam impenetrabilitatem,
vel per ſuam duritiem, vel per ſuam molem; nam inde oritur noua de­
terminatio, vt alibi explicuimus, vel denique per ſuam grauitationem,
&c, ſecunda eſt actiua, vt cum imum corpus imprimit alteri impetum;
ſed hæc facilè ex dictis intelligi poſſunt.
Vndecimò, omitto varias motiones corporis humani. Primò, motum
progreſſiuum ſiue fiat curſu, ſiue lentiore gradu: quippè tùm coxæ
mouentur motu mixto ex duobus circularibus. & crura ex tribus. Se-
1cundò, ſaltum. Tertiò, luctum. Quartò, chorum, ſeu numeroſam ſalta­
tionem. Quintò denique aliorum animalium motus, qui reuerâ huius
loci eſſe non poſſunt; nam perfectam muſculorum, atque adeo totius
fabricæ corporis humani cognitionem ſupponunt, quam trademus ſuo
loco, cum de homine, addemuſque alios motus v.g. reſpirationis, ſter­
nutationis, tuſſis, ſingultus, oſcitationis, riſus, fletus, fiſtoles, & diaſto­
les, &c. quorum omnium veriſſimas cauſas afferemus; omitto etiam
cauſas phyſicas motuum cœleſtium, quas certè, niſi me veritas fallit,
Tomo ſequenti demonſtrabimus per ſimpliciſſima principia, cum aliquo
ſaltem rei aſtronomicæ incremento: denique omitto alios motus, qui
certæ materiæ affiguntur v.g.æſtus maris, libræ motus, fluuiorum fluxus,
ventorum vis, fluminis ira, magnetis virtus, & electri, &c. de quibus
ſuo loco: quippe hoc loco conſideramus tantùm motiones, quatenus
certæ materiæ copulantur.
Theorema 20.
Explicari poſſunt ſingulares aquarum motus, quod tantum hîc breuiter
præſtabimus: itaque primò, aqua fluit cum plano decliui, quod liquo­
ris proprium eſt; ideo verò fluit, quia cum vna pars alteri extare non
poſſit; nec enim leuior eſt, deorſum fluit, de quo aliàs fusè.
Secundò, ſtillatim cadit, quia ſcilicet colligitur in ſphærulas, quæ
tandem proprio pondere deorſum eunt; cur verò in ſphærulas torne­
tur, veriſſimam rationem dabimus ſuo loco.
Tertiò, ſtillicidium facilè reſiſtit, quia ſcilicet aquæ partes, quæ tan­
tùm modico glutine continentur, diuelluntur facilè, & repercuſſu illo,
præſertim ſi à corpore duriore fiat, in omnem partem eunt.
Quartò, aſperſio aquæ valdè familiaris eſt, quod ſcilicet vi iàctus mi­
nutim emittatur aqua, in quo non eſt vlla difficultas; nam aqua facilè
diuiditur.
Quintò, aqua diluit facilè tùm alios liquores; quia facilè miſcetur
tùm corpora ſpongioſa, quorum poros, & cauitates facilè ſubit.
Sextò, abluit corpora, quibus ſcilicet facilè adhæret, & denique cum
ſordibus exprimitur.
Septimò, aqua fluit, quæ ſcilicet in minutiſſimas particulas diſtincta
ſenſim liqueſcente vapore in terram cadit.
Octauò, infunditur ex vno ſcilicet vaſe in aliud; affunditur, ſubiectis
ſcilicet manibus; effunditur, ſcilicet ex ſuo vaſe.
Nonò, exundat ſæpiùs v. g. fluuius alueo; ſic palus etiam & mare
reſtagnant propter nimiam aquarum copiam: hinc ſæpè terram in­
undat.
Decimò, libratur ſæpiùs in ſuo vaſe v.g. in latiore cratere; nam facilè
aſcendit per planum modicè inclinatum, reditque per diuerſas vices; fa­
ciliùs tamen in latiori, quàm in anguſtiore calice.
Vndecimò, fluctuat, cum ſcilicet eius ſuperficies agitatur ventorum
vi; eſt enim aqua corpus facilè mobile.
1
Duodecimò, criſpatur, cum ſcilicet vel leuior eſt afflatus, vel tremu­
lo ſuccutitur motu vas illud, in quo continetur.
Decimotertiò, in circulos agitur, cum aliquod corpus immergitur
quia tantundem aquæ attollitur ſenſim; quod quia extare non poteſt, in
orbem ſuperficiei reliquæ coextenditur: hinc continuò illius circuli,
tantillùm extantis decreſcit tumor.
Decimoquartò, facilè miſcetur cum aqua; quia facilè partes aquæ mi­
nimo ſcilicet impetu diuiduntur.
Decimoquintò, feruet aqua calore; quia ſcilicet partes calidiores
in vaporem conuerſæ retentæ in bullis ſurſum eas attollunt in ſpu­
mam.
Decimoſextò, ſaltitat aqua, cum ſcilicet aluei fundum eſt paulò aſpe­
rius: ratio clariſſima eſt, quia à ſaxis occurrentibus repercutitur.
Decimoſeptimò, agit verticem ſæpius, cum ſcilicet tractu reſpondet
profundiori, vel cum repellitur à littore, remo, &c.
Decimooctauò, agitatur facilè ſeu baculo, ſeu libratione vaſis: ſed
hæc tantùm breuiter indicaſſe ſufficiat, quæ alibi ſuis locis fusè omninò
explicabimus: atque hæc de diuerſis motionibus ſint ſatis.
32[Figure 32]
1 33[Figure 33]
APPENDIX PRIMA
PHYSICOMATHEMATICA,
De centro percuſsionis.
DE duplici centro hactenus actum eſt,
magnitudinis, ſcilicet, & grauitatis;
præſertim de hoc vltimo: in quo certè
opere non ſine maxima laude præ­
ſtantiſſimi Mathematici deſudarunt,
ſcilicet Archimedes, Commandinus, Lucas Vale­
rius, Steuinus, Guldinus, Galileus paucis: ſed du­
plex aliud centrum conſiderari poteſt; primum di­
citur centrum impreſſionis: vtrumque prorſus inta­
ctum aliis doctâ paucarum licèt propoſitionum co­
ronâ, vel peripheria in hac appendice corona­
mus.
DEFINITIO I.
CEntrum grauitatis eſt punctum, quod omnia grauitatis momenta æqua­
liter dirimit.
Clara eſt definitio; centrum enim grauitatis eſt illud punctum, ex
quo pendulum corpus per quamlibet lineam ſeruat æquilibrium.
Definitio 2.
Centrum impreſſionis eſt illud, per quod, ſi ducatur planum vtrimque, di­
rimit æqualem impetum.
Hæc etiam clara eſt; conſideratur autem impetus non modò ratione
1intenſionis verùm etiam extenſionis; debet etiam accipi punctum illud
in linea motus.
Definitio 3.
Centrum percuſſionis eſt punctum illud corporis impacti in quo ſi contactus
fiat, maximus ictus infligitur.
Definitio 4.
Linea directionis eſt linea motus centri grauitatis.
Poſitiones 1.
Centrum grauitatis dirigit linea motus aliorum punctorum.
Poſitiones 2.
Si percuſſio ita fiat, vt totus impetus corporis impacti impediatur maxi­
ma eſt.
Poſitiones 3.
Momenta ſunt, vt diſtantiæ.
Poſitiones 4.
Omnes partes corporis, quod mouetur motu recto, mouentur æqua­
liter.
Poſitiones 5.
Corpus graue ſuſtinetur in æquilibrio, cum ſuſtinetur in linea dire­
ctionis.
Poſitiones 6.
Centrum percuſſionis eſt in illa linea, quæ dirimit vtrimque momenta, tùm
ratione impetus, tùm ratione diſtantiæ.
Poſitiones 7.
Si pondera inæqualia ſunt in æquilibrio, diſtantiæ ſunt, vt pondera per­
mutando; vel collectio diſtantiarum eſt ad maiorem, vt collectio ponderum ad
alterum pondus, quod maius est, &c.
Poſitiones 8.
Maximus ictus infligitur in linea directionis, per ſe, vt conſtat ex
poſ.5.6.2.
Theorema 1.
Centrum percuſſionis lineæ mobilis motu recto eſt idem cum centro graui­
tatis eiuſdem.
Sit enim linea AC, horizonti parallela, v.g. quæ cadat perpendi­
culariter; ſit eius centrum grauitatis B, quod ſcilicet vtrimque æqua­
liter diſtat ab AC; centrum percuſſionis eſt in B. Probatur; quia cùm
in B impediatur totus impetus; quippe neutrum ſegmentum præualere
poteſt; eſt enim vtrimque æqualis impetus, per poſit. 3. 4. certè maxi­
ma percuſſio eſt in B, per poſit.2. igitur eſt centrum percuſſionis per
1def.5. igitur centrum percuſſionis eſt idem cum centro grauitatis, quod
erat dem.
Corollarium 1.
Hinc quatuor centra concurrunt in idem punctum, ſcilicet magni­
tudinis, grauitatis, impreſſionis, & percuſſionis.
Corollarium 2.
Idem prorſus dicendum eſt de Rectangulo, Parallelogrammate, Cir­
culo, Ellipſi, Cylindro, Priſmate, Parallelipedo, Sphæra, &c. in quibus
poſito motu recto, hæc quatuor centra in eodem plano, immò & linea
reperiuntur.
Theorema 2.
Si planum triangulare cadat motu recto deorſum, v.g. horizonti paralle­
lum, centrum percuſſionis eſt idem cum centro grauitatis eiuſdem.
Sit enim triangulare planum FBH, cuius centrum grauitatis ſit I:
dico eſſe centrum percuſſionis; quia, cùm ſit æqualis motus, & impetus
omnium partium plani, ſi ſuſtineatur in I, ſtat in æquilibrio, per def.1.
igitur totus impetus impeditur; igitur eſt maxima percuſſio, per
Poſ. 2.
Scholium.
Obſeruabis punctum I poſſe haberi duobus modis; Primò, ſi ducatur
FC diuidens æqualiter HB; diuidit etiam æqualiter GA, & omnes alias
parallelas HB; igitur in FC eſt centrum grauitatis: ſimiliter ducatur
HD diuidens æqualiter FB, centrum grauitatis erit etiam in HD; igi­
tur in communi puncto I. Secundò, ita diuidatur FH in G, vt FG ſit
dupla GH, ducaturque GA: ſimiliter ducatur KE diuidens HB eodem
modo, punctum communis ſectionis I eſt centrum grauitatis; quippe
duo triangula DIC, FIH ſunt proportionalia; igitur vt DC ad FH,
ita DI ad IH, ſed DC eſt ſubdupla FH; igitur DI ſubdupla IH: ſimi­
liter IC ſubdupla IF; igitur GH ſubdupla GF; igitur inuentum eſt
centrum grauitatis, quod erat faciendum.
Theorema 3.
Si planum triangulare cadat parallelum lineæ verticali, v. g. in ſitu FH
B, ita vt FH ſit parallela horizonti, centrum percuſſionis eſt in G; cùm
enim GA ducatur per centrum grauitatis I, ſitque parallela HB, eſt
linea directionis, per def.4. igitur ſi ſuſtineatur in G, ſtabit in æquili­
brio, per p.5. igitur totus impetus impeditur, vt patet; igitur eſt maxi­
ma percuſſio per p. 2. igitur centrum percuſſionis eſt G, quod erat de­
monſt.
Corollarium 1.
Hinc corpus ſolidum ex multis huiuſmodi triangulis æqualibus quaſi
conflatum, idem prorſus percuſſionis centrum habet; ſiue cadat lineæ
verticali parallelum, ſiue ipſi verticali.
1
Corollarium 2.
Hinc etiam ad Mechanicam reduci poteſt inuentio praxis prædictæ;
ſit enim triangulum AGD; diuidatur AD in tres partes in BC; du­
cantur BI, CH, parallelæ DG, itemque IE, HF parallelæ AD; ſuſti­
neaturque prædictum planum erectum in C, ſtabit in æquilibrio; cùm
enim momenta ponderum æqualium ſint vt diſtantiæ, rectangulo CE
reſpondet æquale, & æquediſtans CI, itemque trianguli EHK, æquale
& æquediſtans IKD, triangulo demum GHE, triangulum ſubduplum
AIB, cuius momentum adæquat momentum alterius dupli GHB; quia
diſtantia eſt dupla.
Theorema 4.
Si Pyramis, cuius axis ſit parallela horizonti, cadat deorſum; centrum
percuſſionis eſt in linea derectionis, quæ ſcilicet ducetur deorſum à centro gra­
tatis, quod eodem modo demonſtratur, quo ſuprà; eſt autem centrum
grauitatis illud punctum, quod ita axem diuidit, vt ſegmentum verſus
baſim ſit ſubtriplum alterius verſus verticem, quod multi hactenus de­
monſtrarunt, ſcilicet Commandinus, Valerius, Steuinus, Galileus; ſit
enim conus ENI, ſit axis AI diuiſus in 4. partes æquales BCD, pa­
rallelus horizonti, ſuſtineatur in M, ſtabit in æquilibrio.
Theorema 5.
Si quodlibet aliud planum, vel corpus, deorſum cadat, motu recto, cen­
trum percuſſionis eſt in linea directionis; quod eodem modo probatur, quo
ſuprà: quodnam verò ſit centrum grauitatis omnium corporum, plano­
rum, figurarum, hîc non diſputamus; conſulantur authores citati, quibus
addatur La Faille, qui egregiè centrum grauitatis partium circuli, &
Eclipſis demonſtrauit.
Theorema 6.
Si linea circa centrum immobile mobilis, voluatur, centrum percuſſionis
non eſt centrum grauitatis; ſit enim linea AD, quæ voluatur circa cen­
trum A; diuidatur bifariam in G, punctum G eſt centrum grauitatis: vt
conſtat; non tamen eſt centrum percuſſionis, quia in ſegmento GD eſt
quidem æquale momentum ratione diſtantiæ, ſed maius ratione impe­
tus; quippe GD mouetur velociùs, quàm GA vt certum eſt.
Theorema 7.
In hac eadem hypotheſi centrum percuſſionis non eſt idem cum centro im­
preſſionis; diuidatur enim AD in M, ita vt AM, ſit media propor­
tionalis inter AG, & AD; certè M eſt centrum impreſſionis, vt de­
monſtratum eſt lib. 1.non tamen eſt centrum percuſſionis; quia ſeg­
mentum MA habet quidem æqualem impetum cum ſegmento MD; ha­
bet tamen maius momentum, quia maiorem habet diſtantiam; igitur
non erit æquilibrium in M.
1
Theorema 8.
Si diuidatur AD in tres partes æquales, ſit que ID 1/3 centrum percuſſio­
nis erit in I; demonſtratur, quia impetus puncti G eſt ad impetum pun­
cti D; vt arcus EG, ad arcum BD; ſit autem DC æqualis DB; ducatur
AC, triangulum ACD erit æquale ſectori ADB, vt conſtat; impetus in
D erit, vt recta DC, & in I, vt recta IH, & in G, vt recta GF, &c. igi­
tur perinde ſe habet impetus, qui ineſt puncto D, atque ſi incubaret ipſi
D.DC, & I, IH, & G, GF, &c. atqui ſi hoc eſſet, centrum grauitatis
eſſet in I, vt patet ex dictis; ibique eſſet percuſſionis, per Th. 3. igitur
I eſt centrum percuſſionis.
Corollarium.
Colligo primò, ex dictis in hac hypotheſi tria centra ſeparari.
Secundò ſi nullum eſſet momentum ratione diſtantiæ, centrum per­
cuſſionis idem eſſet cum centro impreſſionis.
Tertiò, centrum percuſſionis lineæ circa alteram extremitatem mo­
bilis; idem eſſe cum centro percuſſionis trianguli, ſeu plani triangula­
ris; de quo ſuprà.
Theorema 9.
Si rotetur planum rectangulum circa alterum laterum centrum percuſſionis
eſt in linea, quæ diuidit rectangulum æqualiter, & cadit perpendiculariter
in axem, circa quem rotatur; v.g. ſit rectangulum CF, rotatum circa C
A; ſit BG, dirimens æqualiter CA & HF, centrum grauitatis eſt in
BG; quia eſt æquale momentum in BF & BH, tùm ratione impetus,
tùm ratione diſtantiæ, vt pater per p.6.
Theorema 10.
Si BG diuidatur in tres partes æquales B, D, I, G, rotetur que circa CA,
vt dictum eſt ſuprà, centrum percuſſionis eſt in I; quia ſi volueretur ſola
AF, eſſet in E, ſi ſola CH, eſſet in K, ſi ſola BG, eſſet in I, per Th. 8.
igitur centra percuſſionis omnium ſunt in linea EK; ſed lineæ EK, cuius
ſingula puncta mouentur æquali motu, centrum percuſſionis eſt in I, per
Th.1. igitur centrum percuſſionis totius CF acti circum CA, eſt in I,
quod erat demonſtr.
Corollarium.
Primò, ſi rotetur circa CH, eodem modo inuenietur centrum per­
cuſſionis, ſcilicet N ita vt NO ſit 1/3 MO.
Secundò, ſi rotetur circa OM rectangulum CF; diuidatur in tres
partes æquales, ſitque PG 1/3 NG, centrum percuſſionis eſt P; eſt enim
eadem ratio, quæ ſuprà; nec eſt minor ictus, quàm in I; rotato ſcilicet
rectangulo circa CA; quia eſt æqualis impetus.
Tertiò, ſi rotetur circa BR, in quam AH cadit perpendiculariter, eſt
alia ratio, de qua infrà.
1
Theorema 11.
Si triangulum BIG voluatur circa CA, in quam BH cadit perpendi­
culariter, ſitque BH axis per centrum grauitatis ductus, diuiſuſque in 4.
partes æquales B.F.E.D.H. centrum percuſſionis eſt in D; quod facilè de­
monſtratur; nam IG in iſto motu deſcribit ſuperficiem cylindri, &
triangulum GBI deſcribit, vt ſic loquar, ſectorem cylindri; igitur im­
petus in IG eſt ad impetum in NM, vt ſuperficies curua terminata in I
G, ad ſuperficiem terminatam in NM, ſub eodem ſcilicet angulo; vel vt
baſis pyramidis IG, ad baſim NM; igitur perinde ſe habet IG, ac ſi
incumberet prædicta baſis, itemque NM, &c. igitur ac ſi eſſet ſolida
pyramis quadrilatera; ſed pyramidis centrum grauitatis eſt D, per
Theorema 4.
Theorema 12.
Si idem triangulum GIB voluatur circa IG, centrum percuſſionis eſt in
E, quod diuidit HB bifariam æqualiter; quod vt demonſtretur, perinde
ſe habet triangulum BGI circumactum, atque ſi ſingulis partibus in­
cumberent perpendiculares, quæ eſſent vt earumdem partium motus;
ſit autem triangulum BAC æquale priori; baſis cunei ABHKDC;
ducatur planum DBA, quod dirimat cuneum in duo ſolida, ſcilicet in
pyramidem ABHKD, & ſolidum ABDC; pyramis continet 2/3 totius
cunei, vt conſtat; eſt enim prædictus cuneus ſubduplus priſmatis, cuius
baſis ſit HA, & altitudo ID; cuius pyramis prædicta continet 1/3; igitur
ſi priſma ſit vt 6. pyramis erit vt 2. & cuneus vt 3. igitur pyramis conti­
net 2/3 cunci; igitur alterum ſolidum ABDC eſt 1/3 cunei; cunei cen­
trum grauitatis idem eſt, quod trianguli HKD, per Corol. 1. Th.3.igi­
tur eſt in linea directionis MF.ita vt IM ſit 1/3 totius ID, per Th 3. py­
ramidis verò centrum grauitatis eſt in linea NG, ita vt IN ſit 1/4 totius
ID, per Th.4. igitur ſi eſt NM ad ML, vt ſolidum ABDC ad pyra­
midem AHD, id eſt vt 1.ad 2. certè NI, & NL erunt æquales; ſed IN
eſt 1/4 totius ID; igitur IL 1/2 ergo L dirimit æqualiter ID, quod erat
demonſtr. ſit ID 12.IN 3.IM 4. IL 6.
Theorema 13.
Si voluatur ſector circa axem parallelum ſubtenſæ, determinari poteſt cen­
trum percuſſionis, dato centro grauitatis ſectoris, quod tantum hactenus in­
uentum eſt ex ſuppoſita circuli quadratura: ſit enim ſector AKHM, ſub­
tenſa KM; diuidatur AI in tres partes æquales ADFI, item AH, in
tres æquales AEGH, centrum grauitatis ſectoris non eſt in F, quod eſt
centrum grauitatis trianguli AMK, ſed propiùs accedit ad H; nec
etiam eſt in G, quod eſt centrum grauitatis trianguli ALN, ſed propiùs
accedit ad A; ergo eſt inter FG, v.g. in R, ita vt AH ſit ad AR vt arcus
MHK ad 2/3 ſubtenſæ MK; id eſt ad MP; vt demonſtrat La Faille Prop.
34. poteſt etiam haberi centrum grauitatis ſegmenti circuli; ſit enim
ſegmentum FCHI cuius centrum ſit B; ſint BC. BI. BH. diuidens æ-
1qualiter CI; ſitque D centrum grauitatis trianguli BCI; ſit E centrum
grauitatis ſectoris BCHI, ſitque vt ſectio FCHI, ad triangulum BEI,
ita DE ad EG, vel vt ſectio ad ſectorem, ita DE ad DG; G eſt centrum
grauitatis ſectionis, per p.7.
His poſitis voluatur ſector AKHM, circa axem CB, perinde ſe ha­
bet circumactus, atque ſi ſingulis partibus incumberent rectæ, quæ eſſent
vt motus earumdem pretium, vt conſtat ex dictis; igitur ſit ſector AEF
D, æqualis priori, perinde ſe habet, atque ſolidum AEFDCB, quod
ſcilicet conſtat ex pyramide AEDCB, & ſegmento cylindri EFDCB;
pyramidis centrum grauitatis ſit I, ita vt IG ſit 1/4 GA, ſit M centrum
grauitatis ſegmenti ſolidi, ſeu potiùs ſit terminus perpendicularis deor­
ſum, quæ ducatur per centrum grauitatis eiuſdem ſolidi; diuidatur IM
in N, ita vt IN ſit ad NM, vt ſegmentum cylindri GEFDCB, ad
pyramidem AEDCB; certè N eſt centrum grauitatis ſolidi AEFDCHB,
per p.7. igitur N eſt centrum percuſſionis ſectoris circumacti.
Theorema 14.
Si ſector AKHM voluatur circa Tangentem NHL, determinari
poteſt centrum percuſſionis eodem modo; nam aſſumi poteſt cuneus, vt ſuprà,
cuius baſis ſit ſegmentum cylindri; tùm pyramis cum eadem baſi; tùm in­
ueniri centrum grauitatis vtriuſque; tùm detracta pyramide ex cuneo,
haberi reſiduum ſolidum, cuius centrum grauitatis inuenietur, iuxta prę­
dictam praxim; quippe hoc erit centrum percuſſionis quæſitum.
Theorema 15.
Si voluatur triangulum FBH circa FM, in quam cadit HF perpen­
diculariter: ſi aſſumatur NH 1/4 FI, ducaturque NP parallela HB, ſe­
cans FC in O, dico punctum O eſſe centrum percuſſionis; quod eodem modo
probatur quo ſuprà Th.11.
Theorema 16.
Si voluatur quodlibet triangulum circa angulum rectum, determinari pe­
test centrum percuſſionis; ſit enim triangulum ABC; ducatur quælibet
linea Tangens angulum, v.g. DBE, circa quam voluatur triangulum, du­
cantur AE, CD perpendiculares AD; aliæ duæ ipſis æquales AFCG,
perpendicularis in AC; tùm FG connectantur; eleueturque Trapezus
AG, donec AF, CG incubent perpendiculariter plano ABC; denique
à B ducantur rectæ ad omnia puncta Trapezi erecti, habebitur pyramis,
cuius centrum grauitatis, dabit centrum percuſſionis quæſitum, per Th.
11. quod vt fiat, inueniatur centrum grauitatis Trapezi AG, modo di­
cto, ducta ſcilicet FC, aſſumptoque I centro grauitatis trianguli FGC
& L centro grauitatis trianguli FAC; ſi enim ducatur LI, ſitque LI
ad LP, vt Trapezium AG, ad triangulum FGC; certè P eſt centrum
grauitatis Trapezij per p.7. tùm ex P erecto ducatur recta ad B, hæc erit
axis pyramidis; porrò ſi ducatur perpendicularis PO; tùm BO habebi-
1tur orthogonium POB; denique aſſumatur OR 1/4 totius OB, R erit
centrum percuſſionis trianguli ACB per Th. 11.
Corollarium.
Hinc colligo quid dicendum ſit de rectangulo ita rotato, vt diagona­
lis cadat perpendiculariter in axem, circa quem rotatur; ſit enim re­
ctangulum CF, cuius diagonalis AIA, axis circa quem voluitur BR, in­
ueniantur centra percuſſionis vtriuſque trianguli ſeorſim AFH, ACH,
rotati circa axem BR per Th. 16. connectantur rectâ, in hac erit cen­
trum percuſſionis totius rectanguli; cù diſtantiæ à centro communi
ſint vt pyramides permutando per p.7. vt conſtat ex dictis; ex quibus
etiam ſatis intelligetur quid de alijs planis, tùm regularibus, tùm irre­
gularibus dicendum ſit, cù ſcilicet poſſint in triangula diuidi.
Theorema 17.
Si voluatur triangulare planum parallelum circulo, in quo voluitur, deter­
minari poteſt eius centrum percuſſionis; ſit enim triangulum AFH, quod
ita voluatur, vt extremitas H deſcribat arcum HS, & F arcum FR; certè
F mouetur velociùs quàm H iuxta rationem AF ad AH; ſit ergo FM æ­
qualis FA, & HN æqualis HA; ducatur MN, erigatur Trapezus FN,
donec incubet plano AFH, & cenſeantur ductæ ab A rectæ ad puncta
MN erecta; habebitur pyramis; ſit autem centrum grauitatis L, Trapezij
FN, ſitque LG perpendicularis in FH, ducatur AG, aſſumaturque DG
1/4 AG; haud dubiè D eſt centrum grauitatis huius; ſit linea directionis
DC; quippe punctum D mouetur per Tangentem: quod etiam de alijs
punctis dictum eſto; eſt enim hæc ratio motus circularis; igitur maximus
ictus erit in C per p. 8. igitur C eſt centrum percuſſionis.
Corollarium 1.
Collige perinde ſe habere motum puncti F, atque ſi ipſi incumberet
linea FM, & puncto H, HN.
Corollarium 2.
Præterea centrum percuſſionis aliquando eſſe extra rectam AH, cum
ſcilicet angulus circa, quem voluitur eſt minùs acutus, ſit enim trian­
gulum AGL quod voluatur circa A, ſitque centrum grauitatis Trapezij
E, de quo ſuprà; ducantur EC, AC, ſit CB 1/4 AC, ducatur linea dire­
ctionis BI; vides I eſſe extra AL.
Corollarium 3.
Præterea oſtendi poſſe longè faciliùs totam rem iſtam; ſit enim tri­
angulum ABD; ducatur HBG æqualis BA, perpendicularis in BD;
diuidatur AD bifariam æqualiter in L; aſſumatur DE æqualis DL,
rùm ducantur HL, GE; inueniatur centrum grauitatis C, Trapezij H
LEG; ducatur AC, cuius KC ſit 1/4 ducatur KD perpendicularis in
AC, punctum D eſt centrum percuſſionis; quippe ſi vertatur Trapezus
HE, circa axem BD, donec AD cadat in illum perpendiculariter, ſit-
1que ſectio communis BD; certè habebitur baſis pyramidis, cuius axis
erit AC, quæ omnia conſtant.
Theorema 18.
Determinari poteſt centrum percuſſionis in latere orthogonij ſubtenſo angulo
recto; ſit enim AGB, latuſque ſubtenſum angulo recto AB, ſit Trape­
zus KD, eo modo quo diximus, cuius centrum grauitatis ſit H, ducatur
AH, aſſumatur IH 1/4: AH, ducatur IM perpendicularis in AH: dico
punctum M eſſe centrum percuſſionis, quod demonſtratur per Theo­
rema 17.
Theorema 19.
Si voluatur triangulum prædictum, circa angulum rectum, determinari
poteſt centrum percuſſionis; ſit enim triangulum ABH, quod voluatur
circa centrum B; motus puncti A eſt ad motum H, vt BA, ad BH; ſit ergo
Trapezus MG, cuius latus ML ſit æquale AB, & GI æquale BH; erit
pyramis, eo modo, quo diximus ſuprà; ſit autem D centrum grauitatis
baſis, ſeu Trapezij, & AD axis; ſit KD 1/4 BD; ſit denique KE perpen­
dicularis in DB: dico punctum E eſſe centrum percuſſionis, quod co­
dem modo demonſtratur, quo ſuprà.
Corollarium.
Hinc colligo primò, de omni triangulo idem prorſus dicendum eſſe,
eſt enim eadem ratio, vt conſideranti patebit.
Secundò, ſi voluatur circa punctum aliquod lateris, poſſe determinari
centrum percuſſionis; ſit enim triangulum ABC; aſſumatur punctum
M, circa quod voluatur mode prædicto, motus puncti C, eſt ad motum
puncti A, vt MC, vel DX, ad MA, vel PO; hinc Trapezus DPOX, id eſt
baſis pyramidis, cuius axis eſt MG, & centrum grauitatis K: ſimiliter
habetur Trapezus DRNX; id eſt baſis alterius pyramidis, cuius axis eſt
MV, & centrum grauitatis H; fiat autem vt vtraque pyramis ad eam, cuius
axis eſt MG, ita tota HK, ad HI; dico I eſſe centrum commune graui­
tatis; ducatur IL perpendicularis in IM; dico L eſſe centrum percuſ­
ſionis quæſitum.
Tertiò, ſi voluatur circa aliud punctum, res eodem modo ſuc­
cedet.
Quartò, ſi ſit ſolidum ad inſtar cunei, conſtans ſcilicet ex multis pla­
nis triangularibus, quæ probè inter ſe conueniant; idem etiam accidet,
quæ omnia ex ſuprà dictis clariſſima efficiuntur.
Quintò, ſi ſit triangulum EAD, fig. quod ita voluatur circa centrum
A, vt latus AE, modò accedat ad CB, modò recedat; ſitque ita diuiſa AS
in R, vt RS ſit 1/4 AS, ſi ducatur RN, centrum percuſſionis erit in N,
quia R eſt centrum grauitatis geminæ pyramidis; igitur RN linea di­
rectionis inſtanti percuſſionis; ſi verò producatur AS in G, ſintque I &
M centra grauitatis pyramidum ducanturque IF, MF perpendiculares
in AI. AM, centrum percuſſionis erit F, vt conſtat ex dictis.
1
Theorema 20.
Sectoris minoris quadrante determinari poteſt centrum percuſſionis, cum
ſcilicet voluitur in plano, cui eiuſdem planum eſt parallelum; ſit enim
quadrans BAI; ducatur BI, ſit pyramis cuius baſis ſit ſectio cylindri,
erectis, ſcilicet perpendicularibus tranſuerſis ſupra arcum BTI, eo
modo, quo ſuprà iam ſæpè diximus; v.g. ducta ſit Tangens ZT, diuiſa bi­
fariam in C, puncto ſcilicet contactus, quæ tandiu voluatur circa CA,
dum ſecet arcum ad angulos rectos: idem fiat in alijs punctis arcus; de­
nique ad extremitates Tangentium ducantur vtrimque à centro A rectæ,
& habebitur prædicta pyramis mixta, cuius centrum grauitatis inuen­
tum dabit centrum percuſſionis; quod vt meliùs oculo ſubijciatur, ſit
triangulum ZTA, voluatur circa CA, donec eius planum ſecet ad an­
gulos iectos planum quadrantis BAI; tùm in eo ſitu voluatur axis AC
per totum arcum BI, & habebitur ſolidum quæſitum, cuius centrum gra­
uitatis ita poteſt inueniri; ducatur BI, tùm AC diuidens BI bifariam
in E, centrum grauitatis eſt in AC; aſſumatur GE 1/4 totius AE; certè G
eſt centrum grauitatis pyramidis ABEI; ſit autem D centrum grauitatis
reliqui ſolidi BEIC, ſitque vt hoc ſolidum ad pyramidem ABEI, ita
GF ad FD: dico F eſſe centrum grauitatis per p. 7. ducatur FK perpen­
dicularis in AC, K eſt centrum percuſſionis per Th.17.
Corollarium.
Colligo primò; prædictam pyramidem mixtam eſſ 2/3 ſectoris cylindrj;
ſit enim triangulum ACZ erectum, atque îta voluatur per totam pe­
ripheram IBPVI. fiet ſolidum cauum, cuius cauitas erit conus, cuius
altitudo erit CZ, & baſis orbis BPVI; ſed hic conus eſt 1/3 cylindri, ſub
eadem baſi, & altitudine; igitur ſolidum, quod ſupereſt, continet 2/3 cy­
lindri ſub altitudine CZ, & baſi BPVI; ſed cauum BAI de quo ſuprà
eſt 1/3 totius; igitur reliquum continet 2/3 ſectoris cylindri BA, ſub alti­
tudine CT.
Secundò colligo, ſi aſſumatur ſemicirculus PBI momentum quadran­
tis PBA, æquale eſſe momento quadrantis IA β, vt conſtat; nam I, per
IM, idem præſtat quod P, per PQ, & S per SR, idem quod L,
per LV, &c.
Tertiò, ſi voluatur tantùm triangulum ABI, ducaturque GX per­
pendicularis in AC punctum X erit centrum percuſſionis; quid mirum
igitur, ſi addito ſegmento BCIE, ſit in K?
Quartò, ſi quadrans AI β trahat deorſum adducto filo ex K, certè in
K erit centrum percuſſionis, vt conſtat.
Quintò, ſi vterque quadrans BI β A ſimul cadat, centrum percuſſio­
nis erit in K, ſed duplò maior ictus.
Sexto, ſi ſemicirculus APBI cadar, centrum etiam percuſſionis erit
in K, quia quadrans PBA æquiualet quadranti A β I.
Septimò, ſi aſſumatur ſector maior quadrante, ſed minor ſemicirculo,
v.g. ASBI, ſit BAC æqualis BAS; inueniatur centrum grauitatis BA
1C eodem modo, quo inuentum eſt centrum F quadrantís rotati: ſimili­
ter inueniatur centrum grauitatis TAI rotati; connectantur rectâ hæc
duo centra inuenta, ſitque vt duplum BAC ad CAI, ita ſegmentum
connectentïs centra, quod terminatur in centro CAI ad aliud ſegmen­
tum; punctum diuidens ſegmenta erit centrum grauitatis quæſitum, à
quo ſi ducatur perpendicularis, eo modo, quo diximus, hæc dabit cen­
trum percuſſionis.
Octauò, ſi aſſumatur ſector maior ſemicirculo, v.g. AVBL, eodem
modo procedendum eſt; quippe PAV æquiualet CAB, & IAL æquiua­
let CAI, & BAP æquiualet BAI, nec eſt noua difficultas.
Nonò, hinc ſi circulus integer circa centrum voluatur, centrum per­
cuſſionis erit in K, ſed ictu quadruplo ictus inflicti à quadrante.
Theorema 21.
Si rotetur circulus circa punctum circumferentia vel circa Tangentem,
determinari poteſt centrum percuſſionis; ſit enim centro B, ANCP, rota­
tus circa TA, in quam diameter AC cadit perpendiculariter; aſſumatur
RC 1/3 AC: dico R eſſe centrum percuſſionis; quia motus C eſt ad mo­
tum R, vt CF ad RH, & ad motum B, vt CF ad BL, &c. igitur perinde
ſe habet planum ANCP, atque ſi ſemicylindrus ACF ipſi incubaret,
vt patet, ſed centrum grauitatis huius ſolidi eſt X in quo CL & FB de­
cuſſantur; ſed vt demonſtratum eſt ſuprà, ſi ducatur HXR, RC eſt 2/3
totius AC; igitur R eſt centrum percuſſionis.
Corollarium.
Primò colligo, ſi ſegmentum circuli voluatur: ſimiliter haberi poteſt
centrum percuſſionis, inuento ſcilicet centro grauitatis baſis vtriuſque
v.g. ſi ſegmentum OAQ voluatur circa TA, inueniri debet centrum
grauitatis eiuſdem & ad illud à puncto H recta ducenda; itemque in­
ueniendum eſt centrum grauitatis ſegmenti Ellipſeos HAI, & ad illud
à puncto R ducenda recta; nam vtriuſque decuſſationis punctum dabit
centrum grauitatis huius ſolidi, ex qua ſi ducatur perpendicularis in AR,
extremitas dabit centrum percuſſionis.
Secundò, ſi voluatur circulus CNAH circa PN, habebitur centrum
percuſſionis eodem modo, inuentis ſcilicet centris grauitatis ſemicir­
culi PNC, & ſemiellipſeos, cuius altera ſemidiameter ſit BF, altera BP,
vt conſtat ex dictis,
Theorema 22.
Si voluatur circulus circa punctum circumferentia in circulo parallelo ſuo
plano, determinari poteſt centrum percuſſionis, quod diſtat 2/3 diametri à cen­
tro motus; ſit enim circulus ACFG, centro B, qui voluatur circa cen­
trum A; motus puncti F eſt ad motum puncti B, vt recta AF ad rectam
AD, & ad motum puncti C, vt AF ad AC; idem dico de alis punctis;
ſit EH æqualis AF, diuiſa bifariam in F, quæ tandiu voluatur, donec
1ſecet arcum CFG ad angulos rectos; idem prorſus fiat in aliis punctis
peripheriæ, aſſumptis ſcilicet lineis æqualibus ſubtenſis arcuum, v.g. in
puncto D, aſſumpta linea æquali AD, in puncto C, aſſumpta æquali AC,
&c. hoc poſito habetur ſolidum, quod facilè vocauerim Elliptico cylin­
dricum, cuius conſtructio talis eſt, ſit cylindrus RI, cuius diameter
baſis ſit KI, æqualis diametro AF circuli prioris; ſit etiam altitudo KR,
æqualis prædictæ diametro KI, ſit KR diuiſa bifariam in L, ſitque pla­
num IL ſecans cylindrum, itemque alterum LP, vtraque ſectio Ellipſis
eſt, vt patet; ac proinde habetur ſolidum quæſitum LIP conſtans gemi­
na baſi LI. & LP Elliptica, & reliqua circumferentià cylindricâ, cuius
centrum grauitatis eſt in N, id eſt in puncto decuſſationis rectarum PM,
IS, quæ diuidunt ILPL bifariam æqualiter, eſt autem NO 1/3 totius
LO, per Sch. Th.2. hoc poſito ſit XF 1/3 totius AF: dico eſſe centrum
percuſſionis quæſitum circuli ACFG rotati circa A, quia perinde ſe
habet, atque ſi puncto X incubaret prædictum ſolidum ellipticocylindri­
cum, cuius X eſſet centrum grauitatis.
Scholium.
Obſeruabis primò, in plano ACFG, vt punctum X ſit centrum per­
cuſſionis, incidendam eſſe ſtriam quamdam, ſeu rimam, quæ termi­
netur in X.
Secundò, idem eſſe centrum percuſſionis rectæ AF, quæ voluitur
circa A, ſiue ſit ſimplex linea, ſiue diameter circuli.
Theorema 23.
Si voluatur rectangulum parallelum orbi in quo voluitur determinari po­
test centrum percuſſionis; ſit enim rectangulum AD, quod voluatur circa
centrum A, eo modo, quo dictum eſt ſit ducta AD, inueniatur centrum
I, trianguli ABD; itemque centrum H, trianguli ADF, per Th. 17.
tùm ducta IH, diuidatur bifariam in K; ducatur AK, tùm GK perpen­
dicularis in AK: dico G eſſe centrum percuſſionis, per poſ.7.& Theo­
rema 17.
Corollarium.
Colligo ex his facilè poſſe determinari centrum percuſſionis in alijs
figuris planis; quia diuidi poſſunt in plura triangula.
Theorema 24.
Poteſt determinari centrum percuſſionis ſolidi trium facierum ABDE;
vt demonſtretur centrum percuſſionis pyramidis, & priſmatis, præmitti
debuit hoc ſolidum; ſit enim ſolidum priori ſimile, A.M. G.C. motus
puncti M, eſt ad motum puncti G, vt recta BM ad rectam BG; igitur ſit
NK ad OH, vt BM ad BG; certè perinde ſe habet punctum M, atque
ſi NMK incubaret, non quidem per MG, ſed per lineam perpendicu­
larem ductam in BM, vt patet ex dictis: idem dico de puncto G, quod
perinde ſe habet, atque ſi incubaret OGH; itaque inuenire oportet
centrum grauitatis ſolidi ACHKNOA, quod vt fiat, aſſumatur IP
1æqualis AC; ducantur AP, CI centrum grauitatis ſolidi ACIKNP
reſpondet per lineam directionis puncto E, ita vt EG ſit 1/3 GB per Co­
roll.1. Th.3.ſi autem aſſumatur FG 1/4 totius BG, ſitque linea QFX,
& ex puncto F ſuſtineatur vtraque pyramis AOPN, & CIHK, erit
perfectum æquilibrium per Th. 4. igitur ſit FE ad ED, vt ſolidum
ACHKNO ad vtramque pyramidem AOPN, CIHK, certè pun­
ctum D erit centrum grauitatis ſolidi ACHKNO, per p.7. aſſumatur
GL æqualis GD; ducatur BL, hæc eſt axis vt patet, modò GM ſit æqua­
lis GB; ſi enim inæqualis eſt, ſit GL ad GM, vt GD ad GB: præterea
ducatur DR parallela GM; denique ducatur perpendicularis FR in B
L; dico F eſſe centrum percuſſionis, vt patet ex dictis ſuprà, præſertim in
Th. 17. & alibi paſſim, ne toties eadem repetere cogar ad nauſeam;
quamquam enim hæc ſatis noua ſunt, illa tamen indicanda potiùs, quàm
fusè tractanda eſſe putaui.
Theorema 25.
Poteſt determinari centrum percuſſionis pyramidis, cum voluitur circa
verticem; ſit enim ſolidum, de quo ſuprà ABCGM, fitque aliud ſoli­
dum ABCHKMNOG, cuius axis ſit BL & centrum grauitatis R,
hoc ipſum eſt centrum percuſſionis ſolidi ABCGM, ducta ſcilicet RF,
per Th.24. iam verò ſi ex ſolido ACIKNP, detrahatur prædictum
ſolidum ABCGM, ſupereſt vtrimque integra pyramis, ſcilicet CMK
IG, & AMNPG, cuius axis communis erit eadem BL, vt patet; itaque
aſſumatur LY 1/4 LB, Y reſpondebit centrum percuſſionis ſolidi ACIK
NP per Corol.4. Th.19. igitur ſit vt vtraque pyramis ANPG, & AK
IG, ad reliquum ſolidum ABCGM, ita RY, ad YZ; dico Z eſſe cen­
trum percuſſionis vtriuſque pyramidis, ductâ ſcilicet perpendiculari
Z δ, vt conſtat ex dictis; quare in axe pyramidis aſſumatur æqualis BZ,
& habebitur intentum.
Scholium.
Obſeruabis primò, ſolidum integrum AKNPI eſſe ſubduplum priſ­
matis eiuſdem altitudinis & baſis NI; pyramidem verò CMI eſſe 1/6
eiuſdem priſmatis, ergo vtramque æqualem 1/3 igitur ſolidum ABCGM
1/6. igitur æquale alteri pyramidum, igitur RY duplam eſſe YZ.
Secundò, obſeruabis punctum Z dici poſſe centrum percuſſionis in­
terius, à quo deinde ſi ducatur recta Z δ perpendicularis in BL, termi­
nabitur in δ, quod dici poteſt centrum percuſſionis exterius.
Tertiò, obſeruabis, centrum percuſſionis exterius aliquando eſſe in
ipſa facie, ſeu linea BG, cum ſcilicet angulus MPG eſt valdè acutus,
aliquando eſſe extra ſuperficiem corporis, v. g. in δ, cum ſcilicet an­
gulus MBG eſt obtuſior, quod iam ſuprà obſeruatum eſt, cum de trian­
gulo Cor.2. Th.17.
1
Theorema 26.
Poteſt determinari centrum percuſſionis parallelipedi; ſit enim paralle­
lipedum MF quod voluatur circa MK; ſit rectangulum LE ſecans bifa­
riam æqualiter parallelipedum; centrum percuſſionis erit in plano re­
ctanguli LE; ducatur LE, diagonalis; inueniatur centrum percuſſionis
rectanguli LE, per Th.23. ſitque N, v.g. ducatur NO, dico O eſſe cen­
trum percuſſionis quæſitum, ſcilicet exterius, vt patet ex dictis; poteſt
etiam determinari, ſi voluatur circa AC, vel circa PR, nam perinde
ſe habet prædictum parallelipedum, atque ipſum rectangulum; hoc verò
atque ipſum triangulum, in quo nulla prorſus eſt difficultas.
Poteſt etiam determinari centrum percuſſionis cunei, id eſt ſemipa­
rallelipedi, ſiue circa MK, ſine circa IG voluatur; quæ omnia pa­
tent ex dictis.
Theorema 27.
Determinari poteſt centrum percuſſionis ſolidi ABDE, ſi voluatur circa
axem IDH; nam motus puncti C eſt ad motum puncti E, vt DC ad
DE, vel vt BN æqualis DC ad LK æqualem ED; mouentur enim AC
B æquali motu; itaque perinde ſe habet prædictum ſolidum in ordine
ad percuſſionem, atque ſi eſſet ſolidum BMKLD; id eſt duplex pyra­
mis, ſcilicet DNMKL, & DMNBA, quarum centra grauitatis ſint
PQ, & commune vtriuſque ſit R iuxtam modum ſuprà poſitum; duca­
tur SR perpendicularis in RD: dico S eſſe centrum percuſſionis exte­
rius quæſitum, quod eodem modo probatur, quo ſuprà.
Corollarium.
Primò colligo inde, vbi ſit centrum percuſſionis cylindri, ſiue volua­
tur circa Tangentem baſis, ſiue circa diametrum eiuſdem; nam idem de
cylindro dicendum eſt, quod de parallelipedo dictum eſt Th.26.
Secundò colligo, centrum percuſſionis coni; quippe vt ſe habet pyra­
mis ad priſma, ita ſe habet conus ad cylindrum.
Tertiò, colligo centrum percuſſionis Pyramidis quando voluitur cir­
ca latus baſis per Th.27.
Quartò, colligo centrum percuſſionis cylindri; cum voluitur circa
Tangentem parallelum axi per Th.22.
Quintò, colligo centrum grauitatis priſmatis, ſiue voluatur circa la­
tus baſis; tunc enim idem prorſus dicendum eſt, quod de parallelipedo;
ſiue circa lineam parallelam axi; tunc enim centrum percuſſionis co­
gnoſcitur ex centro percuſſionis baſis cognito, ſi voluatur in circulo ſuo
plano parallelo per Cor. Th.22.
Sextò denique, colligo centrum percuſſionis cuiuſlibet alterius
ſolidi, planis rectilineis contenti, quod ſcilicet in pyramides diui­
di poteſt.
1
Scholium.
Obſeruabis non deeſſe fortè aliquos, quibus centrum grauitatis Py­
ramidos difficile inuentu videatur; quare in eorum gratiam facilem de­
monſtrationem ſubijcio; ſit enim pyramis EFBA, cuius baſis ſit trian­
gularis EFB; ducatur EC diuidens bifariam FB, ſitque DC 1/3 totius
EC, centrum grauitatis baſis EFB eſt D, per Sch.Th.2. ducatur AD, id
eſt axis pyramidos, per communem definitionem; quippe axis eſt recta
ducta à vertice ad centrum grauitatis baſis oppoſitæ; ducatur AC, diui­
dens BF bifariam æqualiter; aſſumatur GC, 1/3 AC, ducatur EG, hæc
eſt axis, vt patet ex dictis; aſſumatur autem triangulum AEC, ſitque HO
K maioris claritatis gratia, ſintque gemini axes HL, OI, centrum py­
ramis eſt in OI & in HL; igitur in M; ſed ML eſt 1/4 totius LH, quod
ſic demonſtro; triangula PIM, OLM ſunt æquiangula; igitur propor­
tionalia; itemque duo HIN, & HKO; igitur vt HK ad KO, ita HI ad
IN; ſed HI continet 2/4 HK, per hypotheſim; igitur IN continet 2/3 KO;
igitur IN eſt æqualis LO; igitur vt IP eſt ad LO, ita PM ad ML; ſed
PI eſt ad LO vt 2. 2/3 ad 8. id eſt vt 3. ad 9. nam ſit OK 12. IN æqualis
LO eſt 8.igitur PM eſt ad ML, vt 3. ad 9. vel vt 1. ad 3. igitur ſit HL
12. PL erit 4. igitur PM 1. ML 3. igitur ML eſt 1/4 LH, quod erat
demonſtrandum.
Si verò pyramidos baſis ſit quadrilatera, vel polygona, diuidi poteſt in
plures, quarum baſis ſit trilatera; quare in omni pyramide facilè de­
monſtratur centrum grauitatis ita dirimere axem, vt ſegmentum verſus
baſim ſit 1/4 totius.
Theorema 28.
Determinari poteſt centrum percuſſionis coni mixti, cuius baſis ſit portio
ſuperficiei ſphæræ, cuius centrum ſit in apice coni; quia vt ſe habet triangu­
lum Iſoſceles ad conum, ita ſe habet ſector ſub eodem angulo ad prædi­
ctum conum mixtum, vt patet; quia vt conus ille rectus formatur a trian­
gulo circa ſuum axem circumacto, ita & mixtus formatur à ſectore circa
ſuum axem circumuoluto; igitur vt ſe habet diſtantia inter centrum vel
apicem trianguli, circa quem voluitur, & centrum percuſſionis eiuſdem
ad diſtantiam inter eoſdem terminos in cono recto, ita ſe habet diſtan­
tia inter eoſdem terminos in ſectore, ad diſtantiam inter eoſdem termi­
nos in prædicto cono mixto; ſed cognoſcuntur ex dictis ſuprà tres pri­
mi termini huius proportionis; igitur cognoſci poteſt quartus, igitur
determinari centrum percuſſionis, quod erat demonſtrandum.
Corollarium.
Colligo primò, ex his facilè cognoſci poſſe centrum percuſſionis ſe­
ctoris ſphæræ, nam vt ſe habet conus rectus ad pyramidem, ita ſe habes
prædictus conus mixtus ad ſectorem, ſub eodem ſcilicet angulo.
Colligo ſecundò, etiam poſſe cognoſci centrum percuſſionis eiuſdem
ſectoris circumacti, non tantùm circa centrum ſphæræ, ſed circa radium;
1immò gemini ſectoris coniuncti, ſeu quartæ partis ſphæræ, ex quo etiam
ſequitur determinatio centri grauitatis Hemiſphærij, atque adeo totius
ſphæræ; quæ omnia pendent ex dictis ſuprà.
Scholium.
Obſeruabis ſupereſſe innumeras ferè corporum rationes, v.g.ſphæram
ex dato puncto ſuperficiei libratam, tùm elliptica ſolida, parabolica, hy­
perbolica, &c. quorum centra percuſſionis determinari poſſunt; ſed ab­
ſtineo, tùm quia cum multam matheſim deſiderent, vix habent aliquem
in phyſica locum, tùm quia plura excerpere non potui, ex innumeris pe­
nè, quæ apud ſe noſter Philoſophus habet.
Theorema 29.
Determinari poteſt centrum impreſſionis, tùm in linea, tùm in plano, tùm̨
in ſolido quæ circumaguntur; quia poteſt diuidi bifariam, tùm planum illud
ſi ſit linea, tùm ſolidum, ſi planum vel ſolidum, vt patet per def.2.
Theorema 30.
Si linea rigida libretur circa alteram extremitatem immobilem aſſuma­
turque funependulum, cuius longitudo contineat 2/3 prædictæ lineæ, vibrationes
vtriuſque erunt æquediuturnæ; quod demonſtratur; quia centrum percuſ­
ſionis prædictæ lineæ diſtat 2/3 ab altera extremitate immobili per Th.8.
atqui centrum percuſſionis in hoc motu circulari dirigit motum aliorum
punctorum; quia defungitur munere centri grauitatis, vt patet ex dictis;
nec enim alterum ſegmentorum præualet; ſed totus motus impeditur,
per poſ.2. igitur perinde ſe habet atque ſi totum pondus, vel totam vim
collectam haberet; ſed in hoc caſu eſſet ad inſtar funependuli, in quo
non habetur vlla ratio fili, ſed ponderis appenſi; igitur eius vibratio eſt
æquediuturna cum vibratione prædicti funependuli quod erat demon­
ſtrandum.
Scholium.
Obſeruabis, ex hoc vno certiſſimo principio egregium experimentum
mirificè comprobari; nempè ſæpiùs compertum eſt innumeris ferè expe­
rimentis, tùm ab erudito Merſenno, tùm à noſtro Philoſopho longitu­
dinem funependuli iſochroni cum cylindro continere 2/3 cylindri.
Theorema 31.
Si voluatur planum rectangulum circa alterum laterum, funependulum
iſochronum continet duas tertias; probatur eodem modo; nam perinde ſe
habet illud planum, atque ſi multæ lineæ parallelæ ſimul volueren­
tur.
Theorema 32.
Si voluatur planum triangulare circa angulum, eo modo quo diximus in
Th.11. funependulum iſochronum continet 3/4 axis prædicti trianguli; quia in
1/4 eſt centrum percuſſionis per Th. 11.
1
Theorema 33.
Si voluatur prædictum planum circa baſim eo modo, quo dictum eſt Th.12.
funependulum iſochronum continet 1/2 eiuſdem axis; quod eodem modo de­
monſtratur per Th.12.
Corollarium.
Colligo primò, cuilibet ſectori funependulum iſochronum poſſe aſſi­
gnari, quia cuiuſlibet ſectoris, qui voluitur circa angulum, eo modo
quo diximus Th.13. centrum percuſſionis determinatum eſt.
Colligo ſecundò, ſi rotetur planum circulare, eo modo quo diximus
Th.21. funependuli iſochroni longitudinem continere 2/3 diametri eiuſ­
dem circuli, quia ibi eſt centrum percuſſionis eiuſdem circuli, per
Th. 21.
Colligo tertiò, ſi rotetur planum circulare circa diametrum, etiam
poſſe determinari ex centro percuſſionis inuento, longitudinem fune­
penduli iſochroni, vt patet ex dictis.
Theorema 34.
Quando voluitur planum triangulare parallelum plano in quo voluitur,
determinari poteſt longitudo funependuli iſochroni; ſit enim AFH, cuius
centrum extrinſecum percuſſionis fit C, longitudo funependuli iſochro­
ni erit AC, quod eodem modo demonſtratur.
Corollarium.
Colligo primò, etiam determinari poſſe, quando ita voluitur vt latus
in quo fit percuſſio ſuſtineat angulum rectum, v.g. triangulum AGB
circumactum circa A, habet centrum percuſſionis in M; igitur AM eſt
longitudo funependuli iſochroni.
Secundò, ſi voluatur circa angulum rectum; v.g. triangulum ABH
circa B, centrum percuſſionis eſt in E; igitur BE eſt longitudo funepen­
duli iſochroni.
Tertiò, aliquando longitudo prædicta eſt minor latere, in quo fit
percuſſio, vt patet in exemplis adductis; aliquando eſt æqualis, vt in
triangulo ABD volutum circa A, nam centrum percuſſionis eſt D; igi­
tur longitudo funependuli iſochroni eſt AD; aliquando eſt maior, vt
videre eſt in triangulo ALG, quod voluitur circa A; nam longitudo fu­
nependuli iſochroni eſt AI, quæ eſt maior AL.
Quartò, ſi coniungantur duo triangula v.g. EAS. ADS. voluan­
turque ſimul circa A, eo modo quo diximus ſcilicet parallela plano, in
quo voluuntur, longitudo iſochroni funependuli erit AF, poſito quòd
F ſit centrum percuſſionis, vt dictum eſt ſuprà Corol. 5. Th.19.
Quintò, hinc vides rationem egregij experimenti, quod ſæpè Doctus
Merſennus propoſuit, ſcilicet longitudinem funependuli iſochroni eſſe
ferè quadruplam perpendicularis ductæ in baſim trianguli Iſoſcelis, li­
brati circa angulum verticis 150.grad. quod certè ad veritatem tam pro­
pè accedit ex geometrica calculatione, vt nullum prorſus diſcrimen
1
[Empty page]
1
[Empty page]
1eſſe videatur, methodus huius calculationis facilis eſt, & à mediocri
Logiſta haberi poteſt.
Sextò, hinc etiam habetur longitudo funependuli iſochroni, ſi vol­
uatur planum circulare parallelum plano, in quo voluitur, continet
enim 2/3 diametri circuli, qui voluitur; vt patet ex Th. 22. idem dico de
quolibet ſectore, qui eodem modo voluatur.
Theorema 35.
Si voluatur pyramis circa verticem, determinari poteſt longitudo funepen­
duli iſochroni, idem dico de parallelipedo, priſmate, cono, cylindro, &c. per
Th.25. 26. & Corollaria; quia inuento centro percuſſionis extrinſeco,
habetur prædicta longitudo; idem dico de cono mixto, ſectore ſolido,
&c. per Th.28. & Coroll.
Corollarium.
Hinc colligo primò ex dato centro percuſſionis extrinſeco, dari ſtatim
longitudinem funependuli iſochroni, & viciſſim.
Secundò, data quacunque longitudine funependuli iſochroni, v. g.
tripla perpendicularis, cadentis in baſim trianguli iſoſcelis, dari poſſe
triangulum, cuius libratio ſit æquediuturna, ſed hæc breuiter indicaſſe
ſufficiat.
34[Figure 34]
1 35[Figure 35]
APPENDIX SECVNDA.
DE PRINCIPIO PHYSICOSTATICO,
ad mouenda ingentia pondera.
DVo ſunt in Statica, quæ demonſtrationem deſidera­
re poſſunt; Primum eſt, quod ſpectat ad proportio­
nes potentiarum, ponderum, reſiſtentiæ, motuum,
temporum, diſtantiarum, &c. Secundum pertinet
ad cauſas Phyſicas huiuſmodi effectuum, qui cùm ſint
naturales, & ſenſibiles, ſua cauſa carere non poſſunt.
Primum ſanè quod ad Matheſim attinet egregiè præ­
ſtiterunt hactenus doctiſſimi viri Vbaldus, Steuinus, Galileus, &c.
ita vt nihil amplius deſiderari poſſit; Secundum tamen quod iuris phy­
ſici eſt, vix, ac ne vix quidem delibatum inuenio; quare ad huius libri
calcem principium Phyſicoſtaticum breuiter explicandum ſuſcipio, per
quod duntaxat illi omnes mirifici effectus ad ſuas cauſas reducantur,
quod niſi fallor huic tractatui deeſſe videtur.
AXIOMA 1.
AB eadem potentiâ faciliùs producitur in eodem mobili minor motus,
quam maior.
Hoc Axioma manifeſtum redditur ex ijs, quæ paſſim habentur in lib.
1. de impetu; quippe motus ex duplici tantùm capite minor eſſe poteſt;
primò, ex eo quòd ſingulis partibus mobilis pauciores partes impetus
inſint; ſecundò ex eo quòd imperfectior impetus mobili imprimatur;
atqui ex vtroque capite faciliùs producit ut minor motus; quia faciliùs
imprimitur minor, vel imperfectior impetus, nempe minore niſu agit
potentia.
Axioma 2.
Quò maiore tempore datum ſpatium percurritur, eò minor eſt motus, id eſt
tardior, vt patet ex dictis l.1.
1
Axioma 3.
Quò minus ſpatium decurritur dato tempore minor, & tardior eſt motus;
hoc etiam conſtat ex eadem dem.
Axioma 4.
Maiore tempore potentia applicata ſi ſemper agit, plus agit. Quid clarius?
Axioma 5.
Pondus alteri æquale illud mouere tantum non poteſt motu æquali; cur
enim pondus A mouebit B potiùs quàm B. A: quod certum eſt.
Axioma 6.
Pondus alteri æquale mouere poteſt illud motu minore; quia cùm æquali
mouere tantùm non poſſit, & cùm poſſit faciliùs minore, quàm maiore;
certè minore mouere poteſt.
Axioma 7.
Pondus minus poteſt mouere maius motu minore, ſi maior ſit proportio mo­
tuum, quàm ponderum, v.g. pondus duarum librarum quod mouetur
motu vt 3.poteſt mouere pondus 4.librarum motu vt 1.vt patet ex dictis.
Axioma 8.
Eò faciliùs mouetur pondus per inclinatam, quàm per ipſum perpendicu­
lum, quò inclinata maior eſt perpendiculo; vt patet ex ijs, quæ dicta ſunt l.5.
de planis inclinatis.
Axioma 9.
Pondus maius mouet tantùm minus motu maiore, cum eſt maior proportio
ponderum quàm motuum, vt patet.
Problema vniuerſaliſſimum.
Mouere quodcumque pondus à qualibet applicata potentia moueatur motu
minore, ita vt ſit maior proportio motuum, quàm ponderum, per Ax. 7.
Coroll. vniuerſaliſſimum.
Hinc colligo, in eo tantùm poſitam eſſe induſtriam, qua poſſint
pondera moueri, vt minore, & minore motu moueantur; igitur, qua
proportione imminues motum, eâdem maius pondus mouebis.
Theorema 1.
Æqualia pondera æquali vtrimque brachio libræ appenſa ſunt in æquilibrio
per Ax.5.
Theorema 2.
In æqualia pondera inæquali brachio librata faciunt æquilibrium ſi ſit ea­
dem proportio brachiorum quæ ponderum permutando; quia eſt eadem pro­
portio motuum, quæ brachiorum, vt patet; igitur ſunt in æquilibrio nec
enim minus pondus attolli poteſt à maiori per Ax.9.nec maius à mino­
re per Ax.7. igitur ſunt in æquilibrio.
1
Corollarium.
Hinc collige omnes rationes, quæ ſpectant ad libram; hinc vulgare
illud dictum mechanicum: Si pondera ſint vt diſtantiæ, ſunt in æqui­
librio.
Hinc coniugari poſſunt infinitis modis pondera, & diſtantiæ, quorum
omnium rationes compoſitæ obſeruari debent.
Hinc etiam obliqua libra, & inclinata, ſi ſupponantur brachia adin­
ſtar lineæ indiuiſibilis facit æquilibrium.
Theorema 3.
Ideo facilè ingens pondus attollitur vecte, quia mouetur motu minore iux­
ta eandem rationem, de quo ſuprà; cùm enim ſupponatur in vecte pun­
ctum immobile, quod certo nititur fulcro; neceſſe eſt vtrimque moueri
ſegmenta vectis motu circulari, eoque inæquali; quia ſunt inæqualia; igi­
tur altero minore; & hæc eſt prima ratio imminuendi motus.
Corollarium.
Hinc datum quodcunque pondus attollitur vecte; hinc quò ſegmen­
tum, quod à fulcro porrigitur verſus pondus quod attollitur eſt breuius,
eò maius pondus attolli poteſt.
Hinc vectis per Tangentem ſemper attolli debet, vt maiorem præſtet
effectum, vt conſtat ex ijs, quæ diximus l.4.
Theorema 4.
Ideo facilè attollitur ingens pondus trochlea, quia mouetur motu minorę,
vt manifeſtum eſt; eſt autem minor motus in ea proportione, in qua lon­
gitudo funis adducti ſuperat altitudinem ſpatij decurſi à pondere, quod
attollitur; mirabile ſanè inuentum, ſi quod aliud.
Corollarium.
Hinc, ſi funis adducatur deorſum, vnica rotula non iuuat potentiam;
quia longitudo funis adducti eſt æqualis altitudini ſpatij decurſi à pon­
dere; ſi verò adducatur ſurſum vnica rotula duplicat potentiam; quia lon­
gitudo prædicta funis adducti eſt dupla prædictæ altitudinis; igitur mo­
tus ponderis aſcendentis eſt ſubduplus; igitur duplum pondus eadem po­
tentia attollet, vel idem pondus ſubdupla per Ax. 1. ſi verò ſint duæ ro­
tulæ adducaturque deorſum, duplum etiam pondus attollet eadem po­
tentia; quia longitudo funis adducti eſt dupla altitudinis; ex his reliqua
de trochlea facilè intelligentur,
Scholium.
Equidem demonſtrari poteſt aliter à debili potentia ſuſtineri poſſe
ingens pondus operâ trochleæ; quia ſcilicet pluribus diſtribuitur ſuſti­
nendi munus, vt clarum eſt; quod verò ſpectat ad motum, vnum tantùm
eſt illius principium, ſcilicet potentia, quæ trahit; licèt enim clauus, cui
affigitur altera extremitas funis poſſit ſuſtinere, non tamen mouere.
Hinc demum ratio, cur ſi multiplicentur funes, & orbiculi ingens-
1etiam pondus perexiguis fuſciculis ſuſtineri poſſit; quia pluribus diſtri­
buitur: hinc, ſi plura eſſent araneæ fila, maximum ſaxum ſuſtinere poſſent.
Theorema 5.
Ideo mouetur ingens pondus operâ axis, vel ſuculæ; quia ſcilicet imminuitur
matus, vt clarum eſt.
Corollarium.
Hinc, quò minor eſt diameter axis, maius pondus attollitur ſeu mo­
uetur; quia cùm circulorum peripheriæ ſint vt ſemidiametri, quò minor
eſt diameter axis cui aduoluitur funis ductarius, eſt minor motus; igi­
tur maius pondus attollitur; igitur ſi longitudo vectis ſit dupla ſemidia­
metri ſuculæ, duplum pondus attollitur; ſi tripla, triplum, &c.
Huc reuoca terebraś, & manubria, &c.
Theorema 6.
Ideo cochlea mouet ingens pondus; quia imminuit motum, vt videre eſt
in torcularibus, in quibus Helicis opera ingens priſma attollitur.
Corollarium.
Hinc quò ſunt plures Helices, & decliuiores motus rectus eſt minor;
hinc faciliùs attollitur pondus; ſi enim longitudo ſpiræ eſt decupla axis,
potentia decuplum pondus attollet.
Theorema 7.
Ideò tantæ ſunt cunei vires, quia motum imminuit.
Corollarium.
Hinc quò angulus cunei eſt acutior, maius pondus attollitur eius ope­
râ; hinc proportiones omnes demonſtrari poſſunt, hinc cuneus ad angu­
lum 45. & ſuprà non iuuat potentiam, ſecus infrà, ad cuneum reuoca
clauos & gladios.
Theorema 8.
Ideo rotis denticulatis mouetur ingens pondus; quia imminuitur motus,
vt clarum eſt.
Scholium.
Obſeruabis huius organi operâ imminui poſſe motum in infinitum,
atque ad eo maius ſemper pondus, & maius in infinitum attolli poſſe.
Corollarium.
Ex his facilè colliges ad mouenda pondera in eo tantùm poſitam eſſe
induſtriam, vt motus imminuatur, & vnicum illud eſſe principium phy­
ſicomechanicum.
Theorema 9.
Vt pondus attollatur adhiberi poteſt alia induſtria ſcilicet plani inclinati, in
quo faciliùs pondus attollitur, quàm in verticali, de quo iam ſuprà in lib. 5.Scholium.
Obſeruabis autem, organum mechanicum adhiberi poſſe ad mouen-
1dum pondus per omne planum, in plano horizontali facillimè ingens
pondus moueri poteſt; præſertim ſi plani ſcabrities non impediat motum.
Hinc modico organo ingentem nauim facilè mouebat Archimedes,
quam ſine organo tota ciuitas non mouere poterat.
Quæres, quot ſint potentiæ mechanicæ? Reſp. quinque hactenus
numeratas eſſe, quæ ſunt, vectis, trochlea, axis, cuneus, cochlea; addi
poſſunt rotæ denticulatæ.
36[Figure 36]
APPENDIX TERTIA.
DE PRINCIPIO PHYSICO­
mechanico impreſsionis.
NON ago hîc de impreſſione, quæ fit operâ pulueris tormen­
tarij, vel nerui tenſi, vel aëris compreſſi; nec enim eſt huius­
loci, ſed de illâ, quæ fit operâ alterius potentiæ motricis.
Iniactu duo tantùm conſiderari debent: Primum eſt po­
tentia, ſecundum linea directionis, quod ſpectat ad primum,
commune eſt iactui & percuſſioni; de ſecundo iam ſuprà dictum eſt lib.4.
vbi diximus maximum iactum fieri ad angulum ſemirectum.
Principium vniuerſaliſſimum.
Quò diutius potentia manet applicata maior eſt impreſſio; veritas huius
axiomatis certiſſima eſt, & conſtat ex Ax.13. l.1.n.4. ad hoc autem reuo­
cari poſſunt omnia organa, quæ potentia motrix adhibet ad motum im­
primendum.
Corollaria.
1. Hinc diu rotatum brachium maiorem ictum infligit; hinc rotatum
pendulum fune plumbum fortiſſimè ferit; hinc fundæ iactus potentior;
hinc longior funda longiorem iactum præſtat, &c.
2. Hinc pertica longior, quæ diu vibratur propter maiorem arcum
validum ictum incutit; adde fuſtem, flagellum, longum mallei manubrium.
3. Hinc corpus diu cadens deorſum grauius ferit; hinc aries ille,
cuius caſus pali figuntur.
4. Hinc maius ſaxum, vel grauior ſudes maiorem ictum infligit.
5. Hinc trochus ductario funiculo vibratus celerrimè agitur; hinc
etiam plani orbes explicata, & exporrecta zona procul abiguntur; quia
ſcilicet potentia diu manet applicata.
6. Hinc antiquus aries diu vibratus, ita verberabat muros, vt ſtatim
diſijceret propter eandem rationem.
7. Hinc demum antiquæ illæ machinæ, quarum opera ingentia ſaxa
iaciebantur; hæc & innumera propemodum alia ex eodem principio
conſequuntur.
1 37[Figure 37]
APPENDIX QVARTA.
DE PRINCIPIO PHYSICO
Rationis duplicatæ Phyſicæ.
VIx credi poteſt quam multis effectibus naturalibus hæc
duplicata ratio affigatur, aliquos curſim indicabo vt ve­
rum germanumque illius principium ſtatuatur.
1. In motu recto naturaliter accelerato, decurſa ſpatia
ſunt in ratione duplicata temporum, id eſt vt temporum
quadrata; dixi in motu recto, tùm eo, qui fit deorſum in perpendiculo,
tùm eo, qui fit in plano inclinato.
2. Si iaciantur lapides inæqualis ponderis à potentia toto niſu agente
& eodem arcu, lapides ſunt in ratione duplicata inflictorum ictuum.
3. Si impingantur ſudes inæquales eodem brachiorum arcu, pondera
ſunt in ratione duplicata ictuum.
4. Si malleus impingatur diuerſo arcu ab eadem potentia, arcus ſunt
in ratione duplicata ictuum.
5. Si ex tubis erectis eiuſdem cauitatis æqualique foramine fluat aqua,
longitudines tuborum ſunt in ratione duplicata quantitatum aquæ, quæ
ex tubis æquali tempore fluunt.
6. Similiter ſi ex ſiphonibus fluat aqua æquali foramine, longitudines
ſiphonum ſunt in ratione duplicata quantitatum aquæ, &c. vt ſuprà.
7. Si chordæ tenſæ eiuſdem longitudinis appendantur inæqualia pon­
dera, hæc ſunt in ratione duplicata ſonorum in ratione acuti & grauis.
8. Si chordæ tenſæ ſint eiuſdem longitudinis & diuerſæ craſſitiei, ba­
ſes ſunt in ratione duplicata ſonorum permutando.
9. Lumen ita propagatur vt lumina propagata ſub eodem angulo, &
cono ſint in ratione duplicata diſtantiarum permutando.
10. Idem dico prorſus de propagatione ſonorum, immò auſim dicere
toti rei ſonorum familiariſſimam eſſe hanc rationem duplicatam.
11. In funependulis res eſt clariſſima; nam longitudines ſunt in ratio­
ne duplicata temporum quibus vibrationes perficiuntur.
12. Non eſt omittendum quod in humana voce obſeruatur pro ratio­
ne grauis & acuti, ſcilicet niſus eſſe in ratione duplicata ſonorum. Omitto
infinita ferè alia quæ huic rationi duplicatæ ſubſunt, ſed iam principia
phyſica his effectibus quibus ineſt hæc ratio duplicata, tribuamus.
Primum caput & vndecimum hoc principio nituntur, eadem cauſa
æquali tempore æqualem effectum producit vnde illud; corpus graue
æqualibus temporibus æqualia acquirit velocitatis momenta, de quo lib.
2. Ex hoc principio demonſtrauimus in partibus temporis ſenſibilibus
ſpatia eſſe temporum quadrata.
1
Secundum & tertium hoc principio nituntur, motus impreſſi diuerſis
corporibus ab eadem potentia æquali tempore ſunt vt corpora permu­
tando v.g.motus impreſſus corpori vnius libræ eſt ad motum impreſſum
corpori quatuor librarum vt 4.ad 1.æquali ſcilicet tempore quod clarum
eſt, igitur graue 4.librarum decurrit tantùm quartam partem arcus, igitur
ſecundo tempore æquali decurrit tres alias partes, vide quę diximus l.10.
Quartum nititur hoc principio ſpatia ſunt quadrata temporum, ve­
locitates ſunt vt tempora, ictus vt velocitates.
Quintum, ſextum, ſeptimum habent hoc commune principium: eadem
eſt proportio effectuum quæ cauſarum; quippe cauſa quæ aquam excu­
dit eſt pondus ſuperimpoſitum, igitur cum imprimat motum pluribus
partibus, velociorem imprimit ſingulis, igitur ex duplici capite creſcit
effectus, ſcilicet ex maiore quantitate aquæ & ex velociore motu; ſit enim
v.g.maior tubus quadruplus alterius cauſa eſt quadrupla, igitur duplam
quantitatem aquæ extrudet æquali tempore, quia duplo velociore motu.
nam extrudere æqualem quantitatem duplo velociore motu eſt effectus
duplus; igitur duplam quantitatem extrudere duplo velociore motu eſt
effectus quadruplus, igitur eſt eadem proportio cauſę quæ effectus. De ſi­
phone idem dictum eſto, præſtat enim eundem effectum trahendo, quem
tubus aquæ pellendo, denique vnica vibratio chordæ tenſæ duplo velo­
cior eſt effectus duplus, igitur duæ duplo velociores effectus quadruplus.
Octauum habet idem principium, nam chordæ eiuſdem longitudinis
ſunt vt baſes, ſit vna quadrupla alterius v. g. appendatur vtrique æquale
pondus, tenſio maioris eſt ſubquadrupla; igitur ſi huic appendatur pon­
dus quadruplum ſonum edet duplo acutiorem; igitur baſes ſunt vt qua­
drata ſonorum.
Nonum, & decimum nituntur hoc principio, lumen minus eſt in ea
proportione in qua plus diſtrahitur; igitur lumina ſunt vt baſes permu­
tando, ſed baſes ſunt in ratione duplicata diſtantiarum, idem dico de ſono.
Duodecimum denique idem principium habet cum ſeptimo: vis enim
illa ſeu niſus quo adducitur arteria æquiualet ponderi; ſed de his ſatis.
Schol. quod pertinet ad reflexionem.
Obſeruaſti in Th.8.l.6.quoſdam noluiſſe impetum in reflexione pro­
duci propter compreſſionem, vel corporis reflexi, vel reflectentis, vel
vtriuſque, quod certè fieri non poteſt, alioquin ſit globus reflexus; certè
comprimitur neceſſariò à puncto contactus verſus centrum quod certum
eſt; igitur redit neceſſariò per lineam ductam à puncto contactus per
idem centrum quod falſum eſt vt patet; igitur eſt alia cauſa huius motus
ſcilicet præuius impetus.
Quidam etiam volunt hunc impetum produci ab ipſo corpore re­
flectente quod tamen abſurdum eſt, alioquin per eandem lineam ductam
à puncto contactus per centrum globi fieret reflexio, ſic enim globus
tantùm impelli poteſt, vt demonſtratum eſt lib.1. ſed de his fatis.
1
Schol. pag. 217. num.8.
Obſeruabis primò, fœdatam eſſe pulcherrimam demonſtrationem quæ
habetur loco citato innumeris propemodum mendis, qua ſcilicet pro­
batur omnium inclinatarum, quæ ab eodem horizontalis puncto ad
idem perpendiculum ducuntur, cam quæ eſt ad angulum 45. grad. bre­
uiſſimo tempore decurri; ſit enim Fig.49. Tab.2. in qua ſit EC diuiſa
bifariam in A, ex quo ducatur circulus radio AC, ſit AB perpendicula­
ris in AC; ducantur BC.BR.BM. dico BC breuiore tempore quàm B
R, BM, percurri, quod breuiter demonſtro: ducatur AH perpendicula­
ris in BC, ſitque vt BH ad BI, ita BI ad BC; certè BH & AC æquali
tempore percurruntur; ſit autem tempus quo percurritur BH, vel AC
vt. BH; haud dubiè tempus quo percurretur BC erit vt BI, eſt autem B
I æqualis AC,, quæ eſt media proportionalis inter BC & BH, vt con­
ſtat; ſit autem BR dupla AR, & angulus ABR 30. grad. ducatur BY
perpendicularis in BR, certè RY eſt dupla BR, ſunt enim triangula RB
A, RBY proportionalia; igitur BR & YR perpendicularis eodem tem­
pore percurruntur; ſed YR eſt maior EC, nam EC eſt dupla AB, & R
Y dupla RB, quæ eſt maior AB, ergo YR maiore tempore percurritur
quam CE, igitur BR quam BC, ſimiliter ducatur BM ad angulum ABM
60. grad. ſit QB perpendicularis in BM; igitur QM eſt dupla QB,
igitur maior EC; igitur maiore tempore percurritur; ſed BM & QM
æquali tempore decurruntur; igitur BM maiore tempore, quam BC
quod erat demonſtrandum.
Obſeruabis ſecundò BM & BR æquali tempore decurri, vnde quod
ſanè mirificum eſt, ſi pariter vtrimque creſcat, & decreſcat angulus in
puncto B, ſupra & infra BC, æquali tempore percurrentur duo plana in­
clinata; v.g.angulus RBA detrahit angulo ABC angulum CBR 15.grad.
& angulus ABM addit angulum CBM 15.grad. motus per BR & B
M fient æqualibus temporibus, vt conſtat ex dictis.
Obſeruabis tertiò rationem à priori inde eſſe ducendam; quod cum
perpendiculum ſeu diagonalis quæ ſuſtinet angulum rectum ſit regula
temporis quo decurritur omnis inclinata, diagonalis quadrati ſit om­
nium aliarum minima in rectangulis quorum minus latus ſit maius ſe­
midiagonali quadrati, in eodem ſcilicet perpendiculo; v.g. ſit diagona­
lis EC, ſint latera quadrati EBC, ducatur infra BA quælibet recta, v.g.
BR, & in BR ducatur perpendicularis BY, certè YR eſt maior EC,
quia vt eſt RA ad AB, ita AB ad AY, igitur AB eſt media proportionalis
communis; ſed collectum ex extremis inæqualibus, eſt ſemper maius
collecto ex æqualibus, poſita ſcilicet eadem media proportionali; ſi enim
ſunt æqualia, media proportionalis eſt ſemidiameter circuli cuius dia­
meter eſt æqualis collecto; ſi verò ſunt inæqualia, media proportiona­
lis eſt ſunicorda circuli, cuius diameter eſt æqualis collecto; igitur col­
lectum iſtud eſt maius priore, ſed hæc ſunt ſatis clara.
Quod ſpectat ad demonſtrationem num. 9. ibidem poſitam, & peni-
1tus mendis fædatam, duces ſpongiam vſque ad lineam 22. pag.214. vbi
legis hæc verba, adde quod præſertim, cùm illam alibi, ſcilicet lib. 8. de­
monſtremus.
Cæterum vnum obſeruabis in Fig. 1.Tab.4. ſi diuidatur BE bifariam
æqualiter in T ducaturque FTG, fore vt mobile citiùs decurrat BTF
facto initio motus in B, quam chordam BF: cum enim FG ſit dupla FT,
ſit media proportionalis inter GT, GF; haud dubiè quadratum illius erit
duplum quadr. TF, & ſubduplum quadr.BF, igitur ſit EG 4.ET 2FT erit
Rad. que 20. igitur FG rad. que 80. igitur media proportionalis (quæ ſit,
v.g. G μ) rad. que 40. igitur ſi ſubtrahatur GT, id eſt rad. q.20. id eſt 4.
1/2 paulò minùs, ſed plùs quàm 4. 1/3 ex G μ; id eſt ex rad. q.40. id eſt 6.
1/3 paulò minùs ſupereſt τμ, quæ minor eſt 2. ſed ſi tempore BT, per­
curritur BT, æquali tempore percurretur tripla BT; igitur tempus quo
percurritur dupla BE, eſt vt BE; ſed tempus quo percurritur BTF eſt vt
BT μ; atqui T μ eſt minor TE; id eſt 2. igitur breuiore tempore percur­
ritur BTF, quam dupla DE; ſed quo tempore percurritur dupla BE,
etiam percurritur BF; igitur BTF breuiore tempore percurritur quam
BF; vt autem ſcias quantum percurritur in perpendiculari, quo tempore
percurritur BTF, ſit FE 100000. erit FT 111800. igitur G μ 151657.
igitur ſi vt BT 50000. ad BT μ, id eſt ad 89857. ita BT μ ad aliam, hæc
erit 161485. hoc ſpatium decurretur in perpendiculari, vides quam ſit
minor dupla BE, id eſt 200000. Si autem accipis Fig.1. Tab.3. BZE ſit
GP 100000.GZ 42265.ſit etiam vt EZ ad EY ita EY ad CB; GZ erit
87757. igitur acquiretur in perpendiculari 182253.eo tempore quo per­
curretur GZB, facto initio motus à G, ſed hæc eſt minor dupla GP, id
eſt 200000. accedit tamen propiùs quam ſuperior, igitur longiore tem­
pore decurit duas GZB huius figuræ quam duas BTF ſuperioris fig.
Denique in Fig. 32. Tab. 3.ſit BY ita vt angulus BYA ſit grad.15.ſitque
v.g. vt YZ, ad YL, ita YL ad YB; iuxta canonem ſinuum BY erit 386370.
YL 330171. ZL 47739. EZ 73205. ELZ 120944. igitur acquiretur in
perpendiculari 199814. quo tempore decurretur EZB; vides quàm pro­
ximè accedat ad duplam EM id eſt ad 200000.
Denique ſi percurrat EMB, ſcilicet EM motu accelerato, tum MB
æquabili; certè MB percurret ſubduplo tempore illius, quo percurrit E
M, vt conſtat; igitur ſit EM tempus quo percurrit EM v. g. 2.percurret
EMB tempore EMS ſcilicet 3. ſed ſi percurrat EM tempore EM, du­
plam decurrit tempore EB, ſed EB eſt minor EMS, eſt enim rad. quadr.
8. igitur EB decurritur citiùs quàm EMB, ſed de his ſatis.
ERRATA.
Pag. 10. lin. 4 magnete. p.13 l.vlt.non decreſcit p.17.Th. 10.l. 2. non exigeret.p.20.
l .ult. in ſe ipſo. p.21.t.26.l.2. non poteſt. p.24.t.32.l.5. duabus. p.25.t. 33. l. 15.tertiò
probatur. Caſtiga ibidem multas interpunctiones p.28.l. 1. maioris. p .31 l.3. Ax. 12.
l.8 primo l.9. ſecundo l.35. cum tu. p.33.l. 1. motus.p. 35. min 5s. t. 51.& 52. fig.2.
t. 55.l.2. immobilis A. p.36. fig.2. p.49.t.86.l.3.lib.2.p.54.l.1. Th. 81.p.25.l.17. in EL.
1l.38.AB ad GB, id eſt vt 1.ad 5.p.66.t.137.l.4. AD & AB.t.738.l.5. tota AC. t.140
fig. 15.tab.1. p.80.l. 3. idem eſſet, p.83.l.20. non eſt.p.88.l.4. ſecundo erunt, p.89. in
Sch.l.5. 1.ſpatium, l. 7, caſtiga interpunctionem, p.90, t.41.l.3. terminus ſit 1.t.43. lege
ter rad.q. p.91 l.5. dele hac verba quàm ſpatij quod, &c. vſque ad quàm, p.92.l. 15.
& 17. caſtiga interpunctiones p. 101. l. 10. perticam, l.26. proportionis primæ. l.39.
æquales AC.l.42. 1/4 ſed, p.102. l.17. minimæ, p.104.l.4.acceditur. l.7.diſcerni.p.105.
l. 6, BI, l.32 igitur tertio. l.33. FM, p.106.l.1. toties, l.8. & 10. AFM, p.108.l.27.in­
ſtantia illud 1. 1/2 l.4. ſi 9. continet 1. 4/5 ſi 10. 1. (9/12) Coroll.4.l.4. que2.l.6.q.4. p. 109.l.1.
q.4. l.2. q.2. Cor.6. l.20. & 22. vbicationem, l.30. phyſica minora. l.32. ſecundo in­
ſtanti, p. 113.t.64.l.1. ſectam, t.65.l.4.primum inſtans. 1.l.7.tertium. (5/11) t.66.l.1.aliqua
l.7. minore CD.p.115. t.70.l.7.primo eſt rad.q.2. l.8. tria rad.q.3.Th.71-l.2.nullum
eſſet. p.116.t.76. l.5.vel communis qua grauitat, l.6. de quo aliàs, vel ſingularis, p, 117.
in Sch.l.12. materiæ, p.118.t.81. l.7. extrudi, p.123. t. 103.l.6. vel diuerſæ grauitatis,
& mollitiei, p, 124. l.4. grauioris, t.104. l 5. ſecunda eiuſdem materiæ, & figuræ ter­
tia.l.12. vel eadem vel diuerſa p.125.t.109.L.B.K.L. t.110.l.1. diuiſione, p.127.l.25.
cubo minori, p.128.l.7.mouent, l.10. aëre repellitur. l. 14. permeat, t.112. l 2. actiui­
tatis vnius.l.7. motum retardat; cum.l.16. modicus ventus.p.129. t.114.l.5.acuto. l.
6. mobile, l.7.maior eſt.l.8. ſemiperipheriæ, l.vlt. illam cauam, p.130.l.2.alter grauior
t.123.l.2. intruſus, p.133.l.7. in hoc agemus, p.13.l.1. adſtantibus, p.137. l.4. produ­
ctum. p 143.l.7. accidit l.12. producto.p.145. habes. v.g. pro R, Q, & radices 4. pro
que & alibi paſſim 9.pro Q, t.47. l.9. ſubduplicata. p.151. l.11. ſi loquamur. l.14. di­
ſtinctiones, l.21. deſcenderet. p.154.l.1. determinatum, l.5. inclinatam ſurſum.p.256.
t.13, l.4.IM.ſeq.fig.pro fig.37. lege 13. p.157.l, 3.partis.l28. ita vt, l. 37. non dati.p.
158.t. 19.l. 6. parallela.p.161.l.12. æquabilitas. l.15. primo æquabibi p. 162.t.39. l.1.
vtcumque, l.6. EO æquali.p.165.t.42.l, 3. violento.p.167.fig.47.Th.57. l.2. decreſcit.
p.173.c. 1.l.4. linea motus accedit, p.172. t.2.l.15. QR (2/16) in X.l. 19.EB.l.31.EYEZ.
p.137.l.8. infra.l.10 maximam t. 66 l.7. BG. l. 12. æqualem RK. p. 174. l.7. diffe­
rentiam, l. 9. tendere, centrum, l.16.erit AE, l.18.totus ille, t.62 l.2. inclinatiorem, l.4.
detrahi, p.175.l.35. reſiſtentiam, p.176.t.70.fig. 54.l.9.in E ſed.p.177.l7.debet. t.72.
tab.2.l. 5. æqualis CR.l.vlt. demittatur, p.178.t.77.l. 3.eadem ratio.t.78.l.1.excepta.
t.80.l.4.motus mixtus, p. 179.l.2. motus terræ, l 24. AK. tab.2.l.27.AD.l.28. DE p.
180.l.7. 20 .l. 33. imum malum, p.18 1.l.11.rapietur.l.32.ſi verò.p.182.l.2.FA, p.183.l 3.
mixtus EB denique, l 6. ad quam.l.27. cum impetu, l.29. ex verticali.p.184.l.6.parte.
l.9. æqualem IK, l.15. recidit.l.26. mobile, l.29. rhedis. p.185.l.2. motu non aſſimi­
lem.p.186. l.8. oppoſitam, p.187.l 2. arcu p.188. l.10. ad GM, l.28. puncto Z, p.189.
l.24. ſubduplam, l.31.ſagittam AR.p.190.l.14. erit KI inclinata KC, l.37.quam ſup­
pono.l.38. caſt.interpunct.p.191.t.107.l.6.eſt AH.p.92.t.109.l.5. ſit AE.l.6.ſit HN,
l.7. AO & FG.l.15. & EM.l.16. AM, caſt.interp.t.110.l.5.p.193.n.4.l.5. è naui. n.8.
l, 3. ex ABAF, p.197.l.38. tantum I, l.28. BAI.p.198.l.6. CA. nam.l.7.fune DB.l.10.
EA.l. 12.AC verſus E.l. 13.ad BA.l. 34. EO, l.40. vt RF, l.41. vel in B vt PR.p.199.
l.7. LM.vt SR.l 35.ſinui.p.200.t.70.l.4.non deſcendit.t. 9.l.1. BAE, t.10. l.2. lib.2. p.
201.l.7. innato, l. vlt. eodem. in Sch.fig.26.tab. 1. p.202.l.2.AD.fig.27, l. 30. vt AD.
Th. 16.Fig. 31. Tab.2.p.203.l.8. in A.l.21. GD.p.205 t.18.l.15.ducatur LE.l.6.DG. l.
vlt. FP.DN, p.206. n.8.l.3.AIFD, l.4. in AG.p.207.t.19.habes L pro G.p.209.t.25.
l.3. ducatur, t.26.l.2. AF.p.210.l.4.deſcendet fig.42.tab.2. t.28.loco B.lege X.t. 30.l.7.
ad KA.t, 30. l.8.petcurritur A.D.p.211.l.6. longitudinum, p.212.l.12. ad BC ducatur
BG. Si non eſſet maior 5. CF, l. 14. CF ferè 2. 1/2 l. 30, BKAK, p.213.l.41.ſit rad.
q.8.l.20.GED.num. 8, & 9.ſcatent mendis tu caſtigabis iuxta Sch. vltimæ appendicis.
p.215. t.37.l.7. vel AFC. p.216. t.38.l.11. conficeret per AF. l. vlt. aſcenſum. Th.40.
l.4. MA t.41.fig.3.tab, 3.p.217. l.6.21.22. E.pro C.p.218.t.47.l.4. ſubduplus impetus
t.49. l.11. vt ſubdupla BC l.13. dele a, quia vſque vt verò, p.219. l.2. vt ſubdupla GF
l.5. vt ſubdupla BC.l.7. quadruplum AB.p.220.l. 8.perpendicularis GH.l.11.paral­
lela EG.t. 56. habes Y lege & t.58. l.2. verſus E, p.221.t.60, Y pro & t.62. V pro γ,
l.8.puta β.t.64. T pro τ p.222.l.9. æqualis.t.65. X pro & l.10.in plano.t.66 P & t68.
l.3.vt planum fig.7, tab. 3. p.223. l.11.per KA vt DC ad CA, l.13. EPPEEA, l.37.
enotum, p.225.l.3. non eſt p.228.t.86.l.6. LC.l.7. maior t.87.l.6. inſerte.t, 89 t.8.an-
1tecedentia.p.219.t.93. l. 17. accedit.p.230.t.97.l. 90. tum QP. & EI.æqualia QYA
D.p.231.t.98.l.6, MK.l.11. ſupra C.l.12. arcus MGP.l.14.ſi verò in V.t.99.l.11.in 4.
vt AZ.l.4. 3 E.l.5. TBE p.232.t.100.l.12. inſerto.l.33. & ratione. l.13. EQE.l.27.
ad AT ad A θυεl.36. motum per AC.l.37. per AC.p.233.l.3.eſſet. l.4.debet eſſe co.4.
l 5 deſcendant.p.235.l.20. ADG.l.39. vbi eſt motus.p.238.l.3. totum agit. p.240.t.
17.l.4. atque, p.241.t.20.l.2. lib. 1.t.23.l.8. horizontalis.l.13. GD ad AB. p.243.l.5. D
G. l.17. ad DA.l.19. dele GO, p.244.t.33.l.6. volunt.p.246.l.19.& 23. G δ.l.24. Th.
40.l.42. idque duobus.p.248.l.38. motum.p.249:t.41.l. 11. PD æqualis, p.250.t.44.l.8.
& hic GDK.p.251.l.9. G δ.p.252.l.4. quieſcit vt vult; ſed rem demonſtraui.p.253.
l.7. quod dum.l.17.& 36.atterantur.l.39.cedit.p. 254.l. 13.atterantur, p.253. t.59.l. 1.
deſtruitur.p.254.t.62.l.12. oppoſitam.p.255.l.34. DBM. p.266.l.9. verò 60.t.64. l.
19. ſubdupla habent ſæpius V.pro γ.l.21.detrahatur δ H.l.28. 1 1/2 p.257..l.12.FAN
C. fig.23. tab. 3. p.258.t.68.l. 3 autem ſic l.10. Th. 135. lib. 1.t. 67. habes ſæpius ν
pro γ.p.259.l.14. globus B. l.31. globi B. l.29. aſſumatur M θ, p. 262. l.2. reſilit. p.
264. Th.90.l.6. lineæ.l.9. ſed mox.p. 265. υ pro γ p.266. t.93. inſtanti. t.97.in Sch.
l.1. cauſas multiplices.p.267.l.6. an fortè.l.26. lumine.l.39: fori.p.268, l.40. rectam.
p.269.l, 7. eſt minor 3 1/2 & eius quadr.minus 31.l.8. eſt 8.l 9. igitur hæc. l.14. dele
non in hac pa.& ſup. legs γ pro n. p.270. l.8.aliæ. p.273.l.9. lineam LM. p.274.t.6.l.
17.vnus p.275.l.13.dele.A, l.21.dele non, l.25. vix in.p.276.l.1.LM.p.278.t.15.l.7. QR.
p.279.l.2.locis.l.9, quep.280.t. 19. lege L pro T.p.281.l.11.ſi motus.l. 14.intenſum.t.21.
A.p, 283. t.29.l.2. DC.t.30.l.5. C ſurſum.p.284.t.34.l.8. à ſe. p. 286. t. 42.l.7. cono
l.4. cuius axis, conus, p.287.t.45.l.7.maior, p.288.t.48.l.18.FC.p.289.t.50.l. 10.ad AE
permutando, p.292.t.57, l.7. ſubduplæ, p.293.t.61.l.5. A θ, l.6, puncto A, ibidem lege
Y pro V.p.298.def, 9.l.1. corpori, l.6. à moto, p.299. l.6. corporis, l.22. mixtam, p.300.
t.2.l 3. L, p.131.l.8. motus, p.302. Lem.1, l.12. æqualibus, Lem.3. l. 13. dele Q, l.18.
æquales, p. 303. Lem.4.l.7. ſit QR, l.12. ad quintam, l 15. Ax.rationem, l.17. Ax.Lem.
6.l.4. in DG, p.303. Lem. 10.l.12. maius, Lem.12.l. 4. dele cuius conſtructionis l.5.
TQA, l.7. quæ AB, l.8. quad.45.l.12. BE, p.306 in Sch l, 2. μ α, YR, p.307.Lem 15.
l.23.ad BG, B 4, p.308. υ pro γ paſſim, l. 17. vt YZF, Lem. 16. l.11. quinam, p 307.
l.9. α ad BZ, p.310.l.1, recta, t.8, l, 2. inæqualia, l.6. in quo, p.311.l.36. 34.grad.p. 313.
Cor.3.l.6.angulum ipſa.p.316. l 36. percurritur, p.317.t.16. fig.3. Tab.4.l.4, tempore
æquali, p.319.t. 20.l.13. ad H t.22.l. 3.enim, l, 4. impetus quo aſcendat in ω dele hæc
verba haud dubiè per arcum ferretur in ω p.320.l. 1. perueniet in θ l.4. C fertur, t, 23.
l 1, niſit, p. 321 l.6, ſpatiis, l.15.primo aſcenſu, l 34. ferri, p. 322.t.26.l.6.primæ, ſecun­
dæ, p 323.l. 34. ignota, p. 324.l vlt. prima, p.326. cor.3.l.2. ita vt, p.327.cor. 5 l.4. de­
ſcenderet, l 33.ferri, p.329 l.5. medullaceum, l. 17.quamdam, l 18. dele conficiet, l 19.
conficiet tres, l.41. huius motus p. 331. cor.2.l.3. in F. cor.3. l 1 in hoc & cor. 5.l.3.
quia enim, cor.6.l.1. ſuſpendatur, p.332.l.3. pondus, C. t.41. l. 5. puncto, p. 333. l. 2.
quam maiores, p.334. def. 1 l.3. curuam, def 2.l. 3. ex duobus rectis & p 335 t. 1.l 12.
LQA. p. 336 l 2. vel MI, l. 4. & motus cor.1 l 6, L γ, cor. 2. l 3. AC, & l 4.& quo
cor.4.l.2 p 2 cor 5.l 4. LH, & p.337. cor.6.l 5.dele, vt l 6.Z, 9, l. 10. ſinguli. cor.7 l.
3.9.grad p.338. t. 5 l. 2. AB, æqualem arcui AV. l. 3. æqualem XV, id eſt arcum
ſious AV, ſed, t.6.l 2 OPDL 4. OZP, p.339.l.4. A. 18. t.7.l.4.ſinus ex gradu, l. 11.
aſſumas, l 13. vero 1.t.8. l 1. rota, p.340.l.15. puncta B, punctum B, l.25. aſcenderet. l.
39 centro M, l.41. ſimplici, l.42. punctum P, l.44 circa centrum, p.341.n.8.l 2.illum
fig.10 tab.4, lib.10 quadrat IA, l.15. KD, l.16. HF, n 9.l.6. profecto, p.342. n.12 l.4.
inſuperabilem l 6.ſibi non, l.8. non tangit, p.343 l.21 huiuſmodi contactus, l.25.DN,
l.5. ne diu, l.13. arcu BD, l 14. contactu medio, p.344. dele non n 18.fig 12. tab.4. l 2.
imaginarium, n 20. DC primum, p.345 l.8. quod n.24 l 2. duo, p.346.n.27. l 3.in K,
l 4. ſecet, l.9. lege γ pro V, ſit ZX n.28.l.4 colliguntur, p 347.l 5. puncto D. in Sch.l.
vlt experientia, p 348.l, vlt lignea, p.349 l.9. nam, p.350. t.15. l. 3. centro A, lege τ
pro T, ter, p.351. l.1. qui eſt, n. 5.l.3 in P, n.6.l 3. BGDP, l.4.p.6. igitur BD eſt qua­
drupla BV, l.11. oppoſitorum, l 12. rectilineo, lege τ pro T bis, p.352 n 9 & 10 paſ­
ſim lege ρ pro X n 9.l.7. ad C, μ 10.l.3. BT non ſingula ρ α ſingulis ρ B t.16.l.1. rotæ,
quæ p.353. n 5.l 3. motu, l 6. triplo maior, t 17.l 3.dele T, p.354 n 3 l.2. configit BG,.
I 3 dele I, n, 6.l 5.KT, n.7.l.3. vt quadrans l 6. contactus, t.13. l.3. dele 4 p, 355 n.2 l,
18. VTD, n.3.l. nam AV, n.4. AC, n. 6 l.2. TVY, l.3. radius PCTV ſumantur τ γ Y
YT: l.4.6 T δ, n.8.l.1.PC, l.5.igitur cum, p.356.l.5.rectam in Coroll.ita peccatum eſt
vt errata caſtigati vix poſſint p.358.n. 5 l.1. partes areæ, l 2. conficient, l.4. mouetur,
t.20.n.3. l.8, cinguntur, p.359.l.1. B & C, n, 11.l.9. aëris, p, 360 n. 14.l 1.ceſſat motus,
n. 17. tab. 5.n.20. citiſſimus, n.22.l 1 ceſſat motus, n.24.l.1. ſi grauior, p, 361.t.21.n.2.
l.4. nec dextrorſum, p, 362.l.1. ipſam DA, velis, l 2. ex recto, l 5. motus orbis, l 11.
pollant, t.23.l 1. plumbi, l.2. ſint, l.7. quia, l 9. α, n. 6.l.1. adde, t.25. l.2. ſerpentis, p.
363.t.25 l.13. conoidicus, p.364.l.2. verſus G, t.27.n.4.l.4. motum, p.365.n 9.l 6.rota­
tæ, p. 366.l, 12. reſilit., t.29 l.4. niſu, l.10.faciet vero, l. 14.AI, l.23.extremitatem.p.367.
n.13. l 4.manus, p. 368.l.1. erectam, n.10.l.3. quæ, n.1.l6 5. libretur, n. 17.l. 6. EL, p.
369.l, 1. qua, p.370 n 24.l.24. rudiaria lege paſſim G pro C, t 30.l 7. vt C, p.371.l.6.
qui, p.372 n.13.l.10. GE cum in I, erit in L, n.15.l.4. mitius, p.373.l.7.terram p.374.t.
33.fig.13 tab.4.p.375. lege Q pro K paſſim LB erectæ, l 1.delineari fig.8.tab.5.l.16 ita
vt, l 17.quadratum AM 16.l 17. quadratum AO, p 377.l 3. nec producitur, t.1 l 4.ali­
quid, p 378.l.4 anima, p 379.l.1. effectus, l.8.brachium, l penult. volæ, p.380.t.2 l.2.ali­
quid ſic globus pendulus, p.381.t.3 l.5. æquitem capiti, l 18. imo equus, l.26 determi­
nata, l 36. cruris, p. 392.n.10.fig 28.l 21. omittendus, n.11.fig.27.l.9 vt BC p 383.l.10.
facilia, p.384.l.4. productum, p. 385 n.8.l 10, fune; n.9.l 5. funes, p.386 l.15. ad DL,
n.11, fig.31.l 7.fig.30 p.388.l.3.etiam nauis, l.11. duo tauri, t.7.l.10. ſe ipſo, l 11. corpore
impulſo, p.389.t 8 l.8. finem, p.390.t.11.l 4, arcus BC, p.392.n.4.l.6.ABC, p.194.n.6.
l 8. conficit, l.18. ſubduplam, p.395.n.8. l.8. ſe iuncto, p 396.n.21.l.6. de p.399. l 9.
proportionem, n.3 l.3. vt radix CD, n.9.l.4. ſit 1 pondus 2. certè, p 401.l.6. arcum, l.
15. circa K, p.402.l 2. medium, l 22. agant, t.14.l.9. ſint, in hoc Th. affige literas af­
firas mucroni gladij ipfi capulari pilæ, & viciſſim, p.403.n.7.l.8.æquali vtriuſque, n. 8.
l.5. detectum, p 404 n.13.l 3. æquipondium, n. 15.l.5. alio, p.405 n.18.l.1. intentetur,
l.3.extento, n 19.l 1. impetens gladius, t.23 n.2.l.2. & eadem altitudo, p.406. n.5.l.2.
corpore n. 6 l.1. ictum, n.10.l.2. quæ, n.11.l.2. proportio, l.3: 1000.p.407.l.4.gradus, n.
12.l.3. eandem, p.409.n.19.fig.20.l.11. P ν N β γ.n.22. fig. 16.p.410. n.24.l.2. mino­
rem, lege N, pro F, p.411.l.5. vt l.6. vt chorda MV, l.vlt.velociter, p.402. t.17.l.5.ex­
tendi, l.12. prædictam, l.24. imprimit, l.25. certa.p.413.n.4.l.3. mouentur, l.7. alium,
p.414.l.2. augendum, n.10.l.2. tormentaria, l.3.n.11. reticulo in fig. 24. tab. 5. adhibe
H ſub G tum L ſub Z, in fig.22. adhibe omnes literas in quadrante AGD, in fig. 25.
tab. lege C inter BA, p.415.l.12. fig.37. tab. 3.n.11.l.2. quæ, n. 12.l. 12. tamen ſit l 14.
octauo, in p.416.n.2.l.5. corporum, n.3.l.1. diſperſio, l.2. ſic n.3.l.2. vannus autem; l.
12.portu, n.6.l.6. quando duo, p.417.l.4.impreſſus, n.8.l. 11. cadit, n.9.l.6.ſapo.n.10.l.4.
vnum corpus, l.8. vnum corpus p.418.l.9.luctam, l. 12. fulminis, t. 20. l.2. in plano,
l.8.reſilit, l. 18. pluit, p. 419. l. 14. vorticem, p. 421. l. 9. lineas, lege paſſim poſitio
propoſitiones, p.423.l.7.triangulo, l.8. IKD, p.426.t.15.rig.12. t.16. l.5. perpendi­
culares,. 427.l.6. AH, cor.2.fig.14.p.430l. 32. CNAP, t.22.l.4. D vt.
FINIS,
1
[Empty page]
1 38[Figure 38]
TABVLA I
1 39[Figure 39]
TABVLA 2
1 40[Figure 40]
TABVLA TERTIA
1 41[Figure 41]
TABVLA QVARTA
1 42[Figure 42]
TABVLA QVINTA