Commandino, Federico, Liber de centro gravitatis solidorum, 1565

Bibliographic information

Author: Commandino, Federico
Title: Liber de centro gravitatis solidorum
Date: 1565

Permanent URL

Document ID: MPIWG:7W21UZ74
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:7W21UZ74

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
FEDERICI
COMMANDINI
VRBINATIS LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS
SOLIDORVM.
1[Figure 1]
CVM PRIVILEGIO IN ANNOS X.
BONONIAE,
Ex Officina Alexandri Benacii.
MDLXV.
1
[Empty page]
1
ALEXANDRO FARNESIO
CARDINALI AMPLISSIMO.
ET OPTIMO.
Cvm multæ res in mathematicis
diſciplinis nequaquam ſatis ad­
 huc explicatæ ſint, tum perdif­
 ficilis, & perobſcura quæſtio
eſt de centro grauitatis corpo­
 rum ſolidorum; quæ, & ad co­
 gnoſcendum pulcherrima eſt,
& ad multa, quæ à mathematicis proponuntur, præ­
 clare intelligenda maximum affert adiumentum. de
qua neminem ex mathematicis, neque noſtra, neque
patrum noſtrorum memoria ſcriptum reliquiſſe ſci­
 mus. & quamuis in earum monumentis literarum non
nulla reperiantur, ex quibus in hanc ſententiam addu
 ci poſſumus, vt exiſtimemus hanc rem ab ijſdem vber­
 rime tractatam eſſe; tamen neſcio quo fato adhuc
in eiuſmodi librorum ignoratione verſamur. Archi­
 medes quidem mathematicorum princeps in libello,
cuius inſcriptio eſt, κέντρα βάρων ἐπιπέδων, de centro pla­
 norum copioſiſsime, atque acutiſsime conſcripſit: &
in eo explicando ſummam ingenii, & ſcientiæ gloriam eſt
conſecutus. Sed de cognitione centri grauitatis corporum
ſolidorum nulla in eius libris litera inuenitur. non mul
 tos abhinc annos MARCELLVS II. PONT.
1cum adhuc Cardinalis eſſet, mihi, quæ ſua erat hu­
 manitas, libros eiuſdem Archimedis de ijs, quæ ve­
 huntur in aqua, latine redditos dono dedit. hos cum
ego, ut aliorum ſtudia incitarem, emendandos, & com­
mentariis illuſtrandos ſuſcepiſſem, animaduerti dubi
tari non poſſe, quin Archimedes vel de hac materia
ſcripſiſſet, vel aliorum mathematicorum ſcripta per­
 legiſſet. nam in iis tum alia nonnulla, tum maxime
illam propoſitionem, ut euidentem, & aliàs proba­
 tam aſſumit, Centrum grauitatis in portionibus conoi
 dis rectanguli axem ita diuidere, vt pars, quæ ad verti
 cem terminatur, alterius partis, quæ ad baſim dupla
ſit. Verum hæc ad eam partem mathematicarum
diſciplinarum præcipue refertur, in qua de centro
grauitatis corporum ſolidorum tractatur. non eſt au
 tem conſentaneum Archimedem illum admirabilem
virum hanc propoſitionem ſibi argumentis con­
 firmandam exiſtimaturum non fuiſſe, niſi eam vel
aliis in locis probauiſſet, vel ab aliis probatam eſſe
comperiſſet. quamobrem nequid in iis libris intel­
 ligendis deſiderari poſſet, ſtatui hanc etiam partem
vel à veteribus prætermiſſam, vel tractatam quidem,
ſed in tenebris iacentem, non intactam relinquere;
atque ex aſsidua mathematicorum, præſertim Archi­
 medis lectione, quæ mihi in mentem venerunt, ea in
medium afferre; ut centri grauitatis corporum ſoli­
 dorum, ſi non perfectam, at certe aliquam
1tiam haberemus. Quem meum laborem non mathe­
 maticis ſolum, verum iis etiam, qui naturæ obſcuri­
 tate delectantur, non iniucundam fore ſperaui: multa
enim προβλήματα cognitione digniſsima, quæ ad vtran­
que ſcientiam attinent, ſeſe legentibus obtuliſſent.
neque id vlli mirandum videri debet. vt enim in cor­
poribus noſtris omnia membra, ex quibus certa quæ
 dam officia naſcuntur, diuino quodam ordine inter
ſe implicata, & colligata ſunt: in iisque; admirabilis il­
 la conſpiratio, quam σύμπνοιαν græci vocant, eluceſcit,
ita tres illæ Philoſophiæ (ut Ariſtotelis verbo vtar)
quæ veritatem ſolam propoſitam habent, licet qui­
 buſdam quaſi finibus ſuis regantur: tamen earum vna­
 quæque per ſe ipſam quodammodo imperfecta eſt:
neque altera ſine alterius auxilio plene comprehen­
 di poteſt. complures præterea mathematicorum no­
 di ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expe
 diti eſſent: atque (ut vno verbo complectar) niſi
mea valde amo, tractationem hanc meam ſtudioſis
non mediocrem vtilitatem, & magnam volupta­
 tem allaturam eſſe mihi perſuaſi. cum autem ad hoc
ſcribendum aggreſſus eſsem, allatus eſt ad me liber
Franciſci Maurolici Meſſanenſis, in quo vir ille do­
 ctiſsimus, & in iis diſciplinis exercitatiſsimus af­
 firmabat ſe de centro grauitatis corporum ſolido­
 rum conſcripſiſſe. cum hoc intellexiſſem, ſuſtinui
me pauliſper: tacitus que expectaui, dum opus
1risſimi uiri, quem ſemper honoris cauſſa nomino,
in lucem proferretur: mihi enim exploratisſimum
erat: Franciſcum Maurolicum multo doctius, &
exquiſitius hoc diſciplinarum genus ſcriptis ſuis tra
 diturum. ſed cum id tardius fieret, hoc eſt, ut ego
interpretor, diligentius, mihi diutius hac ſcriptione
non ſuperſedendum eſſe duxi, præſertim cum iam li­
 bri Archimedis de iis, quæ uehuntur in aqua, opera
mea illuſtrati typis excudendi eſſent. nec me alia cauſ
 ſa impuliſſet, ut de centro grauitatis corporum ſoli­
 dorum ſcriberem, niſi ut hac etiam ratione lux eis
quàm maxime fieri poſſet afferretur. atque id eò mihi
faciendum exiſtimaui, quòd in ſpem ueniebam fore,
ut cum ego ex omnibus mathematicis primus, hanc
materiam explicandam ſuſcepiſſem; ſi quid errati for
 te à me commiſſum eſſet, boni uiri potius id meæ de
ſtudioſis hominibus bene merendi cupiditati, quàm
arrogantiæ aſcriberent. reſtabat ut conſiderarem, cui
potisſimum ex principibus uiris contemplationem
hanc, nunc primum memoriæ, ac literis proditam de
dicarem. harum mearum cogitationum ſumma fa­
 cta, exiſtimaui nemini conuenientius de centro graui
tatis corporum opus dicari oportere, quàm ALE­
 XANDRO FARNESIO grauisſimo, ac prudentisſi­
 mo Cardinali, quo in uiro ſumma fortuna ſemper cum
ſumma uirtute certauit. quid enim maxime in te ad­
 mirati debeant homines, obſcurum eſt; uſum ne
1rum, qui pueritiæ tempus extremum principium ha
 buiſti, & imperiorum, & ad Reges, & Imperatores ho­
 norificentiſsimarum legationum; an excellentiam
in omni genere literarum, qui vix adoleſcentulus, quæ
homines iam confirmata ætate ſummo ſtudio, diu­
turnisque; laboribus didicerunt, ſcientia, & cognitione
comprehendiſti: an conſilium, & ſapientiam in re­
 gendis, & gubernandis Ciuitatibus, cuius grauiſsimæ
ſententiæ in ſanctiſsimo Reip. Chriſtianæ conſilio di­
 ctæ, potius diuina oracula, quàm ſententiæ habitæ
ſunt, & habentur. prætermitto liberalitatem, & mu­
 nificentiam tuam, quam in ſtudioſiſsimo quoque ho
 neſtando quotidie magis oſtendis, ne videar auribus
tuis potius, quàm veritati ſeruire. quamuis à te in tot
præclaros viros tanta beneficia collata ſunt, & confe­
runtur, vt omnibus teſtatum ſit, nihil tibi eſſe charius,
nihil iucundius, quàm eximia tua liberalitate homi­
 nes ad amplexandam virtutem, licet currentes incita­
 re. nihil dico de ceteris virtutibus tuis, quæ tantæ
ſunt, quantæ ne cogitatione quidem comprehendi
poſſunt. Quamobrem hac præcipue de cauſſa te hu­
 ius meæ lucubrationis patronum eſſe volui, quam ea,
qua ſoles, humanitate accipies. te enim ſemper ob
diuinas virtutes tuas colui, & obſeruaui: nihilque; mi­
 hi fuit optatius; quàm tibi perſpectum eſſe meum
erga te animum; ſingularemque; obſeruantiam. cœ­
 lum igitur digito attingam, ſi poſt grauiſsimas
1cupationes tuas legendo Federici tui libro aliquid
impertiri temporis non grauaberis: cumque; in iis, qui
tibi ſemper addicti erunt, numerare. Vale.
Federicus Commandinus.
1
FEDERICI COMMANDINI
VRBINATIS LIBER DE CENTRO
GRAVITATIS SOLIDORVM.
DIFFINITIONES.
1
Centrvm grauitatis, Pappus
Alexandrinus in octauo ma­
 thematicarum collectionum
libro ita diffiniuit.
λέγομεν δέ κέντρον βάρους ἑκάστου σώ
 ματος ἐ̂ιναι σημε̂ιον τι κείμενον ἐντός, άφ'
ὅυ κατ' έποίνιαν ὰρτνθέν τό βάρος ν̔μερε̂ι
 φερόμενον, καὶ φυλάσσει τήν ἐξ ἀρχῆς θέ­
 σιν, ὀυ μὴ περιτρεπόμενον ἐν τῆ φορᾶ. hoc eſt,
Dicimus autem centrum grauitatis uniuſcu­
 iuſque corporis punctum quoddam intra poſi­
 tum, à quo ſi graue appenſum mente concipia­
 tur, dum fertur quieſcit; & ſeruat eam, quam in
principio habebat poſitionem: neque in ipſa la­
 tione circumuertitur.
Poſſumus etiam hoc modo diffinire.
Centrum grauitatis uniuſcuiuſque ſolidæ figu
 ræ eſt punctum illud intra poſitum, circa quod
undique partes æqualium momentorum conſi­
 ſtunt. ſi enim per tale centrum ducatur planum
figuram quomodocunque ſecans ſemper in
1tes æqueponderantes ipſam diuidet.
2
Priſmatis, cylindri, & portionis cylindri axem
appello rectam lineam, quæ oppoſitorum plano­
 rum centra grauitatis coniungit.
3
Pyramidis, coni, & portionis coni axem dico li
neam, quæ à uertice ad centrum grauitatis baſis
perducitur.
4
Si pyramis, conus, portio coni, uel conoidis ſe­
 cetur plano baſi æquidiſtante, pars, quæ eſt ad ba­
 ſim, fruſtum pyramidis, coni, portionis coni, uel
conoidis dicetur; quorum plana æquidiſtantia,
quæ opponuntur ſimilia ſunt, & inæqualia: axes
uero ſunt axium figurarum partes, quæ in ipſis
comprehenduntur.
PETITIONES.
1
Solidarum figurarum ſimilium centra grauita­
 tis ſimiliter ſunt poſita.
2
Solidis figuris ſimilibus, & æqualibus inter ſe
aptatis, centra quoque grauitatis ipſarum inter ſe
aptata erunt.
THEOREMA I. PROPOSITIO I.
Omnis figuræ rectilineæ in circulo deſcriptæ,
quæ æqualibus lateribus, & angulis contine­
1tur, centrum grauitatis eſt idem, quod circuli cen
trum.
Sit primo triangulum æquilaterum abc in circulo de­
 ſcriptum: & diuiſa ac bifariam in d, ducatur bd. erit in li­
 nea bd centrum grauitatis trianguli abc, ex tertia decima
primi libri Archimedis de centro grauitatis planorum. Et
2[Figure 2]
quoniam linea ab eſt æqualis
lineæ bc; & ad ipſi dc; eſtque;
bd utrique communis: trian­
gulum abd æquale erit trian
 gulo cbd: & anguli angulis æ­
 quales, qui æqualibus lateri­

bus ſubtenduntur. ergo angu
 li ad d utrique recti ſunt. quòd
cum linea bd ſecet ae bifa­

riam, & ad angulos rectos; in
ipſa bd eſt centrum circuli.
quare in eadem bd linea erit
centrum grauitatis trianguli, & circuli centrum. Similiter
diuiſa ab bifariam in e, & ducta ce, oſtendetur in ipſa utrum
que centrum contineri. ergo ea erunt in puncto, in quo li­
 neæ bd, ce conueniunt. trianguli igitur abc centrum gra
 uitatis eſt idem, quod circuli centrum.
8. primi.
13. primi.
corol. pri
 mæ tertii
3[Figure 3]
Sit quadratum abcd in cir­
 culo deſcriptum: & ducantur
ac, bd, quæ conueniant in e. er­
 go punctum e eſt centrum gra
 uitatis quadrati, ex decima eiuſ
dem libri Archimedis. Sed cum
omnes anguli ad abcd recti

ſint; erit abc ſemicirculus:
itemque; bcd: & propterea li­
 neæ ac, bd diametri circuli:
1quæ quidem in centro conueniunt. idem igitur eſt centrum
grauitatis quadrati, & circuli centrum.
31. tertii.
Sit pentagonum æquilaterum, & æquiangulum in circu­
4[Figure 4]
lo deſcriptum abcd e. & iun­
 cta bd, bifariamque; in f diuiſa,
ducatur cf, & producatur ad
circuli circumferentiam in g;
quæ lineam ae in h ſecet: de­
 inde iungantur ac, cc. Eodem
modo, quo ſupra demonſtra­
 bimus angulum bcf æqualem
eſſe. angulo dcf; & angulos
ad f utroſque rectos: & idcir­
co lineam cfg per circuli cen
 trum tranſire. Quoniam igi­
 tur latera cb, ba, & cd, de æqualia ſunt; & æquales anguli

cba, cde: erit baſis ca baſi: ce, & angulus bca angulo
dce æqualis. ergo & reliquus ach, reliquo ech. eſt au­
 tem ch utrique triangulo ach, ech communis. quare
baſis ah æqualis eſt baſi hc: & anguli, qui ad h recti: ſuntque;

recti, qui ad f. ergo lineæ ae, bd inter ſe ſe æquidiſtant.
Itaque cum trapezij abde latera bd, ae æquidiſtantia à li
 nea fh bifariam diuidantur; centrum grauitatis ipſius erit

in linea fh, ex ultima eiuſdem libri Archimedis. Sed trian­
 guli bcd centrum grauitatis eſt in linea cf. ergo in eadem
linea ch eſt centrum grauitatis trapezij abde, & trian­
 guli bcd: hoc eſt pentagoni ipſius centrum: & centrum
circuli. Rurſus ſi iuncta ad, bifariamque; ſecta in k, duca­
 tur ekl: demonſtrabimus in ipſa utrumque centrum in
eſſe. Sequitur ergo, ut punctum, in quo lineæ cg, el con­
 ueniunt, idem ſit centrum circuli, & centrum grauitatis
pentagoni.
4. Primi.
28. primi.
13. Archi­
medis.
Sit hexagonum abcdef æquilaterum, & æquiangulum
in circulo deſignatum: iunganturque; bd, ae: & bifariam
1cta bd in g puncto, ducatur cg; & protrahatur ad circuli
uſque circumferentiam; quæ ſecet ae in h. Similiter conclu
 demus cg per centrum circuli tranſire: & bifariam ſecate
lineam ae; itemque; lineas bd, ae inter ſe æquidiſtantes eſſe.
Cum igitur cg per centrum circuli tranſeat; & ad punctum
f perueniat neceſſe eſt: quòd cdef ſit dimidium circumfe
5[Figure 5]

rentiæ circuli. Quare in eadem
diametro cf erunt centra gra
 uitatis triangulorum bcd,
afe, & quadrilateri abde, ex
quibus conſtat hexagonum ab
cdef. perſpicuum eſt igitur in
ipſa cf eſſe circuli centrum, &
centrum grauitatis hexagoni.
Rurſus ducta altera diametro
ad, eiſdem rationibus oſtende­
 mus in ipſa utrumque centrum
ineſſe. Centrum ergo grauita­
 tis hexagoni, & centrum circuli idem erit.
13 Archi
medis.
9. eiusdem
m
Sit heptagonum abcdefg æquilaterum atque æquian
6[Figure 6]
gulum in circulo deſcriptum:
& iungantur ce, bf, ag: di­
 uiſa autem ce bifariam in pun
cto h: & iuncta dh produca­
 tur in k. non aliter demon­
 ſtrabimus in linea dk eſſe cen
 trum circuli, & centrum gra­
 uitatis trianguli cde, & tra­
 peziorum bcef, abfg, hoc
eſt centrum totius heptago­
 ni: & rurſus eadem centra in
alia diametro cl ſimiliter du­
 cta contineri. Quare & centrum grauitatis heptagoni, &
centrum circuli in idem punctum conueniunt. Eodem
1do in reliquis figuris æquilateris, & æquiangulis, quæ in cir­
 culo deſcribuntur, probabimus centrum grauitatis earum,
& centrum circuli idem eſſe. quod quidem demonſtrare
oportebat.
Ex quibus apparet cuiuslibet figuræ rectilineæ
in circulo plane deſcriptæ centrum grauitatis idem
eſſe, quod & circuli centrum.
γνωρίμως
Figuram in circulo plane deſcriptam appella­
 mus, cuiuſmodi eſt ea, quæ in duodecimo elemen
 torum libro, propoſitione ſecunda deſcribitur.
ex æqualibus enim lateribus, & angulis conſtare
perſpicuum eſt.
THEOREMA II, PROPOSITIO II.
Omnis figuræ rectilineæ in ellipſi plane deſcri­
 ptæ centrum grauitatis eſt idem, quod ellipſis
centrum.
Quo modo figura rectilinea in ellipſi plane deſcribatur,
docuimus in commentarijs in quintam propoſitionem li­
 bri Archimedis de conoidibus, & ſphæroidibus.
Sit ellipſis abcd, cuius maior axis ac, minor bd: iun­
ganturque; ab, bc, cd, da: & bifariam diuidantur in pun­
 ctis efgh. à centro autem, quod ſit k ductæ lineæ ke, kf,
kg, kh uſque ad ſectionem in puncta lmno protrahan­
 tur: & iungantur lm, mn, no, ol, ita ut ac ſecet li­
 neas lo, mn, in zφ punctis; & bd ſecet lm, on in χψ.
erunt lk, kn linea una, itemque linea una ipſæ mk, ko:
& lineæ ba, cd æquidiſtabunt lineæ mo: & bc, ad ipſi
ln. rurſus lo, mn axi bd æquidiſtabunt: & lm,
1on ipſi ac. Quoniam enim triangulorum abk, adk, latus
bk eſt æquale lateri kd, & ak utrique commune; angulique;

ad k recti. baſis ab baſi ad; & reliqui anguli reliquis an­
 gulis æquales erunt. eadem quoque ratione oſtendetur bc
7[Figure 7]
æqualis cd; & ab ipſi
bc. quare omnes ab,
bc, cd, da ſunt æqua­
 les. & quoniam anguli
ad a æquales ſunt angu
 lis ad c; erunt anguli b
ac, acd coalterni inter
ſe æquales; itemque; dac,
acb. ergo cd ipſi ba;
& ad ipſi bc æquidi­
 ſtat. At uero cum lineæ
ab, cd inter ſe æquidi­
 ſtantes bifariam ſecen­
tur in punctis eg; erit li
 nea lekgn diameter ſe
 ctionis, & linea una, ex
demonſtratis in uigeſi­
 maoctaua ſecundi coni
corum. Et eadem ratione linea una mfkho. Sunt autem ad,
bc inter ſe ſe æquales, & æquidiſtantes. quare & earum di­

midiæ ah, bf; itemque; hd, fe; & quæ ipſas coniungunt rectæ
lineæ æquales, & æquidiſtantes erunt. æquidiſtant igitur ba,
cd diametro mo: & pariter ad, bc ipſi ln æquidiſtare o­
 ſtendemus. Si igitur manente diametro ac intelligatur abc
portio ellipſis ad portionem adc moueri, cum primum b
applicuerit ad d, congruet tota portio toti portioni, lineaque;
ba lineæ ad; & bc ipſi cd congruet: punctum uero e ca­
 det in h; f in g: & linea ke in lineam kh: & kf in kg. qua
re & el in ho, et fm in gn. At ipſa lz in zo; et mφ in φn
cadet. congruet igitur triangulum lkz triangulo okz: et
1triangulum mkφ triangulo nkφ. ergo anguli lzk, ozk,
m φ k, nφk æquales ſunt, ac recti. quòd cum etiam recti

ſint, qui ad k; æquidiſtabunt lineæ lo, mn axi bd. & ita
demonſtrabuntur lm, on ipſi ac æquidiſtare. Rurſus ſi
iungantur al, lb, bm, mc, cn, nd, do, oa: & bifariam di
 uidantur: à centro autem k ad diuiſiones ductæ lineæ pro­
 trahantur uſque ad ſectionem in puncta pqrstuxy: & po
ſtremo py, qx, ru, st, qr, ps, yt, xu coniungantur. Simili­
8[Figure 8]
ter oſtendemus lineas
py, qx, ru, st axi bd æ­
 quidiſtantes eſſe: & qr,
ps, yt, xu æquidiſtan­
 tes ipſi ac. Itaque dico
harum figurarum in el­
 lipſi deſcriptarum cen­
 trum grauitatis eſſe pun­
ctum k, idem quod & el
 lipſis centrum. quadri­
 lateri enim abcd cen­
 trum eſt k, ex decima e­
 iuſdem libri Archime­
 dis, quippe cum in eo om
 nes diametri conueniant.
Sed in figura albmcn

do, quoniam trianguli
alb centrum grauitatis

eſt in linea le: trapezijque; abmo centrum in linea ek: trape
 zij omcd in kg: & trianguli cnd in ipſa gn: erit magnitu
 dinis ex his omnibus conſtantis, uidelicet totius figuræ cen
trum grauitatis in linea ln: & ob eandem cauſſam in linea
om. eſt enim trianguli aod centrum in linea oh: trapezij
alnd in hk: trapezij lbcn in kf: & trianguli bmc in fm.
cum ergo figuræ albmcndo centrum grauitatis ſit in li­
 nea ln, & in linea om; erit centrum ipſius punctum k, in
1quo ſcilicet ln, om conueniunt. Poſtremo in figura
aplqbrmsctnudxoy centrum grauitatis trian
 guli pay, & trapezii ploy eſt in linea az: trapeziorum
uero lqxo, qbdx centrum eſt in linea zk: & trapeziorum
brud, rmnu in kφ· & denique trapezii mstn; & triangu
 li sct in φc. quare magnitudinis ex his compoſitæ centrum
in linea ac conſiſtit. Rurſus trianguli qbr, & trapezii ql
 mr centrum eſt in linea bχ. trapeziorum lpsm, pacs,
aytc, yont in linea χφ· trapeziique oxun, & trianguli
xdu centrum in ψd. totius ergo magnitudinis centrum
eſt in linea bd. ex quo ſequitur, centrum grauitatis figuræ
aplqbrmsctnudxoy eſſe punctum K, lineis ſcilicet ac,
bd commune, quæ omnia demonſtrare oportebat.
8. primi
33. primi
28. primi.
13. Archi
medis.
Vltima.
THEOREMA III. PROPOSITIO III.
Cuiuslibet portio­
 nis circuli, & ellipſis,
quæ dimidia non ſit
maior, centrum graui
tatis in portionis dia­
 metro conſiſtit.
9[Figure 9]
HOC eodem prorſus
modo demonſtrabitur,
quo in libro de centro gra
 uitatis planorum ab Ar­
 chimede demonſtratum eſt,
in portione contenta recta
linea, & rectanguli coni ſe
 ctione grauitatis centrum
eſſe in diametro portio­
 nis. Et ita demonſtrari po
1teſt in portione, quæ recta linea & obtuſianguli coni ſe­
 ctione, ſeu hyperbola continetur.
THEOREMA IIII. PROPOSITIO IIII.
IN circulo & ellipſi idem eſt figuræ & graui­
 tatis centrum.
SIT circulus, uel ellipſis, cuius centrum a. Dico a gra­
 uitatis quoque centrum eſſe. Si enim fieri poteſt, ſit b cen­
 trum grauitatis: & iuncta ab extra figuram in c produca
 tur: quam uero proportionem habet linea ca ad ab, ha­
 beat circulus a ad alium circulum, in quo d; uel ellipſis ad
aliam ellipſim: & in circulo, uel ellipſi figura rectilinea pla­
 ne deſcribatur adco, ut tandem relinquantur portiones
quædam minores circulo, uel ellipſi d; quæ figura ſit abcefg
 hklmn. Illud uero in circulo fieri poſſe ex duodecimo
elementorum libro, propoſitione ſecunda manifeſte con­
10[Figure 10]
ſtat; at in ellipſi nos demonſtra­
 uimus in commentariis in quin­
 tam propoſitionem Archimedis
de conoidibus, & ſphæroidibus.
erit igitur a centrum grauitatis
ipſius figuræ, quod proxime oſten
dimus. Itaque quoniam circulus
a ad circulum d, uel ellipſis a ad
ellipſim d eandem proportionem
habet, quam linea ca ad ab:
portiones uero ſunt minores cir

culo uel ellipſi d: habebit circu­
 lus, uel ellipſis ad portiones ma­
 iorem proportionem, quàm ca

ad ab: & diuidendo figura recti­
 linea abcefghklmn ad portiones
111[Figure 11]
habebit maiorem proportionem,
quam cb ad ba. fiat ob ad ba,
ut figura rectilinea ad portio­
 nes. cum igitur à circulo, uel el­
 lipſi, cuius grauitatis centrum
eſt b, auferatur figura rectilinea
efghklmn, cuius centrum a;
reliquæ magnitudinis ex portio

nibus compoſitæ centrum graui
 tatis erit in linea ab producta,
& in puncto o, extra figuram po
 ſito. quod quidem fieri nullo mo
 do poſſe perſpicuum eſt. ſequi­
 tur ergo, ut circuli & ellipſis cen
 trum grauitatis ſit punctum a,
idem quod figuræ centrum.
8. quinti
19. quinti
apud Cam
panum .
8. Archi­
medis.
ALITER.
Sit circulus, uel ellipſis abcd,
cuius diameter db, & centrum e: ducaturque per e recta li
 nea ac, ſecans ipſam db ad rectos angulos. erunt adc,
abc circuli, uel ellipſis dimidiæ portiones. Itaque quo­
12[Figure 12]
niam por
tionis adc
centrum gra­
 uitatis eſt
in diame­
 tro de: &
portionis
abc cen­
 trum eſt im
ipſa eb: to
 tius circu
 li, uel ellipſis grauitatis centrum erit in diametro db.
Sit autem portionis adc centrum grauitatis f: & ſumatur
1in linea eb punctum g, ita ut fit ge æqualis ef. erit g por­
 tionis abc centrum. nam ſi hæ portiones, quæ æquales
& ſimiles ſunt, inter ſe ſe aptentur, ita ut be cadat in de,
& punctum b in d cadet, & g in f: figuris autem æquali­
 bus, & ſimilibus inter ſe aptatis, centra quoque grauitatis
ipſarum inter ſe aptata erunt, ex quinta petitione Archi­
 medis in libro de centro grauitatis planorum. Quare cum
portionis adc centrum grauitatis ſit f: & portionis
abc centrum g: magnitudinis; quæ ex utriſque efficitur:
hoc eſt circuli uel ellipſis grauitatis centrum in medio li­
 neæ fg, quod eſt e, conſiſtet, ex quarta propoſitione eiuſ­
 dem libri Archimedis. ergo circuli, uel ellipſis centrum
grauitatis eſt idem, quod figuræ centrum. atque illud eſt,
quod demonſtrare oportebat.
Ex quibus ſequitur portionis circuli, uel ellip­
 ſis, quæ dimidia maior ſit, centrum grauitatis in
diametro quoque ipſius conſiſtere.
13[Figure 13]
Sit enim maior portio abc, cuius diameter bd, & com­
 pleatur circulus, uel ellipſis, ut portio reliqua fit aec,
1metrum habens ed. Quoniam igitur circuli uel ellipſis
aecb grauitatis centrum eſt in diametro be, & portio­
 nis aec centrum in linea ed: reliquæ portionis, uidelicet
abc centrum grauitatis in ipſa bd conſiſtat neceſſe eſt, ex
octaua propoſitione eiuſdem.
THEOREMA V. PROPOSITIO V.
SI priſma ſecetur plano oppoſitis planis æqui
diſtante, ſectio erit figura æqualis & ſimilis ei,
quæ eſt oppoſitorum planorum, centrum graui
 tatis in axe habens.
Sit priſma, in quo plana oppoſita ſint triangula abc,
def; axis gh: & ſecetur plano iam dictis planis æquidiſtan
te; quod faciat ſectionem klm; & axi in puncto n occurrat.
Dico klm triangulum æquale eſſe, & ſimile triangulis abc
def; atque eius grauitatis centrum eſſe punctum n. Quo­
14[Figure 14]
niam enim plana abc
Klm æquidiſtantia ſecan

tur a plano ae; rectæ li­
 neæ ab, Kl, quæ ſunt ip
ſorum communes ſectio­
 nes inter ſe ſe æquidi­
 ſtant. Sed æquidiſtant
ad, be; cum ae ſit para
 lelogrammum, ex priſ­
 matis diffinitione. ergo
& al parallelogrammum
erit; & propterea linea

kl, ipſi ab æqualis. Si­
 militer demonſtrabitur
lm æquidiſtans, & æqua
lis bc; & mk ipſi ca.
1 Itaque quoniam duæ lineæ Kl, lm ſe ſe tangentes, duabus
lineis ſe ſe tangentibus ab, bc æquidiſtant; nec ſunt in e o­
 dem plano: angulus klm æqualis eſt angulo abc: & ita an

gulus lmk, angulo bca, & mkl ipſi cab æqualis probabi
 tur. triangulum ergo klm eſt æquale, & ſimile triangulo
abc. quare & triangulo def. Ducatur linea cgo, & per ip
 ſam, & per cf ducatur planum ſecans priſma; cuius & paral
 lelogrammi ae communis ſectio ſit opq. tranſibit linea
fq per h, & mp per n. nam cum plana æquidiſtantia ſecen
tur à plano cq, communes eorum ſectiones cgo, mp, fq
ſibi ipſis æquidiſtabunt. Sed & æquidiſtant ab, kl, de. an­

guli ergo aoc, kpm, dqf inter ſe æquales ſunt: & ſunt
æquales qui ad puncta akd conſtituuntur. quare & reliqui
reliquis æquales; & triangula aco, Kmp, dfq inter ſe ſimi

lia erunt. Vt igitur ca ad ao, ita fd ad dq: & permutando
ut ca ad fd, ita ao ad dq. eſt autem ca æqualis fd. ergo &
ao ipſi dq. eadem quoque ratione & ao ipſi Kp æqualis
demonſtrabitur. Itaque ſi triangula, abc, def æqualia &
15[Figure 15]
ſimilia inter ſe aptentur,
cadet linea fq in lineam

cgo. Sed & centrum gra
 uitatis h in g centrum ca­
 det. tranſibit igitur linea
fq per h: & planum per
co & cf ductum per axem
gh ducetur: idcircoque li
neam mp etiam per n tran
ſire neceſſe erit. Quo­
 niam ergo fh, cg æqua­
 les ſunt, & æquidiſtantes:
itemque hq, go; rectæ li­
 neæ, quæ ipſas connectunt
cmf, gnh, opq æqua­
 les æquidiſtantes erunt.
1 æquidiſtant autem cgo, mnp. ergo parallelogramma ſunt
on, gm, & linea mn æqualis cg; & np ipſi go. aptatis igi­
 tur klm, abc triangulis, quæ æqualia & ſimilia sunt; linea mp
in co, & punctum n in g cadet. Quòd cum g ſit centrum gra­
 uitatis trianguli abc, & n trianguli klm grauitatis cen­
 trum erit id, quod demonſtrandum relinquebatur. Simili
ratione idem contingere demonſtrabimus in aliis priſma­
 tibus, ſiue quadrilatera, ſiue plurilatera habeant plana,
quæ opponuntur.
16. unde­
cimi
34. primi
10. unde
cimi
10. unde­
cimi
4. ſexti
per 5. pe­
 titionem
Archime
dis.
COROLLARIVM.
Ex iam demonſtratis perſpicue apparet, cuius
libet priſmatis axem, parallelogrammorum lateri
 bus, quæ ab oppoſitis planis ducuntur æquidiſtare.
THEOREMA VI. PROPOSITIO VI.
Cuiuslibet priſmatis centrum grauitatis eſt in
plano, quod oppoſitis planis æquidiſtans, reli­
 quorum planorum latera bifariam diuidit.
Sit priſma, in quo plana, quæ opponuntur ſint trian­
 gula ace, bdf: & parallelogrammorum latera ab, cd,
ef bifariam diuidantur in punctis ghk: per diuiſiones au­

tem planum ducatur; cuius ſectio figura ghK. erit linea
gh æquidiſtans lineis ac, bd & hk ipſis ce, df. quare ex
decimaquinta undecimi elementorum, planum illud pla
 nis ace, bdf æquidiſtabit, & faciet ſectionem figu­

ram ipſis æqualem, & ſimilem, ut proxime demonſtra­
 uimus. Dico centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
ghk. Si enim fieri poteſt, ſit eius centrum l: & ducatur
lm uſque ad planum ghk, quæ ipſi ab æquidiſtet.
1 ergo linea ag continenter in duas partes æquales diui­
 ſa, relinquetur tandem pars aliqua ng, quæ minor erit lm.
Vtraque uero linearum ag, gb diuidatur in partes æqua­
 les ipſi ng: & per puncta diuiſionum plana oppoſitis pla­

nis æquidiſtantia ducantur. erunt ſectiones figuræ æqua­
 les, ac ſimiles ipſis ace, bdf: & totum priſma diuiſum erit
in priſmata æqualia, & ſimilia: quæ cum inter ſe congruant;
& grauitatis centra ſibi ipſis congruentia, reſpondentiaque
16[Figure 16]
habebunt. Itaque
ſunt magnitudi­
 nes quædam æqua­
 les ipſi nh, & nu­
 mero pares, qua­
 rum centra gra­
 uitatis in eadem re
 cta linea conſti­
 tuuntur: duæ ue­
 ro mediæ æqua­
 les ſunt: & quæ ex
utraque parte i­
 pſarum ſimili­
 ter æquales: & æ­
 quales rectæ li­
 neæ, quæ inter
grauitatis centra
interiiciuntur.
quare ex corolla­
 rio quintæ pro­
 poſitionis primi
libri Archimedis
de centro graui­
 tatis planorum; magnitudinis ex his omnibus compoſitæ
centrum grauitatis eſt in medio lineæ, quæ magnitudi­
 num mediarum centra coniungit. at qui non ita res
1bet, ſi quidem l extra medias magnitudines poſitum eſt.
Conſtat igitur centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
17[Figure 17]
ghk, quod nos demonſtrandum propoſuimus. At ſi op­
 poſita plana in priſmate ſint quadrilatera, uel plurilatera,
eadem erit in omnibus demonſtratio.
33. primi
5. huius
1. decimi
5 huius
THEOREMA VII. PROPOSITIO VII.
Cuiuslibet cylindri, & cuiuslibet cylindri por
 tionis centrum grauitatis eſt in plano, quod baſi­
 bus æquidiſtans, parallelogrammi per axem late­
 ra bifariam ſecat.
1
SIT cylindrus, uel cylindri portio ac: & plano per a­
 xem ducto ſecetur; cuius ſectio ſit parallelogrammum ab
 cd: & bifariam diuiſis ad, bc parallelogrammi lateribus,
per diuiſionum puncta ef planum baſi æquidiſtans duca­
 tur; quod faciet ſectionem, in cylindro quidem circulum
æqualem iis, qui ſunt in baſibus, ut demonſtrauit Serenus
in libro cylindricorum, propoſitione quinta: in cylindri
uero portione ellipſim æqualem, & ſimilem eis, quæ ſunt
18[Figure 18]
in oppoſitis planis, quod nos
demonſtrauimus in commen
 tariis in librum Archimedis
de conoidibus, & ſphæroidi­
 bus. Dico centrum grauita­
 tis cylindri, uel cylindri por­
 tionis eſſe in plano ef. Si enim
fieri poteſt, fit centrum g: &
ducatur gh ipſi ad æquidi­
 ſtans, uſque ad ef planum.
Itaque linea ae continenter
diuiſa bifariam, erit tandem
pars aliqua ipſius ke, minor
gh. Diuidantur ergo lineæ
ae, ed in partes æquales ipſi
ke: & per diuiſiones plana ba
 ſibus æquidiſtantia ducantur.
erunt iam ſectiones, figuræ æ­
 quales, & ſimiles eis, quæ ſunt
in baſibus: atque erit cylindrus in cylindros diuiſus: & cy
 lindri portio in portiones æquales, & ſimiles ipſi kf. reli­
 qua ſimiliter, ut ſuperius in priſmate concludentur.
1 19[Figure 19]
THEOREMA VIII. PROPOSITIO VIII.
Cuiuslibet priſmatis, & cuiuslibet cylindri, uel
cylindri portionis grauitatis centrum in medio
ipſius axis conſiſtit.
Sit primum af priſma æquidiſtantibus planis contentum,
quod ſolidum parallelepipedum appellatur: & oppoſito­
 rum planorum cf, ah, da, fg latera bifariam diuidantur in
punctis klmnopqrstux: & per diuiſiones ducantur
plana kn, or, sx. communes autem eorum planorum ſe­
 ctiones ſint lineæ yz, θφ, χψ· quæ in puncto ω conueniant.
erit ex decima eiuſdem libri Archimedis parallelogrammi
cf centrum grauitatis punctum y; parallelogrammi ah
1centrum z: parallelogrammi ad, θ· parallelogrammi fg, φ·
20[Figure 20]
parallelogrammi dh, χ· &
parallelogrammi cg centrum
ψ· atque erit ω punctum me
dium uniuſcuiuſque axis, ui
delicet eius lineæ quæ oppo
ſitorum planorum centra con
iungit. Dico ω centrum eſſe
grauitatis ipſius ſolidi. eſt

enim, ut demonſtrauimus,
ſolidi af centrum grauitatis
in plano Kn; quod oppoſi­
 tis planis ad, gf æquidiſtans
reliquorum planorum late­
 ra bifariam diuidit: & ſimili
ratione idem centrum eſt in plano or, æquidiſtante planis
ae, bf oppoſitis. ergo in communi ipſorum ſectione: ui­
 delicet in linea yz. Sed eſt etiam in plano tu, quod quidem
yz ſecatin ω. Conſtat igitur centrum grauitatis ſolidi eſſe
punctum ω, medium ſcilicet axium, hoc eſt linearum, quæ
planorum oppoſitorum centra coniungunt.
6 huius
Sit aliud prima af; & in eo plana, quæ opponuntur, tri­
 angula abc, def: diuiſisque bifariam parallelogrammorum
lateribus ad, be, cf in punctis ghk, per diuiſiones planum
ducatur, quod oppoſitis planis æquidiſtans faciet ſectionem
triangulum ghx æquale, & ſimile ipſis abc, def. Rurſus
diuidatur ab bifariam in l: & iuncta cl per ipſam, & per
cKf planum ducatur priſma ſecans, cuius, & parallelogram
mi ae communis ſectio ſit lmn. diuidet punctum m li­
 neam gh bifariam; & ita n diuidet lineam de: quoniam

triangula acl, gkm, dfn æqualia ſunt, & ſimilia, ut ſupra
demonſtrauimus. Iam ex iis, quæ tradita ſunt, conſtat cen
 trum grauitatis priſmatis in plano ghk contineri. Dico
ipſum eſſe in linea km. Si enim fieri poteſt, ſit o centrum;
1& per o ducatur op ad km ipſi hg æquidiſtans. Itaque li
 nea hm bifariam uſque eò diuidatur, quoad reliqua ſit pars
quædam qm, minor op. deinde hm, mg diuidantur in
partes æquales ipſi mq: & per diuiſiones lineæ ipſi mK
æquidiſtantes ducantur. puncta uero, in quibus hæ trian­
 gulorum latera ſecant, coniungantur ductis lineis rs, tu,
21[Figure 21]
xy; quæ baſi gh æquidiſtabunt. Quoniam enim lineæ gz,
hα ſunt æquales: itemque æquales gm, mh: ut mg ad gz,
ita erit mh, ad hα· & diuidendo, ut mz ad zg, ita mα ad

αh. Sed ut mz ad zg, ita kr ad rg: & ut mα ad αh, ita ks
ad sh. quare ut kr ad rg, ita ks ad sh. æquidiſtant igitur

inter ſe ſe rs, gh. eadem quoque ratione demonſtrabimus
1tu, xy ipſi gh æquidiſtare. Et quoniam triangula, quæ
fiunt à lineis Ky, yu, us, sh æqualia ſunt inter ſe, & ſimilia

triangulo Kmh: habebit triangulum Kmh ad triangulum
Kδy duplam proportionem eius, quæ eſt lineæ kh ad Ky.
ſed Kh poſita eſt quadrupla ipſius ky. ergo triangulum
kmh ad triangulum Kδy eandem proportionem habebit,
quam ſexdecim ad unum: & ad quatuor triangula kδy, yu,
us, sαh habebit eandem, quam ſexdecim ad quatuor, hoc
eſt quam hK ad ky: & ſimiliter eandem habere demonſtra
22[Figure 22]
bitur trian­
 gulum kmg
ad quatuor
triangula Kδ
x, xγt, tβr,

rzg. quare
totum trian
 gulum Kgh
ad omnia tri
angula gzr,
rβt, tγx, xδ
K, Kδy, yu,
us, sαh ita
erit, ut hk ad
ky, hoc eſt
ut hm ad m
 q. Si igitur in
triangulis abc, def deſcribantur figuræ ſimiles ei, quæ de­
 ſcripta eſt in ghK triangulo: & per lineas ſibi reſponden­
 tes plana ducantur: totum priſma af diuiſum erit in tria
ſolida parallelepipeda yγ, uβ, sz, quorum baſes ſunt æqua
les & ſimiles ipſis parallelogrammis y γ,uβ, sz: & in octo
priſmata gzr, rβt, tγx, xδ
K, kδy, yu, us, sαh: quorum
item baſes æquales, & ſimiles ſunt dictis triangulis; altitu­
 do autem in omnibus, totius priſmatis altitudini
1Itaque ſolidi parallelepipedi yγ centrum grauitatis eſt in
linea δε· ſolidi uβ centrum eſt in linea εη· & ſolidi sz in li
 nea ηm, quæ quidem lineæ axes ſunt, cum planorum oppo
 ſitorum centra coniungant. ergo magnitudinis ex his ſoli
dis compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea δm, quod ſit
θ; & iuncta θo producatur: à puncto autem h ducatur hα
ipſi mk æquidiſtans, quæ cum θo in μ conueniat. triangu
 lum igitur ghk ad omnia triangula gzr, βt, tγx, xδk,
kδy, yu, us, sαh eandem habet proportionem, quam hm
ad mq ; hoc eſt, quam μθ ad θλ· nam ſi hm, μθ produci in
 telligantur, quouſque coeant; erit ob linearum qy, mk æ­
 quidiſtantiam, ut hq ad qm, ita μλ ad ad λθ· & componen
do, ut hm ad mq, ita μθ ad θλ. linea uero θo maior eſt,

quàm θλ· habebit igitur μθ ad θλ maiorem proportio­
 nem, quàm ad θo. quare triangulum etiam ghk ad omnia
iam dicta triangula maiorem proportionem habebit, quàm
μθ ad θo. ſed ut triangulum ghk ad omnia triangula, ita to­
tum priſma afad omnia priſmata gzr, rβt, tγx, xδκ, κδ y,
yu, us, sαh: quoniam enim ſolida parallelepipeda æque al
 ta, eandem inter ſe proportionem habent, quam baſes; ut
ex trigeſimaſecunda undecimi elementorum conſtat. ſunt

autem ſolida parallelepipeda priſmatum triangulares ba­

ſes habentium dupla: ſequitur, ut etiam huiuſmodi priſ­
 mata inter ſe ſint, ſicut eorum baſes. ergo totum priſma ad
omnia priſmata maiorem proportionem habet, quam μθ

ad θo: & diuidendo ſolida parallelepipeda yγ, uβ, sz ad o­
 mnia priſmata proportionem habent maiorem, quàm μo
ad oθ. fiat νo ad oθ, ut ſolida parallelepipeda y γ, uβ, sz ad
omnia priſmata. Itaque cum à priſmate af, cuius centrum
grauitatis eſt o, auferatur magnitudo ex ſolidis parallelepi
 pedis y γ,uβ,sz conſtans: atque ipſius grauitatis centrum
ſit θ· reliquæ magnitudinis, quæ ex omnibus priſmatibus
conſtat, grauitatis centrum erit in linea θ o producta: &
in puncto f, ex octava propoſitione eiusdem libri
1medis. ergo punctum ν extra priſma af poſitum, centrum
erit magnitudinis compoſitæ ex omnibus priſmatibus gzr,
r βt, tγx, xδk, kδ y, yu, us, sαh, quod fieri nullo modo po
 teſt. eſt enim ex diffinitione centrum grauitatis ſolidæ figu
 ræ intra ipſam poſitum, non extra. quare relinquitur, ut cen
trum grauitatis priſmatis ſit in linea Km. Rurſus bc bifa­
 riam in diuidatur: & ducta aχ, per ipſam, & per lineam
agd planum ducatur; quod priſma ſecet: faciatque in paral
 lelogrammo bf ſectionem χ π diuidet punctum π lineam
quoque cf bifariam: & erit plani eius, & trianguli ghK
communis ſectio gu; quòd punctum u in medio lineæ hK
23[Figure 23]
poſitum ſit. Similiter demonſtrabimus centrum grauita­
 tis priſmatis in ipſa gu ineſſe. ſit autem planorum cfnl,
adπχ communis ſectio linea ρστ; quæ quidem priſmatis
axis erit, cum tranſeat per centra grauitatis triangulorum
abc, ghk def, ex quartadecima eiuſdem. ergo centrum
grauitatis priſmatis af eſt punctum ς, centrum ſcilicet
1trianguli ghK, & ipſius ρτ axis medium.
5.huius
2. ſexti.
12 quinti.
2. ſexti.
19. ſexti
2. uel 12.
quinti.
8. quinti.
28. unde
cimi
15. quinti
19. quinti
 apud Cam
panum
Sit priſma ag, cuius oppoſita plana ſint quadrilatera
abcd, efgh: ſecenturque ac, bf, cg, dh bifariam: & per di­
 uiſiones planum ducatur; quod ſectionem faciat quadrila­
 terum Klmn. Deinde iuncta ac per lineas ac, ae ducatur
planum ſecans priſma, quod ipſum diuidet in duo priſmata
triangulares baſes habentia abcefg, adcehg. Sint autem
24[Figure 24]
triangulorum abc, efg gra­
 uitatis centra op: & triangu­
 lorum adc, ehg centra qr:
iunganturque op, qr; quæ pla­
 no klmn occurrant in pun­
 ctis st. erit ex iis, quæ demon
 ſtrauimus, punctum s grauita
 tis centrum trianguli klm; &
ipſius priſmatis abcefg: pun
 ctum uero t centrum grauita
tis trianguli Knm, & priſma­
 tis adc, ehg. iunctis igitur
oq, pr, st, erit in linea oq cen
trum grauitatis quadrilateri
abcd, quod ſit u: & in linea
pr centrum quadrilateri efgh
ſit autem x. denique iungatur
u x, quæ ſecet lineam ſ t in y. ſe
 cabit enim cum ſint in eodem

plano: atque erit y grauitatis centrum quadrilateri Klmn.
Dico idem punctum y centrum quoque gra uitatis eſſe to­
 tius priſmatis. Quoniam enim quadrilateri klmn graui­
 tatis centrum eſt y: linea sy ad yt ean dem proportionem
habebit, quam triangulum knm ad triangulum klm, ex 8
Archimedis de centro grauitatis planorum. Vt autem trian
gulum knm ad ipſum klm, hoc eſt ut triangulum adc ad
triangulum abc, æqualia enim ſunt, ita priſma adcehg
1ad priſma abcefg. quare linea sy ad yt eandem propor­
 tionem habet, quam priſma adcehg ad priſma abcefg.
Sed priſmatis abcefg centrum grauitatis eſt s: & priſma­
 tis adcehg centrum t. magnitudinis igitur ex his compo
 ſitæ hoc eſt totius priſmatis ag centrum grauitatis eſt pun
 ctum y; medium ſcilicet axis ux, qui oppoſitorum plano­
 rum centra coniungit.
5. huius/>
Rurſus ſit priſma baſim habens pentagonum abcde:
& quod ei opponitur ſit fghKl: ſecenturque af, bg, ch,
dk, el bifariam: & per diuiſiones ducto plano, ſectio ſit pen
tagonum mnopq. deinde iuncta eb per lineas le, eb aliud
25[Figure 25]
planum ducatur, diuidens priſ
 ma ak in duo priſmata; in priſ
 ma ſcilicet al, cuius plana op­
 poſita ſint triangula abe fgl:
& in prima bk cuius plana op
 poſita ſint quadrilatera bcde
ghkl. Sint autem triangulo­
rum abe, fgl centra grauita
 tis puncta r ſ: & bcde, ghkl
quadrilaterorum centra tu:
iunganturque rs, tu occurren­
 tes plano mnopq in punctis
xy. & itidem iungantur rt, ſu,
xy. erit in linea rt centrum gra
 uitatis pentagoni abcde;
quod ſit z: & in linea ſu cen­
 trum pentagoni fghkl :ſit au
tem χ· & ducatur zχ, quæ di­
 cto plano in ψ occurrat. Itaque
punctum x eſt centrum graui
tatis trianguli mnq, ac priſ­
 matis al: & y grauitatis centrum quadrilateri nopq, ac
priſmatis bk. quare y centrum erit pentagoni mnopq. &
1ſimiliter demonſtrabitur totius priſmatis aK grauitatis ef
ſe centrum. Simili ratione & in aliis priſmatibus illud
idem facile demonſtrabitur. Quo autem pacto in omni
figura rectilinea centrum grauitatis inueniatur, docuimus
in commentariis in ſextam propoſitionem Archimedis de
quadratura parabolæ.
Sit cylindrus, uel cylindri portio ce cuius axis ab: ſece­
turque plano per axem ducto; quod ſectionem faciat paral­
 lelogrammum cdef: & diuiſis cf, de bifariam in punctis
26[Figure 26]
gh, per ea ducatur planum baſi æquidiſtans. erit ſectio gh
circulus, uel ellipſis, centrum habens in axe; quod ſit K at­

que erunt ex iis, quæ demonſtrauimus, centra grauitatis
planorum oppoſitorum puncta ab: & plani gh ipſum k in
quo quidem plano eſt centrum grauitatis cylindri, uel cy­
 lindri portionis. Dico punctum K cylindri quoque, uel cy
 lindri portionis grauitatis centrum eſſe. Si enim fieri po­
 teſt, ſit l centrum: ducaturque kl, & extra figuram in m pro­
 ducatur. quam ucro proportionem habet linea mK ad kl
1habeat circulus, uel ellipſis gh ad aliud ſpacium, in quo u:
& in cit culo, uel ellipſi plane deſcribatur rectilinea figura,
ita ut tandem relinquantur portiones minores ſpacio u, quæ
ſit opgqrsht: deſcriptaque ſimili figura in oppoſitis pla­
 nis cd, fe, per lineas ſibi ipſis reſpondentes plana ducantur.
Itaque cylindrus, uel cylindri portio diuiditur in priſma,
cuius quidem baſis eſt figura rectilinea iam dicta, centrum
que grauitatis punctum K: & in multa ſolida, quæ pro baſi
 bus habent relictas portiones, quas nos ſolidas portiones
appellabimus. cum igitur portiones ſint minores ſpacio
u, circulus, uel ellipſis gh ad portiones maiorem propor­
 tionem habebit, quàm linea mk ad Kl. fiat nk ad Kl, ut
circulus uel ellipſis gh ad ipſas portiones. Sed ut circulus
uel ellipſis gh ad figuram rectilineam in ipſa deſcri­
 ptam, ita eſt cylindrus uel cylindri portio ce ad priſma,
quod rectilineam figuram pro baſi habet, & altitudinem
æqualem; id, quod infra demonſtrabitur. crgo per conuer
 ſionem rationis, ut circulus, uel ellipſis gh ad portiones re
 lictas, ita cylindrus, uel cylindri portio ce ad ſolidas por­
 tiones, quate cylindrus uel cylindri portio ad ſolidas por­
 tiones eandem proportionem habet, quam linea nk ad k
& diuidendo priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura ad ſo­
 lidas portiones eandem proportionem habet, quam nl ad
lk & quoniam a cylindro uel cylindri portione, cuius gra­
 uitatis centrum eſt l, aufertur priſma baſim habens rectili­
 neam figuram, cuius centrum grauitatis eſt K: reſiduæ magnitu
 dinis ex ſolidis portionibus compoſitæ grauitatis centrum erit
in linea kl protracta, & in puncto n; quod eſt abſurdum. relin
 quitur ergo, ut centrum grauitatis cylindri; uel cylindri por
 tionis ſit punctum k. quæ omnia demonſtranda propoſuimus.
4. huius
At uero cylindrum, uel cylindri portionem ce
ad priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura in ſpa­
 cio gh deſcripta, & altitudo æqualis; eandem
1bere proportionem, quam ſpacium gh ad dictam
figuram, hoc modo demonſtrabimus.
Intelligatur circulus, uel ellipſis x æqualis figuræ rectili­
 neæ in gh ſpacio deſcriptæ. & ab x conſtituatur conus, uel
27[Figure 27]
coni portio, altitudinem habens eandem, quam cylindrus uel cy
 lindri portio ce. Sit deinde rectilinea figura, in qua y eadem,
quæ in ſpacio gh deſcripta eſt: & ab hac pyramis æquealta
conſtituatur. Dico conum uel coni portione x pyramidi y æ­
qualem eſſe. niſi enim ſit æqualis, uel maior, uel minor erit.
Sit primum maior, et exuperet ſolido z. Itaque in circu
 lo, uel ellipſi x deſcribatur figura rectilinea; & in ea pyra­
 mis eandem, quam conus, uel coni portio altitudinem ha­
 bens, ita ut portiones relictæ minores ſint ſolido a, quem­
 admodum docetur in duodecimo libro elementorum pro
 poſitione undecima. erit pyramis x adhuc pyramide y ma
 ior. & quoniam piramides æque altæ inter ſe ſunt, ſicuti ba

ſes; pyramis x ad piramidem y eandem proportionem ha­
 bet, quàm figura rectilinea x ad figuram y. Sed figura recti
128[Figure 28]
linea x cum ſit minor circulo, uel ellipſi, eſt etiam minor fi­
 gura rectilinea y. ergo pyramis x pyramide y minor erit.
Sed & maior; quod fieri non poteſt. At ſi conus, uel coni por
 tio x ponatur minor pyramide y: ſit alter conus æque al­
 tus, uel altera coni portio X ipſi pyramidi y æqualis. erit
eius baſis circulus, uel ellipſis maior circulo, uel ellipſi x,
quorum exceſſus ſit ſpacium ω. Si igitur in circulo, uel eili­
 pſi X figura rectilinea deſcribatur, ita ut portiones relictæ
ſint ω ſpacio minores, ciuſmodi figura adhuc maior erit cir
culo, uel ellipſi x, hoc eſt figura rectilinea y. & pyramis in
ca conſtituta minor cono, uel coni portione X, hoc eſt mi­
 nor pyramide y. eſt ergo ut X figura rectilinea ad figuram
rectilineam y, ita pyramis X ad pyramidem y. quare cum
figura rectilinea X ſit maior figura y: erit & pyramis X py­
 ramide y maior. ſed erat minor; quod rurſus fieri non po­
 teſt. non eſt igitur conus, uel coni portio x neque maior,
neque minor pyramide y. ergo ipſi neceſſario eſt æqualis.
Itaque quoniam ut conus ad conum, uel coni portio ad
129[Figure 29]
ni portionem, ita eſt cylindrus ad cylindrum, uel cylin­
 dri portio ad cylindri portionem: & ut pyramis ad pyra­
 midem, ita priſma ad priſma, cum eadem ſit baſis, & æqua
lis altitudo; erit cylindrus uel cylindri portio x priſma­
 ti y æqualis. eſtque ut ſpacium gh ad ſpacium x, ita cylin­
 drus, uel cylindri portio ce ad cylindrum, uel cylindri por­
 tionem x. Conſtat igitur cylindrum uel cylindri portionem
c e, ad priſma y, quippe cuius baſis eſt figura rectilinea in

ſpacio gh deſcripta, eandem proportionem habere, quam
ſpacium gh habet ad ſpacium x, hoc eſt ad dictam figuram.
quod demonſtrandum fuerat.
6. duode
cimi.
7. quinti
THEOREMA IX. PROPOSITIO IX.
Si pyramis ſecetur plano baſi æquidiſtante; ſe­
 ctio erit figura ſimilis ei, quæ eſt baſis, centrum
grauitatis in axe habens.
1
SIT pyramis, cuius baſis triangulum abc; axis dc: &
ſecetur plano baſi æquidiſtante; quod ſectionem faciat fgh;
occurratque axi in puncto k. Dico fgh triangulum eſſe, ipſi
abc ſimile; cuius grauitatis centrum eſt K. Quoniam enim
duo plana æquidiſtantia abc, fgh ſecantur à plano abd;
communes eorum ſectiones ab, fg æquidiſtantes erunt: &
eadem ratione æquidiſtantes ipſæ bc, gh: & ca, hf. Quòd
cum duæ lineæ fg, gh, duabus ab, bc æquidiſtent, nec
ſint in eodem plano; angulus ad g æqualis eſt angulo ad
b. & ſimiliter angulus ad h angulo ad c: angulusque ad fci,
qui ad a eſt æqualis. triangulum igitur fgh ſimile eſt tri­
 angulo abc. Atuero punctum k centrum eſſe grauita­
 tis trianguli fgh hoc modo oſtendemus. Ducantur pla­
 na per axem, & per lineas da, db, dc: erunt communes ſe­
 ctiones fK, ae æquidiſtantes: pariterque kg, eb; & kh, ec:
quare angulus kfh angulo eac; & angulus kfg ipſi eab
30[Figure 30]
eſt æqualis. Eadem ratione
anguli ad g angulis ad b: &
anguli ad h iis, qui ad c æ­
 quales erunt. ergo puncta
eK in triangulis abc, fgh
ſimiliter ſunt poſita, per ſe­
 xtam poſitionem Archime­
 dis in libro de centro graui­
 tatis planorum. Sed cum e
ſit centrum grauitatis trian
 guli abc, erit ex undecima
propoſitione eiuſdem libri,
& K trianguli fgh grauita
 tis centrum. id quod demonſtrare oportebat. Non aliter
in ceteris pyramidibus, quod propoſitum eſt demonſtra­
bitur.
1
PROBLEMA I. PROPOSITIO X.
DATA qualibet pyramide, fieri poteſt, ut fi­
 gura ſolida in ipſa in ſcribatur, & altera circumſcri­
batur ex priſmatibus æqualem altitudinem ha­
bentibus, ita ut circumſcripta inſcriptam excedat
magnitudine, quæ minor ſit quacunque ſolida ma
 gnitudine propoſita.
31[Figure 31]
Sit pyramis, cuius baſis
triangulum abc; axis de.
Sitque priſma, quod eandem
baſim habeat, & axem eun
 dem. Itaque hoc priſma­
 te continenter ſecto bifa­
 riam, plano baſi æquidiſtan
te, relinquetur tandem priſ
 ma quoddam minus pro­
 poſita magnitudine: quod
quidem baſim eandem ha
 beat, quam pyramis, & a­
 xem ef. diuidatur de in
partes æquales ipſi ef in
punctis ghklmn: & per
diuiſiones plana ducantur:
quæ baſibus æquidiſtent,
erunt ſectiones, triangula
ipſi abc ſimilia, ut proxi­
 me oſtendimus. ab uno
quoque autem horum trian
 gulorum duo priſmata con
ſtruantur; unum quidem
ad partes e; alterum ad
1partes d. in pyramide igitur inſcripta erit quædam figura,
ex priſmatibus æqualem altitudinem habentibus conſtans,
ad partes e: & altera circumſcripta ad partes d. Sed unum­
 quodque eorum priſmatum, quæ in figura inſcripta conti­
 nentur, æquale eſt priſmati, quod ab eodem fit triangulo in
figura circumſcripta: nam priſma pq priſmati po eſt æ­
 quale; priſma st æquale priſmati sr; priſma xy priſmati
xu; priſma ηθ priſmati ηz; priſma μν priſmati μλ; priſ­
 ma ρσ priſmati ρπ; & priſma φχ priſmati φτ æquale. re­
 linquitur ergo, ut circumſcripta figura exuperet inſcriptam
priſmate, quod baſim habet abc triangulum, & axem ef.
Illud uero minus eſt ſolida magnitudine propoſita. Eadem
ratione inſcribetur, & circumſcribetur ſolida figura in py­
 ramide, quæ quadrilateram, uel plurilateram baſim habeat.
PROBLEMA II. PROPOSITIO XI.
DATO cono, fieri poteſt, ut figura ſolida in­
 ſcribatur, & altera circumſcribatur ex cylindris
æqualem habentibus altitudinem, ita ut circum­
 ſcripta ſuperet inſcriptam, magnitudine, quæ ſo­
 lida magnitudine propoſita ſit minor.
SIT conus, cuius axis bd: & ſecetur plano per axem
ducto, 'ut ſectio ſit triangulum abc: intelligaturque cylin­
 drus, qui baſim eandem, & eundem axem habeat. Hoc igi­
 tur cylindro continenter bifariam ſecto, relinquetur cylin
 drus minor ſolida magnitudine propoſita. Sit autem is cy
 lindrus, qui baſim habet circulum circa diametrum ac, &
axem de. Itaque diuidatur bd in partes æquales ipſi de
in punctis fghKlm: & per ea ducantur plana conum ſe­
 cantia; quæ baſi æquidiſtent. erunt ſectiones circuli, cen­
 tra in axi habentes, ut in primo libro conicorum,
1tione quarta Apollonius demonſtrauit. Si igitur à ſingu­
 lis horum circulorum, duo cylindri fiant; unus quidem ad
baſis partes; alter ad partes uerticis: inſcripta erit in co­
 no ſolida quædam figura, & altera circumſcripta ex cylin­
 dris æqualem altitudinem habentibus conſtans; quorum
32[Figure 32]
unuſquiſque, qui in
figura inſcripta con­
 tinetur æqualis eſt ei,
qui ab eodem fit cir­
 culo in figura circum­
ſcripta. Itaque cylin
 drus op æqualis eſt
cylindro on; cylin­
 drus rs cylindro rq.
cylindrus ux cylin­
 dro ut eſt æqualis;
& alii aliis ſimiliter.
quare conſtat circum­
ſcriptam figuram ſu­
 perare inſcriptam cy
 lindro, cuius baſis eſt
circulus circa diametrum ac, & axis de. atque hic eſt mi­
 nor ſolida magnitudine propoſita.
PROBLEMA III. PROPOSITIO XII.
DATA coni portione, poteſt ſolida quædam
figura inſcribi, & altera circumſcribi ex cylindri
portionibus æqualem altitudinem habentibus;
ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet, magni
tudine, quæ minor fit ſolida magnitudine pro­
poſita.
1
Figuram cuiuſmodi, & inſcribemus, & circumſcribemus, ita
ut in cono dictum eſt.
33[Figure 33]
PROBLEMA IIII. PROPOSITIO XIII.
DATA ſphæræ portione, quæ dimidia ſphæ­
 ra maior non ſit, poteſt ſolida quædam portio in­
 ſcribi & altera circumſcribi ex cylindris æqualem
altitudinem habentibus, ita ut circumſcripta in­
 ſcriptam excedat magnitudine, quæ ſolida ma­
 gnitudine propoſita ſit minor.
HOC etiam eodem prorſus modo ſiet: atque ut ab
Archimede traditum eſt in conoidum, & ſphæroidum por
 tionibus, propoſitione uigeſimaprima libri de conoidi­
 bus, & ſphæroidibus.
1 34[Figure 34]
THEOREMA X. PROPOSITIO XIIII.
Cuiuslibet pyramidis, & cuiuslibet coni, uel
coni portionis, centrum grauitatis in axe conſiſtit.
SIT pyramis, cuius baſis triangulum abc: & axis de.
Dico in linea de ipſius grauitatis centrum ineſſe. Si enim
fieri poteſt, ſit centrum f: & ab f ducatur ad baſim pyrami
 dis linea fg, axi æquidiſtans: iunctaque eg ad latera trian­
 guli abc producatur in h. quam uero proportionem ha­
 bet linea he ad eg, habeat pyramis ad aliud ſolidum, in
quo K: inſcribaturque in pyramide ſolida figura, & altera cir
 cumſcribatur ex priſmatibus æqualem habentibus altitu­
 dinem, ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet magnitu­
 dine, quæ ſolido k ſit minor. Et quoniam in pyramide pla
 num baſi æquidiſtans ductum ſectionem facit figuram ſi­
 milem ei, quæ eſt baſis; centrumque grauitatis in axe haben
 tem: erit priſmatis st grauitatis centrum in linea rq ;
matis ux centrum in linea qp, priſmatis yz in linea po;
priſmatis ηθ in linea on; priſmatis λμ in linea nm; priſ­
 matis νπ in ml; & denique priſmatis ρσ in le. quare
1tius figuræ inſcriptæ centrum grauitatis eſt in linea re:
35[Figure 35]quod ſit τ: iun­
 ctaque τf, &
producta, à
puncto h du­
 catur linea a­
 xi pyramidis
æquidiſtans,
quæ cum linea
τf conueniat
in φ. habebit
φτ ad τf ean­
 dem propor­
 tionem, quam
he ad eg.
Quoniam igi
 tur exceſſus,
quo circumſcri
 pta figura in­
 ſcriptam ſupe
 rat, minor eſt
ſolido χ; py­
 ramis ad eun­
dem exceſſum ma
 ioré propor­
 tioné habet,
quàm ad K ſo
 lidum: uideli
 cet maiorem,
quàm linea h
 e ad eg; hoc
eſt quàm φτ
ad τf: & propterea multo maiorem habet ad partem ex­
 ceſſus, quæ intra pyrimidem comprehenditur. Itaque
1beat eam, quam χτ ad τf erit diuidendo ut χf ad fτ, ita fi
 gura ſolida inſcripta ad partem exceſſus, quæ eſt intra pyra
 midem. Cum ergo à pyramide, cuius grauitatis centrum eſt
punctum f, ſolida figura inſcripta auferatur, cuius centrum
τ: reliqua magnitudinis conſtantis ex parte exceſſus, quæ
eſt intra pyramidem, centrum grauitatis erit in linea τf
producta, & in puncto χ. quod fieri non poteſt. Sequitur
igitur, ut centrum grauitatis pyramidis in linea de; hoc
eſt in eius axe conſiſtat.
Sit conus, uel coni portio, cuius axis bd: & ſecetur plano
per axem, ut ſectio ſit triangulum abc. Dico centrum gra
 uitatis ipſius eſſe in linea bd. Sit enim, ſi fieri poteſt, centrum
36[Figure 36] e: perque e ducatur ef axi æquidiſtans: & quam propor­
 tionem habet cd ad df, habeat conus, uel coni portio ad
ſolidum g. inſcribatur ergo in cono, uel coni portione
1da figura, & altera circumſcribatur ex cylindris, uel cylin­
 dri portionibus, ſicuti dictum eſt, ita ut exceſſus, quo figu­
 ra circumſcripta inſcriptam ſuperat, ſit ſolido g minor.
Itaque centrum grauitatis cylindri, uel cylindri portionis
qr eſt in linea po; cylindri, uel cylindri portionis st cen­
 trum in linea on; centrum ux in linea nm; yz in mb; νθ
in lk; λμ in kh; & denique fπ centrum in hd. ergo figu­
37[Figure 37]
ræ inſcriptæ centrum eſt in linea pd. Sit autem ρ: & iun­
 cta ρe protendatur, ut cum linea, quæ à puncto c ducta ſue­
 rit axi æquidiſtans, conueniat in ς. erit ς ρ ad ρe, ut cd
ad df: & conus, ſeu coni portio ad exceſſum, quo circum­
 ſcripta figura inſcriptam ſuperat, habebit maiorem pro­
 portionem, quàm τρ ad ρe. ergo ad partem exceſſus, quæ
intra ipſius ſuperficiem comprehenditur, multo maiorem
proportionem habebit. habeat eam, quam τρ ad ρe. erit
1diuidendo figura ſolida inſcripta ad dictam exceſſus par­
 tem, ut τε ad cπ. & quoniam à cono, ſeu coni portione,
cuius grauitatis centrum eſt e, aufertur figura inſcripta,
cuius centrum ρ· reſiduæ magnitudinis compoſitæ cx par
te exceſſus, quæ intra coni, uel coni portionis ſuperficiem
continetur, centrum grauitatis erit in linea e protracta,
atque in puncto t. quod eſt abſurdum. conſtat ergo centrum
grauitatis coni, uel coni portionis, eſſe in axe bd: quod de
monſtrandum propoſuimus.
THEOREMA XI. PROPOSITIO XV.
Cuiuslibet portionis ſphæræ uel ſphæroidis,
quæ dimidia maior non ſit: itemque cuiuslibet por
 tionis conoidis, uel abſciſſæ plano ad axem recto,
uel non recto, centrum grauitatis in axe con­
ſiſtit.
Demonſtratio ſimilis erit ei, quam ſupra in cono, uel co
 ni portione attulimus, ne toties eadem fruſtra iterentur.
38[Figure 38]
1
THEOREMA XII. PROPOSITIO XVI.
In ſphæra, & ſphæroide idem eſt grauitatis, &
figuræ centrum.
Secetur ſphæra, uel ſphæroides plano per axem ducto;
quod ſectionem faciat circulum, uel ellipſim abcd, cuius
diameter, & ſphæræ, uel ſphæroidis axis db; & centrum e.
Dico e grauitatis etiam centrum eſſe. ſecetur enim altero
plano per e, ad planum ſecans recto, cuius ſectio ſit circu­
 lus circa diametrum ac. erunt adc, abc dimidiæ portio­
 nes ſphæræ, uel ſphæroidis. & quoniam portionis adc gra
 uitatis centrum eſi in linea d, & centrum portionis abc in
ipſa be; totius ſphæræ, uel ſphæroidis grauitatis centrum
in axe db conſiſtet, Quòd ſi portionis adc centrum graui
tatis ponatur eſſe f & fiat ipſi fe æqualis eg: punctum g por
39[Figure 39]

tionis abc centrum erit. ſolidis enim figuris ſimilibus &
æqualibus inter ſe aptatis, & centra grauitatis ipſarum in­

ter se aptentur neceſſe eſt. ex quo fit, ut magnitudinis, quæ
ex utilique conſtat, hoc eſt ipſius ſphæræ, uel ſphæroidis gra
 uitatis centrum ſit in medio lineæ fg uidelicet in e. Sphæ­
 ræ igitur, uel ſphæroidis grauitatis centrum eſt idem, quod
centrum figuræ.
1
per 2. pe­
titionem
4 Archi­
medis.
Ex demonſtratis perſpicue apparet, portioni
ſphæræ uel ſphæroidis, quæ dimidia maior eſt, cen
trum grauitatis in axe conſiſtere.
40[Figure 40]
Data enim
qualibet maio
 ri portione, quo
niam totius ſphæ
 ræ, uel ſphæroi
 dis grauitatis
centrum eſt in
axe; eſt autem
& in axe cen­
 trum portio­
 nis minoris:
reliquæ portionis uidelicet maioris centrum in axe neceſ­
 ſario conſiſtet.
THEOREMA XIII. PROPOSITIO XVII.
41[Figure 41]
Cuiuslibet pyramidis trian
gularem baſim habentis gra
 uitatis centrum eſt in pun­
 cto, in quo ipſius axes con­
ueniunt.
Sit pyramis, cuius baſis trian
 gulum abc, axis de: ſitque trian
 guli bdc grauitatis centrum f:
& iungatur a ſ. erit & af axis eiuſ
 dem pyramidis ex tertia diffini­
 tione huius. Itaque quoniam centrum grauitatis eſt in
axe de; eſt autem & in axe af; q̀uod proxime demonſtraui
1mus: erit utique grauitatis centrum pyramidis punctum
g. in quo ſcilicet ipſi axes conueniunt.
THEOREMA XIIII. PROPOSITIO XVIII.
SI ſolidum parallelepipedum ſecetur plano
baſibus æquidiſtante; erit ſolidum ad ſolidum,
ſicut altitudo ad altitudinem, uel ſicut axis ad
axem.
42[Figure 42]
Sit ſolidum parallelepipe
 dum abcdefgh, cuius axis
kl: ſeceturque plano baſibus
æquidiſtante, quod faciat
ſectionem mnop; & axi in
puncto q occurrat. Dico
ſolidum gm ad ſolidum mc
eam proportionem habere,
quam altitudo ſolidi gm ha­
 bet ad ſolidi mc altitudi­
 nem; uel quam axis kq ad
axem ql. Si enim axis Kl ad
baſis planum ſit perpendicu
43[Figure 43]
laris, & linea gc, quæ ex quin
 ta huius ipſi kl æquidiſtat,
perpendicularis erit ad idem
planum, & ſolidi altitudi­

nem dimetietur. Itaque ſo­
 lidum gm ad ſolidum mc
eam proportionem habet,
quam parallelogrammum gn
ad parallelogrammum nc,

hoc eſt quam linea go, quæ
1eſt ſolidi gm altitudo ad oe altitudinem ſolidi mc, uel quam
axis kq ad ql axem. Si uero axis kl non ſit perpendicularis
ad planum baſis; ducatur a puncto k ad idem planum per
 pendicularis kr, occurrens plano mnop in s. ſimiliter de­
monſtrabimus ſolidum gm ad ſolidum mc ita eſſe, ut axis kq
ad axem ql. Sed ut Kq ad ql, ita ks altitudo ad altitudi­

nem sr; nam lineæ Kl, Kr à planis æquidiſtantibus in eaſ­
 dem proportiones ſecantur. ergo ſolidum gm ad ſolidum
mc eandem proportionem habet, quam altitudo ad altitu
dinem, uel quam axis ad axem. quod demonſtrare oportebat.
25 undeci
mi.
ſextim.
17. unde­
cimi
THEOREMA XV. PROPOSITIO XIX.
Solida parallelepipeda in eadem baſi, uel in
æqualibus baſibus conſtituta eam inter ſe propor
 tionem habent, quam altitudines: & ſi axes ipſo­
 rum cum baſibus æquales angulos contineant,
eam quoque, quam axes proportionem habebunt.
Sint ſolida parallelepipeda in eadem baſi conſtituta abcd,
abef: & ſit ſolidi abcd altitudo minor: producatur au­
 tem planum cd adeo, ut ſolidum abef ſecet; cuius ſectio
44[Figure 44]

ſit gh. erunt ſoli
da abcd, abgh
in eadem baſi,
& æquali altitu
 dine inter ſe æ­
 qualia. Quoniam
igitur ſolidum
abef ſecatur
plano baſibus
æquidiſtante, erit

ſolidum ghef
adipſum abgh
1ut altitudo ad altitudinem: & componendo conuertendo

que ſolidum abgh, hoc eſt ſolidum abcd ipſi æquale, ad
ſolidum abef, ut altitudo ſolidi abcd ad ſolidi abef al­
titudinem.
29. unde­
cimi
18. huius
7. quinti.
Sint ſolida parallelopipeda ab, cd in æqualibus baſibus
conſtituta: ſitque be altitudo ſolidi ab: & ſolidi cd altitudo
d f; quæ quidem maior ſit, quàm be. Dico ſolidum ab ad
ſolidum cd eandem habere proportionem, quam be ad
d f. abſcindatur enim à linea df æqualis ipſi be, quæ ſit gf:
& per g ducatur planum ſecans ſolidum cd; quod baſibus
æquidiſtet, faciatque ſectionem hK. erunt ſolida ab, ck æque

45[Figure 45]
alta inter
ſe æqualia
cum æqua­
 les baſes
habeant.

Sed ſolidum
hd ad ſoli
dum cK
eſt, ut alti
 tudo dg
ad gf alti­
tudinem; ſe
 catur enim ſolidum cd plano baſi
46[Figure 46]
bus æquidiſtante: & rurſus compo­
nende, conuertendoque ſolidum ck

ad ſolidum cd, ut gf ad fd. ergo
ſolidum ab, quod eſt æquale ipſi
ck ad ſolidum cd eam proportio
nem habet, quam altitudo gf, hoc
eſt be ad df altitudinem.
31. unde
cimi
18. huius
7. quinti.
Sint deinde ſolida parallelepipe
 da ab, ac in eadem baſi; quorum
axes de, ſ e cum ipſa æquales angu
1los contineant. Dico ſolidum ab ad ſolidum ace idem ha
 bere proportionem, quam axis de ad axem ef. Si enim
axes in eadem recta linea fuerint conſtituti, hæc duo ſoli­
 da, in unum, atque idem ſolidum conuenient. quare ex
iis, quæ proxime tradita ſunt, habebit ſolidum ab ad ſo­
 lidum ac eandem proportionem, quam axis de ad ef
axem. Si uero axes non ſint in eadem recta linea, demittan
 tur a punctis d, ſ perpendiculares ad baſis planum, dg, fh:
& jungantur eg, eh. Quoniam igitur axes cum baſibus
æquales angulos continent, erit deg angulus æqualis an­
47[Figure 47]
gulo feh: & ſunt
anguli ad gh re­
 cti, quare & re­
 liquus edg æqua
 lis erit reliquo
efh: & triangu­
 lum deg triangu­
lo feh ſimile. er­
 go gd ad de eſt,
ut hf ad e: & per
mutando gd ad
hf, ut de ad cf.
48[Figure 48]
Sed ſolidum ab
ad ſolidum ac
eandem propor­
 tionem habet,
quam dg altitu­
 do ad altitudinem
fh. ergo & ean­
dem habebit, quam
axis de ad ef axem
Poſtremo ſint
ſolidi parallepi
 peda ab, cd in
1æqualibus baſibus, quorum axes cum baſibus æquales an
 gulos faciant. Dico ſolidum ab ad ſolidum cd ita eſſe, ut axis
ef ad axem gh: nam ſi axes ad planum baſis recti ſint, il­
 lud perſpicue conſtat: quoniam eadem linea, & axem & ſoli
 di altitudinem determinabit. Si uero ſint inclinati, à pun­
 ctis eg ad ſubiectum planum perpendiculares ducantur
ek, gl: & iungantur fk, hl. rurſus quoniam axes cum ba
 ſibus æquales faciunt angulos, eodem modo demonſtrabi
 tur, triangulum efK triangulo ghl ſimile eſſe: & ek ad gl,
ut ef ad gh. Solidum autem ab ad ſolidum cd eſt, ut
eK ad gl. ergo & ut axis ef ad axem gh. quæ omnia de
 monſtrare oportebat.
Ex iis quæ demonſtrata ſunt, facile conſtare
poteſt, priſmata omnia & pyramides, quæ trian­
gulares baſes habent, ſiue in eiſdem, ſiue in æqua

libus baſibus conſtituantur, eandem proportio­
 nem habere, quam altitudines: & ſi axes cum ba
 ſibus æquales angulos contineant, ſimiliter ean­
 dem, quam axes, habere proportionem: ſunt

enim ſolida parallelepipeda priſmatum triangula

res baſes habentium dupla; & pyramidum ſextupla.
15. quinti
28. unde­
cimi.
7. duode­
cimi.
THEOREMA XVI. PROPOSITIO XX.
Priſmata omnia & pyramides, quæ in eiſdem,
uel æqualibus baſibus conſtituuntur, eam inter
ſe proportionem habent, quam altitudines: & ſi
axes cum baſibus faciant angulos æquales, eam
etiam, quam axes habent proportionem.
1
Sint duo priſmata ae, af, quorum eadem baſis quadri­
 latera abcd: ſitque priſmatis ae altitudo eg; & priſmatis
af altitudo fh. Dico priſma ae ad priſma af eam habere
proportionem, quam eg ad fh. iungatur enim ac: & in
unoquoque priſmate duo priſmata intelligantur, quorum
49[Figure 49]
baſes ſint triangu
 la abc, acd. habe
bunt duo priſma­
 te in eadem baſi
abc conſtituta,
proportionem eam
dem, quam ipſo­
 rum altitudines e
g, fh, ex iam de­
 monſtratis. & ſi­
 militer alia duo,
quæ ſunt in baſi a

c d. quare totum priſma ae ad priſma af eandem propor
 tionem habebit, quam altitudo eg ad fh altitudinem.
Quòd cum priſmata ſint pyramidum tripla, & ipſæ pyrami
 des, quarum eadem eſt baſis quadrilatera, & altitudo priſ­
 matum altitudini æqualis, eam inter ſe proportionem ha­
 bebunt, quam altitudines.
12. quinti
Si uero priſmata baſes æquales habeant, non eaſdem, ſint
duo eiuſmodi priſmata ae, fl: & ſit baſis priſmatis ae qua
 drilaterum abcd; & priſmatis fl quadrilaterum fghk.
Dico priſma ae ad priſma fl ita eſſe, ut altitudo illius ad
huius altitudinem. nam ſi altitudo ſit eadem, intelligantur

duæ pyramides abcde, fghkl. quæ interſe æquales erunt,
cum æquales baſes, & altitudinem eandem habeant. quare

& priſmata ae, fl, quæ ſunt harum pyramidum tripla, æqua­
 lia ſint neceſſe eſt. ex quibus perſpicue conſtat propoſitum.
Si uero altitudo priſmatis fl ſit maior, à priſmate fl ab­
 ſcindatur priſma fm, quod æque altum ſit, atque ipſum ae.
150[Figure 50]
erunt eædem ra­
 tione priſmata a
e, fm inter ſe æ­
 qualia. quare ſi­
 militer demon­
 ſtrabitur priſma
fm ad priſma fl
eandem habere
proportionem,
quam priſmatis
fm altitudo ad
altitudinem ip­
 ſius fl. ergo & priſma ae ad priſma fl eandem propor­
 tionem habebit, quam altitudo ad altitudinem. ſequitur
igitur ut & pyramides, quæ in æqualibus baſibus conſtituun
tur, eandem inter ſe ſe, quam altitudines, proportionem
habeant.
6. duode
cimi
25. quinti
51[Figure 51]
Sint deinde priſmata ae, af in eadem baſi abcd; quorum
axes cum baſibus æquales angulos contineant: & ſit
1matis ae axis gh; & priſmatis af axis lh. Dico priſma
ae ad priſma af eam proportionem habere, quam gh ad
h l. ducantur à punctis gl perpendiculares ad baſis pla­
52[Figure 52]
num gK, lm: & iungantur kh,
h m. Itaque quoniam anguli gh
k, lhm ſunt æquales, ſimiliter ut
ſupra demonſtrabimus, triangu­
 la ghK, lhm ſimilia eſſe; & ut g
K ad lm, ita gh ad hl. habet au
 tem priſma ae ad priſma af ean
dem proportionem, quam altitu
 do gK ad altitudinem lm, ſicuti
demonſtratum eſt. ergo & ean­
 dem habebit, quam gh, ad hl. py
 ramis igitur abcdg ad pyrami­
 dem abcdl eandem proportio­
 nem habebit, quam axis gh ad hl axem.
53[Figure 53]
Denique ſint priſmata ae, ko in æqualibus baſibus ab
cd, klmn conſtituta; quorum axes cum baſibus æquales
faciant angulos: ſitque priſmatis ae axis fg, & altitudo fh:
priſmatis autem ko axis pq, & altitudo pr. Dico priſma
ae ad priſma ko ita eſſe, ut fg ad pq. iunctis enim gh,
1qr, eodem, quo ſupra, modo oſtendemus fg ad pq, ut fh
ad pr. ſed priſma ae ad ipſum ko eſt, ut fh ad pr. ergo
& ut fg axis ad axem pq. ex quibus ſit, ut pyramis abcdf
54[Figure 54]
ad pyrami­
dem klmnp
eandem ha
 beat pro ­
 portionẽ,
quam axis ad
axem. quod
demonſtran
dum ſuerat.
Simili ra
 tione in a­
 liis priſma­
 tibus & py
 ramidibus eadem demonſtrabuntur.
THEOREMA XVII. PROPOSITIO XXI.
Priſmata omnia, & pyramides inter ſe propor
 tionem habent compoſitam ex proportione ba­
 ſium, & proportione altitudinum.
Sint duo priſmata ae, gm: ſitque priſmatis ae baſis qua
 drilaterum abcd, & altitudo ef: priſmatis uero gm ba­
 ſis quadrilaterum ghKl, & altitudo mn. Dico priſma ae
ad priſma gm proportionem habere compoſitam ex pro
 portione baſis abcd ad baſim ghkl, & ex proportione
altitudinis ef, ad altitudinem mn.
Sint enim primum ef, mn æquales: & ut baſis abcd
ad baſim ghkl, ita fiat linea, in qua o ad lineam, in qua p:
ut autem ef ad mn, ita linea p ad lineam q. erunt lineæ
pq inter ſe æquales. Itaque priſma ae ad priſma gm eam
1proportionem habet, quam baſis abcd ad baſim ghkl:
ſi enim intelligantur duæ pyramides abcde, ghklm, ha­
 bebunt hæ inter ſe proportionem eandem, quam ipſarum
baſes ex ſexta duodecimi elementorum. Sed ut baſis abcd
ad ghKl baſim, ita linea o ad lineam p; hoc eſt ad lineam q
ei æqualem. ergo priſma ae ad priſma gm eſt, ut linea o
ad lineam q. proportio autem o ad q copoſita eſt ex pro­
 portione o ad p, & ex proportione p ad q. quare priſma
ae ad priſma gm, & idcirco pyramis abcde, ad pyrami­
 dem ghKlm proportionem habet ex eiſdem proportio­
 nibus compoſitam, uidelicet ex proportione baſis abcd
ad baſim ghKl, & ex proportione altitudinis ef ad mn al
 titudinem. Quòd ſi lineæ ef, mn inæquales ponantur, ſit
ef minor: & ut ef ad mn, ita fiat linea p ad lineam u: de
55[Figure 55]
inde ab ipſa mn abſcindatur rn æqualis ef: & per r duca­
 tur planum, quod oppoſitis planis æquidiſtans faciat ſe­
 ctionem st. erit priſma ae, ad priſma gt, ut baſis abcd
ad baſim ghkl; hoc eſt ut o ad p: ut autem priſma gt ad

priſma gm, ita altitudo rn; hoc eſt ef ad altitudine mn;
uidelicet linea p ad lineam u. ergo ex æquali priſma ae ad
priſma gm eſt, ut linea o ad ipſam u. Sed proportio o ad
u compoſita eſt ex proportione o ad p, quæ eſt baſis abcd
ad baſim ghkl; & ex proportione p ad u, quæ eſt altitudi­
 nis ef ad altitudinem mn. priſma igitur ae ad priſma gm
1compoſitam proportionem habet ex proportione baſium,
& proportione altitudinum. Quare & pyramis, cuius ba­
 ſis eſt quadrilaterum abcd, & altitudo ef ad pyramidem,
56[Figure 56]
cuius baſis quadrilaterum ghKl, & altitudo mn, compoſi
 tam habet proportionem ex proportione baſium abcd,
ghkl, & ex proportione altitudinum ef, mn. quod qui­
 dem demonſtraſſe oportebat.
20. huius
Ex iam demonſtratis perſpicuum eſt, priſma
ta omnia, & pyramides, in quibus axes cum baſi­
 bus æquales angulos continent, proportionem
habere compoſitam ex baſium proportione, &
proportione axium. demonſtratum eſt enim, a­
 xes inter ſe eandem proportionem habere, quam
ipſæ altitudines.
THEOREMA XVIII. PROPOSITIO XXII.
CVIVSLIBEt pyramidis, & cuiuslibet coni,
1uel coni portionis axis à centro grauitatis ita diui
ditur, ut pars, quæ terminatur ad uerticem reli­
 quæ partis, quæ ad baſim, ſit tripla.
Sit pyramis, cuius baſis triangulum abc; axis de; & gra
 uitatis centrum K. Dico lineam dk ipſius Ke triplam eſſe.
trianguli enim bdc centrum grauitatis ſit punctum f; trian
guli adc centrum g; & trianguli adb ſit h: & iungantur af,
b g, ch. Quoniam igitur centrum grauitatis pyramidis in axe

conſiſtit: ſuntque de, af, bg, ch eiuſdem pyramidis axes: conue
 nient omnes in idem punctum k, quod eſt grauitatis centrum.
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diuiſam in
quatuor pyramides, quarum baſes ſint ipſa pyramidis

57[Figure 57]
triangula; & axis pun­
 ctum k quæ quidem py­
 ramides inter ſe æquales
ſunt, ut demonſtrabitur.
Ducatur enim per lineas
dc, de planum ſecans, ut
ſit ipſius, & baſis abc com
munis ſectio recta linea
cel: eiuſdem uero & trian­
guli adb ſit linea dhl. erit linea al æqualis ipſi
lb: nam centrum graui­
 tatis trianguli conſiſtit
in linea, quæ ab angulo
ad dimidiam baſim per­
 ducitur, ex tertia deci­
 ma Archimedis.
quare

triangulum acl æquale
eſt triangulo bcl: & propterea pyramis, cuius baſis trian­
 gulum acl, uertex d, eſt æqualis pyramidi, cuius baſis bcl

triangulum, & idem uertex. pyramides enim, quæ ab eodem
1ſunt uertice, eandem proportionem habent, quam ipſarum
baſes. eadem ratione pyramis aclk pyramidi bclk & py
 ramis adlk ipſi bdlk pyramidi æqualis erit. Itaque ſi a py
ramide acld auferantur pyramides aclk, adlk: & à pyra
 mide bcld auferantur pyramides bclk dblK: quæ relin­
 quuntur erunt æqualia. æqualis igitur eſt pyramis acdk
pyramidi bcdK. Rurſus ſi per lineas ad, de ducatur pla­
 num quod pyramidem ſccet: ſitque eius & baſis communis
ſectio aem: ſimiliter oſtendetur pyramis abdK æqualis
pyramidi acdk. ducto denique alio plano per lineas ca,
af: ut eius, & trianguli cdb communis ſectio ſit cfn, py­
 ramis abck pyramidi acdk æqualis demonſtrabitur. cum
ergo tres pyramides bcdk, abdk, abck uni, & eidem py
 ramidi acdk ſint æquales, omnes inter ſe ſe æquales erunt.
Sed ut pyramis abcd ad pyramidem abck ita de axis ad
axem ke, ex uigeſima propoſitione huius: ſunt enim hæ
pyramides in eadem baſi, & axes cum baſibus æquales con
 tinent angulos, quòd in eadem recta linea conſtituantur.
quare diuidendo, ut tres pyramides acdk, bcdK, abdK
ad pyramidem abcK, ita dk ad Ke. conſtat igitur lineam
dK ipſius Ke triplam eſſe. ſed & ak tripla eſt Kf: itemque
bK ipſius kg: & ck ipſius kl tripla. quod eodem modo
demonſtrabimus.
17 huius
ucrfex
1. sexti.
5. duode­
cimi.
Sit pyramis, cuius baſis quadrilaterum abcd; axis ef:
& diuidatur ef in g, ita ut eg ipſius gf ſit tripla. Dico cen­
 trum grauitatis pyramidis eſſe punctum g. ducatur enim
linea bd diuidens baſim in duo triangula abd, bcd: ex
quibus intelligantur conſtitui duæ pyramides abde, bcde:
ſitque pyramidis abde axis eh; & pyramidis bcde axis
eK: & iungatur hK, quæ per f tranſibit: eſt enim in ipſa hK
centrum grauitatis magnitudinis compoſitæ ex triangulis
abd, bcd, hoc eſt ipſius quadrilateri. Itaque centrum gra
 uitatis pyramidis abde ſit punctum l: & pyramidis bcde

ſit m. ducta igitur lm ipſi hm lineæ æquidiſtabit. nam el ad
1lh eandem habet proportionem, quam em ad mk, uideli­
 cet triplam. quare linea lm ipſam ef ſecabit in puncto g:
etenim eg ad gf eſt, ut el ad lh. præterea quoniam hk, lm
æquidiſtant, erunt triangula hef, leg ſimilia: itemque inter
ſe ſimilia fek gem: & ut ef ad eg, ita hf ad lg: & ita fK ad
gm. ergo ut hf ad lg, ita fk ad gm: & permutando ut hf
ad fK, ita lg ad gm. ſed cum h ſit centrum trianguli abd;
& k trianguli bcd punctum uero f totius quadrilateri abcd
centrum: erit ex 8. Archimedis de centro grauitatis plano
 rum hf ad fk ut triangulum bcd ad triangulum abd: ut,
autem bcd triangulum ad triangulum abd, ita pyramis
58[Figure 58]
bcde ad pyramidem abde. ergo
linea lg ad gm erit, ut pyramis
bcde ad pyramidem abde. ex quo
ſequitur, ut totius pyramidis
abcde punctum g ſit grauitatis
centrum. Rurſus ſit pyramis ba­
 ſim habens pentagonum abcde:
& axem fg: diuidaturque axis in pun
cto h, ita ut fh ad hg triplam habe
 at proportionem. Dico h grauita­
 tis centrum eſſe pyramidis abcdef.
iungatur enim eb: intelligaturque
pyramis, cuius uertex f, & baſis
triangulum abe: & alia pyramis
intelligatur eundem uerticem ha­
 bens, & baſim bcde quadrilaterum:
ſit autem pyramidis abef axis fk
& grauitatis centrum l: & pyrami
 dis bcdef axis fm, & centrum gra
uitatis n:iunganturque km, ln;
quæ per puncta gh tranſibunt.
Rurſus eodem modo, quo ſup ra,
demonſtrabimus lineas Kgm, lhn ſibi ipſis æquidiſtare:
1& denique punctum h pyramidis abcdef grauitatis eſſe
centrum, & ita in aliis.
2. fexti.
Sit conus, uel coni portio axem habens bd: ſeceturque
plano per axem, quod ſectionem faciat triangulum abc:
& bd axis diuidatur in c, ita ut be ipſius ed ſit tripla.
Dico punctum e coni, uel coni portionis, grauitatis
eſſe centrum. Si enim fieri poteſt, ſit centrum f: & pro­
 ducatur ef extra figuram in g. quam uero proportionem
habet ge ad ef, habeat baſis coni, uelconi portionis, hoc
eſt circulus, uel ellipſis circa diametrum ac ad aliud ſpa­
 cium, in quo h. Itaque in circulo, uel ellipſi plane deſcri­
 batur rectilinea figura axlmcnop, ita ut quæ relinquun­
tur portiones ſint minores ſpacio h: & intelligatur pyra­
 mis baſim habens rectilineam figuram aKlmcnop, &
axem bd; cuius quidem grauitatis centrum erit punctum
e, ut iam demonſtrauimus. Et quoniam portiones ſunt
minores ſpacio h, circulus, uel ellipſis ad portiones ma­
59[Figure 59]
iorem proportionem habet, quam ge ad ef. ſed ut circu­
 lus, uel ellipſis ad figuram rectilineam ſibi inſcriptam, ita
conus, uel coni portio ad pyramidem, quæ figuram rectili­
 neam pro baſi habet; & altitudinem æqualem: etenim
1
pra demonſtratum eſt, ita eſſe cylindrum, uel cylindri por­
 tionem ad priſma, cuius baſis rectilinea figura, & æqua­
 lis altitudo. ergo per conuerſionem rationis, ut circulus,
uel ellipſis ad portiones, ita conus, uel coni portio ad por­
 tiones ſolidas. quare conus uel coni portio ad portiones
ſolidas maiorem habet proportionem, quam ge ad ef: &
diuidendo, pyramis ad portiones ſolidas maiorem pro­
 portionem habet, quam gf ad fe. fiat igitur qf ad fe
ut pyramis ad dictas portiones. Itaque quoniam a cono
uel coni portione, cuius grauitatis centrum eſt f, aufer­
 tur pyramis, cuius centrum e; reliquæ magnitudinis,
quæ ex ſolidis portionibus conſtat, centrum grauitatis
erit in linea ef protracta, & in puncto q. quod fieri
non poteſt: eſt enim centrum grauitatis intra. Conſtat
igitur coni, uel coni portionis grauitatis centrum eſſe pun
 ctum e. quæ omnia demonſtrare oportebat.
8 huius
THEOREMA XIX. PROPOSITIO XXIII.
QVODLIBET fruſtum à pyramide, quæ
triangularem baſim habeat, abſciſſum, diuiditur
in tres pyramides proportionales, in ea proportio
ne, quæ eſt lateris maioris baſis ad latus minoris
ipſi reſpondens.
Hoc demonſtrauit Leonardus Piſanus in libro, qui de­
 praxi geometriæ inſcribitur. Sed quoniam is adhuc im­
 preſſus non eſt, nos ipſius demonſtrationem breuiter
perſtringemus, rem ipſam ſecuti, non uerba. Sit fru­
 ſtum pyramidis abcdef, cuius maior baſis triangulum
abc, minor def: & iunctis ae, cc, cd, per, line­
 as ae, ec ducatur planum ſecans fruſtum: itemque per
lineas ec, cd; & per cd, da alia plana ducantur, quæ
diuident fruſtum in trcs pyramides abce, adce, defc.
1Dico eas proportionales eſſe in proportione, quæ eſt la­
 teris ab adlatus de, ita ut earum maior ſit abce, me­
 dia adce, & minor defc. Quoniam enim lineæ de,
ab æquidiſtant; & inter ipſas ſunt triangula abe, ade;

60[Figure 60]
erit triangulum abe
ad triangulum abe,
ut linea ab ad lineam
de. ut autem triangu
 lum abe ad triangu­

lum abe, ita pyramis
abec ad pyramidem
adec: habent enim
altitudinem eandem,
quæ eſtà puncto cad
planum, in quo qua­

drilaterum abed. er­
 go ut ab ad de, ita pyramis abec ad pyramidem adec.
Rurſus quoniam æquidiſtantes ſunt ac, df; erit eadem

ratione pyramis adce ad pyramidem cdfe, ut ac ad
df. Sed ut ac ad df, ita ab ad de, quoniam triangula
abc, def ſimilia ſunt, ex nona huius. quare ut pyramis
abce ad pyramidem abce, ita pyramis adce ad ipſam
 defc. fruſtum igitur abcdef diuiditur in tres pyramides
proportionales in ea proportione, quæ eſt lateris ab ad de
latus, & earum maior eſt cabe, media adce, & minor
defc. quod demonſtrare oportebat.
1. ſexti.
5. duodeci
mi.
11. quinti.
4 ſexti.
PROBLEMA V. PROPOSITIO XXIIII.
QVODLIBET fruſtum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis, plano baſi æquidiſtanti ita ſe­
 care, ut ſectio ſit proportionalis inter maiorem,
& minorem baſim.
1
SIT fruſtum pyramidis ae, cuius maior baſis triangu­
 lum abc, minor def: & oporteat ipſum plano, quod baſi
æquidiſtet, ita ſecare, ut ſectio ſit proportionalis inter trian
gula abc, def. Inueniatur inter lineas ab, de media pro­
 portionalis, quæ ſit bg: & à puncto g erigatur gh æquidi­
 ſtans be, ſecansque ad in h: deinde per h ducatur planum
baſibus æquidiſtans, cuius ſectio ſit triangulum hkl. Dico
triangulum hKl proportionale eſſe inter triangula abc,
61[Figure 61]
def, hoc eſt triangulum abc ad
triangulum hKl eandem habere
proportionem, quam triangulum
hKl ad ipſum def. Quoniam enim

lineæ ab, hK æquidiſtantium pla
 norum ſectiones inter ſe æquidi­
 ſtant: atque æquidiſtant bk, gh:

linea hk ipſi gb eſt æqualis: & pro
 pterea proportionalis inter ab,
de. quare ut ab ad hK, ita eſt hk
 ad de. fiat ut hk ad de, ita de
ad aliam lineam, in qua ſit m. erit
ex æquali ut ab ad de, ita hk ad

m. Et quoniam triangula abc,
hKl, def ſimilia ſunt; triangulum

abc ad triangulum hkl eſt, ut li­
 nea ab ad lineam de: triangulum

autem hkl ad ipſum def eſt, ut hk ad m. ergo triangulum
abc ad triangulum hkl eandem proportionem habet,
quam triangulum hKl ad ipſum def. Eodem modo in a­
 liis fruſtis pyramidis idem demonſtrabitur.
16. unde
cimi
34. primi
9. huius
corol.
20. ſexti
11. quinti
Sit fruſtum coni, uel coni portionis ad: & ſecetur plano
per axem, cuius ſectio ſit abcd, ita ut maior ipſius baſis ſit
circulus, uel ellipſis circa diametrum ab; minor circa cd.
Rurſus inter lineas ab, cd inueniatur proportionalis be:
& ab e ducta ef æquidiſtante bd, quæ lineam ca in f ſecet,
1per f planum baſibus æquidiſtans ducatur, ut ſit ſectio cir
 culus, uel ellipſis circa diametrum fg. Dico ſectionem ab
ad ſectionem fg eandem proportionem habere, quam fg
ad ipſam cd. Simili enim ratione, qua ſupra, demonſtrabi­
 tur quadratum ab ad quadratum fg ita eſſe, ut quadratum

fg ad cd quadratum. Sed circuli inter ſe eandem propor­
 tionem habent, quam diametrorum quadrata. ellipſes au­
 tem circa ab, fg, cd, quæ ſimiles ſunt, ut oſtendimus in com­
mentariis in principium libri Archimedis de conoidibus,
& ſphæroidibus, eam habent proportionem, quam quadra
ta diametrorum, quæ eiuſdem rationis ſunt, ex corollario­
62[Figure 62]
ſeptimæ propoſitionis eiuſdem li­
 bri. ellipſes enim nunc appello ip­
 ſa ſpacia ellipſibus contenta. ergo
circulus, uel ellipſis ab ad circulum,
uel ellipſim fg eam proportionem
habet, quam circulus, uel ellipſis
fg ad circulum uel ellipſim cd.
quod quidem faciendum propo­
ſuimus.
2. duode
cimi
THEOREMA XX. PROPOSITIO XXV.
QVODLIBET fruſtum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis ad pyramidem, uel conum, uel
coni portionem, cuius baſis eadem eſt, & æqualis
altitudo, eandem proportionem habet, quam utræ
que baſes, maior, & minor ſimul ſumptæ vnà cum
ea, quæ inter ipſas ſit proportionalis, ad baſim ma
iorem.
1
SIT fruſtum pyramidis, uel coni, uel coni portionis ad,
cuius maior baſis ab, minor cd. & ſecetur altero plano
baſi æquidiſtante, ita ut ſectio ef ſit proportionalis inter
baſes ab, cd. conſtituatur autem pyramis, uel conus, uel co­
 ni portio agb, cuius baſis ſit eadem, quæ baſis maior fru­
63[Figure 63]
ſti, & altitudo æqualis. Di­
 co fruſtum ad ad pyrami­
 dem, uel conum, uel coni
portionem agb eandem
proportionem habere, quam
utræque baſes, ab, cd unà
cum ef ad baſim ab. eſt
enim fruſtum ad æquale
pyramidi, uel cono, uel co­
 ni portioni, cuius baſis ex
tribus baſibus ab, ef, cd
conſtat; & altitudo ipſius
altitudini eſt æqualis: quod mox oſtendemus. Sed pyrami
64[Figure 64]
des, coni, uel coni portiones,
quæ ſunt æquali altitudine,
eandem inter ſe, quam baſes,
proportionem habent, ſicu­
 ti demonſtratum eſt, partim

ab Euclide in duodecimo li­
 bro elementorum, partim à
nobis in commentariis in un­
 decimam propoſitionem Ar­
 chimedis de conoidibus, &
ſphæroidibus. quare pyra­
 mis, uel conus, uel coni por­
 tio, cuius baſis eſt tribus illis
baſibus æqualis ad agb eam
habet proportionem, quam
baſes ab, ef, cd ad ab baſim. Fruſtum igitur ad ad agb
1pyramidem, uel conum, uel coni portionem eandem pro­
 portionem habet, quam baſes ab, cd unà cum ef ad ba­
 ſim ab. quod demonſtrare uolebamus.
6. 11. duo
decimi
Fruſtum uero ad æquale eſſe pyramidi, uel co
 no, uel coni portioni, cuius baſis conſtat ex baſi­
 bus ab, cd, ef, & altitudo fruſti altitudini eſt æ­
 qualis, hoc modo oſtendemus.
Sit fruſtum pyramidis abcdef, cuius maior baſis trian­
 gulum abc; minor def: & ſecetur plano baſibus æquidi­
 ſtante, quod ſectionem faciat triangulum ghk inter trian­
 gula abc, def proportionale. Iam ex iis, quæ demonſtrata
ſunt in 23. huius, patet fruſtum abcdef diuidi in tres pyra
 mides proportionales; & earum maiorem eſſe pyramidem
abcd minorem uero defb. ergo pyramis à triangulo ghk
conſtituta, quæ altitudinem habeat fruſti altitudini æqua­
 lem, proportionalis eſt inter pyramides abcd, defb: &
idcirco fruſtum abcdef tribus dictis pyramidibus æqua
65[Figure 65]
le erit. Itaque ſi intelligatur alia pyra­
 mis æque alta, quæ baſim habeat ex tri
 bus baſibus abc, def, ghk conſtan­
 tem; perſpicuum eſt ipſam eiſdem py­
 ramidibus, & propterea ipſi fruſto æ­
 qualem eſſe.
Rurſus ſit fruſtum pyramidis ag, cu
 ius maior baſis quadrilaterum abcd,
minor efgh: & ſecetur plano baſi­
 bus æquidiſtante, ita ut fiat ſectio qua­
 drilaterum Klmn, quod ſit proportio
nale inter quadrilatera abcd, efgh. Dico pyramidem,
cuius baſis ſit æqualis tribus quadrilateris abcd, klmn,
efgh, & altitudo æqualis altitudini fruſti, ipſi fruſto ag
æqualem eſſe. Ducatur enim planum per lineas fb, hd,
1quod diuidat fruſtum in duo fruſta triangulares baſes ha­
 bentia, uidelicet in fruſtum abdefh, & in fruſtum bcdfgh.
erit triangulum kln proportionale inter triangula abd,
efh: & triangulum lmn proportionale inter bcd, fgh.
ſed pyramis æque alta, cuius baſis conſtat ex tribus trian­
66[Figure 66]
gulis abd, klz, efh, demonſtrata
eſt fruſto abdcfh æqualis. & ſi­
 militer pyramis, cuius baſis con­
 ſtat ex triangulis bcd, lmn, fgh
æqualis fruſto bcdfgh: compo­
 nuntur autem tria quadrilatera a
bcd, klmn, efgh è ſex triangu­
 lis iam dictis. pyramis igitur ba­
 ſim habens æqualem tribus qua­
 drilateris, & altitudinem eandem
ipſi fruſto ag eſt æqualis. Eodem
modo illud demonſtrabitur in aliis
eiuſmodi fruſtis.
Sit fruſtum coni, uel coni portionis ad; cuius maior ba­
 ſis circulus, uel ellipſis circa diametrum ab; minor circa
c d: & ſecetur plano, quod baſibus æquidiſtet, faciatque ſe­
 ctionem circulum, uel ellipſim circa diametrum ef, ita ut
inter circulos, uel ellipſes ab, cd ſit proportionalis. Dico
conum, uel coni portionem, cuius baſis eſt æqualis tribus
circulis, uel tribus ellipſibus ab, ef, cd; & altitudo eadem,
quæ fruſti ad, ipſi fruſto æqualem eſſe. producatur enim
fruſti ſuperficies quouſque coeat in unum punctum, quod
ſit g: & coni, uel coni portionis agb axis ſit gh, occurrens
planis ab, ef, cd in punctis hkl: circa circulum uero de­
 ſcribatur quadratum mnop, & circa ellipſim rectangulum
mnop, quod ex ipſius diametris conſtat: iunctisque gm,
g n, go, gp, ex eodem uertice intelligatur pyramis baſim
habens dictum quadratum, uel rectangulum: & plana in
quibus ſunt circuli, uel ellipſes ef, cd uſque ad eius latera
1producantur. Quoniam igitur pyramis ſecatur planis baſi

æquidiſtantibus, ſectiones ſimiles erunt: atque erunt qua­
 drata, uel rectangula circa circulos, uel ellipſes deſcripta,
quemadmodum & in ipſa baſi. Sed cum circuli inter ſe eam

proportionem habeant, quam diametrorum quadrata:
itemque ellipſes eam quam rectangula ex ipſarum diametris

conſtantia: & ſit circulus, uel ellipſis circa diametrum ef
67[Figure 67]
proportionalis inter circulos, uel ellipſes ab, cd; erit re­
 ctangulum ef etiam inter rectangula ab, cd proportio­
 nale: per rectangulum enim nunc breuitatis cauſa etiam ip­
 ſum quadratum intelligemus. quare ex iis, quæ proxime
dicta ſunt, pyramis baſim habens æqualem dictis rectangu
 lis, & altitudinem eandem, quam fruſtum ad, ipſi fruſto à
pyramide abſciſſo æqualis probabitur. ut autem rectangu
 lum cd ad rectangulum ef, ita circulus, uel ellipſis cd ad ef
circulum, uel ellipſim: componendoque ut rectangula cd,
e f, ad ef rectangulum, ita circuli, uel ellipſes ed, ef, ad ef:
& ut rectangulum ef ad rectangulum ab, ita circulus, uel
ellipſis ef ad ab circulum, uel ellipſim. ergo ex æquali, &
componendo, ut rectangula cd, ef, ab ad ipſum ab, ita
1culi, uel ellipſes cd, ef ab ad circulum, uel ellipſim ab. In­
 telligatur pyramis q baſim habens æqualem tribus rectan
gulis ab, ef, cd; & altitudinem eandem, quam fruſtum ad.
intelligatur etiam conus, uel coni portio q, eadem altitudi
 ne, cuius baſis ſit tribus circulis, uel tribus ellipſibus ab,
ef, cd æqualis. poſtremo intelligatur pyramis alb, cuius.
baſis ſit rectangulum mnop, & altitudo eadem, quæ fru­
 ſti: itemque intelligatur conus, uel coni portio alb, cuius
baſis circulus, uel ellipſis circa diametrum ab, & eadem al

titudo. ut igitur rectangula ab, ef, cd ad rectangulum ab,
ita pyramis q ad pyramidem alb; & ut circuli, uel ellip­
 ſes ab, ef, cd ad ab circulum, uel ellipſim, ita conus, uel co
 ni portio q ad conum, uel coni portionem alb. conus
igitur, uel coni portio q ad conum, uel coni portionem
alb eſt, ut pyramis q ad pyramidem alb. ſed pyramis
alb ad pyramidem agb eſt, ut altitudo ad altitudinem, ex
20. huius: & ita eſt conus, uel coni portio alb ad conum,
uel coni portionem agb ex 14. duodecimi elementorum,
& ex iis, quæ nos demonſtrauimus in commentariis in un­
 decimam de conoidibus, & ſphæroidibus, propoſitione
quarta. pyramis autem agb ad pyramidem cgd propor­
 tionem habet compoſitam ex proportione baſium & pro
portione altitudinum, ex uigeſima prima huius: & ſimili­
 ter conus, uel coni portio agb ad conum, uel coni portio­
 nem cgd proportionem habet compoſitam ex eiſdem pro­
 portionibus, per ea, quæ in dictis commentariis demon­
 ſtrauimus, propoſitione quinta, & ſexta: altitudo enim in
 utriſque eadem eſt, & baſes inter ſe ſe eandem habent pro­
 portionem. ergo ut pyramis agb ad pyramidem cgd, ita
eſt conus, uel coni portio agb ad agd conum, uel coni
portionem: & per conuerſionem rationis, ut pyramis agb
ad fruſtum à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio
agb ad fruſtum ad. ex æquali igitur, ut pyramis q ad fru­
 ſtum à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio q ad
1fruſtum ad. Sed pyramis q æqualis eſt fruſto à pyramide
abſciſſo, ut demonſtrauimus. ergo & conus, uel coni por­
 tio q, cuius baſis ex tribus circulis, uel ellipſibus ab, ef, cd
conſtat, & altitudo eadem, quæ fruſti: ipſi fruſto ad eſt æ­
 qualis. atque illud eſt, quod demonſtrare oportebat.
9 huius
2. duode­
cimi.
7. de co­
 noidibus
& ſphæ­
roidibus
6. II. duo
decimi
THEOREMA XXI. PROPOSITIO XXVI.
CVIVSLIBET fruſti à pyramide, uel cono,
uel coni portione abſcisſi, centrum grauitatis eſt
in axe, ita ut eo primum in duas portiones diui­
 ſo, portio ſuperior, quæ minorem baſim attingit
ad portionem reliquam eam habeat proportio­
 nem, quam duplum lateris, uel diametri maioris
baſis, vnà cum latere, uel diametro minoris, ipſi
reſpondente, habet ad duplum lateris, uel diame­
 tri minoris baſis vnà cum latere, uel diametro ma­
 ioris: deinde à puncto diuiſionis quarta parte ſu
 perioris portionis in ipſa ſumpta: & rurſus ab in­
 ferioris portionis termino, qui eſt ad baſim maio
 rem, ſumpta quarta parte totius axis: centrum ſit
in linea, quæ his finibus continetur, atque in eo li

 tem propinquiorem minori baſi, eandem propor­
 tionem habeat, quam fruſtum ad pyramidem, uel
conum, uel coni portionem, cuius baſis ſit ea­
 dem, quæ baſis maior, & altitudo fruſti altitudini
æqualis.
1
Sit fruſtum ae a pyramide, quæ triangularem baſim ha­
 beat abſciſſum: cuius maior baſis triangulum abc, minor
def; & axis gh. ducto autem plano per axem & per lineam
da, quod ſectionem faciat dakl quadrilaterum; puncta
Kl lineas bc, ef bifariam ſecabunt. nam cum gh ſit axis
fruſti: erit h centrum grauitatis trianguli abc: & g
68[Figure 68]

centrum trianguli def: cen­
 trum uero cuiuslibet triangu
 li eſt in recta linea, quæ ab an­
 gulo ipſius ad dimidiam baſim
ducitur ex decimatertia primi
libri Archimedis de centro gra

uitatis planorum. quare cen­
trum grauitatis trapezii bcfe
eſt in linea kl, quod ſit m: & à
puncto m ad axem ducta mn
ipſi ak, uel dl æquidiſtante;
erit axis gh diuiſus in portio­
 nes gn, nh, quas diximus: ean
dem enim proportionem ha­
 bet gn ad nh, quam lm ad mk.
At lm ad mK habet eam, quam
duplum lateris maioris baſis
bc una cum latere minoris ef
ad duplum lateris ef unà cum
latere bc, ex ultima eiuſdem
libri Archimedis. Itaque à li­
 nea ng abſcindatur, quarta
pars, quæ fit np: & ab axe hg abſcindatur itidem
quarta pars ho: & quam proportionem habet fruſtum ad
pyramidem, cuius maior baſis eſt triangulum abc, & alti­
 tudo ipſi æqualis; habeat op ad pq. Dico centrum graui­
 tatis fruſti eſſe in linea po, & in puncto q. namque ipſum
eſſe in linea gh manifeſte conſtat. protractis enim fruſti pla
1nis, quouſque in unum punctum r conueniant; erit pyra­
 midis abcr, & pyramidis defr grauitatis centrum in li­
 nea rh. ergo & reliquæ magnitudinis, uidelicet fruſti cen­
 trum in eadem linea neceſſario comperietur. Iungantur
db, dc, dh, dm: & per lineas db, dc ducto altero plano
intelligatur fruſtum in duas pyramides diuiſum: in pyra­
 midem quidem, cuius baſis eſt triangulum abc, uertex d:
& in eam, cuius idem uertex, & baſis trapezium bcfe. erit
igitur pyramidis abcd axis dh, & pyramidis bcfed axis
d m: atque erunt tres axes gh, dh, dm in eodem plano
daKl. ducatur præterea per o linea ſt ipſi aK æquidiſtans,
quæ lineam dh in u ſecet: per p uero ducatur xy æquidi­
69[Figure 69]
ſtans eidem, ſecansque dm in
z: & iungatur zu, quæ ſecet
gh in φ. tranſibit ea per q: &
erunt φq unum, atque idem
punctum; ut inferius appare­
 bit. Quoniam igitur linea uo

æquidiſtat ipſi dg, erit du ad
uh, ut go ad oh. Sed go tri­
 pla eſt oh. quare & du ipſius
uh eſt tripla: & ideo pyrami­
 dis abcd centrum grauitatis
erit punctum u. Rurſus quo­
 niam zy ipſi dl æquidiſtat, dz
ad zm eſt, ut ly ad ym: eſtque
ly ad ym, ut gp ad pn. ergo
dz ad zm eſt, ut gp ad pn.
Quòd cum gp ſit tripla pn;
erit etiam dz ipſius zm tri­
 pla. atque ob eandem cauſ­
 ſam punctum z eſt centrum gra­
 uitatis pyramidis bcfed. iun
 cta igitur zu, in ea erit centrum
1grauitatis magnitudinis, quæ ex utriſque pyramidibus con
ſtat; hoc eſt ipſius fruſti. Sed fruſti centrum eſt etiam in a­
 xe gh. ergo in puncto φ, in quo lineæ zu, gh conueniunt.

Itaque uφ ad φz eam proportionem habet, quam pyramis
bcfed ad pyramidem abcd. & componendo uz ad zφ
eam habet, quam fruſtum ad pyramidem abcd. Vt uero
uz ad zφ, ita op ad pφ ob ſimilitudinem triangulorum,
uoφ, zpφ. quare op ad pφ eſt ut fruſtum ad pyramidem
abcd. ſed ita erat op ad pq. æquales igitur ſunt pφ, pq: &

qφ unum atque idem punctum. ex quibus ſequitur lineam.
zu ſecare op in q: & propterea punctum q ipſius fruſti gra­
 uitatis centrum eſſe.
3. diffi. hu
ius.
Vltima e­
iuſdem libri
Archime­
dis.
2. ſexti.
8. primi
libri Ar­
 chimedis
de centro
grauta­
 tis plano
rum
7. quinti.
Sit fruſtum ag à pyramide, quæ quadrangularem baſim
habeat abſciſſum, cuius maior baſis abcd, minor efgh,
& axis kl. diuidatur autem primum kl, ita ut quam propor­
 tionem habet duplum lateris ab unà cum latere ef ad du
plum lateris ef unà cum ab; habeat km ad ml. deinde à
puncto m ad k ſumatur quarta pars ipſius mk quæ ſit mn.
& rurſus ab l ſumatur quarta pars totius axis lk, quæ ſit
lo. poſtremo fiat on ad np, ut fruſtum ag ad pyramidem,
cuius baſis ſit eadem, quæ fruſti, & altitudo æqualis. Dico
punctum p fruſti ag grauitatis centrum eſſe. ducantur
enim ac, eg: & intelligantur duo fruſta triangulares ba­
 ſes habentia, quorum alterum lf ex baſibus abc, efg con­
ſtet; alterum lh ex baſibus acd, egh. Sitque fruſti lf axis
qr; in quo grauitatis centrum s: fruſti uero lh axis tu, &
x grauitatis centrum: deinde iungantur ur, tq, xs. tranſi­
 bit ur per l: quoniam l eſt centrum grauitatis quadran­
 guli abcd: & puncta ru grauitatis centra triangulorum
abc, acd; in quæ quadrangulum ipſum diuiditur. eadem
quoque ratione tq per punctum k tranſibit. At uero pro
 portiones, ex quibus fruſtorum grauitatis centra inquiri­
 mus, eædem ſunt in toto fruſto ag, & in fruſtis lf, lh. Sunt
enim per octauam huius quadrilatera abcd, efgh ſimilia:
1itemque ſimilia triangula abc, efg: & acd, egh. idcir­
coque latera ſibi ipſis reſpondentia eandem inter ſeſe pro­
 portionem ſeruant. Vt igitur duplum lateris ab unà
cum latere ef ad duplum lateris ef unà cum ab, ita eſt
70[Figure 70]
duplum ad late­
 ris una cum late­
 re eh ad duplum
eh unà cum ad:
& ita in aliis.
Rurſus fruſtum
ag ad pyramidem,
cuius eadem eſt
baſis, & æqualis
altitudo eandem
proportionem ha
 bet, quam fruſtum
lf ad pyramidem,
quæ eſt eadem ba­
 ſi, & æquali alti­
 tudine: & ſimili­
 ter quam lh fru­
 ſtum ad pyrami­
 dem, quæ ex ea­
dem baſi, & æquali
altitudine con­
 ſtat. nam ſi inter
ipſas baſes me­
 diæ proportio­
 nales conſtituan
 tur, tres baſes ſimul ſumptæ ad maiorem baſim in om­
 nibus eodem modo ſe habebunt. Vnde fit, ut axes Kl,
qr, tu à punctis psx in eandem proportionem ſecen­

tur. ergo linea xs per p tranſibit: & lineæ ru, sx, qt in­
 ter ſe æquidiſtantes erunt. Itaque cum fruſti ag latera pro­
1ducta ſuerint, ita ut in unum punctum y coeant, erunt trian
gula uyl, xyp, tyk inter ſe ſimilia: & ſimilia etiam triangu
 la lyr, pys, kyq quare ut in 19 huius, demonſtrabitur
xp, ad ps: itemque tk ad kq eandem habere proportionem,
quam ul ad lr. Sed ut ul ad lr, ita eſt triangulum abc ad
triangulum acd: & ut tk ad Kq, ita triangulum efg ad
triangulum egh. Vt autem triangulum abc ad triangu­
 lum acd, ita pyramis abcy ad pyramidem acdy. & ut
triangulum efg ad triangulum egh, ita pyramis efgy
ad pyramidem eghy; ergo ut pyramis abcy ad pyramidem

a cdy, ita pyramis efgy ad pyramidem eghy. reliquum
igitur fruſtum lf ad reliquum fruſtum lh eſt ut pyramis abcy
ad pyramidem acdy, hoc eſt ut ul ad r, & ut xp ad ps.
Quòd cum fruſti lf centrum grauitatis ſits: & fruſti lh ſit

centrum x: conſtat punctum p totius fruſti ag grauitatis
eſſe centrum. Eodem modo fiet demonſtratio etiam in
aliis pyramidibus.
a. ſexti.
19. quinti
8. Archi­
medis.
Sit fruſtum ad à cono, uel coni portione abſciſſum, eu­
 ius maior baſis circulus, uel ellipſis circa diametrum ab;
minor circa diametrum cd: & axis ef. diuidatur autem ef
in g, ita ut eg ad gf eandem proportionem habeat, quam
duplum diametri ab unà cum diametro ed ad duplum cd
unà cum ab. Sitque gh quarta pars lineæ ge: & ſit ſ K item
quarta pars totius fe axis. Rurſus quam proportionem
habet fruſtum ad ad conum, uel coni portionem, in eadem
baſi, & æquali altitudine, habeat linea Kh ad hl. Dico pun­
 ctum l fruſti ad grauitatis centrum eſſe. Si enim fieri po­
 teſt, ſit m centrum: producaturque lm extra fruſtum in n:
& ut nl ad lm, ita fiat circulus, uel ellipſis circa diametrum
ab ad aliud ſpacium, in quo ſit o. Itaque in circulo, uel
ellipſi circa diametrum ab rectilinea figura plane deſcri­
 batur, ita ut quæ relinquuntur portiones ſint o ſpacio mi­
 nores: & intelligatur pyramis apb, baſim habens rectili­
 neam figuram in circulo, uel ellipſi ab deſcriptam: à qua
1fruſtum pyramidis ſit abſciſſum. erit ex iis quæ proxime
tradidimus, fruſti pyramidis ad centrum grauitatis l. Quo
 niam igitur portiones ſpacio o minores ſunt; habebit cir
71[Figure 71]
culus, uel ellipſis ab ad
portiones dictas maiorem
proportionem, quàm nl
ad lm. ſed ut circulus, uel
ellipſis ab ad portiones,
ita apb conus, uel coni
portio ad ſolidas portio­
 nes, id quod ſupra demon
ſtratum eſt: & ut circulus

uel ellipſis cd ad portio­
 nes, quæ ip ſi inſunt, ita co
 nus, uel coni portio cpd
ad ſolidas ipſius portio­
 nes. Quòd cum figuræ in
circulis, uel ellipſibus ab
cd deſcriptæ ſimiles ſint,
erit proportio circuli, uel
ellipſis ab ad ſuas portio
nes, eadem, quæ circuli uel
ellipſis cd ad ſuas. ergo
conus, uel coni portio ap
 b ad portiones ſolidas ean­
dem habet proportionem,
quam conus, uel coni por
 tio cpd ad ſolidas ipſius

portiones. reliquum igi­
 tur coni, uel coni portionis fruſtum, ſcilicet ad ad reliquas
portiones ſolidas in ipſo contentas eandem proportionem
habet, quam conus, uel coni portio apb ad ſolidas portio
nes: hoc eſt eandem, quam circulus, uel ellipſis ab ad por
 tiones planas. quare fruſtum coni, uel coni portionis ad
1ad portiones ſolidas maiorem habet proportionem, quàm
nl ad lm: & diuidendo fruſtum pyramidis ad dictas por­
 tiones maiorem proportionem habet, quàm nm ad ml.
fiat igitur ut fruſtum pyramidis ad portiones, ita qm ad
m l. Itaque quoniam à fruſto coni, uel coni portionis ad,
cuius grauitatis centrum eſt m, aufertur fruſtum pyrami­
 dis habens centrum l; erit reliquæ magnitudinis, quæ ex
portionibus ſolidis conſtat; grauitatis centrum in linea lm
producta, atque in puncto q, extra figuram poſito: quod
fieri nullo modo poteſt. relinquitur ergo, ut punctum l ſit
fruſti ad grauitatis centrum. quz omnia demonſtranda
proponebantur.
22. huius
19. quínti
THEOREMA XXII. PROPOSITIO XXVII.
OMNIVM ſolidorum in ſphæra deſcripto­
 rum, quæ æqualibus, & ſimilibus baſibus conti­
 nentur, centrum grauitatis eſt idem, quod ſphæ­
 ræ centrum.
Solida eiuſmodi corpora regularia appellare ſolent, de
quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum: ſunt
autem numero quinque, tetrahedrum, uel pyramis, hexa­
 hedrum, uel cubus, octahedrum, dodecahedrum, & icoſa­
hedrum.
Sit primo abcd pyramis im ſphæra deſcripta, cuius ſphæ
 ræ centrum ſit e. Dico e pyramidis abcd grauitatis eſſe
centrum. Si enim iuncta dc producatur ad baſim abc in
f; ex iis, quæ demonſtrauit Campanus in quartodecimo li
 bro elementorum, propoſitione decima quinta, & decima
ſeptima, erit f centrum circuli circa triangulum abc de­
 ſcripti: atque erit ef ſexta pars ipſius ſphæræ axis. quare
ex prima huius conſtat trianguli abc grauitatis centrum
eſſe punctum f: & idcirco lineam df eſſe pyramidis axem.
172[Figure 72]
At cum ef ſit ſexta pars axis
ſphæræ, erit d tripla ef. ergo
punctum e eſt grauitatis cen­
 trum ipſius pyramidis: quod
in uigeſima ſecunda huius de­
 monſtratum ſuit. Sed e eſt cen
 trum ſphæræ. Sequitur igitur,
ut centrum grauitatis pyrami­
 dis in ſphæra deſcriptæ idem
ſit, quod ipſius ſphæræ cen­
trum.
Sit cubus in ſphæra deſcriptus ab, & oppoſitorum pla­
 norum lateribus bifariam diuiſis, per puncta diuiſionum
plana ducantur, ut communis ipſorum ſectio ſit recta li­
 nea cd. Itaque ſi ducatur ab, ſolidi ſcilicet diameter, lineæ
ab, cd ex trigeſimanona undecimi ſeſe bifariam ſecabunt.
73[Figure 73]
ſecent autem in puncto e. erit,
e centrum grauitatis ſolidi ab,
id quod demonſtratum eſt in
octaua huius. Sed quoniam ab
eſt ſphæræ diametro æqualis,
ut in decima quinta propoſi­
 tione tertii decimi libri elemen
torum oſtenditur: punctum e
ſphæræ quoque centrum erit.
Cubi igitur in ſphæra deſcri­
 pti grauitatis centrum idem
eſt, quod centrum ipſius ſphæræ.
Sit octahedrum abcdef, in ſphæra deſcriptum, cuius
ſphæræ centrum ſit g. Dico punctum g ipſius octahedri
grauitatis centrum eſſe. Conſtat enim ex iis, quæ demon­
 ſtrata ſunt à Campano in quinto decimo libro elemento­
 rum, propoſitione ſextadecima eiuſmodi ſolidum diuidi
in duas pyramides æquales, & ſimiles; uidelicet in
1dem, cuius baſis eſt quadratum abcd, & altitudo eg: &
in pyramidem, cuius eadem baſis, altitudoque fg; ut ſint eg,
gf ſemidiametri ſphæræ, & linea una. Cum igitur g ſit ſphæ­
 ræ centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa quadratum
abcd deſcribitur: & propterea eiuſdem quadrati grauita
 tis centrum: quod in prima propoſitione huius demon­
 ſtratum eſt. quare pyramidis abcde axis erit eg: & pyra
 midis abcdf axis fg. Itaque ſit h centrum grauitatis py­
 ramidis abcde, & pyramidis abcdf centrum ſit K: per­
 ſpicuum eſt ex uigeſima ſecunda propoſitione huius, lineam
74[Figure 74]
ch triplam eſſe hg: com
ponendoque eg ipſius g
h quadruplam. & eadem
ratione fg quadruplam
ipſius gk quod cum e
g, gf ſint æquales, & h
g, g K neceſſario æqua­
 les erunt. ergo ex quar
 ta propoſitione primi
libri Archimedis de cen­
tro grauitatis planorum,
totius octahedri, quod
ex dictis pyramidibus
conſtat, centrum graui
tatis erit punctum g idem, quod ipſius ſphæræ centrum.
Sit icoſahedrum ad deſcriptum in ſphæra, cuius centrum
ſit g. Dico g ipſius icoſahedri grauitatis eſſe centrum. Si
enim ab angulo a per g ducatur recta linea uſque ad ſphæ
 ræ ſuperficiem; conſtat ex ſexta decima propoſitione libri
tertii decimi elementorum, cadere eam in angulum ipſi a
oppoſitum. cadat in d: ſitque una aliqua baſis icoſahedri tri­
 angulum abc: & iunctæ bg, producantur, & cadant in
angulos ef, ipſis bc oppoſitos. Itaque per triangula
abc, def ducantur plana ſphæram ſecantia. erunt hæ
1ctiones circuli ex prima propoſitione ſphæricorum Theo
 doſii: unus quidem circa triangulum abc deſcriptus: al­
 ter uero circa def: & quoniam triangula abc, def æqua­
 lia ſunt, & ſimilia; erunt ex prima, & ſecunda propoſitione
duodecimi libri elementorum, circuli quoque inter ſe ſe
æquales. poſtremo a centro g ad circulum abc perpendi
 cularis ducatur gh; & alia perpendicularis ducatur ad cir
 culum def, quæ ſit gk; & iungantur ah, dk perſpicuum
eſt ex corollario primæ ſphæricorum Theodoſii, punctum
h centrum eſſe circuli abc, & k centrum circuli def. Quo
 niam igitur triangulorum gah, gdK latus ag eſt æquale la
 teri gd; ſunt enim à centro ſphæræ ad ſuperficiem: atque
eſt ah æquale dk: & ex ſexta propoſitione libri primi ſphæ
 ricorum Theodoſii gh ipſi gK: triangulum gah æquale
erit, & ſimile gdk triangulo: & angulus agh æqualis an­

gulo dg K. ſed anguli agh, hgd ſunt æquales duobus re­
 ctis. ergo & ipſi hgd, dgk duobus rectis æquales erunt.

& idcirco hg, g K una, atque eadem erit linea. cum autem
75[Figure 75]
h ſit centrum circuli, & tri­
 anguli abc grauitatis cen
trum probabitur ex iis, quæ
in prima propoſitione hu
 ius tradita ſunt. quare gh
erit pyramidis abcg axis.
& ob eandem cauſſam gk
axis pyramidis defg. lta­
 que centrum grauitatls py
 ramidis abcg ſit punctum
l, & pyramidis defg ſit m.
Similiter ut ſupra demon­
 ſtrabimus mg, gl inter ſe æquales eſſe, & punctum g graui
tatis centrum magnitudinis, quæ ex utriſque pyramidibus
conſtat. eodem modo demonſtrabitur, quarumcunque
duarum pyramidum, quæ opponuntur, grauitatis centrum
1eſſe punctum g. Sequitur ergo ut icoſahedri centrum gra
 uitatis ſit idem, quod ipſius ſphæræ centrum.
13. primi
14. primi
Sit dodecahedrum af in ſphæra deſignatum, ſitque ſphæ
 ræ centrum m. Dico m centrum eſſe grauitatis ipſius do­
 decahedri. Sit enim pentagonum abcde una ex duode­
 cim baſibus ſolidi af: & iuncta am producatur ad ſphæræ
ſuperficiem. cadet in angulum ipſi a oppoſitum; quod col­
 ligitur ex decima ſeptima propoſitione tertiidecimi libri
elementorum. cadat in f. at ſi ab aliis angulis bcde per cen
trum itidem lineæ ducantur ad ſuperficiem ſphæræ in pun
 cta ghkl; cadent hæ in alios angulos baſis, quæ ipſi abcd
baſi opponitur. tranſeant ergo per pentagona abcde,
fghKl plana ſphæram ſecantia, quæ facient ſectiones cir­
 culos æquales inter ſe ſe: poſtea ducantur ex centro ſphæræ
76[Figure 76]
m perpendiculares ad pla­
 na dictorum circulorum; ad
circulum quidem abcde
perpendicularis mn: & ad
circulum fghKl ipſa mo,

erunt puncta no circulorum
centra: & lineæ mn, mo in
 ter ſe æquales: quòd circu­

li æquales ſint. Eodem mo
 do, quo ſupra, demonſtrabi
 mus lineas mn, mo in unam
atque eandem lineam con­
 uenire. ergo cum puncta no ſint centra circulorum, con­
 ſtat ex prima huius & pentagonorum grauitatis eſſe centra:
idcircoque mn, mo pyramidum abcdem, fghklm axes.
ponatur abcdem pyramidis grauitatis centrum p: & py
 ramidis fghklm ipſum q centrum. erunt pm, mq æqua­
 les, & punctum m grauitatis centrum magnitudinis, quæ
ex ipſis pyramidibus conſtat. eodem modo probabitur qua­
 rumlibet pyramidum, quæ è regione opponuntur, centrum
1grauitatis eſſe punctum m. patet igitur totius dodecahe­
 dri, centrum grauitatis idem eſſe, quod & ſphæræ ipſum com
 prehendentis centrum. quæ quidem omnia demonſtraſſe
oportebat.
corol. pri
 mæ ſphæ
 ricorum
Theod.6. primi
sphærico
rum.
PROBLEMA VI. PROPOSITIO XXVIII.
DATA qualibet portione conoidis rectangu
 li, abſciſſa plano ad axem recto, uel non recto; fie­
 ri poteſt, ut portio ſolida inſcribatur, uel circum­
 ſcribatur ex cylindris, uel cylindri portionibus,
æqualem habentibus altitudinem, ita ut recta li­
 nea, quæ inter centrum grauitatis portionis, &
figuræ inſcriptæ, uel circumſcriptæ interiicitur,
ſit minor qualibet recta linea propoſita.
Sit portio conoidis rectanguli abc, cuius axis bd, gra­
uitatisque centrum e: & ſit g recta linea propoſita. quam ue
 ro proportionem habet linea be ad lineam g, eandem ha­
 beat portio conoidis ad ſolidum h: & circumſcribatur por
 tioni figura, ſicuti dictum eſt, ita ut portiones reliquæ ſint
ſolido h minores: cuius quidem figuræ centrum grauitatis
ſit punctum k. Dico lineam ke minorem eſſe linea g propo­
 ſita. niſi enim ſit minor, uel æqualis, uel maior erit. & quo­
 niam figura circumſcripta ad reliquas portiones maiorem

proportionem habet, quàm portio conoidis ad ſolidum h;
hoc eſt maiorem, quàm bc ad g: & be ad g non minorem
habet proportionem, quàm ad ke, propterea quod ke non
ponitur minor ipſa g: habebit figura circumſcripta ad por
 tiones reliquas maiorem proportionem quàm be ad ek:

& diuidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe­
 bit maiorem, quàm bk ad Ke. quare ſi fiat ut portio
1noidis ad portiones reliquas, ita alia linea, quæ ſit lk ad
ke: erit lk maior, quam bk: & ideo punctum l extra por­
77[Figure 77]
tionem cadet. Quoniam
igitur à figura circum­
 ſcripta, cuius grauitatis
centrum eſt k, aufertur
portio conoidis, cuius
centrum e. habetque lK
ad Ke eam proportio­
 nem, quam portio co­
 noidis ad reliquas por­
 tiones; erit punctum l
extra portionem cadens,
centrum magnitudinis
ex reliquis portionibus compoſitæ. illud autem fieri nullo
modo poteſt. quare conſtat lineam ke ipſa g linea propoſi
 ta minorem eſſe.
8. quínti.
29. quínti
ex tradi­
 tione Cam­
 .
Rurſus inſcribatur portioni figura, uidelicet cylindrus
78[Figure 78]
mn, ut ſit ipſius altitudo
æqualis dimidio axis bd:
& quam proportionem
habet be ad g, habeat mn
cylindrus ad ſolidum o.
inſcribatur deinde eidem
alia figura, ita ut portio­
 nes reliquæ ſint ſolido o
minores: & centrum gra
 uitatis figuræ ſit p. Dico
lineam pe ipſa g minorem
eſſe. ſi enim non ſit mi­
 nor, eodem, quo ſupra modo demonſtrabimus figuram in
ſcriptam ad reliquas portiones maiorem proportionem
habere, quàm be ad ep. & ſi fiat alia linea le ad ep, ut eſt
figura inſcripta ad reliquas portiones, punctum l extra
1tionem cadet: Itaque cum à portione conoidis, cuius gra­
 uitatis centrum e auferatur inſcripta figura, centrum ha­
 bens p: & ſit le ad ep, ut figura inſcripta ad portiones reli
 quas: erit magnitudinis, quæ ex reliquis portionibus con
 ſtat, centrum grauitatis punctum l, extra portionem ca­
 dens. quod fieri nequit. ergo linea pe minor eſt ipſa g li­
 nea propoſita.
Ex quibus perſpicuum eſt centrum grauitatis
figuræ inſcriptæ, & circumſcriptæ eo magis acce
 dere ad portionis centrum, quo pluribus cylin­
 dris, uel cylindri portionibus conſtet: fiatque; figu
 ra inſcripta maior, & circumſcripta minor. &
quanquam continenter ad portionis centrum pro­
 pius admoueatur: nunquam tamen ad ipſum per
ueniet. ſequeretur enim figuram inſcriptam, non
ſolum portioni, ſed etiam circumſcriptæ figuræ
æqualem eſſe. quod eſt abſurdum.
THEOREMA XXIII. PROPOSITIO XXIX.
CVIVSLIBET portionis conoidis rectangu­
 li axis à centro grauitatis ita diuiditur, ut pars quæ
terminatur ad uerticem, reliquæ partis, quæ ad ba
ſim ſit dupla.
SIT portio conoidis rectanguli uel abſciſſa plano ad
axem recto, uel non recto: & ſecta ipſa altero plano per axem
ſit ſuperficiei ſectio abc rectanguli coni ſectio, uel parabo
le; plani abſcindentis portionem ſectio ſit recta linea ac:
axis portionis, & ſectionis diameter bd. Sumatur autem
in linea bd punctum e, ita ut be ſit ipſius ed dupla. Dico
179[Figure 79]
e portionis ab
c grauitatis eſſe
centrum. Diui­
 datur enim bd
bifariam in m:
& rurſus dm, m
 b bifariam diui­
 dantur in pun­
 ctis n, o: inſcri­
baturque portio­
 ni figura ſolida,
& altera circum
ſcribatur ex cy
 lindris æqualem
altitudinem ha­
 bentibus, ut ſu­
 perius dictum eſt.
Sit autem pri­
 mum figura in­
 ſcripta cylindrus
fg: & circumſcri­
 pta ex cylindris
ah, Kl conſtet.

punctum n erit
centrum graui­
 tatis figuræ in­
 ſcriptæ, medium
ſcilicet ipſius d
m axis: atque idem
erit centrum cy
 lindri ah: & cy­
 lindri kl centrum
o, axis bm me­
 dium. quare ſi
180[Figure 80]
neam on ita di
uiſerimus in p,
ut quam propor­
tionem habet cy­
 lindrus ah ad
cylindrum kl,
habeat linea op

ad pn: centrum
grauitatis toti­
 us figuræ circum­
ſcriptæ erit pun

ctum p. Sed cy­
 lindri, qui ſunt
æquali altitudi­
 ne, eandem in­
 ter ſe ſe, quam
baſes propor-
 tionem habent:
eſtque ut linea db
ad bm, ita qua­
dratum lineæ ad
ad quadratum ip­
 ſius Km, ex uige
ſima primi libri

conicorum & ita
quadratum ac
ad quadratum K

g: hoc eſt circu­
 lus circa diame
 trum ac ad cir­
 culum circa dia
 metrum kg. du
 pla eſt autem li­
 nea db lineæ
1bm. ergo circulus ac circuli kg: & idcirco cylindrus
ah cylindri k. l duplus erit. quare & linea op dupla
ipſius pn. Deinde inſcripta & circumſcripta portioni
alia figura, ita ut inſcripta conſtituatur ex tribus cylin­
 dris qr, sg, tu: circumſcripta uero ex quatuor ax, yz,
Kf, θλ· diuidantur bo, om, mn, nd bifariam in punctis
μνπρ. Itaque cylindri θλ centrum grauitatis eſt punctum
μ· & cylindri kη centrum ν. ergo ſi linea μγ diuidatur in ς,
ita ut μσ ad σγ proportionem eam habeat, quam cylindrus Kη
ad cylindrum θλ, uidelicet quam quadratum knr ad qua­

dratum θo, hoc eſt, quam linea mb ad bo: erit σ centrum
magnitudinis compoſitæ ex cylindris κγ, θλ. & cum linea
mb ſit dupla bo, erit & μσ ipſius σν dupla. præterea quo­
 niam cylindri yz centrum grauitatis eſt π, linea σπ ita diui
 ſa in τ, ut στ ad τπ eam habeat proportionem, quam cylin
 drus yz ad duos cylindros Kν, θλ· erit τ centrum magnitu
 dinis, quæ ex dictis tribus cylindris conſtat. cylindrus au­
tem yz ad cylindrum θλ eſt, ut linea nb ad bo, hoc eſt ut 3
ad 1: & ad cylindrum kη, ut nb ad bm, uidelicet ut 3 ad 2.
quare yz cylindrus duobus cylindris kν, θλ æqualis erit. &
propterea linea στ æqualis ipſi τπ. denique cylindri ax
centrum grauitatis eſt punctum ρ. & cum τρ diuiſa fuerit
in eam proportionem, quam habet cylindrus ax ad tres cy­
 lindros yz, kν, θλ· erit in eo puncto centrum grauitatis
totius figuræ circumſcriptæ. Sed cylindrus ax ad ipſum yz
eſt ut linea db ad bn: hoc eſt ut 4 ad 3: & duo cylindri kη
θλ cylindro y ſunt æquales. cylindrus igitur ax ad tres
iam dictos cylindros eſt ut 2 ad 3. Sed quoniam μ σ eſt dua­
 rum partium, & ς γ unius, qualium μ π eſt ſex; erit ς π par­
 tium quatuor: proptereaque τπ duarum, & νπ, hoc eſt πρ
trium. quare ſequitur ut punctum π totius figuræ circum
ſcriptæ ſit centrum. Itaque fiat νυ ad υπ, ut μσ ad σγ. & υρ
bifariam diuidatur in φ. Similiter ut in circumſcripta figu
 ra oſtendetur centrum magnitudinis compoſitæ ex
181[Figure 81]
dris sg, tu eſſe
punctum υ· &
totius figuræ in
ſcriptæ, quæ con­
ſtat ex cylindris
qr, ſ g, tu eſſe φ
centrum. Sunt
enim hi cylindri
æquales & ſimi­
 les cylindris yz,
Kη, θλ, figuræ
circumſcriptæ.
Quoniam igitur
ut be ad ed, ita
eſt op ad pn;
utraque enim u­
 triuſque eſt du­
 pla: erit compo
 nendo, ut bd ad
de, ita on ad n
p; & permutan
do, ut bd ad o
 n, ita de ad np.
Sed bd dupla
eſt on. ergo &
ed ipſius np du
 pla erit. quòd ſi
ed bifariam di­
 uidatur im χ, erit
χ d, uel e χ æ­
 qualis np: &
ſublata en, quæ
eſt communis u­
 trique e χ, pn,
1relinquetur pe ipſi nχ æqualis. cum autem be ſit dupla
ed, & op dupla pn, hoc eſt ipſius e χ, & reliquum, uideli­

cet bo unà cum pe ipſius reliqui χ d duplum erit. eſtque
bo dupla ρ d. ergo pe, hoc eſt nχ ipſius χρ dupla. ſed dn
dupla eſt nρ. reliqua igitur dχ dupla reliquæ χ n. ſunt au­
 tem dχ, pn inter ſe æquales: itemque æquales χ n, pe. qua­
 re conſtat np ipſius pe duplam eſſe. & idcirco pe ipſi en
æqualem. Rurſus cum ſit μν dupla oν, & μ σ dupla ς γ; erit
etiam reliqua νσ reliquæ σ o dupla. Eadem quoque ratione
concludetur π υ dupla υ m. ergo ut νσ ad σ o, ita πυ ad υ m:
componendoque, & permutando, ut νo ad πm, ita oσ ad
mυ· & ſunt æquales νo, πm. quare & oς, mυ æquales. præ
 terea σπ dupla eſt πτ, & νπ ipſius πm. reliqua igitur σν re
 liquæ mτ dupla. atque erat νσ dupla σo. ergo mτ, σo æ­
 quales ſunt: & ita æquales mυ, nφ. at oς, eſt æqualis
mυ. Sequitur igitur, ut omnes oς, mτ, mυ, nφ in­
 ter ſe ſint æquales. Sed ut ρπ ad πτ, hoc eſt ut 3 ad 2, ita nd
ad dχ· permutandoque ut ρπ ad nd, ita πτ ad dχ. & ſunt æqua
 les ρπ, nd. ergo dχ, hoc eſt np, & πτ æquales. Sed etiam æ­
 quales nπ, πm. reliqua igitur πp reliquæ mτ, hoc eſt ipſi
nφ æqualis erit. quare dempta pπ ex pe, & φn dempta ex
ne, relinquitur pe æqualis eφ. Itaque π, φ centra figurarum
ſecundo loco deſcriptarum a primis centris pn æquali in­
 teruallo recedunt. quòd ſi rurſus aliæ figuræ deſcribantur,
eodem modo demonſtrabimus earum centra æqualiter ab
his recedere, & ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri. Ex quibus conſtat lineam πφ à centro grauitatis
portionis diuidi in partes æquales. Si enim fieri poteſt, non
ſit centrum in puncto e, quod eſt lineæ πφ medium: ſed in
ψ· & ipſi πψ æqualis fiat φω. Cum igitur in portione ſolida
quædam figura inſcribi posſit, ita ut linea, quæ inter cen­
 trum grauitatis portionis, & inſcriptæ figuræ interiicitur,
qualibet linea propoſita ſit minor, quod proxime demon­
 ſtrauimus: perueniet tandem φ centrum inſcriptæ figuræ
182[Figure 82]
1ad punctum ω. Sed quoniam π circumſcripta itidem alia
figura æquali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum φ applicuerit ſe ad ω, & π ad punctum ψ, hoc eſt ad
portionis centrum ſe applicabit. quod fieri nullo modo
poſſe perſpicuum eſt. non aliter idem abſurdum ſequetur,
fi ponamus centrum portionis recedere à medio ad par­
 tes ω; eſſet enim aliquando centrum figuræ inſcriptæ idem
quod portionis centrum. ergo punctum e centrum erit gra
 uitatis portionis abc. quod demonſtrare oportebat.
7. huius
8. primi
libri Ar­
chimedis
11. duo­
decimi.
15. quinti
2. duode­
cimi
20. primi
conicorum
19.
quinti
Quod autem ſupra demonſtratum eſt in portione conoi­
 dis recta per figuras, quæ ex cylindris æqualem altitudi­
 dinem habentibus conſtant, idem ſimiliter demonſtrabi­
 mus per figuras ex cylindri portionibus conſtantes in ea
portione, quæ plano non ad axem recto abſcinditur. ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propoſi
 tionem libri Archimedis de conoidibus & ſphæroidibus.
portiones cylindri, quæ æquali ſunt altitudine eam inter ſe
ſe proportionem habent, quam ipſarum baſes: baſes autem

quæ ſunt ellipſes ſimiles eandem proportionem habere,
quam quadrata diametrorum eiuſdem rationis, ex corol­
 lario ſeptimæ propoſitionis libri de conoidibus, & ſphæ­
 roidibus, manifeſte apparet.
corol. 15
 de conoi­
 dibus &
ſphæroi­
dibus.
THEOREMA XXIIII. PROPOSITIO XXX.
Si à portione conoidis rectanguli alia portio
abſcindatur, plano baſi æquidiſtante; habebit
portio tota ad eam, quæ abſciſſa eſt, duplam pro
portion em eius, quæ eſt baſis maioris portionis
ad baſi m minoris, uel quæ axis maioris ad axem
minoris.
1
ABSCINDATVR à portione conoidis rectanguli
abc alia portio ebf, plano baſi æquidiſtante: & eadem
portio ſecetur alio plano per axem; ut ſuperficiei ſectio ſit
parabole abc: planorum portiones abſcindentium rectæ
lincæ ac, ef: axis autem portionis, & ſectionis diameter
bd; quam linea ef in puncto g ſecet. Dico portionem co­
 noidis abc ad portionem ebf duplam proportionem ha­
 bere eius, quæ eſt baſis ac ad baſim ef; uel axis db ad bg
 axem. Intelligantur enim duo coni, ſeu coni portiones
abc, ebf, eandem baſim, quam portiones conoidis, & æqua
lem habentes altitudinem. & quoniam abc portio conoi
dis ſeſquialtera eſt coni, ſeu portionis coni abc; & portio
ebf coni ſeu portionis coni bf eſt ſeſquialtera, quod de­
83[Figure 83]
monſtrauit Archimedes in propoſitionibus 23, & 24 libri
de conoidibus, & ſphæroidibus: erit conoidis portio ad
conoidis portionem, ut conus ad conum, uel ut coni por­
 tio ad coni portionem. Sed conus, nel coni portio abc ad
conum, uel coni portionem ebf compoſitam proportio­
 nem habet ex proportione baſis ac ad baſim ef, & ex pro­
 portione altitudinis coni, uel coni portionis abc ad alti­
 tudinem ipſius ebf, ut nos demonſtrauimus in commen­
 tariis in undecimam propoſitionem eiuſdem libri Archi­
 medis: altitudo autem ad altitudinem cſt, ut axis ad axem.
quod quidem in conis rectis perſpicuum eſt, in ſcalenis ue
1ro ita demonſtrabitur. Ducatur à puncto b ad planum ba­
 ſis ac perpendicularis linea bh, quæ ipſam ef in K ſecet.
erit bh altitudo coni, uel coni portionis abc: & bK altitu

do efg. Quod cum lineæ ac, ef inter ſe æquidiſtent, ſunt
enim planorum æquidiſtantium ſectiones: habebit db ad

bg proportionem eandem, quam hb ad bk quare por­
 tio conoidis abc ad portionem efg proportionem habet
compoſitam ex proportione baſis ac ad baſim ef; & ex

proportione db axis ad axem bg. Sed circulus, uel
ellipſis circa diametrum ac ad circulum, uel ellipſim

circa ef, eſt ut quadratum ac ad quadratum ef; hoc eſt ut
quadratum ad ad quadratum eg. & quadratum ad ad quadra
 tum eg eſt, ut linea db ad lineam bg. circulus igitur, uel el

lipſis circa diametrum ac ad circulum, uel ellipſim circa ef,

hoc eſt baſis ad baſim eandem proportionem habet, quam
db axis ad axem bg. ex quibus ſequitur portionem abc
ad portionem ebf habere proportionem duplam eius,
quæ eſt baſis ac ad baſim ef: uel axis db ad bg axem. quod
demonſtrandum proponebatur.
16. unde­
cimi.
4 sexti.
2. duode
cimi
7. de co­
 noidibus
& ſphæ­
roidibus
15. quinti. quinti
20. primi
conicorum
THEOREMA XXV. PROPOSITIO XXXI.
Cuiuslibet fruſti à portione rectanguli conoi
 dis abſcisſi, centrum grauitatis eſt in axe, ita ut
demptis primum à quadrato, quod fit ex diame­
 tro maioris baſis, tertia ipſius parte, & duabus
tertiis quadrati, quod fit ex diametro baſis mino­
 ris: deinde à tertia parte quadrati maioris baſis
rurſus dempta portione, ad quam reliquum qua
 drati baſis maioris unà cum dicta portione duplam
proportionem habeat eius, quæ eſt quadrati
1ioris baſis ad quadratum minoris: centrum ſit in
eo axis puncto, quo ita diuiditur ut pars, quæ mi
 norem baſim attingit ad alteram partem eandem
proportionem habeat, quam dempto quadrato
minoris baſis à duabus tertiis quadrati maioris,
habet id, quod reliquum eſt unà cum portione à
tertia quadrati maioris parte dempta, ad reliquam
eiuſdem tertiæ portionem.
SIT fruſtum à portione rectanguli conoidis abſciſſum
abcd, cuius maior baſis circulus, uel ellipſis circa diame­
 trum bc, minor circa diametrum ad; & axis ef. deſcriba­
 tur autem portio conoidis, à quo illud abſciſſum eſt, & pla­
84[Figure 84]
no per axem ducto ſecetur; ut ſuperficiei ſectio ſit parabo­
 le bgc, cuius diameter, & axis portionis gf: deinde gf diui
 datur in puncto h, ita ut gh ſit dupla hf: & rurſus ge in ean
dem proportionem diuidatur: ſitque gk ipſius ke dupla. Iam
ex iis, quæ proxime demonſtrauimus, conſtat centrum gra
 uitatis portionis bgc eſſe h punctum: & portionis agc
punctum k. ſumpto igitur infra h puncto l, ita ut kh ad hl
1eam proportionem habeat, quam abcd fruſtum ad por­
 tionem agd; erit punctum l eius fruſti grauitatis centrum:
habebitque componendo Kl ad lh proportionem eandem,

quam portio conoidis bgc ad agd portionem. Itaque quo
niam quadratum bf ad quadratum ae, hoc eſt quadratum
bc ad quadratum ad eſt, ut linea fg ad ge: erunt duæ ter­
 tiæ quadrati bc ad duas tertias quadrati ad, ut hg ad gk:
& ſi à duabus tertiis quadrati bc demptæ fuerint duæ ter­
 tiæ quadrati ad: erit diuidendo id, quod relinquitur ad duas
tertias quadrati ad, ut hk ad kg. Rurſus duæ tertiæ quadra
 ti ad ad duas tertias quadrati bc ſunt, ut kg ad gh: & duæ
tertiæ quadrati bc ad tertiam partem ipſius, ut gh ad hf. ergo
ex æquali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
bc, demptis ab ipſis quadrati ad duabus tertiis, ad tertiam
partem quadrati bc, ut kh ad hf: & ad portionem eiuſdem
tertiæ partis, ad quam unà cum ipſa portione, duplam pro
 portionem habeat eius, quæ eſt quadrati bc ad quadratum
ad, ut Kl ad lh. habet enim Kl ad lh eandem proportio­
 nem, quam conoidis portio bgc ad portionem agd: por­
 tio autem bgc ad portionem agd duplam proportionem
habet eius, quæ eſt baſis bc ad baſim ad: hoc eſt quadrati

bc ad quadratum ad; ut proxime demonſtratum eſt. quare
dempto ad quadrato à duabus tertiis quadrati bc, erit id,
quod relinquitur unà cum dicta portione tertiæ partis ad
reliquam eiuſdem portionem, ut el ad lf. Cum igitur cen­
 trum grauitatis fruſti abcd ſit l, à quo axis ef in eam, quam
diximus, proportionem diuidatur; conſtat uerum eſſe illud,
quod demonſtrandum propoſuimus.
20. 1. coni
corum.
30 huius
FINIS LIBRI DE CENTROGRAVITATIS SOLIDORVM.
Impreſſ. Bononiæ cum licentia Superiorum,