Cardano, Girolamo, Opus novum de proportionibus, 1570

Bibliographic information

Author: Cardano, Girolamo
Title: Opus novum de proportionibus
Date: 1570

Permanent URL

Document ID: MPIWG:05ZM72MK
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:05ZM72MK

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
[Empty page]
1
[Empty page]
1
[Empty page]
1
HIERONYMI
CARDANI
MEDIO
LANENSIS
, CIVISQVE BONO­
NIENSIS
, PHILOSOPHI, MEDICI ET
Mathematici
clariſsimi,
OPVS NOVVM DE
PROPORTIONIBVS
NVMERORVM, MO
TVVM
, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQVE RERVM
menſurandarum
, non ſolùm Geometrico more ſtabilitum, ſed etiam
uarijs
experimentis & obſeruationibus rerum in natura, ſolerti
demonſtratione
illuſtratum, ad multiplices uſus ac­
commodatum
, & in <var>V</var> libros digeſtum.
PRAETEREA.
ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS
ALGEBRAICIS
, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS
& inexhauſtus plane totius Arithmeticæ theſaurus, ab
authore
recens multis in locis recogni­
tus
& auctus.
ITEM.
DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE
logiſticæ
ſuæ, numeros recondita numerandi ſubtilitate, ſecundum Geo­
metricas
quantitates inquirentis, neceſſaria Coronis,
nunc
demum in lucem edita.
Opus Phyſicis & Mathematicis imprimis
utile
& neceſſarium.
Cum Cæſ. Maieſt. Gratia & Priuilegio.
BASILEÆ.
1
[Empty page]
1
IN LIBRVM DE
PROPORTIONIBVS
HIERONYMI
CARDANI
MEDIOLANENSIS, CIVISQVE
Bononienſis
, Medici, Præfatio ad M. A.
Amulium
Venetum
Card.
Illuſtriſsimum.
Bene Dictum eſt meo iudicio à Platone M.
A
.
Amuli optime, beatas fore Reſpub. ſi uel
illarum
domini ſapientiæ amatores eſſent,
aut
qui ſapientiæ eſſent amatores domina­
rentur
, hoc ipſum clarè intelligens, ſtudio ſa
pientiæ
nihil eſſe utilius humano generi:
quo
ſimul & pietas, & iuſtitia, & mutuus
amor
hominum inter ſe & eorum commo­
da
continerentur.
Nempe hiſce quatuor tota noſtra felicitas com­
prehenditur
.
Si quidem pietate in Deos nihil niſi ſanctum, & pu­
rum
, & illuſtre ſapimus: hoc ipſo primum quod ſupra nos eſt, intel­
ligimus
, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione
noſtros
animos ſubit, & de futura uita cogitamus, hæc ipſa morta­
lia
ſi non negligentes ſaltem paruifacientes.
Iuſtitiam autem adeò
neceſſariam
humano generi eſſe ſcimus, ut ſine illa neque eſſe, nedum
benè
eſſe poſsímus, ut neque latronum cœtus abſque ea diu ſtare poſ­
ſint
.
Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo­
lentia
, in quibus omnis uitę humanę dulcedo repoſita eſt: nec quis
ſuſtineat
uiuere, qui ſe omnibus odioſum eſſe ſentiat.
His ipſis fi­
lios
in ſpem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua­
mus
, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui­
tam
ducimus.
Si quis ſerpentem in lecto haberet, nunquam ſom­
num
caperet: ita nihil moleſtius eſt in hac uita, quam eſſe cum quo
nolis
, & priuari conſuetudine eorum cum quibus maximè uiuere
cupias
.
Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po­
tentia
quam habent, niſi hoc unum, quod ſuis quos amant bene fa­
cere
poſsint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor­
mire
, iter agere, loca amæna inuiſere multis alijs conceſſum eſt, ma­
ioreque
commodo qui in uita priuata degunt.
Si ergo principatum
cum
tot laboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec
eſt
in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium eſt quin
hoc
non ſit ſummum huius uitæ hominibus bonum?
propter cu­
ius
uel dubiam ſpem eorum, quæ habent obliti mortales pericli­
tantur
.
Succedunt inde tot commoda, non ſolum utilia, ſed pleraque
1etiam neceſſaria, quæ nos ſapientia docet: huiuſmodi ergo omnia
cùm
libris contineantur, meritò optimus quiſque librorum bono­
rum
perpetuitati atque in columitati fauere debet.
C. Caligulam exe­
cramur
ſolum ob id quod Vergilij, & T.
Liuij ſcripta delere cogi­
tauerit
.
Quid facturi eſſemus, ſi feciſſet quod cogitauerat? Eſt in ſa­
pientum
monumentis bonum ſine malo, mens ſine corporea labe:
Virtutes
abſque uitijs, gratiæ & iucunditas ſine ſorde, & immundi­
tia
, uoluptas ſine dolore, conuerſatio abſque tædio, delitiæ abſque miſe
ria
nuda, omnia bona præſtant, atque laudabilia ab omnibus morta­
litatis
exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri.
Sed & in eo­
rum
electione ac ſtudijs modus, ac medio critas quædam ſeruanda
eſt
, quæ ſi quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an­
tiqui
rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam
in
pertritis tam facillimam, ut rentur homines: nam in alijs rebus per­
obſcuram
eſſe fatentur, ego difficillimam puto undique, & magis for
ſan
ubi non exiſtimamus.
Vnde plures decidere uidemus magnis
cum
auxilijs, & euidenti ſpe: quid aliud eſt in cauſa quàm ignota
menſura
rerum?
quam tamen plerique tenere ſe putant. Ergo, cùm
ſummum
bonum in hac menſura ſitum eſſe cernerem, ut clarè oſten
dunt
muſicæ uoces, quæ non niſi indiuiduo (ut ita dicam) ſpatio
ſeu
loco ſtare poſſunt, ita & in figuris picturarum & ſtatuarum, &
diebus
decretorijs, & negotijs ciuilibus operę pretium me factu­
rum
exiſtimaui, ſi omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum
redegiſſem
, non tantum ne lectorem tædio afficerem, quàm ut quòd
aliàs
do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci
lius
docerentur.
Cum uerò bona fortuna quædam effeciſſet, ut tibi
libellum
dedicaſſem de Prouidentia ex conſtitutione temporum,
longe
meliore occaſione nominis tui typographi obliti ſint, indi­
gnum
fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio
medes
) cum aureis commutarem.
Itaque infinitis licet circumuentus
negotijs
totus huic operæ in cubui, atque adeò ut præter ſpem unius
anni
penè ſpatio liber abſolueretur.
Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè
deberetur
, tamen magis dedicandum putaui, quod non ego ſo­
lum
quanquam id maximè, ſed communis conſenſus ho­
minum
exiſtimet, te ſingulari uirtute omnibus
ſtudioſis
plurimum fauere,
Vale
.
1
TABVLA PRO­
POSITIONVM
DE
PROPORTIONIBVS
.
I. Proportionem in proportionem duci, eſt ſuperiores numeros atque inferiores inuicem ducere. pagina 6 II. Proportio extremorum producitur ex intermedijs. 7 III. Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ipſa uerò proportio inter duas alias quantitates fuerit conſtituta: conſurgent trecen­ti ſexaginta modi productionis proportionis. 7 IIII. Si fuerit proportio primi ad ſecundum, producta ex proportionibus tertij ad quartum, & quinti ad ſextum, producetur etiam ex proportione tertij ad ſextum, & quinti ad quartum. 8 V. Si fuerit proportio primi ad ſecundum, producta ex proportione tertij ad quartum, & quinti ad ſextum: erit proportio tertij ad ſextum, producta ex proportionibus primi ad ſecundum, & quarti ad quintum. 8 VI. Ex trecentis ſexaginta modis producendarum proportionum triginta ſex tantum eſſe neceſſarios. 9 VII. In modis qui neceſſariò producuntur ex duabus proportionibus, cum duæ quantitates ex illis quæ modos conficiunt, æquales fuerint: proportio producta ad quatuor quanti­tates omiologas reducetur. 10 VIII. Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen­tur atque coniungantur, erit proportio aggregati ad productum ex inferioribus in­uicem proportio, ex primis proportionibus compoſita. 11 IX. Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen­tur, minusque productum ex maiore detrahatur, erit reſidui ad productum ex inſe­rioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex ma­iore. 11 X. Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio, uelut alterius partis ad ſecun­dam quantitatem, erit proportio cuiuſuis quantitatis eiuſdem generis ad ſecundam compoſita proportio, ex proportionibus eiuſdem quantitatis, aſſumptæ ad utranque partem primæ quantitatis ſeorſum. 11 XI. Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad aggregatum duarum æqua­lium quantitatum eſt, compoſita ex proportionibus primis, & diuiſa per duplam. 12 XII. Propoſitis duabus proportionibus unam alteri iungere abſque multiplicatione. 12 XIII. Proportio confuſa aggregata primæ & tertiæ quatuor quantitatum omiologarum ad aggregatum ſecundæ & quartæ, eſt uelut compoſita ex eiſdem diuiſa per du­plam. 13 XIIII. Proportiones confuſæ & coniunctæ in tribus quantitatibus inuicem commutantur. 13 XV. Si fuerint quatuor quantitates proportio confuſa, aggregati primæ & tertiæ, ad aggre­gatum ſecundæ & quartæ, erit ut monadis addito prouentu, qui fit diuiſa differentia, differentiarum primæ & ſecundæ, atque quartæ & tertiæ, per aggregatum tertiæ & quartæ ad ipſam monadem. 14 XVI. Omnium quatuor quantitatum propoſita prima, quæ non minorem habet proportio­nem ad ſuam correſpondentem quàm alia ad aliam, erit proportio confuſa illarum,
1 ut producti ex aggregato primæ & tertiæ, in tertiam ad productum ex aggre gato tertiæ & omiotatæ ad ſecundam in ipſam quartam. 14 XVII. Omnes duæ proportiones conuerſæ producunt æqualem proportionem. 15 XVIII. Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multiplici præter, ultimam proportio uerò penultimæ ad ultimam, qualis reſidui primæ ad ſecundam, erit primæ ad aggregatum reliquarum, uelut penultimæ ad ultimam. 15 XIX. Si fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exceſſus ſit æqualis minimè, omnibus autem deficientibus ſupplementa ad æqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omnium quantitatum æqualium, adiecto rurſus quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum o­mnium quantitatum eiuſdem, tripla aggregato quadratorum omnium quanti tatum primi ordinis pariter acceptis. 17 XX. Cum fuerint quatuor quantitates, fueritque ſecunda æqualis tertiæ, aut prima æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad ſecundam, producta ex proportionibus primæ ad ſecundam & tertiæ ad quartam. 21 XXI. Cum decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in tertiam, produ­ctumque primæ in quartam, diuiſum fuerit per productum ſecundæ in tertiam, erit proportio primæ ad ſecundam, diuiſa per proportíonem tertiæ ad quar­tam. Et ſimiliter interpoſita omiologa. 22 XXII. Cum fuerit proportio primæ ad ſecundam maior quàm tertiæ ad quartam, erit confuſa ex his maior quàm tertiæ ad quartam, minor autem quàm primæ ad ſecundam. 23 XXIII. Omnis motus naturalis ad locum ſuum eſt: ideò per rectam lineam fit. 23 XXIIII. Omnis motus circularis uoluntarius eſt. 23 XXV. Tres ſunt motus omnino ſimplices naturalis, uoluntarius, & uiolentus. 24 XXVI. Motus ergo compoſiti quatuor neceſſariò ſunt ſpecies. 24 XXVII. Motus uoluntarius eſt in loco: naturalis ad locum: uiolentus ex loco. 25 XXVIII. Motus quilibet uoluntarius aut uiolentus in aliquo medio fit. 25 XXIX. Omnis motus uoluntarius æqualis eſt ſemper: ſimpliciter etiam quilibet alius mo­tus. 25 XXX. In omni corpore mobili in medio partes medij reſiſtunt obuiæ, aliæ impel­lunt. 26 XXXI. Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior eſt in fine quàm in principio.Violentus contrà. 26 XXXII. Omne mobile naturaliter motum ſeu uiolenter uelocius mouetur in medio rariore quàm denſiore. Maior quoque eſt proportio finis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore denſiore quàm principij. In uiolento autem celerius perueniret ad finem motus in corpore denſiore. 27 XXXIII. Omnia duo mobilia æqualis undique magnitudinis quæ æquali in tempore æqualia ſpacia pertranſeunt in diuerſis ſubſtantia medijs neceſſe eſt, ut ſit ponderis ad pondus, quem ad modum medij ad medium proportio duplicata. 27 XXXIIII. Proportio corporis cubi ad ſuam ſuperficiem quadratam, eſt uelut eiuſdem ſuperfi ciei, ad latus eiuſdem uerò ad monadem. 28 XXXV. Vocum magnitudines excreſcunt in acumine, non in grauitate, finis autem eſt in utroque extremo. Propter hoc minima facta uariatione in hypate acutæ uix ferunt. 29 XXXVI. Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, proportio minor pro­
1 ducetur. Vnde manifeſtum eſt duas proportiones minores æqualitate inuicem du ctas proportionem minorem unaquaque illarum producere. 30 XXXVII. Si plures homines, quorum per ſe nauim mouere poßint, aut pondus ferre ſimul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ. 30 XXXVIII. Omne corpus tantum reſiſtit motui contrario ſuo natúrali, quantum mouetur oc­culto motu quieſcendo. 31 XXXIX. Ab æquali aut minore ui quàm ſit impedimentum non fit motus. 31 XL. Omne corpus ſphæricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quam­cunque uim, quæ medium diuidere poteſt. 31 XLI. Si fuerint duæ quantitates ſumaturque toties aggregatum maioris & minoris, quo­ties aggregatum minoris & maioris, erit proportio confuſa maioris aggregati ad minus, minor quam multiplicis maioris ad multiplex minoris. 32 XLII. Trahentium nauim, aut ferentium pondera proportiones in ſe inuicem, quomodo ducere oporteat conſiderare. 32 XLIII. Productionem ad additionem retrahere. 33 XLIIII. Si fuerit proportio motoris ad id quod eſt maximum non mouens, & ſpatium & tempus, nota erit etiam reliquorum nota. 33 XLV. Rationem ſtateræ oſtendere. 34 XLVI. An ſit aliqua proportio & qualis inter animam & uitas, & ſua corpora conſide­rare. 35 XLVII. Si duo mobilia æqualister in eodem circulo iuxta proprios motus moueantur, pro­ductum temporis circuituum inuicem, erit æquale producto differentiæ tempo rum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ. 36 XLVIII. Si tria mobilia ex eodem puncto diſcedant, fuerintque duorum ac duorum coniun­ctiones in temporibus commenſis, illa tria mobilia denuo coniungentur in tem pore producto ex denominatore diuiſionis temporis maioris per minus in mi­nus aut numeratore in maius. 37 XLIX. Propofitio mobilis in circulo circuitus tempore dataque ratione diſtantiæ ab illo mo bilis circuitum inuenire, quod ex eodem puncto diſcedens cunalio mobili in dato puncto conueniat ſub quocunque numero circuituum tempus quoque coniunctionis. 39 L. Omnes circuituum portiones in eiſdem temporibus repetuntur. 40 LI. Operationes dictas exemplo declarare. 41 LII. Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo & duo conueniant in partib. incommenſis inter ſe, in perpetuum in nullo unquam puncto conuenient. 42 LIII. Circulorum ſe in aduerſum mouentium proportionem declarare. 43 LIIII. Proportio circuli ad ſuum diametrum per ſimilitudinem eſt quarta pars periphe­riæ. Rurſusque eiuſdem circuli ad peripheriam diametri quarta pars. 44 LV. Proportionem medicamentorum per ordines ſup poſita æquali proportione in or­dinibus per quantitates & proportiones demonſtrare. 44 LVI. Proportio cuiuſuis binomij ad ſuum reciſum, uel ei commenſum eſt duplicata ei quæ ad numeri latus. 49 LVII. Motus rationem ad pondus inuenire. 49 LVIII. Q ex alto deſcendunt, cur non eandem pro diſtantia motus rationem in libero aëre ſeruent conſiderare. 49 LIX. Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendentibus utroque ſeorſum tar dius mouetur ſimili motu. 50 LX. Omne mobile motu naturali deſcendentis parte, deſcendit grauiore ſecundum gra­
1 uitatis centrum. 51 LXI. Proportionum ictus ad pondus rei & diſtantiam generaliter conſiderare. 52 LXII. Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pondus iuxta id quod mouet, inuenire. 53 LXIII. Omne graue quanto proximius alligatum plano, tantò facilius trabitur. 53 LXIIII. Omne mobile quantò latius tanto tardius moustur in plano. 54 LXV. Proportionem duorum mobilium inter ſe cum auxilio medij inuenire. 54 LXVI. Proportionem laterum eptagoni, & ſubtenſarum conſiderare, & quæ à reflexa proportione pendent. 55 LXVII. Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate aliæque totidem ab eadem analo­gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut ſecundæ ad ſe­cundum duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, atque ſic de alijs. 57 LXVIII. Propoſitio collectorum ab Euclide & Archimede. 57 LXIX. Propoſitio collectorum ex quatuor libris Apollonij Pergei & que Sereni. 59 LXX. Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæque totidem in continua proportione poterunt conſtituere tres quantitates in æquali differentia per­uerſim copulatæ. 62 LXXI. Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attracti ad rectam ſu­ſpenſionem inuenire. 63 LXXII. Proportionem ponderis ſphæræ pendentis ad aſcendentem per accliue planum inuenire. 63 LXXIII. Proportionem ponderum attractorum penes figuram in plano inuenire. 64 LXXIIII. Proportionem concutientis ad concuſſum inſtabili inuenire. 64 LXXV. Proportionem immoti in aqua, ad immotum in terra in excipiendo ictum inuenire. 65 LXXVI. Proportionem duorum mobilium ſibi inuicem concurrentium per rectam inuenire. 66 LXXVII. Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire. 66 LXXVIII. Proportionem nauis ad triremes quotuis concurrentes demonſtrare. 67 LXXIX. Proportionem medicamentorum purgantium inuicem declarare 68 LXXX. Proportionem motus ſecundum obliquum ad rectum in ſpacio declarare. 69 LXXXI. Qualis ſit angulus, per quem poteſt moueri nauis ad rectum explorare. 70 LXXXII. Proportionem uelorum indagare. 70 LXXXIII. Proportionem receſſus à recta uia ad obliquitatem inueſtigare. 72 LXXXIIII. Diſtantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Herculei declarare. 73 LXXXV. Proportio ponderis unius grauis ad aliud ſub eadem menſura eſt ueluti eiuſdem ad differentiam ponderis uaſis repleti ex altero graui, & ex ambobus de­tracto priore. 74 LXXXVI. Si circuli in æ quales ſeu in ſphæra ſeu in plano ſe ſecuerint, nunquàm oppoſitos angulos æquales habent. 77 LXXXVII. Proportiones craßitiei aquæ ad aerrem in comparatione ad radios demonſtrare. 78 LXXXVIII. Inſtrumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehendantur fabricare. 79 LXXXIX. Proportionem denſitatis aquæ ad aërem per pondera inuenire. 82 XC. Rationem impetus uiolenti extra mißi ponderis ad æqualitatem reducere. 82 XCI. Proportionem grauis cubi, & ſphærici æqualium in accliui, & deſcenſus eorum demonſtrare. 83 XCII. Proportionem ponderis æqualis iuxta longitudinis comparationem demonſtrare. 85 XCIII. Propter qd in concußione etiam leui nauis loco moueatar oſtendere. Vnde manifi ſium eſt duas naues ſibi inuicem occurſantes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ. 86
1 XCIIII. Si quantitas aliqua nota atque proportio erit producta, quantitas nota ſimiliter. Et ſi duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his atque diuiſa coniunctaque atque detra­cta nota. Et ſi fuerit totius ad partem proportio nota, erit et ad aliam partem nota: & alterius partis ad alteram uno minor. Et ſi fuerit partis ad partem, erit ad totum monade minor atque nota. Et ſi fuerit unius quantitatis ad duas quantitates proportio nota, erit & confuſa ex eis nota. Et ſi fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum omnes præter unam cognitæ, erunt & illa alia cognita. 87 XCV. Cuiuſuis trigoni rectanguli, aut cuius duo auguli ſint in dupla proportione, aut qui circulo inſcriptus ſit cognita quantitate unius lateris in comparatione ad dimetien tem, ſi proportio duorum laterum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita. 88 XCVI. Cum in perſpicuum denſum radij luminoſi inciderint, quatuor fiunt luminis genera. 89 XCVII. Motum inuerſionis in figuris in comparatione ad motum ſphæræ in plano inueſtigare. 91 XCVIII. Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulorum inuenire. 92 XCIX. Proportionem grauitatum per multitudinem ſuppoſitorum orbium oſtendere. 93 C. Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlearum numerum inueſtigare. 93 CI. Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere cognitis inuenire. 94 CII. Proportionem motuum inuerſionis, & attractionis in plano inuenire. 95 CIII. Proportionem eorundem in accliui demonſtrare. 95 CIIII. Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in plano determinare. 95 CV. Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire. 96 CVI. Quales proportiones angulorum doceant laterum proportiones. Atque uicißim deter­minare. 97 CVII. Si in circulo duæ diametri ad rectum angulum ſe ſecauerint: aliæ uerò ad perpendicu­lum ex diametro exicrint ad circum ferentiam, ſingulæ ſupra diametrum erunt ma iores portionibus reliquis diametri ſuperioribus, infra autem minores. Dimidium autem portionis ſuperioris reſiduum ad centrum maius ſagitta habebit. In aliqua præterea portionis ſuperioris parte, quæ uerſus diametrum tranſuerſum poſita eſt, maior eſt differentia partis diametri ei correſpondentis, quae line æ tranſuerſæ. 100 CVIII. Punctum æqualitatis differentiæ deſcenſus & remotionis à centro inuenire. 100 CIX. Rationem libræ expendere. 101 CX. Si duæ ſphæræ ex eadem materia deſcendant in aëre, eodem temporis momento ad planum ueniunt. 104 CXI. Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in ſcalmo à remo ac malo recipiant in­de ex puppi explorare. 105 CXII. Cur ex imo leuia longiùs ferantur declarare, 106 CXIII. Cur uirga longius mittatur à puero quam à uiro inueftigare. 107 CXIIII. Circularis motus differentias quatuor eſſe, earumque rationem contemplari. 108 CXV. Proportionem motuum impulſionis, & attractionis inter ſe, ab eadem ui decla­rare. 110 CXVI. Cur machinæ oblongæ igneæ longius emittant ſphæram explorare. 111 CXVII. In curriculis maior eſt uis pulueris copioſioris ampliore in ſpacio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem. 112 CXVIII. Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo qui eſt ad perpendi­culum declarare. 114 CXIX. Quantum ictus machinæ procliuis ad angulum minuatur explorare. 115 CXX Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare. 118 CXXI. Flabelli uires atque naturam declarare. 219 CXXII. Contemptus circa Solis rationem in umbris declarare. 120
1 CXXIII. Cognita ratione umbræ ad gnomonem ſinum, & arcum altitudinis ab horizon­te, quouis tempore dignoſcere. 121 CXXIIII. Proportionem umbræ uerſæ eſſe ad gnomonem, uelut gnomonis ad umbram uerſam. 122 CXXV. Proportionem dimetientis, & peripheriæ cuiuslibet circuli paralleli æquino­ctiali per cognitam partem magni circuli demonſtrare. 123 CXXVI. Circuli horarij naturam declarare. 123 CXXVII. Data poli altitudine ortus amplitudinem demonftrare. 124 CXXVIII. Nota amplitudine ortus, cuiuſque puncti arcum ſemidiurnum inuenire. 124 CXXIX. Data altitudine Solis in quacunque regione, quacunque die diſtantiam Solis à meri­diano cognoſcere. 124 CXXX. Data regionis altitudine, & loco Solis proportionem gnomonis, tam ad um­bram rectam quàm uerſam, uel etiam in cylindro determinare. 125 CXXXI. Si lineæ alicui duplum alterius adiungatur, erit proportio duarum ad primam maior quàm dupli cum prima ad primam cum una adiecta. 126 CXXXII. Si ad duas lineas quarum una alteri dupla ſit eadem linea addatur, erit aggrega­ti ex minore, & adiecta ad ipſam minorem, minor proportio quàm aggre­gati ex maiore, & adiecta ad ipſam maiorem duplicata. 126 CXXXIII. Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla ſit: minuatur à minore quæ­dam quantitas, eadenque maiori addatur, erit minoris ad reſiduum maior pro­portio, quàm aggregati ad maiorem duplicata. Si uerò minori addatur, & à maiore detrabatur, erit aggregati ad minorem minor proportio quàm maioris ad reſiduum duplicata. 127 CXXXIIII. Si rectangula ſuperficies ſit, cuius pars tertia quadrata ſit corpus, quod ex la­tere quadratæ in reſiduum ſuperficiei conſtat, maius eſt quouis corpore ex eadem ſuperficies, aliter diuiſa conſtituto. 127 CXXXV. Si linea in duas partes, quarum una fit alteri dupla diuidatur, erit quod fit ex tertia parte in quadratum reſidui parallelipedum maius omni pararalleli­pedo, quod ex diuiſione eiuſdem lineæ creari poßit. 128 CXXXVI. Denominationes in infinitum extendere. 129 CXXXVII. Rationem numerorum ex progreßione declarare. 131 CXXXVIII. Modos uſus horum numerorum declarare. 131 CXXXIX. Radices omnes à propoſitis numeris extrahere. 132 CXL. Radices per numeros fractos determinare. 133 CXLI. Numeros fractos ad minores in ea iem proportione ualde propinqud deducere 136 CXLII. Denominationum in crementa ex extrema cognita inuenire. Et conuerſo modo. 137 CXLIII. Si linea in duas partes diuidatur, corpora quæ fiunt ex una parte in alterius quadratum mutuo æqualia ſunt corpori, quod fit ex tota linea in ſuperfi­ciem unius partis in alteram. 138 CXLIIII. Duplum cubi medietatis maius eſt aggregato corporum mutuorum, cuiuslibet diuiſionis quantum eſt, quod fit ex tota in quadratum differentiæ. 139 CXLV. Si linea in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo, quod fit ex una parte in alteram, æqualia ſunt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ. 139 CXLVI. Corpus quod fit ex linea diuiſa in ſuperficiem æqualem quadratis ambarum par tium detracta ſuperficie unius partis in alteram, eſt æquale aggregato cubo­rum ambarum partium. 139 CXLVII. Propoſita linea diuiſa duas ei line as adijcere, ut proportio additarum ſingularium
1 & partium ſimul iunctarum ad additas ſit mutua. 148 CXLVIII. Propoſitis tribus lineis primam ſic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis, ſecun­dum rationem mutuam ſingularum ſingulis, aggregatum ex una adiectarum, & par te ad aggregatum ex alia parte, & adiecta ſe habeat, ut ſecunda ad tertiam. 140 CXLIX. Datam lineam ſic diuidere, ut proportio quadratorum ad dupium unius partis in alteram ſit, ut lineæ datæ ad lineam datam. 141 CL. Propoſitis duabus lineis, lineam communem utrique adiungere, ut ſit maioris ad ad­ditam proportio, uelut quadratorum minoris, & adiectæ ad duplum unius in alteram. 141 CLI. Proportio differentiæ quadratorum partium cuiuſuis lineæ, ad quadratum diffe­rentiæ illarum eſt, uelut totius lineæ ad differentiam. 142 CLII. Si linea in duas partes æquales, duasque inæquales diuidatur, fueritque proportio ag­gregati ex maiore, & dimidio ad ipſam maiorem, uelut ex minore, & ali­qua linea ad ipſam minorem, & rurſus aggregati ex minore, & dimidio ad ipſam minorem, uelut aggregati ex maiore, & alia addita ad ipſam maiorem, erit proportio dimidij ad partem unam inæqualem, uelut alterius partis inæ­qualis ad ſuam additam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut proportio partium inæqualium duplicata, & rurſus ipſum dimidium lineæ aſſum­ptæ medium, erit proportione inter additas. Demum proportio dimidij cum addita maiore ad dimidium, cum addita minore, uelut maioris partis ad minorem. 142 CLIII. Vim quamcunque manus multiplicare. 144 CLIIII. Si lineæ datæ alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem prioris lineæ duæ rectæ in unum punctum concurrant proportionem habentes, quam mediam inter tota m & adiectam, & adiectam erit punctus, concurſus à puncto extre­mo lineæ adiectæ diſtans per lineam mediam. Quod ſi ab extremo alicuius li­neæ æqua'is mediæ, ſeu peripheria circuli, cuius ſemidiameter ſit media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ipſæ erunt in proportione mediæ ad adiectam. 145 CLV. Quadr atorum numerum proportionem & inuentionem conſiderare. 147 CLVI. Horologiorum tempus multiplicare. 152 CLVII. Horologiorum molarium rationem oſtendere. 154 CLVIII. Rationem indicis mobilis cum rota, qua horarum numerus per ictus indicatur ex­plicare. 156 CLIX. Nullus angulus rectilineus æqualis eſſe poteſt alicui angulo contento recta, & cir culi portione. 158 CLX. Propoſita linea tribusque in ea ſignis punctum inuenire, ex quo ductæ tres lineæ ad ſigna ſint in proportionibus datis. 162 CLXI. Si fuerint duo trianguli, quorum baſes in eadem linea ſint conſtituti, & æquales ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita­te medium neceſſe eſt angulum à maioribus lineis contentum minorem eſſe. 162 CLXII. Proportionem duorum orbium, quorum diametrorum conuexæ partis, & conca­uæ proportiones datæ ſint inueſtigare. 164 CLXIII. Proportionem uirium ſtellarum per motus ſuos indagare. 165 CLXIIII. Syderum proportionem in magnitudine oſtendere. 166 CLXV. Proportionem motuum omnium ſtellarum ad Solem conſiderare. 167 CLXVI. Proportiones muſicas ſuperpartientes in eas, quæ particulá una tantum abundant reducere. 168
1 CLXVII. Proportionem muſicam ad ſapores & odores coaptare. 176 CLXVIII. Picturarum proportiones explicare. 179 CLXIX. Proportionem muſicam in inſtrumentis declarare iuxta compoſitionis ra­tionem. 182 CLXX. Coniugationes cuiuſuis numeri breuiter inuenire. 185 CLXXI. Propoſitis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios ſeu in continuum ſeu medios in continua proportione arithmetica, geometrica & muſica in­uenire. 187 CLXXII. Proportiones Stiphelij deſcribere. 191 CLXXIII. Circulum ſuper centro ſuo mouere æqualiter, ita quod omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citroque. 192 CLXXIIII. Progreſſus & regreſſus, tam ſine latitudine quàm cum latitudine in planetis per ſolos concentricos circulos æqualiter motos demonſtrare. 194 CLXXV. Cauſam uarietatis diametrorum ex ſuppoſitis concentricis demonſtra­re. 195 CLXXVI. Rationem centri grauitatis declarare. 197 CLXXVII. Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiuſdem quantitatis ad alias duas componatur, erit proportio illarum duarum eadem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum, detracta prio­re illa quantitate, quæ ad duas comparatur, ad eandem priorem quanti­tatem. 198 CLXXVIII. Proportionem miſtionis metallorum, maximè auri & argenti declara­re. 199 CLXXIX. Si duobus totis duæ portiones ſimiles abſcindantur ab eiſdem denuò, & ab­ſcißis portionibus partes eædem auferantur, denuoque ac denuò quoties libuerit à portionibus, & ù reſiduis ipſarum quantitatum partes eædem auferantur, erit reſiduí ad reſiduum, ueluti totius ad totum. 200 CLXXX. Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius quantitatis ad partes illas compoſita proportio, non poterit eiuſdem quantitatis ad par­tes alias quantitatis diuiſa, aliter proportio eadem componi. 202 CLXXXI. Cum fuerit aliqua proportio, compoſita ex proportionibus primæ ad ſecun­dam & tertiam, & rurſus quartæ ad quintam & ſextam: ita ſe habebit proportio ſecundæ ad tertiam, ad proportionem quintæ ad ſextam, uelut producti ex proportione in ſecundam detracta prima ad primam ad pro­ductum ex proportione in quintam, detracta quarta ad quartam. 203 CLXXXII. Propoſita differentia proportionum partium ſimilium ad partes aſſumptas, propoſitaque proportione totius ad reſidua eadem, differentiam propor­tionum totius ad reliquum reſidui inuenire. 203 CLXXXIII. Spacium uitæ naturalis per ſpacium uitæ fortuitum declarare. 204 CLXXXIIII. Quæcunque grauia in uorticibus aquarum, merguntur, in medio uorticis, pri­mum uerſa mergantur. 211 CLXXXV. Cur homo ſedens quanto altius ſedet, & quanto magis crura ad fœmora, & fœmora ad pectus reclinata habet, facilius conſurgat, cum tamen hæc op­poſito modo inuicem ſe habeant, declarare. 213 CLXXXVI. Si fuerit proportio primæ & ſecundæ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fueritque quarta ſecunda maior, erit proportio quar­tæ ad quintam maior quàm ſecundæ ad tertiam. Quod ſi fuerit maior
1 quartæ ad quintam quàm ſecundæ ad tertiam, neceſſe eſt quartam ſecunda eſſe maiorem. 214 CLXXXVII. Si eiſdem uiribus & ‘eadem’ proportione cum auxilio ponderis tertij quar­tum pondus moueatur quibus ſecundum, auxilio primi neceſſe eſt quartum pon dus tardius & maiore cum difficultate moueri quàm ſecundum. 214 CLXXXVIII. Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compoſita pro­portio ſit eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium ag­gregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium in æqualitas, ibi erit maior difficultas. 214 CLXXXIX. Si pondus minus ad longitudinem minorem ſub æquali proportione coapte­tar, facilius deorſum trahetur quàm quod maius eſt & propius. 215 CXC. Si fuerit primum graue minus ſecundo, & ſecundum minus tertio, proportio autem primi ad ſecundum multo maior quàm ſecundi ad tertium, poſibile erit propoſitis uiribus eiſdem addere pondus ſecundo, ut ipſum & tertium mouea­tur faciliùs ab eiſdem uiribus, & primo uel ſecundo quàm antea. 215 CXCL. Cum fuerint duo pondera & uires, duxerisque aggregatum ex uiribus & mi­nore pondere in maius, addiderisque inſuper quantum eſt productum dimidij ui rium in ſe latus aggregati detracto dimidio uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis. 215 CXCII. Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circuli peripheri­am, ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur ſeu intus ad circun ferentiam uſque, ſeu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam uelut mu­tuo partis ad partem. 217 CXCIII. Rationem ponderis triplicem explicare. 218 CXCIIII. Proportionem ponderis longioris in medio ſuſpenſi, ad breuius illi æquale & in medio ſuſpenſum declarare. 219 CXCV. Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem, melius ſuffulcietur reſtibus ex medio ad angulos & eius æquidiſtantibus quàm ſecundum longitudinem & latitudinem. 220 CXCVI. Si duo circuli ſuper eodem centro eodem motu trans feruntur, æquale ſpacium ſuperant. 221 CXCVII. Cur lances ad locum ſuum ſuſpenſi redeant, impendentes non, demonſtrare. 224 CXCVIII. Cur ſolidum quod cubus uocatur Pyramide ſtabilius ſit oſtendere. 225 CXCIX. Rationem remorum nauim impellentium inuenire. 227 CC. Cur temo cum paruus ſit, magnam nauim agere poteſt, & cur cùm uarietas ſit in prora, ipſe conſtituatur in puppi. Et cum transuerſim ab aqua prematur rectà nauim dirigat. 228 CCI. Si duæ lineæ non ſecantes circuli peripheriam in unum punctum ex ea coe­ant exterius, neceſſe eſt illas peripheria contenta eſſe maiores. 229 CCII. Rationem ſtrepitus oſtendere. 232 CCIII. Cur ſcytalis onera portentur faciliùs, explorare. 233 CCIIII. Cur pluribus trochleis, pondera facilius eleuentur oſtendere. 233 CCV. Super uerbis Platonis de fine Reipublicæ. 234 CCVI. Rhombi paßiones quaſdam declarare. 235 CCVII. Proportionem agentium naturalium in tranſmutatione conſiderare. 238 CCVIII. Mota res à centro grauitatis per priorem motum, in reditu uelocius mouetur quam ſi quieuerit. 238
1 CCIX. Si ſuperficies rectangula in duas partes æquales diuiſa intelligatur, quæ am­bæ quadratæ ſint, itemque in duas inæquales, erit parallelipedum ex latere mediæ partis in totam ſuperficiem maius aggregato parallelipedorum ex partibus inæqualibus in latera alterius partis mutuo, in eo, quod fit ex dif ferentia lateris minoris partis à mediæ latere in differentiam maioris par­tis ſuperficiei à media ſuperficie bis, & ex differentia amborum laterum inæqualium iunctorum ad ambo latera, æqualia iuncta in minorem par­tem ſuperficiei. 241 CCX. Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circuli refle­ctantur, neceſſe eſt angulos cum dimetiente factos æquales eſſe. Vnde ma­nifeſtum eſt, protractam diametrum angulum ſuppoſitum per æqualia di­uidere. 242 CCXI. Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes, in eandem par­tem protrahantur, ſemper magis diſtabunt inuicem ea ex parte, & nun­quam concurrent. 243 CCXII. Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam lineæ quotuis ducantur, tres inue­nire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur. 244 CCXIII. Propoſito circulo, atque in eius peripheria puncto ſignato, lineas contingentes ultra cítraque, & eam ab ipſomet deducere. 245 CCXIIII. Si extra circulum duo puncta æqualiter à centro diſtantia ſignentur, erit pun­ctum reflexionis æqualis in medio arcus intercepti inter lineas, quæ à cen tro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum centro proximius fuerit altero, punctum æqualitatis in peripheria tantò longius, uerſus breuiorem line­am, quantò punctum aliud à centro magis diſteterit. 245 CCXV. Punctum reflexionis punctorum inæqualiter diſtantium à centro, æqualiter diſtat à lineis, ductis à centro ad puncta æqualiter diſtantia alterutrin­que. 246 CCXVI. Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunqúe punctum ad illud ex mi­nore reflexè per magnam partem minoris à maiore perueuire pote­runt. 247 CCXVII. Oculus uidet partem ſuperficiei Lunæ illuminatam à Sole per radios reflexos à Solis corpore: nec tamen poteſt uidere imaginem ipſius in Luna tan quam in ſpeculo. 248 CCXVIII. Rationem maculæ Lunæ indagare. 248 CCXIX. Rationem eorum quæ apparent circa Solem ſpeculo in aqua poſito decla­rare. 150 CCXX. Cauſam cur Sol æſtiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare. 252 CCXXI. Magnitudo Lunæ & cæterorum aſtrorum dignoſcitur ex proportione alio­rum ad eam iuxta diſtantiam: ipſius uerò iuxta rationem pupillæ ad Lu­nam diſtantiæ ratione. 354 CCXXII. Quantitates quæ æquales eſſe non poſſunt in eodem genere, maius tamen & minus recipiunt, ſunt in proportione poteſtatis. 255 CCXXIII. Quantitates quæ actu æquales eſſe non poſſunt, in nulla proportione actu eſſe poſſunt. 256 CCXXIIII. Neque temporis totius, ut imaginamur, ipſum eſſe infinitum, neque æui ui­tarum proportio ulla eſt ad tempus, quod poteſtate eſt, utpotè diem
1 uel menſem. 256 CCXXV. Proportio media non eſt ex ratione agentis, ſed patientis. 256 CCXXVI. Proportio ſublimis non conſiſtit in magnitudine, ſed ordine, iuxta quem diffe­rentia eſt eius quod eſt ante & poſt. 257 CCXXVII. Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogitationem no­ſtram proportionem quand am habent. 259 CCXXVIII. Proportionem ſcientiæ futurorum & cæterorum occultorum conſidera­re. 260 CCXXIX. Incorporea omnia unum ſunt, neque numerus eſt eorum. 261 CCXXX. Proportio incorporeorum aſcendentium ſemper maior eſt. 262 CCXXXI. Tres eſſe mundos atque inter ipſos nullam eſſe proportionem: nec numero cos definiri. 263 CCXXXII. Omnis motus naturalis quanto uelocior eſt tanto propior eſt & magis ſimil limus quieti. 264 CCXXXIII. Quod eſt in mundo incorporeo æternum eſt, beatum, ſecurum, immutabile ſecundum locum, ſolum iuxta eſſentiam fit: iuxta quod uelut à leui ſu­ſurro aquæ & aura æſtiua demulcetur. 270
FINIS.
1
[Empty page]
1
HIERONYMI CAR
DANI
MEDIOLANENSIS, CI­
VISQVE
BONONIENSIS, MEDICI
de
Proportionibus, ſeu Ope­
ris
Perfecti
LIBER
QVINTVS.
Prima diffinitio.
Proportio ab Euclide ſic deſcribitur, Quòd
ſit
duarum quantitatum eiuſdem generis,
quod
ad magnitudinem attinet, compara­
tio
certa.
Secunda diffinitio.
Proportiones per ſimilitudinem dicuntur,
cùm
quantitas quantitati comparatur alterius
generis
, cui fingitur æqualis eſſe poteſtate.
Velut ſi a b fingatur monas in comparatione
ad
b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.
1[Figure 1]
Tertia diffinitio.
Proportio æqualis proportioni eſt, cùm eodem modo termini
ſe
habent inuicem in utraque
Quarta diffinitio.
Proportiones ſecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus,
quòd
ſint maiores, aut minores.
Nam cùm æquales ſunt, ſimul ne
ceffe
eſt, ut cognoſcamus genus, & ſpeciem.
Quinta diffinitio.
Datum poſitione eſt: quod neceſſariò ex poſitis certam habet
quantitatem
.
Sexta diffinitio.
Datum ſimpliciter dicitur, quod ex propoſitis cognoſci poteſt,
quantum
ſit.
Septima diffinitio.
Proportiones poteſtate dicuntur, quæ ſub comparatione aliarum
quantitatum neceſſariam habentium connexionem ſolum cognoſcuntur.
autem ſunt aliquando eiuſdem generis, cum primis ut nu­
meri
: aliquandò alterius, ut linearum & ſuperficierum, angulorum,
& arcuum: aliquando eiuſdem generis, & diuerſarum ſpecierum,
ut
arcuum per ſinus, qua utuntur Aſtronomi.
Octaua diffinitio.
Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuerſi ge

neris
, ſed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad
1pus. Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione
ad
tempus.
Car^{m}.
Nona diffinitio.
Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ ſunt
ut
numeri ad numerum, alogæ quæ non ſunt numeri ad numerum.
Decima diffinitio
Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel ſubmultiplex:
alia
unius partis exceſſus, aut defectus, alia plurium, quam ſuper­
partientem
, aut ſupartientem uocant.
Vndecima diffinitio.
Cum diuiſo denominatore per numeratorem exit quantitas alo
ga
, proportio dicitur aloga: ſi autem numerus integer, aut pars nu­
meri
nota dicitur rhete.
Duodecima diffinitio.
Proportionem in proportionem duci eſt, quoties recto ordine
tres
quantitates in eiſdem collocantur: ut ſint tres quan
2[Figure 2]
titates
a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro
portione
a ad b & b ad c, & ſimiliter proportio c ad
a
producitur ex proportione b ad a, & c ad b.
Tertia decima diffinitio.
Proportionem per proportionem diuidi eſt, quoties ad eandem
quantitatem
duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor­
tio
eſt, quæ prodit una per alteram diuiſa.
Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico
proportionem
a ad c diuiſam per proportionem a ad b, & prodire
proportionem
b ad c, conſtat ex conuerſa præcedentis.
Quarta decima diffinitio.
Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti­
tatum
ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ipſarum
quantitatum
ad eandem coniunguntur.
Velut ſi comparentur a b & b c ad d, inde tota
3[Figure 3]
a
c ad d dicemus proportionem, ac ad d eſſe con
iunctam ex duabus proportionibus a b ad d & b c
ad
eandem d.
Hoc & duo ſequentes ſicut & duę antecedentes demon­
ſtrabitur
eſſe.
nunc ſolum quomodo intelligendum ſit proponimus.
Quinta decima diffinitio.
Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri
per
detractionem minoris quantitatis à maiore, comparatam ad ean­
dem
quantitatem.
Velut in exemplo ſuperiore detracta proportione b c ad d ex
1proportione a c ad d, relinquetur proportio a b ad d. & probatur
ex
conuerſione præcedentis.
Sexta decima diffinitio.
Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem
radicum
quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.
Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uninerſalis, uel alte­
rius
modi.
Decima ſeptima diffinitio.
Cùm fuerint duæ proportiones ſimiles in tribus terminis con­
tinuatæ
, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti
primæ
ad ſecundam duplicata.
Et ſi ſint tres proportiones ſimiles
in
quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar­
tam
triplicatà ei, quæ eſt primæ ad ſecundam,
Decima octaua diffinitio.
Confuſa proportio dicitur ſimplicis, aut compoſitæ quantitatis
ad
compoſitam in comparatione ad proportiones ad partes.
Decimanona diffinitio.
Quantitates quę in continua ſunt proportione Analogæ uocantur.
Dictum eſt hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre­
uiter
tamen poſſemus ſententiam explicare.
Vigeſima diffinitio.
Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum
primæ
, & tertiæ ſe habet ad ſecundam uelut ſecunda ad tertiam,
Vigeſima prima diffinitio.
Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ,
cùm
proportio ſimilis eſt: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis
exceſſus
huc indè: Aliæ muſicæ cum fuerit proportio primæ ad ter
tiam
multiplex, aut ſimplex, aut compoſita exceſſus quæ ſimplici
iuncta
ſit ad multiplicis perfectionem: eadem autem ſit proportio
exceſſus
primæ, & ſecundæ ad exceſſum ſecundæ ſupra tertiam.
Velut proportio 6. 4. 3. dupla eſt utrinque, & 6. 3. 2 tripla. & 28. 24.
21
. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan­
tur
in quotquot quantitatibus, ſed & muſica uelut 12. 8. 6. 4. 3. &
proportio
8 ad 5 muſica eſt: quia proportio 5 ad 4 muſica eſt, &
bene
ſonans, igitur conſtitutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè ſonet, & 5
ad
4, & 4 ſit extrema non media inde 8. & 5 benè ſonant.
nam in me­
dijs
non eſt uerum, ut in 9. 6. 4 bis diapente, & 16. 12. 9 bis diateſſaron.
Vigeſima ſecunda diffinitio.
Quantitates quæ ſimilem habent proportionem non continua­
tam
, omiologæ appellantur.
Vigeſima tertia diffinitio.
Prima operatione conſiſtere dicuntur proportiones, cùm inter
primo
conflatas quantitates conſtiterint.
1
PRIMA Animi communis ſententia.
Omnis Proportio eſt, aut æqualitatis, aut maior inæqualis,
aut
minor.
Secunda animi communis ſententia.
Quilibet numerus tantus dicitur, quanta eſt illius proportio ad
monadem
.
Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat. Et
duo
cum dimidio cùm monadem bis & ſemis contineat.
Tertia animi communis ſententia.
Proportionem defectus, ſeu detractæ quantitatis ad defectum
eſſe
poſſe, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani­
mi
ſententiæ, quæ ex intellectu ſolo terminorum, quod ueræ ſint,
cognoſcuntur
.
Si ergo defectus eſt quantitas, & quantitas eiuſdem
ſpeciei
, quia detrahitur, & defectus non eſt ſimplicitur, ſed detra­
cto
ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit
proportio
inter illas.
Sunt enim ambæ detractæ.
Quarta animi communis ſententia.
Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius eſt de
fectus
, eſt proportio, quatenus eſt quantitas.
Sit a b linea, & detra­
cta
quantitas b c, non maior a b & d ſit alia quæuis quantitas eiuſ­
4[Figure 4]
dem generis, dico quòd inter d & b c eſt propor­
tio
quatenus b c eſt quantitas, quia ſunt eiuſ­
dem
generis ideo ſunt in aliqua proportione
per
primam diffinitionem.
Sed ut b c eſt defectus, nulla eſt propor­
tio
: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, &
hoc
eſt contra demonſtrata ab Euclide.
Quinta animi communis ſententia.
Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa­
rum
dicetur producta diuiſa per alteram.
Sexta animi communis ſententia.
Æqualium quantitatum ſeu proportionum ad tertiam compa­
rabilium
eadem eſt proportio atque uiciſsim.
Hæc etſi demonſtre­
tur
ab Euclide, eſt tamen hic generalior: & ſatis per ſe nota.
Vt ſit
propior
animi communi ſententiæ, quàm rei demonſtrandæ.
Septima animi communis ſententia.
Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere
illius
quantitatis non comprehenditur.
Nam proportio eſt duarum quantitatum eiuſdem generis com­
paratio
certa: at hæc comparatio certa non eſt: non igitur quantita­
tes
ambæ ſunt, aut non eiuſdem generis.
1
PRIMA Petitio.
Si fuerit primi ad ſecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in
ſecundum
producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel
ſecundo
, producetur eodem modo ex tertio in quartum ęquale aut
maius
, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.
Secunda petitio.
Proportiones poſſunt duci, diuidi, iungi, & auferri, & ſumi radix
in
eis cuiuſcunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, poſſe
tranſponere
.
Tertia petitio.
Proportionis cuiuſuis nomen à denominatore ſuprà ſcripto, &
numeratore
infrà ſcripto ſumitur.
Quarta petitio.
Diuiſa quauis quantitate per aliam eiuſdem generis, quod exit
proportio
dicitur.
Quinta petitio.
Quęlibet proportio eſt uel inter duas quantitates, uel per unam
ſignificatur
.
Nam per tertiam petitionem ſi ſint duæ quantitates, quæ non ha
beant
unius rationem, nomen ſumit proportio à duobus numeris,
ſin
autem ſit altera monas, erit per ſecundam animi communem ſen
tentiam
, proportio numerus ipſe Ideò patet, quod dicitur.
Sexta petitio.
Propoſita proportione quacunque, & monade quantitatem inue
nire
, quæ ſe habeat ad monadem in proportione propoſita.
Nam cùm per quartam petitionem diuiſa quantitate per quan­
titatem
exeat proportio, & numerus ad monadem ſe habeat, ut pro­
portio
, ideo ſumpta monade ſecundum illum numerum, ille nume
rus
eſt quantitas quæſita.
Septima petitio.
Quamlibet quantitatem per aliam eiuſdem generis diuidere
poſſe
.
Octaua petitio.
Proportionem in proportionem ducere poſſe: quamuis ſint in­
ter
quantitates diuerſi generis.
Quod dicitur de multiplicatione intelligendum eſt de alijs ope­
rationibus
ſuprà enumeratis.
Nona petitio.
Monadem ſemper ſumere in quo cunque genere poſſe propoſi­
ta
proportione.
1
Nam licet diuidere per ſeptimam petitionem quantitatem per
quantitatem
proportionis: & quod exit, eſt proportio per quar­
tam
petitionem, & per ſecundam animi communem ſententiam
illa
proportio eſt numero æqualis: ergo diuiſa proportione, per ſi­
milem
numerum ſtatuetur monas.
Decima petitio.
In quouis genere quantitatum ſumere poſſe quantitatem, quæ

ſe
habeat ad monadem in proportione data.
Similem huic propo­
nit
Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in
omnibus
quantitatibus, ſed de monade tantum.
Duodecima
ſexti
Elem.Vndecima petitio.
Monadem in quancunque quantitatem ductam æquale ipſi pro­
ducere
.
Similiter & proportionem æqualem.
Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, neceſſe
eſt
aliquam eſſe, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc eſt monas.
Idem dico de diuiſione. Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non

mutat
proportionem: nec quantitatem ipſam, igitur monas æqua­
litatem
refert.
Quod etiam eſt perſpicuum ex ſupradictis.
Secunda ani
mi
communis
ſententia
.
Duodecima petitio.
Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè
multiplicibus
aſſumptis, item que ad ſecundam & quartam, & ſi mul­
tiplex
primæ maius eſt multiplici ſecundæ, multiplex tertiæ ſit ma­
ius
multiplici quartæ, & ſi minus minus, & ſi æquale æquale, idque
ſemper quouis modo aſſumptis his proportionibus ad primam &
tertiam
, & ad ſecundam & quartam erit proportio primæ ad ſecun
dam
, ut tertiæ ad quartam.
Hæc etiam aſſumitur ab Euclide. Et per

hanc
intelligimus etiam conuerſam.
Quinto Ele.
diff
. 6.
Tertiadecima petitio.
Quantitates æquales, atque proportiones in quaſuis quanti­
tates
ductæ eandem ſeruant rationem.
Euclides hanc demonſtrat,
nos
autem ad uitandum tædium petimus concedi, ſub qua in­

cluduntur
diuiſio etiam additio, detractio, laterum omnium in­
uentio
.
Quarta quin
ti
Elem.
Quartadecima petitio.
Cùm termini alicuius quantitatis eandem ſeruant rationem in
omnibus
, & firmi ſunt ac ſtabiles eiuſdem rationis comparatione
contentæ
partes æqualem ſeruant exceſſum, ſeu proportionem.
PROPOSITIO prima.
Proportionem in proportionem duci eſt ſuperiores nume­
ros
atque inferiores inuicem ducere.
1
Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli c ad angulum d, ſta­

tuatur
e monas in genere a
5[Figure 5]
b
, & fiat f ad e, ut c ad d, & du

catur
a in f & b in e, & pro­
ducantur
g & h.
Quia ergo

f
eſt proportio ipſa, erit g ad

a
ut c ad d, ſed h eſt æqualis
b
, igitur a ad h ut ad b.
Du­
cta
ergo dicetur proportio a

ad
b in proportionem c ad d
ducendo
terminos proportionis, ſeu quantitatis recta ſcilicet ſu­
periores
cum ſuperioribus, & inferiores cum inferioribus.
Nam ſi

rurſum
conſtituantur f ad e ut a ad b cùm f ſit proportio, & k ad f ut

c
ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b,
quæ
eſt fin proportionem c ad d, liquet igitur propoſitum.
Cor^{m}.
Per 9. Petit.
Per 10. Pet.
Per 8. Petit.
Per 2. Ani­
mi
ſentent.
Per 11. Pet.
Per 8. Petit.
Propoſitio ſecunda.
Proportio extremorum producitur ex intermedijs.
Cor^{m}.
Sint a b c quantitates dico proportio­
6[Figure 6]
nem
a ad c, produci ex proportione a ad b

& b ad c, ſtatuantur totidem à monade d e
f
, erúntque ex demonſtrantis ab Euclide in
quinto
Elementorum in eadem proportio­
ne
, ſtatuatur ergo d prima quantitas e ſe­
cunda
& tertia f quarta.
eritqúe per præce­

dentem
proportio productorum ex d in e
& ſit g, & in f & ſit h, producta ex propor­
tionibus
d ad e & e ad f, quare ex propor­
tionibus
a ad b & b ad e, ſed ex dictis cum
e
ſit eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per
æquam
proportionem ab Euclide demonſtratam, ut a ad c, igitur

proportio
a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, &
eſt
proportio ipſa a ad c d numerus, ut oſtenſum eſt.
Per 6. & 9.
P
etit.
Per 13. Pet.
Per 13. Pet.
Ex hoc ſequitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro­

portionibus
inuicem ductis producetur prima quantitas.
Cor^{m}. 2.
Cor^{m}. 3
Ex hoc ſequitur, quòd conuerſa proportio producitur ex con­
uerſis
proportionibus.
Propoſitio tertia.
Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis
producatur
, ipſa uerò proportio inter duas alias quantitates
1rit conſtituta: conſurgent trecenti ſexaginta modi productionis
proportionis
.
Cor^{m}.
Hęc propoſitio ut præcedens & ſequentes tres ab Alchindo ſum­
ptæ
ſunt, & ab eo demonſtrantur.
Sit ergo proportio a ad b, pro­

7[Figure 7]ducta ex proportione c ad d & e ad f, conſtat
quòd
cum ſint ſex quantitates, quòd fieri pote­
runt
quindecim coniugationes, quas poſui à la­
tere
facilitatis gratia, quibus reſpondent totidem

conuerſæ
: erunt ergo triginta.
Singulæ autem ha
rum
produci poſſunt duodecim modis: ductis
8[Figure 8]duodecim in triginta, fiunt trecenti ſexaginta mo
di
.
Et hoc eſt clarum perſe, modo demonſtremus,
quod
ſinguli horum modorum poſsint produ­
ci
duodecim modis, & capiamus ab primam quę
poteſt
produci ex c d & e f: Item ambabus con­
uerſis
d c & fe: & rurſus altera recta altera con­
uerſa
: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, ſunt er­
go
iam quatuor modi.
Totidem ex c e & d f, toti­
demque
ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo­
di
, quibus produci poſſe intelligitur propor­
tio
a ad b.
a b --- --- c d --- --- e f --- --- a b b a a c c a a d d a a e e a a f f a b c c b b d d b b e e b b f f b c d d c c e e c c f f c d e e d d f f d e f f e direc. conuer.
Propoſitio quarta.
Si fuerit proportio primi ad ſecundum produ­
cta
ex proportionibus tertij ad quartum, & quin
ti
ad ſextum, producetur etiam ex proportione
tertij
ad ſextum, & quinti ad quartum.
Sit proportio a b producta ex proportioni­

9[Figure 9]bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ­
a b c e g d f h --- --- --- c e g f d h

cta
ex proportionibus c ad f, & e ad d, diſponan­
tur
ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo

per
primam harum g ad h ut a ad b, ſed per præ­
ſuppoſita
in ſecunda productione etiam prode­
unt
g & h, igitur per primam propoſitionem ha­
rum
a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ
ſcilicet
ad ſextam, & e ad d quintę ad quartam, quod fuit propoſitum.
Per 8. petit.
In 13. petit.
Propoſitio quinta.
Si fuerit proportio primi ad ſecundum producta ex proportio­
ne
tertij ad quartum, & quinta ad ſextum: erit proportio tertij ad
ſextum
producta ex proportionibus primi ad ſecundum, & quar­
ti
ad quintum.
1
10[Figure 10] Sit proportio a ad b producta ex proportio­


nibus
c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad
f
producitur ex proportione a ad b & d ad e.
In­
terponam
d e inter c & f, eritque ex ſecunda pro­
poſitione
repetita proportio c ad f producta ex
tribus
proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, ſed
proportiones
c ad d, & e ad f producunt pro­
11[Figure 11]portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ
citur
ex proportionibus a ad b, & e ad f.
Cor^{m}.
a b --- --- c e --- --- d f --- --- c ----- d ----- e ----- f -----
Propoſitio ſexta.
Ex trecentis ſexaginta modis producenda­
rum
proportionum triginta ſex tantum eſſe ne­
ceſſarios
.
c p --- --- a d --- --- b e --- ---
12[Figure 12] Per quartam enim proportio a ad b produ­

citur
bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, &
e
ad d.
& per præcedentem c ad f producitur ex
a
ad b, & d ad e, & per quartam rurſus ex a ad e,
& d ad b.
Et per præcedentem rurſus a ad e ex c
ad
f & b ad d, igitur per quartam eadem produ­
cetur
ex c ad d & b ad f.
Quare per præceden­
tem
c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita diſponemus
hos
modos in tabula.
Vides etiam

13[Figure 13]aliquos modos non produci, ut pri­
mi
ad quartum nec ad ſextum, & li­
quet
, quòd cùm ſint quindecim
mnes
modi qui produci poſſe intelli­
guntur
, & nouem tantum producan­
tur
ſex eſſe, qui non producuntur, quos
ſeorſum
in tabula coniunxi.
Et con­
ſtat
etiam, quod totidem conuerſi ſci­
licet
decem octo producuntur, de qui­
bus
diximus, ut ſint omnes triginta
ſex
, qui conſtat ex duabus propoſi­
tionibus
præmiſsis, & hac tertia, quam
adiungemus
ſcilicet, quòd propor­
tio
primi ad tertium producatur ex
proportionibus
ſecundi ad quartum,
& quinti ad ſextum.
Hoc enim ex præ­
cedentibus
non liquet: benè liquet
permutatis
ordinibus, quod ſi pro­
portio
primi ad tertium producitur,
1quod etiam propor­
14[Figure 14]
tio
primi ad quintum.
Nam tertium, & quin
tum
, item que quartum,
& ſextum non diffe­
runt
niſi ordine uolun
tario
.
Ergo interpoſi­
to
e inter a, & c per ſe­
cundam
propoſitio­
nem
proportio a ad c
producitur
ex proportionibus a ad
e
, & e ad c, ut ex demonſtratis in præ­
ſenti
proportio a ad c producitur ex
c
ad f & b ad d.
Proportio ergo a ad
c
producitur ex proportionibus e
ad
c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad
f
producunt eam, quæ eſt e ad f per
ſecundam propoſitionem.
Igitur pro­
portio
a ad c producitur ex propor­
tionibus
b ad d ſecundi ad quartum,
& e ad f quinti ad ſextum.
Hæc Al­
chindus
in ſuo libello: ſed licet inge­
nio
ſa ualde: parum tamen utilia olim
erant neceſſaria ad intelligendum ma­
gnam
compoſitionem Ptolemęi, nunc
poſtquam
Heber has ſex quantita­
tes
traduxit ad quatuor, prorſus hæc
ſcientia
ulli uſui eſſe deſijt.
Cor^{m}.
Modi qui non
producuntur

pri
. ad quartu
pri
. ad ſextum
ſec
. ad tertium
ſec
. ad quintum
tert
.
ad quint.
quart. ad ſext.
Primi ad ſecundum. 1 tertij ad quartum, & quin ti ad ſextum. 2 tertij ad ſextum, & quin ti ad quartum. Primi ad tertium. 3 ſecundi ad quartum, & quinti ad ſextum. 4 ſecundi ad ſextum, & quinti ad quartum. Primi ad quintum. 5 ſecundi ad ſextum, & ter­ tij ad quartum. 6 ſecundi ad quartum, & tertij ad ſextum. Secundi ad quartum. 7 primi ad tertium, & ſex ti ad quintum. 8 primi ad quintum, et ſex ti ad tertium. Secundi ad ſextum. 9 primi ad quintum, & quar ti ad tertium. 10 primi ad tertium, & quar­ ti ad quintum. Tertij ad quartum. 11 primi ad ſecundum, & ſexti ad quintum. 12 primi ad quintum, & ſex ti ad ſecundum. Tertij ad ſextum. 13 primi ad ſecundum, & quarti ad quintum. 14 primi ad quintum, & quarti ad ſecundum. Quarti ad quintum. 15 ſecundi ad primum, & tertij ad ſextum. 16 ſecundi ad ſextum, & ter tij ad primum. Quinti ad ſextum. 17 primi ad ſecundum, & quarti ad tertium. 18 primi ad tertium, & quar­ ti ad ſecundum. a e c a e e c c b e f d c f
Propoſitio ſeptima.
15[Figure 15]
In modis qui neceſſariò produ­
cuntur
ex duabus proportionibus,
cum
duę quantitates ex illis, quę mo
16[Figure 16]dos conficiunt, æquales fuerint: pro­

portio
producta ad quatuor quanti­
tates
omiologas reducetur.
Cor^{m}.
a b --- --- c e --- --- d f --- ---
Sint ſex quantitates a b c d e f, &
producatur
proportio a ad b ex pro­
portione
c ad d, & e ad f, tu ſcis, quòd
modi
recepti ſunt prima cum ſecunda, tertia uel quinta, & ſecunda
cum
quarta, & ſexta, & tertia ſimiliter cum eiſdem, & quinta eodem
modo
cum eiſdem: ſi igitur duę quantitates ex his, quę faciunt
1portionem productam inter ſe fuerint æquales reducetur hæc pro­
portio
ad quatuor quantitates omologas, ſciliter abiectis amba­
bus
æqualibus.
Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia
in
octauo modo proportio ſecundi ad quartum producitur ex pro­
portione
primi ad quintum, & ſexti ad tertium, ergo per expoſita
proportio
ſecundi ad quartum, ut ſexti ad tertium, & ita permutan­
do
, & conuertendo ſecundi ad ſextum, ut quarti ad tertium, & tertij

ad
quartum, ut ſexti ad ſecundum.
Vndecima
petitione
.
Propoſitio octaua.
Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum infe
rioribus
multiplicentur, atque coniungantur: erit proportio aggre­
gati
ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis
proportionibus
compoſita.
17[Figure 17]
Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in

c
, fiatque e & a in d, & fiat f, iunganturque e & f & fiat h,
& ducatur b in d et fiat g: dico proportionem h g com­
poſitam
eſſe ex proportione a ad b, & c ad d.
Quia

enim
ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e
ad
g, ut c ad d, & ſimiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad
g
ut a ad b.
Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g eſt com
poſita
ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi
ſententiam
, & diffinitionem compoſitæ proportionis, proportio h

ad
g compoſita eſt ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod eſt
propoſitum
.
Cor^{m}.
Ex 13 peti­
tione
.
Per 14 diffi
nitionem
.
Propoſitio nona.
Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum
inferioribus
multiplicentur, minusque productum ex maiore detra­
hatur
, erit reſidui ad productum ex inferioribus proportio uelut
illa
, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.
Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, niſi quod h fit de­

tracto
è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro­
poſitum
.
Cor_{m}.
152
.
Propoſitio decima.
Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al
terius
partis ad ſecundam quantitatem erit proportio cuiuſuis quan
titatis
eiuſdem generis ad ſecundam compoſita proportio ex pro­
portionibus
eiuſdem quantitatis aſſumptæ ad utran que partem pri­
quantitatis ſeorſum.
Cor^{m}.
18[Figure 18]
Sit a b quantitas diuiſa in c, & ſi c ut a b ad a c,
ita
b c ad d: eritque iterum permutando a b ad b c,
ut
a c ad d, & ſumatur quædam quantitas e
1dem tamen generis, cum illis dico quòd proportio e ad d eſt com­
poſita
ex proportionibus e ad a c, & e ad b c.
Poſita ergo e tan<08> ſu­
periore
numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propoſitio­
ne
huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, &
ex
conſequenti per primam ſecundi Elementorum producti ex e in
a
b ad productum ex a c in c b compoſita ex proportionibus e ad
a
c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, eſt æquale ei quod fit ex a b in
d
, eo quòd a b, a c, c b & d ſunt omiologæ per decimam ſextam ſexti
Elementorum: Proportio igitur producti ex e in a b ad productum
ex
d in a b eſt compoſita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At
proportio
producti ex e in a b ad productum ex d in a b, eſt uelut e

ad
d.
per ſuppoſita igitur proportio e ad d eſt compoſita ex propor
tionibus
e ad a c, & e ad b c, quod fuit demonſtrandum.
13. Petit.
Propoſitio undecima.
Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag­
gregatum
duarum æqualium quantitatum eſt compoſita ex pro­
portionibus
primis, & diuiſa per duplam.
Cor^{m}.
Sit proportio a ad c, & b ad d, & ſint c & d
19[Figure 19]
æquales
, dico quòd proportio a b ad c d eſt
compoſita
ex proportionibus a ad c, & b ad
d
diuiſo compoſito per duplam.
Quia enim

c
& d ſunt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua­
re
ex diffinitione cùm proportio a b ad c d

ſit
compoſita ex proportionibus a ad c, & b
ad
c, erit etiam compoſita ex dictis ex propoſitione a ad c, & b ad d,

ſtatuatur
ergo e æqualis c d media inter a b & c.
Et erit per ſecun­
dam
propoſitionem proportio aggregati a b ad c producta ex

proportione
aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e
erit
proportio a b ad c, diuiſa per proportionem e ad c, ſed e ad c eſt

dupla
: igitur proportio a b ad c d eſt proportio a b ad c diuiſa per
duplam
.
Ex ſexta Anim.
com
.
ſententia.
Decimaquarta
13. Petit.
Per 2. Petit.
Per quintam
A
nim. com. ſen
tentiam
.
Propoſitio duodecima.
Propoſitis duabus proportionibus unam alteri iungere abſque
multiplicatione
.
Cor^{m}.
10
. Petit.
Sint propoſitæ proportiones a ad c &
20[Figure 20]
b
ad d, & aſſumo e ad c, iuxta ea quæ Eu­
clides
demonſtrauit, ut b ad d, erit igitur

proportio
a e ad c, compoſita ex proportionibus a ad c, & e ad c,
ſed
proportio e ad c eſt, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo­
ſita
eſt ex proportionibus a ad c, & b ad d.
Ex generali
com
. Anim. ſen
tentia
.
Aliter ex b in c fiat f ex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.
1 21[Figure 21]
Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h,
ut
b ad d, igitur ut e ad c, ſed a ad c, ut g ad h igi

tur
a e ad c, ut k ad h, ſed k ad h cómponitur ex
proportionibus
a ad c, & b ad d.
Ex octaua ha
rum
igitur proportio a c ad c compoſita eſt ex
eiſdem
.
Forſan quis dicat hanc eandem eſſe
octauæ
ſed non eſt, in illa enim proportio com­
paratur
ad productum, in hac ad unam ex
quantitatibus
.
Per 13. Pet.
Ex hoc ſequitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag­

gregatum
eſt idem ad eam quantitatem, componunt eandem pro­
portionem
.
Cor^{m}.
Propoſitio tertia decima.
Proportio confuſa aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita­
tum
omiologarum ad aggregatum ſecundæ & quartæ, eſt uelut com
poſita
ex eiſdem diuiſa per duplam.
Cor^{m}.
Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confuſa
22[Figure 22]
proportio
a c aggregati ad aggregatum b d, com
poſitæ
ex his proportionibus diuiſæ per du­
plam
æqualis.
Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue­
lut
a ad b per 18 quinti Elementorum.
Sed proportiones a ad b,
& c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per
octauam
harum, ad productum ex b in d, productum uerò ex a in d
eſt
æquale producto ex b in c per decimam ſextam ſexti Elemento­
rum
, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d eſt ue
lut
c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor­
tio
compoſita ex a ad b, & c ad d, eſt uelut confuſa bis ſumpta.
Igi­
tur
confuſa eſt uelut compoſita diuiſa per duplam per modum un­
decimæ
huius.
a c ----- ----- b d --- ---
Propoſitio quarta decima.
Proportiones confuſæ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in­
uicem
commutantur.
23[Figure 23]
Sint tres quantitates, dico, quod proportio c

ad
a b confuſa eſt, conuerſa coniunctæ a & b ad

c
.
Nam per dicta proportio a b ad c efficit con­
iunctam
ex a b ad c: ſed c ad a b conuerſa eſt eius, quæ eſt a b ad c, &
proportio
c ad a b eſt confuſa eius, quæ eſt c ad a & b.
Igitur pro­
portio
confuſa in tribus quantitatibus eſt contraria coniunctæ in
eiſdem
.
Cor^{m}.
14. diff.
Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.
1
Per 18. diff.
Propoſitio quinta decima.
Si fuerint quatuor quantitas proportio confuſa aggregati pri­
& tertiæ ad aggregatum ſecundæ, & quartæ erit ut monadis
addito
prouentu, qui fit diuiſa differentia differentiarum primæ &
ſecundæ
, atque quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad
ipſam
monadem.
24[Figure 24]
Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, &

ſit
a b maior cin a h, & e f maior d in f g, &
differentia
f g & a h ſit a k: dico proportio­
nem
a b, & d confuſam ad c & e f, eſſe ut mo
nadis
addito prouentu, uel detracto a k diuiſæ per aggregatum c.
& e f ad ipſam monadem, & manifeſtum eſt, quòd poteſt continge­
re
pluribus modis: Primus ut a b ſit maior c & e f minor d, & tunc
differentiæ
coniungentur, & prouentus, addetur monadi.
Idem fa­
ciendum
erit ſi a b ſit maior c, & e f ſit minor d, ſed exceſſus ſuperet
defectum
.
At ſi uel a b ſit minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c
exceſſus
ſupra b a ſit maior defectu, detrahemus prouentum à mo­
nade
.
Alia cautio eſt quòd ſi fuerint utrinque exceſſus, aut defectus,
minuemus
minorem de maiore: ſi autem unus ſit exceſſus alter de­
fectus
, iungemus illos, & poſt diuidemus.
uno ergo demonſtrato
ut
pote primo intelligentur reliqui.
Quia ergo b h eſt æqualis c &
e
g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi ſententia ag
gregatum
ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta
proportio
aggregati ad aggregatum eſt unum.
at uerò diuiſa k a
per
c & e f fit quantum diuiſa eadem per b k, & d, ſed diuiſa k a per b
k
, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di­
uiſa
a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b
& d ad aggregatum c & e f eſt coniuncta ex monade & proportio­
ne
a k ad aggregatum c & e f, quod erat demonſtrandum.
Cor^{m}.
25[Figure 25]
Ex hoc patet quod proportionum confuſio

fit
iunctis denominatoribus numeratoris: mul­
tiplicatio
multiplicatis: additio multiplicatis
decuſſatim
in numeratores ad productum ex
denominatoribus
, ut in exemplis.
Cor^{m}.
Propoſitio ſexta decima.
Omnium quatuor quantitatum propoſita
prima
, quæ non minorem habet proportionem
ad
ſuam correſpondentem, quàm alia ad aliam
26[Figure 26]
erit
proportio confuſa illarum, ut pro­
ducti
ex aggregato primæ & tertiæ in
1tertiam, ad productum ex aggregato tertiæ & omiotatæ ad ſecun­
dam
in ipſam quartam.
Hæc magis reducit confuſam proportionem ad notitiam, quàm,
præcedens
, quia reducit ad proportionem productam, quę operatio
eſt
ſimpliciſsima, ſiue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ
ſunt
tantum multiplicationes, ſiue per eundem terminum ſufficit
alium
addere.
Summatur ergo a b, c, d & e, & non ſit maior propor­
tio
d ad e, quàm a b ad c, & ſtatuatur tunc prima a b, ſecunda c, ter­
tia
d, quarta e, & poſtquam non eſt minor ratio a b ad c, quàm d ad
e
, ſumatur a f ad c, ut d ad e.
licet enim hoc facere. Dico quod pro­
portio
confuſa a b & d ad c & e eſt uelut producti ex aggregato a b
& d in d ad productum ex aggregato a f & d in e.
Statuatur aggre­

gatum
a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d,
27[Figure 27]
a
d ſecunda quantitas, & d tertia,
& c quarta, & ex a b in d fiat g, ex
a
d in e fiat h, erit ergo per pri­
mam
propoſitionem g ad h pro­

ducta
ex proportionibus a b d ad
a
f d, & d ad c.
Sed proportio a f d
ad
aggregatum c e, eſt uelut d ad
e
.
Proportio uerò a b d ad a f d, &
a
f d ad e c producunt proportio­
nem
a b d ad c & e per ſecundam propoſitionem, harum igitur con­
fuſa
a b ad c, & d ad e, & eſt proportio a b d ad c & e, producuntur
ex
proportionibus a b d ad a f d, & d ad e.
Ergo proportio g ad h
eſt
confuſa ex a b ad e, & d ad e, quod erat demonſtrandum.
Per 10. Pet.
Per 13. Pet.
Propoſitio decima ſeptima.
Omnes duę proportiones conuerſæ producunt æqualem pro­
portionem
.
a ----- b --- c ----
Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuerſa,
28[Figure 28]
dico
, quòd producunt proportionem æqualem.
fiat
enim
b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con

uerſa
eius quæ eſt a ad b, ſed per ſecundam harum
proportiones
a ad b, & b ad c producunt propor­
tionem
a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ­
cunt
eandem.
Cor^{m}.
Per 6. Ani­
mi
communem
ſententiam
.
Propoſitio decima octaua.
Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi­
plici
præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua­
lis
reſidui primæ ad ſecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua­
rum
uelut penultimæ ad
1
Cor^{m}.
Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, ſed
d
ad e ſit uelut reſidui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e
eſſe
ut d ad e.
Quia enim eſt gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e
ex
ſuppoſito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, ut

d
ad e, ſed e gnomo cum quadrato d efficit qua­
29[Figure 29]
dratum
e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita
d
ad e.
Rurſus, quia b quadrati ad c quadratum,

ut
c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut
gnomonis
c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur

gnomonum
b c cum quadrato d ad aggrega­
tum
c d e quadratorum, ut d ad e, ſed c gno­
mo
cum d quadrato perficit c quadratum,
& c quadratum cum gnomone b perficit
quadratum
b, igitur proportio quadrati b
ad
quadrata c d e, ut d quadrati a d e.
Et ita
repetendo
de quotuis quantitatibus in infi
nitum
uſque.
Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato
æquali
parabolæ, & minus generaliter & pluribus demonſtratur.
Ego tamen quia eſt generalis, deſcribam illam per corrolarium: ad­
damque
aliud quod ex hoc ſequitur.
13. Propoſ.
quinti
Elem.
Per 19. quin
ti
Elem.
Per 12. quin
ti
Element.
Cor^{m}. 1.
Si fuerint quotlibet quantitates omnes analogæ præter ultimam,
ſit
autem penultima ad ultimam qualis reſidui primæ & ſecundæ
ad
ſecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia­
rum
ueluti penultimæ ad ultimam.
Cor^{m}.
Hæc enim eſt euidens, quia conuenit ei demonſtratio propoſita.
30[Figure 30]
exemplo
autem in numeris à latere
poſito
uides declarationem.
nam
proportio
16 ad 32 eſt uelut 27 reſi
dui
primæ & ſecundæ ad ipſam ſe­
cundam
ſcilicet ad 54.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc patet etiam quòd aſſumptis omnibus, ſub multiplicibus
analogiæ
uſque in infinitum prima quantitas eſt multiplex aggre­
gati
omnium reliquarum numero 1 m: quo prima eſt multiplex
ſecundæ
.
Cor^{m}. 3.
Si fuerint quotlibet quantitates in ſuper particulari proportio­
ne
analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi­
nitum
iuxta proportionem multiplicem conuerſam illius partis.
Cor^{m}.
Velut collectæ in ſeſquialtera duplæ in ſexquitertia triplæ in
ſexquiſeptima
ſeptuplæ.
Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps
uſque
in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584.
1plum 512, & aggregatum 18. 12. 8. 5 2/3, & ita deinceps in ſexquialtera
erit
54 duplum 27 primæ in eo ordine.
SCHOLIVM.
Ex quo patet genus demonſtrandi nouun & pulchrum: nam
ſupponatur
54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27
ad
54, cum ſit dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex
ſuppoſito
quantitas ſequens eſt ſexquialtera ad 27, igitur 81 eſt du­

plum
ad 40 1/2. Igitur conuertendo eſt proportio aggregati prioris
ad
27 eſt dupla, ergo aggregatum eſt 54.
Per 18. quin
ti
Elem.
Cor^{m}. 4.
Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan
titatis
ad aggregatum reliquarum analogarum eſt, uelut eius quod
prouenit
diuiſo quadrato maioris termini per differentiam eius, &
ſequentis
maioris in eadem proportione ad ipſum maiorem.
Co^{m}.
Exemplum ſit proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo
lo
ſcire quantum ſit aggregatum omnium citra 25, maximam acci­
pio
35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 eſt 10, cum quo diui­
do
625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum.
Et facile po­

reſt
demonſtrari.
Si quis dicat in qua proportione ſunt infinitæ
quantitates
analogæ cum 12, quæ iunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum
12
fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro­
portione
erunt illæ quantitates, in qua ſunt 26 2/3 ad 12: duc per 5 fiunt
60
, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita erunt in proportione 11
ad
5 experiaris, & inuenies, & demonſtratur ex prioribus.
Quæſtio.
Propoſitio decimanona.
Si fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum
exceſſus
ſit æqualis minimè, omnibus autem deficientibus ſupple­
menta
ad ęqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni­
um
quantitatum æqualium adiecto rurſus quadrato primæ cum
eo
quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum omnium quan­
titatum
eiuſdem tripla aggregato quadra­
31[Figure 31]
torum
omnium quantitatum primi ordinis

pariter
acceptis.
Co^{m}.
Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in
continua
proportione.
Arithmetica diſpoſitę
ita
ut minima earum quę ſit h, ſit ęqualis diffe­
rentię
quantitatum ſecundum ordinem diſpo
ſitarum, uelut differentia a & b, & b & c, & c &
d
, et ita de alijs, addantur aut ſupplementa ſin
gulis
harum, quæ ſint i k l m n o p, ita ut oes
fiant
ęquales cum ſuis ſupplementis ipſi lineę
à
maiori.
Eſtque idem ac ſi eſſent aliquot quanti
1tates, & diuiderentur ſingulę ſecundum numerum illarum, ſi quatuor in
quatuor
partes æquales, ſi quinque in quinque, ſi decem in decem, ea ra
tione
ut ultima diuideretur, ubi eſt finis primæ partis, penultima ubi
eſt
finis ſecundæ partis, ante penultima ubi eſt finis tertiæ, & ſic de
alijs
.
Vocabo ergo primas quantitates propoſitas a b c d e f g h quan­
titates
primi ordinis, ſed quantitates æquales quæ conſtant ex quan
titatis
.
primi ordinis, & ſupplementis, appellabo quantitates ſecun
di
ordinis: ex quo patet quòd prima quantitas erit ex utro que ordine,
quia
non eſt diuiſa, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas
adiunxi
nominabo ſupplementa, & ſunt una minus quam quantitates
ordinum
: ut ſi quantitates ordinum ſint octo, erunt ſupplementa ſe­
ptem
, & ſi quantitates ordinum, eſſent ſeptem eſſent ſupplementa ſex,
quia
inter ſupplementa non adnumeratur quantitas indiuiſa.
Erunt er
go
ſupplementa i k l m n o p, quæ tanto erunt maiora quanto quan
titates
primi ordinis ſunt minores, & contrà tanto maiora, quanto
quantitates primi ordinis ſunt maiores.
quantitates aut ſecundi ordi
nis
appellabuntur a, b i, ck, dl, em, fn, go, & hp.
Hæc uolui pluribus
agere
, ut dilucidior eſſet propoſitio.
quæ licet non ſit difficilis, eſt tamen
confuſa
ualde propter multitudinem quantitatum & ordinum.
Dico
ergo
q̊d aggregatum quadratorum quantitatum ſecundi ordinis pri
mo
quadrato bis repetito, ſeu uno addito cum eo quod fit ex minima
in
aggregatum quantitatum primi ordinis eſt triplum aggregato ex
quadratis
omnibus quantitatum eiuſdem primi ordinis, & utres exem
plo
facilius innoteſcat, ſint quantitates primi ordinis 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
quorum
quadrata ſint 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta faciunt
204
, dico quod ſi ſumamus quadrata omnium quantitatum ſecundi
ordinis
, quæ ſunt octies 64, & eis addiderimus unum quadratum ex
his
, ut fiant nouies 64, & erunt 556, ſimul iuncta & eis addamus, q̊d
fit
ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti­
tatum
omnium primi ordinis, & eſt tale productum 36, ut fiat totum
612
, quod tale 612 eſt triplum 204, aggregati quadratorum primi or­
dinis
unius demonſtratio hęc eſt.
Quia ex quarta ſecundi Element.
Euclidis
ſingula quadrata quantitatum diuiſarum ſecundi ordinis con
ſtant
ex quatuor partibus quarum duę ſunt quadrata partium, reli­
quæ
duæ ſunt producta ex partibus inuicem bis, & quia h fuit æqua­
lis
1, & p ęqualis b, quia ſupplementa fuerunt ęqualia mutuò quanti
tatibus
, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis
f
, e aut ęqualis m.
Sequitur ergo quod ſumptis duabus quantitatibus
ſecundi
ordinis habentibus ſupplementa mutuò æqualia ipſis quan
titatibus
quod quadrata partium erunt dupla quadratis primarum
quantitatum
: ueluti capio b i ſecundam & h p ultimam, quarum
1drata partium ſunt quadrata b & i, & h & p, ſed b eſt æqualis p, & h
æqualis
i.
Ergo quatuor quadrata b i & h p ſunt dupla quadratis b
& h, & ita concludam de omnibus ubi duæ quantitates duabus com
parantur
: ſed in e m quia eſt ſola una quantitas, iſtud eſt etiam cla­
rius
, quia quadrata e & m ſunt dupla quadrato e ſoli eo, quod & m

ſunt
æquales.
Igitur per demonſtrata ab Euclide erit proportio
mnium
quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e
f
g h, pariter accepta proportio dupla.
at uerò addito quadrato a
quadratis
b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, &
quadratis
b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo quadrati a ſcilicet ſemel,
quia
a eſt ex ſecundo ordine quantitatum, & ſemel, quia hoc fuit aſ­
ſumptum
in Problemate.
Sequitur ut quadrata omnia quantitatum
ſecundi
ordinis, pro ut ſunt diuiſa in partes addito quadrato a, ſint
dupla
quadratis primarum quantítatum, ſimul pariter acceptis.
Re
liquum
eſt modo ut oſtendamus dupla illorum productorum, cum
eo
quod fit ex minima quantitate, ſcilicet h in aggregatum ipſarum
quantitatum
primi ordinis eſſe æquale quadratis, quantitatum eiuſ­
dem
primi ordinis pariter acceptis.
Conſtat igitur, quod duplum i
in
b eſt æquale duplo h in ipſum b, quia h & i ſunt æquales, & du­
plum
k in ipſum c, eſt æquale quadruplo h in idem c, quia k eſt du­
pla
h, & ſimiliter duplum l in ipſum d eſt æquale ſexcuplo, h in d,
quia
l eſt tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ­
qualia
productis ex h in ipſas quantitates toties ſumptis quantus
eſt
numerus, qui prouenit duplicato numero, ſecundum quem h con
tinetur
in illo ſupplemento, exemplum uolo duplum producti lin
d
bis, ſcio quòd ſupplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi­
ent
ſex, igitur duplum lin d æquale eſt ſexcuplo h in ipſum d.
Quo con­
ſtituto
, cum ſuppoſitum ſit producta illa duplicata cum producto h
in
aggregatum primarum quantitatum eſſe æqualia quadratis ipſa­
rum
quantitatum, igitur addemus productum ex h in ſingulas quan­
titates
productis illis prioribus, & fiet productum h in a ſemel, in b
ter
, in c quinquies, in d ſepties, in e nouies, in f undecies, in g trede­
cies
, & in h quindecies æquale duplo producti uniuſcuiuſque quan­
titatis
in ſuum ſupplementum cum producto h in aggregatum ipſa­
rum
quantitatum, at quadratum a eſt ęquale producto ex h in eam,
quę
talem habet proportionem ad ipſum a, qualem habet a ad ipſum

h
per demonſtrata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod eſt ę­
quale
ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con
tinet
h, & ita quadratum c æquale eſt ei, quod continetur ſub h, &
habente
proportionem ad b eandem, quam b ad h, & ſimiliter de
quadrato
c & omnibus reliquis, uſque ad h ipſum.
Gratia ergo exem
1pli quadratum a, erit æquale producto ex h in omnes quantitates ſe­
cundas
, quia quotus eſt numerus quantitatum, totus eſt numerus
ſecundum
quem a continet h, & ſimiliter quotus eſt numerus quan
títatum
incipiendo à b, & quotus eſt numerus quantitatum incipi­
endo
à c, toties b uel c continent h, & ita de alijs, quadrata ergo om­
nium
quantitatum ſimul iuncta ſunt æqualia productis ex h in ſin­
gulas
illarum toties ſumptis, quoties illæ continent h, ſeu quotus eſt
numerus
illius quantitatis, incipiendo ab h, & numerando uerſus a.
Rurſus dico, quod productum multiplicis cuiuslibet quantitatis in
minimam
, ſeu quadratum eiuſdem quantitatis ęquale eſt producto
eiuſdem
quantitatis, & dupli omnium ſequentium primi ordinis in
ipſam
minimam quantitatem, uelut quadratum a eſt æquale produ
cto
ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc autem facile eſt probare in
his
quantitatibus, quia ſi quadratum a eſt æquale producto h in
mnes
quantitates ſecundi ordinis, & omnes quantitates ſecundi or
dinis
ſimul ſumptæ ſunt ęquales ipſi a, & duplo reliquarum primi or
dinis
, quia tales quantitates ſunt æquales ſuis ſupplementis uiciſ­
ſim
, ut h cum i, k cum g, f cum l, e cum m, ergo tam ſupplementa, quàm
quantitates
primi ordinis ſunt dimidium quantitatum ſecundi or­
dinis
, ergo duplum quantitatum primi ordinis eſt dimidium quan
titatum
ſecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua­
dratum
b eſt ęquale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à
b
, ſcilicet duplum c d e f g h, & hoc eſt oſtendere, quod iſtę quantita
tes
ſunt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c eſt mi­
nor
b in h, & ſupplementum p quod eſt æquale ipſi b, ſi tota h p fiat
æqualis
ipſi b, ut pote h q erit ipſa q dempta h æqualis ipſi c, ergo
quantitates
primi ordinis ſemper ſunt æquales ſupplementis non
ueris
, ſed prioris quantitatis aſſumptæ, ſeu in comparatione ad il­
lam
, quadratum igitur b eſt æquale producto ex h in b, & in duplum
c
d e f g h, & ſimiliter per eadem, quadratum c eſt æquale producto
ex
h in c, & in duplum d e f g h, & ſic de alijs.
Habemus ergo, quod
quadrata
a b c d e f g h ſimul iuncta ſunt æqualia producto ex h in
a
, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum
ſequentium
, & producto ex h in c ſemel, & in duplum ſequentium
uſque
ad h, & ita de reliquis.
hoc enim eſt, quod nuper demonſtraui­
mus
.
Antea quo que demonſtratum eſt, quod duplum b in i, c in k, d in
l
, e in m, f in n, g in o, h in p, cum producto h in aggregatum a b c d e f g h
erat
ęquale productis ex h in a ſemel, & in b ter, & in c quinquies, in
d
ſepties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in ſe ipſam h quin­
decies
, detractis ergo p ordinem, q̊d fit ex h in a ab utro que aggregato,
& ex h in b c d e f g h bis relinquetur ex una parte, quae fit ex h in b ſemel
1cum ſuis duplicatis ſequentibus, & in c, & in d, & in reliquis pa­
riter
conduplicatis ſuis ſequentibus ex altera, quod fit ex h in b ſe­
mel
, in c ter, in d quinquies, in e ſepties, in f nouies, in g undecies,
in
h tredecies, detractis ergo rurſus quod fit ex h in b ſemel, & ex
h
in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo ſequen­
tium
, & d & duplo ſequentium, & e & aliarum pariter: & ex alia
parte
, quod fit ex h in c ſemel, & in d ter, & in e quinquies, in f ſe­
pties
, in g nouies, in h undecies.
Ab his rurſus detractis, quòd fit
ex
h in c ſemel, & in ſequentes bis, relinquetur h in d ſemel cum ſuis
ſequentibus
bis, & in e ſemel cum ſuis ſequentibus & in f, & in g &
in
h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d ſemel, in e ter, f quin­
quies
, g ſepties, h nouies, ab his rurſus detraho, quod fit ex h in d
ſemel
, & in ſequentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h
in
e f g h cum duplo ſequentium ex alia, quod fit ex h in e ſe­
mel
, f ter, g quinquies, h ſepties, & ſimiliter ab his detractis, quod
fit
ex h in e ſemel, & bis in ſequentes, relinquetur ex una par­
te
; quod fit ex h in f ſemel, & in g h bis, & in g ſemel, & in h bis,
& in h ſemel, & ex alia, quod fit ex h in f ſemel, in g ter, in h quin­
quies
.
Iterum detractis, quod fit ex h in f ſemel, & in g h bis com­
muniter
relinquetur, quod fit ex h in g ſemel, & in h bis, & in h ſe­
mel
, & ex alia parte quod fit ex h in g ſemel, & ex h in h ter.
Sed
iſta
, quæ relicta ſunt iam, ſunt manifeſtè æqualia, ergo etiam pri­
ma
aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua­
drata
a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in eaſdem quantita­
tes
cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o,
h
in p, ſed iam his quadratis a b c d e f g h demonſtrata ſunt eſſe du­
pla
quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra­
ti
a, ergo quadrata omnium quantitatum ſecundi ordinis cum
quadrato
a rurſus repetito, & producto h in aggregatum quanti­
tatum
primi ordinis ſunt tripla quadratis quantitatum primi ordi­
nis
pariter acceptis, quod fuit propoſitum, & fuit Archimedis in li
bro
de lineis ſpiralibus, & ego adieci hic propter modum demon
ſtrandi
, qui eſt elegantiſsimus, & procedit ex principijs arithmeti­
cis
, & diuerſis à communibus, & ideo non reuoluitur, ut ſolent re­
liquæ
quæſtiones.
In 5. Elem.
P
rop. 12.
Lib. 6. Ele.
P
rop. 17.
Propoſitio uigeſima.
Cùm fuerint quatuor quantitates, fueritque ſecunda æqualis ter­
tiæ
, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam,
aut
tertiæ ad ſecundam producta ex proportionibus primæ ad ſe­
cundam
, & tertiæ ad quartam.
Cor^{m}.
Cùm enim quantitates non fuerint ęquales, conſtat per
1dam harum, quod proportio primæ ad quartam producitur ex pro­
portione
primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam
: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter­
tiæ
ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe­
cundam
, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ
in ſecundam ad productum tertiæ in quartam.
Et in multi­
plicatione
proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata
eſt inter ipſas quantitates.
Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
32[Figure 32]
tio
a ad d producta ex proportioni­
bus
a ad b, b ad c, & c ad d, producan­
tur
igitur ex proportionibus a ad b, c
ad
d.
proportio c ad f, erit igitur pro­
portio
e ad f, ſi multiplicetur per pro­
portionem
b ad c eadem quæ prius, &

producta
iam eſt eadem ei, quæ eſt a
ad
d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b
, c ad d per primam propoſitionem.
Quod uerò diximus de pri­
ma
& quarta ſi ſint æquales, manifeſtum eſt, quòd res redit ad idem
ſolum
tranſmutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur primę,
& ſecundæ.
Hæc igitur propoſitio nihil aliud innuit, quàm quod
in
hoc caſu productio, quæ ſolet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex
duabus tantum.
Per 16. Pet.
Propoſitio uigeſima prima.
Cùm decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in ter
tiam
; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ­
ctum
ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui­
ſa
per proportionem tertiæ ad quartam.
Et ſimiliter interpoſita
omiologa
.
Cor^{m}.
33[Figure 33]
Primum exponamus ſecundam partem, ſit
proportio
a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem
c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit

ergo
per ſecundam harum proportio ad b pro­
ducta
ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa
proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a
ad e, & hic eſt ſecundus modus.
Primus autem modus ducatur a
in
d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen­
tum
proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur
c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in
f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in
a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
1c, ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k.
erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur
h
, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio­
ne
c ad d, & f ad g, & proportio h ad k ſit eadem, quæ a ad b, ergo
proportio
a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diuiſa propor­
tione
a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuit propoſitum.
Per 10. Pet.
Propoſitio uigeſima ſecunda.
Cùm fuerit proportio primæ ad ſecundam maior, quàm tertiæ
ad
quartam, erit confuſa ex his maior quàm tertiæ ad quartam, mi­
nor
autem quàm primæ ad ſecundam.
34[Figure 34]
Sit proportio a ad b maior quàm c

ad
d, dico, quod confuſa ex a c ad b d
eſt
maior, quàm c ad d, et minor quàm
a
ad b, ut enim c ad d ita fiat e ad b, erit que per tertiam decimam ha­

rum
e c ad b d confuſa minor quàm a c ad b d, nam e eſt minor a,
quia
proportionem habent minorem ad b quam a eo quòd e ha­
bet
proportionem ad b, quam c ad d, quæ autem c ad d minor, quám
a
ad b, ut ſuppoſitum eſt, igitur e c ad b d minor, quàm a b ad c d, e b
autem
ad c d eſt, ut demonſtratum eſt qualis c ad d, ergo c ad d mi­
nor
, quàm confuſa a b ad c d, quod eſt ſecundum per idem proba­
bitur
, & primum poſita f ad d, ut a ad b, eritque a maior c, igitur ma­
ior
proportio a f ad b d, quàm a c ad b d, ſed a f ad b d, ut a ad b per
eandem
tertiam decimam huius ergo proportio confuſa a b ad c d
eſt
minor, quàm a ad b.
Co^{m}.
Per 10. Pet.
Propoſitio uigeſima tertia.
Omnis motus naturalis ad locum ſuum eſt: ideo per rectam li­
neam
fit.
Co^{m}.
Motus naturalis eſt, ut conſeruetur corpus, & conueniat locus
corpori
, igitur fit ad ſuum locum.
Locus autem dicitur in compara
tione
ad uniuerſum.
ideo omnis motus naturalis eſt à centro mun­
di
ſurſum, uel ad centrum deorſum.
Et quia quanto natura celerius
ſuum
finem poteſt aſſequi (quia finis bonus eſt aliter non illum ap­
peteret
) eum quærit, cùm ſit ſapientiſsimæ uitæ miniſtra: at linea re­

cta
breuiſsima eſt Euclide teſte à puncto ad punctum, igitur omnis
motus
naturalis eſt ſurſum aut deorſum per rectam lineam.
Diſt. tertia
primi
Elem.
Propoſitio uigeſima quarta.
Omnis motus circularis uoluntarius eſt.
Sit motus in circulo ſeu per circulum in orbe cuius ſit centrum,
ſit
c mundi centrum: igitur ex diffinitione circuli tantum diſtabit a,
quantum
b ab ipſo c: ſed in motu naturali per pręcedentem neceſſe
eſt
, ut recta feratur ad c, uel recedat, igitur motus a eſt uoluntarius,
135[Figure 35]
non
naturalis.
nam ſi uiolentus eſſet, non
eſſet
perpetuus.
Omnia ergo aſtra feruntur
circa
centrum mundi.
Sit modo rota e f g, di
co
e non moueri motu circulari nam linea
e
c longior eſt g c, ergo recta mouetur ad cen
trum
non circa centrum.
Indicio etiam id
eſt
: quòd ſi in e ponatur fruſtum aliquod
inſigne
plumbi in motu ad g per f deſcen­
det
raptim: at dum ex g in e magna cum dif­
ficultate
, igitur motus hic non eſt naturalis,
nec
circularis.
nihil etiam hoc modo ſponte mouetur. Sed cum non
moueatur
per rectam naturaliter, nec æquidiſtans à centro per cir­
culum
relinquitur, ut moueatur motu uiolento, aut miſto, ſed non
ex
uoluntario, cum nullo modo moueatur æquidiſtans à centro,
ſed
ſemper ab e lineæ ad centrum fiant breuiores, liquet eſſe mo­
tum
uiolentum: aut miſtum ex naturali, & uiolento.
Propoſitio uigeſima quinta.
Tres ſunt motus omnino ſimplices naturalis, uoluntarius &
uiolentus
.
Cor^{m}.
Tres ſunt modi, quibus poſſunt moueri in comparatione ad cen
trum
ſcilicet uel recta cum centro, uel æquidiſtando à centro, uel
neutro
modo, igitur tres motus.
Rurſus uel à principio interiore
non
intelligente, & eſt naturalis, uel intelligente & eſt uoluntarius:
uel
exteriore & eſt uiolentus.
Hæc autem diuiſio eſt ſolum propria
non
prima.
Nam eſt uiolentus in recta ad centrum: ideo omnis, qui
non
eſt in recta ad centrum, nec æquidiſtat, uiolentus eſt: non ta­
men
omnis uiolentus eſt extra rectam.
Attractio autem, quæ fit ob
raritatem
corporum, ſeu, ut dicunt, à uacuo, uiolenta eſt non natu­
ralis
niſi ratione finis, non agentis.
Sunt enim quatuor genera mo­

tus
uiolenti ab Ariſtotele poſita, uectio, tractio, pulſio, & uolutio:
quanquam
his non opus ſit in demonſtratiua ſcientia.
conſtat enim
uolutionem
ex tractione, & pulſione apud illum conſiſtere.
7. Phyſ.
cap
. 2.
Propoſitio uigeſima.
Motus ergo compoſiti quatuor neceſſariò ſunt ſpecies.
Si tantum ſunt tres ſpecies ſimplicium, conſtat ratione arithme­
tica
quatuor eſſe compoſitorum.
Diſquiramus ergo an ſint natura­
liter
tot ſpecies, forſan enim repugnabit aliquis alicui.
Porrò uidea­
mus
primò, quot ſint uiolentorum ſpecies: Prima erit cum non ſe­
cundum
rectam lineam fuerit: nec à centro æquidiſtantem.
Secun­
da
cum fuerit ſecundum rectam, ſed non ad centrum.
Tertia cum
fuerit
in recta ad centrum, ſed contrario modo, uelut terræ ſurſum.
1Quarta cùm in recta ad centrum, ſecundum naturam, ſed non à prin
cipio
naturali.
Velut cum quis proijcit lapidem rectà in terram è
turri
uiolentius, quàm ille ſua grauitate deſcenſurus eſſet.
Hic igi­
tur
motus eſt compoſitus ex naturali, & uiolento.
Animalium au­
tem
motus uoluntarius eſt, cum ſit à principio interiore cognoſcen
te
: & ſit quatenus à principio in linea circulari æqualiter diſtante à
centro
: ſed quia obſtat grauitas, ideò miſtus eſt ex naturali, & uo­
luntario
.
Sed circularis, & uiolentus ſoli eſſe non poſſunt: nam uio
lentus
eſt neceſſariò in corpore graui aut leui: ſed omne corpus gra
ue
aut leue, cùm mouetur, naturaliter mouetur ſaltem in fine: & per
totum
motum, motu ócculto, qui maximè in hoc libro dignus eſt
conſideratione
, igitur motus uoluntarius, & uiolentus non poſ­
ſunt
eſſe ſimul ſoli.
Erunt ergo ſecundum naturam tantùm tres ſpe­
cies
.
Velut cùm quis ſcandit, autſ alit: Eſt enim motus naturalis ſal­
tem
in fine, & uoluntarius, & uiolentus.
Si quis autem uelit uiolen­
tum
cum uoluntario copulare dicemus conſtare eam compoſitio­
nem
in initio ſaliendi.
Motum autem occultum uocamus grauita­
tem
aut leuitatem.
Propoſitio uigeſima ſeptima.
Motus uoluntarius eſt in loco: naturalis ad locum: uiolentus
exloco
.
Hæc eſt tertia differentia primarum ſpecierum motuum uolun­
tarius
fit manente corpore toto in eodem loco, ideo proprius eſt
cœlo
, corpora autem animalium in eodem loco feruntur: quia in
eodem
orbe nata redire ad proprium locum.
Et ideò, ut dixi, eſt mo
tus
miſtus ex naturali, & uoluntario, qui ſi per ſe fieret, non fatiga­
ret
mobile, cùm ex utroque principio ab interiore ui procedat.
Sed
quia
fit per muſculos, qui trahuntur: hic autem motus eſt uiolen­
tus
, ideò per conſequentiam fatigat.
Qui uerò naturalis, eſt ut re­
deat
corpus ad ſuum locum, igitur naturalis eſt ad locum.
Sed
uiolenti
finis eſt, ut protrudatur ex loco in quo eſt, non habens cer­
tum
finem.
licet enim qui trahit, ad ſuum locum trahat, non tamen
ad
locum mobilis.
Propoſitio uigeſimaoctaua.
Motus quilibet naturalis aut uiolentus in aliquo medio fit.
Co^{m}.
Cùm uacuum non detur, & omnis motus naturalis ſit ad locum,
et
uiolentus ex loco per præcedentem, igitur cùm non ſit in medio,
uacuum
erit in aliquo corpore, uelut aere, aqua, igne, ligno.
Propoſitio uigeſima nona.
Omnis motus uoluntarius æqualis eſt ſemper: ſimpliciter etiam
quilibet
alius motus.
1
Com.
Motus uoluntarius non habet, quòd fatiget, & ſumma perfectio
eſt
æqualitas, & natura quæ mouet non debilitatur, igitur perpe­
tuo
perſeuerat æqualis.
neque enim eſt, ut dixi, per medium corpus.
Naturalis quoque, & uiolentus cum ratione proportionis mouentis
ſupra
mobile perſe non uarientur, & ab ęquali proportione ęqua­
lis
uelo citas proueniat, igitur natura tales motus ſunt ęquales, nam
in
utroque mouens, mouet ſecundum ultimam ſuam uim.
Propoſitio trigeſima.
In omni corpore mobili in medio, partes medij reſiſtunt obuiæ,
aliæ
impellunt.
Co^{m}.
Sit mobile a cui partes ſubiaceant directæ b, & ſit graue. Et pa­
tet
ne diuidatur b reſiſtere, cum autem ſuperauerit, partes b deſcen­
dunt
ante a, & trahunt partes c & d adhęrentes ſecum, atque ita e c d f
36[Figure 36]
adiuuant
ad deſcenſum partes etiam laterales
g
& h cum a tranſit in b, ne detur uacuum, tran­
ſeunt
in k uelo ci motu, ergo propellunt a maio
re
impetu inferius.
Cor^{m}.
Ex quo patet, quod in omni motu naturali,
uel
uiolento fit augumentum uelocitatis ab initio ſaltem uſque
ad
aliquid.
Co^{m}.
Et ideò etiam bellicæ machinæ cuiuſcunque generis certam exi­
gunt
diſtantiam, ut uiolentius feriant.
Propoſitio trigeſima prima.
Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior eſt in fine,
quàm
in principio: uiolentus contrà.
Co^{m}.
Cùm enim ex præcedenti augeantur ſemper ob medium, & cau­
ſa
, quæ mouet, ſit perpetua, & à principio æterno, quod per dictæ
æqualiter
mouet, igitur motus ille fiet uelocior in fine quàm in alia
parte
temporis.
In uiolento autem, cùm perueniat ad finem deſinit

uis
illa neceſſariò, quæ mouet, & ſuperatur à ui naturali, quæ mo­
uet
in contrarium, igitur antequam ceſſet motus fiet tardiſsimus
in
fine.
29. Propoſ.
Ex quo patet, quòd motus quadrifariam miſti dicuntur, aut ſpe­

cie
, ut cùm quis iacit lapidem è turri: uel ex occulto naturali, & uio­
lento
manifeſto: uelut cùm quis iacit lapidem, & deſcendit poſt mo
37[Figure 37]
dum
ex b in c motu utroque manifeſto, ſed ex a
in
b motu uiolento manifeſto, & naturali oc­
culto
: uel ratione medij, & hoc modo omnis
motus
naturalis etiam non ſolum uiolentus eſt
miſtus
ex proportione uirtutis mouentis, cum motu medij, ad me­
dium
ipſum, uel ſi uiolentus ſit ex proportione uirtutis mouentis,
1& medij ad mobile, ac medium, quod reſiſtit. Quarto ex motibus
imperfectis
natura ſua, & non eſt uera miſtio, & hoc apparet in mo­
tibus
uoluntarijs animalium, qui non ſunt neque æquales, neque perfe
ctè
circa medium: ſed ſunt potius ſimiles uoluntarijs.
Et ideo de­
monſtrationes
illæ Ariſtotelis quoad uſum nihil iuuant nos.
Cor^{m}.
Propoſitio trigeſima ſecunda.
Omne mobile naturaliter motum, ſeu uiolenter uelocius moue­
tur
in medio rariore, quàm denſiore.
Maior quoque eſt proportio fi­
nis
motus in corpore rariore ad finem motus in corpore denſiore,
quàm
principij.
In uiolento autem celeriùs perueniet ad finem mo
tus
in corpore denſiore.
38[Figure 38]
A mobile moueatur in b medio rariore, & in c denſio­

re
, igitur b minus reſiſtit, quàm c & magis adiuuat, quia
uelociùs
mouetur: igitur duplici de cauſa a mouebitur
uelociùs
in b quàm in c: & quia per corrolarium trigeſi­
, & præcedentis proportio finis (ubi æqualiter moueantur) ad
ſua
principia maior erit in d, quàm in e: ergo per demonſtrata à Cam
pano
poſita d prima, b ſecunda, e tertia, c quarta, maior erit propor­
tio
d ad e, quàm b ad c quod fuit propoſitum in naturali.
Co^{m}.
Propoſitio trigeſima ertia.
Omnia duo mobilia æqualis undique magnitudinis, quæ æquali
in
tempore æqualia ſpatia pertranſeunt in diuerſis ſubſtantia me­
dijs
, neceſſe eſt, ut ſit ponderis ad pondus, quemadmodum medij
ad
medium, proportio duplicata.
Co^{m}.
Sint duo mobilia a & b magnitudine, & forma omnino paria,
& ſint media c & d, exempli gratia: & pertranſeant æquale ſpatium
in
utroque in eodem tempore, e dico proportionem ponderis b ad
pondus
a eſſe duplicatam ei quæ eſt raritatis c ad raritatem d.
Quia
enim
feruntur æqualiter, nam in æquali tem­
39[Figure 39]
pore
, ſeu eodem æqualia ſpatia pertranſe­
unt
, erit proportio potentiæ a cum ſuo auxi­
lio
ad id, quod reſiſtit ex c ut b cum ſuo au­
xilio
ad id, quod reſiſtit ex d, permutando igi
tur
d ad c, ut b ad a, ſed c ad d proportio rari­
tatis
duplicat actionem, tum minus reſiſten­
do
, tum adiuuando motum a, igitur proportio differentiæ motus
eſt
duplicata proportioni raritatis: ſed proportio motus eſt æqua­
lis
proportioni ponderis uiciſsim per uigeſimam ſextam ſexti Ele­
mentorum
b ad a, igitur proportio b ad a ponderis eſt duplicata ei,
quæ
eſt raritatis c ad raritatem d.
1
SCHOLIVM PRIMVM.
Ne tamen ſine exemplo intelligas hanc duplicatam rationem,
proponatur
c raritas quatuor, d unum, a pondus duodecim libra­
40[Figure 40]
rum
, tunc c reſiſtit ſolum ex quarta parte, & effi­
cit
a quadruplo maioris actionis, ſcilicet ut qua­
draginta
octo, tota igitur proportio, qua mo­
uebitur
a in c, erit centum nonaginta duorum, & hoc diuidemus
per
d, quod eſt unum, exibit pondus b centum nonaginta duo.
Pro­
portio
igitur b ad a eſt ſex de cupla, & hæc eſt duplicata quadruplæ
raritatis
c ad raritatem d.
Quòd ſi quis neget tantundem augere c actionem a, quanto mi­
nus
reſiſtit, ſed aut magis aut minus, & ſit proportio b ad a dupli­
cata
ipſi f, dico feſſe proportionem c ad d, nam proportio b ad a
eſt
uelut actionis c ad d per decimam ſextam ſexti Elementorum,
ergo
ex auxilio c in proportionem a ad c fit proportio b ad a, ſed ex
fin
ſe fit proportio b ad a ex diffinitione proportionis duplicatæ.
Sed ex duabus proportionibus a ad c, & actionis ex c ad a produ­
citur
proportio b ad a, igitur per decimam ſeptimam ſexti Elemento­
rum
proportio c ad d eſt media inter proportiones a ad c, & actio­
nis
a in c, quare æqualis f, igitur proportio b ad a duplicata ei, quæ
eſt
c ad d quod erat demonſtrandum.
SCHOLIVM SECVNDVM.
Si autem media fuerint diuerſarum rationum, ut aqua, & aër non
demonſtrat
argumentum, quia pondera inter ſe non ſeruant ratio­
nem
.
Nam lignum centum librarum ex ſalicis arbore, non magis
deſcendit
, quàm lignum libræ unius.
Ideò nec in comparatione ad
medium
aëris.
Propoſitio trigeſima quarta.
Proportio corporis cubi ad ſuam ſuperficiem quadratam, eſt ue­
lut
eiuſdem ſuperficiei ad latus, eiuſdem uerò ad monadem.
Co^{m}.
Sit cubus a b c eius quadrata, ſuperficies a
41[Figure 41]
c
, latus a b, monas d, dico eas eſſe inuicem
analogas
.
Quia enim proportio a b c ad a c
eſt
, ut quoties aſſumitur a c in a b c, & toties
etiam
aſſumitur a b in a c ex diffinitione Eucli

dis
ſecundo Elementorum, ſi ergo monas eſt
in
continua proportione, habeo intentum: ſi
non
ponatur e media inter a e & d, erit ergo
per
decimam noni Elementorum elatus a c,
ergo
æqualis a b, igitur cum a c, e & d ſint analogæ, erunt & a b c,
a
b, & d analogæ, quod fuit demonſtrandum.
1
Prima ex
C
ampano.
Propoſitio trigeſima quinta.
Vocum magnitudines excreſcunt in acumine non in grauitate,
finis
autem eſt in utroque extremo, propter hoc minima facta uaria­
tione
in hypate acutæ uix ferunt.
Com.
Quoniam facta uariatione in hypate, quæ eſt
in
Diapaſon, uel bis Díapaſon maiore interual­
42[Figure 42]
lo
diſtat, uelut ex a in b in grauiore, maius eſt in­
teruallum
ex c in d, igitur maior eſt b d, quàm a c
ergo
ſingulæ uoces inter b & d magis diſtant,
quàm
inter a & c, & quanto magis appropin­
quant
ad d, igitur d maius eſt quàm b.
Ergo magnitudo eſt ratione
acuitatis
, non grauitatis, cum ſuppoſuerimus d eſſe acutiorem b &
c
ipſo a.
Oſtenditur etiam idem quia uox grauis fit ex priuatione
motus
ſicut acuta ex uehementia.
Motus autem eſt res, quies,
priuatio
.
Secundum ſic: nam remiſsio mota non feriet aurem, ideò ſonum
non
pariet ob nimiam tarditatem.
At in uelociſsimo motu oportet
uel
fidem uel arteriam contrahi, & non contrahitur niſi per muſcu­
los
, igitur contentio illa finem habet.
Si autem non ſit neceſſarium
habere
, uel ualde procul poſsit extendi contentio, ut in machinis
igneis
ſtrepitus fit maximus, nam motus, ut motus eſt etiam in aëre
nullum
finem per ſe habet niſi ratione inſtrumenti, ergo ſtrepitus
tantus
eſſe poteſt, ut fermè obſurdeſcant, qui audierint, ut ferunt de
Nili
cataractis.
43[Figure 43]
Tertium ſic ſit a b humi­
lior
uox, quæ excreſcat ſe­
mitonio
minore ſolum in
c
, & ſit d e dupla ad ab ſe­
cundum
naturam, ut in uo­
cibus
medijs fiet, ut ſi e debeat excreſcere ſemitonio minore per de­
cimam
nonam quinti Elementorum f e dupla c b, & in acutis ubi ex­
creuerit
ad diapaſon quadrupla: pueri autem uox, quæ iam diapa­
ſon
altior eſt d e, erit bis diapaſon, & ideò quadrupla b c, ſed in acu­
tioribus
erit dupla, nullus enim puer eſt adeo fractæ uocis, quiſu­
pra
humillimam non aſcendat per diapaſon, igitur interuallum uo­
cum
erit octuplum a d, b c, ſed communiter aſcendunt ad bis diapa
ſon
, igitur interuallum unius uocis etiam cum ſemitonio propor­
tionem
habentis eſt æquale fermè toti a b, cum autem in diapaſon
ſint
duodecim ſemitonia, & duo comata, manifeſtum eſt, quod ex­
tenſio
illa erit maxima in comparatíone grauioris uo cis a b.
Et ideò
minimum
in crementum in humilioribus uocibus, ubi quis
1tur aſcendere, maximum eſſe uidetur, adeò ut ægrè à pluribus fera­
tur
, à quibuſdam non omnino feratur.
SCHOLIVM.
Ob hoc natura fecit, ut non quemadmodum in fidibus uoces ex
breuitate
intenderentur, ſed ex conſtrictione ligulæ, ut dicunt, ſu­
per
aſperam arteriam uox ad diapaſon acueretur addito impetu
proportione
, ut ex conſtrictione, & impetu conſurgeret dupla pro­
portio
.
Hoc autem manifeſtè experimur in elymis in quibus nullæ
prorſus
facta mutatione inſtrumenti conſtantibus digitis omni­
bus
præter pollicem ſiniſtræ uocem exacuimus ad diapaſon, inde
etiam
ad bis diapaſon: ſicut declarauimus in commentarijs Epi­
demiorum
.
Propoſitio trigeſima ſexta.
Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, pro­
portio
minor producetur.
Vnde manifeſtum eſt duas proportio­
nes
minores æqualitate inuicem ductas proportionem minorem
unaquaque
illarum producere.
Co^{m}.
44[Figure 44]
Proportio a b ad c, qualiſcunque ſit, duca­
tur
in proportionem minorem æqualitate
f
ad g, dico quod producta proportio erit
minor
ea, quæ eſt a b ad c fiat d ad a b, ut f
ad
g, et erit per ſecundam huius d ad c pro­
ducta
ex proportionibus a b ad c, & f g.
Itemque per decimam quar­

tam
quinti Elementorum erit d minor a b, igitur maior a b ad c, quàm
d
ad c. igitur quàm proportio a b ad c in proportionem f ad g.
Sit
autem
utraque minor æqualitate ea, quæ a b ad c, & ea quæ f ad g, di­
co
productam unaquaque earum eſſe minorem.
Quod enim (manen
tibus
his, quæ dicta ſunt) minor ſit d ad c, quam a b ad c ex prima
parte
oſtenſum eſt.
Quòd uerò etiam minor ſit d ad c, quàm d ad
a
b, & ex conſequenti quàm f ad g demonſtratur ſic.
Quia enim mi­
nor
eſt a b ad c, æqualitate erit a b minor c, fiat ergo h æqualis a b,
erit
ergo d ad h, ut d ad a b per ſeptimam quinti Elementorum, at d
ad
c minor quàm d ad h per octauam eiuſdem, igitur minor d ad c,
quàm
d ad a b, igitur patet propoſitum.
Per 10. Pet.
Propoſitio trigeſima ſeptima.
Si plures homines, quorum nulli per ſe nauim mouere poſsint,
aut
pondus ferre ſimul iuncti eam moueant, aut pondus ferant,
erunt
illæ proportiones coniunctæ non productæ.
Co^{m}.
Cùm enim primus non poſsit mouere nec ſecundus, erunt pro­
portiones
minores æqualitate, Ideò per ſecundam partem præce­
dentis
multo minus mouerent duo, quàm unus.
Et ſi quatuor
1uerent unusque per ſe mouere non poſſet, adderetur ſi proportio
produceretur
, fieret minor, ergo minus mouerent quinque quàm
quatuor
ex ijſdem, quod eſt abſurdum.
Propoſitio trigeſima octaua.
Omne corpus tantùm reſiſtit motui contrario ſuo naturali quan
cum
mouetur occulto motu quieſcendo.
Com.
Sit a corpus quieſcens in pauimento b, & mouetur in eo occul­

to
motu uerſus centrum, ut ſuprà uiſum eſt, contra­
45[Figure 45]
rius
illi ſit motus ad c, ſi ergo a quieſceret in c moue­
retur
ad b occulto motu certa ui, ergo eadem reſtitit,
ne
traheretur ad c.
Manifeſtum eſt autem, quod hic

motus
occultus eſt minor manifeſto.
In commen.
26
. Propoſ.
Per 30. Pro
poſ
.
Cor^{m}.
Ex hoc patet cur naues & currus ab initio tardè & difficulter mo
ueantur
, ubi moueri cœperint motus augetur: quoniam reſiſtunt

per
motum occultum naturalem qui maximus eſt dum quieſcunt,
ut
etiam docebat philoſophus in mechanicis, nam motus ille natu­
ralis
eſt, & ideò contrarius uiolento: Ergo cum iam mouetur uio­
lenter
minus, mouetur naturaliter, igitur minus reſiſtit.
Declarabi­
tur
enim infrà quòd omne quod mouetur duobus motibus tanto

minus
uno mouetur quanto magis altero.
Queſt. 31.
Propoſ. 59.
Propoſitio trigeſima nona.
Ab æquali aut minore ui, quàm ſit impedimentum, non fit motus.
Sit a quod reſiſtat, ne ſurſum trahatur per decem, dico, quod non

ſurſum
trahetur neque à decem, neque minore: nam ſi impedimen­
tum
non eſſet, moueretur infra ut decem, ergo ſi traheretur ſurſum
per
decem tantum moueretur ſurſum, quantum deorſum, ergo quie­
ſceret
.
Si uerò à minore moueretur à maiore ui deorſum, quam ſur­
ſum
, ergo deorſum ſimpliciter non ſurſum.
Co^{m}.
Propoſitio quadrageſima.
Omne corpus ſphæricum tangens planum in puncto mouetur
ad
latus per quancunque uim, quæ medium diuidere poteſt.
46[Figure 46]
Sit corpus ad unguem ſphæricum a tan­

gens
planum b in puncto c (eſt enim hoc
neceſſarium
ex demonſtratis ab Euclide in
decimaſexta
Propoſitione tertij Elemento­
rum
) dico, quod mouebitur à ui, quæ poteſt
ſcindere
aërem.
Nam cum non aſcendat, nec
deſcendat
, ſed quaſi in circulo ad centrum
mundi
moueatur, pondus non affert.
Neque
ratione magnitudinis contactus, cum ſit in
puncto
ſolo, igitur remanet ſolum aëris
1
Co^{m}.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc liquet, quod oportet b planum eſſe ex duriſsima mate­
ria
, quæ nullo modo cedat, aliter tanget pluſquàm in puncto.
Cor^{m}. 2.
Vix fieri poteſt, utin elementaribus ſphæra tangat planum in
puncto
.
Vel quia planum non erit exactè rectum, uel non durum,
ut
prorſus non cedat, uel non ad æquilibrium poſitum, uel ſphæra
non
erit exactè rotunda.
Propoſitio quadrageſima prima.
Si fuerint duæ quantitates ſumaturque totius aggregatum maio­
ris
& minoris, quoties aggregatum minoris, & maioris, erit pro­
portio
confuſa maioris aggregati ad minus, minor quàm multipli­
cis
maioris ad multiplex minoris.
Co^{m}.
Sint duæ magnitudines a & b, & ſit a maior
47[Figure 47]
b
, & ſumatur exempli gratia a quater cum b ſe­
mel
, & b quater cum a ſemel, dico, quod propor
tio
(quam confuſam eſſe liquet) aggregati primi ad ſecundum, eſt

minor
quàm quadrupla.
Conſtat enim quod proportio quadru­
pli
a ad a eſt maior, quam b ad quadruplum b, cum una ſit quadru­
pla
, alia ſub quadrupla, igitur per uigeſimam ſecundam huius ag­
gregati
quadrupli a cum b ſemel, ad quadruplum b cum a ſemel mi

nor
, quàm quadrupli a ad a, & maior quàm b ad quadruplum b, &
eſt
pro intellectu Archimedis.
Ex 18. diff.
In 2. lib. de
A
tqui pon­
deran
.
P
ropoſ. 10.
Propoſitio quadrageſima ſecunda.
Trahentium nauim, ut ferentium pondera proportiones in ſe in­
uicem
, quomodo ducere oporteat conſiderare.
Co^{m}.
Hoc quomodo non poſsit fieri ſuprà docuimus, nunc etiam ge­

neraliter
dicam, cum conſiſtant hæc in duobus terminis, productio
uerò
præſupponit quatuor terminos, ut in prima propoſitione, aut
ſaltem
tres, atque in his medius habet rationem mouentis, & moti,
ergo
cum in huiuſmodi non ſint quatuor termini, nec tres, è quibus
unus
ſit mouens, & motum proportio non poterit produci.
Illud
etiam
patet exemplo, nam ſi eſſet lapis, aut nauis obſiſtens ut ſex, &
eſſent
homines uiribus ſinguli, ut quatuor cum dimidio, tres mo­
uerent
in proportione dupla ſexquiquarta perdicta ſuperius eo­
dem
loco, at ſi proportio duci poſſet aliquorum hominum nume­
rus
poſſet mouere in duplicata proportione ad unguem ſcilicet
5
1/16 ut eſſet uix hominum collectorum 30 3/8 at nullus eſt numerus ho
minum
qui collectus faciat hunc numerum, nam ſex homines ex­
plent
numerum 27, & ſeptem 31 1/2, & ideò non poteſt duci propor­
tio
.
Et ideò maximus eſt error dicendo decem homines mouent na
uim
proportione tripla, ergo triginta alij additis illis ſimiles robo­
re
mouebunt à proportione uiginti ſeptupla ſcilicet ducta
1pla in triplam. Sed ſumpta proportione alio modo producitur. Ve
lut
ſi dicam, homines decem mouent nauim, aut ferunt pondus pro­
portione
tripla, igitur quadraginta homines idem facient propor­
tione
duodecupla ſcilicet quadrupla in triplam ducta.
Cum ergo
addo
triginta homines, qui mouent in proportione nonupla, non
oportet
ducere nonuplam in triplam, ſed totum numerum accipe­
re
, & quam proportionem habet ad partem, tandem habet uis mo­
uens
ad uim mouentem.
Vnde ſi duo moueant in proportione ſex­
quialtera
, & ſex in proportione quadrupla cum dimidia, & iungan
tur
, ut fiant octo, non oportebit ducere ſexquialteram, in quadru­
plam
ſexquialteram, ſed cum octo ad duo ſit in proportione qua­
drupla
, ſumemus quadruplam ad ſexquialteram, quę erit ſexcupla,
& octo mouebunt, aut pondus gerentin proportione ſexcupla.
Propoſ. 37.
Propoſitio quadrageſima tertia.
Productionem ad additionem retrahere.
Co^{m}.
48[Figure 48]
Sit proportio a ad b dupla poteſtate li­
cet
ſint quinque homines, & ſint quindecim
homines
c, & habebunt ad b ſexcuplam
proportionem
per præcedentem.
Iuncta
ergo
a, & c per octauam huius mouebunt
b
proportione octupla, dico, quod ſi du­
xeris
proportionem c ad a plus uno.
i. qua­
druplam
in proportionem a ad b, quæ eſt dupla, proueniet eadem
octupla
.
Nam quia in coniunctione ſufficit iungere c cum a, & ſu­
mitur
ſecundum proportionem a ad b, igitur cum proportio a ad
b
comparata ad proportionem c & a ad b ſit, ſicut proportio c & a
ad
a, & proportio c & a ad a ſit, ſicut proportio c ad a, & a ad a, &
proportio
a ad a habet rationem unius, igitur proportio aggregati
c
a ad b eſt producta ex proportione c ad a plus monade in propor
tionem
a ad b, quod erat demonſtrandum.
Propoſitio quadrageſima quarta.
Si fuerit proportio motoris ad id, quod eſt maximum non mo­
uens
& ſpatium, & tempus, nota erit etiam reliquorum nota.
Sæpe contingit, ut quinque homines moueant nauim, & ſpatium
ad
tempus notum, & etiam cognitum maximum, quod mouere
non
poteſt.
Sit ergo a numerus hominum, b na­
49[Figure 49]
uis
, c maximum, quod non mouere poteſt, d
tempus
, e ſpatium, f motor alius ſiue numerus
hominum
notus, & g tempus, dico, quod h ſpatium notum erit, ſeu
notum g tempus, & h ſpatium, dico, quod erit f motor, ſeu numerus
1hominum notus. Quoniam ergo notum eſt a & c, quia eſt æquale
b
, igitur proportio a ad b nota eſt: ſed iuxta illam a mouet b in d
tempore
per e ſpatium, igitur per præcedentem, ut f ad a ita ſpatij
ad
e in d tempore.
Sed per eadem ut temporis d ad ſpatium illud,
ita
g ad h, ergo cum nota ſint d e f g erit etiam h, & ita conuertendo.
Propoſitio quadrageſima quinta.
Rationem ſtateræ oſtendere.
Co^{m}.
Archimedes nititur huic fundamento, quod pondera, quæ pro­
portionem
mutuam habent, ut diſtantiæ à libella a, quæ ſuſpen­
duntur
, æqualiter ponderant, ſit ergo libella a b, & ſuſpenſa in a cen
trum
mundi c, ad quod dirigitur pondus, & liquet, quod ipſum
non
ſe inclinabit ex uigeſima tertia propoſitione.
Si ergo ponantur
lo
co lineæ b d in e & f, & ſit proportio e b
50[Figure 50]
ad
b f, ut g ad h, dico, quòd erit æquili­
brium
, per eandem enim h mouebitur in k,
ſcilicet
ut perueniat in rectam a d, ſi enim
non
eſſet | ſuſpenſum h, moueretur in re­
cta
e h per eandem, quia ergo retinetur, mo­
uetur
per obliquam h k, & ſumatur in pro­
pin
quum punctum in b e, & n in æquali di­
ſtantia
in e f, quia ergo e b totum mouetur
eadem
ui in ſingulis partibus, quia a pon­
dere
h, & in h mouetur per h k in m per m
p
, ergo qualis eſt proportio magnitudinis h k ad m p, talis eſt uis
in
m p ad uim in h k, & ita in b erit penè infinita: quia quanta ui ex­
tenditur
ex h in k tanta puncta b, ſe circumuertit ergo propor­
tio
hypomochlij ad ſpatium, uelut roboris ad robur, at eadem n o
ad
h k, eſt enim n o æqualis m p, & n b, & b m æquales, ut uerò g ad
h
, ita e b ad b f: ergo ut e b ad b f, ita uirium n o ad h k, ut igitur g ad
h
, ita uirium m p ad h k: ut etiam g l ad n o, ita uirium f b ad n b.
nam idem pondus ſcilicet g mouet totam b f, igitur ut g ſe habet

ad
n o, ita h ad m p, ſed m p & n o ſunt æquales, ergo tanta eſt uis g
in
f, quanta h in e.
Per 9. quin­
ti
Elem.
Cor^{m}. 1.
Ex quo patet, quod hypomochlion moueretur infinita ui, ſi poſ­
ſet
eſſe punctus: ſed quia in extrema ſuperficie cylindri, ideò poteſt
aliqua
ui retineri.
Cor^{m}. 2.
Et ſi quis poſſet capere haſtam in extremo puncto, non poſſet
eam
mouere, etiam quod haberet robur infinitum, quia ab æquali
non
fit motus per trigeſimamnonam propoſitionem.
Cor^{m}. 3.
Et libella nihil retinet niſi quantum eſt pondus eius quod
1pit ad centrum peruenire, & pondus ei appenſum non prohi­
bet
motum, etiam ſi eſſet infinitum, niſi quatenus non uult recede­
re
ex directo centri mundi: & ut grauat hypomochlion faciens im­
preſsionem
.
Cor^{m}. 4.
Et ſi terra tota eſſet appenſa polo, moueretur magna ui: quoni­
am
uis eadem eſt in polo, quæ in circulo toto æquinoctij.
Cor^{m}. 5.
Et rota, quanto uelocius mouetur in ambitu, tanto mi
norem
habet uim: ſed propter aërem, qui ſecum circum­
51[Figure 51]
fertur
, mouetur magno impetu, & magnas facit læſiones.
Ideò hoc in cono non accidit.
Cor^{m}. 6.
Ex quo patet ratio eleuandi pondera magna per tra­
bem
, ut à latere uides.
Propoſitio quadrageſima ſexta.
An ſit aliqua proportio, & qualis inter animam, & ui­
tas
, & ſua corpora conſiderare.
Co^{m}.
Declarauimus motum cœli eſſe uoluntarium, obſequente cœ­
lo
per uirtutem in eo infuſam.
In animalibus autem, & præcipuè
in
homine notius eſt hoc experientibus nobis in ipſis: ſed motus
hic
, ut dixi ſupra, miſtus eſt, ille uerò cœleſtis ignotior eſt.
Certum

tamen
eſt plenè obſequi cœlum uitæ, nec prorſus repugnare.
So­
let
Ariſtoteli imponi, quòd ſi adderetur aſtrum cœlo, quòd cœlum
aut
quieſceret, aut tardius moueretur: quod eſt, ac ſi diceremus,
quòd
homo paruus ſi fieret maior, non eſſet adeò agilis, tanquam
motus
ille eſſet ab externa cauſa.
Imò perinde eſſet, ac ſi quis dice­
ret
, quod lapides magni minus uelociter deſcenderent, quam par­
ui
.
Quin potius ut lapis magnus uelociùs mouetur: quàm par­
uus
naturali motu, & tardius præternaturali, ita cœlum motu uo­
luntario
, ſi ita dici poſſet æqualius & maiore cum efficacia, quan­
to
denſius.
Et ita ſi Ariſtoteles illud dixiſſet, oſtendiſſet magnam
imperitiam
.
Ideò quale iudicium debemus facere de Alexandro, &

Aueroe
, qui hoc ei tribuunt.
legitur enim in textu Arabico tale quip­
piam
.
De Animalibus forſan poſſet hoc dici, quoniam, ut ſuprà dixi­
mus
, motus ille miſtus eſt.
Remanet ergo difficultas, quoniam ſi mo­
tus
iſte non à proportione fit, quare non eſt infinitus?
& dico quae in
animalibus
tres ſunt cauſæ, una, quia eſt miſtus, & habet repugnan
tiam
: ſecunda, quia eſt de loco ad locum, motus autem cœli eſt in lo
co
: tertia eſt communis etiam cœlo, et eſt, quoniam non eſt ratio finis.
Natura enim diuina non appetit mouere tam celeriter. Quid eſt ergo
proportio
, cum ſit ultimum uoluntatis uitę, ut obtemperet primæ cauſæ,
ideo
illud eſt ultimum, mouet.
Eſt aut idem uelle, & poſſe. In natura
1enim cœli eſt ille appetitus, cuius principium eſt uita: & eíus uolun
tatis
bonum ipſum.
Et ideo hæc proportio non diuiditur. In anima­
libus
autem non eſt uis illa niſi, cum proportione, quia primum in­
ſtrumentum
, quod recipit, & eſt ſpiritus uim habet determinatam,
cum
ſit uirtus in materia: ideo non mouet niſi cum certa proportio­
ne
, uelut lumen in medio in ſe non habet proportionem niſi ad lu­
cem
, ſed ut eſt in illo, poteſt eſſe remiſſum, obſcurum & hebes.
Quæ­
ritur
ergo quantitas illius?
ſi dicas, quòd eſt à luce: quæro quanti­
tas
lucis, unde ſit?
forſan dicendum, quòd uelutin motibus, quanto
denſiora
ſunt corpora tanto mouentur maiore nixu, & robore.
Nam
calor
in materia augetur iuxta illius quantitatem: idem in luce, &
reliquis
.
Dico ergo proportionem eſſe infinitam: nam ſi corpus eſ­
ſet
infinitum & optimè diſpoſitum infinita ui moueretur & agili­
tate
, ut enim maius eſt eo maiores uires habet.
Propoſ. 27.
Tex. 71.
2
. de Cœlo.
Propoſitio quadrageſimaſeptima.
Si duo mobilia æqualiter in eodem circulo iuxta proprios mo­
tus
moueantur, productum temporis circuituum inuicem erit æ­
quale
producto differentiæ temporum circuitus ductæ in tempus
coniunctionis
primæ.
Co^{m}.
Sint duo mobilia a & b in eodem pun­
52[Figure 52]
cto
, quæ æqualiter uerſus eandem partem
moueantur
æqualibus in temporibus, inui
cem
tamen in æqualiter, ita quod a in f & b
in
g temporibus abſoluant circulum, & ho
rum
differentia ſit h.
Dum itaque a perficit
circulum
b perueniat in c, igitur c d b eſt dif
ferentia
, quæ ſuperanda eſt, & proportio
circuli
ad b c ut g ad f, quare reliqui ad reli­
quum
, ut reſidui ad reſiduum, ſcilicet circu­
li
ad c d b, ut g ad h, & b c ad c d b ut f ad h, coniungantur igitur in k
tempore
, eruntque k f g h omiologa, ut productum ex circulo in b c
diuiſo
per certam quantitatem & cum circulo & b c & c d b diffe­
rentia
, & ſit ſ productum ex f in g, dico quod diuiſa ſ per h exibit k
tempus
coniunctionis primæ, ſit itaque d locus coniunctionis, dico
igitur
quod differentia ſpatij pertranſiti a b, a & a, b in reditu ex con
iunctione
prima ad d eſt unus circulus completus, non enim poſ­
ſunt
eſſe plures, nam ſequeretur, quòd a aliquando pertranſiſſet b,
et
ſic non eſſet prima coniunctio, nec poteſt eſſe minus, nam ſic cum
a
& b ſint in d ultra perfectas circulationes uterque eorum pertran
ſiuit
arcum b c, igitur nullo modo differentia poteſt eſſe minor cir­
culo
, neque maior, ut declaratum eſt, igitur eſt unus circulus ad
1guem. Hoch declarato ponatur m spatium compositum ex circulis
pertranſitis
a b a cum ſpatio b d, etenim ſpatium, quod pertranſit
b
a coniunctione in a, ad coniunctionem primam in d, & erit ex de­
monſtratis
horum differentia circulus qui uocetur o, & ſit p ſpa­
tium
, quod pertranſit b in tempore eodem, in quo a pertranſit o, &
ſit
q differentia o, & p quę in circulo eſt c d l b, quia igitur in eodem
tempore
a pertranſit m & b, n, erit m ad n, ut a ad b, & eadem ratio­
ne
a ad b, ut o ad p, igitur ex undecima quinti Euclidis m ad n, ut o
ad
p, quare cum o ſit differentia m & n, & q, differentia o & p erit ex
decimanona
quinti Euclidis, m ad o, ut o ad q, & ita circulus eſt ana
logus
inter ſpatium pertranſitum à motore uelociori, & inter diffe­
rentiam
ſpatij quæ accidit, dum uelocior motor pertranſit circu­
lum
, id eſt quòd circulus a c d eſt analogus inter c d l b, & circulos
pertranſitos
a b a cum portione b d.
Reuertor igitur ad propoſi­
tum
, cum ſit m ad o, ut o ad q, & m ad o, ut n ad p, ex ſexta decima
quinti
Euclidis, erit ex undecima eiuſdem n ad p, ut o ad q, quare ex
ſexta
decima ſexti Elementorum ducto o, id eſt circulo, ſeu maiore
numero
in p ſpatium pertranſitum a b, ſeu ducto fin g, & diuiſo per
q
differentiam ſpatiorum, ſeu per h exibit n, ſeu ſpatium quod
pertranſit
b ab una coniunctione ad aliam quod erat demon­
ſtrandum
.
Co^{m}.
Ex hoc patet, quod proportio temporis coniunctionis ad tem­
pus
tardioris motus circuitionis eſt ueluti temporis circuitus uelo
cioris
motoris ad differentiam temporis motus tardioris, & uelo­
cioris
motoris in uno circuitu.
Propoſitio quadrageſima octaua.
Si tria mobilia ex eodem puncto diſcedant, fuerintque duorum, ac
duorum
coniunctiones in temporibus commenſis illa tria mobi­
lia
denuò coniungentur in tempore producto ex denominatore di
uiſionis
temporis maioris per minus in minus, aut numeratore
in
maius.
Co^{m}.
Sint tria mobilia a, quod circuat in duobus annis b in quinque,
c
in ſeptem.
Dico quod primum redibunt in numero producto ex
ſeptem
quinque & duobus, qui ſunt numeri primi, & erit ille nume­
rus
ſeptuaginta annorum.
Nam in ſeptuaginta annis a perficiet tri­
ginta
quinque reuolutiones b quatuordecim, c decem: ergo redibunt
per
perfectos circuitus ad idem punctum.
Oſtendo modo quod
non
ante: nam ſi ſic: ſit, ut in triginta quinque annis igitur b & c per­
ficient
perfectos circuitus, ergo redibunt ad idem punctum, a autem
non
redibit, quoniam eius circuitus non numerat trigintaquinque
aliter
non fuiſſet ſeptuaginta minimus numeratus ab a b c, cum
1ergo iam ſupponatur numerari a b & c non numerabitur a b a, er­
go
a non perficiet circuitus, ergo non redibit ad primum locum, ergo
non
erit iunctus cum b & c.
Quod ſi dicas a b c coniungi in decem
ſeptem
annis numero non numerato ab ali
53[Figure 53]
quo
illorum temporum, auferantur perfe­
ctæ
circulationes, & remanebunt dimidium
ex
a, duæ quintæ ex b, tres ſeptimæ ex c, igi­
tur
oportebit ut portiones ſint æqua­
les
, ut poſt perfectas circulationes in idem
punctum
, conueniant, ergo 1/2 & 2/5 & 3/7 æqui­
ualebunt
, quare proportio 7 ad 3 & 5 ad 2
& 2 ad 1, eſt una, quare permutando 3 ad 2
ut
7 ad 5, ſed 7 & 5 ſunt contra ſe primi, ergo in ſua proportione mi
nimi
per dicta in ſeptimo Elementorum: ergo tria, & duo non ſunt
in
eadem proportione.
Rurſus dicantur conuenire in annis qua­

tuordecim
cum dimidio, ergo in uiginti nouem conuenient ite­
rum
: ergo per ſecundam partem erit ſeptem ad unum, ut duo ad
unum
, igitur permutando unius ad unum, ut ſeptem ad duo, ſed
unum
eſt æquale uni, ergo duo erunt æqualia ſeptem.
Rurſus dica­
mus
, quod in tempore annorum <02> quadrata decem ſimiliter aufe­
ram
integras reuolutiones, quas potero, & erunt <02> 2 1/2 m: 1, & <02> 2/5 &
<02> 10/49 æqualia.
Hic uides infinita ſequi in conuenientia, quæ longum
eſſet
numerare, nam ſeptem eſſet æquale quinque, & proportio reciſi
ad
potentia rethe, ut numeri ad numerum.
Igitur non conueniunt
ante
ſeptuaginta annos.
Propoſ. 23
Cor^{m}. 1.
Ex hoc ſequitur, quòd nullibi conuenient præterquàm in eo­
dem
puncto, ſcilicet in quo ab initio coniuncti fuerunt.
Corm. 2.
Sequitur denuo ex propoſitione ipſa repetita, & primo corrola­
rio
, quod nullibi alibi conuenient quàm in dato primo puncto, in
quo
coniuncti fuerant ab initio etiam uſque in æternum.
Sit rurſus ut a circuat in annis duobus cum dimidio, b in tribus
cum
tertia parte, cin quatuor cum quarta parte ducam per ſuos
denominatores
, & erit ut a in quinque annis.
b in decem, c in decem­
ſeptem
circuant, & redeant ad idem punctum, & quia quin que nu­
merat
decem, & decem, & decemſeptem ſunt numeri inuicem pri­
mi
, ducam decem in decemſeptem fiunt centum ſeptuaginta.
Con­
ſtat
igitur c quadragíes, b quinquagies ſemel, a ſexagies octies cir­
cumuerti
, & redire ad idem punctum: ergo rurſus coibunt poſt tot
annos
in eo, dico modo, quod non ante: nam ſi non ſit, ut in trigin­
ta
tribus annis.
gratia exempli, aufero decemſeptem, decem, & quin­
que
, & relinquentur ſexdecim tria & tria, & rurſus ex ſexdecim tres
1circuitus c, & relinquentur 3 3/4 ſequetur igitur, ut ſit proportio 17 ad
13
, & 2 1/2 ad 1/2 & 3 1/3 ad 3 eadem, & ita 17/13, 5/2 & 10/9 eadem ſi iam ſupponi
mus
17 & 10 eſſe primos inuicem, ut in ſecunda demonſtratione./>
Igitur ſequuntur eadem corrolaria, quæ dicta ſunt.
Propoſitio quadrageſima nona.
Propoſito mobilis in circulo circuitus tempore, dataque ratione
diſtantiæ
ab illo mobilis circuitum inuenire, quod ex eodem pun­
cto
diſcedens cum alio mobili in dato puncto conueniat ſub quo­
cunque
numero circuituum tempus quoque coniunctionis.
Co^{m}.
54[Figure 54]
Sit in circuli peripheria a punctus, qui cir
cuat
æquali motu (hoc enim ſemper intel­
ligitur
) in b tempore: & ſit datus punctus c
in
quo diſcedens e mobile ex coniunctio­
ne
cum a poſt certos circuitus proprios,
aut
etiam.
ſine ulla circuitione perfecta de­
beat
conuenire.
Volo ſcire tempus circui­
tionis
e: & etiam tempus coniunctionis.
Sit ergo primum ut abſque circuitione ulla e, a debeat comprehen­
dere
e in c poſt numerum circuitionum ipſius a, qui ſit f.
nam ſi a o c
currit
e in prima circuitione ipſius e, igitur a mouetur uelocius
quàm
e, cum ergo debeat attingere ipſum e, neceſſe eſt ut a pertran­
ſeat
prius per punctum ex quo diſceſsit antequam redeat ad con­
iunctionem
e: ergo perficiet ſaltem unam circuitionem.
Ducemus
ergo
f in b, & fiet g tempus circuitus aut circuituum a, & quia ſpa­
tium
a c datum eſt, ſit b temporis circuitus a ad h, uelut circuli to­

tius
ad a c, & iungatur g cum h & fiat k.
Fiat quoque, ut monadis
ad
h, ita l ad monadem, & ducatur l in k, & fiat m: dico m eſſe tem­
pus
circuitus e.
Conſtat enim ex ſuppoſito, quod k eſt tempus to­
tum
in quo a peruenit poſt b circuitiones in c, ſi ergo e moueretur
per
m tempus totum ex ſuppoſito perficeret circuitum, at quia cir­
cuitus
ad a c, ut monadis ad h, igitur etiam ut l ad monadem, ergo
proportio
circuitus ad a c, ut m ad monadem: ergo ſi in m tranſit to
tum
circuitum in monade tranſit a c: ſed monas ducta in k facit k,
igitur
e in tempore k perueniet in c, quod erat demonſtrandum.
Proponatur modo tempus reuolutionum e ipſum d: eodem mo­

do
agemus ducendo fin b fit g, addatur h & fiat k, diuidatur k per
aggregatum
d & a e, & exeat m, (idem enim eſt diuidere per aggre­
gatum
d & h, & multiplicare per l) dico ergo ut in demonſtratione
priore
, quod m eſt tempus circuitus e.
Nam cum k ſit tempus, in
quo
a poſt circuitus f peruenit ad c, ergo diuiſo ipſo toto tempore
1per numerum reuolutionum d, & partem reuolutionis exibit tem­
pus
unius reuolutionis.
Per 10. Pet.
Per 11. Pet.
Exemplum primi in re paulò obſcuriore: ſit f 4 & b 2 1/2 & a c 4/5, du
cemus
4 in 2 1/2 fit 10, adde 4/5 6 quod eſt 2 fit 12, diuide per 4/5 ſeu mul­
tiplica
per 5/4 quod idem eſt, fit 15 circuitus e, in quatuor ergo circui­
tibus
, & 4/5 qui ſunt duodecim anni perueniet a ad c, & in duodecim
annis
e perueniet ad c, nam 12 ſunt 4/5 ipſius 15. Similiter in ſecundo
caſu
ſit f 4 ut prius b 2 1/3 a c 1/7, ducemus 4 in 2 1/3 fit 9 1/3, addemusque h
portionem
b qualis a c eſt totius circuitus, id eſt 1/7, eſt autem 1/7 2 1/3, 1/3
fient
9 1/3, ſimiliter ponatur d 5, & quia a c eſt 1/7 erunt 36/7, diuide ergo
9
2/3 id eſt 29/3 per 36/7 exeunt 203/108 tempus reuolutionis e.
Quin que ergo
reuolutiones
e erunt 1015/108 addita ſeptima parte, quæ eſt 29/108 fient 2044/108
ſeu
261/27, & ſunt anni 9 18/27 ſeu 9 2/3, ergo in tanto tempore a faciet qua­
tuor
circuitus, & ſeptimam partem, & e quinque circuitus, & ſe­
ptimam
.
Com./>^{m}.
Ex hoc patet, quod non coniungentur in alio loco, neque alio tem
pore
ante prædictum tempus.
Propoſitio quinquageſima.
Omnes circuituum portiones in eiuſdem temporibus repetuntur.
Sint in circulo a b c d e f g: a & b iuncta, & in primo congreſſu
iungantur
in c, in ſecundo in d, in tertio in e, in quarto in f, in quinto
in
g, in ſexto in h, in ſeptimo in k, in octauo in l.
Et ſic deinceps cuique
tempora
ſint æqualia, erunt & circuitus totidem numero, & exceſ­
ſus
æquales etiam a c, c d, d e, e f, f g, g h, h k,
55[Figure 55]
k
l.
Et ſi aggregatum a ſcilicet circulorum,
& portionis fuerit commenſum circulo, &
ita
de b erunt omnia commenſa ad circulum,

& etiam inter ſe.
Et ſi inter ſe aggregata, uel
portiones
erunt, & eodem modo reliqua.
Et quoniam circuli circulis commenſi ſunt:
ſi
portiones erunt inuicem commenſæ erunt,
& toti circuitus cum partibus commenſi, &
ſi
non commenſi, neque erunt inter ſe, neque ad circulum.
Et ſi totum
ſpatium
cum circuitibus erit unius generis, erunt duplicata, & tri­
plicata
, & quadruplicata eiuſdem generis: quare cum ſpatia ipſa
detractis
circuitibus uelut rhete habeant naturam reciſi, & ſpatia
ipſa
tota ſint eiuſdem generis, erunt ſpatia, quæ relinquuntur eiuſ­
dem
generis.
Erunt tamen incommenſa neceſſariò, ſi partes fuerint
incommenſæ
toti.
Ponatur a c incommenſa toti circulo dico, quod
a
k etiam eſt incommenſa toti circulo: & etiam a k, & k c.
Quia enim a c
eſt
incommenſa circulo, & k a cum toto circulo ſemel eſt
1ſa a c, quia multiplex ei. igitur cum circulus, & a k diuidantur in cir­

culum
et a k, & circulus ſit incommenſus circulo, cum a k erit aggre
gatum ex circulo, & a k incommenſum ipſi a k, & a k pariter incom

menſa
circulo.
Rurſus quia a k eſt incommenſa circulo cum a k, &
circulus
cum a k ſit multiplex ad a c, erit a k incommenſa a c, quare

erit
c k incommenſa a k & a c, & circulo ad dita a k.
Si ergo a c ſit
commenſa
circulo, erunt omnes portiones e genere numeri, & ſi

potentia
rhete erunt omnes, uel potentia rhete, uel circulis detra­
ctis
, ut a k & a l reciſa: & a c ſit potentia ſecunda rhete, id eſt radix cu
bica
erunt omnes c d, d e, e f, potentia ſecunda rhete, et radices cubi­
numeri, ſeu latera corporum rhete, a k uero & a l, & huiuſmodi
in
infinitum reciſa potentia rhete.
Per Cor^{m}.
præcedentis.
Per 14. deci
mi
Element.
Per 17.
eiuſdem.
Per 14.
rurſus.
Per 17.
rurſus.
Cor^{m}.
Ex hoc patet, quod cum circulus poſsit diuidi in infinita gene­

ra
quantitatum, quæ non ſunt inuicem commenſæ cumque coniun­
ctiones
ſemper in eodem genere maneant, quod infinita pun­
cta
, & infinitis in ſpeciebus quantitatum remanebunt in quibus a
& b in perpetuum nunquam conuenient.
Velut ſi coniunctio pri­
ma
fiat in <02> cu.
1/2 alicuius circuli, nunquam conuenient, neque in me­
dietate
, neque in quarta parte, nec octaua, nec tertia, nec ſexta, nec no­
na
, nec quinta, nec decima, & ſic de ſingulis in genere commenſa­
rum
toti circulo.
Neque in <02> quadrata 1/2 uel 1/3 uel 1/5 neque <02> 1/6 uel 1/20,
neque
in <02> 3 m: 1, nec 2 m: <02> 3 nec in <02> <02> 2 aut 3 aut 7 nec in <02> rela­
ta
alicuius numeri, nec in 2 m: <02> <02> cub.
3 nec 2 m: <02> cub. 4, & ſic
de
alijs.
Per penulti­
mam
uigeſi­
mi
Element.
Propoſitio quinquageſima prima.
Operationes dictas exemplo declarare.
Cor^{m}.
Supponamus in circulo prædicto a c <02> 7 conſtat, quod eſſe non
poteſt
, quia <02> 7 eſt maior monade, ideo toto circulo, quare non po
terit
eſſe pars circuli, ſed referetur ad quantitatem certam, uelut quod
circulus
ſit 10. ſemper ergo diuidemus <02> 7, ſeu eam portionem per
10
quantitatem circuli & exibit <02> 7/100, & hæc erit portio circuli, & ita
ſi
portio ſit <02> cub.
16, diuidemus <02> cub. 16 per 10 exibit <02> cu 2/125, &
ita
de alijs.
Sed cum ex repetitione creſcat portio illa, donec exuperet mo­
nadem
, aut aliquem quemuis numerum detracta monade aut nu­
mero
circuituum habebit rationem reciſi.
Velut <02> 7/100 quater ſum­
pta
efficit <02> 112/100. Et hoc eſt potentia rhete, ſed ſi quis auferat mona­
dem
fiet <02> 112/100 m: 1, & hoc eſt reciſum 1, ſcilicet 1 p: <02> v: 23/25 m: <02> 28/25, ſed ta
men
uerè eſt linea media.
Quod uerò non contingat coniungi in alio loco, neque tem­
pore
ſit, ut a b iungantur in c, & ſit reuolutio a triplex integra, & b
1ſexcuplex, & tempus totum decem annorum: ita ut a c ſit tertia
pars
circuitus, & a circuitus tres anni, & quia circuitus b ſunt ſex
cum
tertia, diuidemus decem per 6 1/3 exit
1
11/29, dico quod non prius, neque in alio
56[Figure 56]
puncto
.
Si enim primùm in eodem pun­
cto
, &, gratia exempli, in quatuor annis
congruit
enim, & b dicamus quod per­
egerit
duas reuolutiones cum tertia, hoc
enim
eſt neceſſarium, ſi debet perueni­
re
ad c, & erunt anni tres, & 23/19, non ergo
anni
quatuor.
Cum enim tempora di­
uerſa
diuiduntur per numeros haben­
tes
proportionem erunt, qui prodeunt

numeri
in eadem ratione.
Diuiſo ergo
10
per 1 11/19 exit 6 2/3, & diuiſo 4 per 1 11/19 exit
2
8/15, igitur 6 1/3 ad 2 8/15, ut 10 ad 4, igitur 8/25
non
poteſt eſſe æquale 1/3. Si enim per
præcedentem
repetuntur, ergo non poſ­
ſunt
redire, donec iterum coniungantur in ipſo a.
Si enim aliter ſit
ut
ex e, igitur e c eſt æqualis a c pars toti, quod contingere non po­
teſt
.
Sin uerò coniunctio fiat in d, igitur per præcedentem d e eſt
pars
a c ſubmultiplex quomodolibet, quare non fuerunt aſſum­
pti
primi numeri.
Veluti in exemplo conſtituimus, quod a, & b
conueniunt
in c in decem annis, & a c eſt tertia pars circuitus: er­
go
in triginta annis conueniunt in a, & in quadraginta rurſus in c.
ſi
ergo quis aſſumpſiſſet quadraginta annos ab initio pro con­
greſſu
, & diuiſiſſet per 1 12/19 exiret 25 1/3, & ſi per 3 exiret 13 1/3, & mani­
feſtum
eſt, quod uterque numerus poteſt diuidi per eundem nu­
merum
, utpote 4 & exit numerus cum eadem parte ſcilicet 6 1/3 &
3
1/3 ergo conuenient ante, non ergo aſſumpſiſti minimos in ea pro­
portione
.
Illi autem nequaquam amplius diuidi non poſſunt eo­
dem
modo.
Decem Quatuor 3 3 1/3 1 11/19 2 8/15) 1 11/19 6 1/3
Propoſitio quinquageſima ſecunda.
Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo, & duo
conueniant
in partibus in commenſis inter ſe, in perpetuum in nul­
lo
unquam puncto conuenient.
Co^{m}.
Sint a b c iuncta, & primo iungantur a & b, iterum in d & b, &
c
in e, & ſint a d, a e incommenſæ, dico quòd a b c nunquam con­
uenient
in aliquo puncto, ſeu primo, ſeu alio à primo: ſi non con­
157[Figure 57]
ueniant
in f, erunt ergo in g tempore re­
uolutiones
integræ, & portio a f inſuper.
Et quia conſtituuntur per congreſſus
b
cum a, & ſunt ſpatia a d, & b cum c, &
ſunt
ſpatia e f, igitur ſpatium a f erit ex ge­
nere
quantitatis a d, & a e per quinqua­
geſimam
, harum ergo erunt commenſæ:
quod
eſt contra ſuppoſitum.
Et harum
propoſitionum
principium eſt traditum
à
Campano Nouarienſi Euclidis expoſitore, in quodam libello
non
edito qui diligentia patris mei Facij ad me peruenit.
Propoſitio quinquageſima tertia.
Circulorum ſe in aduerſum mouentium proportionem declarare.
Co^{m}.
Sit orbis a b cuius cen­
58[Figure 58]
centrum
c, manubrium c
d
f e, ſeu uero tangat circu
lum
g, ſeu more gemmas
ſculpentium
aligetur al­
teri
orbi funiculo a l b, &
ſit
in uertice axis k m or­
biculus
ſolidus aut ſemi­
circulari
forma m, dico
quod
proportio motus a
b
ad motum m eſt produ
cta
ex duabus proportio­
nibus
c n ſemidimetientis,
& ſemidimetientis m ad k
o
, quare ut rectanguli c n
in
dimidium dimetientis
m
ad quadratum o, ut enim a b ad ol orbem, id eſt peripheriarum ita
c
n ad o k, quoniam o l mouetur toties in una circuitione a b, quo­
ties
peripheriam o l continetur in peripheria a b, ergo quoties o k con­
tinetur
in c n toties in una circuitione a b o l circumuertitur, ſed
quoties
circumuertitur ol, toties etiam m, quia uterque mouetur eo­
dem
circuitu k m axis, ergo quoties m circumducitur in circuitu a
b
toties o k continetur in c n, ergo ſi fiat comparatio ſemidiametri
m
ad c n, erit producta proportio circuitus a b ad circuitum m ex
proportione
c n ad o k, et ſemidimetientis m ad idem o k, ergo per 26
proportio
numeri circuitus unius p alterum eſt, ut rectanguli ſub c n,
& ſemidimetiente m ad quadratum k o, quod erat demonſtrandum.
Manifeſtum eſt autem ex ipſa ſola conſtitutione, quod ſi a b mo­
1uetur ſurſum à dextro in ſiniſtrum in inferiore parte, mouebitur à
ſiniſtro
in dextrum, & uterque circulorum g & k in ſuperiore parte,
& in inferiore mouebitur contrario motu, ſcilicet in ſuperiore à ſini
ſtro
in dextrum, & inferiore à dextro in ſiniſtrum, illi uerò duo or­
bes
ſimili motu mouebuntur tam in parte ſuperiore, quàm inferio­
re
, & proportio motuum eorum inter ſe erit uelut dimetientium
eorundem
.
Cor^{m}. 1.
Cor^{m}. 2.
Rurſus cum a b circumuertatur cum manubrio c d f e, tanto uelo
cius
circumuertetur, & in ea proportione, qua d f continetur in c n,
& in eodem tempore, in quo manubrium circumuertitur in eodem
axis
circumuertitur, & orbis, ut dictum eſt, ergo in eodem tempo­
re
, in quo axis circumuertitur in eodem orbis: ergo tanto tardius
uidebitur
moueri axis ipſo orbe, quanta eſt proportio minoris in
æqualitatis
ipſius axis, ſeu ambitus, ſeu ſemidimetientis ad ambi­
tum
, ſeu ſemidimetientem orbis.
Propoſitio quinquageſimaquarta.
Proportio circuli ad ſuum diametrum per ſimilitudinem eſt quar­
ta
pars peripheriæ.
Rurſusque eiuſdem circuli ad peripheriam diame
tri
quarta pars.
Co^{m}.
Quoniam enim ſuperficies circuli, ut ab
59[Figure 59]
Archimede
demonſtratum eſt, fit ex dimi­

dio
diametri in dimidium peripheriæ erit, ut
eadem
fiat ex tota peripheria in quartam par
tem
diametri, & ex tota diametro in quar­
tam
partem peripherię.
ergo proportio areę
circuli
ad diametrum per ſimilitudinem

eſt
quarta pars peripherię, & proportio areę
ad
peripheriam eſt quarta pars dimetientis, quod erat probandum.
Per 16. ſex
ti
Element.
Per 2. diff.
Propoſitio quinquageſima quinta.
Proportionem medicamentorum per ordines ſuppoſita æquali
proportione
in ordinibus per quantitates, & proportiones de­
monſtrare
.
Co^{m}.
Galenus libro quinto de Simplicibus medicamentis, quem ſe­

quuti
ſunt alij medici, ponit quatuor ordines medicamentorum iux­
ta
qualitates calidi, frigidi, ſicci, & humidi, & primus eſt cum medi­
camentum
non ſentitur quale ſit licet operetur, uelut camęmelon, ab­
ſynthium
, & oriza: ſecundus eſt, cum ſentitur, ſed non lædit, ut nux
myriſtica
, ſaluia, ozimum: tertius eſt cum ſentitur, & lædit, ſed
non
deſtruit, neque corrumpit corpus, uelut aſſarum apium ſta­
phiſagria
, cappares, myrrha, ruta: quartus eſt, cum deſtruit ue­
lut
pyretrum, piper, euphorbium cæpe aggreſte, & ſinapis,
1momum autem, & gingiber numerantur inter medicinas calídas
tertij
gradus, & hoc opus comparatur ad corpus ſicut dicit Gale­
nus
, & Serapio non ad linguam, ut medici noſtri temporis interpre
tantur
.
Ex quo patet, quod aliqua medicina poterit eſſe quarti ordi
nis
, & non lædere linguam in guſtu, & alia tertij ordinis, quæ non
ſolum
lædet linguam, ſed ſenſum eius corrumpet, et deſtruet, quod
contingit
propter ſubſtantiam tenuem craſſæ miſtam cum ſiccitate
pari
ipſi calori.
Sed non oportet hęc nunc tractar, enon ſolum quia
non
ſit locus, ſed etiam quòd confuſa ſit per ſe ipſa materia abſque
eo
, quod difficultatem difficultati addamus, ſolum ergo eas dubita
tiones
adiungemus, quas uolentes declarare propoſitionem præſen
tem
, neque ſuperfugere, neque declinare poſſumus.
Nam de ſicco,
& humido, cum ſint longè minoris actionis, quàm calidum, & fri­
gidum
, & præcipuè humidum, non uideo quomodo poſsit Gale­
nus
ſtatuere medicinam humidam tertij gradus, nedum quarti,
cum
non poſsit inueniri medicina, quæ deſtruat corpus noſtrum
propter
humidam qualitatem.
Et licet Serapio poſuerit gingiber

& enulam & zelim in tertio ordine calidorum & humidorum: &
inter
frigidas, & humidas in tertio portulacam, aizoum, & uirgam
paſtoris
, & fungos.
Primum non auſus eſt ponere medicinas ullas
calidas
, aut frigidas in quarto ordine, quę ſint humidæ.
ſecundum,
quando
dicit medicinas calídas, aut frigidas, atque humídas in ter­
tio
ordine, intelligit ſolum de qualitate actiua ſcilicet caliditate, uel
frigiditate
, & non de humida qualitate, quod oſtendit de gingibe­
re
, & enula, dicens, quod ſunt calidæ in tertio ordine, & humidæ
humido
crudo, non auſus addere ordinem, quia non uídit ratio­
nem
, qua poſſent dici humidæ in tertio.
Et clarius in capite de zei­
len
, quem ſtatuerat inter medicinas calidas, & humidas in tertio, di
cit
quod eſt calida in tertio, & humida in primo, ergo non intelligit
per
medicinas calidas & humidas in tertio ordine, quod ſint humi­
in tertio ordine.
Clarius etiam de frigidis & humidis, nam por­
tula
cam dicit eſſe frigidam in tertio, humidam in ſecundo, & quod
maius
, eſt cum collo caſſet aizoum inter medicinas frigidas, & hu­
midas
in tertio ordine, dicit, quod eſt frigidum in tertio ordine, ad­
ijcit
, quod eſt ſiccum parum, & de uirga paſtoris nihil dicit de hu­
mido
, ſed dicit, quod aſtringit, ex quo concludo, quod ſecun­
dum
mentem Serapionis nulla eſt medicina humidior portulaca,
etiam
uidetur innuere de fungis, ſatis eſt quod non excedunt ſecun
dum
ordinem in humido neque calida neque frigida, ſed frigida ſunt
humidiora
, ut fungi, & portulaca, quia frigiditas in generatione
humidum
magis admittit, quàm caliditas, & calida magis hu
1mectant, quia magis penetrat uis medicamenti, & hæc regula de
humido
, & ſicco eſt generalis apud Serapionem, quod non intelli­
gitur
ordo in paſsiuis, niſi ſpecialiter exprimatur, nam de ſiccitate
non
nego, quin inueniantur medicinæ ſiccæ in tertio, & forſan in
quarto
ordine, ſed de hac Galeni oſcitantia, quæ in illo peculiaris
eſt
dum uult ſequi ſuas methodos ſine alio diſcrimine, medicis con
ſiderandum
relinquo.
Cap. ult.
Cap. 336.
337
. &
338
.
Secunda difficultas eſt maior, & magis pertinet ad nos, & eſt,
quòd
non declarauit an iſti ordines inter ſe aliquam proportionem
ſeruarent
, an omnino nullam, ſi enim nulla proportio ſeruatur, fieri
nullo
modo poteſt, ut per cognitionem temperaturæ ſimplicium
medicamentorum
cognoſcamus temperaturam compoſitorum ex
illis
ratione ulla, ſed oportebit ſolum experiri.
Sed ſi ordines ſer­
uant
proportionem, adhuc relinquitur dubium, an illa proportio
ſit
Arithmetica, uel Geometrica, uel Muſica, & nihil mirum eſſet,
quod
eſſet Muſica, ut aliâs docuimus, ubi tractauimus de differen­
tia
inter ſenſum auditus, et uiſus.
Sed quia de hac nullus medicus ui
detur
intellexiſſe, omittam hanc tractationem.
Et quanquàm Gale­
nus
poſsit uideri non exiſtimaſſe, quòd hi ordines non ſeruent
proportionem
ullam, quia non auſus eſt tractare de temperamen­
to
medicamentorum compoſitorum per rationem temperamen­
ti
ſimplicium, nihilominus ſuppoſito quod ita eſſet, quod ſeruetur
altera
proportionum, uolo oſtendere rationem componendi in
utraque
proportione & Arithmetica, & Geometrica.
Ex quo ſe­
quitur
, quod Aueroes quàm oſcitanter tractauerit in quinto ſuo­
rum
collectaneorum de hoc, & non diſtinguit, neque docet pri­
mum
an ſit aliqua proportio, deinde ſi qua ſit, cuius generis ſit, &
cum
in re tam clara pugnet prorſus, ut cœcus ictus maximos eden­
do
, ſed in caſſum pleroſque, quàm malè agant qui ei in arduis tan­
tum
tribuunt fidei, & authoritatis, ſed hæc eſt infelicitas noſtra, &
ira
Deorum.
Suppoſito ergo quod primò ordines diſtinguantur
per
proportionem arithmeticam, ſit ſuperficies a b pro quantitate,
60[Figure 60]
& a ſit calida in primo gradu, & b in ter­
tio
, erit ergo perinde ac ſi duo corpora
eſſent
unum altitudinis unius cum baſi
quadrilatera
rectangula a, aliud altitu­
dinis
trium, baſi autem quadrilatera ſu­
perficie
rectangula b, hoc igitur erit to­
tum
miſtum, & quia quantitas medicamenti non mutatur quæ eſt
a
, b, ergo talia corpora æquantur uni corpori, cuius baſis eſt a b,
cum
ergo talia corpora producantur ex a in unum, & b in tria, ergo
1diuiſo aggregato per a b prodibit altitudo, ſeu ordo qualitatis to­
tius
medicamenti, iuxta quod conſtituitur regula prima libri artis
medendi
paruæ huiuſmodi, & reliquæ, traduxi autem illas ad hunc
locum
, “quia pendent ex demonſtratione hac: “duc numerum ordi­
nis
ſingulorum medicamentorum in numerum quantitatis, ſimilia
iunge
, diſsimilia detrahe, quod fit, diuide per aggregatum, quanti­
tatum
, exibit numerus ordinis compoſiti.
Sic miſcendo calidum in
ſecundo
ordine cum duplo pondere temperati conflabit calidum
in
beſſe.
Secunda ſi ex pluribus diuerſarum, qualitatum, & ordi­
num
temperatum efficere uelis, duc quæ ſunt eiuſdem qualitatis in
ſuas
quantitates, & iunge, quod fit, diuide per numerum ordinis
medicamenti
contrarij, exibit quantitas illius, ſub qua ſi iungatur,
fiet
medicamentum temperatum.
Tertia cum nolueris ex tempera­
to
, & alio cuiuſcunque ordinis medicamen conficere ordinis re­
miſsionis
, detrahe numerum ordinis eius, quod conficere uis ex nu
mero
ordinis eius, quod habes, & cum reſiduo diuide numerum
medicaminis
, quod conficere uis, quod exit eſt numerus quantita­
tis
medicamenti non temperati in comparatione ad temperatum.
Ex
his potes propoſitis quibuſcunque medicamentis conficere
antidotum
ſub quo cunque ordine remiſsiore potentiſsimo ex il­
lis
.
Quarta in compoſitione, quæ non fermenteſcit calida, calidis
iuncta
ſemper opus augent, ut mel cum pipere.
Quæ autem ſub mi
nore
quantitate exhibentur non ſub remiſsiore ordine agant, ſed
uel
facilius impediuntur, uel minorem corporis partem, uel leuius
immutant
.
Quod ſi ſtatuamus proportionem eſſe Geometricam, modus
erit
idem in omnibus, & quo ad numerum etiam in primo, & ſecun
do
ordine, quia in proportione dupla Geometrica ſecundus ordo
tantundem
diſtat à primo, quantum primus ab æqualitate, quia
unum
& duo ſeruant proportionem, & æqualem diſtantiam, ſed in
cæteris
ordinibus non ita erit, quia qui eſſet trium in Arithmetica,
ſcilicet
totius ordo eſt, quatuor in Geometrica, & quartus ordo,
qui
eſſet quatuor in Arithmetica, eſſet octo in Geometrica, ideo
61[Figure 61]
ſcribemus
ordines hoc modo, & operabimur cum
numeris
loco ordinum, exemplum ergo primum
ſit
medicina calida in tertio ordine quatuor uncia­
rum
, & medicina frigida in ſecundo ordine duarum
unciarum
, duco quatuor in tria, ſi proportio ſit Arithmetica, fit
duodecim
, duco duo in duo fit quatuor, detraho quatuor in duo­
decim
, quia omnis medicina tantum retondit de contrario, ſeu mi­
nuit
relinquuntur octo ſcilicet caliditatis, diuido per ſex ag­
1gregatum unciarum exit unum, & tertia, ergo erit calida in princi­
pio
ſecundi ordinis.
Secundum exemplum ſint eædem medicinæ,
& ſit proportio Geometrica, ducemus ergo quatuor in quatuor, &
fiunt
ſexdecim, & duo in duo fiunt quatuor, detrahe quatuor ex ſex
decim
, & remanent duodecim, diuide per ſex, ut prius, exeunt duo,
ergo
erit calida in fine ſecundi gradus uides ergo diſcrimen.
rurſus
ſint
ambæ medicinæ calidæ, & ducemus, ut prius in tertio exem­
plo
, ubi proportio ſit Arithmetica iungendo duodecim cum qua­
tuor
, & fient ſexdecim, diuide per ſex, exeunt duo, & duæ tertiæ, er­
go
erit calida in medio tertij gradus, rurſus in quarto exemplo iun
gemus
ſedecim cum quatuor, & fient uiginti, diuide per ſex exi­
bunt
tria & tertia, & ita erit in medio tertij gradus, ut prius, ſed ſi
ille
quatuor unciæ eſſent calidæ in quarto gradu, & illæ duæ unciæ
in
ſecundo gradu, ut prius ducendo quatuor in quatuor fiunt ſex­
decim
, & duo in duo fiunt quatuor, iunge, & fient uiginti, diuide
per
ſex exeunt tria cum tertia, ergo erit calida in principio quarti
gradus
ſecundum proportionem Arithmeticam, ſed ſecundum
Geometricam
duc quatuor in octo, fiunt triginta duo, adde qua­
tuor
ut prius, ſcilicet productum duorum in duo fiunt triginta ſex,
diuide
per ſex, exeunt ſex, & quia ſex ad quatuor maiorem habent
proportionem
, quàm octo ad ſex ideo hæc medicina erit calida ul­
tra
medium quarti gradus, iam ergo uides rationem, & differen­
tiam
horum.
Quod ſi quis dicat, an debeat attendi Geometrica proportio in
medicamentis
, an Arithmetica, reſpondeo, quòd ueriſimilius eſt de
Arithmetica
, quia illa proportio etiam quod ſit minor quatuor ad
trium
, quàm trium ad duo, & multò minor quàm duo ad unum ni­
hilominus
longè plus operatur, quia tertius ordo iam incipit eſſe
præter
naturam, & uidemus, quod læſio facta in uulnerato, etiam
quòd
ſit quadruplo minor, plus nocet longè, quàm in ſano qua­
druplo
maior: quia termini præter naturam ſunt ualdè anguſti in
comparatione
ad latitudinem naturalem, ſicut etiam uidemus in­
tendendis
chordis ſcorpionum, quod ultima pars eſt breuis & ta­
men
homini tantam difficultatem adijcit.
Notandum eſt etiam,
quòd
ob hoc diuiſerunt ordines in tres partes, uelut gingiber eſt
calidum
in fine tertij ordinis, origanum in medio, cinamomum in
principio
, & ita euphorbium eſt calidum in principio quarti gra­
dus
, ſed in fine principij piper, in principio principij aqua ſepara­
tionis
in medio quarti ordinis, ſed oleum chalcanthi factum ea ar­
te
, ut exurat paleas, ſicut ignis eſt calidum in fine quarti ordinis, &
ita
ſufficiet diuidere propter eandem cauſam primum, &
1dum ordinem in duas tantum partes non ratione latitudinis, quæ
eſt
æqualis, uel etiam forſan maior, ſed ratione uarietatis operatio­
nis
quæ minus ſentitur, & maximè in primo ordine.
Propoſitio quinquageſimaſexta.
Proportio cuiuſuis binomij ad ſuum reciſum, uel ei commen­
ſum
eſt duplicata ei, quæ ad numeri latus.
Com.
Cum enim proportionis medium ſit latus numeri eo quod ex bi
nomio
in reciſum ſuum fit numerus ex his, quæ demonſtrata ſunt
generaliter
in tertio Arithmeticæ de omnibus binomijs cum ſuis

reciſis
, uel in quadratis lateribus erit <02> numeri media proportione
inter
binomium, & ſuum reciſum, igitur cum proportio producto­
rum
ex binomio in commenſa reciſo ſit, ut commenſorum ad reci­

ſa
erunt omnia producta ex binomio in commenſa reciſo ſuo <02> nu

meri
, igitur proportio binomij ad reciſum ſuum, & omnia com­
menſa
illi, eſt duplicata ei quæ ad <02> numeri.
Per 6. Pro­
poſ
.
lib. de
A
liza.
Per 17. ſex
ti
Element.
Per 17.
ſeptimi
eiuſdem
.
Per 6. deci­
mi
Element:
Propoſitio quinquageſima ſeptima.
Motus rationem ad pondus inuenire.
Co^{m}.
Oſtenſum eſt antea, quod motus naturalis uelocior fit in fine, ac
magis
augetur ob aëris motum, ubi uerò hæret eſt ac ſi quieſcat.
Eadem autem eſt ratio in motis uiolenter, & naturaliter dum ęqua­
li
impetu feruntur.
Sed ſubitò poſt etiam, quod motus æqualiter
augerentur
minus tamen creſcit proportio uiolenti ſcilicet ob im­
62[Figure 62]
pedimentum
naturale.
Sed ſi uis mouens fuerit
adeò
ualida ut proportio incrementi ex aëre ſit
maior
, quàm impedimentum, & in crementum al
terius
mobilis naturaliter moti, motus ille uelo­
cior
fiet naturali, ut in ſphæris ferreis ex machina
igne
excuſsis, quod ergo attinet ad præſentem
motum
ratio eſt eadem.
Quicunque ergo motus
minoris
grauis cogit deſcendere lancem ex ad­
uerſo
proportionem habet eandem ad ſuum mo
bile
quam habet graue æquiponderans.
Sit ergo
ut
a ex b, c, d, e, eleuet eodem ordine pondera e, f,
g
, h, erit ergo ponderum h, g, f, e, ad ſe inuicem, & ad a qualis mo­
tuum
ob diſtantiam intentorum.
Experimentum ergo docet, quòd
dimidium
ponderis æquilibrium facit ex palmo minoris dimidio
motum
manifeſtum, & ex palmo quarta pars ponderis, ergo ſe ha­
bent
prope portionem.
Propoſitio quinquageſima octaua.
Quę ex alto deſcendunt cur non eandem pro diſtantia motus ra
tionem
in libero aëre ſeruent conſiderare.
1
Aër in ſublimiore eius regione ſemper naturali motu fertur ex
Oriente
in Occidentem, ſed & infra uerum minus manifeſtè.
At ca­
ſu
plerun que contingit, ut moueatur longè uehementius, ſeu ad ean­
dem
partem, ſeu aliam.
Qui uerò naturalis eſt, debilis
63[Figure 63]
eſt
, quoniam in tenui ualde ſubſtantia eſt: nec continuus
ſed
inſtar motus aquæ maris fluit ac refluit: aliter ne­
ceſſe
eſſet, ut ſingulis horis per mille milliaria procede­
ret
, ut ſic ne que latere poſſet, quandoquidem fortuiti mo
tus
, qui ſunt multo tardiores non latent nos.
Nam tardiores illos
eſſe
conſtat, cum in hora ſint pulſus arteriarum, quatuor millia ictuum
in
homine prope temperamentum: ſi igitur motus naturalis aëris
eſſet
continuus, in hora aër procederet ob ambitum terræ millies
mille
paſſus, igitur in ictu pulſus ſuperaret paſſus 250. At experimur
nullum
uentum aut procellam ſuperare quinquaginta paſſus, cum
etiam
continuus eſſe nunquam ſoleat, imò ne poſsit quidem, itaque
cum
hic multo tardior etiam in ſublimi, dum eſt, nos latere non
queat
, multo minus poſſet naturalis latere, ſi adeò uelox & in ea­
dem
parte aeris eſſet at que continuus.
Præterea tantus impetus nun­
quam
à minore motu, aut cauſa ſuperaretur, adeò ut ſemper flatum
aëris
orientalem ſentiremus.
Quotidie etiam aduenire ad nos aë­
rem
ex Illyrico, Macedonia, Myſia, Ponto, Bythínia, Capadocia, Sy
ria
, Babylonia, Hyrcanomarí, Bactrianis, Sacís, Scythis, ac Seris, to­
to
præterea Oceano orientali tam uaſto, & Gallica noua, terraque flo
rida
non ſolum res eſt admirabilis', & incredibilis, ſed etiam aliena
à
ſenſu, & ab his, quæ eueniunt.
A'ſenſu quidem, quoniam nebulę,
quæ
in aëre mouentur, primùm non in eandem partem ſemper mo
uentur
: nun quam autem adeò celeriter: at ſi aër ſic circumuoluere­
tur
, mouerentur & illa, quę in eo continentur, quotidieque aërem ex­
periremur
& nubiloſum, & madidum propter mare.
Nechis, quæ
eueniunt
hoc ſatis reſpondet, nec nobis id contingeret, ut ſi peſti
aliqua
in regione noſtra directa ſæuiret, ut aër ſingulis diebus la­
be
ea infectus ad nos deferretur.
Moueri uerò aërem ſemper mani­
feſtiſsimum
eſt tum experimento, tum ratione: ratione ſiquidem,
quod
aqua & cœlum naturaliter perpetuò mouentur, quare etiam
aër
.
Experimento, quòd ubi hiant oſtia, & ianuæ, ibi perpetuus ſen­
titur
flatus.
Ergo ſi a pondus deſcendat in c, ex alto fertur rectà, ſed
ſi
ex ſublimi transferetur in b, & indirecta, & ad latus, unde ex
hoc
ſequitur.
Propoſitio quin quageſima nona.
Com.
Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendenti­
bus
, utro que ſeorſum tardius mouetur ſimili motu.
1
Sit a mobile, quod moueatur per a b c impulſu uenti aut uiolen­

64[Figure 64]
to
cum naturali coniuncto: & ſit terminus naturalis e,

& uiolenti d: uter que in directo c, dico, quod tardius per­
ueniet
ad c quam d, uel e.
De e manifeſtum eſt, quoniam
motus
aëris, qui intendit motum a, diuíditur in partem,
quæ
iuuat motum ad d, & partem, quæ mouetur ad e,
igitur
fit minor adiectio.
Et etiam quia a c eſt longior
a
e ex diffinitione rectæ: quare tardius perueniet ad c quàm ad e du
plici
ratione.
Dico etiam, quod tardius ad c quàm d. Quia enim
uis
, quæ fert ad d repugnat ei, quæ fert ad e, & uis, quæ fert ad e, re­
pugnat
ei quæ fert ad d, igitur tardius perueniet ad c, quàm d.
Nec
potes
dicere, quòd uis, quæ fert ad c adiuuet ad motum è regione
d
, nam cum unus motus non poſsit perfici ſine altero, igitur quan­
tum
motus ad e retardabit motum ad d, tanto motus a c erit tardí­
or
abſolutè motu ad d.
Verum etiam eſt, quod c e breuior erit a d,
quia
motus ad e ſemper contrahit motum ad d naturalis uiolen­
tum
ob cauſam dictam.
Vtrùm uerò motus ad c abſolutè ſit tardi­
or
, quàm ad d, non ſuppoſito, quod c e ſit æqualis a d, ſed minor,
nunc
non eſt locus determinandi.
Co^{m}.
Per 20. bu­ius.
Ex hoc patet, quod motus æquidiſtantis mobilis, finis eſt mini­

mus
omnium: quoniam mobile quaſi quieſcit in illo.
Velut ſi a mo
ueatur
ad b, inde deflectat ad c minimus motus erit in b, ubi incipit
naturalis
: nam cum incipiat, erit debiliſsimus, quia non
65[Figure 65]
eſt
motus actu: uiolentus autem æqualis eſt naturali,
dum
minimus eſt: ergo cum ex diſtantia medij palmi
duplicetur
, naturalis erit motus in b minimus, niſi b c

eſſet
minor dimidio palmi.
Et etiam quòd eſſet minor, quia ut di­
ctum
eſt, uter que ſimul iunctus eſt æqualis uni eorum non impedito
uel
minor.
Co^{m}.
Per 57. bu­ius.
Propoſitio ſexageſima.
Omne mobile motu naturali deſcendens parte, deſcendit gra­
uiore
ſecundum grauitatis centrum.
Sit a mobile, grauitatis centrum b, cuius pars ei pro­

66[Figure 66]
ximior
ſit c a, dico quod deſcendat motu naturali c a,
parte
tangendo terram, quia enim totum a non poteſt
deſcendere
ad centrum deſcendit b, quia eadem eſt na­
tura
partis, & totius: totius autem terræ natura eſt ut
centrum
, totius ſit centrum grauitatis, quare b breuiore uia fertur

ad
centrum, ergo per c d proximiorem partem ipſi b.
Sed pars pro­
ximior
neceſſariò eſt grauior, quia centrum eſt in medio
1tis, ergo omne mobile deſcendit motu naturali per ſui grauio­
rem
partem.
Co^{m}.
Per 23. bu­ius.
Cor^{m}.
Ex hoc ſequitur, quòd graue habens partes inæquales, ſeu ſub­
ſtantia
, ſeu forma, ſi ita excutiatur, ut pars grauior non ſit, infrà opor­
tet
, ut circumuoluatur.
Propoſitio ſexageſima prima.
Proportionem ictus ad pondus rei, & diſtantiam generaliter
conſiderare
.
Co^{m}.
Dictum eſt ſuperius de proportione deſcenſus ad grauitatem:

& quòd ſi graue deſcendat ex alto impeditur à motu aëris: & quòd

res
, quæ mouetur duobus motibus non ad idem tendentibus tar­

dius
mouetur, quam motus ſit unuſquiſque.
Demùm quòd graue

deſcendens
circumuoluitur, ſi pars grauior non ſit, deorſum: & an­
tea
ubi egimus de proportione motus ad grauitatem, quod hęc in­
telligenda
ſunt pro ut poſſunt intelligi de motu etiam uiolento.
Cum ergo uideamus duo hæc, quod res acuta frangit caput, ſi ex
alto
incidat, ſed non concutit, lata concutit, ſed non diuidit, premit
tamen
carnem ſubiectam: nec hoc accidit merito ponderis: nam ut
uiſum
eſt ſemilibra lapidis, uel ferri cadens ex alto contundit caput,
& uulnerat, & non eleuat in æquilibrio, ut potè ex alto cadens loco
per
ſpatium octo palmorum pondus ſexdecim librarum, & a pon­
dere
ſexdecim librarum homo non læditur, nec uulneratur, ergo id
accidit
ex alia cauſa, & eſt, quod aër interceptus inter graue, & cor­
pus
noſtrum non poteſt dilabi tam citò, ergo ne corpus penetret,
cogitur
ingredi locum, cui eſt obuius, at que ita concutere, & diuide­
re
.
Ex quibus ſequuntur omnia hæc.
Propoſ. 57.
Propoſ. 58.
Propoſ. 59.
Propoſ. 60.
Cor^{m}.
Primùm ſi quod incidit, molle fuerit, non uulneratur caput, uel
pars
ſubiecta, quia reſilit in corpus molle: nec à molli, quia retundi­
tur
, poteſt uulnerari: ergo nullo modo.
Sed neque adeò concutit,
quia
aër rediens, & receptus in molli corpore pro parte, non uer­
berat
locum.
Cor^{m}.
Secundum in omni colliſione ſeu duri, ſeu mollis, ſed magis du­
ri
, dilabuntur partes aëris ad latera, ideo quod partes mediæ pre­
muntur
.
Et quanto motus eſt tardior.
Cor^{m}.
Tertium in motu uelo ci fit maior ictus & læſio, & maiora omnia
quam
pro proportione motus: quoniam ob uelocitatem minus diffu
git
aëris.
Et ideò fiunt grauia uulnera ex modico incremento uelo­
citatis
motus.
Cor^{m}.
Quartum res latæ, duræ concutiunt, & non uulnerant niſi ſint
cum
magno impetu, aut ualde graues: acutæ autem uulnerant, ſed
non
concutiunt, niſi parti acutæ lata ſuccedat.
1
Quintum, corpora dura magis læduntur à latis, quia ſcindun­

tur
, mollia autem à tenuibus, quia diuiduntur: nam mollitie excipi­
unt
aërem, & ita à latis non adeò patiuntur, & etiam, quoniam nec
franguntur
, nec ſponte ſcinduntur.
Cor^{m}.
Sextum, etiam in duris penetrat aliquid aëris, aliter tota frange­

rentur
.
Conſtat etiam omnem lapidem marmoreum, aut ſiliceum
eſſe
poroſum, ut dicunt.
Et etiam quia recipitur in mollioribus, er­
go
etiam in durioribus & in duriſsimis: quod ſi non recipiant ut ui
trum
, & gemmæ tota franguntur.
Hoc etiam uidetur ſenſiſſe Philo
ſophus
, qui uult, quòd res franguntur ob poros.
Cor^{m}.
Propoſitio ſexageſima ſecunda.
Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pon­
dus
iuxta id, quod mouet inuenire.
Conſtitutum eſt inuenire proportionem uirium, quæ eleuant

pondus
ad uires, quæ ipſum in plano leui trahere poſ­
67[Figure 67]
ſunt
.
Vires enim, quæ eleuant pondus a ſunt eædem
puta
b, quæ uero trahunt c, ſed poſſunt uariari, nam
quanto
uinculum altius, aut decliuis locus magis, aut
aſpera
ſuperficies ſeu ponderis ſeu plani, tanto difficilius trahitur,
& maiores expoſcit uires: hoc enim experimento deprehenditur.
Duæ uerò poſtremæ cauſæ etiam per ſe perſpicuæ ſunt, nec demon
ſtratione
indigent: niſi quod ſi planum ſit duriſsimum, ac leuiſsi­
mum
, quod eſt aſperum facilius trahitur, quia minore ſui parte pla­
num
tangit.
Nos præterea ſupponimus planum æquale undique
leue
durum, & corpus undique ſibi ſimile, id eſt cubi formam refe­
rens
, & uinculum in imo: Demonſtrare igitur expedit primum,
quòd
in hoc caſu b eſt duplum ad c.
Quia enim cum a eleuatur b ui
res
ſuperant motum obſcurum ſeu occultum, ſeu pondus a, & ſi
permitteretur
ſine eo, quod ſuſtineret, deſcenderet iuxta pondus
ſuum
, quod ſit d: nititur ergo per pondus d, at quia trahendo duci­
tur
circa medium, nam plana ſuperficies parum differt à rotunda
terræ
ob terræ magnitudinem, media erit repugnantia: in eo enim
quod
mouetur, grauitatem habet d in eo, quod non remouetur nul­
lam
habet grauitatem, mediam ergo retinet grauitatem, quare ut b
ad
d, ita c ad dimidium, grauitatis a, at b eſt primum, quod poteſt
mouere
d, igitur c eſt primum, quod poteſt mouere dimidium a, ut
ergo
dimidium a ad d, ita c ad b, eſt igitur c dimidium b.
Co^{m}.
Propoſitio ſexageſima tertia.
Omne graue quanto proximius alligatum plano, tanto faci­
lius
1
Co^{m}.
Sit graue a b c alligatum funibus in d ef, dico,
68[Figure 68]
quòd
facilius trahetur per fe quàm c b & e b, quàm
d
a, quia ſi debet trahi ex a uel b, aut cadet, aut uis ex
a
& b communicabitur c, igitur erit minor quàm in
c
, & hoc naturaliter.
Mathematica autem ratione quoniam ex a tra­
hetur
c, quaſi per lineam d c: at attractio recta eſt ualidior obliqua
igitur
attractio c per d eſt debilior, quàm per f.
Rurſus ſi e trahitur
per
d cùm a peruenerit in d, erit perinde ac, ſi attractum eſſet per li­
neam
c d, ſed linea c d mouet duobus motibus, uno ad ſuperiora, al

tero
ad latus, ergo lentius ad f per d c quàm f c, quod erat demon­
ſtrandum
.
Per 59. bu­ius.
Propoſitio ſexageſima quarta.
Omne mobile quanto latius tanto tardius mouetur in plano.
Co^{m}.
Demonſtratum eſt ſuperius quòd ſi mobile ſit ſphęricum, & tan

gat
planum in puncto, quòd mouetur per quancunque uim aptam
diuidere
medium.
Quia ergo ſi tangat in puncto facillime moue­
tur
, ſi in linea paulò difficilius, ſi per ſuperficiem adhuc difficilius,
igitur
cum fiat attritio in motu quanto latius eſt mobile eo diffici­
lius
mouetur.
Sit ergo mobile a b, quod moueatur uerſus c, & quia
pars
b ſeu dimidium mouetur iuxta rationem me­
69[Figure 69]
dietatis
, & pars a eodem modo, ergo conduplicata
difficultate
, quia medietas b impedit medietatem, a
quanto
latius eſt, & longius a b, tanto difficilius

mouetur
.
Et hoc intelligitur de corporibus ualde
latis
propter dicta ſuperius.
Propoſ. 40.
Propoſ. 62
Propoſitio ſexageſima quinta.
Proportionem duorum mobilium inter ſe cum auxilio medij
inuenire
.
Co^{m}.
Graue deſcendit naturaliter quatuor cauſis: prima eſt ponderis
magnitudo
, unde quod grauius eſt celerius deſcendit.
Secundò ob
paruam
medij repugnantiam, ideo quanto medium eſt rarius &
mobile
tenuius, tanto celerius deſcendit: contrà uerò tardius.
Ter­
tiò
ob impetum aëris ſub ſequentis: & ideo mobile quòd ex eadem

materia
conſtat, ſemper deſcendit parte acutiore ſuprapoſita, ne aër
cogatur
celerius ferri: & quanto diutius deſcendit, tanto magis in­
tenditur
motus, at que augetur, ut ſuprà de claratum eſt.
Quarta cauſa
eſt
, quod non impediatur ab aëre tranſuerſim moto, et à latere: ideo
leuia
mobilia & magna non ſolum lentius deſcendunt, quoniam

paruam
uim habeant, & magnam repugnantiam, ſed quia tranſuer

ſim
impulſa minus mouentur motu recto, ut ſupra uiſum eſt.
1 proportio ratione deſcenſus aucta, declarata eſt paulo antè,
quare
cum medium ſupponatur eiuſdem generis, & figura non
eiuſmodi
, nec leuitas, ut prorſus non impellat, nedum ut moueat la
tus
: figura quo que eadem ambobus relinquetur proportio motus
ad
motum producta ex proportionibus incrementi in proportio­

nem
ponderum, & iam habuimus proportionem incrementi ex

motu
aëris, ergo proportio unius motus producti ad alteram no­
ta
erit.
Propoſ. 30.
Propoſ. 59.
Propoſ. 62.
Per 42. ha­rum.
In 61. ha­rum.
Propoſitio ſexageſima ſexta.
Proportionem laterum eptagoni, & ſubtenſarum conſiderare,
& quæ à reflexa proportione pendent.
Com.
Sit eptagonus a b d f g e c, & ſubtenſæ b
70[Figure 70]
c
, & f e duobus lateribus, tribus autem d c
d
e, & erunt (quia intelligitur eptagono æ­
quilatero
, & æquiangulo) b c & e f inuicem
æquales
: & item d c, & d e æquales: & ſi du­
cerentur
b e & c f inuicem æquales: & ad a c
& d g: quare cum angulus cb d conſiſtatin

arcu
c e g f d, & angulus b d c in arcu b a c,
& angulus b c d in arcu b d; & ſit arcus c e g
f
d duplus arcus b a c, quia c e g f d ſubtendit quatuor latera epta­
goni
, & arcus b a c duo, & ita arcus etiam b a c duplus arcui b d
erit
angulus d b e duplus angulo c d b, & angulus c d b duplus an­

gulo
b c d, quare per demonſtrata à nobis proportio laterum b d,
b
c, c d, eſt reflexa, igitur proportio d b & b c, ad d c, ut d e ad b c, &

rurſus
proportio b d & d e ad b e, ut b e ad b d.
Quare ſuppoſita
d
b 1, b c 1 poſitione, erit d c latus 1 quad.
p: 1 poſitione. Proportio

uerò
, ut dictum eſt b d & d c ad b c, id eſt p: <02> 1 quad.
p: 1 pos, ad 1
pos
eſt, ut b c ad b d, id eſt 1 pos ad 1, igitur 1 p: <02> v: 1 quad.
p: 1 pos
æquatur
quadrato b c, quod eſt 1 quad.
igitur 1 quad. m: 1 æquatur
<02> v: 1 quad.
p: 1 pos quare 1 quad. quad. m: 2, quad. p: 1 æquatur 1
quad
.
p: 1 pos. Additis igitur communiter quatuor quadratis fient
1
quad.
quad. p: 2 quad. p: 1 æqualia 5 quad. p: 1 pos. Et reducitur ad
1
cu.
æqualem 1 3/4 pos p: 7/8.
Per 28. & 29. tertij Elem.
Per ult. ſexti Elem.
De Suh. lib. 16.
Per 20. diff.
Aliter ſtante ſuppoſitione ut Ludouicus Ferrarius ex demon­
ſtratis
à Ptolemæo quadratum b c, & eſt 1 quad eſt æquale produ­
cto
ex b d in c e, quod eſt 1, & a b in d c, igitur detracto 1, produ­
cto
b d in c e ex 1 quad.
quadrato c b, relinquitur productum ex
a
b in c d 1 quad.
m: 1, ergo diuiſo co per a b, quæ eſt 1, relinquitur
c
d 1 quad.
m: 1 huius uerò quadratum per eadem demonſtrata à
1lemæo, ęquale eſt rectangulis ex b c in de, & b d in c e, igitur 1 quad.
quad. m: 2 quad. p: 1 eſt æquale 1 producto b d in c e, & producto b
cin
d e detracto 1 communi, relinquetur productum ex b c in d e 1
quad
.
quad. m: 2 quad. igitur diuiſo 1 quad. quad. m: 2 quad. per 1
pos
, exit 1 cu.
m: 2 pos æqualia d e, & d e eſt æqualis d c, ut ab initio
demonſtrauimus
, & d c fuit 1 quad.
m: 1, igitur 1 cu. m: 2 æquantur 1
quad
.
m: 1, igitur 1 cu. p: 1 æquantur 1 quad. p: 2 pos.
Aliter ut Pacciolus, concurrant latera eptagoni b d, c e in a, & du
cantur
perpendiculares a f, d g & c d, & ſit c e i ca 1 pos, & quia ut

a
e ad a c, ita d e ad b c, erit ergo b c (1 posp: 1)/(1 pos) quare b f (1/2 pos 1/2,)/(2 pos) &
quia
d h eſt dimidium d e, erit d h, & g f
71[Figure 71]
1
/2, cum ergo b f ſit (1/2 pos p: 1/2)/pos erit ergo di­
uiſa
1/2 pos per 1 pos, & exit 1/2, b f 1/2p: 1/2/pos
igitur
detracta g f relinquetur g b 1/2/(1 pos).
& eius quadratum 1/4/(1 quad). igitur cum qua­
dratum
b d ſit 1, erit quadratum g d 1 m:
2
/4/(2 quad)g c autem eſt compoſita ex e f, quæ
eſt
1/2p: 1/2/(1 pos) & f g quæ eſt 1/2, erit igitur c
g
1 p: 1/2/(1 pos), & quadratum eius 1 p: 1/pos eſt 1/4/(1 quad.) quare quadratum e d q̊d eſt

compoſitum
ex quadratis c g & g d erit 2 p: 1/pos c a uerò eſt æqua­
lis
c d, quia, ut demonſtratum eſt angulus d c e eſt ſeptima pars
duorum
rectorum, & angulus b c e ei duplus, quare cum c f a ſit re­
ctus
erit ex trigeſima ſecunda primi Elementorum f a c tres ſepti­
unius recti, ergo d a c 6/7 unius recti, d c a uerò 2/7 unius recti, quia

eſt
ſeptima pars duorum rectorum, ígitur a d c eſt 6/7 unius recti: igi­
tur
c d eſt æqualis c a, ergo quadratum quadrato: igitur 1 quad.
p: 2
pos
p: 1, æquatur 2 p: 1/(1 pos) igitur 1 quad.
p: 2 pos, æquantur 1 p: 1/(1 pos).
Quare
1 cub.
p: 2 quad. æquatur 1 pos p: 1.
72[Figure 72]
Sit
etiam angulus a duplus b, & b c dupla
b
a: & erit per eadem proportio a c, & a b
ad
c b, ut c b ad c a.
Ponamus ergo ab 1, erit
b
c 2, & a c 1 pos, & a c, a b 1 pos p: 1, & du­
cta
in a c fit 1 quad.
p: 1 pos, & hoc eſt æquale 4 quadrato b c per re­
flexæ
proportionis diffinitionem.
Igitur a c eſt <02> 4 1/4 m: 1/2, & ita
de
alijs.
Per 42. pri mi Element.
Per 32. pri mi Element.
Per ſextam eiuſdem.
Propoſitio ſexageſima ſeptima.
Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate, aliæque totidem
1ab eadem analogæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam
alterius
, ut ſecundæ ad ſecundam duplicata, & quartæ ad quartam
triplicata
, quintæ ad quintam quadruplicata, at que ſic de alijs.
Co_{m}.
Sint quantitates b c d e f, ab a in continua proportio­
73[Figure 73]
ne
, & aliæ totidem g h k l m, dico quod proportio h c eſt
duplicata
ei, quæ eſt g ad b, & k ad d triplicata, & l ad e
quadruplicata
, & ſic deinceps, ſumatur enim unum, & ab
a b g c h d k e l f m n o t p α u q β γ x z y s z

eo
o p q r s in proportione b ad a, & t u x y z in propor­
tione
g ad a, erit igitur p quadratum o, & u quadratum t,
& q cubus o, & x cubus t, & ita de alijs: ergo proportio

n
ad p duplicata ei, quæ t ad o, & x ad q triplicata ei, quæ t
ad
o, & poteſt etiam demonſtrari generaliter ultra qua­

dratum
, & cubum: nam ſi ducatur t in o, fiat que α erit, pro­
portio
enim ad α eadem quæ t ad o, & proportio a ad p,
ut
t ad o, igitur per diffinitionem proportionis duplicatæ

poſitam
in quinto libro ab Euclide u ad p duplicata ei,
quæ
t ad o, & ſimiliter ex t in p fit β ex o in u, γ eruntque

q
β γ x in continua proportione per eandem.
Quia ergo propor­
tio
q ad β eſt ut o ad t, patet, quod x ad q eſt triplicata ei, quæ eſt t ad
o
, & ita de reliquis, cum ergo proportio p ad o ſit, ut e ad b, & o ad

n
, ut b ad a, & n ad t, ut a ad g, & t ad u, ut g ad h, ſequitur ut ſit t ad a,
ut
g ad b, & u ad p, ut h ad c, igitur cum ſit ut u ad p duplicata ei, quę
eſt
t ad o erit h ad e, duplicata ei quæ eſt g ad b, & ita de reliquis, &
noǹ
refert, ſeu dicas u ad p duplicatam ei, quæ eſt t ad o, ſeu dicas p

ad
u duplicatam ei, quæ eſt o ad t.
Aliter & euidentius in duabus
ſoleo
demonſtrare: cum enim ſit e & h duplicata ei quæ eſt b & g
ad
a, ut ſupra, & quadrati b ad quadratum a, & quadrati g ad qua­

dratum
a duplicata his quæ b & g ad a erunt b & g quadratorum
ad
quadratum a, uelut c & h ad a.
Et conuertendo qua­

drati
a ad quadratum g, ut a ad h, conſtituantur ergo
74[Figure 74]hic & erit quadrati b ad quadratum g, ita c ad h: ſed qua­
drati
b ad quadratum g, ut b ad g proportio duplicata
igitur
e ad h, ut b ad g duplicata.
Per 8. noni Ele. & 22. & 23. octaui.
Vide per 23. Petit.
Per 23. ſex ti Elem. & 33. undeci­mi.
Per 17. ſe­ptimi Elem.
Diff. 10.
Per 24. quinti Elem.
Per 10 diff. quinti Elem.
Per 20. ſex ti Element.
quad. b e quad. a a quad. g h
Propoſitio ſexageſimaoctaua, collectorum ab Euclide
& Archimede.
Omnis cylindrus cono habenti baſim, & altitudinem eandem

triplus
eſt.
Omnis cylindrus ſphæræ habenti eundem magnum

circulum
, & altitudinem ſexquialter eſt.
Omnis ſphæra dupla eſt

cono
, cuius baſis eſt eius circulus magnus, & altitudo eadem, quæ
ſphæræ
ipſius.
Omnis ſuperficies ſphæræ quadrupla eſt maiori

ſuo
circulo.
Superficies portionis ſphæræ eſt æqualis circulo, cu
1ius ſemidiameter eſt linea ducta à uertice portionis ad finem illius.
1
2
3
4
5
Quilibet ſector ſphæræ æqualis eſt cono, cuius baſis eſt circu­
lus
æqualis ſuperficiei eiuſdem portionis, altitudo uerò ſphæræ ſe­
midiameter
.
Proportio ſphæræ ad ſectorem datum, eſt duplica­
ta
ei, quę eſt dimetientis ad lineam, quæ à uertice portionis ad lim­
bum
.
Cum enim ſphæra ſit æqualis cono, cuius baſis eſt maior cir­
culus
, altitudo uerò dupla dimetienti per tertiam harum, quæ hic

proponuntur
: erit ſphæra æqualis cono baſim habenti circulum,
cuius
ſemidiameter ſit æqualis diametro ſphæræ, altitudo uerò ſe­
midiameter
ſphæræ.
At per ſextam harum ſector ſphæræ eſt æqua­
lis
cono habenti altitudinem ſemidiametrum ſphærę, baſim autem

ipſam
portionis ſuperficiem: igitur proportio ſphæræ ad ſecto­
rem
, uelut circuli cuius diameter eſt dupla dimetienti ſphæræ ad
círculum
æqualem ſuperficiei portionis: at ſuperficies portionis
per
quintam harum eſt æqualis circulo, cuius ſemidiameter eſt li­
nea
à uertice portionis ad limbum eiuſdem: ergo proportio ſphæ­
ad ſuum ſectorem eſt uelut circuli, cuius dimetiens eſt duplus di
metienti
ſphæræ, aut ſemidimetiens eſt æqualis dimetienti ſphæræ
ad
circulum, cuius ſemidimetiens eſt linea à uertice portionis ad
limbum
.
Sed proportio talium circulorum eſt duplicata propor­

tioni
ſemidimetientium, igitur proportio ſphæræ ad ſuum ſecto­
rem
eſt ueluti dimetientis ſphæræ ad lineam, quæ á uertice portio­

nis
ad limbum duplicata.
Cuicunque portioni ſphæræ conus ille
habetur
æqualis, qui baſim habeat eandem cum portione, altitudi­
nem
uerò lineam rectam, quæ ad altitudinem portionis eandem
habeat
proportionem, quam ſemidiametros ſphæræ unà cum alti­
tudine
reliquæ portionis habet ad eandem reliquæ portionis alti­

tudinem
.
Earum ſphæræ portionum, quæ æqualibus ſuperfi­

ciebus
continentur medietas ſphæræ maxima exiſtit.
Proportio
ſuperficiei
ſphæræ plano diuiſæ ad reliquæ portionis ſuperficiem,
& reſidui ſectoris ad ſectorem, eſt uelut quadratorum duarum li­
nearum
quæ à uerticulis ſectionum ad communem ſuperficiem
plani
portiones ſecantis deſcendunt: nam ſectorem ſphæræ, dico

corpus
compoſitum ex portione, & cono illo.
Ille idem etiam defi­
nit
Ellipſim coni a cuti anguli ſectionem, quam dicit etiam fieri ſe­

cto
cylindro per planum non ad angulos rectos ſtante ſuper cylin­
dri
axem.
Ab hac igitur coni acuti anguli ſectione ſeu ellipſi cir­

cumacta
figura ſphæroides corpus quod baſim rotundam habet,
uocat
: id que duplex ob longum, quod fit diametro longiore quie­
ſcente
, & prolatum quod fit quieſcente breuiore: ſicut reliquam ſci
licet
parabolen aut hyperbolen, quia inferius non eſt terminata,
1in cono rectangulo uocat rectanguli coni ſectionem: ex qua cir­
cumacta
fit conoidale, quia planam habet baſim.
Si ergo in ea­

dem
rectanguli coni ſectione à plano portiones æquales habentes
diametros
abſcindantur, illæ portiones erunt æquales.
Et triangu­
li
in eiſdem portionibus inſcripti æquales erunt.
Diametrum uo­
cat
in quacunqune portione lineam, quæ omnes lineas baſi æquidi­
ſtantes
per æqualia diuidit.
Omnis circuli cuius diameter eſt ma

ior
diameter ellipſis proportio ad ellipſim eſt uelut directè diame­
tri
ellipſis ad diametrum tranſuerſam.
Ex quo patet quod pro­

portio
cuiuslibet circuli ad ellipſim eſt uelut quadrati ſuæ diame­
tri
ad rectangulum recta, & tranſuerſa diametro ellipſis compre­
henſum
.
Ex hoc rurſus ſequitur quod ellipſis ad ellipſim, ut re­

ctanguli
ex diametris unius ad rectangulum ex diametris alterius.
Per 14. & 15. duodeci mi Ele. Eucl.
Per 11. duodecimi Ele.
Per 2. duodecimi, & 20. ſexti Elem.
8
9
10
Per 22. quinti Elem.
Per 20. ſex ti Elem.
Per 11. quinti Elem.
11
12
13
14
Si conoides & ſphæroides ſecet plano æquidiſtanti axi fiet ſe­

ctio
conoidalis ſimilis ei à qua conoides ſeu ſphæroides deſcri­
ptum
eſt.
Sin autem ſupra axem plano ad perpendiculum erecto
ſectio
circulus erit.
Et ſi ſecentur obliquè fiet ellipſis, modo omnia
latera
comprehendat.
Omnis portio conoidalis rectanguli, quam

planum
ſecat, ſexquialtera eſt, cono qui baſim & axem eandem ha­
bet
.
Ex quo patet, quod ſi portio conoidalis rectanguli & ſphæ­

medietas eandem baſim habeant & axem eundem, medietas
ſphæræ
ſexquitertia erit conoidali portioni.
Et ſi eiuſdem rectan

guli
conoidalis portiones abſcin dantur erit portionum propor­
tio
uelut quadratorum axium.
Cuiuslibet ſphæroidis pars pla­

no
per centrum abſciſſa dupla eſt cono baſim & axem eadem ha­
benti
.
Si autem non ſuper centrum erit proportio earum ad co­

num
baſim, & axem eandem habentem uelut coniunctæ ex axe al­
terius
partis & dimidio axis ſphæroidis ad axem alterius partis.
15
16
17
18
19
20
Demum proportio partis conoidis obtuſi anguli plano abſciſ­

ſæ
ad conum, baſim & axem eadem habentem eſt ueluti lineæ, com
poſitæ
ex axe portionis & triplo adiectæ ad compoſitum ex axe
portionis
& duplo eiuſdem adiectæ.
Adiectam uocat hyperbolis
tranſuerſam
.
Omnis cylindrus cono triplus eſt habenti eandem

baſim
& altitudinem.
Omnes cylindri coni ſphæræ ſunt in pro­

portione
corporum ſimilium planis ſuperficiebus contentarum.
21
22
23
Propoſitio ſexageſima nona, collectorum ex quatuor libris
Apollonij
Pergei & que Sereni.
Si fuerit linea bifariam diuiſa, eique in longum alia addita, & rur­

ſus
alia detracta, fueritque totius cum addita ad eam, quæ addita eſt
ueluti
reſidui ad detractam erit lineæ com­
75[Figure 75]
poſitæ
ex addita, & dimidia ad dimidiam
1ipſam uelut dimidiæ ad differentiam eius, & detractæ. Rurſusque li­
neæ
compoſitæ ex dimidio & reſiduo dimidiæ ac detractæ ad li­
neam
compoſitam ex addita & detracta ut reſidui dimidiæ, & de­
tractæ
ad partem detractam.
Et rurſus totius compoſitæ ad com­
poſitam
ex dimidia & addita, uelut compoſitæ ex addita, & diffe­
rentia
ad ipſam additam.
Velut ſit propoſita a b per æqualia diuiſa
in
c, addita b d, & detracta b e, ſit proportio a d ad d b, ut a e ad e b,
dico
eſſe, ut c d ad cb, ita ab ad c e.
Et ut a e ad e d ut c e ad e b. Et ite­

rum
ut a d ad c d uelut e d ad d b.
In parabole proportio partium
diametri
ad uerticem terminantium duplicata eſt proportioni li­
nearum
ab eiſdem punctis ordinatim ductarum ad ipſam ſectio­

nem
.
In hyperbole autem & ellipſi & circuli circumferentia erit
quadratorum
linearum ordinatim ductarum inter ſe uelut rectan­

gulorum
partium diametri ad eadem puncta terminantium.
Et in
eiſdem
ſi à puncto peripheriæ contingens ad diametrum ducatur,
& ab eodem ordinata, erit ut partis diametri interceptę inter extre­
mum
, & ordinatam ad partem inter ordinatam & peripheriam, ue­
lut
interceptæ inter extremum & contingentem ad interceptam

exterius
inter finem contingentis & peripheriam.
Et in eiſdem
quadratum
ſemidiametri æquale eſſe rectangulo ex intercepta in­
ter
centrum & caſum contingentis in interceptam inter centrum &

caſum
ordinatæ à loco contactus productæ.
Si parabolen recta
linea
contingens ad diametrum perueniat, ſumptoque puncto alio
in
ſectione æquidiſtans ab eo ducatur contingenti: & ab utroque
etiam
ad diametrum ordinatæ, demum à uertice æquidiſtans illis,
& à priore puncto diametro æquidiſtans donec concurrant, erit
triangulus
ex ordinata, & æquidiſtante à ſecundo puncto, & dia­
metri
parte contentus rectangulo ex prima ordinata & parte dia­
metri
inter uerticem & ſecundam ordinatam contento æqualis.
1
2
3
4
5
6
7
Si in parabole contingente ad diametrum ducta ex alio puncto
ei
æquidiſtans ducatur ex ipſa ſectione, ubi iterum ſecat ſectionem
intercepta
per æqualia diuidetur linea à puncto contingentis dia­

metro
æquidiſtanti ducta.
Idem uerò fermè continget ducta li­
nea
à centro in locum contactus, ſecabit enim omnes contingenti

æquidiſtantes
in hyperbole, ellipſi at que circulo.
Eſt autem omne
centrum
in medio diametri: diameter autem in circulo & ellipſi il­
las
per æqualia diuidit intus enim eſt: in contrapoſitis inter uerti­
cem
, & uerticem poſita eſt exterius utriuſque contingenti ad per­
pendiculum
inſiſtens.
In hyperbole autem exterius etiam adiacet,
ut
in contrapoſitis eadem & tranſuerſa uocatur: cuius terminus eſt
punctus
concurſus cum latere trianguli, qui conum per axem
1dit: linea uerò tangens uerticem hyperbolis ad quam ordinatæ

poſſunt
, Recta appellabitur.
Data recta linea poſitione, aliaque ma
gnitudine
data & angülo parabolen, & hyperbolen, & ellipſim,
& contra poſitas circa datam poſitione tanquàm diametrum de­
ſcribere
tanquàm cono erecto, ut angulus ad uerticem ſectionis
comprehenſus
ſit, & per rectam rectangulum æquale comprehen­
datur
quadrato datæ lineæ magnitudine.
Si linea in duas partes

diuidatur
, eique utrinque æquales lineæ adiun­
76[Figure 76]
gantur
erit rectangulum ex partibus totius æ­
quale
rectangulis partium prioris lineæ, & ex
priore
linea cum una adiecta in eam, quæ adiecta eſt.
Si hyperbo

len
recta linea in uertice contingat, & utrinque abſcindatur, quan­
tum
eſt, quod poteſt in quartam partem rectanguli ex diametro
tranſuerſa
hyperbolis, quæ exterius adiacetin eam, quæ recta dici­
tur
, ad quam, quæ ordinatim ducuntur, ſunt æquidiſtantes lineæ,
quæ
à ſectionis centro ad terminos contingentis ducuntur ſemper
ipſi
ſectioni magis appropinquabunt, nec unquam conuenient: &
ob
id aſymptoton appellantur.
Nec ullæ aliæ intra angulum illum

inueniri
poterunt.
Vnde etiam intra datum angulum deſcribere do­
cemur
hyperbolen cuius anguli latera ſint aſymptota.
Aſymptotis

duabus
propoſitis uni hyperboli, in finitas alías eidem aſymptotas
inuenire
.
Duabus rectis aſymptotis infinitas ſubijci poſſe hyperbo
les
illis rectis, & inter ſe aſymptotas.
Cum in duabus ſuperficie­

bus
æquidiſtantibus duo circuli æquales, quorum linea per cen­
tra
non eſt ad perpendiculum earum infinitis planis ſecantur, fiunt
in
ipſis lineæ à peripheria in peripheriam rectæ quæ corpus cylin­
dricum
claudunt quod ſcalenus cylindrus appellatur: longè alius
ab
eo, qui fit recto cylindro per duo plana æquidiſtantia, ſed non
ad
perpendiculum poſita diſſecto.
nam eius extremæ ſuperficies
non
circuli, ſed ellipſes ſunt.
Si ſcalenus cylindrus plano non æ­

quidiſtanti
baſi, ſed ita ut angulos interiores æquales faciat angu­
lis
baſis ſectio circulus erit: uocaturque hæc ſectio ſub contraria: nec
ulla
præter hanc & baſi æquidiſtantem ſectio circulus eſſe poteſt:
ſed
ſunt ellipſes.
Super eundem circulum, & ſub eadem altitudi­

ne
ellipſes ſimiles in cono & cylindro eſſe poſſunt, quæ ab eodem
plano
fiant, docetque uel baſi uel cono uel cylindro, aut cono pro­
poſito
reliqua facere, quod eſt ualde admirabile: cum ellipſis cylin­
drica
ſemper æqualis ſit in utraque parte à diametro tranſuerſa
utrinque
æqualiter diſtante, conica uerò minor neceſſariò ſit in ſu­
periore
parte uerſus coni uerticem latior in inferiore, ubi partes a
diametro
tranſuerſa æqualiter diſteterint: ipſę autem non ſolum
1
miles
, ſed unam perſæpe in utriſ que eſſe uult.
Sed & hoc Archime­
des
dicere uidetur: lineæ ductæ à uertice coniſcaleni ad perpendi­
culum
ſuper baſes ſingulas omnium triangulorum per axem coni
tranſeuntium
in peripheriam unius circuli cadunt.
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Propoſitio ſeptuageſima.
Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæque toti­
dem
in continua proportione, poterunt conſtituere tres quantita­
tes
in æquali differentia peruerſim copulatæ.
Com.
Velut ſint a b c primi ordi­
77[Figure 77]
nis
, & d ef ſecundi, & ſit 28,

b
4, c 2, & d 2 1/4, e 1 1/2, f 1, tunc
iunctis
a & e fit 9 1/2, & b & d b
1
/4, & e cum f 3, at 3 & 6 1/4 & 9 1/2
æqualiter
diſtant, nam diffe­
rentia
eſt 3 1/4. At ſi iungatur
cum
e, & b cum f, & c cum d
idem
poterit contingere: ut in
figura
uides, nam a e eſt 8 1/2,
p
: <02> 1 1/4, & b f 7, & c d 5 1/2, m: <02> 1 1/4, & differentia b f ab utro que com­
poſito
, eſt 1 1/2 p: <02> 1 1/4, qua excedit & exceditur.
Dico modo, quaſi
ex
ordine coniungantur qualeſcunque proportiones fuerint, modo
non
ſint ambæ æqualitatis 1, ut b iungatur cum c, & reliquæ ut li­
bet
, uelut a cum d, & c cum f, uel a cum f, & e cum d, nunquam fient

æquales
exceſſus, nam de primo eſt clarum: nam ſi a cum d iun­
gatur
, & ambæ fuerint maximæ, maior eſt differentia a ad b, quàm
b
ad c, & maior etiam d ad e quàm e ad f, ideo maior erit differentia
a
& d ad b e quàm b e ad c f, quod erat probandum.
Eodem modo
ſed
laborioſius demonſtratur reliquus modus ſcilicet, quod con­
iunctio
a f ad b e eſt maior aut minor quàm b e ad c d, ex hoc ſe­
quuntur
corrolaria.
16
17
Primum, tres æquales quantitates non poſſunt diuidi in tres, &
tres
quantitates in continua proportione ordinatè, ut dixi, niſi
triuſque
ordinis tres, ac tres inuicem ſint æquales.
Secundum, tres quantitates in æquali exceſſu ordinate, ut dixi,
non
poſſunt diuidi in tres, & tres quantitates, quæ ſint in eadem
proportione
quantumcunque proportiones illæ duorum ordinum
fint
diuerſæ.
Tertium, tres quantitates, quæ ſint in eadem proportione non
poſſunt
diuidi ordinate in tres ac tres, quæ ſint in continua propor
tione
niſi ſint ambæ proportiones eædem cum proportione ipſa­
rum
quantitatum.
1
Propoſitio ſeptuageſima prima.
Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attra­
cti
ad rectam ſuſpenſionem inuenire.
78[Figure 78]
Sit torcularis uirga, cuius ſpiræ a b per circui­

tum
ſint centuplæ ad altitudinem a b, & axis d c

ſemidiametro
b c centupla, & quoniam per ſupe­
rius
aſſumpta, qualis eſt proportio ſpatij ad ſpa­
tium
, talis leuitatis ad leuitatem, igitur e pondus aſcen
dens
per a b leuius quam per b c rectam centuplo, et
ſimiliter
cum circuitus b c, & d c ſint in eodem tem
pore
, & circuitus d c, ſit centuplus ad ſpiralem b c
per
demonſtrata ab Euclide, ergo e erit centuplo
leuius
circum ductum per d quàm b, ſed per b circumductum cen­
tuplo
leuius eſt, quàm per rectam, igitur e ponderat ſolum particu­
lam
ex decem millibus recti ponderis.
Com.
Propoſ. 45.
Propoſitio ſeptuageſima ſecunda.
Proportionem ponderis ſphęræ pendentis ad aſcendentem per
accliue
planum inuenire
79[Figure 79]
Sit ſphæra æqualis ponderi g in pun­

cto
b, quæ debeat trahi ſuper b c accli­
ue
planum b e ad perpendiculum pla­

ni
b f.
Quia ergo in b e mouetur a, qua­
uis
modica ui per dicta ſuperius, erit per
communem
animi ſententiam uis, quæ
mouebit
a per e b nulla: per dicta uerò
a
mouebitur ad f ſemper, a conſtanti ui
æquali
g, & per b c a conſtanti ui æqua­
li
k, ſicut per b d a conſtanti æquali h, ergo per ultimam petitio­
nem
, cum termini ſeruent, quo ad partes eandem rationem ſin­
guli
per ſe, & motus per b e ſit a nulla ui, erit proportio g ad k, ue­
lut
proportio uis, quæ mouet per b f ad uim, quæ mouet per
b
c, & uelut anguli per e b f recti ad angulum e b c, & ita uis,
quæ
mouet a per b f, & eſt, ut dictum eſt, g ad uim, quæ mouet
per
b d, & eſt h ex ſuppoſito, ut c b f ad e b d, igitur proportio dif­
ficultatis
motus a per b d ad idem a per b c, eſt uelut h ad k, quod
erat
demonſtrandum.
1
Com.
Propoſ. 40. 7
Propoſitio ſeptuageſima tertia.
Proportionem ponderum attractorum penes figuram in pla­
no
inuenire.
Co^{m}.
Sint duo pondera æqualia in plano a & b, & ſit
80[Figure 80]
a
ſuperficies qua planum tangit dupla b ſuperfi­
ciei
, qua planum tangit: dico quod ſi trahantur ab
imo
, quod erunt æqualia: ſuſpendantur, & erunt
æqualia
ex ſuppoſito, ſed a quieſcens in plano eſt
dimidium
a ſuſpenſi, & b quieſcens in plano eſt di
midium
b ſuſpenſi ex demonſtratis ſuperius, igi­
tur
per communem animi ſententiam a & b in pla­
no
ſunt æqualia.
Cor^{m}.
Ex hoc manifeſtum eſt, quod proportio uirium trahentium pon
dera
in plano eadem eſt, quæ ipſorum ponderum dum ſuſpendun­
tur
.
Vbi planum æquale ſit, & ſolidum.
Propoſ. 62.
Propoſitio ſeptuageſima quarta.
Proportionem concutientis ad concuſſum ſtabili inuenire.
Co^{m}.
Intelligo concutiens eſſe ſolidum, quod non frangitur, idque gra­
uitate
, & impetu concutere, nam de duritie ſupponitur, & grauitas,
ut
demonſtrabitur in corrolario eſt iuxta ſuperficiem inferiorem
ponderi
comparatam.
Cum ergo motus concuſsionis magnitudo
conſtet
ex grauitate, impetu & figura, concuſsi autem ex pondere
& connexione: multiplicatis inuicem partibus productorum pro­
portio
, erit proportio concuſsionis: ut ſit grauitas decem, impetus
quadraginta
: pondus icti centum connexio ut duo, ducemus qua­
draginta
in decem, & fient quadringenta, et duo in centum, fient du
centa
, igitur concuſsio erit dupla.
Cor^{m}. 1.
Cum fuerit figura rotunda, concuſsio erit integra in puncto:
quia
ſphæra iacens in plano totum pondus in punctum cogit.
Cor^{m}. 2.
Si autem planum eſt, quod ijcitur, proportio totius ad totum eſt
minor
, quàm partis ad partem pro ratione quantitatis latitudinis.

ſed
maior ratione aëris comprehenſi, de quo infrà.
Propoſ. 84.
Cor^{m}. 3.
Cum proportio minor fuerit ſtabile, non poterit in ſolido plano
moueri
: aliter fieret motus à debiliore, & per præcedentem etiam
poſſet
pari ratione eleuari.
Cor^{m}. 4.
Cumque ſtabile non mouetur, & omne agens agat aliquid neceſſe
eſt
, ut ſtabilis partes cedant, aut diſſoluantur.
Quanto ergo magis
cedit
, tanto minus diſſoluitur.
1
Cauſæ igitur quæ alleuiant ictum, ne diſſoluatur, ſunt ſeptem le­

uitas
ictus, ponderis, fractura, mollities eius, quod icitur, mollities
eius
, quod excipit ictum, motus eiuſdem, & figura lata, & inæqua­
lis
.
Durities ergo, quatenus fracturæ opponitur, aliud eſt, quam ut
mollitiei
: & utra que eſt cauſa, quæ auget ictum, ut reliquæ
oppoſitæ minuunt, dicemus autem de his inferius.
Cor^{m}. 9.
Propoſitio ſeptuageſima quinta.
Proportionem immoti in aqua ad immotum in terra in excipien
do
ictum inuenire.
Sit pondus a in terra æquale b eiuſdem naturæ magnitudinis fi­

guræ
, & eodem in ſitu, quod ſit in aqua porrò a, ſi eſſet affixum ter­
oportet, ut conuellatur, aut diſſoluatur aut frangatur.
Et clarum
81[Figure 81]
eſt
, quod totum ictum excipit.
Si uerò
affixum
non ſit, euertitur, & tanto mino­
rem
partem excipit ictus, quanto faci­
lior
eſt ad euerſionem.
Vnde nata fabu­
la
de quercu, quæ cum immobilis eſſet,
& ſtaret uento euerſa eſt, arundo flecten­
do
ſe, cecidit quidem, ſed non eſt eradi­
cata
.
Sermo igitur eſt de b inſidenti aquę
in
comparatione ad a, quando excipit
plenum
ictum.
Cum ergo b tangitur, ex­
cipit
plenum ictum illo inſtanti, ſed quia
non
excipitur ictus cedente materia, &
antequam
materia cedat b mouetur loco, quia inſidet aquæ, ergo
non
excipit ictum.
Proponatur ergo, quod moueatur b per c ſpa­
tium
in d tempore, & ſit, ut idem b ab e ui trahatur per idem ſpa­
tium
in eodem tempore ex loco directo ad eandem partem: qua­
lis
ergo proportio e ad b, & aërem, qui cum eo reſiſtit, talis propor­
tio
ictus f grauis puta in a ad ictum Y in b.
Quia per demonſtra­

ta
ſuperius proportio f ad a producitur ex proportionibus e ad b,

& a ad e, ergo diuiſa proportione f ad a per proportionem c ad b
exibit
proportio ictus Y in a ad ictum Y in b quod erat demon­
ſtrandum
.
Co^{m}.
Propoſ. 2.
Per 42. & 43. Propoſ.
Ex hoc patet, quod b quanto mollius, leuius, & ſtrictius in imo,

& in tenuiore aqua, eo minus lædetur.
Et quanto ictus lentior fue­
rit
etiam quod ſit grauius Y.
1
Cor^{m}.
Propoſitio ſeptuageſima ſexta.
Proportionem duorum mobilium ſibi inuicem concurrentium
per
rectam inuenire.
Co^{m}.
Iam cognito, quod mobilia, quæ loco mouentur per præceden­
tes
, ſed omnino quieſcunt integros excipiunt ictus: alia quidem,
quæ
concurrunt, non omnino reſiliunt, alia uero reſiliunt, & quæ
reſiliunt
minores excipiunt ictus, ſequitur ut diuerſa ſit compara­
tio
: nam erunt, quæ ſtando excipient ictus, & hæc integros ut mu­
ri
, & quæ concurrendo, nec reſiliendo, ut equi curſu incitati: & quæ
ſtando
, ſed reſiliendo, ut naues ſtantes: & quæ concurrendo, reſi­
liendo
qúe ut naues uentis, & triremes ab impulſu: bifariam ergo
contingit
intelligi, quod proponitur.
Sed in utroque etiam ſenſu
uarietas
eſt: nam ut concurrit pars altera celerius, ita etiam magis
concutitur
.
Et ideo ſit, ut proportio ictùs ſit in comparatione ad
grauitatem
duplá, & concurrant æqualiter, & ſint æquè grauia, &
neutrum
reſiliat, erunt in proportione quadrupla, & eodem mo­
do
ſi utrunque reſiliat.
At ſi diuerſo impetu ferantur, ut dixi, tria
erunt
præcipuè conſideranda grauitas ſeu pondus, impetus, & an
reſiliat
.
Quanto enim grauiora fuerint, & maiore impetu agen­
tur
, & non reſilierint eo maiorem ictum recipient: quanto leuio­
ra
, & minore impetu, & magis reſilierint, minus lædentur.
Sed &
in
debilitando ictum conſiderare oportet tria, quod reſiliat, quod
diffugiat
, quod circumuertatur: reſiliunt naues, ſi roſtris concur­
rant
pleno ictu: ſi uerò non pleno ictu concurrant, ſed diffugiant
hoc
experimento compertum eſt minimum eſſe ictum: ſi roſtro
tranſuerſum
nauis feriatur medium, eſt hoc.
82[Figure 82]
Sit ergo ut a b nauis tangat roſtro b c ſic ut
diffugiat
, erit hypomochlium c, & ſi tangat
e
f hypomochlium eſt in d dupla, ergo eſt c b
ipſi
d e, igitur ictus duplo minor excipitur à
c
b quàm ef.
Eſt etiam tempus longè maius,
quo
excipit ictum ef, quàm b c: ſtatim enim diſcedit b c occurritque
aliis
partibus, in c f autem impingit, & angulus a d c eſt longè ma­
ior
recto, quàm a b f: ob hæc igitur longè maior eſt ictus c f quàm
b
c: uocant autem hoc declinationem.
Propoſitio ſeptuageſima ſeptima.
Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus
inuenire
.
Co^{m}.
Cùm uentus fertur ad puppim rectà, nauiſqúe gubernaculum di
1rigitur, tendunturqúe uela ac expanduntur ſumma in parte mali,
tunc
motus eſt uelociſsimus: fingamus autem, quod omnia ad
idem
tendant præter uentum, qui non directus ſit ad puppim, ſed
à
latere, ut uides, & temo ſitin contrarium tantundem directus, &
ſupponamus
pro nunc, quod uelum ſit ſolum in anteriore parte
nauis
, nam ſecus eſſet nimis magna differentia,
83[Figure 83]
quod
nauis una ageretur tribus malis alia una:
Quæritur
igitur proportio motus b c ad mo­
tum
d e: fiat ergo c f æqualis e g, ita ut f angulus
rectus
ſit, & manifeſtum eſt, quod h c maior eſt
c
f, cum ergo angulus f rectus ſit, quanto maior
erit
angulus h c f, tanto maior erit proportio h c
ad
c f, quod eſt primum a, ińde noto angulo h c f
per
ea, quæ tradita ſunt ab Aſtrologis de ſinu &
arcu
erit nota proportio c h ad c f, ideo ad e g
fiat
ergo c k æqualis c h, igitur c k erit maior e g, ſi ergo perambula­
bit
æqualiter c, ut c h, erit temporis motus e g ad motum e f, ut c k
ad
c f, igitur cum nota ſit c k, eſt enim æqualis c h, erit temporis ad
tempus
proportio nota.
Quod autem in æquali tempore mouebi­
tur
nauis per c k & h c patet ex aſſumpto inferius declarando.
Propoſ. 99.
Propoſitio ſeptuageſima octaua.
Propoſitionem nauis ad triremes quotuis concurrentes de­
monſtrare
.
Sit nauis deferens pondus decuplo maius triremi, & conſtat,

quod
impulſu æquabitur decem triremibus, ubi flante uento e
puppi
æqualiter feratur in aduerſum, quantum triremes ui homi­
num
.
Sed quoniam triremes impediuntur à uento licet ſine uelis
ſint
, habent enim & ipſę malum, & uelum, ſed exigua comparatio­

ne
nauium, ideo ictus ille multo ualidior eſt ex demonſtratis.
Cum
uero
uis illa ſimul ſit, liquet, 'quòd hoc in caſu niſi machinæ obſta­
rent
una nauis mille poſſet obruere triremes diſiunctas per tantum
ſpatium
inter ſe, quantum eſt id, in quo nauis poteſt uenti impul­
ſum
recipere.
At impedimentorum maximum ſunt machinæ, quæ
in
nauim collimant à lateribus, cum triremes quaquâ uerſum ſe
gant
, & ob id proram ſolam exponunt ictibus, in quam difficile
eſt
collimare, & ſi tangatur pars ea robuſtior eſt, nec periculum
euerſionis
adeò in currit, ut à lateribus: nec enim adeò anguſta eſt a
prora
ad puppim nauis, quam à latere ad latus: his tot cauſis mi­
nus
eſt obnoxia machinis triremis, quám nauis.
Sed & alia cauſa
eſt
, quoniam neceſſe eſt ut ob angulum laterum ad proram
1ictus dilabatur ſępius ſolum traiecta ſuperficie. Secundum impe­
dimentum
eſt à uento, ſi ualde obliquus ſit, nam ad rectum impul­
ſum
, multum debilitatur: aut ſi inconſtans ſit, uiribusque remittatur.
Tertium uerò ſi triremes inuicem connexæ ſint, ac ſe tangant, in
quas
nauis dirigitur.
Sed & hoc infrà demonſtrabitur nauim, ut le­

uior
fuerit facilius elabi, ſed ut pondere magis onerata grauiores
ictus
inferre: ob hoc triremem inuenerunt mediam maximi uſus
ἀμφήρην.
Galeonum uulgò uocant.
Co^{m}.
Propoſ. 74.
Prop. 109.
Propoſitio ſeptuageſima nona.
Proportionem medicamentorum purgantium inuicem de­
clarare
.
Co^{m}.
Scio, quàm multa concurrant, etiam per ſe ad purgationem mul
titudo
humorum præparatio locus propinquus, ſed nobis ſer­
mo
eſt pari ſub conditione, ut ſit dimidia uncia Caſsiæ nigræ in tri­
bus
uicibus expurget libram humorum, & uelim ſcire ab una un­
cia
, quoties expurgabitur, & quantum.
Dico, quod in ſcamonio, &
agarico
hæc ratio deprehendi poteſt: in his autem medicamentis,
quæ
magis leniunt, quàm à proprietate educant, ut eſt caſsia nigra,
ratio
hæc non ualet, quoniam feces quando que pro maiore par­
te
educuntur, ita ut etiam multiplicato medicamento deſit, quod
educatur
.
Et quamuis humores iuxta proportionem trahat, cum
tamen
feces proportionem non ſeruent, ſequitur: ut aggregati ad

aggregatum
proportio non ſeruetur.
At non eſt facile poſtmo­
dum
internoſcere feces ab humoribus, quocirca uidetur propor­
tio
illa confundi.
Quod ſi medicamentum leniens, fiat ob quanti­
tatem
purgans humores, ut de multa caſsia nigra, tunc non poteſt
aſsignari
illa comparatio niſi ut eſt medicamentum purgans.
Et ſit
gratia
exempli, primum ut grana ſex ſcamonij purgent aliquem
ter
, & uncias decem bilis, dico iuxta rationem ſupra poſitam, quod

grana
duodecim purgabunt iuxta proportionem duplam ſexqui­
alteram
, ſi duo grana nil purgant, ſed commouent.
æqualia enim

ſunt
: ut quatuor ſint dupla, & ſex tripla, & mouent ter, quia ſexqui­
alteram
habent proportionem ad exceſſum, igitur duodecim du­
plam
, & ſexquialteram ad quatuor, nam decem ad quatuor eſt du­
pla
ſexquialtera, & purgabit ſepties cum nixu libras duas fer­
me
bilis.
Vt comparatio fiat exceſſus ad uim, quæ reſiſtit eodem
modo
.
In caſsia ergo nigra ſi uncia una non purga, ſed lenit tantum,
& duæ unciæ purgant ter, & libram unam bilis, tres unciæ duplam
1habent proportionem iuxta exceſſum ad unam, exceſſus igitur
duplum
purgabunt, & duplo magis, id eſt præter feces libras
duas
bilis in ſex uicibus.
Ex conuerſa 18. quint.
Propoſ. 37.
Propoſ. 42.
Propoſitio octuageſima.
Proportionem motus ſecundum obliquum ad rectum in ſpa­
tio
declarare.
Hæc uídetur ſimilis ſuperiori cuidam propoſitioni, ſed tamen in

hoc
differt, quoniam in c a ſupponimus nauim moueri, ut concu­
tiat
, hic autem iuxta motum ſolum: ut proponamus b nauim ferri
84[Figure 84]
uerſus
a uento recto ex b in a: ſit autem uentus ex
cin
a mouens nauim ex b in a: nòn enim moue­
bit
ut quidam putant in ratione c a ad b a: ut ſi ca
ſit
ſexquiquarta ad b a, ut æquali impetu ex b &
c
flante uento moueretur tardius per c a, quam
per
b a, quia æqualiter ex ſuppoſito: ergo tanto
tardius
c fertur in a, quam b in idem quanto lon­
gior
eſt c a, b a igitur ſi b perueniet in a in qua­
tuor
diebus c perueniet in idem a in quinque
diebus
.
Hoc enim eſt per ſe manifeſtum: ſed non quærimus id, ſed
ut
uento c a æquali per c a ei, qui eſt b a per b a, ubi b moueatur uen
to
c a per b a, quanto tardius mouebitur.
Mouebitur. n. tardius ad
a
per b a, quam per c a, at per c a tardius, quam ex b in a per æqua­
lem
uim, ergo multo tardius ex b in a per c a uentum, quam per uen
tum
ex b in a.
Quærimus ergo compoſitionem horum, ut ſit c
nauis
, quæ debeat transferri ad a per uentum ex b, & ſequitur,
quod
tardius, quam ex c per uentum ex c in a, & tardius ex b per
uentum
ex cin a.
Ergo malus, qui in prora eſt conuoluto eo, qui
eſt
in puppi, ut etiam Ariſtoteles docet tantundem nititur ad re­

ctum
ex cin æquidiſtantem locum ab a quantum c diſtat ab con­
tra
temo, qui in puppi eſt dirigitur ad h, & ſi ualidius ſit uentus
tiam
adiuuante temonem, ſeu contra nitente, quantum licet mo­
bili
pondere nauis ad id latus, premitur enim nauis, quaſi ſubmer­
gi
debeat, uento in aduerſum premente, ut ſi uentus repente huic
contrarius
exoriatur, periculum ſubeat, ne obruatur.
Cum ergo uen­
tus
ex b feratur, æquidiſtans c h, & c feratur per temonem in k, & ab
oppoſitis
æqualis actio ſequatur, imò tota impeditur, ex c in h fere­
tur
iuxta proportionem anguli, quem conſtituit h c cum a c ad to­
um
rectum, Si igitur ex c in a debuit ferri in duodecim horis ob
1uim uenti, & uiæ longitudinem, angulus uerò h c a ſit ſexta re­
cti
pars, feretur ex c uerſus a ad quantitatem b a in quatuorde­
cim
horis: igitur rurſus quanta eſt proportio c a ad b a tan­
tum
eſt temporis, in quo fertur ex c ad a ad quatuor decim horas
per
uentum b a.
Co^{m}.
Quæſt. 7. Mechanica.
Propoſitio octuageſima prima.
Qualis ſit angulus, per quem poteſt moueri nauis ad rectum
explorare
.
Co^{m}.
Cum in præcedenti propoſitione oſtenſum ſit angulum k c a
oportere
eſſe æqualem angulo h c a, ut feratur, c in a uento c h, nec
tamen
prorſus, ſed temo magis inflectit uerſus k quam uentus co­
git
uerſus h: ſicut contra maiori ui uentus dirigit ad h, quàm temo
ad
k, ut neceſſe ſit nauim flecti ad k pondere, ideo ſi uentus eſſet
tranſuerſus
periclitaretur, neceſſe eſt, ut per omnes uentos, qui fe­
runt
ab ea, quæ ad perpendiculum ſuper c a, & ſunt quatuor decim:
ſed
quoniam, ut dixi, pondere adiuuante uis uenti minor fit, neceſ­
ſe
eſt, ut per uentos debiliores feratur magis ab extremis, qui pro­
pe
perpendiculum ſunt: ita ut numerus omnium ſit, cum leuiſsimi
fuerint
, quatuor decim, cum uiolentiſsimi, tres tantum proprius, &
qui
diſtant trigeſima ſecunda parte totius circuli, id eſt partibus un
decimi
, cum quarta reliqui undecim, medij ſunt: ut tanto plures aſ­
ſumi
poſsint à Nauclero, quanto molliores ſunt uenti, tanto pau­
ciores
, quo uiolentiores.
Tutius autem fuerit in ualidis uentis diri­
gere
nauim per uentum proximiorem, quam per ipſummet, qui re­

ctè
tendit ad locum.
Veluti tendat nauis ex a in b, uentus tendat in
c
ualidior, cumque magnus fuerit angulus c a b, ut potè dodrans to­
tius
recti, ut eſſet temo dirigendus ad ſextum uentum altrinſecus di
rigemus
ſolum ad quintum, ut feratur in d, & hoc erit tanto cele­
rius
, & celerius feratur per a d & d b, quàm ſi nauis recta lata eſſet
ex
a in b.
inſuper tutius.
Propoſ. 83
Propoſitio octuageſimaſecunda.
Proportionem uelorum indagare.
Co^{m}.
Vela tribus in locis diſponi ſolent dolo b, quod in prora con­
ſtituitur
, & in malo, qui ponitur in medio ratione, quæ inferius
oſtendetur
, ſed non ad unguem, quia cum malus in anteriorem
partem
à uento impellatur, ſi eſſet in medio, ſemper præmeretur
nauis
in anteriorem partem, ex quo duo magna incommoda ſeque
rentur
: primùm ut periculum ſubiret, ne inuerſa in anteriorem
1tem ſubmergeretur. Secundum ne preſſa in parte anteriore dif­
ficilius
aquas diſſecaret, & ob id longe tardius, moueretur.
Pro­
pter
hæc duo incommoda igitur malus etiam ſi unicus eſſet
(quod uulgatiſsimum maioribus noſtris |fuit) in parte magis
proræ
proxima locabatur à gubernatoribus, ut eſſet quaſi in trien
te
à roſtro in beſſe à puppi: Rarum fuit, & memorabile, quod nunc
paſsim
habet olim Antigoni τριαμέου& 1, uelorum trium: quorum
poſtremum
Epidromus ut ipſa uoce intelligamus non fuiſſe ue­
lum
in malo ipſo medio, ſed in puppi conſtitutum.
Cauſa Dolonis
inferius
exponetur: quod autem eſſet paruum, & omnium mini­
mum
, ut nauis facile ab eo inuerteretur.
Vnde etiam nunc minus
minime
habent tam quantitate, quam etiam altitudine, quod uo­
cant
Trinehetum, ſolum enim ſuſtinet nauim, quæ à uentis, uel un­
dis
mergi ſolet: ab undis ubi humilior eſt, à uentis à lateribus, et an­
teriore
parte.
Vnde humile, & exiguum uelum efficit, ut nauis ante­
riore
parte leuis, nec mergatur prona à uentis, nec aquas ea exci­
piat
, nec tamen impelli poteſt nauis in ſcopulos, nec euerti ob cau­
ſas
dictas: ob quæ in magnis tempeſtatibus hoc ipſo duntaxat uti
ſolent
.
Quod etſi nimium ſæuierint, etiam illud demittunt, & ſi
fieri
poteſt, etiam malum ipſam quamuis ſine uelo ſit.
Sed plerun­
que
circumuolutam, & implicatam ſolet antennam annexam, at­
que
ſuſpenſam habere.
Sed & ne nauis prorſum obruatur, quo­
niam
ea pars omnem uentorum uim excipere ſolet, & ut leuiſsima
ſit
ijdem Gubernatores puppim multa arena, lapillis qúe onerant.
Ergo uelocitas nauis à uentorum impetu, eorumqúe rectitudi­
ne
à uelorum magnitudine, & loco humiliore, aut ſublimiore ha­
betur
: tum nauis leuitate, & forma.
Quæ enim non merguntur ut
δρομάδες (ſic enim uocat Ariſtophanes) eas, quas nunc uulgus fre­
gatas
appellat) quaſi aquas innatantes curſu ſunt uelociſsimæ.
Et
longiores
latis.
Poſt has ſunt, quæ carinam habent tenuem, ut fa­
cile
aquas diuidant.
Vltimo loco, quæ quaſi mediæ, ante quidem
tenues
, pòſt latiores ad uelocem curſum, & ferendum onera aptæ,
& humiles altis: & leui ex ligno.
Sed nos de uelorum uarieta­
te
loquimur, non ea', quæ ad malos pertinet.
Conſtat enim me­
dio
loco plus mouere, quam in extremis, ut infrà docebi­
mus
.
Antiquo enim tempore opus non fuit malorum mul­
titudine
, quoniam ſijderibus uias dirigebant ob id non ad
amuſsim
, quoniam linea dirigi non poterat maximè ob mo­
tus
obliquitatem in circulo uiſus: ideò mali multi confu­
ſionem
in curſu, & impedimentum in naui, maiuſqúe pericu­
lum
attuliſſent.
At nunc inuenta pyxide, & lapidis
1culei auxilio pluribus locis uela diſpoſita melius dirigunt iter, ut
quaſi
craſſa minerua depictum, & poteſtate deformatum, ad amuſ­
ſim
contrahant.
Motus ergo magnitudo non ſimpliciter conſtat,
ſed
comparatione ſuperficiei ueli ad uelum longitudine quidem,

ac
latitudine conflata per multiplicationem.
Altitudinis quo que ut

infrà
exponetur.
Ex quorum omnium ductu, quaſi cubica, uel tri­
plicata
ratione, ut ſuperius oſtenſum eſt, ratio uelocitatis motus na
uium
conflatur.
Propoſ. 86.
Propoſ. 42.
Propoſitio octuageſima tertia.
Proportionem receſſus à recta uia ad obliquitatem inueſtigare.
Co^{m}.
Sit nauis in a itura in b (uentus rectus ad c, medius ad e) per ob­
liquum
, cum ergo tardius moueatur per a e quàm a c & per a b, quam
per
a d, & ſint ad perpendiculum b e, b d quas conſtat eſſe breuiſsi­
mas
earum, quæ ad a c & ad a d.
Queritur igitur quando uelocius
85[Figure 85]
ferretur
ad b, an cum per a c, c b, an cum per a d, d b,
an
cum per a b ſimpliciter.
Et conſtat quod a d & d b
longiores
ſunt a b, iſtud enim demonſtratum eſt ab
Euclide
in primo Elementorum, dico modo a c, &

c
b eſſe longiores a d & d b, nam quadrata a d & d b
& a c & c b ſunt æqualia quadrato a b per dicta ibi­

dem
, & ideo quadrata a c & c b ęqualia quadratis a d
& d b, ſed a d eſt longior a c, quia ducta c d angulus
d
c a eſt obtuſus, igitur ad maiorem a c per decimam
nonam
primi Elementorum: quare per communem
animi
ſententiam quadratum a d maius eſt quadrato a c, quare rur­
ſus
per communem animi ſententiam quadratum c b maius eſt
quadrato
d b.
Cum ergo quadrata a d & d b æqualia ſint quadra­
tis
a c & c b, & a d ſit maior a c & c b maior d b, ſequitur per nonam
ſecundi
Elementorum, quod a c & c d ſint maiores a d & d b pari­
ter
acceptis.
Si ergo maior fuerit exceſſus quàm proportio motus
per
temonem cohibiti, ut ſupra uiſum eſt, tardius mouebitur per
a
d, d b quàm a b per a c, c b quàm per a d, d b, ſed ſi contrà maior ſit
proportio
motus cohibiti à temone ad motum liberum quàm ex­

ceſſus
ad exceſſum uelocius mouebitur per a d d b, quàm per a b,
& per a c quàm per a b.
Accedit huc e incommodo longioris uiæ,
quod
uento a c non poterit ferri nauis ex c d in b, quoniam antea
ægre
ferebatur: & nunc ægrius per c b quàm a b, plus enim diſtat
uentus
a c ab itinere c a quàm à uento a b, ut uiſum eſt ſuperius, igi­
tur
multo melius eſt (ni quid obſtet) ire per a b quàm per ullam aliam

uiam
: niſi ſtationes ſint in c d, uel periculum immineat in a b.
Vbi ta
men
uenti ſecundarent, tantum eſt uirium in recto curſu, & æquali
1uelocitate ferretur citius ex a in b per a d d b, & etiam citius per a c,
c
b in b quam per ipſam a b, quod fuit propoſitum declarare.
Propoſ. 20.
Propoſ. 47.
Propoſ. 80.
Per 81. Propoſ.
Propoſitio octuageſima quarta.
Diſtantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Her
culei
declarare.
Co_{m}.
Non me later Ariſtotelem exiſtimare centrum mundi eſſe cen­
trum
terræ illudque probaſſe, quod tamen ex demonſtratione noſtra
mathematica
apparet nunc ſubijciam, & quid ad illius rationes di­
cendum
ſit, aliâs etiam dicendum erit: nam liber hic, ut mathemati­
ca
decet, eſſe debet ab omnibus contentionibus abſolutus.
Con­
ſtat
ſanè non eſſe propriam uim lapidis illius, ut qui non ſit circum­
ſcriptus
ſed fruſtulum quoduis id poteſt, neque per ſe, ſed in ferro &
pendulo
, nec fieri poteſt, ut ſit illius tanquam ſpeciei unius lapidum,
ſed
quaſi perfectæ portionis cuiuſdam generis terræ, quæ abſolu­
ta
ſit, cuius indicium eſt illius copia, neque enim ullibi non inuenitur,
& ubi ferrum effoditur, ut in Ilua Inſula Tyrrheno mari, eſt ergo fer
86[Figure 86]
ri
uis terræ maritæ, quæ perfecta in ſuo ge­
nere
, ubi uim fecundam acceperit à maſcu­
lo
ſcilicet Herculeo lapide, quærit primum
ut
deſcendat, ubi hoc non poſsit ſaltem quæ­
rit
, ut quieſcere poſsit.
Vt ergo quieſcat à
motu
cœli qui eſt ab Oriente in Occiden­
tem
iuxta axis cœli ſitum ſe dirigit, quod
ille
ſolus quieſcat in ſuo motu, uel ſaltem
tardiſsimè
moueatur: indicio eſt quod ſi
extra
ſitum illum acus ferrea imbuta eo lapide ponatur, ſtatim tre­
mit
uehementer, adeò ut nec momento ullo conſiſtat, ſed miſerè &
grauiter
torqueri uideatur, non ergo quod ſentiat polorum locum
qui
tantum abeſt ab illa, ut nec ab homine perito mathematicarum,
ſed
quod uix illa cœli ſentiatur circa centrum mundi.
Cuius indi­
cio
eſt Oceani maris, aquarum fluxus & refluxus.
Duos ergo ha­
bet
motus terra perfecta, ſeu ferrum lapide Herculeo imbutum ſub­
ordinatos
imperfectum perfecto: perfectus eſt, ut deſcendat ad cen
trum
terræ, ut ibi quieſcat: imperfectum, cum à perfecto prohibe­
tur
, ut quieſcat ſaltem extra centrum cum in clinatione ad centrum,
et
hoc fiet ſi ſecundum longitudinem acus dirigatur per axem mun
di
, cum ſitu tamen deſcenſui ad terræ centrum proximiore, ut ſæpi­
us
ſuperius declarauimus, dum de motu grauium & præcipuè li­
bræ
, & centro grauitatis loqueremur.
Quibus demonſtratis tum
experimento
tum ratione à Fortunio Affaytato Cremonenſi Me­
dico
, cum per hæc poſtmodum cogeretur fateri acum ad polum
1tendere, cum tamen tendat à dextro latere ſcilicet ab Oriente no­
uem
partibus, ſeu decima parte unius recti in centro terræ, quæ eſt
quadrageſima
totius ambitus cœli.
Statuatur centrum mundi a, &
b
a c axis, ſecundum quam mouetur motu diurno, ita l a dextra exit
oriens
, k a ſiniſtra occidens, & ſtatuatur d centrum terræ, ſeu ſuprà
ſeu
infrà, non tamen in linea b c, ſed uel ſuprà in dextra parte, uel in­
frà
in ſiniſtra, ita ut ducta linea per illud punctum arcus b g ſit no­
uem
partium.
Conſtituta ergo acu in e puncto, ubi linea h ad g ſecat
peripheriam
terrę dico, quod acus dirigetur per h g, & non per b c,
nam
acus mouetur ad centrum per eam, & in eo ſitu tota dirigitur,
quia
omnes partes grauis conſentiunt in motu principij grauitatis
ad
centrum, hoc enim demonſtratum: nixus ergo eſt ut moueatur
per
c d, & in eo nixu qui eſt quies cuſtodit lineam axis, quæ eſt a b,
ut
quieſcat, ergo non quieſcet, niſi in linea d g, quod erat demon­
ſtrandum
.
Quæ autem ſequuntur ex his corrolaria omnia concor­
dant
cum experimentis.
Ergo hic ſermo eſt demonſtratiuus, ut
nim
bene dixit Auerroes: Sermo demonſtratiuus ſatisfacit omni­
bus
problematibus quæ contingunt circa principale quæſitum.
Ex
hoc
ergo patet, quod angulus diſtantia d ab a in latitudine eſt deci­
ma
pars recti, et quod quanto magis diſtatin longitudine centrum
terræ
à centro mundi, tanto etiam minus diſtatin latitudine.
Hæc
enim
ſunt demonſtrata clarè in mathematicis.
Vnde fieri poſſet
quod
hæc quantitas diſtantiæ eſſet res, per quam exigua etiam ſi
non
eſſet maior quatuor digitis ſufficeret, modo etiam per ualde
paruum
ſpatium diſtaret ab eodem in longitudine.
De cauſa au­
tem
huius differentiæ aliâs dicendum erit, hic locus non eſt, ſed ſuf­
ficit
ſcire quod ita ſit, quod ſi mobilis ſit punctus d, clarum eſt ali­
quando
futurum ut minus diſtet g à b, aliquando ut ſit idem.
Et
qualiſcunque
motus ſit, neceſſe eſt eam diſtantiam uariari.
Propoſitio octuageſima quinta.
Proportio ponderis unius grauis ad aliud ſub eadem menſura
eſt
, ueluti eiuſdem ad differentiam ponderis uaſis repleti ex altero
graui
, & ex ambobus detracto priore.
Co^{m}.
Sit aurum a, & liquor b, quæ repleant uas c, &
pondus
amborum ſit librarum quadraginta, &
87[Figure 87]
uas
repletum liquore ſolo ſit librarum xxix, au­
rum
autem ſit ponderis librarum xij, igitur reli­
quum
erit ponderis xxviij, differentia ergo ua­
ſis
pleni, & non pleni liquore eſt libra una, pon­
dus
auri eſt librarum duodecim: dico quod au­
ri
pondus eſt duodecuplum ponderi liquoris, &
1ſi fuiſſet pondus amborum libræ xxxix, manentibus reliquis, ſeque
retur
quod pondus liquoris eſſet xxvij, & quia plenum uas ſuppo­
nitur
eſſe librarum xxix, eſſet differentia libræ ij, at auri pondus eſt
libræ
xij, igitur proportio ponderis auri ad liquorem eſſet ſexcu­
pla
.
Nam ſi uas plenum liquore ex ſuppoſito eſt librarum xxix, &
cum
auro xl, gratia exempli, & auri pondus eſt xij, igitur liquoris
pondus
eſt xxviij librarum: ſed cum liquor ſit corpus ſimilium par­
tium
, igitur loci ad lo cum, ut ponderis ad pondus, ergo dum adeſt
aurum
, liquor occupat xxviij partes cxxxix, totius uaſis igitur au­
rum
continet unam partem tantum, & cum aurum pondus habeat
librarum
xij, & liquor unius: quia totum uas cxxxix librarum dum
eſt
plenum, & eſt diuiſum in xxix partes, igitur pondus unius par­
tis
liquoris eſt una libra, igitur pondus auri eſt duodecuplum ad
pondus
liquoris quod fuit propoſitum.
Cor^{m}. 1.
Ex quo ſequitur quòd ſi ducatur pondus illud partis per pon­
dus
repleti uaſis ex alio graui, & productum diuidatur per differen
tiam
illam, prodibit pondus uaſis repleti liquore graui.
Co^{m}.
Exemplum, ſi pondus auri fuerit librarum xij, pondus uaſis re­
pleti
liquore xxix librarum, pondus auri & liquoris replentium
uas
xxxix librarum, ducemus xij in xxix fit cccxlviij, diuido perij
differentiam
xxvij ponderis uaſis, repleti ex ambobus detracto au­
ri
pondere, & xxix ponderis uaſis repleti liquore exit clxxiiij, & tan
tum
auri uas illud continebit, nam cum duæ partes quas occupa­
bat
aurum eſſent ponderis librarum xij, totum quod erat partium
xxix
, continebit decies & quater cum dimidio illud aurum xij, aut
ductum
in xiiij cum dimidio, efficit cclxxiiij ut prius.
EXEMPLVM.
Quia ergo in ſuperiore propoſitione docui, quod ferrum eſt ue­
ra
terra: uolui ſcire qualis eſſet proportio ferri ad aquam.
Accepi ur
ceum
cuius aqua dum plenus eſſet ponderis, fuit unciarum ſex, &
ſeptuncis
unciæ, & ſeptuncis duodecimæ partis unciæ & pondus
ferri
unciæ ſeptem, & triens unciæ & triens duodecimæ partis un­
ciæ
: & uaſis aquę & ferro eodem repleti unciæ tredecim, & duode­
cima
& ſeptunx duodecimæ partis unciæ.
Detrahemus ergo vij &
trientem
& trientem duodecimæ.
i. 7 & 64/144 pondus ferri ex 13 19/144, &
relinquentur
5 99/144, detrahe ex 6 81/144, pondere aquæ totius uaſis relin
quuntur
17/18, diuide 7 64/144 per 17/18 exit proportio ponderis ferri ad pon
dus
aquæ 7 15/17. Et hoc eſt proximum ei quod dixit Philoſophus de
proportione
ponderis terræ & aquæ.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc patet ſolutio problematis cuiuſdam propoſiti aliasque mi
nus
bene ſoluti cùm cauſam habeat manifeſtiſsimam, ſcilicet quod
1uaſe aqua pleno impoſitis ſenſim centum aureis coronatis nihil ef­
funditur
, non quod quicquam abſumatur in metallo, ſed cauſa eſt
quod
cum aurum ſit duplum pondere ferro, erit ex demonſtratis
ſex
decuplum ad pondus aquæ.
Igitur cum ſit proportio ponderis
auri
ad differentiam ſpatij eadem, ſi ſit uas aquæ ponderis libræ
unius
& mediæ, erit pondus totum xxiij unciarum, igitur aqua de­
ficiet
ſolum ex decimaoctaua parte ſeu creſcet ex impoſitione auri,
ſed
illa pars in tumore aquæ abſumitur, non ſolum, quia
88[Figure 88]
dum
aureos imponimus plana ſolum ſit, ſed quia non ex
quauis
rotunditate defluit, aliter in urceo tam exiguo
non
poſſet apparere rotunda: quod enim rotunditas to­
tius
terræ, quæ etiam planam oſtendit totam unam re­
gionem
ad rotunditatem quæ apparet in exiguo urceo
aquæ
.
Eſt igitur rotunditas illa potius ob lentorem aquę qui auge­
tur
à lentore argenti, & etiam magis auri, cum ſenſu digitorum per­
cipiatur
.
Cor^{m}. 3.
Ex hoc apparet ratio quomodo Archimedes potuerit deprehen
dere
coronam à Hierone propoſitam quantum auri & argenti con
tineret
.
Sit ergo uas a b aqua plenum ponderis unciarum triginta, &
cum
libra auri ſit ponderis unciarum quadraginta unius, & cum li­
bra
argenti ponderis unciarum quadraginta cum dimidio, igitur
erit
auri pondus ad aquæ pondus duodecuplum, argenti autem
ad
idem octuplum, quare auri ad argentum pondus ſexquialterum.
Ponamus ergo quod corona impoſita ex auro & argento ſolo fa­
bricata
(hoc enim ſupponere oportet) fuerit unciarum ſexaginta,
pondus
autem aquæ contentę cum corona in uaſe unciarum uigin
ti
quatuor cum dimidio, ſcilicet totum octuaginta quatuor cum di­
midia
, erit ergo proportio ponderis coronæ ad pondus aquæ, ut
cxx
ad xi, aurum igitur eſt proportione duodecuplum, argentum
autem
octuplum, corona ut cxx ad xi.
Conſtituantur ſub eiſdem ra­
tionibus
ducen do lxxxviij.
cxx. cxxxij. hoc eſt ac ſi dicamus, accipe
partes
ex cxxxij & lxxxviij, tot ut faciant integrum & componant
cxx
.
Et ideò reduces ad minores numeros, ſcilicet xxxiij. xxij. et xxx.

& operaberis per regulam de conſolatione monetarum, quas po­
nemus
infrà, & fient auri partes octo & argen
89[Figure 89]
ti
partes iij, nam cum duxeris iij in octo pon­
dus
argenti fiet xxiiij, & cum duxeris viij in
xij
, pondus auri fiet xcvi, igitur totum pon­
dus
erit cxx, diuidendum per xi, aggregatum
partium
auri & argenti, ita uero uncia ad unciam, ut tota corona mi
ſta
ad coronam puram auri & argenti.
1
Propoſ. 178.
Ex hoc etiam patet modus cognoſcendi proportionem grauium

inuicem
per ſolam aquam, uelut auri ad plumbum, ad lapides uel
æs
, aut æris ad lapidem & ſimilia, ut in præcedenti operatione de­
prehendiſti
: nam cum ſit nota proportio auri ad aquam & æris uel
lapidis
ad eandem, erit auri ad æs uel lapidem nota.
Cor^{m}. 4.
Et ſimiliter ſciemus per hoc accipere partes diuerſorum, quę iun

ctæ
faciant conſtitutum pondus.
Velut uolo facere maſſam ex mel­
90[Figure 90]
le
& aqua, quæ impleat uas, quod mellis contineat
quindecim
, aquæ duodecim, uolo ut contentum ſit
ponderis
quatuordecim, operabor, ut in conſolatio­
nibus
, ponam duas partes mellis & unam aquæ, ut
uides
in operatione à latere.
Cor^{m}. 5.
Propoſitio octuageſima ſexta.
Si circuli in æquales, ſeu in ſphæra, ſeu in plano ſe ſecuerint nun­
quam
oppoſitos angulos æquales habent.
Capiantur tres quartæ circulorum magnorum a b, a c, b c, & alia

b
d ad rectos angulos eruntque uiciſsim poli, & ducatur per medium
parallelus
, erit ergo e f æqualis e g, & f e æqualis f g, ſed baſis c g eſt
91[Figure 91]
quarta
circuli, & baſis c b dimidium quartæ
circuli
eo quod tota b a eſt quarta circuli, igi­
tur
per modum 25 primi Elementorum quæ
tenet
, erit angulus c f g maior oppoſito c f b.
Hoc autem tenet in eiuſdem rationis ſuperfi­
ciebus
, quales ſunt , quæ ſunt ſuperficies eiuſdem ſphęræ.
poſſet
etiam
demonſtrari per modum quartæ primi Elementorum.
Et eti­
am
conſtituta ſphæra e f g, cuius hic circulus eſſet maior circulus, &
non
tangeret niſi in illa linea ſphæra maiorem, & utrin que ſecaret eo­
dem
circulo.
Et etiam per cordas & trigonos rectilineos, auxilio
tamen regulæ dialecticæ.
Ex hoc ſequitur auxilio regulæ dialecticæ,
92[Figure 92]
quod
in omnibus parallelis a c d & e f g cum b c circulo
maiore
, & per aliam regulam dialecticam in omnibus cira
culis
inæqualibus inter ſe ad æquales angulos ſecanti­
bus
& ex tertia demum regula dialectica, ſequitur in
mnibus
circulis in æqualibus ſe ſecantibus ad quemuis
angulum
in ſphæræ ſuperficie.
Sunt autem regulæ mediæ inter
axiomata
& demonſtrata.
Et ex logica propria illi arti. In plano au­

tem
ſpatium d b c minus eſt a b c, ſed ſpatium c b d eſt unum, ergo
per
communem animi ſententiam ſpatium a b d, maius eſt ſpatio
c
b c, quod fuit probandum.
1
Co^{m}.
Per 13. terd
tij
Element.
Propoſitio octuageſima ſeptima.
Proportionem craſsitiei aquæ ad aërem in comparatione ad ra­
dios
demonſtrare.
Co^{m}.
Sit in aheno a b c d in imo e dena
93[Figure 93]
rius
argenteus cera affixus uel cla­
uo
, quem uideat ex h impoſita aqua
clara
uſque ad f, uideat ex k, igitur per
aquam
deflectitur à perpendiculo
per
angulum k f n, & in l, per angu­
lum
l g o creſcente aqua demum in
labro
m a p, & ſit e annexus, & tabu
la
h k l m ſit affixa ſolo uel pondere
firma
foraminibus obliquis infrà
ſpectantibus
, & per a aſpicientibus extremitatem e.
Poſſumus ergo
imaginari
primum, quòd omnes inclinationes ſint à perpendicu­
lari
, dum exit aqua, & ita denarius uideretur, uel in ſuperficie aquæ
in
directo e, uel in recta ex oculo in imo, quorum neutrum uerum
eſt
.
Secundus modus eſt, ut radius delatus e a flectatur ad k uel l, &
hoc
non quia in a non eſt mutatio medij.
Tertius eſt, ut linea ex ocu
lo
ducta perueniat per punctum a ad ſuperficiem aquæ, & ex ea
per
directum ad denarium, & tunc quia oculus iudicat ſe uidere
per
rectam, ideo iudicabit ſe uidere per l a g in q, eo quod ſemper in
directo
loci in quo eſt e.
At quoniam non ex qua cunque diſtantia ui­
detur
e, ſed ex longinquiore loco, ubi uas fuerit humilius quod li­
neæ
ad a ex oculo, quanto a fuerit humilius, tanto propius ipſi e
procedunt
.
Et uerſa uice lineæ ex e ad a, quanto e eſt humilius ad
quencunque
locum inflectuntur, tanto inferius cadunt.
Ergo cum fue
rint
ad æquilibrium h, magis diſtabunt ab e, & ita e magis procul
uidebitur
.
Cauſa ergo triplex eſt humilitas, uel altitudo uaſis: humi
litas
uel altitudo aquæ: & labri uaſis altitudo.
Sed hanc relinquere
poſſumus
.
Difficultas ergo experimenti etiam rectè facti eſt, quo­
niam
poſito uaſe n c d ſolum, ut altitudo ſit tantum n e, procul ma­
gis
uidebitur e, quàm ſi uas ſit a b c d, & totum plenum.
Vbi autem
uas
fit a b c d, magis procul uidebitur e cum ſuerit totum plenum,
quam
cum fuerit plena ſola pars n c d.
Sic difficile eſt conſiderare
an
altitudo aquæ faciat ad uiſionem procul, cum in humiliore, ſed
diſsipari
uaſe longius uideatur in pauca, quia labrum non obſtat:
in
eodem autem longius in pluri aqua, quia labrum etiam non ob­
ſtat
, ſed alia ratione.
Vt ergo uideamus hoc experimentum,
1mus duo uaſa a b c d duplum h k l m ſub eadem proportione alti­
tudinis
& latitudinis, & collocabimus ita ut p n radius æquidiſtet
f
e, & collocabimus tabulas cum foraminibus, ut prius, & g f p q
94[Figure 94]
in
æquilibrio, in de uidebimus, an q p ſit æqualis aut breuior, nam
longior
eſſe non poteſt, quoniam inflectitur a minore aqua, ideo
angulus
p h q non poteſt eſſe maior f a g, ſuppoſita p h æquali a f:
quod
ſi non eſſet, ſufficeret, ut q & p eſſent in æquilibrio uno, & f g
alio
.
Sed ueritas eſt quod à maiore aqua maior fit reflexio: tum
quia
in his, quæ ſunt ſecundum naturam corpoream, & ſubſtan­
tiam
denſam, aut tenuem uarietas quantitatis uariat uires: tum
quia
uidemus, quod in altiore aqua denarius uidetur magis cum
fundo
elatus.
Igitur his cognitis experimentum fiat cum uaſe ple­
no
.
Et (ut dixi) conſiderabimus proportionem anguli f a g ad far,
ſeu
f e c quæ ſanè eſt notabilis: adeò ut ſit maior proportio aquæ ad
aërem
comparatione grauium quàm lucis.
Cor^{m}. 1.
Ex his cognoſcemus comparatione eiuſdem aquæ tenuitatem
aëris
unius regionis in comparatione ad aërem alterius: nam ubi
remotius
uidebitur denarius, ibi aër erit tenuior.
Cor_{m}. 2.
Et per idem in eadem regione comparationem aquarum. Nam
cum
ſit idem aër, & uas, ac reliqua paria, ubi magis procul uidebi­
tur
denarius, aqua erit craſsior ideò deterior.
Cor^{m}. 3.
Sequitur etiam quòd omnes res propiores in aqua uidentur,
quam
ſint, & ideò maiores: & ob id etiam omnis aqua profundior
eſt
, quam uideatur.
Vt ingredi perſæpè ſit periculoſum.
Propoſitio octuageſima octaua. De inſtrumento
momentorum
.
Inſtrumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehen
dantur
fabricare.
1
Com.
Et quoniam motus naturales fiunt in tempore: & dicuntur ue­
lociores
, uel ob ſpatium loci magnum, quod ſuperatur, uel ob tem
poris
breuitatem in uelociſsimis motibus, quod ad ſpatia attinet,
facilius
dignoſcuntur uelociores, quoniam ſpatium maius & ma­
net
, ut menſurari commodè poſsit: ſed quòd ad tempus, quanto tar
diores
, quoniam in uelo cibus quantitas temporis eſt exigua: &
tiam
tempus ipſum perpetuò diffluit: ideò difficillimè deprehendi
poteſt
.
Huius cauſa excogitauimus inſtrumentum, quod uo caui­
mus
Acolingen: quod conſtat tribus rotis: prima eſt pedum duo­
decim
diametri, in ambitu autem habet denticulos ccclx æqua­
les
, & æqualiter inter ſe diſtantes, huius peripheriæ funis cum pon­
deribus
inſeritur, ita ut cum alijs duabus rotis renitentibus in una
hora
circumagatur æqualiter.
Duodecim ex his denticulis curru­
lis
duodecim denticulorum axis ſecundæ rotæ inſeritur: ſic ut cum
rota
magna duodecim conuerſa fuerit partibus, ſecunda rota cu­
ius
axis ſit pedum duorum, ſcilicet ſexcuplo maior circumuerta­
tur
.
Huius minoris ambitus diuiſus ſit in cxx partes æquales, &
unicuique
parti denticulus inſertus ſit: ita hæc rota tricies in una
hora
conuertetur.
Singulis uerò denticulis currulis axis rotæ ha­
bentis
denticulos quatuor inſeratur, ita ut dum ſecunda rota uer­
titur
ſemel minima circumuertatur tricies: nam pro ſingulis qua­
tuor
denticulis, quibus media rota circumagetur, minima tota cir­
cumuertetur
, ideoqúe nongenties in una hora.
Hæc minima ro­
tula
beſſem pedis in dimetiente habebit, ut ſit ſexta pars illius, in
ambitu
autem diuiſa erit in xl partes, ut cum circumuerſa fue­
rit
nongenties in una hora pertranſierit partes xxxvi.
Et cum
pulſus
hominis communis ſint in hora <23>, uel circa nouem partes
ex
his rotę minoris perficient circiter unam pulſationem ex diaſto­
le
& ſiſtole, ſeu ex diſtentione & contractione perfectam: ut partis
unius
conuerſio fiat in nona parte, uel circa unius pulſationis pul­
ſus
humani: & hoc eſt minimum fermè, quod ab humano ſen­
ſu
percipi poſsit.
Erit etiam proportio rotarum eadem tam in dia­
metris
, quàm circuitibus ſcilicet ſexcupla, neque motus diffor­
mis
, quoniam maior tanto tardius mouebitur, quanto quod ue­
locius
mouetur etiam minus erit, tamen proportio uelo citatis ma­
ioris
ad minorem in æqualibus ſpatijs uigintiquincupla, ut ma­
ioris
ad mediam quintupla, nam cum ſit ſexcupla in ambitu,
& tricies moueatur uelocius comparatione totius, ſequitur, ut
proportio
ſpatij, quod ſuperabit media ad ſpatium, quod ſu­
perabit
maior in eiſdem temporibus, erit quintupla, ſemper ad un­
guem
.
Et ita mediæ ad minorem quintupla, & ideò maioris ad
1minorem uelo citas uiginti quincupla, ut non ſit difformis, neque
periculoſa
, ut in rotis moletrinis, & ſit diuiſa per medium iuxta
proportionem
, cum ſit tanto uelocior minor media, quanto media
maiore
.
Rurſus proportio partium maioris ad mediæ partes tripla
eſt
ſcilicet ccclx ad cxx, & mediæ ad minorem tripla cxx ad xl, & pro­
portio
eſt ſexcupla, iterum igitur partes maioris ad mediam, & me­
diæ
ad minorem erunt in dupla proportione, utrobique, & eſt pul­
chrum
.
Ideò partes etiam minimæ rotæ erunt ſatis magnæ: nam
cum
diameter ſit bes pedis, ambitus peripheriæ erit duorum pe­
dum
.
1. unciarum uiginti quatuor: igitur diuiſa peripheria in xl par­
te
r, unaquæque pars erit maior dimidia uncia.
SCHOLIVM.
Et cum defuerit inſtrumentum, utemur menſura expulſu homi­
nis
deſumpta, ſed non eſt adeò exacta.
Accedit aliud commodum,
quòd
cum in una hora circumuertantur partes xxxvi, id eſt triginta
ſex
mille: & octauus orbis circumuertatur in totidem annis, tot
erunt
momenta ex his in una hora, quot anni in uno circuitu ſtella­
rum
fixarum.
Vt intelligamus, quàm breui tranſit una hora apud
nos
, ita apud Deum, ut ita dicam (nam nulla in infinito proportio)
unus
annus magnus, & reditus rerum omnium.
Comparata etiam
rota
minima ad rotam moletrini ſic ſe habet, quòd cùm modica ad­
eſt
, uerſatur rota in una pulſatione: cum ſatis abundans quinquies,
aut
ſexies cum immodica duo decies.
95[Figure 95]
1
Cor^{m}.
Ex hoc ſequitur, quod homo ſi moueretur uelo citate motus ro­
moletrinæ in ſex ebdomadibus perueniret ad ſydus Lunæ, nam
rotarum
earum, quibus ferrum acuitur ſemidimetiens communi­
ter
eſt bes unius paſſus, ideò dimetiens paſſus cum triente: ambi­
tus
ergo quatuor paſſus, & xxi pars, colligamus nunc integra, in
uno
ictu pulſus circumagitur decies, id eſt paſſus xl, in hora ſunt
<23> pulſationes: in hora igitur ſpatium pertranſitum eſt cxl paſſuum
in
M. horis, ergo erunt clx M. paſſuum addita parte xxi, erunt clxviij
M
. paſſuum, & tantum diſtat luna à terra: & M. horæ ſunt dies penè
xlij
, ebdomadæ ſcilicet ſex.
Propoſitio octuageſima nona.
Proportionem denſitatis aquæ ad aërem per pondera inuenire.
Co^{m}.
Contingit hoc multis modis: primum acceptis duabus ſphæru­
lis
æqualibus ex cryſtali ſubſtantia unaque demiſſa ab altiſsima turri,
& menſurato ictu per inſtrumentum præcedens, & ſub totidem
momentis
alia demiſſa in aquam, in de ſub eodem tempore dimen­
ſa
altitudine, erit proportio ſpatij ad ſpatium, ut denſitatis aquæ, ad
denſitatem
aëris.
Item emiſſa ſphærula per inſtrumentum in aërem,
in
de in aquam: & ſumpta proportione.
Et uidimus ſcorpionem,
qui
ſphærulam creteam emittebat pedibus lxx, & in aqua per unum
& dimidium adeò, ut proportio fuerit, ut quinquaginta ad unum:
ideò
eſt fallax experimentum in uiolento motu: nam cum emitte­
batur
in aquam erat propè, & ob id in ſummo robore: cùm in aë­
rem
, emittitur ſenſim uis.
De hoc ergo loquar.
Co^{m}.
Et erumpentia ob id magis quàm è terra, et minus quàm ex aëre:
diuiditur
enim aqua cum graue petit fundum, & aqua feruet: & eſt
mirabilius
, quàm utile.
Propoſitio nonageſima.
Rationem impetus uiolenti extra miſsi ponderis ad æqualita­
tem
reducere.
Co^{m}.
Sit uiolentum a quod moueatur per b c d e, e ſpatium, & quia
uiolentum
contrà nititur naturali, cadat ergo in planum in e: ſunt
ergo
tria conſideran da, primum quod, ut dixi aliâs, motus uiolen­
tus
pro certa diſtantia augetur, & cauſam ibi reddidi, ut potè uſque
ad
c, ſed hoc eſſet difficile cognitu.
Secundum, quod ubi incipit de­
creſcere
, ſemper magis ac magis decreſcit propter naturalem ni­
xum
contra operantem.
Tertium quod ubi deſcendere incipit, ibi
eſt
æqualis uis uiolentum motum agens cum naturali.
Certum eſt
etiam
quod motus æqualis intelligitur erecta ad perpendiculum
e
f, donec occurrat a d: & diuiſa tota b f per tempus, locus ergo, in
quo
mouetur per tantum ſpatium, dicitur locus motus æqualis:
1qui ſit gratia exempli g h, cuius medium proportione ſit k, di­
co
k conſiſtere propiorem f, quàm b, etiamſi æqualiter mouere­
tur
.
Primum quòd in tota g f declinat, & totus motus eſt lentior,
quàm
in tota b g, & tamen tardatur tantundem, ergo per commu­
nem
animi ſententiam, k eſt propior f, quàm b.
Secundò, quia per
ſecundum
ſuppo ſitum motus a uerſus f, continuè fit lentior, igitur
per
communem animi ſententiam multò longius eſt tempus mo­
tus
a k, quam f, & tanto maius ſpatium.
Tertiò, quia motus ex b uer
ſus
c augetur, & ſi eſſet æqualis adhuc multò eſſet breuior k f quam
a
k, igitur multò magis hoc modo, & triplicata ratione.
Si ergo b k
96[Figure 96]
eſſet
ſexquiquarta ſolum ipſi k f,
erit
b k dupla: fermè ex triplicata
ratione
ipſi k f, & iuxta eundem
modum
ponemus mediam uim
xlvi
paſsibus à ſcorpione a quam
& hoc modo erit propè id quod eſt.
SCHOLIVM.
Dubitat autem Philoſophus in mechanicis quæ nam uis ſit, quę
moueat
lapidem iam excuſſum?
& dubium non eſt quin ex parte ſit
aër
motus tum ratione, quia mouetur ergo mouet, tum experimen
to
, ut in fulminibus, & his quæ uento impelluntur, ut hypophyſis,
ſed
in ſcorpionibus & arcubus & pilis id non ſufficere uidetur.
Ita­
que
uelut & caliditas & frigiditas in corporibus natura contrarijs
aliquandiu
manent, & agunt ita & uiolentos motus, idque Alexan­
der
& Simplicius uolunt.
Inditio ſunt quòd mota & emiſſa ex lon­
gioribus
machinis quan quam non aërem continentibus, nec in­
anibus
tamen, longius eijciunt ſagittas & miſsilia, quoniam uis
illa
firmius imprimitur, uelut etiam de lapidibus & ferro, quod di­
utius
in igne moram traxit, aut continuè follibus ignitum eſt, nam
etiam
tanto tardius refrigeratur unum quod que horum, & alia urit
& accendit calore illo externo, quanquam natura frigidum ſit: di­
cemus
autem & de hoc ſuo loco.
Propoſitio nonageſima prima.
Proportionem grauis cubi, & ſphærici æqualium in accliui, &
deſcenſus
eorum demonſtrare.
Hic non pauca ſunt conſideranda: Primum
97[Figure 97]
quòd
hoc intelligi poteſt, uel de motibus at­
tractionis
, uel impulſionis, uel inuerſionis.
Secundum quod omne, quod impellitur ſuperiùs, tantundem gra­
uat
attractum, quantum ad deſcenſum, ſi ſit rotundum, nam qua­
drata
, etiam alia non deſcendunt ſponte in decliui, & ſi ſit locus ualdè
1decliuis, tanto minus deſcendunt, quanto ſunt latiora. Quia tamen
omnia
difficiliùs deſcendunt ſphæricis, & facilius quàm in plano,
ubi
ponderant niſi per dimidium grauitatis, ideò proportio hæc
conſtat
ex proportione anguli deſcenſus ad totum rectum, & ma­
gnitudine
ſuperficiei, qua incumbit ad pondus comparata.
Omne
enim
graue, quanto grauius tam ad quietem, quàm ad motum na­
turalem
potentius eſt: hoc enim perſpicuum eſt, quia quieti natu­
rali
motus uiolentus, & motui naturali quies uiolenta opponitur:
quia
ergo maiore ui opus eſt ad motum præter naturam, ergo ſe­
cundum
naturam etiam maiore ui quieſcit.
Aſſumpſimus ergo cu­
bum
, ut magis notum.
Sphæra igitur in omni decliui deſcendit,
quia
ut dictum eſt, nil habet quod reſiſtat ad motum: & ipſa gra­
uior
eſt in decliui, quàm in plano, quia c pun­
ctus
cadit ultra e, ergo punctus contactus, &
98[Figure 98]
centrum
grauitatis, & centrum mundi, non ſunt
in
una linea.
Si enim b c contangeretur, eſſet b c
plana
.
Si uerò tangit, angulus eſt maior angulo
contactus
, ergo cum neceſſarium ſit, æquidiſta­
re
aliter non eſſet ſphæricum, oportet, ut eleue­
tur
ex parte c, & deſcendat uerſus b, & ideò ut
continuetur
motus.
Si uerò ſit in linea conta­
ctus
b c f, & æquidiſtet non erit, ut dixi punctus
contactus
in linea centrorum, ſed in a c, cum ſuppoſitum ſit lineam
a
d eſſe lineam centrorum: maior eſt ergo portio g c e, quàm reſi­
duum
, ergo deſcendet in b.
Cubus uerò non deſcendet, niſi cum di­
midium
d addito, quod intercipitur inter lineam mediam, & quæ à
centro
mundi ad punctum medium contactus uſque quò perueniat
ad
oppoſitam partem, eam habuerit proportionem ad idem me­
dium
eadem portione detracta, quem iuncta proportioni anguli
declinationis
ad reſiduum recti dimidiam proportionem efficiat.
Eademque ratio aliorum planorum. Dico præterea quòd motus
ſphæræ
, & etiam corporum rectarum ſuperficierum in deſcenſu
alius
eſt æqualis, & alius inæqualis, & quaſi à latere, uelut ſi angu­
lus
unus prolabatur, ac fiat circumuolutio: cum ergo facilius fiat
hoc
, & maximè ſi non retineatur æqualiter, & difficile ſit in medio
retinere
, propterea prolapſus hi melius retinentur duobus uinculis,
quàm
in medio, non ſolum ob hanc æqualitatem, & complexum
meliorem
, ſed etiam, quod omnes motus, omnes ponderum nixus fa
ciliùs
cohibentur, & deducuntur diuiſi in partes, <08> ſi toti contin eantur,
aut
ui trahantur.
Et ideo uincula in rami cibus duplicia dextra, & ſini
ſtra
ſcilicet in eadem parte tamën longe ſunt meliora etiam ferreis, quæ
ſolum
in medio nectantur.
1
Cor^{m}. 1.
Ex hoc etiam ſequitur,
99[Figure 99]
quod
cùm omne graue
ſpontè
ſemper appropin­
quet
centro mundi, & a ſi
moueretur
per planum e,
magis
remoueretur à cen­
tro
mundi, ut per e c per ea
quæ
diximus, & quoniam
linea
ex centro mundi ad
c
longior eſt, quàm ad e,
multò
poteſt enim eſſe, ut
in
proportione diametri
quadrati
ad latus eius, &
etiam
maior.
ergo poterit
eſſe
adeò parum decliuis
linea
c d, ut c punctus ma­
gis
diſter à centro mundi,
quàm
d, & tamen feretur
ex
d in c motu naturali, ut demonſtratum eſt, ergo per purum mo­
tum
naturalem poterit a remoueri à centro mundi.
Hoc uolui pro­
ponere
, ut intelligeres in plano uero c e non moueri a ſponte, quia
c
neceſſariò altior eſt d: ſi ergo mouebitur, non erit c e recta, ſed
pars
proportionis circuli ſuperficiei terræ, quæ ſenſu à recta diſtin­
gui
non poterit.
Hoc ergo eſt primum, ex quo ſequitur.
Cor^{m}. 2.
Quod aliquid poterit uideri decliue, in quo non deſcendet imò
erit
, ut potè ſi aliqua linea obliqua eſſet inter c e, & f e, illa eſſet decli­
uis
ſpecie, & re, & tamen graue in illa non deſcenderet, quia à cen­
tro
mundi magis remoueretur: hoc tamen eſt perdifficile factu, &
maximè
in parua diſtantia, uel etiam unius miliaris.
Atque hæc
in
leuigatis.
Propoſitio nonageſima ſecunda.
Proportionem ponderis æqualis iuxta longitudinis compara­
tionem
demonſtrare.
100[Figure 100]
Hoc eſt, quod Archimedes reliquit

intactum
, cum eſſet maximè neceſſa­
rium
, & oſtendit magis abſtruſa, ſed
pace
illius dixerim minus utilia.
Cum
ergo
ſumpſiſſem uirgam b f ponderis
unciarum
xxiij, fuiſſet b a uigeſima quarta pars, b f fuit pondus æ­
quilibrij
in b appenſum librarum uiginti ſex cum dimidia: fuit igi­
tur
proportio ponderis e f ad pondus f b, ut tredecim ferme ad
1unum. Et rurſus feci a b quintam partem a f, & fuit a b unciarum
quatuor
, & pondus quod æquauit librarum quatuor, ideò du­
plum
ad pondus b f, ſicut c f ad c b: conſtat enim quòd pondus ap­
penſum
eſt æquale ponderi cf.
Et rurſus poſui b a quartam partem
b
f, & fuit pondus, quod æquauit in b duæ libræ: ex quo manife­
ſtum
eſt, quòd proportio c f ad c b eſt ſemper uelut ponderis c f ad
totam
b f.
Et hoc eſt, ac ſi dicamus, quòd proportio ponderis c f ad
totam
eſt confuſa ex proportione e f ad c b, & c f, quod eſt 1 p.
Id

etiam
declaratum eſt in primo de Subtilitate.
Proponatur ergo
lemma
, iam ſic proportio ponderis cf ad pondus b c, eſt primum
ut
longitudinis cf, ſi eſſet ſuſpenſa in medio ad longitudinem b c,
quia
ſupponuntur proportione ſimiles ſuis longitudinibus ma­
gnitudines
, & pondera.
At c f ſuſpenſa in c, tanto eſt grauior pon­
dere
proprio, quanto proportionis longitudinis cf ad cb quadra­
tum
, quia in ſe ducitur proportio: igitur proportio ponderis c f in
loco
ſuo ad b c pondus eſt confuſa ex proportione longitudinis
cf
ad c b, & quadratis eiuſdem proportionis longitudinis cf ad c
b
.
Sed quadratum proportionis longitudinis cf ad cb eſt æquale
producto
proportionis longitudinis c f in ipſam c f, propterea
quòd
ex proportione longitudinis cf ad cb in ipſam c b fit c f, igi­
tur
proportio ponderis c f ad pondus c b eſt confuſa ex propor­
tione
ponderis c f ad pondus c b, & proportione ponderis cf alicu
ius
ſe habentis ad pondus cf, ut cf longitudo ad longitudinem
c
b, igitur proportio ponderis cf ad pondus b f, ut cf ad c b in lon­
gitudine
, quod erat probandum.
Com.
Ex 18. diff.
Propoſitio nonageſima tertia.
Propter quid in concuſsione etiam leui nauis loco moueatur
oſtendere
.
Vnde manifeſtum eſt, duas naues ſibi inuicem occurſan
tes
retrocedere, & quantum retrocedant ambæ.
Co^{m}.
Proponatur, quod proportio motus grauis in a d graue in aqua
ſit
, uelut proportio ponderis attracti in terra ad denſitatem aquæ
cum
profunditate, nam ubi pondus ſupernataret aquæ, quia aqua
eſt
rotunda, eſt ac ſi tangeret in puncto.
Quare per demonſtrata ſu­
periùs
mouebitur à quacunque ui, ergo nixus contrarius aduenit ob

profunditatem
, & aquæ denſitatem, ſed quanto aqua denſior eſt,
tanto
minus nauis deſcendit, & quanto minus denſa, tanto magis:
ergo
pari modo fermè redduntur mobiles, & in aqua dulci & ſalſa,
ubi
naues ſint ſimiles forma, pondere, magnitudine.
Quia ergo ne­
ceſſe
eſt tabulam nauis eſſe duriorem, quam aqua ad reſiſtendum,
ergo
pars maior ictus mouebit primo nauim, quam tabulam pe­
netret
, cum ergo quod facilius eſt, præcedat, difficilius ergo naues
1utrinque mouebuntur, & quia inter duos quoſcunque motus contra­
rios
non eſſe eos, ut utar uocabulo Auerrois quinto Phyſicorum, ne­
ceſſe
eſt, ut intercedat quies media, & in quiete ab ictu, ut uiſum eſt
ſuperius
, oportet, ut quod excipit ictum uel loco moueatur, uel ce­

dat
, & ictus penetret, uel aër non condenſetur ob tarditatem ultra
metam
, nec retro cedere poteſt ex ſuppoſito, & ictus eſt magnus,
clarum
eſt, quod oportet, ut cedat, & ſi durum ſit confringatur.
Proportio ergo receſſus ad ictum eſt ut temporis, & magnitudinis
partis
, quæ cedit, & retro ceſſus poſito ictu tanquam monade.
Propoſ. 40.
Propoſ. 74.
Propoſitio nonageſima quarta.
Si quantitas aliqua nota atque proportio erit producta quantitas
nota
ſimiliter.
Et ſi duæ proportiones notæ fuerint, erit producta
ex
his atque diuiſa, coniunctaque, atque detracta nota.
Et ſi fuerit totius
ad
partem proportio nota erit, & ad aliam partem nota, & alterius
partis
ad alteram uno minor.
Et ſi fuerit partis ad partem, erit ad to
tum
monade minor atque nota.
Et ſi fuerit unius quantitatis ad duas
quantitates
proportio nota, erit & confuſa ex eis nota.
Et ſi fuerint
trium
quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum,
mnes
præter unam cognitæ erunt, & illa alia cognita.
101[Figure 101]
Sit quantitas a b & ducta in d proportionem,

producat
b c: dico quod duobus quibuslibet ex
his
cognitis, erit cognitum tertium: nam cogni­
tum
quodlibet dicitur in comparatione ad ſimpliciter cognitum,
quod
eſt unum per ſe omnibus cognitum.
Ob id Arithmetica eſt
prima
omnium diſciplinarum, quia habet principium cognitum,
& id, quod eſt, ad principium comparatum cognitum in illius com
paratione
: neque aliter cognitum dici poteſt.
Quia ergo d cognita
eſt
, erunt monades, & partes cognitæ in ea: aliter non eſſet cognita
b
a, igitur cum cognita ſit, erit cognita per ſingulas monades, quan
ta
ſit.
Et ſi diceres quòd b a non eſt cognita per partem monadis:
dico
quod pars monadis non eſt incognita, quia cum monades
ſunt
cognitæ, eſſet d incognita.
Omnes enim, quod componitur ex
cognito
& incognito, eſt incognitum, quia cognitum ſolum ratio­
ne
partis cognitæ.
Si ergo pars monadis eſt cognita, erit pars a b
quælibet
prout ex monade componitur ſimpliciter cognita.
Su­

pereſt
, ut ſolum pars partis: & dico quod illa etiam eſt cognita:
quia
ſi pars ab eſſet, monas eſſet cognita: eſſet enim pars ipſa.
Com.
Ex ſecunda
animi
com­
muni
ſenten
tia
.
Sed ſi ſit pars, erit ſumpta ſecundum partem monadis ipſius,
ideò
erit cognita iuxta nomen, uelut dimidium eſt dimidium mo­
nadis
, dimidium tertiæ partis monadis eſt cognitum, quia tertia
pars
eſt cognita, & ſcimus, quanta pars aſſumatur illius.
Ergo ſi a b,
1& d cognitæ ſunt erit & b c, quod eſt primum. Per hæc eadem pro­
bantur
quatuor ſequentes partes eodem modo.
Sexta ſic: ſit pro­
portio
a c ad c b, nota igitur in comparatione ad monadem, ſed pro
portio
a c ad c b b a eſt monas, igitur proportio a c ad a b nota eſt,
quoniam
aliter non poſſet dici proportio a c ad b c nota.
Aliter, ſit
proportio
a c ad c b e nota, ex ſuppoſito igitur conuerſa nota quæ
ſit
f ex f, igitur in a c fit b c ex g in a c, fiat a b ergo ex a c in f g fit a, c igi
tur
f g eſt monas, f autem nota eſt, igitur in comparatione ad mona­

dem
, ergo reſiduum g notum.
Cum uerò proportio a c ad c b com­
ponatur
ex proportione a b b c ad b c, & proportio b c ad b c ſit
monas
, & proportio a c ad b c nota, erit proportio a b ad b c cogni

ta
, & monade minor proportione a c ad b c.
Per idem octaua pars
102[Figure 102]
demonſtrabitur
.
Inde ſit proportio a ad b, & ad c no­
ta
, erit ergo b, & c ad a nota, quare b c ad a nota, ſed

hæc
eſt conuerſa ad b c confuſa, igitur proportio a
ad
b confuſa nota eſt.
Vltimum ſit, ſint a b c omiologæ, & ſint a & b

notæ
duo, quod c nota eſt, nam a b, ſi notæ ſunt, nota eſt proportio
earum
.
Ergo & proportio b ad c ergo per primam partem huius

cum
ſit b nota, exit & c.
Et ſi ponantur a c notæ, dico, quòd b nota
erit
: nam proportio a c ad c nota eſt, quæ ſit d, igitur d ad monadem
ut
a ad c, ergo latus notum erit, quod ductum in c producit b, b igi­

tur
nota.
Et ſimiliter in analogis ſint a b c notæ: & ideò erit propor­
tio
a ad b nota ergo c ad d.
cumque c nota ſit, ergo per primam par­
tem
huius erit d nota, quod fuit demonſtrandum.
Per demon­
ſtrat
. 12.
P
ropoſ.
Per 11. Pet.
Ex demonſt.
12
. Propoſ.
Per 14.
P
ropoſ.
Per 3. Petit.
Ex 2. Animi
ſententia
.
Propoſitio nonageſima quinta.
Cuiuſuis trigoni rectanguli, aut cuius duo anguli ſint in dupla
proportione
, aut qui circulo inſcriptus ſit cognita quantitate uni­
us
lateris in comparatione ad dimetientem ſi proportio duorum la­
terum
cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita.
Co^{m}.
Non de cognitione propinqua aſtronomorum, de qua abundè ab
Heber
tractatum eſt, ſed de exacta, de qua ſuperius egi nunc ſermo

eſt
: ſit igitur primum a b c trigonus orthogonius: & ſit a rectus, &
proportio
duorum laterum cognita, dico, quod omnia latera cognita

103[Figure 103]
erunt
: nam ſit proportio, gratia exempli,
a
b ad b c, erit ergo quadrati a b ad qua­
dratum
b c cognita, quia duplicata: at
quadrata
a b, & a c perficiunt quadratum
b
c, igitur proportio quadrati a b ad a c et
eſt
1 p: cognita erit, quare & a b ad a c, & eodem modo a c ad b c: quod
eſt
primum.
Exemplum, ponatur b c dupla a b, erit a b quadratum
ſub
quadruplum quadrato a b quare ſubtriplum quadrato a c igi­
1tur ſi a b ponatur 1 b c erit 2, & a c <02> 3. Rurſus ponatur angulus b
duplus
angulo c qualiſcunque ſit, erit per demonſtrata ſuperius pro­
portio
a b b c ad a c, ut a c ad a b, ſi igitur nota ſit proportio a c ad
a
b, erit nota proportio a b b c ad a b per præcedentem.
Ergo per
eandem
omnia nota ſcilicet b c ad b a, & b c ad c a.
Et ſi eſſet nota
proportio
a b ad b c, dico, quod eſſent nota omnia, nam nota eſſet
a
b, & b c, & quod fit ex a b in ipſum aggregatum.
Sed hoc eſt æ­

quale
quadrato a c, igitur notum eſt quadratum a c ergo a c: igitur
proportio
a b b c ad a c, & a c ad a b.
Vt ſi a b eſſet 4 b c 5, eſſet a b b c
9
ducta in a b, quæ eſt, fit 36, cuius latus eſt b a c ſcilicet.
Et ſi eſſet
trigonus
aliquis in circulo, cuius proportio duorum laterum ſit co
gnita
ad dimetientem relata, ſequitur per demonſtrata ſupe­
rius
, quod etiam tertium latus erit cognitum in comparatione ad
eadem
, & ideo etiam proportio illorum laterum ad unguem co­
gnita
erit.
Propoſ. 97.
Per 47. pri
mi
Element.
Per 17. ſex
ti
Elem.
P
ropoſ. 17.
Multa præterea cognita eſſent in hoc genere, quæ nunc præter­

mitto
, quia non ſunt ad finem neceſſaria.
Alia præterea per diligen­
tem
inquiſitionem maioris artis quàm alias edidimus.
tum uerò
etiam
per nouas demonſtrationes.
Cor^{m}.
Propoſitio nonageſima ſexta.
Cum in perſpicuum denſum radij luminoſi inciderint, quatuor
fiunt
luminis genera.
Co^{m}.
Sit ſol a, & perſpicuum denſum, exempli gratia, ut ampula
magna
aqua plena b c d, & ſi ſit rotunda accendit ignem ex ad­
uerſo
ut in e.
Dico ergo in b c d eſſe quatuor genera luminis. Pri­
mum
quod eſt ualidius, & rectà tranſit, ualidius enim eſt, quod
tranſit
quàm quod tranſire non poteſt, & etiam quia, ut dixi,
ignem
accendit.
Secundum eſt quod colligitur in ampula, & dein­
de
ſpargitur circuncircà, nam id ualidius eſt, quia penetrat, & reſilit
quàm
quod non penetrat, aut ſi penetrat, non ſpargitur, & hoc dif­
funditur
circa uas, nec reflectitur rectè, ſed quaſi intro colligitur, &
diuerſa
ratione diffunditur, eſt tamen imbecillius primo, ut dictum
eſt
.
Tertium genus eſt, quod illuminat intus ingrediendo, ſed non
ſpargitur
, & hoc eſt debilius ſecundo, quia non poteſt ſpargi.
Quar­
104[Figure 104]
tum
eſt, quod non ingreditur omnino, ſed refle­
ctitur
, iſtud eſt abſque dubio imbecillimum, quo­
niam
penetrare non poteſt.
Et licet in ſpeculis
concauis
radius reflexus uideatur eſſe ualidior,
ſtatim
enim accendit ignem, hoc non contin­
git
, niſi quia in ſpeculo cauo radij omnes
1liguntur ob opacum, quod à tergo eſt, neque ſparguntur, neque tranſeunt, neque
combibuntur, ut ita dicam ſed omnes reflectuntur.
Ex quo colligitur
quincuplex
ordo radiorum iuxta rationem uirium, primus eſt refle
xorum à ſpeculo concauo, & hi ſunt potentiſsimi ob rationem dictam, poſt
quos
ſunt radij, qui tranſeunt per perſpicuum maximè rotundum,
qui
& ipſi generant ignem, & debiliorem primo, deinde reliqui
tres
ſequentes ſupra dicti.
Sextus eſt radiorum, qui reflectuntur à
rebus
non nitidis, ut à muris, & tabulis, nam omnia dura reflectunt
& etiam mollium pleraque, & hæc reflexio eſt fermè infinita, & ob id
cubicula
etiam in angulis illuminantur.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc ſequitur, quòd Luna remittit lumen, non reflectit, nam
ſecus
non illuminaret to tum orbem, ſed ſolum portionem oppo­
ſitam
Soli, & hoc etiam rarò, ergo combibitur, & illuſtrat circun­
circa
ubique.
Cor^{m}. 2.
In ſtellis lumen Solis pertranſit aliter, ſi reflecteretur, non illumi­
naret
nos, aut apparerent, uelut cometæ, quia pars una eſſet clarior
reliqua
, & ſi conbiberent lumen, non uiderentur æquè claræ, cum
Sol
eſſet propinquus, aut remotus.
Cor^{m}. 3.
Luna tota intus illuminatur à Sole, quoniam ſi ante coniun­
ctionem
illuminatur à ſiniſtra parte, & combibit lumen per cor­
rolarium
primum, & poſt coniunctionem illuminatur à dex­
tra
, & combibit pariter lumen, ergo eſt tota naturæ perſpicuæ, ſed
uidetur
obſcura ex aduerſo, propterea quòd radij ualidiores refle­
xi
illuſtrant illam ex parte Solis, diffugiunt à contraria, quod ma­
nifeſtè
apparet in ampula expoſita Soli.
Pars enim clarior uerſus
Solem
uidetur, quam ex aduerſo, hoc autem longè magis in Luna
ob
diſtantiam.
Cor^{m}. 4.
In omni Solis eclipſi fit colectio radiorum ad aſpectum, &
ideo
in regione illa, in qua centrum Solis integitur à centro Lunæ,
& ubicunque fit, fit incendium per tertium corrolarium.
Hoc autem
fit
ſemper in quauis coniunctione, & dum Luna ſilet in regione ae­
ris
, ſed terris non ſecundùm centrum, uerùm ad latitudinem, & ad
Orientem
ante coniunctionem cum Sole, & ad Occidentem poſt:
ſed
centra non ſunt in linea uiſus.
Cor^{m}. 5.
Ex hoc ſequitur, quod oportet ſubſtantiam Lunæ eſſe ualde cla­
ram
, cum uideamus ab ampula tam paruum lumen diffundi, & ra­
rum
, à Luna uerò in uniuerſum orbem, & tam copioſum, ut neceſ­
ſarium
ſit ſubſtantiam Lunæ eſſe denſam, & lucidam ualde.
SCHOLIVM.
Et ſi quis dicat, quòd ſi incendium illud fieri poſſet in hora ecli­
pſis
, ſequeretur, quòd ut in ampula in medio Lunæ uideretur
1gnus ſplendor, referens corpus Solis. Propterea dico, quòd uel ac­
cidit
, quia homo non poteſt ea hora intueri Solem, & etiam eſt im­
peditus
à radijs circumſtantibus, cuius indicio eſt, quod in ſpe­
culo
poſito in aqua, ſimile uidetur ſtellulæ in centro Lunę: & hic eſt
ſplendor
Solis collectus in centro Lunæ.
poſſet etiam dici, quòd
Luna
circa medium propter maculam non admitteret lumen, & ita
eſſet
inæqualium partium.
Propoſitio nonageſima ſeptima.
Motum inuerſionis in figuris in comparatione ad motum ſphæ
in plano inueſtigare.
Com.
Voco motum inuerſionis, qui ſimilis eſt motui ſphæræ, ſcili­
cet
circumuertendo graue à uertice, & manifeſtum eſt, quòd in
quacunque
figura, qua graue inſidet plano per punctum ue­

lut
ouata ipſum mouetur à quauis ui, ſed ſi inſideat per ſuperfi­
ciem
, quanto maior eſt, & humilior, tanto difficilius mouetur,
ideò
in corpore uiginti baſium, quòd inter regularia uocata, plu­
res
habet, ſuperficies pro ratione æqualis ponderis, motus erit
longe
facilior.
Alia cauſa eſt inæqualitas partium, unde quæ ro­
tunda
ſunt, quia prominent, facile mouentur, & cum partes me­
diæ
inſiſtant plano, quanto minores erunt tanto facilius moue­
buntur
ratione ponderis.
Vnde patet, quòd corpora ouata faci­
lius
mouentur, etiam quàm ſphærica, habent enim partem me­
diam
minorem, & paria ſunt ratione inceſſus plani, ſed aëris mul­
titudine
tardius, quoniam enim ſphæra ſub æquali ambitu plus
continet
corporis, ergo ouatum æquale ſphæræ habet maio­
rem
ambitum ipſa ſphæra.
Hæc autem à Theone partim de­
monſtrata
ſunt, partim ab Archimede, & partim à nobis, ergo
motus
ouati eſt fermè æqualis motui ſphæræ, & tardior eſt con­
105[Figure 105]
citatus
, quàm ſphæræ, quia à ma­
iore
excipitur aëre, & partes exte­
riores
non ita incumbunt in me­
dium
ſecundum longitudinem.
Cu­
bus
uero tardior eſt propter æqua­
litatem
, & latitudinem ſuperficiei in­
ferioris
, omnium autem minime pro­
pter
has cauſas conus ambligonius,
& quanto magis fuerit, ratio uero
eleuationis
eſt, ut ſit cubus b c, cuius
medium
grauitatis ſit b ſuper
1no de, & eleuetur ex a, & manifeſtum eſt, quod inſidebit per totam
lineam
c f ipſi plano, & proportio grauitatis totius ſuſpenſi in com
paratione
ad grauitatem eius, qui inuertit, eſt, uelut proportio par­
tis
terminatæ ad lineam c f uerſus eum, qui eleuat ad partem, quæ
ultra
eſt, cum uerò partes notæ ſint iuxta perpendiculum ex
centro
grauitatis, manifeſtum eſt, quod ſciemus pondus corporis
a
b cf, dum inuertitur in quo cunque ſitu ad pondus eius, dum ſu­
ſpenditur
, & clarum eſt, quòd cùm centrum, & medium grauitatis
fuerint
in una linea per c f, tunc nulla erit grauitas.
Per 40.
Propoſitio nonageſima octaua.
Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulo­
rum
inuenire.
Co^{m}.
Sit a b, quæ ſi appenſa eſſet ad æquidi­
106[Figure 106]
ſtantem
terræ ſuperficiei, nulla ui poſſet ele

uari
, inflectatur ergo ad c punctum, omiſſa
c
g, & manifeſtum eſt, quod ſi b c inſiſteret

ad
perpendiculum, ponderaret a c ſi eſſet in
æquilibrio
, ponatur ergo accliuis in c d per
notum
angulum.
Quia igitur b c ad c a no­
ta
eſt, erit dicta ſuperiùs notum pondus
b
h, poſita h c æquali c a, quare totius a b,
& iam fuit e k notum, & punctus d notus:
hoc
enim infrà demonſtrabitur, qualis igitur proportio lineæ

tranſuerſæ
dl ad lineam deſcendentem d m, talis differentiæ pon­
derum
c m, & c e, id eſt partis ad partem.
hæc autem inferiùs de­
monſtrabuntur
.
Neque enim abſurdum eſt in materijs miſtis, ali­

quando
uti nondum demonſtratis cum fuerint mathematica, quia
obtinent
principij rationem, quod etiam facit Archimedes.
Ma­
nifeſtum
eſt autem, quod in angulo m c d recti dimidio, propor­
tio
media erit.
Sed hoc bifariam contingere poteſt ſcilicet, ut ſit
media
, per quantitatem, & per proportionem, eſt autem media, ut

demonſtrabitur
infrà ſecundum proportionem l d ad l e, propo­
natur
ergo c e b, erit latus quadrati <02> 72, igitur latus octogoni eſt
<02> v: 72 m: <02> 2592, & latus reſidui <02> v: 72 p: <02> 2592. quadrata er­
go
partium baſis differunt in <02> 10368. Quare partes baſis ſunt
6
p: <02> 18, & 6 m: <02> 18 ſcilicet l e, l d autem eſt <02> 18, igitur differen­
tia
, & proportio eſt, qualis <02> 18 ad 6 m: <02> 18 fermê, ut 17 ad 7, & ta­
lis
eſt proportio ponderis c d ad pondus c e ratione in crementi,
ſeu
differentiæ.
Vt ſi pondus in c e eſſet decem librarum in c in
1quadraginta erit in c d triginta unius cum quarta, ſed proportionis
ratione
eſſet uiginti octo cum tertia.
Per Cor^{m}. 2.
45
. Propoſ.
Per 86.
P
ropoſ.
Propoſ. 99.
Propoſ. 97.
Propoſ. 98.
Propoſitio nonageſima nona.
Proportionem grauitatum per multitudinem ſuppoſitorum or
bium
oſtendere.
Co^{m}.
Omne, quod mouetur, mouetur ſecundum naturam ponderis,
quæ
in attractione, ut demonſtratum eſt, æqualis eſt dimidio ſu­
ſpenſi
, cum ergo diuidatur in multiplices partes motus uniuſcuiuſ­
que
, eſt ſecundum dimidium illius partis, ut, ſi ſint ſex rotæ in cur­
ru
det, quod uehitur, ſit pondus ſexaginta librarum, unaquæque

rota
habet pondus quinque librarum, ſcilicet diuiſo triginta per
ſex
, & quia quod cunque mouetur ſphæricè non habet pondus,
niſi
quantum premitur axis, ideò pondus ſexaginta librarum in
uehendo
redditur læſus, quanto proportio producta minor eſt
additione
.
Exemplum, ſit deductum pondus ſexaginta librarum
per
ſex rotas ad uiginti quatuor, quia ſi rotæ poſſent circumduci,
ut
in inuerſione dictum eſt, & eſſent æquales, & in ſolido æquali,
ac
duro, nulla ui mouerentur, ſed quaſi per ſe, ergo ſuppoſito pon­
dere
uiginti quatuor librarum aſſumemus unamquamque partem,
& ducemus eam in ſe ipſam, ſcilicet detraham quintam partem ex
toto
30, fit 24, duc 30 in ſe, fit 900, duc 24 in ſe, fit 576, proportio ut
25
ad 16, at diuiſo 30 in ſex partes, fit 5, detrahe quintam partem, fit
4
, duc in ſe, fit 16, duc in ſex, fit 96, igitur proportio 900 ad 96 eſt ut
25
ad 2 2/3, quod ergo erat 16 factum eſt 2 2/3, proportio ergo de­
creſcentis
maior eſt diuiſo per plura.
Sed plerunque additis ro­
tis
creſcit pondus nihilo ſecius, redditur etiam leuius.
Sed & de
hoc
in ſequenti.
Per 40.
Propoſitio centeſima.
Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlea­
rum
numerum inueſtigare.
Com.
Ariſtoteles in Mechanicis cenſet cauſam leuitatis trochlearum

eſſe
in pondere eleuando, quòd pondera auxilio uectium facilius
mouentur
, quàm manibus.
Rotulæ uerò in trochleis uectes ſunt,
& axis miſta hypomochlij, ergo facilius pondus trahitur per
nam
rotulam, quàm ſi manu traheretur, at uerò per duas tres,
unde
tris paſſus longe facilius, & etiam facilius per quinque, unde
pentas
paſſus, nam quinque orbiculis, quaſi totidem uectibus
diuiſum
pondus manifeſtè fit leuius, & ut dictum eſt, tanquam
totidem
uectibus pondus eleuatur, eſtqúe proportio
1cta, ſemperque prior hypomochlij locum habet, ueruntamen minus
aſſumit
laboris, poſterior uerò uectis maiorem partem ſibi ponde­
ris
ſeruat, uelut in ſuccula etiam iugum traiectum per plures colo­
pes
facilius uertitur.
Et ſi quis dicat nónne totum pondus inſidet
primę
trochleæ per trochleam, intelligo nunc ſolùm rotulam cum
ipſo
axe, ſeu axiculo (ut dicunt) non autem in proprio ſignificato,
in
quo etiam funis traiectus, & inſidens rotulæ, ſeu rotulis, nam
una
trochlea plures continere'poteſt orbiculos, & axes.
Licet ergo
pondus
inſideat primæ trochleæ, ſeu rotulæ, in eo tamen, quod tra
hitur
, diuiditur', licet non æqualiter dico, præter id funis motum
intendi
.
nam motus actionem auget, & ideò quanto longior, eo fa­
cilius
mouet ob concuſsionem, demum quia leuis eſt rotula circa
axem
, ut plus uecte poſsit.
In Mechan.
Q
uæſt. 18.
Propoſitio centeſima prima.
Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere co
gnitis
inuenire.
Co^{m}.
Solent gemmarij uendere adamantem ponderis unius grani
uno
coronato, duorum autem granorum tribus coronatis, qua­
tuor
autem, gratia exempli, quadraginta coronatis, quęritur quan­
tum
ualebit adamas octo granorum, quoniam ergo proportio
non
ſeruatur.
Eſt enim in pondere utraque dupla, in precio autem
ex
prima habetur tripla, ex ſecunda habetur proportio maior,
quàm
tredecim ad unum, propterea utendum eſt proportione
propinquiori
, ſi ſatis faceret.
gratia exempli, in prima ad ditione fuit
unum
granum, & acquiſiuit proportionem triplam, in ſecunda fue
runt
duo grana, ſi ergo acquiſiſſet ſolum ſexcuplam proportio­
nem
, haberemus intentum.
Propterea in iſto caſu oportet demon­
ſtrare
forma Geometrica, ſuppoſito, quòd ſit figura recta ex uno la
107[Figure 107]
tere
a b, ita ut angulus, uel minimus capiat b c æqualem a b, & ex
æquali
b a c addito fiat b d tripla b c, & ex angulo b a e duplo b a d,
fiat
b c d e quadragintupla a b, & iuxta rationem erit in infinitum.
Siue ſit parabole, ſiue hyperbole, ſeu ſit alia coincidentium.
1
SCHOLIVM.
Et nota, quòd ſi res hæc eſſet naturalis, oſtenderet infinitum in
rebus
ex regula dialectica, ſed quia ex uoluntaria, nullas habet uires.
Propoſitio centeſima ſecunda.
Proportionem motuum inuerſionis, & attractionis in plano
inuenire
.
Et ſit, ut aliquid inuertatur, declaratum autem eſt ſuprà, quid ſit

inuerſio
, & quàm diuerſa ſit rurſus, & quòd attractio eſt dimidium

ponderis
eleuati.
Cum ergo conſtet in inuerſione, quanta ſit pro­
portio
ponderis ſuſpenſi ad pondus inuerſum, & pondus ſuſpenſi

ſit
duplum ponderi attracti, ſequitur, ut diuiſa proportione ponde
ris
ſuſpenſi ad pondus inuerſum per medium cognoſcatur propor
tio
attractionis ad inuerſionem.
Co_{m}.
Propoſ. 89.
Propoſ. 62.
Ex hoc ſequitur, quod aliquod pondus trahi poteſt, quod non

poteſt
inuerti, hoc autem indiget longa declaratione, quam doce­
bimus
inferiùs: & tamen attigit hoc rarò.
Cor^{m}.
Propoſitio centeſima tertia.
Proportionem eorundem in accliui demonſtrare.
Dupliciter poteſt intelligi, uel deſcendendo, uel aſcendendo.


Sed
ego nunc loquor de aſcenſu, contraria ratione intelliges de
deſcenſu
, & circa inuerſionem demonſtrata eſt proportio eius
iuxta
angulum aſcenſus, & ſimiliter declarabitur de proportione

attractionis
iuxta eundem angulum aſcenſus, & nuper declarata
eſt
proportio inuerſionis in plano ad attractionem, ex quibus ſe­
quitur
per ea, quæ dicam inferius, quòd proportio cuiuſuis mobi­
lis
inuerſi ad attractum ſub quibuſcunque angulis nota erit.
Co^{m}.
Propoſ. 72.
In ſequenti.
Propoſitio centeſima quarta.
Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in pla­
no
determinare.
Si ab accliue, ſeu decliue in quo d ad attra­


108[Figure 108]
hendum
, cuius nota eſt ex ſuperioribus dif­
ficultas
in plano ratione figuræ conſtante, er­
go
ea quæritur proportio aſcenſus, & quo­
niam
terminus ad perpendiculum eſt dupla
proportio
, & iam grauitas in plano eſt dimidium, ideò quicquid
acquiritur
in eleuatione eſt in comparatione ad illud dimidium,
cum
ergo attractio ſecundum eandem proportionem augeatur, er­
go
ſemper maior difficultas augebitur, ergo ab initio minimum
1erit diſcrimen ab attractione in plano. Exempli gratia ſit, ut graue d
in
plano ſit, ut quin que, & ſuſpenſum decem, ergo in medio angulo
erit
penè ſeptem, ſed ſeptem minus longe diſtant à quin que, quàm de­
cem
ad ſeptem, ergo in ſecunda parte plus longè augebitur difficul
tas
attractionis ſupra difficultatem in medio angulo accliui, quam
in
prima parte à plano ad medium accliue, & quoniam planum in
plano
deſcendit, tanto uehementius, quanto difficilius attrahitur,
ergo
planum in decliui ſublimi longe maiore impetu feretur infrà
quam
ſit proportio anguli ad angulum.
Exempli gratia, planum in
medio
angulo, ſi incipiat deſcendere in dodrante multo lentius,
quàm
pro dimidio uirium deſcenſus totius anguli, imò initium de­
ſcenſus
eſt à medio recti ad unguem, ubi omnia plana ſint, & duriſ­
ſima
, & cauſa huius eſt, quia omne graue tendit ad centrum, quòd
maior
pars ipſius grauis eſt ultra medium grauitatis in decliui
humiliore
.
Co^{m}.
Ex 62. &
64
. Propoſ.
Propoſitio centeſima quinta.
Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire.
109[Figure 109]
Hæc proponitur etiam à Philoſo­

pho
, & ponatur ab, & ſi pondus ſit in

medio
d grauat æqualiter utrunque,
nam
in hoc conſentit experimentum
cum
ratione, at uerò ſi ponatur in cita,
ut
b c ſit tripla b a uiderentur a & b, tanquam hypomochlia, & pon

dus
ipſum b, ut grauior eſſet cb, quam c a.
Ariſtoteles, ſeu author
ille
hoc uidens bifariam reſpondet: primum quòd hoc eſt inuer­

ſum
inſtrumentum, cum in cæteris motor ſit ex aduerſo hypomo­
chlij
, hic in ipſo, geſtans enim mouet & hypomochlij inſtar eſt hu­
merus
.
At hoc uerum non eſt: quod mouet enim eſt pondus, & eſt
in
c: nam a, & contingit moueri: quia ſi ſtarent, idem ſequeretur.
Se­
cunda
reſponſio eſt, quod utrunque premit ſcilicet ferentes & pon­
dus
, & quòd qui longior eſt ab hypomochlio facilius mouet, &
redit
ad idem fermè: nam in c conſtituitur, quod moueri debet, ca­
pita
uectium ſunt a, & b: motus autem eſt ipſum ſuſtinere pondus.
At hoc non uidetur, quoniam ratio, qua uectis longior facilius mo
uet
, eſt ambitus magnitudo, ob quam motus redditur tardior, &
ideo
leuior: igitur non eſt hoc uerum de motu occulto, ſicut eſt gra
uis
prementis, ſed circumducente, cum in occulto uelut in ſtatera
contrarium
accidere docuerimus aliâs.
Quidam dixere b premere
c
uerſus a, a contrà uerſus b, & ideò grauari magis a àb, quàm b ab
a
, quia maiorem uim habet b e, quàm a c.
Iſtud falſum eſt bifariam.
Primum, quia & ſi a, & b ſint in æquilibrio, ut nec unus in alterum
1incumbat, nec impellat, ſed tantum ſuſtineat nihilo ſecius res uera
eſt
.
Et etiam quia non eſt uerum, quòd qui longius incumbit, ma­
iorem
uim inferat.
Propterea dicendum eſt, quòd qui ex commu­
nibus
propria nituntur demonſtrare, omnes corrumpunt diſcipli­
nas
.
Nihil deterius eſt his monſtris. Nam etſi hæc ratio uera eſſet:
non
tamen reddit cauſam, quia non eſt ex proprijs principijs.
Dico
ergo
, quod ſi c deſcendat in e, per perpendiculum deſcendet, igitur
d
b eſt longior d a, quare angulus e a b maior e b a: igitur pondus c
plus
deſcendit comparatione a, quàm b, ergo plus grauat c ipſum a
quàm
b, ſeu ex cauſa, quod magis premat, ſeu ex effectu, quòd ma­
gis
deceſſerit.
Cauſa ergo erroris eſt, quod ſi ponatur angulus f b a
æqualis
angulo f a b, & ponatur b f ęqualis b c, tun c in eodem tem­
pore
, in quo tranſit dimidium c in e, tranſibit aliud dimidium c in f.
quia ſeparatę partes grauiores ſunt in c b, quàm c a, propter diſtan­
tiam
ab hypomochlio, ſed tunc uelocius mouentur, & angulus fit
ęqualis
.
Sed quando pondus eſt unum, & c deſcendit ad e, cum de­
ſcendat
inæquali tempore, & peragat maiorem angulum compa­
ratione
a, quam b, ſequitur, ut uelocius moueatur comparatione a
quàm
b.
Ergo ſi non mouetur, cum omnis potentia ſit ſimilis actui,
tum
quia ab eo producitur, & effectus eſt ſimilis cauſæ: tum quia
eſt
initium actus, igitur etiam quod a b non inclinetur, nec deſcen­
dat
, grauius erit pondus, comparatione a quàm b, quod erat de­
monſtrandum
.
Co^{m}.
Qusſt. 59.
M
echanic.
Propoſ. 45.
Prop. 103.
Ex hoc ſequitur, quòd aliqua iuncta erunt grauiora reſpectu
nius
, quæ erunt mutato ordine diuiſa leuiora.
Quoniam diuiſa,
quæ
longius diſtant æqualem, aut maiorem angulum faciunt, iun­
cta
minorem.
Propoſitio centeſima ſexta.
Quales proportiones angulorum doceant laterum proportio­
nes
.
At que uiciſsim determinare.
Sit circulus a b c, cuius dimetiens, nota b d ſit b, erit ergo latus

110[Figure 110]
exagoni
a b dimidium b d, id eſt 3. igitur
cum
angulus a ſit rectus, erit a d <02> 27 latus
trianguli
.
Et latus quadrati per eandem <02>
18
. Vt latus exagoni ſit <02> 9. Quadrati <02> 18
Trianguli
<02> 27, & ita poteſtate ſe habent
hæc
ut 1. 2. 3. Et ſunt nota.
Et quia latus d e c
agoni
eſt <02> 11 1/4 m, 1 1/2. & ipſum erit notum.
Quare latus pentagoni eſt <02> v 22 1/2 m: <02>
101
1/4 notum.
Et iam notum fuit latus epta­
goni
.
Habebimus igitur latera Trianguli
1quadrati pentagoni, & eptagoni æquilaterorum nota: & etiam
ſubtenſorum
duobus ex his.
Sit, gratia exempli, a b 3 & b c <02> 11 1/4m:
1
1/2, ut prius, & ponatur b d diameter, erit ad <02> 27 & c d <02> v 22 1/2 m:
<02> 101 1/4, quam ducemus in a b, & fiet <02> v 202 1/2 m: <02> 8201 1/4. Duce­
mus
itidem <02> 27 a d in b c <02> 11 1/4 m: 1 1/2 fiet <02> 303 3/4m: <02> 60 3/4, hoc to­
tum
diuide per 66, quæ eſt b: fiet a c <02> 8 7/16 m: <02> 1 11/16 p: <02> v: 5 45/72 m: <02>
6
1701/5184. Nec credas te errare, quoniam latus pentagoni eſſet, ac ſi an­
gulus
b rectus eſſet: ſed quia eſt obtuſus, ideo a c eſt alia linea, &
maior
latere pentagoni.
Et ſimiliter ſi a b, & a c notæ eſſent, utpo­

te
a b 3, ut prius a c 5 dico, quòd b c nota eſt: nam a d erit <02> 27, &
quia
ex b d in a c fit 30, fiet ex b c in a d pos <02> 27, et ex a b in c d <02> 324
m
: 9 quad.
igitur 30 m: pos <02> 27 æquantur <02> 324 m: 9 quad. quare
900
p: 27 quad.
m: pos <02> 97200 æquantur 324 m: 9 quad. igitur 576
p
: 16 quad.
ęquantur pos <02> 97200. Quadratum igitur p: 36 ęquan­
tur
pos <02> 379 11/16, erit ergo b c <02> v: <02> 94 59/64 p: <02> 58 59/64 & ſimiliter ſi a c
ſit
nota, puta 4 erit a b ſubtenſa dimidio arcus a c nota.
Erit enim a e
2
ergo d e 3 p: <02> 5 et b e 3 m: <02> 5, igitur a b <02> v: 18 m, <02> 180. Igitur hoc
modo
diuidendo, iungendo, & detrahendo habebimus ex quatu­
or
illis ſimplicibus trianguli quadrati.
Pentagoni, & eptagoni in
numeras
linearum magnitudines in circulo.
Et ſimiliter quouis mo
do
, ut dictum eſt, in quauis figura æquilatera, utpote ſuppoſito
111[Figure 111]
quod
deſcriptum ſit non angulum in
circulo
æquilaterum, quod etiam erit
æquiangulum
, & ſit arcus a b duplus
arcui
a c, erit angulus a c b duplus an­
gulo
a b c, & angulus b a c in portione
b
d e c ſexcuplus a b c, & triplus a c b.
Erit ergo per demonſtrata proportio

b
a ad a c, uelut a c, & c b, ad a b: pro­
portio
autem a b arcus ad a c, ex ſup­
poſito
maior eſt proportione rectæ a b ad a c, igitur etiam propor­
tione
a c & c b ad a b, ergo duo latera trianguli ad tertium minorem
habent
proportionem, quam arcus ad arcum, quanto rectæ ad re­
ctam
minor eſt.
Sit rurſus in triangulo b e d quomodolibet modo
ſit
angulus b d e quadruplus angulo b e d, & diuidatur d per ęqua­
lia
ducta d f, erit igitur proportio f d, d e ad f e, ut e f ad f d, ſed e f ad

f
b ut d e ad d b.
igitur proportio b d, d e ad f b compoſita ex propor­
tionibus
e f ad f d, & e d ad d b.
Proportio igitur b d, d e ad f b, ut
producti
ex e f in e d ad productum ex d fin d b.
Rurſus ponamus,

quod
in quadrangulo a b c d primæ figuræ ſit a b 4 b c 3 c d 5 ad 6
dico
, quòd ſpatium contentum erit notum.
Ductis rectis a c & b d
1quomodolibet, ut ſe ſecent in e, erunt anguli d c a, & d b a æquales,

quia
in ead́em portione circuli a d, & anguli a d e ęquales, quia con
tra
ſe poſiti.
igitur trianguli a b e, & c d e ſimiles, & proportio d c ad

a
b, ut c e ad b e, c d autem fuit 5 a b 4, igitur ſi b e ponatur 4 pos c e
erit
5 pos.
Per eaſdem, & eodem modo a d ad b c ut d e ad e c. igitur
poſita
c e 5 pos erit e d 10 pos, tota igitur d b 14 pos.
Et quoniam ea­

dem
proportio a e ad e b per eadem, & e b fuit 4 pos: igitur a e eſt 8
pos
, quare a e 13. poſt productum igitur ex a c in d b, eſt 182 quad.
& hoc æquatur productis a b in c d, quod eſt 20, & b c in a d quod
eſt
18, totum igitur eſt 38, igitur res eſt <02> 19/91. Quare notę erunt lineæ
b
e, e d, a e, & e c, ſed ſufficit, ut cognita ſit a c, uel b d.
Per regulam
enim
triangulorum erunt notæ areæ a b c, & a d e, quare tota ſuper­
ficies
a b c d.
Et eſt inuentum Scipionis Ferri Bononienſis de quo
aliâs
.
Poteſt etiam inuenta a c uel b d haberi ſuperficies facilius
per
catheros.
Co_{m}.
Per 52. Ele
ment
.
In 16. de
S
ubtil.
Per 3. ſexti
E
lem.
Per 23. ſex
ti
Elem.
Per 21. ter
tij
Elem.
Per 15. pri
mi
Element.
Per 32. pri
mi
Elem.
Sit modo obtuſi angulus a b c, & nota latera ſingula, & angu­
lus
a b c, & producantur latera ad perpendicu­
112[Figure 112]
lum
, ut ſint d & e recti, & quia anguli ad a ſunt
æquales
, erunt anguli e b a, & d e a ſemper æ­

quales
.
Et hoc idem contingit in acuti angulis
triangulis
intus, & eſt utile mechanicum: &
quia
a b c notus eſt, & d notus, erunt anguli tri
goni
d b c noti: & ſi fuerit angulus a notus, erunt anguli d a c & e a b
noti
, & ideo anguli e b a, & d c a: & ſemper notum, quod fit ex b a
in
a d, uel c a in a e, ſunt enim ęqualia inter ſe: etiam notæ ad & a c,
quoniam
duplum horum eſt exceſſus quadrati b c ſuper quadrata
a
b, & a c.
Quod uerò propositurà Monteregio de cognitione an­
gulorum
in triangulis non eſt intelligendum, ut uerba ſignificant,

ſed
ſolum de cognitione quoad uſum tabularum.
Per 32. pri
mi
Elem.
Per 12. ſe­
cundi
Elem.
Et iterum ponamus, quòd proportio a c c b ad a b ſit qualis a b
ad
a c, dico quòd angulus c duplus eſt angulo b.
Si non ducatur c d
113[Figure 113]
faciens
angulum d c b duplum b, erit igitur pro­
portio
d c c b ad d b, ut d b ad d c.
Maior eſt autem
d
c, quàm a c, aut æqualis, aut minor, ſi æqualis,
igitur
maior proportio d c c b ad b d quàm b a,
igitur
maior proportio b d ad d c quam b a ad a c
ad
a c & æquales ſunt igitur b d maior d a pars toto, quod eſſe non
poteſt
.
Si uerò d c ponatur maior a c, magis ex hoc ſequitur b d ma­
iorem
eſſe b a.
Quod ſi minor ſit d c quàm a c. Ex demonſtratio­
ne
ipſius reflexæ proportionis patet hoc contingere non poſſe.
Et ſimiliter patet conuerſas in reliquis etiam ueras eſſe, non ſolum
1in proportionibus notiſsimis angulorum ſed etiam in coniuncti­
one
& detractione.
Et eſt ex ſubtiliſsimis operationibus, quæ ho­
mini
in hoc genere eueniant.
Propoſitio centeſima ſeptima.
Si in circulo duo diametri ad rectum angulum ſe ſecauer int: alię
uerò
ad perpendiculum ex diametro exierint ad circumferentiam,
ſingulæ
ſupra diametrum erunt maiores portionibus reliquis dia­
metri
ſuperioribus, infra autem minores.
Dimidium autem porti­
onis
ſuperioris reſiduum ad centrum maius ſagitta habebit.
In ali­
qua
præterea portionis ſuperioris parte, quæ uerſus diametrum
tranſuerſum
poſita eſt, maior eſt differentia partis diametri ei cor­
reſpondentis
, quam lineæ tranſuerſæ.
114[Figure 114]
Sint duę diametri a b, c d ad perpendi
culum
ſecantes ſe in centro, & ducuntur
ſupr
f g k h, & infra m l ad perpendicu­
lum
ſupra a b: dico f g eſſe maiorem f a,
& k h k a, & contrà minorem m l, quàm
m
a.
Per octauam enim ſexti, quod fit ex

b
f in f a æquale eſt quadrato f g, ſed b f eſt
maior
f g, quia b f eſt maior c b, & ideo
e
c g f, ergo f g maior eſt f a, m l aut minor eſt per eadem e c, quare e a,
multo
igitur minor m a, quod eſt primum.
Suppoſito etiam, quòd

a
g arcus ſit dimidium a c, dico a f minorem eſſe f e, nam quadratum e

g
æquale eſt quadratis f e, & f g, & quadratum a g quadratis f g & f a
& e g eſt ęqualis lateri exagoni, & a g latus octogoni, igitur e g ma­

ior
g a, & duo quadrata e f & f g maiora duobus quadratis f g &
f
a, detracto igitur communi f g quadrato, patet propoſitum.
Per 31. ter­
tij
Element.
Per 7. tertij
E
lem. Cor^{m}.
1. eiuſdem.
Per 47. pri
mi
Elem.
Per Cor^{m}.
15
. quarti
E
lem.
Cum rurſus ex prima parte huius lineę f g & k h ſint maiores f a,
& k a & ea ſit æqualis e c, neceſſe eſt ut iuxta punctum c augeatur

magis
linea in ea, quam ſit differentia lineæ tranſuerſæ ad lineam
tranſuerſam
per communem animi ſententiam, quod eſt tertium.
Per 28. ter­
tij
Elem.
Propoſitio centeſima octaua.
Punctum ęqualitatis differentię deſcenſus, & remotionis à cen­
tro
inuenire.
Per præcedentem moto puncto a uerſus c ſemper uſ que ad e, c ma

gis
diſtat punctum a linea a e, quàm à puncto a uerſus, quia linea n h
maior
eſt n a, & per eandem dum appropinquat ad c cum e c fiat
ęqualis
ea, maius fit in crementum in a e, quàm reſpectu lineæ tranſ­
uerſalis
.
Volo ergo inuenire punctum hoc in quo fit mutatio: &
diuido
arcum ac per æqualia in f, & dico illum eſſe punctum quæ­
ſitum
: accepto quouis puncto in e f, puta k, duco g o h p ęquidiſtan
1115[Figure 115]
tes
a b, & c d: erunt que anguli q & n recti

& anguli f e a, & f e c ęquales, igitur uter

que
dimidium recti: igitur per dicta in
primo
Elementorum Euclidis e n ęqua

lis
n k, igitur c q æqualis e n, quare h p
æqualis
g o, ſed quod fit ex o k in k g eſt

æquale
ei, quod fit ex p k in k h, igitur

k
h eſt æqualis k g ex eisdem oſtendi­
tur
f l m k quadratum eſſe.
Quia ergo
k
h eſt æqualis k g, & k l æqualis k m, erit l g æqualis m h.
Er­
go
deſcendendo ex g in f, quantum f l ſuperat l g, tantum deſcen­
dendo
ex f in h, f m ſuperat m h per communem animi ſententi­
am
.
At f m eſt deſcenſus f in linea a e, & m h diſtantia, quæ acqui­
ritur
in linea f r, n m enim eſt æqualis f r, igitur n h excedit f r in
h
m, & ita a n excedit a r in n r ęquali f m.
Quantum ergo in g f,
l
f excedit l g, tantum in deſcenſu ex f in h, f m, quæ refert g l, ex­
cedit
h m, quæ refert f l.
Arcus autem f g eſt æqualis arcui f h,
quod
cum poſſem oſtendere pluribus modis ſatis conſtat, quia chor

darum
illorum quadrata ſunt inuicem æqualia, quia lineæ f m, &

f
l item que m h & l g ſunt æquales, & anguli m, & l recti.
Igitur cum
ad
quod uis punctum in linea e f ſemper linea deſcenſus in parte
inferiore
eſt maior linea diſtantiæ tanto, quanto per æqualem ar­
cum
in ſuperiore linea diſtantiæ eſt maior linea, deſcenſus ſequitur
per
regulam Dialecticam quod punctus f, eſt punctus ęqualitatis.
Per idem diceremus in quarta parte inferiore.
Co^{m}.
Per 29. pri
mi
Elem.
Per 23. ter
tij
Elem.
Propoſ. 32.
& 6.
Per 34. pri
mi
Elem.
Per 7. tertij
E
lement.
Per 47. pri
mi
Elem.
Per 47. ter­
tij
Elem.
Propoſitio centeſima nona.
Rationem libræ expendere.
Cum libra moueatur, uelut rota circa axem, quia trutina manet,
ideò
ſi pondus ponatur, dum iugum fuerit in linea a b nihil mo­
uebitur
, quia appetitus deſcenſus ex puncto a maximus eſt, & ni­
hil
iuuat motum extra naturam, idem dico de graui poſito in uerti­
ce
b a.
Nam duo ſunt motus in rota, & in libra unus, per quem
dum
fertur per arcum a f, gratia exempli deſcendit, quantum eſt

a
r, quæ eſt minor dimidio e r, & ideò minor e r, quæ eſt maior di­
midio
, ut demonſtratum eſt, & etiam minor r f, quæ æqualis eſt r e

per
demonſtrata rurſus: & hic eſt naturalis ut palam eſt: alter præ­
ter
naturam, & eſt ferri ad latus, quoniam hoc eſt proprium immortali­
bus
: cun que hic ſit ad latus eſt etiam contra naturam, quia magis diſtat
a
centro, nam e f eſt longior c r, ſi ergo r ferretur in f, moueretur à
centro
, & contra naturam.
Dum ergo fertur ex a in f, multo lentius
1fertur, quàm ex f in c: uelocius autem ex c uſque ad medium: nam
plurimum
deſcendit.
Ex h ad b autem celerrimè, quoniam deſcen­
dit
, & appropinquat lineæ a b, ut uter que motus ſit naturalis.
Non
ergo
mouetur pręter naturam niſi quatenus longius recedit à linea
a
b, unde in inferiore parte mouetur ad eandem, ideò de parte c b
tota
perſpicua eſt ratio, cur facillimè deſcendat, ſimiliter & tota,
hoc
enim eſt demonſtratum.
Similiter & quare difficillimè feratur
ex
b uſ que ad p, & ultra p uſ que ad directum r f: at de motu ex a in f,
quod
debeat ferri, quia plus remouetur, quam deſcendat, nulla eſt
ratio
: ut nec cur ex oppoſito f ad a difficilem ſe præſtet: & hoc eſt,
quia
tertiam rationem etiam ipſe Ariſtoteles, & qui eum ſequuti
ſunt
, prætermiſit.
Ea autem eſt, quod dum fertur ad g, uel f etiam li­
cet
non deſcendat magis, quàm remoueatur, ex a
116[Figure 116]
ad
centrum terræ tamen magis appropinquat.
Quia enim e a eſt ęqualis e c, quoniam prodeunt
à
centro circuli eiuſdem, & b e, & e c ſunt maio­
res
b c, ideò b a erit maior b c, eſt autem b cen­

trum
mundi, ergo a motum ad c, appropinqua­
uit
ipſi b
Propoſ. 98.
In præceden
ti
.
Per 17. pri
mi
Elem.
Dico etiam quod libra ex chalybe tenuiſsimo,
& quanto leuiorum concharum, & longioris iugi
10
exactior, quoniam lances illæ minori exceſſu
mouentur
, quia plus diſtant ab hypomochlio.
Sit ergo libra, cuius iugum a b trutina c: lances d & e, alia libra,
cuius
lances h, & k, & l m longiores, iugum f g.
Conſtat, quod
qualis
proportio f g ad a b, talis ambitus, ad ambitum: motus er­
go
ſi ſit æqualis utrarumque, igitur a tanto minore proportione
117[Figure 117]
1mouebitur in h, quam in d, uelut ſit proportio f g ad a b dupla, ut
ergo
æqualiter moueantur, ſi ſit dupla ſexquiquarta in d cum lan­
ce
ad e uacuam, erit in h ſexquialtera, & mouebit æquali tempore.
Ergo iuxta hoc fient libræ, quæ examinabunt decimam, & uigeſi­
mam
partem grani, quod eſt neceſſarium in pretioſis rebus, & me­
dicamentis
potentibus, & longè magis in mechanicis experimen­
tis
, & maximè quæ ad demonſtrationem pertinent magnitudinis
ſuperficierum
, & conſtat res in tribus, in longitudine, f g iungi, in le
uitate
materiæ illius, & lancium, nam tanto maior redditur propor
tio
ponderis exigui, & in firmitate iugi ac rectitudine.
ideò debet
fieri
ex chalybe purgato, durato ac tenuiſsimo, natura que leui, & ut c
ſit
in medio, & mobilis f g.
Conſiderandum eſt demum an f l & g m ſint grauiores f h, &
g
k.
Vt enim grauiores extiterint minus facilè mouentur. Viden­
tur
autem mihi, qui de his conſcripſerunt perperam contempſiſſe
hoc
, conſtat enim, quòd dum l deſcendit, remouetur a b n c tru­
tina
, & m, quæ aſcendit contra appropinquat.
Videtur autem hoc
bifariam
contra naturam: nam ut diximus pondus applicat ſe ad
rectam
n c, quia uerſus centrum, & etiam quia facit angulum ob­
tuſum
, cum deberet, ut ab initio ſaltem conſtituere cum iugo re­
ctum
.
Et de m nihil mirum eſt, cum acutum, ut ſe ad lineam, quæ ad
centrum
retrahat.
Huiuſmodi præterijſſe Ariſtotelem, demiror,
quæ
nimis fuerunt in conſpicuo, ut dubitem ne non ſuus ſit ille li­
ber
, qui eius penè nihil ſapiat præter obſcuritatem.
Tentan­
dum
eſt igitur horum cauſas aſsignare.
nam quæ huiuſmodi po­
teſt
eſſe doctrina niſi perfecta fuerit, in omnibus etenim neceſſe eſt
aut
omnia ſcire, aut ignorare.
In hoc igitur dico, quod h f, ſeu l f,
ſemper
æquidiſtant n c trutinæ, ergo cum angulus f c n in clina­
to
iugo fiat obtuſus deſcendente pondere, & n c g aſcendente pon­
dere
fiat acutus, ergo angulus l f c tantundem fiet obtuſior, & m g c
acutior
, quanto anguli ad c tales ſunt.
Et cauſa eſt quia n c ratio­
ne
ponderis eſt directa ad centrum, ergo oportet, ut pondera l, uel
h
, & m, uel k, ſi debent tendere ad centrum, ut f l, & g m æquidi­
ſtent
n c, niſi quantum eſt pro diſtantia f, à puncto c, & g a b eodem,
quæ
comparata ad centrum terrę, ſeu mundi, eſt inſenſibilis omnino.
Circa hæc notandum iſtud mirabile ſcilicet, quod ratio motus, quan­
tumuis
exigua ſufficit ad motus modum, licet uelo citas pendeat ex gra
uitate
, & alijs.
Et quae graue, quod expers eſt ſenſus, debeat ſequi ratio
nem
Geometricam uix ſapientibus cognitam, cauſa tamen una eſt, &
perſpicua
: nam omne graue eſt in linea à centro mundi: ſi aut medium
grauis
ſit extra lineam, uertitur ad illam, quę eſt in eo, nam centrum ſem
1per eſt in eadem. Ergo ſola inclinatio ad hoc ut medium grauis ſit in li­
nea
centrorum grauitatis & terræ, ſufficit.
Eſt ergo principium in ſe
pſo
.
In appenſis ſimiliter. Trutina enim, & finis iugi, & grauis cen­
trum
mundi centrum ſunt in eadem linea, ut eſſe poſſunt, cum exigua illa
& ſola diſtantia intercedat.
& hoc eſt primum. Quia ergo iugum eſt
ex
materia ſolida, mouetur ratione, quæ dicta eſt, lances autem
oportet
cum filis appenſi ſint, ut puncta f & h, uel l, & g k, uel g m
ſint
in una linea cum centro terræ.
Et quia l magis diſtat a b f quam
h
, & m a g magis, quam k, & oportet faciant eandem inclinatio­
nem
, quia anguli trutinæ cum iugó ſunt ijdem, & linea cl eſt ma­
ior
c h, & c m, quàm c k in quouis ſitu, ergo ſpatium, quod ambitur,
eſt
maius ergo per d e monſtrata ſuperius l eſt grauius h etiam
præter
uinculorum additionem, & m grauius k.
Quanto igi­
tur
longiores ſunt funiculi à libræ extremitate ſeu iugi, tanto gra­
uius
redditur pondus, quod tamen multi putant eſſe falſum: nec
aliquid
referre, quòd ſit longum, aut breue ſuſtentaculum.
Propoſitio centeſima decima.
Si duæ ſphæræ ex eadem materia deſcendant in ae
re
eodem temporis momento ad planum ueniunt.
118[Figure 118]
Co^{m}.
Supponitur quod ex eodem loco. Sermo enim
abſurda
ſub interpretatione nunquam niſi ab inui­
dioſo
, uel imperito intelligi debet.
Sit ergo a tripla
ad
b, ſphærula ad ſphærulam ex plumbo ambæ fer­
ro
uel lapide eiuſdem generis, dico, quòd inæquali
tempore
peruenient ad planum c d.
Nam a propor­
tionem
habet ad b, ut uiginti ſeptem ad unum.
pro­
portio
autem ſpatij a ad ſpatium b nonupla eſt, &
proportio
denſitatis aëris ad aërem eſt tripla, propterea quod den­
ſitas
illa multiplicatur propter impetus magnitudinem.
nam ſi ro­
bur
, ut decem percutiat baculo lato, ut quatuor ictus erit maior du­
plo
, quàm ſit robur, ut quinque percutiat baculo, ut duo: propter
denſitatem
ergo maiorem aëris in a, quam in b: & quoniam ſi ſub
maiore
impetu mouetur aer ſub a, quam ſub b, igitur proportio
erit
comparanda longitudini à centro a ad longitudinem a centro
b
, quæ eſt tripla.
Si ergo ſubtripla eſt ratio motus b ad a, quod
ad
medium attinet, tripla autem propter uelocitatem diſceſſus aë­
ris
à medio grauitatis, quod eſt in ſuperficie e regione centri graui­
tatis
in linea ad centrum mundi, ut dictum eſt in præcedenti: mani­
feſtum
eſt, quod a, & b inæquali tempore peruenient ad ſubie­
ctum
planum, & æquidiſtans centris eorum.
Similiter & in aqua:
1cum uerò uideatur in illa tanto celerius a deſcendere, quàm b,
quanto
eſt ſemidiameter a longior ſemidiametro b, liquet ex hoc,
quod
æquali uelo citate deſcendunt, ſed ob uelocitatem motus in
aëre
latet diſcrimen anticipationis contactus ſoli a ante b, qui di­
gnoſcitur
in aqua, ex quo patet exactam eſſe æqualitatem.
Sed reſi­
liunt
ſemel in aqua ambæ, cum pluries in aëre a ſolo, quare etiam in
aqua
perturbatur cognitio in parum accuratis, at que ſenſu præditis,
ſicut
etiam in caſu, ne altera alteram perueniat, utra que comprehenſa
duobus
digitis, altera alteram tangente, & uſque ad centrum in
aquam
demiſsis ſimul digitis dilatatis dimittendæ ſunt.
Propoſitio centeſima undecima.
Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in ſcalmo à remo,
ac
malo recipiant inde ex puppi explorare.
Ariſtoteles uidetur in Mechanicis, & qui eum ſequuti ſunt, ui­

dentur
rem nauticam quòd ad remos attinet, referre in longitu­
dinem
partis, quæ ſcalmum tanquàm hypomochlium interiacet
& manum: ea enim circa medium nauis cum illa ibi ſit latior ma­
ior
eſt.
Sed & qui lembos ducunt, & in puppe magis diſtant à
ſcalmo
& in prora, quàm in medio nauis, nec tamen uelocius il­
lam
agunt: non quòd ratio illa falſa ſit, ſed quia uelocius ferun­
tur
etiam ob aliam cauſam, quàm ſit hæc, & magis uniuerſalem.
Primum igitur ſumamus, quod ſuperiùs demonſtratum eſt ſcili­

cet
, quòd ubi pondus aliquod æquale undique tanquam in li­
bra
ſuſpenſum fuerit, proportio ponderis partium inæqualium
ad
duas partes æquales, eſt confuſa ex proportione longitudi­
nis
earundem, & quadrato eiuſdem proportionis.
Sit ergo diui­
ſa
a b in c, & fiat c e æqualis c a: proportio igitur ponderis b e ad
pondus
e a eſt compoſita ex proportione b e ad e a, & quadrato
119[Figure 119]
eius
ſecundum longitudinem.
at poſita agi
na
d g in medio a b, proportio ponderis b e
ad
pondus ea eſt, ueluti longitudinis b e
ad
e a, igitur proportio ponderis b e ad e a,
cum
agina eſt extra medium in c, eſt tanto
maior
proportione b c ad ea, quantum eſt quadratum illius pro­

portionis
, ergo b e pondus maius eſt, cum agina eſt in c, quàm in d.
igitur per communem animi ſententiam addito communi pondere a e,
erit
pondus a b minus ſemper cum agina eſt in d, <08> in ullo alio lo­
co
a b.
Ergo pondus a b apprehenſum in d mouebitur a b æquali ui

maiore
proportione, <08> in ullo alio loco.
Haſtile ergo in medio ap­
prehenſum
maiore ui mouebitur, quàm in ulla alia parte.
Et ſi
1cilius ſit in anteriore parte propinquius comprehenſum calci, & ſi
craſsius
, uel grauius propius cuſpidi.
Semper igitur ob hanc cau­
ſam
mota ex medio grauitatis, ſeu uelo, ſeu ramo, ſeu manu uelo­
cius
mouentur, quàm ex alijs partibus.
In remo etiam poteſt acce­
dere
illud commodum, cuius meminit Ariſtoteles.
Propter hoc igi
tur
, qui malum in naui collo carunt tantùm unum, in medio fermè
eum
collocarunt, ut antiqui: & qui duos aut tres, maiorem craſsio­

rem
ſcilicet, & altiorem in medio conſtituerunt.
Co^{m}.
Propoſ. 86.
Per 10.
quinti Elem.
Per 8. quin­
ti
Elem.
Propoſ. 82.
Propoſitio centeſimaduodecima.
Cur ex imo leuia longius ferantur declarare.
Iam uerò conſideremus, quòd propoſitum eſt, non ſolum in com­

paratione
ad medium, ſed extremorum inuicem, miſſa enim ab imo
uelo
cius feruntur, quàm à medio non ſolum manu, ſed ſcorpioni­
bus
, & arcubus.
Videmus & hoc obſeruare pueros uirgam lon­
gius
iacentes non ex medio, ſed imo apprehenſam, quoniam pars
ipſa
anterior, & quæ manu apprehenſa eſt, uehementi impetu emit­
titur
: & ut recipit impetum magis æqualem, longius fertur, nam
quod
emittitur proportionem habet ad ſpatium.
Cum ergo appre
henſa
in medio uirga ſolum medietate anteriore impetum recipiat
per
ſe, ob id minus fertur: at impetus ſequitur proportionem, ut ui­
ſum
eſt, quæ eſt circa medium ob leuitatem ponderis.
In leuibus
ergo
maius ſpatium ſuperabunt emiſſa ex imo, quoniam propor­
tio
ſpatij eadem eſt ad duplum, & ad dimidium.
igitur ex imo fer­
me
duplum etiam ſpatij ſuperabit: non tamen omnino quia maio­
rem
, ut dixi proportionem habet ad id, quod ex medio comprehen
ſum
eſt.
At in leuibus non eſt neceſſarium, ut ex medio apprehen­
dantur
, quoniam etiam cum incremento illo ponderis iam leuia
ſunt
: plus ergo facit longitudo eius, quod eiaculatur, quàm impe­
120[Figure 120]
tus
, cuius demonſtratio eſt hæc.
Sit uirga
a
b apprehenſa in medio ponderis unciæ
mediæ
, & in a d, ut ſit d a palmus, & uigeſi­
ma
pars totius a b, erit ergo reſiduum ad duplum, a d nonuplum,

& a b tota unciarum quin que cum dimidia, ſi igitur grauetur, quia in
ſitu
recto eſt mediæ unciæ, in æquidiſtanti terræ, quin que unciarum
cum
dimidio, erit in ſitu dimidij recti unciarum trium.
Eſt igitur
proportio
ſexcupla, ſi apprehendatur in medio, & ad æquidiſtan­
tem
, ad apprehenſam in imo, & ad angulum medium: at emiſſa ex

a
d habet totum aërem a b circumdantem impulſum ex c b ſolum
dimidium
reliqua pars ui trahitur, ergo proportio ſpatij a b, erit
ſexdecupla
fermè ſpatio b c, quoniam eſt triplicata corporis ad cor
pus
eius, quæ eſt longitudinis ad longitudinem, & quadruplicata
1reſpectu aëris a c, qui reſiſtit apprehenſa a b in c. Et iam minus fere­
batur
quinta parte, ideo longius eiaculabitur triplo ex a, quàm ex
c
.
Nec tamen maiore impetu, quia obliquè fertur, & quæ obliquè
feriunt, minore cum impetu feriunt: at que eo magis ſi leuia fuerint: ab
aëre
enim circumambiente perturbantur, & in incertum trudun­
tur
.
Quæ ergo grauia ſunt ex medio emiſſa, & ad æquidiſtantem
longius
feruntur, & maiore cum impetu, quia magis directè: leuia
autem
longius ex imo, ſed minore cum impetu, ſi aliqua cauſa à re­
cto
, & æquidiſtante declinauerint.
At ſi à ſuprema parte, & iuxta
cuſpidem
, neque procul feruntur, neque cum impetu ob cauſas di­
ctas
.
Eadem quoque ratio eſt omnium machinarum: ideò ob lon­
longius eiaculantur, quoniam proportionem ſeruant ad cana­

lem
.
Sed de hoc inferius agetur.
Co^{m}.
Per 86.
Per 89.
Prop. 107.
Propoſitio centeſimatertia decima.
Cur uirga longius mittatur à puero, quàm à uiro inueſtigare.
Co_{m}.
Diligentia, & uſus puerilis efficit, ut uirga feratur ſecundum me­
dium
rectianguli: uir autem non conſtanter iacit, & ſecundum re­
ctum
, at rectus inceſſus in leuibus, quia ab aëre in obliquum defle­
ctitur
uirga ob longitudinem efficit, ut inflectatur infrà celerius, &
deſinat
citius motus, ac finiatur.
Tertia cauſa eſt, quòd leuiſsima
non
adeò recipiunt impetum ut grauia: nam leuiſsimam & exigu­
am
ligni portionem maximo nixu uix excutiemus è manu.
Cauſa
ergo
eſt: quoniam uim, oportet, ut habeat, quod contra naturam
mouetur
, ut naturaliter moueri poſsit, quæcunque igitur naturaliter
exiguum
habent motum, ut pluma, palea, feſtucæ nulla ratione ue­
hementer
contra naturam agi poſſunt.
Quædam ergo à pueris lon
gius
iaciuntur ob ſolam peritiam, & exercitationem, quædam quo­
niam
ad angulum latiorem magis feruntur, quàm ſit rectus, quæ­
dam
quoniam leuiſsima ſunt.
Sed ſi leuiora non feruntur ualido
motu
uiolento, cur tamen à pueris iacta longius feruntur?
Ratio eſt,
quoniam
maior uis deficiente obiecto magis fatigatur, atque ideò
minus
mouet.
Propter hæc igitur omnia non ſolùm in pueris, ſed
in
machinis, quæ accommodata ſunt, melius impelluntur, a c lon­
gius
feruntur, quàm leuiſsima.
nam nec palea ſcorpione iacta tam
procul
, quàm ſagitta fertur, cum proportio maior ſit, tamen ad pa­
leam
, quàm ad ſagittam.
Inde fit, ut quemadmodum Turca ille lite­
ras
ſui Principis, cum timeret ad noſtros propius accedere, lapidi al
ligatas
longius emiſit.
Cauſam autem huius docet Ariſtoteles in
Mechanicis
dum quærit cur, & grauia & leuia ualde longe proijci
nequeunt
: nam grauia nimis, moueri non facilè poſſunt: leuia etiam
ualde
ad rem mouere non ualent.
Ob hæc utra que ex his paruo cum
1impetu emittuntur, tametſi uehementer nitaris. Sed & leuia ferun­
tur
hac illac, ut non poſsint retinere impetum prioris uiolentiæ: in­
natum
enim eſt, ut duorum motuum ſimul in eadem re uigentium,
cum
illa proprio impetu feratur, unus alterum impediat: nam ſi ro­
ta
uehatur circulariter acta, non tamen ceſſabit, aut iminuetur impe
tus
circulationis.
Multa ergo in huiuſmodi anomalis motibus con
ſideranda
ſunt, ut illorum impetum robur, ac locum definiamus.
Ex hoc liquet, cur plumbeæ ſphærulæ longius ferantur à tor­

mento
emiſſæ, quàm ligneæ, etiam ſi non frangantur.
Cor^{m}.
Propoſitio centeſima quarta decima.
Circularis motus differentias quatuor eſſe, earum qúe rationem
contemplari
.
In motu circulari aut axis progreditur, aut ſuo loco manet. Vtroque

autem
modo uel mouetur ab axe, uel circumferentia, igitur conſtat
quatuor
eſſe motuum differentias: quas cum tres proponat author
libri
Mechanicarum, aut Ariſtotelem illum eſſe, credendum non
eſt
, aut illum ſtupidum dicere neceſſe eſt, nam modum diuidendi
eum
latuiſſe quis putet.
cum rota igitur aut ſphæra in plano cir­
cumagitur
, motus eſt ex circumferentia prægrediente axe: ut pa­
lam
eſt: motis enim loco nobis mouentur omnia, quæ ſunt in no­
bis
.
Cum uerò rotæ ſub curru ſunt, progreditur axis earum, & rota
ob
id cum quieſcere nequeat, quia facilius circumuertitur, quàm
trahatur
, procedit, & hic eſt ſecundus modus, quo rota ex circumfe
rentia
mouetur, & ex axe initium eſt motus.
At uerò in rota molari,
& quibus gladij exacuuntur, cum loco non moueantur, motus eſt
ex
axe: axis enim rotam circumagit, non rota axem, quieſcit tamen
in
eodem loco rota, & axis ſcilicet, quia non progreditur, ſed in lo­
co
mouetur: atque hic eſt tertius modus.
Demum ſuccula putei, &
ipſa
mouetur circulari motu, & trochleæ etiam, neque enim progre­
diuntur
: ſed non ex axe mouentur, uerùm ſuccula per coloppes cir
cumducitur
, & trochlea per funes, axis que in ſuccula mouetur, in tro
chleis
autem quieſcit prorſus: dico mouetur, id eſt circumducitur,
non
quod progrediatur: ut non ſolum ſint quatuor modi, ſed po­
tius
quin que, nam & demonſtratione oſtenduntur, & experimento
docente
deprehenduntur.
Horum omnium liberrimus eſt, primus
ex
circumferentia progrediente toto, ſeu attracto ſeu impulſo & ue
lociſsimus
, cuius cauſam ſuprà oſtendimus.
Proximus huic eſt mo­

tus
rotarum per axem, quoniam axis premit rotam interius ſo­
lam
, & labitur: ideo que quod & axis, & rota intus ſint leuiſsima, pro­
deſt
plurimum: & aurigæ axungia inungunt, & nomen ab eo traxit
1axungia. Et quae rota magna ſit: quoniam cum non rota, ſed axis traha­
tur
in æquali tempore & magna, & parua trahitur: utra que uerò una
conuerſione
tantam lineam rectam ſuperat, quanta eſt rotæ periphe­
ria
.
Quod ſi plures ſint rotæ celerius feruntur, quia axis minus tan­
to
rotam premit.
Et ſi rectus ſit axis, & bene rotundus, & foramen ro
tundum
, & latius, & è duriſsimo ligno, ut non poſsit in clinari: &
rota
ipſa in ambitu æqualis, omnia hæc faciunt ad motus uelo cita
tem
, unde Homerus.
Co^{m}.
Propoſ. 40.
Iliad. 23.
ἴχνια τύπτε όδεοσι άρ & κόνιν ἀμφιχυθῡναι.
Id eſt, ueſtigia per cuſsit pedibus, ante que illa puluis pedibus ex­
cuſſus
(ueſtigia ſcilicet relinquentibus) ingrederetur.
Principalis
autem
cauſa uelo citatis eſt agens, uelut equi.
Sed inter hunc motum
& priorem medius eſt Scitalæ uocatæ, nam ut in primo axis proci­
dit
& rotundum à ſuperficie circumagitur, licet axis etiam circum­
ducatur
, ut axis, & rota, aut ſphæra duplici motu moueantur, ſci­
licet
antrorſum, & circumcirca, in rota currus duo ijdem motus
ſint
, axis quo que antrorſum moueatur, ſed non circumagatur: unde
impeditior
eſt hic motus: ita in Scytala utrunque utro que motu mo­
uetur
, & circumcirca, & antrorſum, at que id commune eſt, cum pri­
mo
ita axis mouet rotas, non rotæ axem, quòd ſecundo motui ro­
tarum
in curru proprium eſt, ut tantum degenerent à primo motu,
quanto
leuius uertuntur, quàm in ſecundo motu.
Trahitur ergo
121[Figure 121]
iugum
in ſcitala, uelut in rotis currus,
ſed
eſt annexum rotis non in curri­
bus
.
Propterea in primo motu trahi­
tur
, uel impellitur à ſuperficie: in ſe­
cundo
a b axe, ſed non affixo rotis, unde ægrè trahuntur in ſcyta­
la
ab axe affixo rotę.
Quare leuius quàm in curru, difficilius quàm
in
rota uel ſphæra à ſuperficie extima circumacta.
Quartus modus
eſt
, ut dixi, circumuecta rota ab axe, quum non progreditur, ut in
moletrinis
, & rotis, quibus ferrum exacuitur.
Eſt enim hic ſimilior
primo
, quia contrarius, in primo enim procedit rota, & uertitur à
circumferentia
, hic quieſcit rota, & mouetur ab axe.
Proximus huic
eſt
, qui fit in ſucculis ob firmitatem axis: nam axis eſt coniunctus
rotæ
.
Vltimus eſt trochlearum, qui & difficillimus: ſit enim à cir­
cumferentia
, & axis diſiunctus eſt à trochlea: quod ad dit difficulta­
tem
.
Sed & trochlea caret colloppibus. Ergo uerum eſt, quod
mnia
rotunda facilius circumaguntur, ſed uaria ratione: nam plus
mota
ſuper aliquo plano, ut in plauſtris & ſcytalis: minus in ſuccu­
lis
, & rotis acuentibus ferrum, & molis: nam & ſi rotunditatem iu­
uet
ob æqualitatem ad conuerſionem, non tamen in his eſt ad
1utilis. Vtilitas ergo prima eſt, cum circumuertitur in plano, uelut
in
rotis ſcytalis, & ſphæris.
Secunda quæ minor eſt, cum à ſuperfi­
cie
circumuertitur, ut in trochleis.
Tertia cum à coloppis, quæ mi­
nima
eſt omnium, ut in ſucculis.
Motus autem cœli non eſt ex tri­
plici
primo genere, cum ſit in loco, & non ad locum, neque ut rotæ
molaris
: nam ille eſt ex axe: nec ut in trochlea: nam in ea axis quieſ­
cit
ipſum autem cœlum circa axem non uertitur, ſed cum axe, ſi ta­
men
inſecabilis linea circumagi poteſt dici.
Relinquitur ergo, ut
Cœli
motus propior ſit motui ſucculæ, quàm alij motui.
Differt
ab
eo in hoc, quod in ſuccula mouetur axis ab orbe: at in cœlo
ut
non mouetur ab axe, ita nec axis ab orbe: cun que ſit motus ſim­
pliciſsimus
, in alio genere collocandus eſt: quando quidem in illo
nulla
pars poſsit dici primo, quod neceſſarium eſt in uno quo que horum.
Propoſitio centeſima quinta decima.
Proportionem motuum impulſionis, & attractionis inter'ſe ab
eadem
ui declarare.
Conſtat, quòd attractio cum fune longiore ualidior eſt, quam

cum
manibus, quoniam eſt cum motu quodam: motus autem au­
get
actionem, ideo attractio ualidior eſt hac de cauſa, ſed & impul­
ſio
cum baculo ualidior eſt, quam cum manibus, quoniam licet col
ligere
omnes uires in illo baculo, & ipſum applicare loco, unde fa­
cilius
impelli poteſt.
Velut ſphæra ex medio latere: nam ibi magis
colliguntur
uires, & ad impellendum facilius eſt, quodcunque leui­
us
eſt.
Pars autem magis remota à centro grauitatis eſt leuior, his
duabus
cauſis, ſphæra ex medio latere facilius ac magis impellitur.
Sed nos ſupponimus nunc applicationem æqualem eſſe, nam ſe­
cus
ad impellendum facilius eſt applicare totum corpus, quàm at­
tractionem
.
Pectore enim magna ui impellimus, nihil eſt compar,
quo
trahere poſsimus.
Sed, ut dixi, ſit baculus applicatus alicui la­
pidi
ea parte, qua facilius poteſt impelli & trahi, & quæritur, quæ
maior
ſit uis, an attrahendi?
& dico quòd homo, uel conatur trahe­
re
toto corpore, & impellere, at que hoc modo magis trahit, quàm
impellet
, quoniam corporis pondus melius adhibetur in tractione
quàm
impulſu: uel citra corporis pondus, ſed ſola ui membrorum:
& tunc magis impellit, quoniam impulſus fit corpore prono in an­
teriorem
partem, quæ inclinatio, & motus eſt naturalis magis, quàm
in
attractione in partem poſteriorem.
Sed ubi nulla ſit diuerſitas
neque
horum, neque figurarum æqualis uis æqualem efficit motum:
quia
impulſus impellentis comparatione eſt attractio reſpectu al­
terius
.
Verùm non eſt eadem uis nec propè par impellendi, at que
attrahendi
hominibus, cum attractio fiat per muſculos ad
1nem ſuam naturaliter ſe retrahentibus impulſui nullum inſtrumen
tum
à natura delegatum inuenio, nam ad extenſionem muſculi ſa­
ex aduerſo ſunt fabricati: cum ergo duo ſint tantum motus mu­
ſculorum
tenſio, dum retrahuntur ad principium ſuum, & remiſsio,
dum
membrum quieſcit in naturali nullus erit locus impulſioni,
niſi
ex conſequentia non per ſe, quamobrem multo infirmiorem il­
lum
attractione in brachijs eſſe, neceſſe eſt.
Co^{m}.
Propoſitio centeſima ſexta decima.
Cur machinæ ablongæ igneæ longius emittant ſphæram ex­
plorare
.
Co^{m}.
Quoniam ratio ſuperius adducta, neque in his, neque in hypophy­

ſis
(uocant cerbatanas) non poteſt ſatisfacere, cum tamen idem ſe­
quatur
in his, ut in illis uidetur, quaſi uis eſſe in ſphærula ſic emiſ­
ſa
, & non in aëre, quemadmodum dicebamus, coniuncto eſſe.
Ex
quo
neceſſe eſſet, ut quod longius ferretur, etiam ualidiores ictus
122[Figure 122]
inferret
, hoc autem
non
ita ſe habet, ſed
ictus
magnitudo
ex
robore machi­
narum
tam ignea­
rum
, quam ſcorpio
num
pendet, nam
ſit
a ſcorpio ma­
gnus
, ſed tenuis, ex
hòc
palam eſt lon­
gius
mittere ſagit­
tam
, quòd à parua,
& breui, quantun­
uis
craſſa non lon­
ge
mittitur: at uerò
quod
b craſſus & paruus maiore cum impetu mittat oſtenditur
nam
ea pondera ſagittæ mouet, quæ non poteſt mouere a, igitur b
ualidiore
robore mouet, quam a.
Præterea illud oſtendit iugum fu­
nis
arcus craſsiora duriora, quæ maioribus uiribus indigent, quam
a
, qui à puero tendi poterit.
Non eſt ergo eadem ratio mittendi
longius
, & ualidiore cum robore.
Eadem ergo cum ratio ſit in
machinis
igneis, craſsiores enim, & latiores ac breuiores magis
concutiunt
, quam longiores tenuiores minoris ſphæræ capaces:
non
ſolum ob magnitudinem ſphæræ magis illæ concutiunt, ſed,
ut
dixi, ob maiorem impetus uim: cauſa ergo eſt manifeſta in his,
ſed
non cauſa, qua longius ferantur in longiore canali.
Sed
1tur una, eadem que eſſe ratio in utriſque. Conſtituatur can alis a b
lońgior
, & c d breuior, ut ſit ſexquialter a b ad c d, & ſit rurſus
123[Figure 123]
ſphærulæ
locus e in longiore,
ſexquialter
in diſtantia a b, qua
lis
eſt in f a d, & erit per dicta
ab
Euclide in quinto, ac ſexqui
altera
c f.
Poſſemus igitur di­
cere
, quod uelut ab hypomo­
chlio
longiore ſpatio circuma­
gitur
pondus: ita & a b c, & f.
Sed rurſus incidimus in id, ut
maiore
impetu feratur e quàm f.
Ideo ſi concedatur maiore ferri ex
e
, quam ex f non ſequitur, ut celerius, aut maiore impetu.
Percutit
puer
pugno quanta ui poteſt ac celerrimè, uir robuſtus lentè, & mi­
nore
impetu, ſed tamen ictus longè maior eſt.
Eſt enim ictus robur
non
à uelo citate ſolum, ſed maiore ex ponderis grauitate, quæ ſola
premit
, urget, & frangit etiam ſine motu.
Solum ergo id reſtat du­
bium
, cur ſi grauius eſt, moueatur eodem fermé impetu: nam quo
maiore
impetu fertur, eo longius fertur, non tamen magis ferit, con
cutit
, aut quaſſat, ſed grauitas ad hoc plus facit impetu.
Palea maxi­
mo
impetu demiſſa non ferit, non ledit, & celerius deſcendit, fer­
rum
ſola grauitate actum, imò etiam temperato ictu lædit graui­
ter
, quaſſat, & frangit: itaque f maiore indiget quantitate pyrij pulue­
ris
, quàm e: ſiquidem tertia parte ponderis ſuæ ſphæræ: at maius
eſt
pondus f quam e, ergo maius pondus pulueris f quàm e, ergo
maior
uehementia ictus, ſiquidem ea ſequitur, robur cauſæ mouen
tis
ſimpliciter: ut concludamus longitudinem ictus ſequi propor­
tionem
motoris ad motum, ſed uehementia robur motoris: nam ſi
ex
portione mouet æquale pondus maiore cum impetu mouet,
quoniam
maior eſt proportio: ſi minore igitur pondus maius eſt,
&, ut dixi plus facit magnitudo ponderis cum leui ictu, quàm ma­
gnitudo
ictus cum leui pondere.
Quæ ergo feruntur per longio­
res
canales maiore impetu feruntur, & ſocietatem habent aëris moti
per
longius ſpatium, ut tardius remittatur, quia longiore tempore uis
motus
confirmata eſt, & proportio eius, quòd mouet, maior eſt ad id,
quod
mouetur, quia minus extenditur, at uerò f motum minore propor­
tione
ictum facit maiorem, quia, ut dixi, tanto grauius, eſt quod ferit.
Quod
autem minus extendatur machina a b quam c d, nunc oſtendere oportet.
Prop. 103.
Propoſitio centeſima decima ſeptima.
In cuniculis maior eſt uis pulueris copioſioris ampliore in ſpa­
tio
, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem.
1
Sit ſpatium f d ſexqui tertium b e, puluis quo que in f d ſpatio ſi­

militer
ſexqui tertius pulueri b e pondere, & manifeſtum eſt, quod
dum
conuertitur in ignem qualiſcunque ſit proportio (modo eadem
ignis
ad puluerem) erit ignis in f d pariter ſexqui tertius igni in b e,
dico
quòd ſi craſsities f d ſit etiam ſexqui tertia craſsitiei b e, quod
poterit
frangi, & moueri f d quieſcente b e.
Vnde idem in cuniculis
ut
magnus cuniculus cum multo puluere poſsit mouere montem
paruus
cum puluere proportione reſpondente priori non poſsit.
Nam cùm æqualia ſint omnia iuxta que rationem eandem, neceſſe eſt
ut
pro ratione extendantur, at in paruo ſpatio minor fit denſitas cę­
tera
paria ſunt, ergo à paruo ſpatio non tantus fit impetus, quantus
à
magno.
Impetus etiam proportionem habet ad pondus, & ad con­
iunctionem
, à maiore igitur impetu plura, & maiora mouentur, &
conuelluntur
, quam à minore, ob hæc igitur minores cuniculi ſuc­
cutiunt
, maiores euertunt, maximi exturbant, & proijciunt.
Nam
qui
ſuccutiunt, ubi pondus, aut coniunctio maior ſit, quàm ut di­
ſtrahere
poſsint, condenſant partes proximiores, & rimas faciunt,
per
quas exhalat ignis aut omnino extinguitur, aut condenſatur.
At ergo in bellicis machinis, minus dilatat puluis, cum fuerit in lon
go
canali, ob id ergo maiore impetu feruntur per illas, quàm per
breuiores
, etiam quòd minor ſit puluis, minor ſit ignis.
Experimen
tum
facies in canali, ubi ſambuci medulla pro globulo flatu impel­
lente
expellitur abſ que periculo: nam quanto minor fuerit canalis
ambitu
ac longior eo maiore impetu pellitur.
Forſan quiſpiam nos
meritò
poterit uideri reprehendiſſe, quòd inanis gloriæ ſtudio per­
nicioſa
humano generi doceam.
Quibus reſpondeo, me nihil do cu
iſſe
, quod ín humani generis detrimentum cedat, huiuſmodi que prę­
cepta
iam obſcuraſſe, ut ne quid mali accidere poſſet hominibus ex
his
: nam quòd ad ea, quæ declarata, ſunt, cauſas ſolùm retuli, effectus
ipſi
modi artis nimium feruntur, ac nimio pluſquam uellem in telligun­
tur
.
Vt cum ad copiam, ad magnitudinem, ad coacta imperia miſe­
rorum
reſpicio, nihil plus poſsit addi.
Omnia enim huiuſque ſpectant
ad
potentiorum in crementa.
An ergo ſuccurrere afflictis, obſeſsis,
cinctis
, æquare conditionem, liberare à ſeruitute etiam rebelles non li­
cebit
?
Ab initio fuimus omnes liberi: excogitata fuit regni ratio ad
commodum
hominum, ea uerſa eſt per uim in Tyrannidem.
Subtili
ergo
ratione occurrendum eſt imbecillioribus: nam reliqua omnia ni­
mis
, ut dixi, quę ad cuniculos ad magnitudinem machinarum ad rectos
ictus
ad libramenta ad longitudinem ſpatij, per quos globus ille de­
fertur
, nota ſunt improbis illis artificibus, nec noſtrum eſt ſpectare,
cur
id licuerit, poſtquam Deus hanc uiolentiam eſſe uoluit.
Multa
damnamus
, quae Deus eſſe uult: boni uiri eſt non niſi opitulari homini­
bus
, etiam malis modo bonis futuri non ſint impedimento: quamobrem
1ea tradenda ſunt, quæ oppreſsis ſint auxilio: ea ſunt, quę ſubtilibus
conſtant rationibus, et multiplicata amittunt uim ut quaſi pręſtent pau
ca
multis, & exigua magnis.
In cęteris obſcurare ita decet cuncta, quae
obeſſe
poſſunt, aut quouis modo puerti ad malos uſus queant, ut di­
cta
non dicta eſſe putent, hoc eſt officium non ſolum probi, ſed etiam pruden
tis
uiri.
Co_{m}.
Propoſitio centeſima decima octaua.
Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo,
qui
eſt ad perpendiculum declarare.
124[Figure 124]
Sit paries b d e, ex a feratur in dictus, qui ſi

eſſet
in c d parietem eſſe ad perpendiculum, &
ualidiſsimus
, ſin uero in f g abraderet, & non
conquaſſaret.
Quæritur ergo ex b d e muro
qualis
excipietur?
erit ergo proportio anguli c d a ad angulum b d a,
ueluti
ictus a d in d c ad ictum in b d, manifeſtum eſt aut ſequi proportio­
nem
, quoniam maxima uarietate conſtat dum ex angulo b d a acuto fit
acutior
, quoniam ſi b d c ſit quadruplus b d a erit reſiduus ad dimidium b
d
a nonuplus ipſi dimidio, & ad quartam partem habebit proportionem
decem nouem ad unum.
Si ergo etiam in idem tenderent, non efficerent mille
ictus
q̊d tres, cuius demonſtratio hęc eſt.
Supponamus proportionem
b
d c ad quartam partem a d b ad dito reſiduo ad b d c eſſe ſolum decuplam:
tunc ex duob.
ictibus centupla erit in d c ad eam, quę in b e, etiam tribus
millecupla
: nam conquaſſata turri in primo ictu, id d decuplo magis
ad
perpendiculum <08> in b d e ſumatur decima pars in ambitu d, & illa
erit
ergo tam diſſoluta, & infirma ex ſuppoſito, <08> eſt tota b e: ſed ex ſe
cundo
ictu decuplo magis conquaſſabitur illa pars, <08> b e ergo tota d c
centuplo
magis quaſſabitur ex duob.
ictibus c d turris, <08> b e, & ita in
tribus
: ex decem millibus ergo ictibus etiam ad amuſsim directis, cum ta
men id uix fieri poſsit in tanta multitudine non plus comminuetur b d e, <08>
ex
decë c d pnter quam exiguum quippiam in ſuperficie.
Imo ut declaratum
eſt
multo minus repetita ratione multiplicis.
Ob id in arce Medio­
lanenſi
exterius lapidibus uiuis in rotundum diducta ſuperficie inter­
125[Figure 125]
uallo
que quaedrato hunc in modum munitę ſunt altiores tur
res
.
Fiat ergo murus cuius proportio a d c ad b d a ſit ſex
quitertia
, erit que angulus b d c dodrans recti, & parum incli
natis
, ſiquidem b d c erit quarta pars recti, & ſit tantę ma­
gnitudinis
, at que duritiei, ac adeò benè coniunctus fer­

reis
cathenis, ac ſtolonibus, ut poſsit reſiſtere machinarum fe­
rentium
ſphęram librarum ducentarum (quæ ſanè maximæ ſunt)
126[Figure 126]quinquaginta: tunc cum proportio ſexquitertia nouies repeti­
ta
, ut in numeris uides, efficiat quinquies replicatis nouem
ictibus
, fiet proportio decupla quinquies producta, quę eſt cen
tum millium ad unum in quadraginta quin que ictibus.
Antequam
ergo
peruenit ad quinquaginta ictus rectos neceſſe erit, ut
1multo plures centum millibus ictus excipiat ante <08> euertatur, quæ
recta
ſi eſſet quinquaginta ſolùm potuiſſet ſuſtinere.
Quæ ergo hu
mana
potentia ſufficeret.
In arce Mediolanenſi uidimus uix attactas
in
illis extuberationibus lapideis.
Sed quoniam hic occurritur per
inclinationem
machinarum, ideò de hoc ſermonem ſum habiturus.
Co^{m}.
729 972 1296 1728 2304 3072 4096 5461 1/3 7281 7/9
Propoſitio centeſima decima nona.
Quantum ictus machinę procliuis ad angulum minuatur explorare.
Huiuſce cauſa excogitarunt, ut ictus ad perpendiculum dirigeretur, &

quanquam angulus d e f ſit ęquali angulo a b c, longè tamen maior eſt uis
a
b <08> d e duplici cauſa, & quoniam a b eſt ſecundum nat uram impetus
127[Figure 127]
ignis
, & etiam eorum, quę emittuntur in altum: & q̊d pars
ſuperior
in b retineat ictum, in e non retineat.
Sed caui
tas
fiat maior in inferiore parte: cuius experimentum
quiliber
facere poteſt cum haſta.
Huic ergo ſolertiæ, quae
tormenta
iubet altius collocare obſtat primum, quod
ictus
ex decliui ſitu periculoſior eſt pro machina, & ma
ximè
q̊d retro impellit, quae ex retro ceſſa, poſt <08> exone
rata
eſt, dignoſcitur, & ad collimandum decedit parte ui­
rium
ſuarum, q̊d etſi paruum ſit in ductu tamen, & ictuum mul
tiplicatione
magnum affert diſcrimen.
Habet & commo
dum
ſitus muri accliuis terram ſuppoſitam ad perpendiculum, quae ictum
ſuſtinet
: adeò ut omnib.
inuicem collectis, perinde ſit ac ſi ex perpen­
diculo
, et ęquidiſtanti ad ſolum feriatur.
Venetus. S. aliter Patauij cauit,
uidetur
que, quae ſapientiſsimus ſit, & eandem ſequatur ubi que normam,
poſt
<08> in rotundam figuram totum urbis ambitum formauit, & foſſa la
ta
, ac pro fundiſsima aqua que perenni muniuit, & ſummam muri partem
rotundam in hunc modum effecit cauam que interius undique, ne cuniculis
128[Figure 128]
poſſet
euerti, à lateribus uerò humiles, ac craſsiſsimas turres, ut nul
la
ui poſſent dirui, eas que tormentis bellicis, undique latera luſtrantib.
repleſſet, illud diligentiſsime cauit, ne murus humilior eſſet aduerſa
ripa
, ſed ad libellam tamen depreſſus, ut etiam machinis in terram exten
ſis
ſphęrulæ non tangerent murum: nam cum foſſa ſit quadraginta paſ­
ſuum
, excedat aut murus exteriorem aggerem uno paſſu, ut quicquid
in
ambitu eſt uno ictu oculi cognoſci poſsit, & aggeris angulus ma
ior
ſit uno paſſu, tum magis adiecta craſsitie machinę fieri non poteſt,
ut
ictus in murum dirigatur.
Eam ob cauſam etiam cauit, ne ędificium ul­
129[Figure 129]
lum
, aut planta, uel colliculus eſſet cir­
cum
circa urbem ad tria M. P. laborat hoc
periculo
hęc urbs, ne tota ędificijs euer­
ſis
concidat.
Turcarum enim Princeps di­
dicit
, ut in Nouo caſtro in Melitę Inſulę
arce
S.
Elmi appellata pluſ <08> mille icti­
bus
in ſingulos dies imo M D obtundere
1munitiones. Eum que impetum producere ad quindecim dies, & ui­
ginti
tum etiam longius, ut facilè domos omnes euertat, homines
occidat
: ſi qui ſuperſunt tot in commodis obruuntur uigilijs, fame,
ſiti
, puluere, ut inutiles reddantur.
Ideò huic incommodo occurrunt
aggeribus
intra mœnia erectis, in quos uis tormentorum igneorum
emoritur
.
Sed dices, cur ergo non pro muris erigere eos præſtat, &
minore
ſumptu ſatis?
quoniam ſubruuntur à foſſoribus facillimè, ſi
ad
illos peruenire poſsit hoſtis.
Ideò intra mœnia utiliſsimi ſunt, pro
mœnijs
parum proſunt.
Quod uerò ad teſtudines attinet, ſub qui­
bus
latent foſſores machinæ laterales, & à fronte & ignes, & aqua al­
tior
prohibent omnino iniuriam, quę ab his imminet.
Cæterum hu­
iuſmodi
cum in longum differuntur morbis, illuuie, incommodis, plu­
uijs
, frigoribus omnino diſſoluuntur, ut nulla multitudo huic operi
ſufficere
poſsit.
Rhodus, Alba regia, Melita, Caſtrum nouum, Byzan
tium
, ſi diferri potuiſſent tempora, non ceſsiſſent uictori quantum­
uis
ſuperbo.
Vicit pertinacia, audacia que ſumma, Corcyram, Viennam
capere
non potuit, quoniam in longum trahebatur oppugnatio.
Mul
machinæ, & pauci homines prædæ obſeſſorum expoſitæ ſunt:
paucę
, & pauci homines obſidebuntur potius, quam obſidebunt.
Exercitus magnus diſſoluitur, & ſemet ipſum conſumit, ſi nulla fiat
acceſsio
aut exigua quomodo ſtabit: ſi magna auxilia omnia cor­
rumpuntur
.
Contrà obſeſsis auxilia ſi ueniant luſtrata, & munita, et
omnibus
neceſſarijs ornata uiri integri contra fatigatos, & feſſos cor
pore
, armati contra inermes, alacres contra torpidos ſuperueniunt.
Ob id præcipuum eſt auxilium pręter hęc his, qui oppugnantur co
pia
militum, qui per initia nun <08> quieſcant diu noctu que, uerum noctu
duo
tubicines perſæpe exercitum inſomnem in armis tota nocte contine
bunt.
Serio aut die pugnare, & noctu cum minimè id ſperant, & fatigati
ſunt
: mira euenire ſolent in his inſperatis, ac audacibus eruptionib.
perſępe etiam omnino ſupra fidem. Ita non conquieſcere oportet donec,
uel
omnino à capto deſinat hoſtis, aut locum occupet ſibi relictum po­
tius
<08> quem elegerit.
nam experimentum frequens docuit, ubi illæ ma
gnę
uires ſuo arbitrio locum, quem elegerunt obtinere potuerint, tandem
potiri
locis quantumuis munitis in hoc q̊d diximus contra opponatur.
Etenim ſeptem modis cum urbes, at que arces capiantur, quorum duo ſunt ex
tra
pnſentem conſiderationem obſidio, quae magnitudine ambitus loci tol­
litur
, & proditio, quae cuſtodum uigilantia, cuniculi, euerſio ſuperioris muri,
euerſio
ab imo per machinas, cuniculi, ſeu ſuffoſsio, urbis euerſio, ſeu
ędificiorum: & qua uocant aggreſsio, ſeu oppugnatio per ſcalas, & crates
cum ſagittarijs: his omnib.
ſatisfactum puto, pręter <08> oppugnationi pro­
pter
humilitatem murorum: nam lignis opplentur, at que faſciculis, terra que foſ
ſę
: nihil.
n. reſiſtit immenſę illi poteſtati, & crudelitati ſęuiſsimorum ty
rannorum.
Verum, ut dixi, terra noctu effoditur, ligna artificioſis ignib. eru
1untur. Et longum eſt opus ſiue per paucos, ſiue per multos quis ef­
ficere
conetur: ut non minus exigat temporis, quàm obſidio: nam
multitudine
unus alterum impedit, & mortui uiuos, ut omnino res
ſit
non ſperanda niſi aduerſus inertiſsimos.
Pontes euertunt machi
, ignes que.
Sed ubi etiam muros obtinuerint ob rotunditatem in
illis
conſiſtere non poſſunt.
Inde à defenſoribus propulſantur ſariſ­
ſis
, telis, ignibus, tranſuerſis trabibus, machinis: illudque accedit com
modi
, ut quanto plures eo facilius excutiantur.
Dixi non debere
uereri
maxima etiam præter id, quoniam & iſtę ipſę tanto ſanguine
acquiſitę
tanto deorum & hominum iniuria modica ſcintilla ignis
ſine
munitionibus, exercitibus, ſiue machinis, abſque terræ concuſsio­
ne
, aut inundatione, uel peſte euertuntur.
In illam miſeram lachry­
mam
patris ſcintilla ignis inferni, cùm Deo placuerit, mittitur, ex qua,
quod
coalitum eſt, multis ſeculis imperium luxu, crudelitate, ſtultitia
unius
filij, uix uno luſtro toto diſſoluitur.
Hanc ſcintillam cum felici
etiam
genio ſecum ex utero detulit Alexander Magnus.
In alijs alij
genium
ſortiti ſunt, alij ſcintillam detulere ab Orco.
Ex imperio Aſſy
riorum
per luxum Sardanapalus: ex Medorum per ſcintillam Aſtya­
ges
: ex Perſarum per ſtultitiam Darius: ex Romanorum Honorius.
Di
ces
, hęc quid ad proportionem?
Imò uelut machina ad perpendiculum
librata
pauculo illo puluere Pyrio urbem euertit, ita ſcintilla illa infer
ni
ignis ſemini magni tyranni indita euertit at que diſſoluit totum re­
gnum
ſine machinis, ut dixi, uel exercitibus ullis, & quod maius eſt
remedio
nullo.
Sed puerulo indito luxus, ignauiæ, crudelitatis atque
ſtultitię
fontibus, mirabile dictu ſanè, & ad proportionem diuino­
rum
inſtrumentorum pertinens.
Sed redeamus ad inſtitutum: Video
enim
, quid poſsit obijci, ſcilicet muros craſſos, et altiores tueri urbem
& ædificia illius poſſe abſque aggeris erectione, & ſi diruantur manere
etiam
nihilominus imo magis, quod eſt terram, uſque quoniam eadem
ratione
manet, quia concuti non poſsit à machinis: nec hoſtes id cu
raturos
, ſperantes hoc ſolum ſufficere, quod mœnia ſolo æquentur, at que id
factum eſt Mediolani, & in arce eius, tum Papię & in Cremonenſi arce.
Verùm ni fallor, ut paruis arcibus à tanta ui tormentorum nullum
eſt
præſidium, aut ſalutis ſpes, ita neque conuenit, ut muris humilibus ag
geri
confidant, nam & pauci homines tanto labori non ſufficerent,
& agger cum foſſa effoſſa ſcilicet terra defenſores nimis in anguſtum
cogeret
.
At in urbibus contra eueniet: muris enim erectis altius ma
chinæ
lapidum fruſtis hominem occident: an percuſſa ſuperiore par
te
ob coniunctionem inferior concutitur, & in de totum ſimul cadit,
ut
uidimus Papię, quo cadente, & foſſa impletur, & τEIκολέτοις facilior
aditus
ad ſubruendum reliquas partes prębetur: imò perculſi
1ſores ſæpe muneris ſui obliuiſcuntur, deſertaque ea parte liberum
ingreſſum
hoſtibus exhibent.
Tum uerò magis, quod non confi­
dunt
animo non ad id parato, poſſe aggerem ſufficientem, & in tam
breui
tempore exſtruere, & etiam intelligunt, antequam erigatur,
patere
à lateribus introitum hoſtibus.
Co^{m}.
Propoſitio centeſimauigeſima.
Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum
explorare
.
Co^{m}.
Sint mali in naui a b c, ad b e, c f uentus è regione g h k etiam ad
perpendiculum
feratur, ut anguli g d a, h e b, k f c ſint æquales, dico
tamen
diuerſo modo affici: nam cum premitur a uerſus l, c premi­
tur
uerſus f: at ſi prematur c uerſus n a, premitur uerſus d, at ſi pre­
130[Figure 130]
matur
b uerſus m, & a uer­
ſus
l, ſed non quantum ex
g
d, & c uerſus n, ſed non
quantum
ex k f, ab eodem
ergo
uento contrarij mo­
tus
efficiuntur ex uelorum
diuerſitate
, etenim per uen
tum
d feretur ad meridiem
nauis
, & per uelum f ad Se
ptentrionem
etiam didu­
cto
auxilio e l a ui, quanto
magis
cum illo: & ſi uen­
tus
excipiatur in f uelo,
non
iuuabit clauus, & ſi in
d
dirigetur, & temperabitur motus, & ſi in e medio modo.
Ergo ſi
uentus
feratur rectè iuuabit, ut dici ſolet omnibus, & plenis uelis
excipere
, ſi ex obliquo demittere antennam puppis, ſin autem ual­
de
obliquus ſit, ſolo proræ uelo utemur.
Si ualidior quàm oportet
humiliore
.
Atque hæc poſtmodum ſunt diligenter numeranda, ac
metienda
: nunc ſufficiat cauſam reddidiſſe, & admonuiſſe diuerſi­
tatis
motuum, quæ ex uelis contingit: nam fertur nauis, quò
prora
dirigitur.
Ergo cum puppis tanto feratur uerſus meridiem
a
b, quanto prora uerſus meridiem a d, & quanto puppis fertur uer
ſus
meridiem, tanto prora fertur uerſus boream, igitur quanto prora
fertur
uerſus meridiem a d, tanto uerſus boream a b f, ſed ſitus claui
poteſt
multo plus in comparatione ueli d, quam f ſcilicet, quia di­
ſtantia
a b a eſt o a, & diſtantia e c eſt o c, tanto plus ergo poteſt cla­
ui
ſitus in comparatione ad uelum d, quam f, quanta eſt proportio
1o a, ad o c, igitur clauus eſt longè potentior in comparatione ueli
d
, quam f, ergo uelum d minus agit nauim, quam f.
Sed ut extrema
ſe
habent, ita medium eorum comparatione, igitur malus b e uali­
dior
eſt, multo d a, & infirmior c f.
Verùm, ut dixi, ob ſitum ſimpli­
citer
ualidius eſt, uelum e quam f, & etiam quia, ut dixi, altior &
craſsior
ſolet eſſe, ideo multo ualidior tribus his cauſis, quàm e f:
adde
quartam quòd uelum habet maius, antiquo tempore uoca­
tum
acatius.
At ut etiam docui c b non eſt in medio, nec æquidiſtat
ab
a d & c f, ſed inclinatur ad proram ideoque imbecillior: cum ergo
ſit
æqualium, & paulo maiorum uirium, quàm c f, & tutior, & me­
lius
agatur per clauum quàm c f, & ſit a d nimis iuſto imbecillis, pro­
pterea
b e mali, & ueli maximus eſt uſus: adeò mali nomen per an­
tonomaſiam
de ipſo ſimpliciter intelligatur.
Propoſitio centeſima uigeſima prima.
Flabelli uires, at que naturam declarare.
Sit flabellum a b c appenſum, ut ſolet, in a, & moueatur motu

quaſi
circa axem p a q in parte inferiore, & aër comprehenſus ſub
b
h k, & ſpatium ſit 1 m figuræ nauicularis, quæ conſtat eſſe par­
tem
cylindri inanis ex formatione ab Euclide ſcripta: nam ſi pro­
poneretur
p a q ad perpendiculum ſuperſtans plano, fieret circum­
ducta
a b c ſuperficie, quæ eſſet lata ſuperius, ſicut etiam inferius

cylindrus
: at ſuperius a b tenuis eſt, & anguſta, ergo fiet pars cy­
lindri
inanis: quia non circumuoluitur, donec redeat.
Ergo per di­
cta
ſuperius ſectio illius p r q s per axem eſt pars cuiuſdam elly­

pſis
.
Et ſectio quæuis planæ ſuperficiei æquidiſtans a b c uelut tu,
item
que æquidiſtans axi p a q eſt ſuperficies rectangula, quarum
una
eſt ſimilis, & æqualis b h k, eſt in una ſuperficie cum axe p a q
alia
uerò eſt æquidiſtans eidem axi maior aut minor æquidiſtanti­
um
, & ipſa laterum, at que rectangula ac ſi cylindrus ſtans axi plano
æquidiſtanti
ſecaretur iuxta longitudinem ſeu altitudinem ſuam:
& manifeſtum eſt, quod iſta duo plana, & eorum ſuperficies ſecant
ſe
mutuò ad rectos angulos.
Com.
Lib. 11.
diff. 21.
Propoſ. 69.
Quibus conſtitutis, qui ſtabunt iuxta l, & m longitudines aëris
moti
, & loci, per quem tranſit flabellum, ſentient magnum uentum,
quoniam
cum corpus m x l ab extremis partibus ſit elatius a b ex­
tremis
, ſtantes, & alti tangentur à uento agitato.
Si uero ſedeant, aer
primum
non attinget illos, ut etiam quia ſurſum pellitur non per­
ueniet
ad illos, imò diffugiet, ergo non refrigerabuntur.
Qui uerò
à
lateribus l x m ſtabunt hiccinde, uelut in f g, ſi ſteterint, non refrigera
buntur, quia quando flabellum erit in l, uel m aer deſcendet, ergo fugi
et
ab illis, cum autem fuerit in x, erit in loco humiliori, &
1tur diuerſa ratione, quippe ab f in h, & non ad latera, ergo ne que
131[Figure 131]
contactu
, neque motu, qui
fiet
per æquidiſtantem f,
& g non poterunt refrige­
rari
.
Sed ſi humili loco ſe­
deant
, quoniam aër deſcen
dit
, ex l & m uerſus x, &
etiam
, quia erunt proximi
h
k, quando fuerit in x, refri­
gerabuntur
ualde.
Qui autem
erunt iuxta h & k minus re­
frigerabuntur
utriſque, ſed pau
lulum
in reditibus propin
quis
, & neque ſtantes, neque
ſedentes
, ſed ſi altius attolla­
tur
h k.
Rurſus ſi b h k fue­
rit
grauior eodem, ut de­
ſcendat
tanto impetu, quan­
to
aſcendit attractum, ut
pote
ex ligno tenui nucis,
tunc
multo magis refrige­
rabit
, & procul, non ob uim
ualidiorem
, ſed quoniam
celerius
occurſantes ſibi
contrarijs
motibus, ac ue­
hementibus
fiet colliſio par
tium
aëris, & ideo in ambitum impelletur, & undique cubiculum
refrigerabit
, quod non faciet maius longè flabellum lento motu
agitatum
, aut ex materia leui.
Idem multo magis contingeret, ubi
duo
eſſent flabella laquearibus appenſa, quæ ad perpendiculum
aerrem mouerent, ſeu quod ſuperficies eo modo ſe haberent: & ſi
flabella
rotunda eſſent, tunc maiorem ambitum aëris occuparent,
& uelocius deficientibus angulis mouebuntur.
Propoſitio centeſima uigeſima ſecunda.
Contemptus circa ſolis rationem in umbris declarare.
Conſtat primùm ſolem, & ex centro, & toto eius ambitu illumi­
nare
hanc primùm diuerſitatem, quæ aliquando tota diametro
computata
dimidium unius partis totius cœli excedit: ſcioterici
negligunt
, ut exiguam.
Secundò etiam diuerſitatis illius, qua mo­
à terra uerſus abſidem defertur, modò ad terram deſcendere to­
tidem
uariata altitudine, non parum nullam habent rationem, ſeu
1quòd tanta ne ſit, ut euidentem in gnomonibus faciat uarietatem,
ſeu
quòd incertum adhuc ſit, an id uerè ſoli accidat.
Tertium eſt fi­
nis
umbræ ipſius gnomonis, qui incertus eſt, ut pars non contem­
nenda
in dubium uertatur, quoniam ſenſim ex obſcuro in illumi­
natum
feratur, at tamen contemnitur etiam.
Quartum quòd cum
ſol
moueatur in ſpira, fingitur quaſi in parallelo æquinoctiali circu
lo
circumagatur ab his, qui horologia deſcribunt.
Quintum quòd
cum
inæqualiter in orbe ſuo moueatur quanuis exigua ſit hæc dif­
ferentia
, æqualiter tamen moueri præſupponitur.
Sextum eſt, quòd
dies
æquales ſupponuntur, qui tamen tum ex ratione partis pera­
gratæ
, tum ratione aſcenſus eiuſdem ſunt inæquales, & tamen hæc in­
qualitas
etiam in horarum computatione prætermittitur.
Sed & hęc ut
prior
ratione magis, quam ſenſu deprehenditur.
Septimum eſt diſcrimen,
q̊d
oritur ex uiſus circulo ſeu horizonte, & circulo tranſeunte p cen
trum mundi, nam horizon uere tanto minor eſt circulo magno, quan­
tum
eſt ſemidiameter terrę, comparatus ad ſemidiametrum orbis cœle
ſtis
, ſed eſt inſenſilis quantitatis.
Octauum eſt, quod trianguli ex gno­
mone
umbra, & radijs ſolis latera non mutant lineas, quæ à ſole ad
centrum
terræ deueniunt, nec quòd maius eſt, radius ſolis ad uerti­
cem
hominis breuior habetur femidimetiente.
Hæc igitur omnia ſci­
otericorum
opifices non obſeruant, ſed negligunt.
Verum quatuor
tantùm
altitudinem poli regionis locum ſolis in eclyptica locum
ſolis
in circulo æquinoctialis, uel æquinoctiali parallelo, ex qui­
bus
tribus fit altitudo ſolis, una in circulo ſcilicet uerticali ab hori­
zonte
, & differentia lineæ meridianæ à linea uerſus polum, quam

oſtendit
lapis Herculeus, de qua dictum eſt ſuperius.
Propoſ. 84.
Propoſitio centeſima uigeſima tertia.
Cognita ratione umbrę ad gno
monem
ſinum, & arcum altitudi­
nis
ab horizonte quouis tempo­
re
dignoſcere.
132[Figure 132]
Sit circulus magnus, in quo ſol

a
f g ſuperſtans ad perpendicu­
lum
circulo uiſus f e g, quos mani
feſtum
eſt tranſire per idem cen­
trum
mundi c, quia magni ſunt, &
ſit
c d erecta ad perpendiculum
ſuper
f g, nam perinde eſt per ſe­
ptimum
contemptum, ac ſi ſuper­

ficies
horizontis tranſeat per terrę centrum, & pedes per octauum,

ideo
proportio e c ad c d umbræ ad gnomonem, ut b e ad b a, ergo
1per demonſtrata b a cognita in comparatione a d e a, e a autem per
octauum
contemptum eſt dimetiens circuli, ergo a b ſinus notus,
& arcus f a, quod eſt primum cognitum.
Et hic quidem circulus
uerticalis
dicitur, quia per illum tranſit, aliter non eſſet ad perpen­
diculum
horizonti.
Co_{m}.
Præced. Pro
poſ
.
Prop. 113.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc ſequitur, quod altitudines ſolis æquales omnes in uno
ſunt
circulo horizonti parallelo.
Et ſi ſol fuerit in uno circulo ho­
rizonti
parallelo, altitudines ſolis, & umbræ magnitudines æqua­
les
erunt.
Cor^{m}. 2.
Sol niſi bis in una die poteſt eſſe in circulo horizonti parallelo,
ſemel
ante meridiem, & ſemel poſt, tantundem ab eodem diſtans.
Cor^{m}. 3.
Cum ergo ita ſit, neceſſe eſt umbras æquales, & circulum hori­
zonti
parallelum fieri ſub in æqualibus horis in diuerſis ſemper die­
bus
, præterquam cum in punctis fuerit æqualis ab ęquinoctiali, &
in
eandem partem declinationis, & hoc bis contingit ſolum in anno
pro
quolibet circulo parallelo, ſicut in eodem die etiam bis tantum,
ut
dictum eſt.
Co^{m}.
Nam exempli gratia, cum ſol eſt in initio Capricorni, & in Cœli
medio
, minima eſt umbra eius diei, & totius anni.
Cum ergo fuerit
ante
meridiem, uel poſt, erit umbra maior ex ſuppoſito ſecudo um­
bra
meridiei: at ei æqualis poterit eſſe umbra meridiei alterius diei
ex
primo ſuppoſito, ergo umbræ æquales diuerſorum dierum fi­
unt
ſub diuerſo ſitu ſolis, quo ad circulum meridiei, quod erat de­
monſtrandum
.
Cor^{m}. 4.
Ex hoc ſequitur, quod horarum determinatio fit ſecundum line­
am
in æqualem obliquam, quæ toti anno ſeruiat, ut æqualium um­
brarum
determinatio hararum & partium eius numerum.
Cor^{m}. 5.
Ex quo colligitur modus faciendi gnomonem, ſeu per umbras
rectas
, ſeu per uerſas, qui docebit toto anno non ſolum horas, ſed mo
menta
pulſuum, de quibus dictum eſt quod MMMDC horam perficiunt.
Propoſitio centeſima uigeſima quarta.
Proportionem umbræ uerſæ eſſe ad gnomonem, uelut gnomo­
nis
ad umbram uerſam.
Co^{m}.
Vmbra uerſa dicitur, quoties gnomo in pariete ad perpendicu­
lum
figitur, ſic ut gnomo æquidiſtet circulo horizontis.
Sit ergo
paries
c k ad perpendiculum f g, & h k a d gnomo ad perpendicu­
lum
parietis & ſol, ut prius in a, & ſit primo k h tantæ longitudinis

ut
umbræ locus ſit punctus d, ut ſit radius a h d e, eritque angulus d
trin
que æqualis, & propterea triangulus k h d ſimilis d c e.
Sit modo

gnomo
maior m l ipſo h k & c l maior c k ſeu æqualis, & quam an­
guli
k & l recti ſunt, & anguli l m n, & k h d æqualis, quia a n, & a c
1ſunt æquidiſtantes per octauum contemptum, erunt per dicta tri­
anguli
ſimiles, igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram
ut
k h gnomonis ad k d umbram, ſed k h, ad k d, ut c e umbræ ad c d
gnomonem
: igitur proportio l m gnomonis ad l n umbram, ut um­
bræ
c e ad c d gnomonem, quod fuit demonſtrandum.
Per 15. pri
mi
Elem.
Per 4. ſexti
E
lem.
Ex hoc primùm patet & pręcedenti, quod cognita proportione

umbrę
uerſę ad gnomonem cognoſcitur ſinus ſolis, & arcus altitu­
dinis
in circulo magno, & eſt altitudo ab horizontis parte, quæ
proximior
eſt loco ſolis, ut demonſtratum à nobis in Geometricis.
Cor^{m}. 1.
Sequitur etiam, quòd cùm umbra fuerit æqualis gnomoni, ſeu

recta
, ſeu uerſa ſolis, uel Lunæ, uel ſtellæ, altitudo erit partium qua­
draginta
quin que: nam anguli d & e, uel d & h erunt æquales: igitur
arcus
f a medietas quartæ ideò partium xlv.
Et ſi gnomo fuerit ma­
ior
umbra uerſa, uel minor recta, erit arcus f a minor xlv partibus, ſi
contrà
maior.
Et hoc ubique terrarum. Et ubi non poſsit tantundem
eleuari
, ut quando ſol eſt ſub circulo capricorni, nunquam nobis

gnomo
æquabitur umbræ rectæ ſed ſemper erit minor, & ſemper

maior
umbra uerſa pari ratione.
Cor^{m}. 2.
Per 5. primi
E
lement.
Per ult. ſexti
E
lem.
Propoſitio centeſima uigeſima quinta.
Proportionem dimetientis, & peripherię cuiuslibet circuli paral
leli
æquinoctiali per cognitam partem magni circuli demonſtrare.
Hæc erat tam clara, ut hic locum non mereretur: tam neceſſaria

huic
propoſito, ut non potuerit omitti.
Sit ergo Aequinoctij circu­
lus
a b portio circuli magni nota, a c parallelus circulus, ęquinoctij
circulo
c d, erit igitur ſinus c d notus.
Et ideò quadratum c d notum,

ergo
& pars utraque b d d a nota.
Quare detracta a d ex d b relinqui­
tur
d g æqualis f c diametro paralleli aſsignari.
Quare proportio

a
b ad e f nota ex obiter ſuprà demonſtratis, & pariter ambi­
tus
circuli a b ad ambitum circuli c d, eſt enim ut dimetientis ad di­

metientem
.
Co^{m}.
Per 3. tertij,
& 8. & 17.
ſexti Elem.
Per 5. ſecun­
di
Elem.
Per 113.
P
ropoſ.
Propoſitio centeſima uigeſima ſexta.
Circuli horarij naturam declarare.
Co^{m}.
133[Figure 133]
Circulus horarius eſt circulus magnus
tranſiens
per ſolem, aut lunam, aut quoduis
ſydus
, de quo agitur, & per polos mundi,
ideò
differt à circulo priore altitudinis So­
lis
, quia ille ſtat ad perpendiculum ſuper
horizontem
, niſi cum tangitur uice meridi­
ani
, uterque tamen tranſit per centrum mundi,
ac
ſolis.
Hic etiam ad ſimiles partes æqui­
noctij
circulum, & omnes parallelos ſecat.
1Et principalis eſt meridianus, ideò ab illo Aſtrologi horas utrinque
ante, & poſt numerant.
Ideò clarum eſt, quòd horæ à meridie com­
putatæ
ſunt communes, habitantibus ſub quauis altitudine poli, &
ubiuis
ſit, ſol modò regiones æqualiter diſtent à fortunatis, ſeu ſint
in
eadem longitudine.
Propoſitio centeſima uigeſima ſeptima.
Data Poli altitudine ortus amplitudinem demonſtrare.
Co^{m}.
Sit horizon a d b æquinoctij circulus
134[Figure 134]
a
k f eclyptica c g, & punctus ortus in ea g.
& c initium arietis, & g b amplitudo ortiua
& c e, c f quartæ circulorum, ut ſit e f maxi­
ma
ſolis declinatio, & polus mundi borea­
lis
l, quia igitur l d nota eſt ex ſuppoſito, &
l
k quadrans erit k h reſiduum ad dimidium
circuli
notum.
Quia uerò æquinoctium, &
Meridianus
ſecant ſe ad angulos rectos, &
b
a æquidiſtat ab utro que polo, erit b polus
h
d, quare b k, quarta circuli, & angulus k
rectus
.
Igitur ſumus in diſpoſitione tabula­
rum
primi mobilis, ergo etiam oppoſitus
triangulus
, qui ei eſt æqualis, & ęquiangu­
lus
in eadem diſpoſitione b m d, quare cum
data
ſit g n declinatio puncti g dati, datus erit, & arcus g b quæſitus.
Propoſitio centeſima uigeſima octaua.
Nota amplitudine ortus cuiuſque puncti arcum ſemidiurnum inuenire.
Co^{m}.
Sit in eadem figura nota g b, uolo illius arcum ſemidiurnum. Cum
ergo
g n ſit declinatio, erit pars arcus Meridiani horarij per polos
tranſeuntis
, compleatur ergo l g n o, & quia g n nota eſt, quia de­
clinatio
puncti dati, & g b nota ex ſuppoſito, & f angulus rectus,
quia
e f eſt portio meridiani, erit b n nota differentia aſcenſionis a
quarta
circuli k b, igitur tota k n arcus ſemidiurnus.
Quoniam g p paral
lelus
ſimilis eſt k n, & in eo reuoluitur Sol: ergo quando enim perue­
niet
ad p.
Poſſumus etiam ſine inuentione arcus ortus amplitudi­
nis
per triangulum k m d ex notitia g n cognoſcere eandem n b.
Cor^{m}.
Ex his duabus ſequitur conuerſa ſcilicet, quae data magnitudine diei
cuiuſcunque in quauis regione nota erit poli altitudo eiuſdem regionis.
Propoſitio centeſima uigeſima nona.
Data altitudine ſolis in quacunque regione quacunque die diſtan­
tiam
ſolis à Meridiano cognoſcere.
Co^{m}.
Sit Horizon a b c d æquinoctij circulus b e d. Meridianus a e c
Polus
mundi Borealis f uertex, g, punctus in eclyptica h ducatur ex
1polo mundi circulus horarius f h k ad æquinoctij circulum, & uer­
ticalis
circulus p h l uſque ad Horizontem, & circulus parallelus æ­
quinoctij
circulo h m, ſit ergo h l altitudo ſolis nota, igitur h g nota

erit
reſiduum quartę circuli, & ſimiliter h k
135[Figure 135]
nota
, quia declinatio puncti dati in eclypti
ca
eſt n nota dies, & locus ſolis ex ſuppoſi­
to
ergo nota fh reſiduum quartę circuli no­
ta
eſt etiam g e, quæ eſt ęqualis altitudini po­
li
ex ſuppoſito, ergo reſiduum quadrantis
f
g, ergo triangulus f g h notorum laterum
ergo
notus angulus f, ergo arcus k e diſtan

tia
ſumpta in æquinoctij circulo puncti h,
cui
ſimilis eſt arcus h m ex parallelo h m, nam quando k perueniet

in
e h perueniet in m, & in æquali tempore, qua diuiſa per quinde­
cim
gradus, habebimus horas diſtantię ſolis à Meridie ante, uel poſt,
& minuta horarum dando quibuslibet gradibus quatuor minuta
horæ
, & quibuslibet minutis graduum quatuor ſecunda horæ, &
ita
habebimus tempus exactiſsimum à Meridie in quacunque regi­
one
, & in quacunque hora diei.
Per 123.
P
ropoſ.
Propoſ. 34.
lib. 4.
De Triang.
M
onteregij.
Propoſitio centeſima trigeſima.
Data regionis altitudine, & loco ſolis proportionem gnomo­
nis
tam ad umbram rectam, quam uerſam, uel etiam in cylindro de­
terminare
.
Hęc eſt propoſitio illa pulcherrima, quam tot ambagibus tradi­

dere
antiqui cum ſuis analematibus, & ſcioteris, nec tamen demon
ſtrationem
, nec rationem exactam inſtrumenorum conſtructio­
nem
, qua poſſemus per umbras rectas uerſas, & cylindricas ſcire ad
unguem
, qualis hora, & minutum, & ſecundum diei eſſet quocun­
que
anni tempore.
Plerique autem tam laborioſè id conati ſunt de­
monſtrare
, ut ſtudioſos deterruerint ab opere: res autem ipſa facil­
lima
eſt.
Propoſita ergo Poli exacta altitudine ſolis in Meridie
declinatione
addita uel detracta, habebis reſiduum eius ad qua­
drantem
f g, & ſimiliter habebis ex declinatione nota loci ſolis de­
tracta
à quadrante f h & iuxta horam tuam, & minutum multi­

plicatum
per quindecim arcum k e quare angulum f, ex quo arcum
g
h, quare reſiduum h l, igitur punctum umbrę rectę, uel uerſę ipſi­
us
gnomonis ad unguem, & ita conſtitues horologium exactiſsi­
mum
ſecundum ea, quæ dixi in Corrolarijs ſupradictis, & quia ho­

rizon
a b c d ſecat æquinoctialem in centro terræ ducta g h k, erunt
anguli
b h g, & k h l ęquales.
Igitur poſito g ortu puncti eclypti­
, erit g b ortus amplitudo nota, & ideò angulus b h g, & k h l
1
notus
, & ita extendemus per totum annum.
Cum uerò fuerit g ele­
uatus
erit, ut demonſtratum eſt, in circulo magno uerticali, ergo an­
gulus
fiet in eodem circulo, quia gnomo eſt etiam in illius ſuperfi­
cie
.
Ergo angulus erit æqualis angulo, quem faceret ſol, ſi oriretur

136[Figure 136]
in
puncto horizontis, quem ſecat circulus
uerticalis
ſub ea altitudine: ſed his eſt no­
tus
: nam in priore figura g h f eſt notus ea­

dem ratione, qua f, & ideò ei oppoſitus k h n,
& k rectus, eſt enim f polus b d, & h k decli
natio
nota ergo k n, & h n notæ.
At e k, &
g
h fuere notæ.
Ergo e n, & g n, quare reſi­
duæ
n l & n b notæ.
Eſt autem angulus l
rectus
.
ergo ortus amplitudo puncti l nota
ſcilicet
arcus l b, ergo in præſenti figura angulus m h b, ergo k h l.
igitur poterimus ſtatuere angulos umbrarum, & iam poſſumus
determinare
magnitudinem: ergo punctum ad unguem umbrę qua­
libet
hora, & parte horæ ſingulis diebus in quacunque regione datæ
altitudinis
poli uerſa, & rects.
In cylindrica autem eodem modo ſi­
cut
in uerſa, eſt enim ſpecies umbrę uerſę, niſi quod analema ob ob­
liquitatem
cylindri melius aptatur, rotundum ſcilicet cum rotundo.
Co^{m}.
Per 28. li. 4.
loan. de Mon
teregij
de
T
riang.
Per 123.
uel 124.
P
ropoſ.
Prop. 123.
C
orol. 1.
Per 127.
P
ropoſ.
Per 15. pri
mi
Elem.
Propoſitio centeſima trigeſima prima.
Si lineæ alicui dupla alterius adiungatur, erit proportio duarum ad
primam maior, quam dupli, cum prima ad primam cum una adiecta.
Sit a b linea, cui adiecta ſit b c, & rurſus ad b c c d æqualis b c
dico
, quod proportio a c ad a b eſt maior, quàm a d ad a c.
Propor

tio
enim c d ad c a minor eſt, quàm ad a b per octauam quinti
lementorum
.
Ergo minor d c ad c a quàm c b ad a b, quia b c & c d
ſunt
æquales, ideò æqualem habent proportionem
ad
a b: igitur coniungendo per 28. Quinti propor
137[Figure 137]
tio
d a ad a c minor, quam c a ad a b, quod erat demonſtrandum.
Com.
Per 7. quin­
ti
Elem.
Propoſitio centeſima trigeſima ſecunda.
Si ad duas lineas, quarum una alteri dupla ſit eadem linea adda­
tur
erit aggregati ex minore, & a d adiecta ad ipſam minorem minor
proportio
quam aggregati ex maiore, & adiecta ad ipſam maio­
rem
duplicata.
Com.
Sint duæ lineę a b, & c d. & ſit c d dupla ad a b, ad datur communis
138[Figure 138]
b
e, & uocetur iuncta c d, d f dico,
quod
proportio e a ad a b, eſt mi­
nor
duplicata f c ad c d, adijcia­
tur
d f æqualis g f, quia ergo g d
eſt
dupla ad f d, ideo ad e b c d autem eſt dupla ad a b, tota igitur
1g c dupla toti e a. quare ut g c ad g d ut e a ad e b permutando, & per
euerſam
ut e a ad a b, ita g c ad c d, ut g c ad c d componitur ex g e ad
f
e, & f c ad c d, igitur e a ad c b componitur ex eiſdem.
Proportio
autem
g c ad f c eſt minor, quam f c ad c d, igitur minor quàm du­
plicata
f c ad c d.
conſtat uerò ex eiſdem, quod proportio c a ad a b
maior
eſt duplicata g c ad f c.
Propoſitio centeſima trigeſima tertia.
Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla ſit: minua­
tur
à minore quædam quantitas eademque maiori addatur, erit mino­
ris
ad reſiduum maior proportio, quam aggregati ad maiorem duplicata.
Si uerò minori addatur et à maiore detrahatur, erit aggregati ad mi
nore
m minor proportio quàm maioris ad reſiduum duplicata.
Com.
139[Figure 139]
Sit a b dupla c d, & addatur quæ­
dam
ad b a, quę ſit a g, eadem detraha­
tur
ex c d & ſit c h, dico, quod propor­
tio
e d ad d h maior eſt, quam duplica­
ta
g b ad a b, & rurſus ſi quædam ad c & minuatur ex a b utpotè
c
f addatur c d, & a e minuatur ex a b, erit proportio f d ad c d mi­
nor
duplicata a b ad g e.
Primum ſic reſecentur a n & k l æquales ſin­
gulæ
c h, igitur a l dupla eſt e h & a b fuit dupla a d, c d igitur ut in
priore
conſtitutioné præcedentis a b ad l b, ut c d ad h d & a b ad
b
l maior, quam duplicata a b ad b k ut minor quàm k b ad b l.
hoc
enim
demonſtratum eſt in fine, igitur c d ad h d maior, quàm du­
plicata
a k ad k b, ſed a k ad k b maior eſt per uigeſimam tertiam, hu­
ius
ſcilicet per demonſtrationem illius, quàm g b ad b a, igitur mul­
to
maior c d ad d h, quàm duplicata g b ad b a, quod eſt primum.
Secundum ſic per eadem, addito enim duplo f c ipſi
140[Figure 140]
a
b ut in ſecunda figura, & ſint a m, & m n erit f d ad c d,
ut
n a ad a b, quare cum n a ad a b ſit minor duplicata per
præcedentem
in b ad a b, & a b ad e b ſit maior, ut demon
ſtratum
eſt in uigeſima tertia huius, quàm m b ad a b, erit
f
d ad d c multo minor duplicata a b ad b e, quod eſt ſe­
cundum
.
Propoſitio centeſima trigeſima quarta.
Si rectangula ſuperficies ſit cuius pars tertia quadrata ſit, corpus
quod
ex latere quadratæ in reſiduum ſuperficiei conſtat maius eſt
quouis
corpore ex eadem ſuperficies aliter diuiſa conſtituto.
Sit rectangulum a c cuius tertia pars c e ſit quadrata, dico quod

corpus
, quod conſtat ex e d in a b eſt maius omni corpore, quod fue
rit
ex latere partis ſuperficiei a b in reliquam partem.
Si non diuidatur
uel
ſupra uel infra, & primo in f erit autem proportio e d ad d f, ut e c ad
1e k, & f a ad a e, ut ſuperficierum ipſa­
141[Figure 141]
rum
per primam ſexti Elementorum: at
per
præcedentem maior eſt proportio
e
d ad d f, quàm a f ad a e, duplicata igi­
tur
maior eſt proportio e d ad eam, quę
poteſt
ſuper f c ſuperficiem, quam f a ad
a
e, igitur maior, quàm a k ad a b ex pri­
ma
ſexti Elementorum: igitur per trige
ſimam
quartam undecimi.
Parallelipe­
dum
ex e d in a b maius eſt parallelipedo ex ea, quæ poteſt in f c ſu­
perficiem
in ipſam ſuperficiem a k.
Si uerò diuiſio facta fuerit in g,
conſtat
ex præcedenti, quod minor eſt proportio g e ad e d, quàm
ſit
duplicata e a ad a d a g, eam igitur minor proportio eius lineæ,
quæ
poteſt in g e ſuperficiem ad e d quam a b ad a h, igitur paralle­
lipedum
ex e d in a b eſt maius parallelipedo ex ea, quæ poteſt g c
in
a h cum ſit a b ad a h, ut dictum eſt, uelut a e ad a g.
Co^{m}.
Cor^{m}.
Manifeſtum eſt autem, quòd tale corpus eſt æquale duplo cubi
lateris
partis tertiæ quadratæ.
Propoſitio centeſima trigeſima quinta.
Si linea in duas partes, quarum una ſit alteri dupla, diuidatur
erit
, quod fit ex tertia parte in quadratum reſidui parallelipedum
maius
omni parallelipedo, quod ex diuiſione eiuſdem lineæ crea­
ri
poſsit.
Co^{m}.
Sit a c dupla b c, & ſit quadratum ad ipſius a c, dico parallelipe­
142[Figure 142]
dum
ex b c in a d maius eſſe quouis alio ex
diuiſione
lineæ a b ſimiliter creato.
Secetur
primo
in e, & fiat quadratum a f, eritque per
uigeſimam
quintam.
Huius proportio c b
ad
b c maior duplicata a e ad a c, quare ma­
ior
, quam a f ad a d per uigeſimam ſexti Ele
mentorum
, igitur per trigeſimam quartam
undecimi
, Parallelipedum ex b c in a d maius eſt parallelipedo e b
in
a f, quod eſt demonſtrandum.
Si uerò diuiſio cadat in g, fiat qua­
dratum
a h, et erit per uigeſimamtertiam huius proportio g c ad c b
minor
, quam duplicata c a ad a g: igitur minor, quàm a d ad a h, igi­
tur
per eandem parallelipedum ex c b in a d maius eſt parallelipe­
do
ex g b in a h.
Cor^{m}.
Ex hoc liquet quòd parallelipedum illud erit quadruplum cu­
bo
minoris partis, & dimidium cubi maioris.
1
Propoſitio centeſima trigeſima ſexta.
Denominationes in infinitum extendere.
Inquit Euclides, ſi fuerint quotlibet quantitates ab uno in conti­


nua
proportione, erit tertius numerus quadratus, & omnes alij ſe­
quentes
uno intermiſſo.
Tertia igitur in comparatione ad ſecun­
dam
etiam, quod non ſit numerus, eſt quadratum: eſt enim tertia
ab
uno quadratum ſecundæ, quæ eſt proportio.
Detracto igitur
uno
omnes quantitates lo co pari ſunt quadratæ: ut ſcias ergo cu­
ius
ſunt quadratæ diuide per medium, & erit quadratum illius, er­
go
quadrageſima erit quadratum uigeſimæ, & uigeſima decimæ,
& decima quintæ, & uigeſima ſexta tertiæ decimæ, & ita de alijs.
Iuxta hoc dicemus, quod ſecunda erit quadratum, & quarta quadra­
tum
quadrati, & octaua quadratum quadrati quadrati.
Et ſextadeci­
ma
quad quad quad quad.
& ita trigeſima ſecunda quad quad quad
quad
quad.
Quod autem quad. eſt quarta in ordine, ideo & octa­
ua
& duodecima & decimaſexta, & ſic de alijs ſunt quadrata qua­
drati
, & ſicut quarta eſt quadratum quadrati primæ, ita octaua ſe­
cundæ
, & duodecima tertiæ, & ſexta decima quartæ, & uigeſima
quintæ
, & ita ſemper diuidendo per quatuor.
Co^{m}.
Lib. 9. Pro
poſ
. 8.
Secunda regula dicebat ibidem Euclides, ſi fuerint quotlibet

quantitates
ab uno in continua proportione quartus, ab uno erit
cubus
ſupple ſecundæ, & ita duobus ſemper intermiſsis, uno igi­
tur
ipſo relicto quolibet loco ternario, ut tertia, ſexta, nona, duode­
cima
ſunt cubi, & cubi eius quantitatis, quę exit diuiſo numero per
tria
, uelut tertia primæ, ſexta ſecundæ, nona tertię, duo decima quar
: & ita tertia erit cubus nona cubus cubi, & uigeſima ſeptima cu­
bus
cubi cubi ſcilicet primæ.
Et trigeſima nona eſt cubus ter­
tiæ
decimæ.
Lib. 9. Pro­
poſ
. 8.
Tertia regula quarta quantitas, ut uiſum eſt: eſt quad quad. Et
quinta
eſt relatum primum, quia 5 eſt numerus primus, & 7 eſt re­
latum
ſecundum, quia eſt ſecundus numerus primus: & undecima
tertium
: & tertiadecima quartum: & decimaſeptima quintum: &
decimanona
ſextum: & uigeſima tertia ſeptimum & uigeſima quin­
ta
, quia eſt primus numerus præter quam ad quintam, ideò eſt rela­
tum
quintæ, quæ eſt relatum primum primæ, omnes ergo numeri
primi
ſunt relata, alij omnes ſunt ex natura cubi uel quadrati.
Sed
relata
ſunt inter ſe omnia diuerſorum generum niſi uigeſimum quin­
tum
, quod eſt relatum primum primi relati, & quadrageſimum no­
num
eſt relatum ſecundum relati ſecundi.
Et ita centeſimum uigeſi­
mum
primum eſt relatum tertium tertij relati, reliqua, ut dixi, me­
dia
inter hæc ſunt ſui generis.
1
Quarta regula propoſita quantitate ab uno in continua propor
tione
, ſi uis ſcire cuius naturæ ſit detracto uno conſidera, an poſsit
diuidi
per duo, eſt quadratum medietatis, & ita procedes diuiden­
do
uſque ad numerum primum, qui uel eſt 2, & erit ex genere quad
quad
.
uel 3, & erit ex genere quadratorum cuborum, & ſimiliter ſi
ſit
9, erit ex genere quadratorum cubi cubi.
Et ſi proueniat alius nu
merus
primus, ut 5. 7. 11. 13. erit quadratum relati illius ordinis.
Et ſi
non
poteſt diuidi numerus quantitatum per 2 uide, ſi poſsit diuidi
per
3, tunc erit cubus illius quantitatis, & ſi illa quantitas, quæ pro­
uenit
ex diuiſione: fuerit 3, uel potuerit diuidi per 3, erit cubus, uel
cubus
cubi, & ita deinceps.
Si uerò ſit alius numerus primus, ut 5.
7
. 11. erit cubus relati.
Et ita ſi non poſsit diuidi per 2, nec per 3, erit ex
genere
relati.
Et tunc ſi poſsit diuidi per alium numerum, ut 35, erit
relatum
ex eo genere.
Vtpotè trigeſima quinta quantitas eſt rela­
tum
ſecundum relati primi, ſeu relatum primum relati ſecundi.
Nam quoties quantitas poteſt diuidi per duos numeros, dicetur
ſub
utro que uiciſsim, ut duodecima poteſt diuidi per 4 & 3, ideò di­
cetur
cubus quad quad.
uel quad quad. cub. & per 2 & 6, & dicetur
quadratum
cubi quadrati, & quadratum cubicum quadrati ipſius
proportionis
, ad quam omnia referri debent.
Quinta regula ex præcedenti pendet, & eſt, quod denomina­
tiones
, & proportiones uiciſsim commutantur: uelut 256 eſt quad
quad
quad, & inter quad quad quad, & quad quad ſunt quatuor ter
mini
ipſo computato, & inter quad quad, & quod uiſi duo, ergo
quad
quad quad continet plures proportiones, & proportiones
duplicatæ
non conſtituunt quad: nam 64 continet duas duplas
ad
16, non tamen eſt quadratum 16, ideo oportet diligenter ani­
maduertere
.
Sexta regula ſimiliter ex dictis pendet, & eſt, quòd gratia exem­
pli
relatum primum comparatum ad primum terminum eſt ſexta
quantitas
, cum autem comparatur ad rem, iam præſupponit pro­
portionem
.
Exemplum relatum primum proportionis 21/20 eſt 4084101/3200000
& eſt aliquanto maior ſexquiquarta, & ſi colligas terminos 100.
105
. 110 1/4 115 61/80 121 861/1600 127 19681/32000. Tu uides quòd ſunt ſex termini in
utra
que computando primum, ſed in 21/20 ſunt duo termini, & in qua­
drato
tres, & in quadrato quadrati per præcedentem, adduntur
duo
& ultimus ſcilicet ſextus fit ex relato ipſo.
Ergo ultra propor­
tionem
ſunt tantum quatuor termini.
Septima regula ad effugiendum omnes errores tu ſcis, quòd
4096
quadratum 64 eſt ſextus a 64, ad quem habet proportionem
quadrati
, & 64 eſt ſimiliter ſextus ab uno illo ſcilicet non
1tato, & ita 64 habet rationem unius, & licet comparetur ad 2 rem,
& ſit ſextus ab eo, eo computato 4096 autem à 64 ſit ſeptimus, ta­
men
non eſt eadem ratio, quia 64 non eſt quadratum 2.
Propoſitio centeſima trigeſima ſeptima.
Rationem numerorum ex progreſsione declarare.
Michaël Stifelius rationem pulcherrimam tradidit ad inuentio­


nem
numerorum, qui uocantur multiplicandi, & componitur hoc
modo
.
Ex prima componitur 1 & 2, faciunt 3. 1. 2. 3 faciunt 6. 1. 2. 3. 4
faciunt
10, & ita prima tabula conſtituit ſecundam recta ſerie nu­
merorum
iunctis
mnibus
ab uno.
Ter
143[Figure 143]
tia
fit ex ſecunda &
tertia
, primò aſſumi
tur
10 in tertia, ut in
ſecunda
, & ex 10 ſe­
cundæ
, & 10 tertiæ
fit
20, & ex 15 ſecun­
, & 20 tertiæ fit
35
, & ex 21 ſecundæ,
& 35 tertiæ fit 56, &
ex
28, & 56 fit 84. Et
quanta
fit ex tertia,
& ex ſe ipſa.
primum
aſſumendo
35 ex ter
tia
, & ponitur pro
primo
numero quartæ, & ex 35 tertiæ, & 35 quartæ fit 70 numerus
ſecundæ
quartæ: & ita ex 56 & 70 fit 126, & ex 84, & 126. 210. & ita
quinta
ex quarta & ſe ipſa, & ſic in infinitum.
Co_{m}.
Primæ ſuæ
A
rith.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 3 4 6 5 10 10 6 15 20 7 21 35 35 8 28 56 70 9 36 84 126 126 10 45 120 210 252 11 55 165 330 462 462 12 66 220 495 792 924 13 78 286 715 1297 1716 1716 14 91 364 1001 2002 3003 3432 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310
Regula ergo eſt, quòd binarius ſeruit <02> quadratæ, & quia nihil
eſt
in eius directo, ſolus ipſe ſeruiet <02> quadratæ.
Ternarius autem
cubicæ
, & quia in eius directo eſt alter ternarius, ille etiam ſeruiet
<02> cubicæ.
Quaternarius autem ſeruiet quadrato quadrati, & ſena­
rius
, qui eſt in illius directo.
Ergo quinarius ſeruiet <02> relatę primę,
& duo ſequentes numeri ſcilicet 10 & 10, & eo dem modo ſenarius
numeri
duo ſequentes 15 & 20 ſeruient cubo quadrati, & ita etiam
ſeptenarius
cum tribus ſequentibus numeris 21. 35 & 35 ſeruient
rel
.
ſecundi radici, & ita deinceps in infinitum.
Propoſitio centeſima trigeſima octaua.
Modos uſus horum numerorum declarare.
In quouis numero denominationis oportet tot addere o, quo­
1tus eſt ordo, & facere tot numeros ſequentes; quotus eſt ordo, &
ſemper
minuere unam o, uelut quia quadrata <02> eſt prima ad 2 ad­
demus
o, & fiet 20, nec alium quęremus numerum.
Sed quia cubi­
ca
eſt ſecundo loco, habebit prima nota 00, & fiet 300, & ſecundum
3
unam 0, & fiet 30, & in quadrato quadrati addemus 000 primo,
& 00 ſecundo, & o tertio, & ita habebimus 4000. 600. 40. ſed quia
in
tabula non eſt 4 ultimum, addemus ſimilem primo ſemper.
In
relato
primo, ergo habebimus 50000. 1000. 1000. 50. & in cubo
quadrati
600000. 150000. 20000. 1500. 60. Manifeſtum eſt, quòd
his
uice uerſa aſſumpſimus 15 & 6 ſimiles prioribus addendo ſem­
per
ut dixi o minus, donec ad unam peruenerit.
Et ita in relato ſe­
cundo
7000000. 2100000. 350000. 35000. 2100. 70. & ita deinceps.
Co^{m}.
Propoſitio centeſima trigeſima nona.
Radices omnes à propoſitis numeris extrahere.
Co^{m}.
Propoſitis quibuſuis numeris utpotè 916132832, uolo detrahere
<02> relatam primam, primum habebo in tabula deſcripta relata pri­
ma
numerorum ſimplicium uſque ad 10 uelut in exemplo.
Dein de
144[Figure 144]
ſubſcribam
pun­
ctum
ſub prima
nota
à dextra, &
quia
eſt quarta in
145[Figure 145]ordine hoc, ſeu quinta denominatio ſecun­
dum
noſtrum, omittam quatuor notas in­
ter
medias, & ſubſcribam punctum aliud,
& ita facerem ſi eſſent plures quàm decem
notæ
: relinquitur ergo ad punctum primum
à
ſiniſtra 9161, cuius quęro <02> relatam pri­
mam
in tabula, quam inuenio eſſe 6, nam
146[Figure 146]7776 eius relatum primum eſt
proximius
ex minoribus ad 9161,
detraho
igitur 7776, ex numero
propoſitio
relinquitur.
Dein de
póno
6 & quadratum eius, & cub.
& quadratum
quadrati
, quia, ut dixi, eſt quarta denominatio
147[Figure 147]pud illum, & è regione numeros præcedentes in­
uentos
relati primi ex præcedenti propoſitione: & duco ſingulos
cum
ſuis collateralibus, ut uides etiam in figura, et cum ultimo pro­
ducto
, ſcilicet 64800000 diuido 138532832 exit 2, huius accipio
mnes
numeros ad relatum primum uſque ut uides, & pono minores
è
regione maiorum, utpotè 2 è regione 1296 & 50000, & 4 è
1ne 216 & 10000, & 8 è regione 36 & 10000, & 16 è regione 6, & 50,
& duco 6 in 50 fit 300, duco in 16 fit 4800, duco 36 in 1000 fit
36000
, duco 36 in 8 fit 288000, duco etiam 216 in 10000 & fit
2160000
, & duco hos per 4 fit 86400000, duco rurſus 1296 in
50000
fit 64800000, duco in 2 fit 129600000. Demum addo 32 re­
latum
primum 2, & fit ſumma omnium 138532832, & ita habemus
radicem
relatam primam dicti numeri eſſe 62. Et ſi numerus produ
ctus
fuiſſet maior oportuiſſet accipere proximo minorem.
Inde per
regulam
ſequentem addere minutias.
Propoſitio centeſima quadrageſima.
Radices per numeros fractos determinare.
Duplex eſt modus, ut etiam docui in arithmeticis, ſcilicet ut pro

radice
quadrata addatur duo o, & pro cuba tria, & pro quadrata
quadrata
quatuor, & pro relata prima quinque, & ita deinceps, &
prę
decimis ſemel, pro centeſimis bis, pro milleſimis ter, pro millia­
ribus
ſeu partibus earum quater, pro centeſimis milleſimis quin­
quies
, pro milleſimis milleſimarum ſexies, & ita deinceps deinde
per
præcedentem detrahere radicem, & erit ualde exacta.
Exemplo
non
utar, niſi quòd ſi uelles radicem relatam 16 ad milleſimas, acci­
cipies
radicem relatam numeri à latere propoſiti, & ita de alijs
1600000
, 00000, 00000, & ſi uelles <02> cub.
5 1/5 per milleſimas, pri
mo
addes ter 000, & fiet 3000000000, inde ſume 1/5 1000000000,
qui
eſt 200000000, & adde ad 5000000000, fit 2500000000,
& hoc quia unum refert numerum 1000000000 ex ſuppoſito & 1/5
eſt
1/5 unius.
Com.
Secundus modus eſt, ut accipias proximè maiorem, & multipli­
ca
in ſe, & detrahe numerum propoſitum, & reſiduum diuide per
duplum
radicis primo inuentæ, ſi fuerit quadrata, & per triplum
quadrati
eiuſdem ſi fuerit cubica, & per quadruplum cubi, ſi fuerit
quadrata
quadrata, & per quincuplum quadrati quadrati, & quod
exit
detrahes ex priore radice, & rurſus quod relinquitur, multipli­
ca
in ſe, & eodem modo agendo quod ſupereſt à numero propoſi­
to
, diuide per duplum radicis prioris, ſi ſit radix quadrata, uel per
triplum
quadrati ſi ſit cubica, & quod exit rurſus detrahe, & ita
gendo
, peruenies ad exactiſsimam radicem, exemplum uolo radi­
cem
quadratam 5 proxima maior eſt 3, quadratum 9, differentia 4,
diuide
per 6 duplum 3 exit 2/3, detrahe ex 3 fit 2 1/3, quadratum eſt 49/9
quod
eſt 5 4/9, rurſus diuido 4/9 differentiam 5 4/9 & 5 per 4 2/3 duplum
radicis
primæ exit 2/21, detrahe ex 2 1/3, relinquitur 2 5/21, radix ſatis pro­
pinqua
, nam eius quadratum eſt 5 4/441, in cubica ſimiliter uolo <02>
cu
.
5, proxima maior eſt 2, cubus 8, differentia 3, diuide per triplum
1quadrati 2 quod eſt 12 exit 1/4 detrahe ex 2 fit 1 3/4 cuius cubus eſt 5 23/64
differentia
eſt 23/64 diuide per triplum quadrati 1 3/4 quòd eſt 9 3/16 exit
23
/588 detrahe ex 1 3/4 relinquuntur 1 107/147 cuius cubus eſt 5 504449/3176523 Ita diuides
hunc
exceſſum ſi placet per triplum quadrati 1 107/147 & eſt fermè 9 exit
56050
/3176523 quaſi detrahe ex 1 107/147 relinquuntur 323159/453789.
Tertius modus eſt ſubtilior, tu ſcis, q̊d duo decima denominatio
eſt
quadrata ſextę, & quadrata quad, tertiæ, & cuba quarti, quarta
autem
eſt inter tertiam & ſextam ſecunda quantitas in continua pro­
portione
: ergo inuenta <02> numeri propoſiti & <02> radicis inuentæ
reducam ad unam denominationem, et inter numeratores collo cabo
duas
quantitates, quod facile erit ſenſim procedendo, & habebo <02>
cu
.
quæſitam, ſcilicet minorem ex duabus intermedijs. Et ſimiliter
pro
relata prima, capiam ſexaginta denominationes, & ſcis, quòd
quinta
decima eſt <02> <02> ſexageſimę, & decima eſt <02> cu.
<02> ſexageſimę,
& duodecima <02> relata prima ſexageſimæ per eandem inuenta, er­
go
<02> numeri propoſiti tanquam ille ſit ſexageſima denominatio,
inueniam
illius radicis inuentæ <02> quadratam, & cubicam, &
quia
duodecima quantitas quæ eſt <02> relata prima numeri eſt
ſecunda
, quatuor intermediarum inter ponam inter <02> quadra­
tum
, quadratum, & cubicam quadratam quatuor numeros in
continua
proportione, & ſecundus ex minoribus erit <02> relata
prima
numeri propoſiti.
Exemplum cubicæ uolo <02> cu: 5 habui <02>
quadratam
eius 2 5/21 ſed uolo proximiorem diuidendo 4/441 per 4,
quod
eſt fermè duplum 2 5/21 exit 1/441 detraho ex 2 5/21 relinquitur ualde
proxima
<02> 5. 2 104/441 huius igitur radix quadrata, primo inuenta eſt 1 1/2
ſecunda
proximior eſt 1 41/84 reduco ad eandem denominationem fi­
ent
284/9261 2 416/1764 & 1 861/1764 inter 3944, & 2625, inueniemus duos nume­
ros
in continua proportione, ut uides, & erit ſecunda quantitas
148[Figure 148]
3006
/7641, quod eſt 167/98 proximum ad 1 5/7, <02> cubica.
5.
nam eius cubus eſt 5. 13/343 at exactiſsima eſt ergo 1 69/98.
ut
liquet.
Pro relata prima ergo ponamus, ut ue­
lim
<02> relatam primam 25, accipio 5 <02> 25 cuius <02> eſt, ut uiſum eſt, 2 104/441
ſimiliter
<02> cu: 5 fuit 1 69/98 igitur reducam ad unam denominationem,
& inueniam quatuor numeros in continua proportione inter illos,
& ſecundus poſt minimum ex illis erit <02> relata prima propinquiſ­
ſima
25. Quomodo uerò inueniantur facillimè illi termini, do­
cui
in ſexto libro operis perfecti.
Quarta regula eſt utilior, licet minus uideatur nobilis, & eſt fun­
data
in hoc, quod ſi a b ſit maior c & eis ad dantur b e, & d f æqua­
les
dico, quod erit minor proportio a c ad c f, quam a b ad c d, & ex
conſequenti
per uiam fracti maior pars unius erit c f ipſius a e, quàm
1c d ipſius a f ex Euclide. Dico ergo quod maior eſt proportio a b
149[Figure 149]
ad
c d, quàm a e ad e f, fiat d g ad quam ſit b c ut

a
b ad c d, eritque a e ad c g ut a b ad c d, minor au­
tem
eſt a e ad c f, quam ad c g, igitur minor a e ad
c
f quàm a b ad c d quod fuit propoſitum.
Simili
ter
ſi fuerint duæ quantitates, a b & c d, quarum a b ſit maiore, c d
autem
eadem e minor, dico, quòd dimidium aggregati a b & c d
maiorem
habebit proportionem ad e, quàm c d & minor, nam iun­
cta
b f æquali d e ad a b, ita ut f g ſit dimidium totius a f, qùia ergo
150[Figure 150]
f
g eſt dimidium f a & fb eſt minor dimidio

f
a cum ſit minor b a, & ſimiliter f g eſt mi­
nor
a b, quia a b eſt maior dimidio a f, quia
eſt
maior b f, ergo proportio g f ad c eſt ma
ior
quam b f ad e, ita quam c d ad e, & mi­

nor
quàm a b ad e, quod fuit propoſitum.
Quo uiſo uolo <02> 1000
quadratam
, & quòd de quadrata dico, dico etiam de alijs radici­
bus
& erit ex ſecunda regula harum 31 39/62 & quadratum erit 1000
1521
/3844. Iuxta ergo primam partem regulæ 31 38/61 erit minus, & in ueritate
in
eo, quod fit ducendo, ut uides, & hoc eſt pro­
151[Figure 151]
ximum
ad 11/160, multiplico igitur duplum 31 39/62,
quod
eſt fermè 63 1/4 in 1/160 fient 63/160 detrahe ex
1521
/3844 hoc modo, diuide 3844 per 160 exit 24 /40
diuide
1521 per 24, exit 63 3/8, habes igitur quod
1521
/3844 ſunt 63/160, igitur detracto 63/160 ex 63/160 nihil relinquitur, & erit <02> exa­
cta
ualde 1000 hoc 31 38/61 cuius quadratum 1000 41/3421 uides breuita
tem
, & propinquitatem in producto differentia eſt 1/100 aut parum
maius
quod ad radicem comparatum cum debeat diuidi per du­
plum
eius erit paulo maius 1/6300. Vnde facilior eſt, & breuior hæc
uia
quàm per 00 additus.
Rurſus uolo aliquid adimere & cum pro
pinquitate
ita facio.
Conſidero quòd 31 38/61 eſt maius 1/6300 radice, di­
uido
6300 per 62 exit 103 fermè, neque enim curo in hoc fractiones,
multiplico
ergo 103 in 38/61 & habeo 3914/6283 hic denominator eſt proxi­
mus
6300, aufero ergo 1 ex 3914, habebo ualde proximam <02> 1000,
31
3913/6283 cuius quadratum eſt 1000 minus 1/1048 hoc ut dixi diuiſum
per
duplum <02> quod eſt 63 eſt omnino inſenſile in radice.
8. Propoſ.
quinti
Elem.
P
er 18.
quinti Elem.
Per 11.
quinti Elem.
amplificatam.
Per 8. quin­
ti
Elem.
Quinta regula eſt omnium pulcherrima, & eſt communis omni
bus
& fractis & integris & omnibus generibus radicum, & ſit ex­
emplum
, uolo <02> radicis ſupraſcriptæ ſcilicet 31 3913/6283 multiplico 31
in
6283, & fit 194793, cui addo 3913, fit 198686 manifeſtum eſt igi­
tur
, quod 198686/6283 æquiualet 31 3913/6283 hoc facto, quod eſt commune
1nibus radicibus extrahendis pro radice quadrata, multiplicabo
meratorem
, qui eſt 194686 per denominatorem, qui eſt 6283, & ſi
uoluero
radicem cubicam, multiplicabo eundem numeratorem
per
quadratum denominatoris, & ſi uoluero radicem radicis, mul­
tiplicabo
per cubum, multiplicabo per quadratum quadratum
6283
, & ita de alijs una diminutione minore, & eius qui prouenit
numeri
<02> ſupra poſita denominatori erit <02> eiuſmodi, quam ſuſce­
piſti
, uelut in exemplo fuit numerus 198686/6283 quia ergo uolo <02> quad.
multiplico 198686 in 6283, & fit 1248344138, huius accipio <02>
quad
.
quæ eſt 35332, hæc autem eſt diuidenda per 6283, & exeunt
5
3917/12566, ecce uides radicem exactam admodum, & facilem.
Volo rur­
ſus
<02> quadrat.
5 3917/12566, multiplico 12566 per 5 & fit 62830, cui addo
3917
, & fit 66747, cui ſuppono 12566 denominatorem, fient ergo
66747
/12566, manifeſtum eſt igitur quòd hoc æquiualet 5 3917/12566, ſi igitur mul
tiplicarem
denominatorem per denominatorem & numeratorem,
quod
proueniret, eſſet æquale eidem numero, ergo <02> eius eſſet ea­
dem
cum <02> prioris, ſed <02> denominatoris eſſet prior numerus, er­
go
ſufficiet extrahere <02> producti ex denominatore in numerato­
rem
, & ita productum erit ex denominatore in numeratorem
838742802
, cuius <02> eſt 28961, hæc igitur diuiſa per 12566 oſten­
dit
<02> 2 3892/12566. In hac autem quadrata eſt alius modus ſine multiplica­
tione
, ſed non eſt communis alijs, ubi ſtatueris denominatorem
pro
denominatore <02>, utpote 12566, & numeratorem 66747, con­
ſtitues
medium ſenſim augendo.
Rurſus uolo <02> relatam 2 3829/12566 reduco ad denominatorem, & fit
ut
prius 28961/12566, duco igitur 12566 ad quad.
quad. ſed ſufficiet in hoc
caſu
deducere ad minores denominationes, utpotè diuide 28961
per
12566 exit 2 3829/12566 multiplico per 566 fit 1104 5862/12566, hoc detrahe
ex
28961 habebis 27856/12000, diuide igitur per 1000 habebis 12 & 27 107/125
at
108/126 ſunt 6/7, igitur habes 12 pro denominatore, & 27 6/7 pro nume­
ratore
, quare erunt numeri 195/84, erit ergo per hanc regulam, ut ducas
84
ad quad.
quadrati, & fit 49787136, duc in 195 fit 9708491520,
cuius
<02> relata prima eſt 99, igitur <02> relata prima 2 3829/12566 eſt 1 15/84 pau­
lo
maior, id eſt 1 13/70. Et nota quod ſi denominator haberet <02> illius
generis
, quam quæris, ſufficeret inuenire radicem eiuſdem generis
abſque
alia numerorum multiplicatione.
Propoſitio centeſima quadrageſima prima. (deducere.
Numeros fractos ad minores in eadem proportione ualde propinqua
Cum plerunque numeri fracti habeantur per radices, ut aliquan­

do
maiores ſint, aut minores eo fit, ut poſsint reduci ad mino­
res
numeros, ut melius intelligi poſsint & facilius tractari, &
1cum hoc ſit exactior illa pars exemplum, ergo habeo 2 3829/12566, quem
uolo
certa ratione ad minores diuiſiones deducere.
Deduco pri­
totum ad fractiones ducendo 2 in 12566, & addendo 3829, &
fit
26961/12566, multiplico 12566 per 9, quia proportio unius ad alterum
eſt
fermè, ut 9 ad 4, & fit 113094, multiplico 4 in 28961 fit 115844,
hoc
igitur eſt maius, igitur proportio 28961 ad 12566 eſt maior
quàm
9 ad 4, detraho igitur 12566 ex 28961, relinquitur 16395, de­
traho
113094 ex 115844, relinquitur 2750, diuido 2750 per 16395
exit
55/328 addo 2 denominatori fit 55/330, quod eſt 1/6, nam iſtæ additiones
paruæ
præter quòd parum uariant quantitatem etiam dum ad ex­
amen
reducuntur, nihil impediunt, detrahe igitur 1/6 à 9/4, & ducendo
per
6, & detrahendo 53/23, duco igitur primos numeros ſcilicet 28961/12566
mutuo
in 53/23, fiunt 665998, & 666107, ita uides, quod proportio
53
ad 23 eſt paulo minor, quàm 28961 ad 12566, & æquiualent 27/23
& 2 3829/12566.
Co_{m}.
Propoſitio centeſima quadrageſima ſecunda.
Denominationum incrementa ex extrema cognita inuenire, &
conuerſo
modo.
Quidam per uſuram rediuiuam fecit 40000 coronatos ex 40 in 40

annis
.
Quęro qutana fuerit uſura, & quando habuit 1000 coronatos,
quidam uellent ſoluere per regulam trium quantitatum, in qua com­
mitterentur
maximi errores.
Et in ea multi ſunt modi, & omnes fal­
ſi
præter hanc uiam nulla eſt uera, adde quòd uellent multi per ſor­
tem
inuentam ſoluere augendo per ſingulos annos, quod adeò
difficile
eſſet, & penè foret impoſsibile.
Ideò diuides 40000 per 40
numerum
ſortis exit 1000, igitur in 40 annis unum fit mille, ſunt
ergo
40 denominationes ab uno, quarum quadrageſima eſt 1000,
igitur
uigeſima eſt <02> 1000 |ſcilicet |31 3913/6283, igitur decima eſt <02> eius

5
3917/12566 huius radix, erit quinta quantitas 2 7/23, cuius <02> relata prima,

erit
proportio 1 13/70, cuius quadratum eſt 1 1889/4900 ſeu
1
67/165 pro ſecunda quantitate, duces ergo primam,
152[Figure 152]quæ eſt 83/70 in quintam, quæ eſt reducta ad mino­
res
fractiones facilitatis cauſa 53/23, & habebis ſex­
tam
quantitatem 2 118/161, duco etiam quintam quan­
titatem
ſcilicet 53/23 in ſecundam quæ eſt 232/165, & fit ſe­
ptimi
anni quantitas, duco igitur ſeptem anno­
rum
numerum, qui eſt 3 14/61 in 31 38/61 fit 102 992/6283. At in
ſex
annis additis ad uiginti, fit tanto minus, quan­
to
31 38/61 ductum in differentiam ſeptem, & ſex an­
norum
quæ eſt 60/121, fit ergo 15 35/492. Quia ergo
1nuatim ſolum uſura adijcitur ſorti, ſufficiet diuidere 2 992/6283 per 15 35/492
ſcilicet
multiplicando per 12 numerum menſium 2 992/6283 fit 25 5621/6283 di­
uide
25 5621/6283 per 15 35/492, exit menſis unus, & dies 21, detrahe ex 27 an­
nis
, remanent anni 26, menſes 10, dies 9, in quo tempore habuit
4000
aureos coronatos.
Vſura autem fuit ut uiſum 13/70, igitur per re­
gulam
trium duc 13 in 100 fit 1300, diuide 1300 per 70 exit 18 4/7 &
tanta
fuit pro centum.
Et cum computaueris in tribus annis, acqui­
rit
modico plus beſſe eius, quod habet.
Et ita in 13 annis, & parua
illa
parte perueniet ad decuplum eius, quod habet, ſcilicet 4000 au
reorum
, & habebit aureos 40000, ut propoſitum eſt.
Co^{m}.
Per 136.
P
ropoſ.
Anni Aurei 1 1 13/70 2 1 67/165 5 2 7/23 6 2 118/161 7 3 14/61 10 5 3917/12566 20 31 38/61 40 1000
SCHOLIVM.
In propoſita proportione numero que terminorum rediuiuam
ſuram
inuenire.
Sit gratia exempli, in ſex annis uſura rediuiua uigeſimæ, erit­
qúe
proportio 21/20, cuius numeratorem ſexies ducam in ſe primum
bis
fit 441: ergo ducto 441 in ſe fit qúe 194481 ductum in 441
fit
85766121 ſexies ductum 21, quinquies autem ducam 20 deno­
153[Figure 153]
minatorem
in ſe fit bis 400, ter 8000,
quinquies
ergo 3200000, diuide nume­
ratorem
per denominatorem abiectis
quinque
notis erit 26 2566121/3200000. Quæ propor
tio
eſt proxima 26 4/5 ad 20, & ita ut 134 ad
100
. Et ſi pigeret tædij aut laboris poſſes
pro
xij annis, ducere 134 in ſe, & fit 17956
diuide
per 100 eadem ratione, exit 179 14/25
& ita 100 in xij annis, fit tantundem.
Et
ita
pro xviij & xx annis.
Propoſitio centeſima quadrageſima tertia.
Si linea in duas partes diuidatur, corpora, quæ fiunt ex una par­
te
in alterius quadratum mutuò æqualia ſunt corpori, quod fit ex
tota
linea in ſuperficiem unius partis in alteram.
Co^{m}.
Sit a c diuiſa in a b, b c quadratum a b ſit
154[Figure 154]
a
d, quadratum b c, ſit b e parallelogrammum
ex
a b in b e, a f dico quòd corpora ex a b in
b
e, & b c in a d æqualia ſunt corpori ex a c
in
a f.
Quia enim corpus ex a c in a f conſtat
ex
a b in a f, & b c in a f, per primam ſecun­

di
Elementorum.
corpus autem ex a b in a f
eſt
æquale corpori ex b c in a d, & corpus
ex
b c in a f eſt æquale corpori ex a b in b c
igitur
conſtat propoſitum.
1
Id eſt per
eius
demon­
ſtrationem
.
P
er 29. un
decimi
Elem.
Propoſitio centeſima quadrageſima quarta.
Duplum cubi medietatis maius eſt aggregato corporum mutu­
orum
cuiuslibet diuiſionis, quantum eſt, quod fit ex tota in quadra
tum
differentiæ.
Com.
Sit a b diuiſa per æqualia in c, & per inæqua­
lia
in d, dico, quòd duplum cubi a c eſt maius ag
155[Figure 155]
gregato
corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadratum
a
cin eo quod fit ex a b in quadratum c d, nam per præcedentem du­
plum
cubi a c eſt æquale corpori ex a b in quadratum a c: aggrega­
tum
quo que corporum ex a d in quadratum b d, & b d in quadra­
tum
a d eſt ęquale ei, quod fit ex a b in rectangulum ex a d in d b.
qua­
dratum
autem a c eſt maius rectangulo a d in d b quadrato c d differen
tiæ
, igitur duplum cubi a c excedit aggregatum corporum mutuorum
in
corpore ex a b in quadratum c d differentię, quod eſt propoſitum.
Per 5. ſecun
di
Element.
Propoſitio centeſima quadrageſima quinta.
Si line a in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium
detracto
eo quod fit ex una parte in alteram, ęqualia ſunt producto
unius
in alteram cum quadrato differentiæ.
Co^{m}.
Sit linea a c diuiſa in b, & ſit differentia a b,
b
c, b d, dico quod quadrata a b & b c detracto
156[Figure 156]
eo
quod fit ex a b in b c, æqualia ſunt producto a b in b c cum qua­
drato
b d.
Quoniam. n. quadrata a b, b c æqualia quadratis a d d b
b
c & productis ex a d in d b bis & quod fit ex a b in b c æquale eſt
ei
quod fit ex a d in ſe cum eo quod fit ex a d in d b, quia a d eſt ęqua

lis
b c ideo quadrata a b & b c detracto eo quod fit ex a b in b c ſunt
æqualia
quadratis a d d b, & producto a d in d b ſemel: a c quadra­

tum
a d cum producto a d in d b eſt æquale producto a b in a d, &
ex
conſequenti in b c, igitur reſiduum quadratorum a b & b c de­
tracto
producti a b in b c eſt æquale a b in b c cum quadrato b d
quod
fuit propoſitum.
Per 4. ſecun
di
Elem.
Per 1. ſecun
di
Elem.
Propoſitio centeſima quadrageſima ſexta.
Corpus quod fit ex linea diuiſa in ſuperficiem ęqualem quadra­
tis
ambarum partium detracta ſuperficie unius partis in alteram, eſt
æquale
aggregato cuborum ambarum partium.
157[Figure 157]
Sic a b diuiſa in e quadrata partium e f &

b
d detrahatur ex e f, f g æqualis a d, dico cor
pus
ex a b in ſuperficies b d, d g æquale eſ­
ſe
cubis a c & c b pariter acceptis, quia.
n.
ex a b in b d fiunt duo corpora cubus
b
d & corpus ex a d in quadratum d b hoc
autem
eſt æquale corpori ex b cin a d quia
1fíunt ex æqualibus lineis: at corpus quod fit ex a b in d g æquale eſt
corporibus
quæ fiunt ex a c, c b in ſuperficiem d g at cubus a c con­
tinet
duo corpora quę fiunt & a c in d g & g f, igitur cubus a c ſupe­
rat
productum ex a b in d g in producto ex a c in f g & ſuperatur ab
eo
in producto ex b c in d g, ſuperabatur etiam, ut uiſum eſt, cubus
b
c à producto b a in d b in producto b cin c f, igitur cubi a c c b ſu­
perantur
à producto a b in ad in producto b c in c f & in d g, quare
in
producto b c in f e: ſi quidem f e & f g ſunt æqualia ex ſuppoſito
ſuperant
autem in producto ex c b in e f, igitur tantum eſt in in quo
ſuperantur
quantum eſt id in quo ſuperant: ergo ſunt æqualia.
Com.
Propoſitio centeſima quadrageſima ſeptima.
Propoſita linea diuiſa duas ei lineas adijcere, ut proportio addita­
rum
ſingularum & partium ſimul iunctarum ad additas ſit mutua.
Co^{m}.
Sit linea a b diuiſa in c uolo eius
158[Figure 158]
partibus
addere lineas, ut propoſi­

tum
eſt, ſtatuo mediam c d inter a e &

c
b quæ ſit c d, & facio ut c d ad c a ita
c
a ad a e, & ut d c ad c b ita c b ad b f, quia ergo d e media eſt inter

a
c & c b, & ut ea ad a cita d c a c b ad c f erunt omnes in continua

proportione
, quare proportio e c ad c a ut c f ad b f & e c ad ea ut
c
f ad c b quod eſt propoſitum.
Per 13. ſex
ti
Elem.
Per 11. ſex
ti
Element.
Per 11.
quinti Elem.
Per 18.
quinti Elem.
Propoſitio centeſima quadrageſima octaua.
Propoſitis tribus lineis primam ſic diuidere, ut adiectis duabus
alijs
lineis ſecundum rationem mutuam ſingularum ſingulis ag­
gregatum
ex una adiectarum & parte ad aggregatum ex alia parte
& adiecta ſe habeat, ut ſecunda ad tertiam.
Com.
Sit a, b, c, d, propoſitæ lineę,
159[Figure 159]
uolo
diuidere a b ita in e ut
ſumpta
ſecundum proportio­
nem
alicuius quantitatis, puta
g
ad a e ſic b f ad e b & ut g ad
e
b ſic g a ad a e ut ſit propor­
tio
g e ad e f ut c ad d.
Sint ergo
omnia
conſtituta & ſit g rectan­
gulum
ex a e in e b, cum ergo
g
a contineat a e ut g continet e b, g autem continet e b ſecundum
a
e, igitur g a continet a e ſecundum a c, ergo ex diffinitione qua­

drati
a g eſt quadratum a e.
Pari ratione b f eſt quadratum b e. pro­
portio
igitur g e ad e f cum ſit ut c ad e ex ſuppoſito erit ut ipſi pro­
portioni
addamus, & detrahamus ex duplo a b & dimidium reſi­
dui
ducamus in ſe, & addamus aggregato quadrati a b cum ipſa
1a b, & latus eius detracto dimidio reſidui erit b c linea, quare diui­
ſio
nota, & eſt ut dicamus : uolo diuidere datam lineam, ut quantita­
tes
adiectæ ſub mutua proportione ad unam tertiam cum parti­
bus
obtineant inter ſe proportionem datam.
Per 1. ſecun
di
Element.
Propoſitio centeſima quadrageſima nona.
Datam lineam ſic diuidere, ut proportio quadratorum ad du­
plum
unius partis in alteram ſit, ut lineę datæ ad lineam datam.
Sit data a b quam uolo diuidere, ut proponitur ſub proportio­

ne
c d ad e, diuido a b bifariam in f, & abſcindo
160[Figure 160]
g
d æqualem d e, & inter c g reſiduum & c e inter­
pono
proportione, & ut h ad c g ita a f medietatis a b ad fk.
Omnia
iſta
ſunt notiſsima ex primo & ſexto Elemento­
161[Figure 161]
rum Euclidis.
Si ergo abſcindantur fk ex fa, dico
quod
proportio quadratorum l k & k a ad du­
plum
rectanguli a k in k b eſt ut c d ad d e.
Quia. n. c e ad c g dupli­
cata
eſt ei quę eſt h ad c g, duplicata eſt etiam ei quæ eſt f a ad fk, qua­
re
ut quadrati a f ad fk, ita c e ad c g, igitur diſiungendo c g ad g e ut
reſidui
quadrati k f ad reſiduum quadrati a f, quare c g ad g d ut
quadrati
k f ad dimidium reſidui quadrati a f, igitur coniunctim c d
ad
d g ut quadrati k f & dimidij reſidui quadrati a f ad ipſum dimi­
dium
reſidui.
At uerò cum g d ſit æqualis d e, erit c d ad d e ut qua­
drati
k f cum dimidio reſidui ſæpius dicti ad ipſum dimidium reſi­
dui
.
Igitur etiam ut dupli quadrati k f cum reſiduo ad reſiduum, ſunt
enim
omnia duplicata.
At duplum quadrati k f cum reſiduo eſt æqua­
le
quadratis a f & f k, igitur quadratorum a f & f k ad differentiam
eo
rum proportio eſt ut c d ad d e, igitur dupli quadratorum a f &
f
k ad duplum differentiæ quadratorum a f & fk ut c d ad d e.
Ve­

rum
duplum quadratorum a f & f k æquatur quadratis b k & k a.

Et
duplum differentiæ quadratorum a f & fk eſt ęquale duplo pro
ducti
b k in k a, igitur proportio quadratorum k b & k a ad duplum
producti
k b in k a eſt ueluti c d ad d e, quod eſt propoſitum.
Co^{m}.
Per 9. ſecun
di
Elem.
Per 5. ſecun
di
Elem.
Propoſitio centeſima quinquageſima.
Propoſitis duabus lineis lineam communem
162[Figure 162]
utrique
adiungere, ut ſit maioris ad additam pro­
portio
, uelut quadratorum minoris & adiectæ
ad
duplum unius in alteram.
Hæc eſt quaſi conuerſa præcedentis. Sit a ma­

ior
, & b c minor, & fiat b d dupla b c, ſuper quam
erigatur
b f æqualis a; & ſit rectangulum d f &
deſcribatur
quadratum b c quod ſit b g reſiduę
ſuperficiei
ad d f latus ſit h, dico h eſſe lineam quæſitam.
Superficies
1enim d f cum fiat ex a in duplum b c, dupla erit ſuperficiei a in b c, ſu
perficies
f d, tota æquatur quadratis h & b c, igitur quadrata h & b
c
dupla ſunt ſuperficiei a in b c, quod uerò fit ex a in duplum b c ſe
habet
ad id quod fit ex h in duplum b c, ut a ad h, cum per eandem
lineam
ducantur, igitur quod fit ex a in duplum b c, & ſunt quadra­
ta
h & b c, ſe habent ad duplum h in b c, ut a ad h, quod fuit de­
monſtrandum
.
Com.
Propoſitio centeſima quinquageſima prima.
Proportio differentiæ quadratorum partium, cuiuſuis lineæ ad
quadratum
differentiæ illarum eſt uelut totius lineę ad differentiam.
Co^{m}.
Sit a b diuiſa in puncto c, & fiat c d æqualis
c
b, manifeſtum eſt quod differentia partium
163[Figure 163]
eſt
a d, dico proportionem differentiæ quadra
torum
a c & c b ad quadratum a d differentiæ partium eſſe ut a b ad

a
d.
Quoniam differentia quadratorum a c & c b eſt, quod fit ex a d
in
d c bis cum quadrato a d, & ideò quod fit ex a d in d b cum qua­
drato
a d, & ideò quod fit ex tota a b in a d.
Igitur differentia qua­

drato
a c & c b eſt quod fit ex a b in a d, quare cum quadratum a d
fiat
ex a d in a d, erit proportio a b ad a d, uelut differentiæ quadra­

torum
a c & b c ad quadratum a d differentiæ partium.
Quod fuit
propoſitum
.
Per 4. ſecun
di
Elem.
Per 3. ſecun
di
Elem.
Per 1. ſexti
E
lem.
Propoſitio centeſima quinquageſima ſecunda.
Si linea in duas partes æquales duas que in æquales diuidatur, fue­
ritque
proportio aggregati ex maiore & dimidio ad ipſam maiorem
uelut
ex minore, & aliqua linea ad ipſam minorem, & rurſus aggre­
gati
ex minore dimidio ad ipſam minorem, uelut aggregati ex ma­
iore
& alia addita ad ipſam maiorem, erit proportio dimidij ad par
tem
unam inæqualem, uelut alterius partis inæqualis ad ſuam ad­
ditam
mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut pro­
portio
partium inæqualium duplicata, & rurſus ipſum dimidium
lineæ
aſſumptæ medium erit proportione inter additas.
Demum
proportio
dimidij cum ad dita maiore ad dimidium cum addita mi
nore
, uelut maioris partis ad minorem.
Co^{m}.
Sit propoſita a b diuiſa per
164[Figure 164]
æqualia
in c per inæqualia in
d
, & ſit ut addantur a g & b f,
ita
ut proportio c a, & a d ad a d ſit ueluti f d ad d b, & c b & b d ad
b
d, uelut g d ad d a, & hæc eſt quarta ſecundi Archimedis de ſphęra,
& Cylindro: quia ergo a c & a d ad a d, ut f d ad d b erit a c ad a d,
fb
ad b d.
Et ſimiliter quia eſt c b & b d ad b d, uelut g d ad d a erit
1c b ad b d, uelut g a ad a d, & hoc eſt primum. Quia ergo c a eſt æ­
qualis
c b, erit c a ad b d, uelut g a ad a d, & iam fuit a d ad c a, ut b d
ad
f b, per conuerſam igitur a d ad b d, ut g a ad a d, & ut b d ad fb,
interpoſitis
ergo a d & d b inter a g & b f cum compoſita ſit pro­
portio
a g ad b f ex proportione a g ad a d, & ad d b, & d b
ad
b f, & proportio a d ad d b, ſit æqualis proportioni
165[Figure 165]
a
g ad a d, & d b ad b f, igitur proportio a g ad b f.
Per de­
monſtrata
ab Alchindo eſt duplicata proportioni a d ad
d
b quod eſt ſecundum.
Rurſus quia ex primo demon­
ſtrato
, uel eius conuerſo proportio a d ad a c eſt uelut b d
ad
b f, & d b ad a c, ut a d ad a g, proportiones ergo
166[Figure 166]
a
d & d b ad a c componunt proportionem produ­
cti
a d in d b, quod ſit h ad quadratum a c quod ſit
k
, & ſimiliter proportio b d ad b f & a d ad a g com­
ponunt
proportionem producti ex b d in a d, quod
ſit
l ad productum b f in a g, quod ſit m, per demonſtrata ab Eucli­
de
in ſexto Elementorum, igitur proportio h ad k ut l ad m, ſed h &

l
ſunt æquales, quia producuntur ex eiſdem, igitur per demonſtra­
ta
in quinto Elementorum Euclidis, k eſt æquale m, ergo a c eſt me­
dia
pro portione inter b f & g a, quod eſt tertium.
Quia uerò ex pri­
mo
demonſtrato eſt fb ad b d, ut a c ad a d, & c b ad idem b d, ut g a
ad
idem a d erit coniungendo fb & b c ad b d, ut coniun­
167[Figure 167]
gendo
g a & a c ad a d, ſed fb & b c componunt f c & g a,
& a c componunt g c, igitur ut f c ad b d, ita g c ad a d, er­
go
permutando g c ad f c, ut a d ad b d, quod eſt quartum.
In Prop. 23
P
ropoſ. 9.
Cum ergo punctum d fuerit datum, licet inuenire a g & b f, faci­
, ut Archimedes præſupponit proportionem g d ad d f datam &
quærit
eam, quæ eſt a d ad d b, & peruenitur ad res numero triplo
quadrati
dimidij lineæ aſſumptæ æquales cubo & numero, qui ſit
ex
duplo cubi dimidij in 1 m: ipſa proportione, & quod produci­
tur
diuiſo per 1 p: ipſa proportione.
Veluti poſita a b 10, & propor­
tione
quam uolo g d ad d f ſexcupla, duco 5 dimidium 10 in ſe fit 25,
& triplico, fit 75 numerus rerum.
Inde duco 5 idem dimidium ad
cubum
fit 125, duplico fit 250, duco in 5, qui eſt 1 m: proportione fit
1250
, diuido per 7, qui eſt 1 p: proportione exit 178 4/7 numerus, qui
cum
cubo æquatur 75 rebus.
Cum ergo conſtituta fuerit diuiſio in
c
, non recipit proportionem g d ad f d quam uolueris, ſed ſequitur
una
ſola ad illam, & eſt mirabile, quoniam lineę uidentur ſumi liberè.
Sed non eſt ita. Et etiam quia Archimedes uidetur aſſumere aliam lineam,
ſed
non inueſtigat eam, imò oſtendit eam ex aſſumptis.
At Eutoci­
us
oſtendit ambas, unam ex propria inuentione, aliam ex Diocle, ſed
1una eſt ſuperflua, quia ut dixi, una ſequitur ad aliam. Ex hoc pa­
tet
cur Diocles aſſumpſerit lineam unam, quæ eſt a c, quæ ſe ha­
bet
ad a d, & d b, ut uiciſsim a d, & d b ad additas, quod eſt pri­
mum
demonſtratum.
Sic enim omittit primum quod proponit Ar
chimedes
, & aſſumit quod proximum eſt: & ideò Archimedes non
probat
, nec præſupponit, quod à Diocle probatur, ſcilicet datum
eſſe
punctum d in linea a b, ſed ſolum in linea g f, ideò cogitur pro­
bare
ſecundum quod demonſtratur ab Eutocio, & à nobis demon
ſtratum
eſt ſuprà.
Archimedes aut aſſumit lineam extra circulum, quam
uocat
b f, quæ eſt æqualis b c medietati: aliam aſſumit quam uocat
b
h, cuius proportio ad b d eſt ſicut quadrati ad a d quadratum a b.
Conſtat ergo quod proportio g d ad d f eſt data. Et ſimiliter f g ad
g
d, & eſt 1 præ proportione data.
Vnde notandum quod datum
dicitur
, ſimpliciter cognitum alio modo, dicitur datum poſitione,
quod
eſt certum & tale, uelut ſi quis dicat, diuide 10 in duos nume­
ros
quadratos: hoc non eſt datum, poteſt enim diuidi pluribus mo
dis
.
At ſi dicas ut una pars ſit alterius quadratum, iſtud antequàm ſci
untur
partes, dicitur datum poſitione.
Ergo datum poſitione eſt du
plex
, uel ut ratio nota ſit, non autem quantitas, ut ſi dicam a b eſt du
pla
ad b c, utra que dicitur nota poſitione, quo­
niam
neſcio quanta ſit a b.
Vel ſi quantitas eſt
168[Figure 168]
nota
proportio ignota ſit, ut ſi a c ſit 10, & ſit,
ut
b c ſit <02> relata, a b erit punctus b, & proportio a b ad b c data po
ſitione
, non tamen nota.
Et ſi dicas igitur omnia, quæ habent deter
minationem
erunt data poſitione?
Dico quod non, quia oportet,
ut
illa determinatio comprehendatur ſub una ratione, eaque ſaltem
generaliter
cognita.
Propoſitio centeſima quinquageſima tertia.
Vim quan cun que manus multiplicare.
Co^{m}.
Cum enim radimus aut trahimus manifeſtum eſt,

quod
ambabus manibus uis conduplicatur, & ma­
169[Figure 169]
ior
redditur, quanta eſt proportio totius ad exceſ­
ſum
: uelut ſit a quod mouetur ab una manu uiribus
ut
b, quæ ſunt exceſſus b d ſupra a, cum ergo propor
tio
c b d ad a ſit compoſita ex proportionibus c &
b
d ad a manifeſtum eſt, quod erit producta ex pro­
portione
c b d ad b d, & b d ad a, ſed e b d eſt dupla
ad
b d, quia e eſt æqualis, c igitur proportio c b d ad

a
eſt maior multo quàm duorum exceſſuum, qui mo
uerent
in proportione dupla: uelut ſi adderemus f
1ad d b æqualem b, multo maior eſt ex communi animi ſententia e f
b
d quam f b d, quia e continet f, & quantum eſt d inſuper: cum ergo
b
cum d moueat a in proportione b d ad a & f cum d mouebit a in
proportione
eadem qua b d, ergo per uiam additionis duplo ue­
locius
, quàm dupla proportione, uerùm dupla comparatione ad
proportionem
b d ad a, non autem duplicata ſed dupla, ut dixi, quę
erit
maior quàm dupla per additionem exceſſus.
Ergo ſi addatur al­
ter
homo, erit dupla ad illam duplam, ueluti addendo æqualem d b
f
e, adeò ut ſi proportio d b f e eſſet quintupla, mouerent illi duo in
proportione
decupla.
Sed annexo baculo aut lima aut ſerra annu­
lo
h, ita ut circunuolui poſsit h æquabit uires non ſolum d b f e ſed
multorum
hominum.
igitur multo plus aget homo ambabus ma­
nibus
radendo aut ſecando cum g, quàm quadrupla proportione
unius
manus, & hoc incrementum eſt non ſolum magnæ
utilitatis
, ſed ualde accommodatum in actionibus artificum
operum
grauiorum.
Et huiuſmodi conduplicatio eſt ratio
limæ
quam ſurdam uocamus.
Per 37.
Per 2.
170[Figure 170]
Propoſitio centeſima quadrageſima quarta.
Si lineę datę alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem pri­
oris
lineę duæ rectæ in unum punctum concurrant proportionem
habentes
quam media inter totam & adiectam, ad adiectam erit
punctus
concurſus à puncto extremo lineæ adiectæ diſtans per li­
neam
mediam.
Quòd ſi ab extremo alicuius lineæ æqualis mediæ
ſeu
peripheria circuli cuius ſemidiameter ſit media linea duæ lineæ
ad
prædicta puncta producantur, ipſę erunt in proportione medię
ad
adiectam.
Com.
Hęc propoſitio eſt admirabilis: & etiam deſcripſi, ut multa ſecre­
ta
Dialecticæ potius aperirentur quam quod huic propoſito multum
congrueret
.
Ideò potius ſcholij cauſa poſita eſt quam ipſius tracta­
tionis
: ut modum demonſtrandi magis quam id, q̊d demonſtratur, re­
ſpicere
oporteat.
Conſtituatur ergo (per uiam problematis) linea a b
& proportio c ad d, & fiat d e ad c, ut c ad d, & a b ad e ut b f ad d, &
ut
g ad c, eritque g media inter a f & f b, quod licet ſolum ſupponatur
ab
Appollonio, tamen facilè demonſtratur & à Commandino adie­
cta
eſt demonſtratio.
Concurrant ergo ex a & b duę lineę in aliquod

punctum
, putat h ut ſit a h ad h b uelut c ad d, dico quod ſi ducat
h
f quod ipſa erit æqualis g, ducatur b l æquidiſtans a h, & quia

ex
ſuppoſito a h ad h b, ut g ad b f, erit b h ad h a, ut b f ad g, & quia
trianguli
a h f & b l f ſunt ſimiles erit proportio a h ad b l, ueluti a f

ad
fb, igitur per ęquam proportionem b e h ad b l, ut a f ad g, ſed ut

a
f ad g ita g ad b f ex ſuppoſito: & ut a f ad g, it a h a ad h b, ex ſuppo
1ſito igitur ut a h ad h b ita h b ad b l, ſed angulus a h b eſt æqualis
angulo
h b l, ergo triangulus a h b eſt
ſimilis
triangulo h b l, quare angulus
b
h l eſt ęqualis angulo h a f, igitur du
orum
triangulorum f a h, & fb h duo

anguli
unius a & f ſunt æquales duo­
bus
angulis, alterius igitur propor­
171[Figure 171]
tio
a f ad fh reſpicientium angulos ę­

quales
ut a h ad h b reſpicientium an­

gulum
f, ſed a h ad h b ut c ad d, ex ſup
poſito
igitur a f ad f h, ut c ad d, ſed ut c ad d ita a f ad g, ex ſuppoſito
ergo
h f eſt æqualis g.
Per 29. pri
mi
, & 4. ſex
ti
Elem.
Per 22.
quinti Elem.
Per 11. quin
ti
Element.
Per 6. ſexti
E
lem.
Per 32. pri
mi
, & 4. ſex
ti
Element.
Per 11.
quinti Elem.
Per 7. quin­
ti
Elem.
Cor^{m}. 1.
Cum ergo hęc demonſtratio ſit ex ſenſu in uno puncto h, ideò ad
quælibet
puncta traduci poteſt, quæ potero imaginari, & ita pri­
ma
uocabitur ſenſus, ſecunda imaginandi: Et quoniam in demonſtran­
do
non aſſumimus aliquid, quod ſit proprium alicui puncto, niſi
proportionem
h a ad h b ſimilem eſſe c ad d, ideo hoc pertinet ad
intellectum
, & eſt tertium.
Et idem dico ſi k eſſet ultra h quod po­
teſt
contingere.
modò k a ad k b ſit ut c ad d & k f ſit ęqualis g idem
ſequetur
, & comprehenditur ſub tertio & pertinet ad intellectum,
& quoniam demonſtratur quod punctum k ubicunque ſumatur, eſt
in
ęquali diſtantia à puncto f ſcilicet per g lineam, erit ſemper in peri­
pheria
circuli, & hoc poteſt eſſe in infinitis locis ſimpliciter & extra
infinitum
nihil eſt, igitur ſub hoc continetur conuerſum ſcilicet,
quod
a quolibet puncto circuli ductis lineis ad a & b ipſę erunt in
proportione
c ad d.
Et ita abſque principijs Geometricis concluditur
propoſitio
Geometrica & hoc eſt περιλάμπουσιν & fermè ſummum in­
tellectus
humani.
Et poteſt demonſtrari Geometricè duobus uer­
bis
.
Quia. n. f ſupponitur æqualis g eo quòd h eſt in peripheria circu­
li
erit media inter a f & f b, quare cum angulus f ſit communis, erit
proportio
a h ad h b, laterum reſpicientium angulum f in utroque

triangulo
, uelut h f lateris in maiori ad f b latus in minori, quare

cum
ex ſuppoſito h f ad fb ſit ut c ad d, erit a ad b, ut c ad d.
Et uides
Apollonium
, & Pappium quanta ſuperflua adijciant in hac ſecun­

da
parte demonſtrationis, quæ eſt prima apud illos, & ducunt unam
lineam
non neceſſariam ex puncto b ad latus fh.
Vt antiquorum ple
rique
non tantum potuerint Geometria & ingenio, quæ ferunt excel
lentiſsima
in illis, quantum nos ex Dialectica πε̣ριλάμπουσιν inducen
tes
.
eſt enim ſingulare hoc exemplum.
Per 6. ſexti
E
lem.
Per 4. eiuſdem
Per 11. ſex
ti
Elem.
I
n primo Co
nicor
. Apol.
in
Præfat.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc etiam patet quod ſi circulus duceretur ſecundum f k tran­
ſiretque
per m & n eſſet a m ad m b & a n ad b n, ut a h ad h b.
1
SCHOLIVM
Ex hoc pater qualiter ex uera demonſtratione ſenſu oſtenſa per­
uenimus
ad quotquot imaginando, inde intellectu abiectis condi­
tionibus
non neceſſarijs facimus infinitum & uniuerſale.
Demum
ſine
artis ſpecialis auxilio oſtendimus theorema uniuerſale (quod
etiam
poterat oſtendi Geometricè, ſed longè pulchrius eſt, ac ſubli­
mius
per περιλαμπουσιν, qua hoc ipſo infinita alia docemus generaliter
per
ſimplicem comprehenſionem oſtendere) ſcilicet quod à quouis
puncto
peripherię circuli, cuius ſemidiameter eſt media proportio­
ne
inter totam extenſam à centro uſque exterius, & partem quæ' eſt à
centro
ad punctum deſcriptum ſub proportione continua datarum
linearum
lineæ ductæ ex eo ad punctum exterius, & punctum de­
ſcriptum
ſunt in proportione datarum linearum.
Propoſitio centeſima quinquageſima quinta.
Quadratorum numerorum proportionem & inuentionem conſiderare.
172[Figure 172]
Primùm oportet ſcire eſſe tres naturales
numerorum
ſeries, primam Euclidis iuxta

quamuis
proportionem, in qua unum & ter­
tius
& quintus, & ita uno ſemper intermiſ­
ſo
ſunt quadrati.
Primus quo que. 1. unum &
quartus
& ſeptimus & ita duobus intermiſsis ſunt cubi.
In ſecun­
do
ordine eſt naturalis ſeries numerorum, ex qua colligitur alia, &
ex
illa bini quilibet ſe ſequentes conſtituunt numerum quadratum.
In tertia numeri impares, qui ſemper collati efficiunt quadratum.
Exemplum 1.
173[Figure 173]
Sit ergo propoſitus numerus cui uelim
addere
quadratum numerum, ut fiat qua­

dratus
totus, accipe numerum quadratum
minorem
illo quem uis, & detrahe à propo
ſito
numero ſeu quadrato ſeu non reſidu­

um
, diuide per duplum <02> quadrati quod
detraxiſti
, q̊d exit duc in ſe fiet quadratus numerus, idem que additus
numero
propoſito, faciet quadratum.
Velut capio 16 qui eſt qua­
dratus
, aufero 9 quadratum minorem relinquitur 7, diuido per 6 du­
plum
<02> 9, exit 1 1/6 quadratum eius eſt 1 13/36 qui additus ad 16 facit 17 13/36
quadratum cuius <02> eſt 4 1/6.
Exemplum 2.
Exemplum 3.
Ex hoc patet propoſito quouis numero quadrato modus inuenien­

di
infinitos numeros quadratos qui cum illo iuncti facient quadratum.
Cor^{m}. 1.
SCHOLIVM.
Poſſem adducere demonſtrationes omnium horum, ſed reddere­
tur
res longa cum ſint manifeſtę ex ſeptimo octauo & nono Euclidis.
Exemplum ſecundum capio modò 14 qui non eſt quadratus, aufe­
ro
9, remanet 5, diuido per 6 duplum <02> 9 exit 5/6 quadratum eius eſt 25/36
1hic additus ad 14 conſtituit 14 25/36 quadratum 3 5/6. Et ita 14 eſt diffe­
rentia
duorum quadratorum, ſcilicet 25/36 & 14 25/36.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc habebis duo quadrata in datis terminis quæ different
dato
numero, & eſt pulchrum.
Velut uolo duo quadrata quæ dif­
ferant
in 2, & <02> minoris ſit inter 1 & 2, tunc capies per regulam
pſam
2, & auferes numerum quadratum ita quòd reſiduum diuiſum
per
duplum radicis efficiat numerum inter 1 & 2. Veluti capio 4/9 qua­
dratum
, aufero ex 2, relinquitur 1 5/9 diuido per duplum 2/13 radicis 4/9 &
eſt
1 1/3 & exit 1 1/6, & hic eſt minor numerus cuius quadratum eſt 1 13/36
cui
ſi addantur 2, fient 3 13/36 numerus quadratus 1 5/6.
Cor_{m}. 3.
Cum autem uolueris duo quadrata quæ differant in 100, tunc
per
regulam datam ſi auferes 1, peruenires ad numeros magnos &
fractos
, & ideo melius eſt quia numerus eſt par, ut detrahas nume­
rum
parem quadratum, ita quod reſiduum poſsit diuidi per duplum
radicis
, ut in hoc non detraho neque quia remanet impar, nec 16 quia
84
reſiduum non pont diuidi per 8 ita ut exeat integer numerus, ergo
detraham 4 & relinquetur 96, diuido per duplum radicis quod eſt 4 exit
24
, cuius quadratum qua eſt 576 addito 100 facit 676 quadratum 26.
Et
ita ex 433 non auferam ſed 9, quia relinquetur 24 qui poteſt diui­
di
per ſe, duplum <02> 9 & exit 4 cuius quadratum eſt 16, addito 33 fit 49.
Secunda regula, cum uolueris propoſito uno numero quadra­
to
illum diuidere infinitis modis in duos numeros quadratos, cape
quemuis
numerum quadratum per primum exemplum regulę pri
, & cum eo diuide numerum propoſitum, & qui proueniet erit
quadratus
, hunc ergo duces in partes numeri quadrati quę ſunt nu­
meri
quadrati, & fient duo quadrati numeri, & illi component numerum
quadratum priorem quem diuiſiſti.
quia multiplicatio fit per eoſdem nu­
meros
qui ſunt partes diuiſoris.
Velut uolo facere de 4 duas partes
quę
ſint quadrati numeri, capio numerum quadratum qui componatur ex duo­
bus
quadratis, uelut 25, diuido 4 per 25 exit 4/25 hunc duco per 9 & 16 quadra­
tos
numeros componentes 25 fiunt 1 11/25 & 2 14/25 quadrati 1 2/5 & 1 3/5 Et hi quadrati
componunt 4. Et ita poſſes diuidere infinitis modis, puta per 17 13/36 &
per
169. Tertia regula cum unus numerus additus
174[Figure 174]
primo
& detractis à ſecundo facit ambo quadrata, idem
numerus
coniunctus cum differentia illorum nume­
rorum
& detractus à primo & additus ſecundo facit
eoſdem
numeros quadratos, ueluti capio 10 primum
3
ſecundum 6 additus ad 10 & detractus à 7 efficit 6
& 1 quadratos dico quod iunctus 16 cum 3 differen­
tia
10 & 7 fit 9, qui detractus à 10 & additus ad 7 effi­
cit
1 & 16 numeros quadratos priores.
1
SCHOLIVM
Sunt & alij modi plures faciendi huiuſmodi, ſed non ſunt ad ge
nerales
, & nihilo minus ſunt magis confuſi, & non aliquid plus.
Quarta regula, cum uolueris numerum aliquem non quad. qui bifa
riam componatur ex duob.
quad. uelut 10 ex 25, & 25 & 49 & 1,
175[Figure 175]
& ſumatur a b numerus quad.
diuiſus in ſupplementa, ita quae c
d
ſit portio minor eiuſmodi, ut adiecta illi æquali c d gnomo
cir
cunſcriptus c k l cum fquadrato, ſit ęqualis a b quadrato, detractis
igitur c e & e d, æqualibus erunt duo ſupplementa c k l cunf qua­
drato
ęqualia duob.
ſupplementis a b cum quadrato h g. Maio­
ra
aunt ſupplementa excedunt minora in duplo quad.
c d igitur detractis
minoribus
ſupplementis communibus, erit duplum quad.
c d cum f qua­
drato
ęqualia h g quadrato.
Ergo propoſito numero, putà 3 ducam in ſe
fit
9, ducam 2 minorem in ſe fit 4, duplicabo fit 8, detraho ex 9, relinquitur
1
numerus quadratus, igitur dicam q̊d 3 cum duplo 2, & erit totum 7, eſt unus
numerus
, alter <02> 1. 1. 1, & horum quad.
componunt 50, duplum quad. 5. Et ſimi
liter
capio 6 quad.
36 duplum quad. 4. 32 differentia 4, numerus quad. 2, ideo
6
cum duplo 4, & eſt 14, eſt unus numerus, alter 2, quorum quad.
ſunt 200,
dimidium eſt 100 quad.
10 compoſiti ex 6 & 4. Et ita capio 9, quad. eius 81 du
plum quad.
6. 72 differentia 9 numerus quad. igitur cum duplo 6, & eſt 21, eſt
unus
illorum, alter 3 quad.
450, duplum 225 quad. 15, qui conſtat ex 9 & 6. Et
ita
capio 11 quad.
cuius eſt 121, duplum quad. 6 eſt 72 differentia, 72 & 21 eſt
49
numerus quad.
7, igitur 23 qui conſtat ex 11, & duplo 6 numeri mino
ris
eſt unus numerus, alter eſt 7 quad.
quorum ſunt 578. duplum 289, quad.
17, qui conſtat ex 11 & 6. Quinta regula, per hoc inueniemus infini
tos
numeros quad.
componentes 32, nam cum 32 ſit duplus quad. diuidam per
unum
aggregatum ex inuentis puta 578, & quia ambo ex ſuppoſito
ſunt
dupli ad quad.
qui proueniet erit quad. ſcilicet 16/289, duc in numeros qua­
dratos
qui componunt 578, & ſunt 529 & 49, & fient 2 206/289 & 29 83/289,
& hi iuncti fiunt 32, quia ſunt multiplicatæ partes numeri, per quem
eſt
diuiſus numerus.
Et ita poteris diuidere 32 in infinitos alios quad.
Sexta regula, ponamus modò quod uelim diuidere 10, compoſitum ex
duob
.
quad. 9 & 1, & non duplum numero quad. ita quod ſit diuiſus in alios
duos
: ducam 10 in 25 compoſitum ex duob.
quad. fit 250/25, at 250 componitur aliter
ex
duob.
quad. <08> 225/25 & 25/25, ſcilicet 169/25 & 81/25, id eſt 6 19/25 & 3 6/25, qui ſunt quad.
2 3/5 & 1 4/5, & ita uolo diuidere 13 in duo alia quadrata <08> 9 & 4, duco 13 in
25
& fit 325/25, qui neceſſario componitur ex 225/25 & 100/25, ſed ego uolo q̊d compo
natur aliter, uelut ex 289/25 & 63/25, & ita ex 11 14/25 & 1 11/25, qui ſunt numeri quad.
com
ponentes
13, & <02> ſunt 3 2/5 & 1 1/5, & in his opus eſt induſtria, ſcilicet ut
multiplicetur per numeros quad.
ut proueniant numeri illi bifariam comp
ſiti
ex quadratis.
Vt uerò uideamus reſiduum, proponamus quae uelim diui
dere
6 in duos numeros quad, primum ſcire debes q̊d non poſſunt eſſe
1integri ex ratione dicta, quia oporteret ut eſſent ambo impares aut
pares
, & ſic differrent numero pari, ergo oporteret ut eſſet unus me­
dius
numerus quad.
ſunt & alię rationes, ſed neque unus poſſet eſſe inte
ger
, & alius fractus, non eſſet.
n. 6 numerus integer: relinquitur ergo ut
ſint
duo fracti: ſed in numeris fractis quad.
deductis ad minimas deno
minationes
operum, ut tam denominator <08> numerator habeat radi­
ces
, ergo oportet q̊d hoc ſit in illis, & quia iuncti debent facere inte­
gros
6, neceſſe eſt ut denominator ſit unus, & idem in utroque, et q̊d nu
meratores
ſimul iuncti ſint ſexcuplum denominatoris, ſi fracti debent
ęquipollere
6, ergo ille denominator cum ſit quad.
& numeratores am­
bo
ſint quad.
& ſint ſexcuplum denominatoris, oportebit inuenire nu­
merum
quad.
qui ductus in 6, faciat numerum qui componitur ex duob. quad.
aut componitur ęqualiter, ergo proportio medietatis ad medietatem 6, eſt
ueluti
totius ad 6, ſed totu continet 6 in quad.
quia ex 6 in quad. fit totum,
ergo
ex medietate in quad.
idem fit medietas, ſed medietas eſt nume­
rus
quad.
ergo 3 eſſet numerus quad. quod eſt falſum, oportet igitur ut nume
ri
illi ſint inæ quales, & ut 6 diuidatur in duas partes inęquales, hoc
aut fit diuidendo quemlibet numerum parem, qui componitur ex duob.
numeris quad. nam ſi eſſet impar, non poſſet prodire numerus integer, &
cum prouenerit numerus quad.
ille erit quem quęrimus, nam diuiſo 6 per to­
tum
illum numerum, inde q̊d prouenit multiplicato per numeros quad,
componentes illum numerum productum, producuntur partes 6, quæ erunt
numeri
quad.
quia denominator utriuſque partis ex ſuppoſito eſt nume
rus
quadratus, qui multiplicatus eſt per 6, & numeratores ſunt nume
ri
quadrati, qui componebant numerum productum, et tales partes ęquantur
6
, quia numerus productus componitur ex numeratoribus, & produ­
citur
tale compoſitum ex 6 in denominatorem, & hic eſt diuiſus per deno
minatorem, ergo prouenit 6, ſi emm multiplicato 3 in 4 fit 12, diuiſo 12 per
4
, exit neceſſario idem 3. Pro colligendo ergo numeros omnes, qui
componuntur ex quadratis, propones tibi ſeriem quad.
omnium, & inde iun­
ges
, & diuides per 6, & cum prodierit quadratus, inuenitur denominator,
& numeri componentes ipſum erunt numeratores, et ſuppoſiti deno
minatoribus
conſtituent partes.
Vt uerò cognoſcas, ex quibus poſ­
ſit
componi primum ex imparibus, non oportet aſſumere niſi 135,
quia
7 diuiſum per 6 relinquit 1, & 9 diuiſum per 6, relinquit 3, & 35
diuiſum
per 6 relinquit 5. ergo non poteſt componi numerus im­
par
, qui diuidatur per 6, ut ſuperſit impar alius quàm 1. 3. 5. ſed 1 & 3
& 5, & 5 componunt 4 & 1, & 1 & 3 & 5 componunt 2, ſcilicet abie­
cto
6, ergo tales numeri quadrati ſi ſint impares, uel ambo terminan­
tur
in 3, ut 9 & 81, qui faciunt 90, uel in 1 & 5, ſed nullus numerus
quadratus
diuiſus per 6 terminatur in 5, quia 1 ductum in ſe produ­
cit
1, & 3 pro ducit 3, & 5 pro ducit 1, ut 5 in 5 facit 25, & 11 in 11
1cit 121, quibus diuiſis per 6 ſupereſt 1. Quod etiam ſic demonſtratur
de
5, & compoſitis à 5, nam diuiſo 5 in 3 & 2, quadratum eius compo­
nitur
ex duplo 3 in 2, in quo nihil ſupereſt, ſi diuidatur per 6, & ex
quadrato
3, quòd eſt 9, in quo ſupereſt 3, & ex quadrato 2 quod eſt

4
, ſed iunctis 4 & 3, & abiecto 6 ſupereſt 1, ergo 5 in 5 ductum, & diui
ſo
producto relinquitur 1. Et ſimiliter capio 17, et componitur ex 12 &
5
quadratum, ergo 17 componitur ex quadrato 12, in quo nihil ſu­
pereſt
, & duplo 5 in 12, in quo etiam nihil ſupereſt, ſi diuidatur per 6:
& ex quadrato 5, in quo ſupereſt 1, ergo in nullo numero compoſito
ex
5 & 6, uel compoſitis ex 6, poterit produci numerus, qui diuiſus
per
6 relinquat 5, igitur neque talis numerus potérit componi ex duo­
bus
quadratis, in quib.
ſuperſit 5 & 1, quia nullus eſt, in quo ſuper­
ſit
5 facta diuiſione per 6. Ex quo colligitur una regula: quod ſi quis
dicat
multiplicaui 27 in ſe, et diuiſi per 13, uellem ſcire quid ſupereſt,
dico
quod ſine multiplicatione et diuiſione poteris hoc ſcire ex de­
monſtratione
dicta, diuide ergo 27 per 13, & relinquitur 1, duc in ſe
fit
1: dices ergo, quod ſupererit 1, & ita ſi ducerem 28 in ſe, & diuide­
rem
per 11, dico quod ſupererit 3, nam diuiſo 28 per 11, relinquitur
6
, duc in 6 fit 36, diuide per 11, relinquitur 3, ut dictum eſt, & tantum
relinquitur ducto 28 in ſe & fit 784, & diuiſo per 11. Reuertendo ergo
ad
propoſitum, pater quod ex duobus tantum numeris imparibus
quadratis
poteſt conflari ille numerus, quorum radices diuiſæ per 6
relinquunt
3. Sed de paribus uel ſupereſt 2 uel 4 uel nihil, ſed quadra­
tum
2 eſt 4, & quadratum 4 diuiſum per 6 etiam relinquit 4, ergo neque
ex
duobus numeris, in quibus ſuperſint 2, neque in quibus ſuperſint
4
, neque in quibus ſuperſint in uno 2, in altero 4 poterunt quadrata, in
quibus
ſemper ſupererit 4, & iuncta faciunt 8, in quod ̊ſupereſt 2, confla­
re
numerum dictum ſeu quæſitum, qui poſsit diuidi per 6: neque ex quad.
duo­
rum
numerorum, in quorum altero nihil ſuperſit in reliquo ſuperſit 2 uel
4
, quia in aggregato quadratorum ſemper ſupererit 4. Ergo relinqui­
tur
quod ille numerus componetur ex duobus quadratis, uel impa
ribus
, quorum latera diuiſa per 6 relinquunt 3, uel ex duobus pari­
bus
, quorum latera diuiſa per 6 nihil relinquant.
Oportet igitur
inuenire
duos tales numeros quadratos numerorum imparium, in
quibus
ſuperſit 3, ſi diuidantur per 6, aut parium in quibus nihil ſu­
perſit
, quorum aggregato diuiſo per 6 prodeat numerus quadratus'.
Per 4. ſecun
di
E lem.
His uiſis dico, quod conſtat radices talium numerorum opor­
tere
eſſe in imparibus per additionem 6 incipiendo à 3, ut ſint
3
. 9. 15. 21. 27. 33. 39. 45. 51. & ſic deinceps: in paribus au­
tem
per additionem eiuſdem 6 incipiendo à 6, uelut 6. 12.
18
. 24. 30. 36. 42. 48. 54. 60. Dico ergo quod diui­
ſo
numero illo compoſito per 6 in imparibus exibit numerus,
1qui diuiſus per 6 ſupererit 3, & in paribus qui poterit diuidi per 6.
Quia
componuntur ex huiuſmodi: uelut 3 in ſe facit 9, & 25 in ſe facit
225
, qui iuncti faciunt 234, diuiſo 235 per 6 exit 39, qui iterum diuiſus per 6
ſupereſt
3, & ſimiliter capio 6 & 12, quorum quadrata ſunt 36 & 144, &
aggregatum 180, qui diuiſus per 6 exit 30, qui iterum poteſt diuidi per
6
. Et hoc quia quilibet illorum poteſt diuidi per quadratum 6 in paribus,
ergo
aggregato diuiſo per 6 q̊d prodit, iterum poterit diuidi per 6.
Et
in imparibus quodlibet quadratorum exuperat ſupra ſenarios in 3,
igitur aggregatum diuiſum in 2 pariet numerum qui diuiſus per 3, exibit
numerus
impar compoſitus ex ſenarijs & 3. Illud ergo quadratum, q̊d
prodibit
, uel erit compoſitum ex ſenarijs, uel ſupererit 3. Sed cum 3 nume
ret
6, ergo tres quadrati numeri ſcilicet duo, qui componunt numerum,

& qui prodit per diuiſionem 6, erunt compoſiti inter ſe, ergo & radices il
lorum
.
Igitur radix numeri quadrati, qui prouenit diuiſo aggregato qua­
dratorum
per 6 eſt ex eodem ordine imparium, ſi impares numeri quadrati
fuerunt, aut parium ſi pares.
At hoc eſſe non poteſt, nam fracti illi numeri,
qui
erunt radices, non erunt minimi, ſed diuiſi per 3 oſtendent minores,
quod
eſt contra ſuppoſitum, quare nullo modo 6 poteſt diuidi in
duos
numeros quadratos, neque integros, neque fractos, quod erat
demonſtrandum
.
Habes igitur ex hoc demonſtrationem quando
non poſsit diuidi, & quando poſsit, quod poſsit, & quomodo ſimul.
Per 29. ſe­
ptimi
Elem.
Propoſitio centeſima quinquageſima ſexta.
Horologiorum tempus multiplicare.
Co^{m}.
Contingit quandoque q̊d horologiorum tem
176[Figure 176]
pus
breue eſt, uolumus aut maius efficere: id
duob
.
modis poſſumus, quorum unus diffici­
lior
eſt ſed perpetuus, & longè nobilior, nam
grauitas
ponderis uerſatilis efficit quidem tar­
diorem
, ſed difficilius mobilem, & ob id grauio­
re
pondere indigentem.
Sit ergo rota a b uerſati­
lis
, quæ certam menſuram exigit pro quacunque funis parte correſperon
dentis
uni denti ex centum, in quos diſtincta ſit, curriculum aut c d
quinque
dentium, per q̊drota ſexaginta dentes habens circumuoluatur in
conuerſione, igitur primę rotę uities circumferetur, ſecunda dentesque M. CC.
rurſus
ad hanc ſecundam tertia nectatur cum curriculo ſex dentium, atque in
ea
dentes ſeptuaginta duo, ut in una conuerſione ſint xiiij cccc, dentes
igitur tot dentes in una conuerſione primę rotę circumuoluentur.
Iam
uerò
tempus illud poterit duplicari ac triplicari iuxta tarditatem tem
poris
uerſatilis: quanto igitur ponderoſius fuerit illud tempus, tanto tar­
dius
mouebitur, pauciores que circumuolutiones neceſſarię erunt ad ex­
plendam
unam diem: id eſt horas 24, ſed hoc in commodi accedet, quòd
reuolutio
indicis tanto tardior erit, ut non iuſtè oſten dat horas:
1poſitum igitur eſt, ut pondera tardius ferantur, index aut, & quę ad
indicem
ſequuntur horarum demonſtrationes celerius aut eodem
modo
ferantur.
Ponamus ergo poſt<08> eadem eſt ratio celerioris &
æqué
uelocis, ponderis aut tardius deſcendentis, aut contrà tardio­
ris
, aut æqualiter circumducti in dicis, celerioris aut deſcenſus pon­
deris
, quod ad nullam utilitatem profuturum uideo.
Sit ergo ut pon
dus
uelim tardius deſcendere, rotam aut ęqualiter circumferri, dico
quod
ex tempore mobili ſeu uerſatili (& eſt ferrum, quod in ſum­
mo
horologij citra ultraque fertur tam in horologijs ponderum <08> mo
) id fieri non poteſt: nam quantum tardabitur rota tertia ſecunda
& prima, atque ob id deſcenſus ponderum, tantum remorabitur rota
prima
quæ indicem oſtendit, ergo tantum index tardabitur quan­
tum
pondera, & ut uno uerbo dicam, cùm eadem rota index circumfe­
ratur
, & pondus deſcendat, quantum unum tardatur tantum & aliud.
Secundus modus eſt, ut rota una totum tempus cum indice in ui
gintiquatuor
horis circumuoluatur, & currulis in quo funis minor
fiat
: neceſſe eſt igitur, ut circumuoluta rota aut ſemel aut bis, tur, qua­
ter
decies, & circumuoluatur pleno circuitu index, et ſine errore: quo­
niam
tempus & dentes menſuræ reſpondent: igitur ſub eiſdem cir­
cuitibus
numero eodemque tempore minus ex fune deſcendent in cur
ruli
paruo <08> magno: quare mutatione indiget currulis, aut ut funis
circumuoluens
rotam curriculum habeat annexum rotæ oſten denti
horas
, in qua pauciores ſint dentes: nam in eodem tempore, & cir­
cuitu
paucioribus uicibus circumuoluitur rota funis quæ grauita­
te
temporis, & multitudine dentium certam
177[Figure 177]
ſeruabit
menſuram.
Sed in hoc neceſſe eſt gra
uius
efficere pondus, aut leuius tempus quo­
niam
funis debilius circumuertit rotam: minus
tn tardè quod ſit pro paruitatis circuitus ratione.
Tertius modus facilior eſt, & magis com
pendioſus: Sit horologium a b c, in quo rota
d
quæ funem continet baſis horologij e f, cui
firmiter
ſint appenſę duę trochleę g & h, & fu
nis
una parte trochleę appenſus in k, ducatur
ad
inferiorem aliam trochleam l inſeraturque
ibi
orbiculo ſuo, & redeat à dextra ſuperius
inſeraturque orbiculo ſuperioris trochleę, dedu
caturque uerſus ſiniſtram: atque ibi deſcendens habe
at
pondus tractorium in m, deducaturque ſupra
ad
rotam horologij d, et circumuolutus exeat
ipſum
, & deſcendat ad trochlean, ſub que ea circumuolutus iterum aſcen
1dat à dextra parte, et circumuoluatur h cochleę rediens ad ſiniſtram
ibique
deſcendens connectatur trochleæ in inferiori in o, cuius imæ
parti
annectatur pondus remorans in imo annexum parte troch­
leæ
p.
Cum ergo trahitur n trochlea, trahitur funis adeò ut pon­
dus
m, tandem aſcendat cum trochlea l prope k: quia ergo in duo­
decim
horis pondus m deſcenderet per k l funem reuolutionibus
circa
d rotam dicamus uiginti, ergo ſi debet deſcendere à k ad l, per
funem
duplicatam k l cum ipſam neceſſe ſit obequitantem d reuo­
lutionibus
quadraginta circumuolui d, nam tota o h n d m g l k lon
maior eſt duplo k l, neceſſe eſt m deſcendere tardius quàm in du
plo
temporis, quo deſcenderet per rectum funem k l, quod erat de­
monſtrandum
.
Et hanc appendicem uidi apud Cæſarem Odonum
Apulum
medicum, uirum elegantem lepidique ingenij.
Memento
uerò
quod ubi orbiculi non cederent funi, uel quia duriores in cir
cumuolutione
, uel quia latius exciperent illum reduplicato fune
circa
illos omnin o circumducuntur, ſed difficilius ideò egent gra­
uiori
pondere.
Propoſitio centeſima quinquageſima ſeptima.
Horologiorum molarium rationem oſtendere.
Co^{m}.
Sunt horum duo genera primum, & anti
178[Figure 178]
quius
licet multo poſterius eo quod pon­
deribus
ducitur, quod funiculo ex inteſti­
nis
ouium ſeu fidibus liræ agitur.
Sit igitur
axis
f k erectus ſuper plano, cui per longum
coniuncta
mola multiplicis ſpiræ in fine, cu
ius
c annectatur ferreo circulo, qui habeatur loco capſulæ b c, quæ
circumuolui
poſsit: huic circunductus funis d e multipliciter in pun
cto
g, ſit autem e h in modum pyramidis ſenſim in acutum, ſed non
ualde
per ſpiram exculptam deſinentis, cui rota in uertice inſerta den
ſiculo
, & uertatur h e, colligens funiculum tractum in ſpira uerſus
apicem
: unde funiculus circumuoluet b g d, capſulam uerſus c, trahet
ergo
molam, & conſtringet uiolenter quantum fert longitudo funis
quæ
circumuolui poteſt a b e ad h: & cum trahitur in d eremittitur,
non
poteſt mola ſtatim retrahere reluctantibus denticulis h l rotæ,
& alijs quæ implicantur curriculo m, a igitur mola conſtructa uio­
lenter
mouet b g d, capſulam motu contrario à c in d & in g & in b,
quare
funis d e trahitur, & trahit e h illum circumuoluendo contra­
rio
motu priori, is mouet denticulo rotam h l, illa per curriculum in
aliam
rotam, & ſic deinceps donec tempus moueatur, & rota indicis.
Hic adeſt capſula, & quod circumuertitur à claue non eſt axis molę
ſed
extra molam, ſcilicet e h.
Et quoniam hac ratione quanto mola a
1magis explicabitur, tanto lentius trahet, & uertet e h, ideò hoc ex ſtru
ctura
auxilium præſtatur, ut funis in inferiore parte complexus latio­
res
orbes, & è regione tanto uehementius uertat e h: & ita uis quæ
remittitur
ob molæ laxitatem, augetur tantundem ob ſitum & ma­
gnitudinem
ſpirarum ut diſtantiorum ſua extremitate ab hypomo
chlio
, quod eſt axis coni e h, ſeu inſtar axis.
Alterum genus horologiorum cum mola ſine fune loco capſulę
habet
rotam plano ſub ſtratam, plenam denticulis axis, quo circum­
agitur
uiolenter, non eſt extra molam, ſed ei annexa eſt mola intus,
exterius
aut rotę; ergo circumducto axe molę uim patitur circulus
exterior
, ſed non mouetur, quoniam clauo impeditur.
Vbi mola quan­
tum
decet conſtricta eſt ſublato clauo ſtatim ſecum trahit rotam, &
illa
curriculum rotas que alias, & tempus agitur, & index uertitur.
Sed
in
hoc idem eſt in commodum ſine remedio
179[Figure 179]
quod
fuit in priore.
Vbi enim cœperit laxa­
ri
mola tanto tardius progrediuntur rotæ
atque
index.
Veluti axis a b cui ſecun dum lon
gitudinem
molæ caput interius annexum
eſt
altero circulo rotæ in c d curriculum rotæ e, implexum rotæ f
clauus
rotam retinens, donec circumducto a b mola conſtringa­
tur
, & latus eius trahat rotam ex c.
Inde ſublato clauo circulus, ſeu
rota
trahitur ex c in g, & in famola, quæ etiam ſecundum eandem
partem
circumuoluta eſt: igitur d circumagetur à rota & reliqua.
Sed ut dixi conſtructio hæc non ſatisfacit.
Aliam ergo oportuit excogitare quę huiuſmodi eſt. Sub axe a b,
qui
circumuertitur ad molam contrahendam rotam, collocant par
uam
quæ eſt, ut ita dicam, pars axis ima cui inſeruntur dentes in am
bitu
ea ratione, ut dum mola tenditur, premant denticulos interio­
res
, atque ita elabitur, totiesque circumducitur manente g f, donec
colligatur
mola, quæ non ut in priore reliquo extremo ulli rotæ
affixa
eſt, ſed columnæ in continenti
opercula
horologij.
Cum ergo mola
tenta
retrahat axem a b contrario mo­
180[Figure 180]
tu
, & ille rotam mobilem, quæ cum
non
poſsit regredi propter auerſos
dentes
, mouet rotam f g contrario mo
tu
, quæ circumacta per denticulos ſu­
os
curriculum agit, & reliqua omnia
neceſſaria
.
Cur autem cum laxatur mo
la
, & uertit lentius c e rotam coniun­
ctam
, ideoque g f, & reliqua omnia non tardetur tempus, &
1lutio indicis cauſa eſt alia longè quàm in priore, nam mola longior
fit
craſsior, & durior adeoque robuſta, & rotæ leues, ac tempus dum
laxata
fuerit munus ſuum iuſto in tempore obeant: quare neceſſe
eſt
, ut ab initio uehementius agat, & celerius rotam cum axe qui tra
hitur
à mola.
Ergo excogitarunt aliud genus retinaculi forma co­
chleæ
quod ab initio moratur uehementer axem ne circumagatur, et
quanto
magis mola explicatur eo minus retinet impetum illius, adeo
ut
uehementer retineat uehementem concitationem mediocriter
moderatam
, ſegniter lentam, nullo modo iuſtam: ita fit, ut ſemper
fermè
æqualiter moueatur.
Difficile eſt tamen ad unguem ſeruare
moderationem
, & æqualitatem, & magis etiam in his horologijs,
quæ
uno circuitu molæ tempus longius exigunt: at difficilius etiam
efficere
molam, quæ longo tempore duret, cum intenta ualde cele­
rius
moueat rotas, & ob id breui abſoluat circuitum, mollior au­
tem
citò remittatur.
Et ob id longior & non adeò
dura
melior eſt.
Ratio autem cochleæ ita ſe habet.
181[Figure 181]
Circa
axem molæ d deducitur cochlea a b c, quæ
dum
laxatur mola cochlea mouetur ex b in c, atque
ita pariter laxatur uis cochleæ retinentis axem.
Propoſitio centeſima quinquageſima octaua.
Rationem indicis mobilis cum rota horarum numerus per ictus
indicatur
explicare.
Co_{m}.
Hoc fieri poteſt in ſingulo genere horologij trium deſcriptorum.
Propterea ſufficiat de uno oſtendiſſe. Sed & in ſingulo genere ſunt
multi
modi, unius tamen reddidiſſe rationem ſufficiat.
Hoc aut qua­
tuor
habet difficultates: prima ut horarum ictus conueniant cum
indice
: ſecunda ut conuerſo indice conuertatur, & rota ictuum: ter
tia
ut ictuum numerus cum numero indicis conueniat.
Vnde mul­
ta
ſunt horologia, in quibus ictus unus ſolum auditur ſingulis ho­
ris
, atque hic modus facilis eſt: quarta cur in horum pleriſ que ſi non
pulſata
ſtatim hora transferatur index, non ceſſat pulſatio: imò nec
retineri
poteſt, donec pondus illud deſcenderit.
Ergo primi & ter­
tij
ratio hæc habeatur, cum rota quę indicis rotam circumagit, per­
uenerit
ad horæ finem, denticulo ſoluit aliam, eleuans obicem, illa
mouetur
à pondere proprio alio, ſcilicet ab illo quod tempus agit:
aut
ſi ſit horologium molæ à mola alia propria, quæ malleos cir­
cumacta
perpetuò mouet, atque motura eſſet ſemper, donec pondus
ad
terram deſcenderet: uerum dum mouetur deſcendit ferrum pro
quouis
ictu quod in rotæ limbum incidit, & donec inciderit in eam
partem
quæ lenis eſt dilabitur, nec retinetur, & ita eleuatur rurſus,
1at uero cum in concauam partem incidit retineri neceſſe eſt: atque ita
pondus
non amplius deſcendit, rota ſiſtitur, malleus manet immo­
bilis
: ſpatia ergo quæ ſunt inter cauitates ſunt ſecundum magnitu­
dinem
proportionis numerórum horarum, uel ad ſex, uel ad duode­
cim
, uel ad uiginti ­
182[Figure 182]
quatuor terminan­
tium
.
Ita quod, gra­
tia
exempli, ſit iam
in
cauitate a duode­
cimę
horæ uncus, di
uidam
circulum to­
tum
in duas partes
æquales
, quia in ſin
gulis
medietatibus
propoſitum
eſt, duo
decim
facere cauita­
tes
pro unco retinen­
do
.
Et quia in una­
quaque
medietate
portet
, ut pulſent ho
lxxviij, & præterea ſint ibi ſex ſpatia cauitatum, quarum ſingulæ
contineant
, gratia exempli, duo ſpatia unius ictus, ut certius retinea
tur
uncus, erunt igitur ſpatia omnia nonaginta: diuidemus ergo me­
dietatem
circuli utranque in nonaginta partes æquales incipiendo
ab
a, & dabimus b primæ horę quod ſpatium eſt unius tantum par
tis
ex nonaginta, poſt deſcribemus c cauitatem duarum partium,
ita
ubi ictum unum dederit uncus, retinebitur in c, pòſt accipiemus
duo
ſpatia, & ſint ſignificata d litera, poſt quę faciemus cauitatem e:
& ita uncus bis cadet in d, & pulſabunt duo ictus, & pòſt retinebi­
tur
uncus in e.
Et poſt accipiam ſpatium trium partium, quod ſit f,
& poſt deſcribam cauitatem g duarum partium, atque ita procedam
uſque
ad duodecim.
Ex quo manifeſtum eſt pondus quod agit rotam uolæ non de­

ſcendere
, niſi dum horæ pulſant, ſecus quieſcere.
Cor^{m}. 1.
Secundum, quòd deſcendit illud pondus plus & minus, iuxta

proportionem
numeri horarum, ita quod quando pulſabit una ho
ra
parum ualde deſcendet, cum ſex horæ ſexcuplo magis, cum duo­
decim
adhuc longè magis, id eſt duplo plus quàm cum pulſant
ſex
horæ.
Cor^{m}. 2.
Secunda conſtructio hanc habet rationem: Cum n rota indicis
coniuncta
fuerit rotæ, quæ transfert malleum, neceſſe eſt ut unà
1rantur: qui nimò illud magis mirum de quo illi non mirantur quia
frequens
eſt, ſcilicet cur aut quomodo ſi diuiſæ ſunt ut cirçunducto
indice
non transferatur rota mallei, pondere tamen uerſata rota in­
dicis
in idem incidat, ut horæ quæ pulſu declarantur ad unguem
& in eiſdem ſectionibus conueniant cum horis quas index oſtendit.
Verum quia multis modis contingit ordinem horologiorum
peruerti
: in ſimilibus quidem ſi hora indicis ſimul & pulſus unà
circumferuntur
, ſed tardius ambo index traducitur ad locum debi­
tum
, inde ponderi aliquid additur.
Si uerò antè proceſſerit quam.
Sol in dicet ablato pondere, ſines tempus fluere uſque ad indicis lo­
cum
ſine motu horologij, pondus quoque ipſum minues.
At ſi pon­
dus
pulſus in terram deuenerit uel propè, expecta donec ſuper li­
nea
index fuerit, inde trahe, neque.
n. excurret: nam ſi dum index eſt in
medio
horæ aut propè, traxeris pondus pulſus, non deſinet deſcen
dere
, pulſabuntqúe horæ donec ad terram pondus deuenerit,
quòd
ſi iam in errorem incideris pulſentque horę & deſcendat, pon­
dus
, ſenſim deducito indicem, cum.
n. ad finem horę peruenerit ini­
tiumque
ſequentis, quoniam ferrum in interuallum deuenerit rota &
pondus
firmabitur.
Inde ſublato pondere donec Sol ad horam quam
index
monſtrat peruenerit, reddes pondus horologio.
Si ergo ho­
ram
pulſu eandem declarat quam index, bene eſt, ſi non, paululum uir­
gulam
eleua quę eſt iuxta fores horologij pulſabitque ſequens hora, id
uero
toties repetes immoto in dies & ſublato, ſi uereris ne extra in­
teruallum
ferrum feratur, & ob id excurrat rota pulſus horarum, donec
hora
pulſet quæ cum indice conuenit, ſtatimque pondus quo horæ
pulſant
ſurſum retrahes.
His quinque regulis uſum diſces ſimilium
horologiorum
, unumquodque autem proprias habet: ſed duæ pri­
omni horologiæ ſatisfaciunt.
Quòd ſi non ſatisfaciunt iam
horologium
laborat: tum uerò illud diſſoluere oportet & deterge­
re
& inungere, iuuat autem uel capſula uel linteo perpetuo pul­
uerem
ab illo arcere.
Quòd ſi nec ſic reſtituitur neceſſe eſt diſſol­
uere
& antea conſiderare impedimentum, pòſt denticulum qui la­
borat
, plerunque.
n. aliquem inuenies huius modi, quem lima aut alia
ratione
reſtitues, ſemper autém hi fermè reſtituuntur: at qui mola
aguntur
præter rotarum & axium & indicum labores, molæ etiam
inæqualitati
& defectibus ſubiciuntur, qui ſi nimis uelo citer agunt
rotas
cum difficultate reſtituuntur moderationi, ſi lentius rarò uel
nunquam
emendantur, uix etiam noua inducta mola.
Propoſitio centeſima quinquageſima nona.
Nullus angulus rectilineus æqualis eſſe poteſt alicui angulo con
tento
recta & circuli portione.
1
Sit angulus a & circulus b c, dico non poſſe aliquem angulum

contentum
recta & circuli portione eſſe illi
183[Figure 183]
æqualem
.
ſi enim eſſe poſsit, ſit c b e. duca­
tur
recta b d faciens rectilineum d b c ęqua

lem
a, erit igitur d b c ęqualis e b c per com­
munem
animi ſententiam, ſeu ergo b d ca­
dat
intra circulum ſeu extra, erit pars ęqua­
lis
toti quod eſſe non poteſt.
Sed neque po­
teſt
cadere recta ſuper b e.
nam id eſt contra demonſtrata ab Eucli­

de
.
At ſi ſit angulus c b e exterior ſimiliter producta b d, ſeu intus,
ſeu
extrà cadat, pars erit æqualis toti quod eſſe non poteſt.
Co_{m}.
Per 23. pri
mi
Elem.
23. Elem.
Ex hoc patet quod nullus angulus peripheria circuli & recta con­

tentus
poteſt eſſe æqualis recto, quia rectus etiam rectilineus eſt.
Cor^{m}. 1.
Et rurſus nullus angulus peripheria &

184[Figure 184]
recta
contentus à recta linea per æqualia
diuidi
poteſt, patet quia una pars eſſet an­
gulus
rectilineus, alia contentus recta & pe
ripheria
: iſti autem non poſſunt eſſe æquales,
quare
nec prior potuit per æqualia diuidi.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc etiam patet quod ſpatium con­

tentum à peripheria circuli nulli angulo rectilineo ęquale eſſe poteſt.
nam dimidium eſſet æquale dimidio, quod eſt contra demonſtrata.
Cor^{m}. 3.
LEMMA PRIMVM.
Inter duos circulos qui ſe diuidant infinitæ lineæ duci poſſunt.
Inter circulos autem qui ſe tangant, recta linea duci non poteſt.
Co^{m}.
Sint duo circuli a b & a c, qui ſe diuidant

in
a, & ducatur ex centro inferioris d a &
185[Figure 185]
a
d, & ad d a cathetus a e, dico quòd a e di­
uidet
angulum b a c ducatur ex centro ſu­

perioris
a c b quod ſit f, fa cui cathetus a g,
quia
ergo e a cadit infra a g, & inter a g &

a
b non poteſt duci recta, igitur e a cadit in­
186[Figure 186]
tra
a c b circulum.
Rurſus tangant ſe circuli
c
d & c e, & ducatur a b per centra eorum quę
applicabit
ad c, ex c ducatur cathetus c f &
quoniam c f contangit circulum c e, l igitur, du­
cta
quauis linea infra c f, cadet intra circulum
c
e.
Non ergo poterit cadere inter c d & c e.
Per 11. pri
mi
Elem.
Per 15. ter
tij
Elem.
Per 11. ter­
tij
Element.
LEMMA SECVNDVM.
Dato angulo contento duabus peripherijs æqualium circulorum
ſe
ſecantium æqualem rectilineum illi fabricare.
1
Sit angulus a b c duabus peripherijs æqualium circulorum con

tentus
, uolo ei æqualem rectilineum fabricare, ducantur b d & b e

æquales
, ut pote facto b centro eritque angulus d b a æqualis angu­
lo
e b c, addito utrique communi d b e ex peri
187[Figure 187]
pheria
& recta, fiet angulus d b e ex rectis
æqualis
a b c ex peripherijs, quod crat de­
monſtrandum
.
Co^{m}.
Per modum
8
. primi El.
Ex hoc patet quod reliqua duo ſpatia

non
poſſunt eſſe æqualia rectilineo.
Nam
ſpatium
b a c demonſtratum eſt æquale eſ­
ſe
rectilineo, & b ad non eſt æquale rectili­
neo
, igitur ſpatium c a d non poteſt eſſe æquale
angulo
rectilineo, nam ſi ſic ſit b a c ęquale
f
g h & c a d h g k, igitur totum, b a d erit ęquale

toti
f g k quod eſt contra ſuppoſitum, ideò neque
b
a e quia b a c & d a e ſunt æqualia rectilineis
per
ſe, & etiam pariter accepta.
Totum aunt ſpatium a eſt ęquale quatuor, re­
ctis
ergo reſiduum, ſcilicet ſpatia c a d & b a c pariter accepta ſunt ęqua­
lia
rectilineis ſpatijs, ſed ſpatium e a d non eſt æquale rectilineo, ergo per
demonſtrata
hic, nec b a e, nam ſi ſit, ſit ergo b a e æquale h g k & quia
ambo
ſpatia b a e & c a d ſunt æqualia rectilineo ex demonſtratis, ſit
ergo
æqualia f g k, erit ergo ex communi animi ſententia ſpatium f
g
h æquale ſpatio c a d, quod eſt contra primam partem corrolarij.
Cor^{m}. 4.
Per 3. Cor^{m}.
præſentis.
LEMMA TERTIVM.
Per 11. pri
mi
Element.
Inter duas rectas lineas ſe tangentes circuli dati peripheriam

ducere
.
Sit circulus datus a b rectilineus
188[Figure 188]
angulus
c d e, uolo illum diuidere circuli
periferia data b f, duco perpendicularem
d
g ex, d ſuper d c, & facio g d æqualem a b

& duco circulum per d qui ſit d h qui cadet
infra
d c & ob id etiam ſupra d e, igitur di­
uidet
angulum c d e, quare cum circulus d h ſit æqualis circulo b f

patet
propoſitum.
Per 3. eiuſdem
Per 15. ter
tij
Elem.
Cor^{m}. 6.
Ex hoc patet quod infinitis modis poteſt diuidi angulus c d e

peripheria
b f, nam diuiſo per rectam c d e linea d k per ęqualia & di

uiſo
k d e per præſentem peripheria b f, patet propoſitum quoniam
angulus
c d e poteſtin infinitum recta diuidi, & ita ſemper per peri­
pheriam
, unde patet propoſitum.
Per 1. diff.
tertij eiuſdem.
Per 9. primi
E
lem.
SCHOLIVM.
Atque hæc omnia ſequuntur de mente Euclidis, quæ tamen ui­
dentur
difficillima creditu, quoniam anguli rectilinei, et ex periphe
1ria & recta ſunt ex genere quantitatis continuæ, & quòd detur ma­
ius
& minus & nunquam detur ęquale, uidetur abſurdum ne dum
admirabile
.
Et maximè quod etiam anguli ex peripheria & recta
ſunt
diuerſorum generum inter ſe & infinitorum.
Pręterea iſtud re­
pugnare
uidetur ipſimet Euclidi, dicenti duabus magnitudinibus


propoſitis
inæqualibus, ſi de maiore earum plus dimidio detraha­
tur
, atque iterum de reſiduo maius dimidio, & rurſus de eo quod re­
linquitur
plus dimidio, neceſſe erit ut tandem minor minore quan­
titas
relinquatur.
Neque illud argumentum uidetur concludere an­
gulus
contactus, ex recta, & circuli circumferentia non poteſt recta
diuidi
, & rectilineus poteſt diuidi, ergo rectilineus ſemper eſt ma­
ior
angulo contactus, quia hoc contingit in angulo contactus pro
pter
modum anguli, non paruitatem: ſicut etiam non ualet de figu­
189[Figure 189]
ra
a lunari, & quadrangulo b.
nam poteſt b diuidi
ab
angulo ad angulum recta & a non poteſt, &
tamen
a maius eſt quam b, cum contineat ipſam.
Proponantur ergo duo circuli a d e & a f g qui ſe contingant in a, &
eorum
centra ſint b & c & ducantur rectæ a f d & a g e & conſtat
qui
portiones a d & a f ſimiles ſunt,
190[Figure 190]
itemque
a e & a g, ducta enim a b c

per
centra circulorum ex contactu
tranſibit
per illa: quare anguli h a g
& h a e ſunt ijdem & ſimiliter h a f
& h a d ijdem, portiones ergo af &
a
d itemque a g & a e ſimiles ſunt: an­
gulus
igitur g a e ex peripherijs &

e
a d ex rectis ſunt ijdem in puncto
a
: ſed quod ad baſsim maior eſt ba­
ſis
g e quam e d: hoc enim ſuppono
quod
per ſe eſt manifeſtum toties
diuidendo arcum d e ut fiat minor recta g e.
Quia ergo ſunt duę ma­
gnitudines
, quarum ter mini ſunt ijdem ex una parte, ſcilicet pun­
ctum
a, ex alia autem unus eſt maior altero, ſcilicet g e quam e f &

a
d e peripheria eſt maior recta a g e.
Ergo per regulam dialecti­
cam
ſi ſub eadem proportione procederent, maius eſſet ſpatium
ſemper
inter peripherias quàm rectas.
igitur angulus peripheria­
rum
eſt maior angulo à rectis contento.
Cum angulus non ſit
niſi
quidam habitus propinquitatis linearum, ſed angulus con­
tactus
ex recta & peripheria maior eſt contento ex peripherijs cum
habeat
rationem totius ad partem, igitur angulus contactus eſt
maior
dato angulo rectilineo.
1
1. Propoſ.
10. Elem.
Per 11. ter
tij
Element.
Ex 10. diff.
tertij Elem.
Per 1. deci­
mi
Elem.
Propoſitio centeſima ſexageſima.
Propoſita linea tribus que in ea ſignis punctum inuenire, ex que
ductæ
tres lineæ ad ſigna ſint in proportionibus datis.
Co^{m}.
Sit data linea a b c in qua puncta dicta & datæ tres lineę d e f, uo­
lo
inuenire punctum, puta g ex quo ductæ tres
lineæ
ad a b c puncta ſint in proportione a g ad

g
b, ut d ad e & g b ad g c, ut e ad f.
Per pręceden
191[Figure 191]
tia
inuenio circulum ex cuius peripheria omni­
bus
ex punctis ductæ lineæ ad a b ſint in pro­
portione
d ad e, & per idem circulum ex cuius
peripheria
quælibet lineæ ductæ ad b c puncta
ſint
in proportione c ad f, ſi igitur iſti duo circu­
li
ſe ſecabunt in aliquo puncto puta g: liquet
quod
lineæ ductæ ex g ad a b c, erunt in propor
tione
d e f.
Per 154.
Cor^{m}_{m}.
Ex quo liquet quod ſi uoluero ducere ad tria puncta data, tres
lineas
in continua proportione data d ad e, ſubijciam tertiam uel in
terponam
, ſi uoluero mediam.
Et ſi uellem, ut eſſet a g ad g b dupli­
cata
ei quæ eſt g b ad b c, & uellem quòd proportio d ad a d f data
eſſet
, oporteret inuenire duas medias proportione inter d & f, in de
operari
cum una earum per modum propoſitum.
Differt corrola­
rium
hoc à propoſitione in hoc, quod in propoſitione non quæri­
mus
niſi proportionem g a ad g b & g b ad b c, non g a ad g c, neque
comparationem
proportionum: at in corrolario quærimus tres
proportiones
g a g b & g c, & comparationem proportionum in­
ter
ſe, ſcilicet æqualitatem.
Propoſitio centeſima ſexageſima prima.
Si fuerint duo trianguli quorum baſes in eadem linea ſint con­
ſtituti
& æquales & ad unum punctum terminati, & latus unum
commune
inter reliqua quantita­
192[Figure 192]
te
medium, neceſſe eſt angulum à
maioribus
lineis contentum mi­
norem
eſſe.
Sint duo trianguli a b c, a c d,

quales
proponuntur, & ſit a d ma­

ior
a b dico angulum d a c eſſe mi­
norem
.
Si non fiat angulus d a c æ­
qualis
ex alia parte, & oportet ſi non ſit minor ut uel cadat a d ſu­

per
a b & ducta a d ad ęqualitatem cadet infra b, ducta ergo d c erit
trigonus
a d c maior a b c, quod eſſe non poteſt cum ſint æquales.
1Si autem a d cadat extra a b ducatur d e: quæ ſi cadat ſupra b c uel
infra
, cum totum ſit maius parte erit a d e, ut prius maior a b c quod

eſt
contra Euclidem.
Reliquum eſt ut d c cadat ſupra b c: hoc au­

tem
eſſe non poteſt, nam cum ſuppoſuerimus a b eſſe minorem a c
erit
angulus a c b minor angulo a b c, quare a c b eſt minor recto, &

ideò
a c d maior recto, at a c d æqualis eſt a c d, alteri igitur a c d eſt

maior
recto a c b minor, erit ergo pars maior toto.
Co^{m}.
Per 23. pri
mi
Element.
Per 38. pri
mi
Elem.
Per 18. pri
mi
Elem.
Per 23. eiuſ
dem
.
Per 13. eiuſ
dem
.
Per 4. eiuſ­
dem
.
LEMMA.
His demonſtratis quis dicere poſſet ex ſuperius expoſitis quod

angulus
rectilineus ſemper eſſet maior angulo contactus?
quia an­
gulus
contactus non poteſt diuidi niſi obliqua linea, recti lineus
autem
tam obliqua quam recta.
Propter hoc exponantur circuli
193[Figure 193]
tres
ſe tangentes a b, a c, a d hac rati­
one
ut a b, b c, c d ſint æquales, erunt

enim
centra omnia in linea conta­
ctus
, & ducatur a e f g recta quomo

dolibet
: & erunt ductis lineis b c,

c
f, d g anguli e f g recti, quare om­
nes
trigoni a b e, a c f, a d g, ſimiles

& ideo a e, e f, f g æquales, atque por­
tiones
a g, a f, a e, iuxta proportio­
nem
circulorum, quare a g, erit ſex­
quialtera
a f & a f dupla a e, igitur

per
præcedentem maior erit angu­
lus
e a f, quam f a g, & a d a ex recta

& peripheria quam e a f, igitur augendo eadem ratione cum perue­
niamus
ad angulum b a g qui fermè eſt recto æqualis cum deficiat
ſolo
angulo contactus, liquet angulum e a g eſſe longè maiorem
multis
rectilineis.
Iſtud poſſet etiam demonſtrari uia Archimedis
diuidendo
arcus g a in h & f a in k bifariam ducendo que lineas re­
ctas
g h & fk & ita diuidendo h a in 1, & k a in m bifariam, & ducen­
do
rectas atque ita ſemper appropinquando puncto a.
Concludo er­
go
quod angulus contactus ex recta & peripheria eſt maior multis
rectilineis
.
Cauſa autem erroris eſt quod multi exiſtimarunt corro­
larium
illud eſſe Euclidis cum non ſit.
Nam Euclidi ſufficit hoc
quòd
angulus contactus non poſsit recta diuidi, nam eo utitur poſt
modum in demonſtrationibus.
Eo uerò quod ſit minor omnibus re­
ctilineis
angulis non utitur, ideò etiam ſi uerum fuiſſet non addidiſſet:
quanto
minus: cum uerum non ſit, ideò fuit adiectum ab aliquo qui
idem fore credidit non poſſe diuidi recta linea & eſſe minus quocunque
quod recta linea diuidi poſſet, quod apertè ut dixi falſum eſt.
1
Lemmate 3.
P
rop. 159.
Per 11. ter
tij
Elem.
Per 31. ter
tij
Element.
Per 32. pri­
mi
Elem.
Per 4. ſexti
E
lem.
Per 10. diff
tertij
Elem.
Per præce­
dentem
.
SCHOLIVM.
Ratio autem quòd omnis angulus contactus indiuiduus ſit, ſeu
duorum
circulorum, ſeu circuli cum recta eſt, quoniam cum fuerint
duæ
rationes contrariæ, & una perpetuò minuitur, alia manet ne­
ceſſe
eſt, ut tandem, quæ minuitur, ſuperetur ab ea quæ manet: cum
ergo
circuli curuitas maneat, & angulus tendat in punctum perpe­
tua
diminutione neceſſe eſt, ut curuitas circuli impediat diuiſio­
nem
rectè: ſed hoc habet duplicem obicem.
Primum, quia nullus
angulus
ex circumferentia & recta poſſet diuidi: hoc autem falſum
eſt
manifeſtè, cum ſolus ille qui fit ex contactu lineæ, quæ non di­
uidit
circulum, diuidi non poſsit.
Secundò, quod angulus conta­
ctus
duorum circulorum ſe exterius tangentium multo minus
poſſet
diuidi angulo contactus interioris duorum circulorum,
quod
tamen falſum eſt: & hoc animaduertit Campanus noſter, uir
acutus
.
Dico ergo quòd in his qui ſe tangunt exterius, non fit diui­
ſio
niſi ſemel: & quamuis inclinentur mutuò, tamen in concurſu
non
aptantur, ut cum obuiat rectæ aut cauæ parti circuli quia ne­
ceſſe
eſt, ut accedat, in alio autem diſcedat: indicio eſt quod circu­
los
ſe exterius tangentes, in puncto facilè deſcribes, interius uix fie­
ri
poteſt, ſed uidentur coniuncti
194[Figure 194]
per
longum interuallum.
Ad aliud
dico
, quòd ille angulus ex recta &
peripheria
conuexa circuli propter
diſceſſum
ſeruat maiorem inclina­
tionem
in quocunque puncto, quàm
ſit
acceſſus conuexæ partis exterio­
ris
circuli.
Propoſitio centeſima ſexageſima
ſecunda
.
Proportionem duorum orbium
quorum
diametrorum conuexæ par
tis
, & concauæ proportiones datæ
ſint
, inueſtigare.
Sint duo orbes a b c d & e f g h,

& ſit proportio a d ad b c, data & e
h
ad f g, data & rurſus a d ad e h, di­
co
orbis proportionem a b c d ad
orbem e f g h eſſe datam.
Quia. n. propor
tio
a d ſphærę ad b c eſt ueluti ad di
metientis
ad b c dimetientem triplicata, ideò cum nota ſit a d ad b c di

metientium, erit nota etiam a d ſphæræ ad b c ſphęram.
quare orbis ad ad
ſphęram b c. nota eſt etiam proportio b c dimetientis ad a d & ad a d e h &
1e h ad f g, igitur b c proportio dimetientis ad f g dimetientem nota.

Quare
ſphæræ b c ad f g ſphæram.
at nota eſt proportio f g ad e h
dimetientium
igitur & ſphærarum: igitur nota eſt f g ſphæræ ad or
bem
e h, igitur cum nota ſit proportio orbis ad a d ſphæram b c, &
b
c ſphæræ ad f g ſphæram, & f g ſphæræ ad orbem e h, erit propor
tio
orbis a d ad orbem e h nota, quod eſt propoſitum.
Co^{m}.
Per 18. duo
decimi
Elem.
Per 22.
quinti Elem.
& Alizam.
Propoſitio centeſima ſexageſima tertia.
Proportionem uirium ſtellarum per motus ſuos indagare.
Mouentur ſtellæ omnes ab Oriente in Occidentem die una, qui

motus
fit à prima mente, quæ mouet: ideò quod ad hoc attinet non
eſt
diuerſitas: uerùm in motibus ab Occidente in Orientem cum ſint
proprij
, oportet conſiderare tempus, in quo circumuertuntur, & ma
gnitudinem
ambitus, & inde magnitudinem orbis, qui circumagi­
tur
, & horum trium facta comparatione dignoſcitur robur uirium
ſtellarum
& uitarum quæ mouent eas.
Ponatur ergo, ut uelim pro­
portionem
uitę Saturni ad uitam Lunæ: erit ergo (ut docet Alphra

ganus
) Luna, cum eſt in longitudine propiore, altitudinem habens
109000
M.P. & cum eſt in longitudine longiore 208500, tota igitur
dimetiens
417000 M.P. mane 218000 M.P.
Igitur proportio ſolida­
rum
ſphærarum eſt uelut 72511713 ad 10360232, remanebit ergo
proportio
orbis ad ſphæram elementorum, ut 62151481 ad
10360232
, & eſt ſexcuplum fermè.
Rurſus proportio dimetientis al­
titudinis
Saturni ad contentum eſt uelut 2011 ad 1440, & eſt propè
201
ad 114, quare 67 ad 38, quare ſphærarum ut 300000 ad 55000
ferme
.
Igitur ferè ut 60 ad 11. Rurſus proportio dimetientis ſphæ­
Saturni ad dimetientem ſphæræ Lunæ eſt propè 313, & ſphæra­
rum
ſolidarum 306 317 10. Perinde eſt.
Quia ergo proportio ſphæ­
Saturni ad ſphæram Lunæ eſt 30631710, & orbis Lunæ eſt 5/6
ſolum
ſphæræ ſuæ diuidemus 30631710 per 5/6, & exibit proportio
ſphæræ
Saturni ad orbem Lunæ 36758052, at quia proportio ſo­
lidæ
ſphæræ Saturni ad contentum eſt ut 60 ad 11, erit ſphæræ ad
orbem
, ut 60 ad 49 reſiduum, diuidam ergo 36758052 per 60, exe­
unt
612634, & ducam per 49, id eſt per 100, fit 61263400, & diuiden
do
per 2, exit 30631700, detraho 612634, relinquitur proportio or­
bis
Saturni ad orbem Lunæ 30019066.
Co^{m}.
Diff. 21.
Iam uerò circuitus Saturni ad circulum Lunæ, proportio eſt 313,
ut
uiſum eſt, Lunæ autem tempus per ſex ductum eſt 164 dies, Sa­
turni
177 anni propemodum, qui ſunt dies 64649 diuide, duc
ergo
313 in 164, fiunt 51332. Idem ergo peragrat Luna in
51332
diebus, quod Saturnus in 64649, & eſt quo ad hoc
1lior, ut ita dicam, quarta parte: at Saturnus, ut dictum eſt, mouet or­
bem
30019066, ſed lentiùs quinta parte, detrahe illam fiet robur Sa
turni
in comparatione ad Lunam 24015253.
Eſt tamen Luna multo agilior ob propinquitatem, & ob uarie­
tatem
luminis, & magnitudinem ſuperficiei.
Et etiam quod maius
eſt
ob id quod defert ad nos uires omnium ſyderum, nihilominus
quo
ad uires uix eſt comparatio.
SCHOLIVM.
46
Multum autem differt hæc propoſitio à ſuperiore, nam in illa
quæſiuimus
uim uitarum ex proportione ad ſua corpora, quæ
quodammodo
eſt quodammodo, non hic autem exponimus uim
uitarum
ex earum operatione.
Propterea ſubijciemus breuiter alti­
tudinem
proportiones in minore longitudine & maiori
Luna in minore altitudine 51 in maiore 64 Mercurij in minore 64 in maiore 167 Veneris in minore 167 in maiore 1120 Solis in minore 1120 in maiore 1220 Martis in minore 1220 in maiore 8876 Iouis in minore 8876 in maiore 14405 Saturni in minore 14405 in maiore 20110
Stellarum fixarum propior 20110 longior non habetur. Et
menſuræ
ſunt in comparatione ad ſemidiametrum terræ.
Et iuxta
id
quod potuit ſecundum rationem haberi: nam demonſtratio ſola
eſt
de altitudinibus Solis & Lunæ, & eorum magnitudinibus à

Ptolemæo
in magna compoſitione.
Lib. 5. cap.
14
. 15. &
16
.
Propoſitio centeſima ſexageſima quarta.
Syderum proportionem in magnitudine oſtendere.
Luna ad terram comparata 1/39 Mercurij corpus 1/22000 Veneris 1/29 Solis corpus 166 Martis 15/8 Iouis 95 Saturni 91
Stellarum autem fixarum inſignium unaquæque etiam minima, ſi

credendum
eſt Alphragano, eſt centies maior tota terra, unde ca­
nem
neceſſe eſt centies mille maiorem eſſe, eſt enim in eadem altitu
dine
, & dimetiens decuplus dimetienti ſtellarum ſecundæ magni­
tudinis
, quas ille inſignes uocat: aliter Saturnus non tantus eſſe
poſſet
, cum ſit minimus aſpectu.
1
Diff. 22.
Propoſitio centeſima ſexageſima quinta.
Propoſitionem motuum omnium ſtellarum ad ſolem conſiderare.
Videtur Sol quaſi Rex in Cœlo, nam omnes orbes cum illius

motu
conueniunt, & uidetur es admiratione digna his, qui non
nouerunt
, quanta ſit concordia omnium rerum, de qua infrà dice­
mus
.
Ergo Luna primum hoc habet, ut linea æqualis motu Solis
ſemper
media ſit inter lineam æqualis motus Lunę & loci maximè
inæqualitatis
motus eius, ubi ſcilicet tardiſsimè mouetur, Veneris
autem
& Mercurij ut motus æquales idem ſemper ſint cum motu
æquali
, & locus cum loco ipſius Solis ad unguem præter id quod
infrà
dicemus.
Trium uerò ſuperiorum ratio ſic conſtat ad Solem ut à
Ptolemęo
obſeruatum eſt ex Hipparcho.
In omni reſtitutione cuiuſ­
libet
planetę ſuperioris numerus reuolutionum Solis ęqualis eſt nu­
mero
reſtitutionum planetę ſecundum motum æqualitatis & inęqualita
tis
pariter acceptis.
Velut Saturnus in annis quinquaginta nouem
die
una & horis decem octo quinquageſies ſepties per motum inę­
qualem
ad unguem, per æqualem autem duabus reuolutionibus par
te
inſuper una & quadraginta quin que minutijs, quæ reſpondent di­
ei
uni, & horis decem octo ex motu Solis, & ita bis Saturnus reuol
uitur
ſecundum motum æqualitatis & quinquageſies ſepties per
motum
inæqualem & ſimiliter.
Iupiter in annis 70, diebus trecen­
tis
ſexaginta, horis quatuor, ſexaginta quinque reuolutiones inęqua
les
perficiet & ſex ęquales, deficientibus ex ęqualibus quatuor par­
tibus
& dextante quod eſt quantum peragraret Solin quatuor die­
bus
, & dextante diei ad perfectionem ſcilicet annorum ſeptuaginta
atque
unius.
Martis quo que ſtella in annis ſeptuaginta nouem, & die­
bus
tribus & horis fermè quatuor triginta nouem facit inæquali­
tatis
reuolutiones: æqualitatis autem quadraginta duas, & inſuper
partes
tres cum ſextante, quas manifeſtum eſt peragrari à Sole in
diebus
tribus atque horis quatuor.
Veneris quo que ſydus in octo an­
nis
deficientibus diebus duobus & quadrante, inæqualitatis quin­
que
perficit reuolutiones, æqualitatis autem tantundem ad unguem
quantum
Sol deficiente eadem parte ſeu diebus duobus & qua­
drante
.
Mercurij quo que ſtella in quadraginta ſex annis & una die
& hora una fermè quadraginta ſex fermè perficit reuolutiones æ­
qualis
motus & inſuper gradum unum cum portione reſpondenti
portioni
temporis, id eſt, horæ fermè uni: in æqualitatis autem cen­
ſum
quadraginta quin que.
Atque hęc ſunt manifeſtiſsima et ut dixi ad­
miranda
ſunt, præterea alia minus generalia, aut minus manifeſta
aut
non tanti momenti quæ conſultò prætermitto, non eſt.
n. locus
hic
docendi artes ſingulas ſed ſolum ea tractandi quæ ad argumen
1tum pertinent. Igitur ut ad rem redeam. Solis cum octauo Orbe ea
ratio
eſt, ut linea quam ille permeat eadem ſit quam quę fixę ſtellæ,
non
.
n. ad eandem diſtantiam & mente conceptam ab æquinoctijs
deſcendentem
ac æquidiſtantem mouetur, ſed ad eam ſecundum
quam
ſtellę fixę in octauo orbe mouentur in comparatione ad ecli­
pticam
ſuperioris orbis.
Porrò de his atque huiuſmodi in Paralipo­
menis
diximus, ubi etiam docuimus quomodo ſecundum duos cir

culos
, qui ſolum circa ſuum centrum mouentur, punctus datus per
petuò
in recta linea feratur.
Co^{m}.
Lib. 14.
cap. 7.
Propoſitio centeſima ſexageſima ſexta.
Proportiones muſicas ſuperpartientes in eas quæ particula una
tantum
abundant reducere.
Co_{m}.
Ptolemęi hoc inuentum fuit, ut & multa alia pręclara: itaque ſta­
tuendum
eſt, primum uoces ęquales non concentum efficere, quia
diuerſæ
non ſunt, quę autem diuerſę ſunt, nihilominus proportio­
ne
conſtant ſimpliciſsima & multiplici, tales optimam efficiunt ar­
moniam
.
Eiuſmodi ſunt quæ in dupla ſunt proportione, uocatur
autem
diapaſon.
1. quaſi omnia comprehendens non à numero uo­
cum
uelut diapente & diateſſaron à quatuor & quin que uo cibus.
In
diapaſo
.
n. omnia comprehendi uidentur. 1. omnes uo cum differentiæ,
quanquam ex octo tantum uo cibus conſtet.
Pòſt ſunt quæ in quadrupla,
unde
bis diapaſon, poſt quæ in tripla, nam propior eſt monadi ſeu ę­
qualitati
: ſed non adeò ſimplex ut bis diapaſon.
Vocant aut hanc
diapaſon
diapente: inde ſubſequitur octupla quę uix in uocibus
huma­
nis
habetur: frequens in inſtrumentis, uocaturque tris diapaſon inde ſex­
cupla
, ſeu bis diapaſon diapente.
Quintupla aut minus concors eſt:
ſed
de hac inferius dicemus, atque de multiplicibus
dicta ſunto. Sed de
comcentu ex particula ſuperaddita ſexquialtera ſexquitertia atque alijs
nunc
agendum.
Clarum eſt. n. has eſſe ſimpliciſsimas. Cum ergo du
pla
proportio non magis poſsit diuidi æqualibus interuallis atque
ſimplicibus proportionibus quàm in ſexquialteram & ſexquiter­
tiam
, uelut inter 4 & 2 interpoſito 3. nam proportio 3 ad 2 eſt ſex­
quialtera
, & 4 ad 3 ſexquitertia: nec melius poteſt diuidi, at ſexqui­
alteram
& ſexquitertiam quantumuis magnis numeris diuidere
non
licebat melius aut commodius quam per ſexquioctauas: uelu­
ti
ſumpto numero 64 cui duplus eſt 128, inter medius 96 qui cum
64
ſexquialteram facit proportionem, quæ ſuauiſsima eſt omni­
um
deductis multiplicibus, uocaturque diapente.
At quæ eſt 128 ad
96
ſexquitertia eſt minuſque benè ſonat per ſe, ſed in acutioribus uo­
cibus
ſolum cum alijs benè ſonat, uelut cum diapente, perficiens
diapaſon
, interuallum, ergo inter 96 & 64 diuiſum per ſexquiocta­
1uas producit 72 et 81, nam 72 ad 64 eſt ſexquioctauum, ſicut 81 ad 72. uerùm
id
accidebat in commodi quae 81 ad 64 nullam habet proportionem commodam,
& multo minus 96 ad 81, quare uiſum eſt Ptolemęo ut ſubtracta mona
de
fierent termini 64, 72, 80, & 96, proportio aut 80 ad 64 conſtituit ſexqui
quartam atque ditonum, proportio quoque 96 ad 72 ſexquitertiam ſemiditonum que.
Rurſus proportio 128 ad 64 componitur ex proportionibus 80 ad 64, quae habetur
pro
ditono ut dictum eſt, & eſt ſexquiquarta proportio.
At 128 cum 80 eſt in
proportione
ſuperpartiente tres quintas, quae iterum eſt conſona.
Regula emm
eſt
quae ubi conſonantia uo cum diuidatur in duas partes, quarum una ſit conſo
nans
, reliquam etiam eſſe conſonantem, at non conuertitur.
Sępe. n. fit ut ex duabus
conſonantibus diſſonans compoſitio oriatur, uelut ex duplici diapente, aut
diapente cum ditono, ſed ut ad propoſitum reuertar, alia diapaſon eſt inter 80
& 40, at inter 48 & 40 eſt ſemiditonus ut oſtenſum eſt, uelut inter 96 &
80
, nam inter 45 & 40 eſt proportio ſexquioctaua, inter 48 aut & 45 ſex­
quiquinta
decima, igitur ex regula data proportio 80 ad 48 quae eſt ſuperbi­
partiens
tertias ſeu ſolida cum beſſe ſeu ſexta maior erit conſonans.
Iam er
go
uidemus detractione aut additione ſexquioctuageſimæ, concinnas
reddi
uulgatiores armonias: tertiam utran que maiorem ſcilicet & minorem, ac
rurſus
ſextam maiorem atque minore quae in minoribus numeris ſcilicet à mo­
nade
ad octo poſitæ ſunt.
Vides præterea ſemiditonum in ſexquiquinta

conſtare: adeò ut à ſenario infra nihil inutile
195[Figure 195]reddatur.
Diateſſaron aut cum primum di
uidi
poteſt, ſi ſecus diuidatur <08> in ditonum
& ſemitonium, aut in ſemiditonum & tonum,
ſcilicet
in duo tantum interualla, non commo­
dius
quam inter octo & ſeptem & ſex diuidi
poteſt
.
Cum ergo octo ad ſeptem diſſona ſit,
quippe
nimis remota eſt hęc proportio à ſen
ſu
humano: quamobrem ex regula data, ne­
que
proportio ſeptem ad ſex.
Sed dubitabis
meritò
, quia cum diateſſaron diuidatur bifa­
riam
, in ditonum & ſemitonium, ac rurſus in ſe­
miditonum
& tonum, quarum altera conſonans eſt, reliqua non.
Videtur ergo
infirmari
regula illa, quae conſonantia diuiſa ſi una pars conſonet, alia non
poſsit
eſſe diſſonans, nam conſtat conium & ſemitonium tam per ſe quam in
compoſitione diſſonare: & non parum ſed acerbè.
Verum reſpondeo diateſſa
ron
, ut dixi, numerari inter ambiguas coniugationes, quatenus emm per
ſe
eſt, diſſonans eſt: at que ſic in conſonantem & diſſonantem diuidi poteſt:
quatenus
aut pars eſt diapaſon conſonans in acutis: quan <08> etiam adiecta
ditono
aut ſemiditono ſuprà efficiat ſextam maiorem aut minorem parum
benè
ſonantes.
At quintupla proportio ut ab initio propoſitum eſt, conſtat
bis
diapaſon, & ſexquiquarta, ut planè manifeſtum eſt: ſexquiquarta aut
1ditonus: bis diapaſon aut quindecim uo cibus. Omnes igitur decem, &
ſeptem uoces, quae ſexdecim interuallis diſtinguuntur, conſonantes ſunt: & ex
genere
ditoni, & ſexquiquartæ, ſed paulo minus benè ſonant quod ditonus
ipſe
.
Igitur quintuplam multiplicem ad ſex quiquartam reduximus. Verum
ut
oſtenſum eſt & decimaſeptima, quae bis diapaſon conſtat, & ſemiditono
benè
ſonat, hęc aut inter nonaginta ſex & uiginti: quadrupla igitur eſt &
ſuperquadripartiens
quintas.
Diapaſon quo que cum ſexta maiore & mi
nore
eandem habent rationem quam 16 ad 5, & 10 ad 3, triplam utranque,
ſed
altera ſexquiquinta, altera ſexquitertia: bis diapaſon uerò cum eiſdem
ut
uiginti ad tria, & 32 ad quin que ſexcupla utraque: ſed altera ſuperbipar­
tiens
tertias, altera quintas.
Manifeſtum eſt igitur hanc diuiſionem non ſo­
lum
concinnam magis eſſe & ſuauem ſed omnem tonorum & ſemitonio­
rum
neceſsitatem effugere.
Quòd uerò in cauſa fuit ut toni & ſemitonia
in
uſu eſſent, id eſt, quoniam in diſcendo neceſſe eſt eandem ſeruari ratio­
nem
in crementorum, ne que arithmeticam ſed geometricam.
Ideò aſcenſus per
tonos
& ſemitonia commodus fuit, nam duplicem ſolum differentiam pue
ri
uſu aſſequi coguntur.
At uerò poterat & per ſexquiſextam diuidi dia
teſſaron
, ut inter triginta ſex & quadraginta nouem interpoſitis 42, ue­
rùm
triplex ſequebatur in conueniens: primum ut diateſſaron ad amuſsim
non
ſeruaretur, ſed incidebat in cacophoniam, addita quadrageſima
ctaua
parte: deficiente aut in duabus ſexquiſeptimis numeris ſeu propor
tione
ſexquitertia: ut inter 49 & 64 loco 48 & 64, uelut etiam inter 48 ad
36
, addita igitur monade in termino medio utrin que fit diſſonantia.
Se­
cundum
inconueniens, eſt quae ſic diuidente non ſeruabatur ratio ſexqui­
quartæ
& ſexquiquintæ ſeu ditoni & ſemiditoni, quæ uoces benè ſo­
nant
.
Tertium inconueniens erat, quòd hæc ratio diuidendi diapentes
minimè
ſatisfaciebat, uelut inter 324 & 216. Interponere enim neceſſe
erat
252 & 294, unde incongrua rurſus erat diuiſio.
His tot cauſis cum
proportiones
maiores non fatisfacerent ut ſexqui quinta quæ diateſſa­
ron
nullo modo æqualiter diuidere poteſt, & in diapente deficit ſexqui
uigeſima
quarta, ut inter 25 & 36, coacti ſunt cum nec ſexquiſexta nec
ſexquiſeptima
idoneæ eſſent ad ſexquioctauam confugere.
Diapaſon 2 1 Bis diapaſon 4 1 Diapaſon diapente 3 1 Tris diapaſon 8 1 Bis diapaſon diapente 6 1 Hæmiolia 3 2 Hæmitritæa 4 3 Ditonus 5 4 Semiditonus 6 5 Sexta minor 8 5 Sexta maior 5 3 Bis diapaſon ditonus 5 1
Eſt & alia diuiſio toni in ſemitonia, quae eſt uaria ponendo tonum inter 18
& 16, media uox eſt 17 ſemitonium maius inter 17 & 16, ſed minus inter
18
& 17, quorum differentia eſt 1/288. Hic ſubit admiratio quomodo ſemi­
tonium
minus aptetur tam gratè in ſymphonijs, maius aunt nequaquam.
Ptole
męus
hoc negaret, quia ſexquiquinta ſeu ſemiditonus conſtat tono inte­
gro
, qui eſt inter 90 & 80, & ſemitonio pluſquam maiore quod eſt inter
96
& 90, & eſt ſexquiquinta decima: quae maior eſt tono maiore 1/255. Pro­
pterea
dicemus cauſam eſſe quae poſito ſemiditono inter 81 & 96, id eſt,
27
& 32 ſublato tono, id eſt, 234 & 216, remanebit 13 differentia 256 ad
243
, ſeu qualis eſt 96 ad 91 & 1/8 quæ eſt ut 768 ad 729 et redit ad idem, ſcili
1cet, ut 256 ad 243, 13 autem eſt paulo plus decimanona, ergo multo mi­
nus
ſemitonio minore.
ſecundum mentem ergo Ptolemæi, poſito tono
inter
135, & 120, & ſemitonio maiore inter 128 & 120 remanebit ſemito­
nium
minus fermè inter 19 & 18, id eſt, 133 & 126, quę proportio differt
à
135 & 138. Si quis autem bene animaduertat, ſexquioctuageſima illa
adimitur
, ex tono & additur ſemitonio minori, & hæc eſt cauſa quòd
ſemitonium
maius Ptolemæi ſit concinnum, quia additur tonis imper
fectis
.
Dimidium autem ſemitonij minoris eſt inter 36 & 35, & uocatur
comma: & eſt minus & maius: maius eſt inter 35 & 34, rurſus comma mi­
nus
diuiditur in duas dieſes, minorem, quæ eſt inter 72 & 71, & maio­
rem
, quę eſt inter 71 & 70, & ideò manet difficultas quomodo intenta
uoce
per dieſim fiat melior conſonantia?
nam de remiſsione poſſemus
dicere
quòd accipitur loco ſexquioctuageſimæ: ſed in ſexquioctuage­
ſima
remittitur de tono ſecundum mentem Ptolemæi, in dieſi intendi­
tur
ſemitonium minus, ſicut oſtendit experimentum, ſed forſan conue
niunt
quia intentio ſemitonij minoris deducit ſemiditonum ad ſexqui
quintam
: eſt enim differentia ſemitonij minoris intenti hoc modo ad
ſemitonium
minus, ut 136 ad 135: ſed hoc eſt longè minus ſexquioctua
geſima
, unum ſat eſt, hanc eſſe ultimam diuiſionem toni in octo par­
tes
, & ut in diatonico toni dominantur, ita in chromatico ſemitonia in
enarmonico
dieſes, ſed dieſes fugitando (ut ita dicam) ac aures uelli­
cando
, mirum in modum oblectant audientes: uelut toni ſtando, un­
de
etiam nomen, ſemitonia medium modum obtinent.
Tertium genus proportionis (omitto modò diuiſionem temporum
binarij
, ternarij, quinarij, qui ultimus eſt eorum quos ſenſus recipiat,
nam
ſeptenarius propinquior eſt binarij diuiſioni ob octonarium, &
modos
illos ſatis notos Doricum, Lydium & Phrigium, ac eiuſmodi)
eſt
Ptolemæi: rurſus qui cum uideret deſpectam futuram muſicæ con­
templationem
, conatus eſt illius aliquod ſingulare emolumentum
oſtendere
, quemadmodum fecit & in libro de Prædictionibus, exiſti­
mans
ni illos compoſuiſſet ueluti pręmium oſtendentes tanti laboris
quantus
neceſſarius uideretur ad intellectum librorum Magnæ com­
poſitionis
, futurum eſſe, ut hi negligerentur, ergo & hoc in muſicæ li­
bris
oſtendere molitus eſt, ſcilicet, præclarum eſſe aliquem huius contem­
plationis
finem, quod utinam non feciſſet, ne illud uerè de eo dici poſſet:
—Non omnia poſſumus omnes.
Virum enim hunc ſupra omnem humani ingenij metam fuiſſe non nega­
mus
: ſed hanc partem quam hic agit, adeò infeliciter tractat, ut malim
credere
totum illum tertium librum fuiſſe ab aliquo alio adiectum.
Etenim
quid
turpius ſapienti homini <08> imitari uulgares illos?
ſeptem planetæ,
ſeptem
mundi miracula, ſeptem artes liberales: quid enim ſimilitudo nu
1meri iuuare poteſt, aut quàm afferre utilitatem? nimis certè in dignum eſt
uti
argumento à ſimilitudine ſumpto: tum maximè adeò leui.
Sed quo­
niam
conſtat omnia quæ in mundo ſunt ordine coniuncta eſſe, & ne­
ceſsitate
uinciri, ideò cùm finis ipſe uerus ſit, non tam debemus Ptole­
mæum
damnare, quae non probauerit, quàm laudare, quod ueritatem ſine
ratione
ſit aſſectus.
Sæpe enim accidit huiuſmodi uiris adeò pręſtan­
tibus
ut ueritas detegatur, quam cùm illi, ut mos eſt hominum, rationi­
bus
adornare nituntur, tranſgredientes metam muneris, in abſurda &
ineptias
incidunt.
Ergo id modò declarare aggrediar, ſupponens quae ue­
rum
eſt, ſcilicet hanc muſicam concinnitatem cum diuinis connexam eſſe,
& ab illis originem ducere.
Verùm dubium eſt, an ſoni propter nume
ros
iucundi ſint, an propter aliud?
& ſi propter aliud, cur ergo numeri
ad
hoc ſunt neceſſarij?
& cur obſeruare eos oportet ne ab illorum ordi
ne
diſiungi poſsint?
Hoc aut perfacilè intelligitur, & à nobis aliâs decla­
ratum
eſt, ſcilicet delectare nos, quæ percipiuntur quæque ratione facta
uidentur
, quoniam in his naturæ uis relucet & imago uniuerſi, ergo dele
ctant
nos, quoniam naturę ordine nos conſtamus.
Illud difficilius lon
q̊d tamen diligenti obſeruatione dignum uidetur, ſcilicet, quonam pa
cto
harmonia cum rebus cœleſtibus aut humanis coniuncta ſit.
Forſan
& illud ab re non eſſet intelligere, cur nullum animal pręter hominem
capax
ſit harmoniæ?
an forſan quoniam ſolus homo ratione participet,
& ob id ſolus gaudet ratione?
ordinata aut ratione conſtant aut ſola aut
maximè
, numerus autem quid aliud eſt quàm ordinis ſeparatorum ima­
go
.
Porrò hæc accipienda ſunt ex his quæ ſenſibus deprehenduntur,
qualia
ſunt quae animus mouetur & uarios affectus induit iuxta harmo­
niæ
diuerſitatem lætitię, triſtitię, impetus, remiſsionis, timoris, ſpei, ira­
cundiæ
, & commiſerationis.
Nos enim maximè octo affectus mouent
muſicæ
modulationes.
Secundum quid autem mouent? uel quia con­
ſonæ
aut diſſonæ, uel quia concitatę aut tardæ, uel quod maius eſt quae
tendant in acutum ad alacritatem, uel in grauem deſinant & remiſſum
ſonum
ad commiſerationem, & lachrymas, aut etiam ex modo tetrachor
dorum
.
Illud ſanè non obſcurum eſt, animam cum ſono maximè eſſe con
iunctam, nam neque odoribus ut odores ſunt, neque ſaporibus, aut his quæ
tanguntur
licet plurimum delectent, aut etiam lædant, anima mouetur
ad
affectus, licet, ut dixi, magis homo delectetur, aut triſtitia afficiatur
quemadmodum
ex ſonorum uaria natura, quod etiam in morſis à Ta
rantula
(araneę genus eſt) deprehenditur.
Quinimò nec à luce nec à co
loribus
aut pictura, niſi ut hæc ad memoriam reuocant ea, propter quæ
ad
hilaritatem aut triſtitiam uel iram, uel commiſerationem mouemur.
Vnde quoſdam reges ferunt iniurias acceptas iuſsiſſe depingi in aula ne
poſſent
obliuiſci, at longè plures curarunt, ut potius eorum facta egregia
1pingerentur continuata per memoriam uoluptate, quam dum illa àge
rent
, conceperant: nihilominus, neque color ipſe, nec lux aut ſpectaculum
uel
imagines poſſunt adeò mouere animi affectus, uel ſonus.
Nam
duo
in uniuerſum ex uiſu ad animi affectus mouendos habentur, tene
bræ
ad triſtitiam & metum, pictura regionum amœnarum ad iucundita
tem
, ſed iram quæ moueant picturæ alacritatemúe aut commiſerationem,
non
habemus.
Videtur ergo ob hæc ſonus ipſe magis animæ intimus
<08> ullum aliud ſenſile.
Quod ſi odoratus eſt in appendicibus cerebri, ui
ſus
in pupilla oculi, guſtus in linguæ neruis, ueri ſimile eſt magis inti­
mum
eſſe auditum, ſcilicet in cerebro ipſo, atque ob id magis ab illo mo­
ueri
animam.
Neque emm in aere concepto à concauitatibus auris, qui no
ſtri
pars non eſt: neque à tympano, cùm ſuperflua fuiſſet cauitas interior
omnis
: neque enim inter pupillam & cerebrum pars ulla cernitur ad ui­
ſum
adiuuandum idonea: ſed ſolus ſufficit conſenſus pupillę cum cere
bro
: nam ad nos per ſpiritus differtur imago, non emm uiſus eſſet unus,
nec
in uno tempore fieret, ſed ueluti è ſecundo ſpeculo & decimo ſimul,
& eodem tempore reflectitur imago, ut à primo ita ſenſus uiſus ex pu­
pilla
in cerebro & in corde & anima ſimul relucet.
At ergo non potuit
in
tympano uel neruo denſiore fieri auditus, ſed in cerebro ipſo, ob q̊d
magis
moueret affectus.
Sed & magis incorporeus eſt ſonus, ut qui
inſtrumentum
proprium non afficiat, niſi cum immoderatus fuerit, at
omnis
color, omnis lux oculum afficit, ac, ut ita dicam, tingit, neque ſuc­
ceſsiones
illas ob id adeò minutas oculus percipere poteſt ut auris,
ſed
coinquinatur, ut ita dicam, priorum obiectorum reliquijs atque ima
ginibus
.
Vt in uniuerſum conſtet puriorem eſſe auditus ſenſum etiam
animæ
noſtræ propiorem quàm uiſum.
Quibus conſtitutis uidendum eſt, quomodo ſonus permutet affe­
ctus
: hoc autem non quia animam, quæ immortalis eſt & immateriaria,
ſed
quoniam aut corporis eam partem, quæ eſt animæ inſtrumentum,
id
eſt, ſpiritum, aut animæ principalem coniunctionem qua corpori an­
nexa
eſt.
Vt enim corpus deſerit aut impeditur à corporis commercio
corpus
immoritur: hoc præſentiens animus, fiunt illa duo præuia ad
mortem
timor & triſtitia.
Vt contrà, lætitia non eſt niſi communicatio
animæ
corpori, & quatenus communicatur ſolum de uita cogitat, atque
ob id quaſi immortalis, qui lætatur obliuiſcitur mortis.
Ergo animę ra
tio
illa erit, quæ ut cognoſcit perfectè exhilaratur dulcedine uo cum, &
hoc
fit in diapaſon.
Vt uerò imperfectè diapente, ut imperfectius dia­
teſſaron
, at cum ex diateſſaro & diapente perficitur diapaſon, accidit ei
idem, quod quærenti gemmas in matrice dum inuenit, & ei qui ex tabulis
arcam
conficit, & puero cum adoleſcit, & generaliter ei qui ex imperfectis
perfecta
colligit: ex quintæ enim & quartæ ſenſu imperfectarum
1nantiarum percipit perfectam diapaſon. Videamus ergo an aliquid ſit
ſimile
in animæ facultatibus, nec dubium eſt quin ex ſenſibus.
exterioribus
atque
interioribus fiat intelligentia.
Et ſenſus quidem exteriores ſexquiter
tia
conſtant: eſt enim illorum imperfecta cognitio: maior longè memorię
unius
& rationis reliquarumque facultatum, ex quibus intelligentia oritur.
Iam uerò habemus exactam ſimilitudinem facultatum animę humanę, quae
cognoſcit
.
Nunc ulterius procedamus et uideamus, an ſit aliqua etiam con
iunctio
inter illas, nam ſimilitudo etſi ſit una originis cauſa, non tamen
ſola
digna eſt ut à Philoſopho numeretur inter cauſas ordinis & natura­
lis
uinculi.
Non eſt ut tetrachordorum genera ad partes animę comparen­
tur
, cum ſint uoluntaria diuiſione, non natura conſtituta.
Sed ſi quis hoc
uelit
, magis ad rationem proprietatis reſpiciat, ſuauitas in chromatico,
ſubtilitas
in Enarmonico, ſtabilitas in diatonico: Vt Enarmonicum ad
mentem
uerè referri poſsit, chromaticum ad ſenſus: diatonicum ad uitam na
turalemque
facultatem.
Sed, ut dixi, iam propius accedamus, concitatior ſo
nus
, ut Doricus ad alacritatem pertinet, ad pugnam, ad uim animę ira­
ſcibilis
: Phrygius ad uoluptatem, Lydius ad intelligentiam remiſsione
corporeorum affectuum.
Sed non quęrere decet aut laborare, ut malè in­
uenta
aut diſtributa aptemus ordini naturę, ſed ut res rebus.
Diximus
quatuor
eſſe differentias nobiliorum affectuum animi, ſcilicet, timoris, ſpei,
iracundię ſeu ſęuitię & commiſerationis, lętitię, triſtitię, impetus ac remiſ­
ſionis
.
Et uidetur muſica nec hoc ęqualiter monere, ſed primum uideamus
an
hi ſoli affectus ſint maximi, quippe deeſſe uidentur amor atque odium.
Et mihi dubium non eſt quin hi potentiſsimi ſint omnium præter metum.
Sed metus cum cauſa, affectus propriè non eſt, ſed potius ſcientia quædam.
Proprium enim perturbationum eſt excedere rationem: at metus mor
tis
, proprię aut de filio, non eſt à ratione alienús, nec excedit metas, modò
inanis
non ſit aut falſus, ob hoc metum excludemus ab hoc negocio:
tum
maximè ob id quod nulla muſica eſt quæ metum excitet cùm ea, non
opus
ſit in eo, qui ſit cum ratione coniunctus.
Indicio eſt quae potius illum
excudit
abrupta muſica, ſicut & omnia alia quæ perturbant rationem,
ueluti
ſolanum & madrangora atque cicuta.
Amorem igitur & odium non
excitat
muſica, quia amor & odium alicuius ſunt amor & odium, muſi
ca
aunt generales ſolum mouet animi affectus.
Et commiſeratio, licet ſit
Didonis
aut Phillidis, tamen eſt generaliter miſerentis.
Quęramus er­
go
rurſus qui ſint affectus generales animi.
Et ſanè uidentur eſſe lætitia
atque
triſtitia: impetus & remiſsio: ſęuitia ac miſericordia & audacia.
Sunt
tria
ferme coniuncta ſimul impetus & ſæuitia atque audacia, quoniam cum mo
tu
perturbato animi ſunt eiecta ratione.
Ob id ununquodque horum ab ira­
cundia
deriuatur.
Quapropter & ita rationem expellit aut ſuppeditat. at ra
tio
perturbatur, aut ab immodicis ſonis, aut in comptis et magnas mutatio
1nes habentibus atque aſperis. Hæc autem, ut ita dicam, nulla eſt muſica.
Sed neque muſica ulla triſtitiam gignit, cum ut dixi, triſtitia nil aliud ſit <08>
mortis
imago, muſica aut uitam fouet.
Vnde non immeritò fertur Xeno
philus
muſicus centum quinque annis ſine aliquo incommodo uixiſſe, quod
ſingulare
eſſe exemplum in humana uita refert Plinius.
Relinquitur igi
tur
tandem, ut muſica maximè moueat tres affectus lætitiam, remiſsio­
nem
& miſericordiam.
Et quod ex his poſtmodum ad labores inſurga­
mus
intentius, hoc non eſt ex muſicę ui aut facultate, ſed conſequentibus
ad
illa alia cauſis.
Neque ergo horum cauſas ex diuiſionibus atque diſtribu­
tionibus
uoluntarijs muſicæ conſiderare oportet, ſed ex ipſa rerum natura
atque
eſſentia.
Veluti intentionis et remiſsionis, aſperitatis atque ſuauitatis
celeritatis
ac tarditatis; conſonantium aut diſſonantium uo cum at que muta­
tionis
: enim differentię præcipuę ſunt uo cum, uel etiam teſte Ariſto
tele
.
Verùm non obſcurum eſt: quemadmodum remiſsiones fiant animi

affectuum
, cum remittuntur uoces aut intendantur ad earum intentionem.
Sed non eſt æqualis ratio, quoniam natura noſtra ad remiſsionem natu­
raliter
inclinata eſt, ad intentionem non ita, ſed per uim quandam aut me­
dio
uoluptatis, aut cum anima purior eſt à corporis impedimentis.
Et
ob
id ad ſtudia nil aptius eſt pura ſobrietate: nihil ineptius crapula atque
temulentia.
At lętitię cauſę ſunt, & concordia uo cum, & mutatio ex aſpera
in
ſuauem, non ſecus ac eius qui euadit è paupertate uel è moleſtia aliqua
aut
dolore aut alio incommodo, tum intenſio uo cum ac liber ſonus.
Vnde
in
lętitia ſolent homines exclamare.
At ad commiſerationem mouendam
omnia
remitti oportet ex magna in parua, adeoque deficientem ex aſpera
in
leuem, ex ueloci in tardam, ex diſſona in conſonantem.
Antiqui ergo
(ut author eſt Cælius Rhodiginius) Dorico ad temperantiam & mode

rationem
utebantur, ſcilicet quòd non haberet præcipites lapſus, neque
arduas intentiones: Phrygio ad impetum & bellicum ardorem, ſcilicet
per
aſperas intentiones: Lydio ad fletus & lamentationes per caſus &
remiſsiones
longas ac ſuaues: ideo funeribus peculiaris: Mixolydio ad
commiſerationem
, ut defectiones interponantur & breues abruptæque
remiſsiones, iuuantque in hoc plurimum & ſenſus uerborum, familiaris
hic
tragædijs: Aeolicus qui & Ionicus tranquillitatis animi author eſt
ſomnumque
conciliat: Dorico non abſimilis ſed ſuauior & mollior: ideò
chromatici
generis.
Quę uerò ad cœli motus referuntur, diapaſon qui­
dem
refertur ad motum diurnum, nam maximo conſtat, & exactiſsimo
interuallo
, unusque eſt in omnibus & iucundiſsimus & omnia continet,
uelut
& diurnus motus.
Proprius autem tàm erraticis quàm fixis, qui
etiam
æqualitati propinquior eſt, & ad maiorem diſtantiam ſcilicet de­
clinationis
ſigniferi ab æquinoctij circulo ad diapente refertur.
Rurſus
diateſſaron
quòd minimo conſtat interuallo ac maximè inæquali, & per
ſe
quidem quaſi non neceſſario ad motum in latitudinem refertur, is enim
1exiguus eſt & inæqualis. Ex horum itaque duorum compoſitione quem­
admodum
et ex diateſſaro & diapente conformatur diapaſon, pulchra
conſtruitur
exortus & occaſus ſyderum ratio, quæ primo motu conſtat.
In lib. de Au
dibilibus
.
Lib. 9. ca. 3.
Porrò de participatione diapente, quam non ſolum uſurpamus in in­
ſtrumentis
fiſtularum organis dictis: ſed etiam in fidibus monachordorum
ſeu
clauichordorum (ita.
n. nunc uocantur inſtrumenta quib. caruerunt anti­
qui
) non alia eſt ratio, quàm quae dicta eſt conſtituendarum conſonantiarum
in
ditonis & ſemiditonis ſextaque utraque.
Vt emm quatuor conſonantiæ
ſuauiores
efficerentur, neceſſe fuit unam, ſcilicet diapentem uariari.
Exempli
gratia
, ſint fides expoſitę octo, & ut conſtituatur proportio h ad c, ut 128
196[Figure 196]
ad
80, id eſt ut 8 ad 5, c facta eſt remiſsior octogeſima, quare cum
81
diapente habeat ad 121 cum dimidio, erit ad 80 maior 1 1/2, id eſt
octuageſima
parte 120, quare intentior diapente.
At in diapaſo
omnia
ad idem redeunt: horum etiam cauſa ſemitonia nigra illa ad­
dita
ſunt.
Sed hęc tractatio proprium locum exigeret, ſecus eſſet ni­
mis
curioſi illa huc traducere.
quemadmodum, & ut uellemus
Philoſophiam
naturalem, moralem, & mathematicam ad muſicam tra
ducere
proportionem.
Melius ſanè fuiſſet ſubtilioribus rationibus
hanc menſuris motuum aſtrorum pro ut conueniunt (quantum fieri potuit) aptaſſe.
a ut b re c mi d fa e ſol f re g mi h fa
Propoſitio centeſima ſexageſima ſeptima.
Proportionem muſicam ad ſapores & odores coaptare.
Co^{m}.
Melius feciſſet Ptolemęus, ſi hanc proportionem ad ſapores & odores
et
picturas, quemadmodum inuenimus nos, applicaſſet, uel ut Vitruuius
ad
machinas, poterat emm hoc ſcire, cum Vitruuius pluſ<08> centum quin­
quaginta
annis Ptolemęum anteceſſerit.
Et quan<08> Latinè ſcripſerit, non
tam
turpè erat latina legiſſe, aut conuerſa ab alio quopiam intellexiſſe, <08>
neſciuiſſe
neceſſaria pulchraque inuenta aliorum clarorum uirorum, &
quod
deterius erat, rerum memorabilium loco fabulas ſubtexuiſſe.
Ergo
ut
ad rem ueniam: muſica proportio bifariam inuenitur in ſaporibus: ſim­
pliciter
, & ex comparatione, & ſimpliciter quidem ſumma ſuauitas ad
diapaſon
refertur: eſt enim ſuauiſsimus concenſus in ſaporibus, ergo
dulce
ei reſpondet, ut ſimplex, quid enim ſuauius eſſe poteſt in utro que ge
nere
.
At pinguis, qualis in carnibus & ouis benè pręparatis ad diapente
refertur
, eſt enim & ipſe ſuauiſsimus poſt dulce, at que in ſuo genere perfe
ctus
, diateſſaron uerò optimè ſalſo conuenit.
Hic enim per ſe improbus
eſt
& inſuauis, ſicut etiam ſapor ſalſus eſt, diateſſaron aunt cum diapente
perficit
diapaſon, & cum diapaſo inutile eſt, et diſcordat, ita ſapor ſalſus
cum
pingui ſummam delectationem affert: cum dulci adeò parum con
gruit
, ut melius ſocietur cum amaro, uelut in oliuis benè ſalſis.
Ergo ſal­
ſus
ſapor cum diateſſaro ad unguem congruit rurſus ſemiditonus cum inſi
pido
, & aſtringens cum ditono conueniunt ad unguem, nam uterque non
illepidus
, & cum dulci conuenit, ita ſemiditonus & ditonus cum diapa
1ſo conueniunt, uterque etiam horum ſaporum parum mouet ſen­
ſum
, & inter ſe ſunt quaſi ſimiles quod ditono accidit & ſemidito­
no
, ſed & neuter horum cum pingui conuenit, neque ditonus aut ſe­
miditonus
cum diapente congruit, diſcordat enim hęc compoſitio
non
parum.
Rurſus & in hoc ſimiles ſunt quod diateſſaron cum di­
tono
& ſemiditono plurimum conuenit, ita & inſipidum, & aſtrin­
gens
cum ſalſo bellè conueniunt.
Diateſſaron enim cum ditono ſex­
tam
efficit maiorem, & cum ſemiditono minorem quę utrique conſo
nant
, non tamen plus ſuaues per ſe ſunt, quòd dulci & pingui care­
ant
, ut nec ſexta maior aut minor, q̊d neque diapaſon perficiant neque
diapente
: Acris autem ſapor ſexta maiori ſimilis eſt, acidus minori:
mutuo
conueniunt cum inſipido acris, & cum aſtringente acidus,
quemadmodum
& ſexta maior cum ſemiditono, & minor cum di­
tono
copulatur perficientes diapaſon: ſed minus ſuauem, quia ab­
eſt
diapente ibi, quia abeſt pingue: auſterum uero cum acri mode­
rato
conuenit, propterea bene uterque cum inſipido iungitur, unde
illud
Epigrammatici:
Vt ſapiant fatuæ fabrorum prandia betæ,
O
quam ſæpe petet uina piperque coquus.
Piper enim acre eſt, & uinum auſterum eſt. Et iuſta querela Cicero­
nis
in Epiſtolis familiaribus, qui à maluis fatetur ſe uictum, ut deci­
derit
in lienteriam: conueniunt ambo hi ſapores cum dulci & pingui,
uelut
& utraque ſexta maior & minor cum diapaſon & diapente, at
neuter
cum ſalſo, nam neque diateſſaron cum ſextamaiore uel mino­
re
iungi poteſt.
Amarus autem ſapor tono perſimilis eſt, diſſonus
enim
per ſe eſt ſemper, & amarus perſe odioſus tonus origo eſt
mnium
conſonantiarum, ita omnes fructus, ſeu dulces ſeu aſtringen­
tes
, ſeu acidi, ſeu acres prius amari ſunt: tonus præterea nulla cum
conſonantia
peius coit quàm cum diapaſo, ita neque amarus ſapor
infelicius
iungitur quàm cum dulci, amarus quo que ſapor cum nul­
lo
magis conuenit quam cum ſalſo, ita tonus additus diateſſaro, perfi
cit
diapente dulciſsimam conſonantiam, ut multi oliuas benèſalſas
prætulerint
faſianis: tantum conuenit ſalſo cum amaro, amarus,
quo
que ſapor leuis non abhorret à pingui, deteriorem tamen aliquan
to
efficit, ut intortis ex abſynthio ouis & caſeo, atque in uitibus in
quibus
coma abſynthij in cocta fuit parum, degenerat tamen ſapor
ille
à pingui: ita tono addito ad diapente fit ſexta maior, non adeò
ſuauis
ut diapente, at tamen non prorſus inſuauis.
Similiter ſi tonus
addatur
ad ſemiditonum aut ad ditonum ex altero fit diateſſaron,
qui
non concordat ex reliquo tritonus omnium aſperrimus.
Ergo
cum
idem fiat coniuncto amaro cum inſipido, ac deterius cum
1gente, uelut in acerbis glandibus, quibus nihil triſtius guſtari po­
teſt
.
Manifeſtum eſt igitur optimè conuenire hanc ſaporum diui­
ſionem
cum muſica proportione.
Cumque ſapores ex ſeptem planetis pendent manifeſtè, Saturnus
emm habet aſtringens, quoniam frigidus eſt & ſiccus.
Iupiter pingue
contraria ratione, & quoniam hic ſuauis eſt, ille triſtis, acre & auſterum
conueniunt ſoli, apparetque in eis uis maxima ad ſpiritum uitalem confir
mandum
, uiresque oens adauget, uelut & Sol.
Venus habet dulce: de­
monſtratione
hoc non indiget.
Mars ſalſum & cum peruerſè diſpoſi­
tus
eſt, amarum.
Luna inſipidum. Mercurius acidum, etenim frigida eſt
& humida Luna, & Mercurius tenuitatem quan dam habet cum tempe
ramento moderato, cuiuſmodi fermè eſt acidus ſapor, quan<08> ad fri­
giditatem
declinet, parum enim habet uirium Mercurius q̊d minima ſit
ſtellarum
, ut ſuprà docuimus.
Huiuſmodi ergo ratione conſiderata
Luna
ad ſemiditonum pertinebit Mercurius ad ſextam minorem, Sol
ad
ſextam maiorem, Mars ad tetrachordum, Saturnus ad ditonum,
Iupiter
ad diapente, Venus ad diapaſon, unde plena illius dona uul
garis
felicitatis opum honoris amoris & uoluptatis, poſt quem eſt
Iupiter
, ut ſine his duobus omnino nulla poſsit eſſe felicitas.
Sed & in circulo ſigniferi aliquam muſica proportio habebit ra­
tionem
: diapaſon emm erit & totius ad dimidium, & beſsis ad trien­
tem
, & dimidij ad quadrantem, & trientis ad ſextantem, diapente aut
totius
circuli ad beſſem, & dodrantis ad dimidium, & dimidij ad tri­
entem
, & quadrantis ad ſextantem, diateſſaron aunt totius circuli ad do
drantem
, & beſsis ad dimidium, & trientis ad quadrantem: itaque in hoc
ſolo
cum Ptolemęo concordamus, in reliquis duobus neſcio qua ra­
tione
Ptolemęus omiſerit unam coniugationem, nam cum eſſent qua­
tuor
in diapaſon & diapente, tres tantum numerauit.
Reliquas aunt
quatuor
per integra ſigna numerare licebit, ad rationem, tamen aſpe­
ctuum
deducere non poſſumus, propterea efficaciam quandam ha
bent
etiam ſignorum mutationes, ſed harmoniam non perficiunt,
nam
& ſi ſumamus ſexquiquartam & ſexquiquintam, ut in his ſex­
quialteram
, ſeu diapente conſtituamus, aut tria aut ſex ſigna acci­
pere
oportebit: utrunque fuerit, reliqua pars ad diateſſaron pertinere
minimè
poteſt: quamobrem conuenientius eſſet meo iudicio, ut to
tus
circulus non ad diapaſon, uelut Ptolemæus, referretur, ſed po­
tius
ad diapaſon diapente: ita enim conſtitutis quatuor, quinque,
ſex
, duodecimque numeris, conſtaret tota ratio harmonica, diuiſo
tiam
diapente in ditonum & ſemiditonum.
ſed de hoc ſatis.
Reuertamur ad ſapores, in quibus diximus aliam eſſe rationem
muſicam
iuxta compoſitionem: cum enim inter ſapores qui
1modo conueniunt, dupla fuerit optimi ſaporis proportío ad dete­
riorem
, medius uerò ad deteriorem ſexquitertia, optimus ad me­
dium
ſexquialtera, ſapor ille optimus erit.
Et primum quidem id
in
pingui tanquàm medio dulcique & ſalſo experiamur, ſimiliter in
ſalſo
, acri, atque inſipido.
Manifeſtum eſt enim quod horum optimus
eſt
inſipidus, quia per ſe ferri poteſt, ſalſus autem medius, acris de­
terrimus
, ſuperabit ergo inſipidus ſalſum ſexquialtera, acrem du­
pla
proportione, ſalſus acrem ſexquitertia.
Rurſus dulcem copule­
mus
cum acri, & cum inſipido aut cum acido, & inſipido præſtabit,
ut
dulcis dupla, aut quadrupla, aut octupla proportione inſipi­
dum
ſuperet, id eſt, per diapaſon, uel bis diapaſon, aut ter diapa­
ſon
: acidum uero inſipidum ſexquitertia ſuperabit.
Alia rurſus ra­
tio
in coniunctionibus ſaporum ad ſenſum uniuſcuiuſque referenda
eſt
, in quo enim eſt ſumma uoluptas comparatione ad illum, hic ſta
tuemus
diapaſon, optimumque conſtituemus ſaporem, dimidium il
lius
quod ad uires attinet ex minus iucundo ſexquitertium, ad il­
lum
minus iucundum ex medio.
Exempli gratia, proponamus ut
alicui
auſtera maximè iucunda ſint (nam ſalſa nemini, quòd nullum
animal
præter hominem, imò ne plantæ quidem niſi admodum
paucæ
, & ſui generis ſalſo alantur, iucunda eſſe poſſunt: cum ſalſum
amari
pars ſit, eoque deterius quod acutum ſit ſalſum, unde in ſale
nullum
animal naſcitur: in abſynthio, quanquàm ualde amaro, exi­
guum
muſcarum genus, nigrum tota æſtate oritur, & in ruta uer­
miculi
) is ergo auſteri, quantum ſatis erit ſumet, dulcis tanquàm me­
dij
.
gratia exempli (nam optima ad extremum oppoſitum uix tran­
ſire
queunt) beſſem accipito huius, gratia exempli, tanquàm deter­
rimi
aſtringentis dodrantem, ut ſit dulcis ad aſtringentem dupla
proportio
.
Sic ergo conſtituetur iuxta naturam propriam muſica
proportione
ſapor iucundiſsimus.
Idem quo que in odoribus & eadem ratione, ſed ex ſaporibus hoc
cum
intellectum ſit, fruſtra fuerit conſumere tempus, eadem enim
in
omnibus ad ſciendum proportionem intelligenda erunt.
Propoſitio centeſima ſexageſima octaua.
Picturarum proportiones explicare.
Eſt pictura imago rei corporeæ quanquàm, & per illam, & acti­

ones
, & cogitationes, ſed non niſi ut per corpora ſignificantur: ut
ergo
corpora ipſa referamus.
coloribus opus eſt, nam corpora, co­
lorata
ſunt, ſecundò ipſa rerum natura ſcientiaque illarum, unde pi­
ctorem
multiſcium eſſe neceſſe eſt.
tertium eſt, ut minimas earum
differentias
explicare norit.
quartum, ut affectiones, uelut in
1to ruborem, ciliorum contractionem, tumorem faciei in ambulante
inclinationem
quandam, flexionem cruris atque ſimilia.
quintum eſt
lux
coloribus exhibenda, ſed de horum nullo propoſitum eſt hic lo­
qui
, quando quidem hæc uſu magis & conſideratione, quàm ratio­
ne
conſtent proportioneúe, nec ſint adeò admiranda ut neque ſim­
plex
magnitudo quanſexto loco reponere poſſumus.
Tria ergo ui­
dentur
eſſe præcipua quorum nunc ratio habenda eſſet, ut ſint in
totum
nouem, ſed unum ex his relinquemus, tum quia alienum ab
hac
conſideratione, tum quia alibi pertractatum atque etiam ab alijs,
neque
adeò admiratione dignum ſcilicet magnitudo picturarum re­
ſpondens
magnitudini corporum iuxta ſitus differentiam, nam
quę
altiores ſunt paulo latiores atque in ſuperiori magis parte quam
in
inferiore, multò autem longiores eſſe oportet, ſic & quæ à latere
erunt
eadem ratione iuxta aſpectus ingredientium rationem.
Ve­
rum
hoc ut dixi omittamus, & de duplici miraculo in pictura lo­
quamur
, ſcilicet diſtantia magna quam in parua tabella referimus,
et
corporeitate quam in plano repręſentamus.
Horum autem duo­
rum
aliqua communia ſunt aliqua propria.
Dicemus ergo primum
de
corpore ita pingendo, ut palàm extra tabulam prominere uide
atur
.
Hoc autem primum ex forma ſumitur, nam ſi corpus in plano
ſit
neceſſe eſt, ut partes illius quædam prorſus abſcondantur, par­
tes
aliæ non prorſus, aliæ prorſus ſint in conſpicuo.
Ergo pictu­
ram
talem fingere oportebit, quæ partes ſingulas pro ratione oſten
dat
aut occultet.
Secunda ratio eſt quod ima corporis obſcura ſunt,
ſummę
partes lucidę & claræ ac lumine quaſi dealbatæ: media, me­
dia
quadam ratione ut in columnis, tantumque poteſt hæc ratio, ut
uel
ſola picturas fallere nos faciat corpora eas eſſe putantes.
Opor­
tet
autem imum eſſe ad unguem ſimile in colore colori anguli loci
& ſummum parti quæ ſe oculis maximè ſubiectam præbet & cla­
ram
: media uerò qualia ex umbris obſcurari ſolent.
Tertia ratio eſt
pro
modo partium iuxta obliquitatem aſpectus: nam inſpicienti a b
in
c d ex e oculo: depingemus in c d iuxta obli­
197[Figure 197]
quitatem
ſuam, quia cum c d uideatur per line­
as
e a c & e b d, & eleuatum in ſitu a b, neceſſe eſt
ut
uideatur in ſitu a b, ergo eleuatum à c d.
Eſt
& alia conſideratio proportionis ad proxima
remotaque
, grati a exempli, ſi homo eſſet poſt co­
lumnam
a b, lateret eius pars, quæ eſt propinquior parieti c d, ergo
ſi
depinxerimus hominis partes tantum dextram, reliquum ſub um
bra
, cogitur oculus iudicare columnam eleuatam a pariete.
De­
mum
omnia hæc ita ſunt ſubijcienda oculis, & per minimas
1rentias & animaduerſiones ita dijudicanda, atque experimento ſub­
ijcienda
, tum proprio, tum aliorum non artis in expertium, ut res
prorſus
abſoluta uideatur, atque in hoc multum refert multiplices
partes
ſecundum longitudinem coloribus diſtinguere ad hoc
ptis
, qui ſunt obſcurus, ſub obſcurus, cinereus, qualis ſilicis candi­
dus
ſine luce, demum etiam aliquid nigri adijciendum, nam diuiſio
ſecundum
longitudinem multum impedit, hanc repræſentationem
iuuant
, & extrema benè coaptata, uelut ſcapi imi, & capitula & ſu­
premi
, tum trabeationes ex materia coronæ, zofoni, tœnia, epiſtylia,
plinthi
, echini, hypotrachelia, aſtagali, apophyges.
Quæ etiam in
parte
inferiore cum ſpira ſeu baſi & limbo & toro & plintho inferio­
re
, & ſtylobata, et alia tœnia ſumma diligentia, & cum eleuatione ac
magnitudine
ultra columnæ limites extendantur.
Sicin ſtylobata
ratio
diapente conſtat, cui ſolet addi utrinque ſexta pars pro coro­
nice
, manifeſtum eſt autem, quod in ea conſtat muſica ratio diapa­
ſon
ex diapente & diateſſaro, compoſiti nam duæ ſextæ partes, alte
ra
utrinque adiecta tertiam conficiunt ut ſit diateſſaron ſuprà diapen
te
.
In regionibus autem & ſpatijs depingendis eadem fermè ſeruan
da
ſunt duobus tamen adiectis, quorum unum eſt ut longinquiſsima
pars
, non per nigrum aut obſcurum, ſed cœruleum colorem, qualis in
cœlo
determinanda eſt (niſi nox fingatur) nam cœlum longiſsimè
à
nobis diſtat, ita nubes coloribus proprijs, & montes cum niui­
bus
, & ſpatia uelut fluminis alueus, mare, lacus, atque hæc omnia
per
colores diſtantiæ finguntur, uelut fluminis pars propior clara
& lympida, & colore aqueo cernitur remota obſcura, quæ maxi­
procul abeſt nigra.
Sed maxima eſt confirmatio in compara­
tionibus
: ut ſi arbores propè magnæ ſint, & homines & animalia,
in
remotiore autem parte minimi, ac quaſi puncti magnitudinem
referentes
, atque ut in his muſica non geometrica aut arithmeti­
ca
proportio ſeruetur.
Equidem ſi quis iudicio hæc conſequa­
tur
, ac diligentia quæ ſcribi non poſſunt, ſed contemplatione ha­
bentur
, ſenſu quoque, quem experimentum docet, nec ipſum man­
dare
literis, licet ex rationibus tamen, quas hic docemus intelli­
get
parum differre repræſentationem à re ipſa corporea.
Sed de
his
hactenus, quæ ſi diligentius quis perſequi uelit ſine
artis
experientia, plus adimet perfectioni rei,
quam
adijciet.
Hoc enim aliâs

declarauimus
.
1
Co^{m}.
In prima
D
islcfficæ.
Propoſitio centeſima ſexageſima nona.
Proportionem muſicam in inſtrumentis declarare iuxta compo
ſitionis
rationem.
Co^{m}.
Tria ſunt inſtrumentorum genera, in quibus maximè relucet ra­
tio
compoſitionis muſicæ quæ à nobis nunc ſunt demonſtranda,
ſcilicet
machinæ bellicę, ut catapultæ & baliſtę & ſcorpiones, & hy
draulica
inſtrumenta ad modulationes parata, quæ antiquo tem­
pore
maximè in uſu fuerunt nunc deſita, de quibus Vitruuius agit

in
decimo libro.
Tertium eſt æneorum inſtrumentorum, quorum
etiam
uſus deſijt in ſcœnicis theatris, ad intendendam uocem cum
modulatione
, ut etiam clamor audientium & uulgi cum uoluptate

excipiatur
, de quo idem in quinto libro egit.
Sed nil melius quàm
uerba
ipſius explicare de hoc tractantis, ſunt autem hæc.
Muſicen
autem
ſciat oportet, uti canonicam rationem & mathematicam no­
tam
habeat: præterea baliſtarum, catapultarum, ſcorpionum tem­
peraturas
poſsit rectè facere.
In capitulis enim dextra ac ſiniſtra
ſunt
foramina homotonorum, per quę tenduntur ergatis aut ſucu­
lis
& uectibus è neruo torti funes, qui non præcluduntur, nec præ­
ligantur
niſi ſonitus ad artificis aures certos & ęquales fuerint.
Bra­
chia
enim quæ in eas tentiones includuntur cum extenduntur æ­
qualiter
& parter utraque plagam emittere debent.
Quod ſi non ho­
motona
fuerint, impedient directam telorum miſsionem.
Item the­
atris
uaſa ærea, quę in cellis ſub gradibus.
mathematica ratione collo­
cantur
, & ſonitum diſcrimina, quę Gręci ̓ηχ̂εια uocant, ad ſymphonias mu
ſicas
ſiue concentus componuntur, diuiſa in circinatione diateſſaron
& diapente & diapaſon, uti uox ſcœnici ſonitus conueniens in diſpo
ſitionibus
, tactu cum oſtenderit aucta cum incremento clarior et ſuauior
ad
ſpectatorum perueniat aures.
Hydraulicas quo que machinas & cæ­
tera
quae ſunt ſimilia his organis ſine muſicis rationibus.
efficere nemo
poterit
.
Capiamus ergo primum illud q̊d eſt manifeſtius, ſcilicet de
hydraulicis
organis quorum meminit Suetonius in Nerone: Reli­
quam
diei partem per organa hydraulica noui & ignoti generis cir
cunduxit
, oſtendenſque ſingula de ratione ac difficultate cuiuſque diſ­
ſerens
iam ſe prolaturum, ut conſtet illa fuiſſe magni opificij quæ
noſtra
ętate deſiere. Reſtat unicum & ualde leue exemplum auiculæ
æneæ
uelligneæ reſonantis.
Certum eſt aere effici ſonum, ſed ita mi
ſceri
aquæ, ut dulcior & mollior non ſolum euadat, ſed etiam acuti­
or
ac modulatior.
Eadem autem ratio maris: ſed cum aquæ corpus
moueatur
, uidetur difficile ſeruare proportionem.
ea prima diffi­
cultas
.
ſecunda eſt, quod cùm aqua moueatur, uix fieri poſſe uide­
tur
ut totum ſeruet uocis integrum tenorem.
tertia ob illius
1ſumptionem. Propterea nil mirum eſt ſi Nexo de his ſubtiliter di­
ſputauit
, mirum fuit quod in tanta animi perturbatione niſi ad
amentia
, ut illi putant, referatur.
Sed quid iam amplius uagor, extat

compendioſa
ratio conſtructionis illius apud eundem Vitruuium
ubi
Philander ex Atheneo ſonus hydradis ſuauis admodum atque

iucundus
auditu eſt: ita ut omnes concinnitate capti conuerterent,
fuitque
Alexendrinę urbis inuentum authore Cteſibio tonſore, eſt
autem
magnæ Clepſydræ inſtrumentum non abſimile, ſunt enim
fiſtulæ
in aquam contortæ, quæ, cùm aqua à iuuene quopiam per­
cutitur
, axinis per organum tranſeuntibus inflantur, periucundum­
qúe
ſonum emittunt.
Eſt autem aræ rotundæ hoc inſtrumentum
perſimile
inuentumque Ptolemæi ſecundi Euergitę temporibus, de
quo
eundem Cteſibium ſcripſiſſe ferunt.
Fiebant autem ex ære &
baſis
e ligno cum regulis dextra ac ſiniſtra ſcalari regula compactis,
aqua
autem in ęrea arca continebatur.
Facilè autem eſt per hæc reli
qua
inuenire: nam epiſtomijs includebatur aër atque reſerabatur, &
modus
erat per uectes: non tamen octo fiſtularum & exin de uocum
numerum
inſtrumentum id ſuperabat organa noſtra ut locupleti­
ora
ita aſperiora.
Liquet ergo ſi fabrilis omnis ars ad Architectum
pertinet
, illum etiam hac ratione oportere eſſe peritum muſicæ.
Cap. 15. ad
18
. & in
cap
. 13.
Cap. 5.
Lib, 10. cd,
16
.
Lib. 4. cap.
24
.
Lib. 5. ca. 5.
De Vaſis uerò æneis theatri quod melius eſt quàm ut eundem
authorem
conſulamus, dicentem uaſa ęrea pro ratione magnitudi­
nis
theatri ita fabricentur, ut cum tanguntur, ſonitum facere poſsint
inter
ſe diateſſaron diapente, ex ordine addit diapaſon, poſtea inter
ſedes
theatri conſtitutis cellis ratione muſica ibi collocentur: ita uti
nullum
parietem tangant circaque habeant locum uacuum et à ſummo
capite
ſpatium, ponantque inuerſa & habeant in parte quę ſpectat ad
ſcenam
ſuppoſitos cuneos ne minus alios ſemipede, contraque eas
cellas
relinquantur aperturę inferiorum graduum cubilibus lon­
pedes duos altæ ſemipedem.
Et ſi non erit ampla magnitudine
theatrum
, media altitudinis tranſuerſaregio deſignetur, & in ea tre
decim
cellæ duodecim æqualibus. interuallis diſtantes confornicentur
uti
ea echea quæ ſupra ſcripta ſunt, ad neten hyperboleon ſonan­
tia
in cellis quæ ſuntin cornibus extremis utraque parte prima col­
locentur
, ſecunda ab extremis diateſſaron ad netem diezeugmenon,
tertia
diateſſaron ad neten parameſon, quarta ad neten ſynemme­
non
, quinta diateſſaron ad meſen, ſexta diateſſaron ad hypaten me­
ſen
in medio unum diateſſaron ad hypaten hypaton.
Quæ sequun­
tur
& ad intelligentiam prædictorum melius ex Gulielmo Philan­
dro
emendata ſic tranſcribemus: Eas regiones in tredecim cellas
diuidit
æqualibus interuallis: id eſt, cellas paribus uiciſsim
1ſticijs diſpoſitas diſtribuit ſex hinc atque hinc & unam mediam, quæ
tamen
non uſus, ſed partitionis & reſponſus cauſa fit in media prę­
cinctione
.
In ima præcinctione ponuntur uaſa quę habent harmo­
nię
rationem, hoc modo.
In cornuum cellis collocantur quæ ſonitum ha­
bent
netes hyperboleon.
Subſequuntur utrinque quæ ſunt ad neten
diezeugmenon
interuallo conſonantia diateſſaron.
In tertijs cel­
lis
ſunt quæ ad neten parameſen interuallo item diateſſaron, quæ
ſunt
in quartis tono ſolummodo diſtant & ſunt netes ſynemenon.
In quintis cellis ſunt ad meſen interuallo diateſſaron. In ſextis cellis
ad
hypaten meſon, item diateſſaron ſpatio.
In media cella ſunt ad hy
paten
hypaton interuallo diateſſaron.
In media præcinctione ſunt
uaſa
chromatos, collocantur autem in cornibus uaſa quæ ſunt ad
paraneten
hyperbolem.
In ſecundis cellis ad paraneten diezeugme
non ſpatio diateſſaron, in tertijs ad paraneten hynemenon ſpatio dia
pente
.
In quartis ad lichanon meſon interuallo diateſſaron. In quin
tis
ad lichanon hypaton, item diateſſaron.
In ſextis ad parameſen q̊d
ſpatium
ad paraneten hyperboleon eſt diapente ad paraneten hy­
nemenon
diateſſaron.
In chromatis media cella nulla ſunt uaſa,
quod
à lichano hypaton ad proslambanomenon, aut ad aliam
mnino
decem & octo uocum nulla ſit conſonantia, ſunt enim hæ­
mitonia
tantum duo & tonus.
In tertia præcinctione collocantur
uaſa
diatoni.
Etin cornibus quidem ea quæ ſunt ad paraneten, hy­
perboleon
.
In ſecundis cellis ad paraneten diezeugmenon. ſpatio
diateſſaron
.
In tertijs ad paraneten hynemenon diapente. In quar­
tis
ad lichanon meſon diateſſaron.
In quintis ad lichanon hypaton
diateſſaron
.
In ſextis quæ ad proslambanomenon diateſſaron ſpa­
tio
.
In media quæ ſunt ad meſen, quod ea ad proslambanomenon
habet
conſonantiam diapaſon, & ad lychanon hypaton diapente.

Hæc
autem ex figura patent in opere de Subtilitate deſcripta.
Lib. 16.
Porrò quod ad machinas attinet. Sit catapulta, cuius rudens a b
quam
oportet trahere, ſi emittere debeat lapi­
198[Figure 198]
dem
, aut ſcorpio ſagittam ad aliquod ſignum
puta
c, cum ergo ſonus c a & c b homotenus fue
rit
, non ſolum æqualiter pertractæ erunt c a &
c
b, ſed etiam æquales: nam ſi æquales eſſent, &
inęqualiter
tractæ, aut inęquales & inæqualiter
tractę
ſonum diuerſum reddent euidenter.
At ſi in­
ęquales
& ęqualem ſonum reddant, erit tnm ut fidis
notæ
quæ ſtrepitum edit duplicem, & effigiem
oculis
multiplicem, unde ſagitta in partem aduer­
ſam
dirigitur rudentis intentioris, atque hæc ex Vitruuio eodem dum
de
his agit.
1
Propoſitio centeſima ſeptuageſima.
Coniugationes cuiuſuis numeri breuiter inuenire.
Sint gratia exempli decem homines, & patet quod poſſent eſſe ſin

guli
, & hoc decem modis, quia ſunt decem, ut Petrus & Ioannes: item,
poſſunt
eſſe omnes ſimul, & hoc uno modo tantum, & poſſunt eſſe
duo
, & hoc poteſt uariari quadraginta quinque modis: & poſſunt eſſe
octo
, & manifeſtum eſt, quod totidem modis uariantur, ſcilicet qua­
draginta
quinque, nam cum erunt octo, duo qui relinquuntur, uariari
poſſunt
45 modis, ergo & illi octo ad unguem totidem modis.
Et ſi­
militer
tres quot modis uariantur tot modis ſeptem, & quot modis
quatuor
tot ſex: quinque autem quia ſunt dimidium decem, pluribus
modis
uariantur.
Et ideò pro ordine huius detrahes unum, ut ſi ſint
undecim
uiri pones decem, ſi decem pones nouem, & colliges natu­
ralem
seriem numerorum, ut infrà uides uno ſemper termino defi­
ciente
: & ex priore ordine, ubi uidebis ſemper etiam duplicari nume­
ros
: ut 3. 6. in de ſub 6. 10. & 20 àlatere, & ſub 20 35. & à latere 70 du­
plum
35, & ſub

199[Figure 199]70 126, & à late­
re
252, & hoc pro
cognitione
q̊d
rectè
ſis opera­
tus
.
Secundò
nimaduertes
ſe­
quentes
ordines
fieri
ex recta li­
nea
priorum, ue
lut
ſextus ordo eſt 7. 28. 84. 210. 462. ita incipiendo in primo ordi­
ne
à 7, & tendendo ad dextram, inuenies illos eoſdem numeros ad
unguem
, & ita in ſeptimo ordine 8. 36. 120. 330. à ſiniſtra inuento 8
in
primo ordine, & procedendo ad dextram, inuenies 36. 120. &
330
. Tertium eſt quod numeri ultimi à medio ſunt ijdem, ut 462 &
462
. 330 & 330. 165 & 165. 55 & 55. 11 & 11. Et ſeorſum, ut dixi, rema­
net
1. Oportet igitur colligere numeros angulares, ut à latere ui­
des
, & fit 2047 numerus coniugationum, tot enim modis poſſunt
uariari
.
Et ſi eſſent decem tantum, ut ab initio propoſui, primus or­
do
finitur ad 10, ſecundus ad 45, tertius ad 120, quartus ad 210, quin
tus
ad 252, ſextus redit ad 210, ſeptimus ad 120, octauus ad 45, no­
nus
ad 10, decimus ad 1. Et ita colligeretur ſumma ex extremis nu­
meris
angularibus 1023. Et tot erunt coniugationes.
Hic uides quia
numerus
10 eſt par, et quod adempta monade, relinquitur 9, qui eſt
impar
quòd medius qui pertinet ad quintum ordinem eſt
1mus, & eſt 252, & eſt coniugatio quinarij: hoc uolui dixiſſe,
200[Figure 200]
ut
intelligeres rationes colligendi ſingulos ordines ſeor­
ſum
.
Quod ergo attinet ad collectionem maximi numeri,
primus
ordo ſeruit ſemper ultimo relinquendo monadem,
& ſecundus penultimo, & tertius antepenultimo, & ita de
201[Figure 201]alijs, nam ſi ſecundus uariatur 55 modis, &'pen­
ultimus
uariabitur 55 modis.
Et ſi tertius uaria­
tur
165 modis, antepenultimus uariatur 165 mo
dis
.
Et ita de alijs.

Co. ^{m}
Cor^{m}. 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 6 10 15 21 28 36 45 55 4 10 20 35 56 84 120 165 5 15 35 70 126 210 330 6 21 56 126 252 462 7 28 84 210 462 8 36 120 330 9 45 165 10 55 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ---- 2047 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ---- 1023
Hæc autem ratio ſatisfacit multum, & eſt ne­
ceſſaria
in temperiebus corporis humani.
Vt in
ſecundo
, De dentibus.
Et etiam ut quælibet di­
ſciplina
quàm breuiſsimè tradi poſsit, ut gratia
exempli
, medicina tota in una pagina, dico me­
dicina
non ſolum Græcorum, ſed etiam Arabum
& Latinorum, & etiam longè plus: nam ſi tradatur uiginti quatuor
regulis
simplicibus, & ex illis fiant coniugationes 16777215, mani
feſtum
eſt quod erunt regulæ omnes multo plures, quàm con­
tineantur
in omnibus libris Græcorum, & Arabum, & Latino­
rum
, qui extant.
Et tamen perſpicuum eſt, uiginti quatuor regulas
una
pagina commodiſsimè contineri.
Et hoc aliâs docui, quan­
quàm
credam me erraſſe in ſupputatione, nam locum inuenire non
potui
.
Vnum eſt id certum, quòd hæc ratio quàm nunc explicabo,
eſt
uera & demonſtratiua, & facillima.
Cum enim ſuperior ſit uera & demonſtratiua, non eſt tamen fa­
cilis
, & præcipuè in magnis numeris.
Et ideò inueni hanc, quæ (ut
dixi
) facillima eſt: adde numero propoſito monadem, in de confla­
ri
inuenias numerum à monade in eodem ordine, & ab eo detra­
cta
monade habes numerum coniugationum.
Exemplum, ſi ſint
10
adde 1 fit 11. Vndecimus ergo numerus in proportione dupla
eſt
1024, detrahe 1 & relinquantur 1023 numerus coniugationum,
ut
in priore ſupputatione.
Item ſi ſint 11 numeri adde 1 fit 12, duo de­
cimus
ergo numerus in proportione dupla eſt 2048, detrahe 1 re­
linquuntur
2047, coniugationes 11, ut prius in ſuprà ſcripto exem­
plo
.
Et ita pro uiginti quatuor regulis adde 1 fit 25, uigeſimus quin­
tus
igitur numerus in ordine duplæ proportionis à monade eſt
16777216
, ergo detracta monade relinquitur numerus (ut dixi) re­
gularum
& coniugationum uiginti quatuor regularum, quæ ta­
men
non ſint contrariæ inuicem: nam tunc eſſent pauciores.
Et
quia
in iſtis numeris duplicandis poſſes facile incidere in errorem,
diuide
ultimum per 16, & ſi nihil ſupereſt, rectè proceſsit opus: ſin
1autem aliquid ſuperſit, aberraſti. Vt au­
202[Figure 202]
tem
habeas numeros ſingulorum or­
dinum
, in quauis multitudine, deduci­
to
numerum ordinis à primo, & diui­
de
per numerum ordinis ipſius reli­
quum
, & illud quod prouenit, duci­
to
in numerum maximum præceden­
tis
ordinis, & habebis numerum quæ­
ſitum
.
Velut ſi ſint undecim, uolo ſci­
re
breuiter numeros, qui fiunt ex ua­
riatione
trium.
Primum deduco pro
ſecundo
ordine 1 ex 11 fit 10, diuido per
2
numerum ordinis, exit 5, duco in 11 fit
55
numerus ſecundi ordinis.
Inde detra
ho
2, qui eſt numerus differentiæ ordi­
nis
tertij à primo ex 11, relinquitur 9, di­
uido
9 per 3 numerum ordinis exit 3, du­
co
3 in 55 numerum ſecundi fit 165, nu­
merus
tertij ordinis.
Similiter uolo nu
merum
uariationum quatuor, deduco
3
differentiam 4 à primo ordine ab 11,
relinquitur
8. diuido 8 per 4 numerum ordinis, exit 2, duc 2 in 195
fit
330. numerus quarti ordinis.
Similiter pro quinto detraho 4 dif­
ferentiam
à primo ordine, relinquitur 7, diuido per 5 numerum or­
dinis
exit 1 2/5, duco in 330 numerum præcedentis ordinis, fit 462
numerus
quinti ordinis.
1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 32 7 64 8 128 9 256 10 512 11 1024 12 2048 13 4096 14 8192 15 16384 16 32768 17 65536 18 131072 19 262144 20 524288 21 1048576 22 2097152 23 4194304 24 8388608 25 16777216
Ex hoc colligitur manifeſtè modus conuertendi proportionem

arithmeticam
in proportionem miſtam: dico miſtam, quia opor­
tet
addere monadem in priore numero: dein de quia numerum
terminorum
oportet ſumere iuxta numerum aſsignatum, ſcilicet
addita
monade: demum, quia oportet detrahere monadem ipſam.
Eſt tamen ſumpta à proportione Geometrica ut liquet, ſcilicet con­
tinua
dupla.
Cor^{m}. 2.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima prima.
Propoſitis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios, ſeu in
continuum
, ſeu medios in continua proportione arithmetica, geo­
metrica
& muſica inuenire.
Hæc tota propoſitio pendet ex intellectu diffinitionis earum.

Sint
ergo propoſiti duo numeri 2 & 3, & uelim tertium in conti­

nua
proportione arithmetica, duplico quemuis, ut pote 3 fit 6,
1traho 2, reliquum remanet 4 tertius numerus. Item uolo quar­
tum
, duplico 4 fit 8, detraho 3 remanet 5 quartus numerus: item
uolo
minorem 3 & 2, duplico 2 fit 4, detraho 3 remanet 1, ſi autem
uellem
minorem uno, non poſſet, quia eſſet nihil, ſed creſcendo
poteſt
extendi in infinitum, ita capio 2, & <02> 10, duplico <02> 10, fit <02>
40
, detraho 2, remanet <02> 40 m: 2, & ita ſi uolo quartum numerum,
duplico
<02> 40 m: 2 fit <02> 160 m: 4, detrahe <02> 10 ex <02> 160 m: 4, re­
manet
<02> 90 m:4, & ita 2 <02> 10 <02> 40 m: 2, & <02> 90 m: 4, ſunt in con­
tinua
proportione arithmetica, & ita poteſt extendi in infini­
tum
.
Sed ſi uellem unum, aut duos, aut tres terminos, uel quouis
medio
5 arithmeticæ, diuido differentiam per 1 p:numero termi­
norum
, & partes addo minori numero.
Exemplum, uolo tres nu­
meros
medios inter 2 & 7 in continua proportione arithmeti­
ca
, detraho 2 à 7 remanet 5, diuido 5 per 1 p: quam 3, id eſt per 4,
exit
1 1/4, adde ergo 1 1/4 ad 2 fit 3 1/4 primus terminus, cui adde iterum
1
1/4 fit 4 1/2 ſecundus terminus, cui adde iterum 1 1/4 fit 5 3/4 tertius
numerus
: fient ergo quinque termini, hoc modo in continua pro­
portione
arithmetica 23 1/4 4 1/2 5 3/4 & 7. Rurſus uolo totidem, uolo
inter
2 & <02> 32, detraho 2 ex <02> 32 remanet <02> 32 m: 2, diuido per 4,
qui
eſt 1 p: numero terminorum, exit <02> 2 m: 1/2, addo ergo <02> 2 m:
1
/2 ad 2 fit 1 1/2, p: <02> 2 primus terminus, cui iterum addo <02> 2 m: 1/2 fit
<02> 8 p:1, ſecundus terminus, cui etiam addo <02> 2 m: 1/2 fit <02> 18 m:
1
/2, & ita habes tres terminos medios in continua proportione
arithmetica
inter 2 & <02> 32, & ita ſi uelles quatuor terminos, diui­
deres
differentiam per 5, & ſi uelles quinque, diuideres per ſex.
&
ita
de alijs quibuſcunque.
Co_{m}.
Diff, 20.
Pro Geometrica proponantur, gratia exempli, 2 & 4, ſi uelim in
continua
proportione tertium, duco 4 in ſemet fit 16, diuido per 2
exit
8. & ſi uelles quartum duc 8 in ſe fit 64, diuide per 4 exit 16
quartus
terminus, & ita in infinitum, & ſi uelles minorem 2, duc 2
in
ſe fit 4, diuide 4 per 4 exit 1 tertius terminus, & ita ſi uelles mino­
rem
.
duc 1 in ſe fit 1, diuide per 2 exit 1/2 quartus terminus, & ita ha­
bes
quoſuis terminos, & eſt ſimilis arithmeticæ hæc operatio, ſed
in
arithmetica duplicamus unum terminum, & detrahimus alium:
in
geometrica multiplicamus unum terminum ad productum, &
diuidimus
per alium.
Et ſi uelim terminum in continua proportio­
ne
2 & <02> 10, duco eodem modo <02> 10 in ſe fit 10, diuido per 2 fit 5
tertius
terminus, & uelim quartum, duco 5 in ſe fit 25, diuido per <02>
10
exit <02> 62 1/2 quartus terminus.
Et ſi uelles plures terminos medios in proportione geometrica, de
ducito
maius extremum in ſe ſecundum denominationem inferiorem, id
1eſt, ſi uolo duos terminos ſemel, & dein de in minorem, & <02>
cubica
producti eſt ſecundus terminus, idem facio de minore in
ſe
in de in maiorem, & accipio <02> cu.
Exemplum, uolo duos termi­
nos
inter 2 & 3, duco 3 in ſe fit 9, duco 2 in 9 fit 18, capio <02> cu.
18. hic
eſt
unus terminus, & ita duco 2 in ſe fit 4, duco in 3 fit 12, capio <02> cu.
12 pro ſecundo termino. Et ſi uolo tres terminos, duco 3 in 3 fit 9, du
co
3 in 9 fit 27, duco 2 in 27 fit 54, & <02> <02> 54 eſt primus terminus.
Item duco 2 in 2 fit 4, duco 3 in 3 fit 9, duco 4 in 9 fit 36, & <02> <02> 36, id
eſt
, <02> 36 eſt ſecundus terminus, ſimiliter duco 2 ad ſuum cubum fit
8
, duco 3 in 8 fit 24, & <02> <02> 24, eſt tertius terminus.
Similiter uolo
quatuor
terminos medios, duco 3 in 3 fit 9, duco 9 in 9 fit 81, duco 2
in
81 fit 162, & <02> relata prima 162, eſt primus terminus, item duco 2
in
2 fit 4, & 4 in 4 fit 16, & 3 in 16 fit 48, & <02> relata prima 48 erit
quartus
terminus, item ducendo 3 ad cubum fit 27, & 2 ad quadra­
tum
, & fit 4, & 4 in 27 fit 108, & <02> relata prima 108, erit ſecundus
terminus
, & ſimiliter ducendo 2 ad cubum fit 8, & 3 ad quadratum
fit
9, & 9 in 8 fit 72, & <02> relata prima 72 eſt tertius terminus.
Habe­
bis
ergo terminos in continua proportione 2, id eſt, <02> relata pri­
ma
32, <02> relata prima 48, <02> relata prima 72, <02> relata prima 108, <02>
relata
prima 172, & <02> relata prima 243, quod eſt 3, & ita de alijs in
infinitum
.
At pro muſica, ſi ſint exhibiti duo numeri minores utpotè 2 & 3,
uelim
tertium terminum, diuido 2 per 1 differentiam exit 2, detraho
1
pro regula remanet 1, diuido 3 maiorem terminum per 1 exit 3, ad­
de
3 ad 3, fit 6 maior terminus.
Similiter capio 3 & 4, diuide 3 mino­
rem
terminum per 1 differentiam exit 3, detrahe 1 pro regula, relin­
quitur
2, diuide 4 terminum medium per 2 exit 2, adde ad 4 fit 6 ma
ior
terminus.
Stiphelius autem erat in ſua regula, nam ſic 12 4 & 3
eſſent
in continua proportione muſica ex ſua regula.
Dico ergo,
quod
ſi proponantur 5 & 7, & uelim muſicam proportionem con­
tinuare
, detraho 5 de 7 relinquitur 2, diuido 5 per 2 exit 2 1/2, detra­
he
1 pro regula remanet 1 1/2, diuide 7 per 1 1/2 exit 4 & 2/3, adde ad 7
fit
11 2/3, reduc ad integra multiplicando omnia per 3, habebis
35
, 21, & 15, in continua proportione muſica, nam 35 ad 15 eſt ut 7
ad
3, & 14 ad 6, eſt ut 7 ad 3, eſt autem 14 differentia 21 & 35, & 6 dif­
ferentia
21 & 15, & ita poſſes continuare inueniendo quartum,
quintum
, ſextum, in infinitum.
Rurſus ſint propoſiti duo termini
maiores
, uelut 6 & 4, detrahe 4 à 6 exit 2, diuide 6 per 2 exit 3, ad­
de
1 pro regula fit 4, diuide 4 minorem terminum per 4 exit 1, de­
trahe
1 ex 4, relinquitur 3 minor terminus, & ita propoſitis 6 & 3
1differentia eſt 3, diuide 6 per 3 differentiam exit 2, adde 1 pro re­
gula
fit 3, diuide 3 per 3 exit 1, detrahe ex 3 relinquitur 2 minor ter­
minus
, & ita potes inuenire quotuis.
Gratia exempli, habeo 3 & 2
maiores
, capio 1 differentiam, per quam diuido 3 exit 3, addo 1
fit
4, diuido 2 minorem terminum per 4 exit 1/2, detrahe 1/2 ex
2
, relinquuntur 1 1/2, erunt ergo 32 & 1 1/2, 1. 6. 4. 3. duplican­
do
2, ut prius in continua proportione muſica, quia ergo 632
ſunt
in continua proportione muſica, & 32, & 1 1/2 ſunt in con­
tinua
proportione muſica, erunt duplicando 3. 4. 6. 12. in con­
tinua
proportione muſica.
Rurſus ſint propoſiti maior, & mi­
nor
terminus, ut 6 & 2, diuides maiorem per minorem exit 3,
cui
addes 1 fit 4, diuide 4 differentiam 6 à 2 per 4 iam inuentum
exiti
, adde ad 2 fit 3 medius terminus, ſimiliter inter 6 & 3, uolo me­
dium
terminum in proportione muſica, detraho 3 à 6, relinquitur
3
, ſimiliter diuido 6 maiorem terminum per 3 minorem terminum,
exit
2, addo 1 pro regula fit 3, diuido 3 differentiam iam ſeruatam
per
hoc 3 iam inuentum exit 1, addo ad 3 minorem terminum fit 4,
medius
terminus, ſic uolo inter 4 & 6 medium terminum in con­
tinua
proportione muſica, diuido 6 per 4: exit 1 1/2, addo ei pro re­
gula
fit 2 1/2, diuide 2 differentiam 4 & 6 per 2 1/2 exit 4/5, adde ad 4
fit
4 4/5 terminus medius, duc omnes in 5, habebis integros nume­
ros
30, 24 & 20, & ſunt pulcherrimæ regulæ, quia poſſes diui­
dere
24 & 20 interponendo medium, id eſt capiendo 6 & 5, diui­
de
6 per 5 exit 1 1/5, adde 1 pro regula fit 2 1/5, diuide 1 differentiam
per
2 1/5 exit 5/11, adde ad 5 fient termini 5 5/11 & 6, reduc ad integra fi­
ent
55. 60. 66. & quia 30. 24. & 20, etiam erant in continua propor­
tione
, & 30 ad 20, erat ſexquialter, ideò capiam ſexquialterum ad
55
, & eſt 82 1/2, erunt ergo 82 1/2 66. 60. & 55. in continua proportio­
ne
muſica, ergo duplicando 165 132 120 & 110, erunt in continua
proportione
.
Adnotat Stiphelius, quod cum fuerint tres termini in continua
proportione
geometrica, & inter primum & tertium interpoſitus
fuerit
terminus in continua proportione arithmetica, quod ibi
erit
proportio muſica, & dat exemplum de 12. 9. 8 & 6, ſed ita eſt in­
telligendum
, ut aſſumpta proportione arithmetica, ut potè 12 9 &
6
, in de ut eſt 9 ad 6, ita fiat 12 ad 8, tunc iſti tres termini 128 & 6
runt
in continua proportione muſica.
Et hoc eſt pulchrum, ſi ita in­
telligatur
, ſcilicet ex proportione Geometrica & Arithmetica con­
ſtituere
proportionem muſicam.
1
Ex hoc patet q̊d in proportionem Arithmetica & muſica ſemper, ſi

duo
termini fuerint numeri, tertius erit numerus, & in Geometrica
idem
erit, ſi medius & extremus fuerint numeri, erit alter extremus
numerus
, ſed tamen ſi unus euariet, omnes poterunt eſſe diuerſi.
Cor^{m}.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima ſecunda.
Proportiones Stiphelij deſcribere.
Conſiderauit Michael Stiphelius quod ſumpſit à Boentio, quaſ­

dam
inueniri proportiones tribus numeris conſtitutis, quæ in nul­
lo
trium primorum generum continerentur, ſed quædam tamen
geometricis
aliæ muſicis aſsimilarentur, prima ergo Geometrica­
rum
eſt, quoties proportio ſecundæ ad primam fuerit, uelut diffe­
rentiæ
ſecundæ & primæ ad differentiam ſecundæ & tertiæ.
Velut

capio
2, 4, 5, proportio 4 ad 2 eſt dupla talis eſt 2 differentiæ 4 & 2

ad
1 differentiam 5 & 4, nam in uera proportione Geometrica fit
conuerſo
modo, quia proportio ſecundæ ad primam eſt, uelut dif­
ferentię
tertiæ & ſecundæ ad differentiam ſecundæ à prima ut in 4.
6
. & 9 proportio 6 ad 4 eſt uelut 3 differentiæ 9 ad 6 ad 2 differen­
tiam
6 & 4.
Co^{m}.
2 1
2 4 5
Secunda proportio quam ille appellat poſteriorem, eſt in qua pro
portio
tertij ad ſecundum eſt uelut differentiæ primi & ſecundi ad
differentiam
ſecundi & tertij: Velut capio 1, 4, 6, proportio 6 ad 4

tertij
ſcilicet, & ſecundum eſt uelut 3 differentiæ 4 & 1, ad 2, differen­

tiam
6 & 4, & hæc ſimiliter differt à Geometrica uera in eo quo in
Geometrica
uera oporteret, ut proportio tertij ad ſecundum eſſet
ut
differentia tertij & ſecundi ad differentiam ſecundi & primi.
Dif­
fert
à priore, quoniam in illa differentiæ ſeruant eundem ordinem,
quanuis
transferantur in hac uerò fit conuerſus modus.
3 2
1 4 6
Tertia eſt ut ſit proportio differentiæ primæ & tertiæ ad diffe­
rentiam
primæ & ſecundæ, uelut ſecundæ ad primam, in Geometri
ca
autem eſſet ſicut aggregati ſecundæ & primæ ad ipſam primam,
tales
ergo quantitates erunt uelut 4, 6, 7, nam proportio 6 ad 4 eſt

uelut
3 differentiæ 4 & 7 ad 2 differentiam 4 & 6.

3
4 6 7
2
Quarta proportio ſimilis Geometricæ eſt cum fuerit proportio
differentiæ
primæ & tertiæ ad differentiam tertiæ & ſecundę, uelut
ſecundæ
ad primam, uelut in 2, 3, 5 proportio differentiæ 5 & 2 quæ


eſt
3 ad differentiam ſecundæ & tertiæ, quæ eſt 2 eſt uelut 3 quantita

tis
ſecundæ ad 2 quantitatem primam.
3
2 3 5
2
Prima autem harmonicarum quæ notha eſt nec legitima, hoc modo
ſumitur
: Vt ſit proportio primæ ad tertiam uelut differentiæ ſecun

& tertiæ ad differentiam ſecundæ & primæ, ueluti capio 6 pri­

mam
5 ſecundum 3 tertiam proportio 6 ad 3 eſt dupla ſicut 2
1rentiæ ſecundæ à tertia ad 1 differentiam ſecundæ à prima. Manife­
ſtum
eſt autem quod in uera harmonica proportio differentiarum
eſt
primæ & ſecundæ ad illam quæ ſecundæ & tertiæ.
1 2
6 5 3
Secunda notha harmonica eſt, ut ſit propor­
203[Figure 203]
tio
primæ ad tertiam, uelut differentiæ primæ à
tertia
ad differentiam ſecundæ à tertia, ponatur
25
, prima 21, ſecunda 15, tertia proportio 25 ad 15
eſt
uelut 10 differentiæ primę à tertia ad b differen
tiam
ſecundæ à tertia.
Tertia eſt ſimilis priori, niſi quod ſumitur dif­
204[Figure 204]
ferentia
primæ à ſecunda pro ultimo termino.
Ex­
emplum
, 25 primus terminus, 19 ſecundus, 15 ter­
tius
, proportio 25 ad 15 eſt uelut 10 differentiæ pri­
a tertia ad b, differentiam primæ à ſecunda.
Has proportiones quanquàm exiguæ utilitatis, proponere uo­
lui
, ut excogitatis aliquibus demonſtrationibus, uelut ſuperius
diximus
, pulchra theoremata & problemata tradi poſſent.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima tertia.
Circulum ſuper centro ſuo mouere æqualiter, ita quòd omnia
illius
puncta per rectam lineam moueantur ultro citro que.
Co^{m}.
Sit a centrum circuli b c, & æqualis ei
205[Figure 205]
circulus
d e, centrum eius b in circumfe­
rentia
circuli b c, fixum ita ut ibi mouea­
tur
ad motum circuli b c: & moueatur b
uerſus
c æqualiter, & e contrario motu
etiam
regulariter, & duplo uelocius ex e
uerſus
d, dico omnia puncta d e moue­
ri
in linea recta, & primum capio pun­
ctum
d, quod ſit in linea recta centro­
rum
: & moueatur b ad c, & ſi circulus d e
eſſet
immobilis, palam eſt quòd pun­
ctum
d cum ſit in una linea a b, cum b
perueniret
in c, d eſſet in linea a c, putà in
h
ſecundum quantitatem, ergo b d ex

centro
c, deſcribo circuli portionem h k,
duco
etiam c k, erit ergo angulus h c k
duplus
a, quare arcus h k duplus b c,
nam
conſiſtunt in centris circulorum æ­
qualium
: igitur cum ex h motu conuerſo, & duplo ueloci in codem
tempore
feratur d perueniet in k, & ita ſecundum rectam lineam
erit
motum eadem ratione ex d in k, quod erat demonſtrandum.
1
Per 20. ter
tij
Elem.
Ex hoc patet quòd quando b
206[Figure 206]

erit
in c peracta quarta circuli, ut in
ſecunda
figura erit per motum l e
in
a: nam cum d a ſit dupla c b, igi­
tur
in eodem tempore l perueniet
ad
a, in quo b perueniet ad c.
Cor_{m}. 1.
Dico etiam, quod quando b per­

ueniet
ad fin prima figura, d perue­
niet
ad g, quia permeabit totum cir
culum
, & a b d ſunt in una recta li­
nea
.
Et cum b perueniet ad m in ſe­
cunda
figura, d rurſus perueniet ad a centrum.
Cor_{m}. 2.
Ex hoc patet, quòd punctum d permeabit lineam rectam æqua­

lem
duplo diametri unius circuli, id eſt, quantum eſt linea a g in pri
ma
figura.
Cor^{m}. 3.
Sequitur etiam, quòd d punctum meabit et remeabit per rectam

lineam
ag, peragendo bis eam in uno circuitu circuli b c, ſeu duo­
bus
circuitibus d e.
Cor^{m}. 4.
Oſten damus modo, quod pun
207[Figure 207]
ctum
d extra lineam centrorum, ſci
licet
in linea d c a f tranſibit per re­
ctam
eandem, ut in tertia figura pro­
ducatur
c d uſque ad k, ita ut c k ſit
æqualis
c a, erit ergo punctus d pri
figuræ m è regione k tertiæ, &
dum
c mouetur ad e, d perueniat
ad
g, erit ergo e g æqualis ea, & ſe­
cet
circulus g h rectam a d in h, &
ducatur
c h.
Et erit ut prius angu­
lus
h e g duplus h a g, ergo arcus
g
h duplus e c, ergo g remeauit in
h
in tempore quo c feretur in e,
quare
d deſcendit per rectam in h.
Dico rurſus, quòd quanto ma­
gis
d erit propinquum lineæ d g,
tanto
minus deſcendet in recta,
quanto
magis propinquum longi
tudinibus
medijs, tanto celerius mo
uebitur
, adeò ut in ſecunda figura
apparet
motum ex d in g, non deſcendit niſi per d n, & motum ex g
in
l deſcendit ex n in a centrum fixum.
Deſcendat ergo ex e in h & h
1in k per arcus æquales, & ducantur arcus h l & k m. Quia n m & n l
ſunt
minores quarta circuli, & maiores ſunt f e & fl, & angulus an­
gulo
non minor, patet propoſitum.
Ita ergo motus, ut appropin­
quant
punctis medijs ſunt uelociores, & in æquali diſtantia æquales.
Et hoc inuentum fuit Ludouici Ferrarij, cuius meminimus in Ar
te
magna, & nos ei ſubtexuimus ex noſtra inuentione, cuius ille de­
monſtrationem
inuenire nequiuit.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima quarta.
Progreſſus & regreſſus tam ſine latitudine, quàm cum latitudi­
ne
in planetis per ſolos concentricos circulos æqualiter motos de­
monſtrare
.
Co^{m}.
Sit eclyptica a b c d, & arcus regreſſus b c in partes
208[Figure 208]
quatuor
æquales diuiſus, & deſcribantur circuli duo b
h
& e k ſuper e & f, & ſupponatur orbis ſuperior ſub
eclyptica
tamen, cuius polus in f, qui circumagatur in du
plo
temporis retroceſſus planetæ, & in diſtantia circuli
e
k ſub puncto e eclypticæ, polus alterius orbis concen­
trici
inferioris, qui circumagatur in tempore retro ceſſus
planetæ
, & planeta ſit in puncto 6, liquet ergo quòd pla
neta
ille in uno circuitu e k circuli permeabit b c & re­
meabit
, & ſemper erit ſub ipſa eclyptica.
Sed enim eclyptica habet
rationem
rectæ lineæ, ut quiuis circulus maximus.
Et ſi quis relu­
ctetur
fingamus rectam ſubtenſam arcui b c, & aliam poſtmodum
æquidiſtantem
in eadem ſuperficie, & in orbe inferiore, & tunc pa­
tebit
liquidò propoſitum.
Sed ſi uelim latitudinem deſcribam, ma­
ximam
latitudinem à puncto b, & ducam circulum magnum per
punctum
illud: reliqua ut prius, ad unguem: nihil enim refert quod
ad
demonſtrationem præcedentis attinet, ſeu a d ponatur eclypti­
ca
, ſeu alius circulus magnus.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc patet cauſa cur retroceſſus in initio, & in fine ſint exigui,
in
medio ſint magni imò maximi, & quomodo perpetuò uarietur
latitudo
in tempore retro ceſſus, & ratio omnium, & ſimiliter de in­
crementis
& uelocitate motus.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc ſequitur, quod cum erratica fuerit in centro ſeu polo f, &
tunc
mouetur uelociſsímè, quòd tamen erit in oppoſito ſolis, &
tunc
etiam ibi erit ipſe polus, quare alter erit cum ipſo ſole.
Cor_{m}. 3.
Et quia dum motus eſt uelociſsimi ſecundum ordinem ſigno­
rum
, tunc erratica ſuperior eſt ſoli iuncta, eſtque in polo, oportet ut
polus
f moueatur ſecundum ordinem ſignorum, adeò ut cum ſol
peruenerit
ad illius oppoſitum, orbis ſuperior dimidium perfecerit
1circuitus, inferior autem integrum. Ergo orbis ſuperior tanto tar­
diùs
mouetur ſole, quantum eſt id quod peragit polus ſine æquali
motu
in orbe ſignorum, per motum circunducentis orbis ſuperio­
ris
in tempore dimidij circuitus.
Inferior ergo cum moueatur du­
plo
uelociùs ſuperiore, ut dictum eſt, igitur duplo uelocius ſole, ni­
ſi
quantum eſt duplum motus poli ſuperioris per motum orbis
circunducentis
.
SCHOLIVM I.
Intelligo autem per arcum retro ceſſus non ſolum illum quo pla­
neta
retrocedit, nam hic eſt longè minor arcu proceſſus, ſed in quo
motus
in æqualis eſt minor æquali, palam autem eſt hunc fore æ­
qualem
arcui uelocioris motus quàm ſit motus æqualis.
SCHOLIVM II.
Cum ergo, dum erratica eſt in polo orbis ſuperioris, ibi quieſcat
motu
eius, motu autem inferioris orbis uelociſsimè moueatur ſeu
progrediendo
ſeu regrediendo motuque circulari, & tamen per re­
ctam
lineam, igitur uideretur quòd motus circularis partes poſſet
tranſire
in rectum.
Reſpondeo quòd ſufficit ſola inclinatio ob ma­
gnitudinem
anguli: nam dum ſydus transfertur extra centrum mo­
tu
orbis inferioris, mouetur uelociter quo ad angulum motu orbis
ſuperioris
.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima quinta.
Cauſam uarietatis diametrorum ex ſuppoſitis concentricis de­
monſtrare
.
In tribus ſuperioribus planetis & quibuſcunque ſtellis octaui or­

bis
manifeſtum eſt, quòd pars quæ reſpicit nos quantò remotior
fuerit
à Sole, tanto magis illuminatur.
Manifeſtum eſt etiam & expe­
rimento
& ratione, quòd illud quod magis lucet, & eſt illuminatum
à
Sole in nocte, maius uidetur, ſicut etiam de facibus nocturnis.
Et
rurſus
, quod ſub ſtantia orbium circa loca quæ habentur pro polis
eſt
denſior, & quod res in medio denſo apparent maiores, ſicut de
piſcibus
in aqua, denarijs & baculis.
Demonſtratum aunt eſt in præ­
cedenti
, quod quando ſtella fuerit in polo orbis ſuperioris, quòd
tunc
maximè retrocedit, & ideò cum in tempore maximi retro ceſ­
ſus
ſit in oppoſito Solis dum tres ſuperiores ſunt in oppoſitu Solis,
multo
maiores duabus ex cauſis eſſe uidentur, & iuxta proportio­
nem
propinquitatis ad Solem commutant quantitatem & tanto
minores
apparent, quia non poſſunt, commutare formam, uelut Lu­
na
propter æqualitatem ſubſtantię & luminis proprij copiam, quę
non
ſinit diſcerni uarietatem figurę.
In Luna autem ſecus eſt, nam in
1ipſa diſcernitur ob paucitatem luminis proprij figuræ uarietas, &
ob
id non apparet maior, imò minor aut mediæ quantitatis in op­
poſito
Solis, ſed maxima in longitudinibus medijs, quoniam ibi
ſunt
poli motus uarietatis ut dictum eſt, quę habet locum retro ceſ­
ſus
, ſed ob motus paruitatem Luna non poteſt retrocedere, uerùm
ſolùm
motus tardatur.
Nam licet denſitas ſit in cœlo ſuperiore &
motus
uelox nihilominus efficit imaginem maiorem, ſicut apparet
de
piſce in magna aqua in medio, & in parua in imo, nam in parua
uidetur
longè maior quàm in magna, licet ſit in æquali diſtantia.
In
Venere
autem & Mercurio eadem eſt ratio diſtantiæ à Sole ut di­
ctum
eſt in præcedenti.
Cum ergo ſub Sole multum moueantur
motu
differentiæ uel ſecundum ſucceſsionem, uel contra ſucceſ­
ſionem
in medijs longitudinibus, parum tunc uidentur eſſe mino­
res
, quia ſunt remotiores à polo orbis ſuperioris.
Quod autem pro
pinqui
coniunctioni Solis, & ueloces uideantur minores, iſtud
contingit
ob primam cauſam, quia minus illuminantur, ea parte
quæ
ad nos uergit.
Reſtat ergo ſolum oſtendere cur propinqui
Soli
& in retroceſſu uideantur maiores, cùm utraque ratio obſtet, ſunt
enim
remoti à polo orbis ſuperioris & propinqui Soli, cauſa eſt
quoniam
apparent ſolùm in crepuſculis quando ſunt ſic diſpoſiti,
& tunc aër eſt craſsior.
Quæ cauſa facit, ut neque dum uelociſsimi
ſunt
ſemper parui uideantur, ideò non poteſt conſtitui certa ratio.
imò iſta deducta ſunt potius ex fundamento falſo illius figmen­
ti
, quam ex ſenſu (ita enim argumentantur) retro cedunt, ergo ſunt
propinquiores
terræ, ergo uidentur maiores, & ita fingunt ſen­
ſu
ſehabere quod falſa ratione oſtendere uidentur.
quodque iſtud
ſit
uerum, patet quia nullum inſtrumentum etiam in aëre clariſsimo
Aegypti
poteſt oſtendere differentiam minorem ſex minutis, &
hic
eſt fermè diameter Mercurij, nec tanta eſt differentia in Venere.
Reliquum eſt ut ſatisfaciamus obiectioni quam faciunt de diuer­
ſitate
magnitudinis Lunæ propter eclipſim, nam uidetur eſſe ali­
quando
maior, & aliquando minor in æquali diſtantia à ſectione
capitis
& caudæ draconis, adeò ut non uideatur poſſe aſsignari.
di
co
ergo huius cauſam eſſe umbram ipſius Lunæ dubiam, ſicut eti­
am
in crepuſculis, quoniam Sol in diuerſo ſitu facit diuerſam um­
bram
comparatione oculi noſtri, maior eſt enim in hyeme quàm
in
æſtate, & quæ eſt propior nobis quàm quæ procul, & quæ eſt in
meridie
quàm iuxta Ortum uel Occaſum, & ideò tam parua diffe­
rentia
& incerta, & quæ aliquando uariat, nullo modo uitiare po­
teſt
rationem motuum æternorum.
1
Co^{m}.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima ſexta.
Rationem centri grauitatis declarare.
Duplicem rationem centri grauitatis inuenit Archimedes, unam

ſuſpenſorum
ponderum: alteram ſupernatantium aquæ, in qua­
rum
utraque ſubtilitatis certè eſt quantum dignum eſt authore illo
ingenioſiſsimo
, ſicut etiam in elica linea, fructus autem non pro ra­
tione
laboris, neque enim ab ætate illa uſque nunc inuentus eſt quiſ­
quam
, qui potuerit docere, nec ille idem quæ nam utilitas ex huiuſ­
modi
contemplatione haberetur, propterea totum hoc una propo
ſitione
concluſimus.
Co^{m}.
Dico igitur quòd centrum grauitatis in appenſis æqualibus qua­
dratis
aut quadrilateris parallelis eſt, ubi ſe interſecant duæ diame­
tri
.
Et quod in triangulis eſt punctus in quo concurrant tres lineæ,
ductę
ab angulis ad latera illa per æqualia ſecando.
In quadrilatero
autem
trapezio centrum grauitatis eſt in puncto lineæ, quæ ſecat
ambo
latera oppoſita per æqualia, ita ut proportio partis eius li­
neæ
, quæ intercipitur à minore æquidiſtantium, ad partem quæ in­
tercipitur
à maiore æquidiſtantium, ſit ueluti dupli maioris æqui­
diſtantium
cum minore ad duplum minoris æquidiſtantium cum
maiore
.
Cuiuſcunque portionis à recta linea, & rectanguli coni ſecti­
one
comprehenſæ, centrum grauitatis diuidit diametrum portio­
nis
, ita ut pars eius ad uerticem terminata, ſit ad partem eam ſexqui­
altera
, quæ ad baſim portionis terminatur.
Cuiuslibet fruſti à ſecti­
one
rectanguli coni ablati, centrum grauitatis eſt in linea recta, quę
fruſti
exiſtit diametros: qua in quinque partes æquas diuiſa, cen­
trum
in quinta eius media exiſtit, atque in eo eius puncto quo ipſa
quinta
ſic diuiditur, ut portio eius propinquior minori baſi fru­
ſti
ad reliquam eius portionem eam habeat proportionem, quam
habet
ſolidum, cuius baſis ſit quadratum lineæ illius quæ fruſti ba­
ſis
maior extiterit.. Altitudo ueró iſtis utriſque ſimul æqualis lineæ
quæ
dupla ſit minoris baſis fruſti, & baſi maiori eiuſdem, ad ſoli­
dum
quod baſim habeat quadratum baſis minoris fruſti, altitudi­
nem
uero iſtis utriſque ſimul æqualem lineæ quæ dupla ſit maioris
baſis
, & baſi minori.
Et hæc de prima, multa qúe alia pulchra de­
clarat
Federicus Comandinus, in ſuo libro de Centro grauitatis, ut
pote
.
Quod cuiuslibet portionis conoidis rectanguli axis à cen­
tro
grauitatis ita diuiditur ut pars, quæ determinatur ad uerticem
reliquæ
, quæ ad baſim terminatur dupla ſit, & longè ſubtiliora quę
quilibet
uidere poterit apud illum.
1
SCHOLIVM.
Partes omnes conſentiunt in grauitatem medij, quoniam una
aliam
non uult centro mundi fieri propiorem.
De ſecunda præcipua ſunt, quod ſi magnitudo aliqua humido
leuior
ea in grauitate proportionem habebit ad humidum ęqualis
molis
, quam pars magnitudinis demerſa ad totam magnitudinem,
& hoc intelligitur quando magnitudo illa fuerit è genere ſolido­
rum
rectorum & rectangulorum.
Secunda eſt, quòd quæ ſimilia
ſunt
ſuperficiebus, ita ut axem habeant in medio, ſecundum ſitum
axis
merguntur & prominent, & ſi aliter mergantur, redeunt.
Ter­
tia
, quod quę anguſtiora ſunt, ab oppoſita parte uerò latiora, incli­
nantur
ad partem acutiorem, quia ſic facilius deſcendunt.
Quarta
eſt
, de corporibus non æqualibus, ipſa enim neceſſe eſt, ut ab hac ſe
inflectant
, & ratio horum diuerſa eſt iuxta rationem proportionis
partium
quæ merguntur adinuicem.
Quinta eſt, quòd merſa in hu­
mido
, quanto minus merſa fuerint, tanto facilius & eo frequenti­
us
commutantur.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima ſeptima.
Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiuſdem quanti
tatis
ad alias duas componatur: erit proportio illarum duarum ea­
dem
proportioni producti ex proportione in primam duarum
quantitatum
detracta priore illa quantitate, quæ ad duas compara
tur
, ad eandem priorem quantitatem.
Sit proportio a ad compoſita ex proportionibus c

209[Figure 209]
ad
d & c ad e, dico quòd proportio d ad e eſt, ut produ­
cti
ex proportione in d detracto c ad ipſum c.
Et nos
ſuperius
expoſuimus conuerſam huius.
Erit enim per
ſecundam demonſtrationem illius proportio a ad b, uelut producti
ex
c in d, & e ad productum d in e: at productum d in e & in propor
tionem
, eſt idem quod productum proportionis in d in ipſum e: igi
tur
cum in uno ſit productum e in c, & d in c, in alio productum a b
in
d in de in e, quæ ſunt æqualia, detracto producto e in c ex produ­
cto
proportionis in d & inde in e, relinquetur, productum c in d æ­
quale
producto a b .i.
proportionis in productum d in e, detracto
numero
c in e: igitur ducto c in d, & diuiſo per productum a b in d
numero
c, exibit e, igitur cum illud productum fiat ex d, ſcilicet in c,
& ex e in productum proportionis in d dempto numero c, erit pro
portio
d ad e, uelut producti ex d in proportionem, detracto e ad
ipſum
c, uelut c ſit 12, d 4, e 6, a b erit 5 proportio d ad e, uelut d in a b,
id
eſt 20, detracto c, & eſt 8 ad c 12.
1
Co^{m}.
Ex demonſtratione ſequitur, quod qualis eſt proportio e ad a b,

talis
eſt producti d in e, ad aggregatum eorum.
Si quis ergo dicat,
habeo
10, & uolo inuenire duas quantitates, quarum differentia ſit
1
, & proportio 10, ad eas componat quintuplam, dices quintupla
eſt
dimidium 10, igitur in uenias duas quantitates, quarum differen
tia
ſit 1, & proportio producti unius in alteram ad aggregatum ſit
dupla
.
Et hoc eſt manifeſtum.
Corm.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima octaua.
Proportionem miſtionis metallorum, maximè auri & argenti
declarare
.
Dubium non eſt, quod miſtio non cognoſcatur ducto ponde­

re
totius in partem auri uel argenti, & productis collectis diuiſo
aggregato
per aggregatum ponderis, idqúe eſt per ſe manife­
ſtum
, nam qualis eſt proportio partis ad partem, talis eſt totius ad
totum
.
Co^{m}.
Sed eſt genus miſtionis, quod uocant conſolationem. Veluti,
uolo
ex argento perfectionis decem & ſeptem, & quinque, confla­
re
argenti maſſam centum librarum perfectionis nouem, ita agen­
dum
eſt.
Detrahe 9 à 10, & omni maiori 10, relinqui­
tur
1, hoc ſuppone 7 & 5, item detrahe 7 & 5, & omne
210[Figure 210]
minus
9 à 9, relinquitur 2 & 4, iunge omnia reſidua
fient
8, nam 4. 2. 11. Dicemus ergo quod 8 uncię per­
fectionis
nouem componentur ex 6 uncijs perfe­
ctionis
decem & una ſeptem alia quinque.
Poſt di­
ces
, ſi unciæ octo fiant 100, ſex & una, & una, quot fient, eruntque un­
ciæ
aut libræ, aut ut uocant marchæ perfectionis decem, & duo de­
cim
cum dimidia, ac duodecim cum dimidia perfectionis, ut ſe­
ptem
& ut quinque: licebit etiam propoſitis terminis pluribus ex
repetita
operatione idem facere, ueluti ſint maſſæ perfectionis 10.
7
. 5. & 2. uolo maſſam perfectionis ut 8. Tu ſcis quod ex 10. 7 & 5.
fit
maſſa perfectionis nouem data lege ſub 6. 1 & 1. nunc habeo iam
perfectam
ut 9, aliam ut 2, detraho 2 ex 8, relinquitur 6 & 8, x 9 re­
linquitur
1, iunge fient 7, erunt ergo ſeptem unciæ, in
211[Figure 211]
quibus
ſex erunt perfectionis, ut 9 & 1 perfectionis ut
2
, & totum erit perfectionis ut octo.
Duc ergo, ut ex­
plores
ueritatem, 6 in 9 fit 54, duc 2 in 1 fit 2, iunge fit 56
diuide
per 7 exit 8 perfectio quæſita.
Per idem intelliges detractionem ex maſſa argenti perfectionis
7
, detraxi quartam partem perfectionis 10, uolo ſcire dodrantem
1 qualis relinquatur perfectionis, duc quadrantem in 10 fit 30, duc 12
in
7 fit 84, detrahe 30 ex 84, relinquitur 54, divide 54 per 9, reſidu­
um
12 & 3, exit 6 perfectio reſidui.

Si quis dicat propoſitis argenti pondo 50 & dodrante perfe­
ctionis
11/18, uolo partem aſſumere, & igne perficere, ita purum ar­
gentum
, quod relinquitur additum reſiduo, efficiat ipſum perfe­
ctionis
dextantis & beſsis unciæ pro libra, ſeu 8/9, divide 11/18 per 8/9 exit
11
/16, duc in pondo 50 cum dodrante, fiunt pondo 34, unciæ 7 1/8, hoc
igitur
erit aggregatum conflatum ex argento puro & reſiduo.
De­
trahe
igitur 11/18 ex integro, relinquitur 7/18, detrahe pondo 34, uncia
7
1/8 ex pondo 50 cum dodrante, relinquuntur pondo 15 unciæ 6 7/8
(pondo enim uncias continet ſub hoc ſenſu, quia uſui ſeruimus
cto
) divide per 7/8, exeunt pondo 40 unciæ 6 1/4, & tanta pars debuit
igne
purgari.
In ea enim erunt puri argenti pondo 24, unciæ 7 /78,
quæ
addita reſiduo, ſcilicet pondo 9, uncijs 7 3/4 conficiunt pondo
34
uncias 7 1/8 perfectionis dictæ.

Quidam miſcuit uncias decem auri perfectionis dextantis, &
partem
perfectionis dextantis cum dimidio, & aliud perfectionis
beſsis
concreuit maſſa perfectionis dodrantis unciarum octuagin
ta
, quæruntur pondera reliquarum partium, ſubtrahe 10 pondus
ex
80 pondere, relinquuntur 70 perfectionis 17 5/7, inde detrahe per
modum
ſuperiorem, & relinquuntur 3 2/7 & 1 5/7,
212[Figure 212]iunge ſimul fiunt 5, dico ergo, ſi 6 producit
70
, quid producet 3 2/7 & 1 5/7, & inuenies quod 1 5/7
producet
24 & 3 5/7 producet 46, qui iuncti faci­
unt
70.
Igitur aurum perfectionis dextantis
cum
dimidio fuit unciarum 46 aurum perfe­
ctionis
, beſsis unciarum 24.
Reliqua interro­
gata
diſſolues per regulas Algebræ, horum
modo
.
Propoſitio centeſima ſeptuageſima nona.
Si duobus totis duæ portiones ſimiles abſcindantur, ab eiſdem
denuo
, & abſciſsis proportionibus partes eædem auferantur, denuoque
ac denuo, quoties libuerit à portionibus, & à reſiduis ipſarum
quantitatum
partes eædem auferantur, erit reſidui ad reſiduum, ue
luti
totius ad totum.
Co^{m}.
Sint duæ quanitates a b & k l, & abſciſſæ duæ partes ſimiles ex
utraque
b c & l m, & ſit propoſita aliqua proportio, quæ ſit h, &
ſumatur
portio b d ipſius b c, ſecundum proportionem h, & ſi­
1militer l n ipſius l m, iuxta pro­
213[Figure 213]
portionem
h, ſumatur rurſus

de
ipſius a b pars ſecundum h,

& n o ipſius k l, ſecundum ean
dem
proportionem.
Et rurſus

ſumatur
e f æqualis d b, & o p

æqualis
n l, ut ſint portiones
b
c & l m ſecundum proportionem h, & ſumatur f g ipſius a c, ſecun

dum
proportionem h, & p q ipſius k o, ſecundum eandum propor­

tionem
, & ita procedendo ſemper, dico quod erit a g reſidui ad k q

reſiduum
, ut a b ad k l.
Quia enim a b ad b c, ut k l ad l m ex ſuppoſi­

to
, erit a b ad b d, ut k l ad l n: eſt etiam a b ad d e, ut k l ad n o ex ſup­
poſito
, igitur a b ad b c, ut k l ad l o.
Igitur a b ad a c, ut k l ad k o. Rur

ſus
quia b c ad e f, ut l m ad o p, erit a b ad e f, ut k l ad o p, at fuit a b
ad
a e, ut k l ad k o & a e ad g f, ut k o ad p q, igitur a b ad' g f, ut k l ad
q
p.
Quare a b ad g e, ut k l ad q o. Iterum ergo a b ad b g, ut k l ad
l
que Ergo a b ad a g, ut k l ad k que Igitur a b ad k l, ut a g ad k q, quod
erat
demonſtrandum.
Per 22.
quinti Elem.
Per 18.
quinti Elem.
Per 19. &
22
. eiuſdem.
Per 22. eiuſ­
dem
.
Per eandem.
Per 19. &
22
eiuſdem.
Per eaſdem.
Per 19 quin­
ti
Elem.
Per 16. eiuſ­
dem
.
Ex hoc patet, quod etſi proportio non maneat eadem in parti­

bus
totius, & partis modo ſit eadem in totis ad partes aſſumptas, et
in
partibus ad partes aſſumptas, nihilominus ſequitur idem.
Cor^{m}. 1.
Sequitur rurſus, quod etſi proportio eadem non maneat quan­

titatum
aſſumptarum ad partes quæ ſumuntur, nec etiam partium
modo
ſemper pars, quæ aſſumitur ſit totius pars, & alia partis idem
ueratur
.
Cor^{m}. 2.
Velut ſi prima uice capiam b d partem b c, ut l n partem l m ſe­

cundum
h proportionem, & deinde capiam d e partem a b & n o
partem
k l ſecundum proportionem r, quæ ſit alia ab h, & ſecunda
uice
capiam e f partem b c, & o p partem l m ſecundum proportio­
nem
h, quæ ſit alia ab h & r.
Et capiam f g partem a e & p q partem
k
o, ſecundum eandem proportionem, ſed tamen quæ non ſit ali­
qua
prædictarum, ſcilicet h r s, ſed diuerſa ab eis, & uocetur t, dico
quod
nihilominus erit proportio a g ad k q, ut a b ad k l, quæ pa­
tent
ex ui demonſtrationum, in quibus nil plus aſſumitur ad de­
monſtrandum
, quàm id quod proponitur in corrolarijs.
Com.
Ex hoc etiam ſequitur, quod ſecundum quem numerum prima

quantitas
abſumetur, ſecundum eundem abſumetur & ſecunda.
Cor^{m}. .3.
Velut ſi prima quantitas abſumatur ad unguem in quinta detra­

ctione
, etiam ſecunda k l in quinta detractione ad unguem abſume
tur
, quod patet per demonſtrata, nam reſidua ſemper ſunt eædem
partes
ipſarum quantitatum.
1
Co^{m}.
Quarto ſequitur, quod ſi detractio fuerit facta eodem modo, &

fuerit
proportio totius ad totum, ut reſidui ad reſiduum, erunt par
tes
aſſumptæ ſimiles.
Cor^{m}. 4.
Velut ſi fuerit facta detractio iuxta propoſitionem, aut primum

uel
ſecundum corrolarium, & fuerit proportio a g ad k g, ut a b ad
k
l, erit a b ad b c, ut k l ad l m.
Co^{m}.
Sequitur etiam, quod ſi fuerit aſſumpta proportio primarum par­

tium
eadem, & facta fuerit detractio in omnibus præter unam iux­
ta
dicta, & fuerit totius ad totum, ut reſidui ad reſiduum, erit ut illa
etiam
reliqua detractio, ſeu ad tota, ſeu ad partes ſit facta, ſecundum
eandem
proportionem.
Cor^{m}. 5.
Velut ſi ſit proportio a b ad k l, ut a g ad k g, & rurſus ut b c ad

l
m, & aſſumptæ ſint proportiones eædem ſemper totius, & totius
ad
partes, & reſiduorum ad partes, etiam & b c & l m ad partes, eti­
am
excepta una ſeu quantitatum a b & k l, ſeu reſiduorum ut a c &
k
o, ſeu partium ut b c & l m ad partes, dico quod partes etiam
erunt
aſſumptæ ſecundum eandem proportionem ad ipſas magni­
tudines
, uel partes primas uel reſidua.
Co^{m}.
Sed & id ſequitur ex his, quod cuiuſcunque ſeu totius ſeu partis

ſeu
utriuſque pars maior aſſumetur, erit maior proportio totius ad
totum
quàm reſidui ad reſiduum.
Cor^{m}. 6.
Hæc demonſtrantur à Campano, nam ſi ſit maior proportio a b

ad
a g, quam k l ad k g, erit maior a b ad k l quàm a g ad k g.
Co^{m}.
Rup. 16.
quinti Elem.
Sequitur rurſus, quod in eadem conſtitutione cuiuſcunque ma­

ior
pars abſumetur, ea quantitas minori numero, uel numeri parte
abſumetur
.
Cor^{m}. 7.
Nam ſi minor erit continuo proportio a b ad a e, quàm k l ad k

o
, & a e ad e g, quàm k o ad o g, erit longe minor a b ad b g quàm k l
ad
l g, igitur longe maior a b ad a g quam k l ad k g.
Igitur a g citius
abſumetur
quam k g.
Co^{m}.
Propoſitio centeſima octuageſima.
Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius,
quantitatis
ad partes illas compoſita proportio eiuſdem quan­
titatis
ad partes alias quantitatis diuiſa aliter proportio eadem
componi
.
Co^{m}.
Sit a b proportio ad partes c d quæ ſint c e, & c d componens f,
dico
quod non poterit c d aliàs diuidi, ut proportio a b ad illas
componat
eandem proportionem f.
Aliter ſit diuiſa in g, & erit
1nor c g, minor aut maior c d minore, capiam ergo c d minorem, erit
igitur
proportio a b ad c d maioris exceſſus ad proportionem a b
ad
c g, quàm ſit proportio a b ad g d, ma­
214[Figure 214]
ior
proportione a b ad c e, propterea quod
g
e communis differentia maiorem habet
proportionem
ad e d quam g c, igitur ma­
ius
eſt aggregatum proportionum a b ad
c
e, & e d, quam eiuſdem a b ad c g & g d, quod erat demonſtrandum.
Propoſitio centeſima octuageſima prima.
Cum fuerit aliqua proportio compoſita ex proportionibus pri­
ad ſecundam & tertiam, & rurſus quartæ ad quintam & ſex­
tam
, ita ſe habebit proportio ſecundæ ad tertiam proportionem
quintæ
ad ſextam, uelut producti ex proportione in ſecundam de­
tracta
prima ad primam ad productum ex proportione in quin­
tam
, detracta quarta ad quartam.
Sit pro portio g compoſita ex proportionibus a
215[Figure 215]
ad
b & c, & proportionibus d ad e & f, dico quod
quemadmodum
b ad c, ad proportionem e ad f, ita
producti
ex g in b, detracto a ad a ad productum ex
g
in e, detracto d ad d.
Eſt enim, ut demonſtratum
eſt
b ad c, ut productum ex g in b, detracto a ab a & e ad f, ut pro­
ducti
ex g in e, detracto d ad d, igitur cum æqualium ſint eædem
comparationes
, erit ut proportionis b ad c ad proportionem e ad
f
, ita producti ex g in b, detracto a ad a, ad productum eſt g in e, de­
tracto
d ad d.
Quare erit proportio b ad c ad proportionem e ad f, uelut reſi­
dui
b detracto quod prouenit, diuiſo a per proportionem a ad pro
portionem
reſidui e detracto quod prouenit diuiſo d per propor­
tionem
ad ipſum d.
Propoſitio centeſima octuageſima ſecunda.
Propoſita differentia proportionum partium ſimilium ad par­
tes
aſſumptas propoſitaque proportione totius ad reſidua eandem
differentiam
proportionum totius ad reliquum reſidui inuenire.
216[Figure 216]
Sint datæ partes b c & e f, ſimiles in compa­
ratione
ad a b & d e, & data reſidua a g & d h
in
comparatione a b & d e, ſimilia in differentia
proportionis
f e ad c l, ad proportionem
c
b ad b k, dico quod data eſt differentia proportionis a b ad g k
ad
proportionem d e & f h.
Nam quia proportio f e ad c l, ad
1portionem b e ad c k data eſt, & c f ad e d, ut b c ad b a, erit ut a c ad
l
e contineat a b ad b k, ut f e ad e l, c b ad b k, ſed a b ad a d, ut d c ad
d
h, igitur a b ad b d, ut d e ad c h.
Sunt ergo duæ quantitates a b &
d
c, quæ eandem habent compoſitam proportionem ad g k & k b,
& h l & l e, quare per præcedentem proportionis h l ad l e, ad pro
portionem
g k ad k b, ut h l detracto prouentu d e, diuiſi per propor
tionem
ad d e ad proportionem g k, detracto prouentu a b, diuiſi
per
eandem proportionem ad ipſum a b.
Si igitur nota eſt l e & h l,
erit
nota proportio reſidui h l detracto prouentu d e diuiſi per pro­
portionem
, quare nota detractio g k detracto prouentu a b diuiſi
per
eandem proportionem ad a b.
Eſt autem a b nota, & propor­
tio
nota, & ideo prouentus, & cum ſit proportio nota, erit ergo
reſiduum
notum, cui addito prouentu fit tota g k nota, quod fuit
demonſtrandum
.
Propoſitio centeſima octuageſima tertia.
Spatium uitæ naturalis per ſpatium uitæ fortuitum declarare.
Cum conſtet homines caſu uiuere ægrotantes primum ſæpe:

deinde
uiuentes in aëre malo, & ipſum intempeſtiuis horis ſub­
euntes
triſtitijs, curis, uigilia, uenere, laboribus perperam ſe excru­
ciantes
, tum uerò immodico cibo & potu, & prauo, & ſæpius, quàm
oporteat
, & intempeſtiuè, & malè præparato, & uario ſe replentes,
atque
ſic alij ad ſexageſimum, alij ad ſeptuageſimum, rari octuage­
ſimo
, rariores nonageſimo uel centeſimo anno ita moriuntur, ut non
caſu
, neque ui aut morbo, ſed potius quaſi naturali quadam morte
abſumpti
intereant: de quibus tantum eſt ſermo.
Atque ut exem­
plo
commodiore utamur, capiamus annum octogeſimum, qui eſt
terminus
communis uitæ humanæ, non ſolum noſtra ætate, ſed an­
tiquo
tempore etiam fuit, ut Dauid teſtatur in Pſalmis, in Cantico
Moyſis
: antea autem ſi quis moriatur, non naturali morte, ſed ui
morbi
abſumptus exiſtimatur.
Certum eſt, quod ſi homo recta ra­
tione
uiueret, quod aliquanto diutius uitam extenderet, neque enim
negare
poſſumus, cum in magnis exceſsibus maximè ſectionis ue­
& curarum, quin homo euidentur uitam breuiorem efficiat:
quod
ergo euidentiſsimum eſt in magnis exceſsibus, in paruis ean­
dem
habet uim licet occultiorem.
Errorem autem in uita hunc adeſ­
ſe
perpetuum, quiſque intelligit qui noſtras actiones penſitare uelit,
cum
ſaltem malam ſequamur conſuetudinem: iam ergo proponan­
tur
iuxta dicta duę lineę a b uitę naturalis exquiſitę recte longior &
1c d uitæ quam is uicturus eſt, id eſt, annorum octuaginta, quam con­

ſtat
eſſe breuiorem aliquanto.
Et proponatur error quadrageſimæ
partis
in ipſa uita, quamuis ſit longe maior: quotuſquiſque enim eſt
qui
non ſaltem edat bibatque quadrageſima parte, pluſquàm opor­
teat
in comparatione ad naturam, id eſt, ut natura fatigatur quadra
geſima
illa parte amplius quàm debeat: idem dico de laboribus, cu
ris
, uigilijs, uenere.
Sed hoc non eſt generale: habetque multas exce­
ptiones
inuicem pugnantes, ut tandem concludam non concoqui
plenè
poſſe, & ob id impurum manere, unde citò diſſoluitur, & ca­
lorem
etiam naturalem extinguit: atque etiam ob id, tum quia debi­
tos
labores, & multo minus ad perfectam ætatem perferre non poſ­
ſunt
, denſari nequit & pingueſcere, ut duplici cauſa multo celerius
reſoluatur
, una etiam calorem extinguat.
Sit ergo a e talis pars a b,
qualis
c f, c d.
Cum ergo a b conſumi­
217[Figure 217]
tur
in octuaginta annis, ſemper ſeruat
proportionem cum uita contracta, quæ
æqualiter
abſumitur: quia portiones
illæ
æquales ſunt in minore inuicem ſicut in maiore, & inæquales
ſeruant
eandem proportionem, ſumatur ergo a b annorum cclvij.
menſium v. & abſumatur ſemper quantitas æqualis octuageſima
a
e, & quadrageſima a b & reſiduorum.
218[Figure 218]
Co^{m}.
Prop. 179.
E
t in cor. 1.
& 2.
An. An. Quad. An. An. Quad. An. An. Quad. An. An. Quad. An. An. Quad. An. An. Quad. 257 20 14 168 32 28 106 25 41 65 27 54 36 6 68 13 23 1 250 0 15 163 24 29 103 0 42 63 2 55 34 10 69 12 10 2 242 30 16 158 21 30 99 17 43 60 19 56 32 16 70 10 38 3 235 28 17 153 23 31 95 38 44 58 0 57 30 24 71 9 28 4 228 33 18 148 30 32 92 23 45 55 22 58 28 34 72 8 19 5 222 5 19 144 2 33 89 11 46 53 7 59 27 6 73 7 11 6 215 23 20 139 18 34 86 2 47 50 34 60 25 19 74 6 4 7 209 8 21 135 0 35 82 36 48 48 24 61 23 34 75 4 38 8 203 0 22 130 25 36 79 34 49 46 16 62 22 11 76 3 34 9 196 37 23 126 15 37 76 35 50 44 10 63 20 29 77 2 31 10 191 1 24 122 9 38 74 0 51 42 6 64 19 9 78 1 29 11 185 10 25 118 7 39 71 6 52 40 4 65 17 30 79 0 28 12 179 25 26 114 9 40 68 15 53 38 4 66 16 13 80 0 0 13 174 6 27 110 15 67 14 37
Vt corrigas tabulam, ſcito quod numerus quadrageſimæ cum
ſuperiore
annorum numero à leua componit numerum quadrage
ſimæ
ſuperioris ſimpliciter, aut abiectis quadragenarijs.
Velut è
regione
trigeſimi anni, ſunt anni nonaginta nouem, quad.
17 è
directo
anni 29, ſunt anni 103, quad.
0. ad de 17 quad. ad 103 fit 120,
abijce
40 ter, nil ſupereſt, & ita nulla eſt quadragenaria è regione
29
& 103.
1
Rurſus cum deuenimus ad annos 79, ſuperſunt ſolum 28 qua­
dragenariæ
, & eſt minus anno, ſed hoc fieri ob fractiones & nume­
rorum
partes, & etiam ſi eſſet aliquis error, eſſet magis ad augen­
dum
numerum annorum 257, menſium ſex quàm ad diminutio­
nem
, ideo non curaui de exacta ueritate.
Præterea ex hac tabella dignoſcis, quod in ultimis annis parum
poteſt
produci uita in comparatione ad primos, ueluti in 60 anno
ſuperſunt
anni 20, ex uita ordinaria, ex exacta paulo plures quàm
25
, ſcilicet 25 cum dimidio.
Ergo à 60 anno non poterit per quam­
uis
cuſtodiam homo producere uitam plus annis quinque cum di­
midio
.
Et ſi dicas tunc cuſtodia maximè opus eſt, & magis quàm
unquam
, reſpondeo quod uerum eſt, ſed non ad producendum ui­
tam
, ſed ne in morbum incidas: nam ex quocunque morbo homo ab
ea
ætate perit, cum habeat adeò imbecilles uires.
Ex hoc patet,
quod
Alexius Cornarius, patritius Venetus, cum incœpiſſet cuſto
diam
anno 36, cum poſſet uiuere 44 annis, iuxta rationem uitę com
munis
, potuit producere eam annis 79, igitur annis 25 pluſquàm ui
xiſſet
uita communi etiam quòd fuiſſet ſanus.
Si ergo aliquis ſit uicturus centum annis uita communi adde­
mus
eodem modo trigeſimam nonam partem, id eſt quadrageſi­
mam
partem, & quadrageſimam quadrageſimæ huic numero, &
unum
amplius, & habebimus numerum ut infrà.
219[Figure 219]
An. An. Quad. An. An. Quad. An. An. Quad. 257 20 87 314 33 94 383 11 81 265 3 88 323 34 95 394 3 82 272 34 89 333 5 96 405 6 83 280 32 90 342 26 97 416 27 84 289 0 91 352 16 98 428 13 85 297 16 92 362 16 99 440 11 86 306 0 93 372 27 100 452 22
Et ex hac tabula dignoſcemus quantum quiſque poſsit uiuere,
quouis
tempore ætatis ſuæ, illud intelligendo quod non eſt eadem
menſura
omnibus, ut neque uitæ ordinariæ, nec magnitudinis cor
porum
, nec ingeniorum, nec eiuſmodi in aliquibus uita decreſcit
per
uigeſimam partem, hic ſcilicet qui inordinatè uiuunt, alijs uix ſe
xageſima
, quan<08> pauciſsimis.
Hic ergo numerus maximè concor­
dat
cum experimentis duobus, quae apparuerunt parum ante tempora no
ſtra
, ſcilicet Ioannis de temporibus, qui uixit annis 361, & Richardus
de
temporibus, annis 400. Et ambo fuerunt milites Caroli Ma­
gni
, nam non potuerunt omnino proſpicere uitæ rationi exquiſi­
tiſsimæ
.
Referunt etiam in India noſtris temporibus uiuere ad centum
1quinquaginta annos, cuius cauſam transferunt in aërem: ego po­
tius
in uitæ genus, abſtinent enim carnibus, ouis, caſeo & uino,
tunturque
fructibus tantum, & uiuebant ſine ſolicitudine ulla & cu­
ris
.
Vnde rectè inſinuatum eſt etiam ultra hiſtoriam, quod Adam
eſſet
perpetuò uicturus, ſi non deguſtaſſet fructum arboris boni &
mali
, id eſt, quod mors nobis obrepit ob, ſolicitudines & curas.

uenzoar
autem cum uixerit multis cum curis, & fuerit in carcere
Hali
, & ab eo per iniuriam uexatus, & natus in malo aëre, ſola ratio­
ne
uictus produxit uitam ad annos 135, ut teſtatur Auerroes, quid
euenturum
erat, ſi in bono aëre educatus nihil graue, & adeò diu­
turnum
expertus fuiſſet:
Pro uſu autem huius & ſuperioris tabulæ, ſi quis proponat iu­
uenem
ex ſtirpe eorum, qui uiuunt ſexaginta annis, iam natum de­
cem
& ſeptem annos, uelimusque ſcire quantum uiuere poſsit, uide è
regione
20 annorum in primo ordine, & habes annos 139. Quad.
18
. & ab hoc numera 17 annos, & habebis annos 37 è regione,
quorum
ſunt anni 76. Quad. 35, id eſt, menſes 10, dies 15. uel iunge
17
, numerum annorum exactorum, & 20 numerum annorum defi­
cientium
ab 80, fiunt anni 33, ut prius, è quorum regione habet an­
nos
76. quad.
35.
At ſcio multos qui parum conſyderatè hæc legunt, obiecturos,
primum
quod neque mihi, neque ulli alij potui, uel ad centum uel ad
nonaginta
annos uitam producere.
Secundum, q̊d ſi uita humana eſſet
eiuſmodi
, naturaliter eſſet ut in pluribus: at uix inuenire licet aliquem
qui
exceſſerit centeſimum uigeſimum annum.
Et maximè cum ſcri­
ptum
ſit: Non ſpiritum meum in carne ultra centum uiginti annos,
& loquitur Deus.
Videtur etiam neceſſe hoc uolenti, cupere totam
uitam
ſub incerto fine, & non uacare, nec negotijs nec uoluptati,
quæ
ſunt duo illa præcipua, quibus uita noſtra conſtat, & maximè
amittere
bona, adeò ſecura ob tam leuem & inanem ſpem.
Abſur­
dum
etiam eſſe hoc quod latuerit tot præclaros medicos atque phi­
loſophos
, quorum nullus de hoc ſermonem fecit.
Hæc & huiuſmo
di
ſunt quę mihi obij ci poſſe ſentio.
At rogo quid admirabilius eſt,
an
ſolem eſſe plus centies et ſexagies terra ac mari, an homines tam­
diu
poſſe producere uitam?
Et plures imperito hoc quam illud cre
dituri
ſunt: & tamen res illa ita ſe habet, nec apud ſapientes dubia
eſt
: nedum incredibilis.
Similiter quòd corpus adeò tenue, debeat
adeò
celeriter circumferri, ut in uno ictu pulſus debeat peragere
ſpatium
bis mille quingentorum millium paſſuum, & tamen & il­
lud
demonſtrari poteſt euidentiſsimè.
Ergo ut ad obiecta reſpon­
deam
ſerò mihi hoc inuenire contigit, infeliciter natus, peius
1tus & imbecilli corpore ac natura, quod aliâs dixi, nec forſan in
quibuſdam
ſufficiat educatio ab initio, ſed requiritur ſucceſsio,
qualis
fuit olim per multas ætates, ſic progenerantur gigantes &
homines
ad miraculum uſque, docui etiam exacta media ætate, hoc
uix
fieri poſſe.
Contingunt præterea multa impedimenta. Sufficit
nobis
ſcire quid ſit in natura hominis, non quæro modò quomo­
do
faciendum: nec eſt præſentis inſtituti, quin etiam ueriſimile eſt
ad
hoc eſſe uiam quandam compendioſiorem, quæ minimè la­
tuerit
antiquos, maximè Hebræos.
Et forſan etiam hoc noſtro tem­
pore
haberi poſſet quamuis lateat.
Vnum eſt certum, oportere ab
initio
uitæ (qui uiam hanc exquiſitam, quam hic trado, ſequi uo­
luerit
) conſtituere formam uictus, & tum maximè contractam,
quoniam
(ut uiſum eſt in tabula) ex minimo errore, & breui tempo
re
plurimum temporis uitæ perit.
Oportet autem multa adeſſe, cor
pus
moderatè ſanum, & mediocriter ſaltem conſtitutum, inſtituto­
rem
ſapientem, obedientiam pueri, & per omnes ætates cum pati­
entia
ſumma commoda diuitiarum, & bonum aërem & fortunam
blandientem
noſtro propoſito, ne quis caſus in tanto tempore ad­
uerſus
nos impediat, ob tot & tanta quæ neceſſaria ſunt, & aſsiduè,
ideo
res hæc fabuloſa uiſa eſt ad hanc uſque diem, tum maximè quod
nemo
eam docuerat.
De dicto Moyſis non laboro, cum ſimus me­
dici
ac philoſophi non theologi.
Quin etiam poſt hæc uixit Abra­

hamus
annis clxxv, Iſaacus autem clxxx, Iacobus cxlvij, ſed non la­

boro
de his, uerùm relinquo illa ſapientibus: melius eſt ergo ut de­

monſtrationem
adducam huius, cum experimento etiam coniun­
ctam
.
Conſtat enim quod humidum pingue euaneſcit per ætates,
ſeu
à calore innato, ſeu ab aëre conſumatur, & quod humidum pin­
gue
purum, ac denſum tardè abſumitur, ſicut apparet experimen­
to
de oleo & ſepo ſalitis, quæ durant longiori tempore, quam ſi nil
tale
admiſtum habeant hæc pinguia, ſimiliter aqua quadruplo ce­
lerius
, imo longe uelocius abſumitur oleo in uaſe feruente.
Et ita
de
pinguedinibus uariorum animalium de ligno iunipero, quod
referunt
durare in annum, cur alia non poſsint ad ſex dies.
Cer­
tum
etiam eſt, quod coctio condenſet, & eſt Philoſophi in quar­
to
Metheororum.
Si ergo coctio perfecta fiat, & puriſsimum hu­
midum
reſtauretur, dubium non eſt, quin homo poſsit uiuere ſex­
cuplo
plus aut etiam octuplo: quia cùm res peruenit ad quendam ter­
minum
, tunc acquiritur perfectio quędam ultra omnem fidem, ſicut ui­
demus
de auro, q̊d prorſus etiam longo tempore ab ignibus non abſu
mitur
: adeò ut liceat dicere, forſan non eſſe contra rationem, quod
detur
humidum, quod nunquàm à calore naturali abſumitur, quia
1non eſt par ratio de auro & humido humano, nam in auro non eſt ca
lor
niſi ab exteriore igne, ſed in humido noſtro eſt calor intus, & ſe­
cundum
ſubſtantiam, ut ſaltem habeamus experimentum longiſ­
ſimæ
uitæ & humidi quod uix à calore, & non niſi multis in ſeculis
abſumatur
.
Atque hæc (ne incurramus irriſionem Galeni) de Phi­
loſopho
qui pollicebatur perpetuitatem uitæ, quanquam non ob
id
refugiam hoc, ut negem poſſe hominis uitam eſſe perpetuam,
quod
Galenus Philoſophum hoc dicentem irriſerit, ſed quòd uidea­
mus
omnia ſublunaria interire, quòd ſciamus omne compoſitum
debere
diſſolui, quoniam compoſitio ſit accidens, & accidens eſt
medium
inter ea quæ ſunt & non ſunt: loquor de huiuſmodi acci­
dentibus
quæ adueniunt.
Demum, quoniam calor ille ſit in ipſo hu
mido
: ideo cum hęc non animaduerterit Galenus, potius fuit uates
in
irridendo, quàm ſapiens, ut authoritate eius moueri debeamus.
Hanc coctionem non animaduerterunt medici, ſed ſolam illam bo­
nam
quę eſt cauſa ſanitatis, quæ ſtat cum uigilia, labore & ciborum
multitudine
, cùm illa exacta non ſtet niſi cum optimis & paucis
ualde
cibis, quiete ac ſomno.
Et ideo ſunt ſex genera coctionum, di­
co
quod ad perfectionem attinet corrupta, imperfecta, imperfecta
morboſa
, imperfecta quæ emendari poteſt, has omnes uitare do­
cent
medici: bona quæ eſt cum longa ſanitate, cui medici ſtudent:
ualde
bona quam per umbram quaſi cognouerunt, & exacta quam
nec
per ſomnium quidem uiderunt, quæ ſola eſt cauſa tantæ lon­
gitudinis
uitæ, cum tamen nunquam fuerit uel admodum parum
interrupta
.
Hoc autem inter cætera oſtendit experimentum de ele­
phantis
, quos Ariſtoteles ducentis annis uiuere conſtanter affir­
mat
, alius dixit eſſe trecentis.
Vt conſtet iam in natura animalium
& in genere caloris habentis magnum motum, & ſubſtantiam te­
nuem
hoc inueniri poſſe, ut excludamus plantas de quarum uita lon­
giſsima
ſatis conſtat, ſed quia caret motu euidenti calor in illis, &
ſubſtantia
eſt craſſa animalium comparatione, non laboro.
At de
elephanto
omnes confitentur quòd ſit omnium ingenioſiſsimum,
adeò
ut multi homines illo induſtria & cognitione inferiores eſſe
uideantur
.
Neque etiam ueriſimile eſt quod natura hominem fecerit
hac
in parte illo inferiorem, præſertim cum de nullo alio animali
apud
Ariſtotelem dubium ſit, & ubi modo aliquod dubium eſſet
propter
querelam Theophraſti, & illud quod ſolet prædicari de
ceruis
, tanto magis ueriſimile eſt indignum fuiſſe hominem conce­
dere
tot animalibus in diuturnitate uitæ.
Quam ob rem cum hæc
tractatio
ad libros de tuenda Sanitate ſpectaret, homines ad eos re­
lego
, nam ob id illos conſcripſi quòd uiderem Galenum nec hoc
1uidiſſe nec multa alia, ſed eorum loco longas & inutiles diſputatio­
nes
interſeruiſſe.
Verùm etiam, quoniam eam tractationem diuul­
ſit
, ut alia cogamus quærere in libris de Alimentis, alia, de cibis bo­
ni
& mali ſucci: tum uerò & tractatio ipſa eduliorum eſt imperfe­
cta
, & multa etiam deficiunt circa genera: in quo eſt ex cuſandus ob
uarietatem
regionis & ætatis.
Deeſt præterea maxima pars, quæ
nec
ibi nec alibi habetur, ſcilicet, de ciborum præparatione.
Quod
etiam
hæc latuerint tot præclaros uiros, quid mirum?
cum Hippo­
crates
uixerit ſeculo illo agreſti, in quo non eſt mirandum, quod ali
quid
, pauca quædam & abſtruſa omiſerit, ſed quod tam multa tam
bene
inuenerit, ut fuerit, ſicut de Pindaro dicitur, imò longè uerius
quam
de Pindaro inimitabilis.
De Galeno quid mirum, qui non
niſi
ueterum ſcripta collegit, atque utinam ſaltem bene.
De Ariſtotele
is
multa inuenit ſuo Marte, & Theophraſtus longè plura.
De alijs,
dico
tam medicis quàm philoſophis, hoc eſt, quod queror, quod
in
ſpatio pene duorum millium annorum, non hoc quod ualde re­
conditum
erat, ſed nec leue ullum experimentum, uel naturæ arca­
num
, uel uitæ ſalutare auxilium inuenerit.
Sed litigant de nugis &
rebus
inutilibus, & etiam quę ſciri non poſſunt, ac plerunque non ſine
magna
impietate.
Quod uerò neceſſe ſit amittere uoluptatem, &
negocia
prætermittere uolenti hanc uitam longam adipiſci, quæ
poſtmodum
etiam ualde in certa eſt: dico quod quantum ad uolu­
ptates
& negocia, non eſſe neceſſe, ſed ſolum ſuperfluas res, & dam
noſas
& irritas, quas etiam philoſophi & ciuitatum inſtitutores, &
morum
cenſores docent debere uitari, etiam nullo propoſito emo­
lumento
, at reliqua conſuetudo efficit non ſolum grata & tolerabilia,
ſed
etiam iucunda.
De incerto fine, quid eſt certum apud homines,
niſi
hoc nihil certum eſſe?
Verum tamen ſi quis reſpiciat ad præ­
mium
tam ſingulare eſt, & nobile atque utile, ut non luſerit operam
immeritò
, quicunque cum ſpe tam illuſtris commodi, & tam exigua
iactura
rerum, ac minore periculo ſe huic aleæ experiundæ commi­
ſerit
.
Cum, ſi quis hoc ipſum adipiſcatur, uerè dici poſsit ſummum
bonum
adeptum eſſe: Non ſolum compos factus diuturnitatis ui­
, ſed cum illa tot uoluptatum, quæ in longo tempore percipiun­
tur
ſcientiæ tot rerum, quas non niſi temporis longitudo oſtende­
re
poteſt, tot denique caſus uidere tum opum in crementum, quod
quaſi
certiſsimum eſt in longa ætate & uſu ſapientia & authoritate
plena
, adeò ut fermè neceſſe ſit ad principatus ſpeciem deuenire,
qui
tamdiu uixerit, tum gloria ipſa in comparabili.
Hæc autem ma­
xime
accidere neceſſe eſt, quod ut uiſum eſt, quanto longior fuerit
ætas
eo firmiores etiam ſunt illius partes quæ ad mortis tempus
1propinquant pari ratione, ut ex tabella prima deprehendere licet,
quòd
ſi cum hoc ſobolis felicitas accedat, non obſcurum eſt huiuſ­
modi
poſſe dici ultimam hominis felicitatem apud eos, qui huma­
nas
res aliquid eſſe putant.
Accidunt autem hæc ſponte in ſeculo­
rum
renouationibus, cum humanum genus conſumitur, ſeu qui ſu
perſunt
ob robur, ſeu ex terra geniti, ut dubitat Ariſtoteles.
Haſen
credit
, tum ob aëris puritatem, & maximè quòd alterutro modo
ex
calidis regionibus & ſublimibus locis homines reparari neceſ­
ſe
ſit, tamen etiam ob uictus ſimplicitatem, cum in altera ſuperſint
ſoli
piſces, in altera ne hi quidem, ut in Arcanis demonſtratum eſt.
Atque etiam ob curarum abſentiam: ſiquidem homines illi gau­
dent
, reges ex agricolis haud dubiè terrarum facti, ac quaſi ſecu­
ri
moleſtiarum ad hanc ætatem perueniunt longa ſpatia tempo­
ris
, & propagandæ ſobolis habentes, ut feliciſsimè uiuant, reſtituti
ex
optimis quibuſcunque aureæ illi ætati, non ſolum ob uitæ ſyn­
ceritatem
atque ſplendorem, ſed etiam longitudinem ſic appella­
.
Quæ finem habuit dum ſatis (uti cœperunt) à Saturno in uſum
traductis
: unde etiam falcis inſigne accepit.
Eadem tamen ætate
pauciſsimi
ex infinitis diutius quam noſtra uiuere cœperunt, cæte­
ri
omnes minus quam nunc, quòd neque ueſtitus corporum ab in­
undatione
parta, neque aëris puritas à ſqualoribus maneret, & edu
lia
multo pauciora eſſent hominibus & incondita.
Gen. ca. 25.
Cap. 35.
Cap. 47.
Propoſitio centeſima octuageſima quarta.
Quæcunque grauia in uorticibus aquarum merguntur, in me­
dio
uorticis primum uerſa mergantur.
Hanc proponit Ariſtoteles, ſed non quantum neceſſarium eſt

explicauit
, unius enim quæſiti, id eſt, primi multiplicem rationem
reddit
.
Sed neque illam perfectè, quod amborum cauſa una ſit, ac
coniuncta
, ſic ergo uortex, cuius extremus
circulus
a b centrum in aquæ ſuperficie c
220[Figure 220]
capacitas
uorticis d e, ut aqua feratur per
ſpatium
d e f g, h k in maiore circulo na­
uis
, aut aliud graue, quod natura ſua non
eſſet
deſcenſurum (ut falſò exponitur de
lapide
, nam lapis, nec reuoluitur, nec fer­
tur
ad d e circulum intimum, ſed præoccu­
pat
ex grauitate ſua fertur in imum) dico
q̊d
h k prius circumuoluetur, in de trahetur
ad
d e, & ubi fuerit ibi deſcendet, ſed ſi leuius
ſit
neceſſariò peruenet ad c antequam deſcendat.
Cum ergo aqua
1grauis ſit tota, fertur ad circulum d e, ut deſcendat. Sed & quia de­
ſcendit
per d e f g, & magis ex centro e, ideo omnes partes circumui
cinæ
trahuntur ad d e, & ad e centrum ſuperficiei uorticis, tanquàm
ad
centrum, ut deſcendant, atque id primum.
Cunque lignum deſcendat
partim
propria grauitate, partim attractum, ſi fuerit leue corpus, ut plu­
ma
, quod natura ſua non deſcendat, neceſſe eſt ut deſcendat ſola ui at­
tractionis
, quę non eſt tanta in toto d e quanta in e, igitur oportet ut pri­
us
perueniat ad c quàm deſcendat, quia contra naturam propriam de­
ſcendit
ui attractum.
Cum uerò pars quæ in directo c eſt, uelociſsimè
deſcendat
, conantur omnes partes aquę, quę circa ſunt deſcendere,
et
cum non poſsint ſimul peruenire, mouentur ad illud linea, dico quia
habent
initium in e, circulus autem nullum habet initium, igitur uiden­
tur
moueri circulariter.
Sed cum in circulo partes à centro moueantur,
uelocius
mouebuntur, uelocius in elica a b quàm l m, & l m quàm
n
o.
Et ob has duas cauſas mouebuntur uelocius partes quæ ſunt
circa
c, quàm diſtantes ab eodem, tum quia in medio, tum quia tardius
mouentur motu elice.
Declaratum eſt. n. ſuperius quod unus motus in
eodem mobili alium impedit & retardat.
Cum ergo h k ſit in ſpatio a b
l
m & aqua rapiatur motu, dico ad d e mouebit ad d e, & motu dico
qui
uidetur circularis, nam mouetur motu eius à quo ſuſtinetur.
Mo­
uetur
etiam ad d e, quoniam pars illa eſt humilior, nam ſemper de­
ſcendit
, omne aut quod mouetur partim eſt in termino, à quo, par­
tim
ad quem, ideo partim iam aqua illa cum deſcendat humilior eſt
locus
, igitur nauis ad illum locum feretur.
Tertio, quia latus k impelli
tur
, in maiore circulo, ideo maiore impetu
221[Figure 221]
quàm
h, quare deſcendet & circulo mouebi­
tur
, nam ſi h quieſceret palam eſt, q̊d nauis circu
lariter
moueretur, ſed h fungitur uice quieſcen­
tis
, quia tardius mouetur quam k, igitur k moue­
bitur
ad d e & motu circulari aut participe
eius
.
Quarta cauſa eſt, quoniam h cupit de­
ſcendere
, ut graue.
ergo ferri, ubi minus impe
diatur
à motu uiolento, at minus impeditur in
circulo
, de qua a b, qua a b cum maioris ſit ambitus a qua in co ulterius
fertur quam in d e, ob hæc oina & in mari & fluminibus ac lacubus cum na
ues
fuerint in ambitu uorticis iam rapiuntur ad illum, & circulari motu:
isque
motus eſt indicium ſubmerſionis, quoniam indicat aquam, ibi propè
deſcendere rectà uerſus centrum, & ob id prudentes nautę magna ui uen
toru
& remorum ſępe ſeruant ſe, pręoccupantes motum elicum recto motu.
Cur aut aqua quae eſt in a, non potius feratur per obliquam lineam ad d
uel
g, <08> ad e uel c inde ex illis ad d uel g, præſertim cum adſit breuior
1a e & e d et a g breuior a e et c (ut docet Euclides) cauſa eſt quia aqua
quæ
deſcendit per e d & c g maiore impetu deſcendit quàm per ad
uel
a g ut demonſtratum eſt, ergo non poterit quæ eſt in e d uel e g
loco
dimoueri, nec cedere aquæ per obliquam lineam deſcendenti.
Com.
Propoſitio centeſima octuageſima quinta.
Cur homo ſedens quanto altius ſedet, & quanto magis crura ad
femora
& femora ad pectus reclinata habet, facilius conſurgat, cum
tamen
hæc oppoſito modo inuicem ſe habeant, declarare.
Huius ſecundam partem Ariſtoteles in Mechanicis propoſuit,

ſed
neque ſub adiecta dubitatione, ſedens n
222[Figure 222]
altius
a b pectus, b c femur, c d crus eiuſ­
dem
uel æqualis, pectus g h, femur h k, crus
k
l longior b f quam h n facit, ut facilius ſur­
gat
a b c d quàm g h k l, & tamen anguli
a
b c & b c d ſunt maiores g h k & h k l, qui­
nimo
cum uolumus ſurgere, contrahimus c d & k l propè & è re­
gione
a b, igitur patetratio ſecundi, propior n eſt c d ipſi a b quanto
angulus
a b c minor eſt, cui æqualis eſt b c d.
Cum ergo quanto pro
pior
eſt c d ipſi a b eo facilius ſurgat, quoniam particeps magis di­
ſpoſitionis
per quam ſurgit, propior autem quo anguli ſunt acuti­
ores
, ideo facilius exurgit homo, quo contractiora ſunt crura, & an
guli
femorum ad crura & pectus minora.
Huc usque Ariſtoteles &
bene
.
Co^{m}.
Sed cur rurſus contractiora dum ſunt crura, homo facilius exur­
git
?
Proponantur c f contracta ad perpendiculum, & inclinetur b a
in
o ut fiant b o & f e aequidiſtantes, ita enim commodius ſurgimus:
nec
aliter qui ſunt imbecilliores: quia ergo b eſt in directo f, ideo
muſculi
femoris inferiores ob crus, & ſuperiores ob pectus ſunt
magis
tenſi & anteriores cruris itidem, ideo maiore ui trahunt par
ticulam
.
Vnde manente fixo f & capite etiam & pectore grauitate
ſua
adiuuantibus, facilius homo exurgit quam ad latos angulos
cum
contractio, ut dixi, muſculorum et inclinatio partium ſuperio­
rum
fiat maior.
Rurſus pro prima parte problematis, dico quòd quanto altior
eſt
b f tanto facilius exurgit, nam ſupponatur angu­
223[Figure 223]
lus
reflexionis a h e æqualis a h c, & b c k æqualis h k f,
igitur
cum b f ſit breuior b f, erit h k breuior b c & f k,
f
c. quare b c femur, & f c crus erunt uiolentius exten­
ſa
quàm in ſitu h k, k f ergo, muſculi facilius erigent
ſedentem
altiore loco quàm humiliore, quod erat de­
monſtrandum
.
1
Propoſitio centeſima octuageſima ſexta.
Si fuerit proportio primæ & ſecundæ quantitatis ad tertiam, ut
primæ
& quartæ ad quintam, fueritqúe quarta ſecunda maior, erit
proportio
quartę ad quintam maior quàm ſecundæ ad tertiam.
Quod ſi fuerit maior quartę ad quintam, quàm ſecundę ad tertiam,
neceſſe
eſt quartam ſecunda eſſe maiorem.
Sit proportio a & b ad c, ut a & d ad e, ſitque d maior b, dico maio­

rem
eſſe proportionem d ad e quàm b ad e, quod
224[Figure 224]
ſi
maior ſit proportio d ad c quàm b ad c, dico d
eſſe
maiorem b.
Quoniam enim eſt d eſt maior
b
ad d eſt maior a b per communem animi ſenten­
tiam
, igitur cum ſit proportio a d ad e ut a b ad c,
erit
e maior c, igitur minor proportio a ad e quam a ad c, at propor­

tio
totius a d ad e eſt æqualis proportioni a b ad e, igitur ex com­

muni
animi ſententia maior proportio d ad e, quam b ad c.
Rurſus,
ſi
maior eſt proportio d ad e quàm b ad c, igitur per communem
animi
ſententiam maior eſt a ad e quàm a ad c, igitur e maior quàm

c
, ſed d maiorem habet proportionem ad e quàm b ad c, igitur d

maiorem
quàm b.
Co^{m}.
Per 14. quin
ti
Elem.
Per 8. eiuſ­
dem
.
Per 10.
quinti Elem.
Per eadem
ſæpius
repe­
titam
.
Propoſitio centeſima octuageſima ſeptima.
Si eiſdem uiribus & eadem proportione cum auxilio ponderis
tertij
, quartum pondus moueatur quibus ſecundum auxilio primi,
neceſſe
eſt quartum pondus tardiùs & maiore cum difficultate
moueri
quàm ſecundum.
Co^{m}.
Maneat prior figura, & ſint uires a quæ cum pondere b moue­
ant
c pondus, et cum d pondere eadem uires ſub eadem proportio­
ne
moueant e, ſit autem pondus d maius quàm b, dico e tardius &
difficilius
moueri quàm c.
Nam ex præcedente e erit maius quàm
c
, & proportio d ad e maior quàm b ad c, & proportio a ad e minor
quàm
ad c, tum ergo propter uectem magis preſſum, tum quia d
non
mouet e, niſi motum ab a, neceſſe eſt ut tardius & maiore cum
difficultate
admoueat e quo a b mouet c.
Et ideo eo perueniri po­
terit
abſque dubio, ut a b moueat uelociter e & a d, nullo mouente.
Quia hoc accidit cùm d non mouet c niſi quia motum ab a.
Propoſitio centeſima octuageſima octaua.
Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut
compoſita
proportio ſit eadem proportioni uirium & duorum
ponderum
mouentium aggregatum æquale duorum ponderum,
ubi
maior fuerit partium inæqualitas, ibi erit maior difficultas.
Sint uires a, & aggregatum ponderum b c & d e æqualia, & a

cum
f & g moueat b & c ſub proportionibus componentibus
1dem proportionem, quam componunt proportiones a & h mo­
uendo
d & a, & k mouendo e, & ſit maior diffe­
225[Figure 225]
rentia
ponderis e ad d quàm c ad b, dico quod
maiore
cum difficultate mouebuntur d & e quàm
b
& e.
Nam cum differentia e & d ſit maior quàm

c
& b, & d e & b c ſint æqualia, erit e maius c, igi­
tur
e difficilius mouebitur ab a & k quàm c ab a
& g.
Itidem quia e tanto maius eſt c, quanto b
maius
eſt d, & proportio a k ad e & a h ad d, conficiunt proportio­
nem
a g ad c & a f ad b, erit ut motus d e ſint tardiores & difficilio­
res
motibus b c, per regulam dialecticam, nam difficultas motus e
ſupra
difficultatem motus c, eſt maior quam difficultas motus b
ſupra
difficultatem motus d, igitur difficultas motus d & e, maior
eſt
difficultate motus b & e, quod erat demonſtrandum.
Co^{m}.
Per præce­
dentem
.
Propoſitio centeſima octuageſima nona.
Si pondus minus ad longitudinem maiorem ſub æquali pro­
portione
coaptetur, facilius deorſum trahetur quàm quod maius
eſt
& propius.
Sit ſitula aquæ f annexa tigno
226[Figure 226]

in
e & ad minuendum pondus
ad
datur ex aduerſo elongius ſeu
uincatur
pondus a, dico quod
commo dius erit quàm ſi ęquale ad
grauitatem
addatur b proprius
in
e, nam quia b ęquiponderat in
d
ut a in e, & homo trahens ex e
plus
poteſt quàm ex d, igitur fa­
cilius
trahet ex e quam d.
Et quo­
niam
graue minus ponderat quan
to
magis diſtat à medio, licet mo­
ueat
magis, ergo inclinatum ad

medium
, cum ergo moueatur

uelocius
ex e quam d, & ſemper

uelocius
deſcendendo in com­
paratione
a g h, igitur ſemper
magis
& magis uelociter ex e
quàm
d ut ſit duplex incrementum & comparatione c e ad c d &
deſcenſus
ad deſcenſum in utroque & ſimiliter in reditu, quia facilius
impelletur
ſurſum e quàm d per primam rationem.
Co^{m}.
Per 45.
Propoſ.
Prop. 109.
Propoſitio centeſima nonageſima.
Si fuerit primum graue minus ſecundo, & ſecundum minus ter­
tio
, proportio autem primi ad ſecundum multo maior quàm ſecun
1di ad tertium, poſsibile erit propoſitis uiribus eiſdem addere pon­
dus
ſecundo, ut ipſum & tertium moueantur facilius ab eiſdem uiri­
bus
, & primo uel ſecundo quam antea.
Sit a pondus minus, c maius, proportio a ad b multo maior quàm
b
ad c, uires d, & d cum a moueat b & cum b mo
227[Figure 227]
ueat
c, dico quòd poterit addi pondus ad b ut d
cum
a moueat b, & d cum b moueat e maiore fa­
cilitate
componendo proportiones quam antea: Cum enim fuerit
proportio
d b ad c minima, quantumcunque moueatur b facilè ab a d

plus
refert difficultas c moti a b d: igitur cum addito pondere di­

midio
quod a ſuperat b omnino uincat a d ipſum b, cum eo quod
additum
eſt, & tanto minor ſit difficultas motus c a b d cum ponde
re
addito, ſequitur ut minor ſit difficultas motus b cum pondere
addito
a b a d, & motus c à b cum pondere addito & d quàm b & e
ab
a & b cum uiribus d.
Per 188.
Per 187.
Quæſt. 28
Ex hoc patet quod qui interpretati ſunt Ariſtotelem, cum non
poſsit
nec intelligi nec demonſtrari, fucum fecerunt legentibus: ni­
hilominus
hoc illis debemus, quod ſi Phrynis non fuiſſet, Timo­
theus
non fuiſſet, nam niſi illi quod ſciuerunt protuliſſent in medi­
um
, ego forſan aut illa non intellexiſſem aut neglexiſſem.
Itaque & re­
liquas
habes à nobis expoſitas licet non adeò diligenter, & mo­
dum
huiuſmodi exponendi.
Subij ciemus autem et hanc, ut obiectę
quæſtioni
, quantum nerui ſit (ſi pœnitus quis res ſequi uelit, non
addictus
nimis authoritati ueterum ut pedem figere uelit, ubi illi
res
uix tactas reliquerunt) intelligamus.
SCHOLIVM.
Vocatur autem hæc proportio auxiliaris. Cunque fuerit ęqualis d
& a ad b ut d & b ad e, dicetur auxiliaris æqualis.
Propoſitio centeſima nonageſima prima.
Cum fuerint duo pondera & uires duxeriſque aggregatum ex ui­
ribus
& minore pondere in maius, addiderisque inſuper quantum eſt
productum
dimidij uirium in ſe latus aggregati detracto dimidio
uirium
, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis.
Co^{m}.
Sint pondera b minus, c maius, & ducatur aggre­
228[Figure 228]
gatum
ex a uiribus & b minore pondere in e, & ei
addatur
quadratum dimidij a, dico quod radix ſeu
latus
huius detracto dimidio a eſt pondus auxiliare
æquale
, ſit productum a b in e ſuperficies & quadra­
tum
dimidij a ſit e, ita quod tota d e ſit ſuperficies
quadrata
, cuius latus ſit f g: f h autem dimidium a di­
co
h g eſſe pondus auxiliare æquale.
Quia enim f g
1quadratum eſt æquale quadratis g h, h f & duplo g h in h f, & qua­

dratum
fh eſt ęquale e ſuperficiei, erit quadratum h g minus ſuper­
ficie
d in duplo g h in h f, quare productum a b in c erit ęquale qua­
drato
g h in ſe & a, nam duplo g h in h f & iam duplum g h in h f eſt
ęquale
producto g h in a, quia a eſt duplum h f, igitur qualis eſt pro

portio
a b ad g h, talis g h & a ad c, igitur per definitionem datam
g
h & quantitas grauitatis auxiliaris æquale.
Per 4. primi.
E
lem.
Per 16. ſex
ti
Elem.
Ex hoc manifeſtum eſt, quod ſi fuerit datum pondus tertium au­

xiliare
, quod ſciemus quantum addendum uel detrahendum ut fi­
at
pondus auxiliare æquale, nam inuenta g h ſi fuerit k maior adde­
mus
quod deficit, & ſi minor quàm k detrahemus ex k quod eſt
ſuperfluum
.
Cor^{m}. 1.
Et rurſus inuenta g h ut perficiamus pondus ęquale, augebimus

aliquantiſper
, ut fiat æqualis ad unguem difficultas in motu: iuxta

doctrinam
ſuperiùs datam.
Cor^{m}. 2.
Prop. 187.
Propoſitio centeſima nonageſima ſecunda.
Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circu­
li
peripheriam: ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur ſeu in­
tus
ad circumferentiam uſque, ſeu extra ad diametrum, erit proportio
totius
lineæ ad totam, uelut mutuò partis ad partem.
Ex media diametro a c. 1. centro b, ducatur ad perpendiculum b d,

& ex d lineæ d a d e d h, dico d e ad d a, ut d a ad d f, & d h ad d a ut
d
a ad d g, & d e ad d h ut d g ad d f.
Quia n quod fit ex d em e f, æ­
quale
eſt ei quod ex e c in e a, quod uerò ex e c in e a cum quadrato

b
d ſeu b a ęquale eſt quadrato b e, igitur ex
229[Figure 229]
e
d in e f cum quadrato d b æquale qua­

drato
b e, ex d e igitur in e f cum quadratis

d
b & b a æquale quadrato d e.
Quadratis

autem
a b & b d æquale quadratum d e:

igitur
ex d e in e f cum quadrato d a æqua­

le
quadrato d e.
At quadratum d e æquale
eſt
his quæ ex d e in e f, & f d igitur detra­

cto
communi ex d e in e f, erit quadratum d
e
æquale ei quod ex d e in d f, igitur d e ad

d
a, ut d a ad d f.
Similiter quod fit ex h d in

d
g, æquale eſt ei quod fit ex h g in g d cum
quadrato
d g, at quod fit ex h g in g d eſt æquale ei quod fit ex c g in
g
a, erit quod fit ex c g in g a cum quadrato d g ęquale ei quod fit ex
d
h in d g.
Quadratum autem d g eſt æquale quadratis d b, b g igi­

tur
d h in d g æquale eſt ei quod fit ex g a in c g cum quadratis b d
b
g, at quod fit ex a g in g c cum quadrato b g eſt æquale quadrato
1b a igitur quod fit ex d h in d g eſt ęquale quadratis d b, b a quę ſunt
ęqualia
quadrato a d, igitur quadratum a d eſt ęquale ei quod fit ex

h
d in d g, quare proportio h d ad d a ut d a ad a g.
Quia ergo pro­

portio
d e ad d a ut d a ad d f, & d h ad d a ut d a ad d g, erit d e ad d h
ut
d g ad d f.
Co^{m}.
Per 36. ter­
tij
Elem.
Per 6. ſecun
di
Elem.
Per 47. pri­
mi
Elem.
Per tandem.
Per 2. ſecun
di
Elem.
Per 17. ſex­
ti
Elem.
Per 2. ſecun
di
Elem.
Per 35. ter
tij
Elem.
Per 47. pri
mi
Elem.
Per 5. ſecun
di
Elem.
Per 17. ſex
ti
Elem.
Per 16. &
17
. ſexti
E
lement.
Vnde manifeſtum eſt omnes has lineas in ſuam interiorem par­

tem
ductas rectangulum conſtituere ęquale quadrato quod circu­
lo
eidem inſcribitur.
Cor^{m}.
Propoſitio centeſima nonageſima tertia.
Rationem ponderis triplicem explicare.
Co^{m}.
Superius declaratum eſt quòd id quod quieſcit, habet motum

occultum
.
Quærit autem Ariſtoteles cur ſecuris pondere preſſa non
diuidit
lignum, minore uerò ſed moto ſed modo diuidit?
Diximus

motum
ineſſe qui perpetuo augetur, indicium eſt, quod ſi ex a de­
ſcendat
, maiorem facit ictum, quoniam plurimus aër coadiuuat, ex d
autem
occultum ſolum, et eum qui fit ratione grauitatis, me­
230[Figure 230]
dium
ex medijs locis.
Omitto modo de motu aucto per
uim
humanam, de quo uidetur quærere Ariſtoteles, quili­
bet
enim aër addit ſuper motum iam acquiſitum & fit hoc
argumentum
centies ac millies maius, quoniam m eſt qui
diuidit
, pondus autem non ponetrat.
Sicut ergo cuneus
magis
diuidit lignum quam claua, ita quod mouetur ſine
proportione
(ut ita dicam) non ſolum ob impetum neceſſe
eſt
ut uehementer diuidat lignum aut lapidem ſubiectum,
& non in proportione diſtantię.
Sicut ſi pondus in forma
ſecuris
, & ipſa ſecuris diuidit longe magis ligna quam cla­
uis
maioris ponderis & maiore ui deſcendens: ita pondus motum
quam
immotum.
Hoc adeò perſpicuam habet cauſſam, ut quanto
plura
uerba adderentur, eo redderetur res difficilior.
Habet ergo
propriam
ſolum grauitatem & motum occultum.
Cęterum eſt ter­
tium
, genus medium, cum idem pondus appenſum eſt, ue­
231[Figure 231]
lut
f quod dico eſſe maius & minus occultum quam ſi ia­
ceret
in plano, quoniam ſicut tuber & cauitas in qua iacet
ſimul
tempore ſunt, natura tamen tuber eſt prius cauitate,
ita
pondus appenſum prius eſt, contrà nixum uinculi na­
tura
& quodammodo tempore, ſemper enim grauat, & illud ſem­
per
reſiſtit ſupra illius grauitatem: Sed pondus quod eſt in plano
occultam
omnino habet actionem bifariamque diſtinguitur a pon­
dere
ſuſpenſo: Primum quòd pondus quod quieſcit & contra in­
tendi
principium ſimul non ſolum ſunt tempore ſed etiam natu­
ra
.
Sed in appenſo, ut dixi, pondus prius grauat quam
1lum contranitatur. Secundò, quia pondus in plano non inchoat
motum
ſed pendens inchoat, ideo quòd eſt in plano habet pror­
ſus
occultum, quod pendet non: & ſi ſit lignum eiuſdem molis &
duritiei
cui appenſum ſit f & cui inſideat, magis atteretur id cui ap­
232[Figure 232]
penditur
, & prius<08> cui inſidet.
Cæterúm quod
ad
grauitatem attinet æqualia ſunt, nam aër in
utroque
pellit deorſum, ac magis quod quieſcit
in
plano: ſolum enim planum reſiſtit, in pendu­
lo
onere etiam aer ſuppoſitus, quo fit ut quod
pendet
, minus graue ſit.
Sed æqualia uidentur.
Propoſ. 26.
& 38.
Quæſt. 19.
M
echan.
Propoſitio centeſima nonageſima quarta.
Proportionem ponderis longioris in medio ſuſpenſi ad breuius.
illi æquale & in medio ſuſpenſum, declarare.
Quæſt. 27.
Hanc generaliter propoſuit Ariſtoteles in Mechanicis, oſtenditur
emm quod ſi a b in e, & d e in f æqualia
pondera
in medio ſuſpendantur, quod
233[Figure 233]
grauius
erit a b quam d e.
Et hoc eſt
certum
quia a & b extrema plus di­
ſtant
ab hypomochlio.
Sit igitur g h reſecta æqualis hic cinde d e,
pondus
eſt æquale a b, erit g h minus pondere d e in k, igitur per
communem
animi ſententiam k eſt æquale uerò ponderi a g & h b,
igitur
cum a g & h b plus ponderent in ſitu ſuo quam in ſitu d e,
patet
propoſitum quoad Ariſtotelem attinet, ſcilicet quod a b eſt
grauior
d e.
Vt modò oſtendam proportionem, erit proportio h b ad g h ut
ponderis
h b ad totum pondus g b, eadem ratione a g ad g h ut pon­

deris
a g ad totum a h, a h autem eſt æqualis g b & a g æqualis h b
ex
communi animi ſententia, & pondus a h ęquale ponderi b g, quia
ſunt
æquales & in eodem ſitu: igitur a g, h b ad g h, ut ponderum
a
g h b ad pondus g b.
Et ita patet quod quanto longior eſt a b in
comparatione
ad d e, tanto a g & h b in comparatione ad g h, igitur
tanto
maior proportio ponderum a g h b ad pondus a h.
rurſus eſt
tanto
maius quanto a b eſt longior per demonſtrata in prima parte,
igitur
multo maius eſt pondus a g h b, quanto longior a b in com­
paratione
ad d e.
Per 92. hu­
ius
.
Exemplum ſit ponderis a b 12 ponderis longitudinis pedum quatuor,
d
e pondus 12 longitudinis duorum pedum, erunt igitur a g, g e, c h, h b
unius
pedis ſingulę.
Et quia a g & b h ſunt dimidium g h erunt ambæ
pariter
æquales g h & ideo pondus a g h b æqualia g b ponderi,
ſed
pondus g b eſt librarum nouem, quia g b eſt dodratus a b, igi­
tur
tota a b eſt ponderis quindecim, nam g h eſt ponderis ſex, eſt er­
go
pondus a b quadrante maius d e.
1
Propoſitio centeſima nonageſima quinta.
Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem melius ſuffulcie­
tur
reſtibus ex medio ad angulos, & eis æquidiſtantibus quam ſe­
cundum
longitudinem & latitudinem.
Co^{m}.
Hęc proponitur à Philoſopho in mechanicis, & dico quod ſi a b

ſit
dupla a c, & α β α γ dupla, & diuidantur a b a c & α β α γ in quotuis
partes
ęquales inuicem, nam ſupponitur a b ęqualis α β & a c æqua­
lis
α γ, & ducantur rectæ lineæ decuſſatim & ad rectos angulos, &
ſecundum id ſtatuantur reſtes, quod decuſſa­
234[Figure 234]
tim
poſitæ utiliores erunt, omitto quod de­
centius
ob ſpatiorum minorem differenti­
am
.
Adducam ſolùm tres Philoſophi ratio­
nes
: prima, quoniam ligna non adeò facilè
finduntur
nec incuruantur tranſuerſim tra­
cta
, ut recta & ſecundum longitudinem, Et
ideò
longè plus durabit α β γ δ quam a b c d,
& cum ſpondis rectoribus, & ideò etiam
cum
reſtibus magis intentis: & erit firmior
& pulchrior.
Secunda ratio eſt, quod cum
reſtes
in ſecunda conſtitutione æquales inuicem ſint, in prima quæ
ſecundum
latitudinem duplę, quę longiores erunt magis laxabun­
tur
tranſuerſalibus, & ita turpiores & incommodæ breui redden­
tur
, & in ſecunda conſtitutione ęqualiter ſuſtinebunt pondus & re­
uolutionem
cubantis, tum ob æqualitatem longitudinis inter ſe,
tum
ob ſitum ſimilem inter ſe, tum ad humanum decubitum diſsi­
milem
, nam (ut oſtenſum eſt) in præcedenti magis grauat pondus in
extremis
quam in medio, & magis laxantur ob id quæ ſunt ſecun­
dum
eundem situm.
Et hanc cauſſam expoſitores non intellexe­
runt
multi, multo minus tertiam, in qua faciunt demonſtrationem
Geometricam
& computantem numeris.
Deinde non animaduer
tunt
quod in ſecunda figura aſſumunt quinque lineas, cum in prima
tantum
aſſumpſiſſent quatuor.
Peius omnibus eſt quod demon­
ſtratio
hæc cum de tranſuerſis ad magis tranſuerſas lineas ſit non
eſt
ad propoſitum Ariſtotelis, qui in duabus primis rationibus
tranſuerſas
comparauit his, quæ à latere ad latus & à capite ad ca­
put
deducuntur, ita ubi trifariam decepti ſunt, ibi maximè glori­
antur
.
Miſerum nunc philoſophandi genus: uoluntque ſupercilium
eſſe
loco doctrinæ.
Sint igitur lineæ ductæ ut uides, dico omnes
pariter
acceptas in prima figura, eſſe longiores omnibus pariter ac­

ceptis
in ſecunda figura, quod intendit demonſtrare Ariſtoteles.

ſtenſo
ergo de duabus, idem ſuppoſito numero equali de omnibus
1conſtat. Demonſtrandum eſt ergo a b & g q maiores eſſe αζ & ζβ,
nam
αγ & γζ ſunt æquales & ζδ & δβ ex ſuppoſito, quare αζ & ζβ
æquales
ſunt poteſtate quadrato, αβ igitur ambæ iunctæ lineæ me­

diæ
inter duplum αβ & ipſam αβ, quadratum enim αζ & ζβ coniun­
ctarum
eſt duplum quadratis uniuſcuiusque earum pariter acceptis,

uelut
& quadratum mediæ inter duplum αβ & ipſam αβ, at quadra­
tum
coniunctæ ex a b & a c eſt æquale duplo quadrati a b cum qua

drato
a c, igitur ſuperat duplum quadrati α β in quadrato a c, ſed

quod
poteſt in duplum quadrati αβ eſt aggregatum αζ & ζβ, igitur
a
b & a d ſunt longiores iunctæ αζ & ζβ quia poſſunt eo plus quan­

tum
eſt quadratum a c.
Quæſt. 25.
Per 34. pri
mi
Elem.
Per 47. pri­
mi
& 4. ſe­
cundi
Elem.
Per 17. ſexti
E
lem.
Per 4. ſecun
di
Elem.
Per eandem.
Per eandem.
Propoſitio centeſima nonageſima ſexta.
Si duo circuli ſuper eodem centro eodem motu transferuntur,
æquale
ſpatium ſuperant.
Sint duo circuli a b, c d ſuper eodem centro e qui transferantur
235[Figure 235]

ſuper
axe per ſpatium c g dum reſoluitur c d,
tum
ergo a erit in f, quia c d contingit pla­
num
c g, igitur e c eſt ad perpendiculum c g,

ergo
punctum a eſt in f & a f æqualis c g,

igitur
a b circulus ſolum reuolutus eſt ſe­
mel
, & tantum perambulauit ſpatij quan­
tum
e d & æquali uelo citate, cùm tamen ſeorſum ſit proportio ſpa­
tij
ad ſpatium ut circuli ad circulum.
Hæc eſt ſubtiliſsima quæſtionum

propoſitarum ab Ariſtotele in mechanicis, quam ſic quidam ſoluunt.
Supponunt duo: primum ſi quid ab aliquo mouetur nihil conferens
236[Figure 236]
ad
illum motum,
ex
ſe ipſo per tan
tum
mouebitur
ſpatium, per quan­
tum
ab illo mo­
tore
mouebitur:
Secundum
, eadem
potentia
in eodem
tempore
diuerſo
modo
duo mobi
lia
mouebit ęqua
lia
, cum unum mo­
tui
aſſentietur aliud non.
quod ſi hæc mobilia ſeiuncta fuiſſent, quod
aptitudinem
haberet ſeiunctum uelocius moueretur, quàm dum con
iunctum
eſt.
Cum ergo inquiunt circulus c d moueatur ab a b cir­
culo
, nec conferat quic<08> ad motum, ideo tantum tranſibit ſpatium
1c d quantum a b per primum ſuppoſitum. Sed quoniam proposi­
to
circulo alio non circa idem centrum, utpote k l reuoluetur &
perueniet
ad h ex demonſtratis.
Reſpondetur ad hoc, quod idem eſt,
quia
unus circulus tantum per ſe mouetur circa centrum, reliqui
omnes
non perſe circa centrum, ſed ab alio circulo primo mouen­
tur
, ideò nihil refert ſeu ſint circa idem centrum ſeu circa aliud, hoc
enim
fortuitum eſt.
Ideo ad argumentum reſpondent cauilloſam
eſſe
hanc diſputationem, cum ſupponat idem ambobus circulis per
ſe
centrum eſſe.
Sed non eſt perſe, uerùm per accidens. At tamen de­
miror
de huiuſmodi ſolutione.
Primum quod ipſemet. Ariſtoteles
de
hoc nos docuit in primo Poſteriorum dicens.
Non eſt igitur ex
uno
in aliud genus tranſcendentem demonſtrare, ut Geometricum
Arithmetica
.
Et Auerroens in Commento magno inquit, ea uerba
exponens
.
Fieri non poteſt, ut demonſtratio transferatur de
arte
in artem.
Et ibidem docet, quod neque ut ambæ præmiſ­
ſæ
ſint communes, neque etiam maior tantum, ſicut exponebat Al­
pharabices
.
Verùm dicit, ſolum licet in artibus, quæ ſunt in com­
paratione
generis ad ſpeciem, ut ſit concluſio ueluti phyſica ma­
ior
propoſitio, in ſubiecta ſcientia ueluti medicina.
Vnde concludit
Philoſophus
.
Propter hoc Geometrię non licet demonſtrare quod
contrariorum
una eſt ſcientia: ſed neque quod duo cubi cubus, neque
alij ſcientiæ quod alterius: niſi in his quæ ita inter ſe habent ut alte­
ra
ſub altera ſit, ueluti perſpectiua ad Geometricam, & harmonica
ad
Arithmeticam.
Et poſt docet quod etiam non licet demonſtrare ex
communibus
: hæc igitur ratio eſt ex alienis genere atque communi­
bus
.
Quid, quòd non ſoluit difficultatem quę mathematica tota eſt
& innititur manifeſtis principijs.
Debuit enim oſten dere quomo­
do
tardius moueatur circulus maior ipſo minore: hoc enim eſt ne­
ceſſe
ſi eodem tempore debent æqualia ſpatia pertranſire.
Accipia­
mus
ergo quod manifeſtum eſt, ſcilicet uectionem eſſe hanc in qua
e
centrum perpetuò per æquidiſtantem lineam fertur in m, nullum
autem
circulum progreſſus centri eſſe cauſam niſi ut rota mouet
currum
& currus axem, reuolutio ergo notæ efficit ut ſpatium c g
pertranſeat
nota, & ideo motus ille circularis non eſt, quia circula­
ris
motus fit manente centro, ſed eſt circulus progrediens uelut &
punctum
e: at in circulo, hoc eſt diſcrimen quòd puncta, uariantur
centrum
autem non.
Dico ergo ut melius intelligas quòd talis mo­
tus
eſt uelut famulorum fabrorum qui rotam circunducant domum
impellentes
, talis enim motus, eſt rectus, & eſt impulſionis non au­
tem
circularis.
Et ideò omnia puncta æqualiter mouentur, & per
æquale
ſpatium, accidit autem ut hic motus fiat circunuertendo,
1ſicut etiam ſi traheretur fune. Et ſi quis obijciat quod hæc reſpon­
ſio
eſt eadem cum illa quę tribuitur Ariſtoteli, dico quod non, quia
in
illa ſupponuntur duo falſa, unum quod principium motus ali­
quando
ſit in c d, aliquando in a b, quod pro ſecunda parte falſum
eſt
: nam nunquàm principium poteſt eſſe in a b, nam ſi intelliga­
mus
de modo motus, non mouetur nec a b nec c d motu circulari,
quoniam
(ut dixi) motus eſt uectio, ſeu tractio, non circularis.
Sin
autem
de cauſa motus rotæ illa eſt in circulo ſemper maximo, ſcili­
cet
c d & non a b.
Et cauſa erroris horum fuit duplex: cum enim ſci­
rent
hanc rationem, dubitarunt an circulus c d motus eſſet potius
cauſa
motus circuli a b, an contrà, ideò protulerunt ambos, ſicut illi
quibus
ſublata eſt res aliqua, ut non errent, dicunt hic, uel hic ſubri­
puit
rem meam.
Secunda fuit, quia neſciuerunt diſtinguere inter
motum
per circulum & motum circularem, cum ſit magnum diſcri
men
: motus enim rotæ eſt per circulum, quia per circumferentiam
eius
, quæ eſt circulus, non autem circularis.
Etſi ſuperius appella­
uerim
circularem, cum diſtinxi in triplicem motum ſphęrę circum­
uolutionem
, tunc non curaui de uerbis, quia uerba tum non erant
cauſa
erroris.
Co_{m}.
Per 18. ter
tij
Elem.
Per 34. pri­
mi
Elem.
Quæſt. 25.
Ex hoc patet unum, quod eſt difficilius, ſcilicet quia certum eſt,

quòd
tam c d quàm a b mouentur ſuper rectas, & ita ut ſingula
puncta
c d tangant ſingula puncta c g, & a b ſingula puncta a f, &
tamen
c d circumferentia, aut non eſt æqualis rectæ c g, aut circum­
ferentia
a b non eſt æqualis rectæ a f, aliter ſi ambæ circumferentiæ
ambabus
rectis eſſent æquales, cum rectæ ſint æquales, ut demon­
ſtratum
eſt, eſſent circumferentiæ etiam a b & c d, æquales maior
minori
, quod eſt impoſsibile.
Non ergo ualet argumentum, iſte cir
culus
circumfertur ſuper rectam aliquam, ita ut cum redit ad idem
punctum
rectam perambulauit ad unguem, ergo illius peripheria
eſt
æqualis illi rectæ.
Cor^{m}.
Melius ergo fuiſſet huius reddere rationem, in quo eſt tota dif­

ficultas
, nam illa (ut dixi) de motu circulari nulla eſt, ſi quis tam pe­
nitus
introſpiciat.
Sit igitur ut rotæ axis c, tranſeat in f, & quia e a &
f
g æquales ſunt a centro ad circumferentiam, & a g æquidiſtans
b
c, erit per demonſtrata punctum g in linea fh, & ponamus quod
punctum
fuerit m, quod translatum, & retro reuolutum peruene­
rit
ad h, & ſecet e m a b circulum in n, dico quod n eſt punctum g, in
quo
etiam eſt animaduertendum de ſtupore horum ſcribentium,
nec
aduertentium quod puncta circulorum a b & c d retro cedunt,
uerſus
a & c, & non uerſus o & p, & hoc eſt quod decipit illos.
1Quia ergo m eſt h
& e f, igitur cum n ſit
in
linea e m, erit in
linea
f h, ſed n eſt
etiam in circulo a b,
igitur
cum nullum ſit
punctum aliud in li­
nea
fh, et circulo g
q
, <08> g eſt n commu­
nis
ſectio, igitur n
peruenit
in g.
Vi­
des
ergo quod m
237[Figure 237]
retroceſsit
per angulum m g h, n autem anteceſsit per angulum n
g
f, qui eſt æqualis angulo m g h.
Ex quo liquet cauſa dictorum, &
quod
non intellexerunt quæſtionis fundamentum cum ferantur
ſingula
puncta in una reuolutione æqualiter cum centro motu re­
cto
: & motu circumuolutionis ſunt immobilia, quia tantum retro­
cedunt
in una medietate, quantum procedunt in alia.
Co^{m}.
Propoſitio centeſima nonageſima ſeptima.
Cur lances ad locum ſuum ſuſpenſi redeant impendentes non, demonſtrare.
Co_{m}.
Aliâs cum uiderem apud Ariſtotelem & eius expoſitores hoc

problema
non ſum auſus, quia ex proprijs non mihi occurrebat
demonſtratio
, rationem reddere, at confecta dialectica ſtatim appa
ruit
modus.
Sit ergo libra a b appenſa ex trutina c d, & ſit per pon­
238[Figure 238]
dus
educta loco e f, & ſublato reuertitur
ad
locum priorem: Et rurſus eadem ſi
immineat
g d ſuſtentaculo non mouetur:
igitur
palam eſt quod in trutina d e gra­
uior
eſt quam d f inſiſtens g d, non eſt adeo
grauis
, aut omnino non grauior.
Neque
poteſt
id accidere quod in primo caſu
angulus
e d c acutus, ſit in ſecundo obtu
ſus
, nam ſi ob angulum e d c acutum deſcendit in primo caſu e, in ſe­
cundo
caſu deſcendet f, quia pariter f d g acutus eſt, & æqualis e d c,
hoc
autem non contingit.
Mira ne dicam ſtultitia an audacia eorum,
qui
nihil intelligentes auſi ſunt, hæc pertractare, ſperantes in tot ſe­
culis
nullum futurum, qui ignorantiam ſuam & impoſtura depre­
hendat
, dicunt enim quod in primo caſu producta quadam recta
ad
perpendiculum, & quæ ſit h k maiorem reddi d e quàm d f, neque
quomodo
id fiat oſtendunt, & ſi (ut dixi) maior ſit quam d fin primo
caſu
maior d f quam d e in ſecundo caſu: ergo ſi in primo caſu d e de­
ſcendit
, in ſecundo deſcendet magis d f, at hoc non accidit ſed ſtat.
1Oportet igitur hoc eſſe principium ex Dialectica, quod oſtendat e
grauiorem
eſſe f in primo caſu, in ſecundo non eſſe grauiorem, aut
leuiorem
, ut neque ad angulum refugere poſsimus.
Ergo ſupponere
oportet
quæ manifeſta ſunt, e eſſe grauiorem f, aliter enim non de­
ſcenderet
: non prohiberi autem in primo caſu motum prohiberi in
ſecundo
, aliter uel grauior fieret f, uel maneret eadem grauitas: ſi­
quidem
maneret grauitas, nec impediretur deſcendere e in ſe­
cundo
caſu, ut in primo, at non deſcendit.
Si grauitas mutaretur, igi
tur
f deſcenderet ſecundo caſu magis quam in primo.
Quod ſi di­
cas
non tanto fieri grauiorem, igitur f magis depreſſa deſcendet
ſaltem
, at nunquam deſcendit, igitur grauior eſt ſemper e quàm f,
ſed
in ſecundo caſu impeditur motus non in primo.
Cauſa grauita­
tis
eſt, quoniam d eſt centrum grauitatis, quia medium.
igitur cum

c
& d conſpirent contra f, neceſſe eſt e deſcendere per ſuperius de­
monſtrata
, igitur e deſcendet in primo caſu, quia grauius eſt ut do­
cui
nec impeditum.
At in ſecundo caſu e & d ſunt grauiora, ſed d
eſt
impeditum, quia non habet motum, niſi occultum inſidet enim

g
d, igitur tantum ponderat e quam f, ergo prorſus non mouebun­
tur
, facit & ad hoc quòd quæuis latitudo d, ſuſtentaculi prohibet
motum
, at deeſſe uix poteſt.
Vides ergo illos nugas palam agere.
Primum deeſt illis dialectica, deinde ingenium acre, deinde quod
maius
eſt, uolunt confeſtim tranſire ex principijs ad remota theore­
mata
, quod fieri non poteſt.
Queſt. 7.
M
echan.
Propoſ. 45.
Prop. 193.
Propoſitio centeſima nonageſima octaua.
Cur ſolidum quod cubus uocatur, pyramide ſtabilius ſit, oſtendere.
LEMMA PRIMVM.
Si intra circulum triangulus æquilaterus deſcribatur, & ab uno
angulorum
per centrum rectà ducatur, angulum per æqualia diui­
det
, & trianguli latus, & ad angulos rectos ei inſiſtet, ipſa uerò quæ
ex
centro per æqualia uiciſsim à trianguli latere diuidetur.
239[Figure 239]
Com.
Sit a b c æquilaterus circulo inſcriptus,

cuius
centrum d, ducaturque ad e f rectà per
centrum
, & ducantur d b & d c, eritque ex hoc

triangulus
a b d ęquilaterus triangulo a c d,

quare
angulus b a d æqualis c a d, igitur ar­
cus
b e æqualis c e, igitur arcus b e eſt ſexta

pars
circuli, quare b e recta latus exagoni,
quare
b e erit æqualis d e, igitur cum anguli

a
d f ſint utrin que recti, erit d f æqualis f e, itaque

f
d, tertia pars fa & fb dimidium a b quia b c.
1
Per 8. pri­
mi
Elem.
Per 26. ter­
tij
Elem.
Per 28. eiuſ
dem
.
Per Corm.
15
. quarti
E
lem.
Per 4. primi
E
lem.
Per 47. pri
mi
Elem.
LEMMA SECVNDVM.
Quadratum lateris trianguli æquilateri ſe habet ad illius ſuperfi
ciem
, ut latus eius ad mediam lineam inter latus dodrantis, & qua­
drantis
proportione duplicata.
Co^{m}.
Quadratum a b eſt æquale quadratis a f, fb, & quadruplum qua

drato
b f, igitur quadratum a f eſt dodrans quadrati a b.
Quod ue­
fit ex a fin f b eſt medium proportione inter quadrata a f, f b, re­

ctangulum
igitur ex a fin fb, eſt ex lateribus dodrantis a f, & qua­

drantis
b f quadrati a b, quare cum mediæ inter a f & fb æquale fa­
ciat
quadratum rectangulo a fin fb, erit proportio quadrati a b ad
quadratum
mediæ inter a f, fb, ut lateris trianguli ad mediam inter

latera
dodrantis, & quadrantis quadrati lateris ipſius duplicata: re­

ctangulum
autem a fin fb eſt æquale triangulo a b c, igitur propor
tio
quadrati a b ad triangulum a b c eſt uelut lateris a b ad mediam
inter
latera dodrantis & quadrantis duplicata.
Per 27. pri
mi
Element.
Per 1. ſexti
E
lem.
Per eandem
& 11. quin
ti
Elem.
Per 17. &
20
. ſexti El.
Per 41. pri­
mi
Elem.
LEMMA TERTIVM.
Propoſitio quadrati cubi ſphæræ incluſi ad triangulum pyrami
dis
eidem ſphæræ incluſæ, eſt uelut lateris pyramidis ſeu trianguli
eius
ad cathetum ſuum.
Co^{m}.
Proponatur enim ſphæræ diameter g, & latus pyramidis b a, &

latus
cubi b h, quæ corpora illi ſphæræ includuntur: igitur g erit
poteſtate
ſexquialtera ad a b, & tripla ad b h, igitur b a eſt poteſtate

dupla
ad b h, quod igitur fit ex b a in dimidium ſuum, eſt æquale
quadrato
b h, igitur b h eſt media inter b a & b f, b f enim eſt dimi­
dium
b a, ut probatum eſt.
Quadratum igitur a b ſe habet ad trian­

gulum
a b c, ut a b ad mediam inter a f & fb duplicata: Quadratum
quoque
a b ſe habet ad quadratum h b, ut a b ad mediam inter a b &
b
f, duplicata igitur proportio quadrati b h ad triangulum a b c, eſt

uelut
lateris a b ad cathetum a f.
Per Cor^{m}.
13
. decimi­
tertij
Elem.
Per Cor^{m}.
15
. decimi­
tertij
Elem.
Per 17. ſex
ti
Elem.
L
emmate 1.
Per 67.
LEMMA QVARTVM.
Proportio lateris pyramidis ad axem illius eſt poteſtate ſex­
quialtera
.
Co^{m}.
Intelligatur baſis pyramidis triangulus a b c, & conus pyrami­

dis
k, & quæ per centrum ſphæræ tranſit ex cono k d, cumque k d a
angulus
rectus ſit, erit quadratum k a æquale quadratis k d, d a, at
d
a eſt dupla d f, ut probatum eſt, igitur poteſtate ſexquitertia f b,
k
a uerò eſt quadrupla poteſtate fb, quia fb eſt dimidium k a, igitur
k
a eſt tripla poteſtate a d, igitur k a poteſtate ſexquialtera k d, quod
erat
demonſtrandum.
Per 47. pri
mi
Elem.
L
emmate 1.
Cor^{m}.
Ex hoc patet quod proportio axis pyramidis ad latus cubi ea­
dem
ſphæra circumſcriptorum eſt poteſtate ſexquitertia.
1
Co^{m}.
Quia enim k a eſt poteſtate dupla ad b b, & ſeſquialtera poteſta
te
ad k d, neceſſe eſt ut k d ſit ſexquitertia poteſtate ad b h.
LEMMA QVINTVM.
Priſma altitudinem habens pyramidis & triangulum eiuſdem
baſim
, æquale eſt cubo eidem ſphæræ inſcripto.
Co_{m}.
Cum enim proportio quadrati b h ad triangulum a b c ſit uelut

a
b ad a f, a b autem ad a f ſit ſexquitertia poteſtate ex demonſtratis,
erit
quadratum b h ad triangulum a b c ſexquitertium poteſtate: at
cubi
b h altitudo eſt ipſa b h, priſmatis autem a b c altitudo eſt k d,
k
d autem potentia ſexquitertia ad b h, igitur priſma a b c eſt ęquale
cubo
b h, quod fuit propoſitum.
Per 3 lem­
ma
.
L
emmate 2.
Ex hoc ſequitur, quod cum priſma ſit triplum ſuæ pyramidi, ut

ab
Euclide habetur, quod cubus eſt triplus pyramidi, quam eadem

ſphæra
circumſcribit.
Cor^{m}.
Per Cor^{m}.
lemmatis 4.
Per 34. un­
decimi
Elem.
Nunc uenio ad demonſtrationem propoſitionis, & dico quod
corpus
difficile eſt ad motum, uel ob magnitudinem baſis, cui inſi­

det
, uel ob pondus, uel ob formam: nam corpus quod forma eſt

contracta
, difficilè mouetur, ut pyramis, contrà, quod prominet à la
teribus
, facile reuoluitur, ut corpus duodecim baſium pentagona­
rum
, & uiginti triangularum: ergo cubi ſedes eſt maior quàm ſua
pyramis
, & pondus triplo maius, & etiam non prominet cubus,
ideò
pro re ſtabili poſitum eſt corpus eiuſmodi.
Eo quod ob gra­
uitatem
etiam, ut dixi, ſit ſtabilius pyramide eiuſdem ſphęrę.
Quod
ſi
etiam aſſumeres pyramidem, cuius baſis eſſet æqualis quadrato
cubi
, ipſa ſe haberet ad pyramidem ſphæræ in grauitate, uelut latus
trianguli
ad ſuum cathetum, & ideo proportio ponderis cubi ad
pyramidem
eſſet, uelut tredecim ad quinque fermè: ergo ratione pon
deris
eſſet longè ſtabilior cubus ipſa pyramide.
At in alijs corpori­
bus
, quæ rationalia uocantur, non eſt tanta proportio ponderis, &
baſis
eſt minor & forma prominet.
Ex 7. duode
cimi
Elem.
Co^{m}.
Propoſitio centeſima nonageſima nona.
Rationem remorum nauim impellentium inuenire.
Co^{m}.
Sit a remi extremum, quod manu apprehenditur, b ſcalmus cui
remus
inſidet: c extremum aliud latius remi, quod uocant pal­
mam
, transferatur nixu manus, & motu corporis a in d, ut c per­

ueniat
in e, ſunt enim æquales a b, d b, b c, b e etiam & angu­
li
a d b contrapoſiti, quare trianguli a b d & c b e ſimiles, igitur
primum
quanto maior propoſitio c b ad b a, tanto maior propor­

tio
c ad a d, & ita ex æquali motu longius transferetur remus, ſeu
palma
.
Secundum, cum motus a d fiat nixu brachiorum & corpo­
ris
, quanto magis transfertur corpus eo minus opus erit
1rum nixu, & ita minus laborabunt. Et

quo
minus laborabunt brachia, plus
corpus
laborabit.
Et ideò, ut declara­
tum
eſt ſuprà, minor labor erit cum æ­
qualiter
ambo laborabunt.
Tertium,
quo
minor erit proportio c b ad b a,
eo
maius ſpatium pertranſibit remex,
qui
mouet ex a in d, ſed tanto facilius

mouebit
, quia labor motus b c minue­
240[Figure 240]
tur
, ut ſuprà uiſum eſt per longitudinem a b & d b, ut ſuprà demon
ſtrauimus
.
Quartum, cùm remus tranſierit quoddam ſpatium
iuxta
robur, puta ex c in e, neceſſe eſt ut eleuetur ſuper aquam, tum
quia
impediret motum pro greſſus nauis, tum ut transferatur ante:
aliter
ſi transferretur ante ſub aqua difficilius multo, quam per aë­
rem
transferretur, & retroageret tantundem nauim, quantum an­
tea
retroactam impulit.
His per ſe notis dico, quòd translato remo
ex
c in e, neceſſe eſt nauim contrà transferri ex f in g: nam quia impe
dimentum
ex aqua tranſitur c in e, maius eſt quam nauis ſuper
quam
, & remus debet transferri ex a in d, & non poteſt transferri
niſi
uel ſtante naui, & translato c in e, uel ſtante a b c remo, & tranſ­
lata
naui: & tunc neceſſe eſt, ut e progrediatur ad h, ita deſſecabit
quam
ch, ergo difficultas manet eadem fermè, ex his fit motus com
poſitus
, ut palma non redeat uſque ad e, ſed maneat remus minus in­
clinatus
, & quaſi ad perpendiculum in h.
Et manifeſtum eſt, q̊d erit
motus
compoſitus ex retro ceſſu remi & pro ceſſu nauis.
Qui etiam
remiges
circa medium ſunt minus laborarent, ſi remus æqualiter
promineret
extra ſcalmum, ſed magis laborant, quia proportio eſt
eadem
, & a b eſt longior, & craſsior remus, ut minus flectatur ob
longitudinem
, aliter ſi eſſet æqualis craſsitudinis, & multo longior
flecteretur
aut frangeretur, ideò robuſtiores remiges ponuntur in
medio
triremis.
Iuuatur præterea motus nauis prorſum ex percuſ­
ſione
remi, & impetu iam aquiſito cum nixu remi in aduerſum ſu­
perueniente
.
Rurſus cum nauis transferatur eodem tempore antè
quò
a progreditur ad d, manifeſtum eſt quòd magna pars eſt ex
motu
nauis, non nixu corporis aut uirium: & ita quod celerius mo
uetur
ex c in h, ab initio dum nauis quieſcit, aut tardius mouetur,
tardius
autem dum nauis progreditur.
Per 15. pri­
mi
Elem.
Per 4. ſexti
E
lem.
Prop. 188.
Propoſ. 71.
Propoſitio ducenteſima.
Cur temo cum paruus ſit magnam nauim agere poteſt: & cur cum
uarietas
ſit in prora, ipſe conſtituatur in puppi.
Et cum tranſuerſim
ab
aqua prematur, rectà nauim dirigat?
1
Dixi quod in hipomochlio parua uarietas fit in motu: igitur à

leui
cauſa magnum nauigium impellitur aut uariatur.
Cum enim a
transfertur ad b, fit minima uarietas in e, igitur a parua poterit tranſ­
241[Figure 241]
ferri
, tum uero quod debuit transferri ad c, transfertur ad
d
, nam motus ipſe ab alia cauſa fit, uelut uento aut remis,
ita
non eſt difficultas niſi propter motum aquæ, ſcilicet
ut
tabula ſcindat illam.
Ad hoc autem contulit illud
quod
intra nauim prominet ut uectis rationem habeat,
& ob id facilius uerti.
Co^{m}.
Similiter uarietas in puppi exigua eſt cauſa magnæ
uarietatis
in prora, quod autem poteſt fieri paucioribus
& faciliori modo id debet fieri, hac igitur cauſa in pup­
pi
temonem conſtituere oportet ſeu guberna culum.
Cum autem impellatur à mari, neceſſe eſt, ut à latere excipiat
aquam
ita ut tantum pendeat in unam partem, quantum nauis in
aduerſam
, nam ſi nauis non penderet, gubernaculum rectè dirige­
242[Figure 242]
retur
.
Vt ergo ex duobus obliquis unum rectum conſtitui
tur
, ita ex naui & gubernaculo, nam ſint a b & c b & im­
pellatur
ad d, impelletur per mediam lineam b e & non
per
a b neque c b, igitur oportet temonem pendere ex ad
uerſo
inclinationis nauis.
Eſt etiam alia ratio, quoniam
nauis
ſecurior redditur, nam quemadmodum quod in
medio
eſt, facilius impellitur tranſuerſim, quàm quod pendet in
contrarium
, ita & in gubernaculo.
Eſt & id ob neceſsitatem, quoni­
am
motus aquæ plerumque eſt in partem, uelut & uentus ad la­
tus
eius ſitus, ſecundum quem moueri debet nauis.
Sicut igitur &
uela
& malus inclinantur, ut motum directum efficiant, quia aliò
dirigitur
nauis quam qui mouet uentus, ita de temone compara­
tione
aquæ.
Propoſitio ducenteſima prima.
Si duæ lineæ non ſecantes circuli peripheriam in unum punctum, ex
ea
coëant, exterius neceſſe eſt illas peripheria contenta eſſe maiores.
LEMMA PRIMVM.
Si fuerit proportio primi ad ſecundum maior quàm tertij ad
quartum
, erit primi ad tertium maior quàm ſecundi ad quartum.
Co^{m}.
Quamuis hoc demonſtretur à Campano, quia

tamen
facile eſt hic adijcietur.
Sit igitur maior a
ad
b quam c ad d, dico maiorem eſſe a ad c quam
243[Figure 243]

b
ad d, quia enim maior eſt a ad b quam c ad d fiat e ad b ut c ad e

eritque
e minuſ quam a, e igitur ad c ut b ad d ſed maior a ad c quam
e
ad e igitur maior a ad c quam b ad d.
1
Per 10. quin
ti
Elem.
Per 16. eiuſ
dem
.
Per 8. eiuſ­
dem
.
Per 11. eiuſ
dem
.
LEMMA SECVNDVM.
Si fuerint quatuor quanti­

tates
, quarum exceſſus primæ
ſupra
ſecundam, fit minor ex­
244[Figure 244]
ceſſu
tertię ſupra quartam, ſitque prima non minor tertia, erit propor

tio
primæ ad ſecundam minor quàm tertiæ ad quartam.
Per 8. quin­
ti
Elem. par
tes
ambas.
Per 10. quin
ti
Elem.
Co^{m}.
Sit exceſſus a ſupra b c, g b minor exceſſu d ſupra e f qui ſit h e, di­

co
quod proportio a ad b c eſt minor proportione d ad e f.
Quia
enim
a eſt maior d, & b g minor h e, erit maior proportio a ad b g

quàm
d ad h e, igitur fiat a ad g k ut d ad h e, erit ergo g k maior g b

quare
k e minor b c ex communi animi ſententia, eſt autem a ad k c
ut
d ad e f, minor autem a ad c b quàm ad k c, igitur minor a ad b c
quam
d ad e f.
Per 19. eiuſ
dem
.
Per 8. eiuſ­
dem
.
Per 11. quin
ti
Elem.
Si intra circulum æquicurium, & ſuper eandem baſim figura æ­
quilatera
& æquiangula conſtituatur, erunt omnia illius latera pariter
accepta
minora duobus trianguli lateribus.
Co^{m}.
Sit ut proponitur, & producantur b d &
c
e quæ concurrent intra triangulum, quia
anguli
d b c & e c b ſupponuntur ęquales, &
ducta
d e producantur d fl, & e g l quæ con­
current
intra triangulum k d e ut propter ean­
dem
cauſam, igitur a b & a c ſunt maiores k b
& k c, ergo maiores k d, d b, & k e, e c quia
ſunt
eædem.
Ductę quo que de ſimili modo
245[Figure 245]
k
d & d e, ſunt maiores l d & l e, igitur l f, f d & l g, g e, igitur a b & a c
maiores
ſunt b d, d f, f l c e e g g l pariter acceptis.
Rurſus ducta f g:
f
l & l g maiores ſunt m f & m g, igitur a b & a c ſunt maiores omni­
bus
lateribus figuræ inſcriptæ.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc patet quod latera polygoniæ fi­
guræ
ęquilateræ & æquiangulæ inſcriptę
portioni
circuli ſunt minora lateribus tra­
pezij
circunſcripti eidem peripheriæ.
246[Figure 246]
Sit ergo trapezium a g h b circa periphe

riam a b, & in ea inſcripta figura polygonia
æquilatera
& æquiangula a c, d f b.
Et quia
trapezium
eſt figura cuius oppoſita duo
latera
ſunt ęqualia, & duo anguli ſupra ba
ſim
æquales: itemque duo in ſummitate inui
cem
ęquales, tanget in medio peripheriam

quod
patet ductis lineis ex centro ad ex­
247[Figure 247]
trema
trapezij.
Et ideo etiam punctum medium polygoniæ, quare ex
1hoc leminate duo latera g d & g a deducta ad æquicrurium, erunt
maiora
lateribus polygonię, & ſimiliter duo latera h d maiora late­
ribus
polygoniæ incluſæ, ergo latera trapezij erunt maiora omni­
bus
lateribus polygoniæ incluſæ.
Co^{m}.
Per 4. pri­
mi
, & 16.
tertij Elem.
Co^{m}.
Ex hoc habetur demonſtratio propoſitionis: ſint duæ lineæ a b
& a c quæ comprehendant portionem cir­
culi
b c, dico eas eſſe maiores b c portione,
ſi
enim a b & a c ſunt æquales diuiſo arcu
b
c per æqualia in f, ducam contingentem

h
f k, ſi non faciant triangulum æquicruri­
um
b c d ſuper b c, & cuius ambo latera pa
riter
accepta ſint æqualia a b & a c.
Et du­
cam
contingentem & habebo trapezium

h
b, c k.
Quare ſi peripheria circuli b c eſt
248[Figure 248]
minor
d b & d c pariter acceptis, habeo intentum, ſi non toties diuidam
peripheriam
per æqualia ut fiat figura polygonia ſuper b c æquila­
tera
& æquiangula, cuius differentia a peripheria ſit minor differen
tia
d b & d c à trapezio b h, k c, id eſt, tribus eius lateribus, nam cum
d
h & d k ſint maiores h k, conſtat quod d b & d e ſunt maiores h b,
& k c & h k igitur ſit differentia illa l, & differentia peripherię à lineis
polygoniæ
minori: igitur cum peripheria ſit æqualis aut maior
d
b & d c, & differentia a lateribus polygoniæ minor quàm d b &
d
c, a b, h b, h k, k c, erit minor proportio peripheriæ ad latera poly­

goniæ
quàm d b & d c ad tria latera trapezij, quare minor propor­

tio
peripheriæ ad d b & d c quàm laterum polygoniæ ad tria latera

trapezij
, ſed latera polygoniæ ſunt minora tribus lateribus.
trapezij,

igitur
peripheria b c eſt minor d b & d e, quod erat demonſtrandum.
Per 2. & 1.
primi Elem.
Per 5. eiuſ­
dem
.
Per 20. pri­
mi
Elem.
Per 2 lemma.
Per 1 lemma.
Per Cor^{m}.
3
lemmatis.
SCHOLIVM.
Hanc propoſitionem non ſcripſi quòd eſſet magni momenti, ſed
propter
modum probandi, ſi enim reſpicis ex uno oppoſito ſcilicet
quod
peripheria circuli ſit maior trianguli lateribus, oſtendo de­
monſtratione
non ducente ad inconueniens, ſed ſimplici quod ipſa
peripheria
eſt minor trianguli lateribus, & hoc nunquam fuit factum
ab
aliquo, imò uidetur plane impoſsibile.
Et eſt res admirabilior
quæ
inuenta ſit ab orbe condito, ſcilicet oſtendere aliquid ex ſuo
oppoſito
, demonſtratione non ducente ad impoſsibile & ita, ut non
poſsit
demonſtrari ea demomſtratione niſi per illud ſuppoſitum quod
eſt
contrarium concluſioni, uelut ſi quis demonſtraret quòd So­
crates
eſt albus quia eſt niger, & non poſſet demonſtrare aliter, &
ideo
eſt longè maius Chryſippeo Syllogiſmo.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc patet quod pars lineæ exterioris quæ tangit circulum
1intercepta à linea ex centro longior eſt peripheria, ſimiliter in­
tercepta
.
Co^{m}.
Sit portio circuli a e, & linea a b intercepta à linea c b ex centro,
249[Figure 249]
dico
ab eſſe longiorem a e, ducatur b e æqualis a b, ad

circumferentiam
, quæ illi obuiabit, ducanturque c a, c e

eritque
angulus e c b æqualis a c b, igitur arcus a d, æ­
qualis
d c, quare a d erit dimidium a e, & a b dimidium

a
b, b e, facta enim fuit b e æqualis a b, cum ergo per
præſentem
duæ lineæ a b, b e, ſint maiores a e, igitur per commu­
nem
animi ſententiam a b maior a d.
Per 8. tertij
E
lement.
Per 8. primi
E
lem.
Per|26. ter­
tij
Elem.
Propoſitio ducenteſima ſecunda.
Rationem ſtrepitus oſtendere.
Co^{m}.
Fit ſtrepitus ob multitudinem aëris percuſsi, uelut cum tabulis
percutimus
: & cauitatum cauſa, unde ligna & tabulæ leues magis
ſtrepunt
, & illud Virgilij:
—Sonitumque dedere cauernæ.
Tum uerò ob ictus impetum, impetus autem partim uelocitatis cau­
ſa
, partim anguſtiæ loci.
Fulmen edit tonitru in quo & caua nebula
excipit
aërem, & multum impetuque maximo delatum, obſtrepunt au
tem
metalla magis quam ligna eo quòd magis ob continuitatem par
tes
moueantur.
Indicio eſt, quod intenta ut æs & tenuia maiorem ſtre
pitum
edunt: & dum ſonant tremunt, aurum autem parum ſonat,
quoniam
denſiſsimum eſt, et minus intentum argentum, minus den
ſum
, & magis intentum, quod autem intentum eſt totum ſimul mo
uetur
, & ob id ſtridet: lignum autem & tabula ſonat, non quia ut me­
tallum
percutiat aërem, ſed quia in eo aër percutitur.
Craſſum autem
metallum
& lignum non adeò ſonant: metallum quoniam non mo
uet
aërem, non enim mouetur: lignum quoniam non mouetur, nec
in
eo qui eſt incluſus aër, aër autem facilè mouetur, & ob id in ligno
cauo
, etiamſi craſſum ſit, ſtrepitus magnus editur.
Ergo etſi tenue
ſit
metallum, quod infixum eſt tabulę, reſonat multum: non quia mo
ueatur
, ſed quoniam aerrem in tabula com cutit.
Neque enim tabula per
ſe
ſola, quæ etiam nimis tunderetur ſonum edere magnum poteſt
quoniam
cedit: Oportet autem non cedere quod reſonat, neque metal­
lum
ſi craſſum, ſed hebetem ſonum etiam tabulę infixum reddit, quo­
niam
neque moueri poteſt infixum & craſſum, nec cauernoſum eſt, &
tamen
excipit ictum, ne lignum reſonet.
Velox autem ictus non acu­
tum
ſonum reddit, & ſi cum impetu ſit: indicio eſt tonitru & machinę
bellicæ
igneę, contrà anguſta fiſtula acutum ſonum reddit, etiam remiſ­
ſè
inflata.
Igitur aër ſoni cauſa eſt ſecundum motum, ubi ergo multus
aër
& magnus motus ibi ſonus magnus.
Multus quidem aut in
1uernoſo corpore, qui grauiſsimum edit ſonum intercluſus, ut etiam in uo
cibus
, aut quia à magno corpore ſtridulus efficitur, aut inter duo
corpora
, qui grauitate medius eſt.
Impetu uerò efficitur intenſus non
magnus
, nam tonitrus procul audimus non iſtum quamuis celerri­
mum
, acutum uerò ob anguſtiam loci.
Atque cauſę ſunt ſonorum.
Propoſitio ducenteſima tertia.
Cur ſcytalis onera portentur facilius, explorare.
250[Figure 250]
Demiror non exactè cauſam manifeſtiſsimam

Ariſtotelem
non aſſecutum fuiſſe, aut potius ad

nos
corruptam ſcripturam perueniſſe: nam qui
expo
nunt multo minus intelligunt.
Sit ergo cur
rus
humilis ſcytalis iucumbens a b c.
Diximus
autem ſuprà quid eſſet ſcytala & currus rotis, quae
ſuntlonge
maiores ſcytalis e f g h, demonſtran
dum eſt ſcytalam, quamuis minoris ambitus ma­
gis
mouere <08> rotam, cum ergo de una demon­
ſtrauerimus
, de oimbus erit intelligendum.
Quia
ergo
ſcytala k l m habet hypomochlion in k et
m
, & pondus premit in l, igitur rota uerſatilis mo

uebitur tanto facilius procedendo, quanta eſt lom gitudo l m & l k, ſed &
rotulę
illę uerſabunt hypomochlion, q̊d eſt l comparatione k & m col­
lopum
, igitur facilius multo uerſabitur currus à ſcytalis <08> rotis.
Et hoc
eſt
quod dixit Philoſophus.
In utriſque. n. his reuoluitur circulus et mo
tus
impellitur, intelligit mutuam commutationem hypomochlij cum col
lopibus
, nam ut trahantur rotulę quae ſunt hypomochlij loco, collopes
terminantur in medio: ut aunt uertatur axis, qui & hypomochlion in me­
dio
collopum initium ſint rotulæ.
Ex quo ſequitur, q̊d quanto longiores
erunt
l k l t & l m, tanto facilius mouebuntur currus, at quanto humi­
liores
, modò non obruantur in terra, quoniam tardius mouentur,
quæ
minorem habent circuitum, quæ autem tardius mouentur, fa
cilius
mouentur, ut ſuprà ſæpius demonſtratum eſt: Ob has ergo
duas
cauſas pondera facilius feruntur curribus cum ſcytalis, quàm
cum
rotis magnis modò terra non obruantur.
Co_{m}.
Prop. 114.
Propoſ. 71
Propoſitio ducenteſima quarta.
Cur pluribus trochleis pondera facilius eleuentur oſten dere.
Dictum eſt ſatis de hoc in lib. de Subtilitate, at nunc quod ad de­

monſtrationem
attinet eorum ſubijciam.
Quia. n. ſingulę rotulę diffi
culter
mouentur, igitur neceſſe eſt ſingulas participes eſſe grauitatis,
igitur
& totam grauitatem eſſe diuiſam: quare ut in pręcedenti facilius
moueri
.
Habent & rotulę ipſę centrum ſeu axem hypomochlij, ſeu

fulcimenti
loco, ambitum aunt iuxta ſemidiametrum, uelut collopes
1ſeu uectes, quare tanto facilius mouebuntur quanto maiores erunt,
251[Figure 251]
& ut plures.
Vna enim alterius loco fungitur uectis. Trochlea qui­
dem
eſt, ut uides, inſtrumentum longum ſuprà anguſtius, ſed non,
craſſum
, in quo plures orbiculi ſolent collo cari, unde ſæpe numero
trochleæ
nomine intelligimus orbiculos ei incluſos, circa quos fu­
nis
uocatur, ut in trochleis & orbiculi & funes includuntur.
Succu­
lis
etiam ſolent capita funium trahi: ut uectis auxilio imò nonnum­
quàm
rotarum facilius pondera eleuantur.
Co^{m}.
Propoſ. 71.
8. de Repub.
Propoſitio ducenteſima quinta, ſuper uerbis Platonis,
de
fine Reipub.
Eſt autem ei quod diuinitus generandum eſt circuitus, quem nu
merus
continet perfectus.
Humanæ uerò, in quo primum argumen
tationes
ſuperantes, ut ſuperatæ tres diſtantiæ: quatuor autem ter­
minos
accipientes, ſimilium & diſsimilium, ab undantium & deficien
tium
cuncta correſpondentia, & rationem habentia inuicem effece
runt
.
Quorum ſexquitertium fundamentum quinario iunctum duas
efficit
harmonias ter aucta quidem: æqualem æqualiter centum to
ties
, quandam autem æqualem quidem, longitudine aunt ſingulum
quidem
numerorum à diametris rationem habentibus quinarij indi
gentibus
uno ſingulis: non habentibus rationem aunt duobus, cen­
tum
autem cuborum ternarij.
Totus autem hic numerus geometri
cus
talem authoritatem habet ad potiorem deterioremque genera­
tionem
.
Quem locum Ariſtoteles ita declarat. Quorum ſexquiter­
tium
fundamentum quinario coniunctum duas exhibet harmo­
nias
, inquiens, quando numerus diagrammatis huius efficiatur ſolidus.
Quin Polyt.
C
ap. 12.
Γυσθμὴν fundamentum interpretatus ſum, quod radix pro latere in
hac
materia accipi poſſet.
Par eſt ut in diuina generatione numerus

acciperetur perfectus: ut intelligat generationem confeſtim ſequi cor
ruptionem
: nam ſermo eſt de corruptione, corrumpitur aunt unum­
quodque
ut aliud generetur, malum enim eſt ob bonum, non contrà.
Liquet autem ex Euclide talem numerum eſſe octies mille centum ui­
ginti
octo.
Et hic eſt finis omnium urbium diuinus, cuius quadruplum
uelut
in cœli reſtitutionibus, ac continuato ordine ſolet obſeruari,
eſt
propè annus magnus: ueriſimile eſt enim tanto tempore confundi
decima
, ſcilicet totius circuitus parte.
Humanæ uerò intelligit qua­
252[Figure 252]
tuor
à monade numeros, aut in quauis ratione principium li­
neam
ſuperficiem corpus, ut unum, duo, quatuor, octo pariter
octo
: duodecim decem octo uiginti ſeptem: inter hæc ſunt tria
ſpatia
, & octo cum uiginti ſeptem ſunt diſsimilia & deficien­
tia
: maiora emm ſunt ſuis partibus à quibus numerantur.
Contrà de­
cem
octo & duodecim ſunt ſimilia atque ab undantia, & correſponden
1tem habent rationem inuicem. Hæc Ariſtoteles omittit, ut ad in­
troductionem
, non rem pertinentia, uelut & finem tanquàm ex
præcedentibus
notum.
Vnde uerba Ariſtotelis ſunt ad unguem
eadem
uerbis Platonis, ſcilicet: “Quorum ſexquitertium funda­
mentum
quinario iunctum duas efficit harmonias: loco autem ter
aucta
quidem, ſcribit Ariſtoteles: efficiatur ſolidus, id eſt cubus, ut
in
quadratum ſuum ducatur: loco autem uerborum æqualem æ­
qualiter
centum centies, uſque illuc à diametris rationem habenti­
bus
quinarij ponit numerum diagrammatis. Eſt autem diagram­
ma
, quod Plato uocat diametrum, cum numerus poteſt fermè du­
plum
numeri alterius, ut 3 duplum 2, & 7 duplum 5, & 17 duplum
12
, & ſemper numerus hic dimetiens, excedit duplum alterius uno,
quod
ex his patet, quæ ab Euclide demonſtrata ſunt in decimo li­
bro
.
Quare ſi debet eſſe quadratum eius monade maius duplo, al­
terius
quadrati, & duplum | alterius quadrati eſt par, igitur addi­
ta
monade erit impar, ergo latus eius dimetiens impar ſemper: la­
tera
autem ipſa quadratorum, quæ duplicantur aliquando pa­
ria
ſunt ut 2, & tunc quadratum dimetientis eſt unum plus duplo
ut
9 eſt maius 8 monade, ſi uerò latera imparia ſint, erit quadratum
dimetientis
uno minus duplo, ut 49 quadratum 7 eſt minus uno
50
, duplo 25, quadrati 5. Ex quo patet agnatio, ut ita dicam in­
ter
7 & 5.
Co^{m}.
8 12 18 27
Cum ergo dicit, quorum ſexquitertia eſt, ac ſi diceret, ex horum
numerorum
ſerie ſumemus ſeptenarium principium epitrite, & di­
metientem
5, quos ſimul iungemus.
Propoſitio ducenteſima ſexta.
253[Figure 253]
Rhombi paſsiones quaſdam declarare.
Sit a d recta diuiſa in k per æqualia, cui ſu­

perſtent
k b & k c ad perpendiculum inter ſe
æquales
, & ſingulæ earum minores k a & k d,

& perficiatur figura quadrilatera a b d c, cuius
latera
erunt omnia æqualia inuicem, & angu
li
a & d oppoſiti, & b & c oppoſiti etiam inui
cem
ęquales.
Sed b & c maiores erunt a & d:

& ideo talem figuram appellauit Ariſtoteles rhombum à piſcis ſi­
militudine
in medio latioris quam in extremis, cuius tamen longitudo
latitudine
maior eſt.
Dicit ergo Ariſtoteles, q̊d ſi rhombus ipſe cir­

cumuoluatur
, ita ut b tranſiret per b a c, & a per a c d, a maius ſpa­
tium
tranſiret ex recta, ſcilicet a k d quàm b, quod tranſiret b k c.
Et
ad
hoc aſſumit, quòd cum angulus c ſit maior a, igitur duæ lineæ
a
c d ſunt minus curuæ quam duæ b a c, igitur b a c habent
1nem currui, & a c d recti. Ergo ſi in æquali temporis ſpatio b, ſuperet
b
a c & a, a c d, magis per rectam feretur a quàm b, ſed quod rectum
eſt
maius occupat ſpatium: igitur uelocius fertur a in d compara­
tione
habita ad a d quàm b in c, comparatione habita ad b c.
Co_{m}.
Per 4. primi
E
lem.
Per 25. pri­
mi
Elem.
Quæſt. 23.
M
ech.
Pro intellectu reliquorum ab eo dictorum, & quorundam mira­
bilium
, proponatur alius rhombus illi ęqualis, in tabula pictus deli
neatis
lateribus & diametris, qui fit l m o n, & diametri l p o & m p
n
, & abſcindatur hic ex ſuperficie, & ſuperponatur ita, ut puncta l m
o
n ordinatim cadant, & aptentur punctis a b d c, & p aptetur ipſi k.
Et tunc ſi rhombus l o totus moueretur, neceſſe eſt, ut moueatur ſe­
cundum
latus aliquod, ut pote l m, & ęquidiſtans a b, igitur dicetur
254[Figure 254]
moueri
ſuper latus aliquod, ſcilicet a c: atque hic eſt mo
tus
, quem Ariſtoteles uocat motum a b ſuper latus a c.
Si aunt fingamus quieſcere latus aliquod l o, uel pars
lateris
, non poſſet omnino moueri in ſuperficie a d
rhombi
: et ita non perinde eſſet ac ſi a d rhombus mo
ueretur
, quod tamen ſupponit Ariſtoteles.
Neque etiam
ſi
quieſceret punctum aliud quam p haberet ratio­
nem
motus regularis, quod ab illo ſupponitur: reli­
quum
eſt igitur, ut rhombus l o moueatur uice rhombi a d ſeruan­
do
centrum, id eſt punctum p in puncto k.
Dicamus ergo primum
de
motu compoſito Ariſtotelis, & pòſt de noſtro.
Moueatur l m ſuper a c, æquidiſtans ſemper a b, ut ſeruet ſitum
quem
habebat ita, quod extremum lineæ l m ſit ſemper in linea a c, &
l
punctum quod gerit uicem a, deſcendat tantum in linea l m, quan­
tum
l extremum in linea a c: dicit Philoſophus, quod a ſeu l ſemper
deſcendet
in linea a d, & erit in e a.
Supponatur quae latus l m fit f g, &
erit
l n, f t, ducatur aunt ex r puncto ſectionis diametri, & lateris l m li

near
q, æquidiſtans a f, igitur rhombus a q r f eſt ſimilis rhombo toti
a
b d c, & proportio a f ad fr, ut a c ad c d, ſed a c eſt ęqualis c d, igitur a f
eſt
æqualis f r, ſed l deſcendit in l m, quantum eſt a f ex ſuppoſito, igitur
punctum l ſemper erit in linea a d.
Poſt deficiunt quædam uerba: ob
quæ
nemo intellexit ſententiam Philoſophi, & tamen auſi ſunt impo
nere
lectoribus, tan<08> intellexiſſent, tres ſimul errores admittendo,
ſcilicet
Ariſtotelem ob propriam ignorantiam, ut ſtultum accuſan­
do
, qui falſa dicat, & demonſtrare nitatur: produnt ſe ipſos cum
ſua
impudentia.
Et lectoribus imponere conantur, debet ergo ſic
legi
(“b in ipſa b c diametro latum, ubi latus b d moueatur in late­
re
b a, & b æqualiter uerſus d in b d, æqualis enim eſt ipſa b e”)
Tunc
enim conſtat ut hic dixi, m moueri per b c rectam ut l per a d:
Dicit
ergo cum b d moueatur in b a, tranſit unico motu totam b a, & pun
1ctum tamen b, quod mouetur duobus motibus, non pertranſit niſi b c,
quæ
poteſt eſſe minor b a: nam conſtat quod quando m erit in a, o erit
in
e, & quia m deſcendit in o, in eodem tempore, ergo o erit in c, &
tranſiuit ſemper per rectam b c: igitur m eſt minus motum duobus mo
tibus
quàm m l unico tantum.
Et quia aliquis dicere potuiſſet non eſt
mirum
, quod m ſit minus motum duobus motibus quàm l m latus
unico
tantum: quia m mouetur motu contrario motui lateris: nam
latus
m o mouetur in latere b a aſcendendo, et punctum m uerſus o
in
ipſo m o deſcendendo.
Dicit Philoſophus, hoc eſt mirum, quia
cum
idem contingat in motu l, cuius latus mouetur per a c, & l per l
m
recedendo in partem contrariam, nihilominus uelocius motum
eſt
l, quàm latus l m, quia a d eſt longior a c.
Ex quo patet, quae quęſtio
Philoſophi
eſt una tantum, & non duæ.
Et eſt cur motum duobus
motibus
in rhombo, in uno mouetur uelocius latere tantum moto
uno
motu, in alio tardius?
Et quia aliquis dicere poſſet, q̊d b c poſ­
ſet
eſſe longior a c: Dicit Philoſophus, uerum eſt, ſed ego poſſum in­
uenire
talem rhombum, qui etiam habeat a c longiorem, & tunc ni­
hilominus
ſequitur quod dico.
Aliud aunt, quod docet ex hac demon­
ſtratione
, eſt quae ex duobus motibus rectis diuerſis poteſt fieri unus
motus
rectus diuerſus: igitur idem punctum, puta formica poterit
ſimul
, & ſemel moueri duobus motibus rectis diuerſis.
Et hoc eſt,
quia
primus motus eſt rectus ſolum ſecundum formam, & non ſe­
cundum
materiam: & alter ſecundus, ſcilicet miſtus eſt ſecundum
materiam
& non ſecundum formam per rectam.
Per 24. ſexti
E
lem.
Ex hoc ſequitur aliud magis mirum, et eſt iuxta noſtrum motum rhom
bi
l o in rhombo a d, fixo centro p in centro k, & moueatur quomodo
libet
, l, dico quod l f ſemper æqualis erit a f, quia emm k l & k a ſunt æ­
255[Figure 255]
quales
, cum eſſent una linea ante motum ducta, l a erit
angulus
k l a, æqualis angulo k a l, ſed angulus k a c

eſt
æqualis angulo k l m, cum angulus k l m eſſet idem
angulo
k a b, & angulus k a b eſt æqualis angulo k a c,

igitur
angulus k l m eſt æqualis angulo k a c, igitur reſi
duus
fl a eſt æqualis reſiduo f a l, quare f a æqualis

fl
.
Si igitur quantum procedit latus m l in a c, tantum
deſcendat
punctum in linea l m punctum perpetuo, erit in linea a c,
& per eam mouebitur.
Vnde ſequitur quod
Per 5. pri­
mi
Elem.
Per 34. pri­
mi
Elem.
Per 6. primi
E
lem.
Quod punctum l mouebitur duobus motibus. uno recto in linea, ſcilicet

l
m, & altero circulari.
ſ. circa centrum k, & tnm mouebitur uerè motu re­
cto
tmm in alia linea, ſcilicet a c, & hoc eſt primum admirabile.
Aliud eſt
Cor^{m}. 1.
Quod punctum l mouebitur duobus motibus, & per ipſos mouebitur

ad
unguem uno motu ęquali uni eorum, ita q̊d alius motus nihil addet
1nec minuet. Patet quia mouebitur, gratia exempli, primo motu ex l
in
f, & pòſt motu circulari, & uerè erit motum ex a in f, qui motus
eſt
æqualis motui priori propriò, & ſolo ex l in f.
Cor^{m}. 2.
Propoſitio ducenteſima ſeptima.
Proportionem agentium naturalium in tranſmutatione con­
ſyderare
.
Co^{m}.
Sit latitudo a b ad conuerſionem terræ in aurum me­
dium
perfectionis a b ſit c, & medium a c d b, cuius dimi­
dium
ſit e b.
Et fiat commutatio a c in f g, tempore dimi­
dium
f g, g h in g h deberet peruenire ad perfectionem d,
quoniam
ratio a c ad c d, ut f g ad g h.
At uerò dum tranſi­
ret
terra ad perfectionem c tota reſiſtebat, iam adepta per­
fectione
a c non reſiſtit, niſi pro medietate, at proportio cu
iuslibet
quantitatis ad dimidium alterius producitur ex
proportione
eadem & dupla, dupla igitur eſt proportio
agentis
ad imperfectionem a c ei quæ eſt ad a b, igitur in di
midio
temporis g h acquiret perfectionem c d, & ſit g k di
midium
g h, erit ergo tempus totum fk, in quo acquiret
a
d.
At ratio hæc conſtare non poteſt, nam ſi diuidatur ſpa
256[Figure 256]
tium
a b in trientes fient trientes duo, & quarta pars in perfectione
a
d: ſed iam multo citius acquiret quam in fk tempore, quod eſt di­
midium
& octaua pars.
Sed hoc non cogit, quoniam partes primæ
ſunt
ſemper contumaciores, & ut diſponuntur fiunt magis obedi­
entes
, non iuxta proportionem ſimpliciter, ſed ut ſunt in materia,
& ideò hæc actio eſt ſimilior proportioni exceſſus, & eſt Arithme­
tica
quam capacitatis ſcilicet Geometricæ.
Cor^{m}.
Ex hoc patet, quod res quæ ad ſummam maturitatem perueni­
unt
, maximè acquirunt perfectionem in exiguo tempore, ut gemmę,
aurum
, infans.
Ergo oportet maximè iuxta finem cauere, ne detur
occaſio
ulla accelerandi partum.
Propoſitio ducenteſima octaua.
Mota res à centro grauitatis per priorem motum in reditu uelo­
cius
mouetur, quam ſi quieuerit.
Co^{m}.
Sit a b c lectus penſilis, in quo ho
mo
aut patera, in qua aqua uel ui­
num
, & ſit centrum grauitatis d, quod
neceſſariò
eſt in linea loci, cui anne
xus
eſt lectus a g, & in patera lo ci
medij
manus continentis pateram
cum centro quæ ſit a g, quibus ſtan­
tibus
oſtendendum eſt primo.
257[Figure 257]
1
LEMMA PRIMVM.
Omne graue motum à centro grauitatis, reſtituto ad eundem ſitum
pondere
mobili aut inmobili, continente ultra centrum grauitatis
naturalis
uiolenter fertur.
Seu ſit pondus per ſe non fluctuans in penſili lecto, ſeu humor in

patera
, quum pondus moueatur ſolum ratione una, ſcilicet lecti pen­
ſilis
homo uel plumbum, humor autem aqua uel uinum bifariam
& ratione pateræ ſi mobilis ſit in a laxa manu, & etiam per humo­
rem
ipſum redeuntem ad locum ſuum: adeò quòd ſi eſſet & immobi­
lis
patera, humor ſaltem reflueret propria inundatione ad locum
ſuum
centri grauitatis, licet in patera eſſet immobilis locus grauita­
tis
uelocius & maiore cum impetu, adeò ut tranſeat uerſus e, cum fu
erit
motus primus ex e in f, et reſtitutio ex fin e: ſeu in immobili pon
dere
mobilis continenti, ut in lecto penſili: ſeu in immobili conti­
nente
, ſcilicet poſtquàm ad locum ſuum reſtitutum fuerit per uim
retenta
patera à manu iuxta ſitum priorem in a, mobili autem con­
tento
, id eſt, humore, multo autem magis contento, & continente
mobilibus
.
Vt ſi patera & humor ipſe ſimul moueantur, nam & pate
ra
tranſgredietur locum ſuum, & humor duplici motu ſuperau­

ctus
tranſgredietur motum naturalem.
Cum enim a d eſt remotum
a
g, & eſt in f, mouetur maiore impetu, quam ſit pro ratione pon­
deris
, ut demonſtratum eſt, igitur tranſibit ad e, cum ergo redeat
ad
g motu naturali, neceſſe eſt ut motus uiolentus ſit ualidior ea
parte
naturalis, qua d reſiſtit, dum eſt in g, ne dimoueatur à g, ſi igi­
tur
tractum ad c, ſuperauit uim qua manet in g, in eo quod moue­
tur
ad f, igitur in reditu mouebitur tantum ultra g uerſus e, quan­
tum
eſt acquiſitum ex ui tranſitus ultra g uerſus f, quanto ergo ma­
ior
eſt arcus e d, tanto maior eſt d f, & quanto maior eſt arcus d f,
tanto
maior d h.
Co^{m}.
Propoſ. 30.
Ex quo patet, quod quanto magis remouetur d à g, tanto maio­

re
impetu fertur uerſus extremum aliud & ultra medium.
Cor^{m}. 1.
LEMMA SECVNDVM.
Omne pondus appenſum eſt graue comparatione medij graui­
tatis
, ad hoc ut ab eo remoueatur, quantum eſt pro ratione anguli
ex
quo appenſum eſt.
Sit d appenſum in a & in b, & ſit angulus c b d, triplus angu­

lo
c a d, dico quod tripla eſt uis quæ transfert d in c ex b, ei quæ
transfert
ex a, quoniam enim mixtus eſt in b & a, igitur a d æqua­

lia
ſpatia æquales uires exigentur: igitur uirium proportio ut
angulorum
, at quanto maior eſt a d in proportione ab b d tanto
maior
eſt proportio anguli c b d ad angulum c a d, igitur quanto
1258[Figure 258]
ior
eſt a d tanto facilius remouet ęquali ſpa

tio
d uerſus e.
Et licet remoueantur ab ipſo
d
, ſemper eadem proportio manebit, ma­

nente
eadem longitudine b d & a d, nam

proportio
d f ad d c, eſt uelut f b d ad
c
b d, & ut d f ad d e, ita f a d ad c a d, quare
fb
d ad c b d, uelut f a d ad c a d, quare fb d
ad
f a d, ut c b d ad c a d, quod fuit pro­
poſitum
.
Co_{m}.
Per 16. pri
mi
Elem.
Per ult. >ſex­
ti
Elem.
Per 11. quin
ti
Elem.
Per 16. eiuſ
dem
.
LEMMA TERTIVM.
Grauitatem ponderis appenſi aut fluidi
in
comparatione ad remotionem à centro
grauitatis
inuenire.
Co^{m}.
Nam cum d trahetur per planum ut ſuſpenſum, & non tractum

a
d, erit dimidium ponderis appenſi, igitur ex lemmate ſecundo, pa
tebit
proportio laboris in remouendo d à loco proprio in quan­
cunque
partem & diſtantiam, & in quouis loco ſit appenſum.
Per 16. hu­
ius
.
Ex hoc ſequitur, quod poterit annulus tam altè appendi, ut iuxta

proportionem
angulí & leuitatem propriam cum filo tenuiſsimo,
& ut fuerit latus, & poſitus è regione oris, ut ex ſermone circum­
agatur
quaqua uerſus, & percutiat labra uaſis aqua pleni fermè, ut
uideatur
plane reſponſa dare.
Cor^{m}. 2.
LEMMA QVARTVM.
Quanto magis remotum fuerit pondus ex eodem centro à recta
linea
, tanto maiore impetu agetur, ut ultra locum medium feratur
non
æquali, ſed producta proportione.
Sit a b, & ut dictum eſt, non eſt ei pondus, niſi quatenus remoue­

tur
a recta, & in c ſummam habeat grauitatem, & d ſit medium b c,
259[Figure 259]
dico
ergo quod multo maiore impetu feretur ex cin
b
quam ex d, nam cum c ſit ſumma grauitas, erit ſal­
tem
dupla grauitati d, ſed d grauitas eſt penè infinita,
ut
demonſtratum eſt in comparatione ad b, ut iuxta
ſitum
remotionis à linea b, cum ergo proportio ſin­

gularum
partium c d ad ſingulas d b medietate b c diſtantes ſit ma­
260[Figure 260]
ior
dupla augendo, erit proportio c d ad d b, uelut pro­
poſita
h k dupla g f, & h e dupla e f, e k h ad e g f quadru­
pla
, igitur & eo maior quo acquiſitus eſt impetus ex de­
monſtratis
, quare proportio motus & impetus ex c in

b
, eſt multo maior impetu ex d in b quadrupla pro­
portione
.
1
Co^{m}.
Lemmate 2.
Per 30. hu
ius
.
Ex his omnibus concluditur propoſitum in prima figura, & eſt

quod
ſi b c inclinetur uerſus e, mouebitur a d, certo impetu uerſus
e
.
Et quia ſi prius b c inclinatum fuerit in f, redit a d, dum b c reuer­
titur
ad proprium ſitum ultra lineam a d g uſque ad h per primum
lemma
.
Et cum b c inclinatur ad b f peruenit, quantum b c inclina­
ta
ad f, ſcilicet ad e, igitur ex motibus b c in f & in e tanto plus mo­
uetur
d ultra e, quantum eſt productum d e in d h, ‘ideo multo plus
quam
ſi ſolum motum fuiſſet d ex recta a g, etiam quod non moue­
retur
b c.
Multo plus ergo moto etiam b c, ut diximus.
Co^{m}.
Propoſitio ducenteſima nona.
Si ſuperficies rectangula in duas partes æquales diuiſa intelli­
gatur
, quæ ambę quadratæ ſint, itemque in duas inæquales, erit pa­
rallelipedum
ex latere mediæ partis in totum ſuperficiem maius ag
261[Figure 261]
gregato
parallelipedorum ex par­
tibus
inæqualibus, in latera alte­
rius
partis mutuo in eo, quod fit
ex
differentia lateris minoris par­
tis
a mediæ latere in differentiam
maioris
partis ſuperficiei à media
ſuperficie
bis, & ex differentia am­
borum
laterum inæqualium iun­
ctorum
ad ambo latera æqualia
iuncta
in minorem partem ſuperficiei.
Proponatur a g diuiſa in duo quadrata æqualia a h, h b, & late­

ra
erunt a c, c b, & in duo inæqualia a d d g, quarum latera ſint b c,
a
f, dico quod parallelipeda a c in c g, & c b in c k, & ſunt æqualia pa
rallelipedo
ex a c in a g, excedunt
262[Figure 262]
parallelipeda
ex a f in d g, & b c
in
d k, in duplo f c in d h, cum eo
quod
fit ex f e in d k ſemel.
Quia
ergo
parallelipedum ex a e in a g
eſt
æquale parallelipedis a f & f c
in
a h, h d, h k, quare parallelipe­
dis
a f in a h, h d, d k, & f c in d k, &
c
e in d k, & f e in d k, & f e in d h
bis
.
Ad parallelipedum a fin d g,
eſt
æquale parallelipedis a fin a h, h d.
Et parallelipedum b e in d k,
parallelipedis
a f, f e, c e in d k.
Detractis ſimilibus relinquetur f c in
d
l, l e, e h bis, quod eſt f c in d h bis, cum eo quod fit ex e f in d k ſi­
mul
, quod eſt propoſitum.
1
Co^{m}.
1 a f in a h f c in a h bis 2 a f in h d f e in d k 3 a f in d k 4 f c in d k 5 c e in d k 1 a f in a h 4 f c in d k 2 a f in d h 5 c e in d k 3 a f in d k
SCHOLIVM.
Dico etiam, quòd duæ lineæ b e & af ſunt minores duabus a c,
c
b ſimul iunctis, nam quia d b, e b, c b, ſunt in eadem proportione,
& d b eſt maior e b, erit maior differentia d b ad e b, quam e b ad

c
b, igitur maior d e quam e c, quare e c eſt minor medietate d c, &
ideo
multo minor medietate a c.
Et ſimiliter, quia a c eſt maior af, &
a
c, a f, a d ſunt in continua proportione, maior erit c f quam
fd
, & ideò conſtat quamuis longum eſſet, ſi quis uellet demon­
ſtrare
perfectè, quod b e & a f iunctæ ſunt minores tota a b ſeu du­
plo
a c.
Per conuer­
ſam
quaſi 8.
quinti Elem.
Exemplum, ſint h b & h a 25, & a e, c b 5, producta mutua 250,
ſitqúe
g d 49, & erit b e 7, ſit autem d k 1, & erit a f 1, quia ergo a f
eſt
1, a e 5, erit f c 4, & quia e b eſt 7, & b c 5, erit e c 2, quare etiam ef2,
productum
ergo ex e b in d k eſt 7, & ex a f in d g 49, totum ag­
gregatum
56, differentia a 250, eſt 194, qui ſit ex duplo fc, quod
eſt
8 in d h, quæ eſt 24, & fit 192, & ex fe, quæ eſt 2, in d k, quæ eſt 1,
& fit: quod additum ad 192 facit 194. Similiter capio 450, cuius di­
midium
eſt 225, c g & c k 225, & c a & c b 15 ſingulæ.
Et ponatur
d
g 441, eritqúe e b 21, & d k 9, & erit a f 3, igitur cum b e ſit 21,
& b c 15, erit c e 6, a f uerò eſt 3, igitur f e eſt 6. Producta mu­
tua
æqualia 6750, inæqualia 1521, differentia 5238, quia er­
go
f c eſt 12, duplum eius eſt 24, ductum in d h, quæ eſt
216
, nam d k ex ſuppoſito eſt 9, fiet ergo 5184, cui ſi addam, quod
fit
ex f e, quæ eſt 6, in d k, quæ eſt 9, fitqúe 54, erit totum 5238, quod
erat
propoſitum.
Cor^{m}.
Ex hac demonſtratione liquet, quod ſi linea in duas partes æ­
quales
diuidatur, & duas inæquales, quòd parallelipeda æqua­
lium
ſectionum pariter accepta excedent parallelipeda inæqua­
lium
ſectionum, ſimul iuncta in eo quod fit ex tota linea in quadra­
tum
differentiæ partium æqualium ab inæ qualibus.
Propoſitio ducenteſima decima.
Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ
circuli
reflectantur, neceſſe eſt angulos cum dimetiente factos æ­
quales
eſſe.
Vnde manifeſtum eſt protractam diametrum angu­
lum
ſuppoſitum per æqualia diuidere.
Co^{m}.
Reſiliat radius d b c ad æquales angulos, ut fert natura rerum
1dum à plano reſilit (licet refragante Plutarcho) ita ut anguli c b e, &
d
b f ſint æquales, dico angulos ibidem d b a, & c b a æquales eſſe:
263[Figure 263]
& quod ſi trahatur latus a b uſque ad g, quod anguli d b
g
& c b g etiam erunt ęquales.
Primum patet, quia an­
guli
a b e & a b c & a b f æquales ſunt, ſunt enim reſi­
dui
ad angulos contactus eiuſdem circuli & rectæ, igi
tur
additis æqualibus ex ſuppoſito c b e, d b f erunt

per
communem animi ſententiam a b c & a b d æqua­
les
.
Secundum, cum ſint a b c & a b d æquales, & duo
anguli
a b c, c b g æquales duobus rectis: itemque a b d,
d
b g duobus rectis æquales: Et omnes recti inuicem æquales ex

petitione
Euclidis erunt per communem animi ſententiam, æqua­
les
reſidui quoque c b g & d b g.
Per 16. ter
tij
Elem.
Per 13. pri­
mi
Elem.
Ex hoc patet, eam quæ reſilit lineam ſemper ultra lineam à cen­

tro
ad punctum, ex quo reſilit ductam ferri.
Cor^{m}. 1.
Conſtat quia linea ex centro diuidit angulum per æqualia, ergo

cadit
media inter illa quæ incidit, & quæ reſilit.
Co^{m}.
Ex hac etiam patet, quòd conſtituto angulo in cen­

tro
a b c, & ducta linea a d à puncto a, ſciemus quo reſi­
lit
in linea b c: ducta enim c d, faciemus angulum c d e

æqualem
a b c, & erit angulus a d g æqualis angulo e d
h
, igitur d e reſilit ex a b a d linea.
Corm. 2.
Per 23. pri
mi
Elem.
264[Figure 264]
Propoſitio ducenteſima undecima.
Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes in
eandem
partem protrahantur, ſemper magis diſtabunt inuicem ea
ex
parte, & nunquam concurrent.
265[Figure 265]
Duæ ſemidiametri a b, a c ex terminis earum

duæ
contingentes b f, c e, dico quod quanto
magis
protrahentur in partem e f, tantò magis
diſtabunt
, nunquàm concurrent: Nam angu­
lus
a c g rectus eſt: angulus uerò c a d, ſi ſit re­

ctus
e g, nun<08> concurret cum a d, æquidiſta­
bit
enim ei: ſin aut ſit maior recto aut ex altera

parte
erit minor, & ita concurret, ergo in alte­

ram
partem ductæ nunquàm concurrent, ſed perpetuo magis di­
ſtabunt
.
Si ergo minor recto ſit angulus c a b, igitur e c ex eadem

parte
concurret cum a d: concurrat ergo in g: & quia e g cadit ex­

tra
circulum, igitur diuidet b f, quæ tangit circulum.
Sit ergo ut
1uidat in h, igitur h e & h f cùm angulum conſtituant, quanto magis
protrahentur
eo magis diſtabunt, nec unquam concurrent.
Co^{m}.
Per 29. pri­
mi
Elem.
Per 13. pri­
mi
Elem.
Per 6. & 4.
ſexti Elem.
Per 5. petit.
Euclid.
Per 6. ter­
tij
Elem.
Propoſitio ducenteſima duodecima.
Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam, lineæ quotuis du­
cantur
, tres inuenire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur.
Co^{m}.
Quouis conſtituto puncto ueluti a extra circu
lum
b c d, dico poſſe trahi tres lineas ad ipſam cir­
culi
peripheriam, uelut a b, a c, a d, quæ ad alium
punctum
non reflectentur.
Ducantur ergo a e ad

centrum
, & a b & a d ad contingentes illius peri­
pheriam
, quas conſtat non reflecti ſed progredi,

a
c autem reflectitur in ſe ipſam per demonſtrata

ſuperius
, igitur conſtat propoſitum.
266[Figure 266]
Per 17. ter­
tij
Elem.
Per 61. ter
tij
Elem.
Prop. 210.
Corm. 1.
Ex hoc patet, quod omnia puncta ſub linea
contingente
poſſunt reflecti ad ipſum per arcum
interceptum
à contingente, & ea quæ ad centrum.
Co^{m}.
Id eſt, quod omnia puncta infra lineam a b f ductam quantum­
libet
poſſunt reflecti per arcum b c ad punctum a æqualibus an­
gulis
.
Quoniam ex a per c b reflectuntur ad quælibet puncta infra
a
b f, eo quòd termini ſunt punctum a, per ea quæ ſunt hic demon­
ſtrata
, & a b f, ipſa ergo ſi extrema in extremis, media in medijs con­
tinentur
per regulam illam Dialecticam: igitur omnia puncta ſub
a
b f etiam in infinitum producta continentur in reflexione à pun­
cto
a per arcum b c.
Cor^{m}. 2.
Et rurſus, ſi à circulo ad circulum extremæ ducantur, nec illæ re­
flectentur
, ſed tranſibunt: mediæ autem omnes reflecti poterunt à
quouis
puncto.
267[Figure 267]
Quia ſi a b ſit Sol, c d Luna, Sole
minor
extremum in utroque lumina­
ri
a c, b d quæ contingant utrunque
circulum
, quod facile fiat, ductis a c
& b d ex punctis non oppoſitis, æ­
quidiſtarent
enim, ſed iuxta quan­
titatem
dimetientis minoris.
Erit er­
go
ut h e non reflectantur, aliæ
mnes
mediæ reflectentur per demonſtrata à quolibet puncto, ergo
idem
de totis circulis & punctis.
SCHOLIVM.
Propoſitis duobus circulis lineam ambos contingentem ducere.
1
Propoſitorum circulorum a & b centra iungam recta a b, ſuper

quam
ut ſemidiametrum deſcribo circulum b c, & ex puncto a ad

perpendiculum
a d, ex quo abſcindo æqualem ſemidiametro b e li­

268[Figure 268]
neam
d f, ex f duco a d perpendi­
culum
f g, ex g in a duco a g, & æ­
qualem
angulo g a d, b a h abſcin
do
h k ęqualem d f ſeu b e, duco aunt

b
e, ut ſit æquidiſtans h k, duco h e,

quam dico contangere utrunque cir­
culum
b k: produco b k, & quia duæ
lineæ
b a & a k ſunt ęquales duo­
bus
lineis a g & a f, duæ enim
prodeunt
ab eodem centro, reli­
quæ
ſunt reſidua æqualium d f & h k, & angulus b a k æqualis

g
a f, ex ſuppoſito erit angulus g f a æqualis angulo b k a, g f a au­
tem
rectus fuit, quia g f ad perpendiculum erecta fuit, itaque b k a
rectus
eſt, & ideo b k h rectus, quare cum b e & k h ſint æquales, & æ­

quidiſtantes
, erit angulus e oppoſitus b h k rectus, igitur duo angu
li
e b k & e h k duobus rectis æquales, quare cum ſint æquales inui

cem
, quia oppoſiti in parallelogrammo uterque eorum rectus erit.

Recti
ergo ſunt anguli e & h, & lineæ b e & a h ex centris circulo­
rum
, & angulos Illos conſtituit lineæ e h, igitur e h contangit

trunque
circulum.
Co_{m}.
Per 11. primi
Element.
Per 3. pri­
mi
Elem.
Per 23. pri­
mi
Elem.
Per 31. pri
mi
Elem.
Per 4. primi
E
lem.
Per 13. pri­
mi
Elem.
Per 33. pri­
mi
Elem.
Per 32. pri
mi
Elem.
Per 16. ter­
tij
Elem.
Propoſitio ducenteſima tertia decima.
Propoſito circulo atque in eius peripheria puncto ſignato lineas
contingentes
ultra citraque, & etiam ab ipſomet deducere.
269[Figure 269]
Sit circulus b c d, & in eius peripheria c

punctum
deſcriptum, & ſumatur b d por­
tio
minor quadrante, in qua punctum c, &
ducantur
a b, a c, & ducantur b e, c f, d g, ad

perpendiculum
, & conſtat propoſitum, &
quod
nunquam ex eadem parte conuenient

ex
eadem parte ex demonſtratis ſuprà.
Com.
Per 11. pri­
mi
Elem.
Per 221.
Propoſitio ducenteſima quarta decima.
Si extra circulum duo puncta ęqualiter à centro diſtantia ſignen
tur
, erit punctum reflexionis æqualis, in medio arcus intercepti in­
ter
lineas, quæ à centro ducuntur ad illa puncta.
Si uerò unum cen
tro
proximius fuerit altero punctum æqualitatis in peripheria, tan
to
longius uerſus breuiorem lineam, quanto punctum aliud à cen­
tro
magis
1
Co_{m}.
Sint puncta b c, æqualiter diſtantia à cen

tro
a circuli d e, & reflectantur c f, b f, dico f

eſſe
in medio arcus d e: producta enim f a,
erunt
anguli d a f & e a f æquales: ſupponi­
tur
enim primum f eſſe in medio: igitur cum
a
b & a c ſint æquales, & a f communis, erit
a
f c æqualis a f b, igitur reflectentur æqua­
liter
: ergo ſi ęqualiter reflectentur, ex f re­
flectentur
, ut ex ſecunda parte: quare ex
medio
.
270[Figure 270]
Per 21. ter­
tij
Elem.
Per 4. primi
E
lem.
Per 210.
P
ropoſ.
Sumatur rurſus punctum g, remotius ab
a
quam b, dico quòd reflexio erit in arcu f e.
Nam non in e, quoniam fic g e d eſſet æqualis b e k, cui rurſus eſt æ­
qualis
b e d, ergo g e d æqualis b e d, pars toti.
Sed neque ultra e, nam
multo
magis pars æqualis eſſet toti aut maior etiam.
Sed neque ex f,
nam
eadem ratione pars eſſet maior toto.
Neque in toto arcu f d:
nam
ſit punctum l, & ducantur al, g f, igitur g l a maior g f a, g f a au
tem
maior e f a, igitur g l a maior c f a, ęqualis ex ſuppoſito b f a, b f a

rurſus
maior b l a: multo igitur maior g l a quam b l a, non ergo re­
flexio
æqualis eſſe poteſt.
Cum ergo reflexio fiat, & non ex arcu d f,

nec
puncto f, nec e, nec ultra e, nec extra d, erit neceſſarium, ut fiat ex
puncto
in arcu e f.
Per 21. pri
mi
Elem.
Per 1 Cor_{m}.
præcedentis.
Cor^{m}. 1.
Ex hoc patet, quod linea a puncto ducta, quo
longius
fertur, eo etiam longius reſilit.
271[Figure 271]
Co^{m}.
Cum enim a c b maior ſit a d b, & angulus e c b

æqualis
a c b & f d b æqualis a d b, erunt duo an­
guli
a c b & e c b, maiores a d b & f d b, quare
reliquus
f d a maior a c e, igitur'd f reſilit latius
quam
c e.
Per 21.
tertij Elem.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc patet, quod tales lineæ quæ reſiliunt
nunquam
concurrent.
Co^{m}.
Scilicet c e & d f nam conſtat ducta c d, angulos e c d f & d e, ma­

iores
eſſe duobus rectis, ergo non concurrentin partem e f.
Per conuer­
ſam
5. petit.
E
uclid.
Propoſitio ducenteſima quinta decima.
Punctum reflexionis punctorum inæqualiter diſtantium à cen­
tro
, æqualiter diſtat à lineis ductis à centro ad puncta, æqualiter di
ſtantia
alterutrinque.
Co^{m}.
Sint g h a & b h a æquales, & abſcindatur h f æqualis h b, & pro­
ducatur
h b uſque a d c, ut ſit h c æqualis h g, & producantur f a &
1c a, quæ ſecent peripheriam in d & e, dico quod
punctum
h eſt medium inter e & l, item inter d &

k
.
Nam cum h f & h b ſint æquales ex ſuppoſito,

& anguli b h a & g h a æquales, & linea h a com­

munis
, erit angulus b a h æqualis f a h, igitur ar­
cus
h l æqualis arcui h e.
Similiter angulus g h a
eſt
æqualis e h a & c h æqualis h g exſuppoſito, &
a
h communis, igitur ut ſuprà angulus c a h æqua­
lis
g a h, igitur per eandem arcus h k æqualis arcui
h
d, quare h punctum in medio d & k, & in medio
etiam
e & l, quod eſt probandum.
Per 210.
Per 4. pri­
mi
Elem.
Per 26. ter­
tij
Elem.
272[Figure 272]
Propoſitio ducenteſima ſexta decima.
Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunque punctum a d il­
lud
ex minore reflexè per magnam partem minoris à maiore perue
nire
poterunt.
273[Figure 273]
Sint duo circuli, maior a b, mi­

nor
c d, & punctum g, extra utrun­
que
, dico quod a d g ex c d pote­
runt
reflexè produci a b in c d, quia
enim
ex a b quibuſuis punctis
poſſunt
duci lineæ reflexè ex c d,
& ideo cum puncta in a b uarient
reflexionem
ex c d, aliter pars eſ­
ſet
æqualis toti, patet intentum.
Co^{m}.
Ex hoc patet, quod oculus in

quauis
parte terræ conſtitutus, in
qua
Lunam uidere poſsit, poterit
eam
uidere per radios reflexos à
Sole
.
Cor_{m}. 1.
Ex hoc rurſus patet, quod eodem modo oculus poterit uidere ſu­

perficiei
Lunę illuminatę partem p radios reflexos à Solis corpore.
Cor_{m}. 2.
Hoc patet, quoniam ſi circuli Solis ſinguli, qui illuminant Lunam

oſtendunt
per primum corrolarium huius partem circuli Lunæ per
radios
Solis reflexos ab ipſa Luna, putà ſecundum portionem cir­
culi
e f, igitur cum liceat in Sole accipere magnam partem ſuperfi­
ciei
eius, quæ Lunam illuminat, in qua continentur infinitæ por­
tiones
circulorum, & ſingulæ mittunt radios reflexos ex Luna
ad
punctum g, igitur g uidebit portionem ſuperficiei Lunæ ſecun­
dum
longitudinem e f per radios Solares à Luna reflexos: quod
eſt
propoſitum.
1
Co^{m}.
Propoſitio ducenteſima decima ſeptima.
Oculus uidet partem ſuperficiei Lunæ illuminatam à Sole per
radios
reflexos à Solis corpore: nec tamen poteſt uidere imaginem
ipſius
in Luna tanquam in ſpeculo.
Co^{m}.
Quoniam per illos, ut demonſtratum eſt, poteſt uidere, & illi ſunt

robuſtiores
, ergo per illos uidet, omnis enim operatio tribuitur di­
gniori
cauſæ & potentiori.
Item, quoniam uidemus Lunam in no­
cte
immittere radios per feneſtram uelut Sol: irradiare autem non
eſt
niſi habentis tantum lumen ex ſe, ut hoc poſsit facere, aut ut ſpar
gantur
, aut ut reflectantur: ex ſe tantum non habet ut adparet hora
deliquij
: neque ſpargit, ſic enim non impediret Solem hora deliquij,
Solis
ergo reflectis.
Ergo uidemus per radios reflexos. Non tamen
per
eam uidemus Solem, ut in ſpeculo obiecto, quoniam Luna pri
mum lucet proprio lumine, & rubro ſicut pruna, quod autem debet
fungi
uice ſpeculi, oportet ut careat colore, & ſit uelut aqua, & ut ſit
purum
.
Deinde, quia Sol eſt maior Luna, ideò uidetur ut paries in
ſpeculo
, uidetur enim non res reflexa, ſed quod ipſum ſpeculum ſit
paries
, & ita Sol uidetur, ut totum quoddam, & non poteſt ob id
cognoſci
.
Et etiam magnitudo luminis per quam oculus non po­
teſt
diſtinguere Lunam ab imagine Solis: nam ea his quæ perſpe­
culum
uidentur, oportet duo cognoſcere, ſpeculum, & rem quæ ui
detur
, ſed magnitudo luminis prohibet ſpeculum uideri, ergo non
poterit
uideri aliud tanquam in ſpeculo, ſed ſolum ſpeculum cum
lumine
tanquam res una.
Et ita de Luna. Accedit magnitudo di­
ſtantiæ
: nam in ſuperflua diſtantia non cognoſcitur ſuperficies ſpe­
culi
, ſed ſolum rei obiectæ imago, & illa habetur pro ſuperficie ſpe­
culi
, ergo oculus non diſtinguit inter ſpeculum, & rem uiſam, ideò
non
uidet tanquam è ſpeculo.
Ex quo ſequitur, quod Luna iudica­
bitur
longiùs abeſſe quàm abſit, quia quod uidemus ex ea eſt So­
lis
imago, quæ longius multo abeſt à nobis ipſa Lunæ ſuperficie.
Cum ergo ſint quatuor cauſæ, quarum unaquæque impedire poſſet,
quominus
Sol non uideatur in Luna tanquàm in ſpeculo, quanto
magis
cùm omnes adſint in Luna, & ſimul concurrant.
In præceden
ti
.
Propoſitio ducenteſima decima octaua.
Rationem maculæ Lunæ indagare.
Co^{m}.
Supponamus primum quæ ſunt manifeſta, inde addamus quæ
ſunt
ueriſimilia ualde, poſt ueriſimiliora ex dubijs, ubi ratio utrinque
pugnare uidetur, demum dicemus de quæſito.
Manifeſtum eſt igi­
tur
, quod Luna diſtat à nobis circiter <20> X MP. dimetiens igitur or
bis
Lunæ eſt circiter CCC<18><18> MP. igitur ambitus <21>MP. igitur in hora
1circuit circiter XLII MP. Ergo in ictu inſenſili penè, id eſt, tempore
ictus
pulſus infantis laborantibus acutiſsima febre II MP. quoniam
quinque
tales ictus continentur penè in ictu uno uiri temperatæ
naturæ
, & <23> ictus pulſus fermè uiri temperati complent ſpatium
horæ
.
Igitur Luna mouetur rapidiſsimo motu & ſimili motui ful­
guris
.
Ex quo patet quod eſt corpus expers grauitatis & perfe­
ctum
, quare nec miſtum, nec uitiatum.
Eſt etiam rotunda, tametſi enim ob diſtantiam maximam poſ­
ſet
uideri rotunda, etiam quod non eſſet, ueriſimile tamen eſt, cum
umbram
talem efficiat in deliquio Solis, & cum exit è tenebris ter­
, tum quia perfecta eſt quod ſit rotunda, aut prope rotunditatem,
ſed
quod eſt perfectum & diuinum (quia ſeruat æqualitatem, hoc
enim
demonſtratum eſt, quod æquale ſolum reperitur in diuinis
quod
ad motum attinet) exactè tale eſt, igitur Luna eſt exactè ro­
tunda
in circuitu ſecundum ſuperficiem orbis.
Ergo etiam unde­
quaque
& ſecundum profunditatem: nam in commutatione non poſ­
ſet
latere inæqualitas.
Et etiam non eſt ueriſimile ullo modo, quod
corpus
perfectum & diuinum ſit informe.
Eſſet autem neceſſario
eiuſmodi
, ſi eſſet exactè rotunda ſecundum longitudinem & latitu­
dinem
, & ſecundum profunditatem alterius figuræ.
Veriſimilius
eſt
ergo, Lunam eſſe ut ignem quendam denſum per ſe lucidum, ſed
inæqualiter
luminoſum, non ſolum ob ſubſtantiæ denſitatem,
ſed
copiam luminis & puritatem, quæ impuritas non illi accidit,
quia
miſta, ſed quoniam eſt inæqualium partium partium rararum ac den­
ſarum
& mediarum.
Neque ſolum colluſtratur à lumine ex his quæ
diximus
, tum etiam quia colluſtrata non lucent procul, ut neque
montes
, qui plurimum abſunt, quamuis non tale procul ut Luna,
imò
nec nix quę illis inſidet, ſed nix eſt multo candidior per ſe quàm
Luna
, quam conſtat lumine Solis deſtitutam eſſe rubram, ergo Luna
relucet
radijs Solaribus eliſis uelut à ſpeculo.
Et ſi quis in orbe Lu­
eſſet media die ſerena, non uideret terram luminoſam, quæ mul
to
maior eſt Luna, & paulo plus à Sole diſtat, & quando que illi pro­
pior
eſt quàm Luna.
Macula autem Lunæ eſt qualis depingitur
cum
ore, oculis & naſo, ſed quod magis ſpectatur eſt os ipſum:
274[Figure 274]
adeò
ut Plutarchus non de macula Lunæ, ſed de ore Lu­
inſcripſerit.
Non uerti autem Lunam, ex hoc probat

Philoſophus
ſecundo de Cœlo.
Igitur ab Oriente in Occi­
dentem
uerti ſub, & ſuprà neceſſe eſt.
Scilicet ut oculi infrà
os
ſupra appareat.
Videtur autem magis in plenilunio
ob
differentiam luminis, & tota quoniam pars uerſus nos etiam tota
illuſtratur
.
Et ex illo loco apparet, quod Auerroes neſciuit
1metriam, sicut ſemper fuit mos Philoſophorum contentioſorum, ut
nil
ſciant, ſed ſolum garrire.
audierat hoc ab aliquo malo Geome­
tra
, & repoſuit in ſuos libros: nam nos, ut ſuprà uidiſti, demonſtra­
uimus
oppoſitum.
Quod uerò ſit macula illa ex umbra terræ, ue­
rum
non eſt, quoniam una eſſet & non diuiſa, & occuparet totam il
lius
faciem: nec eſt uerum quod mutaret ſitum, quia ſuperficies ter­
eſt nonupla ſuperficiei Lunæ.
Sicut terræ ſuperficies eſt minor
trigeſima
parte ſuperficiei Solis.
Nec ſpargitur lumen Solis in Lu­
na
, nam ſic eſſet ambitus ut uia lactea: cum autem Luna delin­
quit
in Oriente, eſt glauca & purpurea, cum in cœli medio rubra,
cum
in Occidente nigra uidetur, nam ab utraque parte tenebris ope­
ritur
: ex Oriente ab umbra terræ, ab Occidente ab obſcuritate loci.
In medijs locis medijs coloribus, quos Aſtrologi terraticis tribu­
unt
: hoc autem quandiu tota delituerit, quod tempus horam uix
implere
poteſt.
Ergo partes peruiæ non remittunt lumen, ideò ob­
ſcuræ
apparent, quod in uitreis ſpeculis à quorum partibus plum­
bum
excidit: nam nigræ illæ apparent, reliquæ ſplendidæ, ob id ſy­
dera
aliquando per illam relucent, & aliquando non.
Et Solaris
eclypſis
tempore, non lux tota Solis perit: atque ideo ut uidemus, &
uariant
colores eo tempore, non tamen colluſtrat ſplendidè Sol ob

craſsitiem
Lunaris corporis hæc inferiora, tum etiam ob diuerſita­
tem
partium, & ad ſitum.
Nam ſi Sol ſit ad ſitum a b, tranſibunt mul
275[Figure 275]
ti
radij, ſi c d pauciſsimi aut nulli, ſed ut ubi
tenuior
eſt Luna in ambitu, & Solis radij
denſiores
tranſeunt, & ſydera pellucent
contrarijs
cauſis minus, ut iuxta medium
nequaquàm
.
At Lunæ maculam radij effi­
ciunt
, etiam ſi tota ſubtus opaca eſſet, cum
peruia
uel tantillum fuerit in ſuperficie, ut
uenis
opus non ſit.
Et iuxta hoc macula illa, ut liquet, ad perfectio­
nem
corporis Lunæ pertinet magis quam pars ſplendida, quam­
uis
prima cogitatione oppoſitum uideatur.
Eſt enim duplex perfe­
ctionis
genus in cœleſtibus corporibus, & ob denſitatem cum re­
mittit
, & ob perſpicuitatem cum à Sole, ut uniuerſali quo dam prin
ci
pio illuminatur.
Tex. 49.
2. Apoteles
P
tolem.
Propoſitio ducenteſima decima nona.
Ratio nem eorum quæ apparent circa Solem ſpeculo in aqua po
ſito
declarare.
Co^{m}.
Sit peluis a b aqua plena: ſpeculum in ea c d e f quadratum, aut
perfecte
, aut oblongum ſub merſum in ea: Sol primum ſolus in g
1oculus ex aduerſo in
h
, ita ut ad æquales
angulos
poſsit uide­
re
Solem in k, dico q̊d
depreſſo
oculo in m,
uidebit
alium Solem
maiorem
uerſus mar
ginem
aduerſum in l,
& longè ſplendidio­
rem
: quia enim radij
reflectuntur ex k, ut ro
buſti
& à medio den
ſiore
ad rarius, qui
non
inflectentur, erunt
pauci
, & ideò Sol in
k
minor apparebit, et
languidior
: maior au
276[Figure 276]
tem
pars deflectetur à perpendiculari ad m, igitur Sol apparebit ma­
ior
& ualidior longè ſplendentibus radijs, adeò ut uix ferri poſsit.
Sed quoniam angulus ex ſuppoſito m l ſ maior eſt h k e, igitur cum
oculus
iudicet ſe uidere a d æquales angulos, uidebitur g depreſ­
ſior
& propior labro in t, ſicut n m eſt infra h, ita t infra g, quare etiam
ut
angulus m l ſ ſit æqualis angulo t l f, neceſſe eſt ut l ſit ultra k: ali­
ter
t uideretur quaſi tangere aquam.
In hora autem deliquij Solis,
uelut
hodie v. Idus Aprilis hora ſexta diei, cum diligentiſsimi ſtatue­
rint
medium eclipſis in quinta, & ſuppoſita fuerit obſcuratio à Io­
anne
Stadio partium nouem cum beſſe, & tempus horæ unius &
m
: 26, fuit tamen maior & longior: quoniam luminaria fuerunt pro­
piora
una parte caudæ Draconis, quam ipſe poſuerit in tabulis, &
hoc
quia ſupponit ęquinoctium tardius diebus duobus quam apud
Alphonſum
: & forſan ſufficiebat una dies, ſcilicet ut eſſet die deci­
ma
Martij horis decem octo à meridie: nam tunc omnia reſpon­
dent
obſeruationi: in qua apparuerunt quatuor Lunæ: & quidem
ab
initio fuerunt duæ orientaliores è regione, ſcilicet o p, & una oc
cidentalior
n, & tantum diſtabat n a k quantum o: Et clarum erat
quòd
p erat, ſicut ſecunda iris parua & non candida, ſed rubra pur­
pureo
miſta, quoniam ex reflexu o oriebatur: apparebat autem a la
tere
illo, quoniam Luna dextram partem obtegebat, ideo illa erat
minus
luminoſa, & uerus Sol erat in k, modò Lunæ, modò Solis
imaginem
referens ubi tranſiſſet eclipſis medium, non amplius
tres
illæ Lunæ apparuerunt à dextra & à ſiniſtra, ſed una ultra nos
1in q, & duæ uerſus nos in r & n
& quæ erat in F, erat ſimiliter
parua
& purpurea rubraque, &
mutato
ſpeculo uariebatur ſi­
tus
q & r u, id eſt, ut modo eſ­
ſent
quaſi in medio laterum e
& f, quando que tranſuerſæ.
Et
hoc
contigit ob mutationem lo­
ci
k propter ſpeculi uariationem.
277[Figure 277]
Cauſa eſt, quoniam Luna cum
permeet
Solem non è regione
recta
lineæ oppoſitæ noſtro ui
ſui
, & ſolum momento, & in lon
gis
temporum interuallis poſsit
obtegere
illum.
Sit ergo ut Sol
obtegatur
à Luna medijs par­
tibus
, & ſint radij extremi in
ſpeculo
: a c & a d, igitur erunt
tanquam
duo Soles, ſed uterque
illorum geminatur, ideò fiunt
tres
: medius enim ob Lunæ
perſpicuitatem
integer, appa­
ret
, ideò modò ſub forma So­
lis
, modò Lunæ laterones am­
bo
ſub forma Lunæ: ideò erunt
tres
, quibus.
addita Luna p, quæ
eſt
reflexa a ſecunda, fient qua­
tuor
.
At dices cur non fit refle­
xus
ſecundum directum oculi,
ut
Lunæ appareant ultra citra­
que
Solem?
Dico quod Luna
diuidente
orbem reflexus fit ad latera, quia radij tranſuerſim ferun­
tur
: cum autem non diuiditur fit prorſum & retrorſum.
Sed cur di­
ces
Lunari forma?
quoniam partes Solis quæ uigent, eiuſmodi for­
ma
apparent, Iconem uides à latere.
Propoſitio ducenteſima uigeſima.
Cauſam cur Sol æſtiuis diebus exoriens umbram ad meridiem,
cum
in meridie ad boream mittat, explorare.
Co^{m}.
Dico quod ubicunque terrarum in noſtro hemiſpherio, Sol ubi
fuerit
in Oriente ſeu Occidente uidebitur, cum ſub circulo æquino
ctij
fuerit è regione, nobis etiam ſi homo ſub arctico circulo habitet,
1& ita reſpicienti ad polum umbra erit à dextra in ſiniſtram, dum
ritur
& à ſiniſtra in dextram dum occidit.
Et quod dum erit in me­
ridie
umbra uerget ad Septentrionem.
Tertiò dico, quòd in his
qui
habitant uerſus Septentrionem à tropico cancri umbra in Me­
ridie
, quo cunque tempore anni borealis erit.
Quarto, quòd ijſdem
toto
dimidio anni ab æquinoctio uerno ad autumnale, umbræ
riente
& occidente Sole ſunt meridianæ tranſuerſæ: & muri reſpi­
cientes
boream illuminantur.
Sit finitor a b c d in regione boreali,
cuius
uertex e & f polus, eleuatio poli ſupra finitorem a f, æquino­
ctij
circulus b q d, cui parallelus borealior Solis uia per cancri ini­
tium
, g h l m n, circulus magnus per uerticem, & interſectiones æ­
quinoctij
, & finitoris b h e m d, Meridiei ſemicirculus ſuperior a f e
l
q c.
Cum ergo uertex regionis ſit in e, & circulus magnus b h d
tranſiens
per uerticem, tranſeat per centrum terræ ex diffinitione
circuli
magni, & linea à uertice grauium habitantium ſub uertice e,
278[Figure 278]
tendat
ad centrum terræ ex de­
monſtratis
ab Ariſtotele, & ſup
poſitis
ab Aſtrologis, q̊d gra­
uia
omnia tendunt ad centrum
terræ
, erit quodlibet graue ſeu
murus
ſeu homo, ſeu per ulti­
mam
petitionem, ſeu per demon­

ſtrata
in undecimo ab Euclide
murus
, & homo quiuis inco­
la
regionis in ſuperficie circuli
uerticalis
b e d.
Igitur dum Sol
eſt
in b uel d, umbræ erunt à dex
tro
in ſiniſtrum, uel contrario
modo
, & ita Sol uidebitur eſſe è regione nobis: & murus faciet um
bram
orientalem uel occidentalem.
Et hoc eſt primum. Et quoniam
cum
Sol erit in Meridie, tum erit in q, igitur erit umbra ad Septen­
trionem
, cum e ſit loco gnomonis & murus.
Et hoc eſt ſecun dum.
Tertium etiam patet, quia Sol nun quam tranſibit punctum l in Me­
ridie
uerſus boream, ſed regio ſupponitur borealior l, igitur tempo
re
meridiei umbra ſemper hic borealis erit.
Et quoniam b h e m d
ſecat
parallelos, qui ſunt in Septentrione ut puta tropicum in h
& m, igitur oriente Sole, & occidente rurſus per totum arcum g h
& m n, uidebitur borealior quàm in b uel d parte arcus magni in­
tercepti
inter arcum magnum tranſeuntem per uerticem & locum
Solis
, ubi ſecat finitorem & puncta b, & d: & ita erunt umbræ Me­
ridionales
toto hoc tempore, & hoc eſt
1
Fropoſ. 1
Cor^{m}. 1.
Ex quo ſequitur, quod in hoc toto tempore ueris & æſtatis, cùm
Sol
in Meridie uideatur eſſe poſt tergum, & in Meridie, & dum ori
tur
à parte Septentrionis.
Ergo ab ortu Solis ad Meridiem uidebi­
tur
ferri motu diurno, linea obliqua à Septentrione in Meridiem: &
à
Meridie ad Occaſum, alia obliqua linea à Meridie in Septentrio­
nem
: ut in figura, ut ſi Sol ſit in a in Oriente, b in Meridie, cin Occi­
dente
, & uertex nobis in e.
Cor^{m}. 2.
Sequitur etiam, quòd ſi tempore æſtatis
279[Figure 279]
poſſemus
in media nocte uidere Solem, in
cœli
medio uideretur, tantundem uerſus bo
ream
declinare, quantum in Meridie ad Me
ridiem.
Et hoc quia circulus æquinoctij b q d,
tanto
borealior eſt in parte inferiore circulo
per
uerticem, quanto in ſuperiori eſt auſtra­
lior
: quoniam circuli magni ſe ſecant per æ­
qualia
.
Et ſi hoc eſt uerum de Sole ſub æqui­
noctij
circulo, quanto magis erit uerum de Sole ſub tropico æſtiuo?
Cor^{m}. 3.
Ex præcedenti patet, q̊d Sol in media nocte borealior uideretur
ſub
æquinoctij circulo tanto, quanto uidetur auſtralior ſe ipſo, dum
eſt
ſub tropico cancri, quia circuli ſe ſecant ad angulos oppoſitos
æquales
: igitur ſi uerticis circulus maiorem facit angulum ſuperio­
280[Figure 280]
rem
cum æquinoctij quam tro

pici
borealis circulo, igitur &
inferiorem
: homo autem & ui­
ſus
iudicat auſtrale & boreale
iuxta
inclinationem circuli du
cti
per locum Solis ad circulum
ductum
per locum uerticis.
Per funilem
15
.
P
ropoſ. pri­
mi
Elem.
Propoſitio CCXXL
Magnitudo Lunæ & cæte­
rorum
aſtrorum dignoſcitur ex
proportione
aliorum ad eam
iuxta
diſtantiam: ipſius uerò
iuxta
rationem pupillę ad Lu­
nam
diſtantiæ ratione.
Co^{m}.
Sit pupilla a b, quæ in circu­
lo
l m, poſita in eodem centro,
comprehendat
portionem no
tam
l m, ideo clauſo oculo alte­
ro
eandem portionem uidebit
totius
cœli, ut liquet ex demon
1ſtratis in Elementis Euclidis, igitur nota l m nota erit pupillæ, &
ideo
g h quanta ſit portio cœli, quia k eſt etiam quaſi centrum cœ­
li
Lunæ, ſit ergo Luna c d, eritque tanta portio g h notæ, quanta e f
pars
pupillæ, per quam uidetur ipſius a b: e f autem ſimiliter eſt no­
ta
in n o, igitur & c d in comparatione ad totum circulum.
Quia ue­
ro
g h eſt nota, & in Sole conſpicitur arcus notus æqualis, ergo erit
nota
diuerſitas aſpectu ob diſtantiam noſtram à terræ centro, qua­
re
altitudo Lunæ nota, & eius magnitudo, eius enim ad ſemidiame
trum
oculi, ut c d ad ef.
Hoc autem eſt craſſa Minerua additum, ut
quis
intelligat difficiliora eſſe quæ craſſa uidentur, quàm quæ ela­
borata
.
huiuſmodi autem diuina, de quibus mox dicendum erit.
SECVNDA PARS DESVPER
Principia.
DIFFINITIO PRIMA.
Proportio imperfecta ſeu poteſtate eſt duarum quantitatum, quæ
ſic
ſe habent, ut nullæ duæ aliæ in eodem genere inueniri queant.
DIFFINITIO SECVNDA.
Proportio media eſt comparatio rei non habentis quantitatem,
quæ
tamen mutari poſsit ad rem, quæ quantitatem habeat.
DIFFINITIO TERTIA.
Proportio ſublimis ſeu ordo dicitur duarum ſubſtantiarum, quę
quantitatem
non habeant, comparatio.
PETITIO PRIMA.
Infinitum quod imaginem habet quantitatis, quantitatem autem
non
habet, neque eſt quantitas.
PETITIO SECVNDA.
Repugnans eſt ſuper quod nulla eſt potentia.
PETITIO TERTIA.
Non poſſe ſuper ea quæ repugnant, nullam declarat imperfectio­
nem
, neque infinitum non eſſe negat.
PETITIO QVARTA.
Infinitum infinito maius eſſe non poteſt.
Propoſitio ducenteſima uigeſima ſecunda.
Quantitates quæ æquales eſſe non poſſunt in eodem genere, ma­
ius
tamen & minus recipiunt, ſunt in proportione poteſtatis.
Sint propoſiti duo anguli, gratia exempli, a rectilineus, b uerò in

circumferentia circuli, qui poteſt eſſe maior, & minor rectilineo pro­
poſito
, & nunquàm poteſt eſſe æqualis, ut declaratum eſt ſuprà, di­
co
proportionem b ad a eſſe poteſtate, nam ut uiſum eſt, poteſt eſſe
maior
& minor, & eſt maius & minus uerè, & ideò ſunt in eodem
genere
, & uterque eſt continua quantitas, igitur in tranſitu neceſſe
eſt
, ut ſint æquales aliquando ſed non actu, hoc enim repugnat, igi­
tur
poteſtate.
1
Com.
Propoſitio ducenteſima uigeſima tertia.
Quantitates quæ actu æquales eſſe non poſſunt, in nulla pro­
portione
actu eſſe poſſunt.
Co^{m}.
Sint duæ quantitates quæ æquales eſſe non poſsint, ut in priore
exemplo
a & b, dico quod non poſſunt eſſe in aliqua proportione
in
actu, aliter ſint in proportione c, & ducatur cin b, fiat d, erunt er­
go
d & a æquales, quod eſt contra ſuppoſitum, nam ſupponitur
quod
nulla quantitas ex genere b ſit æqualis a, ſed d eſt ex genere

b
& æquale a, & ideo ſuppoſitum non manet, igitur a & b non ſunt
in
aliqua proportione in actu.
Per 9. quin­
ti
Elem.
Propoſitio ducenteſima uigeſima quarta.
Neque temporis totius ut imaginamur ipſum eſſe infinitum, neque
æui uitarum proportio ulla eſt ad tempus quod poteſtate eſt, ut po
diem uel menſem.
Com.
Tempus ipſum ut infinitum eſt, aut in actu eſt, aut refert quippiam
in
actu, pars autem temporis ſolùm eſt poteſtate, quia nullum tem­
pus
in actu eſt, neque annus, neque menſis, neque dies, neque hora aut mo­
mentum
, ſed ſi totum tempus non eſſet actu, nihil eſſet actu, neque to
tum
neque partes.
Igitur totum tempus, uel aliquid loco eius eſt actu,
partes
autem poteſtate, ſed ut uiſum proportio infiniti nulla eſt, &
ad
rem quæ actu non eſt, igitur tempus nullam habet proportio­
nem
ad annos, neque menſes uel dies.
Quare qui dicunt, quod mille
anni
ſunt unus dies, in philoſophia errant, ſecus apud Apoſtolum,
ubi
de diuinitate agitur.
Ergo anni ſunt longum tempus, & dies bre­
ue
, quia dicuntur in comparatione inter ſe, & non ſecundum pro­
portionem
ad infinitum.
Quia ſit infinitum a, & d quantitates b
maior
, & c minor, uel ergo proportio a ad b c, eſt una uel diuerſa, ſi

una
, ergo b c erunt æquales, ſi maior eſt ad c quam ad b, ergo infi­
nitum
eſt maius infinito, ergo non eſt infinitum, quod eſt con­

tra
petita.
Per 9. quin­
ti
Elem.
4. Petit.
Propoſitio ducenteſima uigeſima quinta.
Proportio media non eſt ex ratione agentis ſed patientis.
281[Figure 281]
Proponatur a quantitas, quę debeat mutari ab uir­

tute
quæ non fit in materia, & palam eſt quod non po
terit
permutari in inſtanti, quia ſimul eſſet, & non eſſet
ergo
repugnaret, neque etiam poteſt non eſſe, ut demonſtratum eſt
in
Hyperchen, quia repugnant neceſſario & eſſentiæ Dei, neque mo­
uetur
à certa proportione, quia b caret omni quantitate, ergo ni­

hil
oſtendit uim ipſius b eſſe finitam, quod ergo moueatur tardè ce
1leriter paruum magnum, iſtud contingit totum ex conditionibus
a
, id eſt, materiæ & quantitatis: uelut, gratia exempli, ſi a eſſet in ua­
ſculo
palmi, non poſſet implere iugerum, & hoc non oſtendit ullam
imperfectionem
in b.
Et ſicut homines omnes ſunt in carcere huius
mundi
, & tamen uidentur eſſe ſibi liberi, & appellant ſolum illos eſſe
in
carcere qui ſunt in ergaſtulo, ita omnis materia, & omnis quan­
titas
habet conditiones, per quas (ut ita dicam) conſtringitur, & repu
gnat
eas mutari, & ideò uitam agunt ſine ulla proportione.
Quod ue
dictum eſt, ſupra dictum fuit, per exemplum dictum eſt, non quia
ita
ſit, finge ergo quod in aliquo pariete, non ſit albitudo, niſi unius
gradus
, illa non operabitur niſi per unum gradum, etiam ſi calx eſſet
infinitè
alba, & ſimiliter de luce Solis, ergo omnes mentes mouent
ſine
proportione, & non poſſunt dici finitæ uel infinitæ, quia ipſæ
ſunt
expertes omnis quantitatis, imò omnis relationis ad quantita
tem
, & hoc eſt quod latuit multos, & maximè propter dictum Phi­
loſophi
, eſt ergo omnis operatio iuxta id quod eſt in materia, &
non
quod una mens maiores habeat uires, alia cum non ſit in eis,
neque
maius neque minus.
Com.
Per 3. Petit.
Propoſitio ducenteſima uigeſima ſexta.
Proportio ſublimis non conſiſtit in magnitudine, ſed ordine
iuxta
quem differentia eſt eius quod eſt ante & poſt.
Non enim poteſt eſſe comparatio iuxta magnitudines motas,

quoniam
uel ſunt corpora cœleſtia, uel elementaria, elementaria eſſe
non
poſſunt, quia illa cum ſint corruptioni obnoxia, id eſt, tranſmu
tationi
, ſecundum qualitatem non poſſunt eſſe ſubiecta in corpor ca­
rum
ſubſtantiarum, neque à primis ſubſtantijs moueri, neque etiam ex­
cipere
primò lumen ſuum, ſed mouentur per uim influxam à cœle­
ſtibus
corporibus, neque etiam per motum corporum cœleſtium, nam
illa
non mouentur ſecundum proportionem mentis ad corpus, ſed
iuxta
rationem finis, à qua circumſcribuntur, & ideo quod Satur­
nus
moueatur uelociore motu, quàm Iuppiter ab Oriente in Occi­
dentem
, hoc non eſt, quia uitæ quæ mouet Saturnum fit robuſtior
uita
quę mouet Iouem, cum ſint una & eadem: uel ſi dicas quod ſint
diuerſæ
uita Saturni, non tamen eſt ualidior in comparatione ad
ſuum
cœlum, uita Iouis non moueret celerius Saturnum ab Occi­
dente
in Orientem, quàm uita Iouis Iouem, quod eſt falſum, ſed ta­
lis
motus uelo citas eſt ratione finis, quia oportet ut pariter mouea­
tur
eo motu, & quia cœlum Saturni eſt maius, ideo celerius moue­
tur
quam Iouis, & hoc ratione corporis mobilis, & non ratione pro­
portionis
ad corpus.
Dico etiam, quod non habent potestatem
aliam
, per quam ſubeant proportionem, nam quęritur cuius
1paratione illa proportio oriatur, nam non ad corpora, quia neque
ad
cœleſtia, neque mortalia, ut dictum eſt, niſi fingamus alia corpora,
quod
eſt abſurdum, neque etiam ratione incorporeorum, nam non
poſſunt
deſtruere ſe inuicem, quia inferior non poteſt tollere ſupe­
riorem
, neque multo minus poteſt uelle.
Hoc eſt enim nefas cogita­
re
, neque ſuperior inferiorem, quam producit quam amat: & ideo
dico
, quod ſunt in proportione ſublimium, id eſt, ordine perfectio­
nis
, qui conſiſtit in propinquitate ad primam cauſam.
exemplum,
Sol
eſt longe perfectior ſua luce, quæ eſt ei propria, quia Sol eſt
ſubſtantia
, & lux eſt proprium, & lux Solis eſt multo perfectior lu­
mine
, cum ſit (ut dixi) lux proprium & in Sole, tanquam in ſubie­
cto
, lumen autem extra & accidens.
Nec tamen dicendum eſt, quod
Sol
ſit potentior luce, aut lux lumine, idem dico de anima & facul­
tatibus
eius, & functionibus, inter quas nulla cadit proportio per­
fectionis
, tamen differentia conſpicua eſt, & ideo poterit impediri
functio
, & non facultas, et facultas tolli remanente anima.
Forſan di
ces
, quod iſtę non ſunt ſubſtantiæ, & ideò oporteret, ut omnia in­
corporea
Deo ſolo excepto eſſent accidentia, dico quod in incor­
poreis
non eſt ſicut in anima, quæ eſt iuncta corpori, neque ut in So­
le
quod eſt corpus, ſed tanta eſt perfectio producti incorporei,
quod
ipſum eſt ſubſtantia.
Et ratio eſt quia ſubſtantia differt ab ac­
cidente
uel ratione corporis, ut aqua à frigiditate, & hoc non eſt in
incorporeis
, ut manifeſtum eſt, uel quia unum ſit ſubiectum alte­
rius
, & ideò ſubſtantia, ut eſt principium comparationis, & in ſe
ipſa
dicitur ſubſtantia, & ut comparatur ad extra & ad operatio­
nem
ſuam, cuius eſt principium dicitur facultas: uelut uita cœle­
ſtis
ſubſtantia eſt, ut uerò cœlum pulchritudine illius delectatum
mouetur
ad obſequium, dicitur facultas in illa uita, & non eſt niſi
ſubſtantia
, tamen ipſius uitæ adeo ut ſola ratione differant.
Tertia
differentia
eſt, quia ſubſtantia non eſt in ſubiecto, ſed facultas eſt in
ſubiecto
, uerùm in incorporeis, ut dixi, non differunt niſi ſola ra­
tione
, uelut pater & homo, nam pater neceſſariò eſt homo, & eſt
ſubſtantia
, ut ad aliud comparatur.
Quarta differentia eſt ratione
propriæ
naturæ quæ non dependet, nam ſubſtantia non pendet
ſicut
accidens & facultas, uerùm ubi genita fuit non amplius pen­
det
: reſpondeo, quod in incorporeis producitur, & non repugnet
productio
ſubſtantiæ, quia ſi non repugnat generatio hominis,
quod
ſit ſub ſtantia, multo minus etiam incorporeorum.
Relinqui­
tur
ut obijcias, quoniam ſubſtantiæ incorporeæ ſemper fiunt, er­
go
nunquam ſunt ueræ ſubſtantiæ: ad hoc reſpondendum eſt per
interemptionem
, nam de uera reſponſione non eſt hic locus, quod
1cadem ratione qua producuntur uitæ, producuntur etiam cœli, at
cœlum
nihilominus eſt uerè ſubſtantia, & magis iſtis mortalibus,
ergo
uel talis productio non eſt perpetua, uel, ut uerius dicam, eſt
ſimpliciter
productio circumſcripta ab omni tempore præſenti,
præterito
& futuro.
Quare erit magis uera productio quam ſub­
ſtantiæ
mortalis, ideo contingit hic error ex diſsimilitudine eo­
rum
quæ maximè ſimilia eſſe uidentur, nam cùm accidentia pro­
ducantur
in tribus temporibus, & incorporea in nullo, ſubſtantia
autem
mortales ſolum in uno tempore, ideò productio incorpo­
reorum
uidetur eſſe ſimilis productioni accidentium, cum tamen
productio
ſubſtantiæ mortalis ſit uerè media inter illas, nam ſub­
ſtantia
mortalis producitur in uno tempore, accidens in omni
ſubſtantia
immortalis in nullo, neceſſe eſt autem extrema magis
differre
inter ſe quàm à media, igitur ſubſtantiæ in corporeæ ordi­
ne
& perfectione differunt, non tamen proportionem habent.
Et
ſi
quis dicát, quod ultima ſubſtantia eſſet ęquè potens, ut Deus: re­
ſpondeo
quod non eſt uerum, quia uel loqueris de perfectione, &
ita
demonſtratum eſt, quod Deus eſt ipſa perfectio, ultima ſub­
ſtantia
eſt imperfectiſsima: uel loqueris de magnitudine, & ita non
ſunt
æquales prima & ultima ſubſtantia, quia non poſſunt com­
parari
, ſicut lumen non poteſt comparari lumini, quod ſit dul­
cius
uel amarius, grauius uel leuius, maius enim & minus, & æ­
quales
ſunt differentię quantitatum, uitæ autem non habent quan­
titatem
operationis, quia, ut dixi, eſt abſolutiſsima ratione finis, ne­
que
potentiam ad aliquid, quia ſunt in æterno actu, & hoc ſecun­
dum
philoſophos, & iuxta rationem numinis naturalis, nam ſe­
cus
religio & fides tenent, quia ſupponunt mundum eſſe creatum,
& ſic potentia differentiæ ab actu, quia Deus nunc creauit, & antea
non
creauerat, & tamen poterat creare.
Co^{m}.
Ex hoc patet, quod nulla ſubſtantia incorporea eſt finita nec infi

nita
, nec extenſa nec contracta, quia omnia iſta pertinent ad quan­
titatem
, quarum illę omnino ſunt expertes.
Cor^{m}.
Propoſitio ducenteſima uigeſima ſeptima.
Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogita­
tionem
noſtram proportionem quandam habent.
Velut Deus eſt per ſe primo abſolutum, & cauſa omnium bo­

norum
, & eſſe, ſapientia uerò quæ generatur à primo bono, non eſt
cauſa
omnium bonorum, quia ſic produceret primum bonum,
& produceretur eſt tamen per ſe primo & abſolutum bonum,
1amor autem eſt cauſa omnium bonorum poſteriorum, & abſolu­
tum
, & per ſe ſed non primò, & ita de uita quæ regit mundum, ipſa
non
eſt abſoluta, neque per ſe primò, ſed ſolum cauſa omnium bono­
rum
, eſt tamen abſoluta in ordine bonorum, quæ retinuit, & hoc mo­
do
dicimus eſſe plures perſonas in diuinis plures mentes, & ſub­
ſtantias
incorporeas.
Com.
Propoſitio ducenteſima uigeſima octaua.
Proportionem ſcientiæ futurorum & cæterorum occultorum
conſiderare
.
Septem licet ſint modi futura & occulta prægnoſcendi, quędam

tamen
ſunt communia omnibus, quædam multis: uaria quoque eſt
ratio
horum, alia enim eſt proportio ſciendi, atque hæc duplex, uel ex
ratione
intelligendi quæ ortum habet ex comparatione animæ ad
magnitudinem
& difficultatem eorum, quæ cognoſcuntur, quędam
ad
modum quo iudicantur.
Alia rurſus eſt ratio proportionis modi
ad
animam ipſam, ut quiſque propior fuerit ipſi aut remotior, alia
demum
eſt differentiæ ſignorum aut cauſarum, ergo ut à propinqui­
tate
initium ducam, ſeptem uidentur eſſe ordines, qui etiam ad per­
fectionem
dijudicandi pertinent.
Primus eſt eorum quæ agimus
quibus
prudentia dominatur, atque hic admodum certus eſt, ut in
negotijs
publicis priuatis que uidemus, eſt autem duplex, ciuilis & mili
taris
.
Secundus eſt naturalium, eſt autem maximè euidens in tribus
medicina
, agricultura & nauigatione.
Tertius eſt eorum quæ ſunt
ſecundum
naturam, ſed non per cauſas, uelut aſtrologia & phyſio­
gnomia
.
Eius aunt tres ſunt partes phyſiognomia, metopoſcopia &
chiromantia
, namque aſtrologia etſi per cauſas ſit, magis tamen per
ſigna
oſtendere uidetur, nam quod Iuppiter in aſcendente bonos
præbeat
mores, cur magis hoc in loco uel illo, magna eſt quæſtio.
Quartus eſt conſenſus omnium nobiſcum atque fatale uin culum, in
quo
genere ponuntur fulgrum caſus, exta, & augurium & hygro­
mantia
.
In quinto modo ponuntur ea quæ cum anima noſtra con­
ſenſum
habent, eiuſmodi ſunt uitæ aut genij aut eroes.
Sextus uerò
eſt
ex origine, uelut ſunt Prophetæ & uates Sybillæque, quorum uis
alia
in ſe ipſis, ut prophetarum, alia uaporis ut Delphici oraculi, alia
aquę
uelut in Colophonio oraculo.
Vltimum eſt præſtantiſsimum
idemque
remotiſsimum, quod à Deo per preces conſequimur.
In omni­
bus
ergo his iuuat præſtantia modi non auſpicium, & exta paruam
habent
ſignificationem, quæ uero à Deo maximam, alia enim eſt
proportio
agentis, ut Dei alia modi agendi, uelut quæ per cauſas
fit
melior quàm quæ per ſigna, alia impreſsionis lucis aut efficacis,
alia
coniunctionis naturæ nobiſcum.
Quod uerò ad nos attinet,
1aliud eſt ex peritia artis, aliud ex iudicio acri, aliud ex diligentia.
Differentia autem cognoſcendi ſunt multorum aut paucorum ex­
actæ
, uel non exactæ, ſecuræ aut dubiæ, atque horum omnium cauſa
eſt
magnitudo proportionis, aut in origine ad ſignificandum, aut in
anima
ad intelligendum.
Atque originis, ut dixi, multiplex eſt ratio, ſci
licet
modi uel cauſæ uel efficaciæ, cùm uerò hæc omnia in unum
conuenerint
, certiſsima & exactiſsima fiet diuinatio, cum pauca &
minus
ualida, ut pote diſcurſus & iudicium dubia, debilis & pauco
rum
.
Quæ uerò nugantur Porphyrius & Iamblicus de his, omni­
no
fabulis ſimilia ſunt, uideturque Iamblicus Porphyrio indixiſſe
bellum
, ſed cum ignauo hoſte, ipſe longe deterior.
Co^{m}.
Propoſitio ducenteſima uigeſima nona.
Incorporea omnia unum ſunt, neque numerus eſt eorum.
Videbitur ab initio paradoxum, ſed ubi & modum & demon­

ſtrationem
ipſam deprehenderis, intelliges ita eſſe iuxta luminis na
turalis
rationem, tum uerò maximè, cum id adiecero non prohibe­
re
me, quin ut partes in homine numerentur.
Sed aliud eſt partes in
homine
dinumerare, quæ numero ipſo non diſtinguuntur, ſed ſi
plures
homines ſeorſum de earum numero interroges ſinguli di­
uerſa
, nec exiguom interuallo differentia reſpondebunt, ſed unus de­
cem
puta, alius centum, alius innumerabiles pronuntiabit.
Quin
etiam
quiſque qua ratione uelis illas diſtinguere interrogabit, at non
ſic
de numero gregis pauidum, aut de pecunijs, in quibus nemo ab
altero
diſſentiet, niſi cum in numerando errorem admiſerit.
Igitur
dico
non eſſe numerum in incorporeis, nam finitus erit uel infini­
tus
: ſi infinitus, numerus non erit, quoniam primum nullus Deus
erit
nulla prima ſubſtantia: nam quomodo Deus erit aut Domi­
nus
infinitorum, aut primus ubi non eſt ultimum?
Sed neque nume­
rus
aliquis certus earum eſſe poteſt, cum primum non magis hic
quàm
ille: neque enim definiuntur ullo termino, ſeu centum, ſeu mil­
le
aut millies mille: nec cum ſubijciantur quantitati continuæ pote­
runt
ſubijci numero, uel alteri cuipiam accidenti.
Sed omnia ſunt
unum
, ita tamen quod perfectius eſt atque imperfectius diffuſum ab
ipſo
infinito, cuius in extremo cohærent mentes noſtræ & animæ,
& cœlum, quæ communicatæ inferioribus atque corporibus illa
agunt
, mutant & ſeruant.
Ipſum quàm ultimum eſſe, eſt in mundo,
quod
eſt corpus, & eius pars præcipua cœlum deinde reliqua.
Omniaque mouentur & transferuntur immobili primo principio,
quod
cum illis coniunctum eſt: nam reliqua incorporea ab ipſo pro­
fluunt
.
Eſt & ratio Ariſtotelis in tertio decimo Theologicorum ſer

monum
, Deus non eſt unus numeri ratione, ſed ita ut non ſit plura,
1igitur in mundo toto incorporeo non eſt numerus. Si enim Deus
eſſet
unus numero, non poſſet eſſe ens commune, & uniuerſim am­
plectens
cuncta, & accidens contineret, quæ omnia ſunt falſa, abſur
da
, nefaria & impia, licet tamen (ut dixi) menti humanæ quæ omnia
reducit
ad ſimilitudinem ſenſilium, à quibus originem traxit ſuæ
operationis
fingere numeros, ſicut in partibus hominis, aut cœli,
aut
aeris iuxta ſitum, aut magnitudinem.
Eſt etiam alius modus
iuxta
quem Ariſtoteles numerauit mentes quæ mouent corpora
cœleſtia
, quod abſurdum non eſt, uelut ſi quis numeret digitos, in
pulſante
chelim, erunt quatuor aut ſex, non tamen eſt numerus ille
uerè
plurium, cum ad unum hominem referuntur.
Et cum ſit mun­

dus
hic imago ſuperioris, ut ille dicebat, & inferior poteſtate conti­
neat
infinitas partes, infinitas ordinis ratione ſuperior continebit.
Sed non infinitas numero. Exempli gratia, proponamus quod So
lis
uis dirigatur ad nos uſque impedita per nebulas, ut nonnunquam
contingit
: erit ergo perfectio una, ſed ordinata omnium radiorum:
adeò
quod ſi infinita uaſa applicarentur aqua plena infinitæ ratio­
nes
iridis apparerent, quæ omnes continerentur poteſtate in radijs
illis
ratione comparationis ad uaſa & irides, per ſe autem, ut ſunt
perfectiones
eſſent in actu.
Co^{m}.
Sup. 5.
Lib. 7. cap.
4
.
Propoſitio ducenteſima trigeſima.
Proportio incorporeorum aſcendentium ſemper maior eſt.
Co^{m}.
Cum proportio illa ſit quaſi ſimilis decori, & ideo muſicæ geo­

metrica
maior eſt in maioribus ac magnitudinibus, ut ſuprà docui­
mus
.
Sed non eſt neque geometrica, neque arithmetica, nec muſica, nec
per
recenſum, eſſent enim quantitates quæ compararentur: unaquęque
enim harum inter quantitates conſtituta: at illa eſt ut producentis
ad
productum.
Et non comparantur quoad æternitatem, quia ut
aliâs
declaraui, omnis ſubſtantia eſt æterna: quanto magis incor­
porea
.
Quia ergo primum per præcedentem habet rationem totius,
& eſt infinitum, ſecundum ea parte qua recedit, quia primum non eſt,
plus
diſtat a primo quam à tertio, igitur deſcendendo uſque ad pri­
ma
elementa.
Sed obijcies de qualitatibus & accidentibus: dico
quod
habent medium eſſe, licet tempore infinito uincantur à ſubſtan
tijs
, illę tamen etiam uincuntur & abſque participatione perfectionis
illius
cum accidentia participent eſſentia & tempore, & ſi quis dicat,
cur
ergo Sol & lupiter non ſunt locati in ſupremis orbibus, cum ſint
nobiliores
& maiores & potentiores cæteris erraticis: dico quòd
fuit
ob mundum inferiorem, quoniam ſi fuiſſent altiores mundus
inferior
frigore corrumperetur, quando quidem uel ſic frigore pre­
mantur
, in hyeme etiam ſub torrida plaga, & ſub polis ac iuxta eos
1ſemper. Et orbes ſuperiores non indigebant lumine Solis, quod ap­
paret
in nocte ſerena, cum etiam adeò à nobis diſtent.
Vnde ſi cani­
cula
eſſet in cœlo Lunæ, plus luminis afferret centuplo quàm Lu­
na
, cùm diſtantia ſit quingentupla diſtantiæ Lunæ à terra.
Et ſi Sol
eſſet
factus adeo maior, ut in orbe Saturni conſiſtens calefaceret ter
ram
æqualiter, ut non exureretur in æſtate, hyeme neceſſe eſſet, ut ni
mium
gelaſceret.
Sin autem æquale eſſet frigus in hyeme, exurere­
tur
terra per æſtatem, quando quidem nec ſic illam pati poſsint, qui
in
torrida plaga habitant.
Et ſi Sol eſſet ubi eſt Luna, & eo minor
non
illuminarentur orbes ſuperiores.
Ideo nobilitas non eſt in or­
bibus
ob altitudinem, ſed ob ſubſtantiam incorpoream quæ illi do
minatur
.
Et eſt in loco congruenti toti corpus, uita autem non eſt
in
loco.
Prop. 171.
LEMMA.
282[Figure 282]
Et proponantur a & b in proportione dupla alti­
tudinum
& magnitudinum, & comparentur ad d, erit
ergo
angulus a d c maior b d c, quare ſi ſunt æquales
uires
in a b, refrigerabitur magis d ab a quam b, &
ita
patet utraque pars dicti in fine propoſitionis.
Propoſitio ducenteſima trigeſima prima.
Tres eſſe mundos, atque inter ipſos nullam eſſe proportionem:
nec
numero eos definiri.
Cum palam ſit eſſe corporeum mundum ut elementa, & incor­

poreum
ut Dei, & medium eſſe neceſſe eſt uitarum & hominum ac
cœleſtium
, quòd primum ſenſu patet, ut cœli, hominum & anima­
lium
, atque plantarum, & ratione etiam, quoniam extrema contraria
non propriè medio copulantur, ut incorporeum ac corporeum.
Di­
co
igitur nullam eſſe inter hos proportionem atque numerum face­
re
: nam de numero conſtat, quoniam non ſunt tres, quia ſint in ordi
ne
numerorum, ſed ut principium, medium, finis, & perfectum, per­
fectius
, perfectiſsimum: ſcilicet poſitiuum, comparatiuum & ſuper­
latiuum
.
Et quoniam ſunt extrema cum medio, ideò ſunt in propor
tione
ſublimi etiam & non propria.
Quod ſi eſſent maximè mun­
di
uitalis ad corpora, ſed corpora non mouentur niſi iuxta finem ui­
, & non uim: ipſa enim ſi poſſet habere uoluntatem infinitam mo
ueret
in inſtanti: quia corpora non reluctantur animabus ſuis, ſed
quantus
eſt actus in animabus & uitis, tanta eſt potentia ad unguem
in
corporibus, ergo non contingit proportio in mundo uitarum
uera
niſi illa ſublimis.
Neque enim finita eſt quæ nullis circumſcribi­
tur
terminis, neque infinita quo finitam pręſupponit, ſed neque inter
mundum
& incorporeum & uitarum cùm mentes non moueant,
1uitæ moueant: & quod mouet neceſſariò mouet, & quod non po­
teſt
mouere, quoniam omnia æterna ſunt: & in ęternis idem eſt eſſe
ac
poſſe: igitur inter mundum incorporeum & uitarum nulla eſt
proportio
uera, ſed ſolum ſublimis, nec numerus: niſi ut à nobis fin
gitur
.
Velut ſi dicamus in tabula, & in negocio eſt principium me­
dium
finis, & hæc poſſunt dici tria quatenus diſtinguuntur: ſed non
ob
hoc dicendum eſt tabulam, aut negotium habere tres partes,
multo
minus eſſe tria negocia aut tres tabulas.
Co^{m}.
Propoſitio ducenteſima trigeſima ſecunda.
Omnis motus naturalis, quanto uelocior eſt, tanto propior eſt,
& magis ſimillimus quieti.
Hæc propoſitio primo intuitu uidetur eſſe falſa, quoniam cùm

motus
ſit contrarius quieti, & efficiat actiones quieti contrarias,
quantò
uelocior erit tanto remotior à natura quietis & magis diſsi
milis
, propterea intelligere oportet primum, in quo ſenſu uerba
ſint
accipienda, nam hæc propoſitio, & authoritate, & ſenſu & du­
plici
ratione euidenti manifeſta eſt.
Oportet igitur primum ſcire quo
ad
locum attinet tria eſſe diſcrimina: quietem in eodem: tranſitum
ad
alium per medium: & tranſitum ad alium ſine medio.
Duorum
primorum exempla notiſsima ſunt, tertij eſt hoc, ſi urceus aqua ple­
nus
exponatur Soli, & efficiatur iridis imago in tabula: inde ſubla­
ta
tabula eadem iris appareat in muro, erit tranſitus ſine media, quia
quod
ſit eadem dubium non eſt, ijdem radij & idem corpus ſpecu­
lare
, quod uerò tranſeat ſine medio, primum ſenſus docet, ſecundum
ratio
, quia fit in inſtanti, ut Secundo de Anima.
Rurſus Sol illuſtret

urceum
aqua plenum: appareat ex hoc iris in muro, interponatur
aliquid
, & transferatur urceus, apparebit iris alia loco, & non tran­
ſiuit
per medium, uidetur idem de intellectu, & ui imaginandi, qui­
bus
ex Germania tranſeo in Indiam ſubitò: & eodem modo ex ani­
ma
ſalicis, in hac planta fit tranſitus in proximam neque per medium,
quod
etiam uidemus in igne & ellychnio proximo, & id ſæpe acci­
dit
tum præſertim cum nuper extinctum fuerit.
Co^{m}.
Tex. 121.
Iam ergo id ſupponamus, quod etiam ad rem parum facit, ſed ad
intelligentiam
ſatis, uideamus que, quare ſit quod motus opponatur
quieti
, & manifeſtum eſt, quod differentia loci eſt cauſa, nam in quiete
res
manet in eodem loco, in motu tranſit ad alium locum, & quan­
medium eſt maius, tantò motus eſt manifeſtior, unde ſequitur,
quod
in his quæ ualde lentè mouentur, illa uidentur quieſcere, &
poſt
aliquot tempus deprehendimus mota fuiſſe, nunquàm tamen
moueri
, ſicut in Sole, Luna, ſtellis, unde illa opinio Philoſophorum
exiſtimantium
omnia ſemper moueri, non omnino poteſt tam bene
1reprobari, quia licet ſenſus non cognoſcat moueri, cognoſcit tamen
mota
eſſe, & id ſufficit: multa ergo cognoſcuntur mota eſſe quæ non
cognoſcuntur
moueri, uelut lapis grauis ſuperſtans terræ, quem ui
demus
poſt annum deſcendiſſe per duos digitos, & tamen ſemper
uidetur
quieſcere.
Igitur cum in pari tempore quę uelo citer mouen
tur
plus ſpatij ſuperent, maius etiam relinquunt medium inter lo­
cum
, & locum, & ob id magis remota ſunt à quiete, & magis illi con­
traria
: hæc igitur eſt ratio cur quæ uelocius moueantur, minus quie
ti
ſimilia aut proxima exiſtimentur.
Dico ergo, quod illa quæ natu­
raliter
uelociſsimè mouentur, ſunt magis ſimilia & magis proxima
ipſis
quieſcentibus quàm quæ tardè: cum enim omnis motus natu
ralis
neceſſariò etiam ſit regularis, ut qui à uirtute Dei fiat, erit uel per
lineam
obliquam aut rectam.
Quoniam uerò multarum recta eſt per­
fectiſsima
, & obliquarum circularis, erit omnis motus naturalis cir
cularis
aut rectus: dico ergo quòd in utroque uerum eſt quod dicitur.
Et primum in circulari ille motus eſt propinquior quieti, in quo par­
tes
ſunt propinquiores ſuo loco, ſed ſi uelociſsimus ſit motus, nun­
quàm
ita ſunt extra ſuum locum, qui enim in poteſtate ſint proxi­
ei: ergo partes illę inde ſe habent ac ſi quiescerent.
Secunda ra­
tio
, quia quod uelociſsimè mouetur, abſque dubio tanto tempore quie
ſcit
in ſuo loco quantò quod tardè: exemplum.
Luna in triginta an
nis
quieſcit in principio arietis quadringenteis per ſex horas, id eſt,
centum
diebus in quadringentis uicibus, Saturnus centum diebus
ſed
ſemel tantum: ergo tantum Luna quieſcit, quantum Saturnus,
comparatione ad idem tempus addita pari ratione in alijs partibus,
ſed
cum uelocius moueatur Luna quàm Saturnus minus quieſce­
re
uidebitur Luna in alijs partibus quàm Saturnus, & tantundem
in
principio arietis Luna ut Saturnus, ergo cum Luna tantundem
in
principio arietis quieſcat, quantum Saturnus in triginta annis, &
in
alijs partibus minus quàm Saturnus, igitur abſolutè Luna plus
quieſcit
in principio arietis, quàm Saturnus dato tempore æquali
triginta
annorum.
Et formatur demonſtratio hoc modo: Luna quan
do
eſt in loco ipſo, puta in principio arietis, ibidem eſt actu, & quie
ſcit
per tantundem temporis quantum Saturnus, & in omnibus alijs
locis
data paritate, eſt ſemper propior ipſi principio arietis poteſta
te
quam Saturnus, igitur Luna plus quieſcit in principio arietis
quam
Saturnus, quia dum ibidem ſunt æqualiter quieſcunt, & dum
ſunt
extra, Luna ſemper eſt propior & poteſtate magis in illo loco,
igitur
Luna magis quieſcit in principio arietis quàm Saturnus.
Prę
terea
, ſi Luna & Saturnus mouerentur in æquali tempore, & Luna
in
paruo circulo, & Saturnus in magno, dubium non eſſet, quin
1Luna non diceretur magis quieſcere in ſuo loco, & diutius quàm
Saturnus
, nam Luna ſemper eſſet prope locum ſuum, & Saturnus
perſæpe
uideretur procul.
Sed ſi moueantur in eodem circulo, &
Luna
moueatur uelociſsimè, Saturnus tardè: perinde erit, ac ſi Lu­
na
moueatur in paruo circulo, & Saturnus in magno, ergo quod
uelociſsimè
mouetur eſt proximius quieti quàm quod tardè.
Illud
etiam
idem manifeſtius erit in extremis, nam quod minimo ſpatio
mouetur
propemodum non mouetur.
Sicut, ſi quid circa centrum
moueatur
, adeò ut ipſum tangat, non dicetur moueri, ſed quieſcere
ibi
, ſed quod uelociſsime mouetur, ſemper uerſatur circa idem, quia
nunquam
multum abeſt, quia ibi non quieſcit, igitur quod uelociſ­
ſimè
mouetur motu naturali circularſ eſt proximius quieti quam
quod
tardè.
Demum, ſi aliquid moueretur in finita uelo citate motu
circulari
, ſemper eſſet in eodem ſitu ſecundum partes & immobile,
igitur
quod infinita uelo citate mouetur, & quieſcit.
Ergo quod ue­
lociſsimè
mouetur cum magis diſtet ab oppoſito eius, quod infini­
ta
tarditate mouetur, quàm quod tardè, magis etiam appropinqua
bit
poteſtate in efficaci infinitæ uelo citati quàm quod tardè, igitur
quod
uelociſsimè mouetur propius eſt quieſcenti quam quod tar­
.
Demonſtratum eſt enim in Dialecticis, argumentum oſtendere
ab
eo quod eſt ſimpliciter tale ad id q̊d natura illi quo quo modo
tale
eſt & conuerſo modo.
Oſtendo modò quod ſimillimus: quoniam
illud
eſt ſimilius quieti in quo quod fertur non poteſt dignoſci di­
ſtantia
à priore loco, ſed in uelociſsimè motis hæc diſtantia non po
teſt
dignoſci, igitur uelociſsimè mota uidentur planè quieſcere,
quod
idem patet duobus experimentis manifeſtis.
Primum ſi quis
uideat
rotas quibus acuuntur gladij moueri uſque ad certam ueloci­
tatem
, augeri uidetur motus ille, uerùm cum adeo concitatus fuerit,
ut
ſenſus non poſsit diſcernere, neque comprehendere illam ueloci­
tatem
, & rota non fuerit mota ab axe, ita ut titubet nec fuerit ulla in­
æqualitas
, uidebitur omnino quieſcere, & ita oculus dijudicat, &
longè
magis dijudicaret, ubi ad tantam motus perueniret uelocita
tem
, ut nullo modo initium à fine diſtingui poſſet, ſicut eſt in motu
cœli
, qui comparatus ad quemuis motum uelociſsimum artificio
factum
, inſenſilem habet proportionem ob magnitudinem, & ideo
talis
motus cœleſtis eſt ſimillimus quieti.
Secundum experimentum
eſt
, ſi eſſent duo homines habitantes Bononiæ, quorum unus iret
Mutinam
, paulatim quieſcendo in quolibet loco per unam diem,
adeò
ut in unoquoque anno maneret Mutinæ, & prope per ſex men
ſes
, & prope Bononiam per ſex alios menſes in diuerſis locis, &
una
die tantum Bononiæ: alius uerò iret Mutinam ſingulo die, &
1per omnia loca ſicut hirundo uolans quater & quater rediret Bo­
noniam
, nemini dubium eſt, quod hic ſecundus uideretur magis
quieſcere
Bononiæ quàm primus, & hoc quia in anno quilibet eo­
rum
quieſceret per unam diem Bononiæ, & in hoc eſſent æquales,
ſed
ſecundus uideretur frequentius Bononiæ quàm primus, & eti­
am
eſſet poteſtate propior illi, adeò ut liceret cuilibet illum conue­
nire
qualibet die magis quam primum: ergo duabus de cauſis ui­
deretur
ſecundus magis quieſcere Bononiæ quam primus, & in ter
tia
æqualiter.
Modò dico de recto motu, quoniam quanto celerius fertur per
medium
ad ſuum locum, tanto minus temporis inſumit, ergo diu­
tius
quieſcit in loco, minus eſt etiam tempus per quod mouetur in
comparatione
ad quietem & ſimpliciter, ergo in motu recto pro­
pius
eſt quieti, quod uelociſsimè mouetur, pręterea inter duas quie
tes
motus uelociſsimus eſt imperceptibilis.
Ergo motus uelociſsi­
mus
eſt ſimilior quieti quàm minus uelox.
Accedit manifeſtiſsimè
illud
quod ab initio diximus, ſcilicet, quia motus uelociſsimus eſt
medius
inter motum tardum & ſubitam mutationem, hoc enim eſt
manifeſtiſsimum
, adeò ut dubitemus in motibus uelociſsimis, an
mobile
tranſierit per medium, eſt enim primùm motus lentus, qui
fit
ex tranſitu in longo tempore, & uelociſsimus in paruo, & muta­
tio
ſine tempore.
Rurſus conſtituamus alium ordinem quietis mo­
tus
, & ſubitæ mutationis: & ex dictis ſubita mutatio eſt propior
quieti
quam motus: quo­

niam
ſi motus eſſet me­
dius
inter quietem &
ſubitam
mutationem, non eſſet, ut dictum eſt, ſubita mutatio quæ­
dam
quies: nam in ſubita mutatione non pertranſitur medium: in
quiete
non pertranſitur medium, in motu pertranſitur medium, igi
tur
quies eſt propior ſubitæ mutationi quàm motui.
Sed ſubita mu
tatio
eſt propior motui uelociſsimo quàm tardo, igitur quies eſt
propior
motui uelociſsimo quam tardo.
Subit. Mut. Motus uelo ciſ. Motus Tar.
Quies ſubita Mut. Motus
Videtur & hoc ſenſus manifeſtè oſtendere, quoniam cum lapis
deſcendit
ſumma cum uelo citate, adeò ut non percipiatur, uidetur
quieſcere
, & non motus eſſe, & hæc fuit ſententia multorum nobi­
liorum
antiquorum, & propterea oportet ut oſtendamus difficul­
tates
, quæ contingunt in his.
Dico igitur, quod motus naturales ſunt duorum generum, ut di
ctum eſt, ſcilicet rectus & circularis: & motus differt à quiete in duo­
bus
, in eo quod mutat locum, et in eo quod tranſit per medium mo
tus
, ergo rectus uelociſsimus in eo quod tranſit per medium
1gis diſtat à quiete in eo quod plus de medio ſuperat quàm tardus,
& eſt propinquior quieti in eo quod celerius quieſcit.
At motus cir
cularis
uelociſsimus eſt propior quieti in tranſitu medij, & in redi­
tu
ad locum priorem: de reditu ad locum priorem clarum eſt per ſe:
de
tranſitu medij, dico quod cum in prima medietate magis remo­
ueatur
à medio quam motus tardus, & in ſecunda medietate tan­
tundem
, uelocius redeat.
Ergo in ſecunda medietate eſt ſemper pro­
ximior
motus uelociſsimus ipſi quieti, ſed in prima medietate q̊d
mouetur
motu uelociſsimo propius eſt ſecundæ medietati ſemper
quam
quod mouetur tardo motu, igitur quod mouetur uelociſsi­
circulariter eſt propius quieſcenti, quam quod mouetur tardè.
Et hoc eſt quia in ęternis motus eſt quies, & ideo habent quandam
ſimilitudinem
iuxta perfectionem ſuam, ſicut ſi eſſent in circulo hoc
283[Figure 283]
modo
.
Mutatio ergo conue­
nit
in corporeis quę pendent
à
corpore, ſicut lumini: qua­
tenus
enim ſunt ex corpo­
reo
, occupant diuerſum locum,
quatenus
eſt in corporei id,
agit
ſine tranſitu per medium
& in inſtanti, ergo in corpo­
rea
ſimpliciter mutationem
recipiunt
, non in tempore
neque
in loco.
Videtur autem
uelo
ciſsimum dupliciter etiam
nobis
iuxta ſenſum, idque eſt
in
quo ſenſus medij tranſitum non percipit, & natura quod eſt pri­
mi
mobilis.
At dubitare quis poteſt circa hoc, nam proprium mo­
tus
eſt tangentia concutere, quietis autem minime: concutit autem
maximè
quod uelociſsimè mouetur, ob hoc arbitrati ſunt homi­
nes
quod uelociſsimus motus multò plus diſtaret à natura quietis
quam
tardus, ſed hoc eſt quia non eadem eſt ratio uiolenti & natu­
ralis
: uiolenta enim non redeunt in ſe ipſa, nec habent rationem cir­
cularis
, ſed potius recti & infiniti, & ideò in his quæ mouentur mo
tu
recto naturali cadit uiolentia, non autem in his quæ mouentur
motu
circulari naturali: com cuſsio ergo eſt in motu uiolento, & qua­
liſcunque
motus uiolentus, quanto magis augetur tantò magis re­
cedit
à contrario, tantò magis remouetur à natura contrarij, & ha­
bet
actiones contrarias ualidiores.
Eſt etiam aliud penè ſimile argumentum in figuris ipſis, circulus
enim
unica linea continetur, nulla tamen figura ab ea magis natura
1remota eſt triangulo: ſiquidem circulus capaciſsimus eſt, triangu­
lus
omnium rectilinearum minimè capax: ut contrà polygonię, quan
to
plurium ſunt laterum eo capaciores ſunt, adeò ut octagona qua­
drangula
, & quæ eſt ſexdecim laterum æqualium, & æquiangula­
rium
plus contineat octagona, & forma etiam ſit ſimilior circulo,
adeò
ut cum excreuerit in multiplicem numerum rectangula figu­
ra
huiuſmodi, ſcilicet æquilatera, & æquiangula omnino ſenſum
fallat
, uideaturque prorſus circulus.
Et tamen figura plurium laterum,
quanto plurium laterum fuerit rem otior eſt à natura circuli, qui una
tantum
linea continetur: plus enim diſtat centum ab uno quàm de­
cem
, & mille quàm centum.
Cauſa igitur eſt, quia (ut dixi) etiam in
naturalibus
omnis natura rerum eſt, ut quaſi clanculum redeat in
ſe
ipſam: nam circularis figura per triangulum ex rectis multum à
natura
ſua recedit & ambitu & ſimilitudine: eadem per figuras quę
ex
pluribus rectis conſtant ad ſui ſimilitudinem redit, nunquàm ta
men
explet eandem naturam perfectè, cùm nulla poligonya figura
pro
circulo exacto ſit: ita uidetur in naturalibus ad idem redire, quod
eſt
poteſtate ſolum quadam generali diſsimile: actu uerò non idem
ad
unguem.
Sed obijcies de motu quòd ſi tempus fiat breuius, ma­
gnitudo
autem conſtet, erit (ut diximus) quod mouetur ſimile quie
ſcenti
: at ubi tempus idem ſit, ſed magnitudo perpetuò augeatur,
non
idem ut in cœlo: ueriſimile eſt enim quicquid eſt quod moue­
tur
ulterius quam id quod cernitur nihilominus in uiginti quatu­
or
horis, non autem celerius moueri: propterea cùm ſpatium tem­
poris
prolixum ſit, non uidebitur quieſcere.
Nec obſtat quòd quiſ­
piam
proportionem obijciat, ſi quidem multo minus uidebuntur
propiora
centro quieſcere, namque illa tardius ex confeſſo mouen­
tur
, at quod tardius mouetur, ut dictum eſt, moueri magis uidetur,
ideò
proportionem illam ad aliud mobile referre oporteret, cum
nullum
tale ſit.
Dicimus ergo quòd apud illas non uidetur motus
tardus
, quia comprehendunt motum ante tempus, nobis autem hæc
accidunt
, quia comprehendimus tempus ante motum.
Et etiam quia
circa
polos quaſi quieſcit, & quod non poteſt aliquid comprehen­
di
, ſimul moueri & quieſcere, ut docebimus.
Et etiam quia motus
eſt
ab illis, ſicut in nobis cum mouemur: non enim ut mouemur nos
moueri
deprehendimus, ſed ut moti ideò in his, non quod appa­
ret
, ſed quod eſt ſpectare oportet: at ita eſt ut quæ uelociter ualde
mouentur
, perinde ſunt quaſi ac ſi quieſcerent, adeò ut motus ſi in
inſtanti
fieret eſſet quies, & quies in incorporeis eſt motus, non in
tempore
.
Videntur etiam aſtra quieſcere nobis, quoniam (ut dixi)
lineæ
a e & b e non poſſunt uideri moueri in e, oculus autem
1284[Figure 284]
cat
moueri debere in e, non ex c
in
d, ubi eſt amplum ſpatium
terræ
comprehenſum, ergo a e
quieſcere
uidetur in e, igitur &
in
a.
Quòd autem uideatur in e
quieſcere
, patet, quia quod mo
tum
uideri debet, oportet ut in
inſenſili
tempore ſpatium ſen­
ſile
pertranſierit: inſenſile au­
tem
tempus eſt minus motu ue
lociſsimo
pulſus, hic autem ma
ius
exigit tempus centeſima par­
te
centeſimæ partis horę, igitur
diei
ducenteſima quadrageſima milleſimæ partis, & in hoc oportet
ut
pertranſeat ſenſile ſpatium, quod eſt quinquageſima parte ulnæ
ſaltem
maius.
Ergo ſi fiat inſtrumentum quingentarum ulnarum am
bitus
, q̊d in uiginti quatuor horis circumuoluatur, adeò lentè mo­
uebitur
, ut quieſcere uideatur: tum uerò magis ob id quod dixi,
quoniam
in centro quieſcere uidebitur, ergo in peripheria, ubi di­
ſtantia
deprehendi poſsit.
Ergo nulla machina quæ uideatur mo­
ueri
, conſtitui poteſt, quæ in horis XXIIII circumuertatur: quia non
tam
magna fieri poteſt, ut ſpatium à centro ad circumferentiam ocu
lo
non poſsit deprehendi.
Et hoc uoluimus declarare ut intelligamus, quæ ſunt neceſſaria
ad
mundum incorporeum.
Propoſitio ducenteſima trigeſima tertia.
Quod eſt in mundo incorporeo æternum, eſt beatum, ſecurum
immutabile
ſecundum locum ſolum iuxta eſſentiam fit, iuxta quod
uelut
à leui ſuſurro aquæ & aura æſtiua demulcetur.
Quod eſt ibi non eſt pars nec totum, eſſet enim quantum, aut nu

mero
diſcretum, nec mutationem loci aut temporis habet, cum in
nullo
eorum ſit, ideò nec habere poteſt, nec amittere, non eſt ibi infi
nitum
, cuius nullus finis ſit, ſed dum emanat à priore ſecundum or­
dinem
eſt ſumma uoluptas, qualis in his qui ad cognitionem & feli
citatem
deueniunt.
Quę in illis cum æterna ſit & ſecura, recipit quan
dam
uariationem, in qua delectatur, uelut mortalia ex contrarijs cau
ſis
naturæ contrarijs affectibus: & hoc eſt perpetuò nouum, quia
ſemper
pendet & recipit.
Et ob id eſt unum & actu ſempiterno,
quod
uerò eſt extra, eſt potentia, ideò infinitum, quod imaginatur
anima
, quia in ordinatum priore ordine, qui eſt ante limitem omnem,
neque
enim dubium eſt, quin infinitum non ſit cauſa, ut non poſsit
1eſſe ordo ille ſecundus: ſed nos loquimur de primo. Et ideò anima
noſtra
ob materiæ coniunctionem appetit ordinem, & lætatur in
eo
ut inueniat finem in rebus, uelut in multis proprietatibus nume
rorum
eſt manifeſtum.
Potentia enim eſt cauſa imaginandi infini­
tum
, quia ſemper ultra aliquid eſſe poſſe putamus, eſt igitur poten­
tia
actus imperfectus.
Anima ergo noſtra conuerſa eſt à Deo, res
poſt
ſe in quibus inuenit potentia imperfectionem ἀταξιαν pericu­
lum
& infinitum ad deſperationem tandem, quod quilibet uidere
poterit
, qui ſe à diuinis auerterit: quantò enim plura habet, plura
deſunt
.
Multiplicentur filij, opes, honores, nil niſi laborem & anxie­
tatem
aucta inuenies.
Quomodo autem quod infinitum non eſt,
infinitam
faciat potentiam?
uides in repræſentatione Solis quę infi
nita
eſſet, ſi cœlum eſſet infinitum.
Dubitatione autem dignum eſ­
ſet
, an ſi cœlum infinitum eſſet ubique Sol illuminaret: ſeu quia quæ­
ſitum
nullum ſit, uiſit de eo quod non eſt, nihil autem non eſſe po­
teſt
, aut quod non poſſet, quoniam uirtus corporea eſt.
Corporeo
autem
omni finem ad eſſe neceſſe eſt.
Hanc nouitatem ergo alij tri­
pudium
, alij muſicam & ſonum cœleſtem interpretati ſunt.
Co^{m}.
Manifeſtum eſt igitur ſubſtantiam incorporei mundi, eſſe in

quadam
mutatione perpetua ordinis, & ſine motu, tempore & lo­
co
: unde amor & uoluptas mutua, & totum unum, ſicut anima cum
cognoſcit
Deum, & cum cognoſcit cœlum deſcendit, & fit alia or­
dine
.
Et hæc beatitudo in mundo illo eſt tanta, ut in com­
parabilis
ſit noſtræ, quæ eſt umbra eius, etiam
quando
eſt & pura, etiam ſi eſſet per­
petua
.
Igitur hic finis no­
ſter
Diuinę naturæ
& libri.
Cor^{m}.
LIBRI DE PROPORTIONI­
BVS
FINIS.
1
[Empty page]