Cardano, Girolamo, Opus novum de proportionibus, 1570

Bibliographic information

Author: Cardano, Girolamo
Title: Opus novum de proportionibus
Date: 1570

Permanent URL

Document ID: MPIWG:05ZM72MK
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:05ZM72MK

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
[Empty page]
1
[Empty page]
1
[Empty page]
1
HIERONYMI
CARDANI
MEDIO
LANENSIS
, CIVISQVE BONO­
NIENSIS
, PHILOSOPHI, MEDICI ET
Mathematici
clariſsimi,
OPVS NOVVM DE
PROPORTIONIBVS
NVMERORVM, MO
TVVM
, PONDERVM, SONORVM, ALIARVMQVE RERVM
menſurandarum
, non ſolùm Geometrico more ſtabilitum, ſed etiam
uarijs
experimentis & obſeruationibus rerum in natura, ſolerti
demonſtratione
illuſtratum, ad multiplices uſus ac­
commodatum
, & in <var>V</var> libros digeſtum.
PRAETEREA.
ARTIS MAGNÆ, SIVE DE REGVLIS
ALGEBRAICIS
, LIBER VNVS, ABSTRVSISSIMVS
& inexhauſtus plane totius Arithmeticæ theſaurus, ab
authore
recens multis in locis recogni­
tus
& auctus.
ITEM.
DE ALIZA REGVLA LIBER, HOC EST, ALGEBRAICAE
logiſticæ
ſuæ, numeros recondita numerandi ſubtilitate, ſecundum Geo­
metricas
quantitates inquirentis, neceſſaria Coronis,
nunc
demum in lucem edita.
Opus Phyſicis & Mathematicis imprimis
utile
& neceſſarium.
Cum Cæſ. Maieſt. Gratia & Priuilegio.
BASILEÆ.
1
[Empty page]
1
IN LIBRVM DE
PROPORTIONIBVS
HIERONYMI
CARDANI
MEDIOLANENSIS, CIVISQVE
Bononienſis
, Medici, Præfatio ad M. A.
Amulium
Venetum
Card.
Illuſtriſsimum.
Bene Dictum eſt meo iudicio à Platone M.
A
.
Amuli optime, beatas fore Reſpub. ſi uel
illarum
domini ſapientiæ amatores eſſent,
aut
qui ſapientiæ eſſent amatores domina­
rentur
, hoc ipſum clarè intelligens, ſtudio ſa
pientiæ
nihil eſſe utilius humano generi:
quo
ſimul & pietas, & iuſtitia, & mutuus
amor
hominum inter ſe & eorum commo­
da
continerentur.
Nempe hiſce quatuor tota noſtra felicitas com­
prehenditur
.
Si quidem pietate in Deos nihil niſi ſanctum, & pu­
rum
, & illuſtre ſapimus: hoc ipſo primum quod ſupra nos eſt, intel­
ligimus
, Deos ueneramur, gratias agimus, timor cum ueneratione
noſtros
animos ſubit, & de futura uita cogitamus, hæc ipſa morta­
lia
ſi non negligentes ſaltem paruifacientes.
Iuſtitiam autem adeò
neceſſariam
humano generi eſſe ſcimus, ut ſine illa neque eſſe, nedum
benè
eſſe poſsímus, ut neque latronum cœtus abſque ea diu ſtare poſ­
ſint
.
Porrò quid dicam de concordia, & mutua hominum beneuo­
lentia
, in quibus omnis uitę humanę dulcedo repoſita eſt: nec quis
ſuſtineat
uiuere, qui ſe omnibus odioſum eſſe ſentiat.
His ipſis fi­
lios
in ſpem alimus, parentes fouemus, fratres tuemur, & adiuua­
mus
, amicis opitulamur, cum hominibus hilarem & iucundam ui­
tam
ducimus.
Si quis ſerpentem in lecto haberet, nunquam ſom­
num
caperet: ita nihil moleſtius eſt in hac uita, quam eſſe cum quo
nolis
, & priuari conſuetudine eorum cum quibus maximè uiuere
cupias
.
Quid enim habent Principes præcipuum cum tota illa po­
tentia
quam habent, niſi hoc unum, quod ſuis quos amant bene fa­
cere
poſsint: nam reliqua omnia exerceri, uenari, edere, bibere, dor­
mire
, iter agere, loca amæna inuiſere multis alijs conceſſum eſt, ma­
ioreque
commodo qui in uita priuata degunt.
Si ergo principatum
cum
tot laboribus, curis, periculis, & meritò omnes appetunt: nec
eſt
in eo quicquam præcipuum præter hoc, cui dubium eſt quin
hoc
non ſit ſummum huius uitæ hominibus bonum?
propter cu­
ius
uel dubiam ſpem eorum, quæ habent obliti mortales pericli­
tantur
.
Succedunt inde tot commoda, non ſolum utilia, ſed pleraque
1etiam neceſſaria, quæ nos ſapientia docet: huiuſmodi ergo omnia
cùm
libris contineantur, meritò optimus quiſque librorum bono­
rum
perpetuitati atque in columitati fauere debet.
C. Caligulam exe­
cramur
ſolum ob id quod Vergilij, & T.
Liuij ſcripta delere cogi­
tauerit
.
Quid facturi eſſemus, ſi feciſſet quod cogitauerat? Eſt in ſa­
pientum
monumentis bonum ſine malo, mens ſine corporea labe:
Virtutes
abſque uitijs, gratiæ & iucunditas ſine ſorde, & immundi­
tia
, uoluptas ſine dolore, conuerſatio abſque tædio, delitiæ abſque miſe
ria
nuda, omnia bona præſtant, atque laudabilia ab omnibus morta­
litatis
exuuijs libera, tantum commodi afferunt libri.
Sed & in eo­
rum
electione ac ſtudijs modus, ac medio critas quædam ſeruanda
eſt
, quæ ſi quis neglexerit non leui incommodo afficietur: eam an­
tiqui
rationem alij proportionem appellarunt, non equidem etiam
in
pertritis tam facillimam, ut rentur homines: nam in alijs rebus per­
obſcuram
eſſe fatentur, ego difficillimam puto undique, & magis for
ſan
ubi non exiſtimamus.
Vnde plures decidere uidemus magnis
cum
auxilijs, & euidenti ſpe: quid aliud eſt in cauſa quàm ignota
menſura
rerum?
quam tamen plerique tenere ſe putant. Ergo, cùm
ſummum
bonum in hac menſura ſitum eſſe cernerem, ut clarè oſten
dunt
muſicæ uoces, quæ non niſi indiuiduo (ut ita dicam) ſpatio
ſeu
loco ſtare poſſunt, ita & in figuris picturarum & ſtatuarum, &
diebus
decretorijs, & negotijs ciuilibus operę pretium me factu­
rum
exiſtimaui, ſi omnia hæc quæ latè patebant breuiter in unum
redegiſſem
, non tantum ne lectorem tædio afficerem, quàm ut quòd
aliàs
do cui, breuibus tractationibus, & plura continerentur, & faci
lius
docerentur.
Cum uerò bona fortuna quædam effeciſſet, ut tibi
libellum
dedicaſſem de Prouidentia ex conſtitutione temporum,
longe
meliore occaſione nominis tui typographi obliti ſint, indi­
gnum
fore putaui, ut non ærea (quemadmodum cum Glauco Dio
medes
) cum aureis commutarem.
Itaque infinitis licet circumuentus
negotijs
totus huic operæ in cubui, atque adeò ut præter ſpem unius
anni
penè ſpatio liber abſolueretur.
Qui cum tibi (ut dixi) iam iurè
deberetur
, tamen magis dedicandum putaui, quod non ego ſo­
lum
quanquam id maximè, ſed communis conſenſus ho­
minum
exiſtimet, te ſingulari uirtute omnibus
ſtudioſis
plurimum fauere,
Vale
.
1
TABVLA PRO­
POSITIONVM
DE
PROPORTIONIBVS
.
I. Proportionem in proportionem duci, eſt ſuperiores numeros atque inferiores inuicem ducere. pagina 6 II. Proportio extremorum producitur ex intermedijs. 7 III. Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis producatur, ipſa uerò proportio inter duas alias quantitates fuerit conſtituta: conſurgent trecen­ti ſexaginta modi productionis proportionis. 7 IIII. Si fuerit proportio primi ad ſecundum, producta ex proportionibus tertij ad quartum, & quinti ad ſextum, producetur etiam ex proportione tertij ad ſextum, & quinti ad quartum. 8 V. Si fuerit proportio primi ad ſecundum, producta ex proportione tertij ad quartum, & quinti ad ſextum: erit proportio tertij ad ſextum, producta ex proportionibus primi ad ſecundum, & quarti ad quintum. 8 VI. Ex trecentis ſexaginta modis producendarum proportionum triginta ſex tantum eſſe neceſſarios. 9 VII. In modis qui neceſſariò producuntur ex duabus proportionibus, cum duæ quantitates ex illis quæ modos conficiunt, æquales fuerint: proportio producta ad quatuor quanti­tates omiologas reducetur. 10 VIII. Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen­tur atque coniungantur, erit proportio aggregati ad productum ex inferioribus in­uicem proportio, ex primis proportionibus compoſita. 11 IX. Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum inferioribus multiplicen­tur, minusque productum ex maiore detrahatur, erit reſidui ad productum ex inſe­rioribus proportio uelut illa, quæ relinquitur detracta minore proportione ex ma­iore. 11 X. Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio, uelut alterius partis ad ſecun­dam quantitatem, erit proportio cuiuſuis quantitatis eiuſdem generis ad ſecundam compoſita proportio, ex proportionibus eiuſdem quantitatis, aſſumptæ ad utranque partem primæ quantitatis ſeorſum. 11 XI. Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad aggregatum duarum æqua­lium quantitatum eſt, compoſita ex proportionibus primis, & diuiſa per duplam. 12 XII. Propoſitis duabus proportionibus unam alteri iungere abſque multiplicatione. 12 XIII. Proportio confuſa aggregata primæ & tertiæ quatuor quantitatum omiologarum ad aggregatum ſecundæ & quartæ, eſt uelut compoſita ex eiſdem diuiſa per du­plam. 13 XIIII. Proportiones confuſæ & coniunctæ in tribus quantitatibus inuicem commutantur. 13 XV. Si fuerint quatuor quantitates proportio confuſa, aggregati primæ & tertiæ, ad aggre­gatum ſecundæ & quartæ, erit ut monadis addito prouentu, qui fit diuiſa differentia, differentiarum primæ & ſecundæ, atque quartæ & tertiæ, per aggregatum tertiæ & quartæ ad ipſam monadem. 14 XVI. Omnium quatuor quantitatum propoſita prima, quæ non minorem habet proportio­nem ad ſuam correſpondentem quàm alia ad aliam, erit proportio confuſa illarum,
1 ut producti ex aggregato primæ & tertiæ, in tertiam ad productum ex aggre gato tertiæ & omiotatæ ad ſecundam in ipſam quartam. 14 XVII. Omnes duæ proportiones conuerſæ producunt æqualem proportionem. 15 XVIII. Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multiplici præter, ultimam proportio uerò penultimæ ad ultimam, qualis reſidui primæ ad ſecundam, erit primæ ad aggregatum reliquarum, uelut penultimæ ad ultimam. 15 XIX. Si fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum exceſſus ſit æqualis minimè, omnibus autem deficientibus ſupplementa ad æqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omnium quantitatum æqualium, adiecto rurſus quadrato primæ cum eo quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum o­mnium quantitatum eiuſdem, tripla aggregato quadratorum omnium quanti tatum primi ordinis pariter acceptis. 17 XX. Cum fuerint quatuor quantitates, fueritque ſecunda æqualis tertiæ, aut prima æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam, aut tertiæ ad ſecundam, producta ex proportionibus primæ ad ſecundam & tertiæ ad quartam. 21 XXI. Cum decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in tertiam, produ­ctumque primæ in quartam, diuiſum fuerit per productum ſecundæ in tertiam, erit proportio primæ ad ſecundam, diuiſa per proportíonem tertiæ ad quar­tam. Et ſimiliter interpoſita omiologa. 22 XXII. Cum fuerit proportio primæ ad ſecundam maior quàm tertiæ ad quartam, erit confuſa ex his maior quàm tertiæ ad quartam, minor autem quàm primæ ad ſecundam. 23 XXIII. Omnis motus naturalis ad locum ſuum eſt: ideò per rectam lineam fit. 23 XXIIII. Omnis motus circularis uoluntarius eſt. 23 XXV. Tres ſunt motus omnino ſimplices naturalis, uoluntarius, & uiolentus. 24 XXVI. Motus ergo compoſiti quatuor neceſſariò ſunt ſpecies. 24 XXVII. Motus uoluntarius eſt in loco: naturalis ad locum: uiolentus ex loco. 25 XXVIII. Motus quilibet uoluntarius aut uiolentus in aliquo medio fit. 25 XXIX. Omnis motus uoluntarius æqualis eſt ſemper: ſimpliciter etiam quilibet alius mo­tus. 25 XXX. In omni corpore mobili in medio partes medij reſiſtunt obuiæ, aliæ impel­lunt. 26 XXXI. Omnis motus naturalis in æquali medio ualidior eſt in fine quàm in principio.Violentus contrà. 26 XXXII. Omne mobile naturaliter motum ſeu uiolenter uelocius mouetur in medio rariore quàm denſiore. Maior quoque eſt proportio finis motus in corpore rariore ad finem motus in corpore denſiore quàm principij. In uiolento autem celerius perueniret ad finem motus in corpore denſiore. 27 XXXIII. Omnia duo mobilia æqualis undique magnitudinis quæ æquali in tempore æqualia ſpacia pertranſeunt in diuerſis ſubſtantia medijs neceſſe eſt, ut ſit ponderis ad pondus, quem ad modum medij ad medium proportio duplicata. 27 XXXIIII. Proportio corporis cubi ad ſuam ſuperficiem quadratam, eſt uelut eiuſdem ſuperfi ciei, ad latus eiuſdem uerò ad monadem. 28 XXXV. Vocum magnitudines excreſcunt in acumine, non in grauitate, finis autem eſt in utroque extremo. Propter hoc minima facta uariatione in hypate acutæ uix ferunt. 29 XXXVI. Si proportio per proportionem minorem æquali ducatur, proportio minor pro­
1 ducetur. Vnde manifeſtum eſt duas proportiones minores æqualitate inuicem du ctas proportionem minorem unaquaque illarum producere. 30 XXXVII. Si plures homines, quorum per ſe nauim mouere poßint, aut pondus ferre ſimul iuncti eam moueant, aut pondus ferant, erunt illæ proportiones coniunctæ non productæ. 30 XXXVIII. Omne corpus tantum reſiſtit motui contrario ſuo natúrali, quantum mouetur oc­culto motu quieſcendo. 31 XXXIX. Ab æquali aut minore ui quàm ſit impedimentum non fit motus. 31 XL. Omne corpus ſphæricum tangens planum in puncto mouetur ad latus per quam­cunque uim, quæ medium diuidere poteſt. 31 XLI. Si fuerint duæ quantitates ſumaturque toties aggregatum maioris & minoris, quo­ties aggregatum minoris & maioris, erit proportio confuſa maioris aggregati ad minus, minor quam multiplicis maioris ad multiplex minoris. 32 XLII. Trahentium nauim, aut ferentium pondera proportiones in ſe inuicem, quomodo ducere oporteat conſiderare. 32 XLIII. Productionem ad additionem retrahere. 33 XLIIII. Si fuerit proportio motoris ad id quod eſt maximum non mouens, & ſpatium & tempus, nota erit etiam reliquorum nota. 33 XLV. Rationem ſtateræ oſtendere. 34 XLVI. An ſit aliqua proportio & qualis inter animam & uitas, & ſua corpora conſide­rare. 35 XLVII. Si duo mobilia æqualister in eodem circulo iuxta proprios motus moueantur, pro­ductum temporis circuituum inuicem, erit æquale producto differentiæ tempo rum circuitus ductæ in tempus coniunctionis primæ. 36 XLVIII. Si tria mobilia ex eodem puncto diſcedant, fuerintque duorum ac duorum coniun­ctiones in temporibus commenſis, illa tria mobilia denuo coniungentur in tem pore producto ex denominatore diuiſionis temporis maioris per minus in mi­nus aut numeratore in maius. 37 XLIX. Propofitio mobilis in circulo circuitus tempore dataque ratione diſtantiæ ab illo mo bilis circuitum inuenire, quod ex eodem puncto diſcedens cunalio mobili in dato puncto conueniat ſub quocunque numero circuituum tempus quoque coniunctionis. 39 L. Omnes circuituum portiones in eiſdem temporibus repetuntur. 40 LI. Operationes dictas exemplo declarare. 41 LII. Tria mobilia coniuncta in eodem puncto, quorum duo & duo conueniant in partib. incommenſis inter ſe, in perpetuum in nullo unquam puncto conuenient. 42 LIII. Circulorum ſe in aduerſum mouentium proportionem declarare. 43 LIIII. Proportio circuli ad ſuum diametrum per ſimilitudinem eſt quarta pars periphe­riæ. Rurſusque eiuſdem circuli ad peripheriam diametri quarta pars. 44 LV. Proportionem medicamentorum per ordines ſup poſita æquali proportione in or­dinibus per quantitates & proportiones demonſtrare. 44 LVI. Proportio cuiuſuis binomij ad ſuum reciſum, uel ei commenſum eſt duplicata ei quæ ad numeri latus. 49 LVII. Motus rationem ad pondus inuenire. 49 LVIII. Q ex alto deſcendunt, cur non eandem pro diſtantia motus rationem in libero aëre ſeruent conſiderare. 49 LIX. Omne mobile motum duobus motibus non ad idem tendentibus utroque ſeorſum tar dius mouetur ſimili motu. 50 LX. Omne mobile motu naturali deſcendentis parte, deſcendit grauiore ſecundum gra­
1 uitatis centrum. 51 LXI. Proportionum ictus ad pondus rei & diſtantiam generaliter conſiderare. 52 LXII. Proportionem motoris in plano ad motorem, qui eleuat pondus iuxta id quod mouet, inuenire. 53 LXIII. Omne graue quanto proximius alligatum plano, tantò facilius trabitur. 53 LXIIII. Omne mobile quantò latius tanto tardius moustur in plano. 54 LXV. Proportionem duorum mobilium inter ſe cum auxilio medij inuenire. 54 LXVI. Proportionem laterum eptagoni, & ſubtenſarum conſiderare, & quæ à reflexa proportione pendent. 55 LXVII. Si fuerint aliquot quantitates ab una quantitate aliæque totidem ab eadem analo­gæ, erit proportio tertiæ unius ordinis ad tertiam alterius, ut ſecundæ ad ſe­cundum duplicata, & quartæ ad quartam triplicata, quintæ ad quintam quadruplicata, atque ſic de alijs. 57 LXVIII. Propoſitio collectorum ab Euclide & Archimede. 57 LXIX. Propoſitio collectorum ex quatuor libris Apollonij Pergei & que Sereni. 59 LXX. Si fuerint tres quantitates in continua proportione, aliæque totidem in continua proportione poterunt conſtituere tres quantitates in æquali differentia per­uerſim copulatæ. 62 LXXI. Proportionem leuitatis ponderis per uirgam torcularem attracti ad rectam ſu­ſpenſionem inuenire. 63 LXXII. Proportionem ponderis ſphæræ pendentis ad aſcendentem per accliue planum inuenire. 63 LXXIII. Proportionem ponderum attractorum penes figuram in plano inuenire. 64 LXXIIII. Proportionem concutientis ad concuſſum inſtabili inuenire. 64 LXXV. Proportionem immoti in aqua, ad immotum in terra in excipiendo ictum inuenire. 65 LXXVI. Proportionem duorum mobilium ſibi inuicem concurrentium per rectam inuenire. 66 LXXVII. Proportionem motus obliqui ad motum rectum in nauibus inuenire. 66 LXXVIII. Proportionem nauis ad triremes quotuis concurrentes demonſtrare. 67 LXXIX. Proportionem medicamentorum purgantium inuicem declarare 68 LXXX. Proportionem motus ſecundum obliquum ad rectum in ſpacio declarare. 69 LXXXI. Qualis ſit angulus, per quem poteſt moueri nauis ad rectum explorare. 70 LXXXII. Proportionem uelorum indagare. 70 LXXXIII. Proportionem receſſus à recta uia ad obliquitatem inueſtigare. 72 LXXXIIII. Diſtantiam centri terræ à centro mundi per motum lapidis Herculei declarare. 73 LXXXV. Proportio ponderis unius grauis ad aliud ſub eadem menſura eſt ueluti eiuſdem ad differentiam ponderis uaſis repleti ex altero graui, & ex ambobus de­tracto priore. 74 LXXXVI. Si circuli in æ quales ſeu in ſphæra ſeu in plano ſe ſecuerint, nunquàm oppoſitos angulos æquales habent. 77 LXXXVII. Proportiones craßitiei aquæ ad aerrem in comparatione ad radios demonſtrare. 78 LXXXVIII. Inſtrumentum Acolingen, quo momenta temporum deprehendantur fabricare. 79 LXXXIX. Proportionem denſitatis aquæ ad aërem per pondera inuenire. 82 XC. Rationem impetus uiolenti extra mißi ponderis ad æqualitatem reducere. 82 XCI. Proportionem grauis cubi, & ſphærici æqualium in accliui, & deſcenſus eorum demonſtrare. 83 XCII. Proportionem ponderis æqualis iuxta longitudinis comparationem demonſtrare. 85 XCIII. Propter qd in concußione etiam leui nauis loco moueatar oſtendere. Vnde manifi ſium eſt duas naues ſibi inuicem occurſantes retrocedere, & quantum retrocedant ambæ. 86
1 XCIIII. Si quantitas aliqua nota atque proportio erit producta, quantitas nota ſimiliter. Et ſi duæ proportiones notæ fuerint, erit producta ex his atque diuiſa coniunctaque atque detra­cta nota. Et ſi fuerit totius ad partem proportio nota, erit et ad aliam partem nota: & alterius partis ad alteram uno minor. Et ſi fuerit partis ad partem, erit ad totum monade minor atque nota. Et ſi fuerit unius quantitatis ad duas quantitates proportio nota, erit & confuſa ex eis nota. Et ſi fuerint trium quantitatum omiologarum, aut quatuor analogarum omnes præter unam cognitæ, erunt & illa alia cognita. 87 XCV. Cuiuſuis trigoni rectanguli, aut cuius duo auguli ſint in dupla proportione, aut qui circulo inſcriptus ſit cognita quantitate unius lateris in comparatione ad dimetien tem, ſi proportio duorum laterum cognita fuerit, erunt omnia eius latera cognita. 88 XCVI. Cum in perſpicuum denſum radij luminoſi inciderint, quatuor fiunt luminis genera. 89 XCVII. Motum inuerſionis in figuris in comparatione ad motum ſphæræ in plano inueſtigare. 91 XCVIII. Proportionem ponderum æqualium per differentiam angulorum inuenire. 92 XCIX. Proportionem grauitatum per multitudinem ſuppoſitorum orbium oſtendere. 93 C. Proportionem grauitatis ponderum attractorum per trochlearum numerum inueſtigare. 93 CI. Proportionem precij gemmarum ex tribus in eodem genere cognitis inuenire. 94 CII. Proportionem motuum inuerſionis, & attractionis in plano inuenire. 95 CIII. Proportionem eorundem in accliui demonſtrare. 95 CIIII. Proportionem motus attractionis in decliui ad motum in plano determinare. 95 CV. Proportionem ferentium pondus in pertica inuenire. 96 CVI. Quales proportiones angulorum doceant laterum proportiones. Atque uicißim deter­minare. 97 CVII. Si in circulo duæ diametri ad rectum angulum ſe ſecauerint: aliæ uerò ad perpendicu­lum ex diametro exicrint ad circum ferentiam, ſingulæ ſupra diametrum erunt ma iores portionibus reliquis diametri ſuperioribus, infra autem minores. Dimidium autem portionis ſuperioris reſiduum ad centrum maius ſagitta habebit. In aliqua præterea portionis ſuperioris parte, quæ uerſus diametrum tranſuerſum poſita eſt, maior eſt differentia partis diametri ei correſpondentis, quae line æ tranſuerſæ. 100 CVIII. Punctum æqualitatis differentiæ deſcenſus & remotionis à centro inuenire. 100 CIX. Rationem libræ expendere. 101 CX. Si duæ ſphæræ ex eadem materia deſcendant in aëre, eodem temporis momento ad planum ueniunt. 104 CXI. Cur ex medio tela ualidiorem ictum, & naues in ſcalmo à remo ac malo recipiant in­de ex puppi explorare. 105 CXII. Cur ex imo leuia longiùs ferantur declarare, 106 CXIII. Cur uirga longius mittatur à puero quam à uiro inueftigare. 107 CXIIII. Circularis motus differentias quatuor eſſe, earumque rationem contemplari. 108 CXV. Proportionem motuum impulſionis, & attractionis inter ſe, ab eadem ui decla­rare. 110 CXVI. Cur machinæ oblongæ igneæ longius emittant ſphæram explorare. 111 CXVII. In curriculis maior eſt uis pulueris copioſioris ampliore in ſpacio, quàm paucioris in minore iuxta proportionem eandem. 112 CXVIII. Quanta proportione decedat ictus in obliquum parietem ab eo qui eſt ad perpendi­culum declarare. 114 CXIX. Quantum ictus machinæ procliuis ad angulum minuatur explorare. 115 CXX Proportionem partium nauis ad eundem obliquum uentum explorare. 118 CXXI. Flabelli uires atque naturam declarare. 219 CXXII. Contemptus circa Solis rationem in umbris declarare. 120
1 CXXIII. Cognita ratione umbræ ad gnomonem ſinum, & arcum altitudinis ab horizon­te, quouis tempore dignoſcere. 121 CXXIIII. Proportionem umbræ uerſæ eſſe ad gnomonem, uelut gnomonis ad umbram uerſam. 122 CXXV. Proportionem dimetientis, & peripheriæ cuiuslibet circuli paralleli æquino­ctiali per cognitam partem magni circuli demonſtrare. 123 CXXVI. Circuli horarij naturam declarare. 123 CXXVII. Data poli altitudine ortus amplitudinem demonftrare. 124 CXXVIII. Nota amplitudine ortus, cuiuſque puncti arcum ſemidiurnum inuenire. 124 CXXIX. Data altitudine Solis in quacunque regione, quacunque die diſtantiam Solis à meri­diano cognoſcere. 124 CXXX. Data regionis altitudine, & loco Solis proportionem gnomonis, tam ad um­bram rectam quàm uerſam, uel etiam in cylindro determinare. 125 CXXXI. Si lineæ alicui duplum alterius adiungatur, erit proportio duarum ad primam maior quàm dupli cum prima ad primam cum una adiecta. 126 CXXXII. Si ad duas lineas quarum una alteri dupla ſit eadem linea addatur, erit aggrega­ti ex minore, & adiecta ad ipſam minorem, minor proportio quàm aggre­gati ex maiore, & adiecta ad ipſam maiorem duplicata. 126 CXXXIII. Si fuerint duæ quantitates, quarum una alteri dupla ſit: minuatur à minore quæ­dam quantitas, eadenque maiori addatur, erit minoris ad reſiduum maior pro­portio, quàm aggregati ad maiorem duplicata. Si uerò minori addatur, & à maiore detrabatur, erit aggregati ad minorem minor proportio quàm maioris ad reſiduum duplicata. 127 CXXXIIII. Si rectangula ſuperficies ſit, cuius pars tertia quadrata ſit corpus, quod ex la­tere quadratæ in reſiduum ſuperficiei conſtat, maius eſt quouis corpore ex eadem ſuperficies, aliter diuiſa conſtituto. 127 CXXXV. Si linea in duas partes, quarum una fit alteri dupla diuidatur, erit quod fit ex tertia parte in quadratum reſidui parallelipedum maius omni pararalleli­pedo, quod ex diuiſione eiuſdem lineæ creari poßit. 128 CXXXVI. Denominationes in infinitum extendere. 129 CXXXVII. Rationem numerorum ex progreßione declarare. 131 CXXXVIII. Modos uſus horum numerorum declarare. 131 CXXXIX. Radices omnes à propoſitis numeris extrahere. 132 CXL. Radices per numeros fractos determinare. 133 CXLI. Numeros fractos ad minores in ea iem proportione ualde propinqud deducere 136 CXLII. Denominationum in crementa ex extrema cognita inuenire. Et conuerſo modo. 137 CXLIII. Si linea in duas partes diuidatur, corpora quæ fiunt ex una parte in alterius quadratum mutuo æqualia ſunt corpori, quod fit ex tota linea in ſuperfi­ciem unius partis in alteram. 138 CXLIIII. Duplum cubi medietatis maius eſt aggregato corporum mutuorum, cuiuslibet diuiſionis quantum eſt, quod fit ex tota in quadratum differentiæ. 139 CXLV. Si linea in duas partes diuidatur quadrata ambarum partium detracto eo, quod fit ex una parte in alteram, æqualia ſunt producto unius in alteram cum quadrato differentiæ. 139 CXLVI. Corpus quod fit ex linea diuiſa in ſuperficiem æqualem quadratis ambarum par tium detracta ſuperficie unius partis in alteram, eſt æquale aggregato cubo­rum ambarum partium. 139 CXLVII. Propoſita linea diuiſa duas ei line as adijcere, ut proportio additarum ſingularium
1 & partium ſimul iunctarum ad additas ſit mutua. 148 CXLVIII. Propoſitis tribus lineis primam ſic diuidere, ut adiectis duabus alijs lineis, ſecun­dum rationem mutuam ſingularum ſingulis, aggregatum ex una adiectarum, & par te ad aggregatum ex alia parte, & adiecta ſe habeat, ut ſecunda ad tertiam. 140 CXLIX. Datam lineam ſic diuidere, ut proportio quadratorum ad dupium unius partis in alteram ſit, ut lineæ datæ ad lineam datam. 141 CL. Propoſitis duabus lineis, lineam communem utrique adiungere, ut ſit maioris ad ad­ditam proportio, uelut quadratorum minoris, & adiectæ ad duplum unius in alteram. 141 CLI. Proportio differentiæ quadratorum partium cuiuſuis lineæ, ad quadratum diffe­rentiæ illarum eſt, uelut totius lineæ ad differentiam. 142 CLII. Si linea in duas partes æquales, duasque inæquales diuidatur, fueritque proportio ag­gregati ex maiore, & dimidio ad ipſam maiorem, uelut ex minore, & ali­qua linea ad ipſam minorem, & rurſus aggregati ex minore, & dimidio ad ipſam minorem, uelut aggregati ex maiore, & alia addita ad ipſam maiorem, erit proportio dimidij ad partem unam inæqualem, uelut alterius partis inæ­qualis ad ſuam additam mutuò, & etiam proportio additarum inuicem, uelut proportio partium inæqualium duplicata, & rurſus ipſum dimidium lineæ aſſum­ptæ medium, erit proportione inter additas. Demum proportio dimidij cum addita maiore ad dimidium, cum addita minore, uelut maioris partis ad minorem. 142 CLIII. Vim quamcunque manus multiplicare. 144 CLIIII. Si lineæ datæ alia linea adiungatur, ab extremitatibus autem prioris lineæ duæ rectæ in unum punctum concurrant proportionem habentes, quam mediam inter tota m & adiectam, & adiectam erit punctus, concurſus à puncto extre­mo lineæ adiectæ diſtans per lineam mediam. Quod ſi ab extremo alicuius li­neæ æqua'is mediæ, ſeu peripheria circuli, cuius ſemidiameter ſit media linea duæ lineæ ad prædicta puncta producantur, ipſæ erunt in proportione mediæ ad adiectam. 145 CLV. Quadr atorum numerum proportionem & inuentionem conſiderare. 147 CLVI. Horologiorum tempus multiplicare. 152 CLVII. Horologiorum molarium rationem oſtendere. 154 CLVIII. Rationem indicis mobilis cum rota, qua horarum numerus per ictus indicatur ex­plicare. 156 CLIX. Nullus angulus rectilineus æqualis eſſe poteſt alicui angulo contento recta, & cir culi portione. 158 CLX. Propoſita linea tribusque in ea ſignis punctum inuenire, ex quo ductæ tres lineæ ad ſigna ſint in proportionibus datis. 162 CLXI. Si fuerint duo trianguli, quorum baſes in eadem linea ſint conſtituti, & æquales ad unum punctum terminati, & latus unum commune inter reliqua quantita­te medium neceſſe eſt angulum à maioribus lineis contentum minorem eſſe. 162 CLXII. Proportionem duorum orbium, quorum diametrorum conuexæ partis, & conca­uæ proportiones datæ ſint inueſtigare. 164 CLXIII. Proportionem uirium ſtellarum per motus ſuos indagare. 165 CLXIIII. Syderum proportionem in magnitudine oſtendere. 166 CLXV. Proportionem motuum omnium ſtellarum ad Solem conſiderare. 167 CLXVI. Proportiones muſicas ſuperpartientes in eas, quæ particulá una tantum abundant reducere. 168
1 CLXVII. Proportionem muſicam ad ſapores & odores coaptare. 176 CLXVIII. Picturarum proportiones explicare. 179 CLXIX. Proportionem muſicam in inſtrumentis declarare iuxta compoſitionis ra­tionem. 182 CLXX. Coniugationes cuiuſuis numeri breuiter inuenire. 185 CLXXI. Propoſitis duobus quibuslibet numeris, quotuis alios ſeu in continuum ſeu medios in continua proportione arithmetica, geometrica & muſica in­uenire. 187 CLXXII. Proportiones Stiphelij deſcribere. 191 CLXXIII. Circulum ſuper centro ſuo mouere æqualiter, ita quod omnia illius puncta per rectam lineam moueantur ultro citroque. 192 CLXXIIII. Progreſſus & regreſſus, tam ſine latitudine quàm cum latitudine in planetis per ſolos concentricos circulos æqualiter motos demonſtrare. 194 CLXXV. Cauſam uarietatis diametrorum ex ſuppoſitis concentricis demonſtra­re. 195 CLXXVI. Rationem centri grauitatis declarare. 197 CLXXVII. Si proportio aliqua ex duabus proportionibus eiuſdem quantitatis ad alias duas componatur, erit proportio illarum duarum eadem proportioni producti ex proportione in primam duarum quantitatum, detracta prio­re illa quantitate, quæ ad duas comparatur, ad eandem priorem quanti­tatem. 198 CLXXVIII. Proportionem miſtionis metallorum, maximè auri & argenti declara­re. 199 CLXXIX. Si duobus totis duæ portiones ſimiles abſcindantur ab eiſdem denuò, & ab­ſcißis portionibus partes eædem auferantur, denuoque ac denuò quoties libuerit à portionibus, & ù reſiduis ipſarum quantitatum partes eædem auferantur, erit reſiduí ad reſiduum, ueluti totius ad totum. 200 CLXXX. Si aliqua quantitas in duas partes diuidatur, fueritque alicuius quantitatis ad partes illas compoſita proportio, non poterit eiuſdem quantitatis ad par­tes alias quantitatis diuiſa, aliter proportio eadem componi. 202 CLXXXI. Cum fuerit aliqua proportio, compoſita ex proportionibus primæ ad ſecun­dam & tertiam, & rurſus quartæ ad quintam & ſextam: ita ſe habebit proportio ſecundæ ad tertiam, ad proportionem quintæ ad ſextam, uelut producti ex proportione in ſecundam detracta prima ad primam ad pro­ductum ex proportione in quintam, detracta quarta ad quartam. 203 CLXXXII. Propoſita differentia proportionum partium ſimilium ad partes aſſumptas, propoſitaque proportione totius ad reſidua eadem, differentiam propor­tionum totius ad reliquum reſidui inuenire. 203 CLXXXIII. Spacium uitæ naturalis per ſpacium uitæ fortuitum declarare. 204 CLXXXIIII. Quæcunque grauia in uorticibus aquarum, merguntur, in medio uorticis, pri­mum uerſa mergantur. 211 CLXXXV. Cur homo ſedens quanto altius ſedet, & quanto magis crura ad fœmora, & fœmora ad pectus reclinata habet, facilius conſurgat, cum tamen hæc op­poſito modo inuicem ſe habeant, declarare. 213 CLXXXVI. Si fuerit proportio primæ & ſecundæ quantitatis ad tertiam, ut primæ & quartæ ad quintam, fueritque quarta ſecunda maior, erit proportio quar­tæ ad quintam maior quàm ſecundæ ad tertiam. Quod ſi fuerit maior
1 quartæ ad quintam quàm ſecundæ ad tertiam, neceſſe eſt quartam ſecunda eſſe maiorem. 214 CLXXXVII. Si eiſdem uiribus & ‘eadem’ proportione cum auxilio ponderis tertij quar­tum pondus moueatur quibus ſecundum, auxilio primi neceſſe eſt quartum pon dus tardius & maiore cum difficultate moueri quàm ſecundum. 214 CLXXXVIII. Si uires aliquæ moueant cum ponderibus aliqua pondera, ut compoſita pro­portio ſit eadem proportioni uirium & duorum ponderum mouentium ag­gregatum æquale duorum ponderum, ubi maior fuerit partium in æqualitas, ibi erit maior difficultas. 214 CLXXXIX. Si pondus minus ad longitudinem minorem ſub æquali proportione coapte­tar, facilius deorſum trahetur quàm quod maius eſt & propius. 215 CXC. Si fuerit primum graue minus ſecundo, & ſecundum minus tertio, proportio autem primi ad ſecundum multo maior quàm ſecundi ad tertium, poſibile erit propoſitis uiribus eiſdem addere pondus ſecundo, ut ipſum & tertium mouea­tur faciliùs ab eiſdem uiribus, & primo uel ſecundo quàm antea. 215 CXCL. Cum fuerint duo pondera & uires, duxerisque aggregatum ex uiribus & mi­nore pondere in maius, addiderisque inſuper quantum eſt productum dimidij ui rium in ſe latus aggregati detracto dimidio uirium, dicetur pondus auxiliare æqualis proportionis. 215 CXCII. Si ex medio diametri linea ad perpendiculum erigatur ad circuli peripheri­am, ex eo puncto autem quotlibet lineæ ducantur ſeu intus ad circun ferentiam uſque, ſeu extra ad diametrum, erit proportio totius lineæ ad totam uelut mu­tuo partis ad partem. 217 CXCIII. Rationem ponderis triplicem explicare. 218 CXCIIII. Proportionem ponderis longioris in medio ſuſpenſi, ad breuius illi æquale & in medio ſuſpenſum declarare. 219 CXCV. Si lectus fiat dupla longitudine ad latitudinem, melius ſuffulcietur reſtibus ex medio ad angulos & eius æquidiſtantibus quàm ſecundum longitudinem & latitudinem. 220 CXCVI. Si duo circuli ſuper eodem centro eodem motu trans feruntur, æquale ſpacium ſuperant. 221 CXCVII. Cur lances ad locum ſuum ſuſpenſi redeant, impendentes non, demonſtrare. 224 CXCVIII. Cur ſolidum quod cubus uocatur Pyramide ſtabilius ſit oſtendere. 225 CXCIX. Rationem remorum nauim impellentium inuenire. 227 CC. Cur temo cum paruus ſit, magnam nauim agere poteſt, & cur cùm uarietas ſit in prora, ipſe conſtituatur in puppi. Et cum transuerſim ab aqua prematur rectà nauim dirigat. 228 CCI. Si duæ lineæ non ſecantes circuli peripheriam in unum punctum ex ea coe­ant exterius, neceſſe eſt illas peripheria contenta eſſe maiores. 229 CCII. Rationem ſtrepitus oſtendere. 232 CCIII. Cur ſcytalis onera portentur faciliùs, explorare. 233 CCIIII. Cur pluribus trochleis, pondera facilius eleuentur oſtendere. 233 CCV. Super uerbis Platonis de fine Reipublicæ. 234 CCVI. Rhombi paßiones quaſdam declarare. 235 CCVII. Proportionem agentium naturalium in tranſmutatione conſiderare. 238 CCVIII. Mota res à centro grauitatis per priorem motum, in reditu uelocius mouetur quam ſi quieuerit. 238
1 CCIX. Si ſuperficies rectangula in duas partes æquales diuiſa intelligatur, quæ am­bæ quadratæ ſint, itemque in duas inæquales, erit parallelipedum ex latere mediæ partis in totam ſuperficiem maius aggregato parallelipedorum ex partibus inæqualibus in latera alterius partis mutuo, in eo, quod fit ex dif ferentia lateris minoris partis à mediæ latere in differentiam maioris par­tis ſuperficiei à media ſuperficie bis, & ex differentia amborum laterum inæqualium iunctorum ad ambo latera, æqualia iuncta in minorem par­tem ſuperficiei. 241 CCX. Si duæ lineæ ad æquales angulos ab eodem puncto peripheriæ circuli refle­ctantur, neceſſe eſt angulos cum dimetiente factos æquales eſſe. Vnde ma­nifeſtum eſt, protractam diametrum angulum ſuppoſitum per æqualia di­uidere. 242 CCXI. Si duæ lineæ ex duobus punctis peripheriam contingentes, in eandem par­tem protrahantur, ſemper magis diſtabunt inuicem ea ex parte, & nun­quam concurrent. 243 CCXII. Si ab eodem puncto ad circuli peripheriam lineæ quotuis ducantur, tres inue­nire lineas, quæ non in alium punctum reflectentur. 244 CCXIII. Propoſito circulo, atque in eius peripheria puncto ſignato, lineas contingentes ultra cítraque, & eam ab ipſomet deducere. 245 CCXIIII. Si extra circulum duo puncta æqualiter à centro diſtantia ſignentur, erit pun­ctum reflexionis æqualis in medio arcus intercepti inter lineas, quæ à cen tro ducuntur ad illa puncta. Si uerò unum centro proximius fuerit altero, punctum æqualitatis in peripheria tantò longius, uerſus breuiorem line­am, quantò punctum aliud à centro magis diſteterit. 245 CCXV. Punctum reflexionis punctorum inæqualiter diſtantium à centro, æqualiter diſtat à lineis, ductis à centro ad puncta æqualiter diſtantia alterutrin­que. 246 CCXVI. Si fuerint circuli duo inæquales, & extra utrunqúe punctum ad illud ex mi­nore reflexè per magnam partem minoris à maiore perueuire pote­runt. 247 CCXVII. Oculus uidet partem ſuperficiei Lunæ illuminatam à Sole per radios reflexos à Solis corpore: nec tamen poteſt uidere imaginem ipſius in Luna tan quam in ſpeculo. 248 CCXVIII. Rationem maculæ Lunæ indagare. 248 CCXIX. Rationem eorum quæ apparent circa Solem ſpeculo in aqua poſito decla­rare. 150 CCXX. Cauſam cur Sol æſtiuis diebus exoriens umbram ad meridiem, cum in meridie ad boream mittat, explorare. 252 CCXXI. Magnitudo Lunæ & cæterorum aſtrorum dignoſcitur ex proportione alio­rum ad eam iuxta diſtantiam: ipſius uerò iuxta rationem pupillæ ad Lu­nam diſtantiæ ratione. 354 CCXXII. Quantitates quæ æquales eſſe non poſſunt in eodem genere, maius tamen & minus recipiunt, ſunt in proportione poteſtatis. 255 CCXXIII. Quantitates quæ actu æquales eſſe non poſſunt, in nulla proportione actu eſſe poſſunt. 256 CCXXIIII. Neque temporis totius, ut imaginamur, ipſum eſſe infinitum, neque æui ui­tarum proportio ulla eſt ad tempus, quod poteſtate eſt, utpotè diem
1 uel menſem. 256 CCXXV. Proportio media non eſt ex ratione agentis, ſed patientis. 256 CCXXVI. Proportio ſublimis non conſiſtit in magnitudine, ſed ordine, iuxta quem diffe­rentia eſt eius quod eſt ante & poſt. 257 CCXXVII. Vitæ iuxta numerum perfectionum in comparatione ad cogitationem no­ſtram proportionem quand am habent. 259 CCXXVIII. Proportionem ſcientiæ futurorum & cæterorum occultorum conſidera­re. 260 CCXXIX. Incorporea omnia unum ſunt, neque numerus eſt eorum. 261 CCXXX. Proportio incorporeorum aſcendentium ſemper maior eſt. 262 CCXXXI. Tres eſſe mundos atque inter ipſos nullam eſſe proportionem: nec numero cos definiri. 263 CCXXXII. Omnis motus naturalis quanto uelocior eſt tanto propior eſt & magis ſimil limus quieti. 264 CCXXXIII. Quod eſt in mundo incorporeo æternum eſt, beatum, ſecurum, immutabile ſecundum locum, ſolum iuxta eſſentiam fit: iuxta quod uelut à leui ſu­ſurro aquæ & aura æſtiua demulcetur. 270
FINIS.
1
[Empty page]
1
HIERONYMI CAR
DANI
MEDIOLANENSIS, CI­
VISQVE
BONONIENSIS, MEDICI
de
Proportionibus, ſeu Ope­
ris
Perfecti
LIBER
QVINTVS.
Prima diffinitio.
Proportio ab Euclide ſic deſcribitur, Quòd
ſit
duarum quantitatum eiuſdem generis,
quod
ad magnitudinem attinet, compara­
tio
certa.
Secunda diffinitio.
Proportiones per ſimilitudinem dicuntur,
cùm
quantitas quantitati comparatur alterius
generis
, cui fingitur æqualis eſſe poteſtate.
Velut ſi a b fingatur monas in comparatione
ad
b c erit rectangulum a c æquale lineæ b c.
1[Figure 1]
Tertia diffinitio.
Proportio æqualis proportioni eſt, cùm eodem modo termini
ſe
habent inuicem in utraque
Quarta diffinitio.
Proportiones ſecundum genus notæ dicuntur, cùm nouimus,
quòd
ſint maiores, aut minores.
Nam cùm æquales ſunt, ſimul ne
ceffe
eſt, ut cognoſcamus genus, & ſpeciem.
Quinta diffinitio.
Datum poſitione eſt: quod neceſſariò ex poſitis certam habet
quantitatem
.
Sexta diffinitio.
Datum ſimpliciter dicitur, quod ex propoſitis cognoſci poteſt,
quantum
ſit.
Septima diffinitio.
Proportiones poteſtate dicuntur, quæ ſub comparatione aliarum
quantitatum neceſſariam habentium connexionem ſolum cognoſcuntur.
autem ſunt aliquando eiuſdem generis, cum primis ut nu­
meri
: aliquandò alterius, ut linearum & ſuperficierum, angulorum,
& arcuum: aliquando eiuſdem generis, & diuerſarum ſpecierum,
ut
arcuum per ſinus, qua utuntur Aſtronomi.
Octaua diffinitio.
Proportio homonyma dicitur duarum quantitatum diuerſi ge

neris
, ſed alterius a b altero dependentium, uelut motus ad
1pus. Dicimus enim motum tardum, uel uelocem in comparatione
ad
tempus.
Car^{m}.
Nona diffinitio.
Proportionum aliæ dicuntur rhete, aliæ alogæ, rhetæ quæ ſunt
ut
numeri ad numerum, alogæ quæ non ſunt numeri ad numerum.
Decima diffinitio
Proportio rhete alia æqualis, alia multiplex, uel ſubmultiplex:
alia
unius partis exceſſus, aut defectus, alia plurium, quam ſuper­
partientem
, aut ſupartientem uocant.
Vndecima diffinitio.
Cum diuiſo denominatore per numeratorem exit quantitas alo
ga
, proportio dicitur aloga: ſi autem numerus integer, aut pars nu­
meri
nota dicitur rhete.
Duodecima diffinitio.
Proportionem in proportionem duci eſt, quoties recto ordine
tres
quantitates in eiſdem collocantur: ut ſint tres quan
2[Figure 2]
titates
a b c dicetur proportio a ad c producta ex pro
portione
a ad b & b ad c, & ſimiliter proportio c ad
a
producitur ex proportione b ad a, & c ad b.
Tertia decima diffinitio.
Proportionem per proportionem diuidi eſt, quoties ad eandem
quantitatem
duæ quantitates comparantur, tunc illarum propor­
tio
eſt, quæ prodit una per alteram diuiſa.
Sint proportiones a & b ad c & interponatur b inter a & c, dico
proportionem
a ad c diuiſam per proportionem a ad b, & prodire
proportionem
b ad c, conſtat ex conuerſa præcedentis.
Quarta decima diffinitio.
Additio proportionum intelligitur quotiens duarum quanti­
tatum
ad unam tertiam, proportiones per aggregatum ipſarum
quantitatum
ad eandem coniunguntur.
Velut ſi comparentur a b & b c ad d, inde tota
3[Figure 3]
a
c ad d dicemus proportionem, ac ad d eſſe con
iunctam ex duabus proportionibus a b ad d & b c
ad
eandem d.
Hoc & duo ſequentes ſicut & duę antecedentes demon­
ſtrabitur
eſſe.
nunc ſolum quomodo intelligendum ſit proponimus.
Quinta decima diffinitio.
Detractionem proportionis à proportione intelligimus fieri
per
detractionem minoris quantitatis à maiore, comparatam ad ean­
dem
quantitatem.
Velut in exemplo ſuperiore detracta proportione b c ad d ex
1proportione a c ad d, relinquetur proportio a b ad d. & probatur
ex
conuerſione præcedentis.
Sexta decima diffinitio.
Extractio radicum alicuius proportionis fit per extractionem
radicum
quantitatum illius iuxta unam, & eandem rationem.
Velut quadratæ, uel cubæ, uel pronicæ, uel uninerſalis, uel alte­
rius
modi.
Decima ſeptima diffinitio.
Cùm fuerint duæ proportiones ſimiles in tribus terminis con­
tinuatæ
, dicetur proportio primæ quantitatis ad tertiam ueluti
primæ
ad ſecundam duplicata.
Et ſi ſint tres proportiones ſimiles
in
quatuor terminis, dicetur proportio primæ quantitatis ad quar­
tam
triplicatà ei, quæ eſt primæ ad ſecundam,
Decima octaua diffinitio.
Confuſa proportio dicitur ſimplicis, aut compoſitæ quantitatis
ad
compoſitam in comparatione ad proportiones ad partes.
Decimanona diffinitio.
Quantitates quę in continua ſunt proportione Analogæ uocantur.
Dictum eſt hoc ad fugiendum nomen barbarum, etiam ut bre­
uiter
tamen poſſemus ſententiam explicare.
Vigeſima diffinitio.
Reflexa proportio dicitur cum trium quantitatum aggregatum
primæ
, & tertiæ ſe habet ad ſecundam uelut ſecunda ad tertiam,
Vigeſima prima diffinitio.
Trium quantitatum analogarum aliæ quidem Geometricæ,
cùm
proportio ſimilis eſt: Aliæ Arithmeticæ, cum fuerit æqualis
exceſſus
huc indè: Aliæ muſicæ cum fuerit proportio primæ ad ter
tiam
multiplex, aut ſimplex, aut compoſita exceſſus quæ ſimplici
iuncta
ſit ad multiplicis perfectionem: eadem autem ſit proportio
exceſſus
primæ, & ſecundæ ad exceſſum ſecundæ ſupra tertiam.
Velut proportio 6. 4. 3. dupla eſt utrinque, & 6. 3. 2 tripla. & 28. 24.
21
. & 45. 40. 36. Geometrica uerò & arithmetica facilius continuan­
tur
in quotquot quantitatibus, ſed & muſica uelut 12. 8. 6. 4. 3. &
proportio
8 ad 5 muſica eſt: quia proportio 5 ad 4 muſica eſt, &
bene
ſonans, igitur conſtitutis 8. 5. 4. cum 8 ad 4 benè ſonet, & 5
ad
4, & 4 ſit extrema non media inde 8. & 5 benè ſonant.
nam in me­
dijs
non eſt uerum, ut in 9. 6. 4 bis diapente, & 16. 12. 9 bis diateſſaron.
Vigeſima ſecunda diffinitio.
Quantitates quæ ſimilem habent proportionem non continua­
tam
, omiologæ appellantur.
Vigeſima tertia diffinitio.
Prima operatione conſiſtere dicuntur proportiones, cùm inter
primo
conflatas quantitates conſtiterint.
1
PRIMA Animi communis ſententia.
Omnis Proportio eſt, aut æqualitatis, aut maior inæqualis,
aut
minor.
Secunda animi communis ſententia.
Quilibet numerus tantus dicitur, quanta eſt illius proportio ad
monadem
.
Dicimus enim quatuor, quod monadem quater contineat. Et
duo
cum dimidio cùm monadem bis & ſemis contineat.
Tertia animi communis ſententia.
Proportionem defectus, ſeu detractæ quantitatis ad defectum
eſſe
poſſe, ut quantitatis ad quantitatem dicuntur communes ani­
mi
ſententiæ, quæ ex intellectu ſolo terminorum, quod ueræ ſint,
cognoſcuntur
.
Si ergo defectus eſt quantitas, & quantitas eiuſdem
ſpeciei
, quia detrahitur, & defectus non eſt ſimplicitur, ſed detra­
cto
ergo per quartam petitionem: uel primam diffinitionem erit
proportio
inter illas.
Sunt enim ambæ detractæ.
Quarta animi communis ſententia.
Inter quantitatem, & defectum minorem quantitate, cuius eſt de
fectus
, eſt proportio, quatenus eſt quantitas.
Sit a b linea, & detra­
cta
quantitas b c, non maior a b & d ſit alia quæuis quantitas eiuſ­
4[Figure 4]
dem generis, dico quòd inter d & b c eſt propor­
tio
quatenus b c eſt quantitas, quia ſunt eiuſ­
dem
generis ideo ſunt in aliqua proportione
per
primam diffinitionem.
Sed ut b c eſt defectus, nulla eſt propor­
tio
: quia quanto b c augetur, tanto augetur proportio d ad b c, &
hoc
eſt contra demonſtrata ab Euclide.
Quinta animi communis ſententia.
Cum proportio producitur ex proportionibus quælibet illa­
rum
dicetur producta diuiſa per alteram.
Sexta animi communis ſententia.
Æqualium quantitatum ſeu proportionum ad tertiam compa­
rabilium
eadem eſt proportio atque uiciſsim.
Hæc etſi demonſtre­
tur
ab Euclide, eſt tamen hic generalior: & ſatis per ſe nota.
Vt ſit
propior
animi communi ſententiæ, quàm rei demonſtrandæ.
Septima animi communis ſententia.
Ad quod quantitas proportionem habet infinitam, id in genere
illius
quantitatis non comprehenditur.
Nam proportio eſt duarum quantitatum eiuſdem generis com­
paratio
certa: at hæc comparatio certa non eſt: non igitur quantita­
tes
ambæ ſunt, aut non eiuſdem generis.
1
PRIMA Petitio.
Si fuerit primi ad ſecundum, ut tertij ad quartum, & ex primo in
ſecundum
producatur æquale, aut maius, aut minus primo, uel
ſecundo
, producetur eodem modo ex tertio in quartum ęquale aut
maius
, aut minus tertio, uel quarto eadem ratione & ordine.
Secunda petitio.
Proportiones poſſunt duci, diuidi, iungi, & auferri, & ſumi radix
in
eis cuiuſcunque generis, atque earum quantitatis, ut libet, poſſe
tranſponere
.
Tertia petitio.
Proportionis cuiuſuis nomen à denominatore ſuprà ſcripto, &
numeratore
infrà ſcripto ſumitur.
Quarta petitio.
Diuiſa quauis quantitate per aliam eiuſdem generis, quod exit
proportio
dicitur.
Quinta petitio.
Quęlibet proportio eſt uel inter duas quantitates, uel per unam
ſignificatur
.
Nam per tertiam petitionem ſi ſint duæ quantitates, quæ non ha
beant
unius rationem, nomen ſumit proportio à duobus numeris,
ſin
autem ſit altera monas, erit per ſecundam animi communem ſen
tentiam
, proportio numerus ipſe Ideò patet, quod dicitur.
Sexta petitio.
Propoſita proportione quacunque, & monade quantitatem inue
nire
, quæ ſe habeat ad monadem in proportione propoſita.
Nam cùm per quartam petitionem diuiſa quantitate per quan­
titatem
exeat proportio, & numerus ad monadem ſe habeat, ut pro­
portio
, ideo ſumpta monade ſecundum illum numerum, ille nume
rus
eſt quantitas quæſita.
Septima petitio.
Quamlibet quantitatem per aliam eiuſdem generis diuidere
poſſe
.
Octaua petitio.
Proportionem in proportionem ducere poſſe: quamuis ſint in­
ter
quantitates diuerſi generis.
Quod dicitur de multiplicatione intelligendum eſt de alijs ope­
rationibus
ſuprà enumeratis.
Nona petitio.
Monadem ſemper ſumere in quo cunque genere poſſe propoſi­
ta
proportione.
1
Nam licet diuidere per ſeptimam petitionem quantitatem per
quantitatem
proportionis: & quod exit, eſt proportio per quar­
tam
petitionem, & per ſecundam animi communem ſententiam
illa
proportio eſt numero æqualis: ergo diuiſa proportione, per ſi­
milem
numerum ſtatuetur monas.
Decima petitio.
In quouis genere quantitatum ſumere poſſe quantitatem, quæ

ſe
habeat ad monadem in proportione data.
Similem huic propo­
nit
Euclides in lineis generaliter: nos autem contrà generaliter in
omnibus
quantitatibus, ſed de monade tantum.
Duodecima
ſexti
Elem.Vndecima petitio.
Monadem in quancunque quantitatem ductam æquale ipſi pro­
ducere
.
Similiter & proportionem æqualem.
Nam cum aliqua quantitas augeat ducta aliqua minuat, neceſſe
eſt
aliquam eſſe, quæ nec augeat, nec minuat, & hæc eſt monas.
Idem dico de diuiſione. Aequalitas etiam ducta, uel diuidens non

mutat
proportionem: nec quantitatem ipſam, igitur monas æqua­
litatem
refert.
Quod etiam eſt perſpicuum ex ſupradictis.
Secunda ani
mi
communis
ſententia
.
Duodecima petitio.
Cum fuerint quatuor quantitates & ad primam, & tertiam æquè
multiplicibus
aſſumptis, item que ad ſecundam & quartam, & ſi mul­
tiplex
primæ maius eſt multiplici ſecundæ, multiplex tertiæ ſit ma­
ius
multiplici quartæ, & ſi minus minus, & ſi æquale æquale, idque
ſemper quouis modo aſſumptis his proportionibus ad primam &
tertiam
, & ad ſecundam & quartam erit proportio primæ ad ſecun
dam
, ut tertiæ ad quartam.
Hæc etiam aſſumitur ab Euclide. Et per

hanc
intelligimus etiam conuerſam.
Quinto Ele.
diff
. 6.
Tertiadecima petitio.
Quantitates æquales, atque proportiones in quaſuis quanti­
tates
ductæ eandem ſeruant rationem.
Euclides hanc demonſtrat,
nos
autem ad uitandum tædium petimus concedi, ſub qua in­

cluduntur
diuiſio etiam additio, detractio, laterum omnium in­
uentio
.
Quarta quin
ti
Elem.
Quartadecima petitio.
Cùm termini alicuius quantitatis eandem ſeruant rationem in
omnibus
, & firmi ſunt ac ſtabiles eiuſdem rationis comparatione
contentæ
partes æqualem ſeruant exceſſum, ſeu proportionem.
PROPOSITIO prima.
Proportionem in proportionem duci eſt ſuperiores nume­
ros
atque inferiores inuicem ducere.
1
Sit proportio lineæ a ad lineam b, ut anguli c ad angulum d, ſta­

tuatur
e monas in genere a
5[Figure 5]
b
, & fiat f ad e, ut c ad d, & du

catur
a in f & b in e, & pro­
ducantur
g & h.
Quia ergo

f
eſt proportio ipſa, erit g ad

a
ut c ad d, ſed h eſt æqualis
b
, igitur a ad h ut ad b.
Du­
cta
ergo dicetur proportio a

ad
b in proportionem c ad d
ducendo
terminos proportionis, ſeu quantitatis recta ſcilicet ſu­
periores
cum ſuperioribus, & inferiores cum inferioribus.
Nam ſi

rurſum
conſtituantur f ad e ut a ad b cùm f ſit proportio, & k ad f ut

c
ad d, erit k ad e, ut g ad h, k autem fit ex ductu proportionis a ad b,
quæ
eſt fin proportionem c ad d, liquet igitur propoſitum.
Cor^{m}.
Per 9. Petit.
Per 10. Pet.
Per 8. Petit.
Per 2. Ani­
mi
ſentent.
Per 11. Pet.
Per 8. Petit.
Propoſitio ſecunda.
Proportio extremorum producitur ex intermedijs.
Cor^{m}.
Sint a b c quantitates dico proportio­
6[Figure 6]
nem
a ad c, produci ex proportione a ad b

& b ad c, ſtatuantur totidem à monade d e
f
, erúntque ex demonſtrantis ab Euclide in
quinto
Elementorum in eadem proportio­
ne
, ſtatuatur ergo d prima quantitas e ſe­
cunda
& tertia f quarta.
eritqúe per præce­

dentem
proportio productorum ex d in e
& ſit g, & in f & ſit h, producta ex propor­
tionibus
d ad e & e ad f, quare ex propor­
tionibus
a ad b & b ad e, ſed ex dictis cum
e
ſit eadem, erit proportio d ad f, ut g ad h & proportio, d ad f per
æquam
proportionem ab Euclide demonſtratam, ut a ad c, igitur

proportio
a ad c producitur ex proportionibus a ad b & b ad c, &
eſt
proportio ipſa a ad c d numerus, ut oſtenſum eſt.
Per 6. & 9.
P
etit.
Per 13. Pet.
Per 13. Pet.
Ex hoc ſequitur, quòd cùm fuerit quantitas tertia monas ex pro­

portionibus
inuicem ductis producetur prima quantitas.
Cor^{m}. 2.
Cor^{m}. 3
Ex hoc ſequitur, quòd conuerſa proportio producitur ex con­
uerſis
proportionibus.
Propoſitio tertia.
Si proportio ex duabus proportionibus in quatuor terminis
producatur
, ipſa uerò proportio inter duas alias quantitates
1rit conſtituta: conſurgent trecenti ſexaginta modi productionis
proportionis
.
Cor^{m}.
Hęc propoſitio ut præcedens & ſequentes tres ab Alchindo ſum­
ptæ
ſunt, & ab eo demonſtrantur.
Sit ergo proportio a ad b, pro­

7[Figure 7]ducta ex proportione c ad d & e ad f, conſtat
quòd
cum ſint ſex quantitates, quòd fieri pote­
runt
quindecim coniugationes, quas poſui à la­
tere
facilitatis gratia, quibus reſpondent totidem

conuerſæ
: erunt ergo triginta.
Singulæ autem ha
rum
produci poſſunt duodecim modis: ductis
8[Figure 8]duodecim in triginta, fiunt trecenti ſexaginta mo
di
.
Et hoc eſt clarum perſe, modo demonſtremus,
quod
ſinguli horum modorum poſsint produ­
ci
duodecim modis, & capiamus ab primam quę
poteſt
produci ex c d & e f: Item ambabus con­
uerſis
d c & fe: & rurſus altera recta altera con­
uerſa
: & hoc bifariam c d & f e, & d c & e f, ſunt er­
go
iam quatuor modi.
Totidem ex c e & d f, toti­
demque
ex c f & d e, igitur erunt duodecim mo­
di
, quibus produci poſſe intelligitur propor­
tio
a ad b.
a b --- --- c d --- --- e f --- --- a b b a a c c a a d d a a e e a a f f a b c c b b d d b b e e b b f f b c d d c c e e c c f f c d e e d d f f d e f f e direc. conuer.
Propoſitio quarta.
Si fuerit proportio primi ad ſecundum produ­
cta
ex proportionibus tertij ad quartum, & quin
ti
ad ſextum, producetur etiam ex proportione
tertij
ad ſextum, & quinti ad quartum.
Sit proportio a b producta ex proportioni­

9[Figure 9]bus c ad d, & e ad f, dico quod etiam erit produ­
a b c e g d f h --- --- --- c e g f d h

cta
ex proportionibus c ad f, & e ad d, diſponan­
tur
ut in figura & fiat ex c in e g, & ex d in fh, ergo

per
primam harum g ad h ut a ad b, ſed per præ­
ſuppoſita
in ſecunda productione etiam prode­
unt
g & h, igitur per primam propoſitionem ha­
rum
a ad b proportio producitur ex proportionibus c ad f tertiæ
ſcilicet
ad ſextam, & e ad d quintę ad quartam, quod fuit propoſitum.
Per 8. petit.
In 13. petit.
Propoſitio quinta.
Si fuerit proportio primi ad ſecundum producta ex proportio­
ne
tertij ad quartum, & quinta ad ſextum: erit proportio tertij ad
ſextum
producta ex proportionibus primi ad ſecundum, & quar­
ti
ad quintum.
1
10[Figure 10] Sit proportio a ad b producta ex proportio­


nibus
c ad d, & e ad f, dico quod proportio c ad
f
producitur ex proportione a ad b & d ad e.
In­
terponam
d e inter c & f, eritque ex ſecunda pro­
poſitione
repetita proportio c ad f producta ex
tribus
proportionibus c ad d, d ad e, e ad f, ſed
proportiones
c ad d, & e ad f producunt pro­
11[Figure 11]portionem a ad b, igitur proportio c ad f produ
citur
ex proportionibus a ad b, & e ad f.
Cor^{m}.
a b --- --- c e --- --- d f --- --- c ----- d ----- e ----- f -----
Propoſitio ſexta.
Ex trecentis ſexaginta modis producenda­
rum
proportionum triginta ſex tantum eſſe ne­
ceſſarios
.
c p --- --- a d --- --- b e --- ---
12[Figure 12] Per quartam enim proportio a ad b produ­

citur
bifariam, & ex c ad d, & e ad f, & ex c ad f, &
e
ad d.
& per præcedentem c ad f producitur ex
a
ad b, & d ad e, & per quartam rurſus ex a ad e,
& d ad b.
Et per præcedentem rurſus a ad e ex c
ad
f & b ad d, igitur per quartam eadem produ­
cetur
ex c ad d & b ad f.
Quare per præceden­
tem
c ad f ex a ad e, & d ad b, & ita diſponemus
hos
modos in tabula.
Vides etiam

13[Figure 13]aliquos modos non produci, ut pri­
mi
ad quartum nec ad ſextum, & li­
quet
, quòd cùm ſint quindecim
mnes
modi qui produci poſſe intelli­
guntur
, & nouem tantum producan­
tur
ſex eſſe, qui non producuntur, quos
ſeorſum
in tabula coniunxi.
Et con­
ſtat
etiam, quod totidem conuerſi ſci­
licet
decem octo producuntur, de qui­
bus
diximus, ut ſint omnes triginta
ſex
, qui conſtat ex duabus propoſi­
tionibus
præmiſsis, & hac tertia, quam
adiungemus
ſcilicet, quòd propor­
tio
primi ad tertium producatur ex
proportionibus
ſecundi ad quartum,
& quinti ad ſextum.
Hoc enim ex præ­
cedentibus
non liquet: benè liquet
permutatis
ordinibus, quod ſi pro­
portio
primi ad tertium producitur,
1quod etiam propor­
14[Figure 14]
tio
primi ad quintum.
Nam tertium, & quin
tum
, item que quartum,
& ſextum non diffe­
runt
niſi ordine uolun
tario
.
Ergo interpoſi­
to
e inter a, & c per ſe­
cundam
propoſitio­
nem
proportio a ad c
producitur
ex proportionibus a ad
e
, & e ad c, ut ex demonſtratis in præ­
ſenti
proportio a ad c producitur ex
c
ad f & b ad d.
Proportio ergo a ad
c
producitur ex proportionibus e
ad
c & c ad f & b ad d, at e ad c & c ad
f
producunt eam, quæ eſt e ad f per
ſecundam propoſitionem.
Igitur pro­
portio
a ad c producitur ex propor­
tionibus
b ad d ſecundi ad quartum,
& e ad f quinti ad ſextum.
Hæc Al­
chindus
in ſuo libello: ſed licet inge­
nio
ſa ualde: parum tamen utilia olim
erant neceſſaria ad intelligendum ma­
gnam
compoſitionem Ptolemęi, nunc
poſtquam
Heber has ſex quantita­
tes
traduxit ad quatuor, prorſus hæc
ſcientia
ulli uſui eſſe deſijt.
Cor^{m}.
Modi qui non
producuntur

pri
. ad quartu
pri
. ad ſextum
ſec
. ad tertium
ſec
. ad quintum
tert
.
ad quint.
quart. ad ſext.
Primi ad ſecundum. 1 tertij ad quartum, & quin ti ad ſextum. 2 tertij ad ſextum, & quin ti ad quartum. Primi ad tertium. 3 ſecundi ad quartum, & quinti ad ſextum. 4 ſecundi ad ſextum, & quinti ad quartum. Primi ad quintum. 5 ſecundi ad ſextum, & ter­ tij ad quartum. 6 ſecundi ad quartum, & tertij ad ſextum. Secundi ad quartum. 7 primi ad tertium, & ſex ti ad quintum. 8 primi ad quintum, et ſex ti ad tertium. Secundi ad ſextum. 9 primi ad quintum, & quar ti ad tertium. 10 primi ad tertium, & quar­ ti ad quintum. Tertij ad quartum. 11 primi ad ſecundum, & ſexti ad quintum. 12 primi ad quintum, & ſex ti ad ſecundum. Tertij ad ſextum. 13 primi ad ſecundum, & quarti ad quintum. 14 primi ad quintum, & quarti ad ſecundum. Quarti ad quintum. 15 ſecundi ad primum, & tertij ad ſextum. 16 ſecundi ad ſextum, & ter tij ad primum. Quinti ad ſextum. 17 primi ad ſecundum, & quarti ad tertium. 18 primi ad tertium, & quar­ ti ad ſecundum. a e c a e e c c b e f d c f
Propoſitio ſeptima.
15[Figure 15]
In modis qui neceſſariò produ­
cuntur
ex duabus proportionibus,
cum
duę quantitates ex illis, quę mo
16[Figure 16]dos conficiunt, æquales fuerint: pro­

portio
producta ad quatuor quanti­
tates
omiologas reducetur.
Cor^{m}.
a b --- --- c e --- --- d f --- ---
Sint ſex quantitates a b c d e f, &
producatur
proportio a ad b ex pro­
portione
c ad d, & e ad f, tu ſcis, quòd
modi
recepti ſunt prima cum ſecunda, tertia uel quinta, & ſecunda
cum
quarta, & ſexta, & tertia ſimiliter cum eiſdem, & quinta eodem
modo
cum eiſdem: ſi igitur duę quantitates ex his, quę faciunt
1portionem productam inter ſe fuerint æquales reducetur hæc pro­
portio
ad quatuor quantitates omologas, ſciliter abiectis amba­
bus
æqualibus.
Sit gratia exempli prima æqualis quintæ: & quia
in
octauo modo proportio ſecundi ad quartum producitur ex pro­
portione
primi ad quintum, & ſexti ad tertium, ergo per expoſita
proportio
ſecundi ad quartum, ut ſexti ad tertium, & ita permutan­
do
, & conuertendo ſecundi ad ſextum, ut quarti ad tertium, & tertij

ad
quartum, ut ſexti ad ſecundum.
Vndecima
petitione
.
Propoſitio octaua.
Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum infe
rioribus
multiplicentur, atque coniungantur: erit proportio aggre­
gati
ad productum ex inferioribus inuicem proportio ex primis
proportionibus
compoſita.
17[Figure 17]
Sit proportio una a ad b, alia c ad d, ducatur b in

c
, fiatque e & a in d, & fiat f, iunganturque e & f & fiat h,
& ducatur b in d et fiat g: dico proportionem h g com­
poſitam
eſſe ex proportione a ad b, & c ad d.
Quia

enim
ex b in c fit e, & ex b in d fit g, erit proportio e
ad
g, ut c ad d, & ſimiliter, quia ex d in a fit f, & ex d in b fit g, erit f ad
g
ut a ad b.
Sed e & f componunt h, igitur proportio h ad g eſt com
poſita
ex proportionibus e & f ad g, igitur per communem animi
ſententiam
, & diffinitionem compoſitæ proportionis, proportio h

ad
g compoſita eſt ex proportionibus a ad b, & c ad d, quod eſt
propoſitum
.
Cor^{m}.
Ex 13 peti­
tione
.
Per 14 diffi
nitionem
.
Propoſitio nona.
Si duarum proportionum ſuperiores numeri alternatim cum
inferioribus
multiplicentur, minusque productum ex maiore detra­
hatur
, erit reſidui ad productum ex inferioribus proportio uelut
illa
, quæ relinquitur detracta minore proportione ex maiore.
Hæc eodem modo probatur, ut præcedens, niſi quod h fit de­

tracto
è minore: gratia exempli ex f, & ita ex diffinitione patet pro­
poſitum
.
Cor_{m}.
152
.
Propoſitio decima.
Si fuerit alicuius quantitatis ad unam partem proportio uelut al
terius
partis ad ſecundam quantitatem erit proportio cuiuſuis quan
titatis
eiuſdem generis ad ſecundam compoſita proportio ex pro­
portionibus
eiuſdem quantitatis aſſumptæ ad utran que partem pri­
quantitatis ſeorſum.
Cor^{m}.
18[Figure 18]
Sit a b quantitas diuiſa in c, & ſi c ut a b ad a c,
ita
b c ad d: eritque iterum permutando a b ad b c,
ut
a c ad d, & ſumatur quædam quantitas e
1dem tamen generis, cum illis dico quòd proportio e ad d eſt com­
poſita
ex proportionibus e ad a c, & e ad b c.
Poſita ergo e tan<08> ſu­
periore
numero, & a c & c b inferioribus, erit ex octaua propoſitio­
ne
huius proportio productorum ex e in a c, & coniunctorum, &
ex
conſequenti per primam ſecundi Elementorum producti ex e in
a
b ad productum ex a c in c b compoſita ex proportionibus e ad
a
c, & e ad c b: at quod fit ex a c in c b, eſt æquale ei quod fit ex a b in
d
, eo quòd a b, a c, c b & d ſunt omiologæ per decimam ſextam ſexti
Elementorum: Proportio igitur producti ex e in a b ad productum
ex
d in a b eſt compoſita ex proportionibus e ad a c, & e ad e b: At
proportio
producti ex e in a b ad productum ex d in a b, eſt uelut e

ad
d.
per ſuppoſita igitur proportio e ad d eſt compoſita ex propor
tionibus
e ad a c, & e ad b c, quod fuit demonſtrandum.
13. Petit.
Propoſitio undecima.
Proportio aggregati quarumlibet duarum quantitatum ad ag­
gregatum
duarum æqualium quantitatum eſt compoſita ex pro­
portionibus
primis, & diuiſa per duplam.
Cor^{m}.
Sit proportio a ad c, & b ad d, & ſint c & d
19[Figure 19]
æquales
, dico quòd proportio a b ad c d eſt
compoſita
ex proportionibus a ad c, & b ad
d
diuiſo compoſito per duplam.
Quia enim

c
& d ſunt æquales, erit b ad c, ut b ad d, qua­
re
ex diffinitione cùm proportio a b ad c d

ſit
compoſita ex proportionibus a ad c, & b
ad
c, erit etiam compoſita ex dictis ex propoſitione a ad c, & b ad d,

ſtatuatur
ergo e æqualis c d media inter a b & c.
Et erit per ſecun­
dam
propoſitionem proportio aggregati a b ad c producta ex

proportione
aggregati a b ad c, & e ad c, igitur proportio a b ad e
erit
proportio a b ad c, diuiſa per proportionem e ad c, ſed e ad c eſt

dupla
: igitur proportio a b ad c d eſt proportio a b ad c diuiſa per
duplam
.
Ex ſexta Anim.
com
.
ſententia.
Decimaquarta
13. Petit.
Per 2. Petit.
Per quintam
A
nim. com. ſen
tentiam
.
Propoſitio duodecima.
Propoſitis duabus proportionibus unam alteri iungere abſque
multiplicatione
.
Cor^{m}.
10
. Petit.
Sint propoſitæ proportiones a ad c &
20[Figure 20]
b
ad d, & aſſumo e ad c, iuxta ea quæ Eu­
clides
demonſtrauit, ut b ad d, erit igitur

proportio
a e ad c, compoſita ex proportionibus a ad c, & e ad c,
ſed
proportio e ad c eſt, ut b ad d, igitur proportio a e ad c compo­
ſita
eſt ex proportionibus a ad c, & b ad d.
Ex generali
com
. Anim. ſen
tentia
.
Aliter ex b in c fiat f ex a in d, g ex c in d h coniunctum ex f g, k.
1 21[Figure 21]
Quia ergo ex c in b fit f, ex c in d h, erit f ad h,
ut
b ad d, igitur ut e ad c, ſed a ad c, ut g ad h igi

tur
a e ad c, ut k ad h, ſed k ad h cómponitur ex
proportionibus
a ad c, & b ad d.
Ex octaua ha
rum
igitur proportio a c ad c compoſita eſt ex
eiſdem
.
Forſan quis dicat hanc eandem eſſe
octauæ
ſed non eſt, in illa enim proportio com­
paratur
ad productum, in hac ad unam ex
quantitatibus
.
Per 13. Pet.
Ex hoc ſequitur quòd: Quælibet duæ quantitates quarum ag­

gregatum
eſt idem ad eam quantitatem, componunt eandem pro­
portionem
.
Cor^{m}.
Propoſitio tertia decima.
Proportio confuſa aggregati primæ & tertiæ quatuor quantita­
tum
omiologarum ad aggregatum ſecundæ & quartæ, eſt uelut com
poſita
ex eiſdem diuiſa per duplam.
Cor^{m}.
Sint a ad b, ut c ad d, dico, quòd erit confuſa
22[Figure 22]
proportio
a c aggregati ad aggregatum b d, com
poſitæ
ex his proportionibus diuiſæ per du­
plam
æqualis.
Erit enim aggregati ex a c ad aggregatum ex b d, ue­
lut
a ad b per 18 quinti Elementorum.
Sed proportiones a ad b,
& c ad d componunt proportionem producti a in d, & c in b per
octauam
harum, ad productum ex b in d, productum uerò ex a in d
eſt
æquale producto ex b in c per decimam ſextam ſexti Elemento­
rum
, & proportio producti ex b in c ad productum ex b in d eſt ue
lut
c ad d, quare ut aggregati a c ad aggregatum b d, igitur propor­
tio
compoſita ex a ad b, & c ad d, eſt uelut confuſa bis ſumpta.
Igi­
tur
confuſa eſt uelut compoſita diuiſa per duplam per modum un­
decimæ
huius.
a c ----- ----- b d --- ---
Propoſitio quarta decima.
Proportiones confuſæ, & coniunctæ in tribus quantitatibus in­
uicem
commutantur.
23[Figure 23]
Sint tres quantitates, dico, quod proportio c

ad
a b confuſa eſt, conuerſa coniunctæ a & b ad

c
.
Nam per dicta proportio a b ad c efficit con­
iunctam
ex a b ad c: ſed c ad a b conuerſa eſt eius, quæ eſt a b ad c, &
proportio
c ad a b eſt confuſa eius, quæ eſt c ad a & b.
Igitur pro­
portio
confuſa in tribus quantitatibus eſt contraria coniunctæ in
eiſdem
.
Cor^{m}.
14. diff.
Ex quauis ergo illarum data, data erit & reliqua.
1
Per 18. diff.
Propoſitio quinta decima.
Si fuerint quatuor quantitas proportio confuſa aggregati pri­
& tertiæ ad aggregatum ſecundæ, & quartæ erit ut monadis
addito
prouentu, qui fit diuiſa differentia differentiarum primæ &
ſecundæ
, atque quartæ & tertiæ per aggregatum tertiæ, & quartæ ad
ipſam
monadem.
24[Figure 24]
Sint quatuor quantitates a b, c, d, e f, &

ſit
a b maior cin a h, & e f maior d in f g, &
differentia
f g & a h ſit a k: dico proportio­
nem
a b, & d confuſam ad c & e f, eſſe ut mo
nadis
addito prouentu, uel detracto a k diuiſæ per aggregatum c.
& e f ad ipſam monadem, & manifeſtum eſt, quòd poteſt continge­
re
pluribus modis: Primus ut a b ſit maior c & e f minor d, & tunc
differentiæ
coniungentur, & prouentus, addetur monadi.
Idem fa­
ciendum
erit ſi a b ſit maior c, & e f ſit minor d, ſed exceſſus ſuperet
defectum
.
At ſi uel a b ſit minor c, & e f maior d, uel ita minor, ut c
exceſſus
ſupra b a ſit maior defectu, detrahemus prouentum à mo­
nade
.
Alia cautio eſt quòd ſi fuerint utrinque exceſſus, aut defectus,
minuemus
minorem de maiore: ſi autem unus ſit exceſſus alter de­
fectus
, iungemus illos, & poſt diuidemus.
uno ergo demonſtrato
ut
pote primo intelligentur reliqui.
Quia ergo b h eſt æqualis c &
e
g æqualis d & h k æqualis g f, erit ex communi animi ſententia ag
gregatum
ex d & k b æquale aggregato ex c & e f, igitur per dicta
proportio
aggregati ad aggregatum eſt unum.
at uerò diuiſa k a
per
c & e f fit quantum diuiſa eadem per b k, & d, ſed diuiſa k a per b
k
, & d iunctas, exit proportio a k ad aggregatum b k & d: igitur di­
uiſa
a k per aggregatum e f & c, exibit eadem proportio, igitur a b
& d ad aggregatum c & e f eſt coniuncta ex monade & proportio­
ne
a k ad aggregatum c & e f, quod erat demonſtrandum.
Cor^{m}.
25[Figure 25]
Ex hoc patet quod proportionum confuſio

fit
iunctis denominatoribus numeratoris: mul­
tiplicatio
multiplicatis: additio multiplicatis
decuſſatim
in numeratores ad productum ex
denominatoribus
, ut in exemplis.
Cor^{m}.
Propoſitio ſexta decima.
Omnium quatuor quantitatum propoſita
prima
, quæ non minorem habet proportionem
ad
ſuam correſpondentem, quàm alia ad aliam
26[Figure 26]
erit
proportio confuſa illarum, ut pro­
ducti
ex aggregato primæ & tertiæ in
1tertiam, ad productum ex aggregato tertiæ & omiotatæ ad ſecun­
dam
in ipſam quartam.
Hæc magis reducit confuſam proportionem ad notitiam, quàm,
præcedens
, quia reducit ad proportionem productam, quę operatio
eſt
ſimpliciſsima, ſiue per multiplicationem quantitatum fiat, duæ
ſunt
tantum multiplicationes, ſiue per eundem terminum ſufficit
alium
addere.
Summatur ergo a b, c, d & e, & non ſit maior propor­
tio
d ad e, quàm a b ad c, & ſtatuatur tunc prima a b, ſecunda c, ter­
tia
d, quarta e, & poſtquam non eſt minor ratio a b ad c, quàm d ad
e
, ſumatur a f ad c, ut d ad e.
licet enim hoc facere. Dico quod pro­
portio
confuſa a b & d ad c & e eſt uelut producti ex aggregato a b
& d in d ad productum ex aggregato a f & d in e.
Statuatur aggre­

gatum
a b & d linea a d prima quantitas, & aggregatum a f & d,
27[Figure 27]
a
d ſecunda quantitas, & d tertia,
& c quarta, & ex a b in d fiat g, ex
a
d in e fiat h, erit ergo per pri­
mam
propoſitionem g ad h pro­

ducta
ex proportionibus a b d ad
a
f d, & d ad c.
Sed proportio a f d
ad
aggregatum c e, eſt uelut d ad
e
.
Proportio uerò a b d ad a f d, &
a
f d ad e c producunt proportio­
nem
a b d ad c & e per ſecundam propoſitionem, harum igitur con­
fuſa
a b ad c, & d ad e, & eſt proportio a b d ad c & e, producuntur
ex
proportionibus a b d ad a f d, & d ad e.
Ergo proportio g ad h
eſt
confuſa ex a b ad e, & d ad e, quod erat demonſtrandum.
Per 10. Pet.
Per 13. Pet.
Propoſitio decima ſeptima.
Omnes duę proportiones conuerſæ producunt æqualem pro­
portionem
.
a ----- b --- c ----
Sint duæ proportiones a ad b & b ad a conuerſa,
28[Figure 28]
dico
, quòd producunt proportionem æqualem.
fiat
enim
b ad c, ut b ad a, erit igitur a æqualis c & b c con

uerſa
eius quæ eſt a ad b, ſed per ſecundam harum
proportiones
a ad b, & b ad c producunt propor­
tionem
a ad c, igitur proportiones etiam a ad b & b ad a produ­
cunt
eandem.
Cor^{m}.
Per 6. Ani­
mi
communem
ſententiam
.
Propoſitio decima octaua.
Si fuerint quotlibet quantitates in continua proportione multi­
plici
præter ultimam: proportio uerò penultimæ ad ultimam qua­
lis
reſidui primæ ad ſecundam, erit primæ ad aggregatum reliqua­
rum
uelut penultimæ ad
1
Cor^{m}.
Sint quantitates a b c d in continua proportione multiplici, ſed
d
ad e ſit uelut reſidui a & b ad b, dico proportionem a ad b c d e
eſſe
ut d ad e.
Quia enim eſt gnomonis e ad quadratum d, ut d ad e
ex
ſuppoſito erit per coniunctam proportionem c & d ad d & e, ut

d
ad e, ſed e gnomo cum quadrato d efficit qua­
29[Figure 29]
dratum
e, igitur ut c quadrati ad d & eiuncta, ita
d
ad e.
Rurſus, quia b quadrati ad c quadratum,

ut
c ad d erit gnomonis b ad quadratum c, ut
gnomonis
c ad quadratum d, & ita d ad e, igitur

gnomonum
b c cum quadrato d ad aggrega­
tum
c d e quadratorum, ut d ad e, ſed c gno­
mo
cum d quadrato perficit c quadratum,
& c quadratum cum gnomone b perficit
quadratum
b, igitur proportio quadrati b
ad
quadrata c d e, ut d quadrati a d e.
Et ita
repetendo
de quotuis quantitatibus in infi
nitum
uſque.
Hæc proponitur ab Archimede in libro de quadrato
æquali
parabolæ, & minus generaliter & pluribus demonſtratur.
Ego tamen quia eſt generalis, deſcribam illam per corrolarium: ad­
damque
aliud quod ex hoc ſequitur.
13. Propoſ.
quinti
Elem.
Per 19. quin
ti
Elem.
Per 12. quin
ti
Element.
Cor^{m}. 1.
Si fuerint quotlibet quantitates omnes analogæ præter ultimam,
ſit
autem penultima ad ultimam qualis reſidui primæ & ſecundæ
ad
ſecundam, erit proportio primæ ad aggregatum omnium alia­
rum
ueluti penultimæ ad ultimam.
Cor^{m}.
Hæc enim eſt euidens, quia conuenit ei demonſtratio propoſita.
30[Figure 30]
exemplo
autem in numeris à latere
poſito
uides declarationem.
nam
proportio
16 ad 32 eſt uelut 27 reſi
dui
primæ & ſecundæ ad ipſam ſe­
cundam
ſcilicet ad 54.
Cor^{m}. 2.
Ex hoc patet etiam quòd aſſumptis omnibus, ſub multiplicibus
analogiæ
uſque in infinitum prima quantitas eſt multiplex aggre­
gati
omnium reliquarum numero 1 m: quo prima eſt multiplex
ſecundæ
.
Cor^{m}. 3.
Si fuerint quotlibet quantitates in ſuper particulari proportio­
ne
analogæ, erit proportio primæ ad aggregatum omnium in infi­
nitum
iuxta proportionem multiplicem conuerſam illius partis.
Cor^{m}.
Velut collectæ in ſeſquialtera duplæ in ſexquitertia triplæ in
ſexquiſeptima
ſeptuplæ.
Vt capio 512 448 392 343, & ita deinceps
uſque
in infinitum aggregatum omnium earum erit 3584.
1plum 512, & aggregatum 18. 12. 8. 5 2/3, & ita deinceps in ſexquialtera
erit
54 duplum 27 primæ in eo ordine.
SCHOLIVM.
Ex quo patet genus demonſtrandi nouun & pulchrum: nam
ſupponatur
54, aggregatum duplum 27, primæ igitur addito 27
ad
54, cum ſit dimidium, & addito 13 1/2, dimidio 27 ad 27, nam ex
ſuppoſito
quantitas ſequens eſt ſexquialtera ad 27, igitur 81 eſt du­

plum
ad 40 1/2. Igitur conuertendo eſt proportio aggregati prioris
ad
27 eſt dupla, ergo aggregatum eſt 54.
Per 18. quin
ti
Elem.
Cor^{m}. 4.
Ex hoc patet eandem generaliter quod proportio maioris quan
titatis
ad aggregatum reliquarum analogarum eſt, uelut eius quod
prouenit
diuiſo quadrato maioris termini per differentiam eius, &
ſequentis
maioris in eadem proportione ad ipſum maiorem.
Co^{m}.
Exemplum ſit proportio augens 25 & 35 duarum quintarum, uo
lo
ſcire quantum ſit aggregatum omnium citra 25, maximam acci­
pio
35, ulteriorem ad 25, cuius differentia a 25 eſt 10, cum quo diui­
do
625 quadratum, exit 62 1/2 aggregatum quantitatum.
Et facile po­

reſt
demonſtrari.
Si quis dicat in qua proportione ſunt infinitæ
quantitates
analogæ cum 12, quæ iunctæ efficiunt 10, iunge 10 cum
12
fit 22, duc 22 in 12 fit 264, diuide 264 per 10, exit 26 2/3, & in ea pro­
portione
erunt illæ quantitates, in qua ſunt 26 2/3 ad 12: duc per 5 fiunt
60
, & 132 diuide per 12, exeunt 11 & 5, & ita erunt in proportione 11
ad
5 experiaris, & inuenies, & demonſtratur ex prioribus.
Quæſtio.
Propoſitio decimanona.
Si fuerint aliquot quantitates arithmeticæ omiologæ, quarum
exceſſus
ſit æqualis minimè, omnibus autem deficientibus ſupple­
menta
ad ęqualitatem maximè adiungantur, erunt quadrata omni­
um
quantitatum æqualium adiecto rurſus quadrato primæ cum
eo
quod fit ex minima primi ordinis in aggregatum omnium quan­
titatum
eiuſdem tripla aggregato quadra­
31[Figure 31]
torum
omnium quantitatum primi ordinis

pariter
acceptis.
Co^{m}.
Sint aliquot quantitates a b c d e f g h in
continua
proportione.
Arithmetica diſpoſitę
ita
ut minima earum quę ſit h, ſit ęqualis diffe­
rentię
quantitatum ſecundum ordinem diſpo
ſitarum, uelut differentia a & b, & b & c, & c &
d
, et ita de alijs, addantur aut ſupplementa ſin
gulis
harum, quæ ſint i k l m n o p, ita ut oes
fiant
ęquales cum ſuis ſupplementis ipſi lineę
à
maiori.
Eſtque idem ac ſi eſſent aliquot quanti
1tates, & diuiderentur ſingulę ſecundum numerum illarum, ſi quatuor in
quatuor
partes æquales, ſi quinque in quinque, ſi decem in decem, ea ra
tione
ut ultima diuideretur, ubi eſt finis primæ partis, penultima ubi
eſt
finis ſecundæ partis, ante penultima ubi eſt finis tertiæ, & ſic de
alijs
.
Vocabo ergo primas quantitates propoſitas a b c d e f g h quan­
titates
primi ordinis, ſed quantitates æquales quæ conſtant ex quan
titatis
.
primi ordinis, & ſupplementis, appellabo quantitates ſecun
di
ordinis: ex quo patet quòd prima quantitas erit ex utro que ordine,
quia
non eſt diuiſa, reliquæ omnes differunt, quantitates uerò quas
adiunxi
nominabo ſupplementa, & ſunt una minus quam quantitates
ordinum
: ut ſi quantitates ordinum ſint octo, erunt ſupplementa ſe­
ptem
, & ſi quantitates ordinum, eſſent ſeptem eſſent ſupplementa ſex,
quia
inter ſupplementa non adnumeratur quantitas indiuiſa.
Erunt er
go
ſupplementa i k l m n o p, quæ tanto erunt maiora quanto quan
titates
primi ordinis ſunt minores, & contrà tanto maiora, quanto
quantitates primi ordinis ſunt maiores.
quantitates aut ſecundi ordi
nis
appellabuntur a, b i, ck, dl, em, fn, go, & hp.
Hæc uolui pluribus
agere
, ut dilucidior eſſet propoſitio.
quæ licet non ſit difficilis, eſt tamen
confuſa
ualde propter multitudinem quantitatum & ordinum.
Dico
ergo
q̊d aggregatum quadratorum quantitatum ſecundi ordinis pri
mo
quadrato bis repetito, ſeu uno addito cum eo quod fit ex minima
in
aggregatum quantitatum primi ordinis eſt triplum aggregato ex
quadratis
omnibus quantitatum eiuſdem primi ordinis, & utres exem
plo
facilius innoteſcat, ſint quantitates primi ordinis 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
quorum
quadrata ſint 64. 49. 36. 25. 16. & 9.4 & 1. quæ iuncta faciunt
204
, dico quod ſi ſumamus quadrata omnium quantitatum ſecundi
ordinis
, quæ ſunt octies 64, & eis addiderimus unum quadratum ex
his
, ut fiant nouies 64, & erunt 556, ſimul iuncta & eis addamus, q̊d
fit
ex 1 quantitate minima primi ordinis in 36 aggregatum quanti­
tatum
omnium primi ordinis, & eſt tale productum 36, ut fiat totum
612
, quod tale 612 eſt triplum 204, aggregati quadratorum primi or­
dinis
unius demonſtratio hęc eſt.
Quia ex quarta ſecundi Element.
Euclidis
ſingula quadrata quantitatum diuiſarum ſecundi ordinis con
ſtant
ex quatuor partibus quarum duę ſunt quadrata partium, reli­
quæ
duæ ſunt producta ex partibus inuicem bis, & quia h fuit æqua­
lis
1, & p ęqualis b, quia ſupplementa fuerunt ęqualia mutuò quanti
tatibus
, & ita c æqualis o & k æqualis g & d, æqualis n & l, æqualis
f
, e aut ęqualis m.
Sequitur ergo quod ſumptis duabus quantitatibus
ſecundi
ordinis habentibus ſupplementa mutuò æqualia ipſis quan
titatibus
quod quadrata partium erunt dupla quadratis primarum
quantitatum
: ueluti capio b i ſecundam & h p ultimam, quarum
1drata partium ſunt quadrata b & i, & h & p, ſed b eſt æqualis p, & h
æqualis
i.
Ergo quatuor quadrata b i & h p ſunt dupla quadratis b
& h, & ita concludam de omnibus ubi duæ quantitates duabus com
parantur
: ſed in e m quia eſt ſola una quantitas, iſtud eſt etiam cla­
rius
, quia quadrata e & m ſunt dupla quadrato e ſoli eo, quod & m

ſunt
æquales.
Igitur per demonſtrata ab Euclide erit proportio
mnium
quadratorum b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, ad quadrata b c d e
f
g h, pariter accepta proportio dupla.
at uerò addito quadrato a
quadratis
b c d e f g h, & erunt quadrata omnium quantitatum, &
quadratis
b i, c k, d l, e m, f n, g o, h p, duplo quadrati a ſcilicet ſemel,
quia
a eſt ex ſecundo ordine quantitatum, & ſemel, quia hoc fuit aſ­
ſumptum
in Problemate.
Sequitur ut quadrata omnia quantitatum
ſecundi
ordinis, pro ut ſunt diuiſa in partes addito quadrato a, ſint
dupla
quadratis primarum quantítatum, ſimul pariter acceptis.
Re
liquum
eſt modo ut oſtendamus dupla illorum productorum, cum
eo
quod fit ex minima quantitate, ſcilicet h in aggregatum ipſarum
quantitatum
primi ordinis eſſe æquale quadratis, quantitatum eiuſ­
dem
primi ordinis pariter acceptis.
Conſtat igitur, quod duplum i
in
b eſt æquale duplo h in ipſum b, quia h & i ſunt æquales, & du­
plum
k in ipſum c, eſt æquale quadruplo h in idem c, quia k eſt du­
pla
h, & ſimiliter duplum l in ipſum d eſt æquale ſexcuplo, h in d,
quia
l eſt tripla h, & ita procedendo erunt illa dupla producta æ­
qualia
productis ex h in ipſas quantitates toties ſumptis quantus
eſt
numerus, qui prouenit duplicato numero, ſecundum quem h con
tinetur
in illo ſupplemento, exemplum uolo duplum producti lin
d
bis, ſcio quòd ſupplementum l continet h ter, duplicabo tria & fi­
ent
ſex, igitur duplum lin d æquale eſt ſexcuplo h in ipſum d.
Quo con­
ſtituto
, cum ſuppoſitum ſit producta illa duplicata cum producto h
in
aggregatum primarum quantitatum eſſe æqualia quadratis ipſa­
rum
quantitatum, igitur addemus productum ex h in ſingulas quan­
titates
productis illis prioribus, & fiet productum h in a ſemel, in b
ter
, in c quinquies, in d ſepties, in e nouies, in f undecies, in g trede­
cies
, & in h quindecies æquale duplo producti uniuſcuiuſque quan­
titatis
in ſuum ſupplementum cum producto h in aggregatum ipſa­
rum
quantitatum, at quadratum a eſt ęquale producto ex h in eam,
quę
talem habet proportionem ad ipſum a, qualem habet a ad ipſum

h
per demonſtrata ab Euclide, & pariter de quadrato b, quod eſt ę­
quale
ei quod fit ex h in eam quæ toties continet b, quotiens b con
tinet
h, & ita quadratum c æquale eſt ei, quod continetur ſub h, &
habente
proportionem ad b eandem, quam b ad h, & ſimiliter de
quadrato
c & omnibus reliquis, uſque ad h ipſum.
Gratia ergo exem
1pli quadratum a, erit æquale producto ex h in omnes quantitates ſe­
cundas
, quia quotus eſt numerus quantitatum, totus eſt numerus
ſecundum
quem a continet h, & ſimiliter quotus eſt numerus quan
títatum
incipiendo à b, & quotus eſt numerus quantitatum incipi­
endo
à c, toties b uel c continent h, & ita de alijs, quadrata ergo om­
nium
quantitatum ſimul iuncta ſunt æqualia productis ex h in ſin­
gulas
illarum toties ſumptis, quoties illæ continent h, ſeu quotus eſt
numerus
illius quantitatis, incipiendo ab h, & numerando uerſus a.
Rurſus dico, quod productum multiplicis cuiuslibet quantitatis in
minimam
, ſeu quadratum eiuſdem quantitatis ęquale eſt producto
eiuſdem
quantitatis, & dupli omnium ſequentium primi ordinis in
ipſam
minimam quantitatem, uelut quadratum a eſt æquale produ
cto
ex h in a, & in duplum b c d e f g h, hoc autem facile eſt probare in
his
quantitatibus, quia ſi quadratum a eſt æquale producto h in
mnes
quantitates ſecundi ordinis, & omnes quantitates ſecundi or
dinis
ſimul ſumptæ ſunt ęquales ipſi a, & duplo reliquarum primi or
dinis
, quia tales quantitates ſunt æquales ſuis ſupplementis uiciſ­
ſim
, ut h cum i, k cum g, f cum l, e cum m, ergo tam ſupplementa, quàm
quantitates
primi ordinis ſunt dimidium quantitatum ſecundi or­
dinis
, ergo duplum quantitatum primi ordinis eſt dimidium quan
titatum
ſecundi ordinis, uerùm de b dico idem accidere, quia qua­
dratum
b eſt ęquale producto ex h in b, & in duplum reliquarum à
b
, ſcilicet duplum c d e f g h, & hoc eſt oſtendere, quod iſtę quantita
tes
ſunt dimidium totidem quantitatum æqualium b, nam c eſt mi­
nor
b in h, & ſupplementum p quod eſt æquale ipſi b, ſi tota h p fiat
æqualis
ipſi b, ut pote h q erit ipſa q dempta h æqualis ipſi c, ergo
quantitates
primi ordinis ſemper ſunt æquales ſupplementis non
ueris
, ſed prioris quantitatis aſſumptæ, ſeu in comparatione ad il­
lam
, quadratum igitur b eſt æquale producto ex h in b, & in duplum
c
d e f g h, & ſimiliter per eadem, quadratum c eſt æquale producto
ex
h in c, & in duplum d e f g h, & ſic de alijs.
Habemus ergo, quod
quadrata
a b c d e f g h ſimul iuncta ſunt æqualia producto ex h in
a
, & in duplum reliquarum, & ex h in b, & in duplum reliquarum
ſequentium
, & producto ex h in c ſemel, & in duplum ſequentium
uſque
ad h, & ita de reliquis.
hoc enim eſt, quod nuper demonſtraui­
mus
.
Antea quo que demonſtratum eſt, quod duplum b in i, c in k, d in
l
, e in m, f in n, g in o, h in p, cum producto h in aggregatum a b c d e f g h
erat
ęquale productis ex h in a ſemel, & in b ter, & in c quinquies, in
d
ſepties, in e nouies, in fundecies, in g tredecies, in ſe ipſam h quin­
decies
, detractis ergo p ordinem, q̊d fit ex h in a ab utro que aggregato,
& ex h in b c d e f g h bis relinquetur ex una parte, quae fit ex h in b ſemel
1cum ſuis duplicatis ſequentibus, & in c, & in d, & in reliquis pa­
riter
conduplicatis ſuis ſequentibus ex altera, quod fit ex h in b ſe­
mel
, in c ter, in d quinquies, in e ſepties, in f nouies, in g undecies,
in
h tredecies, detractis ergo rurſus quod fit ex h in b ſemel, & ex
h
in c d e f g h bis relinquetur, quod fit ex h in c, & duplo ſequen­
tium
, & d & duplo ſequentium, & e & aliarum pariter: & ex alia
parte
, quod fit ex h in c ſemel, & in d ter, & in e quinquies, in f ſe­
pties
, in g nouies, in h undecies.
Ab his rurſus detractis, quòd fit
ex
h in c ſemel, & in ſequentes bis, relinquetur h in d ſemel cum ſuis
ſequentibus
bis, & in e ſemel cum ſuis ſequentibus & in f, & in g &
in
h pariter, & ex alia parte, quod fit ex h in d ſemel, in e ter, f quin­
quies
, g ſepties, h nouies, ab his rurſus detraho, quod fit ex h in d
ſemel
, & in ſequentes bis, relinquetur ex una parte, quod fit ex h
in
e f g h cum duplo ſequentium ex alia, quod fit ex h in e ſe­
mel
, f ter, g quinquies, h ſepties, & ſimiliter ab his detractis, quod
fit
ex h in e ſemel, & bis in ſequentes, relinquetur ex una par­
te
; quod fit ex h in f ſemel, & in g h bis, & in g ſemel, & in h bis,
& in h ſemel, & ex alia, quod fit ex h in f ſemel, in g ter, in h quin­
quies
.
Iterum detractis, quod fit ex h in f ſemel, & in g h bis com­
muniter
relinquetur, quod fit ex h in g ſemel, & in h bis, & in h ſe­
mel
, & ex alia parte quod fit ex h in g ſemel, & ex h in h ter.
Sed
iſta
, quæ relicta ſunt iam, ſunt manifeſtè æqualia, ergo etiam pri­
ma
aggregata ab initio fuere æqualia, ergo & æqualia illis qua­
drata
a b c d e f g h his, quæ fiunt, ex h in eaſdem quantita­
tes
cum duplo producti b in i, cin k, d in l, e in m, f in n, g in o,
h
in p, ſed iam his quadratis a b c d e f g h demonſtrata ſunt eſſe du­
pla
quadrata h p, g o, f n, e m, d l, c k, b i, cum duplo quadra­
ti
a, ergo quadrata omnium quantitatum ſecundi ordinis cum
quadrato
a rurſus repetito, & producto h in aggregatum quanti­
tatum
primi ordinis ſunt tripla quadratis quantitatum primi ordi­
nis
pariter acceptis, quod fuit propoſitum, & fuit Archimedis in li
bro
de lineis ſpiralibus, & ego adieci hic propter modum demon
ſtrandi
, qui eſt elegantiſsimus, & procedit ex principijs arithmeti­
cis
, & diuerſis à communibus, & ideo non reuoluitur, ut ſolent re­
liquæ
quæſtiones.
In 5. Elem.
P
rop. 12.
Lib. 6. Ele.
P
rop. 17.
Propoſitio uigeſima.
Cùm fuerint quatuor quantitates, fueritque ſecunda æqualis ter­
tiæ
, aut primæ æqualis quartæ, erit proportio primæ ad quartam,
aut
tertiæ ad ſecundam producta ex proportionibus primæ ad ſe­
cundam
, & tertiæ ad quartam.
Cor^{m}.
Cùm enim quantitates non fuerint ęquales, conſtat per
1dam harum, quod proportio primæ ad quartam producitur ex pro­
portione
primæ ad ſecundam, ſecundę ad tertiam, & tertię ad quar
tam
: ergo non ex ſolis proportionibus primæ ad ſecundam, & ter­
tiæ
ad quartam, & ſimiliter ex prima harum proportio primę ad ſe­
cundam
, & tertiæ ad quartam producunt proportionem producti
primæ
in ſecundam ad productum tertiæ in quartam.
Et in multi­
plicatione
proportio, quæ ſolet eſſe inter producta illa, & eſt quaſi
duplicata
eſt inter ipſas quantitates.
Sint igitur quantitates a b c d,
& ſit b æqualis c, ponantur ergo recto ordine a b c d, eritque propor
32[Figure 32]
tio
a ad d producta ex proportioni­
bus
a ad b, b ad c, & c ad d, producan­
tur
igitur ex proportionibus a ad b, c
ad
d.
proportio c ad f, erit igitur pro­
portio
e ad f, ſi multiplicetur per pro­
portionem
b ad c eadem quæ prius, &

producta
iam eſt eadem ei, quæ eſt a
ad
d, ergo proportio a ad d erit producta ex proportionibus a ad
b
, c ad d per primam propoſitionem.
Quod uerò diximus de pri­
ma
& quarta ſi ſint æquales, manifeſtum eſt, quòd res redit ad idem
ſolum
tranſmutato ordine, ut tertia, & quarta præmittantur primę,
& ſecundæ.
Hæc igitur propoſitio nihil aliud innuit, quàm quod
in
hoc caſu productio, quæ ſolet fieri ex tribus proportionibus fiat
ex
duabus tantum.
Per 16. Pet.
Propoſitio uigeſima prima.
Cùm decuſſatim ducta fuerit prima in quartam, & ſecunda in ter
tiam
; productumque primæ in quartam diuiſum fuerit per produ­
ctum
ſecundæ in tertiam erit proportio primæ ad ſecundam diui­
ſa
per proportionem tertiæ ad quartam.
Et ſimiliter interpoſita
omiologa
.
Cor^{m}.
33[Figure 33]
Primum exponamus ſecundam partem, ſit
proportio
a ad b, quam uolo diuidere per
proportionem
c ad d, facio e ad b, ut c ad d, erit

ergo
per ſecundam harum proportio ad b pro­
ducta
ex proportione a ad e, & e ad b, quare ex a ad e, & c ad d, ergo
diuiſa
proportione a ad b per proportionem c ad d exit proportio
a
ad e, & hic eſt ſecundus modus.
Primus autem modus ducatur a
in
d & fiat f, & b in c & fiat g, dico proportione f ad g eſſe prouen­
tum
proportionis a ad b, diuide per proportionem c ad d, ducatur
igitur
c in f & fiat h, & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c
in
f, & f producitur ex a in d, ergo h producetur ex producto c in d,
in
a, & ſimiliter quia k producitur ex d in g, & g producitur ex b in
1c, ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k.
erit a ad b ut h ad k, igitur ex prima harum cum ex c in f producatur
h
, & ex d in g k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportio­
ne
c ad d, & f ad g, & proportio h ad k ſit eadem, quæ a ad b, ergo
proportio
a