Baliani, Giovanni Battista, De motu naturali gravium solidorum, 1638

Bibliographic information

Author: Baliani, Giovanni Battista
Title: De motu naturali gravium solidorum
Date: 1638

Permanent URL

Document ID: MPIWG:HM95CQ2X
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:HM95CQ2X

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
De MOTV
 NATVRALI,
GRAVIVM SOLIDORYVM
 IOANNIS BAPTISTAE BALIANI
 PATRITII GENVENSIS.
GENVUAE,
EX Typographia Io: Mariae Farroni, Nicolai Peſagnij,
et Petri Franciſci Barberij, ſoc.
MDCXXXVIII.
SVPERIORUM
1
[Empty page]
1
PRAEFATIO
Mihi quoque, sicut et caeteris hominibus,
inest sciendi cupiditas, nec grave fuit, usque
 à primis annis, et aliorum scripta percur-
rere, et naturales effectus observare, qui
 facile mihi persuaserim, ex bisce fontibus,
tum scientiam, tum sapientiam in animum
 derivare, si tandem ex effectibus diligentius perspectis, non
 modo ad inde consequentes, sed etiam ad causas, usque ad
 primam deveniat intellectus. Statui igitur apud me ipsum
 non acquiescere soli relationi plurimorum, etiam doctiorum;
potuisse siquidem contingere existimavi, ut aliqua laterent,
etiam in plurimis oculatissimos, vel non plene ab eis explica-
rentur; & ratus sum non inutilem laborem futurum, si ex
 accuratiori naturae rerum investigatione, & ex affectionum
 inde resultantium deductione, circa quod omnis demonstra-
tiva scientia versatur, aut scitis adderem aliqua, aut doctiori-
bus acuerem desiderium addendi plura: hinc factum est, ut exci-
tata mens ex praecognitis legendo, ad ea, quae se offerebant,
secundum privatas, aut publicas occupationes pervestiganda,
converteretur studiosus. Inter alia dum anno millesimo sex-
centesimo undecimo, per paucos menses, ex patriae legis prae-
scripto, Praefectum Arcis Savonae agerem, ex militaribus
 observationibus quae occurrebant, illud maxime depraehendi,
ferreos, & lapideos tormentorum bellicorum globos, & sic
 corpora gravia, seu eiusdem, seu diversae speciei, in inaequali
 satis Mole, & gravitate, per idem spatium, aequali tempore,
& motu, naturaliter descendere, idque ita uniformiter, ut
 repetitis experimentis mihi plane constiterit, duos ex prae-
dictis globis, vel ferreos ambos, vel alterum lapideum al-
terum plumbeum, eodem plane momento temporis dimissos
 sibi, per spatium quincaginta pedum, etiam si unus esset
 librae unius tantum, alter quincaginta, in indivisibili tem-
poris momento, subjectum solum ferire, ut unus tantum am-
borum ictus sensu perciperetur. Repetebam animo sapien-
1tum esse pronunciatum, gravia moveri naturali motu, se-
cundum gravitatum proportionem; Processi ulterius, & peri-
culum feci, num forte iuxta eorum sententiam contingeret,
si corpora dimissa, ejusdem fere essent molis, sed longe di-
versi ponderis, puta unum plumbeum, cereum alterum; &
expertus sum in cereo aliquam longiorem moram in descen-
su, attamen longe infra proportionem gravitatum, globus
 quippe ille cereus, in data distantia quinquaginta pedum de-
scensus, uno circiter pede distabat a solo, quando plumbeus
 tangebat subjectum planum, objecto aere intermedio ni fal-
lor, sensibiliter resistente, & impediente motum. Institi
 adhuc, & globos in gravitate, & in materia inaequales appendi
 funiculis aequalibus, & agitatos animadverti moveri tempore
 aequali, & hoc servare adeo fideliter, ut globus plumbeus dua-
rum unciarum, alter librarum duarum, ferreus librarum
 34. & lapideus quadraginta circiter, nec non, & lapis in-
formis, quorum funiculi comprehensis ipsorum semidiame-
tris aequales essent, uno, & eodem temporis spatio moveren-
tur, & vibrationes easdem numero darent hinc inde, sive mo-
tus unius globi fieret per aequale spatium, sive per inaequa-
le, ita ut qui majori impetu jactabatur, & sic majus spatium
 percurrebat, illud tanto velocius pertransiret. In quibus
 peragendis illud praeter expectationem sese mihi obtulit,
quod quotiescunque globi penderent ex funiculis inaequalibus,
ita inaequali motu ferebantur, ut longitudines funiculorum,
durationibus motuum, in duplicata ratione responderent.
Porro cum ex praemissis satis superque liqueret, in naturali
 motu gravium, proportionem gravitatum communiter credi-
tam, non servari; in eam descendi sententiam, ut arbitrater
 fortasse, gravitatem se habere ut agens, materiam vero, seu
 mavis materiale corpus, ut passum, & proinde gravia mo-
veri juxta proportionem gravitatis ad materiam, & ubi sine
 impedimento naturaliter perpendiculari motu ferantur, mo-
veri aequaliter, quia ubi plus est gravitatis, plus pariter sit
 materiae, seu materialis quantitatis; si vero accedat aliquid
 resistantiae, regulari motum secundum excessum virtutis agen
1tis supra resistentiam passi, seu impedientia motum; qui
 excessus momentum noncupabitur, & quod communiter gra-
vitati attributum fuit, momento attribui debere, nimirum
 ut sit momentum ad momentum, ut velocitas ad velocita-
tem; Et hinc fieri posse, ut cognoscamus qua mensura, seu
 proportione corpora gravia naturali motu ferantur super su-
bjectis planis, si super eis quomodolibet inclinatis, ipsorum
 gravium momenta ubique innotescant, quae majora, aut mi-
nora videntur censenda, secundum quod magis, aut minus
 super plano quiescunt, & sic secundum majorem, aut mino-
rem inclinationem plani resistentis; quod demum tali pro-
portione facile fieri mihi existimandum videtur, juxta quam
 reciproce momentis proportionantur lineae dictorum plano-
rum, si ambae ductae sint ab eodem puncto ad idem planum
 orizontale; de quo Simon Stevinus l. p. de Statica prop.
19. & acutissime Galileus in Mechanica manuscripta, ubi de
 Cochlea, & ego æliquali experientia compertum habui. Cae-
terum si per experientiam Scienta hominibus efficitur, prae-
dicta de quibus saepius repetitis actibus expertus fui, ut prin-
cipia scientiae habenda fore censui; in quibus occultae con-
clusiones delitescant, demonstrationibus duntaxat aperiendae.
 Rimari caepi; an deprehenderim aliorum erit judicium.
 Subjecta paucula, quae presens aliquod otium expedire per-
misit, de motu naturali solidorum gravium, Amice lector
 tibi exhibeo, mox de liquidorum, & deinceps alia plura tam
 parata daturus, si haec placuerint. Placuit sane mihi, vel
 paucula tibi dare, qui te ejus ingenii esse confidam, ut non
 verba, sed res, easque non mole, sed pondere censeas, felicior
 si de eorum genere existimaveris, quae non mole magna sunt,
quod si talia non fuerint, quo minora minus defatigabunt,
sui exilitate, auctoris partus proprios omnino esse probatura.
 Idioma latinum elegi ut communius. Praemisi aliqua na-
turalia principia, sine quibus naturales conclusiones aliunde
 duci posse non video. Quae ex praedictis experimentis inno
tuerunt, suppositiones appellare, & a reliquis petitionibus se-
cernere libuit. Petitiones illas, quibus quid fieri petimus, con-
1structioni deservientes, tanquam factu, & cognitu faciles,
& proinde supervacaneas, prudens praetermisi; ratus siqui-
dem nil inde incredulitatis, aut difficultatis derivaturum.
 Septimum postulatum ea ratione segregavi, quod illud aliquo
 pacto a 22. prop. pendeat, & quod in illo etiamsi veritas
 non deficiat, evidentiam tamen ut in caeteris non agnoscens,
certis dubia quo quo pacto permiscere noluerim; ut proinde
 plura eorum, quae ex illa deducta sunt, & diversa Methodo
 & attingendo potius, quam demonstrando subjunxerim.
 Si quae demum minus probata, seu explicata, aut quo
 quo pacto imperfecta reperies, velim te tribue-
re cuidam naturali meae propensioni, ad no-
va potius, qualiacumque ea sint, inve-
nienda, quam inventa
 perficienda.
 Vale.
1
DEFINITIONES
Pendulum dicimus pondus filo appensum.
Pendula dicuntur aequalia, seu aequipendula,
sive inaequalia, quae, & longiora, aut brevio-
ra, quatenus fila, e quibus dependent, sunt
 aequalia, longiora, aut breviora.
Vibrationes pendulorum sunt eorum motus hinc inde
 Vibrationes aequales dicimus, quae fiunt per spatia aequalia, & e contra inaequales.
Vibrationes aeque celeres si fiant per spatia
 aequalia tem-
pore aequali.
Vibrationis diuturnitatem dicimus ipsius Durationem,
tempus nimirum, quo ipsa vibratio perficitur.
Vibrationes aequediuturnae, sunt, quae fiunt tempore
 aequali, etiamsi per spatia inaequalia, inde diuturnior
 est, quae longiori perficitur tempore.
Vibrationes integras dicimus eas, quae se extendunt
 per integrum semicirculum, se hinc inde moventes
 per circuli quadrantem.
Vibrationis portio est pars arcus, quem ipsa vibratio
 disignant.
Vibrationum similes portiones sunt arcus ipsarum in-
tercepti inter binas lineas ductas a centro, a quo
 concipiuntur pendula pendere.
Vibrationis portionem priorem decimus eam mini-
mam portionem, a qua integra vibratio initium habet.
Momentum est excessus virtutis moventis supra mo-
tus impedimenta.
1
SUPPOSITIONES
PRIMA. Solidorum aequipendulorum cujus-
cumque gravitatis vibrationes aequales sunt aeque-
diuturnae.
2 Equipendulorum eorumdem vibrationes sunt aeque-
diuturnae, etiamsi inaequales.
3 Pendulorum inaequalium longitudines sunt in du-
plicata ratione diuturnitatum vibrationum, seu ut
 quadrata vibrationum.
4 Momentum gravis super plano inclinato est ad ip-
sius gravitatem, ut perpendicularis ad inclinatam,
si ab eodem puncto ducta sint ad idem planum
 orizontale dicta perpendicularis, & dictum planum
 inclinatum, & proinde tali casu proportio gravita­
tis ad momentum est reciproca proportioni linea-
rum super quibus grave movetur.
1
PETITIONES, SEU POSTULATA
Pr. Pendulorum inaequalium portiones similes vibra-
tionum sunt inter se quoad diuturnitatem, ut vibra-
tiones integrae.
Sint pendula AB, AC; dependentia a puncto A, & ele-
ventur ad libellam orizontis puncti A, in E, D, de-
scribentia arcus BD, CE, integrarum vibrationum, & in
 arcubus BD, CE sumantur portiones similes EF, DG, seu
 HI, KL ductis EA, FA, seu HA, IA. Peto mihi concedi,
esse pendulorum diuturnitates in arcubus EC, DB, ut in
 portionibus EF, DG, nec non HI, KL, & ita deinceps.
2. Ut est momentum ad momentum solidi gravis, ita
 velocitas ad velocitatem.
Hujusmodi passio communiter attribui solet gravitati sim-
pliciter, quod eum nimis clare experientiis supra expo-
sitis nullo pacto congruere possit, momentis attribuenda
 esse visa est, ut in praefatione explicatum fuit.
1
3. Portiones minimae peripheriae Circuli concipiende
 sunt, ac si essent lineae rectae.
Quaecumque arcus portio est circularis, attamen si est
 minima portio, tam parum aberrat a linea recta, ut
 non modo quo ad sensum, sed quoad quascunque physicas
 passiones, perinde esse videatur, ac si esset linea recta, id-
circo ut petitionem admittendam censeo, quemadmodum in-
mechanicis admittitur illa, quod perpendiculares sunt paral-
lelae, etiamsi in centro concurrant universi, quatenus eisdem
 sunt passionibus physicis subjectae, ac si vere essent parallelae.
4. Data recta linea, possimus concipere circulum talis
 magnitudinis, cujus portio peripheriae aequalis quo
 ad sensum datae lineae, concipienda sit, ac si esset
 linea recta.
Haec petitio videtur concedenda, quia si concipiamus cir-
culum, ejusque portionem minimam, ut in praece-
denti, si fiat ut hujusmodi portio ad datam lineam, ita
 circulus ad alium, portio hujus, datae lineae aequalis erit, &
similis omnino praedicta minimae portioni, & proinde pa-
riter concipienda ut linea recta.
5. Solida perpendicula libero motu aeque velociter
 feruntur, & in tali proportione, ac si essent pendula,
& moverentur in priori portione vibrationum.
Quoniam prior portio non differt sensibiliter a recta, ut in
 tertia petitione, nec etiamsi sit major ut in quarta, iisdem
 physicis passionibus subjicitur, & exinde motibus aequalibus.
6. Solida naturaliter mota super plano inclinato aeque
 velociter moventur ac si essent pendula, & moveren-
tur in tali portione vibrationum, quae quoad sensum
1esset aequalis, & paralella lineae dicti plani super qua
 dicta solida moverentur.
Non differt a praecedente, nisi quod in illa motus est per-
pendicularis, in hac inclinatus, in reliquis est par ratio.
PRONUNCIATA
P. Quae sunt aequidiuturna tertio, sunt aequidiu-
turna inter se.
2. Quadrata datorum temporum, sunt etiam quadrata
 aliorum datis aequalium.
3. Gravia eadem super planis aequalibus & pariter incli-
natis, pariter moventur.
1
PROPOSITIO PRIMA.
Solidi penduli naturaliter moti vibrationes quan-
tumvis semper minores, sunt aequidiuturnae.
Sit solidum A pendulum debite applicatum filo BA, quod
 ab altera parte elevatum naturaliter, postea faciat hinc
 inde vibrationes semper minores, ita ut prior vibratio sit V. G.
per spatium CD maius, posterior vero per spatium EF minus.
Dico quod dicta vibrationes erunt aequidiuturnae, ita ut vibra-
tio per spatium CD sit eiusdem durationis, ac vibratio per
 spatium EF.
Sit aliud solidum G aequipendulum solido A, debite applica-
tum filo HG, quod elevetur ab una parte eodem tempore
 minus quam solidum A ita ut sint minores vibrationes soli-
di G, quam, solidi A, ut sit motus penduli G in initio per
 spatium IK aequale spatio EF.
Quoniam spatia EF, & IK, sunt aequalia ex suppositione,
sunt etiam vibrationes EF, & IK, aequidiuturnae, sed I
K, & CD sunt pariter aequidiuturnae, ergo EF, & CD
 sunt etiam aequidiuturnae. Quod fuit probandum.
Per pri-
mam sup-
positionem.
 Per secun-
dam sup-
positionem.
 Per pr.
pron.
1
PROPOSITIO II. PROBLEMA PRIMUM.
Pendula constituere, quorum diuturnitates vibra-
tionum sint in data ratione.
Data sit proportio diuturnitatum vibrationum, quam
 volumus esse inter solida A,B; & sit ea, quae est inter
 C, & D; quae est continuo eadem,a.
Venanda est longitudo filorum, quibus applicata dicta solida
 producant vibrationes quaesitas.
Per pr.
hujus.
Sint E F numeri mensurantes proportionem, quae est inter C
 & D, quorum quadrati numeri G & H, Fila IA, KB
 fiant inter se ut G, ad H, & erunt fila quaesita, quibus si
 applicentur solida A, B, producentur diuturnitates vibra-
tionum quaesita.
Quoniam ita est IA, ad KB, ut quadratum G numeri me-
tientis C, ad quadratum H numeri metientis D, erunt C, &
D diuturnitates vibrationum pendulorum A, & B; &
proinde in ratione data. Quod faciendum fuit.
Per 3.
suppo.
1
PROPOSITIO TERTIA.
Lineae descensus gravium, dum naturali motu perpendicula-
riter feruntur, sunt in duplicata ratione diuturnitatum.
Sint LN, KM linea descensus gravium L, K, & sint P
O ipsorum diuturnitates.
Dico LN, KM esse in duplicata ratione ipsarum P, O.
Sint pendula AH, AI, dependentia a puncto A, & eleven-
tur ad libellam ipsius A usque ad E, B, quae in elevatione
 producant arcus HB, IE, & sint talis longitudinis, ut du-
cta ACF, secet arcus BC, & EF, portionis minimae, aequa-
les quo ad sensum lineis LN, KM, & sit S, quadratum
 diuturnitatis P, & T quadratum O, & Q, R, diuturni-
tates vibrationum BC, & EF.
Quoniam diuturnitates Q, R sunt aequales diuturnitatibus
 P, O; S, T, sunt etiam quadrata ipsarum Q, R, & quia
 vibrationes integrae pendulorum AH, AI sunt ut qua-
dratum T ad quadratum S, portiones BC, EF, sunt pa-
riter inter se ut quadratum T ad quadratum S, sed
 BC, & EF sunt aequales lineis KM, LN, ergo etiam K
M, LN sunt ut quadrata S, T, & proinde in duplicata
 ratione P, O, temporum seu diuturnitatum earumdem.
 Quod, &c.
Per 5.
pet.
 Per 2.
pron.
 Per 3.
supposit.
 Per 5.
petit.
 Per 3.
petit.
 Per 1.
pron.
1
PROPOSITIO QUARTA. PROBL. II.
Data diuturnitate gravis descendentis a data altitudine,
constituere altitudinem, a qua idem grave cadat in
 data alia diuturnitate.
Sit A diuturnitas gravis B, dum cadit in C, & data sit
 diuturnitas quaecumque D.
Constituenda est alia altitudo, a qua grave descendat iuxta
 diuturnitatem D.
Fiant E, & F quadrata temporum A, D, & ut F ad E, fiat
 altitudo GH, ad altitudinem datam BC; Dico GH esse al-
titudinem quaesitam.
Quoniam BC, & GH sunt in duplicata ratione datarum diu-
turnitatum A, D, per constructionem; per ipsas gravia B,
& G cadent in diuturnitatibus A, & D datis, unde re-
perta est altitudo GH quaesita. Quod fuit faciendum.
Per 3.
hujus.
1
PROPOSITIO V. PROBL. III.
Data altitudine, a qua descendat grave in nota diutur-
nitate; perquirere quanta sit diuturnitas, qua descen-
dat ab alia altitudine data.
Sit A altitudo per quam descendat grave diuturnitate B
 nota, & data sit alia altitudo C.
Oportet reperire quanta sit diuturnitas, qua idem grave de-
scendat per C.
Fiat D quadratum diuturnitatis B, & fiat ut A ad C, ita
 quadratum D ad quadratum E, cuius radix F est diutur-
nitas quaesita.
Quoniam A, & C sunt in duplicata ratione diuturnitatum
 B, & F per constructionem, per ipsas gravia descendent
 in diuturnitatibus B, F, unde F est diuturnitas ipsius C
 quaesita. Quod faciendum fuit.
Per 3.
hujus.
1
PROPOSITIO VI.
Gravia naturali motu descendunt semper velocius ea
 ratione, ut temporibus aequalibus descendant per spa-
tia semper maiora, iuxta proportionem quam ha-
bent impares numeri ab unitate inter se.
Sit grave A quod descendat per lineam ABC, & tempus
 quo descendit ab A in B sit aequale tempori, quo de-
scendit a B in C, & a C in D.
Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1. 3. 5. &
sic deinceps.
Sit G numerus mensurans tempus, quo A descendit in B, &
H, quo descendit a B in C, & I, quo descendit a C in D,
quae tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit K qua-
dratum ipsius G, & L quadratum GH, & M quadratum
 totius GHI.
Quoniam quadrata K, L, N sunt ut AB, AC, AD, quae
 quadrata sunt ut 1, 4, 9, sunt itidem AB, AC, AD, ut
 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, ut 1. 3. 5. & sic dein-
ceps. Quod probandum fuit.
Per 3.
hujus.
1
PROPOSITIO VII.
Lineae descensus gravium super plano inclinato mo-
torum, sunt in duplicata ratione diuturnitatum.
Sint AB, CD plana pariter inclinata, super quibus mo-
veantur gravia A, C, & sint EF ipsorum diuturnitates.
Dico AB, CD, esse in duplicata ratione ipsarum E, F.
Secetur AB bifariam in G, & erecta GH, perpendiculari
 longissima, fiant pendula HI, HK, quae sint inter se ut A
B, CD, & eleventur in L, M, describentia arcus LI, KM,
secantes GH in N, O, & ab N hinc inde secentur arcus N
P, NQ aequales quo ad sensum rectis GA, GB, & ductis P
H, QH, secetur pariter arcus LI, in R, S, & intelligan-
tur arcus PQ, RS, tam parvae curvitatis, ob maximam
 longitudinem pendulorum HI, HK, ut pro rectis habean-
tur, puta portionis minimae, & proinde aequales rectis A
B, CD: sit Z quadratum diuturnitatis E, & V, diuturnitatis
 F, & sint XY diuturnitates vibrationum PQ, RS.
1
Quoniam diuturnitates X, Y, sunt aequales diuturnitatibus
 E, F, sunt etiam Z, V, quadrata ipsarum X, Y; & quia
 vibrationes integrae pendulorum HI, HK sunt inter se, ut
 quadratum V, ad quadratum Z, portiones RS, PQ erunt
 etiam inter se ut quadratum V ad quadratum Z; sed R
S, PQ aequantur rectis CD, AB,, ergo, & CD, AB
 sunt ut quadratum V, ad quadratum Z, & proinde, in
 duplicata ratione ipsarum EF. Quod, &c.
Per 6.
petit.
 Per 2.
pron.
 Per 3.
hujus.
 Per pr.
pet.
 Per 3.
petit.
 Per 2.
pron.
Corolarium.
Hinc patet esse longitudines planorum per quae gravia fe-
runtur ut quadrata temporum, & tempora ut radices
 longitudinum planorum.
1
PROPOSITIO VIII. PROB. IV.
Dato plano inclinato, super quo per spatium datum
 grave moveatur in nota diuturnitate, determinare in
 eodem plano spatium per quod dictum grave mo-
veatur in quavis alia diuturnitate data.
Sit A diuturnitas gravis B, dum descendit in C super pla-
no inclinato BC, & data diuturnitas D.
Praescribendum est aliud spatium in eodem plano BC, per
 quod idem grave pertranseat in diuturnitate D.
Fiant E, F quadrata temporum A, D, & ut F ad E fiat BG ad
 BC, Dico BG esse spatium quaesitum.
Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratione datorum
 temporum A, D per constructionem, per ipsa cadet grave
 B diuturnitatibus A, D datis, ergo reperta est BG quae-
sita. Quod faciendum erat.
Per 6.
hujus.
1
PROPOSITIO IX. PROB. V.
Dato plano inclinato, super quo per spatium datum gra-
ve moveatur nota diuturnitate; & dato alio spatio
 quocumque; reperire diuturnitatem, qua grave per
 ipsum descendat.
Sit A diuturnitas gravis B, dum descendit in C super pla-
no inclinato BC, & dato alio spatio BG.
Querendum quanta sit diuturnitas gravis in BG.
Fiat E quadratum diuturnitatis A, & ut BC ad BG fiat ut
 quadratum E ad quadratum F, cuius radix D erit diutur-
nitas ipsius BG quaesita.
Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratione diuturnita-
tum A, D per constructionem; per ipsa cadunt gravia diu-
turnitatibus A, D, unde D est diuturnitas per spatium
 BG quaesita. Quod faciendum erat.
Per 7.
hujus.
1
PROPOSITIO X.
Gravia descendunt super planis inclinatis per spatia
 semper maiora, iuxta rationem, quam habent im-
pares numeri successive inter se.
Sit grave A, quod descendat super plano ABC inclinato,
& tempus quo descendit ab A in B sit aequale tempo-
ri, quo descendit a B in C, & a C in D.
Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1. 3. 5. &. sic
 deinceps.
Sit E numerus mensurans tempus, quo A descendit in B, & F
 quo descendit a B in C, & G quo descendit a C in D, quae
 tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit H quadratum
 ipsius E, & I quadratum EF, & K quadratum totius EFG.
Quoniam quadrata HIK sunt ut AB, AC, AD, quae
 quadrata sunt ut 1. 4. 9. sunt pariter AB, AC, AD, ut
 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, sunt ut 1. 3. 5. & sic
 deinceps. Quod probandum erat.
Per 7.
hujus.
1
PROPOSITIO XI.
Si Duo gravia descendant alterum super linea perpen-
diculari, alterum vero super inclinata; proportio ve-
locitatum est reciproca proportioni linearum.
Sit ABC planum normaliter erectum super lineam ori-
zontalem BC, cuius latus AB sit perpendiculare, &
AC, inclinatum.
Dico quod proportio velocitatum solidorum gravium moto-
rum secundum lineam AB perpendicularem, & AC in-
clinatum, est ut proportio longitudinis inclinatae AC ad
 longitudinem perpendicularis AB; videlicet ita est longi-
tudo AB ad longitudinem AC, ut velocitas super AC ad
 velocitatem in AB.
Quoniam est ut AC ad AB, ita momentum in AB, ad mo-
mentum in AC; & ut momentum in AB ad momentum
 in AC, ita velocitas in AB ad velocitatem in AC; er-
go est etiam ut AC ad AB, ita velocitas in AB ad velo-
citatem in AC. Quod fuit probandum.
Per 4.
supp.
 Per 2.
pet.
1
PROPOSITIO XII.
Gravia descendunt super plana diverse inclinata tali
 proportione, ut si velocitas ad velocitatem recipro-
ca longitudinibus planorum ductorum ab eodem
 puncto, ad idem planum orizontale.
Sint F, D plana inclinata ducta ad idem planum orizon-
tale.
Dico esse ut planum D ad planum F, ita velocitatem gravis
 ducti super F, ad velocitatem eiusdem ducti super D.
Ducatur perpendicularis E, & sint B, A, C velocitates gra-
vium latorum super perpendiculari, & super planis F, D.
Quoniam est A ad B, ut E ad F, item, & B ad C, ut D, ad
 E, erit A ad C ut D ad F, scilicet velocitas gravis su-
per F ad velocitatem gravis super D, ut longitudo pla-
ni D ad longitudinem plani F. Quod fuit probandum.
Per 11.
hujus.
 Per 23.
Quinti.
1
PROPOSITIO XIII. PROBL. VI.
Reperire inclinationem plani, super quo grave movea-
tur tali velocitate quae cum alia super diversa incli-
natione sit in ratione data.
Moveatur grave A super recta AB, seu perpendicula-
ri, seu inclinata, & data sit proportio C ad D.
Oportet reperire aliud planum inclinatum, ita ut velocitas
 gravis moti super AB ad velocitatem alterius moti
 super illo reperiendo, sit ut D ad C.
Producatur BA; & fiat ut C ad D ita BA, ad AE; &
centro A, intervallo AE describatur circulus, secans BF
 in F; ni secet, problema insolubile est; si secat, ducatur
 AF, quam dico esse planum quaesitum.
Quoniam ut C ad D, ita AB ad AE, seu AF per constructio-
nem, erit C velocitas super AF, & D super AB, unde velo-
citates super ipsis sunt in ratione data. Quod faciendum fuit.
Per 12.
hujus.
1
PROPOSITIO XIV. PROBL. VII.
Data linea perpendiculari, per quam grave descendat,
cui annectatur linea, seu planum declinans; in decli-
nante reperire punctum, quo grave perveniat eo
 tempore, quo pertransiverit perpendicularem.
Sit triangulum ABC orthogonaliter erectum super pla
no orizontali BC, cuius latus AB intelligatur sit linea perpendicu-
laris, per quam grave descendat, & latus AC sit planum
 inclinatum.
Oportet in plano AC reperire punctum quo grave perveniat
 eodem tempore, quo in B.
Fiat ut AC ad AB, ita AB ad tertiam AD, & D erit pun-
ctum quaesitum.
Quoniam ut AC ad AD, ita quadratum AC ad quadra-
tum AB, & ut AC ad AD, ita quadratum temporis A
C ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum A
C ad quadratum AB, ita quadratum temporis AC ad qua-
dratum temporis AD, ergo ut AC ad AB, ita tempus
 AC ad tempus AD, sed ut AC ad AB, ita tempus AC ad
 tempus AB, ergo tempus AB est aequale tempori AD.
 Quod, &c.
Per 19.
Sexti.
 Per cor.
7. hujus.
 Per 11.
Quinti.
 Per 22.
Sexti.
 Per 11.
hujus.
1
PROPOSITIO XV.
Linea connectens puncta, ad quae duo gravia ab eo-
dem puncto digressa, quorum alterum perpenden-
ter, alterum super plano declinante descendat, simul
 perveniunt, est perpendicularis dicto plano declinanti.
Descendant simul duo gravia a puncto A primum per-
pendiculariter in B, secundum super plano inclinato
 AC, tali lege, ut simul perveniant ad puncta BD,
& ducta sit linea BD.
Dico quod dicta linea BD est perpendicularis ad AD.
Fiat AF aequalis datae AB, & AE aequalis AD, & duca-
tur EF.
Quoniam ut AD ad AB, ita AB ad AC, & AD,
AE, item AB, AF sunt aequales per constructionem, se-
quitur quod AE ad AF est ut AB ad AC, ergo EF, BC
 sunt parallelae, unde triangulum AEF, & proin-
de ABD est simile triangulo ABC, unde anguli AB
C, ADB simul recti, & BD perpendicularis ad AD.
 Quod, &c.
Per 13.
hujus.
 Per 2.
Sexti.
 Per 4.
Sexti.
1
PROPOSITIO XVI. PROBL. VIII.
Data linea perpendiculari, & plano declinante; reperire
 in perpendiculari producta punctum, quo perveniat
 grave eo tempore, quo pertransit planum inclinatum.
Data sit perpendicularis AB, cui connexum planum
 inclinatum AD.
Oportet in AB producta reperire punctum, quo perveniat
 grave eo tempore, quo pervenit in puncto D.
In puncto D perpendicularis erigatur ad AD, & protraha-
tur usquequo coeat cum AB producta in E, & E est pu-
nctum quaesitum.
Quoniam triangula & ADE, AEC sint aequiangula,
cum anguli ADE, AEC sint aequales, nempe recti, &
BAD communis, sunt etiam similia, ergo ut AC
 ad AE, ita AE ad AD, sed ut AC ad AD, ita qua-
dratum AC ad quadratum AE, & ut AC ad AD,
ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis A
D, ergo ut quadratum AC ad quadratum AE ita qua-
dratum temporis AC ad quadratum temporis AD, er-
go ut AC ad AE, ita tempus AC ad tempus AD, sed
 ut AC ad AE, ita tempus AC ad tempus AE, ergo
 tempora AE, & AD sunt aequalia. Quod &c.
Per 32.
prim.
 Per 4.
sexti.
 Per 4.
sexti.
 Per 19.
Sexti.
 Per Cor.
7. hujus.
 Per 11.
Quinti.
 Per 22.
sexti.
 Per 11.
hujus.
1
PROPOSITIO XVII. PROBL. IX.
Dato plano declinante, super quo grave descendat, &
dato alio plano minus declinante, in hoc reperire
 punctum, quo perveniat mobile eo tempore, quo
 pertransit dictum planum magis declinans.
Sint plana AB, AC quorum AC minus inclinatum.
Oportet in AC reperire punctum, quo grave perveniat,
quando pervenit in B.
Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, & dico D esse punctum
 quaesitum.
Quoniam ut AC ad AD ita est quadratum AC ad quadra-
tum AB, & ut AC ad AD ita quadratum temporis
 AC ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum A
C ad quadratum AB, ita quadratum temporis AC ad
 quadratum temporis AD, Unde AC ad AB ut tempus
 AC ad tempus AD, sed ut AC ad AB, ita tempus A
C ad tempus AB, ergo tempora AB, AD, sunt aequa-
lia. Quod, &c.
Per 19.
sexti.
 Per cor.
7. hujus.
 Per 11.
Quinti.
 Per 22.
sexti.
 Per 11.
hujus.
1
PROPOSITIO XVIII. PROBL. X.
Datis planis declinantibus ortis ab eodem puncto, re-
perire in magis declinante punctum quo grave per-
veniat eo tempore, quo pertransit planum minus
 declinans.
Datum sit planum minus declinans AC, & magis A
D, terminantia super plano orizontali BD.
Oportet in AD producta reperire punctum, quo perveniat
 grave eo tempore, quo pertransivit planum minus decli-
nans AC.
Fiat ut AD ad AC ita AC ad dictam AD productam in
 E, quod est punctum quaesitum.
Quoniam ut AE ad AD ita est quadratum AC ad quadra-
tum AD, sed AE ad AD est ut quadratum temporis
 AE, ad quadratum temporis AD, ergo ut quadratum
 AC ad quadratum AD, ita quadratum temporis AE ad
 quadratum temporis AD, unde AC ad AD ut tempus
 AE ad tempus AD, sed AC ad AD est ut tempus AC
 ad tempus AD, ergo tempora AE, AC sunt aequalia.
 Quod, &c.
Per 19.
sexti.
 Per cor.
7. hujus.
 Per 11.
Quinti.
 Per 22.
sexti.
 Per 11.
hujus.
1
PROPOSITIO XIX. PROBL. XI.
Dato motus naturali gravis quomodocumque ad pun-
ctum datum, reperire seu in perpendiculari, seu in
 plano quomodolibet inclinato punctum, a quo di-
gressum, perveniat ad idem punctum quo prius, tem-
pore aequali.
Sit AB linea quomodocumque aut perpendicularis, seu
 planum inclinatum; super qua grave descendat in B, &
data sit quaecumque linea BC, aut perpendicularis, aut
 quomodolibet inclinata, quae cum AB, coeat in B.
Oportet in BC reperire punctum, a quo grave digressum per-
veniat in B tempore quo pervenit ab A in idem B.
Ducatur AC orizontalis, & fiat BD tertia proportiona-
lis ad CB AB, & D est punctum quaesitum. Quod ut probetur.
Per 11.
Sexti.
Fiat iterum rectae AC paralella, & aequalis BE, & ducta
 EA, secetur recta BF parallela ipsi AD.
Quoniam AF, BD sunt pariter inclinatae, & aequales, gra-
via per ipsas aequali tempore moventur, ergo aequali tem-
pore ut per AB, quod, &c.
Per 33.
Primi.
 Per 3.
pronun.
 Per pr.
pron.
1
PROPOSITIO XX. PROBL. XII.
Datis duobus planis diverse inclinatis longitudinis no-
tae; & nota diuturnitate gravis moti super uno, re-
perire diuturnitatem si moveatur super alio.
Sint plana AB, CD inclinata, & sit data diuturnitas E
 plani AB.
Oportet reperire diuturnitatem plani CD.
Fiat AF, paralella, & aequalis datae CD, in qua reperiatur
 punctum G quo perveniat grave, tempore quo in B, unde
 E est etiam diuturnitas spatii AG, quo dato, & spatio
 AF perquiratur eias diuturnitas, quae sit H, & dico
 H esse diuturnitatem quae grave descendit in CD.
Per 17.
hujus.
 Per 9.
hujus.
Quoniam E, H sunt diuturnitates gravium descendentium
 in AG, seu AB, & AF, per constructionem, & AF
 est aequalis, & paralella datae CD per constructionem,
sunt etiam E, H diuturnitates ipsarum AB, & CD, unde
 reperta est diuturnitas ipsius CD. Quod, &c.
Per 3.
pron.
1
PROPOSITIO XXI. PROBL. XIII.
Datis duabus diuturnitatibus, quarum prior sit gravis
 moti super plano dato longitudinis notae, & dato
 alio plano diversimode declinante; reperiendum est
 in eo punctum, quo grave perveniat in secunda
 diuturnitate data.
Dato plano declinante AB, super quo grave A movea
tur diuturnitate C, & dato alio plano D declinationis
 quae sit dissimilis declinationi datae AB; data itidem diu-
turnitate E.
Oportet reperire in D punctum quo grave perveniat in
 diuturnitate E.
Ducatur AF parallela ipsi D, in eaque reperiatur pun-
ctum F, quo grave perveniat tempore quo in B, & prae-
scribatur in eadem spatium AG per quod moveatur in
 diuturnitate E, & fiat DH aequalis ipsi AG, & dico H
 esse punctum quaesitum.
Per 17.
hujus.
 Per 8.
hujus.
Quoniam diuturnitates in AB, AF sunt aequales per con-
structionem, & C, E sunt diuturnitates super planis AF,
AG per constructionem, sunt etiam diuturnitates super
 AB, AG, & proinde super DH ipsi AG aequali, &
paralellae, quod, &c.
1
PROPOSITIO XXII.
Si duo gravia descendunt alterum quidem perpendicu-
lariter, alterum vero super plano declinante, perve-
niunt ad idem planum Orizontale tali ratione, ut sit
 eadem proportio inter diuturnitates eorum, quae in-
ter perpendicularem, & declinantem.
Sit linea AB perpendiculariter erecta super plano Ori-
zontali BC, & AC planum declinans.
Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, &
per AC, sunt ut AB ad AC.
Ducatur BD normalis ad AC.
Quoniam est ut AD ad AC ita quadratum temporis AD
 ad quadratum temporis AC, & tempora AD, & AB
 sunt aequalia, & proinde eorum quadrata, ergo ut A
D, ad AC ita quadratum temporis AB ad quadratum tem-
poris AC, sed ut AD ad AC ita quadratum AB ad qua-
dratum AC, ergo ut quadratum temporis AB ad qua-
dratum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum
 AC, sed quia latera sunt inter se ut eorum quadrata, est
 ut AB ad AC ita tempus AB ad tempus AC. Quod, &c.
Per cor.
7. hujus.
 Per 15.
hujus.
 Per 2.
pron.
 Per 19.
Sexti.
 Per 22.
Quinti.
 Per 24.
Sexti.
1
PROPOSITIO XXIII.
Duo gravia descendentia super planis diversa ratione
 declinantibus, perveniunt ad idem planum orizon-
tale ea ratione, ut sit eadem proportio inter diutur-
nitates, quae inter dicta plana si ab eodem puncto ad
 idem planum orizontale producta sint.
Datis planis AB, AC declinantibus, ductis ab eodem
 puncto A ad planum orizontale BC.
Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, AC
 sint ut AB ad AC.
Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, ita ut grave perveniat
 in D eodem tempore quo pervenit in B.
Per 13.
hujus.
Quoniam est ut AD ad AC, ita quadratum temporis AD
 ad quadratum temporis AC, & tempora AD, AB
 sunt aequalia, & proinde eorum quadrata; ergo ut AD
 ad AC ita quadratum temporis AB, ad quadratum tem-
poris AC, sed ut AD ad AC, ita quadratum AB ad qua-
dratum AC, ergo ut quadratum temporis AB ad quadra-
tum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum AC,
ergo ut tempus AB ad tempus AC, ita AB ad AC.
 Quod fuit probandum.
Per Cor.
7. hujus.
 Per 17.
hujus.
 Per 2.
pronun.
 Per 19.
sexti.
 Per 22.
sexti.
1
PROPOSITIO XXIV
Datis planis, & perpendiculari ad eadem linea orizon-
tali egressis, quae coeant infra in eodem puncto, gra-
via super ipsis mota procedunt ea ratione, ut sit ea-
dem proportion inter diuturnitates, quae inter longi-
tudines planorum, & dictam perpendicularem.
Data sit linea orizontalis AB, in qua initium sumant
 plana declinantia AC, DC, nec non perpendicula-
ris BC coeuntia in puncto C.
Dico quod diuturnitates gravium super ipsis motorum, sunt
 ut AC, DC, BC.
Ducatur CE paralella ipsi AB, & a puncto A ducantur
 paralellae ipsis CB, CD, & sint AE, AF.
Quoniam diuturnitates super planis AF, AC, sunt ut A
F, AC, & super planis eisdem, & perpendiculari A
E, sunt ut AF, seu AC ad AE, & AE, AF sunt paralellae
 ipsis CD, CB, & eisdem aequales, sequitur quod etiam
 super AC, DC, BC diuturnitates sunt iuxta propor-
tiones longitudinum, Quod probandum fuit.
Per 23.
hujus.
 Per 15.
hujus.
 Per 33.
prim.
 Per 3.
pron.
1
PROPOSITIO XXV.
In circulo Orthogonaliter erecto, si a summitate ad
 puncta peripheriae ducantur plana, quo tempore gra-
ve perpendiculariter inde pervenit ad planum ori-
zontale; si descendat per dicta plana, eodem perve-
niet respective ad quodlibet dictorum punctorum
 peripheriae.
Sit circulus cuius centrum B, & diameter AC erectus
 super plano orizontali GC, & in eo ducta sint plana de-
clinantia a puncto A ad puncta peripheriae DEF, & de-
scendant gravia super dicta plana, & perpendiculariter.
Dico quod eodem tempore pervenient ad, D, E, F, C.
Ducantur DC, EC, FC.
Quoniam puncta praedicta sunt ea, in quae cadunt perpendi-
cularia ducta a puncto C in AD, AE, AF, eo perveniunt
 gravia eodem tempore quo in C. Quod probandum fuit.
Per 30.
Tertii.
 Per 16.
hujus.
1
PROPOSITIO XXVI.
Si in circulo erecto, a puncto inferiori ducantur plana
 ad puncta peripheriae, & a dictis punctis descendant
 gravia super dicta plana eodem tempore quo a puncto su-
premo descendit aliud grave perpendiculariter; perve-
nient omnia eodem instanti ad dictum punctum inferius.
Sit circulus cuius diameter ABC erectus super plano
 orizontali, quod tangat in C, & a C ducantur plana C
D, CE, & a punctis, E, D gravia descendant super dicta
 plana, nec non, & a puncto supremo A perpendiculariter.
Dico quod eodem tempore perveniunt in C.
A puncto A ducantur AF, AG paralellae ipsis CE, CD,
& ducantur AF, FC.
Quoniam in triangulis AEC, AFC anguli alterni FAC,
ACE sint aequales,, & anguli AFC, AEC sunt etiam
 aequales puta recti, & basis AC communis, Triangula
 sunt aequalia, & proinde AF est aequalis CE, quod idem
 probabitur de reliquis, ergo cum AF, CE, & reliquae
 sint paralellae, & aequales, gravia per CE, CD perve-
nient in C eodem tempore, quo digressa ab A perveniunt
 ad puncta FG, sed haec eodem tempore quo perpendicularis
 pervenit in C, ergo etiam ea quae per CE, CD. Quod, &c.
Per 29.
primi.
 Per 30.
Tertii.
 Per 26.
primi.
 Per 25.
hujus.
1
POSTULATUM VII
Ductis planis inclinatis, & linea perpendiculari in-
ter binas paralellas orizontales, Gravia super illis
 mota ubi perveniunt ad paralellam inferiorem ha-
bent aequales velocitatis gradus; & proinde si ab inde
 infra sortiantur parem inclinationem, aequeveloci-
ter moventur.
Videtur probabile. Primo quia si diuturnitates sunt longitu-
dinibus proportionales, ut propositione 22. huius probatum
 fuit, credibile est motus in fine esse aequales.
Secundo. Argumento ducto ab experientia pendulorum, quae
 quantumvis longiora, aut breviora, & proinde circa fi-
nem magis, aut minus inclinata, pariter ascendunt, si pa-
riter descendant.
Tertio. Quia videmus aquam per siphones rectos, sive obli-
quos, seu inclinatos ductam, pariter ascendere, si pariter
 descendat. Ceterum fateor minorem evidentiam hoc po-
stulatum caeteris praemissis prae se ferre, quae fuit causa quod
 illud, ut in praefatione, segregaverim, & sequentia, alia
 methodo, tangendo fere tantummodo exposuerim, & a
 pluribus aliis propositionibus, quae hinc deduci facile pos-
sent, data opera abstinuerim.
1
PROPOSITIO XXVII. PROBL. XIV.
Dato gravi moto perpendiculariter per spatium datum
 diuturnitate data, quod perficiat motum super plano
 inclinato per spatium itidem datum; perquirere in
 ipso diuturnitatem.
Moveatur grave A perpendiculariter per spatium AB
 diuturnitate C, & perseveret in motu super spatio B
D in plano inclinato BD.
Venanda est diuturnitas eius in ipso BD.
Producatur DB donec concurrat cum AE orizontaliter du-
cta ab A in E, & fiat ut AB ad EB, ita diuturnitas C ad
 diuturnitatem G, quae idcirco erit diuturnitas ipsius EB,
& sit H quadratum diuturnitatis G, & fiat ut EB ad ED,
ita quadratum H ad aliud quod sit I a cuius latere K, quod
 est diuturnitas ipsius ED, ablata KL aequali G, erit LM
 reliquum diuturnitas BD quaesita.
Per 22.
hujus.
1
Quoniam notum est triangulum AEB, cum notus sit angu-
lus AEB aequalis alterno EDF inclinationis notae, & E
AB rectus ex constructione, & notum latus AB ex hypo-
tesi, notum erit etiam latus EB, & quia diuturnitas in pla-
no BD est eadem ac si motus antecedens esset per EB, EB,
& ED sunt in duplicata ratione diuturnitatum G, K ex con-
structione; unde a K deducta KL aequali G ex constructio-
ne, remanet LM diuturnitas BD. Quod, &c.
Per 7.
post.
Inde sequitur quod summa diuturnitatum C, & LM, est diutur-
nitas totius ABD.
Eadem operatione pariter reperietur diuturnitas BD si BD
 sit perpendicularis, & AB inclinata.
Item si ambo sint plana inclinata.
Ducta AD facile reperietur diuturnitas in ipsa si fiat ut ED
 ad AD, ita K ad aliud per 21. hujus.
1
Ducto alio plano puta DN, reperietur eius diu-
turnitas.
Si fiat ut ED ad OD ita diuturnitas ipsius ED puta L ad diu-
turnitatem OD, quae sit P, deinde ut OD ad ON ita
 quadratum diuturnitatis P ad aliud quadratum, cuius Ra-
dix erit diuturnitas ipsius DN.
Ex his patet quod si addantur plura plana eadem ratione re-
perientur eius diuturnitates.
1
Ex his etiam patet quod si in circulo dentur plura, plana verbi
 gratia AB, BC, CD, DE, & data sit diuturnitas super dia-
metro, dabitur etiam diuturnitas cuiusvis dicto-
rum AB, BC, CD, DE, & etiam omnium simul.
Ex his facile etiam cognoscere poteris esse breviorem, diu-
turnitatem per A, B, C, C, D, E quam per AE.