Stelliola, Niccol� Antonio, De gli elementi mechanici, 1597

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Author: Stelliola, Niccol� Antonio
Title: De gli elementi mechanici
Date: 1597

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1
DE GLI
ELEMENTI
MECHANICI
1[Figure 1]
La ſtatera. Leua.
Raggi nell'aſſe. Rote vettiue
Taglia. Rote motiue.
Cugno. Vite.
DI C. ANTONIO STELLIOLA.
2[Figure 2]
IN NAPOLI, Nella Stamparia à Porta Regale
M. D. XCVII.
1
PROPOSITIONE
di tutta l'opera.
Cerchiamo come poſſa la potenza
minore vincer di forza la maggiore:
e la potenza piu tarda, vincer di mo­
uimento la piu veloce. e queſto con
Leue, Taglie, Viti, Rote, e tutti inſtrumenti che
moltiplicar poſſono il momento, o della forza,
o della velocità. Qual ſoggetto communemente
gli antichi chiamarono Mechaniche. Il che tut­
to ſi tratterà ſecondo le ſuppoſitioni fatte de mo­
menti, o per linee parallelle, o per linee con­
correnti ad vn ponto, o per circonferenze d'in­
torno vn centro iſteſſo: e ſecondo il ſolito vſo de
mathematici deducendo le dimoſtrationi, e cau­
ſe de gli effetti, dalli primi e proprij principij.
3[Figure 3]
1
DEFINITIONI.
I.
Centro di peſo diciamo il ponto, per cui il corpo co­
munque ſoſpeſo, non muta poſitione.
II.
Corpo egualmente diſteſo diciamo, che comunque
tagliato con pianezze parallele, fa figure ſuperficiali
eguali e ſimili.
III.
Applicarſi diciamo vn corpo ad vna linea, quando
detto corpo vgualmente diſteſo occupi la lunghezza di
detta linea.
IIII.
Linea di momento diciamo, per cui il centro di pe­
ſo della grauezza da impedimento libera ſi moue.
V.
Libra ò ſtatera diciamo la linea a cui ſi applicano, ò
appendono le grauezze: e che ſia ſuſpeſa da vn ſol
ponto.
VI.
E leua diciamo la linea ſoſtenuta da due ponti, o ſo­
ſtenuta da vn ponto e moſſa da vna poſſanza.
VII.
Ponto di momento diciamo nella ſtatera e leua, il
ponto, nel quale s'incontra la linea del momento, con
la linea della ſtatera.
VIII.
E ponto di appenſione: il ponto, onde perde la gra­
1uezza ſtaccata dalla ſtatera, o leua, nelquale iſteſſo pon­
to s'intende hauer il ſuo momento.
IX.
Et Horizonte de peſi la ſuperficie in cui le linee de
momenti tutte vanno perpendicolarmente.
Appendice.
Dalche è manifeſto, che l'Horizonte de' momenti pa­
ralleli, ſia ſuperficie piana: e delli concorrenti ſia ſuper­
cie sferica.
POSITIONI.
I.
Pigliamo nelli corpi egualmente diſteſi il centro del
peſo eſſer nella ſuperficie, che diuide egualmente la
lunghezza di detto corpo.
II.
Che grauezze eguali appeſe o nell'iſteſſo ponto, o in
ponti della libra egualmente diſtanti dalla ſuſpenſione
della ſtatera, habbiano momento eguale.
III.
Che nelli corpi di vna iſteſſa natura ſia proportionale
il peſo alla quantità delli corpi.
IIII.
E, che la grauezza appeſa non ſi fermi, ſin che il cen­
tro del peſo non ſia nella perpendicolare del ponto del
ſoſtenimento.
1
PROPOSITIONE.
I.
Se ſi togliono due quantità da due altre, che ſiano
eguali, e tra di loro, & alla compoſta delle due tolte: di­
co che le reſtanti alle tolte ſcambieuolmente ſono egua­
li.
4[Figure 4]
Dimoſtratione.
Siano le due quantità, A & B, & alla compoſta di ambe ſiano egua
li, la C D, & la E F; e dalla C D, togliaſi eguale ad A, che ſia,
C G, e dalla E F togliaſi eguale a B, che ſia E H. dico che la reſtan­
te H F, è vguale ad A; e la G D, eguale a B. Si moſtra perciò
che eſſendo C D, eguale ad A e B inſieme: tolti dall'vna e l'altra ſum­
ma le A, e C G eguali: le reſtanti, B, e G D di conſeguenza ſo­
no eguali. Similmente perche la E F ſi pone vguale alle A, & B
gionte inſieme; tolte la E H, & B vguali: le reſtanti, H F, e A ſo­
no di conſeguenza eguali. è adunque la H F eguale a C G: e la G D
eguale ad E H. il che hauea da moſtrarſi.
Appendice.
Dalche è manifeſto, che le iſteſſe reſtanti ſcambieuol­
mente ſono proportionali alle tolte.
1
Percioche eſſendo le C G H F eguali. e le G D E H
anco eguali: ma le eguali ſono proportionali: ſono dunque
come C G ad E H, coſi H F ad G D: ilche hauea da mo­
ſtrarſi.
PROPOSITIONE.
II.
Se alla linea della ſtatera ſi applicano continuatamen­
te due corpi: li centri delli corpi applicati, ſono diſtanti
dal centro di tutto il compoſto, di diſtanze proportio­
nali alli peſi, pigliati reciprocamente.
5[Figure 5]
Dimoſtratione.
Sia la linea della ſtatera, A B, l'vn delli corpi applicati ſia
B C, l'altro ſia C A, e l'applicatione del corpo B C occupi la parte di li­
nea B D, e del corpo C A, la parte A D, e diuidaſi B D, in par­
ti vguali al ponto E: & A D in parti eguali il ponto F: è manifesto
che del corpo applicato à B D, il ponto del momento ſia E, e del cor­
po applicato a D A, il ponto del momento ſia F, dico che diuiſa B A
tutta per metà nel ponto G, che è ponto di momento
della grauezza tut­
ta compoſta di ambedue: c'habbia la diſtanza F G a G E la ragione
che'l peſo di B C al peſo di C A. Si moſtra percioche la ragione del
peſo di B C, al peſo di C A, e l'iſteſſa che delli corpi: e delli corpi
1vgualmente diſteſi, e l'iſteſſa che delle linee: qual è della linea B D
a D A. e delle loro metà di E D a D F cioè di F G, a G E:
& perche ſe due quantità compongono quantità, e le metà del­
le componenti, compongono la metà della tutta: ma le metà delle li­
nee componenti ſono A F, e B E, la metà della tutta, e coſi la B G
come la A G. perciò togliendo due quantità A F B E dalle due,
A G, G E eguali tra di loro, & alla compoſta di A F, B E.
le reſtanti ſcambieuolmente ſono proportionali, e perciò F G, a G E
ſarà nell'iſteſſa ragione di B E, ad A F, cioè della doppia, B D, a D
A: qual è l'iſteſſa del corpo, B C, a C A: e della grauezza di B C, a
C A. la diſtanza dunque F G, alla diſtanza E G, ha la ragione che'l
peſo di B C, al peſo di C A, il che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
III.
Se ad vn vna ſtatera ſiano appeſe due grauezze, e l'
interuallo delli ponti della ſoſpenſione ſi diuida nella
ragione delle grauezze: ſoſpeſa la ſtatera dal ponto del­
la diuiſione, ſta in equilibrio.
6[Figure 6]
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B: le grauezze in eſſa ſoſpeſe: C, & D: la C, dal
ponto, A, & la D, dal ponto, ‘B, & in quellaragione che ha la gra­
uezza D, alla grauezza C, ſi diuida A B nel ponto E dico che ſoſpeſa
1la ſtatera nel ponto E, ſta in equilibrio. Si moſtra alla linea, B E, ta­
gliſi eguale la linea A F, dunque giunta communemente, F E, ſarà B
F, vguale ad A E, e perciò haurà B F, ad F A, l'iſteſſa ragione, che
D, a C. facciaſi alla B F, vguale, B G, & alla A F, vguale A H,
dunque ſe alla linea, G F, s'intenda applicato un corpo eguale di peſo
alla grauezza D, e tal corpo ſi allunghi nella isteſſa groſſezza fin ad H,
ſarà il corpo applicato ad F H, uguale di peſo a C: percio che hauendo
G F, ad F H, l'iſteſſa ragione che D, a C, e li corpi applicati l'iſteſ­
ſa delle linee: ſono perciò come la grauezza D alla C, coſi il cor­
po applicato ad F G, al corpo applicato ad H F: dunque mutando, ſo­
no anco proportionali: ma il corpo applicato a G F, è di peſo uguale al
D, dunque l'applicato ad F H è vguale di peſo a C: & è delli due ap­
plicati, il commune punto di momento in E. Dunque delli D C inſie­
me pigliati il commun momento è nel ponto iſteſſo: & percio la ſtatera
ſoſtenuta in E, ſta in equilibrio, ilche ſi hauea da moſtrare.
Appendice. I.
Dal che è manifeſto che'l centro commune di due
peſi è il ponto che diuide l'interuallo de'centri loro, re­
ciprocamente.
Appendice. II.
E ſe due grauezze diuiſamente ſi appendono: che di­
uiſo l'interuallo nella ragione delle grauezze recipro­
camente: dette grauezze, fanno l'iſteſſo effetto nel mo­
mento, che ſe in detto ponto giuntamente fuſſero appeſe.
PROPOSITIONE.
IIII.
Se due grauezze appeſe in due ponti facciano equi­
pondio: e di nuouo appeſe in due altri ponti facciano
1equipondio; l'interualli delle ſoſpenſioni mutate, ſono
proportionali con li peſi reciprocamente.
7[Figure 7]
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B: il ponto della ſoſpenſione C, li ponti onde ſono
appeſe le grauezze che fanno equipondio A & B le grauezze appeſe
D & E. Quali di nuouo appeſe nelli ponti F & G faccino equipondio:
dico che la F A interuallo delle due ſoſpenſioni di D, a B G, inter­
uallo delle ſuſpenſioni di E; ha quella ragione che la grauezza c alla gra­
uezza D. Si moſtra perche D et E grauezze nella ſuſpenſion prima han­
no equipondio: dunque la ragione della grauezza D ad E, è l'iſteſſa che
di B C a C A: e nella ſeconda ſuſpenſione la ragione di D ad E e l'iſteſ­
ſa che di G C a C F. e perciò come B C à C A, coſi G C à C F, e per che
da due ſi togliono due altre nell'iſteſſa ragione, le reſtanti anco ſono nel­
l'iſteſſa ragione. è dunque B G ad F A, come D ad E, ilche hauea da
moſtrarſi.
PROPOSITIONE.
V.
Se due grauezze facciano equipondio, e gionte ò tol­
te due altre grauezze facciano anco equipondio: le gion­
te ancora ò le tolte ſono nell'iſteſſa raggione.
18[Figure 8]
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B: il ponto della ſuſpenſione C: le grauezze appe­
ſe D et E: che facciano equipondio: e di nouo aggiuntoui due altre F e G
facciano anco equipondio. dico che la grauezza F a G, ha la ragione
che D ad E: qual'è l'iſteſſa che di B C a C A. ſi moſtra perche D & E,
fanno equipondio. & F e G fanno equipondio: perciò ſarà, come B C
à C A coſi D F ad E G e nell'iſteſſa era D ad E dunque le reſtanti F e G
ſono anco nell'iſteſſa ragione: e non altrimente che nella ſuppoſition del
la compoſta, ſi moſtra nella ſuppoſition delli reſidui. Haſſi dunque l'in­
tento.
PROPOSITIONE.
VI.
Date quante ſi voglia grauezze appeſe in vn'iſteſſa
ſtatera, ritrouare il ponto del momento commune.
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B dalli cui ponti A e B ſiano ſoſpeſe le grauezze C D
e ſiano in altri ponti ſoſpeſi altri peſi, come E nel ponto F: ſi cerca il pon­
to del momento commune. diuidaſi la B A nella ragione di C a D reci­
procamente ſe dunque il detto punto uiene in F eſſendo F il ponto del
19[Figure 9]
momento delle C D pigliate inſieme, ſarà ponto di momento commu
ne delle grauezze C E D, tutte. Et harraſſi l'intento.
Ma ſe'l dato ponto caſchi altroue come in H, perche le grauezze
D, & C appeſe in A e B fanno l'iſteſſo effetto che ſe giuntamente fuſſe­
ro appeſe in H: perciò ſe quella ragione che hà il compoſto di C D
ad E habbia reciprocamente F G a G H, ſarà G ponto di momento
commune di tutti. con l'iſteſſo ordine ſi ritrouerà il centro di quante
altre ſi uogliano, il che ſi hauea da trouare.
PROPOSITIONE
VII.
Delle grauezze che fanno equipondio, compoſte le ra­
gioni delle grauezze e delle diſtanze, li eſtremi termini
ſono eguali.
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B il ponto del ſostenimento C le due grauezze che
fanno equipondio D & E: de quali la D ſia ſoſpeſa dal ponto A la E dal pon
to B: dico che compoſtala ragione della grauezza D ad E: e della diſtanza
A C a C B: cioè fatto che la quantità F a G ſia come la grauezza D ad E e
la quantità G ad H come la diſtanza A C alla C B, che F & H
110[Figure 10]
eſtremi termini ſiano uguali. ſi moſtra: perche A C a C B ſi è poſta co­
me G ad H: dunque riuoltando H à G, è come B C à C A. e per l'e­
quipondio, come la diſtanza B C a C A coſi la grauezza D ad E, &
come D ad E coſi ſi è pigliato F a G: dnnque F a G e come B C a C A,
e nell'iſteſſa ragione era H a G. hanno dunque li due termini F et H l'i­
ſteſſa ragione al termine G. e perciò li F & H ſono eguali tra di loro:
il che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE
VIII.
Li momenti delle grauezze uguali, appeſe in diſtan­
ze ineguali, hanno fra di loro la proportione che le di­
ſtanze.
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B, il ponto del ſoſtenimento C, le grauezze uguali D
& E. de quali il D ſia appeſo in A, & l'c in F. dico che il momento
di D al momento di E, hà quella ragione che l'interuallo di A C all'­
interuallo di F C. ſi moſtra, pigliato dall' altra parte del ſeſtem­
mento C, qual ſi uoglia ponto B: intendaſi in eſſa appeſe due grauezze,
111[Figure 11]
vna che faccia equipondio a D & ſia G: et vn'altra che faccia equipondio
ad E. & ſia H. perche dunque G a D ha quella ragione che A C a C B
& D ouero E ad H, hala ragione di B C a C F. dunque di pari il pri­
mo termine A C all'ultimo F C, ha quella ragione, che il primo ter­
mine G, al terzo H. ſe dunque G ad H hal'iſteſſa ragione che la diſtan­
za A C alla diſtanza F C: & il momento di G è uguale al momento
di D appeſo in A, & il momento di H vguale al momento di E appeſo
in F. dunque il momento di D al momento di E ha quella ragione che
la diſtanza A C alla diſtanza F C. il che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
IX.
Li momenti delle grauezze ſoſpeſe in qual ſi uoglia
ponti della ſtatera, han tra di loro la ragion compoſta,
della ragion delle grauezze, e delle diſtanze.
Dimostratione.
Sia la ſtatera A B il ponto del ſoſtenimento C le grauezze appeſe D dal
ponto A, & E dal ponto F. dico che la ragione del momento D al momen
to E, e compoſta di due ragioni cioè della ragione della grauezza D
alla grauezza E, e della diſtanza di A C alla F C. ſi moſtra appenda
ſi da B la grauezza G che faccia equipondio. a D, & il peſo H che fac­
112[Figure 12]
cia equipondio all' E: dico prima che la grauezza G alla grauezza H G ha
la ragion compoſta, di D ad E, e di A C ad F C. per il che da moſtrare: in­
tendaſi nell' A ſoſpeſa la grauezza I uguale alla grauezza E, è manifeſto
che'l momento I al momento E, hà quella ragione che l'interuallo
A C all'interuallo F C come nel paſſato habbiamo moſtrato: & il mo­
mento di D al momento d'I hà la ragione che la grauezza D alla gra­
uezza I: perche ſono da un'iſteſſo ponto ſoſpeſi. eſſendo dunque tre ter
mini in continua habitudine il momento D, il momento I, & il momen­
to E: la ragione del primo termine al terzo è compoſta della ragione
di primo a ſecondo e della ragione di ſecondo a terzo: ma di primo
a ſecondo è di grauezza a grauezza: di ſecondo a terzo è d'interuallo
ad'interuallo. dunque, la ragione delli momenti di D ad E, che è l'iſteſſa
che della portione G alla portione H: è compoſta della ragione delle
grauezze e della ragione delle diſtanze. Il che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
X.
Data qual ſi uoglia grauezza, e li ponti della ſoſpen­
ſion della ſtatera, e della grauezza: e dato il peſo del
marco, ritrouare il luogo, oue detto marco faccia e­
quipondio con la grauezza data.
113[Figure 13]
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B il ponto della ſoſpenſione C, la grauezza data D,
qual poniamo che ſi ſoſpenda in A: il marco dato di peſo E: ſi cerca il
ponto oue detto marco appeſo faccia equipondio. per queſto: facciaſi
che quella ragione che hà il peſo E al peſo D, quella habbia la linea A
C a C F, dico che appeſo il marco in F fa equipondio, cioè che'l pon­
to del momento commune delle grauezze D & e ſia il ponto della ſo­
ſpenſione C: il che è manifeſto, percioche ſono li peſi reciprochi al­
le diſtanze. Haſſi dunque l'intento.
PROPOSITIONE.
XI.
Data una ſtatera, a cui ſia ugualmente applicato un
corpo, e data una grauezza ſoſpeſa da un dato ponto,
e dato il peſo del marco, ritrouare il ponto onde detto
marco ſoſpeſo faccia equipondio con la grauezza.
Dimoſtratione.
Sia la ſtatera A B il ponto del ſoſtenimento C, il corpo applicato
A D E B, la grauezza ſoſpeſa H I; il ponto onde la grauezza è appe­
ſa in A: il marco L, ſi cerca il ponto onde ſoſpeſo il marco, faccia e­
quipondio con H I, Per queſto: facciaſi alla linea A C uguale la C F,
114[Figure 14]
dunque il corpo D F applicato ad A F ſtà in equilibrio nel ponto della
ſoſpenſione C. et diuiſa F B reſtante per metà nel ponto G: del reſtan­
te corpo F E applicato alla linea F B, ſarà G, il ponto di momento. ſe
dunque la ragione che hà C F ad F G, habbia la grauezza E F alla
parte del peſo I, ſtarà il corpo F E in equipondio con I, e perciò ſe di nuo­
uo la ragione che hà, il marco al reſtante H habbia la parte de ſtate
ra A C, a C M, ſoſpeſo il marco L da M, farà equipondio
con H: & il corpo F E facea equipondio con I: ſtarà dunque ogni coſa
in equilibrio. ſi è dunque ritrouato il ponto M, onde ſoſpeſo il marco
faccia equipondio con la grauezza data. Il che ſi hauea da ritrouare.
PROPOSITIONE.
XII.
Fatta alla linea della ſtatera application di corpo, e
ſoſpeſe in eſſa più grauezze che ſoſtentino un peſo, ri­
trouare ciaſcuna grauezza quanto portion di peſo ſo­
ſtenti.
Dimoſtratione.
Sia la linea della ſtatera A B il ponto del ſoſtentimento C & alla
115[Figure 15]
linea A B ſia fatta application di corpo et in eſſa appeſe le grauezze D
E, F: D in A, E in G, F in H: e dette grauezze ſoſtentine il peſo I
K L M: il cui momento ſia nel ponto B: ſi cerca ciaſcuna di dette gra­
uezze D, E, F, quanta portione di peſo ſoſtenti. facciaſi per queſto alla
linea B C uguale la C N: e la reſtante N A ſi diuida in parti uguali nel
ponto O, e quella ragione che hà B C a C O quell'habbia il corpo della ſta­
tera applicato ad N A ad M: ſarà dunqueequiponderantecon M: c la par
te applicata ad N C è equiponderante alla applicata à B C: dunque il cor­
po della ſtatera ſtà in equipondio con la portione del peſo M: e le ragioni
delle grauezze D, E, F, e delle diſtanze A C, G C, H C, cioè la ragio­
ne della grauezza Dad F con la ragione della diſtanza A C a G C,
compongon la ragion di P a que & la ragione della grauezza E ad F,
con la ragione della diſtanza G C ad H C, compongon la ragione
1di Q ad R, & in quella ragione che ſono le tre quantità, P Q R,
poſte in continua habitudine, nella iſteſſa ſi diſtribuiſca il peſo I K L:
è manifeſto per quel che ſi è visto, che, D fa equiponderanza con I, lo
E co'l K, e lo F con lo L: ilche ſi cercaua.
PROPOSITIONE.
XIII.
La ſtatera di grauezze appeſe, che facciano equipon­
dio: quantunque dal ſito orizontale moſſa ſi ſtà.
16[Figure 16]
Dimostratione.
Sia la ſtatera nel ſito orizontale A B, il ponto della ſoſpenſione C,
li peſi e ſue centri D & E, il centro commune di ambe le grauezze F;
e moſſa la statera del ſito orizontale, paſſi il ponto A in G, il B in H,
1ſi che habbia la ſtatera la poſitione di G C H: li peſi e ſui centri di, I e
K: dico, che la ſtatera G H ſtarà, e non ſi mouerà di ſito. ſi moſtra
percioche eſſendo la grauezza I appeſa, inalzata, il centro ſuo gi­
rando verrà nella perpendicolare del ponto della ſoſpenſione: e perciò
I, verrà nella perpendicolare del ponto G e K del ponto H. ſono
dunque, G I H K parallele. e perche il centro commune de peſi, diui­
de nell'iſteſſa ragione la I K, & la D E, eſſendo la ragione delli peſi
vn'iſteſſa, & la C F nell'vna, e nell'altra ſoſpenſione perpendicolare,
e parallela, coſi alle A D E B, come alle G I, K H. perciò diuidendo
C F perpendicolare ſimilmente la D E, & la I K: ſarà il ponto F luo­
go del centro nell'vna, luogo anco di centro nell'altra. eſſendo dunque
il centro del peſo commune nella perpendicolare della ſoſpenſione, ſta­
rà. Ilche ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
XV.
La ſtatera di grauezze attaccate, che facciano equi­
pondio, ſe'l ponto della ſoſpenſione, non ſia nella linea
delli centri: moſſa dal ſito orizontale non ſtarà, ma ri­
tornarà nell'iſteſſo.
17[Figure 17]
Dimoſtratione.
Sia la linea della ſtatera, che ſtia nel ſito horizontale A B, li pe­
ſi attaccati, & li lor centri C e D, e diuidaſi G D ſecondo li peſi reci­
1procamente nel ponto E: è manifeſto che'l ponto E ſia il centro com­
mune di ambi li peſi, e che mentre la ſtatera ſta, che ſia detto centro
nella perpendicolare, che cala dal ponto F. perche dunque li peſi ſono
alla statera affiſſi, e non mutano li centri poſitura con la linea A B, e
ſempre fanno con eſſa angoli retti le C A, D B, E F, perciò moſſa
la ſtatera dal ſito horizontale, non ſarà E centro commune nella perpen­
dicolare della ſoſpenſione: ma girando vſcirà di detta perpendicolare,
e perciò la ſtatera non ſtarà, ſin che di nuouo il detto ponto non torne
nella perpendicolare.
18[Figure 18]
1
VETTE, E
LEVA.
DEFINITION.
I.
Vette diciamo la linea, che ſoſtiene grauezza,
qual ſia nelli ſue ponti eſtremi ſoſtenuta.
DEFINITION.
II.
Et altrimente, vette motiua e leua, la linea che ſo­
ſtenga grauezza, ſtabilita in vn ponto che ſotto leua
diciamo, & in vn'altro ponto da poſſanza, o moſſa, o
ſoſtenuta.
POSITION.
I.
Miſuriamo la poſſanza con vna grauezza equiualen­
te, o appeſa nell'iſteſſo ponto della poſſanza, o nell'al­
tro ponto egualmente dal ſottoleua diſcoſto.
POSITION.
II.
Ciaſcuna poſſanza in quanto ſoſtiene, eſſere egua­
le al peſo ſoſtenuto.
19[Figure 19]
1
PROPOSITION.
I.
S'il ſottoleua ſtia tra la grauezza, e la poſſanza che
ſoſtenga detta grauezza; ſarà tra la poſſanza, & il pe­
ſo la ragione, che è tra le parti della leua, reciprocamen­
te.
20[Figure 20]
Dimoſtratione.
Sia la linea A B, il ponto del ſottoleua C, la grauezza D ſoste­
nuta nel ponto della leua A; la poſſanza che ſoſtenga detta grauez­
za in B: dico che la poſſanza B al peſo D, ha quella ragione che ha
la parte di leua A C alla C B, qual è ragion reciproca. ſi moſtra: inten­
daſi attaccato in B il peſo che faccia equipondio con D: è manifeſto che
detto peſo E ſia equiualente alla forza B, ma il peſo E al peſo D ha la
ragione che A C a C B, che è la ragione reciproca di grauezza, e di­
ſtanze: dunque, la potenza ancora haue l'iſteſſa ragione. ilche ſi ha­
uea da moſtrare.
PROPOSITION.
II.
Se due potenze ſoſtentino vna grauezza con vn vet­
te, ciaſcuna ſoſtentarà la ſua portione, ſecondo l'inter­
uallo del peſo dalle potenze, pigliato reciprocamente.
121[Figure 21]
Dimoſtratione.
Sia il vette A B, dal cui ponto D, penda il peſo C: le potenze che
ſoſtengono dette grauezze ſiano A & B: dico che'l B, e lo A ſoſten­
tano portioni proportionali all'interualli reciprocamente: cio è che
quella ragione c'ha l'interuallo, B D, a D A, quella hàbbia la por­
tione ſoſtentata dall' A, alla portione ſoſtentata dal B, ſi dimoſtra:
tagliſi ad A D uguale B E, accoppiata dunque communemente la D
E, ſarà A E uguale a B D: aggiungaſi all' A e la A G, che le ſia egua­
le, & ad E B la B F che ſimilmente le ſia eguale. ſarà di tutta la G F,
il ponto mezzano D, & della G E, il ponto mezzano A, & della E
F, il ponto mezzano B. applicata dunque a tutta la G F, una grauez­
za che ſia uguale a C, ſarà di detta grauezza il ponto di momento in D
& ſarà equiualente nella ſua operatione alla grauezza C, & di eſſa
la parte applicata a G E ha il ſuo momento in A, c la parte applica­
ta ad E ha il ſuo momento in B. dunque della grauezza applicata
la potenza A, ne ſoſtentarà la portione applicata a G E: e la potenza
B, la portione applicata ad E F. Ma G E ad E F, ha la ragione che
l'interuallo B D, a D A che è reciproca. dunque le potenze ſoſtenta­
no le portioni de'peſi proportionali, reciprocamente pigliate con l'inter
ualli. ilche ſi hauea da moſtrare.
1
PROPOSITIONE.
III.
Se il ſottoleua ſia fuori della grauezza, e della poſ­
ſanza, ſarà la ragion della poſſanza alla grauezza l'iſteſ
ſa, che dell'interualli da eſse al ſottoleua reciprocamen­
te pigliati
22[Figure 22]
Dimoſtratione.
Sia la leua A B il ſotto leua A, la grauezza C, il ſuo momento in
D, la poſſanza che ſoſtiene in B: dico che la poſſanza alla grauezza
ha la ragione, che D A ad A B, che è la ragion delle diſtanze piglia­
te dal ſottoleua reciprocamente: ſi moſtra: perche il peſo C, e ſoſten­
tato dalla leua B A, e la leua è ſoſtentata in due ponti B & A. dunque
il peſo è ſoſtentato dalle potenze in B & A compartitamente,
la poſſanza B ſoſtenta tal portion di peſo, qual'è la diſtanza A D di A
B, & A, tal portione qual'è D B, di B A, e perche la poſſanza ſo­
ſtenente è uguale al peſo che ſoſtiene, ſono ambe le poſſanze B & A
giuntamente pigliate uguali al peſo E; e la portione ſoſtentata da B:
al tutto harrà quella ragione che la portion della leua D A a tutta
la leua A B. qual è l'iſteſſa che della diſtanza della grauezza, alla di­
ſtanza della potenza. ſi ha dunque l'intento.
1
PROPOSITIONE.
IV.
Se vna grauezza ſia con vna leua ſoſtenuta da due
ponti; & accreſciuta la leua dall altra parte ſi appenda
grauezza equiponderante, & ſi traſmuti in ſtatera: ſo­
itentarà il ſoſtenimento in tal commutatione peſo mag
giore, quale al peſo di prima ſoſtenuto, ha ragione com
poſta della ragione delle portioni di tutta la linea accre
ſciuta communicanti, alle portioni interuallate: fat­
te le due diuiſioni al ponto del ſottoleua, & al ponto
del primo momento.
23[Figure 23]
Dimoſtratione.
Sia la leua A B, il ſottoleua in A: la grauezza ſoſtenuta in C, la
poſſanza che'l ſoſtiene in B. & allungata la B A in vn D, appenda­
ſi in D, vna grauezza che ſoſtenti la grauezza C. dico che in queſta
commutatione il ſottoleua A ſoſtenti peſo maggiore, & che il peſo
ſoſtenuto in detta commutatione, al peſo ſoſtenuto di prima, ha la ra­
gion compoſta delle D C, A D, parti communicanti, alle D A, a C
B, parti interuallate. ſi moſtra: perche la parte del peſo ſoſtenuto da
A, a tutto il peſo C, ha la ragione, che B C a B A: &. il peſo C, ad
ambi li peſi C & D, ha la ragione che D A a D C, ma la ragione del­
1la portione ſoſtenuta da A, alla grauezza C, & di C, ad ambe CD, ſot
trattone il termine mezzano, compongono la ragione della portione ſoſte
nuta da A, ad ambe le C D, & la ragione di B C a BA, & di D A a D
C, fanno la ragione compoſta delle parti communicanti alle interuallate.
Haſſi dunque l'intento: che'l peſo di prima ſoſtenuto, al peſo ſoſtenuto
dopo la commutatione, ha la ragion compoſta delle parti interuallate alle
communicanti. Ilche ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
V.
Date nell' eſtremità del vette due poſsanze c'habbia­
no qualſiuoglia ragione tra di loro; e dato vn peſo, a det­
te poſſanze giuntamente pigliate vguale, ritrouare il
ponto del vette, onde il dato peſo ſoſpeſo, ſia da det
te poſſanze ſoſtenuto.
24[Figure 24]
Dimoſtratione.
Sia il vette AB: le poſſanze nelli ponti A e B, c'habbiano tradi lo­
ro qualſiuoglia ragione: & il peſo ad ambe poſſanze giuntamente pi­
gliate vguale ſia C: ſi cerca il ponto, onde detto peſo ſia da dette poßan
ze ſoſtenuto. per il che dico: che ſe in quella ragione, c' ha la poſſan­
1za B, ſi diuida la vette AB in D, e ſia come la poſſanza A alla B: così,
la portione di vette B D a D A: dico che poſto il peſo C, in D: ſarà,
ſoſtenuto da dette poſſanze: percioche grauando il peſo nelli ponti B: &
A, che ſoſtentano compartitamente, ſecondo la ragion di BD a DA:
& hauendo la portion che graua in A, alla portion che graua in B, la
ragion che B D a D A: qual'è l'iſteſſa che della poſſanza A alla poſſanza
B: dunque la portione che graua in, A alla portione che graua in B,
e come la poſſanza A, alla B: e permutando la portion che graua in A, a
la poſſanza A, ſarà come la portione che graua in B alla poſſanza B,
e componendo li antecedenti, tutto il peſo C, ad ambe le poſſanze giun
te, harrà l'iſteſſa ragione che vna advna: ma il peſo tutto C, è vgua­
le ad ambe le poſſanze giuntamente pigliate: dunque diuiſamente le
portioni, ciaſcuna alla poſſanza oue graua, ſarà vguale: e percio ſa­
rà del peſo ſoſtenuto, la portione che graua in A, vguale alla poſſanza
in A: e la portione che graua in B, vguale alla pòſſanza in B: e percio
le poſſanze ſoſtentaranno il detto peſo nel ponto D. Il che ſi hauea da
moſtrare,
Appendice.
Et è manifeſto che in ogni altro ponto del detto vet
te, il peſo non ſarà ſoſtenuto, ma aggrauerà più l'vna ò
l'altra poſſanza, verſo oue ſarà portato.
PROPOSITIONE.
VI.
Se una leua ſia inalzata, o baſſata ſotto l'orizonte:
& da un ponto fuori di eſſa, ſi tireranno due perpendi­
colari, l'vna ad eſſa leua, e l'altra all'orizonte: faran
no le due perpendicolari angolo tra di loro, vguale all'
angolo della leua con l'orizonte.
125[Figure 25]
Dimoſtratione.
Sia la linea orizontale A B, la leua ſopra di eſſa inalzata o deſpreſ­
ſa A C. il ponto fuori della leua E: da cui ſi tirino due perpendicolari
l'vna alla leua DE, l'altra all'orizonte D F, che ſeghi la leua in F, &
la linea orizontale in G. dico che l'angolo fatto dalle due D E, D F
ſia vguale all'angolo fatto, dalle due A B, A C: ſi moſtra: percioche
le due A C, D G, ſi ſegano nel ponto F, ſaranno l'angoli A F G, et D
F E, d'incontro vguali: e gli angoli ad E & G ſono retti: dunque il tri­
angolo D F E, è equiangolo al triangolo A F G, e l'angolo F D E, v­
guale a l'angolo F A G. Il che ſi hauea da mòſtrare.
Appendice,
Et è manifeſto che eſſendo detto ponto di ſopra la li
nea della leua inalzata, e di ſotto della leua baſſata; ſe­
cherà detta linea in ponto più dalla poſſanza lontano.
e per contrario pigliandoſi detto ponto, o ſotto dell'alza­
tà, o ſopra della baſſata, ſegherà in ponti più à detta pos­
ſanza vicini.
1
PROPOSITIONE.
VII.
Se'l centro del peſo attaccato ad eſſa leua ſia ſopra
della leua, inalzata la leua, la poſſanza ſoſtentarà minor
peſo.
26[Figure 26]
Dimoſtratione.
Sia la leua A B, a cui ſia attaccata vna grauezza, il cui centro ſia
C: & intendaſi detta leua in ſito dall'orizonte eleuato: dico che la po­
tenza B, ſoſtenta del peſo della grauezza minor portione, che nel ſito
orizontale. ſi moſtra: tirinſi dal ponto C linee, l'vna perpendicolare
alla leua che ſia C D, & l'altra perpendicolare all'orizonte, che
ſia C E, che ſeghi la leua nel ponto E: è manifeſto che'l detto ponto
ſarà più diſcoſto dalla poſſanza, e più vicino al ponto del ſottoleua. ſe
dunque per lo ponto C, ſi tiri la linea G C F, parallela all'orizonte, &
per li ponti B & A, le linee B F, A G, perpendicolari all'orizonte è mani
feſto, che l'iſteſſo effetto fa la poſſanza in F che ſe fuſſe in B, e lo ſoſtegno
in A l'iſteſſo che ſe fuſſe in C: percioche ciaſcun momento opera ſecon
da la ſua perpendicolare: perche dunque poſta la poſſanza in F, e lo ſo­
1ſtegno in G, la poſſanza F, ſoſtiene tal portione di tutto il peſo, qual
portione è G C, di G F: e qual'è G C, di tutta G F, tal'è A E di tutta
A B, perche le A G, C E, B F, ſono parallele: ſoſtenta dunque la poſ­
ſanza B, del peſo tal portione, qual'è A E di tutta A B: ſe dunque
A E è minor portione di A B, che la A D, dell'iſteſſa A B: la poſſan
za con la leua inalzata il cui centro del peſo è ſopra, ſoſtenta minor
portione che nel ſito orizontale. Il che ſi hauea da moſtrare.
Appendice. I.
E per l'iſteſſo mezzo ſi moſtrerà che quanto più la le
ua s'inalza, tanto minor peſo ſoſtiene.
Appendice. II.
E che poſto il centro della grauezza ſotto la leua,
quanto più s'inalzi, magior portione di peſo ſoſtenga.
Appendice. III.
E che nelle leue baſſate ſotto l'orizonte, auuenga a
contrario.
PROPOSITIONE.
VIII.
Dato nella leua il ponto di momento di una grauez­
za, e data qualſivoglia ragione di poſſanza a grauez­
za, ritrouar nella leua il ponto, oue la data poſſanza ſo
ſtenga la data grauezza.
127[Figure 27]
Dimoſtratione.
Sia nella leua A B, il ponto del ſottoleua in A: il ponto di momen­
to della data grauezza in C. et la ragion della poſſanza data alla grauez
za, come di E a D: ſi cerca nella leua il ponto, oue poſta la data poſ­
ſanza ſoſtenga la data grauezza. per queſto: facciaſi come E a D, così
A C ad A F: & intendaſi la poſſanza in F. dico che detta poſſanza in
F ſoſtiene la grauezza in C. ſi moſtra: percioche eſſendo la ragion del­
la poſſanza alla grauezza come E a D, e la ragion dell'interuallo del
la grauezza A C, all'interuallo della poſſanza A F, l'iſteſſa reciproca
mente: ſoſtentarà dunque la data poſſanza in F, la grauezza in C. Il
che ſi cercaua.
Appendice.
Et è manifeſto che in qual ſi uoglia altro ponto oltre
del termine del ſoſtenimento, la data poſſanza mouerà
la data grauezza: e tanto più facilmente quanto più ſi
ſcoſtarà.
28[Figure 28]
1
RAGGI NELL
ASSE.
SVPPOSITIONE.
Svpponiamo, in vno iſteſſo aſſe, due rag
gi c'habbiano nelli ſuoi ſtremi li centri de peſi.
E detti raggi, o in vna pianezza, e che non facciano
angolo, o in due, e che facciano angolo.
POSITIONE.
Pigliamo, il momento di ciaſcun peſo, ſecondo il pon
to, oue la perpendicolare del momento taglia la linea
orizontale, che paſſa per l'aſſe.
29[Figure 29]
PROPOSITIONE.
I.
Delle grauezze poſte in raggi che non fanno tra di
loro angolo, in qualunque ſito poſte, li momenti tra di
loro hanno l'iſteſſa ragione.
Dimoſtratione.
Sial'aſſe A, a cui ſiano affiſſi li raggi A B, A C, quali s'intenda­
130[Figure 30]
no eſſere nel ſito orizontale, & mouaſi dal detto ſito, sì che il B uen
ga in D, & il C venga in E: dico che li momenti delle grauezze in det
ti raggi quantunque moſſi di ſito, ſiano nell'iſteſſa ragione tra di loro.
ſi moſtra: tiriſi per D la perpendicolare D F & per E la perpendicola
re E G; perche dunque F A ad A G, ha la ragione che D A ad A E,
perciò che ſono D F, E G, parallele: ma come D A ad A E, così B A ad
A C: perche ſono l'iſteſſi raggi, come dunque B A ad A C, così F A
ad A G: e perche la ragion delli momenti e compoſta della ragion delle
grauezze, e della ragion delle diſtanze dal centro: ma la ragione delle
grauezze è l'iſteſſa: e la ragione delle diſtanze è l'iſteſſa: dunque la ragion
di ambe compoſte, è anco l'iſteſſa. Il che ſi hauea da moſtrare.
1
PROPOSITIONE.
II.
Date qual ſi uoglia due grauezze, nelli raggi che fac­
ciano angolo dato, ritrouar nelle loro circolationi, pon­
ti oue facciano equipondio.
31[Figure 31]
Dimoſtratione.
Sia l'aſſe A: li raggi che facciano angolo dato A C, B A: & intendaſi nel­
li ponti B e C, eſſer li centri delle grauezze: & le circonferenze che det­
ti ponti girando attorno fanno, ſiano E B, C F: ſi cercano in dette cir­
1conferenze li ponti, oue eſſendo dette grauezze, facciano equipondio.
Diuidaſi la B C interuallo de centri, ſiche qual ragione ha la grauezza,
B, alla C, tal habbia la linea C D alla, D B: e tiriſi A D: e tirata
per A, la A E B perpendicolare all'Orizonte, facciaſi all'angolo D A
B, vguale lo E A G: & allo D A C, vguale E A H: dico che'l ponto
G, è oue portato il B, & H, oue portato il C, fanno equipondio. E prima
che portato il B in G, venga il C in H, è manifeſto: percioche l'ango
B A C è vguale al G A H: e per l'iſteſſa ragione, è manifeſto che nell'
iſteſſo tempo il ponto D, ſia nella A E. ma il ponto D è il centro commu­
ne di peſo di dette due grauezze. E dunque il centro commune nel
la perpendicolare del ſoſtenimento: e perciò le grauezze ſtanno. Jl che
ſi cercaua.
Appendice. I.
Et è manifeſto che nelli due ponti, oppoſti alli ritroua
ti, facciano equipondio: & non altroue: percioche in o­
gni altra poſitura oltre di dette due, il centro commune
e fuori del perpendicolo.
Appendice. II.
Et è manifeſto che nell'arco ſotto il ponto dell'equi
pondio la grauezza ha momento maggiore: e nell'arco
ſopra il ponto dell'equipondio ha momento minore.
PROPOSITIONE.
I.
Dàte qual ſi uoglia due grauezze nelli dati raggi, che
fanno dato angolo: ritrouar nelle loro circolationi, pon­
1ti oue il momento dell'uno, al momento dell'altro habbia
qual ſi voglia data ragione.
32[Figure 32]
Dimoſtratione.
Siano le date grauezze A & B: li raggi AC, BC, fiſſi nell'aſſe C:
che facciano dato angolo: e la circolation di A ſia, AD: di B ſia B E. e
la data qualſiuoglia ragione ſia di F a G: ſi cercano nella circolatione DA
e nella BE, ponti oue habbian li momenti di A e B, ragion di F a G. In­
tendaſi nella ragion di A a B, la quantità F ad H. e nella reſtante ra­
gione di H a G, ſi diuida A B in L. & all'angolo L C A facciaſi vgua­
1le il D C M, & allo L C B eguale il DCN: èmanifeſto, che portato A in
M: B verrà in N. & il ponto L nella perpendicolare C D. e ſe per il
ponto C ſi tiri la P C Q parallela all'Orizonte: e dalli ponti M & N ſi
tirino a queſta, perpendicolari le MQ NP: ſarà il momento della
grauezza in M, al momento della grauezza in N di ragion compo
ſta della grauezza A alla grauezza B, e della distanza Q C, alla CP,
che è l'iſteſſa che di A L ad L B.percioche queſta è l'iſteſſa che di M O ad
O N: cioè della compoſta delle ragioni di F ad H, e di H a G: ciò è di F a
G. harranno dunque li momenti di A & B, mentre ſiano poſti nelli ponti
M & N la ragion data di F a G. Il che ſi cercaua.
Appendice.
Et è manifeſto che prodotte le linee del centro nelli
ponti oppoſti delle dette circonferenze, hauranno iui li
momenti delle date grauezze l'iſteſſa ragione: e non
altroue.
33[Figure 33]
1
MOMENTI
CENTRALI
E qvanto delli momenti paralleli habbiamo
moſtrato, tutto ſi adatterà anco alli momenti con­
correnti à centro: ſe in vece di linee dritte conſideria­
mo le circolari d'intorno il centro oue li momenti con­
corrono: & in dette circolari ſi faccia l'iſteſſa partitione:
e ſe in vece delli corpi terminati, da ſuperficie parallele,
s'intendano altri corpi terminati, parte da ſuperficie sfe
riche c'habbiano detto centro: parte da ſuperficie pia
ne che paſſino per eſſo.
34[Figure 34]
1
ROTE VET­
TIVE.
SVPPOSITIONE.
Svpponiamo vna, o più rote congiogate,
muouerſi per piano, che ſia, o di poſitura orizontale,
o inchinata.
DEFINITION.
I.
Cogiogation ſemplice, diciamo delle rote, che ſono
sù di vn'iſteſſo aſſe.
I.
Molteplice, delle rote che ſono in più aſſi.
III.
Portioni terminate dal ſoſtenimento diciamo nel cir
colo, le fatte dalla linea perpendicolare per lo ponto del
contatto, all'orizonte: e nel cilindro, dalla ſuperficie pia
na per la linea del contatto, perpendicolare ſimilmente
all'orizonte.
1
POSITIONE.
I.
Poniamo ogni forza, o trattiua, o pulſiua, giunger mo
mento uerſo quella parte, oue tira, o ſpinge.
II.
E ſe'l centro del peſo ſia nell'iſteſſa linea dell'appendi
mento, o ſoſtenimento: che la grauezza non habbia mo
mento, ne uerſo l'vna, ne uerſo l'altra parte.
35[Figure 35]
PROPOSITIONE.
I.
Della rota vettiua, che ſi moue ſopra di vn piano ori­
zontale, il centro del peſo ſempre è nella perpendicola­
re del ſoſtenimento.
36[Figure 36]
1
Dimoſtratione.
Sia la linea Orizontale A B: il circolo che rappreſenta la rota, CD:
il ponto, oue detta rota tocca il piano C: da cui ſi cacci ad angoli ret­
ti la linea C D, è manifeſto che detta linea, è la perpendicolare del ſoſte
nimento: & perquelche nelli libri Giometrici ſi moſtra: che paſſa per il
centro del circolo, che è il centro della rota e grauezza: perilche diui­
de il circolo il parti vguali, & equeponderanti: è dunque il centro
del peſo nella perpendicolare del ſoſtenimento. Il che ſi hauea da
moſtrare,
Appendice. I.
Et il ſimile ſi moſtra, nelle ſemplici rote congiogate,
ſopra l'aſſe de quali, poſi la grauezza.
Appendice, II.
Et è manifeſto nelle rote, sù l'aſſe de quali poſi la
grauezza: che nel piano orizontale, non habbian momen­
to ne verſo l'vna, ne verſo l'altra parte.
Appendice. III.
E che perciò qual ſi voglia poſſanza, le porterà così
nell'vna, come nell'altra parte,
1
PROPOSITIONE.
II.
Nella rota che ſi porta per piano inchinato, il centro
del peſo, è fuori della perpendicolare del ſoſtenimento.
et il momento della rota appoggiata al piano, al momen­
to della rota ſoſpeſa, la ha ragione, che l'ecceſſo delle
portioni del circolo, al circolo tutto.
37[Figure 37]
1
Dimoſtratione.
Sia la linea che rappreſenta il piano orizontale A B: la linea del pia
no inchinato A C: il circolo della rota D E FG: il toccamento D: e dal
ponto D, tiriſi perpendicolare all'orizonte B D F: è manifeſto che detta
linea, ſia la perpendicolare del ſoſtenimento: dico che'l centro del peſo
è fuori di detta linea. Si moſtra: perche del triangolo D B A: l'angolo,
E, che fa la perpendicolare con l'orizonte, è retto: reſta l'angolo B D A,
a cuto: e perciò la portione D G F, e maggiore del ſemicircolo; & in eſ
ſa ſarà il centro del circolo, che è anco centro di peſo. è dunque il cen­
tro del peſo fuori della linea del ſoſtenimento. De ſcriuaſi alla D E, la por
tione di circolo D H F, ſimile a D E F; ſaranno dette portioni vgua­
li, e faranno equipondio. reſta dunque la figura lunare ſenza equi
pondio: & il momento della rota appoggiata ſarà meno che della ro
ta ſoſpeſa, ſecondo la ragione della figura lunare a tutto il circolo: cio è
ſecondo la ragione dell'ecceſſo delle portioni, al circolo tutto. Il che
ſi hauea da moſtrare.
Appendice. I.
E l'iſteſſo che si è moſtrato nella rota c'ha grauezza;
si moſtra nelle rote al cui aſſe appoggi altro peſo.
Percio che ſe in vece del peſo appoggiato all'aſſe, intendiamo darſi
l'iſteſſo peſo alle rote: eſſendo peſi vguali con loro centri nell'iſteſſe li­
nee, & la linea del ſoſtenimento l'iſteſſa, harranno li peſi l'iſteſſi momenti
Appendice, II.
Et è manifeſto che detta rota correrà verſo la parte
del piano inferiore.
Percioche tirata dal centro I, la IG K perpendicolare del momento
tutto ſin che s'incontri col piano per oue camina: ſarà il ponto G della cir
1conferenza diſcoſto dal ponto K del piano per oue camina la rota: e tanto
maggiormente il ponto oue s'incontra la perpendicolare del centro di peſo del
la figura lunare: la cui diſtanza dalla linea del ſoſtenimento, è maggior che
la diſtanza del centro del circolo, ſecondo la ragion di tutto il circolo al
la figura lunare.
PROPOSITIONE.
III.
Se vn peſo ſia portato da due congiogationi di rote,
ſarà il peſo ſoſtenuto dalli due aſſi compartitamente, ſe­
condo la ragione delle diſtanze del momento da gli aſſi,
reciprocamente.
38[Figure 38]
Dimoſtratione.
Siano le due congiogationi di rote rappreſentate con li due circoli,
de quali gli centri ſono A e B ponti, che rappreſentano li due aſſi: e dal
ponto A al B, tiriſi la A B. & intendaſi il centro del peſo tutto appo
giato a detti due aſſi hauere il momento nel ponto C della detta linea.
1Dico che'l detto peſo è ſoſtenuto da detti aſſi compartitamente, ſecondo
la ragione delle BC, AC: cioè che di tutto il peſo l'aſſe A. ne ſoſten­
terà tal portione qual'è BC di B A, e B tale qual'è AC di AB, Si mo
ſtra intendaſi prolongata la AB nell'vna e l'altra banda, farſi ad AC
vguale la BD: & alla BC, vguale la AE: ſaranno le EC, DC vguali:
e di nuouo fatto alla AC uguale la AE, ſaranno le DB, BF, e le AE
AF, vguali: e percio ſe alla linea DE, s'intenda fatta application di
corpo: il momento di tutto ſarà nel ponto C. di cui il detto aſſe A ne
ſoſtentarà la portione applicata ad EF: e l'aſſe B la portione applicata
a DF, la ragion de quali è l'iſteſſa: che di BC ad AC: ma del corpo ap
plicato il centro del peſo è l'iſteſſo, dall'iſteſſi ponti ſoſtenuto. ſoſtengono
dunque gli aſſi il peſo compartitamente ſecondo la ragion di BC a C­
A. Il che ſi hauea da mostrare.
PROPOSITIONE.
IIII.
Se'l peſo sia portato da due congiongationi di rote per
piano inchinato: ſoſtenntarà l'aſſe delle rote inferiori di
detto peſo, maggior portione che ſe fuſſe nel piano ori
zontale.
Dimoſtratione.
Sia la linea del piano orizontale AB: del piano inchinato AC: li
centri de circoli delle rote D, & E: il centro della grauezza che sù
gli aſſi di dette rote appoggia F: Dico che di detta grauezza, dall'aſſe
D, ne ſarà ſostentata maggior portione: e dall'aſſe E, minore, che ſe
portata fuſſe per piano Orizontale. Si moſtra: tiriſi da F perpendico
lare alla DE, che ſia FG: e perpendicolare all'orizonte che ſia FH: ſa
rà il ponto G, il ponto del momento nel ſito orizontale. & H, nell'in
chinato: e perche EH, è maggior portione di ED: che EG, e DH,
1minore che DG: ſoſtentarà la rota inferiore ſecondo la ragione di EH,
ad ED; e la ſuperiore ſecondo la ragione di DH ad ED: ſoſtenta dunque
la rota inferiore, maggior portione di peſo: e la ſuperiore minor porti
one, che ſe nel ſito orizontale fuſſero. Il che ſi hauea da moſtrare.
39[Figure 39]
PROPOSITIONE.
V.
Data la rota che affondi in concauita ſotto il piano orizon
1tale: e data qual si uoglia grauezza: ritrouare in vn rag
gio la diſtanza oltre di cui detta grauezza appeſa, ſol­
leui detta rota.
40[Figure 40]
Dimostratione.
Sia la linea del piano orizontale ABCD: la concauità in eſſa BE
C: la rota che affondi BCF: la grauezza data G. ſi cerca in vn raggio
della rota, ponto oltre di cui ſoſpeſa la G, ſolleui detta rota. Sia il cen­
tro H: la linea del raggio prodotto HFI: qual ſia parallela all'ori­
zonte: e dal ponto C, ſi tiri la CK perpendicolare che affronti la HF, in K:
e la ragion c'ha la grauezza G al peſo della rota, habbia HK a KI: è
manifeſto perche KC, è perpendicolare del ſoſtenimento, che dal ponto I
la grauezza G, fa equipondio alla rota. e che da ogni ponto oltre, la ſol
leui, il che ſi cerca un.
1
TAGLIA.
SVPPOSITIONE.
Svpponiamo la taglia c'habbia in ſe una, o più
girelle, o sia in vno o più ordini. Et delle taglie, ſta
bile diciamo, il cui collo sia legato ad vn termine: mo­
bile il cui collo sia legato al peſo. Et altrimente mobile la
guidata da vna potenza, e che ad vn capo di eſſa ſia attac
cato il peſo. In oltre ſupponiamo della corda auuolta il
capo andare, o alla taglia, o ad'vn termine fiſſo, o a poſ­
ſanza, ò a peſo.
POSITIONE
I.
Poniamo della girella a cui sia auuolta corda data
a pesi, & a poſſanze, mentre detta girella non volta il mo
mento de capi eſſere vguale.
II.
Ma ſe la girella volta, il momento di quella corda eſ­
ſer maggiore, verſo di cui volta.
III.
E poniamo nelle girelle, di poſſanze e peſi vguali,
li momenti eſſere vguali.
1
PROPOSITIONE.
I.
Se delli due capi della girella, l'vna ſoſtenti peſo, l'al
tro ſia dato a poſſanza: la poſſanza del capo ſarà di mo
mento eguale al peſo. e la poſſanza della taglia ſoſtenta
rà il doppio.
Dimoſtratione.
Sia la taglia AB: li capi della fune auuolta
41[Figure 41]
A C, B D: dequali A C, ſoſtenti il peſo C: e B
D, ſia dato alla poſſanza in D: dico che la
poſſanza in D è di momento eguale al peſo: e
che la poſſanza in E, ſoſtenta il doppio. Si
moſtra: e prima che'l momento di D, ſia v­
guale al momento di C. è manifeſto: perche
ſe l'vn di loro fuſſe maggiore, la girella volte
rebbe verſo detto momento: Jl che è contro
il ſuppoſto. Dico hora che la poſſanza della
taglia ſia doppia del peſo: percioche eſſendo
la poſſanza di D, equiualente al peſo C: ambi
C e D, ſono il doppio di eſſo C: ma la poſsanza in
E, in quanto ſoſtiene, è vguale ad ambi: dun­
que è doppia di vn di loro. Haſſi dunque il
propoſto, che la poßanza D, ſia vguale al mo
mento di C: e che la E, ſoſtenti il doppio di eſſo.
1
PROPOSITIONE.
II.
Se li due capi di girella mobile, ſiano raccomanda­
ti a due poſſanze: ſoſtentarà così l'vna, come l'altra poſ
ſanza, la metà del peſo.
Dimoſtratione.
Sia la taglia A B, a cui ſia attaccato il pe
42[Figure 42]
ſo C: li due capi della corda auuolta alla gi­
rella A D, B E: le poſſanze in D, et E: dico
che così l'vna, come l'altra poſſanza ſoſten
ta la metà del peſo. ſi moſtra: percioche ſtan­
do la girella senza voltare, ſecondo il ſup. ſara
di conſeguenza il momento dell'vn capo v­
guale al momento dell'altro: e perciò le poſ
ſanze anco eguali. e perche ambe ſoſtenta­
no il peſo C: e le poſſanze, in quanto ſoſten­
gono, ſono eguali alli peſi. ſono dunque am
be eguali al peſo C: e perciò diuiſamente l'v
na e l'altra ſarà la metà di detto peſo
al che ſi hauea da moſtrare.
1
Appendice,
E perciò anco se l'vn capo sia raccomandato ad vn
termine fiſſo, l'altro a poſſanza: ſoſterrà la poſſanza la
metà del peſo.
Percioche mutato il termine in un'altra poſſanza: la poſſanza ſuppo
ſta ſoſterrà l'iſteſſa altra quantità di peſo che prima.
PROPOSITIONE.
III.
Delle corde, che dalla taglia ſu
periore, & dalla poſſanza alla ta
43[Figure 43]
glia inferiore peruengono: ciaſcu
na ſoſtiene egual parte dipeſo.
Dimoſtratione.
Sia la taglia ſuperiore A B: l'inferiore
C D: la corda auuolta no tata con l'iſteße let
tere: e di lei l'vn termine vada a ſoſtenere
la taglia inferiore in E: l'altro ſia dato al­
la poſſanza in F. Dico che ciaſcuna corda
ſoſtiene egual parte di peſo. Si moſtra:
perche ſtando la girella A B, il momento
del capo B D è eguale al momento del ca­
po A E: e del capo C F, al capo B D, per
la girella C D: ſono dunque tutte di momen­
to eguali: perciò ciaſcuna ſoſtentarà e­
gual parte di peſo. e ſe il capo A E non fuſ
ſe ligato alla taglia, ma ad altro termine, ſa
rebbe l'iſteſſo, ma il numero delle corde di
vna meno. Il che ſi hauea da moſtrare.
1
PROPOSITIONE.
IIII.
Se l'vn capo della fune auuolta
44[Figure 44]
a girelle, ſia raccomandato alla ta
glia ſuperiore: il peſo ſoſtenuto
è diſtribuito in parti di numero
pare.
Dimostratione.
Sia la taglia inferiore e mobile AC B D:
la ſuperiore E F G H: la fune auuolta nota
ta con l'isteſſe lettere: il termine del capo C 1,
attaccato alla taglia ſuperiore, s'intenda eſſe
re in I: l'altro termine raccomandato alla
poſſanza s'intenda eſſere o in K del capo B
K, che vien dalla taglia inferiore, o in L, del
capo G L, che vien dalla taglia ſuperiore.
Dico che, e nell'vno, e nell'altro modo, il pe
ſo è diſtribuito in parti di numero pare.
Si moſtra: percioche venendo alla girella
C D due corde, l'vna da taglia, l'altra da
girella E F: ſaranno detti capi di momen­
ti eguali: perche ſi pone la girella non vol
tare. ſimilmente perche alla girella A B
vengono due corde, l'vna dalla girella EF,
che è la corda E A, l'altra dalla poßanza
K, che è la corda KB: ſaranno dette corde
di momenti eguali. ma la DF, è di momento
eguale alla A E, e alla B K: ſono dunque
tutte tra di loro di momento eguale: e
ſono di numero pare: percioche a cia­
1ſcuna girella ne vengono due. perche dunque il peſo è ſoſtenuto da
dette corde di momento eguale: perciò, mentre l'vn capo ſia attaccato
alla taglia ſuperiore, l'altro dato alla poſſanza, il momento del peſo è di
ſtribuito in parti di numero pare: ne altro auuiene, ſe la poßanza ſia in
L, nel capo, che viene dalla taglia ſuperiore: percioche il numero del
le corde, che alla taglia inferiore peruengono è l'iſteſſo.
Appendice. I
Et è manifeſto, che poſta vna girella meno nella ta­
glia ſuperiore, ſi ſoſterrà dalla poſſanza l'iſteſſo che ſe
fuſſero le girelle ſuperiori di numero eguale alle in­
feriori, è che per detta girella aggiunta, si muta ſo
lamente l'un momento nell'altro di ſpezie contraria.
PROPOSITIONE.
V.
Se l'vn capo della fune auuolta a girelle, ſia racco­
mandato alla taglia inferiore: il peſo ſoſtenuto è diſtri
buito in parti di numero ſpare.
Dimoſtratione.
Sia la taglia ſuperiore e stabile AB, CD: l'inferiore e mobile E­
F, G H: la fune auuolta notata con l'iſteſſe lettere: e di eſſa l'vn ter­
mine I, che è del capo C I, ſia attaccato alla taglia inferiore: et il termi
ne K, del capo E K, raccomandato alla poſſanza in K: dico che'l peſo è
1diſtribuito in parti dinumero ſpare. Si
45[Figure 45]
moſtra: percioche vengono due capi dalla
girella C D, alla taglia inferiore, e due
dalla A B, e ſimilmente da qual ſi voglia
altra girella: ſono dunque li capi, che dal
le girelle alla taglia vengono, di numero
pare. et euui in oltre il capo della poſſan
za: ſono dunque tutti di numero ſpare.
e ſono, per quel che ſi è detto nelle prece
denti, tutte di momento eguale: dunque
il peſo è diſtribuito in parti di numero
ſpare. Jl che ſi hauea da moſtrare.
Appendice. I.
Et è manifeſto, che aggionta
alla taglia ſuperiore vna girel­
la, si commuta ſolamente il mo­
mento della poſſanza, in mo­
mento di ſpezie contraria.
Appendice. II.
E raccogliamo, che ligato l'vn
capo alla taglia ſuperiore, puote
ſtar detta taglia con vna girella
meno: e ligata all'inferiore con
vna girella più.
1
PROPOSITIONE.
VI
Se vn capo della taglia ſupe
46[Figure 46]
riore sia raccomandato ad vn
termine fiſſo: ſarà il peſo diſtri
buito in parti di numero pare.
Dimoſtratione.
Sia la taglia ſuperiore A B C D, l'­
inferiore E F G H: la fune auuolta a gi
relle notata con l'iſteſſe lettere: di cui
il capo D I dalla girella C D della taglia
ſuperiore ſia raccomandato ad I termi
ne fiſſo: & il capo F K, dalla girella E F,
della taglia inferiore, raccomandato al
la poſſanza in K. Dico che'l peſo è diſtri
buito in parti di numero pare. Si mo­
ſtra: percio che venendo alla taglia infe
riore le corde ſolo delle girelle, & da cia
ſcuna girella due corde, quali tutte ſi è
moſtrato che ſoſtentino egual momento:
ſarà il peſo diſtribuito in corde di nume
ro pare, che egualmente ſoſtentano: e
perciò ſarà diſtribuito in dette parti. Il
che ſi hauea da moſtrare.
Correlario. I.
E manifeſto dunque che li
gato il capo di ſopra alla taglia
1inferiore, il peſo è diſtribuito in parti di numero ſpare,
et comunque altrimente, in parti di numero pare.
Correlario. II.
Et attaccato il capo di girella inferiore alla taglia ſu
periore, o à qual si voglia termine fiſſo: che la taglia in
feriore habbia vna girella più.
PROPOSITIONE.
VII.
47[Figure 47]
Se'l peſo sia moſſo con ta
glie, quanto il peſo è moltepli
ce della poſſanza ſoſtenente,
tanto lo ſpatio, che detta poſ­
sanza camina, è molteplice del
lo ſpatio caminato dal peſo.
Dimostratione.
Sia la girella della taglia ſuperiore
A B: della inferiore nella prima po­
ſitione ſia C D: e la poſſanza che ſoſtie
ne il capo ſia in E: della ſeconda poſi
tione ſia in G H, e la poſſanza in I. Di
co che lo ſpatio caminato dalla taglia
mobile e peſo, è tal parte dello ſpatio
E I, qual la poſſanza ſoſtenente in E
è parte del peſo. Si moſtra: perche
quante ſono la corde, che alla taglia
1inferiore peruengono, ſecondo tal numero la poſſanza che ſoſtiene è
parte del peſo: e perche nel mouimento della taglia ciaſcuna corda
ſi abbreuia egualmente, portata C D, in H G: le C G, D H parti del
la corda auuolta, quante ſi ſiano, pigliate inſieme, ſarano di lunghezza
tanto molteplici dello ſpatio caminato, quanto è il numero delle cor
de. ma la corda E A B D C F, è vguale alla I A B H G: dunque tol
tone di commune la F G H B A E, reſta le E I, eguale alla G C D H:
e percio E I, ſarà altre tanto molteplice dello ſpatio caminato, quan
to erano le corde C G, D H. ciò è il peſo tutto del peſo da vna corda
ſostenuto. Il che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITIONE.
VIII.
Problema. I.
Data qual si voglia grauezza, e poſſanza: ritroua
re il minor numero di girelle nella taglia, con quali
la data poſſanza moua il dato peſo.
Dimoſtratione.
Sia la data grauezza A, la poſſanza B: a cui ſi pigli vn peſo e­
quiualente C: e moltiplichiſi C, ſin che la prima volta ecceda la
grauezza A, il che ſia per il numero D. ſe dunque D è pare piglin
ſi nella taglia inferiore altre tante girelle, quante vnità ſono nella
inetà del numero: è manifeſto che la poſſanza mouerà il peſo con le
date girelle: ma ſe D ſia ſpare, toltane vnità, piglinſi girelle quan
te vnità ſono nella metà del reſto, e ligheſi vn delli capi alla taglia:
è manifesto ſimilmente che mouerà la poſſanza la data grauezza.
Il che ſi cercaua.
1
PROPOSITIONE.
VIII.
Problema. II.
Data qual ſi voglia velocità, e data la tardità della
poſsanza: applicar o vna taglia di più girelle, o più ta
glie di vna girella, ſi che la poſſanza moua il dato pe­
ſo in velocità magior della data.
Dimoſtratione.
Pigliſi lo ſpatio che nel dato tem­
48[Figure 48]
po camini la poſſanza: e lo ſpatio che
vogliamo che la coſa camini, e ſi mol
tiplichi il minore fin che la prima vol
ta auanzi, e quanto queſto è molte­
plice, tante corde ſiano nella taglia ſu
periore, pigliando la metà di girelle ſe
ſia pare, & ſe ſia ſpare, ligando vn ca
po ad eſſa taglia ſuperiore. Ligato dun
que il peſo ad vn capo, la poſſanza, che
tira la taglia, tirerà anco il peſo: e ca­
minerà lo ſpatio moltiplice al moui­
mento di eſſa poſſanza. Ma, ſe vo
gliamo far ciò con piú taglie di vna gi
rella, radoppiſi lo ſpatio, e di nuouo il
fatto dal radoppiamento ſi radoppij: e
ciò ſi torni a fare, si che l'ultimo radop
piamento auanzi lo ſpatio maggiore.
Se dunque, quante volte ſi è radoppia­
to, tanto numero ditaglie ſi pigli, si mo
uer à il peſo ſecondo la ragion del radop
piamento dello ſpatio, e perciò ſi mo­
uerà con maggior velocità della data.
1
ROTE MO
TIVE.
49[Figure 49]
SVPPOSITION.
I.
Svpponiamo il mouimento di rote in aſſi
che ſtanno co'l toccamento, communicarſi l'vna
all'altra il mouimento: e che'l momento della poſſan­
za ſia per linea che faccia angolo retto co'l raggio di
eſſa rota: e de momenti altri eſſer concorrenti, altri
contrarij.
DEFINITION.
I.
Concorrenti momenti diciamo quelli, che portan­
do verſo l'iſteſſa parte, ſi accreſcono.
II.
Contrarij quelli, che s'impediſcono portando in
contrario.
POSITION.
I.
Poniamo, poſſanze eguali in circonferenze direte
eguali, hauer momenti eguali.
1
POSITION.
II.
Et in rote ineguali hauer momento ineguale, ſecon
do la ragion de ſemidiametri.
III.
E gli momenti contrarij, per quanto ſi annullano, l'
vno eſſere eguale all'altro.
PROPOSITION.
I.
Se quante ſi voglia rote, vna per aſſe, ſi tocchino:
e poſte le poſſanze l'vna nella circonferenza della pri
ma, e l'altra dell'vltima, ſi rattengano: ſaranno le poſ
ſanze eguali.
50[Figure 50]
1
Dimostratione.
Siano quante ſi voglia rote ne gli aſſi A, B, C, che ſi tocchino: ciò
è che la A tocchi la B nel ponto D: e la B tocchila C nel ponto E:
& intendaſi nella circonferenza di A eſſer la potenza F: e nella cir
conferenza di C la potenza G: che l'una rattenga l'altra. Dico che
le potenze ſono eguali. Si moſtra: percio che la poßanza in F, è dell'­
iſteſſo momento, che ſe fuſſe in D, dell'iſteſſa rota A: ma il ponto
D, è ponto commune a due rote: e la poſſanza in D della rota B,
è quanto fuſſe in E: ſarà dunque la poſſanza in F l'iſteſſo che ſi fuſſe
in E: perche dunque la poſſanza in F ſi annulla con la poſſanza in G, ſo
no li loro momenti eguali. Ma le poſſanze che ſono in un'iſteſſa rota
di momenti eguali, ſono eguali: dunque la poſſanza in F è uguale alla
poſſanza in G. Jl che ſi hauea da moſtrare.
PROPOSITION.
II.
Delle due rote in vno aſſe la poſſanza, che fa egual
momento nella rota magiore è di valor minore: e nel
la minore è di valor maggiore, nella ragione de ſemi
diametri reciproca.
Dimostratione.
Siano ſu l' aſſe A le rote A B, A C: & intendaſi la poſſanza B,
in circonferenza della rota maggiore, hauere egual momento alla
poſſanza C in circonferenza della rota minore. Dico che la poſſan­
za B è minore della poſſanza C, ſecondo la ragione di C A ad A B.
Si moſtra: intendaſi nell circonferenza di A C eſſer poſſanza eguale
a B, che ſia D: ſarà il momento di B al momento di D, nella ragion
151[Figure 51]
della linea dritta B A alla D A: ma il momento di B, è uguale al
momento di C: dunque il momento di C al momento di D, è come
B A ad A D. Se dimque le poſſanze dell'iſteſſa rota ſono tra di loro
nella ragione delli momenti: ſarà di conſeguenza la poſſanza in D
alla poſſanza in C, come il ſemidiametro D A, al ſemidiame­
tro A B, e del diametro tutto a tutto. Il che ſi hauea da mo­
ſtrare.
1
PROPOSITION.
III.
Se le rote, poſte a due in ciaſcun aſſe, ſi tocchino:
e le poſſanze, poſte l'vna nella prima, l'altra nell'vl­
tima rota, ſi rattengano: ſarà la ragion dell'vna poſſan
za all'altra l'iſteſſa, che la ragion compoſta delli ſemi
diametri, che ſono ſu l'iſteſſo aſſe, pigliate reciproca­
mente.
Dimoſtratione.
Siano ſu l'aſſe A, le due rote A B, A C: e ſu l'aſſe D, le rote D C
D F: & intendaſi la rota D C, eſſer toccata dalla A C nel ponto C:
c l'una poſſanza eſſere in B l'altra in E. Dico che la poſſanza in B,
52[Figure 52]
alla poſſanza in F ha la ragion compoſta delle ragioni di F D a D C,
1e di C A ad A B, che ſono le ragioni de ſemidiametri reciprocamen
te pigliati. Si moſtra: percioche eſſendo il momento in B uguale al
momento in C, perche ſono in vno iſteſſo aſſe: & il momento in C al
momento in F, per l'isteſſa ragione: & è la poſſanza in F, alla
poſſanza in C, come il diametro C D a D F: e la poſſanza in C,
alla poſſanza in B, co me B A ad A C. Dunque la poſſanza in F alla
poſſanza in B, ha la ragion compoſta di C D a D F c di B A ad A C,
che è la ragion compoſta delle ragioni de diametri reciprocamente
pigliati. Jl che ſi hauea da moſtrare.
DEFINITIONE.
Momento della rota diciamo, il momento del pon
to poſto nella circonferenza di eſſa rota.
PROPOSITION.
IIII.
Se in vna congiogation di rote ineguali, o in più,
che la minor dell'vna congiogatione tocchi la mag­
gior dell'altra, ſi ponga la poſſanza in vna di dette
rote: ſarà il momento dell'vltima minor rota, maggior
del momento della prima maggior rota, ſecondo la ra­
gion compoſta delli diametri. e la velocità ſarà mino
re, ſecondo l'iſteſſa ragion de diametri.
Dimoſtratione.
Siano le congiogationi di rote, de quali gli aſsi ſiano A e B: & in­
tendaſi ſu l'aſſe A eſſer la rota maggiore A C, e la minore A D,
153[Figure 53]
e ſu l' aſſe B, eſſer la maggiore D B, e la minore B E: e ſia il contat
to della minore di vn'ordine, con la maggiore dell'altro, il ponto D:
e ſuppongaſi prima la poſſanza porſi nella circonferenza di A C.
Dico che'l momento della rota A D, è maggiore del momento di
A C, secondo la ragione della linea C A ad A D. Si moſtra: per
cioche poſta in D una poſſanza di momento eguale alla poſſanza in C,
ſarà detta poſſanza in D, maggiore, che la poſſanza in C: ma il mo
mento della rota, oue è poſta la poſſanza, è uguale ad eſſa poſſan­
za: ſarà dunque il momento della rota A D maggiore che della rota
A C ſecondo la ragion de diametri: queſto in una congiogatione
& in più: per che il momento della circonferenza di A D è l'iſteſſo
che della circonferenza di B D, per lo contatto, che fa communi­
canza: ma il momento della circonferenza di B E, è di forza
maggiore che di B D ſecondo la ragione del diametro, B D a B E:
dunque fatta compoſitione de ragioni il momento della circonferen
za di B E, è maggiore del momento della circonferenza di C A ſe
condo la ragion compoſta di B D a B E, e di C A ad A D. Il che
ſi hauea da moſtrare.
Dico che la uelocità è minore nella iſteſſa ragione: il che è mani­
1feſto: percioche la velocità delle rote, che nell'iſteſſo tempo finiſcono
il circuito, è proportionale alle circonferenze di eſſe rote: e le circon
ferenze ſono di quantità proportionale alli diametri. Sono dunque le
velocità delle rote proportionali alli diametri. Jl che ſi hauea da
moſtrare.
PROPOSITION.
V.
Date due poſſanze di momento contrario, l'vna mi
nore, e l'altra maggiore: e data la ragione dell'vna al­
l'altra delle due rote congiogate: ritrouar il minor nu­
mero de congiogationi, ſiche la data poſſanza minore
vinca la maggiore.
54[Figure 54]
1
Dimostratione.
Siano le date poſſanze di momento contrario A, B: De quali A
ſia la maggiore, c B la minore.: la ragion delle rote congiogate ſia di
C a D: ſi cerca il minor numero de congiogationi, ſiche la poſſanza
B minore vinca la A maggiore. Piglinſi nella ragione di C a D con
tinuamente le C, D, E, F: ſiche la C ad F habbia maggior ragione
che l' A a B: & eguale di numero all'interualli de termini ſi piglino
le congiogationi di rote G, H, I: e ſiano ſu l'aſſe G, le rote G K, G
L, ſu l'aſſe H le rote H L, H M: e ſu l'aſſe I le rote M I, I N. E ma
nifeſto che'l momento della poſsanza in K, al momento ſuo in N, ha la
ragion compoſta delle ragioni de ſemidiametri: e perciò poſta la poſ­
ſanza maggiore A in N: e la minore B in K: ſara il momento della B
in K, maggiore che'l momento dell' A in N. Il che ſi hauea da
trouare.
PROPOSITION.
VI.
Data qualſivoglia tardità di poſſanza, & qualſivo
glia velocità: e data la ragion de diametri delle rote con
giogate: ritrouar vn minimo numero de congiogatio
ni, ſi che la data poſſanza moua la coſa con velocità
maggiore della data.
Dimostratione.
Sia la poſſanza tarda A, la veloce B, lo ſpatio caminato da A in
vn dato tempo ſia C, lo C caminato da B nell'iſteſſo tempo ſia D: la
ragion de diametri congiogati ſia di E, ad F: biſogna ritrouare il
155[Figure 55]
minimo numero de congiogationi, col quale la tarda A moua con ve
locità maggior che'l B. Piglinſi le E, F, G, continuate nella ragion
de diametri, che la prima volta l'interuallo della prima all'vltima
dico di G ad E, ſia maggiore che di C a D: e quanti interualli ſono il
E, F, G: tante congiogationi di rote ſi piglino nella iſteſſa ragione: l'a
ſe de quali ſiano H, I: e nello aſſe H, la minor rota ſia H K, la maggio
re H L: e nell'aſſe I la minore I L, la maggiore L M. il contatto del
l'vna congiogatione all'altra il ponto L: è manifeſto che la veloci­
tà del ponto M, alla velocità del ponto K, è compoſta della ragion del
li diametri M I, ad I L, & H L ad H K: che è l'iſteſſa, che di G ad E:
ma G ad E, è di maggior interuallo che di D a C. Dunque, poſta la poſſan
za tarda in K, la coſa moſſa con la circonferenza M, ſi mouerà con mag
gior velocità della data. Il che ſi hauea da trouare.
1
MOMENTI ACQVISTATI.
Poniamo degli momenti, altri eſſer intrinſechi: al
tri acquiſtati, & altri miſti: & intrinſechi quelli, che
non da mouimento precedente dipendono: come ſono
gli mouimenti delle grauezze in giù, e del corpo leggiero
dentro l'humor più graue in sù. Acquiſtati quelli, che ſe­
guono l'impreſsion fatta da precedente mouimento: come
il mouimento della coſa lanciata, che ſegue il mouimento
del braccio, o della corda. Miſti, come il mouimento delle
grauezze dopo l'hauer dato principio a mouerſi: per il che
veggiamo li peſi di vicino laſciati, mouerſi con minor mo­
mento, che laſciati di lontano: e molte coſe portate dalla
propria grauezza nell'aria penetrar ſotto l'accqua, con­
tro di quel che porta l'intrinſeco momento: onde dopo
l'eſſere affondate da ſe ſteſsi ritornar á galla. Et il momen­
to intrinſeco eſſer l'iſteſſo ſempre. l'acquiſtato, mancando
la cauſa di ponerſi, e con il tempo, e dall'impedimento che
le faccia reſiſtenza. CVGNO.
Il cugno percoſſo, conſiderato in vn modo, rappreſenta
un piano inchinato, che ſi ſpinga ſotto il peſo. Et altrimen
te rappreſenta due leue, che nelle loro ſtremità, facciano
l'vna all'altra ſottoleua, & habbiano il peſo tra la poſſanza,
e'l ſottoleua. Et altrimente rappreſenta leua nel cui ſtremo
ſia il peſo, & il ſottoleua tramezzo. VITE E CHIOCCIA.
La vite, o chioccia rappreſenta vno o più piani auuolti
ad vn fuſello. Sono e maſchia, e femina: de quali vna ſtan­
do ferma, l'altra che gira ſoſtiene il peſo. acquiſta dunque for
za, ſecondo la detta inchinazione, e ſecondo la lunghezza del
raggio che ſe le accompagna. Vite perpetua diciamo vn
sympano con denti a vite, che girando tocchi rota dentata.
Per il che accreſce la forza, e per la proprieta della vite,
e della congiogatione delle rote.
IL FINE.