Pappus Alexandrinus, Mathematical Collection, Book 8, 1876

Bibliographic information

Author: Pappus Alexandrinus
Title: Mathematical Collection, Book 8
Date: 1876

Permanent URL

Document ID: MPIWG:H7Z1N7S4
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:H7Z1N7S4

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1022ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Η.
Περιέχει δὲ μηχανικὰ προβλήματα σύμμικτα ἀνθηρά.
Ἡ μηχανικὴ θεωρία, τέκνον Ἑρμόδωρε, πρὸς πολλὰ
καὶ μεγάλα τῶ ἐν τῷ βίῳ χρήσιμος ὑπάρχουσα πλείστης
εἰκότως ἀποδοχῆς ἠξίωται πρὸς τῶν φιλοσόφων καὶ πᾶσι
τοῖς ἀπὸ τῶν μαθημάτων περισπούδαστός ἐστιν, ἐπειδὴ
σχεδὸν πρώτη τῆς περὶ τὴν ὕλην τῶν ἐν τῷ κόσμῳ στοι-
χείων φυσιολογίας ἅπτεται. στάσεως γὰρ καὶ φορᾶς σωμά-
των καὶ τῆς κατὰ τόπον κινήσεως ἐν τοῖς ὅλοις θεωρημα-
τικὴ τυγχάνουσα τὰ μὲν κινούμενα κατὰ φύσιν αἰτιολογεῖ,
τὰ δ' ἀναγκάζουσα παρὰ φύσιν ἔξω τῶν οἰκείων τόπων εἰς
ἐναντίας κινήσεις μεθίστησιν ἐπιμηχανωμένη διὰ τῶν ἐξ
αὐτῆς τῆς ὕλης ὑποπιπτόντων αὐτῇ θεωρημάτων. τῆς δὲ
μηχανικῆς τὸ μὲν εἶναι λογικὸν τὸ δὲ χειρουργικὸν οἱ περὶ
τὸν Ἥρωνα μηχανικοὶ λέγουσιν· καὶ τὸ μὲν λογικὸν συν-
εστάναι μέρος ἔκ τε γεωμετρίας καὶ ἀριθμητικῆς καὶ ἀστρο-
νομίας καὶ τῶν φυσικῶν λόγων, τὸ δὲ χειρουργικὸν ἔκ τε
1024χαλκευτικῆς καὶ οἰκοδομικῆς καὶ τεκτονικῆς καὶ ζωγραφικῆς
καὶ τῆς ἐν τούτοις κατὰ χεῖρα ἀσκήσεως· τὸν μὲν οὖν ἐν
ταῖς προειρημέναις ἐπιστήμαις ἐκ παιδὸς γενόμενον κἀν
ταῖς προειρημέναις τέχναις ἕξιν εἰληφότα πρὸς δὲ τού-
τοις φύσιν εὐκίνητον ἔχοντα, κράτιστον ἔσεσθαι μηχανι-
κῶν ἔργων εὑρετὴν καὶ ἀρχιτέκτονά φασιν. μὴ δυνατοῦ δ'
ὄντος τὸν αὐτὸν μαθημάτων τε τοσούτων περιγενέ-
σθαι καὶ μαθεῖν ἅμα τὰς προειρημένας τέχνας παραγγέλ-
λουσι τῷ τὰ μηχανικὰ ἔργα μεταχειρίζεσθαι βουλομένῳ
χρῆσθαι ταῖς οἰκείαις τέχναις ὑποχειρίοις ἐν ταῖς παρ'
ἕκαστα χρείαις.
Μάλιστα δὲ πάντων ἀναγκαιόταται τέχναι τυγχάνουσιν
πρὸς τὴν τοῦ βίου χρείαν [μηχανικὴ προηγουμένη τῆς ἀρχιτεκ-
τονικῆσ] ἥ τε τῶν μαγγαναρίων, μηχανικῶν καὶ αὐτῶν κατὰ
τοὺς ἀρχαίους λεγομένων [1μεγάλα γὰρ οὗτοι βάρη διὰ μηχα-
νῶν παρὰ φύσιν εἰς ὕψος ἀνάγουσιν ἐλάττονι δυνάμει κι-
νοῦντεσ]1, καὶ ἡ τῶν ὀργανοποιῶν τῶν πρὸς τὸν πόλεμον
ἀναγκαίων, καλουμένων δὲ καὶ αὐτῶν μηχανικῶν [1βέλη γὰρ
καὶ λίθινα καὶ σιδηρᾶ καὶ τὰ παραπλήσια τούτοις ἐξαπο-
στέλλεται εἰς μακρὸν ὁδοῦ μῆκος τοῖς ὑπ' αὐτῶν γινομένοις
ὀργάνοις καταπαλτικοῖσ]1, πρὸς δὲ ταύταις ἡ τῶν ἰδίως
πάλιν καλουμένων μηχανοποιῶν [1ἐκ βάθους γὰρ πολλοῦ
ὕδωρ εὐκολώτερον ἀνάγεται διὰ τῶν ἀντληματικῶν ὀργά-
νων ὧν αὐτοὶ κατασκευάζουσιν]1. καλοῦσι δὲ μηχανικοὺς
οἱ παλαιοὶ καὶ τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὧν οἱ μὲν διὰ πνευ-
μάτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς Ἥρων πνευματικοῖς, οἱ δὲ διὰ νευ-
ρίων καὶ σπάρτων ἐμψύχων κινήσεις δοκοῦσι μιμεῖσθαι, ὡς
Ἥρων αὐτομάτοις καὶ ζυγίοις, ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ' ὕδατος
ὀχουμένων, ὡς Ἀρχιμήδης ὀχουμένοις, ἢ τῶν δι' ὕδατος ὡρο-
1026λογίων, ὡς Ἥρων ὑδρείοις, ἃ δὴ καὶ τῇ γνωμονικῇ θεωρίᾳ κοι-
νωνοῦντα φαίνεται. μηχανικοὺς δὲ καλοῦσιν καὶ τοὺς τὰς
σφαιροποιί̈ας [ποιεῖν] ἐπισταμένους, ὑφ' ὧν εἰκὼν τοῦ οὐρα-
νοῦ κατασκευάζεται δι' ὁμαλῆς καὶ ἐγκυκλίου κινήσεως ὕδατος.
Πάντων δὲ τούτων τὴν αἰτίαν καὶ τὸν λόγον ἐπεγνω-
κέναι φασίν τινες τὸν Συρακόσιον Ἀρχιμήδη· μόνος γὰρ
οὗτος ἐν τῷ καθ' ἡμᾶς βίῳ ποικίλῃ πρὸς πάντα κέχρηται
τῇ φύσει καὶ τῇ ἐπινοίᾳ, καθὼς καὶ Γεμῖνος ὁ μαθημα-
τικὸς ἐν τῷ περὶ τῆς τῶν μαθημάτων τάξεώς φησιν. Κάρ-
πος δὲ πού φησιν ὁ Ἀντιοχεὺς Ἀρχιμήδη τὸν Συρακόσιον
ἓν μόνον βιβλίον συντεταχέναι μηχανικὸν τὸ κατὰ τὴν σφαι-
ροποιί̈αν, τῶν δὲ ἄλλων οὐδὲν ἠξιωκέναι συντάξαι. καίτοι
παρὰ τοῖς πολλοῖς ἐπὶ μηχανικῇ δοξασθεὶς καὶ μεγαλο-
φυής τις γενόμενος ὁ θαυμαστὸς ἐκεῖνος, ὥστε διαμεῖναι
παρὰ πᾶσιν ἀνθρώποις ὑπερβαλλόντως ὑμνούμενος, τῶν
τε προηγουμένων γεωμετρικῆς καὶ ἀριθμητικῆς ἐχομένων
θεωρίας [καὶ] τὰ βραχύτατα δοκοῦντα εἶναι σπουδαίως
συνέγραφεν· ὃς φαίνεται τὰς εἰρημένας ἐπιστήμας οὕτως
ἀγαπήσας ὡς μηδὲν ἔξωθεν ὑπομένειν αὐταῖς ἐπεισάγειν.
αὐτὸς δὲ Κάρπος καὶ ἄλλοι τινὲς συνεχρήσαντο γεωμετρίᾳ
καὶ εἰς τέχνας τινὰς εὐλόγως· γεωμετρία γὰρ οὐδὲν βλάπτε-
ται, σωματοποιεῖν πεφυκυῖα πολλὰς τέχνας, διὰ τοῦ συν-
εῖναι αὐταῖς [μήτηρ οὖν ὥσπερ οὖσα τεχνῶν οὐ βλάπτεται
διὰ τοῦ φροντίζειν ὀργανικῆς καὶ ἀρχιτεκτονικῆς· οὐδὲ γὰρ
διὰ τὸ συνεῖναι γεωμορίᾳ καὶ γνωμονικῇ καὶ μηχανικῇ καὶ
1028σκηνογραφίᾳ βλάπτεταί τι], τοὐναντίον δὲ προάγουσα μὲν
ταύτας φαίνεται, τιμωμένη δὲ καὶ κοσμουμένη δεόντως ὑπ'
αὐτῶν.
Τοιαύτης δὲ τῆς μηχανικῆς ἐπιστήμης ὁμοῦ καὶ τέχνης
ὑπαρχούσης καὶ εἰς τοσαῦτα μέρη διῃρημένης καλῶς ἔχειν
ἐνόμισα τά τε λόγῳ γεωμετρικῷ θεωρούμενα [καὶ ἀναγκαιό-
τατα περὶ τὴν τῶν βαρῶν κίνησιν κείμενα δὲ] παρὰ τοῖς
παλαιοῖς καὶ τὰ ὑφ' ἡμῶν εὐχρήστως ἀνευρημένα θεωρή-
ματα συντομώτερον καὶ σαφέστερον ἀναγράψαι βελτίονί τε
λόγῳ τοῦ παρὰ τοῖς πρότερον ἀναγεγραμμένου συντάξαι,
οἷον βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης [ὑποδοχῆσ] ἀγομένου
δυνάμεως ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ, καὶ ἑτέρου
ἐπιπέδου κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν
ὑποτιθέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ' ὅσης ἀχθήσεται τὸ
βάρος ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ [1τοῦτο δὲ χρήσιμον τοῖς
μηχανικοῖς μαγγαναρίοις· προσθέντες γὰρ τῇ εὑρεθείσῃ
δυνάμει ἑτέραν τινὰ δύναμιν ἀνδρῶν θαρσοῦντες ἀνάγουσιν
τὸ βάροσ]1, καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας
ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ [1διὰ γὰρ τοῦ θεωρή-
ματος τούτου πᾶν τὸ δοθὲν στερεὸν σχῆμα κατὰ τὸν δο-
θέντα λόγον αὔξεταί τε καὶ μειοῦται]1, καὶ πῶς δυνατόν
ἐστι τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν σκυταλῶν
αὐτοῦ [δοθέντων ἢ ὀδόντων] παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον
δοθὲν ἔχον τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμε-
τρον τοῦ παρατιθεμένου τυμπάνου [1τοῦτο γὰρ χρήσιμον εἰς
πολλὰ καὶ τῇ τῶν μηχανοποιῶν τέχνῃ διὰ τὴν παράθεσιν
τῶν σκυταλωτῶν τυμπάνων]1. ἕκαστον δὲ τούτων ἐν τῷ οἰ-
κείῳ τόπῳ γενήσεται φανερὸν μετὰ καὶ ἄλλων χρησίμων
ἀρχιτέκτονι καὶ μηχανικῷ, ἐὰν πρότερον τὰ συνέχοντα τὴν
κεντροβαρικὴν πραγματείαν εἴπωμεν ἑξῆς.
1030
Τί μὲν οὖν ἐστιν τὸ βαρὺ καὶ τὸ κοῦφον, καὶ τίς αἰ-
τία τῆς ἄνω καὶ κάτω τοῖς σώμασι φορᾶς, καὶ αὐτό γε τὸ
ἄνω καὶ κάτω τίνος ἐννοίας ἔχεται καὶ τίσιν ἀφώρισται
πέρασιν, οὐδὲν δεῖ λέγεσθαι παρ' ἡμῶν τὸ νῦν, ἐπειδὴ
περὶ τούτων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου
δεδήλωται, τὸ δὲ κέντρον τοῦ βάρους ἐκάστου σώματος,
ὃ τῆς κεντροβαρικῆς πραγματείας ἀρχὴ καὶ στοιχεῖόν ἐστιν,
ἐξ ἧς καὶ τὰ λοιπὰ μέρη τῆς μηχανικῆς ἀνήρτηται, τί ποτ'
ἐστὶν καὶ τί βούλεται λεκτέον· ἐκ τούτου γάρ, οἶμαι, καὶ
τὰ λοιπὰ τῶν ἐν τῇ πραγματείᾳ θεωρουμένων ἔσται σαφῆ.
λέγομεν δὲ κέντρον βάρους ἑκάστου σώματος εἶναι σημεῖόν
τι κείμενον ἐντός, ἀφ' οὗ κατ' ἐπίνοιαν ἀρτηθὲν τὸ βάρος
ἠρεμεῖ φερόμενον καὶ φυλάσσει τὴν ἐξ ἀρχῆς θέσιν [οὐ μὴ
περιτρεπόμενον ἐν τῇ φορᾷ]. τοῦτο δὲ τὸ σημεῖον οὐ
μόνον ἐν τοῖς τεταγμένοις ἀλλὰ κἀν τοῖς ἀτάκτως ἐσχη-
ματισμένοις εὑρίσκεται σώμασιν ὑπάρχον, ἐφόδῳ τινὶ θεω-
ρούμενον τοιαύτῃ.
α#. Ὑποκείσθω γὰρ ἐπίπεδον ὀρθὸν τὸ ΑΒΓΔ νεῦον εἰς
τὸ τοῦ παντὸς κέντρον, ἐφ' ὃ καὶ τὰ βάρος ἔχοντα πάντα
τὴν ῥοπὴν ἔχειν δοκεῖ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα παράλληλος
τῷ ἐφ' οὗ βεβήκαμεν ἐπιπέδῳ. ἐὰν δή τι τῶν βάρος ἐχόν-
των σωμάτων τιθῆται κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας οὕτως, ὥστε
τετμῆσθαι πάντως ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐκβαλλομένου, ἕξει
ποτὲ θέσιν τοιαύτην, ὥστε μένειν ἀπερίτρεπτον καὶ μὴ
ἀποπίπτειν. γενομένου δὲ τούτου ἐὰν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπί-
πεδον ἐκβαλλόμενον, τεμεῖ τὸ ἐπικείμενον σῶμα εἰς ἰσόρ-
ροπα δύο μέρη, οἷον περὶ ἄρτημα τὸ ἐπίπεδον ἰσορρο-
ποῦντα. πάλιν δὴ τὸ βάρος μετατεθέν, ὥστε καθ' ἕτερον
μέρος ψαύειν τῆς ΑΒ εὐθείας, ἕξει ποτὲ θέσιν περιτρεπό-
μενον ὥστε μένειν ἀφεθὲν καὶ μὴ ἀποπίπτειν. ἐὰν οὖν
πάλιν νοηθῇ τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον ἐκβεβλημένον, εἰς ἰσορρο-
1032ποῦντα μέρη τεμεῖ τὸ βάρος καὶ συμπεσεῖται τῷ πρότερον
εἰς ἰσόρροπα τέμνοντι τὸ αὐτὸ βάρος ἐπιπέδῳ· εἰ γὰρ μὴ
τεμεῖ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα γενή-
σεται ἀλλήλοις, ὅπερ ἄτοπον.
β#. Τούτων δὴ προειρημένων νοείσθω πάλιν εὐθεῖα ἡ
ΑΒ ὀρθὴ πρὸς τὸ ἐφ' οὗ βεβήκαμεν ἐπίπεδον, εἰς τὸ τοῦ
παντὸς κέντρον δηλονότι νεύουσα, καὶ τὸ βάρος ὁμοίως ἐπὶ
τοῦ Α σημείου τιθέσθω, οἷον ὑποθέματι τῇ ΑΒ εὐθείᾳ
χρώμενον [στήσεται δήποτε κατὰ τοῦ Α σημείου ὥστε μέ-
νειν, εἴ γε δὴ καὶ ἐπὶ τοῦ δι' αὐτῆς ἐπιπέδου τὸ βάρος
ἠρεμεῖν ἐδύνατο]. ἐὰν δὴ μένοντος αὐτοῦ ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ
εὐθεῖα, ἐναποληφθήσεταί τι μέρος αὐτῆς ἐν τῷ ὑποκει-
μένῳ σχήματι. νοείσθω δὴ τοῦτο μένον, καὶ πάλιν καθ'
ἕτερον μέρος ἐπικείσθω τῇ εὐθείᾳ τὸ βάρος ὥστε ἠρεμεῖν·
λέγω δὴ ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ πρό-
τερον ἐναπειλημμένῃ. εἰ γὰρ μὴ συμπεσεῖται, δυνήσεταί
τινα δι' ἀμφοτέρων αὐτῶν ἐκβληθέντα ἐπίπεδα μὴ συμ-
πεσεῖν ἀλλήλοις ἐντὸς τοῦ σχήματος, καὶ ἑκάτερον αὐτῶν
[ἐφαρμοζόμενον τῷ διὰ τῆς ΑΒ ἐπιπέδῳ] διελεῖν τὸ βάρος
εἰς ἰσόρροπα καὶ ἀνισόρροπα τὰ αὐτὰ μέρη, ὅπερ ἄτοπον·
συμπεσοῦνται ἄρα αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι ἐντὸς τοῦ σχήμα-
τος. ὁμοίως δὲ κἂν κατ' ἄλλας θέσεις τιθῆται τὸ βάρος
ἐπὶ τοῦ Α σημείου ὥστε μένειν, ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ συμπε-
σεῖται ταῖς πρότερον ἐναπειλημμέναις [ὁμοίωσ] εὐθείαις.
ἐξ οὗ φανερὸν ὡς καθ' ἓν σημεῖον ἀλλήλας τεμοῦσιν αἱ
τὸν εἰρημένον τρόπον ἐπινοούμεναι εὐθεῖαι· τὸ δὲ σημεῖον
τοῦτο κέντρον τοῦ βάρους καλεῖται. καὶ φανερὸν ὅτι ἐκ
τοῦ κέντρου κατ' ἐπίνοιαν τὸ βάρος ἀρτώμενον οὐ περι-
τραπήσεται, μενεῖ δὲ τὴν ἐξ ἀρχῆς φυλάσσον ἡντινοῦν θέ-
σιν ἐν τῇ φορᾷ· πάντα γὰρ δι' αὐτοῦ ἐκβληθέντα ἐπίπεδα
εἰς ἰσόρροπα μέρη διαιρεῖ τὸ βάρος, ὥστε μηδεμίαν αἰτίαν
ἐπιδέχεσθαι περιτροπῆς [ἰσορρόπων αὐτοῦ κατὰ πᾶσαν θέ-
σιν τῶν ἐφ' ἑκάτερα τοῦ σημείου γινομένων μερῶν].
1034
Τὸ μὲν οὖν μάλιστα συνέχον τὴν κεντροβαρικὴν πραγ-
ματείαν τοῦτ' ἂν εἴη, μάθοις δ' ἂν τὰ μὲν στοιχειώδη
ὄντα διὰ ταύτης δεικνύμενα τοῖς Ἀρχιμήδους περὶ ἰσορ-
ροπιῶν ἐντυχὼν καὶ τοῖς Ἥρωνος μηχανικοῖς, ὅσα δὲ
μὴ γνώριμα τοῖς πολλοῖς γράψομεν ἐφεξῆς, οἷον τὰ τοι-
αῦτα.
γ#. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ εἰς
τὸν αὐτὸν λόγον τεμνέσθωσαν τοῖς Η Θ Κ σημείοις, ὥστε
εἶναι ὡσ τὴν ΑΗ πρὸς ΗΒ, τὴν ΒΘ πρὸς ΘΓ καὶ τὴν ΓΚ
πρὸς ΚΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΘΚ ΚΗ· ὅτι τοῦ ΑΒΓ
τριγώνου καὶ τοῦ ΗΘΚ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστίν.
Τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ ΓΑ δίχα τοῖς Δ Ε, καὶ
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΒΕ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ τὸ τρίγωνον ἐπί τινος ὀρθοῦ
ἐπιπέδου ἐπισταθῇ κατὰ τὴν ΑΔ εὐθεῖαν, ἐπ' οὐδέτερον
μέρος ῥέψει τὸ τρίγωνον διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΑΒΔ τρί-
γωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ. ἐπισταθὲν δὲ ὁμοίως τὸ ΑΒΓ
τρίγωνον κατὰ τὴν ΒΕ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ ἐπιπέδου ἐπ' οὐ-
δέτερον μέρος ῥέψει διὰ τὸ ἴσα εἶναι τὰ ΑΒΕ ΒΓΕ τρί-
γωνα. εἰ δὲ ἐφ' ἑκατέρας τῶν ΑΔ ΒΕ ἰσορροπεῖ τὸ
τρίγωνον, τὸ ἄρα κοινὸν αὐτῶν σημεῖον τὸ Ζ κέντρον ἔσται
τοῦ βάρους. [νοεῖν δὲ δεῖ τὸ Ζ, ὡς προείρηται, κείμενον
ἐν μέσῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπαχοῦς τε καὶ ἰσοβαροῦς δη-
λονότι ὑποκειμένου.] καὶ φανερὸν ὅτι διπλασία ἐστὶν ἡ
1036μὲν ΑΖ τῆς ΖΔ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΖΕ, καὶ ὅτι ὡς ἡ ΓΑ πρὸς
ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΔΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ καὶ ἡ ΑΖ πρὸς
ΖΔ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι καὶ τὰ ΔΖΕ ΑΒΖ τρίγωνα καὶ τὰ
ΓΔΕ ΑΒΓ. ἐπιζευχθεῖσα οὖν ἡ ΔΕ τεμνέτω τὴν ΘΚ κατὰ τὸ
Λ. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ λόγος συνῆπται ἔκ τε
τοῦ τῆς ΘΒ πρὸς ΔΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ, καὶ ἔστιν
συνθέντι ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν
ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ΓΔ πρὸς ΓΘ, ἡ ΕΑ πρὸς ΑΚ,
καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΚ, ἴση
δὲ ἡ μὲν ΓΔ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΑΕ τῇ ΓΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ
πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς
ΘΔ, ἡ ΓΚ πρὸς ΚΕ· σύγκειται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΑΗ πρὸς
ΗΒ λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ
1[Figure 1]πρὸς ΘΓ. σύγκειται δ' ἐκ
τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τῆς ΔΛ
πρὸς ΛΕ [καὶ ἴση ἐστὶν ἡ
ΘΛ τῇ ΛΚ], ὡς δειχθή-
σεται· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ
ΑΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΔΛ
πρὸς ΛΕ. καὶ εἰσὶν παρ-
άλληλοι αἱ ΑΒ ΔΕ, καὶ
ἐπεζευγμέναι αἱ ΑΔ ΒΕ
τέμνουσιν ἀλλήλας κατὰ
τὸ Ζ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
ἡ διὰ τῶν Η Ζ Λ· καὶ
τοῦτο γὰρ ἑξῆς [εἰ μικρόν ἐστιν]. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ
1038πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΛ, διπλῆ δὲ ἡ ΒΖ τῆς
ΖΕ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ. τριγώνου δὴ τοῦ ΗΘΚ
διχοτομία ἡ ΗΛ, καὶ διπλῆ ἡ ΗΖ τῆς ΖΛ· τὸ Ζ ἄρα κέν-
τρον βάρους ἐστὶν τοῦ ΗΘΚ τριγώνου. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ.
δ#. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν νῦν δειχθήσεται. ἔστω γὰρ ὡς
ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΕ πρὸς ΕΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
ΔΕ ΘΚ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Λ· ὅτι ἴση μέν ἐστιν
ἡ ΘΛ τῇ ΚΛ, ὁ δὲ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται
ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ.
Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΘΚ παράλληλος ἡ ΓΖ καὶ συμ-
πιπτέτω τῇ ΔΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν δύο εὐ-
θεῖαί εἰσιν αἱ ΔΛ ΛΕ, καὶ ἔξωθεν ἡ ΖΛ, ὁ ἄρα τῆς ΔΛ
πρὸς ΛΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ καὶ
τοῦ τῆς ΛΖ πρὸς ΕΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν τῆς ΔΛ πρὸς ΛΖ
λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ διὰ τὸ παράλλη-
λον εἶναι τὴν ΓΖ τῇ ΚΘ, τῷ δὲ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΕ λόγῳ
ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι
τὰ ΓΕΖ ΕΚΛ τρίγωνα· καὶ ὁ τῆς ΔΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΕ
λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΓ καὶ ἐκ τοῦ
τῆς ΓΚ πρὸς ΚΕ. κατὰ ταὐτὰ δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ὁ
τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς
ΕΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ, παραλλήλου ἀχθείσης τῇ
ΕΔ διὰ τοῦ Γ τῆς ΓΜ καὶ συμπιπτούσης τῇ ΚΘ ἐκβλη-
θείσῃ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν δύο εὐθεῖαί εἰσιν αἱ
ΚΛ ΛΘ ἔξωθεν τῆς ΛΜ λαμβανομένης, ὁ ἄρα τῆς ΚΛ
πρὸς ΛΘ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ καὶ τοῦ
1040τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ. ἀλλ' ὁ μὲν τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ λόγος
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ διὰ τὸ παράλληλον
εἶναι πάλιν τὴν ΕΔ τῇ ΓΜ, ὁ δὲ τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ λό-
γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ διὰ τὸ ἰσογώνια
εἶναι τὰ ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα· ὁ ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ
λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς
ΕΓ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΔΓ, καὶ τοῦ τῆς ΓΔ
πρὸς τὴν ΔΘ λόγου, ὃς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον ποιεῖ· καὶ
ὁ τῆς ΚΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΘ λόγος τῆς ἰσότητός ἐστιν·
ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ.
ε#. Τὸ λοιπὸν τῶν ὑπερτεθέντων. ἔστω παράλληλος
ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ
Ε σημεῖον· ὅτι ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Θ εὐθεῖά ἐστιν.
Εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. ἐπεὶ οὖν ἐστιν
2[Figure 2]ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ, οὕτως
ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ
πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς
ΗΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ,
οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, καὶ
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ,
τουτέστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΔ, ὅπερ
ἀδύνατον· ἡ ἄρα διὰ τῶν
Ζ Ε Θ σημείων εὐθεῖά ἐστιν.
ς#. Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΓ,
διαγαγεῖν τὴν ΓΔ ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου ἀρτηθέντος
ἀπὸ τοῦ Δ τὰς ΑΔ ΒΓ παραλλήλους εἶναι τῷ ὁρίζοντι.
Γεγονέτω· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Δ καὶ τοῦ κέντρου τοῦ βά-
ρους τοῦ τραπεζίου ἀγομένη εὐθεῖα κάθετος ἔσται ἐπὶ
τὸν ὁρίζοντα καὶ ἐπὶ τὴν ΒΓ. ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ τε-
τμήσθω δίχα ἡ ΔΛ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ,
1042ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΓΕΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΕ κατὰ τὸ Θ ὥστε
διπλῆν εἶναι τὴν ΓΘ τῆς ΘΕ, καὶ ἡ ΕΖ δίχα τετμήσθω κατὰ
τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὴν ΔΛ κατὰ τὸ Κ·
τὸ μὲν ἄρα Η κέντρον βάρους ἐστὶν τοῦ Β*δ παραλληλο-
γράμμου, τὸ δὲ Θ κέντρον βάρους τοῦ ΓΔΛ τριγώνου·
τοῦ ἄρα ὅλου τραπεζίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς
ΗΘ ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς ΔΛ· τὸ Κ ἄρα κέντρον βά-
ρους ἐστὶν τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου. ἀλλὰ καὶ τοῦ μὲν ΒΔ
παραλληλογράμμου τὸ Η, τοῦ δὲ ΔΛΓ τριγώνου τὸ Θ·
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΔΓΛ
τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ. ἐὰν γὰρ ἀνὰ πεῖραν
ἐπινοήσωμεν τοῦ μὲν ΒΔ παραλληλογράμμου [οὕτως ἔχον]
τὸ βάρος ἐν ἑαυτῷ πᾶν συνῆχθαι πρὸς τῷ Η, τοὺ δὲ ΓΔΛ
τριγώνου πᾶν τὸ βάρος ἐν τῷ Θ συνῆχθαι, γίνεται ὥσπερ
ζυγὸς ἡ ΗΘ, ἐκ δὲ τῶν ἄκρων τὰ εἰρημένα βάρη. καὶ ἐὰν
τμηθῇ ἡ ΗΘ κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ πρὸς τῷ Η
βάρος πρὸς τὸ πρὸς τῷ Θ, τουτέστιν τὸ ΒΔ παραλληλό-
γραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ τρίγωνον, οὕτως τὴν ΘΚ εὐθεῖαν
πρὸς τὴν ΚΗ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα τῶν βαρῶν ἐν τοῖς
ζυγοῖς λόγον, ἔσται τὸ Κ σημεῖον ἐξ οὗ τὰ βάρη ἰσορρο-
πήσει [ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ ἐκ τοῦ Κ ἰσορροπήσει]. ἤχθω-
σαν δὴ κάθετοι ἀπὸ τῶν Η Θ ἐπὶ τὴν ΒΓ αἱ ΗΜ ΘΝ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΒΔ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΔΛ
τρίγωνον, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ, ἀλλ' ὡς τὸ παρ-
αλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς τὴν
ἡμίσειαν τῆς ΛΓ, ὡς δὲ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως ἡ ΝΛ
1044πρὸς τὴν ΛΜ διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΜ ΕΛ ΘΝ
διῆχθαι τὰς ΗΚΘ ΜΛΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν ἡμί-
σειαν τῆς Λ*γ, οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΜ ἡμίσειαν οὖσαν
τῆς ΒΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΛ πρὸς τὴν διπλασίαν, τουτέστιν
πρὸς τὴν ΛΓ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΛ,
τουτέστιν τὴν ΒΛ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ
ΓΛΝ. [ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ, ἡ ΒΛ πρὸς
ΛΝ.] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τε-
τράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ΒΛ τετράγωνον. καὶ τριπλῆ
ἐστιν ἡ ΓΛ τῆς ΛΝ [1ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΕ τριπλῆ ἐστιν τῆς ΕΘ·
διπλῆ γὰρ ἡ ΓΘ τῆς ΕΘ]1· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΛ
τοῦ ἀπὸ ΛΒ. καὶ δοθέντα τὰ Β Γ· δοθὲν ἄρα τὸ Λ,
ὥστε καὶ τὸ Δ. διὸ δὴ τὴν ΒΓ τεμόντες κατὰ τὸ Λ, ὥστε
τὸ ἀπὸ ΓΛ τοῦ ἀπὸ ΛΒ εἶναι τριπλάσιον, ἕξομεν τὸ Δ
τῆς ἀρτήσεως σημεῖον. τέμνεται δὲ ἡ ΒΓ οὕτως.
ζ#. Εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάττονος
εἶναι δυνάμει τριπλασίαν.
Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω τῷ Γ, ὥστε τὴν ΑΓ
τῆς ΓΔ εἶναι τριπλῆν, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ γεγράφθω ἡμικύ-
κλιον τὸ ΑΒΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΔ ἀπὸ τοῦ Γ ἡ ΓΒ,
καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΔΕ·
ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει τριπλασία ἐστίν.
Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῶν ΑΓ ΓΔ μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς
ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ,
τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· τριπλασία ἄρα ἡ
ΑΕ τῆς ΔΕ δυνάμει.
Ὁμοίως καὶ εἰς τὸν δοθέντα λόγον δυνάμει τμηθήσεται
ἡ ΑΔ εὐθεῖα καὶ πᾶσα ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα.
1046
η#. Θέσει αἱ ΑΒ ΑΓ, καὶ δοθὲν τὸ Β, καὶ διήχθω ἡ
ΓΔ ἀποτέμνουσα δοθέντα λόγον τὸν τῆς ΑΓ πρὸς ΒΔ·
δεῖξαι ὅτι τοῦ ΑΓΔ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶ
πρὸς θέσει.
Τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ
τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε τὴν ΕΖ τρίτον μέρος εἶναι τῆς
3[Figure 3]ΕΔ· τὸ Ζ ἄρα κέντρον βάρους ἐστὶν
τοῦ ΑΓΔ τριγώνου [1τοῦτο γὰρ προ-
δέδεικται]1. ἤχθω δὴ τῇ ΑΕ παράλ-
ληλος ἡ ΖΗ, καὶ τῆς ΑΒ τρίτον
μέρος ἔστω ἡ ΑΘ. ἔστιν δὲ καὶ
ἡ ΑΗ τρίτον μέρος τῆς ΑΔ, ἐπεὶ
καὶ ἡ ΕΖ τῆς ΕΔ· καὶ λοιπὸν οὖν
ἡ ΘΗ τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ΒΔ.
λόγος δὲ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΑΓ δο-
θείς [τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΗ·
τριπλασία γὰρ αὐτῆς ἐστιν, ὅτι καὶ
ἡ μὲν ΔΑ τῆς ΔΗ ἡμιολία ἐστίν,
τουτέστιν ἡ ΑΕ τῆς ΖΗ, ἡ δὲ ΓΑ
τῆς ΑΕ διπλῆ]· λόγος ἄρα καὶ τῆς
ΗΘ πρὸς τῆν ΗΖ δοθείς. καὶ δο-
θεῖσα ἡ πρὸς τῷ Η γωνία [1καὶ γὰρ
ἡ πρὸς τῷ Α]1· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΘΖ γωνία. καὶ
δοθὲν τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΘΖ εὐθεῖα, καὶ ἔστιν ἐπ' αὐτῆς
τὸ Ζ κέντρον.
Ταῦτα μὲν οὖν καὶ τὰ τοιαῦτα θεωρίαν ἔχει, τὰ δὲ
καὶ εἰς χρείαν δυνάμενα πεσεῖν μηχανικὴν τοιαῦτ' ἂν εἴη.
1048
θ#. Ἐπίπεδον ἐκκλῖναι, ὥστε τὸ κλίμα αὐτοῦ ἐφ' ἓν
νεύειν σημεῖον δοθέντος ἀκλινοῦς ἐπιπέδου, τουτέστιν παρ-
αλλήλου τῷ ὁρίζοντι, ἐν παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ κλίμα
ἔστω ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ.
Ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμον πρότερον ἰσόπλευ-
ρον τὸ ΑΒΓΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία, ἐν ᾗ βουλόμεθα ἐκ-4[Figure 4]
κλῖναι τὸ ἐπίπεδον, ἡ ὑπὸ ΕΖΗ, ἀπὸ δὲ τῶν Α Β Δ
σημείων τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτωσαν
αἱ ΑΘ ΒΚ ΔΛ, τὸ δὲ Γ σημεῖον ἔστω ὅπου βουλόμεθα
τὴν κλίσιν νεύειν, καὶ τῇ μὲν ΑΓ ἐπιζευχθείσῃ ἴση κείσθω
ἡ ΖΗ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΗΕ ἴση
κείσθω ἡ ΑΘ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἐπεζευγμένην τὴν ΘΓ,
ἔσται ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων. ἤχθω
δὴ καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΜ, καὶ τῇ ΓΜ
ἴση κείσθω ἡ ΖΝ, τῇ δὲ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΝΞ, τῇ
1050δὲ ΝΞ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΒΚ ΔΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖ-
σαι αἱ ΘΛ ΘΚ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς
ΑΔ ΑΒ ἐκβληθείσαις κατὰ τὰ Π Ρ σημεῖα [ὅτι δὲ συμ-
πίπτουσιν δῆλον· ἀπ' ἐλαττόνων γάρ εἰσιν δύο ὀρθῶν καὶ
αὐταὶ κἀκεῖναι]· ἔσται δὴ τὸ ΘΚΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον
πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΕΖΗ.
ἐὰν γὰρ νοήσωμεν τῇ ΑΘ παράλληλον ἠγμένην τὴν ΜΟ, καὶ
ἐπεζευγμένην τὴν ΟΚ, ἔσται ἡ μὲν ΜΟ ἴση τῇ ΝΞ διὰ τὸ
ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΖΝΞ τρίγωνον τῷ ΜΟΓ, ἡ δὲ ΚΟ τῇ
ΒΜ ἴση καὶ παράλληλος, καὶ παραλληλόγραμμον τὸ ΚΒΜΟ
ὀρθὸν πρὸς ὑποκείμενον. καὶ ἐπεὶ τὰ Π Γ Ρ σημεῖα ἐν
δυσὶν ἅμα ἐπιπέδοις ἐστὶν τῷ τε ὑποκειμένῳ ΑΒΓΔ [ἐν
ᾧ ἐστιν καὶ τὰ Π Ρ σημεῖα, ἀλλὰ] καὶ ἐν τῷ ΚΘΛΓ, τὰ
Π Γ Ρ ἄρα σημεῖα ἐπὶ μιᾶς ἐστιν εὐθείας τῆς ΠΓΡ, κοι-
νῆς τομῆς οὔσης τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων. διὰ ταὐτὰ δὴ
καὶ τὰ Κ Ο Λ σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς ἐστι τομῆς τοῦ ΚΘΛΓ
ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τῶν Κ Ο Λ παραλλήλου τῷ ΑΒΓΔ
ἐπιπέδῳ, ὥστε τὴν διὰ τῶν Κ Ο Λ εὐθεῖαν παράλληλον
εἶναι τῇ ΠΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ
ΘΑ πρὸς ΛΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΑΘ πρὸς ΒΚ,
καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΠ τῇ ΑΡ
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῇ ὑπὸ ΑΡΠ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ
ΠΑΓ ἴση τῇ ὑπὸ ΡΑΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τῇ ὑπὸ
ΑΓΡ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν, καὶ ἡ ΠΡ εὐθεῖα
δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς ΑΓ. καὶ ἔστιν
1052αὐτῇ πρὸς ὀρθὰς καὶ τῷ ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΜΟ· καὶ ἡ
ΟΓ ἄρα πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῇ ΡΠ διὰ λῆμμα σφαιρικῶν·
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΠ ΟΓΠ· τὸ ΚΘΛΓ
ἄρα ἐπίπεδον κέκλιται πρὸς τὸ [ἀπὸ] ΑΒΓΔ ἐν τῇ δο-
θείσῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ.
Ἀλλὰ δὴ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΑΔ, τῶν ἄλλων
ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν· λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΓΠ ὀξεῖά
ἐστιν.
Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΘΑ πρὸς
ΔΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΡ πρὸς ΡΒ, ἡ ΘΑ πρὸς ΒΚ, καὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΒΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ, ἡ ΑΡ
πρὸς ΡΒ· καὶ διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΠ,
οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΡ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΑΒ,
οὕτως ἡ ΔΠ πρὸς ΒΡ. ἐλάττων δὲ ἡ ΑΔ τῆς ΑΒ· ἐλάτ-
των ἄρα καὶ ἡ ΔΠ τῆς ΒΡ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΠ ἐλάττων
ἐστὶν τῆς ΑΡ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΡΠ ἐλάσσων ἐστὶν
τῆς ὑπὸ ΑΠΡ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΠΡ τῆς ὑπὸ ΑΡΠ.
ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΠ τῆς ὑπὸ ΓΑΡ μείζων· λοιπὴ
ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ τοῦ ΑΓΠ τριγώνου λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΑΓΡ
τοῦ ΑΓΡ τριγώνου ἐλάσσων ἐστίν· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΠ
γωνία· ἡ κλίσις ἄρα τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων πρός τι ση-
μεῖον μεταξὺ τῶν Γ Π θεωρεῖται, ἀπὸ τοῦ Α σημείου
ἐπὶ τὴν ΓΠ καθέτου ἀγομένης. ὡς οὖν ἐκκλῖναι δυνατόν
ἐστιν ἐπίπεδον ἐν τῇ δοθείσῃ γωνία πρὸς ἐπίπεδον, δυνα-
1054τόν ἐστιν ἄρα καὶ ἐκκεκλιμένου τὴν κλίσιν εἰπεῖν, τουτέστιν
ἐν ποίᾳ γωνίᾳ κέκλιται τὸ ἐπίπεδον πρὸς τὸ παράλληλον
τῷ ὁρίζοντι.
ι#. Βάρους δοθέντος ὑπὸ δοθείσης ἀγομένου δυνάμεως
ἐν τῷ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπιπέδῳ καὶ ἑτέρου ἐπιπέδου
κεκλιμένου πρὸς τὸ ὑποκείμενον δοθεῖσαν γωνίαν ὑποτι-
θέντος, εὑρεῖν τὴν δύναμιν ὑφ' ὅσης ἀχθήσεται τὸ βάρος
ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ.
Ἔστω τὸ μὲν διὰ τῆς ΜΝ εὐ-
θείας ἐπίπεδον τὸ ὑποκείμενον, τὸ
δὲ διὰ τῆς ΜΚ κεκλιμένον πρὸς
αὐτὸ γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ
ΚΜΝ ὑποτιθέν, βάρος δέ τι τὸ Α
κινείσθω ὑπὸ δυνάμεως τῆς Γ
ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου, καὶ
νοείσθω τῷ Α ἰσοβαρὴς σφαῖρα
ἡ περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ κείσθω
ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν Μ Κ ἐπιπέδου
ψαύουσα αὐτοῦ κατὰ τὸ Λ ση-
μεῖον, ὡς ἔστιν σφαιρικῶν γ# θεω-
ρήματι· ἡ ἄρα ΕΛ ἐπιζευχθεῖσα
κάθετος ἔσται ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον
[1καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται θεωρή-
ματι δ# σφαιρικῶν]1, ὥστε καὶ
πρὸς τὴν ΚΜ κάθετός ἐστιν ἡ ΕΛ. ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ
τῶν ΚΜ ΕΛ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ
κύκλον τὸν ΛΗΞ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ
παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ κάθετος ἐπ' αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ ἡ
ΛΖ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ γωνία [1ἴση γάρ
1056ἐστιν τῇ ὑπὸ ΚΜΝ δοθείσῃ [ὀξείᾳ] γωνίᾳ]1, δοθεῖσα ἄρα
καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΕΘΛ [1ἰσογώνιον γάρ
ἐστιν τὸ ΕΘΛ τῷ ΕΛΖ τριγώνῳ]1· δοθὲν ἄρα τὸ ΕΛΖ
τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ,
πρὸς ΕΖ δοθείς· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΖΗ πρὸς ΕΖ λόγος
5[Figure 5]ἐστὶν δοθείς. πεποιήσθω οὖν ὡς
ἡ ΗΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ μὲν Α
βάρος πρὸς τὸ Β, ἡ δὲ Γ δύναμις
πρὸς τὴν Δ. καὶ ἔστιν τοῦ Α δύ-
ναμις ἡ Γ· καὶ τοῦ Β ἄρα δύνα-
μις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔσται ἡ
Δ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΗΖ εὐ-
θεῖα πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ Α
βάρος πρὸς τὸ Β, ἂν τεθῇ τὰ Α
Β βάρη περὶ κέντρα τὰ Ε Η,
ἰσορροπήσει ἀρτώμενα ἀπὸ τοῦ Ζ
σημείου [ἢ ἐπὶ ὑποθέματος κεί-
μενα τοῦ ΛΖ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρί-
ζοντα]. κεῖται δὲ τὸ Α βάρος περὶ
κέντρον τὸ Ε [1ἀντ' αὐτοῦ γὰρ ἡ
σφαῖρα]1· τεθὲν ἄρα τὸ Β βάρος
περὶ κέντρον τὸ Η ἰσορροπήσει τῇ σφαίρᾳ, ὥστε μὴ κατα-
φέρεσθαι τὴν σφαῖραν διὰ τὴν κλίσιν τοῦ ἐπιπέδου, ἀλλ'
ἐφεστάναι ἀρρεπῆ, ὡς εἰ καὶ ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου ἑστῶσα
ἐτύγχανεν. ἐκινεῖτο δὲ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς
Γ δυνάμεως· κινηθήσεται ἄρα ἐν τῷ κεκλιμένῳ ἐπιπέδῳ
πρὸς συναμφοτέρου τῆς τε Γ δυνάμεως καὶ τῆς τοῦ Β
βάρους, τουτέστιν τῆς Δ δυνάμεως. καὶ ἔστιν δοθεῖσα
ἡ Δ δύναμις.
Ἡ μὲν οὖν γεωμετρικὴ τοῦ προβλήματος ἀνάλυσις ὑπο-
δέδεικται, ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ παραδείγματος ποιησώμεθα τήν
1058τε κατασκευὴν καὶ τὴν ἀπόδειξιν, ἔστω τὸ μὲν Α βάρος
ταλάντων, εἰ τύχοι, ς# ἀγόμενον ἐν τῷ παραλλήλῳ ὁρίζοντι
ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῆς Γ κινούσης δυνάμεως, τουτέστιν οἱ κι-
νοῦντες ἔστωσαν ἄνθρωποι μ#, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΜΝ γωνία, τουτ-
έστιν ἡ ὑπὸ ΕΘΛ, διμοίρου ὀρθῆς· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ
ΖΛΘ τρίτου ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΛΘ· διμοίρου
ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΛΖ· οἵων ἄρα αἱ δ# ὀρθαὶ τξ# τοιούτων
ξ# ἡ ὑπὸ ΕΛΖ, καὶ τοῦ περιγραφομένου ἄρα περὶ τὸ ΕΖΛ
τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλου ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΕΖ περιφέρεια
τοιούτων ἔσται ρκ# οἵων ὁ κύκλος τξ#, αὐτὴ δὲ ἡ ΕΖ τοι-
ούτων ρδ# ἔγγιστα οἵων ἡ ΕΛ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ#·
ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ τοῦ κανόνος τῶν ἐγκυκλίων εὐθειῶν τοῦ
κατὰ Πτολεμαῖον [ὄντοσ] κειμένου ἐν τῷ α# τῶν μαθημα-
τικῶν. λόγος ἄρα τῆς ΕΛ, τουτέστιν τῆς ΕΗ, πρὸς ΕΖ,
ὃν ρκ# πρὸς ρδ#· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΗΖ πρὸς ΖΕ λόγος
ὃν ις# πρὸς ρδ#. τούτῳ δὲ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τοῦ Α βάρους
πρὸς τὸ Β, καὶ τῆς Γ δυνάμεως πρὸς τὴν Δ, καὶ ἔστιν τὸ
μὲν Α βάρος ταλάντων ς#, ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἀνδρῶν μ#·
ἔσται ἄρα καὶ τὸ μὲν Β βάρος ταλάντων #22ατ#, ἡ δὲ Δ δύ-
ναμις ἀνθρώπων σξ# [1ὡς γὰρ ις# πρὸς ρδ#, οὕτως ς# πρὸς
#22ατ# καὶ μ# πρὸς σξ#]1· τοῦ ἄρα Α βάρους ταλάντων ς# κι-
νουμένου ἐν παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι ἐπιπέδῳ ὑπὸ τῶν μ
ἀνδρῶν, τὸ αὐτὸ βάρος κινηθήσεται ὑπὸ συναμφοτέρων τῶν
προειρημένων ἀνθρώπων, τουτέστιν ὑπὸ τ# ὅλων, ἐν ἐπι-
πέδῳ κεκλιμένῳ πρὸς τὸν ὁρίζοντα, τῆς ὑπὸ ΚΜΝ γωνίας
διμοίρου ὀρθῆς ὑποκειμένης.
1060
ια#. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν θεωρίας τὸ δοθὲν βάρος τῇ
δοθείσῃ δυνάμει κινῆσαι· τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδους μὲν εὕρημα
[λέγεται] μηχανικόν, ἐφ' ᾧ λέγεται εἰρηκέναι· δός μοί [1φησι]1
ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν. Ἥρων δὲ ὁ Ἀλεξανδρεὺς πάνυ
σαφῶς αὐτοῦ τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο ἐν τῷ καλουμένῳ
βαρουλκῷ, λῆμμα λαβὼν ὅπερ ἐν τοῖς μηχανικοῖς ἀπέδει-
ξεν, ἔνθα καὶ περὶ τῶν ε# δυνάμεων διαλαμβάνει, τουτέστιν
τοῦ τε σφηνὸς καὶ μοχλοῦ καὶ κοχλίου καὶ πολυσπάστου
καὶ ἄξονος ἐν τῷ περιτροχίῳ, δι' ὧν τὸ δοθὲν βάρος τῇ
δοθείσῃ δυνάμει κινεῖται [καθ' ἑκάστην δύναμιν]. ἐν δὲ τῷ
βαρουλκῷ διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως ἐκίνει τὸ
δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει, τῆς διαμέτρου τοῦ τυμ-
πάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ἄξονος λόγον ἐχούσης ὃν ε#6[Figure 6]
πρὸς α#, τοῦ κινουμένου βάρους ὑποκειμένου ταλάντων χι-
λίων, τῆς δὲ κινούσης δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων ε#.
Ἔστω δὴ ἡμᾶς ἐπὶ διπλασίου λόγου τὸ αὐτὸ δεικνύναι,
καὶ ταλάντων ρξ# ὄντος τοῦ κινουμένου βάρους ἀντὶ χιλίων,
καὶ τῆς κινούσης αὐτὸ δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων δ#
1062ἀντὶ ε#, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος δυνάσθω καθ' αὑτὸν
ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα δ#, καὶ ἔστω τὸ εἰρημένον
ὑπ' αὐτοῦ γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ εἰς τοὺς
μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους ἔστω ἄξων διακείμενος
εὐλύτως στρεφόμενος ὁ ΕΖ, τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμ-
πανον ὠδοντωμένον [ἀκτῖσιν ὀδοντωτοῖσ] τὸ ΗΘ, ἔχον τὴν
διάμετρον διπλασίαν τῆς διαμέτρου [τῆς ΕΖ διαγωνίου]
τοῦ ἄξονος τῆς κατὰ κότραφον [γίνεται γὰρ τετράγωνος μὲν
περὶ μέσον ἐπὶ τοσοῦτον μῆκος, ὅσον ἐστὶν τὸ πάχος τοῦ
τυμπάνου εἰς ὃ ἐναρμόζεται ἀσφαλῶς, στρογγύλος δέ πως
ἢ λελοιφωμένος ἐκ τῶν ἐφ' ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου μερῶν].
ἐὰν ἄρα τὰ ἐκ τοῦ βάρους τοῦ ἑλκομένου δεδεμένα σχοινία
[καλούμενα δὲ ὅπλα] διά τινος ὀπῆς [μᾶλλον δὲ ἀνατομῆσ7[Figure 7]
πλατείασ] οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ
ἄξονα [ἐφ' ἑκάτερα τοῦ ΗΘ τυμπάνου] καὶ στραφῇ τὸ ΗΘ
τύμπανον, τοῦτο ἐπιστρέψει καὶ τὸν συμφυῆ ἄξονα κινού-
1064μενον περὶ τὰ ἄκρα ἐν δακτύλοις χαλκοῖς καὶ πυξίσιν
ὁμοίως χαλκαῖς [κινουμέναισ], κειμέναις δ' ἐν τοῖς εἰρημέ-
νοις ΑΒ ΓΔ τοίχοις. ἐπειλούμενα δὲ τὰ ἐκ τοῦ βάρους
[ὃ καλεῖται φορτίον] ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ἵνα δὲ κινηθῇ
τὸ ΗΘ τύμπανον, δεήσει δύναμιν παρασχεῖν ταλάντων
πλεῖον π# διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς δια-
μέτρου τοῦ ἄξονος εἶναι διπλασίαν· τοῦτο γὰρ πρόβλημά
ἐστιν ὑπὸ Ἥρωνος δεικνύμενον ἐν τοῖς μηχανικοῖς. [καὶ
ἄλλα πλεῖστα προβλήματα τῶν χρησιμωτάτων καὶ βιωφε-
λῶν γέγραπται].
Ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν τὴν δοθεῖσαν δύναμιν ταλάντων
π#, ἀλλὰ ταλάντων δ#, γεγονέτω ἕτερος ἄξων παρακείμενος
παράλληλος τῷ ΕΖ ὁ ΚΛ, ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδον-
τωμένον τὸ ΜΝ, ὥστε τοὺς ὀδόντας αὐτοῦ ἐναρμόζειν τοῖς
ὀδοῦσι τοῦ ΗΘ τυμπάνου· τοῦτο δὲ γίνεται, ἐὰν ᾖ ὡς ἡ
διάμετρος τοῦ ΗΘ τυμπάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΜΝ,
οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ πλῆθος
τῶν ὀδόντων τοῦ ΜΝ [1πῶς δὲ τοῦτο γίνεται διὰ τῶν ἑξῆς δῆ-
λον ἔσται]1· δοθὲν μὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ΜΝ τύμπανον.
τῷ δ' αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΞΟ,
ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου δια-
μέτρου. διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ
τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ#,
ἐπειδήπερ τὰ π# τάλαντα διπλάσιά ἐστιν τῶν μ# ταλάν-
των.
Πάλιν δὲ παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ [ὀδοντωθέντι]
1066ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΠΡ συμφυὲς ἑτέρῳ ἄξονι,
τῷ δ' αὐτῷ ἄξονι ἕτερον συμφυὲς τύμπανον τὸ ΣΤ, ἔχον
μὲν ὁμοίως διπλασίαν τὴν διάμετρον τῆς τοῦ ΠΡ τυμπάνου
διαμέτρου, τοὺς δὲ ὀδόντας μὴ συμπλεκομένους τοῖς ὀδοῦσι
τοῦ ΜΝ τυμπάνου· ἡ ἄρα διὰ τοῦ ΣΤ τυμπάνου κινοῦσα
τὸ βάρος δύναμις ἔσται ταλάντων κ#. ἦν δὲ ἡ δοθεῖσα
δύναμις ταλάντων δ#· δεήσει οὖν πάλιν ἕτερον μὲν τύμ-
πανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ παρακεῖσθαι τῷ ΣΤ [ὀδοντω-
θέντι], τῷ δὲ ἄξονι τοῦ ΥΦ τυμπάνου συμφυὲς γενέσθαι
τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ
τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν τὰ β# πρὸς α#· ἡ ἄρα
κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις διὰ τοῦ ΧΨ τυμπάνου ἔσται
ταλάντων ι#. πάλιν δὴ παρακείσθω μὲν τῷ ΧΨ τυμπάνῳ
ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ϞϠ, τῷ δὲ ἄξονι αὐτοῦ
τύμπανον ἔστω συμφυὲς ΜαΜβ ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λο-
ξοῖς, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ϞϠ διάμετρον λόγον
ἐχέτω ὃν ἔχει τὰ ι# τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνά-
μεως τάλαντα δ#.
Καὶ τούτων κατασκευασθέντων ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ
ΑΒΓΔ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον ἀμεταστάτως, καὶ
ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος βάρος ἐξάψωμεν, ἐκ δὲ τοῦ ΜαΜβ
τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν τὰ δ# τάλαντα, οὐδοπότε-
ρον αὐτῶν κατενεχθήσεται, εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξό-
νων καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως ἀκριβῶς ἁρμοζού-
σης, ἀλλ' ὥσπερ ἐπὶ ζυγοῦ τινος ἰσορροπήσει ἡ δύναμις
τῶν δ# ταλάντων τῷ βάρει τῶν ρξ# ταλάντων· ἐὰν ἄρα ἑνὶ
αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον τι βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχ-
θήσεται ἐφ' ὁπότερον μέρος ἡ πρόσθεσις γεγένηται· εἰ γὰρ
λόγου χάριν τῇ τῶν δ# ταλάντων δυνάμει μναιαῖον προσ-
τεθῇ βάρος, κατακρατῆσαν ἐπισπάσεται τὸ βάρος τῶν ρξ#
ταλάντων. ἀντὶ δὲ τῆς προσθέσεως παρακείσθω κοχλίας
1068τῷ ΜαΜβ τυμπάνῳ ὁ ΩΑ#22 ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμόζουσαν τοῖς
λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου τοῦ ΜαΜβ. τοῦτο δὲ ὡς δεῖ
ποιεῖν, ἐν τοῖς αὐτοῖς μηχανικοῖς Ἥρωνος γέγραπται, καὶ
ἡμεῖς δὲ τοῦτο σαφέστερον ἑξῆς γράψομεν. στρεφέσθω δὲ
ὁ κοχλίας εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογ-
γύλοις, ὧν ὁ ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ
γλωσσοκόμου κατὰ τὸν ΓΔ τοῖχον, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τετρα-
γωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν ς#22Β, δι' ἧς ἐπιλαβόμενοι
καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν ἐπιστρέψομεν καὶ τὸ ΜαΜβ
τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ ϞϠ συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο
καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται, καὶ τὸ
συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ, καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ,
καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ, καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον
τὸ ΞΟ, καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ, καὶ τὸ τούτῳ πα-
ρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ,
περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ
βάρος. ὅτι γὰρ κινήσεται δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι
ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον
τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ
περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος
μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν
ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις
αὐτῶν γίνηται.
ιβ#. Τὰ μὲν οὖν μάλιστα συνέχοντα τὴν μηχανικὴν
θεωρίαν ταῦτ' ἂν εἴη. τῆς δὲ ὀργανικῆς πολλὰ μὲν εἴδη
1070καὶ μέρη· τὰ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς μηχανικῆς καὶ γνωμονικῆς
καὶ τῆς περὶ ὑδρείων πραγματείας λόγῳ θεωρούμενα δι'
αὐτῶν τῶν ὀργάνων ὑπὸ ταύτης κατασκευαζόμενα δείκνυται,
πολλὰ δὲ καὶ χωρὶς τῶν μηχανικῶν ἔξωθεν ὑπ' αὐτῆς ἐπι-
τελεῖται, καί τινα ταῖς γεωμετρικαῖς ἐφόδοις δυσχείριστα
μεταλαβοῦσα τοῖς ὀργάνοις εἰς ῥᾳδιεστέραν ἤγαγε κατα-
σκευήν. αὐτίκα γοῦν τὸ καλούμενον Δηλιακὸν πρόβλημα
τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷόν τ' ἦν κατασκευάσαι
τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντας, ἐπεὶ μηδὲ τὰς
τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν, τοῖς δ' ὀρ-
γάνοις μεταληφθὲν εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτή-
δειον [μᾶλλον τῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐκτεθειμένης οὕτωσ] ἂν
ἀναχθείη [τὸ προκείμενον], λέγω δὲ τὸ κύβον κύβου διπλά-
σιον εὑρεῖν. οὐ μόνον δὲ διπλάσιος εὑρίσκεται διὰ τοῦ
ὑποκειμένου ὀργάνου, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν
ἐπιταχθέντα.
Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ
Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανό-
νιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας
αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι,
τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι
μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω
δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα,
καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ
ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ
τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον
αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ
1072μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο
γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως
ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ,
ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ· λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ
κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχ-
θέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ.
Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος, καὶ
ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω
ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι
τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. ἐπεζεύχθω δὴ
καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ
ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ
ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ,
οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. κοινὸς προσκείσθω
λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ· ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ
τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν
ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ
ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ
τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τοῦ
ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς
ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς
τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ
κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον. ἀλλ' ὡς μὲν ἡ ΓΜ
πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ἡ ΒΔ πρὸς
ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ,
τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ,
τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον.
Πρόβλημα ὀργανικὸν ἐπὶ κυλίνδρου.
ιγ#. Τὰ δ' ὀργανικὰ ἐν τοῖς μηχανικοῖς λεγόμενα προ-
1074βλήματά [ἐστιν ὅτι] γίνεται τῆς γεωμετρικῆς ἐξουσίας ἀφαι-
ρούμενα, οἷά ἐστιν καὶ τὰ ἑνὶ διαστήματι γραφόμενα καὶ
τὸ ἐπὶ τοῦ τὰς βάσεις ἀμφοτέρας λελωβημένου κυλίνδρου
προτεινόμενον ὑπὸ τῶν ἀρχιτεκτόνων. ἀξιοῦσι γὰρ μέρους
ἐπιφανείας ὀρθοῦ κυλίνδρου δοθέντος, οὗ μηδὲν μέρος
ὑγιὲς φυλάσσεται τῶν ἐν ταῖς βάσεσι περιφερειῶν, εὑρεῖν
τὸ πάχος τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν τοῦ κύκλου τὴν διάμε-
τρον ἀφ' οὗ τὴν γένεσιν ἔσχεν ὁ κύλινδρος. εὑρίσκεται δὲ
μεθοδευθὲν οὕτως.
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς δοθείσης ἐπιφανείας δύο σημεῖα τὰ
Α Β, καὶ κέντροις αὐτοῖς ἑνὶ διαστήματι σεσημειώσθω ἐπὶ8[Figure 8]
τῆς ἐπιφανείας πρῶτον τὸ Γ, καὶ πάλιν κέντροις αὐτοῖς
τοῖς Α Β διαστήματι τοῦ προτέρου μείζονι σεσημειώσθω
τὸ Δ, καὶ ἄλλῳ διαστήματι τὸ Ε, καὶ ἄλλῳ τὸ Ζ, καὶ ἄλλῳ
τὸ Η. ἔσται δὴ τὰ ε# σημεῖα τὰ Γ Δ Ε Ζ Η ἐν ἑνὶ ἐπι-
πέδῳ διὰ τὸ καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν ἕκαστον αὐτῶν ὡς κο-
ρυφὴν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἐπιζευγνούσης
εὐθείας τὰ Α Β ὡς βάσεως κοινῆς τῶν τριγώνων ὀρθὴν
1076εἶναι πρὸς τὴν ΑΒ [καὶ ἐν ἑνὶ γίνεσθαι ἐπιπέδῳ τὰς ε#
εὐθείας, καὶ δῆλον ὅτι τὰ Γ Δ Ε Ζ Η σημεῖα]. ταῦτα δὲ
εἰς ἐπίπεδον ἐκθησόμεθα οὕτως· ἐκ τριῶν μὲν εὐθειῶν
τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Γ Δ Ε τρίγωνον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ
συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ
Δ Ε Ζ τὸ ΚΛΜ, ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ
Ε Ζ Η σημεῖα τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΛΜΝ· ἔσται ἄρα
ἐκκείμενα τὰ ΘΚΛ ΚΛΜ ΛΜΝ τρίγωνα ἀντὶ τῶν ΓΔΕ
ΔΕΖ ΕΖΗ τριγώνων. ἂν δὴ περὶ τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ση-
μεῖα γράψωμεν ἔλλειψιν, ὁ ἐλάσσων αὐτῆς ἄξων διάμετρος
ἔσται τοῦ κύκλου τοῦ τὸν κύλινδρον ἀπεργασαμένου.
ιδ#. Ζητουμένου δὴ περὶ πέντε τὰ δοθέντα σημεῖα ἐν
ἑνὶ ἐπιπέδῳ κείμενα τὰ Θ Κ Λ Μ Ν ἔλλειψιν γράψαι,
περιγεγράφθω, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΘΝ ΜΚ πρότερον
ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ δίχα τετμήσθω ἑκατέρα αὐτῶν
τοῖς Α Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ
Ε Ζ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα· ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν τῆς
ἐλλείψεως διὰ τὸν ι# ὅρον τῶν κωνικῶν, θέσει δεδομένη·
δοθὲν γὰρ καὶ ἑκάτερον τῶν Α Β σημείων τῇ θέσει. ἤχθω
δὴ διὰ τοῦ Λ τῇ ΕΖ παράλληλος ἡ ΛΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι
αἱ ΞΚ ΛΜ συμπιπτέτωσαν τῇ ΘΝ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ
Π Η· δοθέντα ἄρα τὰ Γ Η [1δοθὲν γὰρ ἕκαστον τῶν Λ Μ
1078Θ Ν]1. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΞΔΛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΜΔΚ,
οὕτως τὸ ὑπὸ ΞΓΛ πρὸς ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΗΓΠ ΝΓΘ,
ἔσται ἄρα ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΓΠ τῷ ὑπὸ ΝΓΘ. καὶ ἔστιν
δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΓΘ [1δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα]1· δοθὲν ἄρα τὸ
Π. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ· θέσει ἄρα ἡ ΚΠΞ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΓΞ·
δοθὲν ἄρα τὸ Ξ. καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως. ἐπιζευχ-
θεῖσαι δὴ αἱ ΝΞ ΛΘ συμπιπτέτωσαν τῇ ΕΖ διαμέτρῳ
ἐκβληθείσῃ κατὰ τὰ Ρ Σ· ἔσται δὴ πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓΘ
πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΓΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΑΘ πρὸς ἑκάτερον
τῶν ὑπὸ ΡΑΣ ΕΑΖ, καὶ διὰ τοῦτο ἴσον τὸ ὑπὸ ΡΑΣ τῷ9[Figure 9]
ὑπὸ ΕΑΖ. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ὑπὸ ΡΑΣ [1δοθεῖσαι γάρ
εἰσιν αἱ ΡΑ ΑΣ]1· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΑ ΑΖ. τῷ
δ' ὁμοίῳ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΖ δοθέν. καὶ
δοθέντα τὰ Α Β· δοθέντα ἄρα καὶ τὰ Ε Ζ, ὡς ἑξῆς δειχ-
θήσεται· ὥστε ἡ ΕΖ διάμετρος δέδοται τῷ μεγέθει. δῆλον
δ' ὅτι καὶ ἡ συζυγὴς αὐτῇ· δέδοται γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πλαγίας
1080πρὸς τὴν ὀρθίαν αὐτῆς λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΑΖ
πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΝ.
ιε#. Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω δοθὲν ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΓΒ
ΑΔΒ, καὶ δοθέντα τὰ Γ Δ· ὅτι τὰ Α Β δοθέντα ἐστίν.
Ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΓΕ, τῷ
δὲ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΔΖ· ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΓΕ πρὸς
τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΔ [1διὰ γὰρ τὴν κατασκευὴν
ἑκάτερος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΔ]1· ἴσον
ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΓ ΖΔ τῷ ὑπὸ ΕΑΖ, ὥστε καὶ τὸ Α ση-
μεῖον δοθέν. ὁμοίως καὶ τὸ Β.
ις#. Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ τὰ Ν Θ Μ Κ δεδομένα ἐπὶ
τῆς ἐλλείψεως σημεῖα ἐπιζευγνύουσαι παράλληλοι, καὶ ἐπι-
ζευχθεῖσαι αἱ ΝΚ ΜΘ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Τ,
καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΜΘ ἡ ΛΥΦ· ἔσται
10[Figure 10]δὴ λόγος τοῦ ὑπὸ ΝΥΚ
πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΥΦ δοθεὶς
[1ὁ αὐτὸς γὰρ τῷ τοῦ ὑπὸ
ΝΤΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΤΘ]1.
καὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ ΝΥΚ·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ
ΛΥΦ· καὶ δοθέντα τὰ ΛΥ·
δοθὲν ἄρα τὸ Φ· ἀπῆκ-
ται οὖν εἰς τὸ προγεγραμ-
μένον, περὶ πέντε σημεῖα
τὰ Ν Μ Λ Φ Θ γράψαι ἔλλειψιν τὴν ΝΜΛΦΘ παραλλή-
λων ὑποκειμένων τῶν ΜΘ ΦΛ.
1082
ιζ#. Ῥᾴδιον δὲ συζυγῶν διαμέτρων ἐλλείψεως πορισθει-
σῶν ὡντινωνοῦν τοὺσ ἄξονας αὐτῆς ὀργανικῶς εὑρεῖν. με-
θοδεύεται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον.
Ἐκκείσθωσαν αἱ προευρεθεῖσαι τῆς ἐλλείψεως διάμε-
τροι συζυγεῖς αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ
τὸ Ε, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ,
τῷ δὲ ἀπὸ ΔΕ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΑΘ, καὶ ἡ ΕΘ δίχα11[Figure 11]
τετμήσθω κατὰ τὸ Κ· ἔσται δὴ τὸ Κ μεταξὺ τῶν Α Θ [1μεί-
ζων γάρ ἐστιν ἡ ΔΕ τῆς ΕΑ]1, καὶ τῇ ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ
τοῦ Κ ἤχθω ἡ ΚΛ τέμνουσα τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Λ, καὶ περὶ
κέντρον τὸ Λ διὰ τοῦ Ε γραφομένη κύκλου περιφέρεια τεμ-
νέτω τὴν ΗΖ κατὰ τὰ Ζ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ
ΕΖ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπ' αὐτὰς αἱ ΑΜ ΑΝ, καὶ τῷ
μὲν ὑπὸ ΗΕΜ ἴσον κείσθω ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΟ ΕΠ,
τῷ δὲ ὑπὸ ΖΕΝ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ ΕΡ ΕΣ· ἔσονται οὖν
εὑρημένοι τῆς ἐλλείψεως ἄξονες οἱ ΟΠ ΡΣ, ὧν ὁ ἐλάχι-
1084στος ἴσος ἔσται τῷ τοῦ κυλίνδρου πάχει, καθὼς ἐν ἀρχῇ
προείρηται.
ιη#. Σφαίρας μετεώρου δοθεῖσαν θέσιν ἐχούσης πρὸς
τὸ ὑποκείμενον, εὑρεῖν τό τε σημεῖον ἐφ' ὃ πίπτει καθετι-
κῶς ἐνεχθεῖσα [καὶ καθ' ὃ πίπτει σημεῖον] καὶ τὴν ἐλα-
χίστην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῶν δύο
σημείων τοῦ τε κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας καὶ τοῦ
κατὰ τὸ ἐπίπεδον. προγράφεται δὲ τὸ κύκλου δοθέντος με-
τεώρου μὴ ἐν ὀρθῷ ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον εὑρεῖν τήν
τε κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων ἀμφοτέρων καὶ τὴν κλίσιν.
Ἔστω μετέωρος κύκλος, καὶ εἰλήφθω ἐπ' αὐτοῦ τρία
σημεῖα τὰ Α Β Γ, καὶ ἤχθωσαν ἀπ' αὐτῶν ἐπὶ τὸ ὑπο-12[Figure 12]
κείμενον ἐπίπεδον κάθετοι. ἀχθήσονται δὲ οὕτως· ἀπὸ
τοῦ Γ προσπεσοῦσα εὐθεῖα πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον
ὡς ἡ ΓΔ περιενηνέχθω καὶ ψαυέτω τοῦ ἐπιπέδου καθ'
1086ἕτερα δύο σημεῖα τὰ Ε Ζ, καὶ εἰλήφθω τοῦ περὶ τὰ Δ Ε Ζ
κύκλου κέντρον τὸ Κ· ἡ οὖν ἀπὸ τοῦ Γ κάθετος ἐπὶ τὸ Κ
σημεῖον πεσεῖται, καὶ δοθὲν ἔσται τὸ Κ. ἤχθωσαν καὶ
ἀπὸ τῶν Α Β κάθετοι ὁμοίως αἱ ΒΘ ΑΛ· ἐπιζευχθεῖσαι
δὴ αἱ ΚΛ ΘΛ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ
ΓΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΚΜ πρὸς ΜΛ, ὡς δὲ ἡ ΒΘ
πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ΘΟ πρὸς ΟΛ [δοθέντα ἄρα τὰ Μ
Ο ἐφ' ἡμῖν γάρ ἐστι τοιαύτας καθέτους λαβεῖν ὥστε
ἐλαχίστην ἐν αὐταῖς εἶναι μίαν, ὡς τὴν ΑΛ]· εὐθεῖαι ἄρα
αἱ ΜΑΓ ΒΑΟ. καὶ ἔσονται ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ κύ-
κλου· ἡ ἄρα κοινὴ τομὴ αὐτοῦ καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπι-
πέδου ἐστὶν ἡ ΜΟ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΜΟ κάθετος ἡ
ΛΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΝ· καὶ ἡ ΑΝ ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ
τὴν ΜΟ· πεπόρισται ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΝΛ γωνία, τῶν
ἐπιπέδων ἡ κλίσις.
ιθ#. Τούτου προδειχθέντος ἔστω σφαῖρα μετέωρος, καὶ
προκείσθω τό τε σημεῖον εὑρεῖν, ἐφ' ὃ πεσεῖται καθετι-
κῶς ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ἐνεχθεῖσα, καὶ τὴν ἐλαχί-
στην ἀποτεμνομένην ἀπὸ τῆς καθέτου μεταξὺ τῆς ἐπιφα-
νείας καὶ τοῦ ἐπιπέδου.
*̓́εστω ἡ σφαῖρα μετέωρος κειμένη περὶ κέντρον τὸ Ε,
1088καὶ ἐν αὐτῇ μέγιστός τις ἐγγεγράφθω κύκλος ὁ ΑΒΓ·
ἤτοι δὴ ἐν ὀρθῷ ἔσται ἐπιπέδῳ πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἢ οὔ,
13[Figure 13]γνωσόμεθα δὲ οὕτως· λαβόντες ἐπὶ τῆς
περιφερείας αὐτοῦ τρία τυχόντα σημεῖα
καθέτους ἄξομεν ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον
ἐπίπεδον, ὡς μεμαθήκαμεν, κἂν μὲν τὰ
σημεῖα ἐφ' ἃ πίπτουσιν αἱ κάθετοι ἐπ'
εὐθείας ἀλλήλοις ὦσιν, ὀρθὰ πρὸς ἄλ-
ληλα ἔσται τὰ ἐπίπεδα, ἐὰν δὲ μή,
κεκλιμένα.
Ἔστω δὴ πρότερον ὀρθά, καὶ ἤχθω-
σαν ἀπὸ τῶν Α Γ σημείων κάθετοι
αἱ ΑΔ ΓΗ· ἤτοι δὴ ἴσαι, ἔσονται ἢ οὔ.
Ἔστωσαν ἴσαι, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΗ
ἐπιζευχθεῖσα δίχα τῷ Ζ· ἔσται δὴ τὸ Ζ τὸ ζητούμενον
σημεῖον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ διχοτομία τῆς ΑΒΓ περι-
φερείας τὸ Β ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐφαρμόζον τῷ Ζ, καὶ ἡ
ΒΖ ἐλαχίστη κάθετος, ὡς προείρηται.
κ#. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἴσαι αἱ κάθετοι, ἀλλὰ ἐλαχίστη
ἡ ΑΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ
ΗΘ πρὸς ΘΔ, ἐκβληθείσης τῆς ΗΔ· ἔσται δὴ τὸ Θ, καθ' ὃ ἡ
ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α συμπίπτει τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ,
καὶ δοθεῖσα ἔσται ἥ τε ΑΘ εὐθεῖα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΔ γω-
νία. τούτων γενομένων ἐκκείσθω κύκλος ἴσος τῷ μεγίστῳ
1090περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, καὶ προσκείσθω ἡ ΛΜ ἴση τῇ
ΑΘ, καὶ τῇ ὑπὸ ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΚΜΝ,
14[Figure 14]καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ κά-
θετοι αἱ ΛΟ ΚΝ, καὶ
ἀπὸ τοῦ κέντρου ἡ ΣΠ,
καὶ τῇ μὲν ΛΡ περι-
φερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω
ἡ ΑΒ, τῇ δὲ ΟΠ εὐ-
θείᾳ ἴση ἡ ΔΖ [τὸ δὲ
αὐτὸ ἦν λέγειν δίχα ἡ
ΔΗ τῷ Ζ]. ἔσται οὖν
τὸ μὲν Ζ σημεῖον, ἐφ'
ὃ ἡ σφαῖρα καταφερο-
μένη πεσεῖται, τὸ δὲ Β τὸ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐλα-
χίστη κάθετος ἡ ΒΖ.
κα#. Μὴ ἔστω δὲ ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐν [ἑνὶ] ἐπιπέδῳ ὀρθῷ
πρὸς τὸ ὑποκείμενον, καὶ εἰλήφθω ἡ κοινὴ τῶν ἐπιπέδων
τομὴ ἡ ΔΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου σημεῖα τὰ
Α Γ κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις κείμενα οὕτως ὥστε τὴν ἐπ'
αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην τὴν ΓΑ συμπίπτειν τῇ κοινῇ τομῇ τῇ
ΔΘ [ἔστιν γὰρ ἐπ' ἐμοὶ διὰ τὸ τὴν ΔΘ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ
κύκλου ἐπιπέδῳ εἶναι]. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Θ· δοθεῖσα
ἄρα ἡ ΑΘ καὶ ἡ Θ γωνία. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κέντρου κά-
θετος ἐπὶ τὴν ΔΘ ἡ ΕΒΔ. ἀχθήσεται οὕτως· ἐκκείσθω
1092κύκλος ὁ ΗΖΛ ἴσος τῷ μεγίστῳ τῷ ΑΒΓ περὶ διάμετρον
τὴν ΖΗ, καὶ προσκείσθω ἡ ΗΚ ἴση τῇ ΓΘ, καὶ τῇ ὑπὸ15[Figure 15]
ΑΘΔ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΖΚΜ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ο
κέντρου κάθετος ἡ ΟΛΜ, καὶ τῇ μὲν ΗΛ περιφερείᾳ ἴση
ἀπειλήφθω ἡ ΓΒ, τῇ δὲ ΚΜ εὐθείᾳ ἡ ΘΔ· ἡ ΔΒ ἄρα
ἴση ἐστὶν τῇ ΜΛ καὶ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΘ καὶ ἐκ-
βαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέντρον πίπτει· ταῦτα γὰρ δῆλα ἐκ
τῆς ὁμοιότητος. ἤχθω δὴ τῇ ΔΘ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ ὑπο-
κειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ ΔΙ· ἡ ΔΘ ἄρα ὀρθὴ πρὸς τὸ διὰ τῶν
Ε Δ Ι ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸ
διὰ τῶν Ε Δ Ι ἐπίπεδον· ἐκβληθὲν ἄρα τὸ διὰ τῶν Ε Δ Ι
ἐπίπεδον κύκλον ποιήσει ἐν τῇ σφαίρᾳ μέγιστον ὀρθὸν
πρὸς τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ πίπτοντα καὶ διὰ
τῶν Β Ο σημείων, ὥστε, ἐὰν τοῦ ΑΒΓ τὸν πόλον λαβόντες
τὸν Π διὰ τοῦ Π καὶ ἑκατέρου τῶν Β Ο γράψωμεν κύ-
1094κλον, οὗτος ἔσται ὁ γινόμενος μέγιστος ἐν τῇ σφαίρᾳ [ὑπὸ
τοῦ διὰ τῶν Ο Δ Ι ἐπιπέδου]. γεγράφθω ὁ ΒΠΟ, καὶ
16[Figure 16]ἐκκείσθω πάλιν
κύκλος ὁ ΡΝΤ
περὶ διάμετρον
τὴν ΡΤ, καὶ προσ-
κείσθω ἡ ΡΦ
ἴση τῇ ΒΔ, καὶ
τῇ ὑπὸ ΒΔΙ γω-
νίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ
ΡΦΞ, καὶ ἀπὸ
τοῦ Λ κέντρου
κάθετος ἡ ΛΝΞ,
καὶ τῇ μὲν ΡΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἐπὶ τοῦ ΠΒΟ κύ-
κλου ἡ ΒΥ, τῇ δὲ ΦΞ ἴση ἡ ΔΙ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΙΥ·
ἡ ΙΥ ἄρα ἴση ἔσται τῇ ΞΝ καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Ε κέν-
τρον πεσεῖται καὶ ἔσται κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπί-
πεδον, ἐπεὶ καὶ ἐπὶ τὴν ΙΔ· τὸ μὲν ἄρα Ι σημεῖον ἔσται
ἐφ' ὃ πίπτει ἡ σφαῖρα, τὸ δὲ Υ καθ' ὃ πίπτει, ἡ δὲ
ἐλαχίστη κάθετος ἡ ΙΥ.
κβ#. Σφαίρας ὑποκειμένης καὶ σημείου δοθέντος ἐκτὸς
αὐτῆς, εὑρεῖν τὸ σημεῖον καθ' ὃ ἡ ἀπὸ τοῦ δοθέντος ἐπὶ
τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τέμνει τὴν ἐπιφάνειαν.
Ἔστιν δὲ φανερόν· ἂν γὰρ ἡτισοῦν ἀπὸ τοῦ δοθέντος
εὐθεῖα προσπεσοῦσα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν περιενεχθῇ, καὶ
αὕτη γράψει κύκλον καὶ πόλος αὐτοῦ τὸ ζητούμενον ἔσται
σημεῖον.
Ὑποκείσθω πάλιν ἡ σφαῖρα, καὶ δύο σημεῖα δεδόσθω
τῆς ἐπιφανείας ἐκτὸς ἀμφότερα, καὶ προκείσθω τὰ ση-
μεῖα λαβεῖν καθ' ἃ ἡ ἐπὶ τὰ δοθέντα ἐπιζευγνυμένη τέμνει
τὴν ἐπιφάνειαν.
1096
Κείσθω γὰρ ἡ σφαῖρα περὶ κέντρον τὸ Β, καὶ τὰ δο-
θέντα σημεῖα ἐκτὸς ἔστω τὰ Α Γ, καὶ καθ' ἃ συμβάλλουσιν
τῇ ἐπιφανείᾳ αἱ ἀπὸ τῶν Α Γ ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνύμεναι
εἰλήφθω σημεῖα τὰ Δ Ε, δι' ὧν γεγράφθω μέγιστος κύκλος
ὁ ΔΕΖΗ· δοθεῖσαι ἄρα αἱ ΑΔ ΓΕ [1λῆμμα γάρ]1· καὶ διὰ
τὸ δεδόσθαι τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ὅλαι δο-
θήσονται αἱ ΑΒ ΓΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τὰ δοθέντα ἐπιζευ-
γνύουσα ἡ ΑΓ δοθεῖσα. ἐκ τριῶν οὖν τῶν ΑΒ ΑΓ ΓΒ
τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Θ γε-
γράφθω κύκλος ἴσος τῷ ΕΔΖΗ ὁ ΣΜΝΟ. ἐὰν μὲν οὗτος
τέμνῃ τὴν ΚΛ, δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Α Γ ἐπιζευγνυμένη
τέμνει τὴν σφαῖραν, εἰ δὲ μή, οὐ τέμνει. τεμνέτω οὖν ὁ
κύκλος τὴν ΚΛ κατὰ τὰ Μ Ν, καὶ τῇ μὲν ΣΜ περιφερείᾳ
ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΗ, τῇ δὲ ΟΝ ἡ ΕΖ. φανερὸν δὴ ὅτι
τὰ Η Ζ σημεῖα ἔσται καθ' ἃ τέμνει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ
Α Γ σημεῖα τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν.
κγ#. Χρήσιμα καὶ τὰ ἐν τοῖς ἰδίως λεγομένοις ὀργανι-
κοῖς καὶ μάλισθ' ὅταν ἐπὶ τὸ εὔκολον ὑπὸ τῆς ἀναλύσεως
χειραγωγούμενα τὴν ἀνάλογον πεῖραν διαφεύγειν δύνηται,
οἷον εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑπτὰ ἑξάγωνα ἐγγράψαι, τὸ
μὲν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ κύκλῳ, τὰ δὲ λοιπὰ ἓξ ἀπὸ
μὲν τῶν τοῦ μέσου πλευρῶν ἀναγεγραμμένα, τὰς δὲ ἀντι-
κειμένας πλευρὰς ἔχοντα ἐνηρμοσμένας ἑκάστην εἰς τὴν τοῦ
κύκλου περιφέρειαν.
Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος περὶ κέντρον τὸ Η, καὶ κείσθω
περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΘΚ, ὥστε ἔσται
1098τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ ἀναγραφὲν ἑξάγωνον τὴν ΜΝ πλευρὰν ἔχον
ἐνηρμοσμένην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
ΗΚ· ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου,
διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι τὴν ὑπὸ ΗΚΘ, ὀρθῆς δὲ καὶ
τρίτου τὴν ὑπὸ ΘΚΛ. ἐπεζεύχθω ἡ ΗΝ. ἐπεὶ ἴσαι αἱ
ΗΚ ΚΛ, διπλῆ ἐστὶν ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ. καὶ δοθεῖσα ἡ Λ
γωνία [1ὀρθῆς γὰρ καὶ τρίτου]1· δοθὲν ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον
τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς. καὶ δοθεῖσα
ἡ ΗΝ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου.
Τὸ δὲ ὀργανικὸν οὕτως· ἐκκείσθω τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
τοῦ κύκλου τρίτον μέρος ἡ ΑΓ, καὶ ἐπ' αὐτῆς τμῆμα κύ-
κλου τὸ ΑΒΓ γωνίαν δεχόμενον διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων
ἐστὶν ἡ ΑΓ ε#, τοιούτων δ# ἀπειλήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω
ἐφαπτομένη ἡ ΒΕ· λέγω ὅτι ἡ ΑΒ ἐπιζευχθεῖσα ἴση ἐστὶν
τῇ ΘΚ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ.
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΔ·
ἰσόπλευρον ἄρα τὸ ΑΒΔ. καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ-
κλου ἴση ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θ#
πρὸς δ#, ἕξει καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τὸν αὐτὸν
λόγον· ἡμιολία ἄρα ἡ ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΒΔ, τῆς ΒΓ· διπλῆ
ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ· καὶ ἡ ΒΖ
ἄρα ἐπιζευχθεῖσα τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ, ἐστὶν διπλῆ.
ἦν δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῆς ΛΝ διπλῆ, καὶ ἴσας περιέχουσιν γω-
νίας· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΝΛΗ τριγώνῳ. καὶ
ἔστιν ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΝΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΛΝ ἢ τῇ ΘΚ.
Τὸ αὐτὸ ἄλλως σαφέστερον.
κδ#. Ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ δοθέντος κύκλου ἴση
1100ἡ ΑΖ, καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς τὸ γ# μέρος, καὶ ἔστω ἡ ΑΓ,
ἐφ' ἧς τμῆμα κύκλου γεγράφθω τὸ ΑΒΓ δεχόμενον γωνίαν
διμοίρου ὀρθῆς, καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΓ ε#, τοιούτων δ# ἀπει-
λήφθω ἡ ΓΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΕΒ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΖΒ, καὶ ἔτι ἐπιζευχθεῖσα
ἡ ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ
ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εἰς κύκλον διήχθησαν
ἥ τε ΕΓΑ καὶ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ μὲν τέμνει τὸν κύκλον ἡ δὲ
ἐφάπτεται, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ·
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΓΕ·
ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ. ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλ' ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ διὰ κ# τοῦ ς#. καὶ
ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς
ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἔχει ὃν τὰ θ# πρὸς δ#·
ἡμιολία ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ΒΓ· διπλασία ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ.
ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ διπλασία· ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς
ΓΑ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. καὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Γ γω-
νίαι· ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν Δ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΓ, ἡ δὲ Ζ
τῇ ὑπὸ ΓΑΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ
πρὸς ΔΓ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς
ΓΔ. διπλασία δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ· διπλασία ἄρα καὶ ἡ ΖΒ
τῆς ΑΔ, τουτέστιν τῆς ΑΒ. καὶ ἔστιν διμοίρου ἡ Δ·
διμοίρου ἄρα ὀρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ. ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ
1102μιᾶς ὀρθῆς καὶ γ#. ἐὰν οὖν ἔχωμεν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Η,
ἴσην ἔχοντα τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΖ εὐθείᾳ, καὶ διαγά-
γωμεν ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τὴν ΗΞ εὐθεῖαν, καὶ ἴσην
θῶμεν τῇ ΖΒ τὴν ΗΛ εὐθεῖαν, καὶ πρὸς τῇ ΗΛ εὐθείᾳ
καὶ τῷ Λ σημείῳ ἴσην γωνίαν συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΗΛΝ
τῇ ὑπὸ ΖΒΑ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΝ, ἰσογώνιον γίνεται17[Figure 17]
τὸ ΗΛΝ τρίγωνον τῷ ΑΖΒ τριγώνῳ. καὶ ἔστιν ἡ ΑΖ
ἴση τῇ ΗΝ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΛ τῇ ΑΒ. καὶ φανερὸν ὅτι
ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ΑΒ εὐθείας γίνεται ἡ τῶν ζ# εἰς τὸν
κύκλον ἑξαγώνων ἐγγραφή.
̔Tηεσε σεξτιονς μισσινγ φρομ Gρεεκ τεχτ.̓
κε#. Πῶς δὲ καὶ ἡ τῶν προειρημένων τυμπάνων γίνεται
παράθεσις, νῦν ἐροῦμεν.
Ἔστω γὰρ δύο τύμπανα ἔντορνα καὶ παρακείμενα ἀλ-
λήλοις τὰ Α Β, καὶ ἔστω ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Α πρὸς τὴν
1104διάμετρον τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α
πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β· οὕτως γὰρ ἡ παρά-
θεσις τῶν τυμπάνων σῴζεται διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν περί-
μετρον τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περίμετρον, οὕτως τὴν διά-
μετρον πρὸς τὴν διάμετρον [1τοῦτο γὰρ ἑξῆσ]1. ὑποκείσθω
δὴ τὸ μὲν Α ὀδόντων ξ#, τὸ δὲ Β ὀδόντων μ#· λέγω ὅτι
ἐστὶν ὡς τὸ τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ
πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων
τοῦ Α.
Ἐπεὶ γὰρ παράκειται ἀλλήλοις τὰ Α Β, ὅσους ἂν
ὀδόντας κινηθῇ τὸ Β, τοσούτους ὀδόντας κινηθήσεται καὶ
τὸ Α· ὅταν ἄρα τὸ Β στρεφόμενον μίαν ἀποκατάστασιν
ποιήσηται, τότε τὸ Α μ# ὀδόντας κινηθήσεται, ὥστε καί,
ὅταν τὸ Β ξ# ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν τὸ
πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α, τότε τὸ Α ὀδόντας κινηθή-
σεται #22βυ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἐπὶ
τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται
καί, ὅταν τὸ Α μ# ἀποκαταστάσεις ποιήσηται, ὅσον ἐστὶν
τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β, τότε τὸ Β ὀδόντας κεκινη-
μένον #22βυ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Β ἐπὶ
τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ὅταν ἄρα τὸ Α ἀποκατα-
στάσεις ποιήσηται μ#, ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων
τοῦ Β, τότε καὶ τὸ Β ἀποκαταστάσεις ποιεῖται ξ#, ὅσον
ἐστὶν τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ
τάχος τοῦ Α πρὸς τὸ τάχος τοῦ Β, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν
ὀδόντων τοῦ Β πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α.
κς#. Ὅτι δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας
εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι, νῦν δείξομεν.
1106
Ἔστωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διάμετροι
αὐτῶν αἱ ΑΒ ΓΔ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου
περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ
ΑΒ διάμετρος πρὸς τὴν ΓΔ.
Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΓΔ κύκλον,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ
τετράγωνον, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν
τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ
τῆς τοῦ ΑΒ περιφερείας, τοῦ δὲ ΓΔ κύκλου τετραπλάσιόν
ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ περιφερείας [1τὸ γὰρ
ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ
κύκλου περιεχόμενον ὀρθογώνιον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἐμ-
βαδοῦ τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης, καὶ ὡς ἐν τῷ εἰς τὸ
πρῶτον τῶν μαθηματικῶν σχολίῳ δέδεικται καὶ ὑφ' ἡμῶν
δι' ἑνὸς θεωρήματοσ]1, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς
περιφερείας τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ
κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ
κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ,
οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΓΔ
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου πε-
ριφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ ΓΔ περιφέρεια πρὸς τὴν
ΓΔ [1τοῦτο γὰρ πρῶτόν ἐστιν ἐν τῷ ς# λαμβανόμενον]1, καὶ
ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ περι-
φέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ.
κζ#. Τυμπάνου δοθέντος καὶ τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων
αὐτοῦ, ἐπιτετάχθω παραθεῖναι αὐτῷ τύμπανον δοθὲν ἔχον
1108τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων καὶ εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ παρα-
τιθεμένου τυμπάνου.
Ἔστω τύμπανον τὸ Α, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων
ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς [μονάδων ξ#], καὶ παρακείσθω τῷ Α
τὸ Γ τύμπανον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων ἔστω ὁ Δ
ἀριθμὸς [μονάδων μ#]· δεῖ δὴ τοῦ Γ τὴν διάμετρον εὑρεῖν.
Ἐπεὶ οὖν ὁ Β ἀριθμὸς πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Α,
ὁ δὲ Δ πλῆθός ἐστιν ὀδόντων τοῦ Γ [καὶ ἔστιν τὸ μὲν
πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ Α ἡ περίμετρος αὐτοῦ, τὸ δὲ πλῆ-
θος τῶν ὀδόντων τοῦ Γ ἡ περίμετρος αὐτοῦ], ἔστιν ἄρα ὡς
ὁ Β ἀριθμὸς πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ Α πρὸς
τὴν περίμετρον τοῦ Γ. ὡς δὲ ἡ περίμετρος πρὸς τὴν πε-
ρίμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. λόγος
δὲ τοῦ Β ἀριθμοῦ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν δοθείς [ἔστιν γὰρ
ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#]· λόγος ἄρα καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Α
πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Γ δοθείς [ὁ τῶν ξ# πρὸς τὰ μ#].
καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ διάμετρος τοῦ Α· δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ διάμετρος τοῦ Γ [δεῖ γὰρ ποιεῖν ὡς τὸν ξ# ἀριθμὸν πρὸς
τὸν μ#, οὕτως τὴν διάμετρον τοῦ Α πρὸς ἄλλην τινά, καὶ
ὁ περὶ διάμετρον ἐκείνην γραφόμενος κύκλος ἴσος ἔσται τῷ
ζητουμένῳ τυμπάνῳ].
Ὀργανικῶς δὲ οὕτως· ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ τε-
τμημένη εἰς ἴσα, ἴσα τὸ πλῆθος τοῖς ὀδοῦσι τοῦ Α τυμ-
πάνου [τουτέστιν ξ#], καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀχθεῖσα κείσθω
διαμέτρῳ τοῦ Α τυμπάνου ἴση ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
ΕΗ, καὶ [οἵων ἡ ΕΖ ξ#, τοιούτων μ#] ἀπειλήφθω ἡ ΕΘ
τοῦ πλήθους τῶν ὀδόντων τοῦ Γ γινομένη, καὶ διὰ τοῦ Θ
παράλληλος τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΘΚ· καὶ ἔσται ἄρα ἡ ΘΚ ἴση
τῇ διαμέτρῳ τοῦ Γ τυμπάνου [1φανερὰ γὰρ ἡ ἀπόδειξισ]1.
κη#. Πῶς δὲ κατασκευάζεται κοχλίας τὴν ἕλικα ἁρμο-
στὴν ἔχων τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ δοθέντος τυμπάνου, φα-
νερὸν οὕτως ἔσται.
1110
Νοείσθω κύλινδρος ἰσοπαχῶς τετορνευμένος ὁ ΑΔΕΖ,
πλευρὰ δ' αὐτοῦ ἡ ΑΕ, καὶ εἰλήφθω μονοστρόφου ἕλικος
ἐπ' αὐτῆς διάστημα τὸ ΑΒ, καὶ λεπίδιον χαλκοῦν γεγενή-
σθω, οὗ τὸ μὲν ΗΘΚ μέρος τρίγωνον ὀρθογώνιον ἔστω
ὀρθὴν ἔχον τὴν Θ γωνίαν, τὸ δὲ λοιπὸν παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον τὸ ΘΚΛ, ἴση δὲ κείσθω ἡ ΘΗ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ
ΘΚ τῇ περιμέτρῳ τοῦ ΑΔΕΖ κυλίνδρου, καὶ περικαμπτέ-
σθω τὸ λεπίδιον περὶ τὸν κύλινδρον, ἵνα καὶ τὸ ΘΚΛ
παραλληλόγραμμον κύλινδρος γένηται ἁπτόμενος τοῦ ΔΕ,
ὅταν εἰσαχθῇ, καὶ κείσθω τὸ μὲν Θ ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ Η
ἐπὶ τὸ Β, καὶ οὕτως γράψομεν διὰ τῆς ΗΚ ὑποτεινούσης
καμφθείσης [δὲ] τὴν καλουμένην μονόστροφον ἕλικα ὡς τὴν
ΒΑ. καὶ πάλιν μεταθέντες τὸ λεπίδιον, ὥστε τὸ μὲν Θ
κατὰ τὸ Β εἶναι τὸ δὲ Η κατὰ τὸ Γ, γράψομεν διὰ τῆς
ΗΚ ἑτέραν ἕλικα μονόστροφον, ὥστε τὴν ὅλην εἶναι δί-
στροφον. ἐν ᾧ γὰρ χρόνῳ τὸ Α ἐπὶ τὸ Β παραγίνεται
ὁμαλῶς κινούμενον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τῆς ἐπιφα-
νείας τοῦ κυλίνδρου κινηθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθίσταται
καὶ τὸ εἰρημένον φέρεσθαι σημεῖον κατὰ τῆς ΑΒ εὐθείας
γράψει τὴν μονόστροφον ἕλικα· τοῦτο γὰρ Ἀπολλώνιος ὁ
Περγεὺς ἀπέδειξεν. [ἐὰν οὖν καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ ΒΓ
καὶ τὰς ἑξῆς ἄχρι τοῦ Ε δίχα τέμνωμεν καὶ διὰ τῶν ση-
μείων τῷ λεπιδίῳ γράψωμεν μονοστρόφους ἕλικας ἀπ' αὐτῶν
κατὰ τὸ βάθος τῆς ἕλικος ὃ βουλόμεθα λάβωμεν καὶ ἀπὸ
τοῦ βάθους λοιπὸν καὶ τῆς γραφείσης ἕλικος, ῥᾳδίως τὴν
ἕλικα φακοειδῆ ῥινήσαντες ἕξομεν ἀπηρτισμένην.]
κθ#. Πάλιν νοείσθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ δοθέν-
1112τος τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον κύκλος, οὗ περιφέρεια ἡ
ΡΥΤ κέντρον δὲ τὸ Ξ, καὶ τὰ Ρ Υ Τ ἴσον ἀπ' ἀλλήλων
ἀπέχοντα, λόγου χάριν τοῦ πανὸς κύκλου εἰς εἴκοσι τέσ-
σαρα διῃρημένου, καὶ ἀπὸ τῶν Ρ Υ Τ ἐπὶ τὸ Ξ κέντρον
νεύουσαι διήχθωσαν ἄχρι τοῦ περὶ τὸ Ξ κέντρον γεγραμμέ-
νου κύκλου τοῦ ΜΝΠΦ αἱ ΡΟ ΥΟ ΤΟ, καὶ ἀπὸ τῶν δι-
χοτομούντων τὰς ΟΟ περιφερείας σημείων διήχθωσαν ἐπὶ
τὰ Ρ Υ Τ σημεῖα αἱ ΜΡ ΝΡ ΝΥ ΠΥ ΠΤ ΤΦ, καὶ ἀπὸ
τῆς ΟΡ εὐθείας προήχθω ἐν τῇ κυρτῇ τοῦ τυμπάνου ἐπι-
φανείᾳ ἡ ΡΣ μέχρι τῆς περιφερείας οὖσα τοῦ ἐν τῇ ἑτέρᾳ
ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμπάνου περὶ τὸν κότραφον ὁμοίως γραφο-
μένου τοῦ ΧΩ κύκλου, καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ μὲν ἡμισείᾳ τῆς
ΡΥ περιφερείας [ὡς λοξώσεωσ] ἴση κείσθω ἡ ΣΧ, τῇ δὲ
ΡΥ ἡ ΧΩ, καὶ οὕτως ἑξῆς ἴσην θέντες τῇ ΥΤ τὴν ΩΨ καὶ
τὰς λοιπάς, καὶ ἐπιζεύξαντες τὰς ΡΧ ΥΩ ΤΨ ἕξομεν τὰς
τῶν ὀδόντων λοξώσεις. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΡΥ κύκλος
τῷ ΧΩ κύκλῳ, γράψομεν κἀν τῇ ἑτέρᾳ ἐπιφανείᾳ τοῦ τυμ-
πάνου περὶ κέντρον τὸ ἀντικείμενον τῷ Ξ σημείῳ κύκλον
ἴσον τῷ ΜΝ, καὶ ἀπὸ τῶν Χ Ω ἀγαγόντες ἐπ' αὐτὸν
εὐθείας νευούσας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ, καὶ τὰ αὐτὰ ποι-
ήσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ΡΥΤ περιφερείας [τοῦ κύκλου] ἕξομεν
καὶ τὴν ἄλλην πλευρὰν τοῦ τυμπάνου καταγεγραμμένην.
καὶ λοιπὸν ἐκκόψαντες τὰ μεταξὺ τῶν γραμμῶν σχήματα
ὡς τὰ ΝΡΥ ΥΠΤ καὶ τὰ ἀντικείμενα ἕξομεν τὸ τύμπανον
1114ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λοξοῖς. ἐμβαίνει δὲ ἕκαστος εἰς τὴν
τοῦ κοχλίου ἕλικα, ἐπεὶ καὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τὸ ΡΥ
ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒ διαστήματι τῆς τοῦ κοχλίου ἕλικος. καὶ
δῆλον ὡς καθ' ἑκάστην στροφὴν τοῦ κοχλίου εἷς ὀδοὺς
παρενεχθήσεται· τοῦτο γὰρ Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχα-
νικοῖς, γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ' ἡμῶν, ἵνα μηδὲν ἔξωθεν
ἐπιζητῶμεν.
λ#. Νοείσθω γὰρ κοχλίας ὁ ΑΒ, ἡ δὲ ἐν αὐτῷ ἕλιξ ἡ
ΑΓΔΕΖΒ [νοείσθωσαν δὲ μονόστροφοι αἱ εἰρημέναι ἕλικεσ],
τύμπανον δὲ ἔστω [τὸ] παρακείμενον καὶ ὠδοντωμένον τὸ
ΗΓΕΘ ὀδόντας ἔχον τοὺς ΗΓ ΓΕ ΕΘ ἁρμόζοντας τῇ ἕλικι
[οἱ ἄρα λοιποὶ οὐκ ἐναρμόσουσιν εἰς τὰς λοιπὰς ἕλικασ].
ἐὰν οὖν ἐπιστρέφωμεν τὸν κοχλίαν, ὥστε τὸ Ε σημεῖον
παρωθεῖσθαι ἐπὶ τὰ Γ μέρη, παρέσται τὸ Ε ἐπὶ τὸ Γ,
ὅταν ὁ κοχλίας ἀποκατάστασιν μίαν ποιήσηται, καὶ ἕξει ὁ
μὲν ΓΕ ὀδοὺς τὴν τοῦ ΓΗ θέσιν, ὁ δὲ ΕΘ τὴν τοῦ ΓΕ,
καὶ πάλιν ὁ ΕΘ θέσιν ἐσχηκὼς τὴν ΓΕ ἐν μιᾷ τοῦ κοχλίου
περιστροφῇ ὅλος παραχθήσεται. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὀδόν-
των τὰ αὐτὰ ἐπινοεῖν χρή, ὥστε, ὅσους ἂν ὀδόντας ἔχῃ τὸ
τύμπανον, τοσαυτάκις ὁ κοχλίας κινηθεὶς μίαν ἀποκατά-
στασιν τοῦ τυμπάνου ποιήσεται.
λα#. Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τοῦ βαρουλκοῦ, τῶν δὲ
προειρημένων ε# δυνάμεων ἐκ τῶν Ἥρωνος τὴν ἔκθεσιν
1116ἐπιτομώτερον ποιησόμεθα πρὸς ὑπόμνησιν τῶν φιλομα-
θούντων, προσθέντες ἔτι καὶ τὰ περὶ τῆς μονοκώλου καὶ
δικώλου καὶ τρικώλου καὶ τετρακώλου μηχανῆς ἀναγκαίως
λεγόμενα, μή ποτε καὶ τῶν βιβλίων ἐν οἷς ταῦτα γέγραπται
ἀπορία γένηται τῷ ζητοῦντι· καὶ γὰρ ἡμεῖς κατὰ πολλὰ
μέρη διεφθαρμένοις ἐνετύχομεν ἀνάρχοις τε καὶ ἀτελέσι
βιβλίοις. πέντε τοίνυν οὐσῶν δυνάμεων δι' ὧν τὸ δοθὲν
βάρος τῇ δοθείσῃ βίᾳ κινεῖται, ἀναγκαῖόν ἐστιν τά τε
σχήματα αὐτῶν καὶ τὰς χρείας ἔτι δὲ καὶ τὰ ὀνόματα
ἐκθέσθαι. ἀποδέδοται δὲ ὑπὸ τοῦ Ἥρωνος καὶ Φίλωνος
καὶ διότι αἱ προειρημέναι δυνάμεις εἰς μίαν ἄγονται φύσιν,
καίτοι παρὰ πολὺ διαλλάσσουσαι τοῖς σχήμασιν. ὀνόματα
μὲν οὖν ἐστιν τάδε· ἄξων ἐν περιτροχίῳ, μοχλός, πολύ-
σπαστον, σφήν, καὶ πρὸς τούτοις ὁ καλούμενος ἄπειρος
κοχλίας.
Ὁ μὲν οὖν ἄξων ὁ ἐν τῷ περιτροχίῳ κατασκευάζεται
οὕτως· ξύλον δεῖ λαβεῖν εὔτονον τετράγωνον [1καθάπερ δο-
18[Figure 18]κίδα]1 καὶ τούτου τὰ ἄκρα σι-
μώσαντα στρογγύλα ποιῆσαι
καὶ χοινικίδας περιθεῖναι
χαλκᾶς συναραρυίας τῷ ἄξονι,
ὥστε ἐμβληθείσας αὐτὰς εἰς
τρήματα στρογγύλα ἐν ἀκινή-
τῳ τινὶ πήγματι εὐλύτως στρέ-
φεσθαι τῶν τρημάτων τριβεῖς
χαλκοῦς ἐχόντων ὑποκειμένους
ταῖς χοινικίσι· καλεῖται δὲ τὸ
εἰρημένον ξύλον ἄξων. περὶ
δὲ μέσον τὸν ἄξονα περιτί-
θεται τύμπανον ἔχον τρῆμα
τετράγωνον ἁρμοστὸν τῷ ἄξονι, ὥστε ἅμα στρέφεσθαι τόν
τε ἄξονα καὶ τὸ περιτρόχιον.
1118
Ἡ μὲν οὖν κατασκευὴ δεδήλωται, χρεία δ' ἐστὶν ἡ
μέλλουσα λέγεσθαι. ὅταν γὰρ βουλώμεθα μεγάλα βάρη
κινεῖν ἐλάσσονι βίᾳ, τὰ ἐκδεδεμένα ἐκ τοῦ βάρους ὅπλα
περιθέντες περὶ τὰ σεσιμωμένα τοῦ ἄξονος, καὶ ἐμβαλόν-
τες σκυτάλας εἰς τὰ ἐν τῷ περιτροχίῳ τρήματα, ἐπιστρέ-
φομεν τὸ περιτρόχιον κατάγοντες τὰς σκυτάλας, καὶ οὕτως
εὐκόπως κινηθήσεται τὸ βάρος ὑπὸ ἐλάσσονος δυνάμεως
τῶν ὅπλων περὶ τὸν ἄξονα ἐπειλουμένων [ἢ καὶ διαμηρυο-
μένων ὑπό τινος πρὸς τὸ μὴ ἅπαν τὸ ὅπλον περικεῖσθαι
τῷ ἄξονι]. τοῦ δὲ εἰρημένου ὀργάνου τὸ μὲν μέγεθος ἁρ-
μόζεσθαι δεῖ πρὸς τὰ μέλλοντα κινεῖσθαι βάρη, τὴν δὲ
συμμετρίαν πρὸς τὸν λόγον ὃν ἔχει τὸ κινούμενον βάρος
πρὸς τὴν κινοῦσαν δύναμιν, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται.
Ἦν δὲ δευτέρα δύναμις ἡ διὰ τοῦ μοχλοῦ [καὶ τάχα ἡ
προεπίνοια τῆς περὶ τὰ ὑπεράγαν βάρη κινήσεωσ]· προελό-
μενοι γάρ τινες μεγάλα βάρη κινεῖν, ἐπειδὴ ἀπὸ τῆς γῆς ἔδει
πρῶτον μετεωρίσαι, λαβὰς δὲ οὐκ εἶχον διὰ τὸ πάντα τὰ
μέρη τῆς ἕδρας τοῦ φορτίου ἐπικεῖσθαι τῷ ἐδάφει, ὑπο-
ρύξαντες βραχὺ καὶ ξύλου μακροῦ τὸ ἄκρον ὑποβαλόντες
ὑπὸ τὸ φορτίον κατῆγον ἐκ τοῦ ἑτέρου ἄκρου, ὑποθέντες
τῷ ξύλῳ παρ' αὐτὸ τὸ φορτίον λίθον, ὃ δὴ καλεῖται ὑπο-
μόχλιον. φανείσης δ' αὐτοῖς τῆς κινήσεως πάνυ εὐκόπου
ἐνόησαν ὅτι δυνατὸν κινεῖσθαι μεγάλα βάρη διὰ τοῦ τρόπου
τούτου. καλεῖται δὲ τὸ ξύλον μοχλός, εἴτε τετράγωνον εἴη
εἴτε στρογγύλον. ὅσῳ δ' ἂν ἐγγυτέρω τιθῆται τοῦ φορτίου
τὸ ὑπομόχλιον, τοσούτῳ εὐχερέστερον κινεῖται τὸ βάρος,
ὡς ἑξῆς δειχθήσεται.
Ἔστιν δὲ ἡ τρίτη δύναμις ἡ κατὰ τὸ πολύσπαστον.
ὅταν γὰρ βουλώμεθά τι βάρος ἕλκειν, ἐξάψαντες ὅπλον
1120ἐξ αὐτοῦ ἐπισπώμεθα τοσαύτῃ βίᾳ, ὅση τῷ φορτίῳ ἰσόρ-
ροπός ἐστιν. ἐὰν δὲ ἑλκύσαντες ἐκ τοῦ φορτίου τὸ ὅπλον
τὴν μὲν μίαν αὐτοῦ ἀρχὴν ἐκδήσωμεν ἔκ τινος μένοντος
χωρίου, τὴν δὲ ἑτέραν βάλωμεν διὰ τροχίλου ἐκδεδεμένου
ἐκ τοῦ φορτίου καὶ ταύτην ἐπισπώμεθα, εὐχερέστερον κι-
νήσομεν τὸ βάρος. πάλιν δὲ ἐὰν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου
ἐξάψωμεν ἕτερον τροχίλον καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διαβα-
λόντες διὰ τούτου ἐπισπώμεθα, ἔτι μᾶλλον εὐχερέστερον
κινήσομεν τὸ βάρος. καὶ πάλιν ἐὰν ἐκ τοῦ φορτίου τροχί-
λον ἕτερον ἐκδήσωμεν καὶ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν διὰ τούτου
διαβαλόντες ἐπισπώμεθα, πολλῷ μᾶλλον εὐχερέστερον κι-
νήσομεν τὸ βάρος ** ἀεὶ τροχίλους ἔκ τε τοῦ μένοντος χω-
ρίου ἐξάπτοντες καὶ ἐκ τοῦ φορτίου καὶ διαβάλλοντες
ἐναλλὰξ τὴν ἀγομένην ἀρχὴν εἰς τοὺς τροχίλους εὐχερέστε-
ρον κινήσομεν τὸ βάρος. [ὅσῳ δ' ἂν εἰς πλείονα κῶλα τὸ
ὅπλον κάμπτηται, τὸ βάρος εὐκοπώτερον κινηθήσεται· δεῖ
δὲ τὴν ἐκδεννυμένην ἀρχὴν ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου ἐξάπτε-
σθαι.] ἵνα οὖν μὴ καθ' ἕνα τοὺς τροχίλους ἔκ τε τοῦ μέ-
νοντος χωρίου καὶ ἐκ τοῦ φορτίου ἐξάπτωμεν, οἱ μὲν εἰρη-
μένοι εἰς τὸ μένον εἶναι χωρίον εἰς ἓν ξύλον ἐντίθενται
περὶ ἄξονας κινούμενοι, ὃ καλεῖται μάγγανον, τοῦτο δὲ
ἐξάπτεται ἐκ τοῦ μένοντος χωρίου διά τινος ἑτέρου ὅπλου,
οἱ δὲ πρὸς τῷ φορτίῳ εἰς ἕτερον μάγγανον τούτῳ ἴσον, ὃ δὴ
πάλιν ἐξάπτεται ἐκ τοῦ φορτίου μόνον. οὕτως δὲ δεῖ κατα-
τετάχθαι ἐν τοῖς μαγγάνοις τοὺς τροχίλους, ὥστε τὰ κῶλα
1122μὴ ἐμπλεκόμενα πρὸς ἄλληλα δυσπειθῆ γίνεσθαι. δι' ἣν
δ' αἰτίαν πλειόνων τῶν κώλων γινομένων εὐκοπία παρα-
19[Figure 19]κολουθεῖ, δείξομεν, καὶ δι' ἣν αἰτίαν
ἡ ἑτέρα ἀρχὴ ἐκ τοῦ μένοντος ἐξάπτεται
χωρίου.
Ἡ δὲ ἑξῆς δύναμις ἡ διὰ τοῦ σφη-
νὸς καὶ αὐτὴ μεγάλας χρείας παρεχο-
μένη πρός τε τὰς μυρεψικὰς πιέσεις καὶ
τὰς διὰ τῆς τεκτονικῆς ὑπεραγούσας κολ-
λήσεις, τὸ δὲ πάντων μέγιστον, ὅταν
τοὺς ἐκ τῶν λατομιῶν λίθους ἀποσπᾶν
δέῃ τῆς κατὰ τὸ κάτω μέρος συνεχείας,
οὐδεμία τῶν ἄλλων δυνάμεων ἐνεργεῖν
δύναται, οὐδ' ἂν ἅμα πᾶσαι συζευ-
χθῶσιν, μόνος δὲ ὁ σφὴν ἐνεργεῖ διὰ τῆς
τυχούσης, καὶ ἄνεσις μὲν οὐδ' ἡτισοῦν
γίνεται κατὰ τὰ διαλήμματα τῶν ἐργα-
ζομένων, καρτερὰ δὲ ἡ ἐπίτασις. τοῦτο
δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ καὶ μὴ πλησσομένου
τοῦ σφηνὸς ἐνίοτε ψόφους καὶ ῥήγματα
γίνεσθαι διὰ τῆς τοῦ σφηνὸς ἐνεργείας.
ὅσῳ δ' ἂν ἡ τοῦ σφηνὸς γωνία ἐλάσσων
γίνηται, τοσούτῳ εὐχερέστερον ἐνεργεῖ,
τουτέστιν δι' ἐλάσσονος πληγῆς, ὡς δεί-
ξομεν.
Τὰ μὲν οὖν προειρημένα ὄργανα
φανερὰς καὶ αὐτοτελεῖς ἔχει τὰς κατα-
σκευὰς πολλαχοῦ ἐν ταῖς χρείαις φαινο-
μένας, ὁ δὲ κοχλίας ἔχει τι περίεργον
περί τε τὴν κατασκευὴν καὶ τὴν χρῆσιν. ὁτὲ μὲν [οὖν] γὰρ αὐ-
τὸς καθ' αὑτὸν μόνος ἐνεργεῖ, ὁτὲ δὲ καὶ προσλαμβάνων ἔτι
1124δύναμιν, πλὴν ὅτι οὐδὲν ἕτερόν ἐστιν ἢ σφὴν εἰλημένος, ἀπο-
λειπόμενος τῆς πληγῆς, διὰ μοχλοῦ δὲ καὶ στροφῆς τὴν κίνη-20[Figure 20]
σιν ποιούμενος. τοῦτο δ' ἔσται δῆλον ἐκ τῶν μελλόντων λέ-
γεσθαι. φύσις μὲν οὖν ὑπάρχει τῆς περὶ αὐτὸν πραγμα-
τείας τοιαύτη· ἐὰν κυλίνδρου πλευρὰ φέρηται κατὰ τῆς τοῦ
κυλίνδρου ἐπιφανείας, πρὸς δὲ τῷ πέρατι ταύτης σημεῖόν
τι ἅμα κατὰ αὐτῆς τῆς πλευρᾶς φέρηται, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ
χρόνῳ ἥ τε πλευρὰ μίαν ἀποκατάστασιν ποιήσηται καὶ τὸ
σημεῖον τὸ πᾶν τῆς πλευρᾶς διεξέλθῃ, ἡ γενομένη ὑπὸ τοῦ
σημείου ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ γραμμὴ ἕλιξ ἐστίν, ἣν
δὴ κοχλίαν καλοῦσιν. καταγράφεται δὲ ἐν τῷ κυλίνδρῳ
οὕτως· ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθείας ἐκθώμεθα ὀρθὰς ἀλλή-
λαις, ὧν ἡ μὲν μία ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου
πλευρᾷ, ἡ δὲ ἑτέρα τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ, ὅς ἐστιν
βάσις τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν εἰρημένων
εὐθειῶν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν γω-
νίαν, τεθῇ δὲ ἡ ἴση τῇ τοῦ κυλίνδρου πλευρᾷ ἐπὶ τὴν τοῦ
κυλίνδρου πλευράν, ἡ δὲ ἑτέρα τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἐπει-
ληθῇ κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, εἰληθήσεται καὶ
ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν κατὰ τῆς κυλινδρικῆς ἐπιφανείας,
καθ' ἧς ἔσται ἡ εἰρημένη ἕλιξ. ἔξεστιν δὲ διελόντα τὴν
τοῦ κυλίνδρου πλευρὰν εἰς ἴσα, ὁπόσ' ἄν τις προαιρῆται,
καθ' ἕκαστον αὐτῆς μέρος περιγράφειν ἕλικα, ὡς προείρη-
ται [ὥστε ἐν τῷ κυλίνδρῳ πλείονας ἕλικας γράφεσθαι, κα-
λείσθω δὲ ἡ ἅπαξ εἰληθεῖσα ἕλιξ μονόστροφος, τουτέστιν
1126ἡ περὶ τὰ παρὰ ἑκάστου μέρους γινομένη γραμμή]. κατὰ
αὐτῆς οὖν τῆς γραμμῆς σωλῆνα ἐντεμόντες εἰς τὸ βάθος
τοῦ κυλίνδρου καὶ ἐκκόψαντες, ὥστε ἐν τῷ σωλῆνι τύλον21[Figure 21]
ἐναρμόσαι στερεόν, χρῶνται τῷ κοχλίᾳ οὕτως· τὰ ἄκρα
αὐτοῦ στρογγύλα ποιήσαντες ἐναρμόζουσιν εἴς τινα δια-
πήγματα ἐν στρογγύλοις τρήμασιν, ὥστε εὐκόπως αὐτὸν
στρέφεσθαι, ὑπὲρ δὲ τὸν κοχλίαν κανόνα διατιθέντες παρ-
άλληλον αὐτῷ σωλῆνα ἔχοντα μέσον ἐν τῇ ἄνω ἐπιφανείᾳ
ἐναρμόζουσιν εἰς τοῦτον τὸν σωλῆνα τὸν εἰρημένον τύλον,
ὥστε τὸ μὲν ἕτερον ἄκρον τοῦ τύλου μένειν ἐν τῷ τοῦ κο-
χλίου σωλῆνι, τὸ δὲ ἕτερον ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐτέρῳ σωλῆνι τῷ
ἐν τῷ κανόνι. ὅταν οὖν βούλωνται φορτίον κινεῖν διὰ τούτου
τοῦ ὀργάνου, ὅπλον λαβόντες τούτου τὴν μὲν μίαν ἀρχὴν
ἐξάπτουσιν ἐκ τοῦ φορτίου, τὴν δὲ ἑτέραν ἐκ τοῦ προ-
ειρημένου τύλου, καὶ τρημάτων ὄντων τῇ κεφαλῇ τοῦ κο-
χλίου σκυτάλας ἐμβαλόντες κατάγουσιν, καὶ οὕτως ὑπὸ τῆς
ἕλικος ὁ τύλος παραγόμενος ἐν τῷ σωλῆνι ἐπισπᾶται τὸ
ὅπλον δι' οὗ καὶ τὸ φορτίον. ἔξεστιν δὲ ἀντὶ τῶν σκυ-
ταλῶν χειρολάβην τινὰ περιθεῖναι τῷ ἄκρῳ τοῦ κοχλίου
ὑπερέχοντι εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ διαπήγματος καὶ οὕτως στρέ-
φοντα τὸν κοχλίαν ἐπισπᾶσθαι τὸ φορτίον. ἡ δ' ἐν τῷ κο-
χλίᾳ ἕλιξ ὁτὲ μὲν τετράγωνος γίνεται ὁτὲ δὲ φακοειδής,
τετράγωνος μέν, ὅταν ὁ ἐν αὐτῷ σωλὴν ὀρθὰς ἔχῃ τὰς
ἐντομάς, φακοειδὴς δέ, ὅταν λοξὰς καὶ εἰς μίαν συναγο-
1128μένας γραμμήν. καλεῖται δὲ ὁ μὲν τετράγωνος, ὁ δὲ φα-
κωτός.
Ὅταν μὲν οὖν αὐτὸς καθ' αὐτὸν ὁ κοχλίας ἐνεργῇ,
ταύτην λαμβάνει τὴν κατασκευήν, γίνεται δὲ καὶ ἑτέρως·
22[Figure 22]προσλαβόντες γάρ τινα
ἑτέραν δύναμιν τὴν διὰ
τοῦ ἄξονος τοῦ ἐν τῷ
περιτροχίῳ καλουμένου
[κατασκευὴν] νοήσομεν
τὸ περὶ τὸν ἄξονα τύμ-
πανον ὠδοντωμένον εἶ-
ναι, κοχλίαν δέ τινα
παρακεῖσθαι τῷ τυμ-
πάνῳ ἤτοι ὀρθὸν κεί-
μενον πρὸς τὸ ἔδαφος
ἢ παράλληλον τῷ ἐδά-
φει, ἔχοντα τὴν μὲν
ἕλικα ἐμπεπλεγμένην
τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπά-
νου τὰ δὲ ἄκρα ἐν στρογ-
γύλοις τρήμασιν πολευό-
μενα ἔν τισιν διαπήγμα-
σιν, καθάπερ καὶ προεί-
ρηται, καὶ ὑπεροχῆς
οὔσης τοῦ ἄκρου τοῦ
κοχλίου εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ
διαπήγματος μέρος, ἤτοι
χειρολάβην τινὰ περικεῖσθαι, δι' ἧς ἐπιστραφήσεται ὁ
κοχλίας, ἢ τρήματα, ὥστε σκυταλῶν ἐμβληθεισῶν ὁμοίως
ἐπιστρέφεσθαι· αὐτόν. πάλιν οὖν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα
1130περιβαλόντες περὶ τὸν ἄξονα ἐφ' ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου
καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν, δι' οὗ καὶ τὸ ὠδοντωμένον
τύμπανον, ἐπισπασόμεθα τὸ βάρος.
Αἱ μὲν οὖν κατασκευαὶ καὶ αἱ χρήσεις τῶν προειρη-
μένων πέντε δυνάμεων δεδήλωνται, τίς δέ ἐστιν ἡ αἰτία,
δι' ἣν δι' ἑκάστης αὐτῶν μεγάλα βάρη κινεῖται μικρᾷ
παντάπασι δυνάμει, Ἥρων ἀπέδειξεν ἐν τοῖς μηχανικοῖς.
ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς ἐκ τοῦ γ# τῶν Ἥρωνος μηχανὰς γράψομεν
πρὸς εὐκοπίαν καὶ λυσιτέλειαν ἁρμοζούσας, δι' ὧν πάλιν
μεγάλα βάρη κινηθήσεται.
Τὰ μὲν οὖν ἀγόμενα ἐπὶ τοῦ ἐδάφους, φησίν, ἐπὶ
χελώνας ἄγεται. ἡ δὲ χελώνη πῆγμά ἐστιν ἐκ τετραγώνων23[Figure 23]
ξύλων συμπεπηγός, ὧν τὰ ἄκρα ἀνασεσίμωται. τούτοις
οὖν ἐπιτίθεται τὰ βάρη, καὶ ἐκ τῶν ἄκρων αὐτῶν ἤτοι
πολύσπαστα ἐκδέννυται ἢ ὅπλων ἀρχαί. ταῦτα δὲ ἤτοι
ἀπὸ χειρὸς ἕλκεται ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδίδοται, ὧν περια-
γομένων ἡ χελώνη ἐπὶ τοῦ ἐδάφους σύρεται ὑποβαλλομένων
σκυταλίων ἢ σανίδων. ἐὰν μὲν γὰρ μικρὸν ᾖ τὸ φορτίον,
σκυτάλαις χρῆσθαι δεῖ, ἐὰν δὲ μεῖζον, ταῖς σανίσιν διὰ
τὸ ταύτας μὴ εὐκόλως σύρεσθαι· αἱ γὰρ σκυτάλαι κυλιό-
μεναι κίνδυνον ἔχουσιν τοῦ φορτίου ὁρμὴν λαβόντος. ἔνιοι
1132δὲ οὔτε σκυτάλαις οὔτε σανίσι χρῶνται, ἀλλὰ τροχοὺς να-
στοὺς προσθέντες ταῖς χελώναις ἄγουσιν.
λβ#. Ἐπὶ δὲ τῶν εἰς ὕψος βασταζομένων φορτίων, φησίν,
μηχαναὶ γίνονται αἱ μὲν μονόκωλοι, αἱ δὲ δίκωλοι, αἱ δὲ
τρίκωλοι, αἱ δὲ τετράκωλοι. αἱ μὲν οὖν μονόκωλοι οὕτως·
ξύλον εὔτονον λαμβάνεται ὕψος ἔχον μεῖζον ἢ οὗ βουλό-
μεθα τὸ φορτίον μετεωρίσαι, κἂν μὲν αὐτὸ καθ' αὑτὸ
ἰσχυρὸν ᾖ, ὅπλον βάλλοντες περὶ αὐτὸ [καὶ σφίγγοντεσ]
καὶ διαμηρυόμενοι κατὰ ἐπείλησιν ἀποσφίγγουσιν. τῶν δὲ
ἐπειλήσεων τὸ μεταξὺ διάστημα οὐ πλεῖον γίνεται παλαι-
στῶν δ#, καὶ οὕτως εὐτονώτερόν τε γίνεται τὸ ξύλον καὶ
αἱ τοῦ ὅπλου ἐπειλήσεις ὥσπερ βαθμοὶ τοῖς ἐργαζομένοις
καὶ βουλομένοις εἰς τὸ ἄνω μετεωρίζεσθαι εὔχρηστοι γίνον-
ται. ἐὰν δὲ μὴ ᾖ εὔτονον τὸ ξύλον, ἐκ πλειόνων συμβλη-
τὸν γίνεται. [στοχάζεσθαι δεῖ τῶν μελλόντων βαστάζεσθαι
φορτίων, ὅπως μὴ ἀσθενέστερον τὸ κῶλον ὑπάρχῃ.] ἵστα-
ται οὖν τὸ κῶλον ὀρθὸν ἐπί τινος ξύλου καὶ ἐκ τοῦ ἄκρου
αὐτοῦ ὅπλα ἐκδέννυται τρία που ἢ τέσσαρα καὶ ἀποτε-
θέντα ἀποδίδοται πρός τινα μένοντα χωρία, ὅπως τὸ ξύ-
λον, ὅπου ἄν τις βιάζηται, μὴ παραχωρῇ κατεχόμενον ὑπὸ
τῶν ἀποτεταμένων ὅπλων. ἐκ δὲ τοῦ ἄνω μέρους αὐτοῦ
πολύσπαστα ἐξάψαντες καὶ ἀποδιδόντες εἰς τὸ φορτίον
ἐπισπῶνται ἤτοι ἀπὸ χειρὸς ἢ εἰς ἐργάτας ἀποδόντες, εἰς
ὅταν μετεωρισθῇ τὸ φορτίον. κἂν δέῃ τὸν λίθον ἐκτεθῆ-
ναι ἐπὶ τεῖχος ἢ ὅπου βούλεταί τις, ἐκλύσαντες ἓν τῶν
1134ἐκδεννυμένων ἐκ τοῦ ἄκρου ὅπλων τὸ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη
τοῦ φορτίου κείμενον ἐγκλίνουσιν τὸ κῶλον, ἢ τὰς σκυ-
τάλας ὑποβάλλοντες ὑπὸ τὸ φορτίον ἐν τοῖς μέρεσιν, ἐν
οἷς ἡ σφενδόνη ἐν τῷ λίθῳ οὐκ ἐπείληται, χαλῶσι τὰ ἀγό-
μενα τῶν πολυσπάστων ἄχρι ἂν ἐπικαθίσῃ τὸ φορτίον ταῖς
σκυτάλαις, εἶτ' ἐκλύσαντες τὴν σφενδόνην μοχλεύουσι τὸ
φορτίον ἄχρι οὗ εἰς ὃν βούλονται τόπον παράξωσιν. εἶτα
πάλιν τὸ ὑποκείμενον τῷ κώλῳ ξύλον ὅπλῳ ἐπισπασάμενοι
ἀπὸ χειρὸς περιάγουσιν ἐπὶ ἕτερον μέρος τοῦ οἰκοδομήμα-
τος ἅμα ἀνιέντες τοὺς ἀποτόμους, καὶ πάλιν ἐκδήσαντες
χρῶνται, ὡς προείρηται.
1
[Empty page]