Monte, Guidobaldo del, Mechanicorum liber, 1577

Bibliographic information

Author: Monte, Guidobaldo del
Title: Mechanicorum liber
Date: 1577

Permanent URL

Document ID: MPIWG:9T6UCAB6
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:9T6UCAB6

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
GVIDIVBALDI
E MARCHIONIBVS
MONTIS
MECHANICORVM
LIBER.
1[Figure 1]
PISAVRI
Apud Hieronymum Concordiam.
M. D. LXXVII.
Cum Licentia Superiorum.
1
PRAESENTI OPERE
CONTENTA.
De Libra.
De Vecte.
De Trochlea.
De Axe in peritrochio.
De Cuneo.
De Cochlea.
1
AD FRANCISCVM
MARIAM II
VRBINATVM
AMPLISSIMVM DVCEM
GVIDIVBALDI
E MARCHIONIBVS
MONTIS
PRAEFATIO.
DVAE res (AMPLISSIME PRIN­
CEPS) quæ ad conciliandas homi
nibus facultates, vtilitas nempè, &
nobilitas, plurimùm valere conſue
uerunt. illæ ad exornandam mecha
nicam facultatem, & eam præ om­
nibus alijs appetibilem reddendam conſpiraſſe
mihi videntur: nam ſi nobilitatem (quod pleriq;
modò faciunt) ortu ipſo metimur, occurret hinc
Geometria, illinc verò Phiſica; quorum gemina
to complexu nobiliſſima artium prodit mechani­
ca. ſi enim nobilitatem magis, tùm ſtratæ materiæ,
tùm argumentorum neceſſitati (quod Ariſtote­
les fatetur aliquandò) relatam volumus, omnium
procul dubiò nobiliſſimam perſpiciemus. quæ
1quidem non ſolum geometriam (vt Pappus teſta
tur) abſoluit, & perficit; verùm etiam & phiſica­
rum rerum imperium habet: quandoquidem
quodcunq; Fabris, Architectis, Baiulis, Agricolis,
Nautis, & quàm plurimis alijs (repugnantibus na­
turæ legibus) opitulatur; id omne mechanicum
eſt imperium. quippè quod aduerſus naturam
vel eiuſdem emulata leges exercet; ſumma id
certè admiratione dignum; veriſſimum tamen,
& à quocunque liberaliter admiſſum, qui pri­
us ab Ariſtotele didicerit, omnia mechanica,
tùm problemata, tùm theoremata ad rotundam
machinam reduci, atq; ideo illo niti principio,
non minus ſenſui, quàm rationi noto. Rotunda ma
china eſt mouentiſſima, & quò maior, eò mouen­
tior. Verùm huic nobilitati adnexa eſt ſumma re
rum ad vitam pertinentium vtilitas, quæ propte­
rea omnes alias à diuerſis artibus propagatas an­
tecellit; quòd aliæ facultates poſt mundi geneſim
longa temporis intercapedine ſuos explicarunt
vſus; iſta verò & in ipſis mundi primordijs ita fuit
hominibus neceſſaria, vt ea ſublata Sol de mun­
do ſublatus videretur. nam quacunq; neceſſita­
te Adæ vita degeretur; & quamuis etiam caſis
contectis ſtramine, & anguſtis tugurijs, ac gurgu­
ſtijs cœli defenderet iniurias; ſic & in corporis ve
ſtitu, licet ipſe nihil aliud ſpectaret, niſi vt imbres,
1vt niues, vt ventos; vt Solem, vt frigus arceret;
quodcunque tamen id fuit, omne mechanicum
fuit. neq; tamen huic facultati contingit, quod
ventis ſolet, qui cùm vndè oriuntur, ibi vehe­
mentiſſimi ſint, ad longinqua tamen fracti, de­
bilitatiquè perueniunt: ſed quod magnis flumini­
bus crebriuſ accidit, quæ cùm in ipſo ortu parua
ſint, perpetuò tamen aucta, eò ampliori ferun
tur alueo, quò à fontibus ſuis longius receſſe­
runt. Nam & temporis progreſſu mechanica fa
cultas ſub iugo æquum arationis laborem di­
ſpenſare, atque aratrum agris circumagere cæ­
pit. deinceps bigis, & quadrigis docuit comea
tus, merces, onera quælibet vehere, è finibus
noſtriſ ad finitimos populos exportare, & ex il
lis contra importare ad nos. præterea cùm iam
res non tantùm neceſſitate, verùm etiam orna­
tu, & commoditate metirentur, mechanicæ
fuit ſubtilitatis, quòd nauigia remo impellere­
mus; quòd gubernaculo exiguo in extrema pup
pi collocato ingentes triremium moles inflecte­
remus; quòd vnius ſæpè manu pro multis fabro­
rum manibus modò pondera lapidum, & tra­
bium Fabris, & Architectis ſubleuaremus; mo­
dò tollenonis ſpecie aquas è puteis olitoribus e­
xhauriremus. hinc etiam è liquidorum prælis vi
na, olea, vnguenta expreſſa, & quicquid liquo­
1ris habent, perſoluere domino compulſa. hinc
magnas arborum, & marmorum moles duobus in
contrarias partes diſtrahentibus vectibus diremp­
ſimus; hinc militiæ in aggeribus extruendis, in
conſerenda manu, in opugnando, propugnan­
doq; loca infinitæ ferè redundarunt vtilitates;
hinc demum Lignatores, Lapicidæ, Marmorarij
Vinitores, Olearij, Vnguentarij, Ferrarij, Auri
fices, Metallici, Chirurgi, Tonſores, Piſtores, Sar
tores, omnes deniq; opifices beneficiarij, tot, tan
taq; vitæ humanæ ſuppeditarunt commoda. Eant
nunc noui logodedali quidam mechanicorum
contemptores, perfricent frontem, ſi quam ha­
bent, & ignobilitatem, atquè inutilitatem falſò
criminari deſinant: quòd ſi & adhuc id minimè
velint, eos quæſo in inſcitia ſua relinquamus:
Ariſtotelemquè potius philoſophorum cory­
phæum imitemur, cuius mechanici amoris ardo
rem acutiſſimæ illæ mechanicæ quæſtiones poſte
ris traditæ ſatis declarant: qua quidem laude
Platonem magnificè ſuperauit; qui (vt teſtatur
Plutarcus) Architam, & Eudoxum mechanicæ
vtilitatem impenſius colentes ab inſtituto deter
ruit; quòd nobiliſſimam philoſophorum poſſeſ­
ſionem in vulgus indicarent, ac publicarent; &
velut arcana philoſophiæ myſteria proderent.
res ſanè meo quidem iudicio proſus vituperan­
1da, niſi fortè velimus tam nobilis diſciplinæ con
templationem quidem ocioſam laudare; fructum
verò, & vſum, artiſq; finem improbare. ſed præ
omnibus mathematicis vnus Archimedes ore
laudandus eſt pleniore, quem voluit Deus in me­
chanicis velut ideam ſingularem eſſe, quam om­
nes earum ſtudioſi ad imitandum ſibi propone­
rent. is enim Cœleſtem globum exiguo admo­
dum, fragili què vitreo orbe concluſum ita efin­
xit, ſimulatis aſtris viuum naturæ opus, ac iura
poli motibus certis adeò præ ſe ferentibus; vt
æmula naturæ manus tale de ſe encomium ſit
promerita: ſic manus naturam, vt natura ma­
num ipſa immitata putetur. is poliſpaſtu manu
leua, & ſola, quinquies millenum modiorum
pondus attraxit. nauem in ſiccum litus eductam,
ac grauius oneratam ſolus machinis ſuis ad ſe
perindè pertraxit, ac ſi in mari remis, veliſuè
impulſa moueretur, quam & poſtea in litore (quod
omnes Siciliæ vires non potuerunt) in mare de­
duxit. ab iſto etiam ea extiterunt bellica tor­
menta, quibus Syracuſæ aduerſus Marcellum
ita defenſæ ſunt, vt paſſim eorum machinator
Briareus, & centimanus à Romanis appellare­
tur. demum hac arte confiſus eò proceſſit au­
daciæ, vt eam vocem naturæ legibus adeò re­
pugnantem protulerit. Da mihi, vbi ſiſtam, ter
1ramq; mouebo. quod tamen non modò nos
vecte tantùm fieri potuiſſe in præſenti libro doce
mus; verùm etiam, & omnis antiquitas (quod
multis fortaſſè mirabile videbitur) id penitus
credidiſſe mihi videtur; quæ Neptuno tri­
dentem tanquam vectem attribuit; cuius ope
terræ concuſſor vbiq; nuncupatur à poetis. ad
quod etiam aſpiciens celeberrimus noſter poeta
Neptunum inducit iſta machina ſyrtes, quò ma­
gis apparerent Troianis, ſubleuantem.
“Leuat ipſe tridenti
& vaſtas aperit ſyrtes.”
Mechanici præterea fuerunt Heron, Cteſibius,
& Pappus, qui licet ad mechanicæ apicem, perin­
de atq; Archimedes, euecti fortaſſè minimè ſint;
mechanicam tamen facultatem egregiè percal­
luerunt; taleſq; fuerunt, & præſertim Pappus, vt
eum me ducem ſequentem nemo (vt opinor) cul
pauerit. quod & propterea libentius feci, quòd
nè latum quidem vnguem ab Archimedeis prin­
cipijs Pappus recedat. ego enim in hac præſertim
facultate Archimedis veſtigijs hærere ſemper vo
lui: & licet eius lucubrationes ad mechanicam per­
1tinentes multis ab hinc annis paſſim ſoleant do­
ctis deſiderari: eruditiſſimus tamen libellus de æ­
queponderantibus præ manibus hominum adhuc
verſatur, in quò tanquam in copioſiſſima pœnu
omnia ferè mechanica dogmata repoſita mihi vi­
dentur; quem ſanè libellum, ſi ætatis noſtræ mathe
matici ſibi magis familiarem adhibuiſſent; reperiſ
ſent ſanè ſententias multas, quas modó ipſi firmas,
& ratas eſſe docent; ſubtiliſſimè, atquè veriſ­
ſimè conuulſas, & labefactatas. ſed hoc vi­
derint ipſi. ego enim ad Pappum redeo, qui
ad vſum mathematicarum vberiorem, emulu­
mentorumquè acceſſiones amplificandas peni­
tus conuerſus, de quinque principibus machi­
nis, Vecte nempè, Trochlea, Axe in peri­
trochio, Cuneo, & Cochlea, multa egre­
giè philoſophatus eſt; demonſtrauit què quicquid
in machinis, aut cogitari peritè, aut acutè
definiri, aut certò ſtatui poteſt, id omne quin­
què illis infinita vi præditis machinis referen­
dum eſſe. atquè vtinam iniuria temporis ni­
hil è tanti viri ſcriptis abraſiſſet: nec enim tam
denſa inſcitiæ caligo vniuerſum propè terra­
rum orbem obtexiſſet, neque tanta mechani
cæ facultatis eſſet ignoratio conſecuta, vt ma­
thematicarum proceres exiſtimarentur illi, qui
modò ineptiſſima quadam diſtinctione, diffi­
1cultates nonnullas, nec illas tamen ſatis ar­
duas, & obſcuras è medio tollunt. reperiun­
tur enim aliqui, noſtraq; ætate emunctæ naris
mathematici, qui mechanicam, tùm mathe­
maticè ſeorſum, tùm phiſicè conſiderari poſ­
ſe affirmant; ac ſi aliquando, vel ſine demon
ſtrationibus geometricis, vel ſine vero motu
res mechanicæ conſiderari poſſint: qua ſanè di­
ſtinctione (vt leuius cum illis agam) nihil aliud mi­
hi comminiſci videntur, quàm vt dum ſe, tùm
phiſicos, tùm mathematicos proferant, vtra­
que (quod aiunt) ſella excludantur. nequè
enim amplius mechanica, ſi à machinis abſtra
hatur, & ſeiungatur, mechanica poteſt appel
lari. Emicuit tamen inter iſtas tenebras (quam­
uis alij quoquè nonnulli fuerint præclariſſimi)
Solis inſtar Federicus Commandinus, qui multis
doctiſſimis elucubrationibus amiſſum mathema
ticarum patrimonium non modò reſtaurauit,
verùm etiam auctiùs, & locupletiùs effecit.
erat enim ſummus iſte vir omnibus adeò facul­
tatibus mathematicis ornatus, vt in eo Archi­
tas, Eudoxus, Heron, Euclides, Theon, Ari­
ſtarcus, Diophantus, Theodoſius, Ptolemæus
Apollonius, Serenus, Pappus, quin & ip­
ſemet Archimedes (ſiquidem ipſius in Archi­
medem ſcripta Archimedis olent lucernam) re
1uixiſſe viderentur. & ecce repentè è tenebris (vt
confidimus) ac vinculis corporis in lucem, li­
bertatem què productus mathematicas alieniſ­
ſimo tempore optimo, & præſtantiſſimo patre
orbatas, nos verò ita conſternatos reliquit, vt e­
ius deſiderium vix longo ſermone mitigare
poſſe videamur. Ille tamen perpetuò in alia­
rum mathematicarum explicationem verſans,
mechanicam facultatem, aut penitus præter­
miſit, aut modicè attigit. Quapropter in hoc
ſtudium ardentiùs ego incumbere cæpi, nec me
vnquam per omne mathematum genus vagan
tem ea ſolicitudo deſeruit; ecquid ex vno
quoquè decerpi, ac delibari poſſit; quo ad me
chanicam expoliendam, & exornandam acco­
modatior eſſe poſſem. Nunc verò cùm mihi
videar, noni ea quidem omnia, quæ ad mecha
nicam pertinent, perfeciſſe; ſed eò vſq; tamen
progreſſus, vt ijs, qui ex Pappo, ex Vitruuio,
& ex alijs didicerint, quid ſit Vectis, quid Tro­
chlea, quid Axis in peritrochio, quid Cuneus,
quid Cochlea; quomodoq; vt pondera moueri
poſſint, aptari debeant; adhuc tamen acciden­
tia permulta, quæ inter potentiam, & pondus
vectis virtute illis inſunt inſtrumentis, perdiſce­
re cupiunt, opis aliquid adferre poſſim; putaui
tempus iam poſtulare, vt prodirem; & nauatæ
1in hoc genere operæ ſpecimen aliquod darem.
Verùm quò facilius totius operis ſubſtructio
ad faſtigium ſuum per duceretur, nonnulla quo­
què de libra fuerunt pertractanda, & præſer­
tim dum vnico pondere alterum ſolum ipſius
brachium penitus deprimitur: que in re mi­
rum eſt quantas fecerint ruinas Iordanus (qui
inter recentiores maximæ fuit auctoritatis) &
alij; qui hanc rem ſibi diſcutiendam propoſue
runt. opus ſanè arduum, & forſan viribus no­
ſtris impar aggreſsi ſumus; in eo tamen digni, vt
noſtros conatus, & induſtriam ad præclara ten
dentem bonorum omnium perpetuus applau­
ſus, approbatioq; comitetur; quòd ad ſtudium
tàm illuſtre, tam magnificum, tam laudabile
contulimus quicquid habuimus virium. quod
ſanè qualecunq; ſit, tibi celeberrime PRINCEPS
nuncupandum cenſuimus; cuius ſanè conſilij,
atq; inſtituti noſtri rationes multas reddere in
promptu eſt: & primùm hæreditaria tibi in fa­
miliam noſtram promerita, quibus nos ita de­
uictos habes; vt facilè intelligamus ad fortunas
non modò noſtras, verùm & ad ſanguinem, &
vitam quoq; pro tua dignitate propendendam
paratiſſimos eſſe debere. Præterea illud non
parui quoq; ponderis accedit, quòd à pueri­
tia literarum omnium, ſed præcipuè mathe­
1maticarum deſiderio ita fueris incenſus, vt ni­
ſi illis adeptis vitam tibi acerbam, atq; inſua­
uem ſtatueres. proinde in earum ſtudio infi­
xus primam ætatis partem in illis percipiendis
exegiſti, eamquè ſæpius verè principe dignam
vocem protuliſti, te propterea mathematicis
præſertim delectari, quòd iſtæ maximè ex do­
meſtico illo, & vmbratili vitæ genere in Solem
(quod dicitur) & puluerem prodire poſsint: cu
ius ſanè rei tuum flagrantiſsimum ab ineunte æta
te peritiæ militaris deſiderium, exploratum in­
dicium poterat eſſe, niſi nimis emendicatæ men­
tis eſſet ea proponere, quæ à te ſperari poſſent;
quando tu penitus adoleſcens, egregia multa fa
cinora proficere maturaſti. Tu enim cùm iam
à ſanctiſſimo Pontifice Pio V ſaluberrimæ Prin­
cipum Chriſtianorum coniunctionis fundamen­
ta iacta eſſent, alacer admodum ad debellan­
dos Chriſti hoſtes profectus, ſolidiſſimam, ac ve­
riſſimam gloriam tibi comparaſti. Tu quoties de
ſumma rerum deliberatum eſt, eas ſententias
dixiſti, quæ ſummam prudentiam cùm ſumma
animi excelſitate coniunctam indicarent. ommit­
tam interim pleraq; alia illis temporibus egre­
giè, viriliter què à te geſta, ne tibi ipſi ea, quæ
omnibus ſunt manifeſta, palàm facere videar:
1quæ cùm omnia magna, & præclara ſint; mul­
tò tamen à te maiora, & præclara expectant
adhuc homines. Vale interim præſtantiſſimum
orbis decus, & ſi quando aliquid otij nactus
fueris has meas vigiliolas aſpicere ne dedi­
gneris.
1
GVIDIVBALDI
E MARCHIONIBVS
MONTIS.
MECHANICORVM
LIBER.
DEFINITIONES.
Centrvm grauitatis vniuſcu­
iuſq; corporis eſt punctum quod­
dam intra poſitum, à quo ſi gra­
ue appenſum mente concipiatur,
dum fertur, quieſcit; & ſeruat eam,
quam in principio habebat poſi­
tionem: neq; in ipſa latione circumuertitur.
Hanc centri grauitatis definitionem Pappus Alexandrinus in
octauo Mathematicarum collectionum libro tradidit. Federicus
verò Commandinus in libro de centro grauitatis ſolidorum idem
centrum deſcribendo ita explicauit.
Centrum grauitatis vniuſcuiuſq; ſolidæ figu­
ræ eſt punctum illud intra poſitum, circa quod
vndiq; partes æqualium momentorum conſi­
ſtunt. ſi enim per tale centrum ducatur planum
figuram quomodocunq; ſecans ſemper in par­
tes æqueponderantes ipſam diuidet.
1
COMMVNES NOTIONES.
I
Si ab æqueponderantibus æqueponderantia au­
ferantur, reliqua æqueponderabunt.
II
Si æqueponderantibus æqueponderantia adii­
ciantur, tota ſimul æqueponderabunt.
III
Quæ eidem æqueponderant, inter ſe æquè ſunt
grauia.
SVPPOSITIONES.
I
Vnius corporis vnum tantùm eſt centrum gra­
uitatis.
II
Vnius corporis centrum grauitatis ſemper in
eodem eſt ſitu reſpectu ſui corporis.
III
Secundùm grauitatis centrum pondera deor­
ſum feruntur.
2
DE LIBRA.
Anteqvam de libra ſermo ha
beatur, vtres clarior eluceſcat, ſit
libra AB recta linea; CD verò
trutina, quæ ſecundum commu­
nem conſuetudinem horizonti
ſemper eſt perpendicularis. pun­
ctum autem C immobile, circa quod vertitur li­
bra, centrum libræ
vocetur. itidemque
(quamuis tamen im­
proprie) ſiue ſupra,
ſiue infra libram fue
rit conſtitutum. CA
verò, & CB, tum di
ſtantiæ, tum libræ
brachia nuncupen­
tur. & ſi à centro li­
bræ ſupra, vel infra
2[Figure 2]
libram conſtituto ipſi AB perpendicularis duca­
tur, hæc perpendiculum vocetur, quæ libram AB
ſubſtinebit; & quocunque modo moueatur libra,
ipſi ſemper perpendicularis exiſtet.
1
LEMMA.
Sit linea AB horizonti perpendicularis, & dia
metro AB circulus deſcribatur AEBD, cuius
centrum C. Dico punctum B infimum eſſe lo­
cum circumferentiæ circuli AEBD; punctum
verò A ſublimiorem; & quælibet puncta, vt DE
æqualiter à puncto A diſtantia æqualiter eſſe
deorſum; quæ verò propius ſunt ipſi A eis, quæ
magis diſtant, ſublimiora eſſe.
Producatur AB vſq; ad mundi cen­
trum, quod ſit F; deinde in circuli circum­
ferentia quoduis accipiatur punctum G;
connectanturq; FG FD FE. Quoniam
n. BF minima eſt omnium, quæ à puncto
F ad circumferentiam AEBD ducun­
tur; erit BF ipſa FG minor. quare punctum
B propius erit puncto F, quàm G. hacq;
ratione oſtendetur punctum B quouis alio
puncto circumferentiæ circuli AEDB
mundi centro propius eſſe. erit igitur pun­
ctum B circumferentiæ circuli AEBD
infimus locus. Deinde quoniam AF per
centrum ducta maior eſt ipſa GF; erit
punctum A non ſolum ipſo G, verum etiam
quouis alio puncto circumferentiæ circuli
AEBD ſublimius. Præterea quoniam DF
FE ſunt æquales; puncta DE æqualiter
3[Figure 3]
mundi centro diſtabunt. & cum DF maior ſit FG; erit pun­
ctum D ipſi A propius puncto G ſublimius. quæ omnia demon­
ſtrare oportebat.
8. Tertil.
3
PROPOSITIO I.
Si Pondus in eius centro grauitatis a recta ſu­
ſtineatur linea, nunquam manebit, niſi eadem li­
nea horizonti fuerit perpendicularis.
Sit pondus A, cuius centrum gra
uitatis B, quod à linea CE ſuſti­
neatur. Dico pondus nunquam
permanſurum, niſi CB horizonti
perpendicularis exiſtat. ſit pun­
ctum C immobile, quod vt pon
dus ſuſtineatur, neceſſe eſt. & cum
punctum C ſit immobile, ſi pon­
dus A mouebitur, punctum B cir
culi circumferentiam deſcribet,
cuius ſemidiameter erit CB. qua
re centro C, ſpatio verò BC, cir­
culus deſcribatur BFDE. ſitq;
4[Figure 4]
primum BC horizonti perpendicularís, quæ vſq; ad D produca­
tur; atq; punctum C ſit infra punctum B. Quoniam enim pondus
A ſecundum grauitatis centrum B deorſum mouetur; punctum
B deorſum in centrum mundi, quò naturaliter tendit, per re­
ctam lineam BD mouebitur: totum ergo pondus A eius cen­
tro grauitatis B ſuper rectam lineam BC graueſcet. cum au­
tem pondus à linea CB ſuſtineatur, linea CB totum ſuſti­
nebit pondus A; ſuper quam deorſum moueri non poteſt, cum
ab ipſa prohibeatur: per definitionem igitur centri grauitatis pun
ctum B, ponduſq; A in hoc ſitu manebunt. & quamquam B quo­
cunq; alio puncto circuli ſit ſublimius, ab hoc tamen ſitu deorſum
per circuli circumferentiam nequaquam mouebitur non enim ver­
ſus F magis, quàm verſus E inclinabitur, cum ex vtraq; parte æqua­
lis ſit deſcenſus; neq; pondus A in vnam magis, quàm in alteram
partem propenſionem habeat: quod non accidit in quouis alio
puncto circumferentiæ circuli (præter D) ſit ponderis eiuſdem
1centrum grauitatis, vt in F; cum ex
puncto F verſus D ſit deſcenſus, at
verò verſus B aſcenſus. quare pun­
ctum F deorſum mouebitur. & quo
niam per rectam lineam in centrum
mundi moueri non poteſt, cum à
puncto C immobili propter lineam
CF prohibeatur; deorſum tamen
ſicuti eius natura poſtulat, ſemper
mouebitur. & cum infimus locus ſit
D, per circumferentiam FD mouebi
tur, donec in D perueniat, in quo
ſitu manebit, ponduſq; immobile exi
5[Figure 5]
ſtet. tum quia deorſum amplius moueri non poteſt, cum ex pun­
cto C ſit appenſum; tum etiam, quia in eius centro grauitatis ſuſti
netur. Quando autem F erit in D, erit quoq; linea FC in DC,
ſimulq; horizonti perpendicularis. pondus ergo nunquam mane
bit, donec linea CF horizonti perpendicularis non exiſtat. quod
oſtendere oportebat. quod
oſtendere oportebat.
Supp. 3. huius.
Ex hoc elici poteſt, pondus quocunq; modo
in dato puncto ſuſtineatur, nunquam manere; ni
ſi quando a centro grauitatis ponderis ad id pun
ctum ducta linea horizonti ſit perpendicularis.
Vt iiſdem poſitis, ſuſtineatur
pondus à lineis CG CH. Dico
ſi ducta BC horizonti ſit perpen­
dicularis, pondus A manere. ſi verò
ducta CF non ſit horizonti per­
pendicularis, punctum F deorſum
vſq; ad D moueri; in quo ſitu pon­
dus manebit, ductaq; CD horizon
ti perpendicularis exiſtet. quæ om­
nia eadem ratione oſtendentur. 6[Figure 6]
4 PROPOSITIO II.
Libra horizonti æquidiſtans, cuius centrum
ſit ſupra libram, æqualia in extremitatibus, æqua
literq; à perpendiculo diſtantia habens pondera,
ſi ab eiuſmodi moueatur ſitu, in eundem rurſus
relicta, redibit; ibíq; manebit.
Sit libra AB recta li­
nea horizonti æquidi­
ſtans, cuius centrum C
ſit ſupra libram; ſitq; CD
perpendiculum, quod ho­
rizonti perpendiculare
erit: atq; diſtantia DA ſit
diſtantiæ DB æqualis;
ſintq; in AB pondera æ­
qualia, quorum grauitatis
centra ſint in AB punctis.
Moueatur AB libra ab
7[Figure 7]
hoc ſitu, putá in EF, deinde relinquatur. dico libram EF in AB ho
rizonti æquidiſtantem redire, ibíq; manere. Quoniam autem pun
ctum C eſt immobile, dum libra mouetur, punctum D circuli cir­
cumferentiam deſcribet, cuius ſemidiameter erit CD. quare cen­
tro C, ſpatio verò CD, circulus deſcribatur DGH. Quoniam
enim CD ipſi libræ ſemper eſt perpendicularis, dum libra erit in
EF, linea CD erit in CG, ita vt CG ſit ipſi EF perpendicula­
ris. Cùm autem AB bifariam à puncto D diuidatur, & pondera
in AB ſint æqualia; erit magnitudinis ex ipſis AB compoſitæ cen
trum grauitatis in medio, hoc eſt in D. & quando libra vná cum pon
deribus erit in EF; erit magnitudinis ex vtriſq; EF compoſitæ cen
trum grauitatis G. & quoniam CG horizonti non eſt perpendi­
cularis; magnitudo ex ponderibus EF compoſita in hoc ſitu mi­
nimè perſiſtet, ſed deorſum ſecundùm eius centrum grauitatis G per
circumferentiam GD mouebitur; donec CG horizonti fiat per­
1pendicularis, ſcilicet do­
nec CG in CD redeat.
Quando autem CG erit
in CD, linea EF, cùm
ipſi CG ſemper ad rectos
ſit angulos, erit in AB; in
quo ſitu quoq; manebit. li
bra ergo EF in AB hori­
zonti æquidiſtantem redi
bit, ibíq; manebit. quod
demonſtrare oportebat.
4. primi Archi
medis de
æqueponde­
rantibus. 1. Huius 1. Huius.
8[Figure 8]
PROPOSITIO III.
Libra horizonti æquidiſtans æqualia in extre­
mitatibus, æqualiterq; à perpendiculo diſtan­
tia habens pondera, centro infernè collocato, in
hoc ſitu manebit. ſi verò inde moueatur, deor­
ſum relicta, ſecundùm partem decliuiorem mo­
uebitur. 9[Figure 9]
Sit libra AB rectá li­
nea horizonti æquidi­
ſtans, cuius centrum C
ſit infra libram; perpen­
diculumq; ſit CD, quod
horizonti perpendiculare
erit; & diſtantia AD ſit
diſtantiæ DB æqualis;
ſintq; in AB pondera
æqualia, quorum grauita­
tis centra ſint in punctis
AB. Dico primùm libram AB in hoc ſitu manere. Quoniam
enim AB bifariam diuiditur à puncto D, & pondera in AB ſunt
æqualia; erit punctum D centrum grauitatis magnitudinis ex
5vtriſq; AB ponderibus compoſitæ. & CD libram ſuſtinens ho­
rizonti eſt perpendicularis, libra ergo AB in hoc ſitu manebit.
moueatur autem libra AB ab hoc ſitu, putà in EF, deinde relinqua
tur. dico libram EF ex parte F moueri. Quoniam igitur CD
ipſi libræ ſemper eſt perpendicularis, dum libra erit in EF, erit
CD in CG ipſi EF perpendicularis. & punctum G magnitudi­
nis ex EF compoſitæ centrum grauitatis erit; quod dum moue­
tur, circuli circumferentiam deſcribet DGH, cuius ſemidiameter
CD, & centrum C. Quoniam autem CG horizonti non eſt per­
pendicularis, magnitudo ex EF ponderibus compoſita in hoc ſi­
tu minimè manebit; ſed ſecundùm eius grauitatis centrum G deor
ſum per circumferentiam GH mouebitur. libra ergo EF ex par
te F deorſum mouebitur, quod demonſtrare oportebat.
4. Primi Archim. de æquep. 1. Huius.
PROPOSITIO IIII.
Libra horizonti æquidiſtans æqualia in ex­
tremitatibus, æqualiterq; à centro in ipſa libra
collocato, diſtantia habens pondera; ſiue inde
moueatur, ſiue minus; vbicunq; relicta, manebit. 10[Figure 10]
Sit libra recta linea A
B horizonti æquidiſtans,
cuius centrum C in ea­
dem ſit linea AB; diſtan
tia verò CA ſit diſtantiæ
CB æqualis: ſintq; pon­
dera in AB æqualia, quo­
rum centra grauitatis ſint
in punctis AB. Moueatur
libra, vt in DE, ibiquè
relinquatur. Dico primùm libram DE non moueri, in eoquè ſitu
manere. Quoniam enim pondera AB ſunt æqualia; erit magni­
tudinis ex vtroq; pondere, videlicet A, & B compoſitæ centrum
grauitatis C. quare idem punctum C, & centrum libræ, & centrum
grauitatis totius ponderis erit. Quoniam autem centrum libræ
1C, dum libra AB vnà
cum ponderibus in DE
mouetur, immobile re­
manet, centrum quoq;
grauitatis, quod eſt idem
C, non mouebitur. nec
igitur libra DE mouebi
tur, per definitionem
centri grauitatis, cum in
ipſo ſuſpendatur. Idip­
11[Figure 11]
ſum quoq; contingit libra in AB horizonti æquidiſtante, vel in
quocunq; alio ſitu exiſtente. Manebit ergo libra, vbi relinque­
tur. quod demonſtrare oportebat.
Cum verò in iis, quæ dicta ſunt, grauitatis tantùm magnitudi
num, quæ in extremitatibus libræ poſitæ ſunt æquales, abſq; lí­
bræ grauitate conſiderauerimus; quoniam tamen adhuc libræ bra­
chia ſunt æqualia, idcirco idem libræ, eius grauitate conſiderata,
vnà cum ponderibus, vel ſine ponderibus eueniet. idem enim cen
trum grauitatis fine ponderibus libræ tantùm grauitatis centrum
erit. Similiter ſi pondera in libræ extremitatibus appendantur, vt
fieri ſolet, idem eueniet; dummodo ex ſuſpenſionum punctis ad
centra grauitatum ponderum ductæ lineæ (quocunq; modo mo­
ueatur libra) ſi protrahantur, in centrum mundi concurrant. vbi
enim pondera hoc modo ſunt appenſa, ibi graueſcunt, ac ſi in iiſ­
dem punctis centra grauitatum haberent. præterea, quæ ſequun­
tur, eodem prorſus modo conſiderare poterimus.
Quoniam autem huic determinationi vltimæ multa à nonnullis
aliter ſentientibus dicta officere videntur; idcirco in hac parte ali­
quantulum immorari oportebit; & pro viribus, non ſolum pro­
priam ſententiam, ſed Archimedem ipſum, qui in hac eadem eſſe
ſententia videtur, defendere conabor.
6 12[Figure 12]
Iiſdem poſitis, duca­
tur FCG ipſi AB, &
horizonti perpendicula­
ris; & centro C, ſpatio­
què CA, circulus deſcri
batur ADFBEG. erunt
puncta ADBE in circu
li circumferentia; cum li­
bræ brachia ſint æqualia.
& quoniam in vnam con
ueniunt ſententiam, aſſe­
rentes ſcilicet libram DE
neq; in FG moueri, ne­
que in DE manere, ſed in AB horizonti æquidiſtantem rediré.
hanc eorum ſententiam nullo modo conſiſtere poſſe oſtendam.
Non enim, ſed ſi quod aiunt, euenerit, vel ideo erit, quia pondus
D pondere E grauius fuerit, vel ſi pondera ſunt æqualia, diſtantiæ,
quibus ſunt poſita, non erunt æquales, hoc eſt CD ipſi CE non erit
æqualis, ſed maior. Quòd autem pondera in DE ſint æqualia, &
diſtantia CD ſit æqualis diſtantiæ CE: hæc ex ſuppoſitione pa­
tent. Sed quoniam dicunt pondus in D in eo ſitu pondere in E
grauius eſſe in altero ſitu deorſum: dum pondera ſunt in DE, pun­
ctum C non erit amplius centrum grauitatis, nam non manent, ſi
ex C ſuſpendantur; ſed erit in linea CD, ex tertia primi Archi­
medis de æqueponderantibus. non autem erit in linea CE, cum pon
dus D grauius ſit pondere E. ſit igitur in H, in quo ſi ſuſpendan­
tur, manebunt. Quoniam autem centrum grauitatis ponderum
in AB connexorum eſt punctum C; ponderum verò in DE eſt
punctum H: dum igitur pondera AB mouentur in DE, centrum
grauitatis C verſus D mouebitur, & ad D propius accedet; quod
eſt impoſsibile: cum pondera eandem inter ſe ſe ſeruent diſtantiam.
Vniuſcuiuſq; enim corporis centrum grauitatis in eodem ſemper
eſt ſitu reſpectu ſui corporis. & quamquam punctum C ſit duo­
rum corporum AB centrum grauitatis, quia tamen inter ſe ſe ita à
libra connexa ſunt, vt ſemper eodem modo ſe ſe habeant; Ideo
punctum C ita eorum erit centrum grauitatis, ac ſi vna tantum
1eſſet magnitudo. libra
enim vna cum ponderi­
bus vnum tantum conti
nuum efficit, cuius cen­
trum grauitatis erit ſem­
per in medio. non igitur
pondus in D pondere in
E eſt grauius. Si autem
dicerent centrum graui­
tatis non in linea CD,
ſed in CE eſſe debere;
idem eueniet abſurdum. 13[Figure 13]
Amplius ſi pondus D
deorſum mouebitur, pondus E ſurſum mouebit. pondus igitur gra­
uius, quàm ſit E, in eodemmet ſitu ponderi D æqueponderabit, &
grauia inæqualia æquali diſtantia poſita æqueponderabunt. Adii­
ciatur ergo ponderi E aliquod graue, ita vt ipſi D contraponde­
ret, ſi ex C ſuſpendantur. ſed cum ſupra oſtenſum ſit punctum C
centrum eſſe grauitatis æqualium ponderum in DE; ſi igitur pon­
dus E grauius fuerit pondere D, erit centrum grauitatis in linea
CE. ſitq; hoc centrum K. at per definitionem centri grauitatis, ſi
pondera ſuſpendantur ex K, manebunt. ergo ſi ſuſpendantur ex
C, non manebunt, quod eſt contra hypoteſim: ſed pondus E deor
ſum mouebitur. quòd ſi ex C quoque ſuſpenſa æqueponderarent;
vnius magnitudinis duo eſſent centra grauitatis; quod eſt impoſsi
bile. Non igitur pondus in E grauius eo, quod eſt in D, ipſi D æque­
ponderabit, cum ex puncto C fiat ſuſpenſio. Pondera ergo in DE
æqualia ex eorum grauitatis centro C ſuſpenſa, æqueponderabunt,
manebuntquè. quod demonſtrare fuerat propoſitum.
Iordanus de Ponderibus. Hyerommus Cardanus de ſubtilitate. Nicolaus Tartalea de quæſitis, ac inuentionibus. 2. Sup. huius. Ex 4. primi Archim de Aequep. Ex 3. primi Archim de Aequep. 1. Suppoſ. huius.
Huic autem poſtremo inconuenienti occurrunt dicentes, im­
poſsibile eſſe addere ipſi E pondus adeo minimum, quin adhuc ſi
ex C ſuſpendantur, pondus E ſemper deorſum verſus G moueatur.
quod nos fieri poſſe ſuppoſuimus, atque fieri poſſe credebamus. ex­
ceſſum enim ponderis D ſupra pondus E, cum quantitatis ratio­
nem habeat, non ſolum minimum eſſe, verum in infinitum diuidi
poſſe immaginabamur, quod quidem ipſi, non ſolum minimum,
7ſed ne minimum quidem eſſe, cum reperiri non poſsit, hoc mo­
do demonſtrare nituntur. 14[Figure 14]
Exponantur eadem.
à punctiſquè DE hori­
zonti perpendiculares du
cantur DHEK, atq; alius
ſit circulus LDM, cu­
ius centrum N, qui FDG
in puncto D contingat,
ipſiq; FDG ſit æqualis:
erit NC recta linea. &
quoniam angulus KEC
angulo HDN eſt æqua
lis, angulusq; CEG an­
gulo NDM eſt etiam
æqualis; cum à ſemidiametris, æqualibusq; circumferentiis conti­
neatur; erit reliquus mixtuſquè angulus KEG reliquo mixtoquè
HDM æqualis. & quia ſupponunt, quò minor eſt angulus linea
horizonti perpendiculari, & circumferentia contentus, eò pondus
in eo ſitu grauius eſſe. vt quò minor eſt angulus HD, & circumfe
rentia DG contentus angulo KEG, hoc eſt angulo HDM; ita ſe
cundum hanc proportionem pondus in D grauius eſſe pondere in
E. Proportio autem anguli MDH ad angulum HDG minor eſt
qualibet proportione, quæ ſit inter maiorem, & minorem quanti
tatem: ergo proportio ponderum DE omnium proportionum mi
nima erit. immo neq; erit ferè proportio, cum ſit omnium pro
portionum minima. quòd autem proportio MDH ad HDG ſit
omnium minima, ex hac neceſsitate oſtendunt; quia MDH exce
dit HDG angulo curuilineo MDG, qui quidem angulus omnium
angulorum rectilineorum minimus exiſtit: ergo cum non poſsit da
ri angulus minor MDG, erit proportio MDH ad HDG omnium
proportionum minima. quæ ratio inutilis valde videtur eſſe; quia
quamquam angulus MDG ſit omnibus rectilineis angulis minor,
non idcirco ſequitur, abſolutè, ſimpliciterq; omnium eſſe angulorum
minimum: nam ducatur à puncto D linea DO ipſi NC perpendicu
laris, hæc vtraſq; tanget circumferentias LDM FDG in puncto
1D. quia verò circumfe
rentiæ ſunt æquales, erit
angulus MDO mixtus
angulo ODG mixto
æqualis; alter ergo an
gulus, vt ODG minor
erit MDG, hoc eſt mi
nor minimo. angulus
deinde OGH minor
erit angulo MDH; qua
re ODH ad angulum
HDG minorem habe
bit proportionem, quàm
15[Figure 15]
MDH ad eundem HDG. dabitur ergo quoquè proportio mi­
nor minima, quam in infinitum adhuc minorem ita oſtende­
mus. Deſcribatur circulus DR, cuius centrum E, & ſemidiame­
ter ED. continget circumferentia DR circumferentiam DG in
puncto D, lineamquè DO in puncto D; quare minor erit angu­
lus RDG angulo ODG. ſimiliter & angulus RDH angulo
ODH. minorem igitur proportionem habebit RDH ad HDG,
quàm ODH ad HDG. Accipiatur deinde inter EC vtcun­
que punctum P, ex quo in diſtantia PD alia deſcribatur circum­
ferentia DQ, quæ circumferentiam DR, circumferentiamquè
DG in puncto D continget; & angulus QDH minor erit
angulo RDH: ergo QDH ad HDG minorem habebit propor
tionem, quàm RDH ad HDG. eodemquè prorſus modo, ſi
inter PC aliud accipiatur punctum, & inter hoc &C aliud, & ſic
deinceps, infinitæ deſcribentur circumferentiæ inter DO, & cir
cumferentiam DG; ex quibus proportionem in infinitum ſemper
minorem inueniemus. atque ideo proportionem ponderis in D
ad pondus in E non adeo minorem eſſe ſequitur, quin ad infini
tum ipſa ſemper minorem reperiri poſsit. & quia angulus MDG
in infinitum diuidi poteſt; exceſſus quoque grauitatis D ſupra E
diuidi ad infinitum poterit.
Tartalea ſexta propoſitione octaui libri. Ex 12. tertii. 29. Primi. Ex 18. Tertii. 8. Quinti. Ex 11. tertit. Ex 18. tertii.
8
Sed neque prætereundum
eſt, ipſos in demonſtratio­
ne angulum KEG maiorem
eſſe angulo HDG, tanquam
notum accepiſſe. quod eſt
quidem verum, ſi DHEK
inter ſe ſe ſint æquidiſtan­
tes. Quoniam autem (vt
ipſi quoque ſupponunt) li­
neæ DHEK in centrum
mundi conueniunt; lineæ
DHEK æquidiſtantes nun
quam erunt, & angulus KEG
angulo HDG non ſolum
maior erit, ſed minor. vt
exempli gratia, producatur
FG vſque ad centrum mun
di, quod ſit S; connectan­
tur〈qué〉 DSES. oſtenden­
dum eſt angulum SEG mi
norem eſſe angulo SDG. du
16[Figure 16]
catur à puncto E linea ET circulum DGEF contingens, ab eo
dem〈qué〉 puncto ipſi DS æquidiſtans ducatur EV. Quoniam igi
tur EVDS inter ſe ſe ſunt æquidiſtantes: ſimiliter ETDO æqui
diſtantes: erit angulus VET angulo SDO æqualis. & angulus
TEG angulo ODM eſt æqualis; cum à lineis contingentibus,
circumferentiiſ〈qué〉 æqualibus contineatur: totus ergo angulus
VEG angulo SDM æqualis erit. Auferatur ab angulo SDM
angulus curuilineus MDG; ab angulo autem VEG angulus au­
feratur VES; & angulus VES rectilineus maior eſt curuilineo
MDG; erit reliquus angulus SEG minor angulo SDG.
Quare ex ipſorum ſuppoſitionibus non ſolum pondus in D gra­
uius erit pondere in E; verùm è conuerſo, pondus in E ipſo D
grauius exiſtet.
1
Rationes tamen af
ferunt, quibus demon
ſtrare nituntur, libram
DE in AB horizon­
ti æquidiſtantem ex
neceſsitate redire. Pri­
mum quidem oſten­
dunt, idem pondus
grauius eſſe in A,
quàm in alio ſitu, quem
æqualitatis ſitum no­
minant, cum linea
AB ſit horizonti æ­
17[Figure 17]
quidiſtans. deinde quò propius eſt ipſi A, quouis alio remotiori
grauius eſſe. Vt pondus in A grauius eſſe, quàm in D; & in D,
quàm in L. ſimiliter in A grauius, quam in N; & in N grauius,
quàm in M. Vnum tantùm conſiderando pondus in altero libræ
brachio ſurſum deorſumq; moto. Quia (inquiunt) poſita trutina
in CF, pondus in A longius eſt à trutina, quàm in D: & in D
longius, quàm in L. ductis enim DO LP ipſi CF perpendicula­
ribus, linea AC maior eſt, quàm DO, & DO ipſa LP. quod
idem euenit in punctis NM. deinde ex quo loco (aiunt) pon
dus velocius mouetur, ibi grauius eſt; velocius autem ex A, quàm
ab alio ſitu mouetur; ergo in A grauius eſt. ſimili modo, quò
propius eſt ipſi A, velocius quoque mouetur; ergo in D gra­
uius erit, quàm in L. Altera deinde cauſa, quam ex rectiori, & obli
quiori motu deducunt, eſt; quò pondus in arcubus æqualibus re­
ctius deſcendit, grauius eſſe videtur; cum pondus liberum, atq;
ſolutum ſuaptè natura rectè moueatur; ſed in A rectius deſcen
dit; ergo in A grauius erit. hocq; oſtendunt accipiendo arcum
AN arcui LD æqualem; à punctiſq; NL lineæ FG (quam
etiam directionis vocant) æquidiſtantes ducantur NRLQ, quæ
lineas AB DO ſecent in QR; & à puncto N ipſi FG perpen
dicularis ducatur NT. rectèq; demonſtrant LQ ipſi PO æqua
lem eſſe, & NR ipſi CT; lineamq; NR ipſa LQ maiorem eſſe.
Quoniam autem deſcenſu; ponderis ex A vſq; ad N per circum­
9ferentiam AN maiorem portionem lineæ FG pertranſit (quod
ipſi vocant capere de directo) quàm deſcenſus ex L in D per cir
cumferentiam LD; cùm deſcenſus AN lineam CT pertranſeat,
deſcenſus verò LD lineam PO; & CT maior eſt PO; rectior erit
deſcenſus AN, quám deſcenſus LD. grauius ergo erit pondus
in A, quàm in L, & in quouis alio ſitu. eodemq; prorſus
modo oſtendunt, quò propius eſt ipſi A, grauius eſſe.
Vt ſint circumferentiæ LD DA inter ſe ſe æquales, & à puncto
D ipſi AB perpendicularis ducatur DR; erit DR ipſi CO æqua
lis. lineam deinde DR ipſa LQ maiorem eſſe demonſtrant. di­
cuntq; deſcenſum DA magis capere de directo deſcenſu LD, ma
ior enim eſt linea CO, quàm OP; quare pondus grauius erit
in D, quàm in L. quod ipſum euenit in punctis NM. Suppo­
ſitionem itaq;, qua libram DE in AB redire demonſtrant, vt
notam, manifeſtamq; proferunt. Nempè Secundùm ſitum pon
dus grauius eſſe, quanto in eodem ſitu minus obliquus eſt deſcen
ſus. huiuſq; reditus cauſam eam eſſe dicunt; Quoniam ſcilicet
deſcenſus ponderis in D rectior eſt deſcenſu ponderis in E, cùm
minus capiat de directo pondus in E deſcendendo, quàm pon
dus in D ſim liter deſcendendo. Vt ſi arcus EV ſit ipſi DA
æqualis, ducanturq; VH ET ipſi FG perpendiculares; maior
erit DR, quàm TH. quare per ſuppoſitionem pondus in D ra
tione ſitus grauius erit pondere in E. pondus ergo in D, cùm ſit
grauius, deorſum mouebitur; pondus verò in E ſurſum, donec li
bra DE in AB redeat.
Cardanus primo de ſubtilitate. Ex 15. tertii. Cardanus. Cardanus. Iordanus propoſitio ne 4. Tartalea propoſitione 5. 34 Primi. Iordanus ſuppoſitione 4. Iordanus propoſitio ne 3. Tartalea propoſitio ne 5.
Altera huius quoq; reditus ratio eſt, cùm trutina ſupra libram
eſt in CF; linea CG eſt meta. & quoniam angulus GCD ma
ior eſt angulo GCE, & maior à meta angulus grauius reddit
pondus; trutina igitur ſuperius exiſtente, grauius erit pondus in
D, quàm in E. idcirco D in A, & E in B redibit.
Cardanus.
His itaq; rationibus conantur oſtendere libram DE in AB re
dire; quæ meo quidem iuditio facile ſolui poſſunt.
1
Primùm itaq; quan
tum attinet ad ratio­
nes pondus in A gra
uius eſſe, quàm in a­
lio ſitu oſtendentes,
quas ex longiori, &
propinquiori diſtantia à
linea FG, & ex velo­
ciori, & rectiori mo
tu à puncto A dedu­
cunt; primùm quidem
non demonſtrant, cur
pondus ex A velocius
18[Figure 18]
moueatur, quàm ex alio ſitu. nec quia CA eſt DO maior,
& DO ipſa LP, propterea ſequitur tanquam ex vera cauſa, pon
dus in A grauius eſſe, quàm in D; & in D, quàm in L. neq;
enim intellectus quieſcit, niſi alia huius oſtendatur cauſa; cùm po
tius ſignum, quàm vera cauſa eſſe videatur. id ipſum quoq; al­
teri rationi contintingit, quam ex rectiori & obliquiori motu de­
ducunt. Præterea quæcunq; ex velociori, & rectiori motu per­
ſuadent pondus in A grauius eſſe, quàm in D; non ideo de­
monſtrant pondus in A, quatenus eſt in A, grauius eſſe pon
dere in D, quatenus eſt in D; ſed quatenus à punctis DA rece
dit. Idcirco antequàm vlterius progrediar, oſtendam primùm
pondus, quò propius eſt ipſis FG, minus grauitare; tum qua­
tenus in eo ſitu, in quo reperitur, manet: tum quatenus ab eo
recedit. ſimulq; falſum eſſe, pondus in A grauius eſſe, quàm in
alio ſitu.
10
Producatur FG vſq; ad mundi cen
trum, quod ſit S. & à puncto S circu
lum AFBG contingens ducatur. neq;
enim linea à puncto S circulum con­
tingere poteſt in A; nam ducta AS
triangulum ACS duos haberet angu
los rectos, nempè SAC ACS, quod
eſt impoſsibile. neq; ſupra punctum A
in circumferentia AF continget; cir
culum enim ſecaret. tanget igitur in­
fra, ſitq; SO. connectantur deinde SD
SL, quæ circumferentiam AOG in
punctis KH ſecent. & Ck CH con
iungantur. Et quoniam pondus, quanto
propius eſt ipſi F, magis quoque inni­
titur centro; vt pondus in D magis ver­
ſionis puncto C innititur tanquam
centro; hoc eſt in D magis ſupra li­
neam CD grauitat, quàm ſi eſſet in A
ſupra lineam CA; & adhuc magis in
L ſupra lineam CL; Nam cùm tres
anguli cuiuſcunq; trianguli duobus re­
19[Figure 19]
ctis ſint æquales, & trianguli DCk æquicruris angulus DCk
minor ſit angulo LCH æquicruris trianguli LCH: erunt reli­
qui ad baſim ſcilicet CDk CkD ſimul ſumpti reliquis CLH
CHL maiores. & horum dimidii; hoc eſt angulus CDS angu
lo CLS maior erit. cùm itaq; CLS ſit minor, linea CL ma
gis adhærebit motui naturali ponderis in L prorſus ſoluti. hoc
eſt lineæ LS, quàm CD motui DS. pondus enim in L li­
berum, atq; ſolutum in centrum mundi per LS moueretur, pon­
dusq; in D per DS. quoniam verò pondus in L totum ſuper LS
grauitat, in D verò ſuper DS: pondus in L magis ſupra lineam
CL grauitabit, quàm exiſtens in D ſupra lineam DC. ergo
linea CL pondus magis ſuſtentabit, quàm linea CD. Eodem­
〈qué〉 modo, quò pondus propius fuerit ipſi F, magis ob hanc cau­
ſam à linea CL ſuſtineri oſtendetur; ſemper enim angulus CLS
1minor eſſet. quod etiam patet; quia ſi
lineæ CL, & LS in vnam coinciderent
lineam, quod euenit in FCS; tunc linea
CF totum ſuſtineret pondus in F, im­
mobilemq; redderet: neq; vllam pror­
ſus grauitatem in circumferentia circu­
li haberet. Idem ergo pondus propter
ſituum diuerſitatem grauius, leuiuſq; erit.
non autem quia ratione ſitus interdum
maiorem re vera acquirat grauitatem,
interdum verò amittat, cùm eiuſdem ſit
ſemper grauitatis, vbicunque reperiatur;
ſed quia magis, minuſuè in circumferen­
tia grauitat, vt in D magis ſupra circum
ferentiam DA grauitat, quàm in L ſupra
circumferentiam LD. hoc eſt, ſi pon
dus à circumferentiis, rectiſq; lineis ſu
ſtineatur; circumferentia AD magis ſu
ſtinebit pondus in D, quàm circumfe
rentia DL pondere exiſtente in L. mi
nus enim coadiuuat CD, quàm CL.
Præterea quando pondus eſt in L, ſi eſ­
20[Figure 20]
ſet omnino liberum, penituſq; ſolutum, deorſum per LS moueretur;
niſi à linea CL prohiberetur, quæ pondus in L vltra lineam LS per
circumferentiam LD moueri cogit; ipſumq; quodammodo impellit,
impellendoq; pondus partim ſuſtentabit. niſi enim ſuſtineret, ipſiq;
reniteretur, deorſum per lineam LS moueretur, non autem per
circumferentiam LD. ſimiliter CD ponderi in D renititur, cùm
illud per circumferentiam DA moueri cogat. eodemq; modo
exiſtente pondere in A, linea CA pondus vltra lineam AS per
circumferentiam AO moueri compellet. eſt enim angulus CAS
acutus; cùm angulus ACS ſit rectus. lineæ igitur CA CD ali
qua ex parte, non tamen ex æquo ponderi renituntur. & quotieſ
cunque angulus in circumferentia circuli à lineis à centro
mundi S, & centro C prodeuntibus, fuerit acutus; idem eue­
nire ſimiliter oſtendemus. Quoniam autem mixtus angulus CLD
11æqualis eſt angulo CDA, cùm à ſemidiametris, eademq; circumfe
rentia contineantur; & angulus CLS angulo CDS eſt minor;
erit reliquus SLD reliquo SDA maior. quare circumferentia
DA, hoc eſt deſcenſus ponderis in D propior erit motui natu­
rali ponderis in D ſoluti, lineæ ſcilicet DS, quàm circumferen
tia LD lineæ LS. minus igitur linea CD ponderi in D reniti­
tur, quàm linea CL ponderi in L. linea ideo CD minus ſuſtinet,
quàm CL; ponduſq; magis liberum erit in D, quàm in L:
cùm pondus naturaliter magis per DA moueatur, quàm per LD.
quare grauius erit in D, quàm in L. ſimiliter oſtendemus CA
minus ſuſtinere, quàm CD: ponduſq; magis in A, quàm in D li­
berum, grauiuſq, eſſe. Ex parte deinde inferiori ob eaſdem cauſas,
quò pondus propius fuerit ipſi G, magis detinebitur, vt in H ma
gis à linea CH, quàm in K à linea CK. nam cùm angulus CHS
maior ſit angulo CkS, ad rectitudinem magis appropinquabunt
ſe ſe lineæ CH HS, quàm Ck kS; atq; ob id pondus magis deti­
nebitur à CH, quàm à Ck ſi enim CH HS in vnam conuenirent
lineam vt euenit pondere exiſtente in G; tunc linea CG totum ſu
ſtineret' pondus in G, ita vt immobilis perſiſteret. quò igitur
minor erit angulus linea CH, & deſcenſu ponderis ſoluti, ſcilicet
HS contentus, eò minus quoq; eiuſmodi linea pondus detinebit.
& vbi minus detinebitur, ibi magis liberum, grauiuſq; exiſtet.
Præterea ſi pondus in k liberum eſſet, atq; ſolutum, per lineam
k S moueretur; à linea verò Ck prohibetur, quæ cogit pondus
citrà lineam k S per circumferentiam k H moueri. ipſum enim
quodammodo retrahit, retrahendoq; ſuſtinet. niſi enim ſuſtineret.
pondus deorſum per rectam k S moueretur, non autem per cir
cumferentiam k H. ſimiliter CH pondus retinet, cùm per circum
ferentiam HG moueri compellat. Quoniam autem angulus CHS ma­
ior eſt angulo CKS, demptis æqualibus angulis CHG CkH; erit
reliquus SHG reliquo SKH maior. circumferentia igitur k H, hoc
eſt deſcenſus ponderis in k, propior erit motui naturali ponderis in
k ſoluti, hoc eſt lineæ k S, quàm circumferentia HG lineæ HS. mi
nus idcirco detinet linea Ck, quàm CH: cùm pondus naturali­
ter magis moueatur per k H, quàm per HG. ſimili ratione oſten­
detur, quò minor erit angulus SkH, lineam Ck minus ſuſtinere.
1exiſtente igitur pondere in O, quia angu
lus SOC non ſolum minor eſt angulo
CKS, verùm etiam omnium angulorum
à punctis CS prodeuntium, verticemq;
in circumferuntia OkG habentium mi­
nimus; erit angulus SOK, & angulo SkH,
& eiuſmodi omnium minimus. ergo de­
ſcenſus ponderis in O propior erit motui
naturali ipſius in O ſoluti, quàm in alio
ſitu circumferentiæ OkG. lineaq; CO
minus pondus ſuſtinebit, quàm ſi pon­
dus in quouis alio fuerit ſitu eiuſdem cir
cumferentiæ OG. ſimiliter quoniam con
tingentiæ angulus SOk, & angulo SDA,
& SAO, ac quibuſcunq; ſimilibus eſt mi
nor; erit deſcenſus ponderis in O motui
naturali ipſius ponderis in O ſoluti pro­
pior, quàm in alio ſitu circumferentiæ
ODF. Præterea quoniam linea GO pon
dus in O dum deorſum mouetur, impelle­
re non poteſt, ita vt vltra lineam OS mo
ueatur; cùm linea OS circulum non ſecet,
21[Figure 21]
ſed contingat; anguluſq; SOC ſit rectus, & non acutus; pondus
in O nihil ſupra lineam CO grauitabit. neq; centro innitetur. quem
admodum in quouis alio puncto ſupra O accideret. erit igitur pon
dus in O magis ob has cauſas liberum, atq; ſolutum in hoc ſitu,
quàm in quouis alio circumferentiæ FOG. ac idcirco in hoc
grauius erit, hoc eſt magis grauitabit, quàm in alio ſitu. & quò
propius fuerit ipſi O remotiori grauius erit. lineaq; CO horizonti
æquidiſtans erit. non tamen puncti C horizonti (vt ipſi exiſti­
mant) ſed ponderis in O conſtituti, cùm ex centro grauitatis
ponderis ſummendus ſit horizon. quæ omnia demonſtrare opor­
tebat.
18 Tertii. 21 primi.
12
Si autem libræ brachium ipſo CO
fuerit maius, putá quantitate CD; erit
quoq; pondus in O grauius. circulus de­
ſcribatur OH, cuius centrum ſit D, ſe
midiameterq; DO. tanget circulus OH
circulum FOG in puncto O, lineamq;
OS, quæ ponderis in O rectus, natura­
liſq; eſt deſcenſus, in eodem puncto con
tinget. & quoniam angulus SOH mi­
nor eſt angulo SOG, erit deſcenſus
ponderis in O per circumferentiam OH
motui naturali OS propior, quàm per
circumferentiam OG. magis ergo li­
berum, atq; ſolutum, ac per conſequens
grauius erit in O, centro libræ exiſten
te in D, quàm in C. ſimiliter oſten­
detur, quò maius fuerit brachium DO,
pondus in O adhuc grauius eſſe. 22[Figure 22]
1
Si verò idem circulus AFBG,
cuius centrum ſit R, propius fuerit
mundi centro S; circulum〈qué〉 à pun­
cto S ducatur contingens ST; punctum
T (vbi grauius eſt pondus) magis
à puncto A diſtabit, quàm punctum
O. ducantur enim à punctis OT ipſi
CS perpendiculares OMTN; conne
ctanturq; RT; ſitq; centrum R in li­
nea CS; lineaq; ARB ipſi ACB æqui
diſtans. Quoniam igitur triangula COS
RTS ſunt rectangula; erit SC ad CO,
vt CO ad CM. ſimiliter SR ad RT,
vt RT ad RN. cùm itaq; ſit RT ip­
ſi CO æqualis, & SC ipſa SR maior:
maiorem habebit proportionem SC
ad CO, quàm SR ad RT. quare ma
iorem quoq; proportionem habebit
CO ad CM, quàm RT ad RN. mi
nor ergo erit CM, quàm RN. ſecetur
igitur RN in P, ita vt RP ſit ipſi
23[Figure 23]
CM æqualis; & à puncto P ipſis MONT æquidiſtans ducatur
PQ, quæ circumferentiam AT ſecet in Q: deniq; connectatur
RQ. quoniam enim duæ CO CM duabus RQRP ſunt æqua
les, & angulus CMO angulo RPQ eſt æqualis; erit & angu­
lus MCO angulo PRQ æqualis. angulus autem MCA rectus
recto PRA eſt æqualis; ergo reliquus OCA reliquo QRA
æqualis, & circumferentia OA circumferentiæ QA æqualis quo­
que erit. punctum idcirco T, quia magis à puncto A diſtat,
quàm Q; magis quoq; à puncto A diſtabit, quàm punctum O.
ſimiliter oſtendetur, quò propius fuerit circulus mundi centro, eun­
dem magis diſtare. atq; ita vt prius demonſtrabitur pondus in cir
cumferentia TAF centro R inniti, in circumferentia verò TG
à linea detineri; atq; in puncto T grauius eſſe.
Ex 11 Tertii. Ex 18 Tertii. Cor. 8 ſexti Ex 8 quinti Ex 10 quinti. 7 Sexti. 26 Tertii.
13
Si autem punctum G eſſet
in centro mundi; tunc quò
pondus propius fuerit ipſi G,
grauius erit: & vbicunq; po
natur pondus præterquàm in
ipſo G, ſemper centro C inni
tetur, vt in K. nam ducta
G k, efficiet hæc (ſecun­
dùm quam fit ponderis natu
ralis motus) vná cum libræ
brachio k C angulum acu­
tum. æquicruris enim trian­
guli CkG ad baſim anguli
ad k, & G ſunt ſemper acuti.
24[Figure 24]
Conferantur autem inuicem hæc duo, pondus videlicet in k, &
pondus in D: erit pondus in k grauius, quàm in D. nam iuncta
DG, cùm tres anguli cuiuſcunque trianguli duobus ſint rectis
æquales, & trianguli CDG æquicruris angulus DCG maior ſit
angulo kCG æquicruris trianguli CkG: erunt reliqui ad baſim an
guli DGC GDC ſimul ſumpti reliquis KGCGkC ſimul ſumptis
minores. horumq; dimidii; angulus ſcilicet CDG angulo CKG
minor erit. quare cùm pondus in k ſolutum naturaliter per
KG moueatur, pondusq; in D per DG, tanquam per ſpatia,
quibus in centrum mundi feruntur; linea CD, hoc eſt libræ
brachium magis adhærebit motui naturali ponderis in D pror­
ſus ſoluti, lineæ ſcilicet DG; quàm Ck motui ſecundùm kG
effecto. magis igitur ſuſtinebit linea CD, quàm Ck. ac pro­
pterea pondus in k ex ſuperius dictis grauius erit, quàm in D.
Præterea quoniam pondus in K ſi eſſet omnino liberum, prorſuſq;
ſolutum, deorſum per k G moueretur; niſi à linea C k prohibere
tur, quæ pondus vltra lineam KG per circumferentiam KH mo­
ueri cogit; linea C k pondus partim ſuſtinebit, ipſiq; renitetur;
cùm illud per circumferentiam k H moueri compellat. &
quoniam angulus CDG minor eſt angulo CkG, & angulus CDk
angulo CkH eſt æqualis; erit reliquus GDk reliquo G k H maior.
circumferentia igitur k H motui naturali ponderis in k ſoluti, li­
1neæ ſcilicet KG propior erit,
quàm circumferentia Dk li­
neæ DG. quare linea CD
ponderi in D magis renititur,
quàm linea C k ipſi ponde­
ri in K. ergo pondus in k
grauius erit, quàm in D.
Similiter oſtendetur pondus,
quò fuerit ipſi F propius, vt
in L, minus grauitare: pro­
pius verò ipſi G, vt in H,
grauius eſſe. 25[Figure 25]
Si verò centrum mundi
S eſſet inter puncta CG;
primùm quidem ſimili­
ter oſtendetur pondus vbi
cunq; poſitum centro C
initi, vt in H. ductis enim
HG HS, angulus ad
baſim GHC æquicruris tri
anguli CHG eſt ſemper
acutus: quare & SHC ip
ſo minor erit quoq; ſem
per acutus. ducatur au­
tem à puncto S ipſi CS
perpendicularis Sk. di­
26[Figure 26]
co pondus grauius eſſe in k, quàm in alio ſitu circumferentiæ FKG.
& quò propius fuerit ipſi F, vel G, minus grauitare. Accipiantur
verſus F puncta DL, connectanturq; LC LS DC DS, produ­
canturq; LS DS k SHS vſq; ad circuli circumferentiam in EM
NO; connectanturq; CE, CM, CN, CO. Quoniam enim
LE DM ſe inuicem ſecant in S; erit rectangulum LSE rectan­
gulo DSM æquale. quare vt LS ad DS ita erit SM
ad SE. maior autem eſt LS, quàm DS; & SM ipſa SE.
14ergo LS SE ſimul ſumptæ ipſis DS SM maiores erunt. eademq;
ratione kN minorem eſſe DM oſtendetur. rurſus quoniam re
ctangulum OSH æquale eſt rectangulo kSN; ob eandem cauſam
HO maior erit kN. eodemq; prorſus modo kN omnibus a­
liis per punctum S tranſeuntibus minorem eſſe demonſtrabitur.
& quoniam æquicrurium triangulorum CLE DCM latera LC
CE lateribus DC CM ſunt æqualia; baſis verò LE maior eſt
DM: erit angulus LCE angulo DCM maior. quare ad baſim
anguli CLE CEL ſimul ſumpti angulis CDM CMD mi­
nores erunt. & horum dimidii, angulus ſcilicet CLS angulo CDS
minor erit. ergo pondus in L magis ſupra lineam LC, quàm
in D ſupra DC grauitabit. magis〈qué〉 centro innitetur in L, quàm
in D. ſimiliter oſtendetur in D magis centro C inniti, quàm in k. ergo
pondus in k grauius erit, quàm in D; & in D, quàm in L. eademq; pror
ſus ratione quoniam kN minor eſt HO, erit angulus CKS an­
gulo CHS maior. quare pondus in H magis centro C innite­
tur, quàm in k. & hoc modo oſtendetur, vbicunq; in circum­
ferentia FDG fuerit pondus, minus in K centro C inniti, quàm
in alio ſitu: & quò propius fuerit ipſi F, vel G, magis inniti. dein­
de quoniam angulus CkS maior eſt CDS, & CDk æqualis
eſt CkH: erit reliquus SkH reliquo SDk minor. quare cir­
cumferentia k H propior erit motui naturali recto ponderis in K
ſoluti, lineæ ſcilicet k S, quàm circumferentia D k motui DS. &
ideo linea CD magis ipſi ponderi in D renititur, quàm CK
ponderi in k conſtituto. hacq; ratione oſtendetur angulum
SHG maiorem eſſe SkH: & per conſequens lineam CH magis
ponderi in H reniti, quàm CK ponderi in K. ſimiliter demon­
ſtrabitur lineam CL magis pondus ſuſtinere, quàm CD: ob
eaſdemq; cauſas oſtendetur pondus in K minus ſupra lineam Ck
grauitare, quàm in quouis alio ſitu fuerit circumferentiæ FDG.
& quò propius fuerit ipſi F, vel G, minus grauitare. grauius ergo
erit in k, quàm in alio ſitu: minuſq; graue erit, quò propius fue­
rit ipſi F, vel G.
1
35 Tertii. 16 Sexti. 7 Tertii. 25 Quinti. 25 Primi.
Si deniq; centrum C
eſſet in centro mundi,
pondus vbicunque con­
ſtitutum manere mani­
feſtum eſt. vt poſito pon
dere in D, linea CD to­
tum ſuſtinebit pondus;
cùm ipſius ponderis in D
horizonti ſit perpendicu
laris. pondus ergo ma
nebit. 27[Figure 27]
Quoniam autem in his hactenus demonſtratis, nullam de gra
uitate brachii libræ mentionem fecimus, idcirco ſi brachii quoq;
grauitatem conſiderare voluerimus, centrum grauitatis magnitu
dinis ex pondere, brachioq; compoſitæ inueniri poterit, circulo
rumq; circumferentiæ ſecundum diſtantiam à centro libræ ad
hoc ipſum grauitatis centrum deſcribentur, ac ſi in ipſo (vt re ue
ra eſt) pondus conſtitutum fuerit; omnia, ſicuti abſq; libræ bra
chii grauitate conſiderata inuenimus; hoc quoq; modo eius conſi
derata grauitate reperiemus.
1 Huius.
15
Ex dictis igitur, conſiderando li­
bram, vt longè à mundi centro a­
beſt, quemadmodum ipſi fecere, ſi­
cuti etiam actu eſt, apparet falſitas
dicentium pondus in A grauius eſſe,
quàm in alio ſitu. ſimulq; falſum eſſe,
quò pondus à linea FG magis diſtat
grauius eſſe. nam punctum O pro­
pius eſt ipſi FG, quàm punctum A.
eſt enim linea à puncto O ipſi FG
perpendicularis ipſa CA minor. de­
inde ex puncto A pondus velocius mo
ueri, quàm ab alio ſitu, eſt quoque
falſum. ex puncto enim O pondus ve­
locius mouebitur, quàm ex puncto
A; cùm in O ſit magis liberum, atq;
ſolutum, quàm in alio ſitu: deſcenſus
〈qué〉 ex puncto O propior ſit motui na­
turali recto, quàm quilibet alius de­
ſcenſus. 28[Figure 28]
Præterea cùm ex re­
ctiori, & obliquiori deſcen
ſu oſtendunt, pondus in
A grauior eſſe, quàm in
D; & in D, quàm in
L; primùm quidem fal
ſum exiſtimant, ſi pon
dus aliquod collocatum
fuerit in quocunq; ſitu
circunferentiæ, vt in D,
rectum eius deſcenſum
per rectam lineam DR
ipſi FG parallelam, tam
quàm ſecundùm mo­29[Figure 29]
1tum naturalem fieri de­
bere; ſicuti prius dictum
eſt. In quocunq; enim
ſitu pondus aliquod con
ſtituatur, ſi naturalem
eius ad propium locum
motionem ſpectemus,
cùm rectá ad eum ſua­
ptè natura moueatur, ſup
poſita totius vniuerſi figu
ra, eiuſmodi erit; vt
ſemper ſpatium, per quod
naturaliter mouetur, ra­
tionem habere videatur
30[Figure 30]
lineæ à circumferentia ad centrum productæ. non igitur natura
les deſcenſus recti cuiuslibet ſoluti ponderis per lineas fieri poſ
ſunt inter ſe ſe parallelas; cùm omnes in centrum mundi conue­
niant. ſupponunt deinde ponderis ex D in A per rectam lineam
verſus centrum mundi motum eiuſdem eſſe quantitatis, ac ſi fuiſ
ſet ex O in C: ita vt punctum A æqualiter à centro mundi ſit
diſtans, vt C. quod eſt etiam falſum; nam punctum A magis
à centro mundi diſtat, quàm C: maior enim eſt linea à cen­
tro mundi vſq; ad A, quàm à centro mundi vſq; ad C: cùm li­
nea à centro mundi vſq; ad A rectum ſubtendat angulum à li­
neis AC, & à puncto C ad centrum mundi contentum. ex qui­
bus non ſolum ſuppoſitio illa, qua libram DE in AB redire demon
ſtrant, verùm etiam omnes ferè ipſorum demonſtrationes ruunt.
niſi fortaſſe dixerint, hæc omnia propter maximam à centro mun
di vſq; ad nos diſtantiam adeo inſenſibilia eſſe, vt propter inſen
ſibilitatem tanquam vera ſupponi poſsint: cùm omnes quidem alii, qui
hæc tractauerunt, tanquam nota ſuppoſuerint. præſertim quia
ſenſibilitas illa non efficit, quin deſcenſus ponderis ex L in D
(vt eorum verbis vtar) minus capiat de directo, quàm deſcen­
ſus DA. ſimiliter arcus DA magis de directo capiet, quàm cir
cumferentia EV. quocirca vera erit ſuppoſitio; aliæq; demon­
ſtrationes in ſuo robore permanebunt. Concedamus etiam pon
16dus in A grauius eſſe, quàm in alio ſitu; rectumq; ponderis de­
ſcenſum per rectam lineam ipſi FG parallelam fieri debere; &
quælibet puncta in lineis horizonti æquidiſtantibus accepta æ­
qualiter à centro mundi diſtare: non tamen propterea ſequetur,
veram eſſe demonſtrationem, qua inferunt pondus in A grauius
eſſe, quàm in alio ſitu, vt in L. ſi enim verum eſſet, quò pon
dus hoc modo rectius deſcendit, ibi grauius eſſe; ſequeretur etiam,
quò idem pondus in æqualibus arcubus æqualiter rectè deſcende
ret, vt in iiſdem locis æqualem haberet grauitatem, quod fal
ſum eſſe ita demonſtratur.
Ex 15 Tertii. 18 Primi.
Sint circumferentiæ AL AM inter ſe ſe æquales; & conne
ctatur LM, quæ AB ſecet in X: erit LM ipſi FG æquidiſtans,
ipſiq; AB perpendicularis. & XM ipſi XL æqualis erit. ſi igi
tur pondus ex L moueatur in A per circumferentiam LA, rectus
eius motus erit ſecundùm lineam LX. ſi verò moueatur ex A
in M per circumferentiam AM, ſecundùm rectam eius motus
erit XM. quare deſcenſus ex L in A æqualis erit deſcenſui ex A
in M; tum ob circumferentias æquales, tum propter rectas li
neas ipſi AB perpendiculares æquales. ergo idem pondus in L
æquè graue erit, vt in A, quod eſt falſum. cum longé grauius ſit
in A, quàm in L.
Ex 3 Tertii.
Quamuis autem AMLA æqualiter ſecundùm ipſos de directo
capiant; dicent fortaſſe, quia tamen principium deſcenſus ex L
ſcilicet LD minus de directo capit, quàm principium deſcenſus
ex A, ſcilicet AN; pondus in A grauius erit, quàm in L. nam
cùm circumferentia AN ſit ipſi LD (vt ſupra poſitum eſt)
æqualis, quæ ſecundùm ipſos de directo capit CT; LD verò
de directo capit PO. ideo pondus grauius erit in A, quàm in L.
quod ſi verum eſſet, ſequeretur idem pondus in eodem ſitu diuer
ſo duntaxat modo conſideratum in habitudine ad eundem ſitum,
tum grauius, tum leuius eſſe. quod eſt impoſsibile. hoc eſt, ſi
deſcenſum conſideremus ponderis in L, quatenus ex L in A de­
ſcendit, grauius erit, quàm ſi eiuſdem ponderis deſcenſum con­
ſideremus ex L in D tantùm. neq; enim negare poſſunt ex eiſ­
demmet dictis, quin deſcenſus ponderis ex L in A de directo ca
piat LX, ſiue PC. deſcenſus verò AM, quin ſimiliter de directo
1capiat XM: cùm ipſi
quoq; hoc modo acci­
piant, atq; ita accipe­
re ſit neceſſe. ſi enim li­
bram DE in AB redire
demonſtrare volunt, com
parando deſcenſus pon­
deris in D cum deſcen­
ſu ponderis in E, neceſſe
eſt, vt oſtendant rectum
deſcenſum OC corre­
ſpondentem circumferen
tiæ DA maiorem eſſe re
cto deſcenſu TH circum
31[Figure 31]
ferentiæ EV correſpondente. ſi enim partem tantùm totius de­
ſcenſus ex D in A acciperent, vt D k; oſtenderentq; magis cape­
re de directo deſcenſum Dk, quàm æqualis portio deſcenſus ex
puncto E. ſequetur pondus in D ſecundùm ipſos grauius eſſe pon
dere in E; & vſq; ad k tantùm deorſum moueri: ita vt libra mo
ta ſit in kI. ſimiliter ſi libram KI in AB redire demonſtrare vo
lunt accipiendo portionem deſcenſus ex k in A; hoc eſt k S;
oſtenderentq; k S magis de directo capere, quàm ex aduerſo æ­
qualis deſcenſus ex puncto I: ſimili modo ſequetur pondus in k
grauius eſſe, quàm in I; & vſq; ad S tantùm moueri. & ſi rurſus
oſtenderent portionem deſcenſus ex S in A, atq; ita deinceps, re
ctiorem eſſe æquali deſcenſu ponderis oppoſiti; ſemper ſequetur
libram SI ad AB propius accedere, nunquam tamen in AB per­
uenire demonſtrabunt. ſi igitur libram DE in AB redire demon
ſtrare volunt, neceſſe eſt, vt deſcenſum ponderis ex D in A de di
recro capere quantitatem lineæ ex puncto D ipſi AB ad rectos
angulos ductæ accipiant. atq; ita, ſi æquales deſcenſus DA AN
inuicem comparemus, qui æqualiter de directo capient OC CT,
eueniet idem pondus in D æquè graue eſſe, vt in A. ſi verò por
tiones tantum ex D A accipiamus; grauius erit in A, quàm
in D. ergo ex diuerſitate tantùm modi conſiderandi, idem pon
dus, & grauius, & leuius eſſe continget. non autem ex ipſa na­
17tura rei. Inſuper ipſorum ſuppoſitio non aſſerit, pondus ſecun
dùm ſitum grauius eſſe, quantò in eodem ſitu minus obliquum
eſt principium ipſius deſcenſus. Suppoſitio igitur ſuperius alla
ta, hoc eſt, ſecundùm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eo
dem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus; non ſolum ex his, quæ
diximus, vllo modo concedi poteſt; ſed quoniam huius oppoſi
tum oſtendere quoq; non eſt difficile: ſcilicet idem pondus in
æqualibus circumferentiis, quò minus obliquus eſt deſcenſus, ibi
minus grauitare.
Sint enim vt prius cir
cumferentiae AL AM
inter ſe ſe æquales; ſitq;
punctum L propè F. &
connectatur LM, quæ
ipſi AB perpendicularis
erit. & LX ipſi XM
æqualis. deinde propè
M inter MG quoduis
accipiatur punctum P.
fiatq; circumferentia PO
circumferentiæ AM æ­
qualis. erit punctum O
32[Figure 32]
propè A. connectanturq; CL, CO, CM, CP, OP. & à
puncto P ipſi OC perpendicularis ducatur PN. & quoniam cir
cumferentia AM circumferentiæ OP eſt æqualis: erit angu­
lus ACM æqualis angulo OCP; & angulus CXM rectus re­
cto CNP eſt æqualis: erit quoq; reliquus XMC trianguli MCX
reliquo NPC trianguli PCN æqualis. ſed & latus CM lateri
CP eſt æquale: ergo triangulum MCX triangulo PCN æquale
erit. latuſq; MX lateri NP æquale. quare linea PN ipſi LX æqua
lis erit. ducatur præterea à puncto O linea OT ipſi AC æqui
diſtans, quæ NP ſecet in V. atq; ipſi OT à puncto P perpendi
cularis ducatur, quæ quidem inter OV cadere non poteſt; nam
cùm angulus ONV ſit rectus; erit OVN acutus. quare OVP
obtuſus erit. non igitur linea à puncto P ipſi OT intra OV
1perpendicularis cadet.
duo enim anguli vnius
trianguli, vnus quidem
rectus, alter verò ob­
tuſus eſſet. quod eſt im
poſsibile. cadet ergo in
linea OT in parte VT. ſitq; PT.
erit PT ſecun
dùm ipſos rectus circum
ferentiæ OP deſcenſus.
Quoniam igitur angulus
ONV eſt rectus; erit
linea OV ipſa ON ma
ior. quare OT ipſa
33[Figure 33]
quoq; ON maior exiſtet. Cùm itaq; linèa OP angulos ſubten­
dat rectos ONP OTP; erit quadratum ex OP quadratis ex
ON NP ſimul ſumptis æquale. ſimiliter quadratis ex OT TP
ſimul æquale. quare quadrata ſimul ex ON NP quadratis ex
OT TP ſimul æqualia erunt. quadratum autem ex OT maius
eſt quadrato ex ON; cum linea OT ſit ipſa ON maior. ergo qua
dratum ex NP maius erit quadrato ex TP. ac propterea linea
TP minor erit linea PN, & linea LX. minus obliquus igitur eſt
deſcenſus arcus LA, quàm arcus OP. ergo pondus in L, ex ip
ſorum dictis, grauius erit, quàm in O. quod ex iis, quæ ſupra di
ximus eſt manifeſtè falſum, cùm pondus in O grauius ſit, quàm
in L. non igitur ex rectiori, & obliquiori motu ita accepto col­
ligi poteſt, ſecundùm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eo
dem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus. Atq; hinc oritur omnis
fermé ipſorum error in hac re, atq; deceptio: nam quamuis per
accidens interdum ex falſis ſequatur verum, per ſe tamen ex fal
ſis falſum ſequitur, quemadmodum ex veris ſemper verum, nil
idcirco mirum, ſi dum falſa accipiunt; illiſq; tanquam veriſsi­
mis innituntur; falſiſsima omninò colligunt, atq; concludunt.
decipiuntur quinetiam, dùm libræ contemplationem mathemati
cè ſimpliciter aſſummunt; cùm eius conſideratio ſit prorſus me­
chanica: nec vllo modo abſq; vero motu, ac ponderibus (en­
18tibus omninò naturalibus) de ipſa ſermo haberi poſsit: ſine qui­
bus eorum, quæ libræ accidunt, veræ caulæ reperiri nullo mo
do poſsint.
Ex 27 Tertii. Ex 32 primi. 26 Primi. Ex 13 Primi. 19 Primi. 47 Primi.
Præterea ſi adhuc ſup
poſitionem conceda­
mus; à conſideratione
libræ longè recedunt;
dum eo pacto, vt libra
DE in AB redire de­
beat, diſcurrunt. ſemper
enim alterum pondus
ſeorſum accipiunt, putá
D, vel E; ac ſi modò vnum
modò alterum in libra
conſtitutum eſſet, nec
vllo modo ambo con­
34[Figure 34]
nexa; cuius tamen oppoſitum omninò fieri oportet; neq; alterum
ſine altero rectè conſiderari poteſt; cùm de ipſis in libra conſti­
tutis ſermo habeatur. cùm enim dicunt, deſcenſum ponderis in
D minus obliquum eſſe deſcenſu ponderis in E; erit pondus in
D per ſuppoſitionem grauius pondere in E: quare cùm ſit graui­
us, neceſſe eſt deorſum moueri, libramq; DE in AB redire: di
ſcurſus iſte nullius prorſus momenti eſt. Primùm quidem ſem­
per argumentantur, ac ſi pondera in DE deſcendere debeant,
vnius tantùm ſine alterius connexione conſiderando deſcenſum.
poſtremò tamen ob ponderum deſcenſuum comparationem colli­
gentes inferunt, pondus in D deorſum moueri, & pondus in E
ſurſum, vtraq; ſimul in libra inuicem connexa accipientes. ve­
rùm ex iiſdemmet, quibus vtuntur, principiis, ac demonſtratio
nibus, oppoſitum eius, quod defendere conantur, facillimè col­
ligi poteſt. Nam ſi comparetur deſcenſus ponderis in D cum a­
ſcenſu ponderis in E, vt ductis EK DH ipſi AB perpendicula­
ribus; cùm angulus DCH ſit æqualis angulo ECk; & angulus
DHC rectus æqualis eſt recto E k C; & latus DC lateri CE æqua
le: erit triangulum CDH triangulo CEk æquale, & latus DH la­
1teri Ek æquale. cùm
autem angulus DCA
ſit angulo ECB æqua­
lis: erit quoq; circum­
ferentia DA circumferen­
tiæ BE æqualis. dum
itaq; pondus in D de­
ſcendit per circumfe­
rentiam DA, pondus
in E per circumferen­
tiam EB ipſi DA æ­
qualem aſcendit. & de­
ſcenſus ponderis in D de
directo (more ipſorum)
35[Figure 35]
capiet DH; aſcenſus verò ponderis in E de directo capiet Ek ip
ſi DH æqualem: erit itaq; deſcenſus ponderis in D aſcenſui pon
deris in E æqualis, & qualis erit propenſio vnius ad motum deor
sum, talis etiam erit reſiſtentia alterius ad motum ſurſum. re­
ſiſtentia ſcilicet violentiæ ponderis in E in aſcenſu naturali po­
tentiæ ponderis in D in deſcenſu contrà nitendo apponitur; cùm
ſit ipſi æqualis. quò enim pondus in D naturali potentia deor
ſum velocius deſcendit, eò tardius pondus in E violenter aſcendit.
quare neutrum ipſorum alteri præponderabit, cùm ab æquali non
proueniat actio. Non igitur pondus in D pondus in E ſurſum
mouebit. ſi enim moueret; neceſſe eſſet, pondus in D maiorem
habere virtutem deſcendendo, quàm pondus in E aſcendendo;
ſed hæc ſunt æqualia: ergo pondera manebunt. & grauitas pon­
deris in D grauitati ponderis in E æqualis erit. Præterea quoniam
ſupponunt, quò pondus à linea directionis FG magis diſtat, eò
grauius eſſe: Idcirco ductis quoq; à punctis DE ipſi FG perpen
dicularibus DO EI; ſimili modo demonſtrabitur, triangulum
CDO triangulo CEI æqualem eſſe: & lineam DO ipſi EI æqua
lem. tam igitur diſtat à linea FG pondus in D, quàm pondus in
E. ex ipſorum igitur rationibus, atq; ſuppoſitionibus, pondera
in DE æquè grauia erunt. Amplius quid prohibet, quin libram
DE ex neceſsitate in FG moueri ſimili ratione oſtendatur? Pri­
19mùm quidem ex eorummet demonſtrationibus colligi poteſt, a­
ſcenſum ponderis in E verſus B rectiorem eſſe aſcenſu ponderis
in D verſus F; hoc eſt minus capere de directo aſcenſum pon­
deris in D in arcubus æqualibus aſcenſu ponderis in E. ſuppona
tur ergo ſecundùm ſitum pondus leuius eſſe, quantò in eodem ſi­
tu minus rectus eſt aſcenſus: quæ quidem ſuppoſitio, adeò ma­
nifeſta eſſe videtur, veluti ipſorum altera. Quoniam igitur aſcen­
ſus ponderis in E rectior eſt aſcenſu ponderis in D; per ſuppoſi­
tionem pondus in D leuius erit pondere in E. ergo pondus in
D ſurſum à pondere in E mouebitur, ita vt libra in FG perue
niat. atq; ita demonſtrari poterit, libram DE in FG moueri.
 quæ quidem demonſtratio inutilis eſt prorſus, eaſdemq; patitur
difficultates. licet enim tanquàm verum admittatur pondus in E
aſcendendo grauius eſſe pondere in D ſimiliter aſcendendo,
non tamen ex hoc ſequitur, pondus in E deſcendendo grauius
eſſe pondere in D aſcendendo. Neutra igitur harum demon­
ſtrationum libram DE, vel in AB redire, vel in FG moue­
ri, oſtendentium, vera eſt.
15 Primi. 26 Primi.
Præterea ſi ipſorum ſuppoſitionem, eorumq; verborum vim
rectè perpendamus; alium certè habere ſenſum conſpiciemus. nam
cùm ſemper ſpatium, per quod naturaliter pondus mouetur, à cen
tro grauitatis ipſius ponderis ad centrum mundi, inſtar rectæ li­
neæ à centro grauitatis ad centrum mundi productæ, ſit ſumendum;
tantò huiusmodi ponderis deſcenſus, magis, minusuè obliquus
dicetur; quantò ſecundùm ſpatium inſtar prædictæ lineæ deſigna
tum, magis, aut minus (naturalem tamen locum petens, ſemperq;
magis ipſi appropinquans) mouebitur; ita vt tantò obliquior de­
ſcenſus dicatur, quantò recedit ab eiuſmodi ſpatio: rectior verò,
quantò ad idem accedit. & in hoc ſenſu ſuppoſitio illa nemini
difficultatem parere debet, adeò enim veritas eius conſpicua eſt;
rationiq; conſentanea: vt nulla proſus manifeſtatione egere vi­
deatur.
1
Si itaq; pondus ſolutum in ſitu D
collocatum ad propium locum mo­
ueri debeat; proculdubio poſito cen­
tro mundi S, per lineam DS moue­
bitur. ſimiliter pondus in E ſolutum
per lineam ES mouebitur. quare ſi
(vt rei veritas eſt) ponderis deſcen­
ſus magis, minuſuè obliquus dicetur
ſecundùm receſſum, & acceſſum ad
ſpatia per lineas DSES deſignata,
iuxta naturales ipſorum ad propria lo
ca lationes; conſpicuum eſt, minus
obliquum eſſe deſcenſum ipſius E
per EG, quàm ipſius D per DA:
cùm angulum SEG angulo SDA
minorem eſſe ſupra oſtenſum ſit. qua
re in E pondus magis grauitabit,
quàm in D. quod eſt penitus oppo­
ſitum eius, quod ipſi oſtendere cona
ti ſunt. Inſurgent autem fortaſſe
contrarios, ſi igitur (dicent) pondus
in E grauius eſt pondere in D, libra
36[Figure 36]
DE in hoc ſitu minimè perſiſtet, quod equidem tueri propoſuimus:
ſed in FG mouebitur. quibus reſpondemus, plurimum referre, ſiue
conſideremus pondera, quatenus ſunt inuicem diſiuncta, ſiue quate
nus ſunt ſibi inuicem connexa. alia eſt enim ratio ponderis in E ſine
connexione ponderis in D, alia verò eiuſdem alteri ponderi con
nexi; ita vt alterum ſine altero moueri non poſsit. nam ponde
ris in E, quatenus eſt ſine alterius ponderis connexione, rectus
naturalis deſcenſus eſt per lineam ES; quatenus verò connexum
eſt ponderi in D, eius naturalis deſcenſus non erit amplius per
lineam ES, ſed per lineam ipſi CS parallelam. magnitudo enim
ex ponderibus ED, & libra DE compoſita, cuius grauitatis cen­
trum eſt C, ſi nullibi ſuſtineatur, deorſum eo modo, quo reperi
tur, ſecundùm grauitatis centrum per rectam à centro grauita
tis C ad centrum mundi S ductam naturaliter mouebitur, donec
20centrum C in centrum S perueniat. libra igitur DE vná cum pon
deribus eo modo, quo reperitur, deorſum mouebitur, ita vt pun­
ctum C per lineam CS moueatur, donec C in S, libraq; DE in
Hk perueniat; habeatq; libra in Hk eandem, quam prius habe­
bat poſitionem; hoc eſt Hk ſit ipſi DE æquidiſtans. connectantur
igitur DH Ek. manifeſtum eſt, dum libra DE in Hk mouetur pun
cta DE per lineas DH Ek moueri, quippe exiſtentibus inter ſe
ſe, ipſiq; CS æqualibus, & æquidiſtantibus. Quare pondera in
DE, quatenus ſunt ſibi inuicem connexa, ſi ipſorum naturalem mo
tum ſpectemus, non ſecundùm lineas DS ES, ſed ſecundùm
LDH MEk ipſi CS æquidiſtantes mouebuntur. ponderis ve­
rò in E liberi, ac ſoluti, naturalis propenſio erit per ES: ponderis
autem in D ſimiliter ſoluti erit per DS. ac propterea non eſt incon­
ueniens idem pondus modò in E, modò in D, grauius eſſe in E,
quàm in D. ſi verò pondera in ED ſibi inuicem connexa, quate­
nusq; ſunt connexa conſiderauerimus; erit ponderis in E natura­
lis propenſio per lineam MEK: grauitas enim alterius ponde­
ris in D efficit, nè pondus in E per lineam ES grauitet, ſed per
Ek. quod ipſum quoq; grauitas ponderis in E efficit, nè ſcilicet
pondus in D per rectam DS degrauet; ſed ſecundùm DH: vtra­
que enim ſe impediunt, nè ad propria loca permeant. Cùm igi
tur naturalis deſcenſus rectus ponderum in DE ſit ſecundùm
LDH MEK: erit similiter rectus eorum aſcenſus ſecundùm eaſ
dem lineas HDL KEM. atq; aſcenſus ponderis in E magis, mi
nuſuè obliquus dicetur; quantò ſecundùm ſpatium magis, mi­
nuſuè iuxta lineam Mk mouebitur. hocq; prorſus modo iuxta li
neam LH ſummendus eſt, tùm deſcenſus, tùm aſcenſus ponde­
ris in D. ſi itaq; pondus in E deorſum per EG moueretur; pon
dus in D ſurſum per DF moueret. & quoniam angulus CEK
æqualis eſt angulo CDL, & angulus CEG angulo CDF æqua­
lis; erit reliquus GEK reliquo LDF æqualis. cùm autem ſup­
poſitio illa, quæ ait, ſecundúm ſitum pondus grauius eſſe, quan­
tò in eodem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus; tanquam clara,
atq; conſpicua admittatur; proculdubio hæc quoq; accipienda
erit; nempè, ſecundúm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eo­
dem ſitu minus obliquus eſt aſcenſus. cùm non minus manifeſta,
1rationiq; ſit conſentanea. æqualis
igitur erit deſcenſus ponderis in E
aſcenſui ponderis in D. eandem
enim obliquitatem habet deſcenſus
ponderis in E, quam habet aſcen­
ſus ponderis in D; & qualis erit
propenſio vnius ad motum deorſum,
talis quoq; erit reſiſtentia alterius ad
motum ſurſum. non ergo pondus in E
pondus in D ſurſum mouebit. neq;
pondus in D deorſum mouebitur, ita
vt ſurſum moueat pondus in E. nam
cum angulus CEB ſit ipſi CDA æqua­
lis, & Angulus CEM ſit angulo
CDH æqualis; erit reliquus MEB
reliquo HDA æqualis. deſcenſus
igitur ponderis in D aſcenſui ponde
ris in E æqualis erit. non ergo pon
dus in D pondus in E ſurſum moue
bit. ex quibus ſequitur pondera in
DE, quatenus ſunt ſibi inuicem con
nexa, æquè grauia eſſe. 37[Figure 37]
Alia deinde ratio, li­
bram ſimiliter DE in AB
redire oſtendens, cùm in­
quiunt, exiſtente trutina in
CF meta eſt CG. & quo­
niam angulus DCG maior
eſt angulo ECG; pondus
in D grauius erit pondere
in E; ergo libra DE in AB
redibit: nihil meo iudicio
concludit. figmentumq;
hoc de trutina, & meta po­
tius omittendum, ac ſilen­38[Figure 38]
21tio prætereundum eſſet, quàm verbum vllum in eius confutatione ſumen
dum; cùm ſit prorſus voluntarium. neceſsitas enim cur pondus
in D ex maiore angulo ſit grauius; curq; maior angulus maioris
ſit cauſa grauitatis; nuſquam apparet. ſi autem comparentur in­
uicem anguli, cùm angulus GCD ſit æqualis angulo FCE; ſi angu
lus GCD eſt cauſa grauitatis; quare angulus FCE ſimiliter gra­
uitatis non eſt cauſa? Huius autem rei eam in medium rationem
afferre videntur, quoniam CG eſt meta, & CF trutina. ſi (inquiunt)
CG eſſet trutina, & CF meta, tunc angulus FCE grauitatis eſſet
cauſa; non autem DCG ipſi æqualis. quæ quidem ratio imma­
ginaria prorſus, ac voluntaria eſſe videtur. quid enim refert, ſiue tru
tina ſit in CF, ſiue in CG, cùm libra DE in eodem ſemper pun­
cto C ſuſtineatur? Vt autem eorum deceptio clarius appa­
reat.
33 Prmi. 29 Primi. 29 Primi.
Sit eadem libra AB, cu­
ius medium C. ſit deinde
tota FG trutina. eaq; im
mobilis exiſtat; quæ libram
AB in puncto C ſuſtineat.
moueaturq; libra in DE. &
quoniam trutina eſt, & ſu­
pra, & infra libram, quis
nam angulus erit cauſa gra­
uitatis, cùm libra DE in
39[Figure 39]
eodem ſemper puncto ſuſtineatur? dicent forſan, ſi trutina à potentia
in F ſuſtiteneatur, tunc CG erit tanquam meta, & angulus
DCG grauitatis erit cauſa. ſi verò ſuſtineatur in G, tunc FCE
erit cauſa grauitatis, CF verò tanquam meta erit. cuius quidem
rei nulla videtur eſſe cauſa, niſi immaginaria. meta enim (quod
aiunt) nullam prorſus vim attractiuam, quandoq; ex maioris an­
guli parte, quandoq; ex parte minoris habere videtur. Verùm à dua
bus potentiis ſuſtineatur trutina, in F ſcilicet, & in G, quod præ ne
ceſsitate fieri poteſt, veluti ſi potentia in F ſit adeò debilis, vt ex ſe
ipſa medietatem tantùm ponderis ſuſtinere quæat: ſitq; potentia in
G ipſi potentiæ in F æqualis, vtræq; autem ſimul libram vná cum pon
deribus ſuſtineant. tunc quis nam angulus erit cauſa grauitatis? non
1FCE, quia trutina eſt in
CF, & in F ſuſtinetur. neq;
DCG, cùm trutina ſit in 40[Figure 40]
CG, & in G quoq; ſuſti
neatur; non igitur anguli
grauitatis cauſa erunt. ergo
neq; libra DE ab hoc ſitu
ob hanc cauſam mouebi­
tur. Hanc autem eorum
ſententiam dupliciter con­
firmare videntur. primùm quidem aſſerunt Ariſtotelem in quæſtio
nibus mechanicis has duas tantùm quæſtiones propoſuiſſe; eiuſq;
demonſtrationes, tum maiori, & minori angulo, tùm trutinæ poſi
tioni inniti. Affirmant deinde experientiam hoc idem docere;
hoc eſt libram DE trutina exiſtente in CF, in AB horizonti
æquidiſtantem redire. quando autem trutina eſt in CG, in FG
moueri. Verùm neq; Ariſtoteles, neq; experientia huic eorum
opinioni fauent, quin potius aduerſantur. quantùm enim atti­
net ad experientiam decipiuntur, ipſa quidem experientia ma­
nifeſtum eſt hoc accidere, quando libræ quoq; centrum, vel ſu­
pra, vel infra libram fuerit collocatum: non autem trutina dun
taxat ſupra, vel infra exiſtente, id contingere.
Cardanus.
22
Nam ſi libra AB habeat
centrum C ſupra libram;
ſitq; trutina CD infra li­
bram; moueaturq; libra in
EF; tunc EF rurſus in AB
horizonti æquidiſtantem
redibit. ſimiliter ſi libra
centrum C habeat infra li
bram, ſitq; trutina CD ſu
pra libram, & moueatur
libra in EF; patet libram
ex parte F deorſum moue
ri, trutina ſupra libram e­
xiſtente. & in quocunq; a­
lio ſitu fuerit trutina, idem
ſemper eueniet. non igitur
trutina, ſed centrum libræ
harum diuerſitatum cau­
ſa erit. 41[Figure 41]
Animaduertendum eſt
itaq; in hac parte difficulter materialem libram conſtitui poſſe,
quæ in vno tantùm puncto ſuſtineatur; quemadmodum mente
concipimus. brachiaq; ab eiuſmodi centro adeò æqualia habeat,
non ſolum in longitudine, verùm etiam in latitudine, & profun
ditate, vt omnes partes hinc indé ad vnguem æqueponderent.
hoc enim materia difficilimè patitur. quocirca ſi centrum in ipſa
libra eſſe conſiderauerimus, ad ſenſum confugiendum non eſt:
cùm artificilia ad ſummum illud perfectionis gradum ab artifice
deduci minimè poſsint. In aliis verò experientia quidem appa­
rentia docere poterit; propterea quod, quamquam centrum libræ
ſit ſemper punctum, quando tamen ſupra libram fuerit, parùm re­
fert, ſi libra in eo puncto adamuſſim minimè ſuſtineatur; quia cùm
ſit ſemper ſupra libram, idem ſemper eueniet. ſimili quoq; modo
quando eſt infra libram: quod tamen non accidit centro in ipſa li­
bra exiſtente. ſi enim ad vnguem ſemper in illo medio non ſu­
ſtineatur, diuerſitatem efficiet; cùm facillimum ſit, centrum il­
1lud, dùm libra mouetur, proprium mutare ſitum.
2 Huius. 3 Huius.
Quòd autem Ariſtoteles duas tantùm quæſtiones propo­
ſuerit, cur ſcilicet trutina ſuperius exiſtente, ſi libra non ſit
horizonti æquidiſtans in æquilibrium, hoc eſt horizonti æqui
diſtans redit: ſi autem trutina deorſum fuerit conſtituta, non
redit; ſed adhuc ſecundùm partem depreſſam mouetur: verum
quidem eſt. non tamen eius demonſtrationes maiori, & mino
ri angulo, poſitioni〈qué〉 trutinæ (vt ipſi dicunt) innituntur. In
hoc enim mentem philoſophi aſignantis rationem diuerſitatis
motuum libræ minimè attingunt. tantùm enim abeſt philoſo­
phum has diuerſitates in angulos referre, vt potius in cauſa eſſe
dicat magnitudinis alterius brachii libræ exceſſum à perpendiculo,
modò ex vna, modò ex altera parte contingentem.
Vt trutina ſuperius in
CF exiſtente, perpendicu
lum erit FCG, quod ſe­
cundùm ipſum in centrum
mundi ſemper vergit;
quod quidem libram mo­
tam in DE in partes di­
uidit inæquales; & maior
pars eſt verſus D: id au­
tem, quod plus eſt, deor
ſum fertur; ergo ex par­
te D deorſum libra moue
bitur, donec in AB re­
deat. ſi verò trutina ſit
42[Figure 42]
in CG deorſum, erit GCF perpendiculum, quod libram DE
in partes inæquales ſimiliter diuidit: maior autem pars erit verſus
E; quare ex parte E deorſum libra mouebitur. quod vt rectè in­
telligatur, cùm trutina eſt ſupra libram, libræ quoq; centrum ſu­
pra libram eſſe intelligendum eſt; & ſi deorſum, centrum quoque
deorſum: vt infra patebit. Aliter ipſa Ariſtotelis demonſtratio
nihil concluderet. exiſtente enim centro in ipſa libra, vt in C; quo­
cunq; modo moueatur libra, nunquam perpendiculum FG libram,
23niſi in puncto C, & in partes diuidet æquales. quare Ariſtotelis
ſententia ipſis non ſolum non fauet, verùm etiam maximè aduer­
ſatur. quòd non ſolum ex ſecunda, & tertia huius liquet; verùm
quia exiſtente centro ſupra libram pondus eleuatum maiorem
propter ſitum acquirit grauitatem. ex quò contingit redditus li­
bræ ad æqualem horizonti diſtantiam. è contra verò, quando
centrum eſt infra libram. Quæ omnia hoc modo oſtendentur;
ſupponendo ea, quæ ſupra declarata ſunt. ſcilicet pondus ex quò
loco rectius deſcendit, grauius fieri. & ex quo rectius aſcendit, gra
uius quoq; reddi.
Sit libra AB horizonti
æquidiſtans, cuius centrum
C ſit ſupra libram, perpen­
diculumq; ſit CD. ſintq; in
AB ponderum æqualium
centra grauitatis poſita: mo
taq; ſit libra in EF. Dico
pondus in E maiorem ha­
bere grauitatem, quàm pon
dus in F. & ob id libram
EF in AB redire. Produ
catur primùm CD vſq; ad
mundi centrum, quod ſit S. de
inde AC CB EC CF HS
connectantur, à punctiſq; EF
ipſi HS æquidiſtantes du
cantur Ek GFL. Quoniam
igitur naturalis deſcenſus re
ctus totius magnitudinis,
libræ ſcilicet EF ſic conſti­
tutæ vná cum ponderibus,
eſt secundum grauitatis cen
trum H per rectam HS; erit
43[Figure 43]
quoq; ponderum in EF ita poſsitorum deſcenſus ſecundùm re­
ctas Ek FL ipſi HS parallelas; ſicuti ſupra demonſtrauimus.
1Deſcenſus igitur, & aſcen­
ſus ponderum in EF ma­
gis, minuſuè obliquus di­
cetur ſecundùm acceſſum,
& receſſum iuxta lineas Ek
FL deſignatum. Quoniam au­
tem duo latera AD DC duo
bus lateribus BD DE ſunt
æqualia; anguliq; ad D ſunt
recti; erit latus AC lateri
CB æquale. & cùm pun­
ctum C ſit immobile; dum
puncta AB mouentur, cir
culi circumferentiam deſcri
bent, cuius ſemidiameter
erit AC. quare centro C,
circulus deſcribatur AEBF.
puncta AB EF in circuli
circumferentia erunt. ſed
cùm EF ſit ipſi AB æqua
lis; erit circumferentia
EAF circumferentiæ AFB
æqualis. quare dempta
44[Figure 44]
communi AF, erit circumferentia EA circumferentiæ FB æqua
lis. Quoniam autem mixtus angulus CEA eſt æqualis mixto
CFB; & HFB ipſo CFB eſt maior; angulus verò HEA ipſo
CEA minor; erit angulus HFB angulo HEA maior. à quibus
ſi auferantur anguli HFG HEk æquales; erit angulus GFB an
gulo kEA maior. ergo deſcenſus ponderis in E minus obliquus
erit aſcenſu ponderis in F. & quamquam pondus in E deſcen
dendo, & pondus in F aſcendendo per circumferentias mouean
tur æquales; quia tamen pondus in E ex hoc loco rectius deſcen
dit, quàm pondus in F aſcendit: idcirco naturalis potentia pon
deris in E reſiſtentiam violentiæ ponderis F ſuperabit. quare
maiorem grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F.
ergo pondus in E deorſum, pondus verò in F ſurſum mouebitur:
24donec libra EF in AB redeat. quod demonſtrare oportebat.
4 Primi. Ex 28 Tertii. 29 Primi.
Huius autem effectus ratio ab Ariſtotele poſita, hic manifeſta in
tueri poteſt. ſit enim punctum N vbi CS EF ſe inuicem ſecant.
& quoniam HE eſt ipſi HF æqualis; erit NE maior NF. li­
nea ergo CS, quam perpendiculum vocat, libram EF in partes di
uidet inæquales. cùm itaq; pars libræ NE ſit maior NF; atq; id,
quod plus eſt, neceſſe eſt, deorſum ferri: libra ergo EF ex parte E
deorſum mouebitur, donec in AB redeat.
Ariſtotelis ratio.
Ex iis præterea, quæ ha
ctenus dicta ſunt inferre li
cet, libram EF velocius ab
eo ſitu in AB moueri; vndè
linea EF in directum pro­
tracta in centrum mundi
perueniat. vt ſit EFS recta
linea. & quoniam CD
CH, ſunt inter ſe ſe æqua
les. ſi igitur centro C, ſpa
tioq; CD, circulus deſcri­
batur DHM; erunt pun­
cta DH in circuli circum­
ferentia. Quoniam au­
tem CH ipſi EF eſt per­
pendicularis; continget li­
nea EHS circulum DHM
in puncto H. pondus igi­
tur in H (ſicuti ſupra de­
monſtrauimus) grauius
45[Figure 45]
erit, quàm in alio ſitu circuli DHM. ergo magnitudo ex EF
ponderibus, & libra EF compoſita, cuius centrum grauitatis eſt
in H, in hoc ſitu magis grauitabit, quàm in quocunq; alio ſitu
1circuli fuerit punctum H.
ab hoc igitur ſitu velo­
cius, quàm à quocunq;
alio mouebitur. & ſi H
propius fuerit ipſi D mi
nus grauitabit, minuſq;
ab eo ſitu mouebitur.
ſemper enim deſcenſus
obliquior eſt, & minus re
ctus. libra ergo EF velo
cius ab hoc ſitu mouebi­
tur, quàm ab alio ſitu. &
ſi propius ad AB acce­
det, inde minus mouebi
tur. Deinde quò longius
punctum H à puncto C
diſtabit, velocius moue­
bitur; quod non ſolum ex Ari
ſtotele in principio quæſt­
io num mechanicarum, &
46[Figure 46]
ex ſuperius dictis patet; verùm etiam ex iis, quæ infra in ſexta
propoſitione dicemus, manifeſtum erit. libra igitur EF, quò ma
gis ab eius centro diſtabit, adhuc velocius mouebitur.
25
Sit deinde libra AB,
cuius centrum C ſit infra li
bram; ſintq; in AB pon
dera æqualia; libraq; ſit
mota in EF. Dico maio­
rem habere grauitatem
pondus in F, quàm pondus
in E. atq; ideo libram EF
deorſum ex parte F moue­
ri. Producatur DC ex
vtraq; parte vſq; ad mun­
di centrum S, & vſq; ad
O, lineaq; HS ducatur,
cui à punctis EF æquidi­
ſtantes ducantur GEk FL;
connectanturq; CE CF:
atq; centro C, ſpatioq; CE
circulus deſcribatur AEO
BF. ſimiliter demonſtra­
bitur puncta ABEF in
circuli circumferentia eſſe;
deſcenſumq; libræ EF vná
cum ponderibus rectum ſe
cundùm lineam HS fieri;
ponderumq; in EF ſecun
47[Figure 47]dùm
 lineas GK FL ipſi HS æquidiſtantes. Quoniam autem an
gulus CFP æqualis eſt angulo CEO: erit angulus HFP angulo
HEO maior. angulus verò HFL æqualis eſt angulo HEG. à
quibus igitur ſi demantur anguli HFP HEO, erit angulus
LFP angulo GEO minor. quare deſcenſus ponderis in F rectior
erit aſcenſu ponderis in E. ergo naturalis potentia ponderis in
F reſiſtentiam violentiæ ponderis in E ſuperabit. & ideo ma­
iorem habebit grauitatem pondus in F, quàm pondus in E.
Pondus igitur in F deorſum, pondus verò in E ſurſum mo­
uebitur.
29 Primi.
Ariſtotelis quoq; ratio hic perſpicua erit. ſit enim punctum
1N vbi CO EF ſe inuicem
ſecant; erit NF maior
NE. & quoniam CO per
pendiculum (ſecundùm
ipſum) libram EF in par
tes inæquales diuidit, &
maior pars eſt verſus F, hoc
eſt NF; libra EF ex par
te F deorſum mouebitur:
cùm id, quod plus eſt, deor
ſum feratur.
Ariſtotelis ratio.
Similiter, éx dictis
quoq; eliciemus libram EF
centrum habens infra li­
bram, quò magis à ſitu
AB diſtabit, velocius mo
ueri. centrum enim graui
tatis H, quò magis á pun­
cto D diſtat, eò volecius
pondus ex EF ponderibus,
libraq; EF compoſitum
mouebitur, donec angulus
CHS rectus euadat. ad­
huc inſuper velocius moue
bitur, quò libram à centro
C magis diſtabit. 48[Figure 48]
Ex ipſorum quinetiam rationibus, ac falſis ſupoſitionibus iam
declaratos libræ effectus, ac motus deducere, ac manifeſtare libet;
vt quanta ſit veritatis efficacia appareat, quippè ex falſis etiam
eluceſcere contendit.
26
Exponantur eadem, ſci
licet ſit circulus AEBF;
libra〈qué〉 AB, cuius cen­
trum C ſit ſupra libram,
moueatur in EF. dico
pondus in E maiorem ibi
habere grauitatem, quàm
pondus in F; libramq; EF
in AB redire. Ducantur
à punctis EF ipſi AB
perpendiculares EL FM,
quæ inter ſe æquidiſtan­
tes 49[Figure 49]erunt; ſitq; punctum N, vbi AB EF ſe inuicem ſecant.
Quoniam igitur angulus FNM eſt æqualis angulo ENL, & an­
gulus F MN rectus recto ELN æqualis, ac reliquus NFM reli­
quo NEL eſt etiam æqualis; erit triangulum NLE triangu
lo NMF ſimile. vt igitur NE ad EL, ita NF ad FM; & per
mutando vt EN ad NF, ita EL ad FM. ſed cùm ſit HE ipſi
HF æqualis, erit EN maior NF; quare & EL maior erit FM.
& quoniam dum pondus in E per circumferentiam EA deſcendit,
pondus in F per circumferentiam FB ipſi circumferentiæ EA
æqualem aſcendit; deſcenſuſq; ponderis in E de directo (vt ip­
ſi dicunt) capit EL: aſcenſus verò ponderis in F de directo ca­
pit FM; minus de directo capiet aſcenſus ponderis in F, quàm
deſcenſus ponderis in E. maiorem igitur grauitatem habebit pon
dus in E, quàm pondus in F.
28 Primi. 15 Primi. 29 Primi. 4 Sexti. 16 Quinti.
Producatur CD ex vtraq; parte in OP, quæ lineam EF in
puncto S ſecet. & quoniam (vt aiunt) quò magis pondus à li­
nea directionis OP diſtat, eò fit grauius; idcirco hoc quoq; me
dio pondus in E maiorem habere grauitatem pondere in F o­
ſtendetur. Ducantur à punctis EF ipſi OP perpendiculares EQ
FR. ſimili ratione oſtendetur, triangulum QES triangulo RFS
ſimile eſſe; lineamq; EQ ipſa RF maiorem eſſe. pondus itaq;
in E magis à linea OP diſtabit, quàm pondus in F; ac propterea
pondus in E maiorem habebit grauitatem pondere in F. ex quibus
reditus libræ EF in AB manifeſtus apparet.
1
Si autem centrum libræ
ſit infra libram, tunc pon­
dus depreſſum maiorem
habere grauitatem eleuato
iiſdem mediis oſtendetur.
ducantur à punctis EF ip­
ſi AB perpendiculares EL
FM. ſimiliter demonſtra
bitur EL maiorem eſſe
FM; & ob id deſcenſus
ponderis in F minus de di
recto capiet, quàm aſcen­
50[Figure 50]
ſus ponderis in E: quocirca reſiſtentia violentiæ ponderis in E ſu
perabit naturalem propenſionem ponderis in F. ergo pondus in E
pondere in F grauius erit.
Producatur etiam CD ex vtraq; parte in OP; ipſiq; à punctis
EF perpendiculares ducantur EQ FR. eodem prorſus modo
oſtendetur, lineam EQ maiorem eſſe FR. pondus ideò in E ma
gis à linea directionis OP diſtabit, quàm pondus in F. maio­
rem igitur grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F.
ex quibus ſequitur, libram EF ex parte E deorſum moueri.
Ariſtoteles itaq; has duas tantùm quæſtiones propoſuit, ter­
tiamq; reliquit; ſcilicet cùm centrum libræ in ipſa eſt libra: hanc
autem ommiſsit, vt notam, quemadmodum res valde notas præ­
termittere ſolet. nam cui dubium, ſi pondus in eius centro gra
uitatis ſuſtineatur, quin maneat? Ea verò, quæ ex ipſius ſenten
tia attulimus, aliquis reprehendere poſſet, nos integram eius ſenten
tiam minimè protuliſſe affirmans. nam cùm in ſecunda parte ſe
cundæ quæſtionis proponit, cur libra, trutina deorſum conſtituta,
quando deorſum lato pondere quiſpiam id amouet, non aſcen
dit, ſed manet? non aſſerit adhuc libram deorſum moueri; ſed
manere. quod in vltima quoq; concluſione colligiſſe videtur. Ve
rùm hoc non ſolum nobis non repugnat, ſed ſi rectè intelligitur,
maximè ſuffragatur.
27
Sit enim libra AB
horizonti æquidiſtans,
cuius centrum E ſit
infra libram. quia ve
rò Ariſtoteles libram,
ſicuti actu eſt, conſide
rat; ideò neceſſe eſt
trutinam, vel aliquid
aliud infra centrum E
collocare, vt EF
(quod quidem truti­
na erit) ita vt centrum
E ſuſtineat. ſitq; per­
51[Figure 51]
pendiculum ECD. & vt libra AB ab hoc moueatur ſitu; dicit
Ariſtoteles, ponatur pondus in B, quod cùm ſit graue, libram ex
parte B deorſum mouebit; putá in G. ita vt propter impedimen
tum deorſum amplius moueri non poterit. non enim dicit Ari
ſtoteles, moueatur libra ex parte B deorſum, quouſq; libuerit; dein
de relinquatur, vt nos diximus: ſed præcipit, vt in ipſo B po­
natur pondus, quod ex ipſius natura deorſum ſemper mouebi­
tur; donec libra trutinæ, ſiue alicui alii adhæreat. & quando B erit
in G, erit libra in GH; in quo ſitu, ablato pondere, manebit:
cùm maior pars libræ à perpendiculo ſit verſus G, quæ eſt DG,
quàm DH. nec deorſum amplius mouebitur; nam libra, vel
trutinæ, vel alteri cuipiam, quod centrum libræ ſuſtineat, incum
bet. ſi enim huic non adhæreret, libra ex parte G deorſum ex
ipſius ſententia moueretur; cùm id, quod plus eſt, ſcilicet DG,
deorſum ferri ſit neceſſe.
Cæterum quis adhuc dicere poterit, ſi paruum imponatur pon
dus in B, mouebitur quidem libra deorſum, non autem vſq; ad
G. in quò ſitu ſecundùm Ariſtotelem, ablato pondere, mane­
re deberet. quod experimento patet; cùm in vna tantùm libræ
extremitate, impoſito onere, hocq; vel maiore, vel minore, libra
plus, minuſuè inclinetur. Quod eſt quidem veriſſimum, centro ſupra
libram, non autem infra, neq; in ipſa libra collocato. Vt exempli
gratia.
1
Sit libra horizonti æ­
quidiſtans AB, cuius cen
trum C ſit ſupra libram,
perpendiculumq; CD ho
rizonti perpendiculare,
quod ex parte D produca
tur in H. Quoniam enim
conſiderata libræ grauita­
te, erit punctum D libræ
centrum grauitatis. ſi ergo
in B paruum imponatur
pondus, cuius centrum
52[Figure 52]
grauitatis ſit in puncto B; magnitudinis ex libra AB, & pondere
in B compoſitæ non erit amplius centrum grauitatis D; ſed erit in
linea DB, vt in E: ita vt DE ad EB ſit, vt pondus in B ad gra­
uitatem libræ AB. Connectatur CE. Quoniam autem pun­
ctum C eſt immobile, dum libra mouetur, punctum E circuli cir
cumferentiam EFG deſcribet, cuius ſemidiameter CE, & cen­
trum C. quia verò CD horizonti eſt perpendicularis, linea CE
horizonti perpendicularis nequaquam erit. quare magnitudo ex
AB, & pondere in B compoſita minimè in hoc ſitu manebit; ſed
deorſum ſecundùm eius grauitatis centrum E per circumferen­
tiam EFG mouebitur; donec CE horizonti perpendicularis eua
dat; hoc eſt, donec CE in CDF perueniat. atq; tunc libra AB
mota erit in kL, in quo ſitu libra vná cum pondere manebit. nec
deorſum amplius mouebitur. Si verò in B ponatur pondus graui­
us; centrum grauitatis totius magnitudinis erit ipſi B propius, vt in
M. & tunc libra deorſum, donec iuncta CM in linea CDH per
ueniat, mouebitur. Ex maiore igitur, & minore pondere in B po
ſito, libra plus, minuſuè inclinabitur. ex quo ſequitur pondus B
quarta circuli parte minorem ſemper circumferentiam deſcribe­
re, cùm angulus FCE ſit ſemper acutus. nunquam enim punctum
B vſq; ad lineam CH perueniet, cùm centrum grauitatis ponde­
ris, & libræ ſimul ſemper inter DB exiſtat. quò tamen pondus
in B grauius fuerit, maiorem quoq; circumferentiam deſcribet.
eò enim magis punctum B ad lineam CH accedet.
6 Primi Archim. de æquep. 1. Huius.
28
Habeat autem libra AB
centrum C in ipſa libra, atq;
in eius medio: erit C libræ
centrum quoq; grauitatis;
à quo ipſi AB, horizontiq;
perpendicularis ducatur FC
G. ponatur deinde in B
quoduis pondus; erit totius
magnitudinis centrum gra­
uitatis putá in E; ita vt CE
53[Figure 53]
ad EB ſit, vt pondus in B ad libræ grauitatem. & quoniam CE
non eſt horizonti perpendicularis, libra AB, atq; pondus in B
in hoc ſitu nunquam manebunt; ſed deorſum ex parte B mouebun
tur, donec CE horizonti fiat perpendicularis. hoc eſt donec li­
bra AB in FG perueniat. ex quo patet, quolibet pondus in B
circuli quartam ſemper deſcribere.
Sit autem centrum C in­
fra libram AB. ſitq; DCE
perpendiculum. ſimiliter
poſito in B pondere, cen­
trum grauitatis magnitudi
nis ex AB libra, & ponde
re in B compoſitæ in linea
DB erit; vt in F; ita vt DF
ad FB ſit, vt pondus in B
54[Figure 54]
ad libræ pondus. Iungatur CF. & quoniam CD horizonti eſt
perpendicularis; linea CF horizonti nequaquam perpendicula­
ris exiſtet. quare magnitudo ex AB libra, ac pondere in B com
poſita in hoc ſitu nunquam perſiſtet; ſed deorſum, niſi aliquid
impediat, mouebitur; donec CF in DCE perueniat: in quo ſitu
libra vná cum pondere manebit. & punctum B erit vt in G, atq;
punctum A in H, libraq; GH non amplius centrum infra, ſed ſu
pra ipſam habebit. quod idem ſemper eueniet; quamuis mini­
mum imponatur pondus in B. ergo priuſquam B perueniat ad
G; neceſſe eſt libram, ſiue trutinæ deorſum poſitæ, vel alicui
1alteri, quod centrum C ſu­
ſtineat, occurrere; ibiq; ad­
hærere. ex hoc ſequitur, pon
dus in B vltra lineam Dk
ſemper moueri; ac circuli
quarta maiorem ſemper cir
cumferentiam deſcribere: eſt
enim angulus FCE ſemper
obtuſus, cùm angulus DCF
ſemper ſit acutus. quò au­
55[Figure 55]
tem pondus in B fuerit leuius, maiorem tamen adhuc circumfe­
rentiam deſcribet. nam quò pondus in G leuius fuerit, eò ma­
gis pondus in G eleuabitur; libraq; GH ad ſitum horizonti æqui
diſtantem propius accedet. quæ omnia ex iis, quæ ſupra dixi­
mus, manifeſta ſunt.
His demonſtratis. Manifeſtum eſt, centrum libræ cauſam eſſe
diuerſitatis effectuum in libra. atq; patet omnes Archimedis de
æqueponderantibus propoſitiones ad hoc pertinentes in omni ſitu
veras eſſe. hoc eſt ſiue libra ſit horizonti æquidiſtans, ſiue non:
dummodo centrum libræ in ipſa ſit libra; quemadmodum ipſe
conſiderat. & quamquam libra brachia habeat inæqualia, idem eue
niet; eodemq; proſus modo oſtendetur, centrum libræ diuerſimo
dè collocatum varios producere effectus.
Sit enim libra AB hori­
zonti æquidiſtans; & in AB
ſint pondera inæqualia, quo
rum grauitatis centrum ſit
C: ſuſpendaturq; libra in
eodem puncto C. & mo­
ueatur libra in DE. mani
feſtum eſt libram non ſo­
lum in DE, ſed in quouis
alio ſitu manere. 56[Figure 56]
29
Sit autem centrum libræ
AB ſupra C in F; ſitq;
FC ipſi AB, & horizonti
perpendicularis: & ſi mo­
ueatur libra in DE, linea
CF mota erit in FG; quæ
cùm non ſit horizonti per­
pendicularis, libra DE
deorſum ex parte D moue
bitur, donec FG in FC
redeat: atq; tunc libra DE
in AB erit, in quò ſitu
quoq; manebit. 57[Figure 57]
Et ſi centrum libræ F
ſit infra libram; ſitq; mota
libra in DE; primùm qui
dem manifeſtum eſt li­
bram in AB manere; in
DE verò deorſum ex par
te E moueri: cùm linea
FG non ſit horizonti per­
pendicularis. 58[Figure 58]
Ex his determinatis ſi libra ſit
arcuata, vel libræ brachia angulum
conſtituant; centrumq; diuerſimo
dè collocetur (quamquam hæc pro
priè non ſit libra) varios tamen
huius quoq; effectus oſtendere pote
rimus. Vt ſit libra ACB, cuius
centrum, circa quod vertitur, ſit C.
ductaq; AB, ſit arcus ſiue angulus
59[Figure 59]
ACB ſupra lineam AB; & in AB grauitatis centra ponderum
ponantur, quæ in hoc ſitu maneant. moueatur deinde libra ab
1hoc ſitu, putá in ECF. Dico li­
bram ECF in ACB redire. to­
tius magnitudinis centrum grauita
tis inueniatur D. & CD iunga­
tur. Quoniam enim pondera AB
manent, linea CD horizonti per­
pendicularis erit. quando igitur
libra erit in ECF, linea CD erit
putá in CG; quæ cùm non ſit ho
60[Figure 60]
rizonti perpendicularis; libra ECF in ACB redibit. quod idem
eueniet, ſi centrum C ſupra libram conſtituatur, vt in H.
Per def. centri grauitatis. 1 Huius. 1. Huius. 1 Huius.
Si verò arcus, ſiue angulus
ACB, ſit infra lineam AB; eo
dem modo libram ECF, cuius
centrum, ſiue ſit in C, ſiue in H,
deorſum ex parte F moueri o­
ſtendemus. 61[Figure 61] 62[Figure 62]
Sit autem angulus ACB ſupra lineam AB; ac libræ centrum
ſit H; lineaq; CH libram ſuſtineat; & moueatur libra in EKF:
libra EkF in ACB redibit.
30
Si verò centrum libræ ſit D, quocunq; modo moueatur libra;
vbi relinquetur, manebit.
Si deinde punctum H ſit infra lineam AB; tunc libra EkF
deorſum ex parte F mouebitur.
Similiq; prorſus ratione, ſi an
gulus ACB ſit infra lineam AB;
ſitq; libræ centrum H; ſuſtineaturq;
libra linea CH; ſi libra ab hoc mo
ueatur ſitu, deorſum ex parte pon­
deris inferioris mouebitur. & ſi cen
trum libræ ſit D; vbi relinquetur,
manebit. ſi verò ſit in K; ſi ab eiuſ
63[Figure 63]
modi moueatur ſitu, in eundem proſus redibit. quæ omnia ex iis,
quæ in principio diximus, ſunt manifeſta. ſimiliter ſi centrum li
bræ, vel in altero brachiorum, vel intra, vel extra vtcunq; po
natur; eadem inueniemus.
1
PROPOSITIO. V.
Duo pondera in libra appenſa, ſi libra inter
hæc ita diuidatur, vt partes ponderibus per­
mutatim reſpondeant; tàm in punctis appenſis
ponderabunt, quàm ſi vtraq; ex diuiſionis pun­
cto ſuſpendantur. 64[Figure 64]
Sit AB libra, cuius centrum C; ſintq; duo pondera EF ex pun
ctis BG ſuſpenſa: diuidaturq; BG in H, ita vt BH ad HG
eandem habeat proportionem, quam pondus E ad pondus F.
Dico pondera EF tàm in BG ponderare, quàm ſi vtraq; ex pun
cto H ſuſpendantur. fiat AC ipſi CH æqualis. & vt AC ad
CG, ita fiat pondus E ad pondus L. ſimiliter vt AC ad CB,
ita fiat pondus F ad pondus M. ponderaq; LM ex puncto A ſu
ſpendantur. Quoniam enim AC eſt æqualis CH, erit BC ad
CH vt pondus M ad pondus F. & quoniam maior eſt BC,
quàm CH; erit & pondus M ipſo F maius. diuidatur igitur pon
dus M in duas partes QR, ſitq; pars Q ipſi F æqualis; erit BC
ad CH, vt RQ ad Q: & diuidendo, vt BH ad HC, ita R ad q.
deinde conuertendo, vt CH ad HB, ita Q ad R. Præterea quo­
niam CH eſt æqualis ipſi CA, erit HC ad CG, vt pondus
E ad pondus L: maior autem eſt HC, quàm CG; erit & pon­
31dus E pondere L maius. diuidatur itaq; pondus E in duas partes
NO ita, vt pars O ſit ipſi L æqualis, erit HC ad CG, vt to­
tum NO ad O; & diuidendo, vt HG ad GC, ita N ad O:
conuertendoq; vt CG ad GH, ita O ad N. & iterum com­
ponendo, vt CH ad HG, ita ON ad N. vt autem GH
ad HB, ita eſt F ad ON. quare ex æquali, vt CH ad HB, ita F
ad N. ſed vt CH ad HB ita eſt Q ad R: erit igitur Q ad R, vt
F ad N; & permutando, vt Q ad F, ita R ad N. eſt autem pars
Q ipſi F æqualis; quare & pars R ipſi N æqualis erit. Itaq; cùm
pondus L ſit ipſi O æquale, & pondus F ipſi Q etiam æquale, atq;
pars R ipſi N æqualis; erunt pondera LM ipſis EF ponderibus
æqualia. & quoniam eſt, vt AC ad CG, ita pondus E ad pon­
dus L; pondera EL æqueponderabunt. ſimiliter quoniam eſt, vt
AC ad CB, ita pondus F ad pondus M; pondera quoq; FM
æqueponderabunt. Pondera igitur LM ponderibus EF in BG
appenſis æqueponderabunt. cùm autem diſtantia CA æqualis ſit
diſtantiæ CH; ſi igitur vtraq; pondera EF in H appendantur,
pondera LM ipſis EF ponderibus in H appenſis æquepondera­
bunt. ſed LM ipſis EF in GB quoq; æqueponderant: æquè
igitur grauia erunt pondera EF in GB, vt in H appenſa. tàm igi
tur ponderabunt in BG, quàm in H appenſa. 65[Figure 65]
Sint autem pondera EF in CB appenſa; ſitq; C libræ centrum;
& diuidatur CB in H, ita vt CH ad HB ſit, vt pondus in F ad
E. Dico pondera EF tàm in CB ponderare, quàm in puncto H.
fiat CA ipſi CH æqualis, & vt CA ad CB, ita fiat pondus F ad
aliud D, quod appendatur in A. Quoniam enim CH eſt æqua­
1 66[Figure 66]
lis CA, erit CH ad CB, vt F ad D; & maior quidem eſt CB,
quàm CH; idcirco D pondere F maius erit. Diuidatur ergo D
in duas partes Gk, ſitq; G ipſi F æqualis; erit vt BC ad CH,
vt Gk ad G; & diuidendo, vt BH ad HC, ita K ad G; & conuer
tendo, vt CH ad HB, ita G ad k. Vt autem CH ad HB, ita eſt
F ad E. vt igitur G ad k, ita eſt F ad E; & permutando vt G
ad F, ita k ad E. ſunt autem GF æqualia; erunt & kE inter ſe
ſe æqualia. cùm itaq; pars G ſit ipſi F æqualis, & K ipſi E; erit
totum C k ipſis EF ponderibus æquale. & quoniam AC eſt ip­
ſi CH æqualis; ſi igitur pondera EF ex puncto H ſuſpendantur,
pondus D ipſis EF in H appenſis æqueponderabit. ſed & ipſis
æqueponderat in CB, hoc eſt F in B, & E in C; cùm ſit vt AC
ad CB, ita F ad. D. pondus enim E ex centro libræ C ſuſpen­
ſum non efficit, vt libra in alterutram moueatur partem. tàm igi­
tur grauia erunt pondera EF in CB, quàm in H appenſa.
32 67[Figure 67]
Sit deniq; libra AB, & ex punctis AB ſuſpenſa ſint pondera
EF; ſitq; centrum libræ C intra pondera; diuidaturq; AB in
D, ita vt AD ad DB ſit, vt pondus F ad pondus E. Dico pon
dera EF tàm in AB ponderare, quám ſi vtraq; ex puncto D ſuſpen
dantur. fiat CG æqualis ipſi CD; & vt DC ad CA, ita fiat
pondus E ad aliud H; quod appendatur in D. vt autem GC ad
CB, ita fiat pondus F ad aliud K; appendaturq; k in G. Quoniam enim
eſt, vt BC ad CG, hoc eſt ad CD, ita pondus k ad F; erit K ma
ius pondere F. quare diuidatur pondus k in L, & MN; fiatq;
pars L ipſi F æqualis; erit vt BC ad CD, vt totum LMN ad
L; & diuidendo, vt BD ad DC, ita pars MN ad partem L. vt
igitur BD ad DC, ita pars MN ad F. vt autem AD ad DB,
ita F ad E: quare ex æquali, vt AD ad DC, ita MN ad E. cùm
verò AD ſit ipſa CD maior; erit & pars MN pondere E
maior: diuidatur ergo MN in duas partes MN, ſitq; M æqua
lis ipſi E. erit vt AD ad DC, vt NM ad M; & diuidendo, vt
AC ad CD, ita N ad M: conuertendoq; vt DC ad CA, ita M
ad N. vt autem DC ad CA, ita eſt E ad H; erit igitur M ad N
vt E ad H; & permutando, vt M ad E, ita N ad H. ſed ME
ſunt inter ſe æqualia, erunt NH inter ſeſe quoq; æqualia. & quo­
niam ita eſt AC ad CD, vt H ad E: pondera HE æqueponde­
rabunt. ſimiliter quoniam eſt vt GC ad CB, ita F ad k, ponde­
1 68[Figure 68]
ra etiam kF æqueponderabunt. pondera igitur Ek HF in li­
bra AB, cuius centrum C, æqueponderabunt. cùm autem GC
ipſi CD ſit æqualis, & pondus H ſit ipſi N æquale; pondera NH
æqueponderabunt. & quoniam omnia æqueponderant, demptis
HN ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æqueponderabunt;
hoc eſt pondera EF & pondus LM ex centro libræ C ſuſpenſa.
quia verò pars L ipſi F eſt æqualis, & pars M ipſi E æqualis; erit
totum LM ipſis FE ponderibus ſimul ſumptis æquale. & cùm
ſit CG ipſi CD æqualis, ſi igitur pondera EF ex puncto D ſuſpen­
dantur, pondera EF in D appenſa ipſi LM æqueponderabunt. quare
LM tàm ipſis EF in AB appenſis æqueponderat, quàm in pun
cto D appenſis. libra enim ſemper eodem modo manet. Ponde­
ra ergo EF tàm in AB ponderabunt, quàm in puncto D. quod
demonstrare oportebat.
17 Quinti. Cor. 4 quinti. 17 Quinti. Cor. 4 quinti. 18 Quinti. 23 Quinti. 11 Quinti. 16 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 2 Com. not. huius. 3 Com. not. huius. 17 Quinti. Cor. 4 quinti. 11 Quinti. 16 Quinti. 17 Quinti. 23 Quinti. 17 Quinti. Cor. 4 quinti 11 Quinti. 16 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 2 Com.not. huius. 1 Com.not. huius. 3 Com.not. huius.
Hæc autem omnia (mechanicè tamen ma­
gis) aliter oſtendemus.
33 69[Figure 69]
Sit libra AB, cuius centrum C; ſintq; vt in primo caſu duo pon
dera EF ex punctis BG ſuſpenſa: ſitq; GH ad HB, vt pondus
F ad pondus E. Dico pondera EF tàm in GB ponderare, quàm
ſi vtraq; ex diuiſionis puncto H ſuſpendantur. Conſtruantur ea
dem, hoc eſt fiat AC ipſi CH æqualis, & ex puncto A duo ap­
pendantur pondera LM, ita vt pondus E ad pondus L, ſit vt
CA ad CG; vt autem CB ad CA, ita ſit pondus M ad pondus
F. pondera LM ipſis EF in GB appenſis (vt ſupra dictum eſt)
æqueponderabunt. Sint deinde puncta NO centra grauitatis pon
derum EF; connectanturq; GN BO; iungaturq; NO, quæ tan­
quam libra erit; quæ etiam efficiat lineas GN BO inter ſe ſe æqui­
diſtantes eſſe; à punctoq; H horizonti perpendicularis ducatur
HP, quæ NO ſecet in P, atq; ipſis GN BO ſit æquidiſtans.
deniq; connectatur GO, quæ HP ſecet in R. Quoniam igitur
HR eſt lateri BO trianguli GBO æquidiſtans; erit GH ad HB,
vt GR ad RO. ſimiliter quoniam RP eſt lateri GN trianguli
OGN æquidiſtans; erit GR ad RO, vt NP ad PO. quare
vt GH ad HB, ita eſt NP ad PO. vt autem GH ad HB, ita
eſt pondus F ad pondus E; vt igitur NP ad PO, ita eſt pondus
F ad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magni­
tudinis ex vtriſq; EF ponderibus compoſitæ. Intelligantur itaq;
pondera EF ita eſſe à libra NO connexa, ac ſi vna tantùm eſſet
magnitudo ex vtriſq; EF compoſita, in punctiſq; BG appenſa. ſi
igitur ponderum ſuſpenſiones BG ſoluantur, manebunt pondera
EF ex HP ſuſpenſa; ſicuti in GB prius manebant. pondera verò EF
in GB appenſa ipſis LM ponderibus æqueponderant, & pondera
1 70[Figure 70]
EF ex puncto H ſuſpenſa, eandem habent conſtitutionem ad li­
bram AB, quam in BG appenſa: eadem ergo pondera EF ex
H ſuſpenſa eiſdem ponderibus LM æqueponderabunt. æquè igi­
tur ſunt grauia pondera EF in GB, vt in H appenſa. 71[Figure 71]
Similiter demonſtrabitur, pondera EF in quibuſcunq; aliis pun
ctis appenſa tàm ponderare, quàm ſi vtraq; ex diuiſionis puncto H ſu
ſpendantur. ſi enim (vt ſupra docuimus) in libra pondera inue­
niantur, quibus pondera EF æqueponderent; eadem pondera EF
ex H ſuſpenſa eiſdem inuentis ponderibus æqueponderabunt; cùm
punctum P ſit ſemper eorum centrum grauitatis; & HP horizon
ri perpendicularis.
2 Sexti. 11 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 1 Huius.
34
PROPOSITIO. VI.
Pondera æqualia in libra appenſa eam in gra
uitate proportionem habent; quam diſtantiæ, ex
quibus appenduntur. 72[Figure 72]
Sit libra BAC ſuſpenſa ex puncto A; & ſecetur AC vtcunq;
in D: ex punctis autem DC appendantur æqualia pondera EF.
Dico pondus F ad pondus E eam in grauitate proportionem ha­
bere, quam habet diſtantia CA ad diſtantiam AD. fiat enim vt
CA ad AD, ita pondus F ad aliud pondus, quod ſit G. Dico pri
múm pondera GF ex puncto C ſuſpenſa tantùm ponderare, quan
tùm pondera EF ex punctis DC. Secetur DC bifariam in H, &
ex H appendantur vtraq; pondera EF. ponderabunt EF ſimul
ſumpta in eo ſitu, quantùm ponderant in DC. ponatur BA
æqualis AH, ſeceturq; BA in K, ita vt ſit KA æqualis AD:
deinde ex puncto B appendatur pondus L duplum ponderis F,
hoc eſt æquale duobus ponderibus EF, quod quidem æqueponde
rabit ponderibus EF in H appenſis, hoc eſt appenſis in DC. Quoniam
igitur, vt CA ad AD, ita eſt pondus F ad pondus G; erit compo
nendo vt CA AD ad AD, hoc eſt vt Ck ad AD, ita ponde­
ra FG ad pondus G. ſed cùm ſit, vt CA ad AD, ita F pon­
dus ad pondus G; erit conuertendo, vt DA ad AC, ita pondus
G ad pondus F; & conſequentium dupla, vt DA ad duplam ipſius
AC, ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc eſt ad pondus
L. Quare vt Ck ad DA, ita pondera EF ad pondus G; & vt
1 73[Figure 73]
AD ad duplam ipſius AC, ita pondus G ad pondus L; ergo ex æquali,
vt Ck ad duplam ipſius AC, ita pondera FG ad pondus L. ſed vt Ck
ad duplam AC, ita dimidia CK, videlicet AH, hoc eſt BA, ad
AC. Vt igitur BA ad AC, ita FG pondera ad pondus L. Qua
re ex ſexta eiuſdem primi Archimedis, duo pondera FG ex pun
cto C ſuſpenſa tantùm ponderabunt, quantùm pondus L ex B;
hoc eſt quantùm pondera EF ex punctis DC ſuſpenſa. Itaq; quo
niam pondera FG tantùm ponderant, quantum pondera EF; ſu­
blato communi pondere F, tàm ponderabit pondus G in C ap­
penſum, quàm pondus E in D. ac propterea pondus F ad pon­
dus E eam in grauitate proportionem habet, quam habet ad pon
dus G. ſed pondus F ad G erat, vt CA ad AD: ergo & F pon­
dus ad pondus E eam in grauitate proportionem habebit, quam ha
bet CA ad AD. quod demonſtrare oportebat.
5 Huius. 18 Quinti. Cor. 4 quinti. 22 Quinti. 7 Quinti.
Si verò in libra
BAC pondera EF
æqualia ex punctis
BC ſuſpendantur; ſi­
militer dico pondus
E ad pondus F eam
74[Figure 74]
in grauitate proportionem habere, quàm habet diſtantia CA ad di
ſtantiam AB. fiat AD ipſi AB æqualis, & ex puncto D ſuſpen­
datur pondus G æquale ponderi F; quod etiam ipſi E erit æquale.
& quoniam AD eſt æqualis ipſi AB; pondera FG æqueponde
rabunt, eandemq; habebunt grauitatem. cùm autem grauitas pon
deris E ad grauitatem ponderis G ſit, vt CA ad AD; erit graui
tas ponderis E ad grauitatem ponderis F, vt CA ad AD, hoc eſt
CA ad AB. quod erat quoq; oſtendendum.
35
ALITER.
Sit libra BAC, cu­
ius centrum A; in pun­
ctis verò BC pondera
appendantur æqualia G
F: ſitq; primùm cen­
trum A vtcunque inter
BC. Dico pondus F ad
pondus G eam in graui
75[Figure 75]
tate proportionem habere, quam habet diſtantia CA ad diſtan­
tiam AB. fiat vt BA ad AC, ita pondus F ad aliud H, quod ap
pendatur in B: pondera HF ex A æqueponderabunt. ſed cùm
pondera FG ſint æqualia, habebit pondus H ad pondus G ean­
dem proportionem, quam habet ad F. vt igitur CA ad AB, ita
eſt H ad G. vt autem H ad G, ita eſt grauitas ipſius H ad graui
tatem ipſius G; cùm in eodem puncto B ſint appenſa. quare vt CA
ad AB, ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. cùm au
tem grauitas ponderis F in C appenſi ſit æqualis grauitati ponderis
H in B; erit grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G, vt CA
ad AB, videlicet vt diſtantia ad diſtantiam. quod demonſtrare
oportebat.
6 Primi Archim. de æquep. 7 Quinti.
Si verò libra B
AC ſecetur vtcunq;
in D, & in DC ap­
pendantur pondera
æqualia EF. Dico
ſimiliter ita eſſe gra­
76[Figure 76]
uitatem ponderis F ad grauitatem ponderis E, vt diſtantia CA ad
diſtantiam AD. fiat AB æqualis ipſi AD, & in B appendatur
pondus G æquale ponderi E, & ponderi F. Quoniam enim AB eſt
æqualis AD; pondera GE æqueponderabunt. ſed cùm grauitas
ponderis F ad grauitatem ponderis G ſit, vt CA ad AB, & graui
tas ponderis E ſit æqualis grauitati ponderis G; erit grauitas pon­
deris F ad grauitatem ponderis E, vt CA ad AB, hoc eſt vt CA
ad AD. quod demonſtrare oportebat.
1
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, quò pondus à centro
libræ magis diſtat, eò grauius eſſe; & per conſe­
quens velocius moueri.
Hinc præterea ſtateræ quoq; ratio facilè oſten
detur.
Stateræ ratio.
Sit enim ſtate
ræ ſcapus AB, cu
ius trutina ſit in
C; ſitq; ſtateræ
appendiculum E.
appendatur in A
pondus D, quod
æqueponderet ap
pendiculo E in F
77[Figure 77]
appenſo. aliud quoq; appendatur pondus G in A, quod etiam
appendiculo E in B appenſo æqueponderet. Dico grauitatem
ponderis D ad grauitatem ponderis G ita eſſe, vt CF ad CB.
Quoniam enim grauitas ponderis D eſt æqualis grauitati ponde­
ris E in F appenſi, & grauitas ponderis G eſt æqualis grauitati pon
deris E in B; erit grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis E in
F, vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis E in B: & permu
tando, vt grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita graui
tas ipſius E in F, ad grauitatem ipſius E in B; grauitas autem pon
deris E in F ad grauitatem ponderis E in B eſt, vt CF ad CB; vt
igitur grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita eſt CF
ad CB. ſi ergo pars ſcapi CB in partes diuidatur æquales, ſolo
pondere E, & propius, & longius à puncto C poſito; ponderum
grauitates, quæ ex puncto A ſuſpenduntur inter ſe ſe notæ erunt.
36Vt ſi diſtantia CB tripla ſit diſtantiæ CF, erit quoq; grauitas ip­
ſius G grauitatis ipſius D tripla, quod demonſtrare oportebat.
16 Quinti. 6 Huius.
Alio quoq; modo ſtatera vti poſſumus, vt
ponderum grauitates notæ reddantur.
Sit ſcapus AB, cuius tru­
tina ſit in C; ſitq; ſtateræ ap
pendiculum E, quod appen­
datur in A; ſint〈qué〉 pon­
dera DG inæqualia, quorum
inter ſe ſe grauitatum propor­
tiones quærimus: appenda­
tur pondus D in B, ita vt ipſi
78[Figure 78]
E æqueponderet. ſimiliter pondus G appendatur in F, quod ei­
dem ponderi E æqueponderet. dico D ad G ita eſſe, vt CF ad
CB. Quoniam enim pondera DE æqueponderant, erit D ad E,
vt CA ad CB. cùm autem pondera quoque GE æquepon­
derent, erit pondus E ad pondus G, vt FC ad CA; quare ex æqua
li pondus D ad pondus G ita erit, vt CF ad CB. quod oſtende
re quoq; oportebat.
6 Primi Archim. de æquep. 23 Quinti.
1
PROPOSITIO VII.
PROBLEMA.
Quotcunque datis in libra ponderibus
vbicunque appenſis, centrum libræ inuenire,
ex quo ſi ſuſpendatur libra, data pondera ma­
neant. 79[Figure 79]
Sit libra AB, ſintq; data quotcunque pondera CDEFG.
accipiantur in libra vtcunque puncta AHkLB, ex quibus
data pondera suspendantur. Centrum libræ inuenire oportet,
ex quo ſi fiat ſuſpenſio, data pondera maneant. Diuidatur
37 80[Figure 80]
AH in M, ita vt HM ad MA, ſit vt grauitas ponderis
C ad grauitatem ponderis D. deinde diuidatur BL in N, ita
vt LN ad NB, ſit vt grauitas ponderis G ad grauitatem pon
deris F. diuidaturq; MN in O, ita vt MO ad ON ſit, vt
grauitas ponderum FG ad grauitatem ponderum CD. tandem­
què diuidatur kO in P, ita vt kP ad PO, ſit vt grauitas pon
derum CDFG ad grauitatem ponderis E. Quoniam igitur pon
dera CDFG tàm ponderant in O, quàm CD in M, & FG in N;
æqueponderabunt pondera CD in M, & FG in N, & pondus E
in K, ſi ex puncto P ſuſpendantur. cùm verò pondera CD tan
tùm ponderent in M, quantùm in AH, & FG in N, quantùm
in LB; pondera CDFG ex AHLB punctis ſuſpenſa, & pon­
dus E ex k, ſi ex P ſuſpendantur, æqueponderabunt, atq; mane­
bunt. Inuentum eſt ergo centrum libræ P, ex quo data pondera
manent. quod facere oportebat.
5 Huius.
1
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, ſi ponderum CDEFG
centra grauitatis eſſent in AHKLB punctis; eſ­
ſet punctum P magnitudinis ex omnibus CD
EFG ponderibus compoſitæ centrum graui­
tatis. 81[Figure 81]
Hoc enim ex definitione centri grauitatis patet, cùm ponde­
ra, ſi ex puncto P ſuſpendantur, maneant.
38
DE VECTE.
LEMMA.
Sint quatuor magnitudines A
BCD; ſitq; A maior B, & C ma
ior D. Dico A ad D maiorem
habere proportionem; quàm
habet B ad C.
Quoniam enim A ad C maiorem habet pro­
portionem, quàm B ad C; & A ad D maio­
rem quoq; habet proportionem, quam habet
ad C: A igitur ad D maiorem habebit, quam B
ad C. quod demonſtrare oportebat.
8 Quinti.
82[Figure 82]
PROPOSITIO I.
Potentia ſuſtinens pondus vecti appenſum;
eandem ad ipſum pondus proportionem habe­
bit, quam vectis diſtantia inter fulcimentum, ac
ponderis ſuſpenſionem ad diſtantiam à fulcimen
to ad potentiam interiectam.
1 83[Figure 83]
Sit vectis AB, cuius fulcimentum C; ſitq; pondus D ex A ſu­
ſpenſum AH, ita vt AH ſit ſemper horizonti perpendicularis:
ſitq; potentia ſuſtinens pondus in B. Dico potentiam in B ad pon
dus D ita eſſe, vt CA ad CB. fiat vt BC ad CA, ita pondus D
ad aliud pondus E, quippè quod ſi in B appendatur; ipſi D æque
ponderabit, exiſtente C amborum grauitatis centro. quare poten
tia æqualis ipſi E ibidem conſtituta ipſi D æqueponderabit, vecte
AB, eius fulcimento in C collocato, hoc eſt prohibebit, ne pon
dus D deorſum vergat, quemadmodum prohibet pondus E. Po
tentia verò in B ad pondus D eandem habet proportionem, quam
pondus E ad idem pondus D: ergo potentia in B ad pondus D
erit, vt CA ad CB; hoc eſt vectis diſtantia à fulcimento ad pon
deris ſuſpendium ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam. quod
demonſtrare oportebat.
6 Primi Archim. de æquep. Ex 7 quinti.
Hinc facilè oſtendi poteſt, fulcimentum quò
ponderi fuerit propius, minorem ad idem pon­
dus ſuſtinendum requiri potentiam.
Iiſdem poſi­
tis, ſit fulcimen
tum in F ipſi A
propius, quàm
C; fiatq; vt BF
ad FA, ita pon
dus D ad aliud
84[Figure 84]
G, quod ſi appendatur in B, pondera DG ex fulcimento E
æqueponderabunt. quoniam autem BF maior eſt BC, & CA
maior AC; maior erit proportio BF ad FA, quàm BC ad CA:
39& ideo maior quoq; erit proportio ponderis D ad pondus G,
quàm idem D ad E: pondus igitur G minus erit pondere E. cùm
autem potentia in B ipſi G æqualis ponderi D æqueponderet, mi­
nor potentia, quàm ea, quæ ponderi E eſt æqualis, pondus D ſu
ſtinebit; exiſtente vecte AB, eius verò fulcimento vbi F, quàm ſi
fuerit vbi C. ſimiliter quoq; oſtendetur, quò propius erit fulci­
mentum ponderi D, adhuc ſemper minorem requiri potentiam
ad ſuſtinendum pondus D.
Ex eadem Sexta. Lemma. 10 Quinti.
COROLLARIVM.
Vnde palàm colligere licet, exiſtente AF ipſa
FB minore, minorem quoq; requiri potentiam
in ipſo B pondere D ſuſtinendo. æquali verò
æqualem. maiore verò maiorem.
PROPOSITIO II.
Alio modo vecte vti poſsumus.
Sit vectis AB, cuius
fulcimentum ſit B, &
pondus C vtcunq; in
D inter AB appen­
ſum; ſitq; potentia in
A ſuſtinens pondus C.
Dico vt BD ad BA,
85[Figure 85]
ita eſſe potentiam in A ad pondus C. appendatur in A pondus
E æquale ipſi C; & vt AB ad BD, ita fiat pondus E ad aliud F.
& quoniam pondera CE ſunt inter ſe ſe æqualia, erit pondus C
ad pondus F, vt AB ad BD. appendatur quoq; pondus F in A.
& quoniam pondus E ad pondus F eſt, vt grauitas ipſius E ad gra­
uitatem ipſius F; & pondus E ad F eſt, vt AB ad BD; vt igitur
grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita eſt AB ab BD.
vt autem AB ad BD, ita eſt grauitas ponderis E ad grauitatem
1ponderis C: quare gra
uitas ponderis E ad
grauitatem ponderis
F ita erit, vt grauitas
ponderis E ad gra­
uitatem ponderis C.
Pondera igitur CF
86[Figure 86]
eandem habent grauitatem. Ponatur itaq; potentia in A ſuſtinens
pondus F; erit potentia in A æqualis ipſi ponderi F. & quoniam
pondus F in A appenſum æquè graue eſt, vt pondus C in D ap­
penſum; eandem proportionem habebit potentia in A ad grauita­
tem ponderis F in A appenſi, quam habet ad grauitatem ponde­
ris C in D appenſi. Potentia verò in A ipſi F æqualis ſuſtinet
pondus F, ergo potentia in A pondus quoq; C ſuſtinebit. Itaq;
cùm potentia in A ſit æqualis ponderi F, & pondus C ad pon­
dus F ſit, vt AB ad BD; erit pondus C ad potentiam in A, vt
AB ad BD. & è conuerſo, vt BD ad BA, ita potentia in A ad
pondus C. potentia ergo ad pondus ita erit, vt diſtantia fulci­
mento, ac ponderis ſuſpenſioni intercepta ad diſtantiam à fulci
mento ad potentiam. quod oportebat demonſtrare.
In ſexta huius de libra Ex 11 quinti. 6 Huius. de libra. Ex 9 quinti. Ex 7 quinti. Cor. 4 quinti.
ALITER.
87[Figure 87]
Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit B, & pondus E ex puncto
C ſuſpenſum; ſitq; vis in A ſuſtinens pondus E. Dico vt BC ad BA,
ita eſſe potentiam in A ad pondus E. Producatur AB in C, &
fiat BD æqualis BC; & ex puncto D appendatur pondus F æqua
le ponderi E; itemq; ex puncto A ſuſpendatur pondus G ita, vt
pondus F ad pondus G eandem habeat proportionem, quam AB
40ad BA. pondera FG æqueponderabunt. cùm autem ſit CB æqua
lis BD, pondera quoq; FE æqualia æqueponderabunt. pondera
verò FEG in libra, ſeu vecte DBA appenſa, cuius fulcimentum
eſt B, non æqueponderabunt; ſed ex parte A deorſum tendent. po
natur itaq; in A tanta vis, vt pondera FEG æqueponderent; erit
potentia in A æqualis ponderi G. pondera enim FE æqueponderant,
& vis in A nihil aliud efficere debet, niſi ſuſtinere pondus G, ne deſcen
dat. & quoniam pondera FEG, & potentia in A æqueponderant,
demptis igitur FG ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æque
ponderabunt; ſcilicet potentia in A ponderi E, hoc eſt potentia
in A pondus E ſuſtinebit, ita vt vectis AB maneat, vt prius erat.
Cùm autem potentia in A ſit æqualis ponderi G, & pondus E pon
deri F æquale; habebit potentia in A ad pondus E eandem pro­
portionem, quam habet BD, hoc eſt BC ad BA. quod demon­
ſtrare oportebat.
COROLLARIVM I.
Ex hoc etiam (vt prius) manifeſtum eſſe po­
teſt, ſi ponatur pondus E propius fulcimento B,
vt in H; minorem potentiam in A ſuſtinere poſ­
ſe ipſum pondus.
Minorem enim proportionem habet HB ad BA, quam CB ad
BA. & quò propius pondus erit fulcimento, adhuc ſemper mino
rem poſſe potentiam ſuſtinere pondus E ſimiliter oſtendetur.
8 Quinti.
COROLLARIVM II.
Sequitur etiam potentiam in A ſemper mino
rem eſſe pondere E.
Sumatur enim inter AB quoduis punctum C, ſemper BC
minor erit BA.
1
COROLLARIVM III.
Ex hoc quoq; elici poteſt, ſi duæ fuerint poten
tiæ, vna in A, altera in B, & vtraq; ſuſtentet
pondus E; potentiam in A ad potentiam in B eſ­
ſe, vt BC ad CA.
Vectis enim BA fungi­
tur officio duorum vectium;
& AB ſunt tanquam duo
fulcimenta, hoc eſt quan­
do AB eſt vectis, & poten
tia ſuſtinens in A; erit eius
88[Figure 88]
fulcimentum B. Quando verò BA eſt vectis, & potentia in B;
erit A fulcimentum: & pondus ſemper ex puncto C remanet ſu­
ſpenſum. & quoniam potentia in A ad pondus E eſt, vt BC ad
BA; vt autem pondus E ad potentiam, quæ eſt in B, ita eſt
BA ad AC; erit ex æquali, potentia in A ad potentiam in B, vt
BC ad CA. & hoc modo facilè etiam proportionem, quæ in
Quæſtionibus Mechanicis quæſtione vigeſima nona ab Ariſtotele
ponitur, nouiſſe poterimus.
22 Quinti.
COROLLARIVM IIII.
Eſt etiam manifeſtum, vtraſq; potentias in A,
& B ſimul ſumptas æquales eſſe ponderi E.
Pondus enim E ad potentiam in A eſt, vt BA ad BC; & idem
pondus E ad potentiam in B eſt, vt BA ad AC; quare pondus
E ad vtraſq; potentias in A, & B ſimul ſumptas eſt, vt AB ad BC
CA ſimul, hoc eſt ad BA. pondus igitur E vtriſq; potentiis ſimul
ſumptis æquale erit.
41
PROPOSITIO III.
Alio quoq; modo vecte vti poſsumus.
Sit Vectis AB,
cuius fulcimentum
B; ſitq; ex puncto
A pondus C appen­
ſum; ſitq; potentia
in D vtcunq; inter
AB ſuſtinens pon­
dus C. Dico vt AB
89[Figure 89]
ad BD, ita eſſe potentiam in D ad pondus C. Appendatur ex
puncto D pondus E æquale ipſi C; & vt BD ad BA, ita fiat pon
dus E ad aliud F. & cùm pondera CE ſint inter ſe ſe æqualia; erit
pondus C ad pondus F, vt BD ad BA. appendatur pondus
F quoq; in D. & quoniam pondus E ad ipſum F eſt, vt grauitas
ponderis E ad grauitatem ponderis F; & pondus E ad pondus F
eſt, vt BD ad BA: vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem
ponderis F, ita eſt BD ad BA. vt autem BD ad BA, ita eſt gra
uitas ponderis E ad grauitatem ponderis C; quare grauitas ponde­
ris E ad grauitatem ponderis F eandem habet proportionem,
quam habet ad grauitatem ponderis C. pondera ergo CF eandem
habent grauitatem. ſit igitur potentia in D ſuſtinens pondus F,
erit potentia in D ipſi ponderi F æqualis. & quoniam pondus F
in D æquè graue eſt, vt pondus C in A; habebit potentia in D
eandem proportionem ad grauitatem ponderis F, quam habet ad
grauitatem ponderis C. ſed potentia in D pondus F ſuſtinet; po­
tentia igitur in D pondus quoq; C ſuſtinebit: & pondus C ad po­
tentiam in D ita erit, vt pondus C ad pondus F; & C ad F eſt, vt
BD ad BA; erit igitur pondus C ad potentiam in D, vt BD ad
BA: & conuertendo, vt AB ad BD, ita potentia in D ad pondus
C. potentia ergo ad pondus eſt, vt diſtantia à fulcimento ad pon
deris ſuſpendium ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam. quod
demonſtrare oportebat.
In ſexta huius de libra. 6 Huius de libra. 9 Quinti. 7 Quinti.
1
ALITER.
90[Figure 90]
Sit vectis AB, cuius fulcimentum B; & ex puncto A ſit pon­
dus C ſuſpenſum; ſitq; potentia in D ſuſtinens pondus C. Dico
vt AB ad BD, ita eſſe potentiam in D ad pondus C. Produca
tur AB in E, fiatq; BE æqualis ipſi BA; & ex puncto E appen
datur pondus F æquale ponderi C; & vt BD ad BE, ita fiat pon
dus F ad aliud G, quod ex puncto D ſuſpendatur. pondera FG
æqueponderabunt. & quoniam AB eſt æqualis BE, & pondera
FC æqualia; ſimiliter pondera FC æqueponderabunt. Pondera
verò FGC ſuſpenſa in vecte EBA, cuius fulcimentum eſt B, non
æqueponderabunt; ſed ex parte A deorſum tendent. Ponatur igi
tur in D tanta vis, vt pondera FGC æqueponderent; erit po­
tentia in D æqualis ponderi G: pondera enim FC æqueponde­
rant, & potentia in D nil aliud efficere debet, niſi ſuſtinere pon­
dus G ne deſcendat. & quoniam pondera FGC, & potentia in
D æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æquepon
derant; reliqua æqueponderabunt, ſcilicet potentia in D ponderi C.
hoc eſt potentia in D pondus C ſuſtinebit, ita vt vectis AB ma­
neat, vt prius. & cùm potentia in D ſit æqualis ponderi G, & pon­
dus C æquale ponderi F; habebit potentia in D ad pondus C ean
dem proportionem, quam EB, hoc eſt AB ad BD. quod de­
monſtrare oportebat.
COROLLARIVM I.
Ex hoc etiam pàtet, vt prius, ſi coftituatur pon
dus fulcimento B propius, vt in H; à minori po­
tentia pondus ipſum ſubſtineri debere.
42
Minorem enim proportionem habet HB ad BD, quàm AB ad
BD. & quò propius erit fulcimento, adhuc ſemper minorem re­
quiri potentiam.
8 Quinti.
COROLLARIVM II.
Manifeſtum quoq; eſt, potentiam in D ſemper
maiorem eſſe pondere C.
Si enim inter AB ſumatur quoduis punctum D, ſemper AB
maior erit BD.
Et aduertendum eſt haſce, quas attulimus demonſtrationes
non ſolum vectibus horizonti æquidiſtantibus, verùm etiam ve­
ctibus horizonti inclinatis ad hæc omnia oſtendenda commodè
aptari poſſe. quod ex iis, quæ de libra diximus, patet.
PROPOSITIO IIII.
Si potentia pondus in vecte appenſum mo­
ueat; erit ſpatium potentiæ motæ ad ſpatium
moti ponderis, vt diſtantia à fulcimento ad po­
tentiam ad diſtantiam ab eodem ad ponderis ſu
ſpenſionem.
1
Sit vectis AB, cuius ful­
cimentum C; & ex puncto B
ſit pondus D ſuſpenſum; ſitq;
potentia in A mouens pon­
dus D vecte AB. Dico ſpa­
tium potentiæ in A ad ſpa­
tium ponderis ita eſſe, vt CA
ad CB. Moueatur vectis AB,
& vt pondus D ſurſum mo­
ueatur, oportet B ſurſum mo
ueri, A verò deorſum. & quo­
niam C eſt punctum immobi
le; idcirco dum A, & B mo­
uentur, circulorum circumferen
tias deſcribent. Moueatur igi­
tur AB in EF; erunt AE
91[Figure 91]
BF circulorum circumferentiæ, quorum ſemidiametri ſunt CA
CB. tota compleatur circumferentia AGE, & tota BHF; ſintq;
KH puncta, vbi AB, & EF circulum BHF ſecant. Quoniam e­
nim angulus BCF eſt æqualis angulo HCk; erit circumferentia
kH circumferentiæ BF æqualis. cùm autem circumferentiæ AE
kH ſint ſub eodem angulo ACE, & circumferentia AE ad to­
tam circumferentiam AGE ſit, vt angulus ACE ad quatuor re­
ctos; vt autem idem angulus HCk ad quatuor rectos, ita quoq;
eſt circumferentia HK ad totam circumferentiam HBK; erit cir
cumferentia AE ad totam circumferentiam AGE, vt circumfe­
rentia kH ad totam kFH. & permutando, vt circumferentia
AE ad circumferentiam kH, hoc eſt BF, ita tota circumferen­
tia AGE ad totam circumferentiam BHF. tota verò circumfe
rentia AGE ita ſe habet ad totam BHF, vt diameter circuli AEG
ad diametrum circuli BHF. Vt igitur circumferentia AE ad cir
cumferentiam BF, ita diameter circuli AGE ad diametrum cir
culi BHF: vt autem diameter ad diametrum, ita ſemidiameter
ad ſemidiametrum, hoc eſt CA ad CB: quare vt circumferen­
tia AE ad circumferentiam BF, ita CA ad CF. circumferentia
verò AE ſpatium eſt potentiæ motæ, & circumferentia BF eſt
43æqualis ſpatio ponderis D moti. ſpatium enim motus ponderis
D ſemper æquale eſt ſpatio motus puncti B, cùm in B ſit appen
ſum: ſpatium ergo potentiæ motæ ad ſpatium moti ponderis eſt,
vt CA ad CB; hoc eſt vt diſtantia à fulcimento ad potentiam
ad diſtantiam ab eodem ad ponderis ſuſpenſionem. quod demon
ſtrare oportebat.
15 Primi. Ex 26 tertii. 16 Quinti. 23 Octaui Pappi. 11 Quinti.
Sit autem vectis AB, cu­
ius fulcimentum B; potentia­
〈qué〉 mouens in A; & pondus
in C. dico ſpatium potentiæ
translatæ ad ſpatium transla
ti ponderis ita eſſe, vt BA ad
BC. Moueatur vectis, & vt
pondus sursum attollatur, ne­
ceſſe eſt puncta C A ſurſum
moueri. Moueatur igitur A
ſurſum vſq; ad D; ſitq; ve­
ctis motus BD. eodemq;
modo (vt prius dictum eſt)
oſtendemus puncta CA cir­
culorum circumferentias de­
92[Figure 92]
ſcribere, quorum ſemidiametri ſunt BA BC. ſimiliterq; oſtendemus
ita eſſe AD ad CE, vt ſemidiameter AB ad ſemidiametrum BC.
Eademq; ratione, ſi potentia eſſet in C, & pondus in A,
oſtendetur ita eſſe CE ad AD, vt BC ad BA; hoc eſt diſtan
tia à fulcimento ad potentiam ad diſtantiam ab eodem ad ponde
ris ſuſpenſionem. quod oportebat demonſtrare.
COROLLARIVM.
Ex his manifeſtum eſt maiorem habere pro­
portionem ſpatium potentiæ mouentis ad ſpa­
tium ponderis moti, quàm pondus ad eandem
potentiam.
Spatium enim potentiæ ad ſpatium ponderis eandem habet,
1quam pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem; potentia ve­
rò ſuſtinens minor eſt potentia mouente, quare minorem habebit
proportionem pondus ad potentiam ipſum mouentem, quàm ad
potentiam ipſum ſuſtinentem. ſpatium igitur potentiæ mouentis
ad ſpatium ponderis maiorem habebit proportionem, quàm pon­
dus ad eandem potentiam.
8 Quinti.
PROPOSITIO V.
Potentia quomodocunq; vecte pondus ſuſti­
nens ad ipſum pondus eandem habebit propor­
tionem, quam diſtantia à fulcimento ad punctum,
vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta
perpendicularis vectem ſecat, intercepta, ad
diſtantiam inter fulcimentum, & potentiam.
Sit vectis AB
horizonti æqui­
diſtans, cuius ful
cimentum N; ſit
deinde pondus
AC, cuius cen­
trum grauitatis
ſit D, quod pri
mùm ſit infra ve
ctem; pondus ve
rò ſit ex punctis
AO ſuſpenſum;
93[Figure 93]
& à puncto D horizonti, & ipſi AB perpendicularis ducatur DE.
ſi verò alii ſint quoq; vectes AF AG, quorum fulcimenta ſint
HK; ponduſq; AC in vecte AG ex punctis AQ ſit appenſum;
in vecte autem AF in punctis AP: lineaq; DE producta ſecet
AF in L, & AG in M. dico potentiam in F pondus AC ſuſtinen
tem ad ipſum pondus eam habere proportionem, quam habet kL
44ad kF; & potentiam in B ad pondus eam habere, quam NE ad
NB; & potentiam in G ad pondus eam, quam HM ad HG.
Quoniam enim DL horizonti eſt perpendicularis, pondus AC
vbicunq; in linea DL fuerit appenſum, eodem modo, quo reperi­
tur, manebit. quare in vecte AB ſi ſuſpenſiones, quæ ſunt ad AO
ſoluantur, pondus AC in E appenſum eodem modo manebit, ſi­
cuti nunc manet; hoc eſt ſublato puncto A, & linea QO, codem
modo pondus in E appenſum manebit, vt ab ipſis AO pun­
ctis ſuſtinebatur; ex commentario Federici Commandini in ſextam
Archimedis propoſitionem de quadratura parabolæ, & ex prima huius
de libra. Itaq; quoniam pondus AC eandem ad libram habet conſti
tutionem, ſiue in AO ſuſtineatur, ſiue ex puncto E ſit appenſum;
eadem potentia in B idem pondus AC, ſiue in E, ſiue in AO
ſuſpenſum ſuſtinebit. potentia verò in B ſuſtinens pondus AC
in E appenſum ad ipſum pondus ita ſe habet, vt NE ad NB; po­
tentia igitur in B ſuſtinens pondus AC ex punctis AO ſuſpen
ſum ad ipſum pondus ita erit, vt NE ad NB. Non aliter oſten
detur pondus AC ex puncto L ſuſpenſum manere, ſicuti à pun
ctis AP ſuſtinetur; potentiamq; in F ad ipſum pondus ita eſſe, vt kL
ad KF. In vecte verò AG pondus AC in M appenſum ita mane
re, vt à punctis AQ ſuſtinetur; potentiamq; in G ad pondus
AC ita eſſe, vt HM ad HG; hoc eſt vt diſtantia à fulcimento
ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta
perpendicularis vectem ſecat, ad diſtantiam à fulcimento ad poten
tiam. quod demonſtrare oportebat.
1 Huius.
Si autem FBG eſſent vectium fulcimenta, potentiæq; eſſent
in KNH pondus ſuſtinentes, ſimili modo oſtendetur ita eſſe po
tentiam in H ad pondus, vt GM ad GH; & potentiam in N ad
pondus, vt BE ad BN; ac potentiam in k ad pondus, vt FL
ad Fk.
1
Et ſi vectes AB
AF AG habeant
fulcimenta in A,
& pondus ſit NO;
deinde ab eius
centro grauitatis
D ducatur ipſi A
B, & horizonti
perpendicularis D
MEL; ſintq; po
tentiæ in FBG:
ſimiliter oſtende­
tur ita eſſe poten­
94[Figure 94]
tiam in G pondus NO ſuſtinentem ad ipſum pondus, vt AM
ad AG; ac potentiam in B, vt AE ad AB; & potentiam in F,
vt AL ad AF.
Sit deinde
vectis AB ho
rizonti æqui­
diſtans, cuius
fulcimentum
D; & ſit BE
pondus, cuius
centrum graui
tatis ſit F ſu­
pra vectem: à
punctoq; F ho
rizonti, & ipſi
AB ducatur
95[Figure 95]
FH; ponduſq; à puncto B, & PQ ſuſtineatur. Sint deinde alii ve­
ctes BL BM, quorum fulcimenta ſint NO; lineaq; FH producta ſe­
cet BM in k, & BL in G; pondus autem in vecte BL in pun­
ctis BP ſuſtineatur; in vecte autem BM à puncto B, & PR. Di­
co potentiam in L pondus BE vecte BL ſuſtinentem ad ipſum
pondus eam habere proportionem, quam NG ad NL; & po­
45tentiam in A ad pondus eam habere, quam DH ad DA; poten
tiamq; in M ad pondus eam, quam Ok ad OM. Quoniam e­
nim à centro grauitatis F ducta eſt kF horizonti perpendicularis,
ex quocunq; puncto lineæ kF ſuſtineatur pondus, manebit; vt
nunc ſe habet. ſi igitur ſuſtineatur in H, manebit vt prius; ſcili­
cet ſublato puncto B, & PQ, quæ pondus ſuſtinent, pondus BE
manebit, ſicuti ab ipſis ſuſtinebatur. quare in vecte AB graueſcet
in H, & ad vectem eandem habebit conſtitutionem, quam prius;
idcirco erit, ac ſi in H eſſet appenſum. eadem igitur potentia ìdem
pondus BE, ſiue in H, ſiue in B, & Q ſuffultum, ſuſtinebit. Potentia ve
rò in A ſuſtinens pondus BE vecte AB in H appenſum ad ipſum
pondus eandem habet proportionem, quam DH ad DA; eadem
ergo potentia in A ſuſtinens pondus BE in punctis BQ ſuſtenta
tum ad ipſum pondus erit, vt DH ad DA. Similiter oſtende­
tur pondus BE ſi in G ſuſtineatur, manere; ſicuti à punctis BP
ſuſtinebatur: & in puncto k, vt à punctis BR. quare potentia in
L ſuſtinens pondus BE ad ipſum pondus ita erit, vt NG ad NL.
potentia verò in M ad pondus, vt OK ad OM; hoc eſt vt diſtan
tia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis ho
rizonti ducta perpendicularis vectem ſecat, ad diſtantiam à fulci­
mento ad potentiam. quod demonſtrare quoq; oportebat.
1 Huius de libra. 1 Huius.
Si verò LAM eſſent fulcimenta, & potentiæ in NDO; ſimi
liter oſtendetur ita eſſe potentiam in N ad pondus, vt LG ad L
N; & potentiam in D, vt AH ad AD; & potentiam in O, vt
Mk ad MO.
1
Et ſi vectes BA
BL BM habeant
fulcimenta in B, &
pondus ſupra vectem
ſit NO; & ab eius
centro grauitatis F
ducatur ipſi AB, &
horizonti perpendi
cularis FDEG; ſint
〈qué〉 potentiæ in L
AM; ſimiliter o­
ſtendetur ita eſſe po
tentiam in L pon­
96[Figure 96]
dus ſuſtinentem ad ipſum pondus, vt BD ad BL; & potentiam
in A ad pondus, vt BE ad BA, atq; potentiam in M, vt BG
ad BM.
Sit deniq;
vectis AB ho
rizonti æqui­
diſtans, cuius
fulcimentum
C, & pondus
DE habeat cen
trum grauita­
tis F in ipſo
vecte AB;
ſintq; deniq;
alii vectes G
H kL, quo­
97[Figure 97]
rum fulcimenta ſint MN; pondusq; in vecte GH ſuſtineatur à
punctis GO; in vecte autem AB à punctis AP; & in uecte KL
à punctis KQ; & centrum grauitatis F ſit quoq; in utroq; uecte
GH kL; ſintq; potentiæ in HBL. Dico potentiam in H ad
pondus ita eſſe, ut NF ad NH; & potentiam in B ad pondus, ut
CF ad CB; ac potentiam in L ad pondus, ut MF ad ML. Quo­
niam enim F centrum eſt grauitatis ponderis DE, ſi igitur in F
46ſuſtineatur, pondus DE manebit ſicut prius, per definitionem cen
tri grauitatis; eritq; ac ſi in F eſſet appenſum; atq; in vecte eodem
modo manebit, ſiue à punctis AP, ſiue à puncto F ſuſtineatur.
quod idem in vectibus GH kL eueniet; ſcilicet pondus eodem mo
do manere, ſiue in F, ſiue in GO, vel in kQ ſuſtineatur. eadem
igitur potentia in B idem pondus DE, vel in F, vel in AP appenſum
ſuſtinebit: & quando appenſum eſt in F ad ipſum pon­
dus eſt, vt CF ad CB, ergo potentia ſuſtinens pondus DE in
AP appenſum ad ipſum pondus erit, vt CF ad CB. eodemq; mo
do potentia in H ad pondus in GO appenſum ita erit, vt NF ad
NH. potentiaq; in L ad pondus in kQ appenſum erit, vt MF
ad ML. quod oſtendere quoq; oportebat.
Si verò HBL eſſent fulcimenta, & potentiæ eſſent in NCM; ſi­
militer oſtendetur potentiam in N ad pondus ita eſſe, vt HF ad
HN; & potentiam in C, vt BF ad BC, & potentiam in M, vt
LF ad LM.
Et ſi vectes BA
BC BD habeant ful
cimenta in B, ſintq;
pondera in EF GH
kL, ita vt eorum
centra MNO gra­
uitatis ſint in vecti
bus; ſintq; poten­
tiæ in CAD: ſimi
liter oſtendetur po
tentiam in C ad
pondus EF ita eſſe,
98[Figure 98]
vt BM ad BC, & potentiam in A ad pondus GH, vt BN ad
BA, potentiamq; in D ad pondus KL, vt BO ad BD.
1
PROPOSITIO VI.
Sit AB recta linea, cui ad angulos ſit rectos
AD, quæ ex parte A producatur vtcunq; vſq;
ad C; connectaturq; CB, quæ ex parte B quoq;
producatur vſq; ad E. ducantur deinde à pun­
cto B vtcunq; inter AB BE lineæ BF BG ipſi
AB æquales; à punctiſq; FG ipſis perpendicula­
res ducantur FH GK, quæ & inter ſe ſe, & ipſi
AD conſtituantur æ­
quales, ac ſi BA AD
motæ ſint in BF FH,
& in BG GK; con­
nectanturq; CH CK,
quæ lineas BF BG
in punctis MN ſe­
cent. Dico BN mi­
norem eſſe BM, &
BM ipſa BA.
99[Figure 99]
Connectantur BD BH
BK. & quoniam duæ lineæ
DA AB duabus HF FB
ſunt æquales, & angulus
DAB rectus recto HFB eſt
etiam æqualis; erunt reliqui
anguli reliquis angulis æqua­
les, & HB ipſi DB æqualis.
ſimiliter oſtendetur triangu­
lum BkG triangulo BHF æqualem eſſe. quare centro B, inter­
47uallo quidem vna ipſarum circulus deſcribatur DH kE, qui li­
neas CH CK ſecet in punctis OP; connectanturq; OB PB.
Quoniam igitur punctum k propius eſt ipſi E, quàm H; erit linea
Ck maior ipſa CH, & CP ipſa CO minor: ergo PK ipſa OH
maior erit. Quoniam autem triangulum BkP æquicrure latera
Bk BP lateribus BH BO trianguli BHO æquicruris æqualia ha
bet, baſim verò KP baſi HO maiorem, erit angulus kBP an­
gulo HBO maior. ergo reliqui ad baſim anguli, hoc eſt kPB
PkB ſimul ſumpti, qui inter ſe ſunt æquales, reliquis ad baſim an­
gulis, nempè OHB HOB, qui etiam inter ſe ſunt æquales, mino­
res erunt: cùm omnes anguli cuiuſcunq; trianguli duobus ſint rectis
æquales. quare & horum dimidii, ſcilicet NkB minor MHB.
Cùm autem angulus BkG æqualis ſit angulo BHF, erit NkG
ipſo MHF maior. ſi igitur à puncto k conſtituatur angulus GKQ
ipſi FHM æqualis, fiet triangulum GkQ triangulo FHM æqua
le; nam duo anguli ad FH vnius duobus ad Gk alterius ſunt
æquales, & latus FH lateri Gk eſt æquale, erit GQ ipſi FM æ­
quale. ergo GN maior erit ipſa FM. Cùm itaq; BG ipſi BF ſit æqua
lis, erit BN minor ipſa BM. Quòd autem BM ſit ipſa BA minor,
eſt manifeſtum; cùm BM ipſa BF, quæ ipſi BA eſt æqualis, ſit
minor. quod demonſtrare oportebat.
4 Primi. 8 Tertii. 25 Primi. 5 Primi. 26 Primi.
Inſuper ſi intra BG BE alia vtcunq; ducatur linea ipſi BG æ­
qualis; fiatq; operatio, quemadmodum ſupra dictum eſt; ſimili­
ter oſtendetur lineam BR minorem eſſe BN. & quò propius fue
rit ipſi BE, adhuc minorem ſemper eſſe.
1
Si verò æqualia triangula BFH BGK ſint
deorſum inter BC BA conſtituta; connectan­
turq; HC KC, quæ lineas BF BG ex parte
FG productas in punctis MN ſecent erit BN
maior BM, & BM ipſa BA.
Nam producatur CH
Ck vſq; ad circumferentiam
in OP, Connectanturq; BO
BP; ſimili modo oſtende­
tur lineam Pk maiorem eſ
ſe OH, angulumq; PkB mi
norem eſſe angulo OHB. &
quoniam angulus BHF eſt
æqualis angulo BkG; erit to
tus PKG angulus angulo
OHF minor: quare reliquus
GKN reliquo FHM maior
erit. ſi it aq; conſtituatur angu
lus GkQ ipſi FHM æqua
lis, linea KQ ipſam GN ita
ſecabit, vt GQ ipſi FM æqua
lis euadat: quare maior. erit
GN, quàm FM; quibus ſi
æquales adiiciantur BF BG,
erit BN ipſa BM maior. &
cùm BM ſit ipſa FB maior,
erit quoq; ipſa BA maior. ſi
militer oſtendetur, quò pro
pius fuerit BG ipſi BC, li­
neam BN ſemper maiorem
eſſe. 100[Figure 100]
48
PROPOSITIO VII.
Sit recta linea AB, cuì perpendicularis exi­
ſtat AD, quæ ex parte D producatur vtcunq; vſq;
ad C; connectaturq; CB, quæ producatur e­
tiam vſq; ad E; & inter AB BE lineæ ſimiliter
vtcunq; ducantur BF BG ipſi AB æquales; à
punctisq; FG lineæ FH GK ipſi AB æquales,
ipſis verò BF BG per­
pendiculares ducantur;
ac ſi BA AD motæ
ſint in BF FH BG
GK: Connectanturq;
CH CK, quæ lineas
BF BG productas ſe­
cent in punctis MN.
Dico BN maiorem eſ
ſe BM, & BM ipſa BA.
101[Figure 101]
Connectantur BD BH Bk,
& centro B, interuallo quidem
BD, circulus deſcribatur. ſimi
liter vt in præcedenti demon­
ſtrabimus puncta kHDOP in
circuli circumferentia eſſe, trian
gulaq; ABD FBH GBk in­
ter ſe ſe æqualia eſſe, atq; lineam
Pk maiorem OH, angulumq;
PKB minorem eſſe angulo O
HB. Quoniam igitur angulus BHF æqualis eſt angulo BkG,
1erit totus angulus PkG angu­
lo OHF minor: quare reliquus
GkN reliquo FHM maior
erit. ſi igitur fiat angulus GK
Q ipſi FHM æqualis, erit trian
gulum GKQ triangulo FHM
æquale, & latus GQ lateri FM
æquale; ergo maior erit GN ip
ſa FM; ac propterea BN ma­
ior erit BM. BM autem ma­
ior erit BA; nam BM maior eſt
ipſa BF. quod demonſtrare
oportebat. 102[Figure 102]
Eodemq; prorſus modo, quo
propius fuerit BG ipſi BE, li­
neam BN ſemper maiorem eſſe
oſtendetur.
Si autem triangula BFH BGK deorſum in­
ter AB BC conſtituantur, ducanturq; CHO
CKP, quæ lineas BF BG ſecent in punctis M
N; erit linea BN minor ipſa BM, & BM
ipſa BA.
49
Connectantur enim BO BP,
ſimiliter oſtendetur angulum
PKB minorem eſſe OHB. &
quoniam angulus FHB æqua­
lis eſt angulo GkB; erit angu
lus GkN angulo FHM ma­
ior: quare & linea GN ma­
ior erit ipſa FM. ideoq; linea
BN minor erit linea BM.
Cùm autem maior ſit BF ipſa
BM; erit BM ipſa BA minor. Si­
miliq; modo oſtendetur, quò
propius fuerit BG ipſi BC, li­
neam BN ſemper minorem
eſſe.
103[Figure 103]
PROPOSITIO VIII.
Potentia pondus ſuſtinens centrum grauitatis
ſupra vectem horizonti æquidiſtantem habens,
quò magis pondus ab hoc ſitu vecte eleuabitur;
minori ſemper, vt ſuſtineatur, egebit potentia:
ſi verò deprimetur, maiori.
1 104[Figure 104]
Sit vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum C;
pondus autem BD, eiuſdem verò grauitatis centrum ſit ſupra ve
ctem vbi H: ſitq; potentia ſuſtinens in A. moueatur deinde ve
ctis AB in EF, ſitq; pondus motum in FG. Dico primùm mino
rem potentiam in E ſuſtinere pondus FG vecte EF, quàm potentia in
A pondus BD vecte AB. ſit k centrum grauitatis ponderis FG;
deinde tùm ex H, tùm ex K ducantur HL kM ipſorum horizon
tibus perpendiculares, quæ in centrum mundi conuenient; ſitq; HL ip
ſi quoq; AB perpendicularis. ducatur deinde kN ipſi EF perpen­
dicularis, quæ ipſi HL æqualis erit, & CN ipſi CL æqualis. Quo­
niam enim HL horizonti eſt perpendicularis, potentia in A ſu
ſtinens pondus BD ad ipſum pondus eam habebit proportionem,
quam CL ad CA. rurſus quoniam kM horizonti eſt perpendicu
laris, potentia in E pondus FG ſuſtinens ita erit ad pondus, vt
CM ad CE. Cùm autem CN NK ipſis CL LH ſint æquales,
angulosq; rectos contineant; erit CM minor ipſa CL; ergo CM
ad CA minorem habebit proportionem, quam CL ad CA; &
45CA ipſi CE eſt æqualis, minorem igitur proportionem habebit
CM ad CE. quàm CL ad CA: & cùm pondera BD FG ſint
æqualia, eſt enim idem pondus; ergo minor erit proportio po
tentiæ in E pondus FG ſuſtinentis ad ipſum pondus, quàm po
tentiæ in A pondus BD ſuſtinentis ad ipſum pondus. Quare
minor potentia in E ſuſtinebit pondus FG, quàm potentia in A
pondus BD. & quò pondus magis eleuabitur; ſemper oſtendetur
minorem adhuc potentiam pondus ſuſtinere; cùm linea PC mi
nor ſit linea CM. ſit deinde vectis in QR, & pondus in QS,
cuius centrum grauitatis ſit O. dico maiorem requiri potentiam in R
ad ſuſtinendum pondus QS, quàm in A ad pondus BD. ducatur à cen
tro grauitatis O linea OT horizonti perpendicularis. & quo­
niam HL OT, ſi ex parte L, atq; T producantur, in centrum
mundi conuenient; erit CT maior CL: eſt autem CA ipſi CR
æqualis, habebit ergo TC ad CR maiorem proportionem, quàm
LC ad CA. Maior igitur erit potentia in R ſuſtinens pondus
QS, quàm in A ſuſtinens BD. ſimiliter oſtendetur; quò vectis
RQ magis à vecte AB diſtabit deorſum vergens, ſemper maio­
rem potentiam requiri ad ſuſtinendum pondus: diſtantia enim CV
longior eſt CT. Quò igitur pondus à ſitu horizonti æquidiſtan
te magis eleuabitur à minori ſemper potentia pondus ſuſtinebitur;
quò verò magis deprimetur, maiori, vt ſuſtineatur, egebit potentia.

quod demonſtrare oportebat.
5 Huius. 6 Huius. 8 Quinti. 10 Quinti. 6 Huius. 6 Huius. 8 Quinti. Ex 10 quinti. 6 Huius.
Hinc facile elicitur potentiam in A ad poten­
tiam in E ita eſſe, vt CL ad CM.
Nam ita eſt LC ad CA, vt potentia in A ad pondus; vt au­
tem CA, hoc eſt CE ad CM, ita eſt pondus ad potentiam in E;
quare ex æquali potentia in A ad potentiam in E ita erit, vt CL
ad CM.
22 Quinti.
Similiq; ratione non ſolum oſtendetur, potentiam in A ad po­
tentiam in R ita eſſe, vt CL ad CT; ſed & potentiam quoq; in E
ad potentiam in R ita eſſe, vt CM ad CT. & ita in reliquis.
1 105[Figure 105]
Sit deinde vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimen­
tum B; & centrum grauitatis H ponderis CD ſit ſupra vectem;
moueaturq; vectis in BE, ponduſq; in FG. dico minorem po­
tentiam in E ſuſtinere pondus FG vecte EB, quàm potentia in
A pondus CD vecte AB. ſit k centrum grauitatis ponderis FG,
& à centris grauitatum Hk ipſorum horizontibus perpendicu­
lares ducantur HL kM. Quoniam enim (ex ſupra demonſtratis)
BM minor eſt BL, & BE ipſi BA æqualis; minorem habebit
proportionem BM ad BE, quàm BL ad BA. ſed vt BM ad
BE, ita potentia in E ſuſtinens pondus FG ad ipſum pondus; &
vt BL ad BA, ita potentia in A ad pondus CD; minorem
habebit proportionem potentia in E ad pondus FG, quàm poten
tia in A ad pondus CD. Ergo potentia in E minor erit poten­
tia in A. ſimiliter oſtendetur, quò magis pondus eleuabitur, ſem­
per minorem potentiam pondus ſuſtinere. Sit autem vectis in
BO, & pondus in PQ, cuius centrum grauitatis ſit R. dico maio
rem potentiam in O requiri ad ſuſtinendum pondus PQ vecte BO,
quàm pondus CD vecte BA. ducatur à puncto R horizonti per­
pendicularis RS. & quoniam BS maior eſt BL, habebit BS ad
BO maiorem proportionem, quàm BL ad BA; quare maior erit
potentia in O ſuſtinens pondus PQ, quàm potentia in A ſuſti
nens pondus CD. & hoc modo oſtendetur' quò vectis BO ma
gis à vecte AB deorſum tendens diſtabit, ſemper maiorem ponderi
51ſuſtinendo requiri potentiam.
6 Huius. 8 Quinti. 5 Huius. 10 Quinti. 6 Huius.
Hinc quoq; vt ſupra patet pontentiam in A ad potentiam in E eſ
ſe, vt BL ad BM; potentiamq; in A ad potentiam in O, vt BL
ad BS. atque potentiam in E ad potentiam in O, vt BM
ad BS.
Præterea ſi in B alia intelligatur potentia, ita vt duæ ſint poten
tiæ pondus ſuſtinentes; minor erit potentia in B ſuſtinens pon­
dus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA aduerſo au
tem maior requiritur potentia in B ad ſuſtinendum pondus FG ve
cte BE, quàm pondus CD vecte AB. ducta enim kN ipſi EB
perpendicularis, erit EN ipſi AL æqualis: quare EM ipſa LA
maior erit. ergo maiorem habebit proportionem EM ad EB,
quàm LA ad AB; & LA ad AB maiorem, quàm SO ad OB;
quæ ſunt proportiones potentiæ ad pondus.
8 Quinti. 5 Huius.
Similiter oſtendetur potentiam in B pondus vecte AB ſuſti­
nentem ad potentiam in eodem puncto B vecte EB ſuſtinentem
eſſe, vt LA ad EM; ad potentiam autem in B pondus vecte OB
ſuſtinentem ita eſſe, vt AL ad OS. quæ verò vectibus EB OB
ſuſtinent inter ſe ſe eſſe, vt EM ad OS.
Deinde vt in iis, quæ ſuperius dicta ſunt, demonſtrabimus po­
tentiam in B ad potentiam in E eam habere proportionem, quam
EM ad MB; & potentiam in B ad potentiam in A ita eſſe, vt AL ad
LB, potentiamq; in B ad potentiam in O, vt OS ad SB.
3 Cor. 2 Huius.
Sit autem vectis AB
horizonti æquidiſtans,
cuius fulcimentum B,
grauitatiſq; centrum H
ponderis AC ſit ſupra
vectem: moueaturq; ve
ctis in BE, ac pondus
in EF, potentiaq; in G.
ſimiliter vt ſupra oſten­
detur potentiam in G
pondus EF sustinen­
106[Figure 106]
tem minorem eſſe potentia in D pondus AC ſuſtinente. cùm
1enim minor ſit BM ipſa
BL, minorem habebit
proportionem MB ad
BG, quàm LB ad BD.
atq; hoc modo oſten­
detur, quò pondus ve­
cte magis eleuabitur, mi
norem ſemper. ad pon­
dus ſuſtinendum requi­
ri potentiam. Simili­
ter ſi moueatur vectis
in BO, potentiaq; ſu­
107[Figure 107]
ſtinens in N, oſtendetur potentiam in N maiorem eſſe potentia in
D. maiorem enim habet proportionem SB ad BN, quàm LB
ad BD. oſtendetur etiam, quò magis pondus deprimetur; ma­
iorem ſemper (vt ſuſtineatur) requiri potentiam. quod demon
ſtrare oportebat.
Hinc quoq; liquet potentias in GDN inter ſe ſe ita eſſe, vt
BM ad BL, atq; vt BL ad BS, deniq; vt BM ad BS.
COROLLARIVM.
Ex his manifeſtum eſt; ſi potentia vecte ſur­
ſum moueat pondus, cuius centrum grauitatis
ſit ſupra vectem, quò magis pondus eleuabitur;
ſemper minorem potentiam requiri vt pondus
moueatur.
Vbi enim potentia pondus ſuſtinens eſt ſemper minor, erit
quoq; potentia ipſum mouens ſemper minor.
52 108[Figure 108]
Ex iis etiam demonſtrabitur, ſi centrum grauitatis eiuſdem pon
deris, ſiue propinquius, ſiue remotius fuerit à vecte AB horizon­
ti æquidiſtante, eandem potentiam in A pondus nihilominus
ſuſtinere: vt ſi centrum grauitatis H ponderis BD longius abſit
à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV, dum­
modo ducta à puncto H perpendicularis HL horizonti, vectiq;
AB tranſeat per N; ſitq; pondus PV ponderi BD æquale;
erit tùm pondus BD, tùm pondus PV, ac ſi ambo in L eſ­
ſent appenſa; atque ſunt æqualia, cùm loco vnius ponderis ac­
cipiantur, eadem igitur potentia in A ſuſtinens pondus BD,
pondus quoq; PV ſuſtinebit. Vecte autem EF, quò centrum
grauitatis longius fuerit à vecte, eò facilius potentia idem pon­
dus ſuſtinebit: vt ſi centrum grauitatis k ponderis FG longius
ſit à vecte EF, quàm centrum grauitatis X ponderis YZ; ita ta
men vt ducta à puncto k vecti FE perpendicularis tranſeat per
X; ſitq; pondus FG ponderi YZ æquale; & à punctis kX ip­
ſorum horizontibus perpendiculares ducantur KM X9; erit C9
maior CM; ac propterea pondus FG in vecte erit, ac ſi in M eſ
ſet appenſum, & pondus YZ, ac ſi in 9 eſſet appenſum. quo
1 109[Figure 109]
niam autem maiorem habet proportionem C9 ad CE, quàm
CM ad CE, maior potentia in E ſuſtinebit pondus YZ, quàm
FG. In vecte autem QR è conuerſo demonſtrabitur, ſcilicet
quò centrum grauitatis eiuſdem ponderis ſit longius à vecte, eò
maiorem eſſe potentiam pondus ſuſtinentem. maior enim eſt
CT, quàm CI; & ob id maiorem habebit proportionem CT
ad CR, quàm CI ad CR. Similiter demonſtrabitur, ſi pondus
intra potentiam, & fulcimentum fuerit collocatum; vel poten­
tia intra fulcimentum, & pondus. Quod idem etiam potentiæ
eueniet mouenti. vbi enim minor potentia ſuſtinet pondus, ibi
minor potentia mouebit; & vbi maior in ſuſtinendo, ibi maior
quoq; in mouendo requiretur.
8 Quinti.
PROPOSITIO VIIII.
Potentia pondus ſuſtinens infra vectem ho­
rizonti æquidiſtantem ipſius centrum grauitatis
53habens, quò magis ab hoc ſitu vecte pondus ele
uabitur maiori ſemper potentia, vt ſuſtineatur,
egebit. ſi verò deprimetur, minori. 110[Figure 110]
Sit vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum C;
ſitq; pondus AD, cuius centrum grauitatis L ſit infra vectem;
ſitq; potentia in B ſuſtinens pondus AD: moueatur deinde ve­
ctis in FG, & pondus in FH. Dico primum maiorem requiri
potentiam in G ad ſuſtinendum pondus FH vecte FG, quàm
ſit potentia in B pondere exiſtente AD vecte autem AB. ſit M
grauitatis centrum ponderis FH, & à punctis LM ipſorum ho­
rizontibus perpendiculares ducantur Lk MN: ipſi verò FG per­
pendicularis ducatur MS, quæ æqualis erit LK, & CK ipſi CS
erit etiam æqualis. Quoniam igitur CN maior eſt Ck, habe­
bit NC ad CG maiorem proportionem, quàm Ck ad CB; po
tentia uerò in B ad pondus AD eandem habet, quam kC ad CB:
& vt potentia in G ad pondus FH, ita eſt NC ad CG; ergo
maiorem habebit proportionem potentia in G ad pondus FH,
quàm potentia in B ad pondus AD. maior igitur eſt potentia
in G ipſa potentia in B. ſi verò vectis ſit in OP, & pondus in
OQ; erit potentia in B maior, quàm in P. eodem enim mo­
do oſtendetur CR minorem eſſe Ck, & CR ad CP minorem
1111[Figure 111]
habere proportionem, quàm Ck ad CB; & ob id potentiam in
B maiorem eſſe potentia in P. & hoc modo oſtendetur, quò ma­
gis à ſitu AB pondus eleuabitur, ſemper maiorem potentiam ad
pondus ſuſtinendum requiri. è contra verò ſi deprimetur. quod
demonſtrare oportebat.
7 Huius. 8 Quinti. 5 Huius. 10 Quinti 7 Huius.
Hinc quoq; facilè elici poteſt potentias in PBG inter ſe ſe ita
eſſe, vt CR ad Ck; & vt Ck ad CN; atq; vt CN ad CR.
112[Figure 112]
Sit deinde vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum
B; ponduſq; CD habeat centrum grauitatis O infra vectem; ſitq;
potentia in A ſuſtinens pondus CD. Moueatur deinde vectis in
54BE BF, ponduſq; transferatur in GH kL. Dico maiorem re­
quiri potentiam in E, vt pondus ſuſtineatur, quàm in A; & ma
iorem in A, quàm in F. ducantur à centris grauitatum horizon­
tibus perpendiculares NM OP QR, quæ ex parte NOQ
protractæ in centrum mundi conuenient. ſimiliter vt ſupra oſten
detur BM maiorem eſſe BP, & BP maiorem BR; & BM ad BE ma­
iorem habere proportionem, quàm BP ad BA; & BP ad BA ma­
iorem, quàm BR ad BF: & propter hoc potentiam in E maio­
rem eſſe potentia in A; & potentiam in A maiorem potentia in
F. & quò vectis magis à ſitu AB eleuabitur, ſemper oſtendetur,
maiorem requiri potentiam ponderi ſuſtinendo. ſi verò depri­
metur, minorem.
7 Huius.
Hinc patet etiam potentias in EAF inter ſe ſe ita eſſe, vt BM ad
BP; & vt BP ad BR; ac vt BM ad BR.
Inſuper ſi in B altera ſit potentia, ita vt duæ ſint potentiæ pondus
ſuſtinentes, maiore opus eſt potentia in B pondus kL ſuſtinente
vecte BF, quàm pondus CD vecte AB. & adhuc maiore vecte
AB, quàm vecte BE. maiorem enim habet proportionem RF
ad FB, quàm PA ad AB; & PA ad AB maiorem habet, quàm
EM ad EB.
Similiterq; oſtendetur potentias in B pondus vectibus ſuſtinen­
tes inter ſe ſe ita eſſe, vt EM ad AP; & ut
AP ad FR; atque ut
EM ad FR.
Præterea potentia in B ad potentiam in F ita erit, ut RF ad
RB; & potentia in B ad potentiam in A, ut PA ad PB, & po­
tentia in B ad potentiam in E, ut EM ad MB.
3 Cor. 2 Huius.
1
Sit autem vectis
AB horizonti æqui­
diſtans, cuius fulci­
mentum B; & pon­
dus AC, cuius cen­
trum grauitatis ſit in­
fra vectem: ſitq; po­
tentia in D pondus
ſuſtinens; moueaturq;
vectis in BE BF, &
potentia in GH: ſi­
militer oſtendetur po
113[Figure 113]
tentiam in G maiorem eſſe debere potentia in D; & potentiam in
D maiorem potentia in H. maiorem enim proportionem habet
KB ad BG, quàm BL ad BD; & BL ad BD maiorem, quàm
MB ad BH. & hoc modo oſtendetur, quò vectis magis à ſitu
AB eleuabitur, adhuc ſemper maiorem eſſe debere potentiam pon
dus ſuſtinentem. quò autem magis deprimetur; minorem. quod
demonſtrare oportebat.
Similiter in his potentiæ in GDH inter ſe ſe ita. erunt, vt BK
ad BL; & vt BL ad BM; deniq; vt Bk ad BM.
COROLLARIVM.
Ex his patet etiam, ſi potentia vecte ſurſum
moueat pondus, cuius centrum grauitatis ſit in­
fra vectem; quò magis pondus eleuabitur, ſem
per maiorem requiri potentiam, vt pondus mo
ueatur.
Nam ſi potentia pondus ſuſtinens ſemper eſt maior: erit quoq;
potentia mouens ſemper maior.
55 114[Figure 114]
Et his etiam facilè elicietur, ſi centrum grauitatis eiuſdem pon­
deris, ſiue propius, ſiue remotius fuerit à vecte AB horizonti æ­
quidiſtante; eandem potentiam in B pondus ſuſtinere. vt ſi cen­
trum grauitatis L ponderis AD ſit remotius à vecte BA, quàm
centrum grauitatis N ponderis PV; dummodo ducta à puncto L
perpendicularis LK horizonti, vectiq; AB tranſeat per N: ſimili­
ter vt in præcedenti oſtendetur, eandem potentiam in B, & pondus
AD, & pondus PV ſuſtinere. In vecte auté EF, quò centrum grauitatis
longius aberit à vecte, eò maiori opus erit potentia ponderi ſuſti­
nendo. vt centrum grauitatis M ponderis FH remotius ſit à ue
cte EF, quàm S centrum grauitatis ponderis XZ; ducantur à pun
ctis MS horizontibus perpendiculares MI SG; erit CI maior
CG: ac propterea maior eſſe debet potentia in E pondus FH ſu
ſtinens, quàm pondus XZ. Contra uerò in uecte OR oſtende
tur, quò ſcilicet centrum grauitatis eiuſdem ponderis longius ab
ſit à uecte, à minori potentia pondus ſuſtineri. minor enim eſt
CY, quàm CT. Simili quoq; modo demonſtrabitur, ſi pondus
ſit intra potentiam, & fulcimentum; uel potentia intra fulci­
mentum, & pondus. Quod idem potentiæ eueniet mouenti:
1vbi enim minor potentia ſuſtinet pondus, ibi minor potentia mo­
uebit. & vbi maior potentia in ſuſtinendo; ibi quoq; maior in mo
uendo aderit.
PROPOSITIO X.
Potentia pondus ſuſtinens in ipſo vecte cen­
trum grauitatis habens, quomodocunq; vecte
transferatur pondus; eadem ſemper, vt ſuſtinea­
tur, potentia opus erit. 115[Figure 115]
Sit vectis AB horizonti æquidiſtàns, cuius fulcimentum C.
E verò centrum grauitatis ponderis in ipſo ſit vecte. Moueatur
deinde uectis in FG, Hk; & centrum grauitatis in LM. dico ean
dem potentiam in kBG idemmet ſemper ſuſtinere pondus.
Quoniam enim pondus in uecte AB perinde ſe habet, ac ſi eſſet
appenſum in E; & in uecte GF, ac ſi eſſet appenſum in L; & in
uecte Hk. ac ſi in M eſſet appenſum; diſtantiæ uerò CL CE
CM ſunt inter ſe ſe æquales; nec non CK CB CG inter ſe æ­
quales; erit potentia in B ad pondus, ut CE ad CB; atque poten
56tia in k ad pondus, ut CM ad Ck; & potentia in G ad pondus,
vt CL ad CG. eadem igitur potentia in kBG idem translatum
pondus ſuſtinebit. quod demonſtrare oportebat.
5 Huius.
Similiter oſtendetur, ſi pondus eſſet intra potentiam, & fulci­
mentum; vel potentia inter fulcimentum, & pondus. quod idem
potentiæ mouenti eueniet.
PROPOSITIO XI.
Si vectis diſtantia inter fulcimentum, & poten
tiam ad diſtantiam fulcimento, punctoq;, vbi
à centro grauitatis ponderis horizonti ducta
perpendicularis vectem ſecat, interiectam ma­
iorem habuerit proportionem, quàm pondus
ad potentiam; pondus vtiq; à potentia moue­
bitur.
Sit véctis AB, ex
punctoq; A ſuſpenda
tur pondus C; hoc eſt
punctum A ſemper ſit
punctum, vbi perpen
dicularis à grauitatis
centro ponderis du­
cta vectem ſecat; ſitq;
116[Figure 116]
potentia in B, ac fulcimentum ſit D; & DB ad DA maiorem
habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B. Di­
co pondus Cà potentia in B moueri. fiat vt BD ad DA, ita
pondus E ad potentiam in B; atq; pondus E quoq; appendatur
in A: patet potentiam in B æqueponderare ipſi E; hoc eſt pon­
dus E ſuſtinere. & quoniam BD ad DA maiorem habet pro­
portionem, quàm C ad potentiam in B; & vt BD ad DA, ita
1eſt pondus E ad po­
tentiam: igitur E ad
potentiam maiorem
habebit proportio­
nem, quàm pondus
C ad eandem poten­
tiam. quare pondus
E maius erit ponde­
117[Figure 117]
re C. & cùm potentia ipſa E æqueponderet, potentia igitur ipſi
C non æqueponderabit, ſed ſua ui deorſum verget. pondus igitur
C à potentia in B mouebitur vecte AB, cuius fulcimentum
eſt D.
1 Huius. 10 Quinti.
Si verò ſit vectis AB, &
fulcimentum A, ponduſq; C
in D appenſum, & potentia
in B; & BA ad AD maio­
rem habeat proportionem,
quàm pondus C ad poten­
tiam in B. dico pondus C à
118[Figure 118]
potentia in B moueri. fiat vt BA ad AD; ita pondus E ad poten
tiam in B: & ſi E appendatur in D, potentia in B pondus E ſuſti
nebit. ſed cùm BA ad AD maiorem habeat proportionem,
quàm pondus C ad potentiam in B; & vt BA ad AD, ita eſt
pondus E ad potentiam in B: pondus igitur E ad potentiam,
quæ eſt in B, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C
ad eandem potentiam. & ideo pondus E maius erit pondere C.
potentia verò in B ſuſtinet pondus E; ergo potentia in B pondus
C minus pondere E in D appenſum mouebit vecte AB, cuius fulci
mentum eſt A.
2 Huius. 10 Quinti.
57
Sit rurſus vectis
AB, cuius fulcimen
tum A; & pondus C in
B ſit appenſum; ſitq;
potentia in D: &
DA ad AB maio­
rem habeat propor­
tionem, quàm pon­
119[Figure 119]
dus C ad potentiam, quæ eſt in D. dico pondus C à potentia
in D moueri. fiat vt DA ad AB, ita pondus E ad potentiam in
D; & ſit pondus E ex puncto B ſuſpenſum: potentia in D pondus
E ſuſtinebit. ſed DA ad AB maiorem habet proportionem,
quàm C ad potentiam in D; & vt DA ad AB, ita eſt pondus E
ad potentiam in D; pondus igitur E ad potentiam, quæ eſt in D,
maiorem habebit proportionem, quàm pondus C ad eandem po
tentiam. quare pondus E maius eſt pondere C. & cùm poten­
tia in D pondus E ſuſtineat, potentia igitur in D pondus C in B
appenſum vecte AB, cuius fulcimentum eſt A, mouebit. quod
demonſtrare oportebat.
ALITER.
Sit vectis AB, &
pondus C in A ap­
penſum & poten­
tia in B; ſit〈qué〉 fulci­
mentum D: & DB
120[Figure 120]
ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad po
tentiam in B. dico pondus C à potentia in B moueri. fiat BE ad
EA, vt pondus C ad potentiam, erit punctum E inter BD. opor
tet enim BE ad EA minorem habere proportionem, quàm DB
ad DA, & ideo BE minor erit BD. & quoniam potentia in B ſu
ſtinet pondus C in A appenſum uecte AB, cuius fulcimentum E; minor
igitur potentia in B, quàm data, idem pondus ſuſtinebit fulcimen
to D. data ergo potentia in B pondus C mouebit uecte AB, cuius
fulcimentum eſt D.
1
1 Huius.
Sit deinde vectis AB, & fulci
mentum A, & pondus C in D
appenſum, ſitq; potentia in B; &
AB ad AD maiorem habeat pro­
portionem, quàm pondus C ad
potentiam in B. dico pondus C
121[Figure 121]
à potentia in B moueri. Fiat AB ad AE, vt pondus C ad poten
tiam; erit ſimiliter punctum E inter BD. neceſſe eſt enim AE
maiorem eſſe AD. & ſi pondus C eſſet in E appenſum, potentia
in B illud ſuſtineret. minor autem potentia in B, quàm data, ſuſti­
net pondus C in D appenſum; data ergo potentia in B pondus C in
D appenſum vecte AB, cuius fulcimentum eſt A, mouebit.
8 quinti. 2 Huius. 1 Cor. 2 Huius.
Sit rurſus vectis AB, cu
ius fulcimentum A, & pon
dus C in B ſit appenſum;
ſitq; potentia in D; & DA
ad AB maiorem habeat
122[Figure 122]
proportionem, quàm pondus C ad potentiam in D. dico pon­
dus C à potentia in D moueri. fiat vt pondus C ad potentiam,
ita DA ad AE; erit AE maior AB; cùm maior ſit proportio
DA ad AB, quàm DA ad AE. & ſi pondus C appendatur in
E, patet potentiam in D ſuſtinere pondus C in E appenſum. mi­
nor autem potentia, quàm data, ſuſtinet idem pondus C in B;
data igitur potentia in D pondus C in B appenſum mouebit ve­
cte AB, cuius fulcimentum eſt A. quod oportebat demon­
ſtrare.
8 Quinti. 3 Huius. 1 Cor. 3 Huius.
PROPOSITIO XII.
PROBLEMA.
Datum pondus à data potentia dato vecte
moueri.
58 123[Figure 123]
Sit pondus A vt centum, potentia verò mouens ſit vt decem;
ſitq; datus vectis BC. oportet potentiam, quæ eſt decem pondus
A centum vecte BC mouere. Diuidatur BC in D, ita vt CD
ad DB eandem habeat proportionem, quàm habet centum ad
decem, hoc eſt decem ad vnum; etenim ſi D fieret fulcimentum,
conſtat potentiam vt decem in C æqueponderare ponderi A in B
appenſo: hoc eſt pondus A ſuſtinere. accipiatur inter BD quod
uis punctum E, & fiat E fulcimentum. Quoniam enim maior
eſt proportio CE ad EB, quàm CD ad DB; maiorem habebit
proportionem CE ad EB, quàm pondus A ad potentiam decem
in C: potentia igitur decem in C pondus A centum in B appen­
ſum vecte BC, cuius fulcimentum ſit E, mouebit.
Si verò ſit vectis
BC, & fulcimen­
tum B. diuidatur CB
in D, ita vt CB ad
BD eandem habeat
proportionem, quam
124[Figure 124]
habet centum ad decem: & ſi pondus A in D ſuſpendatur, & po­
tentia in C, potentia vt decem in C pondus A in D appenſum ſu
ſtinebit. accipiatur inter DB quoduis punctum E, ponaturq; pon
dus A in E; & cùm ſit maior proportio CB ad BE, quàm
BC ad BD; maiorem habebit proportionem CB ad BE, quàm
pondus A centum ad potentiam decem. potentia igitur decem
in C pondus A centum in E appenſum mouebit vecte BC, cu
ius fulcimentum eſt B. quod facere oportebat.
1 Huius. Lemma huius. 11 Huius. 2 Huius. 8 Quinti. 11 Huius.
1
Hoc autem fieri non po­
teſt exiſtente vecte BC, cuius
fulcimentum ſit B, & pondus
A centum in C appenſum: po
natur enim potentia ſuſtinens
pondus A vtcunq; inter BC,
vt in D, ſemper potentia ma
ior erit pondere A. quare opor
125[Figure 125]
tet datam potentiam maiorem eſſe pondere A. ſit igitur poten­
tia data vt centum quinquaginta. diuidatur BC in D, ita vt CB
ad BD ſit, vt centum quinquaginta ad centum; hoc eſt tria ad duo:
& ſi ponatur potentia in D, patet potentiam in D ſuſtinere pon­
dus A in C appensum. accipiatur itaq; inter DC quoduis pun­
ctum E, ponaturq; potentia mouens in E; & cùm maior ſit pro­
portio EB ad BC, quàm DB ad BC; habebit EB ad BC maio
rem proportionem, quàm pondus A ad potentiam in E. poten
tia igitur vt centum quinquaginta in E pondus A centum in C
appenſum vecte BC, cuius fulcimentum eſt B, mouebit. quod
facere oportebat.
2 Cor. 3 Huius. 3 Huius. 8 Quinti. 11 Huius.
COROLLARIVM.
Hinc manifeſtum eſt ſi data potentia ſit dato
pondere maior; hoc fieri poſſe, ſiue ita exiſten
te vecte, vt eius fulcimentum ſit inter pondus,
& potentiam; ſiue pondus inter fulcimentum,
& potentiam habente; ſiue demum potentia in­
ter pondus, & fulcimentum conſtituta.
Sin autem data potentia minor, vel æqualis
dato pondere fuerit; palam quoq; eſt id ipſum
dumtaxat aſſe qui poſſe vecte ita exiſtente, vt eius
fulcimentum ſit inter pondus, & pontentiam;
59vel pondus intra fulcimentum, & potentiam
habente.
PROPOSITIO XIII.
PROBLEMA.
Quotcunq; datis in vecte ponderibus vbicun­
què appenſis, cuius fulcimentum ſit quoq; da­
tum, potentiam inuenire, quæ in dato puncto
data pondera ſuſtineat. 126[Figure 126]
Sint data pondera ABC in vecte DE, cuius fulcimentum F,
vbicunq; in punctis DGH appenſa: collocandaq; ſit potentia in
puncto E. potentiam inuenire oportet, quæ in E data pondera
ABC vecte DE ſuſtineat. diuidatur DG in k, ita vt Dk ad KG
ſit, vt pondus B ad pondus A; deinde diuidatur kH in L, ita vt kL
ad LH, ſit vt pondus C ad pondera BA; atq; vt FE ad FL, ita
fiant pondera ABC ſimul ad potentiam, quæ ponatur in E. di­
co potentiam in E data pondera ABC in DGH appenſa vecte
DE, cuius fulcimentum eſt F, ſuſtinere. Quoniam enim ſi ponde
ra ABC ſimul eſſent in L appenſa, potentia in E data pondera
in L appenſa ſuſtineret; pondera verò ABC tàm in L ponderant,
quam ſi C in H, & BA ſimul in K eſſent appenſa; & AB in k tàm
1 127[Figure 127]
ponderant, quàm ſi A in D, & B in G appenſa eſſent; ergo po­
tentia in E data pondera ABC in DGH appenſa vecte DE, cu­
ius fulcimentum eſt F, ſuſtinebit. Si autem potentia in quouis
alio puncto vectis DE (præterquàm in F) conſtituenda eſſet,
vt in k; fiat vt Fk ad FL, ita pondera ABC ad potentiam: ſi­
militer demonſtrabimus potentiam in k pondera ABC in pun­
ctis DGH appenſa ſuſtinere. quod facere oportebat. 128[Figure 128]
Ex hac, & ex quinta huius, ſi pondera ABC ſint in vecte
DE quomodocunq; poſita; oporteatq; potentiam inuenire, quæ
in E data pondera ſuſtinere debeat: ducantur à centris grauita­
tum ponderum ABC horizontibus perpendiculares, quæ ve­
ctem DE in DGH punctis ſecent; cæteraq; eodem modo fiant:
Manifeſtum eſt, potentiam in E, vel in K data pondera ſuſtinere.
idem enim eſt, ac ſi pondera in DGH eſſent appenſa.
1 Huius. 5 Huius. de libra. 2 Huius.
60
PROPOSITIO XIIII.
PROBLEMA.
Data quotcunq; pondera in dato vecte vbi­
cunq; & quomodocunq; poſita à data potentia
moueri. 129[Figure 129]
Sit datus vectis DE, & ſint data pondera vt in præcedenti co
rollario; ſitq; A vt centum, B vt quinquaginta, C vt triginta;
dataq; potentia ſit vt triginta. exponantur eadem, inueniaturq;
punctum L; deinde diuidatur LE in F, ita vt FE ad FL ſit, vt
centum octoginta ad triginta, hoc eſt ſex ad vnum: & ſi F fieret
fulcimentum, potentia vt triginta in E ſuſtineret pondera ABC.
accipiatur igitur inter LF quoduis punctum M, fiatq; M fulci­
mentum: manifeſtum eſt potentiam in E vt triginta pondera
ABC vt centum octoginta vecte DE mouere. quod facere
oportebat.
13 Huius. 11 Huius.
Hoc autem vniuersè aſſequi minimè poterimus, ſi in extremita­
te vectis fulcimentum eſſet, vt in D; quia proportio DE, ad DL
hoc eſt proportio ponderum ABC ad potentiam, quæ pondera
ſuſtinere debeat, ſemper eſt data. quod multo quoq; minus fieri
poſſet, ſi ponenda eſſet potentia inter DL.
1
PROPOSITIO XV.
PROBLEMA.
Quia verò dum pondera vecte mouentur,
vectis quoq; grauitatem habet, cuius nulla ha­
ctenus mentio facta eſt: idcirco primùm quo­
modo inueniatur potentia, quæ in dato puncto
datum vectem, cuius fulcimentum ſit quoq; da­
tum, ſuſtineat, oſtendamus. 130[Figure 130]
Sit datus vectis AB, cuius fulcimentum ſit datum C; ſitq;
punctum D, in quo collocanda ſit potentia, quæ vectem AB ſu
ſtinere debeat, ita vt immobilis perſiſtat. ducatur à puncto C
linea CE horizonti perpendicularis, quæ vectem AB in duas di­
uidat partes AE EF, ſitq; partis AE centrum grauitatis G, &
partis EF centrum grauitatis H; à punctis〈qué〉 GH horizon­
tibus perpendiculares ducantur Gk HL, quæ lineam AF
in punctis KL ſecent. quoniam enim vectis AB à linea CE in duas
diuiditur partes AE EF; ideo vectis AB nihil aliud erit, niſi
duo pondera AE EF in vecte, ſiue libra AF poſita; cuius ſu­
ſpenſio, ſiue fulcimentum eſt C. quare pondera AE EF ita erunt
poſita, ac ſi in kL eſſent appenſa. diuidatur ergo kL in M,
ita vt kM ad ML, ſit vt grauitas partis EF ad grauitatem par­
tis AE; & vt CA ad CM, ita fiat grauitas totius vectis AB ad
potentiam, quæ ſi collocetur in D (dummodo DA horizonti
61perpendicularis exiſtat) vecti æqueponderabit; hoc eſt vectem
AB deorſum premendo ſuſtinebit. quod inuenire oportebat.
13 Huius.
Si verò potentia in puncto B ponenda eſſet. fiat vt CF ad CM
ita pondus AB ad potentiam. ſimili modo oſtendetur poten­
tiam in B vectem AB ſuſtinere. ſimiliterq; demonſtrabitur in quo­
cunq; alio ſitu (præterquàm in e) ponenda fuerit potentia, vt in
N. fiat enim vt CO ad CM, ita AB ad potentiam; quæ ſi pona­
tur in N, vectem AB ſuſtinebit.
Adiiciatur autem pondus in vecte appenſum,
ſiue poſitum; vt iisdem poſitis ſit pondus P in
A appenſum; potentiaq; ſit ponenda in B, ita
vt vectem AB vnà cum pondere P ſuſtineat. 131[Figure 131]
Diuidatur AM in Q, ita vt AQ ad QM ſit, ut grauitas ue­
ctis AB ad grauitatem ponderis P; deinde ut CF ad CQ, ita fat
grauitas AB, & P ſimul ad potentiam, quæ ponatur in B: patet
potentiam in B uectem AB unà cum pondere P ſuſtinere. Si ue­
rò eſſet CA ad CM, vt AB ad P; eſſet punctum C eorum centrum
grauitatis, & ideo vectis AB vná cum pondere P abſq; potentia in
B manebit. ſed ſi ponderum grauitatis centrum eſſet inter CF, vt
in O; fiat vt CF ad CO, ita AB&P ſimul ad potentiam, quæ
in B, & vectem AB, & pondus P ſuſtinebit.
1 132[Figure 132]
Similiter oſtendetur, ſi plura eſſent pondera in vecte AB ubi­
cunq;, & quomodocunq; poſita.
13 Huius. Ex ſexta 1 Arch. de æquep.
Inſuper ex his non ſolum, ut in decimaquarta huius docuimus,
quomodo ſcilicet data pondera ubicunq; in uecte poſita data poten
tia dato uecte mouere poſſumus, eodem modo grauitate uectis
conſiderata idem facere poterimus; uerùm etiam accidentia reli­
qua, quæ ſupra abſq; uectis grauitatis conſideratione demonſtra­
ta ſunt; ſimili modo uectis grauitate conſiderata vná cum ponde
ribus, uel ſine ponderibus oſtendentur.
62
DE TROCHLEA.
Trochleae inſtrumento pon
dus multipliciter moueri poteſt;
quia verò in omnibus eſt eadem
ratio: ideo (vt res euidentior ap­
pareat) in iis, quæ dicenda ſunt,
intelligatur pondus ſurſum ad re
ctos horizontis plano angulos hoc modo ſem­
per moueri.
1
Sit pondus A, quod ipſi ho
rizontis plano ſurſum ad rectos
angulos ſit attollendum; & vt
fieri ſolet, trochlea duos habens
orbiculos, quorum axiculi ſint
in BC, ſupernè appendatur;
trochlea verò duos ſimiliter ha
bens orbiculos, quorum axicu­
li ſint in DE, ponderi alligetur:
ac per omnes vtriuſq; trochleæ
orbiculos circunducatur ducta­
rius funis, quem in altero eius ex
tremo, putá in F, oportet eſſe
religatum. potentia autem mo
uens ponatur in G, quæ dum
deſcendit, pondus A ſurſum ex
aduerſo attolletur; quemadmo
dum Pappus in octauo libro Ma
thematicarum collectionum aſ­
ſerit; nec non Vitruuius in deci
mo de Architectura, & alii. 133[Figure 133]
Quomodo autem hoc trochleæ inſtrumen­
tum reducatur ad vectem; cur magnum pondus
ab exigua virtute, & quomodo, quantoq; in tem
pore moueatur; cur funis in vno capite debeat
eſſe religatus; quodq; ſuperioris, inferiorisq́ue
trochleæ fuerit officium; & quomodo omnis in
63numeris data proportio inter potentiam, & pon
dus inueniri poſsit; dicamus.
LEMMA.
Sint rectæ lineæ AB CD parallelæ, quæ in
punctis AC circulum ACE contingant, cuius
centrum F: & FA FC connectantur. Dico
AFC rectam lineam eſſe.
Ducatur FE ipſis AB CD æquidiſtans.
& quoniam AB, & FE ſunt parallelæ, &
angulus BAF eſt rectus; erit & AFE re­
ctus. eodemq; modo CFE rectus erit. li­
nea igitur AFC recta eſt. quod erat de­
monſtrandum.
134[Figure 134]
18 Tertii. 29 Primi. 14 Primi.
PROPOSITIO I.
Si funis trochleæ ſupernè appenſæ orbiculo
circunducatur, alterumq; eius extremum pon­
deri alligetur, altero interim à potentia pondus
ſuſtinente apprehenſo: erit potentia ponderi
æqualis.
1
Sit pondus A,
cui alligatus ſit fu­
nis in B; trochleaq;
habens orbiculum C
EF, cuius centrum
D, ſurſum appenda­
tur; ſitq; D quoq;
centrum axiculi; &
circa orbiculum uo­
luatur funis BC EF
G; ſitq; potentia
in G ſuſtinens pon­
dus A. dico poten­
tiam in G ponderi A
æqualem eſſe. Sit FG
æquidiſtans CB.
Quoniam igitur pon
dus A manet; erit
135[Figure 135]
CB horizonti plano perpendicularis: quare FG eidem plano per­
pendicularis erit. Sint CF puncta in orbiculo, à quibus funes CB FG
in horizontis planum ad rectos angulos deſcendunt; tangent BC FG
orbiculum CEF in punctis CF. orbiculum enim ſecare non poſſunt. con
nectantur DC DF; erit CF recta linea, & anguli DCB DFG recti.
Quoniam autem BC tùm horizonti, tùm ipſi CF eſt perpendicularis;
erit linea CF horizonti æquidiſtans. cùm verò pondus appenſum ſit
in BC, & potentia ſit in G; quod idem eſt, ac ſi eſſet in F; erit
CF tanquam libra, ſiue vectis, cuius centrum, ſiue fulcimentum eſt
D; nam in axiculo orbiculus ſuſtinetur; atq; punctum D, cùm ſit
centrum axiculi, & orbiculi, etiam vtriſque circumuolutis
immobile remanet. Itaq; cùm diſtantia DC ſit æqualis diſtantiæ
DF, potentiaq; in F ponderi A in C appenſo æqueponderet, cùm
pondus ſuſtineat, ne deorſum vergat; erit potentia in F, ſiue in G
(nam idem eſt) conſtituta ponderi A æqualis. Idem enim effi­
cit potentia in G, ac ſi in G aliud eſſet appenſum pondus æquale
ponderi A; quæ pondera in CF appenſa æquæponderabunt. Præ­
terea, cùm in neutram fiat motus partem, idem erit vnico exi­
64ſtente fune BC EFG hoc modo orbiculo circumuoluto, ac ſi duo
eſſent funes BC FG alligati in vecte, ſiue libra CF.
1 Huius. de libra. 8 Vndecimi. 18 Tertii. Ex 28 Primi. 1 Primi. Archim. de æquepond.
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſſe poteſt, idem pon­
dus ab eadem potentia abſq; ullo huius tro­
chleæ auxilio nihilominus ſuſtineri poſſe.
Sit enim pondus H æquale
ponderi A, cui alligatus ſit funis
kL; ſitq; potentia in L ſuſtinens
pondus H. cùm autem pondus
abſq; vllo adminiculo ſuſtinere
volentes tanta vi opus ſit, quanta
ponderi eſt æqualis; erit potentia
in L ponderi H æqualis; pondus
verò H ipſi ponderi A eſt æquale,
cui potentia in G eſt æqualis; erit
igitur potentia in G potentiæ in L
æqualis. quod idem eſt, ac ſi eadem
potentia idem pondus ſuſtineret. 136[Figure 136]
Præterea ſi potentiæ in G, &
in L inuicem fuerint æquales, ſeor
ſum autem ponderibus minores;
patet potentias ponderibus ſuſti­
nendis non ſufficere. ſi verò maiores, manifeſtum eſt pondera à
pontentiis moueri. & ſic in eadem eſſe proportione potentiam in
L. ad pondus H, veluti potentia in G ad pondus A.
Sed quoniam in demonſtratione aſſumptum fuit axiculum cir­
cumuerti, qui vt plurimum immobilis manet; idcirco immobili
quoq; manente axiculo idem oſtendatur.
1
Sit orbiculus trochleæ CEF, cu
ius centrum D; ſitq; axiculus GHk,
cuius idem ſit centrum D. Ducatur
CG DkF diameter horizonti æ­
quidiſtans. & quoniam dum orbi­
culus circumuertitur, circumferen­
tia circuli CEF ſemper eſt æquidi­
ſtans circumferentiæ axiculi GHk;
circa enim axiculum circumuerti­
tur; & circulorum æquidiſtantes cir
cumferentiæ idem habent centrum;
erit punctum D ſemper & orbiculi,
137[Figure 137]
& axiculi centrum. Itaq; cùm DC ſit æqualis DF, & DG ipſi
Dk; erit GC ipſi kF æqualis. ſi igitur in vecte, ſiue libra CF
pondera appendantur æqualia, æqueponderabunt. diſtantia enim
CG æqualis eſt diſtantiæ kF; axiculuſq; GHK immobilis gerit
vicem centri, ſiue fulcimenti. immobili igitur manente axicu­
lo, ſi ponatur in F potentia ſuſtinens pondus in C appenſum; erit
potentia in F ipſi ponderi æqualis. quod erat oſtendendum.
Et cùm idem prorſus ſit, ſiue axiculus circumuertatur, ſiue mi­
nus; liceat propterea in iis, quæ dicenda ſunt, loco axiculi cen­
trum tantùm accipere.
PROPOSITIO II.
Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ
circumducatur, altero eius extremo alicubi reli­
gato, altero uerò à potentia pondus ſuſtinente
apprehenſo; erit potentia ponderis ſubdupla.
65
Si pondus A; ſit BCD
orbiculus trochleæ pon­
deri A alligate, cuius cen
trum E; funis deinde FB
CDG circa orbiculum
voluatur, qui religetur in
F; ſitq; potentia in G ſu
ſtinens pondus A. dico
potentiam in G ſubdu­
plam eſſe ponderis A. ſint
funes FB GD puncti E
horizonti perpendicula­
res, qui inter ſe ſe æqui­
diſtantes erunt; tangantq;
funes FB GD circulum
BCD in BD punctis.
connectatur BD; erit BD
per centrum E ducta,
138[Figure 138]
ipſiuſ〈qué〉 centri horizonti æquidiſtans. Cùm autem potén­
tia in G trochlea pondus A ſuſtinere debeat, funem ex altero ex­
tremo religatum eſſe oportet, puta in F; ita vt F æqualiter ſaltem
potentiæ in G reſiſtat, alioquin potentia in G nullatenus pondus
ſuſtinere poſſet. Et quoniam potentia fune ſuſtinet orbiculum,
qui reliquam trochleæ partem, cui appenſum eſt pondus, ſuſtinet
axiculo; grauitabit hæc trochleæ pars in axiculo, hoc eſt in centro
E. quare pondus A in eodem quoq; centro E ponderabit, ac ſi
in E eſſet appenſum. poſita igitur potentia, quæ in G, vbi D
(idem enim prorſus eſt) erit BD tanquam vectis, cuius fulci
mentum erit B, pondus in E appenſum, & potentia in D. con
uenienter enim fulcimenti rationem ipſum B ſubire poteſt, exi
ſtente fune FB immobili. cæterum hoc poſterius magis eluceſcet.
Quoniam autem potentia ad pondus eandem habet proportio­
nem, quàm BE ad BD; & BE in ſubdupla eſt proportione
ad BD: potentia igitur in G ponderis A ſubdupla erit. quod de­
monſtrare oportebat.
6 Vndecimi Ex præcedenti. 2 Huius de vecte.
1
Hoc igitur ita ſe ha­
bet vnico exiſtente fune
FBC DG ipſi orbiculo
circumducto, ac ſi duo eſ
ſent funes BF GD ve­
cti BD alligati, cuius ful
cimentum erit B, pon­
dus in E appenſum, &
potentia ſuſtinens in D,
vel quod idem eſt in G.
139[Figure 139]
COROLLARIVM I.
Ex hoc itaq; manifeſtum eſt, pondus hoc mo
do à minori in ſubdupla proportione potentia
ſuſtineri, quam ſine vllo huiuſmodi trochleæ
auxilio.
66
Veluti ſit pondus H ponderi A
æquale, cui religatus ſit funis kL;
potentiaq; in L ſuſtineat pondus H;
erit potentia in L ſeorſum ponderi
H, & ponderi A æqualis; ſed poten
tia in G ſubdupla eſt ponderis A,
quare potentia in G ſubdupla erit po
tentiæ, quæ eſt in L. & hoc modo in
huiuſcemodi reliquis omnibus pro
portio inueniri poterit.
140[Figure 140]
COROLLARIVM. II.
Manifeſtum eſt etiam; ſi duæ fuerint poten­
tiæ vna in G, altera in F, pondus A ſuſtinentes;
vtraſq; ſimul ponderi A æquales eſſe: & vnam
quamque ſuſtinere dimidium ponderis A.
Hoc autem ex tertio, & quarto corollario ſecundæ huius in
tractatu de vecte patet.
COROLLARIVM III.
Illud quoq; præterea innoteſcit, cur ſcilicet fu
nis ex altero religatus eſſe debeat extremo.
1
PROPOSITIO III.
Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis or­
biculis, quarum altera ſupernè, altera verò in­
fernè conſtituta, ponderiq; alligata fuerit, cir
cunducatur funis; altero eius extremo alicubi
religato, altero verò à potentia pondus ſuſti­
nente detento; erit potentia ponderis ſub du­
pla.
Sit pondus A; ſit BCD orbiculus trochleæ pon
deri A alligatæ, cuius centrum K; EFG verò
ſit trochleæ ſurſum appenſæ, cuius centrum H.
deinde LBC DME FGN funis circa orbicu­
los ducatur, qui religetur in L; ſitq; potentia in
N ſuſtinens pondus A. dico potentiam in N
ſubduplam eſſe ponderis A. ſi enim potentia ſu
ſtinens pondus A vbi M collocata foret, eſſet
vtiq; potentia in M ſubdupla ponderis A. po­
tentiæ verò in M æqualis eſt vis in N. eſt e­
nim ac ſi potentia in M dimidium ponderis
A ſine trochlea ſuſtineret, cui æqueponderat
pondus in N ponderis A dimidio æquale.
quare vis in N æqualis dimidio ponderis A
ipſum A ſuſtinebit. Potentia igitur in N ſuſti
nens pondus A ſubdupla eſt ipſius A. quod
demonſtrare oportebat. 141[Figure 141]
67
Si verò vt in ſecunda figura ſit fu
nis BC DEF GHkL orbiculis cir
cum uolutus, & religatus in B; poten
tiaq; in L pondus A ſuſtineat: erit
potentia in L ſimiliter ponderis ſubdu
pla. orbiculus enim trochleæ ſupe­
rioris, ipſa〈qué〉 trochlea penitus ſunt
inutiles: & idem eſt, ac ſi funis reli
gatus eſſet in F, & potentia in L ſu
ſtineret pondus ſola trochlea ponderi
alligata, quæ potentia ponderis A oſten
ſa eſt ſubdupla.
2 Huius. 1 Huius.
142[Figure 142]
COROLLARIVM.
Ex his ſequitur, ſi duæ ſint potentiæ in BL;
vtraſq; inter ſe ſe æquales eſſe.
Vtraq; enim ſeorſum eſt ipſius A ſubdupla.
1
PROPOSITIO IIII.
Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit A; qui
bifariam diuidatur in D: ſitq; pondus C in D
appenſum; duæq; ſint potentiæ æquales in BD
pondus C ſuſtinentes. Dico unamquamq; poten
tiam in BD ponderis C ſubtriplam eſſe.
Quoniam enim altera
potentia eſt in D colloca
ta, & pondus C in eodem
puncto D eſt appenſum;
potentia in D partem
ponderis C ſuſtinebit ip­
ſi potentiæ D æqualem.
143[Figure 143]
quare potentia in B partem ſuſtinebit reliquam, quæ pars dupla erit
ipſius potentiæ in B; cùm pondus ad potentiam eandem habeat
proportionem, quam AB ad AD: & potentiæ in BD ſunt æqua­
les; ergo potentia in B duplam ſuſtinebit partem eius, quam ſuſti
net potentia in D. diuidatur ergo pondus C in duas partes, qua
rum vna ſit reliquæ dupla; quod fiet, ſi in tres partes æquales EFG
diuiſerimus: tunc enim FG dupla erit ipſius E. Itaq; potentia
in D partem E ſuſtinebit, & potentiam in B reliquas FG. vtreq;
igitur inter ſe ſe æquales potentiæ in BD ſimul totum ſuſtinebunt
pondus C. & quoniam potentia in D partem E ſuſtinet, quæ ter
tia eſt pars ponderis C, ipſiq; eſt æqualis; erit potentia in D ſub
tripla ponderis C. & cùm potentia in B ſuſtineat partes FG, qua
rum potentia in B eſt ſubdupla; erit in B potentia vni partium FG,
putà G æqualis. G verò tertia eſt pars ponderis C; potentia
igitur in B ſubtripla erit ponderis C. Vnaquæq; ergo potentia in
BD ſubtripla eſt ponderis C. quod demonſtrare oportebat.
68 144[Figure 144]
Et ſi duo eſſent vectes AB EF bifariam in GD diuiſi, quorum
fulcimenta eſſent AF, & pondus C in DG vtriq; vecti appen­
ſum, ita tamen vt in vtroq; æqualiter ponderet; duæq; eſſent
æquales potentiæ in BG: eadem prorſus ratione oſtendetur,
vnamquamq; potentiam in B, & G ponderis C ſubtriplam
eſſe.
PROPOSITIO V.
Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis orbiculis,
quarum altera ſupernè, altera verò infernè conſti
tuta, ponderiq; alligata fuerit, circumducatur fu
nis; altero eius extremo inferiori trochleæ reli­
gato, altero verò à potentia pondus ſuſtinente
detento: erit potentia ponderis ſubtripla.
1
Sit pondus A; ſit BCD orbiculus tro­
chleæ ponderi A alligate, cuius centrum
E; & FGH trochleæ ſurſum appenſæ, cu­
ius centrum k; & LFGHBCDM funis
orbiculis circumducatur, qui religetur in L
trochleæ inferiori; ſitq; potentia in M ſu­
ſtinens pondus A. dico potentiam in M
ſubtriplam eſſe ponderis A. ducantur FH
BD per centra kE horizonti æquidiſtan­
tes, ſicut in præcedentibus dictum eſt. Quo­
niam enim funis FL trochleam ſuſtinet in­
feriorem, quæ ſuſtinet orbiculum in eius
centro E; erit funis in L vt potentia ſuſti­
nens orbiculum, ac ſi in ipſo E centro eſſet;
potentia verò in M eſt, ac ſi eſſet in D;
efficietur igitur DB tanquam vectis, cuius
fulcimentum erit B; pondus verò A (vt ſu
pra oſtenſum eſt) ex E ſuſpenſum à dua­
bus potentiis altera in D, altera in E ſuſten
tatum. Cùm autem in pondere ſuſtinendo
vectes FH BD immobiles maneant, ſi in
funibus FL HB appendantur pondera, e­
runt hæc ipſa æqualia; cùm vectis FH ha­
beat fulcimentum in medio; alioquin ex al
tera parte deorſum fieret motus, quod tamen
non contingit. tam igitur ſuſtinet funis FL,
quàm HB. deinde quoniam ex medio ve­
145[Figure 145]
cte BD pondus ſuſpenditur, idcirco ſi duæ fuerint potentiæ in BD
pondus ſuſtinentes, erunt inuicem æquales. & quamquam funis
69FL ipſe quoq; pondus ſuſtineat, cùm potentiæ in E vicem gerat; quia
tamen ex eodemmet puncto ſuſtinet, vbi appenſum eſt pondus, non
efficiet propterea, quin potentiæ in BD ſint inter ſe ſe æquales;
opitulatur enim tàm vni, quàm alteri. potentiæ verò in BD eæ­
dem ſunt, ac ſi eſſent in HM; quare tàm ſuſtinebit funis MD,
quàm HB. ita verò ſuſtinet HB, atq; FL; funis igitur MD ita
ſuſtinebit, ſicut FL, hoc eſt, ac ſi in D, & L appenſa eſſent pon­
dera æqualia. Cùm itaq; æqualia pondera à potentiis ſuſtinean­
tur æqualibus, potentiæ in ML æquales erunt; quarum eadem pror
ſus eſt ratio, ac ſi eſſent ambæ in DE. Itaq; cùm pondus A in
medio vectis BD ſit appenſum, duæq; potentiæ ſint æquales in
DE pondus ſuſtinentes; erit B fulcimentum, ac vnaquæq; potentia,
ſiue in DE, ſiue in ML ſubtripla ponderis A. ergo potentia in M
ſuſtinens pondus ſubtripla erit ponderis A. quod oſtendere o­
portebat.
In 2 Huius 1 Huius. Ex 3 Cor. 2 Huius vecte. 4 Huius.
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, vnumquemq; funem
MD FL HB tertiam ſuſtinere partem pon­
deris A.
1
Præterea, ſi funis ex M per a­
lium adhuc deferatur orbiculum ſu
periorem in trochlea ſurſum ſimi­
liter appenſa conſtitutum, cuius
centrum N; ita vt perueniat in O;
ibiq; à potentia detineatur; erit po
tentia in O ſuſtinens pondus A iti
dem ſubtripla ipſius ponderis. fu
nis enim MD tantùm ponderis ſu
ſtinet, ac ſi in D appenſum eſſet
pondus æquale tertiæ parti ponde
ris A, cui æquiualet potentia in
O ipſi æqualis, hoc eſt ſubtripla
ponderis A. Potentia igitur in O
ſubtripla eſt ponderis A.
146[Figure 146]
Et ne idem ſæpius repetatur, no
uiſſe oportet potentiam in O ſem
per æqualem eſſe ei, quæ eſt in M;
hoc eſt ſi potentia in M eſſet ſub
quadrupla, ſubquintupla, vel huiuſ
modi aliter ipſius ponderis; poten
tia quoq; in O erit itidem ſubqua
drupla, ſubquintupla, atq; ita dein
ceps eiuſdemmet ponderis, quem
madmodum ſe habet potentia
in M.
1 Huius.
70
PROPOSITIO VI.
Sint duo vectes AB CD bifariam diuiſi in
EF, quorum fulcimenta ſint. in BD; ſitq; pon
dus G in EF vtriq; vecti appenſum, ita ut ex
vtroq; æqualiter ponderet; duæq; ſint potentiæ
in AC æquales pondus ſuſtinentes. Dico unam
quamq; potentiam in AC ſubquadruplam eſ­
ſe ponderis G.
Cùm enim potentiæ in
AC totum ſuſtineant pon­
dus G, potentiaq; in A ad
partem ponderis, quod ſuſti
net, ſit vt BE ad BA; po­
tentia verò in C ad partem
ipſius G, quod ſuſtinet, ita
ſit vt DF ad DC; & vt BE
ad BA, ita eſt DF ad DC;
147[Figure 147]
erit potentia in A ad partem ponderis, quod ſuſtinet, vt poten­
tia in C ad ipſius ponderis, quod ſuſtinet, partem; & potentiæ
in AC ſunt æquales; æquales igitur erunt partes ponderis G,
quæ à potentiis ſuſtinentur. quare vnaquæq; potentia in A C di­
midium ſuſtinebit ponderis G. Potentia verò in A ſubdupla eſt pon
deris, quod ſuſtinet: ergo potentia in A dimidio dimidii, hoc
eſt quartæ portioni ponderis G æqualis erit; ideoq; ſubquadrupla
erit ponderis G. neq; aliter demonſtrabitur potentiam in C ſub­
quadruplam eſſe eiuſdem ponderis G. quod demonſtrare opor­
tebat.
2 Huius. de vecte.
1
Si verò tres ſint vectes
AB CD EF bifariam di­
uiſi in GHk, quorum fulci
menta ſint BDF; & pondus
L eodem modo in GHK
appenſum; ſintq; tres poten
tiæ in ACE æquales pondus
ſuſtinentes; ſimiliter oſten
detur vnamquamque po­
tentiam ſubſexcuplam eſſe
ponderis L. atq; hoc ordi
ne ſi quatuor eſſent vectes,
& quatuor potentiæ; erit vnaquæq; potentia ſuboctupla ponderis.
atq; ita deinceps in infinitum.
148[Figure 148]
PROPOSITIO VII.
Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarum
altera ſupernè vnico duntaxat, altera verò infer­
nè duobus autem inſignita orbiculis, ponderiq;
alligata conſtituta fuerit, funis circumponatur; al
tero eius extremo alicubi religato, altero verò à
potentia pondus ſuſtinente retento; erit potentia
ponderis ſubquadrupla.
71
Sit pondus A; ſint tres orbiculi, quorum
centra BCD; orbiculuſq;, cuius centrum D,
ſit trochleæ ſurſum appenſæ; quorum verò
ſunt centra BC, ſint trochleæ ponderi A alli
gatæ; funiſq; EFGHkLNOP per omnes
circumducatur orbiculos, qui religetur in E;
ſitq; vis in P ſuſtinens pondus A. dico po
tentiam in P ſubquadruplam eſſe ponderis
A. ducantur kL GF ON per rotularum
centra, & horizonti æquidiſtantes, quæ (ex
iis, quæ dicta ſunt) tanquam vectes erunt.
& quoniam propter vectem, ſiue libram kL,
cuius fulcimentum, ſiue centrum eſt in me
dio, tàm ſuſtinet funis kG, quàm LN, cùm
in neutram partem fiat motus. nec non
propter vectem GF, è cuius medio veluti ſu
ſpenſum dependet onus; ſi duæ eſſent in GF
potentiæ, ſeu in HE (eſt enim par vtriuſq;
ſitus ratio, vt iam ſepius dictum eſt) eſſent
vtiq; huiuſmodi potentiæ inuicem æquales.
quare ita ſuſtinet funis HG, vt EF. ſimiliter
oſten detur funem PO tàm ſuſtinere, quàm
LN: quare funes PO kG EF LN æqua
liter ſuſtinent. æqualiter igitur funis PO ſu
ſtinet, vt kG. ſi ergo duæ intelligantur eſ
149[Figure 149]
ſe potentiæ in OG, ſeu in PH, quod idem eſt, pondus nihilomi
nus ſuſtinentes, quemadmodum funes ſuſtinent, æquales vtiq; eſ
ſent; & GF ON duorum vectium vires gerent; quorum fulci
menta erunt FN, & pondus A in BC medio vectium appenſum.
& quoniam omnes funes æqualiter ſuſtinent, tàm ſuſtinebunt
duo PO LN, quàm duo KGEF; tàm igitur ſuſtinebit vectis
ON, quàm vectis GF. quare in vtroq; vecte ON GF æquali
ter pondus ponderabit. erit ergo vnaquæq; potentia in PH ſubquadru
pla ponderis A. & cùm funis KG potentiæ loco ſumatur, quippè
qui haud ſecus ſuſtinet, quàm PO; erit potentia in P ſuſtinens pon­
dus A ipſius ponderis ſubquadrupla. quod demonſtrare oportebat.
1 Huius. Ex2 Cor. 2 Huius. 6 Huius.
1
COROLLARIVM I.
Hinc manifeſtum eſt vnumquemq; funem EF
GK LN OP quartam ſuſtinere partem pon­
deris A.
COROLLARIVM II.
Patet etiam orbiculum, cuius centrum C,
non minus eo, cuius centrum eſt B, ſuſtinere.
ALITER.
Adhuc iiſdem poſitis, ſi duæ eſſent poten
tiæ æquales pondus A ſuſtinentes, vna in O
altera in C; eſſet vnaquæq; dictarum poten
tiarum ponderis A ſubtripla. ſed quoniam
vectis GF, cuius fulcimentum eſt F bifariam
diuiſus eſt in C; ſi igitur ponatur in G poten
tia idem pondus ſuſtinens, vt potentia in C;
erit potentia in G ſubdupla potentiæ, quæ eſ
ſet in C; nam ſi potentia in C ſe ipſa pon­
dus in C appenſum ſuſtineret, eſſet vtiq; ip
ſi ponderi æqualis; & idem pondus, ſi à po
tentia in G ſuſtineretur, eſſet ipſius poten
tiæ in G duplum; potentia veró in C ſubtri
pla eſſet ponderis A; ergo potentia in G
ſubſexcupla eſſet ponderis A. Cùm itaq;
potentia in O ſubtripla ſit ponderis A, &
potentia in G ſubſexcupla; erunt vtræq; ſi­
mul potentiæ in OG ipſius ponderis A ſub
duplæ. tertia enim pars cum ſexta dimi­
dium efficit. quoniam autem potentiæ in
OG, ſiue in PH (vt prius dictum eſt)
ſunt inter ſe æquales, ac vtræq; ſimul ſubdu
plæ ſunt ponderis A. erit vnaquæq; poten
150[Figure 150]
72tia in P H ipſius A ſubquadrupla. Potentia igitur in P ſuſtinens pon
dus A ipſius ponderis A ſubquadrupla erit. quod erat oſten­
dendum.
Ex 4 Huius 2 Huius. de vecte.
Si verò funis religetur in E,
& ſecundùm quatuor adhuc
circumuoluatur orbiculos, per
ueniatq; ad P. ſimiliter oſten
detur potentiam in P ſubqua­
druplam eſſe ponderis A.
idem enim eſt, ac ſi funis re­
ligatus eſſet in L, potentiaq;
ſuſtineret pondus fune tribus
tantùm orbiculis circumdu­
cto, quorum centra eſſent B
CQ. orbiculus enim cuius
centrum D eſt pœnitus inu­
tilis. 151[Figure 151]
1 PROPOSITIO VIII.
Sint duo vetes AB CD bifariam diuiſi in EF,
quorum fulcimenta ſint AC, & pondus G in
punctis EF vtriq; vecti ſit appenſum, ita vt ex
vtroq; æqualiter ponderet; treſq; ſint potentiæ
æquales in BDE pondus G ſuſtinentes. Dico
vnamquamq; ſeorſum ex dictis potentiis ſub­
quintuplam eſſe ponderis G.
Quoniam enim pondus G
appenſum eſt in EF, & tres
ſunt potentiæ in EBD æqua
les; ideo potentia in E partem
tantùm ponderis G ſuſtinebit
ipſi potentiæ in E æqualem;
potentiæ verò in BD partem
ſuſtinebunt reliquam; & pars,
quam ſuſtinet B, erit ipſius
dupla; pars autem, quam ſu
152[Figure 152]
ſtinet D, erit ſimiliter ipſius D dupla; propter proportionem
BA ad AE, & DC ad CF. Cùm itaq; potentiæ in BD ſint æqua
les, erunt (ex iis, quæ ſupra dictum eſt) partes ponderis G, quæ
à potentiis BD ſuſtinentur, inter ſe ſe æquales; & vnaquæq; du
pla eius partis, quæ à potentia in E ſuſtinetur. diuidatur er­
go pondus G in tres partes, quarum duæ ſint inter ſe ſe æquales,
nec non vnaquæq; ſeorſum alterius tertiæ partis dupla. quod
fiet, ſi in quinq; partes æquales HKLMN diuidatur; pars
enim compoſita ex duabus partibus kL dupla eſt partis H; pars
quoq; MN eiuſdem partis H eſt ſimiliter dupla. quare & pars
kL parti MN erit æqualis. Suſtineat autem potentia in E par
tem H; & potentia in B partes KL; potentia verò in D partes
73MN: tres igitur potentiæ æquales in BDE totum ſuſtinebunt pon
dus G; & vnaquæq; potentia in BD duplum ſuſtinebit eius, quod
ſuſtinet potentia in E. Cùm itaq; potentia in E partem H ſuſti­
neat, quæ quinta eſt pars ponderis G, ipſiq; ſit æqualis; erit po
tentia in E ſubquintupla ponderis G. & quoniam potentia in B
partes kL ſuſtinet, quæ quidem duplæ ſunt potentiæ B, & partis H;
erit quoq; potentia in B ipſi H æqualis: quare ſubquintupla erit
ponderis G. Non aliter oſtendetur potentiam in D ſubquintu­
plam eſſe ponderis G. vnaquæq; igitur potentia in BDE ſubquin­
tupla eſt ponderis G. quod demonſtrare oportebat.
2 Huius. de vecte. In 6 Huius
Si verò ſint tres vectes AB
CD EF bifariam diuiſi in
GHk, quorum fulcimenta
ſint ACE; & pondus L eo
dem modo in GHk ſit ap­
penſum; quatuorq; ſint po­
tentiæ æquales in BDFG
pondus L ſuſtinentes; ſimili
modo oſtendetur vnam­
quamq; potentiam in BD
FG ſubſeptuplam eſſe ponde
ris L. & ſi quatuor eſſent vectes, & quinq; potentiæ æquales pon­
dus ſuſtinentes; eodem quoq; modo oſtendetur vnamquamq;
potentiam ſubnonuplam eſſe ponderis. atq; ita deinceps.
153[Figure 153]
PROPOSITIO VIIII.
Si quatuor duarum trochlearum binis orbi­
culis, quarum altera ſupernè, altera vero in­
fernè, ponderiq; alligata, diſpoſita fuerit, cir
cumducatur funis; altero eius extremo inferiori
1trochleæ religato, altero verò à potentia pon­
dus ſuſtinente retento: erit potentia ponderis
ſubquintupla.
Sit pondus A, cui alligata ſit trochlea duos
habens orbiculos, quorum centra ſint BC;
ſitq; trochlea ſurſum appenſa duos alios ha­
bens orbiculos, quorum centra ſint DE; funiſq;
per omnes circumducatur orbiculos, qui tro­
chleæ inferiori religetur in F; ſit〈qué〉 poten
tia in G ſuſtinens pondus A. dico poten­
tiam in G ſubquintuplam eſſe ponderis A.
ducantur Hk LM per centra BC horizon­
ti æquidiſtantes, quas eodem modo, quo ſu­
pra dictum eſt, eſſe tanquam vectes oſtende­
mus, quorum fulcimenta kM, & pondus A
ex medio vtriuſq; vectis BC ſuſpenſum, & tres
potentiæ in LHC pondus ſuſtinentes, quas
ſimili modo æquales eſſe demonſtrabimus; fu
nes enim idem efficiunt, ac ſi eſſent potentiæ.
& quoniam pondus æqualiter ex vtroq; ve­
cte HK LM ponderat, quod quidem oſten­
detur quoque, vt in præcedentibus demon­
ſtratum eſt: erit vnaquæq; potentia, tùm in
L, ſeu in G, quod idem eſt; tùm in H, atq;
in C, hoc eſt in F, ſubquintupla ponderis A.
Potentia ergo in G ſuſtinens pondus A ipſius
A ſubquintupla erit. quod oſtendere opor­
tebat. 154[Figure 154]
74
Si verò funis in F adhuc de­
feratur circa alium orbiculum,
cuius centrum N, qui religetur
in O; ſimiliter duplici medio
(vt in ſeptima huius) demon
ſtrabitur potentiam in G pon­
dus A ſuſtinentem ſubſexcu
plam eſſe ponderis A. Primùm
quidem ex tribus vectibus LM
Hk FP, quorum fulcimenta
ſunt MkP, & pondus in me
dio vectium appenſum; & tres
potentiæ in LHF æquales pon
dus ſuſtinéres. deinde ex poten
tiis in LHN, quarum vnaquæq;
ſubquintupla eſſet ponderis A.
eſſent enim ambæ ſimul poten
tiæ in LH ſubduplæ ſexquialte
ræ ipſius ponderis, potentia verò
in F ſubdecupla eſſet, cùm ſit ip
ſius N ſubdupla: ſed duæ quin
tæ cùm decima dimidium ef
ficiunt, quòd ſi per terna diui
datur, ſexta pars ponderis re
ſpondebit vnicuiq; potentiæ in
LHF. ex quibus patet poten
tiam in G ſubſexcuplam eſſe
ponderis A. ſimiliterq; demon
ſtrabitur vnumquemque orbi
culum æqualem ſuſtinere por­
tionem. 155[Figure 155]
1
Quòd ſi, vt in tertia figura
funis in O protrahatur; per
aliumq; circumducatur orbi­
culum, cuius centrum Q; qui
deinde in R trochleæ relige­
tur inferiori; erit potentia in
G ponderis ſubſeptupla. atq;
ita in infinitum procedendo
proportio potentiæ ad pon­
dus quotcunq; ſubmulti­
plex inueniri poterit. dein­
de ſemper oſtendetur vt in
præcedentibus; ſi potentia
pondus ſuſtinens fuerit, vel
ſubquadrupla, vel ſubquitu­
pla, vel quouis alio modo ſe
habebit ad pondus; ſimiliter
vnumquemque funem, vel
quartam, vel quintam, vel
quamuis aliam partem ſuſti­
nere ponderis, quemadmo­
dum potentia ipſa; funes e­
nim idem efficiunt, ac ſi tot
eſſent potentiæ: orbiculi ve
rò, ac ſi tot eſſent vectes.
8 Huius. Ex 6 huius Ex 8 huius Ex 8 Huius
156[Figure 156]
COROLLARIVM
Ex his manifeſtum eſt orbiculos trochleæ, cui
eſt alligatum pondus, efficere, vt pondus mino­
75re ſuſtineatur potentia, quàm ſit ipſum pondus;
quod quidem trochleæ ſuperioris orbiculi non
efficiunt.
Nouiſſe tamen oportet, quòd (vt fieri ſolet) inferioris tro
chleæ orbiculus, cuius centrum N, minor eſſe debet eo, cuius cen
trum C; hic autem minor adhuc eo, cuius centrum B; ac deniq;
ſi plures fuerint orbiculi in trochlea inferiori ponderi alligata, ſem
per cæteris maior eſſe debet, qui annexo ponderi eſt propinquior.
oppoſito autem modo diſponendi ſunt in trochlea ſuperiori. quod
fieri conſueuit, ne funes inuicem complicentur; nam quantùm
ad orbiculos attinet, ſiue magni fuerint, ſiue parui, nihil refert;
cùm ſemper idem ſequatur.
Præterea notandum eſt, quod etiam ex dictis facilè patet, ſi
funis, ſiue religetur in R trochleæ inferiori, ſiue in S, maximam
indè oriri differentiam inter potentiam, & pondus: nam ſi relige
tur in S, erit potentia in G ponderis ſubſexcupla. ſi verò in R,
ſubſeptupla. quod trochleæ ſuperiori non contingit, quia ſiue
religetur funis (vt in præcedenti figura) in T, ſiue in O; ſem
per potentia in G ſubſexcupla erit ipſius ponderis.
Poſt hæc conſiderandum eſt, quonam modo vis moueat pon
dus; necnon potentiæ mouentis, ponderiſq; moti ſpatium, atque
tempus.
PROPOSITIO X.
Si funis orbiculo trochleæ ſurſum appenſæ
fuerit circumuolutus, cuius altero extremo ſit al
ligatum pondus; alteri autem mouens collocata
ſit potentia: mouebit hæc vecte horizonti ſem­
per æquidiſtante.
1
Sit pondus A, ſit orbiculus trochleæ ſur
ſum appenſæ' cuius centrum K; ſit deinde
funis HBCDEF aligatus ponderi A in H,
orbiculoq; circumductus; ſitq; trochlea ita in
L appenſa, & nullum alium habeat motum
præter liberam orbiculi circa axem verſionem;
ſitq; potentia in F mouens pondus A. Dico
potentiam in F ſemper mouere pondus A
vecte horizonti æquidiſtante. ducatur BKE
horizonti æquidiſtans; ſintq; BE puncta, vbi
funes BH, & EF circulum tangunt; erit BkE
vectis, cuius fulcimentum eſt in eius medio
k. ſicut ſupra oſtenſum eſt. dum itaq; vis
in F deorſum tendit verſus M, vectis EB
mouebitur, cùm totus orbiculus moueatur,
157[Figure 157]
hoc eſt circumuertatur. dum igitur F eſt in M, ſit punctum E ve
ctis vſq; ad I motum; B autem vſq; ad C, ita vt vectis ſit in
CI. fiat deinde NM æqualis ipſi FE: & quando punctum E
erit in I, tunc funis punctum, quod erat in E, erit in N: quod au
tem erat in B erit in C; ita vt ducta CI per centrum K tranſeat.
dum autem B eſt in C, ſit punctum H in G; eritq; BH ipſi
CBG æqualis; cùm ſit idem funis. & quoniam dum EF tendit
in NM, adhuc ſemper remanet EFM horizonti perpendicularis,
circulumq; tangens in puncto E; ita vt ducta à puncto E per cen
trum k, ſit ſemper horizonti æquidiſtans. quod idem euenit funi
BG, & puncto B. dum igitur circulus, ſiue orbiculus circumuer
titur, ſemper mouetur vectis EB, ſemperq; adhuc remanet alius
vectis in EB. ſiquidem ex ipſius rotulæ natura, in qua ſemper
dum mouetur, remanet diameter ex B in E (quæ vectis vicem ge
rit) euenit, vt recedente vna, ſemper altera ſuccedat; eiuſmodi
durante circumductione: atq; ita fit, vt potentia ſemper moueat
pondus vecte EB horizonti æquidiſtante. quod demonſtrare opor­
tebat.
1 Huius.
76
Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ pondus
mouentis eſt æquale ſpatio eiuſdem ponderis
moti.
Quoniam enim oſtenſum eſt, dum F eſt in M, pondus A, hoc
eſt punctum H eſſe in G; & cùm funis HBCDEF ſit æqualis
GBCDENFM, eſt enim idem funis; dempto igitur communi
GBCDENF, erit HG ipſi FM æqualis. ſimiliterq; oſtende­
tur, deſcenſum F ſemper æqualem eſſe aſcenſui H. ergo ſpatium
potentiæ æquale eſt ſpatio ponderis. quod erat demonſtran­
dum.
Præterea potentia idem pondus per æquale
ſpatium in æquali tempore mouet, tàm fune
hoc modo orbiculo trochleæ ſurſum appenſæ
circumuoluto, quàm ſine trochlea: dummo­
do ipſius potentiæ lationes in velocitate ſint æ­
quales.
1
Iiſdem poſitis ſit aliud pondus P
æquale ponderi A, cui alligatus ſit
funis TQ horizonti perpendicularis;
et ſit TQ ipſi HB æqualis; moueat
〈qué〉 potentia in Q pondus P ſurſum
ad rectos angulos horizonti, quem
admodum mouetur pondus A. di
co per æquale ſpatium in eodem
tempore potentiam in Q pondus
P, & potentiam in F pondus A
mouere. quod idem eſt, ac ſi eſſet
idem pondus in æquali tempore
motum; ſicut propoſuimus. Pro­
ducatur EF in S, & TQ in R;
fiantq; QR FS non ſolum inter
ſe ſe, verùm etiam ipſi BH æqua
les. Cùm autem TQ QR ſint
ipſis HB FS æquales, & vis in Q
moueat pondus P per rectam T
QR; vis autem in F moueat A
per rectam HB, & velocitates
158[Figure 158]
motuum vtriuſq; potentiæ ſint æquales; tunc in eodem tempore
potentia in Q erit in R, & potentia in F erit in S; cùm ſpatia ſint
æqualia. ſed dum potentia in Q eſt in R, pondus P, hoc eſt
punctum T erit in Q; cùm TQ ſit ipſi QR æqualis. & dum po
tentia in F eſt in S, pondus A, hoc eſt punctum H erit in B; ſed
ſpatium TQ æquale eſt ſpatio HB, potentiæ ergo in FQ æquali
ter motæ pondera PA æqualia per æqualia ſpatia in eodem tempo
re mouebunt. quod erat demonſtrandum
PROPOSITIO XI.
Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ
fuerit circumuolutus, qui in altero eius extre­
77mo alicubi religetur, altero autem à potentia
mouente pondus appræhenſo; vecte ſemper ho
rizonti æquiſtante potentia mouebit.
Sit pondus A; Sit orbiculus.
CED trochleæ ponderi A alli­
gatæ ex kH; ſitq; KH ad rectos
angulos horizonti, ita vt pon­
dus ſemper trochleæ motum, ſi­
ue ſurſum, ſiue deorſum factum
ſequatur; ſitq; orbiculi centrum
K; & funis orbiculo circumuo­
lutus ſit BCDEF, qui relige­
tur in B, ita vt in B immobilis
maneat; & ſit potentia in F mo­
uens pondus A. dico potentiam
in F ſemper mouere pondus A ve
cte horizonti æquidiſtante. ſint
BC EF inter ſe ſe, ipſiq; kH æ­
quidiſtantes, & eiuſdem kH ho
rizonti perpendiculares, tangen
teſq; circulum CED in EC punctis;
et connectatur EC, quæ per cen
trum k tranſibit, horizontiq;
æquidiſtans erit; ſicuti prius di
ctum eſt. Quoniam enim or
biculus CED circa eius cen
trum K vertitur; ideo dum vis
in F trahit ſurſum punctum E,
deberet punctum C deſcende
re, ac trahere deorſum B; ſed fu
159[Figure 159]
nis in B eſt immobilis, & BC descendere non poteſt; quare dum
potentia in F trahit ſurſum E, totus orbiculus ſurſum mouebitur;
ac per conſequens tota trochlea, & pondus; & EkC erit tanquam
vectis, cuius fulcimentum erit C; eſt enim punctum C propter BC
ferè immobile, potentia verò mouens vectem eſt in F fune EF,
1& pondus in k appenſum.
quòd ſi punctum C omnino fue
rit immobile, moueaturq; ve
ctis EC in NC; & diuidatur
NC bifariam in L: erunt CL
LN ipſis Ck KE æquales.
quare ſi vectis EC eſſet in CN,
punctum k eſſet in L; & ſi du
catur LM horizonti perpendi
cularis, quæ ſit etiam æqualis
kH; eſſet pondus A, hoc eſt
punctum H in M. ſed quoniam
potentia in F dum tendit ſur­
ſum mouendo orbiculum, ſem
per mouetur ſuper rectam EFG,
quæ ſemper eſt quoq; æquidi
ſtans BC; neceſſe erit orbicu
lum trochleæ ſemper inter li­
neas EG BC eſſe: & centrum
k, cum ſit in medio, ſuper
rectam lineam HkT ſemper
moueri. Itaq; ducatur per L li
nea PTLQ horizonti, & EC
æquidiſtans, quæ ſecet Hk pro­
ductam in T; & centro T, ſpa
tio verò TQ, circulus deſcriba
160[Figure 160]
tur QRPS, qui æqualis erit circulo CED; & puncta PQ tangent fu
nes FE BC in PQ punctis. rectangulum enim eſt PECQ, &
PT TQ ipſis EK kC ſunt æquales. deinde per T ducatur R
TS diameter circuli PQS æquidiſtans ipſi NC; fiat〈qué〉 TO æqua
lis kH. dum autem centrum k motum erit vſq; ad lineam PQ,
tunc centrum k erit in T. oſtenſum eſt enim centrum orbiculi ſu
per rectam HT ſemper moueri. idcirco vt centrum k ſit in li
nea PQ ipſi EC æquidiſtante, neceſſe eſt vt ſit in T. & vt vectis
EC eleuetur in angulo ECN, neceſſe eſt, vt ſit in RS, non au­
tem in CN: angulus enim RSE angulo NCE eſt æqualis, & ſic
78fulcimentum C non eſt penitus immobile. cùm totus orbiculus ſur
ſum moueatur, toruſq; mutet totum locum; habet tamen C ratio
nem fulcimenti, quia minus mouetur C, quàm k, & E: punctum
enim E mouetur vſq; ad R, & K vſq; ad T, punctum verò C vſq;
ad S tantùm. quare dum centrum K eſt in T, poſitio orbiculi erit
QR PS: & pondus A. hoc eſt punctum H erit in O; cùm TO
ſit æqualis kH; poſitio verò EC, ſcilicet vectis moti, erit RS, po
tentiaq; in F mota erit ſurſum per rectam EFG. eodem autem
tempore, quo k erit in T, ſit potentia in G: dum autem vectis EC
hoc modo mouetur, adhuc ſemper remanent GP BQ inter ſe ſe æ­
quidiſtantes, atq; horizonti perpendiculares, ita vt vbi orbiculum
tangunt, vt in punctis PQ; ſemper linea PQ erit diameter orbi
culi, & tanquam vectis horizonti æquidiſtans. dum igitur orbi­
culus mouetur, & circumuertitur, ſemper etiam mouetur vectis
EC, & ſemper remanet alius vectis in orbiculo horizonti æquiſtans,
vt PQ; ita vt potentia in F ſemper moueat pondus vecte hori
zonti æquidiſtante, cuius fulcimentum erit ſemper in linea CB; &
pondus in medio vectis appenſum; potentiaq; in linea EG. quod
erat oſtendendum.
Ex 1 huius Ex 2 huius Ex 34 primi. 29 Primi.
Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ pondus
mouentis duplum eſt ſpatii eiuſdem ponderis
moti.
Cùm enim oſtenſum ſit, dum k eſt in T, pondus A, hoc eſt
punctum H eſſe in O, & in eodem etiam tempore potentiam in
F eſſe in G: & quoniam funis BCDEF eſt æqualis funi BQS
PG; funis enim eſt idem; & funis circa ſemicirculum CDE eſt
æqualis funi circa ſemicirculum QSP; demptis igitur communi
bus BQ, & FP; erit reliquus FG ipſis CQ, & EP ſimul ſumptis
æqualis. ſed EP ipſi TK eſt æqualis, & CQ ipſi quoq; Tk æqualis,
ſunt enim Pk TC parallelogramma rectangula; quare lineæ EP
CQ ſimul ipſius Tk duplæ erunt. funis igitur FC ipſius TK du
plus erit. & quoniam kH eſt æqualis TO, dempto communi kO,
erit kT ipſi HO æqualis; quare funis FG ipſius HO duplus erit;
1hoc eſt ſpatium potentiæ ſpatii ponderis duplum. quod erat
demonſtrandum.
Potentia deinde idem pondus in æquali tem­
pore per dimidium ſpatium mouebit fune circa
orbiculum trochleæ ponderi alligatæ reuoluto,
quàm ſine trochlea; dummodo ipſius potentiæ
velocitates motuum ſint æquales.
Sit enim (iiſdem poſi
tis) aliud pondus V æqua
le ponderi A, cui alligatus
ſit funis 9X; ſitq; poten
tia in X mouens pondus
V. dico ſi vtriuſq; poten
tiæ motuum velocitates
ſint æquales, in eodem
tempore potentiam in F
mouere pondus A per di
midium ſpatium eius, per
quod à potentia in X mo
uetur pondus V; quod
idem eſt, ac ſi eſſet idem
pondus in æquali tempo
re motum. Moueat po
tentia in X pondus V, po
tentiaq; perueniat in Y;
ſitq; XY æqualis ipſi FG;
& fiat YZ æqualis X9, ita
vt quando potentia in X
erit in Y, ſit pondus V,
hoc eſt punctum 9 in Z.
ſed 9 Z eſt æqualis FG,
161[Figure 161]
79cùm ſit æqualis XY; ergo 9 Z ipſius HO dupla erit. Itaq; dum poten
tiæ erunt in GY, pondera AV erunt in OZ. in eodem autem
tempore erunt potentiæ in GY, ipſarum enim velocitates mo
tuum ſunt æquales; quare vis in F pondus A in eodem tempore
mouebit per dimidium ſpatium eius, per quod mouetur à poten
tia in X pondus V: & pondera ſunt æqualia; Potentia ergo idem
pondus in æquali tempore per dimidium ſpatium mouebit fune,
trochleaq; hoc modo ponderi alligata, quàm ſine trochlea; dum
modo potentiæ motuum velocitates ſint æquales. quod erat de­
monſtrandum.
PROPOSITIO XII.
Si funis circa plures reuoluatur orbiculos, al­
tero eius extremo alicubi religato, altero au­
tem à potentia pondus mouente detento; poten
tia vectibus horizonti ſemper æquidiſtantibus
mouebit.
1
Sit pondus A, ſit orbiculus CED tro­
chleæ ponderi alligatæ ex kS ad rectos an
gulos horizonti; ita vt pondus ſemper eius
motum ſurſum, ac deorſum factum ſequa­
tur. ſit deinde orbiculus circa centrum L
trochleæ ſurſum appenſæ ſitq; funis circa
orbiculos reuolutus BCDEHMNO,
qui religatus ſit in B; ſitq; vis in O mouens
pondus A mouendo ſe deorſum per OP.
dico potentiam in O ſemper mouere pon­
dus A vectibus horizonti ſemper æquidi­
ſtantibus. ducatur NH per centrum L ho
rizonti æquidiſtans, quæ erit vectis orbi­
culi, cuius centrum eſt L. ducatur deinde
EC per centrum k ſimiliter horizonti æqui
diſtans, quæ etiam erit vectis orbiculi, cu­
ius centrum eſt k. Moueatur potentia in
O deorſum, quæ dum deorſum mouetur, ve
ctem NH mouebit; & dum vectis moue­
tur, N deorſum mouebitur, H verò ſur­
ſum, vti ſupra dictum eſt. dum autem H
mouetur ſurſum, mouet etiam ſurſum E; &
vectem EC, cuius fulcimentum eſt C, ſed
fulcimentum C non poteſt mouere deor­
ſum B; ideo orbiculus, cuius centrum K, ſur
162[Figure 162]
ſum mouebitur, & per conſequens trochlea, & pondus A; vt in
præcedenti dictum eſt. & quoniam ob eandem cauſam in præce­
dentibus aſsignatam in HN, & EC ſemper remanent vectes hori
zonti æquidiſtantes; potentia ergo mouens pondus A ſemper
eum mouebit vectibus horizonti æquidiſtantibus. quod erat o­
ſtendendum.
1, Et 10 Huius. 11 huius. 10 Huius.
Et ſi funis circa plures ſit reuolutus orbiculos; ſimiliter oſtende­
tur, potentiam mouere pondus vectibus horizonti ſemper æqui­
diſtantibus: & vectes orbiculorum trochleæ ſuperioris ſemper
eſſe, vt HN, quorum fulcimenta erunt ſemper in medio: vectes au­
tem orbiculorum trochleæ inferioris ſemper exiſtere, vt EC; quo­
80rum fulcimenta erunt in extremitatibus vectium.
Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ duplum eſt
ſpatii ponderis.
Sit motum centrum K vſq; ad centrum R; & orbiculus ſit FTG.
deinde per centrum R ducatur GF ipſi EC æquidiſtans: tangent
funes EH CB orbiculum in GF punctis. fiat deniq; RQ æqua
lis KS. dum igitur k erit in R; pondus A, ſcilicet punctum S erit
in q. & dum centrum orbiculi eſt in R, ſit potentia in O mota
in P. & quoniam funis BCDEHMNO eſt æqualis funi BFT
GHMNP; eſt enim idem funis; & FTG æqualis eſt CDE; dem
ptis igitur communibus BF, & GHMNO, erit reliquus OP ip
ſis FCEG ſimul ſumptis æqualis: & per conſequens duplus kR,
& QS & cùm OP ſit ſpatium potentiæ motæ, & SQ ſpatium pon
deris moti; erit ſpatium potentiæ duplum ſpatii ponderis. quod
erat oſtendendum.
Præterea potentia idem pondus in æquali
tempore per dimidium ſpatium mouebit fune
circa duos orbiculos reuoluto, quorum vnus
ſit trochleæ ſuperioris, alter verò ſit trochleæ
ponderi alligatæ; quàm ſine trochleis: dummo­
do ipſius potentiæ lationes ſint æqualiter ve­
loces.
1
Iiſdem namq; poſitis, ſit pon
dus V æquale ipſi A, cui alliga­
tus ſit funis X9; ſitq; potentia in X
mouens pondus V; quæ dum pon
dus mouet, perueniat in Y: fiant
〈qué〉 XY Z9 ipſi OP æquales;
erit Z9 dupla QS. & ſi vtriuſ­
que potentiæ velocitates mo­
tuum ſint æquales; patet pon­
dus V duplum pertranſire ſpa­
tium in eodem tempore eìus,
quod pertranſit pondus A. in eo
dem enim tempore potentia in
X peruenit ad Y, & potentia in
O ad P; ponderaq; ſimiliter in
Z Q. quod erat demonſtran­
dum.
163[Figure 163]
PROPOSITIO XIII.
Fune circa ſingulos duarum trochlearum
orbiculos, quarum altera ſupernè, altera verò
infernè, ponderiq; alligata fuerit, reuoluto;
altero etiam eius extremo inferiori trochleæ re­
81ligata, altero autem à mouente potentia deten­
to: erit decurſum trahentis potentiæ ſpatium, mo
ti ponderis ſpatii triplum.
Sit pondus A; ſit BCD orbiculus tro
chleæ ponderi A ex EQ ſuſpenſo alligatæ;
ſitq; orbiculi centrum E; ſit deinde FGH
orbiculus trochleæ ſurſum appenſæ, cuius
centrum k; ſitq; funis LFGHDCBM
circa omnes reuolutus orbiculos, tro­
chleæq; inferiori in L religatus: ſitq; in
M potentia mouens. dico ſpatium de­
curſum à potentia in M, dum mouet pon
dus, triplum eſſe ſpatii moti ponderis A.
Moueatur potentia in M vſq; ad N; &
centrum E ſit motum vſq; ad O; & L vſ
que ad P; atq; pondus A, hoc eſt pun­
ctum Q vſq; ad R; orbiculuſq; motus, ſit
TSV. ducantur per EO lineæ ST BD
horizonti æquidiſtantes, quæ inter ſe ſe
quoq; æquidiſtantes erunt. quoniam au
tem dum E eſt in O, punctum Q eſt in
R; erit EQ æqualis OR, & EO ipſi QR
æqualis; ſimiliter LQ æqualis erit PR,
& L P ipſi QR æqualis. tres igitur QR
EO LP inter ſe ſe æquales erunt; quibus
etiam ſunt æquales BS DT. & quoniam fu
nis LFGHDCBM æqualis eſt funi PF
GHTVSN, cùm ſit idem funis, & qui
circa ſemicirculum TVS eſt æqualis funi
circa ſemicirculum BCD; demptis igi
tur communibus PFGHT' & SM; erit
reliquus MN tribus BS LP DT ſimul
ſumptis æqualis. BS verò LP DT ſimul
tripli ſunt EO, & ex conſequenti QR.
164[Figure 164]
1 ſpatium igitur MN translatæ potentiæ ſpatii QR ponderis mo
ti triplum erit. quod erat demonſtrandum.
Tempus quoq; huius motus manifeſtum eſt, eadem enim po
tentia in æquali tempore ſpatio ſecundùm triplum ampliori ſine
huiuſmodi trochleis idem pondus mouebit, quàm cum eiſdem
hoc modo accomodatis. ſpatium ponderis ſine trochleis moti
æquale eſt ſpatio potentiæ. & hoc modo in omnibus inueniemus
tempus.
PROPOSITIO XIIII.
Fune circa tres duarum trochlearum orbicu
los, quarum altera ſupernè vnico dumtaxat, al
tera verò inſernè, duobus autem inſignita or­
biculis, ponderiq́ue alligata fuerit, reuoluto;
altero eius eſtremo alicubi religato, altero autem
à potentia pondus mouente detento: erit decur­
ſum trahentis potentiæ ſpatium moti ponderis
ſpatii quadruplum.
82
Sit pondus A, ſint duo orbiculi, quorum cen­
tra k I trochleæ ponderi alligatæ k α; ita vt
pondus motum trochleæ ſurſum, & deorſum
ſemper ſequatur: ſit deinde orbiculus, cuius cen
trum L, trochleæ ſurſum appenſæ in d; ſitq;
funis circa omnes orbiculos circumuolutus BC
DEFGHZMNO, religatuſq; in B; ſitq; po
tentia in O mouens pondus A. dico ſpatium,
quod mouendo pertranſit potentia in O, qua­
druplum eſſe ſpatii moti ponderis A. mouean
tur orbiculi trochleæ ponderi alligatæ; & dum
centrum k eſt in R, centrum I ſit in S, & pon
dus A, hoc eſt punctum αin β: erunt IS kR
αβinter ſe ſe æquales, itemq; k I ipſi RS e­
rit æqualis. orbiculi enim inter ſe ſe eandem
ſemper ſeruant diſtantiam; & k αipſi R βæ­
qualis erit. ducantur per orbiculorum centra
lineæ FH QT EC VX NZ horizonti æqui
diſtantes, quæ tangent funes in FHQTEC
VX NZ punctis, & inter ſe ſe quoq; æquidi
ſtantes erunt: & EQ CT VN XZ non ſo
lum inter ſe ſe, ſed etiam ipſis IS KR αβæqua
les erunt. & dum centra kI ſunt in RS, po
tentia in O ſit mota in P. & quoniam funis
BCDEFGHZMNO eſt æqualis funi BT9
QFGHXYVP, eſt enim idem funis, & funes cir
165[Figure 165]
ca T9Q XYV ſemicirculos ſunt æquales funibus, qui ſunt circa
CDE ZMN; Demptis igitur communibus BT, QF GHX,
& VO; erit OP æqualis ipſis VN XZ CT QE ſimul ſumptis.
quatuor verò VN ZX CT QE ſunt inter ſe ſe æquales, & ſimul
quadruplæ kR, & αβ; quare OP quadrupla erit ipſius αβ. ſpa
tium igitur potentiæ quadruplum eſt ſpatii ponderis. quod erat
oſtendendum.
Et ſi funis in P circa alium adhuc reuoluatur orbiculum verſus
d, potentia〈qué〉 mouendo ſe deorſum moueat ſurſum pondus; ſimi
liter oſtendetur ſpatium potentiæ quadruplum eſſe ſpatii ponderis.
1
Si verò funis in B circumuoluatur al
teri orbiculo, qui deinde trochleæ in­
feriori religetur; erit potentia in O
ſuſtinens pondus A ſubquintupla pon
deris. & ſi in O ſit potentia mouens
pondus A; ſimiliter demonſtrabitur
ſpatium potentiæ in O quintuplum eſ
ſe ſpatii ponderis A.
166[Figure 166]
Et ſi funis ita circa orbiculos apte­
tur, vt potentia in O ſuſtinens pon­
dus ſit ponderis ſubſextupla; & loco
potentiæ ſuſtinentis ponatur in O po­
tentia mouens pondus: eodem modo
oſtendetur ſpatium potentiæ ſextu­
plum eſſe ſpatii ponderis moti. & ſic
procedendo in infinitum proportiones
ſpatii potentiæ ad ſpatium ponderis
moti quotcunq; multiplices inuenien­
tur.
9 Huius.
COROLLARIVM I.
Ex his manifeſtum eſt ita ſe habere pondus
ad potentiam ipſum ſuſtinentem, ſicuti ſpatium
potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti.
Vt ſi pondus A quintuplum ſit potentiæ in O pondus A ſuſti­
nentis; erit & ſpatium OP potentiæ pondus mouentis quintuplum
ſpatii αβponderis moti.
83
COROLLARIVM II.
Patet etiam per ea, quæ dicta ſunt, orbiculos
trochleæ, quæ ponderi eſt alligata, efficere; vt à
moto pondere minus, quàm à trahente poten­
tia deſcribatur ſpatium; maioriq; tempore datum
æquale ſpatium deſcribi, quàm ſine illis. quod
quidem orbiculi trochleæ ſuperioris non effi­
ciunt.
Multiplici oſtenſa ponderis ad potentiam proportione, iam ex
aduerſo potentiæ ad pondus proportio multiplex oſtendatur.
PROPOSITIO XV.
Si funis orbiculo trochleæ à potentia ſurſum
detentæ fuerit circumuolutus; altero eius extre­
mo alicubi religato, alteri verò pondere appen
ſo; dupla erit ponderis potentia.
1
Sit trochlea habens orbiculum, cuius
centrum A; & ſit pondus B alligatum fu
ni CDEFG, qui circa orbiculum ſit re­
uolutus, ac tandem religatus in G: ſitq;
potentia in H ſuſtinens pondus. dico po
tentiam in H duplam eſſe ponderis B. du
catur DF per centrum A horizonti æquidi
ſtans. quoniam igitur potentia in H ſuſtinet
trochleam, quæ ſuſtinet orbiculum in eius centro
A, qui pondus ſuſtinet; erit potentia ſuſti
nens orbiculum, ac ſi in A conſtituta eſſet; ipſa
ergo in A exiſtente, pondere verò in D
appenſo, funiq; CD religato; erit DF
tanquam vectis, cuius fulcimentum erit
F, pondus in D, & potentia in A. po­
tentia verò ad pondus eſt, vt DF ad
ad FA, & DF dupla eſt ipſius FA; Po­
167[Figure 167]
tentia igitur in A, ſiue in H, quod idem eſt, ponderis B dupla erit.
quod demonſtrare oportebat.
3 Huius. de vecte.
Præterea conſiderandum occurrit, cùm hæc omnia maneant,
idem eſſe vnico exiſtente fune CD EFG hoc modo orbiculo circum
uoluto, ac ſi duo eſſent funes CD FG in vecte ſiue libra DF al­
ligati.
ALITER.
Iiſdem poſitis, ſi in G appenſum eſſet pondus k æquale pon­
deri B, pondera B k æqueponderabunt in libra DF, cuius centrum
A. potentia verò in H ſuſtinens pondera Bk eſt ipſis ſimul ſum
ptis æqualis, & pondera BK ipſius B ſunt dupla; potentia ergo in
H ponderis B dupla erit. & quoniam funis religatus in G nihil a­
liud efficit, niſi quòd pondus B ſuſtinet, ne deſcendat; quod idem
efficit pondus k in G appenſum: potentia igitur in H ſuſtinens
pondus B, fune religato in G, dupla eſt ponderis B. quod de­
monſtrare oportebat.
84
PROPOSITIO XVI.
Iiſdem poſitis ſi in H ſit potentia mouens pon
dus, mouebit hæc eadem vecte horizonti ſem­
per æquidiſtante.
Hoc etiam (ſicut in ſuperioribus dictum
eſt) oſtendetur. moueatur enim orbiculus
ſurſum, poſitionemq; habeat MNO, cuius
centrum L: & per L ducatur MLO ipſi DF,
& horizonti æquidiſtans. & quoniam funes
tangunt circulum MON in punctis MO;
ideo cùm potentia in A, ſeu in H, quod
idem eſt, moueat pondus B in D appenſum
vecte DF, cuius fulcimentum eſt F; ſemper
adhuc remanebit alius vectis, vt MO hori
zonti æquidiſtans, ita vt ſemper potentia
moueat pondus vecte horizonti æquidiſtan
te, cuius fulcimentum eſt ſemper in linea
OG, & pondus in MC, potentiaq; in cen
tro orbiculi. 168[Figure 168]
Iiſdem poſitis, ſpatium ponderis moti duplum
eſt ſpatii potentiæ mouentis.
1
Sit motus orbiculus à centro A
vſq; ad centrum L; & pondus B,
hoc eſt punctum C, in eodem tem­
pore ſit motum in P; & potentia in
H vſq; ad K; erit AH ipſi LK æqua
lis, & AL ipſi Hk. & quoniam fu
nis CDEFG eſt æqualis funi PM
NOG, idem enim eſt funis, & fu
nis circa ſemicirculum MNO æ­
qualis eſt funi circa ſemicirculum
DEF; demptis igitur communi­
bus DP FG, erit PC æqualis
DM FO ſimul ſumptis, qui funes
ſunt dupli ipſius AL, & conſequen­
ter ipſius Hk. ſpatium ergo pon
deris moti CP duplum eſt ſpatii
Hk potentiæ. quod oportebat de­
monſtrare.
169[Figure 169]
COROLLARIVM
Ex hoc manifeſtum eſt, idem pondus trahi
ab eadem potentia in æquali tempore per du­
plum ſpatium trochlea hoc modo accommoda
ta, quàm ſine trochlea; dummodo ipſius poten
tiæ lationes in velocitate ſint æquales.
Spatium enim ponderis moti ſine trochlea æquale eſt ſpatio
potentiæ.
85
Si autem funis in G circa alium reuoluatur
orbiculum, cuius centrum k; ſitq; huiuſmo
di orbiculi trochlea deorſum affixa, quæ nul
lum alium habeat motum, niſi liberam orbi
culi circa axem reuolutionem; funiſq; relige
tur in M; erit potentia in H ſuſtinens pondus
B ſimiliter ipſius ponderis dupla. quod qui
dem manifeſtum eſt, cùm idem prorſus ſit,
ſiue funis ſit religatus in M, ſiue in G. orbicu
lus enim, cuius centrum k, nihil efficit; penituſ
〈qué〉 inutilis eſt. 170[Figure 170]
Si verò ſit potentia in M ſuſtinens pon
dus B, & trochlea ſuperior ſit ſurſum appen
ſa; erit potentia in M æqualis ponderi B.
Quoniam enim potentia in G ſuſtinens
pondus B æqualis eſt ponderi B, & ipſi po
tentiæ in G æqualis eſt potentia in L; eſt
enim GL vectis, cuius fulcimentum eſt k;
& diſtantia Gk diſtantiæ kL eſt æqualis;
erit igitur potentia in L, ſiue (quod idem eſt)
in M, ponderi B æqualis.
1 Huius.
Huiuſmodi autem motus fit vectibus DF LG, quorum fulci
menta ſunt kA, & pondus in D, & potentia in F. ſed in vecte
LG potentia eſt in L, pondus verò, ac ſi eſſet in G.
Si deinde in M ſit potentia mouens pondus, transferaturq; po
tentia in N, pondus autem motum fuerit vſq; ad O; erit MN
ſpatium potentiæ æquale ſpatio CO ponderis. Cùm enim funis
MLGFDC æqualis ſit funi NLGFDO. eſt enim idem funis;
dempto communi MLGFDO; erit ſpatium MN potentiæ æ­
quale ſpatio CO ponderis.
Et ſi funis in M circa plures reuoluatur orbiculos, ſemper erit
potentia altero eius extremo pondus ſuſtinens æqualis ipſi ponderi.
ſpatiaq; ponderis, atq; potentiæ mouentis ſemper oſtendentur
æqualia.
1
PROPOSITIO XVII.
Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis orbicu
lis, quarum vna ſupernè à potentia ſuſtineatur,
altera verò infernè, ibiq; affixa, conſtituta fue­
rit, funis circumducatur; altero eius extremo ſu
periori trochleæ religato, alteri verò pondere
appenſo; tripla erit ponderis potentia.
Sit orbiculus, cuius centrum A, tro­
chleæ infernè affixæ; & ſit funis BCD
EFG non ſolum huic orbiculo circumuo
lutus, verùm etiam orbiculo trochleæ ſu­
perioris, cuius centrum k; ſitq; funis in
B ſuperiori trochleæ religatus; & in G ſit ap
penſum pondus H; potentiaq; in L ſuſti
neat pondus H. dico potentiam in L tri­
plam eſſe ponderis H. ſi enim duæ eſſent
potentiæ pondus H sustinentes, vna in
K, altera in B, erunt vtræq; ſimul triplæ
ponderis H potentia enim in k dupla eſt
ponderis H, & potentia in B ipſi ponderi
æqualis. & quoniam ſola potentia in L
vtriſq; ſcilicet potentiæ in KB eſt æqua­
lis. ſuſtinet enim potentia in L; tùm po­
tentiam in K, tùm potentiam in B; idem
〈qué〉 efficit potentia in L, ac ſi duæ eſſent
potentiæ, vna in k, altera in B: Tri­
pla igitur erit potentia in L ponderis H.
quod demonſtrare oportebat. 171[Figure 171]
86
Si autem in L ſit potentia mouens pondus. di
co ſpatium ponderis moti triplum eſſe ſpatii po­
tentiæ motæ.
15 Huius. In præcedenti.
Moueatur centrum or­
biculi K vſq; ad M; cuius
quidem motus ſpatium
motæ potentiæ ſpatio eſt
æquale, ſicuti ſupra dictum
eſt: & quando k erit in M,
B erit in N; & NB æqualis
erit M k; & dum k eſt in M,
ſit pondus H, hoc eſt pun
ctum G motum in O; & per
MK ducantur EF PQ ho
rizonti æquidiſtantes; erit
vnaquæq; EP BN FQ ip
ſi KM æqualis. & quoniam
funis BCDEFG æqualis
eſt funi NCDPQO;
idem enim eſt funis; & fu­
nis circa ſemicirculum ER
F æqualis eſt funi circa ſe­
micirculum PSQ: dem­
ptis igitur communibus
BCDE, & FO, erit OG
tribus QF NB PE ſimul
ſumptis æqualis. ſed QF
NB PE ſimul triplæ ſunt
Mk, hoc eſt ſpatii poten­
tiæ motæ; ſpatium ergo
GO ponderis H moti tri­
172[Figure 172]
plum eſt ſpatii potentiæ motæ. quod oſtendere oportebat.
In præcedenti.
1
PROPOSITIO XVIII.
Si vtriuſq; duarum trochlearum binis orbicu
lis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſtineatur,
altera verò infernè, ibiq; annexa, collocata fue­
rit, funis circumnectatur; altero eius extremo
alicubi, non autem ſuperiori trochleæ religato,
alteri verò pondere appenſo; quadrupla erit
ponderis potentia.
Sit trochlea inferior, duos habens orbiculos,
quorum centra AB; ſit 〈qué〉 trochlea ſuperior
duos ſimiliter habens orbiculos, quorum cen­
tra CD; funiſq; EFGHKLMNOP ſit cir­
ca omnes orbiculos reuolutus, qui ſit religatus
in E; & in P appendatur pondus Q; ſitq; po­
tentia in R. dico potentiam in R quadruplam
eſſe ponderis q. Cùm enim ſi duæ intelligan
tur potentiæ, vna in k, altera in D, potentia
in k ſuſtinens pondus Q fune k LMNOP æ­
qualis erit ponderi; erunt duæ ſimul potentiæ,
vna in D, altera in k, pondus Q ſuſtinentes,
triplæ eiuſdem ponderis. Potentia verò in C
dupla eſt potentiæ in k, & per conſequens pon
deris Q; idem enim eſt, ac ſi in k appenſum eſ
ſet pondus æquale ponderi Q, cuius dupla eſt
potentia in C; duæ igitur potentiæ in DC qua­
druplæ ſunt ponderis q. & cùm potentia in R
orbiculis ſuſtineat pondus Q, erit potentia in R,
ac ſi duæ eſſent potentiæ, vna in D, altera in C,
& vtræq; ſimul pondus Q ſuſtinerent. ergo po­
tentia in R quadrupla eſt ponderis q. quod
oportebat demonſtrare. 173[Figure 173]
87 COROLLARIVM
16 Huius. 15 Huius.
Ex quo patet, ſi funis fuerit religatus in G, &
circa orbiculos, quorum centra ſunt BCD reuo­
lutus; potentiam in R pondus ſuſtinentem ſimili­
ter ponderis Q quadruplam eſſe. orbiculus enim,
cuius centrum A, nihil efficit.
Si autem in R ſit potentia mouens pondus. dico
ſpatium ponderis moti quadruplum eſſe ſpatii
potentiæ.
Moueantur centra CD orbiculorum vſq; ad
ST; erunt ex ſuperius dictis CS DT ſpatio
potentiæ æqualia; & per CSDT ducantur Hk
VX NO YZ horizonti æquidiſtantes; & dum
centra CD ſunt in ST, ſit pondus Q, hoc eſt
punctum P motum in 9. & quoniam funis EF
GHKLMNOP æqualis eſt funi EFGVX
LMYZ 9; cùm ſit idem funis: & funes circa
ſemicirculos NIO H αk ſunt æquales funi­
bus, qui ſunt circa ſemicirculos YdZ VβX;
demptis igitur communibus EFGH kLMN
& O9; erit P9 ipſis NY ZO VH Xk ſi­
mul ſumptis æqualis. quatuor autem NY ZO
VH Xk ſimul quadrupli ſunt DT, hoc eſt
ſpatii potentiæ; ſpatium igitur P9 ponderis
quadruplum eſt ſpatii potentiæ quod demon
ſtrandum fuerat. 174[Figure 174]
1
Si autem funis ſit re­
ligatus in E trochleæ ſu
periori, & potentia in R
ſuſtineat pondus Q; e­
rit potentia in R ponde
ris Q quintupla. & ſi in
R ſit potentia mouens
pondus; erit ſpatium pon
deris moti quintuplum
ſpatii potentiæ. quæ om­
nia ſimili modo oſten­
dentur, ſicut in præce­
dentibus demonſtra­
tum eſt. 175[Figure 175]
88
Si verò potentia in R ſubſtineat pon­
dus Q trochlea tres orbiculos habente,
quorum centra ſint ABC; & ſit alia tro
chlea infernè affixa duos, vel tres orbicu­
los habens, quorum centra DEF; ſitq;
funis circa omnes orbiculos reuolutus, ſi­
ue in G, ſiue in H religatus; ſimiliter
oſtendetur potentiam in R ſexcuplam
eſſe ponderis q. Et ſi in R ſit potentia
mouens pondus, oſtendetur ſpatium pon
deris moti ſexcuplum eſſe ſpatii poten­
tiæ. 176[Figure 176]
Et ſi funis ſit religatus in K trochleæ
ſuperiori, & in R ſit potentia pondus
ſuſtinens; ſimili modo oſtendetur poten
tiam in R ſeptuplam eſſe ponderis q.
Et ſi in R ſit potentia mouens, oſten
detur ſpatium ponderis Q ſeptuplum eſſe
ſpatii potentiæ. atq; ita in infinitum
omnis potentiæ ad pondus multiplex
proportio inueniri poterit. ſemperq; o­
ſtendetur, ita eſſe pondus ad potentiam
ipſum ſuſtinentem, ſicuti ſpatium poten
tiæ pondus mouentis ad ſpatium ponde­
ris moti.
Vectium autem ipſorum orbiculorum
motus in his fit hoc modo, videlicet vectes
orbiculorum trochleæ ſuperioris mouen
tur, vti dictum eſt in decima ſexta huius;
hoc eſt habent fulcimentum in extremita
te, potentiam in medio, pondus in altera extremitate appenſum. ve
ctes verò trochleæ inferioris habent fulcimentum in medio, pon
dus, & potentiam in extremitatibus.
1
COROLLARIVM
Manifeſtum eſt in his, orbiculos trochleæ ſu
perioris efficere, vt pondus moueatur maiori
potentia, quàm ſit ipſum pondus, & per maius
ſpatium potentiæ ſpatio, & per æquale tempo­
re minori; quod quidem orbiculi trochleæ in­
ferioris non efficiunt.
Alio quoq; modo hanc potentiæ ad pondus multiplicem propor
tionem inuenire poſſumus.
PROPOSITIO XVIIII.
Si vtriuſq; duarum trochlearum ſingulis orbi
culis, quarum altera ſupernè appenſa, altera ve­
rò infernè à ſuſtinente potentia retenta fuerit,
funis circumuoluatur; altero eius extremo alicu
bi religato, alteri autem pondere appenſo; du­
pla erit ponderis potentia.
89
Sit orbiculus trochleæ ſupernè appenſæ, cu
ius centrum ſit A; & BCD ſit trochleæ infe
rioris; ſit deinde funis EBC DFGHL reli­
gatus in E; & in L ſit appenſum pondus M;
ſitq; potentia in N ſuſtinens pondus M.
dico potentiam in N duplam eſſe ponderis
M. Cùm enim ſupra oſtenſum ſit potentiam
in L, quæ pondus, exempli gratia, O ſuſti­
neat in N appenſum, ſubduplam eſſe eiuſdem
ponderis; potentia igitur in N ponderi O æ­
qualis pondus M potentiæ in L æquale ſuſti
nebit; ponderiſq; M dupla erit. quod demon
ſtrare oportebat.
3 Huius.
177[Figure 177]
ALITER.
Iiſdem poſitis. Quoniam potentia in F,
ſeu in D, quod idem eſt, æqualis eſt ponde
ri M; & BD eſt vectis, cuius fulcimentum
eſt B, & potentia in N eſt, ac ſi eſſet in me­
dio vectis, & pondus æquale ipſi M, ac ſi eſ­
ſet in D propter funem FD; quod idem
eſt, ac ſi BCD eſſet orbiculus trochleæ ſupe
rioris, pondusq; appenſum eſſet in fune DF,
ſicut in decimaquinta, & decimaſexta dictum eſt; ergo potentia in
N dupla eſt ponderis M. quod erat oſtendendum.
1 Huius.
Si autem in N ſit potentia mouens pondus M, erit ſpatium
ponderis M duplum ſpatii potentiæ in N. quod ex duodecima
huius manifeſtum eſt; ſpatium enim puncti L deorſum ten­
dentis duplum eſt ſpatii N ſurſum; erit igitur è conuerſo ſpatium
potentiæ in N deorſum tendentis dimidium spatii ponderis M ſur
ſum moti.
Sicut autem ex tertia, quinta, ſeptima huius, &c. colligi poſſunt
ponderis O rationes quotcunq; multiplices ipſius potentiæ in L,
eodem quoq; modo oſtendi poterunt potentiæ in N pondus ſuſtinen
tis ponderis M quotcunq; multiplices. Atq; ita ex decimatertia
1decimaquarta rationes oſten
dentur quotcunq; multiplices
ſpatii ponderis M ad ſpatium
potentiæ mouentis in N conſti
tutæ. 178[Figure 178]
Poterit quoq; ex decimaſe
ptima decimaoctaua huius mul
tiplex inueniri proportio, quam
habet potentia pondus ſuſti
nens ad ipſum pondus; ſicut
proportio potentiæ in N ad pon
dus M ex decimaquinta, & deci
maſexta oſtendebatur: inuenie
turq; ita eſſe pondus ad poten
tiam pondus ſuſtinentem, vt ſpa
tium potentiæ mouentis ad ſpa
tium ponderis.
Vectium motus in his fit
hoc modo, videlicet vectes or
biculorum trochleæ inferioris
mouentur, vt vectis BD, quæ
mouetur, ac ſi B eſſet fulcimen
tum, & pondus in D, & poten
tia in medio. Vectes verò or
biculorum trochleæ ſuperioris mouentur, vt FH, cuius fulcimen
tum eſt in medio, pondus in H, & potentia in F.
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, orbiculos trochleæ
inferioris in his efficere, vt pondus maiori po­
90tentia moueatur, quàm ſit ipſum pondus, &
per maius ſpatium ſpatio potentiæ, & minori
tempore per æquale. quod quidem orbiculi ſu
perioris trochleæ non efficiunt.
Cognitis proportionibus multiplicibus, iam ad ſuperparticu
lares accedendum eſt.
PROPOSITIO XX.
Si vtriuſq; duarum trochlearum ſingulis or­
biculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſti­
neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata,
conſtituta fuerit, funis reuoluatur; altero eius extre
mo alicuibi, altero verò inferiori trochleæ reli
gato; pondus potentiæ ſeſquialterum erit.
1
Sit ABC orbiculus
trochleæ ſuperioris, &
DEF trochleæ inferio­
ris ponderi G alligatæ;
ſitq; funis HABCDE
Fk circa orbiculos re­
uolutus, qui ſit religatus
in K, & in H trochleæ
inferiori; ſitq; potentia
in L ſuſtinens pondus
G. dico pondus poten
tiæ ſeſquialterum eſſe.
Quoniam enim vterque
funis CD AH tertiam
ſuſtinet partem ponde­
ris G, erit vnaquæq; po
tentia in DH ſubtripla
ponderis G; quibus ſi­
mul aſſumptis eſt æqua­
179[Figure 179]
lis potentia in L: potentia enim in L dupla eſt potentiæ in D, &
eius, quæ eſt in H. quare potentia in L ſubſeſquialtera eſt ponde­
ris G. pondus ergo G ad pontentiam in L eſt, vt tria ad duo;
hoc eſt ſeſquialterum. quod demonſtrare oportebat.
Cor. 5 huius. Ex. 15 huius.
91
Si autem in L ſit potentia mouens pondus.
Dico ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſquial­
terum eſſe.
Iiſdem poſitis, perueniat orbi­
culus ABC vſq; ad MNO, &
DEF ad PQR; & H in S; &
pondus G vſq; ad T. Et quoniam
funis HABCDEFK eſt æqualis
funi SMNOPQRk, cùm ſit
idem funis; & funes circa ſemicir
culos ABC MNO ſunt inter ſe
ſe æquales; qui verò ſunt circa
DEF PQR ſimiliter inter ſe æ­
quales; Demptis igitur AS CP
RK communibus, erunt duo CO
MA tribus DP HS FR æqua­
les. ſed vterq; CO AM ſeorſum
eſt æqualis ſpatio potentiæ motæ.
quare duo CO MA, ſimul ſpatii
potentiæ dupli erunt: treſq; DP
HS FR ſimul ſimili modo ſpatii
ponderis moti tripli erunt. dimidia
verò pars, hoc eſt ſpatium poten
tiæ motæ ad tertiam, ad ſpatium
ſcilicet ponderis moti ita ſe habet,
vt duplum dimidii ad duplum ter­
tii; hoc eſt, vt totum ad duas ter
180[Figure 180]
tias, quod eſt vt tria ad duo. ſpatium ergo potentiæ in L ſpa­
tii ponderis G moti ſeſquialterum eſt. quod oſtendere opor­
tebat.
1
PROPOSITIO XXI.
Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua
rum altera vnius tantùm orbiculi ſupernè à po­
tentia ſuſtineatur, altera verò duorum infernè,
ponderiq; alligata, collocata fuerit, funis cir­
cumuoluatur; altero eius extremo alicubi, altero
autem ſuperiori trochleæ religato: pondus poten
tiæ ſeſquitertium erit.
Sit pondus A trochleæ inferiori alliga­
tum, quæ duos habeat orbiculos, quorum
centra ſint BC; ſuperiorq; trochlea orbicu­
lum habeat, cuius centrum D; & ſit funis
EFGHkLMN circa omnes orbiculos re
uolutus, qui religatus ſit in N, & in E tro
chleæ ſuperiori; ſit〈qué〉 potentia in O
ſuſtinens pondus A. dico pondus po­
tentiæ ſeſquitertium eſſe. Quoniam enim
vnuſquiſq; funis NM HG EF KL quar­
tam ſuſtinent partem ponderis A, & omnes
ſimul totum ſuſtinent pondus; tres HG
EF kL ſimul tres ſuſtinebunt partes pon­
deris A. quare pondus A ad hos omnes
ſimul erit, vt quatuor ad tria: & cùm po­
tentia in O idem efficiat, quod HG EF kL
ſimul efficiunt; omnes enim ſuſtinet; erit po
tentia in O tribus ſimul HG EF kL æ­
qualis; & ob id pondus A ad potentiam
in O erit, vt quatuor ad tria; hoc eſt ſeſqui
tertium. quod demonſtrare oportebat. 181[Figure 181]
92
Si vero in O ſit potentia mouens pondus A.
Dico ſpatium potentiæ in O decurſum ſpatii pon
deris A moti ſeſquitertium eſſe.
Cor. 1 ſeptimebuius.
Iiſdem poſitis, ſit centrum B motum
in P; &C vſq; ad Q; & D in R; & E in
S eodem tempore: & per centra ducantur
ML 9Z FG TV Hk XY horizonti,
& inter ſe ſe æquidiſtantes. Similiter, vt in
præcedente oſtendetur tres XH SE Yk
quatuor TG VF ZL 9M æquales eſſe. &
quoniam tres XH SE Yk ſimul triplæ
ſunt ſpatii potentiæ, quatuor verò TG VF
ZL 9M ſimul quadruplæ ſunt ſpatii pon
deris moti; erit ſpatium potentiæ ad ſpa­
tium ponderis, vt tertia pars ad quartam.
ſed tertia pars ad quartam eſt, vt tres ter
tiæ ad tres quartas, hoc eſt, vt totum ad
tres quartas; quod eſt, vt quatuor ad tria.
ſpatium ergo potentiæ ſpatii ponderis mo
ti ſeſquitertium eſt. quod erat demon­
ſtrandum. 182[Figure 182]
Si verò funis in E per alium circumuol
uatur orbiculum, qui deinde trochleæ in
feriori religetur; ſimiliter oſtendetur pro
portionem ponderis ad potentiam in O pon
dus ſuſtinentem ſeſquiquartam eſſe. quòd
ſi in O ſit potentia mouens pondus, oſten
detur ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſ
quiquartum eſſe. & ſic in infinitum proce
dendo quamcunq; ſuperparticularem pro
portionem ponderis ad potentiam inuenie
mus; ſemperq; reperiemus, ita eſſe pondus
ad potentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpa­
tium potentiæ mouentis ad ſpatium ponde­
ris moti.
1
Motus verò vectium fit hoc mo
do, videlicet vectis ML fulci­
mentum eſt M, cùm funis ſit re
ligatus in N, & pondus in me­
dio, & potentia in L. ve­
rò punctum L tendit ſurſum, quod
à fune KL mouetur, idcirco K ſur­
ſum mouebitur, & vectis HK ful
cimentum erit H, pondus ac ſi eſ
ſent in k, & potentia in medio;
vectis autem FG fulcimentum
erit G, pondus in medio; & poten
tia in F. punctum enim F ſurſum
mouetur à fune EF. Præterea
G in orbiculo deorſum tendit,
quia H quoque in eius orbiculo
deorſum mouetur. 183[Figure 183]
93 PROPOSITIO XXII.
Si vtriſque duarum trochlearum ſingulis
orbiculis, quarum altera ſupernè à potentia
ſuſtineatur, altera verò infernè, ponderiq; alli­
gata, collocata fuerit, circumducatur funis; al­
tero eius extremo alicubi, altero autem ſuperio
ri trochleæ religato. erit potentia ponderis ſeſ
quialtera.
Sit orbiculus ABC trochleæ ponderi D al
ligatæ; & EFG trochleæ ſuperioris, cuius
centrum H; ſit deinde funis k ABCEFGL
circa orbiculos reuolutus, & religatus in L, &
in k trochleæ ſuperiori; ſitq; potentia in M
ſuſtinens pondus D. dico potentiam ponde
ris ſeſquialteram eſſe. Quoniam enim poten
tia in E ſuſtinens pondus D ſubdupla eſt pon
deris D, potentiæ verò in E dupla eſt poten
tia in H; erit potentia in H ponderi D æqua
lis; & cùm potentia in K ſubdupla ſit ponde
ris D; erunt vtræq; ſimul potentiæ in H k ſeſ
quialteræ ponderis D. Itaq; cùm potentia in
M duabus potentiis in Hk ſimul ſumptis ſit
æqualis, quemadmodum in ſuperioribus o­
ſtenſum eſt; erit potentia in M ſeſquialtera
ponderis D. quod oportebat demonſtrare.
2 Huius. Ex 15 huius. 2 Cor. 2 Huius.
Si verò in M ſit potentia mouens pondus,
ſimiliter vt in præcedentibus oſtendetur, ſpa
tium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquialterum
eſſe. 184[Figure 184]
1
Et ſi funis in K per alium circumuoluatur
orbiculum, cuius centrum ſit N; qui dein­
de trochleæ inferiori religetur in O; & po­
tentia in M ſuſtineat pondus D. dico pro­
portionem potentiæ ad pondus ſeſquiter­
tiam eſſe. 185[Figure 185]
Quoniam enim potentia in E ſuſtinens
pondus D fune ECB AKPO ſubtripla eſt
ipſius D, ipſius autem E dupla eſt potentia
in H; erit potentia in H ſubſeſquialtera pon
deris D. ſimili quoq; modo quoniam po
tentia in O, quæ eſt, ac ſi eſſet in centro or
biculi ABC, ſubtripla eſt ponderis D; ip­
ſius autem O dupla eſt potentia in N; erit
quoq; potentia in N ſubſeſquialtera ponde­
ris D. quare duæ ſimul potentiæ in HN pon
dus D ſuperant tertia parte, ſe ſe habentq; ad
D in ratione ſeſquitertia: & cùm potentia
in M duabus ſit potentiis in HN ſimul ſum
ptis æqualis, ſuperabit itidem potentia in
M pondus D tertia parte. ergo proportio
potentiæ in M ad pondus D ſeſquitertia
eſt. quod demonſtrare oportebat.
5 Huius. Ex 15 huius. 3, 15,Huius.
Si autem in M ſit potentia mouens pon­
dus, ſimili modo oſtendetur ſpatium ponderis D ſpatii potentiæ in
M ſeſquitertium eſſe.
Et ſi funis in O per alium circumuoluatur orbiculum, qui tro­
chleæ ſuperiori deinde religetur; eodem modo demonſtrabimus
proportionem potentiæ in M pondus ſuſtinentis ad pondus ſeſ­
quiquartam eſſe. & ſi in M ſit potentia mouens, ſimiliter oſten­
detur ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquiquartum eſſe. pro­
cedendoq; hoc modo in infinitum quamcunq; proportionem
potentiæ ad pondus ſuperparticularem inueniemus; ſemper〈qué〉
94oſtendemus potentiam pondus ſuſtinentem ita eſſe ad pondus,
vt ſpatium ponderis ad ſpatium potentiæ pondus mouentis.
Motus verò vectis EG eſt, ac ſi G eſſet fulcimentum, cùm
funis ſit religatus in L; pondus ac ſi in E eſſet appenſum, & po­
tentia in medio. Vectis verò CA fulcimentum eſt A pondus in
medio, & potentia in C. & K fulcimentum eſt vectis Pk, pon­
dus in P, & potentia in medio. quæ omnia ſicut in præceden­
ti oſtendentur.
PROPOSITIO XXIII.
Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis or­
biculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſti­
neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata,
conſtituta fuerit, circumferatur funis; vtroq; eius
extremo alicuibi, non autem trochleis religato;
æqualis erit ponderi potentia.
1
Sit orbiculus trochleæ ſuperioris
ABC, cuius centrum D; & EFG
trochleæ ponderi H alligatæ, cu­
ius centrum k; & ſit funis LEF
GABCM circa orbiculos reuo­
lutus, religatuſq; in LM; ſitq;
potentia in N ſuſtinens pondus
H. dico potentiam in N æqua
lem eſſe ponderi H. Accipiatur
quoduis punctum O in AG. &
quoniam ſi in O eſſet potentia ſu
ſtinens pondus H, ſubdupla eſſet
ponderis H, & potentiæ in O
dupla eſt ea, quæ eſt in D, ſiue
(quod idem eſt) in N; erit po
tentia in N ponderi H æqualis.
quod demonſtrare oportebat. 186[Figure 186]
Et ſi in N ſit potentia mouens pondus. Dico
ſpatium potentiæ in N æqualem eſſe ſpatio pon
deris H moti.
2 Huius. Ex 15 huius.
Quoniam enim ſpatium puncti O moti, duplum eſt, tùm ſpatii
ponderis H moti, tùm ſpatii potentiæ in N motæ; erit ſpatium
potentiæ in N ſpatio ponderis H æquale.
11 Huius. 16 Huius.
95
ALITER.
Iiſdem poſitis, transfera
tur centrum orbiculi ABC
vſq; ad P; orbiculuſq; poſi
tionem habeat QRS; dein
de eodem tempore orbiculus
EFG ſit in TVX, cuius cen
trum ſit Y; & pondus perue
nerit in Z. ducantur per or
biculorum centra lineæ GE
TX AC QS horizonti æqui
diſtantes. & ſicut in aliis
demonſtratum fuit, duo fu­
nes AQ CS duobus XG
TE æquales erunt; ſed AQ
CS ſimul dupli ſunt ſpatii po
tentiæ motæ; & duo XG TE
ſimul ſunt ſimiliter dupli ſpa
tii ponderis; erit igitur ſpatium
potentiæ ſpatio ponderis æ­
quale. quod demonſtrare o­
portebat. 187[Figure 187]
1
Quod etiam ſi vtraq; trochlea duos
habuerit orbiculos, quorum centra
ſint ABCD, funiſq; per omnes cir
cumuoluatur, qui in LM religetur;
ſimiliter oſtendetur potentiam in N
æqualem eſſe ponderi H. vnaquæq;
enim potentia in EF ſuſtinens pon­
dus ſubquadrupla eſt ponderis; & po
tentiæ in CD duplæ ſunt earum,
quæ ſunt in EF; erit vnaquæq; po­
tentia in CD ſubdupla ponderis H.
quare potentiæ in CD ſimul ſumptæ
ponderi H erunt æquales. & quo­
niam potentia in N duabus in CD
pontentiis eſt æqualis; erit potentia
in N ponderi H, æqualis.
Et ſi in N ſit potentia mouens, ſi
mili modo oſtendetur, ſpatium po­
tentiæ æquale eſſe ſpatio ponderis.
Si autem vtraq; trochlea tres, vel
quatuor, vel quotcunq; habeat orbi­
culos; ſemper oſtendetur potentiam in
N æqualem eſſe ponderi H; & ſpa
tium potentiæ pondus mouentis æ­
quale eſſe ſpatio ponderis moti. 188[Figure 188]
Vectium autem motus hoc pacto ſe habent; orbiculorum qui
dem trochleæ ſuperioris, veluti AC in præcedenti figura fulcimen
tum eſt C, pondus verò in A appenſum, & potentia in D medio.
vectes autem orbiculorum trochleæ inferioris ita mouentur, vt ip
ſius GE fulcimentum ſit E, pondus in medio appenſum, & po
tentia in G.
96
PROPOSITIO XXIIII.
Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua
rum altera vnius dumtaxat orbiculi ſupernè à
potentia ſuſtineatur, altera verò duorum infer­
nè, ponderiq; alligata fuerit conſtituta, cir­
cundetur funis; vtroq; eius extremo alicubi, ſed
non ſuperiori trochleæ religato: duplum erit
pondus potentiæ.
Sint AB centra orbiculorum
trochleæ ponderi C alligatæ; D ve
rò ſit centrum orbiculi trochleæ ſu
perioris; ſit deinde funis per om
nes orbiculos circumuolutus, reli
gatuſq; in EF; & ſit potentia in
G ſuſtinens pondus C. dico pon
dus C duplum eſſe potentiæ in G.
Quoniam enim ſi in H k duæ eſ­
ſent potentiæ pondus ſuſtinentes
duobus funibus orbiculis trochleæ
inferioris tantùm circumuolutis, eſ
ſet vtiq; vtraq; potentia in k H ſub
quadrupla ponderis C; ſed poten­
tia in G æqualis eſt potentiis in Hk
ſimul ſumptis; vniuſcuiuſq; enim
potentiæ in H, & k dupla eſt: erit
potentia in G ſubdupla ponderis
C. pondus ergo potentiæ duplum
erit. quod demonſtrare opor­
tebat. 189[Figure 189]
1
Et ſi in G ſit potentia mouens pondus. Dico
ſpatium potentiæ duplum eſſe ſpatii ponderis.
Ex 7 huius Ex 15 huius.
Iiſdem poſitis, ſint
moti orbiculi, ſimiliter
demonſtrabitur ambos
illos LM NO æquales
eſſe quatuor PQ RS
TV XY. ſed LM NO
ſimul dupli ſunt ſpatii po
tentiæ in G motæ; &
quatuor PQ RS TV
XY ſimul quadrupli ſunt
ſpatii ponderis moti. ſpa
tium igitur potentiæ ad
ſpatium ponderis eſt tan
quam ſubduplum ad ſub
quadruplum. erit ergo
potentiæ ſpatium pon­
deris ſpatii duplum. 190[Figure 190]
97
Hinc autem conſiderandum
eſt quomodo fiat motus; quia,
cùm funis ſit religatur in F, vectis
NO in prima figura habebit ful­
cimentum O, pondus in medio,
& potentia in N. ſimiliter quo­
niam funis eſt religatus in E, ve
ctis PQ habebit fulcimentum P, &
pondus in medio, & potentia in
q. idcirco partes orbiculorum
in N, & Q ſurſum mouebuntur;
orbiculi ergo non in eandem, ſed
in contrarias mouebuntur partes,
videlicet vnus dextrorsum, alter ſi­
niſtrorſum. & quoniam potentiæ
in NQ eædem ſunt, quæ ſunt in
LM; potentiæ igitur in LM æ­
quales ſurſum mouebuntur. ve
ctis igitur LM in neutram moue
bitur partem. quare neq; orbicu
lus circumuertetur. Itaq; LM
erit tanquam libra, cuius centrum
D, pondera〈qué〉 appenſa in LM
æqualia quartæ parti ponderis C;
vnuſquiſq; enim funis LN MQ
quartam ſuſtinet partem ponderis C. mouebitur ergo totus orbi
culus, cuius centrum D, ſurſum; ſed non circumuertetur. 191[Figure 191]
1
Et ſi funis in F circa alios duos
voluatur orbiculos, quorum cen­
tra ſint HK, qui deinde religetur
in L; erit proportio ponderis ad
potentiam ſeſquialtera.
Si enim quatuor eſſent potentiæ
in MNOI, eſſet vnaquæq; ſubſeſ­
cupla ponderis C, quare quatuor
ſimul potentiæ in MNOI qua­
tuor ſextæ erunt ponderis C. &
quoniam duæ ſimul potentiæ in
HD quatuor potentiis in MNOI
ſunt æquales; & potentia in G æ­
qualis eſt potentiis in DH: erit
potentia in G quatuor ſimul po­
tentiis in MNOI æqualis; & ob
id quatuor ſextæ erit ponderis C.
proportio igitur ponderis C ad po
tentiam in G ſeſquialtera eſt.
Ex 9 huius
Et ſi in G ſit potentia mouens,
ſimili modo oſtendetur ſpatium
potentiæ ſpatii ponderis ſeſquialte
rum eſſe. 192[Figure 192]
Et ſi funis in L adhuc circa duos
alios orbiculos reuoluatur ſimi­
liter oſtendetur proportionem
ponderis ad potentiam ſeſqui­
tertiam eſſe. quòd ſi in G ſit
potentia mouens, oſtende­
tur ſpatium potentiæ ſpatii ponde
ris ſeſquitertium eſſe, atq; ita dein­
ceps in infinitum procedendo,
quamcunq; proportionem ponderis ad potentiam ſuperparticula
rem inueniemus ſemperq; reperiemus ita eſſe pondus ad poten
tiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium potentiæ mouentis ad ſpa
tium ponderis à potentia moti.
98
Motus vectium fit hoc modo, vectis YZ, cùm funis ſit religatus
in E, habet fulcimentum in Y, pondus in B medio appenſum, &
potentia in Z. & vectis PQ habet fulcimentum in P potentia in
medio, & pondus in q. oportet enim orbiculos, quorum cen­
tra ſunt BD in eandem partem moueri, videlicet vt QZ ſur­
ſum moueantur. & quoniam funis religatus eſt in L, erit T fulci
mentum vectis ST, qui pondus habet in medio, & potentia in
S. & quia S mouetur ſurſum, neceſſe eſt etiam R ſurſum moue
ri; & ideo F erit fulcimentum vectis FR, & pondus erit in R,
& potentia in medio. orbiculi igitur, quorum centra ſunt H k,
in contrariam mouentur partem eorum, quorum centra ſunt BD:
quare partes orbiculorum PF in orbiculis deorſum tendent; videlicet
verſus XV. vectis igitur VX in neutram partem mouebitur, cùm
P, & F deorſum moueantur; & VX erit tanquam vectis, in cuius
medio erit pondus appenſum, & in VX duæ potentiæ æquales
ſextæ parti ponderis C. potentiæ enim in MO hoc eſt funes PV
FX ſextam ſuſtinent partem ponderis C. totus igitur orbiculus,
cuius centrum A ſurſum vnà cum trochlea mouebitur; non au­
tem circumuertetur.
PROPOSITIO XXV.
Si tribus duarum trochlearum orbiculis,
quarum altera binis inſignita rotulis à potentia
ſupernè detineatur; altera verò vnius tantùm
rotulæ infernè conſtituta, ac ponderi alligata fue
rit, circumuoluatur funis; vtroq; eius extremo
alicuibi, non autem inferiori trochleæ religa­
to: dupla erit ponderis potentia.
1
Sit pondus A trochleæ inferiori alligatum,
quæ orbiculum habeat, cuius centrum ſit B; tro
chlea verò ſuperior duos orbiculos habeat,
quorum centra ſint CD; ſitq; funis circa om
nes orbiculos reuolutus, qui in EF ſit religatus;
potentiaq; ſuſtinens pondus ſit in G. dico po
tentiam in G ponderis A duplam eſſe. ſi enim
in H k duæ eſſent potentiæ pondus ſuſtinen
tes, eſſet vtraq; ſubdupla ponderis A; ſed po
tentia in D dupla eſt potentiæ in H, & poten
tia in C dupla potentiæ in K; quare duæ ſimul
potentiæ in CD vtriuſq; ſimul potentiæ in H k
duplæ erunt. ſed potentiæ in H k ponderi A ſunt
æquales, & potentiæ in CD ipſi potentiæ in G
ſunt etiam æquales; potentia igitur in G ponde­
ris A dupla erit. quod oportebat demonſtrare.
2. Cor. 2 Huius. Ex 15 huius.
Si autem in G ſit potentia mouens pon­
dus, ſimiliter vt in præcedenti oſtendetur ſpa
tium ponderis ſpatii potentiæ duplum eſſe. 193[Figure 193]
Hinc quoq; conſiderandum eſt vectem PQ
non moueri, quia vectis LM habet fulcimen
tum in L, potentia in medio, & pondus in M.
vectis autem NO habet fulcimentum in O,
potentia in medio, & pondus in N. quare M, & N ſurſum mo
uebuntur. in contrarias igitur partes orbiculi, quorum centra
ſunt CD mouentur. idcirco vectis PQ in neutram partem mo
uebitur; eritq;, ac ſi in medio eſſet appenſum pondus, & in PQ
duæ potentiæ æquales dimidio ponderis A. vtraq; enim potentia
in HK ſubdupla eſt ponderis A. totus igitur orbiculus, cuius
centrum B ſurſum mouebitur, ſed non circumuertetur.
99
Et ſi funis in F duobus aliis adhuc circumuol­
uatur orbiculis, quorum centra ſint HK, qui de­
inde religetur in L; erit proportio potentiæ in G
ad pondus A ſeſquialtera.
Si enim in MNOP quatuor eſſent poten
tiæ pondus ſuſtinentes, vnaquæq; ſubquadru
pla eſſet ponderis A: ſed cùm potentia in k
ſit dupla potentiæ in N; erit potentia in k
ponderis A ſubdupla. & quoniam potentia
in D duabus in MO potentiis eſt æqualis; erit
quoq; potentia in D ponderis A ſubdupla.
cùm autem adhuc potentia in C potentiæ in P
ſit dupla, erit ſimiliter potentia in C ponderis A
ſubdupla. tres igitur potentiæ in CD k tribus
medietatibus ponderis A ſunt æquales. quo­
niam autem potentia in G potentiis in CDK
eſt æqualis, erit potentia in G tribus medie­
tatibus ponderis A æqualis. Proportio igi­
tur potentiæ ad pondus ſeſquialtera eſt.
Ex 7 huius 15 Huius.
Si verò in G ſit potentia mouens, erit ſpa
tium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquialterum. 194[Figure 194]
Et ſi funis in L adhuc circa duos alios or
biculos reuoluatur, ſimiliter oſtendetur pro­
portionem potentiæ ad pondus ſeſquitertiam
eſſe. & ſic in infinitum omnes proportiones
potentiæ ad pondus ſuperparticulares inue­
niemus. oſtendemuſq; potentiam pondus
ſuſtinentem ad pondus ita eſſe, vt ſpatium
ponderis moti ad ſpatìum potentiæ pondus
mouentis.
1
Motus vectium fiet hoc
modo, videlicet Q erit ful
cimentum vectis QR, po­
tentia in medio, pondus
in R; & vectis Z 9 fulci
mentum erit Z, pondus in
medio, potentiaq; in 9. ſi
militer X erit fulcimentum
vectis VX, potentia in me
dio, pondus in V. & quo
niam V ſurſum mouetur, Y
quoq; ſurſum mouebitur;
& vectis YF fulcimentum
erit F: quare F, & Z in orbi
culis deorſum mouebun­
tur. & ob id vectis ST in
neutram mouebitur par­
tem; & ST erit tamquam
libra, cuius centrum D, &
pondera in ST æqualia
quartæ parti ponderis A.
vnuſquiſq; enim funis SZ
TF quartam ſuſtinet par­
tem ponderis A. orbicu­
lus ergo, cuius centrum D,
ſurſum mouebitur; non au
tem circumuertetur. 195[Figure 195]
100
Hactenus proportiones ponderis ad potentiam multiplices,
& ſubmultiplices; deinde ſuperparticulares, ſubſuperparticu­
lareſ〈qué〉 declaratæ fuerunt: nunc autem reliquum eſt, vt propor­
tiones inter pondus, & potentiam ſuperpartientes, & multi­
plices ſuperparticulares, multiplices〈qué〉 ſuperpartientes mani­
feſtentur.
PROPOSITIO XXVI.
PROBLEMA.
Si proportionem ſuperpartientem inuenire
volumus, quemadmodum ſi proportio, quam
habet pondus ad potentiam pondus ſuſtinen­
tem fuerit ſuperbipartiens, ſicut quinque ad
tria.
1
Exponatur potentia in A pondus B ſuſti
nens, proportionemq; habeat pondus B ad
potentiam in A, vt quinq; ad vnum; hoc eſt,
ſit potentia in A ſubquintupla ponderis B: de­
inde eodem fune circa alios orbiculos reuo­
luto inueniatur potentia in C, quæ tripla ſit
potentiæ in A. & quoniam pondus B ad po
tentiam in A eſt, vt quinq; ad vnum; &
potentia in A ad potentiam in C eſt, vt vnum
ad tria; erit pondus B ad potentiam in C, vt
quinq; ad tria; hoc eſt ſuperbipartiens.
Ex 9 huius. Ex 17 huius.
Et hoc modo omnes proportiones ponde
ris ad potentiam ſuperpartientes inuenientur;
vt ſi ſupertripartientem quis inuenire volue­
rit; eodem incedat ordine; fiat ſcilicet poten
tia in A ſuſtinens pondus B ſubſeptupla ip­
ſius ponderis B; deinde fiat potentia in C ip­
ſius A quadrupla; erit pondus B ad poten­
tiam in C, vt ſeptem ad quatuor: vídelicet
ſupertripartiens.
Si verò in C ſit potentia mo­
uens pondus erit ſpatium potentiæ
ſpatii ponderis ſuperbipartiens. 196[Figure 196]
Spatium enim potentiæ in C tertia pars
eſt ſpatii potentiæ in A, ita videlicet ſe habent,
vt quinq; ad quindecim; & ſpatium potentiæ
in A quintuplum eſt ſpatii ponderis B, hoc
eſt, vt quindecim ad tria; erit igitur ſpatium
potentiæ in C ad ſpatium ponderis B, vt
quinq; ad tria; videlicet ſuperbipartiens. & ſemper oſtendemus, ita
eſſe ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis; vt pondus
ad potentiam pondus ſuſtinentem.
17 Huius. 14 Huius.
Similiq; prorſus ratione proportionem potentiæ ad pondus ſu­
101perpartientem inueniemus. ſi enim C eſſet inferius, & in ipſo
appenſum eſſet pondus; B verò ſuperius, in quo eſſet potentia pon
dus in C ſuſtinens, eſſet potentia in B ſuperbipartiens ponderis
in C appenſi: cùm B ad A ſit, vt quinq; ad vnum; A verò ad
C, vt vnum ad tria.
Si autem multiplicem ſuperparticularem in­
uenire voluerimus; vt proportio, quam habet
pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, ſit
duplex ſeſquialtera, vt quinq; ad duo.
18 Huius. 5 Huius.
Eodem modo, quo ſuperpartientes inuenimus, has quo­
que omnes multiplices ſuperparticulares reperiemus. vt fiat
pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; potentia ve
ro in C ad potentiam in A, vt duo ad vnum; quod fiet, ſi fu­
nis ſit religatus in D, non autem trochleæ ſuperiori, vel in F: erit
pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad duo; hoc eſt duplum
ſeſquialterum.
Ex 9 huius. Ex 15, 16, Huius.
Et è conuerſo proportionem potentiæ ad pondus multiplicem
ſuperparticularem inueniemus; & vt in reliquis oſtendetur, ita eſ
ſe ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis, vt pondus
ad potentiam pondus ſuſtinentem.
Omnem quoq; multiplicem ſuperpartientem
eodem modo inueniemus; vt ſi proportio, quam
habet pondus ad potentiam, ſit duplex ſuperbi
partiens, vt octo ad tria.
Fiat potentia in A pondus B ſuſtinens ſuboctupla ponderis B;
& potentia in C potentiæ in A ſit tripla; erit pondus B ad po
tentiam in C, vt octo ad tria. & è conuerſo omnem potentiæ ad
1pondus proportionem multiplicem ſuperpartientem in ueniemus.
& vt in cæteris reperiemus ita eſſe pondus ad potentiam pondus
ſuſtinentem, vt ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium pon­
deris.
Ex 9 huius Ex 17 huius.
Notandum autem eſt, quòd cùm in præcedentibus demonstratio
nibus ſæpius dictum fuerit, potentiam pondus ſuſtinentem ipſius
ponderis duplam eſſe, vel triplam, & huiuſmodi; vt in decima­
quinta huius oſtenſum eſt; quia tamen potentia non ſolum pon
dus, verùm etiam trochleam ſuſtinet; idcirco maioris longè vir­
tutis, maioriſq; ipſi ponderi proportionis conſtituenda videtur
ipſa potentia. quod quidem verum eſt, ſi etiam trochleæ graui
tatem conſiderare voluerimus. ſed quoniam inter potentiam, &
pondus proportionem quærimus: ideo hanc trochleæ grauitatem
ommiſimus, quam ſiquis etiam conſiderare voluerit, vim ipſi po­
tentiæ æqualem trochleæ addere poterit. Quod ipſum etiam in
fune obſeruari poterit. & ſicut hoc in decimaquinta conſideraui
mus, idem quoq; in reliquis aliis conſiderare poterimus.
97
Nouiſſe etiam oportet, quòd ſicuti proportio
nes omnes inter potentiam, & pondus vnico
fune inuentæ fuerunt; ita etiam pluribus funi­
bus, trochleiſ〈qué〉 eædem inueniri poterunt. vt
ſi multiplicem ſuperparticularem proportionem
pluribus funibus inuenire voluerimus, veluti ſi
proportio, quam habet pondus ad potentiam
pondus ſuſtinentem, fuerit duplex ſeſquialtera, vt
quinq; ad duo; oportet hanc proportionem ex
pluribus componere. vt (exempli gratia) ex pro­
portione ſeſquiquarta, vt quin〈qué〉 ad quatuor,
& ex dupla, vt quatuor ad duo. exponatur igitur po
tentia in A pondus B ſuſtinens, ad quam pondus
proportionem habeat ſeſquiquartam, vt quinq; ad
quatuor: deinde alio fune inueniatur potentia in C,
cuius dupla ſit potentia in A. & quoniam B ad A eſt,
vt quinq; ad quatuor; & A ad C, vt quatuor ad
duo; erit pondus B ad potentiam in C, vt quin
que ad duo; hoc eſt proportionem habebit du­
plicem ſeſquialteram. 197[Figure 197]
Et notandum eſt hanc quoq; proportionem inue
niri poſſe, ſi proportionem quinq; ad duo ex pluri
bus componamus, vt quinq; ad quindecim & quin
decim ad viginti & viginti ad duo. Et hoc modo
non ſolum omnem aliam proportionem inuenie
mus, ſed quamcunq, multis, infinitis〈qué〉 mo­
dis comperiemus. omnis enim proportio ex infi­
nitis proportionibus componi poteſt. vt patet
in commentario Eutocii in quartam propoſitio­
nem ſecundi libri Archimedis de ſphera, & cy­
lindro.
Ex 21 huius. Ex 2 huius.
Poſſumus quoq; pluribus funibus, trochleis
verò inferioribus tantùm, vel ſuperioribus vti.
1
Sit pondus A, cui alligata ſit trochlea
orbiculum habens, cuius centrum B;
religetur funis in C, qui circa orbiculum
reuoluatur, funiſq; perueniat in D: erit
potentia in D ſuſtinens pondus A ſub­
dupla ponderis A. deinde funis in D
alteri trochleæ religetur, & circa huius
trochleæ orbiculum alius reuoluatur fu
nis, qui religetur in E, & perueniat in
F; erit potentia in F ſubdupla eius,
quod ſuſtinet potentia in D: eſt enim ac ſi
D dimidium ponderis A ſuſtineret ſi
ne trochlea; quare potentia in F ſubqua­
drupla erit ponderis A. & ſi adhuc fu
nis in F alteri trochleæ religetur, &
per eius orbiculum circumuoluatur a­
lius funis, qui religetur in G, & per
ueniat in H; erit potentia in H ſub
dupla potentiæ in F. ergo potentia in
H ſuboctupla erit ponderis A. & ſic
in infinitum ſemper ſubduplam poten
tiam præcedentis potentiæ inueniemus. 198[Figure 198]
Et ſi in H ſit potentia mouens, erit
ſpatium potentiæ ſpatii ponderis octu
plum. ſpatium enim D duplum eſt ſpa
tii ponderis A, & ſpatium F ſpatii D
duplum; erit ſpatium F ſpatii ponde
ris A quadruplum. ſimiliter quoniam
ſpatium potentiæ in H duplum eſt ſpatii
F, erit ſpatium potentiæ in H ſpatii
ponderis A octuplum.
2 Huius. 2 Huius. 11 Huius.
103
Sit deinde pondus A funi alliga­
tum, qui orbiculo trochleæ ſuperio
ris ſit circumuolutus, & religatus in
B; ſitq; potentia in C ſuſtinens pon
dus A: erit potentia in C ponderis A
dupla, deinde C alteri funi religetur,
qui per alterius trochleæ orbicu
lum circumuoluatur, & religetur
in D; erit potentia in E dupla po
tentiæ in C. Quare potentia in E
quadrupla erit ponderis A. & ſi ad
huc E alteri funi religetur, qui etiam
circa orbiculum alterius trochleæ re
uoluatur, & religetur in F; erit poten
tia in G dupla potentiæ in E. ergo
potentia in G octupla erit ponderis
A. & ſic in infinitum ſemper præ
cedentis potentiæ potentiam du­
plam inueniemus. 199[Figure 199]
Si autem in G ſit potentia mo­
uens, erit ſpatium ponderis octu­
plum ſpatii potentiæ in G. ſpatium
enim ponderis A duplum eſt ſpatii
potentiæ in C, & C duplum eſt ſpatii
ipſius E; quare ſpatium ponderis
A ſpatii potentiæ in E quadruplum
erit. ſimiliter quoniam ſpatium E
duplum eſt ſpatii potentiæ in G; erit ergo ſpatium ponderis A
octuplum ſpatii potentiæ in G.
15 Huius. Ex e adem. 16 Huius.
1
COROLLARIVM.
Ex his manifeſtum eſt maiorem ſemper ha­
bere proportionem ſpatium potentiæ mouen­
tis ad ſpatium ponderis moti, quàm pondus
ad eandem potentiam.
Hoc autem ex iis, quæ in corollario quartæ huius de vecte dicta
ſunt, patet.
PROPOSITIO XXVII.
PROBLEMA.
Datum pondus à data potentia trochleis
moueri.
Data potentia, vel eſt maior, vel æqualis, vel minor dato
pondere.
104
Et ſi eſt maior, tunc poten­
tia, vel abſq; alio inſtrumento,
vel fune circa orbiculum trochleæ
ſurſum appenſæ reuoluto datum
pondus mouebit. Minor enim po
tentia; quàm data, ponderi æque­
ponderat, data ergo mouebit.
Quod idem fieri poteſt iuxta om­
nes propoſitiones, quibus poten­
tia pondus ſuſtinens, vel æqualis,
vel minor pondere oſtenſa eſt. 200[Figure 200]
Si autem æqualis,
pondus mouebit fune
per orbiculum trochleæ
ponderi alligatæ circum
uoluto. potentia enim
ſuſtinens pondus ſubdu
pla eſt ponderis, poten
tia igitur ponderi æqua
lis datum pondus mo­
uebit. Quod etiam ſe­
cundum propoſitiones,
quibus potentiam pon
dere minorem eſſe o­
ſtenſum eſt, fieri po­
teſt. 201[Figure 201]
1
Si verò minor, ſit datum pondus
vt ſexaginta, potentia verò mouens
data ſit tredecim. inueniatur poten­
tia in A ſuſtinens pondus B, quæ pon
deris B ſit ſubquintupla. & quoniam
potentia in A pondus ſuſtinens eſt
vt duodecim; maior igitur poten­
tia, quàm duodecim in A pondus
B mouebit. Quare potentia vt tre­
decim in A pondus B mouebit. quod
facere oportebat.
Ex 1 huius 2 Huius. Ex 9 huius
Animaduertendum quoq; eſt in mo
uendis ponderibus, potentiam ali­
quando forſitan melius mouere mo
uendo ſe deorſum, quàm mouendo
ſe ſurſum. vt circumuoluatur adhuc
funis per alium trochleæ ſuperioris
orbiculum, cuius centrum C, funiſq;
perueniat in D; erit potentia in D ſuſti­nens pondus B ſimiliter duodecim, quem
admodum erat in A. Ideo poten­
tia vt tredecim in D pondus B mo­
uebit. & quia mouet ſe deorſum,
fortaſſe trahet facilius, quàm in A;
atq; tempus eſt idem, ſicut etiam
erat in A. 202[Figure 202]
105
PROPOSITIO XXVIII.
Ex 5 Huius
PROBLEMA.
Propoſitum ſit nobis efficere, potentiam pon
dus mouentem, & pondus per data ſpatia ſibi in
uicem longitudine commenſurabilia moueri.
Sit datum ſpatium potentiæ, vt tria,
ponderis verò, vt quatuor. inueniatur po
tentia in A pondus B ſuſtinens, quæ pon
deris ſit ſeſquitertia, vt quatuor ad trìa. ſi
igitur in A ſit potentia mouens pondus;
erit ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſ­
quitertium, vt quatuor ad tria. quod face
re oportebat. 203[Figure 203]
Hoc autem & ex iis, quæ dicta ſunt in
vigeſima ſecunda, & in vigeſimaquinta
huius efficere poſſumus ſolo fune. Quòd ſi
pluribus funibus id efficere voluerimus,
non ſolum multis, ſed infinitis modis hoc
efficere poterimus, vt ſupra dictum eſt.
Quare hoc affirmare poſſumus, quod qui­
dem mirum eſſe videtur: videlicet.
Ex 22 huius. Ex eadem. In 26 huius.
1
COROLLARIVM. I.
Ex his manifeſtum eſſe, Quamlibet datam in
numeris proportionem inter pondus, & poten
tiam; & inter ſpatium ponderis moti, & ſpatium
potentiæ motæ; infinitis modis trochleis inueni­
ri poſſe.
COROLLARIVM II.
Ex dictis etiam manifeſtum eſt, quò pondus
facilius mouetur, eò quoq; tempus maius eſſe;
quò verò difficilius, eò minus eſſe. & è con­
uerſo.
106
DE AXE IN
PERITROCHIO.
204[Figure 204]
Fabricam, & conſtructionem hu­
ius inſtrumenti Pappus in octauo
mathematicarum collectionum
libro docet; axemq; vocat AB,
tympanum verò CD circa idem
centrum; & ſcytalas in foramini­
bus tympani EF GH & c. ita vt potentia,
1 205[Figure 205]
quæ ſemper in ſcytalis eſt, vt in F, dum circum­
uertit tympanum, & axem, ſurſum moueat pon­
dus K axi appenſum fune LM circa axem reuo
luto. Nobis igitur reſtat, vt oſtendamus, cur ma­
gna pondera ab exigua virtute, quouè etiam mo
do hoc inſtrumento moueantur; temporis quin
etiam, ſpatiiq; mouentis inuicem potentiæ, ac
moti ponderis rationem aperiamus; huiuſmodi­
que inſtrumenti vſum ad vectem reducamus.
107
PROPOSITIO I.
Potentia pondus ſuſtinens axe in peritrochio
ad pondus eandem habet proportionem, quam
ſemidiameter axis ad ſemidiametrum tympani
vná cum ſcytala. 206[Figure 206]
Sit diameter axis AB, cuius centrum C; ſit diameter tympani
DCE circa idem centrum; ſintq; AB DE in eadem recta linea;
ſint deinde ſcytalæ in foraminibus tympani DF GH & c inter ſe ſe
æquales, atq; æquè diſtantes; ſitq; FE horizonti æquidiſtans;
1 207[Figure 207]
pondus autem K in fune BL circa axem volubili ſit appenſum. &
potentia in F ſuſtineat pondus K. Dico potentiam in F ad pondus
k ita ſe habere, vt CB ad CF. fiat vt CF ad CB, ita pondus
k ad aliud M, quod appendatur in F. & quoniam pondera M k
appenſa ſunt in FB; erit FB tanquam vectis, ſiue libra; quia ve
rò C eſt punctum immobile, circa quod axis, tympanusq; reuol­
uuntur; erit C fulcimentum vectis FB; vellibræ centrum. cùm
autem it a ſit CF ad CB, vt k ad M, pondera k M æqueponde­
rabunt. Potentia igitur in F ſuſtinens pondus k, ne deorſum ver­
gat, ponderi K æqueponderabit; ipſiq; M æqualis erit. idem enim
præſtat potentia, quod pondus M. pondus igitur K ad poten
tiam in F erit, vt CF ad CB; & conuertendo, potentia ad
pondus erit, vt CB ad CF, hoc eſt, ſemidiameter axis ad ſemi
108diametrum tympani vnà cum ſcytala DF. Similiter etiam oſten­
detur, ſi potentia pondus ſuſtinens fuerit in q. tunc enim ſuſti­
neret vecte CQ; & ad pondus eam haberet proportionem, quam
habet CB ad Cq. Videlicet ſemidiameter axis ad ſemidiame­
trum tympani vná cum ſcytala Eq. quod demonſtrare opor­
tebat.
6. Primi Archim. de æquepon. Cor. 4. quinti. 2 Huius. de vecte.
COROLLARIVM.
Manifeſtum eſt potentiam ſemper minorem
eſſe pondere.
Semidiameter enim axis ſemper ſemidiametro tympani mi­
nor eſt. & potentia eò minor eſt pondere, quò ſemidiameter axis
minor eſt ſemidiametro tympani vná cum ſcytala. quare quò lon
gior eſt CF, vel CQ; & quò breuior eſt CB, minor adhuc ſem
per potentia in F, vel in Q pondus k ſuſtinebit. quò enim minor
eſt CB, eò minorem habebit proportionem ſemidiameter axis
ad ſemidiametrum tympani vná cum ſcytala.
Hoc autem loco conſiderandum occurrit, quòd ſi in alia ſcyta­
la appendatur pondus, vt in T, ſuſtinens pondus k; it a nempè, vt
pondus in T appenſum, pondusq; k circa axem conſtitutum
maneant; erit pondus in T grauius pondere M in F appenſo.
iungatur enim TB, & à puncto C horizonti perpendicularis du­
catur CI, quæ lineam TB ſecet in I; tandemq; connectatur
TC, quæ æqualis erit CF. Quoniam autem pondera appenſa
ſunt in TB, perindè ſe ſe habebunt, ac ſi in punctis TB ipſorum
centra grauitatum haberent; vt antea dictum eſt. & quia ma­
nent, erit punctum I (ex prima huius de libra) amborum ſimul
grauitatis centrum; cùm ſit CI horizonti perpendicularis. ſed
quoniam angulus BCI eſt rectus, erit BIC acutus, lineaq; BI
ipſa BC maior erit. quare angulus CIT erit obtuſus; atq;
ideo linea CT ipſa TI maior erit. Cùm autem CT maior ſit
TI, & IB maior BC; maiorem habebit proportionem TC ad
CB, quàm TI ad IB; & conuertendo, minorem habebit pro­
1 208[Figure 208]
portionem BC ad CT, hoc eſt ad CF, quàm BI ad IT; vt ex
vigeſima ſexta quinti elementorum (iuxta Commandini editio­
nem) patet. Quoniam verò punctum I eſt ponderum in TB
exiſtentium centrum grauitatis; erit pondus in T ad pondus in B,
vt BI ad IT. pondus verò in F ad idem pondus in B eſt, vt BC
ad CF; maiorem igitur proportionem habebit pondus in T ad
pondus in B, quàm pondus in F ad idem pondus in B. ergo
grauius erit pondus in T, quàm pondus in F.
Ex 19 primi. Ex 13 primi. 6. Primi Archim. de æquepon. 10. Quinti.
Si verò loco ponderis in T animata potentia ſuſtinens pon­
dus k conſtituatur; quæ ita degrauet ſe, ac ſi in centrum mundi
tendere vellet; quemadmodum ſuapte natura efficit pondus in T
appenſum; erit hæc eadem ponderi in T appenſo æqualis; alio­
quin non ſuſtineret; quæ quidem ipſa potentia in F collocata ma
109ior erit. ſicuti enim ſe ſe habet pondus in T ad pondus in F, ita
& potentia in T ad potentiam in F; cùm potentiæ ſint ponderi­
bus æquales. verùm ſi vnaquæq; potentia ſeorſum ſumpta, tàm
in T, quàm in F ſuſtinens pondus ſecundum circunferentiam THFN
moueri ſe vellet, veluti apprehenſa manu ſcytala; tunc eademmet
potentia, vel in F, vel in T conſtituta idem pondus k ſuſtinere po
terit; cùm ſemper in cuiuſcunq; extremitate ſcytalæ ponatur, ab
eodem centro C æquidiſtans fuerit, ac ſecundum eandem circum
ferentiam ab eodem centro æqualiter ſemper diſtantem perpenſio
nem habeat. neq; enim (ſicuti pondus) proprio nutu magis in
centrum ferri exoptat, quam circulariter moueri; cùm vtrunq;, ſeu
quemlibet alium motum nullo prorſus reſpiciat diſcrimine. pro­
pterea non eodem modo res ſe ſe habet, ſiue pondera, ſiue anímatæ
potentiæ iiſdem locis eodem munere abeundo fuerint conſtitutæ.
Potentia autem mouet pondus vecte FB, videlicet dum po
tentia in F circumuertit tympanum, circumuertit etiam axem; &
FB fit tamquam vectis, cuius fulcimentum C, potentia mouens
in F, & pondus in B appenſum. & dum punctum F peruenit in N;
punctum H erit in F, & punctum B erit in O; ita vt ducta NO
tranſeat per C; eodemq; tempore pondus k motum erit in P, ita
vt OBP ſit æqualis ipſi BL, cùm ſit idem funis.
Deinde ex quarta huius de vecte facilè eliciemus ſpatium po­
tentiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti ita eſſe, vt ſemidiame
ter tympani cùm ſcytala ad ſemidiametrum axis, hoc eſt, vt CF
ad CB, cùm circumferentia FN ad BO, ſit vt CF ad CB. & quo
niam BL, eſt æqualis OBP, dempta communi BP, erit OB ip
ſi PL æqualis. quare FN ſpatium potentiæ ad PL ſpatium pon­
deris erit, vt CF ad CB, videlicet ſemidiameter tympani cùm
ſcytala ad ſemidiametrum axis. Quod idem oſtendetur, poten­
tia vel in Q, vel in qualibet alia ſcytala exiſtente, vt in S. cùm
enim ſcytalæ ſint ſibi inuicem æquales, atq; æqualiter diſtantes;
vbicunq; ſit potentia æquali mota velocitate ſemper æquali tem­
pore æquale ſpatium pertranſibit, hoc eſt ex Q in R, vel ex Sin T
eodem tempore mouebitur, quò ex F in N. ſed quò tempore po
tentia ex F in N mouetur, eodemmet prorſus pondus k ex L in
P quoq; mouetur; vbicunq; igitur ſit potentia, erit ſpatium poten­
1 209[Figure 209]
tiæ ad ſpatium ponderis moti, vt CF ad CB, hoc eſt ſemidia­
meter tympani cum ſcytala, ad ſemidiametrum axis.
Ex 4 huius de vecte.
COROLLARIVM. I.
Ex his manifeſtum eſt, ita eſſe pondus ad po­
tentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium poten­
tiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti.
110
COROLLARIVM II.
Manifeſtum eſt etiam, maiorem ſemper ha­
bere proportionem ſpatium potentiæ mouentis
ad ſpatium ponderis moti, quàm pondus ad ean
dem potentiam.
Præterea quò circulus FHN circa ſcytalas eſt maior, eò quoq;
in pondere mouendo maius ſumetur tempus; dummodo potentia
æquali moueatur velocitate. tempuſq; eò maius erit, quò diame
ter vnius diametro alterius eſt maior. circulorum enim circumfe­
rentiæ ita ſe habent, vt diametri. Cùm vero ex trigeſima ſexta
quarti libri Pappi Mathematicarum collectionum, duorum inæ
qualium circulorum æquales circumferentias inuenire poſsimus;
ideo tempus quoq; portionum circulorum inæqualium hoc modo
inueniemus. è conuerſo autem, quò maior erit axis circumferen
tia citius pondus ſurſum mouebitur. maior enim pars funis BL
in vna circumuerſione completa circa circulum ABO reuoluitur,
quàm ſi minor eſſet; cùm funis circumuolutus ſit circumferen­
tiæ circuli æqualis, circa quem reuoluitur.
23 Octaui libri Pappi.
COROLLARIVM.
Ex his manifeſtum eſt, quò facilius pondus mo
uetur, tempus quoq; eò maius eſſe; & quò dif­
ficilius, eò tempus minus eſſe. & è conuerſo.
1
PROPOSITIO II.
PROBLEMA.
Datum pondus à data potentia axe in peritro­
chio moueri.
Sit datum pondus ſexagin
ta; potentia verò vt decem.
exponatur quædam recta li­
nea AB, quæ diuidatur in C,
ita vt AC ad CB eandem
210[Figure 210]
habeat proportionem, quam ſexaginta ad decem. & ſi CB axis
ſemidiameter eſſet, & CA ſemidiameter tympani cùm ſcytalis;
patet potentiam vt decem in A ponderi ſexaginta in B æquepon
derare. Accipiatur autem inter BC quoduis punctum D; fiatq;
BD ſemidiameter axis, & DA ſemidiameter tympani cùm ſcy­
talis; ponaturq; pondus ſexaginta in B fune circa axem, & potentia
in A. Quoniam enim AD ad DB maiorem habet proportio­
nem, quam AC ad CB; maiorem habebit proportionem AD ad
DB, quam pondus ſexaginta in B appenſum ad potentiam vt decem
in A. Quare potentia in A pondus ſexaginta axe in peritro­
chio mouebit, cuius axis ſemidiameter eſt BD, & DA ſemidia
meter tympani cùm ſcytalis. quod erat faciendum.
Per præcedentem. Lemma in primi huius de vecte. Ex 11 huius de vecte.
111
ALITER.
Organicè verò melius erit hoc pacto.
Exponatur axis, cuius
diameter ſit BD, & cen­
trum C, quem quidem
axem maiorem, vel mino
rem conſtituemus, veluti
211[Figure 211]
magnitudo, ponderiſq; grauitas poſtulat. producatur deinde BD
vſq; ad A: fiatq; BC ad CA, vt decem ad ſexaginta. & ſi CA tym
pani cùm ſcytalis ſemidiameter eſſet, potentia decem in A ponde
ri ſexaginta in B æqueponderaret. producatur verò BA ex parte
A, & in hac producta linea quoduis accipiatur punctum E; fiatq;
CE ſemidiameter tympani cùm ſcytalis; ponaturq; potentia vt
decem in E; habebit EC ad CB maiorem proportionem, quàm
pondus ſexaginta in B ad potentiam vt decem in E. potentia igi­
tur vt decem in E mouebit pondus ſexaginta in B appenſum fune
circa axem, cuius ſemidiameter eſt CB, & CE ſemidiameter tym
pani cùm ſcytalis. quod facere oportebat.
1
Sub hoc facultatis genere ſunt ergatæ, ſuccu­
læ, terebræ, tympana cum ſuis axibus, ſiue dentata,
ſiue non; & ſimilia.
Terebra verò habet etiam neſcioquid cochleæ; dum enim mo­
uet pondus, ſcilicet dum perforat, ex ſua ferè natura ſemper vlte­
rius progreditur: habet enim ferè helices tamquam circa conum
deſcriptas. quoniam autem verticem habet acutum, ad cunei quoq;
rationem commodè referri poterit. 212[Figure 212]
112
DE CVNEO.
Aristoteles in quæſtioni­
bus Mechanicis quæſtione deci­
maſeptima aſſerit, cuneum ſcin­
dendo ponderi duorum vicem
prorſus gerere vectium ſibi inui­
cem contrariorum hoc modo.
Sit cuneus ABC, cu
ius vertex B, & ſit AB
æqualis BC; quod au
tem ſcindendum eſt,
ſit DEFG; ſitq; pars
cunei HB k intra DE
FG, & HB æqualis
ſit ipſi Bk. percutiatur
(vt fieri ſolet) cuneus
in AC, dum cuneus in
AC percutitur, AB fit
vectis, cuius fulcimen
tum eſt H, & pondus in
B. eodemq; modo CB
fit vectis, cuius fulci­
213[Figure 213]
mentum eſt K, & pondus ſimiliter in B. ſed dum percutitur cu­
neus, maiori adhuc ipſius portione ipſum DEFG ingreditur,
quàm prius eſſet: ſit autem portio hæc MBL; ſitq; M B ipſi BL
æqualis. & cùm MB BI ſint ipſis HB BK maiores; erit ML maior
1Hk. dum igitur ML
erit in ſitu Hk; opor­
tet, vt fiat maior ſciſsio;
& D moueatur verſus
O, G autem verſus N:
& quò maior pars cu
nei intra DEFG ingre
dietur, eò maior fiet
ſciſsio; & DG ma­
gis adhuc impellentur
verſus ON. pars igi
tur KG eius, quod ſcin
ditur, mouebitur à ve­
cte AB, cuius fulcimen
tum eſt H, & pondus
214[Figure 214]
in B; ita vt punctum B ipſius vectis AB impellat partem KG.
& pars HD mouebitur à vecte CB, cuius fulcimentum eſt k; ita
vt B vecte CB partem HD impellat.
Cùm autem tria ſint vectium genera, vt ſupra
oſtenſum eſt; idcirco conuenientius erit fortaſſè
cuneum hoc modo conſiderare.
Iiſdem poſitis, intelligatur vectis AB, cuius fulcimentum B, &
pondus in H, vt in ſecunda huius de vecte diximus. ſimiliter ve­
ctis CB, cuius fulcimentum B, & pondus in K; ita vt pars HD
moueatur à vecte AB, cuius fulcimentum eſt B, & pondus in H;
ita vt punctum H ipſius vectis AB impellat partem HD. ſimi
li quoq; modo pars KG moueatur à vecte CB, cuius fulcimentum
eſt B, & pondus in k, it aut k ipſius uectis CB partem k G mo­
ueat. quod quidem forſitan rationi magis conſentaneum erit.
113
Sit enim cuneus ABC;
ſintq; duo pondera ſepa­
rat a DEFG, & HIkL,
intra quæ ſit pars cunei
DBH, cuius uertex B
medium inter utrumq; ſi
tum obtineat. percutia­
tur autem cuneus, ita ut
magis adhuc intra pon­
dera propellatur, ſicuti
prius dictum eſt; ponde­
215[Figure 215]
ra enim ſunt, ac ſi unum tantùm continuum eſſet GFkL, quod
ſcindendum eſſet: eodem enim modo pars DG, dum cuneus
ulterius impellitur, mouebitur uerſus M; & pars HL uerſus N.
Moueatur itaq; pars DG uerſus M, & pars HL uerſus N, B uerò
dum ulterius progreditur, ſemper medium inter utrunq; pondus
remaneat. dum autem DG à cuneo mouetur uerſus M; patet B
non mouere partem DG uerſus M uecte CB, cuius fulcimentum
H; punctum enim B non tangit pondus; ſed DG mouebitur à pun­
cto uectis D uecte AB, cuius fulcimentum B; punctum enim D tan
git pondus, & inſtrumenta mouent per contactum. Similiter
HL mouebitur ab H uecte CB, cuius fulcimentum B; & uterq;
uectis utriq; reſiſtit in B, ita ut B potius fulcimenti uice fungatur,
quàm mouendi ponderis. quod ipſum hoc quoq; modo manife­
ſtum erit.
1
Sit, quod ſcindendum eſt A
BCD parallelogrammum rectan­
gulum; ſintq; duo vectes æqua­
les EF GF, & partes vectium
HF KF ſint intra ABCD; ſitq;
HF æqualis Fk, & HA æqua
lis KB. Oporteat verò vecti­
bus EF GF ſcindere ABCD
abſq; percuſsione, videlicet ſint
potentiæ mouentes in EG æqua
les. vt autem ſcindatur ABCD,
oportet partem HA moueri uer
216[Figure 216]
ſus M. & kB verſus N; ſed dum vectes mouentur, putá alter in
M, alter verò in N; neceſſe eſt, vt punctum F immobile rema
neat; in illo enim fit vectium occurſus. quare F erit fulcimen­
tum vtriuſq; vectis, & FG mouebit partem kB, cuius fulcimen
tum erit F, & potentia mouens in G; & pondus in k. ſimi­
liter pars HA mouebitur à vecte EF, cuius fulcimentum F, po
tentia in E, & pondus in H.
Si autem k H eſſent fulcimenta immobilia, & pondera in F;
dum vectis FG conatur mouere pondus in F, tunc ei reſiſtit ve­
ctis EF, qui etiam conatur mouere pondus in F ad partem op
poſitam; ſed quoniam potentiæ ſunt æquales, & cætera æqualia;
ergo in F non fiet motus: æquale enim non mouet æquale. patet
igitur in F maximam fieri vectium ſibi inuicem occurrentium reſi
ſtentiam, ita ut F ſit quoddam immobile. Quare conſiderando
cuneum, vt mouet vectibus ſibi inuicem aduerſis, forſitan eis po
tius utitur hoc ſecundo modo, quàm primo.
Quoniam autem totus cuneus ſcindendo mo
uetur, poſſumus idcirco eundem alio quoq; mo
do conſiderare; videlicet dum ingreditur id,
114quod ſcinditur, nihil aliud eſſe, niſi pondus ſu
pra planum horizonti inclinatum mouere. 217[Figure 217]
Sit planum horizonti æquidiſtans tranſiens per AB; ſit cuneus
CDB, & CD æqualis ipſi DB; & latus cunei DB ſit ſemper in
ſubiecto plano. ſit deinde pondus AEFG immobile in A; ſitq;
pars cunei EDH ſub AEFG. Quoniam enim dum percutitur cu
neus in CB, maior pars cunei ingreditur ſub AEFG, quàm ſit
EDH; ſit hæc pars IDH. & quoniam latus cunei DB ſemper
eſt in ſubiecto plano per AB ducto horizonti parallelo, tunc quan
do pars cunei kDI erit ſub AEFG; erit punctum k in H, & I
ſub E. ſed Ik maior eſt HE; punctum igitur E ſurſum motum
erit. & dum cuneus ſub AEFG ingreditur, punctum E ſurſum
ſuper latus cunei EI mouebitur, eodemq; modo ſi cuneus vlterius
progredietur, ſemper punctum E ſuper latus cunei DC mouebitur:
punctum igitur E ponderis ſuper planum DC mouebitur horizonti
inclinatum, cuius inclinatio eſt angulus BDC. quod demon­
ſtrare oportebat.
1 218[Figure 218]
In hoc exemplo, conſiderando cuneum inſtar vectis mouen­
tem, manifeſtum eſt, cuneum BCD pondus AEFG vecte CD
mouere; ita vt D ſit fulcimentum, & pondus in E. non autem ve
cte BD, cuius fulcimentum H, & pondus in D.
Vt autem res clarior reddatur, alio vtamur
exemplo.
Sit planum hori­
zonti æquidiſtans
tranſiens per AB; ſit
cuneus CAB, cuius
latus AB ſit ſemper
in ſubiecto plano; ſit­
〈qué〉 pondus AEFG,
quod nullum alium
habeat motum, niſi
219[Figure 219]
ſurſum, & deorſum ad rectos angulos horizonti; ita vt ducta IGk
ſubiecto plano, ipſi〈qué〉 AB perpendicularis, punctum G ſit ſem
per in linea IGk. & quoniam dum cuneus percutitur in CB, to
tus ſuper AB vlterius progreditur; pondus AEFG eleuabitur ex
115iis, quæ ſupra diximus. Moueatur cuneus ita, vt E tandem per­
ueniat in C, & poſitio cunei ABC ſit MNO, & poſitio pon­
deris AEFG ſit PMQI, & G ſit in I. Quoniam itaq; dum cu
neus ſuper lineam BO mouetur, pondus AEFG ſurſum moue­
tur à linea AC. & dum cuneus ABC vlterius progreditur, ſem
per pondus AEFG magis à latere cunei AC eleuatur: pondus igi
tur AEFG ſuper planum cunei AC mouebitur; quod quidem
nihil aliud eſt, niſi planum horizonti inclinatum, cuius inclinatio
eſt angulus BAC.
Hic motus facilè ad libram, vectemq; reducitur. quod enim
ſuper planum horizonti inclinatum mouetur ex nona Pappi octa­
ui libri Mathematicarum collectionum reducitur ad libram. ea­
dem enim eſt ratio, ſiue manente cuneo, vt pondus ſuper cunei
latus moueatur; ſiue eodem etiam moto, pondus adhuc ſuper ip
ſius latus moueatur; tamquam ſuper planum horizonti incli­
natum.
Ea verò, quæ ſcinduntur, quomodo tam­
quam ſuper plana horizonti inclinata mouean­
tur, oſtendamus.
Sit cuneus ABC,
& AB ipſi BC æqua­
lis. Diuidatur AC
bifariam in D, conne­
ctaturq; BD. ſit dein­
de linea EF, per quam
tranſeat planum hori
zonti æquidiſtans; ſitq;
BD in eadem linea EF;
& dum cuneus percuti
tur, dumq; mouetur ver
220[Figure 220]
ſus E, ſemper BD ſit in linea EF. quod verò ſcindendum eſt
ſit GHLM, intra quod ſit pars cunei kBI. manifeſtum eſt,
1dum cuneus uerſus E
mouetur, partem kG
verſus N moueri; & par
tem HI uerſus O. per
cutiatur cuneus, ita vt
AC ſit in linea NO;
tunc k erit in A, & I in
C: & k ex ſuperius di
ctis motum erit ſuper
kA, & I ſuper IC.
quare dum cuneus mo
221[Figure 221]
uetur, pars KG ſuper BA latus cunei mouebitur, & pars IH ſuper
latus BC. pars igitur kG ſuper planum mouetur horizonti incli­
natum, cuius inclinatio eſt angulus FBA. ſimiliter IH moue­
tur ſuper planum BC in angulo FBC. Partes ergo eius, quod
ſcinditur ſuper plana horizonti inclinata mouebuntur. & quam­
quam planum BC ſit ſub horizonte; pars tamen IH ſuper IC mo
uetur, tamquam ſi BC eſſet ſupra horizontem in angulo DBC. partes
enim eius quod scinditur, eodem tempore, ab eadem potentia mo­
uentur; eadem ergo erit ratio motus partis IH, ac partis KG. ſi­
militer eadem eſt ratio, ſiue EF ſit horizonti æquidiſtans, ſiue
horizonti perpendicularis, vel alio modo. neceſſe eſt enim poten
tiam cuneum mouentem eandem eſſe, cùm cætera eadem rema
neant. eadem igitur erit ratio.
Poſt hæc conſiderandum eſt, quæ nam ſint ea, quæ efficiunt,
vt aliquod facilius moueatur, ſiue ſcindatur. quæ quidem duo
ſunt.
Primum, quod efficit, vt aliquod facilè ſcin
datur, quod etiam ad eſſentiam cunei magis per­
tinet, eſt angulus ad verticem cunei; quò enim
minor eſt angulus, eò facilius mouet, ac ſcindit.
116
Sint duo cunei ABC DEF, & angulus
ABC ad verticem minor ſit angulo DEF.
dico aliquod facilius moueri, ſiue ſcindi à cu
neo ABC, quàm à DEF. diuidantur AC
DF bifariam in G H punctis; connectan­
turq; BG, & EH. Quoniam enim partes
eius, quod ſcinditur à cuneo ABC, ſu­
per planum horizonti inclinatum mouen­
tur, cuius inclinatio eſt GBA: quæ ve­
rò à cuneo DEF, ſuper planum horizonti
inclinatum mouentur, cuius inclinatio eſt
222[Figure 222]
HED; & angulus GBA minor eſt angulo HED; cùm
CBA minor ſit DEF: & ex nona Pappi octaui libri mathe
maticarum collectionum, quod mouetur ſuper planum AB faci­
lius mouebitur, & à minore potentia, quàm ſuper ED; Quod
ergo ſcinditur à cuneo ABC facilius, & à minore potentia ſcin
detur, quàm à cuneo DEF. ſimiliter oſtendetur, quò magis an­
gulus ad verticem cunei erit acutus, eò facilius aliquod moueri,
ac ſcindi. quod demonſtrare oportebat.
Poſſumus etiam hoc alia ratione oſtendere
conſiderando cuneum, vt vectibus ſibi inuicem
aduerſis mouet, ſicuti ſecundo modo dictum eſt.
hoc autem prius oſtendere oportet.
1
Sit vectis AB, cuius fulcimentum
ſit B immobile; quod autem mouen­
dum eſt, ſit CDEF rectangulum ita
accommodatum, vt deorſum ex par
te FE moueri non poſsit; & punctum
E ſit immobile, & tamquam centrum;
ita vt punctum D moueatur per cir­
cumferentiam circuli DH, cuius cen­
trum ſit E. & C per circumferentiam
CL, ita vt iuncta CE ſit eius ſemi
diameter. tangat inſuper CDEF ve
223[Figure 223]
ctem AB in C, atq; vectis AB moueat pondus CDEF, & po
tentia mouens ſit in A, fulcimentum B, & pondus in C. ſit
deinde alius vectis MCN, qui etiam moueat CDEF, cuius ful
cimentum immobile ſit N; potentia mouens in M, & pondus
ſimiliter in C; ſitq; CN æqualis ipſi CB, & CM ipſi CA; al
ternatimq; moueatur pondus CDEF vectibus AB MN. dico
CDEF facilius ab eadem potentia moueri vecte AB, quàm ve
cte MN.
Fiat centrum B, & interuallo BC circumferentia deſcribatur
CO. ſimiliter centro N, interuallo quidem NC, circumferen
tia deſcribatur CP. Quoniam enim dum vectis AB mouet CD
EF, punctum vetis C mouetur ſuper circumferentiam CO; cùm
ſit B fulcimentum, & centrum immobile. ſimiliter dum vectis
MN mouet CDEF, punctum C mouetur per circumferentiam
CP; dum igitur vectis AB mouet CDEF, conatur mouere pun
ctum C ponderis ſuper circumferentiam CO; quod quidem effi
cere non poteſt: quia C mouetur ſuper circumferentiam CL. qua
re in motu vectis AB ſecundùm partem ipſi reſpondentem, ac mo
tu ponderis ſecundum C facto, contingit repugnantia quædam;
in diuerſas enim partes mouentur. ſimiliter dum vectis MN mo
uet CDEF, conatur mouere C ſuper circumferentiam CP; at­
que ideo in hoc etiam vtroq; motu ſimilis oritur repugnantia.
quoniam autem circumferentia CO propior eſt circumferentiæ
CL, quam ſit CP; hoc eſt propior eſt motui, quem facit pun­
ctum C ponderis; ideo minor erit repugnantia inter motum vectis
117AB, & motum C ponderis, quàm inter motum vectis MN, &
motum eiuſdem C. quod etiam patet, ſi intelligatur CF hori­
zonti perpendicularis, tunc enim circumferentia CP magis ten
dit deorſum, quàm CO; & CL tendit ſurſum. & ideo minor fit re
pugnantia inter vectem AB, & motum C, quàm inter vectem MN, &
motum C. ſed vbi minor repugnantia ibi maior facilitas. ergo faci
lius mouebitur CD EF vecte AB, quàm vecte MN. quod demon
ſtrare oportebat.
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, quò minor eſt an­
gulus à linea CF, vel CE, vel CD contentus;
hoc eſt, quò minor eſt angulus BCF, vel BCE,
vel etiam BCD, eò facilius pondus moueri.
quod quidem eodem modo oſtendetur.
Quod autem propoſitum eſt, ſic demon­
ſtrabimus.
Sint cunei ABC DE
F, & angulus ABC mi­
nor ſit angulo DEF, &
AB BC DE EF ſint in
ter ſe ſe æquales. Sint de­
inde quatuor pondera æ­
qualia GH IL NO QR
rectangula; ſintq; LM
kH in eadem recta linea:
224[Figure 224]
ſimiliter RS PO in recta linea; erunt GK IM parallelæ, & NP
QS parallelæ. ſit IBG pars cunei intra pondera GH IL; & cu
nei pars QEN intra pondera NO QR; ſint〈qué〉 IB BG QE
EN inter ſe ſe æquales. dico pondera GH IL facilius ab eadem
1potentia moueri cuneo
ABC, quàm pondera
NO QR cuneo DEF.
Ex 28 primi.
Diuidantur AC DF
bifariam in TV, iungan
turq; TBVE, erunt an­
guli ad T, & V recti. con
nectatur IG, quæ ſecet
BT in X. Quoniam e­
225[Figure 225]
nim IB eſt æqualis BG, & BA æqualis BC; erit IA ipſi GC
æqualis. quare vt BI ad IA, ita eſt BG ad GC. parallela igitur
eſt IG ipſi AC. ac propterea anguli ad X ſunt recti: ſed & an
guli XG k XIM ſunt recti, rectangulum enim eſt GM; quare
TB æquidiſtans eſt ipſis Gk IM. angulus igitur TBC æqua­
lis eſt angulo BGK, & TBA ipſi BIM æqualis. ſimiliter demon
ſtrabimus angulum VEF æqualem eſſe ENP, & VED æqualem
EQS. cùm autem angulus ABC minor ſit angulo DEF; erit
& angulus TBC minor VEN. quare & BGk minor ENP.
ſimili modo BIM minor EQS. quoniam autem cuneus ABC
duobus mouet vectibus AB BC, quorum fulcimenta ſunt in B;
& pondera in GI: ſimiliter cuneus DEF duobus vectibus mouet
DE EF, quorum fulcimenta ſunt in E; & pondera in N Q: per
præcedentem pondera GH IL facilius vectibus AB BC mo­
uebuntur, quàm pondera NO QR vectibus DE EF. ponde­
ra ergo GH IL facilius cuneo ABC mouebuntur, quàm ponde­
ra NO QR cuneo DEF. & quia eadem eſt ratio in mouendo,
atq; in ſcindendo; facilius idcirco aliquod cuneo ABC ſcindetur
quàm cuneo DEF. ſimiliterq; oſtendetur, quò minor eſt angu
lus ad verticem cunei, eò facilius aliquod moueri, vel ſcindi. quod
demonſtrare oportebat.
2 Sexti. Ex 29 primi. 28 Primi.
Præterea quæ mouentur à cuneo DEF, per maiora mouentur
ſpatia; quàm ea, quæ à cuneo ABC. nam vt DF ſit intra QN,
& AC ſit intra IG; neceſſe eſt, vt QN per ſpatia moueantur
maiora; ſcilicet vnum dextrorſum, alter ſiniſtrorſum, quàm IG;
cùm DF maior ſit AC; dummodo totus cuneus intra pondera in­
118grediatur. à potentia verò facilius eodem tempore mouetur ali­
quod per minus ſpatium, quàm per maius; dummodo cætera, qui­
bus fit motus, ſint æqualia: ſi ergo eodem tempore AC DF in
IG QN perueniant, cùm AI CG DQ FN ſint inter ſe ſe æqua
les; facilius à potentia mouebuntur GI cuneo ABC, quàm QN
cuneo DEF. quare facilius pondera GH IL à potentia mouebun
tur cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF. ſimiliter­
〈qué〉 oſtendetur, quò angulus ad verticem cunei minor eſſet, eò fa
cilius pondera moueri, vel ſcindi.
Secundum, quod efficit, vt aliquod facilius
ſcindatur, eſt percuſsio; qua cuneus mouetur, &
mouet; hoc eſt percutitur, ac ſcindit. 226[Figure 226]
Sit cuneus A, quod ſcinditur B, quod
percutit C; quod quidem, vel ex ſe ipſo,
vel à regente, atq; ipſum mouente poten
tia percutit, atq; mouet. ſi quidem ex
ſe ipſo, Primùm quò grauius erit, eò
maior fiet percuſsio. quinetiam, quò
longior fuerit diſtantia inter AC, maior
itidem fiet percuſsio. graue enim vnum­
quodq; dum mouetur; grauitatis ma­
gis aſſumit motum, quàm quieſcens: &
adhuc magis quo longius mouetur. 227[Figure 227]
1
Si verò C ab aliqua moueatur po
tentia, vt ſi per manubrium DE mo
ueatur; primùm quò grauius erit C,
deinde quò longius erit DE, eò ma­
ior fiet percuſsio. ſi enim ponatur po
tentia mouens in E, erit C magis di
ſtans à centro & ideo citius mouebi
tur. vt in quæſtionibus Mechanicis
latè monſtrat Ariſtoteles; nec non
ex iis, quæ in tractatu de libra di­
cta fuere, patere poteſt, quò magis
228[Figure 228]
pondus C à centro diſtat, eò grauius reddi. quod ipſum etiam va
lidiori pellet impulſu virtute in E potentiore exiſtente.
Hoc verò ſecundùm eſt, quod efficit, vt hoc inſtrumento ma­
gna moueantur, ſcindanturq; pondera. percuſsio enim vis eſt ua
lidiſsima, vt ex decimanona quæſtionum Mechanicarum Ariſtotelis
patet. ſi enim ſupra cuneum maximum imponatur onus; tunc cu­
neus nihil ferè efficiet, præſertim ictus comparatione. quod ſi ad
huc ipſi cuneo vectem, vel cochleam, vel quoduis aliud huiuſmo
di aptetur inſtrumentum ad cuneum ponderi intimius propellen­
dum, nullius ferè momenti præ ictu continget effectus. cuius qui­
119dem rei indicio eſſe poteſt, ſi fuerit
corpus A lapideum, ex quo aliquam eius
partem detrahere quiſpiam voluerit, pu
tá partem anguli B; tunc malleo ferreo
abſq; alio inſtrumento percutiendo in B,
facilè aliquam anguli B partem franget.
quod quidem nullo alio inſtrumento
percuſsionis munere carente, niſi maxi
ma cùm difficultate efficere poterit; ſiue
229[Figure 229]
fuerit vectis, ſiue cochlea, ſiue quoduis aliud huiuſmodi. quare
percuſsio in cauſa eſt, quo magna ſcindantur pondera. cùm autem
ſola percuſsio tantam vim habeat, ſi ei aliquod adiiciamus inſtru
mentum ad mouendum, ſcindendumq; accomodatum, admiran
da profectò videbimus. Inſtrumentum huiuſ
modi cuneus eſt, in quo duo (quantum ad ip­
ſius formam attinet) conſideranda occurrunt.
Alterum eſt, cuneum ad ſuſcipiendam, ſuſtinen
damq; percuſsionem aptiſsimum eſſe; alterum
eſt quòd propter eius in altera parte ſubtilita­
tem facilè intra corpora ingreditur, vt manife
ſtè patet. Cuneus ergo cum percuſsione ipſius
efficit, vt in mouendis, ſcindendiſq; ponderi­
bus ferè miracula cernamus. 230[Figure 230]
1
Ad huiuſmodi facultatis inſtrumentum, ea
quoquè omnia commodè referri poſſunt, quæ
percuſsione, ſiue impulſu incidunt, diuidunt,
perforant, huiuſmodiq; alia obeunt munera. vt
enſes, gladii, mucrones, ſecures, & ſimilia. ſerra
quoq; ad hoc reducetur; dentes enim percu­
tiunt, cuneiq; inſtar exiſtunt.
120
DE COCHLEA.
Pappvs in eodem octauo libro
multa pertractans de cochlea, do
cet quomodo conficienda ſit; &
quomodo magna huiuſmodi in­
ſtrumento moueantur pondera;
nec non alia theoremata ad eius
cognitionem valdè vtilia. Quoniam autem in­
ter cætera pollicetur, ſe oſtendere velle, co­
chleam nihil aliud eſſe præter aſſumptum cu­
neum percuſsionis expertem vecte motionem
facientem; hoc autem in ipſo deſideratur; pro­
pterea idipſum oſtendere conabimur, nec non
eiuſdem cochleæ ad vectem, libramq; reductio­
nem; vt ipſius tandem completa habeatur co­
gnitio.
1 231[Figure 231]
Sit cuneus ABC, qui circa cylindrum DE circumuoluatur: ſitq;
IGH cuneus circa cylindrum reuolutus, cuius vertex ſit I. ſit de­
inde cylindrus cum circumpoſito cuneo ita accomodatus, vt abſq;
vllo impedimento manubrio kF eius axi annexo circumuerti poſsit.
ſitq; LMNO, quod ſcindendum eſt; quod etiam ex parte MN
ſit immobile: vt in iis, quæ ſcinduntur, fieri ſolet: & ſit vertex
I intra RS. circumuertatur kF, & perueniat ad kP; dum autem kF
circumuertitur, circumuertitur etiam totus cylindrus DE, & cu­
neus IGH: quare dum KF erit in kP, vertex I non erit amplius
intra RS, ſed cunei pars alia, vt TV: ſed TV maior eſt, quàm
RS; ſemper enim pars cunei, quæ magis à vertice diſtat, maior
eſt ea, quæ ipſi eſt propinquior: vt igitur TV ſit intra RS, opor­
tet, vt R cedat, moueaturq; verſus X, & S verſus Z, vt faciunt
ea, quæ ſcinduntur. totum ergo LMNO ſcindetur. ſimiliter
què demonſtrabimus, dum manubrium kP erit in kQ, tunc GH
eſſe intra RS: & vt GH ſit intra RS, neceſſe eſt, vt R ſit in X,
& S in Z; ita vt XZ ſit æqualis GH; ſemperq; LMNO amplius
ſcindetur. ſic igitur patet, dum kF circumuertitur, ſemper R moue
ri verſus X, atq; S verſus Z: & R ſemper ſuper ITG moueri, S au
tem ſuper IVH, hoc eſt ſuper latera cunei circa cylindrum circum
uoluti.
121
PROPOSITIO I.
Cuneus hoc modo circa cylindrum accommo­
datus, nihil eſt aliud; niſi cochlea duas habens he
lices in vnico puncto inuicem coniunctas. 232[Figure 232]
Sit cuneus ABC; & AB
ipſi BC æqualis. diuidatur
AC bifariam in D, iunga
turq; BD; erit BD ipſi AC
perpendicularis; & AD
ipſi DC æqualis, triangu­
lumq; ABD triangulo C
BD æquale. fiant deinde
triangula rectangula EFG
HIk non ſolum inter ſe,
verùm etiam vtriq; ADB
& CDB æqualia. ſitq; cy
lindrus LMNO, cuius perimeter ſit æqualis vtriq; FG kI. &
LMNO ſit parallelogrammum per axem. fiatq; MP æqualis
FE; & PN æqualis HI. ponaturq; HI in NP, circumuolua­
turq; triangulum HIk circa cylindrum; & ſecundùm kH helix
deſcribatur NQP, vt Pappus quoq; docet in octauo libro propo
ſitione vigeſima quarta. ſimiliter ponatur EF in MP, circum­
uoluaturq; triangulum EFG circa cylindrum; deſcribaturq; per
EG helix PRM. cùm itaq; PMPN ſint æquales EFHI, erit
MN æqualis ipſi AC, & cùm helices PRM PQN ſint æquales
lineis EGHk; helices igitur ipſis ABBC æquales erunt. cu­
neus ergo ABC totus circumuolutus erit circa cylindrum LMNO.
1incidantur deinde helices,
vt docet Pappus ſecundùm
latitudinem cunei; & hoc
modo cuneus vná cum cy
lindro nihil aliud erit,
quàm cochlea duas habens
helices PRMPQN cir
ca cylindrum LN in vnico
puncto P inuicem coniun
ctas. quod demonſtrare o­
portebat.
233[Figure 233]
COROLLARIVM.
Hinc manifeſtum eſſe poteſt, quomodo heli­
ces in ipſa cochlea deſcribi poſsint.
Quomodo autem pondera ſuper helices co­
chleæ moueantur, oſtendamus. 234[Figure 234]
Sit (veluti prius) cuneus IGH circa cylindrum DE reuolutus,
cuius vertex ſit I. apteturq; cylindrus ita, vt liberè vna cum ſuo
axe circumuertatur. ſintq; duo pondera MN cuiuſcunq; figuræ
voluerimus, ita tamen aptata, vt moueri non poſsint, niſi ſuper
122rectam lineam LO, quæ axi cylindri ſit æquidiſtans. ſintq; MN
iuxta cunei verticem I. Circumuertatur KF, & perueniat ad kP:
dum autem kF erit in kP, tunc TV erit intra pondera MN; ſi­
cut ſupra diximus. M igitur verſus L mouebitur, & N verſus O.
ſimiliter oſtendetur, dum kP erit in KQ, tunc GH eſſe intra pon­
dera MN; & M erit in X, & N in Z; ita vt XZ ſit æqualis GH.
quare dum kF circumuertitur, ſemper pondus N mouetur verſus
O, & ſuper helicem IRS; M verò ſuper aliam helicem. 235[Figure 235]
Similiter ſi cochlea plures habeat hæ­
lices, vt in ſecunda figura, pondus A,
dum cochlea circumuertitur, ſemper ſu­
per helices BCDEFG mouebitur;
dummodo pondus A aptetur ita vt mo­
ueri non poſsit, niſi ſuper rectam HI ipſi
cylindro æquidiſtantem. eodem enim
modo, quo ſuper primam mouetur heli
cem, mouetur etiam ſupra ſecundam,
& tertiam, & cætera. quotcunq; enim
fuerint helices, nihil aliud ſunt, quàm
latus cunei circa idem cylindrum iterum
atq; iterum circumuolutum. & ſiue co­
chlea fuerit horizonti perpendicularis,
ſiue horizonti æquidiſtans, vel alio mo­
do collocata, nihil refert: ſemper enim
eadem erit ratio.
1 236[Figure 236]
Si verò (vt in tertia figura) ſupra cochleam imponatur aliquod,
vt B, quod quidem tylum vocant, ita accommodatum, vt inferio
ri parte helices habeat concauas ipſi cochleæ appoſitè admodum
congruentes; perſpicuum ſatis eſſe poterit, ipſum B, dum cochlea
circumuertitur, ſuper helices cochleæ eo prorſus modo moueri;
quo pondus iuxta primam figuram mouebatur: dummodo tylum ap­
tetur, vt docet Pappus in octauo libro; ita ſcilicet vt tantùm an­
tè, retrouè axi cylindri æquidiſtans moueatur. 237[Figure 237]
Et ſi loco tyli, quod helices habet concauas in parte inferiori, con
ſtituatur, vt in quarta figura, cylindrus concauus vt D, & in eius
concaua ſuperficie deſcribantur helices, incidanturq; ita, vt aptè
123cùm cochlea congruant (eodem enim modo deſcribentur helices
in ſuperficie concauia cylindri, ſicuti fit in conuexa) ſi deinde co­
chlea in ſuis polis firmetur, ſcilicet in ſuo axe, circumuertaturq;;
patet D ad motum circumuerſionis cochleæ quemmadmodum ty
lum moueri. nec non ſi D in EF firmetur, ita vt immobilis ma
neat, dum circumuertitur cochlea; ſuper helices cylindri D, ad
motum ſuæ circumuerſionis dextrorſum, vel ſiniſtrorſum factæ;
tùm in anteriorem, tùm in poſteriorem partem mouebitur. cylin­
drus autem D hoc modo accommodatus vulgò mater, ſiue cochleæ
fæmina nuncupatur. 238[Figure 238]
Si autem cochleæ (vt in quinta figura) tympanum C dentibus
obliquis dentatum apponatur, vt docet Pappus in eodem octauo li­
bro; vel etiam rectis; ita tamen conſtructis, vt facilè cum cochlea
conueniant: ſimiliter manifeſtum eſt ad motum cochleæ circumuer
ti etiam tympanum C. eodemq; modo tympani dentes ſuper he
lices cochleæ moueri. & hæc dicitur cochlea infinita, quia & co
chlea, & tympanum dum circumuertuntur, ſemper eodem modo
ſe ſe habent.
1
Hæc diximus, vt manifeſtum ſit cochleam in mouendo pondere
cunei munere abſq; percuſsione fungi. Illud enim remouet à loco,
vbi erat; quemadmodum cuneus remouet ea, quæ mouet, ac ſcindit.
omnia enim hæc à cochlea mouentur, ſicuti pondus A in ſecun­
da figura, & M in prima.
Quoniam autem duplici ratione mouentem cuneum conſiderari
poſſe oſtendimus, videlicet vt mouet vectibus, vel vt eſt planum
horizonti inclinatum, dupliciter quoq; cochleam conſiderabimus;
239[Figure 239]
& primùm vt vectibus mouet, vt in prima figura circumuertatur
kF, & perueniat in KP; tunc, ſicut dictum eſt, TV erit intra pon­
dera MN. & ſicut conſideramus vectes in cuneo, eodem quoq;
modo eos conſiderare poſſumus in cochlea hoc pacto. erit ſcilicet
IVH vectis, cuius fulcimentum I, & pondus in V. ſimiliter ITG ve
ctis, cuius fulcimentum I, & pondus in T. potentiæ verò mo­
uentes GH eſſe deberent; ſed ſicuti in cuneo potentia mouens
eſt percuſsio, quæ mouet cuneum; idcirco erit, ubi potentia mo­
uet cochleam; ſcilicet in P manubrio kP. cochlea enim ſine per­
cuſsione mouetur. Hæc autem conſideratio propter vectes infle­
xos impropria forſitan eſſe videbitur; Quocirca ſi id, quod moue
tur à cochlea, ſupra planum horizonti inclinatum moueri intelli
gatur; erit quidem huiuſmodi conſideratio (cùm ipſi quoq; cuneo
conueniat) figuræ ipſius cochleæ magis conformis.
124
PROPOSITIO II.
Si fuerit cochlea AB helices habens æquales
CDEFG. Dico has nihil aliud eſſe præter pla
num horizonti inclinatum circa cylindrum re­
uolutum. 240[Figure 240]
Sit cochlea AB horizonti perpendicularis duas habens helices
CDEFG. exponatur HI æqualis GC, quæ bifariam diui­
datur in k; erunt Hk kI non ſolum inter ſe ſe, verùm etiam
ipſis GE EC æquales, & ipſi HI ad rectos angulos ducatur LI;
& per LI intelligatur planum horizonti æquidiſtans; ſitq; LI du
pla perimetro cylindri AB, quæ bifariam diuidatur in M; erunt
IM ML cylindri perimetro æquales. connectatur HL, & à pun
cto M ducatur MN ipſi HI æquidiſtans, coniungaturq; KN. quo
niam enim ſimilia ſunt inter ſe ſe triangula HILNML, cùm
1 241[Figure 241]
NM ſit æquidiſtans HI; erit LI ad IH, vt LM ad MN: &
permutando vt IL ad LM; ita HI ad NM. ſed IL dupla eſt ipſius
LM; ergo & HI dupla erit MN. ſed eſt etiam dupla ipſius kI,
quare kI NM inter ſe æquales erunt. & quoniam anguli ad MI
ſunt recti; erit kM parallelogrammum rectangulum, & kN æqua
lis erit IM. quare KN perimetro cylindri AB æqualis erit. pona
tur itaq; HI in GC, erit Hk in GE. circumuoluatur deinde trian
gulum HkN circa cylindrum AB, deſcribet HN helicen GFE;
cùm NK perimetro cylindri ſit æqualis; & punctum N erit in E;
& MN in CE. & quia ML æqualis eſt perimetro cylindri; cir­
cumuoluatur rurſus triangulum NML circa cylindrum AB, NL
deſcribet helicen EDC. quare tota LH duas deſcribet helices
CDEFG. patet igitur has helices cochleæ nihil aliud eſſe, ni­
ſi planum horizonti inclinatum; cuius inclinatio eſt angulus HLI
circa cylindrum circumuolutum, ſupra quod pondus mouetur.

quod demonſtrare oportebat.
Ex 4. ſexti.
Quomodo autem hoc ad libram reducatur manifestum eſt ex
nona octaui libri eiuſdem Pappi.
125
Poſtquam vidimus quomodo pondera huiuſmodi moueantur
inſtrumento; nunc conſiderandum eſt, quæ nam ſint ea, quæ effi
ciunt, vt pondera facilè moueantur: hæc autem duo ſunt.
Primùm quidem, quod efficit, vt facilè pon­
dus moueatur, quod etiam ad eſſentiam cochleæ
magis pertinere videtur; eſt helix circa co­
chleam. vt ſi circa datam cochleam AB duæ
ſint helices inæquales CDA EFG, ſitq; AC mi
nor EG. Dico idem pondus facilius ſuper heli
cen CDA moueri, quàm ſuper EFG.
242[Figure 242]
Compleatur cuneus
ADCHI, hoc eſt de­
ſcribatur helix CHI
æqualis CDA, & ver­
tex cunei ſit C. ſimili
ter compleatur cuneus
GFEKL, cuius ver­
tex E. exponatur de­
inde recta linea MN,
quæ ſit ipſi AC æqua­
lis, cui ad rectos angu
los ducatur NP, quæ ſit
æqualis perimetro cy­
lindri AB: & conne­
ctatur PM; erit PM,
per ea, quæ dicta ſunt,
ipſi CDA æqualis.
producatur deinde M
N in O, fiatq; ON æ­
qualis MN, coniunga
turq; OP; erit OPM cuneus cuneo ADCHI æqualis. ſimili­
1terq; exponatur cu­
neus STQ æqualis cu
neo GFEkL; erit TR
ipſi PN, & perime­
tro cylindri æqualis; &
QR æqualis GE.
cùm autem GE ma­
ior ſit AC; erit & RQ
maior MN. ſecetur
RQ in V; fiatq; RV
ipſi MN æqualis, &
coniungatur TV; erit
triangulum TVR tri­
angulo MPN æquale:
duæ enim TR RV
duabus PN NM ſunt
æquales, & anguli,
quos continent, ſunt
æquales, nempe recti;
angulus igitur RTV
243[Figure 243]
angulo NPM æqualis erit. quare angulus MPN minor eſt angu­
lo QTR; & horum dupli, angulus ſcilicet MPO minor angulo
QTS. quoniam autem cuneus, qui angulum ad verticem mino
rem habet, facilius mouet, ac ſcindit, quàm qui habet maiorem;
cuneus ergo MPO facilius mouebit, quàm QTS. facilius igitur
pondus à cuneo ADCHI mouebitur, quàm à cuneo GFEkL.
pondus ergo ſuper helicen CDA facilius mouebitur, quàm ſuper
EFG. eodemq; modo oſtendetur, quò minor erit AC, eò faci­
lius pondus moueri. quod demonſtrare oportebat.
1 Huius. 1 Huius. 4 Primi.
126 244[Figure 244]
ALITER.
Sit data cochlea AB duas habens helices æquales CDEFG; ſit
deinde alius cylindrus αβipſi AB æqualis, in quo ſummatur OP ip
ſi CG æqualis; diuidaturq; OP in tres partes æquales OR RT
TP, & tres deſcribantur helices OQRSTVP; erit vnaquæq; OR RT
TP minor CE, & EG: tertia enim pars minor eſt dimidia. dico
idem pondus facilius ſuper helices OQRSTVP moueri, quàm ſu
per CDEFG. exponatur HIL triangulum orthogonium, ita vt
HI ſit ipſi CG æqualis, & IL duplo perimetri cylindri AB æqua
lis, & per LI intelligatur planum horizonti æquiſtans; erit HL
æqualis CDEFG; & HLI inclinationis angulus erit. exponatur
ſimiliter XYZ triangulum orthogonium, ita vt XZ ipſi OP ſit æ­
qualis, quæ etiam æqualis erit CG, & HI; ſitq; ZY cylindri pe­
rimetro tripla, erit XY æqualis OQRSTVP. diuidatur ZY in
1 245[Figure 245]
tres partes æquales in γd; erit vnàquæq; Z γ γd d Y perimetro cy
lindri αβæqualis, quæ etiam perimetro cylindri AB æquales erunt; &
per conſequens ipſis IM, & ML. connectatur Xd. & quoniam
duæ HI IL duabus XZ Zd ſunt æquales, & angulus HIL re­
ctus æqualis eſt angulo XZd recto; erit triangulum HIL trian­
gulo XZd æquale; & angulus HLI angulo XdZ æqualis; &
Xd ipſi HL æqualis. ſed quoniam angulus XdZ maior eſt angu
lo XYZ; erit angulus HLI angulo XYZ maior. ac propterea planum
HL magis horizonti inclinat, quàm XY. quare idem pondus à minore
potentia ſuper planum XY, quàm ſuper planum HL mouebitur; vt faci
lè elicitur ex eadem nona Pappi. cùm autem helices OQRSTVP nihil
aliud ſint, quàm planum XY horizonti inclinatum in angulo XYZ cir
ca cylindrum αβcircumuolutum; & helices CDEFG nihil ſunt
aliud, quàm planum HL horizonti inclinatum in angulo HLI cir
ca cylindrum AB circumuolutum; facilius ergo pondus ſuper he­
127lices OQRSTVP mouebitur, quàm ſuper helices CDEFG.
Ex 2 huius. 21 Primi.
Si autem OP diuidatur in quatuor partes æquales, deſcribantur­
què circa αβquatuor helices; adhuc facilius pondus mouebitur ſu­
per has quatuor, quàm ſuper tres OQRSTVP. & quò plures
erunt helices, eò facilius pondus mouebitur. quod demonſtrare
oportebat.
Tempus verò huius motus facilè patet, helices enim CDEFG
ſunt æquales HL; helices verò OQRSTVP ſunt æquales
XY: ſed XY maior eſt HL; ideo fiat Yε ipſi HL æqualis: ſi igi
tur duo pondera ſuper lineas LHYX moueantur, & veloci­
tates motuum ſint æquales, citius pertranſibit quod mouetur ſuper
LH, quàm quod ſuper YX mouetur. in eodem enim tempore erunt
in Hε. quare tempus eius, quod mouetur ſuper helices OQRS
TVP, maius erit eo, quod eſt menſura eius, quod mouetur ſuper C
DEFG. & quò plures erunt helices, eò maius erit tempus. cùm au
tem datæ ſint lineæ HIXZ, & ILZY: datæ enim ſunt cochleæ AB
αβ; & anguli ad IZ recti dati; erit HL data. ſimiliter & XY data
erit. quare & harum proportio data erit. temporum igitur propor
tio eorum, quæ ſuper helices mouentur data erit.
Ex 18 Primi. Ex 48 primi. 1 Datorum & Ex ſexta primi Ioannis de Monte rego de triangulis.
Alterum, quod efficit, vt pondera facilè mo­
ueantur, ſunt ſcytalæ, aut manubria, quibus co­
chlea circumuertitur.
1 246[Figure 246]
Sit cochlea habens helices ABCD, quæ etiam ſcytalas ha­
beat EFGH foraminibus cochleæ impoſitas. ſit infra helices
cylindrus MN, in quo non ſint inciſæ helices; & circa cylindrum
funis circumuoluatur trahens pondus O, quod ad motum ſcytala
rum EFGH moueatur, ac ſi ergatæ inſtrumento traheretur. du
catur (per ea quæ prius dicta ſunt de axe in peritrochio) Lk ſcy
talæ æqualis, axiq; cylindri perpendicularis, eumq; ſecans in I:
patet quò longior ſit LI, & quò breuior ſit Ik, pondus O facilius
moueri. eſt autem animaduertendum, quòd dum cochlea mouet
pondus, ſi mente concipiatur, quòd loco trahendi pondus O fune,
pondus ſuper helices ABCD moueat; pondus quoq; in k, quod
ſit R, ſuper helices etiam facilius mouebit. eſt enim LK vectis, cuius
fulcimentum eſt I: cùm circa axem cochlea circumuertatur; po­
tentia mouens in L; & pondus in k. facilius enim mouetur pon
dus vecte Lk, quàm ſine vecte; quia LI ſemper maior eſt Ik.
128Intelligatur itaq; manente cochlea pondus R moueri à potentia
in L vecte Lk ſuper helicen Ck: vel quod idem eſt, ſicut etiam
ſupra diximus, ſi pondus R aptetur ita, vt moueri non poſsit, ni
ſi ſuper rectam PQ axi cylindri æquidiſtantem; circumuertaturq;
cochlea, potentia exiſtente in L; mouebitur pondus R ſuper he­
licen CD eodem modo, ac ſi à vecte Lk moueretur. idem enim
eſt, ſiue pondus manente cochlea ſuper helicen moueatur; ſiue he
lix circumuertatur, ita vt pondus ſuper ipſam moueatur. cùm
ab eadem potentia in L moueatur. ſimiliter oſtendetur, quò lon
gior ſit LI, adhuc pondus facilius ſemper moueri. à minori enim
potentia moueretur. quod erat propoſitum.
2 Cor. 1 huius de vecte. Ex 1 huius de vecte.
Tempus quoq; huius motus manifeſtum eſt, quò enim longior
eſt LI, eò tempus maius erit: dummodo potentiæ motuum ſint
in velocitate æquales; ſicuti dictum eſt de axe in peritrochio.
COROLLARIVM.
Ex his manifeſtum eſt. quò plures ſunt heli­
ces; & quò longiores ſunt ſcytalæ, ſiue manu­
bria, pondus ipſum facilius quidem, tardius au
tem moueri.
Virtus deniq; mouentis, atq; in ſcytalis con­
ſtitutæ potentiæ, hinc manifeſta fiet.
1 247[Figure 247]
Sit datum A centum; ſit planum horizonti inclinatum CD in
angulo DCE. inueniatur ex eadem nona Pappi quanta vi pondus
A ſuper CD mouetur; quæ ſit decem. exponatur cochlea LM
helices habens GHIK &c. in angulo ECD; per ea, quæ dicta
ſunt, potentia decem pondus A ſuper helices GHIk mouebit. ſi
autem hac cochlea volumus pondus A mouere, & potentia mo­
uens ſit vt duo. ducatur NP axi cochleæ perpendicularis, axem
ſecans in O; fiatq; PO ad ON, vt vnum ad quinq; hoc eſt duo ad
decem. Quoniam enim potentia mouens pondus A in P, ideſt
ſuper helices eſt vt decem, cui potentiæ reſiſtit, & æqualis eſt po
tentia in N vt duo; eſt enim NP vectis, cuius fulcimentum eſt
O. potentia ergo vt duo in N pondus A ſuper helices cochleæ
mouebit. efficiantur igitur ſcytalæ, ſiue manubria, quæ vſq; ad N
129perueniant; manifeſtum eſt, potentiam vt duo in his pondus cen­
tum cochlea LM mouere.
Ex 1 huius de vecte.
Si igitur ſit cochlea QR helices habens in angulo DCE, & cir­
ca ipſam ſit eius mater S, quæ ſi pependerit centum, adiiciatur ST
manubrium quoddam, ſiue ſcytala; ita vt T in eadem proportio­
ne diſtet ab axe cylindri, vt NOP; patet potentiam vt duo in T
mouere S ſuper helices cochleæ. nihil enim aliud eſt S, niſi pon­
dus ſuper helices cochleæ motum. ſimiliter ſi S ſit immobilis, cir­
cumuertaturq; cochlea manubrio, ſiue ſcytala QX in eadem pro­
portione conſecta; fueritq; cochlea centum pondo (quòd qui­
dem, vel ex ſe ipſa, vel cum pondere V cochleæ appenſo, vel cum
pondere Y cochleæ ſuper impoſito centum pependerit) manife­
ſtum eſt potentiam vt duo in X mouere cochleam QR ſuper he
lices intra matricem cochleæ inciſas. atq; ita in aliis, quæ cochleæ
inſtrumento mouentur; proportionem potentiæ ad pondus inue­
niemus.
COROLLARIVM.
Ex hoc manifeſtum eſt, quomodo datum pon
dus à data potentia cochlea moueatur.
1 248[Figure 248]
Illud quoq; præterea hoc loco obſeruandum occurrit; quò plu­
res erunt matricis cochleæ helices, eò minus in pondere mouen­
do cochleam pati. ſi enim matrix vnicam duntaxat helicen poſſe
derit, tunc pondus vt centrum à ſola cochleæ ſuſtinebitur helice;
ſi verò plures, in plures quoque, ac totidem cochleæ heli­
ces ponderis grauitas diſtribuetur; vt ſi quatuor contineat helices,
tunc quatuor viciſsim cochleæ helices vniuerſo ponderi ſuſtinendo
incumbent; ſiquidem vnaquæquè quartam totius ponderis portio­
nem ſuſtentabit. quòd ſi adhuc plures contineat helices, ponderis
quoq; totius in plures, atque ideo minores portiones fiet diſtri­
butio.
130
Oſtenſum eſt igitur pondus à cochlea moueri
tamquam à cuneo percuſsionis experte: loco e­
nim percuſsionis mouet vecte, hoc eſt ſcytala, ſi­
ue manubrio.
His demonſtratis liquet, quomodo datum pon­
dus à data potentia moueri poſsit. quòd ſi vecte
hoc aſſequi volumus; poſſumus & dato vecte da
tum pondus data potentia mouere. quod quidem
in nullis ex aliis fieri poſſe abſolutè contingit: ſiue
ſit cochlea, ſiue axis in peritrochio, ſiue trochlea.
non enim datis trochleis, neq; dato axe in peri­
trochio, neq; data cochlea, datum pondus à data
potentia moueri poteſt, cùm potentia in his ſem­
per ſit determinata: ſi igitur potentia, quæ pondus
mouere debeat, hac minor ſit data, nunquam pon
dus mouebit. poſſumus tamen dato axe, & tympa­
no abſq; ſcytalis datum pondus data potentia mo­
uere; cùm ſcytalas conſtruere poſsimus, ita vt ſe
midiameter tympani dati vná cum longitudine
ſcytalæ ad axis ſemidiametrum datam habeat pro­
portionem. quod idem cochleæ contingere po
teſt, ſcilicet datum pondus data cochlea ſine ma
nubrio, vel ſcytala, data potentia mouere. co­
gnita enim potentia, quæ pondus ſuper helices
moueat, poſſumus manubrium, ſiue ſcytalam ita
1conſtruere, vt data potentia in ſcytala eandem
vim habeat, quam potentia pondus ſuper helices
mouens cùm autem hoc datis trochleis nullo mo
do fieri poſsit. datum tamen pondus data poten­
tia trochleis infinitis modis mouere poſſumus.
datum verò pondus data potentia cunei inſtru­
mento mouere, hoc minimè fieri poſſe clarum eſ
ſe videtur; non enim data potentia datum pon­
dus ſuper planum horizonti inclinatum mouere
poteſt, neq; datum pondus à data potentia moue
bitur vectibus ſibi inuicem aduerſis, quemmadmo­
dum in cuneo inſunt; cùm in vectibus cunei pro­
pria, veraq; vectis proportio ſeruari non poſsit.
vectium enim fulcimenta non ſunt immobilia,
cùm totus cuneus moueatur.
Poterit deinde quis ſtruere machinas, atq; eas
ex pluribus componere; vt ex trochleis, & ſuc­
culis, vel ergatis, pluribuſuè dentatis tympanis,
uel quocunq; alio modo; & ex ijs, quæ diximus; fa
cilè inter pondus, & potentiam proportionem
inuenire.
FINIS.
1
Locorum aliquot, quæ inter imprimendum deprauata
ſunt, emendatior lectio.
Pagina 2, b, verſu 19, AEBD 5, a, 6, ipſi 7, b, 9, ODH 9, b, 19, contingit
 15, a, 24, grauius 16, b, 30, recto 21, a, 26, ſuſtineatur 23, b, 8, BD DC 31, b,
9, totum GK 34, a, 24, pondera FG 38, b, 27, maior AF 39, b, 24 AB in D 40,
a, 1, ad BD 44, b, 24, graui 48, a, 7, ipſi AD 50, b, 12 pondus 54, a, 7, quàm 61,
a, 6, præterquam in E 65, a, 33, quam 81, a, 1, ligato 85, b, 22, vtriq; 97, a, 14,
dextrorſum 98, b, 20, Hic 110, b, in poſtill. Lemma in primam 122, a, 8, & 17, helicen
 123, b, 15, ventes in GH 124, b, 17, manifeſtum 127, a, in poſtil. Monteregio
 127, b, in poſtil. ex Cor.
REGISTRVM.
<12><12><12> ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVX
YZ, Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk.
Omnes duerni.
PISAVRI
Apud Hieronymum Concordiam.
M. D. LXXVII.