Benedetti, Giovanni Battista de, Io. Baptistae Benedicti ... Diversarum speculationum mathematicarum, et physicarum liber : quarum seriem sequens pagina indicabit ; [annotated and critiqued by Guidobaldo Del Monte], 1585

Bibliographic information

Author: Benedetti, Giovanni Battista de
Title: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarum speculationum mathematicarum, et physicarum liber : quarum seriem sequens pagina indicabit ; [annotated and critiqued by Guidobaldo Del Monte]
Year: 1585
City: Taurini
Publisher: Bevilaqua
Number of Pages: [7], 426, [2] S. : Ill.
Call number: Rara B4625div
Holding library: Max Planck Institute for the History of Science, Library

Permanent URL

Document ID: MPIWG:2DVTZFB4
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:2DVTZFB4

Copyright information

Original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for original: Max Planck Institute for the History of Science, Library
Copyright for digital-image: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for digital-image: CC-BY-SA
Copyright for text: Max Planck Institute for the History of Science, Library
License for text: CC-BY-SA
Table of contents
1. IO. BAPTISTAE BENEDICTI PATRITII VENETI SERENISS. CAR. EM. ALLOBROGVM DVCIS PHILOSOPHI. Theoremata Arithmetica. Page: 13
2. DE RATIONIBVS OPERATIONVM PERSPECTIVAE. Page: 131
2.1. CAP.I. Page: 131
2.2. CAP. II. Page: 133
2.3. CAP. III. Page: 134
2.4. CAP. IIII. Page: 134
2.5. CAP.V. Page: 136
2.6. CAP. VI. Page: 138
2.7. CAP. VII. Page: 140
2.8. CAP. VIII. Page: 140
2.9. CAP. IX. Page: 141
2.10. CAP.X. Page: 142
2.11. CAP. XI. ALITER IDEM. Page: 143
2.12. JACOBO SOLDATO MEDIOLANENSI Serenißimi Ducis Sabaudiæ Architecto peritißimo. CAP. VII. Page: 145
2.13. AD EVNDEM IACOBVM. CAP. XIII. Page: 149
2.14. CAP. XIIII. Page: 150
2.15. CAP. XV. Page: 152
3. DE MECHANICIS. Page: 153
3.1. De differentia ſitus brachiorum libra. CAP.I. Page: 153
3.2. De proportione ponderis extremitatis brachij libr & in diuerſo ſitu ab orizontali. CAP. II. Page: 154
3.3. Quòd quantit as cuiuſlibet ponderis, aut uirtus mouens re-ſpectu alterius quantitatis cognoſcatur beneficio perpendicularium ductarum à centro libr & ad line am inclinationis. CAP. III. Page: 155
3.4. Quemadmodum exſupradictis cauſis omnes staterarum & uectium cauſæ dependeant. CAP. IIII. Page: 156
3.5. De quibuſdam rebus animaduerſione dignis. CAP.V. Page: 157
3.6. De ratione cuiuſdam uis adauctæ. CAP. VI. Page: 158
3.7. De quibuſdam erroribus Nicolai Tartaleæ circa pondera corporum & eorum motus, quorum aliqui deſumpti fuerunt à fordano ſcriptore quodam antiquo. CAP. VII. Page: 160
3.8. CAP. VIII. Page: 161
3.9. Quòdſummaratione ſtateræper æqualia interualla ſint diuiſæ. CAP. IX. Page: 163
3.10. Quòd line a circularis non habe at concauum cum con-uexo coniunctum, & quod Aristo. cir caproportio nes motuum aberrauerit. CAP.X. Page: 164
3.11. Quod Aristo. in prima mechanicarum quæstionum eius quod inquir it, uer am cauſam non attulerit. CAP. XI. Page: 165
3.12. De uer a cauſa ſecundæ, & tertiæ quæstionis mechanicæ ab Ariſtotele nonperſpecta. CAP. XII. Page: 166
3.13. Quòd Ariſtotelisratio in 6. quæſtione poſit a non ſit admittenda. CAP. XIII. Page: 167
3.14. Quòdrationes ab Ariſtotele de octaua quæstione confictæ ſufficient es non ſint. CAP. XIIII. Page: 167
3.15. Quod Aristotelis ratio none queſtionis admittendanon ſit. CAP. XV. Page: 171
3.16. Quod Aristotelis rationes de decima queſtione ſint reijciende. CAP. XVI. Page: 171
3.17. De uer a cauſa .12. questionis mechanice. CAP. XVII. Page: 172
3.18. De decimatertia questione. CAP. XVIII. Page: 173
3.19. De decimaquart a queſtione. CAP. XIX. Page: 173
3.20. De uer a r atione .17. queſtionis. CAP. XX. Page: 174
3.21. De uera & intrinſeca cauſa trocble arum. CAP. XXI. Page: 175
3.22. Depropria cauſa .24. quæſtionis. CAP. XXII. Page: 177
3.23. De uer a cauſa .30. quæstionis. CAP. XXIIII. Page: 179
3.24. Deratione .35. & ultimæ quæstionis. CAP. XXV. Page: 179
4. DISPVTATIONES DE QVIBVSDAM PLACITIS ARISTOTELIS. Page: 180
4.1. Qualiter & ubi Ariſtoteles de uelocitate motuum natura-lium localium aliter tractauerit quam nos ſentiamus. CAP.I. Page: 180
4.2. Quædam ſupponenda ut conſtet cur circa uelocit atem motuum natur alium localium ab Ariſtotelis placitis recedamus. CAP. II. Page: 181
4.3. Poſſe uelocitatem alicuius corporis proportionem contrariam in diuerſis medijs habere cum denſitate eorum. CAP. III. Page: 182
4.4. Oſcitanter ab Ariſtotele nonnibil prolatum cap 8. lib. 4 Phyſicorum. CAP. IIII. Page: 182
4.5. Exempla dictorum. CAP.V. Page: 183
4.6. Quod proportiones ponderum eiuſdem corporis in diuerſis medijs pro portiones eorum mediorum denſit atum non ſeruant. Unde ne-ceßariò inæquales proportiones uelocitatum producuntur. CAP. VI. Page: 184
4.7. Corpora grauia aut leuia eiuſdem figur æ et materiæ ſed inæqualis magnitudinis, in ſuis motibus natur alibus uelocit atis, in eo dem medio, proportionem longè diuerſam ſeruatura eße quam Aristoteliuiſum fuerit. CAP. VII. Page: 184
4.8. Quod duo corpor a in æqualia eiuſdem materia in diuerſis medijs eandem uelocitatis proportionem retinebunt. CAP. VIII. Page: 185
4.9. Anrectè Aristoteles diſeruerit de proportionibus mo-tuum in uacuo. CAP. IX. Page: 186
4.10. Quòd in uacuo corpor a eiuſdem materiæ æquali uelocita-te mouerentur. CAP.X. Page: 186
4.11. Corpora licet inæqualia eiuſdem materiæ & figuræ, ſireſiſten-tias habuerint ponderibus proportionales æqualiter mouebuntur. CAP. XI. Page: 187
4.12. Maior hic demonſir atur eſſe proportio ponder is corpor is den ſioris ad pondus minus denſi in medijs dẽſioribus, quam ſit eorundem corporum in medio minus denſo, nec corporum ponder a ſeruare proportionem denſitatis mediorum. CAP. XII. Page: 187
4.13. Longe aliter ueritatem ſe habere quam Aristoteles doceat in fine libri ſeptimi phyſicorum. CAP. XIII. Page: 188
4.14. Quid ſequatur ex ſupradistis. CAP. XIIII. Page: 189
4.15. Numrestè ſenſerit Philoſophus reſistentias proportionales eße cum corporibus mobilibus. CAP. XV. Page: 189
4.16. Fdipſum aliter demonſtr atur. CAP. XVI. Page: 190
4.17. De alio Aristo. lapſu. CAP. XVII. Page: 190
4.18. Quomodo dignoſcatur proportio uelocitatis duorum ſimilium corporum omogeniorum inaqualium. CAP. XVIII. Page: 191
4.19. Quam ſit inanis ab Ariſtotele ſuſcepta demonſtratio quod uacuum non detur. CAP. XIX. Page: 191
4.20. Non ſatis dilucidè Ariſtotelem de loco ratiocinatum fuiße. CAP. XX. Page: 192
4.21. Vtrum bene Aristoteles ſenſerit de infinito. CAP. XXI. Page: 193
4.22. Exagitatur ab Ariſtotele adductatemporis definitio. CAP. XXII. Page: 194
4.23. Motum rectum eſſe continuum, uel dißentiente Ariſtotele. CAP. XXIII. Page: 195
4.24. Idem uir grauisſimus an bene ſenſerit de motibus corporum uiolentis & natur alibus. CAP. XXIIII. Page: 196
4.25. Motum rectum & natur alem non eſſe primo & per ſe quicquid Ariſtoteli uiſum ſit. CAP. XXV. Page: 196
4.26. Omne corpus eſſe in loco proprio graue, ut Aristoteli placuit, non eft admittendum. CAP. XXVI. Page: 197
4.27. Haud admittendam opinionem Principis Peripateticorum de circulo, & ſpbæra. CAP. XXVII. Page: 197
4.28. Occultam fuiße grauisſimo Stagirit & canſam ſcintilla-tionis ſtellarum. CAP. XXVIII. Page: 198
4.29. Daricontinuum infinitum motum ſuper rectam at que finitam lineam. CAP. XXIX. Page: 198
4.30. Non eſſe ſolis calorem à motu localι ipſius corporis ſolaris, ut Ariſtoteli placuit. CAP. XXX. Page: 199
4.31. Vnde caloris ſolis prode at incrementum & state, et byeme decrementum. CAP. XXXI. Page: 200
4.32. Nullum corpus ſenſus expers à ſono offendi, præterquam Aristoteles crediderit. CAP. XXXII. Page: 201
4.33. Pytagoreorum opinionem de ſonitu corporum cælestium non fuiſſe ab Aristotele ſublatam. CAP. XXXIII. Page: 202
4.34. Deraro et denſo nonnulla, minus diligenter à Peripateticis perpenſa. CAP. XXXIIII. Page: 203
4.35. Motum rectum curuo poſſe comparari etiam diſentiente Ariſtotele. CAP. XXXV. Page: 206
4.36. Minus ſufficienter exploſam fuiſſe ab Ariſtotele opinionem cre-dentium plures mundos exiſtere. CAP. XXXVI. Page: 207
4.37. Anrectè loquutus ſit Phyloſopbus de extenſione luminis per uacuum. CAP. XXXVII. Page: 208
4.38. An rectè phyloſophiœ penus Ariſtoteles ſenſerit de loco im-pellendo à pyramide. CAP. XXXVIII. Page: 208
4.39. Examinatur quam ualida ſit ratio Aristotelis de inalterabilitate Cœli. CAP. XXXIX. Page: 209
5. IN QVINTVM EVCLIDIS LIBRVM Page: 210
5.1. Page: 210
5.1.1. Horum autem primum est. Page: 210
5.1.2. SECVNDVM. Page: 210
5.1.3. TERTIVM. Quę est εuclidis ſeptima propoſitio. Page: 210
5.1.4. QVARTVM. εuclidis uerò nona propoſitio. Page: 211
5.1.5. QVINTVM. Euclidis uerò octaua propoſitio. Page: 211
5.1.6. SEXTVM. εuclidis uerò decima propoſitio. Page: 211
5.1.7. SEPTIMVM. Euclidis uerò undecima propoſitio. Page: 211
5.1.8. OCTAVVM. εuclidis uerò duodecima propoſitio. Page: 211
5.1.9. NONVM. Euclidis uero tertiadecima propoſitio. Page: 212
5.1.10. DECIMVM. Page: 212
5.1.11. VNDECIMVM. Page: 212
5.1.12. DVODECIMVM. Page: 212
5.2. Page: 212
5.2.1. THEOR.I. II. ET III. Page: 212
5.2.2. THEOREM. IIII. Page: 212
5.2.3. THEOR.V. ET VI. Page: 213
5.2.4. THEOR. VII. VIII. IX.X. XI. XII. XIII. Page: 213
5.2.5. THEOREM. XIIII. Page: 213
5.2.6. THEOR. XV. Page: 213
5.2.7. THEOREM. XVI. Page: 213
5.2.8. THEOR. XVII. Page: 214
5.2.9. THEOREM. XVIII. Page: 214
5.2.10. THEOREM. XIX. Page: 214
5.2.11. THEOREM. XX. Page: 215
5.2.12. THEOREM. XXI. Page: 215
5.2.13. THEOREM. XXII. XXIII. Page: 215
6. PHYSICA, ET MATHEMATICA RESPONSA. FO. BAPTISTAE BεNεDICTI PATRITII Veneti, Philoſophi Mathematici. Page: 216
6.1. Page: 217
6.2. Page: 223
6.3. Page: 226
6.4. Page: 237
6.5. Page: 240
6.6. Page: 267
6.7. Page: 270
6.8. Page: 274
6.9. Page: 279
6.10. Page: 282
6.11. Page: 283
6.12. Page: 289
6.13. Page: 291
6.14. Page: 296
6.15. Page: 297
6.16. Page: 301
6.17. Page: 304
6.18. Page: 309
6.19. Page: 310
6.20. Page: 313
6.21. Page: 314
6.22. Page: 316
6.23. Page: 320
6.24. Page: 327
6.25. Page: 330
6.26. Page: 337
6.27. Page: 342
6.28. Page: 343
6.29. Page: 359
6.30. Page: 363
6.31. Page: 365
6.32. Page: 369
6.33. Page: 372
6.34. Page: 373
6.35. Page: 373
6.36. Page: 376
6.37. Page: 378
6.38. Page: 381
6.39. Page: 383
6.40. Page: 383
6.41. Page: 386
6.42. Page: 392
6.43. Page: 409
6.44. Page: 417
6.45. Page: 421
6.46. Page: 423
6.47. Page: 424
6.48. Page: 424
6.49. Page: 425
6.50. Page: 428
6.51. Page: 435
6.52. Page: 437
1
[Empty page]
2
[Empty page]
3
[Empty page]
4
[Empty page]
5
IO. BAPTISTAE
BENEDICTI

Patritij
Veneti Philoſophi.
DIVERSARVM SPECVLATIONVM
Mathematicarum
, & Phyſicarum

Liber
.
Quarum ſeriem ſequens pagina indicabit.
AD SERENISSIMVM CAROLVM EMANVELEM
ALLOBROGVM
, ET SVBALPINORVM
DVCEM
INVICTISSIMVM.
1[Figure 1]
Tavrini, Apud Hæredem Nicolai Beuilaquæ, mdlxxxv.
Superioribus permiſſum.
6
TRACTATVS QVI IN HOC
volumine
continentur.
Theoremata Arithmetica.
Derationibus operationum perſpectiuæ.
De Mechanicis.
Diſputationes de quibuſdam placitis Ariſt.
In quintum Euclidis librum.
Phyſica, & Mathematica reſponſa per Epiſtolas.
7
SERENISSIMO
CAROLO
EMANVELI
Sabaudiæ
Duci, &c.
AGitvr nonusdecimus annus ex quo litte-
ris
Serenißimi patris tuæ Celſitudinis, ac-
cerſitus
ex vrbe Parmenſi in banc me ciui-
tatem
contuli.
Is aduenientem tam bumanè
excepit
, tanta deinde liberalitate fuit com-
plexus
ego vicißim ei deſeruiendi, tam vebe-
menti
cupiditate fui accenſus, vt ſub eius ditione quodſuper-
eßet
vitæ agere conſtituerem.
Cuius in me benignitas, mea
in
illum obſeruantia mirum in modum mutuo vſu, & conſue-
tudine
eſt adaucta, vt idem Dux me ſecum dum ruſticaretur
eße
vellet, ſæpè etiam ſecum pernoctare;
quo quidem tempo-
re
de Matbematicis ſcientijs mecum agebat, in quibus perdi-
ſcendis
mea opera vtebatur, quæſtiones, Arithmeticam, Geo­
metriam
, Opticen, Muſicam, aut Astrologiam ſpectantes
proponens
.
Cui vt quod in me eßet ſatisfacerem, acrius
quàm
anteainea studia (adquætamen ſemper fui propenſißi-
mus
) incubui.
Illiusq́ꝫ imitatione (vt ferècæteri Principum
studiaimitantur
) non pauci aut præſentes, aut per litter as me
de
his, atque illis Mathematicis quæstionibus conſuluerunt.
Cùmque ego nunquam laborem amicorum cauſa defugerim,
euenit
vt post tot annorum curricula, mea ſcrinia ſcrutatus,
inuenerim
tot abſolutas quæſtiones, vt ex eis corpus mediocre
effici
poſſe videretur.
Quas, cùm rationibus in epiſtola ſub-
ſequenti
allatis edere constituiſſem, non ſub cuiuſque alte-
rius
nomine, & auſpicijs quam tuæ Celſitudinis volui apparere;
tum quòd patri debitum libellum filio reddere par erat, tum
8 quòd in tuæ Celſitudine paternam in me fouendo, & augendo
benignit
atem ineße ſemper ſum expertus, tum quòd tuæ Celſi-
tudinis
interrog ationibus excitatus non pauca quæ hoc volu-
mine
continentur, elucubraui.
Acceßit, quod ego ſemper in
his
dedic ationibus ſpectandum put aui, tuam Celſitudinem tan-
tos
progreßus in Mathematicis feciſſe, vt vel idonea æſtima-
trix
mearum vigiliarum eſſe poßit.
Quare, & veterum Per-
ſarum
Regum gloriam æquauit, & nos veluti in ſpem certam
fælicitatis
buius ſæculi induxit, ſi verum eſt Platonis va-
ticinium
, beat am eam futuram Rempublic am in qua
Principes
Philoſophentur.
Tua igitur celſi-
tudo
libellum tot ei nominibus debitum,
ea
qua ſolet bumanitate accipe-
re
grauetur.
Deus tuas
omnes
cogitationes,
& conatus ad
fœlicißi-
mos

ſemper
exitus perducat,
teq́ꝫ diutißimè ſer-
uet
incolu-
mem
.
9
AD LECTOREM
CVm Varijs temporibus permulta in diuerſis
diſciplinis
contemplatus ſim, partim à præ-
ſtantibus
viris patronis ac amicis meis exci-
tatus
, quiſuper eis ſententiam meam exquire-
bant
, partim, abingenito mihi deſiderio, ra-
tionem
, & cauſam eorum percipiendi, com-
mittendum
non putaui, quin qualiacunque
meaſcripta
in illis ſcientijs, ſtudioſis impartirer,
non
dubitans quin illis aliquid commodi atque vtilitatis allatura ſint, prę
ſertim
cum in eiuſmodi quæſtionibus inueſtigandis atque perpendendis,
nemo
( quod ſciam ) hactenus elaborauerit.
Nihil enim his libris à me
traditum
eſt, quod aut legiſſe, aut ab alijs audiuiſſe meminerim, nam ſi
aliena
attigi, ea, aut cum aliqua differentia demonſtrationis, aut diluci-
dius
ſcripſi, quod ſi forte alius eadem tradidit, aut eius lucubrationes ad
me
non peruenerunt, aut earum perlectionis memoria excidit.
Vtenim
etiam
Ariſtoteles ipſe ſenſit facilè fieri poteſt, vt pluribus, eædem opinio-
nes
in mentem veniant.
Immo multa ſcribenti euenire poteſt, vt cum
iamdiu
aliquid ſcripſerit, iam oblitus, idem repetat, quod mihi etiam
nonnunquam
accidit.
In his autemlibris non ſuſcepi munus integræ ali
cuius
ſcientiæ tradendæ, ne, quæ abalijs iam tradita ſunt, ipſe inutiliter re
peterem
, mihiq́ue viderer exalienis laboribus laudem voluiſſe comparare.
Singularum enim ſcientiarum volumina, iam ab alijs collecta, at-
que
in ordinemſunt digeſta, & ſi pauciſſimi ſint libri quorum omnes
ſententiæ
, omniaq́ue inuenta vnius ſint authoris, excipio Archime-
dis
volumina.
Cumque multi ſint, qui vel vnam rem à ſe inuentam
in
publicum proferre non dubitent, multo magis mihi qui multa ex-
cogitaui
, & ſi inter ſe hætereogenea, atque vtcunque expreſſa, idem
licere
ſum arbitratus.
In his autem meditandis, ex Arithmeticis autho-
ribus
quos inſpexi, præcipuus fuit Nicolaus Tartalea, quippe quem fe-
omnia ab alijs ſcripta collegiſſe conſtat, nec alios ex præcipuis, quos le-
gere
potui omittendos duxi, inter quos ſunt Hieronymus Cardanus, Mi-
chael
Stifelius, Gemma Friſius, Ioannes Nouiomagus, Cuthebertus
Tonſtallus
, cæteriq́; huiuſinodi.
Quorundam tamen volumina illorum
qui
à Tartalea citantur, vt Leonardi Piſani, Proſdocimi, Ioannis Infor-
tunati
, Fratris Lucæ, Petri Borgi, aliorumq́ue aliquot inſpiciendorum,
10 facultas mihi non fuit. Præterea, licet in his libris nonnullę inueniantur
propoſitiones
, quæ diſiunctam ab alijs habeant rationem, non ſper-
nendæ
tamen ſunt, viam fortaſſe alicui aperient vlterius progrediendi.
Quemadmodum enim, exempli gratia, ex ſub contraria coni ſectione,
ſumpta
poſtea fuit diuina illa Planisferijdelineation, quæ ſub Ptolomæi no-
mine
legitur, & ſicuti ex penultima primi Euclidis, quam Pythagoras
excogitauit
propè innumeræ pulchræ conſequentiæ in Aſtronomia, in
Architectura
, in multisq́; alijs ſcientijs deſumptæ ſunt, immo quemad-
modum
ex ſingulis propoſitionibus à noſtris maioribus excogitatis mul-
ta
egregia ſunt deducta, ita fortaſſe continget, vt ex mearum muentio-
num
aliqua, nõnihil in poſterum vtilitatis deſumatur.
Si quid verò, hic in-
ueneris
, quod tuo genio non arrideat, illa prudentiſſimi hominis ſen-
tentia
in mentem veniat.
Quot capita, tot ſententiæ, ac per raro con-
tingere
, vt idem omnibus probari, atque placere queat, & perdifficulter
inueniri
hominem cui placeant omnia quæ alteri ſatisfaciunt.
Nec te mo
ueat
, quodhęc Theoremata ſiue excogitationes non videas ordine illo di-
ſpoſitas
, quo collocari debere exiſtimaueris, tum in Arithmeticis, tum in
cæteris
.
Cum enim in huiuſmodi rebus ordo non ſit neceſſarrus, vi-
ſum
eſt mihi poſſe me, ſine repræhenſione, illum negligere, cum ſpe-
culationi
, ſiue inuentioni preęcipuè adeo mihi incumbendum decreuerim
vtin
collocatione operam ponere, & tempus abſumere operæpretium
non
duxerim, quod idem in epiſtolarum collocatione feci, in quibus per-
ſonarum
ad quas ſcribo nullus ferè graduum ordo ſeruatus eſt, nec tem-
poris
, quo ſunt ſcriptæ, quæſitorum tantummodo ratione habita.
Nec
admirari
quenquam velim, quod in ſpeculandis numerorum paſſioni-
bus
, figuris vtar geometricis, ita enim in .2. libr. fecit Euclides, qui mo-
dus
, eo magis mihi arridet, quo minus eſt abſtractus, quoniam oportet in-
telligentem
phantaſmata ſpeculari
, cum pręterea perſpicuum ſit, diſcretum
omne
, ex continui diuiſione aliquo modo oriri, ſiue actu, ſiue potentia.
Deinde ſi forte meis in deinonſtrationibus tibi videbor aliquando bre-
uior
, illud in cauſa fuiſſe ſcias, quod ibi ad viros ſcribebam in his diſcipli-
nis
exercitatos, quibus ſatis fuit rem ſignificare.
Libuit autem mihi om-
nes
voluminis Arithmetici propoſitiones potius vocabulo theorema-
tum
appellare, quam problematum, quia pars earum ſpeculatiua tan-
tum
mea eſt, & ſi ex varijs eiuſmodi propoſitionibus etiam operatiuam
adinuenerim
.
Quoniam verò multis in locis accidit, vt veritatis iudi-
candæ
cauſa neceſſe mihi fuerit quorundam ſententijs aduerſari nolim te
11 hoc mihi vitio tribuere, meq́; hoc nomine carptorem maledicumq́; ha-
bere
quod alienos errores aperiam, cum potius habenda ſit mihi gratia,
quod
in ijs interdum laborans (quę Antiſthenes in diſciplinis magis ne-
ceſſaria
eſſe dixit, vt mala ſcilicet prius dediſcantur) falſas opiniones euel-
lere
ſtudeam, veritatemq́; oſtendere, quam omnis philoſophus, Ariſto-
telis
exemplo, pluris quam cuiuſuis hominis authoritatem, aut gratiam
facere
debet.
Cumq́ue in hoc volumine aliquid eiuſmodi legeris
te
oratum volo, vt in iudicando, affectum omnem exuas,
Salluſtianum
illud præ oculis habens.
Omnes qui dere-
bus
dubijs conſultant, ab odio amicitia, ira, atque
miſericordia
vacuos eſſe decet.
Hinc fiet, vt
non
perſonæ (vt multiſolent) ſed
veritati
, quę ſummo ſtudio di-
gniſſima
eſt, ſemper po
tius
faueas.
Vale
noſtrisq́ue

labo-
ribus
vtere, ſi quem inde fructum,
ſicuti
ſpero tuleris, illi præ-
cipuè
habeas gratiam à
quo
omnes fluunt
ſcientiæ
.
12
[Empty page]
13
IO. BAPTISTAE
BENEDICTI

PATRITII
VENETI
SERENISS
. CAR. EM.
ALLOBROGVM
DVCIS
PHILOSOPHI
.
Theoremata Arithmetica.
PRaeclare multa veteres mathematici philoſophi de nu­
meris
eorumq́ue effectibus excogitata poſteris tradide-
runt
, quorum cum vix vllam rationem reddiderint, aut
certè
per exiguam, occaſione diuerſorum problematum
mihi
à Sereniſſimo Sabaudiæ Duce propoſitorum præbi-
ta
, de ijs quæ ab antiquis propoſita fuerunt contemplanda
nonnulla
occurrerunt, quæ poſteritati comendare non
inutile
arbitratus fum, ne meæ cogitationes intercide-
rent
, & occaſionem præberem quamplurimis abſtruſa hęc
indagandi
, quæ problematibus & thæorematibus inuoluta, vix aliquem qui euol-
ueret
nacta funt.
Inter cætera vero à me queſita, hoc fuit theorema.
THEOREMA PRIMVM.
INterrogavit me Sereniſſimus Dux Sabaudiæ, qua ratione cognoſci poſ-
ſet
ſcientificè & ſpeculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris,
quolibet
producentium minus eſſe.
Cui reſpondi, mente & cogitatione conci-
piendum
eſſe fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiuſdemq́ue na-
turæ
eſſe, imò longè diuerfæ.
Exempli gratia, fractis numeris propofitis .a.i. et .a.c. quorum integri ſint .a.
b
.
et .a.d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè eſſet productum .c.i. fu-
perficiale
futurum, quod nomen caperet à producto ſuperficiali .d.b. generato ex
vno
in aliud totorum linearium, nam ſi conſtitueretur .a.i. octauum ipſius .a.b. et .a.
c
.
dimidium .a.d. multiplicato .a.i. cum .a.c. produceretur fextumdecimum ipſius .
d
.b
.
Quare .d.b. eſſet totum relatiuũ ipſius .c.i. non aliquod totum producentium.
Mirum itaque non eſt ſi productum .c.i. minus videatur fuis producentibus, cum
toto
, diuerſæ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiuſdem
naturæ
, linearis, ſuperficialis, aut corporeæ denominatur.
Quòd ſi amplioris cognitionis gratia ex ſcientiæ præceptis ſpeculari voluerit a@
142IO. BAPT. BENED. quis, qua ratione fractus numerus .c.i. minor ſit in ſuo integro .d.b. fracto .a.i. in
ſuo
integro .a.b. aut fracto .a.c. in ſuo integro .a.d. conſideret is quo pacto pro-
portio
.c.i. ad .d.b. minor ſit proportione .a.i. ad .a.b. et .a.c. ad .a.d. hac ratione.
Ma-
nifeſtum
eſt ex prima ſexti de quantitate
continua
, aut .18. ſeptimi Euclidis de diſcre
2[Figure 2] ta, proportionem ipſius .d.i. ad .d.b. eſſe ſi-
cut
.a.i. ad .a.b. & cum .c.i. minor ſit .d.i.
velut
pars ſuo toto, proportio, c.i. ad .d.b.
minor
erit proportione .d.i. ad .d.b. ex .8.
quinti
,
quare minor erit pariter proportio-
ne
.a.i. ad .a.b. ex .12. eiuſdẽ vnà etiam pro-
portio
.c.i. ad .d.b. minor erit .a.c. ad .a.d.
ex
eiſdem cauſis, medio .c.b.
Ex quibus pa-
tet
ratio, cur fracti diuerſarum denomina-
tionum
ad vnicam reducantur.
Cur etiam
numeros
integros in partes fractis ſimiles
frangere
liceat, quæ omnia ex ſubſequenti
figura
facilè cognoſci poſſunt.
THEOREMA II.
QVae ſit ratio, cur hi, qui numeros, fractos diuerſarum denominationum col-
ligere
volunt, & in ſummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus
per
denominatorem alterius, & poſtmodum denominatores adinuicem, quorum
vltimum
productum, commune eſt denominans duorum priorum productorum,
quæ
collecta in ſummam efficiunt quod quærebatur.
Qua in re ſciendum eſt, denominantes conſiderari tanquam partes vnius eiuſdẽ-
q́ue
magnitudinis quantitatis continuæ, linearum (verbigratia) a.b. et .a.d. æqualiũ
in
longitudine, quarũ .a.b. in quatuor partes diuidatur, et .a.d. in tres.
Quare ſi colli-
gere
voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus .a.c. duo tertia,
cum
.a.b. diuiſa in 4. partes, produceturq́ue .c.b. octo partium ſuperficialium, de-
hinc
multiplicando .a.i. tres quartas cum .a.d. diuiſa in .3. partes producetur .i.d. pri
mis
ſingulis æqualis, nouem partium ſuper
ficialium
, multiplicata deinde a.b. diui-
3[Figure 3] ſa in .4. partes per .a.d. in .3. diuiſa, produ-
cetur
quadratum .d.b. in continuo, in 12.
partes
diuiſum, quod erit totum commune
ſingulis
productis, quorum primum erat .c.
b
.
Quare .c.b. ita ſe habet ad totum .d.b. ſi-
cut
.a.c. ad .a.d. ex prima ſexti in continuis,
aut
.18. ſeptimi in diſcretis quantitatibus,
et
.d.i. ad .d.b. ſicut .a.i. ad .a.b. ex eiſdem
propoſitionibus
.
Collectis deinde parti-
bus
producti .c.b. cum partibus producti .
d
.i.
manifeſtè depræhendetur eiuſmodi
ſummam
componi ex partibus vnius totius
communis
ſingulis earum.
153THEOR. ARITH.
THEOREMA III.
CVr reperturi qualis ſit fractus aliquis numerus reſpectu alterius; multiplicare
debeant
numeratores adinuicem & ita etiam denominatores, ex quo produ-
ctum
ex numeratoribus nomen capiat à producto denominatorum.
Huius ſi cauſam noſce vis, ſume .o.i. & .o.u. pro totis denominatoribus, tum .o.e.
& .o.a. pro numeratoribus (exempli cauſa) ſit .o.i. ſenarius .o.u. quaternarius .o.e.
quinarius
.o.a. ternarius.
Si noſce vis quæ ſint tres quartę partes quinque ſextarum,
patet
ex regulis practicis oriri quindecim vigeſimaſquartas.
Id quomodo fiat, ex
ſubſcripta
ſigura depræhendetur, memores tamen eſſe oportet, quodlibet productũ
conſiderari
tanquã ſuperficiem, producentia autẽ tan-
quam
lineas.
In hac igitur ſigura productum ex totis
4[Figure 4] linearibus eſt .u.i. aggregatum ex .24. partibus, & .u.e.
productum
aggregatum ex .20.
Quodita ſe habebit
ad
productum totale .u.i. ſicut .o.e. ad o.i. ex prima
ſexti
aut .18. ſeptimi, ita .u.e. erunt quinque ſextæ par
tes
.u.i. quarum in propoſito exemplo, tres quartæ
quærũtur.
Si itaq; multiplicabitur .o.e. .o.a. orietur
productum
.a.e. ita proportionatũ ad .u.e. ſicut .o.a. ad
o.u. reperitur, ex prædictis rationibus.
Quòd ſi ſtatutũ
eſt
.o.a. tres quartas partes eſſe ipſius .u.o. etiã .a.e. tres
quartæ
partes erũt .u.e. ſed .u.e. quinque ſextæ ſunt ip-
ſius
.u.i. ex quo ſequitur bonum eſſe huiuſmodi opus.
THEOREMA IIII.
CVr multiplicaturi fractos cum integris, rectè multiplicent numerantem fra-
cti
per numerum integrorum, partianturq́ue productum per denominantẽ
fracti
, ex quo numerus quæſitus colligitur.
Propter quod mente concipiamus in ſubſequenti figura, numerum integrorum
tanquam
lineam .a.e. qui, verbigratia, ſit denarius, quorum vnuſquiſque ſit æqualis
a.i. cogiteturq́ue productum ipſius .a.e. in .a.i. ſitq́ue .u.e. quod quidem erit dena-
rius
ſuperficialis, conſtituta prius .a.u. æqualis .a.i. & .a.o. ſint duæ tertiæ .a.u. quarũ
duarum
tertiarum productum in numerum .a.e. ſit .o.e. pariter .u.i. vnitas ſit ſuper-
ficialis
prout .a.i. vnitas eſt linearis, quam .u.i. reſpicere debet productum .o.e. ex
quo
integer ſuperficialis .u.i. erit tanquam ternarius, & productum .o.i. tanquam bi
narius
, & quia quælibet pars è viginti ipſius .o.e. æqualis eſt tertiæ parti .u.i. vnita-
tis
ſuperficialis;
ſi cupiamus ſcire quot integræ vnitates ſint in partibus .o.e. conſul-
tum
eſt eaſdem diuidere per denominantem .u.i. compoſitum ex tribus partibus ſu
perficialibus
, & cum tam linea u.a. quam ſuperficies .u.i. diuidatur in 3. partes ęqua­
les
noſce peroportunum eſt eiuſmodi partitionem numeri .o.e. fieri per numerum
ipſius
.u.i. non .u.a. ex prædictis cauſis.
5[Figure 5]
164IO. BAPT. BENED.
THEOREMA V.
ALia quoque via prædicti effe
6[Figure 6] ctus cauſa, ſpeculando inno-
teſcere
poteſt, cuius rei gratia for-
metur
ſequens figura .e.o.a.u.n.
eiuſmodi
, vt a.e. ſit numerus li-
linearis
integrorum, & o.e. produ-
ctum
numerantis ipſorum fractorũ
in
integris, ex quo .a.o. erunt duæ
tertiæ
, verbigratia, a.i. aut a.u. qua-
rum
linearũ ſingulę ſtatuuntur æqua
les
vnitati lineari, ſuperficies autem
parallelogramma
.u.n. conſtituatur
æqualis
magnitudinis ſuperficiei .o.
e
.
ex quo .u.n. erit nobis cognita ſu-
perficies
.
Cognoſcetur pariter quan
titas
partium .a.u. quam in propoſi-
to
exemplo diximus eſſe trium par-
tium
.
ex regula igitur de tribus, di-
cemus
ſi .u.a. dat .a.e. ſine dubio .o.
a
.
dabit .a.n. numerum linearem.
quæ
regula ex 15. ſexti in continuis,
& ex 20. ſeptimi in diſcretis, depro-
mitur
.
rectè igitur multiplicãtur fra-
cti
numerantes cum integris, & productum diuiditur per denominantẽ fractorum.
THEOREMA VI.
ITem & alia ſpeculatione cognoſci poteſt hoc rectè fieri, mul-
tiplicantes
enim has duas tertias per decem, debemus conſide-
7[Figure 7] rare quantitatem duarum tertiarũ decies produci, ex quo oriuntur
20
. tertia, quandoquidem ſingulæ vnitates,
tunc pro duobus ter-
tijs
ſumuntur, ſed cum quilibet integer tria fragmenta contineat,
ideo
ex ratione partiendi quoties ternarius ingrediatur viginti,
ſtatim
cognoſcemus quod optabamus.
Id ipſum accideret ſi integri in eiuſmodi ſpecie fractorum diui-
derentur
. quo facto hi multiplicandi eſſent cum numerante propo
ſito
, & partiendũ productum per quadratum denominantis.
Cuius rei hæc eſt ſpeculatio. Sit linea .a.e. conſtans ex quinq;
integris
numeris, quorum vnuſquiſq; æqualis ſit .a.u. vel .a.i. & .a.o.
ſint
duo tertia vnitatis integræ linearis.
cogitemus nunc hos quinq;
integros
diuidi in ſua fragmẽta linearia, quę in propoſito exemplo
erunt
15. multiplicatis iam 15. cum propoſitis, videlicet a.o. orie-
tur
productum .o.e. triginta fragmentorum ſuperficialium, quorũ
in
ſingulos integros ſuperficiales cadũt nouẽ in hoc exẽplo, & cum
notauerimus
quoties nouẽ ingrediatur triginta, propoſitum con-
ſequemur
.
175THEOR. ARITH.
THEOREMA VII.
CVr multiplicaturi integros numeros & fractos, cum integris & fractis, de-
beant
integros reducere ad ſpecies fractorum, eos colligendo cum fractis:
deinde multiplicare hos vltimos numerantes adinuicem & productum partiri
per
productum denominantium.
Vt (exempli cauſa) ſi volumus multiplicare vnum & duo tertia, per duo & tria
quarta
, reducentur omnia in fractos, ex quo vna ex parte eſſent quinque ter-
tia
, multiplicanda cum vndecim quartis ex altera, quo facto oriretur productum
quinquagintaquinque
fractorum, quod diuiſum per
productum
ternarijin quaternarium, videlicet per duode
cim
, quatuor integri proferentur cum ſeptem duodeci-
mis
fractis vnius integri.
8[Figure 8]
Detur ſubſequens figura in qua linea a.i. æqualis ſit li-
neæ
.u.a. quarum vnaquæq; cõſideretur pro integro nume
ro
:
cogiteturq́; .a.i. valere quatuor in pręſenti exẽplo, & .a.
u
.
tria:
detur deinde linea .a.o. æquipollens vni integro
duobus
tertijs, & a.e. æquipollens duobus integris & tri-
bus
quartis.
Iam ſi duæ lineæ in ſuos fractos redu-
cantur
, multiplicata (vt in ſequenti figura apparet.) a.o.
a.e. orietur productum o.e. fractorum ſuperficialium
quinquagintaquinq;, quorum integer ſuperficialis va-
let
duodecim, ſcilicet .u.i. vt cuique manifeſtum eſt, ex
quo
, quærenti media partitione, quoties duodecim in-
grediatur
quinquagintaquinque, citra errorem, quæſitum
occurret
.
THEOREMA VIII.
ID ipsvm accideret ſi fractiad vnam eandemq́ue denominationem reduceren-
tur
, qui poſtmodum ſimul multiplicarentur, productumq́ue partiremur per qua-
dratum
denominantis communis.
Exempli cauſa, ſint eadem quinque tertia, & vndecim quarta adinuicem multi-
plicanda
, quæ ſi reducantur ad vnam & eandem denominationem quinarius
numerans
vnius, multiplicabitur cum quaternario deno-
minante
alterius, & vndenarius ſecundi cum ternario de-
nominante
primi. ex quo vna ex parte eſſent viginti, ex
9[Figure 9] altera 33. numerantia vnius cõmunis denominantis, quod
eſſet
productum ternarij in quaternarium, videlicet duo-
decim
, vt ex veteri regula patet.
Iam ſi multiplicentur vi
ginti
cum trigintatribus, dabuntur 660. fracti, quorum in-
teger
erit quadratum duodenarij, nempe 144. quibus qui-
dem
660. diuiſis per 144. proferentur quatuor integri &
ſeptem
duodecimi.
Cuius rei gratia ſit in ſubſcripta figura linea .a.i. & ei
æqualis
.a.u. pro integro lineari, quæ .a.i. diuidatur in qua-
tuor
partes, & .a.u. in tres, & linea .a.e. ſit vndecim partiũ
talium
qualium .a.i. eſt quatuor, & .a.o. ſit quinque pro-
ut
.a.u. eſt trium.
nunc multiplicato .a.o. & .a.i. orietur pro-
ductum
.o.i. viginti partium ſuperficialium.
tum multipli-
186IO. BAPT. BENED. cato .a.e. per .a.u. dabitur productum .u.e. trigintatriũ
10[Figure 10] partium.
ad hæc quadratum .u.i. conſtabit ex duode-
cim
partibus eiuſdem rationis cum reliquis duobus
productis
, quod quadratum .u.i. vnitas eſt ſuperficia-
lis
, & communis denominans duorum productorum.
quod ſi in præſentiarum cogitabimus lineam .c.d. tri-
gintatrium
partium æqualium, et .c.t. duodecim ſimi-
lium
, et .c.f. viginti .c.n. duodecim, multiplicato .c.
d
.
cum .c.f. dabitur ſuperficies .f.d. 660. fractorum
ſuperficialium
, quorum vnitas integra ſuperficialis
erit
quadratum .n.t. 144. partium cuiuſmodi .f.d.
partes
habet .660. diuiſo itaque .f.d. per .n.t. pro-
poſitum
conſequetur.
eo quòd eadem proportio erit
11[Figure 11] producti .f.d. ad .n.t. quæ producti eius quòd fit ex .
a
.e.
in .a.o. ad .u.i. nam proportio .c.d. ad .c.t. ea-
dem
eſt quæ .a.e. ad .a.i. & c.f. ad .c.n. vt .a.o. ad .a.
u
.
ex prima ſexti vel 18. ſeptimi, ſed vt .f.d. ad id
fit
ex .f.c. in .c.t. eſt vt .c.d. ad .c.t. & vt eius fit ex
f.c. in .c.t. ad .n.t. eſt vt .f.c. ad .c.n. ex dictis pro-
poſitionibus
quare ex æqua proportionalitate, eodem
modo
diſcurrendo in figura .o.a.e. ita ſe habebit .f.d.
ad
.n.t. vt .o.e. ad .u.i.
Porrò ex ijs, quæ hactenus de
fractorum
multiplicatione conſiderata fuerunt, apertè
ratio
deprehenditur, cur productum, ſingulis producen
tibus
ſemper minus ſit, cum producta ſint ſuperficialia
producentia
verò ſemper linearia, omiſſis productis
corporeis
, quæ omnia ad ſuperficialia reducuntur.
THEOREMA IX.
IN Ipsa fractorum diuiſione, animaduertendum eſt, denominantes numeros
ſemper
æquales inuicem eſſe debere, vnius ſcilicet ſpeciei, quòd ſi æquales non
fuerint
, neceſſe eſt via multiplicationis ipſorum denominantium adinuicem effice-
re
æquales vt ſint, ex quo productum oritur eiuſmodi, vt aptum ſit habere partes
fractorum
, quæ deſiderabantur.
Exempli gratia, ſi proponerentur diuidenda ſeptem octaua per tria quarta præ-
cipit
antiquorum regula, vt ad vnam tantum denominationem reducantur.
quare
multiplicant
denominantes inuicem.
ex quo productum in materia propoſita ori-
tur
triginta duarum partium commune denominans, cuius duo numerantes ſunt vi-
gintiquatuor
& vigintiocto, producti ex multiplicatione vnius numerantis in deno
minantem
alterius, ex quo dantur vigintiquatuor tamquam tria quarta trigintaduo
rum
, & vigintiocto tanquam ſeptem octaua particularum vniformium, prout ope
primæ
ſexti aut decimæoctauæ ſeptimi in ſubſcripta figura cognoſci poteſt.
197THEOR. ARITH.
Sit itaque linea .a.i. diuifa in partes octo, & ei æqualis in longitudine .a.u. in qua-
tuor
, productum verò vnius in alteram
12[Figure 12] ſit .u.i. trigintaduarum particularum
fuperficialium
fimilium & æqualiũ ad-
inuicem
.
fit deinde .a.e. ſeptem partiũ
lineæ
.a.i. & .a.o. trium partium .a.u.
tunc productum .a.e. in .a.u. erit .u.e.
particularum
ſuperficialium vigintiocto
& productum .a.o. in .a.i. erit .o.i. par
ticularum
ſuperficialiũ vigintiquatuor
eiuſdem
naturæ cum partibus triginta-
duabus
totius denominantis communis.
vnde diuifo numerante vigintiocto per-
numerantem
vigintiquatuor, dabitur
vnum
cum fexta parte illius vnius.
THEOREMA X.
PArtiri ſeu diuidere vno numero alium numerum, eſt etiam quodammodo
eiuſmodi
partem numeri diuifibilis inuenire refpectu totius numeri diuifibilis,
cuiuſmodi
eſt vnitas in diuidente refpectu totius diuidentis, partem inquam numeri
diuiſibilis
ſic ſe habentem ad totum numerum diuiſibilem ſicut vnitas ad totum di-
uidentem
, quod ſimiliter ex regula de tribus præſtamus dicentes, ſi tantus numerus
diuidens
dat vnitatẽ, quid dabit numerus diuifibilis, quemadmodum ex .15. ſexti
ſeu
.20. ſeptimi licet ſpeculari, Idcircò quotieſcunque minorem numerum per
maiorem
diuidimus, ſemper qui prouenit fractus eſt.
Exempli gratia, ſi cogitaremus lineam .a.e. diuiſam in octo partes æquales, qua
rum
vna ſcilicet vnitas effet .a.i. & cupere-
mus
eam diuidere in nouem partes, ac ſcire
13[Figure 13] quan a ſit nona illius pars;
manifeſtum eſſet,
nonam
partem ipſius .a.e. minorem futuram
ipſa
.a.i. cum .a.i. diminui debeat à ſua inte-
gritate
eadem proportione, qua .a.e. minor
reperitur
vna linea nouem partium æqualium
fingularum
.a.i.
Quod vt dilucidè cuiuis innoteſcat, hoc
etiam
modo licebit videre ſitlinea .n.c. no-
nupla
ad .a.i. & parallela ad .a.e. dubium non
eſt
quin .n.c. maior futura ſit ipſa .a.e. iam ſi
earum
extrema congiungantur medijs duabus
lineis
.n.a. et .c.e. quæ ſimul concurrant in
puncto
.o. (quod eſt probatu facillimum) da-
buntur
certe duo trianguli fimiles .a.o.e. et .n.o.c.
Sit deinde .n.t. vna è partibus
ipſius
.n.c. quæ .n.t. æqualis erit .a.i. ex præſuppoſito.
ducatur deinde .o.t. quę
interſecet
.a.e. in puncto .x. dico .a.x. tanto minorem futuram .a.i. quanto .a.e.
minor
eſt .n.c. neque enim dubium eſſe poteſt quin proportiones .n.t. ad .a.x. et .
208IO. BAPT. BENED. n.c. ad .a.e. ſint æquales inuicem quandoqui-
14[Figure 14] dem vnaquæque earum ex triangulorum ſimi
litudine
æqualis eſt proportioni .o.n. ad .o.a.
itaque .n.t. hoc eſt .a.i. tanto maior erit .a.x.
quanto
.n.c. maior eſt .a.e. vnde ficut .a.e. con-
ſtat
octo nonis ipſius .n.c. ita pars .a.x. ipſius .
a
.e.
octo nonis conſtabit ipſius .a.i.
Hinc patet ratio cur partituri numerum mino
rem
per maiorem collocent minorem fupra
virgulam
& maiorem infra & zerum ad læuã.
Sciendum eſt præterea diuidere numerum
per
numerum:
eſſe inuenire alterũ latus à quo
producitur
, ſuppoſito ſemper quòd numerus
diuifibilis
ſuperſicialis ſit, & rectangulus.
Exempli gratia, ſi proponantur triginta diuidenda per quinarium, nihil aliud erit
hæc
diuiſio, quam inuentio alterius numeri, qui multiplicatus per quinarium produ-
cat
triginta ſuperficies rectangulas, huiuſmodi verò eſt ſenarius, cuius ſingulæ vnita-
tes
ſuperficiales erunt.
Cuius rei gratia ſit ſubſcriptum rectangulum .a.e. triginta vnitatum ſuperſicialiũ,
cuius
latus .e.n. ſit quinque vnitatum.
hinc latus .a.n. erit ſex vnitatum; ita diuiden-
tes
rectangulum .e.a. nihil a iud faciemus, quam vt inue-
15[Figure 15] nia mus quantum valeat latus .a.n. quod erit ſex vnitatum.
Sin verò diuiſerimus per latus .a.n. quæremus latus .e.n.
quinque
vnitatum.
ex quo, proportio totius numeri diuifi-
bilis
ad numerum qui oritur, erit ſicut diuidentis ad vnita-
tem
, ex prima ſexti, aut .18. vel .19. ſeptimi, & permutatim
ita
ſe habebit diuiſibile ad diuidentem, ſicut numerus qui
oritur
ad vnitatem.
Partiri igitur nihil aliud eſt, quam inuenire latus rectanguli, quod productum in
diuidente
, numerum diuiſibilem compl at, ex quo numerus diuiſibilis ſuperficialis
eſt
, diuidens autem, & qui oritur, numeri lineares & latera producentia huiuſcemodi
numerum
diuiſibilem.
nam multiplicare & diuidere opponuntur inuicem, cum au-
tem
ex multiplicatione laterum ſiue linearum generatur ſuperficies, ex diuiſione po-
ſtea
ipſius ſuperficiei inuenitur alterum latus.
quare mirum non eſt, ſi proueniens ex
vna
diuiſione (via fractorum) ſit ſemper maius numero diuiſibili.
Exempli gratia, diuidendo dimidium per tertiam partem, reſultat vnus integer nu
merus
cum dimidio pro numero qui oritur.
Sit itaque dimidium ſuperſiciale diuiſi-
bile
.b.c. cuius totum ſit .b.p. quadratum.
tertium verò lineare diuidens, b.n. cuius to-
tum
lineare ſit .b.d. quærendum nobis eſt latus .b.s. quod cum latere .b.n. producat re
ctangulum
.n.s. æquale dimidio ſuperſiciali propoſito .b.c. quod ſi ſiat, ex .15. ſexti,
aut
.20. ſeptimi. erit eadem proportio .b.n. ad .b.q. quæ eſt .q.c. ad .b.s. dicemus itaque
ſi
.n.b. dat .b.q. quid dabit .q.c?
certè .b.s. ſed .n.b. eſt tertium lineare et .b.q. lineare in-
tegrũ
, & b.s. proueniens lineare.
& quia .b.c. dimidium ſuperficiale, producitur à .q.c.
dimidio
lineari in .q.b. integro lineari.
quare cum .n.s. ſit ęqualis .b.c. & productum ex .
b
.n.
minori .q.c. neceſſe eſt, vt producatur in .b.s. maiore .q.b. quod .q.b. maius eſt .q.c.
quod
quidem .q.c. ita appellatur ſicut .b.c.
quare mirum non eſt ſi proueniens per fra-
ctos
numeros ex diuiſione, maior ſit numero diuiſibili.
219THEOR. ARITH.
Hinc manifeſte patet quamlibet diuiſionẽ aut partitionem oriri ex regula de tri-
bus
, quandoquidem ſinguli diuidentes æquipollent vni integro, & loco illius ſu-
muntur
.
Perinde enim eſt diuidere centum per viginti, ac regulã obſeruare de tri-
bus
dicẽtes, ſi viginti æquipollent vni, quibus ęquiualebũt cẽtum?
Hoc autem ex ſub
ſequenti
figura facile deprehendetur, in qua linea .a.b. ſignificat viginti, et .a.o. vni-
tatẽ
linearẽ, et .a.c. vnitates lineares centũ:
o.c. verò centum vnitates ſuperficiales,
et
.a.d. quinq; vnitates lineares, et .d.b. centum vnitates ſuperficiales, ex quo manife-
ftè
deprehenditur quòd quemadmodum multiplicare, nihil aliud eſt, quam inueni
re
productũ ex duobus lateribus propoſitis, it a partiri nihil aliud eſt, quam da-
to
vno latere inuenire aliud latus producti propoſiti.
16[Figure 16] 17[Figure 17]
Nam quotieſcunq; ratiocinãtes dicimus tantundem numeri, immediate produci
mus
ſuperficiem, mediãte vnitate in huiuſmodi numero, qui numerus antequã pro-
ducatur
in vnitatem, mente concipiendus eſt tanqua m linearis, tanquam linea in-
quam
diuiſa in totidem particulas lineares, ſingulas continuas & æquales vnitati
propoſitæ
.
verò productus fuerit numerus in vnitate ſuperficialis, erit ac ſi tot eſ-
ſent
vnitates quadratæ, quod ſi ita non eſſet, nulla mentio facienda eſſet quo-
rumuis
fractorũ.
Ex eadẽ regula de tribus reduci poteſtad praxim tertiũ theorema.
Quare cupientes ſcire quæ ſint illæ partes, quæ ſunt tres quartę, ipſarum quin-
que
ſextarum, dicemus ſi quatuor dant tria, quid dabunt quinq; ſextæ?
dabunt .15.
vigeſimas
quartas, quæ quindecim ſunt tres quartæ ipſius .20. viginti autẽ quinq; ſex
vigintiquatuor, quandoquidem nos numerum quęrimus, cui ita proportionentur
quinq; ſextæ alterius numeri, ſicut quatuor ad tria, vnde ſic ſe habent .20. ad .15. ſi-
cut
.4. ad .3. ipſe autem .20. quinq; ſextę partes ſunt vigintiquatuor, vt per ſe notũ eſt.
Ex eadem regula de tribus, huiuſmodi quęſito reſponderi poteſt, ſi conſtituamus
prædictas
quinq; ſextas eſſe numerum, cuius tres quartæ quęrantur, dicentes, ſi vnus
integer
dat tres quartas, quid dabunt quinq; ſextæ?
quare ſequentes regulam de
tribus
, dabuntur quindecim vigeſimæ quartæ.
Valet eadem regula de tribus; vt quis
ſcire
poſſit, quæ pars aut partes numeri propoſiti ſit aliquis numerus.
Exempli gratia, ſcire cupienti, quæ pars aut partes ipſius vigintiquatuor ſint ſex-
decim
, conſtituentur .24. tanquam vnum totum, cuius pars aut partes ſint ſexdecim,
dicemus
igitur ſi .24. dant ſexdecim, quid dabit vnum?
ſexdecim videlicet vigeſi-
masquartas
, quæ cum ad primos numeros reductæ fuerint, erunt duæ tertiæ.
Eadem ratione qui ſcire uellet, quæ partes aut pars eſſent tres quartæ, octo no-
narum
, diceret, ſi octo nonæ danttres quartas, quid dabit vnum?
prouenient .27.
trigeſimęſecundæ
.
Subſeruit pariter ad ſciendũ naturã partiũ numeri propoſiti. Exempli cauſa, ſi quis
quærat
, cuius numeri, duodecim ſint duæ tertiæ partes.
Dicet ſi duo dant tria, quid
2210IO. BAPT. BENED. dabunt duodecim? nempe dabunt decemocto, numerum quæſitum ſcilicet,
Tunc autem nil aliud pręſtamus quam quòd quærimus numerum ad quem ita ſe
habeant
duodecim, ſicut duo ad tria.
Ita etiam ſi quis quærat, cuius numeri duo
tertia
ſint tres quintę, dicet, ſi tria dant quinq;, quid dabunt duo tertia?
nempe da-
bunt
integrum cum fracto nono.
Hoc erit itaq; quęrere numerum ad quem ſic ſe
habeant
duo tertia ſicut tria ad quinq;, quod manifeſtum eſt per ſe.
Eadem ratione qui ſcire vellet, cuius numeri duæ ſeptimæ, eſſent octo integra-
rum
cum duabus quintis, diceret, ſi duo dant ſeptem quid dabunt octo integra cum
duabus
quintis?
nempe dabunt .29. integra cum duabus quintis numerum quæſi-
tum
.
Sic etiam qui transferre uellet fractum numerum in fractum, id perficeret
ex
regula de tribus.
Exempli gratia ſi proponerentur vnde cim tertiædecimæ vnius totius, toto diui-
ſo
in .13. partes, deſideraremusq́; ſcire, quot partes totius eſsẽt vndecim tertiędeci-
, toto in .4. partes diuiſo, diceremus ſi .13. dant .11. quid dabunt quatuor?
nem
pe
dabũt tres quartas quinq; tertijsdecimis unius quartæ, hoc verò nihil aliud eſt
quam
querere numerum, ad quem ſic ſe habeat totum in 4. partes diuiſum, ſicut
idem
totum diuiſum in tredecim ſe habet ad undecim tertiasdecimas, Porrò ad
alia
etiam multa hæc regula accommodata eſt.
Hæc enim ſine propoſito dicta ſunt, ſed ut quiſq; videat cauſam ſimilium ope-
rationum
, quæ à practicis circa fractos numeros ſcriptæ ſunt, omnem à diuina illa
regula
de tribus originem trahere ut etiam in ſequentibus videbimus.
THEOREMA XI.
CVr productum ex eo quod oritur in diuidente, ſemper æquale eſt numero
diuiſibili
ſi queras ita accipe.
Sit numerus diuiſibilis .b. quod oritur ſit .c. diuidens .d. & vnitas diuidentis .t. cum
igitur
, vt in præcedenti theoremate dictum
fuit
, eadem ſit proportio .b. ad .c. quæ eſt .d.
18[Figure 18] ad .t. manifeſte deprehenditur ex .20. ſepti
mi
, productum ex .b. in .t. æquale eſſe pro-
ducto
.c. in d.
THEOREMA XII.
ID ipſum alia ratione contemplari licet.
Numerus diuiſibilis ſignificetur per lineam .n.e. diuidens verò per lineam .a.e.
quod
oritur linea .u.e. vnitas diuidentis .o.e. quã cogitamus eſſe vnitatem linearem;
ad hæc productum ex .u.e. in .a.e. ſit ſuperficies .u.a. Dico ſuperficiem .u.a. componi
ex
tot vnitatibus ſuperficialibus quot linearibus conſtat linea .n.e. nam ex ijs quæ
diuidendi
ratione notauimus, cõſtituitur
eandem
proportionem eſſe .n.e. ad .u.e.
19[Figure 19] quę eſt .a.e. ad .o.e.
At ex prima ſexti aut
18
. ſeptimi ſic ſe habet totale productũ .
u
.a.
ad partiale .u.o. ſicut .a.e. ad .o.e.
quare ſic ſe habebit .u.a. ad .u.o. ſicut .n.
e
.
ad .u.e. ſed .u.e. et .u.o. numero non differunt, cum ſint vnius & eiuſdem ſpeciei, (ta-
met
ſi numerus .u.o. ſit ſuperficialis et .u.e. linearis).
Itaq; ex nona quinti numerus .
u
.a.
æqualis erit numero .n.e.
2311THEOREM. ARITH.
THEOREMA. XIII.
CVr diuidentibus numerum diuiſibilem per proueniens, oritur numerus diui-
dens
?
Sit ſubſcriptus rectangulus .o.e. numerus diuiſi
20[Figure 20] bilis, qui producitur, tam ex .a.o. in .a.e. quám ex .a.
e
.
in .a.o.
quare ſi .a.o. diuidens fuerit .a.e. proue-
niens
erit, ſi veró .a.e. diuidens extiterit, a.o. pro-
ueniens
erit futurum.
THEOREMA. XIIII.
HOcipſum, alia quoq; uia licebit ſpeculari.
Sit linea .a. denotãs numerum diuiſibilem, et .o. primi prouenientis linea .e. pri
mi
diuidentis .u. ſecundi prouenientis ideſt cum .o. pro diuidente ſumetur.
Iam ex
indicata
definitione diuiſionis nono theoremate huius libri, dabitur proportio .a.
ad
.o. prout datur .e. ad vnitatem ſignificatam li-
nea
.i. & permutatim .a. ad .e. ſicut .o. ad .i. ſed .a.
21[Figure 21] ad .u. ſic ſe habet prout .o. ad .i. ex eadem definitio-
ne
diuiſionis, itaq; ſic ſe habebit .a. ad .u. ſicut .a. ad .
e
.
vnde .u. æqualis erit .e. ex .9. quinti.
THEOREMA. XV.
VNde prouenit, vt qui velit cognoſcere cuius numeri quatuor quintæ par-
tes
, ſint duæ tertię, aut quid ſimile, cõſultiſſime faciat, ſi ad unam eandemq;
denominationem
reduxerit.
Prout in propoſito exemplo, denominãs cõmunis ſit quindecim, cuius duæ ter
tiæ
ſunt decẽ, & quatuor quintæ duodecim, cõmunis autẽ denominans .15. multipli
candus
ſit per quatuor quintas, ſcilicet duodecim, & productum diuidendum per
duas
tertias, hoc eſt decem, ex quo oriantur decemocto quęſitus numerus?
Quod ad reductionẽ numeratorũ ad vnam & eandem denominationem attinet,
ea
de cauſa fit quo uti poſſimus regula de tribus, quæ tribus tantummodo notis ter-
minis
indiget, quo quartus à prędictis dependens, inueniri poſſit, quandoquidem
bini
illi reſpectus, tribus terminis comprehendi poſsũt.
At quod ad multiplicatio-
nem
ſpectat denominantis cõmunis numerante denominantis in cogniti & diui-
ſionem
producti per numerantem cognitũ illę nihil aliud ſunt, quam quartũ terminũ
inuenire
, ita proportionatum tertio, vt ſecundus primo.
Excmpli gratia, ſit .a. denotãs nume-
rantem
denominantis cogniti, qui ſigni
22[Figure 22] ficetur linea .o. et .e. ſit denominantis in-
cogniti
numerans, denotati linea .u. imò
verò
& cogniti .o. nempe quatuor
quintæ
, Iam ſi .o. cum .e. multiplicemus, & productum per .a. diuidemus dabitur .u.
ſic
ſe habens ad .e. ſicut .o. ad .a. ex .20. ſeptimi.
2412IO. BAPT. BENED.
THEOREMA XVI.
INuenire autem cupienti cuius numeri, duæ tertiæ, ſint quatuor quintę partes, mul­
tiplicandę
eſſent duæ tertiæ per denominantem communem, & productum diui-
dendum
per quatuor quintas ipſius de-
nominantis
.
Ac ſi quis diceret ſi .e. dat .
23[Figure 23] o.
quid dabit .a?
nempe dabit .u. nam in
propoſito
exemplo, terminus .a. loco .e.
duos
ſortietur denominantes, cognitum
videlicet
.o. et .u. incognitum quod po-
ſtea
cognitum oritur ex regula de tribus, vt dictum eſt.
THEOREMA XVII.
QVA ratione cognoſci poterit proportionem quantitatis cenſicæ cenſicæ ad
ſimilem
quantitatem quadruplam eſſe ad eam, quæ eſt ſuarum radicum;
pro-
portionem
autẽ primarum relatarum eſſe quintuplam, atq; ita deinceps?
Cuiusrei gratia, ſciẽdus eſt modus ꝓductionis harũ dignitatũ qui oritur ex produ-
ctione
primæ radicis in ſeipſam, prout qui cubũ requirit, ducat radicé in ſuo quadra-
to
, & orietur cubus, hæc poſtea ducta in cubum, quantitatẽ cenſicam cenſicã, et in
hanc
, prædictam radicem, dabit quantitatem primam relatam.
Quod vbi ſciueri-
mus
, meminiſſe oportet Euclidem decimaoctaua ſexti aut .11. octaui docere, pro-
portionem
quadrati ad quadratũ, duplam eſſe proportioni ſuarum radicum, & .36.
vndecimi
aut .11. octaui, cubi ad cubũ triplam eſſe, ego verò nunc aſſero, cenſici cen
ſici
ad radicum proportionem quadruplam eſſe, primi verò relati ad primum re-
latum
quintuplam atq; ita gradatim.
Cuius ſpeculationis gratia, detur linea .d. quæ cubum maiorem ſignificet. et .b.
minorem
.c. verò ſit radixipſius .d. et .e. ipſius .b. ita ordinate adinuicem, vt in ſub-
ſcripta
figura cernitur.
Iam .c. cum .d. producatur proueniatq́; .q. cenſicum cenſi-
cum
, tum producatur .e. cum .b. et dabitur .p. alterum cenſicum cenſicum.
Dico
igitur
proportionem .q. ad .p. quadruplam eſſe proportioni .c. ad .e. hac de
cauſa
quòd proportio .q. ad .p. compo-
natur
ex proportione .d. ad .b. et .c. ad .e.
24[Figure 24] prout facile ex .24. ſexti, aut quinta octaui
depręhenditur
.
Quare proportio .d. ad .
b
.
proportioni .c. ad .e. tripla ſit, patet pro-
portionem
.q. ad .p. quadruplam eſſe pro-
portioni
.c. ad .e.
Idem de cæteris dignitati
bus
dico, ſumptis ſemper .d et .b. pro duo-
bus
cenſibus cenſuum, aut duobus primis relatis, aut alio quouis axiomate.
THEOREMA. XVIII.
CVR diuidentibus nobis dignitatem, per dignitatem, radix prouenientis: pro
ueniens
ſit diuiſionis vnius radicis per alteram?
Sint exempli gratia duę lineæ .b.q. et .f.g. quæ ſignificent duas radices cuiuſuis
dignitatis
;
demusq́; eſſe radices duorum quadratorum, quadratumq́; ipſius b.q.
per
quadratum ipſius .f.g. diuidatur;
quadrataq́ue radix prouenientis ſit .d.q.
vnitas
verò linearis ſit .i.g.
Dico ipſam .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .b.q.
per
.f.g.
Patet enim ex definitione diuiſionis nono theoremate tradita quadra-
2513THEOR. ARITH. tum ipſius .d.q. talem eſſe partem quadrati ipſius .b.q. qualis quadratum ipſius .g.i.
eſt
quadrati ipſius .f.g.
Scimus pręterea ex .19. ſexti, aut vndecima octaui, propor-
tioné
quadrati ipſius .b.q. ad quadratũ ipſius .d.q. duplam eſſe proportioni .b.q. ad .
d
.q.
ſuarum radicum (cuborum enim tripla eſſet & cenſuum cenſuum, quadrupla,
atq; ita deinceps ex præcedenti theoremate) Id ipſum dico de dignitatibus ipſius .
f
.g.
et .i.g. reſpectu radicum .f.g. et .i.g.
Vnde
cum
proportio dignitatis ipſius .b.q. ad il-
lam
.d.q. ęqualis ſit proportioni dignitatis
25[Figure 25] ipſius .f.g. ad illam .g.i. ex communi ſcien-
tia
apertè cognoſcemus ſimplices propor-
tiones
eſſe interſe æquales, nempe eam quę
eſt
.b.q. ad .d.q. æqualem eſſe ei, quæ eſt .f.
g
.
ad .i.g. itaq; ſequitur ex definitione diuiſionis .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .
b
.q.
per .f.g.
THEOREMA XVIIII.
CVR productum ex duabus radicibus quadratis, eſt quadrata radix, producti
ſuorum
quadratorum ſimul?
In cuius rei gratiam, ſint duo quadrata .d.a. et n.o. coniuncta ſimul, prout in ſub-
ſcripta
figura apparet, ita tamen vtangulus .a.n.u. ſitre
ctus
,
quare ex quartadecima primi, duo latera .n.c. et .
26[Figure 26] n.a.
directe coniũgentur adinuicem, prout etiam reli-
qua
duo latera .n.u. et .n.d.
Cogitato deinde .a.u. pro
ducto
ipſius .a.n. in .n.u. duarum videlicet radicum
quadratarum
ſimul, dabitur ex prima ſexti, aut de-
cimaottaua
ſeptimi, productum .a.u. medium propor
tionale
inter quadratum .a.d. et .u.c. quod ſi cogi-
temus
has tres ſuperficies, tres numeros eſſe, pate-
bit
ex vigeſimaprima ſeptimi productum .a.u. in ſe-
ipſum
, quadratum ſcilicet .a.u. æquale eſſe producto .
a
.d.
in .u.c. ex quo propoſiti euidentia conſequetur.
THEOREMA XX.
QVA ratione id ipſum in cubis cognoſci poterit.
Sit cubus .l.b. & cubus .o.p. quorum productum ſit .u.g. quod aſſero eſle
27[Figure 27] cubum, quamuis Eucli. idem probet
in
.4. noni. cuius radicem demonſtra-
bo
eſſe numeri æqualis numero .m.q.
qui
.m.q. productum eſt ipſius .m.e. in .e.
q
.
radicum propoſitorum cuborum.
Pa-
tet
enim ex præcedenti theoremate .m.
28[Figure 28]
2614IO. BAPT. BENED. q. radicem eſſe quadratam producti .l.e. in .e.p. quod productũ ſit quadratuni
corporeum
.c.g. cogitemus pariter duo quadrata .l.e. et .e.p. eſſe pariter corpo-
rea
, tantę profunditatis, quantam, vnitas linearis radicum .m.e. et .e.q. requirit.
Hæc duo corpora producentur à ſuperficie in vnitatem, vocenturq́; .l.x. et .x.p. quo
facto
, cogitemus corpus .a.g. tamquam productum cubi .l.b. in quadratum .e.p.
Vn-
de
ex decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eadem erit proportio .a.g. ad .c.g.
quæ
eſt .l.b. ad .l.x. corporeum, ſed ex .25. vndecimi & prima ſexti, ita ſe habet .a.K.
ad
.K.c. vnitatem linearé ſicut .a.g. ad .c.g. & ex eiſdẽ ita ſe habebit .b.e. ad .e.x. vnita-
tem
linearem, ſicut .l.b. ad quadratum .l.x. corporeum.
Itaque ſic ſe habebit .b.e. ad
vnitatem
linearem .e.x. videlicet .K.c. ſicut .a.K. ad ipſam .K.c.
Vnde ex nona quinti .
a
.K.
æqualis erit .e.b. & conſequenter æqualis .m.e.
Iam verò ſit .u.g. productum .l.b.
cubi
, in cubum .o.p. vt ſupra dictum eſt, Hinc patebit ex quauis duarum propoſitio-
num
, decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eandem futuram proportionem .u.g.
ad
.a.g. quæ eſt .o.p. ad .x.p. quadratum corporeum.
Quare ex poſtremis, dictis ratio-
nibus
, eadem erit proportio .u.K. ad .a.K. quæ eſt .o.e. ad vnitatem linearem .e.x. at
ex
dictis decimaoctaua & decimanona ſeptimi, ita ſe habet numerꝰ .m.q. ad numerũ
ſuperficialẽ .m.e. qui ꝓducitur à lineari .m.e. in vnitaté linearẽ ipſius .e.q. ſicut nume
rus
.q.e. ad ſuam vnitaté, ſed numerus .a.K. æqualis ſit numero .m.e. vt probatũ eſt
erit
ergo ex vndecima & nona quinti, numerus .u.K. æqualis numero .m.q.
At .f.g.
pariter
æqualis eſt numero .m.q. ex præcedenti theoremate, vnde .K.u. pariter æqua
lis
erit .f.g.
Itaque ſequitur .u.g. cubum eſſe, & f.g. radicem ipſius, æqualem numero .
m
.q.
quod quærebatur.
29[Figure 29] 30[Figure 30]
THEOREMA XXI.
VT autem in uniuerſum ſciri poſſit totum infinitũ dignitatum, hoc eſt radicem
producti
duarum dignitatum ſimilium, productum eſſe duarum radicum ea-
rundem
dignitatum.
Ponamus, exempli gratia, duas radices quadratas .q.p. et .g.K. incognitas, quas
qui
velit adinuicem multiplicare, cogatur earum quadrata cognita .n. cum .i. multi-
plicare
, quorum productum ſit quadratum .m. radix cuius ſit .b.d. quam dico æqualé
2715THEOREM. ARIT. eſſe ꝓducto .q.p. in .g.k. autẽ ſit .o. Patet enim proportionẽ .o. ad .q.p. eandẽ eſſe
cum
proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-
nona
ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-
ties
in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen
ti
exemplo quadrata dignitas ſumatur.
Itaq; ex eiſdem propoſitionibus decimaocta
ua
aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u.
Scimus pręterea proportionẽ .
m
.
ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.
d
.
ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum
fuit
ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u.
Itaq; .
b
.d.
ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t.
31[Figure 31] quandoquidem ſic ſe habeattotum ad to-
, ſicut pars ad partẽ, ſimiles ſint, proba
autẽ eſt ſuperius ita ſe habere .o. ad .q.p.
ſicut
.g.k. ad .t. itaq; .o. ſic ſe habebit ad .q.p.
ſicut
.b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d.
Hocipſum
cęteris dignitatibus conueniet,
mutatis
tantummodo proportionibus .m.
n
.
ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-
tionibus
duarum dignitatum .i.u. ad pro-
portionem
ſuarum radicum .g.k.t.
THEOREMA XXII.
DOcent veteres, quòd ſi quilibet numerus in duas partes inæquales diuiſus
fuerit
, totumq́ diuiſum per vnã partium, & per eandem pars altera diuiſa fue-
rit
:
differentia prouenientium ſemper vnitas erit. quodquidem veriſſimum eſt.
Detur enim .b.d. propoſitus numerus in duas partes inæquales diuiſus .b.c. et .c.d.
& in primis totũ .b.d. per .c.d. diuidatur, ex quo oriatur e.o. vnitas autem . .i.o. ſigni-
ficetur
, tum pars ipſa .b.c. . eãdem .c.d. diuidatur, ſitq́; proueniẽs .a.
Sanè ex defini-
tione
diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a.
ſicut
.c.d. ad .i.o.
Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d.
ad
.e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a.
Quare ex .11. quinti ſic ſe
habebit
.b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9. prędi­
cti
.a. æqualis erit .e.i. ſed .e.i. minor eſt .e.o.
32[Figure 32] per .i.o.
Quare ſequitur propoſitum verum eſ­
ſe
.
Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri
poteſt
, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-
te
diuiſibili, quã in toto, ſemel minus ingredi,
quandoquidem
altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.
THEOREMA XXIII.
HOcipſum alia ratione contemplari po­
33[Figure 33] terimus.
Significetur enim totalis numerus per .a.e.
in
duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u.
totius
verò proueniẽs ſit .a.c. partis autẽ, ſit proueniẽs .a.n. tum differentia ſit .n.c. vni
2816IO. BAPT. BENED. tas vero cui differentiã .n.c. æquari dico, ſit .a.i. Patet enim in primis, eandem propor
tionem
eſſe .a.e. ad .a.c. quæ eſt .u.e. ad .a.i. ex definitione diuiſionis, et eandem
eſſe
.a.u. ad .a.n. quæ eſt .u.e. ad .a.i. vnde ex .
11
. quinti ſic ſe habebit .a.e. ad .a.c. ſicut .a.
34[Figure 34] u.
ad .a.n. et ex .19. eiuſdem ſic ſe habe-
bit
.u.e. ad .n.c. ſicut .a.e. ad .a.c. ſed. ſic ſe
habebat
.u.e. ad .a.i.
Itaq; ex prædicta .11. quinti, ſic ſe habebit .u.e. ad .n.c. ſicut ad .a.
i
.
Quare ex .9. eiuſdem .n.c. æqualis erit .a.i. etidcirco .n.c. pariter vnitas erit.
THEOREMA XXIIII.
CVr quibuslibet duobus numeris diuiſis adinuicem, multiplicatisq́ prouenien
tibus
ſimul, productum, ſemper eſt vnitas ſuperficialis?
Nempe ex .20. ſeptimi,
quoniam
vnitas linearis ſemper media proportionalis eſt inter bina prouenientia.
Quodita ſpecularilicet.
Significẽtur duo propoſiti numeri per .b.p. et .b.d. mutuo diuiſi, proueniens au-
tem
.b.p. per .b.d. diuiſum ſit .b.n. tum proueniens .b.d. diuiſum per .b.p. ſit .b.a.
et
.b.t. ſit vnitas .b.p. et .b.e. vnitas .b.d. ex quo .b.t. æqualis erit .b.e.
Iam ex definitio ne diuiſionis, dabitur eadem proportio .b.p. ad .b.n. quæ eſt .b.d.
ad
.b.e. et proportio .b.d. ad .b.a. quæ eſt .b.p. ad .b.t.
Sed cum ſic ſe habeat .b.
p
.
ad .b.n. ſicut .b.d. ad .b.e. permutando ſic ſe habebit .b.p. ad .b.d. ſicut .b.n. ad .b.
e
.
hoc eſt ad .b.t. et cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.a. ſicut .b.p. ad .b.t: permutando ſic ſe
habebit
.b.d. ad .b.p. ſicut .b.a. ad .b.t.
Quare euerſim ſic ſe habebit .b.p. ad .
35[Figure 35]
b
.d.
ſicut .b.t. ad .b.a. ſed .b.n. ad .b.t. ſic
ſe
habebat vt .b.p. ad .b.d.
Itaq; ex .11.
quintiſic
ſe habebit .b.n. ad .b.t. ſicut .b.
36[Figure 36] e.
ad .b.a.
Dictum autem eſt .b.e. et .b.t. idem omnino eſſe. Quare ex .20. ſeptimi pro-
poſiti
veritas innoteſcet.
THEOREMA XXV.
IDipſum & hac altera uia patebit.
Duo illi numeri per .o. et .u. ſignificentur mutuo diuiſi, proueniens autẽ .o. per .
u
.
ſit .e. et proueniens .u. per .o. ſit .x. vnitas uerò per .i. ſignificetur, quas tamen quanti-
tates
ſubſcripto modo ad inuicem diſponi-
to
.
Itaq; ex definitione diuiſionis, eadem erit
37[Figure 37] proportio .o. ad .e. quę eſt .u. ad .i. et .o. ad .i. quę
eſt
.u. ad .x.
Quare ex æqualitate proportionũ .
c
.
ad .i. ſic ſe habebit ſicut .i. ad .x. erit enim .i.
media
proportionalis inter .e. et .x. ex .20. autẽ
ſeptimi
propoſitum concludetur.
Huiuſmodi rei cauſa etiam eſt, quod proueniens
diuiſionis
vnius eſt numerator æqualis denominatori diuiſionis alterius.
THEOREMA XXVI.
CVr duobus numeris mutuo diuiſis, sũptis deinde prouenientibus ſimul et adinui
cem
, & per hanc ſummam, diuiſa ſumma quadratorum dictorum propoſitorũ
2917THEOREM. ARITH. numerorum, proueniat numerus æqualis numero producti duorum primorum nu-
m
erorum ſimul.
Sint exempli gratia propoſiti numeri .2. et .8. qui mutuo diuiſi in primis dent pro
uenientia
quatuor integra, tum quartam partem pro altero proueniente, hæc colle-
cta
dabunt ſummam quatuor integrorum et quartæ partis vnius, ſumma autem qua
dratorum
binarij & octonarij erit .68. qui quidem numerus per quatuor & quar
tam
partem vnius diuiſus dabit .16. pro proueniente, quæ .16. æqualia erunt pro
ducto
binarii in octonarium.
Cuius rei hæc erit ſpeculatio, ſint duæ lineæ .o.e. et .o.n. quæ duos numeros pro-
poſitos
ſignificent, inuicem ad angulum rectum .o. coniunctæ, quarum quadrata
ſint
.o.a. et .o.p. ipſorum productum ſit .n.e. tum .o.t. ſit proueniens ex diuiſione .o.e.
per
.o.n.
Hęc ſingulatim conſideremus ( ſi in partibus ſimplicibus quod dicimus ac
ciderit
, id ipſum in compoſitis conſequenter eueniet) quamobrem ex definitione di
uiſionis
dabitur eadem proportio .o.e. ad .o.t. quæ eft .o.n. ad vnitatem, quæ ſit .o.
x
.
Nunc cogitemus ſuperficiẽ rectangulã .o.c. æqualẽ quadrato .o.a. tunc numerus .
c
.t.
proueniens erit, ut patet, ex diuiſione numeri quadrati .o.a. per numerũ .o.t. eritq́
eadẽ proportio .c.t. ad .o.e. quæ eſt .o.e. ad .o.t. ex ſecunda parte quintæ decimæ ſexti,
aut
.20. ſeptimi.
autẽ dictum eſt .o.e. ad .o.t. ſic ſe habere ſicut .o.n. ad .o.x. Itaq; ex .
11
. quinti ſic ſe habebit .c.t. ad .o.e. ſicut .o.n. ad .o.x.
Sed ex prima ſexti, aut .18. vel .
19
. ſeptimi, ſic ſe habet ꝓductum .n.e. ad .e.x. ſicut .o.n. ad .o.x.
quare denuo ſic ſe ha-
bebit
numerus .c.t. ad numerum .o.e. ſicut nume-
rus
.n.e. ad numerum .x.e.
Sed numerus .o.e. cum
38[Figure 38] numero .x.e. ſpecie idem eſt, igitur ex .9. quinti nu
merus
.c.t. numero .n.e. æqualis erit.
Id ipſum de quadrato ipſius .o.n. videlicet .p.o.
dico
.
Nam ſi proueniens .o.n. diuiſo per .o.e. ideſt .
o
.i.
proportionale reſpondens ad .o.t. cum .o.t.
coniunctũ fuerit, et per hãc ſummam diuiſa ſumma
quadratorum
.o.a. et .o.p. patet per ſe proueniens
futurum
eiuſdem numeri .c.t. ipſumq́ .c.t. proue-
niens
ſemper ſuturum.
Quo autem lucidius res hæc innoteſcat. Cogi
temus
proueniens quadrati .o.p. diuiſi ab .o.i. re-
ſpondentisq; .o.t. eſſe .i.u. quod via prædicta inue-
nitur
æqualis eſſe numero .n.e. ex quo conſe-
quenter
æquale .c.t: cogitato deinde rectangu-
lo
.o.u. æquali .o.p. coniuncto .o.c:totum .t.u. æqua-
le
erit compoſito duorum quadratorum .o.a. et .o.
p
.
cum in nullo numerus .c.t. mutetur, tam ex com-
poſito
.t.u. quã ex ſimplici .o.c. ex quo propoſiti ſe
ſe
ueritas profert.
THEOREMA XXVII.
PRoposvervnt veteres nobile quidem problema, ſed quod tamen citra al-
gebraticam
effectionem, aut neſcierunt, aut noluerunt diſſoluere, quod nihi-
lominus
facillimum eſt.
3018IO. BAPT. BENED.
Proponunt hi numerum in binas eiuſmodi partes diuidendum, vt ſumma qua-
dratorum
dictarum partium, alteri numero poſsibili propoſito æqualis ſit, poſſi-
bili
inquam, etenim ſi eiuſmodi numerus propoſitus, minor eſſet producto totius
primi
in ſuum dimidium, eſſet huiuſmodi factum impoſſibile.
Quod nos exequi
cupientes
, ſumamus primum numerũ propoſitum, quem in ſe ipſum multiplice-
mus
.
ab hoc quadrato deducamus ſecundum numerum propoſitum, tum quod re-
manſerit
duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra-
hi
, accepta poſtea radice quadrata reſidui & dempta ex priori numero propoſito,
tunc dimidium reſidui vna pars erit ex duabus primi numeri quæſita.
Exempli gratia proponantur .20. diuidenda in duas eiuſmodi partes, vt ſumma
quadratorum
ipſarum partium æqualis ſit .272. qui numerus maior eſt .200. maior
inquam
dimidio quadrati .400. ipſorum .20. hic autem numerus .272. è quadra-
to
.400. deducatur, remanebũt enim .128. quod duplicari iubeo, producẽtur ſiquidẽ .
256
.
quæ pariter deducta è quadrato totali, remanebunt .144. cuius radicem ſumi
volo
, quæ erit .12. & dempta ex .20. priori numero dato remanebit .8. cuius di-
midium
erit .4: pars vna ex quæſitis, quæ ex primo numero propoſito .20. detra-
hetur
, remanebitq́ .16. pro altera parte.
Cuius demonſtrationis cauſa, in primis cogitemus quadratum .a.c. cognitum nu-
meri
.a.b. primò propoſiti, qui cogitetur diuiſus in duo quadrata .d.e. et .e.b. duo-
ſupplementa .a.e. et .e.c. numerus autem ſummæ duorum quadratorum .d.e.
b
.
pro ſecundo propoſito datur;
ex quo, ſumma duorum ſupplementorum .a.e.c.
conſequenter
erit cognita, quę cum duplicata fuerit, & quatuor hæc ſupplementa
cogitatione
accommodata, prout in
quadrato
.f.g. apparet (quãuis idipſum
39[Figure 39] proueniret ſi modo Eucl. octaua ſecũdi
aptaretur
) æquali quadrato .a.c. ita vt
cogitatis
quatuor ſupplementis numeri
cogniti
in quadrato .f.g. ex conſequen-
ti
cognoſcetur numerus quadrati partia
lis
.h.i. & vna etiam eius radix qua de-
tracta
ex numero .a.b. aut .f.n. (quod
idem
eſt) primo propoſiti, relinquetur numerus cognitus duplum .x.k.n. aut .t.b.
pars
vna totius .a.b. ex quo uerum erit hoc meum problema.
THEOREMA XXVIII.
SI quis & aliam rationem perficiendæ
40[Figure 40] huius rei quærat, hoc præſtet inuen-
to
numero huius ſupplementi, cum in
præcedenti
theoremate dictum fuerit,
qua
ratione manifeſtetur duplum ſupple-
menti
ipſius.
Cogitemus in ſubſcripta figura lineam .
a
.b.
tanquam primum numerum propoſi-
tum
, & productum .a.e. ſupplemento .a.e. primæ præcedentis figuræ æquale ſit,
ac
deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio .
a
.b.
videlicet .b.c. quod erit .b.d. ex quo detrahatur deinde .a.e.
quare remane-
3119THEOREM. ARIT. bit quadratum .e.d. cognitum, cuius radix æqualis erit .c.t. qua coniuncta dimi-
dio
.c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.
THEOREMA XXIX.
QVid cauſæ eſt, cur ſubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui-
cem
multiplicatorũ ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper
eſt
duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?
Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum
eſſet
.128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-
neret
.144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.
Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore .q.g.
et
minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p.
in
quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-
cto
.n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta dabũtur .q.n. et .n.u. ſingula æqualia pro-
ducto
.q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-
torum
, quod ſatis ſuperq́ , probatur quarta ſecundi Eucli.
Cogitemus deinde .n.
o
.
æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.
c
.
quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-
tur
quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in
41[Figure 41] g.p. et quantitas .o.c. minor ipſo producto, ex
quantitate
quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e.
vna
cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-
cti
.q.g. in .g.p. ſed duæ quantitates, ſunt par-
tes
duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper
eſt
.m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-
poſiti
ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui
libet
conſiderare.
Itaque veritas hæc manifeſta
erit
.
THEOREMA XXX.
CVr ij qui ex duobus numeris propoſitis maiorem per minorem diuidunt, ſi
proueniens
per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale
erit
prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?
Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4. ipſeq́ .20. per .4. diui-
datur
, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100.
quod
proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis .x.u. et .x.s. maiore atq; mi-
nore
ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-
uidatur
, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua-
42[Figure 42] dratum .u.x. ſit .x.o. et productum ex .n.x. in .u.
x
.
ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex
diuiſione
quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m.
Patet
enim
ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-
portionem
.u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem,
& quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha-
3220I O. BAPT. BENED. biturum, ſicut .u.x. ad .n.x. ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, quare ex 11.
quinti
ita ſe habebit .o.x. ad .e.x. ſicut .s.x. ad vnitatem;
ſed ſicut ſe habet .s.x. ad.
vnitatem
, ita ſe habet pariter .o.x. ad .m.
vnde ex .11. prædicta ita ſe habebit .o.
x
.
ad .m. ſicut idipſum .o.x. ad .e.x. itaq́ue ex .9. prædicti quinti .m. æqualis erit .o.x.
THEOREMA XXXI.
CVR propoſito aliquo numero in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus per
quamlibet
ipſarum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum
multiplicata
efficiant.
Exempli gratia, ſit denarius prop oſitus numerus, per binarium & octonarium
diuiſus
, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta
crunt
.6. cum quarta parte lineari, quæ ſi mul multiplicata, pariter erunt .6. cum
quarta
parte ſuperficiali.
Cuius ſpeculationis cauſa, totalis numerns, linea .q.p. ſignificetur, eius duæ
partes
, per .k. maiorem et .u. minorem, ipſa vnitas per .t: proueniens ex diuiſio-
ne
.q.p. per .k. ſit .q.i. proueniens autem ipſius .q.p. per .u. ſit .q.f.
quare ex defini-
tione
diuiſionis ita ſe habebit .q.p. ad .q.i. ſicut .k. ad .t. et .q.p. ad .q.f. ſicut .u. ad .t.
hoc
eſt .q.f. ad .q.p. ſicut .t. ad .u. vnde ex æqualitate proportionũ ſic ſe habebit .q.f.
ad
.q.i. ſicut .k. ad .u. et conuerſim.
Ad hæc in linea .q.p. vnitas, per lineam .q.o. ſigni-
ficetur
, quo facto, dicamus, ſi .q.p. ad .q.i. ſic ſe habet vt .k. ad .q.o. itaque permu-
tando
, ſic ſe habebit .q.p. ad .k. ſicut .q.i. ad .q.o. hoc eſt .k.u. ad .k. ſicut .i.q.f. ad .
q
.f.
(nam .k.u. partes ſunt integrales totius .q.p. et .k.u. ad .k. eſt ſicut .i.q.f. ad .q.f.
ex
.18. quinti)
Quare ita erit .i.q.f. ad .q.f. ſicut .q.i. ad vnitatem .q.o. ex .11. quinti
Addatur
deinde .q.i. ad .q.f. et .q.i. per .
q
.f.
multiplicetur, cuius multiplicatio-
43[Figure 43] nis productum, ſit .x.f. quod probabo
æquale
eſſe ſummæ .f.q. cum .q.i.
Sece-
tur
enim linea .q.x. in puncto .s. ita. vt .
q
.s.
æqualis ſit .q.o. ſigneturq́ue pro-
ductum
.s.f.
quare eadẽ erit propor-
tio
quantitatis .x.f. ad .s.f. quæ eſt .q.x.
ad
.q.s. ex prima ſexti, aut .18. vel 19.
ſeptimi
, hoc eſt, ſicut .q.i. ad .q.o. et
ex
.11. quinti (vt dictum eſt) ſicut .i.q.
f
.
ad .q.f. ſed numerus .s.f. fuperficia-
lis
tantus eſt, quantus linearis .q.f.
quare ex .9. quinti tantus erit (ſu-
perficialiter
) numerus .x.f. quantus
(lineariter). f.q.i. quod erat pro-
poſitum
.
THEOREMA. XXXII.
CVR numero aliquo in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus diuidatur per
ſingulas
partes, ſumma duorum prouenientium per binarium, ſemper ma-
ior
ſit ſumma prouenientium ex diuiſione vnius partis per alteram.
Exẽpli gratia, ſi proponeretur numerus .24. qui in duas partes inæquales diuide­
3321THEOREM. ARIT. retur .20. ſcilicet et .4. certè .24. perſingulas partes diuiſo, daretur vnum proue-
niens
ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-
tegra
cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-
niens
quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet
quinque
integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-
tium
per binarium.
Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea .q.p. ſignificetur, eius duę
partes
lineis .q.x. et .x.p. .q.f. ſit proueniens ex diuiſione totius .q.p. per .x.p. et .
q
.i.
ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens,
ex
diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-
niensex
diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi-
44[Figure 44] tur ex .22. theoremate huiuslibri proue-
niés
.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per
vnitaté
, & proueniens .h.k. minus proue-
niente
.q.i. per alteram vnitatem.
Itaque .
f
.q.i.
maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.
THEOREMA. XXXIII.
QVilibet numerus, medius eſt
proportionalis
inter numerum
45[Figure 45] ſui quadrati & vnitatem.
Detur enim numerus propoſitus,
qui
linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-
dratum
ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a.
et
ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti
aut
11. octaui proportionem .u.n. ad .
o
.
futuram duplam proportioni .u.a.
ad
.i.a. ſed .i.a. et.o. eadem (ſpecie)
res
sũt, tanta ſcilicet .a.i. quanta .o. vni
46[Figure 46] tas eſt, Itaque proportio numeri .u.n.
ad
.u.a. æqualis erit proportioni .u.a.
ad
.i.a.
Quare numerus .u.a. inter nu-
merum
.u.n. & vnitatem, medius erit
proportionalis
.
THEOREMA XXXIIII.
HOc ipſum quod diximus & alia ratione ſpeculari licebit.
Propoſitus numerus, nunc etiam per .a.u. ſignificetur, eius quadratum per .
u
.n.
vnitas linearis per .a.i. productumq́; .a.u. in .a.i. terminetur, ſitq́; .n.i.
quare
n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .
18
. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-
merus
.a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt.
Itaque medius eſt proportiona-
lis
inter .u.n. & vnitatem.
3422IO. BAPT. BENED.
THEOREMA XXXV.
QVivis numerus per alterum multiplicatus, & diuiſus, medius eſt propor-
tionalis
inter productum multiplicationis, & proueniens diaiſionis.
Exempli gratia, ſi .20. multiplicẽtur per quinque & inde per quinque diuidantur
productum
erit .100. proueniens .4. inter quos numeros .20. medius eſt propor-
tionalis
.
Hoc vt ſpeculemur, proponatur numerus multiplicandus & diuidendus, qui ſi-
gnificetur
linea .u.e. multiplicans autem & diuidens linea .a.u. multiplicationis
productum
ſit .e.a. proueniens ex diuiſione ſit .o.e.
Nunc proueniens .e.o. per nu-
merũ
.a.u. diuidentem multiplicetur, cuius multiplicationis productum ſit .e.i.
quare
, eadem erit proportio numeri .a.e.
ad
numerum .e.i. quæ eſt numeri .u.e. ad
47[Figure 47] numerum .e.o. ex prima ſextiaut .18. vel
19
. ſeptimi.
Sed cum numerus .u.e. ex .11. theoremate præſentis libri, numero .e.
i
.
æqualis ſit.
verum eſſe, quod propoſi-
tum
fuit conſequetur.
THEOREMA XXXVI.
CVR ij, qui propoſitum numerum ita multiplicare & diuidere cupiunt, vt pro
ductum
multiplicationis, tam ſit multiplex prouenienti ex diuiſione, quam
quæritur
, rectè ſumant aliquem numerum pro multiplicante & diuidente, qui ſit ra
dix
quadrata denominantis quęſitę multiplicitatis.
Exempli gratia, proponuntur .20. multiplicanda atque diuidenda, ita vt pro-
ductum
multiplicationis nonuplum ſit prouenienti ex diuiſione, nempè, vt pro-
ueniens
, nona pars ſit eiuſmodi producti,
quare quadratam radicem ipſorum no-
uem
, ideſt denominantis ſumunt, tria ſcilicet, multiplicant igitur & diuidunt
data
.20. ex quo productum erit .60. proueniens autem .6. cum duabus tertijs.
&
propoſitum
ſequitur.
Cuius ſpeculationis cauſa, ſignificetur numerus propoſitus linea .u.e. multipli-
cans
autem & diuidens linea .u.a. productum ſit .e.a. proueniens .e.o. quadratum
verò
.a.u. ſit .x.a. erit igitur proportio .a.e. ad .e.o. dupla proportioni .a.e. ad nume
rum
.u.e. ex præcedenti theoremate:
Adhæc, cogitemus in linea .u.a. vnitatem .
u
.i.
terminenturq́; duo producta .e.i. et .x.i.
quare eadem erit proportio .a.e. ad .e.i.
quæ
eſt .a.e. ad .u.e. numerus enim .e.i. (quamuis ſuperficialis) idem eſt cum nume-
ro
lineari .u.e. ſed .a.e. ad .e.i. ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .u.i. ex prima ſexti aut .18.
vel
.19. ſeptimi, (quod ipſum dico de .a.x. ad .x.i.)
quare proportio .a.x. ad .x.i. hoc
eſt
.x.u. ęqualis erit ꝓportioni .a.e. ad .u.e. at trigeſimotertio & trigeſimoquarto theo
remate
probatum eſt proportionem numeri .a.x. ad vnitatem, duplam eſſe propor-
tioni
eiuſdem numeri .a.x. ad .u.x. ſequitur
igitur
cum dimidia ſint æqualia, tota etiam
æqualia
eſſe:
hoc eſt proportionem numeri .
48[Figure 48] a.e.
ad numerum .e.o. æqualem eſſe propor
tioni
numeri .a.x. ad vnitatem.
Itaque rectè
ſumitur
numerus .a.u. eiuſmodi vt quadratũ
3523THEOR. ARITH. ipſius .a.x. tam ſit multiplex ad vnitatem, quam cupimus numerum .a.e. numero .
e
.o.
multiplicem eſſe.
THEOREMA XXXVII.
CVR inuenire cupientes duos numeros, quorum quadrata in ſummam colle-
cta
, æqualia ſint numero propoſito, & ijſdem numeris multiplicatis ad-
inuicem
, productum alteri numero propoſito ſit æquale, rectè ſumant dimidium
primi
numeri propoſiti, cui ſumma quadratorum æquari debet, hocq́; dimidium
in
ſeipſum multiplicent, vnà etiam alterum numerum propoſitum in ſeipſum
multiplicent
, quod quadratum detrahunt de primo, & reſidui quadratam radicem,
dimidio
primi numeri propoſiti coniungunt, ex qua ſumma, quadratam radicem
eruũt, quæ duobus quæſitis numeris maior erit, cuius quadrato de primo numero
detracto
, & exreliquo erutaradice quadrata, detur minor numerus, duorum quę-
ſitorum
.
Exempli gratia, ſi proponerentur .34. pro primo numero cui æquari de-
beret
ſumma duorum quadratorum, quorum radicum productum æquale eſſe de-
beret
alteri numero, verbi gratia .15. iubet antiquorum regula, dimidium primi
numeri
in ſeipſum multiplicari, cuius dimidij quadratum erit .289. è quo ſi detra-
has
quadratum ſecundi numeri, nempe .225. remanebit .64. atq; huius ſi quadra-
tam
radicem ſumas nempe .8. quam dimidio primi numeri, nempe .17. coniun-
gas
, dabitur duorum quadratorum numerorum quęſitorum maior numerus .25. hac
deinde
radice è dimidio detracta, minus quadratum dabitur .9. ſcilicet, quorum
radices
.5. et .3. eſſent ij numeri, qui quæruntur.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus primum numerum, cui quadratorum fum
ma
æquari debet, ſignificari linea .a.n. tum concipiamus quæſita quadrata ſignifi-
cari
, coniungiq́ modo ſubſcripto .t.b.k. ſecundum porrò numerum propoſitum,
ſignificari
producto .d.b.
Iam nil ſupereſt aliud quam vt quantitates .d.p. et .b.p.
quæramus
.
Itaque cum in linea .a.n. ſummæ quadratorum numerus detur, quadratum di-
midij
.o.a. ſit .s.a. quod nobis erit cognitum;
ſit etiam .a.u. numerus quadrati ma
ioris
, et .u.n. minoris, et .a.z. productum vnius in alterum;
qui quidem numerus .a.
z
.
æqualis erit
quadrato
nume
49[Figure 49] ri .d.b. ex .19.
theoremate
hu-
ius
libri.
Itaq;
a.z. cognitum
erit
, cum eius
radix
.d.b. ſit ſe-
cũdus
numerus
propoſitus
, quæ
minor
erit .a.s. ex quinta ſecundi, aut ſeptima conſequentia poſt .16. noni Eucli-
dis
.
Iam ſubtracta quantitate .z.a. è quadrato .a.s. cognoſcetur quadratum .t.x.
cuius
radix æqualis erit .o.u. ex poſtremo adductis, Itaque cognoſcemus .o.u. qui
numerus
coniunctus dimidio .o.a. cognito, dabit quadratum .a.u. cognitum, at-
queita
.u.n. pariter cognoſcetur, & eorum radices conſequenter.
3624IO. BAPT. BENED.
Hoc ipſum & alia ratione perfici poteſt, nempe, iuncta ſumma .k.b: b.d: ec .
b
.t.
alteri rectangulo æquali .b.d. quod ſit .b.c. ex quo totum quadratum lineæ .d.k.
cognitum
erit, atq; ita etiam conſequenter eius radicem .d.k. cognoſcemus, cuius
ope
ac producti .d.b. cognoſcemus .d.p. et .p.k. prout ex theoremate quadrageſi-
moquinto
huius libri patebit.
Michael Stifelius, vndecimo cap. tertij libri, problema eiuſmodi proponit,
quod
tamen ipſe via algebræ diſsoluit.
50[Figure 50]
THEOREMA XXXVIII.
CVR ij, qui duos numeros inuenire volunt, quorum productum alicui nu-
mero
propoſito æquetur, & quadratorum eorundem differentia alteri nu-
mero
propoſito æqualis ſir.
Rectè dimidium ſecundi numeri propoſiti in ſeipſum
multiplicent
, cui quidem numero differentia quadratorum æquari debet;
porrò
huic
quadrato primi propoſiti numeri, cui æquandum eſt productum numerorum
quæſitorum
, quadratum adiungant;
tum radicem quadratam huius ſummæ co-
pulet
dimidio ſecundi numeri propoſiti, ei inquam, cui differentia quadratorum
æqualis
eſſe debet, ex quo quadratum maius conſurgit, à quo, detracto ſecundo
numero
, ſupereſt quadratum minus.
Exempli gratia, ſi proponeretur primo loco numerus .8. cui æquandum eſt
productum
numerorum quæſitorum, tum proponeretur numerus .12. cui, detra-
cto
minore à maiore, differentia quadratorum vtriuſque quæſiti numeri æqualis
eſſe
debet, oportet huius vltimi numeri .12. dimidium in ſeipſum multiplicare, fiẽt-
q́ue
.36. quadratum dimidij, vnde in ſummam colligeremus quadratum primi
numeri
.8. quod eſſet .64. quæ cum .36. efficerent .100. cuius centenarij radice, nem
pe
.10. collecta in ſummam cum dimidio ſecundi numeri, nempe .6. daretur qua-
dratum
maius, nempe .16. ex quo, detracto ſecundo numero, nempe .12. rema-
neret
quadratum minus .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, maius quadratum
51[Figure 51] incognitum ſignificetur linea .q.g. minus verò
pariter
incognitum linea .g.i.
quare .q.i. eorum
differentia
, tanquam data remanebit cognita,
vnà
etiam .b.i. et .q.b. ſua dimidia;
tunc cogite-
tur
quadratum .y.g. ſuper .b.g. et parallelogrã-
mum
rectangulum .g.r. deſignatum, & ita etiam
gnomon
.u.g.t. prout ſexta ſecundi Euclidis pro
ponitur
, ex quo quadratum .b.i. nempe .u.t. co-
gnitum
erit, ſed gnomon æqualis eſt rectangulo .g.r. ex prædicta, aut ex .8. poſt .16.
3725THEOREM. ARIT. noni, hocq́; rectangulum .g.r. quadratum eſt primi numeri propoſiti ex .19. theo-
remate
huius libri, itaq; cognitum erit.
vnà etiam gnomon .u.g.t. cognoſcetur,
quare
totum quadratum .g.y. eiusq́; radix .b.g. manifęſta erit, cui coniuncta .q.b.
data
, maius quadratum .q.g. cognoſcetur, ex qua .b.g. detracta .b.i. data, cogno-
ſcetur
.i.g. quadratum minus conſequenter, etiam eorum radices notæ erunt.
THEOREMA XXXIX.
ALia etiam ratione idipſum definiri poteſt, prætermiſſa antiquorum via,
nempe
multiplicatis in ſemetipſis primo & ſecundo, numeris propoſitis, qua-
druplicatoq́; quadrato primi, qua ſumma coniuncta cum quadrato ſecundi nume-
ri
, & ex hac altera ſumma eruta radice quadrata, ex qua detracto ſecundo nume-
ro
, & è reliquo ſumpto dimidio, quod erit quadratũ minus, quo detracto ex radi-
ce
poſtremo iuncta, ſupererit quadrarum maius.
Exempli gratia, ſi proponeretur numerus .8. cui productum duorum numerorum
quæſitorum
æquandum eſt, proponeretur idem .12. cui differentia quadratorum
duorum
numerorum æqualis eſſe debet.
Iubeo primum numerum, nempe .8. in ſe
ipſum
multiplicari, ex quo exurget .64. pro numero ſui quadrati, quod quadru-
plicari
volo, eritq́; productum .256. quod cenſeo coniũgendum cum quadrato ſe-
cundi
numeri propoſiti, nempe .144. eritq́; ſumma .400. ex quaſumetur radix, ſci
licet
.20. & ex hac detrahetur ſecundus numerus .12. reſiduiq́; dimidium, nempe .
4
.
pro quadrato minore, quo in ſummam collecto cum, 12. dabit quadratum
maius
.16.
Cuius ſpeculationis cauſa, quadratum maius per lineam .q.g. minus per .g.p. ſi-
gnificetur
:
ſuper integram autem .q.p. erigatur quadratum integrum .d.p. diuiſum,
vt
quadratum .f.g. vigeſimiſeptimi theorematis huius libri, (idipſum accideret di-
uiſo
quadrato modo octauæ ſecundi Euclidis) quæ quidem diuiſio, eſt via quatuor
productorum
.q.g. in .g.p. è quibus vnum ſit .g.r. quod erit cognitum ex .19. theore
mate
cum ſit quadratũ primi numeri ppoſiti, ex quo illa quatuor cognita erũt.
Iam
verò
ſi cogitemus .q.p. ſectam in puncto .t. ita vt .q.t. æqualis ſit .p.g. dabitur differen
tia
.t.g. cognita, vt radix quadrati .e.o. cum ex præſup-
poſito
.r.n. æqualis ſit .q.g. et .r.e: g.p. ex quo etiam .q.t.
52[Figure 52] ita pariter .e.n.t.g. æqualis erit.
Collecto itaq; quadra
to
.e.o. ipſius .t.g. cum quadruplo .g.r: cognitum erit
quadratum
.d.p. ipſius .q.p.
quare cognoſcetur .q.p. de
quo
numero detracta differétia quadratorum cognita .
t
.g.
ſupererit aggregatum .p.g. et .q.t. cognitum.
Qua-
re
ex conſequenti, dimidium aggregati, nempe .g.p.
cognoſcetur
, tanquam minus duorum quadratorum.
cui iuncta .g.t. aut detracta .p.g. ex .p.q. quadratum .q.
g
.
maius cognitum remanebit.
THEOREMA XL.
CVR ijs, qui volunt duos eiuſmodi numeros inuenire, vt eorum maior mi-
norem
, numero propoſito ſuperet, & productum vnius in alterum, alteri nu-
mero
propoſito adęquetur, conſultiſsimum ſit dimidium primi numeri propoſiti,
3826IO. BAPT. BENED. numerum inquam, cui differentia duorum quæſitorum æquanda eſt, in ſeipſum
multiplicare
, atque huic quadrato, ſecundum numerum propoſitum iungere, cui,
productum
numerorum quæſitorum æquale eſſe debet, & ex hac ſumma eruere qua
dratam
radicem, quæ coniuncta dimidio primi numeri propoſiti, dabit maiorem
duorum
numerorum & ex eadem radice detracto dimidio primi numeri, minorem
numerum
duorum quæſitorum.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. cui differentia vnius numeri ab altero æqua-
ri
deberet, tum proponeretur .64. cui productum multiplicationis duorum quæſi-
torum
ſimul æquãdum eſſet.
Dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicaremus,
proueniretq́; quadratũ .36. cui coniuncto ſecundo, nempe .64. totum eſſet .100.
ex
quo detracta quadrata radice .10. etipſi coniuncto ſenario, dimidio primi nume
ri
, & ex eadem detracto eodem dimidio .6. pro maiore numero proueniret .16. &
pro
minore .4.
Cuius rei ſpeculatio hæc eſt. Sit .e.o. differentia cognita duorum incognitorum
numerorum
.a.o. et .a.e. quorum productum datum ſiue cognitum ſit .a.s: conſide-
remus
nunc .e.i. dimidium .e.o. datæ differentiæ, & ex compoſito .a.i. imaginetur
quadratum
.a.x. in quo protracta ſit .t.u. æquidiſtans lateri .a.i. & tam ab ipſa .a.i. re
mota
, quam .x.i. ab .s.e. vnde .t.e. quadratum erit .e.i.
dimidiæ
ſcilicet differentiæ datæ .e.o. et .t.n. rectan-
53[Figure 53] gulum æquale erit rectangulo .n.c. vt cuilibet licet
per
ſe conſiderare, vnde ſequitur gnomonem .e.r.t.
æqualem
eſſe producto .a.s. ideo cognitus, qui quidẽ
gnomon
, ſi coniunctus fuerit quadrato .e.t. cognito
ex
radice .e.i. cognita (vt dimidia toralis differentię .
e
.o.
datæ) habebimus quadratum totale .a.x. cogni-
tum
, & ita eius radicem .a.i. cognitam & reliqua om
nia
conſequenter quæ quidem ſpeculatio eadem eſt
quæ
.6. ſecundi ſeu .8. noni Euclidis.
Poteris tamen ex modo & rationibus præceden-
ti
theoremate allatis, hocipſum concludere.
THEOREMA XLI.
CVR ij, qui aliquo propoſito numero, inuenturi ſunt duos numeros inter ſe
differentes
, quorum quadratorum ſumma altero numero propoſito æqualis
ſit
, rectè primum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicant, quod quadratum
exſecundo
numero detrahũt, & dimidium reſidui ſumunt, quod productum erit
multiplicationis
duorum numerorum interſe, in reliquis præcedentis theorematis
ordinem
ſequuntur.
Exempli gratia, ſi proponeretur .12. tanquam numerus, cui differentia duorum
numerorum
quæſitorum æquanda eſt, proponerentur præterea .272. quibus ſum-
ma
quadratorum duorum numerorum quæſitorum æquari deberet, oporteret ſanè
primum
numerum, nempe .12. in ſeipſum multiplicare, cuius quadratũ hoc loco
eſſet
.144. atque hoc detrahere ex ſecundo numero, ſupereſſet .128. ſumpto
deinde
dimidio huiuſce numeri, népe .64. producto in quam duorum numerorum
quæſitorũ.
Cum hoc .64. proſtea et duodenario primo propoſito numero, præceden
tis
theorematis ordinem ſequeremur.
3927THEOREM. ARIT.
Quod vt ſpeculemus, conſideremus ſubſcriptam figuram, vigefiminoni theore-
matis
figuræ ſimilem, in qua numeri quæſiti duabus
lineis
directè coniunctis .q.g. et .g.p. fignificentur, ho
54[Figure 54] quadrata erũt .r.c. et .g.s. quorũ sũma iterũ propo
nitur
, quare etiam cognita.
Differẽtia autem duorũ
numerorum
primo propofita fit .q.i. eius verò qua-
dratum
.m.e. quod cognitum eſt ex ſua radice .q.i.
quare gnomon .e.n.m. ſimul cum quadrato minori .
g
.s.
cognitus erit, quæ ſumma æqualis eſt duplo .g.r.
producto
datorum numerorum.
Itaque & ipſa .g.
r
.
cognoſcetur, nunc ſi præcedentis theorematis ſpe-
culationem
in reliquis conſuluerimus propoſitum
conſequemur
.
THEOREMA XLII.
ADhuc etiam & alia ratione idipſum conſequi poſſemus, non conſulto qua-
drageſimo
theoremate.
Nam ſubtracto quadrato differentiæ, numeri primi
(inquã) propoſiti, ex sũma duorum quadratorum, nempe ex ſecundo numero pro-
poſito
colligendum eſſet reſiduum in ſummam cum prædicto ſecundo numero, &
ex
ſumma hac deſumenda quadrata radix, quæ duorum numerorum ſumma erit,
de
qua detracto primo numero, remanebit duplum minoris numeri quæſiti, cuius
dimidio
addito primo numero propoſito, aut detracto minore inuento ex radice
poſtremo
inuenta, dabitur numerus maior, qui quæritur.
Exempli gratia, cum ſuperfuerint .128. hæc ſi cum ſecundo numero nẽpe .272.
iunxerimus
, dabunt .400. quorum radix erit .20. de quo numero detracto primo
propoſito
, nempe .12. ſupererunt .8. quorum dimidiũ erit .4. quo ex .20. detracto
aut
coniuncto .12. maior numerus orietur.
Cuius rei contemplatio, præcedenti figura aperitur. Nam reſiduum detractionis
quadrati
.m.e. ex ſumma duorũ quadratorum .r.c. et .g.s. numerum præbet æqua-
lem
duobus ſupplementis .q.n. et .n.u. ex .8. ſecundi Euclidis. qui coniunctus duo-
bus
quadratis (quorum ſumma ſecundo propoſita fuit) cognitionem profert qua-
drati
.q.u. & eius radicis .q.p. de qua, detracto primo dato numero, ſcilicet .q.i. ſu-
pereſt
.i.p. cuius dimidium nempe .g.p. minor eſt numerus qui quęritur;
reſiduum
verò
totius .g.q. maior ſcilicet.
THEOREMA XLIII.
CVR ij, qui volunt duos numeros inuenire, quorum ſumma æqualis propo-
fito
alicui numero futura ſit, & ſumma quadratorum maior eorum produ-
cto
per quantitatem alterius propoſiti numeri, rectè dimidium primi dati numeri in
ſeipſum
multiplicant, quod quadratum ex ſecũdo dato numero detrahunt, ſumunt­
q́ue
tertię partis refidui quadratam radicem, quam dimidio primi numeri coniun-
gunt
, ex quo maior numerus duorũ quæſitorũ datur, quo ex toto primo detracto, ſu-
pererit
minor.
Exempli gratia, propoſito numero .20. cui æquanda eſt ſumma duorum nume-
rorum
quæſitorum, datoq́; ſecundo numero .208. qui ſemper maior eſſe debet
4028IO. BAPT. BENED. quadrato dimidij, prout ex ſpeculatione huiuſmodi operis cognoſcetur, cuiæquãda
eſt
differẽtia inter ſummã quadratorũ duorũ qui quærũtur numerorũ, ſimul pro
ducto
eorũ radicum.
Dimidium numeri .20. in ſeipſum multiplicandum eſſet, qua-
dratumq́; detrahendum ex .208. vtremanerent .108. quorum .108. tertiæ partis qua
drata
radix eſſet .6. quæ ſi iuncta fuerit dimidio .20. nempe .10. daretur maior nu-
merus
quæſitus .16. quo detracto è .20. darentur .4.
Cuius ſpeculationis cauſa, datus primus numerus ſignificetur linea .g.h. in qua
maior
numerus incognitus ſit .g.h. minor verò .b.h. quorum quadrata ſint .y.t. et .
b
.l.
in quadrato maximo .g.p. tum productum .g.b. in .b.h. ſit .g.c. cogitenturq́; duo
diametri
.q.h. et .g.p. diuiſi per medium in puncto .o. per quod duę lineæ ducan-
tur
.f.d. et .k.m. parallelæ lateribus maximi quadrati.
dictum quadratum in
quatuor
quadrata æqualia diuident, quorum vnumquodq́;, æquale erit quadrato .
g
.f.
dimidij ipſius .g.h. datę,
quare eorum vnumquodq́; cognitum erit. Iterum co
gitemus
.s.x. per .e. parallelã .g.k. tantum diſtan-
tem
à .g.k. quantum .y.l. ab .g.h. diſtare inueni-
55[Figure 55] tur.
Cogitetur pariter .z.i.a. per punctum .i.
parallela
.d.p.
quare .a.t. æqualis erit .f.c. et .y.x.
æqualis
.f.e. et .y.s: b.l. æqualis.
Ita ſubtractis è
duobus
quadratis ſuperius dictis .a.t.y.x. et .b.l.
producto
.y.b. æqualibus, ſupererunt .k.d. et .a.c.
x
.
cognita, tanquam æqualia dato ſecundo nu-
mero
, ſed .k.d. quadratum eſt medietatis .g.f.
cognitæ
, cognoſcetur igitur reſiduum .a.c.x. vnà
etiam
ſingulæ tertiæ partes nempe quadrata .o.
i
.o.c.
et .o.e. & radix .b.f. vel .f.s. ſingularum,
qua
coniuncta dimidio .g.f. rurfusq́; ab eodẽ de-
tracta
, propoſitum conſequemur.
THEOREMA XLIIII.
CVR ſi quis cupiat numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes diuidere, vt
quadratum
maioris, quadratum minoris ſuperet quantitate alterius numeri
propoſiti
, rectè primum numerum in ſeipſum multiplicabit, & ab eodem ſecun-
dum
numerum detrahet, reſiduum verò per duplum primi diuidet, ex quo proue-
niens
primi pars minor erit, quæ ex illo primo detracta, partem maiorem
proferet
.
Exempli gratia, ſi proponantur .20. diuiſa in duas eiuſmodi partes, vt quadratũ
maioris
ſuperet quadratum minoris numero æquali ipſi .240. oportebit primum
numerum
, qui quadratus cum fuerit, erit .400. in ſeipſum multiplicare, & ex hoc
quadrato
ſecundum numerum nempe .240. detrahere,
tunc remanebunt .160. quę
diuiſa
per .40. numerũ duplũ primo, dabuntur quatuor pro minori numero, à reſi-
duo
verò .20. detractis quatuor, erunt .16. pro maiorinumero.
Quod vt exactè conſideremus, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .q.
h
.
diuidendus in duas partes .q.p. et .p.h. tales quales quærimus.
Poſtmodum eriga
2r quadratum .q.e. diuiſum diametro .f.h. ductisq́; .p.o.t. et .a.o.c. parallelis lateri-
bus
quadrati, dabuntur imaginaria quadrata .c.t. et .p.a. duarum partium .q.p. et .p.
h
.
incognitarum.
Ad hæc cogitemus quadratum .u.n. æquale quadrato .p.a. è quadra­
4129THEOR. ARITH. to maiore .c.t. extractum quare reſiduum qua-
56[Figure 56] drati .c.p. cognitum erit, quam quantitatem co-
gnitam
, cum ſit ſecundo loco data, cogitemus
detrahi
è toto quadrato cognito .q.e. ex quo
ſumma
duorum ſupplementorum .q.o. et .o.e.
cognoſcetur
, vnà cum quadratis .u.n. et .p.a. du
plo
ſcilicet .q.a. quo diuiſo per duplum .q.h. aut
ſimplex
.q.a. per .q.h. ſimplicem, dabitur .a.h.
nempe
.p.h. minor numerus quæſitus.
THEOREMA XLV.
CVR volentes diuidere numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt pro
ductum
vnius in alteram, alteri numero propoſito æquetur, rectè dimidium
primi
dati numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum datum nu-
merum
detrahunt, reſiduiq́; radicem ſumunt, qua coniuncta vni dimidio primi nu-
meri
, pars maior datur, ex altero verò dimidio detracta, minorem manifeſtabit.
Exempli gratia, ſi numerus partiendus eſſet .34. alter verò numerus eſſet .64. cui
productum
vnius partis in alteram æquale eſſe deberet.
Dimidium primi numeri, in
ſeipſum
multiplicaremus, cuius quadratum eſſet .289. de quo detracto ſecundo nu-
mero
nempe .64. remaneret .225. cuius quadrata radix nempe .15. coniuncta .17.
dimidio
.34. proferet .32. maiorem partem, detractoq́; ex .17. ſupereſſet .2. pars
inquam
minor.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .a.d. cu-
ius
dimidium .c.d. cognitum erit, vnà etiam eius quadratum .c.f. quo diuiſo per dia
metrum
.e.d. ſupponantur partes ignotæ
57[Figure 57] ipſius .a.d. eſſe .a.b. et .b.d. & à puncto .b.
duci
lineam .b.h.g. parallelam .d.f. et .m.
h
.k.
parallelam .d.a. extructa figura ſimi
li
figuræ quintæ ſecundi Eucli.
quare da
bitur
gnomõ .l.d.g. æqualis producto .b.
k
.
& proinde cognitus, quo detracto è
quadrato
, c.f. remanebit quadratum .g.l.
cuius
radice æquali .c.b. coniuncta .a.c.
& detracta ex .c.d. partes .a.b. et .b.d. quæſitæ dabuntur.
THEOREMA XLVI.
CVR propoſitis tribus numeris, quorum prior in duas eiuſmodi partes diui-
dendus
ſit, ut mutuò diuiſæ, & per ſummam prouenientium diuiſo ſecundo
numero
, proueniens vltimum ſit æquale tertio numerorum propoſitorum.
Conſul
tiſsimum
ſit ſecundum numerum per tertium diuidere, ex quo proueniens ſit ſum-
ma
prouenientium è duabus partibus mutuò diuiſis, quam ſummam ſi quis velit di-
ſtinguere
, rectè poſſit medio operationis pręcedẽtis theorematis sũpta vnitate ſuper
ficiali
pro ſecundo numero diſtinctis poſtmodum prouenientibus, rectè meo iudi-
cio
operabimur per regulã de tribus (quod fuit ab antiquis prætermiſſum) Si dixe-
4230IO. BAPT. BENED. rimus, ſi ſumma vnius dictorum prouenientium cum vnitate dat primum numerum,
quid
ipſa eadem vnitas dabit?
ex quo propoſitum oriatur.
Exempli gratia, proponuntur tres numeri, primus .20. ſecundus .34. tertius .8.
Iam
quærimus diuidere primum .20. in duas partes quæ mutuò diuiſæ prębeant duo
prouenientia
, quorum ſumma tanta ſit vt per eam diuiſo .34. proueniat numerus
æqualis
tertio numero .8.
Quod vt præſtemus iubet regula ſecundum .34. per tertiũ .
8
.
diuidi, vnde proueniet .4. cum vna quarta parte, quod proueniens erit ſumma pro
uenientium
ex diuiſione duarum partium quæſitarum, quæ ſi diſtinguere volueri-
mus
, præcedentis theorematis methodum ſequemur, vnitate ſuperficiali pro ſecun
do
numero propoſito ſumpta, ac ſi diceremus, diuidatur .4. cum vna quarta parte
in
duas eiuſmodi partes, vt productum vnius in alteram ſit vnitas ſuperficialis, cer-
fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decemſeptem
quartæ
lineares, verum cum neceſſe ſit, ex præcedenti theoremate, dimidium in
ſeipſum
multiplicare, eſſetq́; dimidium .8. quartarum partium cum octaua, com-
modius
totum conſtituetur .34. octauarum, quarum dimidium, nempe decemſep-
tem
octauæ, in ſeipſum multiplicatum erunt .289. ſexageſimæ quartæ vnius integri
ſuperficialis
, quandoquidem integrũ ſuperficiale, cuius vnitas linearis in .8. partes
diuiditur
eſt .64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi poteſt.
Nunc vni-
tate
hac ſuperficiali, nempe .64. ex .289. detracta, ſupererit .225. cuius radix qua-
drata
, ſcilicet .15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe .17. dabit
maius
proueniens .32. detractaq́; ex altero dimidio, dabit proueniens minus .2. hoc
eſt
pro maiore proueniente .32. octauas, & pro minore duas, quatuor ſcilicet inte-
gros
pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore.
Nunc ſi ex regula
de
tribus dixerimus, ſi .4. iuncta vni, nempe .5. dant .20. primum numerum, quid
dabunt
.4. integra (proueniens inquam maius) dabũt certè .16. partem maiorem.
Tum ſi dixerimus, ſi quarta pars coniuncta vnitati dat .20: quid dabit quarta illa
pars
(hoc eſt proueniens minus) dabit ꝓfectò quatuor ſcilicet minorẽ partem, quod
ab
antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne-
ſcientes
ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.
Cuius ſpeculationis gratia, demus primum numerum ſignificari linea .e.u. cuius
partes
.e.a. & a.u. ſint quæ quæruntur, alter verò numerus ſignificetur linea .b.
d
.
tertius linea .g.f. proueniens aũt diuiſionis .e.a. per .a.u. ſit .n.t. diuiſionis aũt .a.u.
per
.a.e. ſit .t.o. ſumma erit .n.t.o. vnitas verò .n.i. et .o.i.
Iam ſi numerus .f.g. tertiò
propoſitus
ex diuiſione ſecundi per .o.t.n. proferri debet.
Ex .13. theoremate patet,
quòd
ſi .b.d. per .g.f. diuiſerimus, proferetur .o.t.n. qui cum fuerit inuentus, ſummã
eſſe
oportet duorũ prouenientiũ, ex diuiſione mutua duorũ numerorum, nempe .
a
.e.
per .a.u. et .a.u. per .a.e. deinde manifeſtum eſt ex .24. aut .25. theoremate eorũ
productum
(multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem ſuperficialem futu
ram
eſſe.
Hactenus igitur, totum .o.n. ex doctrina præcedentis theorematis diui-
ditur
in puncto .t. ita vt productum .o.t. in .t.n.
ſolam
vnitatem ſuperficialem cõtineat, quo
58[Figure 58] facto, ſi, vt antedictum eſt, cogitauerimus .n.
t
.
proueniẽs eſſe ex diuiſione .e.a. per .a.u. et .
t
.o.
proueniens ex diuiſione .a.u. per .a.e. pa-
tebit
ex definitione diuiſionis, quod eadem
erit
proportio .a.e. ad .n.t. quæ eſt .a.u. ad vni-
tatem
.n.i. et .a.u. ad .o.t. eadem quæ eſt .e.a.
4331THEOREM. ARITH. ad vnitatem .o.i. permutandoq́; .e.a. ad .a.u. ſicut .t.n. ad .n.i. & componendo .e.a.u.
ad
a.u. ſicut .t.n.i. ad .n.i: & euerſim .e.a.u. ad .e.a. vt .t.n.i. ad .t.n.
Quare, ex .20. ſepti
mi
, recte vtimur regula de tribus.
Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam
teneat
, alteram quo que habiturus ſit.
Non mirum tamen ſi huiuſmodi problema
ab
antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.
THEOREMA XLVII.
CVR duobus numeris mutuó diuiſis, ſi per ſummam prouenientium, produ-
ctum
vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, ſummæ quadra-
tn
2m duorum numerorum æquale futurum ſit.
Exempli gratia, propoſitis .16. et .4. mutuò diuiſis, ſumma prouenientium erit .
4
.
integrorum cum quarta parte, qua ſumma multiplicata cum producto primorũ
numerorum
, nempe .64. dabuntur .272. integri ſuperficiales, qui ſummæ quadra-
torum
duorum numerorum æquantur.
Hoc vt conſideremus, duo numeri partibus .a.e. et .e.i. in linea .a.i. ſignificentur,
quorum
productum ſit .e.d. & quadratũ ipſius .a.e. ſit .e.p: ipſius verò .e.i. ſit .e.q. pro-
ueniens
aũt ex diuiſione .e.i. per .a.e. ſit .o.u. proueniens aũt .a.e. per .e.i. ſit .o.t. quo-
rum
ſumma ſit .o.u.t. tum productum .e.d: linea .u.n. ſignificetur ad angulum rectũ
coniuncta
in puncto .u. extremo ipſius .o.u.t. productum aũt .u.o.t. in .u.n. ſit .n.t.
Iam
probandum
nobis eſt .n.t. æqualem eſſe ſummæ duorum quadratorum .q.e.p.
Quod
ſingillatim
probo, & aſſero productum .o.n. æquale eſſe quadrato .q.e. & productũ .
s
.t.
quadrato .e.p.
Nam ex .35. theoremate patet numerum .e.i. medium eſſe pro-
portionalẽ
inter .e.d. et .o.u: cum numerus .e.i. ex præſuppoſito ab .e.a. multiplicetur
& diuidatur, cuius multiplicationis produ-
ctum
eſt .d.e: nempe .u.n. & proueniens ex
59[Figure 59] diuiſione eſt .o.u:
quare ex dicto theorema-
te
.e.i. media proportionalis eſt inter .u.n. et .
u
.o
.
Itaq; productum .o.n. æquale eſt qua-
drato
.e.q. ex .16. ſexti vel .20. ſeptimi.
Idem
dico
de producto .s.t. nẽpe æquale eſſe qua-
drato
.e.p. quandoquidem numerus .a.e. ab
e.i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi-
plicationis
productum eſt .d.e. nempe o.s. &
proueniens
ex diuiſione .o.t:
inter quæ ex .
35
. theoremate .a.e. media proportionalis
eſt
.
Quare ex allatis propoſitionibus productũ .s.t. æquale eſt quadrato .e.p. ſed totũ
productum
.n.t. ſumma eſt duorum productorum .o.n. et .s.t. ex prima ſecundi Eucli.
Itaque verum eſſe quod dictum eſt, conſequitur.
THEOREMA XLVIII.
CVR ſi quis maiorem duorum numerorum ſola vnitate inter ſe differentium,
per
minorem diuidat, maioremq́; per proueniens multiplicet, productum,
sũmæ ipſius maioris cum eodem proueniente æquale erit.
Exempli gratia .10 per .9. diuiſo, datur vnum cum nona parte, quo multiplica-
to
per proueniens, ipſo nempe .10:
datur productum .11. cum nona parte, tantum ſci­
4432I.O. BAPT. BENED. licet quanta ſumma eſt maioris cum proueniente.
Cuius ſpeculationis cauſa, maior numerus ſignificetur .a.i. et minor linea .a.o. ex
quo
ex præſupoſito .o.i. vnitas erit.
Sit autem proueniens ex diuiſione .a.i. per .a.o.
a
.e
:
quod .e.a. directè coniungatur ipſi .a.i. et productum .a.i. in .a.e. ſit .u.i. Probabo
numerum
ſuperficialem .u.i. æqualem eſſe lineari .i.a.e.
quare meminiſſe oportet,
decimotertio
theoremate probatum fuiſſe, quod ſi numerus diuiſibilis per pro-
ueniens
diuidatur, proueniens futurus ſit numerus diuidens,
quare .a.o. erit pro-
ueniens
ex diuiſione .a.i. per .a.e. & ex deſinitione diuiſionis ita ſe habebit .e.a. ad .
a
.i.
ſicut .o.i. ad .o.a. & componondo ita .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a.
quare .a.i. erit me-
dia
pportionalis inter .e.i. et .a.o. ſed .a.i. non modò diuiſa nũc cogitatur ab .e.a. ex
quo
ſit proueniens .a.o. ſed etiam per eandem .e.a. multiplicata, ex quo produ-
ctum
oriatur .u.i.
Itaq; ex .25. theobema-
te
.a.i. media eſt proportionalis inter .u.
60[Figure 60] i. et .a.o.
Quare. ex .11. quinti. eadem erit
proportio
.u.i. ad .a.i. ſicut .e.i. ad eandem .
a
.i
.
Igitur ex .9. prædicti numerus .u.i.
æqualis
erit numero .e.i. quod erat propoſitum.
THEOREMA XLIX.
IDipſtim etiam alia ratione conſiderari poteſt.
Linea .u.a. ſecetur in puncto .t. ita vt .a.t. æqualis ſit vnitati .o.i. & media paral
lela
.t.n. terminetur productum .t.i. quod conſtabit æquali numero, quamuis ſuperfi-
ciali
, numero .a.i. tametſi lineari.
Tumparallela ducatur à puncto .o. ipſi .a.u. termi
neturq́; productum .o.u. ex quo bina producta dabuntur .u.o. et .t.i. inter ſe æqualia
ex
.15. ſexti aut .20. ſeptimi cum ita ſe habeat .a.i. ad .a.u. ſicut .a.o. ad .a.t. ſed .a.i. ad .
a
.o.
permutando ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .a.t. & ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſepti-
mi
ſic ſe habet .u.i. ad .u.o. ſicut .a.i. ad .a.
61[Figure 61] o. hoc eſt .u.i. ad .t.i. ope .11. quinti.
Iam
ex
definitione diuiſionis ita ſe habet .a.e.
ad
.a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componendo .
e
.i.
ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a.
Itaque ex præ-
dicta
.11. ſic ſe habebit .e.i. ad .i.a. ſicut .u.
i
.
ad .t.i. ſed .t.i. numero conſtat æquali .a.
i
.
quare ex .9. quinti numerus .u.i. numero .e.i. æqualis erit.
THEOREMA L.
CVR diuidentes numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt productũ
vnius
in alteram cum i pſarum differentia in ſummam collectum, æquale ſit
alicui
alteri numero maiori primo.
Rectè primum ex ſecundo detrahunt, reſiduum
verò
conſeruant, tum ex primo ſemper binarium deſumunt, dimidiumq́; conſer-
uant
, alterum verò dimidium in ſeipſo multiplicant, & ex quadrato numerum con
ſeruatum
eruunt, reſiduiq́; radicem ex dimidio conſeruato, quod vltimum reſi-
duum
propoſiti numeri quæſita pars minor eſt.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .20. ita diuidẽdus, vt productũ vnius partis
in
alteram, cum partium differentia collectum in ſummam, æquale ſit propoſito
4533THEOR. ARITH. numero, verbi gratia .92. præcepit regula detrahi primum numerum ex ſecundo,
nempe
.20. ex .92. cuius reſiduum, ſcilicet .72. conſeruetur, tum detrahi iubet bi
narium
ex primo, ſic in propoſito exemplo remanebunt .18. huius autem .18. dimi
dium
in ſeipſum multiplicari iubet, quod cum ſit .9. datur numerus .81. ex quo .81.
primum
numerum conſeruatum, nempe .72. vult regula detrahi, ſic remanebit .9.
tum
huius .9. quadrata radix detrahenda eſt ex dimidio ipſius .18. quod fuit ante qua
dratum
, ſic ſupererit .6. hoc eſt .9. excepta radice quadrata, qui .6. erit minor pars
quæſita
, maior verò .14. quarum productum .84. coniunctum cum partium differen
tia
præbet exactè .92.
Cuius rei hæc eſt ſpeculatio. Primus numerus minor, qui proponitur diuiſibilis
ſignificetur
linea .q.g. maior vero linea .x. tum cogitemus .q.g. diuiſam, cuius maior
pars
ſit .q.o. minor .o.g. differentia .q.p. ex quo .p.o. æqualis erit .o.g. ſit autem produ-
ctum
.b.o.
Oportet igitur, ut .b.o. ſimul cum differentia .q.p. æquale ſit numero .x. ſe-
cundò
propoſito, qui notus eſt,
quare etiam ſumma producti .b.o. cum differentia
q.p. cognita erit, ex qua detracto primo numero .q.g. reſiduum cognitum erit, nunc
igitur
quodnam erit hoc reſiduum?
attendamus qua ratione ex ſumma .b.o. et .q.p.
detrahenda
ſit .q.g.
In primis ſi ſubtraxerimus ex dicta ſumma .q.p. quę pars eſt .q.g.
ſupererit
detrahenda .p.g. ex .b.o. pars inquam ipſius .q.g. quod fiet quotieſcunque
cogitauerimus
.q.o. duabus vnitatibus diminutam, et per .o.g. multiplicatam, ſit au-
tem
productum .b.e. nam cum .o.g. toties .b.o. ingrediatur, quot ſunt in .q.o. vnitates
ex
prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, detrahendaq́; ſit .p.g. ex .b.o. quæ .p.g. dupla
eſt
.o.g. patebit .o.c. æqualem eſſe .p.g. fu-
pererit
ita que .b.e. productum .q.e. in .e.
62[Figure 62] i. cognitum, erutis autem ex .q.g. ijſdem
duabus
vnitatibus, remanebit .q.i. nobis
nota
, ex quo .e.i. æqualis erit .e.c.
Cum
igitur
productum .q.e. in .e.i. cognoſcamus
ſimul
cum .q.i: Sivoluerimus partes .q.e.
et
.e.i. cognoſcere, vtemur .45. theorema-
te
huius libri, & propoſitum obtinebimus, nam cognoſcemus .e.i. & ex conſequen-
ti
.o.g. eius æqualem.
THEOREMA LI.
DIvidere numerum in duas eiuſmodi partes, quæ pro medio proportionali
alterum
numerum propoſitum recipiant, primi dimidio minorem, aliud ni
hil
eſt, quàm binas primi numeri partes inuenire, quæ inter ſe multiplicatæ quadra
to
ſecundi numeri numerum æqualem proferant, ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, quod
tamen
.45. theoremate fuit à nobis ſpeculatum.
THEOREMA LII.
CVR pro poſitis tribus numeris quibuſcunque, ſi productum primi in ſecun-
dum
per tertium multiplicetur, atque ſecundum hoc productum corporeũ,
per
primum numerum diuidatur, proueniens erit numerus æqualis producto ſe-
cundi
in tertium.
Exempli cauſa, proponantur hi tres numeri .10. 11. 12. multiplicenturq́; .10. .
4634IO. BAPT. BENED. 11. dabuntur .110. quo producto multiplicato cum .12. dabuntur .1320. hoc pro
ueniens
per primum nempe .10. diuiſum dabit .132. numerum æqualem producto
ſecundi
in tertium numerorum propoſitorum, ſcilicet .132.
Hoc vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur line a.o.u. ſecundus .e.o. tertius .
e
.a.
productum verò .o.u. in .o.e. ſit .o.i. ipſius ve
.o.i. per .e.a. productũ corporeũ ſit .i.c. tum
63[Figure 63] productũ .e.o. in .e.a. ſit .e.c.
Dico nũc quod di-
uiſo
numero corporeo .i.c. per primũ .o.u. ꝓue
niens
æquale erit numero producti .e.c.
Qua-
re
in primis cogitandum eſt, quod cum produ-
ctum
.i.c. ortum fuerit ex multiplicatione .o.i.
in
.e.a: dictum .o.i. toties ingredietur .i.c. quo-
ties
vnitas reperitur in .e.a. eadem ratione, to-
ties
.e.c. in .i.c. quot vnitates erunt in .o.u.
Itaq;
ſequitur
quòd diuiſo .i.c. per o.u. proueniens ſit
e.c. corporeum, æquale nihilominus producto .e.c. ſuperficiali.
THEOREMA LIII.
CVR diuidens propoſitum numerum in tres partes ſic ſe habentes vt produ-
ctum
primi in ſecundam, in tertia multiplicatũ, præbeat numerum alteri nu-
mero
propoſito æqualem.
Rectè ſecundum numerum per quemcunque alium mino
rem
primo diuidit, qui diuidens vna erit ex tribus partibus quæſitis, proueniens
autem
erit productum vnius in alteram reliquarum duarum, quarum ſumma cogni
ta
erit, detracto numero diuidente ex primo dato, quam quidem ſi diſtinguere
quis
voluerit, vtetur theoremate .45.
Exempli gratia, proponitur numerus .20. in tres partes diuidendus, quæ ſic ſe
habeant
, ut productum primæ in ſecundam in tertia multiplicatum det .90. itaque
ſumenda
erit pro prima vna pars ipſius .20. quæcunque illa ſit, verbi gratia .2. qua
ſecundus
numerus, nempe .90. diuidatur, dabitur igitur .45. quod erit productum
cæterarum
partium inter ſe, quarum ſumma eſt .18. quam ſummam ſi diſtinguere
volueris
in cęteris duabus partibus ſeparatis, vteris .45. theoremate, vt quàm citiſ-
ſimè
quod cupis exequaris, erunt autem partes .3. et .15.
In cuius ſpeculationis gratiam nihil aliud occurrit, quàm quod præcedenti theo-
remate
, & ſuperiore .45. allatum eſt.
THEOREMA LIIII.
DIvidere numerum in .3. eiuſmodi partes, vt quadratum vnius ſit æquale
producto
reliquarum duarum inter ſe, idem omnino eſt cum 51. theoremate.
Nam qui ſumet quamlibet partem propoſiti numeri, quæ tertia parte maior tamen
non
ſit, reſiduumq́ in duas tales partes diuiſerit, vt prima ſumpta, media proportio
nalis
ſit ex probatione .51. theoremate allata, propoſitum conſequetur.
THEOREMA LV.
ID ipſum alia ratione ab ea diuerſa quã .51. theoremate adduximus, ꝓfici poteſt.
4735THEOREM. ARIT.
Sumantur enimtres numeri continui proportionales, cuiuſcunque denique pro
portionalitatis
, qui in ſummam colligantur, ac poſtmodum, regula de trib. dica-
mus
.
Si ſumma hæc primo numero propoſito in tres partes diuidendo reſpondet,
cuireſpondebit
vna ex tribus partibus huiuſcę sũmæ?
idem dereliquis duabus parti
bus
dico.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .57. diuidendus in tres continuas partes
proportionales
proportione ſeſquialtera, tres numeros in eiuſmodi proportio-
nalitate
diſtinctos ſumemus, vt potè .4. 6. 9. qui in ſummam collecti dabunt ſum-
.19. dicemusq́; ſi .19. dant .4. quid dabũt .57?
vnde proueniens vnius partis erit .
12
.
Tum ſi dicamus, ſi .19. dat .6. quid dabit .57? nempe dabit .18. Poſtremò, ſi .
19
.
dat .9. quid dabit .57?
nempe .26. atque ita dabitur .18. cuius quadratum æqua-
bitur
producto reliquarum duarum partium inter ſe.
Quod vt ſciamus, numerus propoſitus in tres quaſlibet partes diuidendus ſi-
gnificetur
linea .a.d. tres autem numeri dictæ proportionalitatis, lineis .e.f: f.g.
et
.g.h. directè inter ſe coniunctis denotentur.
Cogitemus pariter lineam .d.a. in
tres
partes diuiſam .a.b: b.c. et .c.d. eadem cum cæteris proportionalitate,
tunc ea-
dem
erit proportio .a.d. ad quamlibet ſuarum partium, quæ eſt .e.h. ad reſponden
tem
ipſius in .a.d: Verbi gratia reſpondentem .a.b. ipſi .e.f. et .b.c: f.g. et .c.d: g.h.
Di
co
enim quòd ita ſe habebit .a.d. ad .c.d. ſicut .e.h. ad .g.h.
Nam cum ſic ſe habeat .a.
b
.
ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. ex præſuppoſito, permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .e.f. ſi-
cut
.b.c. ad .f.g. & eadem ratione ſic ſe habe-
bit
.c.d. ad .g.h. ſicut .b.c. ad .f.g. & cõſequen-
64[Figure 64] ter
ſicut .a.b. ad .e.f. ex quo ex .13. quinti ſic
ſe
habebit tota .a.d. ad totam .e.h. ſicut .c.d.
ad
.g.h. aut .b.c. ad .f.g. aut .a.b. ad .e.f. per-
mutando
itaque propoſitum manifeſtum erit, ipſum autem productum .a.b. in .c.b.
æquale
erit quadrato .b.c. ex .15. fexti aut .20. ſeptimi.
THEOREMA LVI.
VEteres aliud quoque problema indeterminatum propoſuerunt, quod ex
more
ratione à me definietur, eſt autem eiuſmodi.
Quomodo propoſitus numerus in tres eiuſmodi partes diuidatur, vt quadratũ
vnius
æquale fit fummæ quadratorum reliquarum duarum partium.
Hoc vt efficiamus tria quadrata ſeparata ſumamus, quorũ vnũ æquale ſit reliquis
duobus
;
eorũ autẽ radices in ſummam ſimul colligantur, tum regulam de tribus ſe
quemur
, ratione præcedenti theoremate demonſtrata, & rectè vt infra docebimus,
quod
autem dico de quadratis, etiam de cubis, & quibuſuis dignitatibus aſſero.
Exempli gratia, ſi numerus diuiſibilis proponatur .30. in tres eiuſmodi partes di
uidendus
, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum
partium
, in primis radices trium quadratorum ſumemus, ſic quomodocunque ſe
habentes
, vt maius ipſorum æquale ſit ſummæ reliquorum duorum, verbi gratia .25.
16
. et .9. nempe .5. 4. et .3. quæ ſi colligantur in ſummam efficiunt .12.
Tum ex regu-
la
de tribus dicemus, ſi .12. reſpondet .30:
cui, 5. radix maior reſpondebit? nem-
pe
.12. cum dimidio.
Deinde ſi dixerimus ſi .12. valet .30. quid valebit .4. radix media? nempe vale-
bit
.10. tertia autem minor .7. cum dimidio.
Itaquetota ſumma erit .30. & quadra-
4836IO. BAPT. BENED. tum .12. cum dimidio erit .155. quod æquale erit ſummæ quadratorum duarum par
tium
, nempe .100. cum .55.
Hoc vt demõſtremus, numerus diuiſibilis propoſitus ſignificetur linea .a.d. & ſum
ma
radicum, noſtro modo ſumptarum, linea .e.h. quarum prima & maior ſit .e.f. ſe-
cunda
.f.g. tertia .g.h. cogitemus etiam lineam .a.d. ea ratione diuiſam eſſe qua .e.h.
patebit
cnim ex modo præcedentis theorematis vnamquanque partium .a.d. ita ſe
habituram
ad ſuum totum ſicut ſe habent ſingulæ .e.h. ad ſuum.
Quod ideo dico, vt
intelligamus
rectè nos dicere.
Si .e.h. dat .a.d. ergo .e.f. dabit .a.b. atq; ita de cæteris.
Quare permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. idem dico de reliquis.
Igitur ex .18. ſexti aut .11. octaui, eadem erit proportio quadrati .a.b. ad quadratũ .
b
.c.
quæ quadrati .e.f. ad quadratum .f.g. tota enim ſunt æqualia, cum eorum partes
ſimiles
inter ſe ſunt æquales.
Idem dico de proportione qu@drati .a.b. nempe ita
ſe
habere ad .c.d. ſicut quadratum .e.f. ad quadratum .g.h. ex quo ex .24. quinti pro-
portio
quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum duarum partium .b.c. et .c.d. ſic ſe ha
bebit
ut quadrati .e.f. ad ſummam quadra-
torum
.f.g. et .g.h.
At quadratum .e.f. æquale
65[Figure 65] eſt ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. igitur
ſic
etiam ſe habebit quadratum .a.b. nempe
æquale
quadratis .b.c. et .c.g.
Idipſum de
teris
dignitatibus dices, vterisq́; .21. theoremate huius libri.
THEOREMA LVII.
SImile quoque problema ab antiquis indeterminatum proponitur, quod eiuſ-
modi
eſt.
An numerus aliquis in tres eiuſmodi partes di@idi poſſit, vt quadratum vnius æ-
quale
ſit ſummæ quadratorum cæterarum duarum partium ſimul cum producto
vnius
in alteram.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus .50. vt iam dictum eſt diuidendus, repe
riendus
erit alius quilibet numerus, qui tamen ſumma ſit trium radicum ſic ſe ha-
bentium
, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum duarum partium ſi-
mul
cum producto vnius in alteram, eum autem qui primò occurrit ſumamus, utpo
.30. qui ſumma eſt numerorum .6. 10. 14. partium ſic ſe habentium, vt quadratum
ipſius
.14. æquale ſit ſummæ quadratorum cæterarum partium ſimul cum produ-
cto
vnius in alteram, agamusq́ue regula de tribus, ac dicamus, ſi .30. valet .
50
.
quid valebit .14. nempe .23. cum tertia parte.
Idem efficiemus in cæte-
ris
partibus, quarum vna erit .16. cum duabus tertijs, altera verò .10. abſque @ractis,
ex
quo quadratum primæ erit .544. cum .4. nonis, ſecundæ .277. cum ſeptem nonis,
tertiæ
.100. & productum ſecundæ in tertiam .166. cum .6. nonis, quod productum,
cum
quadratis ſecundæ & tertiæ collectum erit .544. cum .4. nonis.
Huius rei ſpeculatio eadem eſt, quę fuit præcedentis theorematis vſquequo no-
ueris
eandem proportionem eſſe quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum .b.c. et .c.
d
.
quæ quadrati .e.f. ad ſummam quadratorum .f.g. et .g.h.
Sed cum hic non demus
quadratum
.e.f. æquale ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. fed maius ex producto .g.h.
in
.f.g. aut quod idem eſt, è contrario, ſubſequentes figuræ cogitandæ erunt, qua-
rum
.i. ſit quadratum .a.b: l. ſit quadratum .e.f: x. quadratum .b.c: y. quadratum .f.g: p.
quadratum
.c.d: q. quadratum .g.h: k. ſit productum .b.c. in .c.d: m. ſit productum .f.
4937THEOREM. ARITH. g. in .g.h. Nunc ex ſpeculatione præcedentis theorematis, eadem erit proportio .n.
t
.
ad .o.u. quæ eſt .n.s. ad .o.r.
quare pro-
ductum
.k. ex definitione ſimile erit
66[Figure 66] producto .m. cum vtraque ſint rectan-
gula
, vnde proportio .k. ad .m. ad pro-
portionem
.n.t. ad .o.u. ex .18. ſexti du-
pla
erit.
Igitur proportio .k. ad .m. æ-
qualis
erit proportioni .x. ad .y. et .p.
ad
.q. et .i. ad .l. & permutando ſic ſe ha-
bebit
.k. ad .i. ſicut .m. ad .l. ſed .x.p. ad .i.
ſicſe
habere probatum eſt vt .y.q. ad .l.
Quare ex eadem .24. quinti ſic ſe habe
bit
.x.p.k. ad .i. ſicut .y.q.m. ad .l. ſed .y.q.
m
.
æqualis eſt .l.
Itaque .x.p.k. pariter .i.
æqualis
erit.
THEOREMA LVIII.
ALIVD quoque problema, nec tamen definitum, veteres propoſuerunt,
nempe
an aliquis numerus in .4. eiuſmodi partes diuidi poſſit, vt ſumma qua-
dratorum
duarum partium dupla ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum.
Verum huius effectio & ſpeculatio non erit difficilis, ſit eadem quæ præmiſsis
proximè
duobus theorematibus allata fuit, ſumpta nempe ſumma radicum quarun
cunque
ſic ſe habentium, prout dictum fuit.
Verbigratia .44. cuius partes erunt.
16
. 12. 14. 2. tũc progrediemur regula de tribus dicentes.
Si .44 numerum propoſi-
tum
valet, quid .16. pars maior?
nempe valebit partem maiorem numeri propoſi-
ti
reſpondentem .16. idem de cæteris dico.
Porrò ſpeculatio eadem eſt cum ſuperioribus.
THEOREMA LIX.
CVR diuidens propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt productum
radicum
quadratarum ipſarum partium æquale ſit alteri numero propoſito,
cuius
tamẽ quadratum maius ſit quadrato dimidij primi numeri propoſiti.
Rectè
ſecundum
numerum propoſitum in ſeipſum multiplicat, & eundẽ ex quadrato di-
midij
primi detrahit, reſiduiq́; quadratam radicem ſubtrahit ex dimidio ipſius pri-
mi
, ex quo datur minor pars quæſita, quaipſi dimidio coniuncta, maior pars ha-
betur
.
Exempli gratia, ſi proponatur numerus, 20. propoſito modo, in duas partes
eiuſmodi
diuidendus, vt productum radicum æquale ſit (verbigratia) 8.
Dimi-
dium
priminumeri in ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum erit .100. ex
quo
quadratum ſecundi numeri, nempe .64. detrahemus, remanebitq́; .36. cuius radi
ce
quadrata coniuncta .10. dimidio inquam primi numeri propoſiti, dabitur nume
rus
.16. pars maior, & ſubtracta à dimidio, dabitur minor pars, nempe .4.
5038IO. BAPT. BENED.
Hoc vt demonſtremus, primus nu-
67[Figure 67] merus linea .a.b. ſignificetur, quam di-
uiſam
cogitemus in puncto .c. in partes
quæſitas
, ex quo præſupponitur duas li-
neas
.a.c. et .c.b. duo quadrata eſſe, quæ
in
altera figura ſignificetur per .d. et .e.
productum
autem radicum cognitum .
f
.
quandoquidem datum eſt, cuius qua-
dratum
æquale erit producto quadra-
torum
.d.e. adinuicem, nempe .b.c. in .a.c. ex .19. theoremate huius.
Quod verbi
gratia
ſit .x. itaq; cognitum, quo facto, doctrinam .45. theorematis libri huius ſecuti,
propoſitum
conſequemur.
THEOREMA LX.
CVR productum differentiæ duarum radicum in ſummam ipſarum, ſemper
differentia
ſit quadratorum ipſarum radicum.
Exẽpli gratia, quoslibet duos numeros pro radicibus ſumpſerimus, vt potè .3. et .
5
.
quorum differentia eſt .2. certè ſi differentiam hanc per ſummam radicum ſcili-
cet
.8. multiplicauerimus, dabitur numerus .16. quod productum differentia eſt
ſuorum
quadratorum, nempeinter .9. et .25.
Hoc vt ſpeculemur, duæ radices in linea .n.i. ſignificentur, quarum vna ſit .n.c. &
altera
.c.i. ipſarum autem differentia .n.t. ex quo .t.
c
.
æqualis erit .c.i.
Tum cogitato toto quadrato .d.i.
68[Figure 68] cum diametro .d.i. ductaq́ parallela lateri .n.d. à
puncto
.c. & altera à puncto .t. & à puncto .o. tertia
ipſi
.n.i. & à puncto .a. quarta .x.a.e. parallela ipſi .
o
.
inueniemus .b.n. productum eſſe differentiæ .n.
t
.
in ſumma radicum .n.i. & cum .d.o. et .a.o. ſint
quadrata
radicum prædictarum:
b.e. æquale erit .
n
.u.
cum vtrunque horum productorum æquale ſit .
x
.u.
ex quo gnomon .e.d.u. æqualis erit producto .
b
.n.
quod ſcire cupiebamus.
THEOREMA LXI.
CVR propoſitum aliquem numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt diffe-
rentia
radicum quadratarum æqualis ſit alteri numero propoſito, cuius ta-
men
quadratum dimidij primi quadratum non excedat.
Rectè ſecundum numerum
in
ſeipſum multiplicant, productum verò ex primo numero detrahunt, rurſusq́; di
midium
reſidui quadrant, & quadratum hoc ex quadrato dimidij primi ſubtrahunt,
atque
ita radice quadrata reſidui, dimidio primi coniuncta, pars maior datur, qua
ex
ipſo dimidio detracta, pars minor relinquitur.
Exempli gratia, propoſito numero .20. ita ut propoſitum eſt, diuidendo, nem-
pe
vt differentia radicum quadratarum dictarum partium æqualis ſit binario, bina-
rium
hocin ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum .4. è primo numero .20. de­
5139THEOREM. AR IT. trahemus, ſupereritq́; numerus .16. cuius dimidium ſcilicet .8. in ſeipſum multipli-
cabimus
, dabiturq́; numerus .64. qui cum ex quadrato dimidij primi detractus fue-
rit
, nempe ex .100. & reſiduo .36. radix quadrata nempe .6. coniuncta denario, di-
midio
primi, dabit .16. partem maiorem, & ex denario detracta, partem minorem.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus
propoſitus
ſigniſicetur linea .x.y. pro voto diui-
69[Figure 69] ſa in puncto .c. et .x.t. productum ſit ipſius .x.
c
.
in .c.y. pariter etiam .q.p. ſit ſumma radicum
quadratarum
, nempe .q.g. ipſius .t.c. et .g.p. ip-
ſius
.c.y.
Tum ſuper .q.p. extruatur & diuidatur
quadratum
.q.u. ea ratione qua .41. theoremate
aut
.29. diuiſimus, in quo ſanè quadrato, quadra
tum
ipſius .q.i. cernemus datæ differentiæ, & in
eo
collocata quadrata .x.c. et .c.y. ita etiam &
rationem
, qua cognoſcimus productum .g.r. (vſi
modo
.29. theorematis) cuius quidem .g.r. qua-
dratum
, ex .19. theoremate æquale erit produ-
cto
.x.t. ideo etiam cognitũ, ac proinde cum no
uerimus
.x.y. ſi rationem ſequemur .45. theore
mate
cognoſcemus non ſolum ratione .41. theoremate allata hocrectè perfici, ſed
hac
etiam alia ratione.
THEOREMA LXII.
CVR propoſitum numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt differentia
ſuarũ radicũ quadratarũ æqualis ſit alteri numero propoſito.
Cuius tamẽ qua-
dratũ
maius non ſit quadrato medietatis ipſius primi propoſiti numeri.
Rectè etiã
quadratũ dimidij ſecundi numeri ex dimidio primi detrahũt, reſiduiq́; radicem per
ſecundum
multiplicant, & productum ex dimidio primi detrahunt, vt reſiduum
pars
quæſita minor ſit, & illud alterum totius reſiduum, pars maior.
Exempli gratia, ſi numerus .50. in
prædictas
duas partes diuidendus pro-
70[Figure 70] poneretur, & alter etiam .6. quadratum
dimidij
ſecundi numeri eſſet .9. eo detra
cto
ex dimidio primi, remaneret .16. cu
ius
radix .4. ſcilicet per totum ſecundum
nempe
.6. multiplicata, proferet .24.
quo
producto ex dimidio primi detra-
cto
, nempe .25. dabitur .1. pars minor,
maior
autẽ erit reſidũ .50. hoc eſt .49.
radices
autem erunt .1. et .7. differentes
inter
ſe, numero ſenario.
Hocvt ſciamus, duo numeri lineis ſi-
gnificẽtur
, primus linea .b: ſecũdus linea .
c
.
duæ autem partes .b. duobus quadra-
tis
.q.i. et .i.d. notentur, eorum verò radi-
ces
lineis .a.g. et .g.d. differentia porrò ip
ſi
.c. æqualis & co gnita ſit .a.h. ex quo .h.
5240IO. BAPT. BENED. g. æqualis erit .g.d. tum productum .a.g. in .g.d. ſit .a.i. et .t.i. æqualis .a.i. et .l.i. pariter
ſecetur
æqualis .t.i. quæ omnia ex diametro .q.d. cogitari poſſunt:
erit igitur .u.i. æ-
qualis
.i.d. ſupereritq́; quadratum .q.u. differentiæ .a.h. cognitum, hoc verò cogi-
temus
diuiſum eſſe in .4. partes æquales medijs diametris .p.r. et .n.e.
quare vnaquæq;
partium
cognoſcetur, & quadratũ erit ipſius .a.K. aut ipſius .K.h. dimidij .a.h.
Quòd
ſi
aliquod iſtorum quadratorum detrahere voluerimus, nempe .n.r. ex dimidio ſum
.b. duorum quadratorum .q.i. et .i.d. cognitæ, hac via procedemus, primum con
ſiderabimus
.t.r. coniunctam .t.i. quæ quantitates erunt ſumma dimidij duorũ qua-
dratorum
.q.i. et .i.d. quando quidem .t.r.
dimidiũ eſt quadrati .t.l. et .t.i. dimidiũ
71[Figure 71] gnomonis .t.i.l. coniunctum dimidio
quadrati
.i.d. ex quo .i.t.r. dimidium erit .
b
.
ex qua quantitate .i.t.r. cogitare debe
mus
detrahi quadratum ipſius .K.h. nem
pe
.n.r:
quare quod ſupereſt cognitum
erit
nempe .y.s. cum .n.i. ſed .y.m. æqualis
eſt
.n.i. et .y.m. cum .y.s. conſtituunt qua-
dratum
.p.m.
Itaq; .p.m. quadratum &
conſequenter
.p.s. eius radix cognoſce-
tur
, ita etiam & productum huius .p.s. in .
s
.x.
æqualis .c. nempe .p.x: eſtq́; produ-
ctum
huiuſmodi ſemper minus quantita
te
.r.t.i: per .u.i. æquale quadrato minori .
i
.d
.
quare .i.d. cognoſcetur, conſequen-
ter
.i. @q. tanquam reſiduum ex .b. & eo-
rum
radices quadratæ cognoſcentur .a.
g
.
et .g.d.
THEOREMA LXIII.
IDEM præſtari hac alia via, meo iudicio poteſt. Secundus numerus in ſuũ dimi
diũ multiplicetur, productũ autem ex dimidio primi detrahatur, ex quo re-
manens
erit productum vnius quadratæ radicis in alteram partium primi numeri
quæſitarum
, deinde productum hoc duplicetur, & primo numero dato coniunga-
tur
, ſicq́; huius ſummæ quadrata radix erit ſumma radicum quadratarum dictarum
partium
, cui iuncto producto ex quadrageſimoquinto theoremate ſingulæ radices
proferentur
.
Exempli gratia, primus numerus diuiſibilis erat .50. alter verò .6. Iam ſi multi-
plicemus
.6. per .3. nempe dimidium proferetur numerus .18. quo ex dimidio pri-
mi
, nempe .25. detracto, ſupererit .7. productum vnius radicis in alteram, quod du
plicatum
dabit .14. quo coniuncto cum primo numero .50. dabitur numerus .64.
cuius
quadrata radix ſcilicet .8. erit ſumma radicum duarum partium quæſitarum,
qua
& producto .7. ex quadrag eſimoquinto theoremate dictæ radices diſtinguen,
tur
, quarum vna erit .7. & altera .I.
Vtautem hocſpeculemur, præcedenti figura vti poterimus, in qua patet .t.r. pro
ductum
eſſe ſecundi numeri .c. nempe .a.h. hoc eſt .t.u. in dimidio .a.e. ſcilicet .p.t. re-
ſiduum
autem dimidij primi .b. eſſe .t.i. nempe .a.i. productum radicum, quod ſupple­
5341THEOREM. ARITH. mentum eſt quadrati .q.d. totalis. Quare duplicato .a.i. & coniuncto .b. cognoſci-
mustotum
.q.d. & conſequenter .a.d. ſuam radicem, hoc eſt ſummam duarum radi
cum
.a.g. et .g.d. quæ medio .a.i. cognito, & quadrageſimoquinto theoremate ſingu-
cognoſcuntur.
THEOREMA LXIIII.
CVR propoſitum aliquem num erum in duas eiuſmodi partes diuiſuri, vt ſum-
ma
radicum dictarum partium æqualis ſit alteri numero propoſito.
Rectè ſe-
cundum
numerum in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato, primum datum nu-
merum
detrahunt, rurſusq́; reſiduum in ſeipſum multiplicant, & ex eo quadrato
quartam
partem deſumunt, quã ex quadrato dimidij primi numeri detrahunt, radi-
cemq́ue
qua dratam reſidui cum iunxerint, & ex dimidio primi numeri detraxerint,
partes
quæſitæ proferuntur.
Exempli gratia, ſi proponeretur primus numerus .20. diuidendus et .6. ſecundus
pro
ſumma radicum, hunc ſecundum .6. in ſeipſum multiplicabimus, dabiturq́; nu-
merus
.36. ex quo quadrato primus numerus detrahetur, ſupereritq́; numerus .16.
qui
quadratus dabit .256. cuius numeri quarta pars ſumetur, nempe .64. quæ ex qua
drato
dimidij primi numeri detrahetur, nempe .100. ſupereritq́; .36. cuius radix qua
drata
.6. coniuncta & detracta ex .10. dabit .16. partem maiorem et .4. minorem.
Cuius rei hæc ſpeculatio, primus numerus diuiſibilis ſignificetur linea .a.b. diui-
ſa
in puncto .e. in partes adhuc incognitas, et .a.c. ſit productum .a.e. in .e.b. item .q.
p
.
ſecundum numerum ſignificet, æqualem ſummæ radicum, quæ puncto .n. diſtin-
guantur
.
Poſtmodum totum quadratum .p.d. erigatur (quod nobis eſt cognitum),
in
duo quadrata diuiſum .o.p. et .o.d. quorum ſumma .a.b. cum detur, cognita rema-
net
ſumma duorũ ſupplementorũ .o.u. et .o.q. qua quadrata fuerit dabit quadru
plũ quadrati ſupplemẽti .o.q. nẽpe quadruplũ producti .a.c. etenim .a.c. ex .19. theo
remate
huius libri quadratum eft ipſius .q.o. ſicq́; poterant etiam veteres quadrare
dimidium
differentiæ .a.b. ab .p.d. nempe quadrato tantummodo ſupplemento .q.
o
.
Tunc habito .a.c. eius ope tanquam producti .a.e. in .e.b. ex .45. theoremate ſingu
partes cognoſcentur.
Quod alia etiam ratione præſtari poterat, nempe cognito ſupplemento .
q
.o.
diſtinguendæ radices q.n. et .n.p. ex .45. theoremate, quibus cognitis, eorum
etiam
quadrata cognoſcuntur.
72[Figure 72] 73[Figure 73]
5442IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXV.
CVR propoſito numero in tres qualeſcunque partes diuiſo, ſi prima in
tertiam
multiplicetur, & huic producto, ſecundæ in primam productum
coniungatur
, itemq́; ſecundæ in tertiam, hæc ſumma duplicata æqualis ſit ſummæ
productorum
ſingularum in cæteras duas.
Exempli gratia, ſi proponatur .20. diuiſus in tres partes nempe .12. 5. 3. multipli-
cato
primo .12. per .3. tertiam partem dabitur .36. ſecunda verò multiplicata per re
liquas
duas, hoc eſt .5. per .12. et .3. in primis dabitur .60. poſtea .15. quorũ triũ pro
ductorum
ſumma erit .111. quæ duplicata dabit .222. qui numerus æqualis eſſe di-
citur
ſummæ productorum ſingularum partium in reliquas duas, nempe ſummæ .60.
36
. 60. 15. 36. 15. hoc eſt ipſis .222.
Cuius rei per ſe patet ſpeculatio, cum in his ſex vltimis productis, ſingula tria
prima
duplicentur.
THEOREMA LXVI.
CVR propoſito numero in .3. qualeſcunque partes diuiſo, ſi in reliquas duas ſin-
gulæ
multiplicentur, & hæc producta cum ſumma ſuorum quadratorum con-
iungantur
, tota ſumma hæc vltima æqualis erit quadrato totali propoſiti numeri.
Exempli gratia, ſi fuerit idem numerus .20. in .3. partes diuiſus .12. 5. 3. Si .12. in
5
. et .3. producatur, ſumma productorum erit .96. at .5. in .12. et .3. erit .75. poſtmo-
dum
.3. in .12. et .5. erit .51. nempe in vniuerſum .222. quadratorum porrò ſumma
erit
.178 quæ coniuncta .222. dabit .400. quadratum ipſius .20.
Erit autem huiuſce rei facillima ſpeculatio, ſi ſequentem figuram mente conce-
perimus
, in qua .a.b. propoſitum numerum ſignificet, cuius partes diſtinctæ ſint me-
dio
.e. et .c.
Ip ſum autem .q.b. ſit quadratum
totale
parallelis .e.s. et .c.x. diuiſum, quæ qua
74[Figure 74] dratum in triarectangula diuident, quorum
primum
erit .q.e. compoſitum ex producto .a.
e
.
in ſemetipſam, nempe quadratum .o.e. &
ex
producto eiuſdem .a.e. in .e.b. quod erit re
ctangulum
.o.s. ex quo tria rectangula .o.s. et .
n
.x.
et .t.u. tria producta erunt ſingularum par
tium
in cæteras duas, et .e.o: c.n: b.t. tria qua-
drata
erunt:
quibus ſex quantitatibus quadra
tum
totale .q.b. completur.
THEOREMA LXVII.
VEteres aliud quoque problema indefinitum propoſuerunt, quod tamen à
nobis
determinabitur.
Cur diuiſuri propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt mutuò diuiſis, &
per
ſummam prouenientium diuiſa ſumma qua dratorum partium, oriatur proue-
niens
alter numerus propoſitus.
Propoſito deinde tertio quolibet numero diuidendo per ſingulas partes primi,
5543THEOREM. ARIT. ita vt ſimul prouenientibus in ſummam collectis huius fummæ ad primum nume-
rum
propoſitum proportio futura ſit ea quæ eſt tertij ad ſecundum.
Rectè dimidium
primi
numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum numerum detra
hunt
, tum reſidui radicem ſumunt, quam iungentes, & detrahentes ex dimidio
primi
, partes quæſitas habent, cætera ex neceſsitate ſubſequuntur, prout nunc a
me
docebitur.
Exempli gratia, proponitur numerus .20. in duas partes diuidendus, quibus po
ſtea
mutuò diuiſis, & per ſummam prouenientium diuiſa ſumma quadratorum,
dent
ſecundũ numerum propoſitum .36. nam reliqua conſequuntur.
Itaque .10.
dimidium
primi in ſeipſum multiplicatur, & ex quadrato .100. eruitur numerus .36.
nempe
ſecundus propoſitus reſidui porrò .64. quadrata radix .8. fumitur, quam con
iungimus
& detrahimus ex dimidio primi ſcilicet .10. ex quo partes quæſitæ dabun
tur
.18. et .2. quæ mutuo diuiſæ dabunt ſuorum prouenientium ſummam .9. cum no-
na
parte, per quam diuidentes .328. ſummam quadratorum ipſarum partium,
exactè
dabitur numerus .36. qui fuit ſecundò propoſitus.
Tum ſi per ſingu-
las
iam inuentas partes quilibet numerus diuiſus fuerit, verbi gratia .72. ſumma pro
uenientium
erit .40. qui num@rus eandem proportionem cum primo nempe .20. ſer
uabit
, quam tertius propoſitus .72. cum ſecundo .36.
Quod vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur linea .n.e. ita diuidendus à
puncto
.o. vt diuiſa parte .n.o. per .o.e. et .o.e. per .n.o. & per ſummam prouenien-
tium
diuiſa ſumma quadratorum .n.o. et .o.e. detur ſecundus numerus notatus linea .
q
.K
.
Porrò meminiſſe oportet quòd .26. theoremate probatum fuit vltimum hoc
proueniens
æquale producto partium inter ſe futurum, nempe producto .n.o. in .o.
e
.
quod ſignificetur rectangulo .n.e.
Itaque datis .n.e. et .q.K. ſi .45. theorema conſu-
luerimus
, partes .n.o. et .o.e. cognoſcemus.
Proponitur deinde tertius quilibetnumerus, verbi gratia .x. diuidendus per .o.e.
et
.o.n. qui ſi diuidatur per .o.e. dabit pro
ueniens
.b.o.
Si verò per .n.o. proueniens
75[Figure 75] erit .d.n. nunc aſſerimus ſummã duorum
horum
prouenientium, ſic primo nume-
ro
.n.e. dato proportionatam eſſe, ſicut
tertius
.x. ſecũdo .q.K.
Producatur enim li-
nea
.d.n. donec .n.q. æqualis ſit .o.b. ex
quo
.q.d. erit ſumma vltimò prouenien-
tium
:
item producatur .e.n. donec .n.u. æ-
qualis
ſit .o.e. termineturq́ rectangulum .
q
.u.
quod tertio numero propoſito .x. vt
patet
, æquale erit,
quare ex .15. ſexti aut .
20
. ſeptimi eadem erit proportio .d.n. ad
n.q. quæ .u.n. nempe .o.e. ad .o.n. & com-
ponendo
.d.q. ad .q.n. ſicut .e.n. ad .n.o. &
permutando
.d.q. ad .e.n. quæ .q.n. hoc eſt .
b
.o.
ad .o.n. nempe ſicut .b.e. ad .e.n. ſuperficialem, ex prima ſexti aut .18. vel .19.
ſeptimi
, ſed rectangulum .e.n. conſtitutum fuit æquale numero .q.K.
itaque verum
eſt
propoſitum.
5644IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXVIII.
CVR numero per numerum diuiſo, productoq́; duorum numerorum per pro-
ueniens
multiplicato, quod vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua
dratum
exiſtat.
Exempli gratia, ſi diuidamus .10. per .2. proueniens erit .5. quo producto ex duo
bus
numeris multiplicato, nempe .20. habe
bimus
.100. quadratum numeri diuiſi.
76[Figure 76]
Cuius gratia duo numeri ſint .a. et .e. por
.a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-
ctum
.a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u.
multiplicato
dabitur .x. quadratum .a. pro-
ptereà
quòd .a. medium eſt proportionale
inter
.o. et .u. ex .35. theoremate.
itaque
ex
.16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-
tas
eluceſcet.
THEOREMA LXIX.
CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diuiſo, ſi per horum duo-
rum
productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-
timum
proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.
Exempli gratia, proponitur numerus .24. per .8. et .6. multiplicandus & diuiden
dus
ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336.
productorum
per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-
rimus
, proueniens pariter erit .7.
In cuius gratiã primus numerus ſignificetur linea .q.b. multiplicandus & diuiden-
dus
numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-
tium
autem .a.e: et .a.o. ex .k.m. et .o.e. ex .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.
m
.
Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e. Quod cum ſic fuerit, erit
quoque
verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis
numero
.f.m. ex .13. theoremate huius.
Itaque quotieſcunque probauero quòd di-
uiſa
.k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con
ſequetur
. ex .13. theoremate.
Quòd ſi proueniens ex diuiſione .k.z. per .a.e. æqua
le
fuerit .f.m. patet ex .7. quinti quòd eadẽ erit proportio numeri .k.m.y. ad ipſum
proueniens
, quæ ad numerum .f.m.
Cogitemus itaq; .k.u. æqualem .a.e. ſuper quam
mente
concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. ex quo eadem erit proportio .
k
.p.
ad .k.y. quæ .g.k. ad .k.u. ex .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. erit
proueniens
, quod probandum eſt æquale eſſe .f.m.
Probabitur autem ſic, ex .9. quinti, nempe demonſtrato quòd numerus .k.p. ean
dem
proportionem habeat ad numerum .k.y. quam habet numerus .f.m. ad eundem
k.y.
Sed probatum eſt ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .k.p. ad .k.y. ſufficiet igitur pro-
bare
ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .f.m. ad .k.y.
Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k.
u
;
a.e. ſatis erit igitur probare ita ſe habere .q.b. ad .a.e. ſicut .f.m. ad .k.y. Scimus au-
tem
quòd eadem eſt proportio .q.b. ad .a.o. quæ .m.k. ad vnitatem, quæ ſit .x. & quod
proportio
.o.e. ad .q.b. eadem eſt, quæ .x. ad .m.y. ex definitione diuiſionis.
Quare
ex
æqualitate proportionum eadem erit proportio .k.m. ad .m.y. quæ .e.o. ad .o.a. &
5745THEOREM. ARIT. componendo ſic ſe habebit .k.y. ad .m.y. ſicut .e.a. ad .o.a. & permutando .k.y. ad .e.
a
.
ſicut .m.y. ad .o.a. & ex .19. quinti ita .k.m. ad .e.o. ſicut .k.y. ad .e.a. & permutando .
k
.m.
ad .k.y. ſicut .e.o. ad .e.a.
Nunc producatur .f.t. donec .t.i. æqualis ſit .k.y. produ-
ctaq́
;
.m.t. done c.t.s. æqualis ſit vnitati .x. termineturq́; rectangulum .s.i. ex quo da-
bitur
proportio numeri .f.m. ad numerum .s.i. compoſita ex .m.t. ad .t.s. et .f.t. ad .t.i.
ex
.24. ſexti, aut quinta octaui, ſed ita etiam proportio .q.b. ad .a.e. componitur ex
eiſdem
proportionibus, nempe ex .q.b. ad .o.e. æquali .m.t. ad .t.s. & ex proportione .
o
.e.
ad .a.e. æquali .f.t. ad .t.i. ita que proportio numeri .f.m. ad .s.i. hoc eſt ad numerũ
ipſius
.k.y. ęqualis eſt proportioni numeri .q.b. ad .a.e. nẽpe .k.g. ad .k.u. hoc eſt .k.p. ad
x.y. ex quo ſequitur .k.p. conſtare numero ęquali .f.m. proueniens igitur ex diuiſione
numeri
.k.z. per .f.m. æquale eſt numero ipſius .a.e.
77[Figure 77]
THEOREMA LXX.
HAEC porrò concluſio alia etiam via demonſtrari poteſt.
Significetur numerus diuidendus atque multiplicandus linea .b.a. Deinde
diuidentes
& multiplicãtes ſint .k.m. et .m.y. prouenientia ex diuiſione ſint .a.o. et .o.
e
.
atque .a.o. ex .m.y: o.e. verò ex .k.m. proueniat, quorum ſumma ſit .a.e: productum
autem
.b.a. in .k.m. ſit .b.p. et .p.s. productum .b.a. in .m.y. ad hæc rectangulum .k.y. ſit
productum
.k.m. in .m.y: quo to-
tum
productum .a.s. diuidatur, pro
78[Figure 78] ueniensq́; ſit .a.c. cui, a.c: productũ .
a
.s.
eãdẽ proportionẽ ſeruabit, quã
k.y. rectangulum ad vnitatem ex
definitione
diuiſionis, hoc autem
proueniens
.a.c. cõſtare numero æ-
quali
aſſero ſummæ .a.e.
Primum
enim
ex dicta definitione diuiſio-
nis
habemus eandem eſſe propor-
tionem
.b.a. ad .a.o. quæ .m.y. ad
vnitatem
, & quod ſic ſe habet .b.a.
ad
.o.e. ſicut .k.m. ad eandem vnita
tem
.
Itaque vnitas hæc linearis ſi-
gnificetur
per .m.x. in ſingulis late-
ribus
.k.m. et .m.y. producentibus rectangulum .k.y: ſuperficialis autem vnitas ſit.
5846IO. BAPT. BENED. g.m. cogiteturq́; rectangulum .y.x. & rectangulum .k.x. Itaque dabitur eadem pro
portio
.k.m. ad .m.x. nempe .k.x. rectanguli ad .m.g. quæ eſt .b.a. ad .o.e. et .y.x. ad .m.
g
.
quæ .b.a. ad .a.o. ſed ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, ſic ſe habet rectangu-
lum
.k.y. ad .x.y. ſicut .k.m. ad .m.x.
quare ſicut .b.a. ad .o.e. ex .11. quinti, & eiuſdem
rectanguli
.k.y. ad rectangulum .k.x. ſicut .y.m. ad .x.m. nempe .b.a. ad .a.o.
Quare
ex
communi ſcientia, ſic ſe habebit duplum rectanguli .k.y. ad ſummam .y.x. cum .
k
.x.
rectangulorum, ſicut duplum .b.a. ad ſummam .a.o.e. et proportio ſummæ re-
ctangulorum
.y.x. et .k.x. duplo .g.m. ſicut duplum .b.a. ad .a.o.e.
Igitur ſumma duo-
rum
rectangulorum .y.x. et .x.k. media proportionalis erit inter duplum rectanguli .
k
.y.
& duplum vnitatis ſuperſicialis .g.m.
Nunc terminetur rectangulum .a.r. ex quo
dabitur
eadem proportio dupli .a.s. ad .a.r. ſicut dupli .b.a. ad .a.e. ex propoſitioni-
bus
notatis, ſexti aut ſeptimi.
Quare etiam ſicut dupli rectanguli .k.y. ad ſummã
rectangulorum
.y.x. et .k.x.
Iam verò ſi conſtituatur .e.c. pro vnitate lineari ipſius .
e
.r.
certi erimus numerum .a.c. æqualem eſſe .a.e. & proportionem .r.e. ad .e.c. hoc
eſt
.a.r. ad .a.c. eandem quæ .y.x. et .x.k. rectangulorum ad .m.g. ex prædictis rationi-
bus
, & ex hypotheſi, nempe quòd .
e
.r.
æqualis ſit numero .k.m.y.
79[Figure 79] hoc eſt rectangulorum .y.x. et .x.
k
.
Quamobrem .a.r. ex communi
ſcientia
mediũ proportionale erit
inter
duplum .a.s. & duplum .a.c. ea­
dẽq́
;
ꝓportio dupli prędicti .a.s. ad
duplum
.a.c. ex æqualitate propor-
tionum
ſimul collectarum, eadem
erit
qùæ proportio dupli rectangu-
li
.k.y. ad duplum .m.g. hoc eſt .a.s.
ſimplicis
ad ſimplicem .a.c. quæ ſim
plicis
rectanguli .k.y. ad ſimplicem
vnitatem
.g.m. ſic enim ſe habet ſim
plex
ad ſimplex, ſicut duplum ad
duplum
.
Sed pariter ita ſe habet .a.s. ad .a. c. cogitato .a.c. tamquam proueniente
ex
diuiſione .a.s. per rectangulum .k.y. vt conſtitutum eſt, ſicut .k.y. ad .m.g. ex defi-
nitione
diuiſionis vt iam dictum eſt,
quare numerus .a.c. æqualis erit numero .a.o.e.
THEOREMA LXXI.
CVR propoſitis .4. numeris, duobus nempe diuidentibus ac duobus diuiden-
dis
, ſi adinuicẽ diuiſi fuerint, duoq́; proueniẽtia inuicẽ multiplicata quẽuis nu
merum
producant, qui ſeruetur, ſi deinde ijdem numeri verſa vice mutuo diuiſi fue
rint
, & inter ſe multiplicata prouenientia, productũ hoc, primo ſeruato numero
æquale
erit.
Exempli gratia propoſitis his .4. numeris .20. 30. 5. 10. duo autem .20. ſcilicet
et
.30. ſint numeri diuidendi, porrò .5. et .10. numeri diuidentes, nẽpe vt primo .20
per
.5. diuidatur, tum .30. per .10. producetur .4. et .3. qui ſimul multiplicati proferẽt .
12
.
tum .20. per .10. d iuiſo et .30. per .5. prouenientia erunt .2. 6. quæ inter ſe multi-
plicata
producent etiam .12.
5947THEOR. ARITH.
Cuius rationem ſi quæris, ſignificentur .4. numeri lineis, a.e.o.u. diuidaturq́; .2.
per
.o. & oriat̃. s. & per .u. oriat̃ .y. et .
80[Figure 80] e.
diuiſo per .o. oriatur .z. & per .u.
proueniat
.f. tum .n. ſit productum .z.
in
.y. et .m. productum .s. in .f.
Dico
n
. futurum æquale .m.
Sit deinde .
x
.
vnitas, quare ex definitione diui-
ſionis
eadem erit proportio .s. ad .a.
et
.z. ad .e. quæ .x. ad .o.
Sed ita ſe ha-
bet
.a. ad .y. et .e. ad .f. ſicut .u. ad .x. ex
quo
ſic ſe habebit .s. ad .a. ſicut .z. ad
e
. et .a. ad. y, ſicut .e. ad .f.
Itaque ex
æqualitate
proportionum ſic ſe ha-
bebit
s. ad .y. ſicut .z. ad .f.
Igitur ex
15
. ſexti aut .20. ſeptimi productum .
n
.
producto .m. æquale erit.
THEOREMA LXXII.
ALIVD quoque problema à me inuentum eſt, nempe vt proponantur .4.
numeri
qualeſcunque tandem, quorum duo diuiſibiles ſint, tertius diuiſor
vnius
è duobus pro libito, quæramusq́; alterius diuidentem, qui ſic ſe habeat vt pro
ductum
duorum prouenientium quarto numero propoſito ſit æquale.
Exempli gratia, proponuntur .4. numeri .20. 48. 5. 12. porrò .20. et .48. numeri
ſint
diuiſibiles et .5. diuidẽs vnius, ut potè .20.
Quærẽdus nunc erit diuidens alterius
nempe
.48. eiuſmodi vt productum prouenientium æquale ſit .12.
Diuidam itaque .
20
.
per .5. prouenietq́; 4. quem per .48. multiplicabo, nempe per alterum diuiſibi-
lem
, ſicq́; proueniet .192. quod productum per quartum numerum nempe .12. diui-
fum
dabit .16. qui erit diuidens quæſitus, quo diuiſo .48. proueniet .3. ſecundum ſci
licet
proueniens, quo per alterum hoc eſt .4. multiplicato producetur quartus nu-
merus
.12.
Quod vt ſciamus, primus nume-
rus
diuiſibilis ſignificetur rectãgulo .
81[Figure 81] a.i.
ſecundus rectangulo .o.u. primus
diuidens
latere .a.e. quartum nume-
rum
rectangulo .i.o. primum proue-
niens
latere .e.i. ſecundus diuidens la
tere
.e.u. (hic autem eſt quem quæri-
mus
) tum alterum proueniens ſigni
ficetur
latere .e.o.
Iam eadẽ erit pro-
portio
.e.i. ad .e.u. quæ .o.i. ad .o.u.
Sed
cum cognitæ ſint tres quantita-
tes
.e.i: i.o: et .o.u. quarta quoque. e .u. exregula de tribus immediatè cognoſcetur,
cætera
in ſubſcripta figura facillimè patebunt.
6048IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXXIII.
HOC etiam problema à me inuentum eſt, nempe ſi duæ radices quadratæ in
ſummam
collectæ fuerint, & ex dimidio eiuſmodi ſummæ detracta fuerit mi
nor
radix, reſiduiq́; quadratum duplicatum eiq́; ſummæ coniungatur du-
plum
producti ipſius reſidui in dimidium ſummæ radicum, atque huic ſummæ du-
plum
producti eiuſdem reſidui in radicem minorem coniunctum fuerit;
vltima hæc
ſumma
differentia erit duorum quadratorum propoſitorum.
Exempli gratia duæ radices quadraræ ſint .5. et .11. harum ſumma erit .16. & dimi
dium
.8. differentia minoris ab ipſo dimidio erit .3: duplum quadrati huius differen
tiæ
erit .18:
duplum producti huius differentię in dimidium ſummę radicum erit .48.
item
& huius differentiæ duplum in minorem radicem erit .30. quarum omnium
ſumma
erit .96. tantaq́ue erit differentia ſuorum quadratorum, quorum vnum
erit
.25. alterum verò .121.
Pro cuius rei ſcientia, duæ quadratæ radices ſint .h.o. et .o.d. directæ inter ſe con-
iunctæ
, quæ ſumma per medium in puncto .e. diuidatur, tum cogitetur .e.b. æqualis
o.e. perpendicularis .h.d. ducanturq́; lineæ .b.h: b.o. et .b.d.
Iam ex .4. primi .b.h. æqua
lis
erit .b.d. & quadratum .b.h. æquale quadrato .h.o. & quadrato .o.b. ſimul cum du
plo
producti .o.e. in .o.h. ex .12. ſecundi Eucli.
Sed ex .13. eiuſdẽ quadratum .b.d.
minus
eſt quadrato .o.d. cum quadrato .o.b. ex duplo producti .o.e. in .o.d. at duplum
eiuſmodi
producti æquale eſt duplo qua-
drati
.o.e. & duplo producti .o.e. in .e.d. ex
82[Figure 82] tertia eiuſdem, itaque duo quadrata ſcili-
cet
.o.b. et .o.d. maiora erunt duobus qua-
dratis
, nempe .o.b. et .o.h. collectis cum du
plo
producti .o.e. in .o.h. ex duplo quadrati
o.e. vna duplo producti .o.e. in .e.d.
Qua
re
differẽtia ſummæ duorum quadratorum
o.b. et .o.d. à ſumma duorum o.b. et .o.h. du
plum
erit quadrati .o.e. cum duplo produ-
cti
.o.e. in .e.d. & duplo producti .o.e. in .o.h.
Quòd
ſi ex ſingulis duabus ſummis quadratorum demptum fuerit quadratum .o.b.
eadem
producta & quadrata ipſius .o.e. remanebunt, tanquam differentia duorum
quadratorum
.o.u. et .h.c.
THEOREMA LXXIIII.
CVR ſumma duorum extremorũ quatuor terminorum proportionaliũ arith-
meticè
, æqualis eſt ſummæ duorum mediorum, vbi nota hac in re neceſſa-
rium
non eſſe proportionalitatem continuam exiſtere.
Exempli gratia, ſi darentur hi quatuor termini .20. 17. 9. 6. quorum proportio ea
dem
eſſet primi ad ſecundum quæ tertij ad quartum, ſumma primi cum quarto eſſet
26
. tantaq́; ſecundi cum tertio.
Cuius ſpeculationis cauſa, primus maiorq́; numerus ſignificetur linea .e.o. ſecun-
dus
.s.q. tertius .u.c. quartus .g.t. differentia porrò inter .e.o. et .s.q. ſit .i.o. quæ æqualis
erit
differentiæ .r.c. qua quartus à tertio ſuperatur ex hypotheſi.
Itaque aſſero ſum
mam
.e.o. cum .g.t. nempe .a.o. æqualem eſſe ſummę .q.s. et .u.c. ſitq́; .q.p.
Nam in .a.o.
6149THEOREM. ARIT. Secundus tertiusq́ue terminus reperiuntur, eſt
83[Figure 83] enim ſecundus .e.i. tertius .i.o. et .e.a. quando-
quidem
ex præſuppoſito .e.i. æqualis eſt .s.q. et
i.o. æqualis .r.c. et .a.e. cum ſit æqualis .g.t. cui
pariter
æqualis eſt .r.u. ex quo .a.e. æqualis
eſt
.u.r.
Itaque illud ſequitur .a.o. ipſi .q.p.
æqualem
eſſe.
THEOREMA LXXV.
CVR ſumma duorum terminorum extremorum imparium arithmeticæ pro-
portionalitatis
ſemper duplo medij termini æqualis eſt.
Exempli gratia, ſunt hitres termini proportionalitatis arithmeticæ .20. 15. 10
ſumma
duorum extremorum erit .30. quæ duplum eſt medij termini .15.
Quod vt ſpeculemur, tres termini, tribus lineis .b.d: n.u. et .q.p. ſignificẽtur. Di-
co
nunc quòd ſumma .b.d. cum .q.p. nempe .
h
.d.
ſemper duplo .n.u. ſcilicet .g.u. æqualis
84[Figure 84] erit.
Tum differentia .b.d. ad .n.u. ſit .c.d. quæ
æqualis
erit .e.u. differentiæ inter n.u. et .q.p.
patet
enim in linea .h.d: b.c. æqualem eſſe .n.
u
.
ſed .n.u. ex .n.e. componitur æquali .q.p. et
ex
.e.u. æquali .c.d. cum itaq; in .h.d. partem .
h
.b.
reperiamus æqualem .n.e. gratia .q.p. &
partem
.c.d. æquale m.e.u. manifeſtum erit
h.d. æqualem eſſe .g.u.
BINA PROBLEMAT A EX DVOBVS PRAEDICTIS
THEOREMATIBVS
DEPENDENTIA.
EX duobus prædictis theorematibus duo problemata oriuntur, quorũ primum
eſt
.
Datis tribus quantitatibus cognitis, ſi quis quartam inuenire voluerit,
quæ
eiuſmodi ſit reſpectu tertiæ, qualis eſt ſecunda reſpectu primæ, ſecunda cum
tertia
in ſummam colligenda erit, ex qua detracta prima, ſupererit quarta.
Exempli gratia, cognitis tribus quantitatibus .20. 17. 9. ſi quartam inuenire vo
luerimus
eiuſmodi proportionem cum tertia arithmeticè ſeruantem, quam ſecunda
cum
prima, ſecundam cum tertia in ſummam colligemus, dabiturq́; ſumma .26. ex
qua
detracta prima quantitate, quarta relinquetur nempe .6. quod ex .74. theore-
mate
dependet.
Idipſum tamen proueniret ſi quis ex tertio termino differentiam primi atque ſe-
cundi
detraheret;
hæc tamen via non tam vniuerſalis eſtqu àm illa. N ſi quartus ter
minus
incognitus tertio maior eſſe deberet, dictam differentiam cum tertio termi-
mino
in ſummam colligere oporteret.
Alterum problema eſt, quòd inuentis duobus terminis, ſi tertius requiratur, ſe-
cundus
duplicandus erit, ex qua ſumma detracto primo, ſtatim tertius proferetur,
quod
problema ex præcedenti theoremate dependet.
6250IO. BAPT. BENED.
Progredi nihilominus etiam hac in re poſſemus per differentiam primi & ſecun-
di
termini, eam detrahendo aut in ſummam cum ſecunda colligendo, attamen prior
ratio
magis latè patet, ideſt vniuerſalior eſt.
THEOREMA LXXVI.
CVR ſi quis cupiat ſecundum terminum inuenire, quatuor terminorum arith-
meticè
proportionalis continuæ, quorum nobis duo extrema proponantur.
Rectè primum duplicabit coniungetq́; vltimo termino, nempe quarto, ex qua ſum-
ma
tertiam partem deſumet, quæ erit ſecundus terminus quęſitus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor terminorum .12. 9. 6. 3. duo nobis extrema
proponantur
.
nempe .12. et .3. quorum ſecundus inueniendus ſit, ſumpto quolibet
pro
primo, ſit autem .3. primus numerus, quartus verò .12.
quare duplicato 3. vtpo
primo, & coniuncto .12. quarto, ſumma erit .18. cuius eſt tertia pars .6. ſecundus
numerus
ſcilicet ſumpto principio à minimo.
Idipſum euenit ſumpto principio à
maximo
.
Nam ſi datur ſecundus à minimo aut à maximo, illico tertius datur diffe-
rentia
inter hunc & primum, ſecundo coniuncta, aut ex eodem detracta.
Cuius ratio ſic demonſtratur, quatuor termini quatuor lineis .m.g: q.p: u.n: c.t.
ſignificentur
, quorum .m.g. et .c.t. tantummodo cognoſcantur.
ſitq́; .m.g. primus ac
maior
terminus:
k.g. verò ſit duplum primi .m.g: cui coniungatur .b.k. æqualis .c.t.
Dico
tertiam partem .b.g. quæ ſumma totalis eſt, æqualem eſſe .q.p.
In primis enim
certi
ſumus .m.f. in .m.g. reperiri æqualem .q.p. ſupereſtq́; .f.g. differentia inter .m.g.
et
.q.p. æqualis .e.p. differentiæ inter .q.p. et .u.n. & æqualis .o.n. differen-
tiæ
inter .u.n. et .c.t: ſimul etiam in .k.m. habemus .d.m. æqualem .m.f.
quare etiam .q.
p
.
et .k.d. æqualem .f.g. nempe .e.p. aut .o.n: Hactenus in .k.g. reperimus duplum .q.
p
.
ſimul cum .f.g. et .k.d. æqualibus .e.p. et .o.n. & quia .b.K. æqualis .c.t. fuit coniuncta.
conſiderandum eſt an hætres quantitates .f.g: K.d. et .b.K. ſimul æquales ſint .q.p.
quod
tamen per ſe manifeſtum eſt.
nam .q.p. ſuperat .u.n. per .e.p. et .u.n. ex-
cedit
.c.t. per .o.n. æqualem .e.p.
quare .q.p. per duplum differentię .f.g. ſuperat .c.t. ita
que
.f.g: k.d. et .K.b. ipſi .q.p. ſunt ę-
quales
, ex quo ſequitur .q.p. tertiã
85[Figure 85] partem eſſe .b.g. Hæc quæ hacte-
nus
dicta fuerunt, in genere maio-
ris
inæqualitatis probata fuerunt.
At in genere minoris, ſumpto or-
dinis
principio à minimo termino
rum
, duplicetur .c.t. ſitq́; duplum
hoc
.K.t. cui .k.b. æqualis .m.g. con-
iungatur
, quæſumma ſit .b.t.
Di-
co
.u.n. tertiam eſſe partem ipſius.
Nam in primis in .b.t. datur termi
nus
.b.K. æqualis vltimo .m.g. in
quo
ſemel reperitur .u.n. vnà cum
duabus
differentijs, nempe .i.g. in
ipſa
autem .b.t: u.n. ſignificetur pri
mo
loco per .r.K. ex quo ſupererit .b.r. duabus differentijs prædictis æqualis, ſed ex
præſuppoſito
.u.n. componitur ex .o.u. æquali .c.t. et .o.n. ęquali vni differentiæ.
Itaq;
6351THEOREM. ARIT. cum in .b.t. præter .r.K. bis detur .c.t.K.t. et .b.r. duabus differentijs æquipol-
lens
, illud efficitur .u.n. pariter ipſius .b.t. eſſe tertiam partem, quod erat propoſitũ.
THEOREMA LXXVII.
CVR ſi quis velit ſecundum quinque continuorum proportionalium termi-
num
inuenire, ſolis extremis cognitis.
Rectè vltimũ triplo primi coniunget,
ex
qua ſumma quartam partem detraher, quæ erit ſecundus terminus quæſitus.
Quod ipſum faciet qui inuenire vult ſecundum terminum ſenarij ſeptenarij, octo-
narij
aut alterius cuiuſcunque, creſcente tamen multiplicatione primi, vltimoq́;
coniuncto
.
Exempli gratia, dantur duo extremi termini, horum quinque numerorum .18.
16
. 14. 12. 10. nempe .18. et .10. ſi .18. primus erit, hoc eſt, ſi à genere maioris inæ-
qualitatis
progrediemur, triplicabimus terminum .18. dabunturq́; .54. cui numero
coniuncto
quinto termino .10. dabitur numerus .64. cuius quarta pars erit .16. vtpo
ſecundus terminus gratia, aut ſecundi ſex terminorum, quadruplicandus eſſet pri
mus
.18. deinde adiuncto vltimo, quinta pars ſummæ eſſet ſecundus terminus, atq;
ita
deinceps.
Cuius ſpeculationis gratia, dicti termini lineis .z.h: f.s: u.p: e.g. et .r.x. ſigniſicẽtur.
In primis ex genere maioris inæqualitatis, triplicabimus .z.h. ſitq́; triplum hoc .k.
h
.
cuicõiungatur .b.k. ęqualis vltimo termino .r.x.
Dico .f.s. quartã partem eſſe ſum-
.b.h.
Nam in .k.h. ſecundus terminus .f.s. ter cum tribus differentijs æqualibus .n.h.
reperitur
.
Probandum nunc eſt tres has differentias .n.h: a.c. et .d.k. ſimul cum .b.
K
.
ęquales eſſe .f.s.
86[Figure 86] quod in dubiũ re
uocari
poteſt,
cum
.f.s. ſuperet .
r
.x.
per .o.s: t.p. et .
i
.g
.
At in genere
minoris
inæquali
tatis
, triplum .r.x.
ſit
.x.a. et .a.b. ſit
æqualis
.z.h. &
z.h. tribus differẽ
tijs
.n.h: o.s: t.p. ſu-
peret
.e.g. quæ in .
a
.b.
ſint .b.K: K.d:
d.c. ex quo .a.c.
æqualis
erit .e.g.
et
.a.x. cum .b.c. tripla .e.g.
Itaque tota ſumma .b.x. qua drupla erit .e.g.
THEOREMA LXXVIII.
QVantitates quæ fuerint inuicem in proportionalitate arithmetica proportio-
nales
, permutan do quoque proportionales erunt.
6452IO. BAPT. BENED.
Sint exempli gratia .4. quantitates .a.b: c.d: e.f: et .g.h: inuicem proportionales in
proportionalitate
arithmetica.
Hoc eſt vt quæ proportio (licet impropriè dicta)
eſt
ipſius .a.b. ad .c.d. eadẽ ſit ipſius .e.f. ad .g.h.
Tunc permutando dico eandem pro
portionem
fore ipſius .a.b. ad .e.f. quæ ipſius .c.d. ad .g.h.
Nam, ex hypotheſi, differentia qua .a.b. ſuperat .c.d. (quæ ſit .m.b.) æqualis eſt
differentiæ
qua .e.f. ſuperat .g.h. (quæ ſit .i.f.) vnde .a.m. reſiduum ex .a.b. æquale erit
c.d. & reſiduum .e.i. æquale .g.h.
Sit igitur exempli gratia .c.d. maior .g.h. per .c.n.
vnde
.n.d. æqualis erit .g.h.
quare .a.m. maior erit .e.i. per .a.K. æqualem .c.n. ex com-
muni
ſcientia.
Vnde .K.m. æqualis erit .n.d. hoc eſt ipſi .g.h. hoc eſt ipſi e.i. Quare ex
communi
conceptu .b.K. æqualis erit ipſi .f.e. ſed .n.d. æqualis eſt .g.h. vt dictum eſt.
Cum ergo .b.K. æqualis ſit .e.f. et .d.n. ipſi .g.h. et .a.b. maior ſit ipſa .K.b. per .a.K. æqua-
lem
ipſi .c.n. per quam c.n: d.c. maior eſt ipſa .d.n. ſequitur verum eſſe propoſitũ hoc
eſt
, quod eadem proportio ſit ipſius .a.b. ad .e.f. quæ .c.d. ad .g.h. arithmetice ſcilicet.
87[Figure 87]
THEOREMA LXXIX.
CVR prouenientia duorum numerorum diuidentium eiuſdem numeri diuiſi-
bilis
, geometricè eandẽ inter ſe proportionẽ ſeruant, quã ipſimet diuidẽtes.
Exempli gratia ſi per ſenarium & octonarium numerus vigintiquatuor diuida-
tur
, prouenientia erunt .4. et .3. eadem proportione, qua diuidentes.
Cuius eſt ratio numerus diuiſibilis ſignificetur rectangulis .u.x. et .n.e. diuidentes
autem
ſint .u.o. et .e.o.
quare ex ijs, quæ .10.
88[Figure 88] theoremate dicta fuerunt .u.x. per .u.o. diui-
ſo
dabit .x.o. & diuiſo .n.e. per .e.o. dabit .o.
n
.
Dicimus itaque eandẽ eſſe proportionẽ
o.x. ad .o.n. quæ .e.o. ad .o.u. quod patet ſub
ſcriptam
figuram conſiderantibus, in qua,
ex
.15. ſexti aut .20. ſeptimi, eadem propor-
tio
cernitur .o.x. ad .o.n. quæ .o.e. ad .o.u.
THEOREMA LXXX.
CVR quauis quantitate, tribus
89[Figure 89] aut quatuor aut etiam pro libi-
to
pluribus diuidentibus numeris di-
uifa
, prouenientia eandem prorſus
inter
ſe proportionem ſeruabunt,
quam
ipſi diuidentes habere compe
riuntur
.
Exempli gratia, proponitur nu-
merus
.60. quinque numeris diuiden
dus
, vtpotè .30. 20. 15. 12. 10. pro-
uenientia
erunt .2. 3. 4. 5. 6. eadem
6553THEOREM. ARITH. proportione diuidentium, quamuis ex aduerſo.
Cuius ratio ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi dependet. prout in ſubſcripto ordine fa-
cillimè
deprehendi poteſt.
THEOREMA LXXXI.
CVR quantitate in tres continuas partes proportionales ſecta, & per ſingulas
ipſarum
diuiſa, ſumma trium prouenientium quadrato medij prouenientis
æqualis
eſt.
Exempli gratia, proponitur .14. diuidendus in tres continuas partes proportio-
nales
, nempe .8. 4. 2. ipſeq́; numerus .14. per ſingulas diuiditur, ex quo tria proue-
nientia
oriuntur, nempe ex prima parte .8. proueniẽs erit .1. cum tribus quartis par
tibus
ex ſecunda .4. datur proueniens .3. cum dimidio vnius, & ex tertia .2. proue-
nient
.7. integri, qui in ſummam collecti dant .12. integros & vnam quartam par-
tem
tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe .3.
cum
dimidio.
Cuius ſpeculationis gratia, totalis numerus ſignificetur linea .n.c. qui in tres par-
tes
diuidatur .n.a: a.e. et .e.c. quæ ſint continuæ proportionales, quarum ſingulis,
numerum
.n.c. diuiſum eſſe cogitemus, proueniens autem ex diuiſione .n.c. per .n.
a
.
ſit .i.d. quod verò prouenit ex diuiſione .n.c. per .a.e. ſit .d.u. proueniens quoque ex
diuiſione
.n.c. per .e.c. ſit .u.o. quorum ſumma ſit .i.o. quæ aſſeritur eſſe numeri æqua-
lis
numero quadrati .d.u.
Quod hac ratione probabo, producatur linea .i.o. donec .
o
.p.
æqualis ſit .o.u. erigaturq́; .o.m. æqualis .d.i. perpendiculariter .o.p. in puncto .o.
quæ
producatur donec .o.q. vnitati ſit æqualis, terminenturq́; duo rectangula .m.p.
et
.q.i. ex quo habebimus rectangulum, aut productum .m.p. æquale quadrato .d.u.
ex
.16 ſexti aut .20. ſeptimi, quandoquidem tria prouenientia .o.u: u.d. et .d.i. ex
pręcedenti
theoremate ſunt inter ſe continua proportionalia, proportionalitate qua
partes
.n.c.
Iam verò ſi probauero .q.i. productum, producto .m.p. æquale eſſe, pro-
poſitum
quoque probatum erit.
Numerus enim producti .q.i. æqualis eſt numero.
ſummæ .i.o. Habemus autem ex definitione diuiſionis ita ſe habere .n.c. ad .i.d. ſicut .
n
.a.
ad .o.q.
Itaque permutando ſic ſe habebit .n.c. ad .n.a. ſicut .d.i. hoc eſt .m.o. ad .
o
.q.
ſed ſicut ſe habet .n.c. ad .n.a. ita pariter ſe habet .i.o. ad .o.u. hoc eſt ad .o.p.
Ita-
que
.i.o. ad .o.p. ſic ſe habebit ſicut .m.o. ad .o.q. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .
q
.i.
æqualis erit .m.p. & conſequenter quadrato .d.u.
Vt autem lector minori labo-
re
cognoſcere queat .i.o. ad .o.u. ſic ſe habere, vt .n.c. ad .n.a. ſciendum eſt quòd, ſic
ſe
habet .i.d. ad .d.u. ut .c.e. ad .e.a. ex quo componendo ſic ſe habebit .i.u. ad .d.u. ſi-
cut
.c.a. ad .a.e. & permutando ita .i.u.
90[Figure 90] ad .c.a. vt .d.u. ad .e.a. ſed cum ex præ-
cedẽti
theoremate ſic ſe habeat .d.u.
ad
.u.o. ſicut .e.a. ad .a.n. permutando
ſic
ſe habebit .d.u. ad .a.e. ſicut .u.o. ad
a.n. ex quo ex .11. quinti ſic ſe habe-
bit
.i.u. ad .c.a. prout .o.u. ad .a.n. per-
mutandoq́ue
.i.u. ad .u.o. vt .c.a. ad .a.n. & componendo, ita .i.o. ad .u.o. ſicut .c.n.
ad
.a.n.
6654IO. BAPT. BENED.
THEOREMA LXXXII.
CVR quantitate aliqua in quatuor partes cõtinuas proportionales ſecta per-
q́ue
ſingulas diuiſa, ſumma quatuor prouenientium æqualis ſit producto ſe-
cundi
in tertium.
Exempli gratia, ſi triginta in quatuor partes proportionales ſecetur, hoc eſt.
16
. 8. 4. 2. perq́; harum ſingulas idem numerus .30. diuidatur, primum proueniens
erit
.1. cum ſeptem octauis partibus.
Secundum .3. cum tribus quartis, tertium .7.
cum
dimidio, quartum .15. integri, quorum ſumma erit .28. cum octaua parte, tan
tumq́; erit productum ſecundi prouenientis in tertium.
Quod vt ſciamus, quantitas .n.c. in partes continuas proportionales quatuor ſe-
cetur
.n.a: a.t: t.e. et .e.c. rurſusq́; per ſingulas partes illa ipſa diuiſa, prouenientia
ſint
.i.d: d.x: x.u: u.o. quorũ ſumma ſit .i.o. hanc ſummã dicimus æqualem eſſe nume-
ro
producti .d.x. in .x.u.
Quod hac ratione probo, cogito productam eſſe lineam .i.o. quousq́; .o.p. æqua
lis
ſit .o.u. erectamq́; .m.o. æqualem .i.d. perpendiculariter .o.p. & productam donec .
o
.q.
vnitati ſit æqualis.
Iam terminatis rectangulis .m.p. et .i.q. patebit ex .15. ſexti
aut
.20. ſeptimi, productum .m.p. producto .d.x. in .x.u. æquale eſſe.
Ita quòd ſi pro-
bauero
productum .i.q. producto .m.p. æquale eſſe, facile patebit propoſitum.
Cuius
gratia
, ſequuti præcedentis theorematis ordinem, primum ex definitionẽ diuiſionis,
eadem
proportio erit .n.c. ad .i.d. quæ .n.a. ad .o.q. ex quo permutando .n.c. ad .n.a. ſic
ſe
habebit vt .i.d. hoc eſt .m.o. ad .o.q. & ſi progrediamur eodem ordine, quo præ-
cedenti
theoremate, ſumpto principio ab .i.d. et .e.c. verſus .d.x. et .e.t. gradatimq́ue
permutando
ac coniungendo, inue-
91[Figure 91] niemus eandem proportionem eſſe
c.n. ad .n.a. quæ .i.o. ad .o.u. nempe .
o
.p.
ex quo ex .11 quinti, ita ſe habe
bit
.i.o. ad .o.p. vt .m.o. ad .o.q.
quare
ex
.15. ſextiaut .20. ſeptimi produ-
ctũ
.i.q. erit producto .m.p. æquale,
ex
quo etiam æquale erit producto .
d
.x.
in .x.u.
Idem ordo in qualibet
quantitate
in quantaſuis partes diuiſa ſeruari poterit, cum huiuſmodi ſciẽtia in vni
uerſum
pateat.
THEOREMA LXXXIII.
CVR termini medij cubus, trium continuè proportionalium, ſemper producto
rectanguli
compræhenſi à maximo & medio in minimo termino æqualis ſit.
Exempli gratia, datis his tribus terminis continuis proportionalibus .9. 6. 4. ſi
ſumpſerimus
productum maximi in medium nempe .54. quod per minimũ .4. multi-
plicemus
, dabitur numerus .216. cubo medij .6. æqualis.
In cuius gratiam tres numeri continui proportionales tribus lineis .a.e.i. ſignifi-
cẽtur
, cubus autem .e. ſignificetur figura .d.n. productumq́ .a. in .e. ſit .b.n. ipſius au-
tẽmet
in .i. ſit .p.o. ita quod .q.p. aut .b.o. cum ſint eiuſdẽ ſpeciei, æqualis erit .a: et .o.n.
6755THEOR. ARITH. æqualis .e: et .q.n. æqualis .i. Nunc co-
92[Figure 92] gitemus abſolui corpus .n.h. ita ut .b.
o
.c.
ſit vnica recta linea, ex quo ex .25.
vndecimi
proportio .n.h. ad .n.k. ea-
dem
eſt quæ .o.h. ad o.k. ſed ſic ſe ha-
bet
.o.h. ad .o.k. vt .h.b. ad .b.k.
ex
prima ſexti aut .18. vel .19. ſe-
ptimi
itaque .n.h. ad .n.k. ex .11.
quinti
ſic ſe habebit. vt .h.b. ad .b.k.
ſed
.n.h. ad .n.d. ex eiſdem ſic ſe habet
ut
.h.u. ad .d.u. et .h.u. ad .u.d. ita ut .h.
b
.
ad .b.k. ex præſuppoſito.
Itaque ex
11
. prædicta .n.h. ad .n.k. eadem erit
proportio
quæ .n.h. ad .n.d.
Quare
ex
.9. quinti .n.k. æqualis erit .n.d.
Quod
erat propoſitum.
THEOREMA LXXXIIII.
CVR quadrato vnius quantitatis radice proportionalis, per ſingulos tres termi
nos
diuiſo, prouenientia, ſingulis dictis terminis ſint æqualia.
Exẽpli gratia, datis tribus terminis continuis proportionalibus .9. 6. 4. qua
dratum
medij erit .36. quod per .9. diuiſum dabit .4: per .6: 6. per .4: 9.
Cuius gratia, ſint tres termini cõtinui ꝓportionales .a.o: o.c. et .c.q. quadratũ autẽ
medij
ſit .e.c.
Iam ſi applicetur rectangulũ .a.d. æquale quadrato .e.c. ipſi .a.o. & re-
ctangulum
.q.p. æquale eidem quadrato .e.c. ipſi .c.q. ſi quadratum .e.c. per .a.o. diui
ſerimus
, proueniens erit .o.d. diuiſoq́ per .c.q. proueniens erit .c.p. quod ſi per ſuam
radicem
.o.c. diuidatur, proueniens erit .o.
93[Figure 93] e. quod ſine dubio æquale eſt .o.c. ſed dico .
o
.d.
æqualem eſſe .c.q.
Nam ex .16. ſexti aut
20
. ſeptimi eadem eſt proportio .a.o. ad .o.
c
.
quę .o.e. ad .o.d. nempe .o.c. ad .o.d. itaque
o.d. ex .9. quinti æqualis eſt .c.q. quandoqui
dem
ex .11. ſic ſe habet .o.c. ad .o.d. ſicut .o.
c
.
ad .c.q.
Applicatis ijſdem rationibus ipſi .
p
.c.
probabimus .c.p. æqualem eſſe .a.o. cum
o.c. media ſit proportionalis, inter .c.p. et
c.q. quam inter .a.o. et .c.q. itaque .c.p. æqua-
lis
eſt .a.o.
THEOREMA LXXXV.
CVR propoſitis tribus quantitatibus continuis proportionalibus proportione
aliarum
duarum nobis datarum, multiplicata maiori poſtremarum dua-
rum
in ſummam mediæ cum minima trium primarum, productum æqua-
le
ſit producto minoris duarum in ſummam maximæ cum media trium.
Exempli gratia proponuntur quantitates .9. 6. 4. proportione numerorum pro-
6856IO. BAPT. BENED. poſitorum .3. et .2. multiplicato .3. per .10. ſummã .6. cum .4. dantur .30. quod pro-
ductum
æquale erit producto .2. per .15. nempe per ſummam 9. et .6.
Quod vt cognoſcamus, tres quan
94[Figure 94] titates continuæ proportionales ſint
b.a.p. proportione .d.q. productum
autem
.d. in ſummam .a. cum .p. ſit .f.t.
& productum .q. in ſummam .b.a. ſit .
K
.h.
et .K.n. ſit æqualis .b. et .n.o. æqua
lis
.a. & ita etiam .o.u. eidem .a. et .u.t.
æqualis
.p. et .h.o. ipſi .q. et .f.o. ipſi .d.
quare ita ſe habebit .K.n. ad .n.o. ſicut
o.u. ad .u.t. & componendo .K.o. ad .
n
.o.
vt .o.t. ad .u.t. & permutando .K.
o
.
ad .o.t. vt .n.o. hoc eſt .o.u. ad .u.t. &
pariter
.f.o. ad .o.h. vt .o.u. ad .u.t.
Ita-
que
ſicut .k.o. ad .o.t. ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi .K.h. æqualis erit .f.t.
THEOREMA LXXXVI.
CVR multiplicatis ſingulis tribus quantitatibus continuis proportionalibus in
reliquas
duas, ſex producta æqualia ſint producto dupli ſummæ ipſarum trium
in
mediam proportionalem.
Exempli gratia, proponuntur hitres termini continui proportionales .9. 6. 4. pro
ductum
.9. in .6. erit .54. at .9. in .4. erit .36. et .6. in .9: 54. et .6. in .4: 24. et .4. in .9: 36. et .
4
.
in .6: 24. quæ producta ſimul collecta efficiunt numerum .228 ſed tantũ eſt pro-
ductum
dupli ſummæ trium terminorum in ſecundum nempe .38 in .6.
Cuius intelligẽtiæ cauſa, tres termini cõtinui proportionales ſignificentur linea .
b
.e.
nempe .b.d: d.c: c.e. cuius duplum ſit .u.e. et .b.f. æqualis ſit .b.d. et .f.n: d.c. et .n.u:
c
. e productum verò .u.e. in .d.c.ſit .u.s. cui dico æqualem eſſe ſummam productorum
ſingulorum
trium terminorum in reliquos duos.
Quamobrem ducantur perpendi-
culares
.c.g: d.o: b.i: f.a. et .n.p. inter .u.e. et .q.s. ex quo pro producto .c.e. in .c.d. ha-
bebimus
rectangulum .c.s. & rectan-
95[Figure 95] gulum .d.g. pro producto .c.e. in .d.b.
ex
.16. ſexti aut .20. ſeptimi itemq́ue
rectangulum
.q.n. pro producto .d.c.
in
.c.e. & rectangulum .b.o. ex .d.c. in .
b
.d.
& rectangulum .b.a. ex .b.d. in .d.
c
.
et .p.f. ex .d.b. in .c.e. ex .16. aut .20.
prędictas
.
Quare ſex producta æquantur inter ſe, replentq́ productum .u.s. ex quo
verum
eſt propoſitum.
THEOREMA LXXXVII.
QVA ratione cognoſci poſſit verũ eſſe proportionem ſummæ quatuor quan-
titatum
continuarum proportionalium ad ſummam ſecundæ & tertiæ, ean-
dem
eſſe, quæ ſummæ primæ & tertiæ ad ſecundam ſimplicem.
Exempli gratia, ſi inue nirentur quatuor quantitates continuæ proportiona-
es
.16. 8. 4. 2. earum ſumma erit .30. ſunima verò ſecundæ & tertiæ .12. tum ſumma
6957THEOREM. ARITH. primæ cum tertia .20. ex quo ſicſe habet .20. ad .8. nempe ad ſecundam, vt .30.
ad
.12.
Quod vt ſciamus, quatuor prædictæ quantitates ſignificentur linea .a.e.i.o. pro-
babo
ita ſe habere .a.e.i.o. ad .e.i. vt .a.i. ad .e.
Nam cum ſic ſe habeat .a. ad .e. ut .e.
ad
.i. & vt .i. ad .o: ex æqualitate proportionum vel permutando ita ſe habebit .a. ad .i.
vt
.e. ad .o. & è conuerſo ita .o. ad .e. vt .i. ad .a. & cõponendo ita .o.e. ad e. vt .i.a. ad .a.
permutandoq́ .o.e. ad .i.a. vt .e. ad .a. nempe .i. ad .e. & componendo ita .o.i.e.a. ad .
i
.a.
vt .i.e. ad .e. & permutando ita .o.i.e.a. ad .i.e. vt .i.a. ad .e. quod erat propoſitum.
Ex quo patet error antiquorum quiidipſum, accidere arbitrati ſunt in quantitatibus
diſcretæ
proportionalitatis, quod tamen falſum eſt.
Exempli gratia, ſi proponantur .12. 6. 4. 2. proportio .12. ad .6. eadem eſt quæ .4.
ad
.2.
Sed à proportione .6. ad .4. frangitur, cum non ſit eadem quæ .12. ad .6. harum
autem
ſumma erit .24. & ſumma ſecundæ cum tertia .10. ſed primæ cum tertia erit
16
. ex quo .16. ad .6. non ſic ſe habebit vt .24. ad .10.
At
in ſpeculatione quatuor quantitatum .a.
96[Figure 96] e.i.o. ſi proportio .e. ad .i. non eſſet eadem
quæ
.a. ad .e. minimè licuiſſet dicere ita ſe
habere
.i. ad .e. vt .e. ad .a.
THEOREMA LXXXVIII.
CVR extribus quantitatibus quibuſlibet, productum duarum in tertiam, vna
ſemper
eademq́; ſit quantitas.
Exempli gratia, proponuntur .15. 8. 2. ſi multiplicauerimus .15. per .8. tum produ
ctum
per .2. tantum erit quantum ſi quis multiplicaret .8. per .2. & hoc per .15. et .15.
per
.2. rurſusq́; per .8.
Quod ut pateat, tres quantitates tri-
97[Figure 97] bus lineis ſignificentur .m.f: a. et .o.
Dico
productum
.m.f. in .a. multiplicatum.
per .o. æquale eſſe producto .a. in .o. mul-
tiplicato
per .m.f. aut producto .m.f. in .
o
.
multiplicato per .a.
Sit enim corpus .d.
u
.
rectãgulum, cuius latus .n.u. ſit æquale
m.f. et .u.t: a: et .u.c: o. patebit manifeſtè
n.t. eſſe productum .m.f. in .a. quod .n.t.
multiplicatum
in .u.c. æquali .o. producit
corpus
.d.u. ſed idipſum corpus .d.u. ex
multiplicatione
producti .c.t. in latus .n.
u
.
æquale .m.f. oritur, & idipſum .d.u. ex
multiplicatione
.n.c. in latus .u.t. æquale .a. profertur.
THEOREMA LXXXIX.
CVR quarumcunque quatuor quantitatum, ſi prima in ſecundam multiplice-
tur
& hoc productum in tertiam, rurſusq́ hoc alterum in quartam, vltimum
productum
æquale ſit producto producti ſecundæ in tertiam, in productum primæ
in
quartam.
7058IO. BAPT. BENED.
Exempli gratia, caſu ſeſe offerunt hi quatuor numeri .8. 5. 3. 2. multiplicato .8.
per
.5. & hoc .40. per .3. rurſus hoc .120. per .2. vltimum productum eſſet .240. æqua
le
producto .15. (quod ex .5. in .3. oritur) in productum .16. quod ex .8. in .2. pro-
fertur
.
Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus quatuor numeros quatuor lineis .a.e.i.o.
ſignifi
cari, productum autem .e. in .i. eſſe .m.f. et .r.s. ſimiliter & productum .a. in .o. eſ-
ſe
.m.z: et .z.f. productum eſſe .m.f. in .m.z. cui productum .a. in .e. multiplicatum per
i
. & hoc tandem per .o. æquari debet.
Sit itaque .u.y. productum .a. in .e. quod .u.y. per .i. multiplicatum proferat .u.s.
hocq́ue
.u.s. multiplicatum per .o.
Dico quod dabit numerum æqualem numero .f.z.
Quamobrem
.r.s. aut .m.f. quod idem eſt, in figura præcedentis theore matis ſigni-
ficetur
linea .n.u. & linea .r.u. hu-
ius
, nempe .a. ſignificetur per .u.t.
98[Figure 98] præcedentis, ex quo numerus pro
ducti
.u.s. præſentis, in præcedenti
ſignificabitur
producto .n.t. quod
ꝓductũ .u.s. pręsẽs præsẽs .o. mul­
tiplicatum
, quod erat in præceden
ti
.u.c. ſignificabitur per .d.u. præce
dentis
, quod non modo ex multi-
plicatione
.n.t. præcedentis, nempe .u.s. præſentis. in .u.c. præcedentis æquali .o. præ-
ſentis
oritur, ſed etiam ex .c.t. præcedentis æquali .m.z. præſentis in .n.u. præceden
tis
æquali .m.f. præſentis.
Itaque verum eſt propoſitum.
THEOREMA XC.
CVR quibuſlibet & quantiſuis numeris in ſummam collectis, ſi ab vnitate in ſe-
cunda
ſpecie progreſſionis arithmeticę imparium numerorum progreſſi fue-
rimus
, eiuſmodi ſumma ſemper eſt quadratus numerus.
Exempli gratia, ſi horum quatuor diſparium numerorum ſummã, in dicta pro-
greſſione
arithmetica quis ſumat, principio ab vnitate ſumpto, nempe .1. 3. 5. 7. ſum-
ma
erit .16. numerus quadratus inquam.
Idem de cæteris.
Quamobrem animaduertendum eſt, vnitatem, tam ſumi pro ſui ipſius radicem,
quam
pro quadrato, cubo, cenſo cenſi, primo relato, & alia quauis dignitate.
Nunc autem pro quadrato ſumamus per .o. ſignificato, cogitemusq́ quadratum .o.
includi
quadrato vnitatem ſequenti, quod, vt patet, eſt quatuor vnitatum, ac pro-
priè
primum quadratum numerorum, ex quo etiam nomen accepit, vnde ex ſimi-
litudine
quam cætera quadrata cum hoc primo retinent, ex quaternario denomina-
tionem
acceperunt.
Hocitaq; ſit .o.u.c.e. ita ex communi ſcientia quadrato .o. iun-
gitur
gnomon .e.c.u. conſtans tribus vnitatibus, quare primus gnomon, numero im-
pari
conſtat.
Scimus etiam ex additione numeri binarij ad imparem, numeris di-
ſparibus
ſummam excreſcere, cum propius accedere quã binario nequeant, ex quo
medio
binario, ſibi inuicem ſuccedunt.
Dico igitur quòd quinario ternarium ſub
ſequente
, coniuncto quadrato .o.u.c.e. profertur quadratum, quod in numeris, bi-
narij
quadratum ſequitur, eritq́; ternarij, quodq́; ſignificetur per .o.f. patet enim pri
mo
non differre ab .o.c. præter quam gnomone .b.f.d. qui coniungitur quadrato .o.
c
.
quique duabus vnitatibus maior eſt .e.c.u.
ſcimus gnomonem .e.o.u. æqualem
7159THEOREM. ARIT. eſſe gnomoni .e.c.u. itemq́; gnomonem .b.f.d. æqualem gnomoni .b.o.d. at hic gno-
mon
.b.o.d. ex præſuppoſito, maior eſt gnomone .e.o.u. duabus vnitatibus .b. et .d.
Itaque
etiam gnomon .b.f.d. duabus vnitatibus gnomonem .e.c.u. ſuperabit.
Qua-
re
.b.f.d. erit impar immediatè ſequens ternarium, qui coniunctus quadrato .o.c.
quadratum
ſubſequens componet.
Eadem ratione probabitur de quadrato .o.n. ſe
quenti
.o.f. & gnomone .i.n.a. cum hic ordo ſpeculationis ſit vniuerſalis.
In
quo
cernitur quemlibet gnomonem ſibi contiguũ inferiorem ſemper duabus vni-
tat
ibus excedere, cumque quadrata non niſi gnomonibus ſibi inuicem ſuccedant.
Sed primus .e.c.u. diſpar fuerit, ꝓculdubio etiã neceſſarioq́; cæteri diſpares erũt.
Ex qua ſpeculatione, oritur regula ab antiquis tradita
inueniendi
vltimi numeri diſparis cõcurrentis ad cõpo­
99[Figure 99] ſitionem
alicuius quadrati.
Vt ſi quis ſeire deſideret nu-
merum
vltimum diſparem, quo mediante quadratum .
o
.n.
conſtitutum fuit, quod aliud non eſt quam ſcire
quantus
ſit numerus vltimi gnomonis .i.n.a. æqualis gno
moni
.i.o.a.
Itaque vt ſciamus hunc gnomonem .i.o.a.
patet
duplicandam eſſe radicem .o.e.b.i. dabiturq́, .o.e.
b
.i.
et .o.u.d.a. vbi bis reperitur .o. nos autem tantummo
do
quærimus ſcire gnomonem .i.b.e.o.u.d.a.
Itaque
minor
eſt vnitate duplo radicis, cum unitas .o. bis repe-
tatur
, quæ tamen in gnomone ſemel tantum ſumebatur.
THEOREMA XCI.
CVR ſumma quadratorum, quorum radices ſunt in proportione ſeſquitertia
nempe
.4. ad .3. quadrata ſit.
Exempli gratia, ſumemus quadratum .3. ſcilicet 9. quod in ſummam cum qua-
drato
.4. colligemus, nempè .16. eritq́; quadratum .25. & ita quadratum .6. hoc eſt .
36
.
collectum cum quadrato .8. nempè .64. efficiet quadratum .100. ita etiam qua-
dratum
.9. hoceſt .81. coniunctum quadrato .12. nempè .144. producet quadra-
tum
.225.
In cuius gratiam ſint duo quadrata ſubſcripta .q.o. et .q.a. quorum radices ſint .q.
100[Figure 100] g. et .q.p. hoc eſt .q.g. quatuor vnitatum, et .q.
p
.
trium, ex quo .q.a. erit .16. vnitatum et .q.o.
nouem
.
Ad hæc cogitemus applicari quadra-
to
.q.a. gnomonem .f.s.h. tam amplum ſiue la-
tum
quã gnomon .b.a.g. nempè vt .h. ſit æqua
lis
.g: g. verò differentia ſit qua .q.g. maior eſt .
q
.p.
huncq́; gnomonem .f.s.h. dico ęqualem eſ
ſe
quadrato .q.o. nam ex preſuppoſito .g. terra
dicem
.q.p. ingreditur, & quater .q.g. ex quo,
tres
partes .q.k.p. inter ſe æquales ſunt vnde
etiam
quadratum .q.o. nouem partibus ſuper-
ficialibus
quadratis conſtabit, quarum ſingula
rum
radix æqualis erit .g. cumque præcedenti
theoremate
didicerimus quemlibet gnomo-
nem
quadrati immediatè ſequentis æquę amplitudinis cum gnomone præcedentis,
7260IO. BAPT. BENED. per duab. vnitatibus ſuperficialibus creſcere, quarũ ſingularũ radix æqualis eſt .g. ne
ceſſariò
ſequitur gnomonem .b.a.g. duabus partibus aut vnitatibus gnomonem .d.
o
.p.
ſuperare, ita vt gnomon .b.a.g. ſeptem vnitatibus, aut partibus ſuperficialibus
quadratis
conſtet.
Quare eadem ratione gnomon .f.s.h. conſtabit nouem ſimilibus.
Itaque æqualis erit quadrato .q.o. Quamobrem verum eſt, quòd quadrato .q.o.
coniuncto
quadrato .q.a. proueniet quadratum .q.s. cuius radix ita differet à .q.g. vt .
q
.g.
à .q.p: ex quo tres radices arithmeticè inter ſe continuæ proportionales erunt.
Idipſum dico ſi .q.p. fuerit .6. et .q.g: 8: tunc enim ſingulæ partes .q.k.p.g.h. æquipol
lebunt
duabus vnitatibus, quæ cogitabuntur
101[Figure 101] in ſummam collectæ, ut cum patribus .q.k.p.
g
.h.
integris contemplari liceat.
Idem acci-
det
fi .q.p. erit .9. et .q.g. 12. fingulæ enim par-
tes
.q.K.p.g.h. tripartitæ erunt.
Idcircò dixi
gnomonem
.f.s.h. tam amplum cogitari de-
bere
, quam gnomon .b.a.g. nempè ut .h. æqua
lis
ſit .g.
Idem occurret ſi .q.g. erit .12. et .q.p.
quinque
, quod cum fuerit patebitex præce-
dentis
theorematis ſpeculatione, gnomonem
f.s.h: 25. vnitatibus conſtare, cogitatum am-
plitudinis
ſimplicis vnitatis denominatæ in .q.
p
.
aut .q.g. non amplitudinis gnomonis .b.a.g.
qui
ſeptem vnitatibus latus eſſet.
Cum igitur .
q
.p.
quinque vnitatibus linearibus conſtet ſcimus .q.o: 25. ſuperficialibus conſtare,
collecto
itaque in ſummam quadrato .q.o. cum quadrato .q.a. cognoſcetur quadra-
tum
.q.s. vnà etiam eius radix.
Eadem ratione, alia multa quadrata ſimilia contem-
plari
licebit.
THEOREMA XCII.
CVR propoſito numero pari maiori binario, qui detrahi & in ſummam colli-
gi
debeat ex altero numero quærendo, vt tam reſiduum quam ſumma ſint
quadrata
numerorum integrornm.
Rectè dimidium propoſiti numeri in ſeipſum
multiplicamus
, & quadrato huic addimus vnitatem, eritq́; numerus quæfitus.
Exempli gratia proponitur .12. numerus detrahendus, & coniungendus nume-
ro
inueſtigando, ut reſiduum detractionis, & ſumma ſint quadrati numeri.
Addi-
ta
vnitate ipſi .36. quadrato dimidij, dabitur .37. numerus quæſitus.
Cuius ſpeculationis gratia, ſubſcripta quatuor quadrata cogitemus .g.p: u.i: t.c: n.
K
.
cogitemusq́; quadratum .g.p. eſſe quadratum ſummæ, K.n. verò reſidui ſubtractio-
nis
: u.i. aũt numerum inueſtigãdũ, ex quo gnomon .u.d.i. cognoſcetur ita etiam et .n.
o
.K.
qui inter ſe ſunt æquales.
Iam certi erimus .e.i. eſſe plus quam dimidium gno-
monis
.n.o.K.
Itaque cogitemus rectangulum .r.c. exactum dimidiũ eſſe gnomonis .
n
.o.K.
ex unitatibus ſuperficialibus quarum una erit .m.a.
Cuius numeri quadratum ſit .t.c. vnde etiam cognitum & cum .K.c. ex communi
ſcientia
ſit vnitas linearis,
propterea quod .m.a. eſt ſuperficialis hoc eſt quadrata,
quæ
detracta ex .q.c. dimidio gnomonis .n.o.K. (quamuis lineari) ſupererit .K.q. co
gnita
, numerorum integrorum (nota q.K.i. ſemper minor erit duabus vnitatibus li-
nearibus
& maior vna ex dictis vnitatibus, ut ex te ipſo contemplari potes)
quare .
7361THEOR. ARITH. n.k. ipſius quadratum numerorum integrorum cognoſcetur, cui addito gnomone .
n
.o.K.
cognoſcemus numerum .u.i. quæſitum.
Sed cum nobis hæc via, tenenda propoſitum non fuit, hoc eſt primo loco inue
niendi
quadrati minoris .n.K. ideo ſupereſt probandum gnomonem .t.o.c. vnitati ę-
qualem
eſſe, nempe quadratulo .m.a. quod patebit, ſi conſideremus nos ſumpſiſſe
rectangulum
.r.c. pro dimidio gnomonis .n.o.K.
etenim ſi ſupplemento etiam .n.r. qua
dratulum
æquale .m.a. adderetur, pateret gnomonem .n.a.K. cum dicto quadratulo
collectum
, æqualem eſſe gnomoni .n.o.K: cum duo ſupplementa .m.t. et .m.c. inter ſe
fint
æqualia.
Quamobrem inuento quadrato .t.c. ex dimidio gnomonis cognito,
additur
vnitas, gnomon ſcilicet .t.o.c. ex quo cognoſcitur numerus .u.i. quæſitus.
Quod autem quadratum .g.p. numeris integris conſtet, hac ratione probatur viſum
enim
fuit ſupra quadratum .n.K. verè quadratum eſſe, & numeris integris conſtare,
pariter
etiam .t.c. ſeq́; mutuo conſequi (nam .K.c. eſt vnitas linearis) ex quo gnomon
n.a.K. numero diſpari conſtabit, ex ijs quæ .90. theoremate probata fuerunt.
Itaq;
ex
eodem theoremate neceſſe eſt gnomonem .t.d.c. etiam numero diſpari conſtare,
ita
vt à numero .n.a.K. non niſi duabus vnitatibus differat, nempe vt .c.p. ſit vnitas li-
nearis
, ſed ita reuera eſt, numerus enim .u.d.i. ex præſuppoſito par eſt,
quare nume
rus
.t.d.c. diſpar erit, cum alterum vnitate ſuperet, videlicet gnomone .t.o.c. vnita
ri
æquali, tum .n.a.K. minor eſt .n.o.K. ex eodem gnomone .t.o.c. unitati æquali.
Ita
que
.n.a.K. minor erit .u.d.i. per vnitatem, & minor .t.d.c. per duas unitates, ex quo ſe-
quitur
.g.p. eſſe quadratum integrorũ ex dicto theoremate ac con ſequens quadrato
t.c.
quare .c.p. vnitas erit, & radices .q.K. et .q.p. horum quadratorum numero bina-
rio
inter ſe different.
Vnà etiam ſcienda eſt cauſa, cur numerus propoſitus neceſſa
102[Figure 102] riò binario maior eſſe debeat.
Etenim ipſe
ſit
futurus gnomon .n.o.K. nec poſſit minor eſſe
numero
ternario, vt patet ex .90. theoremate,
idcirco
ſequitur neceſſariò maiorem eſſe bina-
rio
debere.
Quòd ſi diſpar numerus propone-
retur
, nec forma operis nec ſpeculationis mutã-
da
eſſet.
Non erit tamen neceſſarium vt ipſa
quadrata
.n.K. et .g.p. numeris integris conſta-
rent
.
Sæpius enim fractis cõponerentur, quod
ex
.90. theoremate facile erit ſpeculari nihilo-
minus
fractis integris, ipſisq́; collectis cum ſuis
fractis
ſummæ eſſent quadratæ.
THEOREMA XCIII.
CVR propoſitis duobus numeris altero pari, altero verò diſpari, duplo primi
minore
per vnitatem, ſi alium inuenire numerum voluerimus, cui alterum iſto
rum
coniunctum proferat quadratum, & altero detracto, quadratum ſuperſit.
Re-
ctè
datos numeros in ſummam colligemus, quam ſummam in duas quam maximas
poterimus
partes diuidemus, quarum vna pari, altera diſpari conſtet, tum vtran-
que
in ſeipſam multiplicabimus, & quadrato minori, duorum numerorum propo-
ſitorum
quemuis ademus, ex quo cupimus nobis quadratum minus ſupereſſe, & pro
ueniet
nobis numerum quæſitum.
Exempli gtatia, proponuntur numeri .11. et .6. quorum alter alicui numero ad-
7462IO. BAPT. BENED. dendus, alter ex eodem detrahendus ſit, ex quo proferri debeant bina qua-
drata
.
Itaq; numeri illi in ſummam collecti dabunt .17. differentiam minoris quadra
ti
& maioris.
I am ſi ex hoc .17. binas partes fecerimus, altera erit .8. altera .9. qui
bus
in ſeipſis multiplicatis alterum quadratum erit .64. alterum .81. addito itaq; ipſi.
64
. 11. aut .6. pro libito, propoſitum numerum conſequemur.
cui addito .6. vel .11.
dabit
nobis .81. vel ex ipſo detracto .11. vel .6. relinquet nobis 64. in pręſenti autem
exemplo
talis numerus erit, aut .70. vel .75.
Huius autem theorematis ſpeculatio
ex
.90. dependet, quo demonſtratum fuit gnomonem proximè quadratum ſequen
tem
, vnitate duplo radicis minorem eſſe.
THEOREMA XCIIII.
CVR ſi quis cupiat ſummam progreſſionis arithmeticæ quam citiſſimè cogno
ſcere
.
Rectè coniunget vltimo termino vnitatem primum terminum, huius
poſtea
vltimi termini dimidium cum numero terminorum multiplicabit, ex
quo
multiplicationis productum, erit omnium propoſitorum terminorum ſumma,
aut
eundem vltimum terminum iunctum primo, per dimidium numeri terminorum
multiplicabit
.
Nam idipſum eueniet.
Exempli gratia, ſi proponerentur .17. termini in prima progreſſione arithmeti-
ca
naturali, vltimus eſſet .17. cui coniuncta vnitate primo termino ſumma erit .18.
cuius
dimidium cum numero terminorum, nempe .17. multiplicatum cum fuerit,
oritur
productum .153.
Idpſum eueniet, multiplicato dimidio numeri terminorũ
per
vltimum coniunctum vnitati primo termino.
Quod vt ſciamus, cogitemus terminos progreſſionis collocari, vt in figura ſub-
ſcripta
.a.o.n. collocantur, tanquã per gradus, ſumpto principio ab vnitate .n. tum .
u
.t.
atque ita gradatim.
Sic cogitato abſoluto parallelogrammo .q.o. ſciemus aper-
ſummam progreſſionis tanto maiorem eſſe dimidio totius parallelogrãmi, quan
tum
dimidium numeri diametri .a.e.i.c.u.n. requirit.
Nam cum parallelogram-
mum
diuidatur à dlametro in tres partes, diameter vnam occupat, reliquæ verò duę
ambientes
diametrum inter ſe ſunt æquales.
Sumpto itaq; diametro cum altera di
ctarum
duarum partium, patet ſumi pluſquam dimidiũ totius parallelogrãmi.
pro
tanta
portione, quantum eſt dimidiam occupatam à diametro, qui ex diſcretis
reſpondentibus
numero terminorum componatur, conſtat numero æquali eſſe di-
cto
numero terminorum .o.n.
Iam ſi quis multiplicet .a.o. per dimidium .o.n. procul
dubio
, ex prima ſexti aut .18. ſeptimi, orietur dimidiũ numeri parallelogrãmi .q.o.
quod
minus erit ſumma progreſſionis dimidio numeri diametri, aut quod idem eſt
dimidio
.o.n. ſed hoc dimidium .o.n. æquale eſt producto dimidij vnitatis .n. in .o.n.
ex
.20. ſeptimi, cum dimidium .o.n. ſit eius productum in vnitatẽ.
Itaque multipli-
cato
.n.o. per dimidium .o.a. coniunctum dimidio vnitatis .n. oritur ſumma quæſita
propoſitæ
progreſſionis.
Idipſum accidet multiplicata ſumma .o.a. & vnitate .n.
dimidium
.o.n. ex .20. ſeptimi, cum proportio totius ad totum eadem ſit, quæ dimi
dijad
dimidium, ex cauſa permutationalitatis.
Patet etiam in progreſſionibus,
quæ
ab vnitate initium ducunt, ſi fiat aſcenſus per binarium ſumma vltimi termini
cum
primo ſemper duplam futuram eſſe numero terminorum, quod ſequentes figu­
7563THEOREM. ARIT. ras confideranti ſpeculari licebit, Diametros harum figurarum notaui literis ſiue
characteribus
.a.e.i.c.u.n.
103[Figure 103] 104[Figure 104]
THEOREMA XCV.
IN progreſſionibus, quæ ab alio termino quam vnitate incohantur, idipſum vt
monuimus
accidit, hoc tamen notato, quòd ex conſequenti quælibet pars dia-
metri
parallelogrãmi, minimo termino æqualis erit, prout in progreſſionibus quæ
ab
vnitate originem ducunt, ſingulæ partes diametri, vnitati ſui primi termini æ-
quales
ſunt.
At in reliquis progreſſionibus, vt in figura patet, eadem eſt propor-
tio
totius diametri ad .o.n. quæ minimi termini ad vnitatem ex .13. quinti, nempe .
a
.o.
ad .o.n. vt .n.n.n.n. ad .n.
In eiuſmodi progreſſionibus accidit quoque parallelo-
grãmum
à diametro in tres partes diuidi, quarum vnam ipſe occupat, reliquæ ve-
ro
inter ſe æquales ipſum ambiunt.
Ex quo illud etiam ſequitur, productum .a.o. in
dimidium
.o.n. æquale eſſe dimidio parallelogrãmi, quod minus eſt ſumma progreſ-
ſionis
dimidio diametri, quod dimidum ſi inuenire voluerimus, minimum terminũ .
n
.n.n.n.
per dimidium .o.n. multiplicabimus, & ex .18. aut .19. ſeptimi ipſum habe-
bimus
, quandoquidẽ minimo termino per totum .o.n. multiplicato profertur integer
diameter
ex .20. prædicti.
Etenim vt diximus, eadem eſt proportio totius diame-
tri
ad .o.n. quæ minimi termini ad vnitatem.
Ita etiam dico ex dicta .20. ſeptimi.
idem dimidium diametri oriri, ſi quis dimidium minimi termini nempè .n.n. per to
tum
.o.n. multiplicauerit.
Quamobrem qui ſtatim ſummam propoſitæ progreſſionis
cognoſcere
voluerit,
105[Figure 105] ſemper primum termi
num
.n.n.n.n. cum .a.o.
coniunget
, qua ſumma
per
dimidiũ .o.n. mul-
tiplicata
, aut .o.n. per
dimidium
dictæ ſum-
, ex prædictis rationibus propofitum conſequemur.
THEOREMA XCVI.
CVR ſi quis numerum terminorum inuenire velit, cognitis tantummodo pri
mo
atque vltimo, rectè vltimum per primum diuidet, ex quo proueniens
7664IO. BAPT. BENED. numerus quæſitus erit.
Quod intelligendum eſttamen quoties primus terminus differentia terminorũ
eſt
, nempe aſcendens ipſorum ter minorum.
Cuius ratio manifeſtè ſpeculari poteſt in figura præcedentis theorematis. Nam
diuiſa
.a.o. per .n.n.n.n. eadem proportio erit .a.o. ad proueniens, quæ. n .n.n.
n
.
ad vnitatem .n. ex definitione diuiſionis.
At ſuperius dictum fuit ita ſe ha bere .a.
o
.
ad .o.n. vt .n.n.n.n. ad .n. ex quo ſequitur ex .11. et .9. quinti pr oueniens eſſe nume-
rum
quæſitum .o.n.
THEOREMA XCVII.
VBI verò primus terminus, reliquorum non erit differentia. Hac de caufa ne-
ceſſe
eſt detrahere primum ex vltimo, reſiduumq́; per numerum aſcenden-
tem
differentiam ſcilicet, partiri, proueniensq́; vnitati coniungere, quò numerum
terminorum
habere poſſimus.
Scimus etenim tam multas vnitates eſſe in vltimo
terminorum
quot in omnibus interuallis aut differentijs in ſummam collectis ſimul
cum
vnitatibus primi termini, totq́; funt termini, quot interualla ſimul cum pri-
motermino
.
Quare fi minimus terminus interuallo æqualis fuerit. Vltimo per pri-
mum
diuiſo, ex a dductis præcedenti theoremate propofitum confequemur.
Itaq;
primo
termino ex vltimo detracto refiduoq́; per interuallum, hoc eft numerum dif-
ferentiæ
diuifo, proueniens erit numerus terminorum abſque primo quod vnus eft,
coni
uncto quoque dicto prouenienti propoſitum conſequemur.
THEOREMA XCVIII.
CVR fi quis arithmeticæ progreſſionis dato primo & vltimo fimul cum nume
ro
terminorum, afcendentem numerum cognofcere voluerit.
Rectè primuin
ex
vltimo detrahet, refiduumq́; per numerum terminorum excepto vno diuidet.
Huius theorematis ſpeculatio ex .13. theoremate manifeſta crit, nam in præce-
denti
cap. numerus terminorum erat proueniens diuiſionis reſidui ſubtractionis pri-
mi
termini ex vltimo.
THEOREMA XCIX.
CVR ſi quis maximum omnium terminorum dictæ progreffionis cognofcere
voluerit
, dato primo vnà cum numero aſcendenti, numeroq́; terminorum.
Re-
ctè
numerum afcendentem cum numero terminorum excepto vno multiplicabit,
productoq́; primum terminum coniunget.
Cuius quidem theorematis tum ex vndecimo, tum ex ijs quæ præcedentibus ca-
pitibus
dicta fuerunt, aperta eſt ratio.
THEOREMA C.
CVR veteres cupientes obtinere ſummam progreffionis continuæ naturalis,
quæab
vnitate initium ducit, dato vltimo termino tantummodo.
Dimidium
vltimi-termini
toto fequente multiplicabant, productumq́; ſumma quæſita erat.
Exempli gratia, ſi vltimus terminus eiuſmodi progreſſionis fuerit .7. multiplica-
7765THEOR. ARITH. to dimidio ipſius nempe .3. & dimidio, cum numero ipſum terminum ſequẽti, nem
.8. ſumma dictorum terminorum erit .28.
Huius autem ſpeculatio ex .94. theoremate dependet, in quo facilè depræhen-
dere
licet ex figura continuæ progreſſionis naturalis, numerum terminorum maxi-
mo
termino ſemper æqualem eſſe;
ex quo tãtum eſt dimidium numeriterminorum,
quantum
maximi dimidium, tantusq́; eſt vltimus terminus vnitati coniunctus, quan
tus
numerus is, qui vltimum terminum conſequitur.
THEOREMA CI.
CVR antiqui idip fum, quod iam dictum eft, in ea progreſſione, cuius vltimus ter
minus
diſpar eſt ſcire cupientes, numerum integrorum proximè dimidium
maximi
ſequentem ſumebant, quem per maximum multiplicabant, ex quo
ſumma
quæſita oriebatur.
Exempli gratia, ſi dimidium maximi fuiſſet .3. cum dimidio, fumebant quatuor,
& per maximum .7. multiplicabant, ex quo pariter proferebatur ſumma .28.
Cuius ratio ex .20. ſeptimi Euclidis oritur, cum eadem ſit proportio numeri fe-
quentis
ma ximum ad numerum dimidium maximi ſequentem;
quæ maximi ad fuũ
dimidium
, eſt enim dupla.
THEOREMA CII.
TRaditum eſt à nonnullis, à veteribus obſeruatam fuiſſe hancregulam, qua ſci-
re
poſſent ſummam alicuius progreſſionis arithmeticæ diſcontinuæ aut inter
cifæ
, quæ numero pari terminetur.
Multiplicabãt enim dimidiũ vltimi termini per
pro
ximum numerum dimidio dicto maiorem, ex quo inquiebãt ſemper productum
ſummæ
quæſitæ æquale eſſe, ſubijciuntq́; exemplum progreſſionis, quæ à binario in-
choata
crefcit per binarium.
In qua quidem progreſſione non per fe, fed per acci-
dens
regula vera eft.
Hoc eſt, non quia ex ſe vnus ex producentibus numeris dimi-
dium
termini maioris futurus ſit, alter uerò proximè ſequens dimidium, fed quia
vt
dictum eſt .95. theoremate, eadem eſt proportio maximi termini ad numerum
terminorum
, quæ minimi ad vnitatem.
Cumq́ue in præfenti exemplo minimum
ſit
duplum vnitati in eiuſmodi caſu, numerus terminorum, dimidio maximi termini
æqualis
eſt, qui terminorum numerus ex ſe, vt patet, vnus eſt ex producentibus, al-
ter
verò producens numerus, eſt proximè dimidium ſequens, non exſe, fed quia nu
merus
ſequens, dimidium eſt ſummæ maximi, & minimi, quæ per fe alter eſſe de-
bet
producens numerus.
In cæteris enim progreſſionibus, quæ binario non creſcút
regulafal
fa eſt, prout facilè patere poteſt ei, qui ex ſcientiæ legibus ope ſpeculatio-
nis
.95. theorematis ſpeculatus fuerit.
THEOREMA CIII.
ALIAM quoque tradunt regulam, qua veteres vſos fuiſſe dicunt, quo ſum-
mam
ſcire poſſent progreſſionis diſcontinuæ, quænumero diſpari abſolui-
tur
.
Ea autem eſt eiuſmodi. Vltimum terminum in duas quam maximè poterant ma-
ximas
partes diuidebant, quarum vna ſemper altera maior erat, banc autem maio-
rem
in ſeipſam multiplicabant, at que quadratum hoc, ſummam progreffionis effe
7866IO. BAPT. BENED. affirmabant. Quæ ſanè regula, non ſemper, etſi interdum vera ſit.
Sumebant hi exemplum progreſſionis, quæ ab vnitate incohata creſcit per bina
rium
, in qua per accidens euenit vt numerus dimidium vltimi termini proximè ſe-
quens
, nempe è duabus partibus vltimi termini maior, æqualis ſit numero termino
rum
, qui per ſe vnus è producentibus, ex ijs que .94. theoremate diximus, eſſe debet;
alter vero producens, qui per ſe dimidium ſummæ primi & vltimi eſſe debet, per
accidens
pars maior eſt duarum vltimi termini, & alteri producenti æqualis.
Aut alio modo ratiocinemur, dicentes, in huiuſmodi progreſſione dimidium
ſummæ
vltimi termini cum primo, ſemper medium proportionale eſt inter eam
ſummam
& dimidium numeri terminorum, etenim huiuſmodi ſumma numero ter-
minorum
ſemper dupla eſt, prout .94. theoremate tradimus.
Itaque ex .20. ſeptimi,
quadratum
partis maioris, producto ſummæ dictæ in numerum dimidij terminorũ
æquale
erit, quod productum per ſe ſummæ progreſſionis eſt æquale.
At in cæte-
ris
eiuſmodi progreſſionibus fallit regula, vt ex ſupradictis facilè demonſtratur.
THEOREMA CIIII.
PErmultis terminis ad libitum propoſitis, diſpoſitis nihilominus progreſſio-
ne
, aut proportionalitate geometrica continua, ſi minimus ex maximo & exfe-
quenti
minimum detrahatur, reſiduum maximi, eam proportionem ad fum-
mam
reliquorum omnium terminorum retinebit, quam reſiduum ſecundi ad pri-
mum
.
Proponuntur, exempli gratia, quatuor termini .3. 12. 48. 192. continui geome-
tricè
proportionales, ſi primum, hoc eſt minimum, ex ſecundo, & maximo detra
has
, exſecundo ſupererit .9. ex maximo .189. quod ſi minimum per reſiduum maxi
mi
multiplicaueris, hoc eſt .189. orietur .567. tum ſi huiuſmodi productum per .9.
( refiduum ſecundi ) diuiſeris, proueniet .63. quod proueniens æquale erit ſummæ
reliquorum
omnium terminorum, maximo excepto.
Ex quo inferre licet ex .20. ſe
ptimi
eandem proportionem eſſe .189. ad .63. quæ .9. ad .3. aut ſi reſiduum ſecundi
per
ſummam dictorum terminorum multiplicaueris produceturidem .567.
quare
ex
.20. ſeptimi & cætera.
Quod vt ſciẽtificè poſſimus, & in vniuerſum ſpeculari. Quatuor termini propo-
ſiti
, quatuor ſubſcriptis lineis ſignificẽtur .b.i: c.a: f.r: m.s. (quod aũt de his quatuor di
co
de centũmillibus, & eo amplius dicere poſſum.)
Nunc minimus terminus .m.s. ex
maximo
.b.i. detrahatur, ſuperſitq́; .n.i. idemq́; .m.s. ex ſecundo termino .f.r. ſubtra-
hatur
, ſuperſitq́; .o.r.
Dico proportionem .n.i. ad ſummam reliquorum omnium ter-
minorum
.c.a: f.r: m.s. eandem effe, quæ .o.r. ad .m.s.
Quamobrem ex tertio & quar-
to
ſecundus .f.r. detrahat̃, ex tertioq́; ſuperſit .t.a. & ex quarto .e.i. ita etiam tertius .
c
.a.
ex quarto .b.i. ſuperſitq́; .d.i. ſanè
106[Figure 106] ſic ſe habebit .c.a. ad .f.r. vt .c.t. ad .f.o.
vt
quisq; per ſe ſcire poteſt.
Quare ex
19
. quinti ſic ſe habebit .a.t. ad .r.o. vt .
c
.a.
ad .f.r. & permutando ita .a.t. ad .a.
c
.
vt .o.r. ad .r.f. & ſeparando ſic .a.t. ad .
a
.c.
(hoc eſt .f.r.) vt .r.o. ad .o.f. vide-
licet
.m.s.
Idẽ dico de .d.i. ad .a.c. nem-
pe
ſic ſe habebit .d.i. ad .a.c. vt .a.t. ad .
7967THEOREM. ARIT. r.f. hoc eſt .o.r. ad .m.s. ex .11. quinti. Itaque ex communi ſcientia ſic ſe habe-
bit
.d.i. ad .d.b. vt .e.d. ad .e.b: cum .e.d. æqualis ſit .t.a.
Ita etiam vt .e.n. ad .n.b: cum .n.
e
.
æqualis ſit .o.r.
Iam ſi ſic ſe habeat .d.i. ad .d.b. vt .d.e. ad .e.b. permutando quoq; ſic
ſe
habebit .d.i. ad .d.e. vt .d.b. ad .b.e. & compon endo ita .i.d.e. ad .e.d. vt .d.b.e. ad .e.
b
.
& permutando ſic .i.d.e. ad .d.b.e. vt. de .a.d.e.b. nempe vt .e.n. ad .n.b. & permutan
do
ita .i.d.e. ad .e.n. vt .d.b.e. ad .b.n. & componendo ita .i.d.e.n. ad .n.e. vt .d.b.e. et .b.
n
.
ad .b.n. & permutando ſic .i.d.e.n. ad .d.b.e. et .b.n. nempe ad .a.c: f.r: m.s: vt .e.n. ad .
n
.b.
hoc eſt. ut .o.r. ad .m.s. quod erat propoſitum.
THEOREMA CV.
CVR deſideranti ſummam quorumcunque terminorum progreſſionis conti-
nuæ
geometricæ cognoſcere.
Rectè minimus terminus ex maximo detrahen
dus
eſt, reſiduumq́; per denominantem progreſſionis dempta vnitate diuidendum,
prouenientiq́; maximum terminum addendum, ex quo oritur ſumma quæſita.
Exempli gratia, ſi darentur quatuor termini continui proportionales .8. 12. 18.
27
. primum hoc eſt minimum .8. ex vltimo .27. detraheremus:
remaneretq́; .19. qui
per
denominantem progreſſionis, dempta vnitate, diuideretur.
Quo loco animad
uertendum
eſt, quamlibet denominationẽ cuiuſcunque proportionis numerorum
ſupra
vnitatem fieri, nam de proportionibus multiplicibus dubitandum non eſt, &
idipſum
de ſuperparticularibus, & ſuperpartientibus eſt intelligendum, vt in præ-
ſenti
proportio ſeſquialtera inter duos terminos cogitanda eſt, nempe inter vnum
& dimidium, atque vnum.
Seſquitertia autem inter vnum & tertiam partem,
& vnum.
Seſquiquinta inter vnum cum quinta parte, & vnum. De ſuperpartien
tibus
idem aſſero quod de proportione ſuperbipartiẽte tertias appellata, vt .5.
ad
.3. quæ cogitanda eſſet inter vnum duas tertias, & vnum, ſuperbipartiens quar-
tas
inter vnum tres quartas, & vnum, ita vt minor terminus, numerans ſcilicet, ſem
per
ſit vnitas, alter verò denominans.
Idem de cæteris. Quare in præſenti exem
plo
, detracta vnitate ex denominante progreſſionis, ſupererit tantummodo dimi-
dium
, quo diuiſo .19. proueniet .38. qui numerus æqualis erit ſummæ reliquorũ
omnium
terminorum, cui coniuncto vltimo termino .27. dabitur ſumma quæſita .65.
Pro cuius ſpeculatione, quatuor termini ſignificentur, quatuor lineis .m.s: f.r: c.a.
b
.i.
primus autem terminus .m.s. ex vltimo .b.i. detrahatur, reſiduumq́; ſit .n.i. & ex
ſecundo
.f.r. cuius reſiduum ſit .o.r. proportio verò progreſſionis ea ſit, quæ .g.h. ad .
y
.
quo vnitas repræſentatur (ex quo ſic ſe habebit .g.h. ad .y. vt .f.r. ad .m.s.) qua .y. de
tracta
ex .g.h. ſuperſit .h.
Tum erecta
cogitetur
linea .n.u.x. indefinita per
107[Figure 107] pendicularis .b.i. à puncto .n. quę diui
datur
in puncto .x. ita vt .n.x. æqualis
ſit
vnitati .y. & in puncto .u. ita. vt .n.
u
.
æqualis ſit .h. ex quo eadem erit
proportio
.n.u. ad .n.x. vt .h. ad .y. nẽ-
pe
.o.r. ad .m.s.
Nam ſic ſe habeat .
f
.r.
ad .m.s. hoc eſt ad .f.o. vt .g.h. ad .y
hoc
eſt ad .g. permutando quoq; ſic
ſe
habebit .f.r. ad .g.h. vt .f.o. ad .g.
Ita
que
ex .19. quinti .o.r. ad .h. vt .f.r. ad .g.h. ex quo ex .11. eiuſdem .o.r. ad .h. vt .f.o. ad
8070IO. BAPT. BENED. g. & permutando .o.r. ad .f.o. hoc eſt ad .m.s. vt .h. ad .g. hoc eſt .y. Quamobrem ea-
dem
erit proportio .o.r. ad .m.s. quæ .n.u. ad .n.x.
Abfoluantur itaque duo rectangu
la
.x.i. et .u.z. ita tamen vt rectangulũ .u.z. cogitetur ęquale rectangulo .x.i. cuius .x.i.
ſuperficialis
numerus ex communi conceptione lineari .n.i. æqualis erit,
quare ex
eadẽ communi conceptione, numerus ſuperficialis .u.z. lineari .n.i. æqualis erit, qui
quidem
numerus in figura rectangu-
la
ſuperficialis cognitandus erit, cum
108[Figure 108] diuidendus ſit per .h. hoc eſt per .n.u.
ex
quo proueniens ex huiuſmodi di
uiſione
erit numerus .n.z. ex ijs
quæ
.10. theoremate dicta fuerunt.
Sed ex .15. fexti aut .20. ſepti-
mi
eadem eſt proportio .n.i. ad .n.z.
quæ
.n.u. ad .n.x. hoc eſt .o.r. ad .m.s.
videlicet
vt .n.i. ad aggregatum reli-
quorum
omnium terminorum .c.a: f.
r
:
m.s. ex præcedenti theoremate, & ex .11. quinti Euclidis. Itaque ex .9. eiuf-
dem
numerus .n.z. æqualis erit ſummæ trium terminorum .c.a: f. num .s. cui coniuncto
quarto
termino .b.i. propoſitum obtinetur.
THEOREMA CVI.
PRopoſuere veteres quæſita nonnulla de itineribus interq́; hoc vnum fuit. Po-
namus
duos iter agere per eandem viam quorum alter quatuor milliaria ſin-
gulis
diebus conficiat, alter verò prima die milliare vnum, ſecunda duo, tertia tria,
atque
ita ſingulis diebus milliare addit;
quærimus quot dierum ſpacio ſocium con
ſequetur
.
Quamobrem numerus milliarium primi viatoris duplicatur, ſic ſunt .8. milliaria.
ex quo ſemper vnitas detrahicur, quæ in præſenti exemplo erit .7. totq́; dies erunt
quibus
ſocius ſocium conſequetur, & milliarium numerum æqualem abſoluerit.
Cuius rei facilis erit ſpeculatio, ſi ſubſcripta figura diligenter conſideretur, in
qua
primus viator, die prima, quatuor milliaria linea .q.d. ſignificata conficit, at-
que
illa ipſa die alter vnum tantum defignatum per .d. perficit, ita vt primus via-
tor
tribus milliaribus ſocium anteceſſerit, altera verò die fecundus uiator cum duo
milliaria
cõficiat, excedètur à primo duobus milliaribus tantummodo, quę cum tri-
bus
primæ diei quinque erunt;
tertia die ijſdem de cauſis primus ſex tantum millia-
ribus
à ſecundo diſtabit, cum verò quarta die tot ſecundus quot primus milliaria
conficiat
, primus à ſecundo amplius quam antea non diſtabit;
quinta verò cum ſe
cundus
vnum milliare amplius quam primus conficiat.
propius accedit ad primum
vno
ex ſex milliaribus, quibus anteà diſtabat, tum ſexta cum duobus primum ſupe-
ret
, detrahet ex ſex milliaribus præteritæ diſtantiæ tria, ſeptima tandem illa ſex
detraxerit
.
In quo conſiderandum eſt ſecundum viatorem iter agere progreſſio-
ne
arithmetica continua naturali .d.c.f. primum autem per rectangulum .q.f. quarũ
duarum
figurarum .d.o.p.f. pars cõmunis eſſe reperitur, quæ quantitates ſi inuicem
æquales
eſſe debent, neceſſe eſt ſeparatas partes .u.q.n. et .t.i.c. inter ſe æquales eſſe,
& quoniam quarta die (hoc eſt die ſic diſtante à primo, nempè numero milliarium
8171THEOREM. ARITH. primi viatoris) tot milliaria abſoluat vnus
109[Figure 109] quot alter abſque vlla differentia, quæ ſigni-
ficetur
per .o.s. neceſſe eſtitaque ex communi
conceptione
tot dies eſſe poſt .o.s. quotante-
ceſſerant
, vt exceſſus æqualis ſit defectui, qui
ſimul
collecti, iuncta etiam .o.s. duplum erunt
d.s. dempta vnitate, prout facilè in ſubſcripta
figura
qui ſque per ſe ſcientificè poterit ſpecu
lari
.
Quamobrem conſultum erit duplicare
numerum
.o.s. & exduplo vnitatem detrahe-
re
, quandoquidem dies ſupra infraq́; .o.s. cum
die
.o.s. minores ſunt duplo numeri .d.s. aut .o.
s
.
(quodidem eſt) vnitate.
THEOREMA CVII.
QVod ſiſecũdus viator ordinẽ ſecũdæ progreſſionis arithmeticæ ſeruãsiter
agat
, nempe ea quæ ab vno per binarium aſcendit, ſemper numerus dierum
æqualis
erit numero milliarium diurnorum primi viatoris.
In cuius gratiam animaduertendum eſt numerus ne milliarium diurnorum pri-
mi
viatoris par an impar ſit.
Etenim ſi par eſt, primus viator in fine ſingulorum die-
rum
primæ medietatis numeri omnium dierum ſecundum antecedet numero diſpa
ri
milliarium;
altero verò dimidio numero dierum, à ſecundo numero etiam diſpa
ri
præteribitur, vt in ſequenti figura patet.
Nam prima die, ſecundus ex primo
milliare
vnum ex numero pari, qui à primo conficitur detrahit;
ſecunda verò die
idem
ſecundus, duo ſubtrahit milliaria exdiſpari, qui primo reliquus fuerat, ſicq́;
perpetuò
diſpar remanet vſque ad vnitatem, ad quam cum peruenerint, nempe ad
illius
diei exitum, quo primus ſecundum vnitate tantummodò ſuperat, manifeſtè
depræhendetur
ſubſequente dieſecundum vnitate primum ſuperaturum, altera ve
tribus vnitatibus, prout penultima die ſecundus à primo tribus vnitatibus ſupera
batur
.
Quare neceſſe erit, tot diebus ſecundum cum primo iter agere, inchoan-
do
ab ea die, qua fecundus primam ſuperabit, quot egerat dum à primo ſuperare-
tur
, vt ex communi conceptione, media figura .A. depræhendi poteſt.
Quod au-
tem
ſingula dimidia dierum, dimi-
110[Figure 110] dia ſint numeri milliarium diurno-
rum
primi;
patebit exſequenti fi-
gura
, cogitato termino .u.n. vlti-
mo
progreſſionis ſuperatę à primo
vſque
ad vnitatem .e. quiterminus
u.n. coniunctus primo .o. nempe .e.
ſemper
duplũ eſt numeritermino-
rum
.o.n. vt .94. theoremate circa
finem
dictum fuit.
Sed .u.n. cum .e.
numero
æquali conſtat numero
milliarium
diurnorum primi viatoris, ex quo ſequitur totum numerum dierum, quo
rum
.o.n. dimidium eſt, æqualem eſſe numero milliarium diuruorum primi via-
toris
.
8270IO. BAPT. BENED.
THEOREMA CVIII.
AT ſi numerus milliarium primi viatoris diſpar fuerit, ſecundum numero pari
ſemper
ſuperabit, vt facile erit ſequentem figuram conſideranti intelligere,
ex
quo illud ſequetur, futuram quandam diem, qua paria milliaria conficient.
Sit-
q́ue
illa dies .u.n. ſequitur etiã tranſacta ea die, tot diebus vtrique ambulandum eſſe
quot
iter egere anteaquam ad diem .u.n.
peruenirent
, vt tanto numero primus à ſe-
111[Figure 111] cundo ſuperetur, quãto ſecundum primus
ſuperauerat
, vnde totalis numerus .o.f. mi
nor
erit duplo .o.n. vnitate ex communi
conceptione
, ſed ita etiam ſe habet termi-
nus
.u.n. hoc eſt minor duplo .o.n. per .o. vt
94
. theoremate dictum fuit, itaque .o.f. æ-
qualis
erit .u.n. quoderat propoſitum.
THEOREMA CIX.
SIN verò progreſſio ſecundi viatoris, non ab vnitate ſed à binario inchoata,
per
binarium quoque aſcenderet, numerusq́; milliarium diurnorum primi via
toris
par eſſet, abſque dubio quadam die paria milliaria vterq; conficeret, quę ſigni
ficetur
.u.n. qua tranſacta, tot diebus vtrique ambulãdum erit, quot fuerũt primus
ſecundum
ſuperaret, vt totidem alijs pri-
mus
à ſecundo ſuperetur, in qua tamen
112[Figure 112] progreſſione terminus .u.n. ſemper duplus
eſt
numero terminorum .o.n. ex .95. theo-
remate
, totq́; ſunt infra .u.n. termini vſque
ad
.f. quot ſupra.
ex quo illud ſequitur om
nesterminosaut
dies .o.n.f. pauciores eſſe
u.n. vnitate, atque ita præcipit, regula de-
trahendam
eſſe vnitatem ex numero mil-
liarium
diurnorum primi viatoris, ſi dierum numerum habere voluerimus.
THEOREMA CX.
SED ſi in eiuſmodi progreſſione numerus milliarium diurnorum primi viato-
ris
diſpar fuerit, patet quòd primus ſecundum numero diſpari ſuperabit, do-
necad
vnitatem perueniatur vi-
113[Figure 113] ciſſimq́;
primum ſecundus, in-
choando
ab vnitate,
quare nul-
la
vnquã die paria milliaria vter-
que
conficiet, ſit itaque vltima
dies
, qua primus ſecundum vnita
tem
antecedit .u.n. qui terminus
duplus
eſt numero terminorum
o.n. & cum illa die primus ſecun-
dum
milliario antecedat, ſequen­
8371THEOREM. ARIT. te verò à ſecundo milliario vno primus antecedatur, ex communi ſcientia neceſſe
eſt
ſecundum tot diebus primo iter agere quot ſunt .o.n. qui ſimul æquales erunt .
u
.n.
ſed .u.n. minor eft numero milliarium diurnorum primi vnitate .e.
Itaque rectè
ſequemur
regulam, quæ iubet ex numero milliarium vnitatem demere, quo nu
merum
dierum habere poſſimus.
THEOREMA CXI.
SI verò ſecundi viatoris progreſſio per ternarium aſcenderet, ſumpto initio ab
ipſo
ternario, animaduertendum eſt an numerus milliarium diurnorum primi,
ternario
menſuretur necne, etenim ſi menſuretur, tandem aliquando paria millia-
ria
conficient, quæ dies ſit .u.n.
quare ſub
114[Figure 114] u.n. totidem quot ſupra termini erũt,
& .o.n. tertia ſit pars .u.n. ex .95. theo-
remate
.
Itaque tota .o.f. minor erit
duabus
tertijs .u.n. vnitate, vtiam re-
ctè
ſumendæ ſint duæ tertiæ partes .u.n.
ex
quibus vnitas detrahatur ſuperſitq́ue
numerus
.o.f. dierum quæſitorum.
THEOREMA CXII.
CVM verò milliarium numerus p rimi viatoris metirinon poterit à numero
aſcendente
ſecundi, patet nullam futuram diem qua pari milliaria conficient,
quare illa vltima qua primus ſecundum antecedet, vno aut duobus milliaribus an-
tecedet
in præſenti caſu.
Antecedat itaque duobus milliaribus, ſitq́; dies .u.n. & alte
ra
.t.i. ſecundus primum vno milliari ſuperabit, ita quod ſub .t.i. non poterunt plu-
res
integros dies iter agere, quam ambulauerunt ante diem .u.n. hoc eſt vſquequo
ſecundtis
iunctus ſit primo, qui numerus dierum, tertia parte .o.n. ipſius .u.n. vnitate
minor
erit, cum ex .95. theoremate .o.n. ſit tertia pars .u.n. ex quo numerus .o.f. ter-
minorum
aut dierum intergrorum cognitus erit, qui ſi cum numero alcendente
cognoſcetur
, ſtatim ex .99. theoremate deueniemus in cognitionem vltimi diei in
tegri
.s.f. atque ita etiam totius ſummæ progreſſionis ex .95. theoremate.
Iam verò
cognito
numero milliarium diurnorum primi, ſimul cum numero terminorum, aut
dierum
conſequenter nouerimus rectanguli ſummam, hoc eſt productum à primo
viatore
formatum, quarum duarum ſummarum in præſenti caſu ſemper ea, quæ
huiuſmodi
producti eſt, maior erit, cum conſtitutum fuerit ſecundum viatorem à
primo
ſuperari ipſa die .u.n. vno milliari amplius quam ſequente die .t.i. primus à ſe
cundo
ſuperatur, tum pari gradu iter egerunt ſub .t.i. quo ſupra .u.n. ambulauerant.
Hoc animaduertendo, quòd ſi ſumma progreſſionis maior eſſet rectangulo, ex ea
ſumma
neceſſe eſſet numerũ mil
liarium
vltimi termini in ſumma
115[Figure 115] incluſi detrahere, & reſiduo ope-
rari
.
Nunc verò ſummam pro-
greſſionis
exſumma rectanguli à
primo
viatore facti ſubtrahi de-
bet
, reſiduumq́; ſeruari voceturq́;
8472IO. BAPT. BENED. primũ reſiduũ. Ad hæc numerũ milliariorũ, quæ ſecũdus viator die ſeqẽnti .s.f. confi
ciet
ſumat̃, ex quo numerus milliariũ diurnorũ primi detrahatur, reſiduũq́; pariter re
ſeruetur
, voceturq́; ſecundum reſiduum, poſtmodum numerum milliarium primi
vnius
diei multiplicetur per primum reſiduum ſeruatum, productumq́; per ſecundũ
reſiduum
diuidatur .a.c. proueniẽs ( erit iter primi in ſequenti die) iungatur reſi-
ſiduo
primo, tot enim erunt milliaria conficienda a ſecundo ſequenti die, vt
ſeſe
conſequantur.
Vtautem ſciamus quantam partem diei ſeqẽntis, ſingulos itinere agere oporteat,
proueniẽs per .24. horas multiplicetur (ſuppoſito quod ambulãtes nullã requiẽ nec
die
nec nocte capiãt), ꝓductũq́; numerũ milliariorum vuius diei primi viatoris di
uidatur
, ex quo dabitur quãtitas horarũ, & pars horæ, qua cuiq; illa die ambulandũ
eſt
.
Idem accideret ſi primum reſiduum reſeruatum cum proueniente in ſummam
colligeretur
, eaq́; ſumma per .24. horas multiplicaretur, productumq́; per nume-
milliariorum ſequenti die à ſecundo conficiendorum diuideretur.
I dipſum quo-
que
eueniret multiplicato primo reſiduo per .24. & producto per ſecundum reſi-
duum
diuiſo.
Exempli gratia, primus viator diurna milliaria vndecim conficit, ſecundus, pri-
ma
die tria, ſecunda .6. tertia .9. atq; ita deinceps, diuidatur ergo .11. per .3. vnde
pro
numero .o.n. dabitur .3. ſupereritq́; .2.
quare: u.n. ab .e.n. duobus milliaribus ſu-
perabitur
, et .i.t. dictum .e.n. vno milliario, ex quo ante diem .e.u.n. duobus diebus
iter
egerunt, totq́; diebus ambulandum erit poſt .t.i. hoceſt .6. in vniuerſum inte-
gris
.
Ad hęc multiplicato .o.f. hoc eſt .6. per .x.o. hoc eſt .3. habebimus .s.f. milliariorũ
18
. cõiũcto .x.o. primo termino hoc eſt .3. .s.f. hoc eſt .18. vltimo termino, habe
bimus
.21. quo multiplicato dimidio .o.f. hoc eſt .3. habebimus totam ſummam
progreſſionis
.63. ſex dierum integrorum ex .94. theoremate, tum multiplicato .11.
nempe
numero milliariorũ diurnorum primi cum .6. hoc eſt cum .o.f. habebimus pa
rallelogrammum
à primo ſex diebus integris confectum milliariorum .66. ex quo
detracta
.63. ſumma inquam progreſſionis, ſupererit pro primo reſiduo .3. ſumptis
poſtea
milliaribus .21. pro itinere, quod ſecundus die ſequenti .s.f. conficeret, & ex
ijs
detracto numero milliariorũ diurnorum primi, nempe .11. ſecundum reſiduum
erit
10. quod pro diuidenti ſeruabitur.
Iam multiplicato .11. cum primo reſiduo .
3
.
dabitur .33. qui diuiſus per .10. ſecundum reſiduum profert .3. cum tribus decimis,
eritq́ iter à primo viatore ſequenti die conficiendum, hoc etiam ipſum proueniens
cum
primo reſiduo .3. coniunctum, dat .6. cum tribus decimis, quod eſt iter ſecundi
viatoris
illa ſequenti die.
Ad inueniendam autem quantitatem diei, qua vtrique
ambulandum
eſt, perinde erit multiplicare proueniens .3. & tres decimas per .24. ho
ras
, & productum per .11. dimidium iter primi viatoris partiri, ac multiplicare ſum
mam
.6. & tres decimas cum .24. horis, productumq́ diuidere per .21. hoc eſt periter
ſecundi
viatoris ſequentis diei, vtrinque enim ſemper ſeptem horæcum .12. minu
tis
prouenient.
Idipſum accidet multiplicato per .24. horas primo reſiduo .3. pro-
ductoq́; diuiſo per ſecundum reſiduum .10.
Quarum ſpeculationum gratia, totum iter parallelogrammi primi viatoris die-
rum
integrorum fignificetur linea .n.e. ſumma verò progreſſionis ſecundi linea .f.m.
parallela
.n.e. eritq́; .f.m. minor .n.e.
Conſtituamus deinde à termino .f.n. (majoris
intelligẽtię gratia) vtranque perpẽdiculariter duci, ꝓducatur deinde .n.e. donec .e.
d
.
æqualis ſit itineri diurno primi viatoris, item etiam producatur .f.m. donec .m.K.
æqualis
ſit itineri à ſecundo confecto ſequenti die vltimum integrum progreſſio-
8573THEOREM. ARITH. nis, ex quo .m.k. prolixior erit .e.d. ex præſup poſito. Poſtmodum .m.e. et .k.d. dua-
bus
lineis rectis coniungantur, quæ productæ concurrentin puncto .b. ducatur pari-
ter
.e.g. à puncto .e. parallela .b.k. et .m.a: e.h. et .b.q. parallelæ .f.n. ex quo .f.m. æqua-
lis
erit .n.a. et .m.h: a.e. et .h.q: e.o. et .g.k: e.d. et .f.q: n.o. ex .34. primi Eucli.
vnde pro
portio
.m.h. ad .h.q. erit vt .m.g. ad .g.k. quandoquidem vtraque æqualis eſt propor-
tioni
.m.e. ad .e.b. ex .2. ſexti, ſed cum .m.k. et .g.k. notæ ſint, pariter cognoſcetur .m.
g
.
ſecundum reſiduum, cum etiam notæ ſint .n.e. et .n.a.
Itaque cognoſcemus .a.e. hoc
eſt
.m.h. cognitis verò .m.g: g.k. et .m.h. ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cognoſcetur .h.
q
.
erit igitur .a.e. aut quod idem eſt .m. hprimum reſiduum, et .m.g. ſecundum, et .h.
q
.
aut .e.o. proueniens, et .n.o. et .f.q. itinera vtriuſque viatoris inter ſe æqualia.
Nec verò prætermittenda eſt ſpeculatio vltimæ rationis inueniendæ quantitatis
diei
, quæ conſtat ope diuiſionis producti .m.h. in .24. per .m.g.
Ea autem eiuſmodi
eſt
.
Probatum fuit ſic ſe habere .m.h. ad .h.q. ut .m.g. ad .g.k. Itaque componendo
ſic
ſe habebit .m.q. ad .h.q. vt .m.k. ad .g.k. & permutando .m.q. ad .m.k. vt .h.q. ad .g.
k
.
Sed cum ſic ſe habeat .m.h. ad .h.q. vt .m.g. ad .g.k. permutando ſic ſe habebit .m.
h
.
ad .m.g. vt .h.q. ad .g.k. itaque
ex
.11. quinti ita .m.h. ad .m.g. vt .
116[Figure 116] m.q.
ad .m.k. ex quo permutando
m.h. ad .m.q. vt .m.g. ad .m.k. ſed
.m.k. ſit motus toti diei reſpon
dens
, ſecurè dicere poterimus, ſi
m.g. talis eſt reſpectu horarum .
24
.
ſignificatarum per .m.k. qualis
117[Figure 117] erit .m.h. & quo
parti dieire-
ſpondens
:
quæ
poſtmodũ erit .
m
.q.
quæ, vt di-
ctũ
fuit, talis eſt
reſpectu
.m.k.
qualis
.m.h. re-
ſpectu
.m.g.
Reli
quę
duæ ſpecula
tiones
priorum
modorũ, vna &
eadem
eſt, facilisq́; per ſe mediocriter intelligenti.
Eodem modo reliquæ omnes
progreſſiones
ſecundi viatoris rectangulo primi conferri ex hoc theoremate
poterunt
.
THEOREMA CXIII.
PRoponitur & aliud, primum ſcilicet viatorem iter incipere diebus aliquot an-
ſecundum, primum tamen lentius, quàm ſecundum ambulare, & utrunque
eorum
certa quædam milliaria conficere.
Iam ſiſcire voluerimus in quot diebus
ſeſe
conſequentur, uulgaris regula iubet, inſpici quot milliaria primus ſolus iter a-
gens
confecerit, tum animaduerti differentiam diurnam motus vnius ab altero, atq;
milliarium
numerum primi viatoris ſoli abundantis per hanc differentiã diuidi, pro
ueniens
autem erit numerus dierum quæſitus.
8674IO. BAPT. BENED.
Exempli gratia, ſi primus octo diebus antequam ſecundus iter arripuiſſet, con-
feciſſetq́; fingulis diebus .20. milliaria, tum ſecundus .25. quotidie perfeciſſet, mul
tiplicandus
eſſet numerus .8. cum .20. ex quo darentur .160. milliaria à primo ſolo
ambulãte confecta, quibus diuiſis per .5. differentiam motuum diurnorum, daretur .
32
.
numerus quæſitus dierum.
Cuius ratio apertiſſima eſt. Sint enim duo rectanguli .a.n. et .u.i. æquales inter
ſe
, quibus motus itinerarium ſignificentur, quorum .a.n. ſit primi, et .u.i. ſecundi, præ
tereà
. a.c. numerum milliarium diurnorum primi .et .u.e. ſecundi, ex quo .a.c. minor
erit
.u.e. per .o.e. atque ita .o.e. co-
gnoſcetur
.
Tum .c.o. numerum dierũ
118[Figure 118] primi ſoli iter agentis denotet, cũq;
conſtituamus
.a.n. æqualem eſſe .u.i.
o
.i.
ęqualis erit .o.a. atque .o.a. cogni
tus
ex ſuis producentibus .a.c. et .c.o.
itaque
.o.i. etiam cognitus, qui diui-
ſus
per latus cognitum .o.e. dabit .e.
i
.
cognitum numerum ſcilicet dierum, quibus ſecundo ambulandum eſt, vt primum
conſequatur
.
APPENDIX THEOREM. CXIII.
AB hoc theoremate ſumpſi ordinem illius operationis, numeris mediantibus, ad
inueniendam
exactam temporis quantitatem, ſeu interuallum, tranſit, vel in
tercedit
inter vnam mediocrem coniunctionem & aliam proximam ſequentẽ duo
rum
planetarum, vt patet in epiſtola noſtra ad Illuſtrem Bernardum Trottum con-
tra
Benedictum Altauillam repræhenſorem Ephemeridum.
Verum tamen eſt
cum
praxis huiuſmodi theorematis ſit multiplex, viſum fuit vnam proponere, quę
non
ita perſpicua ſit, ſed ſubobſcura, non quòd aliquid voluerim latere illum ami
cum
mihi dilectiſſimum, cui priuatim omnes modos prius oſtenderam, ſed vt cere-
brum
illius mei aduerſarij in laberintum conijcerem inextricabilem vt feci, quam-
uis
modus ille egregius etiam ſit, vt nunc oſtendam.
In dicta epiſtola igitur mente cogitaui medium motum tardioris planetæ, pu-
ta
ſaturni, illius temporis quo velocior planeta, ſcilicet Iupiter, percurrit ſuo medio
motu
totum zodiacum, incipiendo ambo eodem temporis puncto, nec non ab vna
eorum
media coniunctione, hoc eſt ab eodem zodiaci puncto, in quo coniunctę fue
runt
eorum lineæ mediorum motuum, vbi inueni vi regulæ de tribus, quòd Satur
nus
ſpacio dierum vnius mediocris reuolutionis Iouis, qui ſunt .4328. progreditur
medio
motu gra .145. min .4. hoc eſt min .8704. pofito quòd ipſe Saturnus perficiat
vnam
mediam reuolutionem ſpacio dierum .10740. vt dixi.
Incipiendo igitur ite
rum
Iupiter aliam reuolutionem percurrere, reperto Saturno per min .8704. ante
ipſum
ſpacio .4328. dierum, certus eram hos dies ſignificatos eſſe à linea .a.u. vel .c.
o
.
(æquales enim inuicem ſunt) in figura huiuſmodi theorematis, & quòd rectangu
lum
.a.o. præbebat ſummam graduum .145. min .4. hoc eſt min .8704. et quòd .a.c.
vel
.o.u. ſignificabat iter vnius diei ipſius Saturni, et .u.e. iter vnius diei Iouis.
Cogi-
temus
nunc .u.x. ſignificari dies .30. & à puncto .x. productam eſſe .x.f. parallelam ipſi
u.o.e. vnde certi erimus rectangulum .e.x. ſignificare iter Ionis ſpacio temporis die-
rum
.30. rectangulum verò .o.x. iter Saturni eodem temporis interuallo, vnde rectan­
8775THEOREM. ARIT. gulum .e.x. erit minutorum .149. & ſecundorum .43. et .o.x. minutorum .60. & ſecun.
20
. vt in dicta epiſtola, vnde rectangulum .o.f. erit min .89. & ſecun .23. & quia re-
ctangulum
.o.i. æquale eſt rectangulo .a.o. ergo .o.i. ſimiliter continebit min .8704.
Nunc
quia .a.c. vel .o.u. denotat iter vnius diei Saturni et .u.e. vnius diei Iouis vt di-
ximus
ergo .u.o. erit minutorum .2. ſecun .o. & tertiarum .40. videlicet tertiarum .
7240
.
ſuppoſito periodo totaliipſius Saturni dierum .10740. et .u.e. erit minutorũ.
4
. ſecun .59. & ter .27. vel circa hoc eſt tertiarum .17967. vnde .o.e. erit tertiarum .
10727
.
Nuncſi dixerimus cum .o.e. tertiarum .10727. dat .o.u. vel .a.c. (nam tam
vna
quam altera eſt tertiarum .7240.) quid dabit .a.u. vel .o.c. (quia tam vna quam
altera
eſt partium .4328.) clarum erit quòd dabit .o.n. vel .u.t. uel .e.i. quia tam vna
quam
altera erit partium .2921. quæ partes coniunctæ cum fuerint cum partibus ip-
ſius
.a.u. dabunt totam .a.t. partiũ .7249. quæ erunt tot dies, hoc eſt periodus quæſita.
Alia methodo ſimiliter poſſumus idem cognoſcere, ſcilicet dicendo ſi rectangu
lum
.f.o. quod eſt minutorum .89. & ſecun .23. hoc eſt ſecundorum .5363. dat rectan
gulum
.o.x. minutorum .60. & ſecun .20. hoc eſt ſecun .3620. quid dabit .a.u. partium
4328
. vnde veniet .u.t. partium .2921. ſimiliter, eo quod eadem proportio eſt rectan
guli
.f.o. ad .o.x. quæ .e.o. ad .o.u. ex prima ſexti, vel .18. 19. ſeptimi ſeu .15. quinti.
Poſſet etiam aliquis dicere ſi .f.o. dat .o.x. quid dabit .o.a. vnde veniet .o.t. quo
diuiſo
per .o.u. daret .u.
t
.
quia ita ſe habet .a.o.
119[Figure 119] ad .o.t. vt .a.u. ad .u.t. ex
ſupra
hic iam citatis.
Sed ego, in dicta epi-
ſtola
, aliam methodum
obſeruaui
, quæ eſt multi
plicando
minuta .8704.
per
.30. productumq́; di
uiſi
per min .5363. quaſi
dicens
.
Si .o.f. dat .o.i.
quid
dabit .e.f.
Vnde exiam ſupradictis propoſitionibus veniet .e.i. & quia permu-
tando
ita ſe habet .o.f. ad .e.f. vt .o.i. ad .e.i. ideo dixi, ſi min .89. cum ſecun .23. dat .30
quid
dabit min .8704.
THEOREMA CXIIII.
PRoponunt veteres & quærunt aliud, nempe ſi duo iter agentes, eodem in-
ſtanti
diuerſis è locis proficiſcantur, ita vt vnus locum vnde alter profectus
eſt
petat, alterq́; altero velocior ſit, quo loco quãue die ſibi inuicem occurrent.
Exempli gratia, Patauio profectus quidam Taurinum petit, eodem inſtanti al-
ter
Taurino Patauium, eſtq́; iter .400. milliarium, ille tamen vndecim diebus, hic
9
. motu regulari & vniformi appellit.
Quærimus quot milliaria quiſque confece-
rit
, quotq́; diebus iter egerit, priuſquam ſibi occurrant.
Iubent nos veteres dies vtriuſque inuicem inter ſe multiplicare, eritq́; produ-
ctum
.99. item etiam in ſummam colligere, eritq́; ſumma .20. per quam productũ.
99
.@diuiſerimus dabuntur dies .4. cum .19. vigeſimis vnius diei.
At pro milliaribus
vtriuſque
, pro eo qui .11. diebus iter conficit, multiplicatis .400. per .4. et .19. vigeſi
mis
, tum diuiſo per .11. dabitur numerus .180. à Patauio Taurinum & è contra, qui
8876IO. BAPT. BENED. Taurino Patauium .220. quæ quiſque confecerit.
Dum autem hæc ſpecularer attentius, occurrit alius ſoluendi modus, quamuis pro
lixior
.
Is aũt eſt eiuſmodi. Accipiat̃ medietas minoris numeri dierũ, nẽpe .4. dimi
dio
, & per .400. multiplicetur, productũq́; per maiorẽ numerum diuidemus ſcilicet
11
. ex quo dabuntur .163. cum .7. vndecimis, quo proueniente è dimidio millia-
riorũ
itineris .200. detracto, & preſiduũ nẽpe .36. .4. vndecimis multiplicato pro
ductoq́; diuiſo ſummã dimidij itineris .200. primo prouẽtu .163. et .7. vndecimis
nẽpe .363. ct .7. vndecimas partes ꝓueniet .16. .4. vndecimis, quo cõiuncto pri
mo
ꝓueniẽti, primus .180. milliaria cõfecerit, quæ è .400. detracta ſupererunt .220.
pro
itinere ſecundi, qui .9. diebus iter abſoluit.
Ad hæc ſi tempus ſcire velimus
eius
, qui .11. diebus appellit, multiplicabimus .11. cum .180. productumq́; per .400.
partiemur
, prouenientq́; paulominus, quam quinque dies, nempe .4. cum .22. horis
et
.48. minutis, quod tempus vtrique viatori inſeruiet, quandoquidem idipſum pro
uenit
multiplicato .220. per .9. productoq́; per .400. diuiſo.
Huius autem, qui à me pręſcribitur modi, ſpeculatio talis eſt. Duo termini duabus
rectis
lineis æqualibus, & parallelis inter ſe .b.p. et .d.q. ſignificentur, quæ alijs dua-
bus
.b.d. et .q.p. coniungant̃, quę parallelæ & æquales erunt ex .33. primi, quibus ſigni
ficentur
duo itinera.
Viator primus quidem lentior à. b in .d. velocior à .q. in .p. Iam
ſumatur
punctũ medium .q.p. ſitq́; .k. & ab ipſo ad .b.d. ducatur .k.i. parallela .d.q. aut
b.p. quod idem eſt, ex quo .b.i. æqualis erit .p.k. ex .34. primi, hoc eſt .q.k. certiq́; eri-
mus
primum viatorem .q.p. in dimidio itineris .q.k. occurrere non potuiſſe viatori ip
ſius
.b.i. quandoquidem eo tempore, quo is, qui ipſius .q.p. mouetur per .q.k. (cum ſit
altero
velocior) qui per .b.d. nondum peruenerit ad .i: Sit itaque punctum .c. in quo
lentior
reperitur, dum velocior eſt in .k. ex quo certi erimus eos inter .c. et .i. ſibi in-
uicem
obuiaturos eſſe.
Cogito deinde rectam lineam ductam .k.c. & ut ſe habet .i.
c
.
ad .c.b. ita cogito ſe habere. u .k. ad .k.q. & à puncto .u. ad .i. duco .u.i. quæ, vt manife
ſtum
eſt, lineam .k.c. in puncto .e. interſecabit, à quo cum fuerit ducta .e.o.n. parallela
k.i. habebimus .o.n. ea ſcilicet puncta, quibus occurrunt ſibijpſis, nam cum ſic ſe ha
beat
.q.k. ad .k.u. vt .b.c. ad .c.i. et .k.u. ad .k.n. vt .c.i. ad .c.o. ex ſimilitudine manifeſta
triangulorum
, ex æqualitate proportionum ſic ſe habebit .q.k. ad .k.n. vt .b.c. ad .c.o.
& permutando ita .k.q. ad .b.c. vt .k.n. ad .c.o. & cum .q.k. et .b.c. ſpatia ſint tempori-
bus
æqualibus confecta, itaque ſpatia .k.n. et .c.o. ex communi ſcientia temporibus
æqualibus
conficientur.
Quare rectè dicimus, ſi tot diebus à .b. in .d. aliquis peruenit, quot milliaria in di
midio
temporis alterius viatoris idem conficiet?
ex quo ex regula de tribus quam
primum
iter .b.c. cognoſcitur, quo ex dimidio itineris detracto, remanet .c.i. cogni
tus
, ſed cum probauerimus .q.k. ad .k.n. hoc eſt .i.o. (cum ſint æquales inter ſe, ex .34
primi
) ita ſe habere. vt .b.c. ad .c.o. permutando ſic ſe habebit .q.k. ad .b.c. vt .i.o. ad .
o
.c.
& cõponendo .q.k. et .b.c. ad .b.c. vt .i.c. ad .c.o.
quare rectè dicimus ſi ſumma .q.
k
.
cum .b.c. dat .b.c. quid dabit .i.c?
nempe dabit .c.o. quo coniuncto cum .b.c. cogno-
ſcitur
.b.o. quo .b.o. detracto ex .b.d. remanet cognitus .o.d. nempe .q.n. illi æqualis
ex
.34. prædicta.
Gratia verò tẽporis patet nos rectè dicere ſi .b.d. tot diebus abſolui
tur
, aut etiam .q.p: quo .b.o. aut .q.n. abſoluetur.
Vt autem ad ſpeculationem regulæ antiquorum deueniamus, cogitemus pri-
mum
viatorem ipſius .q.p. velociorem eo, qui per .b.d. iter agit, tanto tempore præ
tergredi
.p. quanto alter .b.d. abſoluit.
Is autem ad .g. pertingat, ex quo eadem pro-
portio
ſpacij .q.g. ad .q.p. hoc eſt .b.d. dabitur, quæ temporis quo .b.d. abſoluitur ab
8977THEOREM. ARIT. eo qui per .b.d. ad tempus quo .q.p. ſolum, qui per .q.p. mouetur (mo-
tus
enim continui regulares & vniformes conſtituuntur) eadem ratione ita-
que
ea erit proportio .q.k. ad .b.c. quæ .q.g. ad .q.p. & cum probatum
fuerit
ita ſe habere .k.n. ad .c.o. vt .q.k. ad .b.c. itaque ſic ſe habebit .k.n. ad .c.
o
.
ut .q.g. ad .q.p. probatum etiam fuit ita ſe habere .q.k. ad .k.n. vt .b.c. ad .c.o. ex quo
componendo
ſic ſe habebit .q.n. ad .n.k. vt .b.o. ad .o.c. & permutando ita .q.n. ad .b.
o
.
vt .k.n. ad .c.o. hoc eſt .q.g. ad .q.p. nempe vt tempus lenti ad tempus velocis itine-
rantis
, & componendo ita .q.n. cum .o.b. hoc eſt .b.d. ad .b.o. vt ſumma dierũ vnius &
alterius
viatoris ad minorẽ numerũ dierũ velocioris.
Breuiter itaq; obtineremus in
tentũ diceremus ſi ſumma dierum, quibus iter agitur à viatoribus talis eſt (20) re-
ſpectu
numeri dierum velocioris(9) qualis & cui reſpõdebit totum ſpacium .b.d?
vn-
de
dabitur ſpacium .b.o. vnde reliqua omnia nobis cognita emergent.
Cum autem antiquorum regula iubeat numerum dierum vnius, cum numero die-
rum
alterius multiplicari, ac poſtmodum diuidi productum per ſummam omnium
dierum
, rectèid quidem fit.
Nam cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.o. vt ſumma omnium
dierum
ad minorem quantitatem dierum velocioris ſcilicet.
Ideo temporis propor
tio
à mobili per .b.d. abſumpti ad tempus mobilis per .b.o. eadem erit, quæ ſummæ
omnium
dierum ad namerum dierum velocioris.
Quarerectè dicemus, ſi eiuſmodi
ſumma
talem reſpectum habet ad minorem numerum dierum, quem numerum re-
ſpiciet
dies ipſius .b.d?
ex quo proferentur dies reſpondentes ipſi .b.o. cætera iam
dicta
fuerunt.
Huiuſmodi verò ſpeculationis am-
120[Figure 120] plitudo ad pauciſſima verba reduci
poteft
, in cuius gratiã ſit ſubſcripta
figura
pars inquã pręcedentis, in qua
cõſtituamꝰ .o.n. locũ eſſe quo ſibi
viatores
obuient, ex quo ſpacium .q.
n
.
à ſuo viatore conficietur, eo ipſo
tempore
, quo à ſuo ſpacium .b.o. ita
que
eadem erit proportio .q.n. ad .b.
121[Figure 121] o. quæ .q.g. ad .b.d. eadem erit inquã
proportio
.d.o. ad .o.b. quæ numeri
dierum
eius, qui à .b. pergit in .d. ad
numerum
dierum alterius qui à .q. in
p
. proficiſcitur, & componendo eadẽ
erit
proportio .d.b. ad .b.o. quæ ſum-
dierum ad minorem numerum ipſorum, & eadem quæ dierum .b.d. ad dies
ipſius
.b.o.
THEOREMA CXV.
CIRCA hæc ipſa itinera aliud quæritur peruenuſtè, in quo quæſito illud con­
ſtituitur
cognitum eſſe, nempe interuallum inter duo diuerſa loca, è quibus
duo
viatores eodem inſtanti vt ſibi occurrant proficiſcuntur, certaq́; milliaria ſin-
gulis
diebus conficiant, ita tamen, ut unus ordinatè plura altero ambulet, quæritur
deinde
quoto die ſibi occurrent.
Hoc autem fit diuiſo toto interuallo locorum per
ſummam
milliariorum quam vterque quotidie abſoluit.
9078IO. BAPT. BENED.
Exempli gratia, diſtant loca .100. milliaribus à ſe inuicem; vnus autem viator
ſingulis
diebus .15 milliaria, alter .10. conficit ſi ita que .15. cum .10. coniũgamus,
ſumma
erit .25. per quã diuiſis milliaribus .100. totius interualli proferetur .4. nume
rus
quæſitus dierum quo viatoribus iter agendum erit prius quam ſibi obuient.
In cuius ſpeculationis gratiam totum iter ſignificetur linea .a.u: primi autem via-
toris
iter diurnum fit .a.e. & alterius .u.o: terminus verò .i. ſit occurſus ita vt eodem
tempore
, alter ſpacium .a.i. alter .u.i. confecerit, ſpacij autem .a.e. tempus
per
.b. ſignificetur & tempus ſpacij .u.o. per .c. quæ tempora erunt inter ſe
æqualia
, porrò ſpacij .a.i. tempus per .d. & ſpacij .u.i. per .f. denotetur, æquali
bus
inquam, ex quo eadem proportio erit .a.e. ad .a.i. quæ .b. ad .d. et .o.u. ad .u.i. quæ
c
. ad .f. vnde permutando eadem erit proportio itineris ipſius .b. ad iter ipſius .c. quæ
itineris
.d. ad iter ipſius .f. & componendo itinerum ipſius .b.c. ad iter .c. vt itinerum .
d
.f.
ad iter .f. & permutando itinerum
b.c. ad itinera .d.f. vt itineris .c. ad. iter
122[Figure 122] ipſius .f. meritò itaque quęritur ſi itine
ra
.b.c. dat itinera .d.f. quid dabit tem-
pus
.c. nempe dabit tempus .f. ſed .c.
ſignatum
eſt pro vna die,
quare in pro
poſito
exemplo .f. ſignificabit 4: dies.
THEOREMA CXVI.
ANtiquorum monumentis traditum motum reperimus diuinandi numeri quem
quis
mente conceperit, quo iubemus eum qui numerum cogitauerit, dimi-
dium
cogitari numeri addere cogitato, atque huic ſummæ, rurſus eiuſdem ſummę
dimidium
adiungere, tum quærimus, quoties noueratius totam eam ſummam ingre
diatur
patefactis fractis ſi qui occurrant.
Exempli gratia, ſi quis cogitaſſet numerum .12. iubebant huic dimidium addi,
nempe
.6. ex quo ſumma erat .18. iubebant, præterea dimidium huius ſummæ nem-
pe
.9. toti ſummæ adiungi, quæ fuiſſet .27. adhæc quærebant ſibi patefieri quoties .
9
.
ſummam prædictam ingrederetur, & ſi in prima aut ſecunda diuiſione aut etiã
vtraque
, fracti reperirentur, ac quoties nouem vltimam ſummam ingrediebatur,
toties
.4. multiplicabant.
Quod ſi in prima diuiſione fracti erant, vltimo produ-
cto
addebant vnitatem;
ſin verò in ſecunda, binarium adiungebant, ex quo exa-
ctus
numerus quæſitus proferebatur.
Pro cuius rei ratione ſit .a. numerus cogitatione compræhenſus et .e. ipſius .a. cum
eiuſdem
medietate ſumma et .i. ipſius .e. cum eiuſdem medietate itidem ſumma, vn
de
.i.e.a. tres numeri continui proportionales, in ſeſquialtera proportione euadent.
Sumantur nunc tres numeri .4. 6. 9. in eadem proportionalitate. Vnde ratione ęqua
litatis
proportionum ita ſe habebit .i. ad .a. quẽadmodum .9. ad .4. & permutando .i.
ad
.9. quemadmodum .a. ad .4. & ob id .4. toties ingredietur .a. quoties .9. ipſam .i.
Sed
quia
ſępe contingit, vt in ſecunda diuiſione, aut in ambabus etiam diuiſionibus re
periantur
numeri fracti, anima duertendum eſt numerum animo compræhenſum .a.
ſcilicet
aut parem aut imparem ſemper futurum.
Si par eſt, aut multiplex erit ad .
4
.
aut non.
Si priori modo ſe habebit in duabus diuiſionibus, nullus numerus fra-
ctus
admittetur, ſed ſi ad .4. multiplex non erit, à multiplicibus per duo ſemper dif
feret
, & ſi per medium diuidatur, eiuſdem medietas impar ſemper erit, vnde prior
9179THEOR. ARITH. quoque ſumma par nunquam exiſtet, cuius medietatem aliquod medium ſemper
ingredietur
, & hanc ob cauſam poſterior ſumma cum fracto ſemper erit, & nume-
rum
deſumptum maiorem eſſe multiplici ad quatuor per duo ſignificabit.
At verò ſi inter impares reponatur, aut eorum erit qui ſuperant multiplicem
ipſius
quatuor per vnum, ſeu per tria, quod hinc innoteſcet, nempe, quia ſi eorum
erit
qui dictum multiplicem per vnum tantum vincunt, ſua medietate ipſi numero
addita
, & præter hanc medietatem medio etiam integro adiuncto, tota hæc prior
ſumma
in numerum parem ſemper euadet, vnde in poſteriori ſumma nullus nume-
rus
fractus conſpicietur, & hanc ob causã multiplici ipſius .4. vnitas ſemper addetur.
Sed ſi numerus deſumptus, in ſerie eorum, qui multiplicem ipſius .4. pertria ſu-
perant
, collocabitur, hinc compræhendetur, quia primæ ſummæ numerus cum
media
vnitate ſemper impar erit, vnde ſecunda ſumma præter integras cum me-
dia
vnitate nobis ſemper occur ret.
Quod autem nobis prodere faciamus an in prima diuiſione, & ſecunda numerus
aliquis
fractus conſiſtat, tantum nobis inſeruit, quò deueniamus in cognitionem
an
numerus animo conceptus multiplicem ipſius .4. per vnum, per duo, aut tria ſupe
ret
.
Quòd etiam medias eas vnitates ad integros reducere faciamus, tantum re
fertur
, vt minori labore eum, qui numerum imaginatione compræhendit, onere-
mus
, quia reuera numerus impar nunquam mente concipi poteſt, quin aliquis fra-
ctus
in prima diuiſione, aut in ſecunda ſequatur:
vnde à numeris imparibus, qui mul
tiplicem
ipſius .4. unitatis tantum exceſſu ſuperãt, poſterior ſumma quarta parte
vnitatis
, præter integros numeros, & ab imparibus qui dictum multiplicem ipſius .
4
.
per tria vincunt, cum tribus quartis vnius integri præter integras vnitates ;
& à
numeris
paribus, qui multiplicem ipſius .4. per duo cum medietate vnitatis præter
integros
ſemper procedit.
Ita cum is qui numerum ſecum conſiderat, ſi in nume-
123[Figure 123] ris fractis verſatus eſſet, qui eum in-
terrogat
prudenter ſe gereret, ſi ſibi
declarari
curaret, quis nam ex fractis
ſu
per integros ſecũdæ sũmæ remane
ret
, quia quot quarta integros ſecũ-
ſummæ ſuperaret, per totidẽ inte
gros
numerus mente conceptus multiplicem ipſius .4. ſuperaret.
THEOREMA CXVII.
VNDE fiat, vt ſi ali quis quemuis numerum animo compræhendat, eique
numero
alium etiam quemlibet numerum propoſitum addat, & à tertia par
te
huius ſummæ tertiam partem numeri imaginati detrah et, reſiduum ſecundi nu-
meri
adiuncti, ideſt propoſiti, tertia pars erit.
Vt exempli gratia, ſi aliquis de numero denario cogitaſſet, huicq́; .24. adderet,
vnde
triginta quatuor efficerent, detra hendo nunc tertiam partem numeri de na-
rij
cogitatione concepti, ideſt .3. cum tertia parte vnius, à tertia parte huius ſum
ideſt
ab vndecim & vna tertia parte remanerent .8. ideſt tertia pars numeri additi.
Id quod mihi inter iocos in honeſtorum hominum cætu in mentem venit.
Pro cuius ratione, prior numerus ima
124[Figure 124] ginatus mediante linea .a.b. et is, qui ad-
ditus
eſt intercedẽte linea .b.d. è directo
9280IO. BAPT. BENED. coniunctis denotetur, et .b.e. ſit tertia pars ipſius .a.b. prioris numeri im aginati, et. b
c
. tertia pars ipſius, b.d. ſecundi numeri propoſiti, vnde coniunctum vnius harum ter
tiarum
partiũ alia ſit .e.c. quod quidem .e.c. eſſe tertiam partem ſummæ duorum
primorum
ideſt .a.d. aſſero.
Iam manifeſtum eſt ipſius .d.b. ad .b.c. eſſe quemadmo
dum
ipſius .a.b. ad .b.e. vnde viciſſim ipſius .d.b. ad .b.a. erit quemadmodum ipſius .b.
c
.
ad .b.e. & coniunctim ipſius .d.a. ad .a.b. quemadmodum ipſius .c.e. ad .e.b. & viciſ-
ſim
ipſius .d.a. ad .c.e. quemadmodum ipſius .b.a. ad .b.e. ſed proportio ipſius .b.a. ad .
b
.e.
eſt tripla, ergo ea quæ eſt ipſius .a.d. ad .e.c. erit quoque tripla;
vnde ſumendo .e.
c
.
pro tertia parte ipſius .a.d. & ab ipſa .e.c. ſubtrahendo tertiam partem ipſius .a.b.
tertia
pars ipſius .b.d. remanebit .b.c.
Aut alio hoc modo, ſupponendo .e.c. tertiam partem ipſius .a.d. et .e.b. ipſius .a.
b
.
exiſter.
Dico .b.c. tertiam partem ipſius .b.d. futuram: quia ſi totius .a.d. ad totum
e.c. ita ſe habet, quemadmodum .a.b. à toto .a.d. diffecti atque diuulſi ad .e.b. à toto .
e
.c.
diſractum, ergo ex .19. lib. quinti Eu-
125[Figure 125] clid. reſidui .b.d. totius .a.d. ad reſiduum .b.c.
totius
.e.c. erit, vt totius .a.d. ad totũ .e.c. at-
que
hic quidem modus rem propoſitã ſpe-
culandi
mihi aptior & commodior eſſe videtur.
THEOREMA CXVIII.
PErmulta ac varia problemata inuenerunt antiqui, longioribus verò vijs reſolu-
ta
, proptereà quòd ſemper nobis ſuccurrit breuiſſima in vnaquaque re ex-
plicatio
.
Vt exempli gratia, proponitur numerus .50. diuidendus in tres tales par-
tes
, quod ſecunda dupla ſit primę, & adhuc eam ſuperet tribus vnitatibus, tertia ve
æqualis ſit aggregato primæ cum ſecunda, & amplius ipſum aggregatum ſuperet
quinque
vnitatibus.
Ad hoc autem quæſitum ſoluendum antiqui vtebantur regula falſi, quod reuera
breuiori
modo poteſt ſolui, videlicet detra hendo illud ſecundum exceſſum, quin-
que
ſcilicet ex .50. ita vt nobis .45. remaneret, cui medietati hoc eſt .22. cum dimidia
vnitate
, ſi addiderimus illud quinque habebimus .27. cum dimidia vnitate pro ter-
tia
parte quæſita ipſius numeri .50. deinde ſi ab eodem numero .22. cum dimidia
vnitate
detractum fuerit illud .3. primus exceſſus datus, remanebit .19. cum dimi-
dia
vnitate, cuius tertia pars, hoc eſt .6. cum dimidia vnitate, prima pars, ex tri-
bus
quæſita erit, quæ quidem ſi detraxerimus ex .19. cum dimidia vnitate, reli-
quum
erit .13. cui additus fuerit primus exceſſus ideſt .3.
Iam propoſitum re-
ſultabit
nobis .16. pro ſecunda parte quæſita.
Ratio verò huiuſmodi operationis talis eſt, ſit verbi gratia totalis numerus pro-
poſitus
ſignificatus per lineam .a.b. cuius ſecundæ partis numerus datus ſignificetur
per
lineam .g. & numerus tertiæ partis propoſitus per lineam .h.
Nunc dempta .h. ex
a.b. nobis cognita, remanebit .f.a. qua quidẽ per æqualia imaginatione diuiſa in pun
cto
.e. & ipſi .e.f. addita .f.b. tota .e.b. nobis cognita erit, quæ quidem tertia pars
quæſita
ipſius .a.b. erit, proptereà quòd .a.e. (quæ æqualis eſt ipſi .e.f.) erit ſumma
primæ
, & ſecundæ partis.
Detrahatur poſteà. g. ex .e.a. & remanebit .d.a. cuius ter
tia
pars ſit .a.c. quæ quidem prima pars quæſita erit, & nunc cognita, & ita .c.d.
cognita
, cui cum addita fuerit .d.e. habebimus ſecundam partem quæſitam, quæ
compo-
9381THEOREM. ARIT. componitur ex .d.c. dupla .ad .a.c. pri-
126[Figure 126] mam partem, & ex .d.e. numero dato.
tertia verò pars .e.b. compoſita eſt ex .
e
.f.
æquali .a.e. hoc eſt æquali compoſi-
to
ex prima, & ſe cunda parte, & ex .f.
b
.
numero dato vt proponebatur.
THEOREMA CXIX.
INter alia problemata ab antiquis inuenta, hoc etiam ponitur. Aliquis inter-
rogat
quot ſint horæ, alius verò reſpondit tot eſſe, quot duæ tertiæ præteriti
temporis
ſimul iuncta cum tribus quintis futuri temporis totius dieri naturalis effi-
ciunt
.
Nunc quæritur quot ſint horę.
Antiqui, hoc etiam problema ſoluebant mediante regula falſi, ſed mihi alio mo
do
ſoluendum eſſe dictum problema videtur.
Accipio enim ex quinque, tres vni-
tates
, pro parte futuri temporis, quas quidem in tres vnitates præteriti temporis
duco
, vnde proueniunt mihi nouem vnitates, quod productum coniungo quin-
que
futuri temporis, vnde veniunt .14. vnitates, ex regula poftea de tribus ita dico
ſi
ex .14. mihi prouenit .9. quid reſultabit ex .24. & prouenient mihi horæ .15. cum
tribus
ſeptimis vnius horæ, hoc eſt minuta ferè .26.
Pro cuius ratione, quinque vnitates, feu partes temporis futuri ſignificentur à
linea
.e.u. quarum trium ſigniſicentur a linea .e.i. ſumpta deinde ſit linea .e.o. æqualis
lineæ
.e.i. et .e.a. tripla ſit ad .o.e. vel ad .e.i. quod idem eſt, vnde .a.e. compoſita erit
ex
.a.o. (hoc eſt ex duabus tertijs ip ſius .a.e.) & ex o.e. (hoc eſt ex. tribus quintis ip-
ſius
.e.u.) vnde .a.u. ad .a.e. eandem rationem obtinebit, quæ .14. ad .9.
propterea igi
tur
poſſumus recte ratiotinari
127[Figure 127] fi .14. nobis dat .9. quid dabit .24.
qui
quidem .24. nobis dabit .15.
cum
min .26. quod rectè factum
erit
ex .20. ſeptimi Euclidis.
THEOREMA CXX.
SVpponunt etiam antiqui tres ſocios nummos habere, quorum ſumma primi &
ſecundi
cognita ſit, item ſumma primi & tertij cognita & ſumma ſecundi &
tertij
item cognita, at que ex huiuſmodi tribus aggregatis veniunt in cognitionem
particularem
vniuſcuiuſque illorum.
Gemafriſius ſoluit hoc problema ex regula ſalſi. At ego tali ordine progredior.
Sit verbi gratia, ſumma primi cum ſecundo .50. & ſecundi cum tertio .70. & primi
cum
tertio .60. harum trium ſummarum accipiantur duæ quæuis, vt puta .50. & .70
quæ
coniunctæ ſimul dabunt .120. à qua ſumma detrahatur reliqua, ideſt .60. &
reſtabit
nobis .60. cuius medietas erit .30. hoc eſt numerus nummorum ſecundi
ſocij
quo numero detracto à .70. hoc eſt à ſumma ſecundi cum tertio remanebit .40.
hoc
eſt numerus tertij ſocij, & hic numerus deſumptus à .60. reſiduus erit nume-
rus
primi ſocij.
9482IO. BAPT. BENED.
Pro cuius ratione conſideremus triangulum hic ſubnotatum .a.b.c. cuius
unumquodque
latus ſignificet ſummam duorum ſociorum, vtputa latus .a.b. ſignifi-
cet
ſummam primi cum ſecundo, latus verò .b.c. ſummam ſecundi cum tertio, la-
rus
autem .a.c. ſummam primi cum tertio, et .a.e. ſeu .a.o. ſit numerus primi ſocij, et .
e
.b.
vel .b.u. ſit ſecundi ſocij, et .c.u. ſeu .c.o. ſit tertij, cum autem .a.e. æqualis ſit .a.o.
128[Figure 128] et .b.e:æ qualis .b.u. et .c.u. æqualis .c.o.
ex
ſuppoſito ſi dẽpta fuerit ſumma ſeu
latus
.a.c. datum ex aggregato laterum .
a
.b.
cum .b.c. reliquarum ſummarum, re
linquet
nobis cognitum aggregatum
ex
.b.e. cum .b.u.
Quare & eius medic-
tas
.b.e. ſiue .b.u. nobis cognita erit, qua
detracta
exſumma .b.a. relinquetur no
bis
cognitus numerus .a.e. detracto ve-
ro
numero .a.e. hoc eſt .a.o. ex .a.c. ſum-
ma
, ſeu latus, aut .b.u. ex .b.c. remanebit
o.c. ſeu .c.u. cognitus.
THEOREMA CXXI.
HAC etiam methodo hoc facere poſſumus non ſolũ de tribus ſocijs, ſed etiã
de
omnibus quotquot volueris, vt exempli gratia,
129[Figure 129] ſint ſex ſocij .a.b.c.d.e.f. quorum ſumma per binos co-
gnita
, vtputà ſumma numeri .a. cum .b. cognita nobis ſit,
& ſumma numeri .b. cum .c. & ſumma .c. cum .d. & ſum-
ma
.d. cum .e. & ſumma .e. cum .f. neceſle eft etiam ſcire
ſummam
duorum vno relicto, vtputa ſummam .a. cum
c
. vt poſſimus triangulum .a.b.c. conſtituere.
Vnde ex
præmiffa
, cognitus numerus nobis erit vniuſcuiuſque .a.
b
.c
.
Quapropter dempto numero .c. ex ſumma .c. cum
d
. & numero .d. ex ſumma .d. cum .e. & numero .e. ex ſum
ma
.e. cum .f. habebimus intentum.
THEOREMA CXXII,
CVM aliquando, illud quod Archimedes inuenit, vt furtum Regiab aurifa-
bro
in regia corona factum, quemadmodum ſcribit Vitruuius, proderet, con-
templarer
, mihi etiam viſum eſt, vt aliquem modum ſcientiſicum inueſtigarem, quo
proportio
auri ad argentum, quod in aliquo propoſito corpore exipſis miſto cogni
ti
ponderis cognoſci poſſet.
Et cum multos diuerſis temporibus excogitarim offi-
cio
meo deeſſe nolui in ijſdem literarum monumentis mandandis, quorum hic
vnus
erit:
propoſita nobis ſint tria corpora .A.M.V. æqualia inter ſe, ſed diuer-
ſarum
ſpecierum materiei, vtputa quod .A. ſit argenteum, & omogeneum .V. ve-
aureum omogeneum, & M. mixtum exauro, & argento, ideſt heterogeneum,
cupimusergo
ſcire iuſtã quantitatem auri & argenti, quæ eſt in ipſo corpore .M.
miſto
.
Ita igitur faciamus. Videamus primum quantum ſit pondus vniuſcuiuſque
ipſorum
corporum, ponamus autem pondus corporis .V. auri eſſe vt .234. pondus
9589THEOR. ARITH. autem corporis .M. miſti .vt .216. argentei verò .A. vt .156. detrahatur nunc pon-
dus
.A. ex pondere .V.
Reliquum erit .78. quod vocetur prima differentia ſeruan-
da
, dematur etiam pondus .M. ex pondere .V. reliquum erit .18. pro ſecunda diffe-
rentia
, etiam ſeruanda, multiplicetur poſteà pondus .A. per ſecundam differen-
tiam
, productum verò diuidatur per primam differentiam.
Vnde in præſenti exem
plo
proueniet nobis .36. quiquidem prouentus erit quantitas argenti ipſius corpo-
ris
miſti .M. quo etiam detracto ex pondere totali ipſius .M. reliquum erit quanti-
tas
auri eius corporis, hoc eſt .180.
In cuius operationis ſpeculatione, aliquid natura ſua prius cognitum præcedere
oportet
hoc eſt, quod omnia corpora omogenea eandem proportionem obtinent
inter
quantitates, quam inter pondera.
Quo ſuppoſito denotetur corpus .A. li-
nea
.o.a. corpus autem .V. linea .o.c. & corpus .M. linea .e.u: ſed .e.o. ſignificet par-
tem
argenti, et .o.u. partem auri in corpore miſto .M. vnde ex communi conceptu
habebimus
.o.e. æqualem .u.c. cum ex hypotheſi .e.u. æqualis ſit .o.c. et .a.o. ſimiliter.
Significetur poſteà pondus .a.o. ab .f. & pondus .e.u. ab .b.x. & pondus .o.c. ab .f.g. pon
dus
verò .o.e. ab .b. pondus autem .o.u. ab .x. pondus enim .u.c. ab .b.d. et .g. ſit diffe-
rentia
, qua .f.g. maior eſt .f: et .d.
130[Figure 130] differentia qua .b.d. maior eſt .b.
Vnde ex ratione omogeneitatis ea
dem
proportio erit .a.o. ad .e.o. vt .
f
.
ad .b. et .o.c. ad .u.c. quæ .x.b.d. ſeu
f.g. (quodidem eſt) ad .b.d.
Quare
ex
.11. quinti eadẽ erit proportio .
f
.
ad .b. vt .f.g. ad .b.d. & permutan-
do
ita erit .f. ad .f.g. vt .b. ad .b.d. &
ſeparando
ita .f. ad .g. vt .b. ad .d.
Sed .g. cognita nobis eſt, vt differentia in
ter
.f. g, et .f: cognita nobis eſt etiam .f: cognoſcimus itidem .d. vt differentiam inter .
x
.b.d.
et .b.x. quapropter cognoſcemus .b. ex .20. ſeptimi Eucli. & ſic .x. reſiduum.
ex .b.x.
THEOREMA CXXIII.
NVNC ex methodo præcedentis propoſiti deuenire poſſumus in cognitio-
nem
veræ quantitatis auri, & argenti confuſi in corona Hieronis conſtituen-
do
primum duo corpora ſimplicia æqualia inter ſe, & coronæ hoc modo videlicet,
immergendo
coronam, ſeu corpus miſtum in aliquod vas aqua plenum, & diligen-
ter
colligere aquam, quæ ex eo effundetur, poſteà verò oportet, aliud vas inuenire
præciſæ
capax illius a quæ collectæ, in quod demum infundatur tantum auri, & po-
ſteà
tantum argenti, quantum ſieri poteſt, vnde vnumquodque horum duorum cor
porum
ſimplicium æquale erit mixto, ſeu coronæ, & ſic quod dictum eſt in præce-
cedenti
theoremate exequemur.
THEOREMA CXXIIII.
SED vt breuiori methodo idem præſtemus, quod in antecedenti propoſito di-
ctum
eſt, quædam theoremata præmittenda ſunt, videlicet quòd quotíeſcunque
fuerint
tria corpora, quorum duo inuicem æqualia ſint in quantitate, ſed diuerſa-
9684IO. BAPT. BENED. rum ſpecierum materiæ, tertium verò corpus maius, vel minus ſit in quantitate vtro-
que
illorum, ſed eiuſdem materiæ vnius quod vis illorum, ponderis verò alterius,
sẽper eadem proportio erit inter pondera æqualium corporum, quæ inter quãtita-
tem
corporis inæqualis, & eam quæ vnius cuiuſuis æqualium.
Exempli gratia, ſit .b. corpus aliquod aureum æquale corpori .u. argenteo, ſit
etiam
corpus .a. argenteum maius corpore .b. vel .u. ſed ponderis eiuſdem, quod au-
ri
.b.
Tunc dico eandem eſſe proportionem ponde-
131[Figure 131] ris .b. ad pondus .u. quæ eſt magnitudinis .a. ad ma-
gnitudinem
.u.
Quod ratiocinemur hoc modo, nam
cum
proportio corporeitatis .a. ad corporeitatem .u.
eadem
ſit, quæ ponderis .a. ad pondus .u. ex ratione
omogeneitatis
, ponderis verò .b. ad pondus .u. ex .7.
quinti
, eadem quæ ponderis .a. ad pondus .u. ideo ex
11
. eiuſdem proportio ponderis .b. ad pondus .u. eadem erit, quæ corporeitatis .a.
ad
corporeitatem .u. vel ad corporeitatem .b. quæ æqualis eſt alteri.
THEOREMA CXXV.
QVotieſcunque nobis propoſita fuerint duo corpora cuiuſuis magnitudinis æ-
que
ponderantia, ſed diuerſarum ſpecierum materiæ, cum ſcire volueri-
mus
proportionem ponderum illarum ſpecierum inter ipſas hoc modo faciemus.
Sint exempli gratia, duo nobis propoſita corpora .a. et .b. (vt dictum eſt) quæ ſi
fuerint
æqualium magnitudinum inter ſe, clarum erit quod quæritur, ſed inæqua-
lia
erunt, immergatur unumquodq; eorum in vas aqua plenum, & collecta ſit aqua
effuſa
ab vnoquoque illorum,
tunc vnaquæq; iſtarum aquarum æqualis magnitudi-
nis
erit ſui corporis impellentis, & proportio ponderoſitatis illarum eadem erit,
quæ
earum magnitudinum ex omogeneitate, quapropter ſi vnamquamque illarum
ponderabimus
, habebimus propoſitum ex præcedenti theoremate.
THEOREMA CXXVI.
SED cum ſcire voluerimus pondus alicuius magnitudinis aquæ æqualis alicui
corpori
ponderoſo, breuiſſimus modus erit ponderando ipſum corpus tam in ae-
re
, quàm in aqua, & quia ſemper leuius erit in aqua,
tunc differentia ponderum ip-
ſius
corporis, erit pondus quæſitum, hoc eſt vnius corporis aquei æqualis magnitu-
dinis
magnitudini corporis propoſiti ex .7. propoſitione lib. Archimedis de inſi-
dentibus
aquæ.
Quare ex præmiſſis quotieſcunque immerſa fuerint in aquam dicti vaſis duo cor
pora
æquè ponderantia, ſed diuerſarum ſpecierum, vt dictum eſt, proportio pon-
deris
aquæ maioris ad pondus aquæ minoris magnitudinis eadem ſemper erit, quæ
ponderis
minoris corporis ad pondus alicuius corporis eidem æqualis, ſpeciei verò
maioris
, vel eadem proportio ponderis alicuius corporis æqualis maiori, ſpeciei ve
minoris ad pondus ipſius maioris.
Vt puta ſit corpus .a. argenteum æqualis ponderis corpori .b. aurei, & corpus .u.
argenteum
æqualis magnitudinis corpori .b. aurei, corpus verò .n. aureum æqualis
magnitudinis
corpori .a. argentei, corpus verò .f. aqueum æqualis magnitudinis cor-
9785THEOREM. ARIT. pori .a. argentei, corpus autem .e. aqueũ æqualis ma-
132[Figure 132] gnitudinis corpori .b. aurei.
Tunc dico proportio-
nem
ponderis .f. ad pondus .e. eadem eſſe, quæ pon-
deris
.b. ad pondus .u. vt in præcedenti theoremate
iam
dictum eſt, vel quæ ponderis .n. ad pondus .a. ex
11
. quinti Euclidis.
Proptereà quòe ponderis .
n
.
ad pondus .a. eft vt poderis .b. ad pondus .u. eo
quòd
permutando ponderis .n. ad pondus .b. eſt vt
ponderis
.a. ad pondus .u. ex corporum omogenei-
tate
, & ex æqualitate magnitudinum corporum antecedentium & conſequentium.
THEOREMA CXXVII.
SCire etiam nos oportet, quòd quotieſcumque fuerint duo corpora aquea, quo-
rum
vnum æqualis magnitudinis ſit alicui miſto, quod quidem miſtum graue
ſit
tam in aere, quàm in aqua, alterum verò corpus aquem æqualis ſit magnitudi-
nis
alicui corpoli ſimplici, quod quidem corpus ſimplex æqualis ponderis ſit dicto
corpori
miſto.
Tunc proportio ponderis aquei, cuius magnitudo æquatur magni
tudini
corporis miſti, ad pondus corporis aquei, cuius magnitudo æqualis eſt ma-
gnitudini
corporis ſimplicis, eadem erit, quæ proportio ponderis alicuius corpo-
ris
ſimplicis, cuius magnitudo æqualis ſit magnitudini corporis miſti ſuperius dicti,
ſed
ſpeciei corporis ſimplicis iam dicti, ad pondus dicti miſti.
Exempli gratia, ſit corpus aqueum .e. magnitudinis æqualis corpori .m. mixto,
corpus
verò aqueum .i. æqualis magnitudinis ſit corpori ſimplici .a. quod quidem
corpus
.a. æqualis ponderis ſit cum corpore .m. & corpus .u. ſit æqualis magnitudinis
cum
corpore .m. ſed ſpeciei corporis .a.
Tunc dico proportionem ponderis .e. ad
pondus
.i. eãdem eſſe, quæ ponderis .u. ad pondus .m. primum nulli dubium eſt, quin
eadem
proportio ſit magnitudinis .e. ad magnitudinem .i. quæ magnitudinis .m. ad
a
. ſed .m. ad .a. eſt vt .u. ad .a. ex .7. quinti
quare
ex
.11. eiuſdem proportio .e. ad .i. erit vt .u. ad .a.
133[Figure 133] de ipſius magnitudinibus loquendo, ſed propor-
tio
ponderis .u. ad pondus .a. eadem eſt, quæ ma
gnitudinis
.u. ad magnitudinem .a. ex omogenei-
tate
.
Idem dico de pondere .e. ad pondus .1. Qua-
re
proportio ponderis .e. ad pondus .i. eadem erit
quæ
ponderis .u. ad pondus .a.
Sed ponderis .u.
ad
pondus .m. eadem eſt quæ ponderis .u. ad pondus .a. ex .7. quinti, ergò ex .11.
eiuſdem
proportio ponderis .e. ad pondus .i. eadem erit, quæ ponderis .u. ad pon-
dus
.m. quod eſt propoſitum.
THEOREMA CXXVIII.
NVNC ad cognoſcendam proportionem duarum diuerſarum ſpecierum in
corpore
miſto propoſito, tribus corporibus aqueis mediantibus, quæ quidẽ
corpora
æqualium magnitudinum ſint alijs tribus corporibus vnius & eiuſdem pon
deris
, quorum vnum ſit mixtum, reliqua verò duo ſimplicia, ſed ſpecierum mixti,
hoc
ordine procedemus.
9896IO. BAPT. BENED.
Sint exempli gratia, tria corpora æquè ponderantia, & vnumquodque illorum
ſitquinque
librarum, quorum vnum ſit aureum, aliud argenteum, reliquum verò
mixtum
ex ijs duobus metallis, vnde corpus aureum ſimplex minus erit, & argen
teum
maius corpore mixto, quod nulli dubium eſt, ſit nunc pondus corporis aquei
ęqualis
corpori aureo, librarũ .3. aquei verò ęqualis miſto, ſit librarũ 3. quarta par
te
, aquei demum æqualisargenteo, librarum .4. cum dimidia, vnde exijs, quæ in præ
cedenti
theoremate, & in .126. theoremate diximus, ſi imaginatione concipiemus
alia
duo corpora ſimplicia, auri, & argenti, ſed æqualium magnitudinum mixto,
habebimus
proportionem ponderis aurei ad pondus corporis mixti vt triũ librarum
cum
quarta vnius ad .3. libras, & proportio ponderis mixti ad pondus argentei erit,
vt
proportio librarum .4. cum dimidia ad tres libras cum quarta parte vnius libræ,
& proportio ponderis aurei ad pondus argentei vt librarum .4. cum dimidia ad li-
bras
.3: hoc eſt aurei ad mixtum, vt .13. ad .12. & mixti ad argenteum, vt .18. ad .13.
& aurei ad argenteum, vt .3. ad .2. ideſt, vt .18. ad .12.
Nunc inueniantur duo numeri ita inter ſe proportionati, vt .3. ad .2. habentes ta-
men
inter ipſos numerum ita proportionatum ad maximum, vt .12. ſe habet ad .
13
.
& ita proportionatum ad minimum, vt ſe habet .18. ad .13. quod hoc modo in-
ueniemus
, multiplicabimus .18. per .12. & proueniet nobis .216. pro numero me-
dio
, poſteà multiplicabimus .18. per .13. & proueniet .234. pro maximo, demũ multi
plicando
.12. per .13. proueniet .156. pro minimo, ita quod .234. correſpondebit
ponderi
corporis aurei:
216. verò ponderi mixti, et .156. ponderi argentei æqua-
lium
magnitudinum.
Cum autem proportiones horum trium corporum inuenerimus, ſi ordinem theo
rematis
.122. ſequemur, habebimus quod quærebamus, & inueniemus in præſenti
exemplo
proportionem ponderis auri ad pondus argenti in corpore mixto eſſe, vt .
180
.
ad .36. ſed quia ſuppoſitum fuit corpus mixtum eſſe quinque librarum, propte-
reà
dicemus.
Si .216. hoc eſt toti corpori mixto correſpondent quinque libræ tunc
parti
.180. hoc eſt auro in ipſo corpore mixto, correſpondent libræ .4. cum duabus
vncijs
, ex regula detribus, reſiduum verò quinque librarum, ideſt vnciæ decem,
correſpondent
parti .36. hoc eſt argento in dicto corpore mixto.
Sed ſi tria corpora dicta fuiſſent inuicem ita proportionata, vt .40. 47. 60. tunc
proportio
auri ad argentum in corpore mixto eſſet vt .13. ad .7. quapropter pon
dus
mixti fuiſſet .120. librarum,
tunc aurum ipſius eſſet librarum .78. argentum ve-
librarum .42. ex eadem regula.
Pro quarum rerum ſpeculatione nil aliud oportet nunc dicere cum ſatis dictum à no
bis
ſuperius fuerit, vno excepto, hoc eſt rationem reddere, qua motus fui ad inue
niendos
illos .3. numeros ita inter ſe diſpoſitos, vt dictum eſt, quæ quidem ratio fuit,
vt
haberemus .3. numeros ita inter ipſos ordinatè diſpoſitos, vt ſunt pondera trium
illorum
corporum æqualium magnitudinum.
Proptereà quòd quamuis inter pri-
mos
.3. numeros ponderum corporum aqueorum eædem fuerint proportiones pon
derum
corporum metallicorum, nihilominus medius numerus extra proprium lo-
cum
, & inordinatè inueniebatur, reſpectu extremorum, vnde medius numerus in
ſuo
vero ſitu inter .18. et .12. fuiſſent .16. .8. tertijs decimis, ſed vt fractorũ incom
moditatem
euitemus, præcepi, vt multiplicarentur extrema per .13. vnde produ-
cti
fuerunt numeri .234. et .156. in eadẽ proportione, quæ eſt .18. ad .12. ex .18. ſepti
mi
, iuſſi etiam multiplicari .18. per .12. vt nobis prodiret .216. ad quem numerum,
numerus
.234. ita ſe haberet, ut .13. ad .12. ex .19. ſeptimi, quod autem ita ſit propor­
9987THEOREM. ARITH. tionatus .216. ad .156. vt .18. ad .13. maniteſtum eſt exijſdem, nam tam .18. quam .
13
.
multiplicatus fuit per .12.
THEOREMA CXXIX.
ALIVD proponitur problema hoc modo: ſupponitur obſidio alicuius loci, vbi
alimento
ad nutriendos .10000. homines ſufficiunt pro quinque menſibus tan-
tum
, ſed quia eum locum obſidione non liberari putatur niſi .18. menſibus exactis,
quæritur
, quot homines eo tempore illis alimentis nutriri poſſint, hoc eſt .18.
menſibus
.
Præcipitregula, vt multiplicetur primus numerus, hoc eſt hominum .10000. cum
ſecundo
, hoc eſt menſium quinque, productum verò diuidatur per .18. hoc eſt men-
ſium
,
tunc proueniet .2777. cum .7. nonis.
Cuius operationis ratio eſt hæc, ſint exempli gratia duo hic ſubſcripta producta
ſuperficialia
.a.n. et .o.u. inuicem æqualia, ſed tal@ figura delineata, vt proportio .u.
x
.
ad .x.o. ſit, vt .10000. ad quinque, & proportio a.x. ad .x.o. ſit vt .18. ad quinque,
ct
.x.n. ſit nobis ignota, quæ quidem eſt illa, quæ indagatur, ita vnumquodque
iſtorum
productorum ſignificabit alimentum, et .u.x. ſignificabit numerum homi-
num
.10000. qui quidem homines comederent totum alimentum .u.o. ſpacio tem-
poris
.x.o. quinque menſium, proptereà quòd u.o. ſupponitur productum eſſe ab .
u
.x.
in .x.o.
Deinde ſupponẽdo .a.x. tem
134[Figure 134] pus eſſe .18. menſium, ergo .x.n. ſignifi-
cabit
numerum hominum, qui eo tem-
poris
ſpacio ali poſſunt, hoc eſt .x.a. ali-
mento
.n.a. eo quòd .a.n. producitur ex .
n
.x.
in .a.x. vnde ex .15. ſexti, ſeu ex, 20.
ſeptimi
proportio .x.u. ad .x.n. eadẽ erit,
quę
.a.x. ad .x.o. quapropter rectè factum
erit
accipere productũ .u.o. quodidem
eſt
in quantitate, quod productum .2. n. & ipſum diuidere per .a.x. vnde nobis
proueniat
.n.x.
THEOREMA CXXX.
QVotieſcunque nobis propoſitum fuerit inuenire tertium terminum, trium ter
minorum
continuè proportionalium armonicæ proportionalitatis, quo-
tum
duo nobis cogniti ſint, ita agemus.
Sint, exempli gratia, tres termini .q.p: a.g. et .e.c. continuæ proportionalium at
monicæ
proportionalitatis, quorum .q.p. maior et .a.g. medius ſint nobis cogniti,
cum
ergo voluerimus tertium .e.
c
.
cognitum nobis eſſe:
a.g. detra-
135[Figure 135] hatur ex .q.p. differentia verò .d.
p
.
addatur .q.p. quorum ſumma
erit
.q.o. cognita, qua mediante
diuidatur
productum, quod ex .a.
g
.
in .d.p. exurgit, & proueniet no
bis
.n.g. hoc e@t minor differentia, eo quòd productum .q.o. in .n.g. æquale eſt pro-
10088IO. BAPT. BENED. ducto .2. g. in .d.p. ex .20. ſeptimi, proptereà quòd proportio .q.o. ad .o.p. hoc eſt ad .
d
.p.
eſt vt .a.g. ad .g.n. coniunctim cum diſiunctim it a ſit .q.p. ad .p.o. vt .a.n. ad .n.g.
permutãdo eo quòd .q.p. ad .a.n. (ideſt ad .e.c.) ita ſe hẽt ut .p.o. (hoc eſt .d.p.) ad .n.g.
ex
cõditionibus armonicæ proportio nalitatis.
Deinde ſi detraxerimus .n.g. ex .a.g.
remanebit
.e.c. minor terminus.
Sed ſi .e.c. tertius terminus nobis propoſitus eſſet ſimul cum .a.g. medio, & volue
rimus
maiorem inuenire .q.p. ſcilicet, oportebit .e.c. ex .a.g. detrahere, differentiam
verò
.n.g. ſimiliter demeremus
ex
.e.c. unde remaneret nobis .e.t.
136[Figure 136] cognitum, quo reſiduo .c.t. me-
diante
diuidemus productum,
furgit
ex .a.g. in .t.c. & prouentus .
d
.p.
erit differentia maior, eo
productũ quod ſit ex .e.t. in .d.p.
æquale
eſt producto quòd fit ex .a.g. in .t.c. per 20. ſeptimi Eucli. eo quòd .a.g. (id-
eſt
.q.d.) ad .d.p. eſt ut .e.t. ad .t.c. diſiunctim, cum coniunctim ita ſit .q.p. ad .d.p. vt .e.
c
.
ad .t.c. permutando, quia .q.p. ad .e.c. eſt vt .d.p. ad .t.c. hoc eſt ad .n.g. ex legibus
dictis
.
THEOREMA CXXXI.
ALIA etiam methodo hoc perfici poſſe comperi. Propoſiti enim cum nobis fue
rint
duo termini .c.e. minimus et .g.a. medius, maximus verò quærendus ſit, de
trahatur
differentia .g.n. ex .e.c. & per reſiduum .e.t. diuidatur productum fit ex .a.
g
.
in .e.c. prouentus quæ erit .q.p. terminus quæſitus.
Pro cuius ratione, ponamus in eſſe terminum .q.p. tunc ex forma huius proportio
nalitatis
nulli dubium erit quin .q.p. ad .e.c. fit vt .d.p. ad .n.g. hoc eft ad .t.c. vnde ex
19
. quinti vel .12. ſeptimi ita eſſet .q.d. ad .e.t. vt .q.p. ad .e.c.
quare ex .20. @cptimi pro
ductum
naſcitur ex .p.d. (hoc eſt .a.g.) in .e.c. æquale eric producto .e.t. in .q.p. qua-
propter
ſi diuiſerimus id per .e.t. proueniet nobis .q.p.
Sed nobis propoſiti fuerint duo termini .q.p. maximus, et .a.g. medius, ſi mini-
.e.c. voluerimꝰ inuenire.
Termino .q.p. maximo, iũgat̃. p.o. ęqualis, p.d. differẽtię
propoſitæ
, diuidatur poſtea productum ex .q.p. in .a.g. generatur per .q.o. prouen
tus
autem ſit .e.c. qui quidem erit terminus quæſitus.
Cuius operationis ſpeculutio hæc erit, ſupponatur terminum .e.c. inuentum eſſe
vnde
.n.g. differentia ſit inter .e.c.
et
.a.g. ex forma igitur armonicæ
137[Figure 137] proportionalitis ita erit .q.p. ad .a.
n
.
vt .p.o. ad .n.g. vnde ex .13. quin-
ti
.
Ita erit .q.o. ad .a.g. vt .q.p. ad .a.
n
.
ergo productũ quòd fit ex .a.g.
in
.q.p. (ex .20. ſeptimi) æquale erit
producto
.q.o. in .a.n.
Quare ſi diuiſum fuerit tale productum per .q.o. proueniet no-
bis
.e.c. quòd querebamus.
10189THEOR. ARITH.
THEOREMA CXXXII.
SED quia aliquis poſſet in dubium reuocare, an poſſibile ſit inuenire tertium
terminum
rationalem, ſeu communicantem duobus datis terminis inter ſe com
municantibus
in tali proportionalitate, hoc eſt harmonica.
Vthoc oſtendatur.
Sint duo termini dati .a.o. et .a.e. inter ſe communicantes, tertius verò inuentus
ſit
.a.c. qui maximus, primò, ſit in ea proportionalitate, quem dico communicantem
eſſe
cum primis datis.
Nam ex conditionibus huiuſmodi proportionalitatis, habebimus primum ean-
dem
proportionem eſſe .a.c. ad .a.o. quæ eſt .e.c. ad .e.o. vnde permutando ita erit .a.
c
.
ad .e.c. vt .a.o. ad .o.e. & quia ex .9. decimi Euclid .a.o. communicat cum .o.e.
quare
ex
.10. eiuſdem .a.c. communicabit cum .e.c. & per .9. cum .a.e. et per .8. cum .a.o.
quod
eſt propoſitum.
Sed ſi datus fuerit maximus .a.c. cum medio .a.e. interſe communicantes mini-
mum
verò .a.o. probabo cõmunicantem cum illis eſſe.
Cogitemus ergo .c.f. æqua-
jem
eſſe differentiæ .c.e. cognitæ, vnde habebimus proportionem, a.c. ad .c.f. vt .a.o.
ad
.o.e. & componendo .a.f. ad .f.c. vt .a.e. ad .e.o. & quia (ex ſuppoſito). a.c. commu-
nicat
cum .e.c. hoc eſt cum .c.f.
quare
ex
eadem .9. dicti decimi .a.f. et .f.c. erũt
138[Figure 138] inter ſe communicantes, & per .10. a.e.
communicabit
cum .o.e. & per .9. a.e.
municabit
cum .a.o. vnde per .8. a.o. communicabit cum .a.c. ſimiliter.
THEOREMA CXXXIII.
SED ſi nobis duo extremi termini propoſiti fuerint, & medium inuenire deſide
remus
in dicta proportionalitate, ita faciendum erit.
Sint, exempli gratia, duo termini dati .q.b. et .b.r. minor .b.r. ex maiori .b.q. de-
trahatur
, reſiduum verò .q.x. multiplicetur per .b.r. productum poſteà diuidatur per
q.r. vnde proueniet nobis .x.l. pro differentia minori, quæ addita cum .b.x. minimo
termino
, dabit nobis .b.l. mcdium terminum harmonicum.
Pro cuius ratione cogitemus dictum medium terminum .b.l. iam inuentum eſſe,
vnde
ita erit proportio .q.l. ad .l.x. vt .q.b. ad .b.r. ex forma huius proportionalitatis,
quare coniunctim ita erit .q.r. ad .r.b. vt
q.x. ad .x.l. & proptereà ex .20. ſeptimi
139[Figure 139] productum, quod fit ex .q.r. in .x.l. æqua-
le
erit producto .q.x. in .b.r.
Rectè igitur
fit
cum diuiditur hoc productum per .q.r. vt proueniat nobis .x.l. differentia minor.
THEOREMA CXXXIIII.
POſſumus etiam harmonicè diuidere vnam datam proportionem abſque aliqua
diuiſione
productorum, ne nobis fractiones proueniant, hoc modo videlicet.
Nobis propoſitum ſit diuidere harmonicè ſeſquialteram proportionẽ inuenian-
tur
primo minimi termini huius proportionis ut putà .3. et .2. quarum ſumma, hoc
eſt
quinque, multiplicetur per minorem ideſt .2. vnde proueniet nobis .10. qui qui-
dem
erit minor terminus trium quæſitorum, quorum maximus erit productum ſum­
10290IO. BAPT. BENED. iam dictæ in maiorem eorum, hoc eſt quod fit ex quinque in .3. quod erit .15. Vt
autem
medium terminum harmonicum inter iſtos habeamus, accipiatur duplũ pro-
ducti
, quod fit ex primis minimis terminis, quod erit .12.
Cuius rei ſpeculatio eſt iſta: ſignificentur duo termini datæ proportionis ab .q.b.
et
.b.r. quorum ſumma erit .q.r. cuius quadratum ſit .q.o. ſit etiam imaginata .b.e.
parallela
ad .o.r.
Sitq́; .b.x. æqualis .b.r. et .q.u. ſimiliter, & ducatur .x.y. parallela ad
r.o. et .u.l. ad .q.x.
Tunc habebimus .b.o. æquale ei producto, quod fit ex .q.r. in .b.r.
et
.b.y. eidem etiam æquale, et .q.e. pro producto, quod fit ex .q.r. in .q.b. et .q.l. pro
eo
, quod fit ex .q.x. in .b.r.
Vnde .q.l. cum .b.y. æquale fiet duplo ei, quod fit ex .q.b.
in
.b.r.
Dico nunc .b.o. eſſe minimum terminum eorum, quos quærimus, et .y.b. cum .
x
.u.
medium .q.e. verò maximum huiuſmodi proportionalitatis.
Primum ergo certi ſcimus ex prima ſexti vel .18. ſeptimi eandem exiſtere pro-
portionem
.q.e. ad .b.o. ſeu ad .b.y. quæ .q.b. ad .b.r: ſed .u.y. ad .u.x. eſt vt .y.l. ad .l.x.
hoc
eſt vt .q.b. ad .b.r. ideſt vt .q.e. ad .b.o. & ſumma .u.y. cum .u.x. ideſt .q.y. minor eſt
quam
.q.e. maximus terminus per .b.y. minimum ter-
minum
.
& cõiunctim .q.y. ad .q.l. vt .y.x. ad .x.l. hoc eſt
140[Figure 140] vt .q.r. ad .r.b.
Vnde ex ſpeculatione præcedẽtis theo
rematis
, ſequitur .u.y. eſſe differentiam inter maximũ
& medium terminum, et .u.x. eſſe differentiam inter
medium
& minimum dictæ proportionalitatis.
Nam
eadem
proportio eſt .q.e. maximi termini ad .b.o. mi-
nimi
. quæ .u.y. (differentia inter .q.e. & gnomonem .
u
.b.y.
) ad .u.x. (differentia inter dictum .u.b.y. et .b.y.
minimum
terminum, quia ſunt ambæ ut .q.b. ad .b.r.
vt
diximus.
Quare .b.y. coniunctũ cum .x.u. medius
terminus
erit, qui quidem (vt dictum eſt) duplus eſt ei
quod
fit ex .q.b. in .b.r.
THEOREMA CXXXV.
ALIVM etiam modum ab antiquis traditum ad hoc problema perficiendum
inueni
, qui talis eſt.
Inueniatur primo inter datos terminos extremos, me-
dius
terminus in arithmetica proportione, per quẽ
141[Figure 141] multiplicetur vnuſquiſque dictorum extremorum,
deinde
multiplicentur ipſi extremi interſe, vnde
habebimus
tria producta eadem proportione inui
cem
exiſtentia, vt quærebatur.
Exempli gratia, ponamus duos propoſitos ter-
minos
eſſe .3. et .2. quorum medius arithmeticè
eſſet
.2. cum dimidia vnitate, per quem cum vnum
quemque
priorum multiplicauerimus, emergẽt no-
bis
duo producta, quorum primum ideſt maius eſſet
7
. cum dimidia vnitate, reliquum verò eſſet
quinque
, productum poſteà quod ex ipſis extremis
prouenit
, erit .6. quod quidem eſt harmonicè collo
catum
inter .7. cum dimidia vnitate, & quinque.
Cuius rei ſpeculatio omnis à præcedenti theore-
mate
dependet.
Sint exempli gratia, duo termini
10391THEOREM. ARIT. propoſiti .a.e. maior, et .e.o. minor, Sitq́; .o.k. medius arithmeticus inter dictos, vn-
de
clarè patebit .o.k. eſſe dimidium ſummæ dictorum terminorum ex .75. theorema
te
huius libri.
Sit ergo productum a.t. id quod fit ex .a.e. in .o.k. et .o.t. ſit productũ
quod
fit ex .e.o. in .o.k. et .n.m. ſit productum quod ſit ex .a.e. in .e.o. quorum vnum-
quodque
erit dimid ium vniuſcuiuſque producti præcedentis theorematis,
ex
.18. et .19. ſeptimi Eucli. vnumquodque ſui relatiui.
Quare argumentando per
mutando
à concluſionibus præcedentis theorematis ad has præſentis, habebimus
productum
.
THEOREMA CXXXVI.
MEDIVM autem contra harmonicũ inuenire cum quis voluesit inter duos
propoſitos
terminos, ita faciendum erit, hoc eſt per ſummam datorum ex
tremorum
diuidatur productum quod fit ex minimo termino in differẽtiam dato-
rum
, prouentus poſtea erit differentia inter maximum & medum quæſitum.
Vt exempli gratia, ſi nobis propoſiti fuerint hi duo termini .3. et .2. ſumma eo-
rum
erit quinque, per quam cum diuiſerimus productum, quod naſcitur ex mini-
mo
.2. in differentiam eorum, quæ eſt vnum, quod quidem erit .2.
tunc duæ quintæ
partes
prouenient, quæ ſi demptæ fuerint ex maximo termino, reliquum erit .2.
3
. quintis, hoc eſt medius terminus contta harmonicus.
Pro cuius ratione cogitemus .u.d. et .x.c. eſſe duosterminosnobis propoſitos, in-
ter
quos deſideremus inuenire .o.s. medium ita illis relatũ, vt proportio exceſſus ip-
ſius
ſupra .x.c. (qui ſit .e.n.) ad exceſ-
ſum
.u.d. ſupra .o.s. (qui ſit .n.d.) ea-
142[Figure 142] dem ſit quæ .u.d. ad .x.c.
Cogitemus igitur .x.c. coniunctum
eſſe
cum .u.d. & hæcſumma vocetur .
b
.d.
vnde habebimus proportionem .
u
.d.
ad .u.b. vt .e.n. ad .n.d.
Quare cõ-
ponendo
ita erit .d.b. ad .u.b. ut .e.d. 3d.n.d. ſed quia .d.b: u.b. et .e.d. quantitates no-
bis
cognitę ſunt, ideò .d.n. ex .20. ſeptimi cognita nobis erit.
THEOREMA CXXXVII.
SVpponunt antiqui aliquot mercatores dantes pecunias lucro in diuerſis vnius
anni
temporibus,
tunc in fine anni ſumma torius lucri datur cognita, ſed quæ-
ritur
quantuni vnicuique illorum exipſa ſumma debeatur.
Exempli gratia, primus in principio anni poſuit .100. aurcos, ſecundus verò .100
diebus
poſt primum poſuit .50. aureos tertius autem .200. diebus poſt primum po-
ſuit
.25. aureos ſumma lucri poſtea in fine anni fuit aureorum .60.
Nunc vt ſciamus quantum huius ſummæ vniduique illorum proueniat, præcipit
regula
, vt faciamus tria producta, quorum primum ſit ex numero dierum totius an-
ni
in numerum aureorum primi, vnde tale productum in præſenti caſu erit .36500.
ſecundum
verò ſit ex numero dierum à primo die in quo ipſe ſecundus poſuit uſque
ad
finem anni, in numerum ipſorum nummorum, quod erit .13250. tertium autem
productum
ex diebus tertij in numerum ſuorum aureorum, quod quidẽ erit .4125.
quæ
producta ſimul collecta faciunt .53875. deinde multiplicetur vnumquodque
10492IO. BAPT. BENED. ipſorum prochictorum per ſummam lucri hoc eſt per .60. vnde multiplicatio primi
producti
erit .2190000. multiplicatio verò ſecundi producti erit .795000. tertij po
ſtca
erit .247500. quarum multiplicationum vnaquæque diuidatur per ſummam
53875
. productorit, & proueniet ex prima diuiſione .40. fractis .35000. vnius in-
tegri
diuiſi in partes .53875. quod erit lucrum primi, prouentus autem ſecundæ di-
uiſionis
erit .14. cum fractis .41050. vnius integri diuiſi in partes .53875. lucrum ſecũ­
di
prouentus verò quartæ diuiſionis erit .4. cum fractis .32000. vnius integri, vt ſu
pra
diuiſi in partes .53875. hoc eſt lucrum tertij.
Cuius rei ſpeculatio ex ſe in ſub ſcripta figura patet, vbi .a.q. ſignificat numerum
dierum
totius anni pro primo mercatore .q.n. autem ſignificat numerum dierum ſe
cundi
mercatoris .e.q. poſteà ſignificat numerum dierum tertij ſit etiam .s.a. pro nu-
mero
denariorum primi, et .o.n. pro numero ſecundi, et .e.t. pro numero
tertij
, productum autem .q.s. ſignificet valorem primi lucri, et .q.o. ſecundi,
et
.q.t. tertij .x.y. autem ſignificet ſummam lucri omnium, et .x.i. ſignificet
partem
primi, et .i.p. ſecundi, et .p.y. tertij.
vnde clarè patebit ex communi
ſcientia
quòd eadem proportio erit .x.y. ad .x.i. quæ aggregati omnium producto-
rum
.q.s: q.o. et .q.t. ad .q.s. & ita .x.y. ad .i.p. vt aggregati dictiad .q.o. et .x.y. ad .p.y.
vt
dicti aggregati ad .q.t.
Rectè igitur ex regula de tribus multiplicatio .q.s. in .x.y.
diuiditur
per aggregatum omnium
143[Figure 143] productorum, ita vt ſi aliquis dice-
ret
, ſi ex dicto aggregato, prouenit
x.y. quid proueniet vnicuique illo-
productorũ.
ſi numerus dena-
riorum
ſecũdi æqualis eſſet numero
a.s. primi vt putà. n.b.
tunc eius lucrũ
ſignificaretur
à rectangulo .q.b. & ita
de
tertio dico ſignificaretur à re-
ctãgulo
.q.c. vel ſi ſiantibus ijſdẽ denariorũ quantitatibus .n.o. et .e.t. omnes ſuas pe-
cunias
eodem tempore poſuiſſent,
tunc rectangula ſignificantia eorum lucra eſlent
q.s.q.d. et .q.f. ſed cum nec eodem tempore, nec eandem quantitatem poſueruntre
ctè
eorum lucra ſignificantur à rectangulis .q.s.q.o. et .q.t. ex prima .6. vel .18. aut .
19
.
ſeptimi ratiocinando clarè patebit.
THEOREMA CXXXVIII.
NIcolaus Tartalea in primo libro vltimæ partis numerorum ad .35. quæſitum
docet
inuenire quantitatem laterum vnius propoſiti trianguli, cuius la-
r
erum proportio nobis data ſit ſimul cum area ſuperſiciali ipſius trianguli, ſed quia
ipſe
Tartalea vtiturregula algebræ, mihi viſum eſt breuiori methodo hoc idein fa
cere
, & etiam vniuerſaliori via.
Supp onamus igitur duo triangula, quorum vnum .u.n.i. ſit nobis propoſitũ, &
cognitæ
ſuperficiei, proportiones ſimiliter laterum .i.n. ad .n.u: et .u.n. ad .u.i. ſint no
bis
datæ, alterũ verò triangulũ ſit .a.o.u. à nobis tamen ita confectũ, vlatera ſint in­
er
ſe proportionata eodem modo, quo latera prioris trianguli, ſed hæc nobis etiã
cognita
ſint, facillimum eſt.
Nunc vero ſi demptũ fuerit quadratũ .a.o. minimi
lateris
, ex quadrato .o.u. maximi, relinquet nobis duplum producti .o.u. in .u.e. per
penultimã .2. Eucli. ſupponẽdo .a.e. perpendicularem ad .o.u. vnde tale productum
quòd
fit ex .o.u. in .u.e. conſequenter nobis cognitum erit, & quia .o.u. nobis cogni-
10593THEOREM. ARIT. tum eſt, ideo cognoſcemus .e.u. ſed .e.u. minor ſit .a.u. ex .18. & penultima primi,
ſi
demptũ fuerit quadratum .e.u. ex quadrato .a.u. remanebit nobis cognitũ quadra-
.a.e. & ſic nota erit nobis perpendicularis .a.e. ex penultima primi, quæ quidem .
a
.e.
ſi multiplicata fuerit in dimidium .o.u. dabit nobis ſuperficiẽ trianguli .a.o.u. ex
41
. dicti libri.
Et quia proportio trianguli .a.o.u. ad triangulum .u.i.n. (propter ſimi
litudinem
) eſt vt quadrati .o.u. ad quadratum .n.i. ex communi ſcientia cum vna-
quæque
iſtarum proportionum dupla ſit proportioni .o.u. ad .n.i. ex .17. et .18. ſexti,
deinde
cum nobis cognitæ ſint tres iſtarum quatuor quantitatum hoc eſt ſuperficies
trianguli
.a.o.u. ſuperficies trianguli .u.n.i. & quadrati .o.u.
quare ex regula de tribus
cognoſcemus
etiam quadratum .n.i. & ſic .n.i. latus primi trianguli, vnde reliqua la
tera
illicò nobis innoteſcent exipſa regula de tribus, cum dixerimus, ſi .o.u. dat nobis
u.a.
tunc .i.n. dabit .u.n. quòd etiam infero de .u.i.
Poſſemus etiam ita hoc perficere,
ſcilicet
inuenire .x. quantitatem me-
144[Figure 144] diam proportionalem inter duas ſu-
perficies
triangulorum, vnde ſuper-
ficies
trianguli .i.a.u.o. ad .x. ſe ha-
beret
ut .o.u. ad .i.n. & ita ex regula
detribus
cognoſcemus .i.n.
Multo tẽ
pore
poſtquàm hoc theorema conſtruxi, ipſum conſcriptum inueni in decimo
ſecundi
libri Ioannis de monte Regio, ſatis tamen obſcurè expreſſum.
THEOREMA CXXXIX.
IN eodem primo libro vltimæ partis numerorum, Tartalea probat, via algebrę
quòd
quælibet duo latera trianguli orthogonij, angulumrectum continentia,
ſint
tertio longiora per diame-
145[Figure 145] trum circuli inſcriptibilis in ip-
ſo
triangulo.
ſed hoc breuius
geometricè
poteſt demõſtrari,
quemadmodum
in ſubſcripta
hic
figura videre eſt, proptereà
quòd
cum anguli .A.o.u. et .n.
omnes
ſint recti et .A.u. æqualis
o.n. et .A.n. ęqualis .u.o. ipſæ .A.
u
.
et .A.n. æquales erunt diame-
tro
ipſius circuli.
Sed eædem .
A
.u.
et .A.n. ſunt ſuperfluum, quo .A.B. et .A.C. ſunt maiores .B.C. cum .B.u. et .C.n.
ſint
æquales .B.C. ex penultima tertij Eucli.
THEO. SEQVENS THEO. CXXXIX.
SImiliter in nono capite ſecundi libri nouæ ſcientiæ poterat ipſe Tartalea breuio
ri
methodo abſque vlla operatione ipſius Algebræ inuenire .A.H. reſpectu .A.
E
.
eſſe vt .4. vno ſeptimo ad vnũ.
ipſe ſupponit .A.E. decimã partẽ eſſe ipſius
10694IO. BAPT. BENED. A.I. vnde quadratum lineæ .A.I. erit .100. idem dico de quadrato lineæ .I.L. quare
ex
penultima primi .A.L. erit radix quadrata quadrati .200. ideſt .14. cum vno ſepti-
mo
ferè.
quare .A.L. iuncta .A.O. erit .28. cum duobus ſeptimis. ſed .L.O. ex ſuppoſi-
to
erit .20. eo quòd .L.I. ęquatur ipſi .A.I. ſimiliter et .I.O. vt ipſe etiam probauit.
qua
dempta
ex .L.A.O. relinquetur .H.A.M. (nam .L.H. cum .O.M. æquatur ipſi .L.O. ex .
35
. tertij ipſius Eucli. partium .8. duabus ſeptimis. cuius dimidiũ hoc eſt .A.H. erit
4
. cum una ſeptima, quod eſt propoſitum.
Reſpice figuram ipſius Tartaleæ.
THEOREMA CXL.
QVadrageſimum nonum quæſitum ſimiliter poſſumus alio modo ſoluere, vt
putà
cum vnumquodque latus rhombi ſimul cum area cognitum, ſeu datum
nobis
ſit cognitũ ſimiliter nobis erit quadratum lateris .a.d. hoc eſt ſumma duorum
quadratorum
.a.o. et .o.d. ex penultima primi Euclid.
cúmque nobis cognita etiam
ſit
totalis ſuperficies rhombi, cognita etiam nobis erit eius medietas, hoc eſt produ-
ctum
.o.d. in .o.a. vnde ex methodo .37. Theorematis cognoſcemus .a.o. et .o.d. & ſic
etiam
eorum dupla, quod quærebatur.
146[Figure 146]
THEOREMA CXLI.
PVlchrum quæſitum fuit id, quod Tartalea ponit pro .18. noni libri in quarto fo-
lio
, quod huiuſmodi eſt.
Aliquis habet dolium mero plenum, ex quo
duas
vrnas extrahit ipſius vini, ſed loco ipſius vini infundit duas vrnas aquæ.
Dein
de
poſt aliquot dies extrahit iterum alias duas vrnas illius miſti, & iterum infundit
duas
vrnas aquæ, & poſt alios aliquot dies idem facit, & hac vltima tertia vice in-
uenit
aquam tantam eſſe, quantum vinum.
Quæritur nunc quot vrnas capiat il-
lud
dolium.
Solutio ipſius Tartaleæ bona eſt, cum ſupponat illas quatuor quantitates vini eſſe
inuicem
continuas proportionales, vt putà primò totum vinum merum, poſteà re-
ſiduum
pro ſecunda quantitate, deinde pro tertia in ſecunda, & pro quarta in ter-
tia
extractione, hoc eſt quòd proportio totius vini meri ad vinum in prima ſit, vt hu
ius
ad vinum in ſecunda, & vt huius ad vinum in tertia miſtione.
Sed quia ipſe
non
probat hanc continuam proportionalitatem ex methodo ſcientifica, mihi visũ
eſt
hoc loco illam deſcribere.
Cogitemus igitur a.u. pro capacitate dolij, et .a.i. pro quantitate duarum vrna-
rum
.
Nunc uerò ſupponamus quamlibet partem huius miſti omogeneam eſſe ſuo
toto
, quapropter ſequetur eandem proportionem eſſe vini ad aquam in qualibet
parte
, quæ erit in toto, & ideò imaginemur .e.o. æqualem .a.i.
Sed in puncto .i. tali
modo
diuiſam, vt proportio .i.e. ad .i.o. eadem ſit quæ .i.a. ad .i.u.
Supponamus etiã
10795THEOREM. ARITH. e.o. eſſe duas primas vrnas vini miſti hoc eſt primæ miſtionis, vnde cum eadem pro
portio
ſit .a.i. ad .i.u. vt .e.i. ad .i.o. ita erit (ex .19. quinti). a.e. ad .o.u. ut .a.i. ad .i.u. &
componẽdo ita erit .a.e. cum .o.u. hoc eſt .i.o.u. (proptereà quòd .i.o. æqualis eſt .a.e.
vt
reſidua totorum æqualium) ad .o.u. quemadmodum .a.i.u. ad .i.u.
Quare .i.u. erit
media
proportionalis inter .a.u. et .o.u. vnde proportio .a.u. ad .o.u. dupla erit pro
portioni
.i.u. ad .o.u.
Nunc autem cum extracta fuerit quantitas .e.o. ex primo mi-
ſto
, & poſteà infuſa aqua vſque ad plenitudinem dolij, proportio ingredientium
huius
ſecundi miſti erit ea, quæ eſt inter .o.u. et .o.a. eo quòd in prima miſtione pro-
proportio
ingredientium erat ea, quæ eſt inter .o.u. et .a.e. vel inter .a.e. et .o.u.
vt
demonſtrauimus.
Accipiamus ergo .t.m. huiuſmodi ſecundi mifti, magnitudi-
nis
.a.i. vel .e.o. ſignificantis duas vrnas, & permutemus eum in tantam aquam,
ſitq́; punctum .o. quod nobis diuidat t.m. in .o.m. et, o.t. partes ſimplices, tali propor
tione
inuicem relatas, vt ſunt .o.u. et .o.a. vnde habebimus ex ſupradictis rationibus
eandem
proportionem ipſius .a.t. ad .m.u. vt .a.o. ad .o.u. & componendo .a.t. cum .m.
u
.
hoc eſt .i.m.u. (eo quod cum .t.m. æqualis ſit .a.i. per conſequens .i.m. æqualis erit .
a
.t.
) ad .m.u. vt .a.o.u. ad .o.u. ſed proportio .a.o.u. ad .o.u. dupla erat proportioni .i.o.
u
.
ad .o.u. quemadmodum ſupra diximus.
Ergo proportio .i.m.u. ad .m.u. erit dupla
ſimiliter
proportioni .i.o.u. ad .o.
u
.
quapropter .o.u. erit media pro­
147[Figure 147] portionalis inter .i.u. et .m.u.
Ec-
ce
igitur quomodo eadem eſt pro
portio
.a.u. ad .i.u. quæ .i.u. ad .o.u. & quæ .o.u. ad .m.u. qui quidem modus neceſſarius
eſt
vt intellectus acquieſcat, id quod experientia non facit.
THEOREMA CXLII.
PRæcedens Tartaleæ quæſitum elegans quidem eſt, ſed pulchrum etiam vide-
tur
quærere proportionem ingredientium in ultima miſtione, cum cognita fue
rit
nobis proportio continentiæ dolij ad capacitatis vrnæ ſimul numero vitium
extractionum
& impletionum.
Exempli gratia, ſi proportio .a.u. ad .a.i. cognita nobis fuerit, cognoſcemus etiam
e.i. ex regula de tribus & per conſequens etiam .i.o. reſiduum ex .e.o. & ſimiliter ag-
gregatum
.a.i. cum .i.o. & ſic .o.u. reſiduum totius, et .o.t. ſimiliter, eo quòd .a.u. ad .a.
o
.
eſt ut .t.m. ad .o.t. vnde cognoſcemus etiam .o.m. vt reſiduum .t.m. & ſimiliter ag-
gregatum
.a.o. cum .o.m. hoc eſt .a.m. & etiam .m.u. reſiduum totius.
Cognoſcere autem proportionem totius dolij ad vrnam, vel ècontrà, cum cogni
ta
nobis fuerit proportio ingredientium in vltima miſtione ſimul cum numero vi-
tium
extractionum, & repletionum, quod ſcribit Tartalea, hoc etiam modo
poſſumus
.
Exempli gratia, ſi proportio .m.u. ad .m.a. cognita nobis fuerit, illicò ſcie-
mus
proportionem .a.u. ad .m.u. & cum ſciuerimus numerum vitium extractionum,
& impletionum illicò cognoſci-
mus
multiplicitatem proportio-
nis
.a.u. ad .m.u. ad proportionem .
148[Figure 148] o.u.
ad .m.u. quapropter propor-
tio
.o.u. ad .m.u. nobis cognita erit
hoc
eſt .a.u. ad .i.u. & ſimiliter ea, quæ eſt .a.u. ad .a.i. & è conuerſo ſimiliter.
10896IO. BAPT. BENED.
Vnde cum aliquis diceret priori modo, dolium habeo vrnarum .400. vini, & per
vices
.25. extraxi & impleui ipſum, vt dictum eſt.
Nunc verò velim ſcire proportio-
nem
vini ad a quam hac vltima vice.
Nunc igitur ſi procedemus iuxta doctrinam
primi
exempli huius theorematis, obtinebimus quod quærebamus.
Sed ſi diceret iuxta Tartaleæ quæſitum, hoc eſt dolium habeo, quod ignoro quot
urnas contineat, volo tamen per .25. vices extrahere, & implere vt ſupradictũ
eſt
, ita vt vltima vice proportio vini ad aquam ſit ſeſquialtera.
Tunc ſi iuxta mo-
dum
ſecundi exempli huius theorematis procedemus habebimus quod cupimus.
Alio etiam modo aliquis quærere poſſet, hoc eſt, habeo doliũ quod capit .400.
vrnas
.
Habeo etiam vas trium vrnarum, quo mediante me oportet extrahere, &
implere
.
Velim tamen ſcire quoties me hoc facere oporteat, ita vt poſtrema vi-
ce
vinum ſe habeat ad aquam in proportione ſeſquialtera, vnde multoties accidet
vltimam
extractionem, & impletionem mutilatam, ſeu imperfectam, euadere.
Exempli gratia, ſi proportio vini ad aquam in vltima miſtione deberet eſſe vt .n.
u
.
ad .n.a. ita vt extrema vice fuiſſet .t.m. quæ quidem .t.m. excederet terminum per .
n
.m.
quæ .n.m. reuera eſſet nobis cognita, quòd ex priori modo hic ſupra dicto
proportio
.a.m. ad .m.u. nobis in-
noteſceret
, & proportio .n.a. ad .
n
.u.
nobis data eſt ſimul cum quã­
149[Figure 149] titate
.a.u.
quare quantitas .n.u. &
m.u. nobis cognita, remanebit, et
n.m. eorum differentia ſimiliter, etiam, et .t.n. reſiduum vaſis, quo metimur, vnde
neceſſe
erit, quod vltima vice vas contineret ſolum .t.n. reliqua uerò per ſe patent.
THEOREMA CXLIII.
HIeronymus Cardanus in lib. ſuæ arithmeticæ cap .66. quæſtione .56. quam Car­
danicam
vocat, ita inquit.
Quidam perambulauit prima die certam quantitatem ſpatij, & ſecunda die, tã­
plus proportionaliter, quantò diameter eſt maior coſta, & tertia die tantò plus
ſecunda
, quantò proportionaliter portio lineæ diuiſæ ſecundum proportionem ha
bentem
medium, & duo extrema excedit minorem portionem, & quarta die in
proportione
ad tertiam vt ſecunda ad primam, & quinta die proportionaliter tan-
plus quarta, quantò in tertia plus ſecunda, & ita alternatis vicibus in diebus no-
uem
peregit nouem milliaria.
Quæritur igitur quantum ambulauit die prima.
Hoc autem nihil aliud eſt, quàm ſi aliquis diceret, propono tibi, exempli gratia,
lineam
.a.l. nouem partibus inuicem non æqualibus ita diuiſam .a.c: c.d: d.e: & cæte-
ris
, quarum partium proportiones tibi etiam do, vt putà. a.c. ad .c.d. et .c.d. ad .d.e. et .
d
.e.
ad .e.f. & ſic de cæteris vſque ad poſtremam .k.l. quæ quidem proportiones ſint
etiam
inuicem diſſimiles, ſeu inæquales, do tibi etiam proportionẽ totius lineæ .a.l.
ad
.a.b. ſuam partem, quæ vt in propoſito exemplo nonupla eſt.
Quæro nunc quam proportionem habebit .a.c. ad .a.b. & ſic de cæteris partibus
eiuſdem
ad eandem .a.b.
Quod quidem facillimum erit ſpeculari, nec non operari vnicuique, qui omnino
practicæ
numerorum ignarus non fuerit, dum ab ordine ſcientifico non diſcedat.
Cum enim cognoſcimus proportionem .a.c. ad .c.d. conſequenter cognoſcemus
ctiam
proportion em aggregati .a.c.d. ad .c.d. cum autem cognouerimus proportio-
10997THEOREM. ARIT. nem .c.d. ad .d.e. ſi .c.d. accipiemus, vt medium inter .a.d. et .d.e. cognoſcemus etiam
proportionem
.a.d. ad .d.e.
quare etiam eam quæ .a.e. ad .d.e. collocando poſteà.
d.e. inter .e.f. et .a.e. innoteſcet ea, quæ eſt .a.e. ad .e.f. & ita gradatim accedenrus ad
perfectam
cognitionem proportionis totius .a.l. ad .k.l.
Nunc autem mediante .k.l.
cognoſcemus
proportionem totius .a.l. ad .i.k. & hac mediante, cam cognoſcemus,
quæ
totius .a.l. ad .g.h. & hac mediante eam quæ totius .a.l. ad .f.g. & ſic gradatim, co
gnita
nobis erit proportio totius
lineæ
.a.l. ad ſuam partem .a.c. be-
150[Figure 150] neficio poſteà totius lineæ .a.l. co
gnoſcemus
proportionem a.c. ad
a.b. & ſic aliarum reſpectu lineæ .a.b. vt quærebatur, quæ quidem propoſitio, etſi car
danica
uocetur leuiſſima tamen eſt.
THEOREMA CXLIIII.
QVamuis multi de modo in ſumma colligendi, ſubtrahendi, multiplicãdi, & di
uidendi
proportiones ſcripſerint, nullus tamen (quod ſciam) perfectè, ac
ſcientificè
ſpeculatus eſt has operationes, quapropter hanc rem cum ſilentio tranſi
re
nolui, quin aliquid de ipſa conſcribam à ſumma dictarum proportionum in-
cohando
.
Quotieſcunque igitur volunt duas proportiones inuicem aggregare, ſimul ea-
rum
antecedentia multiplicant, & ſimiliter earum conſequentia.
Tunc proportio
terminata
ab illis productis euadit in ſummam illarum duarum propoſitarum
proportionum
.
Vt exempli gratia, ſi voluerimus colligere proportionem ſeſquialteram cum ſeſ-
quitertia
, multiplicando .3. cum .4. antecedentia ſcilicet, pro ductum erit .12. poſteà
multiplicando
.2. cum .3. conſequentia, tunc productum erit .6.
Proportio igitur,
quæ
inter .12. et .6. reperitur. (quæ dupla eſt) eſt ſumma propoſitarum proportionũ.
Cuius rei ſpeculatio erit huiuſmodi ſint .x. et .u.
duo
antecedentia quarunruis proportionum .t.
151[Figure 151] verò et. n ſint eorum conſequentia, productum
autem
antecedentium ſit .a.g. illud verò quod
ſequentium
ſit .d.a. vnde proportio .a.g. ad .a.d.
compoſita
erit ex proportione .x. ad .t. & ex ea,
quæ
eſt .u. ad .n. per .24. ſexti vel quintam octaui.
Patet igitur ratio rectè faciendi, vt ſuprà dictum
eſt
.
THEOREMA CXLV.
QVotieſcunque deinde detrahere volunt vnam proportionem ex altera mul-
tiplicant
antecedens vnius cum conſequenti alterius.
Tunc proportio, quę
inter
talia duo producta incluſa reperitur, eſt reſiduum, ſeu differentia illarum dua-
rum
proportionum datarum.
Vt exempli gratia, ſi aliquis vellet ex proportione dupla detrahere ſeſquialte-
ram
, multiplicaret .2. antecedens duplæ cum .2. conſequenti ſeſquialteræ, quorum
productum
eſſet .4. pro antecedenti reſiduę proportionis.
Deinde multiplicaret .3
antecedens
ſeſquialteræ cum .1. conſequenti duplæ, & productum eſſet .3. pro cõ-
11098IO. BAPT. BENED. ſequenti reſiduę proportionis; quæ quidem reſidua proportio eſſet vt .4. ad .3. hoc
eſt
ſeſquitertia, & ſic de cæteris.
Pro cuius ratione, ſit proportio .x. ad .n. ea quæ (exempli gratia) maior ſit, à
qua
volumus demere proportionem .t. ad .u. minorem ſcilicet.
Nunc autem
productum
.x. in .u. ſit .a.g. illud verò .t. in .
n
.
ſit .a.d.
Tunc dico proportionem .a.g. ad .a.
152[Figure 152] d. eſſe reſiduam quæſitam.
Sit .b.a. productum
u
. in .n. vnde eadem proportio erit producti .a.
g
.
ad productum .a.b. quę .x. ad .n. et .a.d. ad a.b.
quæ
.t. ad .u. ex prima ſexti, ſeu .18. vel .19. ſe-
ptimi
, ſed proportio .a.g. ad .a.b. hoc eſt .x. ad .
n
.
componitur ex ea, quæ eſt .a.g. ad .a.d. & ea,
quæ
eſt .a.d. ad .a.b. hoc eſt .t. ad .u. ergò ea, quę
eſt
.a.g. ad .a.d. erit quàm quærebamus.
THEOREMA CXLVI.
RATIO verò, quòd rectè fiat, quotieſcunque aliquam proportionem dupli-
care
volentes, quadramus terminos ipſius proportionis, vel ſi eam triplicare
voluerimus
, cubamus ipſos terminos, vel ſi eam quadruplicare voluerimus
inuenimus
cenſicos cenſicos terminorum ipſius proportionis, & ſic de ſingulis, in .17
Theo
. huiuſmodi tractatus manifeſta eſt.
THEOREMA CXLVII.
QVotieſcunque nobis propoſiti fuerint duo numeri ad libitum, deſideraremus­
q́ue
duas proportiones tali relatione inuicem refertas, quali ſunt hi duo pro
poſiti
numeri inter ſe, ita faciendum erit.
Sciendum primo eſt proportionem maioris numeri propoſiti ad minorem ſem-
per
eſſe alicuius ex quinque generum, hoc eſt aut erit generis multiplicis, aut ſu-
perparticularis
, aut multiplicis ſuperparticularis, aut ſuper partientis, aut multi-
plicis
ſuperpartientis.
Nunc autem ſi erit ex genere multiplici, iam ab antiquis traditus eſt modus, quẽ
ſequi
debemus.
Cuius ſpeculatio à me inuenta patet .in .17. Theo. huius libri, vt
in
præcedenti dixi.
Sed ſi talis proportio datorum numerorum erit alicuius aliorum generum, ita
agemus
, ſi fuerit ſuperparticularis.
Sit exempli gratia, ſeſquialtera, tunc ſumantur duo numeri inuicem inæquales,
quos
à caſu volueris .o. et .c. qui quidem cubentur, & eorum cubi ſint .a. et .e.
Inuenia
tur
poſteà. u. ita proportionatus ad .o. vt .o. eſt ad .c. ex regula de tribus, hoc eſt diui-
dendo
quadratum ipſius .o. per .c. vnde nobis proueniat .u. & quia proportio .a. ad .e.
tripla
eſt proportioni .o. ad .c. & proportio .u. ad .c. dupla eſt eidẽ, quæ .o. ad .c. ideo
proportio
.a. ad .e. ſeſquialtera erit proportioni .u. ad .c.
Sed ſi proportio numerorum propoſitorum fuerit ſeſquitertia, faciemus .a. et .e.
eſſe
cenſica cenſica ipſius .o. et .c.
tunc ſumemus .u. conſequentem ad .o. vt dictum eſt,
deinde
inueniremus .i. conſequens ad .u. ita ut .u. conſequens ipſius .o.
tunc habebi-
mus
proportionem .i. ad .c. triplam, & eam quæ eſt .a. ad .e. quadruplam proportio-
11199THEOREM. ARIT. ni .o. ad .c. Idem dico de reliquis proportionibus ſuperparticularibus.
Sed ſi data proportio numerorum fuerit ex ſuper partientibus, vt exempli gra-
tia
de quinque ad tria, efficiemus, vt .a. et .e. ſint prima relata ipſius .o. et .c. vnde
proportio
.a. ad .e. ita ſe habe-
bit
ad proportionem .o. ad .c.
153[Figure 153] vt quinque ad vnũ & propor-
tio
.i. ad .c. ut tria ad vnũ.
Qua-
re
proportio .a. ad .e. ad pro-
portionem
.i. ad .c. ſe habebit,
vt
quinque ad tria, & ſic de reliquis.
Pro alijs, eundem ordinem ſeruando, obtinebimus quod volumus.
THEOREMA CXLVIII.
QVamuis in .16. ſexti et .20. ſeptimi manifeſtè pateat ratio, quare rectè fiatac
cipiendam
radicem quadratam illius producti, quod fit ex duobus datis
terminis
, vt medium proportionale geometricè inter ipſos habeamus:
nihilomi-
nus
, quia per aliam methodum hoc idem ſcire poſſumus, inconueniens non erit a-
liquid
circa hoc dicere.
Cogitemus igitur exempli gratia, tres numeros continuè proportionales geo-
metricè
.a.b: c.d. et .e.f. quorum .a.b. et .e.f. tantummodo nobis cogniti ſint, imagine-
mur
etiam .g.a. eſſe productum quod fit ex .a.b. in .e.f. et .d.k. quadratum .c.d. et .a.h.
id
quod fit ex .a.b. vnde eandem proportionem habebimus .a.h. ad .a.g. quæ eſt .h.b.
ad
.b.g. ex prima .6. aut .18. vel .19. ſepti-
mi
, ſed per .11. octaui ita eſt quadrati .a.
154[Figure 154] h. ad quadratum .k.d. vt .a.b. ad .e.f. hoc
eſt
vt .h.b. ad .b.g. ergo per .11. quinti ita
erit
.a.h. ad .a.g. vt ad .k.d. vnde .a.g. æqua
le
erit .k.d. per .9. quinti.
Rectè ergo erit
accipere
radicem quadratam .a.g. pro .c.
d
.
quod etiam eſt diuidere vnam datam
proportionẽ per æqualia, hoc eſt in duas
æquales
partes, non dubito quin poſſer aliquis dicere non oportere vti poſteriori-
bus
Theorematibus ad demonſtrandum priora illis, ſed hoc .148. dictum ſit luden
di
loco.
THEOREMA CXLIX.
Vnde fiat ſi quis inuenire voluerit ſecundum terminum ex quatuor nume
ris
continuè, & geometricè proportionalibus, quorum duo extremi tantum-
modo
nobis cogniti ſint, rectè factum ſit quadrare primum eorum, & hoc quadra-
tum
poſteà per alium terminum cognitum multiplicare, cuius producti demum ac-
cipere
radicem cubam pro ſecundo termino quæſito, hocloco videbimus.
Imaginemur quatuor terminos continuè proportionales, vt dictum eſt, eſſe.
112100IO. BAPT. BENED. a.b: c.d: e.f. et .g.h. quorum .a.b. et .g.h. nobis tantummodo cogniti ſint, ſitq́ imagina
tione
deſcriptus cubus .a.q. primi termini, cubusq́ .d.k. ſecundi rermini, conſidere-
mus
etiam baſim .a.i. quadratam ipſius cubi .a.q. hoc eſt præcedentem dignitatem ip
ſius
cubi eiuſdem radicis, quæ quidem baſis .a.i. multiplicetur per quartum terminũ
g.h. productum autem ſit .g.a. vnde eadem proportio erit .a.q. ad .a.g. quæ .b.q. ad .b.
g
.
per .25. vndecimi, ſed per primam ſexti, vel .18. aut .19. ſeptimi ita eſt .q.i. ad .i.g.
vt
.b.q. ad .b.g.
quare per .11. quinti
ita
erit .a.q. ad .a.g. vt .q.i. ad .i.g. ideſt
155[Figure 155] vt .a.b. ad .g.h. ſed vt eſt .a.b. ad .g.h.
ſic
eſt .a.q. ad .k.d. per .36. vndecimi,
ſeu
per .11. octaui, vnde per .11. quin
ti
ſic erit .a.q. ad .a.g. vt ad .k.d.
Qua-
re
per .9. eiuſdem .a.g. ęqualis erit .k.
d
.
Vnde rectè erit accipere radicem
cubam
.a.g. pro ſecũdo termino .c.d.
id
, quod nobis inſeruit ad inueniendam tertiam partem vnius propoſitæ propor-
tionis
.
THEOREMA CL.
Sed vt ſpeculatio iſta ita vniuerſalis fiat vt ad oẽs dignitates applicari poſſit;
Supponamus .a.q. et .k.d. eſſe duas dignitates quas volueris vnius, ſed eiuſdem
ſpeciei
, et .a.i. dignitas præcedens dignitatem .a.q.a. cuius multiplicatione in .a.b.
eius
radix producitur dignitas .a.q. & ab ipſius .a.i. multiplicatione in .g.h. reſultet .a.
g
.
vnde ex .18. vel .19. ſeptimi eadem proportio erit .a.q. ad .a.g. quæ .a.b. ad .g.h. ſed
eadem
etiam eſt .a.q. ad .k.d. ex ijs, quæ in .17. theoremare dixi, vnde ex .11. quinti,
ita
erit .a.q. ad .a.g. vt ad .k.d.
Quapropter .a.g. æqualis erit .k.d. & ideo cum inuenta
fuerit
radix huiuſmodi dignitatis ex quantitate .a.g. habebimus .c.d. ſecundum ter-
minum
quæſitum.
THEOREMA CLI.
Vnde verò fiat, quòd cum quis voluerit dimidium alicuius datæ proportio-
nis
inuenire, rectè faciat, ſi accipiat radices quadratas illorum datorum rer-
minorum
, etſi voluerit tertiam partem, accipiat radices cubas:
ſi autem quartam,
accipereradices
cenſicas cenſicas ipſorum, & ſic de ſingulis in .17.
Theoremate om-
nia
patent.
THEOREMA CLII.
Vnde autem fiat, vt cum quis voluerit multiplicare aliquam proportionem
per
fractos, rectè faciat prius multiplicando eam per numeratorem, dein-
de
productum diuiſerit per denominationem ipſorum fractorum.
Vt exempli gratia, cum aliquis voluerit multiplicare proportionem ſeſquiquar-
tam
per duo tertia, multiplicabit prius ipſam proportionem per numeratorem .2.
& productum, erit proportio .25. ad .16. qua poſtea diuiſa per .3. denominatorem,
prouentus
erit proportio radicis cubæ .25. ad radicem cubam .16. vel vt proportio.
113101THEOREM. ARIT. 25. ad radicem cubam .10000. quæ quidem proportiones æquales inuicem ſunt, cu
tam
vna, quàm alia, ſit tertia pars totius.
Pro cuius ratione cogitem is .a.b. eſſe aliquod totum, quod multiplicare cupimus
per
duas tertias, quod quidẽ nihil aliud eſt, quàm accipere duas tertias partes vnius
totius
ſuperficialis, imaginemur igitur hoc totum .a.b. lineare diuiſum eſſe in tertias
partes
mediantibus .e. et .d.
& tunc multiplicando ipſum per 2. tertias lineares produ-
ctum
erit .a.c. ſex vnitatum ſuperficialium, quod quidem productum poſteà diuiſum
per
.3. dabit .d.c. hoc eſt duas tertias ſuperficiales (quæ eſt tertia pars ipſius .a.c.) &
ęquales
numero .c.b. duabus vnitatibus linearibus, ideſt duabus tertijs ipſius .a.b.
No
tandum
etiam eſt, quòd cum ferè omnia reducantur ad regulam de tribus, proptereà
etiam
multiplicatio alicuius quantitatis per aliam quantitatem, nihil aliud eſt quàm
quædam
operatio ipſius regulæ de tribus, vt eyempli gratia volo multiplicare .25.
per
20. hoc nihil aliud eſt niſi quærere alium numerum ita proportionatum ad .25.
vt
20. ſe habetad vnum, vnde multiplicando .25. cum .20. & productum diuidendo
per
vnum exregula de tribus, prouentus eſt idem numerus ipſius producti, & propte
rea
cum volumus multiplicare aliquem numerum per fractos hoc nihil aliud eſt
quàm
quærere aliquem numerum ita proportionatum ad ipſum numerum datum,
vt
ſe habet numerator ad denominatorem, exempli gratia ſi .24. aliquis voluerit mul
tiplicare
per duo tertia hoc idem eſt vt ſi quæreret numerum ad quem .24. ita ſe
habeat
, vt .3. ad .2. & idem dico de proportionibus, hoc eſt quod aliud non eſt mulri-
plicare
aliquam proportionem per fractos, quàm aliam proportionem quærere ad
quã data ſe habeat, vt denominator ſe hẽt ad numeratorẽ;
& hoc exregula de tribus
perficitur
, cõſtituẽdo denominatorẽ in primo loco, quilocus eſt diuiſoris, numerato
rẽ verò in ſecũdo loco, multiplicãdo poſteà pro
portionem
per numeratorẽ, & productũ diuidẽ
156[Figure 156] do per denominatorem, prouentus demum erit
proportio
, ad quam data ſe habebit, vt denomi-
nator
ſe hẽt ad numeratorem ex ratione ipſius re
gulę
de tribus.
Ratio verò methodi diuidẽdi vnã
datam
proportionẽ per fractos, ex ſe ſatis patet,
cum
idem ſit modus diuidendi quemhbet nume
rum
integrum per fractos.
Quare, quæ vnius,
& alterius eſt ratio.
THEOREMA CLIII.
NIcolaus Tartalea in .3. lib. quintæ partis numerorum ſoluit .24. quæſitum ſi-
bi
propoſitum à Hieronymo Cardano, via particulari & non generali.
Quæ-
ſitum
autem tale eſt quamlibet propoſitam rectam lineam in duas partes ita diuide
re
via Euclidis, ut cubus totius lineæ ad cubos partium ſe habeat in proportione
tripla
.
Tartalea igitur inquit quòd vt ſatisfiat ſpeculatiuis ingenijs ſoluendum ſit huiuſ-
modi
quæſitum, ſecando lineam propoſitam .a.b. in tres æquales partes, quarum vna
fit
.c.b. vnde problema ſolutum erit.
Verum dicit, ſed hæc non eſt methodus generalis, proptereà, quod cum tale
problema
alterius fuiſlet proportionis quam triplæ, talis methodus nihil valeret.
114102IO. BAPT. BENED. Quapropter non tacebo quod mihi in mentem venit circa hoc problema.
Sit ergo linea .a.b. diuiſibilis in puncto .c. ita vt cubum totius dictæ .a.b. lineæ ad
ſummam
cuborum ſuarũ partium .a.c. et .c.b. oporteat eam proportionem habére,
exempli
gratia, vt .125. ad .65. vt vitemus fracta pro nunc, notantes talem propor-
tionem
quadrupla nunquam maiorem eſſe poſſe, vt quilibet ex ſe contemplari po-
teſt
, conſtituendo punctum .c. in medio loco inter .a. et .b. vnde proportio totalis
cubi
ad ſummam partialium eſſet omnium maxima quæ poſſint eſſe, collocando .c.
vbi
volueris in dicta linea .a.b. & hæc eſſet quadrupla.
Sed vt ad propoſitum reuertamur, conſiderabimus cubum totalem ipſius .a.b.
eſſe
vt .125. & ſummam partialium vt .65. quam detrahemus ex cubo totali & nobis
remanebit
.60. pro ſumma trium ſolidorum inuicem æqualium, quorum longitu-
do
vniuſcuiuſque erit tota linea .a.b. nobis cognita vt radix dati cubi totalis, quæ erit
in
hoc exemplo quinque partium, latitudo verò vniuſcuiuſque dictorum ſolidorũ
erit
.a.c. pars maior ipſius .a.b. quæ quidem .a.c. adhuc nobis ignota eſt, profunditas
ſeu
altitudo vniuſcuiuſque illorum ſolidorum, erit .c.b. pars reliqua ipſius .a.b. & etiã
nobis
incognita, ſed quia ſumma horum trium ſolidorum nobis manifeſta ſuperius
fuit
, quæ erat .60. propterà nobis cognita erit quantitas vniuſcuiuſque illorum ſoli-
dorum
, vt tertia pars totius ſummæ ipſorum quæ erit .20. in propoſito exẽplo, dein
de
cum vnumquodque illorum ſolidorum producatur à ſuperficie contenta ſeu pro
ducta ab .c.a. in .c.b. in tota linea .a.b. ſequitur quòd ſi diuiſerimus hoc ſolidum .20.
per
lineam .a.b. quinque partium proueniet nobis cognita ſuperficies producta ab .
a
.c.
in .c.b. quatuor partium, ſed cum quadratum totius .a.b. nobis cognitum ſit, eo
quod
.a.b. vt eius latus etiam cognitum eſt.
Tunc dictum quadratum erit .25. quod
quidem
æquale eſt quadruplo illius quod fit ex .a.c. in .c.b. ſimul cum quadrato diffe
rentiæ
inter .a.c. et .c.b. per .8. ſecundi Eucli.
Vnde quia quadruplum illius quod fit
ex
.a.c. in .c.b. nobis cognitum eſt, vt
16
. eo quod ſimplum quod eſt .4.
157[Figure 157] inuentum fuit, ideo ſi hoc quadru-
plum
.16. demptum fuerit ex totali
quadrato
.25. reliquum erit .9. qua
dratũ ſcilicet vnius partis .a.c. ipſius
hoc
eſt illius partis, quæ differentia
eſt
inter a.c. et .c.b. quæ quidem erit .
3
.
partium quæ differentia cum ſub-
tracta
fuerit ex .a.b. reliquum erit du
plum
ipſius .c.b. duo ſcilicet.
Quare .
c
.b.
erit vt .I. et .a.c. vt .4. & productum .a.c. in .c.b. erit .4. vnitatum ſuperficialium.
& c.
115103
APPENDIX
DE SPECVLATIONE
REGVLAE
FALSI.
Nvnc idem ferè mihi accidit, quod & Michaeli Stifelio, à quo
cum
Petreius Tipographus nuper totam ſuam Arithmeticam re
cepiſſet
, mox poſteà per literas petijt explicationẽ regulæ falſi.
Similiter poſt inciſas omnes ſuperiorum Theorematum figu-
ras
, opereq́; Typographo commiſſo, amicus quidam omnium
ſcientiarum
ornatiſſimus maxima neceſſitudine mecum coniun-
ctus
monuit me, vt aliquid de regula falſi ſcribere vellem, cuius
ſuaſu
hæc, quæ ſequuntur appendicis vice ponere libuit, nelector, quidpiam quod
ad
hancrem pertinet iure merito à nobis deſiderare poſſet;
vt autem ad ipſam re-
gulã
accedamus Ego ſicut, & in alijs multis, ita & in huiuſcæ regulę inuentione cum
ipſo
Stifelio maximè conuenio, putans regulam falſi, ſeu falſarum poſitionum in-
uentam
fuiſſe per paruos numeros in quæſtionibus facillimis & cognitis, eodem fer
modo, quo ipſe monſtrat illis duobus exemplis, quæ quamuis ipſe appellet theo
remata
, nihilominus the oremata ego illa non vocarem, niſi adiuncta fuerit ſpecu-
latio
ab ipſo præterita, & non experientia tantummodo, vt ipſe fecit.
Primum eius
exemplum
eſt, quòd.
Quorumcumque duorũ numerorum differentia, ſi fuerit multiplicata in aggre
gatum
eorum, producit ipſam differentiam, quæ eſt inter quadrata eorum.
Secundum verò exemplum eſt, quod.
Datis tribus numeris ſecundum progreſſionem arithmeticam diſpoſitis, facit mul
tiplicatio
medij in ſe, quãtum multiplicatio extremorum inter ſe cum multiplicatio
ne
differentiarum inter ſe.
Talia enim exempla ipſe aliter non probat niſi experientia in aliquibus numeris,
arbitratus
ex eo inuentam eſſe regulam falſi, experientia tantummodo confirma-
tam
, quod quidem etiam & ego credo.
At experientia in philoſophia mathema-
tica
, aut nullã prorſus facit ſcientiã, aut omnino ſuperfluus fuit Euclides in multis
ſuis
propoſitionibus, & præcipuè in eius ſecundo libro, ſi ſufficeret experientia.
Id-
circo
quo magis ad euidentiam ipſius veritatis, quam profiteor, deuenire poſſim,
accipiã primò primum exemplum
ipſius
Stifelij hic ſuperius citatum,
& pro numero maiori, in prima hic
158[Figure 158] ſubſcripta figura .AE. accipio .a.i.
cuius
quadratum ſit .a.c: pro minori
vero
numero capio .a.e. partẽ ipſius
a.i. cuius quadratum fit .a.t. differen
tia
autem horum numerorum erit .
e
.i.
reliqua pars ipſius .a.i: & differen
tia
ipſorum quadratorum erit gno-
mon
.e.c.o: Nunc autem protraho .
i
.c.
latus quadrati maioris quouſque
c.n. æqualis ſit .a.e. numero minori,
perficioq́; rectangulum .e.n. quod
116104IO. BAPT. BENED. producitur ex .i.e. differentia in .i.n. aggregatum amborum numerorum, ſed hoc pro
ductum
excedit productum e.c: partem gnomonis dicti per .u.n. quod quidem .u.
n
.
æquatur ipſi .u.o. reliquæ ſcilicet parti ipſius gnomonis, .e.u. æqualis eft .i.c. qua
re
et .a.i. ſed .e.t. ęquatur .e.a. vnde .t.u. æqualis erit .e.i.
quare et .u.c: at cum .c.n. æqua
lis
ſit ipſi .a.e. erit etiam æqualis ipſi .
o
.t
.
quare .u.n. æqualis erit ipſi .u.o.
& tunc intellectus quieſcit, & abſq;
159[Figure 159] aliqua alia experientia verè ſcientifi
ceq́; dicere poteft, quòd.
Quorumcumque duorum nume-
rorum
differentia, fi fuerit multipli-
cata
in aggregatum eorum, producit
ipſam
differentiã, quæ eftinter qua-
drata
eorum.
Hæcautem propoſitio à me ipſo
etiam
in .60.
Theoremate huius libri
aliter
demonftrata fuit.
DE ſpeculatione autem, etſcientia ſecundi exempli, in ſecunda hic ſubſcripta
figura
.ω. cogitemus lineam .u.a. tribusin partibus arithmeticè diuiſam, qua
rum
maxima ſit .u.o. media. ſit .o.e. minima verò ſit .e.a. multiplicatio autem mediæ .
o
.e.
in ſe ſit quadratum .o.t. abſcindatur deinde ex .o.e: e.i. æqualis .e.a.
tunc .o.i. erit
differentia
inter .o.e. et .e.a. & æqualis differentiæ inter .o.e. et .o.u. ex hypotefi, quæ
quidem
.o.i. in ſe ducta procreabit quadratum .o.c. quod erit productum ex differen
tijs
ipſarum partium, & erit pars quadrati .o.t. ſuperius dicti, vt exſe patet.
Nunc
autem
dico gnomonem .i.t.n. æqualem eſſe ei quod fit ex .a.e. in .o.u.
Producatur igi
tur
.e.t. quouſque .t.r. æqualis ſit ipſi .o.i.
tunc .e.r. erit æqualis .o.u. quod etiam clarum
eſt
.
Claudatur ergo rectangulum .i.r. quod erit æquale producto ipſius .e.a. in .o.u.
Nam
.e.i. ſumpta fuit
æqualis
.e.a. ſed ex ra
160[Figure 160] tionibus in priori exẽ
plo
allatis, ꝓductum .
i
.r.
æquale erit gno-
moni
.i.t.n.
Nuncau
tem
verè, ſcientifice-
q́ue
poſſumus affirma
re
, quòd.
Datis tribus
numeris
ſecundũ pro
greffionem
arithme-
ticam
diſpofitis, fa-
cit
multiplicatio me-
dij
in ſe quantum mul
tiplicatio
extremorum inter ſe, cum multiplicatione differentiarum inter ſe.
Et ſic de alijs huiuſmodi inuentionibus infero.
DIcturus igitur aliquid circa regulã falſi, videtur mihi nullam oportere facere
mentionem
de origine huiuſcæ regulæ, cum in hoc Stifelius ſatisfecerit, ſed
117105THEOREM. ARITH. potius veras rationes propriaq́; fundamenta huiuſmodi operationis oftendere, fu-
mendo
eadem exempla propoſita abipſis practicis, & maximè à Nicolao Tartalea
viro
accuratiffimo, qui vbicunque potuit ſpeculatus eſt cauiſas ipſarũ operationum,
etſi
de huiuſmodi falſi regula circa finem cap .8. lib. 17. promittat poſtea loqui, nub-
libi
tamen loquutus eft.
Monendum etiam cenſeo, me nihil de rationibus regulæ
falſi
ſimplicis dicturum, cum ex ſeipſis ſatis appareant, quod non ita eſt de poſitio-
nibus
duplis.
Incipiam ergo à primo problemate lib. 17. ipſius Tartaleæ, quo etiã
ipſe
vtitur pro exemplo docendi gratia, ipſam regulam duplæ poſitionis, quod qui
dem
problema aliter à me ſolutũ fuit in .118.
Theoremate huius mei lib. quod ſimi
liter
ob hanc demum occaſionem mihi oblatam, alia etiam via, ſpeculatus ſumidem
poſſe
fieri, quæ quidem via ſeu methodus generalis erit, & ita ſe habet.
Accipio enim propoſitum numerum diuiſibilem, à quo detraho ſummam
datorum
numerorum, primo duplicato, eo quòd tam in ſecunda quam in
tertia
parte reperitur, vt in propofito exemplo, datus numerus eft, 50. à
quo
detraho ſummam dictorum numerorum, quæ eſt .11. nam tres, & tres, &
quinque
ſunt vndecim, eo quòd primus ingreditur in ſecunda, & in tertia parte,
dempto
igitur hoc numero .11. ex .50. remanet .39. qui quidem numerus intelligen-
dus
eſt pro ſumma trium partium ſimplicium adhuc incognitarum, à quo extrahen
da
eſt prima, eo modo quo nunc proponam exregula de tribus, hoc eſt aggregan
do
dictas partes ſimplices ſine aliqua additione vtcunque volueris (ſed commodius
erit
in minimis numeris) iuxta propoſitum, quod quidem propoſitum eſt, vt ſecun
da
pars dupla ſit primæ, tertia verò æqualis fit primæ & ſecundæ, quæ partes in di-
ctis
minimis numeris, ita diſpoſitæ erunt .1. 2. 3. quarum ſumma erit .6.
Nunc ſi ex
regula
de tribus dixerimus, cum hæc ſumma proueniat nobis ab vno, à quo proue-
niet
.39. et veniet nobis .6. cum dimidio pro prima parte quæfita in propoſito nume-
ro
.39. cum ergo habuerimus primam partẽ, reliquas poſteà illicò cognoſcemus.
Huiuſmodi verò operationis ratio ex ſe manifeſta patet, eo quòd proportio ſum
partium in minimis numeris ad primam eorum partem eadem eſſe debet, quæ
ipſius
.39. ad primam partem quæſitam huiuſmodi aggregati partium ſimpliciũ, ſed
quia
nemo adhuc, quod ſciam, ſatis animaduertit rationem modorum, qui ab anti-
quis
obſeruati ſunt, qui quidem modi duo ſunt circa hoc Helcataym duplæ falſæ
pofitionis
, igitur non prætermittam aliquid de hacreſpeculari, & primo de pri-
mo
modo.
In primis igitur ſciendũ eft,
161[Figure 161]Compositorum veritas ita inueniri poterit eo-
rum
modo, me diantibus ſimpli­
cibus
partibus, vt etiã median-
tibꝰ
cõpoſitis, ut in pręſenti exẽ
plo
pro primis pofitionibus ac-
ceperunt
.10. et .8. pro ſecundis
verò
compoſitis numero .3.
inuenerũt .23. et .19. pro tertijs
aũt cõpoſitis quinq;, notaue
runt
.38. et .32. vnde prima ſum
marefultauit
.71. ſecunda verò
59
. ita primꝰ error remanebat
21
. ſecũdꝰ aũt .9. vt in figura .A.
118106IO. BAPT. BENED.
SEDijdem errores proueniunt exſummis partium ſimplicium.
Vtexempli gratia, in figura .B. ſumma propoſita partium ſimplicium eſt .39.
vt
diximus, eo quòd ab ipſo .50. detraxerimus .11. ſumma ſcilicet numerorum adij
ciendorum
ad efficiendas partes compofitas, ſumma poſteà fimplicium partium
primæ
poſitionis, erit .60. eo quòd prima pars erat .10. ſecunda autem ſimplex 20.
tertia
verò fimplex .30. iuxta ordinem propoſiti.
Summa deinde ſimplicium partiũ
fecundæ
poſitionis effet .48. quia prima eius pars erat .8. ſecunda verò ſimplex .16.
tertia
autem ſimplex .24. vnde prima ſumma excederet datam .39. per .21. differen-
tiæ
, ſecunda verò per .9. vt ſupra vidimus de ſummis compoſitis à dato .50. compo-
fito
, & hoc quidem mirandum non eft, quod ſcilicet tres ſummæ fimplicium par-
tium
ſintinuicem inæqua-
les
, ijſdem differentijs me-
162[Figure 162]Simpricium diantibus, quibus differũt
dictæ
tres ſummæ compofi
, cum ab vnaquaque
poſitarũ ablatus fit nume-
rus
.11. æqualiter, vnde ex
neceſſitate
, permutando,
earũ differentiæ relinquẽ
erant æquales inuicem
ex
.78. theoremate hu-
ius
noſtri lib. ſummæ enim
compofitæ
erant .71. 59. et
50
. fimplices verò .60. 48.
et
.39. differentes à primis
per
.11. vt dictum eft, qua
re
veritas ita manabit à compofitis, quemadmodum à fimplicibus, ſed à fimplici-
bus
per ſe, & a compofitis per accidens vtiam iam videbimus.
ANtiquorumigitur primus m odus vtitur regula detribus, hocordine, multi-
plicando
ſcilicet ſecundum errorem, qui eft .9. cum differentia primarum par
tium
pofitarum, quæ eft .2. & productum diuidendo per differentiam errorum, quæ
eft
.12. proueniens poftea quod eft .1. cum dimidio additur hoc loco primæ parti ſe-
cundæ
poſitionis. &c. quòd benè ſe habet.
Vbi animaduertendum eſt, quod ille
numerus
.12. non eft accipiendus per ſe vt differentia errorum hoc eft .21. et .9. nifi
peràccidens
, fed benè perfe, vt differẽtia inter .60. er .48. ſimplices ſummas, quem
admodum
.9. in hoc propoſito eft differentia per ſe inter .48. et .39 per accidens ve-
ro
inter .59. et .50.
Cognoſcendum igitur eft mediante .24. quinti Eucli. quod eadem proportio
eft
primæ ſummæ (ſimplicium dico) ad ſuam primam partem, quæ ſecundæ ſum-
ad ſuam, & tertiæ ſummæ ad fuam fimiliter (vbi rectè etiam feciffent hoc in lo-
co
antiqui ſi multiplicauiffent tertiam ſummam fim plicem cum prima parte prioris
fummæ
fimplicis, & productum diuififfent per primam ſummam, vnde prima pars
quæſita
tertiæ ſummæ orta fuiffet, abſque ullo negotio ipfius plus velminus)
Quare
habebimus
tres terminos antecedentes ab vna parte, & tres terminos conſequen-
tesab
alia parte continentes vnam eandemq́; proportionem, vnde ex .19. quinti,
vel
.12. ſeptimi eorum differentiæ proportionales erunt, hoc eft, eadem propor­
119107THEOREM. ARIT. tio erit eius differentiæ, quæ eſt inter primam & fecundam ſummam, ad differen-
tiam
quæ eſt inter primas earum partes, quæ illius differentiæ, quæ eſt inter ſecun-
dam
& tertiam ſummam, ad differentiam, quæ eft inter primas illarum partes, ſed
harum
.4. differentiarum, tres nobis cognitæ ſunt, ideft .12. 2. et .9. ergo ex regula de
tribus
ab Eucli. in .20. ſeptìmi ſpeculata inueniebatur quarta differentia, quæ eft .1.
cum
dimidio.
A compofitis ſummis idem etiam proueniet, ſed non vt ex proprijs caufis, & per
ſe
, ſedper accidens.
Nam quamuis eadem differentia fit inter 71. et .59. quæ in-
ter
.60. et .48. & eadẽ inter .59. et .50. quæ inter .48. et .39.
Nihilominus non eft eadẽ
proportio
(propriè) ipſius .71. ad .59. quæ ipſius .60. ad .48. nec ea quæ ipſius .59. ad .
50
.
eft quæ ipſius .48. ad .39:
Vnde non erit eadem proportio ipſius .71. ad .59. quæ
ipfius
.10. ad .8. ne@ea quæ eft ipfius .59. ad .50. quæ ipſius .8. ad .6. cum dimidio.
Sed
minores
illis.
Nam ex æqualibus additamentis diminuuntur proportiones maio-
ris
inęqualitatis.
A fimplicibus igitur ſummis pendet ratio huiuſmodi effectus.
Si vero prima pars fecundæ poſitionis effet .4. tunc ſecunda eius pars effet .8. & ter-
tia
.12. quarum ſumma effet .24. (harum fimplicium partium ſeilicet) & minor vera
(39.) per .15. & differens à ſumma primarum. (60.) per .36. & differentia primarum
partium
effet .6. differentia vero primæpartis ſecundæ poſitionis, a prima parte quę
fita
effet .2. cum dimidio.
Vnde in huiuſmodi exemplo videre eft quare colligan-
tur
errores inuicem, quando alter eorum eccedit, reliquus vero deficit à numero pro
pofito
.
Quod quidem ob aliam caufam non fit, nifi vt cognoſcatur differentia .36.
differentia
ſcilicet ſimplicium ſummarum ipſarum poſitionum.
Secundus autem modus ab antiquis magis exercitatus eſt, quod multiplicabant
diametraliter
errores cum primis partibus, hoc eſt primum errorem cum prima par
te
, hoc eſt cum numero ſecundæ poſitionis, ſecundum vero errorem cum prima
parte
, hoc eſt cum numero primæ poſitionis, differentiam poſteà vel aggregatum
horum
duorum productorum diuidebant per differentiam vel aggregatum dicto-
rum
errorum, proueniens poſteà erat prima pars quæſita numeri propoſiti.
Vn-
de
oriebantur tria producta, quorum tertiũ, hoc eſt differentia, ſeu aggregatum il-
lorum
conſtituebatur ex differentia feuaggregato errorum, & ex numero quæ-
fito
.
Vtin præfenti exemplo, primus error eſt .21. qui multiplicatus cum prima par-
te
ſecundæ poſitionis, quæ eſt .8. producit .168. ſecũdus verò error eſt .9. qui multi-
plicatus
cum prima parte primę poſitionis producit .90. differentia autem horum
productorum
eſt .78. quæ diuifa per differentiam errorum, quæ eſt 12. dabit .6. di
midio
, pro prima parte quæſita dati numeri diuiſibilis, qui erat .50.
Hæc omnia rectè ſe habent. Sed, vt ſupra dixi diuiſor non eft per ſe differentia
errorum
, neque etiam differentia per ſe ſummarum compoſitarum, fed bene fim-
plicium
.
Pro cuius rei ſpeculatione, accipiendæ ſunt ſummæ ſimplices, quarum differen-
tiæ
per ſe vtiles ſunt in huiuſmodi operatione;
& quia etiam rationes veritatis ex
iſtis
, & non ex illis fluunt;
quamuis tam vnæ, quam aliæ ſint eædem in quantitate,
ideſt
æquales.
120108IO. BAPT. BENED.
Diſponantur igitur huiuſmo-
163[Figure 163] di numeri tali ordine, vt fim-
plex
ſumma, quæ ab vna reli-
quarum
ſuperatur, & aliam ſupe-
rat
, medium locum teneat;
@t
in
propoſito exemplo ſumma
mediocris
eft .48. quę à ſumma .
60
.
ſuperatur, & ſuperat ſum-
mam
.39. locata igitur fit hęc .48.
inter
illas, ſuæ verò primæ partes
fimiliter
conftitutæ ſint ſupra di-
ctas
ſummas, cum ſuis differẽtijs,
& tria producta iam dicta, vt in fi
guris
.C. et .D. arithmeticis
clarè
patet:
figura enim .C. eft
pro
exemplo ipſius plus ſimpli-
citer
:
figura verò .D. pro exem-
plo
ipſius plus, & minus.
Et fic
164[Figure 164] in figura .C. habebimus tres
numeros
confequentes .60. 48.
39
. & tres antecedentes .10. 8.
6
. cum dimidio, vnam, & ean-
dem
proportionem terminantes,
ex
.24. quinti, vt diximus;
qua-
re
eorum differentiæ fimiliter
proportionales
erunt, quod etiam
vidimus
.
Supponamus nunc nos
ignorare
æqualitatem maximi
producti
cum reliquis duobus,
accipiendo
ſolum pro hypoteſi,
quòd
dicta producta oriantur
ex
lateribus iam dictis.
Demonſtrandum nobis nunc relinquetur, maximum productum æquale effere-
liquis
duobus;
hoc eſt productum .168. æquale effe productis .90. et .78. quorum
duorum
productorum alterum .90. ſcilicet, generatur à differentia .9. quæ eft ſe-
cundę
, & tertię ſummæ, in primum numerum antecedentem, qui eſt .10. alterum vc-
ro
productum .78. ſcilicet, generatur à differentia .12. quę eſt primę, & ſecundę, ſum
in tertium numerum antecedentem, qui eſt .6. cum dimidio, maximum vero
productum
.168. ſcilicet generatur à differentia maxima .21. quę eft primę, & tertię
ſummę
(& ſemper ęqualis prioribus duabus differentijs .12. et .9.) in ſecundum nu-
merum
antecedentem, qui eſt .8.
Conſtituantur igitur duo producta fimul iuncta ęqualia duobus .90. et .78.
lateralibus
ſupra vnam aliquam rectam lineam .q.p. fitq́; productum .f.g. ęquale .
90
.
productum verò .g.n. ęquale .78. fit etiam baſis .g.p. vt .9. et .g.q. vt .12. vnde .g.i.
vel
.q.n. erit vt .6. cum dimidio .et .g.d. vel .p.f. vt .10. & ideo .i.d. differentia erit .3.
121109THEOREM. ARIT. cum dimidio, ut in figura .C. geometrica hic ſubſcripta videre licet, et .q.p. erit .21.
Cogitemus
nunc differentiam .d.i. diuiſam eſſe in puncto .e. ita vt eadem proportio
ſit
ipſius .d.e. ad .e.i. quæ ipſius .q.g. ad .g.p. hoc eſt vt .1 2. ad .9. quapropter .d.e. erit .
2
.
et .e.i. erit .1. cum dimidio, vt in dicta figura .C. arithmetica reperiuntur eſſe dif-
ferentiæ
ipſorum antecedentium numerorum, deinde à puncto .e. ducatur imagina-
tione
.u.e.o. æ quidiſtans ipſi .q.p. & producatur .q.n. vſque ad .u. vnde ita ſe habebit
u.e. ad .e.o. ut .q.g. ad g.p.
quare vt .d.e. ad .e.i. ideo ex .15. ſexti vel .20. ſeptimi .n.e.
rectangulum
æquale crit ipſi .e.f. qua propter rectang ulum .q.o. æquale erit duobus
rectangulis .f.g. et .g.n: ſed cum .g.i. ſit vt .6. cum dimidio, et .i.e. vt .1. cum dimidio, er
go
.g.e. erit ut .8. qui quidem numerus multiplicatus cum .q.p. 21. producit .168. ve
rum
eſt igitur quod dictum fuit, hoc eſt maximum productum ęquale ſit reliquis
duobus
.
165[Figure 165] 166[Figure 166]
122110IO. BAPT. BENED.
DEmpto poſteà quo volueris horum altero productorum ex maximo, diuiſoq́;
reliquo
per differentiam conſequentium, ipſi diametraliter oppoſitam, pro
ueniet
tibi numerus antecedens correſpondensq́; illi.
Animaduertendum tamen eſt, quòd ſi in figura à me ita ordinata, ſumma ſim-
plex
propoſita medium locum occuparet, vt in figura .D. arithmetica videri poteſt;
tunc vt habeatur eius productum, addenda ſimul erunt circunſtantia producta .eo
eius ſecundum latus eſſet antecedens medio loco conſtitutum, & prima pars quę-
ſita
numeri propoſiti:
in qua figura .D. manifeſtè patet ratio, quare colligendi ſint
tam
errores, quam producta, dum eorum alterum eſt plus, reliquum verò minus.
Speculatio figurę .D. arithmeticę videbitur in figura .D. geometrica, eodem fe
modo quo fecimus in figuris .C. mutatis mutandis, reſpectu ipſius plus, & minus.
Collectio namque errorũ ſimiliter accidentalis eſt, eo quod eſſentialis numerus
diuiſor
per ſe, eſt maxima differentia ſummarum ſimplicium, vt in dicta figura .D.
cerni
poteſt.
Sed vt ſuperius dixi, nunc etiam repeto, quòd rectè hoc loco multiplicabatur
ſumma
ſimplex propoſita, cum prima par
te
primę poſitionis, vt productum diuide
retur
per primam ſimplicem ſummam,
167[Figure 167] vnde proueniret nobis pars prima quęſi-
ta
noſtri numeri propoſiti, ex regula de
tribus
, vnica poſitione.
Vt exempli gratia, datus numerus diui
dendus
ſit .100. in quinque partes, tales
verò
, ſecunda duplo maior ſit prima
cum
.2. ſimul, tertia autem æqualis ſit pri-
& ſecundæ cum .3. vnitatibus iunctis,
quarta
poſteà maior ſit prima ſecunda, &
tertia
per .4. vnitates, quinta demum ſu-
peret
reliquas omnes per quinque vnita
tes
, vt in figura .E. videre eſt, quæ quidem
partes
compoſitæ (ſumpta vnitate pro
prima
) ita diſpoſitæ erunt .1. 4. 8. 17. 35.
quarum
ſumma erit .65. ſimplices autem
cum
diſpoſitæ fuerint erunt .1. 2. 3. 6. 12.
quarum
ſumma erit .24. dempta igitur
cum
fuerit hæc ſimplex ſumma .24. à com
poſita
.65. reſiduum erit .41. hoc eſt ſum-
ma
numerorum propoſitorum cum ſuis
iterationibus
in ipſis partibus, quod cum
per
ſe clariſſimum ſit, ſuperſluum eſt ipsã
ſummam
annatomizare per ſingulas par-
tes
, niſi quis habuerit eius cerebrum à fi-
gura
Omega terminatũ, cui tamen poſ-
ſemus
dicere dictam ſummam .41. in .4.
partes
diuidi, cuius prima eſſet .2. pro ad
ditione
ad ſecũdam partem ſimplicium,
123111THEOREM. ARIT. ſecunda verò eſſet .5. pro additione ad tertiam partem ſimplicium, tertia autem eſ-
ſet
.11. pro additione ad quartam partem ſimplicium, quarta demum eſſet .23. pro
additione
quintæ partis ſimplicium, quarum partium .2. 5. 11. 23. ſumma eſt .41. vt
diximus
.
Hæc igitur ſumma .41. ſubducenda eſt à numero .100. propoſito, vnde re-
linquetur
.59. pro ſumma partium ſimplicium numeri propoſiti, quarum prima erit
2
. cum vndecim vigeſimisquartis ex diuiſione huiuſmodi .59. per .24. ſummam par-
tium
ſimplicium ex viregulæ de tribus, dicendo ſi .24. prouenit nobis ab .1. prima
partium
ſimplicium, à quo proueniet nobis .59?
vnde proueniet à .2. cum vndecim
vigeſimisquartis
pro prima parte quæſita, ſecunda verò iuxta propoſitum, erit .6.
cum
.22. vigeſimisquartis, tertia autem .12. cum nouem vigeſimisquartis, quarta po­
ſteà
.25. cum .18. vigeſimisquartis, quinta demum erit .52. cum .12. vigeſimisquartis,
quarum
omnium ſumma erit .100.
STifelius in primo exemplo regulæ falſi, ita inquit.
Quæratur numerus, à cuius dimidio ſubtractæ partes tertia, & quarta relin-
quatur
.300.
Ipſe enim ſupponit .300. pro reſiduo cognito alterius numeri incogniti, deinde
accipit
.24. pro prima poſitione numeri cogniti, à cuius medietate abſcindit tertiam
& quartam partem ipſius medietatis, vnde remanet .5. qui quidem numerus .5. ex .
22
.
quinti vel .15. ſeptimiſe ha-
bebit
ad .24. vt .300. ad numerũ
168[Figure 168] quæſitum,
quare cum quis multi
plicauerit
.300. per .24. & produ-
ctum
diuiſerit per .5. proueniet .
1440
.
numerus quæſitus, ex vi
regulæ
de tribus.
Conſideremus igitur meã di-
ſpoſitionem
numerorum huiuſ-
modi
exempli, in figura hic ſup-
poſita
.F. in qua videre licebit
quo
pacto ipſe etiam Stifelius ac
cipiat
diuiſorem .5. vt differentiã
errorum
& non ut differentiam
duorum
conſequentium .5. et .10
ſicuti
eſt re uera, ut diuiſor dico,
ex
rationibus à me hic ſupra ad-
ductis
, quamuis vna & eadem ſit
quantitas
neceſſariò ut patet.
ACcipiamus adhuc aliud exemplum à Tartalea propoſitione .9. datũ, & oppoſitũ
priori
;
nam ſicut in illo numerus ſimplex habebatur per ſubtractionem ſum-
numerorum adijciendorum, in hoc fitèconuerſo, hoc eſt per additionem nu-
merorum
ſubtrahendorum.
Problema igitur ita ſe habet. Fuit quidam mercator qui habebat aliquot au-
reos
, cuius quantitas poſteà quærenda erit, hic enim fecit duo itinera, ut aliquod
dictis
aureis mediantibus lucrum faceret, in primo autem itinere duplicauit nume-
rum
ſuorum aureorum, ex quibus poſteà conſumpſit .4. pro aliquibus expenſis, in
124112IO. BAPT. BENED. ſecundo itinere iterum duplicauit ſuos aureos, ex quibus etiam poſtea conſumpſit .
8
.
numeratis poſteà pecunijs reperit tantummodo .24. aureos in eius marſupio, quę­
ritur
nunc quot habebat aureos in principio primi itineris.
Intali caſu, cum ipſe quolibet itinere duplicabat eius pecuniam, nulli dubium
eſt
quòd in fine ſecundi itineris ipſe habuiſſet pecuniam ſuam quadruplicatam, ſi
ex
ipſa nihil detractum fuiſſet, ſed quia in fine primi itineris conſumpſit .4. aureos,
quibus
alios .4. lucratus eſſet in ſecundo itinere, poſteà conſumpſit iterum .
8
.
aureos, ita ex quadruplo ſuæ primæ pecuniæ, rectè dici poteſt, quod conſum-
pſerit
.16. aureos;
qui quidem numerus ex communi conceptu erit differentia in-
ter
.24. & quadruplum prioris pecuniæ, cum qua profectus fuit in principio eius iti-
neris
;
quapropter ſi addiderimus .16. ipſi .24. habebimus .40. pro quadruplo eius
prioris
pecuniæ.
Rectè igitur dici poteſt, ſi .4. prouenit ab vno, à quo numero pro
ueniet
.40.
Videamus igitur nunc quo pacto hoc reſpondeat cum methodo antiquorum.
Ego enim inueni duas poſitiones ſcriptas à Tartalea pro prima pecunia hoc eſt .12.
et
.14. ſed à .12. pro primo errore reperi .8. more antiquo à .14. verò pro ſecundo er-
rore
proueniebat .16. producta autem horum numerorum diametraliter, ſunt .112.
et
.192. quorum differentia eſt .80. pro tertio producto, quo diuiſo per differen-
tiam
errorũ .8. ſcilicet, præbetnobis .10. pro pecunia quæſita, vt etiam ego inueni.
Sed hoc mihi viſum eſt ſubtilius examinare mea methodo mediante, vtin figu-
ra
.G. videre eſt, prius enim ſuo loco poſuitria producta dicta, deinde duas poſitio
nes
.12. et .14. & quia ſciebam productum .112. oriri à multiplicatione .14. cum .8.
ideo
poſui talem numerum .8. ſuo loco diametraliter oppoſito ei producto .112.
& quia ſciebam etiam productum .192. naſci ex .12. et .16. ideo ſuo loco poſui hunc
numerum
.16. qui eſt maxima differentia inter duos conſequentes ( ita à me ſupra
nominatos
) à qua differentia dempta priori .8. iam inuenta, reliqua .8. mihi daba-
tur
, quã ſuo loco notaui, ſuo etiã
loco
ſcripſi .2. differentiam inter
12
. et .14. antecedentium.
ſed
169[Figure 169] quia ſciebam eandem proportio
nem
eſſe inter hanc differentiam
& differentiã .8. huic ſuppoſitã,
quæ
reperitur inter .12. antecedẽ
tem
, & ſuũ conſequentem;
ideo
poſui
.48. pro dicto conſequenti,
diuiſi
poſtea productum .80. per .
8
.
differentiam ei diametraliter
oppoſitam
, vnde prouenit mihi
10
. cui ita proportionatus eſt ſuꝰ
numerus
conſequens .40. vt .48.
ad
.12. et .56. ad .14. exijſdem ra-
tionibus
à meſupra dictis.
In tali igitur figura videntur nu-
merinaturaliter
correſpondẽtes
ipſis
poſitionibus, & hac metho-
do
poſſumus inuenire tales numeros conſequentes in omnibus alijs exemplis à no-
ſtris
maioribus ſcriptis.
125113THEOREM. ARIT.
PRoponitur etiam quoddam vas, cuius pes ſit quarta pars totius vaſis cum oper
culo
, pars autem media ſine operculo, ſit quinta pars ipſius pedis, operculum
verò
.18. libras pendeat.
quæritur nunc quantitas dicti pedis.
Ex methodo enim antiquorum inuentus eſt pes .4. cum .14. decimisnonis ta-
lium
partium, ſeu librarum, qualium operculus eſt .18.
Videamus igitur & nos ex
noſtra
figura, quo pacto hoc reſpondeat veritati.
Inuenta enim ſunt tria producta, orta ex dicta methodo .10. 100. 90. quæ ſuis
locis
notaui, vt in ſigura .H. ſubſcripſi etiam duas illorum poſitiones .5. et .10. cum
ſua
differentia .5. & cum productum .10. oriretur ab vno latere .10. reliquum erat .
1
.
quod ſuo loco notaui, ſimiliter quia .100. productum, pro vno eius laterum erat .
5
.
reliquum autem .20. ſuo loco poſui, & quia differentia inter .20. et .1. duo latera,
quę
eſt .19. æqualis eſt ei, quæ inter duo conſequentia duarum poſitionum, etiam
ſuo
loco ipſam conſtitui, ſed quia hæc differentia eſt vnum laterum producti .90. er
go
reliquum latus quæſitũ erit .4. cum .14. decimisnonis, rectè igitur operatur.
ſed cum eadem proportio ſit inter differentiam .5. ſuperiorem, et .19. inferiorem,
quæ
eſt vnius antecedẽtis ad ſuum
conſequens
,
quare .10. antecedẽs
habebit
pro ſuo conſequenti .38.
170[Figure 170] et .5. habebit .19. et .4. cum .14. de-
cimisnonis
habebit .18. rectè igit̃
dictum
fuiſſet ſi .19. prouenit .à .5.
à
quo proueniet .18?
Huiuſmodi autem rei ratio ita
ſe
hẽt, eſto linea .a.e.u. cuius pars
a
. ſit quarta reliquarum .e.u. iuncta
rum
, ſed .e. ſit quinta ipſius .a.
Tunc
clarum
erit quod .e. erit vigeſima
dictarum
.e.u.
quare erit decima-
nona
ipſius .u. ſed u. sũpta ſit vt .
18
.
rectè igitur dici poteſt, ſi .u: ut .
19
.
prouenit ab .a. ut quinque, à
quot
ipſius .a. proueniet .u. ut .18.
Quis enim non uidet quod diui
ſa
cum fuerit .u. in partes .19. quod
quinque
illarum æquabuntur ipſi .
a
.
cum quælibet fuerit æqualis .e.
quintæ
parti ipſius .a.
HAc igitur mea numerorum diſpoſitione mediante reperiuntur ipſi numeri in
feriores
naturaliter conſequentes, correſpondentesq́ue ipſis ſuperioribus an
tecedentibus
;
quamuis multoties cõtingere poſſit, ut generationes ſeu com-
poſitiones
ipſorum ignorentur:
& quia tam à differentijs errorum, quam ab illis,
quę
ſunt inter ueros conſequentes numeros ( propter eorum æqualitatem ) elicitur
ipſa
ueritas, proptereà rectè antiqui illis vſi ſunt, quamuis ſint potius ſenſum
ſequuti
, uel experientiam, quam rationem:
quæ quidem ratio pendet ab ipſis na-
turalibus
numeris conſequentibus ( ut ſupra uidimus ) etſi incognitis ut plurimum,
quod
ſi ipſos inuenire primò nobis datum fuiſſet, unica tantũmodo poſitio ſuffice-
126114IO. BAPT. BENED. ret, mediante ipſa regula de tribus, vt ſępius dictũ eſt, quod etiã clarè patet ex di-
uerſis
problematibus .17. lib. ipſius Tartaleæ, vt ex primo, quod aſſumpſimus pro
noſtro
etiam primo exemplo, ex .9. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 27. 28. 29. 30. 33. & ex
alijs
multis, vbi facillimè inue nitur conſequens ipſius poſitionis, qui quidem nume-
rus
eſt diuiſor producti ipſius numeri propoſiti in numerum poſitionis, vnde poſteà
prouenit
ſecundũ latus huiuſmodi producti, hoc eſt numerus quæſitus, per regulã
de
tribus, vt dixi.
Alia verò multa problemata inueniuntur, pro quorum re@olutione poſſumus ali
qua
methodo vti, in qua manifeſtè pateant eorũ rationes abſque regula falſi, cuius
regulæ
rationes non ita promptè ipſi intellectui ſe offerunt, vt ſupra vidimus.
Accipiamus pro exemplo .21. problema ipſius Tartalæ in dicto .17. libr. vbi ſup-
ponit
vnum hædum diuiſum in .4. partes, quarum quælibet vendebatur eodem pre
cio
, interiora vero .6. denarijs minus quam quælibet dictarum partium, ſumma
autem
omnium iſtorum denariorum fuit .127. quæritur nunc precium cuiuſque
partis
.
Tale enim problema hoc etiam alio breuiori modo poteſt ſolui, vt rationes ma-
gis
pateant, quam ex regula falſi.
Nam ſi illi numero .127. denariorum, additus fuerit numerus .6. ſumma erit .133.
qua
diuiſa per quinque, illico proueniet .26. cum tribusquintis pro precio vniuſcu-
iuſque
quatuor partium, à quo .26. cum tribusquintis dempto .6. remanebit .20. cum
tribusquintis
pro precio interiorum.
Simili modo in .24. problemate inquit.
Duodecim pyra cum .28. pomis venduntur .36. denarijs, et .20. pyra. cum .200 po
mis
vẽduntur .44. denarijs, quærit̃ nunc, quod fuerit preciũ vniuſcuiuſq; illorum.
Hoc etiam problema, hac alia methodo ſolui poteſt, dicendo exregula de tribus,
ſi
ex .20. vtrorunque qui ea vendit, vult .44. quid volet ex .12?
manifeſtũ erit quod
volet
.26. cum duobus quintis,
quare .12. pyra cum .12. pomis valebunt .26. cum duo
bus
quintis, ſed 12. cum .28. pomis valebant .36. ergo .16. poma ſola valebunt .9.
cum
tribus quintis, hoc enim clarè ex ſe patet;
quare cum dixerimus, ſi .16. poma ſo
la
valent .9. cum tribusquintis, vnum valebit .o. cum tribusquintis, ſed quemadmo-
dum
.20. pyra cum .20. pomis valent .44. vnum pyrum, cum vno pomo valebunt .2.
cum
quinta parte, à quo numero detractus cum fuerit .o. cum tribus quintis, precio
ſcilicet
vnius pomi, reliquum .1. cum tribusquintis, erit precium vnius pyri.
Idem etiam dico de .28. problemate, vbi ſupponit quod quidam comparaſſet
quatuor
petias, vt vulgo dicitur, panni pro ducatis .96. quarum primæ precium ob-
litus
ſit, ſed memoria tenet pro ſecunda ſoluiſſe .6. plusquam pro prima, & pro ter-
tia
ſoluiſſe .8. plus quam pro ſecunda, & pro quarta ſoluiſſe .10. plus quam pro ter-
tia
, quæritur nunc quantum fuerit precium vniuſcuiuſque illarum.
Quod quidẽ problema
171[Figure 171] breuius eſſetita ſolui, vt in
ſubſcripta
figura .I. videri
poteſt
, addẽdo ſimul omnes
exceſſus
.
Nam exceſſus ſecũ
ſupra primam eſt .6. ſed
cum
exceſſus tertiæ ſupra ſe
cundam
ſit .8. ergo exceſſus
tertiæ
ſupra primam erit .14
127115THEOREM. ARIT. ſed exceſſus quartæ ſupra tertiam eſt .10. vnde ſupra ſecundam erit .18. & ſupra pri-
mam
erit .24. quæ omnia ſimul addita erunt .44. & in qualibet harum trium remane-
bit
una pars æqualis primæ quantitati,
quare ſi ex .96. detractus fuerit numerus .44.
reliquus
52. erit quadruplus primæ,
quare prima pars valebit .13. ſecunda .19. ter-
tia
.27. & quarta .37. quarum omnium ſumma eſt .96.
EX poſitionibus autem Tartaleæ in noſtra figura .K. digeſtis, videre poſſumus
quo
pacto colligãtur huiuſ
modi
conſequẽtes numeri ſimpli-
ces
.36. et .52. more figuræ .E. quia
172[Figure 172] colliguntur primò partes compoſi
.9. 15. 23. 33. ex quarum ſumma
80
. ſubtrahitur .36. ſumma ſim-
plex
ex ſimplicibus partibus .9. 9.
9
. 9. & reſiduũ quod eſt .44. ſubdu
citur
ex .96. ſumma compoſita &
propoſita
, vnde remanet .52. pro
ſumma
ſimplici, ex numero dato,
cuius
proportio ad .13. eadem eſt
quæ
.36 ad .9. & proptereà ſuper-
flua
eſt ſecunda poſitio, quãdo ſci
mus
inuenire tales duos numeros
conſequentes
, vt in hoc exemplo
ſunt
.36. et .52. quia ex regula de
tribus
poſteà elicitur veritas quæ-
ſita
.
Idẽ dico de 33. problemate.
PRO quo .33. problemate acci
piantur
poſitiones primi exẽ
pli
Tonſtalli hoc eſt .33. et .31. vt in figuris hic ſubiectis .P.Q. facile quis poteſt vi-
dere
, vbi in figura P. videbit nume-
ros
compoſitos, in figura verò .Q. cer
173[Figure 173] net numeros ſimplices, à quibus pro
ueniunt
rationes per ſe huiaſmodi
operationis
, in figura autem .R. vide
bitur
meus ordo, & iſtæ tres figuræ ſi
miles
erũt tribus illis primis .A.B.C.
ita
quòd cum quis illas intellexerit, il
lico
etiam iſtas cognoſcet, vbi etiã
videbit
quam confusè ratiocinẽtur ij
qui
ignorant hunc meum ordinem
ſimplicium
numerorũ, à quibus fluit
tota
ratio (vt ſupra dixi) huiuſcemo
di
operationis.
128116IO. BAPT. BENED. 174[Figure 174] 175[Figure 175]
I Dem etiam poteſt dici de .15. problemate (ſicut de alijs multis) vbi ponit tres
homines
habentes .40. aureos quorum primus habet duas quintas partes ſecun-
di
, ſecũdus verò quinq; octauas tertij, quærit̃ nũc quot ducatos habeat vnuſquiſque.
Quis non videt quæſo, omnes partes erunt .15. quare cum dixerimus ſi .15. dat
nobis
.2. (pro prima portione primi hominis) quid dabit .40?
vnde nobis proueniet
5
. cum tertia parte.
Et de .29. ſimiliter aſſero, vbi ponit aliũ emiſſe tria fruſta panni pro ducatis .48.
quarum
ſecundam habuit pro dimidio precio primæ, tertiam autem pro quarta
parte
ipſius ſecundæ,
quare omnes partes erunt .13. quapropter precium tertiæ pe-
tiæ
erit tertiadecima pars ipſius .48. hoc eſt .3. cum .9. tertijs decimis.
Adhuc duo exempla videtur mihi proponere, quorum primum eſt .38. eiuſdem
lib
. vbi ſupponitur operarium quendam velle perficere opus quoddam ſpacio die-
rum
.36. tali pacto, quod qualibet die, in qua ipſe operaturus ſit lucretur ſolidos .
16
.
qualibet verò die, in qua nihil agat perdat ſolidos .24.
Tunc accidit, vt exacto
termino
perfectoq́; opere, tantum lucratus ſit, quantum perdiderit.
Quæritur nũc
quot
fuerint dies lucri, quotúe perditionis.
Huiuſmodi problematis operatio breuiſſima abſque vlla falſa poſitione ita erit,
hoc
eſt diuidendo productum .36. in .24. per .40. ideſt per aggregatum ipſius .24.
16
. & prouentus erit .21. cum tribus quintis pro diebus lucri, vnde reliquum ex .36.
erit
.14. cum duabus quintis pro diebus perditionis.
Cuius operationis ratio ex ſe ſatis patet, cum duo producta, vnum lucri, alterum
vero
perditio-
nis
æqualia eſſe
176[Figure 176] debeant, vnde
ex
duodecima,
& vigeſimaſepti
mi
ex regula de
tribus
reperiun
tur
partes ipſius
36
. eodem mo-
129117THEOR. ARITH. do ſe inuicem habentes, vt .24. et .16. quæ ſunt .21. cum tribus quintis, et .14. dua
bus
quintis, ex quo ſequitur, vt quod fit ex .21. cum tribus quintis, in 16. ęquale ſit ei
quod
fit ex .14 cum duabus quintis, in .24. & ita reperiuntur duo producta æqualia,
vnum
lucri, reliquum vero perditionis, vt in figura .M. clarè videtur.
A Liud verò exemplum eſt .39. quod quidem à ſuperiori non differt, niſi quod
in
fine operationis, operarius dictus lucratus eſt ſolidos .60:
quęritur nũc vt ſu-
pra
, quot fuerunt dies lucri, & quot perditionis.
Hoc etiam abſque vlla falſa poſitione dicto citius poteſt ſolui, hoc modo, diuidẽ
do
ſcilicet illos .60 ſolidos per .40. ideſt per aggregatum .24. cum .16. proueniens
autem
, quod erit .1. cum dimidio, adde ad latus ſuperius inuentum, hoc eſt .21. cum
tribus
quintis, & ſunima erit .23. cum decima parte pro numero dierum lucri, dein-
de
idem prouentum deme ex alio latere ſuperius reperto .14. cum duabus quintis, &
refiduum
erit .12. cum nouem decimis, vnde habebis numerum dierum perdi-
tionis
.
Pro cuius rei ſpeculatione cogitemus in figura .N. duo dicta producta inuicem
æqualia
.o.b. et .n.c. exiſtente latere .u.c. vt .24. u.o. ut .16:
b.u. vt .21. cum tribus quin
tis
, et .u.n. vt .14. cum duabus quintis.
Nunc verò ſi mente concepta fuerit recta .e.
a
.t.
æquidiſtans .o.c. ita vt rectangulum .o.e. ſit .60.
tunc rectangulum, ſeu productum
b.t. ſuperabit rectangulum ſeu productum .n.e. per idem .60. ex communi conceptu,
eo
quòd ex producto .n.c. ſublatum eſt productum .a.c. 24. & producto .o.b. additum
eſt
productum e.a. 16. rectè igitur feci cum diuiſerim .60 per .40. vnde prouenit mi
hi
.u.a. ideſt .1. cum dimidio, quod additum ipſi .b.u. compoſuit .b.a. & dempto ex .u.
n
.
relinquit .a.n. pro lateribus duorum productorum .b.t. et .n.e.
Sed ſi idem operator perdidiſſet .60. tunc cogitaremus parallelam dictam .e.a. t
ſuperius
ductam eſſe ita vt ſecaret .b.u. & non .u.n. vnde adderet .24. ipſi producto .n.
c
.
& d@meret .16. à producto .b.o.
177[Figure 177]
CIRCA verò talia quæſita videtur mihi non inutile fore ſi aliquid notatu di-
gnum
aduerterim, hoc eſt quod ſæpe accidere poterit ut caſus impoſſibiles
proponantur
.
Quemadmodum ſi aliquis diceret, cupio mihi ueſtimentum con-
ficere
ex duobus pannis colore & pretio differentibus, quorum unus exempli gra-
130118IO. BAPT. BENED. tia ſit albus, rubeus uerò alter, deinde albus ſit pretij .40. ſolidorum uniuſcuiuſ-
que
cubiti, rubeusuerò precij .50. uellemq́ue omnes cubitos eſſe .8. nec plus
nec
minus.
Vellem etiam ſoluere ſolidos 450. neque minus.
Hic igitur caſus impoſſibilis eſt, eo quòd .8. cubiti totius rubei eſſent precij ſo-
lidorum
.400. tantummodo, unde ex alio panno albo minoris precij ſumere ali-
quid
non poſſumus.
Idem etiam eueniret ſi uoluiſſet ſoluere ſolidos .320. neque plus, eo quòd .8. cu-
biti
illius minoris precij, hoc eſt .40. ſolidorum, eſsent ualoris .320. ſolidorum tan
tummodo
, quare pro alio panno nullus eſset locus.
Animaduertendum igitur erit
quod
numerus poſſibilis ad ſoluendum tale quæſitum erit inter .400. et .320. & non
extra
iſtos terminos, vt vnicuique patere poteſt.
Similiter idem in hoc alio caſu accidere poterit, ut ſi quis diceret.
Emi quinque petias panni pro aureis .55. pretium tamen primæ oblitus ſum, ſed
memoria
teneo, quòd ſecunda altioris pretij erat quam ipſa prima per .4. & ter-
tia
precioſior ſecunda per .7. et quarta carior tertia per .9. quinta verò ſuperabat
quartam
per .2.
Hic etiam reperitur impoſſibilitas quædam, eo quòd aggregatum omnium ha-
rum
rerum, dato etiam quòd pro prima nihil ſolutum eſſet, ſuperat aureos .55 quòd
quidem
nullo pacto fieri poteſt, vt veri ſint ſupra dicti exceſsus, ſi verus eſt numerus
totalis
aureorum .55.
Nam .4. cum .7. faciunt .11. qui quidem .11. cum .9. efficiunt .
20
.
& hic cum .2. facit .22. ſed .22. cum .20. et .11. et .4. dant .57. qui numerus maior
eſt
quam .55.
FINIS THEOREM. ARIT.
131119
DE RATIONIBVS
OPERATIONVM

PERSPECTIVAE
.
CAP.I.
CVM nullus adhuc (quod ſciam) veras internasq́ cauſas
operationis
perſpectiuæ perſectè docuerit, operæpre-
cium
exiſtimaui aliquã de ijs diſputationem ſuſcipere.
Multi enim eorũ, qui huiuſmodi operationis regulas
præſcribunt
, cum eius effectuum veras cauſas igno-
rent
, varios diuerſosq́; errores committunt, vt exempli
gratia
in ſubſcripta figura ſuperficiali .A. volentes degra
dare
(vt dicunt) rectangulum .q.a. in triangulo .i.d.q. du-
cunt
parallelã ipſi .q.d. à puncto .B. interſecationis lineæ-
o
.l. cum latere .i.d. trianguli, & (idem) indifferenter, ean-
dem
quoque à puncto .Z. interſecationis ipſius .o.l. cum perpendiculari .x.i. ducunt.
neſcientes hunc ſolum eſſe verum modum, n onitem alium, quia ſi alius, talis eſſet,
hic
, verus non exiſteret, nam ſi vellent ſeſe excuſ are, quòd ducendo dictam paralle-
lam
à puncto .B. hoc fiat præſupponendo planum ipſius .i.d.q. verſus rectangulum .
q
.a.
orizontale inclinatum, ſecundum angulum .i.d.q. hæc excuſatio accipien-
da
non eſſet, quia horum conſenſu, præſupponendo planum .i.d.q. inclinatum,
anguli
inferiores rectanguli degradati, non tam acuti, quam ſunt duo .i.d.q. et .i.q.
d
.
eſſe deberent, quod facilè eorum ratione innoteſcet, quæ de figura corporea .
A
.
hîc ſubſcripta mox proponam, præter id, quòd volentes deinde aſpicere qua-
dratum
degradatum, oporteret huiuſmodi planum reſpectu oculi ita collocare,
quemadmodum
ſe habet linea .i.d. reſpectu .o. quod factu nimis arduum eſſet.
Vera igitur ratio erit ducere parallelam .e.r. ad .q.d. à puncto .Z. communi ip-
ſis
.o.l. et .x.i. perpendiculari ipſi .l.p.
178[Figure 178]
132120IO. BAPT. BENED.
Pro cuius rei ſpeculatione imaginemur in figura corporea .A: q.a. eſſe figuram re-
ctangulam
orizontalemq́; ad degradandam ſuper aliquod planum perpendiculare
orizonti
, & cum eo primum coniunctam in linea .q.d. cuius plani triangulum .i.q.d.
pars
erit, ſit autem oculus reſpicientis .o. cuius altitudo .o.p. ab orizonte, qui quidẽ
conſpicit
rectangulum dictum orizontale .q.a. in pyramide .o.q: o.u: o.a. et .o.d.
terminata
quatuor triangulis .o.q.u: o.u.a: o.a.d. et .o.d.q. ſit verò primum ita
collocatus
pes .p. eius qui reſpicit, vt linea .p.l. perpendicularis ipſi .u.a. lateri re-
ctanguli
, medio loco poſita ſit, inter .a.n. et .u.s.
Idq́; primum nobis erit exem-
plum
.
Imaginemur nunc lineas .u.q. et .a.d. indefinitè productas eſſe, quæ in ſuperficie-
bus
duorum triangulorum .o.u.q. et .o.a.d. & rectanguli orizontalis .q.a. ex prima
vndecimi
Euclid. poſitæ erunt.
Imaginemur etiam lineam .p.s.n. perpendicula-
rem
ipſi .p.l. quæ etiam cum duabus .u.q.s. et .a.d.n. ex .34. primi Euclid. angulos
rectos
conſtituet, cum ex .28. duæ .u.q.s. et .a.d.n. ſint parallelæ ipſi .p.l. et .s.n. ipſi .u.
a
.
& quia ſupponitur .o.p. perpendicularis plano orizontali, Angulus ergò .o.p.l. re-
ctus
erit ex ſecunda definitione .11. Euclid.
Imaginemur quoque ductas eſſe
duas
.o.s. et .o.n. vnde .l.p. ei ſuperficiei, in qua ſunt duæ lineæ .o.p. et .s.n. ex .4.
11
. perpendicularis erit, & ſuperficies orizontalis .a.s. perpendicularis erit cum dicta
o.s.n. ex .18. eiuſdem lib. vnde ex dicta definitione .o.s.u. et .o.n.a. erunt anguli recti
et
.o.s. et .o.n. ex communi ſcientia, in ſuperficiebus duorum triangulorum .o.u.q. et .
o
.a.d.
erunt, ſi noluerimus cogere aduerſarium ad confitendum duas lineas rectas in-
cludere
ſuperficiem, quemadmodum cogere-
179[Figure 179] tur facere, ſi opinaretur duas alias rectas per
eadem
puncta .o.s.n. tranſire, quæſunt in di-
ctis
ſuperficiebus.
Vnde .o.s. et .o.n. communes
erunt
ſectiones duarum dictarum ſuperficierũ
cum
ſuperficie .o.s.n.
Imaginemur nunc has
duas
ſuperficies .o.u. et .o.a. quarum commu-
nis
ſectio ſit .o.t. (quæ erit linea recta ex .3. lib.
II
.) quæ erunt perpendiculares ſuperficiei .o.s.
n
.
ex .4. et .14. iam dictis.
& ex .19. eiuſdem
o.t. perpendicularis eidem ſuperficiei .o.s.n.
erit
, & ex .6. eiuſdem hæc linea .o.t. duabus .u.
q
.s.
et .a.d.n. parallela exiſter, & ex .9. eiuſdem
hæc
linea .o.t. duabus .u.q.s. et .a.d.n. parallela
exiſtet
, & ex eadem .9. erit parallela ipſi .p.l.
Imaginemur
nunc planum, ſuper quod deſide
remus
videre quadrangulum orizontale, quod
planum
, exempli gratia, ſit primo, vt iam dixi-
mus
, locatum in linea .q.d. ad angulos rectos
cum
plano orizontali, cuius communes ſectio
nes
cum ſuperficiebus .s.t. et .n.t. viſionis la-
terum
.u.q. et .a.d. ſint .i.q. et .i.d. & com-
munis
ſectio trianguli .o.u.a. ideſt viſionis
lateris
.a.u. cum dicto plano, ſit .r.e.
Vnde ex
communi
ſcientia rectangulum orizontale,
oculo
.o. ſeipſum patefaciet in plano .i.q.d. ſe-
133121DE PERSPECT. cundum figuram quadrilateram .q.d.r.e. Communis autem ſectio ſuperficiei .p.t.
cum
dicto plano, ſit .i.x. quæ .i.x. perpendicularis erit .s.a. ſuperficiei orizontali ex
19
. lib. 11. quia .p.t. eſt etiam orizonti perpendicularis ex .18. eiuſdem, cum .o.p. ei-
dem
perpendicularis exiſtat.
Vnde .i.x. erit altitudo trianguli .i.q.d. & æqualis ipſi .
o
.p.
ex .34. primi.
Sit deinde .o.l. cõmunis ſectio ſuperficiei triangularis .o.a.u.
ſuperficie
.p.t. quæ .o.l. ſecando lineam .e.r. in puncto .Z. nobis oſtendet quantum di-
ſtare
ſeu eminens eſſe debeat latus .e.r. in plano ab .q.d. medio ipſius .z.x.
Et quia
præſuppoſuimus
.p.l. in eodem medio, inter .u.s. et .a.n. ideo .x.q. ęqualis erit .x.d.
& ex .4. lib. primi .i.q. ipſi .i.d. et .e.r. parallela ipſi .q.d. ex .6. lib. 11. cum ipſa quoque
ſit
perpendicularis ſuperficiei .p.t. ex .19. eiuſdem.
Hucuſque igitur in figura cor-
porea
.A. prodeunt in lucem omnes cauſæ effectuum figuræ ſuperficialis .A. ideſt vn
de
fiat, vt in ipſa figura ſuperficiali, triangulum .o.p.l. tale conſurgat, & quid ſignifi-
cet
.o. et .o.p. et .p.l. et .o.l. & quam ob cauſam tale quoque formetur triangulum .i.
q
.d.
atque in tantam altitudinem, quantam obtinet .o.p. & quid ſint latera .i.q. et .i.
d
.
& quare erigatur .x.i. parallela ipſi .p.o. ab eadem .p.o. tanto ſpatio diſtans, & qua
ratione
producatur à puncto .Z. ipſa .Z.r.e. parallela ipſi .q.d.
Nunc obſeruandum eſt, quòd ſi planum ipſius .i.q.d. in figura corporea aliquan-
tulum
inclinatum eſſet orizontem verſus, anguli .i.q.d. et .i.d.q. maiores exiſterent,
quàm
cum idem eſt ipſi orizonti perpendiculare, quemadmodum clarè demonſtra-
tum
fuit in .39. primi Vitelionis.
Non igitur rectè fit ſi in figura ſuperficiali ducatur à puncto .B. parallela ipſi .q.d.
abſque
maiori apertura angulorum .i.q.d. et .i.d.q.
180[Figure 180]SVPERFICIALIS.
CAP. II.
CVM verò duæ præcedentes figuræ intellectæ erunt, facilè quoque erit intel-
ligere
duas ſubſequentes .B.B. in corporea quarum .p.l. extra lineas .u.s. et .a.n.
reperitur
, vbi enim aduertendum erit oportere ſumere ſemper .p.x. figuræ ſuperfi-
cialis
æqualem ei, quæ eſt corporeæ, & eidem ſuperficiali, adiungere .x.d. æqualem
ei
, quæ eſt corporeæ, & compoſito .p.d. ex dictis duabus lineis, in figura ſuperficiali,
addere
.d.q. æqualem ei, quæ eſt figuræ corporeæ, deinde accipere punctum .l. in fu-
perficiali
134122IO. BAPT. BENED. perficiali, ita diſtans à .p. vt in corporea reperitur. Po-
181[Figure 181]CORPOREA. ſteà. x.i. erigetur æqualis lineæ .p.o. & ſuis terminis
concludetur
triangulum .i.q.d. & id quod remanet.
Vnde ſi longius diſerendo progrediare, patebit ex .
4
.
primi .i.d. ſuperficialem, futuram æqualem .i.d.
corporeæ
.
Idem dico de .i.q. & de reliquis.
182[Figure 182]SVPERFICIALIS.
CAP. III.
MOdvs hic, proprius eſt, & vniuerſalis, licet in figura ſuperficiali .A. ſupe-
rius
poſita, ſecundum communem antiquorum conſuetudinem exemplum
dederim
, effectus enim idem eſt.
Sed ſi quis vellet conſiderare dictam figuram ſu-
perficialem
.A. ſecundum eum modum, quem de figura .B. ſuperficiali pręſcripſi, id
poterit
in ſubſcripta figura .C. ſpeculari in hunc modum.
Accipiet enim .p.x. ſuper
ficialem
, æqualem corporeæ, & quia in ipſa corporea .A. ſuppoſita fuit linea .p.l.
ideſt
punctum .x. inter duas .u.s. et .a.n. ſecabimus .p.x. ſuperficialem in puncto .d. ita,
vt
.d.x. ſuperficialis, æqualis ſit corporeæ, & ipſi ſuperficiali .p.x. addetur .x.q. æqualis
corporeæ
.
vnde .q.d. ſuperfi-
cialis
æqualis erit corporeę,
183[Figure 183]SVPERFICIALIS. et .p.x. ſuperficiali addetur .
x
.l.
æqualis corporeæ.
De
ijs
poſtea quæ dicenda ſuper-
ſunt
, iam ſatis ſuperq́ue di-
ximus
.
Quamobrem, punctum .
x
.
aut intra, aut extra lineam .
q
.d.
veniat, hunc modum ſe-
quentes
, in errorem non in-
cidemus
, imò efficietur qua -
drilaterum
.q.r. ſuperficiale,
ſimile
, & æquale corporeo.
CAP. IIII.
PVnctvm verò .i. (quod verum eſt punctum perſpectiuæ, vt practici dicere ſo
lent
) quid ſit, hac via & ratione ſub noſtram cognitionem cadit:
quòd nihil
135123DE PERSPECT. aliud eſt, quàm punctum, varijs ſectionibus commune, & huiuſmodi punctum, ocu
lus
non eſt, quemadmodum multi Pictores, Sculptores, Architecti, & Perſpectiui
ignari
, ipſum punctum, oculum appellando, falsò crediderunt, quaſi punctũ .i. per-
ſpectiuæ
oculus eſſet.
In ſupradictis igitur figuris manifeſte eluceſcit cauſa diminutionis obiectorum,
& altitudinis trianguli æqualis ei, quæ eſt oculi à plano orizontali, vt etiam diſtantię .
p
.l.p.x.
& cuiuſuis tandem rei.
Sed vt huius effectus ſcientia magis in vniuerſum pa-
retur
.
Volo duas hic ſubſcriptas figuras .D. corpoream, & .D. ſuperficialem à vo-
bis
conſiderari, in quarum corporea, linea .p.l. ſit extra duas .u.s. et .a.n. vt in figu-
ra
.B. locata, ita tamen vt planum trianguli .i.q.d. diſiunctum ſit à rectangulo ſuper-
ficiali
, ideſt, vt ſeparatum exiſtat à linea .q.d. latere ipſius rectanguli, & ſit etiam obli
quum
, reſpectu ipſius rectanguli, ideſt vt communis ſectio dicti plani cum ſuperficie
a.s. orizontalis ipſi .u.a. parallela non ſit, ſed ſit obliqua, ſi tamen idem planuni per-
pendiculare
dictæ ſuperficiei orizontali .a.s. erit:
& dicta communis ſectio exprima­
tur
characteribus .q.ω.α.d.x. nunc in figura corporea habebimus figuram .e.r.c.m.
in
plano, quod viſualem pyramidem ſecat, medio cuius figuræ .e.r.c.m. oculus po-
ſitus
in .o. rectangulum orizontale conſpicit.
Volentes vero nunc in figura .D. ſuper-
ficiali
eam deſcribere, faciem us .p.x. ſuperficialem, æqualem corporeæ, eiq́ue
addemus
.x.l. æqualem corporeæ, aut ſumemus .p.l. eidem corporeæ ęqua-
lem
, quam ſecabimus in puncto .x. eodem planè modo, quo corporea reperi-
tur
diuiſa;
erigemus deinde .p.o. et .x.i. æquales corporeis. Secabimus deinde .x.q.
æqualem
corporeæ, & ducemus .q.i. et .l.o. vnde habebimus triangulos .o.p.l. et .i.x.
q
.
ſimiles & æquales corporeis ex .4. primi Eucli.
Secabimus deinde .q.x. in pun-
cto
.d. eadem ratione, qua ſecta fuit corporea, & ducemus lineam .d.i. vnde habebi-
mus
triangulos .i.d.q. et .i.d.x. ſimiles corporeis.
& mediante triangulo .i.q.d. hu-
184[Figure 184]CORPOREA. cuſque habebimus ſitus duorum laterum figurę
rectanguli
degradati, ideſt ſitus ipſius .e.m. et .r.
c
.
etiam ſi adhuc neſciatur in qua parte ipſius .i.
q
.
& ipſius .i.d. eſſe debeãt.
Quod ſi ſcire volue
rimus
ſecabit̃. p.l. in pũcto .g. ſimilis corporeæ,
ſi
in ipſa tamen corporea prius protraxerimus
lineam
.q.d. latus rectanguli vſque ad .p.l. in pun
cto
.g.
Ducetur deinde linea .o.g. ſuperficialis,
quæ
ſecabit lineam .i.x. in puncto .f. linea vero .
o
.l.
in puncto .z. punctis ſitis in .i.x. ſuperficiali,
pręcisè
vt in corporea, quemadmodũ quilibet
ex
ſe facilè cognoſcere poteſt.
Deinde in cor
porea
, in ſuperficie orizontali ducatur .p.q. et
185[Figure 185]SVPERFICIALIS.
136124IO. BAPT. BENED. .p.u. & imaginemur .o.q. in ſuperficie .t.s. vnde trianguli .o.p.q. et .o.p.u. erunt perpen
diculares
orizonti ex .18. lib. 11. et .ω.m. et. α. e. communes ſectiones dictorum duorũ
triangulorum
cum plano trianguli .i.q.x. ipſi quoque plano ex .19. eiuſdem lib. erunt
perpendiculares
.
Nuncautem ſecetur .q.x. ſuperficialis in punctis .ω. et .α. eadem ra-
tione
;
qua corporea ſecta ſuit à duabus .p.q. et .p.u. à quibus punctis .ω. et. α. ſuperficia
libus
ductæ ſint duæ ω.m. et .α.e. perpendiculares vſque ad latus .i.q. in punctis .m. et .
e
.
quę ſitum habebunt in .i.q. ſuperficiali pręcisè, vt in corporea, ex .26. primi, du-
cendo
deinde in ſuperficiali duas .m.f. et .e.Z. æquales erunt corporeis ex .4. pri-
mi
, & ſic anguli .i.e.z. et .i.m.f. & duę lineę .e.z. et .m.f. fectę erunt à linea .i.d. in duo
186[Figure 186]CORPOREA. bus punctis .r. et .c. vnde .e.r. et .m.c. æquales
erunt
corporeis ex .26. primi, ſed ita quo-
que
ſe habent duę .e.m. et .r.c. ſi verum eſt dif
ferentię
rerum æqualium ſint adinuicem etiam
æquales
.
Hac ratione igitur habebimus figu-
ram
quadrilateram .m.e.r.c. ſuperficialem om
ninò
ſinlilem, & ęqualem corporeæ.
Is tamen
modus
prolixus eſt, & arduus, quam ob cau-
ſam
neque ego vnquam viui accommo-
darem
, neque alijs, vt eodem vterentur ſua-
derem
.
187[Figure 187]SVPERFICIALIS.
CAP.V.
ESt igitur ſciendum, quòd qui ſciuerit vnum ſolum punctum locare in perſpe
ctiua
, eo modo quem nunc proponam, facilè quoque ſciet ſupra quoduis planũ
(quod tamen ſit perpendiculare orizonti) quamlibet rem locare.
Quam ob cauſam
imaginemur
hic ſubſcriptas duas figuras .E. corporeã, & E. ſuperficialem, & in qua-
drilatero
rectangulo orizontali .a.u.q.d. imaginemur eſſe punctum .b. quodlibet col-
locandum
in aliquo plano perpendiculari orizonti locato, quemadmodum ſuppo-
nebatur
in figura .A. corporea.
Imaginemur ergo in ipſa figura .E. corporea radi-
um
viſualem .o.b. qui ſectus ſit à noſtro plano in .k. quod quidem .k. quærendum eſt
in
triangulo .i.q.d. ipſius plani.
Volo ob hanc igitur rem, vt à puncto .b. in figura .E.
ſuperficiali
ducatur .b.c. ad rectos .q.d. & à puncto .c. ad .i. ducatur linea .c.i. et .b.m.
parallela
ipſi .q.d. quę ab ipſa .x.l. in puncto .m. erit diuiſa, & hęc .x.m. è directo con-
iuncta
cum .p.x. ducatur .o.m. quæ ab .i.x. ſecta erit in puncto .f. à quo ducendo dein-
de
.f.g.h. parallela .q.d. ab .i.c. in puncto .K. erit diuiſa.
Atque id erit quod nobis
inquirendum
propoſueramus.
137125DE PERSPECT.
Ad cuius rei ſpeculationẽ, imaginatione con
188[Figure 188]CORPOREA. cipiamus lineam .b.c. corpoream, protractam eſ
ſe
vſque ad .y. lineæ .s.n. & imaginatione ſit com
præhẽſa linea .y.o. et .b. R. parallela eidem, ideo
ob
rationes iam dictas de figura .A. tres li-
neæ
.o.y: i.c: et.
R .b. ſimul cum linea .o.b. erunt
in
vna eademq́ue ſuperficie plana, quam cha-
racteribus
.y. R. notemus .et .i.c. eius erit ſe-
ctio
communis cum plano, in quo quæritur pũ-
ctum
, et .f.k. ipſius plani cum triangulo .o.b.m.
erit
ſectio communis, & parallela ipſi .q.d. ex .
6
. lib. 11. quia .k.f. perpendicularis eſt ſuperfi-
ciei
.p.t. ex .19. eiuſdem cum triangulus .o.
b
.m.
eidem ſuperficiei .p.t. ex .18. eiuſdem
perpendicularis
exiſtat.
Vnde perſpicuè pa-
tet
ratio quare protracta ſit parallela .b.c. et
quare
ducta ſit .i.c. et coniuncta .x.m. cum .x.
p
.
directè, & quare ducta ſit .o.m. et .f.k.
Lau-
do
igitur vt ſemper præſupponatur .p.x. perpen
dicularis
baſi ipſius plani & præſupponatur, (vt
rem
totam vnò verbo complectar) ſuperficies .
p
.t.
perpendicularis plano, & orizonti.
Quod
reliquum
eſt, neceſſarivm non eſt, niſi ad ſpe-
culandum
.
Neceſſariæ ergo non ſunt aliæli-
neæ
, quàm.p.x: p.o.x.i: b.c: et .x.m. è dire-
cto
coniuncta cum .p.x. (quæ .x.m. coniuncta
189[Figure 189]SVPERFICIALIS.
138126IO. BAPT. BENED. æqualis ſit ipſi .b.c.)
190[Figure 190] o.m. etiam .i.c: et .f.
k
.
vt in figura .F. cla
riſſimè
patet.
Alias
autẽ multas lineas in
alijs
figuris non aliã
ob
cãm duxi, quã ad
facilius
eruẽdas è te-
nebris
ignorantiæ, &
in
cognitionis lucem
proferendas
horum
effectuum
cauſas, vt
dixi
.
CAP. VI.
SEd vtlocum altitudinis, in noſtro plano perpendiculari orizonti, & ita locatũ,
vt
poſtremo diximus, inueniamus;
duas hîc ſubſcriptas figuras conſiderabimus .
G
.
corpoream, & G. ſuperficialem, ſimiles duabus .E.E. proximè præcedentibus,
in
quarum corporea ſit linea .b.M. altitudinis perpendicularis orizonti.
Quare ſi
deſiderabis
inuenire in noſtro plano ſitum puncti .M. ideſt punctum radij .o.M. vi-
ſualis
in quo ipſe radius à plano eſt diuiſus, quod ſit .R. quamuis extra triangulũ
i.q.d. tibi imaginatione confige ductam eſſe lineam .p.b. quæ erit ſectio commu-
nis
orizontis cum ſuperficie .o.p.b.M. quæ ſuperficies erit perpendicularis ipſi ori-
zonti
ex .18. lib 11.
Quòd autemnon minus .o.p. quàm.M.b. ſit in vna eademq́ue
ſuperficie
dubitandum non eſt, quia ſi imaginabimur ductam eſſe lineam .p.M. ha
bebimus
triangulum .o.p.b. cum triangulo .M.b.p. communibus partibus in vna ea-
demq́ue
ſuperficie conſtantem, vt triangulum quoque .o.p.M. cum triangulo M.b.
o
& triangulum .o.p.b. cum triangulo .o.p.M. & triangulum .M.b.p. cum triangulo .
M
.b.o
.
Vnde cum quilibet triangulus in vnica tantum ſuperficie ſit ex .2. lib. 11. ſe-
quetur
ſuperficiem .o.p.b.M. planam eſſe, & vnicam, cuius communis ſectio cum no-
ſtro
plano ſit. θ.K.R. quæ perpendicularis orizonti exiſtet ex .19. lib. 11. eritq́ue pa-
rallela
ipſi .i.x. ex .6. eiuſdem.
Imaginare nunc erectam eſſe .m.T. æqualem ipſi .
b
.M.
orizonti perpendicularem, quæ extenſa erit in ſuperficie .p.t. quod ex ſe ad
conſiderandum
admodum facilè, clarumq́ue exiſtit, reducendo ad impoſſibilia
quemlibet
hæc negare volentem.
Imaginemur quoque ductam eſſe lineam .M.
T
.
quæ .b.m. ex .33. primi erit parallela, quia .m.T. ęqualis .b.M. parallela eſt
ipſi
.b.M. ex .6. lib. 11. præter hæc .b.m. parallela eſt ipſi .q.d. quia ſic fuit ducta
ſuperius
, vnde .M.T. parallela erit ipſi .q.d. ex .9. vndecimi, & obid perpendi-
cularis
erit ſuperficiei .b.t. ex .8. eiuſdem.
Nunc ſit .R.V. communis ſectio trian-
guli
.o.M.T. cum noſtro plano, vnde .R.V. perpendicularis erit ſuperficiei .p.t.
ex
.19. lib. 11. quam ob cauſam parallela erit ipſi .q.d. ex .6. aut ex .9. eiuſdem
quia
ex .6. dicta, parallela eſt ipſi .M.T.
Atſi .R.V. parallela eſt ipſi .q.d.
etiam
.f.K. probatum iam fuit parallelam eſſe eidem, ergo .R.V. parallela erit
ipſi
.K.f. ex .30. primi,
Vnde ex .34. æqualis erit ipſi .K.f. Accedamus nunc
ad
figurã .G. extructã ſupra figuram .E. ſuperficialem, & erigamus .m.T. perpendi-
cularem
ipſi .m.p. ſed æqualem perfectæ altitudini, & ducamus .T.o. vt ſecet li-
neam
.i.x. in puncto .V. ab ipſo ducentes .V.R. parallelam ipſi .q.d. ducendo de-
139127DE PERSPECT. inde .k.R. parallelam ipſi .i.a. habebimus altitudinem .k.R. quam quærebamus in
noſtro
plano.
Quod cum ſui natura clarum euadat, laborem ratiocinandi de eo,
191[Figure 191]CORPOREA. cuilibet vel mediocriter in præclariſſima hac ſcien-
tia
erudito relinquo.
ideſt, vt probetur .k.R. ſu-
perficialẽ
, æqualẽ eſſe corporeæ.
Sed tollẽdo ſuper-
fluitatẽ
linearum, & hoc accõmodantes vt in figura .
F
.
diligenter conſideretur figura .H.
192[Figure 192]SVPERFICIALIS. 193[Figure 193]SVPERFICIALIS
140128IO. BAPT. BENED.
CAP. VII.
ALiarn tamen inueni viam breuiorem vt in figura .H.H. in qua ſit punctus .
b
.
perfecti, & .k. degradati plani.
Nunc ducatur .b.c.s. ad rectos cum .
p
.m.
indefinitè, quæ quidem abſcindatur in puncto .s. ita quòd .c.s. æqualis ſit alti
tudini
perfectæ, deinde coniungatur rectà. s. cum .i.
Tunc ſi ab .k. vſque ad protractã
i.s. ducta fuerit .k.R. parallela li-
194[Figure 194] neę .c.s. hæc .R.k. erit altitudo
quæſita
ſeu degradata.
Quod ita probo. Iam nulli du
bium
eſt quin .f.V. ſit æqualis alti-
tudini
quęſitæ ſeu degradatę, quo
tieſcunq; ergo ꝓbauerimus .k.R.
æqualem
eſſe lineæ .f.V. habebi-
mus
propoſitum.
Quare certum
nobis
erit eandem proportionem
eſſe
lineæ .c.s. ad .k.R. quam .c.i. ad
k.i. et .c.i. ad .k.i. vt .x.i. ad .f.i. et .x.
i
.
ad .f.i. vt .m.o. ad .f.o. et .m.o. ad .
f
.o.
vt .m.T. ad .f.V. ex ſimilitudine
triangulorum
.
Ergo .m.T. ad .f.V.
erit
vt .c.s. ad .k.R. ex .11. quinti,
ſed
.c.s. ſumpta fuit æqualis .m.T.
quare .c.s. ad .f.V. erit, vt .m.T. ad
eãdẽ .f.V. ex .7. ꝗnti, & ex .11. eiuſ-
dem
.c.s. ad .f.V. erit vt .c.s. ad .k.R.
quapropter
ex .9. eiuſdem .k.R. æqualis erit .f.V.
CAP. VIII.
MOdus ab antiquis philoſophis obſeruatus, eſt etiam vtilis, compendioſaq́; via
progreditur
, cuius ſpeculationem, in ſubſcripta figura, quadam ex parte ſecũ-
dum
morem antiquum, quadam etiam ex parte ſecundum ingenij mei vires cõſtru-
cta
, cognoſcemus.
In qua ego diuiſi .x.i. in puncto .s. ab .x. ita eleuato, quanta eſt
195[Figure 195]
141129DE PERSPECT. vera altitudo ipſius .M.T. et I.s. duxi ſupponendo eſſe .I. punctũ pſpectiuæ ſecundũ
antiquos
, ideſt angulum ſupremum trianguli antiquorum à punctoq́ue .k. meo duxi
k.f. parallelam ipſi .c.m.p. vſque ad .i.x. in puncto .f. & à puncto à communi ipſis .k.f.
et
.i.x. vſque ad .I.s. duxi quoque .A.B. parallelam ipſi .i.x. atque hæc omnia ex more
antiquo
præſtiti.
Nunc verò eum conſiderans modum, quem ego de figuris .G.H. antecedentibus
præſcripſi
, videndum eſt, an punctum .B. tribus lineis .A.B.I.s. et .R.V. quarum hęc vl
tima
à me iam ducta fuit, commune exiſtat, ideſt vtrum .A.B. æqualis exiſtat ipſi .K.
R
.
quam ſecundum modum à me adinuentum, reuera ſcimus eſſe deſideratam altitu
dinem
in perſpectiua.
Quod tunc à nobis probatum erit, quando rationibus clarè
patebit
ipſam .A.B. æqualem eſſe ipſi .f.V.
Quamobrem ducamus .I.f. vſque ad .ω.
lineæ
.c.p. vnde ratione ſimilitudinis triangulorum manifeſtè intelligemus, eandem
proportionem
eſſe ipſius .m.T. ad .f.V. quæ eſt .m.o. ad .f.o. & eius, quæ eſt .m.o. ad .f.
o
.
quæ eſt .ω.I. ad .f.I. & eius, quæ eſt .ω.I. ad .f.I. quæ eſt .x.I. ad .A.I. & eius, quæ eſt .x.
I
.
ad .A.I. quæ eſt .x.s. ad .A.B. ideſt vt eius, quæ eſt .m.T. ad .A.B. ſed idem quoq; erat
de
.m.T. ad .f.V.
Vnde ſequitur .A.B. æqualem eſſe .f.V. ex .9. quinti Eucli. atq; etiam
ipſi
.k.R. quod à nobis propoſitum eſt inquirendum.
CAP. IX.
196[Figure 196]
INstitvens etiam ſermonem de figuris ſu-
perficialibus
orizontalibus, ſeu de plantis,
pulcherrimum
quendam modum, quem ego ad
locandum
quodlibet punctum in perſpectiua,
(degradatum cum fuerit parallelogrãmum quod
dam
rectangulum, in noſtro plano perpendicula
ri
orizonti, quemadmodum in ſuperioribus figu-
ris
.A. demonſtrauimus) conſideraui, ſilentio
haud
prætereundum eſſe.
Sit igitur in ſubſcripta hîc figura .K. in paralle
logrãmo perfecto pũctum .b. quod locari debeat
in
degradato .e.q.d.r.
Nunc à duobus quorumli-
bet
quatuor angulorum .q.u.a.d. ducuntur duæ li-
neæ
occultæ .q.g. et .u.f. per punctum .b. vſque ad
latera
.q.d. et .u.a. ita tamen vt eorum extremita-
tes
.g. et .f. intus cadant inter .q.d. et .u.a. ipſorum
laterum
, ideſt vt non ſecent duo latera .q.u. aut .d.
a
.
Deinde punctum .f. inter .q. et .d. cõiungatur oc-
cultè
cum angulo degradato .e. qui correſpõdet .
u
.
perfecti, mediante linea .e.f. quæ erit .u.f. degra
dita
in noſtro plano.
Deinde ſumatur punctum .
n
.
in linea .q.d. tam diſtans à .q. quàm.g. diſtat ab .
u
.
ducaturq́ue linea .i.n. quæ lineam .e.r. in puncto
c
. diuidet, quod exijs, quæ ſuperius iam diximus
ad
ipſum .g. referetur.
Ducendo poſtea lineam oc
cultam
.q.c. patebit eam correſpondere lineæ .q.g. quæ ſecans lineam .e.f. in puncto .
t
.
hoc, communi ſcientiæ ratione, reſpondebit ipſi .b. vt omnes cognoſcent.
142130IO. BAPT. BENED.
Sed ſi fortè punctum .b. eſſet in aliquo
197[Figure 197] laterum, puta .q.u. volo vt in rectangulo per-
fecto
.q.d.a.u. ducta ſit vna diagonalis quam
volueris
puta .q.a. deinde à puncto .b. ad reli-
quum
angulum oppoſiti lateris ducta ſit recta .
b
.d.
ita quod à diagonali ſecetur in puncto .ω.
per
quod punctum demum à reliquo angulo la
teris
.q.u. ducta ſit .u.ω. vſque ad latus .q.d. in
cto
.f. quo facto, ita faciendum erit in rectangu
lo
degradato, hoc eſt ducenda erit diagonalis .
q
.r.
quę correſpondet diagonali .q.a. perfecti
deinde
.f.e. quæ correſpondet rectæ .f.u. perfe-
cti
, quæ etiam interſecabitur à diagonali .q.r.
in
puncto .o. correſpondens .ω. perfecti, per quẽ .
o
.
à puncto .d. cum ducta fuerit .d.o. vſque ad .t.
in
latere .q.e. hoc punctũ .t. correſpondebit pun
cto
.b. perfecti.
Idem eueniet ſi loco diametri .q.a. ſumpta
fuerit
diameter .u.d. & loco .b.d. protracta fue
rit
.b.a. deinde loco .u.ω.f. ducta fuerit .q.ω.f. vn-
de
punctum correſpondens ipſi .f. in figura de-
gradata
erit in latere ſupremo .e.r. correſpon-
dens
lateri .u.a. & ita ducenda erit diameter .d.
e
.
correſpondens diametro .d.u. et .q.f. ſurſum
verſus
correſpondens .q.f. imum verſus deinde .
r
.o.
reſpondens .a.ω. quæ terminabicur ab eodẽ-
met
puncto .t. vt prius.
CAP.X.
Ex mea figura .F. ſuperficiali perſpectiuæ facillimum modum locandi quoduis
punctum
in perſpectiua elicui.
Iuſſi enim vt aptaretur tabula quædam rectan-
gula
exactè plana, triplo aut quadruplo, aut quanto volueris maioris longitu-
dinis
, quàm latitudinis protenſa, quæ quidem latitudo erat ad duos circiter pedes
deſignata
ab .A.B.C.D. cuius duobus lateribus .A.B. et .B.C. iuſſi, vt duæ regulæ affi
gerentur
, quæ ſuperficiem eiuſdem tabulæ excederent, vt vnũ ex lateribus alicuius
anguli
recti materialis, qui appellat̃ norma (vt inferius dicam) ei adherere poſſit, cu-
raui
poſtea, ut iuxta angulum .D. in puncto .o. fixo mobilis regula .o.Q. affigeretur
tantæ
longitudinis, aut paulò minoris, quantam occupabat latus .D.A. quæ circum .
o
.
volueretur, in rectitudine poſteà. o.i. parallela ipſi .D.A. in puncto .i. duobus pedi-
bus
longè à latere .A.B. aliam quoque mobilem appendere feci .i.M. in tantam ferè
longitudinem
extenſam, quanta conſtat .A.B. cõſtitui etiam, vt quoddã angulum re
ctum
materiale tantæ magnitudinis, quanta nobis vſui eſſe poterat ſuper eadem ta-
bula
;
necnon regula quædam materialis neceſſariæ longitudinis ſtatuerent̃, atq; hæc
omnia
tenuiſſima, vt fierent curaui.
Quandam deinde lineam ad .o.i. parallelam,
ideſt
.p.E. ſuper eadem tabula adeò diſtantem ab .o.i. vt inter .E.p. et .B.c. perfe-
ctæ
res, quæ degradari debebant, locari poſſent, ſignaui.
Hæc autem diſtantia, quæ
143131DE PERSPECT. inter .o.i. et .p.E. intercedebat, altitudinem oculi ab orizonte ſignificabat. Signa-
ui
etiam lineam .i.G. perpendicularem lineæ .E.p. cui affigi poſſet non nihil chartæ
quotieſcunque
volebam in perſpectiua aliquid delineare.
Quod cum facere deſi-
derabam
, ponebam perfectum optimè affixum in quadrangulo .E.G: & in quadran
gulo
.E.i. aliquod folium papyri affigebam.
Ponamus nunc, me voluiſſe conſtitaere
punctũ .b. ſumebã angulũ rectũ materialẽ, ſeu normã, & eius vnum latus, iuxta latus .
B
.c.
ponebam, atque aliud per punctum .b. tranſire faciebam, & vbi hoc latus lineã
E.p. diuidebat, punctum .c ſignabam per quod efficiebatur, vt regula .i.M. tranſiret,
quieſceretq́ue
aliquantulum aliquo modo in huiuſmodi ſitu, opera deinde circini
interuallum
.b.c. ſumebam, & in .p.E. à puncto .x. verſus .E. punctum .m. ſignabã:
per
quod
faciebam, vt tranſiret regula .o.Q. quæ lineam .x.i. in puncto .f. diuidebat.
Angulum deinderectum materialem accipiebam, cuius vnum latus .A.B. ponebam,
aliud
verò per punctum .f. tranſibat, quod quidem latus regulam .i.M. in puncto .k.
(quod ſtatim ſuper folio papyri ſignabatur) interſecabat, atque hoc erat punctũ,
quod
quærebam, puncto .b. correſpondens.
Huiuſmodi effectus rationes ab ijs, quæ
ſuperius
dixi eliciuntur.
Atque hæc ad baſes rerum, vt in ſubſcripta figura eluceſcit,
ſpectabant
.
198[Figure 198]
CAP. XI.
Ad degradandas deinde altitudines, vſus ſum mea figura tam .H. quã ẽt .H.H.
vt
milii ſeſe offerebat occaſio.
In primis ratione modi figuræ .H. curabã, vt
144132IO. BAPT. BENED. vnum ex lateribus anguli recti, ſeu normæ regulæ .B.C. anniteretur, aliud verò
per
.m. in rectitudine cuius ſignabam m.T. interuallum æquale altitudini perfecti,
ideſt
punctum .T. æqualiter diſtans ab .m. tranſire faciebam, deinde regulam .o.Q.
per
punctum .T. tranſire quoque faciebam:
& notabam interſectionem ipſius cum
linea
.i.x. in puncto .V. efficiebam deinde vt vnum ex lateribus anguli recti, lateri ta-
bulæ
.B.C. anniteretur, aliudq́ue per punctum .k. tranſire faciebam, & in huiuſmodi
rectitudine
à puncto k. ſignabam quandam menſuram æ qualem lineæ .f.V. quę erat
k.R. pro altitudine degradata.
ALITER IDEM.
MEdiante deinde figura .H.H. vnum ex lateribus anguli recti, lateri tabu-
.B.C. vt anniteretur faciebam;
aliud verò per punctum .b. perfecti, ideſt ba
ſis
eiuſdem perfecti tranſire faciebam.
Et in huiuſmodi rectitudine ſignabam .c.s.
æquale
interuallum altitudini perfecti, ideſt punctum .s. ita diſtans à .c. efficiendo de
inde
, vt latus anguli recti, lateri .B.C. tabulæ anniteretur, aliudq́ue per punctum .k.
tranſire
faciens ſignabam .k.R. indeterminatam.
Faciens deinde tranſire regulam
i.M. per punctum .s. notabam punctum .R. interſectionis eiuſdem cum linea .k.R.
ducta
.
Itaque altitudinem .k.R. degradatam habebam. Hæc autem via aliquan-
tulum
breuior, expeditiorq́ue altera.
199[Figure 199]
145133DE PERSPECT.
JACOBO SOLDATO MEDIOLANENSI
Serenißimi
Ducis Sabaudiæ Architecto peritißimo.
CAP. VII.
SVperioribvs diebus non diu poſtquam de perſpectiuis inter nos ſermonem
habuimus
, dum animus totus adhuc in his eſſet.
Illud in mentem venit quòd exi
mius
ille vir, & profundiſſimæ doctrinæ, nec vnquam ſatis laudatus Daniel Barba-
rus
ſe accepiſſe profitetur à Ioanne Zamberto patritio Veneto, qui ad verbum om
nia
deſumpſerat a Ioanne Cuſino Pariſienſe.
Nec parum mirabar peritiſſimum il-
lum
Cuſinum, quod in capite quarto ſecundæ partis perſpectiuæ, vt quodpiam pla-
num
quadrilaterum in quadratam figuram redigeret, ſuper vnam datam lineã qua-
dratam
compoſuiſſe.
Non animaduertens diſtantiam aut interuallum .b.c. degra-
datum
ín linea .b.f. (quod eſt .b.E.) ita eſſe poſſe latus parallelogrammi rectanguli
magis
longi quam lati, aut magis lati quam longi, vt etiam latus quadrati, quod be-
neficio
ſubſcriptæ hic figuræ facilè depræhendi poteſt.
Vbi .b.c. latitudo eſſe po-
teſt
, tam perfecti degradati in triangulo .b.n.m. aut in triangulo .b.q.t. quam in trian
gulo
.b.a.c.
Sed perfectum degradati in triangulo .b.n.m. magis longum quam latũ
& perfectum degradatum in triangulo .b.q.t. magis latum quam longum, & perfe-
ctum
degradati in triangulo .b.a.c. quadratum erit quemadmodum à meis etiam fi-
guris
.A. ſcientificè intelligi poteſt.
Hinc, ad inueniendum perfectum alicuius pla-
ni
degradati, non ſufficere degradationem ſolum interualli inter duos terminos
ſolos
, ideſt .b.E. aſſignare, apertè patet, quia non omnia parallelogramma. perfecta
ab
vno tm̃ interuallo producuntur, eo non ſunt omnia quadrata.
Ad inquirendũ
igitur
perfectum alicuius plani parallelogrãmi, alicuius propoſiti degradati, oportet
vniuerſam
degradationem tam latitudinis, ꝗ̃ longitudinis, & folius longitudinis
aſſignare
;
Vt exẽpli gratia, in ſubſcripta hic figura, volẽdo inuenire perfectum paral
lelogrammum
degradati .b.h.l.m. dando diſtantiam orizontalem .b.d. à pede .d. ho-
200[Figure 200]
146134IO. BAPT. BENED. minis vſque ad planiſitum in quo degradatio facta ſit: ſtatim altitudo .A. oculi à pe
de
, quæ tanta ſemper eſſe debet quanta eſt altitudo trianguli .b.n.m. qui clauditur,
protrahendo
.m.l. et .b.h. vſque ad concurſum in .n. in lucem prodibit.
Oporter
deinde
erigere lineam .b.o. perpendicularem lineæ .d.b.m. & vſque ad eandem pro
ducere
lineam .l.h. in puncto .E. et à puncto .A. per .E. vſque ad .c. ipſius .d.b.m. produ
ctæ
ducere .A.E.c. atque deinde protrahere lineam .o.b. vſque ad .T. ita vt .b.T. ęqua
lis
ſit ipſi .b.c. & ad ipſam à puncto .m. ducere parallelam .m.R. & à puncto .T. ducere .
T
.R.
parallelam ipſi .b.m.
Vnde ex .34. primi Eucli .m.R. æqualis erit ipſi .b.T. et .R.
T
.
ipſi .m.b. & anguli in rectos euadent, atque hoc parallelo grammum rectangulum
erit
verum perfectum degradati .b.m.l.h. obrationes à me circa figurã .A. adductas.
201[Figure 201]
Sed eſt hic quod magis nos commoueat, quia cum ex linea .b.c. quadratum .b.g. pro
duxerit
, vult eum poſtea degradare.
Quod vt faciat (hanc figuram videbis in cap .
4
.
ſecundæ partis Danielis Barbari) oculum .A. in eadem ſuperficie extenſa,
quadrati
.b.g. collocat.
Quod rectè fieti non poteſt, quia oculum hoc mo-
do
locantes, viſualesq́ue radios beneficio vnius plani ſituati in .b.f. ſecantes in ipſo
plano
, nihil aliud quam dictã lineã .b.f. & nullã degradationẽ inueniẽt.
Id quod, & ſi
natura
ſua ſit omnibus notum, ponit id ipſum Vitelio pro quinta propoſitione
quarti
libri de perſpectiua.
Præter hæc, credit latera .b.d. et .c.e. quadrati degra-
dati
ſemper videri mediantibus angulis .b.A.c. et .f.A.g. quod fieri poteſt, quem-
a
dmodum ex mea figura corporea .A. facilè cognoſcere poſſumus,
propterea quòd
latera
.d.r. et .q.e. meæ figuræ, mediantibus angulis .d.o.r. et .q.o.e. qui extra ſuperfi-
ciem
.s.a. exiſtunt videntur, vnde ſi quis imaginaretur in puncto .p. oculum eſſe, &
ab
ipſo ad .u. et .q. duas lineas duceret, angulus .q.o.u. nunc maior, nunc minor eſſet
angulo
.q.p.u. aliquando etiam æqualis, quamuis rariſſime;
Sub diuerſis igitur an-
gulis
, pro maiori parte, deteguntur latera, à partibus quadrati tam degradati, quàm
perfecti
, quæ non ſunt anguli .b.A.c. et .f.A.G.
Quod vero idem poſtea dicat eam
proportionem
eſſe ab .b.E. ad .f.h. & ſimul ad .c.g. quæ eſt ab .a.g. ad .h.g. id tuo relin­
147135DE PERSPECT. quam iudicio. Tibi quoque conſiderandum relinquo; cum rationabilis degrada-
tio
eſſe debeat, qua ratione neceſſarium ſit, vt diſtantiæ reſq́ue, in vna & eadẽ pro-
portione
cum altitudine oculi ad rem degradatam exiſtant?
Cum poſtea degrada-
uerit
quadratũ, is ſcriptor, in figura .d.b.c.e. eum bene & ex perſpectiuæ optimis
legibus
degradatum fuiſſe probare nititur;
ſolum probans .d.e. æqualem eſſe ipſi .
E
.h.
.E.h. ſecundũ ipſum eſt degra datio lateris .c.g. & ſuperius dixerit, ſetria
quadrati
plana degradauiſſe, quia .b.E. degradat .b.c. et .E.h. degradat .c.g. et .f.
h
.
degradat .f.g. nec quidem de lateribus .b.d. et .c.e. loquitur, quia ſi .c.g.
perfecti
, degradatum eſt in .E.h: et .d.e. rectè protracta exiſtit, cum ſit æqua-
lis
ipſi .E.h. cum etiam .b.d. et .c.e. rectè protractæ eſſe debeant:
qua de cau-
ſa
ipſis .b.E. et .f.h. quæ, ex ipſo, ſunt degradationes .b.c. et .f.g. æquales eſſe non de-
bent
?
Poſſet is mihi quidem reſpondere, hoc pacto nulla ſuperficies clauderetur.
Ergo tria latera .b.c: c.g. et .g.f. benè ſunt degradata, eiusq́; ꝓportionalitates ma
intellectæ nil probant.
quia ſi dictæ proportionalitates, nobis tutò promitterent
degradationes
, ab eo primum effectas, in linea .b.f. eſſe bonas, ergo duæ .b.d. et .e.c.
falſæ
exiſterent, quarum quælibet maior eſt .b.E. et .f.h. ex .18. primi Eucli.
Omitta-
mus
etiam quod vbi is ſcribit eam eſſe rationem, aut comparationem ab .A.d. ad .b.
E
.
quæ eſt ab .d.c. ad .b.c. eandemq́ue eſſe ab .E.h. ad .c.g. quæ eſt ab .A.E. ad .A.c. nil
probet
;
nec ſimilitudinem triangulorum, nec aliquam propoſitionem Eucli. citans.
In quo excuſari non poteſt, quòd non ſoleat Euclidem, aut alium quemuis autorem
citare
, cum vel in ipſo operis principio capite .3. primæ partis, A pollonium Pergeũ
Euclidemq́;, & ſi etiam præter rem, citet.
Deinde quũ idem probare vult .d.e. æqua
lem
eſſe ipſi .E.h. eandem inquit eſſe proportionem .a.b. ad .a.d. quæ eſt ipſius .A.c.
ad
.A.E. quod & ſi verum ſit, hic tamen modus ratiocinandi nullo ordine nititur,
quia
rectius dixiſſet pro clariori intelligentia ipſius .a.c. ad .a.e. eandem proportio-
nem
eſſe, quæ eſt .A.c. ad .A.E. propter ſimilitudinem, quæ inter duos triangulos .A.
c
.a.
et .E.c.e. intercedit, cum .E.e. ſupponatur parallela ipſi .A.a. quod etiam vt de-
monſtraretur
longiori oratione ei opus fuiſſet ſi voluiſſet intellectum eorum, qui pa
rum
ſunt exercitati, perduci ad cognoſcendũ idem planè futurum de .a.c. ad .a.e. vt
eſt
ipſius .A.c. ad .A.E. in hunc modum, ideſt probando primùm duos triangulos .A.
c
.a.
et .E.c.e. æquiangulos eſſe, mediante .29. primi Eucli. cum .A.a. et .E.e. inuicem
ſint
parallelæ.
Vnde ex .4. ſexti. idem extitiſſet de .A.c. ad .E.c. vt .a.c. ad .e.c. et. ex
16
. quinti idem de .A.c. ad .a.c. vt ipſius .E.c. ad .e.c. & ex .19. eiuſdem de .A.E. ad .a.
e
.
vt ipſius .A.c. ad .a.c. & ex .16. iam dicta de .A.E. ad .A.c. vt ipſius .a.e. ad .a.c. ideſt
ipſius
.A.c. ad .A.E. vt eſt ipſius .a.c. ad .a.e: Aut hoc alio modo, qui breuior eſt pro-
cedendum
, incipiendo ſcilicet à ſecunda ſexti Eucli. dicendo exiſtente .E.e. paral
lela
ipſi .A.a: ex dicta .2. lib. 6. erit idem de .c.E. ad .E.A. vt de .c.e. ad .e.a. vnde ex .
18
.
quinti innotuiſſet ſtatim quod de .c.A. ad .E.A. vt de .c.a. ad .e.a. extitiſſet.
Nunc
mediantibus
ſupradictis duabus propoſitionibus ideſt .29. primi, & 4. ſexti, cogno-
ſcitur
idem planè eſſe de .b.c. ad .d.e. quod ipſius .a.c. ad .a.e. & ex eiſdem idem eſſe
de
.c.g. ad .E.h. quod ipſius .A.c. ad .A.E. vnde ex .11. quinti bis repetita idem erit de
b.c. ad .d.e. quod de .c.g. ad .E.h. ſed cum ex ſuppoſito .c.g. ſit æqualis ipſi .c.b. idem
erit
de .c.g. ad .e.d. quod ipſius .c.b. ad eandem ex .7. quinti, vnde ex .11. idem erit de
c.g. ad .E.h. quod eiuſdem .c.g. ad .e.d. ex .9. igitur eiuſdem .d.e. æqualis erit ipſi .E.
h
.
atque hic verus eſt modus ducendi intellectum parum exercitatum in cognicio-
nis
campum.
quem quidem mihi obſeruandum proponerem ſi onus ſcribendi ſu-
ſciperem
ijs, qui in ſcientijs parum verſati ſunt, quos tanquam puerulos manu du-
148136IO. BAPT. BENED. cere oportet. Ratio verò ab ipſo adducta propter quam .E. repreſentatur oculo al-
tius
quam .b. nempe eo quod .A. ſuperſtet ipſi .E. nihil valet, quia ſi inferius eſſet,
idem
contingeret, ſed hoc euenit eo quod .E. altius eſt ipſo .b.
Idem dico de .h.
vbi
ſimiliter decipitur.
Idem etiam in .7. cap. fallitur in ſecundo modo, quem oſten
dit
pro ſecundo quadrato aliquo degradato à parallelogrammo degradato magis
longo
quàm lato, cum ducat parallelam .l.m. ad .b.c. à puncto .l. interſection is ipſius .
o
.c.
id, quod non rectè efficitur quemadmodum ex rationibus à me allegatis circa
meas
figuras .A.A. facilè innoteſcit.
Nono deinde cap. contrario planè ordine, quam oporteret proceſsit, quia
angulus
.2. trianguli perfecti magis diſtet à plano ſuper quod degradari debet
triangulum
, quàm latus .1. 3. oppoſitum dicto angulo .2. & per confequens longère
motior
ſit ab oculo, ipſe in degradato, magis propinquum eſſe facit, è con-
tra
eap .10. rectè fecit contra id, quod capite .9. tradiderat.
Quod autem deinceps in prima parte .11. & vltimi capitis aſſerit eſt, admittendũ.
Quod verò in ſecunda parte ab eo traditur, ideſt alius quidam modus quem de trãſ
ferendis
punctis à perfecto in degradato proponit, non eſt modus vniuerſalis;
quia
ſi
altitudo .T.Q. oculi à plano orizontali, non eſſet æqualis medietati lateris .B.D.
perfecti
, interualla .a.b.c.d.e. lateris B.D. admittenda non eſſent.
Pro cuius rei intelligentia ſit in ſubſcripta hic figura corporea .ω. parallelogram-
mum
rectangulum A.B.C.D. in plano orizontali, & linea .Q.H. illud per medium
diuidat
, quæ ſit parallela duobus lateribus .A.B. et .C.D. in cuius quolibet puncto .
Q
.
ſit infimus terminus altitudinis oculi, & in .
202[Figure 202] T.
ad perpendiculum ipſius .Q. ſit verus ſitus
eiuſdem
, tantum eleuatus à .Q. quanta eſt
medietas
ipſius .D.B. ſitq́ue figura corpo-
rea
finita ſimilis meæ .A. vnde .Q.T. æqualis
erit
ipſi .Q.æ. & planum perpendiculare orizõ-
ti
, ſuper quod punctum .k. perfecti duci debet
ſit
.R.D.B. ſintq́ue ductæ per imaginationem
lineæ
.T.K: Q.K. et ſit .K.N. perpendicularis la-
teri
.C.D. à quo puncto .N. imaginatione ſit
præhenſa
linea .N.Q. at que tres lineæ ſectæ
ſint
à plano in punctis .c.i. et .2. quorum punctũ.
2
. erit quæſitum plani.
Imaginemur nunc duos
triangulos
.K.T.Q. et .N.Q.æ. qui ſecti erũt
à
plano .R.B.D. quorum communes ſectiones
erunt
.1. 2. et .D.c. & quia .N.K.D.i. et .æ.Q.
inuicem
ſunt parallelæ, ſequitur eandem pro-
portionem
futuram ipſius .Q.K. ad .K.i. quæ eſt
ipſius
.æ.N. ad .N.D. imaginatione concipien
do
a puncto .K. vſque ad .æ.Q. quandam paral-
lelam
ipſi .N.æ. quemadmo dum ex te ipſo intel
ligere
potes.
Sed ratione ſimilitudinis trian-
gulorum
ita ſe res habet de .æ.Q. ad .D.c. vt de .
æ
.N.
ad .N.D. vt quoque de .T.Q. ad .2. 1. quemadmodum ipſius .Q.K. ad .K.i. vn-
de
ex .11. quinti, idem erit de .Q.T. ad .1. 2. quod de .Q.æ. ad .c.D. & ex .16. eiuſdem
de
.Q.T. ad .Q.æ. quod de .1. 2. ad .c.D. & exiſtente .æ.Q. ex ſuppoſito æquali ipſi.
149137DE PERSPECT. 1. 2. Vnde huiuſmodi regula tunc bona redditur, quando T.Q. æqualis eſt ipſi .œ.
Q
. ideſt medietati ipſius .D.B. at verò ſi æqualis non eſſet hoc minime ſequeretur,
vt
facilè patet.
Quòd verò .2. R.Z. &. ſint benè diſpoſita, dubitandum non eſt, quia
punctum
.i. meæ hic ſubſcriptæ figuræ, quod coreſpondet K. eius ſiguræ adeò diſtat
a
medio .R.X. trianguli .R.B.D. vt .2. cum .1. 2. dicto medio .R.X. ex .6.
Vndecimi fit
parallela
.
Idem de reliquis dico. quod manifeſtè cognoſci poteſt, ab eo, quod in
ſuperius
poſitis figuris corporeis dixi.
Huiuſmodi modus ducendi res in perſpectiua,
non
ſolum à Gallis, ſed à Germanis etiam in vſum reducitur.
Sed quia ad hæc vſq;
tempora
eiuſdem perfectionis ratio, quam ego ſuperius propoſui, nõdum in lucem
emerſit
, factum fuit, vt errorũ laqueis irretirentur, ſumentes .T.Q. modo maiorem,
modo
minorem medietate lateris .D.B.
Cum hunc igitur modum hic Autor
vniuerſalem
eſſe putet, labitur in errorem, cum debuiſſet longitudinem ipſius .T.Q.
debere
eſſe æqualem medietati ipſius .D.B. proferre.
Aſſerit deinde diſtantiam ip-
ſius
.T.Q. à latere .B.D. æ qualem eſſe debere lateri .C.D. quod neceſſarium non eſt,
quia
in quibuslibet diſtantijs, iuſta operatio fieri poteſt, quemadmodum in ſubſcri-
pta
hîc figura facile patet, ideſt, quòd quibuſcunque modis .c.D. æqualis remaneat
ipſi
.1. 2. & ſic interualla, quæ tranſuerſum aguntur vſq; ad mediũ trianguli .D.R.B.
Neque
etiam probandus eſt auctor ille, cum pro oculo, ſuum .T. loco .Q. à me poſi-
ti
, ponit, cum is locus ſit verus ſitus pedis eius quireſpicit, & non oculi.
Quòd autẽ
Auctor
iſte, modo vniuerſali intelligat, vt iam diximus, cõſideretur figura tertij mo
di
primi cap. tertiæ partis, in qua ſuum oculum (vt ita dicam) ponit in .o. altius ſeu
diſtans
à rectitudine lateris .c.d. plus quam ſit totum latus .d.b.
AD EVNDEM IACOBVM.
CAP
. XIII.
TVas accepiliteras omnis humanitatis & officij plenas, in quibus requiris cau-
ſam
, quæ me in alijs meis literis impulit ad dicendũ, angulũ .q.o.u. modo ma-
iorem
, modo verò minorem futurum angulo .q.p.u. meæ figuræ corporeæ .A. hanc
igitur
ob cauſam imagineris in ſubſcripta hîc figura duo triangula .q.o.u. et .q.p.u.
quorum
.q.p.u. perpendiculariter ſit ſuper ſuperficie trianguli .q.o.p. collocatum,
præcisè
vt in mea figura corporea .A. ſuperficies verò trianguli .q.o.p. ſit exempli-
gratia
.V.M. & trian-
guli
.u.o.p. ſit .V.D.
203[Figure 203] quarum cõmunis ſe-
ctio
ſit .V.p.o.x. non
eſt
enim dubitãdum
quin
triangulum .q.
p
.u.
ſit perpendicula-
re
triangulo .q.o.p.
hoc ex .18. lib. 11.
Eucli
. perpendicula-
re
ſit ſuperficiei .a.s.
in
qua reperitur triã-
gulum
.q.p.u. & hoc
ex
linea .o.p. perpendiculari dictæ ſuperficiei .a.s.
Nunc dico angulum .q.o.u. modo
maiorem
, modo minorem eſſe angulo .q.p.u.
Notiſſimum igitur primum nobis
150138IO. BAPT. BENED. eſt angulum .p.q.u. obtuſum eſſe; Imaginemur ergo circa triang ulum .p.q.u. circun-
ſcriptum
eſſe circulum, cuius portio .p.q.u. minor erit medietate eiuſdem medij cir-
culi
, vt iam ex 30. Eucli. lib. tertij nouiſti.
nunc imaginemur dictum circulum circum
lineam
.q.u. loco axis verſus .x. moueri, vnde girus eiuſdem, per quem tranſibat linea
V.x. remouebitur ab eadem linea non nihil cum motus erit à primo ſitu vſquequò
ad
ſecandam dictam lineam .V.x. in alio quodam puncto inter .p. et .x. redibit;
quod
quidem
punctum ſi
erit
inter .o. et .x. angu
204[Figure 204] lus .q.o.u. maior erit
angulo
.q.p.u.
Sed ſi
idem
punctũ erit in-
ter
.p. et .o. dictus an-
gulus
.q.o.u. minor
erit
.q.p.u. de qua ꝗ-
dẽ
re tu ipſe median-
te
.20. lib. 3. et .16. lib.
primi
certior fieri po-
tes
.
Valde miror
hæc
Ioannis Cuſini di
cta
ad hæc vſque tempora tanto in prætio ſint habita, vt ab excellentibus ſcriptori-
bus
quaſi ſi proprij eorum ingenij partus eſſent, de verboad verbum vt theſauros, in
fuis
ipſorũmet libris reſcripta fuerint, quemadmodum iam omnes admonui in mea
gnomonica
Orontium, Munſterum, aliosq́; permultos feciſſe.
CAP. XIIII.
Ex ijs, qu æ de nonnullis effectibus ducendo in perſpectiua tertíum corpus regu
lare
, octo triangulis æquilateribus eſt term inatum, ſcire deſideras, hoc vnũ
eſt
caput:
vnde fiat, aut quomodo probetur quaſlibet duas facies oppoſitas eiuſ-
dem
corporis octoaedri inuicẽ æquidiſtantes eſſe.
Quamobrem ſit hîc ſubſcriptũ
octoaedrũ, cuius diameter vna ſit .b.q. et .b.p.
l
.
vna ex faciebus, cui opponatur facies .q.k.
205[Figure 205] d. quas adinuicẽ æquidiſtantes eſſe contendo
ſint
aliæ duæ facies, quæ inter has ponuntur .
b
.d.k.
et .q.p.l. & à punctis extremis .b.q. dia-
metri
. ductæ ſint quatuor lineæ .b.a: b.u: q.a: q.
u
.
ad puncta .a. et .u. diuidentia .k.d. et .l.p. per
medium
, vnde ex 4. primi Eucli. quatuor
lineæ
adinuicem ęquales erunt ſumẽdo eas vt
baſes
triangulorũ .a.d.b: u.l.b: a.d.q. et .u.l.q.
adinuicẽ quoq; æꝗdiſtabũt .a.b. ab .u.q. et .b.
u
.
ab .q.a. ex .27. primi;
ꝗa ſi imaginabimur dia
metrum
.b.q. tunc ex .4. aut ex .8. eiuſdem lib.
habebimus
angulos .a.b.q. et .u.q.b. æquales
inuicem
;
ſed ob eaſdem rationes .p.l. paralle-
la
eſt ipſi .d.k. vnde ex 15. lib. 11. facies .b.p.l.
parallela
fit, aut æquidiſtans ipſi .q.d.k. ideſt
primum
propoſitum.
151139DE PERSPECT.
Ad habendam deinde quantitatem diſtantiæ, aut interualli ſimul cum ſitu, in fa-
cie
.q.d.k. quem latus .p.l. perpendiculariter reſpicit.
Imaginemur à puncto .u. ſuper
q.a. cad ere lineam perpendicularem .u.o. quæ illico reperitur cum triangulum .a.
u
.q.
ex lateribus datis & cognitis conſtet, quodquidẽ triangulum, medietas eſt qua-
drilateri
, ſeu. rumbi .q.a.b.u. cui vnaquæque dictarum quatuor facierum perpendi-
cularis
exiſtit ex .4. ct .18. lib. 11. & ob id linea .u.o. extenſa in ſuperficie dicti quadri-
lateri
, & perpendicularis lineæ .q.a. perpendicularis erit faciei .q.d.k. & ex .29.
primi
, angulus .b.u.o. rectus erit, ut etiã angulus .o.u.l. ex .2. definitione lib. 11. vnde
ex
.4. eiuſdem lib .o.u. perpendicularis erit faciei .b.p.l.
Ha bebimus ergo ſitum in fa-
cie
.q.d.k. qui reſpicietur ad angulos rectos à linea .p.l. quiquidem erit in perpendi-
culari
à puncto .o. ad .q.a. ducta.
Quòd autem .a.o. ſit latus exagoni æquilateris circumſcrip tibilis ab eodem circu
lo
, qui vnam ex faciebus triangularibus æquilateribus propoſiti corporis circunſcri-
bere
pot eſt, ita oſtenditur. ſit cõprehenſum imaginatione, triangulum .a.q.u. ſepara
tim
, cuius latus .a.u. æquale eſt vni ex lateribus triangulorũ eiuſdem corporis ex .33.
primi
, quo dlibet verò aliorum duorum æquale perpendicularibus dictorum trian-
gulorum
, in quo triangulo .a.u.q. ducta ſit perpendicularis .u.o. ab vna extremitatũ
lateris
maioris, ad vnum ex minoribus lateribus, quę perpendicularis intra triangu-
lum
cadet, quia dictum triangulum oxigonium eſt.
quod autem attinet ad duos angu
los
.a. et .u. cum æquales ſint ex quinta lib. primi;
17. nos certiores facit; quod verò an­
gulus
.q. ſit etiã acutus:
30. lib. tertii nos cer-
tos
reddit, ꝗa.a.u. minor eſt diametro ſphę­
206[Figure 206]
datum corpus circumſcribentis, cum .q.
dictæ
ſphęrę ſuperficiem tangat.
Ad probandum .a.o. ęqualem eſſe lateri
exagoni
dicti, ſatis erit probare .a.q. ſeſqui
alteram
eſſe ad .a.o. quia ſi in ſubſcripto
hîc
circulo ducemus duas ſemidiametros .
n
.p.
et .n.l. ad. angulos triãguli ęquilateri .p.
et
.l. & cum quodlibet laterum ipſius exago
ni
, ęquale ſit ſemidiametro circuli ex .15.
lib
. 4. habebimus ex .8. primi, angulum .n.
p
.l.
æqualem angulo .q.p.l.
Vnde ex .4. eiuſ
dem
.o.n. ęqualiserit ipſi .o.q. ideſt .q.a. ſeſ
quialtera
erit ad .a.o.
Ad probandum nunc in triangulo .a.q.
u
: a.q. ſeſquialteram eſſe ad .a.o. eſt quoq;
ſciendum
primò omne latus trianguli ęquilateri in potentia ſeſquitertium eſſe ad
perpendicularem
eiuſdem trianguli, quod vndecima lib. 14. Eucli. breuiter demon
ſtratum
eſt.
152140IO. BAPT. BENED.
Ponamus nunc quadratum lateris .a.u. eſſe .12. clarum erit quodlibet quadratum
aliorum
duorum laterum .a.q. et .u.q. futurum nouem, ex ijs quæ poſteriore loco dixi
mus
, & quia quadratum ipſius .q.a. eſt tantò minus aliorum duorum quadratorum
ſumma
, quantum eſt duplum producti ipſius .q.a. in .a.o. ex .13. ſecundi, ſed alia duo
quadrata
ſimul collecta faciunt .21. à quo numero ſubtrahendo quadratum ipſius .a.
q
.
ideſt nouem, remanebit numerus .12. pro duplo producti ipſius .q.a. in .a.o. cuius
dupli
me-
207[Figure 207] dia pars, id-
eſt
ſimplex
productum

ipſius
.q.a.
ĩ a.o. erit 6.
Sed
ꝗa qua
dratum
ip-
ſius
.q.a. eſt
nouem
,
eius
radix .
q
.a.
crit .3.
per
quã di-
uidendo
.6.
productum

ipſius
.q.a.
in
.a.o. pro
latere
.a.o.
conſurgent

duo
, cum er
go
.a.o. ſint
duo
tertia
ipſius
.a.q.
certi
erimꝰ
a.o. eſſe latus dicti exagoni.
CAP. XV.
DEſiderãtes ſcire deinde .l.k. in figura .M. quar
208[Figure 208] ti cap. tertiæ partis perſpectiuę Danielis
Barbari
, ſeu Zamberti, eſſe veram altitudinẽ cor-
poris
octoaedri, primũ ſcire debemus exiſtẽte .b.
h
.
vt etiã .b.l. tripla ad .b.k. vt ex ijs, quę ſuperius
diximus
, facile percipi poteſt;
ex penultima primi .
b
.l.
in potentia, ſeſquioctaua erit ad .k.l. ipſa et .k.
l
.
dupla inpotẽtia ad .h.k. & ob id ducta eſſet .h.
l
.
exiſteret in potentia tripla ad .h.k. & ſeſquialtera
ad
.l.k. & ſeſquitertia ad .l.b. & ſic ad .h.b. vnde .l.h.
æqualis
eſſet vni ex lateribus triãguli ęquilateri di-
cti
corporis.
Ex rationibus igitur ſuperius hîc poſi-
tis
.l.k. erit altitudo dicta, id eſt diſtantia inter duas
facies
inuicem oppoſitas, octoaedri.
Neq; volo te ignorare aliũ paruũ fuiſſe errorẽ
illius
Zamberti:
cum eodẽ capite affirmet angulos
octoacdri
rectos eſſe ſint acuti, vnuſquiſq; minor eſt angulo cubi ſolido.
153141
DE MECHANICIS.
SCripservnt multi multa, & quidem ſcitißimè, de mechn-
nicis
, at cum natura vſusq; aliquid ſemper vel nouum, vel
Latens
in apertum emittere ſoleant, nec ingenui aut grati ſit
animi
, posteris inuidere, ſi quid ei contigerit comperuiße prius
tenebris
inuolutum:
cum tam multa ipſe ex aliorum diligentia
ſit
conſequut us.
Paucula quædã futùra, vt reor, non ingrata his
qui
in biſce mechanicis verſantur, nuſquam ante bac tentata,
aut
ſatis exastè explicata in medium proferre volui:
quo vel iuuandi deſiderium, vel
ſaltem
non ocioſi ingenioli argumentum aliquod exbiberem:
at que vel boc vno modo me
inter
bumanos vixiſſe testatum relinquerem.
De differentia ſitus brachiorum libra.
CAP.I.
OMne pondus poſitum in extremitate alicuius brachij libræ maiorem, aut mi-
11[Handwritten note 1] norem grauitatem habet, pro diuerſa ratione ſitus ipſius brachij.
ſit exempli
gratia
.B. centrum, aut, quod diuidit brachia alicuius libræ, & .A.B.Q. vertica-
lis
linea, aut, vt rectius dicam, axis orizontis, & .B.C. vnum brachium dictæ li-
bræ
, & in .C. ſit pondus, & .C.O. linea inclinationis, ſeuicineris .C. verſus cen-
trum
mundi, cum qua .B.C. angulum rectum conſtituat in puncto .C.
Exiſtente
igitur
in huiuſmodi ſitu brachio .B.C. dico pondus .C. grauius futurum, quam
in
alio quolibet ſitu.
quia ſupra centrum .B. omninò non quieſcet, quemadmodum
in
quouis alio ſitu faceret.
Ad quod intelligendum, ſit dictum brachium, in ſitu .B.
F
.
cum eodem pondere in puncto .F. & linea itineris ſeu inclinationis dicti ponderis
ſit
.F.u.M. per quam lineam dictum pondus progredi non poteſt, niſi brachium .B.F.
breuius
redderetur.
Vnde clarum erit
209[Figure 209] quòd pondus .F. aliquantulum ſupra cen
trum
.B. mediante brachio .B.F. nititur.
Eſt quidem verum, quòd pondus .C. nec
ipſum
etiam per lineam .C.O. proficiſce-
tur
, quia iter extremitatis brachij eſt cir-
cularis
, & .C.O. in vno quodã puncto eſt
contingens
.
Sit hociter .A.C.Q. Opor-
tet
nunc præſupponere pondus extremi-
tatis
brachij deberetanto magis cẽtro .B.
inniti
, quanto magis linea ſuæ inclinatio-
nis
(ponamus .F.u.M.) propinqua erit di
cto
centro .B. quod ſequenti cap. proba-
bo
, vt exempli gratia, ſit .F. ſuper .u. pun-
ctum
medij ex æquo inter .C. et .B. qua-
propter
.u.B. æqualis erit .u.C. vndeſe-
154142IO. BAPT. BENED. quetur dictum pondus grauius futurum pro parte .F.C. quam pro ea, quæ eſt .A.F. &
minus
ſupra centrum .B. pro dicta parte .F.C. quam pro parte .A.F. quieturum;
&
dictum
brachium quanto magis orizontale erit à ſitu .B.F. tantò minus-ſupra dictum
centrum
.B. quieſcet, & hac ratione grauius quoque erit, & quanto magis vicinum
erit
ipſi .A. à dicto .F. tantò magis ſuper centrum .B. quoque quieſcet, vnde tãtò quo-
que
leuius exiſtet.
Idem dico de omni ſitu brachij per girum inferiorem .C.Q. vbi
pondus
pendebit à centro .B. dictum centrum attrahendo, quemadmodum ſuperius
illud
impellebat.
Hæc verò omnia cap. ſequenti melius percipientur.
De proportione ponderis extremitatis brachij libr &
in
diuerſo ſitu ab orizontali.
CAP. II.
PRoportio ponderis in .C. ad idem pondus in F. erit quemadmodum totius
brachij
.B.C. ad partem .B.u. poſitam inter centrum & lineam .F.u.M. inclinatio-
nis
, quam pondus ab extremitate .F. liberum verſus mundi centrũ conficeret.
Quod
vt
facilius intelligamus imaginemur alterũ brachium libræ .B.D. & in extremo .D.
locatum
aliquod pondus minus pondere .C. vt .B.u. pars .B.C.m. nor eſt .B.D. cla-
cognoſcetur ex .6. lib. primi de ponderibus Archimedis, quòd ſi in puncto .u. col-
locatum
erit pondus ipſius .C. libra nihil penitus à ſitu orizontali dimouebitur.
Sed
perinde
eſt quòd pondus .F. æquale .C. ſit in extremo .F. in ſitu brachij .B.F. quã vt ſit
in
puncto .u. in ſitu ipſius .B.u. orizontali.
Ad cuius rei euidentiam imaginemur filũ .
F
.u.
perpendiculare, & in cuius extremo .u. pendere pondus, quod erat in .F. vnde cla
rum
erit quòd eundem effectum gignet, ac ſi fuiſſet in .F. quod, vt iam diximus re-
manens
affixum puncto .u. brachij .B.u. tantò minus graue eſt ſitu ipſius .C. quantò .u.
B
.
minus eſt ipſo .B.C.
Idem aſſero ſi brachium eſſet in ſitu .e.B. quod facilè cogno-
ſcere
poterimus, ſi imaginemur filum appenſum ipſi .u. brachij .B.C. & vſque ad .e.
perpendicularẽ, in quo extremo appensũ eſſet pondus æquale ponderi .C. & liberũ
ab
.e. brachij .B.e. vnde libra orizontalis manebit.
Sed ſi brachium .B.e. conſolida-
tum
fuiſſet in tali ſitu cum orizontali .B.D.
210[Figure 210] & appẽſo põdere .C. in .e. libero à filo, nec
aſcẽderet, neq; deſcenderet.
quia tantum
eſt
quod ipſum ſit appenſum filo, pendet
ab
.u. quantum quòd ab ipſo liberum appẽ
nſum
fuiſſet .e. brachij .B.e. & hoc procede
ret
ab eo quòd partim pendereta centro .
B
.
& ſi brachiũ eſſet in ſitu .B.Q. totum
dus
centro .B. remaneret appenſum, quem-
admodũ
in ſitu .B.A. totũ dicto centro an-
niteretur
.
vnde fit vt hoc modo pondus
magis
aut minus ſit graue, quò magis
aut
minus à centro pendet, aut eidem niti-
tur
:
atq; hæc eſt cauſa proxima, & per ſe,
22[Handwritten note 2] qua fit vt vnum idemq; pondus in vno eo-
demq́; medio magis aut minus graue exi-
155143DE MECHAN. ſtat. Et quamuis appellem latus .B.C. orizontale, ſupponens illud angulum rectum
cum
.C.O. facere, vnde angulus .C.B.Q. fit vt minor ſit recto, ob quantitatem vnius
anguli
ęqualis ei, quem duæ .C.O. et .B.Q. in centro regionis elemẽtaris conſtituũt,
hoc
tamen nihil refert, cum dictus angulus inſenſibilis ſit magnitudinis.
Ab iſtis au-
tem
rationibus elicere poſſumus, quod ſi punctus .u. erit ex æquo medius inter cen-
trum
.B. & extremum .C. pondus .F. aut .M. pendebit, aut nitetur pro medietate dicto
centro
.B. & ſi dictum .u. erit propius .B. quam puncto .C. pendebit ab ipſo, aut nitetur
ipſi
amplius quã exmedietate, & ſi magis verſus .C. minus quã ex medietate nitet̃.
Quòd quantit as cuiuſlibet ponderis, aut uirtus mouens re-
ſpectu
alterius quantitatis cognoſcatur beneficio
perpendicularium
ductarum à centro
libr
& ad line am inclinationis.
CAP. III.
EX ijs, quæ à nobis hucuſque ſunt dicta, facilè intelligi poteſt, quantitas .B.u.
quæ
ferè perpendicularis eſt à centro .B. ad lineam .F.u. inclinationis, ea eſt,
33[Handwritten note 3] quæ nos ducit in cognitionem quantitatis virtutis ipſius .F. in huiuſmodi ſitu, conſti
tuens
videlicet linea .F.u. cum brachio .F.B. angulum acutum .B.F.u.
Vt hoc tamen
melius
intelligamus, imaginemur libram .b.o.a. fixam in centro .o. ad. cuius etrema
ſint
appenſa duo pondera, aut duæ virtutes mouentes .e. et .c. ita tamen linea incli-
nationis
.e. ideſt .b.e. faciat angulum rectum cum .o.b. in puncto .b. linea verò inclina
tionis
.c. ideſt .a.c. faciat angulum acutum, aut obtuſum cum .o.a. in puncto .a.
Imagi-
nemur
ergo lineam .o.t. perpendicularem lineæ .c.a. inclinationis, vnde .o.t. minor
erit
.o.a. ex .18. primi Euclidis. ſecetur deinde imaginatione o.a. in puncto .i. ita ut
o.i. æqualis.
ſit .o.t. & puncto .i. appenſum ſit pondus æquale ipſi .c. cuius inclinationis
linea
parallela ſit lineæ inclinationis ponderis .e. ſupponendo tamen pondus aut vir
tutem
.c. ea ratione maiorem eſſe ea, quæ eſt .e. qua .b.o. maior eſt .o.t. abſque dubio
ex
.6. lib. primi Archi. de ponderibus .b.o.i. non mouebitur ſitu, ſed ſi loco .o.i. imagi
nabimur
.o.t. conſolidatam cum .o.b. & per lineam .t.c. attractam virtute .c. ſimiliter
quoque
continget ut b.o. t;
communi quadam ſcientia, non moueatur ſi tu. Eſt ergo
44[Handwritten note 4] quod propoſuimus verum quantitatem alicuius ponderis reſpectu ad eam, quæ eſt
alterius
debere depræhendi à perpendicularibus, quæ à centro libræ ad lineas incli
nationis
exiliunt.
Hinc autem innoteſcit facillimè, quantum vigoris, & vis pondus,
aut
virtus .c. ad angulum rectum cum .o.a. minimè trahens, amitttat.
Hinc quoque co
rollarium
quoddam ſequetur, quò d quantò propinquius erit centrum .o. libræ cen-
tro
regionis elementaris, tantò quo que minus erit graue.
211[Figure 211]
156144IO. BAPT. BENED.
Quemadmodum exſupradictis cauſis omnes staterarum &
uectium
cauſæ dependeant.
CAP. IIII.
VIs brachij longioris alicuius ſtateræ, aut vectis, maior breuioris, ab ijs, quæ in ſu
perioribus
capitibus diximus, ideſt nitatur pendeatuẽ magis aut minus à
centro
pondus in extremitate brachij maioris poſitum, oboritur.
Quamobrem illud
à
nobis primò eſt cognoſcendum, ſtateras, aut vectes, puras mathematicas li-
neas
non eſſe, ſed naturales, hincque exiſtere corpora cum materia coniuncta.
Nunc
igitur
imaginemur .n.s. eam ſuperficiem eſſe, quæ ſecundum longitudinem axem ſta
teræ
ſcindit.
& ſupponamus ipſius centrum eſſe primum in .i. & maius brachium eſſe
.i.u: minus autem .i.n. & lineam verticalem .i.o. quæ tanta ſit, quanta eſt ſpiſſitu-
do
, aut craſſities ipſius ſtateræ à ſuperiori latere ad inferius, ad faciliorem intelligen-
tiam
, ſupponendo .n.s. parallelogrãmam.
Poſitis igitur duobus ponderibus æquali-
55[Handwritten note 5] bus in extremitatibus brachiorum, experientia innoteſcit, pondus ad .u.s. appen-
ſum
, viol entiam faciet ponderi appenſo ad .n.x. ſed nos volumus inueſtigare causã
huius
effectus, quæ à nemine vnquam literarum monumentis, ſciam, conſignata
66[Handwritten note 6] fuit.
Iam diximus ſtateram, aut vectem materialem eſſe & .n.s. eius ſuperficiem me-
diam
, ſupponendo .i. eſſe centrum quo nititur dicta ſtatera aut vectis;
Cum hocer-
go
ita ſe habeat, ſint .u.s. et .n.x. lineæ inclinationum ponderum, & imaginemur,
dicta
pondera pendeant à punctis .u. et .n. vt reuera pendent, etiam ſi appenſa eſſent
ſub
.s. et .x. quia punctum .u. & punctum .n. ita coniuncta ſunt cum .s. et .x. ut qui vnũ
trahit
alterum quoque trahat.
Imaginemur quoque duas lineas .i.u: i.n. et .i.e. quę
i.e. faciat angulum .o.i.e. æqualem angulo .o.i.n.
Hinc clarè nobis patebit, ſi quis ipſi
e
. pondus ipſius .u. ( æquale eſt ponderi .n.) appenderet, id eandem planè vim habe
ret
, quam pondus ipſius .n. habet, & ſtateram neque ſurſum, neque deorſum moue-
ret
, quia ambo pondera ad centrum .i. mediantibus lineis .e.i. et .n.i. exęquo annite-
rentur
, ſed dicto pondere poſito in .u: linea .u.i. per quam pondus centro annititur,
magis
orizontalis quam .e.i. fit, & linea .u.s. inclinationis longius diſtans à centro .i.
77[Handwritten note 7] quàm linea .e.t. vnde huiuſmodi pondus magis quoque liberum à centro .i. reſultat.
magisque ponderoſum, quam cum erat in .e. ratione eorum, quæ primo & ſecundo
capitibus
diximus, & ob hanc cauſam ſuperat pondus poſitum in .n.
Sed ſi centrum
fuerit
.in .o. imaginabimur duas lineas .o.s. et .o.x. & ſupponemus quòd pondera po-
ſita
ſint in .s. et .x. vnde exiſtente magis orizontali linea .o.s. quam erit .o.x. & linea
u.s. inclinationis longius diſtante à centro .o. quàm linea .e.t. eius pondus erit quoq;
212[Figure 212] 213[Figure 213]
157145DE MECHAN. grauius, quia tantò minus pendebit à centro .o. & ratiocinando, vt ſuperius dixi-
mus
, inueniemus eundem effectum verum eſſe.
In ſtateris, rectè & propriè appella
ri
poteſt .x.i.s. aut .n.o.u. orizontalis, ſed in omni vectium ſpecie, hoc tãtum per quan
dam
ſimilitudinem dicetur.
Idem contemplari licet ſupponendo centrum in medio
inter
.o. et .i. quod vnuſquiſque ex ſe abſque alterius auxilio facile præſtare poterit.
De quibuſdam rebus animaduerſione dignis.
CAP.V.
NOn omittenda mihi vidẽtur quædam, quæ ad tractationẽ vectium admodum
ſunt
neceſſaria.
Quod autem quærimus, in eo conſiſtit, quòd aliqui vectes
adhibeantur
ad opus, quorum centrum, quod Græci hypomochliõ appellant vnum
eſt
ex extremis ipſius vectis, & pondus, quod ſurſum eleuari debet, inter ipſa-
met
extrema iacet, propinquum tamen hypomochlio, vt exempli gratia, ſi vectis
eſſet
infraſcripta figura .o.s.u.x. cuius hypomochlion eſſet in puncto .o. & pondus in
puncto
.n. clarum erit, cum eleuari debeat .n. oportebit quoque opera manus ele-
uari
.u.
Nunc conſiderandum eſt quomodo pondus .n. annitatur ad .u. Hanc ob cau
ſam
imaginabimur rectas lineas .n.o: n.i: n.e: n.t. et .n.u. quarum .n.i. verſus mundi cen
trum
ſit poſita, et .n.t. faciat angulum .i.n.t. æqualem angulo .i.n.o.
Nunc ponendo ali
quam
virtutem in .i. æquali inclinatione ad ſuperius conſtante, vt .n. ad inferius (re-
mota
tamen grauitate materiæ vectis) huiuſmodi virtus, totum pondus ipſius .n. com
muni
quadam ſcientiæ notione ſuſtinebit.
& ſi põdus ipſius .n. eſſet in .x. è directo ſu-
per
.o. totum pondus ſuper hypomochlio ſe haberet, & tanta virtus ipſius hypomo-
chlij
ſufficeret ad reſiſtendum pro ſuſtinendo, quanta eſt grauitas ipſius ponderis,
ſed
ipſum iterum ponamus in .n. ibi clarum erit, quòd ſi alia virtus à parte inſeriori
ad
ſuperiorem vectis non opponitur, excepto tamen hypomochlio, oportebit virtu
te
cuiuſdam partis ponderis .n. (abſque conſideratione tamen, vt iam dixi, ponderis
materiæ
vectis) vt vectis à parte .s.u. deprimatur, & dixi vnius cuiuſdam partis pon-
deris
.n. quia alia eiuſdẽ ponderis pars annititur ipſi hypomochlio .o. mediãte linea
o.n. quæ angulos rectos cum .o.x. non facit.
Si autem à puncto .t. opponet ſeſe huiuſ-
modi
reſiſtentia, vt vectis non deprimatur, clarum erit communi ſcientia, virtus
ponderis
.n. diuiſa erit per medium æqualiter, cuius vna medietas ſuper .o. quieſcet,
& alia ſuper .t. mediantibus duabus lineis .n.o. et .n.t.
Imaginemur nunc reſiſtentiam
t
. ablatam eſſe, poſitamq; in .e. clarum quoque erit, maior pars ponderis .n. ipſi .e.
annitetur
beneficio lineæ .n.e. quàm ipſi .o. cum linea .n.i. inclinationis ipſi .e. ſit pro
pinquior
quam .o. quia omnis reſiſtentia aut in .i. aut in .e. aut in .t. aut in .u. eſt loco
centri
, quemadmodum eſt .o. & alter alterius opera iuuatur.
Si verò eadem reſiſten
tia
poſita erit in .u. clarum quoque erit, minor pars ponderis .n. annitetur ipſi .u. quã
ipſi
.o. cum dicta .n.i. à centro .u. longius quam à centro .o. diſter, & proportio partis
ponderis
.n. in .o. ad propor-
tionem
partis ponderis .n. in
214[Figure 214] u. non erit ſecũdum propor
tionem
angulorum .u.n.i. et
o.n.i. ſed ſecundum propor
tionem
.u.i. ad .i.o. quod cla
compræhendi poteſt ab
158146IO. BAPT. BENED. huius effectus conuerſo, ideſt, vt quemadmodum nunc ſupponuntur .o. et .u. eſſe duo
centra
quibus ſuſtinet̃ pondus .e. ipſius .n. imaginemur .n. eſſe quoddam centrum à
quo
pendeant duo pondera .o. et .u. ſic inuicem proportionata, ut ſunt .u.i. et .i.o.
certe
horum ponderum cauſa ſtatera .o.s. quam vectem appellabamus à nulla parte
inclinabitur
.
Redeuntes nunc ad propoſitum, dicemus annitente pondere ipſius .
n
.
minus ad .u. quam ad .o. ideſt ad .t. minori vi opus erit in .u. quàm in .t. ad attollen-
dum
pondus ipſius .n. & ſic per conſequens quantò longius erit punctum .u. ab .t. tan
minori quoque vi egebit, & conſequenter quando vis, aut reſiſtentia in .u. ita pro
portionata
erit illi, quæ eſt ipſius .o. vt eſt .o.i. ad .i.u. vectis non mouebitur.
Sed quan
do
erit proportio maior, reſiſtentiæ ipſius .u. ad eam, quæ eſt ipſius .o. ea, quæ eſt .o.
i
.
ad .i.u.
tunc vectis à par-
teipſius
.u.s. eleuabitur, ſi
215[Figure 215] vero proportio minor eſſet
quàm
.o.i. ad .i.u.
tunc ve-
ctis
ab eadem parte depri-
metur
.
De ratione cuiuſdam uis adauctæ.
CAP. VI.
QVibuſdam in locis vtuntur quidã quodã inſtrumẽto piſtorio ad ſubigẽdã pa-
ſtam
, vnius tantum hominis ui adhibita, quæ quidem machina cum mihi di-
gna
contemplatione eſſe videatur, eius aliquam rationem proponere volui, pro cu-
ius
deſcriptione imaginemur planum, in quo ſedet ille, qui voluit paſtam, & in quo
ipſa
paſta eſt repoſita .T.S.D. & triangulum .T.A.S. immobile perpendiculare-
q́ue
ſuperficiei dicti plani, angulo autem .A. coniunctum lignum .A.E. vt ſemidiame
trum
mobilem, & æqualem perpendiculari ipſius trianguli,
unde .A. loco centri erit
et
.D.O. ſit ſemidiameter, qui paſtam contundit, & ab eius extremo .O. (quod .O.
quando
.D.O. orizontalis eſt, in baſi dicti trianguli reperitur) veniat lignum .O.V.
quod
cum .A.V. ſit æquale perpendiculari imaginatæ ab angulo .A. baſi .T.S. deno-
datũ
utvulgo dicit̃ ſeu flexile in .O. & in .V. vt elleuare atq; deprimere ſemidiame
trum
.D.O. poſſit, et .V.O. ſit æqualis .A.V. et .V. medium ſit inter .A. et .E. vnde .A.V.
cum
.O.V. æquales erunt .A.E. ſunt deinde duo ligna perpẽdicularia ab .A. ad baſim
fixa
, & immobilia inter ſe adeò diſtantia, vt inter ipſa pertrãſeãt .O.V. et .D.O. ſupra
& infra, ne deuiet ſemidiametrum .D.O.
In extremitate deinde ipſius .E. ſit lignum
quoddam
tenue, vt digitus polex, ad angulos rectos cum .A.E. quod ab aliquo, qui
antedictam
machinam ſtet, manibus teneatur, qui quidem homo idipſum lignum,
ideſt
ſemidiametrum .A.E. à ſuperficie trianguli dicti, ad ſe trahendo, & deinde ver
ſus
eundem triangulum impellendo, vim quandam maximam mediante ſemidia
metro
.D.O. ſuper paſtam excitat.
Pro cuius rei contemplatione volo vt ſecundam hanc ſubſcriptam figuram .b.a.
u
.x.
imaginemur, in qua .u. exprimat .A. primæ figuræ, & .a. denotet .O. & .o.V. & .x.
E
.
imaginemur etiam .u.a. baſem trianguli .a.u.o. cui .o.t. perpendicularis dictæ baſi .
u
.a.
addatur.
Hucuſq; igitur .u.o. æqualis erit .o.x. & ipſi .o.a. imaginemur etiam .a.o.
vſque
ad .b. ita productam vt .o.b. æqualis ſit .o.a. ponamus etiam pondus in .a. impel-
159147DE MECHAN. lere verſus .u. vnde linea eius inclinationis ſit ſemper .a.u. ſupponamus etiam .a.o.b.
eſſe
librã, aut ſtateram, aut vectem, & .o. eius centrum, vnde vis, aut virtus ipſius .a.
proportionalis
erit ipſi .o.t. reſpectu virtutis, aut vis imaginatæ in .b. inclinationis
perpendicularis
ipſi .b.a. quæ quidem virtus, aut vis in .b. proportionalis erit ipſi .b.
o
.
ex tertio capite huius tractatus;
Si ergo fuiſſet poſita in .b. virtus quædarn ad an-
gulum
rectum, trahens lineam .b.o. tam proportionatam virtuti perpendiculari ip-
ſius
.a. quam eſt .o.t. proportionata ipſi .o.b. ſtatera .b.o.a. non moueretur, ſed quæuis
portio
maior in .b. ſuperaret .a. cum autem fuerit .o.x. æqualis ipſi .o.b. idẽ planè eue-
216[Figure 216] 217[Figure 217] niet, communi quadam ſcientia, ponen-
do
virtutem .b. in .x.
Quantitas ergo virtu
tis
in .x. quæ ſuperare debet reſiſtentiam
in
.a. quæ ipſi .u. contraponitur, debet ha-
bere
aliquantulum maioris proportionis
ad
reſiſtentiam, quæ in .a. angulum re-
ctum
efficeret cum .a.o. ea, quæ eſt .o.t.
ad
.o.x.
160148IO. BABPT. BENED.
De quibuſdam erroribus Nicolai Tartaleæ circa pondera
corporum
& eorum motus, quorum aliqui deſumpti
fuerunt
à fordano ſcriptore quodam antiquo.
CAP. VII.
CVm magis amici veritatis eſſe debeamus quàm cuiuſquam hominis, quemad-
modum
Ariſto. ſcribit, detegam hoc loco quoſdam errores Nicolai Tartaleę
de
ponderibus corporum, & velocitatibus motuum localium.
Et primum decipitur
is
in .8. lib. ſuarum diuerſarum inuentionum in ſecunda propoſitione, cum non ani-
maduerterit
quanti momenti ſint extrinſecæ reſiſtentiæ.
Subiectum quoque tertiæ propoſitionis eſt malè demonſtratum, quia idem pla-
ex eius demonſtratione iam dicta corporibus hætereogeneis, aut figura diuerſis
contingeret
, quod ad velocitates attinet.
In quarta propoſitione, quod ad diſputãdũ proponit concludit melius. autẽ id
ab
eo ſequit̃, quod Archimedes in .6. propoſitione lib. primi de põderibus ꝓbauit.
88[Handwritten note 8]
Sed in ſecunda parte quintę propoſitionis non uidet uigore ſitus eo modo, quo
ipſe
diſputat, nulla elicitur ponderis differentia.
quia ſi corpus .B. deſcendere debet
per
arcum .i.l. corpus .A. aſcendere debet per arcum .u.s. æqualem, & ſimilem. eadem
quoque
ratione ſituatum, vt eſt arcus .i.l. vnde vt eſt facilè corpori .B. deſcendere
per
arcum .i.l. difficile ita erit corpori .A. aſcendere per arcum .u.s.
Hęc autem qnin
ta
propoſitio Tartaleæ eſt ſecuuda quæſtio à Iordano propoſita.
Quòd autem ad primum corollarium dictæ propoſitionis attinet, verum ille qui
dem
ſcribit, eius tamen effectus cauſa & à Iordano prius, & ab ipſo poſtea citata, na-
tura
ſua vera non eſt.
quia vera cauſa per ſe ab eo oritur, à centro libræ dependeat
vt
primo cap. huius tractatus oſtendi.
Secundum verò corollarium falſum eſſe, ijs ra
tionibus
quas nunc ſubiungam, patebit.
Imaginemur .u. pro centro regionis ele-
mentaris
, & libram .b.o.a. obliquam reſpectu ad .u. & brachijs æqualibus conſtãtem,
& pondera in .a. et in .b. etiam æqualia.
lineæ autem inclinationum ſint .a.u. et .b.u.
imaginemur
etiam lineam .o.u. & à centro .o. libræ duas .o.t. et .o.e. perpendiculares
inclinationum
lineis;
vnde pondus ipſius .a. in huiuſmodi ſitu tam erit proportiona
tum
ponderi .b. quam proportionata erit linea .o.t. lineæ .o.e. ex eo tertio cap. hu-
iustractatus
probaui, ſed linea .o.t. maior eſt linea .o.e. quod ſic probo.
Imaginemur
triangulum
.u.a.b. circunſcriptum eſſe à circulo .u.a.n.b. cuius .c. ſit centrum, erit
extra
lineam .u.o. cum ſupponatur .a.o.b. obliquam eſſe reſpectu ad .u.o.
Imagine-
mur
deinde à centro .c. lineam .c.o.s. vſque ad circunferentiam, quæ perpendicula-
ris
erit ipſi .a.b. ex tertia lib. 3. Eucli.
ſi poſteà imaginemur duas lineas .c.a. et .c.b. ha
bebimus
ex .8. lib. primi, angulum .a.c.o. æqualem angulo .b.c.o.
Vnde ex .25. lib. 3.
arcus
.a.s. æqualis erit arcui .b.s. ſed ſi imaginabimur .u.o. ad circunferentiam vſque
productam
, clarum erit arcum .s.b. ſecaret in puncto .n. vnde arcus .n.b. minor erit
arcu
.n.a. & ſic etiam angulus .n.u.b. minor erit angulo .n.u.a. ex ultima lib. 6.
Imagi-
nemur
nunc alium quendam circulum, cuius .o.u. ſit diameter, cuius circunferentia
per
duo puncta .e. et .t. prætergradiat̃, cum in ipſis ſint angulirecti, quod quilibet ex
ſeratio
cinando colligere poteſt, ſi .30. lib. 3. in mentem reuocauerit.
Sed cum angu-
lus
.o.u.t. ſit maior angulo .o.u.e. arcus .o.t. maior erit arcu .o.e. ex vltima .6. vnde cor
da
.o.t. maior erit corda ipſius .o.e. ex conuerſo .27. lib. 3. quod eſt propoſitum.
Pon-
99[Handwritten note 9] dusigitur ipſius .a. in huiuſmodi ſitu, pondere ipſius .b. grauius erit.
Quod è directo ijs
repugnat
quæ Tartalea in 2. parte quinræ propoſitionis ediſerit, & per conſequens
2
. corollarij falſitatem oſtendit, vt eam quoque, quæ in 6. propoſitione latet.
quia
161149DE MECHAN. proportio põderis .a. ad pon
dusipſius
.b. eadem ſit cum
ea
quę eſt .o.t. ad .o.e. ſub co
gnitionẽ noſtram cadere po
teſt
, primum cognoſcendo
angulos
obliquitatis librę,
ideſt
angulos .b.o.u. et .a.o.
u
.
quia oportet ſemper ſup-
218[Figure 218] ponere ſitum aliquem no-
tum
.
Si nobis deinde co-
gnita
erit proportio ipſius .
o
.u.
ad .o.b. et. ad .o.a. aſſe-
quemur
cognitionem angu
li
.b. et .o.a.u. & per conſe-
quens
ipſius .o.a.t. eius reſi-
dui
, vnde poſtea beneficio
angulorum
.e. et .t. rectorum
& laterum .o.b. et .o.a. cogni
torum
in cognitionem .o.t.
et
.o.e. facile deueniemus.
CAP. VIII.
QVod autem idem Tartalea in .6. propoſitione, & Iordanus in ſecunda parte.
ſecundæ propoſitionis ſcribunt, maximum quoque errorem inſe continet.
Dicunt enim angulũ
h.a.f. differentem ab
angulo
.d.b.f. alia ra-
tione
non eſſe quàm
per
angulum conta-
ctus
duorũ circulorũ,
vt
in ſua figura ſcribit
Tartalea
;
id quod fal-
ſiſſimum
eſt.
Quã ob
cauſam
in ſubſcripta
figura
ſit libra .B.A.
219[Figure 219] & eius centrum.
C et .
u
.
centrũ regionis ele
mentaris
, et .A.u. et .B.
u
.
lineæ inclinationũ.
Imaginemur deinde
lineam
.B.K. parallelã
ipſi
.A.u. quæ gyrum .
B
.F.A.
in puncto .K.
communi
ſcientiæ prę­
cepto
ſcindet, & habe
bimus
angulum .K.B.
Z
.
æqualem angulo .
H
.A.F.
ideſt .u.A.F.
(quia .H.u. et .D. unũ
ſunt
) cum ex .29. libr.
primi
Euclidis angu-
162150IO. BAPT. BENED. lus u.A.C. æqualis ſit
angulo
.K.B.T. & an-
gulus
.C.A.F. æqua-
lis
angulo .T.B.Z. nũc
comparatio
eſt inter
angulum
.D.B.F. & an
gulum
.K.B.Z. miſtili-
neos
, qui quidem duo
anguli
, cõmunem ha-
bent
angulum miſtili
neum
.K.B.F. quapro-
220[Figure 220] pter ſi angulus .K.B.Z.
miſtilineus
maior eſt
angulo
.D.B.F. miſti-
lineo
per angulum .
K
.B.Z.
contingentiæ,
circulorum
ergo angu
lus
miſtilineus com-
munis
.K.B.F. æqualis
erit
miſtilineo, angu-
lo
.D.B.F. pars vide-
licet
ſui toto.
Omnis
autem
error in quem
Tartalea
, Iordanusq;
lapſi
fuerunt ab eo,
1010[Handwritten note 10] lineas inclinationum
pro
parallelis viciſſim
ſumpſerunt
, emana-
uit
.
Septima propoſitio Tartaleæ, quæ eſt ꝗnta quæſtio Iordani mihi videt̃ excipien-
da
riſu, cum pondus ipſius .A. ponderi ipſius .B. exiſtens æquale, grauius ſit pondere
eiuſdem
.B. ratione minoris aperturæ anguli contingentiæ in .A. quam in .B. in quo
idem
error committitur, qui in præcedenti committebatur, cum ſcilicet ipſe putet
lineas
.A.E. et .B.D. figuræ ab eo confictæ ſibi inuicem eſſe parallelas, quæ etiam ſi
æquidiſtantes
eſſent (vnde angulus .E.A.G. minor eſſet angulo .D.B.F.) non eam ta
men
ob cauſam huiuſmodiangulorum differentia cauſa eſſet differentiæ grauitatũ
ipſorum
.A. et .B. ob ea quæ cap .4. huius tractatus poſui.
Octaua autem propoſitio, quæ eſt .6. quæſtio Iordani Iongè melius demonſtratur
ab
Archi. in .6. lib. primi de ponderibus, cum nec à Iordano, nec à Tartalæa probata
fuerit
, cum ijdem non probauerint præcedentes, quas in dicta .8.
Tartalęa citat, qui
neque
etiam probat nonam .10. 11. 12. et .13. cum ad pręcedentes probandas mini
acceſſerit.
Quartadecima verò, quæ eſt .10. quęſtio Iordani, duas ob cauſas eſt falſa, quarum
vna
eſt, (ſupponendo .A.D.E.G.B. eſſe vnum brachium librę et .A. punctum cẽtri
eiuſdem
, et .D. pondus ęquale ponderi .E. & lineas inclinationum .D.K. et .E.M.) an
guli
.K.D.E. et .M.E.G. ſibi inuicẽ ſunt ęquales;
ille angulus ſit intrinſecus, hic
verò
extrinſecus & oppoſitus dicto intrinſeco vniꝰ triãguli terminati à. D.E. à .D.K.
163151DE MECHAN. et .E.M. lineis productis vſque ad centrum regionis elementaris, vnde dictus angu-
lus
.M.E.G. maior eſt alio, ex .16 lib. primi Eucli.
Qua ratione fit, vt hanc ob cauſam
E
. grauius ſit ipſo .D. cum minus dependeat à centro .A. vt primo cap. huius tractatus
iam
dixi.
Alia quoque eſtratio, qua dictum .E. grauius fit ipſo .D. quę quidem eſt
maior
diſtantia à centro .A. libræ, per ſimiles rationes capit .4. huius tractatus ci-
tatas
.
Decimaquinta quoq; nil penitus valet, quę eſt .11. quęſtio Iordani, cuius Autho-
ris
opuſculum opera Traiani Bibliopolę Venetijs è tenebris in lucem emerſit.
Quòdſummaratione ſtateræper æqualia interualla
ſint
diuiſæ.
CAP. IX.
MAgna cum ratione diuidũtur ſtateræ per interualla ęqualia, in libras, aut in
vncias
, aut quoquo alio modo.
Nam ſit ſtatera exempli gratia .a.b.
& punctum, eam ſuſtinet ſit .c. & vas illud, continetid, quod ponderari debet
f
.
Imaginemur nunc quod pondus brachij .c.b. ab una parte, & pondus brachij .c.a.
eo
, eſt dicti vaſis .f. ab altera parte, ſint cauſę, quibus ſtatera .a.b.c. ſtet orizonta-
lis
. cui ſic orizontali manenti imaginemur ad punctum .a. adiunctum eſſe pondus,
veluti
vnius librę. & ad punctum .d. tam diſtanti à .c. ut eſt .a. ab ipſo .c. aliud quoque
pondus
vnius libræ additũ eſſe, vnde cõi quadã ſcientia ſtatera, non mouebitur ſitu.
ꝗa exiſtentibus duobus hiſce ponderibus æqualibus, altero in .d. & altero in .a. remo
ta
cum eſſent .d.b. et .f. abſque dubio .a.d. non mutaret ſitum, ſed .d.b. et, f. in ſitu, in
quo
reperiuntur, à centro paribus viribus prędita ſunt.
Addendo igitur .d.b. ipſi .d.
et
.f. ipſi .a: ſumma earum, æqualibus quoque viribus conſtabunt. ex communi ſen-
tentia
, quæ habet ſi ęqualibus addas ęqualia, tota quoque fient ęqualia.
Si verò
ponderi
ipſius .a. aliud adderetur eidem ęquale, haberemus in .a. duplum pon-
dus
ei eſt ipſius .d. ſed volentes vt ſolum cum pondere ipſius .d. ſtatera ſtet orizon
talis
, ſi dictum pondus ipſius .d. longè diſtabit à centro .c. per duplum ipſius .c.a. ideſt
ipſius
.c.d. id volumus aſſeque-
mur
, beneficio ſupradictarum ra
221[Figure 221] tionum, adiuti opera ſextę lib. pri­
mi
de põderibus Archimedis.
Et
ſi
quis aliud quoq; pondus adiun
geret
ipſi .a. æquale illi priori, ad
efficiẽdum, vt ſtatera ſemper ori
zontalis
maneret, oporteret, vt põdus ipſius .d. ab .c. longè diſtaret, ita vt huiuſmodi
diſtantia
tripla eſſet primæ, & ſic per quoſdam quaſi gradus interualla redderentur
æqualia
.
164152IO. BAPT. BENED.
Quòd line a circularis non habe at concauum cum con-
uexo
coniunctum, & quod Aristo. cir caproportio
nes
motuum aberrauerit.
CAP.X.
ARiſtoteles in principio quæſtionum Mechanicarum ait lineam, quæ terminat
1111[Handwritten note 11] circulum videtur conuexum habere coniunctum cum concauo, quod falſum
eſt
:
quia huiuſmodi linea partes nullas ſecundum latitudinem habet, (vt ipſe etiam
confirmat
) ſed eſt idem conuexum circuli:
linea verò quæ terminus eſt ſuperficiei
ambientis
, & amplectentis circulum eſt eadem concauitas dictæ ſuperficiei eun-
dem
circulum ambientis, quæ nullam conuexitatem habet.
& duæ ſunt lineæ,
quarum
vna diuerſa eſt ab alia, neque altera alterius, quod ad conuexum, & ad con-
cauum
attinet.
Sed illud, quod Ariſtoteles ſcribit de duplici reſpectu motus vnius puncti ſecun
dum
vnam datam pro portionem, non ſufficit, ille enim ſic ait.
Sit proportio ſecundum quam latum fertur, quam habet .A.B. ad .A.C. et .A. qui
dem
feratur verſus .B: A.B. verò ſubterferatur verſus .M.C. latum autem ſit .A. quidẽ
ad
.D. vbi autem eſt .A.B. verſus .E.
Quoniam igitur lationis erat proportio, quam .
A
.B.
habet ad .A.C. neceſſe eſt & .A.D. ad .A.E. hanc habere rationem.
Simile igi
1212[Handwritten note 12] tur eſt pro portione paruum quadr ilaterum maiori.
Quamobrem etc.
Cui reſpondeo, punctum .A. quod mouetur in linea .A.M. ab .A. verſus .M. vſque
ad
.F. non moueriab aliqua proportione determinata magis quàm ab alia:
vnde
ſolum
poſſumus imaginari dictum punctum .A. moueri ab .A. vſque ad .F. eiuſdem
velocitatis
ſub alia quadam proportione, ſed etiam ſub alia, quæ iam datæ contraria
ſit
, vt eſt proportio ipſius .A.C. ad .A.B. imaginãtes moueri .A. verſus .C. et .A.C. ver
ſus
.B.M. delatam.
Dico etiam idem .A. moueri vſque ad .F. ſecundum proportio-
nem
ipſius .A.O. ad .A.N.
Quamobrem imaginemur à puncto .F. lineam .F.H. cum
linea
.F.A. efficere angu-
lum
æqualem angulo .O.
P
.A.
& à puncto .A. lineã
222[Figure 222] A.H. linea .A.F. face-
re
angulũ æqualẽ angulo
O.A.P. unde angulus .H.
æqualis
erit angulo .O.
ex
.32. libr. primi Eucl.
& triangulũ .A.H.F. ęqui
angulum
erit triangulo .
A
.O.P
.
Quam ob causã
eadẽ proportio erit ipſiꝰ
A.H. ad .F.H. quę ẽipſius
A.O. ad .O.P. punctum
igitur
.A. vſque ad .F. mouetur ſecundum proportionem etiam ipſius .A.O. ad .O.P.
Huiuſmodi
igitur conſideratio, ab Ariſtotele facta, nullius eſt momenti.
165153DE MECHAN.
Quod Aristo. in prima mechanicarum quæstionum eius quod
inquir
it, uer am cauſam non attulerit.
CAP. XI.
QVærens Ariſtoteles vnde fiat, vt libræ, quæ brachia habent alijs longiora,
ſint
exactiores cæteris, ait hoc euenire ratione maioris velocitatis extremo
rum
earundem.
Quod verum non eſt; quia hîc effectus nil aliud eſt, quam clarius pro
ponere
ob omnium oculos obliquitatem brachiorum à linea orizontali, & oſtende-
re
etiam facilius à dicto orizontali ſitu exire brachia iam dicta.
Quæ quidem per ſe
neque
à velocitate, neque à tarditate motus, ſed à ratione vectis, & à ma-
iori
interuallo inter ſecundum ſitum extremorum à primo proficiſcuntur.
Vt exem-
pli
gratia, imaginemur magnam libram .A.B. orizontalem, cuius centrum ſit .E. et
pondus
.B. maius ſit pondere ipſius .A. vnde conceditur, quòd ob hanc rationem di-
cta
libra ſitum mutabit, qui ſecundus ſitus ſit in .H.F.
Imaginemur etiam paruã quã-
dam
libram .a.e.b. orizontalem, quæ pondera habeat .a. et .b. æqualia duobus ponde
ribus
alterius libræ & ſecundus ſitus ſit in .h.f. ita tamen vt anguli circa .e. æquales
ſint
ijs, qui ſunt circa .E. ideſt .b.e.f. ſit ęqualis .B.E.F.
Nunc dico ſitum .H.F. exa-
ctiorẽ
futurum & clariorem ſitu .h.e.f. ratione interualli .B.F. maioris, interuallo .
b
.f.
quod .B.F. in eadem proportione maior eſt ipſo .b.f. in qua .B.E. maius eſt .b.e.
quod
autem interuallum .B.F. breuiori, aut longiori temporis ſpacio quam .b.f. ſit fa
ctum
, nil planè refert.
Ratione vectis deinde, dico ſi ſupponemus duas libras pa-
res
æqualesq́; in omni alio reſpectu, præter quàm in brachiorum longitudine, pon-
dus
.B. maiorem vim habebit ad deprimendum brachium .E.B. quàm pondus .b. quia
libræ
materiales, cum ſuſtineantur ab .E.e. & non à puncto mathematico, ſed
à
linea, aut ſuperficie naturali in materia exiſtente.
vnde aliqua reſiſtentia ipſi mo-
tui
brachiorum oritur, & hanc ob cauſam, ſupponendo hanc reſiſtentiam æqualem
tam
in .E. quàm in .e. clarum erit ob ea, quæ in cap .4. huius tractatus oſtendi .B. cum
minus
dependeat ab .E. aut minus quoque eidem .E. annitatur, ponderoſum magis
futurum
, quam .b. & hac de cauſa mouebit ad partem inferiorem, maiori cum agilita
te
, brachium .E.B. multo magis etiam illud ipſum deprimet, ideſt maiorem etiam an
gulum
.B.E.F. quàm erit angulus .b.e.f. faciet.
223[Figure 223]
166154IO. BAPT. BENED.
De uer a cauſa ſecundæ, & tertiæ quæstionis mechanicæ
ab
Ariſtotele nonperſpecta.
CAP. XII.
ARiſtoteles in ſecunda quæſtionum mechanicarum quærens illius rationem ſic
ſcribit
.
Cur ſiquidem ſurſum fuerit ſpartum quando deorſum lato pondere quiſpiam id
admouet
rurſus aſcendit libra:
ſi autem deorſum conſtitutum fuerit non aſcendit,
ſed
manet?
an quia ſurſum quidem ſparto exiſtente plus libræ extra perpendiculum
ſi
(ſpartum enim eſt perpendiculum) quare neceſſe eſt deorſum ferriid, quod plus
eſt
, quare & cætera.
Sed vera cauſa, vnde fiat, vt ſi ſpartum fuerit ſurſum, & brachium vnum
ipfius
libræ deprimendo, & idem liberum deinde permittendo, ad ſitum ori-
zontalem
redeat, non ſolum eſt maior quantitas ponderis brachiorum quæ iam præ
tergreſſa
eſt vltra verticalem lineam, ſed etiam eſt longitudo brachij eleuati, quæ vl
tra
verticalem lineam reperitur, vnde eius extremi pondus redditur grauius in pro-
portione
, quam in hoc exemplo proponam, ſit .A.B. libra in ſitu orizontali, cuius
ſpartum
ſit .E. ſuper ipſam.
& deprimentes brachium ipſius .A. vſque ad .F. eius ſitus
ſit
in .F.H. vnde medium pũctum .G. prætergreſſum erit lineam verticalem .V.Z. ver
ſus
.B. quæ .V.Z. ſecabit brachium .F.G. in puncto .D. vnde .D.H. longius erit ipſo .
F
.D
.
Nunc nobis ſupponendum eſt id,
quod
veriſſimum exiſtit, dictam ſcilicet li
224[Figure 224] bram in ſitu .F.H. etiã ſi ſuſtineatur à pun-
cto
.E. idem tamen futurum ac ſi ſuſtenta-
retur
in puncto .D. vnde ſequitur, quod
pondus
appenſum ex ipſa .H. ita grauius
reddatur
, ipſo .F. in eadem propor-
tione
, quæ maioreſt .D.H. ipſo .D.F. ob
rationes
quas in primis huius tractatus ca-
pitibus
poſui, vt etiam ſi .D.H. quodmate
riale
eſſe ſupponitur, nullam planſe4;
graui-
tatem
haberet, ſolustamẽ exceſſus vis pon
deris
in .H. poſiti, longè maior pondere in
F
. collocato pro maiorilongitudine ipſius
D.H. ſufficiat. ad præſtandum vt libra ad
ſitum
orizontalem redeat.
In ſecunda deinde huius quęſtionis par
1313[Handwritten note 13] te, in qua ſcribit libram in ſitu, in quo poſi
ta
eſt, firmam manere, toto cęlo aberrat, quia neceſſariũ eſt, vt omninò cadat, uſq;
quò
ſpartum ſurſum remaneat:
ablato tamen omni impedimento, quod nulla eget
probatione
, cum natura ſua clariſſimè pateat.
Cauſa, deinde, vera tertiæ quæſtionis non eſt ea, quam Ariſtoteles ponit, ſed hu-
iuſmodi
effectus ab eo, quod capitibus .4. et .5. huius tractatus propoſui originem
habet
.
167155DE MECHAN.
Quòd Ariſtotelisratio in 6. quæſtione poſit a non ſit admittenda.
CAP. XIII.
VOlens Ariſtoteles rationem proponere, vnde fiat, vt nauis velocius moueatur
cum
antennam altiorem quàm cum depræſſiorem habet, id ad vectis ratio-
nem
refert, quod verum eſt.
Huiuſmodi enim ratione nauis tardius potius, quàm
velocius
ferri deberet, quia quantò altius eſt velum, vi venti impulſum, tãtò magis
proram
ipſius nauis in aquam demergit.
Sed huiuſmodi effectus à maiori potius
quantitate
venti quam recipit, quàm ab alia aliqua cauſa oritur, quia ventus liberius
vehementiusq́; in altiore parte, quàm in depræſſione vagatur & perflat.
Quòdrationes ab Ariſtotele de octaua quæstione confictæ
ſufficient
es non ſint.
CAP. XIIII.
RAtiones etiam ab Ariſtotele propoſitæ pro indaganda octauæ quæſtionis ve-
ritate
, in qua quærit vnde fiat, vt corpora rotundæ figuræ, ad voluendũ ſint
faciliora
reliquis, quarum reuolutionum corporum tres ſpecies aſſignat, quarũ vna
eſt
, vt rotarum curruũ;
altera vt rotarum puteorum, aut trochlearum, quibus hauri-
tur
aqua;
& tertia, vt paruorum vaſorum a figulis fabricatorum, ſufficiẽtes ſunt.
Incipiens autem à prima dico dubium non eſſe, quin tangente corpore aliquo ro
tundo
aliquod planum mediante ſolo quodam puncto contingat, quemadmodum
probat
Theodoſius in .3. lib. primi & Vitellio in .71. lib. primi, & ducẽdo per centrũ
ſphæræ
lineam vſque ad punctum contactus, ipſa erit perpendicularis plano contin-
genti
ſphęram dictam, vt probat idẽ Thęodoſius in .4. lib. primi Alhazẽ in .25. quar-
ti
, & Vitellio in .7. primi.
Verum etiam eſt omnem inclinationem ponderoſam huiuſ
modi
corporis homogęnei totam hanc lineam æqualiter omni ex parte circundare;
cuius quidem rei exemplum in carta deſcribere poſſumus mediante figura circulari
hîc
ſubſcripta .a.n.e.u. contigua lineæ rectæ .b.d. in puncto .a. vnde .e.o.a. perpendicu
laris
erit ipſi .b.d. ex .17. lib. 3. Eucli. & tantũ ponderis habebimus à parte .a.u.e. quan
tum
ab ipſa .a.n.e.
Nuncigitur ſi imaginabimur ductum eſſe centrum verſus .u. per
lineam
.o.u. parallelam ipſi .a.d. clarum nobis
erit
, abſq; vlla difficultate aut reſiſtentia idẽ
225[Figure 225] ducemus, quia huiuſmodi centrum ab inferiori
parte
ad ſuperiorem, nunquam mutabit ſitum
reſpectu
diſtãtiæ ſeu interualli, quę inter ipſum
lineamq́ue
.a.d. intercedit, quidem centrum
in
ſe colligittotum pondus figurę .a.n.e.u. & be
neficio
lineæ .e.o.a. illud ipſum puncto .a. in li-
nea
.b.a.d. committit, productum .a. nil refert,
vt
magis, aut minus verſus ipſum .d. aut verſus
b
. dirigat̃;
ita vt non oporteat vt huius figuræ
põdus, vna vice, magis eleuetur, quàm alia, ſed
ſemper
ęqualiter ſuper lineam .b.a.d. quieſcat.
168156IO. BAPT. BENED. Sitq; ſemper diuiſum à linea .a.o.e. per medium, ſequitur communi quodam con-
ceptu
, nullam nobis difficultatem oborituram, dictum centrum ad quam volueri-
mus
partem ducendo, quemadmodum à qualibet alia figura, quæ perfectè rotunda
non
eſſet, emergeret;
Vt exẽpli gratia, ſi imaginabimur pentagonum .K.i.h.f.l. quie
ſcere
ſuꝑ eandẽ lineã .a.b.K. ita ut primũ totũ latus .i.K. in linea .b.K. extẽdat̃, ducẽ-
do
poſteà centrum .o. (ponamus.) verſus .l. dubium non eſt, quin oporteat, vt dictum
centrum
.o. à linea .b.d. eleuetur, ab eademq; magis diſtet, voluens ſe per arcũ vnum
circuli
, ſuo ſemidiametro habeat .o.K. quę maior eſt ipſa .o.a. ex .18. li. primi Eu
cli
. vnde ſi à puncto .K. imaginabimur lineam .K.c. reſpicientem centrum regionis
elementaris
, dubium non eſt, quin ſi velimus transferre cẽtrum hoc à priori ſitu vſq;
ad
dictam lineam, oporteat addere pondus parti ipſius .l. quæ à linea .K.c. fuit ſecta,
aut
aliquid de ipſo pondere partis centri detrahere.
quod quibuſuis modis fiat, ar-
duum
certè eſt ad efficiendum;
neque hoc etiam accidit figuræ perfectè rotundæ,
cum
cẽtrum perfectè in medio ipſius ponderis eſt, reperiatur ſemper in linea per-
pendiculari
ipſi plano, in quo animaduertendum eſt, etiam ſi ipſum planum ap-
pellem
;
pro plano tamen perfecto intelligi nolo, ſed pro ſuperficie perfectè ſphęri-
ca
circa centrum à corporibus grauibus expetitum;
nam ratione magnæ amplitudi-
nis
huiuſmodi ſuperficiei, nullam differentiam notatu dignam à perfecto aliquo pla
no
exigui interualli ad curuitatem eiuſdem ſuperficiei imaginari poterimus.
Sed ut
redeamus
ad ſermonem de reuolutione figuræ rotundæ ſuſceptum, clarũ igitur erit
quamlibet
minimam vim (vt ita dicam) quę trahat, aut impellat centrum .o. verſus .u.
huiuſmodi
figuram reuoluturam, cuius media pars ad trahendum, aut impellendum
punctum
.e. ſufficiere;
Imaginemur autem li
nea
.n.o.u. eſſet libra quędã in figura perfectè
226[Figure 226] rotunda .a.n.e.u. poſita, & vis, quę trahere cen
trum
deberet, diuiſa eſſet per medium, cuius
medietas
appenſa eſſet extremitati .u. diame-
tri
.n.o.u. clarũ erit, abſque vlla difficultate
reuolueret
figuram ſuper lineam .b.a.d. verſus .
d
.
quia huius vis, aut pondus nullũ contra pon
dus
haberet vltra centrum .o. uerſus .n. cen-
trum
.o. perpetuo quieſcit ſuꝑ. a. in linea .e.o.
a
.
per medium diuidente ſemper totum pon-
dus
figurę ſuppoſitę.
Tantò facilius ergo tota
dicta
vis ap
227[Figure 227] 228[Figure 228] plicata cen
tro
, ipsũ ver
ſus
.u. trahẽs
per
lineam
parallelã ip
ſi
.a.d. dictã
figuram
re-
uolueret
.
Et
ſi
linea qua
dictum
cen
trum
trahi-
tur
ab ipſo
169157DE MECHAN. b.a.d. non æquediſtaret, ſed ſurſum traheret ſuper .u. aut ſubter, aliquid de ſua vi vir
tuteq́; amitteret, & tantò plus, quantò inclinata magis eſſet verſus .a.o.e. & tandem
cum
eſſet vnita cum .a.o.e. aut ad ſuperius, aut ad inferius quantalibet ui, etiam ſi in-
finita
, figuram extra ſitum primæ lineæ .a.o.e. non moueret, ſed ſi ſurſum traheret ſe
iungeret
eam à linea .b.a.d. non ob id tamen efficeret, ut centrum .o. exiret extra pri
mam
lineam .a.o.e.
Secunda verò ſpecies, tribus reuolutionum modis, abſque axis mutatione conſta
re
poteſt, ideſt modo, quo reuoluuntur trochleæ mediante fune, & quo reuoluuntur
aliquæ
rotæ, in quibus aliquod animal incedit;
& quo reuoluuntur illæ, quæ in homi
nis
manu circunuoluuntur medio alicuius manubrij inflexi.
Hi omnes modi cum
circulari
figura magis, quã cum alia quauis, faciliores euadunt.
Et primò ſi priorem
modum
conſiderabimus, vt mediante fune quælibet figura, quæ circularis non ſit,
voluatur
, ſupponamus exemplo debere reuolui pentagonum æquiangulum .a.e.i.o.
u
.
circa centrum .c. mediante fune .q.u.a.e.i.p. neceſſariò occurrent (in hac figura an-
gulorum
, laterumq́; diſparium) plures inæqualitates, quæ reuolutionem eiuſdem fi-
guræ
irregularem efficient;
quarum vna erit, quod duæ partes funis, ideſt .u.q. et .i.p.
non
erunt in vna eademq́; inter ſe diſtantia ſemper, quod facile intellectu erit, ſi ima
ginabimur
ductas eſſe lineas .a.i: u.i: et .i.c.t. ſi funis duo pondera habebit alterum
altero
maius, ſuis extremis appenſa, vnde debeat figura virtute ponderis maioris cir
cunuolui
:
dictæ duæ partes .u.q. et .i.p. eiuſdem funis, mũdi centrum, dum firmæ ma
nebunt
, reſpicient;
ſed permittentes pondera libera; maius, efficiens vt circunuolua-
tur
figura;
efficiet, vt aliquando vnum exlateribus, eiuſdem figuræ mundi quoq; cen
trum
reſpiciet, vt in
229[Figure 229] figura .A. ſicq́; etiam
linea
.i.c.t. (pro exẽ-
plo
) erit menſura di-
ſtantiæ
funium inter
ipſas
, & deinde circũ
uoluendo
etiam di-
ſtabuntinter
ſe per li
neã .i.a. aut .i.u. vt in
figura
.B. ĩnotuit exẽ
plo
, & ſic etiam ali-
quando
erunt magis
diſtãtes, quàm linea
t.i. & minus quàm.i.
a
:
nunquam tamen minus quam .t.i. neque magis quã
i.a. aut .i.u. quæ ſunt æquales;
Quæ quidem varietas,
230[Figure 230] in hanc, & in illam partem impellet partes penden-
tes
funis, vnde æqualiter non trahent.
Idem dico, ſi
extrema
.q. et .p. eſſent quoque ſemper in vna eadẽq́;
diſtantia
;
neque à corpore põderoſo eſſent attracta,
quia
aliæ partes ipſius .u.q. et .i.p. ex ſupradictis ratio-
nibus
vnam eademq́; diſtantiam ſemper ſeruarẽt.
vnde fieret vt cum diuerſis angulis tam .i.p. quã .u.q.
traherẽt ſemidiametros .c.i: c.e: c.a: c.u. et .c.o. quia
ſemper
traherent ope ſeu virtute anguli æqualis ipſi .
c
.i.p
.
Hæc autem inę qualitas communis eſt omnibus
170158IO. BAPT. BENED. figuris rectilineis tam paris, quàm diſparis numeri. Sed aliam quandam maiorem
inęqualitatem
habent figuræ numeri diſparis, quæ eſt, quòd quãdo linea .t.i. tam
.u.q. quàm ipſi .i.p.
231[Figure 231] ꝑpẽdicularis fuerit,
ideſt
quãdo .t.i. cum
dictis
partibus funis
angulos
rectos con-
ſtituerit
, tũc ratione
lõgitudinis ipſius .c.
i
.
maioris quam .t.
c
.
(quia cum ſit .c.i. ę-
qualis
ipſi .c.a. et .c.a.
maior
ipſa .c.t: c.i.
etiam
maior ſit ipſa .
c
.t.
) pondus aut vis
ipſius
.p. ſuperabit
quæ
eſt ipſius .q. ſed
quando
.t. erit in oppoſita parte, et .i. in ea, quæ eſt
ipſius
.t: q. eãdem ob cauſam ſuperabit .p. & ſic mo
232[Figure 232] tum faciet irregularem, & vniformem;
& obid
etiam
perarduum, præter ictus, quos infligunt an-
guli
in partem pendentem aſcendẽtem funis, quã-
do
vnum exlateribus vnitur cum fune.
Aliam inęqualitatem habent figuræ pares, quæ
etiam
in imparibus cernitur, etſi aliquantulum di-
uerſa
;
quæ ab eo oritur, quod funes ſit modò ma-
gis
, modo minus propinquę centro;
quæ inæqualis
diſtantia
, maiorem minoremq́; vim ſuper dictum
centrum
ob rationes in ſecunda parte cap. decimi
huius
tractatus propoſitas, gignit.
Nulla autem
ex
ijs inæqualitatibus circulari figuræ contingit.
Illud verò, quod de pentagonis fi-
guris
dixi, omnibus aliis figuris diſparibus accommodari poteſt.
Secundus modus eſt earum rotarum, in quibus aliquod animal incedit, quæ ſi cir-
culares
non eſſent, tantò difficilius voluerentur, quantò pauciores angulos haberent.
quod cum per ſe pateat, non demonſtrabo. Si ergo quantò plures angulos habebit
dicta
figura, tantò ad circunuoluendum hoc modo agilior erit.
Circularis igitur fi-
1414[Handwritten note 14] gura, quæ ex infinitis angulis efficitur, omnium agillima erit.
Tertius modus eſt earum rotarum, quæ manubrium habent, quæ etiam quantò
pauciores
angulos habebunt, tanto quoq; difficiliores reddentur, tam ratione inimi
citiæ
:
quam exercet cum vacuo natura, quàm violẽtię, quam anguli aeri faciunt, eum
expellendo
, vt ipſi occupent locum, quem ipſe aér implebat.
Quod nullo modo po
teſt
euenire circulari figuræ.
Nunc nobis ad dicendum reſtat de ſpecie reuolutionis rotarum, quæ parallelæ
ſunt
orizonri, quibus accidit poſſe volui primo tertioq́; modo ſecundę ſpeciei, & ob
id
ſi circulares non erunt, eadem ſubibunt incommoda, de quibus in ſecunda illa ſpe
cie
loquuti ſumus.
ſed circulares rotæ huius tertiæ ſpeciei ad reuoluendum erunt re-
liquis
faciliores, vno ſolũ polo nituntur;
Quod alijs nequaquam conceditur.
171159DE MECHAN.
Super hac tertia ſpecie formari poteſt problema, vnde fiat, vt quieſcens huiuſ-
modi
rota parallela orizonti ſuper vnum punctum, & quantò fieri poteſt exiſtens ę-
qualis
, ſi eam circunuoluamus maiore qua poterimus ui, & eãdem poſtea dimitten-
tes
non perpetuò circunuoluatur.
Hoc quidem, quatuor fit ob cauſas. quarum prima eſt, quia huiuſmodi motus, eius
rotæ
non ſit naturalis.
ſecunda eſt, quia etiamſi rota ſuper punctum mathematicum
quieſceret
, oporteret tamen vt ſuperius alterũ haberet polum, qui ipſam orizontalẽ
teneret
, qui quidem munimento aliquo corporeo indigeret;
vnde fricatio quędam
conſequeretur
, ex qua reſiſtentia prodiret.
Tertia eſt, quia aer contiguus eam perpetuò aſtringit, hocq́; modo eius motui
reſiſtit
.
Quarta eſt, quia quęlibet pars corporea, quę à ſe mouetur, impetu eidem à quali-
bet
extrinſeca virtute mouente impręſſo, habet naturalem inclinationem ad rectum
iter
, non autem curuum, vnde ſi à dicta rota particula aliqua ſuę circunferentiæ diſiũ
geretur
, abſque dubio per aliquod temporis ſpatium pars ſeparata recto itinere fer
retur
per aerem, vt exemplo à fundis, quibus iaciuntur lapides, ſumpto, cognoſce
re
poſsumus, in quibus, impetus motus impręſſus naturali quadam propenſione
rectum
iter peragit, cum euibratus lapis, per lineam rectam contiguam giro, quem
primo
faciebat, in puncto, in quo dimiſſus fuit, rectum iter inſtituat, vt rationi con-
ſentaneum
eſt.
Eadem, quoque ratione fit, vt quantò maior eſt aliqua rota, tantò maiorem quo
que
impetum, & impreſſionem motus eius circunferentiæ partesrecipiant, vnde ſę­
pe
euenit, vt dum eam ſiſtere volumus, id labore & cum diſſicultate agamus ;
quia
quantò
maior eſt diameter vnius circuli, tantò minus curua eſt eiuſdem circunferen
tia
, & tantò propius accedit angulum eiuſdem circunferentiæ ad quantitatem duo-
rum
angulorum rectorum rectilineorum, ideſt circunferentia ad rectitudinem linea
rem
.
Vnde earundem partium dictæ circunferentiæ motus ad inclinationem ſibi à
natura
tributam, quæ eſt incedendi per lineam rectam, magis accedit.
Quod Aristotelis ratio none queſtionis
admittendanon
ſit.
CAP. XV.
VEra ratio nonæ quęſtionis à ſecunda parte decimi cap. huius tractatus, & non
aliunde
, accerſiri debet.
Quod Aristotelis rationes de decima queſtione
ſint
reijciende.
CAP. XVI.
ARiſtotelis rationes, vnde fiat, vt facilius moueantur libræ vacuæ, quàm plenè
ad
propoſitam diſputationem non pertinent;
quia ſemper ineunda eſt ratio
proportionis
virtutis mouentis ſuper mobile;
quod ipſe non fecit.
172160IO. BABPT. BENED.
Sit exempli gratia libra .a.i.e. quæ in vtraque extremitate vnciam vnam ſolum
ponderis
obtineat, & ſit libra .n.i.u. æqualis priori, quæ pro ſingula extremitate vnã
1515[Handwritten note 15] ponderis libram habeat.
Ariſtoteles admiratur, quòd addendo ipſi .e. mediam pon
deris
vnciam, brachium .i.e. velocius cadat, quàm adijciẽdo ipsã mediã vnciã ipſi .u.
brachij
.i.u.
Quod à duabus cauſis proficiſcitur, quarum prior eſt, magna differentia
proportionis
vnius libræ ad medietatem vnius vnciæ, ad proportionem vnius vnciæ
ad
ipſam medietatem, quia ſi pondus adiectum extremo .u. dimidiæ eſſet libræ , &
cum
eadem tarditate brachium moueret, optimo iure in admirationem poſſet Ari-
ſtoteles
duci.
Sed hoc fieri non poſſet, quia ipſum deprimeret cum eadem quaſi ve
locitate
, qua media vncia brachium .i.e.
Dixi autem quaſi, quia nonnihil diſcrimi-
nis
intercederet, quod proficiſcitur à ſecunda ratione.
Et hæc, reſiſtentia eſt , quæ
oritur
à ſparto, quia quantò maius pondus continet libra, tantò magis præmit ſpar
tum
in loco, in quo ſuſtinetur;
vnde maior reſiſtentia in circunuolutione eiuſdẽ ſpar
ti
, in loco, in quo quieſcit, exoritur, quia ipſum eſt corpus materiale.
Si quis autem
vellet
, vt brachium .i.u. eadem agilitate, qua .i.e. deſcenderet, oporteret, vt propor-
tio
dimidiæ librę adiectæ ponderi ipſius .u.
233[Figure 233] quod eſt vnius libræ, vim ſuam haberet,
quæ
excederet reſiſtentiam ſui ſparti (me-
dio
brachiorum maiorum ijs qui ſunt .a.i.
e
.
) ita proportionatam, vt proportionata
eſt
vis dimidiæ vnciæ ipſi e. iunctæ, reſiſten
tiæ
ſui ſparti.
Huiuſmodi rationes cum ro-
tis
grauioribus leuioribusq;, & ijs, quę à cor
poribus
quibuſlibet grauibus impelluntur, accommodatæ fuerint, titubantem intel
lectum
confirmabunt.
De uer a cauſa .12. questionis mechanice.
CAP. XVII.
VEra ratio, cur multò longius corpus aliquod graue impellatur funda, quam
manu
, inde oritur, quòd circunuoluendo fundam, maior impræſſio impetus
motus
fit in corpore graui, quàm fieret manu, quod corpus liberatum deinde cum
fuerit
à funda, natura duce, iter fuũ à puncto, à quo proſilijt, per lineam contiguam
giro
, quem poſtremò faciebat, ſuſcipit.
Dubitandumq́ non eſt, quin dicta funda
maior
impetus motus dicto corpori imprimi poſſit, ex multis circumactibus, ma-
ior
ſemper impetus dicto corpori accedat.
Manus autem eiuſdem corporis motus,
dum
illud ipſum circunuoluitur (pace Ariſtotelis dixerim) centrum non eſt, neque
funis
eſt ſemidiameter.
Immo manus quam maximè fieri poteſt in orbem cietur;
qui quidem motus in orbem, vt circumagatur etiam ipſum corpus, cogit, quod qui-
dem
corpus, naturali quadam inclinatione, exiguo quodam impetu iam incępto,
vellet
recta iter peragere, vt in ſubſcripta figura patet, in qua .e. ſignificat manum .a.
corpus
.a.b. lineam rectam tangentem girum .a.a.a.a. quando corpus liberum rema-
net
.
Verum quidem eſt, impręſſum illum impetum, continuò paulatim decreſcere
vnde
ſtatim inclinatio grauitatis eiuſdem corporis ſubingreditur, quæ ſeſe miſcens
cum
impręſſione facta per vim, non permittit, vt linea .a.b. longo tempore recta per
173161DE MECHAN. maneat, ſed citò fiat curua, cum dictum corpus .a. duabus virtutibus moueatur, qua-
rum
vna eſt, violentia impræſſa, & alia natura, contra opinionem Tartaleæ, qui ne-
gat
corpus aliquod motibus violen
234[Figure 234] to & naturali ſimul & ſemel moueri
poſſe
.
Neq; eſt ſilẽtio prætereũdus
hac
in re ꝗdã notatu dignꝰ effectus,
qui
eiuſmodi eſt, quanto magis
creſcit
impetus in corpore .a. cauſa
tus
ab augumento velocitatis giri
ipſius
.e. tãtò magis oportet, vt ſen-
tiat
ſe trahi manus à dicto corpore
a
. mediante fune, quia quantò ma-
ior
impetus motus ipſi .a. eſt impręſ
ſus
, tantò magis dictum corpus .a.
ad
rectum iter peragendum incli-
natur
, vnde vt recta incedat, tantò
maiore
quoque vi trahit.
De decimatertia questione.
CAP. XVIII.
DEcimatertia quæſtio ad vectem omnino eſt referenda. Imaginari debemus
axem
cylindrici iugi, hypomochlion eſſe.
Quod reſtat, illud ipſum totum de
pendet
à .4. quintoq́; cap. huius tractatus.
Vna tamen differentia inter hanc machi-
nam
, vectemq́; reperitur, quæ eſt, iugum aliquam reſiſtentiam pro coniunctione
calcata
in loco, in quo voluitur, magis quàm hypomochlion vecti efficiat.
De decimaquart a queſtione.
CAP. XIX.
RAtiones etiam decimæquartæ quæſtionis dependent ab ijs, quæ ſunt vectis, vt
exempli
gratia ſit lignum .a.b.c.d. frang endum in medio, annitendo genibus
in
punctum .o. clariſſimè tunc videbimus, tenentes marlus longè à medio, in locis
a
. et .c. facilius minoriq́; cum labore illum frangemus, quàm ſi eaſdem vicinas me-
dio
eiuſdem ligni in locis .e. et .i. poneremus.
Cuius rei rationes eædẽ ſunt ijs, quæ
primis
huius tractatus capitibus propoſitæ fuerunt.
Imaginemur lineas rectas ductas
à
puncto .o. ad loca .a.e.i. et .c. hinc manifeſtè perſpiciemus eorum, quæ iam diximus
ratione
, loca .e. et .i. mediantibus duabus lineis .e.o. et .i.o. magis annitentur .o. cen
tro
, quàm loco .a. et .c. duarũ linearũ .a.o. et .c.o. beneficio;
vnde vim quoq; maiorem
habebũt
235[Figure 235] in .a. et .c.
quàm
in
e
. et .i.
174162IO. BAPT. BENED.
De uer a r atione .17. queſtionis.
CAP. XX.
DEcimaſeptima quæſtio ab Ariſtotele haud benè percepta fuit, quia is non ac-
commodat
partes vectis ſuis locis.
Quamobrem imaginemur duos vectes .
a
.o.n.
et .o.e.u. quorum centra, quæ hypomochlia appellantur ſint .o. & pondera,
quæ
ſunt attollenda ſint .a. et .e. inter ſe æqualia, & diſtantię ſint .a.o. et .e.o. ſibi inuicẽ
æquales
, ſed .o.n. æqualis ſit ipſi .o.u: clarum erit, ad eleuandum .a. oportebit depri
mere
.n. & ad eleuandum .e. oportebit attollere .u.
Et quia omnia ſupponuntur æ qua
1616[Handwritten note 16] lia, clarum quoque erit, commu-
ni
ſcientia, tantam virtutem in
236[Figure 236] n. quanta ſufficiet ad attollendũ
a
. in .u. quoq; ſuffecturam ad ele-
uandum
.e. quia æqualibus an
gulis
ijs, quibus duæ virtutes .a.
et
.n. annituntur .o. centro, ita .e.
et
.u. è contrario ſuo centro .o. an
nituntur
.
& omnes rationes pro
vecte
.a.o.n. quarto quintoq́; huius tracta-
237[Figure 237] tus capitibus citatæ, vecti .o.e.u. vt ſatis ſu
perq́; dixi in dicto capit .5. conuenire poſ-
ſunt
.
Nunc ſit aliqua pars ligni cindenda ſe-
cundum
venulas ſuas .d.e.f.g. & ſit cuneus
a.b.c. qui vi mallei .P. vſque ad .t.x. pene-
trarit
.
Hinc clarum erit, quòd apertura
i.m.r. ligni, poſt quam infigitur cuneus ſe
cundum
venas, longíor erit parte .x.b.t. cu
nei
, quæ ingreſſa eſt.
Oportet nunc ima-
ginari
duos vectes ſimiles ſupradictæ .u.e.
o
.
in hunc modum, vt puncta i.r. lìni ſint
loco
.u. extremi ipſiꝰ vectis, et .t.x. loco vir
tutis
applicatæ ipſi .u. & reſiſtentia circa
punctum
.m. loco ponderis .e. vectis .o.e.u.
dicti
, & pars .K. quaſi immediata poſt .m.
verſus
extremitatem .f.e. ligni, ſit loco hy-
pomochlij
.o.
Hinc fiet vt quanto longio
res
erunt lineæ .i.m.K. et .r.m.K. tantò quo
que
facilius virtutes .t.x. impellent .i.r.
175163DE MECHAN.
De uera & intrinſeca cauſa trocble arum.
CAP. XXI.
PRo intelligenda vera, & intrinſeca ratione, vnde fiat ut multitudo rotularum in
trochleis
cauſa ſit, ut exigua vis ſurſum moueat, aut attollat põdera magna.
Ima
ginemur
duas hîc ſubſcriptas trochlæas explicatas tranſuerſaliter in hunc modum,
ideſt
ſit paruũ tignũ .a.b. fixum & parallelũ orizonti. cui ſint rotulæ appenſe ab infe
riori
parte ad ſuperiorem huicq́; è regione oppoſitꝰ ſit aliud tignũ .c.d. quod moueri
poſſit
ab imo ad ſumum, ſuper quod totidem ſint rotulæ aut radij, annexa poſtea
fuerit
funis puncto .b. fixo, eam faciendo pertranſire per rotulas tam à parte ſupe-
riore
, quam ab inferiore;
& appenſum deinde cum erit paruo illi tigno .c.d. mobili
pondus
.E. ducendo poſtmodum extremum .f. funis tranſeuntis per rotulas, idem pla
fiet quod à trochlęis ſimul unitis fieri ſolet.
Cuius quidem effectus ratio ſub no-
ſtram
cognitionem cadet facilius in huiuſmodi figura.
Imaginemur ſeparatim ſta-
teram
.g.h. cuius cẽtrum ſit .K. ita ſitum, ut brachium .g.k. ſit duplum ad brachium .K.
h
.
ſupponendo igitur in puncto .g. pondus, aut virtutem mouentem unius libræ, & in
h
. duarum librarum, abſq; dubio duæ uirtutes in huiuſmodi diſtantijs à centro
1717[Handwritten note 17] ęquales inuicẽ erũt, ob rationes prioribus capitibus iam allatas, & ſtatera orizontalis
manebit
.
Vnde clarum erit, quæuis etiam exigua virtus adiuncta ipſi .g. mouebit
ſtateram
extra orizontalem ſitum.
Nunc ſi puncto .i. ex æquo medio inter .g. et .K.
applicata
erit virtus ipſius .h. non amplius conſiderato brachio .K.h. inclinante uirtu-
te
ipſius .i. eandem partem verſus, in quam inclinabat, quando erat in .h. ſed uirtus ip
ſius
.g. inclinet contrario modo, diuerſoq́; ab eo, quo inclinabat prius;
clarum quoq;
erit
, communi conceptu, & ob ea, quæ cap .5. huius tractatus ſunt dicta .g.h. ſemper
in
eodem ſitu abſque motu manſuram, hancq́; ſtateram appellabimus mobilem, &
primam
.
Imaginemur nunc à puncto .e. fixo deſcendere funem .e.K. quæ fulciat pun
ctum
.K. extremum diametri .g.K. quam intelligo pro diametro vnius ex rotulis infe
rioribus
trochleæ;
& ſit .n.l.m. diameter vnius ex rotulis ſuperioribus alterius parui
tigni
defixi à parte inclinationis ipſius .g. & parallela diametro .g.K. cuius diametri
centrum
fixum ſit .l. & ſit coniunctum .g. punctum, à fune cum puncto .m. quæ per-
pendicularis
ſit primo diametro .g.i.K. quàm ſecundo .n.m. ideſt ita vt anguli .n.m.g.
238[Figure 238]
176164IO. BAPT. BENED. et .m.g.k. ſint recti. Imaginemur quoq; virtutem ipſius .g. applicatam eſſe extremo .
n
.
cum inclinatione tamen contraria, ideſt ad inferiorem partem, quæ quidem virtus
communi
quodam conceptu eandem poſſidebit vim ſuſtentandi immobilem diame
trum
.g.i.k. quam habebat, erat in .g. cum inclinatione ad ſuperiorem partem,
& ſic etiam diameter .n.l.m. non magis ab una, quàm ab alia parte declinabit, quia
cum
quædam virtus in .n. reperiatur æqualis medietati uirtutis ipſius .i. quæ uirtus ip
ſius
.i. uim habet deprimendi ipſum .g. ideſt .m. pro dimidia ſui ipſius parte, ſequitur .
n
.m.
debere immobilem permanere.
Nunc ſi alia diameter rotulæ mobilis erit de-
ſumpta
, quæ ſit .p.q.o. cuius centrum ſit .q. in ſitu parallelo ipſi .n.l.m. & ſic collocata,
vt
coniungendo .o. cum .n. anguli .m.n.o. et .n.o.p. ſint recti:
ſi imaginati fuerimus trãſ
latum
eſſe pondusipſiꝰ .n. in .o. eadẽ inclinatione ad depræſſiorem partem, illud ip
ſum
, ac ſi eſſet in .n. communi conceptu, ſine alicuius diametri mutatione præſtabit.
Et ſi centrum .q. fixum eſſet, & extremo .p. appoſitum fuiſſet pondus ipſius .o. cum in
clinatione
ad ſuperiorem partem, idem etiam planè pręſtaret, etiam ſi nullum ullius
diametri
ſitum, communi ſcientia, mutaret, cum extremum .m. deorſum ſit ductum
à
. g. uirtute dimidiæ partis ipſius .i. & ab alia huic ſimili .m. quoque deorſum ſit tra-
ctum
ab .o: quod quidem .o. deorſum eſt alteratum, ob inclinationem ad ſuperius
à
uirtute poſita in .p. ſupponendo centrum .q. fixum.
Sed ſi loco centri fixi, imagina
bimur
in .q. pondus aliquod æquale ipſi .i. quod duplum erit in uirtute ad eam, quæ
eſt
ipſius .p. & ipſius quoque .g: ſequetur etiã eadem immobilitas horum trium dia-
metrorum
.
Quia cum ſit huiuſmodi pondus ſeu virtus in .q. cum inclinatione con-
traria
virtuti in .p. quæ æquipollet dimidiæ parti ipſius .q. & ſic ei quæ eſt ipſius .o. ſi-
militer
quia .o. tractum eſt ſupra ab .n. virtute ipſius .g. quod .m. deorſum trudit;
idcir
co
quanta erit vis quam habebit virtus in .q. ferendi deorſum diametrum .p.o. tanta
quoque
virtutes ipſorum .p. et .o. æquales, & æqualiter diſtantes à .q. ipſum ad ſupe-
riorem
partem inclinabunt.
Quamobrem nec aſcender, nec deſcendet, nec locum
mutabit
.
Supponamus nunc quartum diametrum rotulæ .s.t.r. quæ ſit ſecunda rotu
larum
fixarum, parallela ipſi .p.o. & in eo ſitu, quo coniungendo extrema .r.p. anguli
o.p.r. et .p.r.s. ſint recti, & imaginemur virtutem ipſius .p. reperiri in .s. cum inclinatio
ne
tamen contraria, ideſt deorſum verſus, ex his idẽ quoque planè ſequetur, ideſt
nulla
harũ quatuor diametrorum mouebitur.
quia eundem effectũ inclinatione
deorſum
verſus efficeret dicta virtus in .s. quem in .p. cum inclinatione ſurſum verſus.
et iam dictum eſt virtutem ipſius .g. dimidium virtutis ipſius .i. trahere .m. quæ mediã
1818[Handwritten note 18] te .n. attrahit .o. eodem robore, et .s. eadem vi trahit .p. medio ipſius .r.
Hucuſque ſciẽ-
tificè
nouimus pondus, aut virtutem ipſius .s. quæ eſt dimidium ipſiꝰ .i. ſuſtinere uim
ipſorum
.i. et .q. nam quater tantum, quanta ipſamet virtus ipſius .s. eſſe conſpicitur.
Et ſi adiunctę nobis eſſent duæ aliæ diametri cum ijſdem planè conditionibus ijſdẽ
rationibus
vtentes, cognoſceremus quod eadem medietas ipſius .i. ſexies tantum
deris
, quanta ipſa exiſteret, ſeſtineret.
Vnde manifeſtũ euadit, eidem medietati
ipſius
.i. in .s. nonnihil virtutis addendo, dictæ diametri, illicò mouerẽtur ſitu.
Et quia
rotulæ
in quolibet puncto, aliquam diametrum habent, neceſſariò ſequitur infe-
riores
ad ſuperiores accedere debeant.
Attamen ſi forte extremum immobile ip-
ſius
funis non pendet à puncto .e. trochleæ ſuperioris, ſed alligatum fuerit ad mediũ
inferioris
trochleæ ut ad punctum .i. ope unius trochleę ſuperioris immobilis vt in fi
gura
.A. videre licet, clarè patebit à tribus virtutibus æqualibus pondus in .i. poſitũ
ſuſtinebitur
:
hoc eſt à .g. ab .i. & ab .k. quarũ vnaquęque tertia pars erit ipſius .i. in con
c
ontrariam partẽ, hoc eſt tertia pars reſiſtentiæ.
propterea ex æquo inter ſe diſtãt.
177165DE MECHAN. g.i. et .K: Quà propter augebitur virtus per numeros impares, hoc modo; Nam .g.
eſſet
tertia pars reſiſtentię, quemadmodum prius media erat.
Idem infero de .m.n.
o
.p.r.
et .s.
Sed cum oporteat pondus .q. tantum eſſe vt ſuffieiãt reſiſtentiæ in .o. et .p.
ipſum
ſuſtinere, idcirco ipſum pondus .q. ſubſeſquialter erit põderi in .i. poſiti.
Qua-
propter
.s. quinta pars erit ponderum .i. et .q.
Deinde ſi adhuc. duo diametri vnus in-
ferior
, alter verò ſuperior additi fuerint cum pondere æquali .q. ad medium diame-
tri
inferioris,
tunc pondus .s. erit ſeptima pars trium ponderum .i.q. & tertij additi, ex
239[Figure 239] ſupradictis rationibus.
Et quia virtus ſuſti
240[Figure 240] nens totale pondus trochleæ inferiori ap-
penſum
in tot diuiditur partes æquales,
quot
ſunt diametri orbiculorum trochleæ
inferioris
, quando extremum immobile fu
nis
alligatum fuerit trochleę ſuperiori, vt
puta
in puncto .e. cum verò alligatum fue-
rit
trochleæ inferiori, virtus primi diame-
tri
.g.i.K. trochleæ inferioris ſemper ſeſqui
altera
erit vnicuique aliorum diametrorũ
ideò
virtus reſiſtentię alterius extremi mo
bilis
funis, puta .s. ſubmultiplex erit totalis
ponderis
, eo modo quo diximus, cuius vir
tus
, ſeu grauitas diuiditur ſeu diſtrubuitur
diametris
inferioris trochleæ vt dictum eſt.
Depropria cauſa .24. quæſtionis.
CAP. XXII.
VEra cauſa effectus, qui vigeſimaquarta quæſtione exprimitur, adhuc à nemine
(quod ſciam) animaduerſa fuit, licet non ſit admodum ardua vel obſcura.
Ima
ginemur
ergo duos circulos .c.f. et .b.g. concentricos, itaq; ſimul coniunctos, vt ſi ip
ſorum
vnus feratur in orbem, alius quoque circumagatur, eo modo, quo curruum ro
voluuntur.
Et imaginemur primò ſuper lineam .f.i. reuolui maiorem, & quando
idem
circulus erit in .l. dictam lineam .f.i. tangere circunferentiam eiuſdem in pun-
178166IO. BAPT. BENED. cto .c. vnde linea .g.m. mediante .K. continget circunferentiam circuli minoris in pun
cto
.b: et .K.g. ex .34. primi Eucli. æqualis erit ipſi .f.l. quia ex .17. tertii, anguli .f. et .g.
ſunt
æquales, vnde ex .28. primi .f.l. et .g.K. ſunt parallelæ.
& ſic erunt .k.l. cum .f.g. ex
eadem
ſupradicta.
Ratio autem, qua arcus .g.b. tranſierit lineam .g.K. maiorem ipſa,
eſt
, quia dum mouetur, quodlibet punctum ipſius .g.b. virtute reuolutionis ipſius .f.c.
omne
punctum eiuſdem arcus .g.b. vlterius verſus .K. quam ſi moueretur virtute re-
uolutionis
ipſius .g.b. ſuper lineam .g.m. defertur.
vt exempli gratia, quando virtute
reuolutionis
maioris circuli, centrum .a. reperitur in ſitu lineæ .l.K. punctum .g. confe
cerit
iter .g.u. & punctum .b. iter .b.K. etiam reliqua omnia puncta inter .g.b. magna
itinera
egerint, cum à magno circulo ſint ante delata.
Imaginemur quoque hos cir
culos
eſſe delatos virtute reuolutionis circuli minoris, & partẽ .g.t. rectè .g.m. dimen-
ſam
fuiſſe ab arcu .g.b.
Quãdo ergo .b. erit in .t. factum erit iter .b.t. ab ipſo .b. et .g. fa-
ciet
iter .g.n. quę itinera alijs multò breuiora ſunt, quia breuioribus cruribus reuolu-
ta
ſunt dicta puncta;
& ſic dico de reliquis omnibus punctis inter .g. et .b. & in hoc ca
ſu
punctum .f. erit in .q. & punctum .c. erit in .e.
Quamobrem omnia puncta cõtingen-
tiæ
inter .f. et .c. non ſolum non erunt delata anteà, ſed potius à primo ſitu retrorſum
erunt
repulſa.
Vnde non eſt, quòd in tantam admirationem ducamur ſi dum reuol
uitur
circulus maior, arcus .g.b. circuli minoris, totam lineam .g.K. tranſire videtur,
& dum reuoluitur minor, apparet arcum .f.c: maius iter quam ab .f. ad .e. non facere,
cum
maiore ſeſe in orbem ferente, quodlibet punctum arcus .g.b. ad vnam eandẽq;
partem
duos motus obtineat.
vt exempli gratia punctum .b. non ſolum mouetur ver
ſus
.m. quòd circa centrum .a. feratur, cum ipſum etiam centrum moueatur verſus .m.
ſed
quia pręter hoc deferantur quoque à circulo maiori verſus .m. vſque ad lineam .
k
.l
.
Dum verò minor circulus in girum ducitur, habet quodlibet punctum arcus .f.c.
duos
motus contrarios, quorum alter verſus .i. virtute reuolutionis circuli minoris,
& alter ex eo, dictus circulus maior circa centrum .a. voluatur, vnde omne punctũ
contactus
circuli maioris cum recta .f.i. tetrorſum pellitur verſus .x.
241[Figure 241]
179167DE MECHAN.
De uer a cauſa .30. quæstionis.
CAP. XXIIII.
VEra ratio, cur homo dum ſedet ( non tamen Turcarum more ) ſi velit
ſeſe
in pedes erigere, calcaneos retrahit, vt efficiat angulum acutum, cum fę-
moribus
coxis à parte inferiori, & ventrem inclinat, ad conſtituendum etiam angu
lum
acutum in ſuperiori parte, ea eſt;
vt totius corporis pondus, ex ęquo, ideſt ab
oppoſitis
partibus circundet lineam rectam, quæ tranſit per locum, in quo conquie
ſcunt
pedes verſus mundi centrum.
ideſt, ut edatur ęquilibrium ponderis ipſius cor-
poris
circum lineam illam, quę ſub pedibus inſeruit pro ſparto.
Vnde aperiendo,
deinde
dictos duos angulos circa dictam lineã, abſque vlla difficultate erigitur cor-
pus
, & abſque periculo in alterutram partem cadendi.
Deratione .35. & ultimæ quæstionis.
CAP. XXV.
VEra ratio, quare, quę reperiuntur in vorticibus aquarum, ſemper verſus
medium
ipſarum vertiginum vniuntur, inde promanat, quod media
vertiginum
ſemper depreſſiora ſunt.
vnde quòd dicta corpora ad medium acce-
dant
, nihil aliud eſt, quàm ipſa corpora ſuo pondere grauitateq́ue deſcendere, figu
ra
enim vorticibus eſt quaſi conica, & concaua cum angulo deorſum, & gyro baſis
ſurſum
.
Atque hæc vera eſt huius effectus cauſa, & non ea quam Ariſtoteles ponit,
à
quo aliarum omnium quæſtionum, quas ego omiſi rationes ſunt benè propoſitæ.
180168
DISPVTATIONES
DE
QVIBVSDAM PLACITIS
ARISTOTELIS
.
TANTA A eſt certè Ariſtotelis amplitudo at que authoritas, vt dif-
ficillimum
ac periculoſum ſit quidpiam ſcribere contra quam
ipſe
docuerit, & mihi præſertim, cui ſemper viſa est viri
illius
ſapientia admirabilis.
Veruntamen studio veritatis im-
pulſus
, cuius ipſe amore in ſeipſum ſiviueret excitaretur, in me
dium
quædã proferre non dubitaui, in quibus me inconcußa mathematicæ philoſophiæ
baſis
, cui ſemper inſiſto, ab eo dißentire coegit.
Qualiter & ubi Ariſtoteles de uelocitate motuum natura-
lium
localium aliter tractauerit quam nos
ſentiamus
.
CAP.I.
VOlens Ariſtoreles probare vacuum non eſſe in rerum natura .8. cap. lib. 4. phy­
ſicorum
ait, idem corpus per varia diuerſaq́; media, vt per aerẽ, & per aquã
ſi
moueretur, proportionem velocitatis eiuſdem corporis per aerem, ei, quæ per
aquam
fit, vnam eandemq́; futuram cum ea, quæ eſt ſubtilitatis aereę ad ſubtilitatem
aquæ
.
In poſtrema autem parte eiuſdem capitis ſic ſcribit: Nam cum ea quę ma-
iorem
vel ponderis velleuitatis pręſtantiam habent, ſi ſimili ſigura ſint, ſpaciũ par,
& æquale, maiore celeritate conficere cernamus, ea quam magnitudines inter ſe ha
bent
, proportione:
profectò idem etiam perinane fieret. Aliam quoque rationem
proponit
phyloſophus .2. cap. ſexti phyſicorum ſcribens eademmet proportione,
qua
tempus diuiditur, magnitudinem etiam diuidi.
Sexto autem cap. primi de cœ-
lo
ſcribit, tempora eandem proportionem habere, quam habentè conuerſo ponde-
ra
;
vt ſi media pars vnius ponderis, vnius horæ ſpatio moueretur, vniuerſum pondus
in
media hora moueretur.
Secundo cap. lib. 3. de cœlo duobus in locis apertè com­
monſtrat
velocitatem corporis minoris, maiori corpori comparatam, in eadem exi-
ſtere
proportione, in qua dicta corpora adinuicem relata exiſtunt.
Quinto cap. eiuſ­
dem
lib. idem affirmat, exemplo ab igne deſumpto.
Ex alijs etiam plurimis locis
cognoſci
poteſt, ſenſiſſe Ariſtotelem duo corpora eadem ſpecie, & figura prædita
eandem
planè proportionem in ſuorum motuum velocitatibus, quam in ſuis ma-
gnitudinibus
habent, retinere.
Alij quoque permulti eandem opinionem retinue
runt
, & omniũ poſtremus Nicolaus Tartalea, ſecunda propoſitione vigeſiminoni
quæſiti
octaui libri, vbi profitetur ſe demonſtratiuè probare hanc propoſitio-
nem
veram exiſtere;
neq; videt quàm magna reſiſtentiarum ſit differentia, quætam
ex
diuerſitate figurarum, quàm ex magnitudinum varietate exoriri poteſt;
quas qui
dem
diuerſitates ne conſiderat quidem.
181169DISPVTATIONES.
Quædam ſupponenda ut conſtet cur circa uelocit atem motuum
natur
alium localium ab Ariſtotelis placitis
recedamus
.
CAP. II.
CVM ſuſceperimus prouinciam probandi quod Ariſtoteles circa motus
locales
naturales deceptus fuerit, ſunt quædam primo veriſſima & obie-
cta
intellectus perſe cognita pręſupponenda, ac primum quælibet duo corpora,
grauia
, aut leuia, area æquali, ſimiliq́ figura, ſed ex materia diuerſa conſtantia, eodẽ­
q́ue
modo ſitum habentia, eandem proportionem velocitatis inter ſuos motus loca
les
naturales, ut inter ſuamet pondera aut leuitates in vno eodemq́; medio, ſeruatu-
ra
.
Quod quidem natura ſua notiſſimum eſt ſi conſiderabimus non aliunde maio-
rem
tarditatem, aut velocitatem gigni, quàm à .4. cauſis (dummodo medium vnifor
ſit & quietum) ideſt à maiori aut minori pondere aut leuitate;
à diuerſa figura;
à ſitu ciuſdem figuræ diuerſo, reſpectu lineę directionis, quæ recta inter mundi cen-
trum
, & circunferentiam extenditur;
& ab inæquali magnitudine. Vnde patebit,
quòd
figuram non variando, nec in qualitate nec in quantitate, neque eiuſdem figu-
ſitum, motum fore proportionatum virtuti mouenti, quæ erit pondus aut leuitas.
Quod autem de qualitate, de quantitate & ſitu eiuſdem figuræ dico, reſpectu reſi-
ftentiæ
ipſius medii dico:
Quia diffimilitudo aut inęqualitas figurarum, aut ſitus di-
uerſus
non parũ alterat dictorum corporum motus, cum figura parua facilius diui-
dat
continuitatem medij, quam magna;
vt etiam cęlerius idem facit acuta, quàm ob
tufa
;
& illa quæ cum angulo, qui antecedat mouebitur velocius quàm illa, quæ ſecus.
Quotieſcunque igitur duo corpora vnam eandemq́; reſiſtentiam ipſorum ſuperfi-
ciebus
, aut habebunt aut recipient, eorum motus inter ſeipſos eodem planè modo
proportionati
conſurgent, quo erunt ipſorum virtutes mouentes:
& è conuerſo, quo
tieſcunque
duo corpora vnam eandemq́; grauitatem, aut leuitatem, & diuerſas reſi
ſtentias
habebunt, eorum motus inter ſeipſos eandem proportionẽ ſortientur, quã
habebunteorum
reſiſtentiæ conuerſo modo;
quæ quidem reſiſtentiæ inter ſeipſas,
eandem
proportionem quàm ipſarum ſuperficies habebunt, aut in qualitate ſola fi
guræ
, aut in quantitate ſola, aut in ſitu, aut in aliquibus ex dictis rebus, eo tamen mo
do
, quiſuperius poſitus fuit, vt ſcilicet corpus illud quod alteri comparatum, æqua-
lis
erit ponderis, aut leuitatis, ſed minoris reſiſtentiæ, exiſtet velocius altero, in eadẽ
proportione
, cuius ſuperficies reſiſtentiam ſuſcipit minorem ea quæ alterius eſt cor-
poris
, ratione facilioris diuiſionis continuitatis aeris, aut aquæ;
Vt exempli gratia,
ſi
proportio ſuperficiei corporis maioris ſuperficiei minoris ſeſquitertia eſſet, pro-
portio
velocitatis dicti corporis maioris, velocitati corporis minoris, eſſet ſubſeſqui
tertia
;
vnde velocitas minoris corporis, maior eſſet velocitate corporis maioris, quẽ
admodum
quaternarius numerus ternario maior exiſtit.
Aliud quoque ſupponendum eſt, velocitatem ſcilicet motus naturalis alicuius
corporis
grauis, in diuerſis medijs, propor-
tionatam
eſſe ponderi eiuſdem corporis in
ijſdem
medijs;
Vt exempli gratia, ſi pondus
242[Figure 242] totale alicuius corporis grauis ſignificatum
crit
ab .a.i. quo corpore poſito in aliquo me-
182170IO. BABPT. BENED. dio minus denſo, quàm ipſum ſit, (quia in medio ſe denſiore ſi poner etur, non graue
e
2et, ſed leue, quemadmodum Archimedes oſtendit) illud medium ſubtrahat par-
tem
.e.i. vnde pars .a.e. eiuſdem ponderis libera manear;
& poſito deinde eodem cor
pore
in aliquo alio medio denſiore, minus tamen denſo quam ipſum ſit corpus,
hoc
medium ſubtrahat partem .u.i. dicti ponderis, vnde pars .a.u. ei uſdem
ponderis
remanebit.
Dico proportionem velocitatis eiuſdem corporis per mediũ
minus
denſum, ad velocitatem eiuſdem per medium magis denſum futuram vt .a.e.
ad
.a.u. vt eſt etiam rationi conſonum, magis quàm ſi dicamus huiuſmodi velocitates
eſſe
, vt .u.i. ad .e.i. cum velocitates à virtutibus mouentibus ſolum (cum figura vna,
eademq́; in qualitate, quantitate ſituq́ erit) proportionentur.
Quænenc diximus,
planè
ſimilia ſuntijs, quæ ſupra ſcripſimus, quia idem eſt dicere, proportionem velo
citatum
, duorum corporum hetereogeneorum, ſed ſimilium figura, & magnitudine
æ
qualium, in vno ſolo medio, æqualem eſſe
proportioni
ponderum ipſorum, vt ſi dicam?

proportionem
velocitatum vnius ſolum cor-
243[Figure 243] poris per diuerſa media eandem eſſe cum ea.
quæ
eſt ponderũ dicti corporis in iſidem medijs.
Poſſe uelocitatem alicuius corporis proportionem contrariam
in
diuerſis medijs habere cum denſitate eorum.
CAP. III.
POſſibile eſt in rerum natura corpus aliquod huiuſmodi denſitate præditum re-
periri
, vt velocitas eius motus naturalis per aerem, velocitati per aquamita pro
portionata
exiſtat, vt eſt dẽſitas aquæ denſitati aeris.
Denſitas aquæ notetur (exem-
pli
gratia) per .u.i. & ea, quæaeris eſt per .e.i. & pondus alicuius corporis in aere per
e.a. & pondus eiuſdem corporis in aqua per .u.a. ita tamen, quod eadem proportio
ſit
.e.a. ad .u.a. vt .u.i. ad .e.i. vnde per vltimam ſuppoſitionem præcedẽtis capitis, pro
portio
velocitatis prædicti corporis per aerem,
proportioni
eiuſdem corporis per aquam erit, vt
244[Figure 244] e.a. ad .u.a. ergo per .11. quinti, vt .u.i. ad .e.i.
Oſcitanter ab Ariſtotele nonnibil prolatum cap 8.
lib
. 4 Phyſicorum.
CAP. IIII.
EX ſupradictis patet in vniuerſum non eſſe verum quod Ariſto .8. cap .4. lib. phy­
ſicorum
ſcribit, velocitates ſcilicet motuum alicuius corporis per diuerſa me-
dia
, proportionatas eſſe denſitatibus eorundem mediorum.
Quocirca, ſit propor-
tio
.u.i. ad .e.i. vt dẽſitatis aquę ad aereã dẽſitatem .et .e.a. ad .u.a. vt ponderis alicuius
corporis
in aere ad pondus eiuſdem in aqua, ita tamen vt maior aut minor propor-
tio
ſit .e.a. ad .u.a. quam .u.i. ad .e.i. vnde exiſtente proportione velocitatis per aerẽ
183171DISPVTATIONES. ad velocitatem per aquam vt .e.a. ad .a.u. non erit ergo vt .u.i. ad .e.i. Ob hanc igitur
cauſam
nimis diſſentaneum eſt rationi, opi-
nari
proportionem velocitatis omnium cor
porum
grauium per aerem vnam eandemq́;
245[Figure 245] eſſe cum velocitate eorundem per aquam,
quemadmodum
Ariſtoteles ſenſit.
Exempla dictorum.
CAP.V.
POnamus, exempli gratia, aquam eſſe in denſitate dupla ad aerem, & aliquod
graue
corpus in aqua duplum ad denſitatem ipſius aquæ, vnde dictum corpus in
denſitate
ad aerem quadruplum erit;
quam ob cauſam, mediam ſui ponderis tota-
lis
partem in aqua, & in aere quartam partem, ex .7. lib. de inſidentibus aquæ ab Ar-
chimede
conſcripto, amitteret.
Moueretur igitur in aqua virtute illius mediæ partis
põderis ſui, in aere aũt uirtute triũ quartarũ;
vnde proportio facultatis mouẽtis dicti
corporis
in aere ad facultatem mouentem eiuſde m in aqua ſeſquialtera erit.
hocq́;
corpus
appelletur .A.
Sit aliud quoque corpus, quod .B. nominetur, ſimile figura, &
magnitudine
corporea corpori .A. ſed dẽſitate, in proportione ſeſquialtera ad aquã,
& denſius erit aere in proportione tripla.
quamobrem corpus .A. grauius erit cor-
pore
.B. in aere in proportione ſeſquialtera, vnde etiam velocius erit ipſo .B. in aere
in
eadem proportione, ſed corpus .B. in aere, duplo maius pondus habebit, quã in
aqua
, cum in aere remaneant ei duæ ponderis tertiæ partes, & in aqua vna tantum,
ita
vt Ariſtoteli concedam corpus .B. in aere, quam in aqua velocius futurum in ea-
dem
proportione, in qua, aqua eſt dẽſior aere, ex Euclidis vndecima propoſitione
lib
. quinti.
Sed præter hæc omnia, ſi corpus .A. eſſet etiam velocius in aere, quã in
aqua
, in eadem proportione, ſequeretur ex .16. dicti lib. quinti proportionem velo-
citatis
.A. in aqua ad velocitatẽ ipſius .B. in aqua etiam ſeſquialteram eſſe.
Sed cum
corpus
.A. in denſitate ad aquam duplũ ſit, & corpus .B. ſeſquialterũ ad ipſam aquã,
ſequetur
proportionẽ ponderis ipſius .A. ad põdus ipſius .B. in aqua eſſe in propor-
tione
dupla;
Vnde ex primo ſuppoſito capitis ſecundi proportio velocitatis .A. ad
velocitatem
.B. in aqua dupla erit, non ſeſquialtera.
Si ergo proportio velocitatis .
A
.
ad eam quæ eſt .B. in aqua dupla eſt, & ea, quæeſt .B. in aere, ad eam, quæ eſt ipſius
per
aquam eſt etiam dupla (vnde ea quę eſt .A. per aquam ęqualis erit ei, quæ eſt .B.
peraerem
, ex .9. lib. quinti) & cum ea, quæ eſt .A. ſit ei, quæ eſt .B. per aerem ſeſqui-
altera
, erit ergo ea, quæ eſt .A. per aerem, ei, quæ eſt ſuimet ipſius per aquam ſeſqui
altera
, non autem dupla, ex .7. eiuſdem libr. quinti.
Hiſce rationibus accedimus ad
confirmandam
veritatem vltimi ſuppoſiti cap .2. proportionem videlicet velocita
tis
motꝰ naturalis in diuerſis medijs alicuiꝰ corporis põderoſi in ipſis medijs eſſe ean
dem
cum ea, quæeſt inter pondera
246[Figure 246] dicti corporis in dictis medijs. de ijs
tamen
medijs intelligendo, quæ un-
ctuoſa
, aut pinguia non ſunt, ut ſunt
oleum
, lac, aut huiuſmodialia, quæà
qualibet
minima qualitate frigoris
aut
caloris alterantur, & impermea-
biles
fiunt.
184172IO. BAPT. BENED.
Quod proportiones ponderum eiuſdem corporis in diuerſis medijs pro
portiones
eorum mediorum denſit atum non ſeruant. Unde ne-
ceßariò
inæquales proportiones uelocitatum
producuntur
.
CAP. VI.
OMne corpus graue variat proportionem ponderis per diuerſa media, vnde
proportiones
velocitatum inæquales exiſtunt.
Vt exempli gratia, ſi fue-
rit
corpus .A. cuius pondus totale ſit .o.a. quod in aqua diminutum ſit ratione partis .
e
.o.
ita vt ei ſolum relinquatur pondus .a.e. & in aeie adempta ſit ei pars .i.o. vnde ſo
lum
remaneat pondus .a.i.
Supponamus aliud quoq; medium in eadem proportio-
ne
minus denſum, quàm aer, quemadmodum aer minus denſus eſt, aqua, in quo, cor
pus
.A. ammittat partem .t.o. ponderis ſui, vnde ex .7. lib. de inſidentibus aquæ Ar-
chimedis
, eadem proportio erit .e.o. ad .i.o. quæ eſt .i.o. ad .t.o.
Supponamus quoq;
eandem
proportionem eſſe .a.i. ad .a.e. eſt .e.o. ad .i.o.
tunc dico non futuram ean-
dem
proportionem .t.a. ad .a.i. quæ eſt .i.o. ad .t.o.
Cum ſit ergo proportio .a.i.
ad
.a.e. ut .e.o. ad .i.o. erit diſiunctim .e.i. ad .e.a. vt .e.i. ad .i.o.
Quare ex .9. libr. quin­
ti
erit .a.e. æqualis .i.o. ſed cum ita ſehabeat .e.o. ad .i.o. vt .i.o. ad .t.o. ita quoque
ſe
habebit, ex vndecima quinti .a.i. ad .e.a. ut .i.o. ad .t.o.
Cum autem (vt vidimus). a.e.
ęqualis
ſit ipſi .i.o. non poterit eſſe proportio .t.a. ad .i.a. vt eſt .o.i. ad .t.o. quia ſi
hoc
eſſet, eſſet etiam diſiunctim proportio .i.t. ad .i.a. vt eſt .i.t. ad .t.o. & ex ſupradicta
9
. lib. quinti .a.i. æqualis eſſet .t.o.
Maximum autem inconueniens eſſet .t.o. minorem
o.i. ideſt minorem .a.e. æqualem eſſe .a.i. quæ maior eſt .a.e.
Oſtenſiuè tamen idem
hoc
modo probari poteſt, vt exiſtente .i.o. ęquali ipſi .a.e. per conſequens quoq; erit
minor
ipſa .a.i. cum .a.e. pars ſit ipſius a.i.
Pereãdem tamen rationem .o.t. minoreſt .
o
.i
.
Tanto magis igitur minor erit .t.o. ipſa .i.a. Vnde ex .8. libri quinti maiorem pro
portionem
habebit .i.t.
ad
.t.o. quam ad .i.a. &
ex
.28. eiuſdẽ lib .i.o. ad
t.o. maiorẽ proportio-
247[Figure 247] nẽ habebit, quàm.t.a.
ad
.i.a. ex .12. igitur di-
cti
quinti maiorem pro
portionem
habebit .i.a. ad .e.a. quàm.t.a. ad .i.a. ita ergo ſe habebunt ipſorum velo-
citates
.
Corpora grauia aut leuia eiuſdem figur æ et materiæ ſed inæqualis
magnitudinis
, in ſuis motibus natur alibus uelocit atis, in eo
dem
medio, proportionem longè diuerſam ſeruatura
eße
quam Aristoteliuiſum fuerit.
CAP. VII.
ESt mihi nunc probandum in uno eodemq́; mcdio duo corpora inæqualia, ſed
ſimili
figura & materia, mouebuntur naturali motu, diuerſa tamen ratione ab
185173DISPVTATIONES. ea, quàm Ariſtoteles præſcripſit.
Sintigitur corpora .a. et .o. inæqualia, eadẽtamen figura & materia prædita, quo-
rum
.a. maius ſit, & per conſequens in eadem quoque proportione grauius ipſo .o. in
qua
eſt maius, communi omnium ſententia.
Scribit ergo Ariſtoteles proportionem velocitatis corporis .a. ad eam, quæ eſt
corporis
.o. (naturaliterſe vnoquoque mouente) eandem futuram, quæ eſt magnitu
dinis
, aut grauitatis corporis .a. ad magnitudinem, aut grauitatem corporis .o.
Ima-
ginemur
igitur corpus u. eadem magnitudine & figura, qua corpus .a. præditum eſt,
ſed
eandem grauitatem obtinere, quæ communicata eſt corpori .o. quod ex quauis
materia
conſter.
Hinc ex primo ſuppoſito ſecundi capitis certi erimus proportio-
nem
velocitatis corporis .a. ſi comparetur cum velocitate corporis .u. futuram, vt ,
quæ
eſt ponderis corporis .a. ad pondus ipſius corporis .u.
Ex .9. igitur lib. quinti Eu-
cli
. cogitur fateri Ariſtoteles velocitatem corporis .o. eſſe vnam eandemq́; in ſpe-
cie
, quæ eſt corporis .u.
Quod primo ſuppoſito cap. ſecundi huius lib. planè repugna­
ret
.
Igitur hæc Ariſtotelis opinio falſa eſt. Idem quoque probaretur mediante cor
pore
.i. æquali magnitudine, ſimiliq́; figura cum corpore .o. prædito, ſed, quòd ad
quantitatem
attinet, æquali corpori .a. vnde ex primo ſuppoſito cap. ſecundi huius li
bri
in eadem pro
portione
velociꝰ
eſſet
corpore .o.
248[Figure 248] in qua grauius eſt.
ex
.9. igitur quin-
ti
cogitur Ariſto-
teles
affirmare
velox
eſſe corpus
a
. quã eſt corpus
i
. vnde idem pla-
inconueniens emergit ex ſecundo ſuppoſito cap. ſecundi huius lib..
Quod duo corpor a in æqualia eiuſdem materia in diuerſis
medijs
eandem uelocitatis proportionem
retinebunt
.
CAP. VIII.
QVælibet duo corpora inæqualia ſimili tamen figura & eadem materia con-
ſtantia
, naturaliter ſe per diuerſa media mouentia, vnam eandemq́; ſem-
per
proportionem velocitatum ſeruant.
Sint duo corpora .A. et .B. ſibi inuicem inæqualia quorum .A. ſit maius, ſed ſimile
figura
& idem materia,
cuius
pondus totaleſit .
249[Figure 249] x.o.
& pondus totaleip
ſius
.B. ſit .u.s.
Imagine-
mur
quoque corpus .A.
poſitum
in aqua amitte
re
partẽ .o.e. ponderis.
186174IO. BAPT. BENED. o.x. et .B. quoque in eodem loco amittere .c.s. et .A. in aẽre partem .i.o. et .B. partem.
.t.s.
Nunc quia corpus aqueum, cui correſpondet .e.o. æquale eſt ipſi .A. & corpus
aqueum
, cui correſpondet .c.s. æquale eſt i pſi .B. vt eſt ab Archimede probatũ:
com
muni
quadam ſcientiæ ratione, ſequitur eandem proportionem futuram .o.x. ad .e.o.
quæ
eſt .u.s. ad .c.s. ob eaſdemq́; rationes idem erit de .x.o. ad .i.o. ut .u.s. ad .t.s. & idẽ
etiam
erit de .o.x. ad .s.u. vt de .e.o. ad .c.s. vt etiam de .o.i. ad .s.t.
Vnde ex .19. lib.
quintí
erit de .x.i. ad .u.t. quemadmodum de .x.o. ad .u.s. idem dico de .x.e. ad .u.c.
Ex
11
. igitur dicti lib. erit. de .x.i. ad .u.t. quemadmodum de .x.e. ad .u.c. ex quibus quidẽ
proportionibus
, ſi ſubtra
250[Figure 250] hantur proportiones @reſi
ſtẽtiarum extrinſecus ad-
uenẽtium
, proportiones
quæ
remanebunt, exter-
tio
communi axiomate
ab
Eucli. in principio pri­
mi
lib. poſito, ad inuicem
erunt
æquales, ſecundum quas eorundem corporum ſunt velocitates.
Anrectè Aristoteles diſeruerit de proportionibus mo-
tuum
in uacuo.
CAP. IX.
CVm verò Ariſtoteles circa finem cap .8. lib. 4. phyſicorum ſubiungit quod ea-
dem
proportione dicta corpora mouerentur in vacuo, vt in pleno, id pace eiꝰ
dictũ ſit planè erroneũ eſt.
quia in pleno dictis corporibus ſubtrahitur proportio reſi
ſtentiarum
extrinſecarum à proportione ponderum, vt velocitatum proportio re-
maneat
, quę nulla eſſet, ſi dictarum reſiſtentiarum proportio, ponderum propor-
tioni
æqualis eſſet, & hanc ob cauſam diuerſam velocitatum proportionem in va-
cuo
haberent ab ea, quæ eſt in pleno.
Quòd in uacuo corpor a eiuſdem materiæ æquali uelocita-
te
mouerentur.
CAP.X.
QVòd ſupradicta corpora in vacuo naturaliter pari velocitate mouerentur,
hac
ratione aſſero.
Sint enim duo corpora .o. et .g. omogenea, et .g. ſit dimidia pars ipſius .o. ſint alia
quoque
duo corpora .a. et .e. omogenea primis, quorum quodlibet æquale ſit ipſi .g.
& imaginatione compręhendamus ambo poſita in extremitatibus alicuius lineæ, cu
ius
medium ſit .i. clarum erit, tantum pondus habiturum, punctum .i. quantum centrũ
ipſius
.o. quod .i. virtute corporis .a. et .e. in vacuo,
251[Figure 251] eadem velocitate moueretur, quacentrum ipſius .
o
:
cum autem difiuncta eſſent dicta corpora .a. et .e.
à
dicta linea, non ideo aliquo modo ſuam velocita­
187175DISPVTATIONES. tem mutarent, quorum quodlibet eſſet quoque tam velox, quam eſt .g: igitur .g.
tam
velox eſſet quam .o.
Corpora licet inæqualia eiuſdem materiæ & figuræ, ſireſiſten-
tias
habuerint ponderibus proportionales
æqualiter
mouebuntur.
CAP. XI.
EAdem ratione, quam cap. antecedente præſcripſimus, poſſet oſtendi, ſi duo cor-
pora
.o. et .g. ſuas reſiſtentias, ita ad inuicem proportionatas haberent, utſunt
eorum
pondera, in pleno pari velocitate prædita eſſe, quod in fine capitis noni leui
ter
attigi, quia punctum .i. tam velox eſſet, ut centrum ipſius .o. cum à tanto pondere
i
. motum eſſet;
quanto centrum ipſius .o. atquetan
252[Figure 252] tam reſiſtentiam duo corpora .a. et .e. quãta ipſum
o
. ſolum haberet ex hypotheſi, dicta tamen corpo
ra
.a. et .e. tam ſeparata, quam coniuncta, eandem
velocitatem
retinerent .g. igitur tam velox eſſet,
quam
.o.
Maior hic demonſir atur eſſe proportio ponder is corpor is den
ſioris
ad pondus minus denſi in medijs dẽſioribus, quam
ſit
eorundem corporum in medio minus denſo, nec
corporum
ponder a ſeruare proportionem
denſitatis
mediorum.
CAP. XII.
PRopoſita nobis cum fuerint duo corpora .A. et .B. area corporea æqualia, quo-
rum
.A. denſius ſit ipſo .B. probabo in medio magis denſo, maiorem proportio
nem
futuram ponderis ipſius .A. ad pondus .B. quàm in medio minus denſo.
Sit igitur .p.g. pondus totale ipſius corporis .A. et .q.k. ipſius corporis .B. vnde .p.g.
maius
erit ipſo .q.k.
Sit quoque .o.g. pondus, quod medium magis denſum ſubtra-
hit
à pondere .p.g. et .n.k. ſit pondus, quod idem medium ſubtrahit à pondere .q.k. et
f.g. ſit pondus, quod medium minus denſum ſubtrahit à .p.g. et .i.k. illud, quodid@m
mediũ ſubtrahit ab .q.k. vnde .o.g. æquale erit .n.k. et .f.g. ipſi .i.k. quia quod ad areã
attinet
, corpora ſupponuntur æqualia, vnde proportio .p.f. ad .q.i. maior erit ea, quæ
eſt
.o.f. ad .n.i. communi
253[Figure 253] ſcientiæ notione, quia ſi
ſcinderet
aliꝗs.p.f. in pun
cto
.c. ita. vt .c.f. æquale eſ-
ſet
ipſi .q.i. proportio .c.f.
ad
.q.i. eſſet vt ea, quæ eſt .
o
.f.
ad .n.i. (hoc eſt nulla)
188176IO. BAPT. BENED. ſed proportio .p.f. ad .q.i. maior eſſet ea, quæ eſt .c.f. ad .q.i. ex. octaua lib. quinti, vn-
de
ex .12. eiuſdem lib. maior eſſet .p.f. ad .q.i. quàm.o.f. ad .n.i. ex .33. igitur eiuſdem,
maior
erit proportio .p.o. ad .q.n. quàm.p.f. ad .q.i.
Sic quoque ſe habebunt ad inui
cem
velocitates, quod eſt propoſitum.
Cum autem proportio .p.o. ad .q.n. maior ſit,
quàm
.p.f. ad .q.i. permurando igitur maior erit proportio .p.o. ad .p.f. quam .q.n. ad .
q
.i.
aut euerſim maior erit proportio .q.i. ad .q.n. quàm.p.f. ad .p.o. vnde ſi proportio
p.f. ad .p.o. eſſet ac ea, quæ eſt .o.g. ad .f.g. non eſſet .q.i. ad .q.n. ut eſt .o.g. ad .f.g. aut
vt
.n.k. ad .i.k. quodidem
eſt
, de quibus quidem re-
254[Figure 254] bus, exemplis propoſitis
quinto
capite mẽtionem
feci
.
Velocitatibus autem ſe-
quentibus
pondera, ſequi
tur
proportionem veloci-
citatum
duorum corporum hetereogeneorum eandem non eſſe per diuerſa media,
contra
id, quod ſequeretur ſi Ariſtotelis opinionem .8. cap. lib. 4. phyſicorum re-
ciperemus
.
Longe aliter ueritatem ſe habere quam Aristoteles
doceat
in fine libri ſeptimi phyſicorum.
CAP. XIII.
NOn tam facile eſt aſſignare proportionem velocitatum duorum corporum na
turalium
, quam Ariſtoteles vltimo cap. lib. 7. phyſicorum putauit.
Quamobrem ſint duo corpora .B. et .D. materia magnitudineq́; diuerſa, pondere
tamen
, & figura ſimilia, & proportio reſiſtentiarum, quas recipiunt à medio mo-
uentur
, ſit. ut .o.i. ad .a.e. denotentur deinde velocitates totales abſque vlla reſiſten-
tia
ab .a.u. et .o.c. quæ æquales erunt ad inuicem per communem ſcientiam ex ſup-
poſito
, ſint alia deinde duo corpora .V. et .M. eodem modo ſe habentia ut prima .B.
et
.D. in eodem medio, ſed ex diuerſa materia ab ea, quæ eſt illorum duorum corpo
rum
, magnitudine tamen & figura ijſdem ſimilia:
ſignificentur quoque eo-
rundem
reſiſtentiæ per .t.s. et .n.r. & eorundem velocitates à nulla ex reſiſtentijs di-
minutæ
, per .n.x. et .t.g. vnde .n.r. æqualis erit .a.e. et .t.s. ipſi .o.i. et .n.x. ipſi .t.g: n.x. ta-
men
et .t.g. non erunt ęqualia .a.u. et .o.c.
Sed exempli gratia, ponamus ea eſſe mi-
nora
.
Supponamus nunc .e.u. velocitatem eſſe quæ remanet ipſi .B. cum applicata
erit
reſiſtentia .a.e. dicto corpori .B. quæ diminutam facit totam .a.u. per .a.e. ſitq́; .i.c.
ea
, quę remanet ipſi .o.c. corporis .D. et .r.x. ea, quæ remanet .n.x. corporis .V. et .s.g.
ea
, quæ eſt ex .t.g. corporis .M.
Vnde communi omnium cõſenſu aſſequemur .e.u. ma
iorem
futuram .r.x. et .i.c. ipſa .s.g.
Scindatur deinde .a.m. ad ęqualitatem .n.x. et .o.z.
ipſius
.t.g. vnde .a.m. ad .o.z. et .m.u. ad .z.c. æquales habebimus, ut quoque .e.m. ad .r.
x
.
et .i.z. ad .s.g. quamobrem .e.m. maior erit ipſa .z.i. maior igitur erit proportio .z.c.
ad
.z.i. quàm.m.u. ad .m.e. (quia .z.c. ad .z.i. ita ſe habet vt .m.u. ad .i.z. ex .7. lib. quin-
ti
, ſed .m.u. ad .i.z. maior eſt quam ad .m.e. ex .8. dicti lib. vnde ex .12. eiuſdem .z.c. ad
ad
.z.i. maior erit, quàm.m.u. ad .m.e.
Ergo ex .28. maior proportio erit .c.i. ad .z.i.
189177DISPVTATIONES. quam .u. ad .m.e. & ex .27. maior erit proportio .c.i. ad .u.e. quam .z.i. ad .e.m. ideſt .s. g
ad
.r.x. quod Ariſtoteli in mentem non venerat.
Alijs quoque modis idem proba-
ri
poteſt, vt ſi diceret aliquis, maiorem proportionem eſſe .e.m. ad .m.u. quam .i.z. ad
z.c. (quia .e.m. ad .m.u. eadem eſt ratio vt ad .z.c. ex .7. quinti, ſed proportio .e.m. ad .
z
.c.
maior eſt quam .i.z. ad .z.c. ex .8. eiuſdem, ergo ea, quæ eſt .e.m. ad .m.u. ex .12. ma
for
erit, quam .i.z. ad .z.c.) vnde componendo, ea quæ eſt .e.u. ad .m.u. maior erit illa,
quæ
eſt .i.c. ad .z.c. & permutãdo, quam ea, quæ eſt .e.u. ad .i.c. ea, quæ eſt .m.u. ad .z.c.
& ex .33. quinti, ea, quæ eſt .e.m. ad .i.z. maior erit ea, quæ eſt .e.u. ad .i.c.
255[Figure 255]
Quid ſequatur ex ſupradistis.
CAP. XIIII.
EX præcedenti capite manifeſtè depræhenditur, in vniuerſum Ariſtotelis opi-
nionem
veram non eſſe in prima parte vltimi capitis. lib. 7. phyſicorum;
quia
in
eo loco ſupponens ipſe corpus .B. pręcedentis capitis eſſe dimidiam partem ipſius
D
. quantum ad aream corpoream ſpectat (ſunt tamen pondere ad inuicem æqualia)
ait
.B. futurum duplo velocius ipſo .D.
Ego verò præcedenti capite accepi .e.u. pro
velocitate
reſidua corporis .B. (ſubtracta ea tamen parte, quam ei reſiſtentia adimit,
quæ
erat .e.a.) et .i.c. pro ea, quæ eſt corporis .D. et .r.x. pro ea, quæ eſt corporis .V. et .
s
.g.
pro ea, quæ eſt corporis .M.
Dicat nunc Ariſtoteles, quę nam harum duarum pro
portionum
dupla erit?
quia ſi earum aliqua talis erit, alia nullo modo eſſe poterit,
vt
iam oſtendi, etiamſi duo corpora .V. et .M. eaſdem conditiones habeant, quas .B.
et
.D.
Ratio autem, quæ Ariſtotelem induxerit ad illud credendum, nulla alia eſſe
potuit
, quàm quod putarit reſiſtentias proportionatas eſſe magnitudinibus corpo-
reis
, ideſt quemadmodum .B. erat corporaliter dimidia pars ipſius .D. ſic etiam habe
ret
medietatem eius reſiſtentiæ, quam habuiſſet corpus .D.
Quod etſi verum eſſet,
non
tamen ſequeretur neceſſariò in quibuſlibet corporibus futuram velocitatum
proportionem
eandem, quæ reſiſtentiarum eſt, vt ſuperiore capite oſtendimus.
Numrestè ſenſerit Philoſophus reſistentias proportionales
eße
cum corporibus mobilibus.
CAP. XV.
QVòd Ariſtoteles crediderit reſiſtentias proportionatas eſſe corporibus, erra-
uit
.
Si ſuperficies ijſdem proportionatæ eſſent, dubium non eſt, quin
reſiſtentiæ
quoque ipſæ, ijſdem proportionatæ exiſterent, ſupponendo eas ſimiles
ſitu
, dum eadem corpora mouerentur.
Sed eadem proportio non eſt inter ſuperfi-
190178IO. BAPT. BENED. cies, & quæ inter corpor a reperit̃: Ariſtoteles igitur in eo defecit. Quòd autẽ inter
ſuperficies
non eadem ſit proportio, quæ inter corpora extat, ſi primo ad ſphęricas
mentem
verterimus, intelligemus proportionem eam, quæ inter duas ſphæras repe
ritur
triplam ſemper exiſtere ei, quæ eſt inter ipſarum diametros ex vltima .12. libr.
Euclid
.
Eſt autem proportio, quæ eſt inter ſuperficies ſphęricas ęqualis ei, quæ eſt
ipſorum
circulorum maiorum ex .16. lib. quinti, cum ex .31. primi de ſphæra & cy-
lindro
Archimedis, omnis ſphærica ſuperficies quadrupla, ſit maiori circulo ipſius
ſphęræ
, ſed proportio, quæ eſt inter dictos circulos, eſt dupla ei, quæ eſt inter eorũ-
dẽ
diametros ex .2. lib. 12. Euc.
ergo ꝓportio, quæ eſt inter corpora, ſeſquialtera erit
ei
, quæ eſt ſuperficierum, & non æqualis, ut Ariſtoteles putauit.
Idem de corporibus
ſimilibus
à ſuperficiebus planis terminatis dico, ratiocinando mediante .36. lib. 11.
et
.18. ſexti, vnde cognoſcemus proportionem corporum, proportioni laterum, tri-
plam
futuram, & ſuperficierum proportionem, laterum proportioni duplam.
Quare
corporum
proportio, ei, quæ ſuperficierum eſt, ſeſquialtera erit, ita ut ſi velocitates
extitiſſent
ad inuicem proportionatæ, vt ſuperficies, proportio velocitatis corporis .
B
.
ei, quæ eſt corporis .C. fuiſſet ſubſeſquialtera proportioni corporum, & non æqua
lis
eidem.
Fdipſum aliter demonſtr atur.
CAP. XVI.
ALio quoque modo probari poteſt non eſſe in vniuerſum verum id, quod Ari-
ſtoteles
in prima parte capitis vltimi lib. 7. phyſicorum ait, ſic ſcribens.
Si .A. quidem ſit id quod mouet .B. verò id quod mouetur, et .C. ſit longitudo per
quam
, et .D. tempus in quo eſt motum, in tempore nimirum ęquali, potentia æqua-
lis
.A. dimidium ipſius .B. per duplum mouebit ipſius .C. per ipſum autem .C. in dimi
dio
temporis .D. ſic enim erit rationis ſimilitudo.
Sit ergo corpus .o. ſeptimi capitis pondere æquali corpori .u. eiuſdem capitis, ſed
area
corporea minusipſo .u. pro medietate.
Simile tamen figura. Imaginemur nũc
tertium
aliud corpus omogeneum ipſi .u. quod ſit .i. magnitudine & figura ſimile ipſi
o
. vnde minor erit ipſo .u. pro media parte, & hanc ob cauſam ipſum .u. erit duplo ma
gis
graue, quàm ipſum .i. & per conſequens ipſum quoque .o. duplo grauius erit quã
ſit
ipſum .i. ex .7. libr. quinti Euclidis.
Ipſum ergo corpus .o. duplo velocius erit,
quàm
ipſum .i. ex primo ſuppoſito cap .2. huius lib.
Vnde ex .9. quinti, velocitas ipſius
i
. æqualis eſſet ei, quæ eſt ipſius u. cum Ariſtoteles ſcribat .o. quoque futurum duplo
velocius
ipſo .u. cap .7. huius lib. falſum eſſe demonſtraui.
De alio Aristo. lapſu.
CAP. XVII.
SCribit Ariſtoteles in ultimo cap. lib. 7. phyſicorum in hunc modum.
Si duo quædam ſeorſum per tantum ſpatium tanto tempore duo ſeorſum pon
dera
mouent, & compoſita per longitudinem æqualem, ęqualiuẽ in tempore, com-
poſitum
ex ponderibus vtriſq; mouebunt, eſt enim in eis eadem ratio.
191179DISPVTATIONES.
Quod in vniuerſum nec etiam poteſt eſſe verum in pleno, quia cap .14. iam pro-
baui
, non eandem proportionem eſſe inter ſuperſicies corporum, & ipſa corpora.
Quomodo dignoſcatur proportio uelocitatis duorum ſimilium
corporum
omogeniorum inaqualium.
CAP. XVIII.
ETiam ſi reperire in qua proportione motus naturaliter moueantur duo corpo-
ra
, figura & materia ſimilia, inęqualia tamen ad inuicem, non facile ſit, oſten-
dam
tamen qua ratione id conſequi poſſimus.
Proponantur nobis, exempli gratia, duo corpora .a. et .o. ſphęrica, inęqualia inui-
cem
, omogenea tamen materia, quorum .a. maius ſit;
ſi voluerimus inuenire in qua
nam
velocitatis proportione naturaliter mouerentur.
Volo vt inquiratur corpus .i.
ſphęricum
, alia tamen & diuerſa materia conſtans, ſed pondere ęquale corpori .o. &
ſuperſicie
tam proportionata ſuperficiei corp oris .a. quàm eſt ea, quæ eſt ſui ponde-
ris
ad pondus ipſius .a.
Hoc facto, indagetur, quænam erit proportio inter ſu-
perficies
corporum .i. et .o. quę ſemper dupla eſt, vel ſubdupla ei quæ eſt diametro-
rum
;
ut iam cap .15. dixi, & hęc proportio ſuperficierum ſphęricarum ipſiꝰ .o. et .i. ſub
trahatur
ab æqualitate, quod igitur remanebit, erit proportio velocitatũ inter duo
corpora
.o. et .i. ideſt inter .o. et .a. vt exempli gratia, ſi proportio ſuperficiei .o. ſuperfi
ciei
ipſius .i. ſeſquitertiα eſſet, ſub
trahendo
eam ab ęqualitate, rema-
256[Figure 256] neret ꝓportio ſubſeſquitertia, vnde
velocitas
corporis maioris ( quod in
pręſenti
loco ſupponitur eſſe .o.) ei,
quę
eſt corporis minoris, quale eſt
corpus
.i. ſubſeſquitertia eſſet;
aut
dicamus
quòd .i. eſſet velocius ipſo
o
. in proportione ſeſquitertia ex ſe
cundo
ſuppoſito ſecundi capitis huius libri.
Sed .i. tam velox eſt quam ipſum .a. ex .
11
.
cap. ergo proportio velocitatis ipſius .a. ſeſquitertia erit ei. quæ eſt ipſius .o.
Quam ſit inanis ab Ariſtotele ſuſcepta demonſtratio quod
uacuum
non detur.
CAP. XIX.
EX ijs, quæ ſuperius demõſtrauimus facilè cognoſci poteſt irritam eſſc eam ratio
nem
, quam Ariſtoteles .8. cap. lib. 4. phyſicorum ad deſtruendum vacuum,
finxit
.
Vtigitur idem facilius oſtendamus, compræhendamus imaginatione infini-
ta
media corporea, quorum vnum altero rarius ſit, in qua placuerit nobis ex propor
tionibus
, incipiendo ab uno, imaginemur etiam corpus .Q. denſius primo medio, cu-
ius
corporis, totalis grauitas ſit .a.b. & poſitum in ipſo medio, amittat partem .e.b. ip-
ſius
grauitatis, & in ſecundo medio amittat .i.b. & ſic per gradus vnde nobis patebie
192180IO. BAPT. BENED. dicto corpori .Q. Nunquam remanſuram ſuam totalem grauitatem .a.b. in quolibet
ex-dictis
medijs.
Nunc ſi quærat à me Ariſtoteles proportionem velocitatis corpo-
ris
.Q. per vacuum ad velocitatem dicti corporis per plenum, ego ei proponam pro-
portionem
ipſius .a.b. ad .a.e. exempli gratia, dicens, quẽadmodum .a.b. maius eſt
ip
ſo .a.e. ſic etiam corpus .Q. velocius erit in vacuo, quàm in pleno, dicti autem ple-
ni
denſitatem appellabimus .e.b.
Ariſtoteles dicet nunc, aliud quoddam medium
in
eadem proportione ſubtilius ipſo .e.b. deſumatur;
quemadmodum .a.e. minus eſt
ipſo
.a.b. ſit ergo iſtud .i.b. in quo Ariſtoteles credit corpus Q. futurum tam velox ut
in
vacuo, in quo aberrat, ꝗa proportio velocitatis corporis .Q. in medio .i.b. ad velo
citatem
eiuſdem in medio
e.b. ita ſe hàbebit, ut .i.a. ad
257[Figure 257] e.a. ex ultimo ſuppoſito ca
pit
.2. huius libr. quæ minor
eſſet
ea, quæ eſt .a.b. ad .a.e. ex .8. lib. quinti Eucli.
Non ſatis dilucidè Ariſtotelem de loco ratiocinatum fuiße.
CAP. XX.
QVæ Ariſtoteles de loco ſcribit multas in ſe continent difficultates. Primum,
cap
.4. lib. 4. phyſicorum ait, omne corpus eſſe in ſuo proprio loco, ſupponen
do
vnum centrum pro loco grauium, et unam circunferentiam pro loco leuium cor
porum
.
Sed quomodo punctum poteſt eſſe locus ipſius corporis, cum omni dimen
ſione
capacitateq́; ſit denudatum?
vnde ſi centrũ locus eſſet corporum grauium, om
nia
dicta corpora grauia, extra proprium locum exiſterent, quia nullum ex iis eſt,
ſit
in centro.
Adde quod neque hoc cum loci definitione ab ipſo poſita conſentiret
cum
ipſe dicat in eodem cap. locum eſſe ſuperſiciem quandam, & non interuallum,
licet
huiuſmodi definitio falſa appareat primo ex incõuenienti falſo, quod ipſe hinc
ſequuturum
dicit, ideſt, quod ſi locus interuallum eſſet, infinita loca exiſterent, quod
reuera
nec ob hanc cauſam inconueniens exiſtit, quia eodem planè modo quo ali-
quod
corpus poteſt eſſe infinita corpora, (quod ipſe diceret in potentia) ſic etiam in
teruallum
aliquod poſſet eſſe infinita interualla.
Cum autem dicat ſuperficies cor-
poris
ambientis eſſe locum eius corporis, quod continetur, cogitur dicere lineam,
quæ
circundat ſuperficiem, ſuperficiei locum eſſe, & puncta ipſius lineæ, quod reue
ra
abſurdum eſt.
Locus corporis eſt interuallum illud eadem magnitudine & figu-
ra
, qua corpus ipſum pręditum eſt, quod ſi non eſſet, ſed eſſet ſuperficies, quemad-
modum
Ariſtoteles voluit, maximum inconueniens ſequeretur, ſcilicet æquales lo-
cos
capere inęqualia corpora, aut corpora æqualia, locos inęquales occupare, quod
ſcitu
facillimum eſt, cum Theon ſuper Ptolomęi Almageſtum iam probarit ſphæ-
ricam
ſuperficiem maius interuallum corporeum continere, quàm aliam quãuis ſu-
perficiem
dictæ ſphęricæ æqualem, vnde poſſent facilè reperiri duo loci, quorum al-
ter
millies altero maior eſſet, capaces tamen corporum æqualium, aut reperiri duo
corpora
, quorum alterum millies maius eſſet altero, quę tamen corpora apta eſſent
ad
occupandos locos ęquales, quamuis Ariſtoteles dicat, locum, neque maiorem ne
que
minorem eſſe debere locato.
Sed interualla corporea ęqualia à quauis figura
terminata
, continebunt ſemper corpora ęqualia.
Corporeum igitur interuallum eſt
193181DISPVTATIONES. reuera locus corpori adęquatus, cum corpus in interuallum ſuperſiciale non intret,
quam
@is interuallum corporeum ingrediatur.
Et hoc modo nullũ eſt corpus, quod
in
m@ do aut extra mundum ( dicat autem Ariſtoteles quicquid voluerit ) locum
ſuum
non habeat.
Vtrum bene Aristoteles ſenſerit de infinito.
CAP. XXI.
TRactans Ariſtoteles in fine quinti cap. lib. 3. phyſicorum de infinito ait, impoſ­
ſibile
cum ſit inuenire locum infinitum, & omne corpus in loco cum ſit, impoſ
ſibile
quoque eſſe in rerum natura aliquod:
infinitum corpus reperiri. Omittamus
quòd
cum Ariſtoteles debuerit beneficio loci deſtruere infinitum, ordine peruerſo
de
infinito prius, quàm de loco diſputationem inſtituat;
ſed dicamus ipſum intelli-
gere
de infinito corporeo, & cum probauerimus corporis locum eſſe corporeum in
teruallum
, non autem ſuperficiem, neque opus ſit in definitione interualli mentio
nem
aliquam facere terminorum, vnde ipſum infinitum eſſe poteſt, neque aliqua ra
tione
de hac re dubitari poteſt;
hoc modo nullum inconueniens ſequeretur, quòd
extra
cęlum reperiri poſſit corpus aliquod infinitum, quamuis, id ipſe nulla euiden-
ti
ratione inductus perneget.
Senſit quoque, abſque eo, aliquam rationem propo
nat
, aliquid extra cœlum reperiri quemadmodum apparet ex fine cap .9. lib. primi
de
cœlo, cum etiam ait cap .8. lib. 8. phyſicorum, infinitas partes alicuius continui eſ-
ſe
ſolum in potentia, non item in actu, hoc non eſt illico concedendum, quia ſi omne
totum
continuum, & re ipſa exiſtens, in actu eſt, omnis quoque eius pars erit in actu,
quia
ſtultum eſſet credere, ea quæ actu ſunt, ex ijs, quæ potentia exiſtunt, componi.
Neque etiam dicendum eſt continuationem earundem partium efficere, vt poten-
tia
ſint ipſæ partes, & omni actu priuatæ;
Sit exempli gratia linea recta .a.u. continua
quæ
deinde diuidatur in puncto .e. per æqualia, dubium non eſt, quin ante diuiſionẽ,
medietas
.a.e. tam in actu (licet coniuncta cum alia .e.u.) reperiretur, quàm totum .2.
u
. licet à ſenſu diſtincta non eſſet.
Idem affirmo de medietate .a.e. ideſt de quarta
parte
totius .a.u. & pariter de octaua, de milleſima, & de quauis, ita vt eſſentia actua
lis
infiniti hoc modo tutò concedi poſſit, ita ſit in natura.
Sed peius etiam ſenſit
Ariſtoteles
eodem loco capitis quinti lib. 3. phyſicorum, negando infinitum poſſe
connumerari
inter quantitates, dicens vnam aliquam quantitatem intelligi vt cubi
tum
, tricubitum, & cætera;
vbi non conſiderat eadem etiam ratione intelligi poſſe
aliquam
quantitatem infinitorũ cubitorum, & in quantitatis definitione nullam eſ-
ſe
neceſſitatem terminorum, vt exempli gratia in definitione numeri, non eſt neceſ
ſitas
alicuius determinati numeri, quia multitudo, non minus infinita, quàm finita,
intelligi
poteſt.
Vbi poſteà cap .8. libr .4. phyſicorum ait nullam eſſe differentiam
inter
infinitum, & vacuum, reuera nihil abſurdius hoc dicere fingereue poterat.
194182IO. BAPT. BENED.
Exagitatur ab Ariſtotele adductatemporis definitio.
CAP. XXII.
CVM ſenſerit Ariſtoteles tẽpus abſque motu eſſe poſſe, ea tamen ab inui-
cẽ
ſeparans, volẽs definire tẽpus ait, ipsũ eſſe motꝰ menſurã numerũq́;.
Quæ
quidem
definitio, natura ſua non eſt bona, quia tempus, neque numerus eſt, neque
etiã eſt mẽſura motus ſe, ſed tm̃ accidẽs, quia nihil eſt, numeret aut menſuret
aliud
, quod non ſit eiuſdẽ ſpeciei illo quod mẽſuratur, aut numero circunſcribit̃,
vt
exẽpli gratia, nulla vnquã ſuperficies ſe numerabit aut mẽſurabit lineã, aut cor-
pus
;
neclinea ſuperficiem aliquã, aut corpus: nec corpus lineã aliquã aut ſuperfi-
ciem
;
Sed linea lineam menſurabit; ſuperficies ſuperficiem; & corpus corpus; etiãſi
tam
vna ex iis quantitatibus quàm altera ſit continua.
Cum verò motus non ſit tem
pus
, neque tempus ſit motus, ſed inter ſe maximè differant, ſequetur ex iis, alterum
nullo
modo per ſe eſſe menſuram alterius, niſi per accidens.
Et ſi alicui videtur,
ad
ſignificandam aliquam quantitatem motus, dicere huiuſmodi operationem dua-
rum
horarum, aut duorum dierum, aut duorum annorum ſpatio completam eſſe, ſit
ponere
tantum tempus:
animaduertere debet hoc ſimpliciter non eſſe verum, quia
horarum
, dierum.
& annorum interualla, imaginatione concipiũtur vt motus corpo-
rum
cęleſtium, ſine quibus, neque anni, neque dies, neque horę exiſterent, etiã ſi om
nis
motus ſit (vt ita dicam) locatus in tempore, ut corpus in loco, vnde motus motu,
& tempus tempore, non autem aliud ab alio menſuratur.
Tempus ex neceſſita-
te
(phyloſophicè tamen loquendo) res eſt æterna, motus non item, quia diuerſis mo
dis
terminari poteſt & ceſſare, & interim dum ceſſabit quieſcet corpus, quod
primo
mouebatur.
nihilominus tamen, tempus continuabit curſum ſuum. Tempus
igitur
potius locus motus erit dicendum, quàm numerus aut menſura eius, & tale eſt,
vt
conſumatum uideatur à continuò quodam fluxu vnius inſtantis, quemadmodum
iam
dixi in .38. capite meę gnomonicæ, & cum dico ab vno inſtanti, vnum in ſpecie,
& non in numero intelligo, quod à ſenſibus noſtris percipi non poteſt, neq; etiam
notari
, quia nouum ſemper inſtans nobis occurrit.
& ſi aliquis aliquod exemplũ (lar
go
modo) incompræhenſibilitatis ipſius inſtantis deſideraret, imaginetur rotam ali
quam
albam, in qua ſit nigrum aliquod punctum ſenſibile, aut è contra rotam nigrã
imaginetur
, in qua ſit punctum album, quæ rota velociſſimè moueatur;
huiuſmodi
punctum
, nullo modo aſſignari poterit, magis ab una parte quàm ab altera;
immo ſe
ſe
nobis offeret ſemper in forma lineæ circularis.
poſſumus aliquo modo etiam ſu-
mere
exemplum à ſono, quia omnis chorda cuiuſlibet inſtrumenti muſici, dum ſo-
nus
editur, tremit, unde huiuſmodi ſonus, appellari poteſt aggregatum aliquod ex
innumerabilibus
ſonis.
eodem modo ſe habet ſonus, quem ędunt campanę, & omnia
inſtrumenta
tam naturalia, quàm artificialia, quæ quantò velocius tremũt, tanto acu
tiorẽ generant ſonum, & quantò tardius, tantò grauiorem.
Neque eſt quòd in ad-
mirationem
ducamur, quòd ſenſui unum aliquod continuum appareat id, quod di-
ſcretorum
eſt multitudo ( non putet tamen aliquis me negare continuitatem ſucceſ
ſiuam
ipſius temporis) quod clare cognoſci poteſt à niue, aut à chryſtallo, aut à vi-
tro
, aut à ſaccaro in minutiſſimas partes redacto, quæ continuam aliquam albedinẽ
nobis
ad inſpiciendum offerunt, quod nihil aliud eſt, quàm innumerabilis quædam
multitudo
minutorum reflexorum.
Idẽ dico de ſputo, & qualibet ſpuma, & quan-
195183DISPVTATIONES. to minutiora ſunt corpuſcula à quibus vt à ſpeculis reflectitur lumen, tantò magis ag
gregatũ illud albũ apparet.
Hæc autẽ exempla ſint, nec non largo modo ſumpta,
mirũ non erit ſi claudicare videbũt̃.
Sed ut ad motũ, & tẽpus reuertamur ( quæ ſunt
cõtinua ſucceſſiua) Ariſtoteles in definiendo tempore, non reduxit in mentem, quod
ſcribit
decimo metaphyſicę et .4. cap. ſecundo. libr. de cęlo, omnia videlicet, ab eo,
quod
minimum eſt in ſuo genere, menſurari, & ex ſeipſo in phyſicorum libris, tem-
pus
non eſt de genere motus;
ergo eius ipſius rationum ui, tempus non erit menſura
motus
, ſed motus quidem poteſt menſurare motum, videlicet velocior minus velo-
cem
, & breuior longiorem;
& numerꝰ menſurat̃ numero, & tempus tempore in quan
tum
longum eſt, aut breue, non in quantum velox, aut tardum;
Nullum autem in-
conueniens
ſequetur ſumendo tempus tam ptoportionale motui, quam locus cor-
pori
, quia motus decem milliarium, quæ aliquis vnius horæ ſpatio conficiat, erit pro
portionalis
corpori denſo, & motus vnius milliaris eadem hora peracti, proportiona
lis
erit corpori raro;
& quemadmodum corpus denſum occupat minus interuallum
loci
, contra quam fiat in corpore raro:
ſic etiam motus velox breuiori temporis ſpa-
tio
peragetur, quam tardus.
Motum rectum eſſe continuum, uel dißentiente
Ariſtotele
.
CAP. XXIII.
ARiſtoteles .8. capi .8. phyſicorum ait impoſſibile eſſe aliquid per lineã rectam
nunc
vno modo, nunc altero, ideſt eundo, & redeundo per dictam lineam in
extremis
abſque quiete moueri.
Id quod contrà poſſibile eſſe dico. Pro ſpecula-
tione
cuius rei imaginemur circulum .u.a.n. motu continuo circa centrum .o. in quã
libet
partem, aut dextrã, aut ſiniſtrã ferri;
& imaginemur pũctum .b. extra ipſum, ubi
magis
nobis videbitur, à quo ducantur duæ lineæ recte .b.u. et .b.n. contiguæ ipſi cir-
culo
in punctis .u. et .n.
Imaginatione quoque inter has duas lineas, alteram quæ ſit .
u
.n.
aut .c.d. aut .e.f. aut .g.h. conſtituamus in quali
258[Figure 258] bet parte, ſumemus etiam punctum .a. circun-
ferentiæ
dicti circuli, à quo vſque ad .b. lineam .
b
.a.
imaginemur fixã in .b. ſed quod remanat mo
bile
, ſecundum quod mouebitur punctum .a. vn-
de
aliquãdo hæc linea erit eadem cum .b.u. & ali
quando
cum .b.n. & aliquando ab .b.u. verſus .b.
n
.
proficiſcetur, & aliquando ab .b.n. verſus .b.u.
vt
accidit lineæ directionis, & retrogradationis
planetarum
, vnde circulus .u.a.n. erit vt epiciclus
et
.b. vt terræ centrum.
Clarum nunc erit, quòd
quando
linea .b.a. eadem erit cum .b.u. aut cum
b.n. non quieſcet, quia in inſtanti reuertetur, quia
b.u. et .b.n. in puncto, dictũ circulum tangunt, &
dicta
.b.a. interſecabit ſemper aliquam ex dictis
u.n. aut .c.d. aut .e.f. aut .g.h. quod interſectionis
punctum
ſit .t.
Imaginemur nunc quod ſecũdũ
punctum
.t. aliquid per aliquam ex dictis lineis
196184IO. BABPT. BENED. moueatur, clarum erit quod tale aliquid, nunquam quieſcet, etiam ſi ſit in quouis ex
tremo
.
Ariſtotelis igitur opinio, tuta non eſt.
Idem uir grauisſimus an bene ſenſerit de motibus corporum
uiolentis
& natur alibus.
CAP. XXIIII.
ARiſtoteles in fine .8. phyſicorum ſentit corpus per vim motum, & ſeparatum à
primo
mouente, moueri, aut motum eſſe per aliquod tempus ab aere, aut ab
aqua
, quæ ipſum ſequũtur. quod fieri non poteſt;
quia imo aer, qui in locum defer-
tum
à corpore ſubintrat ad fugandum vacuum, non ſolum hoc corpus non impellit,
ſed
potius id cohibet à motu, quia aer per vim à corpore ducitur retrò, & diuiſus à
parte
anteriori à dicto corpore, reſiſtit ſimiliter, & quantum dictus aer in dicta parte
condenſatur
, tantum in poſteriori rarefit, vnde per vim ſeſe rarefaciens non permit-
tit
, vt dictum corpus cum ea velocitate fugiat, cum qua aufugeret, quia omne agens
in
agendo patitur.
Quamobrem cum aer à dicto corpore rapiatur, corpus quoque
ipſum
ab aere rapitur.
Huiuſmodi autem rarefactio aeris, naturalis non eſt, ſed vio
lenta
;
& hanc ob cauſam reſiſtit, & ad ſe trahit, ſed non ſufferente natura, vt inter vnũ
& aliud ex dictis corporibus reperiatur vacuum;
iccirco funt hæc ſemper contigua,
& mobile corpus aerem deſerere cum nequeat, eius velocitas impeditur.
Huiuſmo
di
igitur corporis ſeparatim à primo mouente velo citas oritur à quadam naturali im
pręſſione
, ex impetuofitate recepta à dicto mobili, quæ impręsſio & impetuoſitas,
in
motibus rectis naturalibus continuò creſcit, cum perpetuò inſe cauſam mouẽtẽ,
ideſt
propenſionem eundi ad locum ei à natura asſignatum habeat.
Ariſto .8. cap.
primi
lib. de cœlo, dicere non deberet quantò propius accedit corpus ad terminũ
ad
quem, tantò magis ſit velox;
ſed potius, quantò longius diſtat à termino à quò
tantò
velocius exiſtit.
quia tantò maior fit femper impræsfio, quantò magis moue-
tur
naturaliter corpus, & continuò nouum impetum recipit, cum in fe motus caufam
contineat
, quæ eſt inclinatio ad locum ſuum eundi, extra quem per vim confiftit.
Neque etiam rectè ſeripſit Ariſto .9. cap. lib. 8. phyficorum et .2. lib. primi de cœlo
eſſe
aliquem motum ex recto & circulari mixtum, omninò imposſibile eſt.
Motum rectum & natur alem non eſſe primo & per ſe
quicquid
Ariſtoteli uiſum ſit.
CAP. XXV.
MOtus rectus corporum naturalium ſurſum, aut dcorfum, non eft naturalis pri
& per ſe, quia motus naturalis perpetuus eſt, aut vt melius dicam, inceſ-
fabilis
, & alius eſſe non poteft quàm circularis, nullaq́; pars cum fuo toto coniun-
cta
, alium motum naturalem habere poteft, quàm eum, qui eft totius.
fi autem à ſuo
toto
diuulfa atque difiuncta fit, libereq́; vagetur, ſpontè, & quàm breuisſima poteft
via
, ad locum, ſuitotiꝰ à natura ſtatutum proficiſcitur.
hic motus primò, & per fe di-
cti
corporis, naturalis non eft, cum à caufa naturæ fuæ contraria fit generatus, ideft,
197185DISPVTATIONES. ab co quod fit extra ſuum locum, vbi contra naturam ſuam reperitur. Vnde hu-
iuſmodi
motus, partim & non omninò, naturalis eft.
Is autem proprius eſt & natura
lis
motus, qui dicti corporis eſſentiam conſeruat.
hoc autem non præſtat hic rectus,
cum
deſtruat, ergò hic motus primò & per ſe naturalis non eft.
Omne corpus eſſe in loco proprio graue, ut Aristoteli placuit,
non
eft admittendum.
CAP. XXVI.
ARift .4. cap. lib. 4. de cęlo fic ſcribit.
Suo enim in loco grauitatem habent omnia præter ignem, fignum cuius eft
vtrem
inflatum plus ponderis, quam vacuum habere, & c.
Quo in loco, manifeftè indicat ſe caufam nec grauitatis, nec leuitatis corporum
naturalium
nofce, quæ eft denfitas auto raritas corporis grauis, aut leuis, maior denſi-
tate
, aut raritate medij permeabilis, in quo reperitur.
Exemplum ipſe de vtre inflato proponit, debuiſſet ſaltem ei oculos ad verita-
tem
, quæ clarisſimè fulget, inſpiciendum aperire.
Verisſimum eſt, vtrem inflatum
plus
ponderis habere quàm vacuum, aut quando aer in eo non eft per vim inclufus.
Ratio autem huius rei eft, quia quando inflatus eft, ea quantitas aeris, in eum
per
vim iniecti, minorem occupat locum, quàm ſi eidem liberè vagari permit-
teretur
, vnde violenter, quodam modo, con denfata eft, & quia corpus denfum in
minus
denfo, femper deſcendit, & minus denſum in magis denſo aſcendit.
Hanc ob
caufam
vter inflatus plenus corpore magis denſo, quàm eft medium quod eum cir-
cundat
, deſcendit, non quia aer inaere, aut aqua in aqua fit grauis.
Haud admittendam opinionem Principis Peripateticorum
de
circulo, & ſpbæra.
CAP. XXVII.
CVm Ariftoteles fenſerit circulum eſſe figurarum ſuperficialium primã, & ſphę­
eſſe primã corporearũ ꝑꝑ earũ periferias, decipitur.
Sunt enim vltimæ,
non
primæ.
Sunt quidem (in quò rectè ſentit) perfectè, licet rationem huius rei non
nouerit
.
Nam centrũ cuiuſlibet rei, eiuſdem rei principiũ eft, & figurę, quæ ipſum
æqualiter
circundant, poſſunt appellari perſectæ, ſiue ſint ſuperficiales, ſiue corpo-
reæ
, & ècontrà illæ, quæ contrario modo ſe habent, imperfectæ.
Quòd autem per-
ſectum
eſt, licet natura fit primum, eſt tamen vltimum generatione.
Sed quando
Ariftoteles
duas dictas figuras pronuntiauit primas, vt perfectas, prioritate ſcilicet
ea
, quæ oritur à perfectione, verum dixit;
fed quando de figuris ſuperficialibus lo-
quens
, vult circulum effe primum, quia ab vna tãtum linea terminetur;
minus pro
circulo
, quam pro oxigonia ſeu elipſi, aut cucurbitali, aut aliis multis figuris ab vna
tantum
linea terminatis concludit.
Neque etiam hæc ratio perfectionem circuli
ſtrat
, quia aliæ figuræ, à lineis curuis terminatę, eandem conditionem fortiuntur.
Circulus ſphęraq́;, non ex vno ſolo angulo recto conſtant, vt idem Ariftoteles putat
198186IO. BAPT. BENED. cap .4. lib. 4. de cęlo, etiam fi triangulus ex duobus angulis rectis conſurgat, ſed ſunt
figurę
infinitorum angulorum rectorum, & hanc ob cauſam à me dicuntur vltimæ &
perfectę
, quia infinito nihil addi poteſt.
Numerus angulorum rectorum circuli, eft
minor
duplo infinito per duo infinita angulorum contingentiæ, quæ duo infinita mi
nora
funt quouis angulo acuto rectilineo, & numerus angulorum rectorum folidorũ
ſphęræ
, minor eft quadruplo infinito per .4. infinita angulorum ſolidorum cõtingen-
tiæ
, quæ .4. infinita, minora ſunt quouis angulo ſolido acuto terminato à tribus pla-
nis
.
Triangulus inter figuras planas ſuperſiciales eft primus, & circulus vltimus; &
pyramis
quadrilatera, inter corpora eft prima, & ſphęra vltima.
Occultam fuiße grauisſimo Stagirit & canſam ſcintilla-
tionis
ſtellarum.
CAP. XXVIII.
VBi Ariſtoteles ait ſcintillationem ſtellarum ſieriratione aſpectus @oſtri ob, ma
ximam
diſtantiam, maximum errorem committit, vt etiam facid quum putat
vifionem
fieri extramittendo, contra id, quod alio loco, immo contra veritatem ip
ſam
afferuit.
Scintillatio ergo ſtellarum, neque aſpectus noſtri ratione, neque ali-
cuius
mutationis earundem ſtellarum, ſed ab inæqualitate motus corporum diapha
norum
mediorum naſcitur, quẽadmodum clarè cernitur, quòd fi inter aliquod obie
ctum
, & nos, aliquis ſumus, qui aſcendat, intercefferit, videbimus obiectum illud qua
ſi
tremere.
Hoc autem tantò magis fiet, quantò magis diſtabit obiectum ab ipſo fu
mo
;
vnde admirationi locus non erit, fi ftellas fixas magis ſcintillare, quam errantes
cernamus
.
Lumen ſtellæ ad oculum noſtrum accedens, perpetuò per diuerfas dia-
phaneitates
penetrat, medio continuorum motuum corporum mediorum, vnde
continuò
eorum lumen variatur, & hoc in lõginquis magis, quàm in propinquis ſtel
lis
apparet, quemadmodum ab exemplo de fumo allato, & etiam ab aliquibus vi-
tris
ex ſuperficie non plana, ſed irregulari conſtantibus, quilibet cognoſcere poteft.
Daricontinuum infinitum motum ſuper rectam at que
finitam
lineam.
CAP. XXIX.
OMnes hactenus ſenſerunt imposfibile eſſe dari per imaginationẽ motum con-
tinuum
& perpetuũ
259[Figure 259] ſuper vnam lineam rectam
finit
:
in quo decipiuntur.
Imaginemur duas lineas
parallelas
.a.b. et .t.x. quarũ
b.a. fit ĩfinita à qualibet par
te
, & in ea imaginemur pun
ctum
.a. moueri continuò ad
quam
voluerimus partem,
&
199187DISPVTATIONES. & in linea .t.x. imaginemur punctum fixu@, quod fit .c. imaginemur etiam inter .c. @.
a
. vnam lineam rectam .c.a. & inter duas parallelas dictas .r.x. fixam, & motus punct@i
fit
ab .b. verfus .a. ita ut .c.a. fecet .r.x. in puncto .i. quod interfectionis punctum mo-
uebitur
ab .r. verfus .x. continuò, in tempore infinito, neque vnquam idem erit cum
puncto
.x.
Non eſſe ſolis calorem à motu localι ipſius corporis ſolaris,
ut
Ariſtoteli placuit.
CAP. XXX.
JD nullo planè modo eſt admittendum quod Ariftoteles credidit calorem folis à
motu
locali ipſiuſmet corporis folaris, & non à lumine, prouenire, quemadmo-
dum
manifeftè aſſerit primo metheororum cap .3. circa finem fic fcribens.
Vtigitur repor gignatur atque calor, folis latio duntaxat, ſatis eſt eſſicere, & c. ſed
cap
.7. lib. 2. de cælo fic ſeribit, Caliditas autem ab ipſis, lumenq́; ideo fit, quia aer
ab
illorum motione fricatur.
Vbi non folum oftendit fe opinari, quòd motus corporum cœleſtium fit caufa ca
loris
, ſed eriam luminis, paulò autem poſt dicit, ſuperiorum autem corporum vnum
quodque
fertur in ſphæra, vt ipſa quidem non igniantur.
Opinio profecto abfur-
da
.
Nam cùm corpus ſolate fixum fit in ſpisfitudine ſui orbis deferentis, fe-
cundum
communem opinionem, non mouetur per fe, ſed accidentaliter, cum ſei-
licet
fertur à dicto ſuo orbe, vnde fieri poteſt, vt in motu fui orbis, nullum ex
orbibus
fuorum deferentium augis fricet, fed fi fricaret, id faceret mediante vno fo
lo
puncto, vt cuilibet, aliquantulum in mathematicis verfato patet.
Quam ob cau
ſam
, rationi cõfentaneum non eſſet credere, quòd tantùm caloris gigneretur.
Quod
tamen
fi posſibile eſſet, quid ergo fricatio ſuperficierum orbis ſui, cum iis, quæ funt
deferentium
augis efficeret?
Quãdo tamen hoc fieret, vt ſcilicet à fricatione fuper
ficierum
procederet calor, nil planè diferiminis inter hyemen, & æftatem intercede
ret
, nec inter calorem diei, & noctis, nec inter unam horam, aut alteram;
fed fecun-
dum
Ariftotelis rationes, Venus, Mercuriusq́;, magis calefacere quam fol de berẽt,
cum
ita ſint veloces vt ipſe Sol, & eodem magis propinqua terræ.
Verum Ari-
ſtotelis
tẽporibus, nullũ aliũ planetã quam folem putabãt philofophi ſupra Lunã eſ-
ſe
.
Atque etiam cõtigeret menfe Decembri, quam Iunio, magis inualeſceret calor,
cum
huiuſmodi menſe ſolad nos propius accedat, quam menfe Iunii. per differen-
tiam
maiorem diametro regionis elementaris, (nam folaris eccentricitas maior eft
ſemidiametro
elemẽtaris regionis) non confiderans Ariftoteles differentiam ca-
loris
, quæ naſcitur ex eo, Sol aut altius ſupra orizontem excurrat, aut infra eundẽ
feratur
;
neque eam, quę à longitudine, aut breuitate diei proficiſcitur. Sed quia Ari
ſtoteles
eodem cap tertio Metheororum intelligit de motu rapto, ideſt diurno, ſiue
dicamus
vniuerfali, hinc ſequi deberet, Sol maiorem caloris uim menſe Martij &
Septembris
, quàm aliis menfibus, profunderet, quia in iiſdem temporibus, ſol virtu
te
huiuſmodi motus velocior exiftat, quàm alio quolibet tempore anni, cum tunc
per
æquatorem circuũoluatur.
Multa quoque alia incommoda ſequerentur ſi Ari
ſtorelis
rationes admitteremus.
Sed clarè uidemus, mediante refl exione aut refra-
ctione
radiorum folarium, vniente ſeſe lumine, unitur quoque, & augetur calor,
atque
omnis res ad comburendum apta accenditur, & inflammatur.
In lumine igi-
200188IO. BAPT BENED. tur continetur calor, & non in motu ipſius ſolis, & ita in lumine ſedem habet, ut fi ſol
quieſceret
, neque in orbe ſuo circumager etur, infęliciſſima eſſet ea regio, in cuiu;
Zenith ipſe reperiretur.
Vnde caloris ſolis prode at incrementum & state, et byeme
decrementum
.
CAP. XXXI.
CVm capite ſuperiore oſtenderim calorem ſolis non aliunde, quàm à lumine
prouenire
, oſtendam nunc ex ordine, ex quot, quibusq́; cauſis oriatur magna
differentia
eius caloris æſtatis ad hyemem, quarum nonnullæ ab antiquis obſerua-
fuerunt, aliæ autem à nemine, quod ſciam.
Sunt autem quinque ad minus cau
ſæ
, quarum vna eft diuturna folis mora, tempore æſtatis ſupra orizontem, quæ cau-
ſa
ab antiquis pofita, & citata fuit.
Aliam quoque huius rei cauſam iidem antiqui
dicebant
eſſe propinquitatem ſolis noftro Zenith, ſed hæc cauſa immediata non
eſt
, quia ab ea tres caufæ immediatæ naſcuntur;
quarum vna eft maior unio radij re
flexi
cum radio incidenti;
ſecunda maior quantitas luminis in ſuperficie terrę;
tertia, minor reſiſtẽtia vaporum ipſi radio luminoſo facta; quarta verò eft impresfio
caloris
facta in terra, quæ cum aliis caufis coniuncta calorem adauget. quæ quidem
caufæ
nemini adhuc, quod fciam, in mentẽ venerunt.
Quòd autem attinet ad ma-
iorem
coniunctionem radii reſlexi cum incidente, quiſque, uel ſaltem mediocriter
in
cathoptricę cognitione verſatus hoc verum eſſe cognoſcet.
Vt hoc tamen in-
noteſcat
facilius.
Imaginemur .q.p. et .b.d. eſſe duas particulas ęquales ſuperficiei
ipfius
terræ, ſuper quas cadant duo radii luminofi ſolis .e.q. et .n.d. quorum .e.q. fit ad
modum
obliquus, et .n.d. quaſi perpendicularis, vnde radii reſlexi .p.a. et .b.u. aſcen
dent
cum angulis æqualibus eis, qui funt ſuorum cadentium, cum omnis angulus re-
flexionis
femper æqualis ſit angulo ſuæ incidentię, vt cuilibet in cathoptrica, vel me
diocriter
verfato pater.
Mixtio autem primorum obliquorum erit .q.o.p. & ea, quæ
eft
minus obliquorum .b.i.d. quorum duorum triangulorum nullus unquam erit, qui
dubitare
posfit .q.o.p. non eſſe minorem .b.i.d. cum anguli .q. et .p. trianguli .q.o.p. a-
cutiores
ſint angulis .b. et .d. trianguli .b.i.d. ex ſuppoſito.
Quòd uero attinet ad ma
iorem
quantitatem luminis ſuper terræ ſuperſiciem;
Imaginemur radium .a.q. cuius
reſpectu
etiam imagine mur duos ſuperficiei terræ ſitus, quorum vnus fit .q.o: cui di-
ctus
radius fit perpendicularis, & alter .q.p. cui radius .a.q. ex obliquo incidat.
Ima-
ginemur
ergo triangulum .q.o.p. cuius angulus .o. rectus eſt ex ſuppoſito, unde .q.o.
minor
erit .q.p. ex .18. primi Euclidis.
hinc fit, vt ſuper .q.o. cadat vniuerſum lumen,
quod
ſuper .q.p. diffunditur.
Sit .q.u. æqualis .q.o. & fit imaginatione protracta .u.n.
æquidiftans
.p.o.a. vnde .q.u. illuminata erit à radio .n.q. minore radio .a.q. ergo mi-
nus
calida erit ſuperficies .q.u. ipſius terræ, quàm.q.o. quia maius lumen in ſe maio-
rem
calorem includit:
quod manifeſtè apparet in radiorum vnione mediante refle-
xione
, aut refractione.
Sed quod attinet ad minorem refiſtentiam vaporum ad ip-
ſum
radium luminoſum, etfi primo capite meæ Gnomonicæ leuiter id attigerim, ni
hilominus
tamen, & idem ipſum hoc loco proponam.
Denotetur, exempli gratia,
ſuperficies
terræ ab .o.g. et ea, quæ eft vaporum ab .n.a. ſupponatur etiam ſol in fitu.
201189DISPVTATIONES. q. qui ſit Zenith pũcti .o. & etiã in .p. ipſi orizõti propinquus, aut extra Zenith, cuius
duos
radios .q.o. et .p.o.
Imaginemur, quorum duæ partes .a.o. et .n.o. erunt aliquo
modo
ab ipſis vaporibus offuſcatæ, ſed .o.n. breuior eſt .o.a. ex .7. lib. 3. Eucli.
mino-
rem
ergo reſiſtentiam habebit à vaporibus ſol in Zenith, quàm extra cundem com -
morans
, & quantò longius erit idem ab ipſo Zenith, tanto maiorem reſiſtentiam à
dictis
vaporibus inferri ex eadem .7. lib. 3. Eucli. dicemus.
260[Figure 260] 261[Figure 261]
Nullum corpus ſenſus expers à ſono offendi, præterquam
Aristoteles
crediderit.
CAP. XXXII.
POſſe ſonum corpus aliquod, quod ſenſu ſit deſtitutum, vt Ariſtoteles .9. cap. li-
br
.2. de cælo putauit, offendere, eſt falſum.
Corpus enim non niſi à corpore poteſt lædi, non ergo à ſono, cum ſonus corpus
non
ſit.
Sed aer, & ignis, cum è contra ſint corpora, hoc facilè præſtare poſſunt im-
plendo
aliquem locum velociter ad excludendum vacuum;
vnde generatur ſonus.
Quod hucuſque à nemine animaduerſum fuiſſe comperio.
202190IO. BAPT. BENED.
Pytagoreorum opinionem de ſonitu corporum cælestium non
fuiſſe
ab Aristotele ſublatam.
CAP. XXXIII.
SEnſerunt Pythagorici orbes cæleſtes dum circunuoluuntur, non autem corpora
ſtellarum
ſolum, æd ere ſonu.
Quibus dum Ariſtoteles contradicere cogitat,
maximè
fauet.
Eatamen opinio è phyloſophorum ſcholis eſt explodenda, quia aut
orbes
ſunt ſibi ipſis contigui, aut inuicem diſtantes:
ſi ab inuicem diſtant (quod
nemo
adhuc conceſſit, quia hac ratione vacuum introduceretur) clarum eſt, quod
cum
ſe minime tangant, ſonum edere nequeunt:
Si verò eorum vnus alteri ſit conti
guus
, neq; etiam ab ipſis ſonus reſultare poterit, quia pro certo putandum eſt, ipſorũ
ſuperficies
tam politas eſſe, ac lenas, vt nihil omnino aſperitatis, aut inæqualitatis
contineant
.
Vt exempli gratia, ſi aliquis duo ſpecula plana inuicem confricaret, nul
lum
planè ſonum audiret, ſed ſi hoc faceret cum duabus ſuperficiebus a ſperis, ſonũ
perſentiret
, & tanto maiorem;
quantò aſperiores eſſent dictæ ſuperficies, & qui vult
vtarcus
lirę, ex corda ſonum eliciat, colophonia dictum arcum illinet, vt aſperiorem
reddat
.
Neceſſarium quoque eſt vt tremat ſiue trepidet corpus, quod ſonũ edere
debet
;
Neque etiam abſque aere ſonus efficipotelt, quia aer ſonat ingrediendo
velociter
ad implendum locum, vt non remaneat vacuus.
Sed ſupponendo in æche
rea
regione neque aerem eſſe, neque corpus aliquod fluidum, clarè patebit orbes
cœleſtes
ex ſeſe nullum emittere ſonum.
Idem affirmo de fricatione ſuperficiei con
cauæ
infimi orbis lunaris cum conuexa materiæ à dicto orbe contentæ, ſuperioribus
rationibus
fultus, vt etiam experientia à corpore aliquo fluido, quod in alio velociſ
ſimè
moueretur deſumpta fretus, cuius corporis ſuperficies tamen lenis eſſet, à quo
ſonus
non gigneretur.
Et non minus dicere poſſum, corpus fluidum moueri in con-
tinente
loco immobili, quam dictum corpus continens illud eſſe, quod moueretur,
& non fluidum corpus.
Cuius rei poſſumus etiam exemplum habere à quouis
corpore
perfectè rotundo, quod circa ſuum axem velociſſimè moueatur, nullum ſo-
num
efficiet, quia nullam aeris partem extra ſuum locũ impellit dum mouetur non
ſecundum
totum, ſed ſecundum ſuas partes, quarum quælibet abſque reſiſtentia im-
mediatè
ſubintrat locum alterius, abſque temporis interpoſitione.
nec huiuſmodi
locum
aliquo modo eadem materia dicti corporis, quod circunuoluitur:
deſtitutum
dimittat
.
Sed ſi Pythagorici de alia quadam harmoniæ ſpecie ab ea, quæ eſt ſono-
rum
, vt à diuerſis velocitatibus motuum, aut à diuerſis magnitudinibus aut diſtantiis,
aut
ſtellarum influxibus intellexiſſent, rectè ſenſiſſent exparte, non autem omnino,
quia
ea harmoniam efficere nequeunt, quæ ad inuicẽ ſecundum interualla harmoni-
ca
proportionata non ſunt, vt ſunt dupla, ſeſquial tera, ſeſquitertia, ſeſquiquarta, ſeſ-
quiquinta
, ſupertripartientia quintas, ſuperbipartiẽtia tertias, & quę ab ijs dependẽt
ideſt
coniuncta ſunt cum duplis;
de conſonantijs loquendo. de diſſonantiis idem di
co
, quæ harmonicis inſeruiunt modulationibus, vt ſeſquioctauũ, ſeſquinonũ, ſeſqui
quintũdecimũ, ſequiuigeſimũquartũ, ſeſquioctuogeſimũ, & ſuperbipartiens vigeſi
masquintas
.
Verũ quidem eſt nonnulla harmonica interualla in aſpectibus cõperta
fuiſſe
, vt Prolomeus oſtendit, & alii quoque aſſerunt.
ineſt tamen huic rei nonnihil
difficultatis
.
vt exempli gratia, ſi ſubtrahamus diateſſaron extra diapaſon, remanet
diapente
, & ſi à diapente ſubtrahamus ſemiditonum, remanet ditonum (quæ duæ
203191DISPVTATIONES. conſonantiæ, eum habent reſpectum ad inuicem, quem habent diateſſaron, & dia
pente
, quia quemadmodum ſemiditonum, & ditonum ſimul coniuncta, compo
nunt
diapente, ſic diateſſaron, & diapente ſimul vnita componunt diapaſon;
& quẽ
admodum
terminus, qui diuidit diapaſon in diateſſarõ, & diapente, eſt mediator ha@
monicus
inter extrema diapaſon diuiſi, ſic etiam terminus, qui diuidit diapẽte in ſe-
miditonum
, & ditonum, mediator eſt harmonicus inter extrema ipſius diapente diui
ſi
) ſubtrahendo deinde à diapaſon ſemiditonum remanet exachordum maius, & ab
eodem
diapaſon ſubtrahendo ditonum remanet exachordum minus, quę quidẽ
accidunt
aſpectuum circulo, quia ſubtrahendo aſpectum quadratum ab oppoſito,
remanet
aliud quadratum, & ſubtrahendo ſextilem à trino remanet quoque alius
ſextilis
.
Quòd autem attinet ad motus, ad magnitudines, ad diſtantias, & ad influ-
xus
, nihil eſt, quod hiſce proportionibus conueniat, ſed quia hæc omnia depẽdent
ab
ĩfinita, & diuina ꝓuidẽtia Dei, neceſſariò fit vt iſtæ velocitates, magnitudines,
diſtantiæ
, & influxus, talem ordinem, & reſpectum inter ſeipſa, & vniuerſum habeãt,
qualis
perfectiſſimus ſit.
Deraro et denſo nonnulla, minus diligenter à Peripateticis
perpenſa
.
CAP. XXXIIII.
ANtiqui Peripatetici de videndo in hyeme animalium halitu. Id, quod in æſta
te
non euenit, malè diſputauerunt, quia hoc naſciturà condenſatione hali
tus
, quę ab ambiente frigore fit.
quia halitus is abore, aut naſo animalis exiẽs
non
eſt purus aer attractus primò, ſed mixtus eſt cum quodam vapore excrementi-
tio
, & ſubtili, quo ſemper ab ea parte euacuat̃ corpus, qui ſtatim ab aere frigido cir-
cundatur
, & denſatur, quam ob cauſam ab ipſo ea luminis pars reflectitur, quæ eum
penetrare
non poteſt, quod in hypocauſtis, huiuſmodiq́; calidis locis non fit.
Idem
exemplo
ab aqua ſtatim à ciſternis, aut profundis puteis in hyeme extracta compro
bari
poteſt, quia tunc temporis, huiuſmodi aqua, cum magis calida ſit, quàm fri-
gida
, emittit vaporem, qui facillimè videtur, ob rationem iam dictam, quod
in
æſtate non cernitur in aqua, etſi ea magis calida eſſet, quam ea, quæ in hyeme
hauritur
.
Ratio autem, quam ab antiperiſtaſi deſumptam citarunt iidem ad inquirendum,
cur
aqua ſubterranea magis calida, aut minus frigida, hyberno tempore, quàm ea,
quæ
eſt ſupra terram ſit, vana eſt, quia hoc non aliunde fit, quàm ab eo, terræ por-
ri
à frigoris ſiccitate ſint clauſi, vnde vapores & exalationes non tam facilè exire poſ
ſunt
.
quamobrem calefiunt ſubterraneæ partes. Fimum, fœnum, frumentum hac in
re
ſunt nobis exemplo, in quibus ſępiſſimè viſum eſt ignem accendi.
Priore illa quoque ratione de antiperiſtaſi dicta, volunt philoſophi maiorem ca-
liditatem
hyęme, quàm ęſtate in animalium ſtomacho contineri, non animaduerten
tes
ſiccitatem, frigiditatis partes ſuperficiales corporis, reſtringẽtem, ſanguinem ver
ſus
originem ſuam impellere, qui in eo loco copioſior cum ſit, eas partes tunc tem-
poris
calefacit magis.
Neque etiam ijdem nouerunt cauſam, vnde fiat, ut in æſtate impleto vaſe vitreo,
aut
argenteo, aut ex materia non poroſa conſtante, aqua frigida, vas ſudet, quod
204192IO. BAPT. BENED. tempore hyemis, non niſi in calidis locis euenit, quem ſudorem, dicebantipſi, eſſe
eandem
aquam, quæ per porros vaſis exiret, quod falſiſſimum eſt, quia ſi per porros
aqua
frigida exiret multò magis exiret calida, cum ſubtilior ſit, & ad penetrandum
aptior
.
Sed hoc non aliunde oritur, quàm à condenſatione aeris vas circundantis,
cauſata
à frigiditate vaſis refrigerati ab aqua, quemadmodum tempore hyberno
clarè
videmus mane ſuperficies interiores vitri feneſtrarum ſudare, quia extrinſecũ
frigus
refrigerando vitrum, intrinſecum aerem ſibi contiguum congelat.
Neque ſilentio inuoluendum eſt, nec Ariſtotelem, neque alium ex ſuis fautoribus
animaduertiſſe
denſum, & rarum eſſe cauſam ventorum.
Rarũ autem & denſum, me
diante
calore & frigore fit, & ſi à partibus, in omogeneis, licet argumẽtari, de toto
deducat
conſequentiam qui velit, obſeruans in calidis æſtatis diebus, dum aliqua nu
becula
ad Solem cooperiendum incedit, ibi ſtatim agitationem aeris ſentiri;
ea verò
nubecula
prætergreſſa cum fuerit, & in ea parte, aer ad priſtinam raritatem cauſa-
tam
à calore Solis redierit, quieſcit;
huiuſmodi autem aeris agitatio, à nulla certè ex
halatione
proficiſcitur, ſed à motu ſolum locali, quem dum condenſatur, facit.
Om
ne
denſum natura ſua frigidum eſt;
omne rarum calidum, & è conuerſo. Et frigida
aura
, quæ à flabellis cauſatur, non ſolum à nouo aere qui nos tangit, ſed etiam à den-
ſo
, quod in agitatione eiuſdem aeris fit, naſcitur.
Cum autem de raritate & denſitate diſputationem ſuſceperim, non ſine ratione
mihi
videt̃ illorũ opinionẽ explodẽdã eſſe, qui Lunę maculas aliud eſſe dixerunt,
quàm
aliquas partes rariores aliis eiuſdem Lunæ partibus, non obſeruantes rarum, &
denſum
, proportionabilia lumini, quod ab huiuſmodi corporibus reflectitur, non eſ­
ſe
.
quia corpus aliquod rarum aliquando aptum erit ad reflectendum maius lumen,
quàm
corpus minus rarum ut manifeſtè apparet à nubibus reflecti lumen:
quod
ab
aere non fit.
Non defuerunt qui contrarium dixerunt, ideſt, eas Lunę partes, den
ſiores
eſſe;
neque unquam aliquis fuit qui de diaphano, aut opaco mentionem fece
rit
, quia melius eſt credere, eas partes diaphanas, ſiue perſpicuas magis eſſe, quàm a-
lias
, quę per aliquod ſpatium, ſolis radio ingreſſum permittant, & alię partes ſint
opacæ
ipſum à ſuperficie reflectant.
diuerſa tamen ratione à ſpeculo, cum in pleni-
lunio
tota ferè Lunę pars illuminata cernatur, quamuis dictum lumen extenſiuè & in
tenſiuè
ſit minus eo, quod ipſa in nouilunio recipit.
Indignum autem mihi videtur
ijs
reſpondere, qui dixerunt huiuſmodi maculas, terræ vmbras exiſtere, cum craſſiſſi-
ignorantiæ tenebris ſint circunfuſi, vt etiã fuit Cornelius Agrippa, qui primo de
occulta
philoſophia dicens ſe noſſe modum quendã naturalem à Pythagora inuen-
tum
, quo in Luna id totum, quod ipſe ſuper ſpeculum ſcripſiſſet, videretur.
oſtendit
manifeſtè
ſe ignorare luminum vmbrarumq́; naturam.
quia nulla vnquam vmbra ge
nerari
poteſt à corpore, quod aut opacum non ſit, aut officio opaci non fungatur,
vt
nunc dicemus de diaphaneitate aquæ.
Neque corpus opacum illuminatum adũ-
brare
poteſt, niſi opacum illud in linea recta ſitum obtineat, quæ inter lucidum & il
luminatum
extenditur.
Neque etiam reſpondebimus ijs, qui ſentiunt quotieſcun-
que
nulla eſſet terra, ſed totus hic globus eſſet aqua, toties non futuram eclipſim lu-
narem
, ratione diaphaneitatis aquæ.
Quod falſiſſimũ eſt, quia omne corpus ſphę-
ricum
quantumuis diaphanum ſit, dummodo ſit denſius aere, luminoſos radios re-
frangit
, & eos ad inuicem interſecare facit, qui deinde vltra interſectionis punctũ di-
ſgregantur
, ita vt amittant illuminationis actum.
Adde etſi huiuſmodi corpus
aqueum
, ſphęricum non eſſet, ſed cubicum, illud ſuper aliquã ex eius ſuperficiebus
ad
angulos rectos radius ſolaris percuteret, non eum tamen penetraret, quia dictus
radius
perpetuò debilitatur, & magis, quo maiorem profunditatem in diaphano
205193DISPVTATIONES. eius corporis, quod ſit denſius aere acquirit, nec totus radius vnquam dictum corpus
ingr
editur, cum ab eius ſuperficie magna pars reflectatur.
Reſiſtit ergo huiuſmo-
di
corpus lumini, & quantò magis ſpiſſum aut profundum exiſtit, tantò, validius reſi
ſtit
.
Habemus huius rei teſtes, piſcatores vnionum, in ijs mundi partibus, quæ pau-
cis
ab hinc annis Hiſpanorum opera nobis innotuerunt, qui aſfirmanu ad maris vſq;
fundum
lumen Solis non peruenire.
Immediata ratio, cur nebulę in ijs locis in quibus cõſpiciuntur permaneant, & uũc
altiores
, nunc vero depręſſiores cernantur, non ea eſt, quam Ariſtoteles cap .3. lib. 1.
metheororum
proponit, ſed inde oritur, quòd ſint eædem denſiores ea parte aeris,
quæ
ipſis ſupereminet, & rariores e a, quæ ijſdem ſubiacet.
Quòd autem alicuius cor
poris
denſitas maior ea, quæ eſt medij, in quo reperitur, cauſa ſit, vt ipſum corpus de
ſcendat
, & maior raritas eiuſdem corporis, ea, quæ eſt quoque me dij, efficiat, vt di-
ctum
corpus aſcendat, iam Archimedes in lib. de inſidentibus aquæ docuit.
Rectiſſimẽ inſtituit natura, vt corpora denſiora verſus loca anguſtiora, & minora
(intelligendo ea loca orbicularis figuræ) quæ ad centrum propius accedunt, & rario
ra
ad ampliora loca, & maius ſpatium occupantia, ſeſe reciperent.
tum quia eadem
quantitas
materiæ condenſatæ, eget minori loco quam rarefacta, etiani, quia
corpus
denſum non ita ad velocitatem motus localis, vt rarum, idoneum ſit, ad eas
partes
accedat, quæ motibus tardioribus magis ſunt aptæ, corpora autẽ rara ad eas,
quæ
velocioribus motibus ſunt aptiores ſeſe transferant.
præterquam reuera ap-
pareat
pro maiori parte, corpus magis denſum, minus diaphanum;
aut magis opacũ
futurum
, quàm rarum, licet ſæpiſſimè videamus contrarium, vt ſuperius innuimus.
eſt tamen naturale proportionatumq́; magis opacum denſo, & diaphanum raro,
quàm
è contra.
Quamobrem ſumma ratione inducta natura voluit, vt corpora ma
gis
opaca, aut minus diaphana, magis vicina centro colligantur, vt ſpatium, quòd re
manet
, abſque vllo impedimento à radijs ſolaribus penetrari poſſit.
Tres autem
cauſæ
, quas hoc loco poſui, propriæ ſunt, immediatæ, & per ſe, ex quibus fit, vt corpo
ra
denſiora deſcendant, & rariora aſcendant in mediis minus denſis, aut minus raris
dictorum
corporum, quæ à nemine, ſciam, hucuſque propoſitæ fuerunt.
Qui autem aſſerunt cucurbitæ, quam apponunt chirurgi, effectum ex eo naſci,
calidi
ſit attrahere, valdè aberrant à vero quia hoc, non niſi à raro, & à denſo imme-
diatè
, à calido & frigido cauſatis efficitur, quia aer in cucurbita rarefactus à calore
& per conſequens dilatatus, ſtatim vt à dicto calore deſeritur, iterum condenſatur &
tantò
citius, quantò aer ambiens frigidior exiſtet, & quia eadem materia cum con-
denſata
fuerit minorem ſemper occupat locum, reſtringens igitur ſeſe in cucurbi-
ta
aer dum condenſatur, neceſſariò fit, ne ulla, ſcilicet pars vacua remaneat, cum
alius
aer ingredi cucurbitam nequeat aliud corpus ingrediatur.
Idem cum amphora
in
qua nullum aliud, quam aèreum ſit corpus experiri poſſumus, ſi ad ignem pri-
calefactam, deinde ore in amplo aliquo cyatho, aut alio vaſe.
vino, aut aqua
pleno
vbi videbimus huiuſmodi liquorem ſtatim ſurſum ferri, quia dum calefit am-
phora
, rarefit quoque aer qui in ea continetur, & quia rateſcit dilaratur, & quia
dilatatur
, eget maiore loco;
& ideo magna pars eius foras exit; Cum verò ea aeris
portio
, quæ intus remanſerit, iterum condenſatur ob defectum caloris, reſtringitur,
minoriq́; indiget loco;
Quod cum ita ſe habeat, neceſſarium eſt, ne aliquis locus va
cuus
remaneat, vt aliud quoddam corpus ingrediatur, cum ad ingrediẽdum aeri non
patuerit
aditus.
quod ſi corpus admodum non erit fluxile, aut humidum, ita vt ingre
di
amphoram poſſit ita amphorę hærebit, vt non cito diuelli poſſit, & eo modo ſępe
206194IO. BAPT. BENED. admiratione videmꝰ fragile vas vitreũ magnũ, & graue lapideũ corpus eleuare.
Sed vt ad denſum & ad rarum redeamus, mihi videtur frigidum eſſe conſequentem
qualitatem
denſi, & calidum rari, quia quæuis res dum calefit, rarefit, & quælibet
materia
dum refrigeratur, ſimul condenſatur.
Qua ratione fit, vt terra frigidior
ſit
aqua, & ignis calidior ſit aere.
Nec propriè locutus eſt Ariſtoteles .9. & .10. capite primi lib. & ſecundo ſecundi
metheororum
cum dixerit calorẽ Solis eum eſſe, qui ſurſum humores, vaporesq́; eue
hat
, quia Sol nil aliud facit, quam calefacere, cuius caloris ratione, ea materia rarefit,
& ob rarefactionem leuior facta aſcendit, non quia ſurſum à Sole feratur.
Quę ſubſequuntur, cum raro ac denſo ſimbolum habere videntur. cum raro, ſcili-
cet
calidum, humidum, leue, ſublime, diaphanum, lumen, clarum, lux, albũ, dies, mo-
tus
, velox, ſimplex, diſgregatum, molle, lene, acutum, ſubtile, coctum, ſpaciosũ,
dulce
, voluptas, audacia, lætitia, liberalitas, veritas, induſtria, amor, miſericordia, hu-
manitas
, ſanitas, vita, & iis ſimilia.
Cum denſo verò frigidum, ſiccum, graue, imum,
opacum
, vmbra, obſcurum, tenebræ, nigrum, nox, quies, tardum, mixtum, congrega
tum
, durum, aſperum, ob tuſum, craſſum, crudum, anguſtum, amarum, dolor, cimor,
melãcholia, auaritia, mendacium, inertia, odium, crudelitas, feritas, infirmitas, mors,
& ijs ſimilia.
Verum eſt quod ea ratio, qua Ariſtoteles ait aerem humidum eſſe, parui eſt mo-
menti
, quia ſimiliter deigne inferri poſſet, qui facilius à termino alieno, quã aer, aut
aqua
terminari poteſt.
Motum rectum curuo poſſe comparari etiam diſentiente
Ariſtotele
.
CAP. XXXV.
SEd vt ad Ariſtotelẽ redeamus, rectè dicere non poteſt motum rectum ad curuũ
comparabilem
non eſſe .4. cap. lib. 7. phyſicorum, vbi errat quoque dicens repe
riri
non poſſe lineam aliquam rectam alicuius circuli circunferentiæ æqualem.
quia
Archimedes
iam probauit in lib. de quadratura circuli, triangulum illum orthogo-
nium
, cuius vnum ex lateribus circundantibus angulum rectum æquale eſſet ſemi-
piametro
alicuius circuli, & aliud circunferentiæ, æqualem futurum dicto circulo.
Il
lud
igitur triangulum orthogonium, quod æquale erit alicui circulo, & habebit ali-
quod
ex ſuis lateribus circundantibus angulum rectum æquale ſemidiametro dicti
circuli
, aliud quoque latus ipſum angulum rectum circundans, ex neceſſitate, circũ-
ferentiæ
dicti circuli habebit æquale.
Poteſt igitur dari vna quædam recta linea ę-
qualis
circulari contra Ariſtotelis opinionem, qui non benè reuocauit in mentem,
quod
ſcripſit de relatiuis, cum dixit quadraturam circuli poſſe quidem dari, etſi tũc
tꝑis de ea haberet̃ ſcientia.
Si igit̃ dicta quadratura dari põt, poteſt etiã dari vna
recta
linea ęqualis circunferentiæ eiuſdẽ circuli, ob rationes dictas.
Sed ſi Ariſt.
dixiſſet
, circularem corporum cęleſtium motum, comparabilem non eſſerecto cor-
porum
elementarium, verum dixiſſet, non quia eorum alter circularis, alter ve-
ſit rectus, ſed quia cœleſtis regularis ſit, neque modò tardus, modò velox,
ſed
vnam ſemper & eandem velocitatem retinens, motꝰ aũt, qui eſt corporũ elemen­
207195DISPVTATIO NES. tarium è contrà ſe habeat, præter id, nunquam fuit neque ſit futurus aliquis horũ
rectorum
, qui naturales dicuntur, qui tam velociter moueatur, ut motus cœli, quia ſi
voluerimus
conſiderare motum diurnum .24. horarum, ſecundum opinionem com-
munem
, reperiemus calculando, Lunam in quadraturis cum Sole, dum inuenitur in
æquatore
, ſingulis horarum minutis moueri per .500. milliaria Italica vel circa, & in
coniunctionibus
, & oppoſitionibus ipſius Solis .1000. vel circa, & Solem tempore ę-
quinoctiorũ
.18000. & Saturnũ circa æquatoris ſitũ .260000. & ampliꝰ de ſtellis aũt
fixis
circa æquatorem poſitis quiuis cogitet;
quod reuera diffi cillimum quibuſdam
videbitur
, quod quidem non occurrit ſecũdum pulcherrimam Ariſtarchi ſamij opi-
nionem
, diuinitus à Nicolao Copernico expreſſam, contra quam nil planè valent
rationes
ab Ariſtotele;
neque etiam à Ptolomeo propoſitę. Motu verò proprio, quo
libet
horę minuto, Sol mouet̃ per milliaria circa .48.
Luna quãdo cõiuncta eſt, aut op
poſita
reperitur Soli .36. milliaria, & in quadraturis .18. Saturnus .24. Iupiter .40:
Mars
.100: Venus .26: Mercur .5.
Sed Saturnus motu rapido, vno horæ minuto mo-
uet̃
circa .260000. milliaria, vt diximus Iupiter circa .170000. Mars .75000. Venus.
10000
, Mercurius .2000. corpus autẽ elementare, & ſi moueret̃ motu recto hoc ,
& velocius etiam corpore cęleſti, non obſeruans tamẽ uniformitatem, ut dictum
leſte
facit, cum eodem nullo modo comparari poſſet, quia rectus dictus naturalis,
ſuam
ſemper velocitatem adauget, ob continuam impreſſionem, quam recipit à cau
ſa
perpetuò coniuncta cum ipſo corpore, quę eſt propenſio illa naturalis eundi bre-
uiori
quadam via ad locum ſuum, ita vt etiam ſi dictum corpus elementare à motu
tardiore
ad velociorem, ſuperare poſſet motũ alicuius corporis cęleſtis, ij duo motus
interſecarent
ſeſe in vno ſolo pũcto, quod diuidi diſtribuiq́; in partes nequiret, ideſt
non
niſi in vno ſolo temporis inſtanti redderentur æquales, vt ita dicam.
Neq; ſolũ
loquor
de circulari cœleſti cum recto elementari, ſed de qualibet alia motuum ſpe-
cie
, ſiue ſint ambo recti, ſiue ambo curui, quando aliquis eorum irregularis erit.
Minus ſufficienter exploſam fuiſſe ab Ariſtotele opinionem cre-
dentium
plures mundos exiſtere.
CAP. XXXVI.
MAior ratio, qua Ariſtoteles eorum opinionem, qui plures eſſe mundos dixe
runt
, refutare nititur, in eo conſiſtit, quod is credat partes terræ, quæ alijs
mundis
aſſignarentur, ad huius mundi centrum inclinationem habere, & ſic ignem
illorum
, propenſionem habiturum ad circunferentiam huius.
Quæ certè ratio tam debilis eſt, vt per ſe cadat, non conſideransipſe, quòd ſi
eſſent
dicti mundi, eorum quilibet ſuum proprium centrum, ſuamq́; propriam cir-
cunferentiam
haberet, terrasq́; & ignes haberent inclinationem ad centra circunfe-
rentiasq́; ſuorum mundorum, abſque eo, vna terra, alterius centrum appeteret;
vt
exempli
gratia, ſi doctiſſimi Ariſtarchi opinio eſt vera, rationi quoq; conſentaneum
erit
maximè, vt quod Lunæ contingit, cuilibet etiã ex aliis quinque planetis eue-
niat
, ideſt, vt quemadmodum Luna ſuorum epicyclorum ope circũ terram voluitur,
quaſi
per circunferentiam alterius cuiuſdam epicycli, in quo terra ſit inſtar centri
naturalis
(ideſt ſit in medio) delati ab orbe annuo circa Solem;
Sic etiam Saturnus,
Iupiter
, Mars, Venus, atque Mercurius, cir cum aliquod corpus in medio ſui epici-
208196IO. BABPT. BENED. cli maioris, ſitum habens, voluantur; quod quidem corpus, & aliquem quoque ha-
beat
motum circa ſuum axem, ſit opacum, ijs conditionibus, quæ terræ ſunt ſimi-
les
, præditum exiſtat, & in dicto epyciclo ſint res ſimiles iſtis lunaribus.
Anrectè loquutus ſit Phyloſopbus de extenſione luminis
per
uacuum.
CAP. XXXVII.
ARriſtoteles ſecundo lib. de anima ſentit per vacuum non extenderetur lu-
mẽ
, quod procederet à corpore lucido.
Quod veriſimile eſt; ꝗa quẽadmo­
dum
quantò rarius eſt aliquod corpus, tanto aptius eſt vt diaphanum exiſtat;
& quã-
rarius eſt dictum corpus, tantò minorem quantitatem materiæ contineat;
ſic quã
magis diaphanum eſt, cum ex perexigua materia conſtet, tantò magis liber tran-
ſitus
luminis patet;
Vnde quantò minor quantitas materiæ erit in dicto ſpatio, tan
nitidius pertranſibit lumen.
Sequitur ergo, quòd vbi nulla eſſet materia, totum
lumen
libere tranſiret.
Color cęruleus quem videmus in profunditate aquæ, & ae-
ris
, color eſt a quæ & aeris, qui denotat reſiſtentiam factam ab aere & ab aqua ipſi lu
mini
;
Quod quidem lumen ubi corpus aliquod non eſſet, minime reflecteretur, ſed
abſque
vllo impedimento rectà tranſiret.
An rectè phyloſophiœ penus Ariſtoteles ſenſerit de loco im-
pellendo
à pyramide.
CAP. XXXVIII.
ARiſtoteles .8. cap. lib. 3. de cœlo, diſputans contra antiquos de elementorum
figuris
, ait pyramidem implere poſſe locum corporeum.
quod verum non
eſt
.
Cubus quidem id facit ab .8. enim cubis perfectè impletur locus, ſed non
item
.12. pyramides, ut Ariſtoteles ſenſit (ideſt ſex ſuper aliquam exagonam figu-
ram
ſuperficialem & ſexſub eadem) id præſtant, cum potius maius vacuum rema-
neatad
quamlibet partium ſupra, & infra, quam plenum.
Rectius Ariſtoteles
egiſſet
, ſi probaſſet ratione immobilitatis conuenire pyramidem terræ, quam cu-
bum
.
quamuis, de horum corporum altero, ſit ſtultum hoc credere. decepti tamen
fuerunt
antiqui, credentes cubum ad motum minus idoneum eſſe, quam reliqua
quatuor
corpora regularia (loquor autem habita volubilitatis ratione) quia pyra-
midale
eſt illud, quod ita ſe habet, vt multis rationibus probari poteſt, quarum vna
hæc
nobis ſufficiet.
Scimus iam ex communi conceptu corpus ſphęricum eſſe ma-
gis
volubile, inſtabileq́;, quàm alia ſint.
Illud ergo corpus, cuius figura ad ſphæri-
cam
magis accedet, ad uoluendum, & ad mouendum facilius erit quouis alio, quod
æqualis
ſit quantitatis, & ſibi omogeneum materia, vt exempli gratia corpus .20. ba
ſium
ad voluendum, & ad mouendum promptius erit eo, quod ex .12. conſtat, & id,
quod
eſt .12. eo, quod eſt .8. & id, quod eſt .8. eo, quod eſt .6. & id, quod eſt .6. vt
cubus
eſt, eo, quod eſt .4. cuiuſmodi eſt pyramidale.
Huc accedit, quòd pyrami-
dale
corpus aliam conditionem habet, quàm cubicum, cum in quauis facie inalte-
209197DISPVTATIONES. rabile ſit, cubicum autem econtrà ſit alterabile vndequaque, ſuaq́; quadrata in rhũ-
bos
mutare poſſit, iiſdem exiſtentibus lateribus.
Examinatur quam ualida ſit ratio Aristotelis de
inalterabilitate
Cœli.
CAP. XXXIX.
ARriſtoteles textu .22. primi lib. de Cœlo ita inquit.
Accidit autem, & hoc per ſenſum ſufficienter, quo ad humanam dixiſſe fi-
dem
, & omni pręterito tempore ſecundum traditam inuicem memoriam, nihil vi-
detur
tranſmutatum neque ſecundum totum vltimum cęlum, neque ſecundum par-
tem
ipſius propriam vllam.
Hoc autem in loco Ariſto. non conſiderauit, ſimiliter de terra dici poſſet, quan
do
ipſa ita eminus proſpiceretur, imo abſque dubio putandum eſt, ſi terra luce So
lis
prædita eſſet, & aliquis ipſam ab octauo orbe vellet videre, nullo pacto cerne-
ret
, cum ſidera illa quæ primæ magnitudinis vocantur, & quæ pluſquam centies ma
iora
ipſa terra putantur non niſi vt puncta videantur.
210198
IN QVINTVM
EVCLIDIS
LIBRVM
QVamuis omnia libri quinti Euclid. uerißima ſint.
Animaduertimus tamen permultos ſumma
difficultate
eorũ demonstr ationes percipere.
Prœ-
cipuè
ubi quint a, aut ſeptima deffinitiones eiuſ-
dem
libri neceſſariœ ſunt.
Illœ enim adeo obſcurœ
uidentur
, ut longè facilius admißuri ſint hœc no-
ſtra
poſtulat at anquam clarior a.
At que etiam tanquam intellectui
commodiora
, quam ſit illud quintum idemq́ꝫ ultimum postulatum
eiuſdem
in primo libro poſitum, de line a duas alias ſecante.
Quan-
doquidem
ijs noſtris postulatis admißis, ſequentia Theoremata per
facillima
reddentur.
Horum autem primum est.
Qvod tota compoſita ex æquali numero partium æqualium, ſunt inuicem
æqualia
.
Vtſi quis diceret omnes proportiones quæ cõpoſitæ ſunt ex æquali numero alia-
rum
proportionum inuicem æqualium, ſunt etiam inuicem æquales, quod Eucli-
des
conatur demonſtrare in .22. et .23. quinti libri.
SECVNDVM.
Qvod ſi à totis æqualibus detractæ fuerint æquales partes, quæ remanent erunt
partes
inuicem æquales.
Et è conuerſo ſi æqualibus æqualia addas compoſita erunt inuicem æqualia.
Quod in ipſis proportionibus hoc loco ſemper intelligendum eſt.
TERTIVM.
Quę est εuclidis ſeptima propoſitio.
Qvod ſi fuerint plures termini æquales inuicem, ratio ſeu proportio vnius ip-
ſorum
ad alium tertium terminum maiorem, minoremúe, ſed eiuſdem generis, erit
cadem
quæ cuiuſuis alterius termini ad eundem tertium.
Et è conuerſo, quæ fuerit
proportio
tertij termini ad vnum prædictorum æqualium, eadem erit, ſpecie, cum
alio
eorundem terminorum.
211199IN QVINT. LIB. EVCLI.
QVARTVM.
εuclidis uerò nona propoſitio.
Qvotiescvnqve proportio vnius plurium terminorum collatorum cum ali
quo
tertio eiuſdem generis, eadem fuerit cum ea quæ eſt cuiuſuis alterius dictorum
terminorum
cum eodem tertio, aut proportio dicti tertij, cum aliquo dictorum, ea-
dem
fuerit cum ea quæ ipſius eſt ad aliquem alium eorundem terminorũ, tunc eiuſ-
modi
termini, æquales erunt inter ſe.
QVINTVM.
Euclidis uerò octaua propoſitio.
Qvoties plures erunt termini, quorum vnus fuerit maior altero, ſi compa-
rentur
alicui tertio eiuſdem generis, proportio maioris adtertium illum, maior erit
ea
, quæ eſt minoris ad prædictum tertium, & proportio illius tertij ad maiorem, mi-
nor
erit ea quæ eiuſdem tertij ad minorem terminum comparati.
SEXTVM.
εuclidis uerò decima propoſitio.
Qvoties proportio vnius, ex pluribus terminis comparatis ad aliquem ter-
tium
, maior fuerit proportione alicuius alterius dictorum cum eodem tertio, primus
ille
terminus, altero maior erit.
Et quoties proportio tertij termini ad vnum quã
ad
alterum terminum maior fuerit, eiuſmodi terminus altero minor erit.
SEPTIMVM.
Euclidis uerò undecima propoſitio.
Proportiones, quarum vnaquęque cum aliqua tertia æqualis eſt, ipſæ quo-
que
inter ſe ſunt æquales.
Vtillud, Quæ vni & eidem ſunt æqualia, ſibi inuicem
ſunt
æqualia.
OCTAVVM.
εuclidis uerò duodecima propoſitio.
Qvotiescvnqve proportio vnius ex pluribus antecedentibus cum ſuo ex
pluribus
conſequentibus, æqualis fuerit ei cuiuſuis alterius dictorum antecedentiũ,
cum
ſuo plurium cõſequentium, proportio totius aggregati antecedentium cum to-
to
aggregato conſequentium, dictæ primę proportioni ęqualis erit, nempe illius an
tecedentis
ad ſuum conſequens.
212200IO. BAPT. BENED.
NONVM.
Euclidis uero tertiadecima propoſitio.
Qvotiescvnqve aliqua proportio plurium proportionum inuicem æqua-
lium
, tertia aliqua proportione, maior aut minor fuerit, quælibet prædictarum æqua
lium
inter ſe, tertia illa proportione maior aut minor pariter erit.
DECIMVM.
Qvotiescvnqve fuerint ex vna parte plurestermini (ſiue coniuncti ſiue di-
ſiuncti
ſint) æquales ſinguli vni tertio termino;
ex altera verò parte totidem fuerint
alteri
tertio termino æquales, proportio aggregati priorum terminorum ad ſuũ ter-
tium
, æqualis erit proportioni aggregati reliquorum terminorum ad ſuum tertium,
& è conuerſo, ita ſe habebit primus tertius terminus ad ſuos multos terminos, ſicut
ſe
habet ſecundus tertius terminus ad ſuos ſimul ſumptos.
VNDECIMVM.
Aggregatum ex partibus proportiona litatis continuæ, quod inter maximum, &
minimum
terminum omnium terminorum proportionalium compræhenditur, ſem
per
multiplex eſt ad ſingulas partiales proportiones, ex quibus ipſum componitur.
DVODECIMVM.
Quæuis proportio quocunque modo diuiſa fuerit, ex iis partibus componitur, in
quas
diuiditur.
Cum enim præpoſitiones ſint ita conſpicuæ ipſi intellectui, ut abſq; dubio inter obie
ct
a ipſius intellectus connumerari poſſint, nullus ſanæ mentis eas negabit.
THEOR.I. II. ET III.
PRimum, ſecundum, & tertium theorema quinti Euclidis ab ipſo ſatis exactè de
monſtratur
, ſtudioſus itaque autorem conſulat.
THEOREM. IIII.
QVartum vero Theorema Eu-
262[Figure 262] clidis ego ſic demonſtrarẽ.
ſit, verbi gratia, proportio .a. ad .b.
quæ
eſt .c. ad .d. ſumptis multiplici-
bus
.e. et .f. ad .a. et .c. æqualiter, item
multiplicibus
.g. et .h. ad .b. et .d. dico
proportionem
.e. ad .g. eſſe eandem
quæ
eſt .f. ad .h.
Habemus enim ex .10
poſtulato
præmiſſo, eandem futuram
proportionem
.e. ad .a. quæ eſt .f. ad .c.
& ita .b. ad .g. quæ eſt .d. ad .h. ex præ-
ſuppoſito
verò ſic ſe habeat .a. ad
b
. ſicut .c. ad .d. erit ex primo poſtula-
to
eadẽ proportio .e. ad .g. quæ eſt .f.
ad
.h.
Nam proportio .e. ad .g. compo
nitur
ex eis quæ ſunt .e. ad .a: et .a. ad .
213201IN QVINT. LIB. EVCLI. b. et .b. ad .g. & ſimiliter proportio .f. ad .h. cõponitur ex eis quæſunt .f. ad .c. et .c. ad .d.
et
.d. ad .h.
THEOR.V. ET VI.
Circa 5. et .6. theorema nihil notandum occurrit.
THEOR. VII. VIII. IX.X. XI. XII. XIII.
THeoremata à .6. in .13. cum ſint de obiectis intelligibilibus, ſine vllo medio,
ab
intellectu cognitis, inter axiomata à me relata fuerunt .7. inquam quinti
Euclid
. fecimus tertium Poſtulatum, .8. quintum, .9. quartum, .10. ſextum, .11. ſepti­
mum
, .12. octauum, .13. nonum.
THEOREM. XIIII.
QVartumdecimum Theorema ex Euclide demonſtrabitur, mutatis tantum
theorematibus
ab interprete notatis, ita vt loco .7. 8. noni, & decimi citetur
tertium
.5. 4. et .6. poſtulatum à me propoſitum.
THEOR. XV.
QVintumdecimum Theorema ſic demonſtrabo; Sit, exempli gratia, a. termi-
nus
antecedens. et .b. conſequens, qui-
bus
duo multiplices ſumantur .c. et .d.
Dico
263[Figure 263] eandem proportionem habiturum .c. ad .d.
quam
.a. ad .b. habet.
In primis enim manife-
ſtè
patet quamlibet partem ipſius .c. habitu-
ram
eandem proportionem cum qualibet par
te
.d. quam habet .a. ad .b. quare ex .7. et .8. po
ſtulato
propoſitum eluceſcet.
THEOREM. XVI.
SExtumdecimum theorema ſic demonſtrabitur. Sit, exempli cauſa, eadem pro
portio
.a. ad .b. quæ eſt .c. ad .d.
Dico ita ſe habebit .a. ad .c. ſicut .b. ad .d. Cogi-
temus
itaque alterum iſtorum terminorum .c. aut .b. medium inter .a. et .d.
quare
primum
intelligamus .b. inter .a. et. d proportio ipſius .a. ad .d. componetur ex ea quę
eſt
.a. ad .b. & ea quæ eſt .b. ad .d. ex .12. poſtulato.
Et ex eodem, illa ipſa proportio .
a
.
ad .d. pariter componetur ex ea quæ eſt .a. ad .c. & ea quæ eſt .c. ad .d. ſumpto .c. pro
medio
termino.
Ex quo ſequitur, aggregatum duarum proportionum, videlicet .a.
ad
.b. et .b. ad .d. æquale eſſe aggregato .a. ad .c. et .c. ad .d. ex quibus aggregatis æqua-
libus
ſi duas proportiones æquales ſubtraxerimus, eam videlicet quæ eſt .a. ad .b. & il
lam
quæ eſt .c. ad .d. ſupererunt duæ proportiones
inter
ſe æquales.
erit enim proportio .a. ad .c. æqua
264[Figure 264] lis proportioni .b. ad .d. ex prima parte ſecundi po
ſtulati
diuiſim.
Alia etiam ratione idipſum demõſtrari poteſt,
ſumpto
.b. pro medio termino inter .a. et .c: et .c.
pro
termino medio inter .b. et .d.
quare propor-
tio
.a. ad .c. componetur ex .a. ad .b. et .b. ad .c. illa
verò
quæ eſt .b. ad .d. ex .b. ad .c. et .c. ad .d. ex .12.
214202IO. BAPT. BENED. poſtulato. Sed cum proportio .a. ad .b. ęqualis ſit
265[Figure 265] proportioni .c. ad .d. communis autem .b.c: propor
tio
.
itaque .a. ad .c. æqualis erit .b. ad .d. ex ſecunda
parte
.2. poſtulati compoſitè, & ſic habebimus pro
poſitum
, ita quòd quotieſcunque dabũtur .4. quã
titates
ex una parte proportionales, illæ ipſæ ex
altera
proportionales erunt.
THEOR. XVII.
DEcimiſeptimi theorematis hæc eſt demonſtratio. Ita ſe ha beat a.c.b. ad .c.
b
.
ſicut ſe habet .d.f.e. ad .f.e.
Probo ita ſe habere .a.c. ad .c.b. ſicut ſe habet .d.
f
.
ad .f.e.
Cogitemus itaque alterum terminum ſcilicet .n.f. qui ſic ſe habeat. ad .f.e.
ſicut
ſe habet .a.c. ad .c.b.
Quare ex præcedenti theoremate ita ſe habebit .a.c. ad .n.
f
.
ſicut ſe habet .c.b. ad .f.e. & ex .8 poſtulato ita ſe habebit .a.c.b. ad .n.f.e. ſicut ſe ha-
bet
.c.b. ad .f.e.
Sed cum ex præſuppoſito ita ſe habeat .a.c.b. ad .c.b. ſicut ſe habet .
d
.f.e.
ad .f.e. ideo ex præcedenti theoremate ita ſe habebit .a.c.b. ad .d.f.e. ſicut ſe ha
bet
.c.b. ad .f.e. demonſtratum autem eſt ita ſe habere .c.b. ad .f.e. ſicut ſe habet .a.c.b.
ad
.n.f.e.
Quare ex .7. poſtulato proportio .a.c.b. ad .d.f. e, æqualis erit proportioni .a.
c
.b.
ad .n.f.e. & ex .4. poſtulato .d.f.e. æqualis erit .n.f.e.
Itaque ex 3. poſtulato primi
Euclidis
.f.d. æqualis erit .n.f.
Quamob
rem
proportio .a.c. ad .d.f. ęqualis erit
266[Figure 266] proportioni .a.c. ad .n.f. ex ſecunda par-
te
tertij axiomatis præmiſſi.
Igitur ita
ſe
habebit .a.c. ad .d.f. ſicut .c.b. ad .f.e. ex
7
. poſtulato.
& ſic ex præcedenti theo-
remate
ita ſe habebit .a.c. ad .c.b. ſicut .d.f. ad .f.e. quod erat propoſitum:
Quotieſ-
cunque
igitur dabuntur .4. quantitates coniunctim proportionales, diuiſim quoque
proportionales
erunt.
THEOREM. XVIII.
THeorema .18. hac ratione demonſtrari poteſt. Detur proportio .a.c. ad .c.b. ſi-
milis
ei quæ eſt .d.f. ad .f.e. probo ita ſe habere .a.c.b. ad .c.b. ſicut ſe habet .d.f.
e
.
ad .f.e.
In primis notum eſt ex .16. theoremate ita ſe habiturum, a.c. ad .d.f. ſi
cut
.c.b. ad .f.e.
Quare ex .8. poſtulato ita
ſe
habebit .a.c.b. ad .d.f.e. ſicut .c.b. ad .f.e.
267[Figure 267]
Itaque ex .16. theoremate ita ſe habebit .
a
.c.b.
ad .c.b. ſicut .d.f.e. ad .f.e.
Quod erat
propoſitum
.
Quotieſcunque igitur .4.
quantitates
dabuntur vnius eiuſdemq́; generis diſiunctim proportionales, coniun-
ctim
quoque proportionales erunt.
THEOREM. XIX.
THeorema .19. ſatis quidem apud Euclidem demonſtratur: eius tamentertia
pars
commodius hac ratione demonſtrari poterit (nempe) quod cum ſit pro-
215203IN QVINT. LIB. EVCLI. portio .a. ad .b. quæ eſt .c. ad .d. probabo ita ſe habituram proportionem .b. ad .a. ſicut
ſe
habet .d. ad .c. hoc argumento:
ſi .a. ad .b. ita ſe
habet
ſicut .c. ad .d. ex .16. theoremate ita ſe ha
268[Figure 268] bebit .a. ad .c, ſicut .b. ad .d.
Quare ſic ſe habebit
b
. ad .d. ſicut .a. ad .c.
Itaque ex eodem .16. ita ſe
ſe
habebit .b. ad .a. ſicut .d. ad .c.
THEOREM. XX.
QVamuis .20. theorema apud Eucli. perfectè demonſtratum fuerit, poteſt ni-
hilominus
& hac via demonſtrari.
Sic ſe habeat proportio .a. ad .b. ſicut ſe
habet
.c. ad .d. & proportio .b. ad .e. ſicut .d. ad .
f
.
Dico ſi .a. maius fuerit .e. pariter .c. maius
269[Figure 269] erit .f. & ſi .a. minus fuerit .e: c. quoq; minus erit
f
. ſin verò ęquale, ẽt æquale erit.
Nam ex pri
mo
poſtulato certi ſumus ita ſe habere pro
portionẽ .a. ad .e. ſicut ſe habet proportio .c. ad
p
.
Quare ex .12. theor ꝓpoſitũ manifeſtũ erit.
THEOREM. XXI.
VIgeſimum primum theorema, ſatis apud Eucli. probatum, nihilominus præ-
ſcripto
nunc modo demonſtrari poterit.
THEOREM. XXII. XXIII.
DVO hæc theoremata in primum poſtulatum collegimus.
Sequentia verò cum exactè apud Eucli. demonſtrentur non eſt cur nos in
ijs
immoremur.
216204
PHYSICA,
ET
MATHEMATICA
RESPONSA
.
FO. BAPTISTAE BεNεDICTI PATRITII
Veneti
, Philoſophi Mathematici.
Ad Lectorem.
VT Nilmagis virtutis eſt proprium, quàm
agitari
, & inceßabili motu prodeße.
Ac velu
ti
fulgidum ſydus ante oculos ſpectantiũ com
micare
.
Ita mihi mathematicis ijsq; maxi
philoſophicis ſpeculationibus dedito, ſapiſ-
ſimè
, ut in principium ſummorum aulis, &
amplißimis
ciuitatibus degenti, ubi multa ſem
per
Nobilium mir a curioſitate, ſciendi deſiderio, & conferendicu
piditate
referta, uerſantur ingenia, contigit, modo ab his, modo ab
illis
, aut uerbis tentari, aut literis prouocari ad diſſerendum, de
his
, in quorum ſtudijs uerſamur.
Quarum concertationum & re
ſponſionum
, quoniam non omnino indigna exiſtimaui, quæmemoriæ
comendarentur
, partem aliquam apud me conſeruaui.
Vbi uerò
per
ocium licuit, collegi, relegi, ac tandem de manu mittere decreui.
Tum ut ſcientia ipſa quo magis diffundetur, creſcat; & quicquid
ualeo
, ſine inuidia in communem utilitatem conferam.
Tum ut ui-
rorum
præctantiβimorum, qui me ſuis interrogationibus excitaue
runt
, quantum in me erit, gratitudinis ergo, nomina reddam im-
mortalia
, & eorum exemplo alios, ocio ſordidiore abiecto, quod ſolet
ourialium
præcipuè excelſa ingenia corrumpere, ad ſciſcit andum
conferendum
, & diſſerendum, derebus ſerijs, & quæuſui aliquan-
do
eße poßint, & quandoq; euulgari mereantur, alliciam.
Tuinte-
rim
nostris laboribus fruere, & nostram diligentiam boni, & æqui
conſule
, & Vale.
217205
DETEMPORVM
EMENDATIONE

IO
. BAPTIST AE BENEDICTI
Patritij
Veneti, Philoſophi
Mathematici
.
AD SERENISS. CMANVELEM PHILIB.
Allobrogum
& ſubalpinarum gentium Ducem
Inuictiβimum
.
EPISTOLA.
MIrvm, Quàm lectione epiſtolæſeu (vt vocant) Breuis .S.D.
N
.
Gregorij XIII. Pont. Max. quod ad me nuper tua Celſitu
do
miſit ex Nicea, vt meam de ea re ſententiam proferrem,
delectatus
ſim;
ex quo, non tantum recta illius mens ac verè
ſancta
cogitatio, ſed etiam aperta maximaq́;, ſi ad exitum per
ducat̃, imo ſummè neceſſaria vniuerſo orbi vtilitas percipi
poteſt
;
qua de re memini cum Celſitudine tua aliquando ſer-
monem
habuiſſe.
Vidi præterea cum ipſo breui tranſ-
miſſum
compendium Domini Aloiſij Lilij:
cuius mihi ſententia perplacet, de corre
ctione
eius diei, qui 134. quoque anno præter, neceſſitatem, gignitur.
qui ſanè dies
perpetuæ
retrogradationis ingreſſus Solis in Zodiaci ſigna, cauſa fuit.
quod ita per-
ſpicuè
patebit.
Cum Numa Pompilius anni curſum correxit emendauitq́;, ea ſanè
mente
id videtur præſtitiſſe, vt principium Ianuarij primi menſis anni, præcisè in ip
ſo
hyemalis ſoltitij puncto collocaretur.
quod hac tempeſtate, dictam ob cauſam
adeò
retroceſſit, vt circa vndecimam diem Decembris eſſe reperiatur.
quod ſi cen-
teſimo
trigeſimo quarto quoque anno detractus dies vnus fuiſſet, nihil erroris pror-
ſus
accidiſſet.
Atq; dies hic (vt alias Celſit. tuæ ſignificaui) inde generatur, quod quar
to
quoque anno addentes nos ad quarti anni dies .365. diem horarum .24. ob erro-
rem
annuum horarum quinque minutorum .49. ſecundorum ferè .16. (anni æqualis
ſiue
medij) fallimur quarto quoque anno in minutis .42. ſecũdis propè .56. amplius
quàm
par ſit minutis ſcilicet .10. ſecundis ferè .44. ſingulis annis;
qui numerus .134.
multiplicatus
, diem penè horarum .24. conſtituit;
penè inquam, quia minutum vnũ
deeſſet
tm̃modo, & ſecunda .44. ſi decẽ illa minuta, & .44. ſe cunda annua, exquiſita eſ
ſent
atque perfecta;
quæ tamen differentia nullius adeo eſſet momenti, aut certè pe-
rexigui
, vt vix exactis .111086. annis, diem vnum afferret.
Itaq; planè neceſſaria
eiuſmodi
eſſet emendatio, aptaq́; eius ratio à D.
Lilio oſtenditur, prout etiam Pe-
trus
Pitatus Veronenſis tradidit, in eo, quem de vera anni quantitate tractatu con-
ſcripſit
, nempe vt tribus primis centeſimis annis, centeſimus quiſque annus commu-
nis
ſit, quartus ſubſequens centeſimus intercalaris:
quod ſanè fierineceſſe eſt. Nam
218206 cùm tribus centeſimis cõmunibus, tres quartas diei partes plus æquo detraxerimus,
non
enim centeſimo quoque anno, ſed centeſimo trigeſimo quarto, dictus dies de-
trahi
debet, poſtquam tres integros dies, qui quadringentis detrahendi erant, tre-
centorum
annorum ſpacio detraxerimus;
ſitq́ue 134. penè tertia pars .400. quarto
annorum
centenario, tres quartæ diei partes recuperabuntur;
atque ita in fine qua-
dringentorum
annorum omnia exactè ſuo loco reſtituta erunt.
Idcirco dictus iam
quadringenteſimus
annus intercalaris & non communis conſtituendus erit, non alia
de
cauſa, quam vt biſſexti ordinem ſequamur.
Is verò modus, qui à D. Lilio traditus eſt, de ratione inueniendi ſingulis menſibus
Nouilunij
diem, interdum fallere nos poſſet vno die;
prout Ianuario proximè
lapſo
accidit;
quo ex præſcripto modo nouilunij, dies nonus illius menſis eſſe debuiſ
ſet
, qui fuit tamen dies ſeptimus, ſexta decima hora cum dimidia poſt meridiem.
Ne
que
etiam tutum eſt, via integrorum dierum, nulla habita horarum aut minutorum
ratione
, nec minus ea, quæ à Pitato tradita eſt, mediorum ſeu æqualium motuũ pro
gredi
:
At cenſerem potius veros motus ſequendos eſſe ex calculis exactarum tabu-
larum
, quales Prutenicas eſſe iudico;
Et cum ſolius Paſchæ cauſa laboremus hac in
re
, pleniluniorum verorum, in multos annos tabulas formarem, quæ æquinoctia ver
nalia
ſequuntur, cum aſſignatione diei Paſchatis præcisè, prout fecit Pitatus;
non
via
tamen æqualium pleniluniorum ſed verorum.
Porrò quod ad Paſchatis cele-
brationem
attinet, rationi conſentaneum eſt, concilij Niceni decretum ea de re ſer
uari
, prima ſcilicet dominica die poſt primum plenilunium, quod æquinoctium ver-
nale
ſequitur;
hoc tamen animaduerſo, ſi dictum plenilunium primum poſt æquino-
ctium
contingens, diẽ dominicum ſortiretur;
nulla ratione tali die Paſcha celebran-
dum
eſſe;
verum ſubſequenti, ne cum Hębreis conſentiat Eccleſia Chriſti: quæ fuit
cauſa
, vt in decreto concilij Niceni ſtatutum ſit, à quartadecima, in vigeſimam pri-
mam
celebrari debere:
Quod mihi Petrus Pitatus non animaduertiſſe videtur, cum
ex
eiꝰ ſentẽtia in ſuis tabulis die Paſchate declarata, huiuſce anni Paſca celebrandũ
fuerit
.23.
Martij, ipſomet de plenilunij non tantum æqualis, ſed veri.
Dies autem Paſchatum elapſorum, quos hactenus examinaui, reperi omnes con
cordare
cum ea regula, quam nonnulli de die carnis priuij tradiderunt.
nempe pri-
mum
diem martis poſt nouilunium Februarij, carnis priuij diem eſſe;
non autem
sãctione Patrum concilij Niceni, qua ſtatuerunt à vigeſima prima Martii dirigen-
dum
eſſe Paſchatis diem, vt potè qui ſibi perſuaſerunt, circa eum diem æquinoctiũ
perpetuò
eſſe debere;
prout tunc temporis erat. Non itaq; error accidit, quod Pa
ſcha
ex huiuſmodi ſuppoſitione concilij, poſt vigeſimam primam lunę celebretur,
cum
ſeruata regula concilij non fuerit.
Prout manifeſtũ eſt de Paſchate anni .1566.
celebrato
.14.
Aprilis (quę fuit .24. lunę) quod .7. dicti menſis celebrãdum erat. Tum
anno
.1569. 10.
Aprilis ſolenne fuit Paſca, quod tertia eiuſdem eſſe debuerat. Anno
deinde
1572. 6. Aprilis, dies fuit Paſchatis, quæ .30. Martij futura erat, anno vero
1575
. in tertiam Aprilis Paſcha incidit, caſurum in .27. Martii.
Cum igirur (vt ex diplomate ad Celſit. tuam miſſo patet) S.D.N. mens ſit atq; vo
luntas
, ut quiſque liberè in medium proferat quid hac dere ſentiat:
quædam mihi
non
omnino præmittenda occurrunt, quæ tantis cœptis non nihil adiumenti for-
taſſe
adferre queant.
Atque illud in primis non tantum ut corrigatur Calendarium ob Paſcha cætera-
q́ue
feſta mobilia ab illo manantia, vt decreto concilij Niceni ſancitum eſt, ſcilicet
vt
ipſum Paſcha celebretur prima dominica poſt primum plenilunium, quod æqui-
219207 noctium vernale proximè ſequitur; verum etiam quò anni principium emendetur,
ſcilicet
vt ad ſuum verum principium reuocetur annus.
Nempè ad diem hyemalis
ſolſtitij
, quæ prima Ianuarij dies eſſe debet.
Deinde, tot dierum menſes conſtituantur, quot hac noſtra tempeſtate, ſol in ipſis
Zodiaci
ſignis verſatur.
Poſtremò, quædam feſta immobilia in alios dies transferã
tur
, celebrenturq́; aptis temporibus:
quod à .S.D.N. mente diſſentire minimè vide-
tur
.
cum non magis de feſtis mobilibus quam immobilibus agat, imo etiam planè
æquum
ſit, vt habeatur vtrorunque ratio, quò ſtatutis temporibus celebrentur.
Vt autem ad primam Ianuarij diẽ verum principium anni reuocetur; cenſerem
ex
eo anno, quem corrigere voluerimus, non modò dies .10. eſſe detrahendos, verũ
etiam
vnum & uiginti, illo ipſo anno;
idq́; duplici via; aut partiendo menſes, atque
ex
illis demendo eos dies, qui minus ad rem hanc facere videbuntur, ac tum rema-
neat
annus trecentorum quadraginta quatuor dierum ita vt decem menſes ſint die.
rum duorum ſpatio ſolito breuiores, alter menſis vno deficiat: aut conſtituto Decẽ-
bri
dicti anni dierum decem, dies autem ille, qui decimum proximẽ ſequitur, ſit &
primus
Ianuarij, & dies ſolſtitij ob quam cauſam exiſtimarem conſultiſſimum eiuſ
modi
annum eſſe mileſimum quingenteſimum ſeptuageſimum nonum.
Quo quam
primum
.S.D.N.
Pontifex max. ſuis temporibus huius correctionis manifeſtos effe-
ctus
experiri & perpendere, atque diſpoſitionem anni non ſolum principio, ſed cę­
teris
partibus ſuis in vniuerſum tam concinnè apteq́; reſpondere, & aſtrorum moti-
bus
, & Eccleſiæ ſacroſanctæ ſanctionibus, ſe authore lætari poſſit.
Omnino itaq; iudico detrahendos eſſe vnum & viginti dies elapſi erroris: non de
cem
tantum, quo hyemmalis conuerſio ad initium Ianuarij reuocetur;
idq́ue ne à
communi
opinione de ipſo anni principio veritas diſcrepet, quæ principium Ianua-
rij
, anni principium arbitratur.
etenim cum credant omnes annũ à Ianuario inchoa-
ri
, veritas autem ipſa ſic ſe habeat, vt nobis ſeptentrionalibus tunc inchoet annus,
cum
ad nos Sol accedere incipit, aut dies augetur;
non conuenit principia eiuſmo-
di
ſeparata & diſcrepantia eſſe.
Et hanc fuiſſe Numæ Pompilio mentem credibile
eſt
, qui ad annum Romuli decem menſium, Ianuarium & Februarium addidit, vt
principium
Ianuarij principium eſſet anni:
cuius rei argumentum eſſe poteſt, quod
C
.
Iulij Cæſaris temporibus (qui multis annis poſt Numam fuit) atq; vti Pont. Max.
corrigendorum feſtorum curam ſuſcepit hyemale ſolſtitium per aliquot dies retro-
ceſſerat
;
nec mirum tamen eſſet, ſi Numæ temporibus, exactè prima Ianuarij die non
fuiſſet
hyemale ſolſtitium, adhuc pubeſcente in Italia Aſtronomia.
Huiuſmodi autem correctio dierum .21. poſt .2300. annos à Numa, quæ ſit per-
petuo
ſeruitura, media emendatione ea, quæ de tribus centeſimis annis communi-
bus
, & quarto intercalari, ſuperius propoſita fuit, non repudianda ei videatur, qui
ſciet
, qua ratione Numæ Pompilij annus corrigeretur, octauo quoque anno, inter-
calando
annum vltimum medijs diebus .90. quo prima dies Ianuarij ad verum prin
cipium
anni, hoc eſt hyemale ſolſtitium, reduceretur.
Alio item argumento cuique patere poteſt, priſcos Romanos ſtatuiſſe annum ab
hyemali
ſolſtitio initium ſumere, vt inquit Ouidius primo Faſtorum.
Bruma noui prima eſt, veterisq́; nouiſſima Solis.
Principium capiunt Phębus, & annus idem.
co quod diem naturalem à medio noctis inchoarent, ab eo puncto ſcilicet, quo Sol
ad
noſtrum hemiſpherium accedere incipit.
Tribuebant igitur veteres diei, atque anno principium ab eo puncto, quo Sol
220208 ad nos accedit: cum punctum Zodiaci, quod tropicum hyemalem Capricorni nobis
producit
, reſpondeat puncto meridiani ſub terra, in quo Sol ſemel in die reperitur:
Quòd apertè norunt hi, qui ſub polo boreali conſtituti ſunt. Atq; facilè diſcerne
re
poſſumus, diem ſcilicet & annum, quaſi ſibi ad inuicem medio ſuarum partium
reſpondere
;
ſolſtitium inquam hyemale, mediæ nocti, æſtiuum meridiei, æquino-
ctium
vernale ortui Solis, autumnale occaſui.
Quam tamen ſimilitudinem, multò
quam
nos manifeſtius deprehendunt, hi qui (ut diximus) ſub polo borcali verſantur.
Quod ſi quis dubitet hac ratione correcto anno, quo nam pacto ad calculos coe-
leſtes
motus medijs tabulis aſtronomicis hactenus in lucem æditis redigi poſſint, id
facilimum
ſanè erit, exempli gratia;
aliquis planetę ſitum, aut alicuius ſtellę fixæ, quo
cunque
die menſis anni correcti inuenire cupit, detrahat ex huiuſmodi tẽpore dies .
21
.
ab Aera Chriſti, cum reſiduo ſupputet ſtellam, cuius ſitum ſcire deſiderat;
ſum-
pta
quacunque tabula, ſupputatio erit exacta:
Cuius ratio cuilibet manifeſta erit,
qui
ſciet annum vt potè .1579. dierum .344. tantummodo conſtitutum fuiſſe.
Nam
in
ijſdem locis cœli prima die Ianuarij correcti, erunt ſtellæ quibus eſſe ſolebant .11
Decembris
præcedentis anni ex ſupputatione tabularum:
atque ita deinceps. Alia
præterea
via idem perfici poſſet inuentione omnium motuum cęleſtium ipſo princi
pio
anni .1580. correcti:
hoc ſtatuto, vt hi motus radices eſſent Aeræ S.D.N. Grego
rij
XIII. quod ſi alio tẽpore quiſpiam motus cęleſtes ad calculos redigere voluerit,
ſupputabit
ab Aera huiuſmodi, quæ anno .1580. principium habuerit:
Quæ vt nobi
lius
nomen ſortiatur, idq́; merito ex nomine Gregorij. XIII. Pont. Max. appelletur;
exemplo antiquarum, quæ ex Principum nominibus ſunt appellate: vt tanto Pontifi
ci
, cùm ex alijs multi, tum etiam ex hac non infima re, inter mortales immortale no
men
comparetur.
Ei verò ſummæ, quæ ex huiuſmodi Aera Gregoriana ex tabu-
lis
colligetur, ipſiuſmet Aeræ radices addantur, vt exactus calculus habeatur.
Et
hæc
ſit primæ ſententiæ noſtræ explicatio.
Altera erit numerum dierum menſium anni alia ratione quam nunc ſe habeat, or
dinandum
eſſe:
nempe vt Ianuarius, Nouember atq; December dies .29. ſinguli con
tineant
, Februarius, Martius, & October .30.
Aprilis, Maius, Auguſtus, & September
dies
.31. Iunius, ac Iulius .32. atque id hac potiſſimum de cauſa, vt Sol unum quodq́;
ſignum
calendis menſrum ingredi poſſit.
Nam detractis (ut dictum eſt) diebus .21.
& reuocato ingreſſu Solis in principium Capricorni ad principium Ianuarij, in quo
ſigno
hac noſtra tempeſtate, Sol, dies propè .29. & quartam vnam verſatur:
ſi Ianua
rius
.29. dies continebit, exactis hiſce diebus, ingredietur Aquarium circa princi-
pium
Februarii;
hæret autem hoc noſtro ſæculo in Aquario Sol dies propè .29. cum
dimidio
;
quare ſi Februarius erit .30. dierum, elapſis ipſis diebus, Sol ingredietur pi-
ſces
circa principium Martii:
& ſic de cæteris.
Quamobrem ſi generali correctione annus emendandus erit, pulcherrimè acci-
det
, ſi menſes anni cum duodecim partibus cœleſtibus, itineris annui Solis, concor-
dauerint
;
eiſq́; aptè reſponderint. Qua ex re, varię vtilitates promanabunt, pręſertim
Nautis
, Agricolis, Medicis, & alijs qui vera principia, & interualla temporum per
ſpecta
habebunt:
terminos item & interualla incrementi & diminutionis dierum &
noctium
, & eorundem æqualitatis.
Exempli cauſa, ſcient omnes principium Ianua-
rij
, eſſe non modo anni principium, verum etiam hyemis, eſſe minimam anni diem,
& eius noctem maximam;
principium incrementi diei, & diminutionis noctis; atque
etiam
omnia illa, quæ ex huiuſmodi conuerſione Solis ad nos dependent.
Pariter
ſcient
omnes primam diem Iulij, non tantum æqualiter annum diuidere, ſed prin­
221209EPISTOLA. cipìum quoque eſſe ęſtatis, maximam diem, noctem minimam totius anni; princi-
pium
diminutionis diei & incrementi noctis, vnà etiã ea, quę Solis conuerſionem
ad
auſtrales ſequuntur.
Neconon intelliget vnuſquiſque primam diem Aprilis, primamq́; Octobr. æqui-
noctiorum
dies eſſe;
primam autem diem Aprilis, initium veris; Octobris Autumni;
Item Aprilis diem eſſe eum, quo dies noctis prolixitatem vincere incipit: Octobris,
quo
nox diei longitudinem ſuperat, & alia huiuſmodi, quæ ab æquinoctijs depẽdẽt.
Si vero quiſpiam obijciat, modum hunc noſtrum & ordinem perpetuum eſſe non
poſſe
, ob motum augis Solis;
quod punctum cum fuerit in principio Capricorni, tũc
Sol
hærebit in ſigno Sagittarij .32. diebus, totidem in Capricorno, in Geminis vero
29
. totidem in Cancro;
ex quo ſequetur prioribus cõtrarius effectus; huic ego reſpon
debo
, tale quidpiã non euenturum, niſi exactis ab hoc anno annis .240@0. quod ſi
mundus
poſthac totidem annis, quot fuit antehac, perdurauerit, punctus augis non
amplius
à ſitu præſenti, quàm .45. gradibus diſtabit.
Verum demus modũ noſtrum
& regulam in annos ter, aut quater mille ſubſeruire poſſe, nec amplius, certè hoc
toto
tempore nullius momenti penè erit, quæ accidere poterit mutatio, tametſi ela-
pſis
quatuor millibus annorum Februarius eſſe debebit .29. dierum. Aprilis & No-
uember
.30. Iunius & October .31. Auguſtus .32. in aliis verò menſibus nihil mutan-
dum
erit.
Ecce quam ſit nullius momenti mutatio.
Quæ ſi Iulij Cæſaris temporibus fuiſſent animaduerſa nunquam omiſſa fuiſſent,
ſed
ſcientiæ Aſtronomicæ nondum (vt ita dicam) confirmata ætas, cum alibi, maxi
in Italia, quo minus hæc aut ſcirentur aut ſtatuerentur impediebat.
Tertia ratio eſt, vt non ſolũ feſta mobilia, verum ẽt immobilia ad meliorem regu
lam
(ut dictum eſt) reuocentur, ſi ſuis temporibus celebranda erunt.
Quorum primũ
eſt
Natiuitas Domini, & quæ ab ea pendent;
nempe Circuncifio, Epiphania, Purifi-
catio
, Annunciatio, & Natiuitas Io. Baptiſtæ.
ita vt dies Natalis Domini celebretur
prima
die anni, cum Dei filius naſci voluerit circa verum principium anni, quod à
ſolſtitio
hyemali initium ducit, & in ipſo principio diei naturalis ex Romanorũ ſen
tentia
, media ſcilicet nocte, tanquam qui ſummæ lætitiæ principium, poſt longos &
graues
filiorum Adæ mærores, eſſet allaturus.
Nec forſan Ianuarij nomini, à vete-
ribus
Iano bifronti dicati hæc mutatio non conueniret, cum in ip ſo ſeruatore, duæ
veluti
frontes & formæ vnitæ ſint, duæ ſcilicet naturæ diuina & humana.
Hac ratio
ne
abuſus tolletur, natus ex diuerſis moribus Tabulariorum, quorum alij monumen-
ta
, ſeu quæ uocant Inſtrumenta, à die Natiuitatis Domini incohant, alij à Circunci
ſione
, alij à Calendis Martij, nonnulli à Paſchate;
quæ varietas innumerabiles lites
affert
& abuſus propè infinitos, ob dubiam & ancipitem ſcripturam.
Indictionum
præterea
ordini, hic noſter modus nihil officiet;
celebrato Natali celebrabitur Cir-
cunciſio
octaua Ianuarij.
Epiphania .13. eiuſdem. Purificatio .11. Februarij quæ erit
40
:
dies à Natiuitate ſeruatoris. Prima Aprilis Annunciatio Virginis ſolennis erit,
ipſo
nempè die æquinoctij, natiuitas Diui Io:
Baptiſtę celebrabitur Prima Iulij die
quæ
erit ſolſtitij æſtiui, cum illa diminutionem capit. vtrectè Diuus Auguſtinus il-
la
verba Io:
Baptiſtę interpretatus fuerit. Illum opportet creſcere, me autem minui:
in quibus ſic tantus Doctor philoſophatur, vt tempus etiam natiuitatis ſerui & do-
mini
præclare notet dicens, natus eſt ſeruus cum decreſcunt dies, natus eſt Dominus
cùm
creſcere incipiunt.
Inſignes etiam Theologi admonuerunt habendam rationem eſſe nonnullorum
feſtorum
, vt Diui Antonij, diuorum Fabiani & Sebaſtiani, & aliorum ſanctorum,
222210IO. BAPT. BENED. fi forte in octauam Epiphaniæ inciderint: Verum hęc .S.D.N. curæ erunt, ut in aptiſ
ſima
tempora transferantur.
Admonuerunt præterea transferendos eſſe dies feſtos Beati Stephani, Ioannis,
& Innocentium, vt quemadmodum factum eſt hactenus, diem natalis proximè ſe
quantur
, ob multorum Doctorum, non recentium modo, ſed etiam antiquorum ob
ſeruantiam
;
qui ſuis omelijs & concionibus multa piè, de myſteriis ſucceſſionis Feſto
rum
huiuſimodi tradiderunt.
Cuperent etiam præclari Theologi diem Aſſumptionis Beatæ virginis incidere
in
primam Septembris, Natiuitatem autem in .25. vt quemadmodum toto illo men
ſe
in ſigno Virginis ſol verſabitur, ita Eccleſia Der in cęlebrandi tantæ Virginis ma
tris
Deilaudibus occupetur.
Atque hęc ſunt Serenisſime Princeps, quę longa & attenta cogitatione à me exa
minata
, atque perpenſa fuerunt;
quæſitam diligenter & accuratè expendentur ab
his
, quorum intereſt, quam mihi apta & rationi conſentanea, ac vera penitus, imo
(quod me magis afficit) etiam tibi viſa fuerunt;
non dubito quin placitura ſint; & vo
tis
ſummi Pont. aliqua ex parte ſatisfactura.
magis quòd te iubente, & cogitata à
me
, & ſcripta fuerint.
Vale Princeps Sereniſſime, & qua ſoles hylaritate cętera no
ſtra
, etiam has breues vigilias ſuſcipe & foue.
Dat. Auguſtæ Taurinorum Kal.
Aprilis. MDLXXVIII.
T. Celſitudinis.
Deditiſſimus Mathematicus.
Io. Bap. Benedictus.
223211
DE CIRCVLO
AMBIENTE
QVADRILATERVM.
AD SERENISS. CAROLVM EMANVELEM
Pedemontis
Principem.
PRoblema quod à celſitudine tua nobis proponitur non ſolum poſſibile eſt, ſed
facile
etiam ad ſoluendum, hoc eſt quod circulus talis inueniatur, qui poſſit cir
cunſcribere
, ſeu capere quadrilaterum ex quatuor datis rectis lineis terminatum, vel
ſic
, datis quatuor rectis lineis ex quibus quadrilaterum poſſit eftici, tale efficiatur vt
circa
ipſum, circulus poſſit circunſcribi.
Sint igitur .4. lineæ propoſitæ .b.d: q.b: a.q: et .a.d. ex quibꝰ poſſibile ſit quadrilate
rum
conſtitui, tale vero conſtituatur, vt aliquis circulus poſſit ipſum circunſcribere.
imaginemur autem hoc factum eſſe, quod quidem quadrilaterum ſit .a.d.q.b. cuius
270[Figure 270] 271[Figure 271] 272[Figure 272] 273[Figure 273] 274[Figure 274]
224212IO. BAPT. BENED. diametri ſint .q.d. et .a.b. quæ ſe inuicem interſecent in puncto .o. vnde cum anguli
contra
ſe poſiti circa .o. æquales inuicem ſint ex .15. primi Eucli.
& angulus .a.q.d. æ-
qualis
angulo .a.b.d. & angulus .q.b.a. æqualis angulo .q.d.a. et .b.q.d. angulo .b.a.d.
ex
.20. tertij tunc triangulus .a.o.q. ſimilis erit triangulo .d.o.b. et .q.o.b. ſimilis trian-
gulo
.a.o.d. ex definitione.
Vnde eadem proportio erit ipſius .q.o. ad .b.o. quæ ipſius
q.a. ad .b.d. & ipſius .b.o. ad .o.d. eadem quæ .q.b. ad .a.d. & ipſius .q.o. ad .o.a. eadem
quæ
.q.b. ad .a.d. proportio igitur .q.o. ad .o.d. cognita nobis erit, vt compoſita ex
ea
quæ eſt .q.o. ad .o.b. ex .o.b. ad .o.d. quæ nobis cognitę ſunt, mediante
proportione
ipſius .q.a. ad .b.d. & ipſius .q.b. ad .a.d. proportio ſimiliter ipſius .b.o.
ad
.o.a. nobis cognita erit, vt compoſita ex proportione ipſius .b.o. ad .o.q. &
ipſius
.o.q. ad .o.a. cognitis, mediante proportione ipſius .b.d. ad .q.a. & ipſius .q.b. ad
a.d. cum autẽ proportio ipſius .q.o. ad .o.b. nobis cognita ſit,
tunc nobis cognita erit
proportio
ipſius .q.d. ad .a.b.
Nam ut .q.o. ad .o.b. eſt vt .a.o. ad .o.d. ex ſimilitudine,
quare proportio compoſiti ex primo, & quarto terminorum ad compoſitum ex .2. &
tertio
, cognita erit.
ſed quod fit ex .q.d. in .a.b. cognitum nobis eſt, vt æquale duobus
productis
, hoc eſt ex .q.a. in .d.b. & ex .q.b. in .d.a. ex ſecunda primi Almageſti.
quæ
producta
nobis cognita ſunt, cum nobis data ſint eorum latera.
Quapropter facta
cum
fuerit figura quadrilatera rectangula ſimilis alicui alterirectangulæ figuræ pro
ductæ
à duobus lateribus inuicem ita proportionatis, vt ſe habet .q.d. ad .a.b. æqua-
lis
tamen duobus productis, hoc eſt producto ex .q.a. in .d.b. & ex .q.b. in .d.a. ex
doctrina
, 25. ſexti Eucli quæ quidem figura, exempli gratia, ſit .u.t. eius verò latera
ſint
.u.n. et .n.t. Hæc enim dico æqualia eſſe .q.d. et .b.a. hoc eſt .n.t. maius maio-
ri
.b.a. et .u.n. minus minori .q.d.
Quod ita probabo. cogitemus rectangulum .s.r.
productum
eſſe ex duobus lateribus .q.d. et .a.b. ſed, s.n. æqualis ſit .q.d. et .n.r. æqua-
lis
.a.b. ſintq́; duæ lineæ .s.n. et .n.t. inuicem directè coniunctæ, vnde .u.n. directè
coniuncta
etiam erit cum .n.r. ex quo rectangulum .u.t. æquale erit rectangulo .s.r. ex
communi
conceptu, eademq́ proportio erit .u.n. ad .n.t. quę .s.n. ad .n.r. eo ita fa-
ctum
fuit, cum autem ita ſit .u.n. ad .n.t. vt .s.n. ad .n.r.
tunc permutando ita erit .n.t. ad
n.r. vt .u.n. ad .n.s. ſed quia ita eſt .u.n. ad .n.r. vt .s.n. ad .n.t. ex 15. ſexti,
tunc permutan
do
ita erit .n.r. ad .n.t. vt .n.u. ad .n.s.
quare ex 11. quinti ita erit .n.t. ad .n.r. vt .n.r. ad .n.
t
.
quapropter ex neceſſitate ſequitur .n.t. et .n.r. inuicem æquales eſſe, et .u.n. ſimiliter
cum
.n.s.
Inuentæ nunc cum fuerint duæ diametri .q.d. et .a.b. ipſius quadrilateri, difficile
non
erit eius angulos inuenire, eo mediante .a.b. cognita, ſimul cum .b.d. et .a.d. da
tis
, faciemus triangulum .a.b.d. vel mediãte .q.d. et .q.a. et .a.d. cognitis faciemus triã
gulum
.a.q.d. ex .22. primi.
Vnde cum centrum circuli circunſcriptibilis cuiuſuis di-
ctorum
triangulorum ex quinta quarti inuentum fuerit, triangulum reliquum, ab eo
dem
circulo circunſcriptum erit, ex communi ſcientia.
SEd vt ipſa operatio facilior fiat, Sint eędem lineæ .b.d: b.q: a.q. et .a.d. ex quibus
poſſit
quadrilaterũ effici.
Videatur deinde primò quas volumus oppoſitas ſibi
inuicem
eſſe, ponatur ergò ut .q.a. et .b.d. velimus oppoſitas inuicem facere, et .q.b.
cum
.a.d. ſimiliter, accipiemus nunc .K. cuiuſuis magnitudinis, cui comparetur .e.
ita
proportionata, vt .q.b. eſt ipſi .a.d. ex doctrina .10. ſexti Eucli. vel accipiatur .a.d.
vice
.K. et .q.b. vice .e. quod idem erit, & expeditius, inuenietur ſimiliter .h. ita pro-
portionata
ad .e. et .g. ad .k. vt .b.d. eſt ad .q.a. vel .g. ad .h. vt .a.d. ipſi .q.b. quod idẽ erit.
Hoc facto coniungantur inuicem directè .g. et .e. quarum compoſitum ſit .g.e. &
ita
duæ .K. et .h. ex quibus ſit .K.h.
Nunc ex iſtis duabus lineis .e.g. et K.h. fiat paral-
225213EPISTOLAE lelogrammum .Z. deinde fiant alia duo parallelogramma rectangula quorum vnum
ſit
ex .q.a. in .b.d. reliquum verò ſit ex .q.b. in .a.d. quæ quidem ſint .f.m.
Quo facto deſignetur rectangulum .u.t. ex .25. ſexti, quod æquale ſit duobus re-
ctangulis
.f. et .m. ſimile tamen .Z. cuius rectanguli vnum latus correſpondet .e.g. reli-
quum
verò .K.h. in proportione, ſed in æqualitate, vnum correſpondet .q.d. reliquũ
vero
.a.b. diametris ipſius quadrilateri.
Accipiatur nunc latus illud quod correſpondet .K.h. hoc eſt ipſi .a.b. maius ſcili-
cet
, & ſimul cum .b.d. et .a.d. formetur triãgulũ .a.b.d. ex .22. primi Eucli. circa quod
circunſcribatur
circulus ex .5. quarti.
& inuentum erit quod quęrebamus.
275[Figure 275] 276[Figure 276] 277[Figure 277] 278[Figure 278] 279[Figure 279]
226214
PER EVNDEM PARALLELVM
abſque
correctione ſemper nauigari
non
poſſe.
Vbi not antur Petri Nonij lapſus in correctione erroris nauis.
Et
alij Petri Medinæ errores.
ILLVSTRISSIMO ANDREAE PROVANAE
Leinici
Domino, Fruzaſci comiti, Aequiti Torquato, inthimo Sere-
niſsimi
Sabaudiæ Ducis Conſiliario, eiuſq́;, & ſacræ religio-
nis
ſanctorum Mauritij, & Lazari Claſsi Præfecto.
INter Eximiastuas virtutes, reinauticæ peritia Illuſtris emicat
merito
ad te ſcribendum duxi, quod ad eam facultatem perti-
nens
excogitaui, ſimul cum quibuſdam alijs inſtrumentis, vt non-
nihil
commodi attuliſſe videar maritimis negotijs, & aliqua ex
parte
animi mei erga te propenſionem indicauiſſe.
PEr vnum demq́; parallelum in primis abſq; aliqua corre
ctione
ſemper nauigari poſſe, omninò nego.
, verũ eſtid quod Petrus Nonius in
initio
ſui operis oſtendit, ideſt nauim verſus æquatorem ſemper declinare:
qui
corrigit
errorem, fallitur, cum ipſe, eandem nauim, parallelam æquatori in vno ver
ticali
ipſi æquatori propinquiori, & non in primo parallelo dirigit, itaque exiſtimat
in
fine itineris, vbi deſcribit punctum .o. eam in eodem parallelo priori repe-
riri
debere, quod verũ eſt, quia ea correctio efficit, vt motus nauis effectũ cuiuſdã
deſcẽſus ſcaligradum pręſtet, in quo à gradu in gradũ fiat deſcenſus, ſed ſi per gra
dus
tm̃ aſcenderet quãtũ deſcẽdit, dubiũ eſt quin in fine ita eſſet ſe habitura quẽ
ad
modum in medio & in principio, cum verò ſemper deſcendat, abſque vlla aſcen-
ſione
, neceſſariò ſic ſemper procedens, remota cum eſſent impedimenta terræ, ſub
æquatore
reperiretur, ſub quo perpetuò circuiret globum.
Idem ſub quolibet meridiano præſtare poteſt, ideſt vno eodemq́; vento circun-
uerti
:
ſed per alios circulos quam per hos duos (ſiue circulus magnus ſiue paruus) id
nunquam
perfectè efficere poteſt, de parallelis iam manifeſtum eſt, cum impetus na
turalis
corporum, quæ mota ſunt ſint ſemper in ſuperficiebus circulorum maiorum,
quorum
circunferentię cum circunferentijs minorum, præter quam per vnum quod
dam
punctum quando adinuicem contiguæ ſunt, aut per duo ideſt cum ſe ſe interſe-
cant
non communicant, ita quod ad efficiendum, vt triremis aliqua, aut nauis, per
aliquem
ex parallelis ad æquatorem moueatur, neceſſario ſit futurum, vt ratione cõ-
tiguitatis
& non continuitatis eam moueri curemus.
quia ratione continuitatis om-
ninò
fieri non põt, aut conſtet virtus mouens remis, aut velis.
Sed per quemlibet aliũ
circulum
maiorem, qui non ſit aut æquator aut aliquis ex meridianis, eſt penitus im
poſſibile
.
ideſt vt vnius venti vi nauis impellatur. Quod vt clarè pateat, ſit orizon .
a
.c.b.d.
& æquator .c.q.t.d. & vnus meridianorum ſit .a.r.n.t.b. in quo .n. ſit Zenit ſub
quo
primum nauis reperiatur et .r. ſit polus ſeptentrionalis.
Ponamus etiam quod
227215EPISTOLA. azimut .f.q.u.n.p. conſtituat angulum .a.n.p. ſeu .f.n.b. cum meridiano graduum .45.
vnde
tot graduum eruntarcus .a.p. et .b.f. orizontis, quapropter punctum .f. commu-
ne
ipſius orizontis cum azimut, erit medio in loco inter .b. et .c. & ideo quarta .n.f. ip
ſius
azimut ſecabit quartam .c.t. ipſius æquatoris in puncto .q. & habebimus triangu-
Ium
.q.t.n. cuius angulus .t. rectus erit, & angulus .n. cognitus ſimul cum latere .n.t. la-
titudinis
loci, quibus rebus mediantibus deueniemus in cognitionem lateris .q.n. la-
teris
.q.t. & anguli .q. ex .4. primi Copernici ſi voluerimus.
Ponamus nunc nauem à puncto .n. diſcedere ſeu iter facere verſus .u. punctum, &
280[Figure 280] in ipſo .u. reperiri, iam in hoc ſitu ha-
bebimus
angulum huius ſecundi me-
ridiani
.r.u.p. qui quidem in hoc caſu
minor
eſſet angulo .r.n.p. extrinſeco
trianguli
.r.u.n. ex conuerſo ſecundæ
partis
.48. ꝓpoſitionis tertij lib. de triã­
gulis
Monteregij, ſeu ex .13. primi Me
nelai
, cuius anguli .u. arcus orizontalis
ſit
.x.e. qui quidem minor erit arcu .a.
p
.
vt patet ratione anguli .r.u.e. mino-
ris
, ergo alius ventus nauem impellet à
puncto
.11. verſus .q. diuerſus ab illo qui
prius
ab .n. verſus .u. eam impellebat.
Vnde clarè patet verum eſſe quod
dico
, hoc eſt quod aliquo modo fieri
non
poteſt, vt nauis ab aliquo loco ad
alium
, breuiſſimo interuallo ire poſſit
ideſt
per gyrum circuli maioris ſphæræ vno tantummodo vẽto eam impellente, præ
ter
quam in ęquatore, ſeu in aliquo quouis meridianorum, nos autem ire per gyrum
alicuius
paralleli dementia eſſet, niſi neceſſitas cogeret.
Huiuſmodi demonſtrationis ope, quantum decipiatur Petrus Medina cap .6. lib.
3
. cognoſcitur, vbi ſic ſcribit;
Vbicunque locorum reperiatur homo, aliquem circu-
lum
qui vniuerſum ambiat imaginatione ſibi confingens, per totum eum circulum
vno
eodemq́; vento nauigatio ſuſcipitur.
Ex hac etiam demonſtratione, quàm fal
ſa
ſit charta maritima patet, cuius beneficio exiſtimant nautę ſe per breuiſſimum iter
a
loco ad locum vehi etiamſi dicti loci non ſint ambo in æquatore, aut in aliquo me
ridiano
, ſed extra dictos circulos vnico tantum vento impellente & ſi in paruis æquo
fibus
hic error parum depræhenditur, forte tamen in magno Oceano clarè pateret.
In ſuperius igitur dicta demonſtratione iam oſtendi, quod ſi velimus vehi ab vno lo
co
ad alium beneficio alicuius circuli maioris, præter duos iam dictos, hoc fieri non
poteſt
vno eodemq́; vẽto impellente.
Vnde ſequitur, omnia ea interualla quæ vno
eodemq́ vento tranſibimus futura longiora, præterquam in duobus dictis circulis
æquinoctiali
& meridiano.
Cum verò Petrus Medina cap .7. volens probare chartam maritimam bonam eſ-
ſe
, planiſphęrium Prolomei & Iordani citat, non animaduertit quam diuerſo mo-
do
a charta maritima huiuſmodi inſtrumentum ſit fabricatum, cum exceptis orizon
te
recto, & meridiano in dicto inſtrumento quilibet alius circulus ſit circulus, ſiue ſit
almicantarat
, ſiue azimur, ſiue æquator, ſiue tropicus, ſiue zodiacus, ſiue alius quiuis
circulus
, eum in charta maritima ne vna quidem ſit linea, quę non ſit recta, quolibet
nomine
vocetur.
228216IO. BABPT. BENED.
Superius poſitæ meæ demonſtrationis ope, deuenimus in cognitionem magnitu
dinis
arcus .n.q. cognoſcimus etiam angulum .n.q.t. vnde nobis manifeſtũ eſſet quo
vento
oporteret iter facere. cum à puncto .q. nauis aliqua diſceſſura eſſet, in eodem
azimut
propoſito.
Idem etiam dico de puncto .u. cum cogniti eſſent arcus .n.u. et .n.
r
.
vt ſupponitur, ſimul cum angulo .r.n.u. vnde cognitus eſſet nobis angulus .n.u.r. ex
11
. primi lib. Copernici, ex quo ventus nobis cognitus foret.
Modus autem quem idem Medina cap .9. lib. tertij ad cognoſcendam diſtantiam
vnius
meridiani ab alio præſcribit, in genere eſt falſus, etiam ſi is ab antiquis eum de
ſumat
, qui, hic non viderunt quam magna inter meridianos differentia ſit interuallo
rum
eorum quæ ſunt vicina polis & eorum quæ ſunt circa æquatorem.
Falſus eſt etiam modus ab eo traditus ad cognoſcendos gradus longitudinis per
medium
itineris cogniti in quouis parallelo extra æquatorem facti, & hoc cap .14. li
bri
tertij eiuſdem, & primo cap. lib. 4. cõtinetur, vbi .17. leucas cum dimidia cuilibet
gradui
tam paralleli quàm meridiani aſſignat.
Falſum eſt etiam quod ab eo aſſeritur, Solem, cum reperiretur in æquatore, circa
eos
qui ſub ipſo æquatore habitant, vnius diei noctisq́; ſpatio per omnes uentos cir-
cunuolui
.
quia illis æquator idem eſt cum verticali, qui duos tantum rhumbos pro-
ducit
, ideſt orientis, & occidentis:
hic verò error, in ſecundo cap. lib. 6. habetur.
Falſum eſt etiam quod profert Solem ijs qui habitant ſphæram obliquam, qua-
libet
hora tertia, regulariter ab vno rhumbo ad alium ex præcipuis ideſt ab vno azi
mut
ad alium progredi, quemadmodum eadem cap .2. lib. 6. et .7. cap. ſeptimi libr.
ſcribit
.
Huius autem rei falſitas ita facile depræhendetur, ponamus hemiſphęrium
orientale
, verbi gratia, cuius meridianus ſit .p.z.b. æquator aũt .e.m. vnus verò paral
lelorum
ſeptentrionalium ſit .c.a. in quo Solem exiſtere ponamus, orizon autem ſit .
b
.m.
zenit vero .z. polus arcticus .p. ſit poſtea azimut .z.q. à meridiano diſtans per gra
dus
.45. qui quidem azimut in hoc hemiſphęrio erit rhumbus illius venti, quem uul-
go
Itali Sirocum dicunt, et .z.m. ſit azimut verticalis qui in hoc hemiſphærio erit
bus
venti orientalis, ita ſecundum Medinam à rhumbo .z.m. ad .z.q.
Solabſoluet
ſpatium
tẽporis trium horarum, & aliud
æquale
temporis ſpatium abſoluet à rhũ
281[Figure 281] bo .z.q. ad .z.b. ex ipſo Medina, vnde ar-
cus
.a.o. paralleli eſſet graduum .45. &
item
arcus .o.c.
Ponamus nũc Solem reperiri in ęqua
tore
, vbi per ipſum Medinam arcus .u.m.
ſimiliter
eſſet graduum .45. & ſic .u.e: pro
tracto
ergo arcu .p.o.f. palam erit ar-
cum
.f.e. fore graduum .45. ſed cum
arcus
.e.u. ſit graduum .45. ex ſuppoſito
ipſius
Medinæ, ſequeretur arcum .e.f.
æqualem
eſſe arcui .e.u. pars igitur æqua
lis
erit ſuo toto.
Id etiam quod Petrus Nonius pagina
124
. et .125. lib. de arte nauigandi con-
tra
nautas de diſtantijs Solis à meridiano ſcribit, hanc opinionem Petrià Medina &
corum
qui idem ei perſuaſerunt falſam eſſe demonſtrat.
229217EPISTOLAE.
Falſum eſt etiamid quod cap .3. lib. 6. pronuntiat, ita dicens.
Quod cum verum eſſet à parte oriẽtali inſularum quæ azore dicuntur, pyxidem
verſus
eum ventum qui vulgò Græcus dicitur, & ab occidentali verſus eum qui Ma
giſter
dicitur, vergere, huius rei nulla eſt ratio.
Ego enim huiuſmodi rationem reperiri poſſe contendo, quæ talis eſt, quia pars
roſæ
(ut vocant) à magnete tacta, ad aliquod punctum, aut ſitum globi terrę, in eo-
dem
meridiano inſularum, quæ Azore dicuntur, vltra ſitum poli arctici in terra diri-
geretur
, ita vt ſitus dicti poli in terra eſſet in dicto meridiano, inter locum qui ab in
dice
roſæ aut pyxidis reſpiceretur, & dictas inſulas, id quod ſuperius ſcripto meridia
no
facile cognoſci poteſt, ſumendo pro inſulis ſitum .e. in meridiano et .z. pro polo,
et
.p. pro loco qui à pyxide ſit viſus, imaginãdo deinde pyxidem in .f. magis orienta
li
quam eſt .e. clarum eſt lineam quæ reſpicit (ponamus) f.p. verſus Græcum & ab alia
parte
verſus Magiſtrum declinare.
De Armilla Nautica.
AD EVNDEM.
CVm ſæpe viderim quam in magnis æquoribus nos fallant, atq; decipiant mari
timæ
, ſeu nauigatoriæ chartę, quemadmodum aliquoties inter nos ſermonem
habuimus
:
in id totus incubui vt aliquam machinam excogitarem, quæ difficilis non
eſſet
, efficeretq́; vt nauis ſuper aquę globum, beneficio circulorum maiorum, quam
optimè
poſſet, ideſt breuiſſimo itinere ab uno loco ãd alium ferretur.
Id mihi ex
animi
voto ſucceſſurum putaui, beneficio quinq; circulorum circundantium aliquẽ
globum
terreſtrẽ & maritimum, quales ij ſunt qui in inferiori Germania à Gerardo
Mercatore
ſtruuntur, qui vno pede cum dimidio diametri conſtet, ideſtſeſquipede.
Sit ergo, exempli gratia, huiuſmodi globus .a.b.d. circa quem duo circuli, aut cir­
282[Figure 282]
230218IO. BAPT. BENED. culares lineæ ex aurichalco applicentur inuicem coniuncti per medium ad angulos
rectos
, quorum prior .f.e.g. in ſe globi polos mediantibus extremitatibus axis mun-
di
contineat, qui quidem poli à punctis ſuarum interſectionum per quartã ex æquo
in
punctis .f. et .g. ita diſtent, vt globus circa eoſdem, in ſitu longitudinis mundi vol-
ui
poſſit.
Huiuſmodi autem circulus, æquatoris deferens appelletur.
Secundus autem circulus ſit .h.e.K. cum primo ad angulos rectos in puncto .e. &
in
ſuo oppoſito connexus, & is appellabitur æquator, & poli .f.g. primi poli dicentur.
Circa huiuſmodi duos circulos, alios etiã duos exiſtere vellẽ ſimul cõiũctos medio
ad
angulos rectos.
In quibus quidẽ interſectionis punctis ſint duo poli, qui hos duos
circulos
cum ſecundo priorum ideſt cum æquatore in duobus punctis inuicem op-
poſitis
connectant;
quæ æquatoris puncta à punctis interſectionis eiuſdem cum ſuo
deferente
, ratione vna quarta diſtent, quorum duorum circulorum primus ſit .n.i.
m
.
quem deferentem azimut appellabimus;
ſecundus .r.n.s.m. azimut locorum no­
minabimus
.
eorundem interſectionis rectæ, puncta ſint .n. et .m. à quibus duo poli ex
aurichalco
confecti ſimiles primis .n.h. et .m.K. vſque ad puncta .h. et .K. æquatoris
perueniant
, qui ſpisſitudinem æquatoris diſtantem à puncto .e. vna quarta penetrẽt,
ita
vt æquator circum circa .n.h. et .m.K. in ſitu latitudinis mundi verti queat.
Et
hos
, ſecundos polos nominabimus.
Alius deinde circulus .q.i.p. duos poſteriores circulos ambiat, cum deferente ta-
men
azimut mediantibus duobus polis in puncto .i. & in ſuo oppoſito exęquo diſtan
tibus
à ſecundis polis vnius quartæ ſpatio iungatur.
Ita vt dictum deferens azimut
circa
hos tertios polos volui poſſit, atque hunc circulum .q.i.p. orizontem vniuerſa
lem
vocabimus.
Hic vero orizon ſuper quatuor quartas circuli, aut ſuper quatuor
paruis
columnis, ut fieri ſolet innixis ſuæ baſi, ita ponatur, vt moueri non poſſit.
Primus autem circulus .f.e.g. deferens æquatoris in .4. partes æquales diuidatur,
quarum
quælibet .90. gradibus conſtet, incipiendo ab interſectionibus .e. & eius op
poſito
æquatoris, & numeri in polis .f. et .g. globi finem ſortiantur.
Diuidatur etiam
æquator
.h.e.K. in .360. partes incipientes à puncto .e. verſus .K. deferens autem azi
mut
.n.i.m. ab omni diuiſione liber maneat, ſed azimut .n.s.m.r. in .360. gradus inci
piendo
à puncto .n. verſus .r. diuidatur.
Orizon autem .q.i.p. diuidatur in quartas, quarum quælibet ſit nonaginta graduũ
incipiendo
à puncto .i. & eius oppoſito ideſt à polis poſtremis & terminando in pun-
ctis
.q. et .p. in medio ipſorum polorum, & quarta .i.p. orientalis ſeptentrionalis, et .i.
q
.
orientalis meridiana appellentur.
& ſic ordine ſeruato occidentales.
Præterea pręparata ſit quædam quarta, ex aurichalco, circuli æqualis ipſi orizon-
ti
, & in .90. gradus diſtincta quæ cum quauis ſuarum extremitatum ipſi zenit, in azi-
mut
applicari poſſit, quemadmodum circa globos cęleſtes fieri ſolet;
quę quidem ad
cognoſcendam
altitudinem poli ipſius globi ab orizonte nobis inſeruiet.
Atque hac ratione hanc noſtram machinam perfectè abſoluemus quã appellan-
dam
eſſe Armillam nauticam ſentio.
Hic autem illud non omittam, concauum
duorum
priorum circulorum à ſuperficie globi non nimis diſtare debere & con-
cauum
aliorum à ſuperficie conuexa priorum longe poſitos eſſe debere, & con
cauam
orizontis à conuexa ſecundorum procul abeſſe non debere.
Neque illud etiam prætermittendum eſt, opere pretium fore ſi in interſectione
e
. priorum, erit foramen elicum, vt clauo elico ex aurichalco confecto, poſſimus
ſiſtere
globum, quando oportuerit, ne amplius circa primos ſuos polos .f.g. circun-
uoluatur
, cum ſitꝰ fuerit.
Inde etiam laudo vt in azimut .r.n.s.m. è regione deferen
tis
æquatoris, ideſt .f.e.g. aliud quoddam foramen huiuſmodi ſit poſitum, in quo
231219EPISTOL AE. clauus elicus vſque ad circulum .f.e.g. perueniens, æquatorem ſiſtere poſſit, ne circa
ſecundos
polos .h. et .K. amplius moueatur quum noluerimus eum mutare ſitum.
283[Figure 283]
Deuſu Armillæ nauticæ.
V Tautem noſtra Armilla nautica vti poſſimus pyxidem nos prius oportebit
habere
, diuerſam tamen ab ijs, quibus nautæ hactenus vſi fuere:
nolo
enim
vt craſſa minerua beneficio vẽtorum communium circa hanc rem nos gera
mus
, ſed ratione graduum orizontis in .360. partes diſtincti, atque ob hanc cauſam
ſentio
, vt ima pars pyxidis penitus detecta videatur, & in .360. partes dinidatur, nilq́
aliud
quam quandam lanceo lam ſupra eius acum eſſe volo, quæ dum mouebitur na
uis
, per gradus quamlibet orizontis partem oſtendet;
hos autem .360. gradus, ita ſe
habere
volo, vt quęlibet quarta .90. contineat, ſupputatioq́; à linea meridiana inci-
piat
, & in verticali deſinat, vt huiuſmodi diuiſio cum ea, quæ eſt orizontis Armillæ
eadem
ſit.
Pręſupponãtur nunc in globo duo loci extra æquatorem, & in diuerſis meridia-
nis
quomodolibet a dinuicem diſtantes, à quorum vno ad alium ſit nauigandum iti-
nere
quo ad fieri poterit breuiori, ideſt per gyrum circuli maioris, dixi autem extra
æquatorem
, ideſt vt ambo, nec in æquatore, nec in uno eodemq́; meridiano exiſtãt,
quia
vt aliàs dixi in huiuſmodi locis, vnico tantum vento comite, iter conficere
poſſumus
.
232220IO. BAPT. BENED.
Volo primum vt mediante circũuolutione globi circa primos polos .f.g. & æqua
toris
circa ſecundos .h.K. hoc eſt per longitudinem, & latitudinem, hi duo loci in
globo
propoſiti ſub azimut .r.n.s.m. ſecundorum circulorum ſitũ ſortiantur, qui azi-
mut
orizontem in punctis .q. et .p. ſemper ad angulos rectos diſpeſcit ibiq; globum
ita
quieſcere vt circa polos .f.g. non voluatur, & æquatorem etiam ſic ſirmare, vt cir-
ca
ſecundos polos .h.K. non vertatur faciamus.
Quod cum factum fuerit, ſecundorum circulorum primus, qui eſt .n.i.m. deferens
azimut
, circa tertios polos .i. & eius oppoſitum, eo uſque voluatur quouſque prior
globi
locus, ideſt is a quo iter eſt incohandum per .90. gradus azimut diſtet ab ori-
zonte
, ideſt ſub zenit orizontis .q.i.p. ſit poſitus, quemadmodum, exempli gratia, ſi
punctum
.a. dicti primi loci globi rationem indueret, & borealius eſſet, mediante
circunuolutione
circuli .n.i.m. circa dictos tertios polos æqualiter diſtans ab .q. et .p.
ideſt
per .90. gradus poneretur ſub .r.
Conſideretur deinde vbi æquator .h.e.K. ſecundus circulus duorum primorum,
ab
orizonte .q.i.p. ſecabitur, exempli gratia, in puncto .c. quartę orientalis ſepten-
trionalis
eiuſdem orizontis.
Videatur deinde quot nam gradibus conſtabit ar-
cus
.i.c. & per totidem gradus conſtituatur extremitas ſeptentrionalis lineæ meridia-
pyxidis nauticę, diſtantis à cuſpide ſeptentrionali ipſius lanceolæ orientem ver-
ſus
, mediante nauis circunuolutione.
vnde ipſamet nauis in huiuſmodi ſitu azimut,
qui
per duos hos locos tranſit, dirigetur, eſſiciendo vt eius prora verſus locũ ad quẽ
voluerimus
tendere dirigatur.
Cum verò vela ventis dabimus, tot milliarium
ſeu
leucarum iter conficiemus, quot quarta pars vnius gradus requirit.
& dum
hociter
abſoluitur, ille qui pręeſt naui, defferentem azimut .n.i.m. circa ſuos polos .i.
& eius oppoſitum, ſic circunuoluat, vt interſe ctio azimut .r.n.s.m. cum orizonte .q.i.
p
.
diſtet à prima ratione dictæ quartę partis vnius gradus, conſtituendo ſecundum lo
cum
, proximiorem zenit, ratione dictæ quartæ partis gradus azimut.
Hiſce ita pera
ctis
, obſeruetur deinde vbiæquator .h.e.K. hac ſecunda vice interſecabit orizontem
q.i.p. quod quidem interſectionis punctum ſemper appelletur .c. quod dico non am
plius
in eadem diſtantia manſurum, ut prius à puncto .i. ſed aut longius diſtabit, aut
propius
accedet, vt in præſenti exemplo.
quemadmodum ex ſe manifeſtum eſt,
poli
globi, ideſt ęquatoris ſint extra azimut, vt præſupponitur, quia loci ſunt in diuer
ſis
meridianis.
Pro huiuſmodi autem diſtantiæ ratione denuo dirigatur nauis prout æquator .h.
e
.K.
in orizonte .q.i.p. nobis oſtendet, atque hoc modo omnium iter quaſi breuiſſi-
mum
fiet.
dico autem, quaſi, quia omnibus modis neceſſariò conficitur iter contor-
tum
& in formam ſerpigineæ lineæ.
Applicantes deinde per vices extremitatem
quartæ
appoſitæ (de qua ſuperius mentionem fecimus) ipſi zenit .r. efficientes ut per
ſitum
poli globi pertranſeat, deueniemus in cognitionem altitudinis eiuſdem ab
orizonte
, & per conſequens quantum itineris per latitudinem eiuſdem globi pere-
gerit
.
mediante deinde interſectione orizontis .q.i.p. cum æquatore, cognoſcemus
quãtum itineris per longitudinem eiuſdem globi, in ipſo ęquatore fuerit peractum,.
233221EPISTOLAE.
Inctrumentum adortum, & occaſum Lunacognoſcendum
qualibet
anni die.
AD EVNDEM.
ECce tibi vir Illuſtriſs. modũ conficiẽdi inſtrumenti nuper à me inuẽti, vt tibi ſi
gnificaui
, quo ſcire poſſis fermè in dies, qua hora (de aſtronomicis loquor) ad
determinatum
parallelum & abſque multa ſupputatione, etiam abſque Aſtrolabio
Luna
oriatur occidatq́;.
In quo inſtrumento poteris etiam videre quo in ſigno Sol,
& ſæpius itidem Luna permeat, & huiuſce aſpectus cum Sole, atque longitudinem
diei
noctisq́; toto anni tempore exactè diſcernere.
Circularis lamina ex argento, aut ære, aliaúe materia paranda eſt, in cu-
ius
ſuperficie ambarum facierum Zodiacus delineabitur, modo inferius depicto,
deinde
pro anno quinque circuli ſibi inuicem cõcentrici, at reſpectu Zodiaci excen
trici
cęlabuntur in ea, adeo vt vtriuſque centri diſtantia ſit pro .32. parte ſemidia-
metri
concauitatis Zodiaci è regione locis augis, temporis qui noſtra ætate circa ſi-
nem
ſecundi gradus cancri inuenitur, eandem viam, in hoc, ſequuti, quam Stofle-
rus
in dorſo Aftrolabij docet.
At nomina menſium media ponantur inter duos
maiores
circulos, poſtea inter ſecundum, & tertium ab vna facierum laminæ, ar-
cus
ſemidiurni, ab altera vero arcus ſeminocturni, per quinos quoſque dies collo-
centur
, ita exactè, vt hic ſubtus videbis.
adeo vt numeri dierum & ipſorum dierum
ſigna
ſint in interuallis vicinioribus centro communi dictorum quinque circulorum.
Poſteaquam ab vna & altera facierũ laminæ hæc inſculpra fuerint, aliæ duæ circu
lares
laminæ, magnitudinis ſemidiametri minimi quinque circulorum accipiantur:
quarum vna pro ortu, & altera pro occaſu Lunæ deſeruiet. In qualibet ipſarum
conſtituẽtur circuli quatuor, eo modo qui paulo inferius cernitur, quos omnes diui-
demus
in triginta ſpacia æqualia:
& in interuallo inter duos primos circulos poſi
tum
eſt, triginta dies annotabimꝰ qui ipſos Lunætriginta dies pręſcribẽt, vt in figara.
Poſtmodum in lamina quæ ortus Lunæ indicabit, ac duorum maiorum circulo-
interuallo è regione numeri .1. videlicet primi diei, ponemus horas .12. & minuta .
48
.
ex aduerſo diei ſecundi ho .13. et min .36. ex oppoſito tertij ho 14. min .24. & ſic
ſucceſſiuè
augendo per min .48. & indicem è diuerſo diei .30. ſtatuẽdo, qui coitus
Lunæ
cum Sole ſigniſicabit:
atque lineas aſpectuum, vt inferius videre eſt facilè in
ueniemus
.
Altera in lamina quæ occaſum Lunæ indicabit, poſtquam diſtincta fuerit, vt alte-
ra
.30. dies ac cęteræ lineæ, eo modo quo in ſuperiori collocabuntur, at numeri in-
terualli
maioris, aliter diſponentur, vt potè ex aduerſo diei primi ſolum .48. minu-
ta
deſcribi debent, è directo ſecundi diei ponenda erit hora vna cum minutis .36. &
è
regione tertij inſcribentur .2. horæ, & min .24. & ſic ex ordine per .48. minuta au-
gendo
.
Nunc lamina ortus Lunę, cum anno arcuum ſeminocturnorum, & illa occaſus cum
anno
arcuum ſemidiurnorum concẽtrari debet, & ita noſtrum inſtrumentum perfe-
ctum
erit & abſolutum.
Quoties igitur voluerimus medio inſtrumento dignoſcere fermè in tali orizonte
qua
hora Luna oriatur, ita neceſſe erit volubilem rotam ortus flectere, ut index ve
niat
è regione diei menſis in quo talis operatio fit & talirota ſirma manente perſpi-
234222IO. BAPT. BENED. cere ex aduerſo diei Lunæ, numerum horarum & minutorum in maiori interuallo
ipſius
rotæ notatorum, qui cum arcu ſeminocturno anni, quo cum in ipſa rectitudi-
ne
centri conueniet colligetur, & ſumma quæ ex tali ſupputatione proueniet aper-
tas
faciet horas aſtronomicas, quibus ferè etſi non exactè in die propoſito Luna
orietur
.
Idipſum fiet pro occaſu Lunæ.
DIem ætatis Lunæ iam totus orbis ſcit inuenire, media ſupputatione nu-
meri
Epactę currentis cum numero menſium, ſumpto principio à Martio,
adiunctis
diebus menſis currentis, & detracto numero .30. à ſumma prędicta, ſi ab ip
ſa
dictus numerns .30. ſuperatur.
Sed ne aliquis putet ſufficere tantummodo additionem quatuor quintarum ho-
qualibet die. à nouilunio inchoando, ſciendum eſt huiuſmodi receſſum Lunæ
(quamuis non ita exactæ fiat) non computandũ eſſe ab orizonte aliquo, ſed à recto,
ſeu
à meridiano quod idem eſt, quemadmodum vnicuiq; mediocriter erudito pa-
tere
poteſt.
At propoſitum nobis non eſt ſcire qua hora Luna in meridiano repe-
riatur
, ſed in noſtro obliquo orizonte, in parte orientali ſeu occidentali,
propterea
igitur
addendus eſt, ei ſummæ temporis, qua Luna diſtat à meridiano, arcus ſemi-
diurnus
, vel ſeminocturnus illius loci Zodiaci, in quo Luna reperitur illa die in pro
poſito
parallelo, vt ſciatur proximę, qua hora (ex aſtronomicis) Luna erit in ori-
zonte
oriẽtali, vel occidentali dicti paralleli.
ſupra dicta enim additio quatuor quin
tarum
horæ tantummodo, ſufficiens erit temporibus æquinoctij, ſed aliis anni tem-
poribus
falli ratione iam dicta.
235223 284[Figure 284]Pro Lunæ ortu.
Ad
lati .45.
285[Figure 285]
236224 286[Figure 286]Pro Lunæ occaſu.
Ad
lati .45.
287[Figure 287]
237225
DE LVCERNA SPIRITALI QVAM SERENISS.
Sabaudiæ
Duce .D. meo collendiſs. anno .1570. conſtruxi.
CLARISS. FRANCISCO BARBARO VENETORVM
apud
Sereniſſimum Sabaudiæ Ducem Oratori Illuſtriſſimo.
HEron varias ac diuerſas hydraulicas, & ſpiritales machinas propoſuit, in
ter
quastamen nullam ſimilem, ei quã ego Sereniſſimo Sabaudiæ Duci
conſtruxi
, deſcribit, quæ quidem fuit Lucerna, & erat huiuſmodi, vt à
magno
aliquo vaſe oleo pleno ſupra alicuius triclinij tabulatum poſito,
ſubtilis
quidam tubus perpendi-
288[Figure 288] culariter per tabulatum exiret,
& in dictum triclinium vſque ad
medium
deſcenderet, ita tamcn
vt
hic ſolus tubus, non item
vas
oleo plenum cerneretur, cu-
ius
quidẽ tubi inferiori extremi-
tati
iunctum eſſet quoddam par-
uum
receptaculum olei, ſimile co
operculo
alicuius pyxidis, è cuius
ambitu
prope baſim multi diuer-
ſi
quæ tubi æquales & orizonta-
les
, cuiuſuis longitudinis proſili-
rent
, quorum quilibet in extremi
tate
ſua, exiguam quandam pyra
midẽ, appẽsã haberet, in qua elli
chnũ eſſet mixo.
oleũ deinde
medio
ꝑpẽdicularis tubi ad rece
ptaculũ extrinſece deſcendebat,
& per alios tubos ad nutriendas
flammas
dum arderẽt ferebatur:
at vero eædem erant extinctæ
ne
minima quidem olei gutta de
ſcendebat
:
id quod eos qui aſta-
bant
in admirationem trahebat.
Hæcautem lucerna ſic erat
ſtructa
.
Vas oleariũ cylindricum
vt
in ſubſcripta figura patet, cuiuſ
uis
magnitudinis, omni ex parte
clauſum
faciendum curaui, ita ta
men
vt eius coopereulum aliquã
tulũ concauum eſſet, in cuius me
dio
erat foramen .e. quod erat os
tubi
.e.g. qui ſub eiuſdẽ vaſis fun-
do
vſque ad .g. tranſibat, ſed po-
ſtea
ſurſum, quaſi vſq; ad cooper
culum
in ſitu .c. ab inferiori parte
reflectebatur
, & ibi terminabat̃.
238226IO. BABPT. BENED. Vnde oleum quod in vas infundebatur per foramen .e. dictum vas poſtea ingredie-
batur
per foramen .c.
Habebat deinde tubum .n.u. rectum, qui à ſitu .n. propinquo co
operculo
ad libellam extremi .c. incipiebat, & per fundum contignationemq́; vſque
ad
centrum ſupradictireceptaculi (circa quod tuborũ ope appenfæ erant ellychnio-
rum
pyramides) tranſibat, atque huiuiuſmodi tubi .n.u. extremitates tam ſuperius
quam
inferius erant apertæ, & hic tubus aeris erat.
Præterea aliud quoddam fora-
289[Figure 289] men in vaſis fundo feceram, cui
paruum
tubũ .a.o.t. reflexum, ita
tamen
, vt .o. altius eſſet quam .g.
aptauerã, atq; hunc reflexum tu
bum
.a.o.t. oleum vaſis exibat,
per
oſculum .t. in quendam cana-
lem
tubo .n.u. inſertum, ab extra
oleum
effundebat, & ab exteriori
parte
arundinis .n.u. ingredieba-
tur
receptaculum appenſum ex-
tremo
dicti tubi .n.u. quod extre-
mum
apertũ erat, ut dixi, & à fun-
do
receptaculi tantum diſtãs, quã
tum
volebamus oleum ab ipſius
receptaculi
fundo altum exiſtere
quod
quidem oleum ſtatim vt ad
oſculum
dicti tubi .n.u. accedebat
id
claudebat.
Vnde aeri ingrediẽ
di
vas .q.b. non amplius patebat
aditus
, & per conſequens, neque
amplius
oleũ tubũ .a.o.t. eflue-
bat
, nec etiam per tubũ .e.g.c. aer
ingredi
poterat, cum .c.g. ſemper
oleo
exiſteret plenũ quũ .g. magis
quã .t. adimũ deuergeret.
Quoties deinde oleum in vas
infundere
volebamus, oportebat
fumitate digiti claudere oſcu-
lum
.t. exiguitubi .a.o.t. vnde aer
impulsꝰ ab oleo tubi .e.g.c. extra
per
tubum n.u. quouſque oleum
vaſis
ad ęquilibrium ipſius .n. per-
ueniebat
, pertubũ .n.u. ingredie-
batu
.
& quando dictum oleum
dictum
tubum .n.u. extrinſecè in-
trabat
in receptaculum .d.p. nil
amplius
olei in vas infundendum
erat
, & oportebat alicuius digito
foramen
.u. inferius arundinis .n.
u
.
claudi, & foramen .t. aperiri, vt
ipſum .t. aliqua portio olei exi-
ret
, quia tunc quædam pars tubi .e.g. vacua reddebatur, & cum per .t. nil amplius
239227EPISTOLAE. olei egrediebatur, aperiebatur .u. & peripſum .t. denuo tantum olei exire permitte-
bamus
, quantum in receptaculo ad claudendum foramen .u. idoneum exiſteret.
Ra-
tio
vero, quę me mouit, ut punctum .g. inferius ipſius .t. conſtituam, eſt, quia clau-
ſum
erit .u. per dictum .t. oleum non amplius egredietur, quia pondus olei in tubo .c.
g
.
maius euadet oleo quod vſque ad .t. progrederetur, tubum autem .e.g.c. reflexum
facio
, ne cogamur claudere foramen .e. quia hoc difficile præſtaretur, tubum etiam
a.o.t. ſurſum verſusreflexum conſtitui, vt aerem ab ingreſſu per foramen .t. arcerẽ,
quia
huiuſmodi aer nunquam deſcendit ſi corpus magis denſum non deſcendat.
Verum eſt, melius erit, vt maiores difficultates euitemus, ſtatuere dictum tubũ
a.o.t. ita curuum vt eſt .ω qui cum ſuo extremo inferiori ipſi .n.u. ſit contiguus ita ta-
men
ut dictum extremum inferius ſit inferius quam .o. quia totum oleum exiret.
Volui etiam vt ſuperior extremitas .n. tubi .n.u. ſit in aere vaſis & non in oleo, ne
per
eam oleum exeat, quia cum extremitas .u. inferior ſit .g. totum oleum quod ſu-
peraret
oſculum .n. per dictum tubum .n.u. ratione maioris ponderis egrederetur,
quẽadmodum cuilibet, vel mediocriter in philoſophicis rebus verſato innoteſcet.
240228
DEFENSIO EPHEMERIDVM.
AD JLLVST.D. BERNARDVM
Trottum
.
EDita erant ſcripta quædam, quorum titulus animadver-
siones
in ephemeridas
.
& breuis alia diſputatio de er
roribus
calculorum Aſtronomicorum. ac demũ Theſes quæ-
dam
typis datæ .11. Auguſti .1581. quę omnia cum ad manus
meas
perueniſſent, non potui, non eis animum admouere,
ibi
de his ſtudijs ageret̃, in quibus partem non exiguam an-
norum
meorum conſumpſi.
nec tamen ſcribere aliquid ſta-
tueram
;
tum quod exiſtimarem viros Aſtronomiæ peritos
facile
, quanti facienda eſſent ea quæ edita erant iudicaturos, alijs verò haud gratam
futuram
harum rerum tractationem.
Tum quod ſi ingenue meam ſententiam profer
re
voluiſſem, non poteram, ſine maxima authoris moleſtia ferè omnia reprobare.
Quandoquidem ſolet vnuſquiſque indignationem concipere ex his, quæ ſuæ opi-
nioni
repugnant, id omne maleuolentiæ potius quam veritatis ſtudio tribuens.
Qui
nimo
cum nec deeſſent qui dicerent in meipſum directa ea tela fuiſſe, nullam fidem
eis
adhibendam duxi, nec enim qui in ephemeri das inuehitur, me arguere poteſt,
qui
nullas ephemeridas ſcripſi, nec tabulas compoſui.
Nec ſi author quidpiam ex
his
quæ à nobis edita fuiſſent impugnare voluiſſet, ægrè ferre debuiſſem, modo à ve
ritate
nuſquam deuiaſſet.
Liberum enim eſt cuique ſcribere quodlibet. nec Ari-
ſtotelem
afficit iniuria, quicunque illi fidem ſuam non accommodat, & ſi valdè ini-
quus
ſit, quiſquis maiorum opiniones veras, & ab omnibus merito comprobatas
admittit
.
Hinc mihi ſatis oĩbus feciſſe videbar, cum his qui de ſcriptis illis me inter-
rogauerãt
reſpondiſſem, ea non ſatis firmis eſſe innixa fundamẽtis, & quod ad talia
tractanda
opus fuiſſet exercitatiore iudicio.
Verumtamen cum tu vnus maxime om
nium
deſideres tibi clarius, quæ nam de his mea ſit ſententia explicari, non tam tuis
precibus
deuictus quam mea ipſius cupiditate de te benemerendi impulſus, non ſu-
ſtineo
diutius animum tuum hęſitantem relinquere.
Atque vt tibi adeo honeſta cu
pienti
morẽ geram paucis hiſce ſcriptis incultis quidem, vt ab homine omni pror-
ſus
facundia deſtituto exaratis, ſed ex quibus nihilominus facile, atque perſpicue, vt
ſpero
, conceptum animi noſtri percipere poſſis, ſi tamen eam præſtantis ingenij tui
aciem
adhibueris, qua ſoles intima quæque ſcientiarum penetrare, noſtræ opinio-
nis
ſummam perſtrinxi, quę ad te mittere decreui.
& quamuis ipſa res de qua agitur,
quæ
exactiorem deſiderat expoſitionem, prolixiorem me eſſe cogerit quam voluiſ-
ſem
.
multa tamen me obmiſiſſe intelliges, non admodum neceſſaria his quibus
Aſtrologiæ
noti ſunt termini, vt tuarum occupationum rationem me etiam habere
intelligeres
, at que vt ſummam oblectationem cõcipiam animo ſi me tibi aliqua ex
parte
ſatisfeciſſe intellexero ita humanitati tuæ gratiam habebo, quę mihi occaſio
nẽ p̃buit, imò verò me impulit, ad ea proferẽda:
quæ grata eſſe poſſint tui ſimilibus,
ideſt
p̃claro & cãdido ingenio præditis, atq; ad euellẽdã ex eorũ animis falſam opi-
241229EPISTOL AE. nionem, ſi quam fortaſſe ex illorũ ſcriptorum lectione cõceperunt circa ea, de qui-
bus
nunc ſum acturus.
Quemadmodũ igitur ab hoc authore ter ſcriptum fuit de cõtradictionibus, ſiue
erroribus
Ephemeridum, & earum calculos ſequentium, & de ratione qua cognoſci
poteſt
ſitus & locus alicuius ſuperioris planetæ, diuerſus ab eo, qui ab ipſis Epheme
ridibus
aſſignatus eſt, ita diſputationem hanc meam diuidam in tres partes, quo ſci
licet
minus confusè, & magis diſtinctè à me ſcribatur, p̃ſupponendo, vt animaduer-
tere
potes, huius ſcriptoris intentionem, aliam non fuiſſe, quã oſtẽdere, quod ſcripto
res
Ephemeridum diuerſimode eiuſdem temporis locum planetæ aſſignauere, &
quod
eum faciant modo nimium velociter currere, modo nimium in vno ſigno mo-
rari
, vt (exempli gratia) Martem interdum faciunt morari ſex, aut ſeptem menſibus
in
vno ſigno.
Idq; poſtea in cauſa eſſe ait, vt Aſtrologi indiciarij fallãtur, & ſimul
careant
certis fundamentis rationum quibus futura indicent, & prædicant.
Primum
ergo
videndum eſt, quam rectè hic vſus ſit arte, & ſcientia, vt aliorum opiniones, &
ſcripta
redarguere poſſet.
Deinde videbimus quomodo verum ſit, & poſſibile id
quod
ab Aſtrologis hactenus creditum, atque traditum eſt, & qua ratione poſſint ſie
ri
veri calculi à peritis regularum ſcientiæ.
In primo igitur tractatu inſcripto Animadnerſiones, præſupponit Author pro-
feſſores
huius ſcientiæ neſcire inuenire vera loca planetarum, quia vtuntur Ephe-
meridibus
, in quibus eorum loca non rectè ſunt notata.
Quod ſecundum ipſum ori
tur
, ex errore calculatorum, ſeu computiſtarum, potius quam ex varietate tabula-
rum
, à quibus Ephemerides ſumptæ ſunt, hoc tamen verum non eſt, Ephemeridas,
ſcilicet
, ita inter ſe differre, ratione errorum computiſtarum tantummodo, ſed po-
tius
ratione ipſarum tabularum, & ſi interdum contingere poſſit error aliquorum mi
nutorum
, nec non graduum, non propterea Ephemerides ita ſpernendæ ſunt.
In
multis
enim calculis, tales errores excuſabiles ſunt, cum ab innumerabilibus propè
accidentibus
oriri poſſint, præſertim in calculis prutenicis.
Videatur deinde vbi is profert quinquageſimum enuntiatum centiloquij Ptole-
męi
, ſatis mendoſe.
Ptolemęus enim ibi ſic ait.
Non obliuiſcaris eſſe centum viginti coniunctiones, quæ ſunt in ſtellis erraticis,
in
illis enim eſt maior ſcientia eorum quæfiunt in hunc mũdum ſuſcipiendi incre-
mentum
, & decrementum.
Nam, neque eo in loco, neque alibi, Ptolemęus quidquam eius dicere voluit
quod
ab hoc profertur.
Pergatur poſtea in pag .2. & videbitur hunc exiſtimare abſurdum quod Saturni,
& Iouis coniunctio vera anni .1563. potuerit eſſe in Leone ſigno igneæ triplicitatis
cum
eorum coniunctio vera anni .1544. fuerit in Scorpione, ſigno triplicitatis
aqueæ
, & cum coitus eorum anni .1583. futurus ſit in Piſcibus, ſigno pariter tripli-
citatis
aqueæ.
Ita enim ait.
Nam poſtquam duæ ſtellæ coiuerint, non prius ſub alio alterius triplicitatis ſigno
inter
ſe ſunt conuenturæ, quam per omnia ſigna quæ eiuſdem ternarij cum primo ex
titerint
prius coniungãtur.
Ita ſentit Ptolemęus, cæteriq́; non aſpernendi nominis
Aftronomi
.
Et tamẽ Ptolemęus nunquam quidquã huius rei attigit, & quamuis Albumaſar
& Alchibitius de eo loquãtur, is tamen eosnon intellexit, cum illi ibi agant de
242230IO. BAPT. BENED. periodis apparentibus, aut veris, ſed de mediocribus aut æqualibus, & quidem re-
ctè
dicunt, quia lineæ eorum mediorum motuum non coeunt in aliquo ſigno alte-
rius
triplicitatis, prius quam pertranſiuerint omnia ſigna illius, in qua incęperunt.
Itaq; nullum inconueniens ſequitur, ſi in veris cõiunctionibus non reperitur hæc re-
gula
.
Fieri enim poteſt, vt lineæ mediorum motuum coniungantur in vno ſigno, cor
pora
verò eorum planetarum coeant in alio, cum rarò eueniat, vt linea medij mo-
tus
, eadem ſit cum linea veri.
Nunc quidem tamẽ non affirmauerim, nec ne gauerim eorum coniunctionem an
ni
.1563. fuiſſe potius in Cancro, quam in Leone.
Sed tantum dicam vanũ eſſe cre
dere
id eueniſſe propter ſimilem naturam, aut qualitatem ſignorum.
Hunc enim
reſpectum
non habent illi planetæ in verisſuis coniunctionibus.
Exempli autem
cauſa
ponamus, quod rectè ſupputatæ fuerint coniunctiones annorum .1484. 1504.
& 1524. quod attinet ad differentiam duodecatemorij, ſcilicet prima in .24. gradu
Scorpij
, ſecunda in .20. Cancri, tertia in .10. Piſcium.
Cum ſecunda anticipauerit
trigonum
perfectum cum prima, gradibus .4. & tertia anticipauerit trigonum perfe-
ctum
ſecunda gradibus .10. ſi forte prima vt facta fuit in .24. gradu Scorpij facta
fuiſſet
in .2. gradu eiuſdem, planũ eſt ſecũda facta fuiſſet in .28. gradu geminorum
& tertia in .18. Aquarij, quæ ſigna ſunt diuerſæ triplicitatis ab illa Cancri.
Inſuper
ſi
coniunctio anni .1544. quæ fuit in .28. gradu Scorpij fuerit recta correſpondẽs prę­
cedenti
, anni .1524. per gra .18. ſine dubio ſi coniunctio anni .1524. facta fuiſſet in
18
. gradu Aquarij, illa anni .1544. fuiſſet in .6. Scorpij ſigni alterius triplicitatis quã
ſint
Gemini.
Præterea, vt anno .1544. cõiunctio facta eſt in .28. gra. Scorpij, & 1563
in
.29. Cancri, ponendo eas eſſe rectas, quod attinet ad ſuperandum trigonum vno
gradu
, ſi anno .1544. facta fuiſſet in .30. Scorpij, anno .1563. proculdubio facta fuiſ-
ſet
in primo gradu Leonis.
Et ſuppoſitis ijs interuallis, quæ ſuperſunt, aut deſunt per
fectis
trigonis, ſi coniunctio anni .1524. fuiſſet in .20. gradu Piſcium, anno .1544.
fuiſſet
in .8. Sagittarij.
Quæ quidem omnia aduerſantur opinioni huius ſcriptoris.
Quodautem opinatur coniunctionem anni .1583. fore in Ariete, ſic dicens pagi
na
ſecunda.
Non erit ab re ſi & eandem Saturni, & Iouis coniunctionem in primo igneæ tri-
plicitatis
ſigno, quod eſt Aries futuram afferamus anno .1583. ſi ab accidentibus no
bis
licet, vt ab omnibus paſſim conceditur, planetarum loca diſcernere.
In eo fallitur, neq; Saturnus, neq; Iupiter, errãt à vero per .9: nec .8. gra. ac ne
4
. quidẽ in buſuis Ephemeridibus aut tabulis.
Itaq; videbit eiuſmodi cõiunctionẽ
contra
ſententiã ſuã fieri in Piſcibus, aũt in Ariete. (vt poſtea res ipſa nos docuit
ſub
mẽſe Aprili. poſt ꝗdẽ ſcriptã hãc epiſtolã, vulgariq́; ſermone trãſmiſsã, ſed an-
tequã
in latinũ trãſlata, & huic volumini inſerta alijs Typographo cõmitteretur.)
Vbi poſtea meminit magnæ periodi annorum .960. non tantum ei cogitandum
erat
hãc fuiſſe opinionem antiquorũ, vt videri põt apud Albumaſarẽ & Alchibiciũ,
ſed
etiam perpendendum an eſſet vera, priuſquã ei adhæreret.
Hic enim fuit vnus
ex
erroribus illius ætatis, quæ nondum penetrauerat intima huius ſcientiæ.
Sunt
tamen
illi antiqui excuſatione aliqua digni.
Ponebant enim vigeſimo quoque an-
no
præcisè fieri mediam coniunctionem Saturni Ioue, & in quolibet ſigno eiuſ-
dem
triplicitatis cõiungi quater.
Itaque in qualibet triplicitate dicebant eos coire
duodecies
.
243231EPISTOL AE.
Quod ſecundum primum ſuppoſitum finiebatur ſpacio annorum .240. qui nume
rus
fit. ex .20. duodecies multiplicatis.
Et quia triplicitates ſunt .4. ideo credebant
in
ſpacio annorum .960. qui numerus fit ex .240. quater multiplicato, perfici .48. cõ-
iunctiones
, priuſquam redirent ad ſe coniungendos in eodem loco, ubi prius iun-
cti
fuiſſent.
Primum autem ſuppoſitum, quod vigeſimo quoque anno iũgerentur,
colligebant
ſic ratiocinantes.
Si Saturnus annis .30. peragit ſuum curſum per om-
nia
ſigna Zodiaci, Iupiter autem peragit eum annis .12. Saturnus ambulauerit .4. ſi
gna
, et .4. quintas partes ſigni, ſiue gra .24. dum Iupiter peragit integrum ambitum
ideſt
annis .12.
Itaque deſunt ei anni .8. ad perueniendum ad .20. quibus .8. annis Sa-
turnus
ꝑambulat ſigna tria & quintã partẽ unius ſigni .i. gradus .6. qui iuncti dictis ſi
gnis
.4. & gra .24. faciunt ſigna .8. quæ Iupiter item percurrit in annis .8. atque ita in
annis
.20.
Iupiter percurrit .20. ſigna antequã perueniat ad Saturnũ, cum Saturnus eo
dem
tempore perfecerit curſum ſignorum .8.
Eandem concluſionem etiam fortaſ
ſe
collegerant ex dictis ſuppoſitis, dicentes, ſi Saturnus annis .30. ambulat .12. ſigna
proculdubio
annis .20. ambulat .8. ſigna, quo tempore Iupiter perambulat .20. ad ra
tionem
.12. ſignorum in annis .12.
Verum hoc ſuppoſitum non eſt bonum, quoniam, ſi ita eſſet, coniunctiones horũ
duorum
planetarum nunquam exirent ex vna triplicitate, & non modo .960. quoq;
anno
, ſed etiam ſexageſimo rurſus coniungerentur in eodem puncto.
nec coniunctio
nes
eorum (ſemper autem intelligo de medijs) unquam egrederentur ex illis tribus
ſignis
Zodiaci.
Sed periodus æqualis Saturni, eſt dierum circiter .10740. atque ita minor an .30.
atque
etiam .29. cum dimidio periodus autem æqualis Iouis, eſt circiter .4328. vt
ego
eam comperio, quidquid alij dicãt, vtq́; planius alias oſtendam.
Itaq; hæc per
iodus
Iouis, etiam minor eſt ann .12. prætermittendo in ſupputatione Saturni quã
Iouis
quaſdam minutias horarum & earum partium, quæ hac in re pto nihilo habe-
ri
poſſunt.
Atque his duabus periodis eccentricorum duorum planetarum poſſu-
mus
cognoſcere interuallum quod erit inter vtramque mediam coniunctionem, hoc
modo
agendo, & ratiocinando.
Si Saturnus diebus .10740. circuit gradus .360. diebus .4328. qui ſunt periodus
Iouis
, conficiet gradus .145. & min .4. ideſt min .8704. & eadem regula inueniemus
Saturnus .30. quibuſq́; diebus, conſiciet min .60. & ſecunda .20.
Iupiter autem ſin-
gulis
.30. diebus, conficiet min .149. & ſecunda .43. vnde ſubtrahendo minuta Satur-
ni
à minutis Iouis, ſupererunt min .89. cum ſecun .23.
Itaq; Iupiter .30. quibuſq́; die-
bus
velocitate curſus, ſuperabit Saturnum minutis .89. cum ſecundis .23.
Atq; dicen-
do
, ſi minuta .89. cum ſecundis .23 dant nobis dies .30. ſupradicta, minuta .8704. da-
bunt
nobis dies .2921. quibus iunctis cum diebus .4328. periodi Iouis, efficientur dies
7249
. ideſt anni Aegiptij .19. cum diebus .314. & hæc erit æqua periodus temporis
inter
vtranque coniunctionem horum duorum Altiorum planetarum.
Vt autem pla
nius
oſtendatur hanc operationem rectam eſſe (nam demonſtrationem ſpeculatiuã
huius
operationis in .113. Theoremate noſtræ Arithmeticę cuiq; videre licet) fieri
poteſt
his alijs calculis.
Si Saturnus diebus .10740. tranſit per gra .360. in ſpacio dierum .2921. tranſibit
per
gradus .97. min .54. quibus iunctis cum gra .145. min .4. ſupra notatis, efticientur
gra
.242. min .58.
Deinde, ſi Iupiter ſpatio dierum .4328. tranſit per gra .360. igitur
ſpatio
.2921. per eandem regulam inueniemus eum tranſire gradus .242. mi .58. qui
numerus
par eſt illi Saturni.
Cum ergo Iupiter confecerit vnum ambitum poſt con­
244232IO. BAPT. BENED. iunctionem cum Saturno, vt rurſus aſſequatur Saturnum, tranſeundum ei erit gra .
242
.
min .58. iter confectum à Saturno toto tempore annorum .19. & dierum .314.
ad
rationem graduum .360. diebus .10740. (poſſumus etiã dicere gra .243. quia præ
termiſimus
quaſdam exiguas particulas periodorum perfectorum cuiuſque planetę
in
ſuperioribus ſupputationibus.)
Illos verò gradus .43. Iupiter conſiciet diebus .
2921
.
ad rationem graduum .360. diebus .4328.
Atq; ita vt diximus, ab vna coniun-
ctione
ad aliam intererunt anni .19.
Aegiptij cum diebus .314. vel circa.
Nunc autem vt videatur an tabulæ Alfonſi conueniant cum hoc nr̃o calculo, cõ-
ſiderabimus
, Era (vt vocant) dicti temporis annorum .19. cum diebus .314. eſt dua-
rum
tertiarum ſexagenarum, ſecundæ nullius, & 53. primarũ ſiue dierum.
Et per hãc
Eram
colligendo motum mediocrem, tum Saturni, tum Iouis, omiſſis radicibus, & in
cipiendo
ab Ariete, comperiemus vtriuſq; planetæ lineæ eiuſmodi motus tranſi
bunt
per min .56. tertij gradus Sagittarij, ideſt coniunctæ erunt.
In fine poſtea ſecundæ periodi, cuius era erit .4. tertiarum, ſecundæ .1. et .47. pri-
marum
ſexagenarum, locus mediocris vtriuſq; erit in min .56. gra. ſexti Leonis.
In
fine
verò tertiæ periodi, cuius era erit .6. tertiarum .2. ſecundarum, et .41. primæ, lo-
cus
eorum mediocris inuenietur in .56. minuto gradus .9. Arietis.
Atq; ita deinceps
in
fine cuiusq́; periodi, locus eorũ mediocris coniunctim ſemper diſtabit à loco me
diocri
præcedentis coniunctionis gradibus .117. ideſt in trigono antecedenti, minus
gra
.3.
Vnde apparet has coniunctiones procedere in contrariam partem reſpectu or
dinis
ſignorũ Zodiaci, ſed reſpectu ordinis graduum ſignorũ, ſemper progrediunt̃ or
dine
per ternos gradus nunquam retrogradientes.
Hinc ſe quitur, vt non duodecies
in
omni triplicitate coniungantur hi duo planetę, vt antiqui putauerunt, ſed decies
tantum
.
& ad ſummum ter in ſingulo ſigno, ſpatio annorum .198. & dierum .220. aut
circiter
, non autem .240. nec .242.
Atque decem vices comprehendunt gra .27. &
vltima
vice inueniuntur in ſigno ſequenti alterius triplicitatis.
Exempli gratia, po-
namus
prima vice cõiungant̃ in gra .2. Arietis, ſecunda coniunctio erit in .5.
Sagit-
tarij
, tertia. in .8. Leonis. quarta in .11. Arietis, quinta in .14. Sagit .6. in .17. Leonis.
ſeptima
in .20. Arietis, octaua in .23. Sagittarij, nona in .26. Leonis, decima in .29.
Arietis
, et vndecima erit in gra .2. Capricorni ſigni ſequẽtis triplicitatis.
Decem igi­
tur
interualla ſingula annorum .19. & dierum .314. faciunt annos .198. & dies .220.
Immo
pertabulas Alfonſi, eiuſmodi periodus non modo non reperitur annorũ .242
nec
.240. vt antiqui credidere, ſed tribus diebus minor annis .198. & diebus .220. id-
eſt
per dictas tabulas inuenitur eſſe annorum .198. & dierum .217. tantum, qui nume
rus
multiplicatus per .4. triplicitates, efficiet periodum maiorem, quæ erit annorum
794
. & dierum .138. quo tempore dicti planetæ redeunt ad eundem locum vbi pri-
mum
ſe coniunxere.
Vt exempli gratia, locus mediocris Saturni & Iouis in fine annorum .198. dierum
217
. reperitur in gradu .30. Sagittarij.
Si quæſiuerimus hunc locum per aggregatũ
annorum
.794. & dierum .138. cum annis .198. & diebus .217. quorum ſumma eſt .
992
.
& dies .355. inuenietur locus mediocris ipſorum planetarũ in dicto vltimo gra
du
Sagittarij.
Sed ſi quęſiuerimus eorum locum mediocrem per aggregatum anno
rum
.198. & dierum .217. cum annis .960. quod erit ſumma annorum .1158. & dierũ
217
. reperiemus Iouem in gradu .18.
Sagittarij & Saturnum in .16. Leonis diſtanti-
bus
inter ſe duabus eorum lineis motuum mediocrium gra. circiter .122.
Atq; Iupi-
ter
præcedet, & oportebit coniunctio eorum mediocris fuerit multis annis ante
omittendo
(vt dixi) radices, quia ſatis eſt inuenire interuallum inter lineas eorum me
diorum
motuum.
245233EPISTOL AE.
Debebat igitur author animaduerſionum non quaſi cæcus eæcos ſequi, ſed prius
laborare
, vt certior fieret, an interuallum annorum .960.
Verum eſſet.
Sed peius eſt, idem author paulo inferius citat coniunctiones horum duorum
planetarum
anni .1493. et .1512. quas neſcio vnde ſumpſerit.
Nam, etſi inter hos annos eſt interuallum annorum .19. tamen tantum abeſt, vt
coiuerint
dictis annis, vt Saturnus anno .1493. ante finem Auguſti fuerit in .28. gra-
du
Aquarij, Iupiter verò in .28. Leonis ex diametro oppoſiti.
Et anno .1512. per to
tum
menſem Iunium & Auguſtum, Saturnus fuerit in Libra, Iupiter verò in Ariete,
itaque
inter ſe ſimiliter oppoſiti, & ſi perfecta oppoſitio non fuit poſtea niſi ad finẽ
Iunij
ann .1513. & locus Monteregij ab eo citatus, vbi ait eum ponere coniunctio-
nem
anni .1484. in gra .23. min .4.
Scorpij, eſt mendoſus. Nam ipſe Montere gius po
nit
dictam coniunctionem in mi .42. gra .24. non autem in min .4. ipſius gradus.
Sed
hic
error nullius eſt momenti, fortaſſe qui impræſſorum incuria irrepſit.
Pergatur poſtea obſecro ad paginam .3. ipſarum Animaduerſionum, vbi hic co-
natur
oſtendere calculatores non obſeruaſſe verum modum, ſic dicens.
Anno .1484. Nouembris .25. Saturno locum conſtituit Monteregius in grad .23.
min
.4. Scorpij.
Anno poſtmodum ſubſequenti qui eſt .1485. eundem in min .7. Sa-
gitarij
collocat .21. Februarij die.
Interq́; tempora duo interſunt menſes dies .26.
At cum ex motus ſui natura Saturnus hoctemporis ſpacio gradus .4. non debeat trã-
ſcendere
, ſit tamen inter vtrunq; tempus differentia graduum .7. minutorum .3. quæ
ratione
ſui motus requirunt menſes .6. vt eos perficiat, conſtat pluſquam tribus men
ſibus
fallere nos Saturnum.
Hic videre licet quam veram viam hic ſecutus ſit ad aperiendos errores Epheme
ridum
, & miſeri Monteregij, qui Saturnum claudum facit tantum itineris conficere
tribus
mẽſibus, quãtũ vix confeciſſet mẽſib. ſex.
Sed fortaſſe ratiocinat̃ hoc modo.
Si motus naturalis Saturni facit vt circumeat totum cęlum annis .30. igitur menſi-
bus
.30. conficiet duodecimam partem circuitus, cum menſes .30. ſint duodecima
pars
annorum .30. & quia duodecima pars circuitus cęli intelligitur conſtare ex .30.
gradibus
, igitur quilibet menſis poſtulabit gradum vnum.
Ideo illi .6. aut .7. gradus
poſtulant
tempus, amplius menſium ſex.
Atque eiuſmodi mira ratiocinatio poteſt in .2. exemplo eius, inſcripto.
Deeodem ex eodem
Vbi miratur, Monteregius faciat Saturnum ambulare gra .9. min .10. in menſi-
bus
.7. & diebus .6.
Ad quod iter Saturnc ſeni opus eſſet ſaltem menſibus .9. eius
iudicio
.
Sed ſi hoc miratur, quid dicturus fuiſſet, ſi animaduertiſſet, quod idem calculator
Monteregius
facit Saturnum ambulare immo volare gra .9. min .48. non in 7. ſed in
2
. menſibus cum dimidio, videlicet à .10. die Iunij vſque ad .26. Auguſti eiuſdẽ an-
ni
.1504.
Quid ſi etiam animaduertiſſet à .10. die Iunij ſupradicti vſque ad .16. Ianuarij
anni
ſequentis, faciunt Saturnum, ſurſum, deorſum curſitare amplius gra .17. mi .54.
Imino
ſi animaduertiſſet, quod anno .1524.
Stoflerinus ab initio anni, vſquẽ ad
medium
Maium, ideſt menſib .4. cum dimidio, facit Saturnum ambulare gra .15.
Pro
fectò
ob has velocitates, eius iudicio, tam abſurdas, obſtupuiſſet.
Vbi autem in tergo eiuſdem paginę ait, quod gradibus .13. min .42. reſpondent
menſes
.19. errauit in calculo, nam ex eiuſmodi tempore ſecundum eius regulam ef-
246234IO. BAPT. BENED. ficerentnr ſinguli ambitus Saturni ad rationem annorum amplius .40.
Videamus nunc vbi agit de Ioue, & reperiemus in primo exemplo circa annũ.
1484
. repręhendit Monteregium, quia facit Iouem ambulare gradus .14. cum min .
6
.
in menſibus .2. diebus .4. ad quod iter, vt ipſe ait, opus eſſet ſaltem mẽſibus .11. atq;
ita
ſecundum ipſum, Ioui opus eſſet anno vno pro ſingulo medio ſigno.
Vbi bonus
hic
vir pariter cæcutit.
Idem in ſecundo exemplo ſumpto à Stoflerino ait, Ioui ad curſum vnius gra-
dus
, & min .5. opus eſt diebus .30. non autem menſibus .7. & diebus .28. vbi oſtendit,
ſe
paruum diſcrimen facere inter Iouem, & Saturnum.
Miratur poſtea Stoflerinus faciat laborare generoſum Iouem ferè menſibus
ſex
in vno gradu.
Sed multo magis, vt puto, miratus eſſet, ſi vidiſſet, quod idem
Stoflerus
in eodem anno facit, quod Iupiter die .4.
Ianuarij ſit in eodem puncto, in
quo
poſtea reperitur die vltima Auguſti.
At fortaſſe dici poſſet, quod Iupiter pro-
pter
prudentiam, & bonitatem ſuam factus eſt R ex omnium Deorum, vt ait Home-
rus
, & ideo expulit è ſede Saturnum, & aſcendit in altiori cœlo.
Vnde euenit vt fa-
ctus
fuerit lentior in curſu, Saturnus autem velocior.
Aut iam tot annos eſſe na-
tum
Iouem, vt iure credi poſſit eum iam factum eſſe ſenem, & pariter tardio-
rem
in ſe mouẽdo.
aut tũc temporis illum detentum fuiſſe in ſibi dilecta Arcadia
Caliſto
.
Aut fortaſſe erat in alta ſpecula intentus audiendo ingenti certami-
ni
Timoclis & Damidis, vnde pendebat exitium aut gloria familiæ ſuæ, nam alio-
quin
Stoflerus non depræhendiſſet eum tam otioſum & morantem.
Sediam relin-
quamus
Saturnum & Iouem, & ad Martem veniamus.
Ferox & inquietus Mars, qui ſemper bella & ignes ſpirare ſolet, etiam, & ipſe ab
Aſtrologis
factus eſt piger, & languidus, vt velint eum nonnunquam commorari
in
vno ſigno ſex aut ſeptem menſibus;
quod nullo pacto placet authori Animaduer-
ſionum
, cum pag .4. ita ſcribat.
Quod citra notam, ab omnibus creditur poſſe obſeruari, quamuis à nobis non ac
cipiatur
.
Itaque ei videtur impoſſibile. Quia Mars peragit ſuum eircuitum minus .2. an-
nis
.
Sed audacior fuiſſe videtur, qui voluerit arguere tot egregios viros antiquos,
& recentiores, qui vti diligentes rerum cœleſtium obſeruatores, ipſis oculis certi fa
cti
ſunt tam de his effectibus Martis, quam aliorum, vnde coacti ſunt fingere tantam
magnitudinem
eius epicycli, cum ipſe nunquam obſeruauerit motum, nec huius nec
alterius
planetæ, ſed tantum viderit eius moram in Ephemeride ſcriptam.
Si enim
ſaltem
diceret, ſe aliquo tempore obſeruaſſe iter Martis, & comperuiſſe aliorum opi
nionem
falſam, attuliſſet aliquem colorem ſententiæ ſuæ.
Sed ſi obſeruaſſet, non
ſcripſiſſet
poſtea contra, vt puto.
Res enim ita ſe habet, quod Mars in omni circui
tu
ſui epicycli tranſiens per inferiorem partem ipſius epicycli, ſemper commoratur
multis
menſibus in vno duodecatemorio Zodiaci, ſcilicet .6. et .7. menſibus, atque
etiam
amplius, quod quidem ego ſæpe obſeruaui, præſertim anno .1565. et .1566.
hoc
ordine.
Primum inſpiciens Ephemeridas ſtadij, reperi Mars ſecundum eum
egrediebatur
retrogradationem circa diem .12. Ianuarij anni 1566. in .16. grad.
Geminorum
.
Et ſimiliter quod anno .1565. die vltima Auguſti Mars futurus erat in
eodem
ſupradicto loco, priuſquam retrogradi inciperet.
Poſtea inueni, quod poſt
retrogradationem
die .11. Aprilis .1566.
Idem Mars futurus erat in gra .16. Cancri,
itaq; in his .30. gradibus à .16. Geminorum ad .16. Cancri conſumebatur ſpatium
menſium
.7. & dierum .11.
247235EPISTOLAE.
Quo ſupputato, ſumpſi inſtrumenta, & ad experimentum me paraui, & vltima
nocte
menſis Auguſti anni .1565. reperi Martem eſſe in dicto gradu geminorum vt
ſcribebat
Stadius.
Deinde ſingulis ebdomadibus obſeruans retrogradationem; vidi
circa
finem Octobris quod retrogradi incipiebat, & ea retrogradatio perſeuerauit
vſque
ad medium menſem Ianuarium, aut circiter, anni .1566. obſeruaui poſtea
etiam
ſitum eiuſdem planetæ die .11.
Aprilis ſequentis eumq́; inueni in gradu .16.
Cancri
, vti eum poſuerat Stadius.
Atque ita experimentum meum conuenit cum
calculo
Stadij, comperiq́; eum non erraſſe:
Et ſic quiſque binis quibusq́; annis pote-
rit
certior fieri de veritate.
Si autem delectationis cauſa id experiri volueris, expe-
ctato
primam retrogradationem Martis, cuius initium ſecundum Stadium futurum
eſt
circa diem .20.
Nouembris anni .1582. & finis circa diem .10. Februar .1583.
circa
grad .9. Cancri, & animaduerte quando Mars erit circa dictum gra .9. Can-
cri
prius quam retrogradi incipiat, quod erit circa diem .19. Septem .1582.
Dein-
de
aſpice quum erit in grad .9. Leonis, quod erit circa diem .7. Mai .1583. & vide-
bis
ipſe Mars in his gra .30. morabit̃ menſes .7. & dies .18. atq; vt eius rei pericu-
lum
facias, obſerua noctem præcedentem diei .19.
Septem .1582. locum lõgitudinis
eius
ſtellæ, & idem poſtea obſerua nocte præcedente diei .7. Mai, aut nocte ſequen-
ti
.1583. & inter duos hoſce terminos obſerua aliqua alia nocte ſtatum eius.
Mani-
feſtoq́; videbis Martem conſumere totum dictum tempus in hoc duodecatemorio.
Et quicunque aliquid intelligit in hac facultate quamuis non viderit Ptolomęi
Almageſtum
, minori labore poſſet per calculos ſcientificos colligere verita-
tem
, ſuppoſitis tamen terminis ſcriptis in theoricis planetarum.
Qui enim vidit
Almageſtum
vel reuolutiones orbium cœleſtium Nicolai Copernici, non poteſt de
hoc
vllo pacto dubitare.
Sed qui nondum tantopere progreſſus eſt, ſaltẽ capiat huiꝰ
rei
notitiam vniuerſalem, hoc modo.
Supponat primum eccentricitatem deferen-
tis
epicycli Martis, eſſe .6. partium taliũ, quales ſunt ſexageſimæ ſemidiametri ipſius
deferentis
, & ſemidiametrum epicycli eſſe, partium ſupradictarũ .39. cum dimidia,
& quod argumenta vera, in temporibus primarum ſtationum ( cum epicyclus eſt in
auge
, aut in eius oppoſito, aut in lũgitudinib. me dio cribus ) ab antiquis rectè ſuppu
tata
ſint, ſicuti ſunt.
Et præſupponat motum diurnum centri epicycli. min .31. cum di
midio
, quamuis reuera ſit min .31. & ſecundorum .27. aut circiter, nunc quidẽ præter
mittens
, quod vnus habeat reſpectum ad augem mediam epicycli, & alter ad cen-
trum
æquantis.
Atque his præſuppoſitis fingat ( exempli gratia ) quod centrum
epicycli
ſit in quauis longitudinum mediarum, & Mars in prima maxima æqua-
tione
argumenti, ſcilicet in prima linea, quæ attingens epicyclum, à centro mundi
pergat
ad circunferentiam Zodiaci, quæ erit illa linea cõtingentiæ a qua proficiſcẽs
Mars
perget ad lineam primæ ſtationis, vt poſtea retrogradiatur, veluti ſi in infrapo
ſita
figura maiori, cẽtrũ mũdi eſſet .o. & vnus arcus eccẽtrici eſſet .a.b.c.d. & vna ex li
neis
medio cribus longitudinum eſſet .o.c.f. & centrum epicycli .c. qui notabitur per
a.f.e.g. & lineæ contingentes epicyclum in punctis .i. et .t. ſint notatæ .o.i. et .o.t. & li-
nea
primæ ſtationis .o.n.b. & linea ſecundæ .o.u.d. ſi igitur Mars eſſet in puncto .i. an-
gulus
.i.o.e. maximæ æquationis argumenti eſſet gra .40. minut .55. quãuis talis maxi
ma
æquatio argumenti in longitudinibus mediocribus Alfonſi ponatur eſſe gra .41.
minut
.10. quod euenit quia calculatores ipſarum tabularum interuallum .o.c. quod
in
eo ſitu epicycli interponitur inter centrum mundi, & centrum dicti epicycli, ac-
ceperunt
partium ſexaginta præcisè, nihili facientes minuta illa .18. aut circiter, quę
verè
ſunt præter dictas partes .60. quandoquid em euenit vt dictum interuallum in
248236IO. BAPT. BENED. tali ſitu epicycli ſit baſis vnius trianguli orthogonij, cuius vnum ex illis duobus late-
ribus
eſt ſemidiameter eccentrici partium .60. pręcisè, aliud eſt interuallum eccen-
tricitatis
partium .6. eiuſmodi.
Angulus ergo .i.o.c. vt dixi, erit partium .40. minu .
55
.
qui angulus continuò variatur ſecundum ſitum epicycli.
& cum centrum
eius
eſt in auge eccentrici. eſt minimus quã eſſe poſſit.
eſtq́; tantum grad .36. min .
46
.
& in oppoſito ipſius augis eſt grad .47. min .1. maximus quam alibi vnquam ſit,
& ſic continuò variatur, ſecundum ſitum, quem habet epicyclus in eccentrico.
Qui
quidem
angulus inuenitur per doctrinam .27. et .28. libri primi Monteregij de trian
gulis
.
Nam triangulus .c.i.o. eſt ſemper rectangulus in puncto .i. & latus .c.i. reſpectu
ſemidiametri
eſt datum.
Quod .c.i. erit veluti partium .39. cum dimidia, et dictum
interuallum
.o.c. veluti pat cium .60. min .18. & quia datur nobis etiam eccentricitas
veluti
partium .60. talium, & cum .c.o. ſit linea veri motus epicycli, & latus ſimiliter
vnius
trian guli, cuius duo latera ſunt ſupradicta, ſcilicet ſemidiameter eccentrici, &
eccentricitas
, inter ſe compræhendentes angulum datum.
Nam ſemper præſuppo
nitur
datus locus centri ipſius epicycli, cum ipſe eſt extra augem aut oppoſitum eius
quia
in auge linea .o.c. conſtat ex ſemidiametro eccentrici & interualli eccentricita-
tis
.
& in eius oppoſito, ipſa linea .o.c. eſt minor dicto ſemidiametro eccentrici per in
teruallum
dictæ eccentricitatis.
Vnde etiam poſſumus extra augem, vel oppoſitum
eius
cognoſcere .o.c. tanquam latus dicti trianguli duorum laterum angulo cogni
torum
.
Idq́; per .49. propoſitionem libri primi eiuſdẽ Monteregij cum ſcilicet dictus
angulus
fuerit rectus.
Nam ſi fuerit rectus videbitur per .27. et .28. ſupra citatas.
Cum igitur hab eamus angulum .c.o.i. gra .40. mi .55. angulus .o.c.i. tanquam reli-
quus
exrecto, erit grad .49. mi .5. cui reſpondet arcus .i.g. epicycli confectus à Marte
in
diebus circiter .105. ad rationem min .28. aut circiter in ſingulos dies, prætermiſ-
ſis
nunc quidem minutijs cum exigui momenti ſit error .15. aut .20. dierum ad verifi
cationem
longæ morę Martis in vno duodecatemorio, atque per hoc tempus cen-
trum
epicycli conficit gradus .55. min .7. aut circiter, ad rationem minutorum .31.
dimidio
in ſingulos dies. qui numerus graduum .55. min .7: differt à numero graduũ.
40
. min .55. maximæ æquationis argumenti gradibus .14. mi .12. nec refert quod gra .
55
.
min .7. habeant reſpectum ad centrum æquantis, magis quam ad centrum mũdi,
quia
differentia non eſt tanta, vt poſſit inducere errorem menſium.
Hinc ſequitur
quod
in fine dictorum dierum .105.
Mars erit in linea .o.c. veri motus epicycli, ſed
gradibus
.14. min .12. vlterius quam in primo loco, in quo erat in Zodiaco, & erit in
medio
ſuæ retrogradationis.
Sed quoniam Mars manifeſtè retrogradi non incipit
in
puncto .i. conting entiæ, imo ab illo puncto vſque ad terminum primæ ſtationis li
neæ
.o.n. interponitur arcus .i.n. epicycli, qui eſt graduum .32. minu .14.
Idq́; cogno-
ſcitur
ſubtrahendo arcum .f.i.n. graduum .163. mi .9. qui eſt inter augem, & primam
ſtationem
, à gradibus .180. ( qui arcus .f.i.n. erit verum argumentum, quod ſi-
militer
variatur ſecundum ſitum epicycli, etſi eiuſmodi varietas, nobis eſt magni
momenti
, vnde poſſumus præſupponere, quod .c. centrum epicycli non alteret in-
teruallũ
.c.o. à centro mũdi, non posſit intercedere, error mẽſiũ reliquum verò .g.
n
.
graduum .16. min .51. ſubtrahendo ex arcu .g.i. graduum .49. minuti .5. vnde reli-
quus
nobis erit arcus .n.i. graduum .32. min .14. in eiuſmodi tamen ſitu mediocrium
longitudinum
.
Nunc hic arcus epicycli graduum .32. mi .14. fit à ſtella Martis die-
bus
.69. ad rationem ſupradictam, omittendo quod ipſa ſtella habeat reſpectum ad
augem
mediocrem epicycli, & quod dicta aux mediocris mutet diſtantiam à vera
propter
motum epicycli, quod nunc quidem parui refert, in quibus diebus .69. cen-
249237EPISTOLAE. trum epicycli conficit gra .36. min .13. ad rationem ſupradictam. Reſtat nunc no-
bis
inuenire angulum .b.o.c. in centro mũdi inter duas lineas, b.o. et .c.o. quarũ prior
eſt
primæ ſtationis, altera eſt veri motus epicycli, quod facilè intelligemus per di-
ctam
.49. lib. 1. Monteregij, cum duo latera .n.c. et .c.o. & angulus .n.c.o. ſint nobis no
ta
.
Hoc autem fiet fingendo lineam .n.h. perpendiculerem ad .o.c. quæ tanquam ſi-
nus
anguli .n.c.h. erit partium .28986. talium qualium .n.c. eſſet partium .100000. &
c.h. tanquam ſinus anguli .c.n.h. reſtantis ex vno recto, erit partium .95706. dicendo
poſtea
ſi .n.e. tanquam ſinus totalis partium .100000. dat nobis .n.h. partium .28986
quid
dabit nobis diameter .n.c. tanquam partium .39. mi .30. inueniemus .n.h. venire
nobis
ex partibus 11. mi .27. & idem faciendo de .c.h. inueniemus quod veniet no-
bis
partium .37. mi .48. quibus ſubtractis extota .c.o. quę eſt partiũ .60. mi .18. reliqua
erit
nobis .h.o. partium .22. min .30. capiendo poſtea radicem quadratã ſummæ qua
drati
.n.h. cum quadrato .h.o. veniet nobis .n.o. partium .25. min .12. talium qualis .n.
h
.
eſt partium .11. min .27. ſi igitur ad .o.n. tanquam partium .25. min .12. reſpondet .
n
.h.
partium .11. minuti .27. linea .n.h. ad .o.n. tanquam partium 100000. reſpon
debit
part .45436. tanquam ſinus anguli .n.o.h. qui angulus erit gra .27. minut .1. ſub
tracto
poſtea hoc angulo ab angulo .c.o.i. graduum .40. minut .55. remanebit an
gulus
.n.o.i. graduum .13. minut .54. inter lineam contingentiæ, & lineam primæ
ſtationis
in eiuſmodi ſitu.
Et ideo Mars acceſſerit ad lineam .o.c. veri motus epi-
cycli
.
Sed quia linea .o.i. contingentiæ, propter motum centri epicycli, in dictis die-
bus
.69. confecerit gradus .36. minut .13. ( præſuppoſita ſemper eadem di-
ſtantia
.o.c. quamuis nonnulla ſit differentia, quam nunc prætermittemus ) & Mars in
dicto
tempore retrogreſſus fuerit per dictum angulum gra .13. mi .54. quibus dedu-
ctis
, ex .36. & min .13. reſtabunt gra .22. min .19. itaque in diebus .69.
Mars promo-
tus
fuerit a primo ſitu gra .22. min .19. aut circiter, prius quam retrogradatio eius in-
cipiat
eſſe appa-
rens
.
290[Figure 290]
Nunc à prima
ſtatione
vſque ad
lineã veri motus
epicycli
ſunt gra .
16
.
min .51. ipſius
epicycli
, vt ſupra
vidimꝰ quos Mars
tranſit
in diebus
36
. aut circiter ad
rationem
min .28.
in
ſingulos dies,
quo
tempore cen
trum
epicycli, in
tali
diſtantia à cẽ-
tro
mundi confice
ret
gra .18. mi .54.
ad
rationem min .
31
.
cum dimidio
in
ſingulos dies,
quibꝰ deductis ex
gra
.27. min .1. an-
250238IO. BAPT. BENED. guli .c.o.n. remanebunt gra .8. min .7. pro numero dimidiæ retrogradationis quum
Mars
erit in linea .o.c. veri motus epicycli.
Quibus gradibus .8 min .7. ſubtractis à
grad
.22. minu .19. per quos Mars progreſſus erat, ſupererunt grad .14. minut .12.
quibus
ipſe in media retrogradatione exiſtens in linea .o.c. veri motus epicycli pro-
motus
erit à principio primi ſitus.
Quod cum eo concordat quod ſupra diximus cir
ca
hos gradus .14. min .12. vltra primum ſitum in ſpatio dierum .105. vt ſupra, ad
tum
enim aſcendunt .69. et .36. nunc fingendo Mars pergat in ſuo motu compo-
ſito
qui conſtat ex his duobus circulis, vi eccentrici, & epicycli ( quanquam
vt
dixi omittimus illam ſummam ſubtilitatem ſeu ſcrupuloſi atem cõtinuæ inæqua-
litatis
diſtantiæ centri epicycli à centro mundi, & præterimus etiam irregularitatẽ
eius
circa centrum mundi, propter regularitatem eius circa centrum æquantis,
atque
etiam miſſum facimus motum epicycli recti à ſua media auge ) fingendo
inquam
, quod Mars dicto motu ſuo pergat, vſque ad punctum ſecundæ ſta-
tionis
, præteribunt alij dies .36. vt prius, quibus iunctis cum .105. fiet ſum-
ma
dierum .141. & Mars retrogreſſus erit per alios grad .8. minut .7. quibus ſub-
tractis
a gradibus .14. m in .12. per quos progreſſus erat ſupererunt. gra .6. min .5. qui
bus
ipſe Mars in fine ſuæ retrogradationis promotus erit à primo loco vnde moueri
cœpit
.
Inter hanc igitur ſecundam ſtationem lineæ .o.u.d. & lineam .o.t. ſecundæ con
tingentiæ
, Mars diebus .69. vt prius, confecerit gradus .32. min .14. ſui epicycli, & eo-
dem
tempore linea contingens .o.t. ambulauerit gra .36. min .13. vt prius, à quo itine
re
ſubtracto angulo ſecundo .d.o.t. graduum .13. min .54. ſupererunt gra .22. min .19
vti
prius, quos Mars ambulauerit directè & apparenter, quibus additis ad gra .6. mi
nut
.5. quibus Mars progreſſus erat à principio motus, fient gra .28. min. circiter .24.
quibus
proceſſerit à priori loco in diebus .177. ideſt in .141. et .36. qui ſunt ferè m. n
ſes
.6.
Itaque Mars partim ſurſum partim, deorſum ambulans detentus erit mẽſibus
6
. in grad .28.
Zo-
diaci
, atq; ſi finxe
291[Figure 291] rimas quod epicy
clus
moueat̃ ver-
ſus
oppoſitum au-
gis
, lõgior erit mo
ra
planetæ in eiuſ
modi
duodecate-
morio
, propter au
gumentum
æqua-
tionis
argumenti.
Itaque probata à
nobis
eſt poſſibi-
litas
huius moræ
Mattis
.
Quod qui
dem
mihi ſuffice-
re
videtur mo-
do
cibi, ſed etiam
cuiuis
, qui harum
ſcientiarum
prin-
cipia
teneat.
Ne-
que
enim nũc do-
cere
volo eos qui
251239EPISTOLAE. in ijs ſunt conſumati, nec curam mihi ſuſcipere erudiendi imperitos. Satis igitur ſit
oſtendiſſe
, quod qui ſcripſit Martem commorari poſſe tam multos menſes in vno ſi
gno
, non impoſſibilem rem tradidit.
Immo per obſeruationes huius veritatis mil-
lies
factas, Aſtrologi fecere ſupradictas ſuppoſitiones neceſſarias ad reducẽdum in
ſuas
cauſas, & ad regulam, eiuſmodi veriſſimos effectus.
Non oportebat autem ſcriptorem harum animaduerſionum tantopere eiuſmodi
mora
commoueri, ſed cogitare fortaſſe calculi facti fuerunt eo tempore quo mi-
ſer
Mars à Vulcano rete vinctus erat.
Vnde cum nonita celeriter ſe expedire poſſet
iter
eius ſegnius peractum fuit.
Aut quũ vulneratus fuit in bello Troiano, vis eius
& agilitas per aliquantulum temporis imminuta fuit.
Atque ſi hic etiam intellexiſ
ſet
eum aliquãdo fuiſſe in poteſtate Othi, & Ephialtis vinctũ & carceri incluſum mẽ-
ſes
tredecim, dum ab Eribea ſolutus fuit, vt tu, antiquos ſequens, eleganter ſcribis
in
illis tuis pulcherimis dialogis. non exiſtimaſſet, credo, tam abſurdum quod alius
detinuiſſet ſex aut ſeptem menſibus, ſed operam dediſſet vt a te intelligeret quid
ſibi
vellet tam longa captiuitas.
Sed vt ad rem redeamus. Idem pag .4. ait, quod verus motus Martis diſtat à me-
dio
circiter dies .8. ſupponens medium motum eſſe dierum .683. etiam falſum eſt.
Sed vtcunque ſit, fallitur. Solet enim periodus veri motus Martis eſſe die-
rum
circiter .708. modo paulo plus, modo paulo minus, & interdum poteſt etiam
eſſe
multo breuior, ſicuti erit à die 3.
Decembris anni .1593. vſq; ad initium Iunij .
1595
.
Tunc enim erit tantum dierum .545. & non quidem ſine ratione, nam dicto
initio
Decembris Mars paulo ante cæperiteſſe directus, cum centrum epicycli erit
circa
medium Tauri, & eius ſtella in principio Arietis & initio Iunij .1595.
Mars pa
rum
diſtabit ab initio retrogradationis, regreſſus tamen ad initium ipſius Arietis, &
centrum
epicycli erit circa medium Aquarij, in cuius ſigni medio, hac ætate repe-
ritur
oppoſitum augis, & in quo ſitu, æquationes argumẽti ſunt, quam maximę eſſe
poſſint
, quum centrum epicycli circuiuerit ſolum circiter tres quartas totius ambi-
tus
, & Mars circuiuerit per partem ſuperiorem epicycli circiter gradus .252.
Hoc au
tem
dico, vt oſtendam poſſibilitatem huius eius extraordinariæ velocitatis.
Nam
quicunq; voluerit poterit certior fieri, per calculum partium motus Martis.
Vbiautem poſtea idem author miratur interualla, quæ ponũtur inter coniunctio
nes
Iouis, & Martis in eodem ſigno, eaq́; vocat errores maximos, oſtendit ſe non re
ctè
conſideraſſe motus eorum.
Et præcipuè primum miratur inter annum .1528.
et
.1553.
Iupiter & Mars nunquam coeant in Leone, cum duæ coniunctiones in
ter
ſe diſtent ann .25. afferens pro ratione, quod hæc duo ſydera, altero quoque anno
coniunguntur
, ſic dicens.
Qui ſciet has duas ſtellas ſecundo quoque anno inter ſe coniungendas, mirabitur
quomodo
non poterunt numeratores, huiuſmodi animaduertere errores.
Et præter hanc rationẽ fortaſſe ẽt conſiderauit, in dicto temporis interuallo Iu
piter
sẽper fuit in Leone, vt ann .1540. et .1541.
Mars aũt in eo ſæpe fuit. Vnde im
poſſibile
eilvidetur eos non conueniſſe in dicto ſigno.
Idemq́; dici poteſt de alijs
coniunctionibus
eorundem planetarum, atque has differentias temporum inter di-
ctas
coniunctiones ipſe tribuit erroribus calculorum Ephemeridum, non autem ta-
bularum
, vt ſupra dixit.
ſed neſcio quare vellet dictos planetas coire in Leone, ſi
quum
Iupiter in eo erat anno .1540. et .1541. & in eo deambulabat̃, Mars interea
erat
in Libra, modo in Scorpione, Sagittario, Capricorno, & alijs ſignis vſq; ad
Cancrum
, in quo cum repertus fuit anno .1541. cogitans congredi cum loue in Leo­
252240IO. BAPT. BENED. ne, comperit eum inde aufugiſſe. Idq́; fortaſſe, Iupiter data opera fecit, vt huiuſ-
modi
Aſtrologos in admirationem induceret.
Idem dico de alijs coniunctionibus horum duorum.
Quod poſtea ait, eos ſecundo quoque anno coniungi, animaduertendum eſt, ꝗa
(vt dixi) duæ ſunt ſpecies coniunctionum, quarum vna eſt linearum eorum me-
diorum
motuum, altera corporum eorum, ſaltem in longitudine, cum ambo inue-
niuntur
in eodem circulo, qui tranſit per polos ecclipticæ, nam eos inueniri in eadẽ
linea
recta trãſeũte per centrum mundi, rarisſimum eſt.
Atque coniunctio ſupra di-
ctarum
linearum vocatur media, & inter Iouem & Martem fieri ſolet ſpatio dierũ.
816
. cum dimidio, aut circiter.
Altera dicit̃ vera, ſiue apparens, & irregulatiſſima,
quæ
quidem non ſeruat tempus determinatum.
Quare quamuis altero quoq; an-
no
coniungantur;
& Iupiter duodenis annis tranſeat per totum Zodiacum, non ideo
neceſſe
eſt, vt in ſpatio .24. annorum coniungantur in ſingulis ſignis, nunquam in eo
deſicientes
, vtipſe credit loquens de veris coniunctionibus apparentibus, eo quod
ſint
irregulatiſſimæ, vt dixi.
Atque ſi quis velit inuenire periodum coniunctionum mediocrium horum duo-
rum
planetarum, ita faciendum erit.
Sumat periodum motus mediocris Iouis, quę
eſt
dierum .4328. & Martis, quæ eſt dierum .687. in quo tempore Martis, Iupiter am
bulat
gra .57. min .8. & diebus .30. conficit. grad .2. minut .29. & ſecun .23. ad ratio-
nem
gra .360. in diebus .4328.
Mars verò ad rationem graduũ .360. in diebus .687.
ſingulis
.30. diebus conficit. gra .15. mi .43. ſecũ .14. vnde differentia inter eos eſt gra
duum
.13. mi .15. ſecũ .51. per quam diuidendo productum graduum .57. min .8. in
dies
.30. obueniẽt dies .129. & duæ tertiæ.
quibus addendo periodum Martis fient .
816
.
cum dimidio, aut circiter.
Atque hęc eſt periodus infallibilis mediarum con
iunctionum
Iouis cum Marte.
Nunc venientes ad tabulas Animaduerſionum, videbimus hæc mirabilia eius, in
quo
conſiſtant & vbi ſint tam multi inſignes errores.
Primum igitur neminem later quod calculus Saturni, à Leouitio editus, difert à
calculo
Stadij circiter gra .2. aut .3. cum Leouitius faciat eum progredi per tãtum in
teruallum
, modo plus, modo minus, & ſimiliter Iouem.
ſed longe minori diffe-
rentia
, & ſępe gra .1. minus, atque in alijs planetis differunt, modo plus, modo minus.
Huic igitur mirũ videtur, quod vnus ex his calculatoribus detineat Saturnum plu-
ribus
menſibus in vno ſigno, & alter in alio, non animaduertens dictam differentiã
eſſe
eius rei cauſam.
Miratur item, quod vnus ex is faciat Saturnum morari paucis
menſibus
in vno ſigno, alter vero eum ibi detineat integris annis.
Vt exempli gra-
tia
, verſus finem ſuæ tabulæ Saturni, dicit quod Leouitius eum carceri includit in
geminis
annis .2. menſe vno, & diebus .9.
Stadius vero clementior eum liberat intra
menſes
.3. & dies .14.
Sed hic non cogitat, quod Stadius facit eum ingredi in gemi-
nos
anno .1559. die .10. Iunii, & ambulare directum vſque ad diem .6. Septembris,
eiuſdem
anni gra .6. min .34. eumq́; poſtea retrogradum inde exire die .22. Decem.
eiuſdem
anni, cum ingreditur in Taurum, vbi partim retrogradus, & partim dire-
ctus
manet vſque ad diem .20. Februa .1560. rediens poſtea in geminos, in quibus
manet
vſque ad diem Iunii .1561. & inde ingreditur in Cancrum, ambulatq́; dire-
ctus
. gra .4. min .59. vſque ad diem .4. Octob.
Vnde retrogradiens rurſum intratin Ge
minos
die .28. Decemb. eiuſdem anni, at que ibi partim retrogradus partim directus
manet
vſque ad diem .12. Apr .1562. itaque in pluribus vicibus facit eum morari in
Geminis
dies circiter .816. ideſt circiter menſes .27. ſumpſit autem hic ſcriptor bre­
253241EPISTOL AE. uiſſimam moram cauſa comparationis cum calculo Leouitij, vt faceret differentiam
apparere
maiorem.
Tamen in quouis dictorum temporum nunquam inuenietur
Leouitius
differre à Stadio plus gradibus tribus integris.
Idem fecit in multis alijs lo
cis
dictorum virorum eos conferens tum in Saturno tum in Ioue, & Marte, putãs ma
gnum
eſſe errorem, planeta non perambulet totum ſignum, in quod eſt ingreſſus
vel
directus vel totum retrogradus.
Atque hæc opinio ſimilis eſt ſuperiori de con
iunctionibus
veris Saturni, & Iouis, vbi dicit quod nunquam coniunguntur in vno ſi
gno
alterius triplicitatis, niſi perfecerit coniunctionem in omnibus ſignis primæ tri
plicitatis
.
Verum vt ſuperſedeam vlterius diſputare, mihi videtur, quod hactenus
dixi
, poſſe tibi ſatisfacere, quod attinet ad ſciendam ſententiam mean ſuper dictis
Animaduerſionibus
latinè ſcriptis.
Hoc tamen non prætermittam, hic non ani-
maduertit
, nẽpe differẽtiæ locorum planetarũ quæ sũtinter ephemeridas Leouitij
& Stadij, euenere, quia vnus ſupputat radicibus, & fundamẽtis Alfonſi alter verò
Reinoldi
ex Copernico recentius obſeruatis, ita idem euenire poterit futuris tem-
poribus
, ſi ſupputati fuerint dicti motus, & loci cum recentioribus obſeruationibus
cum
impoſſibile ſit tam ſubtiliter, tanq́ue perfectè ſupputare loca & motꝰ eorum,
vtlungo
interuallo temporis non comperiantur in eis aliquæ differentię, cuius rei re
medium
eſt ſemper ſequi recentiores obſeruationes & tabulas.
Atque vt tibi ſatisfaciam etiam circa alia ſcripta vulgari lingua edita menſibus .4
poſt
latina, etſi intelligere potes, qualia poſſint eſſe alia eius ſcripta, ex ijs quæ ſupra
dicta
ſunt, atque etiam ex eo, quod dicit ſemiſiſſe multa exempla ſuarum Animad
uerſionum
in varias terras, illis qui profitentur has ſcientias, aut earum ſtudioſi ſunt,
nec
quenquã inueniſſe qui ad laudabilem prouinciam motus ſit, nec vidiſſe, ali
quis
reſponderit eius rationibus;
laudabilem prouinciam, autem puto, intelligat
correctionem
ephemeridum, verens, ne culpa calculatorum, qui eas ſumpſere e ta-
bulis
, tam differentes ſint, vt quibuſdã locis cap .1.
Videtur, & præcipuè vbi ſic ait.
Perche eſſendo impoſſibile alli ſtudioſi di dette ſcientiæ di non ſeruirſi delle
ephemeridi
, maggiormente a quelli che non ſanno ſeruirſi delle tauole, e cono-
ſcendo
d'incorrere in errori ſenza hauerui altro rimedio, ſarebbono forzati di ab
bandonare
i ſtudij loro.
Quanquam circa finem dicti capitis redeat in meliorem viam & aduerſetur ſi-
bijpſi
vbi ſic ait.
Che poi eſſi poſſeſſori della ſcienza, & c.
Etiam aperiam tibi, quæ mea ſit de ijs ſententia.
Hicigitur in ſcriptis Italicis, vt morderet aliquem ex ijs, qui eius ſuperiora ſcripta
non
laudauerant, occaſionem capit aperiendi aliquos illius errores, per editionem
collationis
quorundam calculorum a ſe collectorum illius, atque etiam aliorum, cu
ius
calculi ſunt in ſecunda, & ſeptima figura.
Sed prius quam veniamus ad defenſio
nem
harum duarum figurarum vide obſecro quam alienum ei videatur, quod alij
dixerint
differentiam ephemeridum non eſſe magni momenti, non afferens reſpe-
ctum
vllum, qui enim dixerunt eiuſmodi differentiam non eſſe magni momen-
ti
id dixerunt habito reſpectu ad ſignum in quo eſt planeta, vt (exempli gra-
tia
) quamuis in ponendo loco Saturni Leouitius interdum differat à Stadio gra
dibus
.3. quum vterque eum ponat in eodem ſigno, tuncid nullius momenti eſt,
& ſic in coniunctionibus aut alijs aſpectibus duo, aut .3. gradus non faciunt alteratio
nem
ſenſibilem, cum virtus coniunctionum, & aſpectuum inſit, & duret per mul-
tos
gradus ante aut poſt ipſum punctum.
Nec quicquam tamẽ eſt qui dubitet, quin
præſtaret
ſcire ſubtiliter ipſum punctum.
Nec vnquam fuit aliquis qui negauerit re
254242IO. BAPT. BENED. ferre vt anni directionum correſpondeant gradibus æquatoris. Et præterea in ephe
meridibus
videntur certè motus & aſpectus luminarium, quamuis inſit differẽtia mi
nutorum
.
Nam non differunt gradibus, præter ſitum parum diſtantem à vero om-
nium
planetarum, quorum cognitio in cœlo, quamuis circa eorum locum error eſ-
ſet
gra .10. tamen in hoc prodeſſet, & tempus aſpectus eorum, etſinon diei præcisè,
quia
influentia eiuſmodi a ſpectuum, præterquam Lunæ durat multis diebus, & non
vno
tantum.
præterquam quod ipſæ ephemerides oſtendũt nobis tempus ecclipſiũ,
in
quo certènon differunt nec diebus nec multis horis, & itidem multa alia.
Non ſunt igitur contemnendæ ephemerides, nec habendæ pro re nullius pretij,
vt
hic ait.
Quod attinet ad illa alia, quæ hic vocat errores ephemeridum, tam de apparenti
coniunctione
Saturni cum Ioue in ſignis alterius triplicitatis prius quam peręgerit
præcedentem
, quam de faciendo currere Saturnũ, & de retinendo Ioue, de detinẽ
do
Marte .6. aut .7. menſibus in vno ſigno, de Marte, & Ioue non coeuntibus ſingu-
lis
.24. annis in quolibet ſigno, & cius generis alia, minime verum eſt quod ſint er-
rores
, quamuis huic præbuerint occaſionem toties errandi.
Comparatio poſtea inter eius calculos ſumptos partim ex tabulis Iunctini, & par
tim
ex ephemeridibus Stadij tan quam calculis Copernici, & calculos figurarum ſu-
per
eis poſitarum ſupputatarum à diuerſis per ephemeridas Alfonſinas, etiam pro-
poſita
ab eo eſt ad oſtendendum magnam & monſtruoſam differentiam, vt ait cap .
2
.
vbi miratur, quod cum ex communi ſententia calculi Copernici meliores ſint, cal
culatores
dictarum figurarum potius eos ſumpſerint à tabulis Alfonſi, quam Coper
nici
.
Quæ admiratio quam aliena ſit, conſiderandum permittam cuiuis intelligen-
ti
harum ſacultatum, cum ſæpe accidere poſſit.
vt cum aliquis velit ſcire ſolum vni
uerſalia
alicuius geneſis, ſiue natiuitatis, cum non inueniantur ephemerides Coper-
nici
, ſed tantum Alfonſi, calculator vtatur tantum ephemeridibus, quas inuenit,
cauſa
vitandi tædij calculi tabularum, qui magni laboris eſt, pręcipuè in tabulis Pru
tenicis
Reinoldi.
tum quia ſuperflua ei eſt ſumma ſubtilitas, cum non curet laborare
circa
directiones vt factũ eſt pro ſecũda figura ab hoc propoſita, quæ erat anni .1551
quo
non inueniebãtur ephemerides Copernicæ, quæ non editæ ſunt ante annum
1554
. præter quam quod ille nobilis vir pro quo ſupputata fuit dicta ſecunda natiui
tas
dubitabat de anno, vt hic ſimiliter ſcit.
quare potuiſſet perdi tempus, & labor, ſi
ſupputata
fuiſſet per tabulas Reinoldi, nam Iunctini tabulæ nondum editæ fuerant.
Calculus poſtea ſeptimæ figuræ, qui erat reuolutio dictæ ſecundæ natiuitatis, duabꝰ
de
cauſis non factus eſt per tabulas prutenicas, primum, quia eius anni .1580. non
inueniebantur
amplius ephemerides Copernicæ.
Ephemerides enim Stadij in-
cipiẽtes
ab ann .1554. deſinũt ann .1576. & cõtinuatæ poſtea quæ perueniunt vſque
ad
annum .1600. non peruenere ad manus calculatoris ante hunc annum .1581.
Al-
tera
ratio eſt, quia in reuolutionibus, quoniam in eis non fiunt directiones, non po-
nuntur
à doctis, ne minuta quidem.
quare non ſolum non curant eas ſupputare per
tabulas
, ſed nec exquiſitè quidem per ephemeridas.
Calculi poſtea ab hoc ſumpti
ex
tabulis Iunctini, & poſiti ſub dicta ſecunda figura, adeò rectè facti ſunt, vt cum ſe
cundum
ip ſas tabulas oporteat Saturnum eſſe circa .32. minutum gradus .23. Aqua-
rij
, ipſe eum ſcribat in gra .11. mi .3. dicti ſigni. Iupiter ſimiliter qui ſecundum dictas
tabulas
inuenitur circa finem gradus .5. Cancri, ab eo ponitur in min .28. gra .19. eiuſ
dem
. ex quibus planetis Saturnus in figura poſitus eſt in min .27. grad .23. Arietis, Iu
piter
autem in min .3. gra .6. Cancri,
Vnde ſecun dum verum, inter calculum Alfon­
255243EPISTOLAE. ſi & Iunctini in Saturno non erat differentia plus quam minu .5. & in Ioue min .4. ſed
ſecundum
calculum huius in Saturno fuiſſet differentia gra .11. minu .54. & in Ioue
grad
.13. min .35.
Atque ſunt quidem differentiæ magnæ, & monſtruoſæ vtipſe
eas
vocat, vt etiam eſtilla Veneris, & Mercurij inter tertiam figuram, & eius calcu-
lum
ſumptum, non quidem à tabulis laborioſis, ſed à ſimplicibus ephemeridibus Sta
dij
, quæ differentia eſt quidem paucorum graduum, cum ſit tertiæ partis cœli in
quolibet
dictotum planetarum.
Huiuſmodiq́; monſtra certè non ſunt orta à ta-
bulis
ſiue ephemeridibus diuerſis, ſed ſunt partus huius authoris.
Pergens poſtea aſſiduè bonus hic vir hominibus dare ſpecimen doctrinæ ſuæ ape
riendo
(vt conatur) aliorum errores, proponit duas differentias inter primam fi-
guram
, & ſuum calculum ſuppoſitum Saturni, & Iouis.
Primum de Saturno ait,
cum
differentia ſit gra .1. min .30. oſtendit in directione, accidens ſit euenturum
anno
vno, & menſibus ſex ante, aut poſt, quaſi eiuſmodi differentia eſſet partium æ-
quatoris
, ſicuti eſt partium Zodiaci.
Idem dico de differentia Iouis. Quod quidem,
manifeſtum
eſt inditium ſcientiæ ſuæ, & quantum ea intelligat de quibus loquitur.
Quod poſtea attinet ad differentiam inter Copernicum & Alfonſum, circa Solẽ,
nullus
eſt harum ſcientiarum peritus, qui id neſciat, & ſimiliter de differentia ſitus cę­
li
in reuolutionibus annuis.
Quod vero ait ſeptimam ſiguram malè ſupputatã fuiſſe, ſi non eſt maximus cer-
non eſt minimus monſtruoſorum eius errorum.
Vbi itidem videri poteſt, quam
alienus
hic ſit ab hac ſcientia.
Nam ſi ſaltem curaſſet ſibi ab aliquo ſupputandum
locum
Solis per tabulas Alfonſi in inſtanti minutorum .36. pomeridianorum, certior
factus
eſſet quod in illo puncto Sol inueniebatur in minu 54. grad .11.
Geminorum,
ideſt
præterierat gra .10. cum min .54. vel ſi curaſſet ſibi inueniendum tempus, per
dictas
tabulas cum grad .10. min .54.
Geminorum vt faciendum eſt, ſequendo tamẽ
Alfonſum
, & non per calculum Solis poſitum in ephemeridibus, vt parum periti fa
cere
ſolent, vidiſſet inuenta eſſent min .36. pomeridiana.
Leuis tamen occaſio hu
ic
fuit ſuſpicandi eiuſmodi tempus eſſe falſum, quod viderit in illa figura Solẽ po
ſitum
eſſe cum gra .11. & non cum gra .10. min .54. non animaduertens ita notatum
fuiſſe
Solem vt omnes alios planetas, ſcilicet ſine minutis, quum, vt dixi, in reuolu
tionibus
non adhibeatur tanta ſcruploſitas.
Quod deinde ait, in illa figura Solem poſitum eſſe in decima domo, & non in .9.
id
relinquam iudicio eorum qui ſciunt numerare domos, ſaltem poſuiſſet authori-
tate
ſua Solem in dicta decima diuersè ab exemplo ei dato ab amico, vt oſtenderet
ſe
dicere verum, vt in ſecunda figura diſcrepat ab ipſo exemplo in collocando Leo-
ne
, Virgine, & Libra, & Scorpio, quos malè locauit, & ſi alii bene ſe habent.
Atque quod hactenus à me dictum eſt, ſatis ſit ad intelligẽdum quale ſit reliquũ
dictæ
eius diſputationis.
Sienim velim pergere notare omnia eius errorum loca, eſ
ſet
mihi inanis labor, & tibi nimia moleſtia.
Et quamuis non defuerint præſtantiſſi-
mi
viri, qui viſis eius ſcriptis familiariter eum monuere, & tu ipſe, vt audiui, cum in-
ſtrumẽto
theoricę in manibꝰ ei oſtẽderis quo Mars poſſit morari amplius ſex mẽ
ſibus
in vno ſigno.
& præterea cum iam ab initio Taurinum aduenit, mecum com-
municauerit
illa ſua prima ſcripta, egoq́; eum monuerim, quod in varijs rebꝰ falleba
tur
, diſſuaſerimq́; ne ea imprimenda curaret, quia nullum honorem inde referret,
eum
hortans, vt potius alijs rebus operam daret, atque ei dixerim quod ad animad-
uerſiones
differentiarum ephemeridum attinet, quod id iam oẽs animaduerterant.
Mihi reſpondit ſe decreuiſſe illa edere, vt poſtea fecit, & tot admonitionibus non
256244IO. BABPT. BENED. acquieſcens, die .11. Auguſti edidit chartam illam impreſſam inuitans ad diſputa-
tionem
quotquot adhęrerent contrariæ ſententiæ, volens ſuſtinere Martẽ non poſ
ſe
commorari in vno ſigno amplius duobus menſibus, ſupponens partem princi-
piorum
ab omnibus admiſſorum, & in fine paginæ exponens modum, quo vtitur ad
probationem
ſuæ intentionis.
Puto autem quodſecum ratiocinabatur de Marte,
vt
fecit de Saturno in ſcripto latino, hoc modo.
Si Mars in duobus annis ambulat
per
omnia 12. ſigna, neceſſe eſt igitur, vtin menſibus duobus ambulet per vnum ſi-
gum
, cum menſes .2. ſint duo decima pars annorum duorum.
Sedibi ſtatim in ipſo
initio
commitcit errorem graduum ferè .7. dicens, quod medius motus Martis inue-
niebatur
ſignorum .4. & gra .17. cum eo tempore dictus medius motus non eſſet reue
ra
plus quam ſign .4. grad .10. mi .36. verum hoc ad ea, quæ ſequuntur exigui eſt mo
menti
.
Is poſtea particulatim colligit medium motum Martis ad diem .29. Mai an-
ni
.15 14. quem ait eſſe ſignorum .9. gra .27. min .53. & tamen reuera erat tantũ ſigno
rum
.9. gra .21. mi .29. ſed miſſum faciamus etiam hunc errorem tanquã à primo pen
dentem
.
Cum deinde ibidem ponit centrum epicycli, ſimiliter errat, nam
centrum
epicycli nunquam poni debet vbi eſt linea medij motus, niſi ſit in auge, aut
in
oppoſito aug is eccentrici, quia debebat collocare ipſum centrum tãto poſt linecã
medij
motus, quanta erat æquatio centri, quia medium centrum Martistunc erat mi
nus
ſignis ſex, & aux eccentrici eius erat in ſexto minuto grad .16. Leonis.
Tamen
hoc
etiam leue eſt.
Præſupponamus igitur quod centrum epicycli cſſet in grad .28
Capricorni
, vt ipſe credidit, ideſt gradibus .7. vlterius quam erat reuera.
Ait poſtea
ſe
comperiſſe Martem ambulaſſe ſigna .4. & grad .22. eius epicycli, ſed non explicat
an
intelligat de argumento medio, an de vero, quod vocatur æquatum, nam ſi intel
ligatur
de medio, hoc eſſe non poteſt, cum mediũ eſſet ſignorum .4. gra .24. mi .35.
ſed
ſi intelligatur de vero, vt iure credendum eſt (alioquin etiam erraſſet) cer-
falſum eſt.
, verum, erat ſignorum .4. grad .29. minu .39. Itaque Mars non di-
ſtabat
à linea veri motus epicycli amplius gradibus .30. & minu .21. ipſius epicycli,
& æquatio argumentiſecundo correcta erat gra .44. minu .2. à quo ſubtracta æquatio
ne
centri, quæ erat gr .5. minu .4. (cum centrum epicycli deberet tanto ſpacio eſſe
poſt
lineam medij motus quantum ſupra dixi) ſupererant gra .38. minu .58. adden-
di
gradibus, & minu. medij motus, qui cum reuera eſſent grad .21. & minu .29. Ca-
pricorni
, perueniebant ad minu .27. grad .1. Piſcium.
Sed præſuppoſito ſecundũ
ipſum
, quod medius motus eſſet grad .28.
Capricorni, & quod Mars eſſet non ſolũ
vbi
hic ait, ſed etiam in prima linea contingentiæ epicycli, ideſt in prima linea ma
ximæ
æquationis argumenti, & præſuppoſito etiam quod dicta æquatio eſſet æqua-
lis
illi, quam haberet ad medium Aquarij ſcilicet grad .47. quum centrum epicycli
eſt
in oppoſito augis, manifeſtum eſt, quod eiuſmodi linea contingentiæ non tranſi
ret
vltra grad .15. Piſcium, & tamen hic ait, quodlinea veri motus Martis vadit ad
grad
.16. Arietis.
vnde oporteret, quod æquatio argumenti eſſet plus quam grad .
78
.
Quod ſi verum eſſet, & .o.c. etiam eſſet partium .54. ſecundum diſtantiam pro-
ximiorem
centro mundi, ſemidiameter epicycli eſſet eiuſmodi partium .52. minut .
49
.
& quum Mars eſſet in .g. ideſt in oppoſito veræ augis epicycli, dum centrum epi
cycli
eſſet in eiuſmodi diſtantia à terra, diſtantia .o.g. ideſt à terra ad Martem non
eſſet
plus, quam vna ſola pars ex dictis, cum minut .11. cum partes .52. minu .49.
ad
.54. ſint vt ſinus anguli gra .78. qui eſt partium .97814. ad ſinum totalem partium
100000
.
Nam iam ſupra dixi, quod triangulus .o.c.i. eſt rectangulus. Hinc ſeque-
257245EPISTOLAE. retur, quod in in-
teruallo
.o.g. vniꝰ
292[Figure 292] partis, & min .11.
reſpectu
.o.c. par-
tium
.54.
Colloca
retur
ſemidiame-
ter
terrę cum ſpiſ-
ſitudine
aeris, i-
gnis
, cęlorum Lu-
, Mercurij, Ve-
neris
, & Solis, prę­
terquam
quod vt
inter
Solem, &
terram
ſunt circa
605
. diametri ip
ſius
terræ, inter
terram
, & Mar-
tem
cum eſſet in
auge
ſui epicycli,
& epicyclus in au
ge
eccentrici, in-
uenirentur
cir--
ca
.60000. dia--
metri
eiuſdem ter
, & tamen ea diſtantia ſiue interuallum non poteſt continere .5000. diametri ter-
.
Et quod plus eſt, hic tam vaſtum facit hunc ſuum epicyclum, vt ambiente Mar-
te
per inferiorem eius partem, neceſſe ei eſſet manere in vno duodecatemorio mul-
to
plus quam .7. aut .8. menſ.
vnde hic multo magis miraretur quam prius. Hinc cer-
nere
licet quam rectè facti ſint hi eius calculi.
Vt autem etiam hinc aliqua vtilitas capiatur (prætermiſſis inconuenientibus vna
cum
falſis ſuppoſitis huius) Videamus ordine ſcientifico vbi poterat eſſe verus lo-
cus
Martis, aut vero proximus, die .29. Mai anni .1514. quem hic exempli cauſa ſu-
mit
.
Idq́ tam ad defenſionem tabularum Alfonſi, quam ephemeridum ex eis col
lectarum
.
quæ quidem exactæ ſunt, vt quiſque peritus ſacile videre poterit, non au-
tem
calculatæ à tam ſtupidis hominibus, vt à vero aberrent etiam gradibus .46. vt
hic
ait ſe depræhendiſſe.
Primum igitur ſupponemus eoſdem illos terminos, quos ipſe nec d@bet, nec po
teſt
negare, præter ea quæ ſupra ſuppoſita ſunt, nempe quod ſemidiameter epicycli
ſit
partium .39. minu .30. & eccentricitas partium .6. talium qualium eſt ſemidiame-
ter
deferentis diuiſus in .60. & quod dicto tempore aux eccentrici Martis eſſet cir-
ca
minutum .5. grad .16. Leonis, ſcilicet graduum .135. min .5. & quod linea motus
me
diocris eſſer circa minu .30. gradus .22.
Capricorni, & quod verum centrũ Mar
tis
eſſet grad .151 minut .20. & quod argumentum verum eſſet grad .149. minu .39.
atq; ita oſtendam, neque tabulas, neque ephemerides errare, ne quidem vno gra-
du
, ac ne quidem multis minutis, non modò tam monſtruoſa differentia, vt ipſe
ait
.
Quare primum nobis ſcientificè inueniendum eſt, quanta eſſet diſtantia .o.c.
258246IO. BAPT. BENED. præciſe ideſt interuallum inter centrum mundi, & centrum epicycli Martis in huiuſ-
modi
ſitu.
Fingemus igitur eccenticum Martis ſignificatum per .p.c.m. cuius centrum ſit .r.
& lineam augis .p.r.o.m. in qua centrũ mundi ſit .o. centrum autem verum epicycli,
comprehendatur
ab angulo .p.o.c. qui ſit graduum .151. min .30. ſecundum ſuppoſi-
tum
.
Quare in puncto .c. erit centrum epicycli. Imaginemur ergo .c.o. productam à
parte
.o. quouſque ab .r. centro deferentis veniat linea .r.k. perpendiculariter, faciens
angulum
rectum in puncto. k & quoniam angulus .r.o.c. datur nobis graduum .151.
min
.30. ideo cognoſcemus angulum .r.o.k. tanquam reliquum ex duobus rectis, qui
erit
gra .28. min .30. & ſimiliter angu-
293[Figure 293] lum .o.r.k. tanquam reſiduum vnius
recti
, qui erit gra .61. min .30. cuius ſi-
nus
ideſt .o.k. erit partium .8788 1. et .k.
r
.
vt ſinus anguli .r.o.k. partium .47715
talium
qualium .o.r. eſſet 100000. ſed
vt
.o.r. eſt .6. latus .o.k. erit .5. & min .16
et
.r.k. partium .2. min .52. & quia .r.c.
cſt
partiũ 60. eiuſmodi, ſi ab eius qua-
drato
ſubtractum fuerit quadratum ip
ſius
.r.k. reliquum erit nobis quadratũ
ipſius
.k.c. cuius radix, ideſt .k. erit par-
tium
.59. min .56. à qua .c.k. ſubtrahen-
do
poſtea .k.o. partium .5. minu .16. re-
manebit
.o.c. partium .54. min .40. pro
diſtantia
quæſita.
Fingamus poſtea epicyclum .f.n.g.
in
quo argumentum verum graduum .
149
.
minu .39. ſit arcus .f.n. vbi Mars inueniatur in .n. per quem punctum tranſeat li-
nea
.o.n. veri motus Martis.
Deinde inueniamus angulum .c.o.n. æquationis argumẽ
ti
, modo iam dicto, ideſt ducendo ſinum .n.h. arcus .n.g. qui arcus tanquam reliquus
argumenti
veri, iam præſuppoſiti, ex dimidio circulo, erit graduum 30. minu .21. &
n.h. eius ſinus partium .50528. ſinus ſimiliter anguli .n.c.h. et .c.h. tanquam ſinus an-
guli
.c.n.h. reſtantis ex uno recto grad .59. minu .39. erit partium .86295. taliũ qua-
lium
.c.n. ſinus totus eſſet partium .100000. ſed vt partium .39. & min .30. ſinus .c.h.
erit
partium .34. min .5. et .n.h. partium .19. mi .57. reliquum poſtea .h.o. ex .o.c. par-
tium
.20. min .35. quia iam ſupra inuenimus .o.c. eſſe partium eiuſmodi .54. minu .40.
vnde
.o.n. vt radix quadrata ſummæ duorum .n.h. et .h.o. erit partium .28. minu .41.
talium
qualium .n.h. inuenta fuit partium .19. min .57. quæ .n.h. erit poſtea partium,
69552
. talium qualium .n.o. partium .100000. & ſumpta dicta .n.h. vt ſinus dictarum
partium
, dabit nobis angulum .n.o.h. quæſitum gra .44. min .4. qui per tabulas Alfon
ſi
inuentus eſt gra .44. min .2. par huic, vt dici poteſt.
Quiangulus gra .44. minu .4.
collectus
cum angulo veri centri iam ſuppoſito graduum .151. minu .20. & cum an-
gulo
augis eccentrici Martis, ſimiliter ſuppoſitæ grad .135. min .5. dabit nobis ſum-
mam
veræ diſtantiæ Martis à principio Arietis grad .330. min .29. quod aliud non
ſignificat
, niſi quod Mars inuenietur in minu .29. primi gradus Piſcium.
Et Stofle-
rus
in ſuis ephemeridibus ponit eum in .22. minuto dicti primi gradus, cuius diffe-
259247EPISTOL AE. rentia à tabulis
eſt
minut .5. tan
294[Figure 294] , & à meo cal-
culo
min .7. vide
licet
minima.
Nunc autem
nolui
ſumere ip-
ſum
angulum æ-
quationis
à tabu
lis
propter duas
rationes
, primũ
quia
ne hic qui-
dem
repræhen-
for
in hoc voluit
credere
dictis ta
bulis
.
Sed id vo-
luit
videre pro-
prijs
oculis ĩ ſua
theorica
Martis.
Vbi ĩuenit quod
linea
.o.n. tranſit
per
gra .16.
Arie
tis
.
Secunda ra-
tio
eſt, vt videa-
tur
quod dictæ tabulæ rectè ſupputatæ ſunt, ſuper dictis ſuppoſitis.
Sed vt videat quantus ſit medius motus Martis die .29. Mai colligit fruſtatim,
eleganter
colligere poterat, vna opera in columellis ipſius medij motus eiuſmodi
ſtellæ
per eram eiuſdem temporis, quæ erat .2. primarum ſexagenarum .33. ſecunda
rum
.32. tertiarum, et .52. quartarum.
Primum deinde ſuppoſitum quod ſcribit, ſcilicet, quod diameter epicycli ſum-
ptus
in longitudine media ſit ſignorum .2. & grad .19. vti ſuperfluum eſt, ita etiam fal
ſum
, nam eiuſmodi diameter in dicto loco, non occupat ad centrum mundi plus quã
gra
.66. min .28. ideſt ſigna .2. gra .6. min .28. quia proportio .o.c. ad ſemidiametrum
epicycli
in eiuſmodi loco eſt ut partium .60. minu .18. ad partes .39. min .30. quę duę
lineæ
intellectę, vt latera vnius trianguli rectanguli, habebunt pro baſi aliam lineam
partium
ſimilium .72. mi .5.
Quæ intellecta vt ſinus totus dabit ſemidiametrum epi-
cycli
partium .54798. tanquam ſinum ſubiectum angulo gra .33. min .14. pro medie
tate
illius, quod quæritur.
Nec prætermittenda mihi videtur ratio, qua credere poſſumus, hunc cogi-
taſſe
, quod diameter epicycli compleat ſpatium duorum ſignorum cum gradibus.
19
quæ quidem ratio alia eſſe non poteſt, niſi quod cum iſte inuenerit, in comẽtarijs
Theoricarum
, ſemidiametr um huiuſmodi epicycli eſſe partium .39 min .30. talium
qualium
ſunt .60. illæ quæ ſunt ſemidiametri huius eccentrici, dictas igitur partes .39
mi
.30. hic putauit eſſe gradus Zodiaci, & propterea dixit diametrũ huiuſmodi epicy
cli
eſſe ſignorũ duorũ, & gra .19. qui numerus .79. duplus eſt numero .39. dimidio
hoc
autem dixit accidere in longitudinibus medijs, quia ſi hic intellexiſſet de pro-
portione
horum duorum diametrorum, quæ eſt ut .120. ad .79. non ſpecificaſſet lo-
260248IO. BAPT. BENED. cum epicycli, cum ipſa proportio nullo modo alteratur exiſtente epicyclo vbi volue
ris
ipſius circunferentiæ eccentrici, ſed angulus in centro mundi, cui ſubiacet dictus
diameter
epicycli, bene alteratur, propter inæqualem diſtantiam centri epicycli
ab
ipſo centro mundi.
At ſi de tali angulo inferre voluiſſet, iam probaui ipſum cõ-
tinere
ſolum gra .66. minu .28. exiſtente centro epicycli in longitudinibus medijs &
non
gra .79. vt ipſe dicit.
Omitto poſtea, quod vbi mentionem facit coniunctionum Solis cum Marte au-
gium
& earum oppoſitorum, non explicat an intelligat de veris an de medijs.
Nam
ſi
ex eius modo loquendi accipiatur eum loqui de veris multum erraret.
Sed quia iam tibi moleſtum eſſe inciperet ſi diutius te detinerem in his conten-
tionibus
aſtronomicis, vlterius non diſputabo.
Satis enim hactenus explicaui ſentẽ-
tiam
meam, vt oſtendiſſe videor quam mihi iucundum ſit tibi morẽ gerere.
In quo
etiam
hnmanitati tuæ gratiam habebo, quũ petitione tua occaſionem mihi de deris
efficiendi
, vt tum amici tui (amant enim te omnia ſublimia ingenia) tum alij, ſi quã
falſam
opinionem ex huius Benedicti Altæuillæ ſcriptis ſumpſiſſent, relinquant,
& per te hoc beneficium à me conſequantur, & huiuſmodi occaſionem, & iuuandi
hominum
ſtudia & tibi gratum faciendi, honorificum, & per gratum mihi fuiſſe in-
telligant
.
Vale & me vt ſoles ama.
Taurini pridie Kal. Octobris .1581.
De probatione diuiſionis numerorum.
AD EVNDEM.
INter alia quæ à me ſcire cupis, vir doctiſſime, hoc vnum eſt, vt ex literis tuis ac-
cepi
, vnde ſit vt priſci noſtri probatione numeri nouenarij potius quam ſepte-
narij
vſi fuerint, & qua ratione non idem proueniat ex probatione numerorum
octonarij
, ſenarij, vel quinarij, aut cuiuslibet alterius:
Vnde pariter oriatur quod in
partitionis
probatione neceſſum ſit probationum euentus multiplicare cum proba-
tione
diuiſoris, ac eam quæ eſt producti poſtea cum probatione fractionis in ſum-
mam
colligere, & c.
Ad hæc in primis reſpondeo, cum aliquoties accidere poſſit ta
les
probationes nos fallere poſſe, idq́; fi in tali ſumma ſimilis numerus, ut puta ſe-
ptem
, aut nouem, plus vel minus æquo iuſtouè poſitus fuerit, attamen per raro eueni
re
poteſt, vt quis per nouenarium potius quam per ſeptenarium decipiatur.
Exem-
pli
gratia, ponamus ſummam eſſe .100. quam numerus nouenarius vndecies ſolum
ingreditur
, at ſeptenarius quatuordecies, vnde quis ſępiꝰ ex ſeptenario, hacratione,
quam
ex nouenario numero ſe poſſe errare facile depræhendet, efſi ex probatione
nouenarij
magis quam ſeptenarij, vt practici ſcribunt, duabus de cauſis errare poſſi-
mus
.
Alia tamen ratio mihi ſuppetit, ob quam credibile eſt ipſos potius nouena-
rio
adiutos fuiſſe, quam ſeptenario, quæ eſt ob ſui cum velocitatem tum facilitatẽ,
neq; enim in ſeptenario eſt adeo facilis.
quamuis, tam vna quam altera aliud
non
ſit, quam numerorum ordines diuidere (ſi de ſummis primo loquamur) aut è
ſumma
ſuperſluum ordinum colligere, & videre an idemmet ſuperfluum ex eadem
ſumma
emanet, attamen cum modus, qui in hoc adhiberi poteſt in nouenario quã
in
ſeptenario velocior ſit, & ob id probationem nouenarij ſeligunt potius quam
ſeptenarij
.
261249EPISTOLAE.
Verum nolo te in ea, quæfalſa eſt, opinione conſiſtere, nonidem, & cum octona-
rio
, ſenario, vel quinario, aut quouis alio numero poſſe efficere, cum eademmet ra
tio
, quæ in ſeptenario, aut nouenario, ẽt in cæteris perhibeatur.
Ponamus exemplũ
hos
tres or dinum numeros velle ſupputare, quorum primus ſit .679. ſecundus .846.
& tertius .935. & illorum ſummã .2460. nunc maiorem numerum primi ordinis ab
octonario
menſi, proijciendo, remanebit .7. deinde maiorem numerum demendo à
ſecundo
or dine, reſiduum erit .6. ac ſi idem in tertio ordine fecerimus, erit nobis re-
liquum
.7.
Demum tria hæc reſidua in vnum collecta .20. efficient, à quibus ſi nume
rum
maiorem ab octonario menſum dempſeris, ſupererunt .4. & totidem à ſumma .
2460
.
remanebunt, reiecto maiori numero ab octonario menſo.
Atque idem me-
dio
quouis alio numero, euenire poteſt.
Cuius ratio tam perſe clara atque euidens eſt, quod ſi ſummam trium reliquorũ,
quæ
eſt .20. à ſumma .2460. ſubduxeris, remanebunt .2440. pro ſumma trium nume
rorum
dictorum trium ordinum ab octonario menſorum, cui numero addito .16. pro
maiori
numero ſummę reliquorũ, qui ab octonario menſus ſit, ſupererunt .4.
At ſi per
ſenariũ experimẽtũ feceris, remanebit .o. & ſic de reliquis per ordinem procedẽdo.
Verum poſſes ſciſcitari, quare velocius, exceſſus ordinum, potius per noue-
nariũ
, quam per cæteros numeros, prout docẽt practici, inueniri queat, videlicet ag
gregando
prius duas figuras numerorum primæ ſummæ, deinde alias duas.
Exem-
plum
ſit primus ordo .679. colligendo .6. et .7. faciunt 13. & cum hæc ſumma ſit dua
rum
figurarum, ſupputantur & ipſæ, è quibus prodeunt .4. & conſimilis erit proba-
tio
numeri .67. facta per .9. quod idem eſt, ac ſi quis diuidat .67. per .9. ex quo reli-
qui
erunt ſemper .4.
At quo ratio huiuſce perſpicuè dignoſci poſſit, in primis ſciendum eſt, cuique
ex
ſe cognitum, atque exploratum eſſe, denarium numerum vnitate nouenarium ſu
perare
, & ex hoc ſequitur, ſex denarios continere in ſe ſex nouenarios, & ſex vni-
tates
.
At ſex vnitates, vna cum .7. faciunt .13. & quia in .13. eſt denarius, igitur in illo erit
vnitas
ſupra .9.
Quæ vnitas addita ternario, præbet nobis ſuperfluum, per quod .67.
ſuperat
.54. iunctum cum .9. ſcilicet ſummam .63.
Idem dicinon poteſt de octonario, ſeptenario, vel ſenario, & de reliquis, quo-
niam
numerus denariorum, in cæteris minoribus nouenario non præbet illico nu-
merum
exceſſus maioris numeri, qui à numero probationis menſus eſt.
Et quod di
co
de probatione aggregationis, idem intelligo de alijs operationibus, vt puta ſub-
tractionis
, multiplicationis, & partitionis ſeu diuiſionis.
Vnde autem oriatur, vt in partitionis probatione opus ſit probationem euentus
cum
diuiſionis probatione multiplicare, & productum cum fractionis probatione
ſupputare
, ſeu aggregare, tibi non erit ignotum, quoties animaduerteris, quod
productum
ipſius euentus cum diuiſore, adiunctum fractioni, perpetuo ſe æquat nu
mero
diuiſibili.
Et quoniam numeri probationum ſunt partes, quæ remanent ex
ipſis
totis, detractis maioribus numeris ab eo dimenſis, quo pro communi men-
ſura
vtimur (prout .7. vel .9. aut alium numerum, quem voluerimus) par eſt vt ex ip-
ſarum
remanentibus partibus, velut ex ipſis totis idem fiat.
262250IO. BAPT. BENED.
De falacia operationis triangulorum ſphericorum.
AD EVNDEM.
QVod diebus præteris tibi ſignificaui, idem nunc confirmo, ſcilicet ſphærico-
rum
triangulorum operationem ſæpe nos fallere, vt exempli gratia, ſi pro
poſitus
nobis fuiſſet triangulus .A.B.C. cuius angulus .A. nobis datus eſſet graduum .
114
.
mi .o. & eius latus .A. B, graduum .67. min .5. & latus .A.C. graduum .45. mi .10.
ſi
reliquos angulos cum tertio latere etiam cognoſcere voluerimus, ex methodo .11
primi
Copernici propoſitum obtinebimus.
vnde latus .B.C. eſſet graduum .89. min .
30
.
angulus vero .C. graduum .57. min .14. angulus autem .B. grad .48. min .38.
Qua-
re
vltimus hic angulus .B. falſus eſſet, eo quod operatio paruorum triangulorum in
cauſa
eſt, quotieſcunque eorum latera tam breuia ſint, ut non eccedant vnum gra-
dum
, quare ipſorum angulorum veram quantitatem non tribuunt.
propterea igitur
cum
voluerimus veram quãtitatem ipſius anguli .B. oportet poſt quam inuenerimus
angulum
.C. mediante arcu .D.E. ſupponere alium polum in .B. deinde producere.
B
A
. vſque ad .d. et .B.C. vſque ad .e. imaginando .B.d. et .B.e. duas quartas eſſe magno-
rum
circulorum, extendendo poſtea .d.e. vſque ad interſectionem cum .A.C. &
dem
ordinem proſequendo,
tunc .e.d. nobis oſtendet angulum .B. eſſe gra .40. mi .22
quæ
erit eius vera quantitas.
Cuius quidem rei experientiam poſſumus etiam fa-
cere
, hoc modo, eſto, exempli gratia, quod nobis datus ſit angulus .C. graduum .57.
min
.14. cum latere .A.C. gra .45. min .10. & latus .B.C. gra .89. min .30.
Tunc ſi ordi-
nem
.11. dicti lib. ſe quemur, obtinebimus intentum, hoc modo ſcilicet ſupponendo
in
.A. polum, & non in .B. ducendo etiam .A.B. et .A.C. ſed .A.B. vſq; ad gra .90. du-
cendo
poſtea .D.E. ita quod ab omni parte concurrat cum latere .B.C. producto, vn
de
tam .f.C.B.F. quam .f.D.E.F. erunt ſemicirculi magnorum circulorum.
quare .C.
D
.
nobis cognitus erit gra .44. min .50. & ſic etiam angulus .D.C.f. gra .57. min .14. ex
4
. dicti lib. poſtea habebimus .F.l. gra .60. min .54. & angulum .f. gra .53. mi .24. aggre
gatum
poſtea .f.C. cum .C.B. habebimus .f.B. gra .150. min .24. qui ſi a ſemicirculo dẽ
ptus
fuerit, nobis remanebit .B.F. gra .29. mi .36. cum angulo .F. cognito ſit æqua-
295[Figure 295] 296[Figure 296] lis .f. eius oppoſito.
Vnde ex dicta .4. co-
gnoſcemus
angulum .B. gra .40. min .31.
qui
ferè æ qualis eſt ſuperiori iam inuen-
to
, nec ab ipſo differt niſi per min .9. quæ
quidem
differentia parua eſt reſpectu al­
263251EPISTOLAE. terius differentiæ quam ſupra inuenerimus.
Superius enim dixinon eſſe ponendum polum in .B. eo quod .B.C. ſit gra .89. mi .
30
.
vnde nobis prodijſſet triangulus .f.C.D. trium valde paruorum laterum, quorum
latus
.C.D. eſſet gra .o. mi .30. & latus .f.l. gra .o. mi .55. & latus .F.D. gra .o. mi .47. vn-
de
angulus .f. gra .32. min .40. falſus eſſet, qui quidẽ poſtea nobis daret .D.E. gra .45
minu
.16. falſum ſimiliter.
De paßione circuli bactenus incognita.
AD EVNDEM.
DVbitandum quidem eſt quin paſſiones circuli innumerabiles penè ſint, quę
quidem
omnes ferè caſu inueniuntur, vt mihi nunc accidit, quam tibi mitto,
hæc
autem eſt, quòd quadratum lineæ .a.g. in figura hic ſubſcripta ſemper æquale
eſt
ei producto, quod fit ex .a.e. in diametro circuli .g.c.b. ſimul ſumpto cum quadra
to
inſcriptibili in dicto circulo, & ſimul cum quadrato lineæ .a.b. contingẽtis ipſum
circulum
, ſupponendo .a.g. per centrum ipſius circuli tranſire.
Pro cuius demonſtratione à centro .e. duco ſemidiametrum .e.c. perpendicularẽ
ipſi
.g.a. & à puncto .c. ad .a. duco .c.a. quæ ſecabit circunferentiam ipſius circuli in
cto
.d. eo, quod angulus .c. acutus eſt.
Nunc ex .35. tertij, productum .c.a. in .a.d. æqua
le
eſt quadrato .a.b. productum autem .a.c. in .d.c. æquale eſt quadrato inſcriptibili in
circulo
.g.c.b. ex .130. primi Vitellionis, ĩ qua propoſitione ipſe Vitellio ſupplet pro
eo
, quod in quinta propoſitione libri de lineis ſpirabilibus Archimedis deſideratur,
ſed
quadratum .a.c. æquale eſt ijs duobus productis. per .2. ſecundi Eucli. ergo qua-
dratum
.a.c. æquale erit quadrato inſcriptibili in circulo .d.c.g. & quadrato .a.b. ſed
quadratum
lineæ .a.c. æquale eſt duobus quadratis, hoc eſt lineæ .a.e. & lineæ .e.c. ex
pitagorica
,
quare ex communi conceptu duo quadrata lineæ .a.e. & lineę .e.c. hoc eſt
lineæ
.e.g. quod idem eſt, æqualia erunt duobus iam dictis, hoc eſt inſcriptibili,
& ei, quod fit ex .a.b. ſed quadratum lineæ .a.g. æquale eſt quadrato lineæ .a.e. & qua
drato
quod fit ex .e.g. & duplo illius quod fit ex .a.e. in .e.g. hoc eſt producto .a.e. in
diametrum
.
Quare quadratum lineæ .a.g. æquale eſt quadrato circunſcriptibili, &
quadrato
lineæ .a.b. & producto lineæ .a.e. in diametrum circuli .d.c.g.
Breuiori etiam methodo demonſtrare poſſu
297[Figure 297] mus quadrata lineæ .a.e. et .e.g. æqualia eſ-
ſe
quadrato circunſcriptibili, & quadrato lineæ .
a
.b.
ducendo lineam .e.b. quæ æqualis eſt lineæ .
e
.g.
tali methodo, hoc eſt, conſiderando, quod
quadratum
inſcriptibile ſemper duplum eſt qua
drato
ſemidiametri, vel medietati circumſcri-
ptibili
, quod quidem nihil aliud eſt, niſi æquale
eſſe
ijs duobus quadratis, hoc eſt lineæ .e.b. & li-
neæ
.e.g. ſed quadratum lineæ .a.e. æquale eſt iis
duobus
quadratis, hoc eſt lineæ .a.b. & lineæ .b.e. vnde quadrat um lineæ .a.e. cum
quadrato
lineæ .e.g. æquale eſt quadrato circunſcriptibili, ſimul collecto cum qua-
drato
lineæ .a.b.
264252IO. BAPT. BENED.
Demonstrationes quarundam propoſitionum de quibus agit
Cardanus
capite primo libro .16. de
ſubtilitate
.
AD EVNDEM.
EA quæ Cardanus in primo cap. lib. 16. de ſubtilitate ita ſcribit, quod ſi diame-
tros
producatur extra quantumlibet, alia verò diametro in centro ſecetur ad
rectos
, ex huius fine &c. quæ quidem ſecundum illum eſt vndecima proprietas cir
culi
, quoniam te id non intelligere ſcribis, idemq́; dicis etiam de duodecima, & ſi-
militer
de tribus illis paſſionibus, quas ipſæ communes facit circulo, defectioni, ſeu
ellipſi
, & hyperboli, tibi breuiter reſpondebo.
Circa vndecimam proprietatem circuli verum dicit. Imaginemur circulum .p.
d
.q.
à duabus diametris, inuicem ad angulos rectos coniunctis, diuiſum .p.d. et .d.g. di
uidatur
enim quarta .q.d. per quot partes æquales volueris, mediantibus punctis .b.a.
o
.
ducanturq́; ab ijſdem punctis tot perpendiculares diametro .d.g. quæ ſint .b.m.a.n.
et
.o.s. quæ quidem erunt parallelæ diametro .q.p. coniungatur deinde extremitas .d.
diametri
.d.g. cum primo puncto .b. & protrahatur .d.b. vſque ad concurſum cum diz
metro
.p.q. protracto in puncto, h.
Nunc dico .q.h. quæ adiacet diametro .q.p. æqua-
lem
eſſe omnibus dictis perpendicularibus, quapropter coniungantur puncta .m.a:
n.o. et .s.q. & producantur vſque ad adiacentem diametro .q.p. in punctis .c. et .e. vn
de
habebimus angulos .b.a.o.q. inuicem æquales ex .26. tertij, cum verò .o.s.a.n. et
b.m. parallelæ ſint ipſi .p.h.
tunc anguli .b.h.c: a.c.e: et .o.e.q. æquales erunt angulis .d.
b
.m
: m.a.n. et .n.o.s. ex .29. primi:
quare anguli .h.c.e.q. erunt inuicem æquales, vnde
ex
.28. eiuſdem .b.h: m.c: n.e. et .s.q. erunt inuicẽ parallelę, & ex .34. e.q. æqualis erit .
o
.s.
et .e.c. æqualis .n.a. et .m.b. æqualis .c.h. verum eſt igitur propoſitum.
Duodecima vero ꝓprietas eſt, ut ſi fuerit circulus .a.b.e.q. cuius duo diametriad
rectos
coniuncti ſint .a.e. et .q.b. & diameter .a.e. protractus indeterminatè ad partem
e
.
tunc ſi ab extremo .b. diametri .q.b. ducta fuerit .b.n.u. extra circulum, ſeu .b.u.n. in
tra
circulum, vt in ſubiecta figura patet, ita vt ſecta ſit à circunferentia circuli in
cto
.n. vel à diametro in puncto .u. ſemper id quod fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit qua-
drato
inſcriptibili in dicto circulo, hoc autem diuerſimodè cognoſci poteſt, tribus
enim
modis ego inueni, quorum primus ita ſe habet.
Nam ſi punctus .u. fuerit ex-
tra
circulum, ducantur .b.e. et .e.n. & habebimus duos triangulos .b.n.e. et .b.e.u. ſimi
les
inuicem, eo, quod angulus .b. communis ambobus exiſtit, & angulus .b.n.e. æqua
lis
eſt angulo .b.e.u. quod ita probatur, nam angulus .b.n.e. cum angulo .b.a.e. (ducta
cum
fuerit .b.a.) æquatur duobus rectis ex .21. tertij, ſed ex quinta primi angulus .b.
e
.a.
ęqualis eſt angulo .b.a.e:
quare angulus .b.n.e. cum angulo .b.e.a. ęquatur duobus
rectis
, ſed ex .13. eiuſdem angulus .b.n.e. cum angulo etiam .e.n.u. æquatur duobus re
ctis
, ergo angulus .e.n.u. æquatur angulo .b.e.a.
quare angulus .b.n.e. æquatur etiã an-
gulo
.b.e.u. vnde ex .32. eiuſdem reliquus angulus .b.u.e. æqualis erit reliquo angulo
b.e.n. latera igitur erunt proportionalia ex .4. ſexti, vnde ita ſe habebit .u.b. ad .b.
e
.
vt .b.e. ad .b.n. ex .16. ſexti igitur verũ erit propoſitum.
Sed ſi punctus .u. intra circulum fuerit, triangulus .b.e.n. ſimilis erit triangulo .b.u.
e
.
nam angulus .b. ambobus communis erit.
Angulus vero .b.n.e. ęqualis eſt angulo .
b
.e.u.
ex .26. tertij,
quare ex .32. primi reliquus angulus .b.e.n. æqualis erit reliquo
265253EPISTOLAE. angulo .b.u.e. vnde ex .4. ſexti eadem proportio erit ipſius .b.n. ad .b.e. quæ .b.e. ad
b.u.
quare ex .16. eiuſdem patebit propoſitum.
Secundus autem modus ita ſe habet, ducta .q.n. habebimus duo triangula ortho-
gonia
ſimilia inuicem .b.q.n. et .b.u.o. eo quod angulus .b. communis ambobus exi-
ſtit
,
quare ex .4. ſexti ita ſe habebit .u.b. ad .b.o. vt .q.b. ad .b.n. vnde ex .15. eiuſdem
quod
fit ex .u.b. in .b.n. æquale erit ei, quod fit ex .q.b. in .b.o.
Sed ex .16. eiuſdem,
fit
ex .q.b. in .b.o. ęquatur quadrato .b.e. quia .b.e. media proportionalis eſt inter dia
metrum
& ſemidiametrum eiuſdem circuli. ex .4. eiuſdem,
quare quod fit ex .u.b. in
b.n. æquale erit quadrato ipſius .b.e.
Tertius modus adiungitur, & eſt quod cum quadratum .u.b. exiſtente .u. extra cir-
culum
æquale ſit ei, quod ſit ex .u.b. in .b.n. ſimul ſumpto cum eo, fit ex .u.b. in .u.n.
ex
ſecunda ſecundi, & idem quadratum .u.b. æquale duobus quadratis .u.o. et .o.b. ex
penultima
primi, ideo duo dicta producta æqualia erunt dictis duobus quadratis .o.
298[Figure 298] u. ſcilicet et .o.b. ſed quadratum
o
u. æquatur ei, quod fit ex .a.u.
in
.e.u. & ei quod fit. ex .o.e. in ſe
ipſam
ex .6. ſecundi,
quare duo
dicta producta æqualia erunt
duobus
dictis quadratis, o.b. ſci
licet
. et .o.e. & ei quod fit ex .a.
u
.
in .u.e. ſed quod fit ex b.u. in .u
n
.
æquale eſt ei quod fit ex .a.u.
in
.u.e. ex .35. 3. relinquit̃ ergo
vt
id fit ex .u.b. in .b.n. æqua-
le
ſit duobꝰ quadratis .o.b. et .o.
e
.
quare & quadrato ipſius .b.e.
ex
Pitagorica.
Siautem pũctũ .u. fuiſſet intra
circulum
idem eueniret.
Nam
quadrato
.b.e. æquãtur duo qua
drata
.o.b. et .o.e. ſed vice qua-
drati
.o.e. dicemus quadratũ .o.
u
.
cum eo quod fit ex .a.u. in .u.e.
ex
.5. ſecundi, id eſt quadratum .
o
.u.
eo quod fit ex .b.u. in .u.
n
.
ex .34. tertij, vnde quadratum
b.e. æquale erit quadrato .o.b.
& quadrato .o.u. ideſt quadrato
b.u. ex Pitagorica ſimul pro-
ducto
.b.u. in .u.n. ideſt producto
n.b. in .b.u. quod æquale eſt qua
drat
o.b.u. cum producto .b.u. in
u.n. ex .3. ſecundi.
Circa tres paſſiones commu-
nes
poſtea circulo hyperboli, &
defectioni
notandum eſt primã
patere
ex .36: primi Pergei, ſe-
266254IO. BABPT. BENED. cundam verò ex .37. et .38. eiuſdem, propterea quod in .37. probat mediante maiori
diametro
ipſius hyperbolis & defectionis, In .38. autem mediante minori diametro
ordinatè
ad maiorem.
Tertia autem paſſio, non niſi circulo conuenit; pace ipſius Cardani dictum ſit.
Quapropter ſit circulus .q.o.b. cuius diameter ſit .q.b. contingentes vero ab extre
mitate
diametri ſint .d.b. et .q.g. per punctum autem .o. quoduis, ipſius circũferentiæ,
tranſeant
.b.o.g. et .q.o.d.
tunc dico productum .q.o. in .q.d. vel .b.o. in .b.g. ęquale eſ-
ſe
quadrato .q.b. quod ita probo.
Nam angulus .q.b.d. ſeu .b.q.g. rectus eſt ex .17. tertij Eucli. et .b.o.q. ſimiliter re-
ctus
ex .30. ipſius lib. angulus verò .b.q.d. ſeu .q.b.g. communis eſt.
quare .b.q. media
proportionalis
erit inter dictas lineas .q.d. et .q.o. & inter .b.g. et .b.o.
Vnde ſequetur
propoſitum
ex .16.6. Eucli.
Sed ſi circa diametrum .q.b. mente fingamus aliquam elipſim, quætangat ipſum
299[Figure 299] circulum duobus punctis me-
diantibus
.q. et .b. (nam pluribus
eſſet
impoſſibile, ex .27. quarti
Pergei
) clarè patebit, quod
ctus
.o. erit extra circunferentiã
ipſius
defectionis,
quare ipſa cir
cunferentia
ſecabit .b.g. vel .q.
d
.
in alio puncto, vnde ipſi non
occurret
id quod probauimus
de
circulo.
Admiratus etiam ſum, ipſum
Cardanum
dicere hyperbolem
ita
vocari, eo quod angulus con
tentus
ab axe ipſius figuræ, & à
latere
trigoni in hyperbole ma-
ior
ſit quam in parabole, quod
eriam
confirmat paulo inferius,
nam
hoc verum non eſt, imo fal
ſiſſimum
.
Talis enim ſectio ita
nominata
fuit, hoc eſt hyperbo
les
, ſimili ratione, qua elipſis ſeu
defectio
etiam vocata fuit, nam
ſicut
in ipſa defectione quadra-
tum
ordinatę .l.m. minor eſt pro
ducto
lineæ .e.m. in .e.t. per figu
ram
ſimilcm producto .d.e. in .e.
t
.
quæ eandem obtineat altitu-
dinẽ
ipſius .e.m. vt ipſe Pergeus
monſtrat
in .13. primi lib. ita in
hyperbole
dictũ quadratum ex
cedit
quantitatem illius figuræ,
per
ſimilem dictæ vt in .12. ipſiꝰ
Pergei
facilè videre eſt.
ſed prę­
ter
illas paſſiones, quas notat
267255EPISTOL AE. Cardanus in ſupradicto capite, multæ aliæ ſunt, cum corollarium primæ tertij Eu-
cli
. ſit paſſio propria ipſius circuli, & idem dico de propoſitione .3. 4. 7. 8. 9. 11. 12.
13
. 14. 15. 17. 18. 19. 20. 30. 31. ipſius tertij lib. nec non de .8. 9. ct .10. tertijdecimi, &
de
prima .3. 4. 5. 6. et .7. quartidecimi eiuſdem.
Idem infero de ea quod ſcrip ſi Ma
rio
Nizzolio, Franciſco Vimercato, Franciſco Contareno, Angelo Agrimenſori, &
de
alijs nonnullis à me excogitatis.
DE FINE CORPORVM COELESTIVM,
& eorum motu.
Illuſtri vire, Philiberto Pingonio Sabaudo Cuſiacenſium
Baroni
.
CVm antea meo nomine Sebaſtianus noſter omnia ferè tibi retuliſſet, inter alia,
quæ
relin quebantur tibi dicẽda, hoc vnum erat, quod ſi abſque lumine ſupe-
riori
, in quem finem facta fuerint corpora cœleſtia ſcire deſideras, & humanam ra-
tionem
ſequi volueris, putandum tibi non erit ea ſolum effecta eſſe, vt tam vile cor
pus
, vt eſt terra aquis irrigata, animalia, & plantas regant, cum ea corpora ſint diuina,
in
numero incompręhenſibilia, maximis ma gnitudinibus, & motibus velocisfimis,
prædita
, id etiam minus putabunt hij, qui opinionem Ariſtarchi Samij, & Nicolai
Copernici
ſequuntur, quorum ratione fieri non poteſt, vt credant, eius, quod ex vni
uerſo
reliquum eſt, alium finem non habere, quam regimen huius centri epicycli Lu
naris
, vt illorum more loquar.
Quã enim turpe eſſet ſi centra aliorum epicyclorum
planetarum
tali regimine priuarentur, id quod nullo modo cum ratione conſentit,
ſi
tam vera eſt ea opinio, quemadmodum rationabiliorẽ eam exiſtimãt.
Neq; quid
quam
valet opinio Ariſtotelis, qui corpora cœleſtia, ab ortu, & interitu libera eſſe
fentit
.
dicens ſuperioribus fęculis, à noſtris antiquis nullam vnquam animaduerſam
fuiſſe
alterationem in cœlo, cum non videat ſi quis eſſet in cœlo, neq; etiam obſerua
re
poſſet alterationes quæ in terra, & circa terram fiunt, quæ in partibus, & non in to
to
ſpectantur:
vnde etiam fieri poteſt, vt in cœlo ſint particulares alterationes,
quæ
à nobis tamen, qui ab illis longè diſtamus, non compręhendantur, terra, mareq́;
(quamuis minimum reſpectu ipſius terræ) ratione totius ita ſe ſemper habuerũt quẽ
admodum
ſeſe habere corpora cœleſtia videmus, ſed alteratio, ratione tantum ali-
quarum
minimarum partium quaſi inſenſibilium, ſi cum toto comparentur fit.
Quis
enim
ſcit, vt iam tibi dixi, quin, quemadmodum Luna circa terram voluitur, ipſaq́;
terra
ſit veluti centrum epicycli maioris eiuſdem, vt Ariſtarchus Samius, & Nico-
laus
Copernicus cenſuerunt;
ſic etiam Saturnus, Iupiter, Mars, Venus, atq; Mercu
rius
circa alia huiuſmodi corpora, huic terræ ſimilia, in orbem agantur, quaſi ſpecu-
la
, lumen Solis ſuo centro ex reflexione, deferentia (fuppoſita dico vera illorum opi
nione
) Nollẽ tamen tibi è mente excidere, vt aliàs te monui, ſi communis opinio
vera
eſt, neceſſario fatendũ ſit corpus ſolare, in æquatore reperitur moru diurno
quolibet
horę minuto, magis quã decẽ & ſeptẽ mille milliaria ꝑagere, ideſt paulo mi
nus
quam .18000. milliaria, Saturnum verò cum ſimiliter eſt in æquatore, eodem tẽ-
poris
ſpatio, quaſi tercentamille milliaria Italica conficere, & ſic per gradus alia cor
pora
velociora alijs moueri;
quæ quidem omnia, ſimplici gyro terræ circa ſuum
268256IO. BABPT. BENED. axem (vt dicunt) tolluntur, quod ſufficit ad recipiendum lumen, & influentias illo-
rum
corporum.
Et ita, veluti princeps corporum vniuerſi, intra vnum an-
num
circa eam vertitur.
Ita etiam ſuſſiceret, vt ipſa terra circa dictum diuinum
corpus
ſolare, interſecando axem diurnum cum axe annuali (cum ab eo lumen, ca-
lorem
, & influentiam ſuſcipere debeat) circunuolueret̃.
Rationes autem a Ptolo-
meo
in contrarium adductæ apud ipſos, nullę ſunt, quia quęlibet pars (vt inquiunt)
retinet
naturam totius, præterquam aer, & aqua, quæ ipſam terram circundãt, pla
eundem naturalem impetum motus obtineant, quitanto lentior eſt, quanto lon
gius
diſtat aer ab ipſa terra, ſecundum etiam talem opinionem, nulla neceſſitas fo-
ret
, vt locus fixarum terminaretur aliquibus ſuperficiebus, conuexa ſcilicet, & de-
uexa
.
De Luce, Lumine, & Colore, De obiectuoculi, De lumine
Luna
, & Rubedine nubium.
AD EVNDEM.
QVod proximè quærebas, an ſit lux aliqua, quæ à corpore lucido non proue-
niat
, mihi facilè ad conſiderandum videtur.
hic enim oportet, vt nos ad id
quod
perpetuò videmus referamus, exiſtimo autem te velle dicere lumen, non lu-
cem
, quia propriè lux, qualitas ea viſibilis appellatur, quæ eſt in corpore lucido, à
quo
quidem corpore lumen effunditur;
lumen verò, ea qualitas eſſe dicitur, quæ ex
tra
ipſum corpus reperitur, à luce, quæ in dicto corpore manet emanans.
vnde pa-
tet
, nullam lucem abſque corpore ſubiecto eſſe poſſe, id quod cum fieri quîret, idẽ
de
quolibet alio accidente dici poſſet, id eſt quod ex ſe, & abſque aliquo ſubiecto
ſubſiſteret
.
Lumen deinde à luce proficiſci patet, penetrat diaphanum, neque aliquo mo-
do
ſuum actum oſtendit, niſi, aut per incidentiam, aut ratione opaci, ex reflexione,
cuius
ſuperficiei colorem induit.
Atque hæc eſt cauſa, vt inter crepuſculum matu-
tinum
, aut veſpertinum, nox etiam ſi ſit ſerena, adeo obſcura nobis appareat, quam-
uis
totum vniuerſum diaphanum, extra conum vmbræ, quæ ex terra prouenit ſit vn
diq; radijs luminoſis Solis colluſtratum;
qui quidem radij, non niſi à ſuamet reflexio
ne
à Luna, & ab alijs ſtellis (vt corporibus opacis, quæ reſiſtunt lumini, ne vlterius
penetrare
poſſit, vnde retrò redit) comprehenduntur.
Ais etiam propria viſus obiecta plura eſſe, nominans pro vno, colorem, & lucem
pro
alio.
Ego autem reſpondeo, obiectum oculi eſſe vnicum tantum, ideſt lumen.
Quod ad lucem ſpectat, iam tibi dixi, eam eſſe quandam qualitatem in corpore luci
do
, & non extra ipſum poſitam, à quo quidem corpore, cum non exeat, oculi obie-
ctum
eſſe nequit, ſed lumen quidem ab ipſa luce productum.
Color etiam, qui eſt in
corpore
colorato, obiectum oculi eſſe non poteſt, cum dictum corpus non deſerat,
ſed
lumen quidem ab eodem corpore reflexum, & huiuſmodi corporis colore tin-
ctum
:
vnde tam lumen incidens, quam reflexum colore eſt ſemper imbutum.
Illud quidem coloratum eſt qualitate lucis corporis lucidi, a ut medij, per quod
tranſit
, ſed hoc colore corporis, à quo reflectitur.
Neque etiam te ignorare volo, lumina reflexa colorata, non reflecti à puris pro-
priisq́; ſuperficiebus corporum coloratorum, eo pauca corpora tam opaca repe-
riuntur
, ut immediatè lumen à ſuperficie propriè reflectãt, ſed lumen penetrat alim
271259EPISTOL AE. quantulum dicta corpora, & ita illorum colore afficitur, vbi verò non penetrat, non
coloratur
colore corporis illius.
Sed vt ad propoſitum redeamus, dico lum en tantum eſſe viſus obiectum, quod ſi
colore
eſt imbutum, aut tale eſt ratione color ris lucis, quæ eum mittit, aut ratione me
dij
per quem tranſit, aut ratione corporis, vnde reflectitur, etſi ſuperficies corporis
vnde
lumen reflectitur eſſet omnino priuata colore, ſub aſpectum non caderet, vt
etiam
cum huiuſmodi ſuperficies læuigata, & polita eſt ſecundum continuitatẽ ſua-
rum
partium, videlicet, vt ſpeculi radio tamen non profundante, & ideo perfectiffi
morum
quorundam ſpeculorum ſuperficies non cernuntur, ſed lumen tantum re-
flexum
, colore alicuius alterius ſuperficiei, aut à luce, corporis lucidi, aut à me-
dio
per quem tranſit, conſpicitur.
Ego verò non aſſero colorem non eſſe quid di-
uerſum
à lumine, ſed imagineris lumen eſſe veluti animam, aut ſubſtantiam & colo
rem
corporis formam accidentalem, cum nullum lumen à ſenſu viſus percipi poſ-
ſit
, quod aliquo modo colore non ſit imbutum:
& eundem reſpectum quem ſonus
ad
auditum, lumen ad oculum habet, quia vt ſonus ſecundum eam velocitatem, quæ
à
motione aeris, aut aquæ, ex colliſione aliorũ corporum producitur ad euitan dum
vacuum
, a cutus, vel grauis ſentitur, ita lumen originem ducens à corpore lucido per
medium
diaphanum aeris, aut aquæ, aut alterius huiuſmodi corporis ad oculum tran
ſit
colorem lucis, aut medij per quod tranſit, aut vnde reflectitur induit.
Quod verò Luna nullum ex ſe habeat lumen, ſufficiens inditium eſt nos ipſam
tantò
magis obſcuram videre, quantò magis in cono vmbræ terræ immergitur, &
ſi
eo tempore ipſam videmus rubeo colore affectam, hoc enim accidit, quia radij ſo
lares
vndequaque refranguntur à vaporibus ipſam terram circundantibus, quæ qui-
dem
refractio fit verſus axem coni vmbræ terræ,
& propterea vmbra dicti coni non
eſt
æqualiter obſcura, ſeu tenebroſa, circa vero axẽ ipſius coni, magis quam circa eius
circũferentiã, obſcura vr̃, & quia corpus lunare tale eſt, vt facillimè recipiat qualecũ
que
lumen, quod etiam manifeſtè videtur dum ipſa Luna reperitur ſecundum lon-
gitudinem
inter Solem, & Venerem, quod pars Lunæ lumine Solis deſtituta, à lumi
ne
Veneris aliquantulum illuſtratur, quod ego ſæpè vidi, & multis oſtendi.
Propte-
rea
dum ipſa Luna in cono vmbræ terræ reperitur adhuc videtur.
Rubedo etiam il-
la
nubium poſt Solis occaſum, vel ante ortum, aliunde non prouenit, niſi à qualitate
vaporũ, per quos ſolares radij tranſeunt, à quibus vaporibus, tali colore ipſi radij
afficiuntur
, eomet modo quo radius, cuiuſuis corporis lucidit, trãſiens per vitrum, ſeu
aliud
diaphanum coloratum.
270258IO. BABPT. BENED.
DE ICTV BOMBARDAE SECVNDVM
diuerſas
eleuationes. Et de quibuſdam erroribus Nico-
lai
Tartaleæ, circa idem.
Fllustri D. Ioſepho Cambiano ex Ruffia Dominis, aquiti
ſtrenuo
, & tormentis bellicis Serenißimi Ducis
Sabaudia
Prafecto.
EXcogitaui quędam dum ocio frui licuit per abſentiam Ducis Sereniſſimi,
quæ
ad te ſcribere placuit, vt ſi probaueris in lucem quandoque profer-
re
non dubitem, ſi deſpexeris, ocius ſupprimam, ſunt autem huiuſmodi.
Vnde fiat vt tormentum bellicum vehementi feriat ictu ſuperius delato
quam
orizontali, vt Tartalea ſcribit, quæſito ſecundo libr. primi quæſitorum, à ne-
mine
adhuc (quod ſciam) traditum eſt.
Rationes verò Tartaleæ nullius ſunt momenti, quia ſi validæ eſſent, ſequeretur
vt
inclinata bombarda, adeo vt angulus ſub orizonte factus æqualis eſſet ei, qui ſu
pra
orizontem eſt, ictum bombardę in vtroque huiuſmodi ſitu eundem eſſe futurũ.
& ſi aliqua differentia oriretur ratione granitatis pilæ ab ipſa bombarda emiſſæ, hoc
fieret
, vt ſcilicet velocior eſſet in motu inclinato quam in eleuato cum pondus, mo-
tui
adeo non opponatur.
Id quod non ita se habet, vera enim cauſa vnde fiat, vt bom
barda
eleuata vehementius feriat, quàm ea quæ eſt minus alta, eadem eſt ferè, in ge-
nere
, cum ea, qua aliquod corpus materia magis denſa, ſed ſimile & ęquale alteri cor
pori
materiæ minus denſæ velocius mouetur ab vna eademq́ue, aut æquali vi
compulſum
.
Eſt eadem etiam in ſpecie ei, qua maiorem effectum producit
puluis
, qui in locis ſubterraneis ponitur quum vaſis optimè colligatis ferro in-
cluditur
.
Eſt etiam ſimilis ei, qua longius impellitur pila, qua ludimus, ab ali-
quo
inſtrumento ligneo, quando percutitur contra, quam cum ſecundum ſuum mo-
tum
proijcitur.
Id quod inde fit, quia virtus mouens maiori vi, & intenſiori huiuſ-
modi
corpus percutit, quia corpus quod moueri debet, quanto magis reſiſtit virtu-
ti
mouenti (certum tamen terminum præſcribendo) in exiguo eo temporis ſpatio,
tanto
maiorem virtutem colligit, quæ ipſum deinde tanto cum impetu mo-
uet
, & tanto magis impellens concomitatur, vt maiorem effectum efficiat, quam ſi
ad
mouendum ſeſe facilè reddidiſſet.
Atque hoc ſupradictis ictibus eleuatis acci-
dit
, quia grauitas pilæ, ea eſt quæ reſiſtens virtuti mouenti, dat ei commoditatem
colligendi
dictam virtutem, multo magis quam eſſet ea, quæ ad depreſſiorem eleua
uationem
eam ĩmpelleret.
Et quia huiuſmodi multiplicatio virtutis, nullam propor
tionem
cum pondere pilæ gerit, volo inferre quod dum colligitur tanta virtus, col-
ligitur
multo plus eo, quod ad impellendam dictam pilam ſufficeret, ratione magnæ
velocitatis
augumenti, quia quanto plus temporis ei conceditur ad commutandam
puluerem
in ignem, tanto maior quantitasignis progignitur, vnde fit, vt tanto ma-
iori
loco indigeat, quamobrem tanto magis impellit, ſed vt dixi, tanta cum veloci-
tate
adauget̃, vt huiuſmodi virtus longè ſuperet reſiſtẽtiã põderis pilæ, & ſic eſt cau
fa
, ut effectus, quod experiẽtia innot eſcit producat̃.
Sed ea ratio, qua ſeſe idẽ author
in
tertio quæſito ad aliquod impoſſibile, circa iter ipſius pilæ Legatum Hiſpanum
271259EPISTOL AE. reducere putat, nullo fundamento nititur, quia non eſt ſemper dicendum, quod quã
to
velocior ſit quædam pila, tanto rectius moueatur, quia ei dici poſſet, vſque ad cer
tum
quendam terminum velocitatis, per tantum ſpatij eam aptam eſſe, vt recta per
fectè
moueatur, ſed ſi velocius iret, non tamen futurum, vt per idem ſpatium re-
ctius
moueretur, ſed quod per longius ſpatium recta motum perageret, & ſic nihil
haberet
quod replicaret, præter quam quod ipſe ſupponit id quod in 18. quæſito
negat
, in quo ait pilam uicinam orificio, non adeo uelocem eſſe, quam cum aliquan-
tulum
ab eodem eſt rem ota, ratione reſiſtentiæ ſui cyllindriaerei.
Sed quod pila,
recta
eat quanto altior, aut depreſſior bõbarda erit, fit, quia linea inclinationis na
turalis
cum linea inclinationis uiolentæ angulum rectum non facit,
unde quanto lon
gius
diſtat à recto huiuſmodi angulꝰ, ſiue ſit acutus ſiue obtuſus, tanto minorem uim
habet
, eodem planè ferè modo quem tertio capite mei tractatus de rebus mechani
cis
deſcripſi.
Quia in ictibus eleuatis, iter inclinationis violentæ ipſius pilæ verſus
terminum
ad quem, incipiendo à loco ipſius pilæ cum itinere inclinationis natura-
lis
, angulum obtuſum, & in ictibus inclinatis acutum conſtituit.
Neque etiam hic
prætermittam
notatu dignum errorem, quem Tartalea eodem loco committit,
putet
indifferenter aliquod corpus impellere, aut percutere maiori impetu cum
eſt
in itinere recto.
Quia ſequeretur quod aliquod corpus graue perpendiculari-
ter
ſurſum verſus proiectum, in qualibet parte ſui itineris, ſemper fortius percute-
ret
, quam in qualibet parte itineris alterius cuiuſuis eleuationis obliquæ, quod quã
ſit
falſum, tibi conſiderandum relinquo.
Eſt etiam falſa ea ratio, quam in quarto quæſito idem adducit, quia aer in motu
non
tantum durat, quantum ipſe putat, imò huiuſmodi violenta agitatio, citò ceſſat
& citius etiam, quam ſi extra aliquam bombardam cum tanta violentia impulliſſet
ſaceum
plumis plenum.
Ratio etiam quam in .18. quæſito de eo, quod pila pertran ſeat illud corpus cyllin
dricum
aereum adducit, eſt planè vana, quia ſtatim aer, qui prius in bõbarda erat
incluſus
, extra ipſam erũpit, cedit, à pilaq́; diuiditur, vt ſi nunquam eam figuram in-
duiſſet
, neque aer ambiens ei reſiſtit.
Sed quod velocior ſit in certa quadam diſtan
tia
, quam in principio erat, ſi hoc verũ eſſet, ab alia cauſa dependeret, quæ partim ſi
milis
eſſet ei, quæ efficit, vt corpora in motibus naturalibus, cum longius diſtant à ter
mino
vnde naturaliter ſeſe mouerunt, ſint velociora, quia per aliquod ſpatium hu-
iuſmodi
corpus moueretur quemadmodum motu naturali cietur.
Ratio autem eius quare pila, aut globus bombardæ ſibiletab eodem in ſeptimo
quæſito
nil valet, quia hoc fit cum pila aliquam paruam concauitatem habet.
In .27. autem quæſito ait, quod retrotrahendo ſignum, ictus altius tenderet, quod
poteſt
etiam eſſe falſum, cum hocnon ſit neceſſarium, quia pila dum deſcendit, for-
taſſe
tangeret ſcopum.
272260IO. BAPT. BENED.
Deerroribus Ioannis Stadij.
AD EVNDEM.
FIguram quam ponit Ioannes Stadius pag .147. in lib. ſuarum tabularum Prute-
nicarum
, à Nicolao Copernico ſumpſit pag .64. à tergo in libr. reuolutionum
cœleſtium
, ſed ipſe Stadius eam non intellexit, omitto, quod mutauerit characte-
res
ipſius figurę, vt illa ſua videatur, quod nihil refert, alterat etiam demonſtrationẽ,
ſed
ipſum putare .i.K. perpendicularem à centro circuli ſemper dependere, eſt intol
lerabilis
error;
nec vnquam verificatur hoc, niſi quando punctum .K. interſectionis
diametrorum
parallelorum, forte reperitur in axe mundi.
Reliqua verò ſuæ demon
ſtrationis
, ſi non intelligis, minimè miror, eo quod ipſemet Stadius ſeipſum confun
dit
.
Veram autem demonſtratio nem huiuſmodi figuræ in dicto libr. Copernici cla-
videbis.
Quod verò diuersè cogitaui nunc acciptito.
Cum nobis cognita ſit maxima ecclipticæ declinatio, vt puta .a.c. ſi latitudo etiã
ſtellæ
nobis data fuerit, vt puta .c.e. cognitus nobis erit totalis arcus .a.e. & eius ſinus .
e
.m.
& quia notus etiam nobis eſt ſinus arcus .a.c. hoc eſt .c.n. & corda .e.f. medio eius
arcus
.e.p.f. minoris media circunferentia, per duplum latitudinis datæ, vnde .e.l. eius
dimidium
nobis cognitum erit, vel vt ſinus arcus .e.p. cognitus etiam nobis eſt ſinus .
q
.g.
declinationis .a.g. datæ, cui æqualis eſt .m.t. ex .34. primi Euclid.
vnde .e.t. nobis
cognita
remanet, cum verò duo trianguli .i.c.n. et .t.e.K. æquiãguli ſint, propter duas
parallelas
.e.m. et .n.c. ex .28. primi, & propter duas .a.b. et .g.h. & propter duas .c.d.
et
.e.f. eo quod ex communi ſcientia anguli .c. et .e. ſunt æquales, cum ex .29. dicti lib.
vnuſquiſq; æqualis ſit angulo .m.ω.i. ita etiam infero de angulis .e.K.t. et .c.i.n. quorũ
vnuſquiſque
æqualis eſt angulo .ω.x.t. & ſic de alijs dico, co quod vnuſquiſque eorũ
æqualis
eſt angulo .m. vnde cum cognitum nobis ſit latus .n.c. et .c.i. et .t.e. notũ etiam
nobis
erit .e.K. ex .19. ſeptimi, eo
ex
.4. ſexti ſunt inuicem proportio-
300[Figure 300] nalia, detrahendo poſtea .e.K. ab .
e
.l.
cognito, vel ècontra, hoc ab il-
lo
, nobis innoteſcet .K.l. ſinus longi
tudinis
ſtellæ.
Valde etiam miror id, quod di-
ctus
Stadius pag .9. illius libr. ſcri-
bit
, hoc eſt, Solem maiorem
eſſe
Luna, ſolum .1644. vici-
bus
,
propterea cum affirmet So-
lem
maiorem eſſe terra (vt etiam
in
Almageſto videre eſt) 166. vici
bus
cum tribus quartis, terram ve-
ro
maiorem Luna .39. vicibus cum
quarta
parte,
tunc Solem oporte-
ret
maiorem eſſe Luna .6545. vici-
bus
, & non .1644.
273261EPISTOL AE.
Decognitione latitudinum stellarum.
AD EVNDEM.
AD cognoſcendam latitudinem ſtellæ, eiusq́ declinationem, Monteregius in
10
. propoſitione .8. li.
Almageſti methodũ ſatis docuit, ſed ſi alia aliqua metho
do
hoc idem cognoſcere voluerimus, oportebit nos prius altitudinem poli cogno-
ſcere
, deinde altitudinem meridianam ipſius ſtellæ, nec non horam, quãdo ipſa ſtel
la
in meridiano ſupra terram reperitur, qua hora mediante, illicò cognoſcemus pun
ctum
ecclipticæà meridiano interſecto, eo tempore, quo ſtella cœlum mediat ſu-
pra
terram.
Et quia ex cognita altitudine poli, illico cognoſcitur altitudo æqua-
toris
, cuius altitudinis differentia ab altitudine ſtellæ eſt declinatio ipſius ſtellæ, ha-
bebimus
ideo eius declinationem cognitam;
qua mediante ad cognoſcendũ etiam
latitudinem
ita faciemus.
Sit exempli gratia .p.o.u. meridianus .u.a. verò æquator .e.a. autem eccliptica, &
o
. centrum aſtri .u.o. verò eius declinatio ab æquatore, et .e.a. arcus ęcclipticæ inter
æquatorem
, & meridianum, hoc eſt minor quarta, et .a.u. aſcenſio recta ipſius arcus,
et
.u.e. ſit declinatio puncti .e. ęcclipticę ab æquatore, reſiduũ vero declinationis ſtel-
ſit .o.e. quæ oĩa nobis cognita erunt, ſitq́; .t. polus ęcclipticus, à quo per .o. vſque ad
ęcclipticam
tranſeat quarta .t.i. in qua quęrendus erit arcus .o.i. hoc modo.
Primum arcus .o.u: e.u: e.o: a.e: et .a.u. nobis cogniti ſunt, cum angulo .a. declinatio
nis
ęclipticę, & cum angulo .u. recto, vnde ex .4. primi Copernici, cognoſcemus angu
lum
.a.e.u. collateralem, & eius .o.e.i.
quare in triangulo .o.e.i. cognoſcemus angulũ
e
. et deinde .i. vt rectũ, & latus .o.e. ergò ex eadẽ .4. cognoſcemus arcũ .o.i. quæſitum,
& ſimiliter arcum .e.i. qui coniunctus vel dẽptus ab .a.e. tribuet nobis longitudinem
ſtellę
, ſed quia huiuſmodi operatio in paruis triangulis valde fallit.
Ideo tibi ſua-
deo
alia methodo, hoc facere, hoc eſt inuenire angulum .o. trianguli .t.p.o. cuius duo
latera
.t.p. et .p.o. cognita nobis ſunt, cum angulo .p.
Nam .o.p. eſt complementum de
clinationis
ſtellæ, et .p.t. eſt arcus coluri ſolſtitiorum inter duos polos, & angulus .p.
reſiduum
ex recto .t.p.a. duorum colurum dempto angulo. a, p.u. cognito aſcenſionis
recte
, vnde angulus .u.o.s. vt contrapoſitus cognitus remanet.
angulus verò .u. rectus
eſt
, & arcus .o.u. cognitus,
quare cognitus
nobis
erit arcus .u.s. & angulus .u.s.o. vnde
301[Figure 301] arcus .a.s. nobis cognitus remanebit an-
gulo
.a.s.i. reſiduo ex duobus rectis.
Et quia
etiam
angulus .s.a.i. cognitus eſt, cum ſit an
gulus
maximę declinationis Zodiaci ab
æquatore
.
Ideo in triangulo .a.s.i. cuius
duo
anguli .a. et .s. cum latere .a.s. dantur, fa
cilè
inueniemus arcum .s.i. arcu .a.i. ſed
a.i. erit longitudinis ſtellæ dempto poſtea .
s
.i.
ex .s.o. iam inuento habebimus arcum .i.
o
.
latitudinis ipſius ſtellæ.
Hæc autem tibi ſcribo non vt ipſis vta-
ris
, ſed potius vt tibi morem gerã, cum bre
uiſſima
methodus ſit illa, quã Monteregius
ſcripſit
ĩ .10. ꝓpoſitione .8. li. in Almageſt.
274222IO. BAPT. BENED.
Qualiter circulus deſignari poßit alios duos circulos
propoſitos
includens.
CLARISS. PETRO PIZZAMANO.
SVperioribus diebus per tuas literas à me quæſiuiſti, vt modum tibi ſcribere vel-
lem
, quo circulus deſignari poſſit circunſcribens alios duos propoſitos circulos.
Qua in re vt tibi ſatisfaciam quod maximè cupio ita rem accipe.
Propoſiti circuli ſint, aut inter ſe contigui, aut interſecantes vel ſeparati. Eſto pri-
contiguos eſſe, qui ſint .d.b. et .f.q. quorũ .d.b. maior ſit et .f.q. minor, eorũ vero
centra
ſint .a et .o. punctũ autem cõtingentię ſit .i.
Nũc ꝓtrahat̃. b.a.o.q. per cẽtra eo
rum
ab vna circunferentia ad aliam, quę quidem linea tranſibit per punctum .i. ex
11
, tertij Eucli.
deinde à diametro maiori abſcindatur .i.e. ad æqualitatem minoris
ſemidiametri
, quo facto ſumatur diſtantia inter .e. et .b. circino mediante factoq́ cen
tro
.o. ſcindatur, alio circini pede, circunferentia maioris circuli in puncto .u. à quo ſi
mente
concipiemus duas lineas .u.a.d. et .u.o.f. tranſeuntes per eorum centra .a. et .o.
vſque
ad circunferentias in punctis .d. et .f. ipſę erũt inuicem ęquales, eo quod .e.i. sũ-
pta
fuit æqualis .o.f. et .o.u. æqualis .e.b.
quare .u.f. æqualis erit .b.i. ſed u.d. etiã æqua
lis
.b.i. ergo .u.d. æqualis erit u.f. & circulus, cuius u.d. vel .u.f. erit ſemidiameter, con-
tiguus
erit ipſis propoſitis circulis ex conuerſo .11. iam dictæ.
Idem dico pro circu-
lis
ſe inuicem ſecantibus.
302[Figure 302] 303[Figure 303]
275263EPISTOL AE.
Sed ſi circuli propoſiti ſeiuncti fuerint, ſumatur .b.i. diameter maioris, qui fiat ſe-
midiameter
vnius circuli circa centrum .o. & hic circulus vocetur .h.x. coniunga-
tur
deinde ſemidiameter .o.i. minoris circuli cum ſemidiametro .a.i. circuli maio-
ris
, & ex huiuſmodi compoſita linea, fiat vnus ſemidiameter .a.x. circuli .x.n. concen
trici
cum maiori, & à puncto .x. interſectionis horum circulorum (poſito quod ſe in-
uicem
interſecent) ducantur per eorum centra .x.a. et .x.o. vſque ad ipſorum circun-
ferentias
in punctis .d. et .f. duę
lineæ
, vnde habebimus .x.d.
æqualem
.x.f. eo quod tam in
304[Figure 304] x.d. quam in .x.f. reperiuntur
diametri
, & ſemidiametri am-
borum
circulorum, facto deni
que
centro .x. vnius circuli, cu
ius
ſemidiameter ęqualis ſit
vni
earum .x.d. vel .x.f. folu-
tum
erit problema, dicta ra-
tione
.
Si verò diſtantia duorum
propoſitorum
circulorum tanta fuerit, quod ſecundi circuli nequeant ſe inuicem
tangere
, vel ſecare, tunc alia via incedendum erit, quę talis eſt & generalis.
Diuida-
tur
tota .q.b. per æqualia in puncto .z. circa quod ſignẽtur duo puncta ab ipſo ęquidi
ſtantia
.K. et .p. diſtantia vero .a.K. facta ſit ſemidiameter eſſe vnius circuli .K.x. circa
centrum
.a. diſtantia autem .o.p. ſemidiameter alterius circuli .p.x. circa cen-
trum
.o. qui quidem circuli ſe inuicem ſecent in puncto .x. à quo cum ductę fue-
rinc
.x.a.d. et .x.o.f. per centra dictorum circulorum, ipſe erunt inuicẽ ęquales, eo
cum
.b.K. æqualis ſit .q.p. igitur .x.d. et .q.p. erunt inuicem ęquales, ſed .f.x. æqualis eſt
q.p.
quare .x.f. æqualis erit .x.d. tunc ſi .x. centrum fuerit vnius circuli, cuius ſemidia-
mer
ſit vna dictarum, problema ſolutum erit.
Talis etiam ſoiutio commo-
da
erit ad inueniendum dictum
305[Figure 305] circulum cuiuſuis magnitudinis,
dato
tamen eius diameter, ma
ior
ſit .b.z. cum in noſtra poteſta
te
ſit accipere puncta .K. et .p. pro
xima
vel remota ab ipſo .z. ad li-
bitum
.
Vnde abſque vlla diuiſio
neipſius
.q.b. per medium, ſatis
erit
ſignare puncta .K. et .p. dua-
bus
diſtantijs mediantibus .b.K.
et
.q.p. inuicem æqualibus, &
etiam
propoſitis.
1919[Handwritten note 19]
276264IO. BAPT. BENED.
Figuram ſuperficialem ellipſi ſimilem, ex datis axibus cir-
cino
mediante delineari poſſe.
AD EVNDEM.
FIguram ſuperficialem ellipſi ſimilem, ex datis axibus, circino mediante delinea
re
cum volueris, ita facito.
Sit .e.c. ſemiaxis maior .a.e. verò minor, ad angulum rectum inuicem coniuncti,
tunc
.a.e. producatur vſque ad .o.
Itaq; .a.o. maior ſit quam diſtantia inter .o. et .c. quę
quidem
.a.o. poſſet etiam dari, deſcribatur poſtea circulus .a.d.b. circa centrum .o. à
quo
puncto protrahatur ſemidiameter .o.b. quæ cum .a.o. angulum rectum conſti-
tuat
, quę .o.b. erit æquidiſtans .e.c. ex .28. primi, ducatur poſtea .b.c.d. et .o.t.d. vnde
angulus
.t.c.d. ęqualis erit angulo .o.b.d. ex .29. eiuſdem.
ex quinta autem anguli .b.
et
.d. ſunt inuicem æquales,
quare etiam
& anguli .d. et .c. inuicem ęquales erunt,
306[Figure 306] & ex .6. eiuſdem .t.c. ęqualis erit .t.d. duca
tur
poſtea .d.x.h. perpendicularis lineæ .c.
e
.
ita diſtans ſub ipſa .c.e. vt arcus circula-
ris
circa .t. delineatus ex ſemidiametro .t.
d
.
aptus ſit eam ſecare, ſumpto poſtea .r.
tam
diſtante ab .e. vt .t. reperitur ab ipſo
e
. et .z. ab .e. vt .o. ab eodem, ducendo po-
ſtea
duos alios arcus magnitudinis priorũ
circa
centra .r. et .z. habebimus propoſi-
tum
.
Sed cum quis voluerit prius arcus mi-
norum
circulorum delineare circa maio-
rem
axem, fiant cuiuſuis magnitudinis, vt
in
ſecunda figura videre eſt, poſito tamen quod eorum diameter, minor ſit minore
axe
ipſius figurę, quorum circulorum vnus ſit .c.d. circa .t. eius centrum, deinde in axe
minori
ſumatur .a.x. æqualis .c.t. & protrahatur .t.x. quę per ęqualia diuidatur in pun-
cto
.n. à quo poſtea ducatur .n.o. ad angulos rectos
307[Figure 307] cum .t.x. vſque ad interſectionem cum .a.e. in pun-
cto
.o. minori axi producta cum oportuerit, quod
quidem
punctum .o. centrum erit arcus .d.a. maio-
ris
, eo quod .o.t. æqualis eſſet .o.x. ex .4. primi Eu-
cli
.
vnde .o.d. æqualis eſſet .o.a. & circuli etiam in-
uicem
contingentes in puncto .d. ex .11. tertij tam
in
prima, quam in ſecunda figura, ſumpto deniq;
puncto
.s. tam remoto ab .e. quam .o. reperitur ab
eodem
, ipſum, centrum erit alterius arcus oppoſi-
ti
, poſſemus etiam abſq; diuiſione ipſius, t.x. conſti
tuere
angulum .x.t.o. æqualẽ angulo .t.x.o. vnde ex
6
. primi haberemus .o.t. æqualem .o.x.
277265EPISTOLAE.
De inuentione axis propoſite portionis datæ ſphæræ.
AD EVNDEM.
VTaxem propoſitæ alicuius datæ ſphæræ inuenire poſſis ita tibi operandum eſt
vt
gratia exempli.
Propoſita nobis eſt ſphæra .c.i.e.t. diametri cognitæ. pro
poſita
etiam eſt nobis eius portio .n.e.u. axis .e.a. cognitæ minoris ſemidiametro, da-
ta
etiam nobis eſt proportio alterius portionis minoris hemiſphærio .i.e.t. ad por-
tionem
.n.e.u. quæritur nunc quantus ſit axis .e.x. ſecundæ portionis hoc eſt deſidera-
mus
cognoſcere proportionem .e.x. ad .e.a. vel ad diametrum ipſius ſpheræ.
Cuius gratia reperiatur primò proportio circũferentiæ maioris circuli ipſius ſphę­
adeius diametrum, quæ ferè eſt vt .22. ad .7. ex Archimede.
Quo facto, inueniatur quantitas ſuperficialis huiuſmodi maioris circuli, quæ ſem-
per
æqualis eſt producto quod fit ex ſemidiametro in dimidium circunferentiæ ip-
fius
circuli, ex eodem Archimede.
Et ſic cognoſcemus quartam partem ſuperficiei
ſphæricæ
ſphærę propoſite ex .31. primi lib. de ſphæra, & cyllindro Archimedis.
Deinde ſumatur tertia pars producti, quod fit ex ſemidiametro in ſuperficiem
maioris
circuli, & habebimus conum, cuius baſis erit circulus maior, altitudo verò
ſemidiameter
propoſitæ ſphæræ ex .9. duodecimi Eucli.
Quadruplum poſtea huiuſmodi coni, erit quantitas ſoliditatis, ſeu corporeitas to
tius
ſphærę ex .32. dicti lib. Archimedis.
Imaginemur poſtea ĩ ſphærica portione .n.e.u. lineã .e.u. à sũmitate ad extremitatẽ
baſis
, cuius .e.u. quantitatem cognoſcemus, hoc modo ſcilicet, fumendo radicẽ qua-
dratam
producti .c.e. in .e.a. eo quod
quadratum
.e.u. æquale eſt quadrato
308[Figure 308] a.u. & quadrato .a.e. ex penultima
primi
Eucli.
hoc eſt producto quod
fit
ex .c.a. in .a.e. ex .34. tertij eiuſdẽ,
& quadrato .a.e. hoc eſt producto,
quod
fit ex .c.e. in .e.a. ex .3. ſecundi
eiuſdem
.
Inuenta poſtea .e.u. ponamus eam
vnius
circuli ſemidiametrum eſſe, cu
ius
ſuperficialis quantitas etiam inue
niatur
, vt ſupra dictum eſt, quæ qui
dẽ æqualis erit ſuperficiei portionis
n.e.u. ex .40. primi li.
Archimedis de
ſphæra
, & cyllindro.
Hæc autem quantitas vltimo inuẽ
ta
multiplicetur cum tertia parte ſe-
midiametri
datæ ſphæræ, & habebi-
mus
ſoliditatem vnius coni æqualis
aggregato
ſoliditatis portionis .n.e.
u
.
ſimul ſumptę, ſoliditate vnius co
ni
, cuius axis ſit .a.o. reſiduũ ſemidia-
metri
noſtræ ſphæræ dempta .a.e. ba­
278266IO. BABPT. BENED. ſis verò eadem quæ eſt portionis, cuius diameter eſt .n.u. ex .9. 12. Eucli. & ex .42. id-
eſt
vltima primi Archimedis de ſphæra, & cyllindro.
Nunc autem ex hoc aggregato iam vltimo dicto detrahatur conus, cuius .o.a. eſt
axis
et .n.u. diameter baſis, qui quidem conus nobis cognitus eſt, cum .a.n. ſemidia-
meter
eius baſis, nobis cognita ſit ex .34. 3. Eucli.
& ſic quantitas eius baſis, & ita ter-
tia
pars .a.o. eius axis, quę multiplicata cum dicta baſi, cuius .n.u. eſt diameter, produ
cit
dictum conum, qui quidem conus, vt diximus, demptus cum fuerit ex dicto ag-
gre
gato, relinquet nobis ſoliditatem portionis .n.e.u. vnde cognoſcemus proportio
nem
iſtius portionis ad totam ſphæram propoſitam.
Sed cum nobis propoſita ſit proportio portionis .n.e.u. ad portionem .i.e.t. cogno
ſcemus
etiam ſoliditatem huius ſecundę portionis .i.e.t. & ſimiliter proportionẽ hu-
ius
ad totam ſphęram, & ad reſiduũ etiã ipſius ſphęrę hoc eſt portioni .i.c.t.
Protrahatur nunc diameter .c.e. à parte .e. vſq; quo .e.f. æqualis ſit .e.o. ſemidiame
tro
ſphęrę, quæ quidem .f.e. diuidatur in puncto .h. ita vt proportio .f.h. ad .h.e. æqua-
lis
ſit proportioni portionis .i.c.t. ad portionem .i.e.t. quod quidem hoc modo efficie­
tur
.
applicabimus lineam .f.q. (indeterminatam) cum .f.e. ad quemuis angulum in pũ-
cto
.f. in qua accipiemus duas lineas .f.p. et p.q. inuicem ita relatas, vt ſe habent in pro
portione
duæ iam dictæ portiones, hoc eſt, vt .i.c.t. portio ad portionem .i.e.t. ducen
do
poſtea .q.e. et .p.h. parallelam ad ipſam .q.e. diuiſam habebimus .f.e. in eadem pro
portione
vt dictum eſt ex .2. ſexti, & .11 quinti Euclidis, vnde .c.e: e.f. et .f.h. nobis co
gnitę
erunt.
Oportebit nos nunc cognoſcere quantitatem .c.x. hoc modo, videlicet, quęramus
quadratum
, cuius .c.x. eius ſit radix, cui quadratum lineę .c.e. cognitum, ita ſit propor-
tionatum
, vt eſt linea .x.f. ad lineam .f.h. quę nobis cognita eſt, quod rectè factum erit
ex
eo, quod ſcripſit Archimedes in .4. ſecundi de ſphęra, & cyllindro.
Sed quia Archimedes eo in loco ſupponit id, quod necipſe, nec alius adhuc inue
nit
, niſi via naturali, hoc eſt tres partes ęquales ex proportione data effici, non erit in
conueniens
etiam nobis hac via, circa hoc aliquid dicere.
Accipiemus igitur diametrum .c.e. cum addita .e.f. eius ſemidiametro, diuidemus­
q́ue
.f.e. in puncto .h. vt ſupra factum fuit, applicabimus poſtea .c.m. indeterminatam
angulariter
ad .c.e. à qua .c.m. accipiemus .c.g. æqualem .f.h. quęremus deinde natu-
rali
via punctum .b. ita ut protrahendo à puncto .e. (altero extremo diametri) e.m. pa
rallelam
ad .b.g. ductam, erigendo .b.d. perpendicularem ad .c.e. in puncto .b. protra
ctaq́; .d.c. quæ à diametro .e.c. deducta ab .c. incohando vſque ad .x. relinquat nobis .
x
.f.
ęqualem .c.m.
Cuius rei ratio eſt, quia quadratum .c.e. ſe habet ad quadratum .c.d. vt .c.e. ad .c.
b
.
ex .4. et .18. ſexti Eucl.
ſed ex .4. ita ſe habet .m.c. ad .c.g. vt .e.c. ad .b.c. & cum ſit .c.
g
.
ęq alis .f.h. ſi .c.m. ęqualis fuerit .f.x. habebimus propoſitum.
Quod ſi quis per di-
ſcretum
vel et hoc facere, ita ei agendum erit.
Ponamus exempli gratia totum diametrum .c.e. propoſitæ ſphæræ eſſe ut decem,
proportionemq́; reſiduę portionis .i.c.t. ad ſecundam .i.e.t. hoc eſt .f.h. ad .h.e. ſeſqui-
alteram
eſſe, vnde .e.h. bis tertia erit ìpſius .f.h. totaq́; linea .c.f. erit .15. et .f.h. erit .3.
& quadratum lineæ .c.e. erit .100.
Quærendo poſtea quadratum lineæ .c.x. cui quadratum .c.e. hoc eſt .100. ita pro-
portionatum
ſit vt .f.x. ad .f.h. hoc eſt ad .3. ſi autem cogitauerimus .c.x. eſſe nouem
partium
talium qualium .c.e. eſt decem, eius quadratum erit .81. et .x.f. erit .6. par-
tium
talium qualium .c.f. eſt .15. dicendo poſtea ſi .100. dat .81. (ex regula de tribus)
279267EPISTOL AE. x.f. hoc eſt .6. dabit .4. integra cum .
309[Figure 309] 86.
centeſimis, ſed nos vellemus no-
bis
prouenire tria, eo ita eſt .f.h.
qua
propter deſcendere nos oporte-
bit
à nouem ad .8. & ab .8. ad .7. & à.
7
. ad .6.
tunc inueniemus .c.x. oporte-
re
eſſe circiter quinque cum duabus
tertijs
, operãdo poſtea ex regula de
tribus
, ſi dixerimus quando .100. no-
bis
dat .32. cum nona parte integri,
tunc nouem cum tertia parte integri
dabit
.2. 296. de .300. hoc eſt .2.
cum
circa .49. quinquageſimis, quæ
quidem
quantitas, cum propinquiſſi
ma
ſit lineæ .f.h. trium integrorum di
cemus
.c.x. eſſe quinque integrorum
cum
duabus tertijs partibus vnius in
tegri
, et .e.x. reſiduum, hoc eſt axem
quæſitum
portionis .i.e.t. eſſe circa .4
integra
cum tertia parte vnius inte-
gri
.
DE ERRORIBVS THOMAE PORCACHII
& Benedicti Bordonij in eorum inſularijs.
Excellentißimo D. lo. Baptiſtæ Fæmello Ciui Decurioniq́ꝫ Tau-
rinenſi
Philoſopho, Medico, & in Accademia eius
Ciuitatis
Medicinæ Practicæ Ordinario, Pri-
marioq́ꝫ
profeßori celeberrimo.
DIj perdant tuas adeo moleſtas, & aſſiduas curas, quæ te nimis à ſuauiori-
bus
ſtudijs diſtrahunt, & à nobis longius abducunt.
Nam, ut tibi quietẽ,
ita
mihi ingentem adimunt voluptatem.
Sed ne in aliquo erga te defi-
cere
videar, quæ tibi olim promiſi, nunc mitto.
Negari quidem non poteſt, quin fuerit laborioſum opus Porcachij, & Benedicti
Bordonij
, hoc eſt inſularium, qui rectè etiam feciſſent, cum loqui eos oportebat de
terminis
ſphæræ ratione ſitus locorum, ſi ſeipſos alicuius excellentis Coſmographi
conſilio
ſubmiſiſſent.
Conſidera quæſo, quomodo admitti poſſit, id quod ait Por-
cachius
initio ſui operis, ideſt Iſlandiam ſub Polo arctico iacere, inter auſtrum, &
boream
:
omittamus etiam quod idem in Proęmio lib. ſecundi, vbi ait Biarmiam,
(& non Iſlandiam) eſſe ſub dicto polo arctico:
in eodemq́; principio repetit ipſam
Iſlandiam
inter auſtrum, & boream per centum leucas Germanicas extendi, dein-
de
verſus occidentem, ea duo ſtupenda miracula conſpici.
Vide quæſo, quomodo
incolę
ſub aliquo ex polis, habere poſſint occidentem, orientem, magiſtrum, auſtrũ,
280268IO. BAPT. BENDE. & boream, & vt melius dicam aliquem rhombum. Sed quomodo fieri poteſt, vt in-
ſula
Iſlandiæ ſit ſub polo, eius tamen dies, & nox maior non ſit longior ſpatio triũ
menſium
?
vt ipſe pagina .62. in proęmio ſecundi lib. affirmat, quamuis hoc à Bordo
ne
deſumat.
In quo vterq; fallitur, ſentiẽtes huiuſmodi diem ab ingreſſu Solis, in
principium
geminorum incipere, & in egreſſu à Leone terminari, ideſt à .12. Maij ad
14
. Auguſti, quaſi ſi ab æquatore finis Leonis ita declinaret, vt principium gemino-
rum
, & finis Aquarij, vt initium Sagittarij, nam ratio poſtulat, tantum de-
clinari
ab æquatore finem quantum initium diei, vbi maximus dies .24. horas ex
cedit
, & ſic dico de noctibus:
vnde in huiuſmodi regione, vbi per tres menſes conti
nuos
Sol radios emittit, huiuſmodi dies à medietate Tauri incipit, & in medietate
Leonis
terminatur, quæ quidem loca æqualem declinationem habent, & ſic nox
trium
menſium incipit à medietate Scorpionis, & in medietate Aquarij, eadem ra-
tione
finitur.
Septima verò pag. idẽ ait, dies ſolſtitiales eſſe circa .24. Iunij. , an tũc eſſet verũ,
tu
ipſe videto.
Is præterca modus quẽ ad inueniẽdũ orientẽ, & occidẽtem præſcribit
in
eodem proęmio pag .63. eſt tædioſus, cum ſemper expectare nos cogat æquino-
ctij
tempus, cum alij modi reperiantur breuiores, qui in qualibet reuolutione primi
mobilis
obſeruari poſſunt, quorum vnus erit mediante inuentione lineæ meridiane
orizontalis
, eo modo, quo ſcriptum eſt ab antiquis mediante Sole, aut Luna, quæ
luminaria
in quolibet alio loco, præterquã ſub polo efficiunt, vt extremitas vmbræ
rectæ
gnomonũ gyrũ oxigoniũ, ſeu eclipticũ ducat, ideſt in ijs locis, quorũ zenit eſt
inter
polum, & circulum arcticum, quemadmodum facit, vt alijs, exiſtentibus ipſis
luminaribus
extra æquatorem, & circulos arcticos gyrum hyperbolicum reddant.
Sed id quod eidem Porcachio impoſſibile eſſe apud eos, qui habitant ſub polo vi-
detur
, ideſt vt multis rationibus, vt ipſe dicit, fieri non poſſit, ut fiat immediata quę
dam
, & ſubita mutatio à continuo die ad continuam noctem abſque eo quod ijs,
ſaltem
ſemel conceſſa ſint dies, & nox terminata duodecim horarum, eſt magis ad
mirandum
impoſſibile, quod imaginari poſſimus, nam neceſſarium eſſet, ut orizon-
habitatorum
ſub polo ſecaret æquatorem contra id, quod ſuperius admiſerat, id-
eſt
orizõtẽ Biarmiæ, eſſe eũdẽ circulo æquinoctiali.
Vide etiam quid is ab anti-
quis
colligat, loquens de iis, quæ in inſula Taprobana ad finem pag .186. admirabi
lia
ſunt, ſcribens eiuſdem inſulę habitatoribus, Lunam ſuper terram non apparere
ab
octauo uſque ad decimumſextum diem:
pręter quam, quod etiam ſcribit, in
eadem
inſula, tramuntanam non uideri, quod falſum eſt, quia hæc à polo arctico
circiter
quatuor gradibus diſtat noſtris temporibus.
unde ab ijs qui ſunt ſub æqua-
tore
, cum ea ſupra orizontem eſt, conſpici poteſt, cum ijſdem ſingulis diebus oria-
tur
, & occidat.
Idem etiam pro re admirabili ſcribit, uideri Canopum, qui à po-
lo
antarctico plus quam quadraginta gradibus diſtat.
De erroribus Lucilli Philalthæi.
AD EVNDEM.
QVod Lucillus Philalthęus tam eximius Mathematicus ſit, ut ipſum Anto-
nius
Berga facit, ego quidem non uideo.
In ſuis enim commentariis de
Cœlo
, dicit primum, Pyramidem, quę inter corpora regularia primum locum tenet
281269EPISTOL AE. ſex baſibus conſtare, pag.15. 583. 632. et .647. Omitto errorem ab eodem com-
miſſum
in fine pag .39. ubi oleum grauius eſſe quam aquam fatetur, cum id ad res
mathematicas
non ſpectet:
Omitto etiam quod idem neget aſtrologiam pag .74.
79
. & quod etiam dicat pag .89.
Deum eſſe ad orientem, non conſiderans aliqui-
bus
populis noſtrum orientem eſſe occidentem.
Quod idem ait pag .241. Aſtrologiam eſſe antiquiorem Aſtronomia eſt falſiſſi-
mum
, quia iudiciaria ſemper præſupponit cognitionem ſitus ſtellarum, quæ ab A-
ſtronomia
petitur.
Mouebit tibi riſum quod ait pag .307. his verbis.
Verum propriè media dicitur illa, quæ rectam ſphæram omninò habet, quæ eun
dem
polum orizontis & mundi obtinet, quæ orizontem habet diuidentem ſphærã
æquè
ſecundum angulos rectè.
Paulo inferius continuans ſermonem de ſphæra recta, ait.
Et niſi tumor terræ, & gibum eſſet, ijs perpetuus eſſet dies ſine nocte.
Linea verò .56. ait habitatores ſphęrę rectè habere .4. ſolſtitia, ſeſe ipſum huius
rei
planè ignarum prodens .310. autem pag. ſic ſcribit.
Quoniam repercutiuntur radij, & peridem centrum tranſeunt, ob id ſtupam ap
poſitam
centro radius accendit.
Quem quidem errorem ab Euclide deſumit, et .15. linea pag .636. repetit.
Si vis ridere, legito .16. primas lineas .357. pag. Quod idem deinde dicat circa fi-
nem
396. pag. lucem eſſe ſubſtantiam corporis lucidi & corpoream, ſubijciam tuo
iudicio
, vt etiam quod ait .397. pag. his vetbis vtens.
Idcirco animalia illa, quæ nocte vagantur perpolita, dum volant, aerem terunt
nocturnum
, & fulgent.
Et pag .398.
Multitudo radiorum non admodum facit ad excitandum calorem ſi ſolum inci-
dat
ſine repercuſſu, neorecta incidere iuuerit.
Quod falſum eſt cum radius incidens longè magis quam reflexus calefaciat. In fi
ne
autem .405. ſic ſcribit.
Sol in ortu & in occaſu longius apparet, iccircò reuolui creditur. Hinc etiam in
abſide
ſtare putatur, & in oppoſito abſidis, vnde ſolſtitia vocant, ſed nobis in Can-
cro
, antipodibus verò in Capricorno tum Sol abeſſe longius apparet vtriſque.
An hoc quid peius dici poteſt? Circa vero .40. lineam pag .459. ſic ſcribit.
Si enim alij planetæ, & ſtellæ fixę reciperent à Sole lumen, dum accederent ad So
lem
, vel recederent, aut contra, Sol ad eas appropinquaret, & abſcederet, eaſdem-
lucis
viciſſitudinis ſubiret, quas Luna.
Hoc autem nondum depręhenſum eſt, quin etiam Mercurius, Venus, ſuo interpo
ſitu
, Solem occultarent nobis, vt Luna.
Paulo inferius ſic ait. Rurſus æquè Saturnus, Jupiter, Mars, ſubire deliquium,
more
Lunæ, aut ſaltem obiectu terræ inter Solem & ipſos, quia tum ob interpoſitam
terram
non poſſent haurire lumen à Sole.
Hæc verò omnia, talia ſunt, qualia ab ijs qui incipiunt intelligere ſphæram non
proferrentur
.
Omittamus, quod ait deinde.
Accedit quod ſi aſtra lumen à Sole acciperent eiuſdem caloris eſſent. Itaque om
nia
ſiccarent, & nulla eſſent frigidæ conſtitutionis contra Aſtrologos.
Quia hac ratione, Luna, quæ negari non poteſt, quin ab ipſo Sole lumẽ accipiat,
eiuſdem
caloris eſſet cum eodem Sole.
Sunt ea etiam ridenda, quæ idem ait pag.
460
. lineis .18. 19. 23. 26. 27. 29. quaſi ea lux infinita (vt ita dicam) magni Solis, non
282270IO. BAPT. BENED. in alium finem ſit effecta quam ad illuminandam ſuperficiem huius excrementi ip-
ſius
vniuerſi ad vtilitatem hominum, imò, vt rectius dicam, animaliũ.
vide etiam
pag
.632. et .633. vbi Ariſtotelem de implendo loco non intellexit, cum citet ſphæ-
ram
, loco pyramidis, & inter .46. et .47. lineas dicat quadratũ eſſe quid multiplex,
cum
ſit vnicum tantum in ſpecie, quia ſpecies eſt quadrilateri, & quadranguli, ſed
vbi
in .6. linea pag .633. ait.
Item hexagonus.
Magnum errorem committit, vt etiam cum .12. linea .636. pag. ſcribens.
Pyramis, ſiue planum, ſiue ſolidum, habet acutiſſimum, & in .2. libr. de anima
pag
.215. dicat de die poſſe videri ſtellas in ſpeculo poſito in vaſe aqua pleno, quod
reuera
eſt valde abſurdum.
Alios eiuſdem errores tibi non patefacio, quia iam ni-
hil
amplius otij mihi eſt, ſed eos tu ipſe perſpicere, & cognoſcere facilè poteris, &
multò
plures quidem, quam putas.
Cur maius lumen extenuet minus.
PIRRO DE ARZONIS.
EX tuis literis intellexi id, quod etiam ſine ijs exploratum mihi erat. Sed conce
do
tantum eſſe dicere vbi eſt maius lumen, minus non diſcerni, quantum inter
diu
ſtellas non videri:
immo eſt etiam magis vniuerſale, quia idem multis aliis lumi-
nibus
, præter ea quæ ſunt ſtellarum, ea ratione contingit, quia ingrediente per pupil-
lam
, tam lumine maiori, quam minori, reflexum ipſius maioris in oculo, in ſitu mino
ris
, efficit, vt ipſum minus confundatur, & diſtingui nequeat, quemadmodum aper-
te
cognoſci poteſt in aliquo cubiculo, cuius parietes dealbati ſint, in quo, vnicum
tantum
ſit exiguum foramen, per quod aliqua lumina reflexa ab obiectis extrinſecis
intra
ipſum cubiculum ingredi poſſint, vnde imagines obiectorũ in parietibus con-
ſpiciuntur
, ſed ſi per idem foramen ingrederetur etiam primarius radius Solis, re-
flexus
huiuſmodi radij efficeret, vt dictæ imagines, magis aut minus euaneſcerent,
prout
dictus reflexus radij ſolaris, maiori, minoríue vi polleret.
Ad hoc tamen propoſitum, nolo tibi ſilentio inuolui mirabilem quendam effe-
ctum
eiuſmodi rei.
Hoc eſt vt fiat foramen illud rotundum, magnitudinis tamen
vnius
ſpecilli, quod foramen obturetur mediante vno illorum ſpecillorum, quæ pro
ſenibus
(non breuis viſionis) conficiuntur, hoc eſt quorum ambæ ſuperficies con
uexæ
ſunt, non autem concauæ.
Deinde opponatur folium album papiri, adeo di
ſtans
à foramine, vt extrinſeca obiecta in eo appareant.
Quæ quidem obiecta ſi à
Sole
illuſtrata fuerint, tam clara, & diſtincta videbuntur, vt nihil pulchrius dele-
ctabiliusq́; videri poterit, inuerſa tamen.
Sed ſi ea directa videre voluerimus. hoc
optimè
faciemus, mediante reflexione alicuius ſpeculi plani.
283271EPISTOL AE.
Cur byems valde frigida ſequatur actatem in qua
calor
viguerit.
NOBILISSIMO, NECNON INGENIOSISSIMO
Gabrieli
Buſchæ, Mediolanenſi.
QVod dixi hyemem valde frigidam ſequi æſtatẽ, in qua calor viguerit, inde na
ſcitur
, quia calor terrę, aquæ, & aeris, non eſt naturalis horum corporum, vt
eſt
frigus, cum calor à Sole procedat, qui ea calefacit ſuo lumine, vnde quod æſtate
Sol
præter modum calefaciat terrã, ideo cõtingit, quod minora impedimẽta contra
ria
ſortiatur, & cum eandem poſtea deſerit, ad aliam partem æquatoris tranſmigrãs
terra
ad ſuam qualitatem reddit, maiori cum impetu, eo modo, quo res in mo-
tibus
localibus naturalibus, qui etiam terminos ſibi pręfixos, & conſtitutos exce-
dunt
, hinc etiam hyeme fit glacies, ex calefacta prius aqua, quæ durior poſtea eſt
atque
frigidior alia.
Aeſtas etiàm quæ ſequitur hyemem valde frigidam, non
erit
admodum calida, quia Sol inueniens contrarium naturale valde potens, non
tam
facile illud pellere poteſt, vnde etiam ſi in Geminis, Cancro, & Leone, moram
trahat
, non ſufficit tamen ut magnum calorem imprimere poſſit.
Vnde ſequitur duas
æſtates
quarum una ſequatur aliam, in eodem loco, uehementi calore præditas eſ-
ſe
non poſſe, quemadmodum nec duas hyemes exceſſiuo frigore, remotis tamen
accidentibus
uentorum, pluuiarum, & niuium.
QVOD MALE SENSERIT NICOLAVS TARTA-
lea
circa attractionem machinæ tormentalis.
AD EVNDEM.
EFfectus, quem ſcribit Tattalea quęſito quinto primi lib. necnon quæſito
21
. et .24. maxima cum ratione eſſe uidetur, non tamen ea quam ipſe in
quinto
profert, quia uerum non eſt, vt quanto aliquid fit calidius, tãto ue-
hementius
attrahat, eo quod ſi etiam huiuſmodi res, in eodem calore, in
quo
ſemel reperitur, firma maneret;
neque attraheret, neque aliquid impelleret.
Nam dum aliquod corpus calefit, dilatatur, & per conſequens circumcirca undiq;
trudit
, & partes uaſis debiliores cedunt.
dum uerò dictum corpus re frigeratur, re-
ſtringitur
, & dum in unum cogitur, ſi reperiatur in uaſe, quod aer, aqua, aut aliud
aliquod
corpus ingredi nequeat, dictum uas à quo circundatur frangit, ne aliqua
pars
loci uacua remaneat, ſed ſi aliquod corpus ingredi poteſt, illud ipſum ad ſe at-
trahit
, quemadmodum uidere licet in cucurbitulis.
Vnde ſequitur eam propoſi-
tionem
, qua dicitur, calidi eſt attrahere, ueram non eſſe, quia ſi hoc fieret, quanto
aliquid
calidus efficeretur, tanto magis attraheret, & ècontra, cum tamen planè
contrarium
appareat, cum quanto magis aliquid calefit, tanto uehementius impel-
lat
, & quanto magis frigefit, tanto plus attrahat.
Quapropter uerius dicemus, fri-
gidi
eſſe attrahere, calidi uerò expellere, quamuis per accidens.
Ex quo ſequitur, ut
quanto
calidior facta fuerit materia aliqua, aliquo loco determinata, redeundo po-
ſtea
ad ſuam priorem frigiditatem, tanto minori loco indigeat, ſimiliter etiam
è
conuerſo accidit, ut quanto frigidior reꝑitur talis materia, tanto maioriloco, po-
284272IO. BAPT. BENED. ſtea egeat ipſa ualde calefacta. Quod Tartalea in quinto quęſito non animaduer-
terat
.
Solutiones aliqua, circa altimetriam.
AD EVNDEM.
TVas literas accepi, tuasq́; dubitationes conſideraui, quas quidem non inutiles
inueni
, quo uerò ad primam, dico te oportere illud Theorema ſpeculari or
dine
huiuſmodi methodi, uidelicet quod quotieſcunq; habuerimus angulũ aliquẽ
cuiufuis
amplitudinis, puta .A.R.V. cuius duo latera .R.A. et .R.V. indeterminata
intelligantur
, ſi ab aliquo puncto inter ipſas poſito, puta .u. quod etiam uocetur .i. du
ctę
fuerint .4. lineę ipſis dictis lateribus, hac ſcilicet cõditione, duę ex dictis .4. ſint
parallelę
ipfis lateribꝰ, puta
310[Figure 310] u.e. et .u.E. reliquę uero duę
ſeccent
ipſa latera, ut V.u.
a
.
et .I.u.A.
Dico nunc pro-
portionem
.e.A. ad .e.a. ean
dem
eſſe, quę .E.V. ad .E.I.
Nam
ſcimus proportionem
E.i. ad .E.i. eandem eſſe quę
e.i. ad .e.A. ex fimilitudine
triangulorũ, ſimiliter ꝓpor
tionẽ .E.u. ad .E.V. eãdẽ quę
e.a. ad .e.u.
quare aggregata
ex
iſtis erunt inuicem ęqua-
lia
, uel ſi mauis ex ęqua pro
portionalitate
, quod idem
eſt
, ita ſe habebit .E.I. ad .
E
.V.
ut .e.a. ad .e.A.
Suppoſito nunc plano orizontali .V.E. Altitudineq́; inacceſſibili .A.E. Duę ue-
ſtationes oculorum ſint .V. et .I. lineę autem uiſuales ſint .V.A. et .I.A.
Et quadra-
tum
geometricum ſit .b.e.
Supponatur nunc pro prima dubitatione, quod in am-
babus
ſtationibus filum perpendiculare ſeccet latus .e.c. non autem .b.c. (nam quan-
do
in ambabus ſtationibus filum ſecat latus .b.c. nullum tibi dubium oritur, imo ma
nifeſtè
patent partes lateris .b.c. terminatas à .b. & à filo proportionales eſſe .V.E. &
I.E. ſumpto .E. pro .b. et .I.V. pro punctis ſecatis à filo, ex euidẽti ſimilitudine trian-
gulorum
quadrati cum triangulis .A.E.V. et .A.E.I.) Sed cum in pręſenti caſu repe-
riatur
triangulum .u.e.a. minus, in ſtatione remotiori, ſimile triangulo maiori .V.E.
A
.
& triangulum maius .i.e.a. proximioris ſtationis, ſimile triangulo minori .I.E.A.
(quod in alio iam dicto, caſu non accidit, ut unum triangulorum, minus ſcilicet, ſi-
mile
ſit uno triangulorum, maiori ſcilicet & è conuerſo) Non omnino abſque ratio
ne
dubitas quo pacto fieri poſſit ut .a.e. remotioris ſtationis ad .a.e. propinquioris ita
ſe
habeat quema dmodum .I.E. ad .E.V.
Quapropter ſi pręcedentem figuram dili-
285273EPISTOL AE. genter inſpexeris, omnis tua dubitatio euaneſcet. in qua figura apertè vi debis cor-
reſpondentiam
talium triangulorum inter ſe, nec magis, nec minus quam in infra-
ſcripta
hic figura cernere licet, quamuis in hac, triangula quadrati, ſeparata ſint ab
imaginarijs
.A.E.V. et .A.E.I. in ſupradicta vero coniuncta, & inuicem communican
tia
in puncto .u.i. quod quidem nihil refert.
Dempta igitur .a.e. minori ex .a.e. ma-
iori
, reliquum ita ſe habebit ad .a.e. minorem, vt, V.I. ad .I.E. quod nunc tibi
clarè
patebit.
Vnde ex te poteris ordinem operationis proſequi, vt in cognitionem
peruenias
ipſius .I.E. ipſius .A.E. & ipſius .I.A. vel .V.A.
311[Figure 311]
Sed quãdo in proximiori ſtatione latus .b.c. in remotiori vero latus .c.e. ſecatur à fi
lo
(pro ſecunda dubitatione)
Tunc oportet imaginatione conſiderare latus .b.c. in
re
motiori ſtatione diſtentum eſſe vſque ad filum in puncto .n. vbi videbis triangulũ .
u
.b.n.
ſimile triangulo .A.E.V. ita vt .i.b.a. ſimile ſuo .A.E.I. reperitur, vbi tam in vno
312[Figure 312]
286274IO. BAPT. BENED. quam in altero .i.b. et u.b. correſpondebit ipſi .A.E. et .b.n. ipſi .E.V. et .b.a. ipſi .E.I.
quapropter
iubeo, vt quæras quantum ſit latus .b.n. ex regula de tribus, dicens ſi .a.e.
tribuit
mihi .e.u. quid mihi dabit .u.b?
eo quod .a.e.u. ſimile eſt .u.b.n. reperto autem
latere
.b.n. ex quo dempto .b.a. breuioris diſtantię, reſiduum reſpondebit ipſi .I.V. vt
ſcis
, vnde proſequendo operationem tibi cognitam, obtinebis intentum, hoc eſt co
gnoſces
reliqua interualla.
Nihil enim miror demonſtrationem Tartaleæ circa hu
iuſmodi
operationem te minime ſatisfeciſſe.
Quod autem quarta propoſitio illius ſcriptoris, de quo nuper mecũ locutus es, vt
mihi
dixiſti, tua ſit, hoc enimego, nec affirmare, nec negare audeo, quamuis in mul
tis
cum tua manuſcripta concordet.
Nam ſępæ cogitationes hominum in idem co-
incidunt
, vt pluries cenſuit Ariſto.
313[Figure 313]
Demonstrationes quorundam problematum Nicolai Tartalea
cum
alijs operationibus circa eadem ſubiecta.
AD EVNDEM.
AMor erga te meus ſanè ſingularis, nullo modo ꝑmittit, vt ea quæ Tartaleę ſcri
pta
examinãdo inuenerim, non tibi cõmunicem.
Hæc autem ſunt circa quæ
dam
illius Authoris problemata, quorum primum ab ipſo Tartalea
ſcriptum
in .3. quæſito libr .4. tale eſt, is vult locare .3500. homines, eodem modo,
quo
præſupponit locatos eſſe .1000. ita vt quilibet hominum ordo ſiue vt vulgo di-
citur
filtia ſit .49. quapropter multiplicat quadratum ipſius .49. quod eſt .2401.
numero
.3500. propoſito, productum verò .8403500. diuidit per .1000. vt proue-
niat
.8403. cuius radix quadrata eſt .91. pro numero hominum vniuſcuiuſque ordinis
propoſiti
numeri .3500.
Pro cuius operationis ratione, cogitemus rectangulum .a.b. 1000. hominum, et .d.
b
.
ſit vna filtia ſiue ordo .49. hoĩum, cuius quadratũ ſit .b.c. 2401. imaginemur etiã re
ctangulum
.A.B. 3500. hominum, quod ſupponemus ſimile rectangulo .a.b. et .B.C.
287275EPISTOL AE. ſit quadratum ipſius .D.B. Nunc ſupponendo .A.B. ſimile .a.b. clarum erit ex diffini-
tione
ſimilium figurarum, quod eadem proportio erit .A.D. ad .D.B. quę .a.d. ad .d.
b
.
hoc eſt .A.D. ad .D.C. vt .a.d. ad .d.c. hoc eſt .A.B. ad .B.c. vt .a.b. ad .b.c. ex prima
ſexti
, vel .18. ſeu .19. ſeptimi,
tunc cum dixerimus ſi .a.b. ita reſpondet ad .b.c. ergo .A.
B
.
correſpondet etiam ita ad .B.C.
quare ex regula de tribus rectè fit multiplicando .
A
.B.
per .b.c. productum verò diuidendo per .a.b. ex .15. ſexti vel .20. ſeptimi, cuius
prouentus
radix quadrata erit quod quærebatur.
Sed aliter idem poſſe fieri ſpeculatus ſum, hoc eſt multiplicando numerum .49.
ordinis
.1000. hominum radice quadrata numeri .3500. propoſiti, productum ve-
diuidere per radicem quadratam ipſius .1000. vnde prouentus .91. erit numerus
vnius
ordinis .3500. numeri ꝓpoſiti.
Cuius oꝑationis ſpeculatio eſt iſta.
314[Figure 314]
Sit .a.b. quadratum .1000. et .a.c. ſua
radix
et .a.d. rectangulum propoſi-
tum
ipſius .1000. et .a.e. vnus ordo.
Sit etiam .A.B. quadratum .3500. &
A.C. eius radix et .A.D. rectangulũ
ipſius
numeri .3500. propoſiti, ſimile
tamen
rectangulo .a.d. et .A.E. eius
vnus
ordo.
enim .a.b. æquale ſit
a.d. et .A.B: A.D. tũc .a.c. erit media
proportionalis
inter .a.e. et .e.d. & ſic
A.C. erit etiam media proportiona
lis
inter .A.E. et .E.D. per .16. ſexti,
ſeu
.20. ſeptimi, & quia proporrio. A
E
. ad .E.D. æqualis eſt proportioni .
a
.e.
ad .e.d. cum .A.D. ſupponatur ſi-
mile
.a.d. ergo proportio .A.E. ad .A
C
.
ęqualis erit proportioni .a.e. ad .a.
c
.
quę medietates ſunt totorũ æqua-
lium
, rectè igitur fiet ſi procedamus
ex
regula de tribus, dicendo ſi .a.c.
correſpõdet .a.e. tùc .A.C. correſpõ
det
.A.E. ex ſupradictis .15. ſexti. vel
20
. ſeptimi.
Ratio verò quarti quæſiti per ſe
patet
, quod eſt inuenire pauimentũ
ſeu
aream quadratam, in qua poſſint
locari
quot homines volueris, ita in
ter
ſe ſiti, ut vnuſquiſque occupet .
7
.
pedes ipſius areę in longitudinem
et
.3. per latitudinem à lateribus.
Seu ex propoſito hominum nume
ro
inuenire numerum ipſorum loca-
bilem
in aliqua area quadrata, ita,
vt
vnuſquiſque occupet .21. pedes
quadratos
ipſius areæ.
288276IO. BAPT. BENED.
Sed aliter idem fieri poſſe inueni, hoc eſt multiplicãdo radicem quadratam pro-
poſiti
numeri hominum per .21. & productum item multiplicando per eandem radi
cem
, & huiuſmodi producti radicem diuiden do per .3. vnde prouentus eſſet nume-
rus
hominum vnius ordinis.
Exẽpli gratia proponuntur .3600. homines, multiplica
bimus
huiuſmodi numeri radicem
quadratam
hoc eſt .60. per .21. hoc
315[Figure 315] eſt per productum quod fit ex .7.
3
. & reſultabit nobis .1260. quod ſi
multiplicabitur
, per .60. hoc eſt per
eandem
radicem, reſultabit nobis .
75600
.
cuius producti radix qua-
drata
eſt ferè .275. qua diuiſa per .3
proueniet
nobis .91. pro hominum
numero
vnius ordinis.
Cuiusratio eſt iſta, cogitemus nu
merum
.3600. propoſitum eſſe qua
dratum
.a.b. (ſed non areæ) cuius ra
dix
.60. ſit .a.c. & quia hic numerus .
60
.
intelligitur eſſe hominum, quo-
rum
vnuſquiſq; occupat .21. pedes
quadratos
ſuperficiales ex ſuppoſi-
to
,
& propterea multiplicatur, 60.
cum
.21. vnde nobis veniat .1260.
quadrati
ſuperficiales pro vnoquo-
que
ordine, & ꝗa.b.c. vt. latus qua-
drati
.a.b. habet tot ordines homi-
num
ſimiliter, hoc eſt .60. igi-
tur
multiplicando .60. cum .1260.
habebimus
totalem ſuperficiem .a.
b
.
ex .75600. quadratis ſuperficiali-
bus
, quæ quadrata imaginemur lo-
cata
eſſe in quodam totali quadra-
to
, quod ſit .e.f. cuius radix ſit .e. g .
275
.
pedum qui diuidantur per .3.
hoc
eſt per numerum pedum latitu-
dinis
& prouenient nobis .91. pro
numero
hominũ vniuſcuiuſq; ordi-
nis
, diuidendo poſtea latus .f.g. per
numerum
ſpatij inter vnum, & aliũ
ordinem
, quod eſt .7. proueniet
nobis
.39. pro numero ordinum.
Aliter, & breuius etiam poſſumus idem inuenire, hoc eſt multiplicando nume-
propoſitũ hominũ rectangulo .21. vnde venietnobis ꝓductũ .75600 quod pro
ductũ ſi accipiemus vt quadratũ, cuius radix erit .275. quæ diuidatur .3. habebi-
mus
ꝓpofitũ.
Cuius ratio pẽdet à ſupradicta, eo loco multiplicãdi .a.c. (hoc eſt .
289277EPISTOL AE. 60.) per .21. deinde productũ etiam multiplicare per .b.c. (hoc eſt .60.) breuius erit
multiplicare
totum numerum .3600. per .21. cętera verò facere, vt diximus.
Sed vnaquæq; iſtarum operationum, aliquid imperfectionis patitur, eo quod
aliquis
cuperet quadratum perfectum ſuperficiale habere, abſq; aliquo defectu, vel
exceſfu
, aliquid aliud adhuc facere oporteret, hoc eſt, inuentum cum fuerit quadra
tum
.e.f. cum ſuis radicibus .e.g. et .g.f. pedum .275. vnaquaque, vt in dicto exemplo
factum
eſt, oportebit numerũ quærere minorem ipſo .275. ſed proximiorem men-
furabilem
ab .3. & ab .7. quod facilè fiet ſi diuiſerimus .275. per .21. detrahendo fra-
cta
diuiſionis ab ipſo .275. quæ quidem fracta in hoc exemplo ſunt .2. vnde remane-
bit
.273. pro numero laterum quadrati ſuperficialis, in quo poſſent locari .3549. ho-
mines
, eo ordine quo ſupra dictum eſt, quorum ſcilicet vnuſquiſque obtineat .21.
pedes
ſuperſiciales.
DE INTERVALLIS MVSICIS.
Cypriano Rorè Muſico celeberrimo.
OPinio Hectoris Euſonij Cypriane mi dilectiſſime, vera non eſt, quod ali
quisrectè
poſſit intelligere rationes conſonantiarum muſicæ, ablque co
gnitione
illarum mediante ipſo ſenſu, imo nemo põt calere theoriã mu
ſices
, niſi aliquo verſatus ſit in praxi.
Qũo enim cognoſci poterũt
quid
nam ſint diapaſon, diapente, diateſſeron, ditonus, ſemiditonus, hexacordum
maius
, aut minus, & conſonantiæ ex ijs cum diapaſon compoſitæ, abſque earum
praxi
?
vnde ſequetur neq; etiam cognoſci poſſe interualla diſſonantia. Et purus
practicus
non intelliget quid ſit octaua, quinta, quarta, tertia maior, tertia minor,
ſexta
maior, ſexta minor, decima maior, decima minor, vndecima, duode-
cima
, decimatertia maior, aut minor, aut decimaquinta, & aliæ, ita vt ad
comparandam
perfectionem muſicæ neceſſarium ſit, & thęoriam & praxim ad-
diſcere
.
Cum pręterea Ludouicus Folianus apertè monſtrarit (etiam ſi id à diato-
nico
ſintono Ptolomei deſumpſerit) reperiri duos tonos, maiorem, & minorem, id-
eſt
ſeſquioctauum, & ſeſquinonum, & tria ſemitonia, maius, minus, & mini-
mum
, ideſt ſeſquiquintumdecimum, qui eſt maius, ſeſquiuigeſimum quartum id-
eſt
minimum, & mediocre, vt .27. ad .25. quæ proportio ſuperbipartiens vigeſi-
maſquintas
appellatur, & cum cognouerit ſemiditonum conſonantem eſſe ſeſqui-
quintum
, ditonum ſeſquiquartum, & hexachordum minus, vt .8. ad .5. quæ propor-
tio
dicitur ſupertripartiens quintas, & hexachordum maius, vt .5. ad .3. hęc autem vo
catur
ſuperbipartienstertias;
omnium ſimplicium conſonantiarum cognitioni, ex-
tremam
impoſuit manum.
Et quia tibi etiam oſtendere promiſi in modulationibus
290278IO. BAPT. BENED. hæc omnia interualla ſeruari, ideo ad te mitto ſeptem hic ſubſcripta exempla, in
quorum
primo, & ſecundo, inter dieſim, et .b. in ſuperiori, agnoſces interuallum mi
nimi
ſemitonij, & ſi ibi ſit dieſis, tanquam terminus ad quem, et .b. tanquam termi-
nus
à quo:
quod autem inter dieſim et .b. ſit ſemitonium minimum, facilè agnoſces
ſi
ſubtraxeris decimã minorẽ à maiori, quã facit ſuperius inferiori, ideſt baſſu.
Qua quidem modulatione tu etiam vſus es in cantilena illa, quæ Galica lingua
incipit
.
Hellas comment. Eadem, ego quoque in meis cantilenis latino ſermo-
ne
compoſitis, quæ Moreta vocantur aliquando vſus ſum.
Sed in tertio exemplo inuenies ſemitonium maius, neceſſariò genitum in ſupe-
riori
, ſi ſextam maiorem cum baſſu eſſicere volueris, quia tenor, à ditono cum
ſuperiori
ad diapentem, & ad vniſonum cum baſſu procedit, vbi quieſcit, progre-
diendo
poſtea baſſus ad ſemiditonum cum tenore,
tunc ſi à proportione huius ſep-
timæ
, quæ eſt vt .9. ad .5. hoc eſt ſuperquadripartiensquintas demptum fuerit hexa-
chordum
maius, ſeu ſexta maior, quæ eſt vt .5. ad .3. remanebit proportio .27. ad .25.
quæ
maior eſt quam .32. ad .30.
In quarto exẽplo habebis ſemitonium minus in ſuperiori, quod quidem remanet
ex
ſubtractione ditoni cõſonãtis ab diateſſaron cõpręhenſa à ſuperiori cum tenore.
In quinto exemplo videbis tonum minorem, & tonum maiorem ſucceſſiuè vnum
poſt
alium in tenore, detrahendo primo ſemiditonũ à diateſſaron, quod ſuperius fa-
cit
cum tenore, vel detrahendo diapente ab hexachordo maiori, quod facit tenor
cum
baſſu, vnde remanet tonus minor ſeſquinonus, detrahendo poſtea diateſſaron
à
diapente, quod ſuperius facit cum tenore, remanebit tonus maior ſeſquioctauus.
In ſexto exemplo deinde videbis tenorem aſcendere per duos tonos minores ſuc
ceſſiuè
vnum poſt alium in tenore, ſi dẽp ſeris ſemiditonũ à diateſſaron ſuperiori.
In .7. exẽplo demum videbis ſuperiorẽ aſcendere per duos tonos maiores ſucceſ-
ſiuè
vnũ poſt aliũ, ſi dempſeris diateſſaron à diapente, quod facittenor ſuperiori.
316[Figure 316]
291279EPISTOL AE.
De eodem ſubiecto.
AD EVNDEM.
QVod aliàs tibi dixi, verum eſt, quod neceſſarium nullo modo ſit, vt modulan-
do
, deſinat cantilena in eodem tono (quod Græci phthongum appel-
lant
) à quo incępit.
immo neceſſariò ſemper ferè, altius, aut depræſ-
ſius
terminatur, per differentiam alicuius interualli æqualis, vel multiplicis ipſi com
mati
ſeſquioctuageſimæ, quod quidem comma, quamuis cantabile non ſit, inſenſi-
biliter
tamen generatur, & toties ab aliqua parte ipſius cantilenæ poſſet dictũ com-
ma
gcnerari, verſus acutum, vel graue, quod in fine ipſius cantilenę, vocis phtongus
reperiatur
diſtans à primo per interuallum alicuius toni ſeſquinoni, ſeu ſeſquioctaui
plus
, minúsue, vt in ſubſcripto exemplo clarè videre potes in prima figura, vbi ſu-
perius
à .g. primę cellulæ ad .g. ſecundæ, intereſt vnum cõma, eo quod progrediens
ſuperius
in prima cellula ipſius cantilenæ à quarta ad quintam cum tenore, aſcendit
per
tonum ſeſquioctauum, à prima cellula deinde ad ſecundam, tenor aſcendit ſimi-
liter
per tonum ſeſquioctauum cum tranſeat à quinta ad quartam, quod facit cum
ſuperiori
, in ſecunda cellula poſtea, cum ſuperius deſcendat à maiori ſexta ad quin
tam
, quod facit cum baſſu, ſeu à quarta ad tertiam minorem, quod facit cum teno-
re
,
tunc deſcendit per tonum ſeſquinonum, ita quod non reuertitur ad eundẽ phthõ
gum
, vbi prius erat in prima cellula, ſed reperitur per vnũ coõma altius, quidẽ
cõma eſt differentia inter tonũ ſeſquioctauũ & ſeſquinonũ, vt alias tibi demõſtraui.
Progrediendo igitur hoc modo, videbis quod cum tenor à ſecunda cellula ad ter
tiam
tranſeat à tertia minori ad quartam, quod facit cum ſuperiori, deſcendit per
tonum
ſeſquinonum, vnde in tertia cellula altius remanet quam in prima per vnũ
comma
, in qua tertia cellula, cum iterum tranſeat ſuperius à quarta ad quintam,
facit
cum tenore, eleuatur per tonum ſeſquioctauum, proſequendo deinde tali ordi
ne
, vidcbis in quarta cellula cantilenam auctam per duo commata, in ſexta, aũt cel-
lula
per tria commata, in octaua verò per .4. commata, vnde hac merhodo, ſi can-
tilena
prolixior debito eſſet, vel ſi talia interualla frequentiora reperirentur, poſſet
cantilena
à principio ad finem differre per .9. commata, & plus etiam, quæ quidem
317[Figure 317]
292280IO. BABPT. BENED. interualla ſuperant tonum ſeſquinonum, & ſi eſſent .10. commata ſuperarent tonum
ſeſquioctauum
, eo quod aggregatum ex .9. commatibus continetur ſub iſtis duobus
terminis
hoc eſt .150094635296999121. et .134217728000000000. quæ qui-
dem
proportio maior eſt proportione ſeſquinona, ſumma verò .10. commatum con
tinetur
ſub .12157665459056928801. et .10737418240000000000. quæ pro
portio
maior eſt tono ſeſquioctauo, quod autem dico de aſcenſu cantilenæ, idem aſ-
ſero
de eiuſdem deſcenſu, & hoc non tantum per interuallum illius commatis, quod
eſt
differentia toni maioris à minori, ſed etiam per illud quod eſt differentia ſemito
nij
maioris à minori, vt in ſecundo exemplo hic ſubſcripto videre eſt in deſcenſu
cantilenæ
per comma & comma, vt differentia inter ſemitonia maiora & minora,
vbi
in prima cellula diſcedens baſſus à quinta cum ſuperiori, & ab vniſono cum te-
nore
deſcendens ad tertiam minorem cum ipſo tenore, facit cum ſuperiori ſeptimã
maiorem
, quæ eſt vt .9. ad .5. ſuperquadripartiensquintas ſcilicet, à qua diſcedens
poſtea
ſuperius, vt faciat cum baſſu ſextam maiorem, deſcendit per ſemitonium ma
ius
, à qua ſexta maiori deſcendens baſſus, & aſcendens per quartam, efficit cum di-
cto
ſuperiori tertiã maiorem, à qua diſcedens ſuperius, vt efficiat quartam cum ipſo
baſſu
(qui quidem baſſus tranſit in tenorem) aſcendit per ſemitonium minus, diffe-
rens
à ſemitonio maiori per vnum comma, vnde cantilena remanet depreſſa per
vnum
comma.
cum deinde idem faciat inter tertiam, & quartam cellulam, per a-
liud
comma deſcendit, & ſic toties facere poſſet, vt poſtremo valde deprimatur
cantilena
à primo phthongo.
318[Figure 318]
Quod autem hic ſupradictum eſt, clrca inſtrumenta artificialia non accidit, qua
propter
organa, & clauicimbula concordantur certo quodam ordine, ita vt omnes
conſonantiæ
, excepta diapaſon, ſeu octaua, ſint imperfectæ, hoc eſt, aut diminutę,
aut
ſuperantes à inſto, vt exempli gratia, omnes quintæ ſunt diminutæ, quartæ verò
ſunt
exceſſiuę, quod quidem fit, vt tertiæ, & ſextæ, non multum auribus diſſonent,
eo
quod ſi quintæ omnes, & quartæ, perfectæ eſſent,
tunc omnes ſextę, & tertiæ in-
tollerabiles
eſſent, & à perfectis differrent per vnum comma, quod manifeſtum no-
bis
erit hoc modo, accipiamus tres diapentes, ſeu quintas, conſequenter ſucceſſiuas
vnam
poſt aliam, hoc eſt tres proportiones ſeſquialteras, quarum aggregatum erit
vt
.27. ad .8. quæ proportio, dicitur tripla ſupertripartiensoctauas, & quæ à practicis
293281EPISTOL AE. appellaretur tertia decima maior, vt exempli gratia, eſſet Gamaut cum ſecundo ela
mi
,
tunc talis tertiadecima valde odioſa eſſet ſenſui auditus, à qua, ſi dempta ſuerit
diapaſon
, ſeu octaua, remaneret quoddam hexachordum maius, ſeu ſexta maior, au-
ribus
valde inimica, ſub proportione .13. ad 8. ſed hæc proportio differret à propor
tione
ſuperbipartientetertias perfecti hexachordi maioris, hoc eſt ſextæ maioris
conſonantis
, per proportionem ſeſquioctuageſimam, hoc eſt per vnum comma,
quod
quidem eſt etiam differentia aggregati trium ſeſquialterarum, à tertiadeci-
ma
maiori conſonanti, hoc eſt exceſſus proportionis triplæ ſupertripartientis octa-
uas
, ſupra triplam ſeſquitertiam, quæ eſt ſumma ipſius duplæ cum ſuperbi partien-
tetertias
.
A tali ſumma igitur trium ſeſquialterarum efficitur tertiadecima maior diſſonans
excedens
conſonantem per vnum comma (cuius proportio eſt .81. ad .80.) quæ con-
fonans
continetur in proportione .10. ad .3. vt ſupra dixi.
Hæcigitur eſt vera ratio, propter quam debemus comma diſtribuere in organis
& clauicymbalis, cum ab aggregato trium quintarum producatur talis exceſſus ſu-
pra
perfectam, ſeu conſonantem tertiamdecimam maiorem, quod quidem aggre-
gatum
, cum demptum fuerit à quintadecima, relinquet nobis tertiam minorem
diſſonantem
, & mancam, per eundem exceſſum à conſonanti.
quæ quidem tertia
minor
diſſonans ſubtracta à diapente ſeu quinta perfecta, relinquet nobis tertiam
maiorem
diſſonantem, qu@ conſonantem excedit per eundem exceſſum comma-
tis
, & hæc demum tertia maior diſſonans, dempta ex diapaſon, ſeu octaua, relin-
quet
nobis hexachordum minus, hoc eſt ſextam minorem diſſonantem, & muti-
lam
à conſonanti per eundem exceſſum commatis.
De huiuſmodi verò commatis
diſtributione
doctiſſimè ſcripſit Excellentiſſimus Zarlinus in ſecunda parte Inſtitu-
tionum
Harmonicarum.
Sed quia ſenſus auditus non poteſt exactè cognoſcere debitam quantitatem ex-
ceſſus
, vel defectus, intendendo vel remittendo chordas inſtrumentorum, ideo hanc
viam
ſequutus ſum.
Sit exempli gratia, hic ſubſcriptus ordo lignorum tangentium ſeu pinarum inci-
piens
ab .G. deſinens ad .g. ita quod inter ipſos terminos ſit ea conſonantia quæ vo-
catur
vigeſimaſecunda, quæro primum .b. inter .D.E. quod eſt nigrum ipſius Ela-
mi
grauiſſimum, quod groſſo modo facio conſonans cum .G. grauiſſimo per ſex-
tam
minorẽ, deinde ipſo ptimo .b. ipſius elami concordo ſuum octauum & quin-
tumdecimum
, quo perfectius poſſum, deinde accipio .b. molle ſecundum ipſius. b
fabmi
quod concordo cum .b. primo ipſius Elami per quintam imperfectam, dein-
de
cum hoc .b. ſecundo ipſius bſabmi concordo ſecundum .f. per quintam ſimiliter
imperfectam
, cum quo .f. poſtea concordo tertium .c. per ſimilem quintam, quem
tertium
.c. poſtea confero ſecundo .b. ipſius elami, ita quod inter ſe conſonent per
ſextam
maiorem tolerabilem, & ſi ſic inuenio, tunc nihil muto has treschordas hoc.
G A B b C * D b E F * g * a b b c * d b e f * g * a b b c * d b e f * g *
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4.
294288IO. BAPT. BENED. eſt .b. ſecundum ipſius bfabmi, f. ſecundum, et .c. tertium, ſed ſi dictum tertium .c.
valde
diſſonans eſſet cum .b. ſecundo ipſius elami,
tunc ipſum .c. intendo, aut re-
mitto
, quouſque aliquo modo ſit conſonans per ſextam maiorem aliquantulum ex
ceſſiuam
cum .b. ſecundo ipſius elami, cum quo poſtea .c. conſonare aliquantulum fa
cio
.f. ſecundum per quintam defectiuam, & cum hoc demum .b. ſecundum ipſius
bfabmi
, quo facto concordo ſecundum .c. cum tertio per octauam, cum quo ſecun-
do
.c. poſtea concordo tertium .g. per talem quintam, quod ipſum tertium .g. cum ſe-
cundo
.b. ipſius bfabmi conſonet tolerabiliter per ſextam maiorem aliquãtulum ex-
ceſſiuam
,
deinde cum iſto tertio .g. concordo tertium .d. per talem quintam, ita quod
ipſum
.3.d. concordet tolerabiliter cum .2.f. per ſextam maiorem exceſſiuam, poſtea
cum
hoc .3.d. concordo .2.d. per octauam perfecte, cum quo .2.d. poſtea concordo .
3
.a.
per quintam, vt in alijs factũ eſt, ita vt .2.c. conſonet talis ſexta maior, vt ſupra
dictum
eſt, cum quo .3.a. poſtea concordo .3.e. per quintam, vt dictum eſt, ita quod
cum
.3.g. faciat ſextam maiorem vt ſupra, poſtea cum hoc .e. concordo .2.e. per octa
uam
, cum quo concordo .b. quadrum tertium per quintam, vt dictum eſt, ita quod
2.d. faciat ſextam maiorem ſimilem alijs ſuperius dictis, cum quo .b. quadrato tertio
concordo
tertium nigrum ipſius .f. per quintam, ita quod cum .3 a. faciat ſextam ma-
iorem
, vt ſupra, deinde cum hoc concordo .2.f. nigrum per octauam, cum quo, per
quintam
concordo 3.c. nigrum ita quod cum .2.e. faciat ſextam dictam, demum
hoc
concordo .4.g. nigrum per quintam, ita quod faciat cum .3.b. quadrato ſextam
dictam
, & ſic ad vltimam quintam peruenio, ſupra quod .g. nigrum nulla quinta am-
plius
reperitur, poſtea cum iſtis chordis concordo per octauas omnes alias ab acutis
ad
graues.
G A B b C * D b E F * g * a b b c * d b e f * g * a b b c * d b e f * g *
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4.
Valde etiam admiratione dignum eſt, quod perſectiores quæque conſonan
tiæ
, ita in harmonica diuiſione ſibi inuicem conueniant, vt dia paſon cum diapente,
cum
diapaſondiapente, cum ditono, cum hexachordo maiori cum bisdiapaſon,
decimaleptima
maiori.
Nam in ipſa diapaſon, harmonicè locãtur diapente in par
te
grauiori, & diateſlaron in acutiori.
In diapente verò harmonicè locantur ditonus
in
parte grauiori, & ſemiditonus in acutiori.
In ditono harmonicè locantur tonus
maior
in parte grauiori, & tonus minor in acutiori.
In hexachordo maiori, harmo-
nicè
locantur diateſſaron in parte grauiori, & ditonus in acutiori.
In diapaſondia-
pente
, harmonicè locantur diapaſon in parte grauiori, & diapente in acutiori.
In bisdiapaſon, ha@monicè locantur decima maior in parte grauiori & hexachor-
dum
minus in acutiori.
In decimaſeptima maiori, harmonicè locantur diapaſondia-
pente
in parte grauiori, & hexachordum maius in parte acutiori.
Ita quod ronus
ſeſquioctauus
in ditono, proportionalis eſt ipſi ditono in diapente.
Tonus verò ſeſ-
quinonus
in ipſo ditono, proportionalis eſt triemitonio, vel ſeſquitonio ſeu ſemidi-
tono
(quod idem eſt) in diapente.
Ditonus autem in diapente, proportionalis eſt
ipſi
diapente in diapaſon.
Seſquitonus verò in diapente, proportionalis eſt diateſ-
ſaron
in diapaſon.
Et ſic de ſingulis. Ita quod tonus ſeſquioctauus in ditono, dito-
mus
in diapente, diateſſaron in hexachordo maiori, diapente in diapaſon, diapaſon
in
diapaſondiapente, decimamaior in bisdiapaſon, diapaſondiapente in decima-
295283EPISTOL AE. ſeptima maiori, omnia ſibi inuicem ſunt proportionalia, idem etiam dico de reli-
quis
partibus, cum relatæ fuerint ad ſua tota.
Nec alienum mihi videtur à propoſito inſtituto, ſpeculari modum generationis
ipſarum
ſimplicium conſonantiarũ;
qui quidem modus fit ex quadam æquatione per
@uſſionum
, ſeu æquali concurſu vndarum aeris, vel conterminatione earum.
Nam, nulli dubium eſt, quin vniſonus ſit prima principalis audituq́ amiciſſima,
nec
non magis propria conſonantia;
& ſi intelligatur, vt punctus in linea, vel vnitas
in
numero, quam immediate ſequitur diapaſon, ei ſimillima, poſt hanc verò diapen
te
, cæteræq́;.
Videamus igitur ordinem concurſus percuſſionum terminorum, ſeu
vndarum
aeris, vnde ſonus generatur.
Concipiatur igitur mente monochordus, hoc eſt chorda diſtenta, quæ cum diuiſa
fuerit
in duas æquales partes à ponticulo,
tunc vnaquæq; pars eundem ſonum pro-
feret
, & ambæ formabunt vniſonum, quia eodem tempore, tot percuſſiones in aere
faciet
vna partium illius chordæ, quot & altera:
ita vt vndæ aeris ſimul eant, & æqua
liter
concurrant, abſque ulla interſectione, vel fractione illarum inuicem.
Sed cum ponticulus ita diuiſerit chordam, vt relicta ſit eius tertia pars ab vno la-
tere
, ab alio vero, duę tertię,
tunc maior pars, dupla erit minori, & ſonabũt ipſam dia
paſon
conſonantiam, percuſſiones vero terminorum ipſius, tali proportione ſe inui-
cem
habebunt, ut in qualibet ſecunda percuſſione minoris portionis ipſius chordæ,
maior
percutiet, ſeu concurret cum minori, eodem temporis inſtanti, cum ne-
mo
ſit qui neſciat, quod quo longior eſt chorda, etiam tardius moueatur,
quare
cum
longior dupla ſit breuiori, & eiuſdem intenſionis tam vna quam altera, tunc eo
tempore
, quo longior vnum interuallum tremoris perfecerit, breuior duo interual-
la
conficiet.
Cum autem ponticulus ita diuiſerit chordam, ut ab uno latere relinquantur duæ
quintæ
partes, ab alio verò tres quintæ, ex quibus partibus generatur conſonantia
diapente
;
tunc clarè patet, quod eadem proportione tardius erit vnum interuallum
tremoris
maioris portionis, vno interuallo tremoris minoris portionis, quam ma-
i
or portio habet ad minorem;
hoc eſt tempus maioris interualli ad tempus minoris
erit
ſeſquialterũ quare non cõuenient ſimul, niſi perfectis tribus interuallis mino-
ris
portionis, & duobus maioris;
ita quod eadem proportio erit numeri interuallo-
rum
minoris portionis ad interualla maioris, quæ longitudinis maioris portionis ad
longitudinem
minoris;
vnde productum numeri portionis minoris ipſius chordæ
in
numerum interuallorum motus ipſius portionis, æquale erit producto numeri
portionis
maioris in numerum interuallorum ipſius maioris portionis;
quæ quidem
producta
ita ſe habebunt, vt in diapaſon, ſit binarius numerus;
in diapente verò
ſenarius
;
in diateſſaron duodenarius, in hexachordo maiori quindenarius; in di-
tono
vicenarius, in ſemiditono tricenarius, demum in hexachordo minori quadra
genarius
:
qui quidem numeri non abſque mirabili analogia conueniunt inuicem.
Voluptas autem, quam auditui afferunt conſonantiæ fit, quia leniuntur ſenſus,
quemadmodum
cõtra, dolor qui à diſſonantijs oritur, ab aſperitate naſcitur, id quod
facilè
videre poteris cum conchordantur organorum fiſtulæ.
296284IO. BAPT. BENED.
DE IVSTITIA COMMVTATIVA.
Franciſco Ferrario Anciſa Iuriſconſulto ſenatoriq́ꝫ apud
ſubalpinos
grauißimo.
SAepivs inter nos dum oportunitas vicinarum ædium, & amoris mutui
vis
, ad familiaria trahunt colloquia ego de meis mathematicis, tu de tuis
legibus
, in quibus tractandis magnum tibi nomen comparaſti loquuti ſu
mus
.
Cum vero nonnunquam de mirabili iuſtitiæ commutatíuæ inſtitu
to
non ingratus incidiſſet ſermo, dixi modum, quo formam ſuam à proportionali-
tate
arithmetica diſiuncta, & non a coniuncta deſumat, à nemine literis proditum
eſſe
, libet autem nunc per otium latius explicare.
dixi enim à diſiuncta, & non con-
iuncta
proportionalitate, quia in coniuncta, ſeu continua nullo pacto fieri poteſt
talis
commutatio, cum ſemper quatuor terminos ad minus tranſeat, vt nunc vide-
bimus
.
Exempli gratia, Petrus ex ſuis bonis tribuat Ioanni aliquid valoris quinquagin
ta
aureorum.
Vnde priuſquam Ioannes aliquid ex ſuis bonis retribuat Petro, bona ipſius Pe-
tri
diminuta erunt per quinquaginta aureos, bona verò ipſius Ioannis, aucta toti-
dem
aureis.
Ecce nunc quo pacto conftituti ſunt .4. termini in proportionalitate aritmetica,
per
quos ſit talis permutatio, ſed nondum æquata, niſi fiat æqualis retributio à Ioan-
ne
ad Petrum, vt videbimus.
Cogitentur itaque .4. termini aritmeticè proportionales .C.A.B.D. Ita quod .A.
mediante
ſignificentur bona Ioannis .B. vero Petri, prius quam Petrus aliquid ex bo
nis
ſuis tribuat Ioanni.
Tunc Petrus ſecat partem vnam ex .B. eamq́; dat ipſi Ioan-
ni
, vnde ipſi Petro remanet .D.
Ioanni autem .C. quatuor igitur termini conſtituti
ſunt
.B.D.C.A. quorum .B. primus .A. quartus .C. uero tertius .D. aũt ſecundus, ſed
B
. et .A. ſunt in ſua naturali mediocritate abſque defectu vel exceſſu ſui ipſius.
Non
ita
tamen ſe habet .C. et .D. quia .D. deficit .C. autem excedit à ſua priori quantitate.
Nihilominus iſti .4. termini conſtituti ſunt in ipſa aritmetica proportionalitate, nam
eadem
quantitate qua .D. diminuta eſt à .B. eadem .C. aucta eſt ſupra .A.
Sed quia .B. et .A. tantummodo iuſti ſunt termini .C. uerò et .D. iniuſti, vt ad ſuam
priorem
æqualitatem reuertantur, oportebit ex .C. ſecare aliquam partem æqualis
valoris
ei, qua .C. ſuperat .A. vel qua .D. minor eſt .B. & ipſam partem addere ipſi .D.
vt
bona Petri reuertantur ad priorem ſuam quantitatem ipſius .B. & bona Ioannis
remaneant
æqualia .A. vt prius.
Quare neceſſarium non eſt, vt talis proportionalitas ſit coniuncta (vt inquit Eu
f
atius ſeu Michael Epheſius,
ſuper
quinto capite libr. quin-
319[Figure 319] ti Ethicorum) tribus terminis
contenta
, imò oportet ut ipſa
diſiuncta
ſit, ut diximus, vbi
non
eſt neceſſe quod .A. æqualis ſit .B. aliquo modo.
297285EPISTOL AE.
DE MOTV MOLAE, ET TROCHI, DE AMPVL-
lis
aquæ, de claritate aeris, & Lunæ noctu fulgentis, de æter-
nitate
temporis, & infinito ſpacio extra
Cœlum
, liq́; figura.
Illust. Ioanni Paulo Capra Nouarienſi Sabaudia Ducis boſpicij
Magistro
, viro ingeny praſtantia, & morum cando-
re
, non minus quam familia nobili-
tate
conſpicuo.
SI vera eſſet animorum illa tranſmigratio quam ſibi Italicæ ſapientiæ Pa-
ter
Pythagoras effinxerat, tuam, meamq́; exiſtimarem animam canis,
quandoque
venatici fuiſſe.
Quæris à me literis tuis, an motus circularis alicuius molæ molendina
rie
, ſi ſuper aliquod punctum, quaſi mathematicũ, quieſceret, poſſet eſſe perpetuus,
cum
aliquando eſſet mota, ſupponendo etiam eandem eſſe perfectè rotundam, &
lęuigatam
.
Reſpondeo huiuſmodi motum nullo modo futurum perpetuum, nec
etiam
multum duraturum, quia præterquam quod ab aere qui ei circumcirca aliquã
reſiſtentiam
facit ſtringitur, eſt etiam reſiſtentia partium illius corporis moti, quæ
cum
motæ ſunt, natura, impetum habent efficiendi iter directum, vnde cum ſimul
iunctæ
ſint, & earum vna continuata cum alia.
dum circulariter mouentur patiuntur
violentiam
, & in huiuſmodi motu per vim vnitæ manent, quia quanto magis mo-
uentur
, tanto magis in ijs creſcit naturalis inclinatio recta eundi, vnde tanto magis
contra
ſuammet naturam voluuntur, ita vt ſecundum naturam quieſcant, quia cum
eis
proprium ſit, quando ſunt motæ, eundi recta, quanto violentius voluuntur, tan-
to
magis vna reſiſtit alteri, & quaſi retrò reuocat eam, quam antea reperitur habere.
Ab eiuſmodi inclinatione rectitudinis motus partium alicuius corporis rotundi
fit
, vt per aliquod temporis ſpacium, trochus cum magna violentia ſeipſum circun-
agens
, omninò rectus quieſcat ſuper illam cuſpidem ferri quam habet, non incli-
nans
ſe verſus mundi centrum, magis ad vnam partẽ, quam ad aliam, cum quælibet
ſuarum
partium in huiuſmodi motu non inclinet omnino verſus mũdi centrum, ſed
multo
magis per tranſuerſum ad angulos rectos cum linea directionis, aut verticali,
aut
orizontis axe, ita vt neceſſariò huiuſmodi corpus rectum ſtare debeat.
Et quod
dico
ipſas partes non omninò inclinare verſus mundi centrum, id ea ratione dico,
quia
non abſolutè ſunt unquam priuatæ huiuſmodi inclinatione, quę efficit vt ipſum
corpus
eo puncto nitatur.
Verum tamen eſt, quod quanto magis eſt velox, tan-
to
minus premit ipſum punctum, imò ipſum corpus tãto magis leue remanet.
Id
apertè
patet ſumẽdo exẽplũ pilę alicuius arcus, aut alicuiꝰ alterius inſtrumẽti, ſeu ma
chinæ
miſſilis, quæ pila quanto eſt velocior, in motu violento, tanto maiorem pro-
penſionem
habet rectius eundi, vnde verſus mundi centrum tanto minus inclinat,
& hanc ob cauſam leuior redditur.
Sed ſi clarius, hanc veritatem videre cupis,
cogita
illud corpus, Trochum ſcilicet, dum velociſſime circunducitur ſecari, ſeu
diuidi
in multas partes, vnde uidebis illas omnes, non illico uerſus mundi centrum
298286IO. BAPT. BENED. deſcendere, ſed recta orizontaliter, vt ita dicam, moueri. Id quod à nemine ad-
huc
(quod ſciam) in trocho eſt obſeruatum.
Ab huiuſmodi motu trochi, aut hu-
ius
generis corporis, clarè perſpicitur, quàm errent peripatetici circa motum uio-
lentum
alicuius corporis, qui exiſtimant aerem qui ſubintrat ad occupandum locum
à
corpore relictum, ipſum corpus impellere, cum ab hoc, magis effectus contrarius
naſcatur
.
Quod deinde ampullæ iungantur in aqua, non fit ratione ſimpathiæ, de qua lo-
quitur
Fracaſtorus, nam per accidens iunguntur, quia cum alia ad aliam accedit, quę
libet
earum tentat aſcendere ab ea parte, à qua inuicem hærent, quemadmodum
efficiunt
iuxta labrum vaſis, ea enim ſuperficies a quæ vicina circunferentiæ vaſis ali
quantulum
aſcendit in vaſe, qui non eſt omnino plenus.
Ad id deinde quod de claritate noctium ſcribis, miror cur non videas, quod quã
to
magis obſcura nox apparet, non dico ratione nubium, ſed diſtantiæ Solis ſub
orizonte
ab eodem orizonte, tanto magis claram, & luminoſam ſeſe nobis oſten-
dit
Luna in quintadecima, quia cum Sol eſt in Sagittario, & Capricorno, Luna eſt
in
Geminis, & in Cancro, vnde in media nocte, eius radius per valde exiguam quã
titatem
vaporum tranſit, quia tunc ipſa eſt valde propinqua axi orizontis, & præ-
terea
in huiuſmodi tempore anni & noctis, aer eſt magis purgatus, quàm in qualibet
alia
temporis parte, quia hieme Sol non poteſt excitare multos vapores, & ij, qui
at
tolluntur, nocte à frigore ſtatim congellati ratione grauitatis decidũt,
unde rema-
net
aer multo clarior, qua ratione apparent ſtellæ minutæ, & Cœlum ijſdem ma-
gis
ornatum, quàm in quolibet alio anni tempore.
Dicere deinde, quemadmodum hic mundus eſt ætatis ſeptem, aut octomillium
annorum
, ita nunc potuiſſet eſſe (ſi Deus voluiſſet) ætatis quinquagintamillium;
er
go
erat tempus;
ita ſe habet, ac ſi diceremus, quemadmodum hic mundus eſt tan-
magnitudinis, ita etiam quinquagies maior eſſe potuiſſet, ergo eſt ſpatium, aut
interuallum
corporeum, quod eum capere potuiſſet.
Illud, nihil, Ariſtotelis extra Cęlum, nullo modo nobis inſeruit pro eiuſdem
li
ſphęrica rotunditate, cum cuiuſque alterius ex infinitis figuris Cęlum ipſum eſſe
poſſit
, ſecundum ſuam ſuperficiem conuexam.
Nam Cœlum ea ratione ſphęricum
non
eſt, quod magis ſit capax, quia ei innumerahiles alias figuras adeo magnas po
terat
concedere cauſa diuina:
ſed ſphæricum eſt effectum, ne partem aliquam habe
ret
ſui termini ſuperfluam, quia nullum corpus à breuiori termino quam à ſphærico
terminari
poteſt.
Derèuolutione rota putealis & alijs
problematibus
.
AD EVNDEM.
FVnis cui appenſa eſt ſitula, longè facilius axi inuoluitur, ſi ipſi axi affixa ſit rota.
atque item commodius fiet, quo amplior rota erit, & axis exilior.
Commodiſſimè autem, ſi ipſa rotæ extrema circunferentia, ex materia minori,
& denſiori, ac proinde grauiori conſtabit.
Cuius rei ratio multiplex eſt. Nem-
pe
quia omne corpus graue, aut ſui natura, aut vi motum, in ſe recipit impreſſio-
299287EPISTOL AE. nem & impetum motus, ita vt ſeparatum à virtute mouente per aliquod temporis
ſpatium
ex ſeipſo moueatur.
nam ſi ſecundum naturam motu cieatur, ſuam veloci-
tatem
ſemper augebit, cum in eo, impetus & impreſſio ſemper augeantur, quia
coniunctam
habet per petuò virtutem mouentem.
Vnde manu mouendo rotam, ab
eaq́; eam remouendo rota ſtatim non quieſcet, ſed per aliquod temporis ſpatium
circunuertetur
.
Secunda cauſa eſt, quia quoduis gr aue corpus, aut per naturam, aut per vim mo-
tum
, rectitudinem itineris naturaliter appetat, quod clarè cognoſcere poſſumus,
proijciendo
lapides funda, & circunducentes brachium, nam funes tanto maius
pondus
acquirunt, & manum tanto magis onerant, quanto velocius voluitur funda,
& incitatur motus, quod ab appetitu naturali inſito ei corpori per lineã rectam pro-
grediendi
procedit.
Vnde fit, vt pondus circunferentiæ ipſius rotæ, tanto facilius cir-
cunuoluatur
, & ex ſeipſo tanto longiori tempore moueatur, quanto longius diſtat à
centro
, cum eius iter tanto minus ſit curuum.
Hanc igitur ob cauſam, rota, quanto
maior
erit, eiuſq́; pondus tanto magis vicinum circunferentiæ, tanto magis durabit
impetus
motus aſſumptus.
Tertia cauſa eſt, quod funis dum circunuoluitur, vicinius axi mathematico reuo-
lutionis
, quam corpus graue circunferentiæ rotæ, ratione vectis, cum rota eſt in mo
tu
, eius impetus non obtinet reſiſtentiam æqualem à contrario pondere aquæ in ſitu
la
poſitæ.
De machina, qua aquam impellit & ſubleuat.
AD EVNDEM.
VNde ſit vt in fonte mandauerim,
320[Figure 320] vas ſeu mortarium in quod in-
greditur
inſtrumentum, quod aquam
impellit
, diametrum ſuæ concauitatis,
habere
non oportere maiorem dia-
metro
fiſtulæ, per quam debet aſcende
re
aqua, ratio eſt, quia ſi maius eſſet,
neceſſarium
eſſet aliquod inſtrumen-
tum
quo aqua impelleretur multo gra
uius
toto corpore aqueo, quod aptum
eſſet
implere aliquam fiſtulam adeo
altam
, vt eſt fons, quæ tamen eſſet
adeo
lata vt eſt mortarium.
Sit exempli gratia, tota fiſtula, ſeu
hirundo
, per quam aſcendit aqua .f.
mortarium
verò ſit .a.u. quod tam altũ
ſit
vt .f. ſed .f. anguſtior ipſo .a.u.
Nunc
321[Figure 321] cum repleta fuerint hæc duo vaſa, ma-
nifeſtum
erit, quod aqua ipſius .f. ſuffi-
ciens
erit ad reſiſtẽdum toti aquæ ipſiꝰ
a.u. & aqua .a.u. reſiſtet aquæ .f. quam-
uis
aqua .a.u. maioris quantitatis ſit, &
ponderis
ipſa .f. hoc autem euenit ex
eo
quod aqua .a.u. impellit aquam
300288IO. BAPT. BENED. f. toto ſuo pondere, propterea quod pondus diuiditur proportionaliter ſupra ba-
ſim
vaſis.
Sit exempli gr̃a vas aliquod .b.d.n.m. conicæ figuræ, ſeu trũcus coni concaui aqua
plenus
, cuius orificij diameter ſit .b.d. & multiplex diametro .m.n. infimæ baſis.
co-
gitemus
etiam .b.d. diuiſum in tot partes, quarum vnaquæq; æqualis ſit .m.n. imagi-
nemurq́; tot lineas perpendiculares deſcendere verſus mundi centrum ad puncta r.
c
.m.
et .t.x.m. vt in ſubſcripta hic figura videre eſt, per quas cogitemus tot ſuperfi-
cies
curuas conicasq́;, inter quas, mente concipienda eſt aqua, quę pondere ſuo quie
ſcet
ſupra maiorem ſuperficiem illa, quæ æque diſtans eſſet mundi centro, ſeu quam
ſupra
baſim .m.n. vt exempli gratia conſideretur aqua inter .g.m. et .s.r. cuius pondus
diſtribuitur
fecundum latitudinem .m.r. quæ maior eſt .g.s. cogitemus igitur .m.c. æ-
qualem
eſſe .g.s. manifeſtum erit, quod .m.c. non ſuſtinebit totum pondus a quæ, quæ
inter
.g.m. et .s.r. reperitur, eo quod omnis pars aquæ ad perpendiculum inclinat ver-
ſus
mundi centrum, quapropter fundus ſeu baſis .m.n. non ſuſtinet aliud pondus quã
aquæ
.f.m. ſed ſi quis hoc in dubium reuocaret dicens, quod aqua circunſcribens ſi-
tum
corporis aquei .f.m. impellit lateraliter dictum corpus aqueum, reſpondendum
eſt
, quod ex æquo huius corporis .f.m. aqua impellit etiam aquam circunſtantem,
eo
, quod ſunt corpora homogenea, cum in corporibus homogeneis æquales partes
habeant
æquales vires.
Sed redeundo ad vaſa .a.u. et .f. dico quod ſicut aqua .f. ſufficit ad reſiſtendũ aquæ
a.u. ita quodlibet aliud pondus ęquale .f. cuiuſuis materiæ, in fiſtula .f. poſitum, ſuffi-
ciens
erit, dummodo illud corpus ita ſit adæquatum concauitati fiſtulæ .f. quod non
permittat
tranſitum aliquem aquæ vel
322[Figure 322] aeris inter conuexum ipſius corporis,
& deuexum fiſtulæ .f. & hoc ex ſe ſatis
patet
, ſed in vaſe .a.u. cum ex hypothe
ſi
latius ſit ipſo .f. nullum aliud corpus
ſufficiens
erit ad reſiſtendum aquæ ip-
ſius
.f. quin tam graue ſit, quam tota
aqua
.a.u. exiſtente .a.u. tam alto quam
f
.
Vnde ſi aqua ipſius .f. nil plus eſſet
quam
vna tantummodo libra, & vas .a.
u
.
exiſteret latius ipſo .f. in decupla pro
portione
,
tunc in ipſo .a.u. oporteret
corpus
adæquatum ipſi concauitati po
nere
, cuius pondus eſſet decem libra-
rum
, vt ſufficeret ad ſuſtinendum aquã
ipſius
.f. & ad impellendũ ipſam aquã .
f
.
deberet eſſe plus quam decem libra-
rum
.
Ponamus nunc illud corpus, ita
323[Figure 323] denſius eſſe aqua, vt maius interuallũ
non
occupet, quam .o.e. corpus igitur
o.e. ſufficiens erit ad impellendum
aquam
.f. & non eo minus.
301289EPISTOL AE.
NOVA SOLVTIO PROBLEMATIS DE VASE
pleno
liquoris.
Nicolao Caluxio Serenißimi Ducis Sabaudia à ſecretis.
QVod à me poſtulas eſt problema ab alijs iam ſcriptum, ſed illud tibialio
medio
ſoluam.
Proponitur vas plenũ liquore aliquo, puta aqua, tres habeat fiſtulas
ad
baſim, quarum vnaquæque poſſit euacuare ipſum vas, inæquales ta-
men
, ita quod prima tam lata ſit, vt ſpatio vnius horæ poſſit ipſum euacuare to-
tum
;
ſecunda vero ſpatio duarum horarum, tertia autem ſpatio trium hora--
rum
.
Tunc quæritur quanto tempore omnes tres fiſtulæ ſimul apertæ euacua-
bunt
ipſum vas.
Ad hoc volo vt quæratur primo quanta pars aquæ vnaquęquę fi-
ſtula
euacuabit in aliquo dato tempore, quod facilè eſt, vt puta, prima fiſtu-
la
, ſpatio dimidiæ horæ euacuabit dimidium vas, eo quod ſpatio integræ horæ po-
teſt
totum euacuare, ſecunda fiſtula, eodem temporis ſpatio, euacuabit quartam
partem
ipſius vaſis, tertia verò fiſtula, eodemmet ſpatio temporis dimidiæ horæ,
euacuabit
ſextam partem ipſius vaſis, quæ omnia fracta ſimul collecta faciunt vnde-
cim
duodecimas partes totius vaſis, vnde manifeſtum erit, quod omnes fiſtulæ pari-
ter
apertæ, ſpatio dimidię horæ euacuabunt vndecim duodecimas partes totius a-
quæ
, ſed nos cupimus ſcire, quanto tempore, totum vas euacuabitur, apertis omni
bus
fiſtulis, quapropter dicemus ita;
Si vndecim duodecimæ partes conſumunt mi-
nuta
.30. temporis, quantum conſument omnes partes aquæ?
quæ ſunt .12. quare ex
regula
de tribus prouenient nobis minuta .32. cum .8. vndecimis vnius minuti, hoc
eſt
cum .43. ſecundis horæ ferè, vel ſiaccipiemus tres quartas vnius horæ,
tunc pri-
ma
fiſtula emittet tres quartas partes totius aquæ, ſecunda, tres octauas eiuſdẽ aquę,
tertia
verò, quarta pars, tunc omnia, hæc collecta, faciunt vnum integrum cum tri
bus
octauis.
Si dixerimus igitur quando vnum integrum cum tribus octauis abſu-
mit
.45. minuta temporis, ergo illud ſolum integrum abſumet idem vt ſupra hoc eſt
min
.32. cum .8. vndecimis vnius minuti vel .43. ſecundis.
Cuius rei ſpeculatio con
iuncta
eſt operationi, quòd vna cognita, reliqua ſtatim cognoſcitur.
Idem eueniet de implendo vaſe tribus ſimilibus fiſtulis mediantibus.
Secundum quæſitum ab alijs traditum, tuum etiam, aliter quoque poteſt ſolui,
propterea
non prętermittam tibi ſatisfacere.
Problema itaque tale eſt, vt ſit vas aliquod in infunditur aqua per tres fiſtu-
las
, ſed dum infunditur aqua, eadem egreditur per duas alias fiſtulas in fundo
vaſis
poſitas, ſed tres ſuperiores ſint inuicem proportionatæ, vt ſupradictum
eſt
, primaq́ue inferiorum talis ſit, vt ſpatio .4. horarum poſſit totum vas euacua-
re
, ſecunda autem poſſit ſpatio .6. horarum idem facere, vnde ex ſupradictis, vas im
plebitur
à tribus fiſtulis ſuperioribus, clauſis exiſtentibus inferioribus, ſpatio tempo
ris
minutorũ .32. .8. vndecimis hoc eſt min .32. cum .43. ſecundis, deinde per duas
fiſtulas
inferiores poſſet euacuari ſpatio tẽporis horarum .2. et. mi .24. exſupradictis.
Supponamus igitur omnes fiſtulas operari ſpatio temporis minutorum .32. cum
ſecundis
.43.
tunc manifeſtum eſt quod vas non implebitur, eo ſpatio min .32. cum
ſecundis
.43. ſed tanta aqua deficiet, quanta ab inferioribus fiſtulis eo ſpatio tempo
ris
min .32. ſecun .43. poteſt euacuari,
quare proportio partis vaſis vacuæ, ad totum
vas
, erit vt min .33. ferè ad horas .2. min .24. quod per ſe patet,
tunc ſi demptum fue-
302290IO. BAPT. BENED. rit tempus .33. minutorum ex h oris .2. min .24. reliquum erit hora .1. min .51. vnde
proportio
aquæ, quæ in vaſe reperitur, ad eam, quæ totum vas implet, erit vt .111.
ad
.144.
Quare nunc poſſumus rectè dicere ex regula de tribus ſi .111. indigent mi-
nuta
.33. temporis, ergo .144. indigent min .43. horæ, in quo tempore implebitur to-
tum
vas omnibus fiſtulis operantibus.
Aliæ circuli noua paßiones.
AD EVNDEM.
VTad aſcendendum ignis, & ad deſcendendũ quicquid graue natum eſt, ita ad
ſpeculandum
humanus intellectus.
nec quieſcit, dum poteſt, eſt enim ver-
ſatile
, agitandoq́; ſeſe cauſis rerum immiſcere, & abditum aliquid rimari,
conatur
, & eſt in nobis, quaſi Diogenes quidam in Dolio.
Tibi igitur mitto quod vltimò inueni, alias ſcilicet nouas circuli paſſiones,
quæ
ita ſe habẽt.
Sit circulus .a.b.c. in quo ſit .a.d. latus quadrati inſcriptibilis in ipſo
circulo
, ct .b.c. ſit diameter ad rectos cum .a.d. in puncto .e. quod medium erit inter
a
. et .d. ex .3. tertij Eucli. ſit ſimiliter .a.f. contingens ipſum circulum in puncto .a. quæ
protracta
ſit vſque ad punctum .f. interſectionis cum diametro protracto, quod ita
eueniet
cum anguli .a.e.f. et .f.a.e. minores ſint duobus rectis, eo quod angulus .f.a.e.
acutus
ſit, cum .a.d. tranſeat inter centrum et .f.
Dico nunc quod productum diametri .b.c. in parte .c.e. ipſius, æqualis erit produ-
cto
ipſius .c.f. in .a.d.
Protrahatur imaginatione .b.a. et .a.c. vnde ex .26. tertij Euclid.
habebimus
angulum .d.a.c. æqualem angulo .a.b.c.
ſed ex .31. eiuſdem angulus .f.a.
c
.
æqualis eſt angulo .b.
quare æqualis erit angulo .d.a.c. & ita habebimus per .3. ſexti
eandem
proportionem .f.c. ad .c.e. quæ .f.a. ad .a.e. ſed .a.f. eſt æqualis ſemidiametro
circuli
propoſiti,
propterea quod ſi producta fuerit à puncto .a. ad centrum .o. ſemi
diameter
.a.o. hæc cum .o.e. faciet dimidium angulirecti, cum ex ſuppoſito .a.d. la-
tus
ſit quadrati inſcriptibilis in ipſo circulo.
& cum .a.f. rectum ex .17. tertij, vnde an
gulus
.f. erit ſimiliter medietas recti ex .32. primi,
quare ex .6. eiuſdem .a.f. æqualis
erit
.a.o.
Ergo cum proportio .f.c. ad .c.e. ſit. vt .f.a. ad .a.e. erit ſimiliter vt .b.c. ad .a.d.
hoc
eſt ut dupli ad duplum, vnde ex .15. ſexti
manifeſtum
erit propoſitum, ex quo alia paſ-
324[Figure 324] ſio oritur, hoc eſt, quod productum .f.c. in .a.
d
.
æ quale ſit qua drato ipſius .a.c. ratio eſt, quia
quadratum
.a.c. æ quale eſt producto .b.c. in .c.
e
.
eo quod .a.c. media proportionalis eſt inter .
b
.c.
et .c.e. ex ſimilitudine triangulorum .a.b.c.
et
.e.a.c. nam anguli .b.a.c. et .a.e.c. recti ſunt
et
.c. cõmunis, vnde .b. erit æqualis .e.a.c. ex .32
primi
, ſequitur etiam, quod .a.c. ſit media pro
portionalis
inter .a.d. et .f.c. & hæc etiam erit
alia
circuli paſſio, & quia .a.c. eſt latus octago-
ni
igitur tale latus mediũ proportionale erit
inter
latus quadrati. et .f.c. eiuſdẽ circuli, quę
quidem
.f.c. eſt una portio diametri quadrati circunſcriptibilis ipſum circulum inter
circulum
& angulum ipſius quadrati.
303291EPISTOLAE.
Quod incendium, ex reflexione radiorum ſolarium, non fiat in cen
tro
ſpeculi ſpharici, & aliquid contra Cardanum, &
de
moturadiorum ſolarium.
AD EVNDEM.
ITerum tibi dico, quod radij illi ſolares, quià diuerſis punctis ipſius ſolaris corpo-
ris
veniunt, tranſeuntes per centrum ſpeculi ſphærici concaui, quamuis à ſuper-
ficie
ſpeculi ad centrum ipſum reflectantur, vt alíâs tibi dixi, nihilominus nullo mo
do
poſſunt aliquod obiectum incendere duabus ex cauſis, quarum vna eſt, quia cum
Sol
valde remotus ſit à nobis, valde etiam acutus generatur angulus coni radiorum
in
centro ſpeculi, vnde à parua ſuperficie ipſius ſpeculi reflectuntur,
quare pauciſſi-
mi
radij ſunt qui reflectantur in ipſo centro, & propterea non ſufficiunt ad combu
ſtionem
alicuius obiecti.
Alia verò cauſa eſt, quod quamuis multi, & ſufficientes
radij
fuiſſentad cõburendũ velociter quoduis obiectum.
impoſſibile tamen omnino
eſset
, vt aliquod obiectum comburerent, propterea quod cum radij incidentes de-
beant
per centrum tranſire, obiectum combuſtibile, vt opacum, obſtaret ipſis radijs,
ne
vlterius tranſirent, vnde nulla fieret reflexio, ſed etiam ſi dicti radij in centro re
flexi
, ſufficerent ad combuſtionem, incidentes hoc magis eſſicerent.
& ita abſque
vllo
ſpeculo, omnia & in quolibet loco comburerentur, quod manifeſtè falſum eſt.
Deſine igitur mihi citate Lucillum Philalteum, qui in philoſophia mathematica
fuit
omnium imperitiſſimus.
Verum ſpeculum vſtorium illud eſt quod ab Alhazem
Deinde à Vitellìone deſcribitur.
Quod deinde verum ſit, vmbrã vniuſcuiuſque corporis opaci à Sole productam
ſemper
eſſe centum nouemq́; vicibus maiorem diametro eiuſdem corporis, nego.
Imaginemur .s. 1. diametrum eſſe illius circuli, quo vltimi radij ſolares veniunt tan
gentes
corpus cuius diameter ſit .c.e. et .a.i. ſit diameter alterius circuli eiuſdem cor-
poris
ſolaris à quo vltimi radij veniunt tangentes corpus, cuius diameter ſit .f.g. in
eadem
diſtantia, & eodem ſitu prioris corporis.
Tunc conus vmbræ ipſius .f.g. ſit .f.
g
.q.
& ipſius .c.e. ſit .c.n.e. centrum autem ſolare ſit .o. conorum verò axes ſint .t.n.q.
tunc ex ſuppoſito .q.f.a: n.c.s: n.e.l: et .q.g.i. erunt omnes contigui corpori ſolari, vn-
de
ex .17. tertij Eucli. anguli .o.a.q. et .o.s.n. erunt recti.
protracta deinde cum fu erit
a.s. habebimus angulos .u.a.s. et .u.s.a. minores duobus rectis.
Quare .n.s. concurret
325[Figure 325]
304292IO. BAPT. BENED. cum .a.q. in puncto .u. Nunc verò ſi vmbra .t.q. tanto maior eſt .f.g. quanto .109. eſt
vno
et .t.n. etiam tãto maior .c.e. ergò eadem proportio erit .q.t. ad .t.f. quę .n.t. ad .t.
c
.
ſed cum angulus .t. communis ſit ambobus triangulis .q.t.f. et .n.t.c. ſequitur ex .6.
ſexti
dictos triangulos æ quiangulos eſſe.
Vnde ſi anguli .t.n.c. et .t.q.f. æ quales inui
cem
ſunt, ergo .q.f. æquidiſtans erit .n.c. quod eſt impoſſibile, quia nunc demonſtra-
uimus
ipſas concurrere in puncto .u.
Quare non eſt eadem proportio .q.t. ad .t.f. quæ
n.t. ad .t.c. decipitur ergo Cardanus in .4. lib. de ſubtilitate.
Circa illud deinde quod à me quæris, hoc eſt, quæ ſit cauſa, quod nos videmus
radium
ſolarem tardiſſimè moueri, cum alias tibi dixerim ipſum qualibet hora cir-
ca
terram quindecim gradus perficere, reſpondeo, quod radius ille quem videmus,
exempli
gratia, in aliquo cubiculo, nunquam eſt idem numero, ſed quia ipſi radij
nullo
modo differunt inter ſe, niſi in numero, proptera putamus eundem ſemper eſſe,
cum
ſemper alius, atque alius ſit, quorum vnuſquiſque (de illis loquor, qui ad hunc
terræ
globum perueniunt) circa terram reuoluitur ſpatio .24. horarum, & cum quili
bet
circulus diuidatur in .360. gradus, quorum vigeſimaquarta pars eſt .15. verum
eſt
igitur, quod tibi iam dixeram.
326[Figure 326]
OPERATIONES DIVERSAE AB ALIIS
Michaelis
Stifelij.
Conrado Terl.
QVod in .2. exemplo. II. cap. Stifelius ſcribit in .3. lib. pag .282. non nego
quin
pulchrum ſit, ſed alijs pulchrioribus modis poſſumus illud idem de-
monſtrare
;
cogita igitur ſuperficiem rectangulam, cuius medietas ſit triã
gulus
rectangulus .a.b.g. vnde ex ſuppoſito nobis cognita erit ſuperficies
ipſius
trianguli, tanquam dimidium totius parallelogrammi rectanguli cogniti.
Quare ex .25. ſecundi triangulorum Mõteregij, cognita nobis erũt latera .a.b. et .b.g.
Alia etiam breuiori methodo idem poſſumus eſſicere, mediante angulo .b. recto,
eo
quod cum nobis cognita ſit ſuperficies trianguli ſimul baſi .a.g. cognita etiam
nobis
fit perpendicularis .b.d. à puncto .b. ad baſim, & conſequenter cognitum no-
bis
erit productum ipſius .a.d. in .d.g. & quia nobis cognita eſt .a.g. & eius medietas,
305293EPISTOL AE. ideo vnaquæque eius pars .a.d. et .d.g. ſimiliter nobis cognita erit ex quinta ſecundi
Eucl
.
vnde ex penultima primi habebimus propoſitum.
Poſſumus item circulum mente concipere cuius .a.g. ſit diameter, & ab eius cen-
tro
.e. protracta cum fuerit .e.b. quæ nobis cognita erit, vt medietas ipſius .a.g. de cu
ius
potentia, dempta fuerit potentia ipſiꝰ b.o. remanebit nobis potentia ipſius .d.
e
.
& ita eius longitudo, quæ addita medietati .e.g. & detracta à dimidio .e.d. erunt
nobis
cognitæ .a.d. et .d.g. vnde .b.g. et .b.d. remanebunt nobis cognitæ ex dicta pe-
nultima
primi Eucli.
huiuſmodi figuram videbis in dicto .25. problemate .2. li. Mon-
tisregij
.
Aliter etiam poſſumus hoc idem efficere.
Sit rectangulus hic ſubſcriptus .a.b.c.u. ſuperficiei cognitę ſimul cum diametro .a.
c
.
extendatur imaginatione .b.c. vſque ad, f. ita quod .c.f. æqualis ſit .c.u. intelligan-
turq́; quadrata .g.f: g.u. ct .u.f. vnde sũma quadratorũ .g.u:u.f. cognita nobis erit ex
penultima
primi.
nam .a.c. data nobis fuit, quare ſummã .g.u:u.b: et .u.f. cognoſce-
mus
, cui sũmæ addito ſuplemento .d.e. æ quali .u.
b
.
dabit nobis cognitũ quadrarum .g.f. totale, qua
327[Figure 327] re cognoſcetur eius radix .b.f. cognita igitur .b.f.
cum
pro ducto .b.u. illico ex .5. ſecundi cognoſce-
tur
.b.c. et .c.f. forte cognita .b.f. diuiſa æqualia
in
puncto .t. & per inæqualiz in pũcto .c.
Nam qua
dratũ ipſius .t.f. cognitum, ęquatur rectãgulo .b.u.
quadrato ipſius .t.c. dẽpto igitur rectangulo, b.
u
.
ex quadrato ipſius .t.f. relinquetur quadratum
ipſiꝰ .t.c. cognitum & eius radix .t.c. qua addita ipſi
medietati
.b.t. & dẽpta ex medietate .f.t. relinque-
tur
propoſitum.
Similiter de tertio exemplo eiuſdem Stifelij
infero
.
Sit rectangulus .a.b.c.u. cuius diametri .a.c. quantitas, ſimul cum proportione late
rum
.b.c. et .b.a. nobis data ſit.
cum autem ſcire voluerimus eius ſuperficiem .b.u. cla-
rum
eſt, quod cum nobis data ſit proportio .b.c. ad .b.a. illico cognoſcemus etiã pro-
portionem
quadrati ipſius .b.c. ad quadratum ip-
328[Figure 328] ſius .b.a. cum dupla ſit ei quæ .b.c. ad .b.a. ita etiam
& aggregati dictorum quadratorum ad quadra-
tum
ipſius .b.a. hoc eſt nota erit nobis proportio
quadrati
ipſius .a.c. diagonalis ad quadratum ip-
ſius
.a.b. idem dico de quadrato .b.c. ideſt quod
proportio
quadrati ipſius .a.c. ad quadratum .b.c.
cognita
nobis erit, ſed .a.c. data nobis fuit, qua-
re
cognoſcemus etiam omnia dicta quadrata eo-
rumq́; radices .a.b. et .b.c.
quare & ſuperficiem re-
ctanguli
quæſitam.
Quartum exemplum etiam faciliori via poteſt
ſolui
, propterea, quod cum nobis cognita ſit ba-
ſis
trianguli cum ſumma reliquorum laterum, &
angulo oppoſito baſi ipſius reliqua cognita no
bis
emergunt ex .15. problemate ſecundi lib. de Triangulis ipſius Monteregii.
306294IO. BAPT. BENED.
Vel ſi tibi placet, accipe hanc aliam methodum à me excogitatum.
Duplicetur triangulũ .a.b.c. orthogoniũ, & fiat rectangulũ .b.u. vt in mea figura
ſecundi
exempli hic vides.
producaturq́; .b.c. quouſque .c.f. æqualis ſit .c.u. vnde .b.f.
cognita
nobis erit ex hypotheſi,
quare cognoſcemus etiam quadratum .g.f. à quo
demptũ cum fuerit aggregatũ quadratorum .g.u. et .u.f. nobis cognitũ (nam quadra
ta
.g.u. et .u.f. æqualia ſunt quadrato ipſius .a.c. diagonalis datę) remanebit aggrega-
tum
ſupplemẽtorũ cognitum,
quare eius medietas cognoſcetur ideſt .b.u. vndæ ex .
5
.
ſecundi Eucli. vt ſuperius diximus cognoſcetur etiam .b.c. et .c.f. diſtinctæ.
Idem aſſero de exẽplo Gemmæ Friſij à Stifelio citato in Appendice regulæ falſi.
Sit gratia exempli rectangulum hicſubſcriptum .a.b. datæ ſuperficiei data etiam
nobis
ſit proportio .a.e. ad .e.b. laterum producentium, cogitemusq́; .a.e. producta
vſque
ad .o. ita vt .e.o. æqualis ſit ipſi .e.b. imagine
329[Figure 329] mus etiã perfectum eſſe quadratum .b.o. vnde ex
prima
ſexti ſeu .18. vel .19. ſeptimi vel .15. quinti
eadem
proportio erit ipſius .a.b. ad .b.o. vt .a.e. ad
e.o. vel ad .e.b.
quare ex regula de tribus, cogno-
ſcemus
quadratum .b.o. & eius radicẽ .e.o. & ex ea
demregula
cognoſcemus .a.e. cum cognita nobis ſit .e.o. ſimul cum proportione .e.o.
ad
.e.a.
Quod circulus ſit figura infinitorum angulorum hoc eſt
ultima
poligoniarum.
AD EVNDEM.
SEd quod idem Stifelius in Appendice ſecundi libri dicat circulum eſſe figuram
poligoniam
, non eſt ita mirandum, nam & alij multi doctiſſimi viri hanc
veritatem
cognouerunt, de Leone Baptiſta Alberto nihil dicam, cum ipſe fateatur
hoc
accepiſſe à philoſophis, vt etiam refert Ariſt. de ſphæratertio de cœlo.
conſi-
dera
quæſo in circulo, quod cum angulus contingentiæ ſit angulus, quamuis omniũ
acutorum
rectilineorum anguſtiſſimus, vnde ex communi ratione ſequitur reliquum
ex
duobus rectis rectilineis eſſe angulum, & ſi omnium obtuſorum rectilineorum ſit
ampliſſimum
, tanto magis igitur erit angulus, id quod remanet ex duobus rectis re
ctilineis
, detractis fuerint duobus angulis contingentiæ, qui quidem angulus erit
in
quouis puncto circunferentiæ ipſius circuli, idem intelligendum eſt de ſphæra,
cuius
angulus eſt reſiduum ex quatuor rectis ſolidis, detractis cum fuerint quatuor
angulis
contingentiæ ſolidisq́;.
Explanatio .25. Problematis lib. 2. Monteregij.
AD EVNDEM.
QVod in .25. problemate .2. lib. de triangulis Monteregium non intelligas, mi-
rum
non eſt, eo quod quandoque bonus dormitat Homerus.
Puto enim il-
lud
problema ab ipſo Monteregio non fuiſſe viſitatum.
Sed ne me aliquo modo
culpes
, accipe hanc aliã methodũ a me aliter etiã excogitatã in eadem ipſius figura.
307295EPISTOL AE.
Propoſitũ ſit nobis triangulum .a.b.g. cuius baſis data ſit cum area, ſeu perpendi-
culari
.a.d. cum angulo etiam .a. ad cognoſcendum autem .a.b. et .b.g. cogitemus circu
lum
.a.b.q.g. circunſcribere ipſum triangulum cuius diameter .p.q. ad rectos ſe-
cet
baſim .b.g. in puncto .m. cogitemus etiam .b.p. et .p.g. vnde ex .20. ter-
tij
Euclid. angulus .b.p.g. æqualis erit
330[Figure 330] angulo .a. & angulus .m.p.b. erit eius di
midium
, quod ex te ipſo cognoſces, &
angulꝰ .p.b.m. ſimiliter cognoſcetur,
quare ex .29. primi eiuſdem Montere
gij
cognoſcemus .p.m. et .p.b. (nam .b.
m
.
datum fuit, vt dimidium totius ba-
ſis
.b.g.) ducta poſtea .b.q. ex eadẽ .29.
cognoſcemus
.p.q. cum .p.b. iam cogni
ta
fuerit, à qua .p.q. (diametro) dẽpta
p.m. remanebit .q.m. cognita, qua
iuncta
cum fuerit .m.t. æquali .a.d. per
pendiculari
, dabitur .q.t. et .t.p. inter
quas
.a.t. media proportionalis loca-
tur
,
quare cognoſcemus .a.t. quæ ſinus
eſt
arcus .a.p. vnde cognitus erit arcus
a.p. ſed arcus .p.g. cognitus eſt median
te
angulo .p.b.g. cognito, qui quidem
arcus
.p.g. ſi coniunctus fuerit cum arcu .p.a. cognoſcemus compoſitum .a.g. & eius
chorda
ſimiliter (hoc eſt ſecundũ latus) qua cognita, illico cognoſcemus chordam
a.b. hoc eſt tertium latus trianguli propoſiti.
Quædam not and a in Federicum Comandinum.
AD EVNDEM.
PVtabas enim me ioco dixiſſe Federicum Comandinum non omnino irrepræ-
henſibilem
eſſe, vide igitur, quod ſcribit in quinto lemmate in decimam
propoſitionem
libr .2. de inſidentibus aquæ Archimedis, volens demonſtra-
re
eandem eſſe proportionem .l.b. ad .b.m. quæ .c.e. ad .e.a. vbi eſt aliquo modo pro-
lixum
, mediante linea .c.p. cum ſuis partibus, citans etiam antecedens lemma extra
propoſitum
, eo quod nec in antecedente lemmate, nec in alio, ipſe vnquam proba
uerit
proportionem .c.d. ad .d.q. eſſe, vt .l.b. @d.b.m. ſed ne putes me falli, tibi demon
ſtrabo
non eſſe neceſſarium ducere lineam .c.m.p. vel .q.p. eo quod per quintam
lib
. de quadratura parabolę Archimedis, ita ſit .c.d. ad .d.e. vt .l.b. ad .b.m. exiſtente
a.c. dupla ipſi .d.c. et .e.c. dupla ipſi .g.c. et .l.d. dupla ipſi .l.b: erit, primo componen-
do
.c.e. ad .e.d. vt .l.d. ad .d.m. & per æqualitatem proportionum, ita erit .e.g. ad .e.d.
vt
.b.d. 2d.d.m. & per .19. quinti Eucli. ita erit .e.g. ideſt .g.c. ad .g.d. vt .b.d. ideſt .l.b.
ad
.b.m. ſed .c.g. ad .g.d. eft vt .c.e. ad .e.a. ratio eſt, quia componendo ita eſt .c.d. ad .d.
g
.
vt .c.a. ad .a.e. & hoc eſt, quia permutando, ita eſt .a.c. ad .d.c. vt .a.e. ad .d.g. & hoc
verum
eſt ex .19. quinti eo quod totius .a.c. ad totum .d.c. eft vt abſciſſi .e.c. ad abſciſ
ſum
.g.c. vt ſupradixi.
308296IO. BAPT. BENED.
Sed etiam alio vniuerſaliori modo potes probare, quod ita ſit .u.x. ad .x.y. vt .c.e.
ad
.e.a. cogitando in linea .c.a. punctum quoddam quod vocabimus ſimiliter .y. in
tali
ſitu locatum, quod diuidat .c.a. eadem proportione qua .y. diuidit .u.s. vnde cum
e.s. diuiſa eodem modo etiam ſit à puncto .s. ex ſupradicta quinta lib. de quadratura
parabolæ
, erit igitur proportio .a.y. ad .y.c. vt .e.s. ad .s.c. per .11. quinti Eucli.
& com
ponendo
ita erit totiꝰ .a.c. ad totum .y.c. vt abſcisſi .s.c. ad abſciſsum .s.c.
quare reſidui
a.e. ad reſiduum .y.s. erit vt totius .a.c. ad totum .y.c. & permutando, ita erit .a.c. ad .a.
e
.
vt .y.c. ad .y.s. & diuidendo, ita erit .
c
.e.
ad .e.a. ut .c.s. ad .s.y. & quia pun-
331[Figure 331] ctum .s. diuidit .c.a. eodem modo, quo
x
. diuidit .u.s. per ſupradictam quintã,
ergo
ita erit .c.s. ad .s.y. in linea .c.a. vt
u.x. ad .x.y.
vnde ex .11. quinti .c.e. ad
e.a. erit, vt .u.x. ad .x,y.
quare ſequitur,
primum
, ſecundum, tertium, & quartum lemma ſuperflua eſſe.
Quod deinde ponit pro corellario in fine .6. lemmatis, aliter quam per .6. lemma
poteſt
demonſtrari, hoc mode.
Nam ſuperius demonſtrauimus eandem propor-
tionem
eſſe .l.b. ad .b.m. quæ .c.e. ad .e.a. idẽ dico de proportione .u.x. ad .x.y. & om-
nium
æquidiſtantium ad .h.e. quibus rationibus mediantibus codem modo ſcies,
u.y. ad .y.r. erit, vt .c.d. ad .d.c. & ita dico de omnibus æquidiſtãtibus. ad .h.e.
vnde .l.b.
ad
.b.m. erit vt .u.x. ad .x.y. et .l.m. ad .m.d. vt .u.y. ad .y.r. per .11. quinti, ſed cum ſit .l.
b
.
ad .b.m. vt .u.x. ad .x.y. componendo erit .l.m. ad .b.m. vt .u.x. ad .x.y. & euerſim .b.
m
.
ad .m.b. erit, vt .x.y. ad .y.u. & per æquam proportionalitatem erit .b.m. ad .m.d. vt
x.y. ad .y.r. quod eſt propoſitum.
Non video etiam, quare ipſe ducat lineam .s.r. cum in ipſo contextu nihil ſaciac
de
dicta .s.r.
Comentum poſtea contextus .P. pulchrius eſſet, ſi diceret, quod cum ita ſit totius,
l.a. ad totum .a.d. ſic ſe habebit abſciſſum .a.i. ad abſciſſum .a.z. eo quod ita eſt, vt ſcis,
hoc
eſt in proportione dupla, ergo reſidui .i.l. ad reſiduum .d.z. erit vt totius .a.l. ad
totum
.a.d. hoc eſt in proportione dupla.
De Viſu.
AD EVNDEM.
RAtio vnde ſiat, vt videamus diſtinctè omnes eolores, cum in qualibet aeris par
te
, quo lumina reſlexa poſſunt peruenire mixta ſint, & non diſtincta, oritur à
paruitate
ipſius pupillæ oculorum, & à magna expanſione virtutis viſiuæ in ſuperſi-
cie
concaua orbis continentis humores diaphanos oculorum per ramuſculos nerui
optici
remotè ab ipſa pupilla.
& quamuis radii luminoſi frangantur ab vnoquoque
humore
diuerſimodè, hoc nihilominus maximè iuuat ad diſtinctionem radiorum,
ſed
& ſi directè procederent, idem ferè eueniret, non tamen ſuis locis, cogita exem-
pli
gratia lineam .a.u.e. vt communis ſectio cuiuſdam plani ſecantis ſphæram oculi,
per
centrum ipſius, & pupillæ, et .o. punctum ſit proximum centro ipſius pupillæ,
ſed
interius aliquantulum, extra autẽ oculũ, ſint varij colores, vt .c.n.t. in dicto plano.
Iam nulli dubium eſt quod lumina quæ producuntur ab .c.n.t. ad .o. in ipſo .o. mi-
309297EPISTOL AE. xta, & non diſtincta, procedendo igitur vlteriusipſi radij citra .o. tunc diſgregãtur,
& ſeparantur abinuicem, & perueniunt ad lineam .a.u.e. ſentiuntur diſtincti alij
ab
alijs.
Cuius quidem rei, exemplum manifeſtum accipere poſſumus à quouis
cubiculo
ex omni parte clauſo, quod tranſitum nullũ permittat radijs luminoſis, ni
ſi
per aliquod paruum foramen, in quo foramine, & extra ipſum cubiculum, omnes
radij
mixti erunt, ſed in obiecto pariete ipſius cu-
332[Figure 332] biculi videb untur diſtincti, vnde ſequitur, quòd
quo
remotius erit obiectum .c.n.t. ab .o. tanto acu-
tior
erit angulus .c.o.t. & ſuus contrapoſitus ſimili-
ter
, & per conſequens linea .e.u.a. breuior erit, &
punctũ .o. propinquius etiam erit ipſi lineæ .a.u.e.
quæ
omnia efficiunt, vt nobis obiectum .c.t. paruũ,
& minus diſtinctum, ſeu magis confuſum appareat.
DE APPARENTI DISTANTIA PARTIV M
hæmiſphærij
.
Anſelmo Fucaro.
GRatæ mihi tuæ literæ fuerũt, quibus oſtẽdis non paruũ deſideriũ ſciẽdi vnde
fiat
, quod cum dies illuceſcit, & eſt ſerena pars Cœli, circa axem orizontis
demiſſior
appareat, quam aliæ partes, ab alijs (quod ſciã) ſatis expreſſum fue
rit
, ſed quia de eo à me aliquid ſcire deſideras dicam quod mihi vr̃.
Scias non ſolũ
multitudinẽ obiectorũ oppoſitorũ efficere, vt aliqua res alia longius diſtare videat,
vt
alij putarũt, ſed etiam diuerſitates colorum, quamobrem cum decipiamur, cre-
dentes
Cœlum eſſe præditum colore cęruleo, cum is color, aeri, non Cœlo
conueniat
, & videntes huiuſmodi colorem circa axem orizõtis magis denſum, quã
verſus
ipſum orizontem, ratione exiguæ reſlexionis, à pauca quantitate vaporum
inter
noſtrum ſitum, & reſlexionis locum, iudicamus Cœlum proximiorem eſſe cir-
ca
dictum axem, quam ſint aliæ partes;
præterquam, quod is color, qui videtur
terminare
, aut impedire radium viſualem (aduertas tamen me hac in re platonicum
non
eſſe) eo ſemper propinquior eſſe videtur, qui ei locum dat, & hanc ob cauſam
videntes
nos dẽſitatẽ cęrulei circa axem orizontis, & cernentes amplitudinem gy
ri
aliarum partium, adducimur, vt putemus partẽ
333[Figure 333] viciniorem eſſe.
Neq; illud etiã omittã hoc etiã fie
ri
ratione imaginationis, vnde etiã multis contrariũ
euenire
poteſt, ideſt vt eis magis profundum videa
tur
Cœlũ, circa axem orizontis, quam vicinum gy
ro
eiuſdẽ orizõtis, iudicantibus partẽ lõginquio
rẽ eſſe, quæ ſeſe magis obſcurã oculo demõſtrat, &
propinquiorẽ quę ſeſe clariorẽ oſtendit, vt ei ẽt
cont
ingere poteſt, qui ſubſcriptã ſigurã cubicã non
quidẽ ductã ſecundú ordinẽ opticè, ſed ita, vt om-
nia
latera oppoſita inuicẽ ſint parallela, proſpiciet,
ideſt
.a.i. ad .e.t. et .c.u. ad .o.n. et .a.i. ad .c.u. et .e.t. ad
o.n. vnde ſequitur, vt aliquando quadratum .a.o.
videbitur
citra, et .i.n. vltra dictũ cubum aliquando
verò
èconuerſo.
310298IO. BAPT. BENED.
DE PHILOSOPHIA MATHEMA TICA.
Dominico Piſano.
SI omnia vno colore conſtarent, & corporum vmbræ à luminibus non di-
ſtinguerentur
, neque diuerſitas ſitus, lumina, quæ veniunt ad oculum non al-
teraret
;
perinde eſſet, ac ſi eſſemus cœci. Miror quod cum in Ariſtotele ſis
verſatus
, in tuis tamen ſcriptis philoſophum à Mathematico ſepares, quaſi mathe-
maticus
non ſit adeò philoſophus, vt eſt naturalis, & metaphyſicus, cum multo ma
gis
quam ij philoſophus ſit appellandus, ſi ad veritatem ſuarum concluſionum reſpi
ciamus
.
Verum quidẽ eſt, te in huiuſmodi errore ſolũ non verſari; ſed grauius eſt,
quod
cum vos videatis etiam res morales ſub philoſophię appellationẽ cadere, non
animaduertatis
diuinas ſcientias mathematicas etiam philoſophiæ nomine ornan-
das
eſſe.
Quod ſi eiuſdem nomen penitius conſiderare velimus, inueniemus aper-
, mathematico magisillud ipſum quàm cuilibet alio conuenire, cum nullus ex alijs
tam
certo ſciat id quod affirmat quam mathematicus, neque aliquis ſit, qui in co-
gnitionis
, & ſcientiæ cupiditatem magis ducatur, vt apertè patet, cum nec etiam ipſi
ſenſui
det locum, neque aliquid præſupponat, quod non ſit ita verum & intellectui
notum
, vt nulla quæuis porentia, illud eſſe falſum oſtendere queat.
Sed quia
Græci
, qui ad placitum nomina rebus impoſuerunt, voluerunt etiam, non ſolum
mathematica
, ſed etiam naturalia, metaphyſica, & moralia, ſub communi philoſo-
phiæ
nomine contineri.
Vtaũt tibi ſatisfaciam authoritate Ariſtotelis, quem tanto-
pere
colis, primum conſidera, nunquam eum de philoſopho mẽtionem facere quin
prius
aperiat de quo philoſopho loquatur, atque hoc ſemper præſtat, exceptis qui-
buſdam
locis, vt cap .2. lib. 4. Metaphyſicorũ, vbi de philoſopho in genere loquẽs,
ait
, proprium eſſe philoſophi. vt res omnes ſpeculetur atque hoc in principio quin
ti
textus aſſerit, cum in quarto iam oſtenderit mathematicum eſſe philoſophum:
omitto quod in .2. textu ſecundi phyſicorum idem affirmet, æquum eſſe appellare
philoſophiam
ſcientiam veritatis, & finem ſpeculatiuæ exiſtere veritatem.
An non
idem
in primo cap .6. metaphiſicæ philoſophiam ſpeculatiuam, mathematicis phy
ſicis
& ſupernaturalibus rebus contineri?
An non idem paulo inferius ſcribit phyſi-
cam
primam futuram, ſi aliæ ſubſtantiæ quam naturales non reperirentur?
conſidera
deinde
quid dicat in fine tertij cap. lib. 11. quo loco nil clarius eſſe poteſt, lege etiam
quæ
.6. cap. eiuſdem libri ab eodem adducuntur, & quæ in .8. cap .12. libri textu .44.
apertè
ponuntur.
Quod ſi hæc tibi non ſufficiunt, vereor ne tuus morbus deſpe-
ratus
euadat.
De imaginatione ſpecierum.
AD EVNDEM.
QVod dixi domino Tadeo eſt, quod aliquas particularium ſpecies, perfectè &
integrè
imaginari poſſumus, alias non item, id tibi melius exemplo innote-
ſc
et.
Proponatur tibi triangulus æquilaterus datæ magnitudinis, datiq́; coloris, hu
iuſmodi
enim particularis, potes imaginatione tibi fingere integram ſpeciem, tota
lemq́; ei adæquatam, ſed ſi aliquam ſpeciem aliquando vniuerſaliorem imaginatio­
311299EPISTOL AE. ne concipere velles, quemadmodum vnius trianguli ęquilateri, tali magnitudine,
ſed
non præfinito colore conſtantis, hoc minime præſtare poſſes.
quia nullam rem
viſibilem
priuatam colore imaginari poſſumus.
nec etiam potes imaginari ſpeciẽ ali
cuius
trianguli æquilateri, indeterminatæ magnitudinis, & indefiniti coloris, quæ
cuilibet
particulari cuiuſuis magnitudinis, & coloris poſtea applicari queat.
Species
deinde
alicuius trianguli ęquicruri, aut vnius trianguli laterum inęqualium, aut triã
guli
in genere, aut tandem figuræ, conſiderato tu ipſe, an poſſit ſub imaginationem
cadere
.
Poſſumus quidem huiuſmodi ſpeciem (ratione mediante) intelligere, vn
de
quamlibet ſpeciem rei particularis viſibilis, compoſitæ, ex figura, magnitudine,
& colore, perfectè imaginari poſſimus, & huiuſmodi conceptus erit ſpecialiſſima
ſpecies
, quia in infinito ſuorum indiuiduorum, nunquam fiet, vt aliquod eorum, ali
quo
modo ab alijs differre poſſit;
admonens te, nil reperiri, quod differat, aut in ſe
partem
aliquam habeat, quod aliquid aliud non obtineat, quin dicta differentia ſit
ſpecifica
, eius tamen ſolum partis quæ differt ab alia duorum indiuiduorum, vnius,
eiuſdemq́; ſpeciei.
quia ſi eſt in magnitudine nulla planè magnitudo reperitur, quę
ſua
ſpecie non ſit dotata, quod ſi non eſſet, inter res omnes nulla æqualitas
eluceret
:
& ſi in figura, & colore, idem affirmo, aliter nulla res fimilis eſſet
alteri
, neque aliqua ſimilitu lo reperiretur.
Idem de quolibet alio obiecto
ſenſibili
dico.
Ratio autem eorum omnium quæ dixi eſt, quia imaginatiua nihil
aliud
intellectui oſtendere poteſt, quam id quod recipit à ſenſu, & cum ſenſus,
alio
modo moueri non poſſit quam ſupradicto, hanc ob cau ſam verum eſt, ꝗcquid
ſcripſi
.
Vnde triangulum ęquilaterum datę magnitudinis, erit genus triangulorum
ęquilaterũ eiuſdẽ datæ magnitudinis, ſed diuerſorũ colorũ, erit etiã ſpecies trianguli
æquilateri
indeterminatæ magnitudinis, & hic deinde erit ſpecies trianguli, & hic
poſtea
ſpecies figuræ.
Idem de alijs omnibus rebus per gradus dico, quę ſicut à ſen
ſu
, ita etiam ab imaginatione longè recedunt, adeo vt has ſpecies ſpecialiſſimas tan-
tum
, ideſt eas ſolùm, quas hic ſuperius deſcripſi, integrè capere poſſit:
at verò gene
ra
, quanto vniuerſaliora ſunt, ab eadem imaginatione, tanto longius diſtant.
De maculis Lunæ, & eius lumine.
AD EVNDEM.
MAculæ Lunæ, nihil aliud ſunt, quàm partes ipſius Lunę magis perſpicuæ, à qui
bus
, lumen non refleſſum, ſed penetrans, nobis occultatur;
quemadmodũ
via
lactea, nihil aliud eſt, quam pars octaui orbis magis opaca, à qua lumen Solis re-
fleſſum
, ſeſe nobis oſtendit.
Quod autem Maurolicus ſcribit folio .64. cap. de aſtro
rum
fulſionibus, circa Lunã, eſt falſum;
primo, quia non conſiderat differentiã inten-
ſionis
luminum inter Venerem, & Lunam, cum lumẽ illius ſit magis intenſum, quam
Lunæ
, quia quilibet qui ſano ſit õculo, facile poteſt compræhendere, ſi Lu-
na
eſſet, vbi eſt Venus, aut Venus vbireperitur Luna (quibus in locis eiuſdem ma
gnitudinis
nobis apparerent) ipſa Luna à Venere longè ſuperaretur, & excedere-
tur
ſplendore, & lumine, ita vt ſi etiam verum eſſet, quod per tres gradus inter-
ualli
ſeſe nobis proderet ſexageſima pars luminis (quod in quadraturis nec in vllo
alio
ſitu verum euadit, reſpectu ad Solem, ideſt vt tres gradus differentiæ ſitus, con
ſtituant
ſexag eſimam partem differentiæ luminis reſpectu noſtri) non ideo tamen
312300IO. BAPT. BENED. dictum lumen conſpiceretur, quia non ſufficit extenſio luminis, cum eiuſdem inten
ſio
ſit etiam neceſſaria.
Sed id quoque tibi dico, quod etiam ſi dicta ſexageſima
pars
totius luminis lunaris, eadem intenſione ſplendoris, & luminis Veneris, in tali
diſtantia
trium graduum à Sole prædita eſſet, non eam tamẽ videremus, ratione ob
liquitatis
curuę, & ſphæricę ſuperficiei Lunæ, reſpectu noſtri, in huiuſmodi ſitu:
id
tibi
ita demonſtratum volo.
Pars ſuperficialis lunaris globi, quæ nos reſpicit ſit .a.p.u. quam accipere poſſu-
mus
pro medietate ipſius ſuperficiei totalis, eo quod reſpectu noſtri viſus, inſenſibi
liter
, ab ipſa medietate differat, pars autem à Sole viſa ſit .u.q.a. cogitemus etiam cir
culum
.a.p.u.q. vnum eſſe ex maioribus ipſius globi, cuius ſuperficies trãſeat per ocu
lum
vidontis, vnde pars eius .a.p.u. diuidet vmbram per æqualia, reliqua verò pars .
a
.q.u.
diuidet per æqualia lumen ipſius Lunæ à Sole receptum, ita quod pars illumi
nata
, erit medietas .u.q.a. exceſſus verò, cum noſtro viſui incompræhenſibilis ſit, pro
nihilo
reputetur, cuius cauſa eſt, maxima illa diſtantia, quæ inter Solem, & Lunam
reperitur
, quamuis Sol maior ſit Luna multis millibus vicium, eo quod tunc inter So
lem
, & Lunam reperiantur plus quam .570. diametri terræ.
Supponamus nunc Lunam remotam eſſe à loco ipſius cõiunctionis cum Sole per
3
. gradus.
vnde quẽadmodum prius
334[Figure 334] lumen erat in gyro .a.q.u. nunc re-
periatur
in gyro .x.q.t. ita quod .t.u.
erit
ſexageſima pars ipſius .a.p.u.
à
vero ſenſibiliter non diſcedit.
Imaginentur nunc duæ rectæ lineæ
ductæ
ab oculo .d. ad puncta .t. et .u.
verum
tamen eſt quod linea .d.u. ſe-
cabit
arcũ .t.u. ſed ita propinqua
cto
.u. quod erit ei ferè contingens,
vnde
abſque ſenſibili errore poſſu-
mus
arcum .t.u. intelligere inter duas
lineas
.d.t. et .d.u. quapropter tale lu-
men
compræhendetur, ferè, ſub an-
gulo
.t.d.u. quem quidem angulum
oportet
nos videre, cuius magnitu-
dinis
exiſtat, reſpectu totalis anguli
a.d.u. protracta cum fuerit .d.a.
Producatur primo .d.t. vſque ad
diametrum
in puncto .i. deinde per
puncta
.a. et .u. ducatur arcus .a.e.u. cir
ca
.d. cẽtrum, ad quem ducatur linea .
d
.t.i.
in puncto .e. ſed quia, cum dia-
meter
.a.u. tam breuis ſit reſpectu di
ſtantiæ
à terra, tempore interlunij,
vnde
minor cẽteſima parte ipſius di-
ſtantiæ
exiſtit, ſequit̃ nos poſſe abſq;
ſenſibili
errore cogitare, à puncto .d.
ad
quoduis punctum ipſius diametri
omnes
lineas ad angulos rectos cum
ipſo
diametro, & inſenſibilis inæqua­
313301EPISTOL AE litatis à linea .d.o. Accipiemus igitur .t.i. pro ſinu arcus .t.u. qui eſt graduum .3. hoc
eſt
ſexageſima pars ſemicirculi graduum .180. quapropter .t.i. erit partium .5233. ta-
lium
qualium .o.u. eſt .100000. cuius .t.i. quadratum demptum cum fuerit à quadra-
to
ſemidiametri .o.t. relinquet nobis quadratum ipſius .o.i. quæ quidem .o.i. vt radix
quadrata
, erit partium .99862. talium qualium ſemidiameter eſt .100000. vnde .i.u.
reſiduum
diametri, remanebit partium .138.
Vel ſic, cum cognitus ſit nobis arcus .
t
.u.
illicò cognoſcemus ſinum arcus .p.t. complementũ vnius quartæ, qui ſinus æ qua-
lis
erit ferè arcui .o.i. partium .99862. vnde .i.u. erit, vt dictum eſt, partium .138. quę
quidem
.i.u. æqualis eſt ferè ſinui arcus .u.e. & ita etiam .u.e.
quare ſi diuiſa fuerit to-
ta
.a.u. partiũ .200000. per .138. proueniet nobis .1449. & ſic angulus .t.d.u. erit vna
partium
.1449. anguli .a.d.u.
Confideremus igitur quomodo fieri poteſt, vt oculo
compræhendatur
hæc tam parua particula luminis lunaris.
SOLVTIONES ALIQVAE.
Paulo Aemilio Raifestaim.
Poſt eas literas quas proximè ad te dedi, Franciſcus Monardus mihi retulit tuas
nonnullas
dubitationes circa noſtrum Theorema Arithmeticum .116. quarum
prima
eſt, quod ſi numerus .a. cogitatꝰ, eſſet æqualis .4.
tunc ipſe non eſſet multiplex
ipſi
.4. de quo tamen nullam mentionem feci.
Idem etiam inquis, ſi .a. fuiſſet .5. 6. 7.
nec
non .1. 2. et .3.
Cui reſpondi, quod quãuis nullam fecerim mentionem de æqua
litate
ipſius .a. cum .4. nihiltamen refert,
propterea quod quando ita fuiſſet, nihi-
lominus
eaſdem conditiones ſubiret, quemadodũ ſi fuiſſet duplus, triplus, aut qua
druplus
. eo quod à genere multiplici, æqualitas, formam diuerſam non induat.
Qua
re
idem eueniet ſi .a. fuerit .4. 5. 6. 7. vt ſi eſſet .8. 9. 10. et .11. & ſic de cæteris, excepto
quod
in proprijs multiplicibus, vel in ſuperantibus ipſis multiplicibus .a. menſurare
tur
ab ipſo .4. plus quam ſemel.
Quod autem dicis. de .1. 2. et .3. nihil eſt, quia,
vt
in ſecunda ſumma, hoc eſt in tertio termino maximo, reliquus tertius terminus,
ideſt
.9. non compræhendetur, ita nobis indicabit primum numerum ſumptum mi
norem
eſſe quaternario.
Quæ omnia, exipſa noſtra thęoria ibidem expreſſa ma-
nifeſtantur
.
Quid autem circa hoc Frater Lucas dicat, neſcio, quia ipſius opus
ad
manus meas nunquam peruenit, ſatis enim mihi fuit, in Tartalea hanc praxim
vidiſſe
, ratio vero nullibi à me reperta fuit.
Tartalea enim multos citat authores,
quorum
ſcripta ego nunquam vidi, vt Leonardi Piſani, Proſdocimi, Petri Borghi,
Fratris
Lucæ, Ioannis Sfortunati, cæterorumq́; ſimilium.
314302IO. BABPT. BENED.
ELIPSIM PROPOSITAM QVALITER
quadrare valeamus.
Illuſtri Uiro Franciſco Mendo Zzæ
QVod antea tuo nomine fecerat Marcus Antonius amicus noſter ſufficie-
bat
.
Sed quia, quæ nunc à me petis, talia ſunt, vt ſine tripartita ęqua-
liter
aliqua data proportione non poſſit aliquis exactè intentum perfice-
re
, nihilominus, ſuppoſita di
335[Figure 335] cta diuiſione, reliqua facilia erũt.
Primũ
enim
eſt.
Propoſitam Ellipſim qua-
drare
.
Sit igit̃ Ellipſis propoſita .a.b.d.c. cu-
ius
axes ſint .a.b. et .d.c. dati, ſeu reꝑti ex
47
. ſecũdi Pergei, ſintq́; duo circuli .a.e.
b
.f.
et .g.d.h.c. circa eaſdem diametros,
tũc proportio .a.b. ad .d.c. dimidiũ erit
proportionis
circulorum ex .2. 12. Eu-
clid
.
ſed proportio .a.b. ad .d.c. æqualis
eſt
proportioni maioris circuli ad Elli
pſim
.ex .5. Archimedis in lib. de cono­
idalibus
, quapropter proportio Elli-
pſis
ad minorem circulum altera me-
dietas
erit totius proportionis circulo-
rum
, hoc eſt maioris ad minorem, qua
re
Ellipſis media proportionalis erit
inter
eos circulos.
Nunc verò cum
ex
Archimede repertę fuerint duæ fi-
guræ
rectilineæ æquales duobus circu
lis
iam dictis, & inter has, reperta fue
rit
alia media proportionalis propoſi-
tum
obtinebimus.
Spheroidem propoſitam cubare.
AD EVNDEM.
PRopoſita ſphæroides erit, aut prolata, aut oblonga, ſit prius prolata, ſitq́; .a.b.
diameter
circuli, qui eam per æqualia ſecat, circa quam .a.b. vt circa axem in-
telligatur
ſphæroides oblonga, cuius ſpiſſitudo ſit .d.c. axis prolatæ, cogitemus nũc
duas
ſphæras .a.e.b.f. et .g.d.h.c. circa dictos axes.
Vnde quatuor corpora habebi-
mus
, hoc eſt duas ſphæras, & duas ſphæroides, quas probabo continuas proportio-
nales
inuicem eſſe.
Conſideremus igitur duos conos rectos, quorum .a.b. diameter ſit eorum baſium,
altitudo
autem maioris, æqualis ſit ſemidiametro majori, hoc eſt medietati .a.b. al-
315303EPISTOLAE. titudo verò minoris, æqualis ſit ſemidiametro minori, hoc eſt medietati .d.c. vnde
habebimus
proportionem coni maioris ad conum minorem, eãdem quæ eſt diame
tri
maioris ad diametrum minorem, quod ex .2. parte .11. duodecimi Eucli.
nec non
ex
.9. eiuſdem manifeſtum eſt, ſed conus minor, eſt quarta pars ſphæroidis prolatæ
ex
.29.
Archimedis in lib. de conoidalibus, & conus maior, eſt etiam quarta pars
ſphæræ
, ex .32. primi lib. de ſphæra, & cyllindro,
quare ex communi ſcientia, eadẽ
proportio
erit ſphæræ maioris ad ſphæroidem prolatam, quæ .a.b. ad .d.c. ſed pro-
portio
.a.b. ad .d.c. eſt tertia pars proportionis maioris ſphæræ ad minorẽ.
Conſidere
mus
nũc alios duos conos rectos, vnius & eiuſdẽ baſis, cuiꝰ diameter ſit .d.c. ſed altitu
do
maioris, æqualis ſit ſemidiametroſphęrę maioris, altitudo verò minoris, ſit æqua
lis
ſemidiametro minoris ſphæræ, vnde ex dictis rationibus habebimus proportio-
nẽ
maioris coni ad minorẽ, vt quæ eſt .o.b. ad .o.d. hoc eſt vt .a.b. ad .d.c. & ex dictis ꝓ­
poſitionibus
ita ſe habebit ſphæroides oblonga ad ſphęram minorem vt .a.b. ad .d.
c
.
hoc eſt tertia pars proportionis ſphæræ maioris ad minorem.
Quare proportio
ſphæroidis
prolatæ ad oblongam, erit reliqua tertia pars proportionis maioris ſphę­
ad minorem.
Quapropter hæc quatuor corpora continua proportionalia inui-
cem
erunt.
Nunc verò quærenda eſt inter .a.b. & ſuas duas tertias partes vna media pro por-
tionalis
, quæ ſit .K. & ex Archimede, inuentum ſit quadratum ęquale circulo, cuius
ſit
.K. diameter.
Vnde proportio circuli (cuius .a.b. eſt diameter) ad circulum cu-
ius
.K. eſt diameter, ſeſquialtera erit ex .2. 12. Eucli.
Ducatur deinde quadratum lineæ .K. in lineam .a.b. & proueniet nobis cor-
pus
quoddam, quod æquale erit ſphærę maiori, ex corellario .32. primi de ſphęra &
cyllindro
, cuius corporis, latus cubus ſit .m.
Idem facere oportebit mediante .d.c. minoris ſphærę, cuius corporis cubica ra-
dix
ſit .n.
Nunc verò inter .m. et .n. inueniantur duę medię proportionales .s.t. & ex .s. pro-
ducatur
cubus, qui ęqualis erit ſphęroidi prolatæ propoſiti, cubus vero .t. æqualis
erit
ſphęroidi oblongę, cuius axis eſſet .a.b.
Si autem ſphęroides oblonga nobis propoſita fuiſſet, eodem methodo ſoluere-
tur
problema.
Quadratum circulis mediantibus deſignare.
AD EVNDEM.
MOdus autem conficiendi quadratum ex circulis ſupra datam lineam, vt Do-
minum
Gaſparem docui, facillimus eſt.
Sit enim linea .b.a. 46. propoſitionis primi Euclidis, poſitoq́; pede immobli circi-
ni
in puncto .a. ſecundum quantitatem lineæ .a.b. propoſitę fiat circulus, ſimiliter cir-
ca
punctum .b. alius circulus eiuſdem magnitudinis,
erecta deinde ſola .a.c. perpendi
culari
ipſi .a.b. ex puncto .a. ipſa ſecabitur à circunferentia circuli. cuius centrum eſt .
a
.
in puncto .c. vnde .a.c. æqualis erit .a.b. poſito demum pede immobili ipſius circi
ni
in puncto .c. ſecundum longitudinem ipſius .c.a. fiat alius circulus, qui æqualis erit
reliquis
duobus circulis cum eorum ſemidiametri æquales ſint, & hic vltimo factus
ſecabit
circulum, cuius centrũ eſt .b. in pũcto .d. à quo cum ductæ fuerint .d.c. et .d.b.
316304IO. BAPT. BENED. rectè habebimus quod volumus. nam omnia latera ſunt inuicem ęqualia ex condi-
ti
onibus circuli, angulus autem .a. rectus effectus fuit,
tunc ſi imaginatione cogita-
ta
fuerit diameter .b.c. ex .8. primi, concludemus angulum .d. eſſe rectum
deinde ex .5
et
.32. eiuſdem concludemus etiam reliquos angulos rectos eſſe.
Circa verò id quod mihi ſcripſiſti de igne perpetuo putans nugas eſſe, quod Ro-
inuentæ fuerint lucernę ardentes in ſepulchris antiquorum.
Ego quid em mi-
nimè
puto eas nugas eſſe, propterea quod tales lucernas non vnus tantum aut duo
viderint
, ſed multi homines fide digniſſimi.
Prętera cum aisid nulla ratione poſſe
fieri
.
Reſpondeo quod maxima ratione poſſibile eſſe puto, quam quidem ra-
tionem
ita eſſe oportet, quod primum lucerna ſit perfectè circuncluſa, vt
materia
in ea conſtituta nullo modo exire poſſit,
deinde quod materia inflamabilis
talis
ſit, vt excrementum fuliginoſum ex flamma tranſmiſſum, tangendo ſuperfi-
ciem
deuexam ipſius lucernæ, aptum ſit in priſtinũ humorẽ congelari, ſiue transfor-
mari
, vnde materia prima per tres formas perpetuò tranſibit, hoc eſt per humorem,
ſiue
oleum tale, vt diximus, per ignem, ſeu flammam, & per vaporem, ſeu exhala-
tionem
fuliginoſam aptam condenſari, atque in priorem humorem illicò reuerti.
DE DIVISIONE TRIANGVLI SECVNDVM
propoſitam
proportionem.
Michaeli Angelo Muciaſco.
QVod mihi proponis, tale eſt, vt ſcilicet tibi modum ſcribam diuidendi
triangulum
propoſitum ſecundum datam proportionem à linea tranſeun
te
per punctum notatum extra triangulum.
Triangulũ igit̃ à te mihi propoſitum ſit .n.o.u. conſidero primũ quod ſi
quis
ipſum diuiſerit in duas partes mediante .e.s. parallela ad .n.u. ea proportione,
quam
mihi proponis.
deinde inuenerit in dicta .e.s. punctum .r. per quod tranſiens
alia
linea à puncto .p. propoſito, ita quod efficiat duo triangula .m.r.e. et .r.s.x. inui-
cem
æqualia, problema ſolutum erit.
336[Figure 336] eo quod triangulum .m.o.x. æquale
eſſet
triangulo .e.o.s. & quadrilate-
rum
reſiduum .m.n.u.x. etiam ęquale
eſſet
quadrilatero .e.n.u.s.
Sed dum punctum .r. uenarer, alia
337[Figure 337] via mihi in mentem venit, cognoui
igitur
quod quum propoſitum expe-
ditum
fuiſſer, hoc eſt, ſi à puncto p.
protracta
eſſet linea .p.m. quę trian-
gulum
.n.o.u. in duas partes inuicem
ita
proportionatas diuiſiſſet, vt ſe ha
bet
.A. et .B. ita ſe haberet productũ
338[Figure 338] n.o. in .o.u. ad productum .m.o. in .o.
x
.
vt trianguli .n.o.u. ad triangulum
m.o.x. quod quidem non eſt diffi-
cile
ſpeculari, ex methodo .24. ſexti,
317305EPISTOLAE. eo quod tam proportio producti .n.o. in .o.u. ad productum .m.o. in .o.x. quam pro-
portio
trianguli .n.o.u. ad triangulum .m.o.x. componitur ex proportione .u.o. ad .o.
x
.
& ex proportion e.n.o. ad .m.o. vnde proportio dictorum productorum nobis co-
gnita
erit, eo quod cum nobis cognita ſit proportio .A. ad .B. vt data, cognita etiam
nobis
erit coniuncta, hoceſt .A.B. ad .B.
& propterea ea quæ trianguli .n.o.u. ad triã-
gulum
.m.o.x. & ſimiliter productorum.
Quæſiui poſtea modum inueniendi duas
dictas
lineas .m.o. et .o.x. & cognoui quod ſi producta fuerit .p.i. æquidiſtans li-
neæ
.o.x. producendoq́ .o.n. quouſque cum .p.i. ſe interſecarent in puncto .i. inuenien
do
poſtea lineam quandam, quæ ducta cum .p.i. efficeret rectangulum æquale rectan
gulo
cognito quod ex .m.o. in .o.x. poteſt fieri, quod cognitum dico, eo quod nobis
cognita
eſt proportio data, & rectangulum etiam .n.o. in .o.u. deinde ſecando ab .o.
n
.
partem æqualem lineæ iam inuentæ, quæ ſit .o.t.
Inueniendo poſtea, ex .28. ſexti
lineam
.o.m. cuius productum in .m.t. æquale ſit producto .t.o. in .o.i. vnde ex .15. eiuſ
dem
proportio .o.i. ad .m.o. eadem eſſet, quæ .m.t. ad .o.t. & componendo, ita ſe ha-
beret
.m.i. ad .m.o. vt .m.o. ad .o.t. ſed ex .4. ſexti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.i. ad .m.o.
quare ex .11. quinti, ita eſſet .p.i. ad .o.x. vt .m.o. ad .o.t. vnde ex .15. ſexti productum .
o
.x.
in .m.o. æquale eſſet producto. p, i. in .o.t. & ſic haberemus intentum.
Sed ſi punctum .m. caderet in punctum .n. idem eſſet, ſi vorò punctum .m. tranſiret
n
. oporteret nos facere hoc in latere .n.u. ipſum quærendo in linea .n.u. ducendo pri
mum
lineam .p.i. æquidiſtantẽ .u.x. & producendo .u.n. ad partem .u. proſequendo,
ſuperius
iam dictum eſt.
Idem facere de parallelogr ammo.
AD EVNDEM.
DAtum parallelogrammum in duas partes diuidere, ſecundum aliquam datam
proportionem
à linea tranſeunte per punctum propoſitum.
Sit exempli gratia, datum parallelogrammum .b.u. datum verò punctum .o. extra
figuram
, proportio autem ea ſit, quæ .A. ad .B. vt ſupra.
Nunc diuidatur primò re-
ctangulum
datum per æqualia, mediante linea .r.c. parallela ambobus lateribus .b.x.
et
.s.u. quæ quidem linea diuidatur in puncto .i. ita quod eadem proportio ſit .r.i. ad .
i
.c.
vt .A. ad .B. protrahatur deinde à puncto .o. linea .o.i.q. quæ ſecabit ambo duo la-
tera
.b.x. vel .s.u. intra terminos eorum, vel tantum .b.x. reliquum verò extra termi-
nos
.s.u.
Nunc autem ſi intra dictos terminos tranſibit, vt in prima figura videre potes,
problema
ſolutum erit, eo quod
339[Figure 339] ſi à puncto .i. protracta fuerit .p.
d
.
pa rallela ad .u.x. habebimus
ex
prima ſexti eandem propor-
tionem
.s.d. ad .p.x. ut .r.i. ad .i.c.
hoc
eſt vt .A. ad .B. ſed triãgulus
i.e.d. æqualis eſt triangulo .i.q.p.
vt
tibi facilè patebit, vnde qua-
drilaterum
.e.q.u.x. æquale erit
quadrilatero
.d.u. ex communi
318306IO. BAPT. BENED. ſcientia. Quare ex .9. quinti, ita erit .s.d. ad dictum .d.u. vt ad quadrilaterum .e.q.u.
x
.
hoc eſt vt .A. ad .B. ex .11. eiuſdem.
Sed ſi punctum .q. fuerit extra ut in .2. figura videre eſt. tunc manifeſtum erit,
triangulus
.e.x.t. maior erit pa-
rallelogrammo
.d.u. per triangu
340[Figure 340] lum .q.t.u. cum triangulus .q.i.p.
æqualis
triangulo .d.i.e. excedat
quadrilaterum
.i.t.u.p. per trian
gulum
dictũ .q.t.u. quapropter
cum
diuiſus fuerit triangulus .e.
x
.t.
mediante linea .o.n.K. ita
quadrilaterũ .e.n.K.t. ſit æquale
triangulo
.q.t.u. ex doctrina præ
cedenti
, habebimus propoſitum.
Idem de frusto trianguli.
AD EVNDEM.
SEd ſi quadrilaterum dictum eſſet fruſtum alicuius triãguli ut in figura .A. hic ſub
ſcripta
videre eſt, ſuppoſita, b.d. parallela ad .u.p. ita faciendum eſſet, ducendo
ſcilicet
parallelam .u.x. ad .b.p. quæ producatur vſque ad concurſum cum .b.d.
in
puncto .x. ſitq́; proportio data inter .t.a. et .a.e. quas duas lineas cogitemus inuicem
directè
coniunctas,
tunc diuidatur tota .t.e.
341[Figure 341] in puncto .i. ita vt .t.i. ad .i.e. ſit vt quadrilate
ri
.p.d. ad trigonum .u.d.x.
deinde diuidatur
t.i. in puncto r. tali modo vt .t.r. ad .r.i. ſe ha-
beat
vt .t.a. ad .a.e. quo facto ex doctrina prę­
cedenti
diuidatur totum parallelogram--
mum
.p.x. mediante linea .o.q. ſecundum
quod
ſe habet .t.r. ad .r.e.
Atque ita ſolu-
tum
erit problema, vt exte ipſo ratiotina-
ri
facile potes.
Fdem de quadrilatero in genere.
AD EVNDEM.
SEd ſi nullum latus parallelum reliquo erit, ita faciendum erit. ſi ſit tale quadrila
terum
.b.d.u.p. oportet vt ipſum conuertamus in triangulum, producendo duo
quęuis
eius latera oppoſita uſque ad interſectionem ut pote .u.p. et .d.b. in puncto .x.
quo
facto, ſupponemus .o. eſſe punctum datum, proportio verò data ſit .t.r. ad .r.i. ad
iungatur
deinde .i.e. ad .t.i. ad quam .e.i. ipſa .t.i. ſe habeat vt quadrilaterum .b.d.u.p.
319307EPISTOLAE. ſe habet ad triangulum b.p.x. ducatur poſtea .o.q. quæ diuidat totale triangulum .d.
u
.x.
in duas partes inuicem ita proportionatas, ut ſe habent t.r. et .r.e. quæ quidem
partes
ſint .c.d.u.q. et .c.q.x. ut in primo problemate tibi monſtraui, & habebis pro-
poſitum
, dato quod punctum .c. ſit inter
b
. et .d.
Sed ſi forte linea .o.q. ſecabit .b.x. hoc
342[Figure 342] eſt ſi punctum .c. eſſet inter .b. et .x. mani-
feſtum
eſt, quod .c.q. ſecaret .b.p. in pun-
cto
.y. vnde in tali caſu, alio modo ope-
randum
eſſet, hoc eſt ducendo .b.u. quæ
diuideret
quadrilaterum in duo triangu-
la
, & ut ſe haberet triangulum .b.d.u. ad
triangulum
.b.p.u. vellem vt ita ſecaretur
t.i. in puncto .n. vt ita ſe haberet .t.n. ad .n.
i
.
ut dictum eſt de iſtis duobus triangulis,
deinde prout ſe habet .n.r. ad .r.i. ita ſeca-
res
triangulum .b.p.u. mediante linea .o.
K
.
ex doctrina primi problematis, & ita haberes propoſitum.
Idem de Pentagono, Exagono, & de reliquis.
AD EVNDEM.
PEntagonum, ſeu hexagonum, vel alias quaſuis multilateras figuras propoſitas its
diuidere
, vt dictum eſt de trilateris, & quadrilateris.
Sit exempli gratia pentagonus .a.d.u.p.b. quem ſecare volumus mediãte linea .o.
q
.
in duas partes inuicem ſe habentes, vt ſe habent .t.r. et .r.i. oportet igitur ut ipſum
pentagonum
reducas ad quadrilaterum .x.a.d.u. quod diuidatur ſecundum præce-
dentem
doctrinam, vt ſe habet .t.r. ad .r.e.
vnde
ſi punctum .q. incidit inter .p. et .u.
tunc
habebis
propoſitum, ſi verò incidet inter .
343[Figure 343] p.
et .x. clarum erit quod linea .o.q. ſecabit
latus
.p.b. trianguli .b.x.p. in puncto .y. qua-
propter
duces lineam .a.p. vt claudat trian-
gulum
.a.b.p. diuidaturq́; .t.i. in puncto .n. ita
vt
.t.n. ad .n.i. ſe habeat, vt quadrilaterum. a .
d
.u.p.
ad triãgulum .a.b.p.
deinde hũc trian
gulum
.a.b.p. diuidas mediante linea .o.K.
vt
.n.r. ad .r.i. ex doctrina primi problematis
& habebis propoſitum.
Idem dico de hexa
gono
, reducendo ipſum ad pentagonum, &
item
de eptagono, ipſum reducendo ad exa
gonum
, & idem infero de infinito ipſarum
ſuperficialium
figurarum rectilinearum.
320308IO. BAPT. BENED.
De duobus triangulis equalibus inter lineas
inuicem
inclinatas.
AD EVNDEM.
TV mihi vltimò proponis duas lineas rectas .b.f. et .q.s. in eadem ſuperficie pla-
na
, non tamen inuicem æqu idiſtantes, proponis etiam .n.t. in eadem ſuperfi-
cie
, quæ vnamquamque priorum ſecat, proponis etiam lineam .h. tali conditione,
quod
nulli dictarum ſit parallela,
deinde ſcire cupis qua arte aliquis poſſet ducere .
c
.u.
parallelam ad .h. ita quod ſecando .n.t. conſtituat duos triangulos .n.o.u. et .t.o.e.
inuicem
æquales.
Facita, producas primò duas primas lineas à parte, in qua inuicem inclinantur,
vſque
ad concurſum in puncto .i.
deinde à puncto .n. duces .n.c. parallelã ad .h. poſtea
ex
.25. ſexti Eucli. conſtitues triãgulum .i.u.e. ſimile triangulo .i.c.n. æquale tamen
triangulo
.i.t.n. & ſolutum erit problema.
Velſic, inuenies .i.e. mediam
344[Figure 344] proportionalem inter .i.c. &
i.t. duces poſtea .e.u. paralle-
lam
lineę .h. vel .c.n. quod idẽ
erit
ex .30. primi Eucli.
& ſo-
lutum
erit problema.
Nam ex .17. ſexti eadem
proportio
erittrianguli .i.c.
n
.
ad triangulum .i.e.u. ut .i.c.
ad
.i.t.
Quare ut trianguli .i.
c
.n.
ad triangulũ .i.t.n. ex pri-
ma
ſexti, et .11. quinti.
Vnde
ex
.9. eiuſdem .i.e.u. æqualis
erit
.i.t.n.
Quapropter .o.n.u.
æqualis
etiam erit .o.e.t.
SOLVTIONES NONNVLLAE QVOR VNDAM
problematum
.
Thaodoſio à Raifestaim.
DVritandvm profecto non eſt, quin quotidie hominibus ſtudioſis ali-
quid
noui deſit, quemadmodum, quod tibi nunc occurrit, mihi non-
nunquam
accidit, hoc eſt inuenire orizontem, cui aliqua propoſita ſtel
la
oriatur cum gradu ipſius longitudinis.
pro cuiꝰ rei operatione te prius
ſcire
oportebit vtrum ſtella in ſignis aſcendentibus, vel deſcendentibus reperiatur,
hoc
eſt in ſignis, quę à Capricorno ad Cancrum procedunt, vel in illis, quę à Can-
cro
ad Capricornum numerantur,
propterea quod ſi in ſignis aſcendentibus inue-
nitur
, ſciendum eſt, quod ſupra talem orizontem polus mundi auſtralis attollitur,
ſed
ſi in ſignis deſcendentibus reperitur,
tunc polus borealis eleuatur ſupra dictum
321309EPISTOL AE. orizontem, vt exempli gratia, canicula quæ à Græcis Prochyõ vocatur, reperitur in
24
. minuto vigeſimi gradus Cancri, quapropter polus borealis eleuatur ſupra ori-
zontem
, cui ipſa oritur cum eodem gradu, & minuto eclipticę illius ſigni.
ſed
quia
volumus etiam ſcire veram quantitatem arcus eleuationis huiuſmodi poli, pro
pterea
accipiemus in tabula generali Monteregij numerum qui vocatur radix aſcen
ſionum
, èregione numeri longitudinis ipſius ſtellæ, qui quidem numerus in præſen
ti
exemplo erit gra .107. cum minutis .53. qui eſt cuiuſdã arcus æquatoris, qui inci-
pit
in principio Arietis, & in circulo latitudinis deſinit, hoc eſt ab orizonte quæſi-
to
, ita quod talis numerus erit aſcenſio obliqua huiuſmodi puncti eclipticæ illi ori-
zonti
, qua aſcenſione mediante, ſimul cum gradu, & minuto longitudinis in tabulis
aſcenſionum
obliquarum, inueniemus gradum, & minutum altitudinis pollaris,
quærebatur
, eodem ordine ac methodo, quo vtimur ad inueniendum in tabulis po-
ſitionum
, polum circuli poſitionis alicuius aſtri, mediante declinatione & diſtantia
à
meridiano ciuſdem aſtri, vt ſcis.
Vnde in præſenti exemplo eleuatio poli borea
lis
ſupra talem orizontem erit gra .7. cum minutis .45.
Sed ſi ſtella fuerit in medietate aſcendente, tunc certi erimus polum auſtralem ſu
per
dictum orizontem attolli, nam idem eſt quærere altitudinem vnius polorũ mun
di
à tali orizonte, quod diſtantiam dicti poli à circulo ſecundum quem longitudo
terminatur
, qui etiam latitudinis dicitur, eo quod tunc temporis talis circulus vnus
& idem eſt cum orizonte.
Sumatur ergo exempli gratia ſtella, quæ in ore piſcis au
ſtralis
eſt, quę, pro nunc, ſit in gradu .20. cum minutis .14.
Aquarij longitudinis, &
in
gradu .23. cum nullo minuto meridianæ latitudinis.
Tunc certi erimus orizon-
tem
, cui dicta ſtella oritur cum eiuſmodi puncto eclipticæ, depreſſum eſſe à parte
auſtrali
ſub illoq́ polo, ſed quia propoſitum eſt ſcire etiam quantitatem huiuſmo-
di
depræſſionis, reperiemus in tabula generali gradum, & minutum æquatoris, cor-
reſpondentem
tali puncto longitudinis à circulo latitudinis terminato, qui quidem
numerus
in præſenti exemplo erit gra .317. cum minutis .46. & hic numerus, vt dixi
mus
eſt aſcen. obli. ad dictum orizontem, vbi polus auſtralis attollitur, & deſcenſio
obliqua
, vbi polus borealis eleuatur.
Quapropter ſi à .317. gradibus cum minutis
46
. demptus fuerit dimidius circulus gra .180. remanebunt gra .137. cum minutis .46
& punctus oppoſitus gradibus .20. cum .14. minutis Aquarij eſt in eodem numero
Leonis
, & mediantibus iſtis gradibus .137. min .46. aſcenſionis, cum grad .20. min .
14
.
Leonis inueniemus eleuationem poli borealis ab orizonte in tabulis aſcenſio-
num
obliquarum Monteregij, hoc eſt gra .17. min .53. & eadem altitudo erit poli
auſtralis
ſupra orizontem à quo Fomahant cum dicto puncto eclipticæ oritur, in qua
longitudine
dicta ſtella reperitur.
Sed ſi propoſitus nobis fuerit punctus eclipticæ, cum quo aliqua ſtella oritura ſit,
& oporteat inuenire vbi, hoc eſt orizontem huiuſmodi ortus, eleuatione poli arti
ci
, ſeu antarctici ſupra talem orizontem, ita operandum eſſet.
322310IO. BAPT. BENED.
Sit exempli gratia ſtella .o. ecli
345[Figure 345] ptica verò .d.q. æquator autem .
p
.q.
punctus verò eclipticæ, cum
quo
ſtella oritura ſit .e. orizon de
.o.e. vbi ſtella oriri poſſit
puncto
.e.
Nam cum ſtella pro-
ponitur
, datur etiam eius longi-
tudo
, nec non latitudo,
quare ar-
cus
.a.q. & arcus .a.o. nobis cogni
tus
erit, cum ſupponatur arcus .a.
o
.
eſſe circuli latitudinis, et .a.o.
Iatitudo
ipſius ſtellæ, & angulus
a
. rectus erit, & quia punctum .e.
datur
, ergo arcus .a.o. & arcus .a.
e
.
ſimul angulo .a. recto cogni-
ti
ſunt, vnde ex .11. primi lib. co­
pernici
, angulus .a.e.o. cognoſce-
tur
, & angulus .q.e.o. ſimiliter, vt
reſiduum
ex duobus rectis quo. e
mediante
cum angulo .q. declina
tionis
ab æquatore, medianteq́;
latere
.q.e. cognito, cognitus quo
que
nobis erit angnlus .e.t.q. ex
12
. eiuſdem.
qui quidem angulus
erit
altitudinis æquatoris ab ori-
zonte
quæſito, qui demptus à
90
. gradibus, dabit altitudinem
poli
ab orizonte quæſito.
Inuenire poſtea gradum eclipticę, cum quo ſtella data oriatur ad orizontem pro
poſitum
, nullius eſt difficul@atis.
Ponamus exempli gratia, aliquem ſcire velle gradum eclipticæ, cum quo canicu-
la
oritur ad orizontem, cui polus boreus eleuatur per gradus .44. quæ canicula ſup-
ponatur
habere gradus .19. cum min .24.
Cancri longitudinis, & gra .16. min .10. lati-
tudinis
meridianæ, quærere primum oportet eius declinationem ex doctrina .2. pro
blematis
tabularum directionum Monteregij, quæ erit graduum .6. cum minutis .5.
ſeptentrionalis
,
deinde inuenire eius aſcenſionem rectam ex doctrina .4. problema
tis
eiuſdem Monteregij, quæ erit gra .108. mi .42.
deinde mediãte declinatione iam
inuenta
in tabulis differentiarum aſcenſionalium ſub polo .44. accipiemus differen-
tiam
aſcenſionum, qua differt recta ab obliqua, quæ in præſenti exemplo erit gra .
5
.
min .55. quæ dempta ab aſcenſione recta ſtellæ, vt præſens exemplum exigit, relin
quet
nobis aſcenſionem obliquam ſtellæ propoſitæ ad polum. gra .44. quæ erit gra .
102
.
minu .47. qua mediante, in tabulis aſcenſionum obliquarum poli .44. habebi-
mus
gradum & minutum eclipticę cum quo ſtella oritur.
quod in caſu noſtro erit
gra
.1. min .8. Leonis, ſed ſi tecum non fuerint tabulæ dictæ, potes eleganter omnia
hæc
perficere via triangulorum ſphæricorum.
323311EPISTOL AE.
Via triangul@rum idem facere.
Sit exẽpli gr@tia .q.b. æquator, ecliptica verò .q.a. propoſitus aũt orizon ſit .o.c.d.
& ſtella data ſit .o. in orientali parte orizontis, circulus verò .a.o. ille ſit, qui tranſiẽs
per
polos eclipti & per centrum ſtellæ terminat longitudinem ipſius ſtellæ, & in
ipſo
ſit eius latitudo.
Nunc propoſitum ſit inuenire arcum .d.q. eo quod illicò ſcie
mus
punctum .d. qua propter oportet nos prius cognoſcere arcum .d.a. qui demptus,
vel
additus arcui .a.q. prius cognito ex ſuppoſito (nam data nobis eſt longitudo, &
latitudo
ſtellæ) dabit nobis .d.q.
Cum igitur voluerimus arcum .d.a. cognoſcere, ita faciemus. nam .q.a. cognitus
nobis
eſt ex ſuppoſito vt dictum eſt.
angulus quoque .a.q.b. qui declin tionis eclipti
ab æquatore eſt, angulus deinde .a. (trianguli .a.b.q.) rectus eſt, ergo ex .4. primi
copernici
cogn@tus nobis erit arcus .
a
.b.
nec non angulus .a.b.q. vnde an-
346[Figure 346] gulus .o.b.e. reſiduus ex duobus re-
ctis
in duobus primis hic ſubſcriptis
figuris
nobis itidem cognitus erit,
etiam
& arcus .b.o. reſiduus ſiue com
poſitus
ex ar cu .a.o. cognito ex ſup-
poſito
ſit arcus latitud nis ab ecli-
ptica
.
Tunc in triangulo .o.b.e. co-
gnoſcimus
latus .o.b. & angulum .o.
b
.e.
nec non angulum .b.e.o. qui eſt
altitudinis
æquatoris ab orizonte ,
quare ex .12. dicti lib. cognitus nobis
erit
angulus .b.o.e.
Conſideremus
deinde
triangulum .a.o.d. cuius angu
lus
.a. rectus eſt, & angulus .a.o.d.
latere
.a.o. etiam cognitus, vnde ex
ſupradicta
.4. nobis cognitus erit ar-
cus
.a.d. & conſequenter cognoſce-
mus
at cum .d.q. eius reſiduum, ſeu
compoſitum
, quem quærebamus.
Sed ſi hac via inuenire deſideras,
cui
orizonti propoſita ſtella oriatur
cum
eodem eclipticę puncto .a. lon-
gitudinis
, hoc aliud nihil eſſet, quam
cognoſcere
amplitudinem anguli .a.
b
.q.
eo quod talis orizon, idem cir-
culus
eſſet .a.b.o. vnde cum quis ſci-
ret
vnum illorum angulorum quem
æquator
efficit cum orizonte, reli-
qua
illicò ei innoteſcent, ſed dictus
angulus
.b. iam diximus quomodo
cognoſcatur
.
324312IO. BAPT. BENED.
Ponamus nos ſcire velle pũctum
347[Figure 347] eclipticę, cum quo Procyon oritur
polo
.44. o. dato, quod ſtella in gra .
19
.
cum min .24.
Cancri, reperiatur
diſtans
ab ecliptica per gra .16. min .
10
.
meridiem verſus.
vnde arcꝰ .a.q.
erit
gra .70. min .36. eiusq́; ſinus par-
tium
94321. talium qualium totalis
eſt
.100000. arcus verò .a.o. gra .16.
minut
.10. ſinus erit 27845. angu-
lus
autem .a.q.e. declinationis zodia
ci
ab ęquatore grad .23. min .30. cu-
ius
ſinus eſt .39875.
Quare ex ſupra-
dictis
rationibus angulus .a.b.q. erit
gra
.82. mi .24. cuius ſinꝰ erit .99122.
arcus
vero .a.b. gra .22. minu .17. cu-
ius
ſinus erit .37945.
angulus deinde
o.e.b. trianguli .o.e.b. eſt gra .46. mi .
o
.
altitudinis æquatoris ab orizonte,
cuius
ſinus eſt .71934. angulus ſimili
ter
.o.b.e. medio coniuncti, quibus
rectus
perſicitur, arcus etiam .o.b. no
tus
eſt grad .6. min .7. cuius ſinus eſt .
10655
.
cum ſit differentia inter ar-
cus
.a.b. et .a.o. cognitos.
Quare ex .12. iam ſupradicta an-
gulus
.e.o.b. hoc eſt .a.o.d. erit. grad .
36
.
min .39. cuius ſinus erit .59693.
deinde per .4. cognitus erit nobis an
gulus
.a.d.o. gra .55. min .5. cuius ſinꝰ
erit
.81998. arcus verò .d.o. gra .19.
min
.51. cuius ſinus erit .33957 ar-
cus
autem gra .11. min .42. cuius ſinꝰ
erit
.20270. vnde arcꝰ .d.q. reſiduus
ex
.a.q. erit gra .58. min .54. complementum aũt quartæ erit gra .31. mi .6. hoc eſt gra .
1
.
ſigni Leonis. cum min .6.
De ſphæroide duplæ ſpbær æ propoſit æ.
AD EVNDEM.
MOdus autem inueniendi ſphæroidem ex dato axe, quod duplum ſit ſphæ-
ra
propoſita, talis eſt.
Sit exempli gratia .a.b.c. ſphæra propoſita. cuius ſemidia meter ſit .o.c. ſemiaxis
vero
ſphæroidis ſit .d.x. cuius dimidium ſit .u.x.
tunc ex doctrina .9. ſexti Euclid. inue
niatur
.g.h. media proportionalis inter .u.x. et .c.o.
deinde ſicut ſe habet .u.x. ad .g.h.
325313EPISTOL AE. faciemus, quod diameter .a.b. dictæ ſphæræ ita ſe habcat ad .e.f. ex .10. ſexti, quæ
e.f. erit reliqua axis quæſita.
Vnde conſtituta cum fuerit ellipſis .d.f.t.e. ex dictis axi-
bus
,
deinde circumuertendo ellipſim circa maiorem axem, conſtituemus ſphæroi-
dem
oblongam, ſi autem circumuertemus ipſam circa minorem axim conſtituemus
ſphæroidem
prolatam.
Quod autem talis operatio rationalis ſit, nulli dubium erit, quetieſcunque co-
gnoſcet
conum rectum .e.u.f. æqualem eſſe cono recto .a.c.b. ex .2. parte .12. duodeci
mi
Euclid.
& quod cum conus .e.d.f. duplus ſit cono .e.u.f. ex lemmate collecto ab
11
. duodecimi, conus .e.d.f. duplus exiſtit etiam cono .a.c.b. ex .7. quinti.
Cum de-
inde
ex .32. primi lib. de ſphæra, & cyllindro ſphæra .a.c.b.q. quadrupla ſit cono .a.
c
.b.
ipſa conſequenter dupla erit cono .e.d.f. ſed ex .29. primi de conoidalibus, dimi
dium
ſphæroidis .e.d.f.t. hoc eſt .e.d.f. dupla eſt cono .e.d.f.
Quare talis medietas
æqualis
eſt ſphæræ propoſitæ, totaq́ue ſphæroides dupla erit ſphærę datæ.
Quod
autem
dico de proportione dupla, idem infero de qualibet alia, ſumendo .u.x. ita pro
portionatam
ad .d.x. vt proponitur.
Sphęram autem inuenire quæ dimidia ſit ſphæroidis propoſitæ nullius erit nego-
tij
, quotieſcunque inuentus fuerit modus diuidendi vnam datam proportionem in
tres
æquales partes.
Sit propoſita ſphæroides .e.f.d.t. cuius axes ex conſequentia dantur .e.f. et .d.t. quę
quidem
ſphæroides ſit primo oblonga, et .u.x. ſit dimidium axis maioris.
imagine-
tur
etiam conus .e.u.f. vt ſupra.
Imaginetur etiam factum eſſe, quod proponitur, hoc
eſt
, vt ſphæra .a.b.c.q. ſit dimidium ipſius ſphæroidis, vnde conus .a.c.b. æqualis erit
cono
.e.u.x. vt ſupra demonſtratum eſt, & ſit .g.h. media proportionalis inter .u.x. et
o.c.
Iam viſum ſuperius fuit, quod eadem proportio erat ipſius .u.x. ad .g.h. quæ .a.b.
ad
.e.f.
quare eadem quæ .o.b. ad .e.x. ſed .u.x. et .e.x. dantur. inter quas .g.h. et .o.b. vel
o.c. (nam .o.c. æqualis eſt .o.b.) medię proportionales ſunt, eo quod cum .g.h. media
proportionalis
ſit inter .u.x. et .o.c. & proportio .o.b. ad .e.x. æqualis ſit ei, quæ .u.x.
ad
.g.h. hoc eſt ei quæ .g.h. ad .o.c. vel. ad .o.b.
quare quotieſcunque inuentæ fuerint .
g
.h.
et .o.c. vel .o.b. mediæ proportionales inter .d.x. et .x.e. ipſa .o.c. vel .o.b. erit ſemi
diameter
ſphæræ quæſitę.
eodem modo faciendum erit ſi ſphęroides fuerit prolata.
348[Figure 348]
326314IO. BABPT. BENED.
Modus inueniendi duo triangula varijs conditionibus
affecta
.
AD EVNDEM.
QVod etiam quæris ita ſe habet, duo ſcilicet triangula inuenire, æqualia dua-
bus
ſuperficiebus rectilineis propoſitis, quę quidem triangula ſint eiuſdem
alritudinis
, & quod vnũquodque habeat angulum æqualem angulo propoſito, &
alius
angulus vnius, cum alio alterius, æquetur duobus rectis.
Sint exempli gratia duæ propoſitæ ſuperflcies .c.y. duo verò anguli dati ſint .r.s.
cum
voluerimus inuenire duo triangula (quæ ſint .a.i.u. et .n.t.x. ) tali conditio-
ne
prædita, quod angulus, a. æqualis ſit angulo .s. & angulus .t. angulo .r. & quod
angulus
.x. ſimul cum angulo .u. æ-
quẽtur
duobus rectis, & quod triã
349[Figure 349] gulũ .a.i.u. æquale ſit ſuperficiei .
c
.
reliquum verò ſuperficiei .y.
Ex
duabus ſuperficiebus .c. et .y.
conſtituemus
duo quadrata, per vl
timam
ſecundi Eucli. accipiemus,
deinde duo latera tetragonica ip-
ſorum
quadratorum, & inuenie-
mus
tertiam lineam in continua
proportionalitate
cum illis lateri-
bus
ex .10. ſexti, ſeruabimus po-
ſtea
extremas illarum, quæ ſint .z.
et
.l. quarum proportio, eadẽ erit,
quæ
inter duas propoſitas ſuperfi-
cies
reperitur ex .18. ſexti, accipie
mus
, deinde lineam aliquam cu-
inſuis
longitudinis, quæ ſit .q.g. ſu-
pra
quam conſtituemus in puncto
q
. angulum .m.q.g. ęqualem angu-
lo
.s. & angulum .m.q.K. æqualem
angulo
.r. ex .23. primi, poſtea ve-
à quouis puncto ipſius lineæ .q.
m
.
puta .o. ducetur .o.f. vſque ad .q.
g
.
quorſum volueris, producendo
ipſam
vſq;. ad .d. ita quod propor-
tio
f.o. ad .o.d. ſit vt .z. ad .l. ex .10.
ſexti
, ducendo poſtea à puncto .d.
lineam
.d.h.E. parallelam lineæ .q.
g
.
& quia ex .2. primi Vitellionis .
h
.E.
ſecatur ab .q.K. in puncto .b.
protrahemus
.b.o.p. vnde ex ſimi-
litudine
triangulorum habebimus
proportionem
.p.o. ad .o.b. vt .f.o.
327315EPISTOL AE. ad .o.d. hoc eſt vt .z. ad .l. hoc eſt vt .c. ad .y. quare triangulũ .p.q.o. ita erit proportio
natũ triangulo .o.q.b. vt .c. ad .y. conſtituo deinde ex .25. fexti duo triangula ſimi-
lia
duobus .p.q.o. et .o.q.b. æqualiaq́ .c. et .y. quę ſint .a.i.u. et .n.t.x. ſecetur poſtea .q.
g
.
in puncto .æ. ita, quod .q.æ. æqualis ſit .i.a. duco poſtea .æ.e. æquidiſtantem. ad .p.b.
& ſic habebimus duo triangula .q.x.æ. ct .q.x. e, vt quærebantur, quamuis duo trian
gula
.a.i.u. et .t.n.x. eaſdem habeant conditiones.
DE IMPERFECTA SOLVTIONE PROBLE-
matis
Nicolai Tartaleæ ad Cardanum. De animad-
uerſione
in Ptolomeum. Deincendio carbo-
num
à vento.
Clariβimo Dominico Moreſino.
SCio propoſitam tibi quæſtionem te diu agitauiſſe, nectamen ſolutio-
nem
aſſequi potuiſſe, aduerte igitur ipſam falſam, ideſt impoſſibilem
eſſe
, quemadmodum etiam decimumoctauum quæſitum propoſitum à
Cardano
Tartaleæ, ab ipſo Tarralea ſolutum minimè fuit.
Quiquidem
Tartalea
vult circulum deſcribi circa triangulum per quintam libri quarti Euclidis,
vt
in fine ferè quintæ partis ſuarum menſurarum affirmat, neque videt in quinta
quarti
Euclidem vti vndecima primi, & in vndecima primi, quarta aut octaua eiuſ-
dem
, quas, ipſe Euclides oſtenſiuè non demonſtrauit.
Quapropter oportebat Tar-
taleam
demonſtraſſe omnes propoſitiones ad hoc neceſſarias oſtenſiuè vſq; ad pri-
mas
indemonſtrabiles, quia ad demonſtrandam ſcientificè aliquã propoſitionem,
aut
à propoſitione in propoſitionem vſque ad prima principia vniuerſalia ( vt ali-
quando
ego feci) eſt retrogradandum, aut ab ipſis principijs incipiendum ſucceſſi-
eouſque progrediendo donec ad propoſitionem quam demonſtrare volumus
perueniamus
.
Quod ad Ptolomeum in geographia attinet, dico eum mihi non ſatisfacere, cum
ſumit
portionem arcus circuli maioris inter vnam ciuitatem, & aliam, ea ratione
quam
deſcribit.
Quod ſi vſus fuiſſet modo Menelai, ab ipſomet deinde in ſuũ Al-
mageſtum
vſurpato, aut Monteregij triangulorum ſphęricorum, quem Copernicus
adhibuit
(qui tamen modus, tempore Ptolomei, nondum fortaſſe in lucem vene-
rat
) bene egiſſet.
Quod deinde ad ſuum illud inſtrumentum geometricum attinet, eſt imperfectũ,
vt
oſtendi domino Pandulfo.
Motum autem aeris, aut mauis ventum, accendere ignem, non ſolum ratione an
tiperiſtaſis
, quam affers euenit, ſed etiam quia à carbonibus accenſis totam excre
mentitiam
materiam, quæ eos circundat, auferat.
Alia dilucidatio propoſitionis .25. lib. 2. Monteregij.
AD EVNDEM.
SCribiste non intelligere .25. propoſitionem lib. 2. Monteregij. cum necſcias
reperire
diametrum circuli circunſcriptibilis circa propoſitum triangu-
328316IO. BAPT. BENED. lum, cuius data ſit b aſis tantummodo ſimul cum angulo, qui ipſi baſi opponitur.
Imagineris igitur triangulum datum eſſe obtuſiangulum .a.b.g. cuius baſi .b.
g
.
ſit nobis data ſimul cum angulo .a. ei oppoſito, obtuſoq́ue;
Conſidera etiam cir-
culum
.a.b.g.q. ipſum trian gulum circunſcribentem, cuius diameter .q.e.p. tranſeat
per
.m. punctum medium ipſius .b.g. tũc protractis imaginatione .e.g. et .g.p. certi eri-
mus
angulos. circa .m. rectos eſſe ex .3 tertij Eucli. angulumq́ .q.e.g. duplum eſſe an
gulo
.q.p.g. ex .19. eiuſdem, vnde æqualem angulo .a. qui etiam duplus eſt angulo .q.
p
.g.
quapropter proportio arcus .q.g. ad arcum
350[Figure 350] g.p. tibi cognita erit, & proportio etiam chor-
de
.p.g. ad ſinum .m.g. arcus .g.p. & quia .m.g. vt
dimidium
ipſius .b.g. tibi data eſt, cognoſces
etiam
.p.g. vt .m.g. & ſic tertium latus .m.p. trian-
guli
orthogonij .p.m.g. & qa ex .34. tertij quod
fit
ex .p.m. in .m.q. eſt æquale ei quod fit ex .b.m.
in
.m.g. ideo cum diuiſum fuerit productum .b.
m
in .m.g. per .p.m. proueniet .m.q. quapropter
habebis
totum .q.p.
Idem efficies, ſi angulus .a. acutus fuiſſet.
Modus inueniendi puncta elliptica via Pergei.
AD EVNDEM.
MOdus inueniendi puncta elliptica, via .21. primi lib. Pergei ex datis axibus,
vt
vbi alias ſignificati, talis eſt.
351[Figure 351]
Sit exempli gratia maior axis propo-
ſitus
.a.c. minor autem .b.d. cum ergo
volueris
inuenire punctum circunfe-
rentiæ
correſpondentem puncto .e.
maioris
axis, inueniemus primò la-
tus
tetragonicum producti .a.g. in .g.
c
.
quod ſit .h. latusq́ tetragonicũ pro-
ducti
.a.e. in .e.c. quod ſit .i.
deinde in-
ueniemus
lineam .K. tertiam in con-
tinua
proportionalitate cum .h. et .i.
vnde
.i. erit media proportionalis in-
ter
.h. et .K. & vt .h. proportionalis erit
ad
.K. inueniemus .e.f. cui .g.d. medie-
tas
ſecundi axis ita ſe habeat, quæ po
ſtea
iuncta axi maiori, ad angulosrectos in puncto .e. dabit ſitum puncti .f. quæſiti ex
dicta
.21. primi lib. Pergei, ſed talis modus prolixus eſt.
329317EPISTOL AE.
Accipeigitur huncalium.
Sit propoſitus maior axis .q.p. minor verò .e.c. ad angulos rectos ſe inuicem
ſecantes
in puncto .o. deſcribatur circulus .q.n.p.a. cuius diameter ſit axis maior, in
quo
accipiatur punctum, quod volueris, vt puta .u. à quo protrahatur .u.b. paralle-
la
ad .o.c.n. deſignetur poſtea ſeparatim circulus .u.b.n. cuius diameter æqualis ſit ſe
midiametro
prioris circuli, ita etiam fiat circulus .u.i.c. contingens circulum .u.b.n.
in
puncto .u. cuius diameter ſit .u.c. æqualis dimidio axi minori.
accipiatur deinde in
circulo
maximo longitudo .u.b. quæ collocetur in circulo mediocri à puncto .u. quæ
ſecabitur
à minimo circulo in puncto .i. cum itaque longitudo .u.i. menſurata fue-
rit
in .u.b. maximi circuli à puncto .u. habebimus propoſitum.
Cuius reiratio eſt, quia .u.b. mediocris circuli diuiditur à gyro minimi in puncto
i
. eadem proportione, qua diuiſa eſt .u.n. in puncto .c. quod manifeſtum eſt exſimi-
litudine
triangulorum .u.b.n. et .u.i.c. imaginatæ cum fuerint duæ .b.n. et .i.c. ſed ita
eſſe
oportet parallelas maximi circuli, quotieſcunque circunferentia ipſius ellipſis
tranſitura
ſit per .c. vt in .51. cap. meæ gnomonicæ oſtenſum fuit.
352[Figure 352]
Modus deſignandi angulum, certo modo conditionatum.
AD EVNDEM.
NVllius reuera difficultatis mihi videtur eſſe, quotieſcunque nobis propoſita
fuerint
duo puncta .a. et .b. ſimul cum
angulo
.d. necnõ linea .g. ducere duas lineas
353[Figure 353] à dictis punctis terminatas, quæ conſtituãt
angulum
æqualem dato, & ipſæ directè
iunctæ
conſtituant lineam æqualem da-
.
Nam ducatur linea indefinita per
puncta
propoſita, cuius lineæ, pars illa, quę
intercepta
fuerit inter dicta puncta, diui-
datur
per æqualia in puncto .o. etiam & li-
nea
data, quarum medietates accipio in
linea
indefinitè protracta à puncto .o. me-
330318IO. BAPT. BENED. dio, vt vna earum ſit .o.c. reliqua verò ſit .o.e. deinde aperiatur circinus quantum .
o
.c.
poſitoq́; vno pede in .b. deſignẽtur cum altero duo arcus .n.K. poſito iterum vno
pede
in .a. deſignentur alij duo arcus inter-
ſecantes
primos in punctis .n.K.
Deinde à
354[Figure 354] puncto .n. ad .K. ducetur linea .n.K. quæ per
punctum
.o. tranſibit, quam .n.K. mente cõ-
cipio
, vt axis minor vniꝰ ellipſis, cuius .e.c.
ſit
axis maior, quibus axibus mediantibus
deſignetur
ellipſis .n.c.K.e. conſidero dein
de
.a.b. vt chordãvnius circuli, ſeu portio-
nis
circularis, quæ capax ſit vnius anguli
æqualis
angulo .d. propoſito, ex .32. tertij
Euclid
. cuius circunferentia, circunferen-
tiam
ipſius ellipſis ſecabit in duobꝰ punctis
quorum
vnũ ſit .i. à quo protractæ cum fue
rint
duæ lineæ .a.i. et .i.b. habebis propoſitum, cum .a.i. iuncta cum .i.b. æquetur .e. c,
ex
.52. tertij Pergei.
EMENDATIO CVIVSDAM FALSI MODI
delineandi
horologia Italica orizontalia.
Foanni Paulo Dardano.
MOdvs delineandi horologia Italica orizontalia, quem tibi monſtrauit
neſcio
quis, ni fallor, talis eſt.
Deſignato meridiano .l.b.m.q. ductisq́; duo
bus
diametris .l.m. et .b. q, inuicem ad rectos in centro .g. quorum .l.m. ſit
verticalis
.b.q. vero orizõtalis, ductoq́; diametro .f.h. tropici Cancri ſe-
cundum
altitudinem poli datam, deſcriptoq́; dimidio circulo .f.z.h. ipſius paralleli,
inuentoq́; puncto .z. horæ propoſitę, & ab eo ducta per pendiculari .z.r. ad .f.h. & à
puncto
.r. ducta .r.o.y. parallela ad diametrum .q.b. orizontalem, ducis poſtea .f.ω. et .
r
.t.
vſque ad orizontalem .q.b. parallelas ad diametrum .l.m. verticalem.
Determi-
nato
poſtea gnomone .g.s. in orizontis axe, ductaq́; vmbrarum linea .s.K. parallela
orizontali
, ductaq́; .y.g.K. ad terminandam .s.K. delineas deinde ſeparatim circulum
q.x.b.n. magnitudinis prioris, qui quidem circulus ſignificet orizontem ipſum, in
quo
ductis diametris .q.g.b. et .l.g.m. accipis in diametro .q.g.b. puncta .a. et .ω. ita à cẽ­
tro
.g. diſtantia, vt ſunt in diametro orizontali prioris circuli, ducis poſtea per pun-
ctum
.a. lineam .x.a.n. ad rectos cum dicto diametro,
deinde per tria puncta .n.ω.x.
tranſire
facis circunferentiam circuli per quintã quarti Euclidis, poſtea in dicto dia-
metro
accipis punctum .t. ita diſtans à centro, & ex eadem parte, vt in priori circulo,
à
quo puncto ducis .t.u. parallelam .x.n. vſque ad circunferentiam .x.ω.n. in puncto .u.
quo
facto, ducis à centro .g. per punctum .u. ipſius circularis circunferentiæ .g.u. inde-
terminatam
, quam poſtea terminas in puncto .K. ita quod .g.K. æqualis ſit .s.K.
Dicis
poſtea
punctum .K. in eodem ſitu reperiri, reſpectu duorum diametrorum .q.b. me-
ridiani
. et .l.m. verticalis, vt decet, & oportet punctum horæ propoſitę exiſtere.
Quod quidem dico eſſe falſum, propterea quod perpendiculares quas cogita-
mus
cadere à punctis circunferentiæ cuiuſuis paralleli ſupra quemuis orizontem ob­
331319EPISTOL AE. liquum ſecantem æquatorem, omnes caduntin gyro elliptico, oxygonio, ſeu de-
fectionali
, & non circulari.
Vnde per ſupradicta tria puncta .n.ω.x. oporteret tranſi
re
talem circunferentiam, & non circularẽ, quæ circunferentia eſſet vnius ellipſis,
cuius
minor axis in diametro .b.q. eſſet .ab .ω. vſque ad .i. terminum ſini h.i. arcus .h.b.
in
analemate, maior verò axis eſſet magnitudinis .f.h. diametri paralleli, quæ trãſiſ-
ſet
per punctum .c. medium inter .ω. et .i. quę quidem circunfere ntia tota eſſet intra cir
culum
.q.n.b.x. tiguaq́; gyro .q.n.b.x. in punctis .n.x.
Si ergò circunferentia .n.ω.x. eſſet elliptica tunc punctum .u. in orizonte illud eſſet
vbi
caderet ſinus altitudinis horę, et .t.u. æqualis eſſet .r.z. communi ſectioni paralle
li
cum almicantarat ex .34. primi Euclid. et .u.g. æqualis eſſet .o.y. communi ſectioni
almicantarat
cum meridiano, vel cum azimut illius horæ ex .4. primi, cum .g.t. æqua
lis
ſit ipſi .o.r. et .t.u. ipſi .r.z. & angu
355[Figure 355] lus. t trianguli .g.t.u. rectus, quem-
admodum
.r. qui compræhenditur
ab
.z.r. et .r.o. vnde anguli .K.g.m.
et
.K.g.b. rectè ſe haberent, diſtan-
tia
verò inter .K. et .g. rectè ſum-
pta
fuit.
Sed quia punctum .u. vt plurimũ
(in gyro circulari ſumptum) extra
puncta
interſectionum ipſius circu
laris
gyri cum elliptico reperìtur,
propterea efficit angulos .K.g.m.
et
.K.g.b. falſos, & non æquales il-
lis
, qui fiunt ab azimut horæ cum
verticali
, & cum meridiano, quæ
omnia
ex cap .52. meæ gnomonicę
facilè
videre potes.
Nectacere volo quod punctum
u
. verum, hoc eſt ellipticum, inue-
niri
poſſet ea via quam ſcripſi in
eodem
.52. cap. qua mediante do-
cui
demum inuenire punctum .π.
orizontis
, quamuis in præſenti ca­
ſu
.ω.λ. perpendicularis eſſet ſupra
minorem
axem ipſius ellipſis, quã-
uis
ſupra maiorem axem, quod ta-
men
minimè mutat ordinem, imò
rationes
eędem ſunt, tam in vna,
quam
in alia operatione, ſed vt il-
licò
idipsũ habeas, fac vt .t.u. æqua
lis
. ſit .r.z.
& tunc punctum .K. erit
quæſitũ, quod ego in .52. cap. meę
gnomonicę
, ijs verbis ſignificaui.
Itaq; mediis binis triangulis ijs,
medioq́; azimut Solis pariter ho-
rologia
fabricari poterunt.
332320IO. BAPT. BENED.
De Horologio perpendiculari ad oriz ontem rectum.
AD EVNDEM.
MOdus quem tibi ſcribere promiſi delineandi lineas horarias communes in
pariete
perpendiculariter ad orizontem rectum, declinantem à meridiano,
ſumendus
eſt ex .46. cap. meæ gnomonicæ, hocſcilicet ordine.
Sit exempli gratia, orizon hic ſubſcriptus. or. oc .M.S. diuiſus à meridiana .M.
S
.
et verticali ſeu æquinoctiali. or. oc.
Sitq́ue .e.t. communis ſectio muri cum ori-
zonte
, et .g.n. ſit gnomon perpendicularis ipſi muro, vnde ex dictis in mea gnomo-
nica
, cognoſcemus in ipſa murali orizontali totam .e.t. inter meridianam orizonta-
lem
, & æquinoctialem orizontalem, cognoſcemus etiam partem .g.t. ipſius æ-
quinoctialis
orizontalis, quam quidem accipiamus in rectitudine ipſius muralis ori
zontalis
, quæ quidem ſit .t.G. quo facto erigatur .G.A. ad rectos cum .G.t.e. & cir-
cum
.G.e. deſignetur vna medietas circuli verſus .e. cuiuſuis magnitudinis, quæ di-
uiſa
in .12. partes ęquales, ſignificabit medietatẽ æquatoris, protrahanturq́; lineæ oc
cultæ
à centro .G. per ſectiones circunferentię dimidij circuli, quæ fignificabunt
munes
ſectiones æquatoris cum circulis horarijs communibus, quo facto oportet, vt
à
puncto .t. protrahatur .t.s. ad rectos cum murali orizontali, quæ quidem .t.s. ſignifi-
cabit
communem ſectionem æquatoris cum muro propoſito, & erit ęquędiſtans me
ridianæ
murali ex .6. vndecimi Eucli. eo quod ex .19. eiuſdem vnaquæq; illarum, per
pendicularis
eſt tali orizonti.
Videantur nunc puncta communia iſti .t.s. & occultis
protractis
à centro .G. medietatis circularis, per quæ puncta protrahantur à puncto .
e
.
tot lineæ, punctum enim .e. ſignificat punctum axis mundi, & meridianæ in mu-
ro
propoſito, eo quod in tali ſitu ſphæræ rectæ, dictum punctum reperitur in orizon
re
, cum .M.s. non ſolum ſit meridiana orizontalis, ſed etiam axis mundi,
deinde nul
li
dubium eſt quin meridiana muralis ſit perpendicularis orizontali murali .e.t. à
puncto
.e.
Sed quia dimidium
356[Figure 356] harum linearũ horariarum erit
ſub
orizontali .e.t.G. alterum
vero
dimidiũ ſupra ipſam, opor
tet
quod quę ſupra ſunt produ-
cantur
à parte .oe. ſub orizonta-
li
, ab alia parte meridianæ, &
talis
erit effigies horologij mura
lis
in hoc ſphęrę ſitu, hoc eſt ver
ſus
quartam orientalem auſtra-
lemq́;, vnde orizontalis .e.t.
erit
ſemper horæ .6. matutinæ,
ſecunda
verò ab ipſa erit horæ.
7
. tertia autẽ horæ .8. & ſic dein-
ceps
.
Quotieſcunque verò angu-
lus
.n.g.e. minor erit maxima
Solis
declinatione, & Sol fuerit
in
parte auſtrali ab æquatore
333321EPISTOL AE. maiori numero declinationis quam fuerit angulus .n.g.e. tunc talis paries illumina-
bitur
ab ipſo Sole à mane vſque ad veſperam.
Huius quidem rei ſpeculatio, vnicuique manifeſta erit, qui rationes .46. cap. no-
ſtræ
gnomonicæ prius intellexerit, vbi manifeſtè apparet proportionem ſemidiame
tri
horologij (ſi ita eam appellare licet) ad ſemidiametrum æquatoris horarij ſem-
per
eſſe, vt .e.t. ad .t.g. hoc eſt proportio maioris inæqualitatis.
nolo etiam prætermic
tere
.
quin te admoneam, vt nullo pacto confidas in longioribus vmbris, eo quod val
de
nos decipiant, cum ſemper iuſto breuiores ſint.
Declar atio quorundam verborum noſtræ Gnomonicæ.
Defenſioq́ꝫ nostra contra Christophorum Clauium.
AD EVNDEM DARDANVM.
TVas demum accepi literas, qui
357[Figure 357] bus mihi ſignificas te totum .
52
.
caput meæ gnomonicæ intelle-
xiſſe
, præter illa verba, quæ etiam
ſuperioribus
diebus ad te ſcripſi,
hoc
eſt.
Itaq; medijs binis triangulis ijs,
medioq́; azimut Solis, pariter ho-
rologia
fabricari poterunt.
Quapropter nealiquid tibi de-
ſit
, ſcire debes, menihil aliud, eo
in
loco inferre voluiſſe, quàm
punctum
horæ propoſitæ in plano
horologij
orizontali reperiri po-
teſt
, ope longitudinis vmbræ gno-
monis
, & eius declinationis à ver-
ticali
linea, ſeu à meridiana orizon
tali
, iam in ipſo horologij plano
ductis
.
Exempli gratia, ſit analemma .
l
.q.m.b.
in quo .l.m. ſit verticalis .q.
b
.
verò orizontalis .f.n.h. autem ſit
ſemicirculus
, cuiuſuis paralleli æqui
noctiali
, cuius diameter fit .f.h. et .
n
.
ſit Solis locus in ipſo parallelo:
n.
r
. autem ſit rectus ſinus arcus .f.n: et .
r
.o.z.
ſectio communis ipſius almi-
cantarat
cum meridiano, et .s.a.
munis
ſectio azimut Solis cum pla-
no
horologij, et .s.g. gnomon, et .x.
g
.a.
radius Solis .z.u. verò ſinus alti-
tudinis
ipſius Solis, vbi videre po-
tes
duo triangula dicta eſſe .z.u.g.
334322IO. BAPT. BENED. et .g.s.a. quibus mediantibus cognoſcitur longitudo vmbræ gnomonis hoc eſt .s.a.
Cum autem dico, medioq́; azimut Solis, nihil aliud ſigniſicare volo, niſi angu-
lum
, quem terminat linea azimutalis horologij, hoc eſt vmbra gnomonis cum li-
nea
meridiana, ſeu cum verticali in ipſo plano horologij.
qui quidem anguli, æqua
les
ſunt ijs, qui in triangulo conſtituto ex .n.r. ex .r.o. & ex .o.z. reperiuntur, cuius qui
dem
trianguli, angulus puncti .r. rectus eſt, angulus verò terminatus ab .n.r. et .o.z. il
le
eſt quem conſtituit azimut cum verticali, vel ipſi æqualis, vt coalternus, reliquus
verò
in pũcto .o. ille eſt quẽ azimut facit meridiano, vel ipſi ęqualis vt coalternus.
Vnde quotieſcunque volueris in aliquo plano, orizonti parallelo, lineas hora-
rias
ducere, iudico optimum fore ſi ſeparatim deſignatæ fuerint tres figuræ, hoc
eſt
analemma meridianum, vel azimutale, vt ita dicam,
deinde parallelus inſeruiẽs
pro
tropicis, vt ego feci cap .51. meæ gnomonicæ, quæ duæ figuræ, ſufficiẽtes erũt
pro
omnibus horologijs, tam ori-
358[Figure 358] zontalibus quam muralibus, non
tamen
omninò, ideo pro orizon-
talibus
, tertiam figuram ſeparatam
deſignaui
, quę erit circulus .H.I.
K
.
eiuſdem magnitudinis cum ana-
lemmate
, in quo, ductis duobus
dia
metris inuicom ad rectos, quo-
rum
vnus .H.I. ſignificet orizon-
talem
lineam, reliqua verò ver-
ticalẽ
, ducatur poſtea .s.a. tam di-
ſtans
ab .H.I. quanta eſt longitudo
gnomonis
horologij orizontalis,
cogitemus
,
deinde hunc circulum
communem
eſſe omnibus azimut
necnon
plano horologij, in cuius
circunferentia
à puncto .k. nadir ip-
ſius
zenit, accipiantur arcus æqua-
les
ijs ipſorum azimut, quos termi-
nat
zenit, & ipſi almicantarat, vt
exempli
gratia, accipiemus arcum
k.L. æqualem arcui .L.z. ipſius ana-
lemmatis
, ducta poſtea linea occul
ta
.o.L. ſignabimus azimutalem .s.a.
in
puncto .a. vbi duæ lineæ ſein
uicem
ſecant, & ſic habebimus iu-
ſtam
quãtitatem ipſius vmbræ gno
monis
.s.o. tali hora,
deinde in ori-
zontali
.H.I. ſumatur .o.r. à centro .
o
.
ęqualis ei quę in analemate repe
ritur
, quæ vna portio eſt commu-
nis
ſectionis meridiani cum almi-
cantarat
, terminata ab axe orizon
tis
, & à diametro paralleli.
Deinde
335323EPISTOL AE. ducat̃. r.V. ad rectos cum .H.I. vſque ad circunferentiam, in qua accipiatur .r.n. æqua
lis
ei quæ eſt in parallelo, ducatur poſtea .o.n.M. & habe bimus triangulum .o.r.n. ſi-
milem
æqualemq́; triangulo iam ſupradicto.
Vnde angulus .H.o.M. ei æqualis erit,
quem
azimut facit cum meridiano, & angulus .M.o.k. ei ęqualis, quem azimut con-
ſtituit
cum verticali, ita quod ſi talis circulus .H.k.I. eſſet planum horologij orizon-
talis
, ſuppoſito .o. pro pede gnomonis, ſecando poſtea .o.M. in puncto .i. ita vt .o.i.
æqualis
eſſet .s.a. dato quod .o.M. ducta ſit ad partem ſibi conuenientem, reſpectu .o.
k
.
ipſa pro verticali ſuppoſita, quod tibirelinquo, cum hoc facillimum ſit, tunc pun
ctum
.i. eſſet quod quærebamus.
Quod verò de vno puncto dico, idem de omni-
bus
infero.
Vbi verò mihi ſignificas Chriſtophorum Clauium, me duobus in locis meæ gno
monicæ
redarguere, iam vidi.
Circa primum locum igitur, qui eſt in pagin .161.
ita
inquit.
Non enim deſunt, qui vel omninò negent, inter quos eſt Ioannes Baptiſta Be-
nedictus
in ſua gnomonica cap .70. et .71. vbialia, & multo longiore ratione cona-
tur
arcus ſignorum deſcribere, vel certe dubitent, hoc modo rectè poſſe deſcribi ar-
cus
ſignorum, cum rationem non videant, qua hæc noſtra deſcriptio quam quidem
omnes
ſcriptores ſine vlla demonſtratione tradunt nitatur.
Abſque dubio raptim tranſcurrit illa capita .70. 71. Reuerendus Clauius alio quin
non
ſcripſiſſet, quòd ego alia & multo longiore ratione conatus ſim arcus ſignorum
deſcribere
& c. præſertim cum eadem prorſus ratio, quæ ibi à me tradita eſt, illa ſit,
quam
ip ſe ſuis ſcriptis inſeruit.
Meus igitur modus in dictis capitibus traditus, minime diſcrepat ab eo, ſed ab il-
lorum
modo, quorum opinio eſt interualla .e.h: h.u: u. n;
n.m. et .m.d. meæ figuræ in
pagi
.75. poſitæ, æqualia eſſe interuallis .e.h:h.u:u.n:n.m. et .m.d. præcedentis figuræ,
qui
etiam ſupponunt .t.e. meæ figuræ .75. eſſe directè coniuncta cum linea .e.h.u.n.
m
.d.
& propterea verſus finem .73. pag. dixi.
Aduertat autem quam diligentiſſime quiſque ne ſe decipi patiatur à ſubſcripta fi
gura
ſemicirculi .Q.æ.m. cum reliquis lineis ductis, ex antiquorum more, & c.
Eo quod non defuerunt aliqui, ex vetuſtioribus (quorum ſcripta ad meas manus
peruenerunt
) qui ſumentes interualla e.h:h.u. & c. figuræ. pag .75. æqualia illis figu-
pag .74. putauerũt lineam .t.e. directè coniunctam eſſe cum .e.h. & c. quod quidem
maximi
erroris cauſa erat,
& propterea cap .71. verum modum oſtendi, ſeruando il
lam
eandem ſuppoſitionem, hoc eſt quod interſtitia .e.h: h.u: & c. figurę pag .75. æqua
lia
ſint interſtitijs .e.h: h.u. & c. præcedentis figuræ, & ideò in dicto cap .71. dixi.
Suppoſito deinde .f.e.b. lineam meridianam eſſe in plano orizontali, cęterę lineę
horarię
erunt prędictę.
Stantibus igitur his ſuppoſitis, vt habeantur omnia ſcientificè, volui, vt intellige-
retur
pyra mis qua drilatera, eo modo quo dixi, cap .71. vbi clarè patet eandem pyra
midem
eſſe, quam Pater Clauius (tacitè) poſuit in figura horologij, vt ipſe docuit
propoſitione
ſecunda, lib. ſecundi, cuius baſis eſt triangulum .H.I.F. ſuæ figurę (exem
pli
gratia pro quinta hora poſt meridiana) Alterum verò triangulum à me cogita-
tum
, terminatum ab .t.e: e.d: et. ab .t.d. eleuata in mea figura, eſt in ſua triãgulum .D.
I
.F.
& propterea dixi.
Nam .t.e. et .e.d. vtræq; in plano horologii non ſunt, quamuis in plano æquatoris
tres
ſint, & c.
Angulus verò .e. quem dico rectum eſſe, in ſua figura eſt angulus .D.I.F. & mea
336324IO. BAPT. BENED. t.d. imaginata, eſt ſua .D.F. Tertium deinde triangulum, quod in mea figura ter-
minatur
ab .t.d. ab .f.d. & ab f.t. in ſua eſt triangulum .D.F.H. vnde mea .f.t. reſpon-
det
ſuę .H.D. & mea .f.d. ſuæ .H.F. & mea .t.d. ſuę .D.F.
Quartum autem triangulum
f.t.e. in mea figura, reſpondet ſuo .H.D.I. & meum punctum .t. ſuo.
D, Nunc triangu
lum
rectangulum, quod dico ſeparatim conſtituere, eſt illud tertium dictum corre-
ſpondens
ſuo .D.F.H. vt ipſe facit in ſequẽti figura, quod ipſe vocat .D.C.H. & meꝰ
radius
.t.x. in ſua figura, ille eſt qui terminatur ab .D. & ab initio Tauri, & Virginis.
Et quamuis ego non ſcripſerim talem ſiguram, vt ipſe fecit, nihilominus ipſam
verbis
deſcripſi eomet modo, & propterea dixi.
Quam diuiſionẽ, ſi in triangulo ſeorſum deſcripto inuenire voluerimus, res erit
inuentu
facillima, cum rectum angulum .f.t.d. (reſpondentem ſuo .H.D.C.) prędicti
trianguli
tertij ea ratione diuiſerimus, & c.
Quapropter Reuerendus Clauius non animaduertit meam rationem aliam non
eſſe
, nec puncto longiorem ſua, cum eademmet ipſa ſit.
Citaui etiam Munſterum cap .30. eo quod in ea impreſſione, quam tunc prę mani
bus
habui, vidi in ea figura, quam ipſe vocat fundamentum horologiorum, literam
c
. poſitam eſſe loco .f. et .f. loco .c. quod cauſæ fuit, vt omnia mendoſa viderentur, re
centiores
autem impreſſiones correctæ ſunt.
Rurſus alio in loco mihi accidit vt repręhenderim Alexandrum Piccolomineum
in
libris de ſphęra, qui quidem dicebat eas figuras ſuperficiales, quæ paucioribus an
gulis
circunſcriberentur, capaciores eſſe alijs, dummodo earum periphæriæ eſſent
æquales
.
Nunc autem correctę ſunt eo in loco impreſſiones, & qui non viderit primas, pu-
tabit
me immeritò ipſum repræhendere.
Idem etiam dico de eo capite ipſius Piccolominei, in ijſdem libris, vbi tractat de
modo
, quo vſi ſunt antiqui ad diuidendum zodiacum in .12. ſigna, quod erat circa
finem
quarti libri.
Nunc verò, in recentioribus impreſſionibus, illud caput poſitum non eſt. Impreſ
ſiones
autem illæ, vbi talia dixit, duæ fuerunt, quarum prima erat anni .1540. ſecun
da
verò .1552 Venetijs apud Andream Puteum.
Alius verò locus ipſius Reuerendi Clauij, contra meas repręhenſiones, eſt circa
finem
pag .298. & circa .299. vbi ita ſcribit.
Ex his liquido conſtat, non rectè à Ioan. Baptiſta Benedicto in ſua gnomonica ca
pit
.49. repręhendi hancrationem deſcribendi horologij declinantis, qua omnes fe-
alij ſcriptores vtuntur, quoniam, vt ex demonſtratione à nobis allata conſtat, re-
ctè
per eam lineæ ho rarię in plano, quod à verticali declinat ducuntur.
Modus au
tem
quem eo loco pręſcribit differentem ab eo, quem nos tradidimus certus etiam
eſt
, ſed nulla ratione noſtro contrarius, quia nos conſtituimus .D.E.F. angulum de-
clinationis
plani à verticali circulo propriè dicto, ipſe autem loco huius anguli aſſu-
mit
angulum declinationis eiuſdem plani à Meridiano circulo, vnde mirum non eſt
modum
ipſius à noſtro diſcrepare.
Quod ſi cõſtitueremus .D.E.F. angulum decli-
natio
nis plani à Meridiano, ut ipſe (quemadmodum forſitan ab alijs putauit fieri)
& in reliqua deſcriptione progrederemur, vt tradidimus, proculdubio horologiũ
declinans
perperam deſcriberetur, vt rectè docet.
Optimè ſcripſiſſet Reuerendus Clauius, ſi verum fuiſſet, quod antiqui ſumerent
declinationem
ſuperius dictã à verticali propriè dicto, & non à meridiano.
Sed ego
dico
, authores à me citatos. capit .49. meę gnomonicę ſumere dictam declinatio-
337325EPISTOLAE. nem planià meridiano, & non à dicto verticali.
Con ſidera primum in Munſtero cap .16. ſuæ horologiographiæ, vbi clarè docet
accipere
angulum compræhenſum inter meridianum, & planum propoſitum, vbi
etiam
ponit quandam figuram ædificij cum pariete ſuper quo deſignatum eſt quod
dam
horologium, & vbi ſe manifeſtè declarar, ita dicens.
Nam ipſarum partium complementum. propoſitum indicabit angulum, quan-
tus
videlicet fuerit arcus eiuſdem circuli .d.e.f.g. à puncto .g. vſque ad productam li-
neam
meridianam interceptus, qui vnà cum ipſo .f.g. quadrantem integrare videtur,
vt
in ſequenti figura:
quoniam arcus .f.g. eſt ſexaginta partium, qualium .e. f. quadrãs
nonaginta
, vnde concluditur reliquam partem hoc eſt, datum inclinationis angulũ,
fore
partium triginta ſimilium.
Orontius verò cap .13. ijſdẽ vtitur verbis, cum figura ſimili ad reliqua autem ipſius
R
. Clauij, videnda nondum mihi otium fuit.
quod ſi dabitur, tibi libenter dicam
quid
ſentiam.
DE MODO DVCENDI LINEAS HORARIAS
ſuper
cyllindro immobili.
Hieronymo Ferrerio artium & Medicina Doctori peritißimo.
DEsignare horarias lineas ſuper cyllindro immobili, ad orizontemq́ue
perpendiculariter
erecto difficile tibi non erit, (quod à me poſtulaſti) ſi
modum
.53. cap. meæ gnomonicæ obſeruaueris, accipiendo tamen pro
linea
orizontali in tabula non aliquam rectam lineam, ſed circularem,
ſimilemque
circunferentiæ ipſius cyllindri, dico autem ſimilem, eo quod ſi gn o-
mon
.o.x. ſupra tabulam ſignatus, & perpendicularis ipſi orizontali circulari .b.i.x.
eſſet
dimidia, vel tertia vel quarta pars gnomonis cyllindro infixi, oporteret, vt
ſemidiameter
circuli .b.i.x. etiam
eſſet
medietas, vel tertia, aut quar
359[Figure 359] ta pars ſemidiametri cyllindri, vt
omnes
arcus huiuſmodi circuli in
ter
ipſos azimut intercepti ſimiles
ſint
arcubus cyllindri, quod à
te
ipſo facilè videre ſcientificè po
teris
.
reliqua nihil mutanda erunt
ab
eo, quod ſcripſi circa figuram .
53
.
cap. vt dixi.
Vnde inuenta
cum
fuerit diſtantia orizontalis
puncti
.b. à pede gnomonis .x. nec
non
quantitas azi mutalis muralis
b.t. quæ ſemper ab orizontali per
pendiculariter
deſcendit, illicò
punctum
.t. horæ propoſitæ in cy-
lindro
inuenietur.
338326IO. BAPT. BENED.
Nunc verò cum duo puncta alicuius horarię lineæ inuenta fuerint, quæ à Solis ſi-
tu
in diuerſis parallelis efficiuntur, ſi voluerimus ipſam lineam horariã ducere, ſcien
dum
primò eſt ipſam lineam horariam eſſe communem ſectionem circuli horarij,
illius
horæ cum ſuperficie cyllindrica,
& propterea ellipticam, vt oſtendit Serenus
in
.19. primi lib. quod etiam ellicere poſſumus ab eo, quod Archimedes in .10. pro-
poſitione
libr. de conoidalibus, ſcribit.
Quapropter oporter nos inſtrumen-
tum
prius componere, modo circini, ſed trium crurum, quæ omnia in eadem
plana
ſuperficie ſint, ea tamen arte factum, vt quodlibet illorum poſſimus pro-
longare
, necnon contrahere, ut cum duo extrema firmata fuerint, media poſ-
ſit
circunduci circa centrum, ſeu punctum commune illarum interſectionum ſimulq́;
poſſit
produci, necnon abbreuiari vel augeri, & diminui, vt mediante ſua extremi-
tate
inſeriori poſſimus delineare gyrum ellipticum horarium, dum cẽtrum ipſorum
crurum
adhæreat extremitati gnomonis, reliquæ vero extremitates ipſorum crurũ
ſint
ſupra puncta inuenta ipſius horæ.
oportet etiam vt hoc inſtrumentum à tergo
ipſorum
crurum habeat in ſuperiori parte ſuperficiem quandam ſemicircularẽ, quę
ſit
vice vnius partis illius ſuperficiei, in qua ſupponuntur omnia crura inſtrumenti,
& hoc quantum fieri poteſt, quod quidem fieri debet, ne crus medium, hoc eſt mo
bile
, exeat à tali ſuperficie, ſeu declinet ab ea, quæ ſemper ſupponitur in ſitu circuli
horarij
talis horæ.
oportet etiam, vt iuxta circunferentiam dimidij circuli ſint duo
gyri
eiuſdem materiæ inter ſe parum diſtantes, ita ut crura poſſint moueri, intra hos
gyros
, & dimidium circulum, & quod inter hos gyros locatæ ſint duæ cochleæ, ſeu
duo
helices, vt quando voluerimus, poſſimus fir-
mare
ipſa crura extrema, dum eorum extremitates
360[Figure 360] fuerint ſupra puncta inuenta illius horæ,
deinde in
dorſo
iſtius inſtrumenti, circa centrum coniunctio
nis
, rectè factum erit ſi aliqua concauitas fuerit, in
qua
, extremitas gnomonis poſſit locari, dum duce-
re
voluerimus aliquam horariam lineam.
Tale inſtrumentum excogitaui ad fugiendum
tædium
inueniendi dictam ellipticam ex punctis.
Nunc autem ſciendum eſt, quod vnus tantum-
modo
gnomon ſufficiens non erit pro tota die æſti-
ua
, neque duo, niſi valde breues fuerint reſpectu
ſemidiametri
cyllindri, & in ſitu medio quartarum
meridionalium
noſtro orizonti, quorum autem
longitudo
ita inuenienda eſſet.
Sit exempli gratia circulus .a.b.e.u. cyllindri ori
zontis
vice, diuiſusq́; à duobus diametris .d.e. et .c.
f
.
quarum .c.f. ſit pro meridiana:
d.e. autem pro verticali, ſitq́; e. punctus orientalis: d.
verò
occidẽtalis .f. autem meridionalis. et .c. ſeptentrionalis, computeturq́; maxima.
Solis amplitudo ab .f. verſus .e. quæ terminetur ab .q. ita quodarcꝰ .f.q. minor ſit quã
graduum
.45. aliter impoſſibile eſſet duobus tantũmodo gnomonibus mediantibus
tota
die æſtiua horas videre.
Quo facto ducatur ab .q: q.p. contingens circulum & à centro circuli .o. per pun-
ctum
.u. medium quartæ ducatur .o.u.i. vſque ad contingentem .q.p. vnde .u.i. longitu
do
erit vniuſcuiuſque gnomonis, qui gnomones infixi erunt in medio dictarum
quartarum
.
339327EPISTOL AE.
Huiuſmodi rei ratio per ſe nota erit quotieſcunque cogitauerimus verum arcum
e.b. amplitudinis æſtiuæ, protractaq́; .o.b. quę parallela erit .q.p. vnde cum Sol tem-
pore
æſtiuo orietur, tunc radios ſuos emittet via iſtarum æquidiſtantium linearum.
Sed ſi longiores gnomones cuperes, oportebit eos tres eſſe, quorum vnus erit
orientalis
in puncto .e. alter occi-
dentalis
in puncto .d. reliquus ve-
361[Figure 361] meridionalis in puncto .f. quo-
rum
vnuſquiſq; poteſt eſſe maior
tertia
parte ſemidiametri cyllin-
dri
, ſed ſi voluerimus ſcire quan-
ad plus poſſit eſſe longus vnuſ-
quiſque
illorum, ita faciendum
erit
.
Faciemus quadratũ .o.a.h.u. ex
ſemidiametro
dicti circuli, a dia-
metro
poſtea .o.h. huiuſmodi qua
drati
ſubtrahatur ſemidiameter .
o
.e.
circuli, reſiduum verò .e.h. ip-
ſius
diametri .o.h. quadrati, erit
gitudo
gnomonis, vbi ſimul appa
ret
huiuſmodi rei ratio, eo quod
cum
gnomon .e.h. orientalis deſi-
net
operari, illico meridionalis .
f
.g.
ſubintrabit, poſt hunc verò occidentalis .d.K. monſtrabit reliquum diei.
Earundem line arum deſcriptio ſaper conum rectum.
AD EVNDEM.
CVm ſuper datum conum re-
362[Figure 362] ctum idem facere volueris
eſto
conus .A. & R. qui diuiſus ima
ginatione
ſit à quodam plano per
axem
, & communis ſectio ſit trian
gulus
.A. & R. in quo plano cogite
mus
gnomonem infixum ad rectos
vbi
volueris, qui ſit .p.t.o. cogitem
etiam
.l.t.m. aliud eſſe planum (in
quo
ſit gnomon) quod conum ſe
cet
, quæ quidem ſectio, circularis
erit
, ex .4. primi Pergei.
imagine-
mur
etiam ſuperficiem .p.s. eſſe azi
mut
in quo gnomonreperirur, ſu-
perficiemq́; .e.s. azimut propoſitæ
horę
, angulumq́; .e.o.a. contrapoſi
angulo altitudinis Solis ab ori-
340328IO. BAPT. BENED. zonte; cogitemus etiam lineam .A.t.i.x. illud coni latus eſſe, qu od à ſummitate ver­
ſus
baſim tranſit per medium latitudinis ipſius gnomonis, concipiamus etiam mente
e.a. communem ſectionem eſſe trianguli ſupra dicti cum azimut horæ, necnon pun-
ctum
.K. eſſe commune radio Solis .o.a. & ſuperficiei conicæ, quod quidem eſt illud
quod
quæritur, hoc ſcilicet modo.
Primum cognoſcimus angulum .p.A.t. vt medie
tas
anguli totius coni, & angulum .p. rectum, vnde .t. tam intrinſecus, quam extrinſe-
custrianguli
.A.p.t. nobis cognitus erit.
Nunc cum angulus .A.t.o. cognoſcatur, ſi
gnomon
t.o. fixus fuerit in ſuperficie conica, ita qd cum latere .A.t. eſſiciat angulũ
A.t.o. & lateraliter faciat angulosrectos cum ſuperficie conica, ad quod efficiendum
nulla
eſt difficultas, cognoſcendo deinde .A.t. ſimul cum angulis .A. et .t. intrinſecis
trianguli
ortogonij .A.p.t. cognoſcemus .p.t. et .A.p. vnde etiam tota .o.p. ſed cogno
ſcendo
.o.p. cum angulo .p.o.e. (angulus enim .p.o.e. cognoſcitur ex hypotheſi cum
ſit
inter azimut Solis & azimut gnomonis) cum angulo .o.p.e. recto cognoſcemus .p.
e
.
et .o.e.
deinde cum nobis nota ſit .o.e. cum angulo altitudinis Solis .e.o.a. & angu-
lo
.o.e.a. recto cognoſc emus longitudinem azimutalis .e.a. necnon quantitatem .a.o.
Imaginata
poſtea .a.q. æquidiſtante .e.p. habebimus .p.q. æqualem .a.e. ex .34. primi
Eucli
.
Vnde duabus .o.p. et .p.q. mediantibus, cognitiſq́; cum angulo recto .p. cogno
ſcemus
.o.q. nec non angulum .o.q.
p
.
quo mediante, necnon median-
te
angulo .q.A.t. et .A.q. cognita, co
363[Figure 363] gnoſcemus .A.i. et .q.i. quę .q.i. dem
pta
à .q.o. relinquet nobis cognitã
i.o.
Et quia .o.i.q. et .o.K.a. ſemper
ſunt
in eadem ſuperficie ſecante co
num
, quæ etiam ſecat ſuperficiem
trianguli
.A.q.x. ad rectos ex .18. vn
decimi
, cum linea .u.n. perpendicu
laris
ſit ſuperficiei trianguli .A.q.i.
ex
.8. dicti, quia parallela eſt .l.p. quę
perpendicularis
eſt ſuperficiei triã-
guli
.o.p.q. ex .4. eiuſdem, ſequitur,
quod
talis ſectio ( quæ intelligatur
per
.u.K.i.n.) ſemper erit elliptica,
vel
parabole, ſeu hyperbole, ꝓut
linea
.o.i.q. ſecabit latus coni, oppo
ſitum
lateri .A.i. diſtento in ipſa ſuperficie conica, ſeu ad ſuperiorem partem produ
ctum
, velipſi parallelum.
Supponamus nunc dictam lineam .o.q. ſecare dictum oppoſitum latus lateri .A.i.
verſus
baſim, vnde ſectio .u.K.i.n. erit elliptica.
quod facile cognitu eſt mediãte com
paratione
angulorum .A.q.i. et .q.A.i. interſe, eo quod ſi eſſent ęquales, dicta ſect o
barabola
eſſet ex .27. primi Eucli. et .11. primi Pergei, ſed ſi angulus .A.q.i. maior eſ-
ſet
angulo .q.A.i. ſectio eſſet ellipſis, ex ultimo poſtulato primi Euclid.
& ex .13. pri-
mi
Pergei, ſed ſi dictus angulus .A.q.i. minor eſſet angulo .A. tunc ſectio eſſet hyper-
bole
ex dicto poſtulato & ex .12. primi Pergei.
Sit ergo primum vt dictũ eſt, hoc
eſt
, quod ſectio eſſet oxygonia, ideſt elliptica, ſeu defectio (quod idem eſt,) ſepa-
ratim
oportebit nos ellipſim deſignare ſimilẽ ęqualẽq́; ei, quæ eſt .u.K.i.n. quidẽ
difficile
non erit, quotieſcunque ſuos axes inuenerimus, maiorem ſcilicet, & mino-
341329EPISTOL AE. rem, quæ ita reperientur, efficiemus primo anguium coni, qui ſit .i.A.b. quem diui-
demus
per æqualia mediante .A.q. conſtituendo .A.i. huius anguli æqualem .A.i. ſu-
perficiei
conicæ et .A.q. diuidentem, æqualem parti .A.q. axis coni, ducendo poſtea
ab
.i. per .q. lineam vnam quouſque concurrat .A.b. in puncto .b. habebimus .i.b. pro
maiori
axi ipſi ellipſis, quod per ſe clarum eſt, cuius medietas ſit .i.c. ſed .i.q. ipſius .i.
b
.
æqualis eſt ipſi .q.i. ipſius coni, ex quarta primi Eucli. et .q.b. ipſius .i.b. æqualis alte
ri
parti inuiſibili.
Reliquum eſt, vt reperiamus minorem axem, quem vocabimus .
f
.r.
ducatur ergo primum .q.a.u.n. ad rectos cum .i.b. æqualisq́; ei quæ eſt coni, & diui
ſa
ſimiliter in .a. quæ .u.n. ipſius coni nobis cognita eſt ex lateribus .A.u. et .A.n. & ex
angulo
coni, et .a.q. æqualis eſt .e.p. ex .34. primi.
Nunc certi erimus ex .21. primi
Pergei
, quod eadem proportio erit quadrati .u.q. ad quadratum ipſius .f.c. quæ pro-
ducti
ipſius .i.q. in .q.b. ad productum ipſius .i.c. in .c.b. & cum cognita nobis ſint
hæc
tria producta hoc eſt .i.q. in .q.b. et .i.c. in .c.b. et .u.q. in ſeipſa, cognoſcemus etiã
quartum
ipſius .f.c. & fic .f.c. eiuſq́; duplum .f.r. cogniti nobis itaque cum ſint hi duo
axes
.i.b. et .f.r. formabimus ellipſim.
Deinde producemus axim .b.i. à part e.i. quo-
uſque
.i.o. æqualis ſit ei quæ extra conum eſt, dein-
364[Figure 364] de ducemus .o.a. quæ circunferentiam ellipticam
ſecabit
in puncto .K. vnde habebimus quantita-
tem
ipſius .o.K. et .K.i. rectam.
inde mediante cir-
cino
ſi acceperimus rectam diſtantiam ab .i. ad .K.
in
ellipſi,
deinde firmando pedem circini in pun-
cto
.i. in ſuperficie conica, & cum alio ſignando
lineam
vnam curuam ad partem .K. in ſuperficie
conica
, ſumendo poſtea interuallum .o.K. extra el
lipſim
,
deinde firmando vnum pedem circini in
extre
mitate gnomonis, cum alio poſtea ſignan-
do
aliam lineam curuam in ſuperficie ipſius coni,
quæ
primam ſe cet in puncto .K. hoc erit punctum
quæſitum
horę propoſitæ in ſuperficie conica
propoſita
.
Sed ſi talis ſectio fuerit parabole, vel hyperbo
le
, tunc mediante ſuo diametro .i.q. cum baſi .u.
q
.n.
cognita, deſignabimus ipſam ſectionem .u.i. n
ope
mei inſtrumẽti in calce meę gnomonicæ de
ſcripti
,
deinde diuiſa .u.q. in .a. ductaq́; q.i. vſq;
365[Figure 365] ad .o. ductaq́; .o.a. habebimus punctum .K.
Reli-
qua
facienda ſunt, vt dictum eſt de ellipſi.
Inuenta modo cum fuerint duo puncta eiuſ-
dem
horæ propoſitę, ducemus ab vno ad a-
liud
, lineam horariam mediante circino trium
crurum
, quem tibi ſcripſi nudius tertius pro cyl
lindro
, quæ quidẽ linea crit portio gyri ellipſis,
ſeu
hyperbolę, vel parabolę, vt à te ipſo cogi-
tare
potes.
342330IO. BAPT. BENED.
QVAEDAM NOTATV DIGNA IN
Ptolomeum
.
Bartolomeo Christino Serenißimi Sabaudiœ Ducis apparitore.
EX tuis literis cognoui quo erga me animo eſſes, qualiq́; voluntate, ſed ne
tua
pulcherrima ſtudia aliquo modo imperfecta relinquant̃, vel ego tibi
deeſſe
videar, dum Problemata geographica Magni Ptolomei conſi-
deras
, aduerte, quod ſi putares in figura .6. cap. libr .7. geographię eiuſ-
dem
(vt multi credunt) lineam .V.*. ſecare circunferentiam .A.D. in puncto .G. ita
vt
punctus .G. ſit tropici æſtiui, ideſt arcum .D.G. eſſe graduum .24. cum illis inci-
deres
in maximum errorem.
Quapropter conſidera quæ nunc tibi ſcribo.
Sit circulus .A.B.C.D. huius centrum .E. ſupponaturq́; ſemidiameter .E.D. eſſe
partium
120. quarum .E.Z. in alio ſemidiametro .C.E. ei orthogonaliter coniuncto,
talium
ſit .17. in ſemidiametro vero .E.A. accipiatur .E.S. talium .24. et .E.V. 64. vn
de
.S.V. erit partium 40. ſimilium.
Erigatur deinde .S.*. ad rectos cum .E.A. in puncto .S. quæ terminetur ab inter-
ſectione
lineę ductæ per puncta .Z.D. in puncto .*. ducatur demum .V.*. quæ ſeca-
bit
circunf rentiam .A.D. in puncto .G.
Quæratur nunc quantitas ipſius .G.D.
Ad
quod efficiendum quærenda primum eſt quantitas ipſius .S.*. quam illico co
gnoſcemus
ex regula de tribus, cum dixerimus, ſi@ 17. dat nobis .120. quid dabit .41.
(nam duo triangula .Z.E.D. et .Z.S.*. ſunt inuicem ſimilia, cum .S.*. parallela ſit
ipſi
.E.D.) vnde .S.*. proueniet nobis ex ſimilibus partibus .289. cum fracto, quod
r
eijciamus ob minorem laborem.
Producantur poſtea .V.*. et .E.D. vſque ad eorum concurſum in puncto .ω. quæ-
remusq́; quanta ſit .E.ω. ex eadem regula, cum dixerimus, ſi .40. dat nobis .289. quid
366[Figure 366]
343331EPISTOL AE. dabit .64. (nam duo triangula .V.S.*. et .V.E.ω. ſunt inuicem ſimilia eadem ratio-
ne
) vnde .E.ω. veniet nobis extalibus partibus .462.
Coniungatur nunc quadratum ipſius .E.V. quod eſt .4096. cum quadrato ipſius .
E
.ω.
quod eſt .213444. & habebimus quadratum ipfius .V.ω. talium partiũ .217540.
Dicemus poſtea ſi .217540. dat nobis .4096. quid dabit quadratum ipſius .V.ω. vt
ſinus
totus quod eſt .10000000000. vnde veniet pro quadrato ipſius .V.E. talium
partium
, ſuperficialium ſcilicet .18827211. cuius radix erit .13721. & erit ſinus an-
guli
.V.ω.E. qui erit grad .7. min .53. vnde angulus .ω.V.E. erit grad .82. min .7. eius
vero
ſinus erit partium .99054.
Nunc autem quia angulus .E.V.ω. eſt acutus, imaginemur .E.Ŕ. ductam eſſe ad re­
ctos
ipſi .V.ω. ſitq́; etiam ducta ipſa .E.G.
Vnde habebimus angulum .Ŕ.E.V. gra-
duum
.7. min .53. eius vero ſinus .Ŕ.V. partium .13721. (propter ſimilitudinem trian­
gulorum
.E.Ŕ.V. et .ω.E.V.) talium ſcilicet, qualium .E.V. fuerit .100000.
Sed qua-
lium
.E.V. eſt .64. talium erit .8. cum tribus quartis, cuius .Ŕ.V. quadratum erit par­
tium
.76. cum dimidio ſimilium ſed ſuperſicialium, quo quidem quadrato dempto
ex
quadrato ipſius .64. quod eſt .4096. remanebit quadratum ipſius .E.Ŕ. partium .
2871
.
quo etiam quadrato .E.Ŕ. dempto ex quadrato .E.G. partium .14400. remane­
bit
quadratum ipſius .Ŕ.G. partium .11529. cuius radix .Ŕ.G. erit partium .107. taliũ
qualium
.E.G. eſt .120. ſed qualium .E.G. erit .100000. talium .Ŕ.G. erit partium .
89166
.
quæ vt ſinus anguli .Ŕ.E.G. habebit pro ipſo angulo, gra .63. min .5. qui colle­
cti
cum gra .7. min .53. anguli .V.E.Ŕ. dabunt totum angulum .A.E.G. grad .70.
min
.58. cuius complementum ex grad .90. erit .G.D. graduum .19. min .2. & non .24.
vt
omnes ferè putant.
DE REFLEXIONIBVS RADIORVM.
Excellentißimo Philoſopbo Franciſco Vimercato.
QVoniam non videbatur quieſcere animus tuus, cum paucis ab hinc die-
bus
tibi ſiſcitanti reſpondiſſem, nec tamen rationem omnium, quæ dixe-
ram
exactè explicare per tem poris anguſtiam potuiſſem, cogitaui ad te
per
hanc occaſionem ſcribens, & iam dicta repetere, & omnium tibi ra-
tionem
ſubiungere, & vt mihi plenius ſatisfaciam, & tibi commodè perlegenti faci
lius
ſit veritatem intueri.
Scripſiſti enim in tuis diſputationibus, vir doctiſſime, quod
omnis
res viſa per ſpeculũ quodcũque, ſub breuiſſimis lineis cõpræhendatur à vifu.
Propoſitio hæc non eſt vniuerſaliter vera (quamuis etiam ab alijs omnibus pro ta
li
poſita ſit) cum in ſpeculis concauis non ſemper verificetur, vt nunc tibi demon-
ſtrabo
.
Eſto quod linea recta .b.d. tangat circulum
367[Figure 367] b.o.q.n. qui ſit communis ſectionis ſup crficiei re
flexionis
, & ſphæricę alicuius ſpeculi ſphærici
concaui
, & punctum contingentiæ ſit .b. à quo
exeant
duæ lineæ .b.q. et .b.n. efficientes duos an
gulos
inuicem æquales circa perpendicularem .
b
.c.
res autem viſa primò ſit in ipſa circunferen-
tia
huiuſmodi circuli in puncto .n. oculus vero in
puncto
.q. ipſius circunferentię.
Dico nunc duas
344332IO. BAPT. BENED. lineas .b.q. et .b.n. ſimul ſumptas longiores eſſe omnibus alijs lineis exeuntibus ab ip
ſis
punctis .q.n. quæ in aliquo puncto dictæ circunferentiæ ſimul concurrant.
Sint igitur aliæ duæ .q.o. et .n.o. quas probare volo ſimul ſumptas, eſſe minores dua
bus
ſimul ſumptis .q.b. et .n.b.
Nam ex .20. tertij Eucli. cognoſcimus angulos .q.b.n.
et
.q.o.n. inuicem æquales eſſe, & ſimiliter angulos .b.n.o. et .b.q.o.
deinde ex .15. pri
mi
eiuſdem habemus angulos contra ſe poſitos,
circa
.a. eſſe etiam inuicem ęquales.
Vnde ex .4
368[Figure 368] ſexti, habebimus proportionem .a.b. ad .a
o
. eandem eſſe, quæ .a.n. ad .a.q. & ſic .b
n
. ad .o.q.
Quare ita erit .a.b.n. ad .a.o.q. vt .a.n
ad
.a.q. ſed cum .a.n. maior ſit .q.a. ex .18. primi,
eo
quod angulus .b.q.n. (qui æqualis eſt angulo .
b
.n.q.
ex .5. eiuſdem) maior eſt angulo .a.n.q.
qui
pars eſt ipſius .b.n.q. ergo latera ſimul ſum-
pta
.a.b.n. maiora erunt lateribus .a.o.q. ſed ex .
20
.
primi .a.b.n. etiã maior erit .a.n. vnde ex .25.
quinti
.q.a.b.n. maior erit .n.a.o.q.
quare ſequi-
tur
verum eſſe propofitum.
Sed ſi oculus eſſet in .u. quemadmodum in ſubſcripta hic ſecũda figura videre eſt,
res
autem viſibilis in .n. ambo extra dictum circulum, eſto etiam primum .b.u. æqua-
lis
.b.n. probabo ſimiliter .u.b.n. maiores eſſe .u.o.n.
Nam angulus .o. maior eſt angu-
lo
.b. eo quod ſi circulum .u.b.n. cogitemus circunſcribere triangulum .u.b.n. ducen-
do
vſque ad ſuam circunferentiam .o.n. in puncto .s. deinde ducendo .u.s. habebimus
ex
.20. tertij angulum .u.s.n. æqualẽ angulo .u.b.n. ſed angulus .u.o.n. exterior trian
guli
.u.o.s. exiſtat, ipſe maior erit angulo .s. ex .16. primi.
duco poſtea .o.q. parallelam
ad
.u.s. quæ ſecabit .a.u. in puncto .q. & habebimus angulum .a.o.q. ęqualem angulo .
n
.s.u.
ex .29. eiuſdem, hoc eſt angulo .n.b.u. fed ex ſu-
369[Figure 369] pradictis rationibus, lineæ .q.b.n. ſimul ſumptæ maio-
rem
efficient longitudinem, quam .q.o.n.
Nunc cum
ipſi
.q.b. addita fuerit .u.q. & vice .q.o. ſumpta fuerit ali-
qua
linea minor ipſa .u.q.o. eo amplius .u.q.b.n. maior
erit
, quod quidem hoc modo faciendum.
Acci-
piatur
.o.u. vt comes .o.n. quæ minor eſt ambabus .o.
q
.
et .q.u. ex .20. primi, ita enim habebimus propoſitũ.
ſed breuiori modo hoc ipſum videbis ex pręcedenti,
& ex .21. primi Euclid.
Nam ex præcedenti .u.b.n. lon-
gior
eſt ipſa .u.s.n. ex .21. autem primi .u.s.n. longior eſt
ipſa
.u.o.n. ergo verum eſt propoſitum.
370[Figure 370]
Si verò radius incidentiæ fuerit æqualis radio
reflexionis
, ſit vt in hac ſubſcripta tertia figura vide
re
eſt .u.b.p.
Cum autem probauerim longitudinem .u.b.n. ma
iorem
eſſe longitudine .u.o.n. coniungatur .n.p. cum
u.b.n.
deinde. ab .o. ad .p. ducatur .o.p. quæ minor
erit
longitudine .o.n.p. ex .20. primi, & illicò
manifeſtabitur
verum eſſe propoſitum, etiam hoc
tertio
modo.
345333EPISTOL AE.
Si autẽ res viſibilis oculusq́; ambo fuerint intra circulum, tũc poſſibile eſſet quod
lõgitudo .u.b.n. modo maior, modo minor, modo verò æqualis eſſet ipſa .u.o.n. nũc.
Quod etiam affirmo de .u.b.p. ſimiliter etiam eueniet ſi vnus terminorum .u. vel .n.
fuerit
intra circunferentiam, reliquus verò extra ipſam.
Conſideremus nunc hic inſraſcriptam .4. figuram vbi .d.b.p. ſit circunferentia oxy
gonia
ſeu elliptica (quod idem eſt) cuius maior axis ſit .d.p. in quo, duo termini .u.n.
ſint
centra eius generationis:
b.x. verò ſit minor axis. Imaginemur etiam circulum .
b
.o.x.
cuius ſemidiameter ſit .c.b. non maior medietate minoris axis, ne circunferen-
tia
huiuſmodi circuli ſecet circunferentiam oxygoniam.
Cogitemus etiam circu-
lum
.b.e. cuius ſemidiameter, minor non ſit minori axe .b.x. ipſius oxygoniæ, ne ſe
inuicem
ſecent huiuſmodi circunferentiæ, ſint etiam ambo eorum centra in linea .b.
x
.
minoris axis, & punctum .b. ſit commune vnicuique earum periphæriarum, vnde
minor
circulus, totus intra, maior autem, totus extra ipſam figurã oxygoniam erit.
Nunc ad partem .o.r.e. vbi non communicant inuicem ipſæ circunferentiæ ducan-
tur
.n.o.r.e: u.o: u.r: et .u.e. & per .b. et .r. cogitetur tranſire alium circulum, cuius cen-
trum
in axe .b.x. ſit .t. omnesq́; iſti circuli imaginentur trium diuerſorum ſphærico-
rum
ſpeculorum, vnde pro genera
tione
ipſiꝰ oxygonię, ſeu ex .52. ter
tij
Pergei, habebis longitudinem .
371[Figure 371] u.r.n.
ęqualem eſſe longitudini .u.b.
n
.
& ei, quæ eſt .u.o.n. (vt minor ip
ſa
.u.r.n. ex .21. primi Euclidis) mi-
nor
ipſa .u.b.n. & longitudinem .u.
e
.n.
(vt maior ipſa .u.r.n. ex eadem .
21
.
primi Eucli.) maior ipſa .u.b.n.
Sed ſi quis vellet hoc demonſtrare
ope
circuli, vniꝰ tãtũmodo ſpeculi,
multiplicãdo ipſas oxygonias quẽ-
admodum
de ipſis circulis fecimus, obtineret ſimiliter propoſitum.
Solutio dubitationis.
AD EVNDEM.
RAtionalis eſt dubitatio tua,
372[Figure 372] vtrum ( circulus minor hoc
eſt
.b.o. habeat ſuum centrum in mi
nori
axe inter centrum oxygoniæ,
et
.b: exiſtente .b. extremo axis mi-
noris
, communeq́; ambobus circun-
ferentijs
circuli ſcilicet & oxigonię)
dictus
circulus minor, plura puncta
communia
habeat cum ipſis circun-
ferentijs
.
Cui dubitationi reſpõdeo quod
quotieſcunque
centrum alicuius cir
culi
fuerit idem cum .c. centro oxy-
goniæ
, vel inter .c. et .b. in interual-
lo
ſcilicet minoris axis, exiſtente .b.
ſua
extremitate communi ambabus
346334IO. BABPT. BENED. circunferentijs, ipſas circunferentias inuicem contiguas eſſe oportebit in puncto .b.
tantummodo
.
Eſto primum quod centrum .c. commune exiſtat, vt dictum eſt. ſit etiam centrum
vnius
circuli, cuius diameter ſit idẽ maiori axe .d.p. & in gyro oxygoniæ accipia-
tur
punctum .f. proximum .b. quantum fieri poterit,
tunc protrahatur .f.a.e. parallela
ipſi
.g.c. vſque ad gyrum maioris circuli in puncto .e. quæ cum .d.p. rectos efficiec
angulos
. ex .29. primi Eucli.
ſecabitq́; gyrum circuli .b.o. minoris in puncto .t. quod di
co
eſſe intra oxygoniam, ſeparatumq́; ab .f.
Quapropter duco .c.e. quæ ſecabit cir-
cunferentiam
circuli minoris in pũcto .o. à quo puncto duco etiam .o.i. parallelam ad
e.a.
Deinde conſidero, quod ex ra-
tionibus
ab Archimede adductis in
373[Figure 373] quinta propoſitione libri de conoi-
dalibus
, & ſphæroidibus, eadem
proportio
erit ipſiꝰ .g.c. ad .b.c. quę
ipſius
.e.a. ad .f.a. vnde permutando
ita
erit ipſius .g.c. ad .e.a. vel .b.c. ad
f.a. hoc eſt ipſius .e.c. ad .e.a. vt .o.c.
ad
.f.a. ſed ex ſimilitudine triangu-
lorum
, & ex .11. quinti, ita etiã erit
ipſius
.o.c. ad .o.i. vt .o.c. ad .f.a.
Vn-
de
ſequitur .o.i. æqualem eſſe .f.a.
ſed
ex .14. tertij Eucli .t.a. minor eſt .
o
.i
.
Quare minor etiam erit ipſa .f.
a
.
Vnde punctum .t. intra oxygo-
niam
erit, & conſequenter ſepara-
tum
.ab .f.
Sed ſi centrum circuli minoris
fuerit
inter .c. et .b. hoc eſt eccentri-
cum
ipſius oxygoniæ, ipſe tanget concentricum in puncto .b. tantummodò, vt in .3.
Euclidis
libro probatur.
Vnde tanto magis diſtans erit punctum .t. à puncto .f. quod
erit
propoſitum.
Alterius dubitationis ſolutio.
AD EVNDEM.
VNde autem fiat, quod à ſpeculis planis, obiectorum imagines, ita diſtantes
vltra
ſuperficiem ipſius ſpeculi videantur, vt obiecta citra ipſam ſuperficiem
reperiuntur
.
Pro cuius rei ſcientia, tres cognitiones nos primum habere oportet, quarum pri-
ma
eſt.
Vnde fiat, quod obiecti imago in catheto incidentiæ videatur. Secũda. vn-
de
efficiatur, quod angulus reflexionis, ſemper æqualis ſit angulo incidentiæ.
Terria demum. Vnde naſcatur quod radius incidentiæ ſimul cum radio reflexio-
nis
ſit in quodam plano ſecante ſuperficiem ſpeculi ſemper ad rectos, quod qui-
dem
planum vocatur ſuperficies reflexionis.
Huiuſmodi tres paſſiones, ab omnibus
ſpecularijs
conſideratæ ſunt, ſed rationes ab illis traditæ, mihi non ſatisfaciunt.
347335EPISTOLAE.
Nam circa æqualitatem angulorum reflexionis & incidentiæ, iam tibi probaui
illud
non vniuerſaliter euenire à breuitate aggregati radiorum incidentiæ reflexio-
nisq́;.
Sed hoc naſcitur potius ab eo, quod cum radius incidentiæ non poſſit ſuper
ficiem
corporis opaci penetrare, reflectit, vt citra ipſam angulo æquali ei, quem
faceret
cum eadem ſuperficie vltra ipſam ſi tranſiuiſſet.
Exempli gratia ſit .a. obiectum .b. autẽ oculus in figura .A. et .c.e. ſuperficies ipſius
ſpeculi
.d. verò ſit punctum ipſius ſuperficiei, à quo ad oculum reflectitur imago ip-
374[Figure 374] ſius .a.
Nunc ſi radius .a.d. incidentiæ, recta
incederet
ſub .c.e. efficeret angulum .e.d.h.
æqualem
angulo .c.d.a. eius contrapoſito,
ſed
quia impeditur ipſæ radius ab opacitate
ipſius
ſpeculi .c.e. ne vlterius incedat, propte
rea
reflectitur ab ipſa ſuperficie ſpeculi, con-
ſtituens
cum ipſa angulum .e.d.b. æqualem
angulo
.e.d.h. ſed quia angulus .c.d.a. eſt etiã
ęqualis
ipſi angulo .e.d.h. propterea angulus .e.d.b. ęqualis exiſtit angulo .c.d. a;
per
accidens
igitur ſequitur .a.d. et .d.b. ſimul ſumptas, breuiorem facere longiludinem
omni
alia, quæ ab ipſa ſuperficie .c.e. ad eadem puncta .a.b. ducta eſſet,
quare natu-
ræintentio
eſt efficere angulum .e.d.b. æqualem angulo .e.d.h. vnde ex accidenti po
ſtea
ſequitur, ipſum æqualem eſſe angulo .c.d.a. & deinde lineæ .a.d. et .d.b. con-
ſtituant
longitudinem breuiorem.
Quare illud quod omnes putabant eſſe primum
& perſe, vltimum eſt, & exaccidenti.
Quare vero ſuperficies, quæ vocatur reflexionis, in qua ſunt duæ lineę, hoc eſt
incidentię
, reflexionisq́;, ſemper ſit perpendicularis ſuperficiei ipſius ſpeculi:
Hæc
eſt
ratio, quia cum quilibet radius incidentiæ, perpendicularis ipſi ſuperficiei ſpe-
culi
, in ſeipſo reflectit, ex ijſdem dictis rationibus, hoc eſt, quia cum tali angulo vult
reflecti
, cum quali tranſiret, ita etiam purandum eſt, quodradius incidens obliquus,
cum
in ſeipſum non poſſit redire, quia non eſt perpendicularis ſuperficiei ſpeculi,
reflectitur
tamen per planum erectum ipſi ſuperficiei ſpeculi, vt in eo, cui magis re-
ſiſtit
ſuperficies corporis opaci, quàm alicui alij plano ipſius infiniti inclinatorum
planorum
, ab vtraque parte ipſius plani perpendicularis, quod vnum etiam tan-
tummodo
eſt, & in quo, radius maiorem vim obtinet reflectendi, ſeu in eo, in quo
radius
ipſe cum maiori reſiſtentia repercutitur à ſuperficie corporis opaci.
Poſtremo ſciẽdũ vnde oriatur, rei viſibilis imago, à ſpeculo plano reflexa, ſem
per
in catheto incidentiæ videatur.
Pro cuius rei ratione cognoſcendum primò eſt, quo modo fit perfecta ſimplexq́;
viſio
, & non reflexa, deinde proſequemur ad reliqua huius tertiæ propoſitionis.
Animaduertendum igitur eſt, quod quotieſcunq; obiectum aliquod viſibile aſpi
cimus
, nos nunquam perfectè illud comprehendere poſſumus, niſi in puncto con-
curſus
, ſeu interſectionis axium viſualium, ſeu radialium ( vt ita loquar ) quã inter-
ſectionẽ
, nos efficimus ope reuolutionis oculorum adinuicẽ, hoc eſt voluendo vnum
verſus
alium, ita vt in ſitu ipſius obiecti, ſeinuicem ſecent axes iam dicti,
tunc enim
vtroque
oculo mediante, exacte rem perſpicimus, cęteris .8. circunſtantijs non ob-
ſtantibus
.
Vnde ſtantibus oculis in tali ſitu, altero reſpectu alterius, ſi eorum alter tectus;
ſeu velatus fuerit, tune alio tantummodo oculo mediante, videbimus obiectum,
in
ea diſtantia, exactius, quam in quauis alia propinquiori, & remotiori.
348336IO. BAPT. BENED.
Animal igitur, ſecundum diſtantiam obiecti, oculum accommodat ad recipien-
dum
quam exactiſſimè ſpeciem ipſius obiecti, & hoc voluendo ambos oculos, vnum
verſus
alium, ita quod interſectio axium ſit in ſitu ſeu loco dicti obiecti, nam tunc vi
dent
ambo vel aliquis eorum ſolus, in tali diſtantia exactè obiectum videbit.
Vnde ſequitur obiectum viſibile, compræhenſibile non eſſe ab vno tantummodo
oculo
in quolibet ſitu axis ipſius oculi, ſed in eo, vbi alius axis interſecatur à dicto.
Quæ quidem interſectio poteſt fieri propinqua, vel remota à viſu, ad certos tamen
terminos
vſque.
De huiuſmodi axium viſualium interſectione ſcribit Alhazem in .2. et .15. propo
ſitione
tertij lib. Vitellio verò in .32. et .45. eiuſdem.
Quod igitur dico, verum eſt, ideſt, quod ſi vno tantummodo oculo aſpiciemus
obiectum
aliquod, ipſum nunquam perfectè proſpicietur, niſi cum oculus ita ſitus
fuerit
, vt eius axis cum axe alterius in loco obiecti ſe inuicem ſecent, quamuis alter
oculus
nihil videat, aũt duobus oculis in tali ſitu cõſtitutis obiectũ videmus, vnum
tantummodo
nobis cernere videbimur, & ſi extra talem punctum interſectionis ip-
ſum
obiectum poſitum fuerit, tunc duo talia, obiecta nobis apparebunt, ſed huiuſ
modi
rei cauſam alias tibi manifeſtabo.
His igitur cognitis, ponamus aliquam
375[Figure 375] ſpeculi ſuperficiem eſſe .g.h. in figura .B.
obiectum
autem viſibile .b. oculos vero .a.
et
.u. punctum autem .n. in ſuperficie ſpecu
li
, à quo imago ipſius .b. reflectit ad .a. &
punctum
.t. à quo reflectitur ad .u. et .c.e.
ſit
cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis
radiorum
.b.n.a. et .c.f. ſit communis ſectio
ſuperficiei
reflexionis radiorum .b.t.u. qua
rum
vnaquæq; ſuperficies reflexionis, ere-
cta
eſt ad ſuperficiem ſpeculi .g.h. vt ſupra
diximus
.
Nunc ex .19. vndecimi Eucl. ſequitur communem ſectionem harum dua-
rum
ſuperficierum. (b.c.d. ſcilicet) ad rectos etiam eſſe ſupra ſuperficiem ſpeculi .g.
h
.
cum qua .b.c. quælibet linearum .a.n. vel .u.t. reflexarum ( productę cum fuerint )
ſeinuicem
interſecabunt eo quod duo anguli .d.c.n. et .d.n.c. ſimul collecti minores
ſunt
duobus rectis, & ita .d.c.t. cum .d.t.c. cum anguli .a.n.e. et .u.t.f. reflexi, ipſis con-
trapoſiti
, æquales ſint angulis .b.n.c. et .b.t.c. incidentiæ, quorum vnuſquiſq; ex .32.
primi
, minor eſt recto.
Dico etiam quod in eodem puncto huiuſmodi catheti .b.c.d. in quo interſecabi-
tur
à linea .a.n. in eodem ſecabitur à linea .u.t. & quod punctum dicti concurſus, tan-
tum
depreſſum erit ſub ſuperficie ſpeculi .g.h. quantum .b. ſupra ipſam reperietur.
Nam anguli .b.n.c. et .d.n.c. ſunt inuicem æquales, anguliq́; .b.c.n. et .d.c.n. recti .c.n.
verò
communis ambobus triangulis .b.c.n. et .d.c.n. vnde ex .26. primi Eucli. latus .d.
c
.
commune, vt trianguli .d.c.n.æquale erit lateri communi .b.c. vt trianguli .b.c.n.
Idem
etiam dico de latere .d.c. vt ipſius trianguli .d.c.t. quod æquatur lateri .b.c. vt
trianguli
.b.c.t.
Vnde cum .b.c. vnum, & idem ſit: d.c. igitur etiam erit, & ipſum vnũ
& idem, quod erit propoſitum.
Nunc autem cum hi duo radij ſeinuicem ſecent in puncto .d. ergo in ipſo puncto .
d
.
videbimur nobis videre imaginẽ obiecti .b: ope duorũ iſtorũ radiorũ .n.a. et .t.
u
.
ita inuicem ſitorũ, videamur nobis imaginẽ proſpicere.
Vnde ſi in tali caſu, vnus
349337EPISTOLAE. oculorum clauderetur, nihilominus cum reliquo obiectum vidiſſemus in eodẽ ipſo
loco
.d. & non in alio ex ſuperius dictis rationibus.
Et ſi ſtantibus ijs terminis volueremus pupillam oculi .u. verſus aliam .a. ad aſpi-
ciendum
punctum .n. in ſuperficie .g.h. ipſius ſpeculi, hoc eſt ſi fecerimus quod axes
viſuales
ſeinuicem ſecarent in ipſo puncto .n.
tunc videremur nobis videre duas
imagines
ipſius obiecti .b. intra ſpeculum, eo quod obiectum, propter hoc non
ceſſaret
reflectere ad oculos ab ipſis punctis .n. et .t. quapropter recipiendo ra-
dium
.t.u. in ſitu axis oculi .u. & radium .n.a. in ſitu axis oculi .a. hi axes ex neceſſitate
(vt probauimus ) ſeinuicem ſecant in puncto .d. vnde vnam tantummodo imaginem
ipſius
obiecti nobis apparebit.
Ex his igitur omnibus potes facilè videre omnem imaginem, cuiuſuis obiecti, re-
flexam
à ſpeculo, reperiri in ipſo catheto incidentiæ, cum ipſe ſemper ſit communis
ſectio
duarum ſuperficierum reflexionis, in quo catheto concurrunt ipſæ axes vi-
ſuales
.
Exijſdem etiam dictis rationibus facile compræhendere poteris, vnde fiat, vt vi-
deamus
imaginem reflexam à ſpeculis ſphęricis concauis citra ipſorũ ſuperficiem, &
non
vltra.
Quod nunquã euenit, niſi quando punctũ .d. interſectionis ipſorũ radiorũ
viſualium
(quod alio in loco non fit, niſi in catheto incidentiæ hoc eſt in communi
ſectione
duarum ſuperficierum reflexionis.
Dato quod obiectum non ſit in vna ea-
demq́ue
ſuperficie, in qua reperti fuerint axes viſuales, hoc eſt dato, ambo axes
viſuales
non ſint in vna eademq́; ſuperficie reflexionis) reperitur citra & non vltra ſu
perficiem
ipſius ſpeculi.
Ad cuius rei euidentiam non prætermittã dicere, quod cum debeant ſemper ſu-
perficies
reflexionum perpendiculares eſſe, velad rectos ſecare ſuperficiem ipſius
ſpeculi
, ipſarum communes ſectiones cum ſuperficie ſpeculi ſphęrici, ſemper erunt
circunferentiæ
magnorum circulorum illius ſphæræ, cuius portio eſt ſpeculum
propoſitum
, vt etiam Vitellio affirmat in prima ſexti libri.
Vnde vnuſquiſque ca-
thetus
incidentiæ tranſibit per centrum ſpeculi, cum ipſe ſit communis ſectio dua-
rum
ſuperficierum reflexionis,
quare in ipſo catheto erit punctum interſectionis ip
ſorum
axium viſualium ex neceſſitate, vt videbimus, ſi vnam tantummodo imaginẽ
obiecti
nobis videremur videre.
Exempli gratia, ſint duæ ſuperficies reflexionis ſpeculi ſphærici concaui .b.n.c.a.
et
.b.t.c.u. obiectumq́; ſit .b. oculi autem ſint .a.u. punctum verò ſuperficiei ſpeculi, à
quo
obiectum emittit reflexionem ſuę
imaginis
ad oculum .a. ſit .n. pũctum au-
376[Figure 376] 377[Figure 377] tem à quo eandem reflectit oculo .u. ſit
t
. communis autem ſectio harum dua-
rum
ſuperficierum ſit .b.c. ſed .x. centrũ
ſit
ſpeculi, radius verò incidentię ſuper
ficiei
.b.n.c. erit .b.n. cuius reflexus ſit .n.
a
.
radij autem alterius ſuperficiei erunt
b.t. et .t.u.
Imaginemur nunc duos ſemi
diametros
.x.n. et .x.t. quæ angulos .b.n.
a
.
et .b.t.u. per æqualia diuidant ex ſup-
poſito
.
Nunc ijs ſuppoſitis, ſi vnam tantum-
modo
obiecti imaginem videbimus,
350338IO. BAPT. BENED. clarum erit ex rationibus ſupradictis nos ipſam videre in cõmuni concurſu ipſorum
axium
viſualium, qui axes cum reperiantur vnà cum ipſis radijs reflexis .n.a. et .t.u.
ex
neceſſitate ſeinuicem ſecabũt in catheto .b.c. cum extendantur in ipſis ſuperficie-
bus
reflexionum, quæ ſuperficies nihil aliud commune inuicem habent, quam cathe
tum
dictum .b.c. ſit igitur in puncto .d.
Ex his dictis alia oritur neceſſitas, hoc eſt, quod quotieſcunque vnam tantummo
do
imaginem obiecti .b. videmus, dato quod duæ ſuperficies reflexionis ſint, & non
vna
tantum, tunc angulos .n. et .t. ſemper inuicem æquales eſſe oportebit.
Vnde ar-
cus
.n.c. et .t.c. ex neceſſitate inuicem æquales erunt.
Scimas enim ex .3. ſexti Euclid. quod eadem proportio erit ipſius .b.n. ad .n.
d
.
quę ipſius .b.x. ad .x.d. & ipſius .b.t. ad .t.d. ſimiliter,
quare ipſiusb .n. ad .n.
d
.
erit vt ipſius .b.t. ad .t.d.
Vnde ſequitur .b.n. æqualem eſſe ipſi .b.t. et .n.d.
ipſi
.t.d. vt à medio circulo .E. potes videre, quamuis etiam .b. non eſſet extremum
diametri
, ſed vbicunque volueris in ipſo diametro, vel etiã protracta, eo quod pun-
ctum
.n. & punctum .t. in eodem ſemicirculo, vel in æqualibus ſemicirculis, non poſsẽt
aliter
in ipſa circunferentia locari, eãdem ſeruando proportionem .b.n. ad .n.d. vt .b.
t
.
ad .t.d.
propterea quod in omni alio ſitu exiſtente puncto .t. ipſa .b.t. eſſet aut maior
aut
minor ipſa .b.n. et .t.d. aut minor, aut maior ipſa .t.d. ex .7. & 14. tertij Eucli.
vnde
aut
maior, aut minor proportio eſſet ipſius .b.t. ad .t.d. quam ipſius .b.n. ad .n.d. & non
eadem
.
Nunc è conuerſo ſi .b.n. et .b.t. ſunt ſibi inuicem æquales, & ſic .n.d. cum .t.d. ſequi-
tur
ex .8. primi Eucli. angulos .n. et .t. inuicem æquales eſſe.
Ab ijſdem ſpeculationibus potes etiam videre vnde accidat quod partes ſuperio
res
alicuius obiecti reflexæ à tali ſpeculo concauo videntur nobis inferiores eſſe, &
inferiores
appareant ſuperiores, & dextræ ſiniſtræ, & ſiniſtræ dextræ.
quod autem
hucuſque
demonſtraui de ſpeculis planis, & ſphæricis concauis, ratiocinare tu ijſdem
medijs
circa ſphærica conuexa, vbi clarè videbis puncta huiuſmodi ſpeculi conuexi,
à
quibus reflectitur imago obiecti ad ambos oculos, ſemper oportere æquidiſtantia
eſſe
à pũcto communi ipſius ſuperficiei ſpeculi, & catheto incidentiæ, dum unam tan
tummodo
imaginem ipſius obiecti videmus, & à diuerſis ſuperficiebus reflexionum.
Nolo etiam prætermittere, quod nunc mihi ſuccurrit, hoc eſt quod poſſet ali-
quis
duos ſitus inuenire, vnum pro oculo, alterum verò pro obiecto, reſpectu alicu-
ius
ſpeculi concaui, ſphęroidis prolatæ, vt reflexio ipſius obiecti videretur, vt linea
diuidens
per æqualia ipſum ſpeculum.
Reſpectu verò alicuius ſpeculi concaui ſphæ-
roidis
oblongæ, vt reflexio obiecti ad oculum veniret à tota ſuperficie ipſius ſpecu-
li
, vnde tota ſuperficies ipſius ſpeculi videretur colorata illo colore cuius eſſet
obiectum
, quæ quidem paſſiones pendẽt à .48. tertij lib. ipſius Pergei, vt ex te ipſo fa
cile
videre potes, propter æqualitatem angulorum reflexionis, & incidentiæ.
Opinio autem mea, quam ſcire cupis de imagine obiecti reflexa, quam putas eſ-
ſe
in ſuperficie ſpeculi, hæc eſt, quod nec in ſuperficie, nec ultra, nec citra eam eſt ip
ſa
imago, quod autem vltra non ſit, hoc puto nulli dubium eſſe.
eadem etiam ra-
tione
non erit citra ſuperficiem ſpeculi concaui, quamuis ipſam nos compræhenda-
mus
in concurſu radiorum viſualium, tam ab vno ſpeculo quam ab alio reflexione
facta
.
Sed quòd ipſa neque ſit in ipſa ſpeculi ſuperficie, manifeſtum erit ex hoc,
duo
ſpectantes in eodem ſpeculo, duas diuerſas imagines vident, tres, aũt tres, qua-
tuor
, quatuor, & ſic deinceps, vnde tot eſſent imagines ſupra ſuperficiem ſpeculi,
quot
obiecta, tamen ita non eſt, nec plus eſt in vno loco ipſa imago, quam in alio,
351339EPISTOLAE. niſi in obiecto ipſo, lumen enim abipſo obiecto reflexum, ſeipſum diffundit vndi-
que
, & radijipſius luminis reflexi, vt plurimum ſeinuicem ſecant.
Vnde in ipſo ae-
re
funt omnes miſti.
Quapropter natura ſagacifſima pupillam oculi animalibus tam
paruam
conſtruxit ad ſuperficiem tam amplæ ſphæræ ipſius oculi, vt diſtinctæ vide-
rentur
omnia obiecta.
Nolo etiam tibi tacere, quod quotieſcunq; oculorum pupillæ poſitæ fuerint inter
cathetum
incidentiæ, & ſuperficiem
378[Figure 378] 379[Figure 379] ſpeculi ſphærici concaui, vt puta in li-
neis
.d.t. et .t.n. in figura .D.
tunc nullo
pacto
poſſemus videre vnam imagi-
nem
obiecti, ſed duas nec non confu-
,
propterea nullo pacto radij .t.d.
et
.n.t. reflexi poterint.
ambo vniri
ambobus
axibus viſualibus, eo quod
axes
vifuales nunquam poſſunt inui-
cem
interſecari poſt viſum, ſed ſem-
per
ante ipſum, vnde nec inuicem pa-
ralleli
poſſunt eſſe.
Dico etiam, quod ſi obiectum inci
derit
in eadem ſuperficie, in qua duo
axes
viſuales, vel radij reflexi reperiũtur, hoc eſt in vna eademq́; ſuperficie reflexio-
nis
,
tunc locus imaginis non erit in catheto incidentiæ, eo quod interfectio axium
uifualium
non erit in ipſo catheto ſed extra, in qua interſectione fit viſio vnius tan-
tummodo
imaginis, quod antiqui non animaduerterunt.
Hoc autem dico deſpe-
culo
ſphærico concauo.
Speculatio cuiuſdam propoſitionis aritbmetica.
AD EVNDEM.
SPeculatio vltimæ propoſitionis quam numerorum via inueni, hæc eſt. Imagi-
nemur
triangulum .r.e.o. abſciſum à circulo, in cuius circunferentia ſit punctum
r
. ſuperioris anguli ipſius trianguli, vel etiam non ſit abſciſum dummodo protrahan
tur
lineæ vſq; ad circunferentiam, à quo ad oppoſitum latus defcẽdant duæ .r.K. et .r.
f
.
ita . K.o. æqualis ſit .f.e. vnde hæc .4. lineæ ſecabuntur à circulo dicto in punctis .n.
c
.b.u
.
Dico nunc producta .o.r.n. et .e.r.u. æqualia erunt productis .K.r.c. et .f.r.b.
380[Figure 380] 381[Figure 381]
352340IO. BAPT. BENED. quapropter cogitemus .r.a. indeterminatam tranſire per centrum .s. ipſius circuli, ſi-
militer
etiam .r.i. ad punctum medium lateris .e.o. deinde à tribus punctis, e.i.o. ima-
ginemur
tres perpendiculares ad .r.a. hoc eſt .e.a: i.d. et .o.q. & vbi circulus ſecat .r.a.
fit
punctum .g. protractis deinde .g.n: g.x: et .g.u. habebimus triangulum .a.e.r. ſimi-
lem
triangulo .g.u.r. vnde clarum erit productum .g.r.a. æquale eſſe producto .e.r.u.
productumq́ .g.r.q. æquale eſſe producto .o.r.n. nam trianguli .g.r.n. et .o.r.q. ſunt in-
u
icem ſimiles, ſed productum .g.r.a. ſimul cum producto .g.r.q. duplum eſt producto .
g
.r.d.
ex prima ſexti, eo quod .a.r.q. dupla eſt .d.r. & ideo productum .e.r.u. ſimul
producto
.o.r.n. duplum erit producto .i.r.x. quod quidem æquale eſt producto .g.r.
d
.
ex ſimilibus rationibus iam ſupradictis.
Nunc ex ſimilibus rationibus producta .f.
r
.b.
et .K.r.c. dupla erunt producto .i.r.x.
quare prima producta æqualia erunt ſecun-
dis
.
Quod eſt propoſitum.
Ab huiuſmodi demonſtrat ione facilè videre poteris non eſſe generaliter verum,
id
quod Nicolaus Tartalea inquit .43. quæſito vltimæ partis ſuorum tractatuum, hoc
eſt
centrum circuli .r.n.g. ſemper eſſe in perpendiculari, quæ à puncto .r. ad lineam .e.
o
.
tranſit, protracta ipſa .e.o. quantum volueris, imò in quacunque alia linea ipſum eſ
ſe
poteſt, nec non in aliqua parallela ipſi .e.o. quemadmodum ex te ipſo, medianti-
bus
, hic ſupradictis rationibus videre poteris, vnde ex neceſſitate ſequitur illud pro
blema
ſemper ferè falſum eſſe.
382[Figure 382] 383[Figure 383]
Alia ſpeculatio circa breuitatem radiorum incidentium
& reflexorum.
AD EVNDEM.
ALius modus quem exercitationis gratia vltimò cogitaui, ad demonſtrandum
breuitatem
radiorum incidentium, & reflexorum in ſpeculo plano, nunc ad
te
ſcribo, quamuis prolixior ali quantulum ſit eo, quod ab antiquis traditus eſt.
Imaginemur itaque lineã .p.h. pro cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis ſpe-
culo
.r.a. verò et .a.b. pro radijs dictis, qui ſemper faciũt angulos .b.a.h. et .r.a.p. inuicẽ
353341EPISTOL AE. æquales. Nunc protrahantur duæ .r.o. et .b.o. ab iiſdem punctis .b.r. ad aliud punctum,
quod
volueris ipſius lineæ .p.h. quas probabo longiores' (ſimul ſumptas) eſſe priori-
bus
.
Imaginemur igitur duas perpendiculares, ſeu cathetos .b.i. et .q.r.a. punctis .b.
r
.
ad .p.h. abſciſſaq́ ſit linea .o.b. in puncto .x. ita quod .b.x. æqualis ſit ipſi .b.a. quod
nulli
dubium erit poſſe effici, cum .o.b. lõgiot ſit .b.a. co quod opponatur angulo ob-
tuſo
ipſius trianguli .b.a.o. quę .o.b. ſimiliter protrahatur vſque ad .d. ita quod .b.d.
æqualis
ſit .x.b.
deinde protrahatur .o.i. quouſque .i.h. æqualis ſit .a.i. In alia parte po-
ſtea
idem faciendum eſt ſecando .a.r. in puncto .u. ita quod .u.r. æqualis ſit .r.o. efficien
do
.r.s. æqualem .r.u. et .q.p. æquale .q.o. vnde habebimus productũ .o.d. in .o.x. æqua
le
producto .o.h. in .o.a. & productum .a.s. in .a.u. æquale producto .a.p. in .a.o. exiſtis
rationibus
.
Nam cum quadratum ipſius .o.b. æquale ſit duobus quadratis .o.i. et .i.
b
.
ex penultima primi Eucli. ipſa quadrata .o.i. et .i.b. æqualia erunt producto .o.d. in
o.x. ſimul ſumpto cum quadrato .b.x. ex .6. ſecundi, hoc eſt ipſi producto ſimul ſum-
pto
cum quadrato .b.a. hoc eſt ipſi producto ſimul ſumpto cum duobus quadratis .a.
i
.
et .i.b. ſed quia productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumpto cum quadrato .a.i. ęquatur qua
drato
.o.i. ideo productum .o.h. in .o.a. ſimul ſumptum cum quadrato .a.i. & cum qua-
drato
.i.b. æquale erit producto .o.d. in .o.x. ſimul ſumpto duobus quadratis dictis
hoc
eſt ipſius .a.i. et .i.b. quę quadrata dempta cum fuerint ab vtraque parte, tunc cer
ti
erimus producta eſſe inuicem æqualia.
Idem dico de alijs ex altera parte. Nunc
imaginemur
protractam eſſc .a.e. parallelam ipſi .o.b. & habebimus proportionem
ipſius
.a.b. ad .a.i. maiorem eſſe ea quæ eſt ipſius .a.e. ad eandem .a.i. cum .a.b. maior
ſit
ipſa .a.e. vt oppoſita angulo obtuſo, quapropter proportio .x.b. ad .a.i. maior erit
ea
quæ eſt .o.b. ad .o.i.
Iam enim ſcis proportionem .o.b. ad .o.i. eſſe, vt .a.e. ad .a.i. ex
ſimilitudine
triangulorum.
quare proportio .b.d. ad .i.h. maior erit proportione .o.b.
ad
.o.i. tũc ex .27. quinti ꝑmutãdo ꝓportio .b.d. ad .b.o. maior erit proportione .i.h.
ad
.i.o. & ex .26. eiuſdẽ cõponẽdo maior ꝓportio erit .o.d. ad .o.b. ea quę eſt .o.h. ad. o
i
. & permutãdo maior ipſius .o.d. ad .o.h. ea quæ .o.b. ad .o.i. & ex .33. maior ipſius .b.
d
.
ad .i.h. ea quæ .o.d. ad .o.h.
Sed vt .b.a. ad .a.i. ita eſt .a.r. ad .a.q. ex ſimilitudine triã
gulorum
.
Erit igitur .a.r. ad .a.q. maior proportio, ea quæ eſt .o.b. ad .o.i. & exijſdem
ſupradictis
rationibus maior erit proportio ipſius .s.a. ad .p.a. ea quæ eſt .a.r. ad .a.q.
ſed
cum iam probatum fuit proportio
384[Figure 384] nem .b.d. ad .i.h. hoc eſt .a.b. ad .a.i. ma
iorem
eſſe .o.d. ad .o.h. ergo eo ma-
gis
maior erit proportio ipſius .a.s. ad
a.p. ca quæ .o.d. ad .o.h. ſed cum ex .15
ſexti
, eadem ſit proportio .o.d. ad .o.a.
quæ
.o.h. ad .o.x. et .s.a. ad .o.a. quę a.p.
ad
.a.u.
tunc erit permutãdo eadem
proportio
ipſius .o.d. ad .o.h. quæ .o.a.
ad
.o.x. & ipſius .a.o. ad .a.u. quemad-
modum
ipſius .a.s. ad .a.p.
Quare maior proportio erit ipſius .a.o. ad .a.u. quam .a. o.
ad
.o.x.
Vnde ſequitur .o.x. maiorem eſſe .a.u. ex .8. quinti, ergo .b.x.o.r. longior erit
ipſa
.b.a.u.r.
Quod eſt propoſitum.
354342IO. BAPT. BENED.
Alia etiam via poſſumus idem concludere. Imaginemur maiorem axem alicu-
ius
ellipſis tranſire per duo puncta .r. et .b. ſupponendo ipſa puncta, ea eſle, quæ ita
axem
diuidunt, vt ſingula produ-
385[Figure 385] cta fectionum ſint, vt inquit Per-
geus
.
imaginemur, etiam .p.h. con
tiguam
eſſe ipſi ellipſi in pũcto .a.
vnde
ſi protractæ fuerint duæ .r.a.
et
.b.a. habebimus ex .48. tertijip-
ſius
Pergei angulos .b.a.h. et .r.a.
p
.
inuicem æquales.
Ducendo
poſtea
ad quoduis punctum ipſius
p.h. duas .b.o. et .r.o. certi erimus,
quod
ſecabuntur à gyro oxygo-
nio
, quarum vna ſecta ſit in pun-
cto
.i. ducta poſtea .i.r. clarum erit ex .52. dicti, quod longitudo .b.i.r. æqualis erit lon
gitudini
.b.a.r. & minor ipſa .b.o.r. ex .21. primi Euclid.
Deerrore Euclidis circa ſpeculum vstorium.
AD EVNDEM.
VErum ſpeculum vſtorium, illud non eſt, quod ab Euclide traditum fuit, &
tu
etiam putas, Nam Euclides errat, cum credat radios reflexos à ſuperficie
ſphærica
concaua ſeinuicem in centro ſpeculi interſecare.
Nam cum omnes lineę
recte
à centro, & cir cunferentia alicuius ſphæræ terminatæ, ſint eidem circunferen-
tiæ
perpendiculares, ſequeretur ex neceſſitate radios incidentiæ etiam perpendicu
lares
eidem ſuperficiei eſſe, cum anguli incidentiæ ſemper æquales ſint angulis re-
flexionis
, vnde etiam ex neceſſitate ſequeretur punctum corporis lucidi, à quo radij
luminoſi
excunt, in centro ſpeculi reperiri.
quod quidem falſiſſimum eſt.
Alia etiam via poſſum hanc oſtendere impoſſibilitatem, & tibi probabo, quod
in
nullo aliquo puncto poſſunt inuicem conuenire ipſi radijrefle xi omnes.
Sit igitur .l.a.c. cõis ſectio ſuperficiei reflexionis cum ſpeculo, cuius centrum ſit .o.
punctum
verò lucidum ſit .g. protrahaturq́ .g.o.a.
Nunc autem primum dico, quod
radij
reflexi à punctis diuerſarum diſtantiarũ ab .a. non coincidẽt inuicem in aliquo
puncto
lineę .g.o.a: ſint ergo duo puncta .u. et .r. diuerſarum diſtantiarũ ab .a. à quibus
veniant
duo radij incidentiæ .g.r. et .g.u. radius verò reflexus ab .r. ſit .r.e. protrahatur
u.e. quam dico effe non poſſe radium reflexum ab .u. quotieſcunque eius incidens
deſcendat
ab .g.
Protrahantur ergo duæ lineæ .o.r. et .o.u. vnde cum dixerit aliquis
u.e. reflexũ eſſe ipſius .g.u. igitur anguli .g.u.o. et .o.u.e. erunt inuicem æquales, & ſic
etiam
erunt duo .g.r.o. et .o.r.e. vnde ex tertia ſexti & .11. quinti Eucli. proportio .g.
u
.
ad .u.e. æqualis eſſet ei, quæ .g.r. ad .r.e. quod quidem impoſſibile eſſe demonſtra-
bo
, eo quod cum .g.u. maior ſit .g.r. ex .8. tertij, erit ex .8. quinti proportio ipſius .g.u.
ad
.r.e. maior proportione ipſius .g.r. ad .r.e. ſed ex .7. tertij .u.e. minor eſt .r.e. erit igi-
tur
ex dicta .8. quinti maior proportio ipſiꝰ .g.u. ad .u.e. quam .g.u. ad .r.e. vnde eo ma­
355343EPISTOL AE. gis erit maior proportio ipſius .g.u. ad .u.e.
386[Figure 386] quam ipſius .g.r. ad .r.e. ergo non æqualis,
quapropter
impoſſibile eſt .u.e. eſſe radium
reflexum
incidentis radij .g.u.
Vnde ſequi
tur
concurſum radiorum reflexorum à ſpe-
culo
ſphærico concauo non eſſe in vno, &
e
odem puncto ipſius catheti incidentiæ,
quando
à ſitu non æquidiſtanti ab ipſo ca-
theto
reflectũtur, ex hac ſpeculatione etiã
videre
licet, verum eſſe id quod in .3. Epiſto
la
tibi ſcripſi nempe, quod quotieſcunque
axes
viſuales, vel radij reflexi, in vna ea-
demq́ ſuperficie reflexionis fuerint,
tunc
imago
obiecti nullo modo videbitur in ca-
theto
incidentiæ, in ſpeculo ſphærico con-
cauo
.
Alterius dubit ationis ſolutio.
AD EVNDEM.
NOn abſque ratione dubitas, vtrum etiam in ſphæricis ſpeculis conuexis idem
accidat
, hoc eſt, an radij reflexi à punctis inęqualis diſtantiæ à catheto inciden
tiæ
conueniant inuicem in eodem catheto.
Ad quod reſpondeo, non concurrere in dicto catheto, ſed extra ipſum, & ſimi-
liter
extra ipſum vide bitur imago.
Pro cuius rei ratione, imaginemur ſuperficiem reflexionis alicuius ſpeculi ſphæ-
rici
conuexi .b.d.h.g. cuius communis ſectio cum ſuperficie ſphærica ſit linea
circularis
.d.e.h. et .o. eius cẽtrum, à quo protrahatur .g.b. indeterminata, et .o.g. ſit ſe
midiameter
circuli .d.g.h. et .o.c. ſit plus medietate ipſius .o.g. accipiaturq́; linea .e.c.
minor
ipſa .o.c. ſed maior ipſa .c.g.
387[Figure 387] quod difficile non erit, locando im
mobilem
pedem circini in puncto .
c
.
aperiendo ipſum aliquantulum
plus
quam .c.g. ſed minus quam .c.
o
.
ſignando circunferentiam .d.e.h.
in
puncto .e. quod ex .7. tertij poſſi-
bile
eſt, protrahatur poſtea .o.e.f.
indeterminatè
.
Facicmus deinde
angulum
.f.e.b. æqualem angulo .o.
e
.c.
protracta poſtea cum fuerit .c.
e
.K.
indeterminatè, habebimꝰ duos
angulos
.b.e.f. et .f.e.K. æquales in-
uicem
mediante .15. primi, ita ſi
radius
incidens veniet à puncto .b.
ad
.e. reflexus erit .e.K. qui quidem
356344IO. BAPT. BENED. refleyus ſecabit cathetum .b.o. in puncto .c. intra ſpeculum, nec dubitandum eſt quin
linea
.e.b. ſectura ſit .b.o. eo quod cum angulus .o.e.c. ſit maior angulo .e.o.c. ex .19.
primi
, & ſimiliter angulus .b.e.f. ſequitur ex .13. dicti, angulos .b.e.o. et .e.o.b. eſſe mi
nores
duobus rectis, vnde ex penultima petitione primi, duæ lineæ .b.e. et .o.b. inuicẽ
concurrent
.
Quare poſſumus ex hoc, quoddam corollarium extrahere, hoc eſt
neceſſariũ sẽper exiſtat, vt linea .c.e. minor eſſe linea .c.o.
Sed vnde eueniat quod ip
ſa
neceſſariò debeat ſemper maior eſſe ipſa .c.g. clarum eſt ex .7. tertij Eucli.
Nunc
imaginemur
ductas eſſe duas tãgentes .b.d. et .b.h. & ab .e. ipsã .e.i. vnde certi erimus,
quod
ab interuallo inter .h. et .d. punctum .b. põſſibile ſit vt reflectatur.
Accipiamus
nunc
.p.c. minorem medietate ipſius .b.c. & à puncto .p. imaginemur tangentem .p.q.
in
puncto .q. prorractaq́ue ſit .b.q. vt radius incidentiæ,
tunc dico, radium reflexum
ipſius
.b.q. concurrere in eodem puncto .c. ipſius catheti, ſi vero dixeris ſic.
Eſto
igit̃ radius dictus .c.q.s.
Imaginemur tãgentẽ .e.i. in puncto .e. vnde ex .18. quinti Alha
zem
, vel .12. ſexti Vitellionis proportio .b.i. ad .i.c. erit, vt .b.o. ad .o.c. & ſimiliter erit
ipſius
.b.p. ad .p.c. vt .b.o. ad .o.c. ex eadem.
Quare ex .11. quinti Eucli. proportio ip
ſius
.b.p. ad .p.c. erit vt ipſius .b.i. ad .i.c. ſed quia .p.b. vt pars ipſius .b.i. minor eſt ip-
ſa
, ergo ex .14. dicti .p.c. minor erit ipſa .c.i. hoc eſt totum minus ſua parte, quod eſt
impoſſibile
,
quare non in ipſo catheto videbitur imago ipſius obiecti.
Aliud notandum etiam cernere potes ex ipſis ſpeculis ſphæricis conuexis, hoc eſt
quod
poſſibile ſit aliquoties, radium reflexum concurrere cum catheto incidentiæ
extra
ſpeculum inter puncta .g. et .p. vt exempli gratia .ſi punctus .p. eſſet exactè
in
medio inter .b. et g.
tunc punctum .c. ipſius concurſus cum catheto incidentiæ eſſet
inter
.g. et .p. eo quod linea .p.q. debeat @iui lere angulũ .b. q, c. ęqualia, oportebit
c
. poſitum eſſe inter .g. et .p. quia angulus .g.q.p. maior eſt angulo .p.q.b. vt per te faci
le
potes ratiotinari, imaginando cir
388[Figure 388] culum circa triãgulum .g.q.b. & dia
merrum
perpendicularem .ad .g.b.
in
puncto .p. producendo poſtea .q.
p
.
vſq; ad alterã partẽ circunferen-
tiæ
ipſius circuli.
argumẽtãdo dein-
de
mediante vltima ſexti, illud idẽ
po@es
etiam ſcire ex .22. quinti Alha
zeni
. & ex .26. ſexti Vitellionis.
vn-
de
ſi ad ambas pupillas venerint ra
dij
reflexi ipſius obiecti .b.a. duobus
punctis
huiuſmodi ſpeculi, ita di-
ſtantibus
à puncto .g. vt .q.
tunc com
mune
punctum concurſus axium vi
ſualium
erit in catheto inter .g.p.
vbi
apparebit imago ex ſuperius di
ctis
rationibus, ita vt ſolum con
cauis
, ſed etiam conuexis hoc accidere poſſit.
In planis autem nunquã hoc poteſt euenire, vt tibi alias dixi, eo quod ſi accéperi-
mus
rectã .m.r. pro cõi ſectione ſuꝑficiei .l.t.x. reflexionis & ſuꝑficiei ſpeculi, pũctũq́;
lucidum
.l. protractoq́; catheto .l.r.t. lineisq́; incidentiæ .l.x. et .l.m. reflexionis etiam
x.y. et .m.z. cum anguli .l.x.r. et .y.x.h. et .r.x.t. æquales inuicem ſint, & ſic anguli .l.m.
r
.
et .z.m.h. et .r.m.t. erit .r.t. tam pro triangulo .r.x.t. quam pro triangulo .r.m.t. æqua
lis
.r.l. ex .26. primi, ita quod ſemper in puncto .t. conueniẽt omnes radij reflexi ipſius
357345EPISTOL AE. puncti .l. clarum igitur nunc habes, quod in ſphærico concauo, ſeu conuexo, non
omnes
radij reflexi conueniunt in vno, eodemq́; puncto catheti incidentiæ, quemad
modum
in planis accidit, in quibus ſemper vnum, & idem punctum eſt ipſis commu
ne
in ipſo incidentiæ catheto.
Non prætermittam etiam hunc alium breuiorem modum ſpeculandi æqualita-
tẽ
depreſſionis imaginis ſub ſpeculo plano, ei quæ ſupra reperitur ipſius obiecti, in ca
theto
incidentiæ, quemadmodum nu nc
vltimò
diximus, hoc eſt quod cum
389[Figure 389] imago obiecti .l. reflexa à puncto .
x
.
reperiatur in linea .y.x.t. & ima-
go
eiuſdem obiecti reflexa à pun-
cto
.m. reperiatur in linea .z.m.t. &
iſtæ
duæ lineę ſeinuicem ſecent in
puncto
.t. ipſius catheti, exiſtente .
r
.t.
æquali .r.l. vt nunc vidimus, er-
go
ſemper imago reflexa à ſpecu-
lo
plano, nobis apparebit ĩ ipſo ca
theto
, tam vltra ſpeculum, quam ci
tra
ipſum, reꝑtũ fuerit ipsũ obiectũ
quod
nec Alhazem, nec Vitellio,
nec
alius aliquis (quod ſciam) ad huc ſcientificè demonſtrauit.
exempla enim vel ex
perientia
non faciunt ſcire.
Credo etiam te non dubitare quin duæ lineæ .y.x. et .z.
m
.
inuicem concurrant, cum anguli .t.x.m. et .t.m.x. minores ſint duobus rectis cum
æquales
ſint angulis .l.x.m. et .l.m.x.
De rotunditate vmbræterræ in ecclipſibus Lunaribus.
AD EVNDEM.
ROtunditas vmbræ in ecclipſi-
390[Figure 390] bus lunaribus oritur à rotun
ditate
maris, quã terræ, & ſi terra eſ-
ſet
etiã cuiuſuis alterius figurę, quã
ſphæricę
, dummodo aqua impleret
locũ ſphęriceitatis à terra derelictũ,
nihilominus
vmbra eſſet rotunda,
quę
quidem ab aqua produceretur,
quãuis Alexander Piccolhomineus
391[Figure 391] aliter ſentiat in libro de magnitudi-
ne
terrę, & aquæ.
Sciẽdũ enim eſt, quod omne cor
pus
in ſe habens aliquantulũ opaci-
tatis
, ſemper debilitat radiũ lumino
ſum
, & tãto magis, quãto magis in ip
ſo
corpore radius penetrat, etiã & ſi
ad
rectos incideret ipſe radius ſupra
ſuperficiẽ ipſiꝰ corporis.
Exẽpli gra
tia
, eſto .q.p. corpus a queũ, cuius pro
funditas
diuidatur in partibus .d.K:
K.s: et .s.f. à puncto verò lucido .b.
358346IO. BABPT. BENED. deſcendat radius .b.d.K.s.f. ad libitũ hoc eſt rectè vel obliquè, cuius pars .b.d. in ipſo
aere
exiſtat.
Nunc manifeſtum erit partem .b.d. ipſius radij clariorem ſeu minus im
peditã eſſe quam .d.K. quod ex eo etiam cognoſcere poſſumus quia .b.d. reflectitur à
puncto
.d. ſuperficiei corporis a quei, quapropter minus luminoſa remanebit pars .d.
K
.
cum non tota claritas .b.d. deſcendat in corpore aqueo, ſed vna eius pars reflecta-
tur
, reliqua verò tantummodò deſcendat,
deinde pars .K.s. ex neceſſitate debilior
erit
ipſa .d.K. eo quod ſuccedit poſt ipſam .d.K. propter hoc etiam, quia cum corpus
aqueum
habeat aliquantulum opacitatis, radius .d.K. ab omni puncto ipſius ſpiſſitu-
dinis
a quæ continuo reflectitur, quę quidem reflexio eſt illud lumen cęruleum, quod
in
profunditate ipſius aquę nobis apparet.
Cum igitur reflexio ipſa ſemper detra-
hat
ab ipſo radio luminoſo, reſiduum verò ſit id quod penetrat, ideo .K.s. erit vna
pars
tantummodò luminis ipſius .d.K: in .s.f. verò aliqua pars luminis ipſius .K.s. & ſic
continuò
debilitatur radius, ita quod ad nihilum vſque deuenit, & vltra tale cor-
pus
remanebit vmbra, quaſi ſi ipſum corpus eſſet perfectè opacum, cuius rei cauſa,
eſt
illa continua reflexio, vt diximus, quæ continuò adimit aliquid ex ipſo radio,
nec
permittit eum totum tranſire.
Quapropter mirandum non eſt eos, qui margaritas quærunt in fundo maris nul-
lum
ibi videre lumen.
Nihilominus vmbra maris, quam dico nos poſſe videre in
ſuperficie
corporis lunaris, ab alia etiam ratione prouenire poſſet.
Imaginemur enim
aggregatum
terrę, marisq́; eſſe tantummodò aqueum, quod quidem eſſet perfectè
ſphæricum
ratione centri grauitatis, ſupponamusq́; ipsũ eſſe valde diaphanum, ita
quod
radij ſolares ipſum penetraſſent.
Tunc dico quod in ſuperficie corporis luna-
ris
produceret vmbram.
Pro cuius intelligentia cogitemus ſubſcriptam hic figuram
b.h.q.a.e. eſſe ſphęram aliquam cryſtallinam, & ad partem .b.h.q. ſit radius lumino-
ſus
ſolaris qui ipſam illuminet, cuius radij extremitates ſint .d.b.l. et .p.q.r. ſupponen-
do
.d.l. et .p.r. terminos eſſe vnius plani ſecantis ipſum radium per axem,
tunc vide-
bis
ipſum radium .b.p.q.d. tranſeũ-
392[Figure 392] tem
ipſam ſphæram, congregari ſeu
condẽſari, ob vniformem refractio-
nem
, vſque ad punctum .o. deinde;
propter
rectitudinem ipſius diffu-
ſionis
, vltra punctum .o. ipſum dila-
tari
, diſgregari, ſeu rarefieri, quouſq;
nullius
illuminationis actum habeat .
vt
: exempli gratia .o.t. et .o.s. eius par
tes
, ita quod interualla .c.o.b. et .u.
393[Figure 393] o.q. relinquerentur priuata lumini-
bus
, vnde vmbroſa remanerent. di-
ſtantiaq́; ab .o. ad ſuperficiem ſphęri
cam
corporis .b.e.d.q. non ſolum
maior
eſt diametro ipſius ſphæræ;
imo minor, vt à te ipſo experiri po-
tes
.
Poſito igitur aliquo obiecto
opaco
in loco .K.o.g. eius ſuperficies
intercepta
inter .K. et .g. adumbrata
erit
, excepto puncto .o.
Poſito dein
de
ipſo obiecto in loco .n.y.x.m. eiꝰ
partes
.y.n. et .x.m. remanebunt lu-
359347EPISTOL AE. mine deſtitutæ interuallumq́; tantummodò inter .y.x. illuminatum erit, ſed ſi in
loco
.c.u. poſitum fuerit,
tunc totum .c.u. illuminatum erit, ſed debili modo propter
detractionem
factam à reflexione in ſuperficie corporis ſphærici, vt ſupra diximus.
Poſito deinde obiecto in loco .i.z.H.f. tunc partes .z.i. et .H.f. rectos Solis radios
habebunt
cum aliquibus refractis, ſed .z.H. pauciſſimum habebit lumen, pro-
pter
diſgregationem radiorum.
Poſito poſtea ipſo obiecto in loco .t.l.r.s. tanto
minus
lumen habebit pars .l.r. propter dictam diſgregationẽ, ſeu diſſipationẽ radio
rum
, & ſic ſucceſſiuè quanto remotius poſitum fuerit ipſum obiectum, tanto minus
illuminabitur
.
vnde ita remotum poterit locari, ut nullus actus luminis in eo
videatur
, de radijs ſcilicet, qui per ſphæram chryſtallinam tranſibunt, ſed videbi-
tur
vmbra ipſius ſphęrę in obiecto propoſito, cum nullum actum illuminationis in
eo
loco obiecti habeant radij tranſeuntes per dictam ſphęram.
quapropter partes .
t
.l.
et .r.s. illuminatæ erunt à Sole, et .l.r. omnino lumine deſtituta.
Quòd vero tolerabilior ſit oculis radius reflexus Solis à ſuperſicie aquæ, quàm
à
ſuperficie alicuius ſpeculi, oritur ab eo, quod ſupra diximus, hoc eſt, quod ma-
gna
parsipſius luminis penetrat in aquam, & non totum reflectit, quod quidem non
accidit
ſpeculis opacis.
DE LONGITVDINE DVORVM LATERVM
cuiuſuis
trianguli ſupra tertium.
Hieronymo Fenarolo.
QVo'd quælibet duo latera continentia rectum angulum cuiuſuis triangu-
li
orthogonij, longiora ſint tertio latere, per diametrum circuli in eo in-
ſcripti
, ab alijs iam demonſtratum fuit.
Sed quòd quælibet duo latera
cuiuſuis
trianguli longiora ſint tertio per latus tetragonicum, quadrupli
producti
cuiuſuis lineæ deſcendentis ab angulo contento à dictis duobus lateribus
ad
oppoſitam partem circuli inſcripti, in partem extrinſecam ipſius lineæ, nullus
(quod ſciam) vnquam ſcripſit, vel animaduertit.
Sit exempli gratia triangulus .a.b.c. quem volueris, in quo deſcribatur circulus .
u
.s.n.
& puncta contingentiæ ſint eadem .u.s.n. à puncto vero .a. deſcendat linea .a.
i
.e.
quæ terminetur à circunferentia in puncto .e. ipſius circunferentiæ, vbi volue-
ris
.
Dico nunc latera .a.b. et .a.c. longiora eſſe latere .b.c. per latus tetragonicũ qua-
drupli
producti ipſius .a.e. in .a.i.
Nam certi ſamus ex vltima parte penultimæ ter-
tij
Eucli .n.c. et .s.c. æquales inuicem eſſe, & ſimiliter .b.s. et .b.u. vnde ex communi
conceptu
dicta latera maiora erunt
394[Figure 394] ipſo .b.c. per .a.u. et .a.n. quæ duæ
partes
ſunt inuicem æquales di-
cta
ratione, & quadratum lineæ
æqualis
aggregato earum, eſſet qua
druplum
quadrato cuiuſuis earum
ex
.4. ſecundi, ſed ex penultima ter
tij
, productum .a.e. in .a.i. æquale eſt
quadrato
ipſius .a.u. vel ipſius .a.n.
360348IO. BAPT. BENED.
Verum eſt igitur quod .a.b. cum .a.c. longiores ſint ipſa .b.c. per latus terrago.
nicum
quadrupli eius quod fit. ex .a.e. in .a.i. quod fuit propoſitum.
Illud etiam non eſt ſpernendum, quod quotieſcunque data fuerint omnia latera
alicuius
trianguli, illicò poſſumus cognoſcere puncta .u.n.s. contingentiæ circuli in
ſcripti
, ope vltimæ partis penultimæ tertij, eo quod ex illa iam ſcimus, quod de-
trahendo
.b.c. ex aggregato aliorum duorum laterum, remanebit .u.a. et .a.n. qua-
rum
vnaquęque nota erit, cum illarum quælibet, medietas ſit reſidui cogniti, detra
hendo
poſtea vnam illarũ ab altero
395[Figure 395] duorum laterum .a.b. vel .a.c. rema
nebit
.u.b. vel .c.n. ęqualis .b.s. vel .c.
s
.
vnde ſimiliter nobis innoteſcet
punctum
.s. cum duobus punctis .u.
ct
.n. à quibus duobus punctis, ſi
duę
perpendiculares ad talia latera
ductæ
fuerint, vbi hæe perpendicu
lares
ſeinuicem ſecabunt, ibi cen-
trũ
circuli inſcriptibilis erit in trian
gulo
propoſito.
Inter alia, quæ tibi dixi de Iride, quod memoria non tenes, nihil aliud eſt niſi
quod
cum Iris videtur, non eodem loco ab omnibus videtur, quia reflexio eſt, &
vt
reflexio luminis à ſpeculo non omnibus ab eodem puncto fit, ita etiam tibi dixi
de
Iride.
De Inſtrumento oxygonio, ſeu elliptico.
AD EVNDEM.
QVod aliquando à me audiuiſti falſum non eſt, ſcilicet poſſibile eſſe (vt
ſpeculatus
ſum) particulare inſtrumentum fabricari ad deſignandum oxy-
goniam
, ſeu ellipticam ſectionem, quæ à Pergeo defectio appellatur, quod quidem
inſtrumentum
valde diuerſum eſt ab alijs, quę aliàs inueni, pro ipſis conicis ſectio
nibus
delineandis.
Occaſionem aũt huiuſimodi inſtrumenti inueniendi mihi præ
buit
ſecũda dubij ſolutio quã feci ann .1568. grauiſſ. philoſopho Franciſco Vimer
cato
, viderim in ea figura .f.a. ſemper æqualẽ eſſe .o.i. ſuæ parallelæ ſcilicet,
vnde
cum recta linea fuerit protracta per .o. et .f. ipſa foret ſemper ęquidiſtãs .d.p. ex
33
. primi Eucli.
Venit mihi in mentem modus conſtruendi hoc ſubſcriptum inſtru-
mentum
, tali ordine, videlicet, coniungẽdo ſeptem hic ſubnotatas lineas materia-
les
.z.r: u.n: e.h: e.c: c.l: l.s. et .s.e. ſimul, hoc modo, ſcilicet ſabricãdo quadrila-
terum
æquilaterum .c.e.s.l. hac conditione, quod immobili exiſtente puncto .c. in li
nea
.z.r. reliqua omnia mobilia exiſtant, hoc eſt quod punctũ .s. moueatur per di-
ctam
lineam .z.r. & immobili exiſtente puncto .e. vt extremum lineæ .e.h. hoc eſt
coniuncto
extremo .e. lineæ .e.h. cum angulo .c.e.s. reliqua puncta lineæ ipſius .e.h.
moueantur
per .l. & per duas parallelas .u.n. et .z.r. longitudo vero .e.h. ſit compo-
ſita
ex duplo vnius lateris ipſius quadrilateris.
Oportet deinde quod punctum .f.
ſemper
vnum, & idem ſit ipſius parallelæ .u.n. moueatur tamen per .e.h. quod qui-
dem
punctum illud erit, quod vnam portionẽ circunferentiæ oxygoniæ ſectonis
361349EPISTOL AE. deſignabit, puncta verò .o. et .K. vt puncta laterum .c.e. et .s.e. æquædiſtantia à
punctis
.c. et .s. eadẽ ſemper ſint, ita tamen vt puncta lineæ .u.n. ſemper diuerſa exi
ſtãt, & quodlibet ipſius quadrilateri latus, æquale ſit medietati maioris axis ipſius
oxygoniæ
ſectionis delineandæ, et .c.o. ſeu .s.K. (quod idem eſt) ſit æqualis medie
tati
axis minoris dictæ ſectionis, et .z.r. æqualis duplo .e.h. vnde, quando puncta .e. et .
l
.
coniuncta ſimul erunt, ſimiliter coniunctæ ſimul erunt .c.e. et .e.s. cum .c.l. et .l.s. 396[Figure 396] 397[Figure 397]Instrumentum
oxigonium
362350IO. BAPT. BENED. Quapropter puncta .e.l.f. et .p. extremum axis maioris, in eodem met loco erunt,
hoc
eſt in aliquo extremorum maioris axis, & cum punct is .s. coniunct is fuerit cum
centro
.c. punctus .f. parallelę .u.p. in extremo axis minoris erit, & in eodem loco erit
cum
.o. & cum .K.
In extremitatibus verò lineæ .z.r. neceſſe eſt, vt ſint duo pũcta fer
rea
, ad firmandum ipſam .z.r. ſuper ſubiectam lineam ſignificantem maiorem axem
propoſitę
ſectionis.
398[Figure 398] 399[Figure 399]
363351EPISTOL AE.
Volo etiam quod ad partem .c.l.s. quadrilateri conſtituta ſit alia parallela ad .z.
r
.
& in æquali diſtantia ab ipſa quemadmodum .u.n. diſtat ad eademmet .z.r. ad ean
dem
operationem faciendam.
Vnde in vno tantummodo itinere puncti .s. ab .r. vſq;
ad
.c. deſignabimus quartam partem ſectionis, conuerſo poſtea inſtrumento, hoc eſt
poſito
puncto .r. vbi prius erat .z. et .z. vbi erat .r. aliam delineabimus quartam, &
ſic
ad oppoſitam partem ipſius .z.r. faciendum erit.
Hoc inſtrumentum poſſumus
etiam
ita conſtruere, vt puncta .o. et .K. poſſint collocari in laterihus .c.e. et .e.s. vbi no
bis
magis libuerit, ita vt licebit in qualibet proportione axiũ propoſita, oxygoniam
deſignare
.
Nam .c.o. erit longitudo dimidij axis minoris, et .c.e. dimidij maioris.
DE CONSTITVTIONE TRIANGVLI
orthogonij
conditionati.
Domino Ludouico de Rocchaforte.
QVod à me poſtulas, non eſt admodum difficile, cupis enim triangulum
orthogonium
, exempli gratia .o.i.e. in figura .A. ita conſtituere, vt di-
uiſum
ſit à perpendiculari .a.i. & quod proportio .o.e. ad .o.i. ſit vt .o.i. ad
i.e. & quod quadrati .o.i. ad quadratum .o.a. ſit vt .e.i. ad .e.a. & quadra
tum
.o.i. ad quadratum .e.i. ſit .ut .o.a. ad .e.a.
Quæ omnia in promptu veniunt, quo
tieſcunque
.o.e. fuerit diameter alicuius circuli, diuiſaq́; in puncto .a. ſecundum pro
portionem
habentem medium duoq́; extrema, protracta deinde perpendiculari .a.
i
.
ad o.e. uſque ad circunferentiam, coniunctæq́; .o.i. et .i.e: tale triangulum, omnia
ſupradicta
in ſe continebit.
Nam ex .30. tertij angulus .i. rectus erit, & ex .8. ſexti .o.i. erit media proportio-
nalis
inter .o.e. et .o.a. et .e.i. inter .o.e.
400[Figure 400] et .a.e. ſed quia ex diuiſione facta in
cto
.a. etiam .o.a. erit media proportio-
nalis
inter totum & reſiduum, ideo ex .
11
.
quinti ita erit .o.e. ad .e.i. vt .o.e. ad .
o
.a.
vnde ex .9. eiuſdem .a.o. erit æqua-
lis
.e.i. & ideo .o.i. erit media proportio
nalis
inter .o.e. et .e.i.
Sed quia propor-
tio
.e.i. ad .a.e. eadẽ eſt, quę ipſius .o.e. ad
o.a.
tunc videbis ex .18. ſexti, quod pro
portio
quadrati .o.i. ad quadratum .o.a.
erit
vt .e.i. ad .e.a. cum vero duo trian-
guli
.o.i.a. et .a.i.e. ſint inuicem ſimiles
ex
ſupradicta .8. ſexti,
tunc videbis ex
18
. et .17. eiuſdem dictos triãgulos ean
dem
habere inter ſe proportionem, quę
eſt
inrer quadrata ipſius .o.i. et .i.e. vnde
ex
prima ſexti ita ſe inuicem habebunt .
a
.o.
et .a.e.
Circa eam verò difficultatem quam
364352I O. BAPT. BENED. habes in circulo .ω vbi fateris te non videre qua ratione eadem proportio ſit qua-
drati
.u.o. ad quadratum .o.n. vt lineæ .o.a. ad lineam .o.e. partes diametri .o.i. ipſius
circuli
, terminatæ à perpendicularibus .u.a. et .n.e.
Hoc neceſſario contingit, propterea quod cum fuerint protractæ .u.i. et .n.i. tũc
habebimus
ad partem .o.u.i. triangulum .o.u.i. diuiſum in duo triangula ſimilia ipſi
totali
triangulo.
Idem etiam dico ad partem .o.n.i. vnde ex tali ſimilitudine habe-
bimus
.o.u. mediam proportionalem inter .o.i. et .o.a. et ſic .o.n. erit media proportio
nalis
inter .o.i. et .o.e.
quare ex .16. ſexti, quadratum .o.u. æquale erit producto ipſius
o.i. in .o.a. & quadratum .o.n. æquale producto .o.i. in .o.e. ſed ex prima eiuſdem, ea
dem
proportio eſt ipſius .o.a. ad .o.e. quæ producti ipſius .o.i. in o.a. ad productum .o.
i
.
in .o.e.
quare, ex cõmuni conceptu, ita erit quadrati .o.u. ad quadratúm.o.n. Et hęc
eſt
alia circuli paſſio.
Reliqua verò difficultas quam te habere ſcribis, eſt, quare cum duæ lineę
a.u. et .b.s.i. ſint inuicem ęquales, diuiſæ verò non æquali modo, ſed tali, quod .a.
maior
ſit quam .u. et .b.s. maior quam .i. quomodo poteſt fieri, quod ſi .u. maior fue-
rit
.i. proportio .a. ad .i. maior ſit quam ipſius .b.s. ad .u.
Hoc etiam ex neceſſitate cuenit, eo
quod
ſi accepta fuerit .t.n. æqualis .u. ab
401[Figure 401] ipſaq́; abſciſa fuerit .t. æqualis .i. & ab .
b
.s.
abſciſa .s. æqualis .n. habebimus .a. et
b
. inuicem æ quales, vnde habebis ma-
iorem
propor tionem ipſius .b. ad .t. quã
s
. ad .n. quod cum clarum per ſe ſit, tibi
relinquo
.
ſed ex .27. quinti, proportio
b
. ad. s, maior erit quam .t. ad .n. & ex
28
. eiuſdẽ ꝓportio .b.s. ad .s. maior erit,
quam
.t.n. ad .n. & ex .27. maior propor
tio
erit ipſius .b.s. ad .n.t. quam .s. ad .n.
ergo
ex .33. maior erit ipſius .b. ad .t. quã
b.s. ad .n.t. hoc eſt maior ipſius .a. ad
i
. quam .b.s. ad .u. quod eſt propo-
ſitum
.
Id verò de quo me interrogas nẽpe de
diſtinctione
orbium cęleſtium, ortum
habet
à communi opinione motuum
fixarum
.
Nam cum putauerint philo-
ſophi
ipſas moueri, ſemper eandem ſeruãdo inuicem diſtantiam, non ſine ratione
crediderunt
eas fixas eſſe eodem in orbe, idem etiam poſtea de planetis opinaue-
runt
.
Hoc eſt, vnumquemque, aliquo in orbe, fixo exiſtere.
365353EPISTOL AE.
DE MODO DIVIDENDI PARABOLAM
propoſitam
ſecundum datam proportionem.
Pamphilo Gothfrid.
QVod à me quæris, eſt quidem poſſibile, non tamen adhuc inuentum, quo
niam
nemo ad hũc vſque diem diuiſit vnam datam proportionem in tres
æquales
partes, ſed ſi hoc pro facto conceſſeris, nunc tibi morem geram.
Nam proponis n. ihi parabolem .x.b.e. cum proportione .p. ad .q. cupiſq́;
ſcire
modum diuidendi ipſam parabolem vna mediante linea parallela ipſi baſi, ita
vt
eandem habeat proportionem tota parabola ad partem abſciſſam, quæ eſt inter .
p
.
et .q.
Ad quod faciendum, ſupponendum primò datam proportionem inter .
p
.
et .q. diuiſam eſſe in tres partes æquales, duabus lineis mediantibus .n. et .u. quæ me
diæ
proportionales vocabuntur inter .p. et .q.
deinde à quouis puncto circunferentię
ipſius
figuræ ducatur parallela baſi .x.e. poſtea verò per puncta media harum dua-
rum
æquidiſtantiũ protrahatur .g.b. quæ diameter erit ſectionis, ex 28. ſecundi Per-
gei
,
diuidatur deinde hæc diameter in puncto .a. ita quod eadem proportio ſit ipſius
b.g. ad .b.a. quæ ipſius .p. ad .u. quod tibi facile erit, ſecando à linea .p. partem .i. æqua
lem
ipſi .u. tali modo poſtea diuidendo .b.g. ex .12. ſexti, ducatur a puncto .a. ipſa .d.
h
.
parallclam ipſi .x.e. & habebitur propoſitum.
Pro cuius reiratione, ſcies primum quod .h.d. diuiſa erit à diametro .b.g. per æqua
lia
ex .7. primi Pergei, vel ſi cogitabimus aliquam lineam tangentem ipſam parabo
lam
in puncto .b.
tunc ex quinta ſecundi ipſius Pergei habebimus ipſam eſſe paralle-
lam
.e.x. & ex .30. primi Eucli. erit ſimiliter æquidiſtans .d.h. vnde ex .46. primi eiuſ-
dem
Pergei .h.a. æqualis erit .d.a.
Protrahatur deinde .e.b: d b: x.b. et .h.b. vnde ex .17
lib
. de quadratura parabolæ Archimedis, habebimus eandem proportionem ſuper
ficiei
totalis parabolæ .x.b.e. ad trigonum .x.b.e. quæ portionis .h.b.d. ad ſuum tri-
gonũ
, eo quod vna quàm alia erit ſeſquitertia, eiꝰ etiã medietates ſic ſe habebũt.
Vnde permutando, proportio medietatis totalis parabolę ad medietatem partia
lem
ipſius, æqualis erit proportioni trianguli
g.b.e. ad triangulum .a.b.d. ſed ex .20. primi
Pergei
, eadem eſt proportio quadrati ipſius .
402[Figure 402] g.e.
ad quadratum ipſius .a.d. quæ .b.g. ad .b.a.
hoc
eſt, vt .g.e. ad .a.o. ex ſimilitudine triangu-
lorum
, & quia .b.g. ad .b.a. eſt ſicut .p. ad .u. ita
igitur
erit quadrati ipſius .g.e. ad quadratum
ipſeus
.a.d.
quare .g.e. ad .a.d. erit ut p. ad .n.
ex
.18. ſexti Euclid.
ſed cum ex .24. eiuſdem
proportio
trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a
.d.
compoſita ſit ex proportione .g.e. ad .a.
d
.
er. ex .g.b. ad .b.a. hoc eſt .g.e. ad .a.o. &
quia
ꝓportio .g.e. ad .a.o. æqualis eſt ei quæ .p.
ad
. u ex .11. quinti Euclid.
& proportio .g.e.
ad
.a.d. æqualis eſt ei quæ .p. ad .n. hoc eſt vt .u.
ad
.q. ergo proportio trianguli .b.g.e. ad trian-
gulum
.b.a.d. compoſita erit ex ca quę .p. ad .u.
& ex ea quæ .u. ad .q. æqualis ergo erit ei, quæ
p
. ad .q. & ita medietates parabolarum, & eorum dupla.
366354IO. BABPT. BENED.
COROLLARIVM.
Proportio maioris portionis ad minorem ſemper erit ſeſquialtera proportioni
ipſius
.b.g. ad .a.b. eo quod cum ſit proportio totalis portionis ad partialem vt trian-
guli
.b.g.e. ad .b.a.d. & hæc ſeſquialtera proportioni ipſius .g.e. ad .a.o. hoc eſt vt ip-
ſius
.b.g. ad .b.a. ideo proportio ipſarum portionum erit ſimiliter ſeſquialtera pro-
portioni
diametrorum.
Deinde ſi protractæ fuerint .b.d. et .g.e. quouſque conueniant in puncto .z. habe
bis
inter .g.z. et .a.o. duas .g.e. et .a.d. medias proportionales in proportionalitate con
tinua
, eo quod cum (ex ijs quæ ſupra diximus.). a.d. media proportionalis ſit inter .
g
.e.
et .a.o. & proportio .g.z. ad .g.e. vt ipſius .a.d. ad .a.o. eo quodipſius .g.z. ad .a.d.
& ipſius .g.e. ad .a.o. eſt vt ipſius .b.g. ad .b.a. ex ſimilitudine triangulorum, ideo di-
ctæ
ꝓportiones erunt inuicẽ æquales.
Vnde permutatim ita erit ipſius .g.z. ad .g.e.
vt
ipſius .a.d. ad .a.o. & ut ipſius .g.e. ad .a.d.
Amplius etiam dico, quod proportio pa
403[Figure 403] rabolæ totalis ad partialem, eadem eſt, quę
cubi
ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d. & ex
ſequenti
, vt cuborum earundem baſium, eo
quod
cum ſit, ex .36. vndecimi Euclid. pro-
portio
cubi ipſius .g.e. ad cubum ipſius .a.d.
tripla
ei quæ ipſius .g.e. ad .a.d. ideo æqualis
erit
ei quę trianguli .b.g.e. ad triangulum .b.
a
.d.
cum proportio horum duorum triangu
lorum
compoſita ſit (vt ſupra vidimus) ex
ea
quæ .g.e. ad .a.o. & ex ea quæ .g.e. ad .a.d.
& hæc medietas illius, ſed trianguli ita ſe in
uicem
habenr, vt parabolę,
quare ipſæ para-
bolæ
ſeinuicem habebunt, vt cubi ipſarum
baſium
.
Cubum fabricare æqualem pyramidi propoſitæ.
AD EVNDEM.
CVbum fabricare æqualem propoſitæ pyramidi quadrilateræ, nullius erit diffi-
cultatis
, ſuppoſita tamen pro reperta diuiſione cuiuſuis datæ proportionis in
tres
partes æquales.
Nam ex .6. duodecimi Eucli. patet omne corpus ſerratile d-ui
ſibile
eſſe in tres pyramides quadrilateras æquales, ſcimus etiam quod cuilibet py-
ramidi
quadrilateræ poteſt reperiri ſuum ſerratile.
Sit igitur propoſita pyramis qua
drilatera
.m.g.f.h. cuius ſerratile ita inueniemus, ducendo primum .h.i. parallelam
ipſi
.g.f. et .f.i. ipſi .g.h. in ſuperficie trianguli .f.g.h. et .m.K. ipſi .g.h. in ſuperficie
trianguli
.m.g.h. & æqualem dictæ .g.h. ducetur poſtea .K.h. et .K.i. & habebimus cor
pus
.f.K.g. ſerratile, & triplum pyramidi propoſitæ.
Nunc duplicemus ipſum, du-
cendo
.K.x. in ſuperficie trianguli .i.k.h. parallelam, æqualemq́; ipſi .i.h. et .m.y.
in
ſuperficie trianguli .f.m.g. parallelam, ęqualemq́; ipſi .f.g. ducatur poſtea .g.y. et .h.
x
.
quarum vnaquæq; æqualis erit ipſi .f.m. vnde habebimus corpus .f.x. parallelepe-
pidum
, & ſexcuplum ipſi pyramidi propoſitæ.
367355EPISTOL AE.
Inueniatur nunc quadratum .u.n. æquale ſextæ parti ſuperficiei .f.i.g.h. quod per
ſe
facile erit,
deinde accipiatur altitudo corporis .f.x. ducendo vnam perpendicula
rem
à puncto .m. ad baſim .f.g.h. quę ſit .n.e. qua mediante, cum quadrato .u.n. fabri
cetur
ſolidum parallelepepidum .u.e. quod erit æquale dictæ pyramidi ex .33. vnde-
cimi
Euclid.
Repertæ nunc ſint duæ mediæ proportionales .r.s. inter .n.e. et .n.p. quarum .s. ſit
proximior
ipſi .u.p. ex qua .s. ſi conſtitutus fuerit cubus, habebimus propoſitum.
Pro cuius rei ratione, cogitemus corpus .u.e. productum eſſe vſque ad .a.o. per lon-
gitudem
.s. latus dicti cubi, qui quidem cubus ſit .d.b. vnde proportio corporis .u.e.
ad
corpus .e.o. erit, vt ſuperficiei .p.e. ad ſuperficiem .t.e. ex .33. undecimi, ipſæ verò
ſuperficies
ſibi inuicem erunt vt .n.e. ad .e.a. ex prima ſexti,
quare proportio corpo
ris
.u.e. ad corpus .e.o. dupla erit proportioni ipſius .s. ad .n.p. ſed cum ex .33 vndeci-
mi
, proportio cubi .d.b. ad corpus .e.o. ſit vt quadratũ .q.b. ad quadratum .o.a. & cum
proportio
.q.b. ad .o.a. dupla ſit ei quæ .q.o. ad .o.t. ex .18. ſexti, erit igitur proportio
cubi
.d.b. ad corpus .e.o. dupla ei quæ .q.o. ad .o.t. hoc eſt ei quæ .s. ad .n.p. ſed ita erat
corporis
.u.e. ad corpus .e.o.
quare ex .9. quinti, cubus .d.b. æqualis erit corpori.u.e.
hoc
eſt pyramidi propoſitæ.
Sed ſi oportebit cubum maiorem vel minorem ipſa pyramide reperire, in qua
proportione
tibi placuerit,
tunc opus erit aliud quadratum inuenire, quod in ea
proportione
ſe habeat ad quadratum .u.n. quam volueris, quo mediante ſimul cum
altitudine
pyramidis conſequemur propoſitum.
Aduertendum tamen quod fabri-
care
ipſum corpus ſerratile .k.f.h. & ſo
404[Figure 404] lidum .f.x. neceſſarium non eſt, niſi pro
demonſtratione
.
idemq́; dico de alijs
ſolidis
, nam pro ſimplici operatione
huiuſmodi
problematis, abſque ali-
qua
re neceſſaria ad ſpeculandum, ita
faciendum
erit.
Data pyramide .m.f.g.h. accipe eiꝰ
alitudinem
à pũcto .m. vſque ad ſuper
ficiem
baſis .f.g.h. quæ ſit .n.e. accipe
deinde
latus letragonicum quadrati .
405[Figure 405] u.n.
æqualis tertiæ partis ipſius baſis .f.
g
.h.
quod latus ſit .n.p. inter quod, et .
n
.e.
inuentæ cum fuerint duæ lineæ
mediæ
proportiona es .s. et .r. quarũ .
s
.
proximior ſit .n.p. quæ quidẽ .s. erit
latus
cubi quæſiti.
368356IO. BAPT. BENED.
Duplex modus par allelam orizontalem alicui muro propoſito
una
tantummodo statione ducendi.
AD EVNDEM.
DVcere parallelam orizontalem alicui muro recto propoſito vna tantummodò
ſtatione
, non ſolum poſſibile eſt ſed etiam facile.
Sit exempli gratia murus rectus .a.d. ſitus verò .o.n. Si cupimus ducere .n.u.
parallelam
dicto muro, accipiatur quadratum geometricum, ſeu ſcala altimetra
vel
aliquod ſimile inſtrumentum, quo mediante à ſitu .o. videbimus punctum .q.
quod
volueris ipſius muri, dexterã
verſus
, inferius tamen. ipſo .o. vnde
406[Figure 406] formatum habebimus triangulum .
n
.o.q
.
Quo facto ad partem ſiniſtrã
cum
eodem angulo .n.o.q. oporte-
bit
nos inuenire punctum aliquod .
p
.
in dicta ſuperficie muri,
& tunc
habebimus
angulum .n.o.p. æqua-
lem
angulo .n.o.q. vnde angulus .q.
n
.p.
nobis cognitus erit, duoq́; late
ra
.n.q. et .n.p. erunt inuicem æqua-
lia
, ex .26. primi Euclid. cum angu-
li
.q.o.n. et .q.n.o. ſint æquales angu
lis
.p.o.n. et .p.n.o. & latus .o.n. com
mune
, vnde angulus .q.n.g. extrinſe
cus
trianguli .p.q.n. reſiduusq́; ex
duobus
rectis nobis cognitus erit,
etiam
& eius medictas .q.n.u. æqua
lis
angulo .p.q.n. eo quod ex .5. pri-
mi
, anguli .q.p. ſunt inuicem æquales, & ex .32. eiuſdem, æquales ſunt extrinſeco .q.n.
g
.
& ex 27. n.u. erit parallela ipſi .q.p.
Aliter etiam poſſumus idem efficere, ſumendo duo illa puncta in ſuprem a linea
orizontali
ipſius muri ad ſuperiorem partem aſpiciendo, quemadmodum ad infe-
riorem
, quod vnum & idem erit, dummodò non aſpiciamus orizontaliter, eo quod
nos
oportet ſuperficiem conicam producere, linea viſuali mediante.
cognoſcere au­
tem
angulum .q.n.p. facile erit, conſtituendo primò inſtrumentum in ſitu trianguli .
o
.n.q.
aſpiciendoq́; punctum .c. in ſuperficie .n.q.o. & ſic in alia parte, exiſtente in-
ſtrumento
in ſitu trianguli .o.p.n. aſpicere oportet punctum .e. proximum puncto .n.
vbi
poſſit metiri angulum .c.n.e.
Sed ſi ſitus puncti .n. talis eſſet, vt ab eo non poſſet aliquis murum videre ad re-
ctos
angulos, aſpiceremus punctum .q. ſub orizontali ab oculis noſtris, in orizontali
tamen
puncti .n. ita quod angulus .o.n.q. rectus exiſtat, quo facto obſeruando angu-
lum
.n.o.q. eo mediante, medianteq́ue .n.o. cum angulo .o.n.q. cognoſcemus
quantitatem
diſtantiæ .n.q. idem etiam faciendum eſt cum alio puncto .p. quod
volueris
, & mediantibus duobus punctis inuicem proximis .c.e. cognoſcatur an-
369357EPISTOL AE. gulus .p.n.q. vnde ex methodo .56.
407[Figure 407] primi triangulorum Monteregij,
cognoſcemus
reliqua trianguli .
q
.p.n
.
Conſtituendo poſtea angu-
lum
.q.n.u. æqualem angulo .n.q.p.
propoſitum
habebimus.
Si etiam puncta .q.p. lineæ .q.p.
orizontali
in eodem plano non exi
ſterent
cum puncto .n. nihil refer-
ret
, dummodo in pauimento notẽ
tur
pũcta .c.e. proxima .n. in ijſdem
ſuperficiebus
triangulorum .n.o.p.
et
.n.o.q. vnde .n.c. et .n.e. erunt cõ-
munes
ſectiones dictarum ſuperficierum cum ſuperficie pauimenti ſupra quam fit
ſtatio
.
CONI RECTI DIVISIO A PLANO
parallelo
baſi ſecundum datam proportionem.
Rapbaeli de Auria.
QVotiescvnqve volueris conum rectum diuidere à plano parallelo ba-
ſi
ſecundum vnam datam proportionem, nullius tibi erit difficultatis, con
ceſſa
tamẽ pro inuenta diuiſione cuiuſuis propoſitę proportionis per tres
æquales
partes.
Sit exempli gratia conus rectus .a.b.c. ſecandus vt dictum eſt, accipiatur latus
ipſius
, quod ſit .a.c. ipſumq́; diuidatur in puncto .d. ſecundum illam proportionem
quam
deſideras, hoc eſt ipſius .a.c. ad .a.d. quo facto, inter totum .a.c. et .a.d. inuenian
tur
duæ lineæ proportionales, quarum maior ſit .a.i.
tunc ſi conus .a.b.c. ſectus fue-
rit
à plano per punctum .i. parallelo baſi, habebimus quod quærebamus.
Cuius rei ratio, primò eſt, quia quotieſcunque conus aliquis ſectus fuerit ab ali-
quo
plano parallelo baſi ipſius, pars ſuperior ſimilis ſemper erit totali cono, quod
ita
probo, cogitemus conum ſectum eſſe
à
plano per axem .a.l. vnde ex .3. primi
408[Figure 408] Pergei, talis ſectio triangularis erit, quæ
ſit
.a.b.c. et .b.c. diameter erit baſis.
Imaginemur deinde .K.i. communem
eſſe
ſectionem huiuſmodi trianguli cum
plano
parallelo ipſi baſi,
tunc tale planũ,
circulare
erit ex .4. primi ipſius Pergei .K.
i
.
verò, eius diameter erit, et .a.m. ſuꝰ axis.
Cum verò .a.l. ſit perpendicularis ipſi
baſi
conitotalis, eo quod rectus ſupponi-
tur
, ideo eadem .a.m.l. erit perpendicula
ris
eriam ipſi ſecundo plano circulari, ex
conuerſa
.14. vndecimi Euclid.
vnde ex
370358IO. BAPT. BENED. ſecunda definitione eiuſdem libr .a.m.l. efficiet angulos rectos cum duabus .b.c. et .K.
i
.
in punctis .m. et .l. et .k.i. parallela erit ipſi .b.c. ex .28. primi, quod etiam poteſt con
cludi
mediante .16. vndecimi, cum .k.i. et .b.c. ſint communes ſectiones duorum pla
norum
cum triangulari.
Deinde ex .29. primi anguli .a.i.m. et .a.c.l. erunt inuicem
æquales
, idem etiam dico de angulis .a.k.i. et .a.b.c. anguli poſtea ad .a. communes
ſunt
triangulis .l.a.c. et .m.a.i. vt triangulis .l.a.b. et .m.a.k.
Vnde ex .4. ſexti, eadem
proportio
erit ipſius .m.i. ad .l.c. & ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .a.m. ad .a.l.
Quare ex
vndecima
quinti, ita erit ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .m.i. ad .l.c. & ex .13. eiuſdem, ita
erit
ipſius .k.i. ad .b.c. vt .m.i. ad .l.c. ſed ipſius .m.i. ad .l.c. eſt vt ipſius .a.m. ad .a.l. quod
iam
dictum eſt, vnde ex .11. dicta, ita erit ipſius .k.i. ad .b.c. vt ipſius .a.m. ad .a.l. & ex
16
. dicti ita erit ipſius .a.m. ad .k.i. vt ipſius .a.l. ad .b.c.
Quare ex definitione ab Eu-
cli
. poſita in .11, lib. pars coni ſuperior ſimilis erit cono totali.
Deinde ſciendum eſt illud quod Euclid. ſcribit in .10. duodecimi lib. hoc eſt,
proportio
duarum pyramidum inuicem
ſimilium
, triplicata eſt ei diametrorum
409[Figure 409] ſuarum baſium, hoc eſt, quod proportio .
b
.c.
ad .k.i. tertia pars erit proportionis to
tius
pyramidis .a.b.c. partiali pyramidi .a.
k
.i.
ſed ita eſt ipſius .a.c. ad .a.i. vt ipſius .b.
c
.
ad .k.i. ex .4. ſexti cum trianguli .a.b.c.
et
.a.k.i. ſint æquianguli, quod ex ijs, quę
ſuperius
diximus facile compręhenditur.
Quare ꝓportio .a.c. ad .a.i. tertia pars erit
proportionis
totius coni .a.b.c. ad eius par
tem
abſciſſam .a.k.i. ſed eadem proportio
ipſius
.a.c. ad .a.i. erat etiam tertia pars pro
portionis
ipſius .a.c. ad .a.d.
Quare ex com
muni
conceptu, proportio totius pyramidis, ad partem abſciſſam, æqualis erit pro-
portioni
ipſius .a.c. ad .a.d.
De differentia caloris Solis propter vaporum
altitudinem
.
AD EVNDEM.
NOlo, mihi credas, ſed ex rationibus, quas tibi ſcribo conſidera, quod quo
tieſcunq; craſſities vel dẽſitas vaporũ, ſeu altitudo, maior eſſet ea, quę nunc re-
peritur
,
tunc minor differentia eſſet inter maiorem minoremq́; calorem Solis, quam
nunc
ſentiamus.
Pro cuius rei euidentia, imaginemur in hac ſubſcripta figura, li-
neam
.o.a. pro ſemidiametro terræ, et .a.c. pro craſſitie vaporum, vt nunc ſe
habet
, et .a.d. pro maiori craſſitie, imaginemurq́ue lineam .a.b. quaſi perpen-
dicularem
ad .o.a. quæ abſciſſa ſit in puncto u. à circunferentia .c.u. inferiori prio-
rum
vaporum.
Tunc dico minorem eſſe proportionem ipſius .a.b. ad .a.d. quam ipſius .a.u. ad .a.
c
.
cogitemus ergo protractas eſſe lineas .o.b: d.b: c.u. et .c.n. quæ .c.n. ſecabit .a.u. in
371359EPISTOL AE. puncto .i. ex communi conceptu, &
410[Figure 410] parallcla erit ipſi .d.b. ex. ſecunda par-
te
ſecundæ ſexti, vnde ex prima parte
ciuſdem
, ita eritipſius .b.i. ad .i.a. vt .d.
c
.
ad .c.a. & coniunctim ita erit ipſius .b.
a
.
ad .a.i. vt ipſius .d.a. ad .a.c. & permu
tatim
ipſius .a.b. ad .a.d. erit, vt .a.i.
ad
.a.c. ſed cum .a.u. maior ſit ipſa .a.i.
vt
omne totum maius eſt ſua parte.
maior proportio erit ipſius .a.u. ad .a.
c
.
quam ipſius .a.i. ad .a.c. hoc eſt quam
ipſius
.a.b. ad .a.d.
Verum igitur eſt
propoſitum
.
De differentia caloris Solis reſpectu altitudinis ipſius.
AD EVNDEM.
QVodà me poſtulas deinde, ita ſe habet. Inquis enim, quod cum differentia
inter
maiorem, minoremq́; calorem, oriatur etiam ex differentia maioris
quantitatis
vaporum ad minorem, per quam quantitatem vaporum rranſit lumen
Solis
(vt alias etiam tibi dixi) velles nunc ſcire quantitatem ipſius differentię, quæ
inter
duas Solis datas altitudines ſupra orizontem reperitur.
Quapropter imaginemur circulum .a.e. pro magno terræ, et .z.b.d. pro magno
vaporum
, ſupponatur etiam quod angulus .z.o.d. vel .z.a.b. qui ſunt inuicem fe-
æquales, ſit angulus diſtantiæ Solis à zenit, z.a. verò ſit ſpiſſitudo vaporum, et .a.
b
.
radius tranſiens per vapores dictos.
nunc
411[Figure 411] quæratur proportio, quæ eſt inter .a.b. et .a.
z
.
qua inuenta, angulo .z.a.b. mediante,
quæremus
eandem mediante angulo .z.a.b.
maiore
priori, velipſo minore, vnde cogno
ſcemus
differentiam duarum .a.b. quæ qui-
dem
inæquales inuicem erunt, eo quod ſup
ponatur
.a.z. immutabilis, & hoc ita facie-
mus
.
Imaginabimur .o.b. quæ claudat trian
gulum
.a.b.o. & quia .a.z. cognita eſt quam
Alhazem
docetinuenire, cognoſcimus etiã
o.a. vt ſemidiametrum terræ, vnde .o.b. et .
o
.a.
duo latera trianguli .a.o.b. cognita erũt
ſimul
cum angulo .o.a.b. reſiduo duorum re
ctorum
, eo quod reliquus .z.a.b. datus eſt.
Quare .a.b. cognita erit reſpectu .o.a. et .o.
b
.
et .a.z. quæ eſt eorum differentia.
Nunc
ſi
idem faciemus cum alia .a.b. ſub diuerſo
angulo
, habebimus propoſitum.
372360IO. BAPT. BENED.
NOTABILES ERRORES ORONTII
& Tartaleæ.
Cornelio Bitonto.
PArvvs error non fuit, vt putabat Orontius, quodanguli triangulorum
æquicrurium
inuicem æqualium, baſibus oppoſiti, ijſdem baſibus propor
tionales
eſſent, cuius opinionis cauſa fuit quod nunquam viderit vel me
minerit
eius quod Ptolomeus ſcripſit lib. primo Almageſti, vbi de diſpro
portionalitate
chordarum arcuumq́; tractat, vel quod ſcribit Vitellio lib. primo pro
poſitione
.35. ſeu lib. quarto, propoſitione .21. quod idem eſt.
Sed nec ego tibi pro
ponam
id quod ſcribit Nicolaus Tartalea diuiſioni .28. quinti capitis quartæ partis
ſuorum
tractatuum, eo quod non exactè ſcientificè ſcripſerit, nec vniuerſaliter, quã-
uis
talis propoſitio poſſit ſcientificè ſcribi, accipiendo .b.c. in eius figura, pro latere
octagoni
, vnde angulus .a.e.b. duplum foret angulo .b.e.c. collocato poſtea .b.c. in
arcu
.a.b. punctum .c. medium fuiſſet dicti arcus, et .e.c. diuideret .a.b. per æqualia,
ex
quinta primi, nec non ad rectos ex .3. tertij, vnde ex .18. primi, clare vidiſſemus
non
eſſe proportionem .a.b. ad .b.c. vt anguli ad angulum.
Sed vniuerſaliori modo
poſſumus
hoc ſpeculari.
Nam manifeſtè ſcimus, eandem eſſe proportionem circun
ferentiæ
ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus.
Sint igitur duo anguli .a.e.b. et .c.e.b. cuiuſuis amplitudinis, quorum latera .e.a: e.b:
et
.e.c. ſint inuicem æqualia, protrahatur .b.a. et .b.c.
Tunc dico maiorem proportio
nem
eſſe anguli .a.e.b. ad angulum .b.e.c. quam .a.b. ad .c.b. ducatur enim .b.g. ita
faciat
angulum .g.b.c. æqualem angulo .e.b.a. protracta poſtea .c.g. quæ idem faciat
in
puncto .c. vnde .g.b. et .g.c. æquales inuicem erunt ex .6. primi, & quia angulus .a.
æqualis
eſt angulo e.b.a. ex quinta eiuſdem, ideo ex .32. dicti, et .4. ſexti, horum
duorum
triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia.
Conſtituto deinde .g.
centro
, & ſecundum ſemidiametrum .g.b. vel .g.c. quod idem eſt, deſcripto circu-
lo
.b.i.c. necnon circulo .b.c.a. circa centrum .e. ope ſemidiametri .e.b. et .e.a. vn
de
iſte circulus eritillo maior, cum .e.b. maior ſit .g.b. ex .14. quinti. cum ex .14. tertij
a.b. longior ſit .c.b. ſed ex vltima definitione tertij, arcus .b.i.c. et .b.c.a. erunt in-
uicem
ſimiles, hoc eſt proportio totius cir-
cunferentiæ
circuli .b.i.c. ad arcus .b.i.c. ea-
412[Figure 412] dem erit, quæ totius circunferentiæ circuli
b.c.a. ad arcus .b.c.a. ſed proportio diame-
tri
ad circunferentiam eſt vt diametri ad cir
cunferentiam
, vt ſupra diximus;
Quare ex
proportionum
æqualitate, vt ſemidiametri
ad
circunferentiam erit, vt ſemidiametri
ad
circunferentiam, & per eandem propor
tionum
ęqualitatem, proportio .e.b. ad arcũ
b.c.a. erit, vt .g.b. ad arcum .b.i.c. & per ean
dem
æqualitatem, ita erit .a.b. chordæ ad ar
cum
.b.c.a. vt .c.b. chordæ ad arcum .b.i.c.
& permutando, ita erit chordæ .a.b. ad chor
dam
.c.b. vt arcus .b.c.a. ad arcum .b.i.c. ſed
arcus
.b.i.c. maior eſt arcu .b.d.c. ex commu­
373361EPISTOL AE. ni ſcicntia. Quare maior proportio erit acus .b.c.a. ad arcum .b.d.c. quam ad arcum
b.i.c. ex .8. quinti.
Vnde ex vltima ſexti et .12. quinti, proportio anguli .a.e.b. ad an-
gulum
.c.e.b. maior erit quam chordæ, ſiue baſis .a.b. ad chordam ſiue baſim .c.b.
DE CAVSA SVSPENSIONIS NVBIVM
in
aere contra Antonium Bergam.
Clarißimo Franciſco Venerio.
EGo enim non tantum miror ea quæ mihi ſcripſiſti de opinione Ortenſij
quantum
quod Antonius Berga putat nubes à Sole ſupenſas teneri, id pla
falſum eſt, vera cauſa huiuſmodi effectus, alia nulla eſt, niſi earundem
raritas
hoc eſt, cum rariores ſint ipſo aere ſubiecto,
propterea ſupra ipsũ
natant
& ſtant ſub eo qui rarior ipſis eſt, eo quod corpora rariora poſita in medio
non
tam raro, aſcendunt, & denſiora in medio minus denſo deſcendunt.
Nam ſi
Sol
ipſas nubes ſuſpenſas in aere teneret, hoc interdiu tantummodo fieret, ſed no
ctu
, cur non deſcendunt vſque ad terram, & in eodem loco ſemper manent?
Scien-
dum
igitur eſt nubes aſcendere in altum quouſque inueniant aerem eiuſdem ra-
ritatis
cuius ipſæ ſunt.
Raritas enim & denſitas non ſunt res viſibiles niſi per acci-
dens
, quemadmodum etiam leuitas, & grauitas, opacitas verò & diaphaneitas ma
gis
compræhendũtur, opacitas enim ex reflexione radiorum luminoſorum, diapha
neitas
verò compræhenditur ex penetratione ipſorum radiorum, opacitas autem nu
bis
non eſt denſitas, cum valde diuerſa ſit denſitas ab opacitate, ſicut raritas ab dia-
phaneitate
, vt aliàs dixi.
Et quando dicit, quod Sol calefaciendo aerem ipſam nu
bem
ambientem, rarefaciat eum magis quam ipſam nubem reſpondeo, hoc verum
non
eſſe, propterea quodradius Solis non multum calefacit ea corpora, quæ ip ſi per
mittunt
liberum tranſitum.
vnde corpora quanto magis diaphana ſunt tanto minus
ab
ipſo radio luminoſo calefiunt, ſed ea quæ magis opaca ſunt, magis etiam calefiunt
& per conſequens magis rarefiunt, cum calidi ſit per ſe rarefacere, & non attrahere,
vt
ipſe & ferè omnes alij putant.
DE RATIONE EXTENSIONIS FVNIS
cuiuſdam
libramenti, & de quadam ſimboleita-
te
circuli cum ellipſi.
Angelo Ferrario Serenißimi Ducis Sabaudia
Agrimenſori
expertißimo.
TIbi in mentem veniet, quod cum ſuperioribus diebus in villa lucenti, in
qua
degebat Sereniſſimus Dux noſter, dum viridarium ad æquilibrium
reducebas
, eſſemus, à te quæſiui an ſcires vnde fieret, vt ſtante libramen-
to
ad angulos rectos ſupra ſuum pedem, funis quæ extrema eiuſdem li-
bramenti
cum pede in formam trianguli æquicruris coniungit, magis diſtentus exi-
ſteret
, quam cum dictum libramentum cum pede obliquum remanet, ita vt huiuſ-
374362IO. BAPT. BENED. modifunis cum libramento triangulum ſcalenum conſtitueret.
Exempli gratia, ponamus lineam .d.b.c. eſſe libramentum .et .b.e.u. eius pedem,
funem
autem, qui aliquando cum libramento facit triangulum iſocellum, & aliquan
do
ſcalenum, eſſe .d.e.c. eſto etiam quod in figura .A. dictus triangulus .d.e.c. ſit iſo-
cellus
, & in figura .B. ſcalenus.
Tunc quæſiui à te an ſcires rationem, quare
funis
.d.e.c. in figura .A. eſſet diſtenſus, & in figura .B. laxus quemadmodum vide-
bamus
.
cum mihireſponderis, neſcio quid, quod nunc memoria teneo, ſed quia
pollicitus
ſum metibi eam afferre, propterea nunc ad te mitto.
Scias ergo huiuſ-
modirationem
nihil aliud eſſe niſi quod in figura .A. duæ lineæ .c.e. et .d.e. ſimul è
directo
iunctæ longiores ſint illis, quę reperiuntur in figura .B. ſed quia funis tam in
figura
.B. quam in figura .A. vnus, & idem eſt, ideo in figura .B. laxatus eſt, & non in
tenſus
, ut in figura .A.
Sed vt huiuſmodi veritatis certam notitiam habeas, infraſcri
ptum
circulum mente concipe .f.e.i. cuius ſemidiameter, æqualis ſit .b.e. & diame-
ter
ſit .f.i. in quo imaginare eſſe tuum
libramentum
.d.b.c. & figuras .A. et .B.
413[Figure 413] 414[Figure 414] & pr obabo lineas .d.e.c. figurę .A. lon
giores
eſſe lineis .d.e.c. figuræ .B.
Imaginemur igitur lineam .b.e. eſſe
dimidium
minoris axis alicuiꝰ ellipſis
cuius
quidem figuræ ponamus .d. et .c.
centra
ipſius circunſcriptionis eſſe, cu
ius
circunferẽtia, nullidubium eſt, quin
extra
propoſitum circulum tranſitura,
& in vno tantummodo puncto ipſum
circulum
tactura ſit, qui exiſtat .e.
figuræ .A. ſeparatum tamen à puncto
e
. figuræ .B.
Tunc ſi protracta fue-
rit
linea .d.e. figuræ .B. vſque ad gi
415[Figure 415] rum ellipticum in puncto .g. à quo
ad
punctum .c. ducta etiam ſit linea
g.c.
tunc manifeſtũ erit duas lineas
d.e. et .e.c. figuræ .A. ſimul iunctas,
æquales
eſſe duabus .d.g. et .g.c. ſi-
mul
poſitis, vt etiam ex .52. tertij
Pergei
facilè videre eſt, ſed ex .21.
primi
Euclid. iam certò ſcimus .d.g.c. longiores eſſe .d.e.c. ſiguræ .B. ergo .d.e.c. figu-
.A. longiores ſunt .d.e.c. figuræ .B. quod eſt propoſitum.
Quod etiam mihinunc circa hoc ſuccurrit, tibi libenter ſignifico, hoc eſt, quod
ſicut
in ellipſi duæ lineæ .d.e.e.c. figuræ .A. ſimul iunctæ, ſunt ſemper æquales duabus
lineis
.d.g.g.c. in longitudine, ita in circulo duæ .d.e.e.c. figuræ .A. æquales ſunt in
potentia
duabus .d.e.e.c. figurę .B.
Manifeſtum enim primum eſt ex penultima primi in figura .A. quadratum .e.c.
æquale
eſſe duobus quadratis ſcilicet .e.b. et .b.c. & quadratum .e.d. æquale duobus .
e
.b.
et .b.d.
Quare quadrata .e.c. et .e.d. æqualia ſunt quadratis .e.b. figuræ .A. et .e.
b
.
figurę. B et .b.c. et .b.d. hoc eſt duplo quadrati .e.a. (ducta cum fuerit .e.a. perpen-
dicularis
ad .c.b.d.a.) duplo quadrati .a.b. ex penultima primi, & duplo quadrati .b.
c
.
Sed quadrata .d.e. et .e.c. figurę .B. æqualia ſunt duplo quadrati .a.e. & quadrato a.d.
375363EPISTOL AE. & qua drato .a.c. ex eadẽ. Nunc videndum eſt vtrũ duplũ quadrati .a.e. duplo qua
drati
.b.a. duplo quadrati .b.c. ſit æquale duplo quadrati .a.e. quadrato .a.d. &
cum
quadrato .a.c.
Sed quia tam ex vna parte quàm ex alia habemus duplum qua-
drati
.a.e.
Videndum igitur erit vtrum duplum quadrati .a.b. ſimul cum duplo qua-
drati
.b.c. ęquale ſit quadrato .a.c. cum quadrato .a.d. ſed hoc manifeſtum eſt .ex .10.
ſecundi
Euclidis, dato quod punctũ .a. ſit inter .f. et .d. ſed ſi fuerit inter .d. et .b. hoc
manifeſtum
erit ex .9. ſecundi dicti, nihilominus accipe hunc alium modum.
Sit hic ſubſcriptum quadratum .D. ex .a.c. in ſeipſa producta, cuius diameter ſit
a.n. protrahanturq́ parallelę .d.h: b.K: l.m.o. et .r.q.s. eiq́; addatur .c.p. ad .a.c. æqua-
lis
tamen .d.a. ſitq́; protracta .p.u. vſque ad .m.o.u. vnde habebimus .a.n. pro totali
quadrato
, et .p.s. pro partiali, & æquali quadrato lineæ .a.d.
Videndum nunc eſt, vtrũ
hęc
duo quadrata æqualia ſint duobus quadratis lineæ .a.b. & duobus lineæ .b.c.
duo
quadrata lineæ .b.c. ſint .K.o. et .h.l. videndum nunc eſt utrum reſiduum ęquale
ſit
duobus quadratis lineę .a.b. quorum vnum ſit .m.b. alterum verò .l.p. quod ſupe-
rat
.l.c. et .s.p. figuræ .D. per ſupplementum .o.t. cui æquale eſt parallelogrammum .h.
m
.
figuræ .D. ſed ſi punctus .a. poſitus fuerit inter .d. et .b. conſtituto quadrato .d.u.
omnibus
parallelis, vtin figura .C. viderelicet, in qua figura videbimus quadrata .r.
n
.
et .d.r. ęquari duplo quadratorum .l.n. et .r.l. nam in quadrato .r.n. ipſa duo quadra-
ta
.l.n. et .r.l. capiuntur, reliquum eſt igitur vt videamus an duo ſupplementa .l.t. et .l.
s
.
cum quadrato .d.r. ſint æqualia dictis q́uadratis .l.n. et .r.l. ſed quadratum .d.l. æ qua-
tur
quadrato .l.n. videndum igitur eſt,
an
duo ſupplementa .l.t. et .l.s. cum qua
416[Figure 416] drato .d.r. ſint æqualia duobus quadra
tis
.d.l. et .r.l. ſed quadratum .d.l. æqua-
tur
quadrato .d.r. & ſupplemento .l.t.
mediante
.q.l. & ſupplemento .r.b. ſup-
plementum
verò .l.s. ſuperat ſupplemẽ
tum
.r.b. per quantitatem æqualẽ qua-
drato
.r.l.
quare duo ſupplementa .l.t.
et
.l.s. cum quadrato .d.r. æquantur qua
drato
.d.l. quadrato .l.r. verum igitur eſt duas .d.e.e.c. figuræ .A. æquales eſſe in
potentia
duabus d.e.e.c. figurę .D. quæ quidem affectio circuli, à nemine fuit adhuc
(quod ſciam) detecta.
376364IO. BAPT. BENED.
DE AVGMENTO PONDERIS CORPORIS
ad
ſtateram appenſi, & quadam alia demonſtratione,
& quibuſdam erroribus Tartaleæ.
Mutio Groto.
SI ea quæ à me audiuiſti non credis, conſidera quæſo libram ſeu ſtateram
o.a. cuius centrum non longitudinis ſed ponderum ſit .i. quę ſtatera, vt ori
zontaliter
conſiſtat, oportebit pondus extremitatis .o. ita ſe habere
ad
pondus extremitatis .a. ut .a.i. ſe habet ad .o.i. quod te ſcire puto, ima
ginemur
nunc d uas lineas .a.e. et .o.n. paralle las infinitasq́; & à puncto .n. immobili,
& fixo extra ſtateram, tranſeat per .i. linea .n.i.e.
Cogitemus etiam punctum .e. inter
ſectionis
ipſius .n.i.e. cum .a.e. progredi vniformiter continuòq́; ab .a. per lineam .a.e.
vnde
punctum .i. interſectionis ipſius .n.i.e. cum .a.i.o. ſemper vicinius fiet puncto .o.
nec
unquam cum illo vnum erit, quamuis moueatur tempore infinito.
Nunc autem
dico
, quod cum ſtateram .o.i.a. oporteat ſemper orizontalem eſſe virtute ponderis,
o
. oportebit pundus .o. in infinitum etiam augeri, quotieſcunq; pondus .a. nunquam
diminui
voluerimus vel econtra hoc in infinitum diminui, ſi illud nunquam augeri
voluerimus
.
Sedre vera non putabam te indigere aliqua demonſtratione, quod linea .b.h. di-
uiſa
ſit per æqualia à linea .c.a. cum hæc perpendicularis ſit ab .a. ad baſim .g.d. in triã
gulo
orthogonio .g.a.d. & cum ſit .b.h. perpendicularis ad .a.o. ex ſuppoſito quæ .a.
o
.
in ſe habet punctum medium baſis .g.d. nec illud anguli recti .a. quod per ſe cla
riſſimum
eſt, cum iam ſcis .o. eſſe centrum circuli circundantis triangulum .g.a.d. or-
thogonium
, et .g.d. eius diameter, vnde .o.a. æquabitur ipſi .o.g. quapropter angulus
o
. ã. g. æquabitur angulo .g. ex quinta primi,
deinde ex .32. eiuſdem, angulus .h. æqua
bitur
angulo .d. eo quod an gulus .e. rectus eſt, quemadmodum et .a. ſed angulus .d.
æqualis
eſt angulo .g.a.c.
& propterea angulus .h. erit etiam æqualis angulo .h.a.u.
vnde
.h.u. æqualis erit ipſi .u.
a
.
ex .6. primi, cum poſtea angulus .
417[Figure 417] o.a.d.
æqualis ſitangulo .d. ex quin­
ta
primi erit angulus .a.b.e. æqua-
lis
angulo .g. ex .32. dicta, eo quod
e
. rectus eſt, & ex eadem æqualis
erit
angulo .d.a.c. vnde .u.b. erit
æqualis
ipſi .u.a. ex .6. dicti, & ideo
æqualis
eric ipſi .u.h.
Reliqua ve-
illius propoſitionis credo ex te
omnia
poſſe ĩtelligere, excepto,
vt
tibi ſignificaui ſi à pũcto .i. com-
muni
ipſi .a.c.u. & circunferentiæ,
ducta
fuerit .i.x. ad pũctum .x. com
mune
vni parallelæ à pũcto .g. ipſi
h.b. & circunferentiæ, quod di-
cta
.i.x. ad rectos erit ipſi .a.b.d. eo
quod
cum angulus .a.g.x. æqualis
377365EPISTOL AE. ſit angulo .a.h.b. propter æquidiſtantiam dictam, æqualis etiam erit angulo .d. & ar-
cus
.a.x. æqualis arcui .a.g. vnde angulus .a.i.x. æqualis erit .d. ſed angulus .i.a.d. com-
munis
eſt triangulis .c.a.d. et .i.a.t.
quare angulus .a.t.i. rectus erit, vt .c. hoc eſt .i.x. per
pendicularis
erit ipſi .a.d.
Sed vbitibi ſcripſi circa finem illius epiſtolæ, Tartaleam erraſſe in quinta propo-
ſitione
primi lib. ſuæ nouæ ſcientiæ, non ſine ratione illud ſcripſi.
Nam, inquit ipſe,
nullum
corpus æquè graue poteſt in aliquo temporis ſpatio moueri motu naturali,
violentoq́; ſimul miſtis.
Vbi decipitur, eo quod non animaduertit incrementum ve
locitatis
vnius motus, ſimul eſſe cum decremento velocitatis alterius, eodemq́; tem
pore
, vt manifeſtè patet in itinere corporis, ab ipſo pro exemplo aſſumpto, hoc eſt
quod
velocitas motus in ſpatio .c.d. creſcit vt naturalis, & decreſcit vt violenta.

creſcit
orizontem verſus & decreſcit in remotione à linea .a.b. ſed ſi à puncto .c. ad
punctum
.d. motus eſſet purè violentus, vt putat Tartalea, corpus illud minimè de-
ſcenderet
, eo quod uirtus mouens, in .a. poſita, nullo pacto poteſt talem effectum ef-
ficere
, vnde ab ipſa natura prouenit deſcenſio illius corporis propter grauitatẽ, quã
dictum
corpus habet in tali medio, aeris ſcilicet, & non ex violentia aliqua.
Sed ſi
dixiſſet
ipſe, illum motum eſſe purum naturalem, hoc eſſet falſum, eo quod purus
naturalis
motus alicuius corporis non impediti, extra locum ſuum, ſit per lineam re
ctam
, & non per curuam, vt videre eſt inter .c. et .d.
In vltima propoſitione deinde eiuſdem lib. quæ .6. eſt decipitur ſimiliter, & hæc
deceptio
oritur ab ignoratione quintæ, & à putando motum naturalem non eſſe cau
ſam
ipſius deſcenſus per ſpatium .c.d.
Sed quia tibi ſignificaui expeditiorem viam
repeririad
cognoſcendã proportionem inter .a.h. et .a.e. in vltima propoſitione ſe-
cundi
lib. ipſius Tartaleæ, ipſam nunc tibi ſcribo.
iam ſcis angulum .h.l.i. diui-
ſum
eſſe per æqualia ab .P.l. & quod .a.h. et .h.p. ęquales inuicem ſunt ex .6. primi Eu-
cli
.
vnde .p.i. et .a.h. æquales erunt inuicem ſimiliter, ſed ex .3. ſexti ita eſt ipſius .a.l.
ad
.l.i. vt ipſius .a.p. ad .p.i. & coniunctim ita erit .a.l.i. ad .l.i. vt .a.i. ad .p.i. ſed .a.l. cogni
ta
eſt ex eius quadrato, et .l.i. etiam, cum æqualis ſit ipſi .a.i. vnde ex regula de tribus
notam
habebimus .p.i. reſpectu .a.i. & ita reſpectu .a.e. ſi hypotheſes ipſius Tartaleæ
veræ
ſunt.
Alia demonstratio impoßibilitatis diuidendi per æqualia
proportionem
ſuperparticularem in
diſcretis
.
AD EVNDEM.
QVod à me poſtulas, hoc eſt ſcientiam impoſſibilitatis diuidendi per æqualia
proportionem
ſuperparticularem in numeris ſatis à Campano in .8. octaui
potes
habere, Iacobus Faber Stapulenſis etiam idem tractat in libello ſuę muſicæ
demonſtratæ
.
Sed ſi etiam alia via idem deſideras, quamuis longiori, nihilomi-
nus
vniuerſaliori, conſidera duos numeros .g. et .h. inuicem relatos ſecundum pro-
portionem
ſuperparcicularem, quam volueris.
Tunc dico impoſſibile eſle, vt per
æqualia
diuidatur, quod ſi dixeris poſſibile eſſe, ſit per te .K. medius numerus
378366IO. BAPT. BENED. proportionalis inter .g. et .h. quare .g. et .h. non erunt minimi in ea proportione, quia
vnitas
diuiſibilis eſſet ſi .g.h. minimi fuiſſent, quod non conceditur, ſint igitur mini
mi
in dicta proportione .a. et .b. quorum differentia erit vnitas, vt ſcis, ſitq́; .c. quadra
tum
ipſius .g. et .d. quadratum ipſius .K.
tunc clarum erit ex .11. octaui, quod propor-
tio
ipſius c. ad .d. eadem erit quæ .g. ad .h. hoc eſt vt ipſius .a. ad .b. vnde ſi vnus termi.
norum
.a. vel .b. eſſet quadratus, reliquus etiam quadratus eſſet ex .22. octaui, & ex
16
. eiuſdem, inter .a. et .b. reperiretur aliquis medius numerus proportionalis, quod
fieri
non poteſt ex hypotheſi, cum inter .a. et .b. nullus ſit numerus, quia differunt in
ter
ſe per vnitatem tantummodo.
Nunc autem cum nullus numerorum .a. vel .b. qua
dratus
ſit, ponatur quod .f. quadratus ſit ipſius .b. et .e. ſit productum ipſius .a. in .b. vn
de
ex .18. ſeptimi, proportio ipſius .e. ad .f. erit vt. ipſius .a. ad .b. hoc eſt vt ipſius .c. ad
d
. quapropter .e. erit quadratus ex .22. octaui, cuius latus tetragonicum eſſet mediũ
proportionale
inter .a. et .b. ex .20. ſeptimi, quod eſt impoſſibile, vt iam dixi, cum .a.
et
.b. ſint inui cem conſequentes, vnus poſt alium immediatè.
Superius enim dixi hunc modum eſſe vniuerſalem,
hoc
eſt quod hac methodo poſſumus in cognitionem
vcnire
, quod non ſolum in duas æquales partes diui-
418[Figure 418] di non poſſit, ſed nec in tres, nec quatuor nec quot vo
lueris
.
Primum enim quod non in tres diuidatur à te
ipſo
cognoſces ope cuborũ vice quadratorũ, opevero
cenſuũ cẽſuũ, vel qui cognouerit eam proportionẽ
eſſe
indiuiſibilem per æqualia, illicò etiam cognoſcet
indiuiſibilem
eſſe per quatuor partes, ope verò pri-
morum
relatorum, cognoſcet non eſſe diuiſibilem per
quinq; partes, & ſic de cęteris, ſed mediantibus ijs
quas
ſcripſi de iſtis dignitatibus in libro Thęorematũ
arithmeticorum
.
Id autem quod Illuſtriſſimus Daniel Barbarus ſcri
bit
in quinta parte ſuæ perſpectiuæ, ſi ſupra aliquo im
mobili
, atque magno pariete facere volueris, te opor
tebit
hoc ex reflexione radij ſolaris à ſpeculo plano
perficere
.
DE INVENTIONE DIAMETRI
circuli
circunſcribentis triangulum.
Francbino Triuultio.
QVod mihi nunc proponis eſt triangulum, cuius baſis cum angulo ſibi op
poſito
dantur.
Vellesq́; diametrum circuli apti eum triangulum circnn-
ſcribere
inuenire in diſcreto.
Sit igitur triangulum .a.b.g. cuius baſis .b.g. ſimul cum angulo .a. ei op-
poſito
data ſit in numeris.
Imaginetur ergo circulas circunſeribens ipſum triangu-
lum
.b.p.g.q. cuius diameter ſit .q.p. perpendicularis eius baſi .b.g. vnde .b.g. diuiſa
erit
per æqualia ab ipſo diametro in puncto .m. per tertiam tertij, protrahatur etiam
379367EPISTOL AE. e .g. vnde angulus .g.e.q. æqualis erit angulo .b.a.g. portionis, cum duplus ſit angulo
q.p.g. medietati anguli ipſius portionis ex .19. tertij, ita quod angulus .q.e.g. nobis
cognitus
erit, & ſimiliter arcus .g.q. & conſequenter ar-
cus
.p.g. reſiduum medij circuli, & ſic .m.g. eius ſinus re
419[Figure 419] ctus, & etiam chorda .p.g. vt dupla ſinus dimidij arcus .
p
.g.
& ſic .p.m. eius ſinus verſus, vel vt tertium latus trian
guli
orthogonij .p.g.m. vnde nobis cognita erit propor
tio
ipſius .b.g. (quæ dupla eſt ipſi .m.g.) ad .m.p. & quia
productum
.p.m. in .m.q. æquale eſt ei, quod fit ex .b.m.
in
m.g. ex .34. tertij, quapropter nobis cognita erit pars
q.m. quæ cum .p.m. complet totum diametrum .q.p. vn
de
nobis cognita erit proportio ipſius .b.g. ad .q.p. qua
mediante
cognoſcemus diametrum ſecundum partes il
las
quibus propoſita ſuerit .b.g.
Hoc autem problema non in numeris ſed in continuo ab Euclid. ponitur in .32.
tertij
.
De inuentione alterius trianguli conditionati.
AD EVNDEM.
QVotieſcunque etiam inuenire voluerimus triangulum aliquem, puta .n.q.o.
æqualem
triangulo .t. (exempli gratia) propoſito, qui habeat angulum .n. æ-
qualem
angalo .a. dato, latera vero continentia ipſum angulum .n. ſint inuicem pro-
portionata
vt .x. et .y. ita faciemus, accipiemus lineam .n.m. cuius volueris magnitu-
dinis
, ſupra quam conſtituemus triangulum .m.n.p. æqualem triangulo .t. hac metho-
do
, hoc eſt prolungando latus .r.z. trianguli .t. quod ſit .r.e. ita vt duplum ſit ipſi .r.z.
ducendo
poſtea .c.e. habebimus ex .38. primi triangulum .t. eſſe dimidium totius
trianguli
.r.c.e. deſignabimus deinde ex .44. dicti ſuperficiem .p.n.m.b. parallelo
grammam
æqualemq́; triangu
lo
.r.c.e. habentem angulum .
420[Figure 420] n.
æqualem angulo .a. ducatur
poſtea
.p.m. & habebimus triã
gulum
.m.n.p. æqualem .t. cum
angulo
.n. æquali angulo .a. pro
ducatur
poſtea .n.p. ita vt .n.K.
ſe
habeat .ad .n.m. quemadmo
dum
.x. ad .y. quod erit facilli-
mum
producendo .n.m. et .n.
K
.
indeterminatè ſi oportuerit,
deinde eas ad æqualitatem ſe-
can
do ipſis .x. et .y. efficiendo
exempli
gratia quod .n.i. ſit
æqualis
ipſi .x. et .n.u. ipſi .y. du
cendo
poſtea .u.i. deinde à puncto .m. ducendo .m.K. æquidiſtanter .u.i. ex .31.
primi
.
& ſic habebimus ex .4. ſexti proportionem .x. ad .y. eſſe inter .n.K. et .n.
380368IO. BAPT. BENED. m. inuenies poſtea ex .9. eiuſ-
421[Figure 421] dem lineam aliquam mediam
proportionalem
inter .n.K. et .
n
.p.
quæ ſit .n.o. duces poſtea
o.q. parallelam ipſi .m.K. & ha
bebis
propoſitum, eo quod
ſit
proportio trianguli .n.m.K.
ad
triangulum .n.m.p. vt .n.K.
ad
.n.p. ex prima ſexti, duo triã
guli
.m.p.n. et .n.q.o. æquales
erunt
inuicem, ex .17. eiuſdem
& ex .9. quinti, & proportio .
o
.n.
ad .n.q. erit, vt .x. ad .y. ex .
11
.
dicti, cum ex .4. ſexti ſit vt .
n
.k.
ad .n.m.
De producto conditionato.
AD EVNDEM.
PRoponis deinde mihi duas rectas lineas, vni quarum, vis vt aliam quandam di-
rectè
coniungam, ita quod productum huius aggregati in lineam adiunctam
æquale
ſit quadrato alterius.
Vt exempli gratia ſi fuerint duæ lineæ .e.d. et .e.f. opor-
teretq́; nos ad lineam .e.f. aliam lineam puta .f.c. vel .e.b. iũ­
422[Figure 422] gere
, ita longam, vt productum totius compoſiti .e.c. vel .
f
.b.
in .f.c. vel .e.b. eſſet æquale quadrato ipſius .e.d.
Hoc enim nu llius eſſet difficultatis, eo quod quotieſcũ-
que
.e.d. coniuncta erit cum .e.f. ad rectos, diuiſaq́; per me
dium
à puncto .a. à quo ducta .a.d. deinde ſecundum ſemi-
diametrum
.a.d. deſignato circulo .b.d.c. & protracta .e.f.
à
qua volueris parte vſque ad circunferentiam in pũcto .c.
ſeu
in puncto .b. habebimus intentum, quod ſi produ-
cta
fuerit .e.f. etiam ab alia parte, vſque ad circunferentiam, habebimus .b.e. æqua-
lem
ipſi .f.c. ex communi conceptu, & productum .e.c. in .e.b. æqualem quadra-
to
ipſius .e.d. ex .34. tertij, cum ex .3. eiuſdem .e.d. medietas ſit chordæ arcus dupli
b.d.
De lapſu verò lapidis verſus mundi centrum, dum ipſum attingere, ac præterire
poſſet
, de quo me interrogas.
Dico Nicolaum Tartaleam, nec non Franciſcum
Maurolicum
rectè ſenſiſſe, malè verò Alexandrum Piccolhomineum, & exemplum
Maurolici
optimum eſſe, quod tamen ſi capere non potes, crede ſaltem authoritati
bus
talium virorum, qui tantum in ijs ſcientijs ſuperant ipſum Alexandrum Piccol-
homineum
, quantum à Sole cætera ſuperantur aſtra.
Lapis igitur ille tranſiret centrum, reddiretq́;, cum diminutione tamen motus im
preſſi
, eo fermè modo vt ſcribunt iudicioſiſſimi illi viri, donec poſt multas reddi-
tiones
ſurſum, deorſumq́; quieſceret circa centrum mundi.
Lucidioris tamen intelli­
381369EPISTOL AE. gentiæ gratia cogita ſilum illum (exempli adducti ab illis doctiſſimis viris) cui pon
dus
appenſum eſt, æqualem eſſe axi orizontis, hoc eſt eius extremitatem immobi-
lem
eſſe in primo mobili, & in ipſo zenit tui orizontis,
tunc arcus motionis ipſius la
pidis
per tantum interuallum, quantum eſt diameter terræ, inſenſibiliter differret à
linea
recta, & cum lapis diſtans à centro mundi per ſemidiametrum terræ, iret re-
diretq́;, vt ſcis, ergo idem faceret ſi ſilum longius eſſet per dictum terræ ſemidia-
metrum
, ita vt poſſetipſum centrum attingere, nam differentia illa ſemidiametri
terræ
, ferè nulla eſt reſpectu ſemidiametri ipſius primi mobilis.
AN PENTAGONVS AB ALBERTO DVRERO
deſcriptus
æquiangulus ſit.
Conrado Neubart.
SI non credis Pentagonum ab Alberto Durero ſuper datam lineam deſi-
gnatum
, æquiangulum non eſſe.
Fingamus hic ſubiectam ſiguram ſimi-
lem
ei quæ à Durero ponitur, in qua primò, ducta ſit linea .o.a. & habe
bimus
angulum .a.o.b. graduum .60. talium qualium duo recti fuerint gra .
360
.
vel .30. talium qualium duo recti fuerint .180. nam ex ſuppoſito, arcus .a.b. eſt
ſexta
pars totius circunferentiæ, angulus vero .b.o.d. rectus eſt, eo quod .b.o.q. rectus
etiam
ſit,
quare angulus .d.o.a. reſiduus ex recto erit graduum .60. talium, ut rectus
eſt
.90. angulus verò .o.a.c. erit gra .15. eorundem.
Ducatur deinde perpendicularis .a.e. ad .o.d. quæ vt ſinus anguli .a.o.e. erit par-
tium
.86602. talium qualium .a.o. erit .100000. quæ quidem .o.a. vt chorda arcus .a.
o
.
eſt partium .51762. talium qualium .a.d. vel .a.c. ſemidiameter eſt .100000.
Nam ſinus dimidij arcus .a.o. (exi
ſtente
.a.o. graduum .30.) eſt partiũ .
423[Figure 423] 25881.
ex quo .a.e. erit partium .
44827
.
talium qualium .a.d. erit
100000
. vnde angulus .a.d.o. cuius ſi
nus
eſt .a.e. erit graduum .26. min .38
qui
quidem angulus, ſumptus cum an
gulo
.a.o.d. erit gra .86. min .38.
Dem
pta
denique hac ſumma ex duobus
rectis
gra .180. reliquum erit gra .93.
min
.22. ideſt angulus .o.a.d. cui addi
tus
cum fuerit angulus .o.a.c. gra .15.
talium
, habebimus angulum .c.a.d.
graduum
.108. min .22. exuperantem
verum
angulum pentagoni per min .
22
.
vel ſic, cum inuentus fuerit angu-
lus
.a.d.o. gra .26. min .38. ſi ex vno re
cto
demptus fuerit, relinquetur an-
gulus
.d.a.e. gra .63. min .22. qui qui-
dem
collectus cum fuer it cum angu-
lo
.e.a.o. reſiduo ex re cto dempto angulo .a.o.e. grad .60. qui .e.a.o. eſt grad .30. &
382370IO. BAPT. BENED. etiam collectus cum angulo .o.a.c. grad .15. hi tres anguli efficient angulum .d.a.c.
d
.
ctum grad .108. min .22.
Examinatio anguli .u.
Ducatur .d.n. quam quidem .d.n. cognoſcemus vt ſinus anguli .d.o.n. gra .45. nam
angulus
ei contrapoſitus .q.o.p. eſt dimidium recti,
quare .d.n. erit partium .70710.
talium
qualium .d.o. fuerit .100000. ſed .d.o. eſt partium .115270. qualium .a.d. eſt .
100000
.
nam .e.d. vt ſinus anguli .e.a.d. gra .63. min .22. eſt partium .89389. o.e. ve-
ro
eſt partium .50000. talium qualium .a.o. eſt .100000. vt ſinus anguli .e.a.o. gra .30.
ſed
vt .a.o. eſt partiũ .51762.
hoc eſt vt .a.d. eſt .100000. ipſa .o.e. erit partiũ .25881
quæ
iuncta cum fuerit cum .e.d. efficiet .d.o. partium .115270. vt dictum eſt, quapro-
pter
cum .d.n. ſit partium .70710. talium qualium .d.o. fuerit .100000. ipſa .d.n. erit
partium
.81507. talium qualium .d.o. erit .115270. ideſt qualium .d.a. vel .d.u. erit
100000
. quæ quidem .d.n. eſt ſinus anguli .d.u.n. graduum ſcilicet .54. 36. cuius du-
plum
erit gra .109. mi .12. debebattamen eſſe .108. m.o.
Examinatio anguli .d.
Accipe angulum .a.d.o. gra .26.
424[Figure 424] min .38. vt ſupra, cui applica angu-
lum
.o.d.n. gra .45. min .o. ſimul cum
angulo
.u.d.n. reſiduo ex recto gra
duum
.35. minu .24. & conficies an-
gulum
.a.d.u. grad .107. minu .2. &
habebis
propoſitum, quem tamen
oportebat
eſſe gra .108. min .o.
Quod autem omnia rectè ſuppu-
tata
ſint, ex ſumma omnium angulo
rum
patere poteſt.
nam collectis om
nibus
quinque angulis .a.c.d.f.u. ſi-
mul
, hoc eſt grad .108. minu .22. cum
gra
.107. min .2. cum grad .12. effi-
cient
grad .540. min .o. ſumma æqua
lis
ſex angulis rectis.
383371EPISTOL AE.
ALIA DEMONSTRATIO NONÆ, ET DECIMÆ
ſecundi
Euclidis.
Petro Catenæ.
QVamvis nona ac decima ſecundi Euclid. aliter à Comandino & Mau-
rolico
demonſtratæ fuerint, nihilominus mihi etiam viſum eſt non nihil
meo
moræ in eas tibi ſcribere, vt ſenſibiliter quoque cognoſcas il-
las
veras eſſe.
Eſto linca.a.b. pro nona propoſitione, diuiſa per æqualia in .c. per inæqualia verò
in
.d. quadratum autem .a.d. ſit .d.e. quadratum verò .d.b. ſit .d.i. quadratum .a.c.
ſit
.c.f. & quadratum .c.d. ſit .c.K. clarum enim erit .K.h. æqualem exiſtere ipſi .a.c.
ſeccetur
igitur .e.h. in .g. ita vt .h.g. ęqualis exiſtat ipſi .K.h. vnde .g.e. æqualls erit
c.d. perficiatur etiam quadratum .h.n. vnde in totali quadrato .a.h. habe bis duplũ
quadrati
partis .c.d. nempe .c.K. et .f.g. & quadratum .a.u. cum gnomone .u.g.h.k.
cui
deficit quadratum æquale .d.i. quadrato, vt ſint etiam duo quadrata partis .a.c.
In decima aũt propoſitione, quadratũ totalis lineæ .a.d. ſit .d.e. & lineæ .b.d. ſit .b.i. et
c.d. ſit .d.n. et .a.c. ſit .c.f. et .f.e. ſit .e.u. vnde .n.u. æquale erit quadrato .b.i. vnde in qua
drato
totali .a.h. videbis duo quadrata æqualia .f.c. et .g.k. partis .a.c. & quadratum .c.
K
.
cum gnomone .n.f.e.g. cui addito quadrato .b.i. habebis duplum quadrati partis .
c
.d
.
425[Figure 425]
DE STELLA CASSIOPEIÆ.
Annibali Raymundo Aſtrologo Peritißimo.
POstqvam tua doctiſſima ſcripta perlegi, conſideraui, quod ſi à mul-
titudine
exhalationum in regione elementari acciderit anno .1572. &
1573
. vt totos ſex menſes ab omnibus per vniuerſum terrarum orbem
viſa
fuerit ſtella illa, quæ eſt in angulo ſeptentrionali quadrilateri Caſſio­
384372IO. BAPT. BENED. peiæ tam lucida, vt ipſo lucifero videretur rutilantior atq; cæterarum (abſque vlla
aſpectus
diuerſitate) magis ſcintillans.
Quî fieri poterat, vt ſtellæ quæ ab illa pa-
rum
diſtant, alioqui multo maiores, non etiam illa clariores apparuerint?
ſed ſi ali-
quis
diceret eam exhalationem non ita fortaſſe dilatari, vt inter nos, & aliam ali-
quam
ſtellam interponeretur.
Tunc ego reſponderem neceſſariò ſequi debere ta-
lem
exhalationem, tantam latitudinem occupare, quod aliquibus populis aliam
aliquã ſtellã circunuicinãhac ipſa de qua mentionem ſecimus redderet lucidiorem.
Sed cum hoc perſpectum fuerit nulli, ſequebatur lucem illam ab ipſis exhalatio-
nibus
elementaribus haud poſſe oriri:
quod nobis ſcintillatio illa maxima perma-
gno
fuit inditio, ſi phas eſt credere, quo magis aliquod coeleſte corpus ſcintillat,
eo
longius à nobis diſtare.
Verum quoniam efflagitaſti à me vt aliquid circa huiuſce rei ſpeculationem tibi
ſcribam
, idcirco tibi morem gerere volens paucis ſubiungam.
Conſidera primo hanc ſubſcriptam primam figuram, in qua .c.a.e. ſignatur pro
Globo
terreſtri cuius .i. centrum ſit et .u.o.n. pro conuexo ignis, ſed .K.x.s. pro orbe
octauo
.x. autem pro ſtella iam ſuperius dicta, quæ ſemper fuit, eſt, & erit, quamuis
cæteris
tribus nunc obſcurior ſit.
Accipiantur deinde duo loca in ſuperſicie terræ,
quę
ſint .c. et .e. diametraliter inuicem oppoſita, ita quod circa eorum orizontes poſ
ſibile
ſit ſtellam .x. videre, radijs ipſius ſtellæ mediantibus .x.n.e. et .x.u.c. quorũ par-
tes
.n.c. et .u.e. ita breues ſint, reſpectu eorum totorũ, vt vix ſexcenteſima pars ſit vna
quæq; illarum, nec non .c.e. ita breuis reſpectu ſemidiametri octauæ ſphæræ, quod
vix
ſit vna ex partibus decemmillibus, vt ſcis, ſequitur quod recta terminata ab .u.
et
.n. minor ſenſibiliter non ſit ipſo terræ diametro .c.e. cum duo hæc interualla ex
triangulorum
ſimilitudine ſe habeant vt .x.i. ad .x.o. hoc eſt ferè vt .602. ad .601. vn-
de
anguli .n.e.c. et .u.c.e. à rectis minime differre videbuntur, cum eorum differen-
tia
certo modo minima ſit.
ductę poſtea fuerint duæ diagonales .e.u. et .n.c. termi-
nabũt
angulos .n.e.u. et .e.n.c. inuicẽ ferè ęquales, idẽ aſſero de angulis .u.c.n. et .e.u.c.
Supponatur nunc primò tuam exhalationem ſublimatam eſſe ad ſupremas par-
tes
elementaris regionis circum circa lineam .o.i:
tunc clarum eſſet quod ſi ratione hu
iuſmodi
exhalationis ſtella .x. ita lucida viſa fuerit tam aſpicientibus ab .e. quam ab
c
. exhalatio minoris latitudinis quam .u.n. eſſe non poterat, hoc eſt, quam terræ dia-
meter
, cum idem in longitudine ferè ſit, ſed punctum .u. ſatis videri poteſt ab oculo
in
.e. & punctum .n. ab oculo in .c. vt alias tibi probaui, ratione refractionis radiorum
per
diuerſa diafana tranſeuntium.
Nunc producti cum fuerint ij duo radij .e.u. et .c.
n
.
vſque ad octauum orbem ad puncta .s. et .K. reliquum erit nos videre quantitates
graduum
arcus .s.x. et .k.x. ſed .s.x. ſubiacet a ngulo .s.e.x. et .k.x. angulo .k.c.x. qui qui
quidem
anguli nihil differunt ſenſibiliter ac ſi eſſent in centro .i.
Et cum ſuperius di-
xerimus
angulos .s.e.x. et .k.c.x. ſenſibiliter mi nime differre ab angulis .c.n.e. et .e.
u
.c.
ſi cognouerimus quantitatem iſtorum, cognita etiam nobis erit quantitas
ill
orum.
Cum igitur ſemidiameter elementaris regionis maior ſit ſemidiametro terræ, vt
33
. ad vnum, & cogitata .c.n. vt dicta ſemidiameter, quia ſenſibiliter ab ea minime
diffe
rt, nunc ſi ſupponatur dicta .n.c. vt baſistriãguli orthogonij eſſe partiũ .100000
& dixerimus ſi .c.n. vt partium .33. præbet nobis .c.e. duarum partium, quid nobis
pręſtabit
eadem .c.n. vt partium .100000. vnde proueniet nobis .c.e. vt partiũ .6060.
cuius
angulus .c.n.e. erit graduum .3. & min .29. ita etiam erit angulus .k. e .x. cuius ar-
385373EPISTOL AE. cus .s.x. eorundem graduum erit,
426[Figure 426] & minutorum.
idem dico de arcu .
x
.k
.
Sed circa dictam ſtellam om-
nes
aliæ non diſtant huiuſmodi in
teruallo
.
Nihilominus nec tu nec alij pe
ripatetici
qui hanc ſequuti ſunt
opinionem
exhalationum, ad ſer
uandam
nullitatem diucrſitatis
aſpectus
, affirmant poſſe tam lon
ge
à terra aſcẽdere exhalationes,
imo
nec attingere ſupremas tertię
regionis
a eris partes, ita ut non in-
grediãtur
ſuum igneũ orbem, qui
quidem
orbis ſecundum illorum
opinionem
incipit non valde lon-
à ſuperſicie terræ, vt in mea
conſideratione
contra Antonium
Bergam
probaui, ſed demus,
dictæ
exhalationes aſcenderint
per
decem ſemidiametros terræ,
diſcurrendo
poſtea ſic, cum .c.n. ut
decem
, nobis dat .c.e. vt duo, ꝗd
dabit
nobisipſa .c.n. vt .100000.
& proueniet nobis .c.e. vt .200000.
cuius
ſinus angulus erit gra .11. mi .
32
.
& ita erunt anguli .s.e.x. et .k.
c
.x.
& ſic eorum arcus .s.x. et .k.x.
ſed
quis vnquam dubitabit in
tanto
interuallo à dicta ſtella non
fint
aliæ multæ ipſa maiores?
li-
neas
vero .e.o.r. et .c.o.t. duxi, vt
videres
effectum maioris aſpectus
diuerſitatis
ab oculis .e. et .c. in cir-
culo
altitudinis quando .o. fuiſſet
punctum
illud lucidiſſimum, &
non
.x.
386374IO. BAPT. BENED.
At poterit aliquis mihi obijcere quod cum .i.o. fuiſſet longior .i.e. per decem vi-
ces
tantummodo, exiſtente oculo in .e. uel .c. per gradus .90. ab .a.
tunc punctus .u. vel
n
. ab ipſo oculo non videretur ob terræ globoſitatem.
Imaginemur igitur à puncto
u
. recta .u.b. tangens quartam .a.e. in puncto .b. vt in ſecunda figura videre eſt, in qua
ducantur
.c.b: i.b: et .i.u. quæ .i.u. ſecabit arcum .c.
427[Figure 427] b. in puncto .p. per æqualia et .c.b. ſimiliter in pun-
cto
.y. quod nulli dubium eſt, cum .c.u. æqualis ſit .
u
.b.
ex .35. tertij Euclidis,
unde ex octaua primi an-
gulus
.c.i.u. æqualis erit angulo .u.i.b. & ideo arcus .
c
.p.
æquabitur arcui .p.b. ſed ex .4. primi .c.y. æqua
lis
erit ipſi .y.b.
Nunc ſuppoſita .c.i. decima parte ipſius .c.u. nemi
ni
dubium erit quod cum .u.i. ſubtendatur angulo
recto
.u.c.i. (iam ſupra diximus angulum .c. ſenſibi-
liter
minime differre à recto) ipſa vt ſinus totus erit
partium
.100000. cuius quadratum cum diuiſum
fuerit
in partes æquales centum & vnã, illarum vna
æqualis
erit quadrto .c.i. reliquę vero quadrato ip-
ſius
.u.c. ex proportione duplicata quadratorum ad
eam
quam continent eorum latera.
Sed quadra-
tum
ipſius .u.i. eſt partium .10000000000.
quare
quadratum
.c.i. erit .99009900. cuius radix .c.i.
erit
partium .9950. vnde quadratum ipſius .c.u. erit
partium
.9900990100. cuius radix .u.c. erit partiũ
99500
. vnde angulus .c.i.u. erit graduum .84. & mi
nu
.17. & angulus .c.u.i. qui reſpondet ſinui .c.i. erit
gra
.5. & min .43. cuius duplum, hoc eſt angulus .c.
u
.b.
erit grad .11. min .26. æqualis ferè angulo iam
ſupradicto
.
ſed .c.y. ſinus anguli .c.i.y. erit ſimiliter
partium
.99500. talium vt .c.i. ſunt .100000. ſed vt
c.i. eſt partium .9950.
tunc .c.y. erit partium .9900
hoc
eſt quaſi decima pars ipſius .c.u.
quare ſi ocu-
lus
in .e. non videbit punctum .u. hoc punctum be-
ne
videbitur ab oculo in .b. abſque ſenſibili dimi-
nutione
anguli in puncto .u. vt probauimus.
DE MAGNITVDINIBVS FIGVRARVM
iſoperimetrarum
.
Domino Ioanni Mariæ Agatio.
QVamvis à Theone ſupra Ptolomei Almageſtum ſufficienter traditum
ſit
de magnitudinibus figurarum iſopetimetrarum, nihilominus vt tibi
morem
geram, ea nunc ſcribo, quæ mihi in mentem venerunt contra
Alexãdrum Piccolhomineum, antequã aliquid ipſius Theonis vidiſſem
387375EPISTOLAE. Alexander Piccolhomineus in libro primo de mundi ſphæra vbi tractat de cęliro-
tunditate
, ita inquit.
Oltre di queſto, douendo il decimo cielo contenere & in ſe chiudere tutte le co-
ſe
, è conueneuol coſa il penſare, che foſſe fatto di quella più capace figura che eſ-
ſer
poſſa, la qual è la figura rotunda, però che ſi può trar da molti luoghi d'Euclide
che
ſi come ſe noi ciimmagineremo più figure ſuperficiali talmente che tutte le li-
nee
de l'vna congionte inſieme, ſieno vguali à tutte le linee pur inſiememente com
poſte
di qual ſi voglia de l'altre figure, ne ſeguirà, che quella figura ſarà più capa-
ce
la qual haurà manco angoli, & quella capaciſſima che ſarà ſenza alcuno come è
la
figura circolare, & c.
Cogitemus igitur primò de triangulo æquilate-
ro
& quadrato iſoperimetris, ſit enim triangulus æ-
quilaterus
.o.b.g. quadratum verò .b.l. quorum pe-
riferiæ
inuicem æquales ſint.
Dico quadratum ma-
428[Figure 428] ioris ſuperficiei eſſe ipſo triangulo.
Accipio pri-
mum
lineam .f.h. eiuſdem longitudinis quæ vnius
periferiæ
dictarum figurarum, quam punctis .r.K.
mediantibus
diuido in tres ęquas partes, in quatuor
verò
mediantibus punctis .l.x.i. vnde proportio to-
tius
.f.h. ad .K.h. erit vt .l.h. ad .i.h. ideſt tripla, & per
16
. quinti erit .f.h. ad .l.h. vt .k.h. ad .i.h. per .19. verò
f.h. ad .f.l. vt .K.h. ad .K.i. ſed .f.l. eſt quarta pars ip-
ſius
.f.h. ergo .k.i. erit quarta pars ipſius .k.h.
Coniũ
gantur
enim ambo iſtæ figuræ vt hic inferius vides,
vnde
.a.g. erit quarta pars ipſius .b.g. diuiſa poſtea .
b
.g.
per æqualia in .c. erit .a.c. æqualis .a.g.
Ducatur
deinde
.o.c. quę per .8. primi, nec ex definitione,
perpendicularis
erit ipſi .b.g. ergo etiam quadratũ
b
q. ſupra .b.g. producoq́; .o.c. vſque ad .m. nam nul
li
dubium eſt quin .o.c. breuior ſit .o.g. ex .18. vel .48
primi
cui æquatur .q.g. diuido etiam .c.m. per æqua
lia
in puncto .e. ducoq́; t.e.p. æquidiſtantem .b.g.
vnde
habebimus duo quadrata .e.g. et .e.b. ſed
quadratum
.b.l. æquatur quadrato ipſius .c.a.
cum
duplo illius quod fit ex .b.c. in .c.g. vt patet
ex
.9. ſecundi, hoc eſt æquatur quadrato .c.a. & re-
ctangulo
.t.g.
Deinde vt ſe habet .p.g. ad .o.e. ita ſe habet .u.p. ad .u.e. ex ſimilitudine
triangulorum
.
Sed .p.g. maior eſt ipſa .o.e. cum .p.g. æqualis ſit .e.m. quare triangu-
lus
.u.g.p. maior erit triangulo .o.e.u. ex .17. ſexti.
Similiter dico maiorem eſſe trian
gulum
.b.d.t. triangulo .e.o.d. vnde ſequitur rectangulum .t.g. maiorem eſſe triangu-
lo
.b.o.g. ſed quadratum .b.l. eſt etiam maior ipſo rectangulo .t.g. ex quadrato ipſius
c.a. vt diximus, tanto igitur maior erit triangulo .b.o.g.
388376IO. BABPT. BENED.
Poſſumus etiam probare quod periferia quadrati æqualis triangulo æquilatero
minor
ſit periferia ipſius trianguli æquilateri.
Cogita triangulum æquilaterum hic
ſubſcriptum
.d.l.q. cuius baſis .l.q. diuiſa ſit per æqualia à perpendiculari .d.o. deſcri­
ptũq́
;
ſit rectangulum .o.g. quod æquale erit triangulo .d.l.q. ſed periferia trianguli
maior
eſt periferia rectanguli, nam .l.q. æqualis eſt .o.q. cum .d.g. ſed .q.d. maior eſt .o.
d
.
ex .18. primi, vnde .l.d. maior etiam .q.g. cum ex .34. dicti latera oppoſita ipſius re
ctanguli
ſint inuicem æqualia, accipiamus poſtea .e.c. æqualem .o.d. et .c.h. indire-
ctum
æqualem .o.q. circa quem diametrum .e.h. intelligatur circulus .e.i.h.k. et. à pun­
cto
.c. dirigatur perpendicularis .k.i. ad .e.h. vnde ex .3. tertij .c.i. æqualis erit .c.k. & ex
34
. quod fit ex .c.i. in .c.k. hoc eſt quadratum ipſius .c.i. æquale erit ei quod fit .ex .e.c.
in
.c.h. hoc eſt rectangulo .g.o. hoc eſt triangulo .d.l.q. ſed .e.h. eſt dimidium perife-
rię
ipſius rectanguli .g.o. quæ minor eſt di midio periferiæ trianguli .d.l.q. vt vidimus
et
.i.k. eſt dimidium periferię quadrati ipſius .i.c. & minor etiam ipſa .e.h. ex .14. tertij
quare verum eſt propoſitum.
429[Figure 429]
Sed quando periferiæ ſunt inuicem æquales, poſſumus etiam breuiter videre id
quod
ſupradiximus, hoc eſt, quod quadratum, maius ſit triangulo æquilatero.
Nam
cum
.b.g. ſeſquitertia ſit ad .b.a. ergo .b.g. erit vt .4. et .b.a. ut .3. vnde .b.q. erit vt .16
et
.b.l. vt .9. et .c.q. vt .8.
quare .b.l. maius erit ipſo rectãgulo .c.q. ſed .c.q. maius eſt triã
gulo
.b.o.g. cum .q.g. quæ æqualis eſt .o.g. maior ſit .o.c. ex .18. vel penultima primi,
nam
ſi .q.g. æqualis eſſet .o.c.
tunc .c.q. æqualis eſſet triangulo .b.o.g. ex .41. primi.
Alia etiam via maiores noſtri vſi ſunt quæ generalis eſt vt in Theone ſupra Al-
mageſtum
videre eſt, medijs perpendicularibus à centris ad latera figurarum, ſed
quia
differẽtia longitudinum ipſarum perpendicularium alio medio inueniri poteſt,
eo
quo ipſi vſi ſunt, prætermittere nolo quin tibi ſcribam.
Ego enim ita diſcurro.
Sint duæ figuræ iſoperimetrę æquilaterę & æquiangulæ, puta primò trian-
gulum
& quadratum quorum centra ſint .e. et .o. à quibus centris ad latera ſint per-
pendiculares
.e.n. et .o.u. vnde .n. et .u. diuident latera per æqualia vt ſcis, ducantur
poſtea
.e.t. et .o.a. ad angulos dictorum laterum, vnde habebimus angulum .o.a.u. di-
midiũ
recti, et .e.t.n. tertia pars vnius recti, vt ex te ipſo videre potes,
quare angulus
389377EPISTOLAE. a. ſeſquialter erit angulo .t. quod vt clarius videas cogita lineam .b.d. cuius medietas
ſit
.c.d. tertia verò pars illius ſit .g.d.
tunc dico .c.d. ſeſquialteram eſſe ipſi .g.d. ſit enim
f.d. duplum ipſius .g.d.
quare .f.d. erunt duæ tertiæ totius lineę .b.d. & quia eadem pro
portio
eſt totius .b.d. ad .c.d. quæ .f.d. ad .g.d. ergo permutando eadem erit totius .b.
d
.
ad .f.d. quæ .c.d. ad .g.d.
Sed .b.d. ad .f.d. ſeſquialtera eſt, verum igitur erit quod an-
gulus
.a. ſeſquialter ſit ipſi .t. deinde .t.n. eſt ſeſquitertia ipſi .a.u. vt ſuperius vidimus .
in
eorum duplis.
ſcimus etiam .n.e. eſſe dimidium ipſius .t.e. co quod cum .e.t.n. ſit
tertia
pars vnius recti, angulus, t.e.n. erit duo tertia vnius recti, vnde .e.n. erit latus.
exagoni
æquilateris inſcriptibilis circulo cuius diameter ſit .e.t.
quare .e.t. dupla erit
ipſi
.e.n. in longitudine, ſed quadrupla in potentia:
t.n. vero tripla in potentia ipſi .n.
e
.
ex penultima primi, quæ omnia etiam ex .8. tertijdecimi. Eucli. elicere potes, ſed
c.n. erat ſexquitertia ipſi .a.u. in longitudine, hoc eſt ipſi .o.u. nam .o.u. æqualis eſt ipſi
a.u.
quare .n.t. erit minus quam dupla in potentia ipſi .o.u. hoc eſt, vt .16. ad .9. ergo
maior
proportio erit ipſius .t.n. in potentia ad .n.e. quam ad .o.u.
quare etiam in lon
gitudine
, maior proportio erit ipſius .t.n. ad .n.e. quam ad .o.u. vnde .o.u. longior erit
ipſa
.n.e. quod eſt propoſitum.
Sed ſi .o.a.u. eſſet pentagonus æquilaterus & æquiangulus, ſimiliter probabo per-
pendicularem
.o.u. longiorem eſſe .n.e. ipſius trianguli æquilateri, dummodo ſint iſo-
perimetrę
.
Sit enim .a.u. dimidium lateris pentagoni ex ſuppoſito, cuius centrum ſit
o
.
tunc proportio .t.n. ad .a.u. erit ſuperbipartienstertias, vt ex ordine iam hic ſupradi
cto
à te facillimè elicere potes, hoc eſt, vt .5. ad .3. et .a.u. minor erit .o.u. eo quod
angulus
.o. minor erit angulo .a. nam angulus .o. erit quinta pars duorũ rectorum, hoc
eſt
duæ quintæ vnius recti, vnde angulus .a. reſiduum vnius recti erit tres quin-
vnius recti,
quare angulus .a. maior ericangulo .o. & conſequenter latus .o.u. ma-
ius
latere .a.u. ſed .t.n. minor eſt quam tripla in potentia ad .a.u. eo quod erit vt .25.
ad
.9. cum in longitudine ſit vt .5. ad .3. ſed dicta .t.n. tripla eſt in potentia ad .e.n. qua-
re
.a.u. maior erit ipſa .e.n. ſed .o.u. maior eſt ipſa .a.u. vt diximus, igitur multo magis .
o
.u.
maior eſt ipſa .a.u. vt diximꝰ & cõſequẽter multo magis .o.u. maior erit ipſa .n.e.
Quotieſcunque enim cognoſcimus proportionem anguli .o. ad angulum .a. quod
quidem
facillimum eſt, nec non proportionem .t.n. ad .a.u. quod, etiam illico cogno-
ſcitur
,
tunc exſcientia cordarum & arcuum omnia etiam facillimè innueniuntur.
Verum circa triangulũ æquilaterum, & pentagonum, alium modũ inueni, ſed aliquan
tulum
prolixiorem.
430[Figure 430]
390378IO. BAPT. BENED.
De incommenſur abilitate, in longitudine perpendicu-
laris
trianguli æquilateri cum eiuſdem latere.
AD EVNDEM.
ID quod à me poſtulas eſt omnino impoſſibile, velles enim duos numeros inueni
re
inter ſe ita ſe habentes, vt ſe habent perpendicularis in triangulo æquilatero
cum
vno eius laterum, quod vero hoc fieri non poſſit, conſidera in figura præcedenti
triangulum
æquilaterum .d.l.q. cuius perpendicularis ſit .d.o. quæ diuidit .l.q. per
æqualia
in .o. vnde ex .4. ſecundi Euclidis, quadratum .l.q. (ideſt .d.q.) quadruplum
erit
quadrato .o.q. & ex penultima primi ęquale quadratis .d.o. et .o.q.
quare erit ſeſ-
quitertium
quadrato ipſius .d.o. & ita quadratum .d.o. erit triplum quadrato ipſius .
o
.q.
hæe autem proportiones non ſunt vt numeri quadrati ad numerum quadratum
quod
ſi ita fuiſſent, ſequeretur ternarium numerum eſſe quadratum ex .22. octaui.
Cum igitur non ſint vt numeri quadrati ad numerum quadratum, ſequitur ex ſepti-
ma
decimi .d.o. eſſe incommenſurabilem ipſi .l.q. ſeu .d.q. in longitudine.
Vel dicamus ita, proportio quadrati ipſius .l.q. ad quadratum ipſius .o.d. eſt in ge
nere
ſuperparticulari, cum ſit ſeſquitertia, vnde quadratum ipſius .d.o. numeris da-
ri
non poteſt, eo quod ſi dabilis fuiſſet, ſequeretur, quod inter quadratum ipſius. l .
q
.
& ipſius .d.o. eſſet aliquis numerus medius proportionalis ex .16. octaui, vnde ex
octaua
eiuſdem vnitas diuiſibilis eſſet, quod fieri non poteſt.
431[Figure 431]
De triangulo & Pentagono æquilatero
AD EVNDEM.
MOdum quem conſideraui circa triangulum æquilaterum & pentagonum, vt
tibi
ſignificaui ita ſe habet.
Probandum primò eſt pentagonum altiorem eſſe triangulo ſibi iſoperimetro.
Iam tibi notam puto proportionem lateris trianguli ad latus pentagoni eſſe vt .5.
ad
.3.
Sit igitur pentagonus .b.d.m.g.v. cuius periferia diſtenta ſit .K.z. baſis autem .m.
g
.
bifariam diuiſa ſit in puncto .a. ductaq́; .a.b: b.g. et .b.m. clarum erit .a.b. perdicu-
larem
eſſe ad .m.g. ex .8. primi Eucli. cum .b.m. et .b.g. (baſes triangulorum .b.d.m.
391379EPISTOLAE. et .b.u.g.) ſint inuicem æquales ex .4. eiuſdem.
Accipiatur deinde vel intelligatur .g.p. æqualis duabus tertijs ipſius .a.g. ducatur­
q́ue
.b.p. quam probabo maiorem eſſe duplo ipſius .a.p. vnde maior erit latere ipſius
trigoni
æquilateris, cuius dimidium eſt .a.p. ſcimus enim ipſum latus ſe habere ad .m.
g
.
vt quinque ad .3. ita etiam .a.p. ad .a.g. vt diximus.
Cum autẽ angulus .a.b.g. ſit quarta pars anguli .b.g.a. ex .10. quarti & quinta pars
vnius
recti ex .32. primi, dictus angulus erit graduum .18. et .a.g. erit partium .30902.
et
.a.b. partium .95015 et .a.p. 51503. vnde ex penultima primi latus .b.p. erit par-
tium
.108075. duplum vero ipſius .a.p. erit .103006. latus igitur dicti trigoni, quod
ab
.p. erigitur, ſecabit perpendicularem .a.b. ſub .b. hoc eſt inter .b. et .a. ex penultima
primi
.
Finiatur enim triangulus æquicrurus .b.q.p. quem probaui maiorem eſſe æ-
quilatero
iſoperimetro pentagono propoſito, ducaturq́; .u.p. ducatur etiam .u.n. pa-
rallela
ipſi .b.g. quæ concludet triangulum .g.u.n. ſimilem triangulo .m.b.g. eo quod
cum
angulus .m.b.g. æqualis ſit angulo .b.g.u. ex .16. tertij, per .27. primi .m.b. et .g.u.
erunt
inuicem æquidiſtãtes, vnde angulus .b.m.g. æqualis erit angulo .u.g.n. et. ex .29.
angulus
.g.u.n. æqualis erit angulo .u.g.b.
quare etiam angulo .g.b.m. & angulus .u.n.
g
.
angulo .b.g.m. ex .32. eiuſdem,
vnde ex .4. ſexti proportio .g.n. ad .g.m. erit .vt .g.u.
ad
.m.b. ſed cum .g.u. maior ſit dimidio ipſius .b.g. ex .20. primi, hoc eſt maior dimi-
dio
ipſius .b.m. ergo .g.n. etiam maior erit ipſa .g.a. quapropter maior erit ipſa .g.p.
cum
.g.p. minor ſit ipſa .g.a. ex hypotheſi, ducta deinde cum fuerit .b.n. habebimus
triangulum
.b.n.g. æqualẽ triangulo .b.u.g. & maiorẽ triãgulo .b.p.g. ex prima ſexti
vel
quia totum maius eſt ſua parte.
Triangulus igitur .b.u.g. maior eſt triangu-
lo
.b.p.g.
quare triangulus .b.u.o. maior erit triangulo .g.o.p. ex communi conceptu,
idem
infero ab alia parte dictarum figurarum.
Quare pentagonus .b.d.m.g.u. maior
erit
triangulo .b.q.p. quem probauimus maiorem eſſe triangulo æquilatero ſibi iſo-
perimetro
.
432[Figure 432]
Comparatio periferiarum quadrati & trianguli aquilateri circunſcriptorum ab eodem circulo.
AD EVNDEM.
QVod autem periferia quadrati in eodem circulo inſcripti, in quo ſit triangu-
lus
æquilaterus, longior ſit periferia ipſius trianguli æquilateri, abſque vllo
392380IO. BAPT. BENED. negotio cordarum & arcuum poſſumus geometricè demonſtrare quod valde de-
ſideras
.
Quapropter ſit circulus .b.a.e.q. in quo ſit triangulũ æquilaterum .b.e.n. & quadra
tum
.b.a.q.u. cuius periferiam probabo longiorem eſſe periferia trianguli.
Sit enim
diameter
circuli .b.q. qui etiam erit diameter quadrati, vt à te ſcire potes.
Sit etiam
punctũ .b. commune tam anguli quadrati quam trianguli.
vnde ſequitur quod dictus
diameter
ſecabit latus .n.e. trianguli ad rectos & per æqualia in .t.
Nam cum arcus .b.
e
.
æqualis ſit arcui .b.n. ex .27. tertij, remanet vt arcus .q.e. equalis ſit arcui .q.n. vnde
angulus
.q.b.e. æqualis erit angulo .q.b.n. ex .26. eiuſdem.
quare ex .4. primi anguli
ad
.t. erunt recti, et .n.t. æqualis erit ipſi .t.e. vt diximus.
Deinde .b.e. et .q.a. ſeinuicem ſecãt in puncto .o. vt ex ſe clarum patet, ducatur po
ſtea
.q.e. vnde habebimus angulum .b.e.q. rectum ex .30. tertij,
quare ex .18. primi .q.
o
.
longior erit ipſa .q.e. et .q.e. longior erit ipſa .e.t.
quare .q.o. longior erit ipſa .t.e.
Vt probemus poſtea .b.a.o. longiorem eſſe ipſa .b.e. producatur .b.a. ita quod .a.
p
.
æqualis ſit ipſi .a.o. ducaturq́; o.p. et .a.e. cum autem ex iam dicta .30. tertij angulus
b.a.o. rectꝰ ſit, erit angulus .o.a.p. ſimiliter rectꝰ ex .13. primi, vnde ex .5. et .32. eiuſdẽ
angulus
.a.p.o. erit dimidium recti, & ſimiliter, exijſdem, angulus .b.q.a. eſt dimidium
recti
quare angulus .a.p.o. æqualis erit angulo .a.q.b. ſed angulus .a.e.b. æqualis eſt an
gulo
.a.q.b. ex .20. tertij, ergo angulus .b.p.o. æqualis erit angulo .b, e.a. angulus vero
a.b.e. communis eſt ambobus triangulis .a.b.e. et .o.b.p.
quare ex .32. primi anguli .
b
.a.e.
et .b.o.p. reliqui ex duobus rectis æqua
433[Figure 433] les inuicem erunt.
Quare ex quarta ſexti,
et
.18. quinti proportio .b.o. ad .b.p. erit, vt
b.a. ad .b.e. ſed ex .18. primi .b.o. maior eſt
ipſa
.b.a.
quare ex .14. quinti .b.p. maior erit
ipſa
.b.e. ſed .b.p. æquatur ipſis .b.a. cum .a. o
ex
hypoteſi, ergo .b.a. cum .a.o. maior erit
ipſa
.b.e. ſed .q.o. maior erat ipſa .t.e. vt ſupe
rius
vidimus,
quare .b.a. cum .a.o. et .o.q. ma
ior
eſt ipſa .b.e. cum .e.t. hoc eſt dimidium
periferię
ipſius quadrati, maiꝰ erit dimidio
periferię
ipſiꝰ triãguli propoſiti,
quare ex 14.
dicta
tota periferia dicti trianguli, ſimiliter
probarem
de omnibus alijs figuris regulari
bus
eodem circulo inſcriptis.
CONSIDERATIONES NONNVLLÆ IN
Archimedem
.
Doct ßimo atque Reuerendo Domino Vincentio
Mercato
.
QVod tibi aliàs dixi verum eſt, intellectum ſcilicet non omninò quieſcere cir
ca
illas duas Archimedis propoſitiones, quæ in translatione Tartaleæ ſunt
ſub
numeris .4. et .5. & in impreſſione Baſileæ ſub numeris .6. et .7. vbi
tractat
393381EPISTOLAE. tractat de centris libræ, ſeu ſtateræ: A ſpice igitur in .4. ſupradicta, quod cum appen-
ſæ
fuerint omnes illæ partes ponderum, partibus longitudinis ipſius .l.K. in qua volo
vt
à punctis .e. et .d. imagineris duas lineas .e.o. et .d.u. inuicem æquales, & ferè per-
pendiculares
ipſi .l.K. hoc eſt reſpicientes mundi centrum;
imagineris etiam .o.u.
2020[Handwritten note 20] quæ ſit paralle la ipſi .l.k. quæ diuiſa ſit in puncto .i. ſupra .g.
Hinc nulli dubium erit,
cum
.g. fuerit centrum totius ponderis appenſi ipſi .l.K. quod .i. ſimiliter erit centrum
cum
directe locatum ſit ſupra .g. hoc eſt in eadem directionis linea, quod quidem
non
indiget aliqua demonſtratione, cum per ſe ſatis pateat.
Vnde ex communi
conceptu
.o. erit centrum ponderis appenſi ipſi .l.h. et .u. erit centrum ponderis ap-
penſi
. ipſi h.K.
Scimus igit̃ .i. eſſe cẽtrum duorum, hoc eſt ipſius .l.h. & ipſius .h.k. con
tinuatorum
per totam .l.k.
Nunc ergo ſi conſideremus .l.k. diuiſam eſſe, hoc eſt di-
ſiunctam
in puncto .h. inueniemus nihilominus .i. centrum eſſe dictorum ponderum,
& quod tantum eſt, ipſam eſſe continuã, quantum diuiſam in dicto puncto .h. neque
ex
hoc, punctum .i. erit magis vel minus centrum duorum ponderum .l.h. et .h.k. quo
rum
vnum pendet totum ab .o. aliud verò totum ab .u. & hoc modo in longitudine .
o
.u.
diuiſa vt dictum eſt, habebimus propoſitum.
Reliquam propoſitionem tibi relinquo.
Illa verò propoſitio, quam tibi dixi Archimedem tacuiſſe in huiuſmodi materia
eſt
, quod ſi duo pondera æquilibrant ab extremis alicuius ſtateræ, in certis præfixis
diſtantijs
à centro.
Tunc dico ſi eorum vno manente alterum moueatur remotius
ab
ipſo centro quod illud deſcendet, & ſi vicinius ipſi centro appenſum fuerit aſcen-
det
.
Hæc enim propoſitio quotidie omnibus in locis videtur, ipſam verſo4; puto Ar
chimedem
prætermiſiſſe ob facilitatem, cum ab antedicta ferè dependeat.
Sit exempli gratia ſtatera .a.u. cuius centr um ſit .i. & pondera .u.a. appenſa, ſein-
2121[Handwritten note 21] uicem habeant vt .i.u. et .i.a. ſe inuicem habent.
Nunc dico quod ſi pondus ipſius .u.
poſitum
fuerit vicinius centro vt puta in .o. inmoto exiſtente pondere, a. quod bra-
chium
.i.o.u. aſcendet, & è conuerſo, ſi remotius poſitum fuerit, deſcendet.
Ponat̃ ergo vt dictũ eſt in .o. vicinius cẽtro, quapropter brachium .i.o. breuiꝰ erit
brachio
.i.u. vnde minor proportio erit ipſius .i.o. ad .i.a. quàm.i.u. ad eundem .a.i. &
conſequenter
quam ponderis ipſius .a. (quod ſit .n.e.) ad pondus ipſius .u.
Quare ſi cx
pondere
.n.e. dempta fuerit .e. pars eius, ita quod reliqua pars .n. ſe habeat ad pondus
o
. vt ſe habet. i .o. ad .i.a. tunc ſtatera non mouebitur;
addita verò parte .e. ex com-
muni
conceptu, a. deſcendet vnde .o. aſcenderet conuerſum verò ex ſimilibus ratio-
nibus
per te concludes.
434[Figure 434]
394382IO. BAPT. BENED.
In eo quod à me petis, mittendo te ad Eutotium, tibi non ſatisfacerem, cum Eu-
totius
citet ſextum librum Pergei, quem nunquam vidimus, ſupponatq́; ea, quæ nec
ipſe
nec alius vnquam quod ſcimus probauit.
Deſideras enim demonſtrationem illius quod Archimedes dicit inter primam,
& ſecundam propoſitionem ſecundi libri, vbi tractat de centris grauium, propte-
rea
quod illud ſupponit pro manifeſto.
Sit enim figura hic ſubſcripta, ferè ſimilis parabolæ poſitæ in .2. propoſitione di
cti
libri, vt in impreſſione Baſileenſi habetur, ſintq́; diuiſæ duæ .a.b. et .b.c. per æqua
lia
à punctis .x. et .u. protractisq́; .f.x. et .u.i. ad .b.d. quæ inuicem etiam erunt parallelę
ex
.30. primi Eucli.
vnde ipſæ etiam, diametri erunt ipſarum portionum: vt ex eo col
ligere
eſt, quod in .49. primi lib. Pergei probatur.
Imaginando poſtea ad puncta .b.
f
.
er .i. tres contingentes, manifeſtum erit punctum .b. illud eſſe quod terminat alti-
tudinem
huiuſmodi portionis, et .f. et .i. terminantia altitudines partialium, ex .5. ſe­
cundi
ipſius Pergei, eo quod dictæ contingentes paralellæ erunt ipſis baſibus, vnde
trianguli
inſcripti, eaſdem habebunt altitudines, quas portiones ipſæ, quod erit ex
mente
Archimedis.
Et ſic deinceps poteris multiplicare angulos ſiguræ rectilineæ
in
parabola, quæ deſignata erit vt deſiderat Archimedes, qui quidem dicit, quod
protractæ
cum fuerint aliæ deinceps poſt .f.i. ipſæ inuicem ęquidiſtantes erũt, diuiſę-
q́ue
peræqualia ab .d.b. quod quãuis verũ ſit, ab Eutotio non ſatis demõſtratũ
eſt
, cum ſupponat .a.f.b. æqualem eſſe ipſi .b.i.c. probare volens eius diametros æqua
les
eſſe abſque aliqua citata ratione, quæ quidem ratio eſſet conuerſum .4. propoſi-
tionis
libri de conoidalibus.
Sed oporteret nos etiã videre .6. librum ipſius Pergei,
& propterea tibi non ſatisfacerem.
Eſto igitur, ut inuenta ſit linea .K. cuius productum in .u.i. æquale ſit qua drato ip
ſius
.u.c. inuenta etiam ſit linea .h. cuius productum cum .f.x. æquale ſit quadrato ip-
ſius
.a.x. vnde ex conuerſo .49. primi ipſius Pergei, proportio ipſius .K. ad .b.c. erit ut
ipſius
.b.c. ad .b.d. & ipſius .h. ad .a.b. vt ipſius .a.b. ad .b.d.
Erit igitur ex .16. ſexti Eucl.
quadratum
.b.c. æquale producto ipſius .K. in .b.d. & quadratum .a.b. æquale produ-
cto
ipſius .h. in .b.d. & ex prima ſexti, ita erit ipſius .K. ad .h. vt producti quod fit ex .K.
in
.b.d. ad productum ipſius .h. in .b.d. hoc eſt vt quadrati ipſius .b.c. ad quadratum ip
ſius
.b.a. ex .16. et .11. quinti, hoc eſt vt quadrati ipſius .u.c. ad quadratum ipſius .a.x.
hoc
eſt ut productum ipſius .k. in .u.i. ad productnm ipſius .h. in .x.f.
Nunc ſi ipſius .k.
ad
.h. cſt vt producti ipſius .K. in .u.i. ad productum ipſius .h. in .f.x. ergo ex .24. ſexti,
& communi conceptu, proportio ipſius .k. ad .h. compoſita erit ex ea quæ ipſius .u.i.
ad
.f.x. & ex ea quæ ipſius .k. ad .h.
Cum ergo dempta fuerit proportio ipſius .k. ad .h.
(vt ſimplex) à proportione ipſius .k. ad .h. (vt compoſita) reliquum nihil erit.
Qua-
re
.f.x. æqualis erit ipſi .u.i.
Sed quod .f.m. æqualis ſit ipſi .m.i. Videto in Eutotio, quia hoc ſatis ſui natura
facile
eſt.
Sed accipe alium modum breuiorem ad probandum .f.x. eſſe æqualem ipſi .u.i.
Finge lineam .e.b.g. conting entem in puncto .b. prolungatisq́ue diametris f.
x
.
et .u.i. vſque ad contingentem ipſam, habebis .f.e. æqualem ipſi .f.x. et .g.i. ipſi .u.i.
Ex
.35. primi Pergei, producta poſtea .x.u. habeb is ex .2. ſexti Eucli .x.u. parallelam
ipſi
.a.c. ſed .e.g. parallela eſt ipſimet .a.c. ex quinta ſecundi ipſius Pergei,
quare ex .30
primi
Euclid .e.g. parallela erit ipſi .u.x. & ex .34. eiuſdem æqualis erit .e.x. ipſi .u.g.
vnde
.f.x. etiam æqualis erit .u.i. ex communi conceptu.
Sed ne quid deſideres probabo .f.m. æqualem eſſe ipſi .m.i. Iam igitur ſcis quod
395383EPISTOLAE. cum ſit .f.x. æqualis ipſi .u.i. vt tibi probaui, & inuicem parallelæ ideo .f.i. parallela
erit
ipſi .x.u. ex .33. primi Euclidis.
Vnde ex .30. eiuſdem, parallela erit etiam ipſi .a.
c
.
ſed cum .x.u. diuiſa ſit ab .d.b. per æqualia, eo quod diuidit .a.c. eodem modo, quę
ipſi
parallela eſt ex .2. ſexti.
Reliqua tibi conſideranda relinquo. cum verò ambæ .f.
x
.
et .u.i. parallelæ ſint ipſi .b.d. ſequitur quod cum ex .34. primi vnaquæq; .f.m. et .m.
i
.
æqualis ſit medietati ipſius .x.u. erunt inuicem æquales.
435[Figure 435]
Minime dubitabam tibi non ſatisfacere Eutocium in .3. propoſitione ſecundi
lib
. de centris Grauium Archimedis, cum citet .6. librum de elementis conicis, ad-
de
quod ſi aliud in ipſo .6. libro ab eo citato non eſſet magis ad propoſitum, quàm
ca
quæ ab ipſo citata ſunt, nihilominus adhuc irreſolutus maneres.
Conſidera igitur eandem ipſam figuram præcedentem; pro alia verò parabola ſi
mili
dictæ, accipe ſecundam figuram ipſius tertiæ dictæ propoſitionis.
Deinde ima
ginabis
duo latera .o.x. et .o.p. diuiſa eſſe per æqualia in punct is .g. et .K. protractisq́;
diametris
.g.y. et .K.u. quæ, vt in præcedenti probaui, ſunt inuicem æquales, ſcire
debes
quod ſimiles parabolæ inuicem aliæ non poſſunt eſſe, niſi quæ diametros
proportionales
ſuis baſibus habeant, ſimiliterq́; poſitæ, hoc eſt, ut proportio ipſius
b.d. ad .a.c. ſit eadem quæ ipſius .o.r. ad .x.p. & quod anguli ad .r. ſint æquales angulis
circa
.d.
Notentur ergo primum puncta communia ip ſius .o.g. cum .y.t. & ipſius .b. x
cum
.f.m. characteribus. ω. et .n.
Nunc igitur ſcimus .f.m. æqualem eſſe .m.i. tota mq́; .f.
i
.
parallelam eſſe ipſi .a.c.
Idem dico de .y.t.u. trianguliq́; .x.f.n. et .g.y. ω. eſſe ſimiles
triangulis
.n.m.b. et. ω .t.o. quod ita probatur, nam ex .15. primi Euclid. anguli ad .n.
ſunt
inuicem æquales, ex .29. verò eiuſdem anguli .f.x.n. et .n.b.m. ſimiliter æquales
ita
etiam .n.f.x. et .n.m.b.
Idem dico in ſecunda figura, vnde ex .4. ſexti Eucli. proportio .n.f. ad .m.n. erit ea
dem
quę .f.x. ad .b.m. & ipſius .n.f. ad .x.f. vt .n.m. ad .m.b. ex .16. quinti.
Quare ex .11.
436[Figure 436]
396384IO. BAPT. BENED. eiuſdem erit vt .a.d. ad .d.b. Idem etiam dico in ſecunda parabola, ſed ipſius .x.o. ad
o.r. eſt vt .a.b. ad .b.d. ex .6. ſexti Eucli.
vnde ex .11. quinti .n.f. ad .f.x. erit vt .ω.y.
ad
.y.g.
Sed in precedenti iam tibi dixi .a.b. mediam proportionalem eſſe inter .h.
et
.b.d.
Sit nunc .z. pro ſecunda parabola, ita ut .h. eſt pro prima, vnde .o.x. crit media
proportionalis
inter .z. et .o.r. & ex .11. quinti ita erit .h. ad .a.b. vt .z. ad .x.o. & ex .22.
h
. ad .a.x. ut z. ad .x.g. & quia ex .16. ſexti .a.x. media proportionalis eſt inter .h. et .f.
x
.
cum ſupponatur productum .h. in .f.x. æquale eſſe quadrato .a.x.
Idem dico .x.g.
mediam
eſſe proportionalem inter .z. et .g.y.
quare ex .11. iam dicta, ita erit .a.x. ad .f.
x
.
vt .y.g. ad .x.o. & ex eadem, ita erit ipſius .f.n. ad .a.b. ut .y.ω. ad .x.o. & ſic .f.n. ad .d.a.
vt
.y.ω. ad .x.r. ſed .f.m. ad f.n. eſt vt .y.t. ad .y.ω. ex .18. quinti vnde .f.m. ad .a.d. erit vt
y.t. ad .x.r.
Idem dico de eorum duplis.
Ex ijſdem rationibus dico ita eſſe .b.d. ad .b.m. vt .o.r. ad .o.t. & ex .17. quinti .d.m.
ad
.b.m. vt .r.t. ad .t.o.
Reliqua tibi conſideranda relinquo.
437[Figure 437]
In reliquis verò propoſitionibus illius lib. nullo pacto poteris dubitare: Verum ne
in
.4. aliquid tibi noui exurgat, te ſcire volo corollarium .20. in libr. de quadratu­
ra
parabolę docere poſſibile eſſe inſcriptionem rectilineæ, ea tamen conditione quã
dicit
Archimedes.
In quinta poſtea animaduertendum eſt, quod prima pars, probat tantummodo de
centro
trianguli, et .2. pars probat de centro pentagoni, à te ipſo deinde potes pro-
bare
de centro nonanguli:
& ſic de cæteris: eo quod cum probatum fuerit de centro
figuræ
in medio locatæ ſi conſtitutæ poſtea fuerint ſimiles figuræ in portionibus la-
teralibus
habebitur propoſitum in infinitum.
Idem intelligendum eſt in .3. propoſitione quamuis exemplum vlterius non ex-
tendatur
quam ad pentagonos.
Sexta verò ꝓpoſitio tibi ſacilis erit, quæ nihilominus põt demõſtrari hoc ſcili­
cet
.
Sint .4. quãtitates .a.b.c.d. ipſius Archimedis ſupponẽdo .a. pro figura rectilinea
inſcripta
in parabola, et .b. pro reſiduo ipſius parabolę et .c. pro triangulo .a.b.c. in me
dio
ipſius parabolę et .d. pro triangulo .r.
Nunc cum .a. maior ſit .c. prout totum ma-
ius
eſt ſua parte, ideo ex .8. quinti maior proportio habebit .a. ad .b. quam .c. ad .b.
Cum
autem .b. minor ſit .d. ex ſuppoſito, ideo ex eadem dicta, maior proportio habe
bit
.a. ad .b. quam .c. ad .d. cum verò centrum cuiuſuis figuræ plenæ neceſſariò ſit intra
ipſam
figuram, idcirco centrum reſidui ipſius parabolę intra ipſam reperietur.
quod
ita
clarũ ſe eſt, quẽadmodũ quoduis aliud axioma, & quia dictũ centrũ ex .8. primi
de
centris, neceſſariò eſt in linea .b.h. inter .b. et .h.
Sit igitur .g. vnde ex eadem .8. ita
erit
.g.h. ad .h.e. vt .a. ad .b. ergo .g.h. ad .h.e. maior proportio erit quã .c. ad .d. hoc eſt
quam
.b.h. ad .f. ex .12. quinti.
Sed .h.b. maior ſit ipſa .h.g. prout omne totum ma-
ius
eſt ſua parte, ideo maior proportio habebit .h.b. ad .h.e. quam .h.g. ad .h.e. vnde
multo
maiorẽ quã .h.b. ad .f. ex cõi cõceptu,
quare .h.e. erit minor ipſa .f. ex .10. quĩti.
Septima verò et .8. propoſitio nullius tibi erit difficultatis.
397385EPISTOL AE.
Quamuis Eutotius ſcribat ſuper duas vltimas lib. ſecundi de centris grauiũ, nihil
miror
ipſum tibi non ſatisfacere.
Accipe igitur quod ego nunc tibi mitto.
Archimedes eo in loco primũ ſupponit in penultima dicti libri quatuor lineas
proportionales
.a.b: c.b: d.b: et .e.b: ſupponit etiam quod proportio quæ eſt ipſius .
e
.b.
ad .e.a. eadẽ ſit quæ ipſius .f.g. ad tres quintas ipſius .a.d. & quod proportio com
poſiti
dupli ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
438[Figure 438]
398386IO. BAPT. BENED. ipſius .b.e. ad compoſitum quintupli ipſius .a.b. cum decuplo ipſius .c.b. cum decuplo
ipſius
.b.d. cum quintuplo ipſius .b.e. eadem ſit quæ ipſius .g.h. ad .a.d. & vult proba-
re
.f.h. eſſe duas quintas ipſius .a.b.
Cum autem dicit proportionem ipſius .a.c. ad .c.d. & ipſius .c.d. ad .d.e. eſſe vt ipſius
a.b. ad.b.c. & cętera, verum dicit ex .19. quinti Eucli. eo quod cum ex hypotheſi ſit
ipſius
, a.b. totalis ad .c.b. totalom vt ipſius .c.b. partialis (ſumptæ vt pars abſciſa ab .a.
b
.
pro nunc) ad .d.b. partialem (abſciſam ab .c.b.) erit ex .19. dicta ipſius .a.c. (reſidui
ex
.a.b.) ad .c.d. (reſiduum ex .c.b.) vt ipſius .a.b. ad .c.b. & ita probabitur de pro-
portione
ipſiuas .c.d. ad .d.e. eadem ratione.
Cum verò ex .18. quinti ſit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .c.b. vt ipſius .a.d. ad .d.e. ergo ex
22
. eiuſdem, ita erit ipſius .a.b. cum .c.b. ad .d.b. vt .a.d. ad .d.e. & exijſdem rationibus
eadem
proportio erit ipſius .c.b. cum .d.b. ad .b.e. vt .a.d. ad .d.e. quod inquit Archi.
Verum etiam erit (ex .13. quinti) cum dicit eandem proportionem eſſe ipſius .a.d.
ad
.d.e. quę dupli primi antecedentis cum ſimplo ſecundi antecedentis ad duplum
primi
conſequentis cum ſimplo ſecundi conſequentis, hoc eſt dupli ipſius .a.b.c.
ſimplo
.c.b.d. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b. hoc eft dupli .a.b. cum triplo ip-
ſius
.b.c. cum ſimplo .d.b. ad duplum ipſius .d.b. cum ſimplo .e.b.
Nunc duplum .a.b.
cum
triplo .b.c. cum ſimplo .b.d. ſignatum ſit charactere .D. ſuum verò conſequens,
hoc
eſt duplum .d.b. ſimplo .e.b. ſignificetur à charactere .B. hinc proportio ipſius
11M a.d. ad .d.e. erit vt .D. ad .B.
Inquit nunc Archimedes, ſi quis ſumeret aliquod maius antecedens æquale ſci-
licet
duplo ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.e. cum quadruplo ipſius .b.d. cum du-
plo
ipſius .b.e. compararetq́; illud cum cõſequente .B. clarum eſſet ex .8. quinti quod
tale
antecedens maiorem proportionem haberet ad .B. quam ad .D. hoc eſt maiorem
quàm
ipſius .a.d. ad .d.e. ex .12. quinti.
Nunc ſi ſumpta fuerit aliqua linea, puta .d.o. cui .a.d. dictã habeat proportionem
maiorem
, larum erit ex ſecunda parte decimę quinti quod .d.o. minor erit ipſa .d.e.
Corrige
igitur impreſſionem Baſileę locando characterem .o. inter .d. et .e. eo quod
ibi
poſitum non fuit.
Volo nunc quod dictum maius antecedens æquale ſcilicet duplo ipſius .a.b. cum
quadruplo
ipſius .b.c. cum quadruplo ipſius .b.d. cum duplo ipſius .b.c. ſignificetur à
charactere
.A.
Hinc habebimus proportionem ipſius .a.d. ad .d.o. ut .A. ad .B.
22β
Ex .18. quinti poſtea habebimus .A.B. ad .B. vt .a.o. ad .d.o. & proportionalitate
euerſa
in .19. dicti ita erit .A.B. ad .A. vt .a.o. ad .a.d.
Sed hoc vltimum antecedens in
33T ſe continet id quod Archimedes ſcribit, hoc eſt duplum ipſius .a.b. quadruplũ ipſius
b.c. ſexcuplum ipſius .b.d. & triplum ipſius .b.e.
Conſequens verò .A. continet du
plum
ipſius .a.b. quadruplum ipſius .b.c. quadruplum ipſius .b.d. & duplum ipſius .b.e.
Ex ſuppoſito deinde ipſius Archimedis & ex conuerſa proportionalitate in .19.
dicta
, verum eſt id quod dicit Archimedes, videlicet quod eadem proportio eſt
ipſius
.a.d. ad .g.h. quod quintupli ipſius .a.b. cum quintuplo ipſius .b.e. cum decuplo
ipſius
.b.c. cum decuplo ipſius .b.d. (quod quidem antecedens ſignificetur per .V.)
ad
duplum ipſius .a.b. cum quadruplo ipſius .b.c. cum ſexcuplo ipſius .b.d. cum triplo
ipſius
.b.e. hoc eſt ad .A.B.
Erit igitur .V. ad .A.B. vt ipſius .a.d. ad .g.h. ſed ſuperius vbi ſignatum eſt .T. iam
probatum
fuit ita eſſe .A.B. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .a.d.
Ergò ex .23. quinti Archime
des
verum ſcribit, hoc eſt quod ita erit ipſius .V. ad .A. vt ipſius .a.o. ad .g.h.
Clarum per ſe etiam eſt, id quod Archimed. dicit hoc eſt quod .V. ad .A. eſt vt
44ω
399387EPISTOL AE. quinque ad duo, cum quodlibet ingredientium in compoſito .V. ad quodlibet in-
gredientium
in compoſito .A. ſit vt quinque ad duo.
Quare ex .13. quinti verum
dicit
.
Vnde .a.o. ad .g.h. erit vt quinq; ad duo ex .11. eiuſdẽ vt inquit Archimedes.
Corrige impreſſionem vbi ſcriptum eſt, rurſus quoniam .o.a. quia oportet dicere
Rurſus
quoniam .o.d.
Archimedes igitur verum dicit, quod ipſius .o.d. ad .d.a. eſt vt ipſius .B. ad .A. ex
439[Figure 439]
400388IO. BABPT. BENED. conuerſa proportionalitate in .19. quinti, cum .a.d. ad .d.o. iam probatum fuit (vbi
B
.) ita eſſe ut .A. ad .B.
Sed in principio huius ſpeculationis probatum iam fuit ita eſſe ipſius .d.a. ad .d.e.
vt
ipſius .D. ad .B. vbi notatum eſt .M.
quare ex .23. quinti, Archimedes verum dicit,
qu
od .d.o. ad .d.e. erit vt .D. ad .A.
Sed cum .d.o. ad .d.e. ſe habeat ut .D. ad .A. erit ex conuerſa proportionalitate iam
dicta
.d.e. ad .d.o. vt .A. ad .D. per euerſam vero erit .d.e. ad .a.o. vt .A. ad ſuum reſi-
11λ duum.
quod reſiduum componitur ex ſimplo .b.c. cum triplo .b. cum duplo .b.o. quod
à
te ipſo videre poteris detrahendo numeros ipſarum quantitatum quæ in .D.
reperiuntur
, ex numeris earundem, quæ in .A. quod quidem reſiduum ſigniſicetur
à
charactere .E.
Vnde ex conuerſa proportionalitate verum dicit Archime. hoc eſt
quod
ita ſe hab ebit .o.e. ad .d.e. vt .E. ad .A.
Cum autem ſit .a.b. ad .c.b. vt .c.b. ad .d.b. & ita .d.b. ad .e.b. ex ſuppoſito, ideo ex
17
. quinti verum dicit Archim.
hoc eſt quod ita erit ipſius .d.e. ad .e.b. vt .a.c. ad .c.b.
& vt .c.d. ad .d.b. & ex .13. eiuſdem eadem proportio erit tripli ipſius .c.d. ad triplum
ipſius
.d.b. quæ dupli ipſius .d.e. ad. duplum ipſius .e.b. vt inquit Archi.
Ex qua .13. compoſitum ex .a.c. cum triplo ipſius .c.d. cum duplo ipſius .d.e. ean-
dem
proportionem habebit ad compoſitũ ipſius .c.b. cum triplo ipſiꝰ .d.b. cum duplo
ipſius
.e.b. quam ipſius .d.e. ad .e.b.
Sed horum compoſitorum primum ſignificetur
per
.H. ſecundum verò ſignificatum fuit per .E. vnde .H. ad .E. ſe habebit vt .d.e. ad
e.b. ſed .E. ad .A. iam dictum eſt eſſe vt .o.e. ad .d.e. vbi ſignatum eſt .λ.
quare ex .23.
quinti
eadem proportio erit ipſius .o.e. ad .e.b. quæ .H. ad .A. vt ipſe inquit.
22X
Ex .18. poſtea eiuſdem ita erit .o.b. ad .e.b. vt .H.A. ad .A.
Notandum etiam eſt quod ſi collectæ fuerint omnes partes compoſiti .H.A. hoc
eſt
duplum .a.b. cum duplo .b.e. cum quadruplo .b.c. cum quadruplo .b.d. cum ſimplo
a.c. cum triplo .c.d. cum duplo .d.e. habebitur triplum .a.b. triplum .b.d. & ſexcuplum
b.c. vt ipſe dixit.
Quod autem hoc verum ſit, cum diſtinctæ fuerint omnes partes,
vt
in ſubſcriptis his lineis videre eſt, videbis quod ſi ex .H. detracta fuerit ſimplex .a.
c
.
quæ quidem poſtea iuncta vni ex partibus quadrupli .b.c. ipſius .A. reſultabit nobis
vna
inte gra .a.b.
Vnde habebimus triplum ipſius .a.b. & in .A. remanebit triplum ip
ſius
.c.b.
Deinde ſi ex .H. auferatur triplum ipſius .c.d. & ipſum addatur tribus parti-
bus
quadrupli .b.d. ipſius .A. habebimus tres vices .b.c. quæ ſi iungantur tribus, quæ
remanebant
in .A. vt dixi, habebimus ſexcuplum ipſius .b.c. & in .A. remanebit ſim
plum
.b.d. cum duplo ipſius .b.e.
Vnde ſi ex .H. demptum fuerit duplum ipſius .d.
e
.
quod quidem iungatur cum duplo ipſius .b.e. habebimus duplum ipſius .b.d. quod
coniunctum
cum ſimplo .b.d. quod in .A. relictum fuerat, habebimus triplum ipſius
d.b.
Verum igitur eſt quod inquit Archimedes, hoc eſt, quod .H.A. eſt triplum ip-
ſius
.a.b. ſexcuplum ipſius .b.c. & triplum ipſius .b.d.
Verum etiam dicit ex eo (vt ſupra probatum eſt) quod .a.c: c.d: et .d.e. ſe habebãt
in
continua proportionalitate,
quare ex conuerſa proportionalitate erunt ſibi inui-
cem
continuæ proportionales.
Nunc autem cum .a.c: c.d. et .d.e. ſint continuæ proportionales in ea proportione
in
qua ſunt .a.b: c.b: d.b: et .e.b. vt in principio diximus, erit ex .22. quinti .a.c. ad .d.
e
.
vt .a.b. ad .d.b. & ſic etiam .c.b. ad .e.b.
Vnde ex .24. eiuſdem .a.d. ad .d.e. erit vt .a.
b
.
cum .b.e. ad .d.b. & vt .c.b. cum .b.d. ad .e.b. & ex .13. dicti vt .a.b. cum .b.e. bis
ſumpto
, & cum .b.d. ad .e.b.
Quare ex conuerſa proportionalitate, vt ſe habet .e.d.
ad
.d.a. ita ſe habebit .e.b. .d.b. ad d.b. .b.c. duplicato & .b.a. vt inquit Archi
medes
.
Nunc antecedens vocetur .M. hoc eſt .b.e. cum .d.b. conſequens verò, hoc
401389EPISTOLAE. eſt .d.b. cum duplo .b.c. cum ſimplo .b.a. vocetur .N.
Animaduertendum tamen eſt quod impreſſio mendoſa eſt ubi dicit.
vnaquæque .c.b: b.d. & cætera,
propterea
quod dicendum eſt ita
vnaquæq; e.b: b.d.
Nunc ex .18. quinti, quemadmodum ſe habet .a.e. ad .d.a. ita ſe habebit .M.N. ad .N.
440[Figure 440]
402390IO. BAPT. BENED. Vbiautem ſcriptum eſt
ad vtrunque ſimul .b.d: d.a. cum dupla .b.c.
dicendum
eſt ita,
ad
vtranque ſimul .b.d.b.a. cum dupla .b.c.
Inquit deinde Archi. quod ſicut ſe haber .e.a. ad .d.a. ita ſe habebit duplum .M.N.
ad
duplum .N.
Quod quidem verum eſt ex .13. quinti, huiuſmodi verò antecedons
& conſequens, Archi. manifeſtat ex ſuis partibus, ſumendo duplum .e.b. cum duplo
b.d. pro duplo .M. & duplum .b.d. cum duplo .a.b. cum quadruplo .b.c. pro duplo .N.
quę
ſimul iuncta æquantur duplo .e.b. cum duplo .a.b. cum quadruplo .b.d. cum qua-
druplo
.b.c. ex quo æquabuntur .A. vocentur igitur hæc omnia .A. potius quàm du-
plum
ipſius .M.N.
Verum etiam ſcribit, vbi dicit, quod proportio .e.a. ad tres quintas ipſius .a.d. erit
vt
.A. ad tres quintas dupli .N. ex .22. quinti.
Sed cum ex ſuppoſito ita ſe habeat .f.
g
.
ad tres quintas ipſius .a.d. quemadmodum .b.e. ad .e.a. erit ex .16. quinti verum
dicit
Archimed.
hoc eſt, ita ſe habere .b.e. ad .f.g. vt .e.a. ad tres quintas ipſius .a.d.
Et per .11. eiuſdem verum etiam erit quod ſicut ſe habet .e.b. ad .f.g. ita ſe habe-
bit
.A. ad tres quintas dupli .N. quod quidem duplum .N. ſignificetur per .Q.
Sed ſuperius iam demonſtratum fuit (vbi .X.) quod .o.b. ad .b.e. ita ſe habebat vt
H.A. ad .A. & nũc demum probatum fuit ita eſſe .A. ad tres quintas ipſius .Q. vt .e.b.
ad
.f.g.
Quare ex .22. quinti ita erit .H.A. ad tres quintas ipſius .Q. vt .o.b. ad .f.g. vt
11Y idem inquit.
Sed .H.A. ad .Q. (vt ex ſuis partibus videre eſt) ita ſe habet vt tres ad duo ex .13.
quinti
, vt inquit Archimedes.
Ipſe etiam dicit proportionem .H.A. ad tres quintas ipſius .Q. eſſe vt quinque
ad
duo.
Pro cuius rei euidentia imaginemur tam .H.A. quam .Q. diuiſa per quinq;
partes
æquales, vnde ex .16. quinti habebimus quamlibet quintam partẽ ipſius .Q.
æqualẽ eſſe duabus tertijs vniuſcuiuſque quintæ partis .H.A. vnde tres quintæ ipſius
Q
. erunt, ex communi conceptu, ſex tertiæ vnius quintæ ipſius .H.A. hoc eſt duæ
quintæ
. ipſius .H.A.
Quare .o.b. ita ſe habebit ad .f.g. vt quinque ad duo ex commu
ni
cõceptu, cum .o.b. ad .f.g. probatum fuerit ſe habere vt .H.A. ad tres quintas ipſius
Q
. (vbi .Y.) ſed iam probatum fuit (vbi. ω) quod .o.a. ad .h.g. erat etiam vt
quinque
ad duo, hoc eſt quod .f.h. erit duæ quintę ipſius .a.b.
Quod eſt propoſitum.
403391EPISTOL AE. 441[Figure 441]
404392IO. BAPT. BENED.
In vltima verò propoſitione ſecundi lib. de ponderibus Archi. hoc modo intelli­
gendus
eſt, vt ſi diceret,
Sit
paraboles .a. cuius baſis ſit .a.c. ſitq́; .d.e. recta parallela dictæ baſi .a.c. diameterq́;
b.f.
Inquit deinde quod linea contingens in .b. parallela erit ipſi .a.c. et .e.d. quod proba
bimus
hoc modo.
Cum .b.f. diameter ſit et .a.c. baſis, clarum erit ex definitione quod .b.f. diuidet .a.c.
per
æqualia in .g.
Vnde ex .7. vel etiam ex .46. primi Pergei .d.e. diuiſa erit per æqua
lia
à diametro .b.f.
Quare verum dicit ex quinta ſecundi ipſius Pergei hoc eſt quod
dicta
contingens in puncto. b parallela erit ambobus .a.c. et .e.d.
Inquit poſtea quod diuiſa cum fuerit pars diametri quę inter .d.e. et .a.c. poſita eſt
(hoc eſt .g.f.) per quinque partes æquales, quarũ partium media ſit .h.k. diuiſa etiam
imaginatione
ſit in puncto .i. ita quod proportio ipſius .h.i. ad .i.K. eadem ſit quæ in-
ter
duo ſolida quorum vnum (illud ſcilicet à quo relatio incipit, hoc eſt antecedens)
pro
ſua baſi teneat quadratum ipſius .a.f. cuius etiam ſolidi altitudo compoſita ſit ex
11R duplo ipſius .d.g. cum ſimplo .a.f.
Aliud verò ſolidum habeat pro ſua baſi quadra-
tum
ipſius .d.g. eius verò altitudo compoſita ſit ex duplo ipſius .a.f. cum ſimplo .d.g.
Inquit nunc Archi. quod cum ita factum fuerit, oſtendet punctum .i. centrum eſſe
portionis
abſciſſę à tota ſectione, quod fruſtũ nominat̃ ſignatũ characteribus .a.d.e.c.
Sit igitur num@. m.n. inquit, æqualis diametro .b.f. et .n.o. æqualis .b.g. ſitq́; .x.n. me
dia
proportionalis inter .n.m. et .n.o. et .t.n. in continua proportionalitate poſt .o.n.
hoc
eſt quod ea proportio quæ eſt ipſius .o.n. ad .n.t. eadem ſit ipſius .x.n. ad .n.o.
Hinc
habebimus
.4. lineas in continua proportionalitate ſibi inuicem coniunctas .m.n: x.
n
: o.n. et .t.n.
Vult etiam quod à linea .i.b. incipiens ab .i. verſus .g. alia linea abſciſſa ſit, cui li-
22A neæ, ita proportionata ſit .f.h. vt .t.m. eſt ad .t.n. quæ quidem linea ſignata ſit .i.r.
Dicit poſtea quod diameter .b.f. erit fortaſſe a xis vel aliqua reliquarum diame-
trorum
, quod quidem in .46. primi Pergei videre eſt, cum omnes diametri ſint in-
uicem
paralleli ipſi axi.
Cum poſtea dicit, quod .a.f. et .d.g. ſunt intentæ ductæq́ue, ibi vult id em infer-
re
, quod Pergeus vocat ordinatè, vt ex .11. et .49. primi ipſius Pergei videre li-
cet
, vnde ex .20. eiuſdem proportio .b.f. ad .b.g. erit vt quadrati .a.f. ad quadratum
ipſius
.d.g. vt ipſe dicit.
Sed ita erit quadrati .m.n. ad qua dratũ .x.n. ex .18. ſexti Eucli. Quare ex .11. quin-
33α ti quadratum ipſius .m.n. ad quadratum ipſius .n.x. eandem habebit proportionem,
quam
quadratum ipſius .a.f. ad quadratum ipſius .d.g.
Vnde ex .18. & ex communi
ſciẽtia, eadem proportio erit ipſius .m.n. ad .n.x. quę ipſius .a.f. ad .d.g. vt inquit Arch.
Quaptopter proportio cubi ipſius .m.n. ad cubum ipſius .n.x. erit vt cubi ipſius .a.
f
.
ad cubum ipſius .d.g. vt etiam dicit ex communi ſcientia, nec non ex .36. vndecimi.
Inquit poſtea quod proportio totius ſectionis .a.b.c. ad portionem .d.b.e. eadem
eſt
quæ cubi ipſius .a.f. ad cubum ipſius .d.g. quod verum eſt, vt aliàs tibi monſtraui in
diuiſione
parabolæ ſecundum aliquam propoſitam proportionem.
Quando autem dicit quod proportio cubi ipſius .m.n. ad cubum ipſius .n.x. eadem
44β eſt quæ ipſius .m.n. ad .n.t. verum dicit ex .36. vndecimi.
Vnde ex .11. quinti ita ſe
habebit
totalis ſectio .a.b.c. ad portionem .d.b.c. vt .m.n. ad .n.t. & ex .17. eiuſdem ita
erit
ipſius .m.t. ad .t.n. vt fruſti .a.d.e.c. ad ſectionem .d.b.e. quemadmodum ipſe di-
cit
.
Sed quia ſuperius, vbi .A. ipſa .f.h. (quæ eſt tres quintæ ipſius .f.g.) ad .i.r. ita rela-
405393EPISTOL AE. ta fuit vt .m.t. ad .t.n. idcirco ex .11. quinti ita erit ipſius fruſti .a.e. ad ſectionem .d.b.
e
.
vt tres quintę ipſius .f.g. ad .i.r.
Inquit deinde quod proportio corporis iam ſupradicti, quod pro ſua baſi habeat
quadratum
ipſius .a.f. altitudinem verò compoſitam ex duplo ipſius .d.g. cum ſimplo
a.f. ad cubum ipſius .a.f. eadem erit quæ dupli ipſius .d.g. cum ſimplo .a.f. ad .a.f.
Quod
quidem
verum eſt ex .33. vndecimi & ex prima ſexti.
Sed ſuperius (vbi. α.) iam probauimus eandem proportio nem eſſe inter .m.n. &
n.x. quæ inter .a.f. et .d.g. ideo ex conuerſa pro portion alitate ita erit ipſius .x.n. ad .n.
m
.
vt ipſius .d.g. ad .a.f. ſed dupli .x.n. ad ſimplum .x.n. eſt vt dupli .d.g. ad .d.g.
Qua
re
ex .22. quinti dupli .x.n. ad .m.n. erit vt dupli .d.g. ad .a.f. & ex .18. eiuſdem ita erit
dupli
.x.n. cum ſimplo .m.n. ad .m.n. vt dupli .d.g. cum ſimplo .a.f. ad .a.f.
Quare ſolidi
442[Figure 442]
406394IO. BAPT. BENED. iam dicti ad cubum inſius .a.f. ex .11. quinti erit vt dupli .x.n. ſimplo .m.n. ad .m.n.
11δ
Superius autem vbi. β. demonſtratum fuit ita eſſe ipſius .m.n. ad .n.t. vt cubi .m.n.
ad
cubum .x.n. & inter. α et. β probatum fuit ita eſſe cubi .a.f. ad cubum .d.g. vt
cubi
.m.n. ad cubum .x.n.
Vnde ex .11. quinti .m.n. ad .n.t. erit vt cubi .a.f. ad cubum
d.g.
Dicit poſtea quod eadem proportio erit inter cubum .d.g. & corpus illud quod
pro
baſi habeat quadratum inſius .d.g. altitudinem verò vt dictum eſt, quæ eſt inter
d.g. & compoſitum ex duplo .a.f. cum ſimplo .d.g. quod compoſitum eſt altitudo di
cta
, & verũ dicit ex ratione ſuperius allegata pro reliquo corpore & cubo ipſius .a.f.
Quare etiam quemadmodum .t.n. ſe habet ad duplum ipſius .o.n. cum ſimplo .t.n.
ex
ijſdem rationibus ſupradictis, vbiloquuti ſumus de .x.n. cum .m.n.
Diſponantur nũc omnia tali ordine, ita vt .u. primum ſit corpus quod pro ſua ba
ſi
habeat quadratum ipſius .a.f. & c.
Et .y. ſit cubus ipſius .a.f. et .s. ſit cubus ipſius .d.g. et .z. ſit corpus quod baſim ha-
bet
quadratum ipſius .d.g. altitudinem verò vt ſupradictum eſt, et .p. ſit compoſitum
dupli
.n.x. cum ſimplo .m.n. et .l. ſit compoſitum dupli ipſius .n.o. cum ſimplo .t.n.
Sed
.u. locata ſit è regione .p. et .y. è regione .m.n. et .s. è regione .n.t. et .z. è regione .l.
& habebimus proportionem ipſius .u. ad .y. vt .y. ad .m.n. & ipſius .y. ad .s. vt .m.n. ad .
n
.t.
quod ſuperius iam demonſtratum fuit, vbi, δ. et .s. ad .z. ita ſe habebit vt .n.t. ad .
l
.
vt vltimò probatum fuit.
Quare ex .22. quinti ita ſe habebit .u. ad .z. vt .p. ad .l.
quemadmodum
dicit Archi.
Et quia vt ſe habet .u. ad .z. ita facta fuit .h.i. ad .i.K. vbi .R. ideo ex .11. quinti vt ſe
habet
.h.i. ad .i.K. ita ſe habebit .p. ad .l. vt ipſe dicit:
Et ex .18. quinti ita erit .h.K.
ad
.K.i. vt .p.l. ad .l. & ex communi conceptu .g.f. ſe habebit ad .h.K. vt quintuplum
ipſius
.p.l. ad .p.l. & ex .22. eiuſdem ita ſe habebit .f.g. ad .i.k. vt quintuplum ipſius .p.
l
.
ad .l. quintuplum autem ipſius .p.l. compoſitum eſt ex quintuplo ipſius .n.m. cum
decuplo
ipſius .n.x. cum quintuplo ipſius .n.t. cum decuplo ipſius .n.o. vt à te facilè
computare
potes.
Verum etiam erit ex communi ſcientia quod .g.f. ad .f.k. eſt ut quintuplum ipſius
p.l. ad duplum ipſius .p.l. eo quod ſuperius ſuppoſitum fuit .h.K. eſſe quintã mediam,
vnde
.k.f. relinquebatur pro duabus quintis inferioribus, duplum autem .p.l. com-
poſitum
eſt ex duplo ipſius .m.n. cum duplo ipſius .n.t. cum quadruplo ipſius .n.x. &
cum
quadruplo ipſius .x.o.
Ex conuerſa proportionalitate deinde ita ſe habet, i.K. ad .i.k. ad .f.g. vt .l. ad quin-
tuplum
ipſius .p.l. et .k.f. ad .f.g. vt duplum ipſius .p.l. ad quintuplum ipſius .p.l.
Vnde
ex
.24. quinti .i.f. ſe habebit ad .f.g. vt duplũ ipſius .p.l. cum ſimplo .l. ad quintuplum
ipſius
.p.l.
Deinde ex conuerſa proportionalitate quintuplum ipſius .p.l. ſe habebit
22θ ad duplum ipſius .p.l. cum ſimplo .l. vt .f.g. ad .f.i.
Sed compoſitum dupli ipſius .p.l.
cum
ſimplo .l. æquale eſt duplo ipſius .m.n. cum quadruplo ipſius .x.n. cum ſexcuplo
ipſius
.o.n. cum triplo ipſius .n.t. vt per te computare potes.
Superius enim ſumpta fuit .i.r. ad quam ita ſe haberet .f.h. hoc eſt tres quintæ ip-
ſius
.f.g. vt .m.t. ad .t.n.
Quare ex conuerſa proportionalitate ita ſe habebit .i.r. ad tres
quintas
ipſius .f.g. vt .t.n. ad .t.m.
Et quia .o.n. ſumpta fuit æqualis ipſi .b.g. et .m.n. ipſi
b.f. ideo .m.o. ex communi ſcientia æ qualis erit ipſi .g.f.
Vnde proportio .r.i. ad tres
quintas
ipſius .m.o. erit vt .n.t. ad .t.m. vt inquit Archi.
Sed vbi. θ. iam probauimus ita ſe habere .i.f. ad .f.g. vt duplum ipſiꝰ .p.l. cum ſim-
plo
.l. ſe habet ad quintuplum ipſius .p.l. hoc eſt .i.f. ad .m.o. vt duplum ipſius .p.l. cum
ſimplo
.l. ad quintuplum ipſius .p.l.
407395EPISTOL AE.
Habemus igitur nuncomnẽs illas conditiones quas Archimedes in præcedenti
propoſitione
ſupponit.
Vnde ex rationibus ibi allegatis ſequitur .f.r. eſſe duas quin-
tas
ipſius .m.n. hoc eſt ipſius .f.b.
Quapropter punctum .r. centrum erit ponderis to-
tius
ſectionis parabolæ ex .8. ſecundi lib. de ponderibus eiuſdem Archimedis.
Inquit nunc Archimedes, quod exiſtente .q. centro ponderis ipſius parabolæ .d.
b
.e.
partialis, centrum fruſti erit in linea recta .q.r.f. ita remotum à centro .r. quod
proportio
.q.r. ad partem illam ipſius .r.f. quæ reperitur inter centrum .r. & centrum
huius
fruſti æqualis eſt proportioni totius parabolæ ad partialem.
Quod quidem ve
rum
eſt ex .8. primi libri eiuſdem.
Inquit etiam punctum .i. illud eſſe, eo quod cum probatum ſit .f.r. duas quintas eſ-
ſe
ipſius .f.b. ideo .b.r. tres quintas erit ipſius .b.f. vt ipſe dicit.
443[Figure 443]
408396IO, BAPT. BENED.
Sed .q.b. ſimiliter tres quintæ eſt ipſius .d.b. ex .8. prædicta. Quare .q.r. tres quintæ
erit
ipſius .f.g. ex .19. quinti.
Dicamus igitur hoc modo cum .f.b. totum ad totum .b.r. ita ſe habeat vt abſciſ-
ſum
.b.g. ad abſciſſum .q.b. ex .7. et .8. dicti primi libri eiuſdem ideo reſiduum .f.g. ex
f.b. ad reſiduum .r.q. ex .r.b. erit vt totum .f.b. ad. totum .r.b. ex .19. quinti Eucli.
Sed iam ſub. β. probauimus ita ſe habere fruſtum .a.d.e.c. ad parabolam .d.b.e. vt
m.t. ad .t.n. ſed vt .m.t. ad .t.n. ita aſſ umpta fuit (vbi .A.). i.r. ad quam ſic ſe haberet .f.
h
.
hoc eſt tres quintæ ipſius .f.g. hoc eſt .q.r.
quare ex .11. quinti prop ortio fruſti .a.
d
.e.c.
ad parabolam partialem erit vt .q.r. ad .r.i.
Exiſtente igitur .r. centro totius pa
rabolæ
et .q. centro partialis, ergo .i. centrum erit fruſti propoſiti.
Sed ſi nullo ſolido intercedente, voluerimus centrum .i. fruſti .a.e. citius inuenire,
inueniemus
primò centrum .r. totius figuræ ex .8. ſecundi eiuſdem conſtituendo .b.r.
tres
quintas totius axis .b.f. & centrum .q. parabolæ .d.b.e. partialis ſimiliter.
Nunc igitur manifeſtum eſt nobis, eandem proportionem fore ipſius .q.r.
ad
.r.i. quæ fruſti .a.e. ad portionem .d.b.e. ex .8. dicta.
Vnde ex coniuncta pro-
portionalitate
ita ſe habebit .q.i. ad .i.r. vt .a.b.c. ad .d.b.e. ſed vt .a.b.c. ad .d.b.e. ita ſe
habet
.m.n. ad .n.t. eo quod vnaquæque harum duarum proportionum ſeſquialtera
eſt
proportioni .f.b. ad .b.g. eo. quod .f.b. ad .b.g. ita ſe habet. vt .m.n. ad .o.n.
quare
m.n. ad .t.n. ita ſe habebit vt .g.i. ad .r.i. vnde diſiunctim .m.t. ad .t.n. ita ſe habebit vt
q.r. ad .r.i.
Iungatur igitur .r.i. quæ quidem .r.i. ita ſe habeat ad .r.q. vt .t.n. ad .t.m. vt
habeatur
centrum fruſti.
409397EPISTOL AE. 444[Figure 444]
DEFENSIO NOSTRA CONTRA ANTONIVM
Bergam
, & Alexandrum Piccolhomineum.
Illuſtri Domino Horatio Muto.
INter ea quæ olim contra Antonium Bergam, ſermone Italico ſcripſi,
hoc
vnum erat, quod ip ſe Berga non viderat quendam notatu dignum
errorem
ipſius Pi ccolhominei, vbi ipſe Alexander arguit quendam au-
thorem
in tractatu de magnitudine terræ & aquæ pag .37. linea .26. ita di
cens
, & erit maior aqua.
410398IO. BAPT. BENED.
Quo in loco clare videtur ipſum putare eandem proportionem inter diametros,
quæ
inter ſphæras ipſas eſſe, nec amplius recordari eius quod ſcripſerat pag .24.
Piccolhom. igitur ibi ſupponẽs centrum .D. eſſe magnitudinis aquæ, & intra ſphæ
ram
terreſtrem, putat omnino cauſam eſſe vt terra ſuperet aquam magnitudine, qua-
ſi
quod ſi punctum .D. vt centrum ſphæræ aquæ, vnum idemq́; eſſet cum puncto .E.
extremo
diametri ipſius terræ, ſphæra .A.G.H. ſphæræ .A.B.E. dupla eſſe deberet,
quod
quidem nullo pacto fieri poteſt, quamuis etiam proportio .A.H. ad diametrũ
A.E. ſuperbipartiensſeptimas exiſteret, quæ minor eſſet quam ſeſquitertia, ita quod
quando
etiam .D.E. maior medietate ipſius .D.H. fuiſſet, nihilominus tamen
terra
minor eſſet aqua, eo quod proportio dupla minor eſt, quam tripla ad propor-
tionẽ
ſuperbipartientenſeptimas, & maior quã tripla ad proportionem ſeſquiquar-
tam
.
Vnde ſi Piccolhom. ſuppòſuiſſet proportionem ipſius .D.H. ad .C.E. eſſe
ſeſquiquartam
, rectè profectò dixiſſet, ſed dicere quod ubicunque exiſtat punctũ .
D
.
intra ſphæram terreſtrem, ſequitur ipſam eſſe maiorem aquea, verum non eſt.
Scripſi etiam quod Piccoloho. decipiebatur vbi loquitur de diaphaneitate aquæ
pag
.40. ita dicens.
Et cum rationabiliter aliquis exiſtimare non poteſt, quod vmbra quæ facit ori-
ri
e cclipſes Lunæ, producta ſit à terra, & ab aqua ſimul, vt ab vno corpore aggre-
gato
exijs duobus elementis, & ad vnam communem ſphæreceitatem reductis, pro
pterea
quod cum vmbra produci debeat à corporibus opacis, quorum opacitas effi-
cit
illa corpora vmbroſa, aqua autem, ſit corpus diaphanum, & tranſparens, nullam
vmbram
poterit à ſe eminus producere.
Hic enim decipitur Piccolhom. duabus rationibus, quarum prima eſt, quod ra-
dius
luminoſus non poteſt multum in profundum mergi, vt probaui in .8. epiſtola ad
Vimercatum
, altera verò eſt, quod cum ſphærica ſit aqua maris, ſupponatur etiam
quod
ſub ea nulla terræ portio eſſet, & quod radij ſolares ipſam, non ſecus ac pilam
ex
criſtallo fabręfactam penetrarent, cum autem ipſi radij, tam ab una, quam ab alia
parte
ſup erficiei huiuſmodi globi frãgantur, ob diſſimilem diaphaneitatem inter ae
rem
& aquam, ipſi ſeinuicem interſecarent, vt poſt pilam criſtallinam videre eſt, de-
inde
procedentes, diſgregarentur, diſciparenturq́; quouſque nullam vim illuminatio
nis
haberent, quod quilibet experiri poterit mediante aliquo vaſe uitreo ſphærico,
aqua
pleno, cuiuſuis magnitudinis, ſoli expoſito.
Rationes etiam quas eodem loco Piccolho. adducit ad probandum quod ſi quis
in
fundo maris exiſteret, nullum uideret lumen, nihil ualent.
Quarum prima eſt,
ubi
ita dicit.
Ille qui ſe in aquam mergit, cum maiorem lucem, quæ ſupra aquam eſt, relin-
quat
, iudicat pro magno temporis ſpatio locum illum obſcurum, quemadmodum
accidit
quando per multum temporis ſpatium fixis oculis in corpore Solis intuiti ſu
mus
, ab eodem poſtea eoſdem amouentes, omnia obſcura nobis videntur.
Ipſe autem non conſiderat quod talis obſcuritas quæ ſequitur viſionem maioris
luminis
, parum durat, immo cito euaneſcit, ſed in aqua nunquam reuertimur ad vi-
dendum
, ne que veſtigium aliquod luminis ibi videtur, in fundo maris dico, quem-
admodum
nobis nuntiauerunt hi qui margaritas expiſcantur in imis partibus ingen
tium
æquorum indicorum.
Secunda uerò ratio ipſius Piccolhom. eſt ubi ita dicit.
Altera cauſa quod nobis obſcurus appareat locus ſub aqua, eſſe poteſt obſtacu-
lum
quod aquæ habent ab opacitate terræ ſub eorum fundo, etenim ſicut chriſtallũ
411399EPISTOLAE. quamuis perſpicuũ ſiue tranſparẽs ſit, nihilominus propter obſtaculum plumbi ſub
ipſo
poſiti, efficit vt radij viſuales repercuſſi reuertantur. ita etiam quamuis aqua ſit
corpus
tranſparens, nihilominus propter obſtaculum terræ opacæ, quæ ſubſidet in
fundo
maris efficere poteſt obſcuras partes illas ſub aqua, illis hominibus qui in
ipſa
aqua mèrguntur.
In hac ſecunda ratione decipitur Piccolhom. Primum quia ſi vſque ad imam par
tem
maris, Solis radius ferri poſſet, ille qui ibi eſſet, attollens oculos ſurſum Solem
cerneret
,
deinde aſpiciendo ipſum fundum Maris, videret illum, ratione reflexio-
nis
luminis ab ipſo fundo, & ex eadem ratione ſpeculi ab ipſo adducta, quæ contra
ipſum
eſt.
Decipitur etiam cum dicatradios viſuales à ſpeculo ſeu plumbo repercuti, eo
non
radij viſuales ſunt hi qui reflectuntur, ſed ſunt radij luminoſi primarij, ſeu ſecun
darij
qui non ab oculis exeunt ſed à corpore lucido.
Scripſi etiam quod ſi verum eſſet proportionalitatem continuam quãtitatum ele-
mentorum
ex proportione decupla conſtare, ignem pro maximo, terram verò pro
minimo
terminorum ſumentes, totum aggregatum ex terra, aqua, aere, & igne, ita
eſſet
maius terra, quemadmodum mille centum & vndecim ad vnum, vnde ſemidia
meter
regionis elementaris eſſet quaſi aut paulo maior decuplo ſolum ſemidiame-
tro
terræ, vnde inter conuexum ignis, & concauum minimi, ſeu inferioris orbis lu-
naris
, relinqueretur quidam orbis vacuus ſpiſſitudinis vnius interualli plus quam vi-
ginti
terræ ſemidiametrorum, quod ſpatium vacuum orbiculariter, maius exi-
ſteret
ipſa totali regione elementari plus quam trigeſies millies, immo ſi ſemidia
meter
dicti primi orbislunaris maior eſſet terreſtri vt trigintanouem ad unum, dictꝰ
orbis
vacuus maior eſſet elementari regione plus quam .58208. ad vnum, proportio
nalitatem
igitur continuam quæ ex decupla proportionalitate reſultat in elementis
eſſe
putare eſt maximus error.
Subdit deinde Berga, hoc voluiſſe Platonem neceſſario requiri, vt extrema ele-
menta
, nempeignis & terra cum duobus medijs aere, & aqua coniungerentur, cum in
corporibus
ſolidis (quaſi Bergę ſint quædam corpora quæ ſolida non extent) poſſit
dari
medium æquale in geometrica proportione.
Sed vbi Plato ad ſermonem de numero elementorum ſe confert, poſtquam ra-
tione
creationis ignis, & terrę ſe propoſuiſſe putat, vt idẽ de alijs duobus corporibus
medijs
probet, comparatione proportionalitatis continuæ geometricæ in tribus ter-
minis
, ratione rerum ſuperficialium primò, deinde in quatuor, ratione corporearum
vtitur
, ita dicens.
Vinculorum verò ideſt aptiſſimum atque pulcherrimum quod exſe, & ex ijs quę
aſtringunt
, quam maximè vnum efficit, &c.
Quo in loco Plato inſerre vult de proportionalitate geometrica trium termino-
rum
, in qua ijdem ita ſe habent, vt medius, primi, vltimiq́; vice fungatur, ita vt vtriuſ-
que
ipſorum extremorum particeps fiat, cum productum quod à medio termino in
ſeipſo
progignitur idem ſit ei quod ab extremis fuit, vnde medius, potentia idem eſt
quod
productum ab extremis.
Subdit deinde Plato dicens.
Quando enim in tribus numeris, aut molibus, aut viribus, medium ita ſe habet
ad
poſtremum vt primum ad medium, viciſſimq́; vt poſtremum cum medio, ita me-
dium
cum primo congruit,
tunc quod medium eſt, & primum fit & poſtremũ, po-
ſtremum
quoque, & primum & media fiunt.
412400IO. BAPT. BENED.
Hic animaduertendũ eſt omnes interpretes falli, qui hoc loco Platonem de omni-
bus
proportionalitatibus continuis quæ ternario numero (alia enim Arithmetica,
alia
geometrica, alia harmonica dicitur) continentur, intelligendum eſſe cenſent,
quia
de numeris, magnitudinibus, viribusq́;, aut ut dici ſolet, virtutibus mentionem
fecerit
.
Plato enim nihil aliud inferre voluit, quam eandem paſſionem (ut ipſe reci-
tat
) inter medium extremaq́; vnius proportionalitatis continuæ geometricæ, tam
in
quantitate, quam in qualitate reſultaturã, cum tres termini eiuſdem eſſent ſpe-
ciei
, & quia quantitas in duas principes primariasq́; partes, ideſt in continuam, &
diſcretam
diuiditur, hanc ob cauſam Plato hoc præcipuè ſignificat numerorum ma-
gnitudinisq́; vocabulis vtens, quibus vniuerſum quantitatis genus complectitur.
Cum verò ait vires, uniuerſum qualitatis genus inferre uult. Quia proportio &
proportionalitas
tam continua quam diſcreta, non ſolum interterminos quanti, ſed
inter
eos etiam qui quali attribuuntur elucet.
Sed quod eo loco de harmonica proportionalitate quæ geometrica magis ſim
bola
eſt quam cum Arithmetica Plato minime intelligat, ex eiuſdem uerbis cum ita
ſcribit
manifeſtè patet.
Quando enim medium ita ſe habet ad poſtremum ut primum ad medium, uiciſ-
ſimq́
;
ut poſtremum cum medio ita medium cum primo congruit.
Id enim in harmonica proportionalitate non cernitur in qua primus terminus ad
poſtremum
, & non ad medium, ita ſe habet geometricè ut differentia inter primum
& medium ad differentiam inter medium & ultimum.
Quod ſi clarum eſt ipſum de harmonica proportionalitate nullo modo intellige-
re
, quanto minus de Arithmetica, quæ cum geometrica nihil habet commune.
Cum uerò Plato ait.
Tunc quod medium eſt & primum fit & poſtremum, poſtremum quoque, & pri-
mum
media fiunt, &c.
Nihil aliud oſtendere uult, quam ſimilitudinem quæ inter huiuſmodi medium &
extrema
intercedit, cum ipſum medium ad poſtremum, quem primus ad ſeipſum,
eundem
reſpectum habeat, in quo eſt ſimilis primo, & contra ad primum terminũ,
eundem
reſpectum, quem poſtremum ad ſeipſum habet,
unde hac ratione ultimum
repręſentat
, uolens Plato inferre de conuenientia quę inter media elementa, & ex-
trema
intercedit, ut aquæ inter aerem, & terram, cum aqua, ratione ſuæ frigiditatis,
terrę
, ratione uero ſuæ humiditatis aeri ſimilis euadat.
Aer uero qui inter ignem,
aquamq́; ponitur quod ad caliditatem attinet cum igne, quod uero ad humidita-
tem
ſpectat cum aqua communicet.
Sed quia Plato multis in rebus doctrinam Pythagoricam ſequutus eſt, Pythago-
rici
aut em omnia numeris metiebantur, & de omnire ſecundum numerorum ratio
nem
diſſerebant, uidensq́; Plato quod inter duos numeros ſuperficiales, inuicemq́;
ſimiles
exiſtentes, unum tantum numerum medium in proportionalitate continua
geometrica
cadere poteſt, ideo ſubiungit.
Quod ſi uniuerſi corpus latitudinem habere debuiſſet, nullam uerò profundita-
tem
, unum ſanè, tum ad ſeipſum, tum ad extrema uincienda interiectum medium
ſuffeciſſet
.
Sequitur poſtea ſic.
Sed cum ſoliditatem mundus requireret, ſolida uerò non uno, ſed duobus ſem-
per
modis copulentur, inter ignem, & terram, Deus, Aerem, Aquamq́ue loca-
uit
, &c.
413401EPISTOLAE.
Volens inferre, quod quemadmodum inter duos numeros ſolidos, & inuicem
ſimiles
, vnꝰ tãtũ medius proportionalis intercedere poteſt, ſed duo neceſſariò re
quiruntur
(vt exijs quæ Euclid .8. lib. 16. 17. 18. et .19. propoſitione proponit viden­
tur
) ita dictãte ratione inter igneum, terreumq́; corpus duo corpora interiecta eſsẽt,
non
ratione proportionalitatis continuæ in quantitate eorũdem corporum, ſed pro
pter
ſimilitudinem connexionis, cum productum ex duobus medijs proportionali-
bus
æquale ſit producto ab extremis, & idem reſpectus, quem primum ipſorum qua
tuor
ad ſecundum habet, ſecundi ad tertium extet, vnde ſecundum primo ſimile
euadit
, & contra, reſpectus qui eſt quarti ad tertium, ſit etiam tertij ad ſecundum, vn-
de
ipſum tertium, ratione vltimi ſubit, & eius imaginem induit, & hanc ob cauſam
ſic
ſcribit Plato.
Propterea ex huiuſmodi rebus numero quaternario concluſis, mundi corpus con
flatum
eſt, ea connexum comparatione qua dixi.
Ex quo ſeipſum amicitia concor-
di
complectitur, &c.
Vbi Platonem, elementa maiora, minorãue in proportionalitate continua, nec
geometrica
, nec alterius cuiuſuis generis eſſe noluiſſe, clarè perſpicitur, ſed huiuſmo
di
ſimilitudine, in eo quod media elementa cum extremis conueniunt eſt vſus, quæ
quidem
conuenientia, nullibi maior, quam in proportionalitate continua geome-
trica
reperitur.
Sed etiam ſi Plato de huiuſmodi corporea elementorum magnitu-
dine
ſeipſum intelligi voluiſſet, ſi ſemidiameter regionis elementaris ex ęquo vt .39
ad
vnum, reſpectu ſemidiametri terræ fuiſſet, aqua, ipſam terram, magis quam tri-
geſies
, & octies, non ſolum decies, & aer quoque eandem magis quam .1500. &
ignis
magis quam .55000. partibus magnitudine ſuperaret.
Subſtantia vero rerum quas ſcripſeram circa finem illius conſiderationis talis fuit.
Nunc autem tempus eſſe videtur, vt ego etiam, ne tantum deſtruxiſſe, ſed etiam
conſtruxiſſe
videar aliquid pro veritate diſſeram.
Non eſt igitur dubium, ſolidæ doctrinæ viris, quin præſtantiſſimus Piccolo. ſe-
cutus
ſit tutam viam ad explorandum, quod terra maior ſit quam aqua, metiendo
vtriuſque
horum corporum ſuperficiem detectam.
Omittamus autem compenſa-
tionem
illam curuitatis, & concauitatis vallium, & montium, &c. quam ipſe Piccolo.
propè
finem ſexti cap. vellet dare fluminibus, ſtagnis, fontibus, & eiuſmodi aquis.
eo enim in loco labitur Piccolo. vbi non conſiderat, quod eiuſmodi obliquis ſuper-
ficiebus
non reſpondent anguli ſolidi centri ſphæræ, qui reſpiciunt eorum baſim ad
rectos
angulos.
Sed poſtquam Piccolo. comperit ſuperficiem terrę detectam, eſſe
maiorem
apparente ſuperficie ſphærica aquæ, proculdubio poterat concludere ter-
ram
eſſe maiorem aqua, ſicuti fecit, etiã ſi aqua profunda eſſet pyramidaliter vſq;
ad
mundi centrum, ideſt .3500. milliaria, ſupponendo tantum eſſe huius globi ſemi
diametrum
.
Verum quia poſſet aliquis dubitare circa diligentiam Piccolo. in hiſcæ duabus ſu
perficiebus
dimetiendis, viſum eſt mihi non alienum ſequi aliam viam pro hac veri
tate
probanda, ſupponendo verum eſſe, quod non vnus ſolus metitus fuerit, ſed mul
ti
, ideſt ſupponendo verũ eſſe quod maris profunditas menſurari poſſit, & præterea,
quod
non modo ipſius maris maxima profunditas non perueniat ad quingentos paſ
ſus
, ſicuti refert Piccolo. in fine ſui tractatus, & mihi aſſeruerunt Hiſpani multi, &
Luſitani
præſtantiſſimi nautæ, tum Venetijs, tum Parmæ, in Aula Sereniſſimæ quon
dam
Principis, inter quos, Venetijs fuit Illuſtris Rodericus Guzmanus, Dominus
Franciſcus
Lopes, Dominus Garzias de Seuilia, multiq́; alij.
Parmæ autem varij
414402IO. BAPT. BENED. quos omnes recenſerẽ moleſtum eſſet. Sed etiam ſupponendo quod maxima
pelagi
profunditas ſit, non modo .500. paſſuum, ſed etiam .500. millium paſſuum, vt
dixi
, & quod mare ſit huius profunditatis, non vno in loco tantum, aut multis, ſed
quod
ſupra totam etiam faciem terræ, mare tantę profunditatis ipſam terram vn-
dique
operiret, ideſt, quod vbicunque nunc terra detecta eſt, eſſet aqua, ſpiſſitudi-
nis
.500. millium paſſuum.
Atque vt planius intelligar ſupponendo quod ſicuti to-
tus
huius globi ſemidiameter eſt milliariũ .3500.
Terreſtris partis ſemidiameter
eſſet
tm̃ .3000. & reliquum ſemidiametri, id eſt quingenta milliaria eſſet craſſitudo
ſiue
profunditas orbis aquei, in quo nihil neceſſe eſſet laborare in dimetiendis fon-
tibus
, fluminibus, lacubus, ſtagnis, paludibus, & huiuſmodi particulis nullius momen
ti
apud peritos, nec curare ſubterraneas aquas cauernarum, aut aliorum terræ cauo-
rum
, ſeu terræ porroſitatum, quæ omnia ſunt circa ipſius terræ ſuperficiem.
Quia ve
riſimile
non eſt naturam eiuſmodi caua ſiue ſpong oſitates produxiſſe demiſſius li-
bramenti
maris.
Supponendo igitur ea quæ nunc dicta ſunt, terra tamen eſſet ferè
duplo
maior aqua, hoc eſt, vt .12. ad .7.
Quod quidem, cuiuis mathematicæ philoſo-
phiæ
mediocriter perito, ſupputatu facillnnum eſt.
Cum proportio diametrorum,
ſeu
ſemidiametrorum, tertia pars exiſtat proportionis eorundem ſphærarum.
Sed
vt
parum periti minore labore ſupputare poſſint.
Primum ſciendum eſt, quod ſupponendo diametrum globi, ex terra, & aqua com
poſiti
, eſſe .3500. milliarium, & ſemidiametrum puræ terreſtris partis eſſe .3000. tan
tum
, eiuſmodi proportio erit ut .7. ad .6. quia communis maior numerator horum
duum
ſemidiametrorum erit .500. qui in maiorem ingredietur ſepties, in minorem
a
utem ſexies.
Et eiuſmodi proportio ſuperparticularis, vocatur ſeſquiſexta, cuius
triplum
erit vt .57. cum ſexta parte ad .36. & idem erit inter dictum globum compo-
ſitum
, & partem terreſtrem ſimplicem.
Quare ſubtrahendo puram, ſeu ſimplicem
partem
terreſtrem, ex compoſito, reliqua pars erit, vt .21. cum ſexta, pro quantitate
aquei
orbis, ad quam, terreſtris quantitas .36. erit ferè in eadẽ proportione, quæ .12.
ad
.7.
Nunc fortaſſe alienum non erit videre quanto ferè maior eſſet terra, quam tota
aqua
, non dico autẽ ſolum de parte illa maximæ e ius profunditatis, quæ nuſquam
ad
quingentos paſſus peruenit, ſed de ficto illo orbe aqueo, profunditatis .500. paſ-
ſuum
, qui totum terreſtrem orbem circundaret, & tegeret, ſupponendo quod per
quingentos
paſſus profunditatis, quidquid eſt terra, eſſet aqua, ideſt ſuppoſito quod
ex
totius orbis compoſiti ſemidiametro exiſtente .3500. milliarium, purę terræ ſemi
diameter
eſſet milliarium .3499. cum dimidio.
Supponendo igitur, vt ſupradixi.
Comperietur quod terra eſſet maior aqua amplius quam .2333. vicibus. Sed quia
partes
terræ detectæ rumpunt eiuſmodi fictum orbem aqueum, quæ quidem partes,
ſunt
ampliores ſuperficię aquæ, vt obſeruauit Piccolo. atque alij præſtãtes viri, ideo
ſequetur
, vt terra ſit maior aqua amplius .4666. vicibus imo amplius quinquies mil-
lecuplo
.
Si autem quis diceret, in quantitate aquæ computari etiam illam, quæ gi-
gnatur
ex vaporibus, qui globum hunc compoſitum circundant:
reſpondeo quod
non
modò ei concedo computari eiuſmodi aquam, ſed ſupponendo etiam quodto
tus
locus à vaporibus occupatus, qui attolluntur .52. milliaria ſupra ſuperficiem
huius
globi, vt iam ſupradictum eſt, totus eſſet aqueus, & amplius, ſupponendo quod
orbis
hic aqueus eſſet ſpiſſitudinis, ſiue altitudinis quingentorum milliarium ſupra
totum
ipſum globum compoſitum.
Tamen terra eſſet maior ipſa aqua ferè duplo;
qua dere, quiſque eiuſmodi ſupputationum peritus certior fieri poterit. Vnde iti-
415403EPISTOLAE. dem affirmare poſſemus, terram non ſolum maiorem eſſe aqua, ſed aqua & præte-
rea
aere, ſi aer non tam altè pertingit, quam multi alij præter Piccolo. ſentiunt, qui
dicuntinde
euenire quod aerea humiditas non tam altè aſcendere poteſt, quoniam
humiditas
ipſa grauitatem ſecum affert, præterquam quod nubium ſitus oſtendit ſu
pra
eas materiam eſſerariorem quam ſint ipſę nubes, infra vero denſiorem.
Corpo-
ra
enim eouſque aſcendunt donec inueniunt conſtitutionem mediam formæ æqua-
lis
(vt ita dicam) ſuis.
Quare materia illa quæ impropriè ignis vocatur (non enim
eſt
ignis) incipit carere humiditate (qua mediante aer definitur) circa quinquage-
ſimum
ſecundum milliarium ſupra ſuperficiem terræ, vt iam ſupradixi à Vitellione
demonſtratum
fuiſſe.
Ariſto. autem affert rationẽ quare nubes altius tranſcẽdãt.
Vnde apparet tertiam aeris regionem impropriè aerem appellari, ſi humiditate ca-
ret
, vt ait Ariſt. qua mediante aer definitur, immo potius retinet ignis naturam, vt
etiam
aſſerunt interpretes Ariſtotelis in primum Meteororum.
Qui Ariſto. in locis
ſupra
citatis itidem oſtendit ſe etiam huius modi eſſe opinionis.
Quod autem attinet ad probandum quod ſuperficies terrę detecta ſit altior quam
ſuperficies
detecta aquæ, id tam clarum eſt ſua ſponte philoſophis, qui ſciunt quid ſit
altum
, quidue demiſſum, quod ſuperfluum eſſet quidquid ſuper hoc dicerem præ
terquam
, quòd conſtat ex demonſtratione ab Ariſto. ſacta textu 31. li .2. de cœlo, in
quo
agit de corporibus in aqua poſitis, vnde eiuſmodi veritas planiſſimè aperitur.
Omittimus etiam quod præſtantes Moderni omnes, eam pro manifeſtiſſima ponũt,
ſicutiapud
omnes ſani iudicij homines reuera exiſtimatur.
Hæc enim ſunt quæ in fine illius conſiderationis ſcripſeram.
Anno autem præterito editus in lucem fuit tractatus quidam Pulcherrimus, ab Ex
cellentiſſimo
, nec non Doctiſſimo viro Auguſtino Michele, Patritio Veneto, ad cor
roborandam
opinionem antiquorum, vbi tot authoritates, totq́; rationes adducit,
vt
nil amplius dici poſſit.
Atego ſenſum, rationemq́;, & non authoritatem aliquã
ſequutus
ſum:
cum verò dico ſenſum, de ſenſu illorum intelligo, qui profunditatem
maris
metiti ſunt, vt non mihi ſolum, ſed, & Piccolo. & alijs permultis retulerunt,
de
ratione vero à me adducta, aliorum ſit iudicium.
Sediſte mirabilis & Excellentiſſimus vir, verba mea non accepit in eo ſenſu, vt
ego
ſcripſi, ita vt omnino alienas conſequentias ſibi confingat, quemadmodũ pag.
3
. ſui tractatus inquit, me non concedere naturam produxiſſe in magna quantitate,
atque
immenſa, id totum, quod bonum, & neceſſarium eſt.
Hanc enim conſequen
tiam
ipſe colligit ex eo, quod ego pag .19. meæ conſiderationis contra Antonium
Bergam
ſcripſeram, quod videntur multa corpora alijs nobiliora, nihilominus mi-
nora
, eo quod quantitas non ſequitur nobilitatem, neque ab ea pender, ita vt res
illa
quæ nobilior eſt, neceſſarium ſit vt etiam maior exiſtat.
Sed Excellentiſſimus
iſtæ
vir ſcribit ita me dixiſſe.
Multa immo infinita corpora ſunt nobilia, & neceſſaria, nihilominus ſunt paruę
molis
.
Vide igitur quantum hoc diſtat ab illo.
Præterea cap .12. aliam conſequentiam facit, quam ego non tam amplam facio.
Ipſe enim me inferre vult in alijs terrę partibus cauernas non reperiri, eo quod Mon
tes ſint cauernoſi.
Aſpice quæſo. pag .29. meæ conſiderationis, & clarè videbis me
nullo
modo negare illas concauitates ſeu porroſitates terræ extra montana loca,
circa
ſuperficiem terræ, vſque ad æquilibrium, orbiculariter, infimæ profunditatis
maris
.
Sed putare inferius has porroſitates reperiri, cum nulla ratio nobis perſuaſibilis
416404IO. BAPT. BENED. adhuc ab aliquo prodita ſit, idoneum nullo pacto eſſet. Rationes autem ab ipſo Ex
cellentiſſimo
Auguſtino adductas circa huiuſmodi rem, alij dijudicent, de authori-
tatibus
verò, nihil dicam, quia ab illis petendæ ſunt, qui profitentur tales facultates,
quorum
vnius tantummodo authoritas præualere deberet, contra omnes alias eorũ
qui
nunquam attigerunt ſummis labris orificia harum ſcientiarũ.
Vt ſi exempli gra-
tia
non ſolum authoritas illorum virorum, quos ipſe recenſuit, ſufficiens eſſet vt pu
ta
Pioccolo.
Naibodæ, Bordini, Clauij, reliquorumq́; fautorum verę opinionis,
ſed
Franciſci Maurolici tantummodo, qui in primo Dialogo ſuæ coſmographiæ ita
inquit
.
Exiſtimo autem totum terræ corpus rigidum eſſe ſaxum, nam ſi arena eſſet, aue
gleba
fragilis, ita humorem imbiberet, vt cum eo quaſi confunderetur;
huc ac-
cedit
, quod ſi mineræ, ac rupes, quæ ſunt grauiſſimæ partes in ipſa plerunque ſuper-
ficie
comperiuntur, multo magis apud centrum eſſe debent.
Videtur ita ratio exi-
gere
, vt grauiora centro quoque ſint propinquiora.
Hæcigitur ſola authoritas, inſtar reliquarum omnium ſufficere poſſet. Verum
de
authoritatibus minime curandum eſt, vbi ſenſus, ratioq́; vera illis opponuntur.
Quod autem numerus animalium aquatilium maior exiſtat numero terreſtrium,
ſatis
reſpondimus pag .41. noſtræ conſiderationis.
Sed in cap .14. Excellentiſſimus Auguſtinus ita inquit (vt etiam ſuperius dixerat)
quod certiorem cognitionem homo non habet illa, quæ à ſenſu prouenit. Et quod
nemo
eſt qui aſpiciat terram, & aquam, quod hanc maiorem illa non iudicet, &
exiſtimet
.
Quod autem certiorem cognitionem homo non habeat illa, quæ à ſenſu proue-
nit
, concedendum non cenſeo.
Nam omnis cognitio mathematica (cum primum
gradum
certitudinis obtineat) ab ipſo ſenſu fieret, quod omnino alienum
eſt
à veritate.
Senſus enim nunquam vidit incommenſurabilitates magnitudinum,
vel
incoincidentias linearum non tangentium cum curuitate hyperbolica, aut angu
lum
contingentiæ aliquem, nec (vt vno verbo dicam) aliquam concluſionem ma-
thematicam
, quam volueris.
Neque per ſenſum eſt ſcire, inquit Ariſtoteles. Co-
gnitio
igitur ſenſitiua, certior non eſt illa, quæ per habitum ſcientiſicum acquiritur.
Ad reliqua verò, ſupponamus nos tunc fuiſſe in Arca Noe, aquæ cooperiebant
omnia
cacumina montium, vbi nullum terræ veſtigium videbatur,
quare proculdu
bio
aquam iudicaremus, atque exiſtimaremus maiorem terra, nulla aliare vtere-
mur
niſi ſenſu abſque alio diſcurſu intellectuali, ut reliqua illa animalia irrationalia,
quæ
nobiſcum erant in dicta arca.
ſufficit igitur ſuperficiem aquæ tantummodo
aſpicere
, quia neque tunc temporis, aqua erat maior terra, etiam ſi non ſolum tot
cubitis
attolleretur ſupra cacumina montium, ſed quingenta milliaria, vt ſupradi-
ximus
.
Ratio autem illa, ex infinitis, ab ipſo, eo in loco adducta, talis eſt.
Aqua eſt eccentrica ad terram, & pro cẽtro habet centrum grauitatis terræ, aqua
igitur
maioris eſt amplitudinis ipſa terra.
Hanc etiam conſequentiam alijs relinquo Philoſophis dijudicandam.
Subſequitur poſtea dicens.
Præterea proprius locus terræ, eſt ſuperſicies aquæ, igitur terram oportet ab
aqua
tegi.
Ad hoc etiam aliquis poſſet quærere, quis nam erit locus illius partis terræ de-
tectæ
ab aqua?
nulli dubium erit quin ſuperficies aeris, & non aquæ exiſtet.
417405EPISTOL AE.
Nune autem ſi locus terræ eſt ſub aqua, ergo locus aquæ proprius eſt ſub aere, &
non
ſub terra, vnde non erit rationabile putare maiorem copiam aquarum exiſtere
in
cauernis ſubterraneis, quam ſupra ſuperficiem terræ.
Adde quod locus illarum
aquarum
non eſſet ſuperficies aeris, ſed terræ, vnde non minus locus aquę eſſet ter-
ra
, quam locus terræ, aqua.
Sed miſſa faciamus hæc.
Cap. verò .20. ita inquit.
Materia elementorum æqualis eſt. Ergo aqua maior eſt terra.
Hæc enim conſequentia veriſſima eſſet. Sed nullus vnquam Philoſophus (vt Phi-
loſophus
dico) concedet totam materiam elementarem, in quatuor æquales partes
eſſe
diuiſam.
Cap. verò .21. inquit me dixiſſe non ſuffecturam paucam ſpiſſitudinem. Eo enim
in
loco pag .26. mei tractatus contradicens ipſi Bergæ, dixi, quod ſecundum ipſum
Bergam
non ſufficeret pauca ſpiſſitudo.
Similiter etiam dixi, quod ſecundum ipſum, quanto remotius diffunditur lumen
fortaſſe
tantò magis illuminat.
Putans ipſe Berga quod in propinquo debilius exi-
ſteret
dictum lumen.
Et propter ea dixi, quod apud ipſum fortaſſe nihil valet illa
propoſicio
, quæ dicit.
Agens in propinquo, fortius agit quam in remoto.
Cap. autem .22. vbi Excellentiſſimus Auguſtinus inquit, vnum tantummodo ele
mentum
non ſufficere ad generationem miſtorum.
Hoc enim concedo, ſed hoc ni-
hil
ad me ſpectat, eo quod meum reſponſum ad Bergam, erat circa tranſitum lumi-
nis
, & non circa generationem elementorum.
Cap. demum .23. pag .20. linea .10. vbi ſcribit me dixiſſe, iudicare, oportebat
ſcribere
, dubitare.
Puto tamen hoc vocabulum eſſe errorem Thypographi, quamuis in correctione
illud
non inuenerim, quia vt ego multoties expertusſum, difficillimum omnes Thy
pographi
errores corrigere, neque (vt fertur) Argi oculi ſufficerent.
Hactenus enim in mei defenſionem hæc ſubiungere volui.
Ad defenſionem autem Piccolo. aliorumq́; virorum meæ opinionis, nec non de
proportione
duplicata profunditatis maris ad ſuam amplitudinem, ex conſequentia
pyramidali
:
alijsq́; ſimilibus rationibus, prodeant alij. Huiuſmodi tamen Doctiſſi-
mi
viriingenium, memoriam, nec non doctrinam valde admiror, atque obſeruo.
DE METHODO PRODVCTIONIS FRACTORVM
qua
vtuntur Pedemontani Agrimenſores.
Anſelmo Roſemburg Agrimenſori Caſareo.
MEthodvs quàm mihi ſcribis in Prouincia tua maximè in vſu eſſe, nimis
longa
atque prolixa eſt, Pedemontani verò Agrimenſores in produ-
ctione
fractorum, valde breui methodo vti ſolent, quam libenter tibi
ſcribo
, eo maxime, vt videas quam rationabiliter operentur.
Scire igitur primum te oportet illos, maximam eorum communem menſuram
vocare
Trabucum, cuius ſextam partem vocant Pedem, duodecimam verò pe-
dis
, Vnciam, duodecimã autẽ vnciæ punctũ, duodecimã demum puncti;
Attomum.
Quotieſcunque igitur multiplicant trabucum, per trabucum nulli dubium eſt
quin
producant trabucum ſuperficialem ſcilicet.
418406IO. BAPT. BENED.
Similiter multiplicando pedes, vncias, puncta, & attoma per trabucum, produ-
cunt
pedes, vncias, puncta, & attoma ſuperficialia rectangula oblonga, quorum lon
gitudo
eſt ipſius trabuchi, latitudo vero lineæ dictarum ſpecierum.
Dum vero multiplicant pedem per pedem, nulli dubium eſt quin producant pe-
dem
quadratum, ſed apud ipſos non vocatur quadratum, quamuis reuera ita ſit, ſed
illud
vocant duas vncias, quæ quidem ſunt rectangula oblonga iam hic ſupradicta,
quarum
vniuſcuiuſque longitudo ſit vnius trabuchi, latitudo vero vnius duodecimæ
partis
ipſius pedis linearis.
Productum autem pedis per vnciam, vocant duo puncta, quæ etiam ſunt duo re-
ctangula
oblonga, vt ſupra.
Productum deinde vnciæ per vnciam, vocant duos attomos, qui etiã ſunt duo re-
ctangula
oblonga, vt dictum eſt, quæ omnia ſcientificè videbimus.
Pro cuius rei cognitione, ſit, exempli gratia .a.e. vnus Trabuchus linearis .e.i. ve-
ro
vnus pes .i.o. autem vna vncia, o.u. poſtea vnum punctum, et .u.t. vnus At-
tomus
.
Vnde .e.i. erit ſexta pars ipſius .a.e. et .i.o. duodecima ipſius .e.i. et .o.u. duodecima
ipſius
.i.o. et .u.t. duodecima ipſius .o.u.
Sit etiam .a.b. æqualis .a.e. lineæ & ſic .e.d: i.
f
: o.g: o.n. & c. terminenturq́; parallelogramma .b.e: d.i: f.o: g.u. et .c.t. vnde .b.e. erit
trabuchum
quadratum, et .d.i. pes rectangulus oblongus vt ſupra, et .f.o. vncia rectan
gula
oblonga, et .g.u. punctum rectangulum oblongum, et .c.t. attomus rectangu-
lus
oblongus.
De producto igitur trabuchi per trabuchũ, nulli dubium eſt quin ſit quadratum .
a
.d.
vt ſuperius diximus.
Productum autem trabuchi cum pede erit .d.i. ſexta pars ipſius .a.d. cum .e.i. ſit ſex
ta
ipſius .a.e. ex prima ſexti vel .18. aut .19. ſeptimi, ſiue etiam ex .15. quinti Eucli.
Productum autem pedis cum pede erit .e.K. quadratum, quod probandum eſt
445[Figure 445]
419407EPISTOL AE. duplum eſſe rectangulo .f.o. .K.i. ſexta pars eſt ipſius .f.i. ex ſuppoſito, et .i.o. duo-
decima
ipſius .e.i. proportio igitur .e.i. ad .o.i. dupla eſt proportioni ipſius .f.i. ad .K.i.
quare .K.e. duplo maius eſt ipſius .f.o. eo quod ſi .i.o. vel .f.g. (quod idem eſt) duplo
maius
eſſet ipſo latere pręſenti .o.i. vel .f.g.
tunc .f.o. æquale eſſet ipſi .K.e. ex .15. ſexti
vel
.20. ſeptimi quod quidem .f.o. duplo maius eſſet ipſo præſenti .f.o.
Rectè igitur
inquiunt
dicentes productum pedis cum pede eſſe duas vncias, vel ſi mauis, ita dicas
e.K. ſexta pars eſt ipſius .d.i. ex iam dictis propoſitionibus .f.o. autem eſt duodecima
ipſius
.d.i. ex ijſdem, cum exſuppoſito .i.o. duodecima ſit ipſius .e.i.
quare .e.K. duplũ
erit
ipſius .f.o. ex commu ni notione.
Productum verò pedis cum vncia. ſit .K.o. quod probabimus ex ijſdem rationibus
duplum
eſſe ipſius .g.u. puncti rectanguli oblongi.
Nam .l.o. ſexta pars ſimiliter eſt
ipſius
.g.o. et .o.u. duodecima ipſius .o.i.
quare proportio .i.o. ad .o.n. dupla eſt propor
tioni
.g.o. ad .o.l. ſequitur ergo ex prædictis rationibus .k.o. duplum eſſe ipſius .g.u.
vel
ſic, vtlin præcedenti, cum .K.o. ſit ſexta pars ipſius .f.o. ex dictis propoſitionibus .
g
.u.
verò duodecima eiuſdem .f.o. ex ijſdem, nam .o.u. duodecima eſt ipſius .o.i. ergo
K.o. duplo maius eſt ipſo .g.u.
Ex ijſdemmet rationibus productum .l.u. pedis cum puncto duplum eſt ipſius .c.t.
attomi
rectanguli oblongi.
Probandum nunc relinquitur productum .o.n. vnciæ cum vncia, quod eſt quadra-
tum
, duplum eſſe ipſius .c.t. attomi rectanguli oblongi.
Nam .i.n. eſt pars vna ex .72.
ipſius
.c.u. et .u.t. pars vna ex .144. ipſius .o.i. ex ſuppoſito,
quare proportio .i.o. ad .u.t.
dupla
eſt proportioni ipſius .c.u. ad .n.i. ex dictis igitur rationibus .o.n. duplo maius
eſt
ipſo .c.t.
Vel ſi placet dicas .n.o. eſt vna pars ex .72. ipſius .f.o. exſupradictis, eo
quod
.n.i. ita ſe habet ad .f.i. vt vnitas ad .72. ſed ex ijſdem rationibus .c.t. pars vna ex
144
. eſt ipſius .f.o. eo quod ita ſe habet .u.t. ad .o.i.
quare .o.n. duplo maius erit ipſo .
c
.t
.
Propoſitum ſit nobis nunc, exercitij gratia, quærere ſuperficiem alicuius rectan
guli
, cuius vnum latus ſit trabuchorũ .3. pedum .2. & vnciarum .3. aliud vero latus ſit
trabuchorum
.2. pedum .3. vnciarum vero .2.
Huiuſmodi autem methodo mediante, multiplicando primum latus dictũ .3. 2. 3.
per
numerum trabucorum ſecundi lateris .2. ſcilicet producentur nobis primò trabu
cha
ſuperficialia .6. pedes .4. & vnciæ .6. omnia rectagula, vt dictum eſt.
Multiplican-
do
deinde idem primum latus .3. 2. 3. per pedes .3. ſecundi lateris.
Ex trabuchis .3.
primi
lateris cum .3. pedibus ſecundi, producentur .9. pedes rectanguli, hoc eſt
vnus
trabuchus cum tribus pedibus rectangulis.
Ex pedibus autem huius .2. cum
ijſdem
alterius lateris .3. producentur .12. vnciæ rectangulæ ideſt vnus pes rectangu-
lus
.
Exijſdem pedibus .3. ſecundi lateris, cum .3. vncijs primi lateris producentur .
Trabucha. pedes. vnciæ.
3. 2. 3.
2. 3. 2.
6. 4. 6.
1. 3. 1. 6.
1. 6. 8.
1.
8. 3. 2. 3.
420408IO. BAPT. BENED. 18. puncta rectangula, hoc eſt vna vncia cum .6. punctis rectangulis. Deinde ex
multiplicatione
vnciarum .2. ſecundi lateris, cum .3. trabuchis primi lateris, produ-
centur
.6. vnciæ.
Ex multiplicatione poſtea dictarum .2. vnciarum ſecundi lateris
cum
.2. pedibus primi, producentur .8. puncta.
Demum ex ijſdem .2. vncijs ſecundi lateris cum .3. primi, producentur .12. atto-
mi
, ideſt vnum punctum.
Quæ omnia collecta facient trabucha .8. pedes .3. uncias
2
. & attomi .3. omnes rectanguli oblongi.
Pulcherrima profecto operatio.
Trabucha. pedes. vnciæ.
3. 2. 3.
2. 3. 2.
6. 4. 6.
1. 3. 1. 6.
1. 6. 8.
1.
8. 3. 2. 3.
Videamus nunc exercitij cauſa, vt dixi, quomodo conueniat calculus iſte cum
calculo
ordinario communi?
Nam quotieſcunque dicta latera, fracta fuerint in vncias, primum latus erit
vnciarum
.243. ſecundum autem .182. productum vero vnius in alterum erit vn-
ciarum
quadratarum .44 226. quod quidem productum cum diuiſum fuerit per .
5184
.
vncias quadratas vnius trabuchi quadrati, prouentus erit .8. trabucho-
rum
, reliquus verò numerus, ſiue fractus, erit vnciarum quadratarum .2754. qui
cum
diuiſus fuerit per numerum .144. vnciarum vnius pedis quadrati, prouenient
pedes
.19. quadrati cum vncijs .18. ſuperabundantibus, dicti autem pedes .19. ſignifi-
cant
tres pedes rectangulos oblongos cum vno pede quadrato, hoc eſt cum duabus
vncijs
rectangulis oblongis, vt ſupra.
Videndum nunc eſt, vtrum illæ .18. vnciæ æquipolleant tribus punctis rectangu-
lis
oblongis:
ſed hoc manifeſtè videre eſt, ex hoc, quia quęlibet vncia rectangula
oblonga
componitur ex .72. quadratis, punctum autem rectangulum oblongum,
ſit
duodecima pars ipſius vnciæ rectangulæ oblongæ, ipſum componetur ex .6. vn-
cijs
quadratis .18. igitur vncijs quadratis, triplum erit ipſius puncti rectanguli dicti.
Vnde clarè patet, quod, quotieſcunque voluerimus ſcire proportionem ipſarum vn
ciarum
quadratarum ſuperabundantium, ad punctum rectangulum oblongum, ſi
dixerimus
ex regula de tribus, ſi .72. (vncia rectangula oblonga) dat .18. quid dabũt
12
?
puncta rectangula oblonga, quarum vnaquæque eſt duodecima pars ipſius vn-
ciæ
rectangulæ oblongæ, in præſenti autem caſu prouenient .3. pro quarto termino
quæſito
, & habebimus propſitum.
421409EPISTOL AE.
SOLVTIO CVIVSDAM QVÆSITI.
Magnifico Ludouico Fauzzoni amico cariβimo.
TVI quæſiti ſolutio quam neſcio quis te docuit, valde diuerſa eſt à vera.
quæſitum enim tale fuit.
Reperiuntur quatuor ſocij, Ludouicus, Hieronymus, Franciſcus, & Lau
rentius
quorum primus, Ludouicus ſcilicet, poſuit aureos .6000. Hierony
mus
verò aureos .5000. Franciſcus autem .2000. & Laurentius .1000. quorum ſum-
ma
faciebat aureos .14000.
interim tamen de tali ſumma Ludouicus recepit aureos
2000
. Hieronymus verò .1000. Franciſcus autem .900. & Laurentius .800. quapro-
pter
in ſumma reſidua Ludouicus non habebat niſi aureos .4000. Hieronymus etiã
4000
. Franciſcus .1100. & Laurentius .200. quorum ſumma erat .9300.
Nunc au-
tem
iſti ſocij cupiunt augere hanc ſummam per aureos .20000. tali tamen conditio-
ne
quod quilibet tantum tribuat vt in totali ſumma, tantam partem unus habeat,
quantam
alter.
Hoc autem problema tam ſacile eſt, & cum ſuo theoremate ita coniunctum, quod
miror
amicum noſtrum illud illico non vidiſſe.
Accipe igitur illos aureos .20000. & eos collige cum ſumma .9300. vnde habebis
aureos
.29300. pro sũma totali, cuius quarta pars erit .7325. quã vnuſquisq; poſtea
habebit
in dicta ſumma.
Sed ut reperias quantitatem aureorum quam quilibet
prius
debet contribuere, vt poſtea habeat aureos .7325. in dicta ſocietate.
Iubeo,
vt
Ludouicus demat illos aureos .4000. quos demum habebat, ex .7325. reliquum
autem
erit .3325. qui quidem numerus erit aureorum nunc contribuendorum ipſius
Ludouici
.
Demptis ſimiliter aureis .4000. ex dictis .7325. remanebũt .3325. pro con
tributione
ipſius Hieronymi.
Deinde ſi ex .7325. extracti fuerint aurei .1100. relin-
quent
.6225. pro contributione Franciſci.
Demptis demum .200. ex .7325. reſidui
erunt
.7125. pro contributione Laurentij, & ſic quilibet habebit æqualem portio-
nem
in totaliſumma.
Speculatio cuiuſdam Methodire ductionis numiſmatum
unius
ſpeciei in aliam.
AD EVNDEM.
MIrum tibi videtur quo pacto verum ſit, quod ſumma mẽdietatis cuiuſuis
numeri
illorum numiſmatum, quæ hic vocantur Blanci, cum ſexta parte eiuſ
dem
medietatis, ſemper ſit numerus florenorum huius prouinciæ.
Vt exempli gra
tia
, quotieſcunque reducere voluerimus .48. Blancos in Florenos, ſi medietati ip-
ſius
.48. hoc eſt .24. adiecta fuerit ſexta pars ipſius medietatis, quæ eſt .4.
tunc habebi
mus
.28. & ita dicemus quod .48. Blanci conſtituunt Florenos .28. quod quidem
verum
eſt.
Huiuſmodi autem rei ſpeculatio ita ſe habet. Nam vnuſquiſque Blancus diuidi-
tur
in .7. æquales partes, quarum .12. conſtituunt vnum Florenum, horum verò nu-
miſmatum
communis menſura, vocatur Groſſus, vt ſcis, ex quo ſequitur, quod ſi
422410IO. BAPT. BENED. 28. Floreni æquantur Blancis .48. tot Groſſi erunt in .28. Florenis quot in .48. Blan-
cis
.
Fingamus igitur, mente, noſtram figuram .79. Theorematis Arithmetici .x.u.o.
e
.n.
ſupponendo ambo producta .u.x. et .n.e. inuicem ęqualia exiſtere, & vnumquod-
que
eſſe groſſorum .336. ſit etiam .o.x. vnus Florenus .12. groſſorum .o.n. verò Blan-
cus
.7. eorundem groſſorum .o.e. autem Blancorum .48.
Nunc certi erimus ex .15.
ſexti
vel .20. ſeptimi Euclidis eandem fore proportionem .o.u. ad .o.e. quæ .o.n. ad .o.
x
.
ſed .o.n. eſt ſumma medietatis ipſius .o.x. cum ſexta parte dictæ medietatis, ita igi-
tur
erit .o.u. ipſius .o.e. hoc eſt ſumma medietatis .o.e. ſexta parte medietatis eiuſ-
dem
, quæ ſumma in præſenti exemplo erit .28.
Hac enim ſpeculatione mediante, poteris methodum inuenire conuertendi Flo-
renos
in Blancos.
Vt ſi nobis propoſiti fuerint Floreni .28. Voluerimusq́ue inuenire
quot
Blancos faciant, ſuppoſita menſura communi, iam ſupradicta.
Nam duplica-
bimus
numerum Florenorum, à quo duplo detrahemus ſeptimam partem, reliquũ
verò
erit numerus quæſitus.
Huiuſmodi autem rei ratio eſt, quia, cum in ſupradicta figura, proportio .o.e. ad
o.u. ęqualis exiſtat ei, quæ .o.x. ad .o.n. atque etiam .o.x. ſit minor duplo ipſius .o.n.
per
ſeptimam partem ipſius dupli .o.n. minor erit .o.e. duplo ipſius .o.u. per ſeptimã
partem
eiuſdem dupli ipſius .o.u.
Idem affirmo de quauis conuerſione aliorum numiſmatum, quorum ſemper .o.x.
maior
ſit .o.n. verò minor.
Vt ſi .o.x. æquiualeret .7: et .o.n. valeret .4. et .o.e. valeret
42
. quæ quidem .o.e. menſuraretur ab .o.n.
Si cuperemus ſcire quot .o.x. ſint in .o.n. Primo dicemus in .o.n. reperiri ſummam
medietatis
ſex ſeptimorum ipſius .o.x. collectæ cum vna ſeptima parte ipſius .o.x. ſeu
(vt ita dicam) cum tertia ipſius medietatis.
Vnde dempta ſeptima parte ipſius .42.
quæ
eſt .6. collectaq́ cum medietate reſidui, quæ eſt .18. habebimus .24. res, quarum
vnaquæque
æqualis erit ipſi .o.x.
Sed ſi quis cupiat reperire .o.e. dato .o.u. duplicet .o.u. à quo demat quartam par-
tẽ
ipſius .o.u. & habebit propoſitum.
Nam ita ſe habere oportet .o.e. ad .o.u. quemad
modum
.o.x. ad .o.n.
De lucro mercantili.
AD EVNDEM.
QVod demum ſcire à me deſideras, eſt, quod cum vendideris libram vnam
mercis
pro .4. ſolidis, & lucratus fueris .2. cum quarta parte vnius pro ſingu-
lis
decem libris, ſcire velles quantum lucri facturus eſſes in libris decẽ dan-
do
ſingulam libram pro .6. ſolidis.
Nulli dubium eſt quin decima pars de .2. cum quarta vnius ſit lucrum libræ vnius.
Quæ decima pars ſunt nouẽ quadrageſimæ partes, & hæc ſubducta à ſolidis .4. reli-
qui
erunt ſolidi .3. cum .31. quadrageſimis partibus pro ſorte vnius libræ.
Quę ſors
ſubtracta
à ſolidis .6. remanebunt ſol .2. cum .9. quadrageſimis lucri pro libra, quod
multiplicatum
per .10. proueniunt ſol .22. cum quarta parte vnius, & tantum aſcen-
deret
lucrum, quod fieri poſſet in libris decem ſi quamlibet, ſol .3. cum .31. quadra
geſimis
nobis conſtaret.
Vel ſic multiplicemus ſortem vnius libræ per .10. productum erit .37. cum tribus
423411EPISTOL AE. quartis, iterum multiplicemus per .10. ſortem cum lucro vnius librę quod eſt .4. pro-
ductum
erit .40. differens à primo ſol .2. cum quarta parte, multiplicemus pariter
per
.10. precium .6. ſolidorum proueniens erit .60. à quo deducendo productum ſor-
tis
librarum .10. quod erat ſol .37. cum tribus quartis ſupererunt ſol .22. cum quar-
ta
parte, vt ſupra.
DE DIGNITATIBVS PLANETARVM.
Adriano Panetio.
QVod eam diſtinctionem orbium, quæiam inualuit, nonteneas, ſed putes
totum
eſſe quoddam continuum excipiens corpora ſtellarum, nouum
eſt
, nam nonnulli ſolidæ doctrinæ Philoſophi idem cenſuerunt.
Sed
quod
attinet ad dignitates planetarum in ſignis zodiaci, ſcias huiuſmo-
di
ordinem me compręhendere eſſe deſumptum ab ordine antiquo orbium ipſorũ
planetarum
, quiquidem ordo erat, vt ſtatim poſt Lunam ſuccederet Sol, poſt So-
lem
Mercurius, tum Venus deinde Mars, poſtea Iupiter, & tandem Saturnus per
eoſdemq́; orbes, retro redibant, atque hoc cognoſcitur conſtituendo Cancrum do
micilium
Lunæ, Leonem, Solis, Virginem, Mercurij, Libram, Veneris, Scorpio-
nem
, Martis, Sagittarium, Iouis, Capricornum, Saturni, Incipientes deinde ab
Aquario
, quiad nos propius accedit eundemq́; tribuentes Saturno, Piſces, Ioui,
Arietem
, Marti, Taurum, Veneri, & Gemellos, Mercurio, ſeptem Planetas cum
duodecim
ſignis zodiaci concordes reddebant.
Quod deinde Ariſtoteles in libris de ſenſu & ijs quæ ſenſibus percipiuntur, dicit
pupillam
oculi eſſe nigram, non ita ſe habet, nam idem eſt, ac ſi quis diceret nigrũ
eſſe
illud medium, quod permitteret tranſitum lumini per ſuam diaphaneitatem, nul
lum
lumen à ſeipſo reflectens, & etiam ac ſi quis diceret nigrum eſſe aerem alicuius
cubiculi
vndequaque clauſi tenebroſi.
Quod etiam idem Ariſtoteles volens adducere cauſam, cur oculus magis mate-
riam
aquæ, quam aeris participet, dicensidea ratione fieri, quod aqua magis quam
aer
ſeruari poſſit, eodem libro ſcribit, eſt reuera admirandum.
Ibi enim clarè de-
monſtrat
ſe planè ignorare, & conſtructionem oculi, & cauſam diuerſitatis eorum
humorum
tam in ſubſtantia, quam in figura, quæ non aliunde dependet quam quod
diuerſam
refractionem radiorum luminoſorum producat, qui per pupillam ingre-
diuntur
, vt ad proprios ſibiq́; deſtinatos locos dirigantur radij, vt à virtute viſiua per
fectius
ſen tiantur.
De ratione Frigiditatis locorum umbroſorum.
AD EVNDEM.
VEra ratio vnde fiat, vt quanto magis ſentitur calor in locis expoſitis Soli, tan-
to
minus ſentiatur in vmbra, vbi Solis radius non reflectitur, eſt quia cum ra
refactus
eſt aer à vehementi calore radij ſolaris, ſeipſum colligit, & condenſatur in
locis
, à quibus à calore, ratione rarefactionis, non expellitur, & quia naturaliter ca-
lor
ſequitur rarum, rarum calorem, & frigidum densũ, & densũ frigidum, vt vnicui
que
ſanę mentis patet, hanc ob cauſam ſequitur rem ita ſe habere vt diximus.
Poſſu
mus
etiam abſque dubio credere huiuſmodi ratione fieri, vt frigus matutini tempo
ris
, in crepuſculo maius eſſe eo, quod noctu viguit.
Nam materia conſiſtens in co-
no
vmbræ terræ, ſemper denſior eſt ea, quæ extra reperitur, imo noua materia con
tinuo
condenſatur, propter motum vmbrę, quæ ſemper corpori ſolari opponitur.
hęc
424412IO. BAPT. BENED. autem noua condenſatio dico ſemper fit in crepuſculo matutino, hoc eſt in parte co
ni
à Sole pulſa, in parte vero contrari a ipſius coni hoc eſt in parte crepuſculi ve-
ſpertini
, contrarium accidit, quia potius aliquantulum in hac parte materia coni ra
rificatur
, quia extrinſeca condenſatur, in parte vero matutina extrinſeca rarificatur;
& propterea intrinſeca conde nſatur.
QVOD RECTE ARIST. SENSERIT COELVM
caſu
non eſſe productum.
Hieronymo Condrumerio.
FErunt Ariſtippũ tempeſtate maris ad incognita littora delatum, cum in are-
na
vidiſſet quaſdã figuras geometricas delineatas exultantẽ lętitia dixiſſe:
Hæc
ſunt
hominum veſtigia.
Nam conſonum rationi non erat, vt huiuſmodi figuræ ca-
ſu
eſſent impreſſæ:
neque etiam credendum eſt ingentem hanc ma chinam tanto or
dine
conſtantem fortuitò eſſe productam, cum nulla quantumuis minima eiuſdem
particula
, dummodo nitatur ordine, aliquo modo caſu effecta fuerit;
cum caſus ni-
hil
producat, quod regulam & ordinem ſeruet.
Non eſt igitur producta caſu admi
randa
correſpondentia, quæ eſt obiectorum cum potentijs, luminis cum oculo, ſo-
ni
cum auditu, ſaporis cum guſtatu, odoris cum odoratu, qualitatum tangibilium
tactu
.
Si diligenter deinde cuiuſlibet rei naturalis operationem conſiderabimus,
eas
tanta arte conſtructas videbimus, vt cogamur fateri aliquam prudentiſſimam,
& ſagaciſſimam mentem eas formaſſe, ſi ergo quælibet mũdi pars tanta cum ratione
& ordine eſt conſtructa:
quomodo fieri poterit, vt de toto ipſo mundo id in dubium
vocemus
, certiſſimeq́; non credamus diuiniſſimam aliquam mẽtem eſſe à qua exqui-
ſitiſſima
huius vniuerſi harmonia, quæ ex tot tantisq́; partibus, maximo ordine ni-
tentibus
conficitur, non dependeat?
VARIA RESPONSA.
Nicolao Petreio.
AD ea quæ mihi ſcribis dico, quod excrementa quæ ex corpore ſano prodeunt
in
ſua ipſorũ qualitate ſenſibili ita ſe habẽt ad facultatẽ illius partis eiuſdem
corporis
, ut non lędant, quẽadmodũ efficeret ſputũ, ſi eſſet amarũ, aut quod ex
cernitur
naſo fętidũ eſſet.
Imagineris igitur quẽadmodũ poſſit eſſe verũ id quod idẽ
amicꝰ noſter ait.
Pręterea ſi aliquid tibi in oculũ inciderit, an neſcis quomodo ſtatim
affatim
affluat humor, vt id foras ꝓpellat, vel abducat?
(mirabile opus naturæ.) Dic
etiã eidem non abſque myſterio naturam in tot miſerijs ſenectutem poſuiſſe, cum
ſæpiſſimè
ſenex mori deſideret, ut huius vitæ calamitatibus liberetur, vnde fit, vt
cum
eius aduentum ſentiat, minus affligatur.
Dicito etiam eidem, naturam non
fuiſſe
tam ſolicitam de quibuſdam partibus quemadmodum eſt de toto, vnde ma-
gis
rotunda, & polita poterat eſſe ſuperficies terræ, quam nunc eſt, quia natura ma
gis
reſpicit totum, quam partes, & magis maiores, quam minores.
Dum tuas legerem, me continere non potui quin riſerim, id quod ſcribis te inter-
rogaſſe
eum Philoſophum naturalem, vnde fit, vt ventus ſit frigidus, eumq́; tibi re
ſpondiſſe
, quod à remotiſſimis partibus veniat, genereturq́; à vaporibus terræ frigi-
dis
.
( cum ipſa ſit frigida.) Cæterum miror quod ab eo non quæſieris, vnde oriatur
frigiditas
, quæ percipitur ab agitatione aeris, qui quidem à vaporibus terræ non
proſilit
, nec à remotiſſimis partibus ad nos accedit.
Sed quia de eadem re me in-
425413EPISTOL AE. rerrogas, ſcito naturã coniunxiſſe frigiditatẽ denſitate, & caliditatẽ raritate,
vt
ſup. diximus, ita vt cum aliquod corpus denſat̃, frigidũ reddat̃, & dum rarefit ma-
iorem
caliditatem acquirat, & ſic econtra fit, vt quanto magis aliquod corpus refri
geratur
, tanto denſius reddatur, & quanto calidius fit tanto rarius efficiatur.
Quo-
ties
igitur agitabitur aer, aut aliud corpus, quod ratione ſuæ ſubtilitatis, velociter
condenſari
, & rarefieri poſſit, eius partes denſiores ſemper erunt frigidæ, & hanc
obrem
quilibet ventus, qui per calida loca non tranſeat, natura ſua frigidus, calidus
autem
per accidens erit.
Hinc fit vt vaſa vitrea, & terrea tam in vehementi frigore,
quam
in magno æſtu frangantur, quia horum vnum fit, ne aliquis locus vacuus rema
neat
, & aliud ob loci neceſſitatem, ſed hoc non ſequeretur, ſi in materia, qua huiuſ
modi
vas conſtat, aliqua aeris portio non contineretur.
DE LVMINE LVNÆ, DE FINE LVMINIS,
de
fine motus corporum cęleſtium, de albedine,
de
ſphæra.
Clariβimo Antonio Nauaiero.
LVmen Lunæ etiam ſi ſit lumen reflexum Solis ab ipſa Luna, ab ea tamen
non
ita reflectitur, vt à ſuperficie polita ſpeculi, eius luminis tantã quã­
titatem
ſuper ipſum corpus lunare videamus, & eo modo terminatã quo
conſpicimus
. per ſe lumen, cauſa oculi eſt effectum, per accidens autem
puta
quod vis.
Terra deinde nunquam lunari lumine (quãuis ſolaris reflexio exiſtat)
omnino
deſtituta eſt, dico etiam, neque in ipſis ecclipſibus ſolaribus vel lunaribus,
in
ſolaribus enim cum Soltot millia vices maior ſit Luna, Luna verò minor terra, ſe
quitur
, vt terra non omnino priuata remancat lumine Lunæ, in ecclipſibus ve-
lunaribus Luna ſemper videtur, gratia luminis ſolaris, quamuis refracti.
Mo-
tus
corporum cœleſtium fit ratione ſitus, & varietatis virtutis ſtellæ in diuerſis locis,
hæc
autem varietas abſque diuerſo ſitu eiuſdem ſtellæ, nec diuerſus hic ſitus abſque
motu
fieri poſſet, ita vt motus ſtellarum ſit ratione diuerſitatis ſituum ipſarum, er-
go
motus, & diuerſitas ſituum, fit, ob diuerſam influentiam.
Quæ autem de albe-
dine
fratri tuo dixeram, erant, quod inter oẽs colores albedo, certo quodam modò,
maiorẽ ſimilitudinem habet cum lumine.
Primò quia magis coniungitur cum lumi-
ne
.
Secundo quia magis afficit ſenſum. Tertiò quia abſque reſiſtentia magis reci-
pit
qualitatem aliorum colorum, quam alij colores.
Quartò quia maximus
eſt
omnium colorum.
Quintò quia ſimplicior eſt reliquis. Sextò quia diſgregat vi-
ſum
.
Septimò quia qualitas quæ in niue alba eſſe videtur, nihil aliud eſt quam mul-
titudo
quædam luminum reflexorum, & non albedo, ſimilis ei, quæ eſt lactis, aut
panni
, quæ quidem ſeptima cauſa effecit, vt ipſam albedinem, magis quam alium
quemuis
colorem cum ipſo lumine compararem, cum nihil ſit, quod eſſe ſuum trãſ
mutans
, aut apparenter, aut eſſentialiter, illud ipſum prius non tranſmutet in for-
mam
ſibi propin quiorem, vt manifeſtè patet.
Eſt etiam huius rei octaua ratio,
magni
ponderis, quia ſcilicet nullus ſit color, qui magis reſiſtat lumini, aut in quem
lumen
minorem impreſſionem faciat, quam albedo.
Vnde ſequitur, obiecta alba,
minus
eſſe combuſtibilia quam alia, cum quælibetres in ſuum contrarium quam in
426414IO. BAPT. BENED. ſibi ſimile valentius agat, vtrectè vidit Ariſtoteles cum dixit, omne contrarium @
ſuo
contrario patinatum eſt.
Inter corpora, multum ſimplicitatisretinet ſphæra.
Circa quod, præter rationes adductas ab Ariſtotele in libris de Cœlo, poſſumus
etiam
ratiocinarià facilitate motus vndiq́; ab eo quod violentiæ non reſiſtar, ab eo,
quod
apta nataq́; ſit quieſcere ſupra quoduis punctum ſuę ſuperficiei, ab eo quod ab
aliqua
ſuperficie alterius corporis ſeſe tangi non permittat, quæ curuitate concaua
non
adæquetur, niſi medio vnius puncti.
Verum eſt, quod licet hæc vltima ratio
ſit
propria ſphæræ, eſt tamen cauſa ſimplicitatis in eo, in quo reperitur, ſed proprię
paſſiones
ſphæræ ſunt ſupradictæ, præter quam quod alia eiuſdem ſphæræ eſt pro-
prijſſima
, quæ eſt diſtantia eiustermini ab vno tantummodo puncto ideſt ab eiuſdẽ
centro
, & etiam poſſe diuidere corpus aliquod medium, cum æquali reſiſtentia circa
punctum
, quod prius in motu reperitur.
Aequalitas autem rerum, eſt etiam valde ſimilis ſimplicitati, & vnitati.
Comparatio uiſus, & auditus.
AD EVNDEM.
QVodad viſum & auditum attinet, magis neceſſarium eſſe viſum, & nobilio-
rem
quam auditum exiſtimo, primò quia ſi quis viſu orbatus eſſet, contra
frigus
, & calorem, contra famen, & ſitim nil prouidere poſſet, neque aliud quic-
quam
hoc vocabulum prouidere ſignificat, neque abſque periculo vitæ ab vno loco
ad
alium ferri poſſet, neque aliquid arte facere.
Sed ſi quis deſtitutus eſſet facultate audiendi, ſupradictas tamen operationes prę-
ſtare
poſſet, neque modo careret, quo animi ſui ſenſa abſque beneficio ſoni, ſed
ope
figurarum & characterum alteri aperiret:
neque etiam munere ſpeculandi ſcien
tias
(excepta muſica) deſtitueretur.
Ad ſcientiam comparandam, longè magis ne
ceſſarius
eſt viſus, quam auditus præterquam, quod viſus maiorem numerum obie-
ctorum
, & differentiarum rerum percipit, & inter reliquos ſenſus velociſſimè imò
in
inſtanti operatur, magis remotè quam alij, & exactius ſentit, minusq́; quam reli-
qui
afficitur, præterquam quod ſemperagit, dummodò non dormiat animal.
Præ-
terea
ſeſe magis patefacit, & prodit anima per oculos, quam per aliud, cuiuslibet
ſenſus
, inſtrumentum.
Oculo magis quam alia corporis parte, hominis natura co-
gnoſcitur
:
& ſi aliquid ſpeculari volumus, quod ſine imaginatiua fieri non poteſt,
ſtatim
imaginamur nos videre huiuſmodirem, ac ſi oculo fuiſſet compræhenſa, &
ab
imagine quæ eſt vnum ex obiectis oculi, imaginatiua nuncupatur.
Beneficio
oculorum
omnes ferè ſcientiæ ſunt adinuentæ.
Auditus nil aliud quam ſonum ca-
pit
, auditus nunquam detulit intellectui figuram, corpus ſuperficiem, aut lineam,
materiam
, formam, locum, dimenſionem, plenum inane, nec innumera alia acci-
dentia
, quæ ab oculo compræhenduntur.
Quæ verò viſui, & auditui ſunt commu-
nia
, ſunt etiam tactui communia, vt numerus, motus, maius, & minus, ſunt tamen ali
qua
oculo & tactui communia, quæ auditus non poteſt capere, vt durum, molle, acu
tum
, obtuſum, aſperum, lene, planum, curuum, concauum, conuexum, magnum,
paruum
, & ſupradicta, ideſt figura corpus & cętera, vt ctiam rectum, obliquum, &
ſimilia
.
427415EPISTOL AE.
Ariſtoteles circa finem primi capitis libri de ſenſu ait mediante viſu, magis quã
quolibet
alio ſenſu, nos percipere ſenſibilia communia.
Vbi eundem per ſe, &
non
per accidens magis neceſſarium eſſe quam auditum, tam in ijs quæ ad victum,
quam
in ijs quæ ad ſcientiam pertinent eſſe aſſerit, quia auditus intellectui confert
per
accidens.
Vide etiam quod idem ſcribit primo metaphyſicorum. Et ſi ad ali-
quid
perfectè cognoſcendum, oculo ſeſe nobis offerrent ea omnia obiecta, quorum
ſpecies
in imaginatiua formamus, ipſa imaginatiua non egeremus.
Sed quia hoc
fieri
non poteſt, hunc theſaurũ imaginatiuè, ſeu memoriæ ad conſeruandam imagi
nem
omnium obiectorum ſenſibilium nobis dedit natura, vt ope diſcurſus intellectꝰ
circa
dictas imagines, rerum veritatem venari poſſimus.
Sed vt ad propoſitum re-
deamus
, beneficio oculi animal liberum eſt, cum ſine ipſo locum mutare nequeat,
vt
ſit tutum. tenebræ, priuatioq́; viſus ſunt ferè vnum, & idem.
Neque vllus eſt@ſen-
ſus
, qui ſit magis ſimilis intellectui quam viſus:
neque alij ſenſus habent obiecta vi-
ciſſim
communia, quæ non ſint etiam oculo communia, ſed inter oculum, & quem
libet
alium ex ſenſibus, inuenientur quidem obiecta communia, quæ cum alijs non
communicabunt
, vt inter oculum & tactum, figura, acutum, obtuſum, & ſimilia,
quæ
alijs ſenſibus non percipiuntur.
Mediante viſu, & auditu etiam, compræhendũ
tur
variæ diſtantiæ, ſitusq́; obiectorum, nec non proportiones, & alia quę ab alijs ſen-
ſibus
non compræhenduntur.
Multa obiecta deinde ſunt ſubiecta guſtatui, quę alijs
accidentibus
prędita ſunt, vnde cum fuerint ſemel deguſtata, talia, qualia ſunt ab o-
culo
percipiuntur, quod nullus ex alijs ſenſibus præſtabit.
Idem de obiectis odora-
tus
dico.
Senſuum nullus eſt qui maiorem ſimilitudinem gerat cum vigilia & cum
vita
, quam viſus, neque aliquid eſt, quod magis repræſentet imaginem ſomni, &
mortis
, quàm cęcitas.
Qui ſibi oculos eruit vt melius ſpecularetur maxima ſtultitia prius obcęcatus fuit
quia
ſoni magis impediunt ſpeculationem quàm lumina, imò qui commodè vult
contemplari
, quantum plus poteſt nititur longius eſſe ab omni ſtrepitu, magis quàm
à
locis luminoſis, & animal magis lætatur lumine quam ſono:
& ad ſpeculationem
nos
magis inuitat harmonia luminum variorum colorum & figurarum, quàm har-
monia
ſonorum, præterquam quod inſtrumentum viſus totius corporis partium eſt
pulcherrima
, & in eminentiori loco locata, ſi de inſtrumentis ſenſuum loquamur, &
veluti
fineſtræ animæ.
Et ſi Ariſtoteles dicat oculos & aures in vno eodemq́; orbe
exiſtere
, volens inferre quod in eodem æquilibrio ſint æqualiter alta non ita ſe ha-
bet
, quia (ſi de homine loquamur) oculus eſt altior aure.
Beneficio huius ſenſus, eo
rum
quæ abſunt, & longo iam tempore ſunt mortui, animi ſenſa, & conceptus intel-
ligimus
, neque alia ratione rerum omnium memoria ſeruari poteſt.
Si cabala un-
quam
vera fuit, nulla alia ratione eſt deleta, quam quia alicuius ſigni viſibilis medio
conſeruata
non fuerit, & quæcunque non ſcribuntur, ideſt oculo non cõmendantur
parum
durant cito obliuioni tradunt̃.
In maiori ſemper pretio fuit pictura quã muſi-
ca
:
obiectis viſibilibus magis quam ijs quæ ſub auditu cadunt, affectus animi, atq;
alia
quælibet res naturalis exprimi poſſunt.
Aegyptij volentes ſignificare Deum,
oculi
medio id præſtabant.
Oculus, reſpectu aliorum inſtrumentorum ſenſuum, eſt quaſi epicyclus animæ,
neque
defuit qui crederet oculum eſſe principem animi partem.
Oculus à Sole, & à Luna ita dependet, vt qui tempore defectus cuiuslibet lumi-
naris
naſcitur, ſtatim cæcus euadat, neque aliqua eſt corporis pars in qua magis ap-
428416IO. BABPT. BENED. pareat differentia vitæ à morte; quam in oculo. Ariſtoteles ad finem cap .15. lib. pri
mi
poſteriorum ait, clarum eſſe quod ſi aliquis ſenſus deficiat, futurum vt aliqua
quoque
ſcientia deſit.
Conſidera, quot ſcientijs careret homo, ſi viſu orbaretur.
Et in tertio de anima ait, eum qui non ſentit, nihil intelligere poſſe; id quod in-
de
confirmat, quia nihil ſit in intellectu, quod prius non fuerit in ſenſu.
Plato in ti
meo
ait, oculos nobis attuliſſe rerum optimarum notitiam, & ſi oculus non fuiſſet ni
hil
eorum, quæ ad cœlum ſpectant inueniri potuiſſe, & cognitionẽ diei ac noctis ab
oculis
ortum duxiſſe, vt reuolutiones menſium, & annorum metiri, & tempus co-
gnoſcere
, & inueſtigare ordinem naturæ vniuerſalis poſſemus;
quibus philoſophiã
nobis
comparauimus, ut alia multa omittam, quæ ibi à Platone dicuntur.
Addam
hic
& aliam ſpecialem differentiam inter auditum & viſum, quæ eſt, vt obiectum vi
ſus
ſit permanens, & obiectum auditus tranſitorium ſiue ſucceſſiuum aut, vt alio mo
do
idem dicamus, obiectum viſus particpes ſit æternitatis, illud autem quod eſt au-
ditus
non item, nam auditus tempori ſubiectus eſt, viſus autem minimè.
Vel ſi di-
camus
operationem auditus abſque tempore fieri non poſſe cum ſit motio, operatio
verò
viſus, nullo indiget tempore, cum ip ſa ſit momentanea, & propterea inſtan-
tanea
.
Nam momentum non eſt motus, nec inſtans tempus.
QVARE HYEME VIDEATVR HALITVS
animalium
non autem æſtate, & de vento.
Pancratio Mellano.
VNde fiat vt hyeme halitum noſtrum videamus, & non æſtate, ratio eſt ab
eiuſdem
halitus congelatione, quæ ab extrinſeco frigore fit.
Prius enim
ſcire
debes aerem attractũ in pulmone, foras deinde erumpere cum alio
vapore
aliquantulum craſſiore humido, & excrementitio expulſo à natu-
ra
, quæ continuò noſtrum corpus euaporare facit, vnde ſequitur dum aer foras à pul
mone
pellitur, maiorem ſemper materiæ portionem, ea quæ intus attracta eſt exire:
vnde ſtatim vt dicta materia foras expulſa, frigidum aerem offendit, cum conſtet ex
partibus
craſſis, & obnoxiis congelationi, condenſatur in formam vaporis, ad dif-
ferentiam
aeris ambientis qui in ſe eas partes craſſas non habet, à quibus quidẽ par-
tibus
condenſatis, & redditis opacis reflectitur lumen, atque hanc ob cauſam æſtate
hoc
non fit, quia calor vim condenſandi non habet.
Ventus nihil aliud eſt quam quidam aeris motus, cum condenſatur, ob defectum
caloris
, neque (pace Ariſtotelis dicam) eſt exhalatio ſicca.
Exemplum à Vitruuio
allatum
nil planè valet, quantum ſpectatad venti naturam, cuius rationem à mere-
quiris
.
Exemplum etiam ventilabri quo tempore æſtate vtimur negligendum pe-
nitus
non eſt, quia eius beneficio, non ſolum arcemus à nobis aerem ambientem
calidum
, ſed alium etiam aerem circa nos condenſamus:
& quia ordo naturæ eſt hu
iuſmodi
quod quemadmodum calor ſequitur raritatem corporũ, ſic etiam frigus
eorundem
denſitatem ſequatur.
Quod ſi vis vt exemplo illuſtrem, diligenter ob-
ſeruato
tempore æſtatis cum aliqua nubes nobis Solem adimit, vbiaer qui in eius
429417EPISTOL AE. vmbra reperitur, tantum quantum defectus caloris radij ſolaris fert, qui per vim,
dictum
aerem rarefactum conſeruabat, ſtatim dictum aerem condenſari cognoſces:
& quia ea condenſatio homogenea non eſt, ob diuerſas rationes, hanc ob cauſam
percipimus
eam aeris impulſionem, & inæqualiter, dum verò eadem vmbra diſce-
dit
, ventus, ferè, ſtatim ceſſat, & ſæpe ante quam dicta vmbra diſcedat;
cuius rei cau
ſa
eſt longa mora quam trahi vmbra, ita vt prius abſoluatur reditus aeris ad formã,
quæ
ei conuenit in huiuſmodi vmbra, quam faciet nubes dum Sol deregitur.
Vera non ſunt ea, quæ tibi Arnoldus dixit, vt mihi tuis literis ſignificaſti. Nam ego
ita
dixi, videlicet, quod quoti eſcunque aliquis aſpexerit aliquod punctum in ſuper-
ficie
ſpeculi,
tunc imaginem ipſius poſt dictam ſuperficiem videbit duplicatam, ſi
verò
aſpexerit imaginem intra ſpeculum,
tunc illud punctum videbit duplicatum,
huiuſmodi
autem rei ratio pendet ab hijs quę ad Franciſcum Vimercatum ſcri-
pſi
, quæ ſi memoria tenes, nullum tibi dubium remanebit.
Nam ea tibi omnia
oſtendi
.
Dum verò dicis omnem proportionem rationalem diuidi poſſe duobus numeris
mediantibus
in tres æquas partes, mihi ad memoriam reuocas id quod quidam Vitru
uij
commentator aſſerit ſuper primum cap. noni lib. eiuſdem Authoris, ita dicens.
Benè eſſe poteſt vt diagonalis (quadrati ſcilicet) numerorum via reperiatur, ſed
fortaſſe
intercedent fracta.
Miror te non memoria tenere quid ſint numeri rationales quidúe ſurdi, neq; con
ſideras
, non ſolum non eſſe diuiſibilem in tres æquas partes omnem proportionem
rationabilem
, ſed neque in duas, vt ſunt ſuperparticulares proportiones, necnon
aliæ
innumeræ, ſed cum talia ſcribis te nimis parum verſatum in iſtis rebus oſtendis.
Id verò quod tibi dicere volebam nudiustertius de Mercurio erat, quod nullo pa
cto
confidendum eſt calculis qui fiunt de curſu Mercurij, eo quod eius ſitus nullo mo
do
obſeruabilis eſt, nam ipſe nunquam nec vbiuis locorum orbis terrarum viſibilis
eſt
altior .18. gradibus ſupra orizontem, ſed neque confidendum eſſet ſi etiã ipſum
videremus
altum .20. gradibus,
propterea quod magna refractio radiorũ infra hos
gradus
nos valde fallit, quæ quidem refractio, nec vbiq;, nec omni tempore vnifor-
mis
eſt, propter diformem ſeu inæqualem craſſiciem vaporum quæ continuò muta
tur
.
Imo multoties eum. videre putabimus ſupra orizontem, exiſtente ipſo ſub
orizonte
.
Quod Ouidius tr anſcurrit à motu diurno, ad motum annuum
prater
rem.
AD EVNDEM.
TVus etiam Ouidius ceſpitauit, cum pro itinere vnius diei efficiat, vt Phaeton à
patre
edoctus ſit etiam de itinere annuali.
Nam, quod Phaeton petat pro curſu vnius diei, clarè patet ẽx diuerſis locis, & pri-
vbi ita ſcribit Ouidius.
Currus petit ille paternos.
Inq; diem alipedum ius & moderamen equorum.
Deinde vbi Pater ita loquitur.
Ardua prima via eſt, & qua vix manẽ recentes.
430418IO. BAPT. BENED. Enituntur equi medio eſt altiſſima cęlo.
Vnde mare, & terras ipſi mihi ſæpe videre.
Fit timor & pauida trepidat formidine pectus.
Vltima prona via eſt & eget moderamine certo.
Etiam vbi dicit.
Dumq́; ea magnanimus Phaẽton miratur, opusq́;
Perſpicit
, ecce vigil nitido patefecit ab ortu.
Purpureas aurora fores, & plena roſarum.
Atria, diffugiunt ſtellæ, quarum agmina cogit.
Lucifer, & coeli ſtatione nouiſſimus exit.
Necnon vbi ita inquit.
Et ſi (modo credimus) vnum
Iſſe
diem ſine Sole ferunt, incendia lumen Præbebant.
Quod autem à Patre inſtruatur etiam de curſu annuali,
videbitur
vbi ita dicit.
Nitor in aduerſum, nec me, qui cætera vincit.
Impetus, & rapido contrarius euehor orbi.
Et vbi ita loquitur.
Forſitan & lucos illic, vrbesq́; Deorum.
Concipias animo delubraq́; ditia donis
Eſſe
per inſidias iter eſt, formasq́; ferarum.
Vtq́; viam teneas, nulloq́; errore traharis.
Per tamen aduerſi, gradieris cornua Tauri.
Aemoniosq́; arcus, violentiq́; ora Leonis.
Sæuaq́; circuitu curuantem brachia longo.
Scorpion
atque aliter curuantem brachia cancrum.
Nec tibi quadrupedes animoſos ignibus illis.
Quos in pectore habent quos ore & naribus efflant, & c.
Sed lucidius etiam hoc videre eſt inferius vbi ita loquitur.
Nec tibi directos placeat via quinque per arcus.
Sectus in obliquum eſt lato curuamine limes.
Zonarumq́; trium contentus fine, polumq́;
Effugit
auſtralem iunctamq́; aquilonibus arcton.
Hac ſit iter, manifeſta rotæ veſtigia cernes.
Et vbi etiam dicit.
Neute dexterior tortum declinet ad anguem.
Ne ve ſiniſterior preſſam rota ducat ad aram.
De ſupputatione quinque corporum regularium.
De
aliquibus etiam eorum ſympathijs.
AD EVNDEM.
ID quod à me deſideras, ab alijs etiam factum eſt, ſed ne me putes laborem euita
re
, non præter mittam aliquid tibi ſcribere, earum rerum quæ ab Euclide colle­
431419EPISTOLAE. gi, methodo etiam qua vtebar dum in iſtisrebus me aliquo modo exercebam.
Quotieſcunque igitur ſcire volueris quantitatem corpulentiæ cuiuſq; quinq; cor-
porum
regularium ab vna eademq́; ſphæra terminatorum ſeu circunſcriptibiliũ cu-
rabis
primum, cognoſcere quantitatem lateris cuiusq́; eorum, talium partium, qua-
lium
ſemidiameter dictæ ſphæræ ſit .100000. extabulis ſinuum Nicolai Copernici.
Propone igitur tibiante oculos figuram ſemicircularem vltimæ propoſitionis .13.
lib
. Eucli. & inuenies .c.d. tertiam partem ſemidiametri .d.b. eſſe partium .33333. æ-
qualem
ſinui arcus .f.e. graduum .19. mi .28. qui quidem arcus dẽptus fuerit à tota
quarta
.b.f. remanebitarcus .e.b. gra .70. mi .32. cuius corda erit latus exaedri, quod
latus
ita cognoſces, ſumendo ſcilicet ſinum medietatis .b.e. hoc eſt ſinum gra .35. mi .
16
.
qui erit partium .57738. cuius duplum erit partium .115476. pro latere cubi.
Dempto poſtea quadrato lateris exaedri, & quadrato totius diametri .a.b. reſi-
dui
radix quadrata, erit .a.e. latus Tetraedri.
Vel ſi duplicaueris ſinum dimidij ar-
cus
.a.e. qui quidem arcus, componitur ex quarta .a.f. & ex arcu .f.e. iam inuento, ſiue,
vt
reſiduus totius dimidij circuli, dempto .b.e. iam ſupra inuento, habebimus idem
latus
.a.e. partium .163294.
Pro latere verò Octaedri accipere potes radicem quadratam dupli quadrati ip-
ſius
.d.b. & habebis .f.b. latus quæſitum.
Vel ſi malis accipe duplum ſinus medietatis
arcus
.b.f. quod duplum erit .f.b. partium .14142.
Pro latere verò Duodecaedri, diuide latus Exaedri ex methodo .11. ſecundi
Eucli
. cuius maior pars erit latus quæſitum, partium .71368.
Sed pro latere Icoſaedri, te primum oportebit inuenire quantitatem anguli g.d.
a
.
hoc eſt ipſius arcus .b.n. qui tali angulo ſubiacet, quod cum pluribus modis inue-
niri
poſſit, nihilominus, hunc ſeruabis, inuenies primò quantitatem .d.g. quæ eſt ra
dix
quadrata ſummæ duorum quadratorum hoc eſt .d.a. et .a.g. quæ .a.g. æqualis eſt
diametro
.a.b. vt ſcis, dices poſtea, ſi .d.g. correſpondet ipſi .g.a. cui correſpondet .d.
h
.
ſemidiametro ſphæræ?
tibi veniet .h.k. ſinus arcus .a.h. hoc eſt .b.n. graduum .63 -
min
.26. cuius medietas gra .31. mi .43. pro ſinu ſuo habet partes .52571. cuius ſinus du
plum
eſt partium .105142. pro latere Icoſaedri.
Incipiendo nunc à Tetraedro, ſcire debes, quod pars .a.c. totius diametri .a.b. æ-
qualis
eſt axi ipſius Tetraedri, quæ quidem .a.c. vt ſubſeſquialtera ipſius .a.b. erit par
tium
.13333.
Quæres poſtea quantitatem ſuperficialem vnius faciei ipſius Tetraedri, hac me-
thodo
, inueniendo primum radicem quadratam trium quartarum quadrati
ipſius
.a.e. lateris Tetraedri, eo quod latus hoc, ſeſquitertium in potentia eſt ipſi per­
pendiculari
terminatę ab vno angulorum trianguli æquilateris & à latere ei oppoſi-
to
ex .11. tertijdecimi ipſius Eucli. quę quidem perpendicularis, erit partiũ .141416.
& hæc multiplicata cum medietate lateris trianguli, hoc eſt cum .81647. tibi dabit
ſuperficiem
quæſitam, hoc eſt baſim Tetraedri partiũ ſuperficialiũ .11546192152.
Hãc demum baſim multiplicando cum tertia parte axis Tetraedri habebis corpu-
lentiam
totius Tetraedri, quæ erit .513158964003488.
Neque tibi hoc loco occultare volo quandam meam animaduerſionem, quæ eſt,
quod
diameter ſeu perpendicularis (ſupradicta) faciei ipſius Tetraedri, ſemper æ-
qualis
eſt lateri ipſius Octaedri circunſcriptibilis ab eadem ſphæra, hoc eſt ipſi .b.f.
quapropter
quotieſcunque ipſam perpendicularem habere voluerimus accipiendo
b.f. habebimus intentum.
Et quod hoc verum ſit poſſumus ita demonſtrare.
Primum, notum nobis eſt, ipſam perpendicularem, triplam eſſe eius parti, quæ
432420IO. BAPT. BENED. à centro circuli, ipſum triangulum circunſcribentis, terminatur, & à baſi, vt in tertio
propoſito
decimæſeptimæ quartidecimi Eucli. probatur, ex quo ſequitur proportio­
nem
huiuſmodi perpendicularis ad axem Tetraedri, hoc eſt ad .a.c. ſeſquioctauam
eſſe
in potentia, ex penultima primi Eucli.
Sed cum .d.c. tertia pars ſit ipſius .d.a. vt
etiam
ex .2. propoſito, ſeu corollario decimæſeptimæ .14. lib. diſcurrere licet, cum ex
dicto
corollario .d.c. ſit ſexta pars ipſius .a.b.
Quare .d.c. quarta pars erit ipſius .a.c. vn
de
.a.c. ſeſquitertia erit ipſi .a.d. in longitudine, ideoq́; quadratum ipſius .a.d. ad qua-
dratum
ipſius .a.c. erit vt .9. ad .16:
& ita duplum quadrati ipſius .a.d. hoc eſt quadra-
tum
ipſius .b.f. ad quadratum ipſius .a.c. erit, vt .18. ad .16. hoc eſt ſeſquioctauum, er-
go
.b.f. æqualis erit dictæ perpendiculari, ex .9. quinti.
Cubus poſtea ipſius .b.e. erit partium .1539838576570176.
Pro Octaedro deinde, accipies productum diametri in ſemidiametrum, quod
productum
, æquale erit quadrato diuidenti per æqualia Octaedron, hocigitur pro-
ductum
, multiplicando per .100000. ſemidiametrum ſphæræ, tibi dabit columnam
quadrilateram
cuius tertia pars, erit partium .666666666666666. cuius duplum
erit
ipſum Octaedron partium .1333333333333.
Pro Icoſaedro autem, oportet prius quantitatem perpendicularis inuenire, quæ
perpendicularis
, per æqualia diuidit baſim ipſius Icoſaedri, quæ vt radix quadrata
trium
quartarum quadrati lateris ipſius baſis, erit partium .91055. talium, qualium
dictum
latus erit partium .105142. cuius medietas eſt .52571. quæ medietas ſi mul-
tiplicata
fuerit cum dicta perpendiculari, dabit totam baſim ſuperficialem, hoc eſt
ſuperficiem
vnius trianguli æquilateris partium ſuperficialium .4786852405. quo
facto
, accipe quadratum duarum tertiarum ipſius, hic ſupra dictæ perpendicularis,
ipſumq́; deme ex quadrato ſemidiametri ſphæræ, hoc eſt, ex quadrato ipſiꝰ .100000
radix
poſtea quadrata reſidui, erit partium .79468. & hæc erit perpendicularis à cen
tro
ſphærę ad vnam baſim ipſius Icoſaedri, quam volueris, quam perpendicularem
ſi
multiplicaueris cum quantitate ſuperficiali, hic ſuperius reperta, vnius baſis, con-
ſequeris
columnam trilateram partium .380401586920540. cuius tertia pars, erit
partium
.126800528973513. pro vna ex .20.
Pyramidibus ipſum corpus compo-
nentibus
.
Breuius tamen hoc efficiens, ſi multiplicaueris baſim dictam, cum tertia
parte
ipſius perpendicularis, hanc poſtea pyramidem multiplicando per .20. habebis
totam
corpulentiam ipſius Icoſaedri partium .2536010579470260.
Pro Duodecaedro demum, accipe ſinum gra .36. qui gradꝰ ſunt pro dimidio quin
partis totius gyri circularis, quidẽ ſinus, erit partium .58778. cuius quadratum
ſi
dẽ pſeris ex quadrato ipſiꝰ .100000. ſemidiametri circuli circũſcribentis aliquẽ pẽ-
tago
num æquilaterum, & æquiangulum,
tunc radix reſidui, erit perpendicularis du-
cta
à centro dicti circuli ad medium vnius lateris ipſius pentagoni, quæ perp endicu
laris
, erit partium .80902. talium qualium medietas lateris dicti fuerit .58778.
Nunc
verò dicendo ſi .58778. dat .80902. quid nobis dabit .35684?
medietas lateris
ipſius
Duodecaedri, vnde da bit .49116. pro perpendiculari, à centro ipſius penta-
goni
, ad latus ipſius Duodecaedri, quæ multiplicata cum me dietate ſupradicta ip-
ſius
lat eris, hoc eſt cum .35684. producet vnum ex quinque triangulis componenti-
bus
vn um pentagonum, ſeu vnam baſim ipſius Duodecaedri, quod quidem triangu
lum
, erit partium .1752655344. ſu perficialium, quas ſi per quinque multiplicaueris
habeb
is vnam baſim pentagonam dicti corporis partium .8763276720.
Dicendum
poſtea
eſt, ſi ad .80901. conuenit ſemidiameter circularis partium .100000. quid
ueniet
partibus .49116. dabit .60711. pro tali ſemidiametro circulari, cuius quadra-
433421EPISTOL AE. tum, ſi dempſeris ex quadrato ipſius .100000. ſemidiametro ſphęræ, tuncradix qua-
drata
reſidui, erit perpendicularis à centro ſphæræ ad centrum pentagoni partium,
79461
. cuius tertia pars, ſi multiplicata fuerit cum pentagono ſupra reperto dicti cor
poris
producet vnam ex .12. pyramidibus componentibus dictum Duodecaedron,
quæ
pyramis, demum, multiplicata per .12. dabit totam corpulentiam ipſius Duo
decaedri
partium .2785354925791680.
Nunc verò ſi experiri voluerimus vtrum iſti calculi duorum corporum maiorum
ſint
rectè ſupputati, dicemꝰ ſi ad corpꝰ .12. baſiũ, eſt partiũ .2785354925791680
conuenit
numerus partium .2536010579470260. ipſius Icoſaedri, quid conueniet
lateri
cubi partium .115476. & inueniemus conuenire latus ipſius Icoſaedri partium
105138
. eo quod probatum ſit in .10. propoſitione .14. li. Eucl. eandem proportionẽ
eſſe
corpulentiæ ipſius Duodecaedri ad corpulentiam ipſius Icoſaedri, quæ lateris
cubi
ad latus Icoſaedri.
Hæc autem corpora, ita ſibi inuicem, & cum eorum ſphæra harmonicè conueniũt
quemadmodum
antiqui philoſophi inuenerunt, vt mirandũ non ſit, ipſos credidiſ-
ſe
omnia quæ natura conſtant, aliquo pacto exiſtis corporibus fieri.
Conſidera quæ-
ſo
quomodo conueniant inuicem Tetraedron, Octaedron, & Icoſaedron, cum uniuſ-
cuiuſque
baſes ſint triangulares æquilateræ intelli gendo ſemper hæc corpora ab ea-
dem
ſphæra circunſcriptibilia.
Octaedron, cum Tetraedro etiam in hoc conuenit, quod latus Octaedri æquale
ſit
ei perpendiculari, quæ diuidit baſim Tetraedri per æqualia, vtſupra demonſtra-
uimus
.
Harmonicis etiam interua llis hæc duo corpora inuicem concordantur, cum baſis
Tetraedri
ad baſim Octaedri ſeruet proportionem ſeſquitertiam, conſonantiæ dia-
teſſaron
.
Et proportio omnium ſuperficierum ſiue baſium Octaedri ſimul ſumpta-
rum
, ad omnes baſes ipſius Tetraedri ſimul ſumptas ſit ſeſquialtera, conſonantiæ dia
pentis
.
Neque omittendum eſt, quod proportio Octaedriad triplum Tetraedri ſit,
vt
latus Octaedri ad latus Tetraedri.
Proportio verò lateris Octaedri, ad axem Tetraedri, potentia eſt ſeſquioctaua,
vt
ſupra vidimus interuallum ſcilicet harmonicum toni maioris.
Harmonia verò Tetraedri, & Exaedri eorum ſphæra, talis eſt, vt proportio dia
metriſphæræ
, potentia, tripla ſit lateri Exaedri, & ſeſquialtera lateri Tetraedri, ex
quo
ſequitur latus Tetraedri potentia duplum exiſtere lateri Exaedri.
Interuallum
enim
triplum in harmonicis, componitur ex diapaſon, & diapente, & ſonat ſpeciem
diapentis
.
Duplum verò eſt diapaſon, ſeſquialterum autem eſt di apente, quę con-
ſonantiæ
perfectiſſimæ ſunt.
Proportio verò diametri ſphæræ, potentia dupla eſt lat eri Octaedri, conſonantię
diapaſon
.
Ex quo ſequitur proportionem lateris Tetraedri ad latus Octaedri, po-
tentia
, ſeſquitertiam eſſe, hoc eſt conſonantiæ diateſſaron, & proportionem lateris
Octaedri
ad latus Exaedri, potentia, ſeſquialteram eſſe, ita quod quatuor iſtæ poten
tiæ
, ideſt diametri ſphæræ, lateris Tetraedri, lateris Octaedri, & lateris Exaedri con-
ſtituunt
harmoniam ferè perfectiſſimam, ijs terminis comprehenſam .6. 4. 3. 2. (dixi
ferè
, quia ditonus ſupra terminum .3. vel ſemiditonus ſub termino .2. hoc loco non
reperitur
, cuius quidem terminus eſſet .2. cum duabus quintis.)
Adde quod diameter ſphæræ triplus eſt longitudine ad perpendicularẽ ductam
à
centro ſphæræ ad baſim Octaedri, quæ proportio, vt ſupra dictum eſt, dicitur dia-
paſondiapente
, practici verò eam vocant duodecimam.
434422IO. BAPT. BENED.
Diameter verò ſphæræ ſeſquialter eſt longitudine axi Tetraedri, conſonantiæ
diapentis
.
Axis autem Tetraedri ſeſquitertius eſt longitudinis ſemidiametro ſphæ-
conſonantiæ diateſſaron.
Ita quod iſti tres termini, qui ſunt, diameter ſphæræ,
axis
Tetraedri, & ſemidiameter ſphæræ conſtituunt etiam valde perfectam harmo-
niam
huiuſmodi numeris contentam .6. 4. 3. corpulentia verò Exaedri ad corpu-
lentiam
Tetraedri tripla eſt, conſonantiæ iam ſupradictæ diapaſondiapente.
Si ve-
de vniſono aliquid videre deſideras, conſidera æqualitatem dupli quadrati dia-
metri
ipſius ſphæræ, cum omnibus baſibus Exaedri, vel potentia diametri ſphæræ
cum
duabus potentijs ſimul ſumptis, quarum vna eſt lateris Tetraedri, reliqua verò
lateris
Exaedri, vel æqualitatem numerorum laterum Tetraedri, cum baſibus Exae
dri
.
Nec mihi videtur ſilentio inuoluendum eſſe, antequam vlterius progrediar no­
tabilem
ſympatiam inter triangulum æquilaterum, & Tetraedron (quãuis triangulũ
corpus
non ſit) non ſolum ob inalterabilitatẽ harum duarum figurarum.
(nam omnes
aliæ
alterabiles eſſe poſſunt, ijſdem lateribns exiſtentibus, cum ex quadrato rom-
bus
, vel ex pentagono ęquiangulo, pentagonum non æquiangulum & c. efficiatur)
ſed quod quemadmodum latus trianguli æquilateri ſeſquitertium potentia eſt per-
pendiculari
ipſum per æqualia diuidenti, ita latus Tetraedri, ſeſquialterum eſt po-
tentia
axi ipſius Tetraedri, vnde cum dempta fuerit illa proportio ſeſquitertia, ex
hac
ſeſquialtera relinquetur nobis proportio ſeſquioctaua, inter perpendicularem
trianguli
, & axem Tetraedri (quod etiam ſupra demonſtrauimus.)
Tranſeamus nunc
hęc
, nec omittamus tamen ſympatias quaſdam inter Exaedron, Octaedron, & Tetra
edron
, hoc eſt quod eadem proportio ſit inter corpulentias Exaedri, & Octaedri,
quæinter
eorum ſuperficies, nec non, vt latus Exaedri ad ſemidiametrum ſphæræ.
Proportio verò baſis Exaedri ad baſim Tetraedri, vtlatus Tetraedri ad perpendicu
larem
diuidentem per æqualia eius baſim.
Hactenus ſatis dictum ſit de Tetraedro, Exaedro, & Octaedro cum ſphæra. Dicẽ
dum
nunc cenſeo aliquid de reliquis duobus mirabilibus corporibus, quamuis ferè
omnia
hæc ab antiquis philoſophis inuenta ſint, quorum primum eſt, quod tam ba-
ſis
Duodecaedri, quam Icoſaedri, ab vno eodemq́; circulo circunſcriptibiles ſunt, ve
rùm
, talis paſſio accidit etiam baſibus Exaedri & Octaedri.
Præterea quemadmo-
dum
in Duodecaedro, quilibet angulus ſolidus terminatur tribus angulis pentago-
norum
æquiangulorum ita in Icoſaedro, quilibet angulus ſolidus viceuerſa termi-
natur
quinque angulis triangulorum æquiangulorum.
Et tam vnum, quam alte-
rum
horum corporum, triginta lateribus continetur.
Et tot ſolidos angulos trian-
gulares
, habet Duodecaedron, quot baſes triangulares continet Icoſaedron.
Et Icoſaedron, tot ſolidos angulos pẽtagonos, quot baſes pẽtagonas habet Duo
decaedron
.
Et tam vnum quam alterum habet .60. angulos ſuperficiales. Eadẽq́;
proportio
eſt omnium baſium ſimul ſumptarũ Duodecaedri ad omnes baſes ſimul
ſumptas
ipſius Icoſaedri, quæ corpulentiæ ipſius Duodecaedri ad corpulentiam
Icoſaedri
(quamuis hęc paſſio accidat Exaedro cum Octaedro, vt ſpra diximus) quę
quidem
proportio, eadem etiam eſt, quę lateris Exaedri ad latus Icoſaedri, vt ſu-
pra
iam dictum fuit.
435423EPISTOL AE.
NOVA INVENTIO COMPONENDI ASTROLABIA
cum
Horologijs artificialibus.
Facobo Mayeto Ingenioſißimo Horologiorum Serenißimi
Sabaudiæ
Ducis Artifici.
NOnnvnqvam conſideraui mirabilem pulchritudinem, ſimul cum vtili-
tate
coniunctam, illorum horologiorum, quæin Germania conſtruuntur
mobili Rete, ſeu Aranea Aſtrolabij ſuꝑ Tabulã regionis, in ꝗbus cõti
nuo
vident̃ oriri, occidereq́; cæleſtia ſigna, cælum mediare ſupra orizon
tẽ, necnon ſub eo, & vt vno verbo dicam, continuo erecta videtur tota coelifigura.
Sed quia talia horologia omnia eorum limbum diſtinctum habent in .24. horas, qua
propter
diametrum limbi, minorem duobus palmis, ſeu ſemipede eſſe non oportet
neinterſtitia
horarum iuſtò breuiora ſeu anguſtiora efficiantur, etiam ne interualla
dentium
rotæ indicis nimis anguſta ſint.
Sed quia talis magnitudo vt plurimum in-
commoda
exiſtit.
Ideo non inutile fore cogitaui, ſi modus aliquis inuentus fuerit,
vt
ea omnia efficiantur in limbo diuiſo tantummodo in .12. horas æquales, ipſumq́;
inueni
, qui quidem erit, efficiendo vt Tabula (in qua deſignantur cęleſtes domus,
cum
almicantarat, atque azimut) Reti ſubiectæ, mobilis ſit, tardior tamen ipſo Re-
te
cum indice, pro duplo temporis, hoc eſt, quod eo tempore, quo Aranea cum in
dice
circunuoluetur ſpacio .12. horarum vno gyro perfecto, ipſa Tabula efficiat tan
tummodo
ſexinterſtitia horarum.
Ideſt dum Tabula dicta eſſicit vnam integram re
uolutionem
, Aranea, ſeu Zodiacus cum indice, duas efficiat reuolutiones.
Ita quod
Aranea
cum indice perficiet vnam reuolutionem ſpaci o temporis .12. horarum, Ta-
bula
verò perficiet eam ſpacio temporis .24. horarum.
Vnde ſequetur quod Ara-
nea
ſeu Zodiacus cum indice, ſpacio .24. horarum perfectè circunuoluetur ſupra Ta-
bulam
, & ita huiuſmodi horologia, in hoc nihil differrent ab illis ſupradictis.
Vt au
tem
facias dictam tabulam tardiorem duplo temporis Araneæ cum indice, quamuis
diuerſis
modis hoc fieri poſſit, pręſtantiorem tamen iudico, ſi cum Rota indicis, aliã
Rotam
concentricã coniunxeris, ita tamen, vt vnaquęq; liberè poſſit volui, ſimiliter
ſi
cum ea horologii particula (quę circũagit Rotam indicis, quæ Italicè rochetto
Germanicè
verò trib vocatur, Latinè aũt ipſum vocabo, colinvm, qui ſubro-
ta
fuſi reperitur) coniunxeris alium colinum quem, ſecundum vocabo, concentricũ
verò
cum primo, cum eoq́; conſolidato, numerum verò dentium, tam Rotę adiunctę
quam
ſecundi colini, varijs modis poteris inuenire, quorum primus erit, vt numerus
dentium
ſecundæ Rotę duplus exiſtat numero dentium primę, efficiendo ſecundum
colinum
eiuſdem numeri dentium quo primum, ſed quia interualla dentium huiuſ-
modi
Rotę, nimis anguſta fortaſſe reſultabunt,
propterea alios etiam modos inue-
ni
, quorum vnus erit (dum numerus dentium primi colini par fuerit) efficiẽdo ſecun
dam
Rotã eiuſdẽ numeri dentiũ cuius eſt prima. ſecũdũ vero colinum, medietatis
numeri
dentium cuius erit primus.
Attamen ſi primus colinus eſſet .4. dentium, ſecun
dum
oporteret eſſe duorum dentium, vnde motus ſecundę Rotę non eſſet ita conti-
nuus
.
Quapropter alium etiam mòdum excogitaui, hoc eſt, cupiendo vt ſecundus
colinus
, extribus dentibus exiſtat, ſi primus ex .4. repertus fuerit, oportebit prius ex
regula
de tribus, numerum quendam inuenire quo inuento ipſum duplicare, & hunc
duplicatum
numerum conueniet ſecundam Rotam habere, vt ipſa poſſit ab illo co-
lino
triũ dentiũ circunuolui in duplo temporis, quo prima à ſuo colino quatuor den­
436424IO. BAPT. BENED. tium. Exempli gratia, ſi prima Rota conſtaret ex .36. dentibus, dicendum eſſet, ſi
4
. conuenit cum .36. cum quibus conuenient .3. & inueniemus .27. cum quo numero
dicta
ſecunda Rota circunuolueretur eodem tempore à ſuo colino trium dentium,
quo
prima à ſuo quatuor dentium,
quare duplicando .27. haberemus .54. pro nume-
ro
dentium dictę ſecundæ Rotæ, vt duplo temporis circunuoluatur quo prima.
Sed
ſi
primus colinus conſtaret ex .6. dentibus, exiſtente ſua Rota ex .36. vellemusq́;
ſecundus
exiſteret ex .4.
tunc ſuam Rotam oporteret habere dentes .48. ex dicta re-
gula
.
Si autem primus colinus conſtaret ex numero impari, nihil referret, dummo-
do
huiuſmodi numerus impar, ſeu par, exiſteret pars propria numeri dentium, vel
ipſius
dupli primæ Rotę, hoc eſt, eſſet pars aliquota numeri dentium ipſius primæ
Rotæ
vel ipſius dupli.
In ijs verò horologiis in quibus duplum numeri dentium di-
ctę
primę Rotę non erit multiplex numero dentium primi colini, hoc fieri non pote
rit
.
Ratio enim tam clarè, tibi conſideranti, patebit, vt nullis verbis indigeat cum
ſemper
numerus dentium ſecundę Rotę multiplex eſſe debeat numero dentium ſe-
cundi
colini.
Idem autem non dico de prima Rota cum ſuo colino, hoc eſt, vt nu-
merus
primę multiplex ſit numero ſui colini, nam hoc neceſſarium non eſt.
Pona-
mus
exempli gratia primum colinum conſtare ſex dentibus, ſuam vero Rotam den-
tibus
.21. cuius quidem numeri, 6. non eſt pars aliquota, ſed dupli ipſius .21. ipſe .6.
eſt
pars aliquota.
Nunc verò ſi voluerimus numerum dentium ſecundæ Rotę inue-
nire
, cuius colinus ex quinque dentibus exiſtat (ſuppoſito primo ex .6. conſtare)
tunc
ex
regula de tribus, diuiſo producto, quod fit ex .21. in .5. per .6. exibit .17. cum di-
midio
, cuius duplum eſſet .35. qui multiplex eſt ipſi quinque.
Reperto igitur nume
ro
ſecundę Rotę, cum numero ipſius colini, oportet nunc ſcire modum compoſitio-
nis
, ſeu coniunctionis harum rerum, hoc eſt duorum colinorum concentricorũ (ſed
de
ijs ſatis iam ſuperius dictum fuit) duarum Rotarum concentricarum cum Tabula,
cum
Zodiaco, & cum indice, ſeu Oſtenſore, cuius quidem Oſtenſoris medietas tan
tummodo
nobis ſufficiet.
Sciendum igitur nunc eſt quod cum primus colinus re-
uoluat
totam primam Rotam, ſpacio temporis .12. horarum, oportet vt eius axis, ſeu
arbor
voluat oſtenſorem, Zodiacumq́;, eodem temporis ſpacio, & quia Rota hęc
inalterabis
eſt, propter eius coniunctionem cum ſuo colino, & nos oporteat indicem
Zodiacumq́;, quotidie ferè, dirigere, ſuisq́; locis collocare, ideo nos oportet, indi
cem
, Zodiacum, & primam Rotam, ita cum axe, ſeu arbore coniungere, vt poſſimus
dicta
omnia efficere.
Pars igitur Arboris, ſeu axis dicti, quæ ingredi debet in prima
Rota
, ſit rotunda, & contigua ipſi Rotæ, non autem continua, vel cum Rota conſoli-
data
.
Pars verò quę per foramen Zodiaci, ſeu Araneę tranſibit, ſit quadrata vſque
ad
ſummitatẽ ipſius axis (tali ſpiſſitudine, vt in claui ipſius horologij ingredi poſ-
ſit
) & ita foramen ipſius Araneę, quadratum ſit, Oſtenſor autem circa axem, com
poſitus
ſit tali ordine, vt circa paruum circulum volui poſſit, qui paruus circulus ha-
beat
quadratum foramen, per quod tranſeat axis, qui axis aliquantulum emineat
ſupra
oſtenſorẽ.
Sub Aranea vero vel Zodiaco, locata erit Tabula, vt nũc dicemus,
ſed
ſciendum eſt prius, quod inter Tabulam, & ſuam ſecundam Rotam, aliam lami-
nam
immobilem interpoſitam eſſe oportet, quę circulare foramen habeat, per
quędam
breuis fiſtula tranſeat circundans axem & coniungens Tabulã cum ſua Ro-
ta
, cuius quidem fiſtulæ ſuperficies concaua, rotunda ſit, ſuperficies verò extrinſe-
ca
, nontota, niſi ea pars, quę ſecundam Rotam ingreditur, vt in rotundo foramine
ipſius
Rotę, dicta fiſtula volui poſſit, pars vero extrinſeca quę Tabulam ingredi de-
bet
, ſit quadrata.
Tabula vero quatuor paruiſſima foramina habeat in extremitati-
437425EPISTOL AE. bus linearum, meridianę, & verticalis, vt acu mediante volui poſſit, prout oportebit.
Perfectum igitur cum fuerit op us hoc, te oportet ſcire modum ipſo vtendi. Qua-
propter
quotieſcunque volueris, aſpice Solis locum in Zodiaco, Ephemeridibus me
diantibus
, idem dico de vnoquoque reliquorum planetarum.
Inuento poſtea So-
lis
loco in noſtro Zodiaco horologij, manu mediante, volue oſtenſorem, ita, vt li-
nea
fiduciæ tranſeat per gradum Solis, deinde, claui ipſius horologij mediante, vol-
ue
indicem, ita cum Zodiaco coniunctum, vt linea fiducię, punctum, ſeu partem ho-
oſtendat in limbo horologii, quę quidem hora notanda eſt ſi fuerit ex ijs quę in-
cipiunt
à meridie vſque ad mediam noctem, vel à media nocte vſque ad meri-
diem
,
tunc acu ſupradicta mediante, poſita in aliquo illorum quatuor foraminum,
circunuoluenda
eſt Tabula, ita, vt extremitas lineę meridianę ſupra orizontem, ex
ęquo
incidat inter duodecimam horam, & lineam fiducię, computum incipiendo à
duodecima
hora, ſi vero dicta indicis hora fuerit ex ijs quę incipiũt à media nocte &
deſinunt
poſtea in meridie, oportebit, acu mediante, circunuoluere Tabulam, quo-
uſque
punctum extremum meridianæ ſub terra, medio loco exiſtat inter duodecimã
horam
, & horam oſtenſam à linea fiducię.
Quo facto continuo videbis erectam cę-
li
figuram.
& quia vidiſti loca planetarum in Ephemeridibus, videbis etiam
eorum
loca accidentalia in domibus ſcilicetaccidentalibus, ſi aliquas fixarum in
Aranea
deſiderabis, accipere poteris Ocu. , cor. , ſpi. , Liram, Aquilam, &
Arcturum
, dum locus fuerit capax.
Nec te moueat, quod oportebit lineam fiducię
ſupra
gra. Solis quotidie collocare, quod nihil refert.
Nam oportet etiam quoti-
die
cordam fuſo circunuoluere.
DE DEMONSTRATIONIBVS PROPOSITIONVM
Mathematicarum
, nec non de Aſtrologia Iudiciaria.
Fullustriſſ .D. Volfardo Aiſeſtain.
NIhil mihi gratius & iucundius afferri potuit tuis literis, quibus te cupi-
dum
oſtendis ſciendi rationem, quare ego non vna methodo ad omnes
propoſitiones
demonſtrandas vſus ſim, hoc eſt,
quare non omnia ea Eucl.
Theoremata
citem in vnaquaque propoſitione, quę ad demonſtrandam faciũt,
quemadmodum
in mea Gnomonica vidiſti me aliquando omiſiſſe.
Reſpondeo
mathematicę
demonſtrationes, hominibus Euclidis Elementa poſſidentibus, non in
digent
aliqua citatione numerorum Theorematum ipſius Euclidis, & ſi aliquando
vſus
ſum aliqua citatione eorundem, hoc feci propter conſuetudinem noſtri tempo
ris
, vel etiam ad faciliorem intelligentiam illorum, quibus ſcribebam.
Sed omnia
quamuis
minima citare, vt faciũt nonnulli, mihi, nimis laborioſum, ſuperfluumq́;
videtur
, preſertim ijs (vt dixi) qui memoria tenent prima Elementa.
Hęc igitur
eſt
vna ratio.
Alia, quia multoties, ita coniuncta eſt ſpeculatio cum ipſa concluſio
ne
, vt mihi ſępius viſum ſit ſuperfluum, aliquid de ipſa theoria ſcribere.
In iis
enim
, quę dum puer eramſcripſi, videbis ſcrupuloſam illam methodum, ſed po-
ſtea
, non niſi in arduis propoſitionibus me nihil eſſentiale prętermittere.
Circa vero id de quo me interrogas, ſcilicet, vtrum putem omnia vera eſſe, ea
quę
ſcripta reperiuntur in libris Aſtrologæ iudiciarię.
Reſpondeo quod non, imo
438426IO. PAPT. BENED. puto plurima falſa eſſe. Nam illa multitudo partium, vt pars vitę, pars Hylech, pars
futurorum
, & reliquę omnium domorum cœleſtium, ſalua parte fortunę, ſunt merę
nugę
.
Idem dico de faciebus, ſiue decanis, de terminis, & de gradibus ipſis, vt pu-
ta
azemenis, puteis, vacuis, fumoſis, & de reliquis.
De Domibus vero, Exaltationi
bus
, nec non triplicitatibus, experientia cõfirmat ea vera eſſe.
Idẽ affirmo de Domi
bus
accidentalibus, rationalibus tamen, non autẽ de Domibus Campani, & Gazuli.
Obſeruationes etiam complexionum ſeu inſluentiarum ipſorum Planetarum rectè
factæ
ſunt, quę etiam à coloribus ipſorum Planetarum ferè iudicari poſſunt.
Con-
iunctiones
aſpectusq́; ipſorum inuicem, ſimiliter mirabilia faciunt, & ex maiori par
te
, ea, quę de iſtis ſcribuntur vera ſunt.
Reuolutiones annuę ſimiliter, cum Domino
anni
.
Dominum verò orbis Diuiſoremq́; non approbo, nam hic pendet à termino,
ille
verò ab hora.
Nouenarias autem Dodecathemoria, Alfridarias, & multa iis ſi
milia
omnia nego.
Antiſcia, vera ſunt, ideſt influunt, malos tamen effectus, alia
plus
alia verò minus, prout aliqua eorum ſunt tetragona, alia verò trigona, alia ma-
gna
, alia parua, magna ſunt, vt Arietis cum Virgine, & Librę cum Piſcibus, parua ve
, debiliaq́; Geminorum cum Cancro, & Sagittarij Capricorno.
Sed difuſius
hęc
oĩa videbis in meo illo particulari tractatu, de quo tibi aliàs dixi, in quo multa
videbis
, quę omnia ab experientia, ex multis à me obſeruatis, comprobata ſunt,
quem
quidem tractatum cum quibuſdam alijs meis ſpeculationibus in lucem prode
re
cupio, ſi fieri poterit, antequam ad directionem mei Horoſcopi cum corpore
Martis
Anęretę perueniam, quę quidem directio circa annum milleſimum quin-
genteſimum
nonageſimum ſecundum eueniet.
FINIS.
439
ERRATA CORRIGITO IVXTA INFRASCRIPTAM TABVLAM,
Reliquos verò errores, qui orthographiam reſpiciunt, benignus lector corrigat, quiſciat multos errores in
editione
irrepſiſſe, quod non paucos dies morbo fuerim detentus dum præſens opus excuderetur.
Pag. Lin. Errata Correcta
3 29 æqualis æquali
8 35 maius maior
9 15 in vnitate ſuperficialis, erit ac in vnitate, ſupreficialis erit, ac
11 1 proueuiens prouenientem
11 8 futurum futurus
11 31 illæ nihil aliud ſunt illud nihil aliud est
11 38 diuidemus diuidamus
12 1 tertiæ, ſint tertiæ ſint
12 2 producturn productus
19 30 proueniens prouenientem
19 30 productum æquale productus æqualis
21 27 eadem eædcm
24 18 eſt eſſet
26 39 est eſſet
41 24 quæ quæ
41 31 distinguendæ diſtinguendo
59 5 ſubſequens ſubſequentem
61 3 hæc via tenendæ hanc viamtenere
61 3 fuit fuerit
61 45 numerum quæſitum numerus quæſitus
62 30 quantum est dimidiã occupatam quanta est dimidia occupata
64 4 ſpeculari conſiderari
64 15 totq; ſunt termini totq; eße terminos
64 18 hoc est numerum hoc est per numerum
64 19 primo quod vnus est primo qui vnus est
66 18 minimum minimns
67 13 maximum terminum addendũ maximus terminus addendus
72 1 numerum numerus
72 8 ſingulos itinere ſingulos in itinere
74 7 itinerarium itinerant ium
78 21 morum modum
78 24 noueratius nouenarius
81 10 iuncta iunctæ
88 35 armonicæ harmonicæ
91 6 Quare argumẽtãde permut ando Quare permutando
95 27 vitium vicium
97 14 ſumma ſummam
97 30 illud verò quod con illud verò con
98 22 deſideraremus deſiderauerimus
103 23 diſpoſitis facit diſpoſitis, tantum facit
104 39 diſpoſitis, facit diſpoſitis, tantum facit
107 21 eccedit excedit
110 41 habuerit eius cerebrum habuerit cerebrum
113 46 ſufficeret ſuffecißet
116 8 quarum ſecundam quorum ſecundum
116 8 primæ, tertiam primi, tertium
116 9 ſecundæ ſecundi
130 23 ducenda ducendus
133 10 lineam qua lineam, qua
133 11 dratam dratum
134 16 inueniet inuenimus
137 22 distans diſtantius
137 45 Notißimum igitur primum Notißimum primum
139 15 est ſit
139 28 duas duos
141 5 comperuiſſe comperiſſe
142 19 quã ac
143 17 linea lineam
144 23 patebit, ſi quis patebit, quòd ſi quis
145 18 constante constantem
146 20 paſtam maſſam
146 22 pastam maſſam
148 13 ꝓponit cõcludit melius aũt proponit, concludit, melius aũt
14 41 prætergradiatur prætergredietur
152 6 videtur videri
153 22
23
quia libra quia cum libræ
153 23 materiales, cum ſuſtineantur materiales ſuſtineantur
153 24 existente. vnde aliqua exiſtente, aliqua
154 23 futurum effecturam
155 25 carta charta
156 23 ſufficere ſufficeret
Pag. Lin. Errata Correcta
158 26 verſa verſam
158 26 ſit ſint
162 22 cindenda ſcindenda
163 7 oppeſitus oppoſitum
164 24 tanta tantæ
164 37 adiunctæ nobis eſſent duæ aliæ adiuncti nobis eßent duo alii
164 39 ſestineret ſustineret
164 40 dictæ dicti
164 41 aliquam aliquem
165 3 ſuffieiant ſufficiat
165 4 ſubſeſquialter ſubſeſquialterum
186 32 finit finitam
187 29 propinqua propinqui
187 30 philoſophi ſupra philoſophi, proximè ſupra
187 31 contingeret menſe contingeret vt menſe
187 34 regionis) non conſiderans regionis) in quo non conſiderauit
190 11 lenas lenæs
190 23 lenis leuis
191 10 aliud quadratum alius quadratus
191 15 qualis qui
193 17 cum tum
193 36 fit facit
193 40 pleno vbi pleno poſuerimus, vbi
195 10 valent valent apud ipſos
196 19 phyloſophiæ philoſophiæ
196 20 pellendo plendo
198 18 ſunt etiam eße etiam
204 12 priñcipium principum
204 18 indigna indignas
204 21 diffundetur, creſcat diffundatur, & creſcat
205 16 aliquando ſer aliquando me ſer
205 19 anno præter, neceßitatẽ, gignitur anno, præter neceßitatẽ gignitur
206 21 plenilunium, quod plenilunium fieri, quod
207 26 inchoet annus inchoetur annus
209 9 ſoli, quod punctum ſolis, cuius punctum
210 10 cælebrandi celebrandis
212 33 Inuentæ Inuenti
212 33 duæ duo
214 9 claßi claßis
214 10 Inter Eximias Quia inter Eximias
214 26 reperiretur reperietur
214 34 neceſſario ſit futurum, vt neceßarium ſit, vt
215 37 quod ſi velimus ſi velimus
215 39 poteſt vno eodemq; vno eodemq;
215 45 ſit circulus ſit verè circulus
217 2 Quod cum verum Quod ſi verum
217 4 nulla estratio nulla eſſet ratio
221 31 inueniemus deſignabimus
222 20 falli fallat
225 20 ſi quæ ſiq;
225 25 chnum chnium
226 14 oleum effundebat effundebatur
227 5 euadit euadet
231 36 ſupradicta, minuta ſupradicta minuta
232 21 progrediuntur progredi
234 15 aliiori cœlo altius cælum
239 12 dum cum
241 41 afferens cogitans
245 25 diametri diametros
248 42 ſit & ob id ſit, ob id
249 42 alium numerum alio numero
250 13 um voluerimus cum inuestigare voluerimus
251 1 inuenerimus inuenimus
252 6 tros ter
252 6 alia verò diametro alius verò diameter
252 8 te id non te non
252 12 duabus duobus
255 16 in numero numero
255 25 cum non videat ſi cum non videat quod ſi
255 36 ſuo centro ſuis centris
255 39 mille milliaria mille milliariorum
255 41 trecent a mille tercenties mille
440
Pag. Lin. Errata Correcta
257 5 quem quod
257 11 quem quod
257 8 quod nam
258 15 ictum ictus
258 15 eundem eſſe futurum idem eßet
258 27 debet, quanto debet, in huiuſmodi ſitu, quanto
258 41 quod qui
262 17 erunt ſupponuntur
263 22 a.K. facta ſit a.K. ſit
263 22 ſemidiameter eße vnius ſemidiameter vnius
265 4 cognitæ cogniti
272 infigura vbieſt .P. ponatur. R
272 18 E.i. ad .E.i. E.I. ad .E.i.
273 3 licet liceret
274 7 te ibi
275 10 dividere diuidendo
276 47 accipiemus accipiamus
278 8 Moreta Moreta
280 25 diminutæ, quartæ diminutæ ſeu defectiuæ, quarta
281 36 grauißimum grauißimo
281 in fine pag. vnamquanque Zifram accommoda ſub vnoquoque al-
phabeti
characterem ad priores Zifras prius addendo .1. Idem dico
in
pag .282. & inter, D. et E. pone .b.
285 24 antea ante
289 11 quanta pars quantam partem
289 25 quanta pars quantam partem
289 42 eſt erit
290 10 ſatile ſatilis
290 19 æqualis æquale
290 43 circunſcriptibilis circunſcribentis
291 1 od Quod
294 33 detractis detracti
294 34 angulis contingentiæ ſolidiſq; anguli contingentiæ ſolidiq;
295 24 chorda chordam
295 32 lixum lixus
297 1 diſtincta, procedendo diſtincta ſint, procedendo
299 32 refleßum reflexum
299 34 fleſſum flexum
302 14 eaſdem eoſdem
304 3 ta tus
305 21 Idem facere Idem poßumus facere
312 37 duplæ duplo
313 6 quotieſcunque qui
315 23 retrogradandum rotrogradiendum
316 22 vbi tibi
324 41 ſi conſtitueremus ſi nos conſtitueremus
325 12 ſimili ad ſimili. Ad
326 9 longare ducere
329 5 ipſi ellipſis ipſius ellipſis
333 15 cogitetur cogitemus
333 17 vnde pro genera vnde ex genera
333 20 æqualem eſſe longitudini æqualem longitudini
333 21 ei eam
333 21 minor minorem
333 23 nor norem
333 24 maior maiorem
333 25 maior maiorem
333 37 communeq; communiq;
335 26 reflectit reflectitnr
335 47 & remotiori vel remotiori
336 19 ſpeculi ſuperficiem ſpeculi planam ſuperficiem
336 22 reflectit reflectitur
337 8 vnam tantummodo imaginem vna tantummodo imago
337 12 ipſæ ipſi
337 42 quæ qui
338 14 protracta protracto
338 26 ratiotinare apta
340 23 Alius modus Alium modum
341 9 æquale æqualem
343 23 videbitur videri
344 5 hoc eſt hoc est quod
344 @1 punctus punctum
345 6 ei cum altitudine
Pag. Lin. Errata Correcta
345 19 ipſum repertum ipſum, vt repertum
347 16 reflectit reflectitur
352 38 opinauerunt opinati ſune
353 8 parabolem parabolam
353 15 hæc hic
353 18 parallelam parallela
356 15 muri, & muri, in ori Zontali .q.p. ev
356 33 mediante. cognoſeere mediãte cuius axis ad ori Zontem
erectus
ſit .o.n: cognoſcere
360 13 duplum duplus
360 28 vnde iſte circulus iſte circulus
361 36 quæ qui
364 23 diameter diametrum
367 25 prolung ando produεendo
369 2 æqualem æquale
370 4 ſinus ſinum
370 30 ſumma ſummam
372 1 cæterarum cæteris
372 36 qui qui qui
378 11 hæc
382 41 prolung atis productis
383 3 quæ qui
383 13 ginabis ginaberis
383 20 trianguliq; triangulaq́;
383
384
in prima parabola obliqua ex-
tremitatem
inferiorem diametri
ſignabis
charactere .d. in ſecunda
vero
charactere .r.
384 29 maior proportio maiorem proportionem
384 37 proportio halebit proportionem habebis
385 5 .c.b. .e.b.
386 22 b.e. .b.c.
386 29 poſitum poſitus
386 31 .b.c. .b.e.
386 33 & proportion alitate & ex proportionalitate
386 34 antecedens in antecedens .A.B. in
386 40 quod quæ
388 2 .B.) ß)
388 8 b. cum duplo .b.e. .b.d. cum duplo .b.e.
388 45 .b.e. b.c.
388 45 .b.e. .b.c.
388 46 ad .e.b. ad .d.b. cum .e.b.
390 25 diuiſa diuiſas
392 3 ſit paraboles .a. ſit paraboles .a.b.c.
392 27 aliqua reliquarum aliquis reliquorum
393
395

397
in parabola vbi ſub .g. eſt .i. pone .r.
& ſupra ſolidum minus dicatur
cubus
minor (leantur
duo
vero lineæ ſine characterib. de
394 18 vt .y. ad .m.n. vt p. ad .m.n.
394 33 x.o. n.o.
394 34 .i.k. ad .i.k. ad f.g. i.k. ad .f.g.
395 11 quintas quintæ
396 1 .d.b. g.b.
397 Vbirubrica dicit. Defenſio nostra
contra
Antonium Bergam, &
Alexandrum
Piccol.
dicatur. contra Anto. Bergam &
Alex
Piccol atq, defenſio nostra
contra
Excell. August. Michelem
399 32 tione tionem
400 39 vnum tantum numerum medium unus tantum numerus medius
402 19 diametrum ſemidiametrum
403 7 ſuis ſuæ
403 9 iam ſupræ eo tractatu
403 17 quidquid quidquam
404 37 milliaria milliaribus
406 19 trabuchum quadratum trabuchus quadratus
410 38 quæ ſors qua ſorte
410 41 quamlibet quælibet
411 27 dicens dicat
411 28 eodem libro vt eodem libre
412 24 non dependeat? dependeat?
413 2 vt ſupra vt alias
413 22 millia vices millibus vicium
415 32 fineſtræ fenestræ
416 15 operatio operationem
FINIS.
441
2222[Handwritten note 22]
442
[Empty page]
443
[Empty page]
444
Test: Dieser Satz enthält ein Zeichen mit Unicode-Codepoint über FFFF, nämlich 𐆑 (U+10191; D800+DD91). Das gleiche Zeichen innerhalb eines Wortes: vorher𐆑nachher. Das Zeichen wird testweise zu X normalisiert. Das Zeichen 𐆒 (U+10192; D800+DD92) wird dagegen nicht normalisiert: vorher𐆒nachher.