/diverse/de/Einst_Zurth_de_1906

7. Zur Theorie der Brownschen Bewegung;
von A.Einstein.

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Kurz nach dem Erscheinen meiner Arbeit über die durch
die Molekulartheorie der Wärme geforderte Bewegung von in
Flüssigkeiten suspendierten Teilchen¹) teilte mir Hr. Sieden-
topf (Jena) mit, daß er und andere Physiker -- zuerst wohl
Hr. Prof. Gouy (Lyon) -- durch direkte Beobachtung zu der
Überzeugung gelangt seien, daß die sogenannte Brownsche
Bewegung durch die ungeordnete Wärmebewegung der Flüssig-
keitsmoleküle verursacht sei.²) Nicht nur die qualitativen Eigen-
schaften der Brownschen Bewegung, sondern auch die Größen-
ordnung der von den Teilchen zurückgelegten Wege entspricht
durchaus den Resultaten der Theorie. Ich will hier nicht
eine Vergleichung des mir zur Verfügung stehenden dürftigen
Erfahrungsmaterials mit den Resultaten der Theorie anstellen,
sondern diese Vergleichung denjenigen überlassen, welche das
Thema experimentell

Die nachfolgende Arbeit soll meine oben genannte Arbeit
in einigen Punkten ergänzen. Wir leiten hier nicht nur die
fortschreitende, sondern auch die Rotationsbewegung suspen-
dierter Teilchen ab für den einfachsten Spezialfall, daß die
Teilchen Kugelgestalt besitzen. Wir zeigen ferner bis zu wie
kurzen Beobachtungszeiten das in jener Abhandlung gegebene
Resultat

Für die herleitung wollen wir uns hier einer allgemeineren
Methode bedienen, teils um zu zeigen, wie die Brownsche
Bewegung mit den Grundlagen der molekularen Theorie der
Wärme zusammenhängt, teils um die Formeln für die fort-
schreitende und für die rotierende Bewegung durch eine ein-
heitliche Untersuchung entwickeln zu können. Es sei näm-
lich ein beobachtbarer Parameter eines im Temperatur-

1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17. p. 549.

2) M. Gouy, Journ. de Phys. (2) 7. p. 561. 1888.

gleichgewicht befindlichen physikalischen Systems und es sei
angenommen, daß das System bei jedem (möglichen) Wert
von im sogenannten indifferenten Gleichgewicht sich be-
finde. Nach der klassischen Thermodynamik, die zwischen
Wärme und anderen Energiearten prinzipiell unterscheidet,
finden spontane Änderungen von nicht statt, wohl aber
nach der molekularen Theorie der Wärme. Wir wollen im
nachfolgenden untersuchen, nach welchen Gesetzen jene Ände-
rungen gemäß der letzteren Theorie stattfinden müssen. Wir
haben dann jene Gesetze auf folgende spezialfälle

1. ist die x-Koordinate des Schwerpunktes eines in einer
(der Schwerkraft nicht unterworfenen) homogenen Flüssigkeit
suspendierten Teilchens von

2. ist der Drehwinkel, welcher die Lage eines in einer
Flüssigkeit suspendierten, um einen Durchmesser drehbaren
Teilchens von Kugelgestalt

§ 1. Über einen Fall thermodynamischen Gleichgewichtes.

In einer Umgebung von der absoluten Temperatur T be-
finde sich ein physikalisches System, das mit dieser Umgebung
in thermischer Wechselwirkung stehe und im Zustand des Tem-
peraturgleichgewichtes sei. Dies System, das also ebenfalls die
absolute Temperatur T besitzt, sei im Sinne der molekularen
Theorie der Wärme vollständig bestimmt¹) durch die Zustands-
variabeln p₁...p_n Als Zustandsvariable p₁...p_n können in
den zu behandelnden Spezialfallen die Koordinaten und Ge-
schwindigkeitskomponenten aller das betrachtete System bilden-
der Atome gewählt

Es gilt für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem zufällig
herausgegriffenen Zeitpunkt die Zustandsvariabeln p₁...p_n in
dem n-fach unendlich kleinen Gebiete (dp₁...dp_n) liegen, die
Gleichung²

(1)

wobei C eine Konstante, R die universelle Konstante der Gas-
gleichung, N die Anzahl der wirklichen Moleküle in einem
Grammmolekül und E die Energie

1) Vgl. Ann. d. Phys. 17. p. 549.

2) l. c. § 3 und 4.

Es sei ein beobachtbarer Parameter des Systems und es
entspreche jedem Wertsystem p₁ ...p_n ein bestimmter Wert .
Wir bezeichnen Ad die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in
einem zufällig herausgegriffenen Zeitpunkt der Wert des Para-
meters zwischen und + d liege. Es ist

(2)

wenn das Integral der rechten Seite über alle Wertkombi-
nationen der Zustandsvariabeln erstreckt wird, deren -Wert
zwischen und + d

Wir beschränken uns auf den Fall, daß aus der Natur
des Problems ohne weiteres klar ist, daß allen (möglichen)
Werten von dieselbe Wahrscheinlichkeit (Häufigkeit) zu-
kommt, daß also die Größe A von unabhängig

Es liege nun ein zweites physikalisches System vor, das
sich von dem soeben betrachteten einzig darin unterscheide,
daß auf das System eine nur von abhängige Kraft vom
Potential ( ) wirke. Ist E die Energie des vorhin betrachteten
Systems, so ist E + die Energie des jetzt betrachteten, so
daß wir die der Gleichung (1) analoge Beziehung

Hieraus folgt für die Wahrscheinlichkeit dW dafür, daß in einem beliebig herausgegriffenen Zeitpunkt der Wert von zwischen und + d liegt, die der Gleichung (2) analoge Beziehung : (I) wobei A' von unabhängig Diese Beziehung, welche dem von Bolzmann in seinen gastheoretischen Untersuchungen vielfach benutzten Exponential- gesetz genau entspricht, ist für die molekulare Theorie der Wärme charakteristisch . Sie gibt Aufschluß darüber, wieviel sich ein einer konstanten äußeren Kraft unterworfener Parameter eines Systems infolge der ungeordneten Molekularbewegung

von dem Werte entfernt, welcher dem stabilen Gleichgewicht

§ 2. Anwendungsbeispiele für die in § 1 abgeleitete Gleichung.

Wir betrachten einen Körper, dessen Schwerpunkt sich
längs einer Geraden (X-Achse eines Koordinatensystems) be-
wegen kann. Der Körper sei von einem Gase umgeben und
es herrsche thermisches und mechanisches Gleichgewicht. Nach
der Molekulartheorie wird sich der Körper infolge der Un-
gleichheit der Molekularstöße längs der Geraden in unregel-
mäßiger Weise hin und her bewegen, derart, daß bei dieser
Bewegung kein Punkt der Geraden bevorzugt ist -- voraus-
gesetzt, daß auf den Körper in Richtung der Geraden keine
anderen Kräfte wirken als die Stoßkräfte der Moleküle. Die
Abszisse x des Schwerpunktes ist also ein Parameter des
Systems, welcher die oben für den Parameter voraus-
gesetzten Eigenschaften

Wir wollen nun eine auf den Körper in Richtung der
Geraden wirkende K = -M x einführen. Dann wird
der Schwerpunkt des Körpers nach der Molekulartheorie
ebenfalls ungeordnete Bewegungen ausführen, ohne sich jedoch
viel vom Punkte x = 0 zu entfernen, während er nach der
klassischen Thermodynamik im Punkte x = 0 ruhen müßte.
Nach der Molekulartheorie ist (Formel

gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem zufällig ge- gewählten Zeitpunkt der Wert der Abszisse x zwischen x und x + dx liegt . Hieraus findet man den mittleren Abstand des Schwerpunktes vom Punkte x = Damit genügend groß sei, um der Beobachtung zu- gänglich zu sein, muß die die Gleichgewichtslage des Körpers

bestimmende Kraft sehr klein sein. Setzen wir als untere
Grenze des = 10^-4 cm, so erhalten wir
für T = 300 M = ca. 5 . 10^-6. Damit der Körper mit dem
Mikroskop beobachtbare Schwankungen ausführe, darf also die
auf ihn wirkende Kraft bei einer Elongation von 1 cm nicht
mehr als 5 milliontel Dyn

Wir wollen noch eine theoretische Bemerkung an die ab-
geleitete Gleichung anknüpfen. Der betrachtete Körper trage
eine über einen sehr kleinen Raum verteilte elektrische Ladung
und es sei das den Körper umgebende Gas so verdünnt, daß
der Körper eine durch das umgebende Gas nur schwach modi-
fizierte Sinusschwingung ausführe. Der Körper strahlt dann
elektrische Wellen in den Raum aus und empfängt Energie
aus der Strahlung des umliegenden Raumes; er vermittelt also
einen Energieaustausch zwischen Strahlung und Gas. Wir ge-
langen zu einer Ableitung des Grenzgesetzes der Temperatur-
strahlung, welches für große Wellenlängen und für hohe
Temperaturen zu gelten scheint, indem wir die Bedingung
dafür aufstellen, daß der betrachtete Körper im Durchschnitt
ebensoviel Strahlung emittiert als absorbiert. Man gelangt
so¹) zu der folgenden Formel für die der Schwingungszahl
entsprechende

wobei L die Lichtgeschwindigkeit Die von Hrn . Planck gegebene Strahlungsformel 2) geht für kleine Periodenzahlen und hohe Temperaturen in diese Formel über . Aus dem Koeffizienten des Grenzgesetzes läßt sich die Größe N bestimmen, und man erhält so die Planck- sche Bestimmung der Elementarquanta . Die Tatsache, daß man auf dem angedeuteten Wege nicht zu dem wahren Gesetz der Strahlung, sondern nur zu einem Grenzgesetz gelangt, scheint mir in einer elementaren Unvollkommenheit unserer physi- kalischen Anschauungen ihren Grund zu Wir wollen nun die Formel (I) noch dazu verwenden, zu entscheiden, wie klein ein suspendiertes Teilchen sein muß, 1) Vgl . Ann . d . Phys . 17 . p . 549.1905 . § 1 und 2) M . Planck, Ann . d . Phys . 1 . p . 99.1900 .

damit es trotz der Wirkung der Schwere dauernd suspendiert
bleibe. Wir können uns dabei auf den Fall beschränken, daß
das Teilchen spezifisch schwerer ist als die Flüssigkeit, da der
entgegengesetzte Fall vollkommen analog

Ist v das Volumen des Teilchens, dessen Dichte, ₀ die
Dichte der g die Beschleunigung der Schwere und
x der vertikale Abstand eines Punktes vom Boden des Ge-
fäßes, so ergibt Gleichung

Man wird also dann finden, daß suspendierte Teilchen in einer Flüssigkeit zu schweben vermögen, wenn für Werte von x, die nicht wegen ihrer Kleinheit sich der Beobachtung entziehen, die keinen allzu großen Wert besitzt -- vorausgesetzt, daß an den Gefäßboden gelangende Teilchen nicht durch irgendwelche Um- stände an demselben festgehalten § 3 . Über die von der Wärmebewegung verursachten Veränderungen des Parameters . Wir kehren wieder zu dem in § 1 behandelten allgemeinen Falle zurück, für den wir Gleichung (I) abgeleitet haben . Der einfacheren Ausdrucksweise und Vorstellung halber wollen wir aber nun annehmen, daß eine sehr große Zahl (n) identischer Systeme von der dort charakterisierten Art vorliege; wir haben es dann mit Anzahlen statt mit Wahrscheinlichkeiten zu tun . Gleichung (I) sagt dann Von N Systemen liegt bei (Ia) Systemen der Wert des Parameters in einem zufällig heraus- gegriffenen Zeitpunkt zwischen und + d . Diese Beziehung wollen wir dazu benutzen, die Größe der durch die ungeordneten Wärmevorgänge erzeugten unregel- mäßigen Veränderungen des Parameters zu ermitteln . Zu diesem Zweck drücken wir in Zeichen aus, daß die Funktion F)

sich unter der vereinten Wirkung der dem Potential ent-
sprechenden Kraft und des ungeordneten Wärmeprozesses sich
innerhalb der Zeitspanne t nicht ändert; t bedeute hierbei eine
so kleine Zeit, daß die zugehörigen Änderungen der
der einzelnen Systeme als unendlich kleine Argumentänderungen
der Funktion F() betrachtet werden

Trägt man auf einer Geraden von einem bestimmten Null-
punkte aus den Größen numerisch gleiche Strecken ab, so
entspricht jedem System ein Punkt () auf dieser Geraden.
F() ist die Lagerungsdichte der Systempunkte () auf der
Geraden. Durch einen beliebigen Punkt (₀) der Geraden
müssen nun während der Zeit t genau soviele Systempunkte
in dem einen Sinne hindurchwandern, wie in dem anderen

Die dem Potential entsprechende Kraft bewirke eine
Änderung von von der

wobei B von unabhängig sei, d . h . die Änderungsgeschwindig- keit von sei proportional der wirkenden Kraft und unabhängig vom Werte des Parameters . Den Faktor B nennen wir die,, Beweglichkeit des Systems in bezug Würde also die äußere Kraft wirken, ohne daß der un- regelmäßige molekulare Wärmeprozeß die Größen änderte, so gingen durch den Punkt (0) während der Zeit t Systempunkte nach der negativen Seite Es sei ferner die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Para- meter eines Systems infolge des ungeordneten Wärmeprozesses innerhalb der Zeit t eine Änderung erfahre, deren Wert zwischen und + d liegt, (), wobei () = (-) und von unabhängig sei . Die Anzahl der infolge des ungeord- neten Wärmeprozesses durch den Punkt (0) während der Zeit t nach der positiven Seite hin wandernden Systempunkte ist

gesetzt wird . Die Anzahl der nach der negativen Seite infolge des ungeordneten Wärmeprozesses wandernden Systempunkte Der mathematische Ausdruck für die Unveränderlichkeit der Funktion F ist also : Setzt man die für n 1, n 2, n 3 gefundenen Ausdrücke ein und berücksichtigt, daß unendlich klein ist bez . daß () nur für unendlich kleine Werte von von 0 verschieden ist, so erhält man hieraus nach einfacher Hierbei den Mittelwert der Quadrate der durch den unregelmäßigen Wärmeprozeß während der Zeit t hervorgerufenen Änderungen der Größen Aus dieser Beziehung erhält man unter Be- rücksichtigung von Gleichung (II) Hierbei bedeutet R die Konstante der Gasgleichung (8, 31.107), N die Anzahl der wirklichen Moleküle in einem Grammolekül (ca . 4.1023), B die,, Beweglichkeit des Systems in bezug auf den Parameter “, T die absolute Temperatur, t die Zeit, innerhalb welcher die durch den ungeordneten Wärmeprozeß hervorgerufenen Änderungen von § 4 . Anwendung der abgeleiteten Gleichung auf die Brownsche Bewegung . Wir berechnen nun mit Hilfe der Gleichungen (II) zu- nächst die mittlere Verschiebung, die ein kugelförmiger, in

einer Flüssigkeit suspendierter Körper während der Zeit t in
einer bestimmten Richtung (X-Richtung eines Koordinaten-
systems) erleidet. Zu diesem Zweck haben wir in jene Glei-
chung den entsprechenden Wert für B

Wirkt auf eine Kugel vom Radius P, die in einer Flüssig-
keit vom Reibungskoeffizienten k suspendiert ist, eine Kraft K,
so bewegt sie sich mit der Geschwindigkeit¹) K/6 k P. Es ist
also zu

so daß man -- in Übereinstimmung mit der oben zitierten Arbeit -- für die mittlere Verschiebung der suspendierten Kugel in Richtung der X-Achse den Wert Wir behandeln zweitens den Fall, daß die betrachtete Kugel in der Flüssigkeit um einen ihrer Durchmesser (ohne Lagerreibung) frei drehbar gelagert sei und fragen nach der mittleren Drehung der Kugel während der Zeit t infolge des ungeordneten Wirkt auf eine Kugel vom Radius P, die in einer Flüssig- keit vom Reibungskoeffizienten k drehbar gelagert ist, das Drehmoment D, so dreht sie sich mit der Winkelgeschwindigkeit 1 Es ist also zu Man erhält Die durch die Molekularbewegung erzeugte Drehbewegung sinkt also mit wachsendem P viel rascher als die fortschreitende Für P = 0, 5 mm und Wasser von 170 liefert die Formel für den im Mittel in einer Sekunde zurückgelegten Winkel etwa 11 Bogensekunden, in der Stunde ca . 11 Bogenminuten . 1) Vgl . G . Kirchhoff . Vorles . über Mechanik . 26 . Vorl .

Für P = 0, 5 Mikron und Wasser von 17⁰ erhält man für
t = 1 Sekunde ca. 100

Bei einem frei schwebenden suspendierten Teilchen finden
drei voneinander unabhängige derartige Drehbewegungen

Die für entwickelte Formel ließe sich noch auf andere
Fälle anwenden. Setzt man z. B. für B den reziproken elek-
trischen Widerstand eines geschlossenen Stromkreises ein, so
gibt sie an, wieviel Elektrizität im Durchschnitt während der
Zeit t durch irgend einen Leiterquerschnitt geht, welche Be-
ziehung abermals mit dem Grenzgesetz der Strahlung des
schwarzen Körpers für große Wellenlängen und hohe Tem-
peraturen zusammenhängt. Da ich jedoch keine durch das
Experiment kontrollierbare Konsequenz mehr habe auffinden
können, scheint mir die Behandlung weiterer Spezialfälle

§ 5. Über die Gültigkeitsgrenze der Formel für.

Es ist klar, daß die Formel (II) nicht für beliebig kleine
Zeiten gültig sein kann. Die mittlere Veränderungsgeschwindig-
keit von infolge des

wird nämlich für unendlich kleine Zeitdauer t unendlich groß, was offenbar unmöglich ist, denn es müßte sich ja sonst jeder suspendierte Körper mit unendlich großer Momentangeschwindig- keit bewegen . Der Grund liegt daran, daß wir in unserer Entwickelung implizite angenommen haben, daß der Vorgang während der Zeit t als von dem Vorgange in den unmittelbar vorangehenden Zeiten unabhängiges Ereignis aufzufassen sei . Diese Annahme trifft aber um so weniger zu, je kleiner die Zeiten t gewählt werden . Wäre nämlich zur z = der Momentanwert der Änderungsgeschwindigkeit, und würde die Änderungsgeschwindigkeit in einem gewissen darauf folgenden Zeitintervall durch den ungeordneten thermischen Prozeß nicht beeinflußt, sondern die Änderung von lediglich

durch den passiven Widerstand (1/B) bestimmt, so würde
für d /dz die Beziehung

ist hierbei durch die Festsetzung definiert, daß (2 / 2) die der Änderungsgeschwindigkeit entsprechende Energie sein soll . In dem Falle der Translationsbewegung der suspendierten Kugel wäre also z . B . (2 / 2) die kinetische Energie der Kugel samt der kinetischen Energie der mitbewegten Flüssigkeit . Durch Integration Aus diesem Resultat folgert man, daß die Formel (II) nur für Zeitintervalle gilt, welche groß sind gegen B Für Körperchen von 1 Mikron Durchmesser und von der Dichte = 1 in Wasser von Zimmertemperatur ist die untere Grenze der Gültigkeit der Formel (II) ca . 10 - 7 Sekunden; diese untere Grenze für die Zeitintervalle wächst proportional dem Quadrat des Radius des Körperchens . Beides gilt sowohl für die fortschreitende wie für die Rotationsbewegung der Bern, Dezember (Eingegangen 19 . Dezember 1905 .) ----------

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