Die Frage, ob die Ausbreitung des Lichtes durch die
Schwere beinflußt wird, habe ich schon an einer vor 3 Jahren
erschienenen Abhandlung zu beantworten gesucht.¹) Ich komme
auf dies Thema wieder zurück, weil mich meine damalige
Darstellung des Gegenstandes nicht befriedigt, noch mehr
aber, weil ich nun nachträglich einsehe, daß eine der wichtigsten
Konsequenzen jener Betrachtung der experimentellen Prüfung
zugänglich ist. Es ergibt sich nämlich, daß Lichtstrahlen, die
in der Nähe der Sonne vorbeigehen, durch das Gravitationsfeld
derselben nach der vorzubringenden Theorie eine Ablenkung
erfahren, so daß eine scheinbare Vergrößerung des Winkel-
abstandes eines nahe an der Sonne erscheinenden Fixsternes
von dieser im Betrage von fast einer Bogensekunde

Es haben sich bei der Durchführung der Überlegungen
auch noch weitere Resultate ergeben, die sich auf die Gravi-
tation beziehen. Da aber die Darlegung der ganzen Be-
trachtung ziemlich unübersichtlich würde, sollen im folgenden
nur einige ganz elementare Überlegungen gegeben werden, aus
denen man sich bequem über die Voraussetzungen und den
Gedankengang der Theorie orientieren kann. Die hier ab-
geleiteten Beziehungen sind, auch wenn die theoretische Grund-
lage zutrifft, nur in erster Näherung

In einem homogenen Schwerefeld (Schwerebeschleunigung )
befinde sich ein ruhendes Koordinatensystem K, das so orien-
tiert sei, daß die Kraftlinien des Schwerefeldes in Richtung

1) A. Einstein, Jahrb. f. Radioakt. n. Elektronik IV. 4.

der negativen z-Achse verlaufen. In einem von Gravitations-
feldern freien Raume befinde sich ein zweites Koordinaten-
system K', das in Richtung seiner z-Achse eine
gleichförmig beschleunigte Bewegung (Beschleunigung ) aus-
führe. Um die Betrachtung nicht unnütz zu komplizieren,
sehen wir dabei von der Relativitätstheorie vorläufig ab, be-
trachten also beide Systeme nach der gewohnten Kinematik
und in denselben stattfindende Bewegungen nach der gewöhn-
lichen

Relativ zu K, sowie relativ zu K', bewegen sich materielle
Punkte, die der Einwirkung anderer materieller Punkte nicht
unterliegen, nach den

Bei dieser Auffassung ist das gleiche Fallen aller Körper
in einem Gravitationsfelde

Solange wir uns auf rein mechanische Vorgänge aus dem
Gültigkeitsbereich von Newtons Mechanik beschränken, sind
wir der Gleichwertigkeit der Systeme K und K' sicher. Unsere
Auffassung wird jedoch nur dann tiefere Bedeutung haben,
wenn die Systeme K und K' in bezug auf alle physikalischen
Vorgänge gleichwertig sind, d. h. wenn die Naturgesetze in
bezug auf K mit denen in bezug auf K' vollkommen über-
einstimmen. Indem wir dies annehmen, erhalten wir ein
Prinzip, das, falls es wirklich zutrifft, eine große heuristische
Bedeutung besitzt. Denn wir erhalten durch die theoretische
Betrachtung der Vorgänge, die sich relativ zu einem gleich-
förmig beschleunigten Bezugssystem abspielen, Aufschluß über
den Verlauf der Vorgänge in einem homogenen Gravitations-
felde.¹) Im folgenden soll zunächst gezeigt werden, inwiefern
unserer Hypothese vom Standpunkte der gewöhnlichen Rela-
tivitätstheorie aus eine beträchtliche Wahrscheinlichkeit zu-

Die Relativitätstheorie hat ergeben, daß die träge Masse
eines Körpers mit dem Energieinhalt desselben wächst;
beträgt der Energiezuwachs E, so ist der Zuwachs an träger
Masse gleich E/c², wenn c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet.
Entspricht nun aber diesem Zuwachs an träger Masse auch
ein Zuwachs an gravitierender Masse? Wenn nicht, so fiele
ein Körper in demselben Schwerefelde mit verschiedener Be-
schleunigung je nach dem Energieinhalte des Körpers. Das
so befriedigende Resultat der Relativitätstheorie, nach welchem
der Satz von der Erhaltung der Masse in dem Satze von der
Erhaltung der Energie aufgeht, wäre nicht aufrecht zu er-
halten; denn so wäre der Satz von der Erhaltung der Masse
zwar für die träge Masse in der alten Fassung aufzugeben,
für die gravitierende Masse aber aufrecht zu

1) In einer späteren Abhandlung wird gezeigt werden, daß das hier
in Betracht kommende Gravitationsfeld nur in erster Annäherung
homogen

Dies muß als sehr unwahrscheinlich betrachtet werden.
Andererseits liefert uns die gewöhnliche Relativitätstheorie
kein Argument, aus dem wir folgern könnten, daß das Gewicht
eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängt. Wir werden
aber zeigen, daß unsere Hypothese von der Äquivalenz der
Systeme K und K' die Schwere der Energie als notwendige
Konsequenz liefert. Es mögen sich die beiden mit Meßinstrumenten versehenen
körperlichen Systeme S₁ und S₂ in der Entfernung h von-
einander auf der z-Achse von K befinden ¹), derart, daß das
Gravitationspotential in S₂ um . h größer ist, als das in S₁. Es
wurde von S₂ gegen S₁ eine bestimmte Energie-
E in Form von Strahlung gesendet. Die
Energiemengen mögen dabei in S₁ und S₂ mit
Vorrichtungen gemessen werden, die -- an einen
Ort des Systems z gebracht und dort mit-
einander verglichen -- vollkommen gleich seien.
Über den Vorgang dieser Energieübertragung
durch Strahlung läßt sich a priori nichts aus-
sagen, weil wir den Einfluß des Schwerefeldes
auf die Strahlung und die Meßinstrumente in S₁ und S₂ nicht
kennen.

Nach unserer Voraussetzung von der Äquivalenz von K
und K' können wir aber an Stelle des im homogenen Schwere-
felde befindlichen Systems K das schwerefreie, im Sinne der
positiven z gleichförmig beschleunigt bewegte K' setzen,
mit dessen z-Achse die körperlichen Systeme S₁ und S₂ fest
verbunden

Den Vorgang der Energieübertragung durch Strahlung
von S₂ auf S₁ beurteilen wir von einem System K₀ aus, das
beschleunigungsfrei sei. In bezug K₀ besitze K' in dem
Augenblick die Geschwindigkeit Null, in welchem die Strah-
lungsenergie E₂ von S₂ gegen S₁ abgesendet wird. Die Strah-
lung wird in S₁ ankommen, wenn die Zeit h/c verstrichen ist
(in erster Annäherung). In diesem Momente besitzt aber S₁
in bezug auf K₀ die .h/c = v. Deshalb
besitzt nach der gewöhnlichen Relativitätstheorie die in S₁

1) S₁ und S₂ werden als gegenüber h unendlich klein betrachtet.

ankommende Strahlung nicht die Energie E₂, sondern eine
größere E₁, welche mit E₂ in erster Annäherung durch
die Gleichung verknüpft ist¹

Nach unserer Annahme gilt genau die gleiche Beziehung,
falls derselbe Vorgang in dem nicht beschleunigten, aber mit
Gravitationsfeld versehenen System K stattfindet. In diesem
Falle können wir ^.h ersetzen durch das des
Gravitationsvektors in S₂, wenn die willkürliche Konstante
von in S₁ gleich Null gesetzt wird. Es gilt also die
Gleichung:

Diese Gleichung spricht den Energiesatz für den ins Auge
gefaßten Vorgang aus. Die in S₁ ankommende Energie E₁ ist
größer als die mit gleichen Mitteln gemessene Energie E₂,
welche in S₂ emittiert wurde, und zwar um die potentielle
Energie der Masse E₂/c² im Schwerefelde. Es zeigt sich
also, daß man, damit das Energieprinzip erfüllt sei, der
Energie E vor ihrer Aussendung in S₂ eine potentielle Energie
der Schwere zuschreiben muß, die der (schweren) Masse E/c²
entspricht. Unsere Annahme der Äquivalenz von K und K'
hebt also die am Anfang dieses Paragraphen dargelegte Schwierig-
keit, welche die gewöhnliche Relativitätstheorie übrig

Besonders deutlich zeigt sich der Sinn dieses Resultates
bei Betrachtung des folgenden

1. Man sendet die Energie E (in S₂ gemessen) in Form
von Strahlung in S₂ ab nach S₁, wo nach dem soeben er-
langten Resultat die Energie E(1 + h/c²) aufgenommen wird
(in S₁

2. Man senkt einen Körper W von der Masse M von S₂
nach S₁, wobei die Arbeit M h nach außen abgegeben

3. Man überträgt die Energie E von S₁ auf den Körper W,
während sich W S₁ befindet. Dadurch ädere sich die
schwere Masse M, so daß sie den Wert M'

1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17. p. 913 u. 914. 1905.

4. Man hebe W wieder nach S₂, wobei die Arbeit M' h
aufzuwenden

5. Man übertrage E von W wieder auf S₂

Der Effekt dieses Kreisprozesses besteht einzig darin,
daß S₁ den E( h/c²) erlitten hat, und daß
dem System die

Führt man nämlich wieder das beschleunigungsfreie Bezugs-
system K₀ ein, relativ zu welchem K' zur Zeit der Lichtaus-
sendung keine Geschwindigkeit besitzt, so hat S₁ in bezug auf K₀
zur Zeit der Ankunft der Strahlung in S₁ die Geschwindigkeit
(h/c), woraus sich die angegebene Beziehung vermöge des
Dopplerschen Prinzipes unmittelbar

Nach unserer Voraussetzung von der Äquivalenz der
Systeme K' K gilt diese Gleichung auch für das ruhende,
mit einem gleichförmigen Schwerefeld versehene Koordinaten-
system K, falls in diesem die geschilderte Strahlungsüber-
tragung stattfindet. Es ergibt sich also, daß ein bei be-
stimmtem Schwerepotential in S₂ emittierter Lichtstrahl, der
bei seiner Emission -- mit einer in S₂ befindlichen Uhr ver-
glichen -- die Frequenz ₂ besitzt, bei seiner Ankunft in S₁
eine andere Frequenz ₁ esitzt, falls letztere mittels einer
in S₁ befindlichen gleich beschaffenen Uhr gemessen wird.
Wir ersetzen h durch das Schwerepotential von S₂ in
bezug auf S₁ als Nullpunkt und nehmen an, daß unsere für
das homogene Gravitationsfeld abgeleitete Beziehung auch für
anders gestaltete Felder gelte; es ist dann

Dies (nach unserer Ableitung in erster Näherung gültige) Resul-
tat gestattet zunächst folgende Anwendung. Es sei ₀ die
Schwingungszahl eines elementaren Lichterzeugers, gemessen
mit einer an demselben Orte gemessenen Uhr U. Diese
Schwingungszahl ist dann unabhängig davon, wo der Licht-
erzeuger samt der Uhr aufgestellt wird. Wir wollen uns beide
etwa an der Sonnenoberfläche angeordnet denken (dort befindet
sich unser S₂). Von dem dort emittierten Lichte gelangt ein
Teil zur Erde (S₁), wo wir mit einer Uhr U von genau gleicher
Beschaffenheit als der soeben genannten die Frequenz des
ankommenden Lichtes messen Dann ist nach

müssen also die Spektrallinien des Sonnenlichtes gegenüber
den entsprechenden Spektrallinien irdischer Lichtquellen etwas
nach dem Rot verschoben sein, und zwar um den relativen

nicht beide die ,,Zeit“ richtig an. Messen wir die Zeit in S₁
mit der Uhr U, somüssen wir die Zeit in S₂ mit einer Uhr
messen, die 1 + /c² mal langsamer läuftals die Uhr U, falls
sie mit der Uhr U an derselben Stelle verglichen wird. Denn
mit einer solchen Uhr gemessen ist die Frequenz des oben
betrachteten Lichtstrahles bei seiner Aussendung in S₂

zu einem Schwerefeld sich fortpflanzende Lichtstrahlen eine
Krümmung erfahren müssen. Sei nämlich eine Ebene gleicher
Phase einer ebenen Lichtwelle zur t, P₁ und P₂ zwei
Punkte in ihr, welche den Abstand 1 besitzen. P₁ und P₂
liegen in der Papierebene, die so gewählt ist, daß der in der
Richtung ihrer Normale genommene Differentialquotient von
also auch von c verschwindet. Die entsprechende Ebene
gleicher Phase bzw. deren Schnitt mit der Papierebene, zur
Zeit t + dt erhalten wir, indem wir um die Punkte P₁ und P₂
mit den Radien c₁ dt bzw. c₂ dt Kreise und an diese die
Tangente legen, wobei c₁ bzw. c₂ die Lichtgeschwindigkeit in
den Punkten P₁ bzw. P₂ bedeutet. Der Krümmungswinkel
des Lichtstrahles auf dem Wege c dt ist

Nach Gleichung (4) erleidet ein an einem Himmelskörper
vorbeigehender Lichtstrahl eine Ablenkung nach der Seite
sinkenden Gravitationspotentials, also nach der dem Himmels-
körper zugewandten Seite von der