Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte
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3. Lichtgeschwindigkeit
und Statik desGravitationsfeldes;
von A. Einstein.
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In einer letztes Jahr erschienenen Arbeit1) habe ich aus
der Hypothese, daß Schwerefeld und Beschleunigungszustand
des Koordinatensystems physikalisch gleichwertig seien, einige
Folgerungen gezogen, welche sich den Ergebnissen der Rela-
tivitätstheorie (Theorie der Relativität der gleichförmigen Be-
wegung) sehr gut angliedern. Es zeigte sich dabei aber, daß
die Gültigkeit des einen Grundsatzes jener Theorie, nämlich
des Satzes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, nur
für Raum-Zeitgebiete konstanten Gravitationspotentials Gültig-
keit beanspruchen kann. Trotzdem dies Resultat die all-
gemeine Anwendbarkeit der Lorentztransformation ausschließt,
darf es uns nicht von der weiteren Verfolgung des eingeschla-
genen Weges abschrecken; wenigstens hat meiner Meinung
nach die Hypothese, daß das ,,Beschleunigungsfeld“ ein Spezial-
fall des Gravitationsfeldes sei, eine so große Wahrscheinlich-
keit, insbesondere mit Rücksicht auf die bereits in der ersten
Arbeit gezogenen Folgerungen betreffend die schwere Masse
des Energieinhaltes, das eine genauere Durchführung der
Folgerungen jener Äquivalenzhypothese geboten
Seitdem hat A braham eine Theorie der Gravitation auf-
gestellt2), welche die in meiner ersten Arbeit gezogenen Folge-
rungen als Spezialfälle enthält. Wir werden aber im folgenden
sehen, daß sich das Gleichungssystem Abrahams mit der
Äquivalenzhypothese nicht in Einklang bringen läßt, und daß
dessen Auffassung von Zeit und Raum sich schon vom rein
mathematisch formalen Standpunkte aus nicht aufrecht er-
halten
1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 4. P. 35.
2) M. A braham, Physik. Zeitschr. 13. Nr. 1. 1912.
§ 1. Raum und Zeit im Beschleunigungsfeld.
Das Bezugssystem K (Koordinaten x, y, z) befinde sich im
Zustande gleichförmiger Beschleunigung in Richtung seiner
x-Koordinate. Diese Beschleunigung sei eine gleichförmige
im Bornschen Sinne; d. h. die Beschleunigung seines Anfangs-
punktes, bezogen auf ein beschleunigungsfreies System, in bezug
auf welches die Punkte von K gerade keine, bzw. eine unend-
lich kleine Geschwindigkeit besitzen, sei eine konstante Größe.
Ein solches System K ist nach der Äquivalenzhypothese streng
gleichwertig einem ruhenden System, in welchem ein massen-
freies statisches Gravitationsfeld1) bestimmter Art sich befindet.
Die räumliche Ausmessung von K geschieht durch Maßstäbe,
welche -- im Ruhezustande an der nämlichen Stelle von K
miteinander verglichen -- die gleiche Länge besitzen; es sollen
die Sätze der Geometrie gelten für so gemessene Längen, also
auch für die Beziehungen zwischen den Koordinaten x, y, z
und anderen Längen. Dieso Festsetzung ist nicht selbstver-
ständlich erlaubt, sondern enthält physikalische Annahmen,
die sich eventuell als unrichtig erweisen könnten; sie gelten
z. B. höchst wahrscheinlich nicht in einem gleichförmig rotie-
renden Systeme, in welchem wegen der Lorentzkontraktion das
Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser bei Anwendung
unserer Definition für die Längen von
verschieden sein müßte.
Der Maßstab sowie die Koordinatenachsen sind als starre
Körper aufzufassen. Dies ist erlaubt, trotzdem der starre
Körper nach der Relativitätstheorie keine reale Existenz be-
sitzen kann. Denn man kann den starren Meßkörper durch
eine große Anzahl kleiner nicht starrer Körper ersetzt denken,
die so aneinander gereiht werden, daß sie aufeinander keine
Druckkräfte ausüben, indem jeder besonders gehalten wird.
Die Zeit t im System K denken wir durch Uhren gemessen
von solcher Beschaffenheit und solcher fester Anordnung in
den Raumpunkten des Systems K, daß die Zeitspanne, welche
-- mit ihnen gemessen -- ein Lichtstrahl braucht, um von
einem Punkt A nach einem Punkte B des K zu ge-
langen, nicht von dem Zeitpunkt der Aussendung des Licht-
1) Die Massen, welche dies Feld hervorbringen, hat man sich im
Unendlichen zu denken.
strahles in A abhängig ist. Es wird sich ferner zeigen, daß
widerspruchsfrei die Gleichzeitigkeit dadurch definiert werden
kann, daß bezüglich des Richtens der Uhren die Fortsetzung
getroffen wird, daß alle Lichtstrahlen, welche einen Punkt A
von K passieren, in A dieselbe, von der Richtung unabhängige
Fortpflanzungsgeschwindigkeit
Wir denken uns nun das Bezugssystem K (x, y, z, t) von
einem beschleunigungsfreien Bezugssystem (von konstantem
(, , , ) aus betrachtet. Wir setzen
voraus, daß die x-Achse dauernd in -Achse falle und die
y-Achse dauernd der -Achse, die z-Achse dauernd -Achse
parallel sei. Diese Festsetzung ist möglich unter der Annahme,
daß der Zustand der Beschleunigung auf die Gestalt von K
in bezug auf nicht von Einfluß sei. Diese physikalische
Annahme legen wir zugrunde. Aus ihr folgt, daß für be-
liebige
|
| (1) |
sein muß, so daß wir nur noch die Beziehung aufzusuchen
haben, welche und einerseits, x und t anderer-
seits, besteht. Zur Zeit = 0 mögen beide Bezugssysteme
zusammenfallen; dann müssen die gesuchten Substitutions-
gleichungen jedenfalls von der Form sein
|
| (2) |
Die Koeffizienten dieser für genügend kleine positive und
negative Werte von t
gültigen Reihen sind als vorläufig un-
bekannte Funktionen von x anzusehen. Indem wir uns auf
die angeschriebenen Glieder beschränken, erhalten wir durch
Differenziation
|
| (3) |
Im System denken wir uns die Zeit derart gemessen,
daß die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 wird. Wir können dann
die Gleichung einer Schale, die sich mit Lichtgeschwindigkeit
von einem beliebigen Raum-Zeitpunkt ausbreitet, indem wir
uns auf die unendlich kleine Umgebung des Raum-Zeitpunktes
beschränken, in der Form
Dieselbe Schale muß im System K die Gleichung
Die Substitutionsgleichungen (2) müssen derart sein, daß diese
beiden Gleichungen äquivalent sind. Dies verlangt wegen (1)
die Identität
|
| (4) |
Setzt man in die linke Seite dieser Gleichung die Ausdrücke
in dx und dt
vermittelst (3) ein und setzt links und rechts
die Koeffizienten von dx2, dt2 dxdt einander gleich, so
erhält man die
Diese Gleichungen gelten in t identisch bis zu so hohen Po-
tenzen von t, daß die in (2) weggelassenen Terme noch keinen
Einfluß haben, also die erste Gleichung bis zur zweiten, die
zweite und dritte bis zur ersten Potenz von t. Hieraus fließen
die
Da nicht verschwinden kann, folgt aus der ersten Gleichung
der dritten ' = 0. ist also eine Konstante, die wir
bei passender Wahl der Anfangspunkte der Zeit gleich Null
setzen dürfen. Der Koeffizient muß ferner positiv sein; es
ist also nach der ersten Gleichung der zweiten
Nach der zweiten Gleichung der zweiten Zeile
Weil ' verschwindet, und wir x mit wachsend annehmen
können, so folgt aus der ersten Gleichung der ersten
also, wenn für t = 0 und = 0, x = 0 sein
Endlich folgen aus der dritten Gleichung der ersten und der
zweiten Gleichung der dritten Zeile unter Benutzung der schon
gefundenen Relationen die
Aus ihnen folgt, wenn wir mit c0 und a Integrationskonstante
Damit ist die gesuchte Substitution für genügend kleine
Werte von t ermittelt. Es gelten bei Vernachlässigung der
dritten und höheren Potenzen von t die
|
| (4) |
wobei die Lichtgeschwindigkeit c im System K, welche nur
von x, aber nicht von t
abhängen kann, durch die soeben ab-
geleitete Beziehung
|
| (5) |
gegeben ist. Die Konstante c0 hängt davon ab, mit einer wie
rasch laufenden Uhr wir die Zeit im Anfangspunkte von K
messen. Die Bedeutung der Konstante a
ergibt sich in fol-
gender Weise. Die erste und vierte der Gleichungen (4) liefert
für den Anfangspunkt (x = 0) von K mit Rücksicht auf (5) die
a/c0 ist also die Beschleunigung des Anfangspunktes von K in
bezug auf ,
gemessen in dem Zeitmaße, in welchem die
Lichtgeschwindigkeit gleich 1
§ 2. Differentialgleichung des statischen Gravitationsfeldes, Be-
wegungsgleichung eines materiellen Punktes im statischen Gra-
vitationsfelde.
Aus der früheren Arbeit geht schon hervor, daß im sta-
tischen Gravitationsfeld eine Beziehung zwischen c und dem
Gravitationspotential existiert, oder mit anderen Worten, daß
das Feld durch c bestimmt ist. In demjenigen Gravitations-
felde, welches dem im § 1 betrachteten Beschleunigungsfelde
entspricht, ist nach (5) und dem Äquivalenzprinzip die
Gleichung.
|
| (5a) |
erfüllt, und es liegt die Annahme nahe, daß wir diese Gleichung
als in jedem massenfreien statischen Gravitationsfelde gültig an-
zusehen haben.1) Jedenfalls ist diese Gleichung die einfachste
mit (5)
Es ist leicht, diejenige vermutlich gültige Gleichung auf-
zustellen, welche derjenigen von Poisson entspricht. Es folgt
nämlich aus der Bedeutung von c
unmittelbar, daß c nur bis
auf einen konstanten Faktor bestimmt ist, der davon abhängt,
mit einer wie beschaffenen Uhr man t im Anfangspunkte von
K mißt. Die der Poissonschen Gleichung entsprechende muß
also in c homogen sein. Die einfachste Gleichung dieser Art
ist die lineare Gleichung
|
| (5b) |
wenn unter k die (universelle) Gravitationskonstante, unter
die Dichte der Materie verstanden wird. Letztere muß so
definiert sein, daß sie durch die Massenverteilung bereits ge-
geben, d. h. bei gegebener Materie im Raumelement von c
unabhängig ist. Dies erzielen wir, indem wir die Masse eines
Kubikzentimeter Wasser gleich 1 setzen, in was für einem
Gravitationspotential er sich auch befinden möge; ist dann
das Verhältnis der im Kubikzentimeter enthaltenen Masse zu
dieser
1) In einer in kurzem nachfolgender Arbeit wird gezeigt werden,
daß die Gleichung (5a) und (5b) noch nicht exakt richtig sein können.
In dieser Arbeit sollen sie vorläufig benutzt werden.
Wir suchen nun das Bewegungsgesetz eines materiellen
Punktes im statischen Schwerefeld zu ermitteln. Zu diesem
Zwecke suchen wir das Bewegungsgesetz eines kräftefrei be-
wegten materiellen Punktes in dem im § 1 betrachteten Be-
schleunigungsfelde. Im System ist dies
wobei die A und B Konstante sind. Diese Gleichungen gehen
vermöge (4) in die für genügend kleine t gültigen Gleichungen
Durch einmaliges und nochmaliges Differenzieren erhält man
aus der ersten Gleichung, indem man in dieselben t = 0 ein-
setzt, die beiden Gleichungen1
Aus diesen beiden Gleichungen folgt durch Eliminieren von A1
oder die Gleichung
Auf analoge Weise resultieren für die beiden anderen Kompo-
nenten die
Diese drei Gleichungen gelten zunächst im Augenblick t = 0.
Sie gelten aber allgemein, weil dieser Zeitpunkt durch nichts
1) Die in (2) weggelassenen Glieder machen sich bei dieser zwei-
maligen Differenziation und nachherigem Nullsetzen von t im Resultat
nicht
von den übrigen ausgezeichnet ist als dadurch, daß wir ihn
zum Anfangspunkt unserer Reihenentwickelung gemacht haben.
Die so gefundenen Gleichungen sind die gesuchten Bewegungs-
gleichungen des kräftefrei bewegten Punktes im konstanten
Beschleunigungsfelde. Berücksichtigen wir, daß a = c/ x,
und daß ( c/ y) = ( c/ z) = 0 ist, so können wir diese Glei-
chungen auch in der Form schreiben:
|
| (6) |
In dieser Form der Gleichungen ist die x-Richtung nicht mehr
ausgezeichnet; beide Seiten haben Vektorcharakter. Wir haben
diese Gleichungen deshalb wohl auch als die Bewegungs-
gleichungen eines materiellen Punktes im statischen Gravi-
tationsfelde aufzufassen, falls der Punkt nur der Einwirkung
der Schwere
Aus (6) folgt zunächst, in welcher Beziehung die in (5b)
auftretende k zu der Gravitationskonstante K im ge-
wöhnlichen Sinne steht. Im Falle gegen c
kleiner Geschwindig-
keiten ist nämlich nach
so daß (5b) bei Vernachlässigung gewisser Glieder
übergeht. Es ist also
Die Gravitationskonstante K ist also keine universelle Kon-
stante, sondern nur der Quotient K/c2
Multiplizieren wir die Gleichungen (6) der Reihe nach mit
ẋ/c2, ẏ/2, ż/c2, und addieren wir, so ergibt sich,
gesetzt
|
| (7) |
Diese Gleichung enthält das Energieprinzip für den im statio-
nären Gravitationsfeld bewegten materiellen Punkt. Die linke
Seite dieser Gleichung hängt von q genau in derselben Weise
ab, wie die Energie des materiellen Punktes nach der gewöhn-
lichen Relativitätstheorie von q abhängt. Wir haben daher
die linke Seite der Gleichung bis auf einen (nur vom Massen-
punkt selbst abhängigen) Faktor als die Energie E des Punktes
anzusehen. Dieser Faktor ist offenbar gleich der Masse m
im obigen festgesetzten Sinne zu setzen, weil jene Definition
die Masse unabhängig vom Gravitationspotential festlegt. Es
ist also
|
| (8) |
oder angenähert
|
| (8a) |
Aus dem zweiten Gliede dieser Entwickelung geht zunächst
hervor, daß die von uns als Energie bezeichnete Größe eine
von der gewohnten abweichende Dimension besitzt. Dem-
entsprechend wird auch die Maßzahl der einzelnen Energie-
größe eine andere, nämlich eine c mal kleinere als in dem
uns geläufigen System. Es hängt ferner die ,,kinetische
Energie“, welche allerdings nach (8) genau genommen von der
Gravitationsenergie nicht getrennt werden kann, nicht nur von
m und q, sondern auch von c, d. h. vom Gravitationspotential
ab. Aus (8) folgt ferner das wichtige Resultat, daß die Energie
des im Schwerefeld ruhenden Punktes mc ist. Wenn wir
somit an der
festhalten wollen, so ist die auf den ruhenden materiellen
Punkt im Schwerefelde ausgeübte Kraft
Wir wollen nun die Bewegungsgleichungen des materiellen
Punktes in einem beliebigen statischen Schwerefelde für den
Fall ableiten, daß außer der Schwere noch andere Kräfte auf
den Punkt wirken. Wir bemerken, daß die Gleichungen (6)
den in der Relativitätsmechanik geltenden Bewegungsgleichungen
nicht ähnlich sind. Multiplizieren wir sie aber mit der linken
Seite von (7), so erhalten wir die den Gleichungen (6) äqui-
valenten Gleichungen:
|
| (6a) |
Die linke Seite hat, abgesehen von dem in der gewöhnlichen
Relativitätstheorie belanglosen, im Zähler auftretenden Fak-
tor 1/c genau dieselbe Form wie in der gewöhnlichen Rela-
tivitätstheorie. Wir werden deshalb die Klammergröße als
x-Komponente der Bewegungsgröße zu bezeichnen haben (für
einen Punkt der Masse 1). Wir haben ferner soeben gezeigt,
daß - c/ x x-Komponente der vom Gravitationsfeld auf
einen unbewegten Massenpunkt ausgeübten Kraft aufzufassen
ist. Die auf einen beliebig bewegten Massenpunkt von der
Masse 1 vom Schwerefeld ausgeübte Kraft kann sich hiervon
nur durch einen mit q verschwindenden Faktor unterscheiden.
Die soeben aufgestellte Gleichung führt dazu, diese Kraft g
gleich - zu setzen. Die rechte Seite der aufgestellten
Gleichung wird dann g. Es
ist also die zeitliche Ableitung
des Impulses gleich der wirkenden Kraft. Wirkt auf den
Punkt noch eine andere Kraft , so werden wir auf der
rechten Seite der Gleichung noch ein Glied /m zu addieren
haben, so daß die Bewegungsgleichung eines Punktes von der
Masse m die Form annimmt:
|
| (6b) |
Diese Gleichung ist aber nur dann zulässig, wenn das Energie-
prinzip in der
erfüllt ist. Dies läßt sich in folgender Weise
Schreibt man (6b) in der
und multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit
ẋ/c2 usw., und addiert dieselben, so findet
Hieraus ergibt sich die gesuchte Relation, wenn man berück-
sichtigt, daß wegen
ist. Die Beziehungen der Kraft zum Impuls- und Energiesatz
bleiben also erhalten.
§ 3. Bemerkungen über die physikalische Bedeutung des
statischen Schwerepotentials.
Messen wir in einem Raume von nahezu konstantem
Schwerepotential die Lichtgeschwindigkeit, indem wir mittels
einer bestimmten Uhr die Zeit messen, welche das Licht zum
Durchlaufen eines geschlossenen Weges von bestimmter Länge
braucht, so erhalten wir für die Lichtgeschwindigkeit immer
dieselbe Zahl, ganz unabhängig davon, in einem Raume von
wie großem Schwerepotential wir diese Messung ausführen.1)
Es folgt dies unmittelbar aus dem Äquivalenzprinzip. Wenn
wir sagen, daß die Lichtgeschwindigkeit in einem Punkte P
c/c0 mal größer sei als in einem Punkte P0, so bedeutet dies
1) Die zur Zeitmessung benutzte Uhr ist dabei immer die näm-
liche; sie wird immer an die Stelle gebracht, für die c ermittelt werden
also, daß wir uns in P zur Zeitmessung1) einer Uhr bedienen
müssen, welche c/c0
mal langsamer läuft als die zur Zeit-
messung in P0 zu benutzende Uhr, falls der Gang beider
Uhren an demselben Orte miteinander verglichen wird. Anders
ausgedrückt: eine Uhr läuft desto schneller, an eine Stelle
von je größerem c wir sie bringen. Diese Abhängigkeit der
Raschheit des zeitlichen Ablaufes vom Gravitationspotential (c)
gilt für den zeitlichen Ablauf beliebiger Vorgänge. Dies wurde
bereits in der früheren Arbeit
Ebenso hängt die Spannkraft einer in bestimmter Weise
gespannten Feder, überhaupt die Kraft bzw. die Energie eines
beliebigen Systems stets davon ab, an einem Orte von wie
großem c sich das System befindet. Dies geht leicht aus
folgender elementaren Überlegung hervor. Wenn wir nach-
einander in mehreren kleinen Raumteilen von verschiedenem c
experimentieren und uns stets derselben Uhr, derselben Maß-
stäbe usw. bedienen, so finden wir überall -- abgesehen von
etwaigen Verschiedenheiten der Intensität des Schwerefeldes --
dieselben Gesetzmäßigkeiten mit denselben Konstanten. Dies
folgt aus dem Äquivalenzprinzip. Als Uhr können wir uns
dabei etwa zweier Spiegel von der Distanz 1 cm bedienen,
indem wir die Zahl der Hin- und Hergänge eines Lichtsignals
zählen; wir operieren dann mit einer Art Lokalzeit, welche
A braham mit l bezeichnet. Diese steht dann mit der univer-
sellen Zeit in der Relation
Messen wir die Zeit durch l, so wird man mittels der Defor-
mationsenergie einer bestimmten, in einer bestimmten Weise
gespannten Feder einer Masse m eine bestimmte Geschwin-
digkeit dx/dl erteilen, unabhängig davon, an einem Orte von
wie großem c dieser Prozeß vor sich geht. Es
wobei a von c unabhängig ist. Nach (8) kann aber die dieser
Bewegung entsprechende kinetische Energie
1) Nämlich zur Messung der in den Gleichungen mit ,,t“ be-
zeichneten
gesetzt werden. Die Energie der Feder ist also c propor-
tional, und es gilt ein Gleiches für Energie und Kräfte irgend
eines
Diese Abhängigkeit bat eine unmittelbare physikalische
Bedeutung. Denke ich mir z. B. einen masselosen Faden
zwischen zwei Punkten P1 und P2 verschiedenen Gravitations-
potentials gespannt. Eine von zwei vollkommen gleich be-
schaffenen Federn ziehe in P1, die zweite in P2 an dem Faden,
derart, daß Gleichgewicht besteht. Die Verlängerungen l1
und l2, welche die beiden Federn dabei erfahren, werden aber
nicht gleich sein, sondern die Gleichgewichtsbedingung wird
lauten1
Schließlich sei noch erwähnt, daß mit diesem allgemeinen
Ergebnis auch die Gleichung (5b) in Übereinstimmung ist.
Aus dieser Gleichung und aus dem Umstande, daß die auf
eine Masse m wirkende Gravitationskraft gleich -- m c
ist, folgt nämlich, daß die Kraft , mit der sich zwei im Po-
tential c in der Entfernung r befindliche Massen anziehen,
in erster Annäherung gegeben ist
Es ist also auch diese Kraft c proportional. Denken wir uns
ferner eine ,,Gravitationsuhr“ bestehend aus einer Masse m,
die um eine festgehaltene m' bei konstantem Abstand R
unter alleiniger Wirkung der Gravitationskraft m' um-
läuft, so geschieht dies nach (6b) in erster Näherung nach
den Gleichungen
Hieraus
Die Ganggeschwindigkeit der Gravitationsuhr ist also c pro-
portional, wie dies für Uhren jeder Art der Fall sein
1) Hierbei ist allerdings vorausgesetzt, daß auf den gespannten
masselosen Faden im Gravitationsfeld keine Kraft wirkt. Dies wird in
einer bald folgenden Arbeit begründet werden.
§ 4. Allgemeine Bemerkungen über Raum und Zeit.
In was für einem Verhältnis steht nun die vorstehende
Theorie zu der alten Relativitätstheorie (d. h. zu der Theorie
des universellen c)? Nach Abrahams Meinung sollen die
Transformationsgleichungen von Lorentz nach wie vor im
unendlich Kleinen gelten, d. h. es soll eine x-t-Transformation
geben, so
gelten. dx' und dt' müssen vollständige Differentiale sein.
Es sollen also die Gleichungen
Es sei nun im ungestrichenen System das Gravitationsfeld ein
statisches. Dann ist c eine beliebig gegebene Funktion von x,
von t aber unabhängig.
Soll das gestrichene System ein
,,gleichförmig“ bewegtes sein, so muß v
bei festgehaltenem x
jedenfalls von t unabhängig sein. Es müssen daher die linken
Seiten der Gleichungen, somit auch die rechten Seiten ver-
schwinden. Letzteres ist aber unmöglich, da bei beliebig in
Funktionen von x
gegebenem c nicht beide rechten Seiten
zum Verschwinden gebracht werden können, indem man v in
Funktion von x passend wählt. Damit ist also erwiesen, daß
man auch für unendlich kleine Raum-Zeitgebiete nicht an der
Lorentztransformation festhalten kann, sobald man die uni-
verselle Konstanz c
Mir scheint das Raum-Zeitproblem wie folgt zu liegen.
Beschränkt man sich auf ein Gebiet von konstantem Gravi-
tationspotential, so werden die Naturgesetze von ausgezeichnet
einfacher und invarianter Form, wenn man sie auf ein Raum-
Zeitsystem derjenigen Mannigfaltigkeit bezieht, welche durch
die Lorentztransformationen mit konstantem c miteinander ver-
knüpft sind. Beschränkt man sich nicht auf Gebiete von kon-
stantem c, so wird die Mannigfaltigkeit der äquivalenten
Systeme, sowie die Mannigfaltigkeit der die Naturgesetze un-
geändert lassenden Transformationen eine größere werden, aber
es werden dafür die Gesetze komplizierter
Prag, Februar
(Eingegangen 26. Februar 1912.)
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