Biancani, Giuseppe, Aristotelis loca mathematica, 1615

Bibliographic information

Author: Biancani, Giuseppe
Title: Aristotelis loca mathematica
Date: 1615

Permanent URL

Document ID: MPIWG:MSBRNWKW
Permanent URL: http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:MSBRNWKW

Copyright information

Copyright: Max Planck Institute for the History of Science (unless stated otherwise)
License: CC-BY-SA (unless stated otherwise)
1
ARISTOTELIS
LOCA MATHEMATICA
Ex vniuerſis ipſius Operibus collecta,
& explicata.
Aristotelicæ videlicet expoſitionis complementum
hactenus deſideratum.
Acceſſere de Natura Mathematicarum ſcientiarum Tractatio;
atque Clarorum Mathematicorum Chronologia.
Authore IOSEPHO BLANCANO Bononienſi è Societate Ieſu,
Mathematicarum in Gymnaſio Parmenſi Profeſſore.
Ad Illuſtriſſimum, ac Nobiliſſimum
PETRVM FRANCISCVM MALASPINAM
Aedificiorum Marchionem, apud Cæſ. Maieſtatem
pro Sereniſs. Parmenſium Duce Legatum.
BONONIÆ M. D C. X V.
Apud Bartholomæum Cochium. Superiorum permiſſu.
Sumptibus Hieronymi Tamburini.
1
[Empty page]
1
ILLVSTRISSIMO
AC NOBILISSIMO
PETRO FRANCISCO
MALASPINAE
ÆDIFICIORVM MARCHIONI.
En tandem Illustriß. Marchio opus no­
 strum de Locis Mathematicis apud Ari­
 stotelem, vnà cum Tractatione de natura
ſcientiarum Mathematicarum, necnon
Clarorum Mathematicorum Chronologia;
quod tibi Mecœnati meo munificentiſsimo iure meritò
dicare, ac ſub clarißimi tui nominis patrocinio in lucem
dare conſtitui. primùm quidem, vt mei perpetui erga te
amoris, & obſeruantiæ hoc vnum ſaltem specimen exta­
 ret: tùm vt idoneum, æquumque propoſitæ rei iudicem
nanciſcerer. cùm enim ad iuſtum arbitrum duo potißimùm
requirantur, rerum ſcilicet cognitio, atque prudentia, quem
te rei, de qua agitur peritiorem, quemuè prudentiorem
inuenire potuerim? tu enim cùm Phyſiologiæ, ac Mathe­
 maticarum omnium Encyclopædiam mirum in modum
1excolueris, adintima Mathematicarum penetralia ita
perſuaſiſti, vt Archimedis, & Apollonij admirandis, ac
ſubtilißimis Demonſtrationibus detinearis. Quanta por­
 rò in rebus agendis prudentia valeas, toti penè Europæ
innotuit, cùm pro noſtris Sereniß. Ducibus, non ſolùm ad
omnes ferè Italiæ, atque Germaniæ Principes, verùm etiam
ad Cæſaream Maieſtatem rebus fœliciter geſtis Legatus
decimùm extiteris; ac demùm à Sereniß. Duce Ranutio
inter primarios de Rep. Conſiliorum Authores adſcitus
fueris. Cæterùm in Clarorum Mathematicorum Chro­
 nologia perlegenda, ſæpißimè tibi nobilißimi æquè, ac do­
 ctißimi Viri, tui omnino perſimiles occurrent, quod tibi
nonniſi gratißimum accidere poſſe arbitror. Complectere
igitur ea benignitate, atque clementia, qua ſoles noſtra stu­
 dia promouere, mea hæc quantulacumque munuſcula.
quæ ſi tibi accepta eſſe intellexero, iam tandem ma­
 ximorum munerum loco habenda eſſe cenſe­
 bo. incolumem tibi, ac fœlicem D. Opt.
Max. longæuitatem tueatur.
Vale.
Parmæ Idibus Maij M. DC. XIIII.
1
Liber de ſe ipſo.
Nec diſcet Lector me ſolo interprete totum,
Nec ſine me totum diſcet Aristotelem.
Ego Iordanus Caſſini Præpoſitus Prouincialis Prouinciæ Venetæ Societatis
Ieſu, ex auctoritate Adm. Reuer. P. noſtro Præpoſiti Generalis P. Claudij
Aquæuiuæ, facultatem concedo, vt hoc opus P. Ioſephi Blancani eiuſdem
Societatis, quod inſcribitur, Ariſt. Loca Mathematica ex vniuerſis ipſius
operibus collecta, & explicata, à deputatis Patribus recognitum, & ap­
 probatum typis mandari poſſit. Parmæ die 15. Ianuarij 1615.
Iordanus Caſſini P.
Don Marcellus Baldaſſinus pro Illuſtriſs. & Reuerendiſs. Archiepiſc. Bonon.
Imprimatur Fr. Hieronymus Onuphrius pro Reuerendiſs. P. Inquiſitore Bonon.
1
LECTORI.
Qvod priſcis olim temporibus (humaniſſime Lector) ſum­
 mi duo Philoſophi, Philippus Mendeus, ac Theon Smyr­
 næus in Platonis Dialogis egregiè perfecerunt, vt videli­
 cet quæ paſſim ſummus hic Philoſophus de Mathemati­
 cis ſcripta reliquit, eadem ipſa ab illis ſelecta, & in vnum
quaſi corpus redacta lucubrationibus illuſtrarent: idem ego quoque in
Ariſtotelis operibus efficere ſum conatus, vt quæ de Mathematicis re­
 bus in vniuerſis eiuſdem monumentis ſparſa leguntur, eadem in vnum
à me collecta, & explicata ijs Philoſophiæ ſtudioſis maxime ſeruirent,
qui priſca illa conſuetudine relicta, Mathematicarum omnium ignari
non ſine graui ſtudiorum ſuorum detrimento Philoſophiæ curriculum
aggrediuntur. Vt autem huius operis neceſſitas, variæque; vtilitates pla­
 nius cognoſcantur operæpretium erit initio illius cauſas exponere; quæ
me potiſſimum ad illud conſcribendum compulerunt, quarum
Prima ſit, quod hæc Ariſt. loca Mathematica, quæ quidem ferè 408.
numerantur, peſſimè latinis literis conſignata ſunt vſque adeò, vt Ari­
 ſtotelem ipſum, vel inuitum (quod poſtea multis in locis planum fiet) in
abſurdiſſima errata ſæpiſſimè compellant.
Secunda, quòd plurima huiuſmodi loca à nemine, quod ſciam, adhuc
declarata in tenebris magno noſtrorum malo deliteſcunt: cuiuſmodi
ſunt ad ſexaginta problemata, libellus de lineis in ſecabilibus, libellus
de mundo, ſi tamen Ariſtotelis eſt, & Mechanicæ quæſtiones, quamuis
enim Picolomineus in eas paraphraſim ediderit, loca tamen earum dif­
 ficiliora non ſatis illuſtrauit. Vt autem dixi 408. in vniuerſum loca mi­
 nimùm numerantur, quibus illud Platonis inſcriptum eſt αγαιομέτρητος
υδείς εισίτο; & in quibus Mathematicæ diſciplinæ rudes, & imperiti, quem
ſequuntur ducem Ariſt. eum ſæpe deſerere non ſine turpi dedecoris no­
 ta coguntur; quo fit vt exempla illa Mathematica lucem rebus aliquan­
 do allatura, tenebras cimmerijs, vt aiunt vmbris craſſiores ijſdem
obducant.
Tertia, quia Græci eorumdem locorum commentatores breuiter, &
obſcurè admodum ea, quæ ad Mathematicum ſpectant, attingunt, hoc
enim ab ipſis certum ponitur, Lectorem eſſe, vt moris tunc erat, omnium
Philo ſophorum, Mathematicis imbutum; at verò noſtra ætate magna
cum Philoſophiæ iactura, quamplurimi earumdem diſciplinarum deſti­
 tuti præſidijs, ne Græcorum quidem Interpretum explanationes, ne­
 dum Ariſt. obſcurè dicta intelligunt.
1
Quarta. Adde, quod etiam ſi quis leuiter ſit erudito illo Mathemati­
 corum puluere conſperſus, adeò tamen peruerſa eſt eorumdem Græco­
 rum in Latinum tranſlatio, tantaque; figurarum, quæ neceſſariæ erant
confuſio, & deprauatio, vt nec abeo, qui ſit Mathematicarum ſcientia
excultus, ſine magno labore percipi poſſint. Quin etiam figuræ illæ, quæ
omnino neceſſariæ ſunt ob Scriptorum, & Typographorum inſcitiam,
aut inertiam pluribus in locis deſiderantur. Latini verò multo minus,
quàm Græci Mathematicæ periti, qua ratione eadem loca pertractaue­
 rint, facilius eſt conijcere, quàm vt dici oporteat.
Quinta. Ex his omnibus in aliud incommodum, vel maximum Phi­
 loſophi quidam incidebant; aut enim horum locorum expoſitionem ta­
 citi declinabant: aut eam minime neceſſariam ad Ariſt. percipiendam
ſententiam aſſerebant; quo quid abſurdius, quid ſtudioſorum progreſ­
 ſibus pernicioſius excogitari poteſt? Eorum verò nonnulli eorumdem
locorum expoſitionem audacter nimis aggrediebantur, atque hinc pueri­
 les illæ, ac ridiculæ expoſitiones paſſim auditæ, cuiuſmodi eſt illa, quan­
 do Ariſtoteles ait, quod illi frequentiſſimum eſt, omnis triangulus ha­
 bet tres; nihil aliud ſignificari volunt, quàm omnem triangulum habe­
 re tres angulos. quod ſi dicat, omnis triangulus habet tres æquales duo­
 bus rectis: hic hærent, hinc anguntur: cumque ex his anguſtijs, ac tricis
ſe minimè expedire valeant, aurea verba illa, quibus ingentes ſapientiæ
theſauri continentur, alto ſilentij velo contegere Mathematicarum eos
cogit inſcitia: vnde illud, quod Græcæ linguæ imperitis mutata oratio­
 ne acclamandum illis foret, Mathematicum eſt, non legitur. Nec mi­
 nus elegans illa altera expoſitio; Diametrum eſſe incommenſurabilem
coſtæ; quod ſæpe apud Ariſt. legentibus occurrit, nihil aliud ſibi velle,
quam Diametrum eſſe longiorem coſta, quam quidem aſymetriæ huius
ignorantiam Plato de legibus dial. 7. non hominum, ſed ſuum, peco­
rumque appellare non dubitauit. Quid illa? cum Ariſt. ait duo cubi, cu­
 bus, ipſum loqui putant de duplatione Geometrici cubi, nondum in­
 uenta; non intelligentes, eum ibi de numeris cubis ſermonem habere.
Auerroes ipſe tantus vir 5. Phyſ. commen. 15. quàm ſe Mathematicis,
reliquiſque Philoſophis irridendum præbet dum à permutata propor­
 tione putat ſerectè in hunc modum pluribus apud ipſum verbis explica­
 tum, argumentari,
Vt ſe habet voluntas noua ad effectum nouum,
It a voluntas antiqua ad effectum antiquum.
Ergo permutatim, vt ſe habebit voluntas noua ad effectum
antiquum, ita voluntas antiqua ad effectum nouum.
Spectatum admiſſi riſum teneatis amici? nego, ait; quiſpiam
1tiam, non enim hoc eſt argumentari à permutata ratione, deberet enim
inferre, ſic, ergo ita ſe habebit voluntas noua ad antiquam, quemad­
 modum effectus nouus ad antiquum. quæ vitioſa argumentatio quan­
 tumuis læuis ſit, & manifeſta, quoſdam tamen magni nominis philoſo­
 phantes adeò torſit, vt adhuc torqueat.
Quanta autem miſeratione digni, qui publicè aliquando apud ſuos
auditores totam Perſpectiuam, qua nihil iucundius eſt, de medio tolle­
 re conati ſunt, propterea quod illæ viſuales lineæ, illi anguli, illæ pyra­
 mides, aut coni, quibus viſio perficitur nullibi extarent, ſed eſſent vana
quædam opticorum figmenta. Quì verò fieri potuit, vt non aduerterint
iſti ſe Ariſtoteli ſuo manifeſte repugnare, qui ſæpius de lineis viſualibus
perſpectiuum pertractare aſſerit, diſcrimenque; inter lineam phyſicam, &
opticam aſſignat, ipſiusque; optices tanquam veræ ſcientiæ mentionem
ſæpius facit.
Alij ex altera parte contra Aſtronomos in ſurgunt, eccentricos, atque
epiciclos omnes de cœlo detrahere cupientes. Verum id iſti nulla ex­
 preſſa nedum probabili ratione faciunt, falsò exiſtimantes Aſtronomos
admirandam illam Cœlorum fabricam aſſerere, non autem ſupponere:
ſed aſtronomi illam ſupponunt, eamque; propterea hypotheſim appellant,
non aſſerunt. Quod ſi aliqua probabili ratione id facerent, vti nonnulli
ex recentioribus, quorum Ticho Coripheus eſt, laudandi potius, quam
vituperandi eſſent. Impugnant itaque aſtronomachi iſti hypotheſim pro
aſſertione; talesque; ſæpè hi ſunt, vt non ſatis intelligant, quid ſit Aequa­
 tor, aut Zodiacus, ne dum quid Epiciclus, aut Eccentricus. Nec defuit
qui viginti duo argumenta excogitarit, atque in medium protulerit, qui­
 bus contra Aſtronomos probare conatus eſt, nullo modo Solem, aut
Lunam moueri poſſe motibus contrarijs, ideſt, ab oriente in occidentem
motu diurno, & proprio ab occidente in orientem. Sed exiſtimandum
eſt iſtum Lunam nouam à Sole quotidie magis, ac magis verſus orientem
recedere, nunquam animaduertiſſe; ab ea enim hanc motuum concor­
 diam didiciſſet.
Quid tandem dicendum de quodam magni nominis Philoſopho, om­
 nium tamen Mathematicarum experte, qui in publica diſputatione axio­
 ma illud Mathematicum, omne totum eſt maius ſua parte, in ſenſu in
quo à Mathematicis effertur negare non erubuit, eò, quod in infinito,
vt aiebat non concederetur ab omnibus. ſcilicet non intelligebat ma­
 thematicum tantummodo tractare de Quantitate finita, ac terminata,
in qua axioma prædictum ab omnibus conceditur. Neque vero hic
nonnullorum infenſus in Mathematicas animus quieuit, verum etiam
eò progreſſus eſt, vt eas omnes omnino conuellere, atque ex albo
1tiarum, quamuis non Ariſtotele tantum, ſed ipſa etiam veritate repu­
 gnante, expungere conati ſint; idque neſcio an vlla alia de cauſa egerint,
quàm quod eas non ſatis calerent; non ſecus atque Aeſopica illa Vulpes,
quæ cum cauda mutilata eſſet, caudarum mutilationem reliquis vulpi­
 bus vafrè perſuadere conabatur. Verum enim verò optimè ſcio, ea,
quę hactenus dicta ſunt non in omnes noſtri temporis Philoſophos qua­
 drare, cum non pauci hodie quoque ſint, qui more antiquorum Mathe­
 maticis ſuffulti, optimè ſuis ſtudijs conſulentes, reliquam Philoſophiam
non ſine magno compendio aggrediuntur. Quo fit, vt cæteros ageo­
 metretos ita antecellant, vt eorum Magiſtri appellari poſſint, & debeant;
tales fuerunt in primis Vicomercatus, Cardanus, Zabarella, Toletus,
Bonamicus, & alij, quibus paulo antiquiores fuerunt D. Tho. & Scotus,
Hi omnes Mathematicarum auxilio, quantum inter reliquos philoſo­
 phantes excelluerint, nemo eſt qui non nouerit. Illud hoc loco minimè
tacendum, Iacobum Zabarellam in ſuis logicæ commentarijs teſtari ſe
bis ſumma diligentia totum Euclidem perlegiſſe, vt perfectè Ariſt. de
demonſtratione ſententiam aſſequi poſſet.
Hi ridiculas illas, ac pueriles expoſitiones ſuperius allatas minimè
effutierunt, neque reliquis ſupra recenſitis incommodis obnoxij fue­
 runt, quibus magno etiam cum dedecore alij Mathematicarum ope ca­
 rentes afficiuntur.
In horum igitur gratiam operam diligenter dedi, vt quantum in me
eſſet damna à me ſupra enarrata aliqua ex parte reſarcirem. Quaprop­
 ter loca hæc mathematica num rectè eſſent è græco in latinum tranſlata
diligenter prius expendi. Deinde claritate, quàm potui maxima eadem
loca interpretatus ſum, & in horum, de quibus dixi gratiam, quædam
fanè tenuia proſequutus ſum, quæ alioquin libenter omiſiſſem. Tum fi­
 guras omnes, aut correxi, aut reſtitui, aut nouas appoſui. Hoc igitur
noſtro qualicunque labore poterit quiſque omnia illa facile intelligere,
atque enumerata incommoda euitare, vnum tantummodo à Lectore ma­
 thematicarum experte requiram, vt principia ſaltem illa, ſcilicet defini­
 tiones, poſtulata, & axiomata, quæ primò Euclideis libro præponuntur,
diligenter prius perlegat cum illa ſua perſpicuitate omnibus ſint obuia;
cætera ego explicanda recipio. Obiter etiam auctaria nonnulla partim
mathematica, partim naturalia inſerui, quæ ob nouitatem, ac pulchri­
 tudinem grata Lectori, atque iucunda fore exiſtimaui.
Sciat præterea Lector noſtrum inſtitutum eſſe loca hæc mathemati­
 ca, quatenus mathematica ſunt declarare, ſiue ea ſupplere, quæ ex ma­
 thematicis petenda eſſent: reliqua autem me tantum attingere, quan­
 tum harum rerum cum illis connexio poſtulat.
1
His omnibus placuit appendices opportune nonnullas addere, qua­
 rum prima de natura mathematicarum ſcientiarum: altera, qua omnes
demonſtrationes primi libri Euclidis breuiter ad Logicam normam ex­
 penduntur, vt pateat, quonam demonſtrationis genere cenſeri vnaquęque
debeat, & ex illis de cæteris iudicium fiat. Tandem in gratiam etiam
Mathematicorum tertiam appendicem appendi, qua omnia loca Ariſt.
Geometrica ad Euclidis ordinem referuntur; vnde & ipſi ad ſuas pręle­
 ctiones exornandas aliquid ſubinde depromere queant.
Fruere igitur amice Lector hoc noſtro qua liquali labore, quo ad ple­
 nam totius Ariſt. intelligentiam, cui adhuc mathematicarum ignoratio
obſtitit peruenire tandem poſſis: illudque; experiaris, quod optimus qui­
 dam Philoſophus, cum totum hunc librum perlegiſſet, effatus eſt, vide­
 licet, opus hoc Aristotelicæ expoſitionis complementum ad hanc vſque
diem deſideratum iure ac meritò nuncupari poſſe.
Illud demum tanquam parergon addam, quod ego his elucubran­
 dis experientia didici, ad veram ſcilicet, ac perfectam to­
 tius Ariſtotelis intelligentiam linguæ in primis
græcæ, necnon mathematicarum om­
 nium diſciplinarum haud medio­
 crem cognitionem ne­
 ceſſariam eſſe.
Vale.
1
Pręcipua quędam, aut noua, aut reſtaurata,
quæ obiter pertractantur.
1 De reſolutione. numero marginali. 4 2 De figuris vacuum replentibus, vbi Aristotelis, & expo-ſitorum erratum aperitur. num. 121 Inibi, Apum mirabilis quædam in cellis ſuis hexagonis constituendis induſtria detegitur. num. 120 3 De ijs, quæ aquæ inſident, vnà cum noua demonstratione problema-tis illius Archimedis, quo metallorum mixtionem indiſſoluta Co-rona, explorauit. in additione. ante num. 124 4 De Cometa, recentiorum ſententia. num. 136 5 De altitudine montis Caucaſi. 148 6 De Terræ rotunditate, ac mundi duratione. 151 7 De Iride. in additione. 181 8 Scytala quid. 250 9 Securis antiqua quæ, & qua ratione fieret. 258 10 Statera antiqua quæ, 259 11 De Aeſtu Maris. 272 12 Araneorum induſtria nuper patefacta: vbi Democritus contra Ariſt. defenditur. 293 13 De Lucis figuratione, & rerum ſimulacris in obſcuro loco. 345 14 De Pupilla oculi. 408 15 De Mathematicarum natura. propè finem operis. 16 Clarorum Mathematicorum Chronologia, in fine operis.
1
PRIMVS INDEX LOCORVM ARIST.
Quæ in hoc opere explicantur, iuxta ordine librorum
ipſius ex vulgata editione Lugdunenſi.
In Prædicamentis.
Capite s. de Relatione, vbi de Quadratura circuli.
Cap. de Priori, vbi de Principijs Mathematicarum,
Cap. de Motu, vbi de Gnomone.
In Primo Priorum Reſolutoriorum.
Ad titulum libri de Reſolutione.
Cap. 23. ſect 1. libri 1. de Incommenſurabilibus.
Cap. 24. ſecti 1. lib. 1. de Deſcriptionibus.
Cap. 2. ſect 2. lib. 1. de Deſcriptionibus.
Cap. 3. ſecti 2. lib. 1. de Incommenſurabili.
Cap. 1. ſecti 3. lib. 1. de eo, quod est, omnis triangulus habet tres angulos æquales
æquales duobus rectis: Aequalitas Geometrica, quæ.
Cap. eodem, de exemplis, quibus vtuntur Geometræ.
In ſecundo Priorum Reſol.Cap. 21. de lineis Paralellis, ſeu Coalternis.
Cap. eodem. de Paralellis, & de triangulo.
Cap. 26. Quod omnis triangulus habet tres, & c.
Cap. 31. de Abductione.
Cap. codem, de circuli Quadratura, ſecundum Hippocratem Chium.
In primo Poſteriorum.
Textu primo, De Præcognitis Mathematicarum.
T. 2. Omnis triangulus habet tres, & c.
T. 5. De Diametro incommenſurabili. Item De Mathematicarum Principijs.
T. eodem, De Indiuiſibilitate vnitatis.
T. 9. De Puncto, & linea. Item de recto, & circulari. Item de numero pari, impari;
primo, & compoſito; æquilatero, & altera parte longiore.
T. 11. Lineæ punctum inest per ſe, & c.
T. 13. De Parallelis. De Iſoſcele. De Alterna Proportione,
Item quod omnis triangulus habet tres, & c.
T. 14. De ijſdem cum præcedentibus.
T. 20. Magnitudines euadunt numeri. Item, quod non duo cubi cubus. Item de
Mathematicis ſubalternatis.
T. 23. Quadratura circuli ſecundum Bryſonem. Item perſectam illam eſſe Demon­
 ſtrationem, qua Geometræ oſtendunt, quod Omnis triangulus habet tres, & c.
Perſpectiuam, & Mechanicam ſubalternari Geometriæ, Muſicam, Arithmeticæ.
T. 24. De numero pari, impari, quadrangulo, cubo. In Geometria quid irrationale,
refrangi, concurrere. Quid Astronomia conſideret.
T. 25. Geometram non mentiri in ſuis exemplis.
T. 28. De Parallelis.
1
T. 29. Cur in Mathematicis non ſit Paralogiſmus. Item quid multiplicata propor­
 tio. Quid Cæneus dixerit. Cur Affectiones Mathematicorũ maximè conuertantur.
T. 30. De Lunæ ſphæricitate. Quid ſtereometria. & De ſubalternatione, &c. & Ma­
 thematicorum eſt ſcire Propter quid: ſenſitiuorum verò ſcire Quod.
T. 37. Iſoſceles, & Scalenum habere tres æquales, &c.
T. 38. Quid Mina, quid Dieſis.
T. 39. Habere tres angulos æquales, &c. Item, quod omnis figura habet ſuos angu­
 los externos æquales quatuor tantum rectis.
T. 43. Triangulum tres æquales, &c. De Eclypſi.
De combuſtione per refractionem ex ſphæra vitrea. De principijs ſcientiarum.
T. 44. Diameter incommenſurabilis.
In 2. Poſteriorum.
T. 1. Aequalitas, & inæqualitas. Terram eſſe in medio mundi ab Aſtronomis per­
 fectè demonſtratur. Item Quid conſonantia.
T. 2. Omnis triangulus habet tres, &c. Item de Definitionibus Mathematicarum.
T. 7. Geometra, quædam accipit, quædam demonſtrat.
T. 11. Angulum in ſemicirculo rectum eſſe probari à Geometra per cauſam materia­
 lem. Zabarella correctus.
T. 24. Echo, Imago è ſpeculo, Iris.
T. 25. Permutatim proportionale quid; exemplum in triangulis.
In primo lib. Topicorum.
Cap. 13. Diameter est incommenſurabilis. Vox acuta velox, cur. &c. Colores in
Muſica, qui. tria genera veteris Muſicæ.
In 4. libro.
Cap. 1. loco 1. lineæ inſecabiles.
In 6. libro.
Cap. 2. loco 32. Definitio lineæ.
In 8. libro.
Cap. 2. loco 41. Vſus Definitionum in Mathematicis.
Cap. 4. loco 86. Elementa geometrica: Numeri capitales.
In Elenchorum lib. 1.
Cap. 10. Quid Pſeudographia. Quadratura rurſus Hippocratis, & Bryſonis. Mathe­
 maticæ non contentioſæ. Quadratio Antiphontis.
Ex 1. Phyſic.
T. 11. De Quadraturis circuli Hippocratis, & Antiphontis.
Ex 2. Phyſic.
T. 20. Quatenus Perſpectiuus conſideret lineam.
T. 28. Quid conſonantia Diapaſon.
T. 68. Mathematicas Demonſtrationes habere cauſam, quæ reducitur ad defini­
tionem.
T. 8. De neceſſario, quod eſt in Mathematicis. & omnis triangulus habet tres an­
 gulos, &c.
Ex 3. Phyſic.
T. 76. Quinam numeri dicantur Gnomones.
T. 31. Quonam infinito vtantur Mathematici.
T. 71. De infinito Mathematica.
1
Ex 4. Phyſic.
T. 120. De commenſurab. & incommenſ.
Ex 5. Phyſic.
T. 6. De chordis, graui, acuta; media, & vltima.
Ex 8. Phyſic.
T. 15. Omnis triangulus habet tres æquales, &c.
Ex 1. de Cœlo.
T. 33. De minimo indiuiſibili.
T. 36. Ratione vtitur lineari; vt probet mundum eſſe finitum.
T. 48. Commenſurab. & incommenſurab. quid.
T. 119. Omnis triangulus habet tres, &c. Item de commenſurabili.
Ex 2. de Cœlo.
T. 24. Plato ex planis ſolida componebat, quì.
T. 25. Ordo figurarum planarum.
T. 31. Aquæ ſuperficiem eſſe ſphæricam.
T. 46. Maiorem circulum velocius moueri. Recentiorum obſeruationes.
T. 57. De ordine Cœlorum ex ſententia Aſtronomorum.
T. 59. De rotunditate Lunæ, bis.
T. 107. Centrum duplex grauit: & molis. Qua ratione grauia ad mundi centrum
aptarentur.
T. 109. Terram eſſe rotundam. alio item modo.
T. 110. Terram eſſe paruam reſpectu Cœli.
T. 111. Mare occidentale coniungi indico.
T. 112. De quantitate Terræ.
Ex 3. de Cœlo.
T. 40. Vt componatur ſphæra.
T. 66. Omne corpus diuiſibile.
T. 66. Quænam planarum figurarum totum ſpatium repleant. Hinc de admirabili
Apum ingenio.
T. eodem. Num plures Pyramides locum replere valeant, vbi Ariſtoteles, & omnes
expoſitores erraſſe oſtenduntur.
T. 71. Terram eſſe cubum, cur dictum ſit.
Ex 4. de Cœlo.
T. 33. Extare centrum Mundi, quò grauia tendunt, à quo leuia abeant.
T. 44. & ſeque Cur quædam grauiora quàm aqua, ſupernatent.
Ex 2. de Generatione, & Corruptione.
Tex. 56. Cur Planetæ duobus motibus moueri dicantur.
Ex 1. Meteororum.
Summa prima cap. 3. De magnitudine Terræ ad aſtra, & ſolem collata.
Cap. eodem. De magnitudine Aſtrorum.
Cap. 4. De ordine Luminarium Solis, & Lunæ.
Summa 2. cap. 3. de Mercurij stella. Item de Cometa: eſſe in Cœlo.
Cap. 5. De Magnitudine Solis, & de vmbra Terræ.
Cap. 5. De Glaxia.
Cap. 6. Sententia Ariſtotelis de Glaxia, partim defenditur: vera, deinde
aperitur.
1
Summa 4. cap 1. De Monte Parnaſſo, dubia. Mare extraneum, quod. Errata quæ­
 dam veterum Geographorum, & Ariſt. corriguntur. Altitudo montis Caucaſi.
Cap. 2. De permutatione Aquarum, & continentis. Noua obſeruatio de rotundi­
 tate Terræ, atque Mundi duratione.
Ex 2. Meteororum.
Summa 1. cap. 1. De Mari rubro.
Summa 2. cap. 2. De ortu stellarum fixarum: Item de occaſu earumdem.
Cap. eodem, De Canicula. De Zonis temperatis. Corona Ariadnæ. Zonam torridam
falsò putabant inhoſpitalem. cur habitabilis.
Cap. 3. De Ventorum ſitu.
Ex 3. Meteor.
Summa 2. cap. 2. De Halone, ſeu Area, ſeu Corona, Mathematica demonſtratio.
Cap. 4. De Iridis figura Mathematica demonſtratio, ſed deficiens. Noua de eadem
tractatio.
Cap. 5. De Parelio. Rationes Ariſtotelis refelluntur.
Ex 1. De Anima.
Tex. 11. Quid rectum, quid obliquum. & omnis triangulus habet tres, &c.
T. 13. Sphæra planum tangit in puncto.
Ex 2. De Anima.
T. 12. Definitionem formalem, & cauſalem explicat exemplo Quadrationis Geo­
metricæ.
T. 86. Acutum, & Graue, vt differant.
T. 159. De Solis magnitudine ad terram.
Ex 3. De Anima.
T. 21. Incommenſurabile.
T. 25. Indiuiſibilia eſſe priuationes.
T. 32. Permutata proportio.
Ex lib. De Senſu.
Capite 6. Dieſis.
Cap. 8. Nete. Diapaſon. Diapenſe.
Ex lib. De Memoria, & Rem.
Cap. 1. Omnis triangulus habet tres, &c.
Cap. 3. Mathemata facile reminiſcibilia.
Ex lib. De Somnijs.
Cap. 2. Terra, cur nauigantibus moueri videatur.
Cap. 3. Cur Oculus digito dimotus res geminatas videat.
Ex 1. Methaphyſ.
Cap. 1. Initium Mathematicarum ab Aegyptiorum Sacerdotibus. Item, Automata,
quæ ſolstitia. Diameter incommenſ.
Summa 2. cap. 3. Pythagorei Mathematicas cæteris præferebant.
T. 47. Geometria habet ſuas præcognitiones.
Ex 2. Methaphyſ.
T. 14. Leges apud Muſicos quid.
Ex 3. Methaphyſ.
Tex. Mathematicas puras carere cauſis efficiente, & finali. Ariſtippus, vt Mathe­
 maticas ſugillaret. Tetragoniſmus est inuentio mediæ.
1
Tex. 8. Geodæſia quid.
Ex 4. Methaphyſ.
T. 4. Quæ ſint primæ, & quæ ſecundæ inter Mathematicas.
T. 28. Diameter, commenſurabilis.
Ex 5. Methaphyſ.
T. 2. Exemplum cauſæ formalis ex Diapaſon. Quæ ſint proportiones Muſicales.
T. 3. Quæ ſit Materia in Mathematicis.
T. 4. Quidnam ſint elementa apud Geometras.
T. 12. Dieſis.
T. 17. Diameter incommenſurab. Quid potentia vnius lineæ.
T. 34. Diameter incommenſurabilis.
Ex 6. Methaphyſ.
T. 1. Principia, elementa, & cauſæ in Mathem.
T. 8. Diameter. commenſurab.
T. 20. Deſcriptiones. Omnis triangulus habet tres, &c. Cur Angulus in ſemicir­
 culo rectus.
T. 22. Omnis triangulus habet tres, &c.
Ex 10. Methaphyſ.
T. 4. Motum diurnum menſuram reliquorum. Dieſis.
T. 11. Similes figuræ quæ. Diuerſum in Math. quid.
Ex 11. Methaphyſ.
Cap. 2. Ortus punctorum, linearum, ſuperficierum.
Ex 12. Methaphyſ.
T. 44. Peculiariſſimam Philoſophiam, Mathematicorum videlicet, Aſtronomiam
pluralitatem Cœlorum docere.
T. 45. Numerus orbium cœleſtium ſecundum Eudoxum.
T. 46. Itidem ex Eudoxo.
T. 47. Orbium cœleſtium numerus, & fabrica ex Calippo.
Ex 13. Methaphyſ.
Cap. 3. Qua ratione Mathematici tractant de Bono.
In Mechanicas Quæſtiones.
Cap. 1. Quæ ſit Mechanica facultas.
Cap. 2. De Admirandis circuli.
Quæſtio 1. De Libra. cur maior, exactior. inibi Ariſt. lapſus.
Quæſt. 2. Duplex Libra. Piccolomineus reiectus.
Quæſt. 3. De Vecte.
Quæſt. 4. De Remo; Petri Nonÿ in Arist. correctio.
Quæſt. 5. De Temone Nauis.
Quæſt. 6. De Antenna.
Quæſt. 8 De Rota.
Quæſt. 9. De Trochlea, & Scytali. figura antiquæ ſcytalis.
Quæſt. 10. De Libra vacua.
Qùæſt. 11. De Curru, & ſcytala.
Quæſt. 13. De lugo. De Succula.
Quæſt. 15. De Vmbelicis.
Quæſt. 16. De ligni oblongi, ac breuis flexura.
1
Quæſt. 17. De Cuneo.
Quæſt. 18. De Trochlea; error Piccolominei.
Quæſt. 19. De Securi. Securis veteris figura, & conſtructio; vnà cum affectione
eius mirabili.
Quæſt. 20. De Statera. Veteris stateræ figura restaurata.
Quæſt. 21. De Dentiforcipe.
Quæſt. 22. De Nucifrago.
Quæſt. 23. De Motibus in Rhombo.
Quæſt. 24. De duobus circulis concentricis.
Quæſt. 25. De funibus lectulorum.
Quæſt. 26. De ligno humeris gestato.
Quæſt. 27. De ponderibus humero geſtatis.
Quæſt. 28. De Tollenone.
Quæſt. 29. De onere à duobus phalanga geſtato.
Quæſt. 30. De ſurgente à ſeſſione.
In libello De Mundo ad Alex.Cap. 2. Ordo Planetarum.
Cap. 3. De Cometis.
Cap. 5. De fluxu maris. noua de maris æſtu ſententia.
In libro De Admirandis audit.
Num. 8. De nouo orbe.
Nu. 100. De Iſtro, error Ariſt. & veterum Geographorum.
In libello De lineis inſecabilibus.
Primus locus. De commenſurabili, & incommenſurabili.
2. locus. De figuris incommenſ.
3. locus. Quæ linea rationalis, quæ irrationalis. Binomio, Apotome.
4. locus. De communi menſura.
5. locus. Lineæ rectæ motus in ſemicirculum.
6. locus. Circulorum æqualium ab inuicem motus.
7. locus. Multum Mathematicis demonſtrationibus tribuitur ab Ariſtotele.
8. locus. Si extarent indiuidua, omnes lineæ eſſent commenſ.
9. locus. Idem probat aliteŕ.
10. locus. Idem ex triangulo.
11. locus. Idem ex quadrato.
12. Ex diuiſione lineæ idem confirmatur.
13. Idem eodem ferè modo cum præcedenti.
14. A quadrato cuiuſuis lineæ.
15. Idem probat ex ſuperficie, & ex corpore.
16. Idem ex contactu circuli cum linea recta.
Ex lib. 9. Hiſtoriæ Animalium.
Cap. 39. error Ariſt. & noua obſeruatio de admiranda quadam Aranearum induſtria.
De Inceſſu Animal.
Cap. 7. qua ratione in greſſu fiat hypotenuſa. & ea quid ſit.
De Motu Animal.
Cap. 1. in flexuris animalium eſſe centrum, & circulum.
Cap. 3. Automata.
1
De Generatione Animal.
Lib. 2. cap. 1. Automata.
Lib. 2. cap. 4. Omnis triangulus habet tres, &c. Ibidem Diametrum eſſe incommen­
 ſurabilem coſtæ, habet cauſam, & demonſtrationem.
In Ethicis ad Nicom.
Lib. 1. cap. 7. Faber, & Geometra diuersè conſiderant angulum rectum.
Lib. 2. cap. 6. De Arithmetica proportione.
cap. 9. Centrum circuli reperire.
Lib. 3. cap. 3. Diameter, & latus incommenſurabilis: Item quid reſolutio Geome­
 trica: Quid deſignatio.
Lib. 5. cap. 3. Vnitarius numerus. Quid Proportionalitas. Eam in 4. terminis con­
 ſiſtere. Item quid Permutata proportio. Item quid Geometrica proportio. Propor­
 tio continuata, & diſiuncta quid.
cap. 6. Proportio Geometrica, & Arithmetica.
Lib. 6. cap. 5. Omnis triangulus, &c.
cap. 8. Principia Mathematica non pendere ab experientia.
Lib. 7. cap. 8. De principijs Mathem.
Ex 1. Magnorum Moralium.
Cap. 1. Numerus pariter par.
Cap. 2. Omnis triangulus habet, &c.
Cap. 10 Omnis triangulus habet, &c.
Cap. 16. Quadratum quatuor rectis æquales habere.
Cap. 30. Proportionale in quatuor terminis conſiſtit.
Ex 1. lib. Moralium Eudemiorum.
Cap. 5. Duplum inter multiplices rationes primum tenet locum.
Ex 1. lib. Mor. Eudemiorum.
Cap. Omnis triangulus habet tres, &c.
Cap. 10. Diametrum commenſ. eſſe. Circuli quadratio.
Cap. 12. Triangulus habet tres, &c.
Ex 7. lib. Mor. Eudemiorum.
Cap. 12. Diametralis oppoſitio.
Ex 3. lib. Politicorum.
Cap. 2. Modi Dorius, & Phrygius apud Muſicos, quì.
Ex 4. lib. Polit.
Cap. 3. Modus Doricus, & Phrygius.
Ex 5. lib. Polit.
Cap. 1. Aequitas Arithmetica, & quæ ſecundum dignitatem.
Ex 8. Polit.
Cap. 5. Muſica nuda, & cum melodia. Rithmus quid.
Harmonia lydia. Rithmus quid ſit dicetur in Problematibus.
Cap. 7. Harmoniæ, & Rithmi, vt in præcedenti.
Ex Problematibus.
Sectione 1. num. 3. De ortu ſyderum inerrantium: Succulæ, Hypades, Atlantides,
Virgiliæ, Pleiades. num. 17. De occaſu affixarum ſtellarum.
Sectione 15. num. 1. Diametri ethymon.
num. 2. Iterum Diametri ethymologia.
1
num. 3. Denarius numerus cur perfectus. eius dignitates. Petri Apponenſis deceptio.
4. De inæquali ſolis vmbrarum incremento.
5. Cur Solis illuminationes ſemper rotundæ, quamuis per anguloſa foramina ingre­
diantur.
6. Cur Luna ſemiplena videtur linea recta terminari? vbi de illuminatione Lunæ,
quæ experientia docetur.
7. Cur Sol, & Luna videantur plana?
8. De vmbris Solis orientis, occidentis, meridiantis.
9. Cur Lunæ, quàm Solis minores vmbræ?
10. Cur in defectu Solis etiam illuminationes ipſius defectiuæ ſunt? modus commodè
videndi eclypſim Solis.
Sect. 16. nu. 1. Cur baſes bullarum in aquis ſunt albæ?
3. Opplumbati tali.
4. De reſultu cadentium in terram.
5. Cur conus, & cylindrus diuersè moueantur.
6. De voluminum ſectione.
12. Idem cum præcedenti 3.
13. Idem cum 4 ſuperiori. reflexio radiorŭm pulchrè comparatur corporŭm reſultationi.
Ex ſectione 19. De Muſica.
num. 2. Lineæ duplæ quadratum quadruplum. Hoc loco ſequentium probl. cauſa,
præmittitur totius Muſicæ ortus breuis tractatio.
3. Vox tam in hypate, quam in nete cantando rumpitur.
4. Cur facilius hypate, quam nete canitur?
5. Cur ſuauius notam cantilenam audimus?
7. Cur veteres hypatem omittebant.
8. Cur grauis ſonum potest acutæ?
9. Cur cantus ad tibiam vnam, aut lyram ſuauior?
10. Teretizare, quid.
11. Vox deſinens acutior fit.
12. Grauior è fidibus cantilenam ſuſcipit.
13. In Diapaſon graue eſt acuti Antiphonum.
14. Cur Diapaſon vnica vox videtur. Punicum quid.
15. Leges Muſicæ, quæ. Genera, Diatonicum, Chromaticum, Encharmonium.
Tetrachorda quæ.
16. Antiphonum ſuauius est ſymphono, cur.
17. Cur ſola Diapaſon canitur. Magadis quid. Magadare.
18. De Antiphonis.
19. Cur Diapente, & Diabeſſacon non canunt in Antiphonis.
20. Meſe ſola diſſonante, totum deſſonat pſalterium.
21. Vocum grauium errores manifestiores, cur?
23. Cur nete duplo acutior, quam hypate?
24. Nete interpellata, hypate reſonare videtur.
25. Cur Meſe ſic appellata eſt.
27. Cur ſola audibilia mores obtinent. Rithmus quid.
28. Cur cantilenæ quædam leges decebantur?
30. De Harmonijs, ſeu Modis, ſeu Tonis priſcorum.
1
31. Vetustiores fuiſſe magis Melopæos.
32. De ipſius Diapaſon ethymo.
33. Cur aptè de acuto in graue, non è contra canitur?
34. Cur biſdiapente, aut biſdiateſſaron conſonantia non eſt.
35. Cur diapaſon omnium pulcherrima eſt conſonantia?
36. Meſe ſola diſſonante, tota perit harmonia.
37. Cur difficilius acutum canere, quam graue?
38. Cur Rythmo, & harmonij omnes gaudent?
39. Cur ſuauius eſt ſymphonum vniſono?
40. Cur ſolam Diapaſon magadari ſolent?
41. Idem cum 5.
42. Idem cum 34.
43. Idem cum 24. Iugum in lyra veteri quodnam fuerit, vna cum figura vete­
 ris lyræ.
44. Cur ſuauius ad tibiam, quam ad lyram cantatur?
45. Idem cum 25. ſuperiori.
46. Idem cum 22.
47. Idem cum 26.
48. Idem cum 7. quid Grauidenſum.
49. Idem cum 30. In choris tragœdiarum, nec ſubdorius, nec ſubphrygius modus
erat in vſu.
50. Cur grauior Melodia eſt etiam mollior?
51. Dolia duo æqualia, quorum alterum plenum ſit, alterum dimidium, Diapaſon
reſonant.
Ex ſectione 23.
De immerſione Nauigij.
Ex ſectione 30.
6. Omnis triangulus habet tres æquales, &c.
Ex ſectione 31.
7. Cur o culos, abſque vlla vi, ab inuicem diſſociari nequimus?
Cur duobus oculis res vna tantum videatur. Cur aliquando rei viſæ gemina­
 tio accidat.
11. Cur diſtractis oculis res vna duæ apparent?
17. Oculo in latera contorto, cur non fit geminatio.
21. Cur ſolam rectitudinem vnico oculo inſpiciamus.
Auctarium De Oculi Pupilla.
Oculi fabrica præmittitur, colores oculi vbi ſint: vnde qui noctu vident.
Primo. De pupillæ voce.
2. Cur in oculo appareat.
3. Cur non in tota cornea.
4. Pupillæ definitio.
5. Cur nigra in omnibus hominibus.
6. Cur in Sole euaneſcat.
7. Quantitas ipſius num videatur?
8. Cur modo maior, modo minor videatur, & cuiſdam lepida deceptio.
1
Additamentum de natura Mathematicarum diſciplinarum.
Primo. De ſubiecto Mathem. ſeu de materia intelligibili: vbi oſtenduntur definitio­
 nes Mathematicæ eſſe perfectiſſimæ.
2. Demonſtrationes Mathematicas eſſe perfectiſſimas.
3. Obiectiones: atque etiam calumniæ diluuntur.
4. De præstantia cognitionis, quam Geometria, & Arithmetica gignunt.
5. De 4. Mathematicis medijs: Aſtronomia, Perſpectiua, Muſica, Mechanica.
6. Appendix de reſolutione omnium demonstrationum primi Euclidis.
7. Clarorum Mathematicorum Chronicon.
Finis Primi Indicis.
1
ALTER INDEX
Quo loca Aristotelis Geometrica, in hoc Opere explicata,
ad Euclidem, ſecundum propoſitionum ordinem refe­
 runtur; vt Mathematicarum Profeſſores habeant,
vnde ſuas prælectiones aliquando valeant locupletare.
In Primo Elem. Euclidis.
Ad verbum ipſum (Elementum Euclidis) vide infra tex. 4. quinti
Methaph.
Ad principia primi elementorum, vide infra tex. 5. pri. Poſter.
Ad definitionem 10. pri. pro angulo recto, vide 30. quæſt. Mecha­
 nic. & cap. 7. lib. 1. Eth.
Ad axioma 10. quamuis Ariſtoteles nihil hac de re dicat; ſcias tamen velim
hoc vno axiomate quęſtionem quandam inter Philoſophos valdè difficilem,
facile diſſolui. ea eſt, vtrum marmor, aut adamas, aliudue quidpiam infle­
 xibile ſucceſſiuè findi, & aperiri poſſit. qui enim aiunt, ſic refelluntur, quia
nimirum ſequeretur, duas rectas lineas habere ſegmentum commune: in­
 telligantur enim duæ lineæ, vna in vna ſuperficie, altera vero in altera, quæ
antequam incipiat apertio, congruant; Quoniam igitur tota illa apertio
non fit in inſtanti, ſed ſucceſſiuè, facta iam aliqua apertionis parte conſi­
 derentur prædictæ lineæ, erit igitur earum pars aliqua ab inuicem ſepara­
 ta, altera verò adhuc alteri congruens, ergo ſequetur, duas lineas habere
ſegmentum commune, quod eſt impoſſibile, quia contra 10. axioma.
Ad Calcem axiomatum primi accommodetur tex. 1. primi Poſter.
Ad primam primi, poſt ipſius explicationem, commodè declarari poteſt, cur
Ariſt. Demonſtrationes Geometricas appellet Deſcriptiones, & Deſigna­
 tiones, vide cap. de Priori, & cap. 24. ſecti primi, libri primi Priorum, &
tex. 4. quinti Methaph. & tex. 20. ſexti Methaph. & cap. 3. lib. 3. Ethic.
Item ad primam primi, vide tex. 7. ſecundi Poſter. loco 2.
Ad 5. primi, vide cap. 24. ſecti 1 lib. 1. Priorum.
Ad 21. primi, vide tex. 20. primi Poſter. loco 2.
Ad 22. primi, vide locum 10. de lineis inſecabilibus.
Ad 28. primi, vide cap. 21. & cap. 22. ſecundi Priorum, & tex. 13. primi Poſter.
Ad 32. primi, vide cap. 1. ſecti 3. lib. 1. Prior. & cap. 26. ſecundi Priorum, & tex. 2.
primi Poſter. loco 4. & tex. 23. primi Poſter. vbi ait hanc eſſe potiſſimam
demonſtrationem. & tex. 37. primi Poſter. & tex. 39. primi Poſter. Ibidem
loco 4. & tex. 43. primi Poſter. & tex. 2. ſecundi Poſter. bis. & tex. 89. ſe­
 cundi Phyſ. & tex. 15. octaui Phyſ. & tex. 119. primi de Cœlo. & tex. 25.
ſecundi de Cœlo. tex 11. primi de Anima. & cap. 1. de mem. & reminiſc.
& tex. 35. quinti Methaphyſ. & tex. 20. ſexti Methaphyſ. & tex. 22. ſexti
Methaphyſ. & cap. 4. lib. 2. de Generat. animal. & cap. 5. lib. 6. Ethic. &
cap. 2. Magnorum Moral. & cap. 10. Mag. Moral. & cap. 16. Mag. Moral.
& cap. 7. ſecundi Eudem. & cap. 12. ſecundi Eudem. & problema 6.
1nis 30. tot Ariſtotelis loca illuſtrat vnica hæc Euclidis Demonſtratio.
Ad ſcholion præcedentis 32. primi, vide tex. 39. primi Poſter. loco 3. Item
tex. 25. ſecundi Poſter. loco vlt.
Ad 45. primi, vide locum 9. de lineis inſecabilibus.
Ad 46. primi, vide locum 11. de lineis inſecabilibus.
Ad 47. primi, vide locum 11. de lineis inſecab. Item locum 14. de ijſdem.
In ſecundo Elem.
Ad 2. definitionem 2. Gnomonis, vide cap. de Motu in Poſtprædicam. Qua­
 dratum augetur Gnomone circumpoſito.
Ad 14. propoſ. 2. opportunum eſt Auditores de Quadratura circuli erudire,
vide igitur cap. de relatione in prædicam. & cap. 31. ſecundi Priorum, &
tex. 23. primi Poſter. & finem 1. cap. primi Elenchorum. lege primam Ar­
 chimedis de dimenſione circuli.
In tertio Elem.
Ad primam 3. vide cap. 9. lib. 2. Ethycorum.
Ad 2. tertij, vide tex. 13. lib. 1. de Anima. & locum 16. de lineis inſecab.
Ad 31. tertij, vide tex. 11. ſecundi Poſter. & tex. 20. ſexti Methaph. loco 2.
In quarto.
Ad commentarium P. Clauij extremum lib. 4. elementorum. lege tex. 66.
tertij de Cœlo.
In quinto.
Ad 4. definitionem 5. vide cap. 3. lib. 2. Ethyc.
Ad 9. definitionem 5. vide cap. 3. lib. 5. Ethyc. loco 4. & cap. 31. primi Ma­
 gnorum Moralium.
Ad 10. definitionem 5. vide tex. 29. primi Poſter. loco 2.
Ad 12. definitionem 5. vide tex. 13. primi Poſter. loco 3. & tex. 25. ſecundi
Poſter. & tex. 32. tertij de Anima. & cap. 3. lib. 5. Ethyc. loco 4.
Ad 16. propoſ. 5. vide tex. 25. ſecundi Poſter. loco 2. ex hac Euclidis demon­
 ſtratione patet, vitioſam eſſe illam Auerrois argumentationem, 8. Phyſ.
comm. 15. ſcilicet.
Vt ſe habet voluntas antiqua ad antiquum effectum,
Ita ſe habet etiam voluntas noua ad effectum nouum:
Ergo permutando, ita ſe habebit voluntas antiqua ad effectum nouum.
Quemadmodum voluntas noua ad effectum antiquum.
Non enim in permutando confert antecedentem ad antecedentem, & con­
 ſequentem ad conſequentem, vt par erat, ſed confert antecedentem ad
conſequentem, quod non licet.
In ſexto.
Ad 2. propoſit. 6. vide cap. 2. lib. 8. Topicorum loco 41.
Ad 13. ſexti, vide tex. 12. ſecundi de Anima, & tex. 3. tertij Methaphyſ.In ſeptimo.
Ad primam definitionem 7. vide tex. 5. primi Poſter.
Ad 8. definitionem 7. vide cap. 1. lib. 1. Magnorum Moral.
In octauo.
Ad 4. propoſ. 9. vide tex. 20. primi Poſter. loco 2.
Ad 8. propoſ. 9. vide problem. 3. ſectionis 15. loco 4.
1
In decimo.
Ad primam definitionem 10. vide cap. 23. ſecti 1. primi Priorum. & tex. 48.
primi de Cœlo.
Ad 118. decimi, vide cap. 23. ſecti 1. libri 1. Priorum. & ſecto 2. cap. 23. li­
 bri 1. Priorum. & cap. 22. lib. 2. Priorum. & tex. 5. primi Poſter. & tex. 44.
primi Poſter. & cap. 15. primi Poſter. & tex. 119. primi de Cœlo. & tex.
120. quarti Phyſ. & tex. 21. tertij de Anima. & cap. 1. primi Methaphyſ.
& tex. 28. quarti Met. & tex. 34. quinti Met. & tex. 8. ſexti Met. & cap. 4.
lib. 2. de Generat. animal. & lib. 3. cap. 3. Ethyc. & cap. 10. ſecundi Eu­
 dem. tot Ariſt. loca ab hac vna Euclidis Demonſtratione illuſtrantur.
In decimotertio.
Ad primam propoſ. 13. ſecundum editionem Commandini, aut Zamberti.
vide initio Priorum, in verbum (Reſolutio)
Atque hæc ſunt, quæ ex Elementorum opere Ariſtoteles paſſim vſurpauit,
quæque nos infra explicabimus.
Finis Secundi Indicis.
Quæ verò ad alias Mathematicas, Muſicam ſcilicet, Perſpe­
 ctiuam, Mechanicam, & Aſtronomiam pertinens, facilè
poterunt ex primo Indice ad vnamquamque earum ſeor­
 ſum cum libuerit, ſecerni.
1
TERTIVS INDEX ALPHABETICVS,
cuius numeri reſpondent numeris marginalibus Operis.
A Abductio quid. eius inuentor. numero 16. marginali. Acuti denſum quid. 399 Aequalitas mathematica, quæ. 10 Aeſtus maris natura. 272 Aequitas arithmetica, & æquitas ſecundum dignitatem. 330 Agathirſi populi. 382 Angulus quid. vt nominari debeat 10. angulum in ſemicirculo eſſe rectum oſtendi per cauſam materialem. 71 Angulus rectus variè conſideratur à Geometra, & à Fabro. 301 Antiphontis quadratura circuli. 13 Antennæ nauis problema. 248 Antiphonæ voces. 358. 363. 370. 371. 373 Apum mirabilis induſtria. 120 Apotome linea, quæ. 279 Aquæ ſuperficiem eſſe ſphæricam ratione mathematica. 107 Arithmetica proportio. 302 Aranei industria patefacta, qua ad res inacaſſas tranſeat. 293 filum emittit ex ſeceſſu contra Ariſtotelem pro Democrito. ibidem. Astronomiæ principia duo, Apparentia, & Obſeruatio. 8 Automata, quæ. 199. 298. a. b. B Baſis ballarum in aqua, cur ſit alba, & cur non faciat vmbram. 351 Binomium linea, quæ. 279 Braſilienſes, qua ratione numerare ſoliti. 340 Bryſonis quadratura circuli. 35 C Calippi opinio de numero Cœlorum. 236 Cantilenam notam ſuauius, quam ignotam audimus. 362 Centrum circuli reperire. 303. Centrum mundi mathematicè oſtenditur. 123. Cen-trum grauitatis, & molis. 38. 112 Chordarum veterum nomina. 359 Circuli quadratura quid. an poſſibilis. num. 1. Circulorum concentricorum maiores velocius moueri. 108. Circuli admiranda. 239. De circulorum concentricorum volutatione. 263 Coalternæ lineæ, quæ. 12. 14. 44 Cœlorum ordinem petendum ex Aſtronomis 109. item numerum 233 Colores in muſica 78. Colores oculorum vnde. 408 Cometarum tractatiuncula ex recentioribus, qui eas in Cœlo collocant. 136. eſſe ſu-pra aerem longiſſimo ſaltem interuallo oſtenditur mathematicè. 129. in additione. Conſonantia, quid. 64. quibus numeris conſonantiæ conſtent. 210 Conus, & cylindrus, cur variè mouentur. 355
1 Cubus numerus. duo cubi cubus, quid ſignificet. 33 Curru problema. 252 Cunei problema. 256 Cylindri, & coni motus comparatio problematica. 335 D Definitiones mathematicæ eſſe eſſentiales, & perfeſſimas. cap. 1. de nat. Math. definitionum vſus in Mathematicis. 81 Deſcriptio, & deſcribere, quid. 2. 6. 7. 205 Deſignatio pro demonſtratione mathematica. 305 Demonſtrationis perfectæ exemplum. 36. demonſtrationum mathematicarum præ-ſtantia. cap. 4. de nat. Mathem. Dentiforcipis problema. 260 Denarij numeri perfectio. 339. cur vſque ad denariŭ omnes gentes numerent. 339. 8. &c. Diameter incommenſurabilis costæ. 5. diametri etymon. 337 Diapaſon quid. 90. 350. omnium conſonantiarum pulcherrima. 388 Diapaſon diapente. 359 Diapente conſonantia, quæ. 359 Diateſſaron conſonantia, quæ. 359 Diſd apaſon conſonantia, quæ. 359 Dieſis, quid. 53. 226 Dolia duo, quomodo aliquando Diapaſon reſonent. 402 Duplum inter multiplicia primum eſt. 322 E Elementa mundi non componi ex figuris geometricis. 120 Elementa geometrica, quæ. 82. 213 Eudoxi opinio de numero Cœlorum. 234 Exempla mathematicorum, qualia. 11. non eſſe falſa. 43 Exemplorum veritas, & conformitas, quatenus requirantur. 36 F Figuram omnem planam habere ſuos angulos externos quotcŭmque æquales quatuor rectis angulis, quæ eſt mira proprietas. 59 Figuræ ſimiles, quæ. 70 Figurarum planarum ordo 88. quæ nam totum locum repleant. 96 Figurarum ſolidarum, quænam totum locum repleant: vbi Ariſt. & omnium expoſi-torum ratum aperitur. 121 Figuratio lucis. 345 Figurationes pro demonſtrationibus Mathem. 194 Filum Araneorum, ex qua parte corporis exeat, & ex qua materia. 293 Fluxus, ac refluxus maris. 272 Funium lectorum problema. 264 G Galaxia quid. 131. Ariſtoteles defenſus. 132. 140 Galibei recens obſeruatio. 141 Generatria Muſicæ veteris. 78. Fusè explicantur. 371 Geodæſia. 207 Geographiæ veteris plura errata, 145. 146. 147. 148. 149
1 Gnomon, quid. 3. & 331 Gnomones numeri. 93 Graue qua ratione ad centrum mundi deſcenderet, eiqué aptaretur. 112 Grauidenſum, quid. 399 H Halonis demonſtratio. 161 Hippocratis chij quadratura circuli. 17. eiuſdem quadratura lunulæ optima. 17 Hyades, Atlantides, & Succulæ. 335 Hypate, quid. 360 Hypotenuſa in inceſſu animalium. 294 I Illuminationes Solis deficientis per foramina tranſeuntes, eur ſint defectiuæ. 350 modus videndi eclypſim facilis, ac iucundus. ibidem. Inceſſus animalium lineis explicatur. 294. & ſeqque Incommenſurabilia, quæ, & eorum inuentores. 5 Indiuiſibilia mathematica eſſe priuationes. 189. oriri ex diuiſione. 231. eorum duo genera. 276 Infinito, qua ratione vtantur Mathematici. 94. 96 Iridis demonſtratio ſecundum Ariſt. 163. & ſequentibus. Item noua de Iride tra-ctatio. ibidem in additione. Iugum in lyra quid, & eius figura. 396 L Leges muſicales. 204 Libra maior, cur exactior. initio Mechanicarum quæſt. Linea, quæ terminus est illuminationis in Luna, cur modo recta, modo curua vi-deatur. 346 Lineæ rationales, & irrationales, &c. 279 Lumen oculorum noctu videntium, in qua oculi parte manet. in addit. de Pupilla. Lumen Solis, cur ſit circulare, quamuis per foramina anguloſa ingrediatur. 345 Luna plana, cur appareat, cum ſit ſphærica. 347. cur in eadem altitudine cum Sole ſupra horizontem, maiorem vmbram efficiat. 349 Lunam eſſe ſphæricam. 48. illuminari ſphæricè quid: ibidem & de illuminatione Lu-næ. iterum eſſe ſphæricam ab eclypſibus. 111 Luminarium Solis, & Lunæ ordo. 133 Lychanos, quid. 360 Lyræ veteris figura. 396 M Magalis, ſeu magas, & magadiſſare. 373. 393 Materia intelligibilis. fusè verò. explicatur in tract. de nat. Mathem. Mathematicæ mediæ, ſeu ſubalternatæ habent propter quid ſuarum demonſiratio-nem. 50 Mathematici negant reperiri quantitatem indiuiſibilem, ſeu minimam. 100 Mathematicæ non ſunt contentioſæ. 83. ostendunt per cauſam formalcm. 91 Mathematicas inuenerunt Aegyptij Sacerdotes. 198 Mathematicæ oſtendunt per cauſam materialem, & formalem. 205. earum vtilitas. ibidem. De earum natura. in proprio tractatu.
1 Mathematicæ maximè tractant de Bono, & Pulcro, qua ratione. 237 Mechanica facultas, quæ. 238 Melodia. 331 Melopeia quid. 384 Medium Demonstrationum Mathem. in earum tractatu. Meſe quid. 360 Mina in menſuris quid. 53 Monochordium. 359 Motus nauigij, & remi comparatio. 247. Pulchra P. Nonij in id annotatio con-tra Ariſt. Modi muſici. 383 Modorum antiquorum ordo, numerus, &c. 383 Motus primi mobilis, ſeu diurnus eſt menſura cœlestium motuum. 225 Muſici recentiores reprehenſi. 331. & in fine Chronologiæ. Muſicæ totius elementa. 359 Muſica nuda, & cum melodia. 331 N Nete quid. 360 Nucifragi inſtrumenti problema. 261 Numerus, par, impar, primus, & compoſitus, quadratus, ſeu æquilaterus, altera parte longior. 24. Cubus num. 33 Numeri capitales, qui. 82 Numerum parem eſſe cauſam infiniti: imparem verò finiti. 93 Numerorum parium alij ſunt primi, alij non. 224 Numerus vnitarius. 307 O Oculi cur moueantur conſimiliter. 405 Oculi anathome. 408. &c. Omophonæ voces. 372. 392 Oppoſitio diametralis eſt omnium maxima. 327 Ortus, & occaſus ſyderum, quid, & quotuplex: vbide Orione, & Canicula. 153 P Paranete quæ voces, aut chordæ. 360 Parameſe Parhypate Parelia, cur appareant nondum ſatis explicari. 182 Parnaſſus mons, vbinam ſit. Item paropameſſus. 145 Partes quantitatis ſunt materia illius. 211 Perſpectiuus, quatenus conſideret lineam. 89 Paſſiones Mathematicorum cum ſubiecto conuertuntur. 47 Pila chriſtallina, vel vitrea, qua ratione comburat. 60 Planetæ, qua ratione moueantur duplici motu. 130 Plato ſolida ex planis componebat. 105. cur Elementis figuras Geometricas attri-bueret. 122 Planetarum ordo. 271 Principia Mathematicorum. 2. 118
1 Principia ſcientiarum duplicia. Ex quibus, & circa quod. 61 Principia Mathematica non pendere ab experientia. 315 Proportio alterna. 28. multiplicata, ſeu multiplex ſecundum Cæneum. 46 Pſeudographia quid. 83 Proportionalitas quid. 308 Proportio continuata, & diſiuncta quid. 310. alterna, ſeu permutata quid. inibi. Proportio Geometrica. 311. Arithmetica. 302 Proportio ſecundum dignitatem, eſt Geometrica. 330 Problemata muſicalia varia à 360. vſque ad finem ſectionis 19. problematum. Punicum, muſicum inſtrumentum. 370 Pupillæ oculi etymon., & natura. 408. cur in oculo noſtro imago pupillæ appareat. problem. 2. ibidem. Cur nigra in omnibus hominibus. probl. 5. Cur in Sole euaneſcat. probl. 6. Cur modo maior, modo minor appareat. Pythagorici primi Mathematicis operam dedere, easqué ceteris ſcientijs præponebat. 202 Q Qvadratura circuli. vide circulus. de quadratura figurarum rectangularum, & quadraturæ duplex definitio cauſalis, & formalis. 185 Quantitas an conſtet ex indiuiſibili. toto libello de lineis inſecabilibus argumentis mathematicis. R Remi problema. 245 Reſolutio logica, & mathematica, vt conueniant. 4. & 305 Reſultus cadentium in terram, quibus angulis fiat. 354 Rythmus fusè explicatur. 381 Rubrum mare duplex. 152 S Scythala quid, & eius figura 250. & 252 Securis problema, vbi de antiquæ ſecuris figura, & angulo pulchra demonſtran-tur. 258 Semitonium, quid. 360 Solem eſſe terra multo maiorem: probatur. 131 Sphæram planum tangit in puncto. demonſtratur. 184 Statera antiqua, quæ: eius figura, & problema. 259 Stereomatria, vt differat à Geometria. 49 Succula. 253 Symphonæ voces. 372. 392 Symphonia. 391 T Temonis nauis problema. 246 Terram eſſe rotundam ex eclypſi. 114. Item aliter. 115. eſſe reſpectu Cœli paruam valde. 115. eſſe cubum cur Plato voluerit. 122 Terræ quantitas. 115 Terram paulatim reduci ad pefféctam rotunditatem. 151 Tetragoniſmus. vide Quadratura.
1 Teretizare, quid. 366 Tetrachordon, quid. 386 Tollenonis problema. 267 Tonus muſicus, qui; vnde oriatur. 360 Trochleæ problemata. 249. 250. 251 Tunicæ oculi. 408. in tractatu de Pupilla. V Ventorum nomina, & ſitus. 160. a. Vectis quotuplex, & c. 244 Veteres canere ſolitos non ſolum in choris, ſed etiam in ſcenis. 371. 384. 400 Virgiliæ, Pleiades. 335 Viſæ res gemmantur diſtractis oculis. 406 Viſæ rei geminatio non fit altero oculo in latera torto, cur. 407 Viſus res viſas, cur non duplicet, etiam ſi duos oculos habeamus. 405 Vmbelici litoralis problema. 254 Vmbram terræ parum ſupra Lunam tranſcendere. 137 Vmbrarum incrementa, & decrementa, cur inæqualia. 344. 348 Viſus res geminat, ſi alter oculorum digito pellatur, cur. 197 Vocum muſicalium antiquæ appellationes. 360 Vox acuta velocior, grauis verò tarda, cur. 77 Voluminum ſectio modo rectam lineam, modo curuam refert, cur. 356 Vnitas, cur indiuiſibilis. 22 Z Zonas terræ, vt Arist. deſignet: & quæ ſecundum ipſum ſint habitabiles. 156 Zonam torridam quatuor reddunt habitabilem. 159
Finis Tertij Indicis.
1
Viſum eſt etiam opportunum Lectori fore, ea ſimul in vnum
loca colligere, in quibus Ariſtoteles mihi viſus eſt in Ma­
 thematicis ſcopum non attigiſſe, vt alij pręſertim Peripa­
 tetici facilius ea inuenire, atque de ijſdem iudicium ferre
poſſint.
121 Nvmero marginali: vbi ait plura Octaedra, ſeu Pyramides re-plere locum: in quo omnes pariter expoſitores lapſi ſunt. 124 Latitudinem figura, ait, cauſam eſſe ſupernatationis. & aquam reſiſtere ſimpliciter diuiſioni. 136 Cometas in ſuprema aeris regione collocat; cuius contrarium ibi line ari demonſtratione ostenditur. 147 Ait Tanaim, & Indum oriri ex monte Paropamiſſo. & c. 148 Ait, tertia parte noctis Caucaſi verticem illuminari à Sole. 149 Ait Danubium ex Pyreneo monte defluere. 150 Ait fluuium quendam non minorem Rhodano in Liguria abſorberi, & iterum egredi. 152 Ait Rubrum mare parum Atlantico Oceano commiſceri. 159 Zonam torridam inhabitabilem exiſtimat. 164 Putat Iridis angulos non poſſe vnum ſupra alterum collocari, ſed tantummodo in orbem. 182 Rationes, quas in Parelij dubitationibus affert, videntur inanes. 236 In ſubducendo cœleſtium orbium numero, memoria labitur. 243 Ait lineam O L, ſuperare lineam L R, quantitate P L, vt in figura. 245 Remum ad vectem primi generis reducit. 246 Temonem nauis reducit ad vectem primi generis. 247 In motu Remi collato cum motu Nauigij, à Nonio erroris manifestè arguitur. eodem modo in motu Temonis. 250 Ait maioribus trochleis, aut rotulis facilius onera ſubleuari. 256 Reducit cuneum ad vectem primi generis. 270 Cur res in vorticibus ad medium ferantur, veram cauſam aſsigna-re non videtur. 275 Ait Danubium altero ramo in Mediterraneum, altero in Pontum effluere. 293 Negat Araneum filum ab intrinſeco emittere, Democritum iniuria refellens. quamuis hoc vltimum ad Phyſicum pertineat. 403 Problem. 2. ſect. 2 3. non benè videtur aſsignare cauſam variæ im-merſionis nauigij.
1
[Empty page]
1
LOCA
MATHEMATICA
EX LIBRO
PRÆDICAMENTORVM
Per ordinem declarata.
1
Ex c. 3. De his, quæ ad aliquid. Porrò quemadmodum vnus angulus vni angulo æqualis eſt, ita
aliquando duo anguli ſunt vni angulo æquales, vt patet, ſi vnus angulus, v.g.
angulus B A C, vbi ait (Scientia verò ſi non ſit,
nihil probibet eſſe ſcibile, vt circuli quadratura, ſi eſt ſcibilis,
ſcientia quidem eius nondum eſt) Cum velit Ariſt. oſtendere,
nó omnia correlatiua ſimul eſſe natura, id de ſcibili, & ſcien­
 tia variè probat, præſertim verò, quia multa ſint ſcibilia,
quæ tamen nondum ſciantur, vt patet, inquit, in Quadratu­
 ra circuli, & ſcientia ipſius, quia quamuis ipſa circuli quadratura ſit ſcibi­
 lis, nondum tamen ſimul cum ipſa, ſcientia illius extat. Quæ vt perfectè
intelligantur, ſciendum eſt, quadraturam circuli, quæ à Græcis tetrago­
 niſmus dicitur, nihil aliud eſſe, quàm propoſito cuilibet circulo exhibere
quadratum æquale. Quæ æqualitas debet intelligi de areis, ſeu ſpatijs, ita
vt area circuli, ſeu ſpatium illud, ſiue ſuperficies illa circularis, ſit æqualis
areæ, ſeu ſuperficiei quadratæ. Qua in re plurimi decipiuntur exiſtimantes
per quadraturam cir culi inquiri æqualitatem linearum, ita vt circumferen­
 tia circuli debeat eſſe æqualis ambitui, ſeu quatuor lateribus quadrati:
quod omnino falſum eſt.
Quadratio porrò circuli dupliciter proponi poteſt, vel tanquam Theo­
 rema, vel tanquam Problema (theorema autem eſt propoſitio, in qua nihil fa­
 ciendum proponitur; problema verò aliquid fieri expoſcit) neutrum autem tem­
 pore Ariſt. erat adinuentum nam theorema inuentum eſt poſt ipſum ducen­
 tis circiter annis ab Archimede: problema verò nondum à quoquam per­
 fectè potuit reperiri. qua diſtinctione ſaluari poſſunt nonnulli, vt Boetius
hoc loco, qui aiunt, ſe vidiſſe Demonſtrationem quadraturæ huius, ſi nimi­
 rum intelligant theorema. & alij etiam verum aſſerunt, dum negant hacte­
 nus repertam eſſe, ſi nimirum de problemate loquantur, theorema
1medis eſt propoſitio prima acutiſſimi libelli de Dimenſione circuli; eſt au­
 tem huiuſmodi. Quilibet circulus æqualis eſt triangulo rectangulo, cuius
quidem ſemidiameter vni laterum, quæ circa rectum angulum ſunt, ambi­
 tus verò baſi eius eſt æqualis.
1[Figure 1]
Sit, v.g. datus circulus, cuius ſemidiameter A B; & fit triangulum rectangu­
 lum A B C, cuius angulus B, ſit rectus, & latus B A, conſtituens angulum re­
 ctum B, cum baſi B C, ſit æquale ſemidiametro A B; baſis verò B C, ſit æqua­
 lis peripheriæ eiuſdem circuli dati. demonſtrat iam ibi Archimedes acuta
æquè, ac euidenti demonſtratione triangulum iſtud æquale eſſe circulo illi.
quod perinde eſt, ac ſi oſtendiſſet cuinam quadrato ſit æqualis, cum per vl­
 timam 2. Eucl. poſſimus triangulo huic quadratum æquale conſtruere, quod
conſequenter dato circulo æquale erit. Quod ſi in modum Problematis ita
proponatur: Dato circulo æquale quadratum conſtruere, nondum inuenta
eſt ratio, quæ demonſtratione confirmetur, qua id geometricè penitus, hoc
eſt ad æqualitatem mathematicam, ſeu exactiſſimam effici poſſit, totaque; dif­
 ficultas poſita eſſe videtur in inueſtigando, quonam modo exhibeamus li­
 neam rectam B C, æqualem peripheriæ circuli dati. quam nullus hactenus
geometricè illi æqualem potuit exhibere, atque exhibita euidenti demonſtra­
 tione comprobare; Quamuis Archimedes acumine ſanè mirabili in lib. de
lineis ſpiralibus, eam quoque theorematicè, non tamen problematicè inue­
 ſtigauit. nam propoſitione 18. illius admirandi operis inuenit lineam rectam
æqualem circumferentiæ primi circuli ſpiralis lineæ; propoſ verò 19. repe­
 rit aliam rectam æqualem circumferentiæ ſecundi circuli. tu ipſum conſule,
ſi admirandarum rerum contemplatione delectaris. Multa hac de re Pap­
 pus Alexandrinus lib. 4. Math. coll. & Ioannes Buteo vnico volumine om­
 nes quadraturas tain priſcorum, quam recentiorum comprehenſus eſt. Qua­
 re qui plura cupit, eos adeat; nos tamen infra ſuis locis explicabimus tres
illas celebres antiquorum Antiphontis, Briſſonis, & Hippocratis quadra­
 turas, quamuis falſas, quarum ſæpe meminit Ariſt. & alij. ſolet autem à non­
 nullis diſputari, vtrum quadratura iſta problematica ſit poſſibilis, nec ne,
cum videant eam à nemine, quamuis diu magno labore perquiſitam, hacte­
 nus adinuentam eſſe. ego quidem eſſe poſſibilem exiſtimo, quis enim dubi­
 tare poteſt, poſſe exiſtere quadratum æquale circulo propoſito? Quod ſi po­
 teſt fieri, quare non etiam demonſtrari? pręfertim cum videamus ab Archi­
 mede iam inuentam eſſe, quatenus Theorema eſt. & præterea conſtet, Hip­
 pocratem quadraſſe lunulam, vt ſuo loco dicemus, & Archimedem in
1lo de quadratura Paraboles, quadraſſe ipſam Parabolem, quæ tamen duæ fi­
 guræ, lunula ſcilicet, & parabola ſunt curuilineæ.
2
Ex cap. de Priori (in ſcientijs demonſtratiuis eſt prius, & poſterius ordine,
elementa enim priora ſunt ijs, quæ deſcribuntur, nam principia prior a ſunt theore­
 matibus ordine) verba illa, nam principia, &c. quæ non ſunt in antiqua tran­
 ſlatione deſumpſimus ex caſtigatiſſimo græco codice editionis Francfor­
 dienſis, propterea quod totum hunc locum declarant; ſunt autem iſta,
αί γαρ αρχαί πρότεραι τῶν θεωρημάτων τῃ τάξη. per ſcientias autem demonſtra­
 tiuas intelligendas eſſe hoc loco ipſas Mathematicas ex eo patet, quod illis
aſſignet Ariſt. Deſcriptiones; nam hoc verbo, Deſcriptiones, ſeu figuratio­
 nes, ſolet ipſe Mathematicas Demonſtrationes innuere, quod in ipſis figu­
 rationes, & Deſcriptiones adhibeantur, vt alijs locis patebit: idcirco ver­
 ba illa à nobis addita ex græco, optimè præcedentia exponunt, cum per ele­
 menta intelligantur principia, qualia ſunt initio Euclidis, & per deſcriptio­
 nes exponant theoremata. quod autem principia illa ordine priora ſint de­
 monſtrationibus, ſiue ipſas præcedant, ex ipſa primi Euclidis inſpectione
patere poteſt.
3
Ex cap. de motu (Quadratum augetur Gnomone circumpoſito) Gnomon vox
græca inter alia ſignificat inſtrumentum illud, quod Latini tum amuſſim,
2[Figure 2]
tum normam appellant, Itali verò, Squadra, ad
cuius ſimilitudinem Geometræ denominarunt fi­
 guram quandam, ſeu portionem cuiuſuis paralle­
 logrammi, vt videre eſt in definitione ſecunda
2. elem. & in præſenti figura, in qua quadratum
A B C D, circumpoſito gnomone E F G, augetur,
& fit maius quadratum H B I L.
Idem etiam verum eſt in quadrato arithmeti­
 co, ſiue in numero quadrato: is enim pariter ad­
 dito Gnomone augetur. i. addito numero impari.
quemadmodum infra 3. Phyſ. tex. 26. fusè explicabimus.
Ex Primo Priorum reſolutoriorum.
4
Aliquorum opinio eſt, Ariſtotelem hoſce libros appellaſſe reſolu­
 torios, quod per illos doceat ſyllogiſmum, ac demonſtrationem
iam factam in ſua immediata principia reſoluere, quam opinio­
 nem meum non eſt, nunc refellere. perſuaſum tamen mihi eſt, rem
multo aliter ſe habere, veram rationem huius tituli petendam eſſe ex peni­
 tiori Mathematicorum eruditione. Sciendum itaque id, quod tradit Pappus
Alex. initio ſeptimi Mathem. collect. antiquiſſimos videlicet Geometras,
Euclidem, Apollonium Pergæum, & Ariſtęum ſcripſiſſe libros de reſolutio­
 ne, in quibus ars tradebatur, qua propoſito quouis theoremate, aut proble­
 mate poſſent facile ex eo, tanquam vero accepto inueſtigare aliquam veri­
 tatem, per quam deinde componerent illius, quod quærebatur, Demonſtra­
 tionem; inueſtigationem illam appellabant reſolutionem: compoſitionem
verò nominabant diſcurſum illum, quo ex vero illo per reſolutionem
1oſtendebant concluſionem. Porrò Diogenes Laert. huius reſolutionis in­
 uentorem facit Platonem: à quo eam Leodamas Thaſius didicit, cuius be­
 neficio, pluries deinde Geometricas demonſtrationes adinuenit. definitio
vtriuſque eſt apud Euclidem ad primam propoſ. 13. Elem. iuxta tranſlatio­
 nem Zamberti, & Commandini; vbi etiam quinque priora theoremata, pri­
 mò per reſolutionem, deinde per compoſitionem demonſtrantur, quæ tan­
 quam perſpicua exempla rei propoſitæ inſeruire poſſunt. ſunt præterea fre­
 quentes huiuſmodi reſolutiones in operibus Archimedis, Apollonij, & Pap­
 pi. extat adhuc liber Datorum Euclidis, qui geometricis reſolutionibus in­
 ſeruiebat. vtinam extarent etiam alij de reſolutione, quorum auxilio non
tantopere recentiores Mathematici in inueniendis Demoſtrationibus la­
 borarent; hanc reſolutionem, ſic Pappus fuſius, quam Euclides explicat;
reſolutio eſt via à quæſito tanquam conceſſo per ea, quæ ex ipſo conſequun­
 tur ad aliquod certum, & conceſſum: in reſolutione enim id, quod quæritur
tanquam factum, & verum ſupponentes, quid ex hoc ſequatur, conſidera­
 mus, quouſque incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod ſit è numero
principiorum. Quod quidem erat ſignum euidens, quæſitum quoque verum
eſſe. eadem omnino habet Proclus in comm. ad ſextam primi elem. Quod
porrò Ariſt. ipſe hanc reſolutionem Mathematicam cognouerit eſſe medij
inquiſitionem manifeſtum eſt ex cap. 3. lib. 3. Ethyc. vbi ſic ait (Qui enim
conſultat, quærere videtur, & reſoluere prædicto modo, quemadmodum deſigna­
tiones) vbi per deſignationes intelligit Geometricas demonſtrationes, vt
ſupra innuimus, & infra probabimus; cum ergo conſultatio nihil aliud ſit,
quam medij idonei ad finem in rebus agendis inquiſitio, eamque dicat eſſe
ſimilem reſolutioni Geometricæ, manifeſtum eſt, ipſam quoque reſolutionem
eſſe medij in rebus ſpeculatiuis idonei perueſtigationem. Exiſtimo igitur
cum doctiſſimis Zabarella, Burana, Toleto, & alijs, Ariſtotilem non ſolum
hanc ſuam logicam ad mathematicarum ſcientiarum typum compegiſſe,
verum potius imitatum eſſe opus illud Euclidis de reſolutione, atque ex eo
non ſolum plurima exempla Geometrica, verum etiam titulum deſumpſiſſe,
præſertim cum argumentum eſſet ferè idem vtrobique, ſed Ariſt. intentio
fuerit accommodare reſolutionem omnibus ſcientijs; Euclidis verò, & alio­
 rum Geometriæ ſoli. hinc patere poteſt, cur hi libri reſolutorij inſcribantur,
quod ſcilicet tradunt methodum, qua valeamus quæſitum quoduis reſolue­
 re, ideſt, ex quæſito tanquam vero inueſtare aliquam veritatem, per quam
deinde propoſitæ quæſtionis rationem methodo compoſitiua reddamus. Et
verò cum reliquas appellationes Problematis, Theorematis, Propoſitionis,
definitionum, poſtulatorum, axiomatum, & alia huiuſmodi ex Geometri­
 cis ad omnes ſcientias tranſtulerit, quid ni etiam reſolutionem? maximè
verò, quia ſi horum lib. intentio eſſet docere iam factum ſyllogiſmum in ſua
principia reſoluere, parum eſſet vtilis; imò nec vtilis, ſed ſuperfluum quid.
at verò vbinam docuit hanc reſolutionem? profecto nullibi. quid opus eſt
iam factum ſyllogiſmum reſoluere? at verò propoſitam quæſtionem reſol­
 uere veterum mathematicorum more, hoc opus, hic labor eſt.
Hanc porrò reſolutionem attendendam eſſe primò penes formam, quam
docet primis duobus analyticis; ſecundò penes materiam, quam tradit
1bus vltimis, non prætereundum. reliquas duas logicæ partes, Topicam ſci­
 licet, & Elenchos, quæ ſyllogiſmos probabilem, & apparentem docent, no­
 luit appellare reſolutorios, quamuis inuentionem mediorum doceant, quia
iam mos iſte inoleuerat apud Philoſophos, & Mathematicos, vt illa ſola
pars, quæ ex materia neceſſaria doceret ſyllogiſmum demonſtratiuum con­
 ſtruere, diceretur reſolutio: cum Mathematici, qui primi de reſolutione
ſcripſerunt, talem materiam ſolum conſiderent.
5
Ex cap. 23. ſecti primi lib. 1. (Vt quod diameter incommenſurabilis eo, quod
imparia æqualia paribus fiant, ſi fuerit poſita commenſurabilis. æqualia igitur fieri
imparia paribus ratiocinantur, diametrum vtrò incommenſurabilem eſſe ex ſuppo­
 ſitione monſtrant, quoniam falſum accidit propter contradictionem) Euclides pri­
 mis duabus definitionibus 10. elem. definit, quæ nam ſint magnitudines
commenſ. & quæ incommenſ. ſic; commenſ. magnitudines dicuntur, quas
3[Figure 3]
eadem menſura metitur, vt ſi fuerint duæ magnitu­
 dines, A, & B, quas eadem menſura C, ideſt quan­
 titas C, metiatur, ideſt quantitas C, applicata quan­
 titati A, & per ipſam aliquoties replicata ipſam ad­
 æquatè abſumat, vt ſi linea C, quinquies ſuper li­
 neam A, replicata eam præcisè, & perfectè omninò
adæquaret: & eadem linea C, applicata lineæ B, & ſuper illam ter, v.g. re­
 petita ipſam conſumeret, diceretur vtranque metiri, & proinde duas lineas
A, & B, eſſe comm. definit poſtea incommenſ. hoc modo, incomm. autem, qua­
 rum nullam contingit communem menſuram reperiri; vt ſi duarum linea­
4[Figure 4]
rum, A, B, nunquam poſſet reperiri aliqua menſu­
 ra, quæ vtranque adæquatè metiretur, v. g. ſi linea
C, menſuraret A, quater ſumpta, ter autem ſumpta
non adæquaret omnino lineam B, ſed deficeret, vel ex­
 cederet aliquantulum, atque hoc fieret in quauis alia
menſura, loco ipſius C, aſſumpta, ſiue maior, ſiue
minor ipſa C, vt vtranque nunquam perfectè metiretur, eſſent duæ illæ lineæ
incommenſ. Extare porrò tales lineas, & ſuperficies, & corpora, eaque; quam­
 plurima, ac penè infinita ex 10. Elem. manifeſtum eſt. inuentum autem hu­
 ius aſymmetriæ, quod Pythagoricis veteres attribuunt, mihi ſemper viſum
eſt omni maius admiratione, cum nulla experientia, nullusque; effectus in ip­
 ſius cognitionem potuerit priſcos illos Geometras inducere. Quapropter
non immeritò diuinus ille Plato lib. 7. de legib. huius aſymmetriæ ignora­
 tionem, adeo deteſtatus eſt, vt eam non hominum, ſed ſuum, pecorumque
ignorantiam cenſuerit. inter lineas incommenſ. ſunt diameter, & latus eiuſ­
 dem quadrati, quia nulla poteſt reperiri menſura quantumuis exigua, vti
5[Figure 5]
eſt lineola E, in præſenti quadrato, etiamſi illam in
infinitum ſubdiuidas, quæ vtranque lineam, diame­
 trum ſcilicet A C, & latus quoduis ex quatuor, v.g.
latus B C, præcisè omnino metiatur. theorema
iſtud demonſtratur in vltima 10. Elem. eodem me­
 dio, quod ab Ariſtotele hic innuitur; Euclides ex
ſuppoſitione alterius partis contradictionis ipſius
1propoſitionis, quæ falſa eſt, nimirum ſuppoſito prædictas lineas eſſe comm.
deducit ad impoſſibile, ſiue, vt ait hic Ariſt. falſum ratiocinatur, quod ſci­
 licet idem numerus eſſet par, & impar, quod Ariſt. ſignificat, quando ait,
imparia æqualia paribus fiunt. ex quo abſurdo deducitur falſam eſſe prædi­
 ctam ſuppoſitionem, quæ aſtruebat eſſe comm. & proinde altera pars con­
 tradictionis, quæ eſt, eſſe incomm. vera aſtruitur. ex quibus ſatis videtur ex­
 plicari hic locus. videas igitur, quàm leuiter nonnulli noſtræ tempeſtatis
ageometreti iſtud exponant, dicentes diametrum eſſe incomm. coſtæ, nihil
aliud ſignificare, quam diametrum eſſe longiorem coſta, qua expoſitione
nihil ineptius. Aduerte tandem figuram vulgatæ editionis eſſe ineptam,
cum habeat duo quadrata alterum ſuper diametro alterius, quorum maius
ſuperuacaneum eſt.
6
Et cap. 24. ſecti primi libri primi (Sed magis efficitur manifeſtum in deſcri­
 ptionibus, vt quod æquicruris, qui ad baſim æquales ſint, ad centrum ductæ A B,
A C, ſi igitur æqualem accipiat A G, angulum ipſi A B D, non omnino exiſtimans
æquales, qui ſemicirculorum, & rurſus G, ipſi D, non omnem aſſumens eum, qui ſe­
 cti. amplius ab æqualibus existentibus totis angulis, & ablatorum æquales eſſe re­
 liquos E, F, quod ex principio petet, niſi acceperit ab æqualibus demptis æqualia
derelinqui.) Primum ſcias characteres vulgatæ editionis, vna cum figura ip­
 ſis reſpondente, eſſe mendoſos; propterea ex textu græco vtrunque corri­
 gendum putaui in hunc, quem vidiſti modum. Secundo, per deſcriptiones
Ariſt. intelligere demonſtrationes Geometricas ſupra diximus, quod ex hoc
loco euidenter confirmatur, vbi manifeſtè loco deſcriptionis ſupponit li­
 nearem demonſtrationem. In hoc itaque exemplo vult Ariſt. illud demon­
 ſtrare, quod Euclides in 5. primi oſtendit, alio tamen modo, ſcilicet Iſoſce­
 lium triangulorum, qui ad baſim ſunt anguli, inter ſe ſunt æquales. eſt au­
 tem figura in omnibus textibus deprauata, quam ſic puto rèſtituendam eſſe
ex quodam græco codice, qui characteres hoc modo appoſuerat. ſit Iſoſce­
6[Figure 6]
les C A B, cuius baſis C B, Dico angulos ſupra baſim,
in quibus literæ E F, eſſe inuicem æquales. facto centro
in A, deſcribatur circulus A B C, tranſiens per puncta
C B, iam ſic. omnes anguli ſemicirculi ſunt æquales in­
 ter ſe, ergo anguli A C G, A B D, ſunt æquales. Præte­
 rea cùm anguli eiuſdem ſectionis ſint æquales ad inui­
 cem, erunt anguli ſectionis C B D G, nimirum anguli,
in quibus ſunt G, & D, inter ſe æquales: cumque; hi duo
anguli ſectionis ſint partes angulorum ſemicirculi A C G,
A B D, ſi illi ab his auferantur, auferuntur æquales anguli ab æqualibus an­
 gulis, ergo anguli, qui remanent, ſcilicet E, & F, erunt æquales, quod erat
demonſtrandum. hinc Ariſt. infert manifeſtum eſſe oportere in omni ſyllo­
 giſmo, reperiri vniuerſales, & affirmatiuas propoſitiones, vt Factum eſt in
præcedenti aliter eſſet petitio principij. Quænam vero ſit æqualitas, quam
Geometræ conſiderant, infra cap. 1. ſecti 3. explicabitur.
7
Ex cap. 2. ſecti 2. lib. 1. (Secundum veritatem quidem ex ijs, quæ ſecundum
veritatem deſcribuntur ineſſe, ad dialecticos autem ſyllogiſmos ex propoſitionibus
ſecundum opinionem) verba illa; ex ijs, quæ ſecundum veritatem deſcribuntur
1ineſſe; ſic græcè, έκ τῶν κατὰ αληθείαν διαγεγραμμένον vbi manifeſtè vtitur
verbo, Deſcribere, per quod ſuperius annotauimus apud Ariſt. ſignificari
Geometricas demonſtrationes, nam eas opponit dialecticis ſyllogiſmis, ſe­
 quentibus verbis, cum dixit (ad dialecticos autem ſyllogiſmos ex propoſi­
 tionibus ſecundum opinionem) hac adhibita conſideratione, quam inter­
 pres non videtur adhibuiſſe, ſenſus huius loci non erit obſcurus.
8
Ex eodem loco paulo poſt (Quare principia quidem, quæ ſecundum vnum­
quodque ſunt experimenti est tradere: dico autem, vt aſtrologicam experientiam
aſtrologicæ ſcientiæ: acceptis enim apparentibus ſufficienter, ita inuentæ ſunt aſtro­
 logicæ demonstrationes) Cum rationem tradat inueniendorum mediorum ad
quodlibet problema demonſtrandum; nunc docet, non omnia in ſcientijs
poſſe probari, aut demoνſtrari: principia enim ſcientiarum non demonſtran­
 tur, ſed ſola experientia manifeſta ſunt; vt patet in Aſtronomia, quæ ab ex­
 perientia ſua ſolet ſtabilire principia: principijs autem experimento conſti­
 tutis ex ipſis reliqua problemata demonſtrantur. duo autem ſunt apud aſtro­
 nomos genera experimenti, primum dicitur Phænomena, ideſt, apparentiæ;
& ſunt ea, quæ vulgo omnibus patent, vt Solem oriri, & occidere; aſtra fer­
 ri circulariter, diem augeri modo, modo minui: & his ſimilia. alterum ge­
 nus dicitur obſeruationes, quæ tantummodo aſtronomiæ peritis per obſer­
 uationem innoteſcunt, vt Solem inæqualiter ferri proprio motu per Zodia­
 cum; aliquando maiorem, aliquando minorem videri; plures dies immo­
 rari citra æquatiorem in parte Zodiaci boreali, quam in altera vltra æqua­
 torem auſtrali. dies naturales eſſe inuicem inæquales, &c. ex quibus deinde
ponunt eccentricos, & augem, ad ſaluandas tum apparentias, tum obſerua­
 tiones; & hac ratione aſtrologica ſcientia paulatim reperta eſt, ac in dies
reperitur.
9
Ex cap. 3. ſecti 2. lib. 1. (Vt an ne diameter incomm.) loquitur de aſymme­
 tria diametri, & coſtæ eiuſdem quadrati, de qua fusè egimus ſuperius in
cap. 23. ſecti 1. huius libri; quæ ſi repetantur, optimè hunc locum declarant.
10
Ex cap. 1. ſecti 3. lib. 1. (Sit A, duo recti, in quo B, triangulus, in quo C,
æquicrus, ipſi itaque C, ineſt A. per B; ipſi vero B, non amplius per aliud, per ſe
namque triangulus habet duos rectos) nullum aliud exemplum tam frequenter
vſurpat Philoſophus, quam iſtud ex Mathematicis deſumptum de triangu­
 lo, ſcilicet, omnis triangulus habet tres angulos æquales duobus rectis an­
 gulis, cuius Demonſtratio eſt in 32. primi Elem. quod, vt probè intelliga­
 tur, explicandum eſt penes quid attendenda ſit æqualitas inter angulum, &
angulum, quod facile aſſequemur, ſi meminerimus angulum eſſe inclinatio­
 nem illam, quam duæ lineæ non in directum poſitæ faciunt: ſiue etiam (vt
melius percipiamus) angulum eſſe acumen illud, ſiue mucronem illum, quem
duæ lineæ non in directum conſtitutæ faciunt, vt duarum linearum A B, A C,
7[Figure 7]
inclinatio in puncto A, ſiue acumen illud, ſiue mucro,
eſt ratio anguli. ſolum igitur duo anguli erunt æqua­
 les, quando vnius acumen æquale erit acumini alterius;
etiam ſi lineæ conſtituentes vnum angulum ſint lon­
 giores lineis alterum angulum conſtituentibus, quia
quantitas anguli non attenditur penes longitudinem
1linearum, ſed penes inclinationem, & mucronem, quem faciunt: vnde etiamſi
duæ lineæ prædictæ A B, A C, productæ, ſiue etiam decurtatæ fuerint, dum­
 modo ſitus, ſiue poſitio ipſarum, quam ad inuicem habent, non varietur,
erit ſemper eadem quantitas anguli A. Aduertendum præterea rationem
anguli non poſſe ſaluari in ſolo puncto A, in quo lineæ concurrunt, ſed ne­
 ceſſariam eſſe aliquam quantitatem, quamuis exiguam, linearum A B, A C.
Notandum etiam, quod in nominatione angulorum, quæ fit per tres lite­
 ras, ſemper literam illam eſſe medio loco proferendam, quæ ad acumen ip­
 ſum poſita eſt, vt in ſuperiori, litera A, debet ſemper media proferri, dicen­
 do angulum B A C, ſiue C A B, nunquam tamen licet dicere angulum A C B,
vel C B A. Porrò quemadmodum vnus angulus vni angulo æqualis eſt, ita
aliquando duo anguli ſunt vni angulo æquales, vt patet, ſi vnus angulus, v.g.
angulus B A C, diuidatur in duos angulos à linea A D. tunc enim duo angu­
8[Figure 8]
li partiales B A D, D A C, erunt æquales totali angulo
B A C, cum partes omnes ſimul ſumptæ ſint ſuo toti æqua­
 les. pariter tres anguli poſſunt æquari & vni, & duobus
alijs angulis, quando nimirum a cumina, ſiue mucrones il­
 li ſimul ad vnum punctum conſtituti adæquarentur mucro­
 ni illi, quem conſtituerent alij duo anguli, quibus illi tres
ſunt pares, v.g. ſint tres anguli trianguli A B C, ſintque; alij duo anguli recti,
9[Figure 9]
quos linea perpendicularis D E, facit cum li­
 nea F G; ſit inquam anguli recti D E F, D E G,
tunc tres anguli illius trianguli dicentur æqua­
 les duobus hiſce rectis, ſi tres illi mucrones
trianguli ſimul ſumpti, & vniti ad punctum
E, ad quod duo quoque mucrones angulorum
10[Figure 10]
rectorum coeunt, congruent omnino duobus
prædictis angulis rectis, ſiue duobus illis mu­
 cronibus angulorum rectorum, ſiue conſti­
 tuent lineam rectam F E G, ſicuti faciunt
etiam duo illi anguli recti; ſiue etiam dica­
 mus, occupabunt idem ſpatium omninò, &
præcisè, quod occupant duo recti: v.g. ſi mucro B, ibi poneretur, faceret
angulum F E H, & ſi ibi iuxta ipſum apponeretur mucro A, faceret angulum
H E I. quem ſi deinceps ſubſequetur reliquus angulus C, conſtitueret reli­
quum angulum I E G. iam, vt vides, illi tres anguli ad E, tranſlati, ſunt æqua­
 les duobus rectis ad E, pariter conſtitutis, cum illi tres fiant partes duorum
rectorúm, vel quia occupant idem ſpatium, vel eandem lineam rectam F E G,
conſtituant. habet igitur omne triangulum ſiue ęquilaterum, ſiue ſcalenum,
ſiue Iſoſceles mirabilem hanc proprietatem, vt tres anguli, cuiuſuis trian­
 guli ſint æquales duobus rectis angulis. Quam demonſtrationem primi om­
 nium Pythagorici perfecerunt, vt refert Proclus ad 32. primi Elem. Eucli­
 des deinde ibidem aliter, quam Pythagorici idem demonſtrauit. Quod ſi
quis huius rei experientiam aliquam velit; etiamſi non exactam (cum æqua­
 litas mathematica non cadat ſub ſenſum, ſed ſola intelligentia percipiatur,
quippe quæ in materia intelligibili, non autem ſenſibili verſatur, & cuius
1æqualitas nullum diſcrimen, quantumuis minimum admittat, quod ſenſui
vitare ob ſui imperfectionem non licet: vnde inter eæ, quæ mathematicè
ſunt æqualia, nullus intellectus aliquam valeat reperire differentiam) ſumat
inquam triangulum quodpiam materiale, vt ex charta, quantum fieri po­
teſt perfectum, deinde ducat lineam vnam perpendicularem ſuper aliam,
quæ ſcilicet faciat, cum illa duos angulos rectos. poſtea abſcindat tres an­
 gulos trianguli materialis, eosque; ita ſimul componat, vt mucrones illorum
ſint vniti, & contigui ad punctum lineæ perpendicularis cum altera, vti eſt
in ſuperiori figura punctum E; & illicò apparebit tres illos angulos mate­
 riales obtegere adæquatè totum illud ſpatium duorum rectorum, quos per­
 pendicularis conſtituit. Hoc autem experiri poteris in diuerſis admodum
triangulis Scalenis, Rectangulis, Iſoſcelibus, Aequilateris, &c. non ſine de­
 lectatione, atque hic eſt ſenſus illorum verborum, omnis triangulus habet
tres ęquales duobus rectis. Abſtineo à demonſtrationibus geometricis, quo­
 niam ij, qui Mathematicis ſunt imbuti, noſtra hac opera parum indigent.
ſi quis tamen volet, conſulat 32. primi Elem. Ex hac igitur declaratione
licet cognoſcere nonnullos ageometretos locum hunc, & ſimiles ſubſequen­
 tes non ſatis intelligere, dicentes, nihil aliud verba illa Ariſt. velle ſignifi­
 care, quàm omnem triangulum habere tres angulos, quod inquiunt, notiſ­
 ſimum eſt. Sed ſi incidant in ſequentia; æquales duobus rectis, tunc, cum
hæc non intelligant, abſtinent etiam à priorum declaratione, quibus præ­
 miſſis facile eſt Ariſt. textum percipere. ſit A, duo recti, ideſt, duo anguli
recti ſint paſſio demonſtranda, in quo B, triangulus, in quo C, æquicrus. ipſi
itaque C, ideſt triangulo æquicruſi, ineſt A, ſcilicet duo recti, hoc eſt, ineſt
æquicruſi hæc, paſſio habere tres angulos æquales duobus rectis per B, ideſt
per triangulum vniuerſale, quia hæc proprietas eſt trianguli propria, & compe­
tit æquicruſi, non vt æquicrus eſt, ſed, vt triangulum eſt; quare B, non erit
medium ipſius A, quia prædicta paſſio. A, non competit triangulo B, per
aliud, ſed per ſe, de eo enim primo, & per ſe demonſtratur in 32. primi Elem.
optimè Aegydius, & Niphus in hunc locum.
11
Ex eodem cap. (Non oportet autem exiſtimare penes id, quod exponimus, ali­
 quid accidere abſurdum, nihil enim vtimur eo, quod eſt hoc aliquid eſſe. ſed ſicut
Geometra pedalem, & rectam hanc, & ſine latitudine dicit, quæ non ſunt. verum
non ſic vtitur, tanquam ex his ratiocinans) Quoniam Ariſt. in exemplis affert
pro rebus characteres, A, B, C, poſſet quiſpiam ſuſpicari aliquod propterea
abſurdum accidere: cui ſuſpicioni Ariſt. reſpondet, dicens, nihil inde abſur­
 di accidere poſſe, quoniam ipſe vtitur hiſce literis, non quatenus literæ ſunt,
ſed quatenus rerum vicem, pro quibus exponuntur, gerunt: quemadmodum
etiam Geometræ faciunt, qui lineam, quæ pedalis non eſt, pedalem, & quæ
non eſt recta, rectam; & quæ lata eſt, non latam, ſupponunt, & tamen nihil
inde abſurdi contingit. Ex quibus intelligimus per lineas illas ſenſibiles, &
phyſicas, quas Geometræ in ſuis figuris ducunt, intelligendas eſſe lineas ve­
 rè Mathematicas omni latitudine carentes; vtitur enim inquit Ariſt. Geo­
 metra lineis phyſicis, non tanquam phyſicis, nec de eis tanquam de phyſicis
lineis ratiocinatur, ſed ijs vtitur tanquam verè mathematicis. idem dicen­
dum eſt de ſuperficiebus, necnon de corporibus, quæ ijdem Geometræ de­
 ſcribunt, vt per ea, de verè mathematicis diſcurrant.
1
Ex Libro ſecundo Priorum.
12
Ex cap. 21. (Quod faciunt, qui coalternas putant ſcribere, latent enim ipſe
ſe ipſos talia accipientes, quæ non est poſſibile monstrare uon exiſtentibus
coalternis) Vult Ariſt. exemplo mathematico explicare, quid ſit pe­
 titio principij. vbi per coalternas intelligit parallelas lineas, vox
enim græca παραλληλος, idem ſignificat, ac mutuus, & coalternus. quoad
exempli explicationem vtor figura textibus apponi ſolita, quæ eſt præſens.
11[Figure 11]
probat Euclides in 28. primi Elem. quod ſi
linea recta quædam, vti E F, cadens ſuper
duas rectas, vti ſunt A B, C D, fecerit angu­
 los alternos ęquales, angulos nimirum A G H,
G H D, ij enim dicuntur alterni; ſiue alios
duos, nimirum B G H, G H C, hi enim ſunt
quoque alterni; probat inquam has duas li­
 neas A B, C D, eſſe inuicem parallelas. Iam ſi quis vellet probare, ſe duas
parallelas duxiſſe, hac ratione, quia ſcilicet faciunt prædictos angulos al­
 ternos æquales; & probaret facere angulos alternos æquales, quia ſunt pa­
 rallelæ, hic peteret principium, ideſt, illud, quod principio probandum erat,
afferret pro ratione, & cauſa, quod dicitur peti principium, quia tunc pe­
 timus, vt concedatur nobis, id, quod principio, & primo omnium demon­
 ſtrare propoſueramus. aduerte, quod characteres, qui ſunt in ſequentibus
verbis huius loci, non appellant characteres figuræ appoſitæ; in quo quidam
decepti, nullo pacto poterant locum hunc intelligere.
13
Ex cap. 22. lib. 2. Priorum (Vt ſi volens monſtrare, quod diameter eſt incom­
 menſ. argueret Zenonis rationem, quod non eſt moueri) ſuperius ſecto 3. lib. 1.
fusè explicauimus hanc aſymmetriam, quam ſi quis vellet demonſtrare ea­
 dem illa ratione, qua Zeno motum impugnabat, quia ſcilicet menſura com­
munis, quæ debet vtramque, quantitatem menſurare, debet in menſurando
infinitas partes pertranſire, nimirum medietates medietatum in infinitum,
eſt autem impoſſibile pertranſire infinitas huiuſmodi partes, & propterea
non poterit metiri, neque vnam, neque alteram ex quantitatibus, quæ putaban­
 tur commenſurabiles, afferret hic, inquit Ariſt. non cauſam pro cauſa.
14
Ex eodem cap. (Quoniam idem vtique falſum per plures petitiones accidere
nihil fortaſſe inconueniens, veluti coalternas coincidere; & ſi maior eſt extrinſecus
angulus intrinſeco; & ſi triangulus habet plures rectos duobus) per plures poſi­
 tiones ſubaudi falſas. per coalternas intellige lineas æquidiſtantes, ſeu pa­
 rallelas, vt in ſuperiori cap. monuimus. Cæterum Euclides propoſ. 28. pri­
 mi Elem. oſtendit, quod ſi fuerint duæ parallelæ veluti in præcedenti figura,
A B, C D, ſuper quas alia recta E F, incidat, neceſſario faciet angulum ex­
 trinſecum E G B, v. g. æqualem interno, & oppoſito, & ad eaſdem partes,
angulo videlicet G H D. ſi ergo inquit Ariſt ſupponamus iſtud falſum, an­
 gulum ſcilicet E G B, externum eſſe maiorem angulo interno G H D, ſequi­
 tur etiam falſum, videlicet lineas æquidiſtantes A B, C D, concurrere. & pro­
batur conſequentia hoc modo, quia ſi angulus E G B, maior eſt angulo
1G H D, appoſito vtique communi angulo B G H, erant primum, duo anguli
E G B, B G H, maiores, quam ſint duo B G H, G H D, quia ſi inæqualibus
æqualia addantur, tota erunt inæqualia, vt prius per 4, axioma: hoc loco
communis angulus additur ſemel maiori angulo, & ſemel minori; & ideo
totum illud, in quo eſt maior angulus, adhuc maius eſt altero toto, in quo
minor angulus continetur. at illi duo E G B, B G H, per 13. primi, ſunt
æquales duobus rectis angulis, ergo duo quoque recti erunt maiores duobus
internis B G H, D H G, ſiue hi duo interni erunt minores duobus rectis.
At quando hi duo interni ſunt minores duobus rectis, tunc lineæ A B, C D,
ſunt concurrentes, ſi protrahantur ad partes prædictorum angulorum. quod
P. Clauius luculenti, & hactenus deſiderata demonſtratione ad 28. primi
demonſtrauit. Atque hoc pacto ex prima falſa ſuppoſitione, nimirum angu­
 lum illum externum eſſe maiorem interno, & oppoſito; ſequitur falſum, ni­
 mirum lineas parallelas concurrere.
Præterea ſi ſupponamus aliam falſitatem, ſcilicet triangulum habere tres
angulos maiores duobus rectis, ſequetur eadem iterum falſitas, ſcilicet pa­
12[Figure 12]
rallelas coincidere, & probatur ſic; ſint enim
trianguli A B C, tres anguli maiores, quam duo
recti anguli, & per punctum C, ducta ſit recta
C D, parallela lateri B A. quia ergo angulus
A, æqualis eſt angulo ſibi alterno A C D, per
29. primi, & quia totalis angulus B C D, æqua­
 lis eſt duobus angulis B C A, A C D, quos tanquam ſuas partes adæquatas
continet, quorum alter, ſcilicet A C D, eſt æqualis angulo A. erit idem to­
 talis angulus B C D, æqualis duobus angulis A, & A C B, trianguli propoſi­
 ti. ergo totus iſte angulus B C D, ſimul cum reliquo trianguli angulo B. con­
 ſtabit compoſitionem ex tribus angulis trianguli dati: & conſequenter ta­
 lis compoſitio trium angulorum erit maior, quam ſint duo anguli recti. ex
quo ſequitur duas rectas B A, C D, ſuper quas cadit linea B C, faciens duos
angulos internos, & ad eaſdem partes, ſcilicet A B D, maiores duobus re­
 ctis non eſſe parallelas, ſed concurrentes (vt patet ex nuper citata demon­
 ſtratione P. Clauij) quod falſum eſt. & ſequitur ex ſecunda falſa ſuppoſitio­
 ne. ex quibus textus Ariſt. videtur ſatis clarus.
15
Ex cap. 26. (Vt ſi A, duo recti, in quo autem P., triangulus, in quo vero C,
ſenſibilis triangulus, ſuſpicari namque poſſet aliquis non eſſe C, ſciens, quod omnis
triangulus habet duos rectos: quare ſimul noſcet, & ignorabit idem. noſce enim
omnem triangulum, quod duobus rectis, non ſimplex eſt: ſed hoc quidem eo, quod
vniuerſalem habet ſcientiam: illud autem eo, quod ſingularem. ſic igitur, vt vni­
 uerſale nouit C, quod duo recti; vt autem ſingulare non nouit, quare non habebit
contrarias) vide, quæ diximus lib. 1. ſecto 3. cap. 1. ex quibus quidquid Ma­
 thematicum eſt hic, clarum redditur. reliqua verò, quæ ad Logicum ſpe­
 ctant, huius loci commentatores proſequuntur.
In cap. 31. de Abductione.
16
Notandum hic cum eruditiſſimo Burana, Abductionem hanc, de qua in hoc
cap. agitur eſſe vocem mathematicam, eamque; Ariſt. quemadmodum multa
alia à Mathematicis mutuatum ad omnes alias ſcientias tranſtuliſſe. eſſe
1autem terminum mathematicum colligitur manifeſtè ex Proelo, qui lib. 3.
in comm. Elem. Euclidis ad primam propoſitionem primi Elementi, pag.
121. ſic ait, Abductio verò eſt tranſitus à propoſito problemate, vel theo­
 remate ad aliud, quo cognito, aut comparato Propoſitum quoque perſpi­
 cuum eſt. Exempli cauſa, cum cubi duplicatio propoſita eſſet ad inueſti­
 gandam quæſtionem in aliud tranſtulere, quod illud propoſitum conſequi­
 tur, ad duarum nempe mediarum linearum inuentionem tranſlata eſt quæ­
 ſtio, & ſic quærebant deinceps, quonam modo datis duabus rectis lineis,
duæ mediæ proportionales reperirentur. Primum autem dicunt Hippocra­
 tem Chium prędictorum titulorum, Abductionem feciſſe, qui & lunulæ qua­
 dratum fecit æquale, & alia multa in Geometria inuenit. hæc Proclus. vbi
non diſſimulandum nos reſtituiſſe verbum, Abductionem, cuius loco inter­
 pres Procli vtitur inductionis voce, ſequuti & rationem, & græcum textum,
qui noſtram hanc expoſitionem euidenter poſtulat, απαγωγὴ enim valet &
inductionem, & abductionem, ſed abductio omnino rei propoſitæ quadrat.
Notandum præterea Hippocratem Chium fuiſſe auctorem huius Abdu­
 ctionis, eumque; feciſſe Abductionem à propoſito Problemate quadrandi cir­
 culi, vnde manifeſtè apparet, Ariſtotelem ex Mathematicis hunc terminum
mutuò accepiſſe, quandoquidem ex ijſdem accepit etiam exemplum Abdu­
ctionis Mathematicæ, imò etiam exemplum ipſius authoris Abductionis
Mathematicæ. ſyllogiſmus autem Hippocratis, quo oſtendebat circuli qua­
 draturam reducebatur ad has propoſitiones, omnis rectilinea figura qua­
 dratur, ſed circulus reducitur ad figuram rectilineam, ergo circulus qua­
 dratur. in probatione minoris facta eſt Abductio, cum enim ipſe vellet re­
 ctificare circumferentiam circuli per lunulas, nec valeret, alij per lineam,
quandam quadratricem, vt eſt apud Pappum Alexandrinum, & apud P. Cla­
 uium in fine ſexti Elem. & alij aliter fruſtra conarentur, facta eſt Abductio
circa probationem minoris, in qua adhuc Mathematici verſantur; quæ pro­
 batio, ſi tandem inueniri poſſet, mox ſequeretur principale propoſitum pro­
 blema, nimirum circulus quadraretur; vide quæ ſcripſimus in cap. 3. Præ­
 dicam. de hac re, quia plurimum hunc conferunt. ſed iam ad textus expli­
 cationem veniamus.
17
Ex eodem cap. (Veluti ſi K, eſſet quadrari, in quo autem E, rectilineum, in
quo verò F, circulus, ſi ipſius E F, vnum ſolum eſſet medium, hoc, quod eſt, cum
lunulis æqualem fieri circulum rectilineo, eſſe poſſet propè ipſum cognoſcere, cum
vero B C, neque credibilius ſit, quam A C, neque pauca media, non dico Abductio­
 nem: neque quando B C, ſit immediatum, tale enim ſcientia est) Aduerte figuram
vulgatæ editionis eſſe mendoſam, & propterea reſtituendam eſſe, qualis pri­
 ma ſequens ex Simplicio ad tex. 11. primi Phyſic. hoc modo Hippocrates
Chius conabatur circulum ad quadrum redigere; fit circulus A B G C, qua­
 drandus; conſtituatur itaque ſuper diametro eius B C, quadratum B C D F,
cuius diameter B D, ſecatur bifariam in G, à circumferentia circuli dati,
quod patet ducta ſemidiametro H G, perpendiculari ex B C, quæ ſuo extre­
 mo puncto G, ſecat bifariam, & diametrum B D, & circumferentiam B G C.
facto ergo centro G, deſcribatur alter circulus per puncta B C D F, conne­
ctaturque; recta G C. in triangulo orthogonio B C D, latus B D, ſubtenditur
113[Figure 13]
angulo recto C, ergo quadratum eius ex corol­
 lario 47. primi, duplum erit quadrati B C, quare
etiam circulus B C D F, duplus erit circuli A B­
 G C, per 2. duodecimi, & ſemicirculus B C D,
duplus erit ſemicirculi B A C: & quadrans B E­
 C G, æqualis erit ſemicirculo B A C: ablato igi­
 tur communi ſegmento B E C H, remanet lunu­
 la B A C E, æqualis triangulo B C G, quod trian­
 gulum ſi per vltimam ſecundi quadretur, erit lu­
 nula B A C, conſequenter quadrata. hucuſque be­
 nè procedit Hippocrates. ſed vt reliquum circu­
 li quadret, ſic pergit, ponatur recta L M, dupla
ipſius B C, ſupra quam ſemicirculus deſcribatur
14[Figure 14]
L O M, cui inſcribatur hexagoni
æquilateri dimidium L Q S M, & ſu­
 per tribus hexagoni lateribus, ſint
tres ſemicirculi, vt in figura. & quo­
niam diameter L M, dupla eſt vniuſ­
cuiuſque diametrorum B C, L Q, Q S,
S M, erit ſemicirculus L O M, ęqua­
 lis quatuor ſemicirculis prædictis
per 2. duodecimi, & per 4. ſecundi
ablatis igitur tribus ſegmentis com­
 munibus L N Q, Q O S, S P M, relinquetur trapezium L Q S M, æquale ſe­
 micirculo B A C, & tribus lunulis L H Q N, Q R S O, S X M P, abſcindan­
 tur itaque de trapezio tria triangula æqualia tribus lunulis, eo modo, quo ſu­
 pra in prima figura factum eſt, & quod relinquetur æquale erit ſemicirculo
B A C. quod deinde quadretur per vlt. ſecundi, ſed aduerte, quod quando
ait, abſcindantur de trapezio tria triangula æqualia lunulis, eo modo, quo
ſupra, committit deceptionem, quia eodem modo, quo ſupra minimè id fa­
 cere poſſumus, quia in ſuperiori figura triangula erant conſtituta ſuper la­
 tus B C, quadrati B C D F, intra circulum deſcripti, qui circulus facit cum
B C, maius ſegmentum, quam faciat ſemicirculus L O M, cum lateribus L Q,
Q S, S M. & propterea ſemicirculus iſte non habet eandem proportionem
ad vnamquamque lunularum ſuarum, quam habet ſemicirculus ſuperior
B C D, ad lunulam B A C E. atque hæc eſt fallacia, quam authorem ſuum mi­
 nimè latuiſſe putandum, cuius Ariſt. ſæpius mentionem in ſequentibus fa­
 ciet : quì enim fieri poteſt, vt tam acutus inuentor, adeo manifeſtum erro­
 rem non vidiſſet, verum propter adinuenti excellentiam, authori ſuo pla­
 cuit paralogyſmus. mirabilis tamen ſemper habita eſt illa ſuperior lunulæ
quadratio. Ex quibus ſatis clara eſſe poſſunt ea, quæ ad Mathematicum per­
 tinent, ad locum hunc de Abductione declarandum. facta eſt igitur abdu­
 ctio ab Hippocrate in quadratione trium poſteriorum lunularum, in qua­
 rum quadratione diu immoratus, nunquam niſi cum paralogyſmo quadra­
 re valuit. Hæc pluribus, vt ſequentibus etiam textibus, in quibus huius te­
 tragoniſmi fit mentio ſatisfacere poſſimus. Hippocrates iſte Chius eſt alter
1ab illo Hippocrate Coo medicorum Magiſtro, vt colligitur ex Alexandre
Aphrod. in Primum Meteororum de Cometis.
Ex Primo Posteriorum reſolutoriorum.
18
Textu primo (Omnis doctrina, & omnis diſciplina diſcurſiua ex præexi­
 ſtenti fit cognitione. manifeſtum autem hoc ſpeculantibus in omnibus,
Mathematicæ namque ſcientiarum per hunc modum accedunt) quo mo­
 do Mathematicæ fiant ex præcedenti cognitione, ſcilicet Princi­
 piorum perſpicuè quilibet videbit, qui ſaltem primum Elementorum Eucli­
 dis, vel è ianuis inſpexerit; pręcedunt enim primo principiorum tria gene­
 ra, quorum primum continet definitiones ſubiecti Geometriæ, vt definitio­
 nes lineæ, ſuperficiei, trianguli, &c: Secundum continet Poſtulata. Tertium
Axiomata, ſeu communes omnium conceptiones, & ſententias, ex quibus
tanquam ex vberrimis, & chriſtallinis fontibus Demonſtrationes Geome­
 tricæ deriuantur. Idem vìdere licet in operibus aliorum Geometrarum,
Archimedis, Apollonij, Pappi, & cæterorum. Aliæ ſimiliter mathematicæ,
vt Arithmetica, Perſpectiua, Muſica, Mechanica, Aſtronomia, non niſt ex
præmiſſis, ac manifeſtiſsimis principijs ſuas demonſtrationes deducunt.
Nulla porrò alia ſcientia tam diſtinctè ſua præmittit principia, tamque; per­
 ſpicua, ſicuti Mathematicæ, vt non immeritò Philoſophus eas, tamquam
veræ ſcientiæ typum, eumque; omnibus numeris abſolutum ſibi ob oculos pro­
 poſuerit, ex quo veræ ſcientiæ deſcriptionem hiſce libris complecteretur.
19
Tex. 2. (Quod enim omne triangulum habet duobus rectis æquales, præſciuit:
quod autem hoc, quod eſt in ſemicirculo triangulum eſt, ſimul inducens cognouit)
vide primo, quæ ſupra libro 1. Prior. ſecto 3. cap. 1. explicaui de angulis
trianguli. deinde ſcias, quod quando Ariſt. ait, hoc, quod eſt in ſemicircu­
 lo triangulum, &c. alludit ad demonſtrationem quandam, quam ipſe infe­
 rius in exemplum adducet, & quæ eſt in 3. Elem. Euclidis 31. in qua talis fi­
 gura proponitur qualis eſt præſens, in qua vides triangulum A B C. in ſe­
15[Figure 15]
micirculo. tunc autem dicitur triangulum in
ſemicirculo, quando baſis ipſius eſt diameter
ſemicirculi, & reliqua duo latera ita concur­
runt ſimul in angulum B, vt ipſum pariter in
circumferentia conſtituant, quibus pręmiſsis
ſic textum explicaueris: quod enim omne
triangulum habet tres angulos æquales duo­
 bus rectis angulis præſciuit vniuerſaliter per
32. primi; quod autem hoc particulare triangulum A B C, quod eſt in ſe­
micirculo habeat eandem proprietatem, ſimul, ac quiſpiam animaduertit
illud eſſe triangulum cognoſcit, abſque vlla demonſtratione, ſed ſolum virtu­
 te illius maioris propoſitionis; omne triangulum habet tres, &c.
20
Tex. 5. (Vera quidem igitur oportet eſſe, quoniam non eſt non ens ſcire, vt quod
diameter ſit commenſurabilis) conſule ea, quæ ſcripſimus ad cap. 23. primi
Priorum, ſecto 1. ſine quibus locus hic ſatis intelligi nequit; ijs autem per­
 ceptis ſic locum hunc explicare poſſumus, cum diameter quadrati ſit
1menſurabilis lateri ſui quadrati, falſum erit dicere diametrum eſſe com­
 menſurabilem prædicto lateri, quod autem falſum eſt, illud non eſt; igitur
impoſsibile eſt ſcire diametrum eſſe commenſurabile.
21
Hoc eodem cap. plura dicuntur de Principijs Demonſtrationis, ſiue ſcien­
 tiæ, vt ſunt Dignitates, Poſitiones, Definitiones, & ſimilia, quæ quo modo
ſe habeant, & quo modo illis Demonſtrationes innitantur, optimè ex con­
 templatione primi libri Elem. Euclidis percipi poteſt. vt propterea benè ij
ſentiant, inter quos præcipui ſunt Toletus, & Zabarella, qui aſſerunt, Ariſt.
Mathematicas ſcientias tamquam typum perfectiſsimarum ſcientiarum
ſibi ob oculos propoſuiſſe; ex quo typo veræ ſcientiæ deſcriptionem his li­
 bris complectaretur.
22
Eodem tex. 5. (Ponit enim Arithmeticus vnitatem indiuiſibilem eſſe ſecun­
 dum quantum) hoc quamquam non ponatur ab Arithmeticis expreſsè, præ­
 ſupponitur tamen ab eis: nuſquam enim Euclides in totis tribus Arithme­
 ticis libris, infra vnitatem deſcendit, vt propterea appareat, ipſam in quan­
 titate diſcreta eſſe minimum, & indiuiſibile. Verum dubitabit fortè quiſ­
 piam hoc modo, ſi vnitas minimum, atque indiuiſibile eſt in quanto diſcreto,
qua igitur ratione Arithmetici practici eam diuidunt in dimidium, in trien­
 tem, in quadrantem, & alijs ſimiliter modis, vnde numeri illi, qui fractio­
 nes appellantur, exurgunt? Reſpondemus, quotieſcunque vnitas diuiditur ab
Arithmeticis, tunc ipſi eam accipiunt tanquam totum quoddam continuum
in plures partes diuiſibile: ſiue tanquam aggregatum quoddam vnitatum,
quæ vnitates ſunt partes illius, vt quando dicunt, vnum horæ quadrantem,
vel duos horæ quadrantes, vel tres horæ quadrantes, accipiunt horam tan­
 quam aggregatum quatuor quadrantum, & propterea numeri illi 1/4. 2/4. 3/4.
& ſimiles fractiones, nihil aliud ſunt, quam numeri partium vnius horæ: ex
quo patet huiuſmodi fractiones omnes reduci ad numeros integros, qui
enim dicit tres quadrantes 3/4. dicit tres partes alicuius totius, quod intel­
 ligitur diuiſum eſſe in 4. æquales partes, ex quibus illæ tres tantummodo
numerat.
23
Tex. 9. (Per ſe autem, quæcunque & inſunt in eo, quod quid eſt, vt triangulo li­
 nea, & lineæ punctum; ſubſtantia namque ipſorum ex his eſt, & in oratione dicen­
 te, quid eſt, inſunt) aggreditur explicare quænam ſint ea, quæ per ſe dicun­
 tur: quotque; modis dicatur aliquid per ſe. quorum primus eſt, ea ſcilicet,
per ſe de aliquo ſubiecto dici, quæcunque in definitione illius ponuntur, cu­
 iuſmodi ſunt linea, & punctum, quæ per ſe prædicantur, illa de triangulo,
iſtud de linea; in definitione enim trianguli ponitur linea recta, quia linea
recta dum terminat illam ſuperficiem, quæ dicitur triangulus illi trianguli
naturam impertitur, & ideo triangulus definitur ſic, triangulus eſt figura
tribus lineis rectis terminata. ſimiliter in definitione lineæ, non infinitæ,
ſed finitæ, & terminatæ ponitur punctum, quia duo puncta, quæ ſunt extre­
 ma illius, faciunt, vt ea ſit line a finita, & definitur ſic, linea finita eſt lon­
gitudo, cuius extrema ſunt puncta. quamuis autem hæc definitio apud Eu­
 clidem expreſſa non habeatur, tamen ex definitionibus ipſius præſertim ſe­
 cunda, tertia, & quarta elici poteſt.
24
Eodem tex. 9. (Et quibuſcunque inexiſtentium ipſis, ipſæ ſunt in oratione, quid
1est declarante, quemadmodum rectum ineſt lineæ, & circulare: & impar, & par
numero, & primum, & compoſitum, & æquilaterum, & altera parte longius. &
omnibus bis inſunt in oratione, quid eſt declarante, ibi quidem linea, hic vero numerus)
quia locus hic benè exponitur à Toleto, & melius etiam à Conymbr. addam
tantummodo quædam, quæ ad perfectam eius intelligentiam deſiderantur.
Sciendum igitur primò, nuſquam ab Euclide definiri rectum, circulare,
impar, par, primum, compoſitum, æquilaterum, nec altera parte longius:
verum ab ipſo in definitionibus primi definiri lineam rectam, non tamen cir­
 cularem expreſsè. in definitionibus deinde ſeptimi definiri numerum parem,
& imparem, item numerum primum, & compoſitum, & æquilaterum, & al­
 tera parte longiorem. ex quibus definitionibus poſſunt erui definitiones re­
 cti, circularis, imparis, & cæterorum, quorum hic Ariſtoteles meminit.
Cæterum Euclides definitione 11. ſeptimi, ſic definit numerum primum:
primus numerus eſt, quem vnitas ſola metitur. numerus autem, vel vnitas
metiri dicitur alium numerum, quando ſæpius repetita ipſum omnino ad­
 æquat, vt ternarius metitur nouenarium, quia ter repetitus ipſum ad vn­
 guem explet. illi igitur numeri dicuntur ab Arithmeticis primi, qui à nullo
alio, præterquam ab vnitate menſurantur, quales ſunt, 2. 3. 5. 7. &c. Defi­
 nitione verò 13. definit numerum compoſitum ſic; compoſitus numerus eſt,
quem numerus quiſpiam metitur, vt ſenarius erit compoſitus, quia ipſum
binarius metitur, nam ter repetitus, ipſi perfectè adæquatur.
Per æquilaterum, intelligit quadratum, quadratus autem numerus defi­
 nitione 18. ſeptimi ſic explicatur: Quadratus numerus eſt, qui ſub duobus
æqualibus numeris continetur, ideſt, qui fit ex ductu vnius numeri in ſe ip­
16[Figure 16]
ſum, vt ſi ducantur 3. in 3. fient 9. qui continetur ſub duobus
ternarijs; omnes autem ternarij ſunt æquales. is autem nu­
 merus dicetur quadratus, quia, vt apparet in figura, nouem
ipſius vnitates poſſunt in plano ita ad inuicem collocari, vt
referant quadratum; & ſicuti quadratum geometricum ha­
 bet latera æqualia, ita etiam quadratum arithmeticum: ſi­
 ue numerus quadratus, habet ſua latera æqualia, quot enim vnitates ſunt
in vno, tot etiam ſunt in reliquis, vt in præſenti ſunt tres vnitates in ſingulis
lateribus. pręterea quemadmodum quadratum geometricum reſolui poteſt
in plura quadrata, ita etiam arithmeticum, vt præſens, qui reſoluitur in
quatuor quadrata arithmetica. Neque enim poteſt quilibet numerus, vt opi­
 nantur ageometreti, in hunc modum diſponi, ſed ſolum ij, qui producuntur
ex multiplicatione numeri alicuius in ſe ipſum.
Per altera parte longius, intelligit numerum, qui producitur à duobus
17[Figure 17]
numeris inæqualibus inuicem multiplicatis, qualis eſt
duodenarius, qui ex ductu trium in quatuor produci­
 tur, & refert figuram altera parte longiorem, ſiue, vt
ait Boetius longilateram, cuius vnum latus eſt maius
altero, vt in appoſita figura videre licet. atque hæc
ſunt, quæ ex Mathematicis petenda erant, ad huius
loci intelligentiam.
25
Tex. 11. (Per ſe autem, & ſecundum quod ipſum, idem, vt per ſe lineæ inest
1punctum, & rectum; etenim ſecundum quod linea, & triangulo, ſecundum quod
triangulum duo recti: etenim per ſe triangulum duobus rectis æquale. Vniuerſale
autem eſt tunc, quando in quolibet, & primo monſtratur, vt duos rectos habere,
neque figuræ eſt vniuerſale, quamuis eſt monſtrare de figura, quod duos rectos habet,
ſed non de qualibet figura, neque vtitur qualibet figura monstrans, quadrangulum
enim figura a quidem est, non habet autem duobus rectis æquales. Aequicrus verò
habet quidem quodcunque duobus rectis æquales, ſed non primò, ſed triangulum
prius. quod igitur quoduis primum monſtratur duos rectos habens, aut quodcunque
aliud, huic primo ineſt vniuerſale, & demonstratio de hoc vniuerſaliter eſt, de alijs
verò quodammodo, non per ſe, neque de æquicrure eſt vniuerſaliter, ſed in plus) pro
quorum intelligentia neceſſaria ſunt ea, quæ primo Priorum ſecto 3. cap. 1.
ſcripſimus. deinde memineris figuram vniuerſaliorem eſſe triangulo, & tri­
 angulum vniuerſalius æquicrure. quando ait (vt duos rectos habere) vult
dicere, habere duos angulos rectos non actu, ſed potentia; quæ affectio eſt
trianguli, quia, vt ſuperius diximus, habet tres angulos æquales duobus
rectis angulis: quæ proprietas vniuerſaliter, & primò competit triangulo.
non autem figuræ, quia figura eſt vniuerſalior. neque iſoſceli, quia iſoſceles eſt
reſtrictius triangulo. omittimus reliqua ſingillatim exponere, tum quia ſa­
 tis clara ſunt, tum quia ab interpretibus benè explicantur.
26
Tex. 13. (Si quis igitur monſtrauerit, quod rectæ non coincidunt, videbitur vtique
huius eſſe demonstratio, eo quod in omnibus eſt rectis; non eſt autem: ſi quidem
non quoniam ſic æquales, fit hoc, ſed ſecundum quod quomodocunque æquales) pro­
 ponit tres errores, qui circa demonſtrationem de vniuerſali contingunt,
quos omnes Geometricis exemplis illuſtrat; affert autem primo pro tertio
errore duo exempla, quorum primum in præmiſſis verbis continetur, atque
ex 28. primi Elem. deſumitur, quam propterea primo loco exponendam
18[Figure 18]
cenſui. Quando igitur duæ rectæ conſtitu­
 tæ fuerint, vt A B, C D, in quas alia recta,
vt G F, incidens, faciat duos angulos in­
 ternos, reſpectu rectarum A B, C D, & ad
eaſdem partes rectæ E F, vt ſunt ex parte
ſiniſtra anguli A G H, C H G; exparte ve­
 rò dextra B G H, D H G; ſi inquam linea E F,
fecerit duos illos angulos ex parte ſiniſtra ſimul ſumptos, æquales duobus
rectis angulis, vel duos ex parte dextra pariter æquales duobus rectis, pro­
 bat Euclides rectas A B, C D, non concurrere, ſiue parallelas eſſe. Verum,
quia linea E F, poteſt facere aliquando prædictos angulos non tantum æqua­
 les duobus rectis, verum etiam rectos, quo etiam modo probarentur cædem
lineæ eſſe parallelæ, vt in ſequenti figura, cum ſint anguli A G I, C I G, re­
19[Figure 19]
cti, probabitur de rectis A B, C D, æquidiſtan­
 tia. Ex his facile textum in hunc modum expo­
 nemus; ſi quis igitur monſtrauerit, quod rectæ
A B, C D, nunquam coincidunt, etiamſi in infi­
 nitum producantur, ſeu quod ſunt æquidiſtantes,
quando anguli prædicti interni ſunt duo recti,
videbitur vtique huius eſſe demonſtratio de vniuerſali per ſe, & de primo
1biecto, vel ſecundum quod ipſum, eò quod probatur vniuerſaliter de lineis
omnibus habentibus prædictos angulos rectos. non autem de omni, ſecun­
 dum quod ipſum, ſi quidem non competit affectio hæc, eſſe parallelas, li­
 neis habentibus illos angulos rectos actu; ſed primò, & vniuerſaliter, & ſe­
 cundum quod ipſum competit lineis habentibus illos angulos æquales duo­
 bus rectis, quomodocunque æquales ſint duobus rectis, ſiue ambo ſint recti,
ſiue vnus acutus, alter obtuſus, ſed tamen ambo ſimul æquentur duobus re­
 ctis, quales ſunt lineæ primæ figuræ. In tertio igitur errore, vniuerſale exi­
 ſtit quidem, & habet nomen, ſed tamen prætermittetur, ſeu ſtrictius ſume­
 tur, quam oportet. alij latini, quos quidem viderim, præter Zabarellana
perperam omnino ob mathematicarum ignorantiam, exemplum iſtud in­
terpretantur.
27
Ibidem (Et ſi triangulum non eſſet aliud, quam Iſoſceles, ſecundum quod Iſo­
 ſceles videretur vtique ineſſe) iſtud eſt ſecundum exemplum tertij erroris. Por­
 rò cum tres ſint ſpecies triangulorum, æquilaterum, Iſoſceles, Scalenum, ſi
accideret, vt ex illis tribus vna tantum ſpecies, v. g. Iſoſceles in mundo re­
 periretur; tuncque; quiſpiam de Iſoſcele oſtenderet affectionem quampiam,
putans ſe oſtendiſſe paſſionem de proprio ſubiecto, & primo, falleretur, quia
aifectio illa competeret Iſoſceli, non vt huic ſpeciei Iſoſcelis, ſed quatenus
eſt triangulum, cui primo, & per ſe, & ſecundum quod ipſum conuenit. hoc
loco diſceſſimus à Zabarella, qui putat iſtud eſſe exemplum primi erroris,
cum verba textus adeo clara ſint, vt expoſitionem illius nullo modo admit­
 tant. ſunt autem hæc textus verba (Et ſi triangulum non eſſet aliud, quam Iſo­
 ſceles, ſecundum quod Iſoſceles videretur vtique ineſſe) quibus verbis manifeſtè
apparet Ariſt. accipere pro ſubiecto vniuerſali non indiuiduum vnum, vt in
primo errore contingit, ſed ſpeciem loco generis, ſcilicet Iſoſceles, quod
eſt ſpecies trianguli pro genere ipſo, nimirum pro Triangulo. ait enim, ſi
non eſſet aliud, quam Iſoſceles, ſecundum quod Iſoſceles: quibus verbis cla­
rè ſpeciem, non indiuiduum, ſignificat, ex his duobus exemplis manifeſtus
eſt tertius error, qui erat, quando erat (vt in parte totum) quodque; illis verbis
expoſuerat (vel contingit etiam, vt in parte totum, in quo monſtratur: ijs enim,
quæ ſunt in parte inerit quidem demonſtratio, & erit de omni, ſed tamen non erit
huius primi vniuerſaliter demonſtratio. dico autem huius primi, ſecundum quod
huius demonstrationem, quando ſit primi vniuerſaliter) ideſt, quando vniuerſale
ſubiectum exiſtit quidem, ſed tamen non de ipſo ſit demonſtratio, ſed de ali­
 qua parte ipſius, v. g. de ſpecie aliqua demonſtratur aliquid, quod deberet
oſtendi primò de ipſo vniuerſali, cum illi primò competat.
28
Ibidem (Et proportionale, quod alternatim, ſecundum quod numeri, & ſecun­
 dum quod lineæ, & ſecundum quod ſolida, & ſecundum quod tempora: quemad­
 modum & monſtrabatur aliquando ſeorſum, contingens vtique de omnibus vnica
demonſtratione monſtrari; ſed quia non ſunt nominatum quidam omnia hæc vnum,
numeri, longitudines, tempora ſolida, & ſpecie differunt à ſeinuicem ſeorſum ac­
cipiebantur. nunc autem vniuer aliter monſtratur, neque enim ſecundum quod lineæ,
aut ſecundum quod numeri, inerat; ſed ſecundum quod hoc, quod vniuerſale ſup­
 ponunt eſſe) affert exemplum ſecundi erroris, qui accidit, quando vniuerſa­
 le exiſtit quidem, ſed tamen eſt innominatum, pro cuius explicatione
1dum quid ſit alterna proportio. Alternam igitur proportionem definit Eu­
 clides definitione 12. quinti, ſic, eſt ſumptio antecedentis ad antecedentem,
20[Figure 20]
& conſequentis ad conſequentem. Explico, exponantur qua­
 tuor quantitates proportionales, v.g. vt 6. ad 3. ita ſint 4. ad
2. ſi igitur argumentemur ſic, vt 6. ad 3. ita 4. ad 2. ergo al­
 ternatim erit, vt 6. ad 4. ita 3. ad 2. ſiue dixerimus, vt pri­
 mum ad ſecundum, ita tertium ad quartum, igitur alterna­
 tim erit, vt primum ad tertium, ita ſecundum ad quartum: valebit conſe­
 quentia; quæ quidem probatur deinde propoſitione 16. quinti de magnitu­
 dinibus, hoc eſt in vniuerſum de lineis, ſuperficiebus, & ſolidis. quando igi­
 tur Ariſt. ait, monſtramus proportionale, ideſt, quaſuis quatuor quantita­
 tes proportionales, habere hanc proprietatem, vt ſint etiam alternatim
proportionales, & non monſtramus vnica demonſtratione de omni quouis
proportionali, ſed ſeparatim de magnitudinibus in 16. quinti, de numeris
in 13. ſeptimi, & ſeorſum de temporibus in aſtronomia, vel phyſica; hoc
modo non oſtendimus vniuerſaliter de primo ſubiecto, quia talis affectio
conuenit ſingulis, non vt numeri, aut magnitudines, aut tempora ſunt, ſed
ſecundum quandam naturam illis omnibus communem, cui primò illa paſ­
 ſio debetur; quæ quidem natura communis nomine caret, & propterea eſt
cauſa erroris.
29
Nunc autem vniuerſaliter demonſtratur) nuſquam apud Mathematicos in­
 uenio hanc demonſtrationem vniuerſalem de illo communi omnibus præ­
 dictis, quare dicendum cum Zabarella, illud, nunc, eſſe intelligendum ſic,
nunc autem, ideſt, in præſentia autem deberet vniuerſaliter demonſtrari,
quod tamen cum non fiat, contingit nos decipi putantes vniuerſaliter de­
 monſtraſſe. vel dicendum iſtud verificari tantum de lineis, ſuperficiebus, &
ſolidis, de quibus ſimul in vnica natura communi, quæ eſt magnitudo, de­
 monſtratur in 16. quinti vniuerſaliter. atque hoc modo explicatum eſt exem­
 plum ſecundi erroris, qui verbis illis (Vel ſit quidem, ſed innominatum ſit in
rebus ſpecie differentibus) continebatur.
30
Ibidem (Propter hoc ſi quis monſtrauerit ſingulum triangulum. demonſtratio­
 ne aut vna, aut altera, quod duos rectos habet vnumquodque, æquilaterum ſeorſum,
& ſcalenum, & æquicrus: nondum nouit triangulum, quod duobus rectis, niſi ſo­
 phiſtico modo, neque vniuerſaliter triangulum, neque ſi vllum eſt præter prædicta
triangulum alterum. non enim ſecundum quod triangulum, neque omne triangulum,
niſi ſecundum numerum, ſecundum ſpeciem autem non omne; & ſi nullum eſt, quod
non nouit) vltimo loco ponit exemplum primi erroris, quem ſupra verbis il­
 lis (Quando vel nihil ſit accipere ſuperius, præter ſingulare) expreſſerat, quod,
vt benè intelligamus, opus eſt ea, legere, quæ libro primo Priorum ſecto 3.
cap. 1. ſcripſimus de proprietate illa trianguli, quod ſcilicet habet tres an­
 gulos æquales duobus rectis angulis, quibus præmiſſis, ſic deinde locum
hunc interpretaberis; Propter hoc, quod præcedenti textu dictum eſt; no­
 tandum in primo errore vniuerſale, tanquam ſi non eſſet vniuerſale oſten­
 ditur de ſingulari, ſi quis igitur monſtrauerit ſingillatim de vnoquoque trian­
 gulo in ſingulari, ſcilicet de vno æquilatero, tantum, & de vno Scaleno, &
de vno Iſoſcele, ſeparatim, vtens aut eadem demonſtratione dum de vnoque;
1ſeparatim oſtendit, aut vtens diuerſis demonſtrationibus, vna pro æquila­
 tero, altera pro Iſoſcele, tertia pro Scaleno, oſtendens, quod vnumquodque
illorum habet tres angules æquales duobus rectis angulis; iſte nondum no­
 uit triangulum omne habere talem affectionem, niſi modo ſophiſtico, quia
non cognoſcit hanc affectionem illis competere propter naturam illam com­
 munem trianguli, cui primo, & per ſe competit; & neque vniuerſaliter co­
 gnoſcit triangulum omne eſſe tale, etiam ſi nullum aliud reperiatur trian­
 gulum, præter illud æquilaterum, vel illud Iſoſceles, vel illud Scalenum, de
quibus ſeparatim demonſtrauit, & ſecundum numerum, ideſt de vnoquoque,
quatenus eſt vnum numero. non nouit autem ſecundum ſpeciem, idest fecun­
 dum naturam, & formam communem illis tribus indiuiduis, quæ eſt natu­
 ra trianguli. hoc autem eſſe exemplum primi erroris manifeſtè conuincitur,
tum ex verbis illis, quando nihil ſit ſuperius, præter ſingulare, tum ex hu­
 ius textus verbis illis (Singulum triangulum) & ex illis (Niſi ſecundum nume­
rum) ideſt, niſi de vno, quod ſit vnum numero. propterea nos de ſingulari
triangulo omiſſa Zabarellæ ſententia explicauimus tandem in confirma­
tionem noſtræ expoſitionis in hæc tria errata illud non omittendum, ſatius
eſſe dicere, Ariſt. attuliſſe pro tribus erratis tria exempla ordine retrogra­
 do, quàm, quod facit Zabarella, primum eſſe pro tertio, ſecundum pro pri­
 mo, tertium verò pro ſecundo; eo enim modo, Ariſt. confuſionem nulla ra­
 tione, imò contra omnem rationem imponimus.
31
Textu 14. continet quidem quædam mathematica, ſed ferè eadem cum
ſuperioribus, quæ quia tum ex prædictis facile intelligi poſſunt, tum quia
benè ab expoſitoribus explicantur, ne actum agamus, prætermittimus.
32
Tex. 20. (Niſi magnitudines numeri ſint) hoc eſt, niſi magnitudines ſint di­
 feretæ, ita vt cadant ſub numerum, vt ſi linea quæpiam diuidatur in partes
decem, vel duodecim, tunc euadit quantitas diſcreta, ſiue numerus. & tunc
linea numerus eſt. idem de ſuperficie, ac ſolido intelligendum.
33
Ibidem (Propter hoc Geometriæ non licet monſtrare, quod contrariorum vna
eſe ſcientia, ſed neque quod duo cubi cubus) quo ad verba illa, duo cubi cubus,
quæ ad nos pertinent, vult Ariſt. docere, quod non debet Geometra oſten­
dere numerorum affectiones (per cubos enim intelligit numeros quoſdam
ſic dictos, vt paulo poſt oſtendam) vt ſi quis vellet geometricè oſtendere id,
quod oſtenditur in 4. noni Elem. ſcilicet, ſi cubus numerus cubum numerum
multiplicauerit, productus numerus erit pariter cubus. nonnulli latinorum
perperam textum hunc expoſuerunt putantes reperiri ſolummodo cubos
geometricos, at Euclides definit. 19. ſeptimi, ſic arithmeticum cubum de­
 finit, cubus numerus eſt, qui ſub tribus numeris æqualibus continetur, qua­
 lis eſt. 8. qui eſt ad inſtar cubi geometrici, & continetur ſub tribus binarijs
multiplicatis inuicem, quæ multiplicatio ſic inſtituitur, exponuntur tres bi­
21[Figure 21]
narij, 2, 2, 2, primus ducitur in ſecundum, & producitur.
4. qui eſt numerus quadratus huius figuræ, 22[Figure 22], deinde
tertius binarius ducitur in prædictum quadratum 4. & pro­
 ducitur 8. qui dicitur cubus, quia ſi intelligantur duo qua­
 ternarij, vnus ſupra alterum, vt in præſenti figura refe­
 runt cubicam figuram, cuius tam longitudo, quam
1& altitudo, eſt 2. Similiter cubus numerus eſt 27. quia ſit ex tribus terna­
 rijs inuicem modo prædicto multiplicatis, 3. 3. 3. nam 3. in 3. ductis ſit 9.
23[Figure 23]
qui eſt quadratus. quo deinde ducto in tertium ter­
 narium, producitur 27. qui eſt cubus, & refert figu­
 ram cubicam hanc. Iam verò ſi cubus 8. multipli­
 cet cubum 27. procreabitur 216. qui pariter cubus
eſt. atque hoc ſibi volunt verba illa, ſi duo cubi cubus,
ideſt, ſi duo numeri cubi multiplicentur mutuò, cu­
 bus alter producetur; ex quibus videas, quam in­
 eptè illi interpretentur hunc locum, qui dicunt, Ari­
 ſtotilem velle dicere non pertinere ad Geometram
probare duos cubos geometricos ſibi additos face­
 re alium cubum, quod erat problema Delphicum de
duplatione cubi, nondum inuentum; bis enim iſti peccant, primo in Logi­
 cam, quia ſic non tranſiret Geometra de genere in genus, ipſius enim eſt
agere de duplatione cubi; ſecundò in Mathematicas, cum nondum noue­
rint arithmeticos cubos; & præterea ignorent duos cubos ſibi additos, non
facere alium cubum. Quod præterea hoc loco intelligendi ſint cubi arith­
 metici certò certius conſtat, ex ſequenti 24. textu, vbi ſic dicitur (Veluti
Arithmetica quidem, quid impar, aut par, aut quadrangulum, aut cubus.)
34
Ibidem (Neque alij ſcientiæ quod alterius, niſi quæcunque ita ſe habent inter ſe,
vt ſit alterum ſub altero, vt perſpectiua ad Geometriam, & harmonica ad Arith­
meticam) excipit ab illa regula (qua prohibetur, quamuis ſcientiam in alie­
 nam falcem immittere) ſcientias ſubalternatas, quæ propriè in Mathemati­
 cis reperiuntur, Perſpectiua enim propriè ſubalternatur Geometriæ, quia
vtitur Demonſtrationibus linearibus, quas applicat lineis viſualibus, & Mu­
 ſica ſubalternatur Arithmeticæ, quia ab ipſa mutuatur demonſtrationes nu­
 merorum, quas applicat numeris ſonoris. v.g. Perſpectiua dicit, ea, quæ vi­
 dentur eminus videri minora, quam quæ videntur cominus, quia illa viden­
 tur ſub angulo minori, hæc verò ſub angulo maiori, quod verò remotiora
videantur ſub angulo minori, quam propinquiora cæteris paribus probat
24[Figure 24]
per 21. primi Elem. ſit enim ma­
 gnitudo viſa A B, remotior ab o­
 culo in C, poſito, & viſa propin­
 quior ab oculo in D. ductis lineis
viſualibus C A, C B: D A, D B; ab
oculis C, & D, ad extremitates
ſpectatæ magnitudinis, erit remo­
 tioris viſionis angulus C, minor
angulo D, propinquioris, vt ex præallegata Demonſtratione pater. Hine
perſpicuè vides, qua ratione Perſpectiua Geometriæ ſubalternetur, ſiue
quid ſit ipſa ſubalternatio, vbi medium eſt Geometricum, concluſio autem
optica. Exemplum ſubalternationis Muſicæ ſit, conſonantia Diapaſon, quam
vulgò octauam appellant in data chorda collocare, hoc eſt, vocem grauio­
 rem facere duplam vocis acutioris ſumatur chorda A B, & diuidatur bifa­
riam, ſine in æqualia in C; tota igitur chorda A B, ad dimidium A C, habet
125[Figure 25]
proportionem, quam 2. ad 1.
ſiue duplam, ergo etiam ſo­
 nus totius chordæ A B, ad ſo­
num chordæ dimidiæ A C, ha­
 bebit eandem rationem, nimirum quam 2. ad 1. ſiue duplam. ſed ſonus chor­
 dæ A B, ad ſonum chordæ A C, conſonat diapaſon, ſeu octauam, ergo in
data chorda collocata eſt conſonantia diapaſon, quod oportebat. vides me­
 dium eſſe arithmeticam, concluſionem verò harmonicam. Aliud exemplum
Tonus, quod eſt interuallum primæ vocis, Vt, ad ſecundam, Rè, in duo æqua­
 lia ſemitonia diuidi nequit, ratio eſt Arithmetica, quia proportio ſuper­
 particularis in duo æqualia arithmeticè ſecari nequit; at Tonus conſiſtit in
ratione ſuperparticulari, nempè in ſeſquioctaua, ergo Tonus bifariam diui­
 di nequit. deſumptum eſt ex Boetio.
35
Tex. 23. (Est autem ſic monſtrare, quemadmodum Bryſo quadraturam, ſecun­
 dum enim commune monſtrant tales rationes) cum velit oſtendere veram de­
 monſtrationem conſtare debere ex proprijs, non autem ex communibus;
primum affert exemplum demonſtrationis cuiuſdam Bryſonis, quæ ex com­
 munibus procedat, vt autem benè intelligamus, qualeſnam ſint huiuſmodi
demonſtrationes, quæ per communia oſtendunt, legenda prius ea ſunt, quæ
ſcripſimus de quadratura circuli in prędicamento relationis. Bryſo itaque,
vt tradit Alexander, in hunc modum conabatur quadrare circulum. ſit qua­
drandus circulus A B C D, cui circumſcribatur quadratum E F G H. per
7 quarti, & alterum quadratum I L M N, eidem inſcribatur per 6. quarti,
quid autem ſit circumſcribere, & inſcribere figuram circulo, ex definitione
26[Figure 26]
3. & 4. eiuſdem libri petatur, quamuis
ex inſpectione figuræ pręsentis ſatis per­
 cipi poſſit; deinde aliud quadratum me­
 dium inter prædicta duo conſtituatur,
ſitque; O P Q R. Iam ſic oſtendebat iſtud
medium quadratum eſſe æquale circu­
 lo propoſito. Quæcunque ſunt, ſimul ma­
 iora eodem, & minora eodem, ſunt in­
 uicem æqualia, ſed circulus, & quadra­
 tum medium, ſunt ambo maiora qua­
 drato inſcripto, & ambo minora qua­
 drato circumſcripto, ergo circulus, &
quadratum medium, ſunt æqualia. vte­
 batur, inquit Ariſt prędicto principio,
etiam numeris, lineis, temporibus, &
qualitatibus communi, neque deducto ex natura circuli, aut quadrati, de qui­
 bus erat demonſtratio. præterea aduertendum eſt, illud eſſe falſum, nam ſex,
& quinque, ambo ſunt maiores, quam quatuor, & minores, quam ſeptem,
& tamen non ſunt æquales.
36
In codem textu (Vnumquodque autem ſcimus, non ſecundum accidens, quando
ſecundum illud cognoſcamus, ſecundum quod ineſt ex principijs illius, ſecundam
quod illud; vt duobus rectis æquales, habere, cui ineſt per ſe, quod dictum eſt ex
1principijs huius) affert nunc exemplum alterius demonſtrationis, quæ non
ex communibus, vt præcedens Bryſonis, ſed ex proprijs principijs oſtendit
affectionem de ſubiecto proprio. Eſt autem illud exemplum toties decan­
 tatum de triangulo habente tres angulos æquales duobus rectis angulis; id­
 circo operæpretium eſſe puto explicare demonſtrationem, 32. primi Eucli­
 dis, quæ iſtud ex proprijs principijs demonſtrat, & quam hoc loco Ariſto­
 teles innuit, hoc enim modo ipſius Ariſt. mentem probè penetrare poteri­
27[Figure 27]
mus. ſit ergo triangulum A B C. Dico ag­
 gregatum trium ipſius angulorum A, B, C,
eſſe æquale aggregato ex duobus angu­
 lis rectis (vt autem melius intelligas, quæ
ſequuntur, lege prius ea, quæ dicta ſunt
in lib. 1. Priorum ſecto 3. cap. 1.) produ­
 catur latus B C, vſque in D, vt fiat angulus
externus A C D; Iam ſic, quoniam pro­
batum eſt in 13. primi, duos angulos, quos
facit linea A C, cum linea B D, ſcilicet angulos A C B, A C D, eſſe pares
duobus rectis: & quia pariter in prima parte huius propoſ. 32. probatum
eſt ab Euclide duos angulos A B, eſſe æquales externo angulo A C D: ſi ter­
 tius angulus reliquus A C B, ſumatur bis, ſemel cum duobus angulis A, B,
& ſemel cum externo A C D, addentur æqualia æqualibus, & propterea tres
anguli A, B, A C B, ſimul ſumpti, erunt æquales duobus A C D, A C B, ſimul
ſumptis; ſed his duobus ſunt æquales duo recti, ergo cum quæ ſunt æqualia
vni tertio, ſint etiam æqualia inuicem, erit aggregatum trium angulorum
A, B, A C B, æquale aggregato duorum rectorum; quod erat demonſtran­
 dum. Medium itaque huius demonſtrationis, ſi res ad trutinam Logicam ex­
 pendatur, eſt, quod partes aggregati trium angulorum A, B, A C B, ſunt æqua­
 les partibus aggregati duorum, & ideo aggregatum, aggregato æqua­
 le eſt. quod medium eſt in genere cauſæ materialis. quod verò partes illius
ſint æquales partibus huius, probatur, per dignitatem illam, quæ ſunt æqualia
vni tertio, ſunt etiam inter ſe. partes porrò aggregati trium angulorum
erant hæ, anguli A, B, vna; altera verò angulus A C B; partes verò aggre­
 gati duorum rectorum erant A C B, A C D, quibus partibus, illæ ſunt æqua­
 les, & ideo totum toti æquale. quod medium eſt omnino intrinſecum, & ex
proprijs ipſius trianguli, ſiue ex proprijs angulorum ipſius, cum ſint ipſius
partes. quod pariter medium ex parte paſſionis, quæ demonſtratur, eſt ex
proprijs, cum ſint partes illius materiales. per materiam autem oportet
hoc loco intelligere materiam intelligibilem, ideſt quantitatem à qualita­
tibus abſtractam, & terminatam, de qua pluribus agemus infra in tractatu
de natura mathematicarum. Hinc videas eos magnopere decipi, qui pu­
 tant, hanc demonſtrationem eſſe per extrinſeca, eò quod ad demonſtran­
 dum producatur linea B C, in D, putantes lineam illam productam C D,
eſſe demonſtrationis medium; lineæ namque huiuſmodi, quæ in demonſtra­
 tionibus geometricis conſtruuntur, nunquam ſunt media propria demon­
 ſtrationum, ſed tantummodo aſſumuntur ad probandum medium iam ex­
 cogitatum eſſe veram cauſam concluſionis. Hinc etiam manifeſtè colligas
1Mathematicas facultates habere demonſtrationes perfectiſſimas, quod
ageometreti negare ſolent, ſed audacter aiunt exempla Ariſt. non eſſe vera:
neque requiri veritatem exemplorum; in quorum vtroque peccant, nam dictum
illud vſurpari ſolet, & debet de exemplis moralibus. at vero requiri confor­
 mitatem exemplorum cum regulis traditis, nemo ſanæ mentis dubitabit.
Verum iſti confundunt conformitatem cum veritate. Veritas exemplo tunc
ineſt, quando illud, quod in exemplo narratur, verè extitit, vt ſi quis in
exemplum pudicitiæ afferret hiſtoriam Ioſephi, verum iſtud eſſet exemplum.
quæ veritas in exemplis moralibus non ſemper eſt neceſſaria, talia exempla
ſunt ſæpè parabolæ, & fabulæ, quæ nunquam extiterunt, v. g. narratur ab
Ariſt. de quodam filio, qui patrem crudeliter traxerat, qui poſtea grandior
factus, cum filium procreaſſet, ab eodem pariter raptatus eſt ipſe, vſque ad
eundem locum, quo ipſe patrem ſuum impiè raptauerat. non eſt neceſſe, ta­
 lem extitiſſe filium, neque patrem. Verumtamen ſemper conformitas exem­
 pli cum regulis, & præceptis, quæ traduntur neceſſaria eſt, alioquin exem­
 pla deſtruerent id, quod præceptio conſtruit, illique contraria eſſet, quod om­
 nino abſurdum foret. non ſecus, ac ſi quis vellet alium docere characteres
latinos, illique; barbaros, quos Gothicos vocant in exemplum proponeret. re­
 quiritur igitur ſemper in omni exemplo conformitas cum eo, quod doce­
 tur; in moralibus tamen non ſemper requiritur veritas, vti diximus; Alij
verò dicunt non requiri in exemplis determinatam veritatem, ſed ſatis eſſe,
ſi exemplum verum ſit ſecundum opinionem aliquorum: quorum ſententiam
non improbamus. Exempla igitur ab Ariſt. paſſim ex mathematicis allata,
congrua, conformiaque; omninò ſunt ipſius doctrinæ, aliter ipſum perpetuò
mentientem facimus. Poſtremò illud etiam eſt aduertendum, fortè Ariſt. in
præſenti textu ſpectaſſe non ad hanc Euclidianam demonſtrationem, ſed po­
 tius ad Pithagoricam. Pithagorei enim eam aliter, quamuis per idem me­
 dium, ſcilicet à cauſa materiali, demonſtrabant; conſtruebant enim aliter,
neque vlla vtebantur diuiſione. quod dictum velim propter nonnullos, qui ab
huiuſmodi diuiſionibus abhorrent, timentque; ne demonſtrationis perfectio­
 ni per eas plurimum derogetur. Pithagoreorum demonſtrationem vide
apud Clauium in ſcholio 32. primi Euclidis, quam ex Eudemo etiam Pro­
 clus in comm. eiuſdem recitat.
37
Ibidem (Sed quemadmodŭm harmonica per Arithmeticam) vide ſupra tex. 20.
38
Ibidem (Demonſtratio autem non computatur in aliud genus; niſi, vt dictum
eſt geometricæ demonſtrationes in Perſpectiuas, aut Mechanicas, & arithmeticæ in
harmonicas) exempla ſubalternationis Perſpectiuæ, & Muſicæ in tex. 20. at­
 tulimus; nunc Mechanicæ ſubalternationis, quam hic Ariſt. inſinuat, exem­
 plum ſit illud, quod Archimedes prop. 14. primi Aequep. demonſtrat, ni­
 mirum centrum grauitatis omnis trianguli eſſe punctum illud, in quo rectæ
lineæ ab angulis trianguli ad dimidia latera oppoſita ductæ concurrunt. ſit
triangulum A B C, à cuius angulis A, & B, ducantur duæ rectæ A D, B E, ita
vt bifariam ſecent latera A C, B C, in punctis D, & E, & concurrant in F.
Dico F, eſſe centrum grauitatis propoſiti trianguli. Quoniam enim in 13.
Aequep. probauit centrum grauitatis eſſe in ea linea, quæ ducta ab angulo
quouis ſecat oppoſitum latus bifariam, crit in linea A D, centrum
128[Figure 28]
ſed eadem ratione erit etiam in linea B E, er­
 go non niſi in puncto F, quod ſolum eſt in vtra­
 que, quod erat demonſtrandum. ex quibus ap­
 paret, qua ratione mechanica concluſio Geo­
 metriæ ſubiaceat, dum lineari diſcurſu ipſa
demonſtratio perficitur. Scias præterea cen­
 trum grauitatis eſſe tale punctum, ex quo ſi ſu­
 ſpendatur corpus triangulare vniformis craſ­
 ſitici, manet ſemper horizonti parallelum, ſi
tamen antequam ſuſpenderetur, iacebat plano horizontis, æquidiſtans;
neque ſi ſuſpenſum feratur huc illud nutat, ſed ſemper in codem ſitu perſeuerat.
39
Tex. 24. (Veluti Arithmetica quidem quid impar, aut par; aut quadrangu­
 lum, aut cubus) cognoſcas hinc certò certius quadrangulum, & cubum eſſe
ſpecies numerorum, ſicuti ſupra tex. 9. & 20. explicauimus, quò nunc te vi­
 ciſſim, vt præſentem locum intelligas, remittimus.
40
Ibidem (Geometrica verò quid irrationale, aut refrangi, aut concurrere) per
verbum, irrationale, non videtur Ariſt. intellexiſſe proprietatem illam duo­
 rum linearum incommenſurabilium longitudine, & potentia, quia vſus fuiſ­
 ſet verbo, άορητον. quod apud Geometras vſurpari ſolet in illa ſignificatio­
 ne, ſed vſus eſt verbo, ὰλογον, quod latinè redditur improportionale.
41
Per verbum (Refrangi) ſeu frangi, intelligit lineam aliquam rectam, non
in directum tendere, ſed in aliquo puncto frangi, ſeu declinari à rectitudine,
ita vt conſtituat angulum.
Per verbum (Concurrere) intelligit, non eſſe parallelas, ſed ad idem ali­
 quod punctum coire, ſi protrahantur.
42
Ibidem (Et Astrologia ſimiliter) per Aſtrologiam intelligit Ariſt. non iu­
 diciariam, quamuis à recentioribus hoc nomine vocetur, ſed quam hodie
dicunt Aſtronomiam, aitque; ipſam conſiderare quantitatem, figuram, mo­
 tum, & locum totius Mundi, ac partium ipſius integrantium, vt ſunt Cœli,
& Elementa.
43
Tex. 25. (Neque Geometra falſa ſupponit, quemadmodum quidam aſſeruere di­
 centes, quod non oportet falſo vti: Geometram verò mentiri dicentem pedalem, non
pedalem, aut rectam deſcriptam, non rectam existentem: Geometra verò nihil con­
cludit eò, quod hæc eſt linea, ſed quæ per hæc oſtenduntur) innuit his verbis eam
materiam intelligibilem, quæ eſt ſubiectum Geometriæ: eam ſcilicet, quæ
ſub figuris Geometricis ſenſibilibus, & plerunque falſis latet; nam ſæpè Geo­
 metra vtitur linea quadam ſenſibili pro recta, quæ verè nec eſt linea mathe­
 matica, nec recta; ſupponit aliquando talem lineam eſſe pedalem, quæ ve­
 rè non eſt pedalis: Verumtamen non mentitur, quia reſpicit ad veram li­
 neam mathematicam, quæ ſub illa intelligitur, & quæ recta concipitur; &
quidem hæc omnia verè concipiuntur, quoniam ita eſſe re vera poſſunt.
44
Tex. 28. (Coaltern as verò coincidere) per coalternas intelligendas eſſe pa­
 rallelas lineas, alias, & nunc quoque monemus.
45
Tex. 29. (In Mathematicis verò non est ſimiliter paralogiſmus, quoniam me­
 diŭ eſt ſemper, quod duplex, de hoc enim omni, & hoc rurſus de alio dicitur omni)
aduerte, quod quamuis nonnulli codices habeant pro, in mathematicis,
1diſciplinis, idem tamen apud græcos μαθηματα ſunt, ac apud latinos diſci­
 plinæ; verbum autem μαθηματα vſurpat hoc loco Ariſtoteles. Porrò non
eſt in mathematicis, ſicut in alijs paralogiſmus, quia in omni demonſtra­
 tione maius extremum dicitur de omni medio, & rurſus medium dicitur de
omni minori extremo, ac ſi diceret mathematicæ demonſtrationes ſunt in
primo modo, qui barbarè à latinis recentioribus Barbara appellatur. Hæc
eſt autem pulcherrima mathematicarum commendatio, quippe præclarum
eſt à laudato laudari. In mathematicis, inquit, non accidit ſimiliter para­
 logiſmus, ideſt, tam frequenter, quemadmodum in ſyllogiſmis dialecticis,
quia modus argumentandi mathematicarum eſt perfectiſſimus, quippe in
primo modo primæ figuræ.
46
Eodem tex. (Contingit autem quoſdam non ſyllogiſticè dicere, & quod ex vtriſ­
 que conſequentia accipiunt, quemadmodum & Cæneus facit, quod ignis in multi­
 plici proportione: etenim ignis celeriter gignitur, vt ait: & hæc est proportio. ſic
autem non eſt ſyllogiſmus, niſi celerrimam proportio ſequatur multiplex: & ignem
celerrima in motu proportio) verba illa (in multiplici proportione) græcè ſic
ſe habent, εν τῃ πολλαπλασιονι αναλογιᾳ, quod melius redditur latinè in mul­
 tiplici proportione, quemadmodum fecimus, quam in multiplicata, quem­
 admodum in vulgata editione. porrò quid inter multiplicem, & multipli­
 catam rationem interſit, optimè declarat noſter Clauius ad 4. definit. lib. 5.
Elem. ex quo etiam loco pauca decerpam, quæ huic loco declarando con­
 ducunt. Proportio igitur multiplex eſt habitudo inter duas quantitates in­
 æquales, quarum maior continet minorem, bis, vel ter, vel quater, &c. vn­
 de proportio multiplex habet ſub ſe genera infinita, quando enim maior
continet minorem bis, dicitur Dupla: quando ter, Tripla: quando quater,
Quadrupla: & ſic in infinitum: v. g. 2. ad 1. eſt proportio dupla; 3. ad 1. tri­
 pla; 4. ad 1. quadrupla, &c. omnes tamen continentur ſub genere multipli­
 cis rationis. porrò ſi quępiam proportio ex genere multiplici progrediatur
per plures terminos, v. g. proportio quadrupla progrediatur hoc modo,
1. 4. 16. 64. 256. &c. fit, vt ſubſequentes termini mirum in modum augean­
 tur. hic vides primum ipſam quadruplam rationem in diſpoſitis terminis
progredi, quia quilibet ſequens terminus ad præcedentem eſt quadruplus.
cernis etiam in paucis terminis, quinque ſcilicet magnum factum eſſe incre­
 mentum, cum vſque ad 256. excreuerint. Cæneus igitur dicens ignem augeri
ſecundum multiplicem rationem, vnam ex prædictis intelligebat aliquam,
quia quælibet illarum magnopere creſcit, ſi propagetur, vt ad 10. quinti
definit. traditur: & vt paulo ante exemplo licuit perſpicere. argumentaba­
 tur igitur Cæneus in hunc modum; quod in multiplici ratione augetur, ce­
 lerrimè augetur: ignis celerrimè augetur, ergo ignis in multiplici ratione
augetur, quæ argumentatio vitioſa eſt, ex duabus quippe affirmatiuis in ſe­
 cunda figura procedens, vt colligitur ex verbis illis tex. (Ex viriſque conſe­
 quentia accipiunt) ex his mathematica huius locis patere ſatis poſſunt.
47
Ibidem (Conuertuntur autem magis, quæſunt in mathematicis, quoniam nul­
 lum accidens accipiunt (in quo quidem ijs præſtăt, quæ diſputationibus traduntur)
ſed definitiones) Hæc eſt altera mathematicarum laus, vnde earum quoque
præſtantia elucet, quia ſcilicet mathematicæ pro medijs vtuntur
1nibus ſubiecti, aut paſſionis, quæ nullo modo ſunt accidentalia concluſioni,
v. g. in prima Euclidis demonſtratione per definitionem ſubiecti probantur
tres lineæ eſſe æquales, quia nimirum ſint ſemidiametri circulorum æqua­
 lium, quæ eſt ipſarum definitio. & in 4. primi probantur baſis, & anguli
vnius trianguli æquales eſſe baſi, & angulis alterius trianguli per formalem
definitionem paſſionis, videlicet æqualitatis, quæ traditur in octauo axio­
 mate ſic, quæ ſibi mutuo congruunt, ea inter ſe ſunt æqualia. probat igitur
Euclides in quarta baſim, & angulos vnius trianguli eſſe æqualia baſi, & an­
 gulis alterius trianguli, quia oſtendit, quod, ſi baſis illa huic baſi, & illi an­
 guli hiſce angulis ſuperponantur, congruunt; ex qua congruentia mutua,
quæ eſt æqualitatis definitio, infert æqualitatem ipſarum baſium, necnon
angulorum. eadem deinde æqualitatis definitione totam demonſtrationem
concludit, ſcilicet totum triangulum toti triangulo æquale eſſe, quia vnum
alteri congruat. Aſtronomi quoque demonſtrant eclypſim de Luna, per in­
 terpoſitionem terræ inter Lunam, & Solem, quæ interpoſitio eſt definitio
cauſalis ipſius eclypſis, ſcilicet paſſionis. huiuſmodi ſexcentas reperies apud
Geometras, Arithmeticos, Aſtronomos, cæterosque; Mathematicas demon­
 ſtrationes: ita vt meritò dixerit Ariſt. Mathematicas alias omnes natura­
 les ſcientias, quæ diſputabilibus rationibus traduntur ex hac parte antecel­
 lere. aſſumunt igitur terminos conuertibiles, quia adhibent ſæpè definitio­
 nes ad demonſtrandum. Reliqua logici expoſitores declarant.
48
Tex. 30. (Rurſus quemadmodum monſtrant Lunam, quod ſphærica ſit per aug­
menta: ſi enim quod ita augetur, eſt ſphæricum; augetur autem Luna; planŭm quod
ſphærica) Illius demonſtrationis, quæ ab effectu procedit, affert exemplum
ex aſtronomia; Aſtronomi enim demonſtrant Lunam eſſe ſphæricam ab ef­
 fectu ipſius ſphæricitatis, qui eſt illuminatio ſphærica: ſic enim ratiocinan­
 tur: ea, quæ ſphæricè illuminantur ſunt ſphærica, Luna ſphæricè illumina­
 tur, ergo ſphærica eſt: quæ argumentatio fuſius explicanda eſt; quod ait,
quod ita augetur, ideſt, ſphæricè, eſt ſphæricum, ideſt, quia lumen nouæ Lu­
 næ augetur ſphæricè, hoc eſt, ad eum modum, quo quæuis ſphæra obiecta
corpori luminoſo ſolet illuminari. illuminatio porrò Lunæ in ſe ſemper eſt
eadem, quia ſemper dimidium Lunæ quod Solem aſpicit, illuminatur; dici­
 tur tamen augeri reſpectu oculi noſtri, quia ſcilicet initio facto à nouilunio
pars illuminata incipit quotidie magis vergere ad oculum noſtrum, ita vt
in dies maiorem, ac maiorem illuminationem videamus, donec opponatur
Soli, in qua oppoſitione totum ferè Lunæ illuminatum conſpicitur. Vt autem
huius illuminationis non iniucundam facias experientiam; cape ſphæram
quampiam ſolidam manu, cum qua recede ad medium cubiculi, & pone lu­
 men ſeorſum ad partem aliquam: deinde brachio extenſo oppone ſphæram
lumini, quo ſitu nihil de illuminatione videbis, quamuis dimidium ferè il­
 lius illuminetur. poſtea conuerte te ipſum ibidem paulatim, ita vt aliquid
illuminationis oculo tuo appareat; & videbis partem illam illuminationis,
falcatæ, ſeu nouæ Lunæ ſimilem. Deinde adhuc magis te conuerte, & cer­
 nes illuminationem dimidiatæ Lunæ ſimilem: verte adhuc te ipſum donec
ſit ſphæra ita lumini oppoſita, vt inter ipſam, & lumen oculus tuus ſit me­
 dius; apparebit tunc tota illuminatio, quæ erit inſtar plenilunij. perge
1huc te ipſum conuertere, & videbis paulatim lumen oculo tuo decreſcere
non aliter ac in Luna ſeneſcente. atque hoc eſt ſphæricè illuminari, fierique
ſphærica illuminationis augmenta. cum ergo videamus Lunam eo modo lu­
 mine augeri, quo ſphæra, hinc ipſam quoque ſphæricam eſſe argumentamur.
49
Poſt nonnulla (Vt Perſpectiua ad Geometriam, & Mechanica ad Stereome­
 tricam, & Harmonica ad Arithmeticam, vt Apparentia ad Aſtrologicam) ſupra
tex. 20. exempla ſubalternationum Perſpectiuæ, & Mechanicæ cum Geo­
 metria ſunt allata. hic primo notandum Stereometriam non eſſe ſcientiam
diſtinctam à Geometria, niſi ſicuti partem à toto: nam cum Geometria
conſideret quantitatem, ſecundum tres dimenſiones, longitudinem, latitu­
dinem, & profunditatem, oritur triplex illius diuiſio, de lineis, de ſuperfi­
 ciebus, de ſolidis. pars igitur, quæ de ſolidis tractat, partimque; continetur
11. 12. 13. 14. & 15. Euclidis, partim aliorum Geometrarum libris, vt li­
 bro Archim. de Sphæra, & Cyl. & ſimilibus, dicitur Stereometria à græco
στερεον, ideſt ſolidum. Porrò cur malit Ariſt. Mechanicam ſubalternari Ste­
 reometriæ, quam toti Geometriæ, qua tamen, vt videre eſt apud Archime­
 dem, innititur, fortè ea ratio eſt, quia Mechanica præcipuè conſiderat ma­
 chinas, quæ corpora ſunt, & propterea præcipuè, & primò debet Stereome­
 triæ, quæ corpora pariter contemplatur, ſubalternari. Quod ait Apparen­
tia ad Aſtrol. intelligit per Apparentia vulgarem quandam Nautarum, &
Agricolarum aſtronomiam, quæ quodammodo ſubalternatur, & pendet ex
ſcientia Aſtrologiæ; indiget enim cognitione ortus, & motus aſtrorum,
præſertim Lunæ, Hyadum, Pleiadum, & Canis. Reliqua vſque ad finem ca­
 pitis optimè à Zabarella explicantur, neque ad nos pertinet, cum de Mathe­
 maticis agant, quatenus ad Logicum ſpectant.
50
Poſt nonnulla (Hic enim ipſum quidem quod ſenſitiuorum eſt ſcire, ipſum ve­
 rò Propter quid Mathematicorum; hi namque habent cauſarum demonſtrationes,
&c.) ſenſus eſt in ſubalternatis, & dependentibus diſciplinis, quas ſenſitiuas
appellat, quia de rebus ſenſibilibus ſunt, vt in Perſpectiua de obiectis viſibi­
 libus, & in Muſica de ſonis cognoſcitur Quod, ideſt effectus: cuius effectus
cauſa, ſeu Propter quid ſcitur auxilio Mathematicarum, ideſt, traditur à
ſcientijs ſubalternantibus. v. g. alicuius effectus in Perſpectiua cauſa inqui­
ritur, & inuenitur ope Geometriæ, cui illa ſubiacet. Hic obiter notandum,
Ariſt. fateri manifeſtè Mathematicas ſubalternatas, ſeu medias oſtendere
per cauſas, quas ſubalternantium ope perueſtigant.
51
Et poſtea (Se habet autem & ad Perſpectiuam, vt hæc ad Geometriam, alia ad
hanc, vt quod eſt de Iride ipſum enim quod Naturalis eſt ſcire, ipſum verò Prop­
 ter quid Perſpectiui) ſicut ſe habet, inquit, ſcientià Naturalis de Iride ad Per­
 ſpectiuam, ita Perſpectiua ad Geometriam. qua verò ratione cauſa Iridis
pertineat ad opticam, atque hine tandem ad Geometriam, optimè patebit
in Meteoris, cum ipſius demonſtrationem afferemus.
52
Tex. 37. (Vt æquicruri, & Scaleno hoc, quod eſt duobus rectis æquales habere
ſecandum commune aliquod ineſt) quid ſit habere tres æquales duobus rectis
ſatis explicatum eſt lib. r. Priorum ſecto 3. cap. r. nunc igitur paraphraſim
ſolum huius loci dabo. Triangulo Iſoſceli, & Scaleno convenit paſſio illa,
habere tres angulos æquales duobus rectis angulis ſecundum aliquod
1mune, quia illis competit, quatenus ambo ſunt figura quædam, ideſt, qua­
 tenus vtrumque illorum triangulum eſt; triangulo namque omni primo com­
 petit habere tres angulos æquales duobus rectis.
53
Tex. 38. (Et quemadmodum in alijs principium ſimplex, hoc autem non idem
vbique, ſed in pondere quidem mina, in cătu verò dieſis) Dieſis apud Muſicos eſt
pars Toni. Tonus autem eſt interuallum duarum vocum, quale eſt inter pri­
 mam vocem, Vt, & ſecundam Rè, vt modo loquuntur. iſtud interuallum
diuidunt Muſici primum in ſemitonia, non tamen æqualia, ſed vnum maius
altero. minus iterum in duas partes æquales ſubdiuidunt, quarum vtramque
veteres harmonici dieſim dixerunt. & hęc dieſis eſt minima vox ab eis con­
 ſiderata; & quæ prima cadit ſub ſenſum; & propterea veluti ſimplex prin­
cipium, & elementum, ex quo alia maiora interualla conſtent; & in quod
reſoluuntur. διέοις porrò græcè valet inter alia, diuiſionem. igitur interual­
 lum iſtud minimum dictum eſt dieſis, quod ſit quædam diuiſio, ſeu ſegmen­
tum Toni (Quemadmodum in pondere mina) qui de ponderibus antiquis tra­
 ctant, aſſerunt, Minam fuiſſe maiorem libra per ſemunciam, æquipondera­
 bat enim centum drachmis: quæ refragantur huic loco. ſed fortè dicendum,
Ariſt. conſideraſſe, Minam reſpectu Talenti, reſpectu enim illius dici poteſt
principium, cum ſex millia minarum in Attico talento continerentur.
29[Figure 29]
54
Tex. 39. (Si enim quod duobus rectis ineſt, non in
quantum æquicrus, ſed in quantum triangulus, no­
 ſcens, &c.) ideſt, ſi enim qui cognoſcit, quod ha­
 bere tres angulos æquales duobus rectis conuenit
æquicruri, non quatenus æquicrus eſt, ſed quate­
 nus triangulus eſt, &c. quid ſit habere tres æqua­
 les duobus rectis, &c. fusè explicatum eſt in lib. 1.
Priorum ſecto 3. cap. 1. quò te nunc mitto.
55
Poſt pauca (Ineſt omni triangulo hoc quod est
duos, &c.) ideſt, hæc proprietas, quæ eſt habere
duos angulos rectos non actu, ſed per æquiualen­
 tiam trium angulorum trianguli. Vide quæ im­
mediatè ſupra de hac re dixi, & quò te remiſi.
56
Eodem tex (Quando igitur cognoſcimus, quod
quatuor exteriores ſunt æquales, quoniam Iſoſceles,
adhuc deficit, propier quid Iſoſceles? quoniam trian­
 gulus: & hoc quoniam figura rectilinea, &c.) exem­
 plo geometrico vult oſtendere demonſtrationem
vniuerſalem eſſe particulari præſtantiorem: eſt
autem exemplum de pulcherrima, atque admira­
 bili proprietate, quæ omnibus figuris rectilineis
conuenit, eſt que; huiuſmodi: Omnis figuræ rectili­
neæ anguli externi omnes ſimul ſumpti, ſunt æqu
 les quatuor rectis angulis, quæ affectio demon­
 ſtratur in ſcholio 32. primi Elem. dicuntur autem
anguli externi, qui productis lateribus fiunt, vt in
triangulo præſenti anguli externi ſunt, B D C,
1D F E, F B A, ita vt quælibet figura tot angulos externos ſortiatur, quot
habet latera; cum exproductis lateribus oriantur. Vt autem propoſitio ve­
 rificetur, ſingula latera ordinatim ſunt producenda, hoc eſt, verſus eandem
partem, vt in figuris appoſitis vides. Quæuis igitur figura rectilinea, ſiue
trilatera ſit, ſiue quadrilatera, vel etiam millelatera, & proinde mille quo­
 que angulos externos habeat, hanc tamen mirabilem proprietatem (quod
vix credi poteſt) poſſidet, vt omnes illi anguli externi ſimul ſint æquales
quatuor rectis angulis. vnde tres externi anguli trianguli, & quatuor exter­
 ni quadranguli, & quinque externi pentagoni, &c. ſunt æquales quatuor tan­
 tum rectis, nec aliter res ſe habet in figura millelatera. Ex quo fit, vt an­
guli externi cuiuſuis figuræ ſint æquales angulis omnibus externis alterius
cuiuſlibet figuræ. Ariſt. igitur inquit, quando cognoſcimus, quod quatuor
angulis rectis ſunt æquales exteriores omnes anguli alicuius figuræ, quo­
 niam figura illa eſt triangulum ſcalenum, adhuc talis cognitio eſt defecti­
 ua, quia non illi competit illa paſſio, quia ſit triangulum ſcalenum, neque
competit ſcaleno, quia ſit triangulum; ſed his omnibus competit, quia ſunt
figuræ rectilineæ, cui hæc proprietas ineſt primo, & vniuerſaliter: qui igi­
 tur ſcit, ſcalenum habere prædictam affectionem, ex eo, quod ſit figura re­
 ctilinea, perfectius ſcit, quia nihil amplius quæri poteſt, quia illa figura re­
 ctilinea illud vniuerſale eſt, cui primo competit; reliquis autem per illam.
qui igitur vniuerſale ſcit, perfectius ſcit; quod volebat Ariſt. demonſtrare.
57
Eodem tex. (Vt ſi quis nouit, quod omnis triangulus habet tres duobus rectis
æquales) nihil frequentius. vide ſupra lib. 1. Priorum ſecto 3. cap. 1.
58
Tex. 43. (Sed planum, quod etſi eſſet ſentire triangulum, quod duobus rectis
æquales habet angulos) vide ſupra lib. 1. Priorum ſecto 3. cap. 1.
59
Poſt pauca (Quare & ſi ſupra Lunam eſſemus, & videremus obiectam terram,
non vtique ſciremus cauſam eclypſis) loquitur de defectu Lunæ, qui fit, quando
terra inter Lunam, & Solem poſita, impedit, ne lumen Solis feratur in Lu­
 nam, ſed efficit, vt vmbra ipſius terræ eam contegat.
60
30[Figure 30]
Et paulo poſt (Quemadmodŭm ſi vi­
 trum perforatum videremus, & lumen
permeans, planum vtique eſſet propter
quid comburit) Ioquitur de ea com­
 buſtione, cuæ fit per refractionem
media ſphæra vitrea. de qua Vitel­
 lio propoſ. 48. decimi libri; non au­
 tem de ea, quæ fit per reflexionem
ex ſpeculo concauo quando combu­
 ſtio fit per refractionem, cauſatur à
radijs Solis vitrum permeantibus,
in quo ita franguntur, vt egredien­
 tes è vitro ſimul vniantur, ex qua
vnione ita calor intenditur, vt ibi
comburat. vt in appoſita figura cer­
 nere facile eſt; in qua radij à Sole
manentes, ſphæram vitream
1dunt, atque in exitu ita refraguntur, vt ad A, punctum coaceruati, ibi poſ­
 ſint, ſi quid combuſtibile occurrat, comburere. Si igitur, inquit Ariſt. vide­
 remus illos radios ſic permeare, & refrangi, planum vtique nobis eſſet pro­
 pter quid incendant.
61
Ad finem tex. 43. (Principia enim duplicia ſunt, ex quibus, & circa quod:
quæ quidem igitur, ex quibus, communia ſunt: quæ autem circa quod propria, vt
numerus, magnitudo) nonnulli codices corruptè legunt (vt numerus magni­
 tudine) ſed ex græco tex. corrigendi ſunt, vti fecimus. Cæterum per prin­
 cipia, ex quibus intelligit Dignitates, quia ex illis diſcurrimus. per princi­
 pia verò circa quod, intelligit Definitiones, quibus, vt apparet apud Eucli­
 dem, explicatur ſubiectum, circa quod ſcientia verſatur; vt in definitioni­
 bus primi Elem. docemur, quid ſit linea, quid triangulum, quid circulus,
quid magnitudines reliquæ, quæ ſunt materia, circa quam Geometria ſpe­
 culatur. In ſeptimo verò traduntur definitiones numerorum, quid ſit nu­
 merus, quid impar, quid compoſitus, quadratus, cubus, & reliquæ nume­
 rorum ſpecies, quæ ſunt materia ſeptimi, octaui, & noni, in quibus de Arith­
 metica tractatur.
62
Tex. 44. (Commenſurabilem namq; eſſe diametrum verè opinari, abſurdum eſt)
vide, quæ de commenſurabilitate diametri quadrati cum latere expoſuimus
lib. 1. Priorum ſecto 1. cap. 23. ait igitur Ariſt. abſurdum eſſe opinari dia­
 metrum eſſe commenſurabilem coſtæ, ſeu lateri eiuſdem quadrati, reli­
 qua ſunt Logica.
Ex Secundo Posteriorum.
63
Tex. 1. (Dico autem ſimpliciter quidem ſubiectum, vt Lunam, aut ter­
 ram, aut Solem, aut triangulum; aliquid verò defectum, æqualitatem,
inæqualitatem. ſi in medio, aut non) Zabarella locum hunc, etiam
quatenus ad Mathematicum attinet, optimè declarat. In quæ­
 ſtionibus, & demonſtrationibus duo ſunt, ſubiectum, & prædicatum, vtriuſque
cauſæ exiſtunt, & quæruntur: v. g. Luna, terra, Sol, & triangulum ſunt ſu­
 biectum in demonſtratione, quorum prædicata ſunt, Lunæ quidem, & So­
 lis, eclypſis. terræ autem eſſe in medio mundi, quod ab Aſtronomis ratione
ab eclypſibus deſumpta, euidentius, quam ab alio quoquam demonſtratur,
vt patet ex tractatu de ſphæra. in quo Zabarella non probatur, qui ſolum
ait, terram eſſe in medio mundi, à Phyſicis demonſtrari. triangulum autem,
ſeu angulorum ipſius prædicatum eſt æqualitas, & inæqualitas: vt cum in 32.
primi Elem. demonſtrat Euclides, omne triangulum habere tres angulos
æquales duobus rectis.
64
Ibidem (Quid eſt conſonantia? ratio numerorum in acuto, & graui, &c) tan­
 git breuiter Ariſt. cauſam formalem conſonantiæ, & conſequenter defini­
 tionem ipſius. definiunt igitur Muſici conſonantiam hoc modo; Conſonan­
 tia eſt compoſitio ſoni grauis, & acuti, quæ ſuauiter auribus accidit; & quo­
 rum ſonorum proportio ad inuicem ſit ſicuti proportio numerorum, qui
quaternario includuntur: vt eſt proportio 2. ad 1. vel 3. ad 1. vel 4. ad 1.
vel 3. ad 2. vel 4. ad 3. Quotieſcunque igitur duo ſoni habuerin quampiam
1ex quinque prædictis proportionibus, ſi ſimul coaluerint, ita vt ex eis vnus
tantum ſonus efficiatur; ſonus ille erit concordans, & auribus gratus. atque
hæc eſt ſententia priſcorum præſertim Pythagoreorum, qui propterea di­
 cebant non licere Muſico vltra quaternarium pertranſire, eò quod ſolæ pro­
 portiones, vt diximus, numerorum quaternario contentorum, concordem,
ac conſonantem concentum efficere poterant: quod vt adhuc melius per­
31[Figure 31]
cipiamus, accipe exemplum. Sint duæ chordæ
A, & B, æqualis craſſitici, & æquè tenſæ. qua­
 rum A, dupla ſit ipſius B, quia igitur corpora
ſonantia ſunt in dupla proportione, erunt pa­
 riter eorum ſoni in ratione dupla (vt patet ex
principijs harmonicæ) hoc eſt, eorum ſoni erunt,
vt 2. ad 1. quia ſcilicet ſonus maioris chordæ A, erit duplus ad ſonum mi­
 noris chordæ B. hoc eſt, erit, vt 2. ad 1. & propterea, ſi ſimul ambæ chordæ
pulſentur, ſonus, quem ex duobus mixtum edent, conſonans, atque gratiſſi­
 mus auribus noſtris perueniet. huiuſmodi porrò conſonantia, quæ eſt in
proportione dupla, quæque omnium ſuauiſſima eſt, à græcis dicebatur Dia­
paſon. atque hæc in præſentia ſufficiant, cum plura de his ad ſectionem pro­
 blematum 19. quæ tota eſt de Muſica, dicenda ſint.
65
Tex. 2. (Vt quod omnis triangulus duobus rectis æquales habet) vide anno­
 tata lib. 1. Priorum ſecto 3. cap. 1.
66
Eodem tex. (Definitiones verò apparent omnes ſupponentes, & accipientes
ipſum quid eſt, vt Mathematicæ, quid vnitas, quid par, & impar) alludit ad de­
 finitiones 7. Elem. vbi agitur de numeris. Quæ verò hoc loco de principijs
dicuntur, luculentiſſimè patent conſideranti definitiones, & axiomata, quæ
Mathematicis demonſtrationibus in omnibus ferè libris præmittuntur; ex
quibus ſtatim demonſtrationes deriuantur.
67
Et paulo poſt (Neque vtique de plano figura, non enim eſt planum figura, neque fi­
 gura planum) alludit ad definitiones planarum figurarum, qualis eſt circu­
 lus, cuius definitio eſt inter definitiones primi Elem. 15. & eſt huiuſmodi:
circulus eſt figura plana, ſub vnica linea comprehenſa, quæ periphæria ap­
 pellatur, ad quam ab vno puncto eorum, quæ intra figuram ſunt poſita, ca­
 dentes omnes rectæ lineæ inter ſe ſunt æquales: in qua quidem definitione
non prædicatur planum de figura, nec figura de plano: neque enim planum,
ſeu plana ſuperficies eſt figura ſecundum ſe, niſi terminetur; neque figura eſt
plana ſuperficies, cum plurimæ ſint figuræ curuæ, & præterea ſolidæ quam­
plurimæ.
68
Ibidem (Quoniam monſtratum eſt Iſoſceles habere tres angulos æquales duo­
 bus rectis, ſi id de omni triangulo monſtratum ſit) ex dictis lib. 1. Priorum ſecto
3. cap. 1. petatur huius loci declaratio.
69
Tex. 7. (Quid enim ſignificat triangulum, accipit Geometra) vt manifeſtum
eſt in 20. definitione primi Elem.
70
Ibidem (Quod autem ſit, monstrat) vt perſpicuum eſt in prima demonſtra­
tione primi Elem. vbi triangulum æquilaterum conſtruit, & poſtea probat
illud eſſe triangulum æquilaterum. Certum tamen eſt, Geometram ſuppo­
 nere triangulum in communi, cum inter definitiones ipſius
1quod tamen non obſtat, quominus probare poſſit, aliquando poſſe conſtrui,
& eſſe aliquod particulare triangulum, vt fit in prædicta demonſtratione,
Euclidis.
71
Tex. 11. (Manifeſtum autem, & ſic, propter quid eſt rectus in ſemicirculo)
affert exemplum demonſtrationis per cauſam materialem, idque; vti ſolet ex
Mathematicis petitum, eſt enim apud Euclidem 31. demonſtratio 3. Elem.
vbi ipſe oſtendit angulum in ſemicirculo eſſe rectum. Vbi aduertendum eſt
propoſitionem hanc 31. ab Euclide demonſtrari duobus modis; ex quibus
ſecundum innuit hoc loco Ariſt. cui aſcripta eſt figura ſimilis huic noſtræ;
in editione Clauiana. quod fortè non benè aduertens Iacobus Zabarella,
alioquin in his ſatis oculatus incidit in errorem, dicens, ſe nullo pacto vi­
 dere medium Euclidianæ demonſtrationis eſſe cauſam materialem; quod
tamen nos mox aperiemus. per angulum in ſemicirculo intelligas eum, qui
fit à lineis ductis ab extremitatibus diametri, & ſimul in quoduis punctum
32[Figure 32]
circumferentiæ coeuntibus, vt in figura
præſenti vides lineas A C, B C, ad C, pun­
 ctum conuenire, ibique; facere angulum,
A C B, qui dicitur angulus in ſemicircu­
 lo, quia deſcriptus eſt in ſemicirculo A­
 C B. eſtque; ſanè mirabilis hæc ſemicirculi
proprietas, cum vbicunque punctum C, in
periphæria ſumptum fuerit, ſemper ta­
 men angulus A C B, fiat rectus. quod Euclides eodem prorſus medio, quod
Ariſt. hic innuit, hoc modo demonſtrat. ducta enim recta D C, à centro D,
ad punctum C, exurgunt duo lſoſcelia triangula A D C, C D B, ergo per
5. primi, anguli D C A, D A C, ſunt æquales: pariter anguli D C B, D B C,
æquales ſunt. & quia per 32. primi, anguli D A C, D C A, ſimul ſunt æqua­
 les angulo externo C D B, & inter ſe æquales, erit angulus A C D, dimidium
anguli C D B. eadem ratione probatur angulus D C B, eſſe dimidium an­
 guli C D A. ergo totus angulus A C B, dimidium erit duorum angulorum
A D C, C D B, qui per 13. primi, ſunt vel recti, vel duobus rectis æquiualent.
Sequitur igitur, angulum A C B, in ſemicirculo eſſe dimidium duorum re­
 ctorum; & quia omnes recti ſunt æquales, ſequitur dimidium duorum re­
 ctorum, nihil aliud eſſe, quam vnum rectum angulum, ergo angulus in ſe­
 micirculo, cum ſit ſemiſſis duorum rectorum, erit vnus rectus angules; quod
erat probandum. ex quibus vides medium illud, quod Ariſt. aſſumpſit, eſſe
omnino idem cum eo, quo Euclides vtitur, ſcilicet, eſſe dimidium duorum
rectorum, & propterea eſſe rectum: quod etiam medium in toto demon­
 ſtrationis decurſu eſt vltimum, & principale, quod proximè concluſionem
attingit, & propterea dici meretur eſſe medium huius demonſtrationis.
Cæterum, quod medium iſtud ſit in genere cauſæ materialis, patet ex eo,
quod eſt, eſſe dimidium; nam eſſe dimidium, vel eſſe tertiam partem, & ſi­
 milia, nihil aliud eſt, quam eſſe partem; eſſe autem partem eſt eſſe materiam
totius, etiam ex ſententia ipſius Ariſt. ex hac præterea materia conflatur
definitio minoris extremi, vel ſubiecti; dum dicitur, angulus in ſemicircu­
 lo eſt dimidium duorum rectorum. ſyllogiſmus enim reducitur tandem ad
1hanc formam, dimidium duorum rectorum eſt rectus, angulus in ſemicir­
 culo eſt dimidium duorum rectorum, ergo angulus in ſemicirculo eſt rectus.
vides in minori propoſitione contineri definitionem ſubiecti materialem?
adeò vt hæc ſit demonſtratio omnibus numeris abſoluta per cauſam mate­
 rialem, vt benè ſentit Ariſt. Reliqua ad logicum pertinent, etiamſi per cha­
 racteres more mathematicorum exponantur.
72
Tex. 24. (Vt propter quid reſonat? aut propter quid apparet? aut propter quid
Iris? omnia enim hæc idem problemata ſunt genere, omnia enim ſunt refractio, ſed
ſpecie altera) propter quid reſonat? ſcilicet echo; propter quid apparet?
ſcilicet imago in ſpeculo. dicit cauſam echo, imaginis in ſpeculo, & iridis
in nubibus eſſe eandem; nimirum refractionem; quamuis tres illæ refractio­
 nes, ſeu; vt melius loquamur, reflexiones differant ſpecie ab inuicem, illa
enim eſt repercuſſio vocis; hæc reflexio ſpeciei viſibilis ex corpore terſo;
iſta denique radiorum Solis ex nube rorida in ſtato angulo repercuſſus. qua
ratione autem iſta omnia fiant, longum eſſet exponere, & ab intelligentia
huius loci fortè alienum. Illud tamen non prætereundum, quod ſi propriè
cum Perſpectiuis loqui velimus, dicendum eſſe, omnia illa eſſe reflexionem,
non refractionem. nam reflexio eſt, quando linea viſualis, per quam fertur
ſpecies in aliquod corpus terſum, impingit, ex quo deinde ad oculos refle­
 ctitur. refractio tunc eſt, quando ſpecies obiecti viſibilis tranſit per media
diuerſæ craſſitiei., vt quando ſpecies lapilli per aquam primùm, deinde per
aerem means ad oculum peruenit; tunc enim linea, per quam ſpecies pro­
 greditur, frangitur in confinio aquæ, & aeris, ita vt ſpecies non per vnicam
lineam rectam, ſed per fractam, ſeu refractam in confinio illo, oculis tan­
 dem accidat.
In fine textus (Quoniam Luna deficit) non intelligit defectum illum, qui
eclypſis appellatur, ſed ilium, quo paulatim lumen Lunæ minus oculis no­
 ſtris apparet: decreſcente enim Luna ſolent humida augeri.
73
Tex. 25. (Vt propter quid, & permutatim proportionale? & c.) quod quan­
 titates, quæ ſunt proportionales, ſint etiam alternatim, ſeu permutatim
proportionales explicatum eſt ad tex. 13. primi Poſter. quæ etiam neceſſa­
 ria ſunt ad hunc locum benè intelligendum. Illud autem commune propter
quod ea, quæ ſunt proportionalia, ſint etiam permutatim proportionalia,
eſt quoddam innominatum, de quo ibi dictum eſt, quod cum conueniat li­
 neis, & numeris, & tamen ſeparatim de vtriſque illa paſſio demonſtretur,
quærit cuinam primò, & per ſe conueniat hæc paſſio, eſſe permutatim pro­
 portionale; ſcilicet quidnam ſit illud innominatum; in quo deinde commu­
 nicent lineæ, & numeri, vt inde habeant eſſe etiam permutatim propor­
tionalia.
74
Ibidem (Hic quidem fortaſſe proportionaliter habere latera, & angulos) vult
indicare, in quonam conſiſtat ſimilitudo inter duas figuras rectilineas geo­
 metricas, quam ſimilitudinem Euclides definit. 1. ſexti, ſic explicat: ſimi­
 les figuræ rectilíneæ ſunt; quæ & angulos ſingulos, ſingulis angulis æquales
habent, atque etiam latera, quæ circa angulos æquales ſunt proportionalia.
vt ſi duo triangula appoſita habeant angulos æquales, angulum A, angulo D:
angulum B, angulo E. angulum C, angulo F. & præterea latera, quæ ſunt
133[Figure 33]
circa angulos æquales, v. g. circa an­
 gulos A, & D, habeant proportiona­
 lia, hoc eſt, vt latus A B, ad latus A C;
ita ſit latus D E, ad latus D F; & ſic de
lateribus alijs circa reliquos angulos
æquales; erunt tunc prædicta duo tri­
 angula ſimilia.
75
Ibidem (Vt extrinſecos æquales eſſe) ideſt extrinſecos angulos cuiuſuis fi­
 guræ rectilineæ æquales eſſe quatuor rectis angulis: vide quæ ſcripſimus de
hac re ad tex. 39. ſecundi Poſter. quæ huic pariter loco ſatisfaciunt.
EX TOPICIS.
Ex Primo Libro.
76
Cap. 13. (Conſiderare, quod diameter est coſtæ incommenſurabilis) vide
quæ de hac re ſcripſi lib. 1. Priorum ſecto 1. cap. 23.
77
Eodem cap. (Similiter autem & acutum; non enim idem ſimpliciter
in omnibus dicitur: nam vox acuta quidem velox (ſicut dicunt, qui ſe­
cundum numeros harmonici ſunt) angulus autem acutus, qui minor eſt recto; gla­
 dius verò, qui eſt anguli acuti) affert tres ſpecies acuti, aliud dicens eſſe acu­
 tum, quod eſt in voce acuta; aliud, quod eſt in angulo acuto: aliud denique,
quod eſt in gladio acuto horum enim trium acumen diuerſo modo ſe habet.
nam acumen vocis, & ſoni ex celeritate motus, qua aer percuſſus impelli­
 tur; grauitatem autem ex tarditate oriri tradiderunt antiqui Muſici om­
 nes: quamuis non ex ſola celeritate, & tarditate, ſed ex alijs etiam cauſis
oriri poſſe voluerint. Primus omnium Architas Tarentinus, vt eſt apud Por­
 phirium in harmonicis Ptolæmei, & Zarlinum pag. 58. complem. muſica­
 lium, ait, ſi virga celerius feriat aerem, gigni motum celeriorem in aere,
atque hinc ſonum acutiorem reddi, experientia conſtat: ſi autem eadem vir­
 ga tardius aerem feriat, gigni motum in aere tardiorem, ex quo etiam ſo­
 num grauem, vt experientia docet. Ptolæmeus deinde lib. 1. cap. 3. Harm.
cum ex alijs, tum ex celeritate oriri ſonum acutum, grauem verò ex tardi­
 tate aſſerit; vt ſi chorda eadem parum intenſa pulſetur, tardius aerem ver­
 berat, & ideo grauiorem ſonum efficit: ſi autem magis intendatur, validius
aerem pulſabit, & proinde citiorem motum illi imprimet, & propterea
acutiorem ſonum reddet. hæc ille. videmus etiam, quod cannæ organo­
 rum maiores cum plus aeris moueant, & idcirco tardius, ſonum grauiorem
emittunt, quàm cannæ graciliores, quæ quia parum aeris cient, & ideo ce­
 lerius, ſonum acutum edunt. ab hac ſententia poſteriores Muſici non recelſ
ſerunt, vt videre eſt apud Zarlinum.
In quo poſtea conſiſtat ratio acuti anguli, explicat inducens definitionem
ipſius, quæ eſt inter definitiones primi Elem. huiuſmodi, Angulus acutus
eſt, qui minor recto eſt. Demum explicat, cur nam gladius dicatur acutus,
quia nimirum habet angulum acutum ſuperficialem, ideſt, quem duæ ſuper­
 ficies ſimul in acie gladij concurrentes efficiunt.
1
78
Eodem cap. (Rurſum ſi eorundem; quæ ſunt ſub eodem nomine diuerſæ diffe­
 rentiæ ſunt; vt coloris, qui eſt in corporibus, & in melodijs) veteres Muſici can­
 tilenas omnes ad tria genera reuocarunt, videlicet Enharmonicum, Chro­
maticum, & Diatonicum; quæ diſtinguebantur inuicem ex varia diuiſione
interuallorum, ex quibus ipſorum Monochordia conſtabant: ſiue ex varijs
vocum interuallis, v. g. quia in vno continebantur plures toni, vt in Diato­
 nico; in alio plures dieſes, vt in Enharmonico; in tertio verò plura ſemito­
 nia, vt in Chromatico: quæ vox deducitur à chroma, græco, quod latinis
eſt color; quare Chromaticum latinè redditur coloratum. Hic eſt igitur
color ille, quem hic Ariſt. innuit. quod genus forſitan à calore denomina­
 batur, quòd ipſius notæ muſicales eſſent coloratæ, vt hoc modo ab alijs ge­
 neribus dignoſceretur. quam conſuetudinem exiſtimat Zarlinus cap. 46. ſe­
 cundæ partis, etiam noſtra tempeſtate aliquo modo perſeuerare, cum vi­
 deamus in organis, & alijs huiuſmodi inſtrumentis, quæ pinnas, vulgò ta­
ſtos, habent; illas inquam pinnas, quæ chromaticis interuallis deputatæ
ſunt, colore nigro tinctas eſſe.
Libro Quarto.
79
Cap. 1. loco 10. (Si quis inſecabiles ponens lineas) nonnulli antiquorum
Philoſophorum putarunt omnia ex indiuiſibilibus componi, vt Demo­
 critus, & Leucippus, & propterea dixerunt, etiam lineas conſtare ex lineis
quibuſdam adeò paruis, quæ omnino eſient inſecabiles, ſeu indiuiſibiles: de
quibus plura in libello de line is inſecabilibus.
Libro Sexto.
80
Cap. 2. loco 32. (Vt qui lineam definiunt longitudinem ſine latitudine eſſe)
ſupponimus lectorem intellexiſſe definitiones ſaltem primi Elem. in­
 ter quas definitio lineæ eſt ſecunda, eademque; cum hac Ariſtotelis.
Libro Octauo.
81
Cap. 2. loco 41. (Videntur autem in diſciplinis, ſeu Mathematicis quædam
ob definitionis defectum non facile deſcribi; vt & quoniam, quæ ad latus ſe­
 cat planum linea, ſimiliter diuidit & lineam, & locum: definitione autem dicta,
ſtatim manifeſtum eſt, quod dicitur, nam eandem ablationem habent loca, & linea,
ſive latus planæ figuræ, est autem definitio eiuſdem proportionis hæc) mendosè
legitur à nonnullis (Eſt distem definitio eiuſdem orationis hæc) quos puto de­
 ceptos ab æquiuoco λσγους quod & orationem, & rationem, ſiue proportio­
 nem ſignificat: hic autem ſignificare proportionem res ſubrecta ſatis mani­
 feſtat. Notandum poſtea cum Alexandro (quod & ſuperius alias commo­
nui in cap. de Priori, & alibi) per verbum (Deſcribi) ſignificari hoc loco
geometricè demonſtrare, quoniam Geometræ non niſi adhibitis deſcriptio­
nibus, ſeu figuris demonſtrant. Vult autem Ariſt. exemplo mathematico
oſtendere, difficile eſſe diſputare, aut argumentari, niſi prius rectè aſſignetur
1definitio illius rei, de qua diſſeritur. Porrò exemplum mathematicum hic
allatum ſic videtur explicandum: Conetur aliquis demonſtrare hanc pro­
 poſitionem; ſi linea ducta fuerit æquidiſtans lateri vnius plani trianguli, ſe­
cabit & latera, & locum, ideſt ſuperficiem illam triangularem ſimiliter, ideſt
34[Figure 34]
in eadem proportione, vt in triangulo A B C,
linea D E, parallela baſi B C, ſecat latera A B,
& A C, in punctis D, & E, in eadem ratione,
in qua etiam fecat totum triangulum, ita vt
eadem ſit proportio lineæ A D, ad D B, & lineæ
A E, ad E C, quæ eſt partium totalis trianguli
A B C, ſcilicet quæ eſt partis A D E, ad partem
E D C, fiue ad partem D E B. quod conſtat ex
ſecunda 6. Elem. Inquit ergo Ariſt. Si quis
vellet hoc demonſtrare nondum præmiſſa defi­
 nitione eorum, quæ habent eandem rationem, ſiue nondum definitione al­
 lata quantitatum proportionalium, hic difficile id valeret oſtendere: at ve­
rò allata prius definitione quantitatum proportionalium facile demonſtra­
 bit. Subdit verò Ariſt. dictam definitionem, dicens, tunc quantitates eſſe
proportionales, quando habent eandem ablationem, ideſt, eandem diuiſio­
 nem, ideſt, eadem diuiſio ne tantum proportionaliter de vna, quantum de
altera magnitudine reſecatur: Quemadmodum etiam Euclides loco cita­
 to probat, latera illius trianguli, & ſuperficiem eſſe ſimiliter diuiſa, ex quo
ſequitur eſſe proportionalia. Porrò Euclides definit. ſeptima 5. paulo ali­
 ter definit quantitates proportionales eſſe illas, quæ eandem habent ratio­
 nem, v. g. ſi ſit, vt prima ad ſecundam, ita tertia ad quartam. ex quibus
quoad Mathematicas ſpectat, huic loco ſatisfactum ſit.
82
Cap. 4. loco 86. (Tentandum autem, & ea, in quæ ſæpiſſimè incidunt diſputa­
 tiones, tenere, nam quemadmodum in Geometria ante opus eſt circa elementa exer­
 citatum eſſe, & in numeris circa capitales promptè ſe habere, & multum refert ad
hoc, & alium numerum cognoſcere multiplicatum) Elementa vocabant antiqui
demonſtrationes faciliores, & ſimpliciores, quales propriè ſunt omnes, quæ
ſex prioribus libris Euclidianis continentur: ex illis enim tanquam ex ele­
 mentis abſtruſiores, & difficiliores demonſtrationes deducebant. atque hæc
eſt ratio, cur Euclides ſuos libros elementa nuncupauerit. ait igitur curan­
 dum eſſe horum elementorum cognitionem in promptu habere, quia fre­
 quens de ipſis incidit diſputatio. Per capitales numeros intelligo ſimplices
ab vnitate, vſque ad nouem incluſiuè. & quando ait, alium numerum cogno­
 ſcere multiplicatum, ſignificat vtile valdè eſſe ad quotidianum vſum
cognoſcere, quemnam numerum producant numeri capitales,
ſi ad inuicem multiplicentur, quamuis huiuſmodi co­
 gnitio facilis, ac leuis ſit: qua de cauſa vide­
 mus vſque in hanc diem pueros diu in
Abaco memoriter perdiſcen­
 do detineri.
1
Ex Primo Elenchorum.
83
Cap. 10. (Nam pſeudographiæ non contentioſæ (ſecundum enim ea, quæ
ſub arte ſunt, captioſæ ſunt ratiocinationes) neque ſi aliqua eſt pſeudogra­
 phia circa verum, vt Hippocratis quadratura, quæ per lunulas, ſed, vt
Bryſſo quadrauit circulum; & tametſi quadretur circulus, quia tamen
non ſecundum rem, ideo ſophiſticus) qua ratione Hippocrates orbi quadrum
exhibere æquale tentauerit, explicatum eſt abundè in 2. Priorum cap. 31.
& quo itidem modo Bryſſo lib. 1. Poſter. tex. 23. ſolummodo id hoc loco no­
 tandum per pſeudographiam intelligere, vt apertè etiam inferius explicat,
Geometricam demonſtrationem fallacem, eò quod demonſtrationes geo­
metricæ fiant adhibitis deſcriptionibus, ſeu figurationibus: pſeudographia
autem latinè idem eſt, ac falſa deſcriptio; quemadmodum è contrariò, ſi­
 cuti ſupra in Topicis, & alibi obſeruaui, per deſcribere intelligit geometri­
 cè demonſtrare, & per deſcriptiones intelligit demonſtrationes geometri­
 cas. Qua ratione item Hippocrates ex ijs, quæ ſub arte Geometriæ ſunt,
procederet ibi dictum eſt, propter quod non eſt contentioſa, quamuis fallax
ipſius demonſtratio: appellat enim Ariſt illas demonſtrationes contentio­
 ſas, quæ non procedunt ex proprijs illius ſcientiæ, in qua fiunt, ſed ex com­
 munibus alijs ſcientijs: captioſas verò, & ſophiſticas, quæ ex proprijs ſcien­
 tiæ, in qua fiunt, decipiunt. At verò demonſtratio, ſeu pſeudographia Bryſ­
 ſonis erat contentioſa, quia ex communibus, & extra Geometriam petitis
argumentabatur: quemadmodum ibi explicatum eſt.
84
Eodem cap. (Quadratura per lunulas non contentioſa) inquit Hippocratis
tetragoniſmum, de quo in 2. Priorum, quæ non contentioſa dicitur, quia ex
proprijs Geometriæ deducebatur.
85
Ibidem (Bryſſonis autem contentioſa: & illam quidem non eſt transferre, niſi
ad Geometriam ſolum; eo quod ex proprijs ſit principijs) quando ait (& illam qui­
dem) intelligit quadrationem Hippocratis. vide 2. Prior cap. 31. & quæ pau­
 lo ante in præcedentibus locis diximus.
86
Ibidem (Hanc autem ad plures) intelligit tetragoniſmum Bryſſonis, qui
per communia deducebatur. lege ſuperius dicta in præcedentibus locis hu­
 ius capituli.
87
35[Figure 35]
Ad finem cap. (Aut vt Antiphon quadra­
uit) ſimile peccatum peccaſſe Antiphon­
 tem in orbe quadrando, ac Hippocratem,
Ariſt. his verbis videtur ſignificare, ideſt,
ipſum, quamuis ex proprijs Geometriæ,
falſis tamen ratiocinatum eſſe. Cæterum
Antiphontem in hunc modum orbem ad
quadrum redigere tentaſſe, tradit Simpli­
 cius. circulo quadrando inſcribebat pri­
 mò quadratum A B C D. deinde in ſingu­
 lis quatuor ſegmentis inſcribebat totidem
trigona æquilatera, vt patet in adſcripta
1figura. poſtea ſuper ſingula latera horum triangulorum in reliquis ſegmen­
 tis inſcribebat adhuc triangula ſimilia triangulo A I E. alia inſuper trigona
ſuper latera iſtorum conſtituebat, donec ambitus figuræ illius multilateræ
in circulo delineatæ, circumferentiæ circuli aptaretur. quod fieri poſſe ille
falsò contra Geometriæ principia aſſumebat; eſt enim principium Geome­
 tricum continuum eſſe diuiſibile in infinitum, neque per diuiſionem abſumi
poſſe; cui principio aduerſatur, dum putat ſe conſumpturum totum circu­
 lum, diuidendo illud in triangula ſemper minora; vel quia putat, lineam
curuam conſtare ex minimis lineis rectis. Similiter igitur atque Hippocra­
tes errauit, qúi pariter in Geometria fallebatur: Antiphon quidem contra
principia illius: Hippocrates verò aſſumens falſi quidpiam in Geometria.
At Bryſſo, eo quod per communia alijs ſcientijs deduceret ratiocinatio­
 nem propterea pſeudographia Antiphontis non litigioſa quidem, ſed
tamen fallax extitit, non enim per communia alijs ſcientijs
procedat; vnde nec transferri poterat ipſius falſa de­
 ſcriptio, ſeu demonſtratio extra Geometriæ li­
 mites, quod cauſa eſt contentionis.
Logicorum locorum finis.
1
EX PRIMO LIBRO
PHYSICORVM.
88
Tex. 11. (Simul autem neque conuenit omnia ſoluere', ſed quæcunque ex
principijs aliquis demonſtrans mentitur; quæcunque verò non, minimè:
vt tetragoniſmum, eum quidem, qui per ſectiones Geometrici est diſ­
 ſoluere: illum autem, qui Antiphontis non Geometrici eſt) Tetrago­
 niſmum, ſeu circuli quadraturam per ſectiones, eſſe illam Hip­
 pocratis Chij exiſtimant græci expoſitores, qui per lunulas, quas Ariſt. ſe­
 ctiones appellat, orbem quadrare tentabat. Eius demonſtrationem expli­
 caui ad cap. 31. de Abductione in 2. Priorum, quam inibi videas. hoc ſolum
hic notandum pertinere ad Geometram, ipſam refellere, quia ex falſa qua­
 dam præmiſſa ex Geometria deſumpta, ratiocinabatur, idcirco debet (in­
 quit Ariſt.) Geometra illius deceptionem inuenire. Tetragoniſmum autem
Antiphontis non eſt Geometræ confutare, quia aduerſabatur principijs Geo­
 metriæ, ſupponebat enim circuli circumferentiam ex indiuiduis, minimisque;
lineis rectis componi: cuius falſam demonſtrationem explicatam inuenies
ad cap. 10. primi Elench. poſſumus addere tertiam rationem quia ſcilicet
Hippocrates non procedebat per communia alijs ſcientijs, vt videre eſt ad
tex. 23. primi Poſter. cap. 8. vbi ipſius pſeudographiam expoſui. Quemad­
 modum igitur Geometra diſſoluit falſas tantummodo rationes eas, quæ ſer­
 uatis Geometricis principijs procedunt; non autem eas, quæ Geometriæ
principia conuellunt: ita Phyſico non incumbit contra Parmenidem, ac Me­
 liſſum naturæ principia deſtruentes diſceptare, aut fallaces eorum rationes
coarguere. Hoc volebat Ariſtoteles inferre.
Ex Secundo Phyſicorum.
89
Tex. 20. (Geometria enim de phyſica linea conſiderat, ſed non quatenus
eſt phyſici: Perſpectiua autem mathematicam quidem lineam, ſed non
quatenus phyſica eſt) quamuis textus hic non pertineat ad Mathe­
 maticum, libuit tamen illum in ordinem noſtrum recenſere, ope­
 ræpretium etenim eſt ea, quæ in ipſo continentur à nonnullis recentioribus
rectè intelligi, vt ab his moniti, ab inani quadam optices impugnatione ab­
 ſtineant, ac tandem ex Ariſt. lineas illas viſuales quas ipſi de medio tollunt,
perſpicuè videant. cætera, quæ in præcedentibus locis Ariſt. de Natura Ma­
 thematicarum habet, ſunt præter noſtrum inſtitutum.
90
Tex. 28. (Alio autem modo, forma, & exemplum: hæc autem eſt ratio ipſius,
quod quid erat eſſe, & huius genera, vt ipſius diapaſon duo ad vnum, & omnino
numerus, & partes, quæ in ratione ſunt) vt benè intelligas, quod in præſenti
textu mathematicum eſt, conſule prius, quæ ſcripſi ad tex. 1. cap. primi 2. Po­
 ſter. ſuper verba illa (Quid eſt conſonantia?) vbi perſpicuè videbis, cur con­
ſonantiæ, quæ dicitur Diapaſon, eſſentia, & definitio ſit ipſa proportio dupla,
quæ ſub his num. 2.1. continetur: quibus perſpectis facilis erit phyſico totius
loci intelligentia.
1
91
Tex. 68. (Aut enim ad ipſum quid eſt, reducitur ipſum propter quid in immo­
bilibus, vt in Mathematicis, ad definitionem enim recti, aut commenſurabilis, aut
alius cuiuſpiam reducitur vltimum) ex his manifeſtè videas Mathematicas de­
monſtrare per cauſam formalem, cum cauſam ipſam ad ipſum quid eſt, ideſt,
ad definitionem reducant. quorum exempla in logicis ex Mathematicis at­
 tuli: ſed etiam ſequentis loci exemplum de triangulo idem apertè manife­
 ſtat; in quo probat duos angulos A C B, A C D, eſſe rectos, ex definitione
ipſorum, ſiue ex definitione lineæ perpendicularis A C, quod idem eſt.
92
Tex 89. (Eſt autem neceſſarium in Mathematicis, & in his, quæ ſecundum
naturam fiunt quaſi eodem modo; quoniam enim hoc rectum eſt, neceſſe eſt, trian­
gulum tres angulos habere æquales duobus rectis; ſed non, ſi hoc, illud; ſed ſi hoc
non eſt, neque rectum eſt.) cum animaduerterim non parum eſſe diſſenſionis, &
difficultatis in exemplo hoc mathematico explicando, ita vt recentiores
quidam textum hunc pro arbitratu ſuo perperam latinè verterint: ideò pri­
 mum ex græcis codicibus interpretationem hanc veram attuli. deinde, quia
etiam græci in exemplo mathematico enodando, vel malè, vt Simplicius;
vel obſcurè nimis, vt reliqui; Latini verò vel nihil, vel peius multò loquun­
 tur, ideò ſic ego exponendum cenſui. cum velit Ariſt. oſtendere neceſſita­
tem, quæ in ſcientijs inter præmiſſas, ſeu medium, & concluſionem reperi­
 tur, affert exemplum illud mathematicum ſibi familiare, demonſtrationem
ſcilicet illam, qua oſtenditur, omne triangulum habere tres angulos æqua­
 les duobus rectis angulis, cuius fuſiſſimam explicationem inuenies ſupra in
primo Priorum, ſecto 3. cap. 1. quam neceſſe eſt, conſulas. pro medio autem
huius paſſionis accipit lineam perpendicularem, quam innuit verbis illis
(quoniam enim hoc rectum eſt) vt in figura ſit triangulum A B C, ſitque; vt latus
36[Figure 36]
A C, ſit perpendiculare cum latere B C, & pro­
 ducatur B C, in D; tunc triangulum A B C,
habere tres angulos, A, B, & A C B, æquales
duobus rectis planum erit: nam cum latus A C,
ſit perpendiculare (quod Ariſt. dicit, cum re­
ctum hoc ſit) erunt duo anguli deinceps A C B,
A C D, recti, ex definitione lineæ perpendicu­
 laris, cum ergo duo anguli A, & B, externo, rectoque; A C D, ſint æquales per
32. primi, & reliquus angulus A C B, communis, ideſt, ſit angulus triangu­
 li, & angulus vnus lineæ perpendicularis, & ideò rectus; manifeſtè apparet,
tres angulos A, B, A C B, eſſe æquales neceſſariò duobus rectis, ex poſitio­
 ne illius recti, ſiue lateris perpendicularis, quia ex verò, verum neceſſariò
ſequitur; non tamen poſita hac paſſione, ſiue concluſione, habere ſcilicet
tres angulos æquales duobus rectis, neceſſariò ſequitur illud eſſe rectum,
ideſt latus illud A C, eſſe perpendiculare ad latus B C, quia verum
ſequi poteſt ex verò, & falsò. valebit tamen hæc conſequen­
 tia, ſi triangulum non habet hanc proprietatem, ne­
 que illud rectum eſt, ideſt, neque latus prædi­
ctum erit perpendiculare, quia falſum
non, niſi ex falſo ſequitur.
1
Ex Tertio Phyſicorum.
93
Tex. 26. (Et hi quidem infinitum eſſe par; hoc enim compræhenſura, &
ab impari terminatum tribuit ijs, quæ ſunt, infinitatem. ſignum autem
huius id eſſe, quod contingit in numeris, circumpoſitis enim Gnomoni­
bus circa vnum, & ſeorſum, aliquando quidem ſemper aliam fieri ſpe­
 ciem, aliquando autem vnam) vt melius percipiantur ea, quæ ſequuntur, lege
prius, quæ in cap. de Motu in poſt prædicamentis ſcripſi de Gnomone, ad
ſimilitudinem enim Gnomonis illius Geometrici, inueniuntur etiam in nu­
 meris Gnomones Arithmetici. Pythagorici enim (à quibus iſta mutuatus
eſt Ariſt. numeros impares ſolos appellabant Gnomones, eò quod in for­
 mam normæ æquilateræ, ſiue Gnomonis conſtitui poſſint, vt patet in his
37[Figure 37]
nimirum in ternario, quinario, ſeptenario, & ſic de
reliquis imparibus. pares autem numeri, quia ne­
 queunt in figuram normæ æquilateræ diſponi, cum
non habeant vnitatem pro angulo, & paria poſtea la­
 tera, vt oportet, non merentur appellari Gnomones, vt quaternarius, ſi di­
 ſponatur ſic 38[Figure 38] non refert Gnomonem, quia lateribus inęqualibus con­
 ſtat; neque ſi hoc modo 39[Figure 39] quia deeſt huic figuræ angularis vnitas, quæ
illi neceſſaria eſt. Pythagorici igitur dicebant, numerum parem ideò eſſe
infinitum ipſum, quia videbant ipſum eſſe cauſam perpetuæ diuiſionis, cum
quælibet res quanta ſit diuiſibilis bifariam, ideſt in duo ſecundum numerum
parem, & ſubdiuiſibilis poſtea bifariam, & ſic in infinitum, vt de linea pro­
 blematicè probatur in 10. primi Elem. quamuis theorematicè ſit axioma.
hunc porrò numerum parem dicebant terminatum eſſe ab impari, quia ori­
 tur ex diuiſione cuiuſuis rei, quæ vna ſit, ſumentes vnitatem pro impari.
ſignum præterea huius finitatis ab impari, & infinitatis à pari numero pro­
 cedentis, aiunt eſſe Gnomones, numeros ſcilicet impares: Gnomones enim,
ideſt impares numeri vnitati additi, producunt eandem perpetuò numero­
 rum formam, videlicet quadratum: at verò è contrariò numeri pares vni­
 tati additi, conflant perpetuò varias numerorum formas: quapropter vi­
dentur numeri impares eſſe finitatis cauſa; ſicut pares ex aduersò infinitatis
principium. quæ vt melius intelligas, declaranda eſt 26. propoſ. 7. Arith­
 metices lordani, vbi iſtud idem demonſtrat, quæ eſt hæc. ſit vnitas, & ſuo or­
 dine ſequantur impares, vt in ſequenti hac ſerie apparet 1. 3. 5. 7. 9. & c.
40[Figure 40]
ſi igitur vnitati addatur ternarius in Gnomo­
 nis modum, vt vides in prima figura, produ­
 cetur quaternarius numerus, qui eſt numerus
quadratus (quid ſit quadratus numerus expli­
 caui in Logicis tex. 9. primi Poſter.) etſi huic
quaternario addatur ſequens impar, qui eſt
quinarius in modum Gnomonis, vt in ſecunda
figura, ſit numerus nouenarius, qui pariter eſt quadratus. etſi huic ſimiliter
addatur ſequens impar, nimirum ſeptenarius, conflabitur ſedenarius, qui
numerus pariter quadratus eſt, vt in tertia figura, & hoc modo, ſi in
1tum procedatur, numeri ſemper quadrati progignentur. Vides igitur, qui
ratione Gnomonum, ſiue imparium additione fiat ſemper eadem ſpecies,
ſcilicet quadratus numerus, quod ſignum eſt, inquiunt, imparem numerum
non infinitatis, ſed finitatis eſſe auctorem. Poſt prædictam 26. propoſitio­
nem Iordani, ſunt aliquot propoſitiones, quarum ſumma hæc eſt: ſi pares
numeri ab vnitate coaceruentur; coaceruati erunt ſemper variæ formæ nu­
 merorum. quæ ſic explicantur: ſint ab vnitate pares diſpoſiti ordinatim
hoc modo, 1. 2. 4. 6. &c. ſi igitur vnitati binarius coaceruetur, fit numerus
41[Figure 41]
triangularis, vt in prima figura. ſi huic ternario
coaceruetur ſequens par, fiet altera ſpecies, ni­
 mirum hexagonus numerus, vt in ſecunda figu­
 ra. cui ſi ſequens addatur par, ſcilicet ſenarius,
fiet iterum noua numeri forma, v. g. dodecago­
 nus, vt in tertia figura. & ſic ſemper in infinitum nouæ ac variæ numerorum
formæ ex hac additione parium prouenient, quod argumento eſt numerum
parem infiniti naturam ſapere. Porrò reperiri numeros triangulares, pen­
 tagonos, & ſimiles, conſtat ex Arithmetica Nicomachi, Boetij, & Iordani,
citati in definitionibus 7. ſuæ Arithmeticæ, atque ex tractatu Diophantis
Alex. de numeris rectangulis. atque ex his locus hic ſatis clarus redditur.
94
Tex. 31. (Vtuntur etiam Mathematici infinito) aliquando Mathematici du­
 cunt lineas quantumuis longas, ſeu indefinitæ longitudinis, quas etiam in­
 finitas appellant: & hoc modo vtuntur infinito, vt infra tex. 71. ipſe Ariſt.
exponit. alio præterea modo vtuntur infinito, vt quando ſupponunt data
quauis quantitate poſſe ſumi maiorem, vel etiam minorem in infinitum, vt
patet ex 6. poſtulato primi Elem. editionis Clauianæ. numerum quoque au­
 geri poſſe in infinitum, eſt ſecundum poſtulatum libri 7. Elem. vel demum
quando probant quamlibet lineam poſſe diuidi bifariam, quia hinc ſequitur
poſſe ſub diuidi in infinitum; his igitur modis Mathematicis infinitum in vſu eſt.
95
Tex. 68. & 69. plura de magnitudine, & numero continent; ſed quæ non
indigeant opera noſtra.
96
Tex. 71. (Non remouet autem ratio Mathematicos à contemplatione auferens
ſic eſſe infinitum, vt actu ſit verſus augmentum, vt intranſibile, neque enim nunc in­
 digent infinito, neque vtuntur, ſed ſolum eſſe quantumcunque velint finitam) ratio
phyſica tollens infinitum actu, non eſt Mathematicis impedimento, quia ipſi
non vtuntur infinito actu; quam enim ipſi ducunt lineam infinitam, non eſt
verè infinita, ſed indefinita, eam enim quantumlibet magnam producunt, vt
poſſit ad demonſtrandum ſufficere.
Ex Quarto Phyſicorum.
97
Tex. 120. ter in hoc textu meminit commenſurabilitatis, & incommen­
 ſurabilitatis, quæ eſt diametri ad coſtam: cuius explicationem vide
primo Priorum, ſecto primo, cap. 23.
1
Ex Quinto Phyſicorum.
98
Tex. 6. (Vt media grauis ad vltimam, & acuta ad primam) alludit ad or­
 dinem chordarum in muſicis inſtrumentis, vbi media chorda edit ſo­
 num, reſpectu quidem vltimæ, & ſupremæ chordæ grauem: reſpectu verò
primæ, & infimæ acutum.
Ex Octauo Phyſicorum.
99
Tex. 15. (Etenim triangulus habet tres angulos æquales duobus rectis angulis)
lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1. huius rei explicationem reperies.
EX PRIMO DE COELO.
100
Tex. 33. (Vt ſi quis minimam quădam eſſe dicat magnitudinem, hic enim
minimum introducens, maxima vbique amoueret mathematicorŭm) ideſt,
ſi quis, vt Democritus poſuerit in magnitudinibus eſſe minima,
ſeu indiuiſibilia, ex quibus entia mathematica componerentur,
hic euerteret maxima mathematicorum, ideſt maxime ipſorum demonſtra­
 tiones, atque etiam effata euerterentur: v. g. 10. primi Elem. quæ docet
quamlibet lineam poſſe diuidi bifariam nulla eſſet, quia linea illa, quæ con­
 ſtaret ex tribus Democriti atomis, nulla ratione bifariam ſecari poſſet. pa­
 riter totus ferè decimus liber Elem. deceptiuus, & nullus eſſet, ſi enim da­
 rentur illæ atomi, ex quibus quantitas conflaretur, nullæ eſſent lineæ incom­
 menſurabiles, quandoquidem omnes communi illa, ac indiuidua, commen­
 ſurarentur. poſtulatum quoque illud, qualibet data magnitudine ſumi poſſe
minorem prorſus irritum redderetur, quia data atomo, illa minor accipi
non poſſet.
101
Tex. 36. (Sit itaque linea, in qua A G E, infinita ad partes E; & alia vtrinque
infinita, in qua β B; ſi itaque deſcribat circulum linea A G E, circa centrum G, fe-
42[Figure 42]
retur circulariter linea A G E, ſecans ali­
 quando lineam β B, tempore finito; totum
enim tempus, in quo circulariter latum
eſt Cœlum finitum eſt, & ablatum igitur,
quo ſecans ferebatur; erit igitur aliquod
principium, quo primum linea A G E, li­
 neam β B, ſecuit. ſed impoſſibile est; non
est igitur circulariter verti infinitum, quare
neque mundum, ſi eſſet infinitus) quamuis
textus hic parum ſit mathematicus,
quia tamen ſupponit figuram mathe­
 maticam, quæ in codicibus pariter, ac
commentarijs deſideratur, illam pla­
 cuit apponere. in qua quidem, quamuis duæ lineæ infinitæ ſupponantur, vna
ad alteram tantum partem in qua E: altera verò ad vtramque partem β, &
1non potuerunt tamen deſcribi, niſi finitæ; appoſitæ idcircò ſunt ad partes
illas, ad quas deberent eſſe infinitæ lineolæ quædam infinitatem indicantes.
debemus poſtea, vt mentem Ariſt. percipiamus concipere lineam A G E,
moueri circulariter facto centro in G. quæ quia infinita ſupponitur ad par­
 tem E, ſecabit neceſſariò alteram vtrinque infinitam β B, illamque; neceſſariò
finito tempore percurret, finito enim tempore tota mundi circulatio per­
 agitur, ſpatio videlicet viginti quatuor horarum. ex quo Ariſt. infert mun­
 dum non poſſe eſſe infinitæ magnitudinis; quia ſi mundus eſſet infinitus; &.
duæ lineæ infinitæ, quales ſunt prædictæ in ipſo, atque cum ipſo moueri alte­
 ra earum A E, intelligatur, alteram β B, manentem in tempore finito, ideſt,
in diurna conuerſione pertranſibit: fieri autem nequit, vt infinita magni­
 tudo finito tempore percurratur; quare dicendum eſt, mundum eſſe finita
magnitudine præditum.
102
Tex. 48. (Nihil autem refert grauitates, commenſurabiles ſint, an incommen­
ſurabiles) quidnam ſit commenſurabilitas, & incommenſurabilitas, expli­
 catum eſt lib. 1. Priorum, ſecto 1. cap. 23.
103
Tex. 119. (Est autem impoſſibile, & poſſibile; falſum, & verum, ex ſuppoſitio­
 ne quidem, dico autem, vt triangulum impoſſibile eſt duos rectos habere, ſi hæc)
ideſt, ſi ſupponantur falſa quædam, quæ ſupponi poſſunt, ſequetur impoſſi­
 bile eſſe triangulum habere tres angulos æquales duobus rectis angulis, vi­
 de, quæ ſcripſi lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1. de hoc, quod eſt, habere tres
angulos æquales duobus rectis. v. g. ſi in triangulo pag. 73. producto late­
 re A C, in D. ſi ſupponatur externus angulus B C D, non eſſe æqualis duobus
internis, & oppoſitis A, & B, nunquam poterimus eo modo, quo Euclides,
demonſtrare paſſionem prædictam de triangulo A B C. huiuſmodi impoſſi­
 bile, cuius oppoſitum non ſolum poſſibile, ſed etiam neceſſarium eſt, vocat
Ariſt. impoſſibile ex ſuppoſitione, quia ſcilicet impoſſibile euadit ex quo­
 dam falſo ſuo ſuppoſito, vt in allato exemplo, triangulum habere tres an­
 gulos æquales duobus rectis, quamuis neceſſarium ſit, tamen ex falſa ſup­
poſitione, impoſſibile euaſit.
104
Ibidem (Et diameter commenſurabilis est coſtæ, ſi hæc) vide primo Priorum,
ſecto 3. cap. 23. hoc ſolum nunc addendum (Si hæc) v. g. ſi ſupponamus li­
 neas eſſe compoſitas ex indiuiſibilibus, conſectarium erit diametrum eſſe
commenſurabilem coſtæ, quia indiuiſibile illud, ex quo vtraque linea con­
 ſtat, erit vtriuſque menſura communis.
Ex Secundo de Cælo.
105
Tex. 24. (Amplius qui ſolida diuidunt in plana, atque ex planis corpora
generant, his teſtes fuiſſe videntur: ſolam enim figurarum ſolidarum
ſphæram non diuidunt, vt non plures ſuperficies. quam vnam habentem.
diuiſio enim in plana non perinde efficitur, vt quiſpiam diuidens in par­
tes diuidat totum, ſed vt in ſpecie diuerſa: patet igitur ſphæram eſſe ſolidarum
primam) qui ſolida diuidunt in plana, ea diuidunt ſecundum numerum ſuper­
ficierum, quibus ambiuntur, v. g. diuidunt cubum in ſex ſuperficies, quia
cubus ſex quadratis planis ſuperficiebus continetur: qua ratione nequeunt
1ſphæram in plana vlla reſoluere, neque in alias plures ſuperficies, quia ſphæ­
 ra ambitur vnica tantum ſuperficie ſphærica. quando verò ex planis corpo­
 ra generant, vt facit Plato in Timæo, accipíunt primò triangulum æquila­
 terum, & ex quatuor triangulis æquilateris ſimul compactis conficiunt py­
 ramidem; & hoc modo alia ſolida à pluribus ſuperficiebus ambita conſti­
 tuunt: verum hac ratione nullo modo poſſunt ſphæram componere, quia
vnica tantum, eaque; ſphærica ſuperficie compræhenditur: atque hoc pacto iſti
diuidentes, & componentes corpora fidem faciunt, ſphæram, cum ex nullis
componatur, ſolidorum eſſe primam.
106
Tex. 25. (Est autem, & ſecundum numerorum ordinem aſſignantibus, ſic po­
 nentibus rationabiliſſimam, circulum quidem ſecundum vnum; triangulum autem
ſecundum dualitatem, quoniam duo recti. ſi autem ſecundum triangulum, vnum.
circulus non erit figura) In ordine figurarum conueniens eſt, inquit, primam
facere circulum propter ſimpliciſsimam ipſius naturam, cum vnica, ac per­
 fecta circulari linea comprehendatur: Triangulum verò ſecundam, quoniam
duo anguli recti, ideſt, quia triangulum habet tres angulos æquales duobus
rectis angulis; quod fusè explicatum eſt lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1. De­
 mum ſi primum locum dederimus triangulo, nullus alius remanet pro cir­
 culo, quod eſt inconueniens, ergo circulus prima figura erit.
107
Tex. 31. (At verò, quod aquæ ſuperficies talis ſit, manifeſtum eſt hac ſuppoſi­
 tione ſumpta, quod apta natura eſt ſemper confluere aqua ad magis concauum: ma­
 gis autem concauum eſt, quod centro propinquius est. ducantur ergo ex centro A,
43[Figure 43]
linea A B, & linea A C, & producatur, in qua B C,
ducta igitur ad baſim linea, in qua A D, minor eſt eis,
quæ ex centro. magis igitur concauus locus eſt, quare
influet aqua, donec vtique æquetur. æqualis eſt autem eis,
quæ ex centro linea A E, quare neceſſe eſt apud eas, quæ
ex centro, eſſe aquam, tunc enim quieſcet. linea autem,
quæ eas, quæ ex centro tangit, circularis eſt, ſphærica
igitur aquæ ſuperficies eſt, in qua B E C.) toto hoc
textu lineari demonſtratione probat aquæ manen­
 tis ſuperficiem eſſe ſphæricam: quæ demonſtratio
perſpicua euadit, ſi figura, quæ in codicibus tam
græcis, quam latinis, atque etiam in commentarijs deſideratur, quemadmo­
 dum fecimus, reſtituatur. ſit igitur in præcedenti figura A, centrum mundi,
ex quo educantur duæ rectæ lineæ æquales A B, A C, quæ deinde alia recta
B C, coniungantur. educatur quoque recta alia ex centro A, quæ pertingat
ad B C, quæ baſis eſt trianguli B A C, & producatur vlterius quantumlibet
in E. intelligatur demum circumferentia tranſire per puncta B, & C, quia
illæ duæ lineæ A B, A C, ſunt æquales, quæ circumferentia alteram A D, quæ
fuit protracta, ſecet in E. Iam ſic argumentatur: aqua natura ſua ſemper
defluit ad locum magis concauum, ideſt, ad loca centro A, terræ propin­
 quiora, quale eſſet in figura locus D, reſpectu locorum B, & C, quia A D,
linea minor eſt ijs, quæ ex centro eductæ ſunt A B, A C. quapropter aqua
debet defluere ex B, ad D, vel ex C, ad idem D, donec pertingat ad E. qui
locus non eſt decliuior punctis B, & C. quare cum loca B, E, C, quæ ſunt
1trema linearum, ſint æquè decliuia, neceſſe eſt aquæ ſuperficiem apud ipſa
conſiſtere, tunc enim debet quieſcere, aliter nunquam quieſceret; ſed vide­
 mus aquam manentem, & quietam, ergo quieſcit circa puncta B, E, C, à
centro terræ æquidiſtantia, per quæ tranſit linea circularis coniungens illa;
etſi ſuperficies per eiuſmodi loca pertranſiret, eſſet ſphærica: ſed ſuperfi­
 cies aquæ tranſit per talia loca, ergo ſphærica eſt. Huius etiam habes acu­
 tiſſimam Archimedis demonſtrationem initio libelli de ijs, quæ vehuntur
in aqua, quam in ſuam ſphæram retulit Clauius.
108
Tex. 46. (Reliquum eſt orbes quidem moueri, stellas verò quieſcere, & infixas
ipſis orbibus ferri; ſolum enim ſic nullum abſurdum accidit. celeriorem enim eſſe
maioris circuli velocitatem, rationabile eſt circa idem centrum infixis: vt enim in
alijs maius corpus velocius fertur propria latione, ſic, & in circularibus: maius
enim eſt eorum, quæ auferuntur ab eis, quæ ex centro, maioris circuli ſegmentum)
ex intellectione vltimæ periodi textus totius intelligentia pendet: ſit igitur
44[Figure 44]
figura præſens, in qua cum ſint duo circuli concen­
 trici, vnus altero maior, eductæque; ſint ex centro duæ
ſemidiametri A D, A E, quæ vtrunque circulum ſe­
 cant, apparet maius eſſe ſegmentum D E, quod è ma­
 iori circulo ſemidiametri ex centro eductæ auferunt,
quam ſegmentum B C, minoris circuli, quod eiſdem
ſemidiametris intercipitur. Verumtamen ſi circuli
ambo ſimul moueantur, maior circulus æquali tem­
 pore maius illud ſpatium D E, & minor minus B C,
pertranſibit: idem igitur de cœleſtibus orbibus di­
 cendum, qui quamuis omnes diurnum ſimul motum
abſoluunt, maiores tamen celerius conuertuntur: quo fit, vt ſtellæ maiori­
 bus circulis infixæ, atque delatæ, maiori celeritate ſuos curſus peragant, ne­
 que oportet eas, dum mouentur cœlum diſſecare, quod accideret, ſi pro­
prio motu veluti piſces per aquam progrederentur.
Hæc quidem Ariſt. conſentanea obſeruationibus veterum Aſtronomo­
 rum; at verò illis noſtræ ætatis obſeruationes repugnant; præſertim illæ,
quæ fiunt circa ſtellas errantes: ex quibus fatendum eſſe videtur, Cœlum,
qua parte Planetas continet, liquidum eſſe, ac per illud Planetas proprio
motu, ceu piſces in aqua progredi. Tycho namque Brahe, alijque; plures exactè
demonſtrant Cometas in regione Planetarum eſſe, eosque; motu quodam in
tranſuerſum moueri, quo neceſſario Cęlú deberent perforare; ijdem oſten­
 dunt nonnullos Planetas, Martem præſertim, ac Venerem modo ſupra So­
 lem, modo infra aſcendere, & deſcendere. Idem patet ex obſeruatione no­
 ua per nouum Teleſcopij i ſtrumentum in Venere facta, quæ lunulata vtrinque
à Sole apparet: quando nimirum eſt in imo epicyclo. iterumque; rotunda ve­
 luti Luna plena, cum in ſummo epicyclo verſatur: quæ minimè apparerent,
niſi ſupra, ac infra Solem circumiret. His rationibus conantur ipſi proba­
 re Cœlum eſſe liquidum; atque in eo Planetas, veluti aues in aere, permeare:
quarum ſolutio mihi nulla occurrit, alijs fortaſſis occurret.
109
Tex. 57. (De ordine autem ipſorum, quo quidem modo ſingula diſponantur, vt
quædam ſint priora, quædam posteriora, & quomodo ſpatijs ſe ăhabeant ad inuicem,
1ex ijs circa Aſtrologiam, conſideretur: dicitur enim ſufficienter) ſumit hoc loco
Aſtrologiam, pro Aſtronomia, ſi iuxta recentiores loqui velimus. Dicit igi­
 tur ordinem cœlorum, ac ſyderum, item ſitum, & proportiones magnitu­
dinum eorundem, cum per naturalis ſcientiæ principia ſciri nequeant, ex
rationibus Aſtronomorum petenda eſſe, apud quos iſta ſufficienter demon­
ſtrentur. & meritò quidem hæc dicuntur; poſteriores enim ab Ariſt. ordines,
ſitus, ac magnitudines tam cœlorum, quam ſyderum firmis rationibus, atque
inuentu peracutis demonſtrarunt. quorum princeps fuit ptolæmeus; noſtra
tamen ætate Tycho Brahe, qui certis obſeruationibus, quas maximo labo­
 re, ac ſumptu exantlauit, in nonnullis à Ptolæmeo, ac reliquis diſſentjt: ſtan­
 dum autem eſſe recentioribus obſeruationibus apud Aſtronomiæ peritos in
confeſſo eſt.
110
Tex. (Luna autem oſtenditur per ea, quæ circa viſum, quod ſphærica ſit: non
enim vtique fieret accreſcens, & decreſcens, plurimŭm quidem alter a ex parte curua,
altera concaua, aut vtrinque curua, ſemel autem bipartita) ait per ea, quæ circa
viſum, ideſt per opticem probari Lunam eſſe ſphæricam: ſed conſule, quæ
primo Poſter. tex. 3. de hac re ſcripſi, & plenam etiam huius loci intelligen­
 tiam aſſequeris, præſertim ſi experimentum ibi traditum inieris.
111
Ibidem (Et rurſus per Astrologica, quia vtique non eſſent ſolis eclypſes lunulæ
ſpeciem præfeferentes. Quare ſi vnum est tale, palam eſt, quod & alia vtique erunt
talia) ſicuti præcedens ſphæricitatis Lunæ ratio ex Perſpectiua deſumpta eſt,
ita præſens ex Aſtronomia, ex eò enim, quod eclypſis Solis habeat figuram
lunulæ, ideſt, ſi inſtar Lunæ falcatæ, probant Aſtronomi Lunam eſſe ſphæri­
 cam. intellige tamen partem illam Solis, quæ non eclypſatur, habere figu­
 ram lunulæ, pars enim à Luna obumbrata non videtur, etſi videretur oua­
lem quandam ſpeciem, præſeferret: pars igitur, illa eſt corniculata, quia
45[Figure 45]
cum Solis defectio ex interpoſitione Lunæ inter nos, &
Solem contingat, & Luna ſit ſphærica, neceſſariò ſphæ­
 ricè, & circulariter Solem obumbrabit; quare pars illa
non obumbrata remanet falcata, & corniculata, vt in
præſenti figura videre eſt; vbi cernis, Lunam Solem or­
 biculariter offuſcare in linea A D C, partem Solis de­
 tectam contentam lineis curuis A B C D, eſſe lunularem,
& falcatam; cum ergo in hunc modum fiat Solis deli­
 quium, ſignum certum eſt, Lunam eſſe ſphæricam.
112
Tex. 107. (Quod autem dubitatur, hoc eſt; videre autem non eſt difficile, ſi pa­
 rum conſiderauerimus, & diſtinxerimus, quonam modo cenſeamus quantamuis ma­
 gnitudinem grauem ad medium ferri. manifeſtum enim eſt, quod non quouſque ex­
 tremum tangat ipſum centrum; ſed maior pars vincat, oportet, quouſque ſuo medio
ipſum medium compræhendat; hucuſque enim habet propenſionem) ſenſus Ariſto­
 telis eſt, debere nos exiſtimare, quod ſi quæpiam grauis magnitudo deſcen­
dat ad centrum mundi, eam non permanſuram, ſtatim ac ipſius extremum
centrum mundi attigent; ſed eò vſque deſcenſuram, quouſque ipſius medium,
mundi medium, ſiue centrum aſſequutum ſit; maior enim ipſius pars, in qua
ſcilicet medium eſt, minorem partem propellit, donec vtrinque à centro
mundi æquè emineat; omne enim graue hucuſque habet propenſionem, ſiue
1hucuſque grauitat, v. g. ſi lapis illuc deſcenderet, non quieſceret ſtatim ac
prima ipſius pars ad mundi centrum pertingeret, ſed reliquæ ipſius partes
adhuc grauitarent, ſicque; vlterius primam partem impellerent, donec lapi­
dis medium, mundi medio congrueret: quo facto lapis quieſceret. quæ num
vera ſint, vt intelligamus, oportet prius præmittere, iuxta Mathematicos
duplex eſſe medium, ſiue centrum cuiuſuis magnitudinis: aliud enim eſt
centrum molis, aliud eſt centrum grauitatis. centrum molis eſt illud pun­
 ctum, à quo extrema æquidiſtant: centrum grauitatis eſt punctum illud, à
quo extrema æque ponderant, ſiue à quo graue ſuſpenſum æquè ponderat,
ſiue in æquilibrio manet. Porrò in corporibus regularibus, ſi vniformia ſint
idem, & vnum ſunt centrum molis, ac centrum grauitatis: vt in ſphæra
plumbea, idem erit vtrumque centrum: ſi verò difformia ſint in grauitate,
vt in ſphæra partim plumbea, partim lignea, diuerſum erit centrum molis,
à centro grauitatis; illud enim erit in medio ſphæræ; centrum verò graui­
 tatis in parte plumbea exiſtet. In corporibus deinde irregularibus, etiamſi
ſint vniformis ponderis, aliud tamen eſſe poteſt centrum molis à centro gra­
 uitatis, vt in corpore oblongo, cuius alterum extremum ſit reliquis parti­
 bus multò maius, vti eſt claua: vbi centrum molis erit in medio longitudi­
 nis clauæ; centrum verò grauitatis, erit propinquius capiti clauæ. quando
igitur Ariſt. ait, graue deſcenſurum, donec ipſius medium, ſiue centrum,
mundi centrum attingat; benè dicit, ſi de medio grauitatis intelligat; ma­
 lè autem ſi de medio molis. quia grauia omnia ratione centri grauitatis
ponderant, neque manent; niſi ipſum maneat: quare niſi ipſum attingant cen­
 trum mundi ſemper grauitabunt, & mouebuntur. Verum enim verò ex an­
 tiquorum monumentis manifeſtum eſt, Archimedem, qui multò poſt Ari­
 ſtotelem floruit, primum omnium de centro grauitatis eſſe philoſophatum,
qua ratione dicendum eſſet, Ariſtotelem de centro, molis loquutum eſſe,
& perinde non vſquequaque verè.
113
Tex. 109. (Præterea quoque & per ea, quæ apparent ſecundum ſenſum, neque
enim Lunæ eclypſes tales haberent deciſiones; nunc enim in ijs, quæ ſecundum men­
 ſem fiunt, figurationibus, omnes accipit diuiſiones: etenim recta fit, & vtrinque
curua, & concaua) probat terram eſſe ſphæricam ratione aſtronomica, ex
Lunæ eclypſibus deſumpta: nam niſi terra eſſet rotunda, nunquam Luna in
eclypſi haberet tales deciſiones, ideſt non haberet falcatas, aut lunulatas
partes illas, quæ in eclypſi obſcurantur, & quaſi à Luna reſecantur. quam­
 uis enim ſingulis menſibus Luna terminetur modo linea concaua, vt quan­
 do noua eſt; modo recta, vt quando diuidua eſt: modo vtrinque curua, vt
cum à diuidua ad plenilunium tendit. quod fuſius primo Poſter. tex. 30. ex­
 poſui. in eclypſibus tamen ſemper curuam habet lineam illam, quæ partem
eclypſatam deſinit; vt paulo poſt explicabo. Vide precedentem textum 59.
& ca, quæ ibi annotaui, quæque tibi propoſui, & plenam huius loci intelligen­
 tiam aſſequeris. vide etiam, quæ mox ſubdam circa huius loci reliquum.
114
Ibidem (Circa autem eclypſes, ſemper curuam habet terminătem lineam: qua­
re quoniam eclypſim patitur propter terræ obiectionem, terræ circumferentia ſphæ­
 rica exiſtens, figuræ cauſa erit) probat rotunditatem terræ ab eclypſi lunari,
ex eo, quod Luna ſphæricè eclypſetur, quod innuitur illis verbis,
1curuam habet terminantem lineam, linea ſcilicet, quæ terminat partem
eclypſatam à non eclypſata, ſemper apparet circularis; cum autem hæc li­
 nea ſit terminus vmbræ terræ, quæ lumen obumbrat, ſignum manifeſtum eſt
vmbram ipſam eſſe rotundam; nam cum Luna deficiat propter terræ obie­
 ctionem inter ipſam, & Solem, ita, vt vmbra terræ protendatur vſque ad Lu­
 nam, eamque; in omni eclypſatione, ſiue eclypſis ſit ſupra terram, ſiue infra,
ad quamlibet denique partem terræ fiat, orbiculariter eam contegit, ſignum
perſpicuum eſt terram proijcere quoquouerſus vmbram rotundam, quæ vt
in ſphæra oſtenditur, eſt rotunda ad modum coni; cum ergo vmbra terræ
ex quauis parte proijciatur, ſit rotunda, certò certius colligitur, terramque;
quoque ipſam rotunda figura præditam eſſe. hanc eandem rationem, ſi libue­
 rit, fuſius pertractatam videre poteris apud P. Clauium in ſphæra.
115
Tex. (Præterea per astrorum apparentiam, non ſolum manifeſtum eſt, quod re
tunda, ſed & quod magnitudine non magna ſit; paruo enim facto nobis tranſitu ad
meridiem, & Vrſam, manifeſtè fit alter horizon circulus, ita vt aſtra, quæ ſuper
caput, magnam habeant mutationem, & non eadem appareant, & ad Vrſam, & ad
meridiem tranſeuntibus, quædam enim in Aegypto quidem stellæ videntur, & cir­
 ca Cyprum, in ijs autem, quæ ad Vrſam vergunt regionibus, non videntur. & aſtro­
 rum ea, quæ ſemper in ijs, quæ ad Vrſam vergunt, apparent, in illis locis occidunt.
Quare non ſolum ex his manifeſtum eſt rotundam eſſe figuram terræ, ſed & ſphæræ
non magnæ: non enim tam celeriter inſigne quippiam faceret, tranſlatis nobis adeò
parum) hic textus ei, qui ſphæram mundi audiuerit perfacilis eſt: propte­
 rea eum breuiter ſic paraphraſticè exponam. Terram eſſe rotundam, atque
reſpectu cœleſtium corporum non magnam, ſignum eſt, quod facto à nobis
paruo itinere ſiue ad meridionalem plagam, ſiue ad ſeptentrionalem (quam
Vrſam dicit) magnopere mutatur horizon: quod apparet primo ex varia­
tione aſtrorum, nam quæ in primo loco ſupra noſtrum verticem tranſibant,
in ſecundo loco non amplius, ſed alia, atque alia valde ab inuicem ſeiuncta
46[Figure 46]
ex facto quamuis paruo itinere tranſeunt. ſit in
præſenti figura terra, vbi A, in qua facta parua
mutatione ex loco F, in locum G, fieret magna
mutatio aſtrorum verſicalium B, in C, quæ mul­
 tum ab inuicem diſtant. ſi autem terra eſſet
maior, v. g. circulus medius, tunc facta maio­
 ri mutatione ex D, in E, fieret eadem aſtrorum
variatio ex B, in C; ſed cum nos experiamur
fieri magnam aſtrorum mutationem, ex parua
locorum intercapedine, ſignum eſt magnope­
 re mutari horizontem, ac proinde terram eſſe
rotundam, ac reſpectu cœleſtium corporum
paruam. aliud præterea ſignum huius horizontis permutationis eſt, quod
ſtellæ, quæ in priori loco ſupra horizontem apparebant, mutato paululum
loco ad alterutram plagam, ſtatim abſconduntur; aliæ verò nouæ apparent
vt in Aegypto, & Cypro, ſtella, quæ dicitur Canobus ſupra horizontem
aſcendit; quæ ſi paululum Vrſam, ſeu ſeptentrionem ambulaueris, ſtatim
latitabit. Demum eiuſdem citæ mutationis finitoris indicium etiam ſit,
1quod regiones ſeptentrionales incolentibus plurima ſunt aſtra, quæ nun­
quam occidunt, quamuis horizontem leuiter perſtringant, quæ tamen Cy­
 prijs, atque Aegyptijs oriuntur, atque occidunt. ex quibus & rotunditas, &
paruitas terræ colligi poteſt. has eaſdem rationes fuſius explicatas repe­
 ries apud P. Clauium in ſphæra.
116
Tex. 111. (Quapropter existimantes eum, qui circa Herculeas columnas eſt lo­
cum coniungi ei, qui circa Indiam, & hoc modo mare vnum eſſe, non admodum
incredibilia exiſtimare videntur &c.) exiſtimatores hoſce non perperam exi­
 ſtimaſſe apertè conuincunt Chriſtophori Columbi, Argonautarum principis
nauigationes; quibus nouus orbis repertus eſt, qui inter columnas Hercu­
 lis, atque orientalem Indiam totus vna cum mari Oceano Atlantico interiacet.
117
Tex. 112. (Mathematicorum etiam, qui circumferentiæ magnitudinem ratio­
cinari tentant, ad 400. dicunt ſtadiorum millia, &c.) quam ſubtilibus rationi­
 bus inueſtigauerint Aſtronomi quantitatem terræ, optimè, ac dilucidè ex­
 ponitur à P. Clauio in ſphæra: quem ſi libet, conſule, ne inani labore opu­
 ſculum iſtud exereſcat.
Ex Tertio de Cœlo.
118
Tex. 40. (Figuræ autem omnes componuntur ex pyramidibus: rectilinea
quidem ex rectilineis: ſphæra verò ex octo partibus componitur) Ale­
xander exiſtimat, Ariſtotelem dicere ſphæram conſtare ex octo
partibus illis, quæ deſignantur per tres circulos, quorum duo ſe­
cant ſe mutuò ad angulos rectos, vt in ſphæra mundi faciunt duo coluri;
tertius verò medios illos diuidit æquidiſtanter à ſectionibus illorum mutuis,
quemadmodum æquator in ſphæra mundi ſecat duos coluros. ex quibus ſe­
 ctionibus tota ſphæra in octo partes diuiditur, quibus ſphæram componi
vult Ariſtoteles. aduerte tamen hanc ſphæræ compoſitionem nullo modo
habere partes actu, cum ſphæra ſit vnica ſimplici ſuperficie terminata; ſed
quæ tantum ſint à prædictis imaginatis circulis deſignatæ: at verò aliæ fi­
 guræ, quæ pluribus planis terminantur, vt cubus, octaedrum, & ſimilia, quæ
Ariſt. vocat rectilineas, quia terminantur ſuperficiebus rectilineis actu di­
 ſtinctis ab inuicem ex natura ſua, non per noſtram deſignationem, ideò re­
 ctè dicuntur componi ex pyramidibus, v. g. dicimus cubum componi ex ſex
pyramidibus, quia cum habeat ſex baſes, cogitamus ſupra vnamquamque il­
 larum ſingulas pyramides erigi, quarum omnium vertices ad idem punctum
medium intra cubum imaginatum coeant. & ſic de reliquis ſolidis. quæ qua
ratione reſoluantur in plures pyramides, conſtat ex 10. 11. 12. & 13. Ele­
 mentorum Euclidis, at verò in ſphæra nullum reale compoſitionis, aut di­
 uiſionis fundamentum reperitur.
119
Tex. (Ad hæc neceſſe eſt non omne corpus eſſe diuiſibile dicere, ſed repugnare
certiſſimis ſcientijs; nam Mathematicæ ipſum quidem intelligibile, accipiunt diui­
ſibile) ipſum intelligibile, ideſt, quantitatem abſtractam tam continuam,
quam diſcretam, quam ſtatuunt Philoſophi eſſe ſubiectam materiam ma­
 thematicarum. quam ideo appellant intelligibilem, quia cum ſit abſtracta
per intellectum à ſenſibilibus affectionibus, reſtat vt ſit tantummodo
1lectu perceptibilis. Hanc eandem ſupponunt eſſe diuiſibilem in infinitum,
vt ſupra 3. Phyſ. textu 31. dictum eſt.
120
Tex. 66. (Omninò autem eniti ſimplicibus corporibus figuras tribuere irratio­
 nabile eſt. primò quidem, quia accidit non repleri totum; nam in planis tres figuræ
videntur implere locum, Triangulus, Quadratum, & Sexangulus) per ſimplicia
corpora intelligit quatuor elementa. Vult enim probare quatuor elemen­
 ta non habere figuras illas mathematicas, quas illis Plato tribuebat, vt au­
 tem Ariſt. rationem probè percipiamus, ſciendum, quod implere totum,
ſiue locum, illæ figuræ dicuntur, quæ ſimul ſuis angulis in plano quopiam ad
vnum, atque idem punctum vnitæ locum illum totum, qui circa punctum il­
 lud conſiſtit, contegunt, ita vt nihil vacui inter ipſas relinquatur. tales ſunt,
quibus fieri poſſunt pauimenta, oportet enim, vt ſimul vnitæ nihil vacui in
pauimento relinquant. huiuſmodi ſunt triangula æquilatera (de his enim
intelligendus eſt textus) quadrata, & hexagona, ſiue ſexilatera regularia;
47[Figure 47]
nam ſex triangula æquilatera ſimul iuncta in plano paui­
 re poſſunt, vt patet in figura præſenti; ratio huius eſt,
quia omnes anguli circa idem punctum (y. g. A, in hac
figura) in plano, quotquot fuerint conſtituti, ſunt æqua­
 les quatuor rectis, ex coroll. ſecundo 15. primi Elemen­
 ti: cum igitur ſex anguli, trianguli æquilateri æquiualeant
quatuor rectis angulis, conſtituti omnes circa punctum
A, totum locum circa illud implere poſſunt. Quadratum etiam replere lo­
48[Figure 48]
cum manifeſtum eſt, cum enim ipſius anguli ſint recti, ſi
quatuor quadrata ad idem punctum A, copulentur, vt in
figura apparet, replebunt eadem de cauſa vacuum.
Hexagonum quoque regulare, ideſt æquilaterum, &
æquiangulum idem præſtare poteſt; cum enim tres angu­
 li ipſius æquiualeant quatuor rectis, ſi tria hexagona ad
idem punctum A, vt in figura adaptentur, neceſſariò ni­
 hil vacui inter ipſa relinquetur, vt in figura hac oſtenditur. præter has tres
49[Figure 49]
figuras, nulla alia reperitur, quæ iſtud efficere poſ­
 ſit. cuius demonſtrationem perfectam videre pote­
 ris in fine commentarij P. Clauij ſuper 4. Elem. nos
ea tantum attingimus, quæ percipi poſſint ab homi­
 ne vix mathematicis tincto: ſed tamen, quæ ſenſum
Ariſtotelis patefaciunt. Aliæ porrò figuræ replen­
 tes locum planum, quibus aliquando Architectores
vtuntur, vel ſunt irregulares, vel ad prædictas redu­
 ci poſſunt. cum igitur tres tantum ex figuris planis
totum repleant, hæ ſolæ poterunt elementis attri­
 bui, ac propterea non ſufficient, niſi pro tribus elementis. quare quartum
abſque figura relinquetur; quod eſt abſurdum.
1
Admirabilis quædam Ap̀um industria.
Cæterum occaſione harum figurarum illud hoc loco apponere vi­
 ſum eſt, quod Pappus Alexandrinus initio quinti libri collectionum
mathematicarum ſcribit, De admirabili Apum induſtria, atque
prudentia in conſtruendo ſuas cellulas figura hexagona regulari.
cum enim vellent omne vacuum excludere, & præterea capaciſſimam om­
nium figuram habere, hexagonam accepere, quæ inter prædictas tres vtrum­
 que præſtat, nam & inane omne excludit, & illarum trium capaciſſima eſt,
cum magis ad circularem figuram accedat: vt patet ex tractatu de figuris
Iſoperimetris, qui eſt apud Clauium in ſphæra, necnon in Geometria pra­
 ctica. hoc ideò libentius recenſui, quia animaduerti naturales hiſtoriogra­
 phos omnes latere, vel ipſum Aldobrandum noſtrum, qui quamuis indu­
 ſtrioſæ Apis inſtar omnia delibauerit, iſtud tamen de Apibus artificium tan­
 ta ſapientia plenum, neſcio quo modo prætermiſit.
121
Ibidem (In ſolidis verò duæ ſolum pyramis, & cubus) ideſt replent locum
ſolidum. nullum reperi, qui in hoc loco explicando non errauerit; nam Græ­
 ci, qui alioqui ſolent mathematica probè intelligere, hic omnes lapſi ſunt,
ſecumque; & Arabes, & Latinos in eandem foueam ſupra ſe miſerè traxerunt.
communis ferè error omnium fuit, pyramides plures ſimul compactas poſ­
 ſe replere ſolidum locum. quod vt melius intelligamus, ſciendum eſt, reple­
 re locum ſolidum nihil aliud eſſe, quam ſi plura corpora ſolida ſimul ad idem
punctum coaptata, ita conſtipentur, vt totum ſpatium, quod eſt circa pun­
 ctum illud omninò occupent, hoc eſt, nihil vacui inter ipſa relinquatur: ſi­
 cut enim prædictæ tres figuræ planæ, de quibus paulò ante, replent locum
planum, ideſt ſuperficiem; ita cubi replent ſolidum, ideſt ſoliditatem ſimul
vniti conſtituunt, ita vt ſi octo cubi ſimul ad idem punctum coaptentur, con­
ſtituant corpus ſolidum ex octo illius conſtatum, nihilque; inane inter ipſos
cubos relinquatur. & ſicuti planæ illæ figuræ erant conficiendis pauimentis
aptæ, ita ſolidæ hæ muris, qui corpora ſunt ſolida, conſtruendis idonea ſunt.
Notam dum præterea, quod per pyramidem debemus intelligere pyramidem
regularem, quæ dicitur etiam Tetraedrum, eſtque; ſecunda inter quinque cor­
 pora regularia rectilinea, quæ alias Platonica corpora dicuntur. eorumque;
definitiones ſunt in 11. Elem. Tetraedrum autem ſic definitur, eſt figura ſo­
 lida ſub quatuor triangulis æquilateris, atque inuicem æqualibus contenta:
de hac inquam eſt ſermo. quia ſi liceret intelligere de irregularibus figuris,
infinitæ reperirentur figuræ tam planæ, quam ſolidæ, quæ vtrumque locum
complerent. Aduertendum tandem Ariſt. videri loqui de repletione loci
ſolidi, quia tranſit à planïs figuris ad ſolidas. & quia ſi hæ duæ pyramis, &
cubus replent locum ſolummodo ſecundum ſuas ſuperficies, quæ ſunt trian­
 gulum, & quadratum, iam de his cum proximè ante dixiſſet, quid opus fuiſ­
 ſet idem poſt modum repetere. ad hæc ſi in medium ſolida hæc duo profert,
aitque; ipſa replere locum, intelligens, planum, profectò non loquitur forma­
liter, ideſt de ipſis, vt ſolida ſunt. Quare Ariſt. videretur ſibi non conſtare,
vel perperam exiſtimaſſe plura Tetraedra complere ſoliditatem. deceptus
1fortè fuit Ariſt. eò quod videret Icoſaedrum conſtare ex viginti pyramidi­
 bus, verùm illæ non ſunt regulares, ideſt non ſunt Tetraedra, vt poſtea oſten­
 dam. Verum quidem eſt octo cubos ſimul adactos ſoliditatem conficere,
quia ad id neceſſarij ſunt octo anguli ſolidi, quos octo cubi præbere poſſunt,
cum anguli ipſorum ſint recti, & ſolidi. Verum enim verò plures pyramides
regulares, ſiue plura Tetraedra non poſſe replere vacuum, ſolidumque; con­
 ſtituere, ex eo patet, quia ſi id præſtarent, conflarent neceſſariò, vel vnum
ex quinque corporibus regularibus, de quibus in 13. Elemen. vel aliud quod­
 piam; non aliud, nam, vt patet ex ſcholio 13. Elem. non dantur, niſi illa.
quinque; neque vllum ex illis, quia diameter huiuſmodi corporis, quod com­
 poneretur ex illis pyramidibus, eſſet dupla lateris eiuſdem, vt patet, quia
pyramides illæ omnes concurrerent ad centrum ſphæræ illas omnes com­
 plectentis, quare latus vnius pyramidis à ſuperficie ſphæræ incipiens deſi­
 neret in centrum, ergo latus iſtud eſſet ſemidiameter, quapropter tota dia­
meter illius ſphęræ, & conſequenter huius corporis in illa inſcripti, eſſet du­
 pla lateris eiuſdem figuræ ſolidæ inſcriptæ, ſed nullo talis proportio diame­
 tri alicuius ex illis quinque ſolidis regularibus ad latus eiuſdem reperitur,
quæ ſit nimirum dupla, vt patet ex vltimis demonſtrationibus 13. Elem. ini­
 tio facto à 13. demonſtratione, in quibus nulla reperitur proportio dupla
inter diametrum, & latus eiuſdem alicuius ex illis ſolidis; ex quibus mani­
 feſtum eſt, plures regulares pyramides quouis pacto ſimul vnitas nullo mo­
 do replere locum ſolidum. cum igitur animaduerterem, ſenſum Ariſt. nullo
modo poſſe verificari de repletione ſolidi per plura Tetraedra, & omnes
tamen commentatores auctoritate Ariſt. decepti pro ipſo ſtarent, dubius,
ancepsque; diu hæſi, neque quid quam mea Minerua aſſerere auſus ſum, ſed P.
Clauium præceptorem meum per literas conſului, qui in hunc modum hu­
 maniſſimè reſpondit; cubus implet locum quater ſumptus, ad idem enim
punctum quatuor cubi coaptantur: ſic etiam pyramis ſexies ſumpta, ſeu ſex
pyramides ad idem punctum iunctæ ratione ſubſtantium triangulorum æqui­
 laterorum. Verum hac ratione non videntur implere locum ſolidum, fa­
teor; ſed tamen Ariſt. in eo tex. non loquitur de repletione loci ſolidi. hæc
ipſe. ſi igitur libeat Ariſtotelem, quod fortè Clauius intendebat defendere,
dicendum eſt cum eo Ariſt non loqui de repletione loci ſolidi: neque loqui
de cubo, & Tetraedro, quatenus ſunt corpora, ſed quatenus habent ſuper­
 ficies, cubus quidem ſex quadratas, Tetraedrum autem quatuor æquilate­
 ras ſuperficies, quæ duæ figuræ, vt ſupra in hoc textu vidimus, replent lo­
 cum: atque hoc modo facimus Ariſtotelem non formaliter loquentem. ex­
aduersò ne videamur magis Ariſt. quam veritatem ſequi, videtur dicen­
 dum, Ariſtotilem formaliter locutum eſſe, & vt patet ex rationibus ſupra
allatis de repletione ſolidi eſſe intelligendum, vt etiam intellexerunt omnes
huius loci expoſitores; Verumtamen ipſum erraſſe, dum plures pyramides
replere ſolidum exiſtimauit. Vtrumuis dixerimus, non tamen Ariſt. ab om­
ni errore vindicabimus. Hoc tamen certum eſt, ex prædictis, Græcos om­
 nes pariter, ac Latinos, illos ſequentes, lapos eſſe, aſſerentes duodecim py­
 ramides complere ſolidum locum, atque Dodecaedrum conſtituere; nam py­
 ramides Dodecaedron conſtituentes non ſunt regulares, ideſt, non ſunt
1traedra (de quibus tamen Ariſt. loquitur) vt patet ex ſupra dictis. Indul­
 geas Lector, ſi hoc loco neceſſe fuit in Geometriæ penetralia ingredi: ope­
 ræpretium enim eſt aliquando ipſis Mathematicis ſatisfacere. tu verò, ſi
adeo es mathematicis imbutus, conſule poſtremas demonſtra. 13. Elem. &
præcipuè ſcholium vltimum, vbi plura de his corporibus ſcitu digniſſima,
atque huc ſpectantia reperies ex his omnibus Mathematica, quæ noſtræ ſunt
partes, perſpicuè ſatis expoſuimus.
Multo poſt tempore, quàm hæc ſcripſeram incidi fortè in cap. 38. ſpecu­
 lationem 10. Benedicti de placitis Ariſt. reperique; ab eo vno Ariſt. hoc loco
erroris notari, dum aſſeruit duodecim pyramides replere locum corporeum,
ideſt, vt exponit ipſe, ſex pyramides ſuper hexagonam aliquam figuram
ſuperficialem, & ſex ſub eadem, id præſtarent, cum potius maius vacuum
remaneat ad quamlibet partium ſupra, & infra, quam plenum. hæc ipſe. ſed
expoſitio iſta puerili, ne dum Ariſt. ingenio prorſus indigna eſt: vt propte­
 rea exiſtimem caſu potius eum Ariſt. rectè reprehendiſſe, quam ex certa
ſcientia, cum illius erratum maiori errato conetur corrigere. Incidi po­
 ſtremò in Indicem librorum, quem Maurolyius ſuæ Coſmographiæ præpo­
 nit, vbi ſic ait: Demonſtramus autem in libello de figuris planis, ſolidisque;
locum replentibus, cubos per ſe, pyramides verò cum octaedris compactas
dumtaxat implere locum, qua in re Auerroem erraſſe pueriliter manifeſtum
erit. Vides igitur tanti viri auctoritate confirmari noſtram ſententiam, py­
 ramides videlicet per ſe, non replere vacuum. cum igitur conſtet vnam tan­
 tum ex figuris ſolidis, ſiue etiam dicas, vt perperam Ariſt. & alij plures exi­
 ſtimarunt, replere totum ſolidum; nulla ratione poterunt elementa quatuor,
quatuor diuerſis figuris indui, ſed vnum tantummodo, quare reliqua abſque
figura remanere neceſſe eſſet: quod eſt omnino inconueniens.
122
Tex. 71 (Deinde ſi terra eſt cubus &c.) lege definitiones 11. Elem. quæ ſunt
admodum faciles, ibi reperies definitiones quinque corporum regularium,
quorum figuras Plato elementis tribuebat: qua verò id ratione faceret, ha­
 bes in ſphæra Clau. Simpl. etiam hoc loco ſatisfacit.
Ex Quarto de Cœlo.
123
Tex. 33. (Deinde ad ſimiles videtur angulos ignis quidem ſurſum ferri,
terra autem deorſum, & omninò quod grauitatem habet, quare neceſſe
est ferri ad medium. hoc autem vtrum accidit ad ipſum terræ medium,
an ad vniuerſi, quoniam idem ipſorum ſit, alius ſermo eſt) cum vellet
50[Figure 50]
probare Ariſtoteles dari punctum quoddam in medio
mundi, ad quod grauia deſcendant, & concurrent:
& à quo leuia aſcendat; vtitur, præter alias, etiam
ratione aliqua ex parte mathematica; quæ eſt huiuſ­
 modi. videmus ignem, & cætera lęuia aſcendere à
terra ſurſum ad angulos æquales; ſimiliter videmus
terram, & cętera grauia deſcendere ad terram deor­
 ſum ad angulos æquales, quod ſignum eſt omnia iſta
idem mundi medium reſpicere: v.g. ſit terra in figu­
 ra præſenti circulus E C D, cuius medium, ſine
1trum A. via, qua aſcendit ignis ſit in linea A C B, quæ facit angulos in ſu­
 perficie terræ æquales, nimirum angulos B C D, B C E. ſimiliter terra per
eandem lineam faciens eoſdem angulos æquales deſcendit. linea autem, quæ
facit tales angulos tendit ad centrum ſphæræ A, vt patet ad ſenſum in figu­
 ra, & probari poteſt geometricè ex primis tertij Elem. ex quibus patet tam
læuia, quam grauia, quæ per talem lineam ferantur, reſpicere centrum A,
ſphæræ. Vtrum autem iſtud centrum ſit idem cum centro totius mundi, alius,
inquit, eſt ſermo, hoc eſt, ad aſtronomum pertinet. vide igitur hac de re
pulchram deſſertationem apud Clauium in ſphæra: qui probat euidenter
eſſe vnum, & idem.
124
Hoc loco deſideratur commentarius in cap. vlt. de Cœlo. cuius loco ìn-


terim Lector adeat Diſcurſum Italicum Galilæi Galilæi, de his,

quæ in aqua mouentur, ac natant: ubi propè finem, plura in hu-

ius capitis explicationem affert.
125
126
127
128
129
Ex Lib. 2. de Generatione, & Corruptione.
130
Tex. 56. (ldeoqué non prima latio cauſa Generationis, & Corruptionis eſt,
ſed quæ ſecundum obliquum circulum, in hac enim & continuum vnum
eſt & moueri duobus motibus) per primam lationem intelligit mo­
tum primi mobilis, qui ſit ſuper polis mundi, quo Stellæ omnes
ab oriente in occidentem rectà feruntur. per obliquum verò circulum in­
 telligit Zodiacum, qui obliquus eſt, quia poli eius ſunt alij à polis mundi, &
quia non tendit rectà ab ortu ad occaſum, ſed in ſphæra mundi tranſuer­
 ſus eſt, & deflectit à ſeptentrione in meridiem, quamuis non rectà, vt in
ſphæra explicari ſolet. motus ergo Planetarum, qui fit ſecundum hunc cir­
 culum, & ipſe obliquus, & tranſuerſus codem modo erit; ferrentur que per
eum à Borea ad Auſtrum, & è conuerſo; ex quo acceſſu, & receſſu efficiunt
æſtatem, & hyemem, item generationes, & corruptiones. Sol porrò, & pla­
 netæ, qui motibus proprijs hunc circulum peragunt, dicuntur moueri duo­
 bus motibus, & quidem contrarijs: quoniam dum Sol. v. g. per Zodiacum
graditur motu proprio, interim etiam à primo mobili fertur ab ortu in oc­
 caſum: ex quibus duobus motibus fit vnus tantum Solis motus ſpiralis, qui
mixtus eſt, ideſt, qui fit à duobus motoribus; vnde re vera Sol non mouetur
duobus motibus contrarijs re ipſa diſtinctis; hoc enim impoſſibile eſt: ſed
motu mixto ex duobus, qui ſpiralis eſt, circa mundum deſcribens ſpiras ab
vno tropico ad alterum: qui, vt dixi, cauſatur à duobus motoribus, qui ſunt
Sol ipſe, mouens ſe ipſum per Zodiacum: & primum mobile mouens inſu­
 per ipſum Solem, & Zodiacum ab ortu in occaſum circa mundum.
1
EX PRIMO METEORORVM.
131
Svmma 1. cap. 3. (Moles autem terræ quanta ſit ad ambientes magnitudi­
nes, non immanifestum, iam enim viſum est per aſtrologica theoremata,
quod multò etiam quibuſdam aſtris est minor) Quantitas terræ non ſo­
 lum abſolutè conſiderata, ab Aſtronomis explorata habetur, vt vi­
 dere eſt in ſphæra Clauij; ſed etiam reſpectiuè conſiderata, ideſt reſpectu
aliorum elementorum, & ipſorum etiam aſtrorum; cuius demonſtrationes
ſunt partim in libello Ariſtarchi Samij, de magnitudine, & diſtantia Solis,
& Lunæ, partim apud Ptolæmeum in magna Syntaxi, ſiue Almageſto: par­
 tim apud Albategnium de ſcientia ſtellarum: partim demum apud Ticho­
 nem Brahe. Porrò facile eſt demonſtrare Solem eſſe terra multò maiorem,
terram verò maiorem Luna, idque; ex eclypſi lunari, cuius imaginem habes
in figura ſequenti; vbi vmbra terræ eſt D B E, in quam Luna nigricans im­
 mergitur, ac lumine deficit, reliqua cognitu ſunt facilia: quia igitur Aſtro­
 nomi obſeruarunt vmbram terræ paulò ſupra Lunam pertingere, cum ſupe­
 riora aſtra non adeat, hinc collegerunt eam neceſſariò eſſe acuminatam, ſeu
conicam, vt figura refert. Cum ergo terra vmbram proijciat turbinatam,
neceſſariò corpus Solis, quod ipſam illuminat, eadem maior erit: quoti­
 diana enim experientia docemur, corpore illuminante exiſtente maiore
quà ſit illuminatum, vmbram proijci faſtigiatam: cum deinde Solem val­
 de a terra diſtare certum ſit, optimè infertur, eum reſpectu terræ eſſe maxi­
 mum: quanto enim duæ lineæ, ſiue radij B A, B C. à terra ad partes Solis
51[Figure 51]
magis elongantur, tan­
 to maius corpus illu­
minans intercipiunt. ha­
 ctenus de magnitudine
terræ ad Solem. Cum
verò Luna eclypſatio­
 nis tempore, aliquan­
 do non ſolum tota in
vmbræ vertice lateat,
verùm etiam aliquando
moram trahat, euidens
eſt, eam eſſe multò mi­
 norem illa vmbræ par­
 te, in quam immergi­
 tur; quæ pars cum ſit
conicæ vmbræ media,
erit multò gracilior
quàm ſit ipſa terra.
Ex quo manifeſtè apparet, Lunam, quæ illa vmbra minor eſt, eſſe à fortio­
 ri multò minorem ipſa terreſtri mole. Atque hæc de comparatione terræ
ad Lunam. harum rerum demonſtrationes exactiores pertractare non eſt
huius loci.
132
Eodem cap. (Conſiderantes vtique, quæ nunc oſtenduntur per Mathematica
1ſufficienter, fortè vtique deſisterent ab hac puerili opinione; valde enim ſimplex
eſt putare vnumquodque eorum quæ feruntur eſſe paruum magnitudinibus, quia vi­
detur aſpicientibus, hinc nobis ſic) vtinam iſta, necnon alia his ſimilia, quæ
paſſim apud Ariſt. occurrunt, plerique noſtræ ætatis conſiderarent, qui nulla
ratione probari poſſe exiſtimant, Solem, v. g. terra eſſe centies ſexagies ſe­
 xies maiorem; ſed etiam, quod peius eſt, negant eſſe maiorem; ad demon­
 ſtrationes autem aſtronomicas dicunt ſe exiſtimare eas eſſe fallaces; at que
impoſſibile eſſe nos res adeo à nobis diſtantes ſufficienter perueſtigare:
quanto ſapientius, ac prudentius eorum Magiſter Ariſt. alibi ſæpius, ſed hoc
præcipuè loco; quippe qui Mathematicis ſufficienter excultus erat; quibus
iſti deſtituti, nullo vnquam modo veſtigia præceptoris aſſequi poterunt.
133
Summa 1. cap. 4. (Quæ igitur astrorum eſt, velox quidem; longè autem: quæ
verò Lunæ deorſum quidem, tarda autem: quæ autem Solis ambo hæc habet ſuffi­
cienter) quæ igitur aſtrorum, ideſt latio aſtrorum eſt velox, ſed procul à ter­
 ra; Lunæ verò latio terræ quidem proxima, tarda tamen: at verò Solis la­
 tio medio modo ſe habet inter vtrumque, ideſt, quia neque nimis vt aſtra di­
 ſtat, neque tardè ſicut Luna circunfertur. exiſtimo Ariſt. loqui de motu diur­
 no, quia ſecundum hunc aſtra inerrantia ſunt Sole citatiora, Sol verò ipſa
Luna citior. Verumenimuerò illud non prætereundum, quod plurium inua­
 luerit opinio exiſtimantium Ariſt. his verbis, Solem ſupra Lunam proximè
collocaſſe; quod tamen ex ipſis nullo pacto deduci poteſt; ſed ſolummodo
ipſum ſupra Lunam collocaſſe. quod ſi ita ſenſiſſet venia dignus haberetur,
cum tunc temporis nondum fortè adinuentæ eſſent demonſtrationes illæ
aſtronomicæ, quibus ordo Planetarum certiſſimè conſtat, Solque; medius in­
 ter Planetas collocatur. At verò nulla ratione ferendi ſunt quicunque noſtra
hac tempeſtate non ſolum Ariſt. ita ſenſiſſe, ſed etiam contra firmiſſimas
aftronomorum demonſtrationes, quibus adeò Ariſt. deferebat, vnica, vt pu­
 tant ipſius auctoritate fulti, Solem ſecundum à Luna locum occupare om­
 ni ope defendunt.
134
Summa 2. cap. 3. (Quod accidit circa Mercurij stellam, quia enim modicum
ſuperaſcendis, ſæpè non apparet, it a vt poſt tempus multum appareat) quod Mer­
 curius non niſi rarò conſpici poſſit, cauſa eſt, quia parum à Sole elongatur,
ſiue ipſum antecedat, ſiue ſubſequatur. ex quo fit, vt diu ferè ſimul cum So­
le circumferatur, & propterea ſiue oriatur, ſiue occidat, parum ſupra ho­
 rizontem eleuatus apparere poteſt, quod Ariſt. ait modicum ſuperaſcendit.
vnde fit tum propter nimiam Solis vicinitatem, cuius lumine tegitur; tum
propter vapores, qui horizonti vt plurimum incumbunt, vt rarò, & poſt ma­
 gna temporis interualla conſpiciatur. non me fugit hæc omnia ab aſtrono­
 mis per epiciclum excuſari; ſed ego mediocritati eorum, in quorum gra­
 tiam hæc ſcribo, conſultum volo.
135
Eodem cap. (Ad auſtrum autem quando feratur, copiam quidem habere talís
humiditatis, ſed quia parua eſt ſectio circuli, quæ ſuper terram, quæ autem deor­
 ſum multiplex, non poſſe viſum hominum fractum ferri ad Solem, neque ipſi tropico
auſtrino appropinquanti; neque in æſtiuis verſionibus exiſtente Sole. quapropter in
lis quidem locis neque fieri cometem ipſum. quando verò ad Boream ſubdefecerit,
accipere comam, quia magna eſt circunferentia, quæ eſt ſupra horizontem; quæ au-
1tem eſt ſubtus, pars circuli parua; facilè enim viſum hominum pertingere tunc ad
Solem) cur cometa in regione auſtrali vltra Solis, annique; vias conſtitutus
non appareret, cauſam referebat Hippocrates paruitatem circuli, quem
motu diurno cometa deſcribebat, ob quam adeò parum ſupra horizontem
attolleretur, vt non poſſet viſus noſter ab ipſo ad Solem reflecti; quod ſecun­
 dum ipſum erat neceſſarium ad cometarum apparitionem. loquitur igitur
Hippocrates de circulis, quos diurna conuerſione cometes circumducit, qui
omninò ſimiles ſunt ijs, quos etiam Sol, reliquaque; aſtra eodem motu de ſi­
 gnant. qui quidem omnes in noſtra ſphæra obliqua ita ſe habent, vt ij, qui
ſunt vltra æquatorem ad Capricorni tropicum, minus ſupra horizontem
extent, quàm infra deprimantur, & tanto minus, quanto magis ab æquato­
re in auſtrum recedunt: contra verò faciunt, qui citra æquatorem ad Can­
cri conuerſionem collocantur, quanto enim magis ab æquatore in boream
remouentur, tantò eorum ſectio, quæ eſt ſupra horizontem, maior eſt ea,
quæ infra horizontem latet. quæ quidem omnia clara ſunt adhibita ſphæra
materiali, quam ſi ad tuam poli eleuationem accommodaueris, illicò vi­
 debis tropici, Cancri ſectionem, quæ eſt ſupra horizontem multo maiorem
ea, quæ eſt infra. oppoſitum verò in altero Capricorni tropico, cuius mini­
 mam portionem ſupra, maximam verò infra horizontem exiſtere videbis.
Idem proportionaliter imaginari debes de circulis, quos cometa tam vltra
Capricornum, quàm citra Cancrum delineat; nam eorum, qui ſunt vltra
Capricornum ad auſtrum minores adhuc ſectiones ſupra horizontem exi­
 ſterent, quàm opus ſit ad cometen ſpectandum. Atque hæc cauſa eſt ex ſen­
 tentia Hippocr. cur in illa auſtrali plaga nunquam cometes effulgeat. è con­
 trario autem, quia ad boream ſectiones illæ maximæ ſunt, aptæque; ad refra­
 ctionem viſus noſtri vſque ad Solem, idcircò in hac mundi parte cometas
conſpicere ſolemus. Reliqua Vicomercatus, atque Alexand. optimè expli­
 cant, quos tu conſule, ne actum agatur.
In cap. 4. ſummæ 2. lib. 1. Meteor. de Cometis.
136
In præſenti cap. Ariſt. ſuam de Cometis ſententiam exponit: Come­
 tam nimirum infra Lunam in elementari mundo procreari, & ignitum
quoddam Meteoron, ex lenta, pingui, ſiccaque; materia à terra in ſu­
 premam aeris regionem attracta, exiſtere; ibique; rapti aeris calore,
vel elementi ignis (quod illic eſſe putat) vicinitate, vel etiam vi aſtrorum
incendi, atque impelli. Hanć porrò opinionem & ſi probabilibus tantum ra­
 tionibus confirmatam vulgò tamen vſque ad hanc diem receptam, cum fal­
 ſam eſſe aſtronomi exiſtiment, non erit abs re rationes eas ex ſecundo pro­
 gymn. Tichonis volumine, deſumptas hic breuiter referre, quibus aſtrono­
 mus ille eos ſupra Lunam in ætherea regione collocauit: quas quidem ra­
 tiones ille ex diuturnis obſeruationibus per exquiſita organa factis adinue­
 nit: eaſque Mathematicis linearum, ac numerorum demonſtrationibus
explicauit.
Prima. ſed vt ab auctoritate, in quam obiter incidimus initium faciamus,
non eſt exiſtimandum nonnullos ſolum ex recentioribus id conſtanter aſſe­
1ueraſſe, ſed ſuperiori etiam ætate id ipſum Hieron. Cardan. libro de ſubtili­
 tate conatus eſt, neque irrito conatu, demonſtrare; qui præterea idem cum
ſe ipſo ſenſiſſe ait Albumazar. quibus etiam ex antiquis Seneca annumeran­
 dus eſt. prędicti autem recentiores omnes varijs demonſtrationibus ex ac­
curata obſeruatione erutis illud certò certius confirmare contendunt: idque;
non in vno dumtaxat, ſed in quinque cometis; quorum demonſtrationes apud
Tychonem partim in progymn. partim in epiſt. fuſius explicatas reperies.
2. Quarum potiſſima illa eſt, quæ ex parallaxi, ſeu aſpectus diuerſitate
deſumitur, certiſſimum enim eſt lumen illud eſſe altero ſublimius, quod mi­
 norem exhibet parallaxim: expertos autem ſe eſſe hi omnes, affirmant ho­
 ſce quinque cometas multò minorem pati parallaxim, quam Lunam; imò
quempiam minorem, quàm Sol ipſe patiatur, quo poſito manifeſtè conuin­
 ceretur eos omnes ſupra Lunam in ætherea regione effulſiſſe.
3. Ratio, qua etiam ante nouas obſeruationes vti ſolebant, deſumitur
ex motu cometæ diurno, quo ſcilicet oritur, & occidit, quemadmodum cæ­
 tera ſydera, hoc eſt ſpatio 24. horarum diurnam conuerſionem circa totam
terram abſoluit. ſi igitur comete eſſet in ſublimiori aeris regione, vbi cæte­
 ra ignita meteora collocantur, mouereturque; diurno motu circa terram, ſe­
 queretur neceſſariò eum tanta velocitate videri à nobis circumferri, vt po­
 tius fulgor quidam, ſeu radius pertranſiens ab oriente in occidentem appa­
 reret, quam ſtella quędam: idque; propter propinquitatem; aſtra enim ob ni­
 miam diſtantiam videntur tardè moueri, quamuis velociſſimè moueantur.
52[Figure 52]
Quod melius ex ſequenti figura
conuincitur, vbi circulus interior eſt
terra, cuius ſemidiameter A B. cir­
 culus verò exterior eſt cometæ gy­
 rus, quem ipſe ſpatio 24. horarum
percurrit, qui ſecundum veram pro­
 portionem deberet adhuc ipſi terræ
propinquior, ac proinde minor eſſe,
iuxta aeris ſupremam partem. hori­
 zon eſt recta D C, tangens terram in
B, vbi eſt oculus noſter, qui nihil in­
 fra ipſam D C, videre poteſt; quare
ſi cometa 24. horarum totum gyrum
D C E, percurrit, non videbitur, niſi
quando percurret portionem D C,
ſupra horizontem; quæ quidem por­
 tio, neque ſemihoræ reſponderet, ſi fi­
 gura iuxta veram proportionem conſtrueretur. experientia tamen conſtat,
cometas videri ſupra horizontem tot horis, quot ſtellæ fixæ, ſub quibus mo­
 uentur: non ergo eſt in ſupremo aere. Quod ſi fiat figura, in qua exterior
cometæ ambitus adeò magnus ſit, vt ipſius portio D C, ſupra horizontem
exiſtens, reſpondeat tempori, quo cometa ſupra noſtrum pariter horizon­
 tem ſpectatur, ea figura terræ ſemidiametrum A B. toties multiplicabit, vt
ipſi Lunæ circuitui proximè accedat.
1
Præterea aiunt, quis ſanæ mentis dixerit, Meteoron vllum ex materia
vaga, ac fluxa conſtans, poſſe tanta pernicitate moueri, vt diurnam con­
 uerſionem abſoluat? vnde illi motus iſte? præſertim cum videamus cætera
ignita meteora eſſe ad modum temporanea, atque euanida.
4. Comprobationem nobis ſuppeditant ex via, ſeu ductus circuli, quem
toto durationis tempore proprio curſu deſignarunt: prædicti namque quin­
 que cometæ motu ſibi proprio, quo ab occidente non omninò orientem
verſus, ſed ad aquilonem deflectentes ab initio ſuæ apparitionis, vſque ad vl­
timum finem exquiſitiſſimè portionem circuli maximi in cęlo deſignarunt;
non aliter quàm Sol proprio motu per eclypticam in cœlo mundi ſphæram
in duo æqualia diuidentem deſcribit. necnon aliter ac Luna ſuum iter per
circulum maximum cœlum bifariam diuidentem perficit. quapropter co­
 metas hoſce non minus quam Sol, vel Luna in ipſo æthere ſpatiatos eſſe con­
 tendunt. qui enim, aiunt, fieri potuiſſet, ſi in mundo elementari flagraſſent,
vt tam regulari, atque conſtanti ductu circuli maximi portionem tam exactè
delineaſſent, quam quidem inter elementa vagum, atque inſtabilem pro ma­
 teriæ inſtabilitate exercere debuiſſent?
5. Adde, quod in maximo hoc circulo deſcribendo, etiam ſi inæquali ve­
 locitate viſi ſint moueri, inæqualitatem tamen illam regularem vbique ſem­
 per ſeruauerunt, in principio quidem velociores, deinde ſucceſſiuè, & pro­
 portionaliter velocitatem illam ſimili analogia ſemper ſeruata inhibuerunt,
nullo igitur pacto inordinatam inæqualitatem, qua à tardiore motu ſubito
in celeriorem, & rurſus ſtatim ab hoc in illum proſilirent exhibuerunt: prout
omnia Meteora, quæ in mundi parte elementari ex flammanti materia ge­
 nerantur, talem diſparem, atque inconſtantem motum obtinere cernuntur.
6. Argumento præterea eſt cometas hoſce minimè elementares fuiſſe,
quod hic eorum proprius motus, quo maximo illo tramite ferebantur, nun­
 quam tantus fuit, vt proprium Lunæ motum, vel tardiſſimum adæquauerit,
quæ quidem cum lentiſſima eſt plus denis gradibus vna die promouetur;
cum tamen cometæ initio cum velociſſimi ſunt non multum vltra quinos
gradus diurno motu progreſſi ſint, vt ob id longè ſupra Lunam curſum ſuum
abſoluiſſe manifeſtè comprobari poſſit: quo enim ſydera magis à terra at­
 tolluntur, octauæque; ſphæræ propius accedunt, eò tardioribus proprijs la­
tionibus proferuntur: ita vt ſtellæ iſtæ cœlo adſcititiæ ſupra Lunam admo­
 dum euehendæ videantur. Quod ſi in ſuprema aeris regione conflagrarent,
qua nam ratione vnà cum toto cœlo diurnam conuerſionem abſoluiſſent:
neque enim putandum eſt ſupremum hunc aeris limbum eadem perne citate,
qua cœleſtes orbes, verum minori admodum imò tardiſſimè à diurno mo­
 tu, ſi tamen eo rapitur circumduci.
7. Tandem argumentum ex ipſorum duratione deſumatur. cætera nam­
 que meteora ſtatim atque apparuerint, veluti temporanea prorſus, atque eua­
 nida extinguuntur: At verò cometæ ad menſem aliquando integrum per­
 ſeuerant. quì igitur fieri potuerit, vt in hac corruptibili mundi parte ex ma­
teria adeò fluxa, & vaga, quam illis Ariſtoteles ſupponit, tandiu perdura­
 re potuiſſent.
Atque hæ ſunt rationes, quibus plurimi aſtronomorum recentiorum,
1metas hoſce motum æthereæ regioni conformem, contrà quam Ariſt. opi­
natus eſt, obtinuiſſe, manifeſtum eſſe volunt; ac proinde eorum locum, &
curſum in cœleſti mundi parte extitiſſe, ſe comprobaſſe exiſtimant: qua de
re prudentis Lectoris eſto iudicium: neque enim, vt ille cecinit, noſtrum eſt,
tantas componere lites.
Verumenimuerò Peripatetica omnis ſchola reclamat; Cœlum eſt inge­
nerabile, & incorruptibile, nihil igitur noui cœlo poteſt accidere. ſed age
reſpondent, nonne omnium aſtronomorum conſenſu ſtellæ tres nouæ noſtro
hoc ſæculo in cœlo toti mundo conſpicuæ illuxerunt? easque; in octaua ſphæ­
ra reſediſſe conſtans eſt omnium aſſertio? quarum prior anno 1572. in con­
 ſtellatione Caſſiopeæ apparuit. Secunda anno 1600. in Cygno, quæ nec dum
extinguitur. Tertia anno 1604. inter Sagittarij ſtellas viſa eſt, de quibus vi­
 de P. Clauium in ſphæra breuiter de illis tractantem: aut ſi mauis, & vacat,
vide quoad primam primum volumen progymnaſmatum Tychonis Brahe,
vbi etiam aliorum aſtronomorum de eadem certiſſimas commentationes
reperies. conſule etiam de reliquis duabus Ioannis Kepleri Cæſareæ Maie­
 ſtatis Mathematici commentaria; & coactus libenter fateberis noui ali­
 quid cœlo aduenire poſſe.
Poſtremò tandem poſſet quiſpiam in hunc modum opponere: etiam ſi con­
 ſtet quinque cometas cęlo oberraſſe, non propterea dicemus reliquos omnes
eſſe pariter cœleſtes, nullumque; proinde ſublunarem. Huic memorati Aſtro­
 nomi ſic reſponderent; id quidem mathematica, & infallibili ratione non
colligi, imò aliquot parum infra Lunam extitiſſe, non omninò negandum
videri: at verò in ſuperiori aeris plaga, in tam fluxa, ac inſtabili mundi par­
 te, cometas vnquam effulſiſſe, nemo ſibi ob allatas rationes meritò perſua­
 dere poſſe.
137
Summæ 2. cap. 5. (Ad hæc autem ſi quemadmodum oſtenditur in ijs, quæ cir­
ca Astrologiam ſpeculationibus, Solis magnitudo maior eſt quàm terræ; & diſtan­
 tia multò maior aſtrorum ad terram quàm So is; ſicut Solis ad terram quàm Lu­
 næ; non vtique longè alicubi à terra conus, qui à Sole, conijciet radios, neque vtique
vmbra terræ, quæ vocatur nox, erit apud astra; ſed neceſſe Solem omnia aſtra cir­
 cunſpicere, & nulli ipſorum terram obſistere) ex dictis ſumma 1. cap. 3. huius,
& ex figura ibi deſcripta, facilè eſt intelligere præſentem locum; nam cum
Sol ſit multò maior terra, vt ibi probatur, ac minus diſter à terra quàm fixæ
ſtellæ, magis tamen quàm Luna, vt patet ex ſolari eclypſi, ſequitur neceſſa­
 riò vmbram terræ, quæ nox eſt ipſa, effici turbinatam, & valdè procul à ter­
 ra acumen coni vmbræ aſcendet, ſed paulò ſupra Lunam conus hic vmbræ
permittet radios Solis ſe ipſum ambientes iterum ſimul committi, quod il­
 lis verbis (Conijciet radios) ideſt committet radios expreſſit Ariſt. cum igi­
 tur vmbra apud Lunam ſit ſatis gracilis, breui ſupra Lunam deſinet, neque
vllo pacto ad affixa ſydera protendetur, neque illis tenebras offundet. quod
etiam experientia confirmat, cum nunquam aſtra illa, quæ Soli opponuntur,
quæque; vertex vmbræ collimat, vllam patiantur eclypſim. quare ſine vllo ter­
ræ impedimento Sol poteſt affixa omnia ſydera per luſtrare. Exactiores ha­
 rum rerum demonſtrationes ſunt alterius loci.
138
Eodem cap. (Amplius autem eſt tertia quædam opinio de ipſo, dicunt enim
1quidam lac eſſe reflexionem noſtri viſus ad Solem; ſicut & ſtellam comatam; im­
 poſſibile autem eſt & hoc, ſi enim videns quieuerit & ſpeculum, & quod videtur
omne in eodem puncto ſpeculi eadem apparebit vtique pars imaginis, ſi autem mo­
 ueatur ſpeculum, & quod videtur, in eadem quidem diſtantia ad videns, & quie­
 ſcens; ad inuicem autem neque æquè velociter, neque in eadem ſemper diſtantia im­
 poſſibile eandem imaginem in eadem eſſe parte ſpeculi. Quæ autem in lactis circu­
 lo feruntur aſtra, & Sol, ad quem fit reflexio, mouentur manentibus nobis, & ſi­
 militer, & æqualiter ad nos diſtantia; à ſe ipſis autem non æqualiter: aliquando
enim medijs noctibus Delphin oritur, aliquando verò diluculo. partes autem lactis
eædem manent in vnoquoque; atqui non oportebat, ſi erat imago, ſed non in eiſdem
adhuc eſſet hæc paſſio locis) in his Ariſt. confutat opinionem dicentium Gala­
 xiam apparere per quandam reflexionem viſus noſtri ab illa parte cęli, ceu,
ex quodam ſpeculo ad Solem: probat autem hoc eſſe impoſſibile ratione
deſumpta ex parte Optices, quæ dicitur Catoptrica, ſiue ſpecularia, quia
tractat de viſione reflexa, quæ fit mediante ſpeculo, quam quidem rationem
ſi vellem mathematicè explicare, longa nimis, ac præter inſtitutum fieret
tractatio. Pauca tamen addam, quæ Ariſtotelis ſententiam ſatis perſpicuam
reddant. ſi igitur inquit, Galaxia nihil aliud eſſet quàm reflexio noſtri viſus
ex illa cœli parte, in qua ipſa apparet tanquam ex ſpeculo ad Solem, ita vt
nihil aliud ipſa eſſet, quàm Sol viſus per reflexionem ex illa cœli parte tan­
 quam ſpeculo; ſequeretur eam non ſemper in eadem cœli parte apparere,
ſed modo in vna, modo in alia, ita vt ſpatio vnius anni totum cœlum perua­
 garetur: quod tamen non accidit. quod autem illud conſequatur manife­
 ſtum eſſe poteſt ex obſeruatione eorum, quæ ex ſpeculis videntur: tunc enim
res per ſpe culum viſa in eadem ſpeculi parte apparet, quando & videns, &
ſpeculum, & obiectum immota manent: quod ſi & ſpeculum, & obiectum ad
inuicem accedant, vel recedant, ſeruata tamen eadem ab inſpectore diſtan­
 tia, nullo modo fieri poteſt, vt eadem imago, in eadem ſpeculi parte ſpe­
 ctanti videatur, niſi obiectum ſpeculo per eandem lineam accedat, ſecun­
 dum quam illi incidebat. At verò partibus illis lactei circuli, ſiue aſtris, quæ
in eo fulgent, Sol perpetuò accedit, vel recedit, neque per lineam incidentiæ
eandem, ſeruata tamen eadem à nobis diſtantia, quod quidem inde patet, quia
Delphini conſtellatio, qui in ipſo ferè lacte exiſtit, aliquando medijs noctibus,
aliquando verò mane, aliquando etiam veſperi oritur; quod inde accidit,
quia illi Sol modò appropinquat, modò coniungitur, modò ab eo recedit,
quare neceſſe eſſet, vt lacteus orbis, non ſemper in ijſdem locis, ſed perpe­
 tuò in alijs, atque alijs cerneretur, cuius tamen contrarium videmus. ex qui­
 bus conſtat falſam omninò eſſe eorum ſententiam, qui Galaxiam per huiuſ­
modi reflexionem fieri opinabantur. Quæ dicta ſunt de ſpeculo, & obiecto
ſatius eſt aſſumpto aliquo ſpeculo experiri, quàm ea pluribus obſcurare: qua
etiam experientia Ariſt. ratio confirmabitur.
139
Ibidem (Quæ autem in lactis cir culo feruntur astra, & Sol, ad quem fit refle­
xio, mouentur manentibus nobis, & ſimiliter, & æqualiter ad nos diſtantia à ſe
ipſis autem non æqualiter) quæ hic ab Ariſtotele dicuntur non ſunt vſque quaque
vera propter apogæum, ac perigæum Solis, quæ quidem duo ab omnibus
aſtronomis aſſeruatur: quando igitur Sol eſt in apogæo, maiori multo
1teruallo diſtat à nobis, quàm quando eſt in perigæo, interuallum enim illud
conſtat diametris terræ duobus, & quadraginta, hoc eſt milliarijs 208000.
ferè, ideſt octonis millibus ſupra ducenta millia. quæ differentia facit vt Sol
manifeſtè appareat nobis minor apogæus, quàm perigæus. Sol præterea ſi­
 militer ipſis inerrantibus ſtellis fit tantumdem modo remotior, modo pro­
 pinquior: ſed fortè Ariſt. iſta non occurrerunt, vel tunc temporis nondum
perſpecta erant.
140
Ibidem (Aliquando enim medijs noctibus Delphin oritur) vt probet, Gala­
 xiam non ſemper ſeruare à Sole diſtantiam eandem, accipit tanquam huius
rei ſignum, manifeſtum, quod Delphini conſtellatio aliquando medijs no­
 ctibus oriatur ſupra horizontem, aliquando verò diluculo; non ideò tamen
putes hanc rationem ſupponere Delphinum eſſe in ipſo lacteo circulo, quod
tamen verum non eſt, non enim eſt in Galaxia, ſed tamen illi proximus, vt
noctu videre eſt in cœlo, vel etiam ſi mauis in globo aſtronomico: non ta­
 men ob id Ariſt. ratio minus valida redditur, cum Delphinus ſemper Gala­
 xiæ eodem modo ſit proximus, eoque; moto, ipſa pariter moueatur.
141
Summæ 2. cap. 6. Sunt qui velint Ariſt. Galaxiam nihil aliud eſſe, quàm
quandam refractionem lucis ſtellarum illarum, quæ ſunt in ætherea Gala­
 xia, quæ inquam refractio fiat circa ſupremam aeris regionem ex occurſu
exhalationum, quæ ibi perpetuò conſeruantur, & vi earumdem ſtellarum
ſurſum ſemper attrahuntur, quæ refractio fiat ad eum modum, quo halo cir­
 ca Solem, & Lunam. & quemadmodum halo, ſiue area omnibus vndecunque
aſpicientibus ſemper videntur in eodem cœli loco, hoc eſt è regione Solis,
vel Lunæ; ſimiliter Galaxia in aere omnibus vndecunque intuentibus appa­
 reat in eadem cœli parte, ideſt ex aduersò eorumdem ſyderum, quæ cœle­
 ſtem lacteam viam conficiunt. Porrò qui ſic mentem Ariſt. exponunt, nul­
 lo modo poſſunt à Mathematicis redargui per rationem deſumptam à di­
 uerſitate aſpectus (quam poſtea explicabo) quamuis phyſicis rationibus re­
 fellantur. Alij ſunt, quorum ſententia magis videtur improbanda, eò quod
Ariſt. ſummum Philoſophum pueriliter in aſtronomia lapſum fateri cogan­
 tur. Exiſtimant hi Galaxiam hanc Ariſtotelicam nihil aliud eſſe, quàm ip­
 ſas tenues exhalationes in aere ſubuectas, directèque infra ſtellas illas la­
 cteum circulum in cœlo conſtituentes nobis obiectas. qui præter innumera,
ac magna abſurda è naturali Philoſophia petita, vnum maximum ex Aſtro­
 nomia, nempè ex diuerſitate aſpectus deſumptum, nullo modo vitare poſ­
 ſunt; eſtque; huiuſmodi, quia ſi lacteus hic circulus eſſet in aere, non ab om­
 nibus, neque ex omni terræ loco per eadem ſydera commeare cerneretur, ſed
è diuerſis, & præcipuè ab inuicem valde diſſitis, circa diuerſa aſtra ſe ſe ocu­
 lis noſtris obijceret: at teſtimonio ſenſus conſtat, Galaxiam ſemper in eo­
 dem loco; eademque; à ſyderibus fixis diſtantia albicare, ergò nullo modo
viam hanc in aere quaſi pendulam fabricare debemus. rationem hanc di­
 uerſitatis aſpectus aſtronomicè magis explicatam reperies apud Clauium
in ſphæra. Porrò hæc ratio quamuis adeo certa, ac noſtra tempeſtate vul­
 gata, parum tamen à nonnullis de rebus Meteorologicis commentaria con­
 farcinantibus intellecta, minimè eos abſterrere potuit, quin prædictam opi­
 nionem, non ſolum Ariſtoteli imponerent, verum etiam ipſi tanquam
1aſtruerent: huiuſmodi patiuntur incommoda, qui abſque Mathematicarum
auxilio Philoſophiam aggrediuntur.
142
Eodem cap. (Ad hæc autem locus plenus eſt aſtris maximis, & fulgidiſſimis,
& adhuc ſparſis vocatis) non ſolum viam hanc lacteam aſtris plurimis refer­
 tiſſimam eſſe videmus, ſed præterea eandem ſtellarum admodum feracem
appellare licebit, ſi quidem ſtellæ omnes illæ nouæ, quæ noſtra tempeſtate
apparuerunt, omnes in hac via exortæ ſunt. prima enim anno 1572. effulſit
in Caſſiopea; altera anno 1600. in Cygno. tertia demum anno 1604. in Sa­
 gittario, quæ omnes conſtellationes intra lacteum circulum continentur.
Veriſſimum præterea eſſe hoc idem confirmatur inſtrumenti illius mirabi­
 lis auxilio, quod ſuperiori anno in Belgio excogitatum, & poſtea in Italia
à Galilæo perfectius redditum eſt, quodque; ipſe primum Italicè Cannocchiale,
Latinè verò, & quidem aptè à Græcis mutuato vocabulo alius Teleſcopium
appellauit: hoc inquam ſpecillo adhibito perſpicuum ſtatim fit non ſolum
in via lactea innumeras ſtellas contineri, verum quid ipſa ſit, certò certius
conſtat; ſed ſatius eſt ipſius Galilæi verba ex Nuncio ſydereo referre: Quod
tertio inquit, loco à nobis fuit obſeruatum eſt ipſiuſmet lactei circuli eſſen­
 tia, ſen materies, quam Teleſcopij beneficio adeò ad ſenſum licet intueri,
vt & altercationes omnes, quæ per tot ſæcula Philoſophos excruciarunt ab
oculata certitudine dirimantur, nosque; à verboſis diſputationibus liberemur:
eſt enim Galaxia nihil aliud, quàm innumerarum ſtellarum coaceruatim
conſitarum congeries, in quancunque enim regionem illius ſpecillum dirigas,
ſtatim ſtellarum ingens frequentia ſe ſe in conſpectum profert, quarum com­
 plures ſatis magnæ, ac valdè conſpicuæ videntur; ſed exiguarum multitudo
prorſus inexplorabilis eſt. hæc ille.
143
Eodem cap. (Conſideretur autem & circulus, & quæ ſunt in ipſo aſtra ex de­
ſcriptione) id eſt, conſideretur Galaxia, & aſtra ipſius inſpiciantur diligenter
ex deſcriptione alicuius Globi aſtronomici, in quo ſolent Aſtronomi omnes
conſtellationes, ac ſtellas ſuis locis reddere, atque etiam lacteum ipſum cir­
 culum graphicè effingere. huiuſmodi globum veteres ſphęram Aratæam di­
 cebant ab Arato Poeta græco, qui conſtellationes omnes carmine proſequu­
 tus eſt, ac proinde globum hunc ordine expoſuit:
144
Eodem cap. (Sparſa autem vocata) putò ſparſa hæc ſydera illa eſſe, quæ
recentiores informia appellant, eò quod ad aliorum aſteriſmorum formas
minimè reuocentur.
145
Summa 4. cap. 1. (In Aſia igitur plurimi ex Parnaſſo vocato monte videntur
fluentes) rectè dubitat Alexander, qua ratione mons Parnaſſus ab Ariſt. po­
 natur in Aſia, cum certò certius conſtet, ipſum in Græcia Europæ regione
ſitum eſſe. fortè legendum eſt, vt vult Vicomercatus, ex Paropameſſo, non
autem ex Parnaſſo, quamuis Græci codices aduerſentur; Paropameſſum
namque Plinius, & Strabo in Aſia collocant, voluntque; ipſum eſſe iugum quod­
dam montis Caucaſi: Caucaſum autem ſupra Pontum oriri, & vſque ad Hir­
 canum, & vltra mare per totam Aſiam ſe proferre, tradunt veteres Geo­
 graphi. vide Theſaurum geographicum Abrahami Ortelij. Strabo lib. 15.
ſic: Indiam à ſeptentrione Tauri extrema terminant, ab Ariana vſque in
orientale mare, quæ extrema indigenæ particulatim nominant
1ſum, Emodum, Imauum, & alijs nominibus: Macedones verò Caucaſum
vocant.
146
Ibidem (Apparet mare, quod eſt extra) intelligit illud mare Oceanum, quod
Arabiam, ac Perſiam alluit, Indicoque; Oceano committitur: quodque; à pri­
 ſcis Geographis Rubrum mare appellatur, cuius alterum Rubrum mare,
quod inter Africam, & Arabiam ſe inſinuat, eſt quidam ſinus, quem nunc
communiter omnes Rubrum mare appellant. de illo inquam meritò intel­
 ligit Alexander, non de hoc Aegyptiaco, cum ex aſpectu illius à monte Pa­
 ropameſſo, ſequatur ipſum eſſe editiſſimum, quod non ſequeretur ex altero
ob illius propinquitatem. Dixit autem mare, quod eſt extra, ideſt extra
terram habitatam, ad diſtinctionem maris Mediterranei, quod eſt intra
terram habitatam, ac propterea Mediterraneum dictum eſt.
147
Ibidem (Ex hoc igitur fluunt & alij fluuij, & Bactrus, & Choaſpes, & Ara­
 xes. ab hoc autem abſcinditur Tanais pars exiſtens in Meotidem paludem fluit au­
 tem, & Indus ex ipſo, omnium fluuiorum fluxio maxima) hæc omnia ſunt falſa,
& impoſſibilia; nam cum Bactrus Bactrianam regionem irriget, quæ eſt vl­
 tra Perſiam, Choaſpes verò Perſiam ipſam, Indus denique in India oriatur:
quì fieri poteſt, vt in Regionibus adeò inuicem diſſitis orti fluuij ab eodem
quoque Paropameſſo monte ortum ducant. nec minus falſum eſt illud de Ta­
 nai, quod ſit quaſi ipſius Araxis ramus quidam, Tanais enim ex Riphæis
montibus Scythiæ delabitur in Meotidem paludem longè longius ab Araxi.
eumque; terminum inter Europam, & Aſiam Geographi conſtituunt, vnde
Dionyſius Afer ſic cecinit:
Europam, atque Aſiam Tanais diſterminat amnis.
verùm huiuſmodi errata Ariſt. atque adeò Geographis illius temporis con­
 donanda ſunt, cum nondum Geographia ſatis exculta eſſet.
De altitudine montis Caucaſi.
148
Eod. cap. (Caucaſus autem maximus mons eſt eorum qui ad orientem æſtiua­
 lem, & multitudine, & altitudine ſigna autem altitudinis quidem, quia
videtur & à vocatis Profundis, & à nauigantibus in Stagnum inſuper il­
 luſtrantur à Sole ipſius ſummitates, vſque ad tertiam partem nocte, & ab
aurora, & iterum a veſpera) Caucaſus mons ſitus eſt inter mare Euxinum, &
Caſpium, ſupra Cholchidem, & Iberiam regiones, vbi polus eleuatur 47.
circiter grad. ac reſpectu Græciæ, & maris Euxini vergit ad eam mundi pla­
 gam, vnde illis æſtiuo tempore Sol oritur. ait Ariſt. eum eſſe omnium mon­
 tium illius plagæ altiſſimum, quod probat primò, quia admodum à longè
cernitur, nimirum ab illo Euxini loco, qui Profunda vocatur, eò quòd à Nau­
 tis nuſquam ibi fundus reperiatur. & præterea à Nauigantibus in Stagnum,
ſiue in Meotidem paludem, quæ quidem loca minimùm diſtant a Caucaſo
560. milliaribus. Secundò, probat il ius altitudinem ex eo, quòd ſummi­
 tates ipſius vſque ad tertiam partem nocte, & veſperi à Sole illuſtrentur. Lo­
 cum hunc fusè pertractat eruditiſſimus Iacobus Mazonius ſectione 3. & 4.
de Comparatione Platonis, & Ariſt. quo in opere plurima habet ex Mathe­
 maticis deſumpta, quibus naturalem Philoſophiam mirificè illuſtrat, mani­
feſtumque; reddit, quàm neceſſariæ ſint Mathematicæ ad philoſophicæ
1tatis inſpectionem. Is igitur ſect. 3. cap. 5. de hoc Ariſt. loco ſie loquitur:
hic locus diligenter expendendus videtur tum quia difficillimus eſt, tum quia
multis anſam dedit reprehendendi Ariſt. tanquam puerilia effutientem. tex­
 tus itaque Ariſt. duplicem habet ſenſum; alter à quo non abhorret Alexander;
vt tertia illa pars ad montem referatur, quaſi dicat, quod antequam Sol ima
montis illuſtret, illuminat illius cacumen vſque ad tertiam montis partem:
ſed hæc Mazonij expoſitio nulla eſt, cuiuſlibet enim montis etiam medio­
 cris altitudinis Sol illuſtrat non ſolum tertiam partem, ſed & dimidium, &
duas tertias, & ferè totum, antequam ad planam illius baſim deſcendat.
Ego ſic exponendum cenſeo, vt Ariſt. dicat, mane, ideſt initio Crepuſculi
matutini, & veſpere, ideſt, in fine Crepuſculi veſpertini ipſius tertiam par­
 tem illuminatam conſpici ab ijs, quorum horizonti tunc incipit, vel deſinit
Crepuſculum; ex quibus illi neceſſariò reſpectu Caucaſi ſunt occidentales,
quì manè hoc vident, vti ſunt ij, qui in Euxino, ſeu Ponto, & Meotide naui­
 gant, vel loca proxima inhabitant: illi verò, qui in fine Crepuſculi veſper­
 tini hoc cernunt, neceſſariò reſpectu Caucaſi erunt orientales. Alter huius
loci ſenſus eſt, ait Mazonius, vt non de tertia montis parte, ſed de tertia
noctis portione loquatur, ita vt manè. v. g. initio tertiæ, & vltimæ noctis
parte, cacumen Caucaſi illuminetur. hæc ille. vbi animaduertendum expo­
 ſitionem hanc parùm differre à noſtra modò allata, cùm vtraque in idem tem­
 pus recidat; nam ſi dixerimus initio Crepuſculi matutini illuminari ter­
 tiam partem Caucaſi, tempus hoc coincidit cum initio tertiæ partis noctis,
quantitas enim Crepuſculi in poli eleuatione 47. grad. qualem habet Cau­
 caſus, per totam æſtatem tres horas plus minus continet, vt patet ex tabu­
 la quantitatis Crepuſculi, quæ eſt apud Nonium, & apud Clauium in ſphæ­
 ra vltimæ editionis; quæ quantitas reperiri geometrico calculo poteſt, vt
docent Nonius, Clauius, & Maginus lib. 10. primi mob. quod quidem trium
circiter horarum tempus eſt tertia ferè noctis pars in ijs regionibus, quibus
polus eleuatur 47. grad. ſiue ergo dicamus id contingere initio Crepuſculi,
ſiue initio tertiæ partis noctis, erit idem tempus, trium ſcilicet horarum.
ſi ergo, inquit Mazonius, ſequamur priorem declarationem, neceſſarium
eſt dicere, quod ea tertia pars montis, quæ initio auroræ Solis lumine per­
 funditur, ſit ea montis altitudo, qua ipſe exuperat illam aeris regionem,
vnde Crepuſculum incipit apparere. quo poſito aptè, ac ſagaciter altitudi­
 nem Caucaſi inueſtigat hoc pacto. præmittit autem ſeptem propoſitiones
apud Mathematicos manifeſtas, quas ego miſſas facio cum non mihi neceſ­
 ſariæ videantur. poſtea ſic diſcurrit; His ergo ita ſe habentibus, dico nos in­
 uenire poſſe viam, qua ſaltem rudi Minerua, montis altitudinem comper­
 tam habeamus. ſi enim in principio Crepuſculi v. g. matutini (ita enim, vt
ſupra annotaui intelligendus eſt Ariſt.) illuminatur tertia pars, neceſſarium
videtur tertiam illam partem ſupra eam regionem collocari, ex qua Cre­
 puſculum in planitie apparere incipit, ſed illa regio ex Alhazino, & Vitell.
de Crepuſculis milliaribus 52. à terra recedit, ergo duæ tertiæ montis par­
 tes, quæ Solem initio auroræ non vident, ſunt 52. milliaria ad perpendicu­
 lum, & tertia alia pars illuminata eſt ad perpendiculum 26. milliaria: ita
vt totius montis altitudo perpendicularis ſit 78. mill. ſed papè in quos
1leos imprudens me conieci? rident enim hoc Ariſt. dictum Mathematici,
putant enim eum pueriliter lapſum eſſe. Cæterum ego pro præceptoris tu­
tela, dico eum ſequutum eſſe famam. hæc Mazonius, quorum nonnulla in­
 digent conſideratione cuiuſmodi, ſunt illa, quando dicit, neceſſarium vi­
 detur, quod ea pars ſupra eam regionem attollatur, vnde Crepuſculum in
planitie apparere incipit. videtur enim his verbis velle dicere, quod quan­
 do habitantibus planitiem, quæ eſt ad pedem montis Caucaſi, vel horizon­
 tem eiuſdem, incipit Crepuſculum, ijſdem etiam tunc tertia montis pars
appareat illuminata; in quo ſenſu errat poſtea in colligenda montis altitu­
 dine, quamuis enim verum eſſet partem illuminatam eminere totam ſupra
52. milliaria, non tamen ſequitur ipſam ſolam eminere, ſed alia etiam pars
eminere poteſt, quod ſic geometricè demonſtrabo. deſcribatur enim figura
53[Figure 53]
1illa, qua ad vaporum altitudines indagandas vtuntur Alhazenus, Vitellio,
& Clauius, in qua terræ globus eſt F L G E, regiò vaporum, & exhalatio­
 num M X N T. horizon aſtronomicus O P. phyſicus Q R, tangens terram
in puncto F, vbi etiam ponendus eſt huius horizontis habitator, vnà cum.
Caucaſo F V. Sol A B C, qui initio Crepuſculi infra horizontem O P, depri­
 mitur gr. 18. vti ab Aſtronomis compertum eſt, hoc eſt, arcum D P, eſſe
grad. 18. radius autem C I K, tangens terram, incipit illuminare halitus,
qui ſunt ad K, in extremo horizonte ſenſibili F K. quique poſſunt videri ab
oculo in F, ideſt ab huius horizontis habitatore. Cæterùm prædicti autho­
 res poſt longam ratiocinationem ex calculo planorum triangulorum tandem
oſtendunt in triangulo H F K, latus H K, continere milliaria 3631. ex quo
detracta H L, ſemidiametro terræ, quæ eſt milliar. 3579. reliqua L K, ſum­
ma halituum eleuatio relinquatur 52. milliar. quibus ab ipſis demonſtra­
 tis, ſi H F, terræ ſemidiameter, quæ continet milliar. 3579. ponatur ſinus
totus 100000. & latus F K, ponatur tangens anguli ad H, quem prędicti au­
 thores probant eſſe grad. 8. 54. erit F K, tangens partium 15659. fiat igi­
 tur per 2. pro. trjang. rectil. Clauij;
vt H F, ſinus totus, ad milliar. ita tangens F K, ad milliar. 100000. 3579. 15659. 560.
& inueniemus per auream regulam latus F K, continere milliar. 560. quan­
 ta ſcilicet eſt diſtantia ab oculo noſtro ad exhalationes Crepuſculi initium
efficientes. Conſideremus iam triangulum F K V, vt ipſius latus F V, quæ
eſt Caucaſi altitudo, in milliaribus innoteſcat. iam ipſius latus F K, inno­
 tuit, angulus verò ad F, eſt rectus; at angulus ad K, ſic manifeſtabitur; in
quadrilatero F K I H, quatuor anguli ſunt æquales 4. rectis ex 32. primi. duo
autem F, & I, ſunt recti ex 18. 3. ergo reliqui duo H, & K, æquales erunt duo­
 bus rectis, quorum alter H, eſt gr. 17. 48. vt præditi Mathematici oſtendunt,
reliquus igitur ad K, erit gr. 162. 12. vt compleat duos rectos. qui ſi detra­
 hatur à duobus rectis, qui ſunt deinceps ad lineam F K, reliquus angulus
F K V, erit gr. 17. 48. ſi ergo latus F K, notum ponatur ſinus totus 100000.
latus verò F V, tangens anguli noti, erit ipſa 32100. fiat igitur,
vt F K, ſinus totus, ad milliar. ita F V, tangens ad milliar. 100000. 560. 32100. 180.
inueniemusque; latus F V, continere milliar. 180. cuius pars F X, quæ eſt in­
 fra habituum altitudinem continet milliar. 52. quibus detractis ex 180. re­
 manent 128. pro tota X V, quæ tota eſt ſupra vapores, nondum tamen illu­
 minata. vnde patet Mazonium erraſſe in colligenda hoc modo Caucaſi al­
 titudine, ex prima Crepuſculi illuminatione in horizonte Caucaſi facta,
cum ex præmiſſo calculo conſtet partem montis F V, totam tunc temporis
eſſe tenebroſam, quamuis ſuperet multò regionem vaporum, contrà quàm
ipſe putabat, ſuperat enim eam milliar. 128. quare duæ tertiæ montis erunt
non 52. mill. vt ipſe ait, ſed mill. 180. & proinde tota altitudo erit mill. 270.
quod ſanè ridiculum eſt, cum nullius montis altitudo ſeſquimilliare tran­
 ſcendat. Quod ſi ſequamur alteram expoſitionem, vt nimirum Ariſtot. lo­
 quatur non de tertia montis parte, ſed noctis, ita vt dicat, circa initium
tertiæ partis noctis apicem montis illuſtrari, altitudo eius erit
1modo 180. quot continet latus F V. vt vidimus, quæ quamuis illa minor ſit,
adhuc tamen abſurda eſt.
Si verò dixerimus Ariſt. intelligere hæc omnia, non reſpectu horizontis
Caucaſi, ſed alterius, cuius habitator in principio ſui Crepuſculi tertiam
Caucaſi partem iam illuſtratam videat, vti accideret ſi Caucaſus ſtatuere­
 tur in L K, vbi incipit Crepuſculum habitanti in F. tunc eſſet altitudo tanta,
quanta colligit Mazonius, ſi tamen Ariſt. intelligatur de tertia montis par­
 te; eſt enim L K, altitudo habituum 52. mill. & duæ tertiæ montis, quare
totus mons erit 78. ſi autem intelligatur circa tertiam noctis partem, mon­
tis apicem illuminatum videri ab habitatore F, ſic altitudo eius erit tan­
 tummodo 52. mill. quæ tamen adhuc omnem veritatem nimium ſuperat.
Cum ergo hinc inde ſequantur abſurda, putat Mazonium excuſandum eſſe
Ariſtot. dicendo eum ſequutum eſſe famam, loquutumque; eſſe populariter.
Verumenimuerò ſapientiores iudicent num rectè philoſophus, cuius eſt re­
 condita, atque abdita docere, excuſetur, ſi dicatur, eum, popularem famam
ſequutum eſſe.
Tandem monendus mihi Lector eſt, in demonſtratione Magini, quæ eſt
apud Mazonium ſect. 4. citati operis; aſſumi radium Solis tangentem terræ
globum, qui cum horizonte faciat angulum gr. 18. quod falſum eſt, ſolus
enim radius centralis, qui à centro Solis ad centrum terræ ducitur talem
facit angulum, atque hac de cauſa ipſe colligit altitudinem noſtra maiorem;
noſtra eſt 270. mill. ſua verò 276. vbi etiam, ſicut & nos aſſumit horizon­
 tem Caucaſi.
Aduertendum tandem Mazonium admodum aduerſantia loquutum eſſe,
ſect. enim 3. demonſtratinè concludit altitudinem 76. mill. ſect. verò 4. ſi­
 mul cum Magino demonſtratiuè pariter colligit altitudinem eiuſdem 276. m.
quæ nimis ab inuicem diſcrepant, cum tamen vtrobique demonſtret, & ve­
 ritas ſit vna. At verò cauſa huius diſcrepantiæ eſt, quòd ſect. 3. accipit Cre­
 puſculum non horizontis Caucaſi, ſed illius, in cuius extremitate orientali,
vbi incipit Crepuſculum, Caucaſus ſitus ſit, diſtetque; ab habitatore 560. m.
vt ſupra oſtendimus. ſect. verò 4. accipit horizontem ipſius Caucaſi, vt ex
figura illic deſcripta videre eſt. ex hac igitur horizontum varia ſuppoſitio­
 ne, varia etiam altitudo colligitur, quamuis vtrobique ex vtraque ſuppoſitio­
 ne vtramque altitudinem rectè concludat. Atque hæc de Caucaſo ſufficiant.
149
Eodem cap. (Ex Pyreneo autem, hic autem est mons ad occidentem æquino­
ctialem in Gallia, fluunt iſter, & Tarteſſus, iste quidem extra columnas, Iſter au­
tem per totam Europam in Pontum Euxinum) Ariſt. fortè ſequutus eſt Herodo­
tum, qui falsò tradit Iſtrum, ſine Dannbium ex Pyreneis defluere, nam Iu­
 ce clarius conſtat ipſum ex ijs Alpibus, quæ Heluetiorum montes dicuntur,
propè Baſileam ex Adula monte ortum ducere. neque verum eſt Tarteſſum,
quem & Bœtim alij nominant ex Pyreneis deſcendere. Tarteſſum hunc Ma­
 ginus putat eſſe Tagum, cui fauet vocabulorum qualiſcunque ſimilitudo.
extra tamen columnas Herculis quiſquis ſit in Oceanum occidentale illa­
 bitur. Ignoſcenda ſunt iſta Ariſt. tunc enim Geographia nondum adoleuerat.
150
Ad finem eiuſdem cap. (Et circa Liguſticam non minor Rhodano abſorbetur
quidam fluuius, & iterum egreditur ſecundum alium locum) incompertum & hoc
1Ariſt. vt ſuperiora, ob Geographiæ illius ſeculi imperfectionem, nuſquam
enim in tota Liguria quidpiam tale reperitur.
De Terræ rotunditate.
151
Svmma 4. cap. 2. quod eſt de permutatione, & viciſſitudine aquarum,
& continentis. Pergratum Lectori fore exiſtimaui, nec alienum ab
inſtituto, ſi occaſione huius permutationis maris, ac terræ, rem ex­
poſuero ſcitu digniſſimam, quam pridem obſeruare cœpi, ac in dies
obſeruo, præſertim cum nullus præteritorum ſcriptorum, quod ſciam, eam
literis mandauerit: Terræ ſcilicet totius molem paulatim reduci ad perfe­
 ctam ſphæricitatem, ita vt aliquando neceſſe ſit futurum ipſam à mari inun­
 dari, atque omninò inhabitabilem reddi. Primum igitur illud ex ſacris lite­
 ris ſtatuendum, orbem terræ in ſuo primordio fuiſſe ab opifice rerum om­
 nium, figura ſphærica donatum, hoc eſt abſque montium eminentijs, atque
vallium depreſſionibus. quod patet ex eo, quia tunc tota Mari obtegebatur,
ita vt minimè apta eſſet animantibus ad inhabitandum. redditam verò ha­
 bitabilem, cum ipſius conditor quandam ipſius partem humiliorem, & quan­
 dam eminentiorem effeciſſet; transferendo nimirum maximam terræ por­
 tionem ex vno loco in alium, vnde illic maris concauitas, iſtic verò mon­
 tium ſublimitas emerſit. quo facto aquæ omnes in loca illa decliuiora ſua
ſpontè receſſerunt, quæ aquarum congregatio Mare appellatum eſt. Hine
nonnulli auctores grauiſſimi aſſerere non dubitarunt, montes conflatos fuiſ­
 ſe ex terra illa, quæ locum illum occupabat, quem poſtea maria inuaſerunt.
quæ cum ita ſint. ſequitur terram nunc eſſe extra naturalem ſuam figuram, &
propterea in quodam ſtatu violento, violentum autem nullum perpetuum. præ­
 terea cum terra ſit grauior quàm aqua, nulla ratione deberent terræ partes
ſuperiores a quæ ſuperficiem ſuperare, cuius tamen contrarium accidit, nam
ſuperficies ipſa terræ, & multò magis montana loca ſuperficiem maris cuiuſ­
 uis non parum ſuperant; quæ altera violentia terræ, & aquæ ineſt, & ideò
minimè mirum eſt, imò vtriuſque naturæ valdè conueniens terram redire ad
priſtinam, ac primigeniam figuram, ex qua conſectarium erit aquam quoque
ſuam pariter illam ſibi primæuam recuperaturam eſſe figuram. cauſam au­
 tem reſtauratricem huius terrenæ rotunditatis eſſe aquas tum pluuiales, tum
fluuiales iamdiù obſeruauimus, vt ex ſequentibus obſeruationibus patebit.
Primò, videmus flumina quotidie montium radices corrodere, ac quaſi
ſuffodere, ita vt paſſim ex hoc, vel illo monte magnas faciant ruinas, ac prę­
 cipitia, atque hinc inde prærupti appareant montes, vt meritò legamus apud
Iob cap. 14. alluuione paulatim terra conſumitur. humum porrò illam ex
montibus delapſam ſemper ad loca humiliora fluuij ſecum detrahunt. Ex
continua etiam hac inter montes corroſione facta manifeſtè apparet, flumi­
 num alueos in montanis modò eſſe humiliores quàm olim, quamuis contra­
rium accidat alueis fluuiorum per plana decurrentium, qui modò altiores
ſunt quam exordio mundi, vt paulò poſt oſtendam. Illud autem liquidò apparet
ex ſignis, ſeu ſymbolis, ſeu ex ſimilitudine terræ, aut lapidis, quæ in altiſſimis
fluminum ripis hinc inde paſſim videntur, quæ indicio ſunt montes illos iam
1olim fuiſſe continuos, atque vnam, eandemque; terram continentem, antequam
flumen eos ab inuicem ſepararet; flumenque; ipſum olim altius, vbi ſunt ſigna
illa ambulaſſe; quemadmodum in Pyramo Ciliciæ amne obſeruauit Strabo,
dum libro 12. de illius ripis hæc tradit, mira præterea eſt montis cæſura,
per quam alueus ducitur; nam quemadmodum in petris per medium ſciſſis
contingit, alterius partis depreſſioribus ita conuenire alterius partis emi­
 nentias, vt coniungi poſſint: ſic videre eſt imminentes flumini petras vtrin­
 que ferè vſque ad montis ſumma pertendentes duorum, triumuè iugerum
ſpatio concauitates quaſdam eminentijs oppoſitas habere. hæc Strabo de
vno, quod nos in pluribus obſeruauimus. Pręterea videmus quotidie pluuias
aquas, idem quantum poſſunt efficere, ſuperficies montium, eorum maxi­
 mè, qui coluntur, perpetuò abſumentes, atque ad loca conuallium deducen­
 tes. hinc videre eſt, montes cæteris duriores, vt ſunt lapidoſi, cæteris altio­
 res remanſiſſe; quippe qui magis & pluuijs, & fluuialibus aquis ſua duritie
obſtiterunt. idem montani incolæ omnes confirmant, qui omnes aiunt ſibi
hanc montium demolitionem iampridem innotuiſſe, ex eo quod nonnulli
montes olim ſibi impedimento erant, ne arcem, turremuè in vlteriore mon­
 te ſitam conſpicerent, quam deinde plures poſt annos intermedio monte
depreſſo, commodè videbant. Ad hæc; antiqua in montium verticibus con­
 ſtituta ædeficia, propterea intercidunt, quia terra hinc, & inde ab aquis
paulatim conſumpta, deorſumque; delapſa, fundamenta ipſorum nuda primò
relinquit; deindé terra etiam ipſa, qua fundamenta innitebatur ſenſim de­
 lapſa, ipſa quoque fundamenta vnà cum toto ædeficio neceſſe eſt collabi, hu­
 ius ſigna infinita propemodum videri poſſunt; vnum tamen, quod toti orbi
conſpicuum eſt, non ommittam; Capitolium videlicet Romanum, cuius
modo fundamenta tota extant, quæ olim altè ſub terram deſcendebant. vi­
 de pulcherrimam hac de re tractationem apud Georgium Agricolam lib. 3.
cap. 1. qui amplius addit illud, quod & mihi maximè probatur; flumina ni­
 mirum producere montes, collesque; hoc modo; vult enim initio mundi non
extitiſſe tot particulares montes ab inuicem diſcretos, ſed fuiſſe perpetua
quædam terræ iuga eminentia quidem, ſed non tot vallibus diſſecta: v. g.
mons noſter Apenninus erat iugum, ſiue dorſum quoddam terræ eminens
quidem, ſed nullis vallibus in tot particulares colles, aut montes diſſectum;
ſed poſtquam flumina à ſummitate ipſius deorſum fluere cœperunt; paula­
 tim corrodentes humum in dies magis, ac magis effecerunt valles, atque hac
ratione in colles, montesque; plurimos totus Apenninus diuiſus eſt. hæc de
montibus ſufficiant, nunc ad plana deſcendamus.
Contrarium igitur omninò accidere videmus in planis, quoniam eædem
aquæ, quæ ex montibus quotidie terram ſecum deducunt, eam ad humilio­
 ra loca, vt ſunt plana, & campeſtria, ſiue ibi ſint maria, ſiue arida, compor­
 tant, eamque; ibidem deponunt. hinc videmus antiqua ædeficia in planis locis
exſtructa, eſſe iam penè tota ſepulta, contra quam in montanis, cuius exem­
 plum habes etiam Romæ propè ipſum Capitolium, in Arcu triumphali Sep­
 timij, qui iam ferè totus ruinoſa vndique terra obruitur. ſic Pantheon. ſic
etiam templa Epiſcopalia, quæ plerunque ſatis peruetuſta ſunt, admodum
infra terram conſpiciuntur. Idem affirmant cœmentarij, & architectores
1omnes, quibus vbique terrarum, dum in planis ædeficiorum fundamenta ex­
 canant, occurrit primò terra quædam, quam ipſi motam appellant, quæ li­
 gnis, ruderibus, ferramentis, numiſmatis, ſepulturis, varijsque; rebus per­
 mixta eſt; qua eruta, reperitur terra alia, quam nunquam fuiſſe motam, ap­
 paret, ex eo quod ſolida, ac benè compacta ſit, neque vllis externis rebus,
præſertim artificiatis admixta, terra illa, quam motam dicunt, variam va­
 rijs in locis ſortita eſt altitudinem, prout aquæ plurimum, vel minimum
montanæ terræ huc, vel illuc comportarunt: alicubi vt hic Parmæ erit ſex
vlnarum, alibi viginti, vt Mutinæ; alibi triginta, vt Romæ, nonnullis in lo­
 cis. Comprobatur tandem hæc noſtra obſeruatio ex arte illa, qua per eaſ­
 dem fluuiales aquas ſolent, tam loca depreſſiora per aggerationem paula­
 tim replere, atque eleuare: quàm etiam altiora per aquarum earumdem cor­
 roſionem deprimere. qua in arte exercitatiſſimum P. Auguſtinum Spernac­
 ciatum noſtræ Societatis videmus modo de mandato Summi Pontificis Pa­
 dum, ac Renum Bononienſem ob aggerationem ſtagnantes in mari emitte­
 re; cui totus hic noſter diſcurſus maximè probatur. Ex quibus omnibus ſe­
 quitur ſuperficiem terræ tam montium, quam planorum quotidie variari.
illam nimirum deprimi, hanc attolli. vnde aliud maximum notandum ſe­
 quitur, videlicet hac tempeſtate non eſſe eandem agrorum ſuperficiem, quæ
erat antiquitus, cum in montanis agris ſit multò humilior, in campeſtribus
verò altior, quàm antiqua illa, ac primigenia; quapropter mirum videri
non debet, ſi quorumdam locorum adeò immutata natura eſt, vt quæ olim
generoſa vina ferebant, vel quouis alio eſſent prædita munere, adeò dege­
 nerauerint, vt & vina, & alia nullius modò valoris, vel in parua copia pro­
 ferant. Quod verò ad marium aggerationem ſpectat, dicimus ijſdem aquis
magnam arenarum copiam perpetuò importantibus, fieri aggerationem,
hoc eſt littora quotidie magis creſcere, ſeu in mare ingredi, & conſequen­
 ter mare recedere. quod primò Ariſt. teſtimonio in hoc cap. comprobatur,
cum quo pariter ſentiunt veteres Geographi, & Hiſtorici omnes. Ariſt. igi­
 tur in comprobationem huius adducit primò magnam Aegypti aggeratio­
 nem; pars enim illa Aegypti, quæ Delta, Nilique; donum appellatur ab He­
 rodoto, ex arenis, & limo, ex Aethyopiæ montibus ſimul cum Nilo in mare
delabentibus, eſt conflata, atque antiquo littori addita, cui locum paulatim
mare ceſſit; eſtque; propterea donum Nili appellata, quod ab ipſo illuc are­
 nas importante ſit facta. ſecundum, Ariſt. exemplum eſt Ammonia Regio,
cuius humiliora loca. f. maritima, palam eſt, inquit, quod aggeratione facta,
fiunt ſtagna, & continens: ſuccedente autem tempore, ſtagnans aqua ob
nouam aggerationem deſiccata eſt, & iam annihilata. tertium eſt Meotidis
Paludis; At verò, ait, & quæ ſunt circa Meotidem Paludem creuerunt allu­
 uione fluuiorum tantum, vt multò minores magnitudine naues, nunc innare
poſſint, quàm anno ab hinc ſexageſimo. quare ex hoc facilè eſt ratiocinari,
quod & primò, vt multa ſtagnorum, ita & hoc opus eſt fluuiorum, & tan­
 dem neceſſe eſt totum fieri ſiccum. quartum eſt illi Boſphorus Tracius; quod
vnà cum præcedentibus ſatius eſt apud ipſum, vel potius apud eius expoſi­
 torem Vicomercatum videre, vt breuitati conſulatur. Accedit & Plinij te­
ſtimonium, qui tradit multas terras naſci, non ſolum fluminum inuectu, ſed
1etiam marium receſſu; ſic mare ab Ambraciæ portu 10. millia paſſuum; ab
Athenarum verò quinque millia, & alijs in locis plus minuſuè receſſiſſe ſcri­
 bit. Huc facit locus quidam Strabonis ex lib. 12. de Pyramo Ciliciæ fluuio:
ſic; montes verò egreſſus tantum limum in mare deducit, partim ex Ca­
taonia, partim ex Ciliciæ campis, vt huiuſmodi de eo oraculum feratur;
Tempus erit rapidis olim cum Pyramus vndis
In ſacram veniet congeſto litore, Cyprum:
hic enim fluuius è regione Cypri inſulæ in mari influit, &c. hæc Strabo.
Verùm recentiora non deſunt exempla. Rauenna olim erat in extremo
littore ſita, nunc paulatim aggeratione aucto litore, mare multum ab ea
receſſit. Patauium pariter, vt fertur mare alluebat, quod modo 25. paſſuum
millibus ab eo diſtat. Aæſtuarium ipſum Venetum, ob arenas à varijs flu­
 minibus in ipſum immiſſas adeò fundum extulit, vt vix amplius nauigatio­
 ni ſit aptum, periculamque; ſit ne Venetiarum mirabilis locus, ex maritimo
fiat terreſtris. demum exemplum ſit Bononienſium Renus, qui quamuis exi­
 guus ſit torrens, paucis tamen annis Padum ipſum, in quem immiſſus fue­
 rat arena ita repleuit, vt & ſibi, & Pado magno vicinorum agrorum damno
viam in mare obſtruxerit. Cum igitur mare ob hanc ad aggerationem co­
 gatur ſe quotidie magis recipere, fiatque; propterea alueus ipſius anguſtior,
atque elatior, neceſſe eſt etiam ipſam quoque maris aquam quotidie magis
coanguſtari, atque attolli, & aliquando futurum, vt exundare incipiat. quod
iam pleriſque in locis accidit, vt in littore Baltico, Danico, & Hollandico,
quibus in locis ſunt hac tempeſtate extructi prælongi, ac præalti aggeres
contra maritimas innundationes: quibus antiquitus minimè fuiſſe opus hi­
 ſtoricorum, ac Geographorum ſilentium comprobat. Hoc igitur modo ter­
 ra, qua montes, collesque; conſtant paulatim ab aquis in maris concauitates
deportata, cauſa eſt, vt mare ſenſim modo hac, modo illac, terræ ſuperfi­
 ciei ſuperfundatur, terraque; iterum, quemadmodum exordio mundi inhabi­
tabilis reddatur: quod tunc maximè accidet cum aquæ tam fluuiales, quàm
pluuiæ, ſuper faciem terræ perpetuò diſcurrentes, totam illam montanam
terram in priſtinum locum, vbi ab initio fuerat, vndeque; ſublata fuit, reſti­
 tuerint; tunc terra erit iterum rotunda, & ſphærica, hoc eſt ſuæ primigeniæ
iterum figuræ reſtituetur: quapropter mare etiam rurſus ſicut initio mundi
totam terræ faciem circumquaque innundabit, quod probare volebam.
Tantum æui mutare potest longæua vetuſtas.
Hinc nonnulla colligi poſſunt non minus notatu, ac ſcitu, quàm præceden­
 tia digniſſima, quibus Ethnicorum Philoſophorum error redarguatur, ſides
verò noſtra magis roboretur: mundum nimirum ab æterno neutiquam ex­
 titiſſe, vel ſaltem terram ab æterno non fuiſſe hac figura præditam, qua nunc
videmus, nec mundum perpetuò duraturum. nam ſi hæc montuoſa illi figu­
 ra ab æterno ineſſet, iampridem tota illa montium tuberoſitas fuiſſet ab
aquis exæſa, & conſumpta: neque æterna erit, quia ſucceſſu temporis, vt pro­
 bauimus, reducetur ad rotunditatem, atque à mari innundabitur, & idcircò
inhabitabilis, vnde neceſſariò mortalium genus interibit. Quapropter niſi
igne illo, quem ſacræ literæ innuunt cataclyſmus ille præueniatur, aqua
mundus interiturus eſſet. ſed de his hactenus.
1
Quoad magnum illud Diluuium, quod Ariſt. hoc capite exiſtimat poſt
multa ſecula reuolui, hoc veritati eſſe conſentaneum argumento ſunt, ac
pariter admirationi varia conchiliorum genera, quæ tùm in Apennino mon­
 te, tùm in Alpibus obſeruaui; Ìdemque; in alijs mundi partibus inueniri pu­
 to; præſertim in tam immenſa copia, atque intra viſcera montium colloca­
ta, quæ nulla vis humana illuc contuliſſet, niſi temporibus cataclyſmi ebul­
 lientibus aquis maris ſuper terram facta fuiſſet hæc varia rerum maritima­
 rum cum terreſtribus commixtio: quæ quidem optimè ex Pomponio Mela
comprobantur, qui libro 1. de Numidia ſic narrat: interius, & longè ſatis
à litore, ſi fides res capit, mirum admodum, ſpinæ piſcium, Muricum, Oſtreo­
rumque; fragmenta, ſaxi atritu, vti ſolent fluctibus, & non differentia mari­
 nis, infixæ cautibus anchoræ, aliaque; huiuſmodi ſigna, & veſtigia effuſi olim
vſque ad ea loca pelagi, in campis nihil alentibus eſſe inuenirique narrantur.
neque locus ille Ouid. Met. 15. extra rem:
Vidi ego, quod fuerat olim ſolidiſſima petra
Eſſe fretum, vidi factas ex æquore terras:
Et procul à Pelago conchæ iacuere marinæ,
Et vetus inuenta eſt in montibus anchora ſummis.
Nos autem Chriſtiani ad Noemi Diluuium iſta referre debemus.
Ex Secundo Meteororum.
152
Cap. 1. ait multa eſſe maria, quæ ad inuicem non communicant.
Eorum rubrum mare vnum eſſe; quod cum Oceano Atlantico, qui
eſt extra Herculeum fretum ad occidentem parum videtur com­
 miſceri ſiue Ariſt. pro Rubro mari intelligat Oceanum illum, qui
Arabiam, ac Perſiam alluit, ſiue illius ſinum, qui Arabiam, atque Aethiopiam
interluit, falſum eſt ipſum parum communicare cum occidentali Oceano,
vt quotidianis Luſitanorum nauigationibus ad Indos patet. ſed meritò hoc
Ariſtot. condonandum, cum tunc temporis nondum tota Africa eſſet certò
circumluſtrata, neque iter ab Hiſpania ad Indos maritimum, adeo nunc fre­
 quens, patefactum eſſet.
153
Summæ 2. cap. 2. (Quapropter & circa Orionis ortum maximè fit tranquilli­
tas) quando Medici, Philoſophi, Poetæ, ac reliqui auctores loquuntur de
ortu aſtrorum fixorum, aut conſtellationum, quæ ſunt in firmamento, vti
eſt Orion (& Canis, de quo poſtea) intelligunt ſemper de ortu ipſorum, qui
fit matutino tempore, quando ſcilicet vel ſimul cum Sole, vel paulò ante
Solem emergunt, ita vt videantur à nobis; qui ortus dicitur Coſmicus, tunc
propriè, quando ſimul aſtrum cum Sole oritur; quando autem incipit appa­
rere mane ante Solem, dicitur ortus Heliacus. i. ſolaris, quia oritur quodam­
 modo ex radijs Solis, ſub quibus antea latebat. Aſtra verò inerrantia, &
planetæ Sole tardiores oriuntur vtroque modo. nam cùm ipſa Sol, quippe il­
 lis velocior primum aſſequitur, ea ſuo lumine obtegit, eſtque; hic occaſus eo­
 rum heliacus: cum verò eadem præterierit, ac poſt ſe reliquerit fit, vt mo­
 tu diurno toto cœlo conuerſo, mane ante Solem effulgeant, ſiue heliacè
oriantur: & cum quotidie magis Sol ab illis recedat, ipſaque magis à Sole
1elongentur, fit, vt quotidie magis ortum Solis anticipent, & citius mane au­
 te Solem videantur. ſicque; tanto in dies citius, vt deinde media etiam nocte
oriantur; tum ante mediam noctem poſtea paulò ante occaſum Solis. de­
 mum cum fuerint Soli oppoſita, occidente Sole oriantur, qui ortus dicitur
Veſpertinus, vel Acronicus. poſtea oriuntur ſemper in die ante Solis occa­
 ſum, donec Sol ipſa iterum aſſequatur, eaque; radijs ſuis offuſcet, quod eſt he­
 liacè occidere; & mox cum ipſo Sole occumbant, quod Acronicè eſt occi­
 dere. Totum porrò illud tempus, quo per diem oriuntur, non eorum ortui,
ſed occaſui deputatur, eò quod non cernuntur oriri, vt ſequenti loco expli­
 cabitur. Quæ omnia adhibito Globo aſtronomico, in quo conſtellationes
omnes depictæ ſunt, eoque; ad tui poli eleuationem conſtituto, appoſitoque
Sole ſuo loco in Zodiaco, qui paulatim per Zodiacum orientem verſus gra­
diatur, & interim diurno motu globus conuertatur, ad ſenſum manifeſta
apparebunt. In ſumma auctores intelligunt de ortu, qui mane fit ante So­
 lem, quia tunc primum poſt diuturnas latebras incipit apparere. non autem
intelligunt de ortu Acronico, quia ante hunc ortum videbatur noctu, itaque
ortu Acronico non fit noua apparitio; ideo de hoc non intelligunt. fit au­
 tem ortus hic Orionis, heliacus, & matutinus, de quo Ariſt. hoc loco, & alij
auctores, noſtra hac tempeſtate paulò ante Solis ingreſſum in Cancrum, ſi­
 ue ante ſolſtitium æſtiuum circa 22. Iunij.
154
Eodem cap. (Incertus autem, & moleſtus Orion eſſe videtur & occumbens, &
oriens, quia in tranſmutatione temporis accidit occaſus, & ortus, aſtate, aut hye­
 me, & propter magnitudinem aſtri dierum ſit aliqua pluralitas) hoc loco Vico­
 mercatus ex ſententia aſtronomorum occaſum Orionis fieri autumni tem­
 pore, Sole Scorpionem obſidente docet, quod & verba Ariſt. clarè ſignifi­
 cant, cum dicat ortum ipſius fieri æſtate; in tranſmutatione verò temporis,
videlicet in autumno fieri occaſum. Porrò occaſus hic fieri incipit primum
mane oriente Sole, diciturque; occaſus coſmicus, quia dum Sol eſt in oriente,
Orion eſt in occidente, & infra orizontem cadit: deinde paulò ante Solis or­
 tum, ſed tamen nocturno tempore, ita vt occaſus eius videri poſſit, donec
occidat parum poſt Solis occaſum, & tandem cum Sole ipſo heliacè euane­
 ſcat. Scriptores autem ferè ſemper cum loquuntur de occaſu inerrantium
ſyderum, de eo, qui noctu videatur, intelligunt: ſicuti ortum intelligunt
eum, qui noctu fit, noctuque; videtur. affixa namque ſydera per ſex fermè men­
 ſes noctu oriuntur, oririque; ea conſpicimus, & propterea totum illud tem­
 pus, ortui ipſorum deputamus: Reliquum verò tempus, quo per diem oriun­
 tur, & idcircò ortus illorum minimè apparet, nulla ratione ortui debuit
aſcribi: totum verò tempus, quo noctu occidunt, & occidere cernuntur, oc­
 caſui illorum meritò attribuitur. & quemadmodum temporis illius initium,
quo primo de nocte apparere incipiunt, dicitur abſolutè ortus cuiuſuis ſy­
 deris; ſic etiam initium temporis illius, quo primum per noctem ea occide­
 re videmus, ſimpliciter occaſum appellamus.
155
Eodem cap. (Eteſiæ autem flant post verſiones, & Canis ortum) per verſio­
 nes intelligit tropicos, quod & tropici etymon confirmat, cum tropicus idem
valeat, ac conuerſiuus. circa Canis ortum eadem ſunt notanda, quæ ſupra
de ortu Orionis annotaui; intelligit enim eum Canis ortum, qui mane fiat
1primum paulò ante Solis ortum, cum ſcilicet incipit apparere.
Cum porrò in cęlo ſit Canis maior, & Canis minor, qui & Procyon, ideſt
Anticanis dicitur, exiſtimo Canem maiorem eſſe eum, qui vulgò Canicula
nominatur, ſoletque; vehementes, ac noxios calores excitare. de quo etiam
putò Ariſt. intelligere. eius porrò ortus in noſtra poli eleuatione quadra­
 ginta quinque graduum, circa diem tertium Auguſti contingit, Sole autem
10. gradum Leonis occupante. Ex Magini tabulis ante ephemerides.
156
Eodem cap. (Duobus enim exiſtentibus ſegmentis habitabilis regionis: vno
quidem ad ſuperiorem polum, qui noſter eſt; altero ad alterum, & ad meridiem:
eaque, tympani ſpeciem habeant, talem enim figuram terræ excidunt ex centro ipſius
ductæ lineæ, & faciunt duos conos, hunc quidem habentem baſim tropicum, alte­
 rum autem habentem baſim circulum ſemper manifestum, verticem autem in me­
 dio terræ. eodem autem modo ad inferiorem polum alij duo coni terræ ſegmenta fa­
ciunt) vt benè duas haſce terræ portiones, quas ſolas habitabiles putat Ari­
 ſtot. concipias, reliquaque huius loci intelligas, inſpice ſequentem figuram.
54[Figure 54]
Maior circulus ſit cœlum, in quo polus L, articus; M, antarticus, ille eleua­
 tus ſupra noſtrum horizontem S N, 45. gradibus, iſte verò totidem infra
depreſſus. ſintque; diametri circuli ſemper apparentium maximi S R, necnon
1diametri ſemper occultorum maximi Y N: tropicorum item T Q, Cancri,
X O, Capricorni, vt vides in figura. Terra ſit A B C H G F E D Z K. à cu­
 ius centro Z, educantur primo duæ lineæ rectæ Z R, Z S. ad circulum ſem­
 per apparentium maximum, quæ in terra tranſeant per puncta B, K. & iun­
 gatur linea B K: iam vides conum S R Z, cuius baſis eſt circulus ſemper ap­
 parens S R, vertex autem Z, in centro terræ, vt ait Ariſtot. educantur nunc
duæ aliæ rectæ ad tropicum Cancri Z T, Z Q, quæ in terra faciant puncta
I, C, iungaturque; recta I C; hic pariter vides conum alterum T Q Z, cuius ba­
 ſis eſt circulus Cancri, vertex verò centrum terræ Z. conſidera iam figuram
B K I C, inter duas rectas B K, I C, & duos circuli terræ arcus contentam;
hanc Ariſt. appellat tympanum vnum terræ habitabile, quod eſt ad Vrſam,
ideſt in ſeptentrionali plaga, in qua ſumus nos: quæ quidem portio ſi conſi­
 deretur vt ſolida, & à reliqua terra præciſa, erit corpus rotundum, vtrinque
tamen duobus planis circulis ad inſtar tympani terminatum: Ductis dein­
 de ſimiliter alijs quattuor lineis à centro Z, verſus polum antarticum fit al­
 terum tympanum H D E G, auſtralis terræ habitabilis, vt in figura manife­
 ſtum eſt. fuiſſe autem huiuſmodi habitabilis terræ ſegmenta figuræ tympa­
 ni ſimilia, optimè declarant veteres figuræ geographicæ Ptolęmei, & patet
etiam ex longitudine, & latitudine, vt benè ait Ariſt. quas Geographi por­
 tioni terræ habitabili attribuebant, longitudinem enim dixerunt eius di­
 menſionem ab occaſu ad ortum: latitudinem autem à ſeptentrione in meri­
 diem, eò quòd illa multò hac longior eſſet. Ex quibus apparet habitatam
fuiſſe veluti Zonam, terram ab occaſu ad ortum præcingentem. quæ Zona
ſi ſumatur cum ſoliditate, quam ambit, ab Ariſt. tympano aſſimilatur.
157
Eodem cap. (Hæ autem habitari ſolæ poſſibiles: & neque vltra verſiones; vm­
 bra enim non vtique eſſet ad Vrſam: nunc autem inhabitabilia prius fiunt loca, quàm
ſubdeficiat, aut permutetur vmbra ad meridiem. Quæ autem ſub Vrſa, è frigore
inhabitabilia) quod ait vltra verſiones, ideſt intra tropicos in ipſa ſcilicet
Zona torrida, non poſſe habitari, falſum eſſe oſtendunt plurimæ regiones
tam veteris, quam noui orbis, ſuperiori ſeculo patefactæ, in quibus magna
in amœnitate, ac fertilitate, ſummisque; delicijs viuitur. Quoad vmbram il­
 lam, intellige meridianam. i. quam Sole circa meridiem exiſtente, nos qui
Boreales ſumus, ſemper ad ſeptentrionem proijcimus. Quod ſi ad meridiem
perrexerimus, occurret inhabitabilis (vt falsò putat) terra, prius quam.
vmbra meridiana in Boream vergens deficiat. quæ ſigna ſunt noſtram habi­
 tationem eſſe citra Zonam torridam, in Boreali parte. Quæ autem ſub Vr­
 ſa, ideſt ſub polo arctico, ob nimium frigus inhoſpita omninò habetur, nam
Quod latus mundi nebulæ, malusque;
Iupiter vrget.
Verumtamen, quæ ſub vtroque polo partes ſunt adhuc incognitæ manent.
158
Eodem cap: (Fertur autem, & corona ſecundam hunc locum, videtur enim ſu­
per caput eſſe nobis, cum fuerit ſecundum meridianum) conſtellatio videlicet,
quæ corona Ariadnæ dicitur, hæc cum in cœlo manifeſtè ſit Borealis, no­
ſtroque; vertici noctu, quando meridianum pertranſit, incumbat: clarè indi­
 cat nos quoque eſſe Boreales.
159
Eodem cap. (Et quidem ad latitudinem vſque ad inhabitabilia ſcimus habita-
1tam, hic enim propter frigus non amplius habitant, illic autem propter æſtum)
illic autem, ideſt ſub Zona torrida, compertum autem eſt nunc totam ferè
torridam Zonam, & quidem alicubi percommodè habitari, cuius cauſæ ſunt
quatuor, quæ ipſum latuerunt. prima eaque; toti Zonæ torridæ communis,
eſt perpetuum æquinoctium, quo Sol tantum ſupra, quantum infra terram
immoratur. accedit, quòd Sol nocturno tempore maximè ad imum cœli fe­
 ratur, plurimumque; ab horizonte, ſuperoque; hemiſpherio recedat. atque ob
hanc ſolam rationem Campanus in ſua ſphæra Zonam hanc putat maximè
eſſe habitabilem: quamuis hæc ſola cauſa, vt quotidiana docet experientia,
non ſufficiat. ſecunda ſunt pluuiæ, quæ alicubi quotidie ſtata hora decidunt.
tertia venti, qui veluti flabella quædam aerem agitant. quarta præalti mon­
 tes perpetuis niuibus obſiti. quæ quatuor torridam hanc paſſim refrigerant,
atque habitabilem reddunt.
160.a
Summæ 2. cap. 3. de ventis (Oportet autem de ſitu ſimul rationes ex deſcriptio
ne conſiderare) ideſt rationes ventorum ex deſcriptione, ideſt in figura ali­
 qua, vt in ſequenti conſiderare; ſolet enim Ariſt. figuras, imò demonſtratio­
 nes ipſas Mathematicorum, deſcriptiones appellare, vt ſæpius in Logicis
monuimus.
Deſcriptus ſit igitur, vt clarior res euadat horizontis circulus quapropter, &
rotundus) vt in ſequenti figura circulus A G B H, deſcriptus horizontem
referret,
55[Figure 55]
1
Oportet autem ipſius alteram portionem intelligere, quæ nobis habitatur; quæ
eodem modo diuidi poterit) ideſt oportet intelligere ipſius horizontis, vel ter­
 ræ habitatæ partem, quæ quamuis rotunda non ſit, poterit tamen, ac ſi ro­
 tunda eſſet in figura circulari repreſentari, atque in plures partes eo modo,
quo circulus ſecatur, ſecari.
Supponatur autem primò contraria ſecundum locum, eſſe plurimum diſtantia
ſecundum locum; ſicut ſecundum ſpeciem contraria, plurimum diſtant ſecundum
ſpeciem. plurimum autem diſtant ſecundum locum, quæ per diametrum opponuntur,
ſit igitur vbi A, occidens æquinoctionalis, contrarius autem huic locus vltimus B,
ortus æquinoctionalis) ideſt in ſequenti figura ducta diametro B A. in altera
ipſius extremitate vbi A. ſit occaſus æquinoctialis, qui fit Sole exiſtente in
alterutro æquinoctio; huic igitur per diametrum opponatur ortus æquino­
 ctialis in B. qui pariter contingit tempore æquinoctiorum: linea autem B A,
refert ipſum æquatorem.
Alia autem diameter hanc perpendiculariter ſecet, cuius punctum illud, in quo
G, ſit Vrſa: huic autem contrarium ex oppoſito illud, in quo H, meridies) hæc dia­
 meter erit ipſa linea meridiana. pro Vrſa verò intelligit ſeptentrionem,
quod ibi ſit Vrſæ conſtellatio.
Id autem, in quo F, ortus æſtiualis; in quo verò E, occidens æſtiualis) quæ duo
puncta iunguntur linea F E, quæ refert ſectionem tropici, Cancri cum ho­
 rizonte: ortus enim, & occaſus æſtiualis contingunt Sole Cancri tropicum
percurrente.
Id autem, in quo D, oriens hyemalis; vbi verò C, occidens hyemalis) linea au­
 tem D C, erit ſectio tropici Capricorni, & horizontis; Sole enim hunc tro­
 picum attingente ortus, & occaſus hybernus fiunt.
Ab F, autem ducatur diameter ad C, & à D, ad E. quoniam igitur plurimum
diſtantia ſecundum locum, contraria ſunt ſecundum locum: plurimum autem di­
 stantia, quæ ſecundum diametrum; neceſſarium eſt, & flatuum hos inuicem con­
 trarios eſſe, quicunque ſecundum diametrum exiſtunt. vocantur autem ſecundum po­
 ſitionem locorum venti ſic; Zephyrus quidem ab A, hoc enim eſt occidens æquino­
 ctialis. Boreas autem, & Aparetias à G. hic enim Vrſa, contrarius autem huic
Notus ab H. Meridies enim eſt hic, à quo flat, & H, ipſi G, contrarium eſt; ſecun­
 dum enim diametrum ſunt. Ab F, autem Cæcias; hic enim oriens æſtiuus eſt; cui
contrarius est, non qui flat ab E, ſed qui à C. Libs, iſte enim ab occidente hyemali
flat; estque, illi contrarius, quia ſecundum diametrum illi opponitur. Qui verò à D,
Eurus, iſte enim ab horiente hyberno flat, vicinus existens Noto, vnde & ſæpè Eu­
 ronoti flare dicuntur: contrarius autem huic, non qui à C. Libs, ſed qui ab E, quem
vocant, hi quidem Argeſten, hi autem Olympium, alij verò Scironem; iste enim ab
occidente æſtiuo flat, & ſecundum diametrum ipſi ſolus opponitur. Venti igitur, qui
ſecundum diametrum poſiti ſunt, & quibus alij aduerſantur, ij ſunt. Alij autem
ſunt, ſecundum quos non ſunt contrarij venti, ab I, quem vocant Traſciam, qui me­
dius eſt inter Argesten, & Apparitiam, à K, autem, quem vocant Meſen, Medius
enim eſt Cæciæ, & Aparetiæ. Diameter autem K I, iuxta circulum ſemper conſpi­
 cuum eſſe ſolet, non tamen exactè) ideſt linea K I, ſolet in horizonte referre
diametrum circuli omnium ſemper apparentium maximi, eo quod ſit ferè
ſub diametro illius, in qualibet enim ſphæra obliqua, ideſt, in qua polus ele­
1uatur, intelligunt Aſtronomi circulum quendam ſemper apparentium ma­
ximum, quem deſcribunt ex ipſo polo, tanquam centro, & interuallo vſque
ad horizontem, circa ipſum polum: hunc appellant ſemper apparentium,
maximum, quia intra hunc alios quamplurimos concipiunt circa eundem
polum, quorum minores ſemper ſunt polo propinquiores. huius igitur dia­
 metrum vult Ariſt. per lineam, quæ à K, in I, duceretur (quamuis non exa­
 ctè) repreſentari.
Contrarij autem non ſunt his ſtatibus, neque ipſi Meſe, ſpiraret enim vtique aliquis
ab eo, in quo M. hoc enim illi eſt ſecundum diametrum; neque Trafciæ ab N, enim,
quod punctum per diametrum aduerſum illi eſt, ſpiraret. Niſi ab eo veniat, qui ta­
 men non longè progreditur ventus quidam, quem accolæ Phæniciam vocant. maxi­
 mè igitur præcipui, & definiti venti hi ſunt: hocque, modo diſpoſiti) ſupradicta por­
 rò omnia ex ſequenti figura optimè poterunt intelligi, quam diligenti ope­
 ra ad mentem Ariſt. ex græcis codicibus reſtituere conatus ſum, cum ani­
maduerterem figuras valdè deprauatas paſſim apud commentatores reperiri.
Porrò ad literam M, in figura ſcripſi ventum Libonotum, quem Ariſt. qui­
 dem non ponit propter ipſius paruitatem; imò apertè dicit Heleſpontum
non habere contrarium: ſed feci, vt completum ventorum numerum, quem
alij tradunt, haberemus.
Ex Tertio Meteororum.
160.b
Antequam textuum explicationem aggrediar, illud animaduerten-
 dum eſt, vbicunque interpretatio antiqua vtitur verbis, refractio,
& refrangere; ibi Vicomercatum in ſua interpretatione meritò,
& propriè vſum eſſe verbis; reflexio, & reflecti: differunt enim
valdè apud Opticos refractio, & reflexio, vt etiam refrangere, & reflectere.
propterea optimè hoc loco Olympiodorus diſtinguit inter ανακλασιν, και
διακλασιν, reflexionem, & refractionem. Reflexio enim fit ex repercuſſo, vt
quando lumen Solis incidens in aliquod ſpeculum, inde reſilit in oppoſitum
parietem, illud reſilire eſt propriè perſpectiuis reflecti, vnde reflexio. Re­
 fractio autem fit ex tranſpectu: vt quando lapis, qui eſt in aqua, emittit
fuam ſpeciem ad oculum, qui eſt in aere, tunc enim, quia ſpecies lapidis re­
 preſentatiua non tendit recta ad oculum, ſed in confinio aquæ, & aeris fran­
 gitur, dicitur fieri refractio, & refrangi, in refractione igitur requiruntur
duo media, per quæ fiat viſio, quæ ſint diuerſæ denſitatis, vt ſunt aqua, &
aer: vapor, exhalatio, & aer: vitrum, & aer, &c. quando igitur videmus
Solem, aut Lunam per vapores, aut exhalationes fit refractio, quia denſior
eſt vapor, & exhalatio, quam aer.
Notandum etiam Aream, de qua mox dicam explicari poſſe tam per re­
 flexionem, quàm per refractionem: per reflexionem, quia ſupponunt Philo­
ſophi eſſe in acre rorido innumera ſpecula parua inuicem valdè proxima,
ideſt guttulas, per quas reflectatur ad oculum noſtrum ſpecies ſyderis. per
refractionem verò, vt vult Vitellio, quia ſumit totum illum aerem humi­
 dum magis denſum eſſe aere paro, qui eſt circa oculos noſtros, & hoc modo
conſtituit diuerſa media in denſitate, per quam fiat viſio; corpus inquam
1illud humidum denſius, & aerem deinde circa oculum rarius. Vicomerca­
 tus igitur quamuis vtatur voce reflexionis in Halone, non tamen ex prædi­
ctis videtur reprehendendus.
161
Summæ 2. cap. 2. De Areæ figura (Refrangitur autem à conſiſtente caligine
circa Solem, aut Lunam viſus; quapropter non ex oppoſito ſicut iris, apparet. Vn­
dique autem ſimiliter refracto, neceſſe eſt circulum eſſe, aut circuli partem. ab co­
 dem enim ſigno ad idem ſignum æquales frangentur ſuper circuli lineam ſemper. ſit
56[Figure 56]
enim à puncto, in quo A, ad B, fracta, & ea, quæ est
A C B, & quæ A F B, & quæ A D B, æquales autem
& hæ A C, A F, A D, inuicem. & quæ ad B, inui­
 cem ſcilicet C B, E B, D B. & protrahatur A E B,
quare trianguli æquales, etenim ſuper æqualem, quæ
eſt A E B, ducantur autem perpendiculares ad A E B,
ex angulis; à C, quidem, quæ eſt C E; ab F, autem,
quæ eſt F E; à D, autem, quæ eſt D E, æquales itaque
hæ, in æqualibus enim triăngulis, & in vno plano om­
nes, ad rectum enim omnes ei, quæ eſt A E B. & ad
vnum punctum E, copulantur, circulus igitur erit
deſcripta, centrum autem E. ſit autem B, quidem Sol,
A, autem viſus, quæ autem eſt circa C D F, circun­
 ferentia nubes, à qua refrangitur viſus ad Solem)
quia ſuppono Aream, ſiue Halonem fieri per re­
 fractionem, vt vult etiam Vitellio, propterea
præmittendum eſt principium quoddam, quo tra­
 ctatio de refractione innititur; eſt autem huiuſ­
 modi; ea, quæ videntur per refractionem, ſiue ſub
aliquo refractionis angulo, manentibus nobis &
aſtro, & medio ijſdem in locis, non poſſunt vide­
 ri ſub diuerſo angulo à priori, nec per conſequens
alibi apparere. v. g. Sol (vt in præſenti figura)
videatur ab oculo A, media nube C D F, ſub an­
 gulo refractionis B C A, vel B F A, & alijs ſimilibus angulis in eadem nube;
manente igitur oculo A, & aſtro B, necnon nube C D E. eodem in loco, im­
 poſſibile eſt Solem videri ab eodem oculo ſub diuerſo angulo à priori, nec
conſequenter alibi apparere, quam in B. Nunc ad textus declarationem, in
quo continetur Geometrica demonſtratio rotunditatis Areæ, quam ſic bre­
 uiter prius veteres excogitarunt: Viderunt primò Solem in Area apparere
in orbem, & conſimiliter: hinc intulerunt neceſſe eſſe apparere etiam per
conſimiles, ſiue æquales refractionis angulos; quia diuerſi anguli, diuerſam
etiam apparentiam efficiunt: atqui conſimiles, ſiue æquales refractionis an­
 gulos neceſſe eſt in circulum conſtitui, vt mox conſtabit; cauſa igitur rotun­
 ditatis huius, eſt angulorum refractionis æqualitas. Sed iam textum Ariſt.
qui geometricam huius rei continet demonſtrationem, explicemus. Suppo­
 nit igitur primò Ariſt. lineas viſuales à ſydere B, ad oculos noſtros A, per
nubem roridam C D F, procedentes, in nube conſimiliter refrangi, ideſt vn­
dique circa Solem, Lunamuè facere angulos refractionis æquales. quod etiam
1patet ex 48. 10. Vitellionis; vt in figura, in qua ſydus B, oculus A, nubes
C D F, radij viſuales tres refracti in nube ſint B C A, B D A, B E A, facien­
 tes conſimilem refractionem, ideſt angulos refractos B C A, B D A, B E A,
æquales in punctis C, D, F: atque hoc eſt conſimilem facere refractionem.
Supponit ſecundò lineas à ſydere ad nubem, vſque extenſas eſſe æquales, vt
ſunt B C, B D, B F: ſimiliter reliquas tres à nube ad viſum A. pares eſſe C A,
D A, F A. his ſuppoſitis, ſi deinde protrahatur recta A B, ab oculo ad ſydus,
exurgunt tria triangula omninò æqualia, & ſimilia, cum duo latera vnius
ſint æqualia duobus alterius vtrunque vtrique, & angulus angulo, & præterea
baſis ſit communis; ideò per quartam primi ſunt omninò æqualia. ducan­
 tur nunc ex angulis C, D, F, tres perpendiculares ad rectam A B, quæ ſint
C E, D E, F E, in figura; quæ tres neceſſariò erunt æquales, cum ſint ductæ
ab angulis æqualibus æqualium triangulorum ad communem baſim, & di­
 uident neceſſariò baſim in eodem puncto E, cum diuidant triangula æqua­
 lia proportionaliter; eruntque; propterea hæ tres rectæ in eodem plano, quod
in nube concipitur ex 5. 11. Quare ſi concipiamus ſuperficiem, ſiue planum
delineari circa E, ad interuallum linearum æqualium C E, D E, F E, de­
 ſcriptus erit circulus per 9. tertij, cuius circumferentia C D F. Ex quibus
patet tria illa puncta C, D, E, per quæ Sol tranſparet eſſe in orbem diſpoſi­
 ta. cauſa igitur rotunditatis Areæ, eſt ſimilitudo angulorum refractionis,
quibus Sol tranſparet: vel ideo rotunda eſt, quia ſimiles anguli neceſſariò
in orbem conſtituuntur, vt oſtenſum eſt. Eadem ratione omnia alia puncta
eiuſdem circunferentiæ ſunt puncta, per quæ Sol videtur refractè; & hoc mo­
 do ad ſimilitudinem trium linearum A C B, A D B, A F B, refractarum, in­
 finitæ vndique intelligendæ ſunt, quarum aliæ refrangantur in circunferentia
prædicta, aliæ verò in alia periphæria maiori, aliæ etiam in minori, ita vt
ex tota nube fiant refractiones circulares plurimæ, ex quibus in nube area
conſtituatur. Atque hæc cur Halonis figura orbicularis videatur, rationem
reddunt, vnaque; textui lucem afferunt.
Summæ 2. cap. 4. De Iridis figura.
162
Qvod autem neque circulum poſſibile ſit fieri Iridis, neque maiorem ſemicir­
 culo portionem, & de alijs accidentibus circa ipſam, ex deſcriptione
erit conſiderantibus manifeſtum) In Logicis ſæpius monui Ariſt. per
deſcriptiones intelligere geometricas demonſtrationes, quod
etiam hoc loco confirmatur, vbi Geometrica demonſtratione quam deſcri­
 ptionem appellat, Iridis figuræ accidentia oſtendit; nimirum cur ſit quidem
circularis, nunquam tamen circulus integer, imò neque ſemicirculo vnquam
maior, ſed tamen ſemicirculo minor.
163
Ibidem (Hemiſphærio enim exiſtente ſuper horizontis circulum in quo A. cen­
 tro autem K, alio autem quodam oriente puncto, in quo G, ſi lineæ, quæ à K, ſecun­
 dum conum excidentes faciant velut axem lineam in qua G K, & à K. ad M, co­
 pulatæ refrangantur ab hemiſphærio ad G, ſuper maiorem angulum, circuli circun­
 ferentiam incident lineæ, quæ à K, & ſi quidem in ortu, aut in occaſu aſtri reflexio
fiat, ſemicirculus ab horizonte aſſumetur ſuper terram factus. ſi autem ſupra, minor
157[Figure 57]
ſemper ſemicirculo, minus autem,
cum in meridie fuerit aſtrum) quod
ſupra monui, iterum moneo, re­
tinendam vocem reflexionis, quam­
uis in antiqua tranſlatione lega­
 tur refractio, eſt enim apud om­
 nes in confeſſo Iridem fieri per
reflexionem. Eſt igitur in ſupe­
 riori figura, quam textui, vt par
erat reſtitui, horizon G K O. cuius centrum K. in quo eſt viſus noſter, ſitque;
hemiſphærium noſtrum in arcu G A M O, repræſentatum, ſitque; nubes rori­
 da, in qua Iris appareat, vbi M, quod punctum M, nubem referens, in figu­
 ra ponitur in hemiſphærij ambitu, quod cœlum repræſentat, cum tamen
nubes parum à terra ſubuehatur; id enim ad demonſtrationem ferè perinde
eſt. in oriente G, ſit aſtrum. ſi ergò lineæ viſuales à K, ad M, nubem tenden­
 tes reflectantur ſuper maiorem angulum M K G, ad G, erit reflexarum vna
veluti M G. Porro omnes lineæ viſuales, quæ ad nubem M, incidunt, neceſ­
 ſariò, vt probabo, cadent in ambitum circularem. debemus enim innume­
ras lineas imaginari à K, in coni figuram excidentes, cuius vertex ſit in K,
& axis G K O, quas omnes repræſentat vna K M, meliusque; repræſentabit, fi
cogitemus axem G K O, circa polos G, O, manentes circumuolui, ſecumque;
lineam K M, circumducere. in hac etiam giratione linea K M, tranſibit per
omnes illas lineas, quas imaginabamur; deſcribetque; conum, quem illæ con­
 formare debebant. In prædicta autem axis volutatione, extremum M, li­
 neæ K M, neceſſariò deſcribit circulum, qui eſt circulus Iridis, & eſt baſis
memorati coni.
Si igitur oriente, vel occidente aſtro fiat iris, Iris erit ſemicirculus, ideſt
illa ſemiſſis circuli prędicti (quem horizon bifariam diuidit) quæ ſupra ter­
 ram extabit. ſi autem aſtrum eleuatum ſupra horizontem fuerit, quando fit
iris, erit ſemper arcus Iridis ſemicirculo minor; tuncque; minimus cum aſtrum
meridianum circulum occupauerit. hęc tria ſunt, quæ deinceps probanda recipit.
264
58[Figure 58]
Ibidem (Sit enim in oriente pri­
 mum vbi G, & refracta ſit K M,
ad G, & planum erectum ſit in quo
A, à triangulo in quo G K M, cir­
 culus igitur erit ſectio ſphæræ, qui
maximus ſit in quo A, differet enim
nihil ſi quodcŭque eorum, quæ ſuper
G K, ſecundum triangulŭ K M G,
erectum fuerit planum. lineæ igitur
ab ijs, quæ G, K, ductæ in hac ratio­
ne non conſtituentur ad aliud, &
aliud punctum, quàm ſemicirculi
in quo A. Quoniam enim puncta
G, K, data ſunt, & quæ K M, vtique data erit; & quæ M G, ad M K; datam igi­
 tur circunferentiam tanget M, fit itaque hæc in qua M N, quare ſectio circunferen-
1tiarum data eſt. apud autem aliud punctum, quam ipſius M N, circunferentiæ, ab
ijſdem punctis, eadem ratio in eodem plano non conſiſtit) eorum omnium, quæ
demonſtranda ſunt, præmittenda ſunt duo neceſſaria fundamenta. Primum
eſt; ea, quæ videmus per reflexionem ſub quopiam angulo, manentibus no­
 bis ſpeculo, & obiecto ijſdem in locis, non poſſunt videri ſub alio diuerſo
angulo, nec alibi conſequenter apparere. v. g. in ſuperiori figura, quam
textui reſtituimus exiſtente Sole in G, oculo in K, & nube in M. ex qua ra­
dius Solis G M, reflectatur ad viſum in K, per lineam M K, ſub angulo G M K,
impoſſibile eſt manentibus illis, vt dixi, videri Solem in nube M, ſub diuer­
 ſo angulo à priori, nec alibi apparere. Alterum eſt apud Opticos vulga­
 tum; ea ſcilicet, quæ per reflexionem (de quorum numero eſt Iris) viden­
 tur, videri, tunc ſolum, quando angulus incidentiæ fuerit æqualis angulo
reflexionis, quia tunc breuiſſimis lineis fit viſio; quibus ſoli, natura (ſi fieri
59[Figure 59]
poteſt) vtitur. v. g. in figura præſenti ſit ſpe­
 culum C D E, obiectum A, oculus B, linea in­
 cidentiæ eſt A D, & angulus pariter inciden­
 tiæ eſt A D C. linea verò D B, eſt linea refle­
 xionis, & angulus pariter reflexionis eſt B D­
 E, qui duo anguli niſi fuerint æquales, nun­
 quam videbitur obiectum A, ab oculo B, hinc
eſt, quod aliquando poſito ſpeculo, obiectum
quamuis illi aduerſum, à nobis pariter ante
ſpeculum conſtitutis, videri nequit, quia ſci­
 licet in tali poſitione ſpeculi, obiecti, & noſtri, nulla linea incidentiæ, ideſt,
quæ ab obiecto in ſpeculum tendit, facere poteſt angulum cum ſpeculo, qui
dicitur angulus incidentiæ, æqualem angulo illi, quem facit linea eadem re­
flexa à ſpeculo ad oculum, quem dicunt angulum reflexionis. Cum ergo in
Iride videamus colorem Solis per reflexionem, tunc ſolum apparebit Iris,
quando Sol, nubes, & oculus fuerint in ea conſtitutione, qua radius incidens
nubi, & radius à nube repercuſſus faciant pares angulos. Et quia quando
nubes roſcida perpendiculariter opponitur Soli, & nobis, poſſunt fieri præ­
 dicti anguli æquales non in vno loco nubis, ſed in pluribus, conſtitutis ta­
 men in circuli periphæria, hinc fit, quod Solis color reflectatur ex pluribus
locis in orbem conſtitutis, quæ reflexio eſt ipſius Iridis arcus. ex Vitellion
63. 10. Totam autem figuræ Iridis demonſtrationem ſic breuiter puto ad­
 inuentam eſſe. cum Sol in Iride videatur in orbem, atque conſimiliter, ne ceſ­
 ſe eſt id prouenire ex angulis reflexionum conſimilibus, ſiue æqualibus: diſ­
 ſimiles enim anguli, diſſimilem vtique efficiunt Solis apparentiam. atqui con­
 ſimiles anguli, ſiue æquales, non niſi in orbem poſſunt conſtitui; igitur an­
 gulorum æqualitas cauſa erit rotundationis arcus. hęc eſt ſumma totius di­
 ſcurſus, quem pluribus, & nimis obſcurè Ariſt. explicat.
Inquit igitur Ariſt. ſit enim in oriente, &c. vbi aggreditur probare vnum
ex tribus illis, quæ ſupra propoſuit, nimirum tunc Iridem eſſe ſemicircu­
 lum, quando aſtrum fuerit in oriente, ſiue in horizonte, vbi G. ſi igitur per
triangulum G M K, intelligamus planum extenſum, in quo A, in figura, adeo
magnum, vt totum ſecet hemiſphærium, faciet in ſuperficie hemiſphærij
1ctionem, quæ erit portio maximi circuli, per 6. Theodoſij, cum planum ſe­
 cans hemiſphærium, tranſeat per centrum ipſius, quæ ſectio, ſiue circuli por­
tio repræſentatur in figura, per ſemicirculum in quo A, ſiue in quo G A M­
R O. nihil autem refert quodcunque intelligas planum ſuper axem G K O,
tranſiens ſiue per triangulum G K M, ſiue per aliud illi ſimile. Præmitten­
 dum præterea non poſſe in ſemicirculo ſuperiori, quod eſt planum, & ſectio
trianguli G K M, poni alias duas lineas. v. g. G R, K R, ad aliud punctum,
vti eſt R, quæ habeant eandem inuicem proportionem, quam habent prio­
 res duæ G M, K M, quod probatur, quia ſi ſint vt G M, ad K M, ita G R, ad
K R, cum G R, ſit centro K, propinquior quam G M, erit etiam eadem G R,
longior ipſa G M, per 15. 3. & tamen deberet eſſe æqualis illi; quemadmo­
 dum K M, eſt æqualis alteri K R; nequeunt autem duæ lineæ inæquales inui­
 cem, habere eandem rationem ad duas inuicem æquales: ergo non habent
eandem rationem G M, & K M, quam habent G R, & K R. quod ſi punctum
R, ſumatur ſupra M, erit ſimilis demonſtratio, ſi literæ M, & R, loca permu­
 tent. his poſitis, ait (Quoniam enim G, K, puncta data ſunt, & c.) ideſt data
ſunt poſitione, cum notum ſit vbi ſint. G, enim eſt in ortu. K, verò in centro
horizontis, ſequitur, quod etiam linea G K, cuius ipſa ſunt extrema, data
ſit, & poſitione, & magnitudine, per 26. Datorum Euclidis. eadem quoque
ratione data erit K M, linea; ſiue quia eſt æqualis ipſi G K, ſiue quia per
aſtrolabium poſſumus ipſius longitudinem, & poſitionem inueſtigare; qua­
 re & punctum M, datum erit per 27. Datorum, quare & linea G M, data
erit quoad ſitum, & magnitudinem per 26. Datorum. Quare per primam
Datorum erit data proportio linearum G M, M K, punctum itaque M, tanget
ambitum datum, qui baſis eſt coni, quem linea K M, deſcribit in reuolutio­
 ne axis G K O, ſuper polis G, O. cum enim data ſit K M, poſitu, & magni­
 tudine, eaque; ſit latus prædicti coni, ſequitur periphæriam, vel ambitum ba­
 ſis coni eſſe datum per ſimilem definitionem 5. definitioni Datorum. ſit au­
tem ambitus ille in figura ſequenti notatus literis L M N. qui ambitus L M N,
non eſt concipiendus in eodem plano ſemicirculi G A N O, quemadmodum
falsò pingitur in figura; ſed debemus ipſum concipere tanquam erectum ad
angulos rectos cum prædicto ſemicirculo, necnon cum horizonte G K O.
Iam ſi triangulum G M K, prioris figuræ circumuoluatur circa axem G K O,
punctum ipſius M, deſcribit prædictum ambitum L M N. hunc ambitum
inquit Ariſtot. linea K M, attinget, eritque; hic ambitus datus, vt dictum eſt.
60[Figure 60]
Erit præterea ſectio circunferentiarum ho­
rizontis, & huius ambitus data, cuius extre­
 ma puncta eſſent L, & N. ſi enim concipiamus
in figura non ſolum horizontis diametrum
G K O, ſed etiam circunferentiam (in qua
circunferentia eſſent duo illa puncta L, & N,
vt in præſenti deſcriptione melius intellige­
 tur, in qua horizon G N O L, & ambitus
prædictus eſt L M N, qui debet intelligi ele­
 uatus ſupra horizontem perpendiculariter)
tunc ſectio ipſius mutua cum horizonte eſſet
1linea N P L, cuius extrema puncta ſunt L, N, quæ data erunt, cum ſint ex­
 trema lineæ K M, circumlatæ; & quemadmodum dabatur ſuperius punctum
M. eadem ratione ex Datis, dabitur punctum N, & L. quare etiam ſectio
N P L, quæ inter data puncta continetur, data erit ex 26. Datorum.
Illud nunc in memoriam reuocandum, quod paulò ante probaui, nimirum
proportionem linearum G M, K M, non poſſe ſeruari in alijs lineis, quæ ſint
in eodem plano trianguli G M K, ſi ducantur ab ijſdem punctis G, K. poteſt
tamen ſeruari in alijs duabus, quæ cadant in prædictum ambitum, ſiue cir­
cunferentiam L M N, quæque; ſint in alio plano, quam in plano trianguli G M K,
quod tamen tranſeat per axem G K O, ſitque; vnum ex planis illis, de quibus
ſupra dictum eſt. Verumenimuerò ad quid probatio hæc? non poſſe duas
alias lineas in eodem plano, &c.? exiſtimo Ariſt. idcircò hoc probaſſe, quia
ſi aliæ duæ lineæ habentes eandem rationem, poſſent collocari in eodem
plano; eſſent permutando illæ duæ (in priori figura) G R, R K. vtraque vtrique
æquales prioribus G M, M K, per quas videtur Iris, cum enim K R, ſit æqua­
 lis ipſi K M, erit, & G M, æqualis ipſi G R, per 7. 5. & in eius ſcholio. qua­
 re natura ageret tam per lineas breuiſſimas agendo per has, quam per illas,
hocque; pacto per has etiam Iris videri poſſet. cum ergò conſtet non poſſe has
eſſe prioribus proportionales, ſed maiorem, vel minorem, alteram illarum,
quàm ſit G M, ſequitur, quod non faciunt angulum æqualem angulo G M K,
ſub quo videtur Iris, nimirum angulum G R K, qui ſit æqualis angulo G M K;
habet enim Iris hunc angulum determinatum, ita vt ſub maiori, vel mino­
 ri videri nequeat; ex 10. Baptiſta Porta. ſi autem punctum R, eſſet infra M,
angulus G R K, eſſet minor angulo Iridis G M K, ſi verò ſupra eſſet maior
eodem, quod vel ad ſenſum patere poteſt in quouis circulo, idque; ſufficiat, ne
longior euadat hæc tractatio. Fortè etiam addi poteſt, quod alibi exiſten­
 te puncto R, quàm in M, non poſſent anguli incidentiæ, & reflexionis eſſe
æquales, quæ cauſa eſſet cur ſub alio angulo, quam prædicto G M K, Iris
non appareret.
Prædicta omnia ſunt ſecundum Ariſtot. diſcurſum, & figurationem dicta,
nam ſecundum veritatem poſſunt in eadem nube conſtitui plures anguli
æquales, nec tamen in eodem orbe, ſed vnus ſupra alterum; vt in figura præ­
61[Figure 61]
ſenti, ſi nubes eſſet vbi B D.
oculus in C, Sol in A. eſſent
duo anguli A B C, A D C, æ­
 quales per 33. 3. qui tamen
non ſunt in gyrum conſtituti,
poſſet igitur, per illorum vtrun­
 que Sol Iridem efficere. atque
animaduerſio hęc videtur ma­
 gni momenti eſſe, ad Iridis de­
monſtrationem conſtituendam:
cum hinc vſitatæ demonſtra­
 tiones infringatur. Fortè confugiendum eſt ad illud, quod Maurolycus, &
10. Baptiſta Porta obſeruarunt; debere nimirum diſtantiam ab oculo ad cen­
 trum Iridis eſſe æqualem altitudini, ſiue ſemidiametro Iridis. Ita vt non
1lum requiratur idem angulus, ſed etiam tanta Iridis altitudo, quanta requi­
 ritur vt angulus in orbem conſtituatur, ex quo Iris poſſit apparere. hæc à
nemine hactenus animaduerſa placuit addere, vt ex ijs demonſtratio Iridis
omnibus numeris aliquando abſolui poſſit, quod infra (ni fallor, fauente
Deo) præſtabimus.
165
Ibidem (Extraponatur igitur quædam linea, quæ D B, & ſeindatur vt M G, ad
M K, ſic quæ D, ad B, maior autem quæ M G, ea quàm M K, quoniam ſuper ma­
 iorem angulum reflexio coni, maiori enim angulo ſubtenditur trianguli M K G.
Maior igitur eſt & ipſa D, ipſa B. addatur igitur ad eam, quæ B, ea in qua F, vt
ſit quod D, ad B, quæ B F, ad D. Deinde quod F, ad K G, quæ B, ad aliam fiat,
quæ K P. & à P, ad M, copuletur quæ P M, erit igitur P. polus circuli, ad quem
lineæ, quæ à K, incidunt) hucuſque oſtendit lineas viſuales cadere ad M, pun­
 ctum in Iridis periphæriam, pergit deinceps inueſtigare polum, & poſtea
centrum eiuſdem ambitus, vtraque autem exiſtere in horizonte reperit, vt
hinc inferat Iridis portionem illam, quæ oriente Sole ſupra horizontem ap­
 paret, eſſe ſemicirculum, vt propoſuerat. Differt autem polus circuli à cen­
 tro eiuſdem circuli. polus eſt punctum extra planum circuli, ex quo tamen
vt centro adhibito circino circuli periphæria deſcribi poteſt; ſic polus æqua­
 toris eſt idem, qui polus mundi: centrum verò eſt in plano ſui cir culi, ſic cen­
 trum æquatoris eſt idem cum centro mundi, cum æquator per illud incedat.
Dicit itaque Ariſt. cum data ſit proportio linearum K M, & M G, in ſupe­
 riori ſecunda figura numeri 164. quam nunc iterum inſpicere opertet; ex­
62[Figure 62]
ponatur alia linea recta B D. quæ diui­
 datur in partes B, & D. proportionales
cum lineis K M, G M, per 10. 6. cum
ergo K M, ſit minor quàm G M, per 19.
primi, quia in triangulo G M K, oppo­
 nitur minori angulo, erit quoque B, minor quàm D, addatur iam ipſi B. linea
nea F, ita vt ſit tota F B, tertia proportionalis ad duas B, & D, per 11. 6.
hoc ordine, vt F B, ad D. ita D, ad B. Deinde vt ſe habet F, ad K G. ita ſit
B, ad aliam, quæ ſit K P, in eadem figura per 12. 6. & à puncto P, ad M, iun­
 gatur recta P M. Dico P, eſſe polum circuli, quem dixi Iridis, & in quem li­
 neæ à K, procedentes turbinis formam effingunt, probatur autem ab Ariſt.
in ſequentibus.
166
Ibidem (Erit etiam, quod quæ F, ad K G. & quæ B, ad K P. & quæ D, ad P M.
non enim ſit, ſed aut ad minorem, aut ad maiorem ea, quæ P M, nihil enim differet.
ſit enim ad P R. eandem ergo rationem G K, & K P, & P R, inuicem habebunt,
quam quæ F, B, D: quæ autem F, B, D, proportionales crant, quod quidem D, ad
B. quæ F B, ad D: quare quod quæ P G, ad P R, quæ P R, ad eam, quæ P K. ſi igi­
 tur ab ijs, quæ K G, quæ G R, & K R, ad R, coniungantur, coniunctæ hæ eandem
habebunt rationem, quam quæ G P, ad eam, quæ P R, circa eundem enim angulum
P, proportion aliter, & quæ trianguli G P R, & eius, qui K R P. quare & quæ G R,
ad eam quæ K R, eandem rationem habebit, quam & quæ G P, ad eam quæ P R,
habet autem & quæ M G, ad M K, eam rationem, quam quæ D, ad eam quæ B,
quare ambæ à punctis G K, non ſolum ad circunferentiam M N, conſtituentur ean­
dem habentes rationem, ſed & alibi, quod quidem impoſſibile) incipit, vt
1probare P, eſſe polum prædicti ambitus, ſic. Primò enim ſciendum in præ­
 miſſa conſtructione eſſe, vt F, ad G K, & B, ad K P, ita D, ad P M. nam ſi non
ſit eadem ratio D, ad P M, cum alijs prædictis, erit eadem ratio eiuſdem D,
ad aliam maiorem, vel minorem ipſa P M. ſit ad minorem P R. nihil enim
refert ſiue dixeris habere eandem rationem ad minorem, ſiue ad maiorem,
ergo permutando erunt G K, K P, P R, proportionales cum F, B, D. ſed li­
 neæ F, B, D, erant proportionales componendo hoc modo, vt F B, ad D, ita
D, ad B: quare ſimiliter erunt vt G P, ad P R, ita P R, ad P K. per 18. 5. ſi igi­
 tur à punctis G, & K, figuræ nu. 164. iungantur lineæ ad R, quæ ſint G R, K R,
erit vt G R, ad K R, ita G P, ad P R. quia orta sunt duo triangula G P R, K P R,
quæ habent eundem angulum ad P. & latera proportionalia circa dictum
angulum. eſt etiam vt G P, ad P R, in maiori triangulo, ita P R, ad K P, in
minori, ex conſtructione, quare per 6. 6. erunt illa duo triangula æquian­
 gula; ergò per 4. 6. erunt latera circum æquales angulos proportionalia;
quare erit vt G P, ad P R. ita G R, ad R K: erat autem vt K M, ad G M, ita
B, ad D. & ita etiam G P, ad P R; ergò per 11. 5. vt K M, ad M G. ita K R,
ad R G, intra eandem circunferentiam, & in eodem plano: quod eſſe im­
 poſſibile ſupra oſtendimus, hoc autem impoſſibile, ſequitur ſi neges eſſe vt
F, ad G K; & B, ad K P, ita D, ad P M.
167
Ibidem (Quoniăm igitur quæ D, neque ad minorem ea, quæ P M, neque ad maiorem
(ſimiliter enim demonſtrabimus) palam eſt, quod ad ipſam vtique erit, in qua P M,
quare erit, quod quæ M P, ad P K, quæ P G, ad M P. Si igitur eo in quo P, polo
vtens, diſtantia autem ea, in qua P M, circulus deſcribatur, omnes angulos attin­
 get, quos reflexæ faciunt, quæ à K, G. ſi autem non, ſimiliter oſtendentur eandem
babere rationem, quæ alibi, quam in ſemicirculo conſtituuntur; quod quidem erat
impoſſibile) quoniam igitur, inquit, linea D, neque ad minorem, neque ad ma­
 iorem quam P M, habet eam rationem, quæ eſt ipſius F, ad G K, aut ipſius
B, ad K P. ſimiliter enim demonſtratur abſurdum ſequi. palàm eſt, quoniam
erit D, ad P M, vt prædictæ ad prædictas: quare componendo, & permu­
 tando, erunt tandem vt G P, ad P M, ita P M, ad P K, & ita G M, ad M K,
aſſumpſimus enim in conſtructione eſſe G M, ad M K, ita F B, ad D, & D, ad
B. quare cum ſit vt G M, ad M K, ita F B, ad D. & G P, ad P M. & P M, ad
K P; erunt per 11. 5. vt G M, ad M K. ita G P, ad P M. & P M, ad P K. ſi quis
igitur vtens puncto P, tanquam polo, & interuallo P M, circulum deſcribat,
omnes angulos reflexionis attinget, quos faciunt lineæ productæ à K, & re­
 flexæ ab M, ad G. harum enim infinitam multitudinem debemus imaginari
à K, ad infinita puncta M, produci in ambitu illo conſtituta, reflectique; ad G.
ſi enim non attingat omnes illos angulos, ſequitur, vt ſupra, in eodem ſemi­
 circulo conſtitui poſſe duas alias rectas proportionales prioribus G M, M K,
quod eſt impoſſibile. Porrò ſub angulo G M K, linearum G M, M K, Iris
apparet: quare apparebit etiam ſub alijs omnibus, quæ à punctis G K, duci
poſſunt ad extremum lineæ P M, quia erunt in eadem ratione cum illis; cum
non deſinant in eundem ſemicirculum, ſed in ambitum Iridis M N, in quo M,
punctum imaginamur circumduci. Ex quibus pater P, eſſe polum Iridis, ex
quo per puncta M, vbi ſit reflexio, deſcribitur arcus attingens omnes Iridis
reflexiones.
1
168
Ibidem (Si igitur circumducas ſemicirculŭm, in quo A, circa diametrum in qua
G K P, que à G, K, reflexæ ad id in quo M; in omnibus planis ſimiliter ſe habebunt,
& æqualem facient angulum, qui K M G, & quem etiam facient angulum, quæ
K P, & P M, ſuper eam, quæ G P, ſemper æqualis erit. Trianguli igitur ſuper eam,
quæ G P, æquales ei, qui G M P. conſiſtunt. horum autem perpendiculares ad idem
ſignum cadent eius, quæ G P, & æquales erunt, cadunt ad ω, centrum ergò circuli
ω ſemicirculus autem, qui circa M N, abſectus eſt ab horizonte) hac vltima
textus parte concludit Iridis portionem ſupra horizontem aſtro oriente exi­
 ſtentem eſſe ſemicirculum, hoc modo; ſi igitur imaginatione circumducas
ſemicirculum, in quo A, circa diametrum horizontis G K P, in hac circum­
 uolutione duæ lineæ G M, M K, in omnibus planis conſtitui poſſibilibus cir­
 ca prædictam diametrum, quæ ſupra etiam fieri à triangulis infinitis dixi­
 mus, ſucceſſiuè erunt; ſiue percurrent ſimiliter omnia illa plana, & facient
vbique angulum Iridis K M G, eundem: pariter duæ lineæ K P, P M, facient
vndique eundem angulum K P M. quare omnia triangula in predictis planis
imaginata, & conſtituta ſuper linea G P, ſimilia ipſi G M P, & æqualia erunt;
ſi igitur ab angulis ipſorum, in quibus M, ductæ ſint perpendiculares ad la­
 tus G P, omnes cadent in idem punctum ω, vt in figura; quarum vna erit M ω,
quæ tamen cæteras omnes repreſentabit, eisque; omnibus in volutatione axis
G K ω, coincidit; erunt autem omnes æquales, quandoquidem ſunt trian­
 gulorum æqualium. eruntque; in eodem eiuſdem circuli plano, & punctum ω,
erit centrum ipſius. ſimilia dicta ſunt in Halone. Cum ergò ipſius centrum
ω, ſit in diametro horizontis G K ω P O, manifeſtum fit portionem eius, quæ
ſupra horizontem eminet, eſſe ſemicirculum, qui in figura notatur lineis
L M N. Atque hoc accidit Sole, vel Luna in horizonte exiſtentibus; quod
erat primo loco demonſtrandum.
Porrò ſciendum poſſe nos breuius polum prædictum inuenire, ſi nimirum
63[Figure 63]
ad M, ducatur M P, faciens angulum K P M, æqua­
 lem angulo G M K, per 23. primi, erunt enim duo
triangula æquiangula G P M, K P M, angulus enim
P, eſt communis, angulus verò M K P, eſt æqualis
duobus G, & G M K, per 32. primi, ergo etiam
duobus ad M, ſiue toti G M P, & reliquus K M P,
reliquo, quare per 4.6. latera circa angulos æqua­
 les proportionalia erunt, & omologa G M, ad M K, ita G P, ad P M, quæ
æqualibus angulis ſubtenduntur. eaſdem autem proprietates habebant etiam
triangula Ariſt. in figura, de qua paulò ante dicebam. Verba illa (Quæ ali­
bi quam in ſemicirculo constituuntur) ſunt perperam in antiqua tranſlatione
tranſlata, nam Græcè ſic, αι αλλοθι τοῡ ημικοκλνού συνισταμεναι, transferenda
eſſent, quæ in alio circuli loco concurrunt.
169
Ibidem (Iterum ſit horizon quidem in quo A C. oriatur autem ſupra hunc G,
axis autem ſit nunc in quo G P. Alia igitur omnia ſimiliter oſtendentur vt & prius.
Polus autem circuli, in quo P, erit ſub horizonte eo, in quo A C, eleuato puncto,
in quo G. in eadem autem & polus, & centrum circuli, & terminantis nunc ortum,
eſt enim iſte, in quo G P. Quoniam autem ſupra diametrum, quæ A C, quod K G,
centrum vtique erit ſub horizonte priori eius, in quo A C, in linea K P, in quo ω,
164[Figure 64]
Quare minor erit ſuperior ſectio ſemicir­
 culo, in qua S T, (nam Q S T, ſemicir­
 culus est, nunc autem interſectus eſt ab
horizonte A C; itaque Q S, diſparens erit)
eleuato ipſo Sole) demonſtrat propoſi­
 tionem ſecundam nimirum Sole ſupra
horizontem eleuato, ambitum Iridis
eſſe minorem circuli portionem, ſiue
ſemicirculo minorem. ſit igitur in fi­
 gura ſuperiori, quam textui congruen­
tem reſtituimus, linea A C, horizon­
 talis, ſupra quam Sol ſit eleuatus in
circulo altitudinis in loco G, axis au­
 rem coni, quem reflexè faciunt ſit
G K ω P. alia igitur omnia, quæ ſupra exiſtente in ortu aſtro oſtenſa ſunt, hic
pariter oſtendi poſſunt, ſcilicet Iridem fieri tantum per lineas proportiona­
 les, & æquales lineis G M, M K, quia Iris videri nequit, niſi in tali, ac deter­
 minata reflexione, & angulo, vt initio ſuppoſui; & quia lineæ illis propor­
 tionales non poſſunt alibi conſtitui, quam in ambitu circulari, & in diuerſis
planis, ſequitur, vt ſupra Iridem eſſe circularem M N L; eiusque; polum P, &
centrum ω, inueniemus ſimiliter in axe G K ω P, & quia axis hic ſecat hori­
 zontem in K, in hac vltima figura propter eleuationem Solis ſupra A C, in
G, ſequitur partem axis, in qua ω, & P, exiſtunt, infra horizontem deprimi.
& quia (vt pater ex 64. 10. Vitell.) & P, polus, & centrum ω, Iridis, & cen­
trum K, circuli horizontis, cuius ſcilicet diameter eſſet A K S, & Sol, ſunt
in eadem linea G K ω P, ſi centrum Iridis ω, ſit infra horizontem, patet mi­
 norem circuli portionem, quam ſit ſemicirculus ſupra horizontem eminere,
in qua poſui literas S L T, nam Q S L T R, eſt ſemicirculus, cuius pars con­
 tenta inter duos arcus Q S, & T R, eſt infra horizontem. debemus autem
hunc ſemicirculum, & hanc portionem ipſius S L T, extantem ſupra hori­
 zontem imaginari erectam eſſe, vt planum ipſius circuli faciat angulos re­
 ctos ſiue ſit perpendiculare cum axe G K P; & circulum altitudinis A G M N,
modo fungi vice horizontis. ſic enim ſola portio S L T, appareret nobis, eſ­
ſetque; rationabiliter conſtituta. Ex quibus 2. Ariſt. propoſitio manifeſta eſt.
180
Ibidem (Minima autem cum in meridie, quanto enim ſuperius G, tanto infe­
 rius & polus, & centrum circuli erit) probat tertiam propoſitionem, nimi­
 rum Sole exiſtente in meridie minimam omnium eſſe Iridis arcus portionem:
ratio autem eſt, quia tunc G, ſiue Sol, eſt altiſſimus ſupra horizontem, &
conſequenter ω; centrum Iridis eſt depreſsiſſimum, quare tunc maxima cir­
 culi Iridis portio abſcondetur, & proinde minima apparebit, quod erat vl­
 timo demonſtrandum. Non me latet has Ariſt. figurationes eſſe apud Olym­
 piodorum nonnullis obiectionibus obnoxias, ſed cum facilè dilui poſſint, &
etiam ſi non diluantur, ſaluetur tamen veritas Ariſtotelicæ demonſtratio­
 nis, breuitati ſtudens, conſultò eas prætermitto.
Aduertendum præterea Vicomercatum inordinatè citare librum Dato­
 rum Euclidis, & quandoque etiam malè citare Euclidem ipſum. peius verò
1faciunt ij, qui has demonſtrationes abſque vlla libri Datorum mentione ex­
 plicare conantur, cum manifeſtè illo innitantur.
Cæterum ſi quis breues, ac dilucidas harum rerum demonſtrationes re­
 quirat, is legat 74. 75. 76. propoſitiones 10. Vitell. vel ſequentem noſtram
de Iride additionem. ego enim longiorem hanc, atque impeditam Ariſt. tra­
 ctationem in gratiam textus illius, vt inſtituti mei ratio poſtulabat, perſe­
 quutus ſum.
181
Ibidem (Quod autem in minoribus quidem diebus ijs, qui poſt æquinoctium au­
 tumnale contingit ſemper fieri Iridem: in longioribus aurem diebus ijs qui ab æqui­
noctio altero, ad æquinoctium alterum circa meridiem non fit Iris, cauſa est, quia
quæ ad Vrſam ſectiones omnes maiores ſunt ſemicirculo, & ſemper ad maiores quod
autem eſt occultum, paruum: quæ autem ad æquatoris meridiem ſectiones, quæ qui­
 dem ſupra ſectio, parua; quæ autem ſub terra magna, & ſemper maiores, quæ lon­
 gius. quare in ijs, qui ad æſtiuas verſiones diebus propter magnitudinem ſectionis,
antequam veniat G, ad medium ſectionis, infra iam pœnitus fit P; propterea quod
longè diſtat à terra meridies propter magnitudinem ſectionis. In ijs autem diebus,
qui ad hyemales verſiones, quia non multŭμ ſunt ſupra terram ſectiones circulorum,
contrarium neceſſarium fieri, modicum enim eleuato in quo G, in meridie fit Sol)
quærit cur poſt æquinoctium autumnale vſque ad vernum, hoc eſt hyemali
tempore, Iris appareat etiam Sole meridiem occupante: reliquo autem
tempore æſtiuo, quod eſt ab æquinoctio verno ad autumnale appareat tan­
 tum Sole vel in ortu, aut occaſu exiſtente, vel parum ſupra terram ſublato.
cauſa autem huius refert in ſectiones parallelorum circulorum, quos Sol
diurno motu inter vtrunque tropicum deſcribit: nam ſectiones parallelorum,
qui ſunt ad Vrſam, ideſt in parte ſphæræ Boreali, qui omnes ſunt inter æqua­
 torem, & tropicum Cancri; ſectiones inquam horum circulorum, quæ ſunt
ſupra horizontem, maiores ſunt ſectionibus infra horizontem depreſſis, &
ſemper eò maiores, quò propiores ſunt Cancro, ita vt magna valdè ſit ea
portio, quæ eſt ſupra terram, exigua verò admodum, quæ infra (intelligan­
 tur hæc in ſphæra obliqua, cuius polus eleuetur grad. 45. circiter) quare
quando aſtrum G, conſcenderit meridiem, adeò P, polus Iridis, & etiam ω,
centrum eius infra terram deprimitur, vt aut nihil, aut inſenſibile quid de
Iridis ambitu ſupra terram eleuari poſſit, contrarium accidit in parallelis
meridionalibus, quia eorum ſectiones ſuperiores ſunt ſemper inferioribus
minores, quapropter etiam ſi aſtrum ad meridiem eleuetur, parum tamen
attollitur, & conſequenter centrum ω, Iridis parum infra horizontem
deſcendit, ac propterea etiam in meridie pars ipſius ſatis ma­
 gna conſpicitur. quæ omnia adhibita ſphæra materia­
 li, eaque aſtronomicè ad ſuam eleuationem
accommodata, nullo negotio li­
 cebit intueri.
1
Additio de Iride.
Cvm ſuperior Ariſtot. de Iride tractatio obſcura, ac tricis pluribus
impedita euaſerit, cumque; aliorum etiam demonſtrationes aliqua
ex parte vacillent, viſum eſt breuiter expeditam, atque abſolutam
ipſius apponere demonſtrationem. Cum igitur in cœleſti arcu
duo potiſſimum ſint, quæ ſui admiratione Philoſophorum animos in ſui con­
 templationem alliciant, colores, ſcilicet, & figura: nos mirabilem illam co­
 lorum triadem, tanquam alienam, phyſicis relinquentes, de figura ipſius iu­
 re mathematico diſſeremus: rotunditatis ſcilicet Iridis cauſam opticis ra­
 tionibus venabimur, cur aliquando ſemicirculus, aliquando ſemicirculo mi­
 nor appareat. vt igitur ordine procedamus.
Primo loco aduertendum eſt tria ad Iridis viſionem eſſe neceſſaria, So­
 lem, oculum, & nubem tenuem, ac roſcidam, quæ ſcilicet minutis guttulis
iam ſcateat; hac enim ratione guttulæ illæ innumera erunt veluti parua
ſpecula, quæ lumen Solis ob paruitatem imperfecto quodam modo repre­
 ſentare poſſint, ex tali enim repreſentatione Iris apparet. quæ tria debent
eſſe ita diſpoſita, vt Sol, oculus, & centrum Iridis ſint in eadem recta linea
conſtituta, oculusque; medium locum, inter Solem, & Iridis centrum obtineat,
vt in prima figura videre eſt, in qua Sol vbi A, oculus in C. nubes verò
G H L E, in qua apparet Iris in arcu E B F, quem debemus concipere eſſe
in receſſu, vt pictores aiunt, depictum. i. non in hoc ſitu, & ouali figura, ſed
65[Figure 65]
eſſe perfectè ſemicircularem, habereque; talem poſitionem, vt pars ipſius B F,
ſit citra chartam eleuata, ipſique; perpendicularis, pars verò E B, vltra
1nam rectà recedat, ſicque; diameter Iridis E F, faciat angulos rectos cum
linea horizontali A C L, in quo ſitu oculo C, totus ex oppoſito directè ſpe­
 ctaretur, non aliter ac Iridem ipſam conſpicere ſolemus. Quod autem ne­
 ceſſaria ſit nubes roſcida, pulcherrima hac experientia comprobatur: ſi enim
in Sole poſiti ore aquam efflantes leui aſpergine aerem Soli, ac nobis ad­
 uerſum irroremus, actutum Iridis arcum guttulis illis, quamuis volitanti­
bus inhærentem ſumma voluptate ſpectabimus. Quod præterea oculus no­
 ſter, cum Iridem videmus, medius ſit inter Solem, & Iridis centrum, expe­
 rimento diuturno, manifeſtum eſt.
Secundò, notandum eſt, arcum per reflexionem fieri: quod quidem pri­
 mo eadem experientia, qua præcedens concluſio confirmatur: deinde, quia
Iridem ſemper in oppoſita Soli, ac nobis parte conſpicimus; quemadmodum
in eadem figura oſtenditur, quod aliter quàm per reflexionem fieri nequit.
Tertiò, ſciendum eſt ex Maurolyco, & 10. Baptiſta Porta, tantam eſſe di­
 ſtantiam C D, ab oculo ad centrum arcus, quanta eſt altitudo, ſeu ſemidia­
 meter D B, obſeruarunt enim ipſi angulos D C B, & C B D, eſſe ſemirectos,
& proinde æquales, & conſequenter duo latera C D, D B, trianguli C D B,
per 6. 1. æqualia ſunt.
Quartò, conſiderandum eſt lineas A B, A D, ob maximam Solis ab Iride
diſtantiam inſenſibiliter differre; & ideò ſupponi poſſunt æquidiſtantes,
quare angulus A B C, qui æqualis eſt alterno B C D, ſumi poteſt abſque vllo
errore pro ſemirecto. hic autem angulus A B C, dicitur angulus reflexionis
Iridis, ſub tali enim reflexione lumen Solis occurrens nubi in B, reflectitur
ad oculum C.
Quintò, ſequitur ex prædictis arcum videri ſemper ſub ſtato, ac determi­
 nato reflexionis angulo, ſcilicet ſub ſemirecto, neque poſſe per alium videri.
quod etiam probari poteſt ex Ariſt. quia nimirum videmus arcum apparere
conſimiliter in ambitu circulari, ergò neceſſariò apparebit vbique in toto il­
 lo ambitu per conſimilem reflexionem, ſiue per æquales reflexionis angulos,
pro quibus omnibus vnus cernitur in figura angulus A B C.
Sextò, ad Iridis viſionem, præter ea, requiri aeris rorantis multiplica­
 tionem; ſicuti enim nebulam videre nequimus, niſi aer exhalatione illa in­
 fectus multus ſit ante oculum noſtrum: ſic etiam exiſtimo ad Iridis appari­
 tionem, opus eſſe plurima nube roreſcente, vt ex multiplicatione guttula­
 rum, quarum aliæ poſt alias ſint, totus tandem Iris appareat. quia paucæ
guttulæ, etiam ſi quælibet illarum aliquid Iridis efficeret, ob paruitatem
tamen illarum, nulla arcus figura ſpectaretur. Quod ſi ante oculum pluri­
 mæ ſint in toto aere aliæ poſt alias, tunc ſe mutuò iuuantes, obiectum ſatis
ſenſibile, quod Iris eſt, efficere poſſunt. Adde, quod etiam ex tali guttula­
 rum multiplicatione, aer opacatur, quæ opacatio plurimum iuuat ad Iri­
 dem ſpectandam.
Septimò, Iridis rotundationis cauſam ex præmiſſis conſtare potiſſimum
ex duabus. primò, ex angulo reflexionis determinato, qui videlicet ſit ferè
ſemirectus. ſecundò, ex paribus diſtantijs C D, D B, huiuſmodi enim plures
anguli, qui ad Iridem ſunt neceſſarij (debent enim ſingulæ Iridis partes ſub
huiuſmodi angulo repreſentari) non poſſunt aliter quàm in gyrum conſtitui
1quem gyrum optimè concipiemus, ſi imaginemur triangulum A B C, cir­
 cumuerti circa lineam horizontalem A C L, fixam, tanquam circa axem. in
hac enim conuerſione angulus Iridis B, deſcribet circulum, qui erit Iris, &
pertranſibit omnes angulos, qui in tali Solis, oculi, ac nubis ſitu, arcum ef­
 ficere ſunt idonei.
Sed contra prædicta de angulo Iridis determinato eadem nobis obijcies,
quæ nos ſupra ad finem numeri 164. Ariſt. & alijs obiecimus, plures nimi­
rum poſſe conſtitui angulos æquales angulo Iridis B, in plano trianguli A B C,
qui non ſint in eodem orbe conſtituti, in quo ſunt omnes anguli B. Iridem
reflectentes, quique reflexionem faciant ad eundem oculum C, vnde ſequitur
prædictam Iridis altitudinem non eſſe, vti diximus, determinatam, cum
poſſit angulus B, alios ſibi æquales tam ſupra, quàm infra habere, qua ra­
 tione deberet etiam Iris, & altius, & inferius apparere.
Huic dubitationi reſpondeo, quod quamuis huiuſmodi plures anguli
æquales fiant, non tamen Iridis generationi obſtant, quinimò ad eam valdè
neceſſarij ſunt; cum enim omnes ſint in circunferentia circuli A C D B, quar­
 tæ figuræ num. 164. quæ modo inſpicienda eſt, vt ſunt in ea anguli A D C,
A B C; quæ circunferentia ob ſui circuli immenſitatem ad ſenſum eſt inſtar
lineæ rectæ, fit vt omnes illi anguli tàm qui ſupra B, quàm qui infra ſunt,
ſint quoad ſenſum in eadem recta C D B, ante viſum protenſa, ſicque; Iris, qui
apparet in D, & in B, &c. ob medij rorantis multiplicationem vnam tantùm
oculo Iridem repreſentet. locus tamen, in quo apparet, & vbi eſt angulus
B, qui propriè Iridis appellatur, eſt in tanta diſtantia à centro arcus, quan­
 ta eſt ab eodem centro ad oculum, vt ſupra dictum eſt.
Quod verò alibi extra circunferentiam illius circuli, poni nequeat angu­
lus æqualis angulo B, præſentis figuræ, qui reflectat ad C. patet ſic, ſit enim
angulus A N O, ſemirectas, & ideò æqualis angulo B, erunt ergo B C, N O,
parallelæ, quare non concurrent ambæ ad C, ſed altera ad E, altera verò ad
O, quæ propterea oculo in O, poſito Iridem efficeret, non autem oculo C:
ſicque; oculus C, & oculus O, viderent diuerſos arcus. eodem modo oſtendi
poteſt, neque in ſuperiori parte nubis vbi P, conſtitui poſſe angulum æqualem
angulo B, qui oculo C, Iridem valeat oſtendere. Ex quibus ſatis patefacta
eſt cauſa rotunditatis arcus, angulus ſcilicet determinatus cum diſtantia­
 rum C D, D B, paritate, necnon cum medij rorantis ſufficienti multiplica­
 tione. Ex his etiam Iridis definitio in hunc modum concinnari poteſt, Iris
eſt arcus multicolor in nube rorida, ex radiorum Solis, aut Lunæ reflexio­
ne ſub ſtatuto angulo effulgens.
Octauo loco Problemata nonnulla reſoluemus.
1
Problema Primum.
Cur oriente, aut occumbente Sole, Iris ſemicirculus eſt?
Cauſa huius hæc eſt; ſupra enim dictum eſt, in omni Iridis appari­
 tione tria hæc, Solem, oculum, & Iridis centrum eſſe in eadem re­
 cta linea, v. g. in linea A C D, præcedentis figuræ, cum igitur Sol
tam oriens, quam occidens ſit in horizonte, v. g. in A, horizontis
puncto, ſimiliter oculus ſit in C, horizontis centro, conſectarium eſt, cen­
 trum etiam Iridis D, eſſe pariter in horizontis ſuperficie, quare ſecabitur
ab horizonte per centrum, vnde etiam ſequitur ipſius Iridis portionem
E B F, quæ ſupra horizontem extat eſſe ſemicirculum. Quod ſi horizon non
obſtaret, integrum Iris compleret orbem, cernereturque; toto ambitu B F M E.
An quandoque; maior ſemicirculo appareat?
Problema Secundum.
Maior quidem, imò etiam integer circulus, ſed ab oculo in ſummitate
montis conſtituto, Soleque; iam multum eleuato videri poteſt, vt in
hac ſecunda figura cernitur, vbi euecto Sole ad locum E, ſupra horizontem
66[Figure 66]
A B, poterit oculus in vertice montis C, poſitus Iridem F G H I, comple­
 tam videre, quia infra lineam E C D, in qua exiſtunt Sol, oculus, & Iridis
centrum, nihil eſt ad partes D, vbi nubes irrorat, quod Iridis apparitioni
ſit impedimento.
1
Cur quanto Sol altior eſt, tanto inferior, tantoque; ſemicir­
 culo minor appareat Iris?
Problema Tertium.
Qvia eleuato Sole ad E, vt in hac tertia figura, neceſſario centrum Iri­
 dis D, infra horizontem A B, deprimetur, cum in eadem recta E C D.
67[Figure 67]
Sol E, oculus C, centrumque; Iridis D, exiſtant: vnde neceſſariò ſequitur Iridis
portionem F G H, ſupra horizontem extantem, ſemicirculo minorem eſſe.
Cur Iris inſequentes fugit, fugientes verò inſequitur?
Problema Quartum.
Pvlcherrimum iſtud phænomenon primus omnium Philippus Mendæus
Platonis diſcipulus, obſeruauit; Cuius ratio eſt, quia arcus non niſi ſub
determinato angulo, diſtantijs etiam illis paribus, ac tandem idonea aſper­
 ginoſæ nubis multiplicatione ſpectatur; quapropter ſi quis per aerem to­
 tum vndique roſcidum inambulet, vbicunque illi anguli, illæque; conditiones af­
 fuerint Iris apparebit: quod ſi in aperta planitie obequitans arcu conſpe­
 cto, additis equo calcaribus citatum curſum ad eum direxerit, fugientem
ante ſe Iridem ſumma cum iucunditate mirabitur.
Ex dictis prętere a patet, ſimpliciter nimis eos hallucinari, qui exiſtimant
in plana, aut concaua nubis ſuperficie Iridem tantummodo apparere poſſe.
1
Cur lunares Irides fiunt rariores?
Problema Quintum.
Qvoniam iuxta plenilunia tantum, cum ſcilicet Luna plurimo lumine
abundat, quod Iridem efficere debet, contingunt: præterea quia cum
lunare lumen debile ſit, niſi aliæ cauſæ perfectæ admodum concur­
 rant, quod rarò accidit, Iris nullo modo effulgere valet. Hactenus de Iri­
 dis figura ſit ſatis.
Summa 2. cap. 5. De Parelio.
182
Textus (Fiunt autem vt diximus, & Virgæ, & Parelia in ortu, & oc­
 caſu, & nec ſupra Solem, nec infra, ſed ex lateribus, nec propè admo­
 dum, nec procul omninò. propinquam enim concretionem Sol diſſoluit:
ſi autem procul abſit, aſpectus non reflectetur, ſi enim à paruo ſpeculo
procul protenditur imbecillus fit. quare, & Coronæ è regione Solis non fiunt. ſi igi­
 tur ſupra fuerit, & proxima; eam Sol diſſoluet: ſi verò procul aſpectus minor
quam vt reflecti poſſit in Solem non incidet; à latere autem fieri poteſt, vt ſpecu­
 lum ita distet à Sole, vt non ſoluatur, & aſpectus totus ad eum perueniat, eo quod
ad terram dum fertur, quaſi per immenſum feratur, peruenire nequeat. ſub Sole
verò non fit, quia cum ad terram propius acceſſerit à Sole diſſoluitur, cum medium
cœli tenuerit aſpectus diſtrahitur. omninò ne à latere quidem, Sole medium cœli
tenente, efficitur, quia aſpectus ſub terram non fertur, quare exiguus ad ſpeculum
producitur, & qui reflectitur prorſus imbecillis redditur) ibi (propinquam enim
concretionem Sol diſſoluit) rationes, quas affert circa Parelia videntur (auda­
 cter loquar) admodum debiles. præſens ea eſt, vt Parelium non fiat propè
Solem, quia illa nubis concretio, quæ Parelio neceſſaria eſt, nequit adeo So­
 li propinqua eſſe, quia nimirum Sol ob propinquitatem eam diſſolueret; ſed
quis non videt eam nubem, quam vulgò exiſtimamus eſſe Soli propinquam,
ſeu quaſi inter nos, & Solem tantum, imò etiam minus aliquando à Sole ve­
 rè diſtare, quàm alia, quàm vulgò remotiorem à Sole putabimus? præte­
 rea omnes nubes noſtri horizontis re vera æquidiſtare à Sole certum eſt, ob
maximam enim Solis diſtantiam totus noſter horizon phyſicus eſt inſenſi­
 bilis quantitatis ad Solem, & vnius puncti vicem gerit.
Ibi verò (Si autem procul abſit, &c.) reddit rationem, cur parelium non
appareat in nube à Sole valde remota ſecundum vulgarem æſtimationem,
vnde vulgarem etiam rationem affert, ait enim, nubem illam eſſe veluti ſpe­
 culum Solis repreſentatiuum, ſpeculum autem tàm longè à Sole poſitum,
reddi debile, & proptereá non poſſe Solis imaginem referre: Verùm ratio
hæc nulla eſſe videtur, quis enim ignorat non propterea eſſe remotius à So­
 le, quamuis maiorem habere videatur à Sole lateralem diſtantiam, vt pau­
 lò ante dixi? Eandem rationem illi dubitationi accommodat, cur neque vi­
 deatur ſupra Solem, quamuis non ei quadret, poteſt enim aliqua nubes
1deri ſupra Solem, quæ tamen remotior ſit à Sole, quam illa, in qua Parelium
gignitur. Ait poſtea (A latere autem, &c.) cur appareat in nube fatis Soli
à latere vicina, in diſtantiam à Sole refert: ſed quæ dudum dicta ſunt, iſtud
quoque refellunt. Verba illa (Eo quod ad terram dum fertur quaſi per immenſum
feratur, peruenire nequeat) videntur alieno loco dicta; ſimilia præcedentibus
ſunt reliqua, præſertim quæ ibi (Sub Sole verò non fit, quia cum ad terram pro­
 pius acceſſerit) cur non videatur infra Solem, rationem quandam, quæ fortè
inanis eſt reddit; nunquid enim non poſſumus tam infra Solem, quàm ſupra
ita ſpeculum accommodare, vt Solem noſtris viſibus remittat? huic certè
Optice tota repugnat. Cum igitur Mathematica ratione hæ rationes non
conſiſtant, alias alij excogitent. Mirum tamen eſt, omnes, quos viderim
commentatores, eas tanquam optimas admittere.
In quarto Meteororum nihil Mathematicum occurrit.
EX LIB. PRIMO DE ANIMA.
183
Tex. 11. (Videtur autem non ſolum ipſum quid eſt cognoſcere vtile eſſe
ad cognoſcendas cauſas accidentium ſubſtantijs: ſicut in Mathemati­
cis quid rectum, & quid obliquum, aut quid linea, & planum, ad co­
gnoſcendum quot rectis, trianguli anguli ſunt æquales) quid ſit vnum­
quodque ex prædictis patet tum ex definitionibus primi Elem. tum ex com­
 mentarijs ipſarum; quamuis autem ibi non definiatur rectum, nec obliquum
in genere, definitur tamen linea recta, & obliqua, & plana ſuperficies, ſiue
planum, ex quibus facilè definitio recti, & obliqui colligi poteſt: quæ defi­
 nitiones neceſſariæ ſunt ad cognoſcendum quot rectis angulis æquales ſint
tres anguli cuiuſuis trianguli. vide quæ de hac æqualitate ſcripſi lib, primo
Priorum, ſecto 3. cap. 1.
184
Tex. 13. (Si igitur eſt aliqua animæ operatio, aut paſſio propria, continget vti­
 que ipſam ſeparari: ſi verò nulla eſt propria ipſius non vtique erit ſeparabilis. ſed
ſicut recto in quantum rectum multa accidunt, vt tangere æneam ſphæram ſecun­
 dum punctum, non tamen tanget hoc, rectum ipſum ſeparatum: inſeparabile enim,
ſi quidem cum corpore quodam ſemper eſt) Propoſitio 2. tertij Elem. ṕrobat li­
68[Figure 68]
neam rectam, duo quælibet puncta quantumuis pro­
 pinqua in circuli ambitu aſſumpta coniungentem
cadere intra circulum. v. g. puncta A B, quantum­
uis ſibi inuicem propinqua unerint, attamen ſi line a
A B, ea coniungat, ipſa cadet intra circulum, &
veluti chorda ſubtendet arcum A B, quantulum­
 cunque. ex qua demonſtratione colligitur in corol­
 lario eius lineam rectam tangentem circulum ip­
 ſum in vnico puncto tangere. v. g. rectam C D, tan­
 gere circulum in puncto E. ſi enim dixeris tangere
in duobus admodum propinquis, vt in E F, tunc non erit amplius tangens,
ſed ſecans, quia vt modo dixi, pars lineæ rectæ, quæ coniungeret puncta E
1intra circulum per ſecundam præallegatam caderet, quod eſt abſurdum,
quia contra hypotheſim, cum ſupponamus illam ſolùm tangere, non autem
ſecare circulum. Ex hac Euclidis doctrina Theodoſius primo ſphæricorum,
propoſitione 3. probat planum, ſiue ſuperficiem planam tangere ſphæram
in vnico puncto, vt hoc loco innuit Philoſophus. probat autem hac ferè ra­
69[Figure 69]
tione. ſit ſphæra A B C, quæ tangat quodpiam planum
in duobus punctis A, B, ſi fieri poteſt. per quæ duo pun­
 cta intelligatur ducta recta linea A B, intelligatur etiam
circulus A B C, qui ſecet ſphæram per centrum C. &
per puncta A, B, ergo ex demonſtratis ab Euclide li­
 nea A B, quæ coniungit puncta A B, cadet intra prædi­
 ctum circulum; ſed linea hæc eſt in plano tangente ex
ſuppoſitione, circulus verò in ſphæra; ergò cum linea
cadat intra circulum, cadet etiam neceſſariò planum
in quo eſt linea, & cum linea cadat intra circulum, cadet etiam neceſſariò
intra ſphæram; idemque; faciet planum, quod eam neceſſariò ſequatur, ergò
planum ſecat ſphæram, non autem tangit, quod eſt abſurdum, quia contra
hypotheſim, ſupponunt autem Mathematici, entia hæc mathematica eſſe
perfecta, qualia in ſublunaribus fortè non reperiuntur; ænea enim ſphæra
nulla erit perfectè rotunda, vel planum aliquod perfectè complanatum, vt
ipſi ſupponunt, eò quod materiæ imperfectio, ac ruditas id nequaquam pa­
 tiatur. quare cum huiuſmodi entia non reperiantur abſtracta ab impura hac
materia, nullum erit inquit Ariſt. abſtractum planum, quod poſſit mathe­
 maticè, atque adeò in vnico puncto mathematico ſphæram tangere. hucuſque
neceſſaria ſunt mathematica ad huius loci intelligentiam. ex quibus ea etiam,
quæ ad phyſicum ſpectant manifeſta fiunt, nimirum ſicut entia mathemati­
 ca à materia non exiſtunt ſeparata, quia ſic nullam haberent operationem;
ita etiam anima, ſi nullam habet propriam operationem non exiſtet à cor­
 pore ſeparata.
Ex Secundo de Anima.
185
Tex. 12. (Non enim ſolum ipſum, quod ſit, oportet definitiuam rationem
oſtendere, ſicut plures definitionum dicunt, ſed & cauſam ineſſe, & ap­
 parere. nunc autem, vt concluſiones rationes definitionum ſunt, vt quid
tetragoniſmus? æquale altera parte longiori rectangulum æquilaterum
eſſe, talis autem definitio ratio concluſionis. dicens autem, quod tetragoniſmus eſt
medij inuentio rei cauſam dicit) aggreſſurus Ariſt. animæ definitionem præ­
 mittit duplicem eſſe definitionem, alteram ſcilicet, quæ explicat ſolum rei
eſſentiam, quam dicunt formalem definitionem; alteram verò, quæ præte­
 rea explicat etiam rei cauſam, quam dicunt cauſalem definitionem: vtram­
 que autem exemplo Geometrico explicat.
In cap. igitur de relatione plura ſcripſi de tetragoniſmo, ſeu quadratio­
 ne circuli, quæ huc ſpectant. propterea nunc tantum propria huius loci de­
claranda reſtant. loquitur igitur hic Philoſophus non de quadratione circuli,
1ſed figuræ rectilineæ illius, quæ dicitur Altera parte longior, qualis eſt præ­
 ſens figura A B C D, cuius quadrandæ ratio eſt huiuſmodi. per 13. 6. inue­
70[Figure 70]
niatur recta linea media proportionalis inter
duo latera figuræ A B, B C, eaque; ſit B D, in ſe­
 quenti figura. eſſe autem mediam proportio­
 nalem nihil aliud eſt quam ita eſſe A B, ad B D,
ſicut B D, ad B C. diciturque; media proportio­
 nalis, quia in hac habitudine medium locum obtinet. quadratum autem li­
 neæ B D, æquale eſt rectangulo dato A B C D, per 17.6. Inuentio porrò hu­
 ius mediæ proportionalis, quia facilis eſt, & ſcitu iucunda, eam ſic habeto.
71[Figure 71]
accipe duo latera A B, & B C, quadrandi rectan­
 guli, eaque; in directum conſtitue, vt vnicam re­
 ctam conſtituant A C, vt apparet in figura; de­
 inde diuiſa tota A C, bifariam in E, facto cen­
 tro in E, deſcribe ſemicirculum ſuper lineam
A C, demum à puncto B, in quo duo latera con­
 iunguntur, erigatur linea perpendicularis vſque
ad periphæriam, quæ ſit B D. hæc enim B D, eſt media proportionalis inter
latera A B, B D, quam nimirum habitudinem habet A B, ad B D, eam quo­
 que obtinet B D, ad B C. Quadratum igitur huius B D, hoc eſt quadratum,
cuius quatuor latera ſint æqualia lineæ B D, quale eſt præſens, æquale erit
72[Figure 72]
dato ſuperiori rectangulo A B C D, atque hoc modo per­
 acta erit quadratio, ſeu tetragoniſmus dati quadrilateri
A B C D. Vides igitur, qua ratione quadratum conſti­
 tuatur æquale dato quadrilatero; & qua rationem inuen­
 tio illius mediæ proportionalis ſit cauſa quadraturæ re­
 ctanguli, & proinde ſi quis dicat quadrationem hanc eſſe
effectionem rectanguli æquilateri, ideſt quadrati, æqualis dato quadrilate­
 ro, hic definitionem formalem ſolum afferet: quæ definitio, vt dixit in Lo­
 gicis, eſt inſtar concluſionis. ſi quis verò dicat tetragoniſmum hunc quadri­
 lateri dati eſſe mediæ prædictæ inuentionem cauſalem afferet definitionem,
cum rei cauſam dicat. Aduerte 10. Grammaticum immeritò accuſare Ale­
 xandrum, quod dicat quadrationem hanc per inuentionem mediæ propor­
 tionalis tradi in 2. Elem. nam verè in 14. 2. traditur talis inuentio, quam­
uis enim ibi nulla fiat expreſſa mentio huiuſmodi mediæ, in ipſa tamen ea
reperitur, ac per eam figuræ rectilineæ quadrantur: quod patet ex figura
14. prædictæ, quæ eadem eſt cum figura 13. 6. qua docemur prædictam in­
uentionem.
186
Tex. 86. (Acutum mouet ſenſum in tempore pauco multùm: graue autem in
multo parùm; non igitur velox eſt acutum, graue autem tardum, ed ſit illius qui­
 dem propter velocitatem motus huiuſmodi, huius autem propter tarditatem) vide
quæ de hac re primo topic. cap. 13. dicta ſunt, illa enim omnia in hunc lo­
 cum quadrant. Verum occurrit illa dubitatio; quod cum Ariſt. ibi dicat
(Vox acuta quidem velox) hic autem (Non igitur velox eſt acutum) repugnan­
 tia dicere videtur. cui dubitationi ſic occurrendum; vt dicamus ibi Philo­
ſophum dicere vocem acutam eſſe velocem, quatenus acumen vocis oritur
1ex velocitate motus aerem impellentis. hic verò diſtinguere acutum à ve­
 loci, tanquam effectum à cauſa.
187
Tex. 159. (Apparent autem, & falſa, de quibus ſimul exiſtimationem veram
habet, vt apparet ſol vnius pedis, perſuaſum autem eſt, eum maiorem eſſe habitata)
habitata, ideſt terra habitata. Vide, quæ cap. 3. ſummæ 1. primi Meteor.
Item capite 5. ſummæ 2. de Solis magnitudine ſcripſi, ea enim huic loco
abundè ſatisfaciunt.
Ex Tertio de Anima.
188
Tex. 21. (Vt incommenſurabile, & diameter) vide, quæ de incom­
 menſuratione diametri, & coſtæ ſcripta ſunt lib. 1. Priorum, cap.
23. vnde ſatis huic loco fieri poteſt.
189
Tex 25. (Punctum autem, & omnis diuiſio, & ſic indiuiſibile mon­
ſtratur ſicut priuatio) punctum enim cum ſit terminus lineæ, eſt negatio vl­
 terioris lineæ (Et omnis diuiſio) innuit his verbis præter punctum, lineam
etiam, & ſuperficiem, nam quemadmodum punctus oritur ex diuiſione li­
 neæ, ita linea ex diuiſione ſuperficiei, & ſuperficies ex diuiſione corporis.
& quamuis punctum, linea, ſuperficies, ſint indiuiſibilia, monſtrantur ta­
 men quatenus ſunt priuationes, ſeu negationes, illud vlterioris lineæ, iſta
vlterioris ſuperficiei, hæc tandem vlterioris corporis.
190
Tex. 32. (Sit igitur vt A, quidem album, ad B, quod nigrum; ſic C, ad D; qua­
 re & permutatim) ideſt, quare & permutando (vt aiunt Geometræ) erit vt
A, ad C, ita B, ad D, hunc argumentandi modum à permutata proportio­
 ne explicaui in primo Poſter. cap. 5. tex. 13. dicitur etiam alterna ratio;
& definitur ab Euclide definitione 12, 5.
Ex Libro de Senſu.
191
Cap, 6. (Et qui in Dieſi ſonus latet, quamuis continuum exiſtentem audit
omnem cantum, diſtantia enim eius ad extremos ſonos latet) quid ſit
Dieſis apud Muſicos explicatum eſt primo Poſter. tex. 38. cum
autem Dieſis ſit minima diſtantia, ſeu vt loquuntur Muſici, mini­
 mum interuallum inter duas voces, hinc fit vt hæc minima diſtantia inter ex­
 tremos ſonos non exaudiatur, quemadmodum nec minima particula alicu­
 ius magni corporis à longè viſi non percipitur, ſed latet inter extrema illius.
192
Cap. 8. (Vnumquodque magis eſt ſentire ſimplex exiſtens, quàm mixtum, velut
vinum non temperatum, quàm temperatum; & mel, & colorem, & neten ſolam.
quàm in diapaſon, quia obſcurant ſe inuicem) nete apud veteres muſicos erat
in muſicis inſtrumentis omnium chordarum acutiſſima, cuiuſmodi apud
nos eſt, quam vulgò canto appellant. Hypate verò erat chorda omnium
grauiſſima, qualis eſt ea, quam modo Baſſo vocant. hæ duæ ſimul pulſatæ
edebant conſonantiam, quæ Diapaſon dicitur, & vulgò octaua. ex quibus
ſenſus verberum Ariſt. manifeſtus eſt.
1
193
Eodem cap. (Velut Diapaſon, & Diapente) quid ſit conſonantia Diapa­
 ſon, explicaui in primo Poſter. tex. 1. Diapente verò eſt conſonantia ex duo­
73[Figure 73]
bus ſonis coaleſcens, quorum proportio ſit vt
3. ad 2. quæ dicitur ſeſquialtera. v. g. ſint duæ
chordæ æqualis craſſitiei, atque æquè tenſæ: vna
tamen habeat ad alteram proportionem ſeſ­
 quialteram, vt in figura apparet; ſi ſimul pul­
 ſentur, edent conſonantiam Diapente. vulgò autem quinta.
Ex Libro de Memoria, & reminiſcentia.
194
Cap. 1. (Sic meminit eos, qui trianguli, quod duobus rectis æquales) ideſt
ſic meminit tres angulos cuiuſuis trianguli ſimul ſumptos æqua­
 les eſſe duobus angulis rectis ſimul ſumptis. lege annotata primo
Poſter. ſecto 3. cap. 1.
195
Cap. 3. (Sunt facilè reminiſcibilia, quæcunque habent ordinationem aliquam,
vt mathemata) hęc Philoſophus dicens ſpectabat ad mirabilem illam, ac per­
 petuam de monſtrationum connexionem, qua Geometræ omnes, & præci­
 puè Euclides opera ſua ab initio ad finem vſque, diuino planè ingenij acu­
 mine deduxerunt.
Ex Libro de Somnijs.
196
Cap. 2. (Cur autem fallimur, cauſa eſt, quoniam non ſolum cum ſenſibile
mouetur apparent quælibet, ſed etiam cum ſenſus ipſe mouetur, ſi eodem
modo moueatur, quemadmodum à ſenſibili. dico autem velut terra vi­
 detur nauigantibus moueri, dummodo viſus ab alio) reddit rationem,
cur nauigantibus videatur terra ipſa moueri, ac retrocedere, non autem
ipſi nauigantes, quin potius ipſi ſibi ſtare videantur. cauſam igitur eam eſ­
 ſe ait, quia ex motu nauis, terra ipſa manente, accidit, vt eodem modo im­
 mutetur ſenſus viſus, ac ſi terra ipſa moueretur, viſus verò quieſceret.
At cur eodem modo afficitur ſenſus? Perſpectiui rationem eſſe dicunt, quia
ea, quæ circa oculum ſunt, vt nauis, & ea, quæ in naui ſunt, non mutant ſi­
 tum reſpectu oculi, quemadmodum facerent, ſi nos ipſi ſine naui progrede­
 remur. arbores autem, & reliqua, quæ in terra ſunt, variant ſitum reſpectu
oculi, non ſecus, ac ſi ipſæ arbores retro deferrentur. propterea igitur viſus
tunc arbores remeare iudicat, quia quæ circa oculum ſunt reſpectu ipſius
oculi non mouentur, ſiue non variant ſitum ad ipſum; ex variatione enim
ſitus rei reſpectu oculi, percipimus cuiuſuis rei localem motum.
197
Cap. 3. (Quemadmodum igitur, ſi quem lateat ſuppoſitus oculo digitus, non
ſolum apparebit, ſed etiam putabitur duo, quod eſt vnum. Si verò non lateat appa­
 rebit quidem, non putabitur tamen) eſt hæc optica deceptio, quæ tunc accidit,
cum aliquod obiectum intuentes, interim digito alterum oculum ſurſum
pellimus, ita vt oculi propterea varient ſitum reſpectu obiecti, ſiue non
1dem ſitu vterque obiectum intueatur, hoc eſt, vt optici aiunt, axes viſuales
non amplius concurrunt ſimul in rem viſam. Vnde ſequitur ſpeciem rei in­
 tentionalem oculis vario ſitu affectis imprimi, ac proinde eam eundem ſi­
 tum in vtroque oculo minimè obtinere, ſed ea, quæ oculo à ſuo naturali
ſtatu dimoto accidit ab altera alterius oculi differt; quapropter vario
etiam modo, duplici nimirum, obiectum repreſentant. atque hæc
ipſa cauſa eſt, cur illud, quod vnum tantum eſt, duo tamen
emoto oculorum altero, videatur. Vide Alhaze­
 num lib. 3. propoſit. 11. & 12. & infra
Problem. 7. ſectionis 31.
1
EX PRIMO
METAPHYSICAE.
198
Capite 1. (Circa Aegyptum Mathematicæ artes constitutæ ſunt; illic
enim gens Sacerdotum vacare permittitur) Notanda maximè no­
 bilis Mathematicarum origo, cum ab Aegyptiorum Sacerdoti­
 bus teſte Philoſopho fuerint adinuentæ, quibus occaſionem præ­
 buit anniuerſaria agrorum ob Nili innundationem, diuiſio: cum enim iam
perplures dimetiendorum agrorum rationes repertæ fuiſſent, Sacerdotes
ipſi, quibus per otium licebat, illarum praxium demonſtrationes cœperunt
perueſtigare, ſicque; paulatim poſtea Geometria amplius exculta adoleuit;
quæ deinde ijſdem ad res aſtronomicas perſcrutandas adiumento fuit, hacque;
ratione reliquas etiam in mathematicas inciderunt.
199
Cap. 2. (Sicut de præſtigioſis, quæ per ſe mouentur, illi qui nondum ſpeculati
ſunt cauſam) verbis illis (Quæ per ſemouentur) vnica dictio Græca reſpondet,
Automata. erant autem Automata apud veteres Gręcos machinæ quędam,
quæ à Mathematicis Mechanicæ artis occultis quibuſdam ingenijs, ea arte
conſtruebantur, vt à ſeipſis de loco ad locum, ac ſi viuæ eſſent ſpontè pro­
grederentur; vnde, & automata, quaſi ſpontanea dicebantur. Extat adhuc
de huiuſmodi machinis liber Heronis Alexandrini, quem nuper ex græco
latinum reddidit doctiſſimus Abbas Guaſtallenfis. de huiuſmodi artificioſis
operibus, quibus ſæpè priſci ita admirationi fuere, vt præſtigia quædam ar­
 tificium ignorantibus, viderentur, intelligit hoc loco Ariſt.
200
Cap. 3. (Aut de ſolſtitijs) quid ſolſtitium, cur dicatur ſolſtitium, & cur Sol
in vtroque topico, quoad dierum incrementum, ac decrementum, & quoad
eleuationem eius, aut depreſſionem meridianam, videatur moras trahere,
quamuis noſtrum ſit explicare, ob rei tamen facilitatem omittantur. Hoc
tantum ſcias velim ſolſtitiorum cauſam eſſe Zodiaci ad Tropicos longio­
 rem adhæſionem, ideſt, quòd Zodiacus propè contactum tropicorum ab ijs
parum recedat, cum ergo Sol motu proprio ſemper per Zodiacum inam­
 bulet, fit vt ipſe quoque pariter modicum à tropicis remoueatur, imò pluri­
 mum ſecus illos incedat, ita vt eo tempore, quo ad eos paulatim accedit,
aut ab eis paulatim recedit, quaſi ſtare, ſiue quieſcere apud eoſdem videa­
 tur: atque hinc etiam quantitas dierum, ac noctium videatur ferè nihil variari;
& noua eleuatio, aut depreſſio Solis ſupra horizontem nulla ferè appareat.
201
Ibidem (Aut de diametri incommenſurabilitate, admirabile enim omnibus vi­
 detur, ſi quid, cum non ſit minimum non menſuretur, decet autem in contrarium,
& in melius ſecundum prouerbium conſumare, quemadmodŭm in his fit, cum diſcant,
nihil enim magis vir Geometricus admiraretur, quàm ſi diameter commenſurabi­
lis fieret) vide quæ de hac commenſurabilitate ſcripſi lib. 1. Priorum, ſect. 1.
cap. 1. Videtur inquit mirum à principio Geometriam aggredienti diame­
 trum, & latus eiuſdem quadrati non commenſurari, cum in neutro eorum
detur minimum, ſeu indiuiſibile, videtur enim omne diuiſibile poſſe
1rari. poſtea tamen cum in Geometria verſatus fuerit, maximè admirare­
 tur, ſi audiret diametrum eſſe lateri commenſurabilem.
202
Summa 2. cap. 3. (Pythagorici primi Mathematicis operam dedere, hæc præpo­
 nebant, & in cis enutriti, eorum principia, entium quoque cunctorum putant eſſe
principia) vtinam noſtrates Philoſophi Pythagoricos imitarentur; enimue­
 rò multò melius & ſibi, & Philoſophiæ conſulerent. At verò non ſine ma­
 gno artium, atque diſciplinarum omnium diſpendio à plurimis hac tempe­
 ſtate deſpectui habentur; ſed quid mirum cum quas ſcientiarum omnium
alumni Pythagorei omnibus ſcientijs anteferebant; eas noſtri ſeculi quam­
plures omnibus alijs facultatibus poſthabeant.
203
Tex. 47. (Qui Geometriam diſcit aliqua præſcire contingit) ideſt definitio­
 nes, poſtulata, axiomata, quæ ſunt tria principiorum genera, ex quibus to­
 ta Geometria deducitur.
Ex Secundo Metaphyſicæ.
204
Tex. 14. (Quantam verò vim conſuetudo habeat, leges declarant, in qui­
 bus fabuloſa, ac puerilia plus poſſunt propter conſuetudinem, quàm ſi
ea cognoſceremus) per leges intelligit cantilenas illas, quas vete­
 res Muſici leges appellabant, eò quòd eas ſolas, cæteris abroga­
 tis liceret lata lege decantari. Vide declarationem problematis 15. & 28.
ſect. 19. problematum vbi tanquam in proprio loco iſta fuſius pertractabuntur.
Ex Tertio Metaphyſicæ.
205
Tex. 3. Verba huius textus, cum ſatis perſpicua ſint, ac parum ma­
 thematicis indigeant, omittenda duxi. Quod ad mathematicas
attinet, ait, eas non demonſtrare, nec per cauſam finalem, nec
per efficientem (quod intelligendum eſt de Mathematicis puris,
& ſpeculatiuis nam mathematicæ practicæ reliquas etiam cauſas, efficien­
 tem, & finalem neceſſariò habere debent, quapropter ſophiſta quidam no­
 mine Ariſtippus, eas irridebat, atque adeo illiberalibus, ac ſedentarijs arti­
 bus poſthabebat, quæ cauſam efficientem, quia ſcilicet operantur, & fina­
 lem ſcilicet quæſtum ſibi proponunt. fuit autem iſte ex Plutarcho, & Laer­
 tio primus, qui pacto pretio doceret, philoſophiamque; faceret quæſtuoſam:
ideoque; mathematicas paruipendebat, quòd neglecta cauſa efficiente, nihil
efficerent; & finali, nihil lucrarentur. videas igitur quales ſint pulcherrima­
 rum facultatum contemptores, ij nimirum, qui philoſophiæ, aut lucri, aut
ambitionis cauſa dant operam. Quod autem Mathematicæ nihil efficiant,
nihilque; lucrentur, ne videamur vtile paruifacere, eſt omninò falſum: ſunt
enim plures mathematicæ practicæ, quæ innumera, atque admiranda efficiunt
opera, quæque; magnos quæſtus quotidie faciunt. huiuſmodi ſunt Geometria
practica, qua menſurationes omnes vel ſolo viſu perficiuntur. Arithmeti­
 ca, cuius vſus quàm latè patet? Muſica practica, qua quotidie ipſi
1mur; Deoque; Optimo Maximo laudes debitas concinimus. Mechanica pra­
 ctica, cuius ope ingentia pondera, vel exigua vi, inuitaque; natura ſuſq; deque;
commouentur. Perſpectiua, quæ Pictoribus, & Architectoribus adeo inſer­
 uit, vt abſque ea nihil fermè audeant. Aſtronomia tandem, ſi in praxim de­
 ducatur, ex vna ſolum eclypſium prædictione, quantam vniuerſo orbi ad­
 mirationem parit? mitto hanc ſolam dierum, menſium, & annorum diſtri­
 butionem, ac temporum emendationem exhibere, rem adeò Reipublicæ
Chriſtianæ neceſſariam.
206
Eodem tex. 3. (Item & in cæteris tunc ſcire vnumquodque arbitramur torum,
quorum ſunt demonstrationes, cum quid eſt ſciamus, vt puta quid tetragoniſmus,
quòd inuentio mediæ) eadem reperies ſuperius in ſecundo de Anima, tex. 12.
fuſius explicata.
207
Tex. 8. (Si enim in hoc differret ſolum Geometria à Geodæſia, quod hæc quidem
eorum eſt, quæ ſentimus, illa verò non ſenſibilium eſt) Geodæſia eſt pars Geo­
 metriæ practicæ, ea ſcilicet, quæ circa diuiſionem ſuperficierum verſatur.
audi Pediaſmum de menſuratione: Terræ inquit menſuratio in duas partes
diuiditur, Geometriam ſcilicet, & Geodæſiam: Areæ namque ſecundum ar­
 tem menſuratio, & terræ menſuratio eſt, & meritò Geometria vocatur.
Vnius verò, & eiuſdem areæ, ſeu loci diuiſio inter diuerſas perſonas, parti­
 tio quædam eſt terræ, & iure optimo Geodæſia appellatur. hæc ille. dicitur
autem Geodæſia à γεα, terra, & δάιω, diuido. Vocabulum tamen iſtud Geo­
 dæſiæ fuit poſtea ad latiorem tranſlatum ſignificationem: extat enim Geo­
 dæſia Heronis Mechanici antiqui ſcriptoris, quampridem Baroccius lati­
 nitate donauit, quæ quidem ars eſt eadem cum Geometria practica, cum
non ſolum diuiſiones, ſed menſurationes omnes etiam per dioptricam fa­
 cultatem, ſeu per lineas viſuales doceat inueſtigare.
Ex Quarto Metaphyſicæ.
208
Tex. 4. (Philoſophus namque eſt, vt ille, qui Mathematicus dicitur, &
hæc enim habet partes: ac prima quædam, & ſecunda ſcientia eſt: cæ
teræ quoque conſequenter in mathematibus) inter mathematicas pri­
 mæ ſcientiæ ſunt Geometria, & Arithmetica, quia ipſæ à cæteris
nulla ratione dependent; imò cæteræ ipſis innituntur, quæ ſecundæ hoc lo­
 co appellantur, hæ ſunt Perſpectiua, Muſica, Mechanica, Aſtronomia. illas
duas recentiores ſubalternantes, has verò ſecundas ſubalternatas vocant.
Exempla ſubalternationum varia attuli in Logicis tex. 20. & 23. primi Po­
 ſter. vbi clarè licet intueri quid ſit ſubalternatio, vnde etiam præſens lo­
 cus illuſtratur.
209
Tex. 28. (Vti diametrum commenſurabilem eſſe) legenda ſunt ea, quæ libro
primo Priorum, ſecto 1. cap. 23. de hac commenſurabilitate, & incommen­
 ſurabilitate tractata ſunt.
1
Ex Quinto Metaphyſicæ.
210
Tex. 2. (Alia verò cauſa eſt forma, & exemplar: hæc autem eſt ratio ip­
ſius quid erat eſſe, & horum genera, vt ipſius Diapaſon duo ad vnum,
& ſimpliciter numerus, & partes, quæ in ratione ſunt) affert exem­
 plum cauſæ formalis ex Muſica petitum; aitque; cauſam formalem
illius conſonantiæ, quæ Diapaſon dicitur, eſtque; omnium perfectiſſima, eſſe
duplam proportionem, ideſt, quæ eſt inter duo, & vnum, id, quod omnes
Muſici fatentur. quod vt inelius intelligas, repete, quæ in 2. Poſter. ad tex. 1.
ſcripta ſunt: necnon quæ in libro de Senſu in cap. 8. Amplius inquit cauſam
formalem genericam eiuſdem Diapaſon eſſe numerum, & partes numeri,
ſub numero enim continentur & duo, & vnum. Occurrit hoc loco vnum
magnopere notandum, videlicet tam conſonantias, quam diſſonantias ha­
 bere proportiones numerorum, hoc tamen diſcrimine, quod conſonantiæ
habent ſolùm proportiones numerorum eorum, qui quaternario continen­
 tur, ex veterum præſertim Pythagoreorum ſententia, qui propterea vltra
quaternarium progredi vetabant. Recentiores tamen uſque ad ſenarium
procedunt, quippe, qui omnes vocum conſonantias admittunt, quæ pro­
 portionibus numerorum ſenario contentorum præditæ ſint. Diſſonantiæ
verò ſecundum priſcos habent proportiones numerorum extra quaterna­
 rium progredientium, iuxta noſtros autem extra ſenarium. qua de re pluri­
 bus Zarlinus colloquio 2. definit. 3.
211
Tex. 3. (Partes quoque totius) ideſt ſunt materia; loquitur enim de cauſa
materiali. libuit locum hunc annotare in gratiam Geometricarum demon­
 ſtrationum, quorum media ſæpè ſunt ex cauſa materiali ſumpta, quod ta­
 men non ita ab omnibus obſeruatur, quotieſcunque enim probant affectio­
 nem quampiam de aliquo ſubiecto, ex eo, quod ſubiectum illud ſit, vel di­
 midium alicuius, vel duplum, vel reliquum, vel tertia pars, & his ſimilia,
erit talis ratio in genere cauſæ materialis. neque eſt cur recentiores quidam,
naturalibus ſcientijs aſſueti, negent huiuſmodi materiam veram eſſe mate­
riam, ac proinde neque, Geometricas demonſtrationes veras eſſe demonſtra­
 tiones; dicendum enim talem quidem materiam non eſſe veram materiam
phyſicam, & proinde illas demonſtrationes non eſſe veras naturales demon­
ſtrationes, eſſe tamen veram materiam intelligibilem, quæ Geometriæ ſu­
 bijcitur, & proinde demonſtrationes illas veras eſſe demonſtrationes Geo­
 metricas; id quod Ariſt. ſæpius in libris Poſter, apertè ſignificat, tum aſſer­
 tionibus, tum exemplis quamplurimis. Quapropter cauendum eſt illis, ne
ingrati animi notam incurrant, dum pulcherrimam artem reſolutoriam,
quam Ariſt. à Mathematicis acceptam omnibus ſcientijs accommodauit
(vt initio Priorum oſtenſum eſt) eam ipſi ita alijs facultatibus adaptent, vt
Mathematicis ipſis, ex quibus orta, & ſub quibus adoleuit, pulla ratione
conuenire poſſit. De hac materia fuſius infra in additamento de natura Ma­
thematicarum.
212
Tex. 3. (Et ipſius Diapaſon duplum, & numerus) ſcilicet cauſæ formales
ſunt, quemadmodum ſupra tex. 2. huius cap. explicatum eſt.
1
213
Tex. 4. (Similiter autem figurationum quoque elementa dicuntur, ac ſimpliciter
demonſtrationum primæ enim demonſtrationes, quæ in pluribus demonstrationibus
inſunt, hæc elementa demonſtrationum dicuntur) verbo (Figurationum) ſiue de­
ſcriptionum, Ariſt, intelligere demonſtrationes Geometricas, ſæpius dictum
eſt, præſertim in Logicis, & ex hoc loco pariter confirmatur. Ex hoc por­
 rò loco illud innoteſcit dignum, quod præcipuè à Mathematico non igno­
 retur, quæ nam ſint demonſtrationes illæ, quæ nomine elementorum debeant
appellari, necnon cauſa cur Euclides ſuum opus elementa nuncupauerit,
ſunt enim illæ, quæ in pluribus demonſtrationibus inſunt, ideſt, quæ ſæpius
in alijs demonſtrationibus citantur, vti ſunt præcipuè ſex priores libri Eu­
 clidis: atque hac ratione elementa appellantur.
214
Tex. 12. (Principium itaque ſcibilis, circa vnumquodque ipſum vnum, non eſt au­
tem idem in cunctis generibus vnum, ſed hic quidem dieſis, hic verò vocalis, aut
muta) ideſt, in Muſica quidem principium omnium, & elementum eſt die­
 ſis, quæ eſt minima vox, aut ſonus, qui ſub Muſici conſiderationem cadat.
Porrò ad tex. 38. primi Poſter. de dieſi plura ſunt dicta.
215
Tex. 17. (Veluti diametrum commenſurabilem eſſe impoſſibile est) huius expo­
 ſitionem inuenies 1. Priorum, ſecto 1. cap. 23.
74[Figure 74]
216
Tex. eodem (Metaphoricè autem, quæ in Geometria po­
 tentia dicitur) potentiam vnius lineæ appellant Geometræ
quadratum illius, ideſt quadratum ſuper ipſam conſtru­
 ctum. v. g. quadratum in quo C, dicitur potentia lineæ
D B, quia ſuper illam conſtructum eſt.
217
Tex. 34. (Quemadmodum dicitur diametrum eſſe commenſurabilem) vide an­
notata 1. Priorum, ſecto 1. cap. 23.
218
Tex. 35. (Vt triangulo duos rectos habere) ideſt affectio trianguli eſt habe­
 re tres angulos æquales duobus rectis angulis. Vide declarationem huius
lib. primo Priorum, ſecto 3. cap. 1.
Ex Sexto Metaphyſicæ.
219
Tex. 1. (Mathematicorum quoque principia, elementa, & cauſæ ſunt)
notanda ſunt hæc aduerſus quoſdam, qui negant in Mathemati­
 cis cauſas reperiri, vt hinc quoque illis ſcientiam auferant. enim­
 uerò apertè patet eos falli ex toto hoc Ariſt. diſcurſu.
Ex Nono Metaphyſicæ.
220
Vt ſi quis dicat diametrum poſſe commenſurari, non tamen commenſu­
rabitur) & paulò infra (Commenſurari enim impoſſibile eſt) expoſi­
 tionem horum reperies 1. Priorum, ſecto 1. cap. 23.
221
Tex. 20. (Deſcriptiones quoque actu inueniuntur, diuidentes nanque
inuenirent, quod ſi diuiſæ eſſent, manifeſtè eſſent, nunc autem inſunt potentia, cur
triangulus duo recti? quia qui circa vnum punctum anguli duobus rectis æquales
1ſunt, ſi igitur quæ ad latus educeretur, videnti mox eſſet manifeſtum) per deſcri­
 ptiones, vel figurationes, vel deſignationes intelligendas eſſe demonſtra­
 tiones Geometricas ſæpius ſupra dictum eſt, & pariter ex hoc loco com­
 probatur. Dicit igitur, quod demonſtrationes ſuas Geometræ inueniunt,
reducendo ad actum ea, quæ erant in potentia, diuidentes enim educunt in
actum, figuras, angulos, lineas, & cætera huiuſmodi, quæ prius ſolùm erat
in potentia, ex quibus poſtea ſuas demonſtrationes perficiunt (Cur triangu­
 lus duo recti) affert exemplum eius, quod proximè dixerat, ſcilicet Geome­
 tras demonſtrare producendo ad actum entia quædam Mathematica, quod
exemplum, vt intelligas ijs opus habes, quæ primo Priorum, ſecto 3. cap. 1.
conſcripta ſunt (Cur triangulus duo recti?) ideſt, cur triangulus habet tres
angulos æquales duobus rectis angulis (Quia qui circa vnum punctum anguli
duobus rectis angulis æquales ſunt) niſi hoc dictum ad bonum trahatur ſenſum,
75[Figure 75]
falſum eſt, nam omnes anguli, qui circa vnum
punctum, v. g. A, ſunt conſtituti, æquales ſunt
non duobus, vt eſt in textu, ſed quatuor rectis,
vt patet ex corollario 2. 15. primi Elem. quot­
 quot enim anguli conſtituantur ad punctum A,
omnes ſimul erunt æquales quatuor rectis, quos
faciunt præſentes lineæ B C, D E. vniuerſi enim
illi congruent his quatuor rectis: ſed Ariſt. ſen­
 ſus eſt omnes angulos ad eaſdem partes conſti­
 tutos, v. g. ad partes ſuperiores lineæ B C, eſſe
æquales duobus rectis B A D, D A C, vt oſtenditur in 13. primi, necnon
etiam patere poteſt ex corollario 2. 15. eiuſdem. tales ſunt quatuor anguli
ad ſuperiores partes lineæ B C, & ad punctum A, conſtituti, qui, vt patet,
76[Figure 76]
ſunt æquales duobus rectis B A D, D A C,
tales etiam ſunt in hac ſecunda figura tres
anguli B C A, A C D, D C E, qui quidem
æquales ſunt duobus rectis angulis. hoc
ſenſiſſe Ariſt. patet ex demonſtratione 32.
primi, quæ demonſtrat memoratam ab Ari­
 ſtot. trianguli affectionem, & ad quam
propterea ipſe ſpectabat, cuius figura eſt
eadem cum hac ſecunda, in qua Euclides oſtendit prædictos tres angulos
æquari duobus rectis. ſubdit poſtea, ſi igitur linea C D, quæ ad latus A B,
parallela eſt in potentia, educeretur in actum, videnti mox eſſet manifeſtum
tres angulos trianguli A B C, eſſe pares duobus rectis. ducta enim C D, pa­
 rallela lateri B A, apparet ſtatim angulus A, æqualis angulo A C D, & an­
 gulus B, angulo D C E; cum reliquus verò trianguli angulus B C A, ſit apud
prædictos duos ad idem punctum C, conſtitutus; atque omnes hi tres duobus
rectis æquentur, mox inſpicienti talem figurationem manifeſtum fit tres an­
gulos illius trianguli eſſe duobus rectis æquales.
222
Ibidem (Cur in ſemicirculo vniuerſaliter rectus? quia ſi tres æquales, & quæ
baſis eſt duo, & quæ ex medio ſupra stat recta, videnti manifestum erit ei, qui illud
ſciat) In 2. Poſter. tex. 11. inuenies huius loci expoſitionem. nunc ſolùm
177[Figure 77]
hæc addenda ſunt. Reſpondet Ariſt. quæ­
 ſito pręcedenti, cur ſcilicet angulus in ſe­
 micirculo ſit rectus, qualis eſt in figura
angulus A C B, dicitque; cauſam eſſe, quia
in figura tres lineæ ſunt æquales, duæ ni­
 mirum, in quas baſis B A, diuiditur, quæ
ſunt B D, D A, & tertia, quæ ex medio
baſis erigitur, eſtque; D C, cum omnes ſint
ſemidiametri eiuſdem circuli. educta itaque linea D C, de potentia in actum,
ſi cuipiam trium harum linearum æqualitas innoteſcat, continuò ei etiam
manifeſtum erit angulum A C B, in ſemicirculo, eſſe rectum. quia ſtatim ap­
 parent duo iſoſcelia B D C, A D C, quorum anguli ad baſes B C, A C, ſunt
æquales inuicem; & anguli duo ad D, ſunt dupli duorum angulorum A C D,
D C B, ex quibus conflatur totus angulus A C B, ergo duo anguli ad D, ſunt
dupli anguli B C A, ſed duo anguli ad D, ſunt æquales duobus rectis, ergo
duo recti ſunt dupli anguli A C B, ergo angulus B C A, eſt dimidium duo­
 rum rectorum. cum autem omnes recti ſint æquales, conſectarium eſt dimi­
 dium duorum rectorum eſſe angulum rectum. patet igitur, qua ratione ex
ductu linearum prædictarum actu, manifeſtum fiat angulum in ſemicirculo
A C B, eſſe rectum. ne mireris ſi vulgatam tranſlationem antiquam non
ſum ſequutus, indigebat enim correctione, quam iuxta græcum exem­
 plar adhibui.
223
Tex. 22. (Vt puta ſi triangulum non putet mutari, non opinabitur modo duos
rectos habere, modo non, mutaretur enim) quia nimirum huius habemus ſcien­
 tiam per demonſtrationem 32. primi Elementorum. quomodo autem tri­
 angulus habeat duos rectos, ideſt tres angulos æquales duobus rectis angu­
 lis, explicatum eſt primo Priorum, ſecto 3. cap. 1.
224
Ibidem (Verum aliquid quidem, aliquid verò non, vt puta parem numerum
primum nullum eſſe; aut quoſdam quidem, quoſdam verò non) definitione 11.
7. Elem. ſic numerus ille, qui à Mathematicis dicitur primus, definitur, pri­
 mus numerus eſt, quem vnitas ſola metitur, vnde patet inter numeros pa­
 res ſolum binarium eſſe primum, cum ipſum ſola vnitas bis replicata men­
 ſuraret. quaternarium autem, ſenarium, &c. pares, non eſſe primos, cum
eos non ſola vnitas, ſed alius numerus metiatur: quaternarium enim bina­
 rius bis replicatus menſurat: ſenarium menſurat & binarius, & ternarius:
quare verum erit exiſtimare inter pares numeros aliquos eſſe primos, ideſt
binarium, aliquos verò non, ideſt cæteros pares vltra binarium.
Ex Decimo Metaphyſicæ.
225
Tex. 4. (Ac etiam motum ſimplici, & velociſſimo motu menſurant, mi­
 nimum enim tempus hic habet. quapropter in Aſtrologia tale vnŭm prin­
 cipium, & menſura eſt. motum enim æqualem, & velociſſimŭm cœli ſup­
ponunt, ad quem cæteros iudicant) intelligit motum diurnum, quam
primo cœlo, ſeu mobili aſcribunt, hic enim velociſſimus eſt omnium reli­
1quorum cœleſtium motuum, ac ſimpliciſſimus, & valdè vniformis, ac regu­
 laris, & propterea minimum habet tempus, ideſt tempus vnius diei natura­
 lis, quo tempore totum primum mobile circulationem integram perficit.
per minimum tempus, poſſunt etiam intelligi partes diei, quæ ſunt horæ, &
horarum partes. conſiderant hunc motum in circulo æquàtoris, quia æqua­
tor motu primi mobilis, ſeu diurno vniformiter, ae maximè regulariter
mouetur: hac de cauſa hunc motum tanquam reliquorum menſuram, ac
normam meritò aſſumpſerunt.
226
Ibidem (Et in Muſica Dieſis primus ſenſibilis ſonus, quia minimum) ideſt mi­
 nimum interuallum, quod à Muſicis conſideretur, eſt menſura maiorum in­
 teruallorum. ad tex. 38. primi Poſter. ſatis dictum eſt de Dieſi, quæ videas.
227
Eodem tex. ſed cap. 3. (Nox ſemper autem menſura numero vnum eſt, verum
aliquando plura, vt puta dieſes duæ, non quidem ſecundum auditum, ſed in ratio­
 nibus, & voces plures, quibus menſuramus, & diameter duobus menſuratur, & la­
 tus, & omnes magnitudines) ita corrigenda eſt antiqua tranſlatio. quid dieſis
dictum ſit ad tex. 38. primi Poſter. quando autem ait (Vt puta duæ dieſes)
ideſt duæ dieſes ſunt menſura vnius interualli muſici, qui tonus appellatur:
quæ quidem duæ dieſes non ſunt menſura ſenſibilis, quæ ſcilicet auribus per­
 cipiatur, ſed tantummodò exiſtunt in numerorum proportionibus, ibi per
intellectum excogitatis, quando ait (Et voces plures quibus menſuramus)
quando vtimur eodem interuallo, ſiue eadem voce ad cantus menſuram,
tunc ſunt plures menſuræ numero, quamuis vna tantum ſpecie. Ait (Et dia­
 meter duobus menſuratur) v. g. duobus ſemidiametris: vel duobus pedibus.
& latus pariter quadrati, duobus. v. g. pedibus mensuratur; eodemque; mo­
do reliquæ omnes magnitudines poſſunt ab eadem menſura ſæpius replica­
 ta menſurari.
228
Eodem tex. (Semper autem menſura eiuſdem generis eſt, magnitudinum nam­
que magnitudo, & ſecundum vnumquodque, longitudinis longitudo) ex his ratio
manifeſta apparet, cur Geometræ practici menſurent longitudines per ali­
 quam longitudinem, vt puta per vlnam, digitum, vnciam, &c. ſuperficies
etiam per aliquam ſuperficiem, ſed quæ ſit quadrata, vt puta per vlnam qua­
 dratam, palmum quadratum, &c. corpora quoque per corpus, quod tamen
ſit cubus, vt per vlnam cubicam, palmum cubicum, vnciam cubicam, &c.
229
Tex. 11. (Similia verò ſi cum non ſint eadem ſimpliciter, nec ſecundum ſubſtan­
tiam ſubiectam indifferentia ſecundum formam eadem ſit: quemadmodum quadra­
tum maius minori ſimile eſt, & lineæ inæquales, hæ enim ſimiles quidem, verŭm non
cædem ſimpliciter ſunt) Prima definitio ſexti definit ſimiles figuras eas eſſe,
quæ ſunt æquiangulæ inuicem, & quæ habent latera proportionalia circa
æquales angulos. cum ergò quadratum maius, & minus ſint æquiangula,
quia habent omnes angulos rectos; & præterea habeant latera circa æqua­
 les angulos proportionalia, ſicut enim latera maioris quadrati circa vnum
angulum rectum ſunt in proportione æqualitatis; ita quoque latera minoris
circa vnum angulum rectum ſunt illis proportionalia, cum ſint inuicem pa­
 riter in proportione æqualitatis, erunt neceſſariò ſimilia hæc duo quadrata.
duæ etiam, exempli gratia, lineæ rectæ ſunt inuicem ſimiles, quamuis vna
ſit maior altera.
1
230
Eodem tex. (Tertium ſicut illa, quæ in Mathematicis) tertium ſcilicet mo­
 dum diuerſi, ponit in entibus Mathematicis, ſicut enim poſuit idem eſſe in
Mathematicis, quando duæ figuræ ſunt ſimiles, & æquales: ita ex oppoſito
diuerſum erit in Mathematicis, quando duæ figuræ fuerint diſſimiles, & in­
 æquales, dicenturque; diuerſæ, in quo conſiſtat ſimilitudo figurarum dictum
eſt in præcedenti expoſitione.
Ex Vndecimo Metaphyſicæ.
231
Svmma r. cap. 2. (Si quis verò lineas, aut quæ has ſequuntur, dico autem
primas ſuperficies principia eſſe ponat. hæc non ſunt ſubſtantiæ ſeparabiles,
verùm ſectiones, & diuiſiones, illæ quidem in ſuperficierum, hæc verò cor­
 porum, puncta verò linearum ſunt, & etiam ipſarum earumdem termini;
hæc autem omnia in alijs ſunt, & nihil ſeparabile eſt) ait puncta oriri ex ſectio­
 ne lineæ, quamuis ſint etiam termini illius; lineas verò oriri ex diuiſione
ſuperficierum, quamuis ſint etiam termini illarum. ſuperficies quoque oriri
ex diuiſione corporum, quamuis ſint etiam termini, illorum. Hæc placuit
annotare propter ipſorum conuenientiam cum ijs, quæ à Geometris traduntur.
232
Summa 3. cap. 2. (Vt puta ſub Cane fiat frigus) ideſt ſub ortum Canis cœ­
 læſtis, ſeu Caniculæ. Vide quæ libro ſecundo Meteororum, ſumma 2. cap. 2.
de hac ſtella ſcripſimus.
Ex Duodecimo Metaphyſicæ.
233
Tex. 44. (Pluralitatem verò lationum ex peculiariſſima Philoſophia
Mathematicarum ſcientiarum, videlicet ex Aſtronomia conſiderandum
est: hæc enim de ſubſtantia ſenſibili quidem, ac ſempiterna ſpeculatur)
pluralitatem nimirum cœleſtium motuum petendam eſſe aſſerit
ex præcipua totius Philoſophiæ parte, quam ait eſſe Aſtronomiam. dignum
porrò conſideratione eſt, quanti faciat Ariſt. Mathematicas diſciplinas, ac
præcipuè ſyderalem ſcientiam.
234
Tex. 45. (Eudoxus igitur Solis, & Lunæ lationem poſuit fieri à tribus orbibus,
quorum primus quidem eſſet, qui inerrantium ſtellarum; ſecundus verò ſecundum
id, quod per medium Zodiacum; tertius tandem, ſecundum quem qui in latitudine
Zodiaci obliquatur. in maiori autem latitudine obliquari eum ſecundum quem Lu­
na, quàm eum ſecundum quem Sol fertur) Eudoxi tempore nondum ſatis ex­
 culta fuerat Aſtronomia, vt propterea minimè mirandum ſit, eum hoc lo­
 co imperfecta admodum circa cęleſtia tradere. omittit enim in Sole orbem
motum augis conficientem; necnon duos eccentricos, qui ſolis anomaliam,
atque eccentricitatis variationem excuſant. attribuit præterea Soli motum
quendam in latitudinem, quod falſum eſt omninò, cum Sol perpetuò directè
ſub eclyptica incedat. In Luna pariter plures neceſſarios illi orbes ad motus
ipſius ſaluandos prætermittit. Ex ſententia tamen Tychonis Brahe hos or­
 bes, ac circulos tanquam ab inuicem diſtinctos abrogare debemus.
1
235
Tex. 46. (Errantium verò ſtellarum vniuſcuiuſque in quatuor ſphæris, quarum
primam quidem, & ſecundam eandem illis eſſe: etenim, quæ fixarum eſt eam illam
eſſe, quæ omnes fert: at eam, quæ ſub ipſa ordinata eſt, ac quæ ſecundum Zodiacum
lationem habet, communem omnibus eſſe. Tertiæ verò omnium polos in eo, quod
per medium Zodiacum eſt. Quartæ autem lationem ſecundum eum, qui obliquatus
ad medium eius eſt; eſſe verò tertiæ ſphæræ polos aliarum quidem proprios, Veneris
autem, & Mercurij eoſdem) pergit tradere theoriam reliquorum errantium
quinque ſyderum, ſecundum mentem Eudoxi, qui propriè Planetæ dicuntur:
Sol autem, & Luna hoc nomine non eſt complexus, eo quod ipſa mereantur
potius duo mundi luminaria appellari, quàm cum cęteris ſtellis in ordinem
redigi. Reliquis igitur quinque erronibus ſingulis quatuor ſphæris attribue­
 bat, quarum prima, & ſecunda eodem modo ſe habebant, ac in Sole, & Lu­
 na, etenim octaua ſphæra, ſeu firmamentum, quod affixa ſibi ſydera differt
communicabat, ſecundum ipſum reliquis inferioribus ſphæris motum ſuum
peculiarem, videlicet diurnum, quo ab oriente in occidentem tota cęli ma­
 china conuertebatur. fecundam eam facit, quæ Planetas omnes ſecundum
Zodiaci longitudinem ab occidente in orientem vehebat, quæ pariter eodem
modo ſe habet in ſingulis. Tertiam verò eam confinxit, cuius poli eſſent in
eclyptica, in quibus cita, ab eclyptica vltrò, citroque; dilataretur. Quartam
demum poſuit, quæ tertiam bifariam ſecaret, eamque; tali motu cieret, ne ab
eclyptica plus iuſto verſus mundi polos exorbitaret. porrò in reliquis vo­
 luit polos tertij orbis eſſe peculiares, Veneri autem, & Mercurio eoſdem
eſſe, ideſt eſſe in eadem linea. Ex mente igitur Eudoxi cœleſtes orbes in
vniuerſum 27. numerantur, in Sole ſimul, ac Luna 6. in reliquis quinque er­
 rantibus 20. atque octauæ ſphæræ 1. Non me later, has Eudoxi poſitiones,
ob ratas poſteriorum aſtronomorum obſeruationes non ſubſiſtere. at verò
hic non ipſius placita, ſed præcipuè textus intelligentiam perſequor.
236
Tex. 47. (At Calippus ſitum quidem ſphærarum eundem Eudoxo ponebat, hoc
eſt diſtantiarum ordinem. pluralitatem autem ſtellæ quidem Iouis, ac Saturni ean­
 dem illi attribuebat. Solis verò, & Lunæ duas adhuc putabat ſphæras addendas
eſſe, ſi quis eorum, quæ ſenſibiliter apparent, cauſas aſſignare debeat. Cæteris ve­
 rò errantium vnicuique vnam. neceſſe verò eſſe, ſi debent omnes ſimul poſitæ, quæ
apparent reddere, ſecundam vnamquamque errantium alteras ſphæras vna paucio­
 res eſſe, quæ reuoluant, & ad idem poſitione ſemper primam eius astri ſphæram,
quod inferius ordinatum eſt, conſtituant. hoc enim modo ſolùm contingit errantium
lationem omnia facere. Cùm igitur, in quibus ipſa quidem feruntur ſphæris, hæ
quidem octo, bæ verò vigintiquinque ſint. horum ſane non oportet illas ſolas reuo­
lui, in quibus fertur, quod infimè ordinatum eſt. quæ quidem duarum ſphærarum
primas reuoluant, ſex erunt. quæ verò poſteriorum quatuor, ſexdecim. cunctarum
verò numerus, tùm earum quæ ferunt, tùm quæ reuoluunt eas, quinquaginta quin­
 que. quòd ſi Lunæ, & Soli, non addat aliquis quos diximus motus, omnes ſphæræ
erunt ſeptem, & quadraginta. pluralitas itaque ſphærarum tanta ſit) textum hunc
per paraphraſim ſic explico; Calippus igitur eundem quidem ordinem, at­
 que diſtantiam ſphærarum cum Eudoxo ponebat: eandemque; pluralitatem
orbium mouentium Saturnum, ac Iouem; quatuor nimirum vnicuique eorum.
ſed putabat ſoli duas addendas, ac Lunæ ſimiliter, ſi quis eorum apparentias
1ſaluare vellet. cæteris verò errantium, Marti, Veneri, & Mercurio vnicuique
vnam. neceſſe præterea exiſtimabat eſſe, vt prædictæ omnes ſphæræ ſimul
apparentias omnes excuſarent, addendas eſſe alias ſingulis planetis toti­
 dem ſphæras vna minus, quas Reuoluentes appellabat; ita vt qui quatuor
Mouentes ſphæras habuiſſet, tribus præterea reuoluentibus opus haberet:
quæ ſphæræ reuoluentes id præſtabant, vt quaſi priores Mouentes ita in of­
 ficio continerent, vt priori poſitioni aſtrum, quod interiori orbi affigebur
ſuo tempore reſtituerent, vt Alexander exponit. hoc enim ſolummodo poſ­
 ſibile putabat omnes errantium lationes nos imitari poſſe. Cum igitur mo­
 uentes ſphæræ illæ quidem Saturni, ac Iouis ſint octo; reliquorum verò vi­
 gintiquinque, nam reliqui Planetæ quinque ſinguli ſphæras quinque mouentes
habent, quæ omnes ſimul numerum vigintiquinque explent: quarum omnium
ſolæ inferiores, quibus aſtrum affixum volebat, non indigebant reuoluente,
ſequitur duorum ſuperiorum Saturni, & Iouis, quorum octo erant mouen­
 tes, ſex debere eſſe reuoluentes. Inferiorum verò quatuor planetarum re­
 uoluentes erunt ſexdecim: ſed hoc loco Ariſt. memoria fallit, deberet enim
dicere, reliquorum quinque planetarum reuoluentes erunt vigintì, ſunt enim
planetæ ſeptem, quorum Saturno, ac Ioui ſupremis ſex reuoluentes attri­
buit habita ratione ſphærarum mouentium; reliquis igitur quinque planetis
habita ratione ſuorum orbium mouentium, 25. cum ſinguli habeant quinque
mouentes, habebunt ex præſcripto Calippi ſinguli 4. reuoluentes; ac pro­
 inde 20. in vniuerſum erunt reuoluentes. Omnium igitur ſphærarum tam
mouentium, quàm reuoluentium ſummam ait, ſed perperam, eſſe quinqua­
ginta quinque; cum enim mouentes Saturni, & Iouis ſint 8. reliquorum au­
 tem 25. reuoluentes verò Saturni, & Iouis ſint 6. reliquorum autem, vt ip­
 ſe memoria falſus ponit, ſexdecim, conflant quidem ſummam prædictam,
ſed illi in memoria reuocandus eſt, planeta ille, quem oblitus eſt, cuius ſunt
quatuor reuoluentes, qui prioribus additi ſphærarum errantium numerum
quinquaginta nouem conſtituent: quibus etiam addenda eſt octaua ſphæra,
ſeu firmamentum, quod inerrantium ſedes eſt, non enim ſolum errantium,
ſed omnium cœleſtium orbium numerum inueſtigare volebat, ſicque; eſſent
omnes ſecundum Calippum ſphęræ ſexaginta. Quod ſi Lunæ, & Soli non ad­
 dantur ſingulis duo mouentes, vt facit Calippus, neque conſequenter quatuor
illis debiti reuoluentes non erunt omnes, 55. verùm, detractis octo prædi­
 ctis, erunt tantum 47. ſeu vt melius loquatur non erunt in vniuerſum, 60. ſed
52. tantum. Hactenus de numero cœlorum.
Ex Decimotertio Metaphyſicæ.
237
Svmma 1. cap. 3. (Qui dicunt Mathematicas ſcientias nihil de bono, vel
pulchro dicere, falſum dicunt. dicunt. n. & maximè oſtendunt. nam & ſi non
nominant, quia tamen opera, & rationes ostendunt, non ne dicunt de eis?
pulchra namque maximè ſpecies ſunt, ordo, commenſuratio, & definitŭ, quæ
maximè à Mathematicis ſcientijs oſtenduntur, &c.) placuit hæc in Mathemati­
 carum commendationem, ac defenſionem apponere, cum non deſint hac
noſtra tempeſtate ageometreti complures, qui eas libenter ſugillare ſolent.
1
IN MECHANICAS QVÆSTIONES.
Qvidquid Mathematicum in his quæſtionibus occurret, illud, vt
plurimum per paraphraſim exponemus, ita tamen, vt tex. Ariſt.
& figuræ textui reſpondentes per eam, quantum fieri poterit re­
 ſtituantur, & ſi quæ ſe offerent difficilia, pro viribus ſoluantur.
Eſt autem nonnullis in locis textus tam græcus, quàm latinus adeò corrup­
 tus, ac deprauatus, vt nullo modo emendari queat.
Caput Primum.
Quæ ſit artis Mechanicæ facultas.
238
Eorum, quæ miraculo ſunt, alia quidem natura contingunt, ſuntque; ea,
quorum ignorantur cauſæ: alia verò ſunt, quæ præter naturam per
artificium aliquod ad hominum vtilitatem perficiuntur, in multis
namque natura ei, quod nobis vſui eſſe poteſt, contrarium facit, quod
inde oritur, quia natura eundem ſemper, ac ſimplicem ſeruat modum: quod
autem nobis vtile eſt, plurimas ſubit varietates. quando igitur quippiam
præter naturam facere opportuerit, illud, quod faciendum eſt, difficultate
ſua nos remoratur, arteque; propterea indigemus. quamobrem eam artis
partem, quæ huiuſmodi ſuccurrit difficultatibus, Mechanicam appellamus.
Cæterùm optimè Antiphon Poeta in hunc modum cecinit;
Arte ſuperamus ea, in quibus à natura vincimur.
Quemadmodum accidit, cum minora ſuperant maiora, & quæcunque exi­
 guam vim habentia, magna tamen mouent pondera, & omnia ferè illa, quæ
ſub ea cadunt problemata, quæ mechanica nuncupari ſolent. ſunt autem hæc
neque naturalibus omninò quæſtionibus eadem, neque ſeiugata valde: verùm
mathematicarum contemplationum, naturaliumque communia. Poſtea in
græcis codicibus hæc ſequuntur (τὸ μεν γὰρ ῶ δία των μαθηματικῶν δηλον· το
δε περὶ ὅ, δὶα τῶν φυσικῶν) ideſt, ſi quidem quomodo ſint, ſeu qua ratione
exiſtant, manifeſtum eſt per Mathematica: illud verò circa quod verſantur,
hoc eſt obiectum, de quo pertractant Mechanicæ quæſtiones per ſcientias
phyſicas habetur, ideſt res naturalis eſt; eſt enim pondus, & vis, aut poten­
 tia pondus ipſum mouens, quatenus quanta ſunt; ſiue dixeris eſt quantitas
ponderum, atque potentiarum. Mathematicæ enim mediæ, de quorum nu­
 mero eſt facultas Mechanica, conſiderant quantitatem rei alicuius
determinatæ, ſic Aſtronomia circa cœleſtium corporum, mo­
tuumque; quantitates, Perſpectiua circa linearum viſua­
 lium; Muſica circa ſonorum quantitates ver­
 ſantur. quæ placuit annotare, vt ſcien­
 tiæ huius naturam perſpectam
haberemus.
1
De dignitatibus, admirandisque; Circuli proprietatibus.
Cap. Secundum.
239
Cvm vellet Ariſt. mirabilium effectuum, quos in Mechanicis admi­
 ramur, cauſam referre in circulum: meritò ante omnia de admi­
 randa ipſius circuli natura diſſerit, quo minus mirum deinde vi­
deatur prædictas mirabiles operationes ex ipſo procedere. quan­
 doquidem exadmiranda cauſa admirabiles effectus prodire debeant. qua­
lia ſunt ea, quæ circa vectem, cum magna omnium admiratione contingunt.
videmus enim exiguam prorſus vim ingens pondus, quod abſque vecte mini­
 mè mouere poſſet, addito etiam ipſius vectis pondere, facilè quocunque vo­
 luerit propellere. quod quidem auditu abſurdum foret, niſi viſu conſtaret.
omnium autem huiuſmodi cauſæ principium circulus obtinet: & hoc qui­
 dem meritò, ex admirabili enim, quippiam mirandum accidere rationi
omninò conſentaneum eſt.
Primò igitur maximè admirandum eſt contraria ſimul fieri, aut exiſtere:
circulus tamen ex contrarijs eſt conſtitutus, oritur enim circulus ex com­
moto, & manente, quæ quidem naturaliter ſunt inuicem contraria. ſit au­
 tem circulus ex commoto, & manente, quia oritur ex circumuolutione
vnius rectæ lineæ, cuius alterum extremum fixum manet, alterum verò cir­
 cumagitur; quamobrem iſthæc cernentes minus admirari conuenit reliquas,
quæ in ipſo ſunt contrarietates. cuiuſmodi eſt hæc, quod cum linea, quæ cir­
 culi orbem complectitur, quæque; circunferentia appellatur, nullam habeat
latitudinem, ei tamen contraria quodammodo inſunt, concauum ſcilicet,
& curuum; quæ quidem eo modo ſunt contraria, quo etiam magnum, & pa­
 ruum, horum enim medium eſt æquale; illorum verò rectum. & ſicuti quan­
 do magnum, & paruum inuicem commutantur, ita vt quod magnum eſt fiat
paruum, quod verò paruum fiat magnum, neceſſe eſt, vt perueniant ad
æquale priuſquam ad extremum alterutrum; ita linea curua antequam fiat
concaua, debet prius fieri recta: & ex concaua, vt tranſeat ad conuexam,
& circularem, debet ſimiliter prius eſſe recta.
Alterum contrarium, quod circulo ineſt, eſt ſimul contrarijs motibus mo­
neri: ſimul enim ad anteriorem mouetur locum, & ad poſteriorem. & eo­
 dem modo linea illa, quæ ex vno extremo manens, ex altero verò circum­
lata circulum deſcribit, ſe habet; contraria enim ſimul continet, primum
ſcilicet, & extremum. Ex quo enim primo loco circumagi incipit ad eun­
 dem rurſus poſtremò reuertitur, ita, vt primum ipſius, & poſtremum idem
ſint; quapropter, vt prius dicebamus non eſt inconueniens, ipſum circulum
miraculorum omnium eſſe principium. Admiranda igitur ea, quæ circa li­
bram fiunt, ad circulum tanquam cauſam referuntur, quæ verò circa vectem
ad ipſam libram: alia autem ferè omnia, quæ circa mechanicas contingunt
motiones, ad vectem reducuntur.
Præter prædicta aliud tandem mirum ipſi ineſt, quia nimirum cum innu­
 mera ſint puncta in vna eademque; linea, quæ ſemidiameter eſt, omnia tamen
1quando ſemidiameter circa centrum mouetur, quamuis cum ipſa mouean­
tur, inæquali velocitate mouentur; Nam punctum illud ſemper velocius
mouetur, quod remotius eſt à centro circuli, ſeu à manente ſemidiametri
termino, & proinde illud tardius, quod centro proximius eſt. Atque ex hac
mira circuli proprietate, pleraque miraculorum accidunt circuli motioni­
 bus, vt in ſequentibus quæſtionibus manifeſtum erit.
Quoniam autem ſecundum contrarias ſimul motiones mouetur circulus,
& alterum quidem diametri extremum vbi A, in figura præſenti antrorſum
78[Figure 78]
mouetur; alterum verò vbi B, retror­
 ſum, efficiunt nonnulli, vt ab vnica mo­
 tione multi contrariò ſimul mouean­
 tur denticulati circuli: vt ſunt ij, quos
in locis proponunt ſacris, quorum alij
ſunt ænei, alij ferrei. ſi enim circulus
A B, alterum circulum C D, contige­
 rit, mota diametro A B, ita vt A, an­
 trorſum eat, commouebit alteram dia­
 metrum C D, ita vt C, retrorſum, hoc eſt in contrarium ipſi A, veniat, in
contrarium igitur mouebitur ſecundus circulus C D, ad circulum A B, &
rurſus circulus E F. in contrarium ipſi C D, commouebitur ab ipſo C D, ob
eandem rationem. eodem etiam modo ſi plures fuerint, idem facient vno
ſolo tanquam primo motore commoto. hanc igitur circuli naturam animad­
 uertentes Architecti, inſtrumentum artificiosè fabricant, motus principium
occultantes, vt machinæ ſolù manifeſtum ſit illud, quod admirationem
parit, cauſa verò lateat: quod genus machinarum Automata dicebantur,
quia ſpontè à ſe ipſis mouebantur.
In primis igitur, quæ circa libram accidunt, dubitare faciunt, quamnam
ob cauſam maiores libræ minoribus ſint exactiores: huius autem rei prin­
 cipium eſt illud, quod ſupra innuimus, quod ſcilicet, quæ à centro plus di­
 ſtat linea, ſiue quæ longior eſt, eadem vi commota citius fertur, quam illa,
quæ minus à centro diſtat, ſeu quæ minor eſt. Porrò citius bifariam dicitur;
ſiue enim in minori tempore æquale pertranſit ſpatium: ſiue in æquali tem­
 pore, maius conficit interuallum; citius feciſſe dicitur. ſi autem duæ lineæ
circa idem centrum moueantur vna maior, & altera minor in æquali tem­
 pore; maior maiorem circulum deſcribet, quam minor; quia circulus à ma­
iori deſcriptus, alterum à minori delineatum circumpleρetur, atque intra ſe
continebit; maius autem eſt continens, quàm contentum. horum autem cau­
 ſa, quoniam quæ circulum deſcribit linea, duabus fertur lationibus, quæ nul­
 lam inuicem obtinent analogiam: quod antequam probemus, ſciendum
eſt, quod, quidquid duobus motibus inuicem proportionatis, mouetur, ne­
ceſſe eſt, quod motu ex illis mixto progrediatur per lineam rectam, quæ dia­
 meter eſt quadrilateri, cuius latera habeant illam proportionem, quam
duo illi motus. ſit enim in figura proportio lateris A B, ad latus A C, quam
ctiam habent duo motus, ſecundum quos latum quodpiam feratur, ſitque; la­
 tum illud A, & feratur motu vno verſus B, per lineam A B, altero verò mo­
 tu feratur verſus C. quod fiet ſi cogitemus latus A B, deſcendere verſus M
179[Figure 79]
ipſi æquidiſtanter, dum punctum A, mouetur
ad B. his duabus lationibus A, latum. neceſſa­
riò motu mixto progredietur per diametrum
A M, quod ſic probari poteſt; ſit iam A, mo­
 tum primo motu vſque ad D, linea verò ex ſe­
 cundo motu ſit in G F E, quo motu punctum
A, quod erat in D, tractum erit in F. quod pun­
 ctum eſt in diametro A M, quoniam enim mo­
 uetur duobus motibus, cum lineis A B, A C, proportionalibus, motus au­
 tem hucuſque ſunt A D, A E, quæ debent eſſe proportionales, cum A B, A C
compleatur rectangulum A D F E, erunt ſimiliter proportionalia F E, D E,
cum ſint æqualia duobus D A, A E, quare per 26. 6. cum quadrilaterum
paruum A D F E, ſit ſimile toti A B M C, erit A M, vtriuſque diameter, ergò
punctum F, in quo eſt A, eſt in diametro A M. eodem modo, de quouis pun­
 cto in linea A B, ad quod A, perueniat, probabitur ab altero motu deſcen­
 diſſe vſque ad diametrum. ſemper ergò latum A, per rectam A M, diame­
 trum quadrilateri, cum illis motibus proportionalibus progreditur, quod
probandum erat. è conuersò manifeſtum etiam eſt, quod ſi quid ſecundum
diametrum duabus fertur lationibus, eas lationes eſſe proportionales late­
 ribus quadrilateri, cuius eſt illa diameter, ſi enim illæ lationes non ſunt la­
 teribus proportionales, latum illud non feretur ſecundum diametrum il­
 lam, ſed ſecundum aliam alterius quadrilateri.
Quod ſi quid duabus lationibus nullam habentibus proportionem per­
 petuò ferratur, impoſſibile eſt ipſum motu mixto lineam rectam deſcribere.
ſi enim dixeris illud poſſe deſcribere rectam lineam, tunc circa rectam il­
 lam tanquam diametrum deſcribam quadrilaterum, & poſtea oſtendam, vt
proximè oſtenſum eſt, illud latum eſſe ſecundum laterum illius proportio­
 nem, quare impoſſibile eſt id, quod mouetur duabus lationibus nullam in­
 uicem rationem habentibus, ferri per lineam rectam: quapropter dicendum
eſt hoc modo latum, neceſſariò ferri circulariter, ſiue per lineam circularem.
Quod autem ea, quæ deſcribit circulum linea, dum altero eius manente
extremo circumagitur, duabus ſimul feratur lationibus, ex quibus motus
orbicularis oriatur, manifeſtum eſt ex ſuperioribus, quia & antrorſum, &
retrorſum impellitur; tùm etiam, quia ſi rectà tenderet recta deſcribens cir­
80[Figure 80]
culum, nunquam ad diametri perpendiculum
perueniret, ſed tamen peruenit, ita vt ſit ipſa
à centro perpendicularis diametro. ſit circuli
figura A B C D, in qua extremum diametri
B, feratur ad alterum extremum vbi D, per
ipſius diametri B D, circumuolutionem circa
centrum F, neceſſe eſt aliquando B, perueniat
ad C. ſi igitur B, feretur duabus lationibus
aliquo modo proportionatis, v. g. vt eſt pro­
 portio lateris B E, ad E C, latus, ſequeretur
ex demonſtratis ipſum B, ferri per rectam B C,
quæ diameter eſſet quadrilateri B E C G. ſed
1quia in nulla proportione fertur, propterea per circularem lineam B E C,
progreditur ad C, ita vt ipſa diameter B D, in poſitione A C, fiat perpendi­
 cularis priori diametro B D. ex quibus ſequitur eam moueri duobus moti­
 bus nullam rationem habentibus; quod erat intentum.
Hoc modo Ariſt. probare conatur, lineam circulum deſcribentem, dua­
bus ferri lationibus, quæ nullam habeant analogiam: Verùm, vt liberè fa­
 tear nullo modo mihi videtur intentum aſſequi, nam neque ex dictis pater,
ipſam duobus motibus ferri, quibus opus eſſet: neque patet eos (quamuis
concedantur) nullam inuicem habere analogiam: qui enim fieri poteſt, vt
duo motus reperiantur, quì nulla ſe mutuò habitudine reſpiciant? Præte­
 rea ſi B, ferretur illis motibus, non ſequitur debere moueri per lineam cir­
 cularem, cum præter lineam rectam ſint plures curuæ, quæ tamen non ſunt
circulares, vt ſunt ſectiones parabolicæ, & lineæ ſpirales. Deinde pergit.
241
Vt autem cauſa appareat, cur ea, quæ à centro longior eſt linea velocius
moueatur, ſiue quod in eadem ſemidiametro remotiora puncta à centro ve­
 locius moueantur, vt ſupra dictum eſt, ſciendum eſt, Quod ſi duo mouean­
 tur ab eadem potentia, quorum vnum à quopiam alio mouente plus repel­
 latur à motu priori, alterum verò minus, rationi conſentaneum eſſe, tardius
moueri id, quod plus, eo quod minus impeditur; quod videtur accidere
maiori, & minori illarum, quæ à centro egreſſæ circulos delineant. quoniam
enim propius eſt manenti eius, quæ minor eſt extremum, quàm extremum
maioris, propterea plus à centro, cui propius eſt, retrahitur à priori mo­
 tu, hincque; motus eius tardior redditur, ideſt, quia centro propius eſt; hinc
fit, vt extremum illud deſcribat lineam circularem quidem, ſed tamen
curuiorem quam deſcribat extremum longioris lineæ, quæ circulum minus
curuum, ſeu magis ad rectam lineam accedentem delineat. omni quidem
igitur lineæ circulum deſcribenti iſtud accidit, vt duobus feratur motioni­
 bus; vna quidem, quæ illi naturalis, ac ſecundum circunferentiam, qua re­
 ctà tenderet niſi impediretur: altera verò, quæ illi innaturalis, qua in tranſ­
 uerſum agitur, ſeu ſecus centrum, ob quam cogitur in gyrum duci, minor
autem linea ſecundum hanc motionem innaturalem plus fertur, quàm ma­
 ior, ideſt plus ipſius progreſſio inflectitur in orbem; quia enim eſt centro
81[Figure 81]
vicinior, quod quodammodo retra­
 hit à motu naturali, propterea ma­
 gis vincitur, quàm remotior. Quod
ex his erit manifeſtum. ſit circulus vbi
B C E D, & alter in eo minor, vbi
N M O P, circa idem centrum A. &
proijciantur diametri in magno qui­
 dem C D, B E, in minori verò M O,
N P. & altera parte longius quadri­
 laterum compleatur D K R C. ſi igi­
 tur ſemidiameter A B, circumacta
deſcribit circulum maiorem, reuer­
 titur tandem ad locum B A, vnde di­
 greſſa eſt. ſimiliter M A, circumuoluta
1redibit ad priorem poſitionem in M A. Tardius autem fertur M A, quàm
B A, vt dictum eſt, quia maior illi fit retractio à recta progreſſione. Sit igi­
 tur linea A B, mota vſque ad locum A L F, & à puncto L, ducatur L Q, per­
 pendicularis ipſi A B, in minori circulo. & rurſus ducatur L S, parallela ei­
 dem A B, & à puncto S, in maiori circulo ducatur S T, perpendicularis ei­
 dem B A, necnon F X. erunt igitur S T, L Q, latera rectanguli T L, æqualia
per 34. primi. erit poſtea B T, minor quam M Q, quia æquales rectæ S T,
L Q, ductæ à circunferentia ad diametrum perpendiculares in circulis in­
 æqualibus, ea quæ eſt in maiori circulo minorem reſecat diametri portio­
 nem, quàm quæ in minori.
In quanto autem tempore ipſa A L, lata eſt per circunferentiam M L, in
tanto temporis ſpatio in maiori circulo B, extremum ipſius B A, latum erit
per maiorem arcum quàm ſit B S; iam conſiderandum eſt motus vtriuſque
lineæ in hoc caſu æquales eſſe, ſunt enim deſcripti per lineas æquales T S,
Q L, quæ ſunt rectæ; tam enim linea B A, quàm M A, naturali motu recta
tenderet, vt dictum eſt, peragraſſetque; illa rectam T S: hæc verò rectam Q L.
Verum lationes innaturales ſunt impares, latio enim B T, breuior eſt M que
quantitate autem B T, retracta eſt B A, à motu ſibi naturali, & recto: quan­
 titate verò M Q, retracta eſt M A, vnde apparet motu hoc violento magis
retractam eſſe minorem M A, quàm maiorem B A, quod erat primo de­
clarandum.
Quod autem ob id A B, maior cęlerius mota ſit motu naturali, quàm mi­
 nor M A, palàm fiet. quia enim oportet vtramque lineam maiorem, & mi­
 norem eadem vi motam, confeciſſe binos illos motus proportionales, ideſt
ita ſe debet habere motus naturalis maioris ad motum innaturalem eiuſ­
 dem, quemadmodum ſe habet motus naturalis minoris ad motum innatu­
 ralem eiuſdem: Oportet ergo, vt ſi A B, & A M, ſunt eadem vi commotæ,
vt ſit eadem ratio T S, ad Q L, quæ eſt B T, ad M Q, non eſt autem, vt oſten­
 ſum eſt; ergo linea A B, eadem vi commota, ac M A, conficit pluſquam
B S, ſed neceſſariò peruenit ad F. hoc enim in puncto erunt prædicti motus
proportionales, vt oportet, erit enim motus naturalis in maiori perpendi­
 cularis F X, & innaturalis B X, in minori verò naturalis L Q, innaturalis
M que quod ſi ducantur rectè B F, M L, apparebunt duo triangula æquian­
 gula B X F, M Q L, & erunt per 4. 6. vt F X, ad B X. ita L Q, ad M Q, &
permutando erunt etiam vt F X, ad L Q, ita B X, ad M que ideſt, vt motus
naturalis ad naturalem, ita innaturalis ad innaturalem. In alio autem lo­
 co præter F, non erunt eædem proportiones.
Ex quibus patere ſatis poteſt, cur A B, longior à centro velocius mouea­
 tur quàm minor M A, ſeu cur puncta eiuſdem B A, velocius vertuntur, quo
longius abſunt à centro A, ideſt maiorem arcum B F, peractum eſſe à B,
quàm ſit arcus M L, peractus ab M, quod erat oſtendendum.
Atque hic eſt diſcurſus ille Ariſt. quo putat ſe cauſam aperuiſſe, cur lon­
 gior ſemidiameter velocius moueatur: quod num rectè attigerit, non puto
operæpretium eſſe hoc loco diſcutere, præſertim cum ad naturalem Philo­
 ſophum ſpectet.
Mihi tamen maximè conſiderandum videtur hoc ipſum quod aſſeruit, &
1ex ſe patet, remotiores ſcilicet partes diametrorum à centro velocius mo­
 ueri, quàm viciniores; ex hac enim maiori velocitate ſequitur maiore etiam
vi moueri, vnde & potentiæ mouenti in extremo eius vis augebitur, & plus
poterit quam ſola ſine vecte, eſt enim vectis duæ ſemidiametri altera alte­
 ram longior; ex quibus fortè apparet vnde vectis vires oriantur.
His igitur tanquam huius Mechanicæ facultatis principijs poſitis, ad va­
 rias Quæſtiones diſcutiendas accedit.
QVÆSTIO PRIMA
De Libra.
242
Cvr autem maiores libræ minoribus ſint exactiores, palàm eſt ex
præmiſſis principijs. conſiderare enim oportet, quod in motu li­
 bræ deſcribitur quidam circulus, cuius diameter ſunt ipſa libræ
brachia, centrum verò eſt ſpartum, ſiue trutina; hoc enim pun­
 ctum in motu libræ manet: duo verò brachia ſunt veluti duæ ſemidiametri
82[Figure 82]
à centro exeuntes, vt in figura cerne­
 re eſt, in qua centrum, ſiue ſpartum
eſt vbi C, reliqua ſunt manifeſta. In
eadem porrò figura libra maior ſit
A B. minor verò circa idem ſpartum
C, ſit F G. Iam vt præmiſſum eſt, ea­
 dem vi, vel eodem onere in lance B,
poſito, mouebitur velocius brachium
libræ maioris, quàm minoris ſit ma­
 ior tranſlata ad locum D E, ergò com­
 mota eſt per arcum B E, vel A D. Minor autem libra acta eſſet per mino­
 rem arcum G I, vel F H, melius autem apparet arcus B E, maior, quam mi­
 nor G I, atque hoc eſt, quòd maiores libras exactiores facit. hincque; etiam eſt,
quòd nonnulla pondera in minimis libris adeò paruam brachiorum aper­
 tionem faciant, vt ægrè percipi poſſit; in magnis verò propter brachiorum
longitudinem valdè ſenſibilem efficiant. quædam verò benè, & in magnis,
& in paruis apparent, ſed tamen ſemper melius in magnis ob dictam ratio­
 nem. Quamobrem machinantur ij, qui purpuram vendunt, vt pendendo
defraudent, tum in medio libræ non ponentes ſpartum, vt hoc modo bra­
 chium ex vna parte longius factum facilius moueatur, & proinde à minori
purpuræ pondere; tum etiam plumbum in lancem illam infundentes inquam
merces imponitur, vel partem illam lancis, quam magis grauitare cu­
 piunt ex ligno radici proximo, vel ex nodoſo facientes: lignum
enim, quod radici proximum eſt, graue admodum eſt,
quemadmodum etiam nodus; quia nodus eſt,
quædam radix. Atque hæc eſt huius pri­
 mæ quæſtionis paraphraſis.
1
QVÆSTIO SECVNDA
De Libra
243
Cvr ſi quidem ſurſum fuerit ſpartum, quando deorſum lato pondere, quiſ­
 piam id amouet, rurſum aſcendit libra? Si autem deorſum constitutum
fuerit, non aſcendit, ſed manet? An quia ſurſum ſparto quidem exiſten­
 te plus libræ extra perpendiculum fit, ſpartum enim eſt perpendiculum,
quare neceſſe est deorſum ferri id, quod plus est, donec aſcendat, quæ bifariam li­
bram diuidit ad ipſum perpendiculŭm, cum onus incumbat ad libræ partem tractam.
83[Figure 83]
ſit libra vbi recta B C, ſpartum autem
A D: hoc igitur ſurſum erecto, perpendi­
 culum erit vbi A D M. ſi igitur in ipſo B,
ponatur onus, B, quidem deſcendet vbi E;
C, autem aſcendat vbi H, quamobrem ea,
quæ bifariam libram ſecat, primò quidem
erit D M, ipſius perpendiculi; incumben­
 te autem onere erit D G, quare libræ ip­
 ſius vbi E H, quod extra A M, perpendi­
 culum eſt, vbi eſt D D H, maius eſt dimidio. ſi igitur amoueatur onus ab ipſo E, ne­
 ceſſe eſt H, deorſum ferri, minus enim eſt ipſum E D. ſi quidem igitur ſurſum ha­
 buerit ſpartum, propter hoc aſcendit libra. ſi autem deorſum fuerit, id quod ſub­
 stat, contrarium facit; plus enim dimidio fit libræ, quæ deorſum eſt, pars, quàm
quod perpendiculum ſecet; quapropter non aſcendit, pars enim eleuata leuior eſt.
84[Figure 84]
ſit libra vbi N G, perpendiculum autem
K L M, bifariam igitur ſecatur N G. im­
 poſito autem onere in ipſo N, erit quidem
N, vbi O, ipſum autem G, vbi R; K L, au­
 tem vbi K P, quare maius eſt L P O, quàm
L R, ipſo P L. Ablato igitur onere, ne­
 ceſſe eſt manere; incumbit enim, ceu onus
exceſſus medietatis in quo P L.) Aduer­
 te textum græcum eſſe mendoſum, la­
 tinum vero mendoſiſſimum. Ego partim ex certa rei intelligentia, vti vi­
 des reſtitui. Idemque; circa figuras præſtiti. Porrò quoniam Piccolomineus,
& ſi plurimum, vt ipſe fatetur, inſudauerit, non tamen ſolutionem huius
quæſtionis eſt aſſecutus, eam tibi ex Mechanicis Guidibaldi tradam. Ariſt.
igitur ponit duas libræ ſpecies, ſiue potius duas eiuſdem libræ poſitiones,
vnam, quæ habet ſpartum, ſiue perpendiculum ſupra; alteram, quæ infra.
85[Figure 85]
vt in præſenti figura, ſit libra B C, cuius
ſpartum, ſiue perpendiculum A D, ſit ſur­
 ſum, ita vt in puncto A, ſit affixum perpen­
 diculum, & circa idem punctum A, tan­
 quam circa centrum tota libra circum­
 uertatur. hæc eſt prima libræ collocatio. ſit deinde libra B C, cuius ſpartum,
ſiue perpendiculum A D, ſit deorſum, vt in altera figura, ſitque; circa
186[Figure 86]
ctum A, tanquam circa centrum, aut axem
ita fixum, vt ipſi libræ conuerſio innita­
 tur, quæ eſt altera libræ poſitio. Quærit
igitur, cur ſi in libra ſurſum habente per­
 pendiculum, & centrum, ponatur ex vna
parte onus quodpiam, v. g. in parte B, vt in prima textus figura factum eſt,
libra de primo ſitu B C, mouetur ad ſitum E H, ſed tamen ablato pondere
reuertitur ſua ſpontè ad priſtinum ſitum B C. ſi autem in libra, cuius per­
 pendiculum, ac centrum deorſum ſit, vt in ſecunda figura textus, pondus
imponatur, ipſa quidem à ſitu B C, ad ſitum O R, transferretur; verumta­
 men ablato onere, non amplius ad priorem poſitionem, vti prior, reuertitur.
Huic quæſtioni, vt reſpondeat, tacitè ſupponit omne graue tendere de­
 orſum, hoc pacto, vt centrum grauitatis ipſius tendat per lineam rectam
ad mundi centrum ab ipſo grauitatis centro protractam, quam lineam Di­
 rectionis Recentiores appellant. ſciendum autem centrum grauitatis eſſe
punctum quoddam in quolibet graui, ex quo ſi graue illud ſuſpendatur, ſem­
 per manet in æquilibrio, nec vnquam poſitionem reſpectu ſuarum partium
mutat, quamuis ita ſuſpenſum huc illuc transferatur. Ita Pappus Alexan­
 drinus initio octaui libri Mathematicarum collectionum. Totius igitur li­
 bræ abſque onere centrum grauitatis eſſet circa punctum D, quod eſſet di­
 ſtinctum à centro circumuolutionis A. quod grauitatis centrum, ſemper
quantum fieri poteſt, ſi nihil obſtet, centro mundi appropinquat; & propte­
 rea facit, vt prior libra ſine onere ſuſpenſa in A, in æquilibrio, atque hori­
 zonti parallela permaneat, ſtante enim D, centro mundi maximè propin­
 quo, ſiue in loco humillimo, erit inter punctum A, & centrum mundi, ac
conſequenter in linea directionis. quæ linea directionis in prima figura
textus eſſet eadem cum perpendiculo A D M, manente libra ſine pondere
horizonti parallela; in ſecunda autem figura textus coincideret pariter cum
perpendiculo K L M, antequam libra ob impoſitum onus ab æquilibrio di­
 moueretur. per hanc enim lineam centrum grauitatis libræ, quod eſt propè
puncta D, & L, tenderet ad mundi centrum, ſi libra liberè ad centrum mun­
 di dilaberetur. his præmiſſis ſic quæſtioni ſatisfacit, & primò primæ parti,
quando nimirum ſpartum ſupernè collocatum eſt. Ratio igitur, cur tunc li­
 bra amoto pondere ad horizontis æquilibrium reuertatur eſt, quia pondus
libræ impoſitum in altera tantum libræ parte, grauitando impellit libram
ad alium ſitum E H, ita vt maior pars libræ conſtituatur ex altera parte li­
neæ directionis prioris A D M, in qua etiam parte exiſtit centrum grauita­
 tis libræ ipſius, eſt enim circa D, quod centrum vi ponderis incumbentis in
E, cogitur paulùm aſcendere, atque contra ipſius naturalem inclinationem à
mundi centro recedere, vt ſi in libra B C, appendatur onus in B, vt in pri­
 ma textus figura; B, deſcendet ad E, & C, aſcendet ad H, & centrum graui­
tatis D, paulùm aſcendet à centro mundi, & linea A D M, quæ libram bi­
 fariam ſecabat modo tranſlato perpendiculo in A D G, non amplius cam
bifariam ſecabit; ſed libræ E H, maior pars erit vltra perpendiculum A D­
 M, quæ maior pars eſt D D H.
Si igitur nunc onus amoueatur libræ E H, centrum grauitatis, quod eſt
1ad D, remanet vltra priorem Directionis lineam; & quia pondus non am­
 plius illi æ que ponderat, grauitabit, & quia libra cùm affixa ſit ad A, nequit
deorſum recta tendere, circumferretur circa A, trahente ipſam grauitatis
centro, cum nihil obſit, donec iterum perpendiculum A D G, priori ſitui
A D M, congruat: hac enim ratione centrum grauitatis, quantum poteſt,
iuxta naturam ſuam deſcendet, libraque; ad priſtinum æquilibrij B C, ſitum
reſtituetur. Si autem deorſum fuerit ſpartum in ſecunda figura textus, im­
 poſito pondere contrarium accidit, quia maior pars libræ, & in qua cen­
 trum grauitatis eſt, in tali motu deſcendit: altera autem pars minor, ac læ­
 uior ſurſum tollitur. & quia graue natura ſua nequit aſcendere, propterea
ablato pondere non reuertitur ad æquilibrium B C, cum centrum grauita­
 tis aſcendere ne queat, quod tunc oporteret.
Sit libra N G, in ſecunda figura, cuius perpendiculum, ſimulque; directio­
nis linea ſit K L M, quæ libram in prima poſitione diuidit bifariam; impoſi­
 to autem onere in N. N, trahetur ad O, & G, ad R, & K L, vbi K P. quare
maior eſt O L, in quo centrum grauitatis, & propterea grauior quàm ſit L R:
ſuperat enim O L, ipſam L R, exceſſu duplæ P L, quod facilè apparet ſi po­
 natur tota O R, 10. & dimidia O P, & O R, 5. & P L, ponatur 2. erit enim
tunc O L, 7. & L R, 3. quæ hanc ſuperat 4. duplo ſcilicet ipſius P L, 2. qua­
 re neſcio cur Ariſt. dicat, ipſam O L, ſuperare ipſam L R, ſolùm quantitate
P L. Quapropter etiam ſi onus auferatur, neceſſe eſt ibi libram manere,
quia maior, & grauior ipſius pars deorſum eſt, nec poteſt natura ſua læui­
 tare, vel aſcendere, vt oporteret, ſi ad priſtinum ſitum N G, reſtitui debe­
 ret. remanebit igitur in O R.
Ex his, quæſtionis ſolutionem, textus explicationem, ac reſtitutio­
 nem habeto.
Aduertendum quoad ſecundam libram, ne ſimul cum 10. Baptiſta Bene­
 dicto in libro ſpeculationum immeritò Ariſt. erroris arguamus: ipſe enim,
quia libram hanc non agnouit, auſus eſt affirmare, Ariſtot. hoc loco falſum
prorſus dixiſſe, cum dixit libram ſparto infimè collocato, non redire ad
priſtinam poſitionem.
QVÆSTIO TERTIA
De Vecte.
244
Cvm textus tam græci, quàm latini mendis ſcateant, neque hi textus
maioris ſint momenti, eos per paraphraſim explicabo, in qua ta­
 men totus textus continebitur, atque emendabitur. Cur exiguæ
vires (quemadmodum à principio dictum eſt) adhibito vecte, ma­
 iora mouent pondera, quam abſque vecte? contrarium enim videtur debere
fieri, nam mouenti additur grauitas vectis, & ideò pondus augetur, ergò
difficilius ipſum cum vecte, quàm ſine eo mouere deberet.
Vectis porrò eſt inſtrumentum oblongum, quo ad ſubleuandum graue
quodpiam vtuntur opifices, quod innititur cuidam fulcimento, quod græcè
hypomoclion dicitur: hypomoclion autem oneri leuando, quantum fieri
1poteſt proximum eſſe debet, vt vectis pars longior ſit ad partes potentiæ
mouentis. vt plurimum verò fulcimentum eſt inter pondus, & potentiam:
aliquando etiam eſt ex altero vectis extremo, ita vt onus ſit inter fulturam,
& potentiam; aliquando potentia eſt inter vtrunque, vnde tres vectis ſpe­
 cies exiſtunt. vt in ſubiectis figuris apparet. In prima, vectis eſt A B, fultu­
87[Figure 87]
ra E, onus C. potentia autem ſeu vis,
ſeu aliud pondus mouens ſit vbi D. quæ
deorſum in D, præmens eleuabit ſur­
 ſum ex altera parte onus C. & vectis
circa fulturam E, tanquam centrum
conuertetur. In altera figura pondus
eſt inter fulturam, & potentiam, ful­
 tura autem in altera extremitate, vt
patet in figura, hic autem potentia
non præmit deorſum in D: ſed ſurſum
vectem eleuando pondus C, attollitur.
In tertia tandem figura potentia, eſt
inter vtrunque, eſt enim in D, ibique
ſurſum vrget. verum tamen eſt hunc vectem artificibus eſſe inutilem, quip­
 pe qui nullo modo iuuet potentiam, imò verò pondus ipſum grauius reddit:
neque hoc genere in his Mechanicis indigemus.
Reſpondet igitur dubitationi, dicens rationem huius incrementi poten­
 tiæ motricis, quod fit aſſumpto vecte fortè inde oriri, quod vectis ſit quæ­
 dam libra, cuius alterum brachium ſit altero longius; in prima autem quæ­
 ſtione explicatum eſt, cur libra maior, maiorem vim habeat, eam ad cir­
 culum reducendo; vectis autem fit libra, hypomoclion enim eſt loco ſparti,
tam enim ſpartum, quam hypomoclion veluti centra manent. quoniam ve­
 rò ab eodem pondere, cęlerius, ſiue maiori vi mouetur linea, quantò lon­
 gior à centro fuerit, vt dictum eſt de admiranda circuli natura; hinc fit, vt
cum duæ ſint in vecte potentiæ, ſiue duo pondera, mouens, & motum, illud
facilius ac maiore vi moueat, ſiue vires ex vecte acquirat, quod longiorem
vectis partem preſſerit. quemadmodum igitur pars vectis longior, quæ ſpe­
 ctabat ad mouentem potentiam, ſuperat minorem partem, in qua eſt mo­
 tum; ita etiam maius eſt pondus motum, quàm mouens. ſemper autem quan­
 to ab hypomoclio magis diſtabit potentia, tantò facilius mouebit, cuius
cauſa ſupra reddita eſt, quoniam nimirum, quæ plus à centro elongatur ma­
 iorem deſcribit circulum, qui magis ad lineam rectam accedit: quare ab
eadem potentia adhibito vecte, tantò facilius pars vectis mouens dimoue­
 bitur, quantò magis à fulcimento diſtabit. Exempli gratia ſit in ſuperiori
prima figura vectis A B, pondus C, mouens D, hypomoclion E, in qua præ­
 dicta poteris contemplari. vltima illa textus verba (Quod autem vbi D, mo­
 uens, vbi F, motum autem vbi C, pondus in G,) videntur ſuperuacanea, atque
mendosè addita.
In hac quæſtione reſpexit Ariſt. ſolùm ad primam vectis ſpeciem. Illud
demum, quod dixit eandem habere rationem potentiam ad pondus, quàm
partes vectis inuicem demonſtratum eſt poſtea acutiſſimè ab Archimede
1propoſitione 6. & 7. de æqueponderantibus: & noſtra tempeſtate alio quam­
 uis modo, & vnica demonſtratione à Guido Vbaldo in ſuis Mechanicis pro­
 poſitione 1. de Vecte, quæ eſt huiuſmodi; Potentia ſuſtinens pondus vecti
appenſum, eandem ad ipſum pondus proportionem habet, quam vectis di­
 ſtantia inter fulcimentum, ac ponderis ſuſpenſionem, ad diſtantiam, à fulci­
 mento ad potentiam interiectam. quod de omni vecte ab eo demonſtratur,
cuius propoſitionis ſenſus eſt hic; in ſuperiori prima figura ſi pars vectis
E B, fuerit, v.g. quadrupla partis A E; etiam pondus C, erit quadruplo ma­
 ius pondere, ſeu vi in D, quæ ip ſum C, ope vectis ſuſtinet. quod etiam trans­
 ferre debes ad ſecundam figuram.
QVÆSTIO QVARTA
De Remo.
245
EI, qui ſuperiora intellexerit ſatis clara videtur. Illud tamen non
omittendum, ſcilicet dicendum potius Remum eſſe vectem ſecundi
generis, quàm primi, quod fortè Ariſt. non animaduertit, nec Pic­
 colomineus, nam mare eſt hypomoclion, reſpectu enim nauis non
mouetur, ſed manet, ſcalmus autem ſimul cum tota naui eſt pondus motum;
verè enim nauis ipſa mouetur. mouens eſt ipſe remex. Reliqua in textu
ſunt clara.
QVÆSTIO QVINTA
De Temone Nauis.
246
Qvemadmodum in præcedenti quæſtione Ariſt. vectem ſecundi ge­
 neris ad ſolutionem non adhibuit, vt par erat, & propterea obſcu­
rior euaſit, ita etiam in præſenti, quęſtionem ad vectem primi ge­
 neris reducit, quæ ad alterum reducendà erat: atque hinc obſcuri­
 tas, atque prolixitas ſolutionis manauit. Eſt enim propriè Temo, ſiue gu­
 bernaculum nauis, vectis ſecundi generis, vt mox explicabo, eſt enim temo
88[Figure 88]
inſtrumentum in extrema nanis par­
te, ſeu puppi affixum, vt in figura pre­
 ſenti vides tabellam, in qua B C D,
cuius manubrium A B, intra nauim
recipitur, quæ tabella, ſeu temo in
duobus cardinibus, vbi C, & D, cir­
 cumuertitur à Nauis gubernatore,
manubrium vbi A, tractante; ex qua
conuerſione nauigium, quò vult ipſe
gubernator facilè dirigit, ipſumque
nauigium huc illuc quamuis adeò magnum ipſe ſolus impellit, & agitat. eſt
enim temo vectis, cuius auxilio vires mirum in modum augentur, nam to­
 ta A B, eſt ipſa Vectis longitudo, cuius hypomoclion eſt mare, cui
1nititur tabella B E; onus autem eſt puppis, quod onus præſertim in cardini­
 bus C D, mouenti reſiſtit, & quod præcipuè mouere gubernator intendit.
cum igitur motum onus ſit intra vectis extrema, hypomoclion in extremo
ad B E, vbi in motu temonis tabella mare vrget, quod minimè cedit, ipſaque;
in hoc motu ferè maneat, & fiat quaſi centrum, circa quod totus temo cir­
 cumducitur, patet temonem eſſe vectem ſecundæ ſpeciei, vt dicebam. quod
etiam hinc patere poteſt, quia temo eſt veluti remus, cuius ſcalmus ſint car­
 dines C, D. ſicut ergo remus eſt vectis ſecundi generis, cuius pondus eſt
ſcalmus, & mare hypomoclion; ita temo erit vectis eiuſdem generis, cuius
pondus erit vbi cardines, fultura verò mare.
Quærit igitur Ariſt. vnde nam tantas vires paruus nauis temo guberna­
 tori ſuggerat, reſpondetque; propterea id contingere, quod temo vectis na­
 turam obtineat, cuius inquit onus eſt mare, melius autem, vt dixi, dixiſſet
onus eſſe nauim, mare autem hypomoclion, mouens autem eſt gubernator.
Differunt autem remus, & temo, quamuis vterque ſit vectis, quoniam remus
ſecundum latitudinem nauis, ſeu ad latera nauis mari obnititur. temo au­
 tem in directum ferè nauigij conſtitutus mare ſcindit. hinc fit, vt remus ad
nauem antrorſum rectà agitandam, gubernaculum verò ad eam in latera,
& obliquè contorquendam idoneum ſit. quoniam enim mare eſt hypomo­
 clion, fit vt dum gubernator mouet anſam temonis in A, ſeu ad dextram,
ſeu ad ſiniſtram ſecum ad eandem partem trahat nauigium, quod temoni
eſt connexum; ad contrariam tamen partem trahit ei, ſecundum quam mare
impingit. atque hoc pacto remus antrorſum, temo verò obliquè nauim agit.
Poſthæc ſequuntur huiuſmodi verba (In extremo autem, & non in medio
iacet, quoniam mouenti facillimum est ab extremo motum mouere: prima enim pars
celerrimè fertur, quoniam quemadmodum in ijs, quæ feruntur in fine deficit latio,
ſic ipſius continui in fine imbeciliſſima eſt latio, imbeciliſſima autem ad expellendum
est facilis, propter hæc igitur in puppi gubernaculum ponitur) quorum ſenſus
videtur difficilis, neque græcus textus excuſandus eſt, benè enim tranſlata
ſunt. Piccolominæus quidem plura quàm Ariſt. fatur, ſed non clariora. dif­
 ficultas eſt in verbis illis (Prima enim pars celerrimè fertur) & in illis (Sic ip­
ſius continui in fine imbeciliſſima eſt latio) videtur velle dicere, quod quando
continuum aliquod proiectum fertur per aera, pars ipſius anterior ea eſt,
quæ præ cæteris partibus principaliter mouetur, & ad cuius motum reliquæ
poſteriores tanquam ſubſequentes moueantur; quaſi dicat tota vis lationis
eſt in anteriori parte: ſiue ipſi impetus maior ineſt: videmus enim proiecta,
quorum vna pars eſt cæteris grauior, quia ei parti melius imprimitur mo­
 tus, eam etiam fieri anteriorem in latione, quamuis initio fuerit poſterior.
ſic etiam quando graue fertur deorſum, dicimus ipſum ferri ſecundum cen­
 trum grauitatis ipſius, ibique; maiorem vim grauitandi exiſtere, ſic in proie­
 ctis partem anteriorem dicere poſſumus eſſe, ſecundum quam totum conti­
 nuum fertur: ibique; totum eſſe impetum lationis, & propterea etiam maio­
 ri impetu, atque celerrimè ferri: & conſequenter partem poſteriorem, quam­
 uis priorem æqua velocitate conſequatur, non tamen tanto impetu, cum ip­
ſa ad alterius impetum moueatur, & propterea latio ipſius eſt admodum
imbecillis.
1
Si quis ſagittam per aerem latam à ſuo motu vellet deflectere, eam faci­
 lius in poſteriore parte à ſuo curſu deuiaret, quàm in anteriore. hunc con­
 cinui corporis motum continuo proiectorum motui aſſimilat: quemadmo­
 dum enim motus proiectorum in fine debilior lenteſcit: ſic totum conti­
 nuum in poſtrema parte ſegnius impellitur. Quia igitur nauis eſt continuum,
quod vi remorum recta antrorſum fertur, & propterea maiore vi prora,
quàm puppis, facilius eſt à ſuo directo curſu nauem deflectere, eam in pup­
 pi, quàm in prora commouendo. hac igitur de cauſa, gubernaculum puppi
affigitur. quæ quidem ratio, & quantum valeat, & an naui quadret, & num
benè ſit explicata, phyſicorum eſt iudicare.
Ego tamen aliam huius rationem video, quia nimirum ſi temo in priori
parte eſſet, quando à rectitudine ipſius nauis ad dextram, aut ad ſiniſtram
eſſet inclinandus, tunc quia aqua in vnam tantum ipſius partem, ſeu faciem
tota impingeret, in eam ſcilicet, quæ antrorſum reſpiceret, eam aqua re­
 trorſum ſimul cum tota naui auerteret, ſicque; totam nauim inuerteret, ita
vt prora, cui adhæreret temo extrema fieret. impetus igitur aquæ, & naui­
 gij temonati, cogit temonem eſſe poſtremum non primum, nec medium.
atque hinc oritur neceſſitas eum poſteriori parti affigendi. ſubdit poſtea aliam
eiuſdem rationem, quia nimirum parua motione facta in puppi multo ma­
 ius interuallum cogitur mutare prora; nam idem angulus, quo eius lineæ
ſunt longiores, eò maiorem ſubtenſam ſibi lineam reſpicit, quod facilè in
89[Figure 89]
adſcripta figura intueri licet; in qua duæ
lineæ A B, A C, continent angulum A, cui
angulo ſubtenduntur tres lineæ parallelæ
F G, D E, B C, quarum B C, maxima eſt,
quia ibi maiores, ſiue remotiores ſunt ab
angulo A, duæ rectæ A B, A C, ipſum con­
 tinentes, quod Geometricè per 4. 6. pro­
 bari poteſt. ſic etiam facta motione, vel
parua in puppi, tota nauis transfertur ad
alium ſitum, ita vt prora multum aliò transferatur, quod non accideret, ſi
eadem motio fieret ad medium nauigij. propterea igitur aptiſſimè puppi
gubernaculum connectitur.
247
Ex ijſdem etiam rationibus mathematicis patet, cur magis antrorſum
procedit nauigium, quàm remi ipſius palmula retrorſum: eadem enim ma­
 gnitudo, ijſdem mota viribus in aere plus, quàm in aqua progreditur.
Sit igitur A B, remus, G, verò ſcalmus. A, autem in nauigio ſit remi initium.
B, verò in mari palmula. ſi igitur A, vbi D, transferatur, per totum ſpa­
 tium A D, non permeabit tantumdem ſpatij B, vſque ad E. B E, enim ponitur
æqualis ipſi A D, ſed minus interuallum propter reſiſtentiam aquæ ex ſup­
 poſitione percurret, quale eſt B F, quod minus eſt quàm A D, quare etiam li­
 nea B G, abbreuiabitur, eritque; veluti F Y, quæ etiam erit minor ipſa D G,
quæ facta eſt D Y, propter duo ſimilia triangula D Y A, B Y F, ſimilia au­
 tem triangula ſunt ea, quorum anguli vnius ſunt æquales angulis alterius,
quo poſito ſunt etiam latera vnius proportionalia lateribus alterius, vt pa­
 tet ex prima definitione 6. necnon ex quarta eiuſdem demonſtratione. hæc
190[Figure 90]
quidem duo triangula ſunt ſimi­
 lia, & rectè concluditur F Y, mi­
 nus eſſe quàm D Y, ſed tamen
non videntur iſta propoſitum
oſtendere, quod erat, plus nauim
procedere, quàm palmulam re­
 trocedere. Fateor quidem tex­
 tum hunc eſſe obſcuriſſimum,
idque; propterea fortè quia eſt admodum corruptus, præſertim circa chara­
 cteres, qui corrigendi ſunt vti nos facimus. neſcio qua ratione Piccolomi­
 neus videatur ſibi locum hunc explicaſſe. Forſitan addenda ſunt nonnulla
hoc pacto; cum initio remigationis ponamus remum in ſitu A B, in fine ve­
 rò primæ impulſionis in D F, ſcalmum verò circa medium remi in G, pri­
 mo; vltimo erit etiam circa medium D F, vbi H, quare ſcalmus tranſlatus
eſt à G, ad H, totaque; G H, perficit, quam deberet Ariſtot. vt ſibi conſtaret
probare eſſe maiorem ipſa B F, quam palmula obiuit, & conſequenter pro­
 baſſet nauigium plus proceſſiſſe, quàm palmula receſſerit: quod propoſue­
 rat. Verum hoc non demonſtrat; neque ex præmiſſis deduci poteſt. poſtea
ſubdit (Stans autem erit medium vbi eſt G, in contrarium enim ipſi, quod in mari
eſt, extremo B, procedit, vbi extremum in nauigio eſt A, non procederet autem
vbi est D, niſi commoueretur nauigiŭm, & eò transferretur vbi eſt remi principium)
vbi in textu mendosè legitur C, pro G.
Senſus porrò horum verborum eſt hic; ſi remus circa ſcalmum G, verte­
 retur, & tamen nauis ab eo non propelleretur, ſed ſtaret, tunc medium na­
 uis maneret vbi G, per motum enim remi impellitur in contrarias partes
ipſi palmulæ B, quæ eſt in mari, quia ſequitur motum alterius extremi A,
manubrij ſcilicet remi, qui eſt in naui: quod autem nauigium à remo mo­
 neatur, ſignum eſt, quia manubrium A, non procederet vbi eſt D, niſi pari­
 ter cum remo nauigium illorſum conſequeretur. Hæc quidem Ariſt. circa
motum nauigij imperfectè admodum niſi textus corruptionem cauſetur, di­
 xiſſe videatur. Quapropter operæpretium me facturum exiſtimo, ſi Petri
Nonij acutiſſimi Mathematici, ſubtiliſſimas, ſcituque; digniſſimas in præſens
problema annotationes hoc loco deſcripſero, ex quibus perfectè, ac ma­
 thematicè toti huic quæſtioni fit ſatis, quæ ſic ſe habent.
In Problema Mechanicum Arist. de motu Nauigij
ex remis, annotatio Petri Nonij.
Cvm olim diſcipulis noſtris mechanicas Ariſt. quæſtiones interpre­
 taremur, nonnulla circa problema illud annotauimus, cur magis
procedat nauigium, quam remi palmula in contrarium. Ariſtot.
enim ratiocinatio obſcura eſt; quam nos tamen, vt aliquid lucis
haberet, ad hunc modum explicauimus; & propter materiæ ſimilitudinem
hiſce noſtris libris de nauigandi ratione adiunximus. Supponit autem ipſe
auctor remi palmulam retrocedere, quoties nauigium in anteriora
1ditur, locumque; ſcalmi, ſuper quo circulari motu remus vertitur, in medio
ipſius remi poſitum eſſe, vt ſcilicet tantum diſtet à manubrio, quantum à
palmula. Duæ itaque rectæ lineæ ponantur æquales A B, & D E, quæ quidem
in C, puncto medio ſe inuicem ſecent, & connectantur A B, & D E: remus
autem in initio vnius remigationis poſitionem habeat rectam lineam A B,
ſitque; A, manubrium; B, palmula; C, verò ſcalmus. Cum igitur A, remi ca­
 put in fine ipſius remigationis eò tranſlatum fuerit D, non erit B, vbi E; ſi
91[Figure 91]
enim ibi fuerit; remus igitur poſitionem
habebit rectam lineam D E; & quoniam
contrapoſiti anguli, qui ad C, æquales ſunt,
& duo latera A C, & D C, trianguli A D C,
duobus lateribus B C, & C E, trianguli B­
 E C, æqualia etiam ſunt: reliqui igitur an­
 guli, atque baſes ipſorum triangulorum æqua­
 les erunt per 4. propoſitionem primi libri
Euclidis, & propterea tantum ſpatium per­
 curret B, quantum A: ſcalmus verò C, im­
 motus omninò erit: & nauigium idcircò, in
quo ipſe ſcalmus, immotum etiam erit con­
 tra hypotheſim. ſupponitur enim in queſtio­
 ne, quod nauigium illa remigatione in anteriora moueatur, remi verò pal­
 mula retrocedat. Scalmus porrò quamquam circularis remi motus expers
ſit; motu tamen nauigij commouetur. Remus igitur poſitionem habeat in
fine ipſius remigationis rectam lineam D Z, quæ quidem rectam A B, ſecet
in T, inter B, & C; rectam verò B E, in Z. Et quoniam duo coalterni anguli
C A D, & C B E, æquales oſtenſi ſunt, & angulus A T D, contrapoſito B T Z,
æqualis eſt: duo igitur triangula A T D, & B Z T, æquiangula erunt per 32.
primi, & communem ſententiam. Similia itaque erunt ipſa triangula, late­
raque; habebunt proportionalia per 4. 6. ſicut A T, ad B T, ita D A, ad B Z.
Maior eſt autem A T, quàm B T: maior igitur D A, quàm B Z, quod etiam
per communem ſententiam neglecta triangulorum ſimilitudine concludi poteſt.
Maius itaque ſpatium decurrit manubrium, quàm remi palmula, atque illuc
tranſuehetur nauigium, quò remi capulus deportatus fuerit: nauigium igi­
 tur in diuerſa procedens, plus ſpatij, quàm remi palmula tranſmittet. Vti­
 mur aurem tralatione, atque demonſtrationis figura Victoris Fauſti. Aduer­
 tendum eſt tamen, quod cum remus poſitionem habuerit D Z, remi palmu­
 la erit infra Z. Nam quoniam trianguli A D C, duo latera A C, & D C, æqua­
lia poſita ſunt: duo igitur anguli, qui ad D, & A, æquales erunt: angulus
igitur A D T, angulo D A T, maior erit: & idcircò latus A T, trianguli A­
 T D, latere D T, maius erit per 19. primi. Aæqualis porrò oſtenſus eſt an­
 guius B Z T, angulo A D T, præterea angulus D A T; angulo T B Z, æqua­
 lis: angulus igitur B Z T, angulo T B Z, maior erit, & propterea latus B T,
trianguli B T Z, latere T Z, maius erit: tota igitur recta linea A B, tota
D Z, maior erit: & idcircò cum remus poſitionem habuerit rectam lineam
D Z palmula erit vltra Z. Eſto igitur in K, & connectantur rectæ lineæ B D,
& B K: ſpatium igitur decurſum ab ipſa palmula non erit B Z, ſed B K: quod
1quidem minus etiam oſtendemus eſſe ipſo D A. Nam quoniam duo latera
B D, & D K, trianguli B D K, duobus lateribus B D, & D E, trianguli B E D,
æqualia ſunt, ſed minor eſt angulus B D K, angulo B D E: minor igitur erit
baſis B K, baſe B E, per 24. primi, quod demonſtrandum erat
Præterea, quod Ariſt. ratiocinando ſumit tantum ſpatium conficere na­
 uigium, quantum remi manubrium, ambiguum eſt. Nam remi manubrium
duabus fertur motionibus: vna propria, circularique; ſuper ſcalmo: altera
verò, qua vnà fertur cum ipſo nauigio. ſpatium igitur, quod omninò decur­
ſum eſt à remi manubrio, eo quod à nauigio confectum eſt, maius erit. At
ſi paria ſpatia decurſa eſſe intelligat à remi manubrio motu proprio, & à
nauigio, neque hoc difficultate caret. Nam nauigium interdum maius ſpa­
 tium percurret, interdum minus, iuxta remigum vires, & prout mari remi
palmula immerſa fuerit: remi verò manubrium tametſi ab exiguis viribus
moueatur haud minorem tamen ambitum deſcribet, quàm ſi à multo ma­
 iore virtute moueretur. Quapropter, vt huiuſmodi Ariſt. ſententiam exa­
minaremus, Theoremata, quæ ſequuntur, demonſtrauimus.
PROPOSITIO PRIMA.
Si Remiges nauigium mouere poſſunt, maius ſemper ſpa­
 tium remi manubrium percurrit, quàm nauigium.
Sit enim remus A C, manubrium A, ſcalmus B, qui propter nauigij
motum ſpatium percurrat à B, in D, in quo loco ipſe remus A C, ſi­
92[Figure 92]
tum rectitudinis habeat E F. Spatium
itaque, quod A, conficit, curua linea
ſit A E, cui recta linea reſpondeat A Z, in re­
ctam E F, perpendicularis. Nauigium verò
idem ſpatium conficiet, quod ſcalmus B: aio
igitur ipſam A Z, rectam lineam, recta B D,
maiorem eſſe. ſecet enim recta A C, rectam
E F, in G: æquiangula ſunt igitur bina trian­
 gula A G Z, & B G D, quapropter ſicut A G,
ad B G, ſie A Z, ad B D, per. 4. 6. libri Eucli­
dis: maior eſt autem A G, ipſa B G, & maior
igitur erit A Z, quam B D. & proinde maius
ſpatium remi manubrium percurrit, quam
nauigium, quod demonſtrandum erat.
Quod ſi à puncto B, rectam lineam vtrinque
ducamus H K, ad remi menſuram, rectos facientem angulos cum B D, re­
ctamque; A Z, ſecantem in I, manifeſtè intelligemus ipſam rectam A Z, con­
 ſtare ex A I, & I Z, quarum prior reſpondet curuæ A H, quæ motu proprio
manubrij deſcripta eſt; poſterior verò æqualis eſt rectæ B D, quæ motu na­
 uigij decurſa eſt.
1
PROPOSITIO SECVNDA.
Si remi manubrium motu proprio, & nauigium, æqualia
ſpatia pertranſierint, fieri non poterit, vt palmula mo­
 ueatur: ſed veluti centrum immota manebit.
Esto iterum remus A C, manubrium A, ſcalmus B: tantum autem ſpa­
 tium conficiat nauigium; quantum motu proprio A. Dico, quod C,
remi palmula immota manebit. Nam ſi a loco ſuo dimota fuerit:
ſpatium igitur permeet C D, ad poſteriora: quo quidem decurſo,
remus A C, poſitionem rectitudinis habeat F D, ſcalmus itaque B, tranſlatus
erit in G. Excitetur autem à puncto B, in vtramque partem linea E B R, ad
93[Figure 93]
rectos angulos ſuper B G, & à puncto A, recta A H,
ſuper D F: itemque à puncto E, recta C E, ſuper
E R; ipſarum verò rectarum linearum E R, &
A H, ſectio ſit in K, ſed C F., & D F, ſit in Z, & quo­
 niam A K, id ſpatium eſt, quod motu proprio re­
 mi manubrium permeauit, curuilineo enim re­
 ſpondeat A R, recta autem B G, id ſpatium eſt,
quod nauigium confecit: ipſæ igitur rectæ lineæ
H K, & B G, æquales erunt. Atqui in duobus æqui­
 angulis triangulis E B C, & B A K, vel per 26.
propoſitionem primi Euclidis, vel 4. 6. æquales
eſſe concludes A K, & E C, rectas lineas: quapro­
 pter æqualis erit E C, rectæ B G, per communem
ſententiam: eidem autem B G, æqualis eſt E Z,
in parallelogrammo, per 34. propoſitionem ip­
 ſius primi libri: æqualis igitur erit recta E Z, re­
 ctæ E C, pars toti, quod eſt impoſſibile. Et pro­
 pterea immota manebit palmula C, quod erat à
nobis oſtendendum.
PROPOSITIO TERTIA.
Si remi manubrium motu proprio duplum confecerit ſpa­
 tium, quàm nauigium, tantum prouehetur ea remiga­
 tione nauigium, quantum palmula retroceſſerit.
Remus enim incipiente motu poſitionem habeat A C, deſinente
verò rectitudinis ſitum F G. ſcalmus igitur B, propter nauigij
motum, ſpatium conficiet B D. Excitetur à puncto B, in vtramque
partem perpendicularis E Z, in quam veniant a punctis A, & C,
ad rectos angulos rectæ lineæ A E, & C Z: ſpatium autem A E, à manubrio
194[Figure 94]
decurſum motu proprio ſpatij B D, duplum
ſit: recta verò linea C H, curuæ reſpondeat
C G, quæ à remi palmula deſcripta eſt. Di­
 co ipſas rectas lineas B D, & C H, æquales
eſſe. Nam in duobus triangulis B A E, &
C B Z, duæ rectæ lineæ A E, & C Z, æqua­
 les ſunt. In parallelogrammo autem B H,
duæ B D, & H Z, æquales, atqui recta A E,
dupla eſt rectæ B D, per hypotheſim; dupla
eſt igitur, & C Z, rectæ H Z, quapropter
C H, & H Z, æquales erunt, Duæ igitur
C H, & B D, æquales per communem ſen­
tentiam.
Et quia nauigium tantum ſpatium de­
 currit ſemper, quantum ſcalmus: ſi igitur
remi manubrium motu proprio duplum
confecerit ſpatium, quàm nauigium, tan­
 tum prouehetur nauigium, quantum pal­
 mula retroceſſerit, quod demonſtrandum
erat.
PROPOSITIO QVARTA.
Si nauigium minus ſpatium decurrat, quàm remi manu­
 brium, ſed ſupra dimidium, magis prouehetur, quàm pal­
 mula retrocedat; ſi verò citra dimidium, minus.
In deſcripta enim figura ponatur B D, minor quam A E, ſed eius dimi­
 dio maior. Dico, quod ipſa B D, maior eſt quàm C H. Nam B D, &
H Z, æquales ſunt: Ad hæc A E, & C Z, æquales ſunt rectæ lineæ; ma­
 ior igitur erit H Z, dimidio ipſius A E: quapropter reliqua C H, mi­
 nor dimidio erit eiuſdem A E, & minor igitur erit C H, quàm B D. Spa­
 tium autem B D, id eſt, quod nauigium conficit, ſpatium verò C H, remi
palmula in contrarium decurrit; idcircò prior pars Theorematis vera eſt.
Poſterior autem ſimiliter oſtendetur. ſi enim B D, minor eſt dimidio ipſius
A E: minor igitur erit, & H Z, dimidio eiuſdem A E; & quoniam A E, &
C Z, æquales ſunt: reliqua igitur C H, dimidio eiuſdem A E, maior erit: &
proinde minor erit B D, quàm C H. Nauigium igitur minus ſpatium de­
 curret in anteriora, quam remi palmula in contrarium, quod demonſtran­
 dum ſuſcepimus.
Corollarium.
Ex hac, & præcedenti infertur, quod ſi remi manubrium motu proprio
maius ſpatium decurrat, quàm nauigium, ſiue id ſit duplum, ſiue
1nus duplo, ſiue maius duplo, ſpatium, quod nauigium interim decurrit ad
anteriora, & quod palmula remi in contrarium ſimul iuncta, ei quod ipſum
remi manubrium motu proprio conficit, æqualia erunt. ſemper enim B D,
æqualis eſt H Z: tota verò C Z, quæ æqualis eſt A E, ex ſuis partibus C H,
& H Z, conſtabit.
Propoſitionis conuerſio.
Si nauigium longius progrediatur, quàm remi palmula re­
 trocedat, ſpatium conficiet pluſquam dimidium eius,
quod motu proprio remi manubrium decurrit:
ſi minus, citra dimidium.
Huius demonſtratio ex ſupradictis facilè colligi poterit.
PROPOSITIO QVINTA.
Si celerius feratur nauigium, quàm remi manubrium, mo­
 uebitur palmula in vlteriora, nilque; vnquam retroce­
 det, idque; ſpatium decurret, quo nauigij motus
motum manubrij ſuperat.
Habeat enim remus incipiente motu poſitionem A C: deſinente
95[Figure 95]
verò ſitum rectitudinis F G. ſcal­
 mus igitur B, propter nauigij
motum tranſlatus, erit in D, ſit
itaque ſpatium B D, maius quàm A H, à re­
 mi manubrio motu proprio decurſum: ſic
enim celerius dicetur ferri nauigium, quàm
manubrium. Dico, quòd palmula C, in
vlteriora mouebitur. Nam cum ſcalmus
B, prouectus fuerit in D: tranſlata erit ip­
ſa palmula C, vbi G, in rectitudinis ſitu,
ſpatiumque; conficiet C G, curuilineum, cui
reſpondet C K: mouebitur igitur palmula
in vlteriora. Nihil autem vnquam retro­
 cedere, oſtendetur in hunc modum. eadem
enim celeritate mouentur A, in H, & C,
verſus I, circa ſcalmum. Atqui per hypo­
 theſim celerius fertur nauigium, quam A.
in H, celerius igitur ipſum nauigium fer­
tur, quàm C, verſus I. ſed mouetur idem
1C. ipſa nauigij celeritate verſus K; celerius igitur ferretur C, ad K, quam
ad I, quapropter nihil vnquam retrocedet ipſum C, imò verò in vlteriora
progredietur, ſpatiumque; decurret C K, quod quidem relinquitur detracto
I C, ex I K. ſi enim remi palmula tota ipſa nauigij celeritate moueretur, vl­
 tra K, progrederetur, cum B, perueniret ad D: ſed retrahitur interim, pro­
 pter eum motum, qui fit circa B. Sic igitur palmulæ celeritate, quæ à mo­
 tu nauigij prouenit retardata, decurſum ſpatium erit C K. Videtur autem
ſolo remorum impulſu hoc fieri non poſſe, ſed alia inſuper virtute impel­
 lente opus eſſe, vt venti, vel aquæ.
Ex his Theorematis liquet, inquit Nonius, quàm incerta interroget Ari­
 ſtoteles, & quàm inſcitè reſpondeat. Nam non continuò ſi nauigium in an­
teriora mouetur, remi palmula retrocedet; neque etiam ſi retrocedat, mi­
 nus ſpatìum tranſmittit in contrarium, quàm nauigium progrediatur. De­
 monſtrant hoc ſecunda, & tertia propoſitio. Remi verò manubrium motu
proprio, qui circa ſcalmum fit, & vnà cum nauigij motu maius ſpatium con­
 ficit quàm nauigium. ſolo autem proprio motu, ſi contingat tantum ſpa­
 tium conficere, quantum nauigium, fieri non poterit, vt palmula mouea­
 tur. fruſtra igitur conatur in vniuerſum demonſtrare remi manubrium ma­
 ius ſpatium decurrere, quàm palmulam in contrarium. Præterea quando
nauigium longius progreditur, quàm remi palmula regrediatur, minus ſpa­
 tium decurrit, quam manubrium: igitur hon æquale. Et proinde conſtat
neque veritatem in propoſito, neque demonſtrationem in ijs, quæ conge­
 rit, reperiri.
Huiuſque Petrus Nonius:
Reliqua huius textus vtinam quemadmodum ſunt clara, ita etiam vera
eſſent: ſed quia quæ modo dixit de remo, eadem temoni applicat propte­
 rea ijſdem etiam obnoxia ſunt difficultatibus.
QVÆSTIO SEXTA
De Antenna.
248
Qværit cur quanto Antenna ſublimior fuerit, ijſdem velis, & vento
eodem celerius ferantur nauigia. Reſpondet inde id prouenire,
quia malus, ſiue arbor nauis in huiuſmodi ventorum impulſu ve­
 ctis euadit, cuius auxilio idem ventus, qui mouens eſt, maiorem
vim acquirit, quanto longior fuerit pars vectis, quæ inter hypomoclion, &
vim mouentem intercipitur: quando autem altior fuerit antenna, tunc ea
vectis pars longior euadit, & propterea accidit, vt vires ventorum augean­
 tur. ſed iſta melius in figura inſpiciamus. ſit nauis A B, cuius arbor C D E,
antenna F C G, velum F G H, vectis eſt arbor, cuius fultura eſt in E, extre­
 mo mali in fundo nauis, onus autem in D, vbi malus exit è carina. mouens
potentia eſt ventus, qui mouet in antenna F C G. quanto igitur ſublimior
eſt antenna, tanto longior euadit vectis E C, tantoque; maiores fiunt venti
vires. dixi autem onus eſſe in D, quia ſi nauis vento obſiſteret, ipſa inuerte­
retur hac ratione, vt puppis A, eleuata, prora B, demergeretur, manente
196[Figure 96]
veluti centro parte E. quia ve­
 rò ob maris liquiditatem na­
uis minimè obſiſtit, ſed facilè
cedens à ventis vrgetur, hinc
fit, vt meritò dixerim pondus
nauis eſſe ad D, fulcimentum
verò ad E.
Quæſtio ſeptima, & ſatis per
ſe clara eſt; neque Mathemati­
 ci eſt eam exponere.
QVÆSTIO OCTAVA
De Rota.
Cur ex figurarum genere quæcunque rotundæ ſunt, & cir­
 culares facilius mouentur?
249
Tribus autem modis circulum rotari contingit; aut enim ſecun­
 dum apſidem, ſiue curuaturam centro ſimul moto, quemadmo­
 dum plauſtrorum rotæ vertuntur: aut circa manentem axem,
tanquam centrum veluti rotulæ illæ, ex quibus trochlea compo­
 nitur; vel quibus ad puteos vtimur, quæ quidem rectæ ad horizontem ſo­
 lent conſtitui. aut quem ad modum rota figuli, quæ pariter circa manens cen­
 trum gyratur, ſed quaſi proſtrata horizonti æquidiſtans collocata eſt. Quæ
igitur primo modo mouentur, fortè facilius quam figuræ rectilineæ, vt ſunt
triangulares, quadratæ, pentagonæ, &c. mouentur, quia circulares figuræ
parua ſui parte, & quaſi in puncto planum, ſeu pauimentum contingunt, vn­
 de fit, vt neque offenſent, neque impingant; cuius cauſa eſt, quia à terra ſemo­
 tus eſt angulus, ideſt tali angulo planum contingunt, vt ab eo ſtatim rotæ
curuatura à terra eleuari incipiat, & propterea parum terræ hæreat: in fi­
 guris verò rectilineis, in quadrata. v. g. ſecus accidit, quia ab angulo ad an­
 gulum linea recta tenditur, vnde in ipſius volutatione poſt contactum vnius
anguli tota recta linea ſequens, plano adaptabitur, & non ſemouebitur ſta­
 tim in altum, & ideò multum offenſabit, & impinget, tardeque; idcircò mo­
 uebitur. Præterea circulares etiam, ſi cui obuiam fiunt corpori, illud ſimi­
liter ſecundum puſillum tangunt: rectilineæ verò figuræ, rectitudine ſua
plani multum contingerent. Ad hæc motor mouens huiuſmodi rotas, eas
mouet, quò nutant: nam quando rota erecta eſt ſuper pauimentum, dia­
meter ipſius, quæ à contactu pauimenti ad angulos rectos, ad ſupremum
1rotæ perducitur totum rotæ pondus in duas æquas partes diuidit, ita vt ta­
 le pondus in æquilibrio conſtituatur, cum ex vna parte tantum ſit, quantum
ex altera; ex quo fit, vt vel exigua vis ipſam impellere valeat: quando enim
duo æqualia pondera ſunt in æquilibrio, quelibet vis poteſt ea ab æquilibrio
dimouere. quando poſtea rota eſt in motu, vel cum primum ei motus fuerit
à motore inditus, ſemper nutat ad partes illas, ad quas primum fuit incita­
 ta per impreſſam motionem, quapropter nullo negotio ad eaſdem partes,
ſeu antrorſum mouetur; quò enim vnumquodque vergit, illuc facillimè fer­
 tur: quemadmodum è contrario difficillimum eſt in contrariam nutus ſui
partem vnumquodque pellere. Huc etiam pertinet, quod nonnulli dicunt,
circuli nimirum periphæriam perenni verſari motu, atque hinc facilius mo­
 ueri. ſicuti etiam dicunt, quod manentia propterea manent, quia contrani­
 tuntur, & obſiſtunt mouenti: quod fortè dicebant propter maximam circu­
li ad motum aptitudinem. & quia ſicut diameter ad diametrum, ita maio­
 ris circuli periphæria ad minoris periphæriam (vt poſtea oſtendam) & quia
quo longior diameter eſt, eò facilius, vt initio probaui, mouetur, fit vt etiam
periphæria maioris facilius, quàm minoris moueatur, ſiue dixeris, quod an­
 gulus maioris circuli ad angulum minoris nutum quendam habet; & quia
facilius mouetur angulus maioris, quàm minoris, fit, vt maior rota adhi­
 beatur ad minorem mouendam: & quia intra maiorem infinitæ circa idem
centrum concipi poſſunt, hinc fit, vt rotæ maiores facilius moueantur, &
motæ moueant cæteras intra ſe contentas. quod dictum eſt de nutu anguli
maioris circuli ad angulum minoris ex appoſita figura facilè patebit, vbi
97[Figure 97]
pro minore angulo intelligendus eſt arcus C B,
pro maiore autem arcus D E, quorum vterque vo­
 catur angulus, quoniam angulo A, qui eſt in cen­
 tro opponuntur. Atque hæc ſufficiant de ijs, quæ
primo modo mouentur.
Nunc ad ea, quæ reliquis duobus modis cieri
ſolent, quæ ſcilicet non mouentur ſecundum apſi­
 dem, ſed aut iuxta planitiem, ideſt, quæ æquidi­
ſtanter pauimento collocantur, vt rotæ figulorum,
aut quæ in loco à terra eleuato, vt troclearum or­
 biculi. rotæ hæ facilius ipſæ, & ea etiam, quæ ipſis annectuntur commouen­
 tur, quam ſi rectilinea figura conſtarent; non quia parua ſui portione vel
tangant planum, vel offenſent, ſed ob aliam inclinationem, de qua initio
huius operis ante quæſtiones dictum eſt, vbi diximus circulum duas incli­
 nationes ad motum obtinere, ſecundum quas à motore mouetur; vna eſt,
quam diximus naturalem, qua ſolet cieri ſecundum periphæriam, motor
enim ſemper mouet circulum in periphæria, & ſecundum hanc inclinatio­
 nem extremum diametri rectà, non circulariter moueretur: hanc inclina­
 tionem fortè habet à materia grauitante, & in ipſo circulo conſtituta in
æquilibrio: quæ autem in æquilibrio, facillimè cedunt; & qui talia mouent,
quaſi prius mota mouent, & ideò facillimè. Secundum igitur inclinatio­
 nem hanc, quæ in obliquum eſt, ideſt, quæ ſecundum circunferentiam ſit,
ipſam rotam mouens facillimè mouet. altera latio eſt, ſecundum quam
1culus à ſeipſo ſecundum diametrum mouetur, ideſt circa ſuum centrum re­
 trahit continuò extrema diametri; ne recta ſecundum naturalem lationem
ferantur, ſed in orbem circulariter circa centrum gyrentur. hæc Ariſt. Re­
 ſtat vt ſatisfaciam promiſſis.
Dictum eſt ab Ariſt. in textu (Sicut diameter ad diametrum, ita maior circu­
 lus ad maiorem) quæ verba intelligenda eſſe non de circulis, ſed de periphæ­
 rijs, vti expoſui, manifeſtum eſt ex 11. propoſit. 5. Pappi Alexandrini, quæ
talis eſt: Circulorum circunferentiæ inter ſe ſunt vt diametri. quam etiam
Pater Clauius demonſtrat propoſ. 2. lib. 8. & propoſ. 1. lib. 4. Geom. pract.
ſi autem de ipſis circulis intelligerentur falſa eſſent, non enim eſt circulus
ad circulum, vt diameter ad diametrum; ſed circuli ſunt inter ſe, quemad­
 modum à diametris ipſorum quadrata per ſecundam 12. Elem. quadrata
autem ſunt inter ſe in duplicata ratione laterum per 20. 6. eiusque corolla­
 rium; hoc eſt ſi fiat, vt latus maioris quadrati ad latus minoris, ita latus mi­
 noris ad aliam tertiam lineam, erit quadratum maius ad minus, vt latus
ipſius ad tertiam illam lineam; non autem vt ad latus minoris. cum ergo
circulus ſit ad circulum, vt quadratum diametri ad quadratum diametri,
& quadrata non habeant rationem laterum, ſeu diametrorum prædictorum,
ſed illorum duplicatam, neque circuli inuicem illam habere poterunt.
Illud demum non ignorandum, quod Guidus Vbaldus propoſit. 1. de Tro­
 chlea, demonſtrat, quod nimirum potentia ſuſtinens pondus per rotulam,
cui funis ſupernæ fuerit circumductus, qualis ea eſt, qua ad hauriendam ex
puteis aquam vtimur, talis inquam potentia eſt æqualis ponderi; cuius ra­
 tio eſt, quia tunc trochlea fit vectis, cuius fulcimentum eſt in medio vectis,
pondus verò, & potentia in extremitatibus ſunt, & æquidiſtant ab hypomo­
 clio, & propterea cum ſit eadem proportio ponderis ad potentiam, quæ di­
 ſtantiæ ad diſtantiam, vt ſupra quęſt. 3. probatum eſt ex Archimede, & Gui­
 do Vbaldo, diſtantiæ autem ſint æquales, erunt etiam pondus, & potentia
æqualia, ideſt, ſi pondus eſſet vnius libræ, ſuſtineretur à tanta vi, quanta opus
eſt ad libram vnam ſuſtinendam, & non amplius. vt autem clarè appareat
vectis in trochlea, & hypomoclion, & æquales diſtantiæ, ſit figura, in qua
98[Figure 98]
pondus D, ductario funi D C B E, alligatum. poten­
 tia ſuſtinens E. axis autem erit diameter rotulæ B A C,
nam potentia premit rotulam in B, & pondus in C, &
cum rotula ſuſtineatur in A, à ſuſpenſorio F A. erit
punctum A, hypomoclion, quia in motu vectis eua­
 dit centrum, eſtque; punctum manens. æquales autem
diſtantiæ vtrinque ab hypomoclio ſunt B A, A C, ſunt
enim ex centro eodem. ex quibus manifeſtum eſt hu­
 iuſmodi rotulam nullam vim mouenti addere, ſed ſo­
 lum illud præſtat, vt omne tollat impedimentum,
quemadmodum ait Ariſt. manifeſtum etiam eſt ma­
 iorem vim quamlibet, quam ſit ea, quæ ſuſtinet, poſſe
idem pondus ſurſum mouere. hæc & præſenti loco, &
ſequentibus lucem afferre poſſunt.
1
QVÆSTIO NONA
De Trochleis, & Scytalis.
250
Cvr ea, quæ per maiores circulos tollantur, & trahuntur facilius, & ci­
 tius mouentur? veluti per maiores trochleas, quàm per minores, & ſcy­
 talas ſimiliter? An quanto maior fuerit illa, quæ à centro eſt, in æquali
temporis ſpatio maius ſpatium conficit? quamobrem æqualì inexiſtente
onere, idem faciet, ſicuti diximus maiores libras minoribus exactiores eſſe; ſpar­
 tum enim in illis centrum eſt: partes verò libræ vtrinque à ſparto ſunt veluti lineæ
ex centro) Cum textus huius quæſtionis fatis clarus ſit, præſertim ſi prius
legantur, quæ dicta ſunt de libra in prima quæſt. & quæ de rota, & trochlea
in proxima præcedenti, à paraphraſi ipſius ſuperſedebo. Illud tamen, quod
magis neceſſarium eſt, non omittam, vt ſcilicet difficultatibus quibuſdam
occurram. Et primo, quod Ariſt. ait, ea quæ per maiores circulos veluti
trochleas, ſeu rotulas trahuntur, facilius trahi, quàm ea, quæ per minores,
non videtur ex omni parte verom. nam ſicuti in præcedenti quæſtione oſten­
 ſum eſt ex Guido Vbaldo, trochlea ſimplex, ſiue rotula illa ſtriata, cui funis
ſupernè inditur, vt in ſuperiori figura; nullas addit vires potentiæ, quia re­
 ducitur ad vectem, cuius fultura ſit in medio ipſius. ſiue igitur rotula illa
magna fuerit, ſiue parua, ſemper in talem vectem reſoluetur, & propterea,
vt etiam experientia conſtat eodem labore aquam hauriunt, ſiue rotula illa
magna fuerit, ſine parua. nec minus vera videtur reſponſio, cum ait (An quia
quanto maior fuerit illa, quæ à centro eſt, in æquali tempore maius mouetur ſpatium)
quæ quidem vera ſunt, ſi intelligantur hoc modo, nimirum, quod quando
plures circuli concentrici, atque inuicem connexi fuerint, ita vt vnus ſine alijs
moueri nequeat, tunc quanto maior fuerit diameter, & conſequenter cir­
 cunferentia, tanto velocius mouebitur. ſi autem intelligantur de duobus
circulis ab inuicem ſeparatis, quorum vnus abſque altero moueri poteſt, vt ſie
quando vtimur modo rotula magna, modo parua ad aquam hauriendam
non videntur vera, in quo ſenſu manifeſtè loquitur Ariſt. Quapropter vt ſin­
 cerè loquar, nunc neſcio, qua ratione Ariſt ab errore excuſare valeam, alijs
fortè occurret.
Secundo loco videndum quid ſint ſcyntalæ. Vt autem conſtat ex ſequenti
quæſtione 11. ſcyntala erat inſtrumentum quoddam vectorium, quod ro­
 tas, ſicut currus, aliter tamen factas, habebat, porrò σκυταλὴ, ideſt ſcytala
inter alia ſignificat baculum, ſiue lignum oblongum, ac teres, qualia ea ſunt,
quibus vtimur in ſucculis, vulgò Naſpe; & in axe in peritrochio, vt videre
eſt apud Guidum Vbaldum. hinc factum eſt, vt apud Lacædemonios ſcytala
ſignificaret quoddam genus epiſtolæ, quam ſcytalem laconicam dicebant,
quia in charta inſtar zonæ oblonga, & circa ſcytalam, hoc eſt circa bacillum
quendam ſpiratim circumuoluta exarabatur; ita vt verſus ſcripturæ ſecun­
dum ſurculi longitudinem ducerentur, ex quo fiebat, vt per iuncturas mem­
 branæ, literæ, ac verba procederent, membranam hanc ex ſcytala reuolu­
 tam, & aliter complicatam Imperatori mittebant, reſolutio autem
1branæ literas truncas, atque mutilas reddebat; cum partim continerentur
citra iuncturas, partim vltra: eæquè partes, quæ ſimul fuerant ſcriptæ, &
continuatæ, poſt reſolutionem erant ab inuicem valde diſſitæ. quapropter
Imperator commenti totius conſcius, eandem membranam ſcytali alteri
priori omninò ſimili, æqualique; eodem modo, quo prius circumponebat, ſicque;
iuncturæ priores redibant, quæ literas, ac verba mutila, & imperfecta in
integrum reſtituebant, vt facilè legi poſſent. hoc illi vtebantur ſecreto, cum
literas ad Imperatores ſuos miſſas, hoſtibus occultas eſſe volebant.
Ex quibus conijcere licet ſcytalam fuiſſe lignum oblongum, & teres, ſiue
vt Geometræ dicunt, Cylindrum; in cuius tamen extremitatibus eſſent
margines duo aliquantulum prominentes, ceu binæ rotæ, cum ipſo tamen
continuæ, & connexæ, vt cum ipſo ſimul conuoluerentur; non tamen tan­
99[Figure 99]
quam circa axem. cuius hanc accipe fi­
 guram. Quærit igitur Ariſt. cur huiuſ­
 modi ſcytalæ facilius moueantur, quo
maiores ipſarum ſunt rotæ. Cui quæ­
 ſtioni ſimul, ijſdemque verbis, quibus
quæſtioni de maioribus rotulis reſpondet, ſed non ſatisfacit ob eandem ra­
 tionem, quam ibi attuli. Crediderim tamen maiores ſcytalas, & maiores
curruum rotas, & alia id generis, quæ volutantur, ita vt motu progreſſiuo
mutent locum, facilius moueri, ſed ob aliam cauſam, quia nimirum maio­
 res rotæ minus ſi quid obuiam fiat, offenſant, quia ſua magnitudine quem­
 libet obicem facilè ſuperare poſſunt; cuius cauſa eſt angulus acutiſſimus,
quem cum terra facit; at verò exiguæ rotæ, ſi cui maiori obſtaculo obuia­
 rint, ipſum nequeunt ſuperare, aut ſuperaſcendere, quia angulum cum ter­
 ra faciunt inſto maiorem, vnde facilè ipſorum curſus inhibetur, ipſæque; pro­
 pterea præ maioribus tardiores euadunt. Atque hæc in hanc quæſtionem
dicta ſufficiant.
QVÆSTIO DECIMA
De libra vacua, & alijs ſimilibus.
251
Cvr libræ, quæ omni incumbente pondere ſunt vacuæ ab impoſito
pondere facilius mouentur, quàm ſi quopiam inexiſtente pondere
aliud rurſus onus ſuperaddatur. ſimiliter etiam rota, & huiuſmodi
quippiam, quod grauius quidem eſt, difficilius commouetur quàm
læue, v. g. rota ferrea difficilius, quàm lignea. ſimiliter quæ maiora ſunt,
etiam ſi ex eadem materia conſtent difficilius mouentur quàm minora, vt
rota maior ferrea, quàm minor etiam ferrea. Habet hæc quæſtio tres par­
 tes, quibus Ariſt. reſpondet dicens, quod graue eſt ægrè moneri non ſolum
contra nutum ſuum, ideſt ſurſum, ſed etiam in obliquum, ſeu ad latera, quia
grauia deorſum nutant, non ſurſum, nec in tranſuerſum: ideo libræ cum one­
re, quia ſunt grauiores, & rota ferrea quàm lignea, & ferrea etiam maior,
quàm minor grauior eſt, ideò difficilius agitatur.
Contra quam reſponſionem ſic fortè obijcies; in præcedenti enim
1ſtione dictum eſt ab Ariſt. maiores trochleas, & ſcytalas, minoribus facilius
commoueri, hic autem dicit maiorem rotam difficilius quàm minorem mo­
 ueri. Hanc obiectionem Piccolomineus diſſimulaſſe videtur, cui ego, inge­
 nuè fateor, me ſatisfacere neſcire, vt enim in præcedenti annotaui, nulla
mihi ratio Ariſt. excuſandi occurrit, alijs fortè occurret. In præſenti au­
 tem benè quidem reſpondet, ſed tamen intimam rei cauſam non attingit.
Sciendum igitur eſt id, quod Guidus Vbaldus in tractatu de libra pluri­
 bus demonſtrauit: quod ſi quoduis graue ſuſpendatur prorſus in centro gra­
 uitatis, ita vt in perfecto ſit æquilibrio, tunc ſiue magnum, ſiue paruum,
ſiue graue, grauiuſuè fuerit, à quauis exigua vi poterit ab æquilibrio dimo­
 ueri. cur ergo in libris, & rotis grauioribus, aut maioribus experientia con­
 trarium oſtendit? ratio eſt, quia hæc omnia communiter non collocantur,
ita vt circa centrum ſuum, quod etiam centrum grauitatis eſt, conuerti
poſſint: verum aptantur circa axem, & quidem iuſto maiorem, laxiuſque
circa ipſum conuertuntur, vnde fit, vt ipſa ob inſitam grauitatem premant
axem in ſuperiori parte, vnde quando ab aliquo gyrantur, non propriè gy­
 rant, ſed in ſuperiori axis parte hærentes ipſum atterunt; ex qua attritione
fit, vt retardentur, idque; eò magis, quo grauiora magis premunt; hærent,
difficiliusque; propterea raptantur potius, quàm gyrentur.
Ex his, & textus, & ratio Ariſtotelis ſatis clara redduntur.
QVÆSTIO VNDECIMA
De Scytala, & Curru.
252
Cvr ſuper ſcytalas facilius portantur onera quàm ſuper currus, cum
tamen currus magnas habeant rotas, ſcytalæ verò puſillas?
Quidnam ſcytala eſſet explicatum eſt in 9. quæſt. Quo autem
modo per ſcytalas onera portentur, ſic, accipe: exiſtimo binas ſcy­
 talas inuicem æquidiſtantes, & aliquantulum ſemotas inuicem ſic diſponi,
vt efficiant inſtrumentum vectorium currus inſtar, & fortè veteres vteban­
 tur his ſcytalis eo modo, quo nunc architectores vtuntur duobus illis lignis
longis, ac rotundis, quæ vulgò dicuntur Ruccioli.
Reſpondet igitur id accidere, quia rotæ ſcytalarum ſimul ſunt cum ſuo
axe compactæ, ita vt ſimul cum ipſo rotentur: rotæ autem curruum, quia
ſeiunctæ ſunt ab earum axe, ita vt ſine illius rotatione ipſæ voluantur, fit vt
illæ firmius incedant, nec huc, illucque; nutent, veluti rotæ plauſtri: neque illæ
ad ipſum axem offenſent, quemadmodum iſtæ. addit aliam rationem, quia
currus nimia oneris grauitate premens rotas ipſas ferè ſiſtit, quod ſcytalis
non accidit, cum rotæ ipſarum vnum, & idem cum ſuo ſint axe. quæ ratio
quantum valeat, neſcio, nam quamuis rotæ ſcytalarum non premantur ab
axe, premitur tamen axis ipſarum ab onere, à quo ſimiliter ſiſti debe­
 rent ſcytalæ.
Crediderim ego facilius portari magna onera per ſcytalas, propter ipſa­
 rum firmitatem, currus enim ipſorumque rotæ ſunt multò debiliores, neque
maioribus oneribus ſufficiunt. Concludit poſtea quæſtionem dicens, quia
1igitur ſcytalæ ab ipſo onere non ita premuntur quin moueri melius poſſint
quàm currus, imò ab ipſo onere iam commoto, ipſæ quoque incitentur, &
præterea à potentia per planum infernè, benè ſubſtratum, & complanatum
trahantur, fit, vt quaſi in duobus locis ipſarum rotæ impellantur ab onere
ſupra, & à potentia infra; ſicque facilius quam currus ingentia præſertim
onera vehunt.
De Funda.
QVÆSTIO DVODECIMA.
Non videtur declaratione indigere.
QVÆSTIO DECIMATERTIA
De Iugo, & Succula.
253
Declarandum prius quid ſit hoc loco iugum: eſt igitur iugum li­
 gnum illud cylindricum, quod vulgò dicitur Subbio. quorum bi­
 na ponuntur in ea machina textoria, quam vulgò dicunt Telaio,
quaſi telarium, eo quod in ipſa telæ texantur. alteri autem iugo
conuoluitur ſtamen: alteri verò contexta iam tela ſubinde cum opus eſt cir­
 cumponitur: quæ duo textores faciunt ipſa iuga conuertendo. quæ vt faci­
 lius conuertant, iugis vtrinque inſerunt per bina foramina binos collopes.
qui collopes ſunt duo ligna oblonga ſatis gracilia vnius vlnæ ferè in longi­
 tudinem; quibus appræhenſis, motisque; iugum facilè verſatur. quanto autem
collopes ſunt longiores, facilius iugum circumagitur. cuius cauſa eſt, quia
collops ad vectem reducitur, cuius fultura eſt circa medium iugi, pondus
verò eſt extima iugi ſuperficies è qua telæ, aut ſtaminis pondus pendet: in
altera verò extremitate collopis, quæ extra iugum multum prominet, eſt
potentia: ibi enim textoris manus premit, vel trahit. quando ergò longior
eſt collops, ea pars, quæ eſt inter fulturam, & vim, augetur; altera non mu­
 tata; quia ſemper inter fulturam, ſeu centrum iugi, & vltimam iugi ſuper­
ficiem continetur; quanto autem illa hanc ſuperat, tantum virium po­
 tentiæ addi.
Secundò, videndum quid ſit ſuccula: hanc vulgò Naſpa appellant, ni fal­
 lor à verbo græco ἀγασπάω, oriunda, quod ſurſum extrahere ſignificat. cum
quo, & voce, & ſignificatione conuenit; eſt enim inſtrumentum, quo ſæpius
architectores in extrahendis ſurſum ruderibus effoſſis vtuntur. eſt autem
compago quædam cylindrica non admodum longa, cui ex vna parte potiſ­
 ſimum prominent plures collopes non mobiles, vt in iugo, verum ſtabiles,
ac cum ipſa ſuccula compacti, quibus manu appræhenſis ſuccula ſupra bi­
 nos polos verſatur, eique; interim ductarius funis circumuoluitur, ſecumque
ſurſum pondus educit. cuius imaginem qualemcunque inſpice. quærit igitur,
cur quanto gracilius fuerit corpus ſucculæ A B, tanto facilius vertitur.
Ratio eſt, quia collops, quemadmodum etiam iugum, reducitur ad
1100[Figure 100]
cuius hypomoclion eſt in medio
ſucculæ, ſiue in axe ipſius ſucculæ;
potentia verò eſt in ſummitatibus
collopum, vt in C, E, F, D, pon­
 dus verò eſt vbi funis ductarius
cum onere pendet è ſuccula in ſu­
 perficie nimirum, vt vbi L, quare
pars vectis inter axim, & ſuperfi­
 ciem ſucculæ eadem eſt, quæ inter
hypomoclium, & pondus. quanto
igitur ſucculæ corpus gracilius fuerit, tanto hæc pars minuetur; & conſe­
 quenter altera inter hypomoclium, & potentiam productior euadet: eaque
propter facilius à motore verſabitur.
De ligno ad genu fracto.
QVÆSTIO DECIMAQVARTA.
Satis perſe clara videtur.
QVÆSTIO DECIMAQVINTA
De Vmbilicis.
254
Notandum primò, quæ Græcis Κροκαι, ideſt Crocæ dicuntur, Latinis
Vmbilicos appellari; de his enim loquitur Cic. 2. de Oratore, vbi
ſic, non audeo dicere de talibus viris, ſed tamen ita narrare ſole­
 bat Sceuola, conchas, eos, & vmbilicos ad Caietam, & ad Lucri­
 num legere conſueuiſſe. hos autem vmbilicos exponunt Grammatici eſſe
lapillos paruos, acrotundos, politoſque, de quibus etiam Ariſt. loquitur.
Quare decipitur Piccolomineus dum negat, nos harum crocarum latinum
nomen habere. Cæterùm, & quæſtio, & reſponſio, ex ſuperioribus ſatis
perſpicua eſſe videntur.
QVÆSTIO DECIMASEXTA
De ligno oblongo.
255
Ex appoſita figura totus huius problematis textus, alioquin ſatis cla­
 rus patebit. ſint duo ligna oblonga, vnum altero longius, & craſſius.
in eleuatione maioris, fulcimentum eſt in B, vbi manus altera ferè
manens appræhendit; in C, verò, vbi altera manus mouens premit
eſt potentia, ſiue maius onus. in A, verò onus ipſius ligni, deorſum tendens
premit, quod nunc eſt inſtar potentiæ motricis, quare A, & C, ſunt ſibi in­
 uicem, & potentiæ, & pondera. In minori autem ligno, onus ligni in
1101[Figure 101]
fultura manus in E, potentia alterius ma­
nus in F. iam inquit Ariſt. maius lignum
A B C, magis flectitur, quamuis craſſius
ſit, quàm lignum D E F, quod eſt tenuius,
ſed multò breuius; quia in maiori onus
ipſius ligni, quod circa A, deorſum pre­
 mit longius diſtat ab hypomoclio B, quàm
in minori ligno. Ex quo ſequitur iuxta
ipſius principia, vt onus A, facilius lignum mouere, aut inflectere
poſſit.
Cæterùm exiſtimo, quod ſi maioris ligni longitudo ad eiuſdem
craſſitiem haberet eandem proportionem, quàm minoris longitudo ad eiuſ­
 dem craſſitiem, ſicque; vtrumque eſſet ab hypomoclio in eadem ratione diui­
 ſum, fore, vt vtrunque eodem modo inflecteretur, quia haberent pondera
eandem rationem ad diſtantias ab hypomoclio, oportet igitur vt ſint non
analoga, ſed aloga, vt eis præſens problema Ariſtotelis vnà cum eiuſdem
ſolutione competat.
QVÆSTIO XVII.
De Cuneo.
256
Cvr paruo cuneo magna finduntur onera, & corporum moles, adeoque
valida fit impreſſio? fortè, quia cuneus duobus vectibus ſibi inui­
 cem oppoſitis conſtat; quorum vterque, & potentiam mouentem,
& hypomoclion, & pondus habet. hypomoclion autem illud ipſum
eſſe ait, quod cuneo diuellitur; hoc autem dicit Ariſtot. quia non agnouit
alium, præter primi generis vectem, vt ſupra etiam dixi.
Verum ſatius eſt cum Guido Vbaldo reducere cuneum ad duos ſecundi
generis vectes, quorum fultura ſit in cunei apice extremo, pondus verò in­
 tra vectem, ea nimirum pars ligni, que à cuneo vrgetur, ac diuellitur. cuneo
præterea vires adduntur ex valida mallei percuſſione; malleus autem ipſe
magna vi percutit, quia motus mouet, ſeu quia mouens malleum, mouet
ipſum etiam dum eſt in ipſa latione, vnde ipſa lationis celeritate malleus
fit valentior: hocque; modo paruos cunei vectes maiores conſequuntur vires,
102[Figure 102]
quàm ipſa vectium magnitudo poſtulet.
ſit cuneus A B C. lignum autem ſcinden­
 dum D E F G, vectesque duo ſint A C, &
B C, quorum commune hypomoclion eſt
in C, onus autem vectis B C, eſt pars li­
 gni G, hæc enim ipſi contranititur, atque
ab eo expellitur. potentia verò mouens
vectem eſt in malleo, dum ſuperius latus
cunei A B, percutit. alter huic auerſus
vectis eſt latus A C, cuius fultura eſt C,
eadem cum priori, onus propulſatum D,
1potentia cum altero communis eſt in latere A B, à malleo validè percuſſo.
cunei igitur virtus partim ex vectibus, partim ex percuſſione conſtat.
QVÆSTIO XVIII.
De Trochlea.
257
Hvius quæſtionis ſenſus, ac verba optimè intelligentur ex ſequen­
 tibus. Trochlea, vt patet ex ſuperioribus Ariſt. eſt orbiculus in
periphæria ſtriatus, vna cum toto loculumento, cui inſeritur:
cuius imaginem ad 8. quæſt. exhibui. Apud Architectores verò
trochlea conſtat ſaltem ex duobus prædictis loculamentis, in quibus ſunt
orbiculi; & vnus orbiculus eſt ſupernè collocatus, alter verò infernè, vt pa­
 tebit in ſequenti figuratione: quod inſtrumentum nunc vulgò dicitur Taglia,
à nonnullis dicitur etiam Rechamo. Auxilio huius inſtrumenti machinato­
 res parua vi attollunt ingentia pondera. communiter autem conſtat ex plu­
103[Figure 103]
ribus orbiculis, qui partim ſuperiori loculamento,
partim inferiori inditi ſunt, per quos orbiculos cer­
 ta lege circumductus eſt ductarius funis, qui deinde
in ſui poſtrema parte à potentia tractus omnes illos
orbiculos, per quos tranſit circumuoluens inferius
loculamentum, cui appenſum eſt pondus, vnà cum
pondere attollit. figuram ſimplicis trochleæ, con­
 ſtantis ſcilicet ex duobus tantum orbiculis, facilita­
 tis cauſa exhibebo, in hac enim melius apparebit,
qua ratione trochlea ad vectem reducatur. vnde, &
Ariſt. ſenſum, quamuis obſcuriſſimum, ac proinde
problematis ſolutionem optimè percipere licebit.
Sit igitur orbiculus ſuperior A, qui in pegmate I K­
 L D, voluatur circa axem G, ſitque; pegma iſtud ſupe­
 rius fixum, & immobile à clauo H, pendens. Infe­
 rior orbiculus B, in loculamento O P Q R, circa
axem B, conuoluatur: ſitque funis ductarius circa
hos orbiculos hoc modo circumductus. primo ca­
 put funis religetur clauo D, in ſuperiori pegmate
infixo, hinc demiſſus ſubtus inferiorem rotulam per
ipſius ſtriam deſcendat per puncta L S, aſcendatque
poſtea per M E N, ad ſuperiorem rotulam, ſupra
quam aſcendat per punctum T, deſcendatque; ad V, &
inde demittatur ad potentiam F. Iam ſi quepiam po­
 tentia in F, traxerit funem F V, deorſum, interim
partes T, N, E, M, ſurſum attrahentur, & locula­
 mentum inferius ſimul cum appenſo pondere eleua­
 bitur, manente tamen interim fune prope D, vbi
clauo D, eſt religatus, & immobilis. ſed vbinam hic
vectis? conſidera diametrum M L, inferioris orbiculi, hæc enim ea eſt, quæ
1vectem gerit. huius enim extrema L M, à fune tanguntur, & ab eius medio
B, onus pendet, & grauitat; & quia funis in M, ſurſum trahitur, ſecumque; ex
parte illa ſurſum elenat diametrum L M, erit potentia mouens, & eleuans
in M. pondus verò intra vectem ad B, medium vectis; quare fulcimentum
erit in reliquo extremo L, vbi funis ſuſtinet loculamentum, & vbi diameter,
ſeu vectis innititur. quare diameter hæc eſt vectis ſecundi generis expoſiti.
aduerte præterea vectem hunc eſſe mobilem, ſimul cum fulcimento, quia dum
ex parte M, ſurſum tollitur ſimul cum toto orbiculo, ac loculamento, ſub­
 ſequitur etiam alterum extremum L, quod fune fulcitur, & in ipſo fune ſur­
ſum verſus D, aſcendit; & hoc modo inferius tignum cum onere tandem ad
ſuperius tignum ſublatum erit. hinc verum dixiſſe Ariſt. conſtat, trochleam
ſcilicet idem eſſe, ac vectem. quod tamen de ſolo inferiori orbiculo intelli­
 gi debet, ſuperior enim rotula quamuis vectis fiat, non tamen vires vllas
potentiæ tribuit, cum eius hypomoclion ſit in medio, quemadmodum ſupra
ad 8. quæſt. expoſui. Inferior igitur ille eſt, qui mouenti maximo eſt adiu­
 mento. quod ſi ſcire aueas quantum iuuet, reſpondeo ipſum vires potentiæ
duplicare; adeo vt ſi quatuor. v. g. homines erant neceſſarij ad pondus tol­
 lendum, auxilio huius ſimplicis trochleæ duo tantum ſufficiant. quod ſi ad­
 dantur duo alij orbiculi, vnus ſuperior, alter inferior, rurſus vires duplica­
 buntur, eritque; vnus tantum homo neceſſarius. quod ſi plures aliæ rotulæ tam
ſupernè, quàm infernè addantur, vt ſolet in maioribus trochleis, quas ve­
 teres Polyſpaſtos, ideſt multum trahentes dixerunt, augebuntur vires in in­
 finitum. quod dixi de virium duplicatione conſtat ex 6. & 7. propoſitione
Archimedis de Aequip. quia enim in vecte noſtro L M, dupla eſt proportio
inter L M, & L B, eadem etiam proportio erit inter pondus, & potentiam,
quare pondus C, duplum erit potentiæ in M, hoc eſt à minore potentia ſibi
ſubdupla ſuſtinebitur: & à quauis adhuc quantumcunque maiore eleuabitur.
Qui plura de trochlea deſiderat, adeat Guidi Vbaldi, Mechanica, cuius
auxilio fateor me verum ſenſum harum Mechanicarum Ariſt. & præſertim
huius loci enucleaſſe. quæ ſi cum Piccolominei expoſitione contuleris, vide­
 bis eum nequaquam cognouiſſe, vbi nam vectis in trochlea lateret, eumque
tam ſuperiorem, quàm inferiorem rotulam æquè vectem facere; in quo etiam
Io. Baptiſta Benedictus pariter erraſſe videtur in ſuis ſpeculationibus, cum
inferiores tantummodo vice vectium fungantur, vt probatum eſt.
Atque ex his ſatis mihi videtur textus, ac ſenſus Ariſt. illuſtrari.
QVÆSTIO XVIIII.
De Securi.
258
Partim ex ſe, partim ex dictis in 17. quæſt. ſatis clara eſt. placet au­
 tem his, quæ de cuneo, & ſecuri dicta ſunt, nonnulla ex Guido Vbal­
 do loco corollarij adijcere, videlicet. Ad huiuſmodi facultatis in­
ſtrumentum ea quoque omnia commodè referri poſſunt, quæ percuſ­
 ſione, ſiue impulſu incidunt, diuidunt, perforant, huiuſmodique; alia obeunt
munera; vt enſes, gladij, mucrones, ſecures, terebræ, & ſimilia: ſerra quoque
ad hoc reducitur, dentes enim percutiunt, cuneique; inſtar exiſtunt.
1
Additio de veteri Securi, & Bipenne.
Libet etiam huic tractationi de ſecuri nonnulla addere, quæ olim oc­
 caſione ex Proclo accepta in tenebris diu deliteſcentia in lucem re­
 ſtituimus, ſunt autem hæc. Primò, antiquæ ſecuris, necnon bipen­
 nis figuram reſtituam. Secundò, oſtendam angulum ſecuris, qui
curuilineus eſt, æqualem eſſe angulo trianguli æquilateri, qui rectilineus eſt.
Proclus igitur in comm. 23. primi Euclidis, ſic ait: oſtenſum fuit ab anti­
 quis, ſcilicet Geometris, quod angulus figuræ illius, quæ ſecuri ſimilis eſt,
æqualis eſt angulo rectilineo, quippe qui duabus tertijs anguli recti æqualis
eſt. hanc anguli ſecuris affectionem, cum nec ille, nec alij, quod ſciam de­
 monſtrent, ego paulò poſt demonſtrabo. deinde ſubdit; fit autem huiuſmo­
 di ſecuralis figura, quæ pelecoides vocatur duobus circulis per centra ſe
mutuò ſecantibus. hæc Proclus. Ex his autem poſtremis verbis deſcriptio­
 nem antiquæ ſecuris, ſic puto eruendam. Ducatur primo recta A C, quæ
104[Figure 104]
erit inſtar manubrij ſecuris. de­
 inde ex centro C, interuallo. v. g.
C B, deſcribatur circulus B F; ſi­
 militer eodem interuallo B D, ex
centro D, deſcribatur circulus
B E; tandem ex B, centro, atque
eodem interuallo ducatur alius
circulus D E F C, qui priores duos ſecabit in punctis E F. conſideremus iam,
reliquis circulorum partibus ommiſſis, curuilineam figuram B E F, quam
eſſe veteris ſecuris formam ex ſententia Proclinon eſt dubitandum, cum cir­
 culis ſe mutuò per centra ſecantibus conſtituatur, vt vult ipſe, & præterea
habeat angulos E F, tantos, quantos ipſe tradit, vt mox patebit; linea au­
 tem A B C, ſecuris manubrium refert.
Quod autem tam angulus E, quàm angulus F, ſint æquales duabus tertijs
vnius anguli recti, ſiue quod idem eſt angulo trianguli æquilateri, manife­
ſtum erit hoc modo. Deſcribatur iterum ſecuralis figura prædicto modo,
ſitque ea A B C. ducantur præterea ad ſingulos angulos tres rectæ A B, B C,
C A, quæ conſtituunt triangulum æquilaterum A B C, tria enim ipſius late­
105[Figure 105]
ra ſubtendunt tres arcus æquales A B, B C, C A,
ſunt enim tres ſextantes æqualium circulorum,
ut facilè colligi poteſt ex 15. 4. ex quo etiam ſe­
quitur tres illas circulorum portiones, quas re­
 ctè cum ſuis arcubus conſtituunt eſſe inuicem
æquales, & ſimiles portiones nimirum A B E,
B C D, C A F. hinc pręterea ſequitur angulos ip­
 ſarum eſſe inuicem æquales, angulos, v.g. A B E,
C B D, mixtos eſſe æquales, quod facilè eſt per imaginariam ſuperpoſitio­
 nem demonſtrare. cum igitur prædicti duo anguli ſint æquales, ſitque inter
eos medius alius angulus E B C, qui pariter mixtus eſt, ſi ipſe addatur tam
angulo C B D, quàm angulo A B E, inuicem æqualibus, erunt duo anguli
1A B C, rectilineus, & E B D, curuilineus æquales. ille autem eſt angulus
æquilateri, qui æqualis eſt duabus tertijs vnius recti ex corollario 32. primi.
hic verò eſt angulus ſecuris. eſt igitur angulus ſecuris æqualis duabus ter­
 tijs vnius recti, vt ait Proclus, quod demonſtrandum erat. quod etiam ma­
nifeſtum ſignum eſt ſecuris figuram a me reſtitutam eſſe illam veterem, de
qua idem Proclus loquitur.
Reſtat, vt de antiquæ bipennis etiam figura diſſeramus; quæ nihil aliud
erat, quàm duplex ſecuris, ſiue ſecuris anceps, qualis eſt præſens figura, vt
106[Figure 106]
propterea etiam ſæpius bipennis ip­
 ſa ſecuris appelletur. dicitur enim
bipennis, quaſi binis pinnis, quæ ſe­
 cures erant, conſtet, vt & Græcis
διπτερος dicebatur. teſte etiam No­
 nio, illud bipenne eſt, quod vtrinque
acutum eſt. collegi autem vtcunque
hanc bipennis figuram ex Simmiæ
peruetufti poetæ græci epigrammate, quod Simmiæ ſecuris appellatur. quod
epigramma carminibus loco linearum conſtat, quæ in ſecuris formam con­
 ſtituta ſunt.
Sciendum namque eſt Simmiam, poeticam hanc ſecurim concinnaſſe in
gratiam Epei illius, qui equum Troianum ligneum fuerat architectatus, vt
eſt apud Virg. Et ipſe doli fabricator Epeus. qui cum ſoluendi voti cauſa
vellet ſecurim, ſiue bipennem, qua in equi Durij molitione vſus fuerat, Mi­
 neruæ Deæ, quod ſibi in eo opere faciendo auxilio fuiſſet, dedicare, eamque;
vt Ariſt. in libello de admirandis audit. num. 104. narrat, in templo græ­
 cæ Mineruæ, quod erat in Gargaria Italiæ Regione propè Metapontum,
ſuſpendere, a præfato Simmia quæſiuit, vt epigrammate aliquo dedicatio­
 nem hanc ſuam complecteretur. qui vt illi morem gereret ingenioſæ illius
bipennis dedicationem, vt melius imitaretur, ſecuri hac carminum com­
 plexus eſt. quæ dedicatio, ſiue epigramma, quod adhuc extat, deinceps ſe­
 curis Simmiæ vocitata eſt; ex qua figura bipennis illius, equi Durij fabrica­
 tricis nobis adhuc magna cum voluptate innotuit. Porrò gratum, atque ad
ea, quæ diximus intelligenda vtile Lectori fore arbitrati ſumus, ipſam Sim­
 miæ bipennem ex operibus Theocriti, quibus addi ſolet, huc referre; quam
P. Ricardus Eſius de noſtra Societate linguæ græcæ peritiſſimus, in hunc
modum tranſtulit. hoc autem ordine legenda eſt: lectio à manubrio
incipiat, deinde legatur carmen; fortiſſimæ Deæ, quod ſubſe­
 quatur; dedit Epeus, & ſic in orbem lectio, vſque ad me­
 dium circumducatur. hæc ſunt, quæ præſertim
in gratiam eorum, qui ſuauiſſimo an­
 tiquitatis ſtudio tenentur, la­
 tere nolui.
1
Simmiæ Rhodij
Bipennis.
107[Figure 107]
1
QVÆSTIO XX.
De Statera.
259
Antequam ad textus explicationem accedamus, conſultius eſſe iu­
 dico veteris ſtateræ figuram, atque deſcriptionem præmittere,
quàm ex hoc Ariſt. loco, magna mihi licuit cum delectatione col­
 ligere: quod etiam antiquitatis ſtudioſis pergratum fore non du­
 bito: atque hinc etiam ineptas, atque ad ſcititias textus huius figuras tanquam
adulterinas reijcere; inque; earum locum veras reſtituere licebit. erat igitur
108[Figure 108]
ſtatera, quantum ex Ariſt. conijcio
primum haſta oblonga, qualis eſt in
præſenti figura A B, ex cuius altero
extremo B, pendebat appendicu­
 lum, quod propriè æquipondium
dicitur: ex altera verò extremitate
A, lanx vna pendebat; in qua carnes, aliæuè merces ponderabantur: in me­
 dia denique haſta paribus interuallis plures trutinæ, ex quibus ſingulis modo
hac, modo illa, prout pondus emptoris poſtulabat ſuſpendebatur, atque in­
 terim tantum mercis lanci imponebatur, donec æquipondio præpondera­
 ret in æquilibrio. ſingulæ autem trutinæ ad aliquod determinatum pondus
trutinandum, erant conſtitutæ, v. g. vna ad ſex libras, altera ad octo, &c.
quam diuiſionem, ac fabricam ſtateræ non eſt difficilè exhibere, cum ex Ar­
 chimede propoſ. 6. & 7. de æquip. eadem ſit proportio inter pondus mer­
 cis, & pondus æquipondij, quæ eſt permutatim inter diſtantias vtrinque ab
aſſumpta trutina, quæ in trutinando hypomoclij vicem gerit: nam ſtatera
reducitur ad vectem; pondus erit æquipondium; & merces in lance erit po­
 tentia mouens: ſunt autem in tota ſtateræ haſta trutinæ plures, hoc enim
modo tota fit vniformis quoad pondus. æquipondium præterea debet ha­
 bere tantum pondus, quantum eſt in nuda lance, vt ſic tota ſtatera ſit per ſe
ſola æquilibrabilis: & præterea debet habere pondus ſtatum, a c legitimum,
v. g. vnius libræ, aut duarum, aut trium, prout magis trutinandæ merci ido­
 neum erit, & hoc erit proprium æquipondij pondus. vt autem ex ſingulis
trutinis ſingula pondera ponderentur. ſingulis nota aliqua ſculpenda eſt, vt
facilè mercatores merces ponderent, quod hac ratione fieri poteſt. pona­
 mus æquipondium eſſe 12. librarum. dico, quod trutina C, dabit in lance
pondus mercis 12. librarum, ſi ex ea fiat æquilibrium, eſt enim vt A C, ad
C B, ita permutatim æquipondium 12. ad mercem; ſed A C, ipſi C B, eſt
æqualis, ergò etiam æquipondium 12. erit merci æquale, hoc eſt vtrunque
erit, 12. librarum.
Similiter ſi fieret æquilibrium ex trutina D, eſſet vt A D, 3. ad B D, 9.
ita 12. ad 36. tandem trutina E, æquilibrante, eſſet vt A E, 9. ad E B, 3. ita
12. ad 4. Si igitur trutina C, notetur 12. numero, trutina D, num. 36. tru­
 tina E, num. 4. & idem de cæteris: ſtatim facilè erit quodlibet pondus per
huiuſmodi ſtateram exhibere. Vnde videas contrario ab illis modo in
1ſtris ſtateris æquipondium totam haſtam percurrere; in illis verò manentè
æquipondio trutinam quodammodo per haſtam moueri.
His præmiſſis ad textus paraphraſim veniamus.
Cur ſtatera, qua carnes ponderantur, paruo appendiculo magna truti­
 nat onera, cum alioquin tota ſtatera nihil aliud ſit, quàm dimidiata libra,
vbi enim onus mercis imponitur vna lanx pendet, quam vnicam ſtatera ha­
 bet; in altera autem parte, vbi libra habet alteram lancem, ſtatera nullam
habet, ſed ſola ſine lance eſt. Cauſa igitur eſt, quia ſtatera ſimul, & libra eſt,
& vectis. libra eſt, quia ſpartorum, ſiue trutinarum quælibet fit veluti cen­
 trum libræ, inque; altera parte eſt lanx; in altera verò loco lancis ipſum æqui­
 pondium, quod libræ incumbit, fungiturque; vice alterius lancis, cui ſit onus
impoſitum; manifeſtum enim eſt, quod æquipondium ſtateræ tantumdem
trahit oneris, quantum eſt illud, quod in altera lance eſt. eapropter ſtatera
quodammodo tot libras in ſe continet, quot trutinas: quarum vna quæque
cum ſit intra appendiculum, & lancem, apta eſt eſſe medium, ſeu centrum
ſtateræ, atque adeo etiam libræ; quæ vnam quidem lancem habeat ex vna
parte, ex altera verò pro lance æquipondium. ſtatera verò dicitur, quate­
 nus ex vna parte habet non lancem, ſed perpendiculum. ſed hoc nihil eſt
aliud quàm eſſe plures in vna libras; Cur autem ſparta, quæ lanci, ſiue ap­
 penſo oneri proximiora ſunt, maiora ſubleuent onera, cauſa eſt vectis natu­
 ra, quæ ſtateræ ineſt. eſt enim ſtatera vectis, quamuis quodammodo inuer­
ſus, eſt enim ipſius fulcimentum trutina ipſa ſupernè collocata, pondus ve­
rò leuandum eſt ipſa merx, potentia verò appendiculum. quantò autem pro­
 ductior fuerit pars vectis à fulcimento ad potentiam, tanto facilius poten­
 tia mouet, vt in præſentia accidit. mouet autem vſque ad æquilibrium; hocque;
modo pars illa productior ſtateræ, quæ vergit ad æquipondium, facit, vt
onus ſtateræ impoſitum facilè trutinetur.
QVÆSTIO XXI.
De Dentiforcipe.
260
Cvr Medici facilius dentes extrahunt dentiforcipis onere adiecto,
quàm ſi ſola manu vtantur? fortè, quia ex manu facilius dens ela­
 bitur propter ſui ipſius lubricitatem, quàm ex forcipe. Vel etiam,
quia digiti propter carnis mollitiem cedentem nequeunt dentem
firmiter circumplecti; ferrum verò, cum vndique durum æque ſit, nec ce­
dens, melius dentem comprehendit. Aut tandem, quia forceps hæc duos
in ſe continet contrarios vectes; quorum, vnum tantum eſt hypomoclion,
109[Figure 109]
eorum ſcilicet connexio; Virtute igitur
vectis arctius dentem perſtringunt, atque
adeò obtinent, atque hinc etiam facilius
commouent. ſit dentiforcipis figura, ex­
 poſita, cuius alterum extremum, vbi ſunt
A, B, eſt illud, quod binis ſemicirculis
concurrentibus dentem arctè conſtringit
1& commouet. Vectis vnus eſt A G D, alter B G C, communis fultura eſt G,
vbi eſt ipſorum decuſſata connexio; dens loco ponderis eſt; vtroque igitur
C, & D, tanquam manubrijs vectium dentem Medici compræhendentes ip­
 ſum facilè commouent: quando autem commotus fuerit, facilius manu,
quàm inſtrumento extrahitur.
QVÆSTIO XXII.
De Instrumento Nucifrago.
261
Tempore Ariſt. vt colligitur ex hac quæſtione, ad frangendas nu­
 ces peculiare inſtrumentum ligneum adhibeant, quod erat inſtar
forcipis, ita tamen concinnatum, vt non ad ſcindendum, nec ad
extrahendum, ſed ad frangendum per compreſſionem eſſet aptum.
cuius hanc qualemcumque figuram inſpice. cuius latus inferius A D, fortè
alicui fulcimento in plano horizontis, fixum hærebat: alterum verò A C,
manu tractabatur, vt ſic expeditæ nucium plurima quantitas breui poſſet
confringi. Credibile eſt nucifragam hanc ad capita F E, habuiſſe aliquod
impedimentum, ne omninò conſtringeretur, vt nuces frangerentur quidem,
non autem comminuerentur. Cur igitur nuces abſque ictu facilè confringun­
 tur hiſce inſtrumentis, quæ ad eum fiunt vſum? contrarium namque accidere
deberet, vtentes enim prædictis inſtrumentis, omnibus illis viribus deſti­
 tuuntur, quas motio, ac violentia percuſſionis afferre ſolent. præterea cur
ligneo vtuntur, ac proinde leui? non ne aptius eſſet durum, atque pondero­
 ſum veluti ferreum?
His reſpondendum eſt, nucifragum iſtud inſtrumentum reduci ad binos
vectes, quemadmodum etiam dentiforcipem. nux igitur hoc modo duplici
vecte comprimitur. vecte autem facilè onera quælibet obuiantia diuelluntur.
qui duo vectes vnicum habent hypomoclion ipſam ſcilicet connexionem
110[Figure 110]
A. vectes ſunt binæ inſtrumenti haſtæ, F A D,
E A C. dilatando igitur extrema C D, deducun­
 tur etiam alia extrema F, E, & impoſita nuce in
hiatu K, quæuis potentia conſtringendo C, D,
conſtringet ſimul F, E, ipſamque; nucem confrin­
 get. quod igitur cum percuſſione feciſſet pon­
 dus mallei, id valentiori vectium virtute efficiunt F A D, E A C. quanto au­
 tem locus nucis K, propinquior fuerit hypomoclio A, tanto celerius
confringitur, quia partes vectium A C, A D, tunc à centro
A, productiores fiunt, ideſt multò maiores fiunt,
quàm ſint diſtantiæ inter nucem, & cen­
 trum A, quod maximè poten­
 tiam iuuat.
Ex quibus præſenti quæſtioni ſatisfactum videtur.
1
QVÆSTIO XXIII.
De Rhombo.
262
Rhombus ex definitione 23. primi Elem. eſt figura æquilatera qui­
111[Figure 111]
dem, ſed non æquiangula, habet enim
binos oppoſitos angulos acutos, & alies
binos oppoſitos obtuſos, talis eſt præ­
 ſens figura A B D C. In præſenti porrò quæſtione
ſupponitur punctum A, quod eſt vnum extremum
in rhombo moueri ſuper latus A B, verſus B, & ſi­
 militer interim æqua velocitate moueri alterum
extremum B, ſuper idem latus A B, verſus A, & in­
 terim dum hæc duo puncta hoc modo ſibi obuiam
procedunt, moueri latus totum A B, eadem ve­
 locitate, verſus latus C D, ita vt ſemper ipſi C D,
æquidiſter, deſcendatque; per latera A C, B D, quo­
 uſque ipſi C D, congruat.
Horum igitur trium motuum quemadmodum
æquæ ſunt celeritates, ita etiam ſpatia, quibus peraguntur, nam puncta duo
mouentur in latere A B, ipſum verò A B, mouetur in lateribus A C, & B D,
quæ cum priori A B, ſunt æqualia.
Aduertendum præterea, quod hac ratione duo puncta A, & B, duabus la­
 tionibus mouebuntur, ſi quidem proprio motu mouentur in ipſo latere A B,
& quia latus A B, per quod ipſa incedunt eodem tempore mouetur verſus
C D, ſequitur, quod etiam ipſa hoc eodem motu ferantur. erit igitur ipſo­
 rum motus ex his duobus mixtus; & quidem ipſius A, latio erit per longio­
 rem diametrum A D; ipſius verò B, per breuiorem B C. Quare cum pun­
 ctum A, peruenerit ad D, etiam punctum B, eadem cęleritate acceſſerit ad
C. maius autem eſt ſpatium A D, quod confecit A, quam ſpatium B C, con­
 fectum a C. Quærit igitur primò, cur cùm A, & B, mota ſint æquali celeri­
tate in vtra que latione, vnum tamen maiorem lineam, quàm alterum per­
 tranſiuit? Quærit ſecundò, cur punctum B, confecit lineam B C, quæ mi­
 nor eſt quam ipſum latus A C, quod in ſuo motu conficit latus A B, quando
ad D C, acceſſit. & tamen B, duplici fertur latione; A B, verò vnica; vtrun­
 que autem in æquali velocitate? Quod autem punctus A, motu illo deſcri­
 bat lineam A D, punctus verò B. lineam B C, manifeſtum erit hoc modo. ſit
v. g. punctum A, motu proprio delatum, vſque ad punctum E, medium late­
 ris A B, erit interim totum latus A B, tranſlatum vbi eſt F G, hoc eſt, ad ſui
itineris dimidium, quia horum motus ponuntur æquales: hoc autem motu
ipſum punctum A, erit neceſſariò in K, hoc eſt in linea A D, vt dicebamus.
Similiter in fine vtriuſque motus, A, erit in B, proprio motu, ſed alieno in D,
extremo ſcilicet lineæ A D. ſimili ratione oſtendi poteſt de ipſo B, qui cum
æqua velocitate moueatur, ac punctum A, quando A erit in E; B, pariter
illi occurret in E, proprio motu: ſed alieno à latere B A, proueniente
1in K, vbi etiam ob alterum motum erit A: erit igitur B, in linea B C, vt vo­
 lebamus. à quo poſtea diſcedens verſus C, motu pariter compoſito ſiſtitur
tandem in C, extremo lineæ pariter B C. eodem ergo tempore duo rhombi
extrema puncta æquè velocia, ſecundum vtramque lationem mota, interual­
 la nequaquam æqualia confecerunt, ſed A, maius, nimirum A D; B, verò
minus nimirum B C.
Ex quibus etiam ſecundæ quæſtionis explicatio, & dubitandi ratio pate­
 bit: nam cum in rhombo duo ſint obtuſi anguli B, & C, & duo acuti A, & D,
punctus ille, qui ab obtuſo angulo B, recedit, fertur duabus lationibus inui­
 cem ferè contrarijs, propria enim tendit ſurſum ad A, aliena verò deorſum
trahitur verſus D; cauſa huius contrarietatis ſunt lineæ D B, B A, obtuſum
angulum continentes, quæ à prædicto angulo in contrarias partes ſeparan­
 tur: per has autem lineas fiunt prædicti motus, vnde ipſi quoque contrarij
ſint neceſſe eſt: & propterea ſe mutuò impediunt: atque hinc neceſſe eſt pun­
ctum B, motu compoſito hinc inhibito minus interuallum B C, pertranſire.
At verò punctum A, quia ab acuto angulo deſcendit, vtraque latione fertur
deorſum, quæ lationes ſe mutuò iuuant, faciuntque; vt A, maius, quamuis eo­
 dem tempore, & eadem celeritate peragret ſpatium A D. nam punctum A,
ſua ſpontè deſcendit per latus A B, & ab ipſo latere A B, quod fertur ad C D,
pariter deorſum vehitur. nihil igitur mirum fit, ſi A, maius interuallum A D,
quam B C, percurrat. cauſa verò huius motuum concordiæ eſt angulus acu­
 tus A, ob quem latera rhombi magis inuicem approximantur, redduntque
longiorem A D, quàm B C: è contrariò autem, quo obtuſiores ſunt anguli
B, C, minorem faciunt ipſam B C, latera enim ſemper magis ad rectam li­
 neam accedunt; donec tandem omni angulo euaneſcente in directum con­
 ſtituantur; quo caſu congruerent cum linea A D, rhombusque; ipſe amplius
nullus eſſet.
Ex his igitur ſequitur, quod punctum A, ab angulo A, acuto diſcedens,
duobus feratur motibus ſimilibus ad eandem partem tendentibus, & quò
acutiores ſunt anguli, eò magis tendent ad eandem partem; & melius ſe
mutuò iuuabunt. B, autem vice verſa, quoniam quanto obtuſior eſt angulus
B, tanto magis latera illius diuaricantur; duæ etiam motiones, quibus B,
progreditur in diuerſas partes tendent; fiunt enim per illa latera; & tanto
etiam magis ſibi contrariæ erunt; magisque; ſibi mutuò impedimento erunt.
& propterea punctum B, minus interuallum, quale eſt B C, percurret, quan­
 do A, maius A D, percurrit.
Ad ſecundam verò quæſtionis partem, reſpondeo conſiderandum eſſe
latus B A, moueri vnico motu ad D C, quare à nullo impedi­
 tur, vnde nihil mirum videri debet, quòd ipſum vnica
latione maius conficiat ſpacium quàm B, quod
quamuis duplici pellatur motu, vnus
tamen ab altero inhibetur.
1
QVÆSTIO XXIIII.
De duobus circulis.
263
Vnde eſt, quod ſi duo circuli, vnus altero maior, circa idem cen­
 trum poſiti, volutentur, ita vt etiam centrum feratur, eo ſcilicet
modo, quo plauſtrorum rotæ ſolent, ſecundum æqualem lineam
conuoluuntur, ſiue æquale ſpatium conficiunt: ſi verò ſeorſum
ſeparati quilibet eodem modo volutetur, non æquale ſpatium pertranſibunt,
ſed maior maiorem lineam, quàm minor; idque; ea proportione, quam inui­
 cem eorum circunferentiæ obtinent, cum in hac veluti rotæ conuolutione,
circunferentia tota ſucceſſiuè decurſo ſpatio adaptetur, ita vt tanta ſit de­
 curſa linea, quanta eſt rotæ circunferentia? Quin etiam eodem exiſtente
vtriuſque centro, aliquando confectum ſpatium ab vtroque tantum eſt, quan­
 tum minor circulus ſolus, ſecundum ſuam periphæriam reuolutus perfeciſ­
 ſet; quandoque; verò quantum maior ſolus abſoluiſſet. Quod autem maior
ſolus in ſua reuolutione maiorem lineam deſcribat, manifeſtum eſt hinc,
quia ſenſu patet maiorem circunferentiam in maiori circulo ſubtendere
angulum, qui fit à diametris in centro; minorem verò circunferentiam
ſubtendere eundem angulum in minori orbe, vt etiam in 8. quæſt. dictum eſt:
eandem igitur, vt proximè dixi habebunt etiam proportionem illæ lineæ,
quæ à ſingulis ſeorſum orbibus reuolutis deſignabuntur. Quod præterea ſe­
 cundum æqualem conuoluuntur, quando circa idem poſiti fuerint centrum,
manifeſtum eſt, ita tamen, vt aliquando ambæ æquales ſint ei, ſecundum
quam ſolus maior conuolueretur; aliquando verò ſecundum quam minor.
112[Figure 112]
ſit enim circulus maior quidem vbi
D F C, minor verò vbi E G B, vtrique
autem centrum A, linea, ſecundum
quam quadrans F C, maioris per ſe
rotaretur, ſit F L. linea verò, ſecun­
 dum quam quadrans G B, minoris ſe­
 iuncti à maiori, volutaretur ſit G K,
quæ æqualis eſt dicto quadranti G B,
ſicut etiam F I, æqualis eſt quadran­
 ti F C. ſi quis igitur impellat mino­
 rem orbem mouens ſimul commune
centrum A, cui maior eſt circumpo­
 ſitus, donec diameter A B, perpendicularis ſit lineæ G K, in puncto K. tunc
pariter diameter maioris A C, erit perpendicularis lineæ F L, in puncto L.
G K, autem, & F L, neceſſariò erunt æquales per 34. primi, æquales igitur
lineas hoc modo peragrarunt inæquales circunferentiæ, ſiue quadrantes
G B, F C. ſi autem quadrantes hoc præſtant, manifeſtum eſt, quod & toti
ambitus idem efficiunt, quare quando tota periphæria G B E G, fuerit re­
 uoluta etiam tota F C D F, ſuum orbem completum habebit. ſimiliter ſi ma­
iorem quis mouerit, cui minor ſit annexus eodem exiſtente centro, ſimul ac
1diameter A C, erit perpendicularis ad F I, in puncto I, erit etiam A B, per­
 pendicularis ipſi G M, in M; ſunt autem G M, & F I, æquales, quare quan­
 do F C, quadrans maioris pertranſiuerit rectam F C, etiam C B, quadrans
minoris tranſactam habebit illi parem G M. hoc autem accidit nulla inter­
 cedente mora in vllo ipſorum: quando enim mouetur maior, nihil ceſſat
minor: & quando minor agitur, maior nunquam quieſcit. quod ſi hoc acci­
 dit quartæ parti circulorum, idem, & totis accidit periphærijs. vbi inſuper
illud etiam mirum, centrum nimirum ipſorum eadem celeritate motum,
ac vnica ſemper exiſtenti latione, modo maius, modo minus ſpatium per­
 ficere; idem verò eadem velocitate latum, æquale ſemper deberet interual­
 lum tranſilire. & tamen in præſentia vtrouis modo moueas eadem pernici­
 tate, modò maius, modò minus ſpatium pertranſibit.
Huius quæſtionis enodandæ cauſa, ſupponendum primò eſt, quod eadem,
ſeu æqualis potentia, hanc quidem magnitudinem tardius, illam verò citius
mouere poteſt. ſi enim fuerit quippiam, quod à ſeipſo moueri minimè ap­
 tum ſit; & aliud, quod à ſe ipſo moueri aptum ſit; qui hoc ſimul cum illo
coniunctum mouerit, tardius mouebit, quàm ſi ipſum ſolum moueret. & ſi
quid moueatur, quod aptum ſit ex ſe moueri, verumtamen in eo motu nihil
ex ſe moueatur, perinde eſt, ac ſi minimè aptum ſit ad motum, & proinde
tardius mouebitur; nec fieri poterit, vt pluſquam mouens moueatur, cum
nihil innata motione vtatur. Si quis igitur minorem circulum, quem mo­
 do B, appello, mouerit ſupra ſuam circunferentiam, cui annexus ſit maior,
quem modo appello A, ſic quidem maior mouebitur, non autem ex ſe, ſed
ſolum quatenus à minori feretur, vnde tantum pertranſibit de recta F L,
quantum à minori fuerit impulſus; tantum autem eſt impulſus, quantum
minor eſt motus; quare æqualem cum illo viam confecit. ſi igitur minor fe­
 cit pedalem G K, maior confecit etiam pedalem F L, quia maior nihil de
proprio motu addidit, ſed ſolum motione minoris eſt tranſlatus. ſimiliter
ſi quis rotet maiorem ſupra ſuam circunferentiam annexo minori, tantum
minor mouebitur, quantum à maiori deportabitur, quia nihil ex ſe impel­
 litur. Verum ſi ſeorſum ambo ex ſe ſecundum ſuos ambitus moueantur, ſiue
citò, ſiue tardè, eadem etiam velocitate perficiant integram ſuæ periphæ­
 riæ volutationem, maior maius, minor verò minus conficiet ſpatium.
Sed fortè augebitur difficultas conſideranti, quod prædicti circuli ſunt
circa idem centrum, & circa illud mouentur. moueri autem circulum cir­
 ca ſuum centrum, eſt moueri ſecundum ſuum naturalem motum, ad quem
circuli ex ſe ſunt apti. ſi verò vnus moueretur circa ſuum centrum, alter ve­
 rò non, vt quando alter alteri non eſt circa idem centrum compactus, & ab
altero mouetur, vbi manifeſtè apparet, quod fertur omninò ab illo, & in il­
 la latione non circumuertitur circa proprium centrum, quare tunc minimè
mirum eſt, ſi neque plus, neque minus ſpatium conficiat, quàm ab altero de­
 portetur, cui quoquo modo adiacet, aut appenſus eſt extra illius centrum.
Huic obiectioni reſpondendum eſt, quod quamuis prædicti orbes ſint con­
 centrici, nihilominus non mouentur ambo ſuamet motione, ſed ille, qui ab
alio fertur mouetur ſecundum motionem illam, tanquam ſi nullam ad eam
haberet aptitudinem; quamuis enim poſſit moueri circa centrum illud A,
1propria natura, in præſenti tamen caſu minimè vtitur illa aptitudine; &
propterea motus debet moueri, quantum mouens, nec plus, nec minus.
Quòd autem ſpectat ad id, quod initio dicebatur de eodem centro, & de
mouente eadem velocitate, & de æquali ab inæqualibus orbibus pertranſi­
ta linea, ſubeſt huic dubitationi paralogiſmus: quamuis enim ſit idem am­
 borum centrum, eſt tamen vnius centrum per ſe in motione, alteri verò per
accidens, veluti per accidens eſt eundem virum eſſe muſicum, & album. ille
enim circulus, qui mouet alterum, obtinet illud centrum per ſe, & ex natu­
 ra ſua; alter verò, qui mouetur, habet illud idem per accidens, quia non
vtitur illo tanquam centro. non igitur circa idem ſimpliciter centrum fit
horum motus, ſed alio modo vnus, alio modo alter, vnde & reliquis dubi­
 tationibus facilè ſatisfiet.
QVÆSTIO XXV.
De Lecto
264
Cvr lectulorum ſpondas faciunt ſecundum duplam proportionem,
hoc eſt longiorem ſpondam duplo longiorem, quàm ſit altera: il­
 lam enim ſex pedum, vel paulò plus, hanc verò trium? præterea
cur reſtes, quibus culcitræ ſuſtinentur non extendunt per diame­
 trum, ſed per tranſuerſum?
Ad primum reſpondetur ideò facere ſpondas in dupla ratione, vt ſint hu­
 mano corpori proportionatæ, ſic enim lecti longitudinem habebunt qua­
 tuor cubitorum, latitudinem verò duorum, in tali enim ſpatio commo­
 dè cubamus.
Ad ſecundum verò dicendum extendi illos funes non per diametrum, ſed
ex oppoſito, quia hoc modo ligna ipſius lecti minus diſtrahuntur: facilè
enim ex natura ſua ligna hæc ab inuicem ſecundum longum ſeparantur; ar­
 ctius autem ductis funibus per tranſuerſum, quàm per diametrum inuicem
conſtringuntur: præterea, quia ſic etiam funes minus laborant, cum ſint eo­
rum ductus breuiores; & quia debent ſuſtinere onus ſtragulorum, atque cul­
 cìtrarum, ſic certè ex hoc onere minus laborabunt ſi tranſuerſim, quàm ſi
diametraliter ſubtendantur.
Tertia demum ratio eſt, quia hac ratione minus reſtium abſumitur, quæ
113[Figure 113]
vt benè intelligatur, deſcriba­
 tur lectuli figura A F G K, &
bifariam diuidatur latus F G,
in B. & quia tota F G, dupla
eſt ipſius A F, erit dimidium
F B, æquale ipſi A F. & propte­
 rea tot erunt foramina, quibus
funes immittuntur in F B, quot
in A F. extendunt autem funem
hoc modo incipiunt ab A, &
ducunt ad B, poſtea per C,
1uertuntur ad D; hinc flectunt per H, vſque ad E, & per G, angulum iterum
deſcendunt ad M, à quo recta tendunt in F, hinc per 2. deducunt ad 3. à quo
foramine, per foramen 4. reflexum faciunt ad 5. à quo iterum per B, deſcen­
 dunt ad angulum K, ibique; alterum funis extremum deſinit: hocque; modo duo
anguli A, & K, reſtis habent capita, & reſtes extenſæ ſunt non diametrali­
 ter, ſed tranſuerſim.
Notandum autem, quod reſtes æquales ſunt cum ſuis curuaturis. v. g. re­
 ſtis A B, cum ſua curuatura B C, æqualis eſt reſti C D, vnà cum eius curua­
 tura D H, & aliæ eodem modo ſe habent, quia eadem demonſtratio omni­
 bus accommodari poteſt: quia enim figura A B G M, parallelogrammum
eſt, æqualia enim ſunt latera B G, A M, & quot foramina ſunt in vno, tot
etiam ſunt in altero, eaque; inuicem æquidiſtant, ſequitur omnes reſtes eſſe
parallelas, & æquales, per 33, primi. ex qua etiam ſequitur prædictas cu­
 ruaturas, B C, D H, E G, eſſe æquales. quare manifeſtum eſt in dimidio le­
 ctulo tot eſſe reſtes æquales reſti A B, quot ſunt foramina in dimidio latere
B G, vel in dimidio F B, hoc eſt eſſe quatuor. porrò oportet quantitatem
harum omnium reſtium perſcrutari, vt eam cum quantitate reſtium diame­
 traliter extenſarum conferamus, quod geometricè hoc modo aſſeque mur:
triangulum enim B G K, rectangulum eſt, ergò per 47. primi, quadrata la­
terum B G, G K, æqualia ſunt quadrato lineæ B K: latus B G, eſt trium pe­
 dum, quemadmodum etiam latus G K quadratus autem numerus ternarij
eſt 9. ergo duo quadrati numeri 9. ſiue 18. æquales ſunt quadrato lineæ B K,
ergò linea B K, eſt radix quadrata numeri 18. quæ radix non poteſt exactè
in numeris repræſentari, eſt enim, vt aiunt, radix ſurda. verumtamen per
radicum extractionem, atque approximationem ea poni poteſt eſſe 41/4. ideſt
quatuor pedum cum vna quarta. cum igitur in toto lecto ſint huiuſmodi
octo reſtes, erit omnium ſumma pedum 34. ferè. ſi autem ſeeundum diame­
 trum extendantur reſtes, vti factum eſt in lectulo A B C D, neutiquam re­
 ſtes omnes ſimul ſuperiori quantitati adæquabuntur, ſed illam longè ſupe­
114[Figure 114]
rabunt. Sit igitur lectus A B­
 C D, in quo diametraliter du­
 ctæ ſint reſtes B D, E H, & re­
 liquæ, vt in figura. harûm quan­
 titas ſi per 47. primi, & per ra­
 dicis quadratæ extractionem
inueniatur, erit ſumma earum
pedum quadraginta cum dimi­
 dio; quæ quantitas præcedenti
maior eſt ſex pedibus cum di­
midio.
Atque hic eſt ſenſus Ariſt. quamuis tex. ipſius propter nimiam tam in græ­
 cis, quàm in latinis codicibus corruptionem, totus reſtitui nequiuerit.
1
QVÆSTIO XXVI.
De ligno humeris gestato.
265
Cvr difficilius eſt longa ligna ab extremo ſuper humeros ferre, quàm
ſecundum medium, cùm tamen vtroque modo ſit ſemper idem pon­
 dus? An quia dum fertur lignum ſuper humeros ab altero extre­
mo, alterum extremum vibratur, & agitatur, quæ agitatio ipſius
lationem impedit? An quia licet nihil inflectatur ob agitationem, neque ma­
 gnam habeat longitudinem, difficilius tamen ab extremo fertur, quoniam
facilius ex medio eleuatur, quàm ab extremo, & quia latio eſt quaſi quæ­
 dam continua eleuatio, propterea etiam difficilius ſic portatur? cauſa au­
 tem cur facilius ex medio eleuetur eſt, quia hoc modo totum lignum fit ve­
 ctis, cuius hypomoclion eſt in medio, vbi is, qui eleuat, tenet aut fert: ex­
 trema autem ſibi mutuò æqueponderant, ita vt abſque vllo alio auxilio, â tan­
 ta vi, quantum eſt totum ligni pondus ſuſtineatur; quod ſi ab extremo ele­
 uetur non ſufficit amplius prædicta vis, ſed opus erit maiori, quia non ſo­
lum oportebit illud eleuare, ſed præterea etiam illud in æquilibrio conſti­
 tuere, & conſeruare. pondus enim totius ligni vergit ferè ad alteram ligni
medietatem, quæ ab hypomoclio productior euadit, quapropter ad onus
iſtud æquilibrandum, opus eſt alia potentia in altero extremo. ſit lignum
115[Figure 115]
A B, ſuſpenſum ex medio C.
hoc modo lignum ponderi­
 bus libratum ſuis manet in
æquilibrio, poteſtque à ſola
potentia illud eleuante etiam deferri: quia A, & B, extrema ſe mutuò ſuſti­
116[Figure 116]
nent. quod ſi non ex medio eleuaretur,
ſed ab extremo, vt in ſecunda figura,
eleuans potentia ex C, æqualis oportet,
vt ſit præcedenti; ſed præterea opus eſt
alia vi, quæ in B, æquiponderet alteri
extremo A, quod magis grauitat, quo ab C, longius fuerit; & hoc modo in
æquilibrio conſtitutum, & conſeruatum poterit non ſolum eleuari, ſed
etiam circumferri.
QVÆSTIO XXVII.
De Gestatis ſuper humerum.
266
Cvr ſi valdè procerum ſuerit idem pondus difficilius ſuper humeros
geſtatur, etiam ſi ex medio illud feratur, quàm ſi breuius ſit? quod
enim dudum dictum eſt cauſa non eſt, ſed vibratio, & ſuccuſſatio
ligni nunc eſt: quando enim ab humero productius fuerit, magis
vibrantur extrema, quam ob rem contingit portantem difficilius geſtare.
vibrationis autem cauſa eſt, quoniam ab eadem vi mouente magis extrema
1huc illuc transferuntur, quanto procerius fuerit lignum, quia tunc maior
fit diſtantià à centro, ſeu hypomoclio, quod modo eſt humerus ipſe. ſit vt
in prima præcedentis quæſtionis figura, humerus vbi A. diſtantiæ autem ab
ipſo centro ſunt A B, A C, quod autem maior diſtantia; faciliorem reddat
motum oſtenſum eſt initio huius operis.
QVÆSTIO XXVIII.
De Tollenone.
267
Inſtrumentum iſtud, quod græca voce Leonicus interpres Celonia vo­
 cat, latinis dicitur Tolleno, à tollendo; quod etiam manifeſtum eſt
ex Feſto, qui ait, Tolleno eſt genus machinæ, quo hauritur aqua in al­
 teram partem prægrauante pondere; quæ tollenonis deſcriptio om­
 ninò machinæ præſentis quæſtionis competit. Hiſpani Telonam fortè a tol­
 lenone nuncupant. Eſt autem tolleno inſtrumentum hauriendæ è puteo aquæ
idoneum, quo ruſtici paſſim vtuntur: idque; iuxta puteos ſtabile, ac firmum
conſtruunt, quale à figura ſequenti refertur. vbi puteus F, tolleno conſtat
117[Figure 117]
erecto tigno D C, & tranſ­
 uerſa haſta A C B, vnà cum
fune B E, & hydria E. ap­
 ponitur præterea onus ſa­
 tis graue ad partem A, quale
eſt G. haſta porrò A B, ve­
 luti vectis circa punctum C,
tanquam hypomoclion,
ſusque; deque; agitur, à poten­
 tia funem B E, trahente.
ſed iam textus exponatur.
Cur iuxta puteos tolle­
 nones faciunt eo, quo vi­
 ſuntur modo, ligno enim
tranſuerſo A B, adiungunt
onus plumbi G, cum alio­
 quin vas ipſum E, & vacuum, & plenum pondus habeat: cur inquam, vt fa­
 cilius moueant tollenonem, tollenonis oneri onus addunt G? An quoniam
cùm opus hauriendi diuidatur in duo, in intingendi nimirum, & ſurſum tra­
 hendi tempora: accidit quidem abſque plumbi onere facilius intingere, quia
tunc vas eſt vacuum: at verò ſurſum vas deinde plenum trahere, laborio­
 ſius erit. ſi verò addatur onus G, tunc quidem paulò difficilius intingemus,
ſed tamen vas plenum poſtea multò facilius, quod opus, & labor eſt, ſurſum
educemus: operæpretium igitur eſt, onus illud plumbi, aut lapidis adiun­
 gere in extremo A, quia ſic pondus illud tanquam quædam potentia vecte
A B, vtens ſurſum hydriam plenam rapiet, hacque; ratione nos labore leua­
 bit, totumque; hauriendi opus demiſſione, atque eleuatione conſtans, alleuabit,
1
QVÆSTIO XXVIIII.
De onere phalanga gestato.
268
Cvr quando ſuper ligno, aut huiuſmodi quopiam duo portauerint
homines æquale pondus, non ſimiliter grauantur, niſi quando pon­
 dus in medio eorum fuerit; ſed magis ille premitur, cui onus vici­
 nius fuerit? An quia lignum illud vectis efficitur, cuius hypomo­
 clion eſt vbi pondus geſtatum ſuſpenditur; geſtantium autem oneri proxi­
 mior gerit vicem illius, quod vecte mouetur, remotior verò eſt potentia
vecte mouens. quanto igitur plus diſtat ab hypomoclio, ſeu geſtato ponde­
 re, tanto facilius mouet, hoc eſt, alterum magis deorſum premit, contra­
 nitente nimirum geſtato onere tanquam hypomoclio. ſi autem in medio fue­
 rit pondus, nihilo magis alter geſtantium fit id, quod vecte mouetur, quàm
alter; neque magis mouet: ſed eodem modo alter alteri fit pondus.
Cæterum ſciendum huiuſmodi lignum, quo tranſuerſo onera deportantur
dici à latinis phalangam, vnde etiam verbum phalangare deducitur, quod
huiuſmodi geſtationem ſignificat; eſtque; Vitruuio vſitatum, & Afranio, qui
ait, capream vnam ſemilaceram quaterni ſimul phalangabant.
QVÆSTIO XXX.
De ſurgente à ſeßione.
269
Cvm ſedemus, præcipuè ſi commodè ſedeamus, ſolemus duos angu­
 los rectos facere, vnum quidem, quem facit thorax cum femore;
alterum quem facit femur cum crure, vt in figura thorax ſit A B,
118[Figure 118]
femur B C, crus C D, anguli duo recti ſunt B,
& C. Quærit igitur, cur quando ſurgere volumus angu­
 los hoſce rectos in acutos commutamus, nam crus re­
 trahimus ſub femur ad acutum angulum, v. g. ad poſitio­
 nem C F. fitque; acutus angulus B C F. ſimiliter thoracem
femori aptamus ad acutum angulum E B C, alioquin ſur­
 gere non valemus? An quia id, quod æquale eſt, quietis
vbique eſt cauſa, rectus autem angulus eſt angulus æquali­
 tatis, atque ſtationis? quæcunque enim angulis rectis con­
 ſtant, vt quadratum, vt cubus, quieti, ac ſtationi ſunt
idonea, vt propterea Pytagorei dicerent terram eſſe cubicam, propter ip­
 ſius immobilitatem. eſt autem angulus rectus, angulus æqualitatis, quia
omnes anguli recti ſunt inuicem æquales, vel quia linea illa, quæ angulum
rectum facit eſt perpendicularis alteri lineæ, cui incumbit, æqualiterque; in
vtramque partem inclinata eſt: quapropter fit, vt quæcunque conſtituta ſint
ſuper ſuperficiem terræ ad angulos rectos non cadant, ſed recta maneant.
pariter quæcunque ad angulos rectos pauimento incumbunt, non ſolum, quia
cum illo faciant angulos rectos, ſed etiam, quia ſimul faciunt cum ſuperficie
1terræ perpendiculum. An quia qui ſurgit fit rectus; rectus autem manens,
oportet, vt ſit ſuperficiei terræ perpendicularis. debet igitur eſſe ſecundum
eandem rectitudinem, ideſt caput ſupra thoracem, thorax verò ſupra femo­
 ra, femora verò ſupra crura in eadem rectitudine, quæ horizonti perpendi­
 culariter inſiſtat: quando autem ſedemus thorax, & crura, non ſunt in ea­
 dem linea horizonti perpendiculariter erecta, quapropter neceſſe eſt pedes
retrahere, caput autem reclinare, vt ſic in eadem recta linea horizonti per­
 pendiculariter conſtituantur, hocque; modo aſſurgere erit poſſibile.
270
Reliquæ quæſtiones ad Phyſicum ſpectant. In 33. aperit propriam ſen­
 tentiam de motu proiectorum.
In 35. & vltima de vortice quamuis videatur mathematicam ſapere, eſt
tamen phyſica. Eius autem reſolutiones tres ab Ariſt. allatas, falſas eſſe
ſuſpicor; experientia enim docet, quod ſi quippiam ponatur ſupra rotam
figuli, id non ad centrum, ſed extra rotam proijcitur. ſed cauſa eſt, quia in
vortice aqua ipſa ſpiratim circumcurrens tandem in centrum, vbi demer­
 gitur deſcendit; neceſſe igitur eſt, vt etiam ea, quæ in ipſa ſunt, ſimul cum
illa ad centrum per plures conuolutiones deducantur. Cæterum ſi quis ve­
 lit Mechanicam facultatem ſeriò aggredi, nequaquam paucis his ab Ariſt.
traditis, eisque; leui brachio pertractatis, contentus ſit: verùm Archimedem
de Aquæponderantibus, Commandinum, ac Lucam Valerium de centro
grauitatis ſolidorum, ac tandem Guidi Vbaldi Mechanica adeat, vbi hu­
 ius ſcientiæ admiranda plurima, eaque; firmiſſimè demonſtrata reperiet.
IN LIBELLVM DE MVNDO
AD ALEXANDRVM.
Cvm plures libellum hunc Ariſt. attribuant, cogor loca ipſius ma­
 thematica ex inſtituto exponere.
271
In 2. cap. recenſet Planetarum ordinem, iuxta antiquiſſimorum
Aſtronomorum traditiones, qui ob paucas, easque; imperfectas ob­
ſeruationes multa ignorarunt, atque in multis, & præcipuè in ordine Plane­
 tarum ſtatuendo, falſi ſunt: Aſtronomi enim poſteriores, & maximè Ptolæ­
 meus, vnà cum recentioribus noſtri ſeculi alium ordinem exactioribus ob­
 ſeruationibus, atque demonſtrationibus aſtruentes vetuſtiſſimorum illorum
errores patefecerunt. Eſt autem verus ordo, vt Luna ſit omnium terris pro­
 xima, deinde Mercurius, tùm Venus, poſtea Sol, Mars, Iupiter, Saturnusque;
à terris altiſſimus, quos omnes ſtellarum affixarum ſphæra, quæ etiam fir­
 mamentum dicitur, complectitur. non me latet huius noſtri ſeculi di­
 ligentiſſimos aſtronomos nouam mundani ſyſtematis hy­
 potheſim inducere; ſed ea prædicto Planctarum
ordini parum, aut nihil repugnat.
1
De æstu Maris.
272
In 3. cap. (Aiunt etiam multos æstus vndarumqué ſublationes fiatis quibuſ­
dam temporibus cum Luna circumagi) Perpaucis maris fluxum, & reflu­
xum attingit, qui quia ex motu præcipuè Lunæ pendet, non videtur
alienum hoc loco eum fuſius explicare, atque nonnullis difficultatibus
occurrere, quibus recentiores nonnulli nimis implicantur. Aeſtus maris
eſt quædam maris ebullitio, ob quam vt ſolet in ebullientibus aquis, mare
intumeſcit: fiunt autem in toto mundo duobus tantum in locis ex hoc æſtu
tumores duo, quorum vnus ſemper directè Lunæ ſubiacet, alter verò in
auerſa terræ parte, ſiue huic antipoda, & diametraliter oppoſita.
Ex his Marium tumoribus fit vt aquæ, quæ naturæ ſua decliuiora petunt,
quaſi exundantes ad littora fluant. atque hic aquarum curſus fluxus maris
appellatur. decreſcente deinde maris æſtu, & tumore ex receſſu Lunæ, aquæ
iterum ad medium mare refluunt: atque hic maris refluxus dicitur. Cum au­
 tem in toto die ſint 24. horæ & ſemper ſint ſimul in mundo duo æſtus, & tu­
 mores, fit vt ſint pariter ſemper in mundo duo fluxus, qui tumores illos co­
 mitantur; necnon duo refluxus, qui eoſdem ſubſequantur; hinc fit vt vni­
cuique illorum ſex heræ conueniant, ſex fluxui, ſex refluxui, qui ſub Luna fiunt;
ſex verò fluxui, & ſex tandem refluxui Lunæ auerſis, quæ totam Lunæ circa
mundum periodum 25. horarum expleant. Cauſam autem cur mare hoc
modo ſtatis horis, paulò tamen ſerius ob Lunæ tardiorem ortum ſemper
creſcat, & decreſcat antiqui omnes in Lunam retulerunt, vt primus omnium
Ariſt. hoc loco, deinde Strabo, Pomponius Mela, Plinius, Solinus, & alij
plures idem ſenſerunt. Lunam ſcilicet eam habere vim in mare, vt pars il­
la, quæ Lunæ ſubiacet, ſiue quam Luna radijs ferit, æſtuet, & turgeat; non
aliter pars maris huic antipoda, & auerſa, quamuis tota terræ moles inter
119[Figure 119]
ipſam, & Lunam interpona­
 tur, æſtuat, fluxumque, ac re­
 fluxum quamuis priori mi­
 norem, efficit. quæ omnia
melius in figura cernentur;
vbi infra Lunam vides tumo­
 rem A, ex quo fluxus deriua­
 tur. & in parte huic auerſa
tumorem B, ex quo alter flu­
 xus deriuatur. & quia in alijs
duobus mundi lateribus non
fiunt huiuſmodi tumores, imò
mare ob refrigerationem
ſubſidet, ibi fiunt duo reflu­
 xus C, & D, ita vt ſemper ſint
in mari præſertim Oceano
quatuor prædicti effectus, qui
ſimul, vt ait hic Ariſt. &
1perientia teſtatur, ſimul cum Luna circa mundum circumaguntur. hoc eſt
ſi Luna, quæ modo eſt in ſuperiori parte meridionali, venerit ad locum E,
occidentalem, eam fluxus A, ſubſequitur, vergitque; tumorem ſuum ad occi­
 dentem E, vnde, & fluxus B, promouebitur ad orientem, ita vt punctum F,
orientalem aſpiciat.
Alij præterea duo refluxus eadem proportione promoti erunt, vbi prius
erant fluxus: quæ conſequentia ad Lunam perpetua, manifeſtum eſt, ſignum,
hoſce fluxus, ac refluxus non aliunde quàm à Luna manare. quod adhuc ma­
 nifeſtius erit, ſi conſideremus, quod quanto tardius quotidie Luna oritur,
tanto etiam maris æſtus tardius incipit. Porrò vt appareat hanc eſſe vete­
 rum ſententiam libet hic attexere quædam ex lib. 3. Strabonis, quæ ipſe ex
Poſſidonio acceperat. ſic. Oceani verò motum ait, ſcilicet Poſſidonius, ſy­
 deris ſubire circuitum, quendam quidem diurnum, quendam menſtruum,
quendam annuum, vt Lunæ etiam contingit. quo etiam tempore iſta ſuper
horizontem aſcenderit, mare terram aſcendere incipit, ſenſu teſte, quouſque
ad cœli medium Luna conſcenderit. Vbi verò declinare ſydus ipſum cœ­
 perit, ſenſim rurſus à terra pelagus ad medium mare reuertitur, donec ad
occidentis punctum Luna deſcenderit. deinde tanto eadem inconſtantia
tempore manet, quanto Luna ad ipſum occaſum coniungitur, & adhuc tan­
to magis, quanto ſub terram mota, ſignum ab horizonte diſtet. poſtea rur­
ſus mare aſcendere, quouſque ſub tellurem in medio cœli ſit Luna, deinde
mare à littore regredi quoad iterum Luna in orientem procedat, ac ſupra
horizontem eleuetur, conſiſtere verò vſque quo ſignum ſupra terram eleue­
 tur, & rurſus terras mare aſcendere. Hanc diurnam eſſe circuitionem aſſe­
 rit Poſſidonius, menſtruam verò, &c. vbi pergit explicare, qua ratione, ma­
ria etiam alijs motibus menſtruo. ſcilicet, & annuo cieantur, iuxta Lunæ
periodos menſtruam, & annuam. Eadem omninò habet Plinius, & alij ve­
 teres omnes, quos tu conſulere poteris vnde mirum videri debeat, cur re­
 centiores plurimi, neque veterum auctoritate, neque ratione, aut experientia
nixi, hanc maris affectionem, à Luna effici negarint.
Verum ipſi duabus potiſſimum rationibus id negant.
Prima eſt, quod vario admodum tempore, & modo in diuerſis fiant ma­
 ribus, & in nonnullis nihil horum æſtuum appareat.
Huic reſpondendum eſt, id ex varia marium diſpoſitione, tum etiam va­
rio ſitu, quo Lunam aſpiciunt prouenire. hoc modo videmus vario tempo­
 re, & modo, in toto orbe effici dies, ac noctes, æſtatem, & hyemem; & ta­
 men certum eſt Solem iſta omnia efficere. Sed melius etiam huic dubita­
 tioni occurremus certa quadam, atque omninò explorata experientia ex ar­
 te Nautica deſumpta. libri enim nautici abſque vlla dubitatione Lunæ hæc
omnia verè aſcribunt, dum quaſdam regulas tradunt, eas tamen pro varijs
maribus varias, quibus per ætatem Lunæ, & ſitum ipſius ſupra horizontem
illius maris certò certius horam fluxus; & refluxus, imò eorum etiam ma­
gnitudinem prænoſcunt, ac prædicunt. huiuſmodi librum vidi ego Parmæ,
manu ſcriptum, auctore Auguſtino Cæſareo, quem ille olim Sereniſs. Duci
Octauio dono dederat. quod ſi hi æſtus à Luna minimè penderent, nulla ra­
tione regulæ illæ effici potuiſſent, quibus per ætatem ipſius, ac ſitum ſupra
horizontem eos prædicere tuto valerent.
1
Secunda verò ratio, quæ maximè eos torquet eſt quanam ratione à Luna
effici poſſit ſecundus refluxus B, primò oppoſitus, cum tota terræ moles in­
 teriecta obſtare videatur.
Verum huic difficultati optimè ex opticis ſatisfacere poſſumus, fi dixe­
 rimus, æſtum illum effici quidem à Luna, & Sole, ſed tamen per lumen ex
ſyderibus ad partem illam auerſam reflexum; quod vt melius explicetur, &
confirmetur. Illud primò ſciendum non ſolam Lunam, verum etiam Solem
ad æſtum maris ciendum concurrere, quamuis primas in hoc Lunæ conce­
 dat; experientia enim conſtat maiorem fieri fluxum, quando Sol, & Luna
ſimul ſunt coniuncta, vt in nouilunio accidit, quia lumina, & eorum virtu­
 tes vnitæ fortius eandem maris partem directis radijs percellunt. ſimiliter
maior fit, quando luminaria ſunt oppoſita, vt in plenilunio contingit, quia
tunc radij vnius directi, aſſociantur cum reflexis alterius radijs, hocque; mo­
 do duplicati eaſdem terræ partes, & directè, & reflexè feriunt, vt melius in
ſequenti figura patebit.
Secundò præmittendum eſt, lumen Solis, & Lunæ reflecti ex denſis, ac per­
politis corporibus, vti ſunt omnia ſydera.
Tertiò, ex opticis aſſumendum, ſi corpora plurima ſphærica lumen re­
flectentia fuerint in circulari ambitu conſtituta, quemadmodum ſunt ſtellæ
affixæ in ambitu firmamenti collocatæ, reflectere plurimum lumen ad vnum,
& idem punctum, quod ſit inter lumen, & ambitum illum; quod aſſumptum
manifeſtum eſt ex Iride, vbi ex plurimis ſphæricis guttulis lumen Solis re­
 flectitur ad oculum; quamuis geometricè, & quidem facilè à Perſpectiuo
demonſtrari poſſit.
Quartò, ex opticis, dato corpore luminoſo, & ſphærico reflectente, &
puncto quouis, ad quod poſſit reflecti lumen, poteſt inueniri in ſphæra refle­
 ctente punctum reflexionis.
Quintò, quanto radij perpendiculariores incidunt, tanto maiorem
vim habere.
Sit ergò Sol, & Luna ſimul, vt in figura ſitque; octauæ ſphæræ portio A B C,
cum innumeris in ea affixis ſyderibus. eſſe autem totum cœlum ſtellis penè
infinitis, ac conſtipatis refertum ſenſui palam fit, adhibito nouo illo, ac mi­
 rabili Teleſcopij inuento.
Iam, vt patet ex 39.5. Alhazeni, ex ſingulis ſtellis Solis, ac Lunæ lumen
reflecti poteſt (niſi quid obſtet) ad partem terræ D, luminaribus auerſam,
vt quarto loco ſuppoſui. & præterea ex ſtellis circa B, poſitis radij Solis re­
 percuti poſſunt ad eandem terræ partem D, perpendiculares, qui præ cæte­
 ris maximam vim obtinent. quemadmodum lineæ in figura reflexæ vtcunque
oſtendunt, ideò aſſerendum eſt eos, æſtum D, excitare præcipuè poſſe, neque
terræ quantitas Solis luci obeſt, cum conſtet vmbram terræ parum ſupra
Lunæ cœlum produci. poteſt tamen Lunæ eſſe impedimento quoad hos ra­
 dios perpendiculares; ſed tamen alios minus perpendiculares, ſeu parum
obliquos nullo modo impedire poteſt, quo minus ad D, reſiliant. qui quam­
 uis ſint minus quàm perpendiculares efficaces, obtinent tamen non modi­
 cam vim. Ex ſtellis igitur circa A, & C, reflecti poteſt ex quarto fundamen­
 to lumen vtriuſque luminaris ad D, quod ſatis eſt efficax, cùm ferè
1120[Figure 120]
culariter terræ D, incidat. quamuis autem ex ſtellis F, E, lumen aliquod ad
D, tranſmittatur, tamen cum obliquè admodum illi accidat, nihil penè ef­
 ficere valet. Verumenimuerò quiſpiam in hunc modum obijciet: hac ra­
 tione deberet fieri etiam æſtus in terræ lateribus H, I, quando quidem etiam
illuc lumen ex quarto fundamento reflecti poteſt.
Cui ſic reſpondendum, poſſe quidem aliquod lumen illuc reſilire, ſed ta­
 men exiguum admodum, & proinde nullius penè roboris, quod experientia
deſumpta ex illuminatione Lunæ comprobari poteſt; videmus enim, quod
quanto Luna magis Soli opponitur, & proinde ſuam illuminationem magis
verſus terram obuertit, vt in plenilunio, tanto maiorem eam vim habere
æſtus excitandi. multo verò minorem, quando eſt in aſpectu Solis quadrato,
quia dimidiam tantum ſui illuminationem nobis reflectit. Idem proportio­
 naliter de ſtellis dicendum, quæ enim luminari maximè opponuntur, vt quæ
ſunt circa B, illæ totam illuminationem terræ oſtendunt, vnde, & efficacio­
 res ſunt. cæteræ, quo magis ab illis diſtant minus de ſua illuminatione ter­
 ræ, ſeu mari obuertunt, & proinde minus efficiunt. vnde fit, vt quamuis non­
 nulli radij etiam perpendiculares ad terræ latera H, I, referri poſſint, tamen
quia pauciores ſunt, quàm alibi, propterea nullam ibi æſtus prouocandi vim
obtinent. ſydera porrò illa, quæ ſupra Solem exiſtunt, etiam ſi ipſorum
1minatio tota ad terras vergat, tamen in lateribus terræ prædictis nihil ef­
 ficiunt, quia in illa vel obliquè admodum radij incidunt, vel ea tantummo­
 do tangunt. Verum illuminatione ſua eaſdem maris partes, quæ ſunt ad G,
vnà cum Sole, ac Luna percellunt.
Ex quibus apparet duas tantum orbis terræ partes totis, ac plenis aſtro­
rum luminibus impeti, in quibus ſcilicet duo oppoſiti æſtus ebulliunt.
Idem poſſumus hoc modo confirmare, quia cum totum firmamentum ſit
innumeris penè ſyderibus ſtipatum, loco concaui, ac ſphæriçi ſpeculi ha­
 beri poteſt, & proinde illius inſtar amborum luminarium lumen reflectere;
qua ratione patet omnem ferè ad partes prædictas D, emitti reflexionem.
His rationibus manifeſtum eſſe patet prædictum æſtus tumorem lumina­
 ribus auerſum, atque antipodum ex prædicta reflexione exurgere.
Poſſet etiam quiſpiam ſic opponere, ſi illuc prædicta luminum reflexio
pertineret, non ſolum illam aquarum ebullitionem efficeret, verum etiam
lucem aliquam eòdem afferret, quod tamen ſenſu minimè apparet. cui ſic
reſpondendum videtur, neceſſarium non eſſe, vt reflexio illa, quæ hoc modo
mare afficit tanta ſit, vt etiam illud luce ſolito maiori afficiat; quod expe­
rientia conſtat in alijs cęli influxibus: quàm ſæpè enim Luna nubiloſo etiam
tempore, fluxum, ac refluxum priorem parit, cum tamen nullam tunc lu­
 cem nobis afferat? quamuis enim lumen ſtellarum ſuperficiem maris non
attingat, attingit tamen ſuperficiem vaporum, exhalationum, ac nubium,
quæ terram in ſphæræ modum ambiunt, ac parum à terra circumquaque at­
 tolluntur: quem exhalationum ambitum deinde luminarium virtus facilè
penetrare poteſt. Nullum præterea lumen apparet, quia lumen reflexum
præſertim ex conuexis corporibus, vt ſunt ſtellæ, valde debile eſt, quia con­
uexum illud reflectendo non vnit, ſed diſgregat, contra quam facit concauum.
Tandem quærere quis poſſet, cur æſtus hic ſecundus minor ſit priori. Cui
reſpondendum, quia ille à directis radijs, hic verò à reflexis progignitur:
radios autem reflexos debiliores eſſe directis optici docent, atque experien­
 tia confirmat.
Porrò quando luminaria ſunt oppoſita, vt ſi Luna eſſet in B, Sol verò in K,
tunc maximus fit vterque fluxus, quia radij directi vtriuſque vniuntur cum ra­
 dijs reflexis alterius; ita vt vterque æſtus fiat, & per radium reflexum, & per
directum ſimul, v. g. æſtus, qui Lunæ ſubiacet fit per radium Lunæ directum,
& quia Sol eſt in oppoſitione cum Luna, ſit vt ipſius radij reflectantur, &
vniantur cum directis Lunæ ad eundem tumorem excitandum. ſimiliter in­
 fra Solem directè alius fit à directis ipſius radijs; & quia Luna ei opponitur
lumen eius ad vſque ſydera pertinens reuertitur, vnaque; cum directa Solis lu­
 ce ad eundem efficiendum concurrit.
Exiſtentibus demum luminaribus circa quadratum aſpectum, vt ſi Luna
eſſet in F, Sole exiſtente in K. exiguus, ac penè nullus fit fluxus, quia eorum
vires non ſunt vnitæ, cùm radij nec incidentes, nec reflexi vniantur imò vi­
res eorum ſeparatæ maria in contrarias partes diſtrahunt, vnde fit, vt neu­
 tro alteri concedente, apud neutrum victoria conſtet.
Atque hæc eſt mea de æſtu maris per reflexionem ſententia. quam iamdiu
inuentam, atque auditoribus meis ſæpius explicatam, reperi tandem non ſine
1gaudio fuiſſe etiam ſubtiliſſimi Scoti opinionem, quam ipſe breuiter in pri­
 mum ſent. de creatione mundi tantummodo ſine vlla expoſitione, atque con­
 firmatione proponit. in eadem prorſus ſententia eſt Rogerius Bachon inter
Opticos probatiſſimus, cap. 5. de Speculis Mathematicis.
Aliorum demum opinationes, ſiue Angelo cuidam, ſiue virtuti totam
terram peruadenti hunc æſtum aſcribentium, non eſt meum refellere, cum
non phyſicum, ſed mathematicum agere inſtituerim.
273
Cap. 7. (Quod Imagunculas animatas eſſe, &c.) huiuſmodi imagines, &
ſtatuas, quæ ſpontè mouebantur Græci appellarunt Automata, ideſt ſpon­
 tanea, cuiuſmodi ſunt automata Heronis, Alexandrini, quæ adhuc extant.
IN LIBELLVM
De admirandis auditionibus.
274
Nvmero 82. Quæ de illa inſula extra Herculis columnas ſita narrat,
eam putant recentiores Geographi, & quidem meritò nouo orbi
conuenire.
275
Numero 100. Quæ de Iſtro, ſiue Dannubio tradit, eum ſcilicet
eſſe bifidum, alteroque; ramo in Pontum, altero verò in Mediterraneum ex­
 onerari: ſunt contra omnes recentiores Geographos; apparet tamen eam
fuiſſe veterum nonnullorum opinionem, quos ſequutus Ariſt. deceptus eſt,
à quibus etiam multò poſt falſi ſunt Diodorus, Pomponius, & Solinus, qui
Iſtrum Iſtriæ Prouincìæ fluuium faciunt, quem ex Iſtro Germaniæ veluti ra­
 mum contra omnem veritatem deriuant. Verùm hoc illis condonandum
præſertim antiquioribus, cum tunc temporis Geographia parum eſſet
exculta.
Primus Strabo hanc falſitatem libro 1. redarguit, & poſt ipſum Plinius
Iſtrum iſtum fabuloſum appellat.
IN LIBELLVM
De lineis inſecabilibus, ſiue indiuiduis.
276
Diſputat libellus hic ſanè acutiſſimus, Vtrum quantitas conſtet ex
indiuiſibilibus, quam quęſtionem recentiores agitant in Phyſicis
tractatione de Quantitate; atque hinc nonnulla ſumunt argumen­
 ta: plura ſumpturi niſi operis obſcuritas, & mathematicarum,
ignoratio hactenus obſtitiſſet.
Sciendum igitur primo loco, nos poſſe duo indiuiſibilium genera in quan­
 titate concipere. primum eorum, quæ verè indiuidua ſunt, nullasque; habent
partes, ſiue nullo modo ſunt quanta; cuiuſmodi eſt punctum mathematicum.
Alterum quorumdam indiuiſibilium quidem, ſed tamen quantorum cu­
 iuſmodi eſſent, quædam adeò minimæ lineæ, quæ omnem effugiant diuiſio­
nem: ex quibus antiqui opinabantur lineas totales, ac diuiduas componi.
atque de hoc ſecundo indiuiduorum, quantorum genere videtur opuſculum
1iſtud diſſerere. & quia partim rationibus phyſicis, partim geometricis vti­
 tur, ideò nec omninò phyſicus nec omninò mathematicus eſt. Ego igitur,
quæ mathematica ſunt, ex inſtituto exponere aggrediar.
Ad intelligentiam igitur huius operis neceſſarium eſt nouiſſe, quæ nam
ſint quantitates commenſurabiles, & quæ in commenſurabiles. quæ prima,
& ſecunda definitione 10. Elem. explicantur; egoque; eas primo Priorum oc­
 caſione aſymetriæ diametri cum coſta ſatis expoſui: vtrumuis locum vide­
 ris præſenti neceſſitati conſultum erit.
277
Primus locus Mathematicus eſt hic (Poſtremò ex ijs, quæ tradunt Mathe­
 maticis imbuti diſciplinis, quiuis lineam aliquam inſecabilem eſſe concedet. nam
ſi, vt aiunt, illæ commenſurabiles ſunt lineæ, quæ eadem menſura dimetiri queunt,
& nihil impedit, quin omnes commenſurabiles re ipſa dimetiantur, extabit profe­
 ctò longitudo aliqua, qua omnes commenſurabuntur; quæ neceſſario erit indiuidua,
nam ſi dicatur eſſe diuidua, huius quoque menſuræ partes, menſuram aliquam com­
 munem habebunt, partes enim toti commenſurabiles ſunt ita, vt portio partis il­
 lius, quæ dimidium totius fuerat, efficiatur dupla alterius; quoniam autem hoc
fieri nequit, atoma debet eſſe menſura hæc communis.
Eodem modo, & quæ ſimul ab ipſa menſura commenſuratæ, tanquam omnes ex
ea menſura compoſitæ ſunt lineæ, veluti ex atomis conflantur.
Affert rationem quandam ex Mathematicis, qua nonnulli probabant ex­
 tare lineas atomas, ex quibus cæteræ lineæ tanquam partibus conſtarent:
ac proinde negabant lineas eſſe in infinitum diuiduas, ſeu quamlibet lineam
ſecari poſſe, ſed aſſerebant diuidendo, tandem ad indiuiduas deueniendum eſſe.
Præmiſſa igitur, vt monui commenſurabilium, & incommenſurabilium
linearum cognitione in hunc modum, & textum Ariſtot. & rationem ipſo­
 rum exponam.
Mathematici oſtendunt extare lineas commenſurabiles, quæ ſcilicet ea­
 dem communi menſura menſurantur: at nihil impedit quin omnes commen­
ſurabiles re ipſa menſurentur, debet ergò extare vna aliqua longitudo, qua
omnes commenſurabiles dimetiamur. hanc autem neceſſe eſt eſſe atomam,
nam ſi diuidua ſtatuatur, poterit ſemper ſecari, & ſubſecari bifariam, qua­
 re cum partes huiuſmodi ſint toti commenſurabiles, ſequetur aliam exiſtere
menſuram, qua omnes hæ partes, & proinde tota linea commenſurentur.
Verùm hoc fieri nequit, nam hoc pacto non eſſet vna tantum longitudo om­
 nium commenſurabilium linearum communis menſura, verùm plures, &
plures in infinitum, quod eſt contra Mathematicorum placita. dicendum,
itaque, communem illam omnium menſuram eſſe omnis diuiſionis exper­
 tem; & propterea etiam lineas omnes commenſurabiles ex atomis lineis
componi, quæ nimirum prædictæ communi menſuræ æquales ſint. atque hæc
eſt illarum prima argumentatio.
278
Secundus locus (Idem etiam contingit in figuris planis, quæ à lineis rationa­
 libus procreantur: nam omnes huiuſmodi figuræ erunt etiam inuicem commenſura­
 biles, quare eadem ratione, qua in lineis proximè vſi ſumus, ſequetur earum com­
 munem menſuram eſſe pariter indiuiduam.
Sciendum eſt omnes lineas commenſurabiles longitudine, eſſe etiam com­
 menſurabiles (vt aiunt Geometræ) potentia, ideſt ſecundum quadrata
1rum, ſiue dicas quadrata quoque earum eſſe commenſurabilia, v. g. linea dua­
121[Figure 121]
rum vnciarum, & linea trium vnciarum ſunt
commenſurabiles longitudine, & potentia,
quia potentia lineæ duarum vnciarum, ſiue
quadratum, eſt quatuor vnciarum ſuperficia­
 lium: & quadratum lineæ trium vnciarum,
eſt nouem vnciarum quadratarum, vt patet
in figuris, quorum quadratorum communis
menſura eſt vncia vna quadrata. atque hanc
illi nullo modo diuidi poſſe contendebant.
279
Tertius locus (Præterea ſi quis communem ſtatam, ac determinatam menſu­
ram faciat diuiduam, non erit amplius in rerum natura linea vlla rationalis, aut
irrationalis, reſpectu expoſitæ, ac determinatæ lineæ; neque aliarum vlla erit, de
quibus modo dictum eſt, veluti quam Apotomen vocant ex duobus nominibus. Ve­
 rùm neque ſecundum ſe aliquam definitam naturam habebunt, ſed collatæ ſibi ipſis
tam rationales, quàm irrationales erunt omnes.
Hæc eſt alia eorumdem ratio ad idem comprobandum: quam, vt benè
percipiamus, nonnulla prius ex definitionibus 10. Elem. ſunt explicanda:
vt quæ nam ſint lineæ rationales, quæ irrationales, quæ ex binis nomini­
 bus, quæ Apotomæ.
Propoſita igitur linea quapiam, v. g. trium palmorum qualis eſt linea A,
poſſunt inueniri quamplurimæ lineæ, quarum aliæ ſint illi longitudine com­
122[Figure 122]
menſurabiles, ſiue quæ cum expoſita A, ha­
 beant communem menſuram. v. g. linea B,
quinque palmorum eſt commenſurabilis lineæ
A, quia vtramque communis menſura vnius
palmi metitur: aliæ verò ſint eidem A, lon­
 gitudine incommenſurabiles, qualis eſſet diameter C D, quadrati lineæ A,
quæ eſt cum latere A, incommenſurabilis ex vltima 10.
123[Figure 123]
Cæterum lineam primò expoſitam, vt eſt in præ­
 ſentia A, quod eſſet notæ quantitatis, Græci appella­
 runt Ρήτην, ideſt rationalem, quemadmodum Latini
eam appellant.
Linearum autem longitudine incommenſurabilium
cum expoſita rationali A, aliæ ſunt, quæ tamen ſunt
commenſurabiles eidem potentia, ideſt conſtituunt
quadrata, quæ ſunt commenſurabilia quadrato ra­
 tionali A, vt linea C D, cum ſit diameter quadrati li­
 neæ A, quadratum exhibet, quod eſt duplum quadrati lineæ A, ex 47. primi,
quadratum autem lineæ A, eſt nouem, igitur quadratum eius duplum erit
octodecim, quadratum ſcilicet lineæ C D. octodecim autem, & nouem ſunt
commenſurabilia communi vnitatis menſura, huiuſmodi lineæ dicuntur com­
menſurabiles potentia tantum, potentia. n. lineæ dicuntur quadratum illius.
Quæ igitur rationali propoſitæ ſunt commenſurabiles aliquo modo, ſiue
longitudine, & potentia (quæcunque enim commenſurabilis eſt longitudine,
eſt etiam potentia) ſiue potentia ſolùm, rationales ipſæ quoque
1124[Figure 124]
Aliæ verò (quarum permultæ in decimo reperiun­
 tur) quæ nec longitudine, nec potentia illi ſunt
commenſurabiles, irrationales appellantur, qua­
 lis eſſet media proportionalis E F, inter duas A,
& C D, in præſenti figura ex 11. 10.
Sciendum præterea ex 37. 10. & ſequentibus,
quod ex duabus lineis rationalibus reſpectu rationalis expoſitæ. v. g. A, com­
 menſurabilibus inuicem tantum potentia, componitur linea, quæ cum ea­
125[Figure 125]
dem expoſita eſt irrationalis, vocaturque; ex
duobus nominibus, ſiue Binomium, vt ſi ex
latere A, & diametro C D, componatur li­
 nea A C D, erit irrationalis cum rationali
A, diceturque; binomium. Amplius ex 74. 10. & ſequentibus, ſi prædictum
minus nomen, ſiue minor linea A, detrahatur ex maiori nomine C D, vt re­
 linquatur B D linea, erit ipſa reliqua B D, irrationalis, quam poſtea appel­
 lant Apotomen, ſiue latinè Reſiduum.
Poſtremò, & hoc non ignorandum ex 43. 10. lineam, ſiue binomium A C D,
non poſſe diuidi in alio puncto, præter C, in duas lineas, quæ ſint rationales
expoſitæ, & potentia tantum inuicem commenſurabiles.
His præmiſſis textum, ac rationem illorum explicabo in hunc modum.
Si quis faciat diuiduam lineam illam, quæ eſt communis menſura omnium
commenſurabilium, ſequetur hoc abſurdum contra demonſtrationes 10.
quod nulla erit amplius linea rationalis, nec irrationalis, quia ſi communis
menſura diuidatur, tolletur ea de rerum natura; vnde non erit amplius in­
 ter lineas ſymetria vlla, quare neque vllæ erunt rationales, eſſe enim ratio­
 nale oritur ex commenſurabilitate. quare neque extabit illa rationalis expo­
 ſita, ad quam cæteræ relatæ dicuntur rationales, vel irrationales: quapro­
 pter etiam irrationales nullæ erunt, neque vlla alia erit ex prædictis, veluti
nec irrationalis illa, quam vocant Apotomen ex Binomio, ſiue ex duobus
nominibus, de qua Euclides propoſ. 74. 10. & ſequentibus pertractat.
Notandum in verſu illo (Apotomen ex duobus nominibus compoſitam) vni­
 ca voce illa (Compoſitam) addita ab Interprete Iatino, quæ non extat in tex.
græco, magnum Ariſtoteli imponi erratum, cum hac ratione dicat apoto­
 men ex duobus nominibus eſſe compoſitam, quod falſiſſimum eſt. Apotome
enim, vt ſupra dictum eſt, ne dum ex duobus nominibus conſtat, verum ip­
 ſa eſt reſiduum lineæ maioris, ſi minor ab ipſa detrahatur. Verumenimuero
vox illa (Compoſitam) in nullo codice reperitur, quare pro arbitrio, atque
ex Geometriæ inſcitia addita, tolli debet, ne tantæ inſcitiæ Ariſt. ipſe re­
 darguatur. hæc in hunc locum ſufficiant.
280
Quartus locus (Quod verò de commenſurabilibus lineis poſtremò dicunt, om­
nes vna quadam, & eadem menſura oportere menſurari, falſum eſt admodum, &
nequaquam Mathematicorum ſuppoſitionibus concordat. non enim ita ſupponunt
Geometræ, neque vtile ipſis iſtud foret, imò potius aduerſaretur, lineas omnes com­
menſurabiles eſſe, & omnium commenſurabilium linearum communem menſuram
exiſtimare. quamobrem ridiculum eſt eos, qui dicunt ſe demonstrare ex Geometra­
 rum decretis, & ex quibus Mathematici docent in contentioſam pariter, ac falla­
1cem diuertere argumentationem, præſertim tam inualidam. nam multis modis im­
becillis eſt eiuſmodi ratio, & quouis modo licet euitare, ne aut inuſitata dicere, aut
argui videamur.
Refellit hoc loco ſuperiores rationes in tribus locis præmiſſis allatas,
quibus nonnulli probabant quantitatem ex indiuiduis conſtare, & proinde
concedenda eſſe quædam Quanta, omninò atoma; ſic igitur inquit. Quod
verò de commenſurabilibus lineis dicunt, omnes videlicet vnica quadam,
eademque; determinata menſura menſurari oportere, falſum omninò eſt, &
contra mathematicorum dogmata, non enim Geometræ hoc aſſerunt, cùm
ipſorum demonſtrationibus aduerſetur; ſed tantum dicunt omnes lineas, quæ
ad inuicem ſunt commenſurabiles, commenſurari, vna eademque; menſura,
126[Figure 126]
ſed non tamen vnica, ideſt non vnica, ac determi­
 nata. poſſunt enim eſſe plures eædemque; menſuræ
communes plurium quantitatum commenſura­
 bilium, vt præſentium trium linearum 4. 6. 8.
communis menſura eſt linea 2. binarius enim tres
numeros 4.6. & 8. menſurat. & ſi linea 2. bifariam
ſecetur, erit dimidium eius linea 1. quæ pariter
erit communis menſura trium prædictarum li­
 nearum, cûm vnitas ſit omnium numerorum communis menſura. benè ve­
 rum eſt, quod Geometræ, quando ſimpliciter loquuntur de huiuſmodi com­
 muni menſura, intelligunt de ea, quæ inter omnes eſt maxima: vt in prædi­
 ctis tribus lineis maxima earum communis menſura eſt linea 2. Atque hoc ſi­
 bi volunt Geometræ, ex quibus totus hic textus intelligi poteſt.
281
Quintus locus (Ob rectæ verò lineæ motum in ſemicirculum, quam neceſſe eſt
in rectum ita diuidere, vt infinitæ circunferentiæ, & interualla totidem inuenian­
tur) Interpres latinus ſic vertit (Ob rectæ verò lineæ motum in ſemicirculum
diuiduas non credere, &c.) vbi verba illa (Diuiduas non credere) pro arbitrio,
ac ſine ratione, imò contra rationem addidit: tum quia in Græco textu non
extant, tum quia ſenſus totius ſententiæ is eſt, vt potius debuiſſet affirmati­
 uè dicere (Diuiduas credere) nam Ariſtoteles videtur ſic argumentari, quan­
127[Figure 127]
do recta linea A B, vt in appoſita figura mo­
 uetur intrando in ſemicirculum C A D B, ita
vt primò ſit in ſitu A B, ſecundò in E F, tertiò
in G H, & ſimiliter in alijs omnibus ſemicir­
 culi locis, neceſſariò accidit, vt infinitæ peri­
 phęriæ, quales sunt A B, E A B F, G E A B F H,
cadant inter infinitas partes lineæ ingredien­
 tis, vt ſunt A B, E F, G H, atque tam tota recta
ingrediens, quàm totus ſemicirculus, diuidatur in partes infinitas, ita vt
nulla pars lineæ rectæ, neque vlla ſemicirculi ſuperſit, quæ ſe ſe mutuò non
diuidantur, ergò nihil tam in linea, quàm in ſemicirculo remanet, quod non
ſecetur: tota igitur linea recta, & periphæria illa diuidua eſt, quam ob rem
nullo modo conſtare poteſt ex indiuiduis, ex quibus manifeſtum eſt perpe­
 ram additamentum illud factum eſſe, & ſimul ratio, & textus Ariſt. eadem
opera patefacta ſunt.
1
282
Sextus locus (Rurſus quoque facilè perſuaderi poteſt ex mota duorurm circulo­
rum æqualium, nam quiſquis horum moueatur, oportet per maiorem ſemicirculum
moueri, & quæcunque alia huiuſmodi constituta ſunt de lineis, fieri non poſſe, vt
talis vllus motus peragatur, quin prius omnibus, & ſingulis interiectis occurrat.
Atque hæc Mathematicorum ſcita, multò magis ab omnibus conceſſa ſunt, quàm
illorum dicta.
Hæc eſt alia ratio, qua probat totam circuli periphæriam eſſe diuiduam.
128[Figure 128]
ſint enim duo circuli æquales primum in eo­
 dem loco, vocenturque; A, & B, deinde circu­
 lus B, moueatur, & diſcedat à circulo A, ma­
 nente; ſtatim namque pars egreſſa E F G, erit
maior ſemicirculo, & ſemper fiet maior, ac
maior. atque in tali motu omnes partes egre­
 dientis circuli ſecantur ab omnibus partibus
circuli manentis. vnde patet nihil eſſe in eo­
 rum periphærijs, quod non diuidatur. nul­
 lum igitur in eis eſt indiuiduum. falluntur igitur aduerſarij.
283
Septimus locus (Quamuis autem ex confutatis nuper rationibus appareat, ne­
 que probabile, neque neceſſarium eſſe lineas vllas indiuiduas extare, tamen ex ijs
etiam, quæ deinceps ſubiungam, multò magis perſpicuum euadet. & primò quidem
per ea, quæ Mathematici demonſtrant, at que addiſcenda proponunt, quæ mutare
non decet, niſt probabiliores rationes habeamus. Nam neque lineæ, neque rectæ li­
 neæ definitio cum inſecabili linea conſentit, vt quæ nec inter duo puncta extenſa
ſit, nec medium vllam habeat.
Idem, ſed paulò mutatis verbis poſtea repetit, quæ fortè ab aliquo per
errorem addita ſunt. Verumenimuerò maximè conſiderandum eſt, quan­
 tum hoc loco Ariſt. Mathematicis demonſtrationibus tribuat: quod dixe­
 rim propter recentiores quoſdam, qui eò audaciæ deuenerunt, vt Euclidis
firmiſſimas, atque Ariſtot. teſtimonio, veterumque; Philoſophorum omnium
comprobatas, negare non verentur Demonſtrationes.
Cæterùm Ariſt. iterum opinionem aſſerentium lineas inſecabiles hoc mo­
 do confutat: nam ſi inquit, lineam illam, quam vocant inſecabilem, eſt non
ſolum linea, ſed etiam linea recta, illi conueniret rectæ lineæ definitio, ſed
nullo modo poteſt ci conuenire, ergò tollendæ ſunt de rerum natura huiuſ­
 modi lineæ. Porrò definitio lineæ eſt, vt ſit longitudo latitudinis expers, &
ſi recta ſit ex æquo ſua interiacet puncta extrema, ergò ipſa linea media erit
inter duo indiuidua extrema puncta; at verò linea, quam ipſi volunt eſſe
indiuiduum quoddam, qua ratione medium erit inter alia duo indiuidua?
ipſi enim videntur velle iſtam lineam non habere medium vllum, ſi enim con­
cederent habere medium, iam poſſet in medio ſecari, quod ipſi nequaquam
concederent: patet igitur definitionem lineæ minimè illi conuenire, & pro­
 pterea neque eſſe inter lineas enumerandam.
284
Octauus locus (Deinde omnes lineæ commenſurabiles erunt: nam omnes ab in­
 diuiduis lineis dimetientur, quæqué; longitudine, quæqué; potentia ſunt commenſurabi­
 les. indiuiduæ autem lineæ ſibi ipſis commenſurabiles ſunt longitudine, cum inter ſe
fiat æquales; quare potentia quoque, quod ſi hoc eſt, diuiduum erit quadratum.
1
Pergit adhuc nouis rationibus aduerſarios refellere, dicens, ſi extarent
huiuſmodi indiuiduæ lineæ, ſequeretur omnes omninò lineas eſſe commen­
 ſurabiles, quod eſt contra demonſtrata in 10. Elem. quia cum omnes lineæ
conſtent per ipſos ex lineis atomis, iſtæ atomæ eſſent omnium linearum com­
 munes menſuræ, vnde & illæ, quæ dicuntur potentia tantum commenſura­
 biles, vt ſupra explicaui, erunt etiam commenſurabiles longitudine. indiui­
 duæ verò ipſæ, cum ſint inuicem æquales, erunt ipſæ quoque commenſurabi­
 les longitudine, quare & potentia, omnes enim longitudine commenſura­
 biles, ſunt etiam potentia commenſurabiles, ex 9. 10. vnde ſequitur qua­
 drata earum omnia eſſe quoque commenſurabilia: atque hinc conſequitur, in­
 quit, ea eſſe quoque diuidua (quam conſecutionem probat infra num. 290.)
vnde ſequeretur ipſam quoque lineam latus quadrati poſſe diuidi, non igitur
ponenda erat indiuidua.
285
Nonus Iocus, cuius latinam interpretationem, cum admodum eſſet de­
 prauata ex græco textu, in hunc modum correxi (Præterea cùm circa maio­
rem latitudinem facit applicata, æquale ei, quod ab indiuidua, & pedali copulatis
circa bipedalem, minorem faciet latitudinem, quàm ſit indiuidua: erit minus, quod
circa indiuiduam) ideſt cùm minor linea applicata cum maiore, latitudinem
129[Figure 129]
faciat. v. g. linea minor A B, applicata cum ma­
 iori B C, vt in figura, ita vt contineant figuram
A B C D. Minor A B, facit latitudinem figuræ,
maior verò B C, facit longitudinem. Iam cum
aduerſarij velint extare huiuſmodi lineas ato­
 mas, conſtituatur figura ſub vna ex illis, quæ ſit v. g. A B, & altera maiori,
quæ ſit pedalis, v. g. B C, vt in præcedenti figura, ſumatur deinde linea bi­
130[Figure 130]
pedalis E F, cui per 45. primi ap­
 plicetur ſpatium E F G H, æquale
ſpatio ſuperiori A B C D, neceſſa­
 riò latitudo E H, huius ſecundæ fi­
 guræ minor erit quàm latitudo il­
lius, hoc eſt minor, quàm ſit indiuidua A B, quod eſt abſurdum. vel dicere
oportet ſpatium circa indiuiduam A B, eſſe minus quàm iſtud poſterius, quod
eſt contra conſtructionem, & propterea pariter inconueniens, non igitur
huiuſmodi lineæ ſunt ponendæ.
286
Decimus locus (Cum ex tribus datis lineis triangulus componatur, ex tribus
quoque indiuiduis lineis componi poterit. in omni autem æquilatero perpendicularis
in mediam baſim incidit, quare, & in medium indiuiduæ.
Ex 22. primi Elem. ex tribus datis lineis, quarum quælibet duæ ſint, re­
 liqua maiores poteſt conſtitui triangulum: poterit igitur ex tribus indiui­
131[Figure 131]
duis conſtitui triangulum, illudque; æquilaterum, cum omnes in­
 diuiduæ lineæ ſint æquales. ſit igitur ex eis triangulum A B C,
ſi igitur ab angulo A, ducatur perpendicularis A D, ad baſim
B C, eam bifariam ſecabit ex ſcholio 26. primi, erit igitur li­
 nea B C, ſecabilis, contra quam aduerſarij opinantur.
287
Vndecimus locus (Si quadratum ex quatuor indiuiduis conſtituatur diametro
protracta, & perpendiculari ducta, quadrati coſta potentia perpendicularem, diame-
1trumqué mediam æquat: quare non erit minima. neque duplum erit ſpatium à diame­
 tro conſurgens illius, quod ab indiuidua procreatur: nans æquali ablato, reliquum
erit minus indiuidua, nam ſi æqualis, diameter quadruplum deſcriberet, &c.)
132[Figure 132]
ideſt ſi per 46 primi quadratum. v.g. A B C D, ex qua­
 tuor inſecabilibus componatur, cuius diametro B C,
perpendicularis A E, inſiſtat, erit per 47. primi qua­
 dratum lineæ A B, æquale quadratis linearum A E, E B,
quare tam E B, quàm A E, minores erunt ipſa A B;
quare ipſa non erit minima cum ſit indiuidua, quod eſt
abſurdum. Præterea ex ſcholio 47. primi, quadratum
C B F G, diametri C B, duplum eſt quadrati A B C D,
ergò diameter C B, maior quàm A B. Auferatur igitur ab ipſa, C B, æqua­
 lis ipſi A B, quæ igitur reliqua erit, vel erit æqualis ipſi A B, vel minor. non
æqualis, quia tunc diameter dupla eſſet lateris A B, & quadratum diametri
quadruplum foret quadrati lateris A B. ex ſcholio 4. ſecundi, quod abſur­
 dum eſt, repugnat enim 47. primi. nec minor, quia hoc modo exiſteret linea
quædam minor minima, ſcilicet atoma, quod pariter eſt inconueniens.
288
Duodecimus locus (Amplius ſi quæuis linea præter inſectilem in partes diui­
di poteſt, tùm æquales, tùm inæquales, ſeindatur linea in tria fruſta, quæ non con­
 ſtet ex tribus atomis, ſed vniuerſaliter ex imparibus numero atomis, ſic diuiſa erit
linea indiuidua. ſimiliter autem ſi in duo diuidatur linea, quæ ex imparibus conſtat)
hoc eſt detur linea quæpiam ab aduerſario ex lineis indiuiduis numerò im­
 paribus, conſtans. v. g. ex quinque; hæc diuidi poteſt in tres æquas partes
per 10.6. Si igitur diuidatur in tria æqualia, neceſſariò tres ex atomis illam
integrantibus erunt diſſectæ, nam tertia quælibet pars continebit indiui­
 duam vnam cum duabus tertijs alterius partibus. idem accidet ſi bifariam
per 10. primi, ſecetur quæuis ex imparibus numero atomis conflata.
289
Decimustertius locus (Quod ſi bifariam quidem non omnis linea finditur, ſed
quæ ſolum ex paribus conflata ſit. ſi iam in duas partes diuiſa, in quæcunque diuidi
poteſt diuideretur, ſic quoque inſectilis linea diuideretur, quando ex paribus compo­
 ſita, per inæqualia ſcinderetur) ideſt, quod ſi dixerit aduerſarius, non omnem
lineam bifariam diuidi poſſe, ſed eam ſolùm, quæ ex numero paribus atomis
conſtiterit: ea igitur diuidatur primo bifariam. deinde iterum diuidatur
quomodocunque, ideſt & bifariam, & non bifariam, nam hoc etiam pacto
indiuidua diuidetur, quod eſt inconueniens.
290
Decimusquartus locus (Amplius non eſſet cuiuſuis lineæ quadratum: habe­
 ret enim longitudinem, & latitudinem; atque idcircò diuiſibile erit, cum illa quidem
aliquid, hæc autem aliquid aliud; quod ſi quadratum diuiduum eſt, & linea, vnde
procreatur, diuidua erit) poſſe ſuper quamuis datam lineam quadratum de­
 ſcribi patet ex 46. primi, quadratum igitur deſcriptum ab indiuidua, cum
ſit ſuperficies, latitudinem, ac longitudinem habebit, quæ diuerſæ ſunt di­
 menſiones. poterit ergò ſecundum vtramque diuidi; ex qua diuiſione neceſ­
 ſariò latera ipſius, hoc eſt lineæ, quas indiuiduas illi ponunt diuidentur,
quod eſt inconueniens, non igitur indiuiduæ erunt.
291
Decimusquintus locus (Adhuc etiam, vt linea ſic, & ſuperficies, & corpus
erit impartibile: vno quippe indiuiduo exiſtente, cætera quoque conſequentur, quia
1vnum per aliud diuiditur, at corpus indiuiduum non eſt, cum in ſe latitudinem, &
profunditatem contineat: quare nec linea poteſt eſſe atoma. corpus ſiquidem in ſu­
perficies, ſuperficies verò in lineas ſoluitur) hoc eſt: præterea, quemadmodum
linea per aduerſarium extat indiuidua, ſic & ſuperficies ab eadem linea de­
 ſcripta erit atoma, & corpus ab hac ſuperficie deſcriptum erit impartibile.
Sciendum enim, quod ex motu puncti deſcribitur linea: ex motu lineæ de­
 ſcribitur ſuperficies: ex motu tandem ſuperficiei corpus ortum habet, vt ſo­
 let in horum definitionibus explicari.
Si igitur horum vnum nempè linea ſit atoma, & reliqua, quæ ab ipſa ma­
 nant erunt indiuiſa, quia corpus diuiditur per ſuperficiem, & ſuperficies
per lineam, ideſt ad diuiſionem corporis neceſſe eſt diuidi ſuperficiem, & ad
ſuperficiei diuiſionem diuidi lineam, quæ ipſam terminat. At cum omne
corpus latitudinem, & profunditatem habeat, nullum poterit extare cor­
 pus, quod diuidi nequeat; quare neque illud, quod ab atoma linea oriretur.
Quare nec linea illa corporis procreatrix erit indiuidua; corpus ſiquidem
in ſuperficies, & ſuperficies in lineas quodammodo reſoluitur: & ex diui­
 ſione ſolidi ſuperficies ſecari debet, & demum ſuperficiei, ſectionem lineæ
ſectio ſubſequitur. Tollendæ igitur ſunt de rerum natura lineæ atomæ.
292
Decimusſextus locus (Quin etiam orbis circunferentia rectam lineam pluri­
 bus tanget punctis, punctus enim contactus, quiqué eſt in circulo, quiqué eſt in recta,
ſe ſe mutuò tangunt. quod ſi hoc fieri nequit, neque punctus punctum tangere valet:
quod ſi ſe tangere nequeunt, neque linea punctis conſtare poteſt, nam neque punctum
tangere neceſſarium eſt.
In 2. 3. & corollario eius demonſtratur circuli peripheriam tangere re­
 ctam lineam in vnico puncto. iam ſi linea conſtaret ex punctis indiuiduis
tanquam partibus, poſſet circulus tangere rectam lineam in duobus punctis.
133[Figure 133]
Sit circulus, cuius centrum A, tangens lineam
rectam B C, conſtantem ex punctis, quorum vnus
ſit in extremo D, lineæ B D, alterum verò in E,
principio lineæ E C, circulus A, tangere poterit
in F, termino communi vtriuſque lineæ, hocque
modo tanget vtrunque punctum D, & E, quod eſt
impoſſibile per 2. 3. ſequitur igitur neque illa duo puncta D, E, ſe mutuò tan­
 gere, & eadem ratione nulla alia puncta eiuſdem lineæ, ex quibus manifeſtum
eſt, impoſſibile eſſe, lineam ex huiuſmodi punctis conſtare poſſe.
Reliqua huius opuſculi, quamuis Mathematica alicui videri poſſint,
non tamen ſunt, non enim linearibus indigent demonſtrationi­
 bus, neque ex Geometriæ principijs procedunt. ad Phyſi­
 cum igitur pertinebunt, cuius eſt diſputare, num
indiuidua exiſtant, & quomodo in quanti­
 tate, idque; rationibus aliunde, quàm
ex Geometria deductis.
1
In Librum de Propriet. Elementorum.
Libellum de cauſis proprietatum Elementorum, quamuis nonnulla
mathematica loca contineat, tamen, quia certò conſtat ex ijs,
quæ in eo de Secta Arabum, de Sclauis, de Dalmatis, qui multis
poſt Ariſtotelem ſæculis floruerunt, auctorem alium eſſe ab Ariſto­
 tele conſultò & meritò omiſi.
In Librum de Cauſis.
Alterum de cauſis libellum pariter prætermiſi, cum is vocibus Arabi­
cam barbariem redolentibus ſcateat: phraſis præterea, & quędam
de Deo dicta, planè indicant authorem non eſſe Ariſtotelem; ſed potius
Arabem quempiam.
1
EX LIBRO NONO
DE HIST. ANIMALIVM
Araneorum industriæ.
293
Cap. 39. (Aranei ſtatim cum editi ſunt, fila mittunt, non ab intrinſeco
tanquam excrementum, vt Democritus ait, ſed ab extrinſeco de ſuo cor­
 pore, veluti cortice; aut more eorum animalium, quæ ſuos villos iacu­
 lantur, vt hystricis) Cum olim in hunc locum incidiſſem, inceſſit
animum meum illa cupido, vt ſcilicet certò ſcirem, num iure, an iniuria
Ariſt. Democritum hoc loco reijceret, Araneum fila ab intrinſeco emitte­
 re aſſerentem: quapropter ad magiſtram rerum experientiam confugi, ac­
 cepto manu bacillo Araneum quendam ex ijs, qui circulares telas, quas
nonnulli, & quidem aptè labyrinthos appellant, ingenio vtique mathematico
contexunt, ſic adij, vt Araneus pro arbitrio ſuper bacillum liberè inambu­
 laret, dum ipſe interim curioſius illum obſeruarem, quanam videlicet ex
parte filum foras ederet; cum ecce tibi Araneus experienti mihi vltrò fa­
 uens ſe ſe ex baculo demiſit, ita tamen, vt ex filo ſuo in aere ſuſpenſus re­
 maneret. cum primum obſeruo ipſum inuerſum, hoc eſt capite deorſum, &
ventre ſurſum pendere. vt autem acutius cernerem, eum opacæ cuidam rei
oppoſui, ne præ nimia luce tenuiſſimum aranei filum aciem oculorum effu­
 geret; quo facto in temperata luce illa, clariſſimè videbam filum ex ſeceſſu
aranei prodire. Araneumque; vno pede filum illud retinere, ne amplius exi­
 ret, longiusque; fieret, quàm ſuo conſilio par eſſet. coegi deinde ipſum aſcen­
 dere, & deſcendere ſæpius, donec certò certius, mihi conſtitiſſet filum illud
non ab extrinſeco, vt hoc loco Ariſt. affirmat, ſed ab intrinſeco quippe ex
ſeceſſu prodire, ac proinde veriſſimam eſſe quamuis ab Ariſt. reiectam De­
 mocriti ſententiam. cum Ariſt. pariter errauit Vlyſſes Aldobrandus in ſuo
de inſectis pulcherrimo, atque doctiſſimo Opere.
Verumenimuerò opportunè accidit, vt huius dubitationis ſolutio, aliam
mihi alterius quæſtionis, iam olim ſummis votis expetitam afferret expli­
 cationem. ea eſt huiuſmodi. ſæpius fueram expertus, Araneos quoſdam eſ­
 ſe, qui ex vno loco ad alium omninò ſibi inacceſſibilem, tranſeant, ſiue quod
idem eſt, ex eo loco, ad illum fila deducant, vt ex vna arbore ad aliam;
quamuis inter vtramque aut aquæ, aut denſiſſima ſpineta, ac ſepes interpo­
 nantur. quod maximè mane æquitantes experimur, dum nobis fila per vias
tranſuerſa, oculis, atque vultui obuiantia adhærent. Qua ratione id Ara­
neus perficeret, neminem, qui literis mandaſſet, reperi, ne ipſum quidem.
Vlyſſem Aldobrandum, qui in hac eruditorum palæſtra, maiores noſtros
omnes videtur ſuperaſſe. Phyſiologi à me hac de re interrogati, varij va­
ria, nec conſentientia reſpondebant. Alij aiebant Araneum ſe demittere,
ac ſuſpendere ex vna arbore, & deinde ad aliam à vento perferri, at ego his
minimè aſſentiebar, quia m Araneo nullum eſſet naturale
1veluti velum, in quod ventus poſſit impingere. Alij Araneum ex vna arbo­
 re deſcendere, & poſtea alteram conſcendere, interim emiſſum retro filum
raptando, ac deinde ſurſum attrahendo attollere, ac prætendere: ſed ho­
 rum reſponſionum ob plurima impedimenta, quæ tenuiſſimum filum ſæpius
ſcidiſſent, ſubridens refellebam. Alij verò aiebant Araneum qualitate qua­
 dam præditum eſſe, qua ipſe per aera, non ſecus, ac per aquam piſces, &
per aerem volucres, ambulare poſſet. Verum opinatio iſta, ne riſu quidem
digna videbatur. Huius igitur quæſiti ſolutionem, quam omnes ad hanc
vſque diem latuiſſe putò, quamque; omnibus gratiſſimam fore cognoui tibi lo­
 co auctarij initio promiſſi, nunc perſoluam. accidit ergò, vt dicebam, vt
dum Araneus fugæ cupidus ex bacillo in temperatæ lucis loco, nimirum è
regione alicuius opaci penderet, vt cernerem ex filo illo, ex quo ſuſpende­
 batur plura alia fila hinc inde alternatim prodire, quemadmodum ex alter­
 nis arundinum nodis folia enaſci ſolent. quæ fila, innata læuitate, per ae­
 rem quoquo verſus ceu natantia diffundebantur. factum eſt autem, vt eo­
 rum vnum quendam arboris cuiuſdam ramum attingeret, eique; ſtatim adhæ­
 reret; quod illicò Araneus optimè perſenſit, quippe quod filum illud viſce­
 ribus eius ex altero capite affigeretur, atque per filum illud, alijs ommiſſis,
ſubitò, vti egregius funambulus accurrit, ſed tamen pedibus ſurſum, dorſo
autem deorſum, non ſupra filum, ſed infra ad ramum illum ſe contulit, ſicque;
me hoſtem ſuum fuga ſæpius eluſit. Ex qua repetita ſæpius obſeruatione lu­
 ce clarius comperi Araneum non ſimplex filum, ſed ramoſum, ac multiplex
emittere, atque aliquando ex ſeceſſu etiam ipſo duo ſimul eijcere, alterum quo
134[Figure 134]
ſuſpendatur, alterum
verò, quod ſorte hac,
atque illac volitans, ali­
 cui rei occurrat, atque
hæreat, per quod po­
 ſtea ipſe incedens, ad
locum ſibi prius inac­
 ceſſum, aditum parat.
qua inre fures eos per­
 bellè imitatur, qui
ſcholas ex funibus con­
 textas, ac hamis fer­
 reis munitas, ad fene­
 ſtras proijciunt, vt per
eas ibi affixas conſcen­
 dere queant. quæ om­
 nia ex appoſita figura
melius percipies, vbi
ex ſiniſtra arbore pen­
 det Araneus A, ex filo
B A, ex quo tanquam
rami alia fila C G, D H,
E I, M O, F L,
1natim prodeunt, ac per aerem hinc inde volitant. Si ergò filum E I, dextræ
arbori occurrerit, eique; hæſerit, vt in figura, illicò Araneus huius rei con­
 ſcius per filum A E I, aſcendit, ſeque; ad prius inacceſſam ſibi dextram arbo­
 rem transfert; atque deinde inter vtramque ducto iam filo vno, poteſt vltrò,
citroque; means, ſuam etiam circularem, ac labyrinthiacam telam in muſca­
 rum capturam contexere; quales aliquando inter duas arbores admira­
 ri ſolemus.
Quæres fortè, num Araneus filum intus tanquam in glomo, vel ſpira con­
 uolutum contineat? dicam, quod non ſine experientia conijcio, exiſtimo
Araneum non continere intra ſe filum vllum, verum humorem quendam
viſcoſum, qui in tenuiſſima fila ſit ductilis; quemadmodum videmus acci­
 dere gummi, quæ diſrupta exhibet lentorem quendam, qui ſolo attritu ita
digitis hæret, vt amoto ſenſim digito, filum tenue, & oblongum valdè de­
 ducatur, hoc inde conijcio, quia aliquando cum ventrem Araneorum ſecuiſ­
 ſem nullum intus filum, ſed ſolus humor quidam lentus apparuit.
Cùm ex paruulis hiſce meis obſeruationibus circa animalculum iſtud
vnum tam præclara cognouiſſem, quæ nullus ad hanc vſque diem, quod ſciam
obſeruaſſet; animaduerti latiſſimum patere campum ad animalium hiſto­
 riam ampliandam, ſi ij, qui huic pulcherrimæ cognitioni dant operam, non
ijs ſolum, quæ ab alijs perſcripta ſunt contenti eſſent, verùm etiam certiſ­
 ſimis, atque exploratiſſimis experientijs ea coniungerent.
Atque hæc de Araneo ſatis.
De inceſſu animalium.
294
Cap. 7. (Etenim habentia pedes, quoniam ſuper vtrumque oppoſitorum cru­
 rum viciſſim ſtant, pondusqué ſustinent, neceſſe habent altero progredien­
 te, inflectere alterum; æqualia namque longitudine nata ſunt habere op­
 poſita membra. & quod ponderi ſubſtat rectum eſſe oportet, vt perpen­
 diculum ad terram. quando autem progreditur, fit hypotenuſa, valens manentem
magnitudinem, & eam, quæ interiacet. quoniam autem æqualia ſunt membra, ne­
 ceſſe eſt inflecti id, quod manet, aut in poplite, aut in conflexione) Vult probare
in greſſu neceſſariam eſſe aliquam flexionem membrorum. verum prius
ſciendum, quod lineam hypotenuſam, quemadmodum etiam Athenæus lib.
10. teſtatur, eam appellant geometræ, quæ in triangulo rectangulo recto
angulo ſubtenditur, vnde & denominata eſt hypotenuſa, ideſt ſubtenſa, vt
135[Figure 135]
in triangulo A B C, cuius angulus B, rectus ſit, recta
A C, angulo recto B, ſubtenſa, hypotenuſa dicitur.
Ariſt. igitur ait, quod antequam animal ambulare in­
 cipiat, dum ſcilicet manet, habet crura, quæ manent
recta, ſiue perpendicularia horizonti, cum autem in­
 cipit progredi neceſſe eſt vtrunque crus inclinari ad ho­
 rizontem. nam primum crus in ingreſſu prolatum fit
hypotenuſa, quia ſcilicet ſubtendit angulum rectum,
quem facit alterum crus adhuc quieſcens, cum
1zonte; vt in ſuperiori triangulo, ſi concipiamus crura fuiſſe duo latera A B,
A D, quæ manente animali, fuiſſent ambo ſimul in ſitu A B, perpendicula­
 ria horizonti; incipiens autem animal ambulare, proferat primo crus A D,
A D, fiet hypotenuſa trianguli A B C, & quia crus hoc A D, factum hypo­
tenuſa æquale eſt alteri manenti A B, nequit totius veræ hypotenuſæ A C,
officio fungi, quæ æquiualet toti A D, & præterea interiacenti D C, vt ea au­
136[Figure 136]
tem hypotenuſa debet eſſe maior, quia opponitur
maiori angulo nimirum recto B, quam latus A B,
quod angulo acuto C, opponitur per 19. primi, &
propterea niſi alterum ſubſequens crus A B, incli­
 netur, vt in ſecunda figura, non poteſt hypotenuſa
A D, terram attingere, atque hac de cauſa neceſſe
eſt, vt initio greſſus vtrumque crus, quod prius per­
 pendiculare erat, inclinetur; inclinato igitur crure
A B, antrorſum tunc prolatum crus A C, terram
contingit, ſicque; factus eſt primus greſſus B C.
295
Eodem loco (Signum autem, quod hoc ita ſe habet illud est. ſi quis enim iuxta
parietem per terram ambulet, quæ deſignatur linea non eſt recta, ſed obtorta, quo­
 niam minorem quidem flectentis fieri deſcriptam neceſſe eſt; ſtantis autem, & ere­
 cti maiorem) Vt probet, quod animal in gradiendo modo attollitur, modo
deprimitur, ſignum hoc affert, quia ſi quis ſecus parietem per terram am­
 bulet, linea quam vertex capitis in pariete deſignat non eſt recta, ſeb obtor­
 ta: quæ linea optimè deſignatur, ſi ambulantis vmbra in pariete apparens
ſimul, cum ipſo in pariete ambulet; videmus enim vmbram illam modo al­
 tiorem fieri, modo breuiorem; quod ſignum eſt ambulantem modo incli­
 nari, quando ſcilicet crus alterum profert, ſeu crura dilatat; modo erigi,
cum crus ſubſequens præcedenti coniungit, tune enim incedens fit horizon­
 ti perpendicularis.
296
Eodem cap. (Quoniam autem fiat ad rectum, vel concidet recto minore effe­
 cto, vel non progredietur: ſi enim altero crure recto progreditur alterum, maius
erit cum ſit æquale: hoc nanque poterit, & id, quod quieſcit, & ipſam hypotenu­
 ſam, neceſſe igitur eſt, & inflectere id, quod procurrit, & inflexum ſimul alterum
extendere, membra enim triangulorum æquilaterorum efficiuntur, caputque, fit infe­
 rius, vbi perpendiculum fuerit, in quo firmatum eſt) Hæc ſunt ferè eadem cum
ijs, quæ in primo huius capitis loco dicta ſunt. proinde ea cum duabus illis
triangulorum figuris repetenda ſunt, vt breuius quæ nunc reſtant explicen­
 tur. quoniam igitur animal antequam gradiatur, maximè homo, ſtat hori­
 zonti perpendicularis, neceſſe eſt ad progrediendum, vt fiat aliqua mem­
 brorum inflexio, ſi enim homo ſine vlla ſui corporis flexura inclinet ſe ad
horizontem, ita vt cum horizonte faciat ex anteriori parte. v. g. angulum
recto minorem, ſiue acutum, vel concidet, vel non poterit progredi; ſi enim
alterum crus præmitteretur, altero manente perpendiculari, ſicque; progre­
 deretur quiſpiam, ſequeretur crus prolatum, quale eſt A D, iu priori trian­
 gulo, debere fieri maius altero crure A B, manente, quia fieret tota hypo­
 tenuſa A C, ſie enim terram attingeret; at non poteſt fieri illo maius, quia
eſt illi æquale, ergò hac ratione inceſſus fieri nequit. neceſſe igitur
1ctere vtrumque crus non ſolum ad horizontem, ſed etiam circa aliquam cor­
 poris flexuram, vel nodum, vt circa genu, aut alia. crura enim in greſſu fiunt
latera ſuperiora trianguli iſoſcelis, vt in ſecunda figura patuit, cuius baſis
eſt paſſus. & tunc caput ambulantis fit inferius, quàm antequam gradere­
137[Figure 137]
tur; quia tunc ambo crura erant horizonti perpen­
 dicularia. quando autem caput fuerit in linea per­
pendiculari trianguli iſoſcelis, tunc erit inferius quàm
alibi, vt in pręſenti figura, linea perpendicularis trian­
 guli huius iſoſcelis eſt linea A E, quia baſi B C, per­
 pendicularis incidit; quando igitur caput ambulan­
 tis. v. g. D, fuerit in hac linea, tunc erit inferius quàm
in quauis alia greſſus parte: quia tunc crura A B,
A C, ſunt maximè diuaricata, & proinde angulus A,
& ſimul punctum D, maximè demiſſa.
De motu animalium.
297
Cap. 1. (Primum quidem in animalibus: oportet enim ſi moueatur aliqua
particularum quieſcere aliquam, & propter hoc, & flexus animalibus
inſunt: tanquam enim centro vtuntur flexibus & fit tota pars, in qua
eſt flexus & vna, & duæ; & recta, & flexa, quæ permutatur potentia,
& actu, propter flexum. cum autem flectitur, & mouetur, hoc quidem ſignum mo-
138[Figure 138]
vetur, illud autem manet in flexibus, quemadmodum vtique ſi dia­
 metri, quæ quidem A D, maneat, quæ cutem B, moueatur, &
fiat A C, ſed hic quidem videtur, ſecundum omnem modum in­
 diuiſibile eſſe centrum. etenim moueri, vt aiunt, fingunt in ipſis,
non enim mouetur mathematicorum aliquid.
Intendit probare neceſſe eſſe ad motum animalium, vt
vna pars quieſcat, dum altera mouetur. propter hoc enim inquit flexus ani­
 malibus inſunt, vbi in græco pro voce flexus legitur καμπτη, quod ſignifi­
 cat nodum, articulum, & denique locum ipſum, vbi fit membri flexura, tan­
 quam enim centro quodam vtuntur flexibus, ideſt nodis, ſeu iuncturæ ſunt
in motu membrorum inſtar centri. v. g. nodus cubiti fit centrum, cum bra­
 chij parte, quæ eſt inter humerum, & cubitum manente, reliquum brachij
circumducimus; ſic manente genu tanquam centro, crus huc illud agita­
 mus, & fit tota pars. v. g. totum brachium, in quo eſt cubiti iunctura, & vna
tota pars, quando manet rectum; & duæ quando in flexura cubiti brachium
inflectitur; & fit tota hæc longitudo recta prius, poſtea flexa: quæ propter
flexuram modo vna eſt actu, ſed duæ potentia. modo duæ in actu, ſed vna in
potentia. cum autem flectitur, & mouetur brachium, vnum quidem ſignum,
ſiue punctum, quod eſt extremum partis manentis, manet; alterum verò ſi­
 gnum, ſiue punctum, quod eſt extremum partis motæ eſtque; alteri ſigno con­
 tiguum mouetur ſimul cum tota parte mota. quemadmodum, ſi diametri
ſuperioris figuræ, pars D A, maneat, pars autem A B, moueatur ad A C,
erit huius flexuræ centrum A, quod vt extremum lineæ D A, manentis,
1net: vt verò extremum motæ A B, mouetur. quamuis in mathematicis hæc
quidem duorum centrorum diſtinctio nulla ſit, quia centrum mathemati­
 cum omninò indiuiduum eſt: neque in mathematicis eſt propriè motus,
quamuis enim aliquando Mathematici dicant, ſi linea, vel ſi punctum mo­
 ueretur, vel moueatur, & ſimilia, huiuſmodi tamen motus ſunt rebus ma­
 thematicis extrinſeci, nec quatenus hoc modo mouentur conſiderantur:
patet igitur, qua ratione Ariſtot. partem manentem in motu neceſſariam
eſſe velit.
298 a
Cap. 5. (Quemadmodum autem ſpontanea mouentur paruo motu facto) Spon­
 tanea iſta erant machinæ, quæ à ſeipſis mouebantur, quas Græci automata
dixerunt, cuiuſmodi ſunt Automata Heronis Alexandrini, quæ adhuc extant.
Cap. 8. Eſt ibi quoddam triangulum cum elementis more geometrarum
depictum, vnde locus ille videri poſſit mathematicus, verumtamen nullo
modo geometriæ auxilio indiget.
De generatione animalium.
298.b
Lib. 2. cap. 1. (Sitqué perinde ac admirabilia illa ſpontanea) Intelligit ma­
 chinas illas miro artificio confictas, quæ à ſe ipſis intrinſeco prin­
 cipio mouebantur, quas Græci veteres Automata, ideſt ſpontanea,
vel ſpontina, vt vertit Interpres vocabant, cuiuſmodi ſunt Auto­
 mata Heronis Alexandrini, quæ adhuc extant græca, quæque; ab Abbate Gua­
 ſtallenſi in Italicum ſunt conuerſa. Automata hodie ſunt Horologia, quæ ex
multis dentatis rotis Germani conſtruunt.
299
Lib. 2. cap. 4. (Nam & triangula figura duobus rectis æquale ſemper habet)
vide quæ de hac re ſcripſi lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1.
300
Ibidem (Et diametrum incommenſurabilem eſſe cum coſta ſempiternum eſt: at­
 tamen cauſa eorum aliqua & demonſtratio eſt.
Quæ libro 1. Priorum, ſecto 1. cap. 23. de hac re annotata ſunt, abundè
huic etiam loco ſatisfaciunt.
In Ethica, ſeu Moralia ad Nicomachum.
301
Lib. 1. cap. 7. (Faber enim, & Geometra diuerſo modo rectum angulum
vtrique conſiderant: ille quatenus ſolum ad opus vtile eſt, hic verò cum ve­
 ritatis ſpeculator ſit, quid, & qualis ſit, indagat) Id quod dicit Ariſt.
confirmatur ex eo, quod Fabri omnes vtuntur amuſſi, ſeu norma,
139[Figure 139]
quæ nihil aliud eſt quàm angulus rectus, quæ vulgò
ſquadra dicitur, vt eius auxilio angulum ipſum re­
 ctum in opus conferant, ſicque; normæ, aut amuſſis du­
 ctu ſua ipſi opera ad angulos rectos, ideſt quadrata,
conficiunt. Geometra verò conſiderat eundem an­
 gulum, quatenus fit à linea ſuper lineam aliam per­
 pendiculariter inſiſtente, vt eſt in definit. 10.
1vt in figura, vbi linea A B, inſiſtens alteri D C, perpendiculariter, ideſt ita
vt faciat angulos hinc inde æqualis A B D, A B C, prædictos inquam duos
angulos conſiderat e. ſe rectos. contemplatur præterea Geometra omnes
angulos rectos eſſe inter ſe æquales, vt in 12. axiomate primi Elem. ponitur,
& ſimilia plura alia, quorum conſiderationem Faber omninò negligit.
302
Libro 2. capite 6. (Id quod ſecundum Arithmeticam rationem medium eſt)
Arithmetica ratio, fiue proportio ea eſt, cuius termini creſcunt per æqua­
 les exceſſus, vt 2. 6. 10. 14. horum enim terminorum exceſſus æquales ſunt,
cum ſint omnes quaternarij. ſimiliter inter hos terminos 3. 6. 9. 12. eſt arith­
 metica analogia, cùm omnes ternario numero ſuperent præcedentes, & à
ſequentibus ſuperentur. Porrò apud Mathematicos tria ſunt genera pro­
 portionum, ſiue medietatum, Arithmetica quam modo ſuppoſui; Geome­
 trica, & Harmonica, quas inferius oblata occaſione opportunius explicabo.
140[Figure 140]
303
Lib. 2. cap. 9. (Vt circuli medium deprehendere non
cuiuſlibet, ſed ſcientis ſolummodo eſt) Reperire medium,
ſiue centrum dati circuli docet Euclides propoſitio­
 ne prima 3. hoc modo. in dato circulo ducatur vt­
 cunque recta B C, quæ per 10. primi diuidatur bifa­
 riam in F, & per F, ducatur perpendicularis A E F D,
quæ ſecetur bifariam in E, eritque; punctum E, non ſo­
 lum ipſius lineæ medium; ſed etiam totius circuli
centrum, quemadmodum ibi demonſtrat Euclides.
304
Lib. 3. cap. 3. (De æternis autem nemo conſultat, vt
de mundo, aut diametro, & latere, quod nulla inter ſe
æquabilitate conueniant) Qua ratione diameter, & latus eiuſdem quadrati
nulla æquabilitate, ideſt nulla communi menſura inter ſe conueniant, fusè
explicatum eſt libro Priorum, ſecto 1. cap. 23.
305
Eodem cap. (Qui enim conſultat quærere videtur, & reſoluere prædicto modo,
quemadmodum deſignationes) Per deſignationes Ariſt. intelligere geometri­
 cas demonſtrationes ſæpius dictum eſt in logicis textibus, quod pariter ex
hoc loco confirmatur. quando autem ait (Reſoluere prædicto modo, quemad­
 modum deſignationes) innuit reſolutionem geometricam, de qua abundè di­
 ctum eſt in explicatione tituli librorum Reſolutoriorum; quam expoſui, ni­
 hil aliud eſſe, quam medij inquiſitionem ad id, quod propoſitum fuerit de­

monſtrandum. veram autem, atque germanam fuiſſe huiuſmodi explicatio­
nem, hoc loco Ariſt. ipſe confirmat, cum hanc reſolutionem dicat eſſe ſimi­
 lem conſultationi, ſiue inquiſitioni mediorum ad finem in rebus practicis
conſequendum; ipſa verò eſt inquiſitio mediorum ad id, quod in rebus ſpe­
 culatiuis propoſitum eſt, demonſtrandum. conſultatio igitur eſt in rebus
practicis, quod in ſpeculatiuis eſt reſolutio.
306
307
Lib. 5. cap. 3. (Quod enim proportione conſtat, id non tam vnitario numero,
quàm numero in vniuerſum proprium eſt) Per vnitarium numerum intelligitur
numerus ex vnitatibus abſtractis conφlatus, ideſt, cuius vnitates non ſint res
phyſicæ, ſed à naturalibus abſtractæ, qualis conſiderat Arithmeticus: omni
tamen numero ſiue abſtracto, ſiue non, conuenit proportiones ſuſcipere,
id eſt & numero, & rebus numeratis.
1
308
Ibidem (N im proportio æqualitas eſt rationum) Per proportionem hoc lo­
 co intelligenda eſt illa, quam nunc appellant proportionalitatem, quæ eſt
duarum rationum, ſeu proportionum ſimilitudo, ſiue æqualitas, vt manife­
 ſtum eſt ex 4. definit. 5. Elem. v. g. cum ſit eadem ratio 9. ad 6. quæ eſt 6. ad
4. propterea hæc rationum ſimilitudo, vel æqualitas dicitur ipſa proportio,
ſeu diſtinctionis gratia Proportionalitas.
309
Ibidem (In quatuorqué minimis reperitur, diſiunctam ſanè in quatuor conſistere
perſpicuum eſt: ſed & continentem nihilominus, vno enim hæc perinde, aψ duobus
vtitur, biſque id accipit in hunc modum, qualis primi reſpectus eſt ad ſecundum,
talis ſecundi ad tertium; bis enim hic, ſecundum dictum eſt, quare ſi ſecundum bis
poſitum ſit, quatuor erunt ea, quæ conſtant proportione) Quæ hic ab Ariſtot. di­
 cuntur deſumpta ſunt, partim ex definit. 6. 5. partim ex 9. definit. eiuſdem.
breuiter autem ſic ſe habent. Ad conſtituendam proportionalitatem ne­
 ceſſarij ſunt omninò quatuor termini, quod quidem primum perſpicuum
eſt in ea proportionalitate, quam Diſiunctam vocant, quæ eſt huiuſmodi,
vt 9. ad 6. ita 3. ad 2. deinde verum eſt etiam in ea, quam continuam dicunt,
quæ talis eſt, vt 9. ad 6. ita 6. ad 4. quæ in tribus quidem terminis 9. 6. 4.
conſiſtit, ſed tamen, quia medius 6. vtrumque reſpicit extremum, ideò vices
duorum gerit, ac proinde eſt, ac ſi hoc modo termini diſponantur 9. 6. 6. 4.
vbi 6. bis ponitur, ſuntque; quatuor huius etiam proportionalitatis termini.
hinc Ariſt. textum ſatis intelligere poteris.
310
Eodem cap. (Sicut igitur primus terminus ſe habebit ad ſecundum, ita tertius
ad quartum; igitur etiam alterna vice, ſicut primus ad tertium, ita ſecundus ad
quartum. quare etiam totum ad totum, quod diſtributio binatim copulat. quæ ſi
etiam ita compoſita fuerint, iustè copulat) Accipit Ariſt. illum argumentandi
modum, quem Geometræ alternam rationem vocant, quàmque; definit. 12.
5. exponunt, vt eam rebus ipſis accommodet, atque in praxim deducat; eſt
autem huiuſmodi, ſint primum quatuor termini proportionales, ideſt, vt
primus ad ſecundum, ita tertius ad quartum. v. g. vt 9. ad 6. ita 3. ad 2.
valet conſequentia hæc, ergò etiam alternatim erit, vt primus ad tertium,
ita ſecundus ad quartum, v. g. in allato exemplo, ita erit 9. ad 3. vt 6. ad 2.
quam ſequelam eſſe validam probat deinde Euclides propoſit. 16. 5. hinc
aliam deducit conſequentiam, quam Euclides propoſit. 12. 5. demonſtrat,
dum ait, quare etiam totum ad totum erit. v. g. quia concluſum eſt ita eſſe
9. ad 3. quemadmodum 6. ad 2. ita etiam erit totum ad totum, ideſt ita
etiam erunt antecedentes termini ſimul ad conſequentes ſimul, v. g. ita erit
etiam totum 15. quod eſt totum ex antecedentibus terminis 9. & 6. ad to­
 tum 5. conflatum ex conſequentibus terminis 3. & 2. In ſumma igitur ſi fue­
 rit vt 9. ad 3. ita 6. ad 2. ita etiam erit 15. ad 5. quod verum eſſe apparet in
his numeris, cum tam 9. ad 3. quà 6. ad 2. & 15. ad 5. habeant triplam
proportionem.
Horum exemplum in rebus practicis ſit hoc: ſit vt Plato ad Proclum, ita
mille aurei ad quingentos aureos, ergò alternatim ita erit Plato ad 1000.
aureos, ſicuti Proclus ad 500. quare ita etiam totum erit ad totum, ſcilicet
Plato, & Proclus ſimul ad 1000. & 500. ſimul, quæ duo tota, diſtributio mo­
ralis, ac practica diuidit, & binatim copulat, hoc modo dicens, vt Plato ad
1Proclum, ita 1000. ad 500, & poſtea, vt Plato ad 1000. ita Proclus ad 500.
iuxta vtriuſque merita, & quidem iſta eſt huiuſmodi moralis diſtributio, cum
modis argumentandi ab Euclide comprobatis, nitatur.
311
Ibidem (Hanc verò proportionalitatem Mathematici Geometricam vocant:
propterea quod in Geometrica euenit, vt eandem totum ad totum rationem habeat,
quam habet alterutrum, ad alterutrum) ideſt, hanc duarum Geometricarum
rationum ſimilitudinem Mathematici proportionalitatem Geometricam
appellant, propterea quod in hac duarum rationum geometricarum ſimili­
 tudine accidit, vt ſit totum ad totum, quemadmodum etiam partes toto­
 rum, vt ſupra explicatum eſt; quod non accidit in duarum proportionum
arithmeticarum ſimilitudine; ſi enim ponamus has duas rationes arithme­
 ticas ſimiles, vt 10. ad 8. ita 6. ad 4. quæ ſunt ſimiles, propter ſimiles exceſ­
 ſus primorum, & ſecundorum terminorum, cum vbique exceſſus ſit binarij.
non erit tamen totum 16. ad totum 12. in eadem ratione cum diuiſis ter­
 minis, cum ibi ſit exceſſus binarij, hic verò quaternarij. hæc videtur eſſe
Ariſt. ratio; quam adhuc melius declaraſſe libet. Geometrica igitur pro­
 portionalitas ita dicta eſt, quia quælibet proportio poteſt in materia Geo­
 metrica, lineis, ſuperficiebus, & corporibus continuari in quatuor termi­
 nis, ita vt proportionalitas, ſeu ſimilitudo rationum exurgat, quod in nu­
meris fieri ſemper nequit, cum plures ſint proportiones, quæ numeris ex­
 primi nequeunt, vt ſunt eæ, quas irrationales appellant, cuiuſmodi eſt inter
diametrum, & coſtam eiuſdem quadrati, cuius nec proportio, nec propor­
 tionalitas in numeris reperiri poteſt, quæ tamen in lineis, ſuperficiebus, ac
corporibus eſſe poſſunt: eſt enim vt diameter vnius quadrati ad latus eiuſ­
 dem, ita idem latus ad aliam lineam inuentam per 11. 6. vel vt diameter ad
coſtam, ita quælibet alia linea ad aliam inuentam, per 12. 6. omnis igitur
proportionalitas rebus Geometricis ineſſe poteſt; non autem numeris, in
quibus ſolum poſſunt eſſe rationes rationales, ſeu rerum commenſurabilium;
latius igitur patet Geometrica hæc ſimilitudo, quàm Arithmetica, cùm
Geometrica complectatur tam rationales, quàm irrationales. meritò igi­
 tur talis proportionalitas appellari debuit à rebus Geometricis, in quibus
ſemper reperitur, non autem ab Arithmeticis, cum quibus ſæpius reperiri
nequit. Vide Campanum in explicatione definitionis 3. 5. Elemen.
312
Ibidem (Non eſt autem continens hæc proportio: non enim vnus, & idem ter­
 minus efficitur, & cui, & quod) ideſt, hæc proportionalitas contracta ad res
practicas, non eſt continens, ideſt, quæ conſiſtat in tribus tantum terminis,
quorum medius eſt, ad quem refertur primus, & is qui refertur ad ter­
 tium; ſed eſt diſiuncta, quia conſtat ſemper quatuor terminis, quorum duo
ſunt perſonæ aliquæ, reliqui verò duo ſunt res, quæ perſonis debentur, vt ſi
ſint Plato, & Proclus, quibus iuxta meritorum quantitatem debeant diuidi
1500. aurei, debent diuidi aurei in duas partes, quæ habeant eam propor­
 tionem, quam habet Plato ad Proclum. quod ſi Plato duplum męruit quàm
Proclus, erit vt Plato ad Proclum, ita 1000. ad 500.
Ex quibus patet hanc analogiam in rebus agendis non niſi in quatuor
terminis conſiſtere poſſe, & ideo non eſſe continuam, ſed diſiunctam, vt vo­
 lebat Ariſtot.
1
313
Lib. 5. cap. 6. (Atque id vel proportione vel numero) ideſt, vel proportio­
 nalitate Geometrica, vel Arithmetica; quæ autem ſit proportionalitas
Geometrica, dictum eſt paulò ante in prioribus locis Mathematicis huius
quinti libri; quæ verò ſit proportionalitas Arithmetica dictum eſt ſuperius
lib. 2. cap. 6. Verum hæc Arithmetica proportionalitas, meritò ab Ariſtot.
hic contradiſtincta eſt à proportionalitate Geometrica: quia Arithmetica
hæc analogia attenditur ſolum, iuxta eundem exceſſum numerorum, non,
autem iuxta proportionem, ſeu habitudinem terminorum ad inuicem, quod
maximè in Geometrica ſpectatur. propterea Mathematici cenſent eam vo­
 candam eſſe potius medietatem Arithmeticam, quam proportionalita­
 tem, cum quibus nunc Ariſt. conſentit.
314
Lib. 6. cap. 5. (Verbi cauſa triangulum tres angulos duobus rectis æquales ha­
bere, vel non habere) lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1. fusè hanc trianguli affe­
 ctionem expoſui.
315
Lib. 6. cap. 8. (Nam illud etiam conſideratione dignum videtur. quid ſit, quod
puer fieri Mathematicus poteſt, ſapiens autem naturalis non poteſt. An quia illa
per abſtractionem ſunt, horum autem principia ab experientia ſumuntur) Ex hoc
loco manifeſtè apparet Ariſt. exiſtimare principia Mathematica nullo mo­
 do nobis per experientiam innoteſcere, quod nonnulli negant.
316
Lib. 7. cap. 8. (In actionibus autem principium illud eſt, cuius cauſa res fit,
ſicut in Mathematicis ſuppoſitiones; nam neque illic ratio eſt, quæ doctrinam tra­
 dat principiorum, neque hic) Suppoſitionum, ſiue principiorum Mathemati­
 corum tria ſunt genera, definitiones, poſtulata, axiomata, quæ in ipſo primi
Elementorum veſtibulo proponuntur: ſolaque terminorum explicatione
abſque vllo diſcurſu, addiſcuntur.
Ex primo Libro Magnorum Moralium.
317
Cap. 1. (Nec enim luſtitia eſt numerus pariter par) vt ſcilicet dicebat
Pythagoras. Porrò definit. 8. 7. ſic habetur: Pariter par nume­
 rus eſt, quem par numerus per numerum parem, ideſt paribus vi­
 cibus, metitur, cuiuſmodi eſt numerus 24. quem numerus 6. me­
 titur per numerum parem, nimirum per 4. quia ſcilicet numerus 6. paribus
vicibus, quippe per 4. ſiue quater ipſum numerum 24. menſurat, quia to­
 ties in ipſo adæquatè continetur.
318
Cap. 2. (Abſurdum enim ſit, volenti oſtendere triangulum duobus rectis æqua­
les habere angulos, ſumere principium huiuſmodi, anima immortalis est) Repete,
quæ de hac trianguli proprietate fusè ſcripſi lib. 1. Priorum, ſect. 3. cap. 1.
quam affectionem debet Geometra demonſtrare ex Geometriæ principijs,
quemadmodum facit Euclides in 32. primi, non autem ex principijs extrin­
 ſecis, vt quod anima ſit immortalis.
319
Cap. 10. (Vt enim habuerint principia, ita, quæ de principijs ortum ducunt,
Perſpicuè autem licet hoc in Geometria magis intueri, vbi cum aliqua ſumpſeris
principia, vt ea habuerint, ita etiam, quæ ipſa conſequuntur: velut ſi triangulum
duobus rectis æquales habet angulos, quadratum quoque quatuor angulis rectis ha-
1beat neceſſe eſt. & ſi triangulum ſecus, ita etiam, & quadratum commutabitur,
ex altera parte enim ei reſpondet. & ſi quadratum quatuor angulis rectis æquales,
non habuerit angulos ne quidem triangulum duobus rectis habebit æquales) Hanc
trianguli affectionem, habere ſcilicet, ſuos tres angulos æquales duobus re­
 ctis angulis abundè explicaui libro 1. Priorum, ſecto 3. cap. 1. quam Eucli­
 des propoſit. 32. primi demonſtrauit, ex qua demonſtratione, tanquam ex
Geometrico principio ſequitur omne quoque quadrangulum habere quatuor
angulos æquales quatuor rectis angulis; omne namque quadrangulum eſt po­
 tentia duo triangula, cum diuidatur ducta ipſius diametro in duo trìangula.
quod ſi triangulus proprietatem illam non haberet, neque hæc quadrangulo
conueniret. & ſi quadrangulum non haberet quatuor angulos æquales qua­
 tuor rectis angulis, neque triangulum habere poſſet tres angulos æqua­
 les duobus rectis, cum nihil ſit aliud triangulum, quàm dimidiatum qua­
drangulum.
320
Cap. 16. (In Geometria ſi quidem cum quis dixerit quadrangulŭm quatuor rectis
æquales habere, & percunctatur propter quid, occurrit, quia etiam triangulŭm duo­
 bus rectis æquales habet. in his igitur ex determinato ſibi principio propter quid
aſſumpſerunt) Lege, quæ proximè in præcedenti loco expoſui, ea enim om­
 nia huc etiam pertinent. hoc ſolum addendum ad illorum verborum (Ex de­
 terminato ſibi principio propter quid aſſumpſerunt) intelligentiam, ideſt ex vna
concluſione demonſtrata, tanquam principio alia demonſtrant; quod rectè
fieri Ariſt. in primo Poſter. docet.
321
Cap. 31. (A qui proportionale in quatuor nihilominus perficitur: nam quem­
 admodum A, ad B, ita C, ad D.) ideſt proportionalitas in quatuor terminis
conſiſtit, quemadmodum pluribus ſupra lib. 5. cap. 3. Ethycorum explica­
 tum eſt: quò nunc Lectorem ablego.
Ex primo Libro Moralium Eudemiorum.
322
Cap. 5 (Vt ſi duplum multiplicium primum est, non licet multiplex com­
 muniter prædicatum ſeparari, quippe, quod duplo prius eſt) Inter pro­
 portionum genera vnum eſt, quod dicitur multiplex, quod ſub ſe
infinitas ſpecies continet, vt Duplum, Triplum, Quadruplum, & c.
in infinitum. vbi vides, cur Ariſt. dixerit duplum eſſe primum inter multi­
 plicia, cum verè naturali ordine numerorum ipſi primus debeatur locus.
Vides etiam cur non liceat, Multiplex ipſum genus commune prædicatum
omnibus ſpeciebus veluti Idæam ſeparari; tunc enim ait, ipſum mul­
 tiplex abſtractum eſſet prius ordine ipſo primo multiplici, ſci­
 licet duplo; & Duplum non eſſet primum inter mul­
 tiplicia, quæ vtraque ſunt abſurda; non igitur
illud tanquam Idæam licet ſepa­
 ratum ponere.
1
Ex Secundo Moralium Eudem.
323
Cap. 7. (Nam ſi habenti trigono duos rectos, neceſſe eſt tetragonum qua­
 tuor rectis conſtare, manifeſtum eſt, quod trigonus duos rectos habens
cauſa eius exiſtat. Verùm ſi quid in trigono mutaris, neceſſarium eſt, &
in tetragono mutes, vt ſi tres habuerunt, ſex; & ſi quatuor, octo; ſin
verò non mutes, vt illud, ita hoc quoque habeat neceſſe eſt) Lege prius, quæ ſupra
lib. 1. Magnor. moral. cap. 10. ſcripſi, ex quibus poſtea ſic locum hunc in­
 terpretaberis, ſi triangulum habet tres angulos æquales duobus rectis an­
 gulis, neceſſe eſt quodcunque quadrilaterum habere ſuos quatuor angulos
æquales quatuor rectis, quia omne quadrangulum continet duo triangula;
& ſi natura trianguli fuerit immutata ita, vt habeat tres angulos æquales
non duobus, ſed tribus rectis, tunc neceſſe erit tetragonum quoque mutatum
eſſe, quia neceſſariò habebit ſuos angulos æquales non quatuor tantum re­
 ctis, ſed ſex: pariter ſi triangulum habeat tres angulos quatuor rectis pa­
 res, quadrangulum ſuos habebit angulos, octo rectis æquiualentes. His igi­
 tur ex Geometria ſatisfactum ſit.
324
Cap. 10. (Multa verò opinione concipiunt, quæ penes nos non ſunt, vt diame­
 trum commenſurabilem eſſe) Quæ lib. 1. Priorum, ſecto 3. cap. 23. de aſyme­
 tria diametri, & coſtæ eiuſdem quadrati allata ſunt, ſatis huic etiam loco
facere poſſunt.
325
Eodem cap. (Quapropter non deremotis apud Indos, nec de circuli quadratu­
 ra deliberamus: nam illa ad nos non ſpectant, hoc verò fieri nequit) Quid ſit cir­
 culi quadratio, & qua ratione eam antiqui inueſtigauerint in Prædicamen­
 to Relationis, & alibi in Logicis, pluribus explicatum eſt. An verò poſſi­
 bilis ſit circuli quadratura, reſpondendum eſt cum diſtinctione, nam theo­
 rematicè quidem facta eſt ab Archimede, cum ipſe probauerit circulum,
quemuis æqualem eſſe triangulo, cuius vnum latus circa angulum rectum
ſit circuli ſemidiameter, alterum verò circunferentia. Problematicè verò,
ideſt, vt opere ipſo efficiamus triangulum illud, nondum à quoquam ritè per­
 actum eſt: & propterea problema hoc difficile admodum cenſendum eſt,
præſertim cum tota Geometrarum antiquitas, atque poſteritas in ipſum fru­
 ſtra hucuſque inſudauerit, atque adeò etiam moraliter impoſſibile exiſtiman­
 dum eſt. quo ſenſu locutum eſſe Ariſt. hoc loco crediderim, dum ait, illud
fieri non poſſe. abſolutè tamen aſſerere non debemus eſſe impoſſibilem, cum
nulla id demonſtratione certum ſit, imò ego ſimpliciter, vt aiunt, credo eſ­
 ſe poſſibilem, cum alia theoremata, atque problemata (quale eſt pytagoreum
illud celebre, quod 47. locum in primo Elemen. occupat, & pro cuius adin­
uentione Pythagoras Muſis Hecatombas ſacrificauit) olim fuerint diù à
multis incaſſum quæſita, atque impoſſibilia habita, quæ poſtea tandem re­
 perta ſunt.
326
Cap. 12. (Si triangulo duo recti, neceſſum eſt hoc conſequi) ideſt, ſi triangu­
 lum habet tres angulos æquales duobus rectis, neceſſe eſt conſequi, vt ſupe­
 rius ſepius dixit, quod quadrilaterum habeat quatuor angulos æquales qua­
 tuor rectis, lib. 1. Magn. moral. cap. 10. ſatis de hac re dictum eſt.
1
Ex Septimo Moralium Eudem.
327
Cap. 12. (luxtaqué diametrum iungit) ideſt diametraliter opponit, quæ
eſt omnium maxima oppoſitio, ita vt quæ diametraliter oppoſita
ſunt, amplius diſtare nequeant, quia diameter eſt maxima om­
 nium diſtantia, ſiue fit diameter quadrilateræ figuræ, ſiue circuli.
Ex Libro 3. Politicorum.
328
Cap. 2. (Ceu harmoniam earumdem vocem aliam eſſe dicimus, & modò
Doricam, modò Phrygiam vocitamus) Harmonias Doricam, & Phry­
 giam veteres Muſici, vt Ariſtoxenes, Euclides, Ptolæmeus vocant
Tonos, & Modos, Dorium ſcilicet, & Phrygium. per muſicum au­
 tem modum intelligebant quandam vocum conſtitutionem, ſeu rithmum,
quem nos hodie vulgò ariam vocamus, vt doctè explicat Ioſephus Zarlinus
in 4. parte Inſtitut. Muſicalium, necnon in lib. 6. ſupplem. Denominati au­
 tem fuerunt prædicti, alijque; plures modi à nationibus illis, apud quas ma­
 ximè in vſu erant, vt Dorius à Dorienſibus; Phrygius à Phrygijs; Lydius à
Lydijs. Porrò præter prædictos modos alij plures à veteribus Muſicis com­
 memorantur; variè tamen, alij enim tres, alij ſeptem, alij quindecim, vel
ſeptemdecim etiam connumerarunt; Tres tamen præcipui, & ad quos reli­
 qui reuocabantur, fuerunt Dorius, Phrygius, & Lydius. quorum hæ fuerunt
proprietates. Dorius erat grauis, ſeuerus, & bellicoſus. vnde priſci exiſti­
 marunt ipſum in hominum animos prudentiam, caſtitatem, atque virtutem
inducere. Phrygius verò erat hilaris, lætus, placidus, ac propterea feſtis,
& choreis idoneus. vnde prouerbium illud vetus ortum habuit, à Dorio ad
Phrygium, ideſt à rebus altiſſimis, & ſerijs ad humiles, & iucundas. Hos
ambos ſolos Plato, & Ariſt. in Rempublicam admiſerunt. Lydius demum
modus erat horribilis, mœſtus, ac triſtis, ideoque; lamentationibus, ac la­
 crymis aptus. Hoc in funeribus mortuos lamentantes vtebantur, ita vt pre­
 ſentibus lacrymas cierent, vitaque; functos lacrymis proſequerentur.
Recentiores Muſici ſuos modos vocant Tonos, in quibus vtinam anti­
 quos imitarentur, illi enim ſuis rithmis, modiſuè auditorum animos varijs
pro illorum varietate motibus mirè afficiebant: ſed noſtri, rithmos in ſuis
cantilenis negligunt, nec illis curæ eſt, vt per rithmos hominum affectiones
percellant, cum tamen Plato aſſerat Muſici officium eſſe rithmos adinueni­
 re; præterea quod animis ciendis valdè obſtat, cantilenæ verba, ac ſenſum
prorſus per ſuos, quos vocant, contrapunctos, omninò offuſcant, vt nihil
præter magnum quendam vocum ſtrepitum concordem exaudiatur: quique;
rithmis imitari hominum mores deberent, mimicis quibuſdam adinuentis
id præſtare conantur.
Verùm hac de re legantur eruditiſſimi Dialogi de Muſica Vincentij Ga­
 lilæi, cuius præcipuas rationes in fine huius operis, & chronologiæ videre
poteris. Cæterum, qui plura de modis tam antiquis, quàm nouis
1conſulat Ioſephum Zarlinum in 4. parte Inſtitutionum Muſicalium, necnon
lib. 6. ſupplemen. virum vatia eruditione refertum, deque; Muſica in primis
optimè meritum.
Ex Quarto Politicorum.
329
Cap. 3. (Eodemqué modo in harmonijs, vt quidam tradunt: nam & in illis
poſuerunt duas ſpecies, vnam Doricam, alteram Phrygiam: cæteras
verò omnes vel ad Doricam, vel ad Phrygiam referri.
Vide proximè in præcedenti loco dicta, quæ omnia ita etiam
huic loco quadrant, vt præterea nihil deſideretur.
Ex Quinto Politicorum.
330.a
Cap. 1. (Quare opus eſt partim arithmetica æquitate vti, partim ea, quæ
eſt ſecundum dignitatem.
Arithmeticam medietatem ſupra explicaui lib. 2. cap. 6. Ethi­
 corum. per eam deinde, quæ eſt ſecundum dignitatem, intelligit
Geometricam, quam ſupra lib. 5. cap. 3. Ethicorum expoſui. vtimur enim
ea, quando opus eſt diſtribuere præmia non omnibus æqualiter, ſed habita
ratione meritorum vniuſcuiuſque. quando autem non ſecundum perſona­
 rum dignitatem, ſed omnibus æqualiter fit diſtributio, illa dicitur Arithme­
 tica proportionalitas, quia ſeruat eandem vbique differentiam terminorum.
330.b
Cap. 12. & vlt. (In Republica verò Platonis Socrates de mutationibus loqui­
 tur, nec tamen rectè. illius enim Reip. quæ eſt optima, atque prima, mutatio nulla
propria aſſignatur. inquit enim cauſam eſſe mutationis, quia ſic natura compara­
 tum ſit, vt nihil permaneat, ſed in ambitu quodam temporis, mutationem recipiat.
eſſe verò principium horum, inquit, quorŭm ſeſquitertia radix quinario iuncta, duas
exhibet harmonias. inquiens quando numerus huius diagrammatis efficiatur ſoli­
dus) Quoad textus interpretationem, nonnulli pro (ſeſquitertia radix) ver­
 tunt (ſeſquitertius cubus) ſed qua id ratione ignoro. græcum verbum eſt
πυθμὴν, quod fundamentum, latus, & radicem ſignificat, non autem cubum.
præterea ſenſui radix, non autem cubus quadrare poteſt. Porrò ſciendum
Ariſt. locum hunc ex Platonis lib. 8. de Rep. accepiſſe, loco Mathematico
obſcuriſſimo, vbi ille de Reip. ſeu Gubernation is mutatione, ac duratione
pertractat. quì locus adeò ſemper obſcurus habitus eſt, vt Cicero ipſe cum
rem pœnitus obſcuram ſignificare vellet, dicere ſolitus eſſet, numero Plato­
 nis obſcurius. quam ob cauſam Theon Smyrnæus, qui Mathematica Plato­
 nis loca commentarijs illuſtrauit, hiſce tenebris lucem nullam afferre auſus
eſt, verùm eas diſſimulans cautè declinauit. cùm igitur præſens Ariſt. locus
ſit illius Platonici particula quædam, quid mirum, ſi non minori obſcurita­
 te, ac difficultate impeditus ſit? vnde etiam ſequitor huius explicationem,
ab illius explicatione petendam eſſe. Locum illum Platonis fuſi ſimè expli­
 cat Marſilius Ficinus to 2. operum ſuorum pag. 1413. vbi pag. 1421. cap.
1illius commentarij propè finem præſens Ariſt. locus ex præmiſſis ab eo bre­
 uiter, ac dilucidè declaratur. quæ explanatio, quoniam mihi præ cæteris ar­
 ridet, eam hoc loco, explicatiorem tamen, referam. Illud autem præſcien­
 dum eſt, hæc quæ a Socrate lib. 8. de Repub. recenſentur, confingi à Muſis,
tanquam oraculum quoddam obſcuriſſimum effata; quo arcana quædam
myſteria de Rerump. durationibus, ac mutationibus continerentur.
Aiebat igitur Socrates, Muſarum ſpiritu afflatus, optimam Politiam, op­
 timis ſcilicet legibus, ac moribus conſtitutam, ſua natura omninò immu­
 tabilem, atque adeò diuturnam per ſe fore. Verumtamen mutationi obno­
xiam eſſe, quoniam ſie natura comparatum eſt, vt cuncta, quæ naturæ ſinu
continentur, certa quadam annorum, vel ſæculorum periodo exacta, mu­
 tationem ſubire fatali lege, cogantur. tunc autem harum viceſſitudinum
principium contingere, fatidicæ Muſæ ſignificare voluerunt, cùm is anno­
 rum, vel ſæculorum numerus ab illius Reip. exordio elapſus fuerit, qui ſit
numerus ſolidus, & cubus, eius numeri, in quo optima Reipub. conſtitutio
conſiſtit. hic porrò numerus, in quo Reip. perfectio ſtatuitur, eſt Duodena­
 rius, quem multis in locis, varias ob rationes extulit Plato, præcipuè verò,
quoniam in ſe ipſo duas continet harmonias, ſiue duas proportiones har­
 monicas, quæ ſimul iunctæ, perfectiſſimam omnium conflant harmoniam,
quæ Diapaſon dicitur. duæ autem illæ rationes harmonicæ ſunt Seſquiter­
 tia, & Seſquialtera. Seſquitertia reperitur primò inter hos numeros 4. 3.
cùm enim ea inter duas voces, aut ſonos reperitur, ij edunt harmoniam,
ſeu conſonantiam illam, quæ Diateſſaron appellatur. ſimul autem ijdem ad­
 diti efficiunt 7. qui numerus propterea in textu dicitur radix Epitrite, ſiue
Seſquitertia, quoniam vt vidimus componitur ex numeris 4. 3. Seſquitertiam
rationem habentibus. Seſquialtera verò ratio reperitur primò inter hos
numeros 3. 2. cùm enim duo ſoni in earum fuerint ratione ſuauem edent
conſonantiam, quæ Diapente nominatur; ſimul autem ijdem compoſiti Qui­
 narium efficiunt; cui quinario ſeſquitertia radix adiuncta, quæ eſt 7. Duo­
 denarium componunt: qui propterea duas exhibet harmonias. Præterea
hæ duæ harmoniæ ſimul copulatæ conflant ſuauiſſimam Diapaſon conſonan­
 tiam, nam iunctæ ſimul prædictæ duæ rationes ſeſquialtera, & ſeſquitertia,
eo modo quo tradunt Muſici, hoc ſcilicet modo 4. 3. 2. oritur inter extre­
 mos numeros dupla ratio, quæ ipſius Diapaſon eſt forma. nam ratio 4.ad 3.
eſt ſeſquitertia; ratio 3. ad 2. eſt ſeſquialtera; ratio verò 4. ad 2. quæ ex il­
 lis componitur, eſt dupla. quòd ſi duo ſoni duplam hanc rationem nacti fue­
rint, conſonantiam Diapaſon ſuauiſſimam reſonabunt. Cùm igitur nume­
 rus 12. harmonias haſce complectatur, per eum Muſæ optimum Reip. ini­
 tium, ac ſtatum ſignificare voluerunt. Verumenimuerò cum numerus hu­
 ius diagrammatis, ideſt huiuſcemodi conditionis, qui eſt 12. factus fuerit
ſolidus, hoc eſt, quando Reſp. benè conſtituta ad eam annorum, vel ſæculo­
 rum periodum peruenerit, qui ſit numerus ſolidus numeri 12. tunc fatali
ordine, mutationem pati incipiet, atque in peius, cùm optimi mutatio ſit
peſsima, prolabi. porrò numerus ſolidus ipſius 12. eſt 1728. vti mox expli­
 cabo. vult igitur Socrates ibi myſticè ſignificare poſt tot annorum, aut ſæ­
 culorum numerum Remp. omnem quamuis optimam, in deterius prolapſu­
1ram, cùm enim ad ſummam perfectionem peruenerit, quæ in numero ſoli­
 do, & cubico ſignificatur, ſi vlterius progreſsura ſit, neceſſariò ſummam
perfectionem præteribit, ac derelinquet. Quòd autem numerus 1728. ſit
numerus ſolidus, & cubus ipſius Duodenarij ſic palàm fiet, ſi tamen prius,
ea repetiueris, quæ ſupra in primo Poſter. num. 33. marginali, de numero
Quadrato, & Cubo dicta ſunt: eſt autem cubus numerus is, qui ex gemina­
 to ductu alicuius numeri in ſe ipſum, producitur. multiplica igitur primò
12. in 12. & producetur numerus 144. qui quadratus, & planus eſt. rurſus
duc 12. in hunc 144. produceturque; numerus 1728. quì cubus, ac proinde
ſolidus eſt, vt loco citato explicauimus. Atque hæc Socratici huius myſterij
explicatio ſufficiat.
Ex Octauo Politicorum.
331
Cap. 5. (Muſicam verò omnes fatemur eſſe ex iucundiſſimis, ſiue nuda ſit,
ſiue cum melodia) Quamuis latina interpretatio pro melodia, di­
 cat, modulatione, Gręcus tamen textus habet μετα μελωδιας, ideſt
cum melodia. per Muſicam nudam, forte Ariſtoteles intelligit eam,
quæ ſolis ſonis abſque oratione conſtat; per melodiam verò intelligit eam,
quam Ioſephus Zarlinus in 2. parte ſuarum Inſtitutionum Muſicalium defi­
 nit, quæ eſt concentus plurium vocum harmonicus cum rithmo, & oratio­
 ne, ideſt, qua canitur oratio aliqua ſub aliquo rithmo, aut modo, ſiue vt
nunc loquimur, conqualchearia.
Ex quibus liquet noſtros contrapuntiſtas toto cœlo aberrare, dum ſuas
cantilenas, abſque vlla verborum intelligentia, atque abſque vllo rithmo
diſperdunt.
332
Eodem capite propè finem meminit harmoniæ Lydiæ, Mixtæ, Doricæ,
Phrygiæ. de quibus ſupra 3. lib. Polit. cap. 2. tractaui, earumque; proprieta­
 tes, quas hic Ariſt. recenſet ibi connumeraui.
333
Ibidem meminit etiam Rithmorum, & Harmonie. Quid Rithmus dictum
eſt ſuperius lib. 3. Politic. eſſe quem nunc vulgò ariam cantores, ac tibici­
 nes appellant.
Harmonia eſt plurium vocum ex acuto, & graui concors modulatio.
Verùm de his fuſius in Problematibus Muſicis, ſect. 19.
334
Cap. 7 (Conſiderandum vtrum omnibus vtendum ſit harmonijs, & rithmis)
Vide quæ ſupra lib. 3. Politic. cap. 2. annotaui.
In Oeconomicis nihil Mathematicum reperi.
1
EX PROBLEMATIBVS ARIST.
Ex Sectione Prima.
335
Sectione 1. num. 3. (Quemadmodum tempora, ita ſyderum ortus, Orionis
Arcturi, Virgiliarum, Caniculæ, qui flatus, imbresqué excitant, qui ſereni­
 tates, frigora, teporeſuè ſolent afferre) Intelligit de ortu coſmico, qui
fit, quando aſtrum ſimul cum Sole oritur: quem ortum abundè in 2.
Meter. ſumma 2. cap. 2. explicatum inuenies. Vt autem intelligas, quænam
ſint Orionis, Arcturi, Virgiliarum, & Caniculæ conſtellationes, & in qua
cœli parte ſint collocatæ, ſatius eſt globum aliquem aſtronomicum, in quo
aſteriſmi omnes clarè depicti ſint, intueri, quàm hoc loco pluribus verbis
rem per ſe claram, obſcurare. De Orione plura dicta ſunt 2. Meter. præ­
 ſertim quo tempore oriatur. Arcturus verò, ſiue Bootes, primæ magnitu­
 dinis ſtella, mane vnà cùm Sole in noſtro climate ex Magini Tabulis, circa
28. diem Septembris oritur. De Virgilijs tamen illud exiſtimo aduertendum,
quod in Tauri aſteriſmo, duæ aliæ partiales conſtellationes continentur; in
capite enim ipſius, ſunt illæ, quæ & Hiades, & Atlantides, & Succulæ nuncu­
 pantur. in dorſo autem ſunt illæ, quæ Pleiades, & Virgiliæ ſunt appellatæ,
Quæ ſeptem dici, ſex tamen eſſe ſolent.
Vt cecinit Ouidius, quandoquidem ſeptima ferè nunquam apparet. has vul­
 gus Gallinellam vocat. quod ſi eas per Teleſcopium inſpiciamus, mirum di­
 ctu, eaſdem plures eſſe, quàm quadraginta ſtellas minimas clarè videbimus,
vt optimè primus omnium Galilæus obſeruauit. Porrò conſtellatio Tauri in
noſtris regionibus oriri cum Sole, incipit vno circiter ſeſquimenſe poſt ver­
 num æquinoctium. De Canicula ſatis dixi in 2. Meteor. ſumma 2. cap. 2.
336
Eadem ſect. num. 17. (Cur à Virgiliarum occaſu ad Fauonij vſque flatus, bi
potiſſimum pereant, qui morbo longo laborant, & ſenes, quam iuuenes potius?)
Lege, quæ ſcripſi de occaſu ſyderum lib. 2. Meteor. ſumma 2. cap. 2. dein­
 de, quæ in ſuperiore proximè loco de Virgilijs: quibus hæc pauca addantur.
cum intelligat de coſmico Virgiliarum occaſu, qui noctu apparet, incipitque;
tunc primum, quando oriente Sole, ipſe occumbunt, neceſſe eſt occaſum
hunc incipere poſt autumnale æquinoctium ferè ſeſquimenſe in noſtris regio­
 nibus; cum enim Virgiliæ ſint in Tauro, neceſſe eſt occidente Tauro initio
dixi, vt Sol ſit in oppoſito ſigno, videlicet in Scorpione; in quo aſteriſmo
Sol reperitur poſt prædictum æquinoctium vno ferè menſe cum dimidio. de
hac re plura Plinius lib. 18. cap. 31.
Ex Sectione 15.
337
Nvm. 1. (Cur linea ab angulo ad angulum ducta, ſola ex omnibus, quæ fi­
guras rectilineas bifariam ſecant, diameter vocata eſt? An quod dia­
 meter, vt nomen ipſum deſignat, duas in partes figuram æquè dimetien­
do diuidit, nihil dimenſæ figuræ defiruens? igitur hæc, quæ per commiſ­
ſuras, hoc est, per angulos figuram diuidit, appellanda eſt diameter, quoniam hæc
1figuram non deſtruit, quamuis diuidat. quemadmodum faciunt; qui vaſa militaria
partiuntur. At cæteræ lineæ, quæ per lineas compoſitam figuram ſecant, eam cor­
rumpunt: committitur enim rectilinea figura in angulis, vel ſecundum angulos)
Vt rectè problema hoc percipiamus, proponenda eſt figura rectilinea, &
vna ex ijs, quæ parallelogramma dicuntur, vt ſunt Quadratum, Quadrila­
141[Figure 141]
terum, Rhombus, Rhomboides, cuiuſmo­
 di eſt præſens, aliter verba Ariſt. illi non
ſemper quadrarent, quia illarum diameter
illas ſemper bifariam non ſe caret. quemad­
 modum videre eſt in trapezio. & pentagono
etiam æquilatero. Quærit igitur, cur ex om­
 nibus lineis, quæ quadrilaterum A B C D,
bifariam diuidunt, quales ſunt E F, G H, &
D B. ſola D B, quæ ab angulo ad angulum
ducta eſt, mœruit appellari diameter. Reſpondet autem, eam fortè appel­
 lationem hanc præ cæteris inde promeruiſſe, quòd, quamuis aliæ omnes
æquè parallelogrammum dimetiantur, ſola tamen ipſa D B, ipſum non de­
 ſtruit, nec ſcindit, cùm ei nouam aliquam diuiſionem non inferat, ſed id per
angulos ſecet, vbi prius laterum commiſſuræ erant: reliquæ verò omnes no­
 uas figuræ ſectiones inferunt, cùm eius latera in punctis E, F, G, H, diuidant,
vbi nulla prius erat diuiſio; quapropter ipſam quodammodo deſtruunt,
atque corrumpunt. Aduertè vulgatam verſionem latinam hanc (Angulis enim
constant, quæ rectis lineis continentur) malè græco textui συγκεινται γαρ τὸ
ευθυγραμμον κατὰ τας γωνίας, reſpondere, qui ſic latinè reddendus eſt: com­
 ponitur enim rectilineum iuxta angulos; quæ interpretatio vera eſt, quia
anguli ſunt laterum commiſſuræ, vt dictum eſt.
338
Eadem ſect. num. 2. (cur diameter ita eſt appellata? Vtrum quoniam ſola bi­
 partitò figuram diuidat? An quod ſola figuram ſecat per partes, ſiue membra, qui­
 bus in flexa coarctatur, cùm cæteræ per latera diuidant?) præſentis problematis
expoſitio petatur ex præcedentis expoſitione.
339
In problemate 3. (Cur homines omnes tam Græci, quàm Barbari ad decem
vſque numerare conſueuere, & c. Vtrum quod denarius numerus perfectus ſit: con­
tinet enim omnia numerorum genera. vt par, impar, quadratum, quadrantale, lon­
 gum, planum, primum, compoſitum) Cur omnes nationes miro quodam con­
 ſenſu ſuos numeros in denas, veluti in gradus quoſdam diuidant, Ariſtoteles
cauſam indagaturus, reſpondet primò id fortè accidiſſe ob denarij numeri
perfectionem: cuius perfectionis hoc eſt indicium, quod denarius contineat
omnes numerorum ſpecies. quæ quidem omnes numerorum ſpecies in defi­
 nitionibus 7. Elem. exponuntur, quas conſulere debes. in denario numero
contineri numeros pares, ac impares, per ſe patet. continetur etiam in eo
quadratus numerus, imò duo quadrati numeri, nam, & quaternarius eſt
numerus quadratus, quippe qui ex ductu binarij in binarium producatur:
item nouenarius eſt quadratus, quippe qui ex multiplicatione ternarij in
ternarium gignitur. Porrò pro quadrantali numero intelligendus eſt nume­
 rus cubus, erat. n. quadratal apud Romanos vas cubicæ figuræ: imò in græ­
 co textu voci huic quadrantali, reſpondet κυβος, ideſt, cubus. vnde apud la­
1tinos quadrantal pro cubo ſolet vſurpari. in denario autem continetur etiam
hic numerus, eſt enim octonarius numerus cubus, fit enim ex binario ter in
ſe ipſum multiplicato, hoc modo; duo bis faciunt quatuor: rurſus duo qua­
 ter faciunt octo; quem ex definitione numeri cubi, conſtat eſſe cubum. qua
ratione deinde reliqui numeri, longus, planus, primus, compoſitus, in de­
 nario exiſtant, facilè eſt cognoſcere, dummodo eorum definitiones tenean­
 tur, quæ initio 7. Elem. traduntur.
340
Ibidem (An quod denarius fons, atque principium eſt, quippe qui ex vno, duo­
 bus, tribus, & quatuor conſtet) Aliam denarij dignitatem aſſignat, quam ex
Plutarcho lib. 1. cap. 3. de Placitis Philoſophorum, optimè poſſumus intel­
 ligere: vbi ſic ait: Pythagorei aiebant denarium eſſe Naturam, quoniam
omnes gentes vſque ad decem natura duce numerabant. tum etiam, quia ex
quaternario conſtabat, ideſt, ex his quatuor numeris 1. 2. 3. 4. qui ſimul ad­
 diti faciunt decem: quaternarium enim Pythagorei multis de cauſis, quas
apud Petrum Bungum de myſterijs numerorum videre poteris, adeò extol­
 lebant, vt dicerent ex quaternario naturalia, omnia conſtare, vt quaterni­
 tati omnia accepta referrent. vnde etiam per ipſum conceptis his verſibus
iurare ſolebant,
Iuro per omnipotentem animæ, qui Tetrada noſtræ
Perpetuos fontes naturæ infudit habentem.
Pręcipua verò cauſa, cur tantopere Pythagorei quaternitatem celebrarint,
refertur à Marſilio Ficino cap. 24. compendij in Tymeum, his verbis: ex
quatuor elementis, geometrica, & harmonica ratione coniunctis inuicem,
vniuerſum Mundum compoſitum Pythagorei omnes exiſtimant: conſonan­
tiam horum in cœlo ſemper eſſe perfectam, ſub cœlo autem aliquando diſ­
 ſonantem. volebant ergò totum mundum, tam æthereum, quàm elementa­
 rem, conſtare ex quatuor elementis; & ideò ex quaternario omnia conſta­
 re dicebant. hac de cauſa Pythagorei in muſicis conſonantijs, vltra quater­
 narium progredi vetabant; hoc eſt nullam admittebant conſonantiam, quæ
numeris quaternario contentis non exprimeretur, idcircò ſupra quadruplam
non aſcendebant. Verùm inter alias quaternitatis dignitates hanc maximi
faciebant, quod denarius ex ipſa, vti modo dictum eſt, componeretur; cu­
 ius excellentiam in ipſum proinde denarium transfundebant, dicebantque
denarium eſſe numerum perfectum, & aliorum numerorum fontem, atque
principium. quemadmodum natura ipſa quaternario conſtans, erat omnium
rerum origo. Ex quibus manifeſtum eſt Ariſt. Problema hoc, atque eius ſo­
 lutionem ex Pythagoreorum philoſophia accepiſſe.
341
Ibidem (An quia corpora, quæ feruntur numero nouenario continentur) Puto
hæc nouem corpora, quæ mouentur, eſſe cœlos, primum ſcilicet Mobile,
Firmamentum, & ſeptem Planetarum orbes: quibus ſi addas ſphæram ele­
 mentarem, habebis denarium corporum perfectiſſimum, ex quo tota Mun­
 di machina componitur.
342
Ibidem (An quod decem proportionibus, quatuor cubales numeri conſumun­
 tur, è quibus numeris vniuerſum conſtare Pythagoreis placet?) Aliam denarij
perfectionem affert, quam ex 8. 9. Elem. comprobare, atque intelligere poſ­
 ſumus. eſt autem 8. 9. Elem. propoſitio hæc: ſi decem numeri in eadem
1portione progrediantur ab vnitate incipientes, erunt ex illis quatuor cubi,
v.g. in ſerie duplæ proportionis progrediantur hi decem termini: 1. 2. 4. 8.
16. 32. 64. 128. 256. 512. ex his decem numeris ſunt quatuor cubi, nimi­
 rum hi 1. 8. 64. 512. numerus cubus eſt, qui fit ex tribus æqualibus numeris
in ſe multiplicatis. ſic vnitas eſt cubus, quia fit ex vnitatibus tribus in ſe du­
 ctis, nam 1. in 1. facit 1. & rurſus iſtud 1. in 1. facit 1. ſic etiam 8. eſt cubus,
quia fit ex tribus his numeris æqualibus 2. 2. 2. inuicem ductis hoc modo,
2. in 2. facit 4. rurſus 4. in 2. facit 8. qui eſt cubus. ſic 64. fit ex tribus hiſce
4. 4. 4. pariter. 512. fit ex tribus his 8. 8. 8. eſtque; propterea cubus. ſimiliter
ſi alia progreſſio inſtituatur vſque ad decem terminos, erunt in ea quatuor
cubi, eodem ordine, quo in ſuperiori progreſſione, ideſt primo loco, 4.7. &
10. v.g. ſit tripla progreſſio hæc 1. 3. 9. 27. 81. 243. 729. 2182. 6546. 19638.
quatuor cubi erunt hi 1. 27. 729. 19638. quorum latera cubica, ſunt hi nu­
 meri 1. 3. 9. 27.
Poſtquam huius loci explicationem ex allegata Euclidiana demonſtratio­
 ne attuliſſem, incidi in Petri Apponenſis horum problematum commenta­
 ria, qui aliam à ſe confictam expoſitionem affert, aitque; ſe per quatuor inte­
 gros annos laboraſſe, antequam eam inuenire, locumque; hunc intelligere
poſſet. eſt autem hæc; Denarius componitur ex quaternario, ideſt ex qua­
 tuor primis numeris cubis, ſcilicet 1. 9. 27. 64. qui ſunt cubi, & ſimul additi
conſtituunt decem denas, ideſt centum. quæ cum nulli Mathematicæ demon­
ſtrationi innitatur, nec vniuerſalis ſit, ex ſe apparet, quàm ſit commentitia,
& ab Ariſt. mente aliena. Enim uerò me antea ipſius commentarijs caruiſ­
 ſe gauiſus ſum, quibus niſi caruiſſem, veritate ipſa caruiſſem, acquieuiſſem
enim illius fictioni, quæ vtcunque videtur quadrare, hocque; pacto veritatis in­
quirendæ occaſio ſublata fuiſſet.
343
Ibidem (An quod omnes homines digitis decem lege naturali creantur? it aque
ſui numeri quaſi calculos adipiſcentes hac eadem multitudine, cætera quoque nume­
rant) hæc Ariſt. ratio confirmatur ex recentiorum relationibus de populis
Braſiliæ, qui cum per ſummam barbariem, in omni rerum ignoratione ver­
 ſarentur, ex digitis tamen, vtcunque numerabant. cumque; vellent ſignificare
quinque dicebant, manum vnam: cum verò decem dicebant, manus duas:
cum viginti dicebant, manus, & pedes. & ſimiliter in alijs. non tamen hac
ratione longè progrediebantur.
344
In 4. problema. quoniam textus huius problematis, tam apud græcos,
quàm latinos mendoſus apparet, eum propterea per ſequentem paraphra­
 ſim exponam, qua & intelligi, & reſtitui etiam poterit. Quæſtio autem eſt
de inæquali incremento, ac decremento vmbrarum Solis, quæ propriè de
vmbris in plano horizontali proiectis, quas rectas vmbras appellant intel­
ligenda eſt: hæ enim inæqualiter creſcunt, & decreſcunt, ſi quidem mane
plurimum, poſtea parum, tandem nihil ferè circa meridiem minuuntur, po­
 ſitis tamen æqualibus temporibus. Quærit igitur Ariſt. cur cum Sol eodem
vigore feratur, non idem tamen incrementum, decrementumuè vmbrarum
exultet? pro cuius intelligentia, ac ſolutione inſpicienda eſt figura ſequens:
in qua ſemicirculus, ſiue arcus A B C, ſit is, per quem Sol incedit, dum ele­
 uatur ſupra horizontem H I; & quia Sol vniformiter ſcandit hunc
1142[Figure 142]
ſint duo arcus æquales A B, B C.
in plano autem horizontis ere­
 ctum ſit corpus G D, quod à So­
 le conſpiciatur, ſiue illuminetur.
ſitque; primum Sol in A. radius ip­
 ſius per verticem D, tranſiliens
erit A D I; vmbra verò erit G I.
Sole deinde in B, exiſtente, erit
radius B D E, & vmbra G E. So­
 le tandem in C. radioque; C D F.
vmbra erit G F. Dicit ergò Ariſt. quod cum anguli A D B, B D C, ſint ex
æqualibus arcubus A B, B C. ad centrum D, conſtituti, erunt æquales, qua­
 re erunt etiam æquales alij duo anguli illis ad verticem oppoſiti, per 15.
primi, qui ſunt contenti in triangulo G D I. quod triangulum fit à radio pri­
 mo D I, re conſpecta à Sole G D, & vmbra G I. anguli inquam F D E, E D I,
qui ſunt ad verticem prædictis angulis, erunt, & ipſi æquales inuicem.
Supponit præterea pro certo radium D I, qui cæteris longius prolabitur,
eſſe maiorem propinquiore D E. ipſumque; D E, maiorem eſſe reliquo radio
D F. oportet autem radium B E, terminari in puncto E, quod ſit citra radium
D I. & radium D F, deſinere in F, citra radium D E, aliter ſequitur lineam
rectam B E, vel C F, ſecare lineam recta A I, in pluribus punctis, quàm vno
D. quod eſt impoſſibile. cùm ergò totus angulus F D I, diuidatur à linea
D E, in duos angulos æquales F D E, E D I. ſitque; latus D I, maius latere D F.
erit ex ſcholio 19. primi Elemen. linea E I, maior, quam F E, quæ ſunt duæ
inæquales vmbræ, quæ tamen reſpondent æqualibus arcubus A B, B C. ſimi­
 liter vmbra F E, maior eſſe probaretur ſequenti qualibet vmbra, quæ tamen
ex arcu æquali procederet. & ſic deinceps vſquequò Sol eſſet in meridie, vbi
vmbra eſſet omnium minima.
Atque ex his patet, cur quamuis Sol vniformiter in cœlo moueatur, vm­
 brarum tamen incrementa, ſint diſparia, nec vniformia. eadem intelligen­
 da ſunt de vmbrarum decrementis promeridianis Sole ad occaſum labente:
tunc enim, vt ille cecinit.
Maioresqué cadunt altis de montibus vmbræ.
Aduerte verba illa (Angulus D E, maior, quam E F, angulo D G, est) eſſe
mendoſa, etiam in græco textu; vnde, & malè in latinum tranſlata: neque in
græco eſt vox, angulus: aliter Ariſt. quæſtioni non ſatisfaceret. quare di­
 cendum, & interpretandum videtur, quemadmodum à me factum eſt.
345
In 5. problema. Difficile admodum eſt problema iſtud, & cuius ſolutio­
 nem nullus veterum, quod ſciam, perfectè attigit: quamuis Vitellio nu. 39.
lib. 2. hoc idem proponat, ac ſoluere contendat: Verùm nec Ariſt. nec Vi­
 tellio intellectui ſatisfaciunt mathematico: probabilia tamen afferunt. op­
timè hae de re Maurolicus, in ſuis Poſthumis, nuper editis Photiſmis, & Ke­
 plerus, in paralip. ad Vitell. Senſum Ariſt. ac textum pariter per paraphra­
 ſim exponam, ita tamen, vt eius textus ex hac paraphraſi omninò clarus
euadat. Quærit igitur; cur lumen Solis ingrediens per quadrangularia, ſeu
triangularia foramina, vel etiam per rimulas, cùm poſtea recipiatur in pla­
1no ſatis ab illo foramine remoto, vt in pariete, vel pauimento, non recipi­
 tur in eadem figura, per quam ingreſſum eſt; quamuis. n. foramen ſit angulo­
 ſum, illuminatio tamen in oppoſito plano facta eſt ſemper circularis, ſi pla­
 num ſit ſatis remotum, & radio Solis directè, ſeu perpendiculariter obie­
 ctum: ſi enim non ſit perpendiculariter, ſed obliquè, tunc illuminationes
apparent non omnino circulares, ſed ouales; quemadmodum quotidie ac­
 cidere videmus in pauimentis, vbi omnes ferè huiuſmodi illuminationes
ellipſes ſunt, quamuis Sol per anguloſa foramina ingrediatur. quæ ellipſes ſi
in plano Solis radio perpendiculariter obiecto recipiantur, perfecti euadunt
orbes. hoc etiam, inquit Ariſt, in cratibus patet; crates enim illæ habebant
foramina anguloſa, atque oblonga, fiunt enim crates ex virgis decuſſatis,
quorum foramina ſunt quadrilatera, per quæ Sol ingrediens, non tamen
recipit anguloſam figuram, ſed in debita remotione rotundatur. Reſpon­
 det propoſitæ quæſtioni dicens; radijs Solis fortè illud accidere, quod & ra­
 dijs viſualibus, qui ab oculo ad rem conſpectam producuntur: ij enim in
turbinis, ſeu coni figuram aguntur, cuius apex eſt in oculo, baſis autem eſt
in re viſa: & quamuis res viſa ſit anguloſa, vt triangula, vel quadrangula,
tamen ſi à longè conſpiciatur, circularis apparet; vnde & figura viſualium
radiorum, quæ in proximum obiectum incidens baſim anguloſam, remoto,
quantum ſatis eſt, obiecto, baſim habebit orbicularem. eodem igitur modo
de Solis radijs exiſtimare debemus: qui quamuis per anguloſa foramina in­
 trent, tamen, ſi in remoto obiecto recipiantur, figuram circularem ſortien­
 tur: quod ſi non ſatis remoto plano occurrant, anguloſam etiam figuram
pro foraminis qualitate efficient: & quidem eo foramini ſimiliorem, quo ei
propior erit coni luminoſi baſis. vel aliter etiam reſpondendum eſt, hoc mo­
 do; figura Solis, quæ orbicularis eſt, vndique lineis rectis, ſeu radijs, quos
emittit, circundata eſt, qui radij cum intrent per foramina lineis quoque re­
 ctis contenta, accidunt lateribus figuræ foraminis, & propterea cum rectæ
lineæ lineis rectis applicentur, deberent hi radij in figuram rectilineam con­
 formari; quod & faciunt, vt patet in cratium feneſtellis, vbi ſi radij poſt in­
 greſſum ſtatim in plano quopiam recipiantur, figuram efficiunt feneſtellæ ſi­
 milem. quod ſi in plano, ſatis remoto, deſinant, non amplius anguloſam,
ſed circularem illuminationem efficient. Cuius cauſa eſt, quia, vt initio di­
 xi, eodem modo lumen, ſeu radij Solis producuntur, quo etiam radij vi­
 ſuales, quod inde patere poteſt, quia perſpectiui eadem de vtriſque & ſuppo­
 nunt, & oſtendunt. quemadmodum igitur quando oculi noſtri aſpectus ad
figuram rectilineam, & anguloſam, quæ propinqua ſit directus, eam angu­
loſam iudicat, vt re vera eſt, quam deinde longè ſemotam oualem, aut cir­
 cularem exiſtimat; propterea quod radij viſuales ad extremitates laterum
figuræ, ſiue angulos ipſius protenſi euaneſcunt, quia imbecilli admodum
ſunt; ſunt autem imbecilli, quia, cum tendant ad angulos, quæ minimæ partes
ſunt obiecti, & quidem longè ſemoti, fit, vt ij anguli ſub angulo adeò paruo
ad oculum veniant, vt ſub eo viſio fieri nequeat; idcircò cùm anguli cerni
nequeant, obiectum ſub circulari figura apparebit. ſed quantum lateris re­
 cti viſi in turbine viſuali continetur, ac ſub angulo viſioni idoneo ad ocu­
 lum defertur, id tantum in viſum agere poteſt. Reliquum, quod eſt in an­
1gulis ob dictam rationem non poteſt, quia radij viſuales, vt dictum eſt, in­
 diſcreti ſunt, & confuſi. neque hoc mirum, cùm multa videre nullo pacto poſ­
 ſimus, quamuis noſtro attingantur aſpectu, vt ea, quæ ſunt in tenebris, cui
ſimile accidit, cum quadratum à longè viſum videtur habere plurimos an­
gulos; atq; adeò ad rotunditatem, ſi remoueatur adhuc, accedere, vt etiam
circulus videatur. Cùm enim, vt ſupra dixi, aſpectus in turbinis modum
procedat quoties figura conſpecta vlterius ſepoſita eſt, radij viſuales, qui ad
angulos tendant, quoniam & imbecilli, & pauci ſunt, ob dictam cauſam rem
aſſequi nequeunt: qui autem in mediam partem concurrunt, hi perſiſtere
poſſunt, vtpotè, conferti, & validi: ergò cum figura propè eſt, anguli quoque
aſpici poſſunt, aucta diſtantia non poſſunt. hac etiam de cauſa linea circu­
 laris valdè diſtans, & in ſitu, quo conuexum ad oculum rectà vergat: & in
Luna die octauo, quando dimidia eſt linea illa, quæ illuminatam partem à
non illuminata diuidit, recta videtur, quamuis circularis ſit, eſt enim in
ſphærico corpore deſignata. quando enim circunferentia propè eſt, viſus
diſcernere valet quanto pars altera, parte altera, ſit propior; vnde rotun­
 ditas apparet: at cùm procul abeſt rectè ſentire nequit, ſed æqualem par­
 tium ſitum cernere ſibi videtur, eamque; propterea rectam iudicat. hæc igi­
 tur, quæ accidere viſui certum eſt, eadem ſimiliter radijs Solis conuenire
par eſt credere. ex quibus iam patere poteſt, cur lumen Solis per quadrila­
 teras figuras profluens illuminationem rotundam reddat.
De Lucis Figuratione.
Atque hæc eſt ſolutio admirandi huius effectus ab Ariſt. allata, quæ
quoniam non paucas habet difficultates, aliam ex Maurolyco de­
 ſumptam, quæ ſatis demonſtratiua eſt, afferam.
Primò igitur illud Perſpectiuus principium ſtatuendum eſt, ex
quolibet corporis lucidi puncto, ad quodlibet medij punctum, lumen rectis
lineis quoquouerſus emicare, ita vt lumen à quouis puncto lucidi, tanquam
à centro circumquaque effuſum in modum ſphæræ diffundatur.
Secundò, quò magis duorum vicinorum circulorum peripheriæ augen­
 tur, eò magis ad vnius circuli ſimilitudinem accedere; vt in hac figura cer­
143[Figure 143]
nere licet, vbi ſunt primò duo parui
circuli circa centra A, & B, deſcripti,
quorum circunferentiæ creſcant vſque
ad circunferentias C D, & E F, quo in­
 cremento poſito, ſtatim vel ad ſenſum
manifeſtum eſt, has duas maiores pe­
ripherias, magis referre vnius circuli
ſimilitudinem, quàm referant duo pa­
 rui circelli. quod ſi eſſent tres circelli,
qui augerentur, magis adhuc vnicum
circulum imitarentur; ſicque; deinceps,
quò plures eò perfectius: & quò magis
1etiam augentur eò perfectius. proptereaque; poterunt aliquando exactè cir­
 culum quò ad ſenſum imitari. quod de circulis dictum eſt, intelligi etiam de­
 bet de omnibus alijs figuris eiuſdem ſpeciei, vt de duabus ellipſibus, aut
de duobus triangulis, &c.
Tertiò, lumen Solis per foramen tam exiguum, quod ſit inſtar puncti tranſ­
 miſſum, figuram Solis rotundam videlicet, quamuis conuerſam referre; quod
144[Figure 144]
hac deſcriptione patefiet. ſit Sol vbi A B, fora­
 men inſtar puncti vbi E. illuminatio, in planum
radio Solis perpendiculariter obiectum, ſit C I D.
aio eam eſſe inſtar Solis rotundam, inuerſam ta­
 men. nam ſi ab omnibus punctis ſolaris periphe­
 riæ radij per vnicum punctum E, rectà transfe­
 rantur ad planum rectà obiectum, vbi C D, con­
 flabunt duas conicas ſuperficies A E B, C E D,
baſes habentes circulos A B, C D, verticem verò
eundem E. Cùm igitur illuminatio C D, ſit ve­
 luti ſectio luminoſi coni C E D, quæ perpendicu­
 lariter eum ſecat, ex Apollonij conicis circulus
erit, ac proinde Solis figuram imitabitur. erit
tamen inuerſa, quia cum, vt dictum eſt in prima
prænotatione, radij rectis lineis ferantur, pun­
 ctum A, ſiniſtrum, repreſentabitur in D, parte
dextra. B, verò dexterum apparebit in C, parte
ſiniſtra, & H, in anteriore parte Solis, feretur in
I, punctum illuminationis poſterius: atque eodem
modo reliqua puncta in contrarias partes trans­
 ferentur. Quod ſi planum terminans conum ra­
 dioſum non illi ſit perpendiculare, ſed obliquum,
vti eſt G F, ſectionem faciet ellipticam ex eodem
Apollonio, ideoque; Solis il luminatio, quod pluri­
 mùm accidit, oualis apparet. Quod dictum eſt de Solis illuminatione, in­
telligi etiam debet de alijs quibuſuis lucidis, vel coloratis luce perfuſis, quæ
ſuas ſpecies emittunt, cuiuſuis ſint figuræ, eodem enim modo oſtendemus
eorum illuminationes, ſeu ſpecies debere figuram ipſorum primitiuam re­
 ferre, quamuis inuerſam.
Quartò, dico, Cauſam huius apparentiæ primariam eſſe ipſam Solis ro­
tunditatem, quæ per ſingula foraminis cuiuſuis puncta in oppoſitum planum
ſe ſe transfundit. quod enim nuper de vnico puncto oſtenſum eſt, idem intel­
 ligendum eſt de ſingulis foraminis punctis, per ſingula enim puncta ſingulæ
illuminationes rotundæ in aduerſum planum tranſmittuntur, quæ quò lon­
 gius à foramine proceſſerint, cò perfectiorem rotunditatem aſſequentur, ob
eam cauſam, quàm in ſecunda prænotatione innuimus. quæ vt explicatius
tractentur, neuè in hac Solis luce cæcutiamus, linearem demonſtrationem
afferemus. ſit ſolare corpus A B, foramen verò qualiſcunque figuræ, veluti ri­
 mula C D, per quam Solis ſplendor illapſus oppoſitum planum, in quo F E,
colluſtret. iam ex infinitis punctis rimulæ C D, ſatis erit extrema duo C,
1conſiderare. per punctum igitur D, ducantur radij A D E, B D K. per pun­
 ctum verò C, ducantur alij A C H, B C F, qui cùm ab extremitatibus Solis
profluant, reliquos omnes radios intra ſe continebunt. ex tertia igitur prę­
 notatione per punctum C, procedit rotunda illuminatio, cuius diameter
145[Figure 145]
F H, ſimiliter per punctum D, illuminatio
rotunda emanat, cuius diameter K E, & pa­
 riter ex omnibus alijs rimulæ punctis ro­
 tundi ſplendores in ſuperficiem, vbi F E,
tranſmittuntur. Iam dicimus has duas illu­
 minationes ex prænotatis ſecundo loco,
quàm longius planum F E, à foramine de­
 ſtiterit, vt ſi eſſet in L M, ad vnius circuli
rotunditatem magis accedere, vt apparet
in plano L M, vbi maiores factæ ſunt illumi­
 nationes, & ideò magis ad vnam circula­
 rem accedunt. manifeſtum eft enim, quò lon­
 gius radij C F, C H, producti fuerint, eò
maiorem fore diametrum illuminationis F H.
euadet enim L O, & ſimiliter ex productio­
 ne radiorum D K, D E, diameter alterius
illuminationis K E, augebitur, & fiet N M.
& conſequenter duæ ipſarum peripheriæ ſi­
 mul maiores fient, ac proinde ad vnius cir­
 culi ſimilitudinem ex ſecunda notatione per­
 uenient. & quamuis ex radiorum produ­
 ctione augeantur non ſolum prædictæ dia­
 metri illuminationum, ſed etiam earum
differentiæ F K, & H E; hæ tamen differen­
 tiæ reſpectu illorum nihil, quod ſenſibile ſit
augentur; quod inde oritur, quia angulus F C H, maior eſt angulo F B K,
per 16. primi Elem. & ideò crura F C, H C, magis dilatata ſunt quàm cru­
 ra F B, K B, & ideò ſi producantur, multò magis creſcit F H, dum euadit
M N, quàm F K, dum euadit M O. eodem modo magis creſcit K E, dum fit
O L, quàm H E, dum fit K L. quare ex ſecunda notatione earum periphe­
 riæ ad vnius orbis figuram tandem concurrere videbuntur. multò autem
euidentius ad rotunditatem accederent, ſi tertia illuminatio per tertium
aliquod punctum tranſiens, ſic perueniret; & quo plures, eò etiam perfectius,
omnes enim rotundæ eſſent, & ex radiorum proceſſu augerentur, atque ad
vnius orbis formam ſe ſe reciperent.
Hæ porrò, quæ Geometricè comprobata ſunt, libet etiam iucunda qua­
 dam experientia confirmare; fiant igitur in feneſtra quapiam duo, vel tria
parua admodum foramina, inuicem proxima, per quæ totidem illumina­
 tiones ad obiectam chartam transferantur, hæ admota foramini charta
paruæ, ac ſibi mutuò parum incumbentes apparebunt, & proinde vnicum
circulum non præſeferent; quò autem longius charta remouebitur, eò ma­
 iores fient, ac ſibi mutuò magis incumbentes, ac idcircò in vnum ferè
1culum coaleſcent. nunquam tamen ad geometricam rotunditatem perue­
 nient, quamuis illam ſenſui obijciant.
Aliter Ioannes Keplerus totam hanc demonſtrationem inſtituit, quem tu
in ſuis ad Vitellionem Paralipom. conſule. eius tantum experientiam non
iniucundam, qua iſtud probat, non grauabor referre. cap. igitur ſecundo
de Figuratione lucis hæc habet: librum in ſublimi locaui, qui eſſet loco lu­
 centis corporis, hunc inter & pauimentum figebatur tabella foramine mul­
tangulo. filum deinde ex vno libri angulo per foramen in pauimentum de­
 miſſum, ita incidebat in pauimento, vt terminos foraminis raderet, cuius
veſtigia creta imitabar; qua ratione creabatur figura in pauimento ſimilis
foramini. Idem accidebat, annexo filo ex altero, tertio, quarto libri angu­
 lo, adeoque; ex infinitis marginum punctis. Itaque infinitarum in pauimento
figurarum foraminis exilium ſeries adumbrabat magnam, & quadrangulam
libri figuram. hic primus eſt in hoc labore ſucceſſus. hæc ille; ex quibus po­
 ſtea ſuam demonſtrationem adornauit. His igitur perſpicuè demonſtratis
facilè erit nonnulla corollaria inde contexere.
Primum, ſi ad planum F E, radius perpendiculariter incidat, illuminatio
erit circulus, ſi verò obliquè ellipſis, vt in tertio loco vidimus. cùm igitur
pauimentis, ac parietibus hæ illuminationes, vt plurimum obliquè acci­
 dant, ideò ferè ſemper ouales apparent.
Secundum, quod quidem magni momenti eſt, eſt enim, vti ſcientiam de­
 cet, vniuerſale, quod enim oſtenſum eſt de Sole, eodem modo oſtendi poteſt
de quouis lucido, & de quouis corpore illuminato ſuam ſpeciem diffunden­
 te. ſimili enim modo demonſtrare poſſumus cur Sol eclypſim patiens, illu­
 minationem pariter eclypſatam efficiat, & inuerſam. eadem eſt ratio de
Lunæ illuminationibus.
Tertium, & quidem ſcitu digniſſimum quodque hactenus doctorum viro­
 rum ingenia latuit, rationem reddere hinc poſſumus, cur ſi feneſtris omni­
 bus obſeratis, conclaue obſcurum reddatur, tenui tantùm relicto forami­
 ne, per quod externo lumini aditus patent, formæ externarum rerum pro­
 priæ, quamuis inuerſæ, in oppoſito plano, appareant. eadem ſcilicet de cau­
 ſa, qua & Solis imago propria, quoniam videlicet per ſingula foraminis pun­
 cta, vt tertio loco patuit, vnaquæque res, ſeu lucida, ſeu illuminata tantùm
ſit, per ſingula foraminis puncta, ſingulas proprias emittit imagines, quæ
omnes poſtea in vnam ex iuſta diſtantia coaleſcunt. atque eadem ratione in­
uertuntur. ob quam etiam rationem ſolares maculæ in Solis ſplendoribus,
non eodem ſitu quem in Solis diſco obtinent, ſed inuerſo ſpectantur. atque
hæc pro inſtituto dicta ſufficiant.
346
In 6. Problema. quoniam vulgata interpretatio videtur mendoſa, cum in
multis textui græco non conſentiat, eam ſic emendatam accipe (Cur Lunæ
ſphærica exiſtente, rectam cum ſemiplena eſt, cernimus? An quoniam eodem in
plano aſpectus noster verſatur, vt circuli ambitus, quem Lunæ Solingruens facit,
quod cùm accidit, Sol recta linea videtur; cum enim quid ſuum aſpectum ſphæræ
admouerit, orbem videre neceſſe ſit; Luna autem ſphærica ſit, eamqué Sol aſpiciat;
orbis profectò id eſſe debet, quod à Sole efficitur. Hic ergò cum è regione ſe nobis
præbet, totus videtur, & ſic plenilunium apparet, cùm autem mutatur propter
1Solis diſceſſum peripheria eius aſpici poteſt, ita vt recta appareat. altera verò pars
circularis, quoniam ex aduersò noſtri aſpectus hemiſphærium eſt; talis verò appa­
ret ſemicirculus. ſemper enim Luna aſpectui nostro oppoſita eſt, ſed quando Sol in­
 cubuerit, non videtur, & repletur post diem octauum ſecundum dimidium; quo­
niam paulatim Sol euadens, orbem nobis facit inclinatiorem; ita verò circulus ad
oculum noſtrum diſpoſitus, ſimilis videtur ſectioni conicæ. lunaris verò apparet
iam Sole amoto; cùm enim ad extrema puncta peruenerit, iuxta quæ dimidiata
apparet, circulus fit Solis, & Solis circunferentia videtur; non enim amplius in
directum viſui iacet, ſed præterit. quo facto, & per eadem puncta ducto circulo, ne­
 ceſſe eſt lunularem apparere: pars enim aliqua circuli ſtatim aſpectui patet, priori è
contra exiſtente, ita vt de ſplendido reſecetur. tum etiam extrema manent in eodem,
vt oporteat lunularem apparere magis, & minus, ſecundum Solis motum. per­
 moto enim Sole, & circulus, ſecundum quem conſpicitur, reuertitur ad eadem
puncta. ſecundum enim infinitas inclinationes accidit inclinari: ſi quidem maxi­
 mi circuli per eadem puncta duci poſſunt infiniti) Vt rectè textum hunc intel­
 ligas, lege prius, quæ de Lunæ illuminatione lib. 1. Poſt. tex. 30. dicta ſunt.
& ante omnia experire in pila aliqua lumini lucernæ, aut candelæ obiecta,
& circumlata, omnes illius ſpheræ illuminationes, vt ibi docui. videbis enim
qua ratione linea illa, quæ confinium eſt partis illuminatæ, & partis obſcu­
 ræ, aliquando videatur lunularis, aliquando oualis, aliquando recta linea,
quorum rationem Ariſt. in præſenti problemate inquirit. lege præterea, ſi
plenam huius rei cognitionem deſideras, propoſit. 74. 75. 76. 77. libri 4.
Vitellionis, vbi hæc omnia exactè, & non leui brachio, vt hic fit ab Ariſtot.
demonſtrantur. Interim tamen huius loci explicationem hanc accipe. Cur
cùm Luna ſemiplena eſt, linea illa, quæ terminus eſt partis illuminatæ, &
partis obſcuræ, quæque; Lunam bifariam diuidit, videtur linea recta, cùm ta­
 men non ſit; cùm enim fit in globoſa ſuperficie Lunæ, neceſſariò circularis
146[Figure 146]
eſt? vt autem rem hanc melius intelli­
 gamus, præſens figura illuminationis
Lunæ inſpicienda eſt: vbi oculus noſter
eſt in centro mundi A; vnde varias Lu­
 næ illuminationes aſpicit: è quibus
octo tantum, in figura ſunt depictæ: in
quibus videre eſt Lunæ ſemper dimi­
 dium illud, ſiue hemiſphærium, quod
Solem aſpicit, eſſe illuminatum, cuius
terminus, ſiue baſis eſt linea K L, eſtque;
confinium illuſtratæ partis, & opacæ.
quæ linea ſemper in Luna eſt circula­
 ris, cum ſit in ſphęrico corpore: quan­
 do tamen Luna videtur ſemiplena, vt
quando eſt in D, vel in K. hæc linea K L,
videtur recta. ratio huius eſt, quia exi­
 ſtente Luna ſemiplena, circulus K D L,
qui eſt baſis illuminationis ſolaris, eſt in eodem plano cum oculo A, ſiue in
eadem rectitudine, vt apparet in figura, vbi, fi linea K D L, ſumatur loco
1diametri prædicti circuli, & produci intelligatur verſus oculum A, per ip­
ſum tranſilit; quo in ſitu, ſi circulus oculo ſubijciatur, non planam ipſius
ſuperficiem, ſed circunferentiam tantum aſpicit, fitque; vt non lineam curuam,
ſed rectam videre videatur, vt in præcedenti problemate diximus, & Per­
 ſpectiui demonſtrant, & Vitellio lib. 4. propoſit. 5. & propoſit. 50.
Quidquid porrò ſphæram aſpexerit, neceſſariò ita illam aſpicit, vt quod
de ipſa videt, ſit orbiculare, cum ergò Sol Lunam aſpiciat, ſiue illuminet,
debet illuminatio illa eſſe orbicularis, hoc eſt habere orbicularem baſim, vt
in figura patet, in qua Sol aſpiciens Lunam, quamuis in diuerſis locis poſi­
 tam, eius tamen ſemper dimidium illuſtrat, cuius dimidij baſis eſt circula­
 ris, repreſentaturque; in lineis K B L, K C L, K D L, & cęteris ſimilibus, quan­
 do igitur Luna eſt in tali poſitione, vt totus ille orbis illuminationis oculis
noſtris in A, poſitis obijciatur, totus vna cum tota illuminatione conſpici­
 tur, vt accidit, quando Luna eſt in F. tuncque; eſt oppoſita diametraliter So­
 li, eſtque; Plenilunium. Cùm autem Luna vetus mutatur in nouam, receden­
 do à Sole, vt quando tranſit à B, in C, tunc circunferentia K B L, prædicti or­
 bis, quæ Luna in B, exiſtente, videri non poterat, incipit videri quando fue­
 rit in C. cerniturque; pars illius illuminationis circa punctum L, quæ videtur
falcata; quæ pars recedente adhuc magis Luna à Sole, ſemper augetur, ideſt
ſemper maior illuminationis pars cernitur: ita vt cùm fuerit in D, ſemiple­
 na appareat, & linea K D L, quæ ibi orbicularis eſt, oculo in A, videtur re­
 ctà, ob cauſam ſuperius dictam; tunc igitur lumen Lunæ ex vna parte vide­
 tur terminari linea recta, ex altera circulari, ita vt figura luminis ſit ſemi­
 circulus. Porrò Luna ſemper ex ſe oculis noſtris opponitur, quamuis non
ſemper cernatur, vt accidit in Nouilunio, quando ſcilicet Luna eſt infra
Solem in B, quia cum Sol ſit ſupra ipſam, illuminat hemiſphærium eius ſu­
 perius, quod oculo in A, eſt auerſum; & ideò videri nequit; poſtea paula­
 tim recidendo à Sole, incipit hemiſphærium illuſtratum ad oculum A, ver­
 gere, & ideo conſpici, ſicque; primo apparet lunularis, ſeu falcata, deinde mi­
 nus, ac minus falcata, quia linea interior falcis minus curuatur, & ſectio­
 nem conicam, quam oualem dicunt, refert: deinde magis ad rectitudinem
accedit, ita vt circa octauum diem, ſeu circa primum Lunæ quadrantem,
linea illa videatur recta, Luna autem dixotomos, ſeu dimidiata; vbi enim
circunferentia illuminationis Solis, ad puncta deuenit vltima, per quæ Lu­
 na bifariam diuiditur, apparet tantum oculo circunferentia illius, & nullo
modo ipſum circuli planum, qui baſis eſt: ſed, vt ſupra etiam dictum eſt,
planum eius productum ſecaret oculum in A, exiſtentem, & ſtatim ab hoc
ſitu mutatur, & præterit, quod cùm fit, neceſſe eſt, vt prædictus circulus per
ſumma puncta K L, deſignatus, non amplius recta linea, ſed curua, & lunu­
 laris appareat, quia aliquo modo planum prædicti circuli ad oculos incli­
 natur, priori tamen circunferentia ex aduersò oculorum, vt dictum eſt, exi­
 ſtente, atque hoc modo ex inclinatione baſis ad oculum aliquid lucis amplius
reſecatur, ideſt ab oculo cernitur. tum etiam extrema huius circunferentiæ
in codem perſiſtunt, ideſt in eiſdem punctis, & propterea linea illa magis,
& minus incuruatur pro Solis remotione; ita vt tandem reuertatur ad ea­
 dem puncta. fieri enim poteſt, vt infinitas inclinationes ſuſcipiat, ſi quidem
1per eadem duo extrema puncta K, L, duci poſſunt infiniti circuli maximi.
Atque hæc eſt Ariſtotelis ſententia, non ſine ingrata tautologia, tandem vt­
cunque expreſſa.
347
In 7. problema (Cur Sol, & Luna plana eſſe videntur, cùm tamen ſphærica
ſint? An, vt ea omnia, quorum quodnam plus, minuſuè, diſtet, incertum ſit, æquè
poſita eſſe videntur? ſic etiam res, quamuis vna, cùm plures tamen habeat partes,
niſi varius color adſit, partes illæ omnes, ex æquo collocatas videri neceſſe eſt: quod
autem ex æquo videtur, neceſſarium etiam eſt æquabile, ac planum apparere)
Quæſtionem hanc demonſtratiuè pertractat Vitellio lib. 4. propoſit. 65. Eu­
 clides etiam theor. 25. optices. cæterùm textus ſatis clarus videtur: vbi au­
 tem ait (niſi varius color adſit) hoc ait, quia nonnulli colores ſunt, qui fa­
 ciunt, vt obiecta appareant prominentiora, & proinde propinquiora; ta­
 les ſunt colores, qui præ cæteris Iucidiores ſunt: alij verò ſunt, qui obiecta
deprimunt, & proinde remouent; cuiuſmodi ſunt colores omnes tenebri­
 coſi. poſito igitur in re viſa eodem colore, partes illius ob magnam diſtan­
 tiam videntur æqualiter à viſu diſtare, & ideo res plana apparet. quia, quam­
 uis diſtantiæ illæ partium ab oculo ab inuicem differant, tamen parum dif­
 ferunt, idcircò eas ſenſus iudicat æquales, ſicque; æqualiter iudicamus diſtare
partes remotiſſimæ ſphæræ, quamuis pars illa, cui linea viſualis perpendi­
 culariter accidit, ſit propinquior; ſiue illa, quæ eſt in medio hemiphærij viſi:
partes autem, quæ ſunt circa baſim dicti hemiſphærij ſint remotiores. reli­
 qua ex ſe manifeſta ſunt.
348
In 8. problema (Cur Sol oriens, etque occidens vmbras efficit longas; efferens
ſe, minores: obtinens cœli medium minimas? An quod oriens primo vmbram ter­
 ræ æquidiſtantem reddit, ac infinitam pęnè protrahit, deinde longam, & poſtea mi­
 norem ſubinde? quia linea recta, quæ de ſuperiori puncto elicitur, interius cadit.
147[Figure 147]
ſit Gnomon A B. Sol, vbi C, & vbi D.
radius igitur ex C, preficiſcens, eſt C F,
& exterius procedit, quàm radius D E.
eſt autem vmbra B E, Sole ſublimiori
exiſtente: vmbra verò B F, Sole humi­
 liori. ergò quò Sol altior fuerit, eò mi­
 nor vmbra erit, minimaqué tunc erit, cum
Sol ſuper caput noſtrum verſabitur)
Problema præſens eſt idem cum quar­
 to huius ſectionis: eadem igitur ex­
 poſitio vtrique inſeruiat. hoc ſolum addendum eſt, Gnomonem apud græcos
inter cætera ſignificare ſtylum ſolaris horologij: in quo ſenſu hoc loco po­
 nitur. ſignificat præterea amuſſim, ſeu normam, quæ nihil aliud eſt, quam
quidam angulus rectus materialis: & quoniam ſtylus horologij figitur ad
angulos rectos in plano horizontali, propterea ipſe quoque Gnomon appel­
 latus eſt: imò plerique amuſſim quandam horologijs præſertim viatorijs, lo­
 co ſtyli accommodant.
349
In 9. (Cur vmbræ Lunæ maiores, quam Solis ſunt cùm eodem proueniant per­
 pendiculo? An quod Sol ſuperior, quam Luna eſt? itaque neceſſe eſt radium à ſupe­
 riore procedentem intus cadere. ſit Gnomon A D, Luna B Sol C, Lunæ radius B F.
1148[Figure 148]
ergò vmbra Lunæ D F, Solis radius
C E; vmbra igitur neceſſariò minor
eſt, eſt enim D E.) de hac re vide
Spheram P. Clauij, cap. de Ordine
cœlorum, vnde huius textus expo­
 ſitionem in hunc modum licebit af­
 ferre. Quando igitur Ariſt. quærit,
cur Luna maiores proijciat vm­
 bras, qua Sol, debet ſupponere So­
 lem, & Lunam eſſe in eadem altitu­
 dine ſupra horizontem, v. g. eſſe vtrunque in eadem linea recta C D, ducta à
centro mundi ad Solem; ſic enim habebunt eandem ambo eleuationem ſu­
 pra horizontem G H, vt factum eſt in figura: aliter Sol etiam faciet vmbras
Lunæ vmbris modo longiores, modo breuiores. cur igitur, inquit, exiſtente
vtroque in eadem altitudine, ſiue in eadem recta C D. vmbræ lunares factæ à
Gnomone D A, ſunt vmbris ſolaribus longiores?
Reſpondet id fortè accidere, quia Sol multò remotior ſit à centro mun­
 di D, quàm Luna. vnde quamuis æquè ſupra horizontem ſint eleuata, cum
ambo ſint in linea C D. tamen propter Lunæ propinquitatem ad centrum
mundi, fit vt magnitudo ſtyli D A, reſpectu Lunæ ſit valdè ſenſibilis, quæ ta­
 men collata cum Sole à terra remotiſſimo nullius euadit ſenſibilitatis; idemque;
eſt punctum D, ac punctum A. ex quo fit, vt radius Lunæ B F, cadat extra
radium Solis C E: hincque; rurſus neceſſe eſt vmbram Solis D E, minorem eſ­
 ſe vmbra Lunæ D F. Quod ſi concipiamus Lunam magis à terris diſtantem,
Solique; propinquiorem, vt in puncto R, tunc amborum radij ſimul ferè co­
 incident: ſicque; æquales ferè vmbræ vtriuſque erunt.
Huius rei facilè experientiam facere poteris, ſi per quadrantem Solis al­
 titudine notata, ſimul etiam ipſius vmbram ex quopiam magno Gnomone
proiectam obſeruaueris: deinde eadem Lunæ ſplendentis altitudine per cal­
 culum obſeruata vmbram lunarem eiuſdem Gnomonis cum vmbra ſolari
contuleris: inuenies enim lunarem ſolari longiorem.
350
In 10. problem. (Propter quid in Solis eclypſibus, ſi quis ſpectet per cribrum,
aut per folium, veluti platani, vel alterius latifolij, vel per digitos altera manu
ſuper alteram coniungens ſplendores, qui in terra fiunt ſunt lunulæ? An quod ſicu­
ti lux per foramen anguloſum ſplendens, turbo, & conus fit: cauſa verò, quia duo
efficiuntur coni, vnus à Sole ad foramen, & alter hinc ad terram, qui ſimul habent
vertices. quando igitur ſic ſe habet; & ſuperiori parte circulari detrahitur, erunt
è contrariò lucis lunulæ in terra; ex peripheria enim lunulari procedunt radij. quæ
autem in digitis, aut cribris, veluti foramina fiunt, manifeſtius id faciunt, quàm
magna foramina. A Luna autem hoc non fit, neque ipſa deficiente, neque creſcente,
neque decreſcente, quia ſplendores extremitatum eius non ſunt manifeſti, & certi.
ſed in medio potiſſimum ſplendet. lunula autem falcata exiguam habet latitudinem)
Vt rectè, atque non ſine delectatione problema præſens intelligas, lege ea,
quæ in additione ad problema 5. huius ſectionis ſcripſimus de Figuratione
lucis: deinde operæpretium erit audire, quid dicat Gemma Friſius in tra­
ctatu de Radij aſtronomici ſtructura, cap. 18. vbi loquitur de Solis deliquij
1dimenſione, his verbis, extat, inquit, alius modus dimetiéndæ ſolaris eclyp­
 ſis, omnium facillimus, ac certiſſimus, cuius nos admonuit Eraſmus Rei­
 noldus in comm. in Theoricas Peurbarhij. tempore igitur ſolaris defectus,
intra parietes vſpiam, clauſis omnibus feneſtris, admittatur Solis radius,
per anguſtum foramen rotundum; excipiaturque; radius hic in plana tabella,
vbi certo quantum Sol defecerit ad vnguem, licet videre, abſque vlla intui­
tus moleſtia, ac tam perfectè, atque fi in cœlo coram adeſſes) hæc ille, licet
autem videre, quia illuminatio in tabella excepta, quæ alias ſolet eſſe cir­
 cularis, erit tempore eclypſis ipſa pariter cum Sole defectiua, atque inſtar fal­
 catæ lunulæ. deinde ſubdit; verum hoc omninò ſcire neceſſarium eſt, con­
 trario modo apparere defectum illum in tabula per radios Solis, quàm in
cœlo contingit: hoc eſt, ſi in cœlo ſuperior pars deliquium patiatur, in ra­
 dijs apparebit inferior deficere, vt ratio exigit optica) hucuſque Gemma Fri­
 ſius; ex quo etiam placuit accipere totius huius experientiæ figuram, quam
149[Figure 149]
ipſe cuiuſdam eclypſis an­
 ni 1544. apponit. eſt au­
 tem hæc. in qua Sol de­
ficiens eſt A B C. pars in­
 ferior B D P C, ipſa eſt
lumine priuata; ſuperior
B A P D, ſplendens, quæ
ſimilis eſt falcatæ lunu­
 læ. radij Solis ingrediun­
tur in cubiculum per fo­
 ramen E. excipiunturque;
in tabella K M N O, fo­
 ramini, ſeu radio Solis
perpendiculariter oppo­
 ſita: in qua propterea
apparet Solis illuminatio, non vt alias circularis, ſed manca, ac defectiua,
lunulæ inſtar: eſtque; G H I L, quæ inuerſo modo ſe habet, ac in cœlo, quem­
 admodum figura oſtendit: cuius cauſa eſt, quia radij Solis A E, D E, C E,
poſt foraminis ingreſſum commutantur, quia ſe mutuò ſecant, vnde qui ſu­
 periores erant, fiunt inferiores intra foramen, & in tabella; ſic radius A E,
omnibus ſuperior, poſt ingreſſum fit omnibus inferior; eſt enim E H, deſi­
nitque; in puncto H, omnium illuminationis infimo. reliqua autem pars cir­
 culi illuminationis G L I F, deficit, quia pars Solis B D P C, quæ ipſam illu­
ſtrare ſolet, propter eclypſim nullos per foramen E, immittit radios. Ve­
 rum eclypſis tempore, etiam ſi huiuſmodi illuminationes intra cubiculum
non obſeruentur, ſed foris, manifeſtè omnes apparent, non ſecus, ac ipſe ſol
defectiuæ: tales ſùnt omnes, quæ per quælibet foramina, in quolibet paui­
mento, aut oppoſito pariete apparent: de quibus etiam Ariſtot. in præſenti
problemate loquitur. ex his facilè eſt verborum Ariſt. ſenſum aſſequi. Quæ­
 rit igitur, cur tempore ſolaris deliquij, ſi Solis illuminationes per cribri fo­
 ramina, aut inter alicuius arboris folia, ex ijs, quæ lata habent folia, aut
inter manuum decuſſatos digitos, ingredientes, atque in terra
1ſpectemus, eas falcatas, ac lunulatas, videamus; non autem, vt ſolemus,
rotundas. Reſpondet, id fortè accidere, quia lux per foramen intrans, fit
conus natura ſua, vt in 5. problemate pręcedenti, explicatum eſt. & in præ­
 ſenti figura conus lucis intrantis per foramen E, figuratur à lineis E F, E H,
quibus ſimiles alias plurimas debemus concipere ab E, ad circularem ba­
 ſim F G L I, quæ turbinem perfectum efficiunt. alius præterea conus eſt à fo­
 ramine ad Solem, cuius baſis eſt A B C P, circulus Solis: & continetur ſub
infinitis radijs, quorum duo ſunt A E, C E; vterque; autem habet verticem ad
E, quia igitur plures radij ſuperioris coni deficiunt, ideò etiam in inferiori
deficient: eritque; ſitus eorum inuerſus ob radiorum interſectionem ad pun­
 ctum E, eritque; ſplendor in tabella apparens lunulatus, quia ex parte Solis
pariter lunulata producitur. cætera ſatis ſunt per ſe clara.
Ex Sectione 16.
351
In 1. problema (Cur baſes bullarum in aquis ſunt albæ; & ſi in Sole ponan­
 tur, non faciunt vmbram; ſed bullæ reliquum vmbram facit, baſis verò non
facit, ſed circulariter à Sole illuminatur. quod verò mirabilius eſt, quod neque
ſi quodpiam lignum in aquam inferatur in Sole, hæc ſub aqua diuiduntur.
An non fit vmbra, ſed à Sole diſſipatur vmbra? fi igitur vmbra est non inſpectum,
& à Sole circulariter inſpicitur moles: hoc verò impoſſibile eſſe oſtenditur in Op­
 ticis. neque enim minimum, à maximo totum conſpici poteſt) Cùm ex ipſius textus
verbis ſatis perſpicuè appareat, quid proponatur, reliqua ſic breuiter ex­
 ponam. quod igitur de ligno ait, exiſtimo hoc modo accipiendum, vt lignum
illud in aqua ponatur ſub bulla, ita vt vmbra bullæ cadat ſuper ipſum, tuncque;
vmbra illius ſimiliter apparebit defectiua, quia baſis illuminatio ipſam ex
parte deſtruet. Reſpondet, An non fit vmbra, ſed à Sole vmbra fugatur?
quæ verba ſubobſcura ſunt; neque reſponſio videtur allata ad ſoluendum pro­
 blema, ſed ad eum magis confirmandum. deinde ait: ſi igitur nihil aliud eſt
vmbra, quam id, quod non aſpicitur à Sole, & à Sole tamen videamus illu­
 minari totam bullæ baſim circulariter, neceſſe eſt totam etiam bullam vn­
dique à Sole illuminari, & conſpici, quod tamen impoſſibile eſſe demonſtra­
 tur ab opticis: ipſi enim demonſtrant, nullum corpus, quantumuis mini­
 mum, totum poſſe circumſpici à quamuis maximo illuminante. quod qui­
 dem antiquitus demonſtrauit Ariſtarchus Samius in libello de diſtantijs So­
150[Figure 150]
lis, & Lunæ: &
poſtea Vitellio
lib. 2. propoſ. 27.
& ex figura præ­
 ſenti facilè eſt id
intelligere: in qua
ſit Sol ſphæra A,
illuminans ſphæ­
 rulam B, extre­
 mi radij DF,
1vmbra erit igitur G F H, ad partes C, Soli auerſas. quas nunquam Sol, etiam
ſi ſphæra B, arenulæ vnius grano minor fuerit poterit illuſtrare. quæ quidem
non ſoluunt quæſtionem, ſed eam difficiliorem reddunt. Quapropter non
videtur Ariſt. voluiſſe hoc diſcutere, ſed ſolum tanquam mirum quodam
proponere. quod ſi quid mutire liceat, vbi tantus philoſophus admirabun­
dus obmuteſcit, dixerim propterea baſim bullæ non adumbrari ab vmbra
ipſius bullæ, quia cum bulla ſit ſphærica, & tranſparens, Solis lumen eam
peruadit, atque ex ſuperficie concaua ad illius baſim partim reflectitur, ſicque;
eam illuminat. quamuis enim ſit diaphana, non tamen omninò tranſparens
eſt, cum aqua ſit aere craſſior: bulla autem eſt ex aqua. ſuperficiem autem
bullæ concauam id efficere debere, patet ex concaua figura, quæ maximè
reflexioni eſt apta.
352
In 3. problem. (Cur in magnitudinibus, quæ pondere ſunt inæquali, accidit, vt
ſi partem moueas læuiorem, circunferatur, quod iacitur; vt in talis fieri opplum­
 batis videmus) Ariſtotelis tempore tales tali opplumbati erant in vſu, qui
exemplo præſenti queſtioni eſſe poſſent: Aptius nunc exemplum deſumi po­
 teſt ex bacillo aliquo, cuius altera extremitas ſit cæteris partibus multò
grauior, qui ſi per aerem manibus eiaculatur, ſolet, dum per aerem fertur,
circumuerti.
353
Ibidem (Sin autem alterum altero fertur cælerius, circulo ferri neceſſe eſt, cùm
in hoc ſolo figuræ genere efficiatur, vt puncta eadem ſubalterna, lineas inæquales
poſſint eodem tempore permeare) Quando, inquit, duo puncta in eadem magni­
 tudine poſita mouentur ad motum illius, & tamen non æqualiter progre­
 diuntur, ſignum eſt, illam magnitudinem moueri circulariter, & proinde
vel eſſe circulum, vel ſaltem circuli in modum conuerti; cum in ſolo orbi­
 culari motu contingat, vt duo puncta inæqualiter a centro remota, poſſint
inæquales lineas eodem tempore permeare, punctum enim, quod centro pro­
 pinquius eſt, breuiorem deſcribit lineam, quod autem remotius, maiorem.
354
In 4. problem. ſatis eſſe exiſtimo per paraphraſim præſens problema ex­
 ponere, ex qua tamen, vbi opus fuerit, textus corrigatur. Cur ea, quæ in
terram cadunt, atque reſiliunt angulos ad planitiem, faciunt ſimiles vtraque
151[Figure 151]
ex parte, qua planum tetigerint? v. g. ſi
corpus quodpiam cadat ex puncto D, per
lineam D C, ſuper planum A B, ex puncto
C, vbi cæciderat, reſilit per lineam C E,
ita vt faciat duos angulos æquales vtrin­
 que ad punctum. C, angulum ſcilicet in­
 cidentiæ D C B, & angulum reflexionis
E C A? An quod omnia iſta, natura qui­
 dem ſua feruntur per rectam lineam, vi­
 demus enim grauia omnia deorſum re­
 ctà tendere; ſi autem aliquod impedi­
 mentum occurrat, vt fit, quando plano
terræ occurrunt, tunc lineam illam, quam infra terram facerent eundemque;
angulum, quem infra planum facerent, ſupra faciunt, v. g. mobile per lineam
D C, cadens, niſi obſtitiſſet planum A B, tetendiſſet per lineam rectam
1D C G, feciſſetque; propterea angulum A C G, infra planum, æqualem angulo
D C B, quo ceciderat. cum igitur nequeat prædictum angulum infra pla­
 num conficere, par eft, vt eum reſiliendo ſupra planum efficiat; propterea
reſilit per lineam C E; quæ angulum A C E, ſupra cum plano conſtituit æqua­
 lem angulo A C G, infra, & proinde æqualem etiam angulo incidentiæ D C B.
Duobus porrò modis grauia ſuper terræ planitiem cadunt; aut enim per­
 pendiculariter, & fecundum mundi diametrum decidunt; aut obliquè, ſeu
in latera. quæ igitur primo modo deſcendunt, ideſt perpendiculariter, ſeu
quæ angulos rectos cum plano faciunt, ea etiam reſiliunt perpendiculariter,
ſeu ad angulos rectos, & ideo neceſſariò per eandem lineam, qua decide­
 rant, repercutiuntur; cuius cauſa eſſe poteſt, quia diameter ſcilicet mundi,
per quam delapſa ſunt, ea bifariam diuidit, vt in figura, graue E, per D C,
152[Figure 152]
plano A B, perpendicularem deſcendat;
quæ perpendicularis coincidit cum mun­
 di diametro, perpendicula enim omnia
ad mundi centrum tendunt; graue igi­
 tur E, dum puncto C, alliditur, diuidi­
 tur bifariam, à diametro mundi D C:
vnde & in æquilibrio conſtituitur, ita vt
nulla ſit maior ratio, cur ad partem
vnam, quàm ad alteram reſultet, & ideo
conueniens eſt, ipſum per eandem lineam
D C, reuerti; ſic enim faciet etiam an­
 gulos incidentiæ, & reflexionis æquales.
quæ verò ſecundo modo decidunt, ideſt
obliquè, & ſecundum latera: quoniam non ſecundum perpendiculum, ſed
ex puncto extra perpendiculum poſito, planum feriunt, accidit vt à puncto
incidentiæ C, vt in priori figura, in contrariam partem repulſa reſulcent;
deſcenderant enim ex D, & in contrariam partem, ſcilicet ad E, prioris fi­
 guræ reflectuntur. quòd ſi huiuſmodi grauia ſint rotunda, facilius in contra­
 rias partes exurgunt, propter ipſorum figuram motui, ac reſultationi ap­
tiſſimam; ſiue moueantur, ita vt centrum eorum etiam locum permutet,
ſiue ita vt quieſcat. quæ verò non ſunt rotunda, ſed rectilinea, idem faciunt,
quoniam perpendiculum ipſorum, ideſt linea, per quam deberent perpen­
 diculariter reſultare ob impulſum eliditur, & flectitur ad altiorem partem,
vbi nimirum eſt linea C E, in priori figura, ita vt à perpendiculo quodam­
 modo deflectantur. quemadmodum ij, quorum pars altera inferior, v. g. al­
 terum crus abſcinditur, qui coguntur à rectitudine priori in alteram par­
 tem, vel etiam retrorſum cadere: quando, vt dixi, eorum perpendiculum,
quod perpendiculariter eleuatum eſt, & ſecundum quod corpus ipſum de­
 beret æquari, ſeu in æquilubrio conſtitui, antrorſum pellitur. Porrò in his,
quæ ob grauitatem deſcendunt; deorſum, & retrorſum, opponuntur; deor­
 ſum enim eſt pars, quæ ad terram, anterior verò ea pars eſt, quæ ſurſum, ſeu
retrorſum, vergit. quod igitur in his grauibus, ſiue rotundis, ſiue rectilineis
eſt caſus ex vna parte, idem præſtat ex oppoſita parte latio, qua reſurgunt,
ideſt ad angulos pares fit caſus, & latio: propterea neutra eorum ad rectum
1angulum repercutiuntur, neque ſecundum perpendicularem, quia perpendi­
 culum eductum ex puncto caſus diuidit ea bifariam. fieri autem nequit, vt
ad idem punctum C, plani A B. plura perpendicula erigantur ex 13. 11. Elem.
(vt in ſecunda figura, ſola linea C D, perpendicularis eſſe poteſt ad idem,
punctum C,) quibus perpendiculis grauia diuidantur bifariam, atque in æqui­
 librio conſtituantur: quod tamen ſequeretur, ſi linea reflexionis eorum, quæ
obliquè cadunt, eſſet perpendicularis, ab hac enim diuiderentur bifariam,
& præterea etiam ab alia, quæ perpendicularis verè eſt: & præterea etiam
à priori linea incidentiæ, quæ pariter eſſet perpendicularis, cum ſimiliter
cadat, atque reflexa, diuiderentur bipartitò. Quod abſurdum eſt. ſed cùm ad­
 uerſam quidem in partem ferantur, & non ad angulum rectum, reliquum eſt,
vt ad acutum angulum reſiliant, ex altera puncti incidentiæ parte, quia an­
 gulus rectus eſt terminus, intra quem omnes anguli aduerſi continentur, qua­
 les ſunt in prima figura ij, quorum vnum angulum incidentiæ, alterum re­
 flexionis appellant.
Notandum quoad verſionem latinam Theodori Gazæ, quod vbi ſunt ver­
 ba illa (Aut colei violantur) in græco eſt, κολυτρους ὐφαρπαζουσι. quorum ver­
borum paraphraſim omiſi, quia theſauri, aut lexica græca nullam huius ver­
 bi notionem afferunt, quæ huic loco quadret, dicunt enim ex Athenæo τους
κολυθρους, ſignificare ficus maturas: Suidas verò ait eſſe quoddam plantæ ge­
 nus: quorum neutrum ad rem facit. propterea vel textus corruptus eſt, vel
metaphoricè vſus eſt Ariſt. hoc verbo, cuius metaphoræ modò intelligen­
 tiam non habemus.
355
In 5. problem. (Cur Cylinder propulſus fertur in directum, ſuisqué terminanti­
 bus orbibus lineas rectas deſcribit, turbo verò ſuo manente murone circunfertur,
at que in ſuo terminante orbe orbem deſcribit? &c.) Ad huius textus intelligen­
 tiam fatis eſt noſſe, quid Cylindrus, & quid Conus, ſiue turbo ſit. conum igi­
 tur ex definitione 8. 11. ſic poſſumus deſcribere, eſſe corpus ex vna parte
acuminatum, ex altera verò planum, quod planum dicitur baſis coni, eſtque;
circulus: vulgò appellatur Pyramis rotunda. Cylindrum verò ex definit. 21.
eiuſdem 11. ſic poſſumus explicare: eſſe corpus rotundum oblongum, æqua­
 lis vtrinque craſſitiei, cuius duæ baſes ſunt circuii: eſtque; veluti fruſtum co­
 lumnæ. his cognitis poteris nullo negotio totius problematis ſolutionem
ex textu Ariſt. percipere.
356
In 6. probl. (Cur voluminum ſectio plana, & recta, ſi quidem fuerit baſi volu­
minis æquidiſtans, explicata lineam rectam oſtendit: ſi verò fuerit baſi inclinata,
tortuoſam? An quia accidit, vt circulis illius ſectionis in eodem plano existenti­
 bus, hanc quidem ſectionem non adiacentem eſſe. ſed hic quidem pius, illic verò mi­
 nus ab eadem distare. Ita vt explicato volumine circuli quidem ij, qui in eodem,
ſunt plano, & principium habent in eodem plano, ex ſe ipſis euolutis faciět rectam
lineam: eſt enim facta recta ex circulis, qui ſunt in eodem plano; ita vt etiam re­
 cta exiſtat in plano. At verò obliquæ illius ſectionis linea explicata, non exiſtens
primæ æquidiſtans, ſed hic quidem plus, illic verò minus ab ea recedens, propterea
quod etiam ipſa ſectio ita ſe habeat ad eandem non εrit in eodem plano: itaque neque
recta, neque enim eiuſdem rectæ pars in vno plano, pars verò alia in alio plano eſſe
poteſt) ſi Theodorus Gaza loco horum verborum (Cur ſectio chartarum, ſiue e
1papyri) verſiſſet; cur voluminum ſectio, quemadmodum ego feci, quod, &
facere debebat, iuxta græcorum verborum notionem, Δια τί τῶν βιβλίων ὴ τομη,
locum hunc non ſolum non obſcuraſſet, verum etiam clarum omninò red­
 didiſſet, eſt enim Problema de ſectione voluminis papyracei, quibus vete­
 res illi ſcribebant. quapropter optimè intelliges textum hunc, ſi huiuſmodi
volumen bis ſecueris, primo quidem ſectione baſi voluminis parallela; ſe­
 cundo verò ſectione tranſuerſali, ſeu obliqua ad baſim: nam explicata pri­
 ma ſectione apparebit eam eſſe lineam rectam: euoluta verò ſecunda ſectio­
ne apparebit eam eſſe tortuoſam, & flexuoſam; Ariſt. reddens rationem,
cur hæc ſit tortuoſa, ait id eſſe, quia ſectione obliqua exiſtente, ideſt ex vna
parte depreſſiori, & ex altera altiori, ſequitur, quod circuli, qui ex tali ſe­
 ctione oriuntur non remanent in eodem plano, dum euoluuntur; quare neque
linea, ex qua illi circuli conſtant, poterit eſſe in eodem plano, & ideo neque
recta eſſe poterit, quia fieri nequit, vt eiuſdem lineæ pars ſit in plano vno,
pars verò in altero; quod oſtenditur in prima 11. Elem. quæ eſt hæc; rectæ
lineæ pars quædam non eſt in ſubiecto plano, pars verò in ſublimi.
357
In 12. problem. quod eſt idem cum tertio ſuperiori, videnda ſunt, quæ ibi
annotaui, hic tamen aliter ſoluitur, ſed tanta facilitate, vt nihil præte­
 rea opus ſit.
358
In 13. probl. quod eſt idem cum quarto præcedenti, repetenda eſt illius.
explicatio, vt huic inſeruiat. Ariſt. autem pulchrè, & aptè aſſimilat refle­
 xionem corporum reflexioni radiorum viſualium ex ſpeculis; vbi, vt docent
Perſpectiui, radius viſualis ſpeculo incidens, facit ſemper angulum æqua­
 lem ei, quem facit radius reflexus; eſt enim apud eos axioma, angulus in­
 cidentiæ æqualis eſt angulo reflexionis.
SECTIO XIX.
De Muſica.
359
Problema primum ex ſe clarum eſt.
In 2. problema. In verba illa (Sed quemadmodum linea bipedalis non
153[Figure 153]
duplum, ſed quadruplum quoddam deſcribit,
ſic, &c.) ideſt, quemadmodum linea bi­
 pedalis, quæ quamuis ſit dupla lineæ pedalis non
tamen deſcribit quadratum duplum quadrati il­
 lius, ſed quadruplum: vt probatur in ſcholio 4.
2. Elem. & videre eſt in hac figura, vbi linea A B,
eſt dupla lineæ A C. quadratum verò lineæ A B,
ſcilicet quadratum A B D E, eſt quadruplum qua­
 drati lineæ A C, quadrati nimirum A C F G. re­
 liqua huius textus manifeſta ſunt
Scias Lector, me nullum, horum de Muſica Problematum (quemadmo­
 dum & in pluribus alijs mathematicis locis accidit) vidiſſe expoſitorem,
præter vnum Petrum Aponentem, quem tamen tanquam omninò his rebus
elucidandis ineptum, reieci.
1
Vt autem cætera problemata rectè, ac facilè ſoluantur, operæpretium
eſt, ortum, ac generationem totius Muſicæ breuiter præmittere; natura
enim ipſius ritè perſpecta, ea deinde, quæ ipſam conſequuntur nullo nego­
 tio percipi poſſunt.
Primò igitur ſciendum eſt, duplicem nos poſſe conſiderare in voce, ſono­
 uè varietatem. prima eſt, qua eadem vox, aut ſonus modo maior, modo mi­
 nor efficitur, vt quando eadem chorda lentè pulſata ſonum edit exiguum;
vehementer verò percuſſa, maiorem emittit ſonum. huiuſmodi vocem ap­
 pellant Muſici continuam. Philoſophi fortè eam vocarent vocis extenſio­
 nem. ſecunda vocis differentia, aut varietas eſt, cum ab vna voce ad aliam
tranſimus, vt cum à graui ad acutiorem aſcendimus, vel contra, ab acuta
ad grauem deſcendimus, ita vt hæc ſit mutatio ab vna voce ad aliam, hanc
harmonici diſcretam vocem dicunt. quam fortè Philoſophi ex varia vocis
intenſione prouenire iure dixerint. Hanc porrò diſcretam vocem, altera
omiſſa, conſiderant Muſici. qua ratione autem, & in quot, quaſuè voces eam
diuiſerint antiqui, paucis accipe.
Cape duas chordas æreas, ex ijs ſcilicet, quas in cytharis adhibere ſolent;
nam quæ ex inteſtinis ouium fiunt, vt plurimum aut falſæ ſunt, aut aeris mu­
 tationi obnoxiæ. ſint hæ duæ chordæ æquales omninò, atque æquè intenſæ,
154[Figure 154]
ita vt ſint vniſonæ, hoc eſt, vna tan­
tum vox ſit. quamuis duæ fides. opor­
 tet autem, vt ſint ſuper regula ali­
 qua lignea oblonga, & perpolita,
collocatæ, quemadmodum ſuper ma­
 nubrio alicuius muſici inſtrumenti.
hanc regulam veteres appellant regulam harmonicam, vel etiam mono­
 chordium; quo inſtrumento omnes conſonantias, ac diſſonantias, atque etiam
interualla muſica experiebantur. altera iam ex illis diuidatur bifariam in
E. deinde ſub puncto E, pone quem vulgò Tactum dicunt, veteres autem,
hemiſphærium à figura denominabant, erat autem inſtar vnius Tacti mobi­
 lis: ſuppoſito igitur in E, Tacto, preme ibi chordam, ita vt altera tantum
ipſius medietas, v. g. E D, tota pulſari, atque reſonare poſſit; pulſa igitur
chordam vtranque ſimul, ſcilicet totam A B, & dimidiam E D, ita vt ſimul
reſonent. & audies ſuauiſſimam omnium conſonèntiam, ex ſono totius A B,
& ſono dimidiæ E D, conflatam. hunc veteres Diapaſon, ideſt per omnes
ſubaudi, chordas appellabant, quia in antiquorum muſicis inſtrumentis chor­
 dæ duæ omnium extremæ, ideſt grauiſſima, & acutiſſima omnium fidium,
conſonantiam hanc continebant: ita vt à grauiſſima omnium facto tranſitu
per omnes chordas ad omnium ſupremam, & acutiſſiman, conſonantiam
hanc ſuauiſſimam exaudirent. appellatur etiam Dupla ratione proportio­
nis vnius vocis ad alteram, vox enim chordæ A B, eſt duplo maior, aut gra­
 uior voce dimidiæ E D. quemadmodum enim corpora ſononantia ſe habent
ad inuicem, ita ſe ſoni eorum. chorda autem A B, dupla eſt chordæ E D.
nunc eam vulgus Octauam appellat, eo quod à prima voce, eaque; grauiſſi­
 ma, quæ Vt dicitur, vſque ad eam vocem, quæ ei in conſonantia diapaſon re­
 ſpondent, ſunt hæ octo voces, Vt, Re, Mi, Fa, Sol, Re, Mi, Fa. ex quibus
1prima, Vt, & vltima, Fa, quæ octaua eſt, conſonantiam diapaſon, aut du­
 plam, aut octauam reddunt.
Rurſus eadem chorda C D, diuidatur in tres partes æquales in punctis
155[Figure 155]
F, G. F D igitur erit duæ ter­
 tiæ tam totius C D, quàm to­
 tius A B. ponatur iam tactus
in F, percutianturque; ſimul A B,
& F D; audietur conſonantia
ſuauis admodum, & perfecta
quidem, ſed non tamen, vt Dia­
 paſon. hanc priſci Diapente dixerunt, ideſt per quinque ſubaudi chordas, eò
quod prima, & quinta chorda, hanc conſonarent. ſecundum proportionem
verò dicitur ſeſquialtera, quoniam chorda A B, ad chordam F D, eſt ſeſqui­
 altera, & conſequenter etiam earum ſoni erunt in eadem ratione. ſeſquial­
 tera autem proportio eſt, quando maior quantitas A B, continet minorem
F D, ſemel,& adhuc dimidium ipſius. vulgò quinta, quia ex prima voce, Vt,
& quinta, Sol, conſtat.
Eadem iterum chorda in quatuor æquas partes ſecetur in punctis H, E, I,
156[Figure 156]
ita vt chorda H D, ſit tres quartæ
totius A D. facto deinde tactu in
H, pulſentur ſimul A B, H D, & au­
 dietur conſonantia quidem, ſed
duabus præcedentibus imperfe­
 ctior. hæc antiquitus Diateſſaron,
ideſt per quatuor, ſubaudi chor­
 das, aut voces, ſimili ratione, qua ſuperiores dicta fuit. reſpectu autem pro­
 portionis chordarum, ac ſonorum dicitur ſeſquitertia, quia maior A B, mi­
 norem H D, ſemel, & adhuc tertiam ipſius partem continet. vulgò nunc di­
 citur, quarta, quid inter primam vocem, Vt, & quartam, Fa, reperiatur.
Iam verò ſi in eadem chorda C D, ponantur puncta H, & F, vt in præcedenti
figura, & ſimul duæ chordæ H D, & F D, hoc eſt tres quartæ, & duæ tertiæ,
arithmeticis rationibus comparentur, reperiemus maiorem H D, ad mi­
 norem F D, proportionem habere ſeſquioctauam, & ſonum maioris H D,
ad minorem F D, eandem habebit rationem, hoc eſt, vt nouis vocabulis
vtamur inter Fa, & Sol, eſſe ſeſquioctauam proportionem; ſi autem ſimul
hi duo ſoni exaudiantur diſſonantiam auribus facient. diſtantiam porrò
hanc inter voces Fa, Sol, ſiue inter chordas H D, F D, ſiue inter duo inter­
 ualla H D, F D, harmonici, quorum ratio eſſet ſeſquioctaua Tonum appel­
 larunt. Diuiſerunt poſtea totam C D, in nouem partem æquales, quarum
prima ſit in puncto K, diuiſa, ita vt tota C D, ad reliquam K D, quæ conti­
 net octo partes ex illis, habeat rationem ſeſquioctauam, hoc pariter inter­
uallum Toni erit, cuius primum ſonum, ideſt totius C D, nunc dicunt, Vt,
ſecundum verò ſonum reliquæ chordæ K D, dicunt, Re Reliquam poſtea
K D, ſimiliter in nouem partes diuiſerunt, cuius prima pars ſit in puncto L,
notata. & eadem ratione inter chordam K D, & chordam L D, earumque; ſo­
 nos erit ſeſquioctaua proportio. ſonum chordæ L D, nunc appellant,
1Interuallum verò, quod inter chordam L D, & chordam H D, remanet, non
habet proportionem ſeſquioctauam, ſed dimidio ferè minorem, & propte­
 rea huiuſmodi interuallum ſemitonium, & etiam dieſis, ſiue diuiſio, appel­
 latur. Interuallum verò illud, quod inter puncta F, & E, remanet, diuiſe­
 runt eodem modo, quo diuiſum fuit ſpatium inter C, & H, & repercerunt
eaſdem iterum voces; ſint diuiſiones illæ punctis M, & N, notatæ; & pari­
 ter hic etiam inter N, & E, ſiue inter Mi, & Fa, eſt alterum ſemitonium.
ſunt igitur hæ octo voces, Vt, Re, Mi, Fa, Sol, Re, Mi, Fa, quæ totam Dia­
 paſon componunt, vt enim ſupra dictum eſt inter Vt, & Fa, vltimum, eſt con­
 ſonantia diapaſon, ſiue dicamus inter chordam C D, vel A B, & chordam
E D. ex interuallis autem,quæ ſunt inter voces, duo ſunt ſemitonia, ſcilicet
vnum inter Mi, & Fa, notatum literis L, H. & alterum inter vltima Mi, &
Fa, ſignatum notis N, E. reliqua quinque interualla ſunt integri toni. Aduer­
 tendum præterea eſt, ab Vt, vſque ad primum Sol, eſſe conſonantiam Dia­
 pente, quæ continet tria interualla toniaca, & vnum ſemitonium; in vni­
 uerſum tamen ſunt quinque voces, Vt, Re, Mi, Fa, Sol.
Notandum etiam, quod à Sol, vſque ad vltimum Fa, ſunt quatuor voces,
Sol, Re, Mi, Fa,quæ omninò ſimiles ſunt primis quatuor, Vt, Re, Mi Fa. hæ
tamen ſunt grauiores, illæ verò acutiores, & quemadmodum ab Vt, ad pri­
 mum Fa, eſt Diateſſaron, ita etiam à Sol, vſque ad vltimum Fa, eſt altera Dia­
 teſſaron. Ex quibus vltimò notandum ſequitur, duas conſonantias Diateſ­
 ſaron, & Diapente totam conſtituere Diapaſon: ſiue Diapaſon diuidi in
vnam Diateſſaron, & vnam Diapente; nam ab Vt, ad Sol, eſt Diapente; à
Sol, verò in Fa, poſtremum, eſt Diateſſaron. quod etiam aliter conſtabit, ſi
dicamus ab Vt, ad primum Fa, eſſe Diateſſaron, vt patet ex chordæ diuiſio­
 ne: ex Fa, autem primò ad vltimum Fa, eſſe Diapente: vt manifeſtum eſt
ex quatuor ipſius interuallis, quorum tria ſunt Toni, reliquum verò ſemito­
 nium, quæ etiam erant in altera Diapente inter Vt, & Sol, contenta.
Nunc rurſus fiat tactus in I, eſt autem I D, quarta pars totius C D. per­
 cutiantur ſimul A B, & I D; edeturque; ſuauiſſima conſonantia Diſdiapaſon
appellata, propterea quod ex duabus Diapaſon conſtet; quarum prima eſt
inter A B, ſiue C D, & E D: ſecunda verò inter ipſam E D, & I D. harum
enim proportio dupla eſt, ſicuti illarum. proportio huius eſt quadrupla, vt
ex diuiſione conſtat; vulgò dicitur decimaquinta, quia à primo Vt, vſque ad
hanc vocem,quæ etiam Fa, nominatur, eſſent quindecim voces, ſi interual­
 lum E I, eo modo diuideretur, quo diuiſum eſt primum C E.
Poſtremò ſit G D, tertia pars totius C D, fiatque; in G, tactus, pulſentur ſi­
mul A B, G D. audietur ſuauis conſonantia, quæ Diapaſondiapente nomi­
 natur, quod conſtet ex vna Diapaſon contenta interuallo C E, ſiue duabus
chordis C D, E D, & vna Diapente contenta interuallo E G, ſiue chordis
E D, G D; nam chorda E D, ad chordam G D, ſeſquialtera eſt; quæ propor­
 tio naturam ipſius diapente conſtituit huius conſonantiæ proportio eſt tri­
 pla, eſt enim chorda A B, vel C D, tripla ipſius G D. vulgò dicitur duode­
cima, cò quod inter Vt, & Sol, notatum litera G, ſint duodecim voces, ſi in­
 teruallum E O, ſuas recipiat diuiſiones. ex quibus omnibus manifeſtum eſt
auris experimento, eſſe omninò quinque conſonantias, tres ſimplices
1paſon, Diapente, Diateſſaron; duas verò compoſitas, Diſdiapaſon, & Dia­
paſondiapente.
Illud poſtremò loco non ignorandum, aliter has voces Vt, Re, &c. vete­
 res illos Græcos denominaſſe, nam primam, ideſt grauiſſimam vocem, ſiue
chordam, quam modò Vt, dicunt, eam ipſi Hypaten vocarunt, & reliquas
ordine ſequenti.
157[Figure 157]
Vt, Hypate — ideſt Principalis.
Re, Parhypate —— Poſtprincipalis.
Mi, Lychanos —— Index.
Fa, Meſe ———— Media.
Sol, Parameſe —— Poſtmedia.
Re, Trite———— Tertia.
Mi, Paranete —— Antepenultima.
Fa, Nete ———— Vltima, vel ſuprema.
His paucis ex magno Muſicæ Campo decerptis problematum declara­
 tionem ſatis inſtructi aggrediamur.
360
Problema 3. (Cur maximè in cantando Parhypatem, vox rumpi non minus ſo­
 leat, quam in Nete, ſupremisqué quamquam cùm interuallo ampliori? An quod eius
cantus & perdifficilis est, & cantandi primordium obtinet? difficilis autem pro­
 pter intenſionem, & compreſſionem vocis eſt, quibus in rebus eſt labor, & difficul­
 tas: corrumpi autem quæqué maximè ſolent, quoties labore acrius opprimuntur)
Quærit Ariſt. cur qui eam vocem cantant, quæ Parhypate dicitur, non mi­
 nus defatigetur, vocemque; perdat, quam qui Neten, aut aliam ex acutiori­
 bus vocibus, ipſi Nete proximam, vt Paranetem. ratio dubitandi eſt, quia
Parhypate eſt vox grauis, & quæ paruo interuallo diſtat à grauiſſima om­
 nium Hypate: at verò Nete, aliæque; illi viciniores ſunt acutiſſimæ, magnisque;
ab Hypate diſtant interuallis. Reſpondet, id accidere ob difficultatem, quæ
in eius cantu reperitur; quæ difficultas laborem infert, labor autem vocem
corrumpit. ſed vnde hæc difficultas? reſpondet inde prouenire, quia hæc vox
cantandi principium eſt. vbi per cantandi principium puto ipſum intellige­
re ſemitonium, ſiue dieſim, nam, vt ipſe ait primo
158[Figure 158]
re ſemitonium, ſiue dieſim, nam, vt ipſe ait primo
Poſter. cap. 38. dieſis hęc, ſiue ſemitonium dicitur
principium cantus, quia minimum eſt omnium in­
 teruallorum, quæ voce poſſint exprimi: atque ex eo
alia interualla conſtant, eſtque; veluti illorum ele­
 mentum. vide illius loci explanationem. Iam ve­
 rò difficile admodum eſſe cantare per ſemitonia,
perſpicuum eſt cantoribus, quod oporteat, vt ait
Ariſt. vocem, quantum opus eſt, intendere, ſimul
ac comprimere, ne ſcilicet in maius iuſto inter­
 uallum erumpat.
Verum dubitabis, cur Ariſt. ponat ſemitonium
ab Hypate ad Parhypatem, cùm ſuperius dictum ſit,
ſemitonium eſſe tantummodo inter Mi, & Fa, ideſt
inter Lychanon, & Meſen. Scias igitur alios aliter
interuallorum ordinem feciſſe: inter quos Lychaon
1antiquiſſimus Muſicus ſic ea diſpoſuit; vt in præſenti ordine, vbi, vt vides
inter hypatem, & perhypatem, eſt ſemitonij interuallum. ad hunc Lichaonis
igitur ordinem videtur Ariſt. reſpexiſſe. ego verò ſuperius communiorem
viam, nec adeò antiquam ſequutus ſum. ex Boethio, & Zarlino.
361
Probl. 4. (Séd cur hæc difficile, hypate facilè cantatur, cum non niſi dieſi di­
 ſcrepent? An quod hypate remiſſior eſt, atque etiam læuius à conſtitutione aſcendi­
 tur? hæc eadem cauſa est, cur ad vnam cantari videantur, quæ ad hanc parane­
 temqué cantantur. agendum enim eſt, cum intentione, conditionequé moribus idonea
pro voluntate. quæ verò cauſa eſt, vt cum conſonantia ſit?) Ideſt, cur parhypa­
 te, de qua in præcedenti problemate dictum eſt, difficilius canitur, quam
hypate, cùm tamen ab inuicem diſtent non niſi ſemitonij interuallo? forſi­
 tan id accidit, quia hypate eſt remiſſior, cùm ſit omnium grauiſſima, hoc
eſt, non eſt opus in ea decantanda, ita vocem intendere, quemadmodum in
parhypate, quæ acutior eſt. reliqua huius loci verba exiſtimo eſſe admodum
mendoſa tam græcè, quàm latinè, cùm nonnulla in eis ſint, quæ nullo pacto
ad rem faciunt, præſertim extrema ſententia. & conſultius eſſe exiſtimo fa­
 teri me ea non intelligere, quam ea violenter huc, atque illuc diducere.
362
Probl. 5. (Cur ſuauius cantilenam, quam nouimus, audire ſolemus, quam eam,
quam ignoramus? Vtrum, quia cùm quod cantatur, agnoſcimus, tunc magis ma­
 nifeſtus eſt, qui veluti ſcopum aſſequitur. id autem contemplatu ſuaue eſt. An quia
diſcere ſeu intelligere ſuaue eſt, cuius ratio eſt, quia hoc quidem verſatur in acci­
 pienda ſcientia, illud verò in vtenda. præterea ſolitum inſolito ſuauius eſt?) Vbi
Theodorus Gaza poſuerat, calcem reſtitui ex græco textu, ſcopum, vt res
ipſa etiam poſtulabat. Porrò tres affert rationes, cur ſuauius ſit notam
iam cantilenam auſcultare, quàm ignotam. prima eſt, quia, cùm cognoſci­
 mus, quod cantatur, tunc ſcopus, ac finis, in quem cantor, ac tota tendit
cantilena manifeſtus eſt, ſicque; eam melius percipimus; quia dum ipſam au­
 dimus, ſcopum etiam ipſius, cuius contemplatio iucunda eſt, contempla­
 mur. quemadmodum iucundius eſt ſpectare currentem canem, & iam cap­
tantem feram, ſi ſimul feram etiam ipſam, quæ ſcopus ipſius eſt, quam ſi fe­
 ram minimè videamus. ſecunda eſt, quia ipſum diſcere, ac intelligere dele­
 ctabile eſt, & huius quidem ratio manifeſta eſt tam in accipienda, quàm in
vtenda ſcientia: dum igitur cantilenam primum audimus, quam prius igno­
 rabamus, ſcientiam illius tantum accipimus; dum autem notam auſculta­
 mus, non ſolum ipſam, ſed ipſius etiam ſcopum contemplantes, ea perfectè
vtimur. tertia ratio eſt, quia res ſolitæ plerumque, quam inſolitæ iucundio­
 res exiſtunt.
Probl. 6. & per ſe ſatis clarum eſt; & ad harmonicam non ſpectat.
363
Probl. 7. (Cur veteres cum ſeptem fidibus concentus diſponerent, hypaten, non
neten relinquebant? An falsò id dicitur (earum enim vtramque ſeruarunt; ſed tri­
 ten adimere ſolebant) An non? ſed quia grauior ſonum poteſt acutioris. ergò hypa­
 te magis antiphonum, quam nete reddebat; nam vt acutum vim deſiderat plenio­
 rem, ſic graue exprimi facilius poteſt) Propter quid, inquit, antiquiſſimi Mu­
ſicorum cùm ex ſeptem tantum chordis muſica inſtrumenta componerent,
neten non hypatèn omittebant? ſupra octo voces, ſeu chordas recenſui, ra­
tionemque; ipſarum, vnà cum antiquis appellationibus explicaui, quarum
1159[Figure 159]
prima eſt hypate, vltima verò note, quibus re­
 petitis facilè eſt intelligere, quod reſpondet
Ariſt. Reſpondet enim id non omninò verum
cenſeri debere, nam vtramque quidem hypa­
 tem, ſcilicet & neten aſſumebant; triten verò
omittebant. quibus verbis ordinem, quem Ter­
 pander inuexit, inſinuare videtur, nam vt ait
Pauſanias in Lachonicis, Timothæus quatuor
chordas, antiquis ſeptem chordis à Terpan­
 dro ordinatis addidit, quarum ſeptem chor­
 darum hic erat ordo, & nomenclatura, & in­
 terualla; è quibus triten ademptam videre eſt,
vt Ariſt. innuit.
Subdit poſtea aliam rationem dicens; fortè ſatius eſſe dicere neten qui­
 dem antiquitus fuiſſe prætermiſſam, relicta hypate, co quod hypate, cum
diſtet per octauam, ſeu per Diapaſon à Nete, erat illius Antiphonum, ideſt,
erat vox eiuſdem naturæ, & ferè eadem cum ea. ſciendum. n. Muſicos docere
voces omnes vſque ad ſeptem eſſe ab inuicem differentes, & diuerſæ naturæ
cùm autem ad octauam ventum eſt, tunc redire voces iterum eiuſdem na­
 turæ, & ferè eædem cum præcedentibus: ita vt octaua ſit eadem cum pri­
 ma, & nona cum ſecunda, & decima cum tertia, & ſic de reliquis, quæ om­
 nes diſtant per octonarium, ſine ſunt octauæ. dicebanturque; huiuſmodi voces
Antiphonæ, quaſi contraſonantes, vel viciſſim ſonantes (vide infra annota­
 ta in 14. Probl.) quarum vox grauior, cùm dupla ſit, acutioris edit ſonum,
qui duplus eſt ſoni acutioris, ſiue qui bis in ſe continet ſonum acutioris. Qua­
 re relicta hypate, & dempta nete, quarum illa eſt huius dupla, nihil ferè ad­
 emptum fuiſſe videbatur, cùm ſonus nete contineretur in ſono hypates. hac
igitur de cauſa veteres illi netem potius, quam hypatem omiſerunt. præte­
 rea dici poteſt, eos hypatem potius retinuiſſe, quia cùm remiſſior ſit, fa­
 cilius cantatur; Nete autem cùm acutiſſima ſit maiore vi, vt cantetur,
opus habet.
364
Probl. 8. (Cur grauis ſonum poteſt acutæ? An quia maius eſt; etenim quemad­
 modum graue obtuſo, ſic acutum acuto angulo ſimile eſt) Ex intelligentia præ­
cedentis problematis, præſens fatis ferè clarum eſt: imò ex illo ortum iſtud
eſſe videtur. quærit, cur vox grauior poſſit vocem acutiorem, ſiuè illi æqui­
 ualeat, vt dictum eſt, in præcedenti de Antiphonis. cauſa eſt, inquit, quia
grauis maior eſt, quàm acuta; grauis enim oritur à maiori corpore, vt à
chorda maiori, vt ſuperius apparuit; vel à maiori canna, vt patet in Orga­
 nis. voces autem, & ſoni eandem habent cum corporibus ſonantibus pro­
 portionem. quare grauis ſonus maior eſt acuto; cum igitur maior ſit, eum in
ſe continebit, eumque; poterit. eſt enim grauis ſonus ſimilis angulo obtuſo, &
acutus ſonus ſimilis acuto angulo: obtuſus autem angulus maior eſt acuto,
eumque; in ſe continet. eumque; propterea poteſt.
365
Probl. 9. (Cur ſolitarias cantilenas ſuauius audire ſolemus, ſi ad tybiam, aut
ad lyram vnam cantatur, cùm tamen ad fides, canticumqué idem, modo vtroque per­
 agatur? nam ſi idem ita amplius fit, plus ad plures tibias, atque etiam ſuauius eſſe
1oportet? An quoniam manifeſtior eſt ſcopus eius, cùm ad vnam lyram, vel tibiam
cantatur? ad plures verò ſuauitas ſeruari non poteſt, cùm cantilena offuſcetur, te­
 taqué penè deleatur) Cur ſolitariæ cantilenæ (quas Græci Monodias appella­
 bant, & ab vna tantum perſona cantabantur) ſuauiores ſunt, ſi ad lyram
vnam, vel ad tibiam vnam, quam ſi ad plures lyras, aut tibias accinantur;
cùm tamen vtroque modo, ideſt tam ad lyram, quàm ad tibiam, & tam ad
vnam, quàm ad plures idem canticum perſonetur. & cùm idem canticum
ad plures lyras, aut tibias decantatum in maius exereſcat, deberet etiam
ſuauius auribus accidere. Reſpondet fortè monodiam iucundiorem eſſe ad
vnum inſtrumentum, quia ipſius ſcopus tunc manifeſtior eſt: pluribus au­
 tem adhibitis inſtrumentis ſuauitas ſeruari nequit, cùm cantilena tot ſonis
offuſcetur, ac tota penè obruatur. Verumenimuerò vtinam recentiores Mu­
 ſicæ contrapuntiſtæ, iſta, quæ hoc loco ab Ariſt tradita ſunt ritè animad­
 uertent. non vtique tanta verborum, atque rithmorum confuſione, atque pluri­
 morum inſtrumentorum ſtrepitu gauderent: ex quibus eorum cantilena ita
offuſcatur, vt nulla omninò reddatur; ſolusque; ſtrepitus quidam ingens aures
obtundat; quem modum non ſine huius ætatis dedecore, futura ſecula non
ſine irriſione mirabuntur: non aliter, ac nos ſemipriſcæ ætatis architectu­
 ram, & ſculpturam irridere ſolemus.
366
Probl. 10. ſatis clarum ex ſe. illud ſolum notatione dignum eſt, Teretiza­
 re, quod eſt canere, vt modo aiunt, non verba, ſed notas, fuiſſe idem, quod
nunc ſolmifationem, aut lalagen decantare.
367
Probl. 11. (Cur vox, aut ſonus deſinens acutoir fit? An quia minor, vt quæ fa­
 cta ſit imbecillior?) lege quæ in probl. 8. annotata ſunt, & huic quoque ſatis­
 factum erit.
368
Probl. 12. (Quamobrem quæ grauior è fidibus eft ſemper modulationem, aut
cantilenam ſuſcipit: nam ſi oporteat canere parameſen cùm ſola meſe, nihilominus
medium gignetur: ſi verò meſen, neceſſarium ambo, ſola non gignitur? An quia
graue magnum eſt, itaque validius: & in magno paruum ineſi. & per interceptio­
 nem duæ netæ ex hypate fiunt) Vt facilè præſens problema intelligatur, ha­
 bendus eſt ob oculos ordo antiquarum chordarum, quem ſupra ante pro­
 blema tertium expoſui. Quærit cur fidicines ſolerent modulationem tam
cum cautu, quàm ſine cantu à grauiſſima omnium chordarum exordiri:
ideſt primam omnium grauiſſimam chordam pulſare; vt ipſa reliquis acu­
 tioribus, quaſi dux præiret, quam reliquæ ſequerentur: & ſi oporteat cane­
 re parameſen vnà cùm meſe, quæ grauior eſt, gignitur, non ſonus parame­
 ſes, ſed ipſius meſes redditur. ſi verò oporteat canere meſen, id non poteſt
fieri per ſolam parameſen, ſed vtraque neceſſaria eſt, vel ſaltem ipſa meſe.
Ratio huius, inquit, eſt, quia quod graue eſt, magnum eſt, & proinde acuto
etiam validius. præterea in magno etiam paruum ineſt: grauior igitur vox
maior eſt, ac validior, quàm acuta, vt ſuperius explicatum eſt; meritò igi­
 tur ſonus grauior pręire debet, atque ad modulationem alios prouocare, cùm
reliquas ſecum tanquam partes proprias naturaliter trahat. quando autem
parameſe, ac meſe ſimul canuntur, tunc meſe ſola videtur exaudiri; quia
cùm ipſa grauior ſit, quàm parameſe, erit etiam ipſa maior, ac validior, &
propterea ſonus parameſes in ſono meſes euaneſcit, ſiue ſuperuacaneus eſt,
1At verò ſola parameſe nequit præter proprium ſonum, etiam ſonum meſes
efficere; quia cùm parameſe ſit acutior, quàm meſe, vt patet ex præceden­
 tibus, erit etiam ipſa minor, ac imbecillior: idcircò ad ſonum meſes effi­
 ciendum, aut meſe cum parameſe, aut ſaltem ſola meſe neceſſaria eſt. quòd
autem grauior ſonus ſit acuto maior, hinc patet, quia duæ netæ in hypate
continentur; ſi enim ſonus hypates bifariam diuidatur, v. g. ſi flatus ex ali­
 qua grauiſſima canna exiens ita intercipiatur, vt medius tantum per can­
 nam effletur, fit ſonus ex hypate nete, ex dimidio nimirum flatu hypates fit
nete; idem patet in chordis, quia dimidium alicuius chordæ, vt ſupra pa­
 tuit, ad totam, eſt nete ad hypatem. duæ igitur nete in hypate continentur
(Cantilenam ſuſcipit) ideſt ſoliti erant ad grauiorem vocem canere. hic eſt
fortè ſenſus Ariſtotelis.
369
Problema 13. (Cur in conſonantia Diapaſon graue quidem acuti antiphonum
accipi potest; grauis verò acutum non poteſt? An maximè, quia in vtroque mo­
 dus vtriuſque contentus est? Sed ſi minus, certè in graui acutum eſt, maius enim
graue eſt) Cur inquit, ex duobus ſonis, qui Diapaſon efficiant, grauis qui­
 dem habet in ſe Antiphonum acuti, ideſt, in ſe continet etiam acutum: at
verò acutus non habet antiphonum grauis, ideſt non continet in ſe grauem.
Ratio eſt, inquit, quia in vtraque continetur ſonus, ſeu modus vtriuſque qua­
 tenus voces huius conſonantiæ ſunt eiuſdem naturæ, vt in 7. Probl. dictum
eſt. Sed melius eſt Dicere, quia in graui tanquam in magno acutum veluti
paruum includitur, vt paulò ante fuſius explicatum eſt.
370
Problema 14. (Cur Antiphonŭm conſonantiæ Diapaſon ita latitat, vt vniſonum
eſſe videatur, veluti in Punico, aut homine? Quæ namque poſita in acutis ſunt, non
vniſona, ſed ex proportione ſibi Diapaſon concinentia reſpondent? An modus pro­
 portionis facit, vt ſonus quaſi idem eſſe appareat? Proportio. n. in ſonis æqualitas eſt;
a quale autem omne ad vnitatem referendum eſt. hoc idem in fiſtolis etiam euenit, vt
falli aures poſſint) Quænam ſint voces Antiphonæ in 7. Probl. dictum eſt. quod
ad textum attinet pro verbo, atropo, quod in Gazæ translatione legitur,
repoſui, Homine, Græcè enim eſt, ανθρωπῳ, ex quo fortè mendosè factum
eſt illud, atropo. quod quid ſibi velit, nuſquam reperitur: Verbum præte­
 rea Punicum, puto ſignificare inſtrumentum aliquod muſicum Phęnicibus
vſitatum, vel ab eis repertum, Græcè enim legitur in φοίνικῳ. His præmiſ­
 ſis, quæritur, cur Antiphonum, ideſt vocum corriſpondentia in Diapaſon
ita latitat, vt non duæ voces differentes, ſed duæ vniſonæ, fiue vniſonum
videatur? vt manifeſtè audire eſt in inſtrumento Punico, & in humana voce?
Dubitationis cauſa eſt, quia voces acutæ nullo modo cum grauioribus ſibi
Antiphonis vniſonæ ſunt, ſed per octo voces ab illis in acutum diſtant.
Reſpondet modum proportionis, ideſt duplam proportionem, quæ inter
huiuſmodi voces reperitur in cauſa eſſe, vt voces illæ videantur vniſonæ. eſt
enim proportio dupla (quæ forma ipſius Diapaſon eſt) ſimpliciſsima, & pri­
 ma inter omnes muſicales proportiones. dupla enim proportio eſt omnium
prima, ac ſimpliciſſima, reliquæ enim, vt ſunt tripla, ſelquialtera, ſeſqui­
 tertia, & huiuſmodi aliæ, ſunt ipſa compoſitiores. In dupla enim propor­
 tione altera quantitas diuiditur tantum bifariam, vt ſuperius patuit: diuiſio
porrò bifariam, ſiue in partes æquales eſt prima omnium, quia magis ad
1tatem, siue ad indiuiſum, & ad æquale accedit, cùm in partes æquas diuidat:
& cùm ad eam opus ſit unica tantum diuisione. In alijs proportionalibus, vt
in tripla, opus eſt duabus diuiſionibus, vt supra patuit: ſimiliter in alijs, ſeſ­
 quialtera, ſeſquitertia, opus eſt pluribus diuiſionibus: cùm igitur ipſa præ­
cæteris magis ad æqualitatem, & vnitatem accedat, facit,vt voces ipſius
videantur ferè æquales, hoc eſt ferè eædem, & vniſonæ, & eiuſdem naturæ:
id, quod etiam in ſiſstolis adeò verum eſt, vt aliquando aures decipiant, cùm
nimirum aures iudicent duas fiſstulas eſſe aut vnam tantum, aut duas vni­
 ſonas, quæ tamen re vera ſunt in conſonantia Diapaſon.
371
Probl. 15 (Cur genus cantilenæ, quod lex apellatum eſt non per antiſtrophos
olim agebatur, cùm tamen cæteris chorici canticis antiſtrophi vſus non deeſſet?
An quod olim leges à certatoribus, & pugilibus agebantur, qui cùm iam egregiè
imitari, valenterque; pertendere poſſent, cantum prolixum, ac varium efficiebant
itaque vt verba, ita etiam moduli, numerique variè ſubinde imitationem inſequeban­
 tur; imitari namque modulamine potius, quam vocabulis neceſſe eſt. Quamobrem
dithryambi etiam poſteaquam imitari coeperunt, antiſtrophis amplius non vtuntur
quamquam plurimum ante vterentur. Cuius rei cauſa eſt, quod olim homines li­
 beri, atque ingenui ſolebant ipſi tripudiare, atque choreas ducere: ïtaque multos
eſſe, qui certatorio cantu fungi poſſent, erat difficile: quapropter illis in more fue­
 rat, vt modulos enharmonios cantarent. Vnus enim crebrò cantilenam mutare,
variamque, contexere facilius poteſt, quàm multi; & certator, quàm qui mores con­
 ſeruat: quocirca ſimplicius illi modulari debuerant. Antiſtrophus autem simplex
eſt, eſt enim numerus, & ab vno menſuratur: hæc eadem causa eſt, cur in ſcena nul­
 li ſint antiſtrophi: in choro verò maximè. Hiſtrio namque ſimul & certator, &
imitator eſt: chorus verò minus imitatur) Cur cantilenæ quædam antiquitus
leges apellarentur, infra Probl. 28. explicabitur. Antiſtrophon hoc loco
ſumitur pro ſtropha, ſtrophæ autem nihil aliud ſunt, quàm Odarum partes
illæ ſibi numerò, & genere carminum conſimiles, ex quibus tota ode conſtat.
Dithryambi erant hymni in honorem Bacchi decantari ſoliti. Tandem, vt
intelligamus quidnam eſſent modi enharmonij, sciendum eſt veteres illos
Muſicos tria totius muſicæ genera feciſſe, Diatonicum, Chromaticum, Enhar­
 monicum. quæ genera ab invicem diſtinguebantur, ſecundum variam Te­
 trachordorum conſtitutionem; ex tetrachordis enim totam ſeriem, ſeu Mo­
 nochordium, ſeu regulam harmonicam componebant. Erat autem tetra­
 chordum intervallum Diateſſaron, conſtans ex quatuor chordis, ſeu voci­
 bus, vt, re, mi, fa; quarum vocum interualla vnius tetrachordi generis, vnius,
differebant ab interuallis alterius tetrachordi alterius generis, v.g. in ge­
nere Diatonico erat huiuſmodi tetra chordium, cuius primum interualllum
160[Figure 160]erat ſemitonium, reliqua verò duo erant to­
 ni. & à prima voce Hypate, ad vltimam Me­
 ſen, erat conſonantia Diateſſeron huic tetra­
 chordo addebant aliud ſimile, mediante tono
vno inter vtrunque: ita vt ex duobus confla­
 retur tota diapaſon à gravi hypate, ad ſupre­
 mam Neten. his interuallis, ac tetrachordis
in genere Diatonico cantabatur. Genus verò
1161[Figure 161]
chromaticum inter chordas ſui tetrachor­
 di ſequentia interualla ſeruabat. trihemi­
tonium autem interuallum ex tribus ſemi­
 tonijs conſtabat, ſeu ex vno toto, & vno
ſemitonio ex duobus huiuſmodi tetra­
 chordis ſuum monochordium, ſeu ſuas
octo voces, ſeu ſuam Diapaſon genus
chromaticum componebat. Enharmo­
 nicum tandem genus tetrachordo vtebatur, cuius interualla erant ea, quæ
ſequuntur.
162[Figure 162]
Erat hic etiam inter hypate, & Meſe Diateſſaron; huic aliud tetrachor­
 dum pariter addebatur, vt in alijs generibus, ex quibus tota Diapaſon con­
flabatur. Huiuſcemodi igitur tetrachordis vnumquodque genus ſuum ſyſte­
 ma, ſiue conſtitutionem Diapaſon componebat, addendo priori tetrachordo
aliud tetrachordum, ita vt Meſe vltima chorda primi tetrachordi, cùm Nete
vltima ſecundi tetrachordi Diapente reſonaret; prima verò hypate, cùm
vltima Nete Diapaſon efficerent, vt ſuperius in ſerie Lychaonis videre eſt.
Ex quibus patet quinam eſſent enharmonij moduli, ſiue interualla, qui­
 bus enharmonium genus decantaretur. Sciendum præterea ex lib. 3. Muſi­
 corum Ptol. modulos enharmonios fuiſſe graues, & ſeueros, vt idcirco Do­
 rienſes, quorum modi grauitate, ac ſeueritate præditi erant, ipſis maximè
delectarentur. Vnde etiam patere poteſt enharmonios modos minimè cer­
tatorijs canticis idoneos fuiſſe. His præmiſſis, ſic textum facilè exponere
eſt: cur cantilenæ genus illud, quod lex appellatur, non per antiſtrophos,
ſeu ſtrophas olim agebatur, cùm tamen cæteris choręarum, ac chori can­
 ticis antiſtrophi, ſeu ſtrophæ non deeſſent. Ratio huius forſitan hæc eſt;
quia vſus antiſtrophorum, ſeu ſtropharum eundem ſemper modum per to­
 tam cantilenam ſeruat, cùm cantilena conſtet ex pluribus ſtrophis ſibi ſi­
 milibus: quapropter ſtropharum vſus maximè ei conuenit, qui eundem ſem­
 per morem in cantando retinet, è contra verò ei, qui varios mores, variunque;
cantum ſtudet efficere minimè quadrat: talis enim non indiget ſtatutis ſtro­
 phis, nec rithmis, vt ſunt odæ, ſed potius carmine libero, vt ſunt heroica
poemata hexametris verſibus contexta. quia igitur olim certatores, ac pu­
 giles, qui viribus pollebant, quique; egregiè varios mores imitabantur; cùm
cantum varium, ac prolixum, intentum, ac remiſſum efficere valerent, hu­
 iuſmodi leges decantabant, propterea nullis ſtrophis vtebantur, vt ſcilicet
facilius in omnes partes poſſet vox, & cantus excurrere. Itaque vt verba, ita
etiam modulos, ac numeros, prout imitatio requirebat, ſubinde varios red­
 debant; modulatione enim melius, quam verbis ipſis imitatio
1hac eadem de cauſa hymni Dithyrambici, poſtquam ad imitationem adhi­
 beri cœperunt, vt liberius imitationi inſeruirent, ſtrophis, quibus antea,
plurimum abundabant, priuati ſunt. cur autem olim ſtrophas habuerint,
quibus modo carent, cauſa eſt, quia olim nobiles viri ſolebant ipſi choros,
choreasque; adire, atque in ipſis tripudiare, ac canere; chori autem, & choreæ
ſtrophas ſemper habuerunt, in choris enim eundem ſemper morem, ac mo­
 dum, rithmumuè conſeruant; quapropter difficile erat inuenire multos, qui
certatorio, ac vario ſemper cantu, variaque; imitatione decantarent: talis
enim cantus ſtrophas reijcit: eadem de cauſa modulos enharmonios vte­
 bantur in ſuis canticis, quippe qui graues, ac ſeueri erant, neque idonei va­
 rijs rationibus, ac moribus. vnus enim, vt accidit in cantu certatorio can­
 tilenam facilius pro libito in omnes partes immutare poteſt, quàm multi,
vt ſolent eſſe in choro. & certator etiam facilius id præſtat, quam qui eun­
 dem ſemper morem, ac modum retinet, quocirca ſimplicius, quod fit per
ſtrophas illi, qui in choris canebant, modulari debuerant; ſtropha enim ſim­
 plex eſt, vnoque; tempore, ac menſura ſemper eadem menſuratur. hæc eadem
cauſa eſt, cur in ſcena nullus, vbi variæ imitationes aguntur, in choro verò,
vbi ſemper eodem tenore proceditur, plurimus ſtropharum vſus ſit: Hiſtrio
namque, quì in ſcena agit, & certator, & imitator ſimul eſt; chorus autem
minus imitatur, hoc eſt ſimplici, atque vniformi ſemper imitatione procedit.
372
Probl. 16. (Qua de cauſa Antiphonum ſuauius est ſymphono? An quia in an­
tiphono manifeſtior est ipſa conſonantia, quàm eùm ad ſymphoniam cantatur: ne­
ceſſe enim eſt in ſymphonia alteram vocem alteri vniſonam eſſe; ita vt duæ in ean­
 dem coaleſcentes altera alteram offuſcare poſſit) Per antiphonum intelligit nunc
Ariſt. conſonantiam ex vocibus differentibus conflatam, cuiuſmodi eſt Dia­
 paſon, Diapente, & Diateſſaron: per ſymphonum intelligit conſonantiam
ex vocibus eiuſdem intenſionis, ſiue ex vniſonis. non me latet aliter Muſi­
 cos antiphonas, ſymphonas, ac homophonas accipere. vide Prolæm. lib. 1.
cap. 7. harm. ſed hoc loco ita accipiendas eſſe, vti dixi, manifeſtum eſt ex
Ariſt. contextu. Ait igitur ſuauiorem eſſe antiphonarum conſonantiam,
quam vniſonarum; quia ibi conſonantia melius percipitur; nam in vocibus
vniſonis, vox alteri voci conſonans, eundem cum illa edit ſonum, ita vt duæ
in vnam, eandemque; prorſus coaleſcant, ſicque; altera alteram offuſcet, vnde
conſonantia, quæ ex pluribus conſtare debet, non percipitur.
373
Probl. 17. (Cur ſola Diapaſon conſonantia cantatur? ſecundum hanc enim, &
nullam aliam magadare ſolent. An quod hæc ſola ex fidibus inuicem antiphonis
conſtat? in antiphonis autem etiamſi alteram tantum canis, idem efficies, voces
enim vtriuſque chordæ vna ſola continet. ita vt in hac conſonantia, quamuis vox
vna tantum cantetur, tota tamen conſonantia quodammodo canitur. ita vt in hac
ſymphonia, & vnica voce canente, & duabus, exurgat quodammodo harmonia.
vel vna decantante, altera verò per tibiam ſonante, veluti vnam ambæ, conſtituunt.
propterea in ſola Diapaſon canere ſolemus, quoniam, inquam, voces antiphonæ
vnius, eiuſdemqué chordæ vocem obtinent) Sciendum primò apud veteres vſui
fuiſſe inſtrumentum quoddam muſicum, quod Magadis, & Magas appella­
 batur, ad quod ſuas cantilenas canere ſolebant, atque hoc erat μαγαδίζειν
magadiſſare. Erat autem vnius chordæ tantum, vel vnius vocis, ſi fortè
1rit tibia, ideſt, quod vnicam vocem, & non plures ſimul ederet, quemad­
 modum refert Zarlinus; quamuis varias voces ſucceſſiuè poſſet edere. hoc
enim pacto ad ipſum canentes, Diapaſon cum ipſo facilè effeciſſent. Notan­
 dum præterea Ariſt. ſumere in textu Antiphonum pro ſola Diapaſon. Quæ­
 rit igitur, cur canentes ſoliti ſint per ſolam Diapaſon conſonantiam cane­
 re, quod probat ex vſu Magadis, quod vulgò ad cantum adhibere ſolebant,
cùm eo enim omnes in Diapaſon conueniebant. Cauſam huius in identita­
 tem, vt aiunt, vocum, ex quibus Diapaſon conſtat, refert. quamuis enim non
ſint vniſonæ duæ voces octauam conſtituentes, ſunt tamen eiuſdem naturæ,
& acutior, vt ſupra dictum eſt, reſpectu grauioris eſt eadem cum graui, in
acutiori vocum ordine, quaſi renata. ob quam adeò perfectam duorum vo­
 cum ſimilitudinem fit, vt illarum altera cantata, aut ſonata, altera natura­
 liter ad illius præſentiam excitetur, & decantetur: vnde huiuſmodi voces
mutuam obtinent altera alterius vim. Hinc fit, vt paſſim in agris, ac pra­
 tis ipſi meſſores, atque paſtores naturalia quadam harum vocum ſimilitudi­
 ne prouocati, ſolam Diapaſon conſonantiam ſuauiter ſimul canentes, ſuos
labores fœliciter fallant.
374
Probl. 18. (Sed cur Solis Antiphonis vocibus hoc ineſt? An quod ſole pari in­
 teruallo diſtant à Meſe. Medietas igitur ſimilitudinem quandam tonorum efficit,
vt ſenſus aurium dicat, quod eadem, & quod ambæ extremæ) Quærit cauſam
tantæ ſimilitudinis inter voces Diapaſon conſtituentes, de qua ſimilitudi­
 ne dictum eſt in præcedenti problemate: ait igitur fortè hanc ſimilitudinem
inde prouenire, quod vtraque; illarum duarum vocum, quæ Diapaſon efficiunt,
æquidiſtat à Meſe, ſeu Media: grauis deorſum, acuta verò ſurſum: quare
tot gradus grauitatis grauis obtinebit, quot acuta acuminis, igitur ſimilli­
 mæ erunt, & propterea auditus iudicat vnam eſſe, quæ quidem ratio iuxta
ordinem Terpandri, & antiquorum illius æui nullam habet difficultatem, cùm
ſeptem tantum fidibus, quarum media Meſe erat totum Monochordium con­
 ſtituerent. At verò in ordine Lychaonis, & poſteriorum, qui octo chordas
aſſumebant, aliter re ſe haberet.
375
Probl. 19. (Cur non canunt Diapente, & Diateſſaron in Antiphonis? An quod
non eadem conſonandi ratio ijs ineſt, quæ in Diapaſon: in qua vox grauis eundem
habet in grauitate modum, quem acuta in acumine: ita vt, & eadem vox quidem,
& ſimul diuerſa oriatur. At però in Diapente, & Diateſſaron non ita est, quam­
 obrem ſonus vocis oppoſitæ non apparet; non enim eſt idem) Cur in quotidia­
 nis cantilenis, in quibus voces non vniſonæ, ſed diuerſæ, ſeu antiphonæ ad­
 hibentur, non vtuntur vocibus Diapente, aut Diateſſaron reſonantibus, ſed
tantum, vt antea dictum eſt, Diapaſon. Ratio, inquit, eſt, quia inter voces
illarum non eſt tanta ſimilitudo, quanta in vocibus Diapaſon conſonantiæ,
in qua vox grauis tanta eſt in grauitate, quanta acuta in acumine; & proin­
 de non ita naturaliter, ac facilè ſe produnt, & canuntur, quemadmodum
Diapaſon, vbi vox altera alteram ob naturalem ſimilitudinem prouocat.
376
Probl. 20. (Cur ſi quis, mota Meſe, alijs quamuis omnibus chordis benè con­
 ſonantibus, inſtrumento vtatur, non ſolŭ cum ad Meſes ſonŭ peruenerit, ſed etiam
in reliqua melodia, aures anget, modumque incominnum efficient: ſi verò Lycha­
 nos, aut alia quæpiam mota fuerit, tunc diſcrimen, aut inconcinnitas ſolum appare-
1bit, cùm ipſam, quis pulſauerit? An non ratione id optima accidit? quandoqui­
 dem optima quæque melodiæ gratia ſæpè Meſe vtuntur: omneſque probi Poetæ cre­
 brò ad meſen veniunt: & ſi ab ea diſceſſerint, ad eam ſtatim reuertuntur: nec vllam
aliam toties repetunt. quemadmodum igitur demptis ex oratione quibuſdam con­
 iunctionibus (veluti τὲ, & ἤ) non eſt amplius ſermo græcus; alijs verò detractis
nihil ſermoni detrahitur; eò, quod illis vti ſæpè neceſſe eſt, his verò perrarò. ſic
etiam ſonus meſes eſt veluti aliorum ſonorum coniunctio, maximeque pulchriorŭ;
propterea eius ſonus ſæpiſſimè aſſumi ſolet) Si quis ea, quæ initio dicta ſunt, pro­
 bè tenuerit, facilè ad huius problematis intelligentiam perueniet; per me­
 ſen motam intellige de ſuo ſibi conuente ſtatu dimotam, & ideò ab alijs chor
 dis diſſonantem. Idem quærit Probl. 38.
377
Probl. 21. (Cur qui grauius căntant, ſi abſonant deprehendi facilius poſſunt, quă,
qui cantant acutius: nec verò ſecus in rithmis accidit. euidentiores enim, qui pec­
 cant in grauiori. Vtrum, quòd plus temporis graue obtinet? plus autem plenius à
ſenſu auriŭm percipi poteſt. Vel quia illud in ampliori tempore agitur, & ideò am­
 pliorem etiam ſui ſenſationem exhibet. Velox autem, & acutŭ facilè ob ſuam ve­
 locitatem latitat) Quid eſſet rithmus explicabitur in problemate 27. ſequen­
ti ait: (Velox autem, & acutum) Cur vox acuta ſit velox, dictum eſt in 1. Top.
cap. 13. reliqua ſunt ſatis clara.
Probl. 22. ex ſe manifeſtum eſt: atque idem cum ſequenti num. 46.
378
Probl. 23. (Cur Nete duplo acutior eſt hypate? An primum, quod cum ner­
 uus parte ſui dimidia, & totus ſimul pulſatur, Diapaſon concinentia exultat: quod
pariter in fiſtulis apparet, ſonus enim, qui per medium foramen emergit Diapaſon
cum eo reſonat, qui per totam fiſtulam exit. In cæteris etiam duplo interuallo Dia­
 paſon continetur, nam, & qui tibias perforant, it a eas oſſumunt. & qui fiſtulas aptè
elaborant, ſumitatem extremam tăntum hypates circumlinunt: netem verò ad vſque
dimidium obturant. & in Triquetris Pſalterijs, nerui, quorum alter ſit alterius
longitudine duplus, æquè intenti Diapaſon reddunt. Diapente verò ſeſquialtera
proportione; Diateſſaron autem ſeſquitertio interuallo continetur) Ex ijs, quæ
initio huius tractationis de Monochordij diuiſione, deque; Diapaſon, Diapen­
te, Diateſſaron conſonantiarum ordine, ac proportione dicta ſunt, perſpi­
 cua omnino redduntur omnia, quæ hic quæruntur, & redduntur. Illud no­
 tandum Triquetrum Pſalterium inſtrumentum muſicum fuiſſe, à triangula­
 ri figura denominatum, noſtræ forſan Harpæ, perſimile: in quo fides eſſent
eo modo diſpoſitæ, ac intentæ, vt in Harpa.
379
Probl. 24. (Cur ſi quis pſallens netem pulſatam apprehenderit, ſolam Hypa­
 tem reſonare videbitur? An quod tinnitus huius maximè connaturalis eſt ſono il­
 lius, illique conſonus. quia igitur cum ſuo conſimili augetur, hoc ceſſante, ille ſo­
 lus apparet ſoni verò alij propter paruitatem euaneſcunt) Cur ſi quis dum pſal­
 terium pulſatur, neten pulſatam ſonantem manu apprehenderit, ita vt ſo­
num ipſius interpellet, ſonus ille intermortuus, ac dimidiatus, videbitur ſo­
nus hypates, & non alterius chordæ, quia, vt dictum eſt, hypates, & nete,
Diapaſon reſonant; cuius conſonantiæ voces ſunt eiuſdem naturæ, aut val­
 dè connaturales; imò ſonus hypates duplus eſt ſoni netes. Interpellato igi­
 tur acutioris ſono, reliquus qui ipſi adeò ſimilis eſt meritò videbitur hypa­
tes: ſoni verò aliarum chordarum ob ipſorum paruitatem, quia nimirum
1minores, quam ſub dupli illius ſunt, omninò euaneſcunt. Hic eſt ſenſus he­
 rum verborum; vtrum autem allata ratio ſit bona, aliorum eſto iudicium.
Idem quærit num. 43.
380
Probl. 25. (Cur in harmonijs chorda illa, quæ dicitur Meſe, ſeu media, ſic ap­
pellata eſt? cum inter octo nullum medium ſit? An quoniam olim harmoniæ ſep­
 tem fidibus conſtabant, qui numerus medium habet) Ex ordine chordarum Li­
 chaonis, & Terpandri, quorum alter ſeptem, alter verò octo chordis mono­
 chordium conflabat, vt ſupra recenſui, huic loco abundè ſatisfieri poteſt.
Probl. 26. ſatis ex ſe clarum eſt, atque idem cum num. 47.
381
Probl. 27. (Cur inter omnia, quæ ſub ſenſus cadunt, ſola audibilia mores obti­
 nent? quamuis ſine ſermone aliquid modulemur, mores tamen præ ſe ipſa modula­
 tio fert, ſed nec color, nec odor, nec ſapor id habet. An quia motum non ſolŭ eum
obtinet, quo ipſe ſtrepitus aures mouet (talis enim motio reliquis etiam ſenſibus
ineſt, nam, & color mouet viſum) ſed illum etiam quem poſt prædictum, ſubſequen­
tem percipimus: hic. n. ſimilitudinem habet, & in rithmis, & in ſonorum grauium,
& acutorum ordine: non autem in eorum mixtione; quod in alijs ſenſibilibus non
eſt. porrò motus ipſi practici ſunt, praxis autem morum index est) Mores obti­
 nere, aut præſeferre nihil aliud eſt, quàm mores illius referre, & in mentem
reuocare, à quo talis motus, aut ſonus prouenire ſolet, qui ſonus mores il­
 los refert. propterea videmus cantilenas nonnullas turpes mores reddere,
vt laſciuiam, procacitatem, leuitatem, quia à natura hominum turpium, vt
laſciuorum proficiſci ſolent, eosque; decent. alij cantus ex oppoſito bonos mo­
res referunt, vt grauitatem, temperantiam, æſtitatem; qui quidem ex pro­
 borum hominum natura prodire ſolent, eosque; decent. Illud in prophanis
canticis, iſtud verò in Eccleſiaſticis quotidie experimur; cur autem Audi­
 bilia præ cætéris mores referant, cauſam Ariſt. refert in motum illum, qui
in ſonis, & vocibus percipitur. neque hic motus eſt is, quo ſonus aures immu­
 tat, hoc enim commune eſt omnibus ſenſorijs, vt à ſuis obiectis immuten­
tur, & afficiantur: ſed is eſt, qui prædictam aurium immutationem ſubſe­
 quitur, intellectuque; percipitur, v.g. quando audimus cantilenam, ſonus ip­
 ſe primò aures ferit, easque; afficit; deinde percipimus vocis ipſius motum,
& quaſi curſum, quo à graui in acutum, & è cóntra, aliquando celeriter, ali­
 quando tardè vario modulamine mouetur. huiuſmodi motus habet in ſe
morum ſimilitudinem; hac igitur de cauſa audibilia mores referunt. Vide
infra probl. 39.
Iam explicandum eſt breuiter, quid ſit rithmus, quem Latini numerum
dicunt partim ex Platone, partim ex Ariſt. Plato lib. 2. de leg. ſic. alia qui­
 dem animalia non habent ſenſationem ordinationis, & inordinationis mo­
 tuum, quibus rithmus, & harmonia nomen eſt. Ariſt. infra probl. 38. ſic.
rithmo verò gaudemus, quia habet numerum manifeſtum, ordinatum, ra­
 tumque: vnde & nos ordinatè mouet. Ex quibus patet, rithmum eſſe cer­
tam, ac ſtatam periodum aliquot interuallerum ſibi ſuccedéntium in quouis
motu in determinata menſura temporis. quæ periodus ſolet ſæpius recur­
 rere, aut repeti. dictum eſt in quouis motu, quia in choreis pedum pulſa­
 tione, ac motu, rithmi complures efficiuntur, quos choreæ magiſtri docent,
qualis eſt is, quem vulgò dicunt Gagliarda. Digitorum etiam motu, &
1leorum ictibus poteſt rithmus fieri: atque adeò cæteris omnibus, quæ in ſuo
motu certis interuallis mouentur; ita vt etiam piſtores ipſi machina ſua il­
 la, qua maſſam ſubigunt, rithmum quendam efficere ſoleant. His porrò mo­
 tus ſi in vocibus, ac ſonis muſicis, ſeu in cantilenis exiſtat, præcipuè rithmus
dicitur, quod ſi concinnus ſit, & elegans aures ſuauiter mulcet, animumque;
in varias paſſiones inducit: rithmum hunc, qui in cantilenis eſt, vulgò can­
 tores appellant Ariam. Vnde qui intelligit, quid ſint Ariæ, quæ paſſim can­
tantur, ac ſonantur, facilè etiam quid ſit rithmus, intelliget. Hic igitur
rithmus miram habet in ſe morum ſimilitudinem, quæ conſiſtit in motu
rithmi, ſeu in ordine interuallorum aptiſſimo, per quæ vox aſcendit, & de­
 ſcendit: nullo autem modo conſiſtit in mixtione ſonorum grauium, & acu­
 torum; ex hac enim mixtione non rithmus, ſed conſonantia exurgit. mo­
 tus autem omnis fit per aliquam actionem, actio verò omnis eſt morum il­
 lius, cuius eſt actio manifeſtatrix. ex quibus patet, cur in cantilenis rithmi­
 cis mores appareant, non autem in cæteris ſenſuum obiectis.
382
Problema 28. (Cur pleræque cantilenæ leges appellantur? An quod homines
priusqué, literas ſcirent, leges cantabant, ne eas obliuione traderent, quod etiam
noſtra ætate Agathyrſis in more eſt. ergò primas poſteriorum cantilenarum, eodem
appellauerunt nomine, quo omnes ſuperiores vocantur) Agathyrſi populi à Pli­
 nio, & Pomponio Mela ſupra paludem Meotidem inter Scythicas nationes
numerantur. cur autem cantilenæ nonnullæ leges dicerentur, præter ratio­
nem hic ab Ariſtot. allatam, aliam Plutarchus de Muſica affert, vbi ſic ait:
Non enim antiquitus pro libidine cuiuſque, vti nunc, licebat fidibus canere,
nec rithmos, concentusque; transferre; in ipſis namque legibus accommoda­
 tam cuique tentionem tuebantur, cuius rei cauſa id nominis inditum erat;
leges enim ſunt vocatæ quoniam præſcriptum, quaſi lege, cautumque; erat, ne
quis pro qualibet, vnam ſpeciem, formamque; tentionis lege ſancitam, tranſ­
 grederetur. hæc ille. fubdit poſtea alias fuiſſe ſimiles illis harmonijs, quas
nunc ſonatas dicimus, fuiſſe tamen ſtatas, ac determinatas numero, quibus
ſolis vti liceret.
Probl. 29. Idem eſt cum præcedenti 27. eadem igitur quoque ſit explicatio.
383
Probl. 30. (Cur neque hypodorium, neque hypophrygium est in tragœdiarum obo­
 ro? An quia non habet antiſtrophon, vtpotè quæ ſcenica ſunt, imitationiqué, accom­
modata) huc pertinent ea, quæ ad cap. 2. lib. 3. Polit. ſcripſi, de tonis, Do­
 rio, Phrygio, Lydio. quibus nunc hæc addo, ex Boetio lib. 4. tonus, ſen mo­
 dus erat quædam cantus conſtitutio, ab hypate vſque ad netem, proprio rith­
 mo modificata: ita vt modos Dorius alium rithmum, à Phrygio, & reliquis
diſcrepantem haberet. quilibet preterea modus ſuam certam ſedem in Mo­
 nochordio obtinebat, vnde ſequebatur vnum eſſe reliquis omnibus
grauiorem, alium eſſe omnium acutiſſimum, reliquos verò in­
 termedios, alijs grauiores fuiſſe, vt in ſequenti figura,
in qua, tanquam in tabella, omnia, quæ de hiſce
modis dici ſolent, perſpicuè licet
intueri.
1
163[Figure 163] ORDO ANTIQVORVM MODORVM.
Nete. T. Nete. Paranete. S. S. Nete. Paranete. Trite. T. T. T. Nete. Paranete. Trite. Meſe. T. T. T. T. Nete. Paranete. Trite. Meſe. Lychanos. S. S. S. S. S. Nete. Paranete. Trite. Meſe. Lychanos Parhypate T. T. T. T. T. T. Nete. Paranete. Trite. Meſe. Lychanos. Parhypat. Hypate. T. T. T. T. T. T. T. Nete. Paranete. Trite. Meſe. Lychanos. Parhypat. Hypatc. Proſlamb. T. T. T. T. T. T. T. — — Paranete. Trite. Meſe. Lychanos Parhypat. Hypate. Proſlamb. Hypermix S. S. S. S. S. S. — — tolydius. Trite. Meſe. Lychanos. Parhypat. Hypate. Proſlamb. Mixtolyd. T. T. T. T. T. — — Meſe. Lychanos. Parhypat. Hypate. Proſlamb. Lydius. T. T. T. T. — — Lychanos Parhypat. Hypate. Proſlamb. Phrygius. S. S. S. — — Parhypate Hypate. Proſlamb. Dorius. T. T. — — Hypate. Proſlamb. Hypolyd. T. — — Proſlamb. Hypophry — — gius. Hypodor.
1
In qua apparet Hypodorium fuiſſe omnium grauiſſimum, quo acutior erat
tono vno Hypophrygius; ſic reliqui præcedentibus erant vel tono, vel ſe­
 mitonio acutiores. literæ T, & S, ſignificant Tonos, & Semitonia, quibus
voces ſingulorum modorum diſtabant. ex quibus etiam apparet vario or­
 dine interualla vnius Modi ſe habuiſſe, atque in alio. præterea vnumquemque
modum vnius Diapaſon conſtitutionem habuiſſe. tres illi Hypodorius, Hy­
 pophrygius, Hypolydius, ita ſunt appellati, quod collocati eſſent infra Do­
 rium, Phrygium, Lydium per vnum Tetrachordum, vt patet in figura. ſed
vt adhuc melius hanc rem intelligamus, dicendum eſt cum Zarlino lib. 4.
Inſtit. Modos fuiſſe varias ſpecies cantilenarum proprios rithmos haben­
 tes, certo ordine, ac certo carmine, certoque; etiam inſtrumento decantari
ſolitas: denominabantur autem Doriæ, Phrygiæ, &c. ab illis ſcilicet natio­
nibus, apud quas magis eſſent in vſu. huiuſmodi modos nos hodie Arias ap­
 pellamus, easque; pariter à varijs nationibus denominamus, vt quas dicimus
Spagnolettam, Franceſcam, Græcam, Neapolitanam, Siculam, &c.
De qualitatibus horum modorum plura veteres, ac Zarlinus ipſe citato
loco: nosque; nonnulla ſupra in Politicis diximus. Quod ad hunc locum ſpe­
 ctat, videndum quales eſſent Hypodorius, & Hypophrygius: quod Ariſt. ip­
 ſe infra Problem. 49. docet, ait enim, modum hypophrygium animos Lym­
 phatis, ſimiles reddere, cogereque; debacchari: Hypodorium verò eſſe mo­
 dum magnificum, conſtantem, grauemque. vtrumque autem fuiſſe variæ imi­
 tationi aptum, ideoque; caruiſſe ſtrophis: quæ ad eandem ſemper imitatio­
 nem, eundemque; morem tendunt: vt ſupra Probl. 15. explicaui. ex quibus
intelligere poſſumus Problema præſens; modus ſcilicet Hypodorius, & Hy­
 pophrygius à choro Tragœdiarum arcebantur, quia carebant antiſtrophis,
quibus chorus gaudebat; chorus enim non imitabatur varios mores, va­
riosque; hominum affectus, ſed eodem ſeruato affectu per eaſdem ſtrophas ad
finem vſque perueniebat. erant autem prædicti duo modi ſcenis idonei, quia
in ſcena varios mores, affectus, & animi paſſiones imitabantur, atque ad eoſ­
 dem variè auditorum animos impellebant; ad quod peragendum ipſi erant
idonei teſte Ariſt. citato loco. cùm præſertim antiſtrophis carerent, quæ ob­
 ſiſtere variæ, ac multiplici imitationi poterant. ſi plura de modis, aut tonis
deſideras, conſule Ptolæm. lib. 2. harm. Boetium lib. 4. Ioſephum Zarli­
 num lib. 4. Inſtit. & lib. 6. Supplem. muſicorum.
Illud nunc occurrit maximè notandam. Veteres non ſolum in choris, ſed
in ipſa ſcena etiam cantare, aut ſonorare ſolitos fuiſſe, quod manifeſtè ap­
 paret ex problemate 75. ex 30. præſenti, necnon ex 31. & 49. ſequentibus.
384
Probl. 31. (Cur Phrynicus, cæteriqué, illius ætatis Muſici magis Melopæi erăt?
An quoniam tunc temporis in tragædijs carmine contextis maior erat cantilenarum
vſus) Apud Suidam inter plures Phrynicos, vnus recenſetur patria Athe­
nienſis, & Poeta Tragicus, qui circa Olympiadem 67. floruit: quem puto
hunc eſſe, de quo in hoc problemate agitur. hic enim Poeta Tragicus quo­
que erat, vt apparet ex illis verbis (in tragœdijs carmine contextis) quod
autem ſimul Muſicus eſſet, non videtur dubium; antiquitus enim, vt rectè
etiam Zarlinus obſeruabit, ijdem erant Poetæ, & Muſici, quod optimè ex
Plutarco dé muſica confirmatur, vbi plures connumerat antiquos
1quì ſimul Poetę extiterunt, ſic ait; Steſichorus, & veteres alij Poetarum, qui
carmina adhibitis modulis condidere. ſed quid erat Melopæia? ex Ariſto­
 xeno, atque Euclide; Melopæia eſt vſus harmonicæ tractationi ſubiectorum,
ad decorum propoſiti argumenti. ex qua definitione patet Melopæum eum
fuiſſe, quem modo vocant Compoſitorem. dicitur Melopæia, quaſi cantus
effectrix. is igitur erat Melopæus, qui res ſubiectas harmonicæ ſcientiæ, vt
ſunt ſonus, interualla, genera, modi, conſonantiæ, diſſonantiæ ritè in vſum
vocabat: vnde cantilenas humana oratione conſtructas ad decorum, ideſt
pro rei argumento conuenientibus rythmis modulabatur. Antiquitus igi­
 tur Melopæiæ magis ſtudebant, quàm Ariſt. tempeſtate, quia tunc tempo­
 ris magis erant in tragædijs cantilenæ in vſu, quam poſtea.
385
Probl. 32. (Cur Diapaſon conſonantiam dicimus, non ratione numeri Diao­
cto, vti Diateſſaron, & Diapente? An quod antiquitus non pluribus, quàm ſep­
 tem vterentur numeris? Deinde Terpander tritè exempta, Neten adiunxit, eiusqué
temporibus conſonantia hæc dicta eſt Diapaſon, non Diaocto: quippe quæ ſeptem
non octo conſtaret) Lege, quæ ſupra ad 7. problem. ſunt annotata de ordine
chordarum, quem Terpander induxit. Septem nimirum chordas conſtituit,
inter quas Trite deſiderabatur, vt ibi explicaui. quare Terpander non im­
mutauit numerum chordarum antiquum, ſed tantummodo Neten cum Tri
 te commutauit. Tempore igitur Terpandri cum ſeptem eſſent tantum chor­
 dæ in pſalterijs, etiamſi prima cum vltima conſonantiam Diapaſon reſona­
 ret, non tamen potuit hæc conſonantia appellari Diaocto. Boetius lib. 1.
cap. 20. Muſicæ, prædicta aſſerit de Terpandro. Suidas ait Terpandrum fuiſſe
Lesbium, & Poetam Lyricum, qui primus lyram ex ſeptem chordis fecit, cùm
prius à Mercurio ex quatuor tantum conſtructa fuiſſet. Cæterum ipſa Dia­
 paſon ſic dicta eſt, quaſi per omnes, quia à prima chorda per omnes aſcen­
 dendo ad vltimam perueniebatur, cum qua prima Diapaſon reſonabat. vel
quia intra Diapaſon reliquæ omnes conſonantiæ concinentur, quæ dicuntur
primæ: quæ enim ſupra Diapaſon ſunt, eædem ſunt cum prædictis, ſiue eiuſ­
 dem naturæ; ſed quæ repetuntur, vt ſupra ſæpe dictum eſt.
386
Probl. 33. (Cur aptius de acuto in graue canitur, quam de graue in acutum?
Vtrum, quod ita fit, vt à ſuo inchoetur principio? neruus enim, qui medius, & dux
eſt ſecundi tetrachordi, acutiſſimus est. illo autem modo non à principio, ſed à fine
exordiretur. An quod graue generoſius, & ſonantius ab acuto oriri poteſt) Na­
 turale eſt omnibus, cùm canere incipiunt, ab acuto incipere; cum autem
deſinunt, in graui deſinere: quod ſi quis contrarium faciat, ineptè agere æſti­
 mabitur? Huius quæritur cauſa. Vbi explicandum quid ſit tetrachordum.
Tetrachordum igitur erat ſyſtema, vel conſtitutio quatuor chordarum, qui­
 bus Diateſſaron conſtabat. in maximo autem ſyſtemate, quod erat duarum
Diapaſon, ſiue Diſdiapaſon, erant plura tetrachorda. horum primum illud
erat, quod in parte grauiſſima collocatum erat, cuius hæ erant chordæ, Hy­
 pate, Parhypate, Lychanos, Meſe. ſi igitur inſtrumentum habuerit tantum
duo tetrachorda, neruus medius crit ipſa Meſe, quæ eſt acutiſſima primi te­
 trachordi, eſt præterea hæc Meſe veluti dux reliquarum chordarum, nam,
vt dictum eſt in Probl. 20. eſt in medio carum vti dux; ſæpiſſimè omnium
pulſatur: ca ſola ab alijs diſſonante, reliquæ omnes videntur diſſonare. cùm
1igitur alijs præſtet ſitque; ſui tetrachordi acutiſſima, conuenienter natura du­
 ce fit, vt ab acuta voce cantum exordiamur. ideſt ſicut in tetrachoreo prin­
 cipalis eſt acuta, ſiue principium tetrachordi eſt acutum, ita etiam princi­
 pium cantus debet eſſe acutum. Quod ſi à graui cantandi principium fa­
 ceremus, à fine potius, quàm à principio contra naturæ ordinem principium
faceremus. Theodorus Gaza vertit, primi tetrachordi, verum in vulgatis,
atque correctis codicibus græcis legitur, παράτετραχορδου, quod non pri­
 mum, ſed potius ſubſequens tetrachordum, ſignificare videtur. vtrumuis le­
 gamus, explicatio allata ſufficere poteſt. Subdit poſtea aliam reſponſio­
 nem, quod nimirum hoc modo grauis vox cantilenam claudens, quando ex
acuto quodammodo orta eſt, generoſior, atque ſonantior euadit.
387
Probl. 34. (Cur bis Diapente, aut bis Diateſſaron conſonantia componi non poteſt,
bis autem Diapaſon poteſt? An, quòd bis Diapente, non bis Diateſſaron eſt: ſed Dia­
 teſſaron, & Diapente in vnă Diapaſon concurrunt) Quamuis textus aliquantulum
et græcus corruptus ſit, verumtamen ſenſum Ariſt. ex ſequentibus percipie­
 mus. Pro intelligentia igitur huius problematis placet hic deſcribere demon­
ſtrationem 16. lib. 3. doctiſſimi Fabri ſtapulentis, qua ipſe veſtigijs antiquo­
rum inhærens optimè præſenti quæſtioni ſatisfacit. eſt aut huiuſmodi: Biſdia­
 teſſaron, aut bis Diapente nullam conſonantiam componere poteſt, omnis namque
conſonantia, aut in proportione multiplici, aut in ſuperparticulari collo­
 canda eſt, ex Pythagoreorum, aliorumque; Muſicorum traditione; ſed ſi duæ
Diateſſaron, aut duæ Diapente componantur, neque multiplicem, neque ſu­
 perarticularem creant rationem, ergò additæ nullam efficere valent conſo­
nantiam. duas Diapentes nullam facere rationem multiplicem, aut ſuper­
 particularem patet ex numeris earum rationem continentibus ſimul addi­
 tis, eo modo, quo Muſici ſolent addere. ratio Diapentes eſt ſeſquialtera, ſi
ergo duæ ſeſquialteræ ſimul continuentur, vt in his numeris. 9. 6. 4. ratio
primi 9 ad vltimum 4. erit compoſita ex duabus ſeſquialteris; ratio autem
9. & 4. neque eſt multiplex, neque ſuperarticularis, vt oporteret, ſed eſt multi­
 plex ſuperparticularis, quæ ad conſonantiam inepta eſt. propterea igitur
duæ Diapentæ additæ nullam faciunt conſonantiam. quod præterea expe­
 rientia ipſa manifeſtat. ſed cur proprio multiplex, & ſuperarticularis ſunt
harmonicæ; multiplex verò ſuperarticularis, aut quælibet alia non? fortè
quia in illis maior ſeruatur integritas, quæ perfectio eſt: in cæteris verò mi­
 nor integritas, quæ imperfectio eſt. quod melius in ſequenti problem. ex­
 plicabitur. ſimiliter duas Diateſſaron nullam facere rationem conſonantem,
patet ex numeris illarum additis: eorum proportio eſt ſeſquitertia, addan­
tur; ergò duæ ſeſquitertiæ, vt in his numeris 16. 12. 9. ratio primi 16. ad
extremum 9. nec multiplex, nec ſuperparticularis eſt, vt oporteret: ergò
nullam conſonantiam efficient. At verò, ſi vna Diateſſaron, & vna Dia­
pente, componantur, efficiunt Diapaſon; quia ipſarum rationes additæ du­
 plam, quæ eſt ratio Diapaſon, efficiunt: dupla autem eſt multiplex. ponan­
tur hi tres numeri 6. 4. 3. proportio primi 6. & ſecundi 4. eſt ſeſquialtera,
pro Diapente. proportio ſecundi 4. & 3. eſt ſeſquitertia pro Diateſſaron.
Iam proportio inter primum 6. & vltimum 3. eſt dupla: quæ eſt ratio ipſius
perfectiſſimæ conſonantiæ Diapaſon. Ex quibus Ariſt. ſententia manifeſta
1eſt. idem quærit etiam problemate 42. Hæc de ratione multiplici, & ſuper­
 particulari dicta ſunt ex veterum ſententia: recentiores enim muſicæ de­
 prauatores plures alias rationes perperam inter harmonicas intruſerunt.
388
Probl. 35. (Cur Diapaſon conſonantia omnium pulcherrima eſt? An quod
integris terminis huius proportiones continentur: cæterarum autem non integris?
cùm enim Nete dupla ad hypaten ſit, quocunque in genere Nete duo tenuerit, hy­
 pate vnum habebit; & vbi hypate duo, Nete quatuor reſonabit, & ita deinceps.
At verò eadem Nete meſes ſeſquialtera eſt: proportio namque ſeſquialtera, qua con­
ſonantia diapente concluditur, non integris numeris poſita eſt: maior enim mino­
 rem intra ſe continet totum, & partem eius dimidiam. quamobrem non integri
cùm integris comparantur, ſed partes ſuperſunt. Conſonantia quoque Diateſſa­
ron proportione ſeſquitertia continetur, quæ terminis conſtat, quorum maior mi­
 norem totum continet, & inſuper tertiam eius partem. An quod ex amba­
 bus conſiſtit, perfectiſſima eſt? & quoniam modulandi menſuram hæc tenet, meri­
 tò omnium elegantiſſima) Proportio conſonantiæ Diapaſon eſt ſicuti 2. ad 1.
vbi vides vtrunque terminum eſſe integrum, quia maior minorem bis inte­
 grè continet. proportio verò conſonantiæ Diapente, eſt ſicuti 3. ad 2. vbi
maior terminus minorem non integrè continet, ſed ſemel, & adhuc dimidium
illius. proportio denique; Diateſſaron eſt ſicuti 4. ad 3. vbi maior minorem non
integrè continet, ſed ſemel, & adhuc tertiam ipſius partem: breuiter deno­
 minationes harum proportionum ſunt hi, 2/1. 1 1/2. 1 1/3. vbi vides, primum, qui eſt
Diapaſon conſtare ex integris numeris. ſecundum verò, & tertium, qui ſunt
Diapente, & Diateſſaron exintegro cum fractione. maior autem perfectio
eſt integritas, quam fractio, aut diuiſio. propterea perfectior reliquis eſt
conſonantia Diapaſon: & Diapente adhuc perfectior, quam Diateſſaron,
quia illius numeri minorem habent fractionem, quam huius. Aliter reſpon­
 det poſtea dicens, Diapaſon perfectam eſſe adeò conſonantiam; quoniam
ex duabus Diapente, & Diateſſaron conſtat, vt ſupra ex diuiſione mono­
 chordij, & in præcedenti etiam problemate patuit. quæ ratio, quantum va­
 leat, alij viderint. Reſpondet tandem Diapaſon ideò perfectiſſimam eſſe,
quia ipſa ſit modulandi menſura, ideſt, quia intra terminos huius conſonan­
tiæ omnes aliæ ſimplices conſonantiæ continentur, vt ſupra initio explica­
 ui. meritò igitur omnium elegantiſſima eſt. In græco textu ſuperſunt non­
nulla, quæ meritò Gaza omiſit, cum nullo pacto cùm præcedentibus cohæ­
 reant. Verba illa (Cum enim nete ad hypatem dupla ſit, quocunque in genere
duo tenuerit, hypate vnŭμ habebit &c.) Videntur νστερογ πρωτερον· cum debuiſ­
 ſet dicere, hypatem duplam eſſe ipſius netes, vt ſupra patuit ex diuiſione
regulæ harmonicæ. Fortè vult dicere neten eſſe duplò acutiorem, quam hy­
 pate: vel fuit memoriæ lapſus. quod ait (At verò eadem nete Meſes ſeſqui­
 altera eſt) vult dicere Meſen ad neten habere ſeſquialteram proportionem,
quamuis inuersè loquatur: qua ratione verò Meſe ad netem ſeſquialtera
ſit, ex diuiſione monochordij initio tradita ſatis patere poteſt.
389
Probl. 36. (Cur ſi neruus medius ex ſuo intentionis modo dimotus fuerit, cæte­
 ris quoque omnes nerui, ſonos diſſonos reddent: ſed ſi, immoto illo manente, ali­
 quis ex cæteris dimotus fuerit, ſolus hic, qui modo ſuo caruerit, aberrabit? An,
quod ratio concinendi, aptaneruorum omnium intentione continetur, quæ non niſi
1per habitudinem quandam ad Meſen, ſeu ad Medium, accommodanda omnibus eſt,
ordoqué, ratione illius diſponi ſingulis debet? ergo ſublata concinendi cauſa, concen­
tus æquè cuſtodiri præterεa nequit. Veruntamen Meſe ſibi conſtante, ſi quis alius
diſcreparit, meritò illius ſola pars deeſt: cæteri νamque omnes modum ſuæ concinen­
tiæ ſeruant integrum) (Neruus medius) ideſt, Meſe, ſic appellata, quod me­
 dia eſſet. (Quæ non niſi per habitudinem quandam ad Meſen) hypate cum Me­
 ſe conſonabat Diateſſaron: nete cum eadem Meſe conſonabat Diapente,
quæ ſunt duæ præcipuæ conſonantiæ, Diapaſon integrantes; ergo ſublata
Meſe de ſuo ſtatu, illas pariter tolli neceſſe eſt. eandem quæſtionem ſupra
Probl. 20. pertractauit, quàm nunc reuiſere conſultum erit.
390
Probl. 37. (Cur existente vocum acumine, ſecundum paruum: grauitate au­
 tem ſecundum multum (quod enim graue eſt, ob vaſtitatem graue eſt: quod verò
acutum ob paruitatem) difficilius eſt acutas voces canere, quàm graues; & pauci
ſunt, qui ſuperna cantare valeant; & leges orthiæ, & acutæ cantu difficiles ſunt,
quod ſint valdè intenſæ. Quamquam facilius ſit mouere exiguum, quam magnum:
idem itaque in aere deberet accidere. An quia non idem eſt eſſe acutæ vocis à natu­
 ræ, atque acutum canere: verùm naturaliter imbecilla omnia acutæ ſunt vocis; prop­
 terea ectici ſunt acutæ vocis, quia parum aeris non multum ciere poſſunt: paucus
verò velociter fertur; in cantu verò acutum canere ſignum eſt roboris, quod enim
valdè fertur, velociter fertur: & difficilè eſt alta canere, at grauia ſunt humilia)
Vt intelligas pręſens Problema, lege, quæ lib. 1. Top. c. 3. ſcripſi. Leges Or­
 thiæ, erant cantilenæ (vt ſupra probl. 28. patuit) intenſa admodum, altaque;
voce decantari ſolitæ, vnde, & Orthiæ ſunt dictæ; de quibus vide Herodo­
 tum lib. I. & Agell. lib. 16. Plutarchus quoque de muſica ſæpè meminit Or­
 thiæ legis.
Difficilius deberet eſſe canere graue, quàm acutum, quia graue eſt in mul­
 to, & acutum in paruo, vt patet in cannis. canna enim grauis eſt maior, &
ideo plus aeris mouet. chorda etiam grauior, eſt maior, ergò etiam plus
aeris impellit; idem in cæteris. facilius tamen eſt graue, quam acutum:
præterea imbecilla, vt Ectici, mulieres, pueri, vocem habent naturaliter
acutam, ergò facilius deberet eſſe acutum canere, cùm exigua vis id præ­
 ſtare videatur? Reſpondet aliud eſſe canere acutum, & aliud à natura ha­
 bere vocem acutam. qui enim cantat acutum, oportet, vt validè vocem in­
 tendat extenſiuè, atque intenſiuè, ideſt opus eſt acumine, & vociferatione,
quam debiles edere nequeunt; quia quamuis vocem habeant acutam, tamen
paruam habent. Neque difficile eſt canere graue, quia a natura eſt habere ar­
 teriam magnam, & ideo multum aeris ciere, & proinde canere, quæ enim
naturaliter fiunt, facilè fiunt.
Obijces, Ariſt. in Probl. 26. & 47. dixiſſe contrarium, ſcilicet facilius
eſſe canere acutum, quam graue, ibi enim reſpondet: vtrum, quod facilius
acutum, quam graue cantatur? Reſpondeo primùm, Ariſt. ibi non aſſere­
 re, ſed dubitanter loqui. ſecundò, hæc ab eo dicta eſſe problematicè, ideſt
non conſequenter, ſed quæ poſſint in vtramque partem diſputari.
391
Probl. 38. (Cur rithmo, modulo, cantico, & omninò ſymphonijs gaudent om­
 nes? An quia motibus naturalibus naturaliter gaudemus. iudicium, quod infantes
nuper editi, ipſis delectantur. ob conſuetudinem verò canticorum modis gaudemus.
1rithmo autem gaudemus, quod habeat numerum ratum, & ordinatum, & quod
nos ordinatè moueat. magis enim proprium naturæ eſt ordinatus motus, quam in­
 ordinatus: & ideò magis etiam ſecundum naturam eſt. argumentum, quod cùm la­
 boramus, & bibimus, & comedimus ordinatè, naturam, viresqué noſtras, & ſerua­
 mus, & augemus: cùm verò inordinatè eam corrumpimus, & dimouemus. morbi
enim dimotiones ſunt naturalis conſtitutionis corporis. conſonantia verò lætamur,
quod ſit mixtio quędam contrariorum, proportionem habentium ad inuicem. ſi qui­
 dem proportio ordo eſt, qui naturà quidem ſuauis est. mixtum verò omne ſuauius
eſt immixto. præſertim ſi cùm ſenſibile ſit, æquè vtriuſque extremi vim retineat, in
conſonantia porrò proportio eſt) Quid rithmus ſit, ſupra num. 27. explicaui.
ſed optimè ex hoc loco elicitur rithmum eſſe certam quandam in aliquo
motu periodum, ſcilicet determinatorum ictuum, & temporum. Sympho­
 niam, Muſici dicunt eſſe plurium ſonorum conuenientium mixtionem, ſe­
 cundum aliquem canendi modum. quod ait, pueri nuper editi ipſis delecta­
 ri ſolent. patet hoc modo; ſolo rithmo lætantur, quando incunabulum or­
 dinatè agitatur: modis muſicis, cùm illis cantilena quæpiam etiam ſolita­
 ria, vti eſt Nenia accinitur: ſymphonia tandem, quando muſico aliquo in­
ſtrumento addita etiam humana voce concinnitur. reliqua per ſe patent.
392
Probl. 39. (Cur ſuauius eſt ſymphonum, quàm vniſonum? An quod antipho­
 num ipſum quoque conſonam eſt per Diapaſon, quippe cùm ex pueris, virisqué fiat an­
 tiphonum, qui ita inter ſe vocibus distant, vt Nete, & Hypate. omnis autem ſym­
 phonia ſeno ſimplici ſuauior eſt, cur autem ita dictum eſt: quarum ſuauiſſima est
Diapaſon: Vniſonum autem ſimplicem ſonum habet) Cur ſuauior eſt conſonan­
tia, quæ oritur ex vocibus ſymphonis, ideſt, diuerſis, quam quæ ijſdem ſiue
vniſonis? An quia talis conſonantia magis ad naturam Diapaſon accedit;
imò Diapaſon ipſa vna eſt ex ſymphonis; ipſa autem fit ex puerorum, ac vi­
 rorum vocibus, quæ inuicem diſtant, vt Nete, & Hypate, ideſt in dupla ra­
 tione; omnis autem conſonantia ſuauior eſt ſono ſimplici: at verò ſympho­
 num continet diuerſos ſonos: vniſonum autem quamuis plures contineat,
tamen propter earum nimiam ſimilitudinem, perinde ac vna ſimplex vox,
reſpectu illius reputatur. non me latet aliter exponi voces ſymphonon, &
omophon à Ptolæm. primo harm. cap. 7. & alijs: ſed illa Ariſtot. ſententiæ
minimè quadrant. Probl. 16. ſuperius eſt ferè idem cum hoc.
393
Probl. 40. (Cur in ſola Diapaſon conſonantia magadari ſolitum eſt? An quia,
vt pedes carminum proportionem, aut æqualis ad æqualem, aut duo ad vnum, aut
aliam aliquam obtinent; ita ſoni, quibus conſonantia confiat, motus rationem in­
 ter ſe aliquam ſeruant. cæterarum igitur conſonantiarum alterius quidem fines ſunt
imperfecti, cùm finiant ad dimidium. propterea nequeunt eſſe eiuſdem facultatis.
eumqué ſint diſpares, diſcrepantia illa ſenſui occurrit; quemadmodum in choris in
ipſo fine alium maiori voce abundare accidit. Præterea ipſi hypate accidit, vt eun­
dem finem habeat periodorum in ſonis cùm nete: vltimus enim à nete ictus ceris
factus hypate eſt. quod cùm finiant in idem, quamuis non idem fecerint, euenit, vt
opus abſolui vnum, communequé poſſit, vt eis accidit, qui ſub extremam cantilenam
pulſant; nam etiamſi prius non ſonuerint, tamen quòd in idem deſierint hoc extre­
 mo magis delectent, quam contriſtauerint ante finem diſcrepantijs. quoniam igitur
in Diapaſon, quod commune exultat cum differentijs ſuauiſſimum eſt; magadari
1autem ex contrarijs vocibus conſiſtat, propterea in Diapaſon magadari ſolě) Hic
repetenda ſunt, quæ probl. 17. annotaui, vbi quid Magadis, & Magadari
explicatum eſt. repetenda ſunt pariter, quæ in 35. probl. de præſtantia con­
 ſonantiæ Diapaſon ſunt dicta. verba illa (Cum finiat ad dimidiam) intelligen­
da ſunt de Diapente, cuius rationis termini ſunt 1 1/2. qui ad dimidium fi­
niunt; poſtea videtur aliquid addendum pro Diateſſaron, cuius nimirum ter­
 mini ſunt 1 1/3. qui ad vnam tertiam finiunt; nequeunt igitur horum termi­
 norum conſonantiæ Diapente, & Diateſſaron, eſſe eiuſdem facultatis cum
Diapaſon, cuius rationis termini ſunt integri, vt 2. ad 1. verba illa (Præte­
rea ipſi hypati accidit, & c.) vt intelligantur, vide problem. 24. cum ſua ex­
plicatione.
394
Probl. 41. (Cur ſuauius cantum audimus, quem ſcimus, quam quem ignora­
 mus? Vtrum, quoniam cum cantilenam agnoſcimus, manifeſtior eſt, qui veluti ſco­
 pum, aſſequatur. cognoſcentium autem ſpeculatio ſuauis eſt. An quia accidit, vt
auditor vnà cum cantore afficiatur, qui notam cantat cantilenam, nam tunc audi­
 tor illi quaſi ſuccinit. Solet autem quiſque alacriter canere, niſi ob aliquam neceſ­
 ſitatem id faciat) Lege problem. 5. eiuſque explicationem, eritque huic etiam
ſatisfactum.
395
Probl. 42. (Cur nec bis Diapente, nec bis Diateſſaron conſonant, ſed bis Dia­
 paſon. An quod Diapente conſonantia est in proportione ſeſquialtera? quod ſi tres
ſeſquialteri, aut ſeſquitertij numeri ordine diſponantur, extremi nullam inuicem pro­
 portionem habebunt, neque enim multiplices, neque ſuperparticulares erunt: At con­
ſonantia Diapaſon, quoniam in dupla ratione conſiſtit, qua duplicata, quadruplam
extremi rationem obtinebunt. Itaque cum conſonantia ex ſonis conſiet proportio­
 nem, habentibus, proportionemque; habeant ij, qui interuallo bis Diapaſon compo­
 nuntur; minimè autem, ij, qui bis Diateſſaron, aut bis Diapente interuallis conti­
 nentur; idcirco ſoni bis Diapaſon conſoni ſunt, cæteri verò nequaquam ob prædicta)
Quæ dicta ſunt ad probl. 34. & 35. totum ferè hunc locum illuſtrant. Cæ­
 terum quando Muſici volunt duas ſeſquialteras ratione ſimul addere, diſpo­
 nunt ordine tres numeros habentes inuicem ſeſquialteram rationem, vt ſe­
 quentes 9. 6. 4. quam deinde habent rationem extremi 9. & 4. eam dicunt
compoſitam ex duabus ſeſquialteris: quæ quidem eſt dupla ſeſquiquarta, quæ
conſonantiæ faciendæ inepta eſt; ſiue quæ non eſt conſonantia harmonica;
vnde Muſici dicunt eoſdem numero nullam habere rationem, ideſt harmo­
 nicam, cum omnis harmonica ſit, aut multiplex, aut ſuperparticularis, vn­
de patet cur bis Diapente nullam pariat conſonantiam. Similiter, duæ ra­
tiones ſeſquitertiæ, 16. 12. 9. additæ efficiunt rationem, quæ eſt inter 16. &
9. quæ non eſt harmonica, quia neque multiplex, neque ſuperpendicularis
eſt; ideo apud Muſicos nulla eſt; quamuis re vera ab Arithmeticis dicatur,
& ſit ſuperpartiens, & in ſpecie ſuperquintupartiens nonas. Duæ verò du­
 plæ, vti 4. 2. 1. eo modo conflant rationem inter 4. & 1. quæ multiplex eſt,
& quadrupla dicitur, ideò harmonica eſt portio: vnde patet ratio, cur duæ
Diapaſon conſonant. talis autem conſonantia appellatur Diſdiapaſon, cu­
 ius forma eſt in ratione quadrupla.
396
Probl. 43. (Cur ſi quis pſallens neten apprehědat, ſola hypate ſubſonare videtur?
An quoniam nete deſinens & elangueſcens euadit hypate; indicium, quòd poſt hypaten -
1neten canore aptiſſimè licet. quaſi. n. cantus illius, ſit etiam huius ſimilitudinem ex
illa capiunt. cùm aut Echo eius cantus quidam ſit (eſt. n. tactus vocis netes deſinen­
 tis) ſonus idem exiſtens ſono hypates, meritò ob ſimilitudinem nete videtur moue­
 re hypaten. ſcimus enim neten appræhenſam non moueri; videntes verò hypatem
non appræhenſam, & ſonitum ipſius audientes, ipſam ſonare credimus. quod qui­
 dem in multis nobis accidit, in quibus neque ratione, neque ſenſu poſſumus certi ali­
 quid videre. Præterea ſi nete maximè intenta percutiatur, accidit iugum tremere,
nihil igitur mirum. ipſo commoto, omnes chordas ſimul commoueri, nec abſurdum
eas ſonum facere. ſonus quidem netes, & deſinens, & incipiens alienus eſt à cæte­
ris: deſinens tamen idem cùm hypate: quo addito propriæ ipſius motioni, illius to­
 tum videri, nihil abſurdi. eſt verò maior, quam communis reliquarum chordarum
ſonus, quod illæ quidem, quaſi à nete, propulſæ molliter ſonant: nete verò totis vi­
 ribus, omnium quippe vehementiſſima. it aque ſecundarius eius ſonus ſuperior reli­
 quis erit; præſertim cùm læuiſſimo motu moueantur) Idem quæſiuit num. 24. quæ
ibi dicta ſunt, huc etiam pertinent. quibus repetitis melius ſequentem pa­
 raphraſim percipies. Verum ante omnia antiquæ lyræ ex antiquis monu­
 mentis figuram oculis ſubijciam.
164[Figure 164]
Porrò, vt tradit Vincentius Galilæus in ſuis Dialogis, erat eius figura,
quaſi ex caprino capite conſtructa, cuius duo brachia erant capræ cornua;
inferior pars cranium, quæ tota baſi complanatæ ita ſuperponebatur, vt in
quouis poſita plano recta conſiſteret, neque vt geſtaretur, opus erat. chordæ
ipſius, quæ eſſent, & qua ratione eſſent collocatæ, in figura apparet; quot
autem fuerint, pro temporum varietate determinandum eſt, nam primo 4.
deinde 7. demum 8. fuerunt, & plures etiam. Iugum autem, cuius cauſa fi­
 guram appoſui, erat ſupernum illud tranſuerſarium, cui fides annecteban­
 tur, vt idem Vincentius aſſerit. nunc ad textum.
1
Cur ſi quis neten cæteris intactis, percuſſam, ac ſonantem manu compre­
 hendat, ac ſiſtat, videbitur audire hypaten? primo reſpondet, id accidere,
quia ſonus ille extremus, quo nete ceſſat, euadit ſonus ipſius hypates. pro­
 pterea igitur tunc exiſtimamus audire hypatem. cuius rei indicium eſt, quod
qui cantant hypaten, facilè ad neten cantandam tranſeunt; cùm enim can­
 tus hypates, ſit etiam cantus netes, & veluti illius echo, facilè eſt ex hypa­
 te ſimilitudinem netes accipere. præterea in hoc decipimur, quia cum au­
 diamus ſonum hypates, eamque; minimè tentam videamus, quemadmodum
neten videmus, eam ſonare meritò credimus; quod quidem in multis acci­
 dit, vbi nec ratio, nec ſenſus attingit, ſic in ſcena aliquando putamus quem­
 piam tuba ſonare, quod eam ori ipſius admotam videamus, cùm tamen
alius poſt ſcenam lateat, qui tuba ſonet. ſimile accidit in nete, & hypate.
tertiò reſpondet, quod quando quis neten percutit, quæ omnium intenſiſſi­
 ma eſt, accidit, vt iugum, cui illa nectitur, moueatur, tremetque, ex quo
tremore fit, vt reliquæ omnes chordæ moueantur, ac tremant, & proinde
ſonum edant. cùm autem ſonus netis, & incipiens, & deſinens ſit ferè idem
cum ſono hypates, accidit in hoc caſu, vt ſonus deſinentis netis, vniatur
cum ſono hypates, ſicque; manifeſtè totus ille ſonus hypates eſſe videatur.
cæteræ verò chordæ non audiuntur ob eorum ſonorum paruitatem, qui ideò
exigui ſunt, quia excitati ſunt ab impulſu, & motu iugi, qui exiguus erat.
ſonus autem netes illis omnibus ſuperior eſt, & quia ipſa primò percuſſa eſt,
& quia intenſiſſima eſt, & celerrimè mouetur.
397
Probl. 44. (Cur ſuauius ſolitariam cantilenam audimus, cùm ad tibiam, quam
cùm ad lyram cantatur? An quod omne ſuaue, quod mixtum est cum ſuauiori, ſua­
 uius redditur? Atqui tibia, quam lyra ſuauior eſt: ergò cantilena tibiæ admixta
ſuauior erit, quam lyræ. quoniam omne mixtum, immixto ſuauius, modo quis ſen­
 ſum amborum percipiat. Vinum enim oximele ſuauius eſt, quoniam quæ natura
permiſcet, longè melius temperantur, quam quæ à nobis miſcentur. Vinum enim
ex acuto, & dulci ſapore mixtum eſt. Idem manifestant mala punica, quæ vinoſa
appellantur. Enimuerò cantilena, & tibia inuicem miſcentur, ob ſimilitudinem,
ſpiritu enim vtraque perficitur. ſonus autem lyræ, quoniam non ſpiritu ſit, eſtque mi­
 nus ſenſibilis, quam tibiæ, minus voci immiſcetur: quare ſenſui diſcrimen inferens,
minus ſuauis eſt; quemadmodum de ſaporibus dictum eſt. Adde, quod tibia ſoni­
 tu ſuo, & humanæ vocis ſimilitudine, plerosque cantilenæ errores occultare poteſt.
Sonus autem lyræ cùm exiguus, atque voci immixtus, ideoque manifeſtus per ſe, ma­
 nifeſtum cantilenæ errorem, quaſt appoſita regula facit. cùm verò multa in can­
 tando peccentur, quod ex vtriſque compoſitum eſt, neceſſariò peius eſt) ſatis ex ſe
clarum eſt.
398
Probl. 45. (Cur neruum illum, quem Meſen, ſeu medium dicimus, ſic appella­
 mus; cùm inter ſeptem, non autem inter octo ſit medium? An quod olim harmoniæ
ſeptem neruis conſtabant, quorum medium eſt. Præterea eorum, quæ inter quæuis
extrema continentur illud ſolum, quod medium eſt, principium ctiam quoddam eſt:
quod enim in medio eorum eſt, quæ in aliquo interuallo ad vtrumuis extremorum
vergunt; illud ſolum, & medium, & principium est. cùm igitur in harmoniæ inter­
 uillo extrema ſint hypate, & nete, hisque interiaceant reliqui ſoni, quorum is, qui
Meſe dicitur, eſt etiam principium, quippe principium alterius tetrachordi, idcircò
1meritò Meſe, ſeu medius dictus eſt. principium enim, & medium vnum ſolum eſſe
potuit eorum, quæ inter extrema aliqua continentur) Idem quæſiuit ſupra num,
25. vide igitur, quæ ibi annotaui. vide præterea, quæ nu. 35. de Tetrachor­
 dis dicta ſunt, vbi cur Meſe ſit dux, & principium primi tetrachordi appa­
 rebit. Quæſtioni autem reſpondet duplici modo. primò, quemadmodum
etiam in 25. ſecundò, reſpondet idcircò Meſen ita eſſe appellatam, quod in­
 ter eos ſonos inter extrema contentos rationem principij haberet, ſolent
enim ea, quæ inter extrema aliqua ſunt cæterorum principia, eſſe etiam media.
Probl. 46. eſt idem cum ſuperiori 22. vtrumque autem ex ſe ita manifeſtum
eſt, vt abſque harmonica facultate probè intelligatur.
Probl. 47. idem cum 26. in quibus ait, facilius eſſe canere acutum, quàm
graue: in 37. verò contrarium: difficilius eſſe cantare acutum, quàm gra­
 ue. ſibi conciliabitur, ſi dixeris, hæc dicta eſſe problematicè.
399
Probl. 48. (Cur veteres cùm ſeptem neruis concentus facerent, hypaten, non
neten reliquerunt? An non hypate, ſed nunc vocatam paraneten, toniqué interuallum
abſtulerunt, vltima verò Acutidenſi pro Meſe vtebantur propterea ipſam Meſen
appellarunt. An quod ſuperioris Tetrachordi finis principium erat inferioris, & me­
 dium extremorum habebat ſecundum ſoni proportionem) Idem quæſiuit ſupra
num. 7. vide igitur, quæ ibi expoſui; hoc loco quærendum reſtat, quid ſit
illud Acutidenſum. pro qua re vide Ariſtoxenum lib. 3. & Euclidem in Iſa­
 goge ad Muſicam: Zarlinum tandem lib. 2. ſupplem. & 5. quæ res, quamuis
plura dicant, adhuc ob antiquitatem non ſatis intelliguntur. Quid eſſet Den­
 ſum, exponit ſic Euclides: Denſum eſt certa trium ſonorum, vel duorum
interuallorum ex ijs, qui Diateſſaron componunt diſpoſitio talis, vt inter­
 uallum, quod conſtituunt hæ tres voces, vel hæc duo interualla, ſit maius
reliquo interuallo ipſius Diateſſaron. ponit præterea ſonorum alios eſſe
Grauidenſos, alios Mediodenſos, alios Acutidenſos. quibus conſonant, quæ
Ariſtoxenus ait, dum ait denſum fuiſſe illam partem Diateſſaron, in qua
erant duo toni; ſic enim reliquum, quod erat ſemitonium multò minus erat.
erant autem variæ Diateſſaron diuiſiones pro Generum varietate. Antiqui
igitur ſecundum aliquam eorum diuiſionem, quæ denſum in parte acuta po­
 nebat vltimam chordam illius denſi, quæ pariter vltima erat illius Tetra­
 chordi, ſiue Diateſſaron pro media vtebantur, eamque; idcircò Meſen appel­
 larunt. quæ de Tetrachordis ſubdit clara ſunt ex dictis num. 33.
Per ſuperius Tetrachordum intelligere debemus Acutius, ſic enim finis
illius erit principium inferioris, ideſt grauioris Tetrachordi; vult enim
Ariſt. vt ſupra non ſemel viſum eſt, acutiorem ſonum Tetrachordi eſſe illius
principium. vide præſertim num. 45. Antiqui igitur Paraneten omittentes,
aliam, quæ vltima erat in parte denſa Tetrachordi, quæque; principium pri­
 mi, & finis ſecundi erat, pro Meſe vtebantur, ex quibus quæſtioni vtcunque
inuolutè ſatis reſpondet.
400
Probl. 49. (Cur Tragœdiarum choris, neque ſubdorio, neque ſubphrygio cantandi
genere, vti mos eſt? An quod modulŭm præſtare hæ harmoniæ nequeunt, quo choris
valdè opus eſt; mores habet hypophrygius practicos (quamobrem in Gerione excur­
ſus, & armatio ipſo perficiunter) Subdorius verò magnificus, constans, grauiſque
eſt, quocirca omnium harmoniarum maximè cytharæ conuenit. ſed hæc ambo, vt
1choris minimè congruunt, ſic ſcenis ſunt magis domeſtica; etenim ſcena Heroum
facta, dictaqué ſimulat. Veterum autem duces ſoli Heroes fuerunt. populi verò erant
Homines, ex quibus chorus conſtat. quapropter choro competunt mores flebiles, &
æquales, & moduli; hæc enim humana ſunt. quæqué harmoniæ cæteræ aliæ non ha­
 bent. minimè verò hypophrygius, qui lymphaticus, atque bacchicus eſt. At mixto­
lydius illa præſtare poteſt; propterea eo aliquo modo afficimur. magis autem debi­
 les afficiuntur, quàm fortes, quapropter ille choris conuenit. Hypodorio verò, &
hypophrygio agimus, qui choro non conueniunt; est enim chorus, veluti curator
quidam otioſus, ijs ſolum beneuolentiam præbens, quibus adeſt) lege Probl. 30.
vbi idem quæſiuit. lege præterea, quæ ad num. 15. annotaui: ex quibus lo­
 cum hunc intelliges. quod ait (In Gerione excurſus, & armatio) exiſtimo,
Gerionem hunc Tragœdiam fuiſſe illam, quam Suidas in Nicomacho inter
Nicomachi Alexandrini Tragici Tragœdias recenſet. excurſus verò, & ar­
 matio erant partes, quibus conſtabat Tragœdia, quemadmodum noſtræ in
quinque actus diuiduntur. vide Zarlinum cap. 5. primæ partis Inſtit. vbi tra­
 dit fabulam quandam Delonam dictam, quæ in modum Tragœdiæ habeba­
 tur, fuiſſe diuiſam in 5. partes, Explorationem, Prouocationem, Iambicum,
Spondeum, & Ouationem, aut Saltationem.
401
Probl. 50. (Cur in ſonis grauioribus ſymphonia mollior euadit? An quod mo­
 dulatus cantus ſua quidem natura mollis eſt, & quietus: ſed admixti numeri, ſeu
rithmi ratione aſperior redditur, & mouentior. cùm igitur ſonus granis, mollis, &
quietus ſit; ſonus autem acutus mouens, & irritans; omninò ſequitur admixito­
 ne eiuſdem numeri grauiorem cantum debere eſſe quoque molliorem; eſt enim modu­
 latus cantus ex ijs, quæ mollia ſunt) ſoni grauiores natura molliores ſunt, ideſt,
molles mores reddunt, ſeu molles, effœminatosque; decent magis, quàm ſo­
 ni acuti: moduli præterea, ſiue cantilenæ modulatæ, aut rithmi, molles na­
 tura ſunt, vt ſuperius num. 38. explicatum eſt: ſi igitur vtrique & graui, &
acuto addatur numerus, neceſſariò graue mollius euadet.
402
Probl. 51. (Cur æqualium, & ſimilium doliorum, ſi vnum ſit inane; alterum
verò dimidiatum tinnitus eorum Diapaſon reſonabunt? An quoniam ſonus dimi­
 diati cum ſono vacui duplam habent inuicem proportionem: quid enim in iſtis po­
 tius, quàm in fiſtulis res euariat? motum namque eŭndem acutiorem putamus, quem
velociorem. in maioribus verò aer tardius occurrit, vt in duplis duplò, & cæteris
ſecundum proportionem. in vtris etiam, duplus cùm dimidio Diapaſon conſonat)
quæ initio dixi in diuiſione monochordij, & alibi, ſed præſertim in Probl. 23.
locum hunc abundè declarant. Vbicunque enim corpus ſonans duplum eſt
alterius corporis ſonantis, ſiue ſint chordæ, ſiue fiſtulæ, ſiue dolia, ſiue vtres,
reſonant Diapaſon, cuius forma conſiſtit in proportione dupla, quæ in hu­
 iuſmodi corporum ſonis reperitur.
Ex Sectione 23.
403
Problema 2. (Cur nauigia onuſtiora in portu, quàm in alto eſſe videntur? cæ­
 lerius enim de alto in terram veniunt, quàm de terra in altum prouehantur?
An quod plus aquæ, quàm minus reniti validius poteſt? parua enim oppreſſa onere
1cedit, vt demergi neceſſe ſit: multa è contrariò repellit, ac ſustinet. vis enim ea
eſt aquæ. vt ſurſum verſus compellat inferius; ergò, vt in portu maris parùm, ſic
multùm in alto eſt: itaque plus oneris conuehi in portu videbitur, etiam mouebitur
ægrius, quia magis immergitur, & aqua minus reniti poteſt: at verò in alto res
contra vſu venit) ſenſus verborum Ariſt. ſatis perſpicuus eſt, res tamen ſunt
magis expendendæ. primò namque maximè ambigo de experientia ipſa, quæ
huic quæſtioni ſubijcitur, ſi enim vera ſunt ea, quæ ab Aſtronomis afferun­
tur, vt maris ſphæricitatem aſſerant, falſa neceſſariò erit experientia hæc:
aiunt autem ipſi pari velocitate nauigia è portu in altum euehi, atque ex al­
to in portum appellant; quod ſignum manifeſtum eſt, ſuperficiem maris ex­
timam æquè vndique à centro mundi diſtare, ac proinde omninò ſphæricam eſſe.
Illud poſtea, quod pro ſolutione Problematis affert, dum ait, nauim ma­
 gis in portu, quàm in alto demergi (quoniam plus aquæ, valeat magis, quàm
minus, nauigij onus ſuſtinere, parua enim aqua oppreſſa onere cædit faci­
lius, quàm multa) non paruam habet difficultatem. refragantur enim ma­
 ximorum Mathematicorum demonſtrationes. Archimedes enim demonſt. 5.
lib. 1. de ijs, quæ vehuntur in aqua acutiſſimè demonſtrat; ſolidarum ma­
 gnitudinum humido læuiorum, in humidum eò vſque demergi, vt tanta moles
humidi, quanta eſt partis demerſæ, eandem quam tota magnitudo, graui­
 tatem habeat. quod idem Galilæus Galilæus, in Italico Diſcurſu de rebus,
quæ aquæ innatunt, ſubtiliter comprobauit, vt videre eſt apud ipſum pag. 14.
quæ cum certa ſint, ſequitur neceſſariò falſum eſſe, maiorem aquæ copiam
altiùs nauim quàm minorem, extollere. dummodo tamen aqua vtrobique ſit
eiuſdem grauitatis. quare Galilæus pag. 17. ſic orationem claudit: valeant
inquit, eorum falsè opiniones, qui exiſtimant nauigium facilius à magna
aquæ copia ſuſtineri, quàm à parua: quod Ariſt. ſect. 23. probl. 2. credidit:
cum contrà verum ſit, nauim æquè facilè in oceano, atque in decem doliorum
aqua innatare, ac ſuſtineri hæc ille.
Ex Sectione 30.
404
Ad 6 Probl. (Cur nihil in eo delectamur, quod triangulum duobus rectis pa­
 res angulos internos habere ſpectamus) vide quæ lib. 1. Priorum, ſecto
3. cap. 3. de hac trianguli proprietate annotaui, cuius etiam ſæpius Ariſt.
meminit, nunquam tamen verbum illud, internos, præterquam hic, addi­
 dit; vt autem benè intelligas quinam ſint hi anguli interni, & qui externi,
& quod etiam rectis externi æquiualeat, lege quæ ad tex. 39. primi Poſter,
ſunt annotata.
Ex Sectione 31.
Eorum, quæ ad oculos pertinent,
405
Probl. 7. (Quam ob cauſam vtrunque aſpectum ſimul diuertere deſtrorſum, &
ſiniſtrorſum, & ad nares demittere valemus, & alterum ad dextram, & ad
ſiniſtram, ſimul verò vnum dextrorſum, alterum ſiniſtrorſum nequimus; ſimiliter
neque deorſum, neque ſurſum. ſimul verò ad idem poſſumus, ſeparatim verò nequa-
1quam? An quia quamuis ſint duo aſpectus, ex vnico tamen principio eodem modo
dependent? quæcunque autem ita ſe habent, quoties alterum extremŭμ mouetur, ne­
ceſſe est alterum conſequi ad idem; alterius enim extremum eſt alterius extremi
principium. ſi igitur res vna nequit, ſimul in contraria moueri; nec aſpectus pote­
 runt: cùm ita accidat, vt extrema in partes aduerſas moueantur, ſi quidem alter
ſurſum, alter deorſum moueatur, initiumqué ſequi alterum aſpectum; quod impoſſi­
 bile. Oculorum verò limitas inde oritur, quia oculorum globi principio continen­
 tur, quo & ſurſum, & deorſum, & ad latera conuerti poſſint. cùm igitur ita ſint
collocati, vt ſitu inuicem ſimili reſpondeant, atque ſint in medio ſe ſe mouendi ſur­
 ſum, deorſum, & ad latera, eodemqué in puncto viſum habeant, tali ſitu præcipuè
ab inuicem ſunt inuariabiles. qui verò in eodem puncto pupillas habent, limi non
ſunt, ſed tamen ab inuicem differŭνt: nam alijs nigri aliquid occultatur, & ſurſum
proijciunt alba, veluti ſternutaturi. alijs in angulŭμ oculi exteriorem, nigrŭμ vergit,
ſicuti furioſis: alijs in interiorem ad nares, vt perſonis tragicis, & ſeueris, qui ſunt
contuitu graui. Quibus verò ſitu diſſimili globi ſunt poſiti, ſed eodem puncto ſtant
pupillæ: aut quibus ſitus ſimilis eſt, ſed non idem punctum pupillarum hi neceſſariò
limi ſunt. propterea toruè aſpiciunt, & oculos contrahunt; conantur enim in eun­
 dem habitum collocare globum, alterum firmum continentes, alterŭ verò agitan­
 tes. neceſſariò enim limus eſt, cui non eodem de puncto viſus prodeunt, quippe qui
dimotum contuendi principium, perinde ac ille, cui ſuppreſſo oculo res vna gemi­
 nata videtur. ergò ſi oculus ſurſum dimotus eſt, terminus inſpiciendi deorſum eſt:
ſed ſi oculus deorſum lapſus eſt, terminus ſurſum. Vno verò oculo à ſitu ſuo di­
 moto, moueri quidem res viſa ſurſum, deorſumuè ob id videtur, quia & pupilla:
ſed geminata nunquam apparebit, niſi duo ſint viſus, qui contorqueantur. talis ap­
 paret limo ετεροφθαλμῳ, ſeu ſtraboni, vt duplicata illi videatur. propter poſitio­
nem verò id fit, quia ſcilicet oculus ſuo medio non ſit constitutus) Quæcunque ab
Ariſt. hoc loco læuiter attinguntur, exactè ab opticis Alhazeno, & Vitell.
pertractantur. vide propoſ. 26. lib. 3. Vitell. quæ eſt hæc. Vno oculo moto
neceſſe eſt alium eidem conformiter moueri.
Quando ait (Et alterum ad dextram, & ad ſiniſtram) ſignificat nos poſſe
mouere alterum oculum, altero manente, quoquouerſus: quod non video
quomodo verum ſit, alij fortè videbunt.
Quando ait (Atque ſint in medio mouendi ſe ſe) per medium mouendi intel­
 ligit Ariſt. punctum, quod concipitur eſſe in medio inter ſurſum, & deor­
 ſum; necnon inter dextrum, & ſiniſtrum oculorum in naturali poſitione
manentium.
Quando ait (Eodemque in puncto viſum habent) & (Quiverò in eodem pun­
 cto pupillas habent) per idem punctum intelligo illud, quod in vno oculorum
habet eandem poſitionem cum altero puncto alterius oculi, ſic duo oculi
habebunt pupillas in codem puncto, quando eas habebunt conſimiliter lo­
 catas, & habebunt eandem in vtroque oculo poſitionem.
Quando ait (Dimotum contuendi principiŭm habet) ideſt, locum pupillæ non
habet in eodem ſitu, in quo oporteret, ideſt non habet conſimilem ſitum re­
 ſpectu ſurſum, & deorſum, dextrorſum, & ſiniſtrorſum, alteri pupillæ.
Quando ait (Perinde vt ille, cui res vna geminari oculo ſuppreſſo videtur) vt
rectius ea, quæ hoc loco ab Ariſt. dicuntur, percipi poſſint, explicandum
1prius exiſtimo, cur quamuis geminatos oculos habeamus, res tamen vnicæ
non ſolent geminatæ videri, dummodo oculi à naturali ſuo ſitu non luxen­
 tur, quod etiam à Vitell. propoſit. 28. & 46. lib. 3. pertractatur: quamuis
commentum illud Vitell. & Alaz. non placeat de neruorum opticorum
vnione, eò quod Anatomici refragentur.
Dicendum igitur, quod cùm anima vna ſit, & obiectum etiam ſit vnum,
& cùm vterque; oculus habeat conſimilem omninò ſitum, ſit etiam, vt ſpecies
obiecti repreſentatiua eodem modo in vtroque oculo ſituetur, ob quem con­
 ſimilem ſitum, tum oculi, tum ſpeciei ſit, vt anima vtatur duobus oculis,
tanquam vno oculo, & duabus ſpeciebus tanquam vna ſpecie: ſi enim alter
oculus alteri oculo imponeretur, eſſent omninò partes vnius congruentes
partibus alterius, & ſpecies vnius oculi congrueret, & vniretur pœnitus
cum altera alterius, ſecundum ſingulas earum partes conſimiles. vt autem
ſpecies ſituentur conſimiliter in vtroque oculo neceſſe eſt, vt vterque; oculus
eodem modo aſpiciat obiectum; quod tunc ſit, quando axes viſuales vtriuſq;
oculi vniuntur in obiecto. axis porrò viſualis eſt linea ab obiecto tendens ad
centrum oculi, quæ tamen tranſeat per centra corneæ, vueæ, & pupillæ. tunc
partes ſpecierum erunt omninò conſimiliter collocatæ in vtroque viſu: ita
vt pars ſpeciei, quæ dextra eſt in vno, ſit etiam dextra in altero. Intelligo
eandem partem reſpectu obiecti, quæ refert eandem obiecti partem. quem­
 admodum igitur nec duabus auribus audimus duas voces, nec duabus nari­
 bus geminos odores, nec duplici manu duplicatas res tactas: ita anima,
ſeruatis, quæ nuper dixi, duobus viſibus res vnam vnicè videre debet.
Hinc facilius cognoſcemus, qua de cauſa res viſa aliquando geminetur.
quoties enim ſpecies eiuſdem obiecti in altero oculorum habet alium ſitum,
quàm in altero, geminatio accidit, quia non habet conſimilem ſitum, & ſi
vna alteri ſupponeretur, non reſponderent partes vnius dexteræ, v. g. par­
 tibus dextris alterius; vnde non identificarentur; nec quæ eſſent in eadem
parti oculi repreſentarent eandem obiecti partem; & propterea oculi non
eſſent quodammodo vnus oculus, cùm alter ab altero diuerſimodè à ſpecie
informaretur. vt autem ſpecies vtrumque oculum conſimiliter informent, ne­
165[Figure 165]
ceſſe eſt, vt axes viſuales, quales
ſunt in appoſita figura, C B, D B,
ab oculis C, D, ad obiectum B,
ducti, in ipſo obiecto B. imò in
eodem ipſius puncto vniantur:
quoties. n. res viſa non eſt in con­
 curſu axium, vt eſt res A. tunc
diſſimiliter ſpeciem ad oculos
mittit, nam ſpecies puncti A, in oculo D, erit ad ſiniſtram centri pupillæ;
in oculo verò C, erit ad dextram.
Quando pariter alterum oculorum digito ſurſum, aut deorſum compri­
 mimus, fit, vt ille aliquantulum à loco ſuo naturali, & conſimili ſitui alte­
 rius dimoueatur; quare neceſſe, vt axis ipſius ſimiliter ad motum oculi di­
 moueatur, nec amplius concurrat cum altero axe, in eodem obiecti puncto,
in quod alter tendet, vel et in alterum obiectum. vide Vitell. prop. 103. & 104. li. 4.
1
Quando ait (Si oculus ſurſum dimotus eſt, terminus inſpiciendi deorſum est)
Per terminum inſpiciendi intelligo rem illam, quæ prius videbatur, & poſt
oculi dimotionem infra axem viſualem remanet.
Quando ait (Sed geminata nunquam apparebit, niſi duo ſint viſus, qui contor­
queantur) niſi duplex ſit conſpectus, ideſt, niſi oculus vnus ab altero diffe­
renter ſituetur, ſic enim ſpeciem diuersè reſpiciunt, non videbitur res du­
plicata.
Quando ait (Tali apparet limo, ſeu ſtraboni) græcè ait ετεροφθσλμω, quod
propriè ſignificat eum, quem Latini Luſcum dicunt, qui vnius tantum eſt ocu­
 li. videtur tamen vſurpaſſe illud pro limo, ſeu ſtrabone, vt Gaza etiam ac­
 cipit, ſecus enim non poſſet illi res geminari, cùm ad id neceſſarij ſint duo
oculi, vt modo dixerat.
Quando ait (Propter poſitionem verò id fit) ex paulò ante dictis poſſunt
intelligi. verumtamen, & illud addam; Duplicis conſpectus, vel gemina­
tionis cauſa eſſe poteſt, vel diuerſus oculorum ſitus, vel etiam ſitus ſpecie­
 rum diuerſus, vt quando obiectum eſt intra concurſionem axium, vt in præ­
cedenti figura, vbi etiamſi oculi naturalem ſitum conſeruent, res geminabitur.
406
Probl. 11. (Cur diſtractis oculis res vna duæ apparent? An quod radij vtriuſque
oculi ad idem punctum non concurrunt? quaſi ergò duo videat, bis idem videre ani­
 ma exiſtimat ſimile eſt in permutatis digitis, vnum' enim duo apparet, tanquam bis
tactum) Præſens Problema ex dictis in præcedenti problemate ſatis clarum
euadit: imò illa ex his viciſſim confirmantur.
Quando ait (Radij vtriuſque oculi ad idem punctum non concurrunt) intelligit
de axibus viſualibus, quos in ſuperiori declaratos habes.
Quando ait (Simile eſt in permutatis digitis) vt pulcherrimum iſtud experi­
mentum, quo res vna tacta, duæ videntur, experiaris oportet, vt globulum
quempiam duobus proximis digitis eiuſdem manus tangas, ita vt vnus al­
 terum decuſſet, ſiue tranſcendat, vel ei conuoluatur, ita vt extremitates di­
 gitorum permutent loca, vel vt extremum vnius ſit, vbi deberet eſſe extre­
 mum alterius; deinde globulum inter vtriuſque digiti extrema locatum, ſimul
tangant, tunc enim exiſtimabis te duos globulos tangere.
407
Probl. 17. (Cur res vna non videtur geminari, ſi oculum in latera contorquent?
An quia conſpiciendi principium ab eadem linea ſumendum eſt. duo autem videntur,
quando illud ſurſum, aut deorſum mutatur; in latus verò nihil refert, niſi ſimul
ſurſum, aut deorſum) quod præſenti problemate proponitur, non videtur vſ­
quequaque verum, expertus enim ſum, moto etiam in latus oculo, res viſas,
quamuis magna cum difficultate, geminari. per lineam illam, à qua princi­
 pium ſumitur conſpiciendi, intelligit lineam rectam tranſeuntem per cen­
 tra vtriuſque pupillæ. quod autem ait nihil referri, ſi oculus in latus, ſiue ad
prædictam lineam luxetur, falſum omninò puto ex dictis ſupra ad Probl. 7.
hoc enim modo alter oculus diſſimiliter ab altero collocatur, vnde neceſſe
eſt conſequi geminationem ſecus ac ſi ſurſum, aut deorſum alterum luxaueris.
408
Probl 21. (Cur alia quidem ambobus oculis potius inſpicimus; rectitudinem
verò, quæ eſt in verſibus, vnum oculum literis admouentes potius conſpicimus?
An quia verſus quidem coincidentes quemadmodum tradunt Optici, perturbatio­
nem quandam afferunt; quando verò vnico viſu inſpicimus, ſecundum vnicam re-
1ctam viſualem lineam inſpicimus, qua tanquam recta regula melius verſuum re­
ctitudinem dignoſcimus; rectum enim recto dijudicatur.)
Quando ait (V num oculum literis admouentes) quando volumus inſpicere
num rectus ſit ſcripturæ alicuius verſus, oculum alterum altero clauſo, prin­
 cipio, aut extremo illius verſus admouemus, vt hoc modo ſecundum longi­
 tudinem, non autem è regione illum intueamur, ſic enim linea viſualis re­
 cta, quaſi linea quædam materialis rectitudini verſus coaptata,illã examinat.
Libet his opticis Problematibus, auctarij loco, tractationem quandam
de Oculi pupilla, cùm ſit eiuſdem argumenti, apponere, in qua nonnulla
ſcitu digna, atque iucunda, ac nuper obſeruata traduntur.
De humani Oculi Pupilla.
Vt ea, quæ dicenda ſunt, facilius percipi poſſint, neceſſe eſt breuiter
oculi fabricam, in qua mirum totius naturæ Opificis artificium elu­
 cet, auxilio ſequentium figurarum præmittere.
166[Figure 166]
A B C, cornea. ſpatium A B, eſt propriè corneæ pars tranſlucida.
E G F, vuea. H I, pupilla, ſeu foramen vueæ.
L M N O P, aranea, quæ medium orbiculum M N Q, ambit.
Referat ergò prima hæc figura humanum oculum, ſeu potius oculi ſe­
 ctionem, qui nimirum diſſectus ſit ab anteriori, vſque ad poſteriorem partem
in duas æquas partes. qua ſectione appareant omnes tunicæ, & humores,ex
quibus ille conflatur. conſtat autem ſecundum Anatomicos ex tribus tuni­
 cis, totidemque; humoribus. verum figuram explicemus. Pedunculus ille C,
neruus eſt opticus è cerebro manans, ex quo tanquam ex radice totus ena­
 ſcitur oculus.
Exteriori illa circunferentia A B C, ſignificatur membrana totum ocu­
 lum complectens, quæ cornea propter duritiem appellatur. cuius pars pun­
 ctis A, B, terminata, inſtar Laternæ cornu, pellucida eſt. hanc vulgò lucem
oculi, Medici Iridem maiorem appellant.
Media illa, & imperfecta peripheria E H I F G, vuea ab acini vuæ nigræ
ſimilitudine nuncupatur; eſt enim plurimum nigra. hæc vbi ad partem cor­
 neæ tranſlucidam A B, peruenit, eam quaſi fugiens intra oculum
1& tendens per loca E H I F, ipſi corneæ, veluti infundibulum quoddam ſuppo­
 nitur. hinc aliorum anatomicorum figuras corrigere licebit, in quibus mem­
 brana E H I E, tanquam plana ſuperficies ipſi corneæ ſupponitur.nõ eſt tamen
hac parte tota integra, nam, vt ait Plinius, medium eius feneſtrauit Pupilla.
ea eſt paruum foramen rotundum inter puncta H, I.porrò ſi liceat hanc vueę
partem E, H, I, F, è directò integram aſpicere, ſimilis videbitur huic cir­
 culo ſecundæ figuræ A B C; in cuius medio circulus G H I, foramen eſt, cui
tum Iridi minori, tum Pupillæ nomen eſt; quæ noſtri eſt materia ſermonis:
res quidem exigua, ſed planè admirabilis: tantillo enim foramine, maria,
montes, innumera animalia, ac plantas graphicè, atque adeò locis diſtincta
animus noſter inſpicit; imò, vt cecinit Manilius.
Paruula ſic magnum peruiſit pupula Cœlum.
Sic olim admirationi fuit Homeri Ilias, exiguis adeò litoris conſcripta, vt
vnius nucis cortice clauderetur.
Superficies huius membranæ E H I F, exterior, quæ ſcilicet corneam re­
 ſpicit, in homine varia eſt, cæſia, glauca, ſubalbida, nigra. Excipiendi ſunt
à cæteris Sinarum gentes, quæ, vt poſtremò perlatum eſt à noſtris PP. ſunt
omnes ſpectandi nigris oculis. Tartari etiam omnes virides habent oculos.
vtrique; ſcilicet tales habent oculos, quòd tales habeant vueas. ex hac enim
varius oculorum color: quippe qui non in exteriori ſuperficie corneæ, quæ
omninò diaphana eſt, & propterea excolor, ſed vueæ inſidet. In nocturnis
tamen animalibus lucida eſt; atque hinc lux illa, cuius ope, circumfuſus aer
adeò illuſtratur, vt noctu videre queant. ſi qui etiam hominum noctu videant,
ij flaua, ac lucida vuea, vt obſeruaui, præditi ſunt: & ideò interdiù maiorem
Iridem flauum oſtendunt. ſuperficies tandem illius, quæ oculi interiora con­
 ſpicit, nigerrimo colore, quì vel Anatomicorum digitos inficiat, intincta eſt.
Tertia tandem, quæ per P L M N O, incedit Aranea dicitur, eſt enim in­
 ſtar araneæ tenuiſſima, præſertim, quà vuæ E H I F, ſupponitur. hæc præte­
rea globuli M K I N Q, anteriorem partem M H I N, circumueſtit, qui in
ea affixus, non ſecus ac Araneus in ſuæ araneæ centro, immobilis hæret.
hæc de tunicis.
Reliqui ſunt humores tres, quibus oculus repleatur; poſterius iſtud ſpa­
tium P L Q O, humori vitreo ob vitri ſimilitudinem dicto, natura attri­
 buit: anteriorem oculi ſedem inter corneam, & vueam, humor aqueus oc­
 cupauit, ſic dictus, quod ſit natura limpidiſſimus; quippe qui primus ingre­
 dientia rerum ſimulacra excipiat. medium locum, prædictum ſcilicet glo­
 bulum, quem aranea complectitur, humor chriſtallinus ſibi vindicauit. hic
quà corneam ſpectat ſphæricæ eſt figuræ, atque ex hac parte foramen H I,
vueæ, ſeu pupillam obſidet, vt aduentantibus rerum ſimulacris ſit obuius,
eaque; ſiſtat, vnde factum eſt illi quoque pupillæ nomen. Huic quoque Aranea ſi­
 mul, & vuea tenuiſſimis fibris in orbem connectuntur; quæ connexio non in
ora pupillæ extrema, ſed circa ipſam, vt in circulo D E F, ſecundæ figuræ:
qui fibrarum circulus apparet etiam in vuea, eſt enim veluti ſutura quædam
circularis circa pupillam, non longè tamen ab ipſa. porrò iunctura hæc
adeò fortis eſt, vt non ſine aliqua vi vuea, & aranea inde à chriſtallino di­
 uellantur. Hæc de oculi fabrica nunc ſufficiant.
1
PROBLEMATA NONNVLLA
De Oculi Pupilla.
1. Cvr ei Pupillæ nomen inditum eſt? Admiratione ſanè non caret
apud præcipuas linguas, miro quodam conſenſu, idem etymon
obtinere: ſcilicet denominatam eſſe ab imaguncula illa, quæ
veluti parua puppa, ſeu pupula, ſeu pupilla, qualis in figura
ſpectatur, perpetuò in paruo hoc vuæ circello ſpectatur. propter hanc igitur
puppam Hebræi circellum G B I, Bath, ideſt filiolam, Græci κορην, ideſt puel­
 lam, Latini demum pupillam cognominarunt.
2. Atqui vnde imaguncula hæc, quæ in oculis noſtris perpetuò ſpectatur?
ſcilicet ob terſitiem, & ſphæricitatem cornea eſt inſtar conuexi ſpeculi, quod
ſpectanti imaginem reddat, quam ergò videmus in aliorum oculis puppam,
noſtra eſt imago, quæ propterea tamen parua eſt, quoniam oculus ſpeculum
paruum, ac conuexum ſimul eſt, cuius eſt imagines rebus ipſis multò mino­
 res reflectere. vt in tractatu de Speculis optici demonſtrant.
3. Cùm tota cornea, quæ Iris maior eſt, ſit æquè torſa, ac perpolita, cur
non æquè tota hanc pupulam oſtendit? ſed è regione minoris Iridis ferè tan­
 tum? cauſa eſt in promptu, quia nimirum ſpeculum debet eſſe omnis colo­
 ris expers, ne colores ſpeculi coloribus imaginum miſceantur; taliſque eſt
Iris minor,quæ etiamſi videatur nigra, non tamen verè colorata eſt, vt mox
oſtendam: at verò maiori Iridi colores vueæ ſubſunt, qui ne ſpeculi officio
fungatur, ſunt impedimento. eſt præterea Iris minor admodum opacata,
quæ altera conditio, maximè ſpeculo neceſſaria eſt: illa enim nigredo Iri­
 dis minoris, ſeu pupillæ, non nigredo, ſed opacitas eſt, vt dicetur poſtea.
4. Cùm iam conſtet foramini vuæ G H I, à pupilla in ipſo verſante nomen
inditum eſſe; nec non vnde ſit ea pupilla, & cur tam parua; quæritur iam,
quid ſit pupilla, ſeu Iris minor, an ſcilicet ſit foramen illud vueæ, an potius
chriſtallinus humor, qui in illud intruditur, vacuumque; illius replet? Re­
 ſpondeo, Ariſt. humorem ipſum chriſtallinum appellaſſe pupillam: Galenum
 tum chriſtallinum, tum foramen ipſum: aptè tamen vtrumque dici exiſtimo.
Chriſtallinum quidem & quia replet vacuum illud, atque è regione illius pu­
 pillæ imaguncula ſpectatur. foramen verò, quia terminos illius rotunditatis
circumſcribat. vnde aptius fortè dixeris, vtrumque, chriſtallinum ſcilicet,
& foramen veluti partes ad totam pupillam conſtituendam eſſe neceſſaria:
ita vt nihil aliud ipſa ſit, quàm ſuperficies illa chriſtallini; quæ vueæ fora­
 mine continetur.
5. Cur in omnibus hominibus nigra videtur? cum tamen nigri nihil ibi
eſſe ex anotomia conſtet: imò ibi chriſtallinus eſt omninò pelluidus; & vl­
 tra, citraque; alij duo humores, vitreus, & aqueus, æquè tranſparentes, atque
omnis nigredinis expertes. vnde igitur nigredo illa? Dicendum eſt nigre­
 dinem hanc non eſſe veram, ſed apparentem, eamque; ex interna oculi opa­
 citate; opacitatem verò ex foraminis paruitate, quæ lumen non admittat,
prouenire: quotidiana enim nos docet experientia feneſtellas, & huiuſmodi
1alia foramina, quæ intus non ſint illuminata, ſed tenebroſa, nigra quamuis
minimè ſint, apparere. Idem præterea mihi ex anatome manifeſtè patuit,
cùm enim per ſectionem caſu quodam pupilla oculi, quem ſecabam, facta
fuiſſet aliquanto mior, illicò nigredine omni exuta, alba viſa eſt; quia ſci­
 licet patuit lumini aditus, quod internam oculi opacitatem fugauit. pro­
 pterea in bobus, & capris, quia magna, & oblonga eſt, quæ multum lucis
admittat, aloa ſimiliter, non vt in nobis nigra conſpicitur.
6. Cur in clariſſima luce Solis pupilla omninò euaneſcit? ex dictis in præ­
 cedenti problemate, huic quoque ſatisfieri poteſt. cùm enim clariſſimo lumi­
ni obijcitur, fit, vt oculi interiora illuſtrentur; vnde fugatis tenebris, & om­
 ni opacitate, etiam nigredo illa nulla ſit.
7. Poſſumus ne dum in oculos alterius intuemur, quanta ſit re vera, co­
 gnoſcere? exiſtimo certam ipſius quantitatem oculos noſtros omninò late­
 re: videtur enim per refractionem, cùm ſit infra humorem aqueum aere
denſiorem, at quæ refractè videntur ex medio denſiore, ea maiora, quàm
ſint, apparere, demonſtrant Perſpectiui. attamen cùm in luce ſatis tempe­
 rata verſamur, ſi oculum directè, vt minor fiat refractio, ſpectemus, ipſam
non multò verò maiorem ſpectabimus.
8. Sed vnde nam illud mirum illi accidit, vt modo maior, modo minor
nullo fermè tempore interpoſito, euadat; & aliquando ad tantam magni­
 tudinem exereſcat, vt totam forè maiorem Iridem occupet; vt ſi in ſecun­
 da figura foramen B G I, vſque ad circulum L M N O, dilataretur? Antiquio­
 res, vt Galenus, cùm obſeruaſſent eam, multò maiorem eſſe noctu, quam
interdiù, id ſolummodo ratione noctis, & diei contingere, atque foramen il­
 lud verè augeri, & minui exiſtimarunt. ſuſpenſum tamen Galenum reddit,
nulla huius motus organa reperiri, qua propter ad ſpiritus animales confu­
 git, eisque; huius augmenti, & decrementi cauſam attribuit: eiuſdem ſenten­
 tiæ eſt 10. Baptiſta Porta, inter huius ætatis Perſpectiuos celebris. Hiero­
 nymus ab Aquapendente ab antiquioribus in eo diſſentit, quod cauſam hu­
 ius referat non in ſpiritus, ſed in proprietatem quandam ipſius vueæ natu­
 ralem. Porrò cum ego ſententias horum mente verſarem opportunè acci­
 dit, vt vel ipſo meridie cùm quodam in loco ſatis opaco colloquerer, atque
eo illius capitis ſitu, vt oculi illius in multa eſſent opacitate, cùm ecce tibi
pupillas illius, magna cum admiratione, adeò magnas conſpexi, vt totam
ferè maiorem Iridem adæquarent; illicò hominem in claram lucem, atque
Solem deduxi; atque ecce tibi repentè eædem pupillæ minimæ factæ ſunt.
eandem ſubinde experientiam ſexcenties obſeruaui, vnde duo notatu di­
 gna innotuerunt.
Primum eſt: Maiores noſtros hallucinatos eſſe cùm nocte tantummodo
magnas, per diem verò paruas fieri pupillas opinati ſunt: Verum id ratio­
 ne lucis, & tenebrarum quouis tempore accidere patuit. vnde etiam in ob­
 ſcuriſſima nocte admota oculis accenſa candella, minuantur; amota ſtatim
augeantur. hinc accidit, pupillam hanc, Medicum quendam ætate noſtra
celebrem fefelliſſe, quì dum ægrotum quendam in cubiculo ſatis tenebroſo,
oculisque; laborantem curaret, animaduertit illius pupillas eſſe iuſto maio­
 res, quapropter plurima illi medicamenta pro pupillarum reſtrictione
1hibuit; ſed omnia tamen irrita; cui ad mota luce, ſtatim ſunt imminutæ:
nec tamen æger conualuit. erat ſcilicet apparentia, non veritas.
Secundum hoc modo patuit. Cęperam namque pariter de principali quæ­
 ſtione ambigere circa ſententiam eorundem, num ſcilicet verè pupillæ mo­
 dò dilatarentur, modò conſtringerentur; an potius aliqua ſit, quæ eos fe­
 fellerit apparentia. atque tandem poſt diuturnam obſeruationem, poſt plu­
rimorum oculorum diſſectionem, tutò auſus ſum primò aſſerere, pupillas ve­
 rè nec augeri, nec minui, ſed meram illam eſſe apparentiam, quod ſequen­
 tibus rationibus comprobabam.
Primò, ſi verè tunc cum fermè maiorem totam Iridem occupant, relicta
tantummodo gracili in orbem armilla, dilatarentur, tunc neceſſariò con­
 nexio vueæ cum aranea ſcinderetur, cùm tunc pupillæ gyrum D E F, illius
connexionis veſtigium tranſcendant; ac præterea tenuiſſimæ illæ fibræ, qui­
 bus conſuitur, frangerentur, ſtatimque; iterum nemine auctore reſarcirentur.
quod nec ſine oculi detrimento, nec ſine ſenſu doloris aliquo fieri poſſe, quis
dicat? quæ omnia nullo modo conſequuntur.
Secundò, nulla extant huius organa motus, quod plures Anatomicos,
atque Galenum ipſum dubios reddit.
Tertiò, Medici omnes volunt eos, qui anguſtiori ſunt pupilla, acie ocu­
 lorum plus valere, quàm qui ſunt latiori; ſi ergò iſta eſſet vera conſtrictio,
& dilatatio, accideret nos eodem pęnè temporis momento, modò acutius,
modò hebetius videre: imò in temperata luce, vbi maior apparet, minus,
quam in clariſſima luce, & Sole, vbi minima apparet, videremus. quibus
quotidiana refragatur experientia.
Quartò, plura obiecta compræhenderet oculus in opacitate, quàm in cla­
 ritate, & Sole: omnia enim illa videmus, quæ intra pyramidem viſualem
continentur, quæ eò capacior, & latior eſt, quò pupilla maior eſt: habet
namque hæc pyramis verticem in centro oculi, & poſtea dilatatur ad dilata­
 tionem foraminis vueæ, quod eſt pupilla. verùm nos nunquam experimur
plura obiecta compræhendere in vmbra, quam in Sole.
Quintò, ſi illa dilatatio vera eſſet, pupilla non ſemper in homine videre­
 tur nigra; magnitudo enim foraminis multum luminis intra oculum admit­
 teret, quod opacitatem, & nigredinem illam omnem fugaret; hac enim de
cauſa in bobus, & capris alba cernitur. quapropter certò certius, & luce
clarius, motum hunc non verum, ſed apparentem eſſe mihi, atque alijs per­
ſuadebam.
Verumenimuerò Græcorum illud adagium, ſecundæ cogitationes ſunt
ſapientiores, veriſſimum eſt, nam quinquennio poſtquam hæc de pupillæ di­
 latatione conſcripſeram, cùm iterum opticam publicè aggrederer, oculi
fabricam, atque pupillæ motum iſtum attentius conſiderans, conatus ſum ob
ſequentes rationes prædictis euidentiores mutare ſententiam, atque aſſerere
verè pupillam augeri, ac minui, eò quod vuea ipſa in luce verè conſtringa­
 tur, in opacitate verò, ac tenebris magno naturæ miraculo dilatetur.
Prima ratio, cùm pupilla minuitur, eam perpetuò vueę colores conſequun­
tur, eamque; circundant, ſiue cum ipſa conſtringuntur; quod minimè fieret,
niſi vuea ipſa conſtringeretur, ſicque, foramen illud imminueret.
1
Secunda, ex hac experientia; fac vt aliquis alterum ſibi oculum manum
illi applicans tegat: & illicò ſine vlla lucis mutatione videbis alterius ocu­
 li pupillam modicùm, ſed tamen ſenſibiliter ſatis dilatari.
Tertia, animalia quædam, vt Catus, quando pupillam ſuam hanc dila­
 tant, eam in orbem dilatant: quando verò conſtringunt, eam in oualem, ac
tandem rimulam quandam conſtringunt: idque; in eadem opacitate, quæ ar­
 gumento ſunt vueam ipſam moueri.
Quarta, eſt quidam oculorum morbus, quo æger abſque magno dolore lu­
 cem nequit aſpicere: ergò ſignum lucem aliquid intra oculum mouere poſ­
 ſe, ex quo motu æger doleat; huiuſmodi ægrotum quendam ego aliquando
magna admiratione inuiſi. hæc adeò miranda in nobis ſummus naturæ opi­
 fex perpetuò operatur.
Reliquum eſt, vt ſuperioribus rationibus, quibus me diù deceptum fuiſſe
exiſtimo, ſatisfaciam.
Ad primam igitur reſpondeo, etiamſi vuea verè dilatetur, non indè ne­
 ceſſariò ſequi connexionem illam ſcindi debere: poſſunt enim tenuiſſimæ il­
 læ fibræ intendi, ac remitti: ſicque; motui vueæ obtemperare.
Ad ſecundam, cauſam efficientem huius dilatationis eſſe ſpiritus; non
partem quampiam, aut organum materiale.
Ad tertiam negandum eſt illud Medicorum placitum.
Ad quartam concedenda eſt tota, ſed tamen addendum eſt, nos non ad­
 uertere modò plura obiecta, modò pauciora videre, quia valde difficile eſt
id obſeruare, porrò fateor difficile eſſe huic rationi ſatisfacere, quia non,
omninò conſtat, qua ratione, & quo loco oculi fiat viſio.
Ad quintam dicendum eſt, nunquam foramen illud pupillæ ad tantam ma­
 gnitudinem euadere, vt ſatis lucis admittat ad oculi internam opacitatem
fugandam. Præterea, quando dilatatur eſt in loco ſatis opaco, vnde fit, vt
opacitas ambientis aeris minimè expellat oculi opacitatem; quin potius
eam iuuet neceſſe eſt.
9. Cur altero oculorum tecto, alterius pupilla aliquantulum dilatatur?
R. ſciendum miram eſſe oculorum ſocietatem, quò vnus intuetur, alter eò
etiam conſpirat: quorſum alter conuertitur, eorſum & alter: anima enim
vtitur duobus oculis tanquam vno. quia igitur dum alter tegitur, ei ſimul
tenebræ offunduntur, quibus præſentibus pupilla illius ampliatur, vt ſupra
vidimus, neceſſe eſt, ob oculorum fidam ſocietatem, vt alterius etiam pu­
 pilla augeatur. huic reſponſioni quis in hunc modum obijciet: cùm alter ocu­
 lus ſit in lumine, ac eapropter pupillam conſtringere debeat; cur non ei po­
 tius alter morem gerit, ſicque; pupillam, præſentibus etiam tenebris in ſuo
ſtatu continet. huic iterum reſpondeo, quoniam alter, qui obtenebratur pu­
 pillam ampliare, alter verò, qui illuminatur coarctare ſtudet, fit vt vterque
pupillam, modicum tamen, vt experientia docet, in orbem diducat.
Atque hæc ſunt, quæ nuper circa oculi pupillam obſeruata, huic loco ad­
 denda exiſtimaui.
LAVS DEO.
1
[Empty page]
1
DE
MATHEMATICARVM
NATVRA DISSERTATIO.
VNA CVM CLARORVM
MATHEMATICORVM
CHRONOLOGIA.
AD ILLVSTRISSIMVM AC NOBILISSIMVM
PETRVMFRANCISCVM MALASPINAM
ÆDIFICIORVM MARCHIONEM.
Authore eodem Ioſepho Blancano è Societate IESV,
Mathematicarum in Parmenſi Academia profeſſore.
BONONIÆ M. DC. XV.
Apud Bartholomæum Cochium. Superiorum permiſſu.
Sumptibus Hieronymi Tamburini.
1
[Empty page]
1
ILLVSTRISSIMO
AC NOBILISSIMO
PETROFRANCISCO
MALASPINAE
ÆDIFICIORVM MARCHIONI.
Ioſeph Blancanus è Societate Ieſu. S.P.D.
Meam hanc de Mathematicarum natu­
 ra Diſſertationem, vnà cum illustrium,
Mathematicorum Chronologia, tibi Illu­
 striß. Marchio iure meritò dicare, ac ſub
clarißimi tui nominis patrocinio in lucem
dare constitui. primum quidem, vt mei perpetui erga te
amoris, & obſeruantiæ hoc vnum ſaltem specimen exta­
 ret; tum vt idoneum, æquumqué propoſitæ Quæstionis iu­
 dicem nanciſcerer. Cùm enim ad iuſtum arbitrum duo
potißimum requirantur, rerum ſcilicet cognitio, atque pru­
 dentia, quem te rei, de qua agitur peritiorem, quemque pru­
 dentiorem; inuenire potuerim? tu enim cùm Phyſiologiæ,
ac Mathematicarum omnium Encyclopædiam mirum,
in modum excolueris, ad intima Mathematicarum pene-
1tralia ita peruaſisti, vt Archimedis, & Apollonÿ ad­
mirandis, ac ſubtilißimis demonſtrationibus detinearis.
Quanta porrò in rebus agendis prudentia valeas toti penè
Europæ innotuit, cùm pro noſtris Sereniß. Ducibus non
ſolùm ad omnes ferè Italiæ, atque Germaniæ Principes,
verùm etiam ad Cæſaream Maieſtatem, rebus fœliciter
geſtis, Legatus decimùm extiteris: ac demum à Sereniß.
Duce Ranutio inter primarios de Rep. Conſiliorum Au­
 thores, adſcitus fueris. Cæterùm in Clarorum Mathe­
 maticorum Chronologia perlegenda, ſæpißimè tibi nobiliſ­
ſimi æquè, ac doctißimi Viri, tui omninò perſimiles, oc­
 current, quod tibi nonniſi gratißimum accidere poſſe arbi­
 tror. Complectere igitur,quà ſoles benignitate, atque clemen­
tia noſtra hæc quantulacunque munuſcula, quæ ſi tibi acce­
 pta eſſe intellexero, tùm demum maximorum mu­
 nerum loco habenda eſſe cenſebo. incolu­
 mem tibi, ac fœlicem D. O. M.
long æuitatem tueatur.
Vale.
Parmæ Idibus Nouembris M. DC. XIIII.
1
ADDITAMENTVM.
DE NATVRA SCIENTIARVM
MATHEMATICARVM.
Qvoniam in hoc Opere multa ad Mathematicarum natu­
ram ſpectantia ſparſim dicta ſunt, non ab re, neque ingratum
Lectori fore duxi, ea quodammodo huc in vnum congerere,
quæ ad earum naturam ritè percipiendam neceſſaria eſſe vi­
 derentur. præſertim cùm recentiorum quamplurimi, qui eas
læuiter nimis attigerunt, hac de re, veluti cæci de colore, plu­
 ribus ad internam tamen earum naturam minimè ſpectantibus, garrire ge­
 ſtiant. Vt autem tractatio euadat planior, eam ſic commodè partiemur, vt
Primo, De materia, ſeu ſubiecto harum diſciplinarum agamus.
2. De medio Demonſtrationum Geometricarum, ſeu, vtrum ſint De­
 monſtrationes potiſſimæ.
3. De præſtantia ſcientiæ, quam nobis pariunt.
4. Aliquot calumniarum dilutio.
5. De Mathematicis medijs.
Deſubiecto Geometræ, & Arithmeticæ, quod ſolet dici
Materia intelligibilis. Cap. 1.
Primò, agemus de puris Mathematicis Geometria, & Arithmetica,
quarum eſt diuerſa ratio à medijs, Aſtronomia, ſcilicet Perſpecti­
 ua, Mechanica, & Muſica. Quantitas igitur abſtracta à materia
ſenſibili dupliciter conſiderari ſolet. conſideratur enim à Phyſico,
& Mathematico ſecundum ſe, ideſt, abſolutè, quatenus Quantitas eſt; ſiue
terminata ſit, ſiue non; qua ratione affectiones ipſius ſunt, diuiſibilitas, lo­
 cabilitas, figurabilitas, &c. à Geometra verò, & Arithmetico conſidera­
tur non abſolutè, ſed quatenus eſt terminata, vt ſunt in quantitate continua
lineæ finitæ rectæ, aut curuæ, vt ſunt ſuperficies terminatæ, ex quibus variæ
fiunt figuræ, vt circulus, triangulum, &c. vt tandem ſunt ſolida item termi­
 nata, ex quibus variæ exiſtunt ſpecies ſolidarum figurarum, veluti, pyramis,
cubus, conus, cylindrus, &c. quæ ad Geometram pertinent. Quæ omnia in
quantitate etiam diſcreta, ſeu in numeris proportionaliter
1quos ſolùm terminatos Arithmeticus accipit. eſſe autem genera hæc termi­
 natæ Quantitatis Geometriæ, aut Arithmeticæ ſubiectum, ex eo patet, quod
eas ſolas quantitates ipſi definiunt, deque; ipſis varias paſſiones demonſtrant,
easque; omninò ab eis diuerſas, quas Phyſicus, & Metaphyſicus in ea abſolu­
 tè ſpectata conſiderant. Vnde manifeſtum eſt, has affectiones, quas Ma­
 thematicus contemplatur ab ipſa Quantitate, quatenus terminata eſt ema­
 nare; ſunt autem æqualitas, inæqualitas, talis diuiſio, transfiguratio, pro­
 portiones variæ, commenſuratio, incommenſuratio, figurarum conſtructio­
nes, &c. Quæ ſanè affectiones ab intrinſeca Quantitatis natura minimè
fluunt, poſita enim ea interminata, prædictæ paſſiones non conſequuntur,
nihil enim, ea ſic poſita, eſt æquale, aut inæquale, &c. ſed addita Quantita­
 ti terminatione, eæ ab ea per emanationem profluunt. Quapropter inrè di­
 xeris formalem rationem Mathematicæ conſiderationis eſſe Terminatio­
 nem; & obiectum totale adæquatum eſſe Quantitatem terminatam, qua­
 tenus terminata eſt. Ex hac enim terminatione variæ oriuntur figuræ, &
numeri, quas Mathematicus definit, deque; ipſis varia demonſtrat. Atque hæc
eſt illa Quantitas, quæ dici ſolet materia intelligibilis, ad differentiam ma­
 teriæ ſenſibilis, quæ ad Phyſicum ſpectat; illa enim ab hac per intellectum
ſeparatur, ac ſolo intellectu percipitur. Continuum igitur, & diſcretum,
vtrumque terminatum, eſt materia intelligibilis, illud Geometriæ, iſtud Arith­
 meticæ. Hinc etiam patet, cur dicatur Mathematicus conſiderare Quan­
 titatem finitam, quia accipit terminatam, quæ finita eſt: quod enim habet
terminus, ſeu fines, finitum eſt. quod ſi dari poſſet quantitas aliqua termi­
 nata, & ſimul infinita, de ea etiam Demonſtrationes Euclidis fieri poſſent;
ſi enim daretur triangulum infinitum, eodem modo de eo oſtendi poſſet ha­
 bere tres angulos æquales duobus rectis. Porrò hanc terminatam Quanti­
tatem eſſe Geometriæ, & Arithmeticæ ſubiectum minimè cognouerunt ij,
qui Geometricas demonſtrationes impugnarunt, vt in eorum ſcriptis vide­
 re eſt, quæ prima eis fuit errandi occaſio.
Porrò ex hac mathematica abſtractione à materia ſenſibili, fit vt materia
hæc abſtracta perfectionem quandam acquirat, quam perfectionem mathe­
 maticam appellant. v. g. triangulum abſtractum eſt omninò planum ex tri­
 bus lineis omninò rectis, tribusque; angulis punctis omninò indiuiduis con­
 ſtitutum, quale in rerum natura (exceptis fortè cœleſtibus) vix puto repe­
 riri poſſe. vnde nonnulli ſolent Mathematicis illud obijcere; entia ſcilicet
mathematica non extare, niſi per ſolum intellectum. Verumenimuerò ſcien­
 dum eſt entia hæc mathematica, quamuis in ea perfectione non extent, id
tamen eſſe per accidens, conſtat enim naturam, & artem figuras mathema­
 ticas præcipuè intendere, quamuis propter materiæ ſenſibilis ruditatem, &
imperfectionem, quæ perfectas omninò figuras ſuſcipere nequit, ſuo ſine
fruſtrentur; natura enim in truncis arborum cylindri figuram affectat, in
pomis, & vuarum acinis aut ſphæricam, aut ſphæroidem, in cornea oculi
circulum; imò oculus ipſæ maximè ſphæricus eſt. Sol, reliquaque; aſtra com­
 muni omnium conſenſu omninò ſphærica ſunt. ipſa aquæ ſuperficies globo­
 ſa eſt. terraque; ipſa niſi obſtaret materiæ craſſities, & diuerſitas, rotunda pla­
 nè euaderet. lineæ ſpirales conicæ nonne manifeſtè in marinis cochlæis de­
1ſignantur? Cylindricæ, & planæ in nonnullis herbis? Ars præterea palàm
magis eaſdem figuras proſequitur; artifices enim omnia ferè opificia qua­
dratis figuris, aut rotundis, aut circulis, aut ellipſibus induunt. Verum ipſa
quoque ars, non ſecus ac natura, quam imitatur ſuo fine ob materiæ rudita­
 tem defraudatur. Quamuis igitur re ipſa non exiſtant, quia tamen tamin
mente Auctoris naturæ, quàm in humana, eorum Ideæ tamquam exactiſſi­
 mi rerum typi, necnon tamquam exacta entia Mathematica exiſtunt; Ideo
de ipſis eorum idæis, quæ per ſe primò intenduntur, & quæ vera ſunt entia,
agit Mathematicus. Quapropter dicendum eſt, entia hæc Geometrica om­
 nibus numeris abſoluta eſſe entia per ſe, & vera; figuræ verò tum natura­
 les, tum artificiales, quæ in rebus exiſtunt, cùm à nullo efficiente intendan­
 tur, eſſe entia per accidens, imperfecta, & falſa. v. g. triangulum in aliqua
charta depictum, non eſt verum triangulum, ſed verum triangulum illud eſt,
quod in idæa diuina eſt. ex quibus obiter illud intelligas, cur ſcilicet ali­
 quando Plato dixerit Deum geometrizare, ideſt tanquam verum Geome­
 tram non niſi perfectiſſimas idæas contemplari. Eodem etiam modo, Poe­
 tæ, quì res perfectas imitari debent, eas ſaltem vt plurimum, non vt exti­
 terunt verſibus decantant; ſed quales eſſe debuerunt, confingunt, atque lecto­
 ribus, aut ſpectatoribus repræſentant. Vltimò dici poteſt; hæc entia eſſe
poſſibilia, quis enim neget Angelum, aut Deum ea poſſe efficere? ad obie­
 ctum autem ſcientiæ ſatis eſt eſſe poſſibile; ſcientia enim abſtrahit ab exi­
 ſtentia ſubiecti.
In hac præterea intelligibili materia, alio modo materia alia accipitur,
cùm partes ſcilicet dicuntur materia totius, vt quando duo triangula com­
 ponunt quodpiam quadrilaterum, ſunt illa duo trigona materia totius il­
 lius quadrilateri.
Similiter aliquando plures anguli partiales componunt tanquam mate­
 riam totalem angulum. Idem dicendum de alijs ſimilibus, pariter eſſe ali­
 cuius dimidium, aut tertiam partem, aut duplum, aut reliquum cuiuſpiam
totius, referuntur ad veram cauſam materialem, idque; teſte Ariſt. tex. 31.2.
& tex. 3. 5. Metaph. & omnibus Philoſophis. quæ quidem materiæ accep­
 tio, ſimilis eſt acceptioni materiæ phyſicæ, ex qua tanquam ex parte compo­
ſitum conſtatur: conflatur enim ex materia, & forma, tanquam partibus.
diuerſa verò eſt ab ea, quàm phyſici paſſim vſurpant, dum conſiderant ma­
teriam, in qua, aut circa quam, vt aiunt. hoc tamen non obſtat, quominus
illa veram cauſæ materialis rationem non obtineat. Quod etiam Geome­
 tricarum demonſtrationum impugnatores videntur minimè aduertiſſe. quæ
illis ſecunda errandi cauſa extitit.
Poſtremò aduertendum, quòd magni momenti eſt, definitiones tam Geo­
 metricæ, quàm Arithmeticæ eſſe omnino eſſentiales, quæ ſcilicet totam rei
quid ditatem explicent; minimè verò eſſe tantummodo nominis explicatio­
 nes, aut definitiones, vt ijdem perperam exiſtimarunt, qui eorum tertius
eſt error. quod quidem Ariſt. ſenſiſſe manifeſtum eſt, quotieſcunque enim in
Analyticis de ſcientiarum principijs loquitur, inter ea definitiones Geome
 triæ, & Arithmeticæ ſemper connumerat, quod minimè feciſſet, ſi ſolùm no­
 minis eſſent explicationes. Verum quidem eſt eas, vt plurimum eſſe
1& rei, & nominis expoſitiones. quod ſæpè accidit, cùm ſcilicet nomina val­
 dè perfecta, ac rei omnino conuenientia ſunt; nam
Conueniunt rebus nomina ſæpè ſuis.
Huiuſmodi ſæpè ſunt, quæ perfectam continent etymologiam, vbi ipſa
nominis expoſitio, ſimul etiam eſt rei eſſentialis definitio. tales ſunt ſæpè
nomina, & definitiones Geometricæ. Exempli cauſa, talis eſt definitio qua­
 drati, nam quando dico, quadratum eſt figura plana quatuor rectis lineis,
& quatuor angulis rectis conſtans, explico ſimul rationem nominis, & ra­
 tionem rei: dicitur enim quadratum á quatuor illis lineis. Explico deinde
totam eius eſſentiam, quando dico ipſum conſtare ex quatuor lineis rectis,
& quatuor angulis rectis, quæ duo ſimul iuncta conſtituunt totam quadrati
eſſentiam, ſunt enim ipſius differentia conſtitutiua; loco autem generis eſt
figura plana quadrilatera: quapropter erit hæc perfectiſſima definitio, cùm
non ſolum nominis, ſed etiam rei eſſentiam rotam patefaciat; ſtatim enim,
ac cognoſcimus quadratum ex prædictis conſtare nihil amplius de ipſius eſ­
 ſentia animus ſcire deſiderat, ſed acquieſcit, vnde eam eſſe optimam defi­
 nitionem manifeſtum eſt. Huiuſmodi quoque eſt definitio figuræ altera par­
 te longioris, nam cùm dicitur, ea eſt figura plana quadrilatera, quæ rectan­
gula quidem, & æquilatera non eſt, patet inde, cur dicatur altera parte lon­
gior, quòd eſt ipſius etymon: deinde ipſius eſſentia, ita innoteſcit, vt nihil
amplius de ea quærendum ſuperſit. Similiter cum dicitur, æquilaterum trian­
 gulum eſt, quod tria latera habet æqualia, ecce tibi, & nominis, & rei cau­
 ſa. talis eſt etiam prima 6. definitio, ſimiles figuræ rectilineæ ſunt, quæ & an­
 gulos ſingulos ſingulis æquales habent, atque etiam latera, quæ circum æqua­
 les proportionalia; hic enim etymologia, & rei natura manifeſtatur. talis
adhuc eſt prima definitio 10. commenſurabiles magnitudines dicuntur, quas
eadem menſura metitur. innumeras huiuſmodi alias, quæ apud alios Geo­
 metras reperiuntur, miſſas facio, ne in re tam clara longior ſim. ſed alias
contemplemus, quæ nullo modo ſunt nominis definitionis, ſed rei tantum,
prima Euclidis definitio, quæ eſt Puncti, iuxta puncti naturam bipartita eſt,
habet enim eſſe partim abſolutum, partim relatiuum; cùm in prima defi­
 nitione dicitur. Punctum eſt, cuius nulla pars eſt, definitur quatenus abſo­
 lutum, cùm poſtea in tertia definitione dicitur, termini lineæ ſunt puncta,
definitur quatenus eſt quid alterius: ex quibus tota puncti natura fit mani­
 feſta; etymologia verò ne quaquam; nam dicitur punctum à pungendo, quaſi
ſit punctura quædam, quæ notio in Euclidis definitione minimè attingitur.
Similiter cum dicitur, line a eſt longitudo latitudinis expers, vbinam nomi­
 nis ratio? nam linea dicitur à lino, quaſi lineum filum; antiquitus enim ex
lino fila fiebant, quibus fabri ad deſignationes vtebantur, quemadmodum
nunc ex cannabe: at in Euclidis definitione ridiculum eſt hanc rationem que­
 rere; in qua tamen lineæ eſſentia perfectè apparet.
Pariter quando definit ſuperficiem eſſe eam, quæ longitudinem, latitudi­
nemque; tantum habet, apparet quidem rei natura, at verò vbi nominis defi­
 nitio, quæ eſt, dici ſuperficiem, quaſi ſupremam faciem? Cùm dicitur An­
 gulus eſt duarum linearum, ſe mutuò tangentium inclinatio, vbinam vocis
notio? aperitur tamen rei natura, & quidditas. Sed magis manifeſtum eſt
1in linea perpendiculari, quæ proculdubio denominata eſt à perpendiculo,
in definitione tamen nullum huius veſtigium: at verò quid ipſa ſit, optimè
explicatur. Definitio porrò circuli videtur aſſignari non per intrinſeca,
ſed tamen æquiualet intrinſecæ definitioni; quando enim dicitur circulus
eſt figura plana, vncia linea contenta, ad quam ab vno puncto eorum, quæ
intra figuram ſunt, ductæ omnes lineæ ſunt æquales, perinde eſt, ac ſi dice­
 ret, circulus eſt figura plana, cuius medium æquidiſtat ab extremis, quę eſt
eſſentialis; poſita enim hac æquidiſtantia, ponitur neceſſariò circulus. Ve­
 rùm centri definitionem eſſe tantum nominis explicationem; abſurdum eſt:
centrum enim vox gręca eſt, quæ primo ſignificat ſtimulum, vel aculeum il­
 lum. quo Boues agit bubulcus.
At Rhombi definitionem, quàm ridiculum eſt, eam nominis ſolum expli­
 cationem continere, cùm nihil minus. Dicitur enim Rhombus à cuiuſdam
piſcis, vel cuiuſdam textorij inſtrumenti ſimilitudinem, cuius figuram refert.
naturam tamen ipſius definitio aperit, ideſt Rhombus eſt figura plana qua­
 drilatera, æquilatera, ſed non rectangula. Idem perſpicere licet in defini­
tionibus corporum, quarum prima eſt, ſolidum eſt, quòd longitudinem, la­
 titudinem, & craſſitudinem habet; ex qua clarè tota rei natura perſpicitur.
Sed ne longior ſim, innumeras pene alias apud omnes Geometras reperies
omnino eſſentiales, quas prætero: eadem prorſus de Arithmeticę defini­
tionibus ſunt intelligenda, vt eas conſideranti ſtatim patebit. Quod ſi quis
iam fateatur haſce definitiones eſſentiales eſſe, ſed tamen adhuc Mathema­
 ticis illas definitiones cauſales, quas demonſtratio requirit, deneget; is ſi­
 bi refragrantem audiat Ariſt. qui tex. 12. 2. de Anima; ait Tetragoniſmi
extare duas definitiones, vnam formalem, ſeu eſſentialem, quę eſt, Tetrago­
 niſmus eſt effectio quadrati æqualis dato æquilatero; altera verò cauſalis,
ſcilicet Tetragoniſmus eſt inuentio medię proportionalis, quia linea illa me
dia proportionali, eſt cauſa quadrati æqualis datæ figuræ: vide noſtram hu­
 ius loci explicationem. Concedat is igitur oportet, Geometricas de fini­
 tiones non ſolum nominales, ſed etiam formales, & cauſales eſſe. quo no­
 mine Mathematicas definitiones reliquarum ſcientiarum definitiones an­
 tecellere iam certum eſſe poteſt; cùm apud omnes Philoſophos in confeſſo
ſit, vltimas rerum differentias nos latere, ſine quibus vera definitio nulla eſt;
adeò, vt etiam apud eoſdem ambigatur, vtrum illa definitio hominis, ani­
 mal rationale, vera ſit definitio nec ne.
Obijces fortè iterum, definitiones haſce Mathematicarum eſſe vt pluri­
mum definitiones ſubiecti: at in potiſſima demonſtratione, ad quam tendi­
 mus, requiri cauſales definitiones paſſionis primò, & per ſe; definitionem
verò ſubiecti per accidens, vt quando aliquid immediatè ab ea procedens
de ſubiecto ipſo demonſtrandum eſt. reſpondendum cenſeo, primò, quod cùm
definitio cauſalis paſſionis non ſit aliud, quam cauſa ipſius, ſi in definitione
ſubiecti continetur causa paſſionis, aſſumendo definitionem ſubiecti, aſſu­
metur etiam definitio cauſalis paſſionis. ſecundò, quod in Mathematicis
definitiones ipſius ſubiecti ſæpe euadunt definitiones paſſionis, vt infra cla­
rè patebit, quando nimirum ipſum ſubiectum. v. g. quadratum veluti paſſio
de figuratione quapiam demonſtratur; ſiue quando oſtenditur ex quapiam
1conſtructione rectè fieri quadratum, triangulum, lineam perpendicularem,
& ſimilia. tertiò, in præcedenti dubitatione dictum eſſe ex mente Ariſtot.
etiam in Mathematicis eſſe definitiones cauſales, idque; exemplo tetragoniſmi
confirmatum. Ex his, quæ de ſcientiarum definitionibus dicta ſunt, notan­
 da eſt quædam diſparitas inter alias ſcientias, & Mathematicas in modo
procedendi ad ſubiecti proprij cognitionem. nam in demonſtrationibus à
ſigno, à quibus incipiunt vt plurimum aliæ ſcientiæ, ſola cognitio nominis
ſubiecti requiritur, non autem eſſentialis definitio; eius enim eſſentia, quæ
occulta eſt, per accidentia, & proprietates à poſteriori indagatur; qua de­
tecta ab ea iterum ad demonſtrandas paſſiones diſtinctè, & ſcientificè re­
 gredimur. quod ſi primò perfecta obiecti cognitio obijceretur, vt ſit in Ma­
 thematicis ob perfectus earum definitiones pulcherrimo naturæ ordine ab
eſſentia ipſius ad paſſiones demonſtrandas procederemus, vt fit in demon­
 ſtrationibus à cauſa, quales ferè ſemper ſunt in Geometria, & Arithmetica
exceptis demonſtrationibus ab impoſsibili, vbi nobis primò tota ſubiecti
natura ex præmiſsis definitionibus obijcitur, ex qua deinde ſemper à priori
ad inueſtigandas illius paſsiones procedimus; in quo proceſſu definitio ſu­
 biecti pręmitti, eiusque; quidditas ſupponi debet. vnde etiam ſequitur Mathe­
 maticas haſce à notioribus nobis, & natura, vt vult Auerroes, & cæteri ferè
omnes, & ex noſtris maximè Toletus quęſt. 4. ſecundi Phyſ. procedere. no­
tioribus nobis, quia primum omnium manifeſta eſt tota figuræ eſſentia ex
definitione ipſius allata, ignotis adhuc ipſius affectionibus, notioribus na­
 tura, quia prius natura eſt ſubiecti eſſentia, quàm paſsiones, quæ ab ea ma­
 nant, deque; ea demonſtrantur: atque hæc cauſæ eſt, cur ſemper tanti factæ ſine
Geometricæ demonſtrationes, primumque; certitudinis gradum obtineant.
De medio Demonstrationum Geometriæ, & Arith­
 meticæ, ſeu, An ſint potißimæ Demonſtrationes.
Cap. 2.
Coguntur huius tempeſtatis Mathematici ea, quæ antiquiſsimo poſ­
 ſeſsionis iure tutò hactenus poſsiderunt, à nonnullis recentioribus
ea diripere volentibus, omni conatu tutari. quis enim vnquam
alicuius nominis philoſophus ante Alexandrum Piccolomineum
extitit, qui Geometris potiſsimas Demonſtrationes eripere tentauerit?
profectò nullus fatetur ipſe ſe primum inter recentiores hanc veritatem
olfeciſſe, ſed verè omnium etiam antiquorum primus ipſe fuit, nam duos,
vel tres, quos ex antiquis in ſuam ſententiam pertrahere conatur, re vera,
vt infra patebit, minimè pertrahit.
Primo igitur antiquorum auctoritates, præcipuè verò Ariſt. pro parte af­
 firmatiua afferemus. & verò indignum, atque ſuperuacaneum exiſtimo, cùm
eo, qui Ariſt. Analyticos poſteriores legerit, de ipſius ſententia diſputare,
eiusque; mentem, quaſi in fruſta locis aliquot citandis ſecare, cùm totis duo­
 bus libris nihil aliud agere videatur, quàm perfectam Demonſtrationis idęam
1ex Geometricis delineare; quippe qui omnes conditiones, omniaque; ad per­
 fectam demonſtrationem neceſſaria, vbique Geometricis demonſtrationibus
attribuat, idque; non ſolùm præceptis, ſed etiam exemplis perpetuò confir­
 met: ego quidem nihil vnquam Ariſt. clarius expreſsiſſe, nihil fuſius com­
 probaſſe exiſtimo, quàm Geometriæ demonſtrationes omnibus numeris ab­
 ſolutas eſſe, ita vt Philoſopho indignum omninò videatur ſententiam ipſius
adeò manifeſtam aliò detorquere; ſatius eſſet, meo iudicio, palàm peri­
 patetici nomen ex hac parte deponere, quàm hoc modo Peripateticorum
doctrinam, vt nonnulli faciunt, vel diſsimulare, vel tam perperam interpre­
 tari. quamuis igitur ſatis eſſet lectorem ad libros analyticos, eorumque; in­
 terpretes amandare, non grauabor tamen loca aliquot ſelecta, atque adeò
manifeſta in medium afferre, vt magnopere mirandum ſit contrariæ opinio­
nis authores ea pro libito interpretari. quorum primus ſit tex. 23. primi Po­
 ſter. (Vnumquodque autem ſcimus non ſecundum accidens, quando ſecundum illud
cognoſcimus, ſecundum quod ineſt, ex principijs illius, ſecundum quod illud, vt
duobus rectis æquales habere, cui inest per ſe ex principijs huius) vbi manifeſtè
vides Ariſt. aſſerere demonſtrationem illam, qua Geometra oſtendit, omne
triangulum habere tres angulos æquales duobus rectis procedere ex primis,
immediatis, ex ijs, quæ ſunt per ſe, & ſecundum quod ipſum; nullo autem
modo ex ijs, quæ ſunt per accidens. perinde ac ſi diceret eam eſſe potiſsi­
 mam, atque omnibus numeris abſolutam. verùm de hac demonſtratione in­
 ferius pluribus dicetur, interim vide citati loci noſtram explicationem ſu­
 pra in locis Mathem.
Textu deinde 29. primi Poſter. (Conuertuntur autem magis quæ ſunt in Ma­
thematicis, quoniam nullum accidens (ſed & hoc differunt ab ijs, quæ ſunt in di­
 ſputationibus) ſed definitiones) vbi vides Mathematicos nullum accidens, ſen
contingens accipere, ſed definitiones, ideſt, non per aliquod contingens,
ſed per cauſam formalem. tex. verò 31. (Figurarum autem maximè ſcientialis
est prima, mathematicæ namque ſcientiæ per hanc demonſtrationes ferunt, vt Arith­
 metica, & Geometria, & Perſpectiua, & ferè dixerim quæcunque ipſius Propter
quid conſiderationem faciunt) poſtea tex. 11. 2. Poſter. aſſerit demonſtratio­
nem illam, qua Geometra probat, angulum in ſemicirculo eſſe rectum, eſſe
à cauſa materiali, imò eam tanquam optimum huiuſmodi demonſtrationis
exemplum affert. ſed de hac eadem demonſtratione infra iterum dicendum
erit; vide interim prædicti loci explicationem ſupra in locis Mathemat. al­
 latam. hæc ex Logica ſufficiant, ne huc toti poſteriores inſerantur. tex. 68.
2. Phyſ. (Aut enim ad ipſum Quid est, reducitur ipſum Propter quid vltimum in
immobilibus, vt in mathematicis, ad definitionem enim recti, aut commenſurabi­
lis, aut alterius cuiuſpiam reducitur vltimum) ecce iterum cauſa formalis in
Mathematicis demonſtrationibus. vide huius loci explicationem ſupra à
nobis allatam. 6. Metaph. tex. 1. (Mathematicorum quoque principia, elementa,
& cauſæ ſunt) 11. Metaph. cap. 1. ſummæ 3. (Patet igitur tria eſſe genera ſpe­
 culatiuarum ſcientiarum, Naturalem, Mathematicam, Theologiam) ecce tibi,
quam clara ſit Ariſt. ſententia.
Quod ad Platonis auctoritatem attinet, certum eſt, eum in Mathematicis
cauſam materialem, & formalem agnouiſſe, nam teſte Ariſt. primo
1cap. 7. ipſe non credebat aliarum cauſarum, quàm formalis, & materialis,
quas Mathematici tractant, ſpeculationem philoſophicam eſſe magnifacien­
 dam; efficientem enim, & finalem nunquam explicuit, proptereaquod à Ma­
 thematicis, nunquam tractarentur. Proclus præterea cap. 10. lib. 7. in Eu­
 clidem, ait; Mathematicam verò omninò rerum ſempiternarum vim ha­
 bentem, ſcientiam appellat Plato. & paulo poſt, ne dicamus igitur, quod
Mathematicam à ſcientiarum numero Plato expellit. & in fine cap. ait.
(Mathematica tamen eſt ſcientia, non vt à ſuppoſitione immunis, ſed vt propria­
rum in anima rationum cognitrix, & vt cauſas concluſionum afferens) nota illud,
cauſas concluſionum afferens. concludit poſtea ſic, hæc omnia de Platonis
ſententia pro Mathematicis dicta ſint.
Ipſum præterea exiſtimaſſe eas eſſe abſolutiſsimas ſcientias ex multis ip­
 ſius dictis par eſt credere; cur enim dixiſſet, Deum Geometrizare, niſi ob
ſummam Geometriæ excellentiam? cur omnes ageometretos è gymnaſio
ſuo arcebat? cur eas in aſcenſu ad ſummi Boni cognitionem naturali Phi­
 loſophiæ prætulit? quàm autem immeritò in contrariam ſententiam alij eum
ad ſe pertrahant, infra apparebit, cùm calumnias diluemus.
Sequatur tertio loco Procli ipſius authoritas, qui in primo, & ſecundo
libro comm. in Euclidem, totus eſt in Mathematicis, præcipuè verò in Geo­
 metria ſummis laudibus cumulandis, easque; eſſe perfectiſſimas ſcientias ſæ­
 pius non ſolum aſſerit, ſed etiam demonſtrat. Id igitur primum cap. 10. lib.
primi aggreditur, vbi fusè oſtendit ex Platone eſſe ſcientias, quæ concluſio­
num cauſas afferant. i. perfectiſſimas habere demonſtrationes. & cap. 5. lib. 2.
de Euclide loquens, ait (Præcipuè verò circa Geometricam elementorum inſti­
 tutionem eum quiſpiam admirabitur propter ordinem, & electionem eorum, quæ
per elementa diſtribuit, etenim non ca aſſumpſit omnia, quæ poterat dicere, ſed ea
duntaxat, quæ elementari tradere potuit ordine. Adhuc autem omnis generis ſyl­
 logiſmorum modus, alios quidem à cauſis fidem ſuſcipientes, alios verò à certis no­
 tis perfectos, omnes autem inuincibiles, & certos, ad ſcientiamqué, accommodatos)
notanda ſunt illa; à cauſis fidem ſuſcipientes, quibus præcipuè indicat, ſe in
Demonſtrationibus Euclidianis cauſas agnoſcere.
Lib. deinde 3. in comm. ad primam Euclidis propoſit. hæc habet; Quan­
do igitur ſyllogiſmus Geometris per impoſſibile fuerit, ſymptoma tantùm
inuenire cupiunt, quando autem per præcipuam Demonſtrationem, tunc
rurſus ſiquidem in particulari demonſtrationes fiant, cauſa nondum mani­
 feſta eſt, ſi verò in vniuerſali, in omnibus ſimilibus continuò & ipſum pro­
 pter quid manifeſtam fit. Ecce tibi iterum ipſum Propter quid in Geome­
 tricis. & in eod. com. poſt multa; illam autem, quæ demonſtratio dicitur,
quandoquidem propria Demonſtrationi habentem inueniemus, & definitio­
nibus Medijs quæſitum oſtendentem; hæc enim Demonſtrationis perfectio
eſt. Vbi obſeruandum eſt apud Proclum Geometram vti definitionibus pro
Medio; quòd requiritur ad exactiſſimam Demonſtrationem, vt ipſe ait: quod
declarat exemplo primæ Demonſtrationis Euclidis, cùm ait, quando autem
per deſcriptionem circulorum, quod conſtitutum eſt Triangulum æquilate­
 rum eſſe oſtenditur, à cauſa apprehenſio fit, æqualitatem enim circulorum
cauſam æqualitatis laterum illius eſſe dicemus. Quid igitur apud Proclum
1clarius dici poterat? quæ tamen omnia aduerſarij videntur clauſis de indu­
 ſtria oculis præterijſſe; conſtat enim ex opuſculo Piccolominei ipſum dili­
 genter hoc conſilio Proclum perlegiſſe; quì igitur fieri potuit, quin ea vi­
 derit. Sed hodie plurimi non ad verum, ſed ad libitum philoſophamur.
Placuit hos tres ſolos Platonem, Ariſtotilem, & Proclum ex veteribus pro
noſtra ſententia in medium adducere, propterea quod eos ſibi adiungere con­
tra omnem rationem nitantur aduerſarij, vt ex prædictis iam ſatis liquidè
conſtat. Reliquorum verò Philoſophorum, tàm Græcorum, quàm Arabum,
aut Latinorum placita citare ſuperſedeo, etiam ſi omnes vno ore Geome­
tricas demonſtrationes tanquam omnium exactiſſimas celebrauerint, vel
teſte ipſo Piccolomineo, qui initio libelli de certitudine, Mathematica, ſic
ait; omnes ferè Latini, vt D. Albertus, D. Tho nas, Marſilius, Egydius, Zi­
 mara, & plerique, alij vno ore Auerroem interpretati ſunt, dicere Mathema­
 ticas demonſtrationes eſſe in primo gradu certitudinis, quod Mathemati­
 cus ex notioribus nobis, & natura demonſtret, quippequi vel ſolus, vel ma­
 ximè demonſtratione illa, quam potiſſimam appellant, vtatur, qua. ſ. ſimul
& quod effectus ſit, & cur ſit liquidò innoteſcit. Verum ipſe omnium pri­
mus abſolutè dici poteſt, cum nullus ante ipſum, cuius opera extent, id di­
 cat; quamuis ipſe fallo Proclum, Ariſt. & Platonem ſibi conetur adiungere.
Poſt ipſum verò ſoli duo ferè Pererius, & Conimbric. eum ſequuti ſunt. At
verò contrariam ſententiam reliqui omnes poſt ipſum amplexi ſunt; ex qui­
 bus ſolos duos, eosque; præſtantiſſios huiuſce tempeſtatis philoſophos alle­
 gaſſe ſit ſatis. Toletum. ſ. & Zabarellam. Toletus enim quæſt. 4. 2. Phyſ.
in 3. concluſione habet iſta; Phyſicus, & Mathematicus differunt in modo
demonſtrandi, Phyſicus enim frequenter vtitur demonſtratione ſigni, & ef­
fectus, quia ipſius cauſæ frequentius ſunt occultæ, nec per ſe ſenſibiles, effe­
 ctus verò ſunt ſenſibiles, vt mors, motus, &c. quæ ad ſenſum patent, quorum
cauſæ à ſenſibus ſunt remotæ. At Mathematicus frequentius à prioribus
procedit cum eius cauſæ notiores ſint effectibus, à ſenſu enim abſtrahit, &
in intellectu notius eſt, quod prius eſt. videas Lector, quàm ſyncerè natu­
 ralis philoſophiæ profeſſor vera de Mathematicis loquatur, ita vt etiam eas
illi præferat. Iacobus autem Zabarella in toto ſuo opere logico, perpetuò
Mathematicas demonſtrationes, vt potiſſimas agnoſcit, exemplaque; Ariſt.
geometrica exponit tanquam vera, & omnino rebus ipſis accommodata;
quare non eſt, cur vnum, aut alterum ipſius locum hic deſcribamus. illud
non prætermittam, ipſum fateri ſe bis, teruè totum Euclidem ſedulò perle­
 giſſe, vt probè poſſet Ariſt. mentem circa demonſtrationis naturam aſſequi,
cùm videret Ariſt. quæcunque de demonſtratione præciperet, omnia ad Geo­
 metricam normam, tanquam ad lydium lapidem examinare. Locus, vbi
hæc ait, mihi è memoria excidit, certus tamen ſum apud ipſum ea me le­
 giſſe. quarto tandem loco, communi authoritate omnium antiquorum idem
comprobatur, apud quos ſemper demonſtrationes Geometricę appellatæ
ſunt per antonomaſiam demonſtrationes, non rationes, non opiniones, non
ſententiæ, quemadmodum in reliquis philoſophiæ partibus fieri ſolet. Sed
iam ab authoritatibus ad rationes.
Prima, Vera, & perfecta demonſtratio ex Auerrois ſententia debet à no­
1tioribus nobis, & natura procedere, tales ſunt Geometricæ vt paulo ſupra
patuit, ergò ipſæ potiſſimæ erunt demonſtrationes.
2. Ex Themiſtio cap, 2. ſuæ paraphr. 2. Poſter. Demonſtratio potiſſima
debet oſtendere, & quod, & Propter quid. quod profectò cæteris demon­
 ſtrationibus melius præſtant Geometricæ, & Arithmeticæ. v. g. demonſtra­
 tio 32. 3. oſtendit angulum in ſemicirculo eſſe rectum, quod omninò igno­
 tum erat; & affert cauſam, quæ pariter ignorabatur. Idem ferè faciunt aliæ
omnes. in Mathematicis verò medijs, in Phyſica, & Metaphyſica effectus
plerumque noti ſunt, ſed cauſæ latent; dicendum igitur Geometricas demon­
ſtrationes ex Auerroe, & Themiſtio præſtantiſſimas eſſe.
Tertia, quæ eſt euidentiſſima, ſumatur ex reſolutione aliquot demonſtra­
 tionum. Quid enim opus eſt diſputationem hanc per extraneas ambages
agitare? cum licear quaſi in rem præſentem ire, & veluti demonſtrationum
anatome facta oculis ipſis earum media contueri. ſed prius in memoriam
redigendum eſt, illam eſſe perfectiſſimam demonſtrationem, quæ non ſolùm
rei demonſtrandæ cauſam propriam, & adæquatam affert, verùm etiam
euidentiſſimè oſtendit talem paſſionem ab illa cauſa procedere, ita vt non
poſsit, vt ait Ariſt. aliter res ſe habere, in quo profectò Mathematicæ ex­
 cellunt. Cauſa verò hæc in Geometria, & Arithmetica aliquando eſt mate­
 rialis, quando ſcilicet vtuntur pro Medio partibus, reſpectu totius; vel eſt
formalis, quando nimirum Medium eſt definitio ſubiecti, aut paſsionis. non
me tamen latet omnem perfectam demonſtrationem alio ſenſu dici à qui­
 buſdam procedere per cauſam formalem, quia in ea continetur cauſalis de­
 finitio paſsionis, quæ definitio cauſam ipſius exhibet, & proinde tanquam
forma ipſius eſt, quæ rem in eſſe conſtituat.
Secundò notandum eſt: Omnem demonſtrationis diſcurſum reſolui tan­
 dem in aliquid, aut per ſe notum, aut à poſteriori comprobatum. Satis. n.
eſt, vt cauſa euidentur appareat, quocunque id modo fiat. hoc dixi propter
nonnullos, qui cùm in Geometricę demonſtrationibus lineam, aut diuiſionem
aliquam, rei, quæ oſtenditur, non intrinſecam animaduertunt, ſtatim exi­
 ſtimant eas per extrinſeca demonſtrare: ſed decipiuntur; quia non animad­
uertunt lineas illas, aut partitiones, non eſſe medium demonſtrationis, ſed
adhiberi ad medij inuentionem, & connexionem cum paſſione. Quod au­
 tem eorum dubitatio omninò vana ſit ex eo patet, quod plurimæ ſunt de­
 monſtrationes, quæ ſine vlla linearum conſtructione, aut diuiſione compro­
 bentur, vti ſunt 15.33 34.42. 36. in ſolo primo elementorum. atque hæc
erroris eorum præcipua cauſa eſt.
His præmiſſis, primò oſtendemus cauſam formalem in Geometricæ de­
 monſtrationibus reperiri deinde materialem. idque; primò per reſolutionem
primę Euclidis, quæ à cauſa formali procedit. & quia hæc demonſtratio
non theorema, ſed problema eſt, ideò ſciendum, quòd minimè aduerſarij
animaduerterunt, in omni problemate per quandam linearum conſtructionem
doceri aliquid effici. v. g. in præſenti docet Euclides, qua ratione deſcrip­
 tis quibuſdam circulis circa datam lineam, ductisque; aliquot lineis modo prę­
 ſcripto, gignatur triangulum æquilaterum, vt rem conſideranti manifeſtum
eſt. quare nullo modo lineamenta illa, vt illę circulorum ſemidiametri ſunt
1extrinſeca rei, de qua demonſtratur; quinimò ſubiectum ipſius ſunt. Quia
verò facta conſtructione, ſtatim perſpicuè apparet ortum eſſe triangulum,
æquilaterum, non eſt illi curę probare illud eſſe triangulum, ſed quia an ſit
æquilaterum ignoratur, idcircò totus demonſtrationis diſcurſus verſatur in
demonſtranda trium illarum linearum æqualitate.
Quem quidem diſcurſum continere cauſam, quamuis per ſe pateat, vt mox
apparebit, non deeſt tamen Procli authoritas adeò clara, vt magnopere mi­
 rer Piccolomineum Procli ſtudioſum, eam non vidiſſe: Proclus enim in conm
men. huius demonſtrationis hæc habet; quando autem per deſcriptionem
circulorum, quod conſtructum eſt triangulum æquilaterum eſſe oſtenditur,
à cauſa apprehenſio fit; ſimilitudinem. n. & æqualitatem circulorum cauſam
dicimus eſſe æqualitatis laterum illius trianguli. Quibus verbis non ſolum
authoritas, ſed ratio etiam optima, cur hæc ſit demonſtratio à cauſa, con­
tinetur, quia nimirum oſtendit cauſam æqualitatis laterum eſſe, quia ſint
ſemidiametri æqualium circulorum. Quæ argumentatio procedit à defini­
 tione ſubiecti, quod eſt circulus: quamuis non tota, ſed tantum quatenus
neceſſaria eſt, afferatur, ideſt definitio ſemidiametrorum, quod ad demon­
 ſtrandum ſufficit, vt benè notat Zabarella, loquens de hac ipſa demonſtra­
 tione; cùm igitur medium ſit definitio ſubiecti, patet eam eſſe perfectam
demonſtrationem, in qua paſſionis oſtenſæ allata eſt propria, & adæquata
cauſa, quæ eſt natura circuli. ſicque; Euclides optimè demonſtraujt ex con­
 ſtructione, quàm præceperat, gigni triangulum æquilaterum. Subiectum
igitur eſt il a circulorum, ac linearum configuratio, medium definitio cir­
 culi, paſſio triangulum æquilaterum. ex qua demonſtratione erui poteſt etiam
definitio paſſionis cauſalis, ideſt, eſſe triangulum æquilaterum ex tali conſtru­
ctione ortum. Quare huic nihil deeſt ad perfectam demonſtrationem. ex qui­
 bus videas, quàm immeritò nonnulli eam impugnent, putantes eam eſſe per
extranea; cauſa erroris fuit, quia exiſtimarunt abſolutè demonſtrari trian­
gulum illud eſſe æquilaterum. verùm decepti ſunt, quia in hoc, & in omni­
 bus alijs problematis, demonſtratur talem conſtructionem parere triangu­
 lum, vel quadratum, vel quid aliud, vt patet Euclidem, vel obiter inſpicienti.
Placet adhuc alteram à formali cauſa procedentem expendere. ea eſt 46.
primi elem. quæ ſimiliter problema eſt, quo docet Euclides, qua ratione ſu­
 pra data recta linea quadratum deſcribatur. tradit igitur quandam linea­
 rum conſtructionem, ex qua poſtea demonſtrat ortum eſſe quadratum, ita
vt conſtructio illa ſit loco ſubiecti, de qua demonſtratvr eſſe quadratum. non
igitur intendit, vt nonnulli falsò putant, demonſtrare abſolutè illud eſſe qua­
 dratum, ſed ex tali conſtructione ortum eſſe quadratum duo autem ſunt de
eſſentia quadrati, primum habere quatuor latera æqualia, ſecundum habe­
 re quatuor angulos rectos, vt ex definitione conſtat. Neutrum autem ſine
altero ſufficit, nam & Rhombus quatuor latera æqualia habet, & Altera par­
 te longius habet quatuor angulos rectos, neutrum tamen quadratum eſt. ſi
verò vtrunque ſimul cuipiam figuræ competat, illam neceſſariò quadratum
eſſe efficient. Probat igitur Euclid. vtraq, euidenter ineſſe illi figuræ ex vi
illius conſtructionis, & ideò illi quadrati definitionem competere. Quare
hęc erit potiſſima demonſtratio, cùm cauſam afferat intrinſecam,
1& adæquatam, propter quam res eſt. Vbi notandum effectum re vera diſtin­
 gui à ſua cauſa, eſſe enim quadratum (qui effectus eſt) non eſt habere, qua­
 tuor angulos rectos ſolum: neque habere quatuor latera æqualia ſolum, ſed
vtrunque ſimul in eodem; vnde reſultat totum, ſeu compoſitum, quod eſt quid
diuerſum à partibus ſeorſum ſumptis. in demonſtratione autem hac, cauſa
ſunt partes ſeorſim ſumptæ; effectus verò eſt compoſitum, ex earum vnione
reſultans. Notandum præterea eandem demonſtrationem procedere à de­
 finitione ſubiecti, nam illa duo quadrati eſſentialia, ex definitione eorum,
quæ ſunt in conſtitutione petuntur, quæ conſtitutio eſt inſtar ſubiecti, vt ſu­
 pra monui: ex hac autem definitione partium ſubiecti in demonſtratione
contenta, eruitur definitio cauſalis ipſius paſsionis, quæ eſt, quadratum eſt
figura habens quatuor angulos rectos, & quatuor latera æqualia, ex tali con­
ſtructione producta. Notandum tandem quouis modo ſiue à cauſa, ſiue ab
effectu oſtendantur illa duo eſſentialia quadrati, ineſſe ipſi, nihil referre ad
demonſtrationis perfectionem. Satis. n. eſt, ſi habeamus rei cauſam propriam,
ita vt aliter ſe habere nequeat. ſexcentæ huiuſmodi per formalem cauſam,
apud Euclid. Archim Appoll. & alios Geometras reperies. vide Appendi­
 cem, ad finem operis, in qua omnes primi elem. demonſtrationes reſolutas
inuenies, plurimasque; à cuſa formali.
Sed iam materialem cauſam indagemus, idque; duce Ariſt. accipiamus igi
tur celeberrimam illam 32. primi elem. quam Mathematicis ſolent aduerſa­
 rij opponere. & quoniam ſupra tex. 23. 1. Poſter. nos eam per cauſam ma­
terialem procedere oſtendimus, ideò ne actum agamus, explicationem illam
nunc opus eſt relegere. Hoc tamen loco partem ipſius primam, angulum,
videlicet externum cuiuſuis trianguli, æqualem eſſe duobus internis, & op­
 poſitis, examinabo; cuius medium, ſi ad rigorem demonſtrationis rediga­
 tur, eſt hoc; externus angulus eſt diuiſibilis in duos angulos, quorum ſingu­
 li ſingulis internis ſunt æ quales, ergo etiam totalis anguius erit æqualis am­
 bobus internis ſimul ſumptis. Quod autem externus angulus ſit diuiſibilis
in duas partes æquales internis angulis probat diuidendo illum per lineam
illam oppoſito trianguli lateri parallelam, vnde ſtatim ex parallelarum na
tura apparet partiales angulos anguli externi æquales eſſe internis triangu
 li; ex quo ſequitur totum externum angulum eſſe æqualem duobus internis
ſimul ſumptis. Hic autem modus argumentandus, à partibus poſsibilibus ad
totum, eſſe à cauſa materiali, apud omnes Philoſophos in confeſſo eſt, & Ari­
 ſtot. ipſe tex. 3. 5. Metaph. id aſſerit. & tex. 11. 2. Poſter. vtitur ſimili exem­
plo ad materialem cauſam explicandam. quamuis autem Geometræ non di­
 cant talem angulum, vel talem figuram eſſe diuiſibilem in partes æquales alijs
quibuſdam, ſed ſtatim diuidant, id faciunt breuitatis cauſa; vtuntur enim
actu pro potentia, quia actus potentiam ſupponit, quòd optimè Ariſtot. 9.
Metaphyſ. tex. 20. annotauit, ſic; Deſcriptiones quoque actu inueniuntur,
diuidentes namque inueniunt, quòd ſi diuiſæ eſſent, manifeſtæ eſſent, nunc
autem inſunt potentia, &c. Cuius loci noſtram ſuperius allatam explicatio­
 nem habes. per deſcriptiones autem intelligit Geometricas demonſtratio­
 nes, vt ſæpius ſupra in opere oſtenſum eſt. Innumeræ ſunt apud Geometras,
quę per hanc poſsibilem diuiſionem procedunt, quęque ideò ſunt à cauſa
1teriali; plures autem eſſe in primo elem. conſtat ex appendice in fine ope­
 ris addita. Notandum hic quoque cauſam eſſe natura ſua diſtinctam ab effe­
 ctu, non ſecus ac potentia ab actu; nam ex eo, quòd poſſit aliquid diuidi in
partes æquales aliquibus, ſequitur illud totum eſſe actu æquale alteri, & eſt
à priori, quia partes natura prius ſunt toto, cùm ſint ipſius cauſa. Notan­
 dum hic etiam parallelam illam, qua angulus diuiditur, duci ad medium de­
 monſtrationis indagandum, nequaquam verò ipſam eſſe medium, & idcir­
 cò demonſtrationem hanc non eſſe per extrinſeca, niſi velis minorem pro­
poſitionem per extrinſeca oſtendi, quòd libenter concedimus, cùm iſtud de­
 monſtrationi nihil deroget. Eſt autem per intrinſecam, propriam, & adæ­
 quatam cauſam illius æqualitatis, partes enim reſpectu totius ſunt tales.
eſt igitur potiſſima demonſtratio, quòd erat demonſtrandum.
Poſtquam Euclides hanc primam propoſitionis partem demonſtrauit,
oſtendit alteram. ſ. omne triangulum habere tres, &c. quoniam partes duo­
 rum rectorum ſunt æquales tribus angulis illis. quod medium pariter eſt à
cauſa materiali, à partibus ad totum. Vide huius explicationem tex. 23.
1. Poſter. vbi etiam videbis eam poſſe demonſtrari modo Pythagoreorum,
abſque vlla diuiſione, ſed per partes actu exiſtentes. hoc dico propter eos,
qui per haſce diuiſiones timent, ne non inueniatur medium á priori. ſed vt
deponant penitus hunc ſcrupulum, ſciant in huiuſmodi demonſtrationibus,
quibus aliquid ęquale alteri adhibita diuiſione demonſtratur, ſępè accide­
 re, vt non diuidatur, niſi vnus terminorum ęqualitatis, quare ex parte in­
 diuiſi ęqualitas cauſabitur à partibus actu pręcedentibus, & conſtituentibus
totum; quod videre eſt in vtraque parte huius. 32. ſecundum Euclidem, & in
47. primi elem. & alijs plurimis.
Sed primò Piccolom. ex Proclo obijcit hęc (Quando enim eo, quòd extrin­
ſecus angulus duobus internis, & oppoſitis æqualis est, oſtenditur triangulum ha­
 bere tres angulos æquales duobus rectis, quomodo à cauſa eſt demonstratio hæc? non
ne medium certum ſignum est? etenim neque externo exiſtente angulo cùm interni
exiſtant, duobus rectis æquales ſunt; eſt. n. triangulum latere etiam non producto)
Pergit deinde Proclus demonſtrare primam Euclidìs demonſtrationem eſſe
per cauſam, & proinde veram demonſtrationem, quòd Piccolomin. in ſua
citatione callidè videtur reticuiſſe. Ad obiectionem reſpondeo primò. angu­
 lum externum in Euclidiana demonſtratione minimè extraneum eſſe, quia
in hac ſecunda parte aſſumitur pro ſubiecto demonſtrationis, ideſt pro par­
te duorum rectorum, ipſe enim cum angulo ſibi deinceps facit duos angulos
rectos, quibus tres anguli trianguli probantur ęquales: quod Proclus non vi­
 detur vidiſſe. Secundò, ſi hęc Euclidiana illi non probatur, accipiat de eadem
re Pythagoricam, quę abſque angulo externo, & ab que vlla diuiſione probat
intentum; & erit omnis ſublata dubitatio. Tertiò, ſi conuincerent aduer­
 farij, quòd nequaquam faciunt, hanc non eſſe à priori, ſequitur ne propte­
 rea reliquas omnes eſſe ei ſimiles, vt ipſi inferre conantur? minimè gentium.
quo logico iure ab vno particulari inferre volunt vniuerſale?
Secundò, obijcies, paſſionem hanc, habere tres angulos, &c. non recipro­
 cari cum triangulo, ſeu non eſſe ſecundum quod ipſum, vt aiunt Logici: re­
peritur enim figura quędam pręter triangulum, vt patet apud Proclum, quę
1eandem habet proprietatem. Reſpondeo habere tres angulos rectilineos
(de his. n. Euclides agit) æquales, &c. cùm triangulo conuerti, nam Proclus
eam conuertit. figura autem illa alia, quę habet tres angulos ęquales duo­
 bus rectis, non habet angulos rectilineos, neque. n. rectilinea eſt, vt apud Pro­
 clum videre eſt: & ideò non eſt ad mentem Euclidis, aut Pythagorę. ſed iam
cum Proclo concludamus, ſic; quia etiam illud quoque dicendum eſt, quòd
internos angulos duobus rectis æquales habere, per ſe, & ſecundum quod ip­
 ſum triangulo ineſt: idcircò & Ariſtot. in tractatu de demonſtratione hoc
exemplum habet in promptu, ſecundum quod ipſum conſiderans, hęc ille.
Aliam per cauſam materialem ex mente Ariſt. expendimus tex. 11. 2. Po­
 ſterior. vbi ait, angulum in ſemicirculo eſſe rectum, quoniam eſt dimidium
duorum rectorum, quod medium eſt in cauſa materiali, eſſe enim dimidium
eſt eſſe partem. Cauſa igitur, quæ facit angulum illum eſſe rectum, eſt di­
 midia quantitas duorum rectorum, quę ipſum conſtituit; ſed fortè melius
dicemus, ſi dixerimus, ideò eſſe rectum, quia eſt diuiſibilis in duas partes,
quę ſimul ſumptę, ſunt æquales dimidio duorum rectorum, ſiue vni recto.
Linea verò per quam diuiditur, non eſt medium, ſed medij manifeſtiua.
In ſequenti appendice ad finem Operis plures alias videbis in ſolo primo
elem. à cauſa materiali.
Neque verò neceſſe eſſe exiſtimo demonſtrationem quampiam ex Arithme­
 tica examinare, cùm conſtet eam eodem prorſus modo cum Geometria de­
 monſtrare, vt planè in 78. & 9. elem. videre licet: imò quęcunque hactenus
de altera ſunt dicta, de vtraque intelligenda eſſe volumus, nam vt eſt apud
Eutocium in comm. Apollonij: ταυτα γαρ μαθηματα, δοκουντι ειμεν αδελφα.
Contra prædicta generatim obijciuntur.
Primò, cauſæ iſtæ Geometricę non videntur veræ cauſę, nonnisi ſatis
videntur ab effectibus ſuis diſtingui: nam in cauſa formali partes
definitionis ſunt idem cum definito; & in cauſa materiali partes ſunt
idem cum toto, ergo non ſunt verę cauſæ, & proinde neque veræ de­
 monſtrationes. Reſpondeo primò, ſupra dictum eſt, quando partes ſeor­
ſim, & non vt totum componentes ſumuntur, diſtingui à toto, quod partes
vnitas ſignificat, & præterea formam compoſiti; quæ diſtinctio non eſt ſo­
 lius rationis.
Secundò, licet non appareat tanta diſtinctio hic, quanta in Mathemati­
 cis medijs, & Phyſica, eſt tamen tanta, quę ſufficiat ad perfectiſſimam de­
 monſtrationem, quod patet authoritate Ariſt. Platonis, Procli, & omnium
Gręcorum, Arabum, & Latinorum (præter duos, vel tres recentiores) qui
omnes haſce demonſtrationes perſectiſſimas, eſſe conſentiunt, vt ſup. diximus.
Tertiò, quantacunque ſit hæc diſtinctio, certum eſt eam non eſſe ſolius ra­
 tionis, quod clarum eſt, primo apud eos, qui putant relationem diſtingui à
fundamento, vt aiunt, realiter, modaliter, vel formaliter. Secundò, conſtat
etiam apud reliquos omnes, præſertim apud recentiores, qui variæ eam de­
 nominant, alij. n. eam formalem, alij realem, alij modalem, alij ex natura
1rei, alij realem modalem, & alij alijs formalitatibus eam appellant; qui­
 bus ſingulis aliquam realitatem illi ineſſe ſignificant, quæ ſufficit ad perſe­
 ctam demonſtrationem. ſatis enim eſt ad perfectam demonſtrationem, vt
per eam cauſa propria, & adæquata effectus, iuxta rei naturam, detegatur,
ſic enim intellectui noſtro fit ſatis, vt acquieſcat, & verum intueatur, quod
eſt finis perfectæ demonſtrationis. neque verò maior, aut minor diſtinctio fa­
 cit, vt cauſa ſit magis, aut minus vera, ſed vera illa eſt cauſa, quæ verè cau­
 ſat effectum à ſe non ratione tantum diſtinctum: & proinde vera illa demon­
 ſtratio eſt, quæ pér eam demonſtrat. quartò hæc, quamuis parua diſtinctio,
multum tamen ex alia parte conducit ad demonſtrationis perfectionem, ex
ea enim fit, vt in demonſtratione liquidò appareat, cauſam illam eſſe ve­
 ram, & propriam affectionis demonſtratæ, ita vt non poſſit à propinquiori
procedere; quod in nulla alia ſcientia tam euidenter apparet.
Obiectio 2. Geometra oſtendit eandem concluſionem per plures demon­
 ſtrationes, ergò per diuerſa media, atqui vnius effectus eſt vna tantum cau­
 ſa propria, & adæquata.
Reſpondeo primò, eandem rem oſtendi quidem per plures demonſtratio­
 nes, quarum vna eſt à priori, altera verò à poſteriori. ſecundò, ſi omnes ſint
à priori, tunc eſſentialiter eſſe vnam tantum, plures verò accidentaliter,
quia in omnibus erit idem medium præcipuum, ſed conſtructio, qua illud
detegitur diuerſa, vt patet in 32. primi, quam aliter Pythagorici, aliter Eu­
 clides, aliter Proclus demonſtrarunt, ſed tamen in omnibus eſt idem Me­
 dium, cauſa ſcilicet materialis, quamuis diuerſa ſit conſtructio.
Obiectio 3. Demonſtrationes Geometricæ non conſtant ex proprijs, &
per ſe, non enim Geometra conſiderat eſſentiam Quantitatis, neque eius
paſsiones, quatenus ab illius eſſentia manant, quare ex communibus qui­
 buſdam, & merè extrinſecis neceſſe eſt procedere. Reſpondeo ex dictis cap.
1. de materia intelligibili, & definitionibus Geometricis huic obiectioni
abundè fieri ſatis. materia enim Geometriæ non eſt quantitas ſecundum ſe,
ſed quatenus terminata, cuius totam eſſentiam ex definitionibus eſſentiali­
 bus Geometra cognoſcit: quorum vtrumque aduerſarios latuit.
Præterea falſum eſt, Geometram ex communibus pluribus ſcientijs pro­
 cedere, quod vetat Ariſt. 1. Poſter. procedit enim ex principijs communi­
 bus quantitatibus terminatis, ideſt figuris, & numeris; quod non ſolum li­
 cet, ſed etiam debet fieri ex 1. Poſter. tex. 20. & 25. neque vnquam idem prin­
 cipium repetit, niſi vbi eſt effectus formalis ipſius, & non niſi contrahendo
ad illud particulare.
Recentiorum calumniæ aduerſus Mathematicas
diluuntur. Cap. 3.
Prima eſt, qua Alexander Piccolomineus, & eius ſectatores malè con­
 tra Mathematicos Proclum adducunt, quod, vt manifeſtè videas,
hic tibi deſcribam integram Procli ſententiam, quam ille mutila­
 tam citat, & quidem græcè, vt melius lateat. libro igitur 3. in
1clid. ſic habet: At cauſam, & ipſum Propter quid Geometriam minimè
contemplari pluribus viſum eſt, huiuſce enim ſententiæ eſt Amphinomus
Ariſt. duce. hæc ſunt, quæ Piccolomineus græcè citat, quibus deinde ſubdit,
quid amplius quærimus pro hac ſententia? ſed non ne aduertis Lector, præ­
 dictum ſententiam non eſſe Procli, ſed Amphinomi cuiuſdam nullius nomi­
nis philoſophi, qui ſub falsò Ariſt. patrocinio Geometricæ cauſas auferre
conabatur, quæ tamen ac ſi Procli ipſius eſſet à Piccolomineo in medium,
affertur. ſed videamus, quæ Piccolomineus prætermiſit, pergit poſtea
Procius, inueniet autem aliquis (inquit Geminus) huius etiam inquiſitio­
 nem in Geometria, quo modo Geometræ non eſt quærere qua de cauſa, in
circulis quidem infinita multiangula inſcribantur: in ſphæris verò multian­
gula ſolida æquilatera, & æquiangula ex ſimilibus planis conſtructa infinita
inſcribere eſt impoſsibile. ad quem enim ſpectaret hoc inueſtigare præter
Geometram? Hæc eſt ſententia Gemini à Proclo allata ad Amphinomi opi­
 nionem confutandam. Pergit poſtea Proclus ex propria ſententia ſic; Quan­
 do igitur Geometris ſyllogiſmus per impoſsibile fuerit, ſymptoma tàntum
inuenire cupiunt, quando autem per præcipuam demonſtrationem, tunc rur­
 ſus, ſi quidem in particulari demonſtrationes fiunt, cauſa nondum manife­
 ſta eſt, ſi verò in vniuerſali, in omnibusque; ſimilibus continuò & ipſum Propter
quid manifeſtum eſt. hæc eſt tota illius loci integra ſeries, quàm aduerſarius
mutilatam obtrudebat. vbi apertè vides, Procli de Geometria ſententiam.
Secunda calumnia eſt, qua contra Mathematicos Ariſt. quamuis inuitum
interpretantur. neque ſolum loca ipſius clariſsima ex analyticis, phyſicis, &
metaphyſicis, quæ ſuperius recitauimus in alienum ſenſum detorquent; ſed
præter ea vnicum tantum locum, qui expreſsè Mathematicis refragari vi­
 deatur, afferunt, cumque; ſibi falsò fauere confingunt. is eſt in angulo quodam
operum ipſius, in ſecundò videlicet Moral. Eudem. cap. 7. ſic, in immobi­
 libus autem, vt in Mathematicis non per ſe, ſed ſimilitudine quadam prin­
 cipia appellantur. cuius germana interpretatio non contra, ſed pro Mathe­
 maticis eſt: loquitur enim ibi Ariſt. de principio efficiente, à quo fiunt actio­
 nes humanæ, & per motum, vt doceret in homine eſſe principia quarundam
actionum, quæ propriæ ſunt hominis, & liberæ. talia autem principia ne­
 gant eſſe in immobilibus, quoniam ſunt entia neceſſaria, & libertatis exper­
 tia; eſſe tamen ſecundum ſimilitudinem, ideſt, vt ſe habent principia libera
ad actiones liberas, ita principia neceſſaria ad actiones neceſſarias: vnde
ſequitur, quod quemadmodum principia libera ſunt adæquata cauſa illarum
actionum; ſic etiam principia Mathematica erunt cauſæ adæquatæ paſsio­
num Mathematicarum; quod ipſe Ariſt. teſtatur paulo poſt, his verbis: nam
ſi habente trigono duos rectos, neceſſe eſt, tetragonum quatuor rectis con­
 ſtare, clarum eſt, quod trigonus duos rectos habens cauſa eius exiſtit. & vt
intelligamus eum loqui de propria cauſa, quæ ſit medium demonſtrationis,
ſubdit; id autem neceſſariò euenire patet ex analyticis. quare Mathemati­
 cis maximè fauet hic locus, contra quàm aduerſarij autumabant. nullus igi­
 tur locus apud Ariſt. reliquus eſt, qui noſtræ ſententiæ apertè non faueat.
Tertia, qua contra Mathematicos Platonem ipſum eximium Mathema­
ticarum fautorem, ac ſtudioſum excitare conantur; aiunt enim ipſum 7. de
1Rep. dicere Mathematicos circa quantitatem ſomniare. Verùm, ne falla­
 cia ſubſit, ecce tibi Platonis verba è græco ſyncerè tranſlata. Reliquæ ve­
 rò, quas diximus verarum rerum quoquo modo eſſe participes, Geometriam
ſcilicet, eiusque; comites circa ipſam eſſentiam quodammodo ſomniant: ſyn­
 cerè autem quicquam ab illis cernere impoſſibile eſt, tantiſper dum ſuppo­
 ſitionibus hærent, easque; ratas, & immobiles adeo ſeruant, vt illarum ratio­
 nem reddere nequeant. Aduerte primò Platonem non dicere Geometram
abſolutè ſomniare, ſed quodammodo ſomniare: deinde non dicere circa
quantitatem, ſed circa eſſentiam: vnde ſi liberet funem cum eis trahere
contentioſum, verbisque; hærere, vt ipſi faciunt, nihil contra Mathematicos
facerent. ſed eſto intelligat ipſam quantitatem, videamus quid ſibi velit. vt
autem iſtud videamus, ſciendum eſt, totius 7. de Rep. diſcurſum eſſe in con­
 ſtituendo Reip. Cuſtode, & Gubernatore, quem in primis vult eſſe optimè
natura, tam ad agendum, quàm ad ſpeculandum idoneum: vult præterea
ipſum ſapientiſſimum eſſe, ideſt Theologiam, quàm etiam Dialecticam no­
 minat, optimè callere, per quam abſque vllo diſcurſu rerum, ac præcipuè ſum­
 mi Boni eſſentias contempletur. ad hanc diuinam contemplationem, vt
peruenire poſſit, opus ait eſſe eum humanis aliquot diſciplinis imbutum eſ­
 ſe. totam autem Philoſophiam inibi partitur in tres partes, in Dialecticam,
ſeu Theologiam, quam intellectui attribuit abſque vlla ſuppoſitione, & di­
 ſcurſu: hancque; ſolam ſcientiæ nomine dignam eſſe exiſtimat. ſecundò, in
Mathematicam, quam in cognitione, ſeu ratiocinatione collocat, & pro­
 pterea principia ſupponit. tertiò tandem in opinionem, quæ verſatur circa
res naturales, quæ in imaginatione ab eo collocatur. Iuxta hanc trimem­
 brem diuiſionem ex Platonis ſententia ſic habet Marſilius Ficinus in argu­
 mento huius 7. de Rep. Diuina ſiquidem in tribus aquis repręſentari viden­
 tur, primò quidem licet confuſius in rationibus phyſicis. ſecundò, diſtinctius
in Mathematicis. tertiò, clariſſimè in Metaphyſicis. & paulo poſt: Diuinas
denique formas omninò immortales, resque; veras Plato exiſtimat, quarum,
imagines quidem ſunt mathematicæ formæ, vmbræ verò res naturales. &
poſtea: Cùm autem animaduertat Thaletem, Democritum, Anaxagoram,
tam negligentes in rebus diuinis fuiſſe, quàm diligentes in naturalibus; Phæ­
 recidem contra, & Pythagoram, Pythagoreosque; omnes Mathematicorum
Principes pariter ſummos extitiſſe Theologos, moribusque; diuinos, meritò
partim ratione, partim experientia concluſit curioſum naturalium ſtudium
animum à diuinis ſæpè auertere. & poſt nonnulla: Quare ſeptimus hic liber
de Rep. vbi animum ad ſummum Bonum, Solemque, ideſt Deum, idæasque;
diuinas, quaſi ſtellas, conuenientibus producit gradibus, nullam in ipſo
aſcenſu naturalis peritiæ facit mentionem, ſed mathematicos quoſdam gra­
 dus ad Diuina commodius perducentes adducit in medium, inter quos duo
ſunt puri, Arithmetica, & Geometria, &c. reliquas deinde Mathematicas
Plato enumerat, ac ſingillatim commendat, atque in Rempub. admittit. poſt
multa iterum Ficinus ſic, cùm ergò dicit, animam à lucerna ad Lunam, à
Luna ad Solem attolli, ſignificat Plato à formis naturalibus ad Mathemati­
 cas, ab his ad diuinas denique eleuari. & nonnullis intermiſſis, denique Theo­
 logiam, quam etiam Metaphyſicam, & Dialecticam dicit, omnibus
1tatibus anteponit, vt ducentem omnes, & ad ſuum officium vtentem mini­
 ſterio ſingularum. officium autem eius eſſe per totam entis progredi latitu­
 dinem, atque ad ipſum Bonum totius entis cauſam, ſe conferre, & quid vnum­
quodque ſit definire, rationem cuiusque; eſſentiæ aſſignando, quiduè quamlibet
ſequatur eſſentiam demonſtrare. Cæteras autem facultates præ huius no­
 bilitate iudicat eſſe ſeruiles: aut enim ad opiniones hominum declinant, aut
ſaltem etſi ad incorporea ſe ſe pro viribus erigunt, nihilominus circa illa
quodammodo ſomniant, quales eſſe inquit Mathematicas. ex quibus iam
clarè vides Platonem dixiſſe Mathematicas quodam modo ſomniare circa
eſſentiam rerum, non abſolutè, ſed comparatione ad Theologiam: intelli­
 gis etiam cur Mathematicas nolit ſcientias appellari, quia nimirum ſolam
Theologiam hoc nomine dignam cenſebat: qua de cauſa minus Phyſicam,
eodem nomine dignam putauit, cùm eam opinionem, Mathematicam verò
cogitationem, vel ratiocinationem dicat. ob eandem comparationem aſſe­
 rit etiam Mathematicas minus eſſe certas, quam Theologiam, quoniam,
ſcilicet hæc nihil ſupponit, nihilque; diſcurrit, ſed intuetur: illæ verò iactis
quibuſdam principijs, quæ probari nequeunt, diſcurrunt, proptereaque; in
ipſo diſcurſu poteſt error aliquis contingere. eandem huius loci explica­
 tionem habes apud Proclum cap. 10. lib. 1. in Euclid. ſic; Verum quid ſibi
velit Plato, quando in libris de Rep. à Mathematica ſcientiæ nomen abſtu­
 lit breuiter dicam. & paulo poſt; hanc denique ſcientiam, quam ab artibus
diſtinguimus diuidens, vnam quidem ſuppoſitionis expertem eſſe vult, alte­
 ram verò ex ſuppoſitione ſcaturire. & poſt pauca: & ſic ait Mathematicam
tanquam ſuppoſitionibus vtentem ab ea, quæ ſuppoſitionibus caret, perfe­
ctaque; eſt ſcientia deficere: vna enim verè eſt ſcientia, per quam omnia, quæ
ſunt cognoſcere apti ſumus. perſpicuè igitur vides auctoritate horum phi­
 loſophorum hæc omnia Platonem non abſolutè, ſed comparatè dixiſſe.
Poſt hæc Ficinus iterum ex ſententia Platonis ſic pergit: quoniam verò
diſſerendi facultas, ſi adoleſcentibus tradatur opinionem honeſti debilitat,
vnde euadunt intemperantes, imò & ſuperbi, & impij, vt in Philebo quoque,
& legibus dicitur, idcircò ante trigeſimum ætatis annum in Mathematicis
erudiendi ſunt, atque in publicis negotijs per interualla pariter exercendi.
concludamus tandem hæc pulcherrimo eiuſdem 7. de Rep. loco, quem etiam
Proclus lib. 1. cap. 8. ad verbum ferè ſic recitat: Ideo & in Repub. Socrates
rectè dixit, oculus, nimirum animæ, qui ab alijs ſtudijs excœcatur, defodi­
turque; à Mathematicis tantum diſciplinis recreari, excitarique; rurſus ad eius,
qui eſt, contemplationem, & à ſimulacris ad ea, quæ vera ſunt: nam pulchri­
 tudo, & ordo Mathematicarum rationum, firmitudoque, ac ſtabilitas con­
 templationis, nos ipſis coniungit intellectibus, perfectèque; in ipſis obfirmat,
perpetuò quidem manentibus, & diuina pulchritudine collucentibus, ac mu­
 tuum ordinem ſeruantibus. Animaduertiſti Lector ex his paucis, quot lau­
 dibus in hoc 7. de Repub. Mathematicæ à Platone cumulentur, vt totus ferè
liber quoddam ipſarum encomium videatur: vnde mirum ſit, iſtos ex eo­
 dem ſeptimum locum illum contra Mathematicas, inter tot ipſarum præ­
 conia ſedulò emendicaſſe, ac perperam interpretatos eſſe: ſicque Araneos
imitatos eſſe, qui ex mellifluis floribus, ex quibus Apes mella, venenum col­
1ligunt. Verumenimuerò quis vnquam de Platonis mente erga Mathemati­
 cas dubitare poterit, cùm ipſe omnes ageometretos è ſuo gymnaſio reijce­
 ret; cùm quotidie, vt ex Philopono refert ipſe Piccolomineus auditoribus
ſuis aliquod Problema Mathematicum proponeret. qui de legibus 6. & 7.
de ſingulis Mathematicis addiſcendis leges ſancit, vbi Geometriam adeò ex­
 tollit, vt aſſerat, aſymetriam quantitatum ignorare, non hominum, ſed por­
 corum, ac pecorum ignorantiam eſſe. In Epinomide tandem quàm digna,
quamque; præclarè de Aſtronomia, deque; Geometria, & Arithmetica, quæ ad
eam conferunt, prædicat. præcipua autem Aſtronomiæ laus ibi tradita eſt,
quod ea, inter omnes ſcientias, animum ad cœleſtia, atque diuina attollit, in­
deque; ad ſummi Boni cognitionem, atque amorem allicit, quam veram eſſe ſa­
pientiam diuinitus inibi Plato pluribus fatetur. plura alia Platonis loca bre­
 uitatis cauſa, prætereo; quis enim, vel leuiter eum attingit, quì non per­
 ſpicuè videat, eum ſuper omnes Philoſophos eſſe Mathematicarum com­
 mendatorem eximium.
Quarta eſt Mathematicas, Geometriam preſertim conſiſtere in imagi­
 natione potius, quàm in diſcurſu, & proinde ſcientias eſſe puerilis ingenij,
cùm pueri valeant imaginatione. accedit authoritas Ariſt. qui 6. Eth. cap. 8,
ait, quid eſt, quòd puer fieri Mathem. poteſt, ſapiens, aut naturalis non po­
 teſt? præterea, quia antiquitus pueris ante alias tradebantur. Reſpondeo,
quòd, vt in præcedenti reſponſione dictum eſt ex Plat. ſententia, non ima­
ginatio, ſed ratiocinatio, ſeu cogitatio verſatur circa Mathematicas, ima­
 ginatio autem circa naturalem Philoſophiam; ſed audi Platonem in eodem
ſeptimo. Placet igitur, ait, primam partem vocare ſcientiam, ſecundam
cogitationem, tertiam fidem, poſtremam imaginationem. Conſtat autem
vltimas duas ab ipſo collocari in naturali peritia. adeſt etiam Procli autho
 ritas, qui cap. 5. lib. 1. ſic habet; Inſtrumentum itaque aptum ad iudicandum
cunctas res Mathematicas cogitationem ex Platonis ſententia ſtatuimus,
quippequæ opinione quidem ſuperior eſt, ab intelligentia verò ſuperatur.
Per cogitationem verò intelligendum eſſe quendam mentis motum, ideſt
diſcurſum, tum ex vi græcè vocis Nοηματος, tum ex vi Latinæ vocis manife­
 ſtum eſt; cogitatio enim dicitur quaſi coagitatio. ſ mentis, quæ idem eſt cùm
diſcurſu, aut ratiocinatione: quare manifeſtum eſt horum Philoſophorum
authoritate ratiocinationem verſari circa Mathematicas, imaginationem
verò circa res phyſicas, contra quam ipſi contendebat. Verum quid opus
eſt authoritate, vbi res ipſa videri poteſt, conſideret quilibet Geometricas
demonſtrationes, clarè videbit opus quidem eſſe non mediocri imagina­
 tione, ſed multo maiori diſcurſu, ſunt enim in nonnullis, 50. & 60. conſe­
 quentiæ, vna poſt alteram inuicem connexæ. Sed quid dico in nonnullis cùm
totum Euclidis opus ſit perpetua quædam illationum catena mirabilis, ita
vt vltimæ ipſius demonſtrationes contineant, ſi reſoluantur conſecutionum
miriadas; at verò omnis illationis expers prorſus eſt imaginatio. Si verò
ipſarum inuentionem conſideremus, admirabiles omninò videbuntur, tum
quia res omnino abſtruſas, & abditas demonſtrant, tum quia media, quibus
eas comprobant, diuino ingenij acumine indigent, vt inueſtigentur; vt prop­
 terea earum authores nomina ſua immortalitati conſecrarint; ſic
1tis Mileſij 5. primi; Oenipodis 11. Pythagoreorum 32. Pythagoræ ipſius
47. inuentorum adhuc nomina celebrantur: Hippocrati quadraſſe lunulam,
Archimedi Parabolam, quantam gloriam peperit? Apollonij Pergęi Coni­
 ca magni Geometræ nomen ei compararunt. hæc & plura alia non ſolum
puerilis ingenij acumen, verum etiam virilis captum magnis ſpatijs ſupe­
 rare videntur. Cur autem Ariſt. dixerit puerum fieri poſſe Mathematicum
non autem ſapientem, aut naturalem, ipſe declarat, quia nimirum in vtraque
eorum opus eſt experientia, quæ in puero non eſt, experientiam enim affert
temporis longitudo: facilius tamen puer moralia intelligit, quam Geome­
 trica, facilius enim eſt intelligere quid virtus, quid vitium, &c. quam quin­
 tam, aut ſeptimam primi; non ideo tamen puer erit prudens, quia pruden­
 tia non ſpeculatiua, ſed practica eſt, Itaque quod puer ſapiens, aut natura­
 lis eſſe nequeat, defectus non eſt ex parte intellectus, ſed ex parte experien­
 tię. Neque præterea dicendæ pueriles ſunt, quòd antiquitus, vt vult etiam
Plato, pueris primò traderentur, quandoquidem in illis totius ætatis robur,
& florem inſumebant, cùm ad 30. vſq; ætatis annum in eis, occuparentur.
pueriles meritò dicerentur, ſi in pueritia tantùm eis operam dediſſent. Di­
 cam ſyncerè, quod ipſe, dum eas per plures annos docerem expertus ſum;
quoſcunque reperi ingenio in Mathematicis pollere, hi pariter in alijs omni­
 bus excellebant. Requirit enim ſtudium iſtud omnes ingenij partes, imagi­
 nationem, diſcurſum, & memoriam. Idcircò veteres puerorum ingenium
ad Mathematicas quaſi ad Lydium lapidem experiebantur; ijsque inepti à
reliquis ſtudijs arcebantur. audi Platonem 7. de Repub. An & hoc aduer­
 tiſti, quod homines natura Arithmetici ad omnes doctrinas, vt ita dixerim
acuti videantur.) & poſtea concludens ait, propter omnes, quas adduxi­
 mus rationes, haud quaquam negligenda hæc ſunt, ſed in his præcipuè eru­
 diendi, qui optimis ſunt ingenijs.
Quinta, Geometria carpitur, quòd plures habeat demonſtrationes per
ſuperpoſitionem factas, qui modus demonſtrandi videtur aduerſarijs valdè
imperfectus, ac penè ridiculus. Sed ſciendum primò in toto Euclide eſſe tan­
tummodo tres per ſuperpoſitionem. Secundò, eas eſſe tam perfectas, ac eui­
dentes, quàm reliquæ; falluntur, qui putant illam ſuperpoſitionem eſſe de­
 monſtrationis medium, eſt enim loco conſtructionis: neque, quæ proban­
 da ſunt æqualia, ea ſuperponuntur, vt ipſi putant, hæc enim ratio nullius eſ­
 ſet momenti, nec Geometrica, ſed Phyſica potius, niteretur enim ſenſibus:
ſed ſuperponuntur quædam, quæ æqualia ſunt, vt ex eorum ſuperpoſitione
appareat æqualitas eorum, quæ non ſuperponuntur. Conſidera quartam
primi videbis ibi ſuperponi quædam latera æqualia duorum triangulorum,
vt deinde baſes, quæ non ſuperponuntur, inferantur eſſe æquales: & ratio,
qua probantur æquales eſt, quia congruunt, non quia ſuperponuntur, vt ipſi
putant, nec intelligunt, quodnam ſit illius demonſtrationis medium.
Sexta calumnia ridicula, eſt cuiuſdam, qui Geometras reprehendit, quòd
ſæpè vtantur circulo, vt patet, inquit, in prima, 6. 4. & 8. primi elem. ſi. n. lo­
 quatur de circulo, qui figura eſt, in ſola carum prima is adhibetur, vt patet, vel
figuras ipſas more puerorum ſpectanti: ſi loquatur de circulo, quòd vitium
eſt in demonſtrando, id multo magis falſum eſt, cùm in nulla earum reperiatur.
1
Septima eſt, qua dicunt Geometras non habere materiam veram, & pro­
 priam, ea enim Phyſica eſt, & proinde neque cauſam materialem. Sed dicé­n
 dum eſt Geometras quidem carere propria materia phyſica, non carere ta­
 men propria materia Mathematica, quæ eſt illa intelligibilis, de qua cap. 1.
dictum eſt.
Octaua, eſt cuiuſdam dicentis, opinionem communem eſſe, Mathematicam
non eſſe propriè ſcientiam; ſed hoc manifeſtè falſum eſt, cum inter tot Phi­
loſophos Græcos, Arabes, Latinos, ſolùm ipſe duos, vel tres huius ſenten­
 tiæ in medium poſſit afferre, Piccolom. .ſ. quem ſequitur Pererius.
Nona, eſt alterius, qui Geometras damnat, quòd plura reuocant ad illud
vniuerſale axioma, quæ ſunt eadem vni tertio, ſunt eadem inter ſe. Verùm
iſte malè Geometrarum principia nouit, axioma enim illud, nuſquam apud
Mathematicos reperitur, neque reperiri pot., cum quantitatem non inuoluat.
Decima, qua dicunt entia Mathematica non extare: ſed ex initio dictis
de materia intelligibili hęc nota ſatis detergitur.
Vndecima, abſtractionem à materia multum derogare perfectioni Mathe­
 maticarum demonſtrationum; cui reſpondeat eruditiſſimus Toletus, qui
in 2. Phyſ. quæſt. 4. ſic ait: Phyſicus frequentet vtitur demonſtratione effe­
 ctus, & ſigni, quia ipſius cauſæ frequentius ſunt occultæ nec per ſe ſenſibiles,
at Mathematicus frequentius à prioribus procedit, cùm eius cauſæ notio­
 res ſint effectibus, à ſenſu .n. abſtrahit, & in intellectu notius eſt, quòd prius
eſt. Poſtea in 4. concluſ. ſic ait: omnem phyſicæ imperfectionem à materia
pendere, vnde Ariſt. 2. Metaphy. tex. 16. tradens huius non exactæ certitu­
 dinis rationem ait: natura materiam habet: & poſt pauca: At res Mathe­
 maticæ, cùm ab hac materia ſeparent ſimpliciter neceſſariæ ſunt, ſemper
enim omnis triangulus habet tres angulos æquales duobus rectis. ex quibus
apparet omnem Mathematicarum perfectionem oriri ex abſtractione, con­
 trà quàm putabat aduerſarius.
Duodecima eſt, Mathematicas abſtrahere à Bono: verùm eas ab ea libe­
 rat Ariſt. dum lib. 13. Metaphyſ. ait: qui dicunt Mathematicas ſcientias ni­
 hil de bono, vel pulchro dicere, falſum dicunt: dicunt enim, & maximè oſten­
dunt, nam etiamſi non nominant, quia tamen opera, & rationes oſtendunt,
non ne dicunt de eis? pulchri namque; maximè ſpecies ſunt, ordo, commen­
 ſuratio, & definitum, quæ maximè à Mathematicis ſcientijs oſtenduntur.
Decimatertia eſt, Geometriam, & Arithmeticam, vt ſunt ſpeculatiuæ ſcien­
 tię eſſe inutiles, atque iniucundas. Sed hæc oppoſitio in omnes quadrat ſpe­
 culatiuas, quæ non vtiles, ſed gratia ſui ſunt. quod maximè ij ſolent oppo­
 nere, qui ſcientias, vt ille cecinit cauponantur, ſeu qui eas quæſtuoſas fa­
 ciunt. Verùm hos animo mercatores potius, quàm Philoſophos amande­
 mus ad cap. 8. 9. & 10. libri primi Procli, vbi fusè de vtilitate earum omnium
diſſerit. Quod ſi Philoſophus ſit, qui hæc opponat; huic illa ſufficiat vtili­
 tas, qua loca omnia Ariſt. Mathematica, quę ferè quadringenta ſunt, facilè
Mathematicarum auxilio intelliguntur, ſicque; ad plenam totius Ariſt. intel­
 ligentiam, tandem perueniri poteſt.
Quod attinet ad delectationem inuenient, inibi apud Proclum hæc, cui
Mathematicarum diſciplinarum cognitionem ſpernunt, voluptates, quæ in
1ipſis ſunt, minimè deguſtarunt. & quì Mathematicas ignorant iecunas ca­
 piunt voluptates. Ex quibus fit, vt viri nobiles, ac Principes, quì non lu­
 crandi, ſed philoſophandi cauſa literis dant operam, Mathematicis maxi­
 mè ſtudijs delectentur. inter quos celeberrimi extiterunt, ex antiquis qui­
 dem Archimedes Regum Siciliæ conſanguineus; Boetius vir conſularis;
Alphonſus Rex Hiſpaniarum: noſtra verò ætate Marchio Guidobaldus, Prin­
 ceps Ticho Brahe; Franciſcus Candalla, & alij complures, quorum monu­
 menta in omne æuum permanſura mundus admirabitur.
Decimaquarta, ſubiecti ignobilitatem Mathematicis exprobrant, quod
videlicet ſit accidens. ſed reſpondetur primò, quod quamuis ſit accidens,
eſt tamen immateriale, & abſtractum, qua ratione inter ſubiectum Phyſicæ,
& Mathematicæ collocatur. ſecundò, melius eſſe de aliquo accidente veri­
tates innumeras cognoſcere, easque; admirabiles, quàm circa ſubſtantiam ma­
 terialem præſertim, mille opinionum turbis, ac diſſenſionibus perpetuò huc
illuc agitari, neque vnquam ad vllius ſubſtantiæ cognitionem peruenire. ter­
 tiò, in Mathematicis medijs aliter ſe habere, vbi non nudam quantitatem,
ſed vel cœleſtia corpora omnium nobiliſſima, vel ſonos muſicos, vel viſionis
modos, ac deceptiones, vel cauſas virium machinarum eodem fine, ac ſco­
 po, quo cæteri Philoſophi cætera contemplantur.
Decimaquinta eſt, quod ſiue ioco, ſiue ex eruditionis ignoratione addunt
Mathematicos legibus tum prophanis, tum ſacris ſæpius proſcriptos, ac
damnatos fuiſſe; atque olim non rarò Imperatorum editis Romano imperio
pulſos. Verùm iſtis nequaquam opus eſſet reſpondere, cùm vix nullus adeò
eruditionis expers reperiatur, quì ignoret illos pſeudomathematicos fuiſſe
eos, quì, & quidem aptius, & Genethliaci, & Chaldæi, & Iudiciarij dice­
 bantur. quorum doctrina nullo mihi pacto probari poteſt, cùm nullis nec
experientijs, nec rationibus fulciatur, ſed mera vanitas, atque impoſtura, ſæ­
 pè etiam ſuperſtitio ſit. vt propterea mirandum ſit, cur non pęnitus huiuſ­
 modi artes de medio tollantur, ſed quod ait Cor. Tacitus lib. 1. hiſtor. hoc
genus hominum potentibus infidum, ſperantibus fallax, in Ciuitate no­
 ſtra, & vetabitur ſemper, & retinebitur. lege libros 12. Pici Mirandulani
contra Aſtrologos. accedunt præterea Tycho, & Keplerus, quì quamuis
Aſtronomi, Aſtronomiam tamen iſtam pluribus improbarunt. Calumniosè
tamen ij faciunt, quì illorum nebulonum culpam in omnes Mathematicos
transferre geſtiunt. Atque hæc tantummodo dicta velim, ne ſimpliciores ab
iſtis calumniatoribus decipiantur.
Decimaſexta, qua in vniuerſum proponunt hoc modo, vtrum Mathema­
 ticæ h. beant perfectas demonſtrationes, poſtea in diſcurſu multa contra
eas adducunt, quæ tandem in fine tractationis contra ſolas Geometriam, &
Arithmeticam valere fatentur. Quare niſi lector ad finem vſque omnia per­
 legerit, quod rarò accidit, decipitur, putat enim in omnes Mathematicas
illa quadrare, cùm tamen ipſi fateantur, ſe nunquam loquutos eſſe de me­
 dijs Aſtronomia, Muſica, Optica, Mechanica, quibus ineſſe veram ſcientiæ
demonſtratiuæ rationem libenter concedunt.
Decimaſeptima, eſt cuiuſdam recentiſſimi Philoſophi, quì vbi pluribus
contra Mathematicas diſſeruit, nihil, vt fieri ſolet, ſibi obijcit, verum
1plura Ariſt. & veterum philoſophorum loca ſibi aduerſantia diſſimulat: tan­
 dem, quod nullus adhuc auſus eſt, concludit Mathematicam nullam eſſe
Philoſophiæ partem, cùm tamen apud Ariſt. & omnes peripateticos nihil
frequentius occurrat, quam tres eſſe philoſophiæ partes, Phyſicam, Mathe­
 maticam, & Metaphyſicam. ait præterea ſæpius certitudinem Mathemati­
 cam ex eo prouenire, quod ad ſenſum oſtendant, ſeu quod ſenſu ipſarum ve­
 ritates percipiantur; quod omninò falſum eſſe ſæpius ſupra probatum eſt,
cùm eorum materia ſit omninò intelligibilis, non autem ſenſibilis, & nullus
eſt, qui eas, vel leuiter attigerit, quì iſtud palàm non fateatur.
Scias denique candide Lector, me ſyncerè omnia, & ſolius veritatis amo­
 re hucuſque dixiſſe, vt experiri poteris, ſi authores, quos citaui, adieris,
quod vt facias, obſecro, plura enim, quam dixi, reperies. è contrariò vi­
 diſti, quàm ſolicitè, alij, quorum munus eſſet eas fouere, ac tueri, contra pul­
cherrimas haſce facultates, neſcio quo conſilio tam ſolicitè egerint.
De præstantia ſcientiæ, quam nobis pariunt Geometria,
& Arithmetica. Cap. 4.
Scientiarum nobilitas, atque præſtantia non ex ſubiecto, & medio ſo­
 lum, verùm etiam, & quidem multò magis ex notitia, quæ per illas
acquiritur, quippeque; illarum finis eſt, penſanda eſt: quanto enim hæc
præſtantior, ac nobilior eſt, tanto etiam illæ excellentiores ſunt ha­
 bendæ. Verumenimuerò, vt ait Ariſt. initio 2. Metaphyl. Finis ſcientiæ eſt
veritas. quod & Plato confirmat, dum in Sympoſio aſſerit, animi cibum eſ­
 ſe veritatem, atqui Geometria, & Arithmetica, cùm ſemper euidentiam
pariant, ſemper etiam veritatem conſequentur, vnde Ariſt. 1. Ethic. cap. 7.
Geometram appellat veritatis ſpeculatorem. cùm præterea reliquæ ſcien­
 tiæ (Mathematicis medijs exceptis) rarò euidentiam pariant, rarò etiam
veritatem aſſequentur, ſed ferè ſemper opiniones gignent, vnde eas meritò
non ſcientias, ſed opiniones Plato voluit appellari: ſequitur abſolutè di­
 cendum eſſe, Mathematicas reliquarum ſcientiarum præſtantiſſimas eſſe;
quemadmodum inter opiniones præſtantiſſimum quid eſt veritas.
Neque verò ſolum huius notitiæ excellentia à veritate deſumitur, verum
etiam ab admirabilitate, ſunt enim concluſiones Mathematicæ (paruis ex­
 ceptis) admirabiles veritates, licet enim cùm Cicer. primo de orat ſic ad­
 mirati; quis ignorat, ij, qui Mathematici vocantur quanta in obſcuritate
rerum, & quàm in recondita arte, & multiplici, ſubtilique; verſantur? Et ve­
 rò quis non admiratur, cùm intelligit, omne triangulum habere tres angu­
 los æquales duobus rectis? & omnem figuram rectilineam habere angulos
externos, etiamſi mille ſint, æquales tantummodo quatuor rectis? Item
duo parallelogramma ſuper eadem baſi, & in ijſdem parallelis conſtituta
æqualia eſſe, etiamſi alterum quantumuis longum efficiatur? quàm admira­
 bilis eſt 47. primi, pro cuius inuentione Pythagoras Muſis Hecatombas
immolauit? In ſecundò deinde Elem. lib. quàm ſubtilis eſt 14. quæ rectili­
 neo cuiuis quadratum exhibet æquale. In tertiò poſtea, quot quantaque;
1gulus ille contingentiæ continet miracula, qui quamuis quantus ſit, neque
tamen à linea recta partiri. ſed ne longior ſim, quis in 10. libro conſiderans
illam tot magnitudinum aſymetriam, & diametrum eſſe coſtæ incommen­
 ſurabilem, non magnopere obſtupeſcit, atque cum Platone non aſſerit illius
ignorantiam, non hominum, ſed ſuum, ac pecorum eſſe? In 13. quanto
ſtupore afficimur in illa quinque regularium corporum in eadem ſphæra in­
 ſcriptione? & cum intelligimus quinque tantum in tota rerum natura repe­
 riri poſſe ſolida regularia? meritò igitur Cardanus lib. 16. de ſubtilit. ait;
Euclidis ſunt duæ præcipuæ laudes, inconcuſſa dogmatum firmitas libri
elementorum, perfectioque; adeò abſoluta, vt nullum opus iurè huic compa­
 rare audeas, quibus fit, vt adeò veritatis lux in eo refulgeat, vt ij ſoli in ar­
 duis quæſtionibus videantur poſſe verum à falsò diſcernere, quì Euclidem
habeant familiarem.
Quod ſi ad Archimedis opera oculum conuertamus, quam ſæpè nos ea
reddunt ſtupefactos? vt dum oſtendit triangulum quoddam eſſe dato cir­
 culo æquale. dum Parabolam ad quadratum redigit: dum planorum centra
grauitatis rimatur: dum totius arenæ mundum vniuerſum complentis nu­
 merum ſubducit: dum quodlibet pondus, atque adeò mundi machinam loco
dimoueri poſſe, vel ab vnica formica demonſtrat. quamquam hæc duo ad
medias pertinent. At libellus de lineis ſpiralibus, & alter de ijs, quæ in aqua
vehuntur, quam admirandi ſunt? De ſphæra poſtea, & cylindro varia de­
monſtrans, quanto & alios, ac ſe ipſum ſpatio ſuperat, vt dum inter cætera
diuino planè acumine oſtendit cuiuſlibet ſphæræ ſuperficiem quadruplam
eſſe circuli eiuſdem maximi. Item ſi tria hæc, cylindrus, ſphæra, & conus,
ſint in eadem altitudine, eorumque; baſes ſint circuli maximi illius ſphæræ,
habere inuicem proportionem, quam habent hi numeri 3. 2. 1. quare ob tam
præclarum ingenij monumentum, ſepulcro ipſius marmoreo ſphæra, & cy­
lindrus marmorei ſunt impoſiti, quemadmodum Cicero lib. 5. Tuſcinarrat,
vbi etiam magnopere gloriatur, ſe cum in Sicilia Quæſtor eſſet, illud igno­
ratum ab Syracuſanis ſeptum vndique, ac veſtitum vepribus, & dumetis in­
 dagaſſe ſepulcrum. meritò igitur Cardanus lib. 16. de ſubtil. eum tanquam
ingeniorum Phænicem ſupra omnes ſubtilitate præſtantes viros, atque adeo
ſupra Ariſtot. ipſum duplici ordine euexit; Archimedes, inquit, primus ſit
non ſolum ob monumenta illius nunc vulgata, ſed ob mechanica, quibus
vires Romanorum ſæpius fregit. Apollonius deinde pergæus cognomento
Magnus Geometra, nulla ratione Archimede inferior, quam mira, quam
abſtruſa in ſuis conicis in lucem profert? ſed inter cætera illud admirandum;
inueniri duas lineas, quas vocat aſymptotos, quæ ſi in infinitum producan­
 tur, ſemper magis inuicem accedunt, nunquam tamen concurrunt. miſſos
facio Hipſiclem, Theodoſium tripolitam, Menelaum, Serenum, Pappum, &
alios, quorum opera omnem ſuperant admirationem, eaque; mirabili adeo
connexione, ac certitudine tradita, vt nullus ſit, qui priſcis illis Geometris
ingenio cedere libenter nolit. Quapropter cum Cardano lib. 16. de ſubtil.
hanc partem concludamus; nihil mirum igitur, inquit, Geometriam eſſe
omnium ſcientiarum ſubtiliſſimam, quæ cùm tamen à manifeſtiſſimis ini­
 tium ducat, meritò anſam præbuit, vt prima omnium etiam pueros
1retur. mirum eſt, quam breui ex apertiſſimis ad obſcuriſſima trahat, & ex
humillimis in altiſſima ſtatim aſſurgat.
Sed iam Arithmeticæ etiam fructus inſpiciamus: in qua pręter ea, quæ
Euclides, Iordanus, & Maurolicus egregia ſanè adinuenerunt, quàm mira­
 bile eſt illud veluti ſcientiarum monſtrum, ac portentum, quod Algebram
vocant? nihil fortaſſe in tota peritiæ Encyclopedia ſubtilius, profundius ni­
 hil, non humano ingenio par eſt, ſed quid cœlitus reuelatum dixeris: nume­
 ros illos, quos ſurdos vocant, & qui nullo modo exprimi poſſunt, addit, ſub­
 trahit, multiplicat, diuidit, perinde ac ſi numeri communes eſſent: illis ve­
 rò, quos minores, quàm nihil confingit, quid abſtruſius? quibus tamen vtriſque;
admirandas adeò diſſoluit quæſtiones, & enigmata, vt ij, qui hanc callent
eruditionem, nihil in numerorum infinita ditione obſcurum, nihil arduum ti­
 meant; vt propterea eos non homines, ſed vel intelligentias quaſdam ſepa­
 ratas, aut præſtigiatores quoſdam eſſe exiſtimes.
Hanc tandem Geometriæ, & Arithmeticæ tractationem abſoluentes, ex
prędictis breuiter earum prærogatiuas ſic perſtringamus: quarum.
Prima ſit, quòd omnes ſcientiæ partes ab inuicem diſtinctas obtinent, vi­
 delicet primo loco definitiones, easque; eſſentiales. Secundò, poſtulata. Ter­
tiò, axiomata, quę ſunt tria principiorum genera; ex quibus ſcientia dedu
 citur. quapropter quarto loco ſuccedunt propoſitiones cum ſuis demon­
ſtrationibus: quæ partim problemata, partim Theoremata ſunt. hunc por­
 rò doctrinæ ordinem pulcherrimum ab Ariſt. etiam traditum, præterquam
in Mathematicis, & maximè hiſce puris nuſquam eſt reperire.
Secunda, ex principiorum autem præmiſſorum certitudine fit, vt proce­
 dant à notioribus nobis, & natura.
Tertia, quod omnes earum comprobationes ſunt demonſtrationes, partim
à priori, partim à poſteriori, vbi nihil probabile, nulla opinionum diſcordia,
ſed totum euidens, concors, & verum cernitur.
Quarta, demonſtrationes à priori ſunt tantum à cauſis intrinſecis mate­
 ria, & forma.
Quinta, demonſtrationes earum, vt plurimum, & quod, & propter quid
ſimul manifeſtant.
Sexta, eſt mirabilis, & perpetua demonſtrationum connexio, & depen­den
 tia ab inuicem.
De Mathematicis medijs, Aſtronomia, Perſpectiua,
Mathematica, Muſica. Cap. 5.
De materia harum, cùm apud Philoſophos conueniat, nihil eſt,
cur de ea dicamus. Eas verò habere perfectiſſimas demonſtra­
 tiones, quibus etiam mirabiles veritates, easque; ſcitu iucundiſſi­
 mas nobis patefaciunt, vna, eademque, opera breuiter demonſtra­
 bimus. non deeſt tamen Ariſt. authoritas 1. Poſter. tex. 30. aſſerentis eas
habere cauſas demonſtrationum, ſic. Hic enim ipſum quidem quòd ſenſi­
 tiuorum eſt ſcire, ipſum verò propter quid Mathematicorum, hi namque;
1bent cauſarum demonſtrationes. loquitur ibi de medijs hiſce facultatibus.
vide noſtram illius loci explicationem ſuperius allatam; aut ſi mais aliorum.
ſed iam rem ipſam oculis inſpiciamus.
Et, vt ab Aſtronomia initium faciamus, demonſtratio eclypſis Lunæ (etiam
Ariſt. eiusque; interpretibus præcipuè Zabarella teſtibus) non ne potiſſima?
nam affectionis illius, ſeu defectus propriam, & adæquatam cauſam euiden
 tem facit, interpoſitionem, videlicet terrę. Idem de ſolari defectu dicen­
 dum, cuius cauſam oſtendunt eſſe Lunæ obiectionem. quas demonſtratio­
 nes ab Aſtronomis inuentas eſſe ex ipſorum libris conſtat. & quòd medio vtan­
tur Geometrico, nimirum circulo, & diametris, & diametrali oppoſitione.
quàm deinde certæ ſint, patet ex eclypſium infallibili prædictione.
Secundò, cur Sol plures dies in parte Zodiaci æſtiua; quàm in hyberna
moratur? cauſam afferunt Apogæum.
Tertiò, cur Luna ſucceſſiuè illuminatur? quia ſphærica eſt.
Quartò, cur in horologijs ſolaribus tropici ſunt lineæ curuę? æquator
verò linea recta? quia illi ſunt ſectiones conicę, æquator verò eſt ſectio duo­
 rum planorum.
Quintò, cur Sol non totam ſimul terram illuminat, ſed ſucceſſiuè? quia
terra ſphærica eſt.
Quam deinde mirabiles, ac iucundæ ſunt cognitiones illæ, de quibus ipſæ
ſacræ literæ mirabundæ loquuntur? altitudinem videlicet Cœli, atque pro­
 funditatem abyſſi improbo ſanè auſu perſcrutari? terræ, Lunæ, Solis magni­
 tudines, ac diſtantias acumine planè diuino nobis euidenter tradidiſſe? to­
 tius denique mundi fabricam, ac ſymmetriam, qua cognitione nihil præſtan­
 tius, potiſsima hæc nobis philoſophia manifeſtum facit; vt jure liceat illud
accinere:
Felices animæ, quibus hæc cognoſcere primum,
Inque domos ſuper as ſcandere cura fuit.
Admouere oculis diſtantia ſydera noſtris,
Aetheraqué, ingenio ſuppoſuere ſuo.
Aſtronomiæ pars iucunda æquè, ac mirabilis eſt Geographia: qua, vel in
globo, vel in tabula, terras omnes, maria omnia, quaſi præſentes licèt con­
templari. quoque loco vnumquodque ſit, qua zona, quo climate, magna iu­
 cunditate percipitur.
In perſpectiua etiam neque deſunt perfectæ demonſtrationes, v. g. cur ocu­
 lus ſphæricus? vt illi vndique lineæ perpendiculares poſſint accidere. Sed cur
lineæ perpendiculares? vt diſtincta fieret viſio; ecce cauſæ finales. Cur con­
cauum ſpeculum ibi vrit? quia ſolares radij reflexi illuc congregantur. Cur bacu
 lus in aqua fractus apparet? quia per lineas refractas videtur. Cur Iris rotun­
da? quia non videtur, niſi ſub ſtatuto angulo, qui non niſi in orbem collo­
 cari poteſt. vbi ſimul vides, quàm dignæ quoque ſint hæ cognitiones.
In mechanicis poſtea: cur cuneus tantas obtinet vires? quia eſt vectis
geminatus. Vnde cochleæ tanta vis? quia conſtat cuneo, & vecte. Verum
quid admirabilius, quàm quodlibet pondus, vel ipſum vniuerſum, vnius for­
 micæ vi poſſe commoueri? ipſamque; naturam, vt ait Ariſt. vel inuitam ſupe­
 rare. quàm ſubtìlia ſunt ea, quæ de centro grauitatis Archimedes olim, nu­
1per verò Commandinus, & Lucas Valerius demonſtrarunt.
Muſica tandem ſuas habet demonſtrationes, v. g. Tonum conſtare ex duo­
 bus ſemitonijs minoribus, & commate, quia ratio ſeſquioctaua duobus ſe­
 mitonijs minoribus, & vno commate conſtat. Tonus autem in ſeſquiocta­
 ua ratione conſiſtit. Item Diapentem conſtare ex tribus tonis, & ſemitonio
minori; quia ſi ex ſeſquialtero interuallo, quòd eſt diapentes demas ſeſqui­
 tertium, reſtat ſeſquioctauum. Seſquitertium verò continet duos tonos cum
ſemitonio minori; ecce cauſæ materiales. Cur bis diapente, aut bis dia­
 teſſaron conſonantia componi non poteſt? cauſam huius habes ſupra ſectio­
 ne 19. problem. nu. 34. ſed quàm mirum eſt Pythagoram ſonos in propor­
 tiones diuiſiſſe, non ſecus, ac ſi quantitates quædam permanentes eſſent?
Reliquum eſſet de Mathematicis etiam practicis nonnulla dicere, in qui­
 bus omnes quoque cauſæ manifeſtæ reperiuntur; ex eò enim, quòd practicæ
ſunt, neceſſariò finem inuoluunt. efficientem verò materiam, & formam ſæ­
 pè adhibent ad præmiſſas probandas, quas aſſumunt ad concludendum id,
quod principaliter intendunt. Porrò inter practicas omnium præſtantiſſi­
 ma eſt Geometria practica; quis enim non admiratur, cùm audit Geome­
 tram ſolo viſu inacceſſas etiam magnitudines quaſcunque, vt turres, vel
montes menſurare?
Ex quibus liquidò conſtant Mathematicas habere perfectiſſimas demon­
ſtrationes, quarum cauſę ita ab effectu diſtinguntur, vt nullis calumnijs ſint
obnoxiæ: quare etiam ſi aduerſarij conuincant, quòd neutiquam faciunt,
Geometriam, & Arithmeticam illis carere; reliquis tamen prædictis con­
 cedere coguntur: easque; per omne cauſarum genus excurrere, quòd tan­
ta præterea euidentia præſtant, vt nihil ambiguum, nihil contro­
 uerſum relinquatur: Mathematicę namque teſte etiam Ariſt.
1. Elenchorum non ſunt contentioſæ. Vnde ſit, vt to­
 ta hæc adeò digna, atque admiranda cognitio ſit
mera veritas, quæ omnium ſcientiarum finis
atque animæ noſtræ cibus eſt.
LAVS DEO.
1
APPENDIX.
Placet nunc demum, vt melius àdhuc Mathematica­
 rum natur a pateat, locaqué Arist. Mathematica ma­
 gis illustrentur, Demonſtrationes primi Elemento­
rum Euclidis breuiter expendere, atque vnamquamque
ad ſuum demonſtrationis genus referre.
Prima igitur Demonſtratione Euclides oſtendit Triangulum il­
 lud eo modo conſtructum eſſe æquilaterum, hoc proximo medio,
quia ſcilicet habet tria latera æqualia, quod medium eſt ipſius
ſubiecti demonſtrationis, ſiue trianguli æquilateri definitio:
quare hæc demonſtratio erit per cauſam formalem.
Secunda Demonſtratione oſtendit duas lineas eſſe æquales, quoniam am­
 bæ ſunt vni tertiæ æquales, quæ ratio nititur illi axiomati, quæ ſunt æqualia
vni tertio, ſunt etiam inter ſe. eſt quidem demonſtratio oſtenſiua, ſed non
per cauſam, verum à ſigno: eſſe enim æquales vni tertiæ, eſt ſignum æquali­
 tatis earum.
Tertia Demonſtratio eodem medio vtitur, quo ſecunda.
Quarta Demonſtratio oſtendit, primò de illis duobus triangulis, quod
habent baſes æquales, quia baſes congruunt ſibi mutuo. ſecundò, oſtendit
alios duos angulos eſſe æquales alijs duobus vtrumque; vtrique; eadem ratione,
quia nimirum ſibi mutuò congruunt. ſi dixeris igitur, quod ſibi mutuò con­
 gruere ſit definitio æqualis, erit demonſtratio per cauſam formalem; ſi au­
 tem dixeris eſſe ſignum æqualitatis, erit à ſigno, & à poſteriori.
5. Oſtendit de Triangulo Iſoſcele, primò, quod Anguli, qui ſunt ad ba­
 ſim, ſunt æquales, ratio eſt, quia ablatis æqualibus ab æqualibus ipſi ſunt
reliqui. Quæ quidem ratio etiam Ariſt. teſte, eſt per cauſam materialem;
nam eſſe dimidium, tertiam partem, duplum, reliquum, alicuius totius, &
ſimilia, nihil aliud eſt, quàm eſſe partes reſpectu totius; partes autem ſunt
materia, vt apertè docet Ariſt. tex. 3. lib. 5. Metaph. quem ſupra cum alijs ex­
plicatum habes. ſecundò, demonſtrat de eodem Iſoſcele, angulos infra baſim
eſſe æquales, ratio, quia opponuntur ęqualibus lateribus triangulorum quar­
 tæ præcedentis, quæ ratio videtur ſignum quoddam æqualitatis eorum eſſe.
6. Probat duo illa latera illius trianguli eſſe æqualia, ab impoſſibili, quia
ſequeretur partem eſſe æqualem toti.
7. Duas poſteriores lineas cum duabus prioribus neceſſariò coincidere
demonſtrat, quia aliter ſequeretur, vel partem eſſe æqualem toti: vel angu­
 los lſolcelis ſub baſi eſſe inæquales, vel etiam eos, qui ſupra baſim, contra
quàm oſtenſum eſt in quinta.
8. Probat angulos illos fore æquales, quia congruunt: per 8. ſcilicet
axioma: videtur à ſigno.
1
9 Probat angulum illum diuiſum eſſe bifariam, per octauam pręcedentem:
eſt ergo eiuſdem naturæ.
10 Probat lineam illam eſſe diuiſam in duas lineas æquales, quia illæ duæ
ſunt baſes triangulorum quartę; hoc autem, eſſe baſes talium triangulorum,
videtur eſſe definitio; quare hæc demonſtratio eſſet à definitione ſubiecti,
& per cauſam formalem.
11 Probat illam lineam facere angulos rectos, quia facit angulos cum
ſubiecta linea aquales; nam ex decima definitione ſi illi anguli ſint æquales,
qui fiunt à tali linea, erunt ipſi quoque recti. demonſtratio igitur eſt à de­
finitione.
12 Probat lineam illam eſſe perpendicularem ex definitione lineæ per­
pendicularis, quia nimirum facit angulos, cum ſubiecta linea æquales, re­
 ctoſuè; eſt igitur demonſtratio à definitione, à priori, per cauſam formalem.
13 Probat duos angulos eſſe æquales duobus angulis rectis, quoniam vtri­
que ſunt æquales vni tertiæ rei. quare eſt à ſigno.
14 Probat intentum, quia aliter ſequeretur, partem toti æqualem eſſe.
15 Probat angulos ad verticem æquales eſſe, quia ſi ab æqualibus, æqua­
lia demas ipſi remaneat: vel ſunt reliqui. Eſt igitur demonſtratio per cau­
 ſam materialem, vt dictum eſt in quinta.
16 Probat angulum externum maiorem eſſe interno, quia eſt maior alio
angulo æquali ipſi interno. eſt à ſigno.
17 Probat duos angulos eſſe minores alijs duobus angulis, ex 4. axiom.
quia. ſ. ſi inæqualibus adiecta ſint æqualia, tota erunt inæqualia: vbi cauſa
inæqualitatis totorum, eſt adiectum illud, quo adiecto conflatur duo tota:
quare adiectum illud eſt; pars autem eſt materia totius. demonſtrat igitur
per cauſam materialem.
18 Probat angulum vnum eſſe altero maiorem, quia ille ſit veluti totum,
iſte verò illius pars. reducitur ad cauſam materialem.
19 Probat propoſitum ab impoſſibili.
20 Probat duo illa latera eſſe reliquo maiora, quia ſunt æqualia vni li­
 neæ, quæ ipſa reliquo latere maior eſt. eſt à ſigno.
21 Probat illas duas rectas eſſe minores alijs duabus, ex eo, quòd ſint
minores quadam quantitate, quæ quantitas minor eſt illis duabus. à ſigno.
Secundò, probat angulum illum eſſe maiorem altero, quia. f. eſt maior quo­
 dam angulo, qui maior eſt illo altero. pariter à ſigno.
22 Probat per illud axioma, quæ ſunt æqualia vni tertio, &c.
23 Probat duos angulos eſſe æquales, quòd ſint anguli oppoſiti baſibus
triangulorum octauæ. videtur à definitione horum angulorum.
24 Probat latus illud eſſe maius altero latere, ex eo, quòd ſit æquale cui­
 dam lateri, quod etiam eſt maius illo latere.
25 Probat propoſitionem, deducens ad abſurdum.
26 Demonſtrat deducendo ad inconueniens.
27 Probat illas eſſe parallelas, quia nunquam concurrere poſſunt; eſt à
definitione parallelarum.
28 Puto à cauſa demonſtrare, oſtendit enim duas rectas eſſe æquidiſtan­
 tes, quia earum anguli alterni ſint æquales, illi enim anguli ſunt cauſa
1diſtantiæ linearum. ſimile dicendum eſt de ſecunda parte demonſtrationis.
29 Prima pars probatur ab impoſſibili. ſecunda à ſigno, quæ ſuat æqua­
 lia vni tertio &c. Idem dicendum de tertia parte.
30 Probat eſſe parallelas ex 27. primi, quare est eiuſdem naturæ cum illa.
31 Eandem habet rationem, quam 27. primi. per cauſam igitur formalem.
32 Primò, probat anguium externum eſſe æqualem duabus internis, & ap­
 poſitis ex eo, quòd partes anguli externi, ſint æquales partibus illorum: ex
æqualitate.ſ partium infert æqualitatem totorum: quæ demonſtratio eſt per
cauſam materialem. Secundò, probat illam adeò celeberrimam, omnis
triangulus habet tres, &c. quàm fuſiſſimè explicaui ſupra ad tex. 23. primi
Poſter. vbi Ariſt. eam in exemplum perfectiſſimæ demonſtrationis adducit.
33 Partim per 4. primi, partim per 27. primi demonſtrat: quapropter ad
earum naturam ſunt referendæ.
34 Tria probat. primum, per 26. primi, ſecundum per illud axioma, ſi æqua­
libus æqualia adijcias, tota ſunt æqualia, quod duobus angulis applicat.
quæ demonſtratio eſt à partibus ad tota: à cauſa nimirum materiali. ter­
 tium per 4. primi concludit.
35 Procedit per cauſam materialem: in omni enim caſu probat illa duo
parallelogramma eſſe æqualia, quia ſi æqualibus æqualia adijciantur, tota
erunt æqualia: vt in præcedenti dictum eſt.
36 Probat duo eſſe æqualia, quia ſunt vni tertio æqualia: videlicet à ſi­
 gno, à poſteriori.
37 Probat duo triangula eſſe æqualia, quòd ſint dimidia duorum paral­
 lelogrammorum æqualium: eſt itaque à cauſa materiali.
38 Eadem ratione demonſtrat in hac, atque in præcedenti.
39 Propoſitum probat, ad abſurdum deducendo aduerſarium.
40 Similiter demonſtrat ac in præcedenti 39.
41 Probat vnum eſſe duplum alterius, quòd ſit duplum alterius, quod il­
 li æquale eſt. videtur à ſigno.
42 Probat parallelogrammum, & triangulum eſſe æqualia, quoniam vtrun­
que duplum ſit eiuſdem trianguli: videlicet per cauſam materialem.
43 Probat duo parallelogramma eſſe ęqualia, quoniam ablatis æquali­
 bus ab æqualibus ſint reſidua. cauſa eſt materialis.
44 Probat parallelogrammum æquari triangulo, quia vtrunque cuidam
tertio æquatur. à ſigno videlicet.
45 Probat totum parallelogrammum æquari toti rectilineo; eo, quòd
partes amborum totorum ſint æquales: eſt perſpicua cauſa materialis.
46 Probat quadrilaterum quoddam eſſe quadratum ex definitione qua­
 drati, quia ſ habet quatuor angulos rectos, & quatuor latera æqualia. eſt
igitur à cauſa formali.
47 Probat quadratum lateris angulo recto ſubſenſi, eſſe æquale duobus
quadratis reliquorum laterum trianguli illius: & ratio deſumpta eſt à parti­
 bus, quia. ſ. partes prædicti quadrati æquales ſunt ſingillatim prędictis qua­
 dratis; ergo totum quadratum totis illis quadratis æquale eſt. manifeſta eſt
cauſa materialis.
48 Probat angulum quendam eſſe rectum, eo, quòd æqualis ſit cuidam
angulo recto. eſt à ſigno.
1
Hæc pauca ſufficiant, vt Philoſophi habeant, vnde poſſint de Geometri­
 cis demonſtrationibus dijudicare. non tamen quiſpiam exiſtimet idem iu­
 dicium de reliquis Mathematicis eſſe faciendum, Aſtronomia enim, Opti­
 ca, & alię vtuntur etiam alijs cauſarum generibus in demonſtrando, vt ſup.
cap. 5. de natura Mathem. patuit. Et quamuis ſępè demonſtrent ab effe­
ctu, perpetuò tamen euidentiam efficiunt eam, vt nullam, vt ait Themiſtius,
patiantur inſtantiam.
Hortabantur me nonnulli, vt eandem operam locis Mathematicis, quæ
apud Platonem ſunt, impenderem: quibus dum obtemperare vellem repe­
 ri Theonem quendam Smirnæum Scriptorem Græcum, iam pridem idem
præſtitiſſe, cuius opus adhuc Græcum aſſeruatur in Vaticana Bibliotheca,
vt ait Ioſephus Auria in præf. ad ſuum Theodoſium Tripolitam; vbi
ſpondet ſe breui eum è Gręco à ſe conuerſum, in lucem editu­
 rum, quod an pręſtiterit ignoro. Curandum igitur eſt,
à recentioribus Platonicis, vt tandem aliquan­
 do, ne à quopiam actum agatur latina
voce, ac luce pariter donetur.
LAVS DEO.
1
[Empty page]
1
CLARORVM
MATHEMATICORVM
CHRONOLOGIA
Eorum videlicet, qui rebus, aut ſcriptis cla­
 ruerunt, ex certis hiſtorijs deprompta.
Omißis tum fabuloſis, tum ob nimiam antiquitatem incertis,
veluti ſunt ea, quæ de Athlante, Zoroaſtro, Endimione,
Orpheo, Lino, alijsqué traduntur.
Iubal verò pater canentium cithara, & organo, hoc eſt Muſicæ
auctor, omiſſus eſt eò, quòd nimio interuallo
cæteros antecedat.
1
[Empty page]
1
PRIMVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Orbe cond. anno 3237 Ante primam Olymp. ann. 76 Ante Vrbem cond. ann. 100 Ante Chriſti natiuitatem ann. 852 Ioſaphat Iudæorum Rege. Aremulo Latinorum Rege.
Singula porrò ſecula ex 100. annis constant. Anno huius ſeculi 76.
vel ante Vrb. cond. 24. Olympiades initium ſumpſerunt.
TERPANDER THEBANVS muſicus celeberrimus, Ho­
 meri pronepos, de quo Ariſt. in probl. & alij omnes veteres me­
 minerunt: claruit paulo ante primam Olympiad. hoc eſt ante
Chriſti natiuitatem 800. circiter annis. Lyram, quam olim
Orpheus tetrachordum fecerat, ipſe heptachordum reddidit.
modulos lyricos, & leges fidium inuenit. adiecit ſuis, & Homeri carminibus
modos, quibus canerentur. Primus de Muſica ſcripſit. Lacædemonios in­
 ter ſe diſſidentes cantus ſuauitate ſedauit. quaternas in ludis Pythijs victo­
 rias retuliſſe publicis monumentis traditum eſt. ex Plutar. de Muſica.
Vt autem intelligas quidnam eſſent leges, de quibus hic, & infra paſſim
fit mentio, audi Plutarchum de Muſica. Omninò inquit cytharæ cantus Ter­
 pandri ratio omni ex parte ſimplex perexit eſſe vſque ad ætatem Phrynidis,
non enim antiquitus pro libidine cuiuſque (vti nunc) licebat fidibus cane­
 re, nec rithmus, concentuſuè transferre: in ipſis namque legibus accommo­
 datam cuique tentionem tuebatur, cuius rei cauſa id nominis inditum erat:
leges enim ſunt vocatæ, quoniam præſcriptum quaſi lege, cautumque; erat,
ne quis per quamlibet vnam ſpeciem, formamque; tentionis tranſgrederetur.
XENOCRATES Italus Locrenſis, poſt Terpandrum, & ante Saca­
 dam vixit, fuit Pæanum conditor. Patritius in Poetica.
ARDVLVS TRÆZENIVS prior Clona, Tibianam muſicam
conſtituit. Plutarchus de Muſica.
CLONAS ad imitationem Terpandri, primus leges Tibiarum fecit.
circa primam Olymp. Plut. de Muſica.
1
SECVNDVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbecondita. Ab Orbe cond. ann. 3337 Olympiadis 6. ann. 4 Ante Chriſti natiuitatem ann. 752 Ozia ludæorum Rege. Romulo Latinorum Rege.
SACADAS ARGIVVS conditor Modorum: & inuentor legis
Tripartilis. circa Ro. cond. Pindaro antiquior. ter vicit in ludis Py­
 thijs. Plaut. & Patric.
EVPHORBVS PHRYX ante Thaletem contemplationem
de lineis fecit, & triangulum Scalenum inuenit, ideſt (ve opinor) modum
ipſum conſtruendi excogitauit, hic igitur primus geometrizare cœpit.
Laertius in Thalete.
TERTIVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbe cond. ann. 101 Ante Chriſti natiuitatem ann. 652 Manaſſe Iudæorum. Tullo Hoſtilio Romanorum Rege.
THALES MILESIVS ab Vrbe cond. ann. 120. natus. hic pri­
 mus omnium ſeptem Sapientum appellatus eſt Sapiens. ex Aegy­
 pto primus in Græciam Geometriam tranſtulit. inuenit triangu­
 lum in circulo orthogonicum, hoc eſt, ni fallor, 31. tertij Elem.
Quintam, & 15. & 26. primi Elemen. adinuenit. illud etiam demonſtrauit,
Diametrum circulum bifariam ſecare. tropicos, & æquinoctialem deſigna­
uit. primus eclypſes Solis prædixit: quarum prima teſte Piin. lib 2. cap. 12.
contigit ann. V. C. 170. menſus eſt Aegypti Pyramides ex vmbra. inuentor
fuit Vrſæ minoris, ideſt, eam primus obſeruauit, & alios docuit. ex præno­
 tione, atque oliuarum emptione diuitias ſibi comparauit. ante Methonem
ann. 132.
SIMONIDES LYRICVS octauam lyræ chordam addidit: hic
fuit inuentor Artis memoriæ. Plin.
LYCAON Muſicus, nouum chordarum ordinem inuexit, quem habes
loco. 344. locorum Mathematicorum, & octauam lyræ chordam addidit.
Boetius. Zarlinus.
MAMERTINVS inſignis Geometra, quique; multa geometrica ad­
 inuenit. Thaleti ſucceſſit.
ANAXIMANDER MILESIVS Thaleti ſucceſſor. Horologium
1Solare, Sphæram, Gnomonemque, reperit, obliquitatem Zodiaci obſeruauit.
Terræ circuitum reperit. primus tabulam Geographicam expoſuit. primus
Lunam aliena luce lucere demonſtrauit. ſphæram conſtruxit. Plin. Laert.
CLEOSTRATVS Zodiacum in 12. ſigna diuiſit. paulo poſt Ana­
 ximandrum. Plin.
HECATEVS MILESIVS primus codicem de ſitu orbis reliquit.
paulo poſt Thaletem. Proclus in comm. Euclidis.
AMETISTVS ſummus Geometra, atque rerum geometricarum in­
 uentor, frater Steſichori poetæ. inter Thaletem, & Pyth. Proclus.
POLEMON auditor Panetij Rhodij, tempore Ariſtophanis gram­
 matiei, orbis deſcriptionem fecit. Suidas.
SAPPHO Poetria, & Muſica. prima Plectri vſum inuexit, cùm prius
digitis ſolum pulſarent. inuentrix etiam Mixtolydij concentus. Plut.
PYTHAGORAS SAMIVS, Aegypto, ac Perſide perluſtrata, in
Mathematicis excelluit. primus Numerorum ſcientiam apud græcos illu­
 ſtrauit. Muſicæ theoricam ex Fabri malleis adinuenit. Luciferum, atque He­
 ſperum, quæ duo ſydera putabantur, eſſe vnum, atque idem Veneris aſtrum
docuit. omne triangulum habere tres, &c. quæ eſt 32. primi Elem. primi
Pythag. demonſtrarunt. 47. primi Elem. reperit, pro qua Muſis Hecatombas
immolauit. primus Mathematicæ ludum aperuit. Proclus. Plin.
TELAVGES filius Pythagoræ, & magiſter Empedoclis, ſcripſit de
Quaternario libros 4.
ANAXIMENAS MILESIVS tempore Pythagoræ, dixit ſydera
non ſolum ſupra terram, ſed circa terram moueri. Laert.
DAMON Muſicus, Pythag. adoleſcentes, aliquot luxuriæ deditos, har­
 monicis canticis ad bonam frugem reuocauit. Zarlinus.
QVARTVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbe cond. ann. 201 Ante Chriſtum ann. 552 Sub Babylonica captiuitate Iudæorum. Seruio Tullio Romanorum Rege.
Anno 44. huius ſeculi, Romæ exactis Regibus Conſſ. ſufficiuntur.
ANAXAGORAS CLAZOMENIVS primus lunarem
eclypſim prædixit, eiusque; cauſam patefecit. primus librum in lu­
cem edidit. dixit Solem eſſe maiorem Pelopomneſo. ſcripſit de
radijs viſiuis, vel de ratione ſcenographices. Vitr. lib. 7. Val.
Max. Diog. Laert.
OENIPEDES CHIVS Democriti ſyncronus, inuenit 12. & 23.
primi Elem. huius diſcipulus fuit Zenodorus.
ZENODORVS auctor tractatus de figuris Iſoperimetris, qui eſt
apud Clauium in ſphæra, & in Geometric. pract. Theon enim, ex quo de­
1ſumpſit Clauius, eum Zenodoro attribuit.
PERICLES diſcipulus Anaxagoræ, & Athenienſium Princeps; Athe­
 nienſes ob tetram Solis eclypſim trepidantes, & palantes, eclypſis natura
expoſita, ſedauit. Val. Max.
HIPPOCRATES CHIVS, qui dum circulum quadrare conare­
 tur, lunulam quadrauit. eius circuli quadraturam Ariſt. ſæpè in paralogiſmi
exemplum adducit, eamque; breuiter expoſuit. primus Elementa Geometri­
 ca conſcripſit. primus inſpexit duabus medijs proportionalibus inuentis cu­
bum duplari poſſe. Eratoſthenes apud Eutocium in commen. Archimedis.
Proclus etiam.
THEODORVS CYRENEVS ſodalis Hippocratis Chij, multis
Geometriam auxit. Proclus.
PHRINIS inſignis Cytharedus. primus apud Athenienſes cithara ce­
 cinit. primasque; in Panathenaicis tulit. fuit diſcipulus Ariſtoclis, qui ex Ter­
 pandri familia ortum trahebat.
PHRINICVS, cuius Ariſt. in Problem. muſicis cecinit: inſignis mu­
 ſicus, ac tetrametri carminis inuentor.
LASVS HERMINÆVS primus omnium de Muſica ſcripſit. Darij
Hidaſpis tempore. Suida.
DIOCLES de Muſica ſcripſit. Suida.
ISMENIVS CHORAVLES, teſte Boetio, multis ægritudine la­
 borantibus, ſono, & cantu omnes animi moleſtias deterſit. eius æqualis fuit
Dionyſiodorus, & Nicomachus. Plin.
NICOMACHVS Arithmeticus, quem Boetius ſequitur, & cuius ex­
 tat græca arithmetica, vbi & de muſica tractat ex Zarlino 8. ſupplem. mu­
 ſicalium. Pappus lib. 3. eum Pythagoricum appellat; Iſidorus lib. 3. ethym.
videtur eum paulo poſt Pythagoram collocare. eiuſdem meminit Eutocius.
EMPEDOCLES AGRIGENTINVS Pythagoricus, cantu furibundum
adoleſcentem, ac nudo ferro hoſtem impetentem compreſſit, ac ſedauit.
TIMÆVS LOCRVS Pythagoricus, Mathemata ſcripſit, teſte Sui­
 da. paulo maior Platone, à quo Plato ſuum Timæum inſcripſit, ac partim
deſcripſit. extat adhuc ipſius monumentum de natura mundi.
SIMON Philoſophus Socratis amicus; ſcripſit Dialogum de muſica.
Diog. Laert.
CRATISTVS, qui ſolo naturæ acumine, quoduis geometricum Pro­
 blema, quamuis difficile reſoluebat. Proclus.
1
QVINTVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbe cond. ann. 301 Ante Chriſtum ann. 452 P. Sextio, T. Memnio Conſſ.
In quo Socrates ſeptuagenarius anno ab Vrbe cond. 353.
Olymp. 95. ann. 1. moruur.
DEMOCRITVS MILESIVS anno vno maior natu quàm
Socrates. ſcripſit de contactu circuli, & ſphæræ. de Geometria.
de lineis irrationalibus. de ſolidis. de numeris geometricis. Har­
 monica, ſiue de Muſica. de concentu, & harmonia. Actinogra­
 phiam, ſiue de radijs, ſiue de Perſpectiua, ſiue de Scenographice. certamen
Clepſydræ. de Planetis, de anno magno. Cœli, tęrræque; deſcriptionem. Laert.
ANTISTHENES Socratis auditor de Muſica commentatus eſt. Laer.
SIMMIAS Thebanus diſcipulus Socratis, de Muſica. Laert. Suid.
PARMENIDES ELEATES primus dixit terram eſſe rotundam,
& in medio mundi ſitam. Laert.
PROTAGORAS de Mathematicis ſcripſit. Laert.
EPICVRVS ille Epicureorum Sectarius, de Muſica ſcripſit.
METON, & EVCTEMON ante Alex. Mag. obitum ann. 108. Athenis ſolſti­
 tium obſeruarunt. Methon primus tempeſtatum
prognoſtica ſingulis annis edidit. primus cyclum Enneadecaterida, vel Au­
 reum numerum in Græcia inſtituit; qui annus Methonis dicitur.
PLATO, Socratis auditor, fuit maximè Mathematum ſtudioſus; nam
ſingulis diebus auditorib. ſuis geometricum problema proponebat. Ageo­
 metretos è ſchola arcebat. primus ſectiones conicas, & cylindericas inchoa­
 uit. Modum demonſtrandi per Analyſim inuenit, item modum agri dime­
 tiendi pulcherrimum, vt apud Vitr. conſtat. Delij eum tanquam oraculum
conſuluerunt de modo aræ, ſiue cubi duplicandi, quos tamen ipſe ad Eucli­
 dem Geometram modeſtè abire iuſſit: non tamen omnino à problemate ab­
 ſtinuit, extat enim apud Eutocium Platonis modus inuendi duas medias pro­
 portionales, quibus inuentis, cubi duplicatio peracta eſſet. in ſuis pręterea
Dialogis complura habet Mathematica, quæ olim Theon Smyrneus, ac Phi­
 lippus Mendæus commentarijs illuſtrarunt. Proclus Lucr.
AMICLAS HERACLEOTES Platonis familiaris geometricas
inuentiones amplificauit.
LEODAMAS THASIVS à Platone Analyſim didicit, cuius ope
multa geometrica excogitauit.
NEOCLIDES LEODAMANTE iunior, inter rerum geome­
 tricarum repertores connumeratur. Proc.
LEON diſcipulus Neoclidis: Determinationem geometricam inuenit,
quæ diſtinguit problema poſſibile ab impoſſibili. Geometrica elementa,
ſecundus ab Hippocrate, ſed accuratius conſtruxit. Procl.
1
EVDOXIVS GNIDVIS Aſtronomus, Leonte iunior, & Platonis
Comes in Aegyptum. Quintum elem. Euclidis de proportionibus inuenit.
Theoremata multa vniuerſalia reddidit, inuenit etiam Arachnen, horolo­
 gium, videlicet ſolare, in quo lineæ horariæ, & arcus ſignorum in modum
araneæ ſe ſecant. Vitr. Octaetidem, ideſt, Solis, ac Lunæ per octonos an­
 nos recurſus docuit. ſcripſit de Geometria, & Aſtronomia. Mathematicas
ad vſum mechanicum vnà cum Archita traducere conatus eſt: quos am­
 bos Plato redarguit, quòd Philoſophiam proſtituiſſent.
ARCHITA TERENTIVS Mechanice inuentor: reprehenſus à
Platone, vt modo dictum eſt. Cubum reperit. ligneam columbam volantem
exhibuit. qua præterea ratione duas medias reperiret, extat apud Eutocium.
THEÆTETVS ATHENIENSIS Architæ Tarentini ſodalis,
cum quo Geometrica auxit. Procl. primus de quinque ſolidis tractauit. Laer.
inuenit 10. decimi.
BRYSO, & ANTIPHON Circuli quadrationem inuenire conantur. extant
ipſorum conatus apud Ariſt. quos explicauimus in
locis Math.
PHILIPPVS MENDÆVS diſcipulus Platonis. loca Mathema­
 tica operum Platonis explicauit. Comperit Iridem inſequentes ſe fugere,
fugientes verò inſequi.
HELICO CYGICENVS Platonis familiaris, cùm Dyoniſio Re­
 gi ſolis defectum, qui tunc accidit, antea multò prænunciaſſet, Rex ſumma
admiratione affectus, argenti talentum ei donauit.
PHILOSOPHVS, Platonis auditor. De interuallo Solis, & Lunæ. de
eclypſi. de magnitudine Solis, Lunæ, & terræ. de Planetis. de Arithmetica.
de numeris fecundis, de opticis, de circularibus, & medietatibus egit. Suida.
SEXTVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbe cond. ann. 401 Ante Chriſti Natiuitatem ann. 352 Tito Manlio Dictatore.
In quo Alex. Mag. imperauit: obijtque; ann. ab Orbe cond. 3791.
ab Vrbe cond. 425.
THEVDIVS MAGNES, elementa geometrica tertius con­
 ſtruxit. Procl.
CYGICINVS ATHENIENSIS geometrica amplia­
 uit. Procl.
HERMOTIMVS COLOPHONIVS, quartus elementa geo­
 metrica vberiora reddidit.
ARISTÆVS ſenior, ante Euclidem demonſtrauit de conicis: quem
Euclides in ijſdem ſequutus eſt. Item de reſolutione. Item de locis ſolidis,
lib. 5. Pappus.
1
GEMINVS demonſtrauit linearum tres tantùm eſſe ſimilares, rectam,
circularem, & ſpiralem cylindricam. Ortus quoque linearum ſpiricarum, &
conchoidum, & ciſſoidum, tradidit. Propoſitionem quintam primi ele­
 mentorum vniuerſalius, quam Thales, demonſtrauit; oſtendit enim æqua­
les lineas rectas ab vno puncto ad vnam ſimilium partium lineam, ideſt, vel
ad rectam, vel ad circularem, vel ad cylindricam, incidentes, facere angulos
ad baſim æquales. Scripſit præterea lib. 6. geometricarum enarrationum. Procl.
PERSEVS CITTICVS Poſt Geminum: inuenit lineas ſpiricas.
Proclus.
MENECHMVS EVDOXI diſcipulus, ſectiones conicas reperit.
Tribus proportionibus tres alias adiecit. modus ipſius inueniendi duas me­
 dias, extat apud Eutocium.
DINOSTRATVS Menechmi frater, geometrica complura reperit.
XENOCRATES CHALCEDONIVS Platonis audit. de geo­
 metria primum duos, deinde quinque lib. compoſuit. Item de numeris lib. 1.
De aſtrologia lib. 6. Diog. Laert.
EVCLIDES Megarenſis geometra, Platonis tempore, ſiquidem te­
 ſte Valer. Maxim. ad eum Plato, Delios aræ ſacrę conductores amandauit.
Alexandriæ longo tempore dedit operatu diſcipulis, vnde excellentem in
Mathematicis habitum conſequutus eſt, neque vſquam deceptus eſt. Papp. lib. 7.
vixit autem, & claruít, vſque ad Ptolæmeum primum Aegypti Regem, vt
vult Procl ſit ne idem cum Euclide Megarenſi auctore ſectæ Megaricæ, du­
 bitatur. Quintus geometrica elementa mira methodo contexuit. ipſius ex­
 tant etiam Phœnomena, optica; catoptrica. muſica. data. Item de reſolu­
 tione, de fallacijs, de locis ad ſuperficiem lib. 2. Conicorum lib. 4. Item
Poriſmatum lib. 3. quæ perierunt. Pappus, & Procl.
L. PAPYRIVS curſor Romę primum ſolare horologium publico lo­
 co conſtruxit. Plin.
HERMOPHILVS cœcus Theopompum Geometriam ſine abaco,
ac radio docuit.
ARATVS Poeta Græcus, ante Hipparchum centum ferè annis, de
Cœlo, ſtellisque; eleganter cecinit.
CALIPPVS Cygicenus aſtronomus inſignis, cuius Ariſtot. in Meta­
 phyſic. meminit. periodum 76. annorum ex quatuor Methonis cyclis con­
 flauit, qua Sol, & Luna iterum ad priſtina reſtituantur: initium prime pe­
 riodi ſtatuit obitum Darij Regis, ſeu initium Monarchiæ Gręcorum. ex Al­
 mag. Ptol.
ARISTOT. Platonis auditor, & Alex. Magn. præceptor, ſcripſit Me­
 chanicas quæſtiones. librum vnum, quem appellauit Mathematicum. ſect. 19.
problematum de muſica Item alium librum de muſica. Halonis, & Iridis
demonſtrationes apud ipſum primum reperiuntur. paſſim in ſuis operibus
omnis generis Mathemata ingerit.
AVTOLYCVS præceptor Arceſilai, floruit circa Olymp. 120. extat
eius ſubtilis admodum liber de ſphæra, quæ mouetur, & alter de vario ortu
& occaſu ſyderum. Diog Laer. in Arcelilao.
THEOPHRASTVS Eriſſius Ariſt. diſcipulus, & succeſſor, reliquit
1tres libros de muſica, vnum de muſicis. Harmonicorum vnum. de menſu­
 ris vnum. de numeris vnum. Hiſtoriarum geometricarum quatuor. Aſtro­
 logicæ hiſtoriæ 6. Arithmeticarum hiſtoriarum vnum. de lineis indiuiduis.
Diog. Laert.
HERACLIDES Ponticus, Speuſippi, & Ariſt. auditor. de Muſica
lib. duos. de Geometria etiam ſcripſit. Diog. Laert.
DICEARCHVS Siculus, Ariſt, auditor, primus montium altitudi­
 nem perpendicularem dimenſus eſt; altiſſimum prodidit Pelion, nimirum
1250. paſſuum. Plinius lib. 2. c. 67.
ARISTOXENVS Tarentinus Muſicus, auditor Ariſt. eius extant
harmonicorum lib. 3. Suid.
CONON Geometra, & Aſtronomus inſignis. Ptolæmeo Philadelpho
gratificaturus, Berenices Comam in Cœlum tranſulit. libros 6. de Aſtrolo­
 gia compoſuit. de eo Virgil.
In medio duo ſigna, Conon. & quis fuit alter.
ille verò alter Pontano noſtro in Virgilium eſt Archimedes Cononi ſynero­
 nus, & familiaris. Hunc plurimi faciebat Archimedes, eiusque; propterea
mortem in lib. de Quadrat. Parab. deflet.
TIMOTHEVS Muſicus, cùm ad Alexandri magni menſam orthium
modum caneret, regem velut inſanum coegit ad arma: rurſus remittente
cantu, regis etiam furorem remiſit. Chromaticum genus inuexit. ſeptem
Terpandri chordis quatuor addidit. Plut. de muſic.
ARCHELAVS Chorographus, omnem terram ab Alex. Mag. pera­
 gratam deſcripſit. Diog. Laert.
XENOPHANTVS Muſicus, certis modis Alex. Magn. ad arma pro
libito concitabat.
ARISTARCHVS Samius, hoc tempore ante Hipparchum 200. ann.
Scaphen, ſeu Hemiſphærium, hoc eſt horologium ſciothericum in concauo
hemiſphærico deſcripſit Vitr. extat ipſius egregium monumentum ingenij,
libellus de magnitudine, & diſtantijs Solis, & Lunæ.
BEROSVS Chaldæus, tempore Antiochi Sotheris hemicyclium ex­
 cauatum, genus horologij ſolaris reperit. dicebat Lunam eſſe pilam ex di­
 midia parte candentem: reliqua habere ceruleo colore. cætera apud Vitr.
lib. 9. ei Athenienſes ob diuinas prædictiones publicè in gymnaſio ſtatuam
inaurata lingua ſtatuere. Plin.
ARISTILLVS Aſtronomus, cuius obſeruationes circa inerrantes
ſtellas, ſæpè Ptol. 7. Magnæ conſtr. recenſet. videturque; eum Timocharide
paulò antiquiorem facere.
TIMOCHARIS ante Hipparchum ann. 156. ab obitu verò Alexan.
Mag. ann. 41. ſuas obſeruationes habuit, quas Ptolæmeus in Almageſto re­
 cenſet. obſeruauit primam ſtellam Arietis poſt ſectionem vernalem gr. 2.
1
SEPTIMVM SECVLVM INCIPIENS
Ab Vrbe cond. anno 501 Ante Chriſti natiuitatem ann. 252
Conſſ. D. Lunio.
L. Poſthumio.
ERATOSTHENES Cyreneus ſub Ptolymæo Euergete primo, &
duobus ſequentibus regibus, ab obitu Alex. ann. 90. & totidem an­
 te Hipparchum, aſtronomicis in Aegypto vacabat, reperitque; Solis
declinationem gr. 23. 51. primus terræ ambitum ratione vmbrarum
Solis inueſtigauit, vt ex Cleomede refert Clauius in ſphæra, vbi eam fusè
explicat. Duplicandi cubi ſummus fuit artifex, vt patet ex eius Meſolabio
apud Pappum, & Eutocium, atque ob id votiuam tabellam in templo conſe­
 crauit. extat epiſtola ipſius ad Regem Ptolæmeum apud Eutocium, de ra­
 tione cubi duplicandi.
ARCHIMEDES Syracuſanus ingeniorum Phœnix: quadraginta
ipſius mira adinuenta Mechanica fuiſſe, tradit Pappus lib. 8. quorum vnum
fuit; datum pondus data potentia mouere, in quo fertur dixiſſe.
Dic vbi contestam, & cœlum terramqué mouebo.
Alterum, quo portionem argenti auro mixtam in Corona illa deprehendit;
vnde præ lætitia è balneo nudus exiliuit; atque per Vrbem domum properans
clamabat ἑυρηκα, ἑυρηκα.
Tertium ſit ſphæra illa vitrea, Automa celebre, quæ ſyderum omnium mo­
 tus mirè imitabatur. de qua Claudianus pulcherrimum illud texit epigram­
 ma: Iupiter in paruo, &c.
Quartum, ſpecula parabolica conſtruxit, quibus hoſtium naues procul
comburerentur.
Quintum, chocleam aquaticam (ex Vitruuio, & Diodoro) qua in altum
aqua effertur excogitauit. quam Ioſephus Cedretus noſtra tempeſtate re­
ſtaurauit.
Sextum, nauim graui pondere oneratam, machina quadam facillimè in
litus attraxit.
Septimum, complures bellicas machinas fabricatus eſt, quibus per trien­
 nium contra hoſtes Romanos patriam ſolus tutatus eſt. reliqua ipſius adin­
 uenta perierunt. Verumenimuerò admiranda mihi magis ipſius ſcripta mo­
 numenta videntur, in quibus quidquid eſt, totum Archimedis eſt. quorum
memoria extat, hæc ſunt. De æquaponderantibus lib. 2. Circuli dimenſio.
de lineis ſpiralibus. quadratura paraboles. de conoidibus, & ſphæroidibus.
de arenæ numero. de ijs, quæ vehuntur in aqua. de ſphæra, & cylindro. de li­
 bra. viaticum. de ſphæræ conſtructione. de 13. ſolidis à ſe inuentis. lemmata.
de ſectione circuli. de ſpeculis comburentibus. M. Marcellus interdixerat
ne ille vnus captis Syracuſis occideretur: tantus virtuti honos, vel ab hoſti­
 bus haberi par eſt. occiſus eſt autem ab ignaro milite, dum in patriæ dire­
 ptione totus cuidam demonſtrationi vacaret.
1
CTESIBVS Machinator ſubtiliſſimus: Pneumatica inuenit, ideſt,
quæ ſpiritu, ac vento motus efficerent, quaſi ſpiritalia. hydraulicas machi­
 nas primus conſtruxit. adhuc viget machina illa Cteſibij, de qua Vitr. Hy­
 draulica etiam horologia primus exhibuit.
SVLPITIVS GALLVS Conſul, primus Romani generis rationem
eclypſium in vulgus edidit, & pridie quam P. Aemilius Perſen Regem ſupe­
 raret, animos militum ob futuram ſequenti die eclypſim trepidaturos, bre­
 ui futuri euentus, admonitione habita, confirmauit. Plin. Val. Max.
OCTAVVM SECVLVM
Ab Vrbe cond. ann. 601 Ante Chriſti natiuitatem 152 Conſ. L. Mummio.
APOLLONIVS PERGÆVS ſub Ptolæmeo euergete ſecun­
 do cognomento magnus Geometra, quod vniuerſaliter de omni
Cono elementa conica octo libris ſubtiliſſimis demonſtraſſet. ſcri­
 pſit præterea de ſectione proportionis, & ſpatij. de locis planis
lib. 2. de perturbatis rationibus. de tactionibus. de inclinationibus. de cho­
 clea. Pappus. modus ipſius inueniendi duas medias, extat apud Eutocium in
comm. Archimedis. pharetram. ſolaris horologij genus reperit. Vitr.
ISIDORVS Philoſophus, Hypſiclis Alexandrini præceptor; nam
Hypſicles in 15. Elem. vbi ponit inclinationes quinque corporum regularium,
ait ſe eas ab Iſidoro Magno præceptore ſuo accepiſſe. Plinius eum citat in
Geographicis. Suidas verò ſic, Iſidorus Philoſophus, vt ſi quis alius philo­
 ſophatus eſt in Mathematis.
YPSICLES Alexandrinus, Iſidori diſcipulus, qui libros duos Elemen­
 torum 14. & 15. Euclidi addidit. nominat Apollonium. videtur his tempo­
 ribus extitiſſe.
PHILO BIZANTIVS mechanicus, mechanica fecit ante Hero­
nem, à quo memoratur; hunc exiſtimo eum eſſe, cuius Proclus ad octauam
primi meminit, referens ipſius demonſtrationem. modus ipſius inueniendi
duas medias legitur apud Eutocium in Archim.
POSSIDONIVS Philoſophus Panetij diſcipulus, qui Rhodi tempo­
 re Ciceronis docebat, à Plinio Mathematicus appellatur: à Strabone ve­
 rò citatur in Geographicis. Geographica igitur ſcripſit. huius ianuæ cùm
ad eum audiendum Pomponius Magnus adiret, Imperij faſces ſubmiſit.
SERENVS Antinſenſis: cuius ſunt Cylindricorum lib. 2. ſubtiliſſimi.
videtur in hæc tempora poſt Apollonium incidiſſe.
HERO Alexandrinus Cteſibij diſcipulus, eius ſunt Automata; Spirita­
 lia: de Balliſtis. Mechanica. Barulcos. de Rotulis. de Horologijs aquaticis.
Camaricha. Cambeſtria. modus ipſius inueniendi duas medias legitur apud
Eutocium. Geometrumenon, ideſt Geometria practica. de eo fit mentio ad
ſecundam, & 25. primi elem. Proclus. Pappus. Vitr.
1
HIPPARCVS, qui & Abrachis dicitur ab obitu Alexandri ann. 100.
ante Ptolemæum 280. obſeruauit maximam Solis declinationem gr. 23. 51.
Inuenit primam Arietis poſt æquinotij Venrni punctum, gr. 4. nouam ſtellam
ſuo æuo genitam deprehendit, cuius occaſione in ſyderalem ſcientiam ſeriò
incubuit. primus igitur ſtellas numerauit, ſuisque; locis aſſignauit, organis
ad id excogitatis. Plin. Scripſit de motu Lunæ in latitudinem, & de Arati
phænomenis. ex Suida. Tabulas etiam aſtronomicas, teſte Ptol. condidit.
Adhuc extant eius lib. 3. in Arati Phænomena: & vnus Aſteriſmorum, ſuntque;
Græcè nuper editi.
CLEOMEDES his ſeculis gręcè ſcribit Meteora, quibus tractat ea,
quæ in ſphęra ſolent doceri. extat græcolatinus interprete, & ſcholiaſte Ro­
 berto Balforeo, qui eum inter Poſſidonium, & Ptolemæum collocat. Item
Arithmeticam, & Harmonicam, quæ aſſeruantur in Bibliotecha Vaticana,
& S. Floræ. ex eodem Roberto.
NONVM SEMISECVLVM
Continens ann. 52 Ab Vrbe cond. ann. 701 Ante Chriſti ortum ann. 52 Conſ. C. Pomp. Magno. que Cæcilio.
THEODOSIVS Tripolita de habitationibus. de diebus, & no­
 ctibus. ſphæricorum lib. 3. de lineatione ædium. Commentaria
in Theudę capita. in viaticum Archimedis. Sceptica capita aſtro
logica. de vere. Horologium ad omne clima, ideſt vniuerſale ex­
 cogitauit. Vitr.
SOSIGENES Aſtronomus, cuius opera Iulius Cæſ. Calend. correxit.
Sequentes quinque extiterunt ante Vitr. ex quo eos deſumpſimus: ſed
quanto ignoratur.
ATHENÆVS de machinis, cuius extant duo fragmenta græca apud
Vitr in fine. non eſt ille Dipnoſophiſtarum, ille enim vixit in ſecundo Chri­
 ſti ſeculo. Eiuſdem mechanica.
DIONYSIODORVS, cuius fragmentum extat apud Eut. in com­
men. Archimedis, quo ſubtiliſſima demonſtratio continetur ſecandi ſphæ­
 ram in datam rationem. Inuenit conum, ideſt horologij ſolaris genus, fi­
 guram conicam referens, vel in cono deſcriptam.
SCOPAS Siracuſanus Plinthum reperit genus horologij in Plintho de­
 ſcripti: inſtar quadratæ trabis erectæ, in cuius ſummo erat horizontale, in
quatuor verò lateribus erant duo verticalia, auſtrale, & boreale. necnon
duo meridiana, orientale, & occidentale.
PATROCLES fuit inuentor πελεκίνου, ideſt bipennis, quòd genus ho­
 rologij ſolaris erat, figuram bipennis referens.
PARMENION προς τα ισορουμενα excogitauit, horologia videlicet,
quæ cœli hiſtoriam narrarent, horas, dies, menſes, ſigna Zodiaci, & c.
1
ANDRONICVS CYRESTES Athenis in turri octogona Ane­
moſcopium primus collocauit. ex Vitruuio. ponendus igitur ante Vitruuium,
quanto tamen ignoratur. Anemoſcopium eſt machina, continens ventorum
figuras, ac ſitus. cum indice mobili, qui ventum perflantem commonſtrat:
quale Bononiæ eſt in Epiſcopio.
M. AGRIPPA, Auguſti gener, & Conſ. terrarum orbem proprijs com
mentarijs deſcriptum, poſtea in porticu depictum Pop. Rom. ſpectandum
propoſuit. Plin. lib. 3. cap. 2.
C. IVLIVS CÆSAR Monarcha, primus ſcripſit Metaphraſim in
Arati Phœmena. Suid.
VITRVVIVS, qui in ſuo de architectura opere complura miſcet ma­
 thematica. præcipuè illud, quòd de horologijs ſolaribus ex Analemmate
primus ex latinis, literis conſignauit. ait Venerem, & Mercurium circa So­
 lem, tanquam centrum circumferri. ſuum opus Auguſto dicauit.
C. MANILIVS Antiochenus Aſtrologus, & Poeta, primus latinis car­
 minibus, quamuis Græcus, aſtronomica cecinit. extat ipſius aſtronomicon.
floruit ſub Auguſto.
DECIMVM SECVLVM
Sed primum à natiuitate Chriſti. Ab Orbe cond. ann. 4089 Ab Vrbe cond. ann. 752 Olympiade exacta 194 Octauiani Auguſti Imper. ann. 42
DIONYSIVS AFER, qui Græco poemate orbis ſitum de­
cantauit.
MARINVS TYRIVS ſcripſit de Geographia. eum Pto­
 lemæus reprehendit.
STRABO eruditiſſimè, ac fusè orbis ſitum, cuius magnam partem pe­
 ragrauerat, deſcripſit.
SOLINVS, & P. MELA De ſitu orbis pariter conſcripſerat.
STRATON AMASENVS Philoſophus, lib. 7. Geographicos
edidit Suid.
PLINIVS, omnis generis Mathemata ſuo operi commiſcuit. ſed præ­
 cipuè Geographica à 2. lib. vſque ad 6.
ARTEMIDORVS tempore Strabonis, ſcripſit Geographica, vt
patet ex Plinio, & Strabone, eum ſæpè citante.
IV. HIGINIVS de ſignis cœleſtibus. de mundo, & ſphæra ad Quin­
tilianum.
ANDROMACHVS Creteuſis quem Theoricarum inuentorem fa­
 cit Clauius.
MENELAVS, qui & Mileſius, poſt Hipparchum a. 224. ante
1męum 41. aſtronomicis obſeruationibus dedit operam. primam Arietis poſt
æquinoctium gr. 6. 12. deprehendit. lib. 6. de ſubtenſis, ſeu chordis. Item
lib. 3. de ſphęricis triangulis, qui extant.
PLVTARCHVS libellum de muſica optima eruditione, ac doctrina
refertum reliquit; quem ſuperius ſæpè citauimus.
VNDECIMVM SECVLVM
Secundum verò à Chriſto incipiens ab ann.
Chriſti 101.
Clemente ſummo Chriſtianorum Pont.Imperante Traiano.
DIOPHANTES Alexandrinus Algebræ, quam hodie vocant
mirabilis artifex: extant eius 13. libri Græci Arithmeticorum.
ponitur ſub Antonino à Raphaele Bombello in Algebræ præfa­
tione.
PTOLEMÆVS Alexandr. Aſtronomorum princeps. obſeruabat à
Natiuit. Chriſti ann. 130. maximam Solis declinationem gr. 23. 50. primam
Arietis poſt æquinot. gr. 6. 40. ſcripſit magnam conſtructionem, quam Al­
 mageſtum vocant. de Annalemmate. de momentis. Geographiam. Planiſ­
 phærium. de ſpeculis. libros mechanicos 3. canonem expeditum. de iudi­
 cijs 4. centiloquium. ſtellarum inenarrantium ſignificationes.
SEXTVS EMPIRICVS, qui dum de Mathematicis in vtranque
partem ſubtiliter diſputat, de eis plura doctè in medium profert. ex Gen­
 tiano Herueto eius interprete.
DVODECIMVM SECVLVM
Tertium autem à Chriſto incipiens Ab ann. Chriſti 201 Victore ſummo Pont. Imperante Septimio Seuero.
PORPHIRIVS Philoſophus Platonicus ſcripſit Iſagogem aſtro­
 nomicarum rerum lib. 3. Suid. is eſt, cuius eſt Iſagoge, de quinque
vniuerſalibus. eius Proclus meminit ad 14. 18. & 20. propoſitionem
primi elem. vbi illius demonſtrationes affert. Item Hypothipoſes
aſtronomicarum poſitionum, ideſt expoſitio in Almageſtum.
CENSORINVS in eruditiſſimo libello de die Natali, plura habet
ad Mathematicas, præſertim verò ad Aſtronomum ſpectantia.
HIPPOLYTVS Epiſcopus, ob diſcordias inter Latinos, & Græcos
de celebrando Paſchate paulo ante excitatas, primus ſcribit de cyclo Paſ­
 cali, eiusque; inuentor celebratur. Iſidorus.
1
DECIMVMTERTIVM SECVLVM
Quartum verò Chr. ab ann. Chriſti 301 Marcellino ſum. Pont. Diocletiano, & Maximiano Impp.
Quo Scholæ florentiſſimæ Romæ, Athenis, Cæſareæ,
Constantinopoli, frequentabantur.
SEXTVS AVIENVS RVFFVS Arati phęnomena, & Dyoni­
 ſij Afri de ſitu orbis poema latine interpretatus eſt.
IVL. MATERNVS Siculus latinè ſcripſit: ſed de iudicijs.
THEOPHILVS Epiſcopus Alexandrinus inter Aegyptios Ma­
 thematicos celebris iuſſu Theodoſij ſenioris Imper. cyclum Paſchalem or­
 dinauit: cui alium paulo poſt contrarium Romanis Dyoniſius Abbas pro­
poſuit.
ABIFELDEA Princeps Syriæ, Aſsyriæ, & Perſidis, Geographus in­
 ſignis. eius Geographia aſſeruatur in Bibliotheca Palatina Arabicè ſcripta.
Corradus Geſnerus in Alfraganum.
VALENS huius ætatis inſignis Mathematicus, qui iuſſu Conſtantini
Magni, Vrbis Conſtantinopolitanæ, quam tunc ipſe ædificabat, genituram
ex cœleſti Themate inani labore dijudicauit. Zonaras.
EVSEBIVS Cæſarienſis Epiſcopus ſcribit de cyclo Paſchali. Iſid.
MAXIMVS Epirota ſub Iuliano Apoſtata ſcripſit de numeris. Suid.
Quinque ſequentes ponendi ſunt inter Archimedem, & Proclum; quo au­
 tem loco ignoratur; Proclus enim recenſens Mathematicos vſque ad Ar­
 chimedem, de eis ſilet.
NICOMEDES, qui de line is conchoidibus ſcripſit, per quas duas
medias proportionales exhibeat, atque hinc cubum duplicabat. ijſdem con­
choidibus angulum datum rectilineum trifariam ſecabat. extant ipſius ſub­
 tiliſſimi conatus apud Eutocium, & Pappum, & P. Clauium in Geometria
practica.
EVDEMVS, qui Geometricas enarrationes conſcripſit. Item libel­
 lum de angulo. Proclus.
MENELAVS Alexandrinus, cuius demonſtrationes affert Proclus
ad vigeſimamquintam primi elementi.
GEMINVS RHODIVS, Procli Diadochi præceptor, græcè ſcri­
 pſit phænomena: quæ Mediolani in Bibliotheca Ambroſiana aſſeruantur:
& quidem græcolatina, Edone Stildario interprete. Præterea de ortu li­
 nearum ſpiralium, conchoidarum, ciſſoidarum, earumque; paſſionibus. Item
de Mathematicarum ordine.
Circa finem huius quarti ſeculi fiunt vndique Barbarorum irruptiones in
Rom. Imperium: Gothi ſub Alarico Græcias inuadunt, Athenasque; capiunt,
ac diripiunt.
1
DECIMVMQVARTVM SECVLVM
Quintum verò Chriſti. Ab ann. Chriſti 401 Anaſtaſio ſum. Pont. Impp. Arcadio orienti, & Honorio occidenti.
Quo Roma ter capta, & imperio occidentis ab Odoacre exciſo literæ,
& artes paſſim peſſundari incipiunt.
Sequentes duo ponendi ſunt ante Eutocium, ſed quanto non comperio.
DIOCLES, cuius modum inueniendi duas medias proportio­
 nales, & modum ſecandi ſphæram in datam rationem, refert Euto­
 cius, deſumptum ex libro de Pyrijs, ſeu igniarijs.
SPORVS Nicenus, cuius etiam duarum mediarum inuentio eſt apud
Eutocium in comm. Archim.
PROCLVS DIADOCHVS, qui Athenis Platonicæ ſcholæ præ­
 fuit. ſcripſit comm. in Euclidem eruditiſs. Suid. Georgius Heniſchius. Hy­
 potypoſes aſtronomicas. ſphæram. Archimedem imitatus vſtorijs ſpeculis,
Valentis naues Conſtantinopolim obſidentes combuſſit. Zenoras, qui eum
mirè commendat.
CYRILLVS Epiſcopus Alexandrinus ſcribit de Cyclo paſchali. Iſid.
S. AVGVSTINVS Epiſcopus lib. 6. de Muſica, Item de principijs
Geometriæ, & Arithmeticæ ſcribit.
MARINVS Philoſophus Neapolitanus Procli diſcipulus. eius eſt Pro­
 theoria in data Euclidis.
DEMETRIVS Alexandrinus, lineares aggreſſiones fecit. Papp. p.61.
PHILO TYANÆVS de lineis genitis ex implicatione πληκτοειδων,
& aliarum varij generis ſuperficierum. Pappus p. 61.
S. PROSPER Aquitanus de Cyclo paſchali. compoſuit Cyclum ma­
 gnum annorum 532. 10. Lucidus. Iſidorus.
PAPPVS Alexandrinus: cuius Mathematicæ collectiones extant. &
comm. in 5. Ptolæmei magnæ ſyntaxis. fecit etiam vniuerſalem orbis deſcri­
 ptionem. de fluuijs Lybiæ. extant eius lemmata in Apollonium Pergæum.
THEON Alexandrinus, cuius ſunt græca comm. in magnam ſyntaxim
Ptolæmei, præterea de Arithmetica. de ortu Caniculæ. de Nili aſcenſu.
comm. in paruum Aſtrolabium. ex Suid. fuit Pappi ſyncronus.
HYPATIA Theonis Geometræ filia Alex. Diophantis Arithmeticam
comment. illuſtrauit. pręterea in Conica Apollonij ſcripſit. aſtronomicum
canonem conſtruxit. claruit ſub Arcadio, & Honorio.
VICTORINVS Aquitanus Aſtronomus, ab Hilario Papa Romam
inuitatur ad Calendarij correctionem.
EVTOCIVS Aſcalonita poſt Theonem, & Pappum ſcripſit, eos enim
nominat. ſcripſit commentaria in conica Apollonij, & in Archimedem de
ſphæra, & cylindro, de circuli dimenſione; & de æqueponderantibus.
1
DECIMUMQVINTVM SECVLVM
Sextum verò Chriſti. Ab ann. Chriſti 501 Symmacho ſum. Pont. Imperante Anaſtaſio orienti. Theodorico Rege Goth. Italiæ.
Hoc ſæculo Roma quartò capitur à Totila: & Longobardi
Italiam inuadunt.
BOETIVS vir clariſſimus, & Conſularis, latinè de Arithmetica,
de Muſica, de Geometria practica: inuenit Chiterinum muſicum
inſtrumentum. Supplem. chron.
CASSIODORVS vir clariſſimus, & Conſularis, ſcribit de
Arithmetica, de Geometria, de Muſica, de Aſtronomia, de Paſchali com­
 puto. Baronius.
IOANNES Grammaticus cognominato Philoponus, ſcripſit de Arith­
 metics. modus etiam quidam inueniendi duas medias ei tribuitur, vt apud
Clau. in Geometria practica. comm. in Nicomachi arithmeticam ſcripſit.
HERO Mechanicus, qui eſt alius ab Herone Philoſopho mechanico, de
quo ſuperius. eius extat liber de Geodæſia, & alter de machinis bellicis. ait
ipſe in Geodæſia ſtellas fixas poſt Ptolemæum, vſque ad ſuam ætatem pro­
 greſſos eſſe grad. 7. qui progreſſus, ſi Albatignio credimus annos ſaltem 460.
importat, qui Ptolemæi ætati aditi Heronem in hoc ſeculum transferunt.
HELIODORVS Lariſſeus, cuius extant optica græca. citat Hero­
 nem mechanicum.
DIONYSIVS exiguus Abbas Romanus, computum, & cyclum pa­
 ſchalem aliter ac Græci ordinauit a. D. 532. quem latina Eccleſia poſtea
vſque ad Calendarij correctionem ſub Greg. 13. factam, ſequuta eſt: primus
annos à Chriſto Domino numerare cœpit, qui prius à Diocletiano, ſiue à
perſecutione Diocletiani numerabantur. Chriſtmanus in Alfrag.
S. GREGORIVS Magnus Papa in muſicis excelluit, eique, adeo fuit
addictus, vt Clericos ipſe muſicam doceret. canticum Eccleſiaſticum ordi­
 nauit, qui ab eo denominatur. choro etiam modum conſtituit.
1
DECIMUMSEXTVM SECVLVM
Septimum verò Chri. ab ann. Chriſti 601 Gregorio magno ſum. Pont. Mauritio Imperatore orientis. Longobardis in Italia regnantibus.
Arabes in Aſia, & Africa, & Europa complura regna occupant.
ISIDORVS Hiſpalentis Epiſcopus, in ſuis de originibus libris om­
 nium Mathematicarum compendia inſerit: & de cyclo paſchali plu­
 ribus agit: & in libro de Mundo breuiter tractatum de ſphæra per­
ſtringit.
MARTIANVS CAPELLA, qui etiam Fœlix Mineus dicitur, ad
hæc tempora à Patricio in Poetica refertur, ſcilicet paulo ante Eraclium
Imper. ſcripſit in ſuis nuptijs Mercurij cum Philologia, de 4. Mathematicis
Geometria, Arithmetica, Muſica, Aſtronomia.
DECIMVMSEPTIMVM SECVLVM
Octauum autem Chr. ab ann. Chriſti 701 Sergio ſum. Pont. Imper. Tiberio Abſimero orientis. Longobardis in Italia.
VENERABILIS BEDA de Arithmetica. de Muſica. de
Aſtrolabio. de Horologio ſolari. de computo Eccleſiaſtico.
Ecce tibi quanta literatorum paucitas Barbaris Imperium de­
uaſtantibus.
DECIMUMOCTAVVM SECVLVM
Nonum verò Chr. ab ann. Chriſti 801 Leone ſum. Pont. Imper. occidenti Carolo Magno. Irene verò orienti.
Literæ apud Arabes florere incipiunt.
ALMEON, ſiue Almamom Rex Arabum, ante Albategnium
ann. 50. obſeruauit Solis maximam declinationem 23. 51. repe­
 rit vni gradui terræ deberi mill. 56. in campis Singar propè Ba­
byloniam.
1
ALBATEGNIVS ARACENSIS Arabs, poſt Ptolemæum ann.
750. à nat. Chriſti 880. ante Alfarabium 381. obſeruat Solis maximam de­
 clinationem 23. 35. & primam Arietis poſt æquinoctium grad. 18. 2. Ara­
 cta eſt vrbs Syriæ, & patria ipſius, à qua dicitur Aracenſis. extat liber eius
de ſcientia ſtellarum.
MICHAEL PSELLVS Græcus Quadriuium, hoc eſt de 4. Mathe­
 maticis compendiosè ſcripſit, & extat. Docuit filios Imperatoris. hic po­
 nitur à Baronio.
Sequentes 5. ponendi ſunt ante ſeculum 10. quo Suida ſcribens, eos me­
 morat: quanto autem, neſcire fateor.
PAVLVS Philoſophus, introductionem Aſtrologiæ compoſuit.
PETOSCIRIS Aegyptius, Aſtrologica è ſacris libris pertractauit.
ACHILLES STATIVS Alexandrinus Epiſcopus. de ſphæra.
ZOROMASDVS Chaldæus. Mathematica ſcripſit.
PELLES Aegienſis. Arithmeticorum lib. 2.
GEBER Arabs, cuius extat Opus aſtronomicum 9. libris diſtinctum,
quo Ptolemæi Almageſtum exponit, ac corrigit. initio agit de Triangulis
ſphæricis, quantum aſtronomicis calculis opus eſt.
DECIMUMNONUM SECULUM
Decimum verò Chr. ab ann. Chriſti 901 Ioanne ſum. Pont. Impp. Ludouico 4. occid. Leone 6. orien.
Lingua vulgaris Italica incipit emergere. Baron.GVIDO ARETINVS Monachus S. Benedicti, Romæ ſcripſit
de Muſica.
nouam rationem cantus excogitauit. eius opera ſunt
Introductorium muſicæ, in quo ipſe primus vocibus nomina in­
 didit, Vt, Re, Mi, Fa, Sol, La: Item Micrologus de Muſica.
ALFARABIVS Arabs, Aſtronomus celebris.
ALBVMASAR Arabs, Aſtronomus celebris. de magnis coniunctio­
 nibus, & alia iudiciaria.
ALFRAGANVS Arabs, Aſtronomica elementa edidit.
BAGDADINVS Arabs. de diuiſione figurarum, extat.
BEN MVSA Arabs. de figuris planis, & ſphæricis.
1
VIGESIMVM SECVLVM
Vndecimum verom Chr. ab ann. Chriſti 1001 Silueſtro ſum. Pont. Impp. Ottone 3. occid. Baſilio, & Conſt. orient.
ALHAZENVS Arabs: eius extant optica doctè, ac ſubtiliter
pertractata. Item opuſculum de crepuſculis, vbi aeris ſuprema
altitudinem acutiſſimè rimatur.
CAMPANVS Italus, ac Nouarenſis, primus Euclidem ex
Arabico in latinum tranſtulit, ac ſcholijs illuſtrauit. Fuit optimus Aſtro­
 nomus: ſcripſit computum minorem, & maiorem, anno 1200. vt ipſe ait.
Item ſphæram, & theoricas planetarum.
ARZAEL Arabs Poſt Albategnium ann. 190. reperit Solis maximam
declinationem gr. 23. 34.
IS A CIVS ARGYRVS Græcus, de Paſchatis correctione. Cla­
 uius in Calendario.
VIGESIMVMPRIMVM SECVLVM
Duodec. verò à Chr. ab ann. Chriſti 1001. Paſchali ſum. Pont. Impp. Henrico 3. occid. Alexio Commeno orient.
RABBI Abraham de Sphæra. Chriſtm. in Alfrag.
IORDANVS Nemorarius, qui ſcribit de ponderibus, citat
Campanum, & Campanus in def. 5. elemen. citat Iordanum, qui
ſcripſit de Arithmetica lib. 12. & data Arithmetica. & de Aſtro­
 labio. qui ſcribit de Arithmetica appellatur etiam Nemorarius, vnde vnus,
& idem Iordanus videtur eſſe.
AVERROES Arabs magnus commentator, fecit Epitomen Alma­
 giſti. Picus Mir. contra Aſtrologos.
ALMEON Almanſorius Arabs, poſt Arzaelem ann. 70. anno Domi­
 ni 1140. declinationem Solis maximam reperit 23. 33.
ALPETRAGIVS Arabs Almconis coætaneus ann. Domini 1145.
eandem cum eo inſpexit declinationem.
HVMENVS Aegyptius, cuius tabulæ aſtronomiæ arabicè ſcriptæ aſ­
 ſeruàntur in Biblioth. Palatina. Chriſtmanus in Alfr.
IOANNES Hiſpalenſis circa 1142. conuertit Alfragnum in latinum.
ex Chriſtmanno.
THEON Smyrneus, circa hæc ſecula, Græcè loco Mathematica apud
Platonem interpretatur. opus eius Græcum extat in Vatic. ex Ioſ. Auria.
1
XXII. SECVLVM
Decimum autem tertium Chr. ab ann. Domini 1201 Innocentio ſum. Pont. Impp. Ottone 4. occid. Iſacio orient.
VITELLIO, qui maiorum Optica in vnum congeſſit, ac digeſ­
 ſit. Riſnerus.
NICOLAVS CABASILLA Græcus, Ptolemæi ſynta­
 xis commentator.
FEDERICVS Secundus Imperat. primus Almageſtum ex Arabo in
latinum conuerti curauit, adeoque; aſtronomiam omnem excoluit. Chriſtm.
ALPHONSVS Rex Hiſpaniarum, cuius ſunt tabulæ Alphonſinæ. ob.
ſeruauit ann. Domini 1250. primam Arietis poſt æquinoctium gra. 23. 40.
hic quadraginta aureorum millia ad aſtronomiam in lucem reuocandam cum
ſempiterna ſui nominis gloria contulit.
IOAN. de Sacroboſco angulus ſcripſit de ſphæra; & de computo Eccleſ.
IOANNES autor ſummæ Angel.
THEBIT Arabs, poſt Almeonem an. 50. an. 1270. primus motum tre­
 pidationis octauæ ſphærę rimatus eſt.
PROFATIVS Iudæus ann. Dom. 1300. poſt Almeon ann. 160. Solis
declinationem maximam annotauit. gr. 23. 32.
IOANNES GIRA Amalphenſis inuen it miram illam magnetis pro­
 prietatem, qua ad polum ſemper conuertitur: vnde maxima rei Nauticæ
vtilitas, & acceſſio facta eſt:
Prima dedit nautis vſum magnetis Amalphis.
Panormitanus. Ortelius tab. 6.
XXIII. SECVLVM
Decimum verò quartum Chr. ab ann. Domini 1301 Bonifacio ſum. Pont. Impp. Alberto primo Auſtriaco occid. Andronico Paleologo orient.
BARLAAM Monacus. Græcè de Arithmetica, nondum editus.
ROGERIVS BACCON ſub Clem. 5. perſpectiuam laudatiſſi­
 mam ſcribit. Item de loco ſtellarum. Item ſpecula Mathemati­
 ca. 10. Lucidus. Collim.MARCVS POLVS Venetus, per totum Orientem peruagatus, plurima
ſcitu digniſſima, de regnis Aſiæ Orientalibus breui comm. materna lingua
complexus eſt.
IOANNES Archiep. Cantuar. auctor perſpectiuæ communis. poſt Vitell.
& multò ante 1500. ann. ex Gaurico.
1
XXIIII. SECVLVM
Decimum verò quintum Chr. ab an. Dom. 1401. incipiens.
Bonifacio ſum. Pont.
Impp. Ruberto Auſtriaco occid. </lb>Emanuele Paleologo orien.
Anno 1453. Imperium orientis capitur à Mahumeto 2.
Turcarum Imperatore.
Nouus orbis circa finem huius ſeculi detegitur.
LEONARDVS Piſanus, primus ex recentioribus de Algebra la­
 tinè ſcripſit. nondum editus.
GEORGIVS PVRBACHIVS, Theoricas planetarum, edidit.
epitomen almageſti inchoauit, quam poſtea Ioannes de Montere­
 gio abſoluit. Item tabul. eclypſium. declinationem Solis maximam, 23.28.
prodidit. ſcripſit de horologio ſolari, & aſſeruatur in Bibliotheca Viennenſi.
publicè Mathematicas, Viennæ, & Ferrarię docuit.
IACOBVS FABER Stapulenſis edit commentaria in arthmeticam
Iordani. Item elementa muſicæ libris quatuor.
FRANCHINVS GAFFVRIVS Laudenſis, latinè Muſicam, Theoricam,
& Practicam ſcribit 1496.
IOANNES de Monteregio, Purbacchij diſcipulus. Epitomen alme­
 giſti abſoluit. opus de triangulis planis, & ſphæricis. Tabulas directionum
fecit. primus ephemerides aſtronomicas ad plures annos edidit. tangentes
lineas inuenit. item libellum de Cometa. Mathias Rex Vngariæ multis eum
auxit honoribus, & diuitijs. tandem Romam à Summo Pontifice ad Calen­
 darij correctionem euocatus, ibi obijt, ſepultusque; eſt in Pantheone. declina­
 tionem Solis maximam. 23.30. edixit. Monteregio plurimum debet omnis
literatorum poſteritas, quòd veterum Græcorum ferè omnium, Archime­
 dis, Apollonij, Sereni, Ptolemæi, & aliorum opera numero ferè triginta, in
latinum conuerſa, Typis mandari curauerit. Ex Collimitij indice ante ta­
 bulam primi mobilis Monteregij.
PETRVS de ALIACO Card. Cameracenſis 1414. ſuaſit Concilio Con­
ſtantienſi correctionem Calendarij Romani. ſcripſit de Calendarij corre­
 ctione. de parallelis, &c. Chriſtmanus in Alfraganum.
F. LVCAS de Burgo edidit magnum volumen Italica lingua de arith­
 metica, in quo algebram ex Leonardo Piſano partim acceptam vulgauit:
ibi etiam de geometria practica. Item librum de diuina proportione.
CHRISTOPHORVS, COLVMBVS Ligur, Argonautum princeps Aſtro­
nomiæ, & Geographiæ ſcientia fretus nouum Orbem, magno, ac fęlici au­
 ſu detexit.
NICOLAVS CVSANVS Cardinalis, de Transformatione figurarum.
1
XXV. SECVLVM
Decimum verò ſextum Chr. ab ann. Chriſti 1501 Alexandro 6. ſum. Pont. Imper. Maximiliano occid.
Totius orbis circumnauigatio: & nouarum ſtellarum
fixarum apparitio.
IOANNES VERNERVS Germanus, aſtronomicas Tabulas, quibus
loca ſtellarum exponit, declinationi Solis max. tribuit grad. 23.28.
primam Arietis poſt æquinoct. gr. 26. an. 15 4. de motu octauæ ſphæræ.
FERDINANDVS MEGALANES rei nauticæ, ac proinde aſtro­
 nomiæ peritiſſimus, fretum ſibi cognomen inueſtigauit, vnde poſtea nauis
ipſius verè Victoria totius terræ globum prima omnium circunnauigauit. 1519.
IOAN. BLANCHINVS Ferrarienſis, Tabulas aſtronomicas compoſuit.
LVDOVICVS FOLIANVS Mutinen. latinè de muſica Theorica. 1529.
NICOLAVS COPERNICVS, nouis obſeruationibus cœleſtes motus
corrigit. 1515. antiquam Cleantis opinione de motu terræ ſuſcitauit. ait
præterea, Solem in centro mundi quieſcere. 1530.
ORONTIVS FINÆVS, Pariſijs Mathematicas docuit. varia compo­
 ſuit, quæ paſſim reperiuntur; legenda tamen cum antidoto Petri Nonij de
erratis Orenſij. 1530.
ERASMVS REINOLDVS eruditiſſimas Tabulas prutenicas. Item com­
mentaria in Theoricas Purbachij edidit.
BARTHOLOMÆVS ZAMBERTVS, qui Euclidis Elementa, Optica,
Catoptrica, Phænomena, & Data ex Græcis Latina fecit.
PAVLVS Epiſcopus Foroſempronij. opus de Calendarij correctione,
quod Paulina dicitur. ſub Leone X. conſcripſit.
ANDREAS SCHONERVS. de Gnomonica acutiſſimè ſcribit.
PETRVS APPIANVS de Geographia.
GEMMA Friſius arithmeticam practicam, aſtrolabium, &c. ſcribit.
MICHAEL STIFELIVS arithmeticam integram, in qua Algebram op­
 tima methodo tradit.
ALOYSIVS LILIVS, alter noſtri æui Soſigenes, Calendarij correctionem
excogitauit, qua cyclum Lunæ perpetuum, necnon ſtabilem æquinoctij ſe­
 dem faſtis Eccleſiaſticis indidit, quem ſequutus eſt Greg. XIII. Papa, dum
anno Chriſti 1572. exemptis decem diebus, vniuerſo Chriſtiano orbi Calen­
darium in perpetuum emendatum exhibuit. Eius frater Antonius Lilius
vixit ſub Gregorio XIII.
RAPHAEL BOMBELLVS Bononienſis. Italicè de Algebra.
PETRVS NONIVS Salacienſis, vnico volumine varia pertractat. De
nautica. in Theoricas Parbachij. de erratis Orontij. de crepuſculis.
LVCAS GAVRICVS Epiſcopus Ciuitatenſis, de Calendarij correctio­
 ne. Schol. in almag.
1
IOANNES BVTEO Logiſtices, lib. 5. de arca Noe. de quadraturis cir­
 culorum. tam antiquis, quam nouis.
FRANCISCVS MAVROLY VS Abbas Siculus, Coſmographiam. Ari­
 thmeticorum lib. 3. de lineis horarijs Photiſmos. & alia nonnulla, partim
nondum edita, quorum index habetur in ſua Coſmographia. primus de li­
 neis ſecantibus ſcripſit.
HIERONYMVS CARDANVS, artem magnam ſcribit, in qua de al­
 gebra. obſeruauit Cometas eſſe in cœlo. in libris de ſubtilitate, & varieta­
 te plurima miſcet ex omnibus Mathematicis.
IOANNES Padouanus de horolgijs.
FRANCISCVS FLVSSATES CANDALLA Gallus, nobiliſſimo gene­
 re ortus, commentaria in Euclidem: cui propria Minerua adiecit. 16. li­
 brum. hic in Academia Burdigalenſi Mathematicarum profeſſori, annuum
ſtipendium in perpetuum reliquit. ſique; eam Cathedram fundauit.
FEDERICVS COMMANDINVS optimè meritus, ſi quiſquam alius
de Mathematicis. Græcorum enim egregia monumenta nobis mira fęlici­
 tate traduxit, & expoſuit. elementa Euclidis. conica Apollonij. opera Ar­
 chimedis. Ariſtarchum Samium. Bagdadinum de diuiſione figurarum. Ne­
 ronis ſpiritalia. Pappum Alexandrinum. Analemma Ptolemæi. ex proprijs
verò. de centro grauit: ſolidorum. de lineis horarijs.
IOANNES de ROIAS aſtrolabium.
IOANNES STOFLERVS de fabrica, & vſu aſtrolabij. commentaria
in ſphæram Procli. de calendario.
ABRAHAMVS ORTELIVS Geographus. Theatrum mundi, & theſau­
 rum geographicum.
GERARDVS MERCATOR Geographus, Ptolemæi geographiam re­
 ſtituit. Atlas, opus geographicum eius eſt.
ALEXANDER PICCOLOMIN. ſcripfit Italicè ſphæram. Theoricas
planetarum. de ſtellis fixis. de magnitudine terræ, & aquæ.
IOSEPHVS ZARLINVS de muſica duos tomos Italicè.
VINCENTIVS GALILEVS Florentinus. Italicè ſcribit quinque Dia­
 logos de muſica veteri, & noua: vbi optimè recentiorum Contrapuntiſtarum
(vt vocant) errata abſurdiſſima manifeſtat.
IO. BAPTISTA BENEDICTVS Gnomonica, & ſpeculationes varias.
M. IACOBVS CHRISTMANVS comm. in Alfraganum: cui addidit com
mentum eruditiſſimum de Calendarijs, & temporum connexione.
IOSEPHVS AVRIA Neapolitanus optimè de Mathematicis meritus,
ſiquidem quaſi alter Commandinus priſcorum monumenta Græca nobis ex­
 ponere laborauit. eius ſunt: Autolycus de ſphera, quæ mouetur. Euclidis
phænomena. Theodoſius Tripolita de habitationibus: & de dicbus, & no­
 ctibus. Item data Euclidis, nondum edita, quæ vt edantur, ſatago. plura
alia dediſſet, ni mors interceſſiſſet.
NICOLAVS RAIMARVS, libellum edit, quo acutè per ſolam proſtha­
 phereſim, totum ſphæricorum triangulorum calculum abſoluit. P. Clauius
in aſtrolabio.
IOANNES BAPT. Vicomercatus, de horologio ſolari inuenit modum
1deſcribendi plura horologia, & varia vna, & eadem opera ad Solem.
FRANCISCVS BAROCIVS patricius Venetus, cui plutimum debe­
 mus, tum ob Procli in Euclidem commentaria in latinum diligenter tran­
 ſlata, tum propter Heronis Mechanici de machinis bellicis, necnon de Geo­
 dæſia tranſlationem, atque illuſtrationem. edidit præterea Coſmographiam.
P. ALEXANDER FLORAVANTVS Capucinus, ingenioſiſſimum, ac
commodiſſimum inſtrumentum ad horologia in muri deſcribenda excogi­
 tauit; quod Retehorarium appellauit. F. Cherubinus in ſuo de horologijs
Thaumalemmate.
GVIDVS VBALDVS Marchio, ex nobiliſſima familia de Monte. edidit
Mechanica, Paraphraſim in æquepond. Archimedis. Aſtrolabium, Perſpe­
 ctiuam, omnia probatiſſima, & proprio marte adinuenta. Poſthuma ſunt
Problem. aſtron. & opus de Cochlea.
TICHO BRAHE Baro Danus, verus Aſtronomiæ inſtaurator. in id ad
200. aureorum millia inſumpſit; nam, & Palatium, & inſtrumenta ſumptuo­
 ſa conſtruxit, & operas plurimas aluit. opera eius edita ſunt, tomus primus
de ſtella noua. alter de cometis, quas in cœlo reperit. epiſtolæ. mechanica.
alia expectantur. aſſerit cœlum eſſe liquidum, & quartum ignis elementum
irridet. Venerem, & Martem modò ſupra Solem, modò infra ferri obſerua­
 uit. obijt 1601.
IO. BAPT. VILLALPVNDVS Soc. Ieſu. in tertio tomo commentario­
 rum in Ezechielem, librum vnum iuſtæ magnitudinis habet, nouis demon­
 ſtrationibus Geometricis, & alijs pluribus, tum ad mechanicam, tum ad
menſuras geometricas pertinentibus refertum.
FRANCISCVS VIETA Gallus edidit, Canonem mathematicum, opus
reſtitutæ Mathematicæ analyſeos, munimen aduerſus nouam Cyclometri­
 cam, Pſeudomeſolabum. Apollonius Gallus. Zetetica: & alia nonnulla.
SIMON STEVINIVS Brugenſis, edidit Problem. Geometric. lib. 5.
XXVI. SECVLVM
Decimum verò ſeptimum Chr. ab ann. Domini 1601 Clemente 8. ſum. Pont. Imp. Rodulpho 2. occid.
Reperitur Teloſcopium, quo in cœlo admiranda, ac noua
primum ſpectantur.
CHRISTOPHORVS CLAVIVS Bambergienſis è Soc. Ieſu,
præceptor meus. ipſius opera ſunt: ſphæra. gnomonica. commen­
 taria in Euclidem. in Theodoſij ſphærica. de Triangulis planis, &
ſphæricis. Aſtrolabium. inſtrumentum ad horologia deſcriben­
 da. nona horologij deſcriptio per Tangentes. Arithmetica practica. Geome­
 tria practica. Calendarij Romani à Greg. 13. reſtituti explicatio. Apologia
eiuſdem Calendarij contra Mæſtlinum, & contra Ioſephum Scaligerum.
1Algebra. in quibus multa partim à ſe inuenta optimè demonſtrat. obijt ann.
Domini 1612. 5. Februarij paulo poſt mediam noctem annorum 75. fere.
IO. ANTONIVS MAGINVS Bononiæ publicus Mathematicarum pro­
 feſſor. Geometriam practicam. Theoricas planetarum nouas, iuxta obſer­
 uationes Copernici. Tabulas ſecundorum mobilium. Primum mobile. Ta­
 bulas directionum. commentaria in Ptolemæi Geographiam. Ephemerides
ad annos 50. & Italicè de admirandis effectibus ſpeculi ſphærici ſcripſit.
nunc Italiam magnum opus adornat.
MARINVS GHETALDVS patricius Raguſinus. Promotus Archime­
 des. de parabola, & ſpeculo vſtorio. item Apollonius rediuiuus. & ſupplem.
Apoll. Galli. adhuc viuit.
LVCAS VALERIVS Romæ publicus Mathematicarum profeſſor. de
centro grauit. ſolidorum. opus magno acumine conſcriptum. Item Qua­
 dratura Paraboles aliter, quàm Archimedes adhuc viuit.
ADRIANVS ROMANVS Belga, eius ſunt, Idæa Mathematica. Vra­
 nographia. expoſitio Archimedis de circuli dimenſione. exercitationes cy­
 clicæ. de Triangulis ſphæricis.
Nobiliſſimus CAROLVS GESVALDVS Princeps Venuſinus, noſtræ
tempeſtatis Muſicorum, ac Melopæorum princeps, ac veteris Muſicæ re­
 ſtaurator. hic enim rithmis in Muſicam reuocatis, eos tum ad cantum, tum
ad ſonum Modulos adhibuit, vt cæteri omnes Muſici, ei primas libenter de­
 tulerint, eiusque; Modos Cantores, ac Fidicines omnes, reliquis poſthabitis,
vbique auidè complectantur. obijt 1614.
IO. BAPT. PORTA, eruditiſſimus æquè, ac nobiliſſimus. editi ſunt eius
lib. 9. de Refractione optices. elementorum curuilineorum lib. 3. Interpre­
 tatio primi Almageſti, cum comm. Theonis. de Munitione lib. 3. Pneuma­
 ticorum lib. 3. Catoptrica nondum edita.
P. BERNARDINVS SALINVS de Soc. Ieſu. libri 11. in quibus ſuppo­
 ſita recta æquali circumferentiæ plurima veluti corollaria demonſtrantur.
de horologijs lib. 2. varia problemata aſtronomica lib. 1. de menſuris geo­
 metricis lib. 1. quæ nondum edita aſſeruantur Genuæ in Colleg. Soc. noſtræ.
obijt ann. Domini circiter 1608.
PETRVS ANTONIVS CATTALDVS Bononienſis, publicusque; Bo­
 noniæ Mathematicarum profeſſor. cuius opera iam edita ſunt, Elementa
numerorum arithmeticorum. Elementa Geometricorum. Algebra pro­
 portionalis. de lineis rectis æquidiſtantibus, & non æquidiſtantibus; vbi
Poſtulatum quintum, & ſeptimum primi Euclid. oſtenſiuè, ac breuiter de­
 monſtrat. De numeris perfectis. Transformatio Geometrica, qua oſten­
 dit datum rectilineum, illud ipſum reducere ad formam propoſiti rectilinei.
De radice quadrata breuiſſimè inuenienda. De quadratura circuli. Plures
lectiones mathematicæ. Apud ipſum verò abſoluta, atque ad Typum para­
 ta hec ſunt: Archimedis defenſio. Euclidis defenſio. Algebra numeralis,
linealis, & applicata. Elementa numerorum denominatorum. De regula
aurea ſumma breuitate. Transformatio geometrica figurę, in aliam cuius
ambitus, ac laterum numerus ſit propoſitus. Algebra triangularis. Hor­
 tus mathematicus. Continuatio algebræ proportionalis, vbi acutiſſimum
1opus zeteticorum doctiſſimi Franciſci Vietæ exponit. Examen geometriæ
Caroli Bouilij.
IOANNES KEPLERVS Mathematicus Cæſareus, à quo edita ſunt;
Myſterium coſmographicum. De ſtellis nouis. Paralipomena ad Vitell.
vnà cum Optica aſtronomica. Opus de ſtella Martis. Dioprice.
GALILÆVS GALILÆVS Florentinus, cui plurimùm debet tota poſte­
 ritas, nam ope Teleſcopij nuper à Belgis inuenti, reperit quatuor planetas
circa Iouem errantes; & innumeras alias fixas; in Luna montes, ac valles;
nebuloſas eſſe ſtellularum greges, Gallaxiam eſſe exiguorum aſteriſcorum
agmen; Venerem inſtar Lunæ augeri, & minui; Saturnum duobus ſtipari
ſatellitibus; hæc partim in ſuo Sydereo Nuncio exponit; partim in libro
Italicè ſcripto de Maculis ſolaribus, vbi ſe primum earum repertorem eſſe
contendit. Item Italicè de ijs, quæ natant, aut mouentur in aqua; opus
acutiſſimum; vbi aliquot Ariſt. loca Mathematica expendit. adhuc viuit,
& nouum mundi Syſtema adornat.
APELLES poſt tabulam latens (ſic ficto nomine appellari voluit P. Chri­
ſtophorus Scheiner Germanus è Societate noſtra) maculas ſolares proprio
Marte animaduertit, quid circa eas eodem ferè tempore alij agerent, om­
 ninò neſcius. eas tamen primus, libello ficti nominis, publici iuris fecit.
item libellum de Sole elliptico. 1612.
MARCVSANTONIVS de DOMINIS Archiepiſcopus Spalatri. de ra­
 dijs viſus, & lucis: vbi inquirit Teleſcopij demonſtrationem.
P. CHRISTOPHORVS GREIMBERGERVS è Societ. noſtra, qui ad
Aſtrolabium, & Horologia attulit non pauca ipſo Clauio teſte. nuper edi­
 dit Catalogum veteres affixarum longitudines, & latitudines conferens cum
nouis. Item libellum de ſpeculo vſtorio; & Appendicem ad practicam Co­
 ni ſectionem, cui annexa ſunt conſectaria, quæ circulorum contactui, ſectio­
nemque; angulorum curuilineorum concernunt.
P. Fr. AGVILLONIVS BELGA è noſtra Societ. edidit elegantiſſimum
Opticæ volumen; & alterum adornat.
Huius ſeculi præcedens pars deſinit in anno Dom. 1614. quo ipſa Chro­
 nologia pariter abſoluta eſt.
Atque hic finis eſto breuis huius Chronologiæ, quæ continet auctores ferè
257. annos verò 2464. in 26. ſecula diſtributa; in quam ex antiquis omnes
quot quot reperire potuimus, ex recentioribus ſelectiores, qui aut ſcrip­
tis, aut rebus claruerint, cooptauimus; alioquin recenſendi fuiſſent omnes
Pythagorici, atque omnes Platonici, qui omnes Mathematicis eximié naua­
 bant operam. omnes præterea Poetæ ab Homero vſque ad Chriſti ferè ſecu­
lum annumerandi fuiſſent, erant enim antiquitus poetæ omnes ſimul etiam
muſici, vt perſpicuum eſt ex ijs, quæ in libro de muſica Plutarchus in hunc
modum ait; non equidem fuiſſe immunem metri, numeriuè rati dictionem
poematum muſicorum, ſed qualis Stetichori fuit, & veterum aliorum poe­
 tarum, qui carmina adhibitis modulis condidere, Terpandrum nanque tra­
 dunt adiectis ad ſua, atque Homeri carmina, per ſingulas leges modis, ſoli­
 tum in ludis cum concertatione editis canere.
Neque mireris, quòd recentes muſicos omnes, quos Contrapuntiſtas
1lant, omiſerim, id enim conſultò, ac meritò feci, cùm mihi obſequentes ra­
 tiones, quas breuiter ex Dialogis de muſica Vincentij Galilæi decerpſi,
nomine muſici, indigni videantur.
Primò, quia officio muſici minimè funguntur: eſt autem ex Platonis, atque
Ariſtot. ſententia, officium muſici, rithmis, ſiue numeris vti ad auditorum
affectus excitandos: Contrapuntiſtæ verò iſti rithmum omnem, aut nume­
 rum a ſpernantur.
Secundò, quia ſuas illas quatuor, aut quinque partes ſic ſimul confundunt,
vt nullum verbum, nullusque; rithmus percipiatur: ſed mera tantummodo
muſica quædam confuſio: quam, qui audit neſcit quid audiat.
Tertiò, quia eodem modo carmina, ac ſolutam orationem canunt, vt in­
 telligere nequeas carmina ne, an proſam decantent. quod quidem maximè
eſt inconueniens, & veteri muſicæ contrarium. neque enim muſica carminis
numerum offuſcare; ſed eum magis exornare, atque viuidum reddere debet.
Quartò, quia cantilenæ ſenſum omnem, dum diuerſa verba ſimul plures,
in cantu pronunciant, ita tollunt, vt nihil omnino intelligatur: cùm tamen
muſici officium ſit, cantilenæ ſententiam cantu, & rithmo auditorum ani­
 mis ita in genere, vt eos iuxta ſententiæ illius affectum, afficiat, ac commoueat.
Quintò, quia de induſtria contra leges antiquas repetitiones eiuſdem, vel
conſonantiæ, vel cadentiæ, aut aiunt, atque etiam rithmi maximè vitant: quod
tamen ad animorum motus ciendos plurimùm valet.
Sextò, quia non muſicè, ſed mimicè, ideſt non rithmis, ſed modis à natu­
 ra muſicæ alienis, ac ridiculis frequenter imitari geſtiunt.
Hac igitur noſtra qualicunque fruere lucubratiuncula: atque in ea contem­
 plare, quo tempore, & à quibus non ſolùm Mathematica, ſed aliæ etiam ſcien­
tiæ ortum habuerunt: quando & apud quos floruerint, aut deſierint; ac tan­
dem iterum reuiuiſcere cęperint.
Quòd ſi quæras, quibuſnam ſtudijs, tribus illis annorum millibus, quæ chro­
 nologiam hanc noſtram præceſſerunt, homines vacauerint, ac proinde, cur
tam ſerò literis operam nauare cæperint: reſpondendum eſſe arbitror,
toto illo tempore homines fuiſſe totos, tum in artibus inue­
 niendis, atque excolendis, tum in vrbibus, atque
rebus publicis conſtituendis: quippe­
 quæ magis humanæ vitæ ne­
 ceſſaria erant.
Vale.
DEO OPT. MAX. LAVS.
1
INDEX
 In præcedentem Chronologiam.
A Ardalus muſicus. ſec. 1 Anaximander aſtron. 3 Ametiſtus geomctra. 3 Anaximenes aſtron. 3 Anaxagoras astron. 4 Antiſthenes muſicus. 5 Amiclas geom. 5 Antiphon geom. 5 Ariſtæus geom. 6 Aratus aſtron. 6 Aristoteles mathem. 6 Autolycus aſtron. 6 Ariſtoxenes muſ. 6 Archelaws geographus. 6 Ariſtarchus aſtron. 6 Arçhimedes mathem. 7 Apollónius magnus geometra. 8 Athenæus mechan. 9 Andronicus mechan. 9 Artemidorus geogr. 10 Andromachus astron. 10 Abifeldea geogr. 13 S. Auguſtmus mathem. 14 Almaon Rex aſtron. 18 Albaregnius aſtron. 18 Achilles aſtron. 18 Alfarabius aſtron. 10 Alhumaſar aſtron. 19 Alfraganus aſtron. 19 Alhazenus opticus. 20 Arzael aſtron. 20 Auerroes aſtron. 21 Almeon Almanſorius aſtron. 21 Alpetragius aſtr. 21 R. Abraham aſtr. 21 Alfonſus Rex aſtr. 22 Andreas Schonerus gnonom. 25 Aloyſius Lihus aſir. 25 Abrahamus Ortelius geogr. 25 Alexand. Florauantes gnom. 25 Adrianus R. B. mathem. 26 Apelles Latens aſtr. 26 B Bryſo geom. 5 Beroſus aſtr. 6 Boetius mathem. 15 V. Beda mathem. 17 Bagdadinus geom. 19 Ben Muſa geom. 19 Barlaam arithm. 23 Bart. Zambertus geom. 25 Bernardinus Salinus geom. C Carolus Geſualdus muſic. 26 Clonas muſic. ſec. 1 Cleoſtratus aſtron. 3 Cratistus geom. 4 Cygicinus geom. 6 Calippus astron. 6 Conon mathem. 6 Cteſibius mechan. 7 Cleomedes aſtr. 8 C. Manlius aſtr. 9 Cenſorinu aſtr. 12 Cyrillus Epiſc. astr. 14 Caſſiodorus math. 15 Campanus geom. 20 Chriſtoph. Columb. nautic. 24 Cbr. Clauius mathem. 26 Chr. Gruenbergeius mathem. 26 Cardanus aſtr. 25 Cattaldus arithm. 26 D Damon muſic. 3 Diocles muſic. 4 Democritus mathem. 5 Dinoſtratus geom. 6 Dicearcbus geom. 6 Dionyſiodorus geom. 9
1 Dionyſius Afer geogr. 10 Diophantes arithm. 11 Diocles geom. 14 Demetrius geom. 14 Dionyſius aſtron. 15 E Evshorbus geometra. 2 Empedocles muſ. 4 Epicurus muſ. 5 Euctemon aſtron. 5 Eudoxius aſtron. 5 Euclides geom. 6 Eratoſthenes aſtron. 7 Euſebius Epiſc. aſtron. 13 Eudemus geom. 13 Eutocius geom. 14 Eraſmus Reinoldus aſtron. 25 F Franchinus muſ. 24 Fr. Lucas arithm. 24 Ferd. Megalanes naut. 25 Fr. Maurolycus mathem. 25 Fr. Fluſſas geom. 25 Feder. Command. mathem. 25 Fr. Barocius mathem. 25 Fr. Vieta mathem. 25 Fr. Aguillonius optic. 25 G Geminus geom. 6 Geminus Rhodius aſtr. & geom. 13 S. Greg. mag. muſ. 15 Geber aſtron. 18 Guido Aret. muſ. 19 Geor. Purbachius astron. 24 Gemma Friſius mathem. 25 Gerardus Mercator geogr. 25 Guiduſubaldus mathem. 25 Galilæus Galilæus aſtron. 26 H Hecateus geogr. 3 Hippocr. Chius geom. 4 Helicon aſtron. 5 Hermotimus geom. 6 Hermophilus geom. 6 Heraclides muſ. 6 Hero mechan. 8 Hipparchus astron. 8 Hippolytus Epiſc. aſtron. 12 Hypatia aſtron. & arithm. 14 Hero mechan. alter. 15 Heliodorus optic. 15 I Ismenius muſ. 4 Iſidorus geom. 8 Iul. Cæſar astron. 9 Iul. Higinius aſtron. 10 Iul. Maternus aſtrol. 13 Io. Grammat. arithm. 15 Iſidorus mathem. 16 Iſacius aſtron. 20 Iordanes arithm. 21 Io. de Sacroboſco aſtron. 22 Io. Gira nautic. 22 Io. Epiſc. optic. 23 Iacob. Faber muſ. 24 Io. Monteregius aſtron. 24 Io. Vernerus aſtron. 25 Io. Blanchinus aſtron. 25 Io. Buteo mathem. 25 Io. Paduanus gnomon: 25 Io. Roias aſtron. 25 Io. Stoſterus aſtron. 25 Ioſephus Zarlinus muſ. 25 Io. Bapt. Benedictus gnomon. 25 Ioſephus Auria mathem. 25 Iacob. Chriſtm. aſtron. 25 Io. Bapt. Vicomerc. gnomon. 25 Io. Villalpandus geom. 25 Io. Ant. Maginus aſtron. 26 Io. Keplerus mathem. 26 L Licaon muſ. 3 Laſus muſ. 4 Leodamas geom. 5 Leon geom. 5 L. Papirius gnomon. 6 Leonardus algebrat. 24 Ludouicus Folianus muſ. 25 Lucas Gaur. aſtron. 25 Lucas Valerius mechan. 26
1 M Mamertimis geom. 3 Methon aſtron. 5 Menechmus geom. 6 M. Agrippa geogr. 9 Marinus geogr. 10 Menelaus aſtron. 10 Maximus arithm. 13 Menelaus geom. 13 Marinus Neapolit. geom. 14 Martianus mathem. 16 Michael Pſeltus mathem. 18 Mar. Polus geogr. 23 Michael Stif. arithra. 25 Marinus Ghetaldus mechan. 26 N Nicomachus arithm. 4 Neoclides geom. 5 Nicomedes geom. 13 Nicolaus Cabaſilla aſtron. 22 Nicolaus Cuſanus geom. 24 Nic. Copern. astron. 25 Nic. Raimarus geom. 25 O Oenipedes geom. 4 Orontius matbem. 25 P Polemon geogr. 3 Pythagoras mathem. ſummus. 3 Pericles aſtron. 4 Phrinis muſ. 4 Phrinicus muſ. 4 Parmenides aſtron. 5 Protagoras mathem. 5 Plato mathem. 5 Philippus mathem. 5 Philoſophus aſtron. 5 Perſeus geom. 6 Philo mechan. 8 Poſſidonius mathem. 8 Patroclus gnomon. 9 Parmenion gnomon. 9 P. Mela geogr. 10 Plinius geogr. 10 Plutarchus muſ. 10 Ptolemæus astron. 11 Porphirius aſtron. 12 Philo geom. 14 Proclus geom. 14 S. Proſper aſtron. 14 Pappus geom. 14 Paulus aſtron. 18 Petoſiris astron. 18 Pelles arithm. 18 Petrus de Aliaco aſtron. 24 Paulus Epiſc. aſtron. 25 Petrus Appianus geogr. 25 Petrus Nonius mathem. 25 R Rogerius Baccon optic. 23 Raphael arithm. 25 S Sacadas muſ. 2 Simonides lyric. 3 Sappho muſic. 3 Simon muſic. 4 Simmias muſic. 5 Sulpitius aſtron. 7 Serenus geom. 8 Soſigenes aſtron. 9 Scopas gnomon. 9 Strabo geogr. 10 Solinus geogr. 10 Straton geogr. 10 Sextus Empir. mathem. 11 S. Auienus geogr. 13 Sporus geom. 14 T Terpander muſic. 1 Thales Mileſius. 3 Telauges arithm. 3 Theodorus geom. 4 Timeus mathem. 4 Theætetus geom. 5 Theudius geom. 6 Theophraſtus mathem. 6 Timotheus muſic. 6 Timocharis aſtron. 6 Theodoricus aſtron. 9 Theophilus Epiſc. astron. 13 Theon aſtron. 14 Theon Smyrnæus mathem. 21
1 Thebit aſtron. 22 Ticho aſtron. 25 V Vincentius Galilæus muſic. 25 Vitellio optic. 22 Victorinus astron. 14 Vitruuius gnomon. 9 Valens aſtrol. 13 X Xenocrates muſic. 1 Xenocrates mathem. 6 Xenophantus muſic. 6 Y Ypſicles geometra. 8 Z Zenodorus geometra. 4
FINIS.
Ego Fr. Hieronymus Onuphrius Romanus, ex Conuentu S. Mariæ Gra­
 tiarum, Doctor Colleg. & Lector publicus, ac Sanctiſs. Inquiſitionis
Conſultor, vel libentiſſimè vidi, ac perlegi Opus hoc aureum inſcriptum,
LOCA ARISTOTELIS MATHEMATICA, & conſcriptum
ab Excellentiſs. P. Ioſepho Blancano de Societ. IESV. & cùm in eo nihil re­
 periatur, quod aut ſit contra Eccleſiaſticas diſciplinas, aut quod pias aures
offendat, quinimo maxima emergat vtilitas ijs, qui Ariſtotelicum textum
conſultò amplectuntur, ideò poſſe typis dari cenſui, &c.
Imprimatur
Idem qui & ſupra nomine Reuerendiſſ. P. Inquiſit. Bonon.
1
Errata, quæ Lectorem ſisterent, ſic corrigantur.
pag. linea. erratum. correctum. 4 2 perſuaſiſti peruaſiſti 18 22 quadratum quadrangulum 36 34 inueſtare inueftigare 38 15 A G, A C G, 39 22 æquatiorem æquatorem 51 46 vnoque vnoquoque 70 in figura defiderantur duæ lineolæ rectæ A I, & I E, 80 13 Tex. Textus 59. ibid. in figura pro O, ponatur C, 82 13 Tex. Tex. 110. ibid. 45 Vrſam ad Vrſam 83 42 Tex. Tex. 65. 107 10 fides fidem ibid. 11 ſaxiatritu ſciſſa, & attrita 166 in 2 figura deſideratur linea P R. 127 28 L, C, 155 in 2. figura deeſt linea K P: altera verò, quæ dextrorſum vergit, ſuperflua eſt. 220 45 quadratum quadrangulum 221 1 quadratum quadrangulum 231 30 incrementa decrementa ibid. 31 decrementis incrementis 235 19 L O, M N, ibid. 21 N M, O L, ibid. 34 H L, N L, 237 in figura linea K D L, deberet directè ad punctum A, tendere 256 4 toto tono 264 14 numeris neruis 266 44 cæteris cæteri 267 45 indicium indicium 274 27 contrà verum contrà, verum 279 30 MKINQ, MHINQ, In Additamento. 9 5 vncìa vnica 9 28 proportionali proportionalis 14 28 diuionem diuiſionem 18 22 78. 7. 8.
1
BONONIÆ
Apud Bartholomæum Cochìum. 1615.
Superiorum permiſſu.